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Mid A N “ali di di Ò | RAS] QUEI i Ne FS prg ai sn Bb’ i i DRS ma ù î da al MARNA Ni del 1 VT ii | DI se un ; î i ULI ì x URTO ° i III: di N, s9 19 | SINO CA u Nu Ù Ù N UN ° È i di À 2 a l e) LN Cost "E 7 I A ì n DeL i i ;° i LA n î To \ i} n° TO n, N J n | ® i i VR) DA o i i VA Mi) A : N a | È n Vi n Ù i di STO : i i : : a se Ù - i É A cd Li ni Jr i i Ù i } 9 i SONO È SAID IRR i va Ù I i RARA x î cu 5 Fap | Ga vai î fa (i n N ) , Ù bi Ni 5 ìì 0 DD $ SIE, i ai: : ci A, I | n, ni : I LI NOI i 5 i : DI È : | 9 si E ì î | : E a È A Gi % ì @ i 5 all E x Mr MTA ni un | _ e Po Qi To un f Va "ha Ti, CIO sii ì | : qu di ì : x Y La » ab. | tu | Ù vo è ia SILLA i Ko i É | x n ù i VU ì La Ai | t ti Ù ' : i a Ù t iu : Ù A Ù : hi DT | i Ù: î Ni, Da i : D (AH DA i VE ‘ ù | i Ù, J "A (n Ù ì ti LI "i | : : ° si : î PID i (i n AO hd 5 5 l CT da la Li î Pi DI, se i il A Fide ui: " | ALI i i A sì U si VAL Si 40 \ DAI LA ' dl | ATTRA, i GRANI) I eil | IS pi hi! "o ONE TIL Ci | ì IT n.0, Mei DITA i U PE Ul, 0) Mr ©. MARE ATTS Ù Ni Leda » u LI tO ' AT di x ti) x f i o) MI Va 5 Wheat! bind A i " Di SO, dh Ò bo se 5 : iù a DU È i netta re ei, si Tria x 170 : ti) a fi Mat. 1) ui N, — (API î i CRT : ML L'AL MAIToni ii n NU ti i ha : uu Ù Î î È ALA Na ali de NITRO DL) i : i Ò LL n al da tie Lai dei fi 9 PAR) N o” nl su: i, x se Ma | Mi Dr Mi, LA do x | i — : IA i tI) i và POME Li n i "i VEDA È Va NOI . via TX Ue “ ‘ : E si fog f | pot sale i AR nb ii pudii LA si °° ® ni Mi ii Fi TO NA = AI EAeIEREZZIZZIZAZZZA MEMORIE DELLA REALE ACCADEMIA DELLE SCIENZE DI TORINO SERIE SECONDA ( il SV Tomo LIV 3 S N A ETRE A x Mn REOREZSSSPTS|[NAZNAN "TORINO CARLO CLAUSEN Libraio della A. Accademia delle Scienze i — 1904 gx VE SEGNI i) PIG NARRA RENNREEIZF= À Nemo ERA > SR Ra i RA RRSRERIARZA Nori RAZZA Rae VS SE rresesesenen LE MEMORIE DELLA REALE ACCADEMIA DELLE SCIENZE DI TORINO {i - DI _ ni si . È ' in; = Ù - i - , ? PA y 6) { | E 4593 i ' . da s I a x Ù | CI M ì n D Ù i OF het | NCES8 MEMORIE DELLA REALE ACCADEMIA v BEE tsCCrENZE DI ECRINO SERIE SECONDA Tomo LIV TORINO GIASEGIMOIO:IRTA UU SIEN Libraio della A. Accademia delle Scienze 1904 RANA Torino — Vincenzo Bona, Tipografo di $. M. e Reali Principi e della Reale Accademia delle Scienze, SCIENZE FISICHE, MATEMATICHE E NATURALI INDICE CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEMATICHE E NATURALI Sulle corrispondenze fra i punti di una curva algebrica e sopra certe classi di superficie. Memoria di FRANCESCO SEVERI . . Pag. Sulle vibrazioni di una membrana che si possono far diirilero da due soli parametri. Memoria di GruLio Bisconcisi i a Ricerche intorno alla Talpa romana Oldfield Thomas e ad altre forme di talpe europee. Memoria del Socio Lorenzo CAMERANO ; i A Sul. terzo massimo invernale nell’andamento diurno del barometro. Memoria del Dott. Eristo FERRERO n Sulla incidenza di rette, piani e spazii ordinarii in uno spazio a cinque dimen- sioni e su alcune corrispondenze birazionali fra piani e spazii ordinarii. Memoria di UmBerTto PerAzzo a a È 3 i Ricerche intorno alla variazione del “ Bufo viridis , Laur., del “ Bufo mauri- tanicus , Schlegel e del “ Bufo regularis , Reuss. Memoria del Socio LoRENZO CAMERANO i : 5 Fondamenti della metrica projettiva. Memoria di BepPo va 4 Le lettere di Ulisse Aldrovandi a Francesco I e Ferdinando I Granduchi di Toscana e a Francesco Maria II Duca di Urbino, tratte dall’ Archivio di Stato di Firenze, illustrate dal Socio Oreste MaTTIROLO Su la struttura degli atomi materiali. Memoria di Antonio GARBASSO = Osservazioni ed esperienze sul ricupero e sul restauro dei codici danneggiati dal- l’incendio della Biblioteca Nazionale di Torino. Memoria I del Socio IcrLio GUARESCHI . : ; È ; ; l i Funzione biologica del calcio; Parte IM: Azione comparata dei reattivi decalci- ficanti. Ricerche sperimentali del Prof. Luror SABBATANI 149 423 459 Po n i Ù Ù | Le e a o N ' ie” i La Ù : l î 0) NC ©. LS — n i I LE i a _ DI dp Ù 5 n ui SS i QSAIARIDA Ò Ù l _ ° "RI x i : x LI v : si al i È ì : Ù te x _ ba Pa i Ù SR si n © È ) è ve Zu di (0) si (NE ni si 0 °° CAOS LI i LA sai a 900 Lex ra > | = e î n fl ci A > w : Ù si E 2 si ei ì ° 1 Li bid Ò pi î ni “I n ni i n ° ge f Pai Ù ne È J ul ùi vo a daro ena 0 n asueTi 3 10 aceto i : n n Ba se # er Ò Db : se Ò dI (P GIALE Vy ie LR ° = bui a si v si i | Ò IT n Di STE è ta i : No ik ne Mi voi dA Mii 2 _abini sig i ao dt e | te cui : e "i ì ci sep armi Die 10 DA n i Ronal suli : RIP, di DI MISANO pi i, (OLI sa gua be > Piedi ci n Da x î i api Si da vel La O Met “pi vevimiò Th ALATI IE i tv Lo SO: - #1 5 adi db ed seit LO di UTO ara ere? n NI na Se cd nude Di Di sE La ii DI : te N LUANA ia bai fee POTENTE »i | i PLS IUETO uc are i IONICO Thorn î IRA sfata 7 Wii ‘@ PY e! P È _ ol a Se pei o eee E : usi ad ad Trs sui 4 _ - Si | È dna : al: pià di SILE , to adi », Asrrd. i Pherdy JP Pi "i fl bare: x - : DTA < sali 7, » De Ref : tia) Mia Và UL Ma II 0 . 0A lee mobi ora Pra 03 ci Pie 9 Lina lai Ò _ . Pe % vi ù, ad « GEE j ti nn rd j Arre RO RETTO sn) î i To Mi N A e Pa se Fennada c0®, a ca RA tt tel, sMbdesit lin ta corti QUora i by. “dita & | 7 i La spalti instor. i cile, i 00 sora A Randi > di È : ALA LI n Ci ti \- Losa : Ò Ò dii 9 ai : se (S _ : “i : n sue De I RE I i E Ù Ù alpi viag n ° . - NN (0 UL ISUIZALA Luo. ans fn "1 dA si i I pri A ba pb i ui N Poe Sy musitgi) b “Mii vi bada Piera RO, af V PESTE ap Ti a did eli E — di si Ma. at età E "ali La L, Mesia] e y Pa Pal ti POE E Ma Ùì In o _ 5 ha " A : 1644: ° VE mv sai t ani ia ate 06 - baffi ne poeti dg: cin Ter ig! la di dl scie ba poliag fee ge vel da ’ MRSrTTO où Ullraieni Ò Lal: 3 00.) & visosa fp ) sr nr prora n dn retto, dA Na al a | É NO : (9a ue x Data C "Ri ded "i mea Sr = Ò ” iti spit ni vi tir aL cavo AI se sl (Cul g Ri mae ‘0 une, Ve È © e n TETTI x ara CI un > de La «i {iron apo 1098 pu © ctf x Ù4 ' ° n : ni ©. sO ° 5 a ° soi l I E x di ne n î iS x LC i CA : i pi » pa i 5 sa Ali È ua o r è i _ CA x A LA ar # | i i csi feti ue i x Si î : i dd o î o È i x ì Se A ì Il p i . _ l n di x sica] si Ò _ ei Lod i i "i ni : a È dee ai : 2 : _ i o “e 0 a SI ' Ce Ù _ Ò _ = É si ì si de na DI ai Ò ho : SI _ i È _ l ( Lì a di 4 si ME: î “NE la. eni ei 5 ve î ( De! fune mu «AE O RO i bel : n ve lf E - i et £ * i a E i ta Dl 0 ì Pri se _ Ù vw dela NN 2 Î & AI : “e 4 ri dai dl i - i, “a id u _ : pi un x 5 x n° ° E x tal se fi o | se - x — SI E S _ É DI n Il i _ si UO Ì Ri 2% «ie n A ei - sa al _ vali _ è Di - E f : ig i "i Es CE go 1 i i a 5 = | si e tali x Lu : y i i dl °° ue ] $ D° - (SG, di Did a ì : Ai si di ex A {i o n 0 ei È n SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA E SOPRA CERTE CLASSI DI SUPERFICIE MEMORIA DI FRANCESCO SEVERI A BOLOGNA Approvata nell'adunanza del 24 Maggio 1903. Questo lavoro si divide in due parti: nella prima ricostruisco geometricamente la teoria delle corrispondenze fra i punti di una curva algebrica, nella seconda ne faccio applicazione allo studio delle superficie che rappresentano le coppie di punti di due curve o di una sola curva. Avanti di presentare le linee generali della prima parte di questa Memoria, credo utile esporre alcuni cenni storici e bibliografici intorno allo sviluppo della teoria delle corrispondenze sopra una curva. Questa teoria nacque col principio di corrispondenza sopra una retta formulato esplicitamente da CHasLes nel 1864 (*). Due anni dopo lo CHASLES medesimo faceva applicazioni del principio alle curve razionali (**) e il CAyLEY enunciava un principio di corrispondenza sopra una curva di genere qualsiasi, dimostrandolo soltanto in un caso particolare (***). Successivamente egli applicava questo principio alla risoluzione di alcune questioni numerative, ed anzi profittando di una formola più generale, cal- colava il numero dei punti uniti di corrispondenze alle quali non si poteva applicare il principio nella sua forma originaria (*). La prima dimostrazione completa del principio di CAayLey fu data da Brit (*’), (*) “ Comptes rendus ,, t. 58 (1864), p. 1175. A_ proposito di questo principio ved. la Nota storica di Seere nella “ Bibliotheca mathematica ,, t. 6 (1892), p. 33. (**) “ Comptes rendus ,, t. 62, p. 584 (1866). (***) “ Comptes rendus ,, t. 62, p. 586 (1866) e “ Proceedings of the London Math. Soc. ,, t.I(1866). (*) “ Phil. Trans. ,, t. 158 (1868), p. 149. Per questa formola ved. il n° 10 della presente Memoria. (?#*) “ Math. Annalen ,, Bd. 6, p. 33 (1873). Ved. anche gli altri lavori del Brir sullo stesso argomento, nei “ Math. Annalen ,, Bd. 7, p. 607 (1874); “ Math. Annalen ,, Bd. 31, p. 374 (1888). Serie II. Tom. LIV. A 2 FRANCESCO SEVERI il quale pervenne algebricamente al numero delle coincidenze di una corrispondenza rappresentata da una sola equazione (*). Per questa classe di corrispondenze il BriLL introdusse la valenza (positiva), che insieme agli indici figura nella espressione del numero dei punti uniti, e ne precisò il significato algebrico. Altre dimostrazioni algebrico-geometriche furono date da JunKkER (**) e da BoBEx (***), una dimostrazione col metodo iperspaziale da SeGrE (*), una dimostrazione numerativa da Scnusert("*) e un’altra dimostrazione numerativa da ZeurHEN (*'), che si occupò più specialmente dei modi di valutare le molteplicità delle coincidenze, di uno dei quali aveva già trattato in un lavoro anteriore (11). Noterò infine la dimostrazione data da LinpeMANN con l’aiuto degl’ integrali abeliani (****') e quella che si legge sulle Legons sur la Géometrie di CLeBscH- LinpeMANN (**!11*). Ma una Memoria, cronologicamente anteriore a qualcuna di quelle già citate, e che portò un nuovo contributo essenziale allo svolgimento della teoria in discorso, è quella, ormai classica, di Horwrz (1119). In questo lavoro l'Autore, assurgendo dal problema di calcolare il numero dei punti uniti di una corrispondenza, ad un problema assai più elevato, si propone di determinare tutte le corrispondenze esistenti sopra una curva, e di studiare le loro proprietà intrinseche. Dopo aver dato la rappresentazione di una corrispondenza algebrica col mezzo degli integrali abeliani, dimostra che sulle curve a moduli generali si presentano soltanto corrispondenze a valenza positiva 0 negativa, ciascuna delle quali si può defi- nire mediante gli zeri e i poli di una determinata funzione razionale di due punti della curva; e dà la formola di corrispondenza ad esse relativa. Passando alle corrispondenze sopra una curva a moduli qualunque, stabilisce anzitutto che quando i moduli soddisfano a particolari relazioni, esistono sulla curva corrispondenze prive di valenza (singolari); e mostra come ogni corrispondenza si possa rappresentare uguagliando a zero una funzione di due punti della curva, for- mata mediante le trascendenti O. Infine prova che l'equazione di una corrispondenza fra i punti di una curva qualunque, si può comporre (per moltiplicazione) da quelle (*) Ricordiamo qui che una corrispondenza qualunque fra i punti di una curva si può sempre rappresentare con due equazioni. (*#*) Inaugural-Dissertation, Tiibingen (1889). (#**) “ Sitzungsberichte der Wiener Akademie ,, t. 93, p. 899. (*) Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito, “È Annali di Mat. ,, (2), t. 22, $ 12 (1894). (1°) Kalkil der abzihlenden Geometrie, $ 18. Leipzig (1879). (FT) Nouvelle démonstration du principe de correspondance de Cayley et Brill, ecc. “ Math. Annalen ,, Bd. 40, p. 99 (1892). In questa Memoria si trovano molte delle indicazioni storiche che vado esponendo. (TH) “ Bulletin de Darboux ,, t. 5, p. 186 (1873). (####4) “ Crelle ,, t. 84, p. 301 (1878) (Lettre adressée à M. Hermite). (tH++++) Trad. par Benorsr, t. II, p. 146; Paris, Gauthier-Villars (1880). Il punto essenziale della dimostrazione è ivi sostituito da considerazioni intuitive di limite. (FE) Ueber algebraische Correspondenzen und das verallgemeinerte Correspondenzprincip. “Math. Annalen ,, Bd. 28, p. 561 (1886). Ved. anche l’altra Memoria Ueber diejenigen algebraischen Gebilde, welche eindeutige Transformationen in sich zulassen. “ Math. Annalen ,, Bd. 31, p. 290 (1888). SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 3 di un numero finito di altre corrispondenze convenientemente scelte; e da ciò trae il principio generale di corrispondenza (*). Allorquando mi proposi lo studio delle corrispondenze sopra una curva, più che della determinazione del numero delle coincidenze, mi preoccupavo di cercare il con- tenuto geometrico del principio di corrispondenza, caratterizzando la funzione razio- nale (serie lineare) individuata dal gruppo dei punti uniti. Pensavo invero che ciò sarebbe stato assai utile nelle questioni in cui l’alge- bricità entra non solo per ciò che concerne il numero delle soluzioni comuni a più equazioni, ma anche per le loro proprietà intrinseche. Poichè la rappresentazione delle corrispondenze mediante le serie O, permette di stabilire tutte le loro proprietà funzionali, io avrei potuto limitarmi ad una inter- pretazione geometrica di queste proprietà. Tuttavia mi è parso utile di ricostruire dagli inizii la teoria, prendendo le mosse dalle corrispondenze a valenza. Darò qui un cenno della via seguita in questo studio. Dopo aver definito una corrispondenza a valenza positiva y, come quella che gode della proprietà che i punti y omologhi di un punto variabile x, insieme a questo contato Y volte, formano un gruppo variabile in una serie lineare; e dopo aver caratterizzato geometricamente il gruppo dei punti uniti in una corrispondenza a valenza zero (n° 6), operando per somma e prodotto (n° 2) sulle corrispondenze a valenza zero e sulle involuzioni lineari, per le quali è nota la maniera di comporre il gruppo dei punti uniti (**), pervengo in un modo semplicissimo al teorema: Il gruppo dei punti uniti in una corrispondenza a valenza , appartiene alla serie lineare somma di Y gruppi canonici, e delle serie che contengono il punto x contato Y volte ed i suoi omologhi, nella corrispondenza diretta e nell’inversa (n° 8). Qui mi son limitato alle corrispondenze a valenza positiva; ma avverto subito che le medesime cose si posson ripetere con le stesse parole per quelle a valenza negativa, dopo aver precisato in ogni caso con opportune convenzioni (n° 3), in che consista l'operazione di sottrarre un punto. Se una corrispondenza è a valenza, questa sua proprietà si può interpretare come una speciale relazione di dipendenza fra essa e la corrispondenza identica. Par- tendomi da questo concetto, al n° 9 estendo la nozione di valenza, introducendo quella di corrispondenze fra loro dipendenti, e trovo quindi per via geometrica la relazione funzionale fra i gruppi dei loro punti uniti (n° 10). La traduzione aritme- tica di questa relazione dà luogo al principio generale di corrispondenza. Ciò dipende dal fatto che sopra ogni curva vi è un numero finito di corrispon- (*) Per un’esposizione dei principali resultati contenuti nella Memoria di Hurwitz, ved. KLerx- Fricke, Vorlesungen iiber die Theorie der elliptischen Modul-Functionen, BA. 2, p. 518; Leipzig (1892), ove trovasi anche uno studio delle corrispondenze modulari; e Baker, Abel’s theorem and the allied theory, ecc., pag. 639; Cambridge (1897). Le corrispondenze a valenza negativa son pure considerate nella Memoria citata di Zeurnen, il quale definisce la valenza mediante la formola che dà il numero dei punti uniti. Questa defini- zione è legittima solo per le corrispondenze sopra le curve a moduli generali, allo studio delle quali si limita l'Autore. (**) Il gruppo dei punti doppî di una 9} è notoriamente equivalente ad un gruppo canonico aumentato di un gruppo della serie 2gn . 4 FRANCESCO SEVERI denze indipendenti, cosicchè fissatene alcune, tutte le altre risultano dipendenti da quelle. In particolare sopra le curve a moduli generali, tutte le corrispondenze sono dipendenti dall’identità. Giacchè l’esistenza di un numero finito di corrispondenze indipendenti è una proprietà di natura così profonda, che sembra assai arduo dimostrarla senza far uso di strumenti trascendenti, al n° 11 riallaccio il concetto di dipendenza fra corrispon- denze, con le considerazioni svolte da Hurwirz al $ 13 della sua Memoria, e così ottengo la dimostrazione della proprietà stessa. Nella seconda parte del lavoro mi occupo delle curve tracciate sopra una super- ficie F con due fasci unisecantisi (superficie delle coppie di punti di due curve C, Cl"), e sopra una superficie ® con un sistema algebrico oo! , d’indice 2 e grado 1 (super- ficie delle coppie — non ordinate — dei punti di una curva €). Si presenta spontaneo il legame fra la teoria delle curve appartenenti a queste superficie e la teoria delle corrispondenze, perchè ogni curva di Y rappresenta le coppie dei punti omologhi in una determinata corrispondenza fra C, Cl’; ed ogni curva di © rappresenta le coppie dei punti omologhi in una corrispondenza simmetrica sopra la curva C. Profittando del fatto che sopra una curva c'è un numero finito di corrispondenze indipendenti, si perviene a dimostrare che sulla superficie F ogni curva si ottiene con le operazioni di somma e sottrazione, a partire da un numero finito di curve (base) e da quelle dei due fasci unisecantisi. Analogamente sulla ® una curva qualunque si ottiene da un numero finito di curve (base) e da quelle del sistema X {*). Queste proposizioni offrono il mezzo di dimostrare il teorema di Bézout sulle superficie Fe ®, ossia di calcolare il numero dei punti comuni a due curve, mediante i caratteri di ciascuna di esse. In particolare se i due fasci di F sono razionalmente identici ed a moduli ge- nerali, ogni curva si compone a partire dalle curve dei due fasci e da una curva unisecante le precedenti; e similmente ogni curva di ®, se il sistema X è a moduli generali, si ottiene dalle curve di questo e dal loro inviluppo. Quando i moduli dei due fasci di 7, o del sistema X di ®, soddisfano a particolari relazioni, per determinare effettivamente la base di tutte le curve appartenenti ad Fo ®, occorre un esame appropriato ad ognuno dei casi possibili. Per dare un esempio di questi casi singolari, nell'ultimo $ di questa Memoria, mi occupo delle superficie che nascono dalle coppie (ordinate o non) dei punti di una curva ellittica a modulo arbitrario. La determinazione effettiva della base su queste superficie, nei casi singolari, si fa ricorrendo alla teoria delle funzioni ellit- tiche a moltiplicazione complessa. Nella trattazione di esempii più elevati, si dovrebbe ricorrere alla teoria delle funzioni abeliane a moltiplicazione complessa (**). (*) Un teorema analogo si conosce sulle superficie razionali, sulle superficie generali nel loro ordine e sulla superficie di Kummer, come più tardi avremo occasione di notare. (**) Questa teoria che ha così intimi legami con quella delle corrispondenze singolari sopra una curva algebrica, non ha ancora raggiunto un maturo sviluppo. Essa è sorta dopo la teoria delle SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. ò Terminerò con alcune indicazioni bibliografiche sulla teoria delle superficie che rappresentano le coppie di punti di una o due curve. Le superficie che nascono dalle coppie (non ordinate) dei punti di una curva ellittica (rigate ellittiche) furono considerate da Sere (*), quelle che rappresen- tano le coppie dei punti di una curva del genere 2 (superficie iperellittiche) da PicAarp (**), che le incontrò nella ricerca delle superficie che ammettono un gruppo permutabile di trasformazioni birazionali, e successivamente da HumBeRr, che ne fece uno studio esauriente (***). Lo studio delle superficie che rappresentano le coppie di punti di due curve distinte o le coppie di punti di una curva di genere maggiore di due, è stato ini- ziato recentemente (*). PARTE PRIMA Le corrispondenze sopra una curva algebrica. $ 1. — Generalità. 1. Concetto di corrispondenza. — Consideriamo due curve algebriche €, 0 e in- dichiamo con x un punto qualunque di ©, e con y un punto qualunque di Cl”. Se il punto y di Cl" è funzione algebrica a 8 valori del punto x di ©, sarà # funzione alge- brica a un certo numero a di valori, del punto y variabile su Cl, e si dirà che fra C, C' passa una corrispondenza algebrica di indici (a, B). Ogni corrispondenza algebrica fra due curve, in quanto può riguardarsi come un ente co! entro alla varietà 00? delle coppie di punti delle due curve, si può defi- nire considerando le coppie di quei punti le cui coordinate soddisfano contempora- neamente a due equazioni (all'infuori, eventualmente, di un numero finito di coppie estranee) (**). Allorquando le due curve ©, €” coincidono, ogni corrispondenza 7 di indici (a, B) fra C, C', dà luogo ad una corrispondenza 7 di indici (8, a), detta l’inversa della 7, funzioni ellittiche a moltiplicazione complessa (la cui origine risale ad Asst), per opera specialmente di Krownecker (“ Berlin., Monatsber. ,, 1866), Weser (“ Annali di Mat. , (2), t. 9, 1878) e FroBENIUS (© Crelle ,, Bd. 95, 1883). Le funzioni abeliane del genere 2 a moltiplicazione complessa, furono stu- diate da WicrWerss (* Math. Annalen ,, Bd. 26, 1886) e recentemente da Humsert (° Comptes-rendus ,, t. 134, 1902; e “ Journal de Math. ,, (5); t. 9, 1903). (*) © Atti della R. Ace. di Torino ,, t. 21 (1886). (**) “ Journal de Math. ,, (4), t. I (1885) e t. 5 (1889). (***) “ Journal de Math. ,, (4), t. 9 (1893). (*) Cfr. Maroni, Sulle superficie algebriche possedenti due fasci di curve algebriche unisecantisi. “ Atti della R. Accad. di Torino ,, t. 38 (1903); De-Frawcus, Sulle varietà 0° delle coppie di punti di due curve o di una curva algebrica. È Rendiconti di Palermo ,, t. 17 (1903); e la mia Nota, Sulle superficie che rappresentano le coppie di punti di una curva algebrica. “ Atti della R. Accad. di Torino ,, t. 38 (1903). ; (**) Ved. ad esempio la citata Introduzione di Secre (n° 6). 6 FRANCESCO SEVERI la quale si ottiene applicando le operazioni della 7, dopo di avere scambiato l’uf- ficio delle due curve. Così se la 7 è definita dalle relazioni: y=®(2), = (y), ove @ è il simbolo d’una certa funzione algebrica a B valori, e @_' il simbolo della funzione algebrica ad a valori inversa di p, la 77 sarà definita dalle relazioni: a=®9(Y), = y=9 (2). Nel caso che stiamo considerando, invece di parlare di due curve coincidenti, si parla spesso di una sola curva e di corrispondenze algebriche su questa; e la cor- rispondenza diretta e la sua inversa sì riguardano come due operazioni, l’una inversa dell’altra, applicate ad una medesima classe di punti. Per esser conseguenti a questo modo di considerare la cosa, indicheremo con « un punto generico della classe, e rispettivamente con y, x i punti omologhi di « nella corrispondenza diretta e nel- l’inversa; ossia porremo: y=pla), e=9 (0) Una corrispondenza fra i punti di una curva si dirà simmetrica, quando gli omo- loghi di un punto qualsiasi a nella corrispondenza diretta coincidono cogli omologhi dello stesso punto nell’inversa, ossia, in simboli, quando: (a) =® '(a). Le involuzioni sono particolari corrispondenze simmetriche. La corrispondenza identica o identità è quella che si ottiene chiamando omologo di ogni punto, il punto stesso. Una corrispondenza data sopra una curva dicesi degenere, se esiste qualche punto (singolare) al quale corrispondano tutti i punti della curva. Noi di solito considereremo corrispondenze (non degeneri) tali che fra i punti y omologhi del punto «, non ve ne sia generalmente nessuno coincidente con a, e che al variare di a mutino tutti gli y. In queste corrispondenze, per la natura stessa della loro definizione, non potrà aversi che un numero finito di punti uniti, cioè di punti coincidenti coi loro omologhi. Oltre agli indici, vi sono anche altri caratteri spettanti ad una corrispondenza, ma di questi altri ci occuperemo in seguito. 2. Operazioni sulle corrispondenze. — Diremo somma di due corrispondenze 71, 73, la corrispondenza 7, + 7, che si ottiene chiamando omologhi di ogni punto a i cor- rispondenti nella 7, e i corrispondenti nella 73. La somma gode delle proprietà commutativa e associativa. Diremo prodotto di T,, T., la corrispondenza che si ottiene applicando a ciascuno degli omologhi di a nella 7,, le operazioni di 7,, e facendo corrispondere ad a i punti così ottenuti. Questa corrispondenza prodotto s’indicherà col simbolo 7» 71, mettendo a destra il simbolo della prima operazione applicata ad a. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. fl Il prodotto non gode generalmente della proprietà commutativa, ma gode dell’as- sociativa e della proprietà distributiva rispetto alla somma. Sono evidenti le relazioni: (1) (+ T=TH+ TI, CIT, In particolare l’inversa della corrispondenza 2 7, che si ottiene chiamando omo- loghi del punto a i punti che gli corrispondono in 7, ciascuno contato due volte, è uguale al doppio della inversa, ecc. 3. Notazioni. — Passiamo ora a spiegare alcune notazioni, delle quali avremo occasione di servirci. La serittura TAF_-3BA ove A, B son gruppi di » punti sulla curva C, denoterà, secondo l’uso, che i due gruppi sono equivalenti, cioè che appartengono ad una stessa serie lineare di ordine x; la scrittura XA, ove ) è un intero positivo, rappresenterà il gruppo dei punti che si ottiene contando \ volte ciascun punto di A. Se A; As ...; B;, B;... son gruppi di punti, il significato della relazione (2) \ A1+- A A+... 4 Bi+ uo Bot.., ove ), u son interi positivi o negativi, risulta senz'altro se son possibili le eventuali sottrazioni indicate in ciascuno de’ suoi membri; ma possiamo in ogni caso dare un senso alla (2), intendendo ch’essa equivalga alla relazione che da essa si ottiene trasportando da un membro all’altro i termini negativi e cambiandoli di segno. Si può presentare questa convenzione sotto un altro aspetto, che giova spesso aver presente. Denotiamo con L il gruppo di punti rappresentato dall'insieme dei termini positivi nel 1° membro della (2), e con L' il gruppo che vien rappresentato dall'insieme dei termini negativi, presi col segno cambiato; M, M' abbiano signifi- cati analoghi rispetto al 2° membro. Sieno infine L, M, due gruppi equivalenti che contengano rispettivamente i gruppi L' M'; allora diremo che sussiste la (2), se: (3) L+(L1- L')3=M+(M_—- M'). Questa definizione è legittima perchè la (3) resta soddisfatta allorchè al posto di L, M, si pongano due altri gruppi soddisfacenti alle stesse condizioni. L'identità della definizione medesima con quella data prima è evidente. Talora per esprimere la (2) diremo che i gruppi (virtuali) MA da E PIT sono equivalenti od anche che appartengono ad una stessa serie lineare, per quanto, se le ), u non son tutte positive, non sempre esistano gruppi effettivi corrispondenti 8 FRANCESCO SEVERI a quei simboli. Questo modo di dire, mentre servirà ad abbreviare il linguaggio in un modo espressivo, non potrà dar luogo ad ambiguità. Dalla definizione si trae subito come sia lecito moltiplicare i due membri della (2) per un intero qualsiasi (positivo o negativo), e come avendosi due relazioni del tipo (2), si possano sommare o sottrarre membro a membro. $ 2. — Corrispondenze a valenza. 4. Concetto di valenza. — Sia T una corrispondenza fra i punti di una curva €, e sia Y il gruppo dei B punti y omologhi di « nella 7. In generale al variare di il gruppo Y non varia in una serie lineare d'ordine 8; tuttavia può avvenire che il gruppo Y+ Ya, ove y è un intero positivo o negativo o nullo, varii in una serie lineare d’ordine B + y. Si dirà allora che la corrispondenza ha la valenza v. Nel caso in cui y sia negativo può darsi che il simbolo Y+ ya non rappre- senti un effettivo gruppo di punti; ma ad ogni modo anche in tal caso noi sappiamo quale senso deve attribuirsi alla definizione precedente (n° 3). Sotto forma diversa si può dire che 7° ha la valenza Y, ove vy è un intero posi- tivo o negativo o nullo, se denotando con Y, Y' i gruppi di punti omologhi nella 7° di due punti qualsiansi @, a' di C, sempre si ha: Y+rya=Y'4+ra' (*). Se la curva C non è razionale, la corrispondenza 7’ non potrà ammettere una seconda valenza (diversa da 1). Supponiamo infatti che la 7° possegga un’altra va- lenza Y'. Allora avremo: V+va=V'+v4, che sottratta dalla precedente, dà: _-r)a=fr—-vr)a, ossia: ove k è un intero positivo (non nullo). La serie lineare gi, che contiene tutti i gruppi X@ non sarà certo composta con un’involuzione, sicchè potrà immaginarsi segata sopra una curva T di ordine %, dagli iperpiani del suo spazio S.. — Poichè un iperpiano osculatore alla F in un punto generico, ha con essa contatto r-punto, risulterà & = r, e la T sarà una curva razio- nale (normale). Dunque è vero che sopra una curva di genere > 0 una corrispondenza non può avere due diverse valenze. (*) L'identità di questa definizione con quella trascendente di Hurwirz, risulta subito dal teo- rema di Aser. Ved. ad es. Scorza, Sopra le corrispondenze (p, p) esistenti sulle curve di genere p a moduli generali (Atti della R. Ace. di Torino ,, t. 85, 1900); n° 1. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 9 5. Operazioni sulle corrispondenze a valenza. — Dimostriamo che: La somma di due corrispondenze a valenze Yi, Ya, ha la valenza Y, + Ya. Sieno 7, 7 le due corrispondenze, Y,, Y,' i gruppi di punti omologhi di a, a' nella 7,, Y:, Yy' i gruppi degli omologhi di a, a' nella 7. In base alla definizione, avremo: Y\+trnaa=Y{tt0' Yo + rYsa= Yy' + Y90', donde sommando si trae: Crea ee ritrae c. d. d. Il prodotto di due corrispondenze a valenze Yx, Ya, ha la valenza — Yi Ya. Continuando ad usare le notazioni di prima diciamo % ... ya i punti del gruppo Y,,y'1...y8' quelli di Y,', e Ya;, Y'; i gruppi degli omologhi di y;,y' nella 72. Verrà allora: Yyatynaa=Y/t 0 Ya; t Nova Voi tf: yi (è =1,.. B). Da queste si traggono le relazioni: YaYat4 Ya Yaa va Ya + Ya Yaa! b f IE Na LE a=l s=1 Sottraendo la 1% dalla 2%, avremo, come si voleva: > Yi —Yifaa=X Ya TYed!. 6. Determinazione del gruppo dei punti uniti nelle corrispondenze a valenza zero. — Sia 7 una corrispondenza a valenza zero: variando « su C il gruppo Y dei 8 punti y omologhi di a, varia in tal caso in una serie lineare d’ordine f. Supponiamo che la curva €, dotata soltanto di nodi, sia piana e che la serie lineare completa 9g, che contiene i gruppi Y, sia segata da un sistema lineare X di curve (41293) =0 di un certo ordine mn’, passanti eventualmente per un gruppo Q di punti fissi (dei quali alcuni o tutti posson cadere su Cl). Senza introdurre restri- zioni si può supporre che Z sia r volte esteso, ossia che per un gruppo della 9 passi una sola @. I gruppi Y saranno segati da un sistema algebrico c0! di curve 9, e poichè ad ogni punto di C risponde una sola @ di quel sistema 0c0!, i coefficienti di questa saranno funzioni razionali del punto scorrente su 0. Sicchè l'equazione di una @ del sistema 00! si potrà scrivere sotto la forma: ® (21 22.%3|%1 Y2Y3) = 0, ove ® è il simbolo di un polinomio omogeneo di grado m nelle x, e omogeneo di grado m' nelle y. Serie Il. Tomo LIV. 10 FRANCESCO SEVERI Ne viene che gli omologhi nella 77! di un dato punto y°, saranno segati su C dalla curva: 49 = @ (1 20 23] yî 98 99) =0, non passante per 7°, fuori eventualmente di certi punti appartenenti ad un gruppo R comune a tutte le Y di ordine m analoghe ad essa. Da ciò intanto si trae che la in- versa della T ha pure la valenza zero. La curva ® (x; x %3|%, 2x3) = 0, di ordine m + w', passa evidentemente pei punti dei due gruppi Q ed /, e quindi appartiene al sistema lineare somma dei due sistemi contenenti rispettivamente le p e le y. Ne segue che essa, fuori dei punti fissi eventuali comuni alle @ o alle w, sega su C un gruppo appartenente alla somma delle due serie che contengono rispettivamente i gruppi omologhi dei punti di C nella corrispondenza 7 e nella TT. Ma i punti comuni alla ® (x, x2 €3|x1 2x3) =0, e alla C, fuori dei punti fissi suddetti, sono punti uniti per la 7, dunque il gruppo U di questi punti è equiva- lente alla somma dei gruppi X e Y che contengono gli omologhi del punto @ nella T e nella 7; ossia in simboli: U=X+Y. 7. Esistenza sopra ogni curva di corrispondenze aventi una valenza data. — In- versa di una corrispondenza a valenza. — Se sulla curva € si considera una g; e di un punto a variabile su C si chiamano omologhi i punti che insieme ad esso dànno un gruppo della gi, si ha, secondo le definizioni poste, una corrispondenza involu- toria a valenza 1, che per brevità chiameremo una corrispondenza elementare (a valenza). Facendo la somma di Y(>0) corrispondenze elementari, si ottiene una corri- spondenza a valenza y, e facendo il prodotto di una tal corrispondenza con una cor- rispondenza elementare, si ha una corrispondenza a valenza —Y (n° 5). Infine se si fa la somma di una corrispondenza a valenza Y con una a valenza — Y, si ottiene una corrispondenza a valenza zero. Dunque: Sopra ogni curva esistono corrispondenze a valenza arbitraria (positiva, negativa o nulla). Dimostriamo inoltre che: Se una corrispondenza ha valenza, la sua inversa ha la stessa valenza. È evidente anzitutto che l’inversa della corrispondenza S, somma di £(> 0) corrispondenze elementari, ha la valenza £, e che la inversa del prodotto di S per una corrispondenza elementare ha la valenza — # (ved. le (1)). Ciò posto sia 7° una qualunque corrispondenza a valenza Y (positiva o negativa) e sieno X, X' i gruppi degli omologhi di a, a' nella 7. Componiamo per mezzo di corrispondenze elementari, una corrispondenza 7, a valenza — Y, e diciamo X, X;' i gruppi degli omologhi di a, a' nella T7!. Poichè la somma 7-+ 7, ha la valenza zero, anche la corrispondenza (74 71) = TT! + T° avrà la valenza nulla (n° 6), e quindi accanto alla: XI va=M! Tal SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. ni sussisterà la relazione: X+X3X'+1A;/. Sottraendo dalla 2? la 1, viene: X+ra=X+va' c.'did; 8. Determinazione del gruppo dei punti uniti in una corrispondenza a valenza qualsiasi. — Numero delle coincidenze. — Torniamo per un momento ad una corri- spondenza elementare 7, che si sia ottenuta partendo da una g,, e diciamo Y il gruppo degli "n —1 punti omologhi di a nella 7, e X il gruppo degli omologhi di a nella 7. Siccome T= 7-' il gruppo X coinciderà con Y. Il gruppo U dei punti uniti di 7 non è che il gruppo jacobiano della gi, e come si sa questo gruppo è equivalente ad un gruppo canonico aumentato di un gruppo della serie 29, Perciò dicendo K un gruppo canonico di C, avremo la relazione: U=X4Y42a4tK. Servendoci di questa, dimostriamo più in generale che: ° Avendosi fra i punti di una curva una corrispondenza T a valenza Y (positiva, negativa o nulla), il gruppo U dei punti uniti è equivalente alla somma dei gruppi Y, X, che contengono gli omologhi di a nella T e nella TT, di v gruppi canonici e di 2Y volte il punto a; ossia în simboli: (4) U=X+Y+rK+2va, ove K rappresenta un gruppo canonico. Interpretando numericamente la relazione geometrica data da questo teorema sì ha: u=@0a+8+Y(2p—2)+2Y, ove v è il numero dei punti uniti, a, 8 son gli indici di 7, e p è il genere della curva. Si può dunque dire: Il numero dei punti uniti nella corrispondenza T d’indici a, B, di valenza 1, data fra i punti di una curva di genere p, è espresso dalla formola: (5) a+B+2rp. Dimostriamo prima la (4) per una corrispondenza S somma di %(> 0) corrispon- denze elementari 7’... 77. Indicando con Y, Y3... Y, i gruppi degli omologhi di 4 nelle corrispondenze T,...T,, e con X, X3... Xx} i gruppi degli omologhi di @ nelle inverse, si vede che la S fa corrispondere al punto a il gruppo Yà= Ya +... + Yi, e la S' fa corri- spondere ad a il gruppo Xyx=X +... + X. Inoltre il gruppo V dei punti uniti di S sarà la somma dei gruppi U,... U, dei punti uniti di 7}... 7,. 12 FRANCESCO SEVERI Dalle relazioni: U,=X+Y1+K+2a U,= X°+ Ya.+K4 2a U,=XA+Y}+K+2a, sommando si trae: V=X+Y+hkK+2ka, la quale dimostra il teorema per la corrispondenza S. Sia ora 7 una qualunque corrispondenza a valenza negativa Y, riferendoci alla quale conserviamo le notazioni dell’enunciato. Indicando con % il valore assoluto di y, si costruisca come sopra una corrispondenza S somma di % corrispondenze elementari. La somma delle due corrispondenze S, 7, che è a valenza nulla, fa corrispon- dere ad a il gruppo Y + Y,, mentre la sua inversa fa corrispondere ad « il gruppo X+xX; e inoltre la S+ 7 ha per gruppo dei punti uniti il gruppo U + V. Dunque avremo (n° 6): vee) Sottraendo da questa la relazione precedentemente ottenuta, viene: U=X+4YW4yK%W2ta, Così è dimostrata la proposizione per tutte le corrispondenze a valenza negativa. Avendosi ora una corrispondenza 7 a valenza positiva Y, si costruisca una cor- rispondenza 7 a valenza negativa — Y (il che è sempre possibile) e si dicano Y', X' i gruppi degli omologhi di « nella 7” e nella 7’ rispettivamente, e U' il gruppo dei punti uniti di 7". Conservando ancora per la 7'le notazioni dell’enunciato, poichè la somma T' + 7’ è a valenza nulla, avremo: prote ano) ed essendo 7” a valenza negativa, per quanto abbiamo prima dimostrato, sarà: U'=X'+Y'—-yK-2va. Da questa e dalla precedente per sottrazione si trae: U=X4+Y+yK+2va, la quale dimostra il teorema per tutte le corrispondenze a valenza positiva. Osservazione. — Dal principio di corrispondenza già enunciato, tenendo conto della 2% proposizione del n° 5, segue facilmente che: Il numero dei punti uniti della corrispondenza prodotto delle corrispondenze (0, Bi Y1) ... (C Br Yx), Ove a, B, 1 denotano rispettivamente gli indici e le valenze, positive o negative, delle corrispondenze considerate, è dato da: 03 09 ... 0 + Bi... BE+ (1.211... Typ. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 13 $ 3. — Sulla determinazione di tutte le corrispondenze esistenti sopra una curva qualsiasi. 9. Estensione del concetto di valenza. — Sia T, una corrispondenza a valenza Yi sulla curva €, e sieno Y,, Y,' i gruppi degli omologhi di a, a’ nella 7. Allora si ha: Y, tra Vo + Yia', la quale ci mostra che al variare di a, il gruppo de’ suoi omologhi nella corrispon- denza 7,, aumentato di y, volte l’omologo di « nella corrispondenza identica /, varia in una serie lineare (*). Ciò si esprimerà dicendo che le corrispondenze 7’ ed / sono dipendenti secondo î numeri (1, Y,). Sia 7 un'altra corrispondenza a valenza ys. Avremo similmente: Il Yst ysa = Y3' 4 roa', la quale combinata colla precedente dà: rr Y=rv:Y'— tr. Yy. Dunque al variare di « il gruppo de’ suoi omologhi nella 7, contato Y» volte, aumentato di — Y, volte il gruppo de’ suoi omologhi nella 7», varia in una serie lineare. Perciò diremo che le corrispondenze 7,, 7, son dipendenti secondo i nu- meri (Ya, — Yi). Si presenta ora spontaneamente l’idea che il concetto di dipendenza si possa stabilire anche fra più di due corrispondenze, prescindendo dall’ipotesi che le cor- rispondenze stesse siano dotate di valenza. E noi infatti diremo che le corrispondenze T,,..., T; date sopra una curva C sono DIPENDENTI, Quando esistono k interi \,...\ (positivi 0 negativi) non tutti nulli, tali che indicando con Y; il gruppo degli omologhi di un punto qualunque a nella T;, al variare di a il gruppo (virtuale) XY, +... + M Yx varti in una serie lineare. In altri termini se Y; è il gruppo degli omologhi del punto a’ nella 7;, la con- dizione di dipendenza è espressa dalla relazione: (6) MY tp... + EMY ++ Yr. Nel caso che una tal relazione non sia possibile se non quando le \ son tutte nulle, le # corrispondenze si diranno indipendenti. Quando più corrispondenze sono fra loro dipendenti, talora diremo che una qua- lunque di esse è dipendente dalle rimanenti. Allorchè poi occorra tener presenti gli interi pei quali la (6) è soddisfatta, diremo pure che le corrispondenze 7) ... 7, son dipendenti secondo (A, ... }.). (*) A proposito di questa locuzione cfr, il n° 3. 14 FRANCESCO SEVERI È evidente che se 7... T, son dipendenti secondo (A, ... :) lo sono anche se- condo (uà, ... u}), ove u è un intero positivo o negativo, arbitrario. Le due osservazioni fatte al principio di questo numero si possono ora enunciare nel modo seguente: Ogni corrispondenza a valenza dipende dall’identità. Due corrispondenze a valenza son sempre dipendenti. Estendendo una proposizione del n° 7 dimostriamo che: Se le corrispondenze T, ...T, son dipendenti secondo (A, ...\), anche le loro inverse son dipendenti secondo gli stessi numeri. Limitiamoci per brevità al caso % = 2, e supponiamo che \,, ad esempio, sia negativo {= — \3') e ), positivo. Fissiamo una serie g,, convenientemente ampia, in modo che vi sia un solo suo gruppo passante per ogni gruppo Y, costituito dagli omologhi di a nella 7% (si fissino, p. es., p punti generici della curva di genere p, e si consideri la serie, non speciale, individuata da quei p punti insieme ad un par- ticolare gruppo Ys). Chiamando Yz quel gruppo che insieme ad un dato Y, costi- tuisce un gruppo della g7 fissata, e conservando pel resto le solite notazioni, avremo che la relazione: Ma Yi+ Ms Ya Man Y/ 4A Yo equivale alla: (7) 0 de + a n = \, Vi A IN RE Se si chiamano omologhi del punto variabile « i punti del gruppo Yz ad esso relativo, otterremo una corrispondenza algebrica $S, tale che: Ca TATE Da ciò deriva che se la inversa di S fa corrispondere ad @ il gruppo X3, e ad a' il gruppo X3', sarà similmente (n° 6): (8) Xg sia X3= Xx "Tm Xg', ove X (o X,') è il gruppo degli omologhi di « (o @’) nella 7". La corrispondenza ), 7, + X3'S, che si ottiene chiamando omologhi di a i punti del gruppo Y, contati ciascuno ), volte, e quelli di Yz contati X' volte, in virtù della (7) risulta a valenza zero, sicchè anche la sua inversa, che fa corrispondere ad a il gruppo \4.X3 +4 X3, sarà a valenza zero. Quindi avremo: MX +9 X3 = MX + XK, ove X, (0 X;') è il gruppo degli omologhi di @ (0 a') nella 77. Moltiplicando per )' i due membri della (8), e sottraendola poi dall’ultima re- lazione, verrà: A Xi — Me XEU X' — N A, ossia : MX + E UA + C.:0%d. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 15 Osservazione. — Questo ragionamento non servirebbe più nel caso che una delle corrispondenze fosse l’identità, come accadeva al n° 7. Si può però osservare che anche in tal caso la proposizione rimane valida, come si vede appunto profittando del n° 7. 10. Relazione geometrica fra i gruppi dei punti uniti di più corrispondenze dipen- denti. — Formola di corrispondenza relativa. Dimostriamo che: Se nelle corrispondenze T, ... Ty dipendenti secondo (M ... x), al punto a rispondono i gruppi di punti Y,... Yx, mentre nelle corrispondenze inverse al punto stesso rispon- dono î gruppi X, ... Xx, indicando con U, ... U, è gruppi dei punti uniti nelle T, ...T,, si ha: (9) Ng ee o tnehat r). Per semplicità svilupperemo la dimostrazione nel caso 4 = 2; si vedrà subito come si estenda al caso generale. Supponiamo, come dianzi, che \, sia positivo e ), negativo (= — \3'), e usiamo le stesse notazioni del numero precedente. Costruiscasi, come allora, la corrispon- denza S tale che: YstY=Y}t Yy, e ricordiamo che la corrispondenza ), 7; + \2' S, che nasce dal chiamare omologhi di a i punti del gruppo Mx Y} + Xx Y:, è a valenza zero. I punti uniti di questa cor- rispondenza cadono nei punti del gruppo U,, che sono uniti nella 7%, e nei punti del gruppo V costituito dai punti uniti di S. Giacchè in ogni punto del gruppo Y, omologo di « nella 7, cadono \, punti omologhi di a nella corrispondenza A, 7, +X9'5, un punto unito di 7, equivarrà a \, coincidenze della corrispondenza ), 7 + \5'S. Similmente ogni punto del gruppo V conterà \y' volte fra i punti uniti di \, 7, 4 \o'S. Dunque le coincidenze di quest’ultima costituiscono il gruppo M, U +-X\0' V, e perciò se chiamiamo X; il gruppo degli omologhi di @ nella S7, in virtù del risultato del n° 6, avremo: Aa Un + A VE MK + Ya) + de (K3+ Ya). Dalla considerazione della corrispondenza 7, + S, pure a valenza zero, simil- mente si trae: Un + V=(XG+Y)+(K3+ Y3). Moltiplicando questa per \»' e sottraendola dopo ciò dalla precedente, viene: Ma Un + \9U=Ma(A+Y) + (K+ Yo) c. dedi Interpretando numericamente la relazione geometrica ottenuta, si ha una for- mola di corrispondenza molto importante. Se diciamo «; il numero dei punti di U,;, a; il numero dei punti di X,, $, il nu- mero dei punti di Y,, avremo: Mur t... + aa =M (0+-B) +... + (4 + Br). 16 FRANCESCO SEVERI Dunque: Se sopra una curva si hanno k corrispondenze di indici a, Bi, ..., 0 Bx dipendenti secondo î numeri \, ...\, positivi o negativi, le quali sieno dotate di u, ... u, punti uniti, ha luogo la relazione: (10) Mu t...+Mau=M (+ BI +... +M (+ Bg. La nota formola di CAayLEy (*), che è così utile nella risoluzione del problema dei contatti, si ottiene come caso particolare di questa relazione supponendo tutte le \ positive. 11. Esistenza di un massimo pel numero delle corrispondenze indipendenti sopra una curva. — Base del sistema di tutte le corrispondenze. — Data una curva 0, è possibile scegliere su essa un numero finito di corrispondenze indipendenti, in guisa che ogni altra corrispondenza risulti dipendente da quelle? Per rispondere a questa domanda dovremo far uso dello strumento trascendente, di cui finora non profittammo. Cominceremo perciò dal richiamare la rappresentazione delle corrispondenze algebriche con integrali abeliani, dovuta al sig. HurwITz. Se dato il punto « si chiamano % Ys ...y8 ì punti omologhi ad esso in una cor- rispondenza algebrica 7, data sopra la curva 0, variando a si vede che la somma dei valori di un integrale di 1? specie ai punti Y; ... 8, gode delle proprietà carat- teristiche di un integrale di 1° specie al punto a. Sicchè dicendo %, ... & i p inte- grali normali di 1° specie annessi a C, hanno luogo le relazioni: (11) cHA (4) = x Tru; (a) + Tx (Aa) r=1 = ove le t sono indipendenti dalla posizione di a. La tabella dei periodi degli integrali «;, ...«, sia: O 0 ri Te Tip 0 1 0 Toi To99 Top (Ta — Tri) ORE Feat Top Facendo descrivere ad a cammini chiusi convenienti a partire da una posizione iniziale e uguagliando le variazioni dei due membri delle (11), si ottengono le relazioni: p \ ta =hn + > gu Tri (*) “ Transactions of the Royal Society ,, t. 158, p. 149 (1868). Vedasi anche Sere, Introdu- zione, n° 49. (12) (k, 2=1, ....P), î mo p TT = Hu TZ Guta va= SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECO. 17 ove le 4, g, H, G son numeri interi (*). Si prova che per ogni soluzione del sistema (12) si ha una corrispondenza algebrica sulla C (Horwirz, $ 11). Ciò posto sieno: / p eZ. € \ te = A+ > gi Ta = (13) ì Î ng ta = H+ 268% i=l i=1 u soluzioni diverse del sistema (12). Si dice che queste u soluzioni son dipendenti quando le equazioni: Il ì (14) RAI, (k,1=1,...,P) 1 e= son possibili per valori non tutti nulli degli interi ), ...\4; nel caso contrario sì dice che le u soluzioni sono indipendenti (Hurw1rz, $ 13). Vediamo come a questo concetto analitico faccia riscontro il concetto geome- trico da noi introdotto della dipendenza fra corrispondenze. Dalle (13) si otterranno certe u corrispondenze 7’... 7, e se al punto @ corrisponde nella 7% il gruppo Ye costituito dai punti 7? ... Uh» avremo: Un (49) + (45) +... + (48) = TÉ i (a) + nf (e=1,..., p). Moltiplicando per \» e facendo la somma da 1 a u, verrà: Arona il CZ (Yi) a a 2u(a)Zhc pala ove p, denota una costante. Se i sistemi (13) son dipendenti, ossia se le (14) son soddisfatte per valori non tutti nulli delle \, sarà: i [n GY) +]+ + [a+ JP ®=1,..,p). Se al punto a’ corrisponde nella 7; il gruppo Y's costituito dai punti ef ... DE avremo dunque: Ma [ue (419) + 1+ + + da (0% (8) + 10 Du (22) + -1+ +e [ti (20) +... Questa relazione in virtù del teorema di ABeL, equivale alla: x Yit... + Ya Kn Ya +... + Vu, la quale esprime appunto la dipendenza delle corrispondenze 7) ... 7,, nel senso de- finito al n° 9. Viceversa dalla dipendenza delle 7’ ... 7, risalendo si deduce la dipendenza dei sistemi (13). (*) Hurwirz, loc. cit., $ 1. Serie II. Tom. LIV. c ’ 18 FRANCESCO SEVERI Siccome non vi possono essere più di 2 p? sistemi indipendenti del tipo (12) (Hurwirz, p. 582), il numero delle corrispondenze indipendenti ammetterà un mas- simo non superiore a 2 p?. Supponiamo che i u sistemi (13) sieno indipendenti e che non se ne possano trovare più di u indipendenti. Allora, dato un altro sistema di soluzioni delle (12), sì potranno trovare dei numeri interi À,\,, ..., \y non tutti nulli, in guisa che: u Mag = Sic TÈ, (k, = Jl 009 D), e= ed anzi \ non potrà mai esser nullo. In tal caso si dirà che le u corrispondenze 7’ ... 7,, che si ottengono dalle (13), formano una base. Che se poi si scelgono i u sistemi in modo che il numero X risulti uguale ad 1 per ogni sistema di soluzioni delle (12), in modo cioè che si abbia: ma = Ze mi (e= Lioni, u), ove le \ son numeri interi, si dice che le u corrispondenze 7, ... Tu formano una base minima. La possibilità di ridursi alla base minima accennata in HurwiTz (p. 582), tro- vasi ad es. dimostrata nelle lezioni citate di KLein sulla teoria delle funzioni mo- dulari ellittiche (p. 543). Riassumendo possiamo enunciare: Data una curva di genere p è possibile scegliere su essa un numero finito u, non superiore a 2 p?, di corrispondenze indipendenti T, ... T, tali che se T è un'altra cor- rispondenza qualsiasi esistente sulla curva, le 'T T,... T,, sien dipendenti secondo i nu- meri (1A, ...)u). I I numeri A, ...\, sono individuati una volta assegnata la 7, perchè altrimenti le 7, ... T,, risulterebbero dipendenti. Quei numeri si chiamano perciò i caratteri della corrispondenza T. Per le curve generali del genere p, il massimo u è uguale ad 1, e come base minima si può assumere l’identità o una qualsiasi corrispondenza elementare. Dicendo w w, ... w i numeri dei punti uniti nelle corrispondenze 7 77 ... Ty di indici rispettivi (a 8), (a, 8), ..., (0484), avremo per la (10): u=a+B+A (a +8 —u) +... + Au (0, + Bu — vu). I numeri interi : cc= 0; + Bi — (@=2-0030) non dipendono dalla corrispondenza considerata, ma sibbene dalla natura della curva, e la formola u=a4B+c\} +... + cada esprime il principio generale di corrispondenza sopra una curva algebrica qualsiasi. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 19 Osservazione. — Noteremo, perchè ci servirà in seguito, che se sopra una curva le u corrispondenze 7’ ... 7, sono dipendenti secondo i numeri vA,,...,v}y ove v e le X sono interi, lo sono anche secondo i numeri ), ...\y. Difatti dall'essere: ls E x Vv Ne Ty, = 0, e=1 si trae: 7 Di Ne ni, == e=l' PARTE SECONDA Sulle superficie che rappresentano le coppie di punti di una o due curve. $ 1. — Le superficie con due fasci unisecantisi. 12. Generalità. — Genere e grado di una corrispondenza fra due curve. — Sia F una superficie che rappresenti senza eccezione le coppie di punti di due curve C, C* di generi pi, Ps. Ogni punto x di C fa parte di 00! coppie le quali son rappresentate su F da una curva K,; variando il punto x su © si hanno ce! curve K, che costituiscono un fascio | K,| di genere p,. Similmente ai punti y di €’ rispondono su le curve di un fascio | K,l di genere p,, e le K, segano in un punto ogni K,. Viceversa ogni superficie con due fasci | K,|, | K,| unisecantisi, rappresenta le coppie di punti di due curve C, 0‘, ciascuna delle quali è riferita biunivocamente agli elementi (curve) di uno dei due fasci. Le coppie x,y dei punti che sono omologhi in una data corrispondenza alge- brica 7 fra C, C', son rappresentate su / da una curva algebrica, che denoteremo colla lettera stessa 7° con cui si denota la corrispondenza. Se ad un punto x rispon- dono 8 punti y e ad un punto y rispondono a punti x, la curva 7 sarà segata in 8 punti da ogni curva K, e in a punti da ogni X,. I due indici a, B della corrispon- denza si chiameranno anche gli indici della curva T. Viceversa ogni curva algebrica 7' tracciata su pone fra le curve dei due fasci |K.|,|X,| una corrispondenza algebrica, ove si chiamino omologhe due curve dei fasci stessi quando si tagliano in 7’; e quindi essa rappresenta una corrispondenza algebrica tra C, 0". Le curve dei due fasci unisecantisi sono immagini di corrispon- denze degeneri. Qui si presenta spontanea l’introduzione di due nuovi caratteri di una corri- spondenza 7 fra C, C': il genere e il grado (virtuali) della curva 7 tracciata su Y (*), i quali si indicheranno rispettivamente con p, v. (*) Per la definizione di questi caratterì cfr. CasreLxvovo-EnrIQueS, Sopra alcune questioni fon- damentali nella teoria delle superficie algebriche. “ Annali di Matematica ,, (3), t. 6 (1901), n° 1. 20 i FRANCESCO SEVERI Poichè il sistema canonico di F si ottiene aggiungendo alla serie canonica di | K,| la serie canonica di | K,| (*), dicendo a, f gl’indici di 7, ossia chiamando FR il numero dei punti in cui una X, sega 7 ed a il numero dei punti in cui una K, sega 7, avremo: (15) 28 -1)+20(p—1)+v=2p—2 (#9). 13. Notazioni. — Se due curve ll” tracciate sopra una superficie qualsiasi appartengono totalmente ad uno stesso sistema lineare, si dirà che esse sono equi- valenti e si scriverà /' = | RLZA Date sopra una superficie più curve ['" ...; A'A"”..., il significato della rela- zione (16) MPA. = + pg A" +... ove le \, u sono interi positivi o negativi, risulta senz'altro se son possibili le even- tuali sottrazioni indicate nei due membri della relazione medesima. In ogni caso le possiamo dare un senso preciso, dicendo che equivale alla relazione che da essa si ottiene trasportando da un membro all’altro i termini negativi e cambiandoli di segno. Anche questa definizione, come l’analoga del n° 3, si può presentare sotto altra forma, ma ci dispensiamo dal farlo. Per esprimere la (16) concisamente e in modo suggestivo, diremo spesso che le due curve (virtuali) Al + Ar... e pi + pg A” +... sono equivalenti, od anche che esse appartengono ad uno stesso sistema lineare, per quanto se le ), u non son tutte positive, non sempre esistano curve effettive cor- rispondenti ai simboli suddetti. Ritornando alla nostra superficie F con due fasci unisecantisi, diciamo. 7° una sua curva. Per i f punti ove 7 è tagliata da una KX, passano altrettante K,, e al variare delle X, considerate si ha nel fascio | K,| una oo! algebrica di gruppi di B curve: uno generico fra questi gruppi s'indicherà con 7,, ponendo l’indice y a piò della lettera con la quale si indica la curva data. Similmente 7, denoterà il gruppo delle K, che passano per gli a punti ove 7 è segata da una X, generica. 14. Curve a valenza zero. — Loro composizione per somma dalle curve dei due fasci unisecantisi. — Caso delle rigate. — Suppongasi di avere fra i punti delle due curve C, 0' da cui prende origine la superficie F, di cui ai numeri precedenti, una corrispondenza 7 tale che mentre un punto x si muove su C, il gruppo dei B punti y che ad esso corrispondono su Cl’, varii in una serie lineare d'ordine f. Si dimostra (*) Cfr. Maroni e De-FrancHIS, loc. cit. (#*) Cfr. De-FrancHIS, loc. cit., n° 8. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 21 allora, come si fece al n° 6 pel caso di due curve 0, C' coincidenti, che gli a punti x di C omologhi di un punto y variabile su Cl’, variano in una serie lineare d’ordine a. Estendendo la denominazione già usata per le corrispondenze sopra una curva, di- remo in tal caso che la 7 è una corrispondenza a valenza zero. Chiameremo poi curve A vaLENZA ZERO quelle curve di F_ che sono immagini di corrispondenze a valenza 0. Una curva 7 a valenza zero è caratterizzata dal fatto che il gruppo delle B curve K, passanti pei punti comuni ad essa e ad una X,, mu- tando questa, varia in una serie lineare d'ordine 8, entro al fascio | K,|; e quindi che il gruppo delle a curve X, che passano pei punti in cui 7° è segata da una X,, al variare di questa, varia in una serie lineare d’ordine a, entro al fascio | K,|. Più brevemente si può dire che una curva a valenza zero è caratterizzata dal fatto di segare sopra ogni curva del fascio | £,| (o | K,]), un gruppo che equivale a quello segato da un conveniente insieme di curve £, (o K,). Questa proprietà si potrebbe dunque assumere come definizione delle curve a valenza zero, ove si volessero definire direttamente sulla superficie £. Le curve che appartengono ad un sistema lineare somma di una serie lineare del fascio | K,| con una serie lineare di | ,|, godono appunto di questa proprietà. Ma è importante dimostrare che, viceversa, ogni curva a valenza zero è conte- nuta totalmente in un sistema lineare somma di curve dei due fasci. A tal uopo supponiamo che la superficie / appartenga allo spazio ordinario, ipotesi che, nella questione attuale, non è restrittiva. — Il sistema lineare indivi- duato dalla curva 7), composta mediante le X, che passano pei punti comuni ad una K, e ad una curva 7' a valenza zero, sarà segato su /, fuori di certe curve fisse Q, da un sistema lineare di superficie @ (Y1 Ya Y3 va) = 0, Ove y1 ...y4 son coordi- nate omogenee di punto; e in particolare le co! curve 7,, che si ottengono facendo variare la K, scelta, saranno segate da un sistema algebrico. 00! di superficie @. Poichè per ogni punto di F passa una X, e questa individua una curva composta 77, i coefficienti delle y nell’ equazione @ {y, ... ys3) = 0, saranno funzioni razionali del punto variabile su /, sicchè l'equazione di una @ del sistema co! si potrà scrivere sotto la forma: © (71 €3 03 L4|Y Y2Ys Ya) = 0, ove ® è il simbolo di un polinomio omogeneo di grado m nelle x, omogeneo di grado m' nelle y. Dato un punto (yî ... yi) della F per esso passa una X, la quale sega Tin a punti, e il gruppo 7, delle XK, passanti per questi a punti, sarà segato su /, fuori di certe curve , dalla superficie: == PSR, : y° = © (2, 23 €03 2] yi YU) = 0. La superficie: ® (11x23 23 x] 0003 a) =0, di ordine”m + m', passa per le curve Q ed R, e quindi appartiene al sistema lineare somma di quelli a cui appartengono le @ e le yw. Ne segue che essa, fuori delle eventuali curve fisse, sega su / una curva L appartenente al sistema lineare somma di quelli segati (fuori delle curve fisse) dalle p e dalle yw, ossia una curva del 29 FRANCESCO SEVERI sistema | 7, -+ 7,|. Poichè per un punto di 7° passano due curve omologhe nella cor- rispondenza che l'equazione ® (x|y) =0 pone fra i due fasci | K,|, | K,|, ne viene che T fa parte della curva L. Se per un punto fuori di 7° passassero una X, e una X, omologhe nella cor- rispondenza stessa, siccome esse già s’incontrerebbero in 7, esisterebbe una curva che farebbe parte di K, e di K,. Ma se, come abbiamo supposto, la superficie F rappresenta senza eccezione le coppie dei punti di due curve ©, Cl’, non esistono curve dei due fasci unisecantisi aventi parti comuni e perciò in tal caso L= 7. Dunque: Sulla superficie F_ coi due fasci unisecantisi |K,|,|K,l, ogni curva T a valenza zero appartiene al sistema lineare individuato dalle curve K, che passano pei punti co- muni a T eaduna K,, aumentate delle K, che passano pei punti ove una K, incontra T. Se uno dei due fasci, p. es. | K,', è razionale, la superficie Y è riferibile bira- zionalmente ad una rigata, di genere uguale al genere p; dell’altro fascio | K,|. Le curve di quest’ultimo fascio si chiameranno generatrici, e la F si dirà rigata, anche se non lo è nel senso projettivo della parola. In questo caso è utile vedere quali modificazioni subisca il teorema precedente se la / non rappresenta senza eccezione le coppie di punti delle due curve C, C' (delle quali la seconda è razionale), perchè quando si dà una rigata e si cerca di costruire su essa un fascio di unisecanti le generatrici, questo (essendo razionale) viene generalmente ad avere dei punti base. Supponiamo dunque che il fascio | X,| abbia » punti base: allora le generatrici passanti per questi si staccheranno da certe n curve del fascio | X,|, e quindi la curva L, di cui prima parlavamo, non conterrà soltanto la 7, ma anche ciascuna delle suddette generatrici. Ognuna di queste si dovrà inoltre contare B volte come parte della L, perchè taglia in 8 punti la curva 7. È facile vedere che nel caso che stiamo trattando, il teorema dimostrato ci dà il modo di ottenere tutte le curve della superficie /. Basterà perciò provare che le curve tracciate sopra una rigata sono a valenza zero. Difatti le /, che passano pei B punti comuni alla curva 7 e ad una generatrice, mutando questa variano in una serie lineare, perchè in un ente razionale o! tutti i possibili gruppi di f ele- menti formano una serie lineare. Potremo dunque enunciare la proposizione seguente: Sopra una rigata F tutte le curve si ottengono colle operazioni di somma e sottra- zione a partire dalle generatrici e da un fascio di unisecanti. Precisamente: Dato su F un fascio | K,| di unisecanti le generatrici, e una curva T', se dal sistema lineare individuato dalle unisecanti che escono dai B punti ove 7° è tagliata da una generatrice, aumentate delle generatrici che escono dagli a punti ove 7 è tagliata da una K,, si tolgono le generatrici che passano per gli eventuali punti base di | K,|, ciascuna contata 8 volte, si ha un sistema lineare che contiene (totalmente) 7. Dal teorema dimostrato discendono subito la formola che dà il numero dei punti comuni a due curve 7,7" sopra la rigata, e la formola (di Sere) che dà il genere di una curva tracciata sulla rigata stessa. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 23 Ci tratterremo un momento sulla deduzione di queste formole, affine di avere un primo esempio semplice, delle considerazioni analoghe, che saranno svolte in se- guito, per la superficie / con due fasci irrazionali. Sieno a B, a’ 8’ gli indici di 7, 7". Indicando con N il gruppo delle generatrici passanti per gli » punti base di | K,|, avremo: (17) TA-RN=T:|-P. Segando con 7" le curve che figurano nei due membri della (17) e indicando con è il numero dei punti comuni a Te 7” verrà: u i+ nBB =a9' + Ba', ossia : i=-a8'+ Ra' — nBR', che è la formola nota pel numero dei punti comuni a due curve tracciate sopra una rigata d'ordine n. Il genere p della 7" si desume subito dalla (17) uguagliando i generi delle due curve composte che compaiono nei due membri; si ottiene così: p+(1—n8)+n8—1=(1—-a)+[8p+(f)n-8+1]+08-1, donde si trae: p=B(p—1)+a(—1)—n(É)+1, che è la formola di SEGRE. Applicando la formola che dà il grado di una curva spezzata, ovvero segando con 7 i due membri della (17), si ottiene l’espressione del grado v di 7': v=2a8—nB?. 15. Concetto di dipendenza fra due 0 più curve tracciate sulla superficie F con due fasci unisecantisi. — Sieno N' M"...T* % curve tracciate sulla superficie F coi due fasci unisecantisi | X,| e | K,|. Si dirà che esse sono dipendenti o che una di esse dipende dalle rimanenti, quando esistono dei numeri interi non tutti nulli À, ... Xx, tali che: (18) bikini +» 199649: Le curve stesse si diranno indipendenti nel caso contrario. Ricordiamo che Fi denota il gruppo delle K, che passano pei punti ove l* è segata da una X,, e che Fi, denota il gruppo delle X, passanti pei punti ove l* è segata da una K,. Si può brevemente dire che le curve F'...T* sono dipendenti, se esistono degli in- terì non tutti nulli \, ...\x, tali che la curva (virtuale) \,1"+... +. sia a valenza zero. Questa locuzione ha un senso puramente convenzionale, quando non esiste una 24 FRANCESCO SEVERI curva corrispondente al simbolo \}l! +... +. In tal caso però si potrà scegliere una curva L a valenza zero (appartenente ad un sistema lineare abbastanza ampio) in guisa che esista una curva corrispondente al simbolo L4M} F+ ... + A. f*: la (18) dice allora che anche questa curva è a valenza zero. Dalla (18) si trae: A+. + ATA MES +, sicchè dicendo T!, il gruppo delle K, che passano pei punti ove la curva K, sega l', avremo: (19) Mg Ada = Hi: sha VSnz Viceversa se questa relazione è soddisfatta qualunque sieno le due curve K, e K, con cui si son segate le *, sarà vera anche la (18). Difatti quando le \ son tutte positive, la (19) ci dice che la curva \4f' +... + Mx" è a valenza zero, e quindi pel teorema dimostrato al n° precedente, sussisterà la (18). Ma supponiamo, ad es., che \, sia negativa (= — \,') e le altre \ positive. Al- lora si potrà determinare un sistema lineare di curve a valenza zero così ampio, che vi siano in esso curve spezzate nella XA," ' e in una parte residua F. Poichè la curva + A\,/T' è a valenza zero, avremo: i a la quale addizionata alle (19) dà: ya +. ++, e da questa, essendo tutte le ) positive, si trae: C+X "+ ...=(M+ PM) + (++, che combinata colla relazione: FAR (RAS) la quale esprime appunto che F +4A,"T" è a valenza zero, porge: ULCERE 16. Esistenza di un massimo pel numero delle curve indipendenti sopra la super- ficie con due fasci unisecantisi. — Base del sistema di tutte le curve su essa tracciate. — Il teorema dimostrato al n° 14 per le rigate, ci dava il modo di ottenere per somma e sottrazione tutte le curve tracciate sopra una rigata, a partire dai fasci [KJe]K,|. In questo n° ci occuperemo del teorema analogo per le superficie Y con due fasci irrazionali. Usando delle locuzioni introdotte al n° precedente, questo teorema si può enunciare brevemente così: Sopra la superficie F_ con due fasci unisecantisi |K.| e |K,|, di generi pi, pa, è possibile trovare un numero, non superiore a 2p, pa, di curve indipendenti, tali che ogni altra curva di F sia dipendente da quelle. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC, 25 Fissiamo infatti sulla FY una curva X di indici uv, diversa dalle curve dei due fasci, ed indichiamo con /, J le due involuzioni di generi p; ps, che i due fasci se- gano su K. Diremo che una corrispondenza S fra i punti di X è composta con una di queste involuzioni, p. es. con /, quando i punti y omologhi del punto @ nella $, si distribuiscono in tanti gruppi dell’involuzione .J. Data su F una curva 7 di indici a B, essa determina una corrispondenza fra le curve dei due fasci, allorchè si riguardino come omologhe due curve X, K, che s'incontrano in un punto di 7. Mediante questa corrispondenza ne possiamo porre una, S, fra i punti di X, nel modo seguente: Dato un punto « di X, si chiamino suoi omologhi i B u punti y segnati su K dalle X, che passano per le intersezioni di 7° con la K, uscente da a. La corrispon- denza S è composta con J e la sua inversa S° è composta con /. Indicheremo con G l'insieme di tutte quelle corrispondenze esistenti su K, che son composte con J ed hanno le inverse composte con /. Ogni curva di / dà luogo su X, nel modo visto, ad una corrispondenza dell’in- sieme G, e viceversa una tal corrispondenza dà origine ad uno fra i gruppi delle involuzioni /, /, ossia fra le curve dei due fasci irrazionali. Le X, X, omologhe in quest’ultima corrispondenza, s'intersecano nei punti di una curva 7 di F. Dal momento che (come fu dimostrato al n° 11) il numero delle corrispondenze indipendenti sopra una curva ammette un massimo, nell'insieme G non ne esisterà più di un certo numero di indipendenti, sicchè si potranno fissare in esso # corri- spondenze $; ... S, indipendenti, tali che ogni altra corrispondenza di G sia dipen- dente da quelle. Notiamo però, a scanso d’equivoci, che viceversa non è detto che ogni corrispondenza dipendente da S;... S, appartenga a G; così la somma di una corrispondenza di G con una corrispondenza a valenza zero non appartenente a G, dipende da S; ....S, e non appartiene a G. Proviamo ora che corrispondenze dell'insieme G, fra loro dipendenti, dànno luogo su F a curve dipendenti. Sieno, p. es., #, È, due corrispondenze di G dipendenti secondo (A, X»). Ciò signi- fica che dicendo Y, Y; i gruppi degli omologhi del punto a nelle R, Rs e Y, e Y, i gruppi degli omologhi di un altro punto a, si ha: i+ MHskY+hM. Indichiamo con 7" 7" le curve di F che si costruiscono mediante le due cor- rispondenze £, Rs. Poichè ai gruppi di una serie lineare composta con /, rispondono nel fascio | K,| gruppi di curve appartenenti ad una medesima serie lineare, avremo: ù, Jo 5 Na Li = , To t 16 poi , ove T, rappresenta il gruppo delle X, che passano pei punti comuni a 7” ed alla K, uscente da a, 7/ il gruppo delle X, che passano pei punti ove 7’ taglia la X_ Serie II. Tomo LIV. D 26 FRANCESCO SEVERI uscente da a, e 7" 7, hanno significati analoghi rispetto a 7”. Dalla relazione precedente, in virtù di quanto stabilimmo al n° 15, si trae: da dai Bin \s Ti = da (do, "ta Ty) na do (ELA * I): la quale prova la dipendenza di 7" 7" secondo (A, Xx). Viceversa è facile vedere che due curve 7" 7”’ dipendenti secondo (A; \»), dànno luogo a due corrispondenze R, £, dell'insieme G, dipendenti secondo gli stessi numeri. Ciò posto, diciamo M' ["...F* le curve di che si costruiscono col sussidio delle corrispondenze $, ... S, dell'insieme G. Siccome ogni curva T di F dà luogo su X ad una corrispondenza S che appartiene all'insieme G e che dipende quindi da S;...S,, la curva F sarà dipendente da T”...T* Dunque tutte le curve di F sono dipendenti dalle 1...‘ e perciò l'insieme (F'... 1‘) si dice una base del sistema delle curve tracciate su F. Se le corrispondenze $S; ... S, furono scelte in guisa che dicendo S una corrispondenza qualsiasi dell’insieme G, le SS; ... S, siano dipendenti secondo i numeri (1), ...))), ove le X siano interi convenienti, la dase (M... 1% si dirà minima. Notiamo adesso che il teorema enunciato al principio di questo numero, concernente la totalità delle curve appartenenti ad /, dice in sostanza che ogni curva di F si può ottenere con operazioni di somma e sottrazione dalle curve dei due fasci unisecantisi e da quelle di una base minima. Ritornando alle due curve C, C' dalle quali è nata la superficie /, il risultato ottenuto ci dice che nella totalità delle corrispondenze fra C, Cl’, se ne può trovare un numero finito l'...F', per modo che indicando con Y, Y/ i gruppi dei punti di C" omologhi dei punti « x’, di 0, nella corrispondenza [', e con Y Y' i gruppi dei punti di C' omologhi di x x’ in un’altra corrispondenza qualsiasi l fra C, C', abbia luogo la relazione: VIEN eg La proposizione stabilita al n° 11 nel caso di due curve coincidenti, resta così estesa al caso di due curve distinte. Questa estensione si sarebbe potuta ottenere anche mediante la rappresentazione delle corrispondenze fra due curve cogli inte- grali abeliani ad esse relativi. Le formole analoghe a quelle date da Hurwirz per rappresentare le corrispondenze sopra una curva, si otterrebbero anche nel caso di due curve distinte C, C°, partendosi dal fatto che quando fra C, 0° si ha una cor- rispondenza algebrica, la somma dei valori d’un integrale abeliano (di 1° specie) an- nesso a Cl’ nei punti y corrispondenti ad un punto x di C, riguardata come funzione di x, è un integrale abeliano di 1% specie annesso a 0. Anzi mediante la rappresentazione trascendente si sarebbe di più ottenuto che il numero delle corrispondenze indipendenti fra due curve distinte di generi pi ps, non può superare 2p; ps. Ma su ciò crediamo inutile d’insistere, trattandosi di cosa che si stabilisce con una leggera modificazione del procedimento usato da HurwiTzZ, per stabilire il fatto analogo sopra una sola curva. 17. Discriminante di una base. — Discriminante di una base minima. — Conside- riamo le curve M'...F' di indici a; 8,,...,0,,, e rappresentiamo con Y,; il numero dei punti comuni alle due curve F*M*, dimodochè 1, rappresenterà il grado virtuale della [*. SULLE CORRISPONDENZE FRA TY PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 27 Tl determinante simmetrico : Cu l12 Cu Cor l29 ... lu A—- , Ca Cio SRI Cu ove si è posto: Cih = a; B, t d, Bi 2a 17 (è, h == 1 ee t), si chiamerà il discriminante dell'’aggruppamento (MV ... N°). È facile provare che se Ze curve M'...l" sono dipendenti, il discriminante A si annulla. Difatti dalla relazione di dipendenza delle MM" ...; di r' Hr 190 sta ), r=a EGG h,) ala 0009 segando colla f' tutte le curve che figurano nei due membri della relazione stessa, si ricava: : MYui + No fei +-+ Uriah (018; + B) +... di Cli L E Coi + TI T d, Cri — 0 (i — 1 00 t). ossia: Giacchè queste equazioni lineari son soddisfatte per valori non tutti nulli delle \, sarà zero il determinante dei coefficienti, che è precisamente A. La proposizione dimostrata ci dice che se # è il massimo numero di curve in- dipendenti che si posson tracciare su /, ogni aggruppamento di # curve che abbia il discriminante diverso da zero, potrà assumersi come base della totalità delle curve appartenenti ad Y. Nell'ipotesi che l’aggruppamento (F”... 1‘) sia una base, vediamo come si passa dal suo discriminante al discriminante 4’ di un’altra base, le cui curve TT’... TT‘ ab- biano gli indici ay' B,', ... a, 8,". Le TT... TT saranno dipendenti dalle curve l”... 1°, e quindi avremo: I AR E i ALI pda lE pe I LE TE Doo (i=1..6) ove le X, \,; Xx; ... sono interi convenienti e nessuna delle \, è nulla, perchè altrimenti le ['...F' sarebbero dipendenti. Segando con N° le curve che compariscono nei due membri della (20), otterremo: Ata =; (0/84 Ba) + Ma; (fu B—B1) +... ove Y,' rappresenta il numero dei punti comuni a TT' e T*. Se si pone: o; 8, + Bi di, Ta = Cal, Verra: a (21) \, ci = Mi Ci —. do; Coi + va» » Ù,i Ciì (i, = 0 28 FRANCESCO SEVERI Segando con TT° i due membri della (20), avremo: XL: Ya = A; (0/8 + B' 07) + Ax; (ra'— 1 B/— B9) +... (i, 1=1...1), ove Yi rappresenta il numero dei punti comuni a TT' e TT° Se poniamo: rg! DISSOIE Re) a; (Bi dB a va=lca otterremo: (22) ); chi =; Cn' + dai Ca' spo + dii Cu, ed il discriminante della nuova base sarà espresso da: Profittando delle (21), (22), e della regola di moltiplicazione dei determinanti, si trova fra A e A' la relazione seguente: (23) ATATIAZIAZA nella quale si è posto: INTRISO ENG di Ni dat AN Poichè le \, ...}, non son nulle, la relazione ottenuta ci mostra che se fosse A=0 sarebbe pure A'=0, ossia se fosse nullo il discriminante di una base, sa- rebbe nullo il discriminante di ogni altra base. Se dunque sopra una superficie esistesse una base col discriminante nullo, questa sarebbe una proprietà intrinseca della superficie stessa. Ma per quanto io non abbia potuto stabilire in generale il fatto che la condizione A +0 è necessaria perchè le curve 1”... formino una base, tuttavia credo che non esistano super- ficie F dotate della proprietà accennata. Ad ogni modo questa è una questione che per ora lascio insoluta. Facciamo ora l’ipotesi, eventualmente limitativa, che è discriminante A della base (T' ...T) sia diverso da zero. Vogliamo vedere come sî deve operare (per somma e sottrazione) sulla base data, affine di passare ad una base minima. Data una curva T di /, essa si esprime mediante la base data nel modo seguente: (24) MERE ee ove ) è un intero diverso da zero. Osserviamo anzitutto che se gli interi A, ... \, son divisibili per ), ossia se: =) SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 29 la precedente relazione si può sostituire con l’altra: C=(h+MM)+K (MM) +. Difatti nell'ipotesi fatta, M 1”... dànno luogo sulla curva K di /, della quale parlavamo al n° precedente, a # + 1 corrispondenze dell’insieme G, dipendenti se- condo i numeri (— X, \, }, ...,,}) e quindi dipendenti secondo (— Le N) (ved l’Osservazione con cui si chiude la Parte I°). Ne deriva che le curve ll”... ‘ son esse pure dipendenti secondo (— 1,)}, ...,))) (n° 16). Dunque se la base considerata (['...) non è minima, esisterà certo una l alla quale compete un coefficiente A > 1 e primo con una almeno delle \, ... \,: per es. con \,. Si potranno trovare allora due interi u u, tali che: (25) \ut+Mu= 1. Supponiamo prima u e u, positivi e consideriamo la curva = uf + ul”. Ve- diamo com’essa si esprime colla base data. Si ha evidentemente: VENE NT dalla quale, mediante la (24) e la relazione identica: = (Fs + RI sla PETE su ch) si trae: \l'=M (lr PPERIC UE RZ EU e RE si CRE IR E VYy (pete piSi Sii ossia, ricordando la (25): (26) Al'=Mua(C+T) + (C++ (MC) FA (MCT Le curve ["... ‘si esprimono mediante la base data colle relazioni identiche: ra ++ rr) Eee Rei); sicchè indicando con A' il discriminante dell’insieme (MM... 1), grazie alla for- mola (23), avremo: (27) KA — A. perchè attualmente il determinante A è espresso da: (1 Ash dai ... Mu | |0 1 0 sa 0 | A=|0 0 1 cea — ig 30 FRANCESCO SEVERI Finora abbiamo considerato il caso che i numeri u u;, sieno positivi; se uno o entrambi son negativi si definirà la T' mediante la relazione: Peuf+ul'+L, ove L è una curva a valenza zero appartenente ad un sistema lineare così ampio, che esistano curve corrispondenti al simbolo u, + ul'+ L. La (26) sarà sosti- tuita dalla: (26') M= URUS * 1) “n u(P, = Fr) diri (L, "lr L,)] " (1° ann De Ela F,) Gia pela Pra ed anche in tal caso il discriminante A’ del gruppo (F' M”...F') sarà legato a A dalla (27). La (27) ci dice anzitutto che A'=-0 e quindi che l’insieme (1 T” ... F') si può prendere come base invece di (T' " ... 1%), e inoltre ci dice che \° è un divisore di A. Trattiamo ora la base (M'["...F') come la base iniziale; avremo un’altra base il cui discriminante A” terrà una successione di numeri interi diversi da zero: in valore assoluto è minore di A'. Così proseguendo si ot- AVATAR, di cui ciascuno ha valore assoluto minore del precedente. Dunque la successione avrà un ultimo termine A° e la base corrispondente sarà una dase minima. È facile dimostrare che: Tutte le basi minime hanno lo stesso discriminante. Difatti se A A' sono i discriminanti di due basi minime, in virtù della (23) avremo due relazioni del tipo: ATNZZA . A°=NZAI aaa ata : . : A' fe 5 ove A A' son numeri interi. Ora la prima dice che il rapporto 7" non è inferiore ad 1, la seconda che lo stesso rapporto non è superiore ad 1, dunque verrà: ossia: Il procedimento che abbiamo indicato per la riduzione alla base minima, dice di più che: I discriminanti (== 0) delle varie basi hanno per massimo comun divisore il discri- minante di una base minima. 18. Teorema di Bézout sopra una superficie con due fasci unisecantisi. — Espres- sioni del grado e del genere di una curva tracciata sulla superficie stessa. — Abbiamo SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECO, 31 altrove avuto occasione di chiamare teorema di Bézout sopra una superficie, un teo- rema analogo a quello che ci apprende il modo di calcolare il numero dei punti comuni a due curve piane. Per una superficie algebrica qualunque la questione si può porre così: Definire un sistema di caratteri di ogni curva tracciata sulla super- ficie, in guisa che il numero dei punti comuni a due tali curve si esprima soltanto mediante i caratteri della superficie ed i caratteri definiti delle due curve (*). Oltrechè sul piano e sulle superficie razionali, il teorema di Bézout si conosce sulle rigate, come risulta dalla formola ritrovata al n° 14, sulle superficie generali nel loro ordine, come si desume dalle ricerche di NérHER (**), sulla superficie di Kummer e sulle superficie iperellittiche, come si rileva da un teorema di PorncarÉ sul numero degli zeri comuni a più funzioni © di dato ordine (***). Qui ci proponiamo di dare il teorema per le superficie con due fasci unisecantisi. Sia ('...F una base del sistema di tutte le curve tracciate sulla superficie Y con due fasci unisecantisi, ed in relazione alle curve di questa base conserviamo le notazioni introdotte al principio del n° precedente. Data su / una curva qualunque L di indici a 8, essa si esprime mediante la base data, con la formola: (28) \L+MCf+..+XP=MZL+L)+AKu(/+MM+.. Segando con l* i due membri di questa relazione, avremo: Mit Yii + ta + fia =) (a Bi + 8 d) 3P M (a, B; + Bi 0) si eso Cet leg ove Y rappresenta il numero dei punti comuni ad L e T*. Se si pone: cc=0B+Bo,—Y,, verrà: (29) Ac: + M ci + da Cad. Pica =0. Sia ora L' un’altra curva di indici a'8' tracciata su 7, e sia y/ il numero dei punti in cui essa incontra l'. Avremo similmente: (30) N' ci 4h cr de cit. +Nog=0, ove si è posto: ci = a' Bi 35 B' ae vi Seghiamo con L' i due membri della (28) e rappresentiamo con / il numero dei punti comuni ad L, L'. Verrà allora: AL +MY:{ +...+Mr{ =AM(a8'4+ Ba) +A, (a; BR) ossia: (31) XNI=X\ (a B'+ Ba") + co + Nscg +... +N cel. (*) Cfr. la mia Memoria, Sulle intersezioni delle varietà algebriche, ecc., “ Memorie della R. Accad. di Torino ,, (2), t. 52 (1902); n° 26. (*#*) Cfr. Nòraer, Zur Grundlegung der Theorie der algebraischen Raumeurven. “ Berliner Abhand- lung , (1882). (***) Vedi la Memoria citata di G. Humsert, Théorie générale des surfaces hyperelliptiques. © Journal de Math. ,, (4), t. 9 (1893). 32 FRANCESCO SEVERI Moltiplicando i due membri di questa per \', eppoi profittando delle (30), ot- terremo: Aali= MN (ap' + Ba') — X Cade, i,h dalla quale, giacchè \\' #0, si trae: È ' 1 LÀ (31 ) e a” + pa = DE 2 catia 5 In particolare se la base (F'...T‘) è minima Xe N° saranno uguali all’unità, e quindi : (31") I=ap'+ pa' RE Cad. La (31') si può porre sotto una forma diversa facendoci comparire invece delle \, \' i numeri c;, c/, che hanno un significato geometrico più netto. Poichè le # equazioni (29) e la (31) son soddisfatte per valori non tutti nulli delle X X, ... \,, che figurano in esse linearmente e omogeneamente, avremo: aBtfa' —I ci... e; | Cc C11 «0° Cu | Cg Coi +... Co 30) , \ (671 Cir e. Cu ossla: O ce Ch : 5 (671 Gioco Goo (ag + pa — DA + i Ci (Ginosa 47 dalla quale se A=-0, si rileva: (32) I=ag' + fa — + E Apncion, ove 4,, rappresenta il subdeterminante di c,, nel discriminante A. Il teorema di Bézout sopra la superficie F_ con due fasci unisecantisi, è espresso dalla formola (31') o dalla (32). Il grado (virtuale) v della curva L sarà espresso evidentemente da una qua- lunque delle formole: | Ve OASI x ih (33) i | v=206- 1rA,ca, che si ottengono dalle (31’), (32) supponendo L' coincidente con L. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 35 Il genere (virtuale) p di L si può ricavare direttamente dalla (28), oppure dalla (15) sostituendoci una delle espressioni (33). Così trovasi: 1 | p=(a—1)(—1)+ Bo: +apr— gp Z calda (34) < | o=(a—-1)B—1)+Bpi+ op: i Z Anci 19. Caso di una superficie con due fasci unisecantisi razionalmente identici. — Fra le superficie con due fasci unisecantisi sono particolarmente notevoli quelle che posseggono due fasci razionalmente identici. In questo numero ci occuperemo di tali superficie, applicando ad esse i risul- tati ottenuti nel caso generale. Sia dunque / una superficie coi due fasci | X,|,{X,| razionalmente identici di generi p; = pa = p: i suoi punti possono porsi in corrispondenza biunivoca colle coppie di punti di due curve coincidenti, ossia colle coppie di punti di una curva C, ove si considerino come diverse due coppie che differiscono per l'ordine. Ogni cor- rispondenza 7 fra i punti di C sarà rappresentata su / da una curva 7; in parti- colare l'identità sarà rappresentata da una curva X unisecante le X, e le K,, In generale la C non ammette trasformazioni birazionali in sè stessa, e quindi su F non ci son generalmente altre curve unisecanti le K, e le X, all'infuori della K; se però esistono trasformazioni birazionali di C in sè stessa, queste son rappresen- tate su / da altrettante curve come la £, ed in tal caso è evidente che si potrà porre fra i punti di / e le coppie ordinate dei punti di una curva, una corrispon- denza tale che una prefissata di quelle curve unisecanti rappresenti l’identità. Le corrispondenze a valenza 1 (positiva, negativa o nulla) son rappresentate su F da curve che diremo a valenza y. Sia T una curva a valenza Y di indici a, f. Dicendo allora 7,' il gruppo delle X, che passano pei punti ove la curva K,' sega 7, 7,' il gruppo delle X, passanti pei punti ove K," sega 7, e K/,K,' le X, che passano rispettivamente pei punti ove X è tagliata da X,', K."", avremo: Ji) = i: 7 # I° “a ve, donde, in virtù delle considerazioni svolte al n° 15, si trae: (85) T+yK=(T.+T)+1(K+ E). Notiamo qui incidentemente che se si considerano i gruppi segati sulla iden- tità K dalle curve che figurano in questa relazione, sî ottiene nuovamente il teorema dimostrato al n° 8 ed il principio di corrispondenza che da esso discende. Dalla (35) si ricava facilmente il grado v di 7 in funzione di a, 8, y. Difatti se sì segano con 7 i due membri della relazione stessa, viene: veb-ru=2a0aB+vr(c+R), Serie II. Tom. LIV. E 4 FRANCESCO SEVERI ove « denota il numero dei punti uniti della corrispondenza rappresentata dalla curva 7. Giacchè: u=a+B+2tp, avremo : (35') v=2(0B— rp). In modo analogo si vede che il numero dei punti comuni a 7 ed alla curva 7” di caratteri a’, 8', y', è espresso dalla formola: a8'+Ba'—2Yvy'p. Il genere p di 7 si otterrà dalla formola (15), sostituendoci il valore ora tro- vato di v: (35") PETRI Se i due fasci unisecantisi sono a moduli generali o, ciò che è lo stesso, se la curva C è a moduli generali, su essa non vi saranno che corrispondenze a valenza (*), e quindi sulla / non si troveranno altre curve che quelle dotate di valenza. Si può dunque enunciare il teorema: Sopra una superficie con due fasci umisecantisi |K,|, |K,|, razionalmente identici ed a moduli generali, tutte le curve si ottengono con operazioni di somma e sottrazione a partire dai due fasci e da una curva K unisecante le K, K,. Più precisamente: Data una curva 7 esiste un intero Y, positivo, negativo o nullo (valenza di 7°), tale che 7 appartiene totalmente al sistema lineare: ESE Sh) sia af (185: 3P RK) E if @ [È ove K," K, sono due qualunque curve dei due fasci, e 7 (o 7’) denota il gruppo delle X, (o K,) passanti pei punti comuni a 7 ed alla K/, (o K;). Se p è il genere dei due fasci, a 8 gli indici di 7, il grado ed il genere di questa curva sono espressi dalle formole (35'), (35"). Se poi i due fasci non sono a moduli generali, esisterà un numero finito (non superiore a 2p?) di curve tali che applicando ad esse ed alle curve dei due fasci le operazioni di somma e sottrazione, si ottengono tutte le curve di /. Osserveremo per ultimo che X dà luogo su / ad un'involuzione quadratica ®', ove si chiamino omologhi due punti di F quando sono le intersezioni di due coppie di curve dei due fasci che projettano gli stessi due punti di X. La inversa di una corrispondenza che sia rappresentata dalla curva 7, è rap- presentata dalla curva T° coniugata di T' nella involuzione ®', ossia dalla curva che contiene i coniugati dei punti di 7. Sicchè le corrispondenze simmetriche son rappresentate da curve mutate in sè dalla involuzione, o come anche si dice appartenenti all’involuzione. (*) Hurwirz, loc. cit., $ 2. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 35 $ 2. — Le superficie con un sistema algebrico d’indice 2 e grado 1. 20. Generalità. — Curve a valenza. — Sia ® una superficie che rappresenti senza eccezione le coppie non ordinate dei punti di una curva di genere p (*). Le coppie dei punti di C delle quali fa parte un punto fissato, son rappresentate su ® da una curva H; sicchè ai punti di C vengono a corrispondere o! curve H, razio- nalmente identiche a C, le quali costituiscono un sistema algebrico X d’indice 2, cioè tale che per ogni punto di ® passano due curve H, e di grado 1, cioè tale che due sue curve si segano in un punto. — Viceversa è chiaro che ogni superficie con un sistema algebrico d’indice 2 e grado 1, rappresenta le coppie (non ordinate) dei punti di una curva. La superficie ® è riferibile alla superficie / che rappresenta le coppie ordinate dei punti di €, in una corrispondenza algebrica (1, 2), poichè ogni coppia di punti di C dà luogo a due coppie ordinate diverse, e in questa corrispondenza ai punti di ® corrispondono su / le coppie dell’involuzione ®’, che consideravamo alla fine del precedente $. Ogni corrispondenza simmetrica 7’ fra i punti di ©, è rappresentata da una eurva 7 tracciata su ®, e viceversa. Se sulla C è data una corrispondenza non sim- metrica S, e si considerano le coppie dei punti omologhi in questa corrispondenza prescindendo dall'ordine, esse vengono rappresentate dai punti di una curva di ®, la quale però deve riguardarsi come immagine della somma S+ S7 di S con la sua inversa. La corrispondenza identica viene rappresentata su ® dalla curva A, inviluppo del sistema , ossia dal luogo dei punti di ® dai quali escono due H coincidenti. Per ogni curva 7 di ® ci sono da considerare: il genere p, il grado v, l'indice a, ossia il n° delle intersezioni di 7° con una H, e il numero « dei punti comuni a 7° e alla curva XK, (n° dei punti uniti della corrispondenza di cui 7 è immagine). Questi quattro caratteri son legati dalla relazione: 4a(p—1)+2v=4(p—1)+w (#9). Nel seguito il gruppo delle curve di X, diverse da una H fissata, che escono dai punti in cui questa taglia .7, si indicherà con la lettera stessa 7 dotata del- l’indice x. Una curva di ® dicesi a valenza Y quando rappresenta una corrispondenza sim- metrica a valenza Y. Sia 7 una tal curva. Allora trasportando sulla superficie ® la proprietà carat- teristica delle corrispondenze a valenza (n° 4), e indicando con 7, (o 77’) il gruppo delle curve di X uscenti dai punti in cui 7° vien segata da H (o da H') si può dire che i gruppi di elementi di XZ, T,.+H e 7, + rH', sono equivalenti entro all’ente (*) Per le citazioni relative a questa classe di superficie, ved. l'introduzione alla presente Memoria. (**) De-FrancHIS, loc. cit., n° 18. 36 FRANCESCO SEVERI algebrico 00! X. Ma siccome una serie razionale di curve di un sistema algebrico, e contenuta totalmente in un sistema lineare (*), avremo: (36) T,+xH=T/4xH' ove il segno = ha il significato che già precisammo al n° 13. Alla curva 7 corrisponde sulla superficie / delle coppie ordinate (ved. al n° 19), una curva S, a valenza Y, appartenente all'involuzione ®'. Sicchè continuando ad usare le notazioni del n° 19, avremo: S+YK=(5 +5) +16 +4K). Se H è la curva di Y omologa di X, nella corrispondenza (2, 1) tra F e ®, ed H' la curva omologa di K,, alla curva $, (o S,) corrisponderà la curva 7, (o 7) costituita dalle ulteriori curve di X uscenti dai punti comuni ad H (o H')e a 7. Siccome nel passaggio da Y a ® a curve equivalenti su / corrispondono su ® curve equivalenti (**), e d'altronde alla S corrisponde la 7° contata due volte, perchè ogni punto di 7° proviene da due di S, avremo sulla superficie ®: EI ee he ossia, in virtù della (36): (37) 2T4yK,=2(T,4xH). In particolare se 7 è a valenza zero, dalla (36) rileviamo: 7, = 7)’, e dalla (37): 22005, La prima di queste si può anche enunciare dicendo che una curva a valenza 0 sega su ogni curva di X un gruppo che equivale a quello segato da un conveniente insieme di curve H: viceversa è chiaro che ogni curva soddisfacente ad una tal con- dizione, come p. es. una curva che appartenga al sistema lineare individuato da un gruppo di curve H, è a valenza zero. Dalla seconda relazione non si può a priori dedurre che 7 e 7, sono equivalenti, ma noi proveremo che nel caso attuale questa deduzione è lecita, dimostrando che ogni curva a valenza zero tracciata su ® appartiene ad un sistema lineare individuato da un gruppo di curve di >. A tal uopo ci occorreranno due lemmi che andiamo ad esporre: Lemma I. — La dimensione del sistema lineare (completo) che contiene totalmente I. o : 7 DRS una serie lineare completa di dimensione r, formata con le curve di X, è ui Sieno infatti H, H, ...H, le curve di un gruppo della gi completa che si consi- dera entro X. Se r=0 ogni curva del sistema |DI=|Hr-+ Hs + PH] (*) Cfr. Exnrrques, Un'osservazione relativa alla rappresentazione parametrica delle curve algebriche “ Rendiconti di Palermo ,, t. 10 (1896). (#*) Ved. la mia Nota, Sulle relazioni che legano i caratteri invarianti di due superficie in corrispon- denza algebrica. “ Rendiconti del R. Istituto Lombardo ,, (2), t. 36 (1903); n° 2. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. Si dovrà segare su una qualunque H un gruppo identico a quello segato dalla curva composta H, + ... + H,, e quindi il sistema |D| si ridurrà a questa sola curva. Supponiamo ora pa il gruppo Hi, ... H,--, individui entro Z una serie completa 00°, ma che il gruppo H, ... H, individui una g*. In quest’ipotesi calcoliamo la dimensione R del sistema | D|. Hugo sega sopra una H di Z una serie 00!, perchè ogni H è ri- ferita prospettivamente alle curve di X, e siccome facendo avvicinare indefinitamente H ad H,, quel riferimento prospettivo permane, la dimensione della serie segata da | D| su H, non potrà differire da 1. D'altronde l’unica curva del sistema |D| che con- tenga come parte H,, è quella spezzata in H, ... H,_1, dunque: RT_1—-1=0, ossia: R=2. Supponiamo ora che il gruppo H, ... H,_, individui una 9g! e che il gruppo H,...H, individui una g?. Considerando come prima la serie segata su H, dal sistema |D|,si vede che essa è 00°. Ma i resti delle curve D passanti per H, costituiscono il si- stema lineare |H1 +... + H,_;|, che per quanto precede è di dimensione 2, dunque indicando al solito con È la dimensione di | D|, avremo: R_--2-1=2, ossia: R=B5. Così proseguendo, servendosi dell’induzione completa, si trova che la dimensione del sistema |H1 +... + H,|, RT r È la dimensione della serie individuata dal gruppo Hi; ...H,, è espressa da —— ala 3) (4), 92 Lemma II. — Il sistema lineare che contiene totalmente una serie lineare non spe- ciale di curve di X, è regolare. Dal fatto che ogni curva rappresentante le coppie di punti di un gruppo varia- bile in una g93,-» canonica di C, è una curva canonica di / (**), segue subito che su una H ogni curva canonica sega un gruppo speciale di 2p —3 punti, e quindi che ogni sistema lineare speciale sega su H gruppi speciali. Se ne deduce che il sistema |D|=|H1+..+H,|, che contiene totalmente la 9, non speciale, è esso pure non speciale. Calcoliamo ora la dimensione virtuale di questo sistema, data dal teorema di RiemanxN-Rock (***). Il grado v di /D| è uguale ad »?, il genere p è uguale a np— +e N 1, come si vede ricordando che le varie parti della curva composta H, + ... +H,, s'incon- trano a due a due in un punto; e il genere aritmetico P, di ® è espresso da: p=P0=1_p(*), (*) Un ragionamento analogo si trova nella Nota citata del Dott. Maroni, pel caso di una super- ficie con due fasci unisecantisi. (**) Ved. la mia Nota, Sulle superficie che rappresentano le coppie di punti ....; n° 5. (***) Cfr. CasreLnuovo, Alcune proprietà fondamentali dei sistemi lineari di curve tracciati sopra una superficie algebrica. “ Annali di Matematica ,, (2), t. 25 (1897); n' 34 e segg. (*) Cfr. la mia Nota Sulle superficie .....; n° 6. 38 FRANCESCO SEVERI Siechè: VSS Me leali 1) Giacchè per ipotesi la g, è non speciale sarà n= + p, e quindi sostituendo nella precedente uguaglianza avremo: vp Pig e ea) Dunque la dimensione virtuale di |D| coincide con l’effettiva, e perciò | D| è regolare. E passiamo infine alla dimostrazione della equivalenza di 7 e 7,. Anzitutto si osservi che, come già accennammo, su una curva H' di X le due curve segano gruppi equivalenti. Difatti sopra H' le due curve (composte) 7, e 7,’ (ove 7,’ rappresenta il gruppo delle H che passano pei punti comuni ad H' e a 7) segano due gruppi equivalenti; ma su H' la 7 e la 7,' segano lo stesso gruppo, dunque 7 e 7, segano su H' gruppi che si equivalgono. Ciò posto supponiamo che la serie individuata da 77, entro Z, sia non speciale, del che potremo esser sicuri se p. es. il numero a delle parti che compongono 7), è maggiore di 2p— 2. In tale ipotesi non solo il sistema | 7,|.sarà regolare, ma il sistema | 77} non potrà essere speciale, perchè staccherà su ogni H gruppi non spe- ciali. Dal momento che | 7| ha gli stessi caratteri (grado e genere) di | 7.|, come si rileva, p. es., dal fatto che 27 =27,, la dimensione virtuale di || sarà uguale alla dimensione effettiva di |7!, e quindi | 7| avrà dimensione effettiva non infe- riore a quella di | 7,|. Ora si osservi che | 7,| sega su una H generica una serie completa (non spe- ciale), e che | 77] sega sulla stessa H gruppi di questa serie. Ne viene che il sistema residuo di H rispetto a | 7| avrà certo dimensione non inferiore a quella del sistema residuo di H rispetto a | 7,|. La serie individuata entro 2 da una 7, — H, sarà non speciale, perchè stac- cando un elemento generico da una serie non speciale entro un ente 001, si ha una serie non speciale. Siccome inoltre i due sistemi residui segano su ogni H gruppi equivalenti, essi si troveranno nelle identiche condizioni dei sistemi primitivi. Ne viene che se da |7, — H| si può ancora sottrarre una H, si potrà togliere anche da |7 — H|, e i sistemi residui si troveranno nelle stesse condizioni dei sistemi IT] e |T.|; e così proseguendo. Dopo un numero finito di sottrazioni si arriverà ad un sistema |7,—sH| dal quale non è più possibile togliere altre curve di x. Perchè ciò accada bisogna evi- dentemente che il sistema completo | T.—sH| si riduca ad una sola curva composta con curve di X. Siccome ogni curva 7 — sH deve segare sopra una H qualsiasi un gruppo equi- valente a quello segato da 7,—sH, e d'altronde questo gruppo individua una 9° completa, la 7,—sH ed una 7--sH, taglieranno ogni H nello stesso gruppo di punti. Dal che si deduce che |7—sH| riducesi alla curva 7,—sH, e quindi che pelo SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC, 39 Ci resta da considerare l'ipotesi che la serie individuata da 7, sia speciale. In tal caso aggiungeremo a questa serie una seconda serie individuata da una curva S, composta con a' curve H, in guisa che a + a' sia maggiore di 2p—2. La curva generica S del sistema |S,| sarà a valenza zero, e quindi la curva S+ 7 sarà pure a valenza zero. Poichè la serie individuata da S,+ 7, è non speciale, avremo: Se SL, dalla quale, tenendo conto che S= S,, si trae ancora: T=T, ci dd 21. Dipendenza fra curve tracciate sulla superficie ®. — Sieno [' F"...* curve tracciate su ®. Diremo che esse sono dipendenti o che una di esse dipende dalle rimanenti, quando si posson determinare dei numeri interi \, ...),, non tutti nulli, tali che: (38) 04. +MSATA Art, ove [i rappresenta il gruppo delle curve del sistema X che passano pei punti comuni a F' e ad una H fissata. Se Fi denota il gruppo delle H passanti pei punti comuni a l' e alla curva H, dalla (88) si rileva: CS SR i SS a la quale ci dice che le curve ['...* rappresentano % corrispondenze (simmetriche) fra i punti di C, dipendenti secondo i numeri (A, ...M) (n° 9). Viceversa si vede facilmente, seguendo una via analoga a quella del n° 15, che più corrispondenze (simmetriche) dipendenti secondo (A, ... )), son rappresentate su ® da altrettante curve dipendenti secondo gli stessi numeri. Talvolta, per brevità, la (38) si esprimerà dicendo che la curva (virtuale) Ml... + Mr" è a valenza zero. A proposito di questa locuzione si posson ripetere le osservazioni già fatte nel caso analogo, al n° 15. Dimostreremo ora che: Sopra la superficie ® è possibile trovare un numero finito di curve indipendenti, tali che ogni altra curva di ® sia dipendente da esse. Indichiamo con G l'insieme di tutte le corrispondenze simmetriche esistenti sulla curva C. Dal teorema fondamentale del n° 11, segue che nell'insieme G esisteranno certe # corrispondenze indipendenti T'... l°, tali che ogni altra corrispondenza l di G sia dipendente da quelle. Poichè la dipendenza fra più corrispondenze di G, si rispecchia nella dipendenza fra le curve di ® che rappresentano quelle corrispon- denze, le curve F'...F‘ di ©, immagini delle suddette # corrispondenze dell'insieme G, soddisfaranno alle condizioni dell’enunciato. Il gruppo delle curve N’ ...' si chiamerà una dase pel sistema di tutte le curve tracciate sopra ©. 40 FRANCESCO SEVERI Se le corrispondenze l... ' furono scelte in guisa che indicando con F un’altra corrispondenza qualsiasi di G, le ff"... risultino dipendenti secondo i numeri (1); ...,), ove le X sono interi convenienti, la dase (M'...F) si dirà minima. 22. Discriminante di una base. — Teorema di Bézout. — Espressioni pel grado e pel genere di una curva tracciata su ®. — Le considerazioni analoghe a quelle che facemmo ai n! 17, 18 per la superficie /, si posson ripetere per la ®, modificando solo la definizione del discriminante di una base. Perciò adesso ci limiteremo ad enunciare i resultati ai quali conducono le considerazioni stesse. Se F'...F' son curve appartenenti a ®, di indici rispettivi 0, 03... 0, e se Tin esprime il numero dei punti comuni alle curve F*T*, si chiamerà discriminante del gruppo (F'...‘) il determinante simmetrico: | C11 C19 ei iloigre. Cui ove si è posto cy = 0; 0, — Yi. Quando le curve V' ...V' son dipendenti il discriminante A si annulla. Supponiamo che le curve TT'...IT° costituiscano anch'esse una base e che le TT: F'...F° risultino dipendenti secondo i numeri (A, };; ... \): allora il discriminante A' della base (TT'... TT‘) risulta legato a A dalla relazione: (AA... A) AAA, ove A è il determinante delle \,,. Da questa si rileva che se si annulla il discriminante di una base, lo stesso accade dei discriminanti di tutte le altre. Noi faremo l’ipotesi (eventualmente limi- tativa) che i discriminanti delle basi non sieno nulli. Allora si può dire che Le basi minime hanno lo stesso discriminante, che è il massimo comun divisore dei discriminanti (#= 0) di tutte le basi. Sia ZL una curva d’indice a dipendente dalla base (N°...) secondo i numeri (XA), ... ), e sia y; il numero dei punti comuni ad L e alla curva F*. In modo ana- logo per un’altra curva L’ tracciata su ®, introduciamo i caratteri a’, (A \}' ...X/) e 1. Allora il numero / dei punti comuni ad L, L' è espresso dalle due formole: 1 T=ao" — = Zc4\;}y X\ LA ih h DLE r A > Ancor i,h Mi= fog /2= nella seconda delle quali A), rappresenta il subdeterminante dell’elemento c,, nel discriminante A, e c; cy son definiti dalle uguaglianze: = QI , co= 404, — Vi, co=d di. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 41 Il grado v e il genere p della curva L vengono espressi da: 1 1 , ti gli ca IE and La vi=i0. x 2 cinhi Ma = 7 x Ain Ci Ch , i,h 1 1 1 p=a(p—1)+ja—ju— se 2 cn + 1l=a(p—1)+ apo - 5A Ancen+ 1, i,h ove « è il numero dei punti comuni ad L e alla curva K,, inviluppo di X. Natu- ralmente introducendo i caratteri della curva XK, rispetto alla base (M'...M) e Vin- dice di X,, che è uguale a 2, perchè le curve di X toccano il loro inviluppo, dalla precedente formola si elimina la u. Ma l’espressione che così si ottiene per p è com- plicata e riteniamo inutile trascriverla. Osservazione. — Nelle formole (34) che davano il genere di una curva tracciata su /, non entravano caratteri della curva immagine dell'identità, perchè le curve canoniche di 7, risultando dall’addizione di gruppi canonici dei due fasci unisecantisi, erano a valenza zero. Invece nella formola che dà il genere di una curva tracciata sulla superficie ®, che consideriamo attualmente, compariscono caratteri della curva A, immagine del- l'identità, perchè le curve canoniche di ® sono a valenza 1 (come risulta dal fatto che fra esse ci sono le immagini delle 93,» canoniche di Cl), e quindi esse non si compongono direttamente con le curve di X, ma sono legate a queste da una rela- zione in cui entra anche XK, (ved. al n° 20). 23. Caso della superficie che rappresenta le coppie (non ordinate) dei punti di una curva a moduli generali. — Non vogliamo passare sotto silenzio il caso in cui il sistema Z, contenuto in ®, è un ente co! a moduli generali, perchè applicando a questo caso le considerazioni svolte per una ® qualunque, si ottengono risultati che, per la loro semplicità, riescono interessanti. Se il sistema X è a moduli generali, ossia se la curva © da cui nasce la super- ficie @, è a moduli generali, pel teorema di Hurwirz, sopra ® non sì troveranno che curve a valenza. Dunque, secondo il n° 20, se 7 è una curva di ® esisterà sempre un intero Y (positivo, negativo o nullo), tale che: (89) 2T+yK,=2(T,+1H). Questa relazione si può enunciare dicendo che la curva K,, inviluppo del sistema E, è una base per la totalità delle curve tracciate su ®. Però, al contrario di quanto accadeva nel caso della superficie / rappresentante le coppie ordinate dei punti di ©, l’immagine dell’identità non costituisce attualmente una base minima. Ma è facile vedere che una curva T immagine di una corrispondenza simmetrica a valenza uno, può assumersi come base minima. Difatti la corrispondenza 7 a valenza y e la corrispondenza F a valenza 1, sono dipendenti secondo i numeri (1, — r) (n° 9), e quindi (n° 21) tra le 7, passa la relazione: (40) T_x=T.=-yf,. Serie II. Tomo LIV. ni 42 FRANCESCO SEVERI Si può prendere come curva l quella che rappresenta le coppie di una qual- siasi g,: in particolare, se p > 1, possiamo assumere come base minima una curva canonica. Sicchè in tal caso tutte le curve della superficie ® si ottengono con le opera- zioni di somma e sottrazione dalle curve del sistema X, d’indice 2 e grado 1, e da una curva canonica. Dalla (39) o dalla (40) si trae che il numero dei punti comuni a due curve 7, 7” di indici a, a' e di valenze Y, Y', è: Cai In particolare il grado v di 7° è espresso da: v=a?—Y?p, e quindi il genere p da: — 1 1 e i a, I risultati precedenti interpretati nel caso in cui la ® è una superficie iperel- littica generale (p= 2), ne forniscono proprietà, che credo nuove. $ 3. — Esame particolare delle superficie che rappresentano le coppie, ordinate o non, dei punti di una curva ellittica. 24. Determinazione effettiva di una base minima sulla superficie che rappresenta le coppie ordinate dei punti di una curva ellittica singolare. — Esempio numerico. — Come applicazione delle considerazioni generali svolte nei $$ precedenti (della Parte II?), studieremo dapprima le superficie che rappresentano le coppie ordinate dei punti di una curva ellittica singolare, e poi passeremo ad alcune osservazioni sulle superficie che rappresentano le coppie non ordinate (rigate ellittiche). La esistenza su C di qualche corrispondenza singolare, porta la esistenza di qualche curva priva di valenza sulla superficie Y (coi due fasci ellittici unisecantisi e razionalmente identici, | X,!,|/,|) che rappresenta le coppie ordinate dei punti di C. Si tratta di caratterizzare geometricamente, in questo caso singolare, una base (minima) di tutte le curve tracciate su Y. Dicendo (1, t) i periodi dell’integrale normale di 1% specie « disteso sulla 0, ad ogni corrispondenza fra i punti di C verrà associata una soluzione in numeri interi (4, 9g, H, G) della equazione: (41) (+ 99)t= H+ Gra. Le corrispondenze a valenza provengono dalle soluzioni identiche di quest'equa- zione, cioè dalle soluzioni: hai AZI/EEZIO (5): (*) Hurwirz, loc. cit., $ 2. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 43 Per l'ipotesi fatta che C sia singolare, esisterà almeno una soluzione non iden- tica (4'g' H' G') della (41). Supponiamo che la nostra curva C sia una cubica piana ellittica di equazione: niirika xa=4r _ I2%r — 3: e che sia p(u|1,t) la funzione p di WerersTRASss ad essa relativa, dimodochè la rap- presentazione parametrica di © sarà: a=plu), x=p'(u). Allora se si pone: m—=h'+g'"t, in virtù della relazione: (42) (h'+4+g')it=H'+G't, potremo dire che la p(w|1,t) possiede il moltiplicatore complesso n' (*), ossia che p(m'u) è funzione razionale di p(u) del grado a = G'h' — gy'H'. Segue da ciò che ponendo: (43) u — as, ad ogni punto x(x,xs) della curva C, e quindi ad ogni valore di u, corrisponde un valore di u' e quindi un altro punto y(Y:4») della curva; e viceversa che ad un punto y, e quindi ad un valore di w', rispondono a valori (incongrui) di w, e quindi a punti x. La (45) definisce dunque una corrispondenza algebrica singolare (a, 1) fra la serie di punti %, y. Questa corrispondenza sarà rappresentata su / da una curva 7, unisecante le K, e a-secante le /C,: il suo genere sarà dunque uguale ad 1, e il suo grado sarà uguale a zero (ved. la formola (15)). Per rappresentare algebricamente la corrispondenza 7 basterà determinare due corrispondenze a valenza (positiva o nulla) 8°, S'”, ciascuna delle quali contenga come parte 7: il che si fa in infiniti modi. Ragionando per chiarezza sulla /, si potrà, p. es., proceder così: Si determinino genericamente due sistemi lineari |.8"{, |.S'|, di cui ciascuno sia la somma di serie lineari dei due fasci unisecantisi, e tanto ampii che entrambi contengano parzialmente la 7. Allora questa curva si potrà definire come l'intersezione di due curve a valenza zero ben determinate, all'infuori, even- tualmente, di un numero finito di punti comuni alle parti residue. Poichè ogni cor- rispondenza a valenza si rappresenta con una sola equazione fra i punti x, y di 0, le coppie dei punti omologhi nella 7, resteranno definite dal fatto di soddisfare con- temporaneamente a due equazioni, all'infuori forse di un numero finito di soluzioni estranee. Nel caso attuale è facile scrivere le equazioni di due corrispondenze S', S', a (*) Cfr. ad es. Brancani, Lezioni sulla teoria delle funzioni di variabile complessa e delle funzioni ellittiche. Pisa, Spoerri (1901); pag. 525 e segg. 44 FRANCESCO SEVERI valenza, che contengano come parte la 7. Difatti le coordinate y, y, del punto y corrispondente ad x nella 7, sono espresse da: y=plu'),, y=p'(0'), dove «' è legato al valore dell’integrale « nel punto «, dalla relazione (43). E poichè p(u') è funzione razionale di p(u), avremo: nella quale f, pg son polinomii. L'equazione: yP(r) — f(e) =0, rappresenta una corrispondenza S' a valenza, fra i punti della curva C, e la S' con- tiene come parte la 7. Derivando i due membri della relazione: f(pu) P(pu)” p(u')= avremo: dove y e x son polinomii. Sicchè un’altra corrispondenza S" a valenza, contenente come parte la 7, sarà rappresentata dall’equazione: Ya X (212) — W(2129) = 0. Sotto forma trascendente la 7 si può rappresentare con la sola equazione: (44) O(u-—n'u)1,=0(#). Ad ogni corrispondenza singolare viene associato un moltiplicatore complesso della funzione p, e viceversa ad ogni moltiplicatore complesso si può associare (in infiniti modi) una corrispondenza singolare fra i punti di C. Così se m’ è un molti- plicatore complesso, basterà scrivere la (44), per avere la rappresentazione di una corrispondenza singolare ad esso associata. Siccome ogni altro moltiplicatore complesso t della p è legato a t' da una rela- zione del tipo: \m+\,t+\,=0, ove X}, \, son numeri interi, la corrispondenza già costruita 7° (associata al molti- plicatore ') ed una corrispondenza qualsiasi associata al moltiplicatore 1 (cioè a (*) Hurwirz, loc. cit. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECC. 45 valenza — 1), costituiranno una dase di tutte le corrispondenze esistenti sopra C. Conviene scegliere come corrispondenza associata al moltiplicatore 1, l'identità A. Ma avendo scelto arbitrariamente per costruire la 7, uno degli infiniti molti- plicatori complessi della p, la base (7, /0) non sarà in generale minima. Vediamo dunque di procurarci con sicurezza una base minima. Perciò occorrerà applicare il noto procedimento che permette di costruire un moltiplicatore complesso elementare, conoscendo un moltiplicatore complesso qualsiasi (*). Riprendiamo la (42) e scriviamola sotto la forma: ga+(—G)t-H'=0. Moltiplicando i due membri di questa per un conveniente numero (razionale), sì può sempre ridurre al tipo: Atn+2Brt+C=0, ove A, B, C sono interi primi fra loro. Ricordiamo che la forma quadratica (A, B, C), il cui discriminante è D= AC— B?, dicesi di prima o di seconda specie, secondochè A, C non sono o sono ambedue pari. Orbene si dimostra che se (A, B, C) è di 12 specie n= B+ At è un moltiplicatore complesso elementare, ossia tale che ogni altro moltiplicatore è della forma \,m'"+),, con A, Xx interi; e che se (A, B, C) è di 2° specie, un molti- plicatore elementare è: n'-3 (B+1+ 47. Ponendo: e attribuendo a n" il primo o il secondo valore, secondochè (A, B, C) è di 1% o di 2% specie, avremo la rappresentazione trascendente di una corrispondenza singolare $, di cui un indice è uguale ad 1, e l’altro, a, è dato da: a=D, a=4(D+1) secondochè (A, B, C) è di 1° o di 2° specie. La base (S, K) sarà evidentemente minima. Ritornando alla superficie che rappresenta le coppie ordinate dei punti di C, ne possiamo fissare un modello projettivo, considerando nello spazio a quattro dimen- sioni (%, #3 1 Y») l'intersezione delle due varietà (cilindriche) a tre dimensioni: a =4x1 — 9at1 — Is yi = 4 — IV — Is: (* Branca, loc. cit., pag. 529. 46 FRANCESCO SEVERI Su questa superficie F del 9° ordine i due fasci unisecantisi |X,|, | K,| son segati dai piani generatori dei due cilindri, e sono quindi costituiti da cubiche piane ellittiche; l'identità X è pure una cubica ellittica segata su Y dal piano: xiy=0, ro—y=0. Per scrivere le equazioni della curva S bisognerà ricorrere alla formola effet- tiva di moltiplicazione, che esprime p(m°) come funzione razionale di p(v). Questa formola ci darà l'equazione di una varietà passante per $S; l'equazione di un’altra varietà pure passante per S, si otterrà derivando i due membri della formola suddetta. Ogni altra curva di F_si compone con operazioni di somma e sottrazione a partire dalle curve dei due fasci, e dalle curve S, K. Poichè il numero dei punti uniti di una corrispondenza (a, 8), associata ad una soluzione (4, g, H, G) della (41), è espresso da: a RE (*), il numero dei punti comuni ad S e X sarà uguale ad a+1T-B+B=a+1, se (A, B, C) è di 1° specie, e ad a+1—--(B+1)—(1—B)=a, se (A, B, C) è di 2° specie. Sicchè il discriminante A della base (S, /C) sarà espresso da: nel primo caso, e da: nel secondo caso. Conoscendo il discriminante della base (S, /C) si può calcolare il grado e il ge- nere di una curva tracciata su , e il numero dei punti comuni a due tali curve, in funzione dei loro indici e dei numeri dei punti in cui esse tagliano S, X (ved. line bl3): Esempio numerico. — Non ci tratterremo sopra i più semplici esempii numerici che si potrebbero addurre, cioè quelli relativi ai casi di una cubica armonica o equi- anarmonica (**). Osserveremo solo che in entrambi i casi tutte le curve tracciate su / si potranno ottenere per somma e sottrazione da una curva rappresentante una corrispon- (*) Hurwirz, loc. cit. (**) Le corrispondenze biunivoche di ogni specie sopra una curva ellittica, furono studiate geo- metricamente da Secre nella Nota: Le corrispondenze univoche nelle curve ellittiche. “ Atti della R. Acc. di Torino , (1889). SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECO. 47 denza biunivoca ordinaria, e da un’altra rappresentante una corrispondenza biunivoca singolare, cioè segante in un punto le curve dei due fasci | |, | /C,|, nonchè dalle curve stesse di questi fasci (*). Considereremo piuttosto un esempio un po’ più elevato, studiando la superficie / relativa alla cubica ellittica singolare: ce =4xî — 30rx, — 28 (**). Il rapporto t dei periodi di un integrale di 1° specie, soddisfa in tal caso alla equazione: T+2=0. Siccome questa è una forma quadratica di 1* specie (1, 0, 2), una corrispondenza singolare come la S, si otterrà prendendo: hg H=_—-2, W=0 e sarà rappresentata sotto forma trascendente dalla relazione: u'=iV2 u. La formola di moltiplicazione relativa al moltiplicatore iv 9, è: ES 9 — 2p(i V2.W=pW)+wti: sicchè una prima equazione alla quale soddisfano le coordinate x, xs, Y1 y» delle coppie di punti omologhi nella $S, sarà: (45) 2x + 4x,y+4r,+8y+9=0. Derivando i due membri della formola di moltiplicazione, ricaveremo una se- conda equazione alla quale soddisfano le coordinate dei punti x, y omologhi nella S: (46) 2x3 (21 + 2)? + dil2(c1+-2)yo — rg =0. L'indice a della S non è altro che il discriminante della forma (1, 0, 2), cioèò a= 2. Le equazioni della superficie F appartenente allo spazio S, (#1 x» y1 yes) saranno attualmente: a =A4x3 — 30z; — 28 yi =4yi — 30y, — 28, e la curva S sarà segata su F dalle due varietà (45), (46). (*) La superficie delle coppie ordinate dei punti di una curva ellittica, fu incontrata da Axmarpr come il tipo più generale di superficie con più di due fasci unisecantisi (all'infuori delle superficie razionali). Ved. la sua Nota nei “ Rendiconti dei Lincei ,, (5), t. 11 (1902), 2° semestre. (**) A. proposito di questa cubica ved. il libro già citato del Brancui, pag. 545. 48 FRANCESCO SEVERI Sia F' una curva di indici (a' 8') tracciata su /, e sieno Y}' Yy' i numeri dei punti in cui essa taglia S e l'identità K. Il grado di l’ sarà espresso dalla formola: Ole neri cia | ca 0 72 ove si è posto: ci=a' +28 — yy, co=a' +8'— yy; il genere verrà dato da: o’ B' cRA so + 1 Se poi [” è un’altra curva di F e per questa s’introducono i caratteri a''p" Vil 1a!" ci! co, analoghi a quelli introdotti per [”, il numero dei punti comuni a l' e l”” sarà uguale ad 0 ci Co ! vi cslcs” + 2eg:c, o’ p' _ CIUABI + + ci 4 0 = a’ B% al! B' cai 4 | | ET) SE E così le più importanti questioni relative alle curve tracciate su 7, vengono completamente risolute. 25. Le rigate ellittiche come superficie delle coppie di punti di una curva ellittica. — La varietà co? delle coppie non ordinate dei punti di una curva ellittica C, si può sempre riferire ad una rigata ellittica ®, e viceversa (*). Le generatrici K, della rigata rappresentano le gì di C, e le curve H del sistema di grado 1 e indice 2, x, le quali corrispondono ai punti di C, incontrano in un sol punto le generatrici. Le curve che rappresentano le coppie dei punti delle co? gj contenute in una gi, costituiscono una rete di grado 3, che contiene o! curve composte H + K,. Assu- meremo come fascio | X,| uno dei fasci della rete suddetta. Sia ora 7 una curva qualsiasi segante in B punti le X,, in a punti le K, e in a(=a—8) punti le curve di X. Chiamando K,' XK," K,"' le generatrici che passano pei punti base di | /C,|, avremo per la (17) (n° 14): (47) TABUG PIT K)= TL, ove 7, (o 7,) denota il gruppo delle K, (o K,) passanti pei punti comuni ad una K, (0 Kg esa.T. Vediamo di dedurre dalla (47) il modo di comporre la 7 con le curve del sistema X e col loro inviluppo K,. (*) Segre, Ricerche sulle rigate ellittiche ..... “ Atti della R. Accad. di Torino ,, t. 21 (1886); n° 19. SULLE CORRISPONDENZE FRA I PUNTI DI UNA CURVA ALGEBRICA, ECO. 49 Le tre curve di | | che contengono come parti rispettivamente K,' K," K,'", lasciano come resti tre curve di X, H' H" H'", ciascuna delle quali passa per due dei tre punti base di | K,|. Pel fatto che ogni generatrice rappresenta una corrispondenza a valenza uno, avremo (n° 20): 2K.'+K,=2(7'+H"), 2K/"+K=2W"+H), 2K'"4+K=2H+H", e quindi: 2(K'+K"+K")+3K,=4(H'+H"+H""). Sostituendo nella (47) dopo averla moltiplicata per 2, verrà: (48) 2T-38K,+48(2'+H"- 3 i ; mit i . Pd (**) E noto infatti, che queste vibrazioni sono definite da un'equazione del tipo via A° essendo una costante. Per passare da questa all'equazione (_]f="0 basterà cambiare l'unità di tempo nel rapporto da 1 ad A. 52 GIULIO BISCONCINI 2 In essa l’A. dimostrò, che le traiettorie di un gruppo co! di similitudini e le congruenze rettilinee isotròpe sono le sole congruenze equipotenziali e insegnò, come, per arrivare all’’equazione, cui doveva soddisfare il potenziale lungo queste linee, bastasse aggiungere alle traiettorie della congruenza P1 = Pi(£, 4, 2), Pa = Pale, Y52)G una terza famiglia di superficie Ps = P3(€, 4, 2) indipendente da esse, ed, espresso il A.f in coordinate curvilinee pi, ps, p3, bastasse porre 0 ed eventualmente moltiplicare per un opportuno fattore in modo da 3 eliminare p3. Ora, poichè l'equazione L]f= 0 differisce dall’equazione di Laplace solo per lo scambio della variabile reale = nella immaginaria it, la via che dovevamo seguire, si presentava ben delineata; dovevamo: 1° determinare nel campo x, y, # tutti i sottogruppi reali di quel gruppo, nel quale si muta il gruppo delle similitudini, quando si fa detto scambio; 2° trovare le equazioni delle traiettorie (1) Pi = pi (2, Y t), Po = Pel, Y; t) generate dalle corrispondenti trasformazioni infinitesime, con che avremmo ottenuto le equazioni delle nuove linee coordinate variabili col tempo; 3° determinare l’equa- zione delle vibrazioni dipendenti dai soli parametri p1, pè secondo il processo più sopra indicato. Nel $ 4 abbiamo preso in considerazione il caso, in cui le linee equipotenziali appartenessero a una congruenza rettilinea ed isotròpa e, valendoci di una forma semplice data dal Ribaucour per l’integrale generale di queste congruenze, abbiamo dedotto le equazioni (1), dimostrando {senza eseguir calcoli) come l’ equazione dei potenziali isotròpi si potesse anche riguardare come l’ equazione delle vibrazioni in questione. Infine abbiamo considerato a parte il caso delle congruenze di lunghezza nulla (v. $ 5), che, mentre nel campo 2, y, 2 dovevasi escludere, poteva dare nel campo %, y,t, come infatti ha dato, risultati, che non fossero negativi. Ci sia permesso qui di ringraziare vivamente il Professore Levi-Civita, che, oltre all’averci gentilmente favorito il tema di questo lavoro, ci fu sempre largo di aiuti e consigli. $ 1. — Ricerca gruppale. 1. — K noto che, nello spazio ordinario, l’ unico gruppo, che lasci ferma una curva piana, è il gruppo a 7 parametri delle similitudini, il quale lascia fissa una conica. Scelta questa in modo che in coordinate omogenee assuma la forma a+ y+22=0, 3 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 59 cioè scelto quale ente invariante l'assoluto dello spazio, il nostro gruppo G, risulta definito dalle trasformazioni infinitesime (*): Xf=p, Xf=9, Xf=r, Sf=yr eq, Sf=zp—xr, Sf=%xq— yp, Uf=ap+yg + er, dove p, g,r sono, secondo le notazioni ordinarie, simboli di derivate di una funzione f(x, y, 2) rispetto alle variabili x, y, 2. Se si passa al campo x, y, t mediante lo scambio di 2 in ît (i=Y—1) e si pone df(x,y,t SIMICME pia , s= ont, le trasformazioni infinitesime del gruppo G; assumeranno la forma: Xf=p, fig Ag"; Sf=ys+tq, Sf=tp+ xs, Sf=xg—yp, Uf= xp + yq+ ts e la conica all'infinito, che rimane fissa, sarà reale ed avrà per equazione: C+Ly_-t#=0. Consideriamo ora il gruppo subordinato di G; sopra il piano all’infinito e deter- miniamone le corrispondenti trasformazioni infinitesime, quando sopra questa varietà a due dimensioni si scelga il sistema di coordinate non omogenee definito dalle formule: Quando alle variabili x, y,# si dànno gli incrementi dr, dy, di, le nuove coordi- nate z, n subiranno in generale gli incrementi: __ tda — adt ee toy — ydt dE dn= PEGI, per cui nelle successive trasformazioni infinitesime del gruppo subordinato i coeffi- cienti di x e si saranno ciò che diventano dE e dn, quando dr, dy, dt si sostituiscano con gli incrementi, che subiscono x, y,t per effetto delle corrispondenti trasforma- zioni di G,. Si riconosce allora senz'altro, che, in virtù delle prime trasformazioni infinitesime e della settima, & ed n assumono degli incrementi, che sono nulli o identicamente 0 tenuto conto dei valori infiniti, che hanno sulla nostra varietà x, y, #; in altre parole le suddette trasformazioni infinitesime non agiscono sul piano all'infinito, cosa d'al- tronde intuibile « priori, se si pensa al significato cinematico delle trasformazioni stesse. (*) Lie-Exoer, Theorie der Transformationsgruppen, Bd. III, $ 34. 54 GIULIO BISCONCINI 4 Gli incrementi assunti dalle nostre variabili nelle rimanenti tre trasformazioni infinitesime sono rispettivamente: dDE= —e = Mm, im=e(1-4)=el-n); 2 dE=e(1 a]=e0—-9), dn = — e =— em; ve=—el—=_ en, dine = ek; e indicando un’arbitraria infinitesima, per cui le trasformazioni X;f, Xsf, X;f subor- dinate all'infinito sono: Ò | svn) — Of df df (1) Daf = Gr e (E spino 2 fi SES Sarebbe facile riconoscere, che queste trasformazioni infinitesime sono indipen- denti e che le parentesi di Poisson formate con esse si esprimono linearmente per le trasformazioni stesse. Esse quindi costituiscono un gruppo [3 transitivo, che si riconosce, dalla forma delle sue trasformazioni infinitesime, essere proiettivo. E poichè il gruppo G, lascia ferma la conica x? + y*? + t*=0, così il nostro gruppo subordinato 3 lascierà fisso sulla varietà, in cui opera, il cerchio: mio Determiniamo ora il gruppo subordinato di 3 sopra questa varietà ad una dimensione. Fissando la posizione di un punto del cerchio mediante l'angolo 0, che il raggio passante per esso forma con un raggio fisso, avremo: 0=arctg - ; e l'incremento che assume 8 quando ed n s’incrementano di dZ e òdn sarà: __ Edbn — nde E RARO = Zon — ndi. Per cui, se teniamo conto che gli incrementi di dz e òn nelle trasformazioni infinitesime X;f, Z>f, Z3f sono dati dalle (1), risulterà, che le trasformazioni subor- dinate da queste sul cerchio daranno a 0 rispettivamente gli incrementi: do = e[E(1 — n?) + n°] =ecos0, d0 = e[— #n — n(1—z)]=— eseno, do = e(£2 4- n?) —=l6p 5 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. ) ut ed il gruppo subordinato gs sarà individuato dalle trasformazioni infinitesime Sf = così dr, sof = — seno di i sf = dr ; Fra le trasformazioni infinitesime di questo gruppo ve ne saranno di quelle, che lascieranno fissi o due punti (reali o immaginari), o uno solo, o infine tutti i punti del cerchio & 4- n? = 1. Determinate queste trasformazioni infinitesime, potremo determinare le corrispon- denti del gruppo G, e quindi i suoi sottogruppi c0!. Quanto all’ ordine seguìto avvertiremo, che abbiamo imposto successivamente alle trasformazioni infinitesime di 93 la condizione di operare in modo da mante- nere fermi: a) tutti i punti del cerchio, 6) due punti reali distinti, c) due punti reali coincidenti, d) due punti imaginari. 2. — Prima però di accingerci a questa discussione crediamo opportuno pre- mettere una osservazione, che ci sembra essenziale. Avuto riguardo alla pura questione gruppale, due trasformazioni infinitesime saranno a ritenersi equivalenti, quando sieno riducibili l’una all'altra mediante una trasformazione, che appartenga al gruppo. Una definizione così generale non potrà darsi però, ove si tenga presente Il’ applicazione, che abbiamo in vista. E in vero, mentre dovremo riguardare le variabili x,y come coordinate cartesiane di un piano (quello della membrana elastica), la variabile £ dovrà ritenersi invece un parametro, che misura il tempo. Non sarà perciò lecito nella discussione scambiare indifferente- mente il loro ufficio, come si potrebbe fare, se esse rappresentassero coordinate di spazio, ma si dovrà avere riguardo di tenere sempre distinta la #. La definizione accennata di equivalenza non può dunque applicarsi senz'altro al nostro caso, perchè essa potrebbe condurci ad ammettere equivalenti due sotto- gruppi 00!, che in realtà lo fossero solo nell’ àmbito gruppale. Essa andrà dunque intesa nel senso, che le trasformazioni di G,, rispetto alle quali due sottogruppi co! si presentassero equivalenti, non debbano involgere in un ufficio scambievole le tre variabili x, y, £. Dovremo dunque nel confronto usare solo delle trasformazioni finite che proven- gono dalle trasformazioni infinitesime X,f, Xsf, Xsf, Uf, Ssf, poichè le prime due equi- valgono a una trasformazione parallela di assi, la terza ad un cambiamento dell’origine da cui si conta il tempo, la Uf a un cambiamento dell’unità di misura delle lunghezze e del tempo, l’ultima ad una rotazione degli assi x,y nel loro piano; mai invece potremo usare delle trasformazioni finite appartenenti alle S,f ed Ssf, perchè in esse l'ufficio di £ è scambiato rispettivamente con quello di y o di «. 3. — Tenuto presente questo veniamo alla determinazione dei sottogruppi co! di G,, distinguendo i quattro casi, di cui s'è detto al n° 1. 56 GIULIO BISCONCINI 6 a) Indicando con e; (? = 1, 2, ..., 7) delle costanti arbitrarie, la trasformazione infinitesima più generale del gruppo G, avrà la forma: Xf = e:Xf + e9Xof + e3Xsf + e4Uf 4- e5Saf + esSof + eaSsf. Poichè abbiamo notato che X,f, X3f, X3f, Uf non operano sul piano all’ infinito, mentre l’ opposto avviene per le altre tre, le quali muovono i punti del cerchio E |- n? =1 nel modo già detto, così affinchè la Xf soddisfi alla condizione di lasciar fissi tutti i punti di questo, basterà supporre: 6 = @7= @7 = 0. Se ammettiamo inoltre dapprima che sia ej==0 potremo dare a Xf la forma: Nf = e,A,f + e5Xof 4 e3Xsf + Uf. Questa si riduce ulteriormente eseguendo la trasformazione: a =x+ e, y=Y+ 6, t=t+ 63, appartenente al sottogruppo AX;f, Xof, X3f, e diventa (le notazioni essendo evidenti) 0194 029 + 038 + (0 — e)p'+ (y' — e2)g' + l — es)s' ovvero, a operazioni eseguite: Uf. Se supponiamo invece es= 0 abbiamo: Xf = eXf + e2Xof + e3Xf, nella quale sono ancora da distinguere, in base alla osservazione fatta al n° 2, i due casi e 0 ed eg =0. Nel primo essa è equivalente, pel tramite di una opportuna rotazione degli assi xy nel loro piano, alla trasformazione infinitesima: Xf + cXf; cf. Possiamo quindi far rientrare questo tipo nel precedente, togliendo in esso per c la restrizione imposta. 5) Prendiamo ora in esame il caso, in cui due punti reali del cerchio riman- gono fissi, ed osserviamo, che, senza togliere nulla in generalità alla questione, potremo sempre supporre, che tali punti sieno gli estremi di un diametro, p. es. di quello coincidente coll’asse delle £ (*). La trasformazione più generale nel secondo alla: (\,cos9 — Xosen0 + x) de del gruppo 93 subordinato sul cerchio attribuendo alla 6 l'incremento: € (\,cos8 — Xosen9 + Xg), (*) Potremo sempre ridurci a questo caso mediante una trasformazione proiettiva apparte- nente a 93. 7 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 57 questo dovrà essere nullo per i due valori 0 e m di 6, cioè si dovrà avere: \\+\3=0 Ma +M3=0 Ovvero: M=0 = 0. La trasformazione di y3, che lascia fermi i due punti in questione, essendo dunque s»f, la corrispondente trasformazione infinitesima più generale di G, sarà: Nf = e1X1f + e0Xof + e3A3f + e4Uf + egSof o anche, non potendo essere e = 0, perchè si ricadrebbe nel caso 4): Nf= e Xf + e9Xof + ezA3f + esUf + Sef. Eseguiamo ora su essa una trasformazione di G; formata combinando una trasla- zione con una dilatazione e sia: = a +a, y= 3 yY+B, t= cl'+r. Otterremo: Xf=e19p'+ e9pg'+esps'+-e,}(2'+-pa)p'+(y+pB)g'+@ +p1)s ++ pr)p' +2 +pa)s, . ovvero (omettendo anche gli apici): xXf= pile + esa + p+ (e2+ c.8)9 + (est sr +08} + e, Uf + Sif. Si vedrebbe pure, come d’altronde è intuibile a priorî, che una trasformazione di S;f non porta, oltre quelle, che ora vedremo, ulteriori riduzioni; noi quindi per brevità tralascieremo di introdurla. Supponiamo dapprima e,==0 e cerchiamo, se sia possibile determinare le costanti indeterminate a, 8, in modo, che s’annulli il coefficiente di p nella espressione di Xf precedentemente ottenuta. Dovremo perciò avere: esa + aaa e4B ae a+ CaY = — 03; e questo sistema ammette una soluzione, se oltre all'essere ey=#=0 è pure ej==+ 1. Verificato ciò e determinate a, 8, y in modo da soddisfare ad esso, avremo il sottogruppo: cUf + Sef. (c==0, +1, — 1) Vediamo ora cosa avvenga pei tre valori esclusi di ey. Se ammettiamo ej= 0, possiamo determinare a e y in modo, che si annullino in Xf i coefficienti di p ed s, dopo di che essa diventa: Nf= C2P4 = Sof, Serie II. Tomo LIV. n 98 GIULIO BISCONCINI 8 nella quale, o si prende eg, = 0 e allora si ha il primo tipo: Sof, o si prende p=t e si ha il secondo tipo: q+ Sef. Se supponiamo in secondo luogo che sia ej= + 1, disponendo opportunamente delle quantità indeterminate introdotte, potremo annullare o i primi o gli ultimi due termini della somma entro parentesi nella espressione di Xf ed ottenere, nell’un caso: Af = p(es— e.) 5 + Uf 4 Sef, Xf= p(er — es)p + Uf +4 Shf. nell’altro: Entrambe per e, = e3 dànno origine al sottogruppo: Uf Ùi Sof, mentre invece porgono i due tipi distinti: s+ Uf+ Sf, PIU Sf quando si faccia nella prima p= DE pe nella seconda p = v : ; esTTei Aia In modo analogo, nell’ipotesi che sia ej= — 1, si sarebbero ottenuti i tre tipi: — Uf+ Sf st Uf+ Sf PANVAIe I risultati ottenuti ci autorizzano così a togliere nel sottogruppo cUf + Ssf le restrizioni imposte alla costante e. c) Consideriamo ora il caso, in cui i due punti del cerchio, che restano fermi, coincidano e supponiamoli situati sulla direzione positiva dell’asse &£. Nella trasformazione infinitesima più generale di g3: (X,cos9 — Assen0 + X3) dE potremo sempre supporre \3==0, perchè, se ciò non fosse, i valori di 9 definiti dalla equazione : annullerebbero l’incremento e(\,}cos9 — \ssen0) di 9 e due punti opposti del cerchio | precisamente i punti 0= arctg da (mod. n) | sarebbero fissi. 2 9 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECO. 59 Ci sarà perciò permesso di scriverla sotto la forma: (u,c089 — ussen0 + 1) dr ; Siccome poi l'incremento e(u,cos9 — ussen0 + 1) assunto dalla 6 deve annullarsi per 8 = 0 insieme con la sua derivata prima rispetto a 0 (perchè 06=0 è una radice doppia dell’ equazione u,cos9 — u»sen8 + 1 = 0), così dovremo avere ovviamente: u+1=0, u=0 e la trasformazione infinitesima di gg sarà sgf — sif. Corrispondentemente, la trasformazione infinitesima più generale di G, potrà scriversi : Xf = eXf 4 e9Xof + e3Xsf + aUf + Ssf — Si. Eseguiamo ora su questa la solita trasformazione: 1 , 1 Li 1 ' o = — a = — 1 t=— RE ea B, Sur! ed otterremo: Xf=p}(e.+ e B)p+(eet+teBta—YgaH (e54 ear — B)st + eaUf + Ssf — Sif. Supposto dapprima e,==0, si riconosce come precedentemente, che si possono senz’altre restrizioni determinare a, 8, x, in modo che s’annulli la somma entro paren- tesi. Si arriva così al tipo: cUf 4 Sf — Sif. (c+0) Se invece ej= 0, potremo usufruire delle nostre indeterminate in modo da an- nullare o i due primi o i due ultimi termini della somma. Nell’un caso avremo: Xf= p(e3 — e) 8 * Ssf — Saf, Xf=ple.— es)p + Sf — Sf, nell’altro : e queste trasformazioni infinitesime dànno origine ai tre sottogruppi: Ssf — Sif, st Ssf — Sif, P+Sf- Sf, con che rimane tolta per il tipo cUf + Syf — Sf anche l’unica limitazione, che s'era dovuto fare per i valori della costante. d) Veniamo infine al caso, in cui nessun punto reale del cerchio sta fisso. 60 GIULIO BISCONCINI 10 Partendo, come negli altri casi, dalla trasformazione infinitesima più generale di 93, si vede, che in questo caso deve essere \\.=,=0, per cui la corrispondente trasformazione infinitesima di G, sarà: Xf= e,Xf + e0Xof + e3X3f + e4Uf + Sif. Eseguita la trasformazione: Lug 1 1 Dean, Ve EI essa diventa: XF+ phle + esa — B)p + (+08 + ag + (e5+ em 3} + af + Sf. Se si suppone e,==0 potremo determinare le costanti a, 8, Y in modo, che s’an- nulli la somma entro parentesi, ottenendo così il sottogruppo: eUf+ Sf. (c==0) Se invece si suppone ej=0 e si attribuisce ad a il valore —es e a 8 il valore e; otteniamo: XF = 6398 + Sf nella quale si può ancora usufruire delle costanti per ottenere gli altri due tipi: Sof ’ s — Ssf. Anche qui veniamo così a togliere pel tipo cUf + Sf la restrizione circa la costante. Crediamo opportuno di raccogliere in una tabella i tipi di sottogruppi 00! del gruppo G,, che dal nostro punto di vista dobbiamo ritenere distinti: | XAft+eXf=p+cs | Uf=xp+yq+ts qd+Sf=tp+g9+ as cUf 4 Sf = (e +0)p+tceya+(e+ed)s s+Uf + Sf=+d9)p+y1+@+t+1)s s- Uffa )poyghe ii) pP+Uf+ Ssf=@+t+1)p+y0++ds P_U-6:f=(cet eye s+Sf—Sf=w+(-e—d99+(-y+1Ds Î p+Sf— Sf=y+1)p+(e—-dq— ys cUf + Sf — Sf= (0 +yp+(-2+cey—99+(-y+0s li Ea cUf+ Sf=(c0+y)p+ (+ cy)g + ets -—r—'OÒ'r sl: SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECO. 61 $ 2. — Linee coordinate, dai cui parametri dipendono le vibrazioni, 1. — Procederemo ora alla determinazione delle traiettorie, che le trasformazioni infinitesime ora trovate generano e mostreremo nei casi più semplici, come debba avvenire la propagazione delle vibrazioni della lamina. Vedremo come alcuni tipi saranno da scartare, perchè gli integrali corrispondenti Pi="P1(%, y,t), pa = ps(, y, t) non risulteranno indipendenti rispetto alle variabili x e y. Ora questa è per noi una condizione essenziale, perchè le formule p,= p; (x, y, 4), Pa=" Ps (7, y, t), che nello spazio , y, # s'interpretano come linee di una congruenza, nel piano xy devono invece rappresentare formule di trasformazione fra due sistemi di coordinate x,y € p1, P, e come tali devono poter risolversi rispetto a x e a y. Vedremo, come fra i casi più semplici si trovino: quello in cui il movimento è riferito a un sistema di assi cartesiani in moto traslatorio uniforme, e quello in cui questi assi ruotano pure uniformemente. 2. — I X,f+ e X;f. Le traiettorie di questa trasformazione infinitesima sono definite dal sistema differenziale : daria cvays e: e TSO ovvero in termini finiti dalle equazioni: pi=cx — È Pa = y. Vediamo allora subito, che il caso in cui e =0 devesi escludere, in base a quanto s'è detto al n° 1. Per c+=0 le linee coordinate sono rette parallele agli assi, le prime spostantisi uniformemente col tempo, le altre fisse. L’interpretazione fisica del fenomeno è in questo caso assai semplice. Fissato un punto (x,y) della lamina, al quale nell’istante iniziale # =, corrisponda una data vibrazione w, se al crescere del tempo ci spostiamo nel senso positivo sopra la paral- lela all'asse delle x condotta per il punto, di una quantità corrispondente alla varia- zione del tempo divisa per c, troviamo punti per cui w ha sempre lo stesso valore (perchè appunto p, e Ps si mantengono inalterati). È chiaro allora, che se una linea / della lamina è formata di punti, pei quali ja vibrazione trasversale ha lo stesso valore, essa col variare di t mantiene la sua forma spostandosi parallelamente a se stessa nel senso dell'asse delle w. II. Uf. Le traiettorie sono: de _ _dy __ dt 7 SI Y Di ta? e in termini finiti: _ V2+y __ Pi => t . Pa a x 62 GIULIO BISCONCINI 12 Le linee coordinate sono dunque cerchi col centro nell’origine delle coordinate x, y, e rette uscenti da esso; sono dunque le linee coordinate di un sistema polare che ha per asse e centro rispettivamente l’asse delle x e l'origine del sistema cartesiano, con l'avvertenza che il raggio dei cerchi varia proporzionalmente al tempo. La vibrazione trasversale di un punto (x, y) della lamina avrà dunque col variare di t lo stesso valore sopra punti del raggio vettore relativo al punto (x,y), i quali si spostino sopra la sua direzione positiva di quantità proporzionali alla variazione del tempo. Se indichiamo allora con / la curva luogo dei punti, che in un certo istante # hanno una stessa ampiezza di vibrazione trasversale w, il luogo /, dei punti, -ehe hanno la stessa ampiezza di vibrazione in un istante successivo t +t,, si otterrà portando sopra i raggi vettori a partire dai punti della curva dei segmenti uguali al prodotto di #, per il raggio vettore iniziale. La curva /, è quindi omotetica ad 2 col rapporto d’omotetia II. q+ Ssf. Traiettorie: del, 1+4#° Ubi, O ari Sar LET x e in termini finiti: [i pi=@—e?, p=y+log) 77. Il primo sistema è costituito da coppie di rette parallele all'asse delle y sim- metricamente disposte rispetto ad esso; il secondo da curve logaritmiche deformabili col tempo. IV. eUf 4 Sof. Traiettorie: da e, dy da dt cebt yy ate? e in termini finiti: lt+a \c x 1° 1 x? y? t?) | = ——;- =. Ea Mr a y Ps Il primo sistema di linee coordinate è formato da curve, la cui natura dipende dal valore della costante ce, e che nell'istante #= 0 sono circonferenze di raggio pi. Da pat formato da iperboli od ellissi (omotetiche a se stesse col variare del tempo) secondo che ps è positivo o negativo; per p>= 0 si ha manifestamente l’asse delle x. Interessa, per la semplicità delle linee coordinate e della equazione delle vibra- zioni corrispondente, mettere in evidenza il caso in cui sia c=0. Ponendo per ce questo valore nelle formule precedenti e facendo una opportuna combinazione dei parametri p;, p, troviamo di poter scegliere quali linee coordinate: 2 . . Hi . . . Messo il secondo sistema sotto la forma ami = 1, si rileva, come esso sia t—-a=pîi, y="Ps V.s + Uf + Ssf. Traiettorie : dx dy di clesle, Ti 13 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 63 in termini finiti: 2e+9+1 _ TOA 4y? = Pi, ye = Pa. Si scorge allora che il primo sistema di linee (le cui equazioni possono anche scriversi 4p1y° — 2r—(2t+41)=0) è costituito da parabole che al variare del tempo variano in modo che il loro asse si mantiene sempre parallelo all'asse x; il secondo sistema, pur esso variabile col tempo, è formato da curve logaritmiche. VI. s—- Uf+ Ssf. In modo analogo si trovano quali linee coordinate: Ae—-0+1 _ si pda gg = pet = pe VII. p+4+ Uf + Sf. Così pure in questo caso si trova: Met t1 _ UOTRI 1; VII. p— Uf + Sif. E analogamente: yet! = pa. AXe—-t+1 LR Seti ili ye! = ps. Da un confronto fatto fra le linee coordinate di questi quattro ultimi casi vediamo, che quelle del V e VI (e analogamente del VII e VIII) differiscono solo per lo scambio di #t in — # e quindi coincidono nell’istante t= 0 e sono distinte nei tempi successivi; e che nei casi V e VII (e analogamente VI e VIII) le linee del primo sistema coincidono in ogni istante, mentre sono distinte quelle del secondo. IX. s+ S3f — Sf. Traiettorie: dr dy dt yo nat 1-y in termini finiti : s 1 (C+ 6°+2y=p:, 3z@+09°+yle +9) —-e=ps. Nel piano x,y le linee coordinate sono dunque parabole e curve del terzo ordine. X. p+ Ssf — Sf. In modo analogo si trovano le linee coordinate: @+09°+2y=p., iC+0+y@+9+t=ps XI. cUf + Ssf — Sif. Traiettorie: da dy dt cr+ y se —x+ey—t —y+cet? e in termini finiti: c+y- ei cm le+)e=py 64 GIULIO BISCONCINI 14 Scritto il primo sistema di curve sotto la forma: x2(1 — 2p1) + y? — 2pxte — t2(1+ 2p;)=0 si rileva ch'esso è costituito da ellissi, parabole o iperboli corrispondentemente a valori di p, minori, uguali o maggiori di Di gli assi di queste curve al variare di # sì mantengono sempre paralleli a se stessi. Il secondo sistema è costituito da curve trascendenti. E interessante mettere in rilievo il caso particolare in cui sia c= 0, perchè ci è permesso in questo caso scegliere le linee coordinate molto semplici: = ENO c4t=P, apo E cui corrisponderà un'equazione delle vibrazioni pure assai semplice. XII. s+ S;f. Traiettorie: e in termini finiti: e4+y=pî, t+arcigt=p,, ovvero introducendo le coordinate polari: r=P,, t+0=pPs. Le linee coordinate sono dunque cerchi fissi concentrici e rette passanti pel loro centro ruotanti uniformemente col crescere del tempo. Le vibrazioni della lamina saranno dunque riferite ad un sistema cartesiano che ruoti in modo uniforme intorno all’origine. XII. cUf + S3f. Traiettorie : dr A, dee adi ce-y —L+ ey co In termini finiti possiamo scegliere: ju \ic 2 2 @+yg (ETRE) =p,, xy = pì. x dy Vediamo allora subito, come il caso particolare c = 0, debba escludersi perchè le equazioni che si ottengono dalle precedenti ponendo c=0 non possono risolversi rispetto alle variabili x, y (v. n° 1). $ 3. — Equazioni delle vibrazioni. Passiamo ora a costruire per ogni singolo caso la equazione, che definisce le vibrazioni stazionarie della membrana. Ci varremo perciò di una constatazione fatta dal Levi-Civita e che si può, nel caso nostro, enunciare nel modo seguente: Se alle 15 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 65 due famiglie di superficie p,= cost, p.= cost si associa nello spazio ds° = de? 4 dy? — dt? una terza famiglia p3=cost da esse indipendente e si esprime la equazione: 2 "a 2 Mosto pae deo dw __ ve 0 ed eventualmente moltiplicare per un fattore dipendente da ps, affinchè essa si muti in in coordinate curvilinee p,, ps, ps, basta porre nella equazione risultante una equazione []w = 0, che, non solo non contiene py come variabile di derivazione, ma nemmeno la contiene nei coefficienti; in una equazione cioè, che definisce w come funzione delle sole coordinate p;, ps. Per il calcolo ci varremo della formula di Beltrami: INI 05, 0 dio | Sa Va Ti N S Vaa dps |’ dove con a indichiamo il determinante del quadrato dell'elemento lineare dello spazio in questione espresso in coordinate curvilinee pi, ps, pz e con al gli elementi reci- proci degli elementi 4,, di questo determinante. Avvertiamo però, che ci risparmieremo questo calcolo tutte le volte che con semplice cambiamento di parametri ci riuscirà immediato il passaggio dai tipi di sottogruppi 00! del gruppo delle similitudini nello spazio ds? = da? + dy° + de? ai tipi da noi trovati. Negli altri casi, o almeno nei più complicati, riporteremo il calcolo per esteso. I. Aggiunto al sistema di superficie ce-t=pPf<1, yY= Pa, (c+4+0) trovate al paragrafo precedente, il sistema : si ha successivamente: ds = da + dy? — de= 1, dp? + dp? + (3 a 1 )dpî +i dpidps, 1 1 | Oa | 1 a —= 0 1 0 = — a? Ci ge c° c a = e2— 1 a — 1 a — È; al —_ 0 4 al3! —_ 1 a al) — (0) , 22907 I ALI LIA (TE SOT OP OO 0 I IA I PERI LIT] PECE (Fede ]ì esi eee ene AE E l’equazione delle vibrazioni sarà : d%10 a d%w a Qw=(è—- 1) dpI, + over Serie II. Tom. LIV. I 66 GIULIO BISCONCINI 16 II. Al sistema di superficie considerato al $ 2, II o all’equivalente: ady —_tigio, È —tepa, aggiungiamo : a°|y? —t0=— pi e avremo: x = ip3 Senip; COS po, y= ip3senip, Senpa, t= p30087p;. Queste formule sono quelle in cui si mutano le corrispondenti del Levi-Civita (*) nel caso dei potenziali conici, quando posto 2 = i si muti in esse pi e p3 rispetti- vamente in ip, e ip3, per cui senz'altro potremo, eseguendo lo stesso cambiamento nella sua equazione: o 0,0= da na i. 10% ieri no + cotgpi — Pe —=-0 scrivere come equazione delle vibrazioni: — d°w 1° d%w dw Uw 0“ sor, + icotgip, <— n =D III. Aggiungasi al sistema: È ; Dai e_-a=pî, y+logfi7%=p la equazione y= p3 e si otterrà: x = ip,seni(p> — ps), yYyTP3, t= picosi(ps — P3). Confrontando questo caso col caso dei potenziali elicoidali, che corrisponde alla trasformazione infinitesima i — al + m Da si vede che da esso si passa al . . . *]* . . RI . nostro quando si eseguisca sulle variabili x,y, 2 la sostituzione ( 5 ha I e posto 2=tt, si faccia m = — è e si sostituiscano ai parametri p;, p3 rispettivamente 7p1, (pa — P3). Dopo di ciò la equazione: \ du 1 00 | dp Pi dp: ATTO RE ZO) mi 00M = dp L Lai si muta nella: Dio = Cee Li CA) che caratterizza le vibrazioni in questo caso. (*) Loc. cit., pag. 115. Avvertiamo che per le analoghe citazioni di questo paragrafo ci riferi- remo sempre alle formule di questa pag. e della seguente. 17 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 67 IV. Scritte le traiettorie sotto la forma: t+ax coi, 2 a

, y= pre 83, per cui otterremo lo stesso quadrato dell'elemento lineare e quindi la stessa equa- zione per le vibrazioni del caso precedente. VII. Dal sistema delle due equazioni 2% t941 LS o pmi cali posto r_t= Pz abbiamo: 9 1 X + t= 2p1p3e20s 9 , Y “n Pae8, 69 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC 19 e con calcolo identico a quello del n° V si trova = dp? Te Loi ada >. gdo: — DJw= 4pi dp? Pa "nua 2(2p1 +1)Pp? IP.ÒPI Pi tte 0. i del VII. Come al n° VI si conclude, che si arriverà alla stessa equazione caso precedente. IX. Dalle equazioni @+0+y@+9-2=p, (C+? + dy = Pi; con la posizione . . si Lu [ra Pe sì ricava: p.p p3. 1 s ve a y = 9 (Pi — Pd); per cui essendo: dst=d(xr + t)d(e — t) + dy?= dp3(2dx — dp3) — dy? = d pe = #4 (p,— 1) dpi — 2dpydp;, si trova eseguendo i noti calcoli Photo X. Considerando come terza equazione A, | s+i=0 si giunge alla equazione: S_ _ Dia w XI. Dalle equazioni L+ gt? ES 2(2 + #È Ra (2 + d)e = Pa posto ; x+t=ps si deduce: eni e iPaq a =" Pago 28 i, x —t=2p;ps3 a 108 Diet log i e quindi: SO Agia 1 \ dpf + 2psdp,dp, — & P° dpsd ds er] 3, TP: Pa + 20+7) pì + 2p34p1dps PA P24P3. Come al solito si arriva allora all'equazione dw aj do __ Si d2w cp 3 Dia i, +29» dP1dP» Da dp. © P2àp d°w = i Dw Pi dp”, Avendo nel caso particolare in cui c =0 preso come linee coordinate s+ti=p, s+yg—#=pî 70 GIULIO BISCONCINI 20 se si pone inoltre y = p3 si trova: ATO ia ana 2 ia ma ds p3, dpi + dpi + 2 n; dp,dp, — 2 a dp;dpg e si arriva all’equazione: e_N d?w dw = —- 2 2 40} i dp°g eri IP: dpa + Pa Integrata una prima volta rispetto a p, si ha: dw dr MRI, dw DG e Pi dpi un e da questa immediatamente: [logVp, LB a F(logYp1— pa, wpi—5 | ®(p:) dp: ) =, A questo integrale generale della Dw=0 possiamo anche dare la forma più semplice: 1 dat W = F,(P1) + Pi FF (logVp, xi Pa); con F, ed F, indicando simboli di funzioni arbitrarie. XII. Considerando con le due equazioni o-|y=pî, t+aretgt=p, la terza EL == tg P3, si trova: XL = piC0Sp3, Y =" PyS©NP3, È = po — Psa. Esse scendono dalle formule del Levi-Civita relative al caso dei potenziali eli- coidali, quando si ponga in esse 2 =, m=i e si cambi ps in ?p». Fatto questo cambiamento anche nella corrispondente equazione (v. n° III di questo paragrafo), si ha pel nostro caso: \ pa, — i d?2w0 1 \ 02w0 1 dw dt XIII. Se aggiungiamo alle equazioni del paragrafo precedente, o alle equivalenti ; Ta 2 2 @+g_ at cp, Sl pio, x iy la equazione otteniamo: x = ip,senip3e?@cospg, y= ip:1sen?pyessenpz;) t = picosipge?®, formule, che, come era chiaro a priori, si potevano ottenere da quelle corrispondenti 21 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 71 al caso dei potenziali spirali mutando = in è e conseguentemente p, e ps rispetti- vamente in 7, e èps. Dalla equazione 0) = 0 (v. n° V) otteniamo allora: ni x 2 1 d?w 1./. dui td. 2 dw Dw o=(1 Di 2-4 ca 3 tcotgipo—P = 0. DI sen?ipa / dp* p°, dP°a u; Pi | i HU. IP pù 802 dpa $ 4. — Caso corrispondente ai potenziali isotropi. Come ha dimostrato il Prof. Levi-Civita non solo le traiettorie di un gruppo G, di similitudini dello spazio ordinario sono linee equipotenziali, ma anche le congruenze rettilinee ed isotròpe godono della stessa proprietà (*). Come risulta dalla sua memoria i potenziali corrispondenti si possono anche definire come soluzioni simultanee delle equazioni: du de du VIS dy? ta det di (Fl4+ (3 du AE ca per modo, che se si considera il sistema (che da esse si deduce osservando, che w deve essere essenzialmente complesso): d°p: dpi Hi DIPica da? "ri dy? da? UL Ò? d? i SL 5 IR = — 0, dp 5 {dpr \?, dt (de dpr 2 dpa \? (a) SIR i LI + (e, dpi pa LE ORI dpr ble dpi dp. 0 | \ wir dy dy da de e si indicano con (1) (2) Pi(#, y, 2) = cost, pa(x, Y, 2) = cost due suoi integrali, ogni congruenza ‘rettilinea ed isotr6pa, e quindi equipotenziale, risulta da essi definita indipendentemente dalle condizioni di realità, e la equazione dei potenziali è: Î do t pe = 0 dp, dp? Passando allora nel campo immaginario x, y, t (f= — i) potremo scegliere come linee coordinate, rispetto alle quali avviene il fenomeno delle vibrazioni stazionarie, le linee: (3) Pi(x, y, it) = cost, pa(x, y, #t) = cost, con la condizione che p, e ps risultino reali. (*) Loc. cit., pag. 188, 72 GIULIO BISCONCINI 22 Le (3) dovranno dunque essere integrali delle equazioni, che si deducono dalle (1) ponendo it in luogo di 2, cioè delle dp | dm __dM o de? dy° deri d? pa d°pa d°p> __ da sa 3 iva al (el'+ (o) (ey = tay+ (81-87 dpi dpr al IP: dP: dp, dpa dEa de da * dy dy di dé che si compendiano, posto v = p, + ps, nelle do 0?» DR) na stai eo dv \2 dv \2 do \2__ ee il che ci permette di concludere che l’equazione delle vibrazioni in questo caso sarà: I w dp de 0 Possiamo di più dare effettivamente le equazioni di trasformazione fra le coor- dinate x,y e le p;, ps perchè basta ricorrere alle formule: == sen p;+ sen pa daga P(P3) sen pi — y(p.)senp: sen(p,— Pa) sen(p, — pa) i cos pi + cos pa EIA (Pa) cos pi — w(py) cos pa sen(Pi— Pa) sen(pi— P») y=%2 ; date dal Ribaucour (*) per gli integrali di una congruenza rettilinea e isotròpa e porre in esse 2 = it. Le funzioni p, ps definite dalle formule, che ne risultano: senpi + sen pg ll P(p.) sen pi — y(p:)senp, sen(pi— Pa) sen(pi — p») / cospi + cos pa SÒ P (P2) cospi — w(P:) cos pa sen(p; — Pa) sen (pi — Pe) Ure ’ sono reali, come appunto richiedevasi. (°) Op. cit. (v. prefazione). 23 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 73 $ 5. Caso corrispondente alle linee equipotenziali di lunghezza nulla nello spazio ordinario. 1. — Il Prof. Levi-Civita nella sua memoria escluse, perchè non reali, le con- gruenze di linee di lunghezza nulla, quelle linee cioè, che sono definite da una equazione. RU de (1) XL 4} + zi=0 per cui vale la relazione: X+Y?+Z=0. Ora è quasi superfluo osservare, che linee immaginarie nello spazio ds = dr? + + dy? + d2? possono essere reali nello spazio ds*= dx? + dy? — dt?, e che quindi non possiamo esimerci dal ricercare, se il caso escluso dal Levi-Civita possa dar luogo a un nuovo tipo di vibrazioni elastiche di una membrana che dipendono da due soli parametri. È quello che ora ci proponiamo di vedere. Nel campo x,y, t, scritta la (1): d df dI potremo asserire, che fra i coefficienti di questa passerà la relazione: (2) ASS RITI Dovrà inoltre essere 7==0 se non si vuole che sieno nulli tanto X che Y, per cui potremo porre in virtù della (2): X E = cosa -- = seno ae e scrivere la (1’) sotto la forma: AL sena L sa esa); (3) cosa % » Ora se si vuole, che la funzione w definita dall’equazione: (4) Dw= (*) Basta perciò osservare, che gli incrementi assunti dalle variabili per effetto di una trasfor- mazione infinitesima, sono proporzionali, ai coefficienti della trasformazione stessa, e quindi essendo etr=bt=—idz=— eiZ sarà Z=iT. Serie II. Tomo LIV. J 74 GIULIO BISCONCINI 24 sia costante lungo le linee della congruenza (3), bisognerà che il sistema formato dalle equazioni (3) e (4) sia completo (*). Introdotte le variabili &, n mediante le posizioni : i E=x +Piy, n=x—d{y, dalle quali scendono le: D) di SES ia d —ia _d COSO ar SU i va tl dî d? DA SOUR STO Leali dor ben dovremo determinare la forma della funzione 0 in modo, che risulti completo il sistema: Woo dw do - ia —ia SARE: nai; na = 9, re ee lw=4 dedn = da mo; cioè che si abbia: (5) CX-XD)wo=X "2 L pil Ly dite i rw + x, ), u, v, t, X essendo funzioni opportune di £, n, t. Ora avendosi: I (zia WU "i dw | _ogjdd dw ia I da i ia dv ia d0 d(e Nani pa dd cale EE aida (3) deva Jk “fit hO. d (pia dv a dw | dw\_;dal ia dw a d°w «dal ia 9° __ ,-ia I \__ SC mina, om! de j=i se e Er a) +iSe(e de © ded da dal ia dv | gia eni | dw sa dw fl 3) da: sE Te ali Regni nare ed osservando che l’ espressione X(L_]w) non contiene che termini del terzo ordine, che nella differenza ([]X — XL))w si elidono con quelli, che nelle precedenti ugua- i on glianze abbiamo per brevità indicato coi simboli (3)e (3)' potremo scrivere: da dw TY Ao (UX-XU)w = die È Siero diet SE ini da) d?w ade d°w + ia d pres 0 — ia SS nt di (ga SÉ k dn EN sii di dEdE + 2ie dt indi si da da . dîa {da\2 d'a \ dw (104 LS È dio > tear a pensa | dada jd (da), ja) du dE dn tant (35) np de) dn‘ (#) Cfr. Levi Civita, loc. cit., pag. 12. ao 25 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 75 Inoltre essendo: dXw d%w î w . da / in dW du O a RO ta 00 e AT: sd ate à mr) t+ise(e PP te), dXw _ d°w ( ia d*w _ia d°10) .da (ia dW ta 921 go e Sani Tal i sn) t pre Line Taio Ciara N° dXw d?%w0 sn dIWw n 0w da dw n dW —_ — cla 10 = (0 0 ta dt 4 dz dn +(e dè de te and \+i de \e e di x òn ’ dedurremo: dXw dXw dXw dw im d°t0 darai ae URI > + rlw + xXw = Ne + ue ta ia a 2 ti d°w H 55 dna ese dv +4) ca gt eo) dE de era ande bor i d? < seta (1° È aule se py de x) se iena(A e Bel ui Se vò so “ ix) E — Ss +y de, Perchè valga la (5) dovrà prima di tutto essere t = y= 0, perchè la parentesi di Poisson (L)X — XL[])w non contiene nè de nè do, e inoltre fra le funzioni ì, u, v,a dovranno passare le seguenti relazioni: . da I =4i-— \ O n, . da IE u=— di dE! II. Ne-'® + pe'@ Ldv—=4i (eta dI gia 22 | (6) dE on IV. \+ véa—— giga de, ; nre: 1.00 SIE —ia — Dj pia 2° V. u-i- ve 2ie "a. | = da da dda vo. da da da XL ret nti isa =igtartvi Poichè la III, tenuto conto delle I, Il, IV, V, risulta identicamente soddisfatta, potremo dalle (6) con la eliminazione di X, u, v, ottenere due relazioni, cui dovrà soddisfare a. Dal confronto delle IV e V, dopo l’eliminazione di X e u a mezzo delle I e II, otteniamo la prima di queste relazioni: (7) gia DL e-s@ Da +3 Per ottenere la seconda, si eliminino dalla VI \, u, v; sì avrà così: da \2 da da [gr da da | o da | Lia dA =ia da demi (osi AA 3) - Questa però, poichè il secondo membro è puramente immaginario (come si vede osservando, che cambia di segno col mutare di è in — è e E in n) sì scinderà nelle due equazioni: 76 GIULIO BISCONCINI 26 A li I \ i Pag i 4 dE dn 0, Si d° ò D) d n i i “pe im) Scritta la prima di queste sotto la forma: da\2__{ ad _ia da\2 ia da _ia da)? (Se) all SE) ed eliminata la w mediante la (7) abbiamo: ia da Sir ORI (9) Gini: È ASSI in virtù della quale la seconda delle (8) diventerà: da d°a degno dE (10) =) e quindi il sistema (7), (8) equivarrà a quello formato dalle equazioni (7), (9), (10). Se si osserva però, che la (10) è una conseguenza delle (7) e (9) (*) e che il sistema formato da quest'ultime è completo (**), si vede, che basterà integrare questo sistema per ottenere la funzione incognita a. A tal uopo osserviamo, che, se la funzione a, determinata dalle (7) e (9), risulta definita da una equazione implicita: i FE, n,t,a)—=0, si avranno le relazioni: df df df da _ dE da dn da dt MOT da . da da e quindi la f riguardata come funzione delle 4 variabili £, n, t, a dovrà soddisfare al sistema: ia _df —ia df OVg9S e +e Ss + v = che equivale al sistema Jacobiano: \ St e-ia Î = 0 . (11) ; (sari | dA pludt_o, (#) Basta, per vederlo, derivare successivamente la (7) rispetto E, n, #; dalla somma delle due prime equazioni così ottenute togliere la terza e sommare membro a membro l'equazione risultante col quadrato della (9). (*#*) Perchè il sistema equivalente, che si deduce risolvendo le due equazioni rispetto da, so, è Jacobiano. 27 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. (Ari Un sistema di integrali indipendenti della prima equazione è, ove si indichino con %,, 3, uz delle costanti arbitrarie: (12) a=uU,, N=Us, Ee'd_-2i=us. Ora, poichè il sistema integrale delle (11) deve dipendere soltanto da %,, vs, w,, dovremo supporre nella seconda equazione f funzione di queste variabili, per cui essa si scriverà: df du | df du | dda 1 al di da | dda | df da da du dn t du, Òn 20 im DI \ du ve i al 24) = ossia: che ammette come integrali: Uu,= COSÌ, uz + use'* = cost, ossia per le (12): a = cost — 2t + Ze-'° + ne'“= cost. L’integrale generale del sistema (11) sarà dunque: F(a, — 2t+ze-‘%+ ne =0 con F designando una funzione arbitraria. Questa equazione, introdotte le variabili x,y ed indicando con @ una nuova funzione arbitraria, potrà scriversi: (13) x cosa + ysena —t — p(a)=0. Concludendo possiamo dire, che quando si sia determinata una funzione a delle variabili x, y,#, che soddisfi a questa equazione, due integrali indipendenti p,= cost, pa= cost dell’equazione (3), o dell’equivalente in variabili E, n: ia di gio ad ear te "dale gi, ci rappresenteranno le linee coordinate, dai cui parametri dipendono le vibrazioni della lamina. Ora è facile convincersi, che: da a= così, eta cost sono due integrali richiesti. Per il primo la cosa è immediata, perchè basta tener presente la (7); per il secondo basta derivare questa stessa relazione rispetto a # e usufruire della (9); si ottiene allora identicamente: Morta: Pr d | =0 ri ee 5)+3 vira. 78 GIULIO BISCONCINI 28 Poichè d'altronde a verifica la (13) e È l'equazione, che si trae dalla (13) de- rivando rispetto a #, cioè la — xsena da: - nceosa de —1—- p'(a) —= dt dt sis; così i due sistemi di curve pj= cost, p,= cost saranno caratterizzati dalle due equazioni: | ecosp.+ysenp1 — p(p;) — t=0, (14) i Î xsenp, — Yycosp, + P'(p1) + po =0. 2. — È facile formarsi un’idea dell’andamento delle curve dei due sistemi. Le linee p,= cost sono rette, che al variare di # si spostano parallelamente a se stesse e che per uno stesso valore di # inviluppano una curva \°, le cui equazioni in forma parametrica sono: xcosp1 + yseng1 — P(p) — t=0, — esenp, +-ycosp; — P'(p1) 0, OVVero: (15) \ e=|[@(p.) + t]cosp, — P'(p;)senpi, | y=[®(p) +t]senp; + 9'(py) cosp:. Al variare di t si hanno evidentemente curve parallele fra loro, i cui punti cor- rispondenti (situati sulla stessa normale) distano di un segmento uguale all’incre- mento di #. Il secondo sistema di curve p,= cost ha quale rappresentazione parametrica le equazioni (14) equivalenti alle: . n° \ e=[®(.) + t]cosp.—[®'p:) + pe]senpi, 6) I y=[®(p,) +t]senp + [0'(p,) + pa]costp,, od anche, indicando con xo, yo le coordinate dell’inviluppo (15): X=Xo_ PaSeNP;, Y=%Yo+ P2008p1, le quali ci mostrano, che ogni curva del secondo sistema corrispondente ad un dato valore di # si ottiene dalla curva \° portando sulle tangenti di questa a partire dal loro punto di contatto e in una determinata direzione uno stesso segmento ps. È ovvio allora, come da una curva p{ corrispondente a un istante t, si ottenga la curva pl” corrispondente a un istante successivo #'. Per i punti di py basterà tirare delle rette normali alle rette p/°" passanti per essi, e portare sulle loro direzioni positive a partire dai punti di pf” dei segmenti uguali all'incremento t#' —t del tempo; il luogo di questi punti è la curva py°. 29 SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 79 Se p. es. la funzione @ riducesi ad una costante %, le rette p, = cost aventi per equazione: xceospy + ysenp, — (6 -+%)=0 inviluppano i cerchi di raggio t + : xr=(t+k)cosp,, y=(t + k)senp; e quindi le curve p, = cost saranno i cerchi: xr=(t4 k)cosp, — pssenpi, y= (t+4)senp1 + pscosp, di raggio Vp: + (t+ 4. 3. — Si tratta ora di vedere qual forma assuma l’ equazione delle vibrazioni invariabili P1, Po. Se assumiamo la # come terza variabile p3 avremo dalle (16): x + iy =[®(p1) + pglei + i[p'(p1) + poleii x —iy=[®(p:) + psle'"— i[9'(p1) + pole'@ e quindi successivamente: ds = d(x + iy)d(x — iy) — dtd=|[p3 + ®(p.) + ®"(p.)] + pî{ dpî + dpî + + 2[p3 + ®(p1) + P""(P1)]AP1Apo — 2p94p1dps, | [p3 + p(p.) +"(p.)]}? + pì —Pp°+ 9) +") — pa | a= Ps + ®(p1) + ®""(p1) 1 0 /=—-p, 3 (0) 0 i, 7 e a9=— 1, 0, ab Lg Bt9TE0), Pa Pa 80 GIULIO BISCONCINI — SULLE VIBRAZIONI DI UNA MEMBRANA, ECC. 30 Applicando la formula di Beltrami avremo: = 1$dè(0f.(_1 de] dl, (do p+o)+9") de) ] di ip ( dp. ip. | Po lai ipa (3, + Ps dee) i FOA EE Sea do Pi+P(p) +9" (pi) dw I dw )} a dp3 |» ( Pa dPI sla Po dp, dp, NA e quindi l’equazione voluta sarà: dî A AI A Lime dp 1 Pa di. il cui integrale generale è: w=w()— 3 x(0,) yw e x essendo simboli di funzioni arbitrarie. Gennaio 1903. RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfeld Thomas E AD ALTRE FORME DI TALPE EUROPEE MEMORIA del Socio Prof. LORENZO CAMERANO Approvata nell’ Adunanza del 14 Giugno 1903. Il Dott. Orfield Thomas pubblicò in sulla fine del 1902 (1) in una breve deseri- zione la diagnosi di una nuova specie di Talpa dei contorni di Roma col nome di Talpa romana, ritenendola distinta dalla Talpa europaea Linn. e dalla Talpa caeca Savi, per caratteri desunti principalmente dalle proporzioni dei molari superiori ed infe- riori e dalle arcate zigomatiche. La diagnosi del Thomas è fondata sopra due pelli provviste del loro cranio, una appartenente ad un individuo di Ostia e l’altra ad un individuo di Frascati, i quali furono raccolti dal Dott. L. Sambon durante i suoi studi sulla malaria. Di questi individui non è indicato il sesso, e neppure il Thomas potè accertare se in essi l'occhio fosse chiuso o aperto, trattandosi di pelli conservate a secco. Con questo lavoro il Thomas ha opportunamente richiamato l’attenzione degli osservatori sopra i caratteri che si possono trarre dall'esame dei molari, per ciò che riguarda le loro proporzioni, per la distinzione delle specie di Talpe europee. In un mio precedente lavoro, oggimai antico (2), io mi sono occupato della que- stione relativa alla possibilità di separare specificamente la Talpa europaea Linn. dalla Talpa caeca Savi, prendendo in esame nel modo più diligente che mi venne fatto i caratteri differenziali dati sino ad allora dai varì autori, vale a dire: il muso, gli occhi, i denti, sopratutto gli incisivi, i premolari ed i canini, le zampe, la coda nelle loro proporzioni rispettive ed anche le aree di inserzione muscolari nel vertice del (1) On the Mole of the Roman District, “© Ann. and Mag. of Natur. Hist. ,, Ser. 7, vol. X, pagg. 516 e 517. (2) Ricerche intorno alle specie italiane del genere Talpa Linn., È Mem. R. Ace. Scienze di Torino ,, Serie II, Vol. XXXVII, 1885. Serre IT. Tow. LIV. K Invece di Orfield si legga sempre Oldfield. 82 LORENZO CAMERANO , 9 cranio indicate dal Lataste. Io giunsi allora alla conclusione che fra la Talpa europaea Linn. e la Talpa caeca Savi, per quanto risultava dal materiale a mia disposizione, non si poteva trovare un complesso di caratteri costanti che rendesse possibile una diagnosi differenziale sicura. Del contorno di Roma io ebbi allora un solo esemplare ad occhi chiusi, il quale pei caratteri sopra menzionati non si presentava gran fatto distinto dagli altri. Intorno alle talpe del contorno di Roma si avevano pure allora soltanto i dati forniti dal Bonaparte (1) colle parole seguenti: “ Oltre la diversa conformazione degli occhi (egli dice), appena potremmo asse- gnare altro carattere per distinguere le nostre due Talpe, se non fosse quello dei due denti incisivi anteriori della mascella superiore, che nella Talpa caeca sono un poco più grandi dei rimanenti, mentre nella Talpa europaca sono tutti d’ugual grandezza. Alcuni autori hanno preteso che nella prima fosse più schiacciata la “ punta del muso, altri hanno aggiunto ch’essa ha i piedi più bianchi e meno pelosi di quelli dell’exropaea, che il suo pelame è più nero; ma queste differenze noi non “le abbiamo trovate costaniti. I Prof. Savi ha creduto che ci fosse diversità nella statura, ed ha scritto che la Talpa caeca è più piccola di quella ad occhi aperti. Forse la stazione montana contribuisce a mantenere in questi animali proporzioni più ristrette, ed il Savi ha cura di dirci che tutti i suoi esemplari di Talpe veni- vano dall’Apennino. Fra noi però la Talpa caeca vive anche nelle pianure, anzi abbonda nelle campagne di Roma, e siamo certi che essa giunge ad uguagliare e a superare persino la grossezza di quella illuminata di Lombardia. — Lungh. totale polla6 6428207. » To ho pensato, dopo Ia pubblicazione del Thomas, che fosse cosa di qualche inte- resse il riprendere lo studio della questione relativa al differenziamento in specie delle Talpe italiane con nuovo materiale e tenendo conto dei nuovi caratteri diffe- renziali indicati dall’Autore sopra ‘menzionato. A questo proposito si presentano al nostro esame le principali domande seguenti: 1° La talpa della regione romana (Talpa romana Orfield Thomas) è realmente specie distinta dalla Talpa caeca Savi, colla quale il Bonaparte la riuniva? 2° La Talpa romana Orfield Thomas è specie distinta ‘dalla Talpa europaea Linn. delle altre località italiane e delle altre località europee? 3° La Talpa caeca Savi è specie distinta dalle altre talpe cieche che si trovano in varie località italiane ‘o in varie altre località europee? 4° La Talpa caeca Savi è specie realmente distinta dalla Talpa europaea Linn.? 5° La Talpa europaea Linn. delle località italiane è forma distinta dalla Talpa europaea Linn. delle altre regioni d'Europa? A rispondere, almeno in parte, a queste questioni tendono le ricerche che seguono. Il materiale sul quale vennero compiute le mie ricerche proviene dalle località seguenti: Contorni di Torino, Saluzzo, Rivarossa, Rivoli, Ceresole d'Alba, Moncalieri, Biella, Cumiana, Monte Soglio, Lanzo, Andonno, Andrate, Domodossola, Cadore, Buttrio, (1) Iconografia della Fauna italica - Mammiferi. 3 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. 83 Urbino, Contorno di Firenze, Contorno di Roma, Maccarese, Ostia, Marino, Catan- zaro, Modica, Francia meridionale, Amburgo, Praga, Bucarest, Dobrudja. Si devono aggiungere due esemplari (tipi) di Talpa caeca Savi conservati in alcool e inviati al Museo di Torino dal Savi stesso. Conservati in alcool ed a secco sono oltre a 250 indi- vidui che io ho avuto occasione di studiare. Ho applicato a questo studio il metodo del coefficiente somatico (1). Discussione dei caratteri. Per evitare qualunque pericolo di suggestione nell’apprezzamento dei caratteri differenziali fra le varie forme di Talpe in discussione ho proceduto anzitutto all’e- same dei caratteri stessi nelle varie serie di individui secondo le località di prove- nienza e senza alcuna preoccupazione di distinzioni specifiche. Colorazione. — Non ho osservato caratteri differenziali di colorazione apprezzabili nelle serie di individui delle varie località studiate. I caratteri forniti dalle dimensioni delle varie parti degli animali sono i seguenti: Statura. — La statura è misurata in millimetri dall’apice del muso all'apice della coda. Ho ottenuto le serie seguenti (2): a) Valle del Po: $ - 165-168-169-170,-173-174-(176,50)-178-179-180;-183-1843- 185,-187:188;. 8) Regione Romana: è - 176-178-180,-183-184,-185,-186-187-188-190;-191- (191,50)-192-193,-195;-1973-198-2003-202,-2053-207. Y) Valle del Po: © - 150-155,-156-158;-160,-(163)-164-165;-167-168-170,-172,- 173-174-176. è) Regione Romana: 9 - 164-170,-174-175-177-178-180;-182-1843-1853-187-188,- 190-191-192-193-195-198-200. e) Amburgo: è - 162-173-174-177-1783-1803-183-1859-188-190,-191-192. 0) 3 9 - 160-(165)-168-170,. o) Praga: è - 166,-167,-168-169-170. e (O S1584160. p) Contorni di Firenze: è - 176-178-183-185-188-194. w) 3 Q - 162-163-1655-(166)-170. x) Bucarest: & - 160. mu 0) Q - 147-158, (1) L. Camerano, Lo studio quantitativo degli organismi ed il coefficiente somatico, © Atti R. Accad. delle Scienze di Torino ,, Vol. XXXV, 1890. — La lunghezza base nel metodo somatometrico in Zoo- logia, “ Boll. Musei di Zool. e Anat. Comp. di Torino ,, Vol. XVI, n. 394, 1901. — Lo studio quan- titativo degli organismi e gli indici di variabilità, di variazione, ecc., ibidem, vol. XVI, n. 405, 1901. — Ricerche somatometriche in Zoologia, * Boll. dei Musei di Zool. e Anat. Comp. di Torino ,, Vol. XVII, n. 431, 1902. (2) Il numero stampato «in carattere più grosso e nero è quello della classe media. Se esso è collocato fra parentesi vuol dire che nella serie studiata non è stato verificato. — I numeri più pic- coli, collocati in basso a destra di ciascuna classe, indicano la frequenza della classe nella serie. — Queste osservazioni valgono anche per tutti gli specchietti di misure seguenti. 84 LORENZO CAMERANO 4 Per lo studio delle dimensioni delle varie parti dell'animale secondo il metodo del coefficiente somatico ho scelto come lunghezza base la lunghezza massima del cranio, poichè, data la conformazione esterna della Talpa, il suo fitto pelo, la sua pelle spessa, la lunghezza massima del capo non si può esternamente misurare con sufficiente esattezza da poter essere assunta come lunghezza base. La stessa cosa si può dire, data la forma speciale del bacino ed i suoi rapporti coi visceri addominali, della lunghezza dalla bocca all'apertura anale. Neppure ho creduto conveniente di assumere come lunghezza base la lunghezza totale dell’animale, poichè in essa ver- rebbero incluse parti molto variabili come il muso e la coda ed inoltre perchè tale misura non potrebbe su materiale conservato in alcool determinarsi con sufficiente esattezza. Le misure che seguono sono espresse, salvo annotazione in contrario, in 360°; somatici. Lunghezza del muso dagli incisivi anteriori all'apice. a) Valle del Po: è - 63-68,-70-72,-73-74-76-(76,50)-77.-783-80,-81-85-88-90,. 8) Regione Romana: $ - 69-71-72-743-767-78;-(80,50)-813-83,0-84-853-883-90,-925. Y) Valle del Po: 9 - 64-65-67-72;-74,-75-77;-79-803-82-85-90. è) Regione Romana: 9 - 66-68;-73,-76,-78;:803-81-(81,50)-83-85,-883-95-97.. e) Amburgo: è - 60-683-74-(76)-783-80;-82-83-853-87-88-92. 0) 3 Q - 74:-(79,50)-853. u) Praga: 9 - 65-(68,50)-72. 0) » È - 65-68-73-(76)-78,-79-87. p) Contorno di Firenze: 3 - 74-80-85:-(85,50)-88-97. w) 3 Q - 70-723-75-(76)-82. x) Bucarest: è - 62. Y) È Q - 67-72. Larghezza massima del muso. a) Valle del Po: $ 78-81-85-88,-93-95-97,-(99)-100-106-107-1103-1133-115-117-120%. 8) Regione Romana: è - 90-92;-95;-97-993-102-104,-1073-(108)-109-111,-114;-115- 1173-1183-120-126. Y) Valle del Po: 9 - 823-85-90-93-95-(97,50)-98-1003-1013-103,-1063-110-1133. è) Regione Romana: 9 - 84-85;-90-923; -953-97-99-1003-(100,50)-1023-104, -1073- 109-110-117. e) Amburgo: è - 90-95-97-100;-103-(103,50)-105-106-107,-113-117;. 0) È Q - 85-95,-(95,50)-106,. u) Praga: 9 - 70-(76)-82. 0) » È - 83-88-90,-93-95-97. p) Contorno di Firenze: è - 100-104-105-(105,50)-107,-111. w) x Q - 98-100-103,-(104)-110. i X) Bucarest: 3 - 103. Y) s Q - 82-93. RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. 85 Larghezza del disco proboscideo. a) Valle del Po: $ - 49-50-51-52-543-55-57,-58,-60,-62,-65. 8) Regione Romana: è - 463-47-493-51,-52;-544-55;-(56)-57,-58,-60y-65-66. Y) Valle del Po: 9 - 503-513-53,-55-57,-583-(58,50)-60-62-643-67. è) Regione Romana: 9 - 443-47-49,4-50,-(52)-543-575-58-60. e) Amburgo: è - 583-60;-64-65:-66-67-68,-70-71-72-74. 0) », 2- 58-(62)-63,-71. : È - 583-603-(61)-62-64. u) » 9 - 60-(64,50)-69. p) Contorno di Firenze: è - 60-65-66-68:-70. w) È ) - 553-07-(58,50)-62,. x) Bucarest: è - 51. y) - Q - 57-62. Distanza dell'occhio dall’apice del muso. a) Valle del Po: $ - 180-1853-190,-1953-(197,50)-199,-200;-204,-206,-207-208- 210-211-215. 8) Regione Romana: è - 175-1853-189,-190-194-195:-(196,50)-198-199-2033-204,- 208,0-212,-214-216-2185. Y) Valle del Po: 9 - 180-185;-1903-191-196;-(198)-201-206,-210-211-212,-216. è) Regione Romana: 9 - 1853-195,0-200-(202,50)-204;-205-208;-209-210-213- 214-220,. e) Amburgo: è - 1803-1854-1913-195-200,-204,-206-210,. 0) 5 Q - 185-191-201. 0) Praga: è - 1753-180,-191-195-(195,50)-216. u) ; Q - 170-(183)-196. p) Contorno di Firenze: $ - 189-190-195-(196)-200-203. w) , Q - 180-185,-(193)-200-206. x) Bucarest: 3 - 175. Y) 3 ola rtz0-185. Larghezza massima del piede anteriore. a) Valle del Po: $ - 161-1753-180,-(180,50)-185,-189-1903-1953-2003. 8) Regione Romana: è - 175-1803-185;-189,-(193,50)-194;-1953-198,-199;-203,- 2043-208-2125. Y) Valle del Po: 9 - 164-169-170-175,-180:-(182,50)-185;-190-1913-1963-200-201. è) Regione Romana: 9 - 175;-179-180,-185;-189,-190-195;-(197,50)-199,-200,- 214-220. e) Amburgo: è - 175-185-190-191-(193,50)-195,-200;-204-206,-209-210-212. 0) 3 - 180-(190,50)-1913-201. 0) Praga: è - 1853-190-(194,50)-195-197-201-204. u) si Q - 190-193-196. a #0 Ot 86 LORENZO CAMERANO 6 p) Contorno di Firenze: è - 175-180,-1853. w) o 9 - 170-175-180-185-190. x) Bucarest: è - 165. w) 5 Q - 196. Lunghezza massima del piede anteriore (senza le unghie). a) Valle del Po: è - 181-142-146-149-153-1563-(158)-159-165-170,-175-180,-185. 8) Regione Romana: 152,-1563-157,-161-1623-165-1667-170,-171,-(173,50)-175,- 180,-185,-1953. 1) Valle del Po: 9 - 140-144-148-1509-154,-159,-160-(162,50)-165;-1693-175-180-185. d) Regione Romana: 136-146-151-155-156,-160-(160,50)-161,-165;-166-1703- 175,-185%. e) Amburgo: $ - 175,-180;-185:-(187,50)-190-191-195-200. 0) , 9 - 164-169-(177,50)-180,-191. 0) Praga: è - 1653-170,-(178)-175-180-191. u » © - 175-(177,50)-180. p) Contorno di Firenze: è 166-170-(173)-175-180. w) 3 9 154-160,-(164,50)-165-175. X) Bucarest: è - 160. Y) s Q - 165-175. Lunghezza massima del piede posteriore (senza le unghie). a) Valle del Po: $ - 151-161-1653-166-170-(173)-175;-180,-185-190,-195. 8) Regione Romana: è - 1613-162-165-166,-170,-1713-1753-180,-(182)-185;-189- 195-203. 1) Valle del Po: 9 - 154-165-109-170;-1756-(177)-180,-1853-1913-200. dò) Regione Romana: 9 - 136-146-(160,50)-1613-1659-170-175,-1805-185,. | €) Amburgo: è - 180,-185;-190;-(193)-195-196-200-206. 0) È Q - 180-(185,50)-191,. c) Praga: 3 - 185,-187-190,-(198)-195-201. M) n» - 185. p) Contorno di Firenze: è - 170-1753-1803. w) x 3 O - 1803-(182,50)-185.. x) Bucarest: 3 - 175. Y) , Q - 190-196. Larghezza del piede posteriore. a) Valle del Po: $ - 1733-76,-773-78y-80,-(81,50)-82,-83-85-88-90s. 8) Regione Romana: è - 719-72-74-76;-78;-(80,50)-81;-8313-84-853-84,-90s. 1) Valle del Po: 9 - 67-70-723-74,-75-(76)-773-793-803-82,4-854. ò) Regione Romana: 9 - 68-703-73;-75-763-78,-79-(82,50)-833-85-880-903-97.. e) Amburgo: $ - 80-83-85,-884-90,-(91,50)-95-97,-98-1003-103, ) ” © i 855. D RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Eco. 87 0) Praga: è - 82-83-88,-(89,50)-90-95-97. u , 9 - 90-(91,50)-93. p) Contorno di Firenze: è - 92-(94,50)-95-97 w) ” n Q - 90-(91,50)-93,. x) Bucarest: $ - 82. 5) w) ” O » 8 Lunghezza della coda. 3-263-272-278-280-284-288-290 - 292-297 -300,-3023-309s- 313-320-321-330-831. 3-249- ua -258-263-265,-268,-270,-272,-273;- (281,50)- 282-284-286-292-294 - 2953- 297- 303,- 305,-318- Y) Valle del Po: 9 - 2173-247-250-268,-270-: -280-2863-2883-2973-300-307- 309-310-319,. è) Regione Romana: 9 - 243-250,-253,-256-260-263;-265,-(271,50)-272;-280-282,- 2843-292-294. e) Amburgo: è - 244-257,-260-263-270-(277,50)-280,-282,-292-300,-310-311. 8) n Q - 2653-275-(275,50)-286. 0) Praga: è - 290-302-311-(320)-321-331-349-850. u) n £ - 278-(808)-330. p) Contorno di Firenze: & w) ” ” E x) Bucarest: è - 278. Y) 5 Q - 278-298. 292-310-(311,50)-314-320-322-331. 270,-278-(289,50)-298-309. Lunghezza massima del cranio (misura base) espressa in millimetri. a) Valle del Po: $ - 343-35,1-3613-37,-388. 8) Regione Romana: è - 35-37,1-38,0-39s. 1) Valle del Po: 9 - 33-345-3511-(35,50)-36-38. è) Regione Romana: 9 - 36;-8715-38,. e) Amburgo: è - 343-350-(35,50)-36-37x. È) ” Q - 34;. 0) Praga: è - 34-35-(35,50)-36-37. ee Q - 35-(35,50)-36. p) Contorno di Firenze: è - 363-37:-(37,50)-38-39. w) " î Q - 353-(35,50)-36.. x) Bucarest: è - 35. w) » Q - 359. 88 LORENZO CAMERANO 8 Lunghezza massima basale del cranio. a) Valle del Po: $ - 300-302-303,-304-3073-309,-310,0-311,-312-315-318-319-320. 8) Regione Romana: è - 302,-303-305;-307-308-3093-3113-(312)-313;-314-316,- 321-322. Y) Valle del Po: 9 - 300-304;-305-307,-309-310-(311,50)-313-316-323. è) Regione Romana: © - 300-302,-303-3073-3103-(310,50)-311;-315-321,. e) Amburgo: è - 300-302-305-307-309-810;-311,-312-315-316-319-320,. 0) È Q - 297-302-307-(307,50)-318,. 0) Praga: è - 310-311,-316,-318-(319,50)-329. u) » 9 - 309-(309,50)-310. p) Contorno di Firenze: è - 3113-313-314-315-(315,50)-320. w) ; 5 Q - 300-309,-(309,50)-310-319. X) Bucarest: è - 319. v |, O - 309,. Larghezza massima del cranio misurata sulle arcate zigomatiche. a) Valle del Po: è - 113-114,-115,-117-118,-120,-122-(122,50)-123-124,-1265;- 127-130-132. 8) Regione Romana: è - 123-126-128-129,- 131-1333-134,-(135)-136,-138,-141- 142-147. 1) Valle del Po: 9 - 106-109-111-1133-114-(115,50)-116,-118,-120,-122-123-125. è) Regione Romana: © - 125-126;-1283-130,-1313-133-1352-(185,50)-136;-146. e) Amburgo: è - 110,-112-113-115,-116,-117;-(117,50)-118-119-120,-122-123-125. 0) 3 Q - 116,-119-122,. 0) Praga: è - 119-120-122-(124)-126,-127-129. 1) o Q - 118-(119)-120. p) Contorno di Firenze: è - 118-120-122-(124)-126-128-130. w) vi È Q - 120-(122,50)-123,-125. x) Bucarest: 3 - 113. i ee RO: Larghezza massima del cranio misurata nella regione mastoidea. a) Valle del Po: $è - 161-165,-166-169-170,,-(170,50)-1733-174-1755;-1805. 8) Regione Romana: $ - 157-162,-165-166-170,-171-175,,-180-185. Y) Valle del Po: 9 - 160,-165;-(167,50)-169;-170,-175%. è) Regione Romana: 9 - 1619-1653-166-(168)-170,-175,. €) Amburgo: è - 165,-1693-1703-173-175. 0) 5 Q - 1699-1743-174,50-180. 0) Praga: è - 1653-170,-(172,50)-175-180. u) s - 165-(167,50)-170. p) Contorno di Firenze: è - 166-170,-(170,50)-175. w) x DI Q - 165-170-1753. x) Bucarest: è - 170. w) 5 Q - 170-175. RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. 89 Larghezza massima del cranio nella regione orbitale. a) Valle del Po: è - 66-68-69-70,-72,-733-74-75,-76-783-804-82s. 8) Regione Romana: è - 719-734-745-764-77-789-812-833. Y) Valle del Po: 9 - 70-723-743-75-76-77;-80.. d) Regione Romana: 9 - 70-713-735-75,-76-78-(79)-81-83». e) Amburgo: è - 65-683-69-70;-72,-73. 0) e - 715-(72,50)-74,. 0) Praga: $ - 66-68;-(70,50)-72-74-75. 1) IN Q - 67-(68,50)-70. 40 O+ p) Contorno di Firenze: è - 71s-72-73-(74,50)-75-78. w) A È Q - 70-72,-73-(73,50)-77. x) Bucarest: 3 - 72. Y) È O - 720. Lunghezza del palato. a) Valle del Po: è - 140-142-143-144,-1463-148,-149-1503-1513-154-155-160%. 8) Regione Romana: è - 146-149-151-153-156,1-157,-(158)-161;-162,-165-170. Y) Valle del Po: Q - 1445-148;-149;-150;-152y-154,. è) Regione Romana: © - 146-1533-156;-160,-161,0-165-166. e) Amburgo: $ - 141-144,-146;-1483-(148,50)-150,-151-156. ol. Q - 148. 0) Praga: $ - 145-1463-148-(149,50)-151-154. Di Q - 144-(147)-150. p) Contorno di Firenze: è - 142-146-(147)-148-150-152. w) î 5 - 145-150-(152,50)-154,-160. x) Bucarest: 3 - 149. w i, Q- 144-154. tO O+ IT Larghezza del cranio a livello del 1° molare superiore. a) Valle del Po: è - 66-78-833-823-83-(84)-85;-87-88,-90-92,-102. 8) Regione Romana: è - 859-84,-903-91-923-(94)-95;-973-1028. Y) Valle del Po: © - 72-79-803-82,-(83,50)-853-87;-933-950. è) Regione Romana: 9 - 859-86;-90;-(91)-92;-93-950-970. e) Amburgo: è - 73-75-77-783-80-(80,50)-82-83,-85,-879-883. 0) 3 Q - 82-(83,50)-85,. 0) Praga: è - 783-80-(81,50)-82,-85. li; Q - 82-(83,50)-85. p) Contorno di Firenze: è - 76-78:-(79,50)-803-83. se CY) ©, =” { ra w) î e Q - 75-80-(81)-82,-87. x) Bucarest: 3 - 82. w) ” °, 3 829. Serre II. Tom. LIV. LORENZO CAMERANO 10 Larghezza del palato a livello del 1° molare superiore. a) Valle del Po: è - 38-40-413-44,-4511-463-48,-493-50. 8) Regione Romana: è - 41-433-441-450-46,-47;-49-51a. Y) Valle del Po: 9 - 40-413-42-43-(44,50)-45,-463-48,-49. è) Regione Romana: 9 - 41-434-46:-45;-46-49.. e) Amburgo: $ - 42-433-44,-45;-(45,50)-46,-49. 0) n Q - 42-45-47,-48. 0) Praga: è - 443-45-46-(46,50)-48-49. DINE Q - 45-(45,50)-46. P) Contorno di Firenze: $ - 43-44,-(44,50)-45,-46. w) ; F O - 43-(44,50)-45-46,. x) Bucarest: è - 41. w) " Q - 460. Lunghezza dello spazio occupato dai molari superiori. a) Valle del Po: $ - 60-63,-64-65,-(65,50)-66,-67,-69-70,-71, 8) Regione Romana: $ - 58-63-65-66,-68;-69;-71,-72-73;-743. Y) Valle del Po: 9 - 57-62:-63-64,-653-663-673-68-69. è) Regione Romana: 9 - 683-693-70,-71-(71,50)-73;-75. e) Amburgo: d - 58;-607-61,-623-633-64. 8) : Q - 58-61-64. 0) Praga: è - 613-63:-(63,50)-64-66. u) , 9 - 60-(62)-64. p) Contorno di Firenze: $ - 53-(65,50)-66-68. w |, RITO ars. x) Bucarest: 3 - 64. w , 9 62, Lunghezza dello spazio occupato dai molari inferiori. a) Valle del Po: $ - 68,-69-703-713-723-73;-74-753-77-78-80. 8) Regione Romana: è - 71-72-737-74-75-76-77-78-81;-83. Y) Valle del Po: 9 - 69-70-71-723-783-74,-75-76-77,. d) Regione Rea Q - 753-76-78,4-(78,50)-803-81,-82. e) Amburgo: $ - 63-65;-66;-(66,50)-67-68,-69-70.. 0) ” 9 - 69. 0) Praga: è - 63-68-(68,50)-70-71,-72-74. Pia SO) me: p) Contorno di Firenze: è 6 sa) (69,50)-70,-71. w) ci = Cr Zo- 73- -(73, 50)- TI. x) Bucarest: è - 72. 1) O O - 67-72. 1a RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Eco. Larghezza massima del 2° molare superiore. a) Valle del Po: $ - 18-19-213-223-234-24;-2510-263. 8) Regione Rondi. > - 249-263-273-2813-(28,50)-29;-30-31-33. Y) Valle del Po: 9 - 203-21,3-23-24-25,-26,. è) Regione Romana: 9 - 24;-253-26-27-28,-29,0-30. e) Amburgo: è - 193-20-21,-22;-23-25. 8) L) 9 Si 21s. 0) Praga: è - 19-(21,50)-22,-230-24,. u) L) Q È 239. P) Contorno di Firenze: w) È È x) Bucarest: è - 21. Y) ” De 2a: O \ Lunghezza massima del 2° molare superiore. a) Valle del Po: $ - 22-23-24;-2519-263-(27)-28,-29-30-31-32. B) Regione Romana: è - 19-23;-24,-25-263-283-29. Y) Valle del Po: © - -24-259-26,1-27. è) Regione Romana: 9 - " 34,3-25,-(26, 50)-28-29. e) Amburgo: è - 19-203-213-(21,50)-22,-23,-24,. 0) È Q - 21, -(23,50)-24,- 3 o)sPraga: i - 21-22,-(22,50)-23,-2 Ò 285 114 IAN - 20-(20,50)-21. p) ho di Firenze: è - 22,-233-24. wo, , 2 - 293-(24,50)-25- x) Bucarest: $ - 23 ) » CNRIZIE 23, Larghezza massima del 2° molare inferiore. a) Valle del Po: è - 14-15,-163-17-18. 8) Regione Romana: è - 15-173-183-(18,50)-19,0-21-22 Y) Valle del Po: 9 - 13;-14-(14,50)-159-16;. è) Regione Romana: 9 - 153-173-18,-195. e) Amburgo: è - 12-13,1-(13,50)-153. MOTO 0) Praga: è - 12-13-(13,50)-15;. u) ” o, A 19». p) Contorno di Firenze: è - 14,-(14,50)-15,. w) e Ù Q - 13-(14)-15,. x) Bucarest: è - 13. Y) » Q - 133. 91 LORENZO CAMERANO Lunghezza massima del 2° molare inferiore. a) Valle del Po: $ - 20-21,-23-(23,50)-243-25,3-263-27. 8) Regione Romana: è - 19,-23,-(283,50)-24,;-25-263-28. Y) Valle del Po: 9 - 21-23,-24-253-26,1-27. è) Regione Romana: 9 - 193-20-22-24,5-254. e) Amburgo: è - 213-22,-23;-247-254. 0) È Q - 21-(283,50)-26,. 0) Praga: è - 22-243-25-26.. u) ” Q - 233. p) Contorno di Firenze: è - 233-(23,50)-24;. w) È È Q - 253-(25,50)-26;. x) Bucarest: è - 23. w) ”. D - 23, Lunghezza del canino superiore. a) Valle del Po: è - 253-26- De (29,50)-30,-32-34. 8) Regione Romana: è - 243-283-29-(31,50)-32,-33;-34-352-362-37-39. Y) Valle del Po: 9 - 21-26;- hi 50)-28-29,-303-31-32. dò) Regione SI Q - 28-29,-30-31-(31,50)-333-34,-35. e) Amburgo: È - 22-23-24,-25,-26-283-29-30g. 0) î Q - 213-(28, 50)- 24-26. 0) Praga: è - 243-26s-(27)-29-30. Dee 22) 26 p) Contorno di Firenze: è - 253-26-27,. w) A z O - 23-26,-(26,50)-28-30. x) Bucarest: $ - rotti. Y) 2 Q - 23-30. Lunghezza del canino inferiore. a) Valle del Po: $ - 10-13-(14,50)-159-17-18,-19. 8) Regione Romana: è - 14-15-173-18;-19;-213-22,. Y) Valle del Po; 9 - 113-139-15,0-16-19. è) Regione aa Q - 15-174-(17,50)-18,-19,-20. e) Amburgo: 3 - 103-11-12,-(12,50)-13,-15y. 0) p Q - 113-(183)-15.. 0) Praga: è - 12-(14)-15;-16. HM) », 9 - 10-(12,50)-15. p) Contorno di Firenze: è - 143-(14,50)-15,. w) ’ ” a 570 x) Bucarest: 3 - 13. Y) 5 Q - 18-15. 13 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfiela Thomas, Ecc. 93 Dall'esame comparativo dei dati precedentemente riferiti risulta: Statura. -- Gli individui maschi della Regione Romana giungono a dimensioni notevolmente maggiori che non quelli di tutte le altre località (la stessa cosa si dica per gli individui femmine) e presentano i seguenti campi di variabilità: à3 da mill. 176 a 207 colla media di 191,50 ; 164 a 200, , È 182. 40 Gli individui della Valle del Po, di Amburgo, di Praga, di Firenze, ecc., sono spiccatamente più piccoli. Valle del Po: $ - da mill. 165 a 188 colla media di 176,50 Amburgo: Ò - n 162rand92 kt : arr Praga: Ò - 7 Le6rari70 0, a 168 Firenze: ò - E PXeraok94 È 185 Valle del Po: 9 - s 15047661. i 1683 Amburgo: Q - a T60Rak0085 È 165 Praga: Q - n 5 span n 159 Firenze: Q - È 162iankz0 5 166 E da notarsi che gli individui maschi e femmine di Firenze, sono di dimensioni un po’ maggiori di quelli della Valle del Po, di Amburgo, di Praga ed anche di Bucarest. Lunghezza del muso dagli incisivi anteriori all'apice. — Non si notano differenze note- voli fra gli individui maschi della Regione Romana e quelli delle altre località. Si osserva tuttavia una maggior lunghezza negli individui maschi del Contorno di Firenze. — Nelle femmine, quelle della Regione Romana presentano lun- ghezza maggiore. Larghezza massima del muso. — I valori maggiori sono presentati dai maschi della Regione Romana e così pure si dica per le femmine. Larghezza del disco proboscideo. — I valori minori sono presentati dagli individui maschi e femmine della Regione Romana. Distanza dell’occhio dall’apice del muso. — Nei maschi delle varie località non vi sono differenze notevoli, mentre nelle femmine della Regione Romana si trovano valori notevolmente superiori a quelli delle femmine delle altre località. Larghezza massima del piede anteriore. — I valori più elevati sono presentati dalle femmine della Regione Romana, mentre nei maschi della Valle del Po si tro- vano i valori meno elevati. Lunghezza massima del piede anteriore senza le unghie. -- I maschi della Valle del Po presentano i valori più bassi. Questa misura dà pure valori bassi per le fem- mine della Regione Romana. Lunghezza massima del piede posteriore senza le unghie. — Le femmine della Regione Romana hanno i valori più bassi; i maschi invece hanno valori non molto diversi da quelli delle altre località. 94 LORENZO CAMERANO 14 Larghezza massima del piede posteriore. — Non si notano differenze spiccate fra gli individui delle varie località. Lunghezza della coda. — I valori più elevati sono presentati dagli individui maschi dei contorni di Praga. — Le femmine della stessa località hanno pure coda più lunga delle femmine delle altre. Fra i maschi e le femmine della Regione Romana e quelli delle altre località non vi sono differenze notevoli. Lunghezza massima basale del cranio. — Non vi sono differenze notevoli. Larghezza massima del cranio misurata sulle arcate zigomatiche. — Gli individui maschi e femmine della Regione Romana hanno valori notevolmente più elevati che non negli individui delle altre località. Larghezza massima del cranio alla regione mastoidea. — Non vi sono differenze notevoli. Larghezza del cranio alla regione orbitale. — 1 valori più elevati appartengono ai maschi e alle femmine della Regione Romana. Lunghezza del palato. — Questa è notevolmente maggiore nei maschi e nelle fem- mine della Regione Romana. Larghezza del cranio a livello del 1° molare superiore. — Essa è notevolmente mag- giore negli individui maschi e femmine della Regione Romana. Larghezza del palato a livello del 1° molare superiore. — Non vi sono differenze notevoli. Lunghezza dello spazio occupato dai molari superiori. — Nei maschi della Regione Romana è spiccatamente maggiore che non in quelli delle altre località. Fra le femmine invece la differenza non è spiccata. Lunghezza dello spazio occupato dai molari inferiori. — Esso è maggiore nei maschi e nelle femmine della Regione Romana che non in quelli delle altre località. Larghezza massima del 2° molare superiore. — Essa è notevolmente maggiore nei maschi e nelle femmine della Regione Romana. Lunghezza massima del 2° molare superiore. — Non vi sono differenze notevoli. Larghezza massima del 2° molare inferiore. — Essa è notevolmente maggiore nei maschi e nelle femmine della Regione Romana. Lunghezza massima del 2° molare inferiore. — Non vi sono differenze notevoli. Lunghezza del canino superiore. — Essa è maggiore nei maschi e nelle femmine della Regione Romana. Lunghezza del canino inferiore. — Essa è maggiore nei maschi e nelle femmine della Regione Romana. Dall'esame delle serie delle varianti e della loro frequenza, dalla considerazione delle classi estreme di ciascuna serie, ed anche dal confronto degli stessi valori medi di ciascuna serie e, inoltre, tenuto conto delle osservazioni sopra riferite, risulta: 1° che gli individui di Talpa che provengono dalla Regione Romana, per quanto riguarda le proporzioni delle varie parti del capo e delle varie parti del cranio, sono spiccatamente diversi dagli individui di Talpa delle altre località sopra esaminate; 2° che gli individui di Talpa della Regione Romana appartengono, anche pre- scindendo da altri caratteri differenziali che verrò menzionando in seguito, ad una forma distinta che merita di essere designata con nome specifico. 3° Tutti gli individui che ho potuto osservare della Regione Romana appartengono alla forma specifica stata indicata recentemente da Orfield Thomas col nome di Talpa romana. 15 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. 95 Ai caratteri sopra menzionati delle dimensioni per distinguere la Talpa romana Orf. Th. dalle altre Talpe italiane ed europee, si possono aggiungere i seguenti che ho osservato nella numerosa serie di individui dei due sessi, che ho avuto a mia disposizione. 1° Il secondo molare inferiore presenta una piccola cuspide basale, supple- mentare esterna al fondo della valle che separa le cuspidi principali. Questo carattere indicato nei due esemplari studiati da Orfield Thomas, venne da me trovato costante, sebbene con sviluppo vario. — Debbo dire tuttavia che in qualche esemplare delle altre forme di Talpe se ne trova qualche accenno. 2° L'ultimo molare presenta pure una leggera cuspide. Anche questo carattere, pure indicato dal Thomas, nella serie degli individui da me esaminati apparve abba- stanza costante. 3° La lunghezza che va dall'angolo posteriore dell’arcata zigomatica all'angolo posteriore della cavità orbitaria portata lungo la faccia laterale del cranio in modo che essa parta dall’angolo posteriore della cavità orbitaria, arriva colla sua estremità ante- riore 0 al di là del canino 0 a metà della larghezza del canino stesso. — Nelle altre forme di Talpe italiane o europee da me studiate, la stessa lunghezza arriva o a livello del 1° premolare o al più al margine interno del canino. Questo carattere differenziale nella numerosa serie di cranii maschi e femmine da me studiati mi è apparso costante. Esso è una conseguenza dello sviluppo diverso sia delle arcate zigomatiche, sia della porzione facciale del cranio, che si nota fra la Talpa romana Orf. Th. e le altre forme di Talpa. 4° Le arcate zigomatiche nella Talpa romana, sia nei maschi che nelle fem- mine, sono più robuste, e ciò appare a colpo d’occhio dalle figure qui unite. Le arcate stesse sono più arcuate: ciò contribuisce a dare al profilo generale del cranio, guar- dato dalla parte superiore, un aspetto diverso da quello delle altre forme di Talpe italiane ed europee. Questo carattere appare del resto molto spiccato anche dalle soprariferite misure. 5° I premolari superiori sono in complesso meno robusti e meno alti nella Talpa romana che non nelle altre. — Questo carattere venne già da me indicato nelle figg. 4 e 6 della tavola II del mio precedente lavoro sulla Talpa (Op. cit.), le quali rappresentano di profilo un cranio di Talpa di Roma ed un cranio di Talpa di Sicilia che, come dirò meglio in seguito, appartiene pure alla specie Talpa romana Orfield Thomas. Devo tuttavia osservare che questo carattere, spiccatissimo in molti individui, lo è meno in altri e che non raramente lo si può osservare in individui di Talpa non appartenenti alla Talpa romana. Credo perciò che esso debba venire in ultima linea. 6° La stessa considerazione si può fare pei canini superiori ed inferiori i quali sono spesso, ma non sempre, più sviluppati nella Talpa romana. 7° Nessun carattere differenziale sicuro si può trarre dallo sviluppo rispettivo degli incisivi, come già, del resto, avevo fatto notare nel mio precedente lavoro sopra citato. 96 LORENZO CAMERANO 16 La diagnosi della Talpa romana Orfield Thomas, può essere formolata nel modo seguente: Talpa romana Orfield Thomas. Annals and Magazine of Natural History, Ser. 7, vol. X, dicembre 1902; pag. 516-17. Talpa caeca (partim). — Bonaparte, Iconografia della Fauna italica, Tom. I, punt. 7, tav. 17, fig. 1, 1833. . Talpa europaca (partim). — CameRANO, Ricerche intorno alle specie italiane del genere Talpa, “ Mem. Accad. Scienze di Torino ,, Ser. II, vol. XXXVII, 1885, tav. I, figg. 7, 12, 15, 16, tav. 22, figg. 4, 6. Talpa caeca (partim). — TrovessaRT, Catal. Mamm., vol. 1, pag. 206, Berlino, 1898-99. La colorazione è come nella Talpa europaca Linn. ben nota. Occhi con apertura palpebrale nulla (1). Statura. — Nei maschi classi estreme 176-207, media 191,50; nelle femmine cl. estr. 164-200, media 182 (2). Larghezza massima del muso. — Nei maschi cl. estr. 69-92, media 80,50; nelle fem- mine cl. estr. 66-97, media 81,50 (3). Larghezza del disco proboscideo. — Nei maschi cl. estr. 46-66, media 56; nelle fem- mine cl. estr. 44-60, media 52. : Distanza dell'occhio dall’apice, del muso. — Nei maschi non vi è differenza notevole dalle altre forme di Talpe europee; nelle femmine si ha: cl. estr. 185-220, media 202,50. Larghezza massima del piede anteriore. — Nelle femmine si ha: cl. estr. 175-220, media 197,50. n Lunghezza massima del piede anteriore. — Nei maschi cl. estr. 152-195, media 173,50; nelle femmine cl. estr. 136-185, media 160,50. Lunghezza massima del piede posteriore. — Nelle femmine cl. estr. 136-185, media 160,50. Larghezza massima del cranio misurata sulle arcate zigomatiche. — Nei maschi cl. estr. 123-147, media 135; nelle femmine cl. estr. 125-146, media 135,50. Arcate zigomatiche robuste. — La lunghezza che va dall'angolo posteriore dell’arcata zigomatica all’angolo posteriore della cavità orbitaria, portata lungo la faccia laterale del cranio, in modo che essa parta dall'angolo posteriore della cavità orbitaria stessa, arriva colla sua estremità anteriore o al di là del canino o a metà della larghezza del canino stesso. (1) Si menzionano qui soltanto i caratteri che si presentano diversi nella Talpa romana rispetto alle altre forme di Talpe italiane ed europee. (2) Questi valori sono espressi in millimetri. (3) Questi valori e gli altri che sono segnati pei caratteri seguenti, sono espressi in 360esimi somatici e quindi sono senz'altro paragonabili fra loro. — I valori estremi e le medie sono dedotti dall'esame di serie sufficientemente numerose per lasciar credere, dato l'andamento delle classi nelle serie e le loro frequenze, che l’esame di altri individui della stessa località non potrà far variare di molto i valori estremi stessi e quindi le medie. 17 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Eco. 97 Larghezza del cranio alla regione orbitale. — Nei maschi cl. estr. 71-83, media T7; nelle femmine cl. estr. 70-88, media 79. Lunghezza del palato. — Nei maschi cl. estr. 146-170, media 158; nelle femmine cl. estr. 146-166, media 156. Larghezza del cranio a livello del 1° molare superiore. — Nei maschi cl. estr. 85-102, media 94; nelle femmine c?. estr. 85-97, media 91. Lunghezza dello spazio occupato dai molari superiori. — Nei maschi cl. estr. 58-74, media 66. Lunghezza dello spazio occupato dai molari inferiori. — Nei maschi cl. estr. 71-83, media TT; nelle femmine 75-82, media 78,50. Larghezza massima del 2° molare superiore. — Nei maschi cl. estr. 24-33, media 28,50; nelle femmine e?. estr. 24-30, media 27. Larghezza massima del 2° molare inferiore. — Nei maschi cl. estr. 15-22, media 18,50; nelle femmine cl. estr. 15-19, media 17. Lunghezza del canino superiore. — Nei maschi cl. estr. 24-39, media 31,50: nelle femmine cl. estr. 28-35, media 31,50. Lunghezza del canino inferiore. — Nei maschi cl. estr. 14-22, media 18; nelle fem- mine cl. estr. 15-20, media 17,50. Secondo molare inferiore con una piccola cuspide basale supplementare al fondo della valle che separa le cuspidi principali. La Talpa romana Orfield Thomas si presenta in tutti gli esemplari da me esa- minati, completamente cieca. Per ciò che riguarda la sua distribuzione geografica io posso fornire i dati seguenti. Essa è assai frequente nei contorni di Roma, tanto nella regione del piano, quanto in quella montuosa. Ne ho inoltre esaminato un esemplare femmina raccolto dal conte M. G. Peracca a Catanzaro. L’esemplare di Talpa indicato di Sicilia (1), nel mio precedente lavoro sulle Talpe italiane, appartiene pure alla Talpa romana. È lecito supporre che questa specie estenda la sua area di distribuzione a tutta la parte meridionale d’Italia, almeno nella Regione Tirrena. Sono tuttavia necessarie altre ricerche per determinare i suoi limiti di estensione verso il Nord di Roma ed anche verso l'Est, sopratutto per quanto riguarda il versante Adriatico. Debbo dire a questo proposito che dai contorni di Urbino e dai contorni di Firenze io ho rice- vuto soltanto esemplari di Talpa europaea Linn. cogli occhi aperti. Separata come specie, pei caratteri sopra indicati, la Talpa romana Orfield Thomas, si presenta ora la domanda: La Talpa caeca descritta dal Savi è forma distinta spe- cificamente dalla Talpa romana stessa ? (1) Cfr. anche: L. CamerANO, Dell’esistenza della Talpa europea in Sicilia, “# Boll. dei Musei di Zool. e Anat. comp. di Torino ,, vol. 1°, n. 4, 1886. Serie II. Tom. LIV. M 98 LORENZO CAMERANO 18 Il Museo Zoologico di Torino possiede due esemplari tipici inviati a suo tempo dal Savi stesso; questi esemplari io già studiai nel mio precedente lavoro sulle Talpe italiane ed ora ho ristudiato minutamente, sopratutto per quanto riguarda i caratteri presentati dal cranio e dai denti. Per gli altri caratteri non ripeterò qui ciò che già dissi nel mio precedente lavoro. Pei caratteri delle dimensioni del cranio questi individui si scostano notevol- mente dalla Talpa romana e così pure per quelli dei denti, avvicinandosi notevol- mente alla Talpa europaea Linn. Le dimensioni della Talpa caeca del Savi sono spiccatamente più piccole di quelle della Talpa romana e sopra ciò già si avevano le osservazioni del Bonaparte che io ho riferite in principio di questo lavoro. Il carattere che io ho sopra indicato della misura della lunghezza delle arcate zigomatiche, rispetto alla posizione del canino superiore, è nella Talpa del Savi come nella Talpa europaca di Linneo e non come nella Talpa romana. Inoltre la larghezza del secondo molare inferiore è molto piccola. Un'occhiata del resto data allo specchietto delle misure (espresse in 3605imi so- matici) delle varie parti del cranio e dei denti e il confronto con quelle della Talpa romana e della Talpa europaca porta facilmente l'osservatore a conchiudere che la Talpa caeca Savi è forma al tutto distinta dalla Talpa romana Orfield Thomas. La Talpa caeca Savi ha affinità notevolissime colla Talpa europaea Linn., non solo per l'insieme delle dimensioni delle varie parti del corpo: ma anche per le pro- porzioni e la forma delle varie parti del cranio e dei denti. Essa si differenzia tut- tavia pel fatto che le sue palpebre sono completamente saldate. Se si prescinde per un momento da questo carattere e si confrontano i cranii dei due individui tipici sopradetti della Talpa del Savi con quelli della Talpa europaea Linn. e si procede a misure col metodo dei coefficienti somatici, si giunge facilmente alla conclusione che non è possibile distinguere i primi dai secondi, nè per le dimensioni relative, nè per la forma, fatta eccezione per la larghezza del 2° molare inferiore, che nei due esemplari sopradetti è spiccatamente minore. Caratteri differenziali non si trovano neppure fra le altre parti del corpo. A questa conclusione ero giunto pure nel mio precedente lavoro sulle Talpe italiane, e questa conclusione io confermo ora dopo l’esame di un molto più ampio materiale. 5 Rimane da discutersi il carattere della chiusura completa delle palpebre. Intorno alla variabilità dell’ ampiezza dell’ apertura delle palpebre nella 7a/pa europaea Linn., già ho detto a lungo nel lavoro ripetutamente citato, dove sono anche riferite le osservazioni degli altri Autori, e ad esso rimando il lettore. Osser- verò soltanto che, a quanto pare, esemplari di Talpa con palpebre completamente chiuse, si trovano talvolta qua e là nella Regione Alpina, in località dove si trovano pure esemplari con occhi aperti; mentre non mi venne fatto mai di osservarne nel piano. Le Talpe che io ho avuto dal Contorno di Firenze hanno tutte gli occhi aperti. — Il Savi, noterò pure, dice espressamente che gli esemplari ciechi da lui descritti provenivano dall’Appennino. 19 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. 99 Lo studio dei due esemplari ciechi che io ho avuto da Domodossola e da Andrate, mostra che i caratteri del loro cranio e dei loro denti sono come quelli della Talpa europaea Linn., anche per ciò che riguarda la larghezza del 2° molare inferiore. Non credo possibile per ciò separare specificamente questi ultimi esemplari dalla Talpa europaea Linn. pel solo fatto che essi hanno le palpebre completamente sal- date, tanto più tenendo conto del fatto che nella 7a/pa europaea Linn., si trova variare l’ apertura delle palpebre da m. 0,002 ad una semplice puntura di spillo e tanto più che sono stati osservati esemplari di Talpa europaea, in cui un occhio aveva palpebre aperte e l’altro saldato, ed inoltre anche pel fatto che gli esemplari ad occhi con palpebre saldate, pare si trovino sporadicamente qua e là. Per quanto riguarda gli esemplari del Savi è necessario tuttavia tener conto delle considerazioni seguenti: 1° Secondo quanto dice il Savi stesso (vale a dire: “ nel novembre poi del decorso anno (1), ebbi fra mano di quelle Talpe che trovansi sul nostro Appennino, e rimasi sommamente sorpreso di non trovar loro l’apertura delle palpebre ,), pare che sull'Appennino questa forma di Talpa sia frequente e forse localizzata sull'Appennino stesso. Ho avuto occasione di vedere alcuni esemplari di Talpa provenienti da Val- lombrosa. Essi hanno le palpebre completamente saldate. La loro statura è piccola e concorda con quella data dal Savi per la sua Talpa cueca. Ma non ho potuto su di esse procedere a misure comparative delle varie parti del cranio e dei denti. 2° Il carattere sopra menzionato della assai piccola larghezza del 2° molare inferiore, se risultasse sufficientemente costante, dovrebbe essere preso in conside- razione, e unito alia costanza della chiusura delle palpebre e alla speciale stazione dell'animale, potrebbe legittimare la separazione specifica della forma descritta dal Savi. Per quanto tuttavia non si debba nascondere il fatto che le Talpe europee di Amburgo presentino per la larghezza del 2° molare inferiore valori assai bassi con frequenza notevole. è Amburgo: 124-1311-(13,50)-153 — Esemplari del Savi: è - 11-12. L’esame fatto di serie di esemplari di Talpa europaca, con palpebre aperte, di Amburgo, Praga, Bucarest e di varie località italiane (sopra indicate), mi ha mostrato che fra essi non è possibile istituire divisioni di gruppi speciali. Gli individui di qualche località, come ad esempio i maschi di Amburgo, pre- sentano nella serie studiata uno sviluppo maggiore della coda. Gli individui del Contorno di Firenze hanno una statura un po’ maggiore degli altri, la lunghezza del muso nei maschi di Firenze è pure più spiccata, ecc.; ma per poter dare a queste differenze un giusto valore, sarebbe necessario l’ esame di serie più numerose delle varie località di quelle che io ho avuto a mia disposizione. Ad ogni modo tenendo conto dei caratteri, certamente molto importanti, del cranio e dei denti, credo poter affermare che gli individui di Amburgo, Praga, Bucarest e (1) Sopra la Talpa cieca degli antichi, “ Nuovo Giornale dei Letterati ,. Pisa, 1822, vol. 2°, pag. 304, anno 1822. 100 LORENZO CAMERANO 20 quelli con occhi aperti delle varie regioni italiane, appartengono ad una sola forma specifica e precisamente alla Talpa europaea Linn., della quale specie si può dare la seguente diagnosi, simmetrica con quella della Talpa romana Orfield Thomas. Talpa europaea Linn. STENSIEXII oo ene La colorazione è come nella Talpa romana ed è ben nota. Occhi con apertura palpebrale distinta di diametro variabile, in qualche esemplare* eccezionalmente nulla (1). Statura. — Nei maschi cl. estr. 160-194, media 177; nelle femmine 147-176, media 166,50 (2). Larghezza massima del muso. — Nei maschi cel. estr. 78-120, media 99; nelle fem- mine cl. estr. 70-113, media 91,50 (3). Larghezza del disco proboscideo. — Nei maschi cl. estr. 49-70, media 59,50; nelle femmine cl. estr. 50-67, media 58,50. Distanza dell'occhio dall’apice del muso. — Nelle femmine cl. estr. 170-216, media 190. Larghezza massima del piede anteriore. — Nelle femm. cl. estr. 164-201, media 182,50. Lunghezza massima del piede anteriore. — Nei maschi cl. estr. 131-200, media 215; nelle femmine cl. estr. 140-191, media 165,50. Lunghezza massima del piede posteriore. — Nelle femmine cl. estr. 154-200, media 177. Larghezza massima del cranio misurata sulle arcate zigomatiche. — Nei maschi cl. estr. 113-132, media 122,50; nelle femmine c/. estr. 106-125, media 115,50. Le arcate zigomatiche sono gracili. — La lunghezza che va dall’ angolo posteriore dell’arcata zigomatica all'angolo posteriore della cavità orbitaria, postata lungo la faccia del cranio, in modo che essa parta dall’angolo posteriore della cavità orbitaria stessa, arriva colla sua estremità anteriore o a livello del 1° pre- molare o al più al margine posteriore del canino superiore. Larghezza del cranio alla regione orbitale. — Nei maschi cl. estr. 65-82, media 73,50; nelle femmine cl. estr. 67-80, media 73,50. Lunghezza del palato. — Nei maschi cl. estr. 140-160, media 150; nelle femmine cl. estr. 144-154, media 149. Larghezza del cranio a livello del 1° molare superiore. — Nei maschi cl. estr. 66-102, media 84; nelle femmine cel. estr. 72-95, media 83,50. Lunghezza dello spazio occupato dai molari superiori. — Nei maschi cl. estr. 60-71, media 64,50. Lunghezza dello spazio occupato dai molari inferiori. — Nei maschi cl. estr. 63-80, media 71,50; nelle femmine cl. estr. 67-77, media 72. Larghezza massima del 2° molare superiore. — Nei maschi cl. estr. 18-26, media 22; nelle femmine cl. estr. 20-26, media 23. Larghezza massima del 2° molare inferiore. — Nei maschi cl. estr. 12-18, media 15; nelle femmine cl. estr. 13-16, media 14,50. Lunghezza del canino superiore. — Nei maschi cl. estr. 24-34, media 29; nelle fem- mine cl. estr. 18-32, media 25. Lunghezza del canino inferiore. — Nei maschi el. estr. 10-19, media 14,50: nelle femmine cl. estr. 10-19, media 14,50. Secondo molare inferiore senza cuspide basale supplementare. (1) Si menzionano qui soltanto i caratteri che si presentano diversi da quelli della Talpa romana Orfield Thomas. (2) Valori espressi in millimetri. (3) Questi ed i seguenti valori sono espressi in 360esimi somatici. DI RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. 101 Per quanto riguarda la distribuzione della Talpa europaea Linn. in Italia, dirò che pare essa occupi sopratutto la Valle del Po e si spinga nella parte peninsulare ad incontrare la Talpa romana; ma i limiti di distribuzione delle due specie riman- gono da chiarire. E Viene in ultimo la questione del modo di considerare tassonomicamente la Talpa cacca Savi. Dopo la separazione in specie distinta della Talpa romana Orfield Thomas, la quale presenta le palpebre completamente saldate, questo carattere da solo non può più bastare, qualunque sia il valore che ad esso si voglia dare, a diagnosticare un’altra specie del genere Talpa, è d’uopo ricorrere ad un altro carattere di partenza per la distinzione specifica. Come ho detto sopra, i tipi del Savi presentano le maggiori affinità cogli esem- plari di Talpa europaea Linn., tanto che non riesce possibile trovare un carattere per distinguerli specificamente. Il carattere stesso della chiusura delle palpebre può trovarsi fra gli esemplari di quest’ultima specie. Se lo studio di serie numerose di individui ‘di Talpe a palpebre saldate della regione montagnosa appenninica, mettesse in evidenza una diminuzione spiccata della larghezza dei molari rispetto alla Talpa europaea, in rapporto colla minore statura media e se la forma di Talpa in questione si presentasse localizzata nella regione montagnosa appenninica, io non esiterei a considerare la Talpa caeca Savi come specie da conservarsi nei cataloghi. Se poi le ricerche future condotte lungo la zona montagnosa appenninica met- tessero invece in chiaro il fatto, dell’estendersi in essa promiscuamente colla forma cieca, anche della forma a palpebre non saldate, come pare avvenga nella zona alpina, e se il carattere della diminuzione di larghezza dei molari non risultasse spiccato, io credo si debba ritornare alla proposta che già feci nel precedente lavoro sulle Talpe italiane, di dare alla Talpa caeca di Savi il valore di semplice variazione. * * %* Come conclusione delle ricerche di cui ho esposto i risultamenti, rispondo alle varie domande che ho formulato in principio di questo lavoro. 1° La Talpa romana Orfield Thomas è specie distinta nettamente dalla Ta/pa caeca Savi e dalla Talpa europaea Linn. 2° La Talpa europaea Linn. delle varie località italiane, non pare forma diversa dalla Talpa europaea delle altre regioni d'Europa. 3° La Talpa europaea Linn. presenta nella regione montagnosa, come pare avvenga anche in altre regioni d’ Europa, talvolta individui colle palpebre saldate. 4° La Talpa caeca Savi è forma affinissima alla Talpa europaea Linn., da cui si differenzia secondo il Savi per la saldatura normale delle palpebre. 5° Per poter con sicurezza determinare il valore tassonomico della Talpa caeca Savi, è d’uopo chiarire il fatto della sua localizzazione nella regione montuosa appen- ninica e studiarne i caratteri in serie numerose di individui. 102 LORENZO CAMERANO 22 Maccarese) Faipa romana # Orfield Thomas Î 1 2 3 4| 5 6 7 8.9 | 10| 11 | 12) 13 (14 54M 6. | :6.| 64) 640 | 00] 71604008 103° 0 (Misure assolute in millimetri) i Lunghezza totale 198) 184 192/190! 190| 195] 185) 1938/202205] 195) 205] 200|200|193 19 Id. massima del cranio 38 | 38| 39|38| 38| 38| 37| 38/39/39| 38] 39| 38/39/39] 38 Id. della coda 31| 26| 28|31) 28| s2| 26| 27|38|32| 31] 32| 33 33|30| 30] Id. del muso dagli incisivi ‘al Ù l’apice. 8,5.736.| 40] 84 8.19. |\2:87|8;b:| 769/08) (10.|8;5.| (60 Larghezza massima del muso | 10| 10| 10|10| 10 10,5|9,5| 10|12|10]|11,5| 11| 11|10|11 11 Id. del muso alla base della parte nuda . 55 | oo 5 6,570] (6 | 56805 Distanza dall'occhio all’ apice | | del muso . 22] 22] 21|23| 23| 21/19,5| 20|22/22] 22] 22) 22/22/22| 2 Larghezza massima del piede | | o anteriore . 19,5] 19| 20|19| 19) 21/21) 2022/21 Lunghezza massima ‘del piede | anteriore senza le unghie | 17 116,5) 18|17| 17) 18 16,5/16,5 18 18 Id. id. del piede posteriore .| 17| 17 17,5| 18 117,5) 19| 18) 18/20/19 Larghezza massima del piede | posteriore. 8,5 8,5|8,6/9 | 8 /9,5/8,0/8,51 99 (Misure in 360esimi somatici) | Lunghezza massima del cranio | 360] 360) 360360) 360) 360) 360) 3603601360 Id. della coda. - 294| 246| 258|294| 265) 303| 258) 256/305/295 Id. del muso dagli incisivi SL | l'apice . 84| 71| 92|76| 76| 85) 78| 81|69|83 Larghezza massima del muso | 95| 95) 92/95| 95 99 92] 95 111|92 Id. del muso alla base della | | parte nuda . . 47| 47) 46/52] 52) 57) 54| 47|60/65 Distanza dall'occhio all’ apice | del muso . : 208! 08) 194/218] 218 199 190| 189|203]203 Larghezza massima del piede | anteriore . 185) 180] 185/180 180 199) 204| 189/2031194 Lunghezza massima del piede | | | anteriore senza le unghie | 161) 156 166161 161) 170) 161| 156166 166 id. id. del piede posteriore .}161) 161 162|170| 166, 180) 175| 170/203/175 Larghezza massima del piede | | posteriore 81|81| 78/85] 76) 90) 83| 81|83|83| 21 | 22| 23| 24| 25 27 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ostia 30 | 31 (32) slslslalé ) 185 20 21|21 20 |19| 18 |20|18|19| 9|8|8,5 \ 360 pi 360|360) 360 | | 272/282/292|246| 240 | Î 360 d° 286/292/282 263 | |102 102 88 |83|78|78) 88/88|85| ss 97 |107126/117/117107|104| 102 il | | |\55 46 58|49|58|49|58|54|52| 51 175|185\195/185/195/185/204/204|208) 208 | i | | | 175\194 204 185)195/204 195 185/199 185 1175185185 175/195/195(185/195 161) 162 175185, 83 | 83 175|185/175/185/165 195j161| 175 a \78|83|71 Ì 88 | 88 185) 187/180 | 38 |38| 39 190|185 39 39 30 | 35/30 | | 360| 360/360) | Il 256/265 | 76|81| 83 360/360 277 323|277 83: 111| 90114) 92 51 | 47|52 | 203) 198199 203) 208/189 212|203 212|194 152) 156/161|171|166 162 180170 50 | dd | i ECC. di Roma Contorno 41 Ot + + O Ot Ot O 197| 186/190/195/202) 190] 195 3813913940 40 30| 34 fili ie 360) 360/360 360/360 £ 265| 265/295/268/270| 314) 297 | | 6| 76)83|74/90 -—J | 72 99 | 1141111201118 52| 57|55|51|54 203) 208]212/212/198 189, 208|212/203,198 152 170185166 162 189 175175166 180 83|78/72 105 960 36( 104 Talpa romana Orfield Thomas (Misure assolute in millimetri) Lunghezza massima del cranio . Id. basale id. Larghezza zigomatica Id. mastoidea Id. interorbitale Lunghezza del palato . . . . . . . Larghezza id. al di fuori del 1° molare Id. id. all’indentro id. Spazio occupato dai molari superiori . Id. id. inferiori Larghezza del 2° molare superiore . Lunghezza id. 5 elia Larghezza id. inferiore . Lunghezza id. id. Altezza del canino superiore . Id. id. inferiore (Misure in 360%"! somatici Lunghezza massima del cranio Id. basale id. Larghezza zigomatica Id. mastoidea Id. interorbitale Lunghezza del palato . . . . . . . Larghezza id. al di fuori del 1° molare Id. id. all’indentro A Spazio occupato dai molari superiori . Id. id. inferiori Larghezza del 2° molare superiore . Lunghezza id. id. Larghezza id. inferiore . Lunghezza id. id. Altezza del canino superiore . Id. id. inferiore . (*) Misure date da Orfield Thomas (il sesso degli esemplari descritti LORENZO CAMERANO 24 Ostia e Maccarese non è indicato dall’A.). RR AE IERI e I 6 | 6 160 (09 38 | 37.| 39 | 89 | 37 |/37 | 37 |-37 | 37 33 (32,5) 33 | 34 | 33.| 31| 3133 | 32 15) 43.|/15.| 150 1003 o 19] 1820] 17/1818 PIBS (840 g*.7gie. Bilal 161647179 ded 6 10 | 10 | 11 | 10 | 10 {9,5 | 10 [10,5 [10,5 4,50 5 5 | 5° |5,25|4,5 | 5 45405 o o A NA 6,5 |7,5 | 6 75.168. 70725 RIV 3: 255.] Sali 2753.270208 2,548 (2,5 2,525. | 2/26 22? [e 1751075, 175/2250 2,5] 2,5/2,5|25| 2 | 2 |2,5/|2,5 [2,5 360 360 | 360 | 360360360360 |360 | 360 313 |316|305|314|321|302|302]|321|311 142 |126|138|138|136|131|136|136|196 180|175|185]|157|175|175|175]|175]|175 76 | 78 [74° 740078079078 |78178 1538 | 156|157|157|156]|146|165|156|156 95 | 97 |102| 92|97|92| 97 |102|102 47 | 49 | 46 | 46 | 51 | 44 | 49 | 44 | 49 66 | 73 | 69] 65 | 68|68|63|73 | 358 775. VARA 87 2804439 Re 7 92740709 24 | 29/23 |23|24|19|24|24| 24 19190 BIT 224019 24 | 24|23|23|19|19|24|24|24 | | =ii =>; er euseosto = SOSTISERN | Marino Maccarese SERIE luia5*|-ie 17 18] 19 | 20 pool.) è | | | 38 | 88/38|37|38|38 |37 pela —=l'sa0 aan 15 |{—-|—-|—]|1413,5|.14 18 |—|—|18]17,5| 18| 18 BIOPS,54) — (85750750 75 17 | 17 |16,5|17,5/16,5| 16 | 16 9,5 [10|95| 9 [9,5 | 109,5 Si br 45 1 514,75) 5 CRA 75 cda MS i Sgr 8 8 [7,75] 8 [75 i RES AGLI AC, oli2;5.| 3 12525 (2,5 [2,5 2 |h75 1,75 (1,75|h75) 2 2 fs F2,5. 25 |25.12,5/25 |2,5 (#63 13,50 18,508,75 12,5 | 2,50 1.3 2 (2,25 |1,75|1,5 (1,75|1,75 360 {360360 360|360|360 360 313 | — |313| — |813|803]|311 L | 142] — | — | — |183|128|136 L 170] — | — |175|166|170]175 i 76 | 81 \88|71|71|78 l | 161 |161 156 |170|156 |151| 156 | ( 90 {95 | 90) 88| 9095 | 92 46 47 |47|47|49|47|45|49 73 71 | 71|66]|73|66|66| 68 81 MOcjoMe |076:|-78:1 73 | 7673 28 2601028426) 29.1 28°] 28° 29 28 | 24 | 24|28|24|24 \24|24 15 I N 19° 19 23 28 | 24|24|24|24|24]|24 Mon 32) 28 /33|33/86/24 | 24] 29 8 | 18] 19 |19/22|17|14 per | | | | II. Tom. LIV. 22 23 = n | | STMNISI9 12,5 [82,5 | 33 |14|14|14 18 18 | 18 8,5 |8,5 AE 17 (17,5 9 | 10 |9,5 4,5 |4,75 (4,75 Va esi ie ciastla5 | 3 |3,25/9,25 2,5 |2,75| 2 2 |2,252,5 12,5 |2,75/2,5 3,5 |3,5 [3,75 15 |2,25| 2 360 | 360 | 360 | at | 816 | 808 | 305 | 136 |133|129, 175 |170|166| 78|81|78 161|161]|162 88 | 95 | 88 |44|45 | 44 | 68| 71 | 69 x85]k:81-1278 29 | 31 | 30 24 | 26 25 19/21 |18 | 24 |26 | 25 | 34 | 38 | 85 LE RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA 0rfield Thomas, Ecc. 105 Contorno di Roma 24 25 élaslé 3 | ‘3801098 31,5| 34 | 33 14,5 13,5] 14 18 | 18 {17,5 8 |7,75| 8 16,5 116,5|16,5 10 | 10 9 (4,5 |4,5| 4,5 7,5|7,5|7,25 18,5 |85| 8 3 |3,5 [2,75 9,5 |2,751 2,5 9 175) 2 12,5 [2,75] 2,5 3,751 3,5 (2,25) 2 | 2 | 360 | 360 | 360 307 | 322313 141|129|1938 175|170|166 78| 73| 76 161|156|156 91 | 95 | 85 41|43| 48 73|71| 69 88/81] 76 29133 | 26 94 | 26 | 24 19 |17 19 294/926 | 24 50 l96:]' 33 22 | 19 | 19 28 106 LORENZO CAMERANO Talpa romana Orfield Thomas 1 2 | (Misure assolute in millimetri) Lunghezza ‘totale. © è. 0. 2 7064 Id. massima del cranio . . . .| 36 | 37 Id. della coda Si tra RA aL eZoezA Id. del muso dagli incisivi all’apice| 8 | 10 Larghezza massima del muso . . . .| 10 11 Id. del muso alla base della parte nuda| 6 | 5 Distanza dall’occhio all'apice del muso .| 20 | 19 Larghezza massima del piede anteriore .| 20 | 20 Lungh. mass. del piede ant. senza le unghie | 17 | 19 Ia. id. ka a 18 | 17] Larghezza id. id. id. 9 | 10 (Misure in 3605imi somatici) Lunghezza massima totale del cranio . .|360 360 Id. della coda . . . . . ! .|250|268) Id. del muso dagli incisivi all’apice | 80 | 97 | Larghezza massima del muso. . . . 100 |107 QU. 97 9288 | 92. | 34 | 889097 Id. del muso alla base della parte nuda | 60 | 49 | 49 | 58 |49| 44| 49 | 47 | 49 | 44 Distanza dall’occhio all’apice del muso .|200 | 185 | 204 | 185 | 204 | 204 | 204 | 208 | 195 | 195 Larghezza massima del piede anteriore .|200|195 195189 | 175 | 185 175|180|175|195 Lungh. mass. del piede ant. senza le unghie | 170 | 185 | 175 | 185 | 136 | 146 | 156 | 161 | 156 | 156 Id. id. post. id. 180 | 165 | 175 | 185|136 146|165|161|165|165]I Larghezza id. id. id. 9019700970188 N87) 73.78.35 27 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. 107 Marino Ostia Contorno di Roma|Modica Ot 188 | 184 188 178 185) 177) 191) 198) 200) 195) 188 182| 174 175 184/180] 177 37 | 37 | 88 37 36| 37| 38| se| s8| s8| 37| 37| 37] 37 87| 371 39 26/28|27| 26 |25]|28|28| 0] 28| 30] 28| 29/27] 27| 90/28] 29 7,5|7,5|75| 9 | 129,5, 101. ‘105 ut ut (da ut Ut | 16 | 16 Lv 15,5 [15,5] 16| 17| 18[17,5/16,5] 16| 17] 17| 17 ‘360|360|360| 360 |360|360] 360/360 360) 360|360360|360 360, 360|360| 360 |258|272|256| 253 |250|272265|284265|284|272|282/263263/292 272 268 78 | 78 | 76 68 80| 68| 85 SAI 78| 83] 73] 73 83 97 |102|95| 88 |110) 88| 99|104/104 109 107 102] 107117, 92| 97| 106 | | iti | 54 | 49157] 49 |50 49| 57| 57| 57) 57] 54| 49 49| 49] 49] 49| 51 209|195/208] 195 |210|195|213 208|208208 204 214|204 195195 195] 185 | Lr SA A n | 185|195|199|] 185 |190175|189 199189189 185214|179 195 195 195] 185 \156|156|161] 151 |155156|161|170|166|156156|165|165|165175|165| 175 185|165|170| 165 |170|165|180)161|170|170|175|165|161|165|175|175| 175 78|88|76| 73 |70| 78) 76] 70) 70] 76) 78] 73] 78| 73/83) 68] 74 | | | | | | | 108 LORENZO CAMERANO 28 ì Ostia e Maccarese È Ost Talpa romana ES Orfield Thomas 1 2 3 E 5 6 Ti | 8 9 S 9 9 9 2 9 | 2 (Misure assolute in millimetri) Lunghezza massima del cranio |. . . .} 378 36 | 37 | 37 36 | 37 | 36 | 3% Id. basale id. see, SL] 182-030. 783. (81/805. Larghezza zigomatica . 0. 0 . 0. .]J 15 | 14 | 13 (135/014 | Bol — | Id. mastoldea, ee ia 17 17 17 {17,5| — 17 17 Id. imterorbitale GER ee A o DIS 7 908 pi — | 750 Lunghezza del palato ‘. -.l iL... Jel6 | 5° || 15,5 16,5 (5 5,50) Lo Larghezza id. al di fuori del 1° molare | 10 | 10 9 5 Cd 9,5 9 9% Id. id. all’indentro id. È 5 5 4,5 5 5 4,5 45 | 4,5 | 4558 Spazio occupato dai molari superiori . T fj A 7,5 7 it (a | Id. id. inferiori . 8 8 DTT IS 8 8 8 e) | Larghezza del 2° molare superiore Sa EP IIa a 3 3 2,5 2,5. Lunghezza id. id. 8. 2,5 | 2,5 2,5.| 2,5 | 2,75 | 25.2.5006 Larghezza del 2° molare inferiore . IR RCS a e aeri) LIES 2 1,75| 1,10 Lunghezza id. id. 2,5 | 2,5 | 2 2 2 2 ,5 | 230) Altezza del canino superiore. . . . . | | 3,25 1 3,50) 9:25 Id. id. inferiore . . | | 1002 2 201 (Misure in 36085imi somatici). | | Lunghezza massima del cranio . . . .| 360 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 360 Id. basale id. . + ++] 802) 311 | 300 | 321 | 302 | 315| — |310.| 38 Larghezza zigomatica . . . . ... .| 146] 136 | 130 | 131 | 136 | 135 | — | 135 [M I Id. MAStoldeai ir 165 | 165. | 0170, 165,465 175 e ci Id. interorbitale. ". ea Ri 830 75 — | 7535 Lunghezza del palato . . . . . . .|156)156|155|161|146| 155|156|155| 154 Larghezza id. al di fuori del 1° molare | 97 | 97 9082 92 95 93 90 88 Id. id. all’indentro id. o | 49] 49 | 45] ,49 | 49 45 | 44 | 45.| Spazio occupato dai molari superiori. .{ 68 | 68 | 70 | 68 | 68 TOA] (OSO Id. id. inferiori > èali78 1 8.0 STO 80 | 78.| 80 | Sé Larghezza del 2° molare superiore . .| 29 24 | 25 | 24 | 29 30 | 29 | 25 | 24 Lunghezza id. id. oe 29.) 24 | .25,|,24 |.24 | 28 | 24 250,08 Larghezza del 2° molare inferiore. . .| 17] 19 | 18 | 15 | 17 15 | 19 | 18 0 Lunghezza id. id. a la aan 241 | Ro 20 | 19 | 25 | 8 Altezza del canino superiore. . . . | 33 | 34 | 33 | dB Id. id. id. a art | 18 | 19 | 20../ (*) Manca il 1° molare a destra. 29 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. Maccarese FOR 20 le - voi 1A O) LI Ut Ul ne e va | tut Ut Utoro U Contorno di Roma 360 | 511 126 161 73 161 | 92 46 5 78 29 24 17 24 29 IO Modica 109 Catanzaro = =J H NINH IN IO : Lg mu 110 LORENZO CAMERANO Talpa europaea Linn. Contorno di Torino (Misure assolute in millimetri) Lunghezza totale . Id. massima del cranio Id. della coda Id. del muso dagli incisivi all’apice . Larghezza massima del muso Id. alla base della parte nuda Distanza dall'occhio all'apice del muso Larghezza massima del piede anteriore . Lunghezza id. id. Id. id. del piede posteriore id. Larghezza massima id. id. (Misure in 360esimi somatici) Lunghezza massima del cranio Id. della coda Id. del muso dagl’incisivi all’apice . Larghezza massima del muso Id. alla base della parte nuda Distanza dall'occhio all’apice del muso Larghezza massima del piede anteriore Lunghezza id. id. Id. id. del piede posteriore id. Larghezza massima id. id. (1) Inmdividuo albino. hi 2 3 (4 Soi Serao 170 | 180 | 184 | 180 35 | 36. | 37.35 50 | 30 S1 28 7,5 | 9 9 7 TI 11 fol 1 5 6 5 6 20. | 197-217) 418 18 20 | 20 | 18 senza le unghie | 14,5 | 17 16 | 16,5 dA AS TS 7,5 | 8 8 8 360 | 360 | 360 |360 309 | 300 | 302 |288 CO 1900 OSSA 118 | 110 | 107 |113 DI 60/0) 49962 206 | 190 | 204 {185 185 | 200 | 195 | 185 senza le unghie | 149 | 170 | 156 170 175 | 180 | 175 [185 CENSO Ae | 82 d 6 Ti Sat «dii è 180 | 185 | 178 87..| 187.| 87 28 | 31 | 80 gr niize 10 | 10 | 8 6 [5,5 |5,5 20,5 | 20 | 19 190 ‘1000 8 i. ab I CA, Ts 09 7 360 | 360 | 360 272 | 302 | 292 78 liegt va gue oe Na 58 | 54 | 54 199 | 195 | 185 185 | 185 | 175 156 | 175 | 146 165 | 185 | 165 73 | 88 | 73- 31 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. 111 È Saluzzo Rivarossa |Rivoli|Lanzo|Sassi|Andonno Cadore Urbino 11| 12/13) 14 15 16 17 18 19 20 21 | 22 | 23 24 dl 4 i è 5 ò 3 s|èalgòs 5 4 “o 0: I et) 188|188|174|168|] 170 | 185 | 180 | 183 | 169 184 173 | 188 | 180| 167 38|37|s6|35]| 36 | 37 36 36 36 38 5 | se | s4| 36 30|27|28|30] 30 | 33 29 32 30 35 da las oe 39 9|7|7|75| 8 8 8 9 9 8,5 VS 8 Meran a alp ia 115/12 12 10 I GI A TTI VOS 55|5|65|55| 6 | 6 6 DOO 6 6|6|55| 6 21/2120 20] 19 19 21 21,5 | 20 29 20,5 20 | 195| 20 19 | 19|19|18| 20 | 20 20 195 | 19 20 18 | 18 | 17 | 18,5 15 |17,5| 17 16,5] 18 | 19 18 17 17 18 6 iI 1 Wi 18 |17,5\17] 19 | 20 18 19 18 18 9 e Va 1 le c(aslz5] è | 8,5 8 8 8 9,5 CR SGF) Pte | | 360 360 | 360 360] 360 | s60 | 360 | 360 | 360 360 360 | 360 | 360 | 360 284|263|280|309|] s00 | s21 | 290 | szo | 300 331 278 | 330 | 297| 290 85 | 68 | 0 0A 7 (PRC MOI 80 90 90 81 72 | 90 | 74| 80 85 | ss |100|98| 110 | 117 | 115 | 120 | 120 95 113 | 110 | 106| 110 52 |49|65|57| so | 58 | 60 | 55 | 50 57 62 | 60 | 58 | 60 199|204/200 206| 190 | 185 | 210 | 215 | 200 208 211 | 200} 207| 200 180|185|190|185] 200 | 195 | 200 | 195 | 190 189 -|185|180|180| 185 142 170/170 170 Ted Nap. 180 INIZO | 170 170 165 | 170 | 159| 170 161|175/175/175| 190 | 195 | 180 | 190 | 180 170 185 | 180 | 180| 200 76|78|s5| 771 so | s3 | so s0 | so 90 82 | 85 | so | so 112 LORENZO CAMERANO 32 == | = Ss Torino 2 Talpa europaea Lin. " si 2 3 4 5) CRA 8 9 OM ono | Ò. UO Momo (Misure assolute in millimetri) Lunghezza massima del cranio . 36 { 35 | 36 | 37 | 36 |:34 | 34 | 35 | 35 Id. basale id. 31 | S1| 81-| 32 | 81 | 30. |29;5] 30 |295 Larghezza zigomatica . 125 AN IRR 20 eee i Id. mastoidea . 1i75| dv | -16,5|67,5| 16/5 VL6A LAI 6 Id. interorbitale TONO SA 7579) DA ESATTI di 7 Lunghezza del palato . ; 4 15 | 14 | M5' (15,5 15 144 108 MIAO Larghezza al di fuori del 1° molare 3 (oi O) 9 9794858 8 Id. all’indentro id. 7 45 450405045 6 eci Spazio occupato dai molari superiori 7° [26,5 | 16,9. 675] (6,51) T6M|N6;5| 6151605 Id. id. inferiori . 8 7 PSA 6,5 SOTA MIO Larghezza del 2° molare superiore 2,5| 2,5| 2,5|2,25| 2,5] 2 | 2,6|2,75| 2,9 Lunghezza id. id. 9 | 025 2,5621502) 02/548 3. | 2,75 Larghezza id. inferiore 15 L5L5 MeSottdc.. 20 eee Lunghezza id. id. O dI) 225225 RR Altezza del canino superiore Id. id. inferiore (Misure in 360esimi somatici) I Lunghezza massima del cranio . 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 Id. basale id. 310{319|310 311|310 318 |312|309|304 Larghezza zigomatica . 125.) 114 | 120 126: 120 | 127 132 lSi25 Id. mastoidea 175|175|165|170|165|169|180|170|174 Id. interorbitale 75 |.82.|75 | 73| vb0| 69 | 74 72/12 Lunghezza del palato . 3 150 | 144 | 150 | 151 |150 | 148 | 148 | 144 | 154 Larghezza al di fuori del 1° molare . 85 | 82 | 90 |-88 | 90 | 90 | 90 | 82 | 82 Ta. all’indentro id. | 45 | 46 | 45 | 44 | 45 | 48 | 48 | 46 41 Spazio occupato dai molari superiori TO UN 65° 634, 650 686966, Id. id. inferiori . 80) 17270) N6SAZ0n N69. 74 726 Larghezza del 2° molare superiore 25 | 26 | 25 | 22| 25 | 21 | 26 13 26 Lunghezza id. id. 30 | 26.| 25 | 24| 25 | 26 | 32 | 31. |728 Larghezza id. inferiore 15.150 150 6 Uo6 SL6a Mica glo Lunghezza id. id. 201-260) 25 | 240 25/24 | 20 26021 Altezza del canino superiore Id. id. inferiore . (1) Individuo albino. (2) Cranio avuto dal Dott. F. Lataste. 39 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA 0rfield Thomas, Ecc. 113 R 5 £ E eagle 8 =5| Sassi 2 E 2 ISGlas Saluzzo Es ' 0 =| Torino Sa >». _ [(Piemonte)| = © e [2£|=o S a o |P<|TE e SIR sr | cp CA i i) k Me gio Lena iso io 20) 21°) 22] 23] 24 | 25 26 | 2728] 20] 80| 81 JE AA È ò | è i è i (1) (1) (1) (2) 36 Snc o 0 1086035 | 36.1 837 37 | 361861331385 | 82 81 50 | 32 |31,5| SÌ | 32 {| 81 | 30 | 31 | 31,5] 32 | 81 (31,5 28/30 | 28 Jil IE See MI264A205) ds 11 (11,5) 183 13 |12,5412.5] 11/1395 I) logo er As 0t8 | 17 | 17 18. |17,75/17,25| 17 [15,5] 18 | 16 5 8 | 8 | St e N LA e 8 (a 7 7 7 7 6 15 IR. 5 Iorio 5:15 [14,5] 14 | 15,5[15,5| 15 | 16] 14 [145}13,5 9 | OS GIS 09 8 8,5 | 9 8 45) 9 SCONO 5,9 | 6,5 4,5 4,5 | 4,5 4,5 4,5 4,5 4 4 14,5 DITO YI (095) 5) 9,D 6 Deli, f0:5iM6:516;2510,25) 6,5] 65 |6.751| 7/7] 66 155 7 QRS 605757, 7)7 12,5 2,5| 2,5| 2,5] 2,5) 2,5/2,25/2,25/2,25] 2,25| 2,5/2,5|2,5/ 2 |2,5| 2 (25 DibiNi2i5: N2:5 (25026251 2,5] 254 252,5 | 252,5/2,5| 25125 t,5 Poe eee RUE 15 15°] L5 | 151,25) 1,51 1,5 Db iS aiM2:5 252,5 02,5:2;5.] 2,5.02,75| 252,51 21 2,5/ 25 | 2,5 SM 3 | 2,51 2,5] 2,5 2,75/3,5) 3 | 3 | 1 Io geo ME 5 L51525 15 |1,751,75|1,75 | | | | | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360[ 360| 360 360| 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 310310 | 303|300 | 320 | 307 | 310 | 311{310|309 | 310| 307 | 311 310 | 315 | 305 | 309 | 315 | 115 | 120 | 118 | 125 | 115 | 126|120|122|130|113|115| 126 | 126| 125|125/120]|134]|107 1170 170166 165 | 170|175|170|170/180|[170|170| 175 | 173) 173/170|169|185|180 aci ion 800) 800] 78 | 7501 73.175 [82 | 80 | _78 PUZORZON 76010790) “68 150 | 150 | 142 150 | 155 |146 150 | 151|150|149|140]| 146 | 151) 150 |160|153|149]|152 | 90| 85 | 85 90] 80 | 92 | 80 | 88| 80| 87 |90 | 78 92 | 90 | 85 | 76| 87] 73 1 45 | 40 | 45 | 45 |.45 | 44 | 45 | 44|40|41 45 | 44 | 46 45 45|38|51 | 39 60 | 65 | 66|65|70|63|65|63|63|64|65]| 63 | 66) 70) 70| 65] 62] 62 POZZO LIE 1 70 75 | 68| 70 | egli (ev? (01173 91 SA 6 0/20 79 29 | 25 | 21| 25 | 25 | 24/25 | 24/23] 23 | 23| 22 24. | 251 25/22/26] 23 2:29 oso 4 95 2425 | 26125 24 | 24| 25/25/2726] 28 og Ni io gi: WS N15] 15 IZ 15] 15 (15 | 15 | 15 5{ 154 14{ 15 | 17 Dafia5 Noatl 25025024 | 25|24|25|26|25] 24 | 27| 25|25|22]/26| 28 25 | 30 | 284 30 | 30 | 27 | 30°] 29| 254 26 | 25 | 27 34 30 | 30 oi Reso SoS: 154 1500 15 1301/15 f-17 | 18.| 18 Serie II. Tox. LIV. 114 LORENZO CAMERANO d4 Contorno di Torino Saluzzo Talpa europaea Lin. 1 2 3 4 b) 6 TI 8 SER ; Cc 9 È 9 Si +59 (Misure assolute in millimetri) Lunghezza totale... . °°. a 0.00, | 158 L70172 L58465 GONO Id. massima del cranio . . . . .| 84 | 35 | 86 | 834 | 35 | 35 | 35 35 Id. della, coda. Li. (dda al 2 280 27 00 270 i 24 Id. del muso dagli incisivi all'apice .| 8 7,6 | 8 6 7 p,5. 1 7,9 8 Larghezza massima del muso... ... | 10 | 9,5] 10 8 8 9 13 8 Id. alla base della parte nuda . .| 6 A MO MT 5 Distanza dall’occhio all’apice del muso . .{ 17 | 20,5) 18,5| 20 19 19 18 20 Larghezza massima del piede anteriore . .| 18 19 nd,5 e 17 Th 18 Par 18 Lunghezza id. id. senza le unghie| 16 | 16 | 15 | 16 | 16 | 15 | 16 17 Id. id. del piede posteriore id. 48 I EI SI 107 Larghezza massima id. id, 8 7,9 Ti 1,9 8 di 7 1,9 (Misure in 360esimi somatici) Lunghezza massima del cranio . . . . .{ 860 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 Id. della coda ., . ;: . . 0 +4 286.288 270 | 27510278.) 247 899 Id. del muso dagl’incisivi all'apice .| 85 | 77 | 80 | 64 | 72 | 67 | 77 82 Larghezza massima del muso. . . . .| 106) 98 | 100) 85 | 82 | 98 113 |T82 Id. alla base della parte nuda . .| 64 | 57 | 55 | 58 | 57 | 57 | 07 ol Distanza dall’occhio all’apice del muso . .| 180 | 211 | 185 | 212 | 196° 196 | 185 | 206 Larghezza massima del piede anteriore . .| 191 | 196 | 175 | 180 | 196 | 185 | 175 | 185 Lunghezza id. id. senza le unghie| 169 | 165 | 150 | 169 | 165 | 154 | 165 | 175 id. id. del piede posteriore id. 191 | 175 | 170 | 180 | 175 | 154 | 1765 | 176 Larghezza massima id. id. I 0 E 77 (1) Individuo albino. RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA ©rfield Thomas, Ecc. 115 Rivarossa Rivoli Biella |Cumiana| sassi SURE Buttrio 14 15 16 17 | 18 19 20 21 22 23 24 9) 2 Sì 9 9 92 o, Q|9 °) 9 K "AI Gi (1) (1) 168 | 160 | 174| 165 | 172| 176 173 lisol1es| 158 155 36 | 35 | 36| 35 | 35| 85 34 35 |s5| 36 34 st | 28 | 28| 26 | 80| s1 98 26127 25 27 8 rs 7 7 7,5 7|7 8 7 TO 9 10 10 10 11 9,5 LOR 10 9 Gis 5] 6 |. 55 5,5 5 [551 5 5,5 ioni Wiol i ie | 21) ‘20 185 |19|18| 19 18,5 iuggitoMiton e Nisbi 18 | 18,5 la us 17 | 17 16 i grigi (0 cs 05 00 (2 CI INI CS 16 15|14| 15 15 iu ls 20 L65165] 17 175 |16,5|17| 16,5 17 sa ess 75 | 8 8 7 16,5 7,5 7 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360| 360 360 |360|360| 360 360 310 | 288 | 280 | 268| 309] 819 217 |268|278| 250 286 sanza as 77 72 |-72 79 72|72| 80 74 110 | 98 | 100| 108 | 103| 113 101 |103/1138| 100 95 60.| 57 | 50 57 | 62 | 67 58 31 |87| 50 58 190 | 185 | 210|185| 216] 206 196 {196/185} 190 196 180 | 196 | 200 | 185| 185] 190 191 |170|175} 175 169 160 | 165 | 180 | 185 165 165 169 |154|144| 150 159 170 | 185 | 200| 170| 170] 175 185 |170/175] 165 180 so | sa | 85 | 82 | 77 | 82 I 85 72671 75 74 / 1 : L 116 LORENZO CAMERANO 36 Rivoli (Piemonte) Biella Torino Talpa europaea Linn. CISA Me a Il 2 5) 4 5) 6 SC | Q S $ (Misure assolute in millimetri) | Lunghezza massima del cranio . . . . 35 35 36 38 35 34 34) Id. basale id. at 30 9072, 31 33 30 29 30})) - Larghezza zigomatica . . ..... Jo 1555 12,5 12 Jul du 100! Id. MAStOld Ca N 16,5 16,5 16,5 18 16,5 16 16 Id. IM berorpitale ev e 7 TODI ET 8,5 ti Ù 74 Lunghezza del palato . . . ... . 14 oo 16 15 14 14 | Larghezza id. al di fuori del 1° molare 9 8,5 8 8,5 7 (5 :)) IR Id. id. all’indentro id. . 4,5 | 4,5 4 4,5 4 | 4 4, Spazio occupato dai molari superiori . . 65 | 65 | 6,25 6 6 6,25 6,5 Id. id. inferiori . . T 7 15 Ti Yi (di Larghezza del 2° molare superiore 2A A 2 2,5 2 Db 2) IR Lunghezza id. id. DEE 2,5 | 2,29 2,25 2,75 2,5 2.5 Zip > Larghezza del 2° molare inferiore... 1,25 5 15 5) 1,5 145) 1 | Lunghezza \utidi id. 25 25 | 2,5 2,5 20 DI 20 | Altezza del canino superiore. 25 2,75 2, > Id. Id. inferiore . | 15 1,75 1, (Misure in 360esimi somatici). | | Lunghezza massima del cranio . . . . 360 360 | 360 360 360 360 | 368: Id. basale id. DA. 309 309 310 313 309 307 328. Larghezza izicomatica RR Re 113 IS 0,0 GIRA 114 113) gi SCh6 1208 Id. MAsfo/d 64 e 170 170 165 170 170 169 1608 Id. interonbitale es Fe 72 72 80 80 72 74 74% Lunghezza del palato . . . . . . . 144 | ‘15 150 152 154 148- 14 Larghezza id. al di fuori del 1° molare 93 87 80 80 72 79 [ehi | Id. id. all’indentro id. 46 46 40 43 41 42 4° Spazio occupato dai molari superiori . . 67 67 63 57 62 66 CR Id. id. inferiori . . 72 72 70 71 72 74 (2) | Larghezza del 2° molare superiore . . 21 21 | 20 24 . 21 26 2 Lunghezza id. id. i 26 23 23 26 26 26 » 26 Larghezza del 2° molare inferiore... TERE a 15 14 15 16 Le Lunghezza id. STI LR PE 26 26 25 24 26 26 2 Altezza del canino superiore... . . | | 28. | 29 2 Id. id. id. tene | IR TO 1 (1) Individuo albino. 37 RICERCHE INTORNO ALLA TALPA ROMANA Orfield Thomas, Ecc. 17 & = = 33:33 Saiuzzo E z so Torino $ = | @° 9 10 1l 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Q 2) 9 ha deste 9 9 2 g D 9 e, 2 (1) | 33 35 35 35 34 35 34 | 35 34 35 35 35 36 29 | 80 | 30 | 295) 29 30 | 29 | 295 29 | 295 | 30 30 | 30,5 Cee TI 15] 11 | 115 | 11 12 12 16 16,5 | 15,5 1 16 16,5 16 16 16 16 16,5 16 16 È ti AMT 7,5 7 7,5 di 7 7 8 Patt 7 Li 314,5 14 | 15 14 14,5 14 14,5 14 14 14,5 | 14,75] 15 8,5 8,5 8,5 8 9 8,5 8 8 9 8 8,5 € 8,5 w52 4545 4 LT RES lo 7 0 4 4,5 | 4,5 6 6,5 6 6250) "6 65 |16,25 | (6,5 6 6,5 6,25 | 6,5 | 6,75 fi 7 7,9 7 6,5 Ti di 7 Ti 7 7 VAI Mr 29251. 2 2 2.25 | 2,5 2 2 2 2 2 25 DEE) DO doni 2:25. 2.25.) 2.25 | 2,5.) 2,25) ,2,5 2,5 | 2,25 2,5 5 2,5 2,5 1,25 1,5 IR2D6 A26090 1,5 1,9 To | 1,25 Ro) i) 1,25 1,9 1,5 UTRREE: RECARE ROS BOORe: 2 2,5 2,5 2,5 2,5 SM, — 2,9 d MORO ZIO | 2,70 2 2,75 2,9 d 2,75 1 Ebe layiD 1,9 1 ,D I25t ao 1 15 1,5 lo 15 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 | 360 360 360 | 360 | 360 | 360 3d.6:1* 2094309; |: 304 | .:307 309 | 307 304 | 307 304 | 309 309 | 305 109 118 118 | 118 | 106 | 118 111 118 116 118 113 123 120 uo (04701 160} 165 169 170 169 165 169 165 175 165 160 76 72 72 CLARA IL 72 yi 72 74 72 vi 77 70 153 | 149 144 | 154 | 148 149 148 | 144 148 148 149 152 150 93 87 87 82 | 95 87 85 82 95 82 87 82 85 49 | 46 46 41 48 46 48 46 48 46 41 46 5 Bo. 67 62 64 64 67 66 67 64 67 67 67 68 76 72 77 72 69 72 74 72 74 72 72 77 78 25 21 21 23 26 21 21 21 21 21 26 26 25 27 23 23 23 | 26 23 26 | 26 24 26 26 26 25 14 15 13 13 | 16 15 16 18 16 15 13 15 Db 27 23 23 23 26 23 26 26 21 26 26 26 25 30 28 | — 26 32 28 29 28 21 28 26 all 28 db edo 15 100! 19) 13 15 11 15 13 15 d5 11 118 LORENZO CAMERANO Talpa europaea Lin. 1 2 Ò | Ò (Misure assolute in millimetri) Lunghezza totale .. ) RCA O: fi STA | | Larghezza massima del muso | 12 | 11} 11 11 | 10 10,51 10 | 10 | DS.) 11 Id. del muso alla base della | | parte nuda . . (8) pi (10 0 AE SAITTA (7000 ISS VISIT) ORA] 0595) Distanza dall'occhio all’apice | | | | | del muso. . . 22 | 20| 20 | 20 | 19 | 20°] 20 | 18 | 18 | 18 | 20 Larghezza massima del piede | | anteriore. . . 20 | 18| 19 | 19 | 18 (18,5| 18 | 17 | 17 |18,5| 18 Lunghezza massima del piede antica senza le unghie | 19 | 18|17,5| 18 | 17 | 18 | 16 | Larghezza del piede posteriore | 10,5] 10| 10 | 9,51 9,5951999 | 99 Lunghezza massima del piede | | | | | posteriore. <.<. .'. .|| 19 18) 18:|18,5 18/18/18] (Misure in 360e5%mi somatici) Lunghezza massima del cranio | 360 360 360 | 360 | 360 360 360 360 360 360 360 Id. della coda . . 314 | 292] 322|381|320|310|278|270|298|309|270 Id. del muso dagli incisivi al | | | ice e ire | \9v|85 | 88 | 80.|.85.| 72.70.72 | 82] 75 | | Larghezza massima del muso | 111107 104 |107 1 100|105|103|100| 98 |103|110 Id. del muso alla base della | | parte nuda . . 60 | 68| 66 | 68 | 65 | 70 | 62 | 55 | 57 | 62 | 55 Distanza dall'occhio all’ apice | | | del muso. . 203. 195. 189 | 195, 190 | 200 | 206 | 180 | 185 | 185 | 200 Larghezza massima ‘del piede anteriore. . . 185 |175|180|185 180 185 |185|170|175|190|180 Lunghezza massima del piede anteriore senza le unghie | 175 | 175) 166 | 175170 180 165 160 154 175 |160 Larghezza del piede posteriore | 97 Lunghezza massima del piede È posteriore . . . . .|175]|175|170|180|180 180/185 180 |180|185|180 124 LORENZO CAMERANO 44 Contorni di Firenze Talpa europaea Linn. _—— ARRE SC, N RP O I ca $|s\é|s|s|s|2|2|®|2]9 | | (Misure assolute in millimetri) | | Lunghezza massima del cranio | 39 | 37| 38 | 37 | 36 | 36 | 35| 36 | 35 | 35 | 36 Id. basale id. 94.|321 33%) 1320] 82713105. BEI 0 Larghezza zigomatica . 13 | 13/12,5] 12,5) 130 12,75) 12,120 222 Id. mastoidea 18 | 181601705 7A Aia Id. interorbitale 7,05] 8145029 752) MI 25 AZ Lunghezza del palato . 16,5) 15) 15 | 15 | 15 [14,75 15| 15 [15,5] 15 (14 Larghezza del palato al di | | | | fuori del 1° molare . 85.85 SI NIsn as Br 80758: NS 8 Larghezza del palato all’in- | | dentro del 1° molare 5 |4,5) 4,5] 4,5) 4,5/ 4,5 14,5 4,25) 4,5] 4,5/4,9 Spazio occupato dai molari | | | | superiori . i; | | IV 651| 16-54 6,970 0 079007 Id. dai molari inferiori 7,5 |7,25) 7,25] 7 25 io N ut Bombay Ut J 0 NH 8. Cuttack 9. Nagpur 10. Chillagon . 11. Calcutta 12. Jubbulpore 13. Hazaribagh 14. Deesa 15. Kurrachee 16. Allahabad 17. Patna 18. Dhubri . 19. Goalpara . 20. Lucknow 21. Jeypore 22. Sibsagar 23. Agra 24. Roorckee 25. Lahore . 26. Leh . 27. San Fernando 28. Atene 29. Lisbona 30. Bucarest 31. Novorosiisk 32. Markhot 38. Torino . 34. Trieste. 35. Kalocsa 36. Klagenfurt 37. Sonnblick . 38. 0’-Gyalla . 39. Kremiinster . 40. Vienna . 41. Bielitz . 42. Krakau. Stazioni dell’emisfero Nord. Indian Meteorological Memories. Vol. IX, Parte VI ”» Magnetical and Meteorolog Anales del ” ”» ”» » ”» ” » VII x V VII IV ical Observations made at the Govern- ment Observatory, Bombay Indian Meteorological Memories, Vol. IX, Parte II » n n ” S Vol. V ”» n» È ” n ” 5 P ”» n n n » » x Vol. IX n Vol. V » ”» ” ” ”» » ”» Instituto y Observatorio de Marina Annales de l’Observatoire National d’Athènes IV I VIII III I VII IX IV II de S. Fernando Annaes do Observatorio do Infante D. Luiz, Lisboa Analele Institutului Meteorological RomAnieri, Tomo XV Annales de l’Observatoire Physique Central Nicolas Bollettino dell’Osservatorio della R. Università di Torino Rapporto annuale dell’Osservatorio Marittimo di Trieste Jahrbicher der Kénigl. Ungar. Reichs. Anstalt fiur Meteor., Budapest » » » ” K. K. Central-Anstalt fiir Meteorologie, Vienna Kinigl. Ungar. Reichs. Anstalt fr Meteor., Budapest K. K. Central-Anstalt fiir Meteorologie, Vienna n » ” 148 EFISIO FERRERO — SUL TERZO MASSIMO INVERNALE, ECC. 20 43. Falmouth . . . . . ‘Hourly Means of the Readings obtained from the Self-Recording Instruments at the Five Observatories under the Meteorological Council, London 44. Vlissingen . . . . Annuaire Météorologique publié par l’Institut Royal Météorologique des Pays-Bas, Utrecht 45. Kew. . . . . . . Hourly Meansof the Read. obt. from the Self-Record. Instrum. ecc., Meteor. Council, London 46. Valencia . . . . . Hourly Means of the Read. Met. Concil, London 47. Irkoutsk . . . . . Annales de l’Observatoire Physique Central, St-Pétersbourg 48. Potsdam . . . . . Ergebnisse der Meteorologischen Beobachtungen in Potsdam, Berlin 49. Helder . . . . . . Annuaire Météor. publié par l’Institut Royal des Pays-Bas, Utrecht 50. Groningen . : E 3 ; p 51. Fort-William . . . Hourly Means, ecc. Meteorological Council, London 52. Aberdeen . NM È 3 7 53. Pavlovsk . . . . . Annales de l’Observatoire Physique Central, St-Pétersbourg 54. Upsal . . . . . . Bulletin Mensuel de l’Observatoire Météorologique de l’Université d’Upsal 55. Port-Provvidence . . Contributions to our Knowledge of the Meteorol. at the Artic regions 56. Port-Clarence . . . 2: n 7 4 57. Chemisso-Island . . ; È 3 > Stazioni dell’emisfero Sud. 1. Batavia . . . . . Observations made at the Magnetical and Meteorological Observa- tory of Batavia, Vol. XVIII 2. St-Elena . . . . . Magnetical and Meteorological Observations, St-Helena 8. Asuncion (Paraguay) Anales de la Oficina Meteorologica Argentina, Buenos Aires A. GOrdoDa., eni 5 ” » - 5. Rosario y Fisherton . A 5 5 5 6. Hobarton . . . . . Magnetical and Meteorological Observations, Hobarton auge a ageans sssast ssanas: DE î è wu © SI © Tg Li v ui nad I tc 2 ù ur a b sa | | SR > 8 n ORO oe o b DESS CANTINI ISIS “VO MN -! gano pn — gine _ OE i 5 RES: È ESSI RE 35 S% % I) S ww9 (SIE SN ZA È è _ PSA SI $ IS (AS az <% ztèé_%® Wi wi ei GI GS S> N S S Il © 5 [o] 4 W w Li fi lo) a & O Il olo! TA Xi :-TASS zZ Ds CIRSRS CI Da < 4 © z 4 OSS i Sci 5 Sio. ci le) ec cc [10] s oc uu x È v + da Ù at : i LE ue Coe rat. Re” 1° had “a beni LI r9 pi e aa x u TP RE AP si. digli « VIENNA (Genn.) 9 = 48° 15° dia bet et SAITTA dii sia 50° 4° KEW (Genn.) 44° 25 BUCAREST (Dic.) 2 51° 28° g= 1 e35#1 in ‘nbine la Ri caeeg panne pr! NOVOROSSIÎSK (Genn.) Ty IRKOUTSK (Genn.) — g= 52016 | SI x (< “I SI SUE i E Si è da | i È RI IS s S I > ea è S 2 ia è © È ® în > Li 3 3 _ desi 5 3 > j a © = 2 i) Ss SR È © Ò Fra s 3 3 a) = Ò < < < D 9 È È Ò 0 4 o È — al sia irietrNIETLO RIST TORA DITTTO È VATITILCZI SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII IN UNO SPAZIO A CINQUE ?DIMENSIONI E SU ALCUNE CORRISPONDENZE BIRAZIONALI FRA PIANI E SPAZII ORDINARJI MEMORIA DI UMBERTO PERAZZO Approvata nell'adunanza del 19 Gennaio 1904. Ci proponiamo nel presente lavoro di studiare, con procedimento elementare, alcune varietà costituite in un S; da “ sistemi di rette, piani, spazî ordinarî incidenti a dati spazî in numero finito , e di determinare elementarmente gli ordini di tutte le possibili varietà che si possono ottenere in tal guisa nell’S;. Tali numeri sono tutti contenuti nelle formole generali dello ScnuseRt (*) e del Pieri (**). Di analoghe ricerche per lo spazio a quattro dimensioni tratta una nota del Prof. SeGRE (***), alla quale dovremo più volte ricorrere nel seguito. Anche in un S; vennero considerati “ sistemi di rette, piani od S} incidenti a dati spazì , da varî Autori, che citeremo nel seguito. Procederemo — nella determinazione degli ordini delle varietà di rette od Sg (poscia di piani) del tipo di cui sopra — dalle varietà d’ordine più basso a quelle d'ordine più elevato, soffermandoci, allorchè ci si presenteranno varietà degne di nota, ad un breve studio relativo. Accenniamo fra queste ultime ai due diversi tipi di “ rigate (razionali) del 4° ordine appartenenti all’ S; , (****) (ni 14, 24) e ad una “ (*) Die n-dimentionalen Verallgemeinerungen der fundamentalen Anzahlen unseres Raums, * Math. Annalen ,, t. 26 (1885) e Beitrag eur Liniengeometrie in n Dimensionen, “ Mittheilungen der Math. Gesell. in Hamburg ,, (1892). (**) Sul problema degli spazîì secanti, “ Rend. Ist. Lomb. ,, (II). 26 (1893); (II). 27 (1894). (***) Alcune considerazioni elementari sull'incidenza di rette e piani nello spazio a quattro dimen- sioni, “ Rend. del Circolo Matem. di Palermo ,, tomo II (1888). (****) C. Segre, Sulle rigate razionali in uno spazio lineare qualunque, “ Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino ,, vol. XIX (1884). 150 UMBERTO PERAZZO 2 notevole rigata ellittica del 6° ordine (*) (ni 25-28). Degna di studio ci si presen- terà ancora (n' 15-22) una particolare varietà del 4° ordine a tre dimensioni; da essa trarremo “ per proiezione , (n° 23) alcuni risultati dell’ Hrrsr (**) relativi alla congruenza, nello spazio ordinario, delle 00? congiungenti coppie di punti omologhi in una generale corrispondenza quadratica fra due piani. — Accenniamo infine ad una notevole forma cubica “ contenente tre rette doppie — non in un S, — ed un piano doppio ad esse incidente ,, lo studio della quale (n'i 39-44) completerà da un certo punto di vista (v. l’oss. (*) al n° 44) quello relativo alla “ forma cubica con 9 rette doppie , di cui mi occupai in una precedente nota (***). È noto come in un S, un sistema di spazi Sa, tale che per ogni punto dell’S, ne passi un solo, determini tra due S,-a, assunti in posizione generica, una corrispon- denza biunivoca, omologhi essendo due punti secati da uno stesso Sa del sistema sopra i due Sn-a. Tale concetto è stato applicato da alcuni Autori alla determina- zione di particolari corrispondenze biunivoche. In particolare il Dr. CARRONE (****) — partendo da alcune categorie di “ sistemi di spazîì incidenti in un S, a dati spazi in numero finito, e tali che per ogni punto dell’S, passi un solo spazio del sistema , — determina varî tipi di corrispondenze birazionali. Considereremo nell’S; ($ 8) tutti i sistemi di rette, piani, S, della natura di cui sopra e quelle corrispondenze birazionali da essi definite, che non furono ancor de- dotte in tal modo: tra esse due notevoli trasformazioni del 5° ordine tra due ,$3, che non rientrano, per quanto mi è noto, in altri tipi più generali studiati. Premetteremo ($$ 5, 6, 7) l'esame di alcuni sistemi di spazîì (S,-», S,_:) di un S,, della natura sopra- detta, da cui trarremo tipi di trasformazioni tra due piani od S, i quali rientrano in altri noti ed interessanti, dedotti per altra via (*****). (*) La più generale rigata ellittica del 6° ordine con curva minima del 3° ordine: C. SecrE; Ricerche sulle rigate ellittiche di qualunque ordine, “ Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino ,, vol. XXI (1886). (#*) On Cremonian congruences, “ Proceedings of the London Math. Society ,, vol. 14 (1880). (#4) Sopra una forma cubica con 9 rette doppie dello spazio a cinque dimensioni, ece., € Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino ,, vol. XXXVI (1901). (#14*) Le trasformazioni birazionali fra due spazî ad n dimensioni, ecc., “ Atti dell’Accademia Gioenia di Catania ,, vol. XI, serie 4°. (*****) E precisamente: a) Una trasformazione birazionale fra due piani del De JonqurèrEs, (£ Nouv. Ann. ,, (II) 6, (1864); “ Giornale di Mat. ,, t. 23 (1885)); — 5) Una trasformazione birazio- nale tra due S; “ nella quale i sistemi omaloidici nei due $3 sono costituiti da rigate (razionali) d'ordine qualunque » con retta direttrice (n— 1)pla fissa, ecc. , studiata dal Prof. C. Sere: Sulle varietà normali a tre dimensioni composte di serie semplici razionali di piani, “ Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino ,, vol. XXI (1885), n° 21; — e) Una trasformazione “ monoidale , tra due Ss, trattata distesamente dal De PaoLIs: Sopra un sistema omaloidico formato da superficie d'ordine n con un punto (n—1)-plo, “ Giornale di Mat. ,, t. 18 (1875). SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 151 VI CAPITOLO TI. Sal 1. — Sono rispettivamente 008, 00°, 008 le rette, i piani, gli spazì ordinari con- tenuti in un S;. Diremo incidenti due rette, una retta ed un piano, una retta ed un S; allorchè hanno a comune un punto ; incidenti un piano ed un S; quando hanno a comune una retta, due Sz se hanno a comune un piano. Diremo infine che due piani si incontrano (senz’altro), o che l’uno sì appoggia all’altro, allorchè hanno un (solo) punto a comune; li diremo incidenti secondo una retta allorchè hanno una retta a comune. Sono condizioni semplici: l'incidenza di una retta e di un Sy e “ l’incontrarsi , di due piani; doppie l'incidenza di una retta e di un piano, di un S3 e di un piano; triple l'incidenza di due rette o di due S;; quadrupla l'incidenza di due piani secondo una retta. 2. — Indicheremo nel seguito — per brevità — colle notazioni: (p, 4, #)1; (P: 9 7)s risp. i sistemi delle rette o degli S; incidenti a p rette, g piani, r S3; con (p; 9, 5; n)s il sistema dei piani incidenti a p rette, s piani, r Sg e che incontrano gq piani. Supporremo sempre nel seguito assegnati in modo generico gli spazì direttori dei sistemi (p, 9,7); - -- I simboli (p, 9, ), (P,47)3; (P;9, 8; 7)e ci rappresenteranno gruppi risp. di rette, S3, piani, in numero finito, allorchè sarà ordinatamente: (1) 3p+29+r=8; p+294+3r=8; . 2p+q9+4s+2r=9. In tali casi, cogli stessi simboli rappresenteremo risp. il numero di quelle rette, di quegli S; o di quei piani. È sufficiente alla determinazione degli ordini di tutte le varietà (p, 9, »)1, (p, 4 7)s, (p;9,5;7r) quella dei numeri rappresentati da tali simboli nelle ipotesi (1) (*), sim- boli che potremo ottenere esplicitamente, risolvendo le (1), per valori intieri, positivi delle p, g, r, s. Poichè si corrispondono fra di loro per dualità nell’S; i sistemi (p, 9”) e (7,9,p)3; (p;9,5;7)a © (139, $; p)», terremo presente che nelle ipotesi (1): (p, 9, = (7, 4, Ds; (p; VE S;rb= (1; q,8; P)a- $ 2 8. — Il simbolo (p, 9, r); dà luogo nell'ipotesi 3p + 29 {-r = 8 ai seguenti: (210),, (202), (121);, (040),, (113),, (105), (032),, (024), (016), (008), che prenderemo in esame nell’ordine scritto. (*) Notisi che il simbolo (p, 9g, *):; ad es., rappresenta l'ordine di ciascuna delle tre varietà (p—1l, 49 (p,9—1,") (p,9,7—1) nell'ipotesi p, 9,2 1. Queste varietà possono ridursi a due, ovvero ad una sola, allorchè uno o risp. due dei tre numeri p, 9g, x è nullo. Ece. 152 UMBERTO PERAZZO 4 4. — Si fa facilmente: (1) (210), = (012); = 1. Ordine della forma (110), e della M; (200),. (II) (202) = (202)}=2. Ordine delle due forme (102),, (102); e della rigata (201)}. (III) (121), = (121); =2. Ordine delle due forme (021);, (021)3, della M; (111),, e della rigata (120), (*). 5. — (IV) (040),=(040);}=3. Ordine della M3(030),. In un S; le co! rette incidenti a tre piani 0,, a», ag costituiscono — com'è noto — una varietà cubica F a tre dimensioni, appartenente all’S;. Delle proprietà rela- tive, che enuncieremo senza dimostrazione, alcune son note (**), altre possono facil- mente dedursi da queste o direttamente. — Proiettando la M;}8 F da un punto che non le appartenga sopra un S,, si ottiene ivi — com’è accennato in una Memoria del Prof. Sere (***) — una forma cubica F' con piano doppio. Faremo vedere (n' 8-11) come le varie proprietà di questa forma, ivi determinate, ed alcune altre nuove — relative specialmente all’inviluppo degli iperpiani ($3) tangenti — possano ottenersi “ per proiezione , da analoghe, relative alla Y. 6.-- a) In un S; le co? rette incidenti a tre piani, si appoggiano di conseguenza ad vo! piani; punteggiano collinearmente due qualunque di essi, e ne sono proiettate se- condo reti collineari di Sg. 6) La o! di piani di cui sopra è un ente duale di se stesso nell'S;. Può rite- nersi: come il sistema dei piani incidenti a quattro rette; oppure a tre rette ed un S3, od ancora a tre Sz ed una retta, od infine: a quattro Sg. Può ritenersi ancora come dl. sistema dei piani congiungenti terne di punti omologhi in tre punteggiate riferite fra loro proiettivamente; oppure: comuni a terne di iperpiani omologhi in tre fasci riferiti fra loro proiettivamente. c) Gli 20° S; incidenti a tre piani 0,, 09,03 qualsiansi della F, incidono di conse- guenza a tutti è piani della F. Due arbitrarì di questi vengono secati dagli Sz della 0? secondo piani rigati collineari e proiettati secondo reti collineari di iperpiama. Chiameremo (R), (P), (S) i tre sistemi risp. di rette, piani, 93 ora considerati: (*) Un cono quadrico di 2* specie nell’Ss — alle cui proprietà dovremo varie volte ricorrere in seguito — può considerarsi in diversi modi come il © luogo delle rette, dei piani, o degli S; incidenti ad un dato numero di spazì ,. E precisamente: Viene generato un cono quadrico di 2% specie nell’Sy: 1) Dal sistema 3 delle rette incidenti ad una retta e a due S3; 2) id. delle 03 rette incidenti a due piani e ad un Sg; 3) id. degli 0? piani incidenti a una retta, a due Sz ed appoggiati ad un piano; 4) id. degli 0? piani incidenti ad un piano, ad un S3 ed appoggiati ad un piano; 5) id. degli co! Sg incidenti ad una retta e a due S3; 6) id. degli co1 S3 incidenti a due piani e ad un S3z. Brevemente: dai sistemi (102),, (021);, (112)a, (0; 1, 1; 1), (102)3, (021)s. (*#) Veggansi i due lavori del Prof. Segre: Sulle varietà normali a tre dimensioni composte di serie semplici razionali di piani, “ Atti della R. Ace. delle Sc. di Torino ,, vol. XXI (1885): n° 9; e Sulle varietà che rappresentano le coppie di punti di due piani 0 spazì, “ Rend. del Circolo Mat. di Palermo ,, tomo V (1891): n° 2. (#**) C. Secre: Sulle varietà cubiche nello spazio a quattro dimensioni, ece., * Memorie della R. Acc. delle Se. di Torino , (II), tomo XXXIX (1888): n° 52. 5) SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 153 le proprietà relative enunciate, possono essere assunte ognuna quale definizione del sistema stesso — e quindi della / (*). 7. — d) Da ogni punto O dell'S; esce un solo Sg del sistema (S): congiungente ad es. le tre rette comuni ai tre S3 0a,, Oa, 0ag, presi a due a due. E dualmente. e) Da ogni punto M della / esce un piano m ed una retta r dei sistemi (P) ed (R) risp. — LS; tangente in M alla / coinciderà coll’ S3 mr, che li congiunge. Fissato un secondo piano n’ di (P), l'S3 tangente in M alla F potrà considerarsi —- per ogni posizione di M nel piano m — come l’S; proiettante da m l’omologo di M in una certa collineazione (n° 6 a)) tra i piani n e n’. Pertanto: Gli Sy tangenti ad F nei pupti di un suo piano n costituiscono una rete (m) collineare al piano punteg- giato (m) dei punti di contatto. f) Due generatrici del sistema (£) sono congiunte da un S3} di (5), che con- tiene di conseguenza una schiera di tali generatrici (la schiera incidente a questa essendo fornita dalle intersezioni dell’S3 cogli o! piani di (P)). Dualmente: La retta r intersezione di due Sz del sistema (S) appartiene ad (R): da essa escono co! S, del sistema (S), costituenti un cono quadrico di 2* specie (il 2° sistema di S; generatori essendo costituito dagli 93 tangenti ad / nei punti della r). La F è comune quindi ad co? coni quadrici di 2* specie, costituenti una rete — poichè i coni della co? uscenti da ogni punto dello spazio contengono, oltre alla 7, l'S3 del sistema ($) che passa per quel punto, costituendo quindi un fascio. Pertanto: La F può ritenersi quale varietà base e luogo dei sostegni di una rete di conì quadrici di seconda specie (**). 8. — Il cono proiettante la F da un punto O esterno ad essa, o — ciò che fa lo stesso — il cono circoscritto da O alle F, contiene o! /S} generatori, proiettanti i piani del sistema (P). L’S, del sistema (S) uscente da 0 (n° 7 d)) — che indicheremo con Y — è secato dagli co! piani di (P) secondo le rette di una schiera (n° 7 f)). Pertanto: Gl Sg generatori del cono cubico (0) secano X secondo i piani tangenti ad (*) I tre sistemi (), (2), (S) possono ancora ottenersi assai semplicemente come segue (cfr. n° 7: 7)): Si fissino nell’S; due schiere rigate aventi a comune una generatrice g: intersezione degli S; che le contengono, supposti non incidenti. Da ogni punto della 9g esce una direttrice dell'una e dell'altra schiera: il loro piano genera il sistema (P); gli 00° S3 congiungenti le generatrici dell'una a quelle dell’altra schiera: il sistema (5) e finalmente le co? rette comuni a tutte le possibili coppie di 3 del sistema (S): il sistema (R). — E dualmente. (**) Si possono facilmente determinare tutti i tipi possibili di £ reti di coni quadrici di 2* specie nell’S; , applicando i risultati d'una nota del Prof. Seere: Ricerche sui fasci di coni quadrici in uno spazio lineare qualunque, “ Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino ,, vol. XIX (1884): n° 28. Oltre alla rete (I) di cui sopra, si hanno i tipi seguenti : II) La rete dei coni quadrici (di seconda specie) aventi a comune un $; generatore. III) La rete dei coni quadrici (di seconda specie) che hanno a comune un piano generatore e sono lungo questo toccati da uno stesso iperpiano. IV) La rete ottenuta proiettando una rete di coni quadrici di 1% specie dell'Sj da un punto non appartenente all’ S,; o — come caso particolare — proiettando una rete di quadriche dell'S, da una retta sghemba coll’$S;. Serie II. Tom. LIV. T “ 154 UMBERTO PERAZZO 6 un cono quadrico. Un S3 generatore del cono giacerà con X in uno stesso $,, che non potrà ulteriormente tagliare il cono, contenendo già una quadrica ed un piano della /. Quindi: Gli S3 generatori del cono cubico (0) giacciono negli iperpiani di un fascio, il cui sostegno: X è doppio per il cono. 9. — Dalle considerazioni del n° 8 si deduce: La proiezione di F da un punto 0 sopra un Sy: w è una forma cubica F' costituita da co! piani giacenti negli iperpiani (53) di un fascio. IL sostegno del fascio (cioè il piano o = wX) è doppio per la P'. I piani di F' secano 0 secondo le tangenti ad una conica F. Chiameremo (P') il sistema co! dei piani della F. Giace sulla F' (ni 5, 6) un sistema c°(R') di generatrici, attraversate dai piani di (P'). Due arbitrarî piani del sistema (P') sono punteggiati collinearmente dalle generatrici di (R'); due qualsiansi rette di (R') son punteggiate proiettivamente dai piani di (P'). Ecc. Si osservi che — gene- rata la /' mediante il sistema (P') dei piani congiungenti terne di punti omologhi in tre punteggiate proiettive, i cui sostegni non sieno in uno stesso S; (ed in generale due a due sghembi), questi possono poi scegliersi — ed in 0 modi — in guisa tale che due di essi sieno incidenti, ed il terzo sghembo col piano dei primi due (*). Ciò perchè nell’analoga generazione della F due dei sostegni possono scegliersi in X. 10. — Ritornando alla M;3F: sia tun generico piano di tale varietà: si appog- gierà (n° 7f) alle rette del sistema (R) che giacciono in X secondo una direttrice s della schiera costituita da quelle rette. Il piano Os conterrà una retta r della schiera. Gli co! S} di (5) che contengono » (n° 7f) incideranno a m secondo rette del fascio di centro il punto rs. Un S; di tale 00!, diverso da X è proiettato da O secondo un iperpiano il quale, contenendo il piano Or = Os (e quindi la s) ed una seconda retta di m (diversa da s), conterrà il piano m. Cioè: Gli S3 del sistema {S) che con- tengono » sono proiettati da 0 secondo gli iperpiani del fascio (Ot). Ognuno di questi iperpiani contiene co! S tangenti alla /, costituenti (n° 7 e)) nell’iperpiano il fascio (1): e più precisamente: tangenti nei punti di quella retta del fascio (rs), comune a n ed all’ Ss di (S) giacente in quell’iperpiano (n° 7 e)). Variando anzi l’iperpiano nel fascio (Or), la retta descrive un fascio — di centro (rs) — ad esso proiettivo. Pertanto: nell’iperpiano w: G iperpiani (S3) uscenti da un generico piano n' (proie- zione di r) della forma F' sono tangenti ad F' lungo le rette di un fascio (proiezione del fascio (rs)-t€) contenuto in n' ed il cui centro è il punto di contatto colla conica T della retta (r'= s') comune al piano n' ed al piano doppio. Gli S3 tangenti del fascio (n) e le rette di contatto si corrispondono în una protettività. 11. — Poichè gli S3 del sistema (5) si proiettano secondo gli o? iperpiani tan- genti alla forma /', si potrà ritenere il sistema degli iperpiani tangenti ad Y" come il sistema o? degli S3 congiungenti coppie di rette omologhe in due piani rigati dati e (*) O, in altre parole: la 7° può considerarsi come luogo degli c0' piani congiungenti coppie di elementi omologhi in una punteggiata e in una schiera rigata riferite fra di loro proiettivamente ovvero in una punteggiata e in un inviluppo piano di 2* classe, riferiti proiettivamente. | | 7 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 155 riferiti collinearmente in modo generico. E due qualsiansi piani m',, n’ di (P') sono secati dagli S, tangenti ad #' secondo piani rigati collineari. Da ogni retta generica r dell'S, escono tre iperpiani tangenti alla F' (uniti nella collineazione — fra due reti sovrapposte di S; — che si ottiene proiettando coppie di rette omologhe nei due piani rigati collineari m',, 13, ad es., dalla retta 7). Discende ancora da un’ osservazione al n° 6 e dalle cose precedenti: Fissate nell’S, due schiere rigate aventi una generatrice y' a comune (senz’altre particolarità di posizione): da ogni punto della g' esce una direttrice dell'una e dell’altra schiera: il piano delle due direttrici genera, col variare del punto sulla g', una forma cubica con piano doppio. E gli co? Sg congiungenti le generatrici dell'una a quelle dell’altra schiera, costituiranno il sistema degli iperpiani tangenti alla forma. Gli stessi sistemi, risp. di, piani e di $g, possono ottenersi in modo analogo partendo da una schiera rigata e dal sistema delle tangenti ad una conica (N), sistema il quale contenga una generatrice g' della schiera (la retta comune al piano e risp. all’S; contenenti l’in- viluppo e la schiera). 12. — (V) (113), = (311); =3: Ordine delle forme (013), (211);; della M; (103), e della rigata (112),. Il sistema (013), genera una forma cubica con 9 rette doppie (*). Le rette del sistema (103), costituiscono — come facilmente può verificarsi — co! fasci nei piani generatori di una Mî, del tipo considerato ai numeri precedenti. Le co! rette del sistema (112), giacciono in un $S; ed ivi costituiscono la rigata cubica delle rette incidenti ad una retta e a tre piani (**). Il sistema (211); — corrispondente per dualità al precedente — genera un cono cubico di 1° specie. Tralascieremo nel seguito, per brevità, il confronto fra sistemi di spazì, duali fra loro nell’$;. 13. — (VI) (105);=(501)3=4. Ordine delle forme (005);, (401); e della rigata (104);. (005),. Le rette incidenti a 5, Z, ... X; costituiscono una forma F del 4° ordine. È noto invero (***) che — più in generale — in un S, è dell’(2— 1)° ordine la forma costituita dalle co"? rette incidenti ad » S,_s. — Viceversa: nell’ S, una forma dell’ (x — 1)° ordine la quale contenga x S,_; contiene il sistema o"? delle rette che ad essi si appoggiano. Facilmente se ne può stabilire l’ equazione e — come caso particolare — quella della nostra Y (****). — Le 10 rette rx = X;Xx (i, X="1,...,5; i== 4) (*) Cfr. la mia nota: Sopra una forma cubica, ece., * Atti della R. Accademia delle Scienze di Torino ,, vol. XXXVI, 1901. Questa forma può considerarsi altresì come “ luogo degli 00? piani d'un sistema (810), , 0, ciò che fa lo stesso, d’un sistema (0183) ,. (**) C. Segre: Alcune considerazioni elementari sull’incidenza di rette e piani nello spazio a 4 dimen- sioni, © Rend. Circolo Mat. di Palermo ,, t. Il (1888), n° 5. (***) Cfr. ad es. C. CarronE: Le trasformazioni birazionali tra due spazi ad n dimensioni, ecec., “ Atti dell’Ace. Gioenia di Catania ,, vol. XI, serie 4*: n° 22. n+l n+tl (****) Sieno 4/=B'=0;..., AM-0— Bln_1)—0, xa=zn41=0 [ove A/=Za:x;; !B' = È biz; i=l i ntl n+1 sy AMY) = E gia, , B-1=3 bite) le equazioni di # Sn-e fra loro linearmente indipendenti, i=l s=l e quindi: (1) A +p'B=0,..., AM + ping) = 0, le equazioni dei fasci d’iperpiani uscenti dai primi nu—1 di essi. Dall'Sn-e : an="%n4+1="0 verranno 156 UMBERTO PERAZZO ls) sono evidentemente doppie per la F. Inoltre: ciascuno degli S;X; è secato dalla M3 (n° 60) degli co! piani incidenti ai rimanenti secondo una cubica doppia per la F (poichè i piani della M} uscenti dai suoi punti non stanno (ognuno) con %; in uno stesso S,. La cubica ha evidentemente per corde le quattro rette (doppie) comuni a X; ed agli S3 rimanenti, poichè ad es. Z., ..., 2; secano la M} dei piani incidenti a X3,...,; secondo quadriche, tagliati risp. dalle 7,9, ..., 715 secondo coppie di punti. Le rette incidenti ai 583 X1, ... 2; determinano fra due di essi (Z,,Zs ad es.) una corrispondenza biunivoca, omologhi essendo i punti d’incidenza di una retta del si- stema coi due S;. D'altra parte: un piano incidente agli 3 rimanenti (23, 2,, X;) seca sopra i due S} punti congiunti da una retta del sistema. Quindi la corrispondenza si potrà ritenere definita dal sistema degli 008 piani incidenti a tre S} (23, Z,,Z;) 0 — ciò che fa lo stesso —: a tre rette (r34, #35, 745). Questa corrispondenza — del 3° ordine — fu studiata dal Prof. Ascrone (v. n° 61). 14. —- (104), Le rette incidenti ad una retta r ed a quattro S3: 2, Za, 23, Z4 possono ottenersi riferendo prospettivamente i 4 fasci (Z;), ...; (X,) alla punteggiata (7) e costruendo le rette comuni a quaterne di S, omologhi (proiettanti uno stesso punto della r): Costituiranno pertanto una rigata razionale del 4° ordine (*), a direttrice rettilinea: uno dei due tipi possibili (dal punto di vista proiettivo) di rigate del 4° ordine appartenenti all’S; (**). (Ci si presenterà il 2° tipo — più generale — come sistema (031): n° 24). V'hanno c08 cubiche sghembe direttrici della rigata Y (***). Quindi: In un S; le co! rette incidenti ad una retta e a quattro Sz si appoggiano di conseguenza (secondo cubiche sghembe) ad 23 Sg. Le generatrici della F punteggiano proiettivamente la r a ciascuna delle 03 cubiche sghembe direttrici. Viceversa (*#***): riferite proiettivamente una retta punteggiata ad una secati secondo gli n —1 fasci di Sn-3 le cui equazioni parametriche nell’S-2en=n+1 =0 si‘otten- gono ponendo xn=xn:1=0 nelle forme A', B', ... Affinchè n—1Sn-3 appartenenti ord. a questi fasci concorrano in un punto, occorre e basta che i parametri corrispondenti p',..., gl!) soddisfino alla: di + pd, ORGANO , Qin-1 + POL {=0 (2) al) - pri b,(M_1) ESA afr=l) - pln_a(n=l) Gli Sn-1 dei fasci (1) relativi a questi parametri si taglieranno allora secondo una retta inci- dente agli nSn-2. Le (1) colla (2) costituiranno pertanto le equazioni parametriche della forma. Ed eliminando le p se ne otterrà l'equazione : a; B' Ta by A”, scagil (li got la , Qin B'—bn-1 7.4 =0 Mi ia dl A DDR | an! Bn_1) — by(n1) A(m_L), Dn am Bai) e bin) Aln=1) (*) Veronese, Behandlung der projectivischen Verhiltnisse der Riiume von verschiedenen Dimen- sionen, ecc., © Math. Annalen ,, Bd. XIX. (**) C. Segre, Sulle rigate razionali in uno spazio lineare qualunque, “ Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino ,, vol. XIX (1884). (66) Ano 5! (ia) BTdienoR6: a ee — n | 9 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 157 cubica sghemba, il cui Sg non incontri la retta, le co! congiungenti coppie di punti omologhi costituiscono una rigata del tipo della F. 15. — (VII) (032), = (230); = 4: Ordine della forma (130), della M; (022), e della rigata (031),. (022), : Le 00? rette incidenti a due piani a,, as e a due S; X;, Z; costituiscono una varietà (0/3): F del 4° ordine. Questa può ritenersi invero la completa intersezione di due coni quadrici di 2° specie: il cono C; delle rette incidenti ad a;, a, Z, ed il cono (, delle rette incidenti ad a,, 09, 2». Tali coni non hanno fra di loro posizione generica, poichè i piani a,, a, appartengono ad entrambi (e quindi alla F). (Il fascio determinato da due forme quadratiche (M};) che abbiano a comune due piani fra loro sghembi (senza punti a comune) ha quale varietà base una M} del tipo della F, poichè (v.! il n° 26) i coni appartenenti al fascio sono della 2? specie (ed in numero di tre), ecc.). 16. — Indichiamo con A, A' i punti 0,2, 9Z,, comuni a Z; e risp. ai piani a,, a; analogamente con B, B' i punti a,Z», ag23. Dal punto A (= a;X;) ad es., esce un fascio di rette del sistema (022),, contenuto nel piano — della F — comune all’S, ed all’Sy che da A proiettano risp. 2, ed as. Poichè detto piano incide secondo rette a X, e ad as, secherà a, secondo una retta uscente dal punto B'= a,X;. Analogamente: da B uscirà un piano della incidente ad a, secondo una retta uscente da A’; e da ognuno dei punti 4’, B' un piano incidente ad a, secondo una retta che uscirà dal punto B o dal punto A rispettivamente. V'ha infine un piano incidente secondo rette a X,, Zs, 0, e che incontra a, in un punto C (il piano comune ai tre S, che dalla retta 4'B' proiettano X,, Z3,0,). Analo- gamente il piano comune ai tre S, che dalla AB proiettano X,, Xs, a» inciderà secondo rette a X,, 2,0, e incontrerà 0, in un punto Cl”. Entrambi tali piani apparterranno alla F, poichè contengono risp. i fasci (C), (0') di rette del sistema (022),. Assai semplice è la configurazione degli otto piani della Y. Dal punto A — ad es. — escono, oltre al piano a, = ABC, due piani: il piano comune all’S, AZ, ed all’Sy Ao, ed il piano comune ai tre S,: ABX,, ABX, (= AZ), ABas: li indicheremo pel momento con 0 e t. Essi hanno a comune una retta (gia- cendo entrambi nei due S, AZ3; ABa): pertanto il piano a, ed il piano t sono tagliati secondo rette da 0: dovranno incontrarsi nel punto comune alle due rette. In altre parole: Il punto l' comune a t e ad as starà sopra la retta ca, (uscente (v.' sopra) da B'). Od ancora: Il piano 0 uscente da A seca a, secondo la retta B'C". Ecc. Quindi: Riferendo fra loro i due triangoli ABC, A'B'C' in guisa che sieno coppie di vertici omologhi AA', BB', CC’, apparterranno alla F — oltre ai piani ABC, A'B'C' — i sei piani congiungenti i vertici di ciascuno dei due triangoli ai lati opposti agli omo- loghi vertici nell'altro. 17. — Da ciascuno dei 6 punti 4, B, €, A', B',C' escono tre piani della F, non in uno stesso $3. Pertanto : I sei punti A, B, C, A', B', 0" sono doppî per la varietà F. Cia- scuno degli otto piani contiene tre punti doppî della #; il piano contenente gli ulte- riori tre punti — che chiameremo opposto al primo — non ha col primo alcun punto 158 UMBERTO PERAZZO 10 a comune. Ritenendo nei due triangoli così determinati omologhe sempre le coppie di vertici AA', BB', CC', potrà ottenersi ancora da essi la configurazione degli otto piani della /, collo stesso procedimento sopra enunciato (n° 16). 18. — Le co? rette del sistema (022), determinano fra i due piani 0,, 0g una corrispondenza biunivoca, omologhi essendo i punti P,, P. intersezioni dei piani 0,,0s con ogni retta del sistema. Descrivendo il punto P, una retta r in a,, l’omologo P. descriverà in ay una conica, poichè le co? rette incidenti ad una retta r e a due S3Z1, Z», costituiscono un cono quadrico di 2° specie. La trasformazione definita dal sistema (022), tra i due piani 0,, 0, è pertanto quadratica (*). Poichè da ciascuno dei sei punti A, B,C, A’, B', C' esce un fascio di rette del sistema (022),, i due triangoli 4BC, A4'B'C' saranno i triangoli fondamentali della trasformazione. (E precisamente: ad A sarà omologa la B'C', ecc. (n° 16)). 19. — Viceversa: Suppongasi stabilita fra due piani a,, tg — non in uno stesso S, — una corrispondenza quadratica generale: Ne siano ABC, A'B'C' i triangoli fonda- mentali. E noto che si possono riferire proiettivamente fra loro ad es. i due fasci (A), (A'), ed i fasci (B), (B’) in guisa che ad ogni punto P, di a, corrisponda, nella data corrispondenza quadratica, quel punto di 0, che è comune ai due raggi omo- loghi ad AP, e BP, nelle date proiettività. Pongasi per brevità: a, = AP,, a, = A'P, b, = BP,, bg = B'P,. L’S3a;as descrive — variando la coppia di raggi omologhi a, @ — un sistema di S; generatori di un cono quadrico di 2? specie, di cui è sostegno la A A'. Analogamente dicasi per 1’S30,bs. Le rette incidenti ad ogni coppia di raggi a, «3 giacendo negli $3 generatori del 1° sistema si appoggieranno agli S; del 2° sistema. Ed analogamente pel cono (BB'). Le congiungenti coppie di punti omologhi: P, = 4:01, Ps = 4303 si appoggieranno pertanto agli S} generatori del 2° sistema tanto nell’uno che nell'altro cono. Rias- sumendo: Le congiungenti coppie di punti omologhi in una data corrispondenza qua- dratica (generale) fra due piani che non si incontrino, si possono — ed in © modi — riguardare come le rette che si appoggiano a quei due piani e a due Ss. 20. — La nostra varietà F apparterrà a tre coni quadrici di 2° specie, di cui sono sostegni le tre rette AA4', BB', CC°. I tre coni appartengono ad uno stesso fascio di forme quadratiche (di cui è base la Mj Y). E si avrà: In un S; le 0? rette incidenti a due piani e a due Sz incidono di conseguenza ad co! Sg: costituenti tre si- stemi di Sg generatori di conì quadrici di seconda specie. ‘21. — Altri sistemi 00? di rette contenuti nella / dedurremo, considerando questa come intersezione di due fra i coni (A4'), (BB'), (CC). (*) Ciò discende altresì dall’osservazione seguente: È noto che una forma quadratica nell’S; può ritenersi generata dal “ sistema delle 00° rette che congiungono coppie di punti reciproci in una reciprocità fra due piani, (e dualmente). La 7 è comune a due (e quindi ad un fascio) di Mj aventi a comune due piani: le 00° generatrici della F determineranno quindi tra a,, 0, una corrispondenza nella quale “ coppie di punti omologhi sono reciproci in due (e quindi in un fascio) di reciprocità îra i piani 0}, 4 ,: pertanto una corrispondenza quadratica. ft 11 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 159 Nel cono (A4') apparterranno ad uno stesso sistema di S3 generatori gli Sy AA'BC, AA'B'C'; all’altro sistema gli Sy AA4'BC', AA'B'C. Indicheremo risp. con (S,) e (77) i due sistemi. Analogamente nel cono (BB') in- dicheremo con (S;) il sistema di S3} cui appartengono BB'AC, BB'A'C' e con (77) il sistema cui appartengono BB'AC', BB'A'C. Nel cono (CC') infine chiameremo ($.) il sistema cui appartengono CC" AB, C0'A'B'; (7) quello cui appartengono CCl'A B', CC' A' B. Ciò posto, si osservi che: se un S3 del cono (A4') — ad es. — ed un Sy del cono (BB') si tagliano secondo un piano, un $S3z del 1° e un 3} del 2° cono, i quali appartengano a sistemi opposti a quelli dei due S} in questione, si taglieranno in generale secondo una retta incidente al piano intersezione di quei due S3. Se ne dedurrà,f considerando i due coni (A4'), (BB'): Le co? rette comuni agli Sy dei si- stemi (S,), ($,) incidono ai due piani ABC', A'B'C della F, fra loro opposti (n° 17), nonchè agli 001,8; dei sistemi (7), (7)); le rette comuni agli S; dei sistemi (S.), (7) incidono ai piani AB'C, A'BC' ed agli 3 dei sistemi (77), (8); le rette comuni agli S3 dei sistemi (77), (S,): ai pianbA4'BC, AB'C' ed agli S; dei sistemi (S.), (7); infine le rette comuni agli S3 dei sistemi (7.),(7)): ai piani ABC = a, A'B'C' = a, ed agli S3 dei sistemi (S.), (S;), tra cui X,, Zs. Quest'ultimo sistema coincide col sistema (PR) da cui si è partiti: i tre precedenti, che indicheremo ordinatamente con (£°), (R”), (R'"), saranno della stessa natura di quello. Partendo dai due coni (A4'’), (CC); ovvero dai coni (B2B'), (CC'), non si ottengono altri sistemi di rette della /. Invero: le rette comuni agli Sz dei sistemi (8,), (S.) — ad es. — dovranno incidere ai piani ‘ A'BC', AB'C: coincideranno pertanto (*) colle co? rette comuni agli S} dei sistemi (5), (21). Riassumendo: Appartengono alla F, oltre al sistema (R) mediante il quale fu defi- nita, tre sistemi co? di rette: (R'), (R'"), (R'”), della stessa natura di (R): Determinano essi fra le tre coppie ABC', A'B'C; AB'C, A'BC'; A'BC, AB'C’ di piani opposti della F corrispondenze quadratiche (n° 18) del tipo più generale, nelle quali i punti fonda- mentali son sempre forniti dai sei punti doppì della F (A, B,C, A',B', 0). Ogni retta dei quattro sistemi predetti è comune a tre determinati $} generatori dei coni (AA'), (B.B'), (CC'). E precisamente: Le generatrici di (2) — incidenti ai piani ABC, A'B'C' ed agli 0018, dei sistemi (Sì), (S.), (S.) — sono comuni a terne di S; dei sistemi (77), (T.), (7.); le generatrici di (R') — incidenti ai piani ABC', A'B'C ed agli S; dei si- stemi (77), (T»), (S.) — sono comuni a terne di S; dei sistemi (S.), (S;), (77); ecc. Da ogni punto P della Y escono 4 rette, appartenenti ai 4 sistemi (£), ...; esse giacciono în uno stesso Sg (tangente alla / nel punto P). 22. — Ogni Sg:TT, appartenente ad uno dei tre coni (A4'), (BB'), (C0') seca la Y secondo una quadrica, i cui due sistemi di rette sono offerti dalle intersezioni di TT cogli Sy generatori dei due coni rimanenti. E si ha facilmente: Le generatrici di ciascuno dei quattro sistemi (R),(R'),(R"),(R'") (*) Non possono da un punto (della F) uscire due rette distinte incidenti a due piani opposti della F: chè altrimenti il loro piano inciderebbe a questi, e questi avrebbero pertanto un punto a comune. 160 UMBERTO PERAZZO 19 possono distribuirsi in tre modi diversi secondo co! schiere rigate: Le schiere a queste incidenti costituiscono gli ulteriori tre sistemi. (Ad es.; le generatrici di (R) si distri- buiscono secondo le co! schiere giacenti negli S3 di (7.), (7), (7.); e le schiere inci- denti costituiranno ordinatamente i sistemi (R"'), (R"), (R'), ecc.). 23. — Si immaginino ora proiettati i 4 sistemi (£), (P°), (R”), (2/) della F da una retta r dell’S;, non incidente alla £, sopra un S3 £, assunto in posizione gene- rica rispetto ad F ed r. Alcune proposizioni dimostrate relativamente ai sistemi (R),... possono tradursi senz'altro per le congruenze loro proiezioni. Si avrà ad es. (*): As- segnata una corrispondenza quadratica, del tipo più generale, fra due piani ag,0', di un S3 (2), di cui sieno AoBoC0; A'oB'00" è triangoli fondamentali, le x? rette congiun- genti coppie di punti omologhi nella corrispondenza si possono in tre modi distribuire secondo sistemi o! di schiere rigate. Le schiere ad esse incidenti costituiscono tre sistemi oo? di rette, le quali punteggiano le coppie di piani A6Bo00; Ao' Bo Co; AoBo Co, Ao Bo0o' 5 Ao BoCo, AoBo'l'o secondo coppie di punti omologhi in determinate corrispondenze qua- dratiche (nelle quali sono punti fondamentali A,Bo,Co, A0',B0 ;C0). Ripetendo per ciascuna delle tre nuove congruenze ottenute quanto si disse per la 1° (È), si giunge ad un insieme di sei sistemi co! di schiere rigate, tutti della stessa natura. Assegnato in £ un punto P, ad arbitrio, il piano proiettante rP ha colla F 4 punti a comune (n° 15), da ognuno dei quali escono 4 generatrici della F, appar- tenenti ai 4 diversi sistemi (£),... (£'): Le congruenze (È), ... (8) sono pertanto del quarto ordine. Assegnato ad arbitrio un piano t in 2, 1'S, proiettante : rm con- tiene due rette di ciascuno dei sistemi (), ..., (R”') (*#*): Le congruenze (Ro),....(R£"") saranno della seconda classe. 24. — (031),. Le co! rette incidenti a tre piani 0,,09,03 e ad un S$3X costituiscono una rigata / del 4° ordine (n° 15). Le generatrici della rigata si appoggiano ad o0! piani — poichè appartengono al sistema o? delle rette incidenti ad 0,, 42,03 (n° 60)) —. E le co! direttrici piane della rigata così ottenute sono coniche, poichè un Sj:w uscente dal piano di una direttrice (ad es. a,) contiene due generatrici della rigata (incidenti in w alle due rette a, = 03w, a3 = az w e ai due piani a, = wY). La F appartiene ad un notevole tipo di rigate, esaminato nella nota del Prof. SeGRE (citata al n° 14) sulle Rigate razionali, ecc. (***). Per quanto precede, e poichè la F ammette (****) 003 cubiche (sghembe) direttrici: In un S; le co! rette incidenti a tre piani e ad un S3z incidono di conseguenza (secondo coniche) ad ©! piani e (secondo cubiche sghembe) ad 0353. Due coniche direttrici sono punteggiate (n° 6a)) proiettivamente dalle generatrici della rigata. Viceversa (*****): riferite proiettivamente due coniche, situate in piani che non (*) Cfr. Hrrsr: On Cremonian congruences, “ Proceedings of the London Math. Society ,, vol. 14 (1880). (**) Un generico iperpiano: W contiene due rette del sistema (A), ad es.: le due rette incidenti in w alle due rette a; = ajw, da = a W ed ai due piani 0, = Z;W, 0, = Zaw. (***) “ Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino ,, vol. XIX (1884): vi il n° 5 (in fine). (****) Id., cfr. la nota (*) al medesimo n° 5. (ESE INI dIEENeZ:68 ;a 13 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 161 s’incontrino, le co! congiungenti coppie di punti omologhi costituiscono una rigata del tipo della /. Le x! coniche direttrici punteggiano protettivamente due qualsiansi generatrici della rigata (n° 6). Due cubiche direttrici hanno (*) a comune due punti; una conica ed una cubica direttrici un sol punto. Le generatrici della F punteggiano proiettivamente due cubiche ovvero una conica ed una cubica direttrici (**). Le generatrici della F si possono — in x modi — ritenere come le rette comuni a quaterne di iperpiani omologhi in quattro fasci, riferiti fra di loro proiettivamente (#**). Riferiti viceversa proiettivamente quattro fasci di S, le 00! rette comuni a quaterne di Sy omologhi costituiscono una rigata del tipo della F, purchè non sieno i quattro fasci prospettivi ad una stessa punteggiata, nel qual caso verrebbe generata una rigata (104),, del tipo cioè esaminato al n° 14. 25. — (VIII) (024), = (420); = 6: Ordine della forma (320), della M; (014), e della rigata (023),. (023), : Ci limiteremo per brevità allo studio della rigata / “ delle rette che si appoggiano a due piani: a,,a, ed a tre Sg: X,, Z», Z3 ,. La rigata può considerarsi come parziale intersezione dei tre coni quadrici di seconda specie contenenti i tre sistemi 003 delle rette incidenti ad a,, 09,21; 4,49, Z3; 11,09, 23. Dalla Mì completa inter- sezione delle tre Mj si staccano i due piani 0,, a: la F sarà quindi del 6° ordine, al più. D'altra parte: la M; (del 4° ordine: n° 15) delle rette incidenti ad @,, 09,3, Xy (ad es.) seca 2; secondo una curva del 4° ordine ed un Sj :w uscente da Z; contiene due generatrici della F (incidenti alle due rette 4, = a,w, «> = 0,w ed ai due piani 0, = Z,w, 0° = Z.w): la F è quindi precisamente del sesto ordine. Le sue generatrici si appoggiano ad a,, a, secondo cudiche (poichè un Sj:w uscente da a, — ad es. — contiene ulteriormente le tre sole rette, della 7, incidenti alla retta 4, = asw ed ai 4 piani 0,, 0, = Zjw, 03 = Z,w, 03 =Z3w (****) ). Indicheremo nel seguito risp. con Ci e Cs le due cubiche. 26. — La F costituisce coi due piani a,,ag fra loro sghembi (senza punti a co- mune) la M} base di una rete: (R) di forme quadratiche (M}). Gli o! coni apparte- nenti alla rete sono della 2° specie: Sia V infatti il vertice di un cono della rete : poichè V non può giacere contemporaneamente nei piani a,, a,, al cono apparterrà uno dei due S} Va,, Va,: sarà quindi della 2° specie. Per ognuno dei coni di 2* specie della rete gli S, generatori di uno dei due sistemi (all'infuori dei due S; che proiettano a,, a, dal sostegno del cono) non incidono ad a,, ag: a tali S; incidono le generatrici della F. Se ne deduce: In un Ss le 0! rette incidenti a due piani ed a tre Sz incidono di conseguenza ad co? Sg, distribuiti secondo sistemi generatori di co! coni quadrici di 2% specie contenenti la rigata di quelle (*) Vi ancora l’oss® (*) al n° 5 della nota dianzi citata. (FS)alda en n6: (***) Veronese: Behandlung der projectivischen Verhiltnisse, ece., * Math. Annalen ,, Bd. XIX. (****) C. Seare: Considerazioni elementari sull’incidenza, ecc., n° 5. Serie II. Tomo LIV. U 162 UMBERTO PERAZZO 14 rette. A ciascuno degli 93 Z,, 23,23 può esser sostituito — evidentemente — un qual- siasi 93 della co? (in particolare ad es. la / potrà venir considerata come “ luogo delle co! rette incidenti ad a;, ag ed a tre S; assunti in tre coni distinti della rete (PR), fra gli S} generatori che non incidono ad a,,0, ,). Pertanto: Le generatrici della F si appoggiano (come già a X,, Z2, 23) agli 0? S3 direttori, secondo quartiche sghembe di 1% specie. La rigata e le due cubiche Ci, 0, risulteranno ellittiche. Il cono (qualsiasi della rete (£)) “ delle rette incidenti ad a, as, X;, ad es. , ha quale sostegno la congiungente i punti A, = XZ;0}, A, = X,03. Poichè da ciascuno di questi esce una generatrice della F, distinta da tale congiungente (p. es. dal punto A, 20; la retta comune ai due S, A;Z2, A4;Z3 ed all’S; 403), apparterranno essi risp. a C, ed a C,. Pertanto: Le 00! rette-sostegni dei coni contenuti nella rete (R) sì appoggiano alle due cubiche Ci, 04. 27. — Le generatrici della F determinano fra le due cubiche Ci, C, una corri- spondenza univoca. Supposto viceversa che fra due cubiche C,, C, (ellittiche) giacenti in piani a;, cs fra loro sghembi, si possa stabilire una corrispondenza univoca, le 0! congiungenti coppie di punti omologhi costituiranno “in generale , una rigata del tipo della /. Invero “ la rigata sarà anzitutto del 6° ordine , (*). Sieno 7, n due sue generatrici; M,, Nx; Ma, Nz le loro intersezioni risp. con a, ed az. Un S, condotto per l’S; mn, e che non passi nè per a,, nè per as, secherà ulteriormente la rigata secondo una curva del 4° ordine, che potrà spezzarsi secondo una curva direttrice del 3° ordine (ellittica, e quindi piana) ed una generatrice, allorchè (e solo allora) le ulteriori intersezioni delle rette M,N,, MsN; colle cubiche C., ©, risp. sieno con- giunte da una generatrice della rigata (omologhe cioè nella corrispondenza fra Ci e 3). In tal caso le generatrici della rigata si appoggieranno a tre piani (e quindi ad 001, secondo cubiche) punteggiando collinearmente (n° 6a)) C, e C. (**). La rigata potrà considerarsi allora come “ luogo delle o! rette che si appoggiano ad una cubica piana ellittica e a due piani 0,, 03, in posizione generica rispetto al piano della cubica ,. Facendo astrazione da tale caso si riconosce facilmente l’esistenza sulla rigata di 00? quartiche sghembe di 1? specie, e quindi di co? $S;} direttori della rigata, la quale si presenta quindi del tipo della / (***). 28. — Consideriamo un $; direttore della rigata: ad es. Z, (e ricordiamo che la congiungente i punti A, = X;0,, A, X10, appartenenti risp. alle cubiche Ci, Co, è il sostegno di un cono quadrico della rete (£) (n° 26)). Un S,:w condotto per X, (*) Poichè un S,:w uscente da a, seca ulteriormente la rigata (fuori di C;) secondo le tre gene- ratrici uscenti dai tre punti comuni alla C, ed alla retta way. (**) Può dedursi di qua la nota proposizione (Cfr. C. Seare: Le corrispondenze univoche sulle curve ellittiche, “ Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino ,, vol. XXIV (1889): n° 8): © Una cor- rispondenza univoca fra due cubiche, tale che ad una terna di punti in linea retta dell'una corri- sponda nell’altra una simile terna di punti, è collineare ,. (*#*#*) Le due rigate contemplate in questo n° costituiscono i due possibili tipi di rigate ellittiche del 6° ordine dell’S;, con curva minima del 3° ordine: C. Seare, Ricerche sulle rigate ellittiche di qualunque ordine, “ Atti della R. Ace. delle Scienze di Torino ,, vol. XXI (1886): n° 15. I risultati contenuti al n° 15 di tale nota ci avrebbero permesso di abbreviare i ragionamenti precedenti: abbiam creduto bene di esporli ugualmente, per uniformità di metodo. 15 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 163 “ contiene (n° 25) due generatrici della /, le quali “ si appoggiano alle due rette @,= ajW, @, = agw, uscenti risp. da A; e da A; ,. I punti d'appoggio delle due generatrici con C, e Cs si presenteranno quindi allineati con A, 4, risp. Variando l’S,w nel fascio (23) si riconoscerà che “ alle 00! coppie di punti di 0, allineate con A, sono omologhe in €, nella corrispondenza univoca determinata dalle generatrici della /, le o! coppie di punti allineate con As. Ciò può ripetersi partendo da altri Sy direttori della rigata, appartenenti a coni di- versi della rete (R). Si giunge pertanto all’ esistenza degli o! centri di proiezione nella corrispondenza univoca (n° 27) fra C, e Cs (*). Le co! congiungenti coppie di centri omologhi di proiezione costituiscono i sostegni degli o! coni quadrici di 2% specie contenenti la rigata F. Due sarbitrarì coni della rete (#) hanno a comune (v. n° 25) una Mi del tipo esaminato ai n' 15-22 (per la quale passa un terzo cono della rete). Le generatrici della F apparterranno ad co? Mi di tal tipo. Se ne deduce: “ La corrispondenza che esse determinano fra C,, 0, è contenuta (n° 18) in 00? corrispondenze quadratiche fra i piani a, 0g » (**) (#9). La rigata / si presenta anche semplicemente come segue: Abbiansi in un piano a, tre fasci di raggi (4), (B), (C) ed in un secondo piano 0g, che non incontri a;, tre fasci di raggi (A'), (B'), (C’): riferendo proiettivamente le tre coppie di fasci (A),(A'); (B), (B’); (0), (0'), in guisa che mai sieno omologhe congiungenti vertici di coppie omologhe di fasci, v’hanno co! terne di raggi concorrenti nei fasci (A), (B), (0) cui sono omologhe terne di raggi concorrenti nei fasci (A4'), (B'), (C'): Le 00! congiungenti punti di concorso di terne omologhe costituiscono una rigata del tipo della F. E vice- versa: la rigata F può sempre pensarsi generata in tal modo. 29. — Ci limiteremo — nel numero presente — alla determinazione degli ordini (016);, (008). (IX) (016), =(610)3 =9: Ordine della forma (510), della .M; (006), e della ri- gata (015),. Le generatrici della rigata (015), “ delle co! rette incidenti ad un piano a ed a 5S3:Z1,...,.Z5 » SI appoggiano al piano a secondo una curva del 4° ordine senza punti doppì (n° 13) ed agli S3 X; secondo sestiche (n° 25). Un Sj:w condotto per X; — ad es. — contiene, fuori di X,, tre sole generatrici della rigata (incidenti alla retta a=wa ed ai 4 piani 0,=wL,,..., G3=w; (****)). La rigata è pertanto del nono ordine. (X) (008), = (800); = 14: Ordine della forma (700); e della rigata (007),. Le generatrici della rigata (007), “ delle co! rette incidenti a 753: X,,...%7 , si (*) C. Seare, Le corrispondenze univoche, ecc., n° 1. (5): dd; n*:8. x (***) Corrispondentemente al fatto (cfr. l’oss. (*) al n° 18) che la .F è varietà base di una rete di Mî aventi a comune due piani sghembi a, ag si ha che “le co! coppie di punti omologhi nella corrispondenza fra C, e Cs sono costituite da punti reciproci in 00° reciprocità fra i piani @,0g, for- manti una rete ,. Da ciò si deduce subito che la corrispondenza fra C, e €, è contenuta in 00° cor- rispondenze quadratiche, relative agli 00° fasci di reciprocità della rete. (****) C. SeGRE, Alcune considerazioni elementari sull’incidenza, ecc., n° 5. 164 UMBERTO PERAZZO 16 appoggiano a questi secondo curve del 9° ordine (v. sopra). Un S,:w condotto per Z, — ad es. — contiene, fuori di Z,, sole 5 generatrici della rigata (incidenti ai 6 piani 0, = WX3, ..., 07 =WZ, (*)). La rigata è quindi del 14° ordine. $ 3. 30. — Nel simbolo (p; 9, 3; r)o la s può assumere i soli valori 0 ed 1 (poichè non v’hanno piani incidenti secondo rette a due piani, assegnati in modo generico nell’S;). Per brevità sostituiremo alla scrittura (p; g, 0; ») la seguente: (pqr)». Il sim- bolo (p; 9, 3; ”)» darà luogo, nell’ipotesi: 2p +9 + 48 + 2r =9, ai seguenti (oltre ai loro corrispondenti per dualità nell’S;): (212)», (311)a, (410)s, (231)a, (330)s, (151)a, (250)2, (170)., (090);, (2; 1,1; 0); (5 L13D)a0(;8710),, (0; 3,710); che prenderemo in esame nell’ordine scritto. 31. — (XI) (212))=2. Ordine della forma (112), e della M; (202). (XII) (311),=(113),=3. Ordine delle forme (211),, (013), e delle M; (301),, (103). (XIII) (410),=(014);=3. Ordine della forma (310), e delle M3 (400), (004). I due sistemi (013),, (310), hanno definizioni fra loro duali ed equivalenti: essi generano (v. n° 12) una forma cubica con 9 rette doppie. Analogamente i 4 sistemi (301),, (103), (400),, (004), hanno a coppie definizioni fra loro duali e tutte equi- valenti: generano una M3} normale per 1°S; (ni 5-11). — Finalmente gli oo? piani: (211), incidenti a due rette r,, rs, ad un S3:X ed appoggiati ad un piano: a costi- tuiscono un cono cubico di vertice il punto aX: Pongasi invero TT,g = r1r3, 7 = Ts. I piani del sistema incidono alle tre rette r,r,, rs». Costituiranno oo! fasci, uscenti dalle generatrici della schiera incidente (in TT) ad r, 71, ra e giacenti negli S} comuni alle coppie di S, che dalle generatrici proiettano a e X. Tali S3 contengono tutti il punto aX. Quindi, ecc. L’S32 è doppio per il cono cubico. 32. — (XIV) (231))=(132),= 5: Ordine delle forme (131), (032). e delle M; (221)», (122)». (221),; Gli oo! piani incidenti a due rette: r,, r», ad un S$3:X ed appoggiati a due piani: a,, 0g, secano l’S3 TT,, = rs secondo le generatrici della schiera incidente alle tre rette: r,, ra, r = Tl,sZ: si appoggiano quindi ad co rette (: le direttrici della schiera). Un S,:w condotto per TT,» seca ulteriormente la 2} (che indicheremo con F) secondo i tre piani (**) incidenti in w alle 4 rette 71, r2, a, = aWw, @9 # A3w ed al piano 0 = Xw. La F è quindi del quinto ordine. Essa può considerarsi come parziale intersezione dei due coni cubici (211), (n° 31) degli o? piani incidenti ad r,, 7», 2 ed appoggiati risp. ad a, 0 ad as: coni aventi a comune l’S3x, doppio per entrambi. Le o0!Mj del (*) C. Secre, Alcune considerazioni elementari sull’incidenza, ece., n° 7. (**) In un S, gli co! piani incidenti ad un piano 0 e a tre rette costituiscono una forma cubica con piano doppio (0): C. Seare: Sulle varietà cubiche dello spazio a quattro dimensioni, ecc., n° 52. p= LT SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 165 fascio determinato dai due coni saranno dunque “ coni cubici dotati di Sy doppio , (*). E poichè in ognuno di essi gli 00!$; generatori incidono, secondo rette pel vertice, ad 00? piani direttori (**) e i piani della / giacciono in quegli Sg: / piani generatori della F_ si appoggiano ad x piani. Poichè un Sj:w condotto per X contiene, fuori di X, un solo piano della F (comune ai due Sz che dalla congiungente i punti R,=7,w, R,=r3w proiettano le rette 4, = a;w, 4, = agw): gli co! piani della Y secheranno X secondo le generatrici di una rigata del 4° ordine. La retta r=TT,,X è direttrice semplice della rigata. Il luogo dei vertici degli co! coni cubici contenenti la / è una cubica sghemba Cl appartenente all’83Z, come facilmente si deduce per via anali- tica (#**). Dai suoi punti (p. es. dal punto a,Z o dal punto a,Z) escono coppie di piani della 7, e quindi coppie di generatrici della rigata. La cubica C è pertanto direttrice doppia della rigata e linea doppia altresì per la Y. (131)»: Ci limitiamo qui ad osservare, poichè ci sarà utile in seguito, che per la forma (131), “ degli 00? piani che si appoggiano a tre piani: 0,, ds, az ed incidono a una retta: r e ad un S3:XZ , è triplo lS;z. Invero: un S,:w, uscente da X, seca ulte- riormente la forma secondo il (solo) cono quadrico di cui son piani direttori £a,, Ras, Raz (ove si sia posto: R= rw, a,= gw) — Si potrebbe ora dedurre — variando w nel fascio (Z) — l’esistenza di un secondo sistema co? di piani nella forma (direttori dei coni quadrici di cui sopra), ecc. La 7 è doppia per la forma. 33. — (XV) (330), = (033), = 6: Ordine della forma (230), e delle M; (320)s, (023)». (320), = (023): I due sistemi (320),, (023). hanno definizioni fra loro duali e coincidenti. Sieno 71, #2, 73; 0%, @s risp. le rette ed i piani direttori di un sistema (320). Un S, uscente da uno dei tre S, TT,3 = rs, 113 = 173, TT23 = 273 contiene, come facilmente si verifica, due piani del sistema (320)». Dualmente: dai punti di ciascuna delle r,, r2, 73 escono coppie di piani del sistema, non giacenti colle r,, 73, r3 risp. in uno stesso S; (anzi in uno stesso S,j): Le rette r1, ra, 73 sono pertanto doppie per la F (****). La F può ritenersi parziale intersezione delle due Mî (vi n° 12): “ dei piani che si appoggiano ad r;, 12, 73,0 , e “ dei piani che s’appoggiano ad 71, 72, 73; t ,. Dalla MS loro completa intersezione si staccano i tre Sg TT13, IT13, ITag: la è quindi del 6° ord. al più. Dalle cose precedenti poi, e dalla nota (****) si deduce ch’essa è (almeno, e (*) Si prova analiticamente in modo immediato che una forma cubica — in un Sf — dotata di Sz doppio è un cono (veggasi del resto la nota (***)). (**) Ciò si deduce applicando i risultati del n° 52 della Memoria sopra citata alla © forma cubica con piano doppio, intersezione di un variabile cono del fascio con un iperpiano, non passante pel vertice ,. (#**) Un fascio di forme cubiche nell’ Ss aventi un medesimo S3 doppio x;= x3=0 può rappre- sentarsi coll’equazione: (1) (A+ XA)2;° + (B + AB)eyeo + (C+ AC) =0, ove À è un parametro, e le A, ..., A", ... sono forme lineari delle ,, «9, ..., 3. La (1) rappresenta per ogni valore di X un cono di vertice il punto x5=xg=0, A+ \4/=0, B+AB"=0, C+AC0"=0. Col variare di A, tale punto descrive la cubica di equazioni parametriche nell'S3v;=a=0: A+XA'=0, B+\B'=0, C+\c'=0. (****) Le x4,1°2; 11,73; 7°,7 saranno direttrici doppie altresì per le tre rigate risp. secate su TT,g, TT43, TTas dagli co! piani del sistema (320): le tre rigate risulteranno del IV° ordine almeno, e — per quanto segue — precisamente del 4° ordine. 166 UMBERTO PERAZZO 7 18 quindi) precisamente del sesto ordine. — La F può ritenersi, coi tre Sg Ts, 1713, TT93, varietà base di un fascio di forme cubiche. E poichè tutte conterranno i tre S; TT,3, TT13, TT23 — e quindi le 74, r2, 73 come rette doppie — potranno ritenersi (vi nota (*) al n° 44) della stessa natura delle due forme determinanti il fascio. Se ne deduce facil- mente — in virtù di alcune proprietà relative a queste forme (*)—: G co! piani della F sì appoggiano ad 3 piani, costituenti due sistemi distinti (e tali che da ogni punto dell’S; escono un piano del primo e uno del secondo sistema, come facilmente si verifica). 34. — Ci limiteremo — in questo e nei numeri seguenti (ni 34-37) — alla deter- minazione degli ordini delle varietà, che ancora ci rimangono a considerare nel pres. $. (XVI) (151); = 10: Ordine della forma (051), e della M3 (141).. (141), : Gli co! piani incidenti ad una retta r, ad un $3 X, ed appoggiati a 4 piani 0}, 0», 43, 0, secano sopra ciascuno dei piani a;,..., 0, una curva del 5° ordine (n° 32). Conducasi per a, — ad es. — un S3 : IT. Se P è un punto della _.M3, giacente in TT e non appartenente ad a,, il piano della M; uscente da P secherà TT secondo una retta (incidente ad a). D'altra parte un piano incidente a TT si appoggia certa- mente ad a,. Pertanto l'intersezione di TT colla M; — fuori di a} — sarà costituita da un numero finito di rette: tante quanti i piani incidenti ad una retta: r, a due S,:Z, TT ed appoggiati a tre piani: 05, 03, 04: quindi in numero di 5 (n° 32). La M; è quindi del 70° ordine. 35. — (XVII) (250), = (052), = 11: Ordine della forma (159), e delle M; (240), (042). (042): Gli co! piani incidenti a due $}: X3, X, e che si appoggiano a 4 piani: 0, 09, 03, 4 Secano su ognuno di questi una curva del 5° ordine (n° 32). Un $3 : TT con- dotto per a, — ad es. — seca la M., fuori di a,, secondo le 6 rette traccie sopra TT dei piani che si appoggiano ad as, 03, 0, ed incidono agli S3 X,, Z», IT (n° 33). — La M; è quindi dell’71° ordine. 86. — (XVIII) (170), = (071), = 21: Ordine della forma (070), e delle M; (160)», (061).. (061), : Gli co! piani incidenti ad un $3:X ed appoggiati a 6 piani: a,, ..., tg Se- cano ciascuno di questi secondo una curva del 10° ordine (n° 34). Un S3 : TT condotto per aj — ad es. — seca la Ms; fuori di a, secondo le 11 rette (n° 35) traccie sopra TT dei piani incidenti a TT, X ed appoggiati ai 5 piani 0, ..., &. La M; è quindi del 21° ordine. 37. — (XIX) (090))= 42: Ordine della Mz (080).. (080): Gli co! piani appoggiati ad 8 piani a, ..., tg, secano sopra ognuno di essi una curva del 21° ordine (n° 36). Un S3: TT condotto per a; — ad es. — seca la M,, fuori di a,, secondo le 21 rette (n° 36) traccie isu TT dei piani incidenti a IT ed ap- poggiati ai 7 piani 03, ..., &3. La M; è pertanto del 42° ordine. (*) Vi il n° 9 della mia nota cit.*: Sopra una forma cubica con nove rette doppie, ecc. el 19 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 167 8 4. 88. — (XX) (2;1,1;0):=(0; 1, 1;2)x="1. Ordine della forma (1;1,1;0), e delle My; (210)», (012). (XXI) (1; 1,1;1)-= 2. Ordine della forma (0; 1, 1; 1), e della M; (111)s. (XXII) (1;3,1;0):=(0; 3, 1; 1)»=3. Ordine della forma (0; 3, 1; 0)» e delle .M, (1; 2, 1;0)s, (0; 2, 1;1)s. (1;2,1;0),. Gli co! piani incidenti ad una retta r, ad un piano 8 (secondo rette) ed appoggiati a due piani a,, 0» costituiscono nell’S, 78 =w una forma cubica con piano doppio (poichè incidono — in w — al piano 8 ed alle tre rette: r,a,=wa,, as=Ww03.) (vi la nota (**) al n° 32). 39. — (0; 3, 1; 0)»: Il sistema co? dei piani incidenti secondo rette ad un piano $ e che si appoggiano a tre piani a,, a», ag corrisponde a se stesso per dualità nell’ S;. Lo indicheremo nel seguito con (X). La forma Y che lo contiene è del terz’ordine (n° 38) e — dualmente — della terza classe (*). Ogni S3 condotto arbitrariamente per B seca a, 03, 03 secondo tre punti congiunti da un piano del sistema. La rete (8) di S3 seca sui tre piani 0, 09, az tre sistemi collineari due a due di punti, e i piani del dato sistema compaiono come “ congiungenti terne di punti omologhi , (**). Dualmente: Ogni retta di B è proiettata da a,, 03, ag secondo tre S, intersecantisi in un piano del sistema. Il piano rigato (8) vien proiettato da a,, a», 03 secondo tre reti collineari di S, e i piani del sistema dato compaiono come “ comuni a terne di S, omologhi ,. 40. — Da ciascuna delle tre rette: r,, 3,73 (n° 5) incidenti ai quattro piani 8, 04, 09, az esce un fascio di piani del sistema (X) (nell’S; che la congiunge a 8): appar- tengono quindi alla F i tre S3 r,8, r,8, r38. — I tre S3: Tia = ira, Tl13 = 7173; Tl23 = r078 secano secondo rette i quattro piani f,0,, 0, 03: in ognuno di essi sarà contenuto un fascio di piani del sistema (X), di cui sarà asse la retta comune all’S; ed a fg. Per- tanto: appartengono alla F i tre Sz: TT13, TT13, Tag. I tre S3 718, 728, 738 non giacciono in uno stesso S, (poichè non stanno in uno stesso S4 71, re, 73) e — per la stessa ragione — mai possono giacere in uno stesso S, due qualsiansi degli Sg TT,9, 1T1g, TTsg. Se ne deduce: Il piano B è doppio per la forma F; e sono altresì doppie per la F le tre rette r,, ro, 13 (incidenti a f, ma in posizione reciproca affatto generica). 41. — Un S,:w condotto ad arbitrio per l’Sy TT,3 = 7,1" — ad es. — secherà ulteriormente la F secondo una Mj che nel punto wry presenterà un punto doppio: un cono quadrico cioè di 1* specie, di cui è vertice il punto wrgy. Col variare di w nel fascio (TT,s) la M3 ulteriore intersezione assumerà co! posizioni e la quadrica da (*) Poichè si possono ritenere (come apparirà dal seguito) tangenti alla / gli co* iperpiani uscenti dai piani di (£). (**) Notisi però che tre piani — in posizione generica nell'Ssg — riferiti collinearmente fra loro, non possono in generale ritenersi “ sezioni di una stessa rete di 3 ,. E dualmente. 168 UMBERTO PERAZZO 20 essa secata su TT, descriverà evidentemente un fascio. È facile riconoscere che “ la quartica base del fascio si spezza nelle due rette r,,r, e nella 8,3 = TT,38 contata due volte , (*). Le quadriche del fascio cioè hanno a comune oltre alle due genera- trici #1, ro, la direttrice 83», e in ogni punto di questa tutte ammettono lo stesso piano tangente. 0 — in altre parole — le generatrici delle 00! quadriche costituiscono una congruenza lineare speciale di asse la retta 5,3 (e le direttrici: la congruenza di assì 71, T9). 42. — Poichè (n° 41) l'ulteriore intersezione colla F di un Sy di uno dei fasci (TT19), (1713), (TT33) è costituita da una M} conica di 1? specie, si avrà — considerando i due sistemi co! di piani che a questa appartengono — e col variare dell’S, nel fascio: Appartengono alla F_ — oltre al sistema (K) — un sistema c2:(K,) di piani, incidenti ad r3, rs, r3, e tre sistemi 2: (L3), (Lo), (L3) di piani i quali si appoggiano risp. ad r,, ro, r3 e secano ordin.° i tre Sg TT93, TT13, TTia secondo le generatrici di congruenze lineari speciali, di cui sono assi risp. le tre rette bg3 = 17238, bi3 = 11138, bio = 11198. 43. — Nell’S,} TT, — ad es. — si consideri un fascio di raggi della congruenza lineare speciale (5,3) secata dal sistema (L3). I piani di (L;) secanti i raggi del fascio giacciono nell’S, congiungente il piano del fascio alla r3 (e vi costituiscono un cono quadrico di vertice il centro del fascio). Tale S, contiene il piano 8 (poichè il piano del fascio passa per d;3 e la r3 è incidente a f): è quindi un S; del fascio di cui è sostegno 1’S, Br3. — Pertanto: i sistemi (L;), (Lo), (L3) si possono pure ottenere con- siderando i tre fasci di S, di cui sono sostegni gli S3 Bri, 8r2, Br3 e le M} ulteriori intersezioni colla Y degli iperpiani dei fasci. Con ciascuno dei sistemi (L;), (La), (D3) si otterrà costantemente il sistema (K) (in luogo del sistema (X) come al n° preced.). 44. — Se k, x; sono due piani, generici, dei sistemi (K), (X,) risp., dalla congiun- gente i punti kd,9, K,73 (n° 42) escirà evidentemente un piano del sistema (L3) che li taglierà entrambi secondo rette (ni 42, 43): è piani x, x, hanno quindi a comune un punto. Con analogo ragionamento si dimostra che due piani, appartenenti risp. a due diversi sistemi (L,) (= 1, 2,3) hanno a comune un punto. — I piani del sistema (K) secano TT,g, 11,3, IT23 secondo terne di punti allineati (su rette del piano £): e d’altra parte è questa — evidentemente — l’unica particolarità di posizione d’un generico piano di (K) rispetto ai tre Sg TT,2, 11,3, 1733. Quindi: Gli 00? piani del sistema (K,) possono riguardarsi come i piani incidenti a tre rette r,,ro,13 — non in un Sy — ed appoggiati ad un piano (x) il quale sechi secondo punti allineati i tre Ss che le con- giungono due a due. In questo senso la F può considerarsi come caso particolare (*) Il cono secato da ogni S,:w, uscente da TT;3, sulla F contiene sempre due piani della F uscenti risp. da x e da r3 (intersezioni di w cogli S r173, 7373) ed un piano uscente dalla dia = TTy38 (comune ad w ed all’S;8r3). Quindi 74, 712, dig sono rette basi del fascio di quadriche — in TT, — di cui sopra. D'altra parte 1’S,TT;38 seca ulteriormente la secondo i 2.;B71, Br3, che alla loro volta secano su TT;3 i 2 piani d971; dia”. Una ulteriore retta base del fascio dovrebbe appartenere a questa “ coppia di piani , e d'altra parte incidere ad 7, 7g: non può quindi esser distinta dalla dis. 21 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 169 della Mj con 9 rette doppie, definibile appunto (*) mediante un generico sistema (310)y (senza restrizioni cioè, relative alla posizione del piano x rispetto alle direttrici r,, r9, 3). Alla F potranno quindi applicarsi — con ovvie modificazioni — varie proprietà rela- tive a quella forma (**). 45. — (XXIII) (0; 5,1;0))=6: Ordine della M, (0; 4, 1; 0)p. (0; 4, 1; 0)g: Gli co! piani incidenti secondo rette ad un piano f ed appoggiati a 4 piani a;, 09, 03, €, secano sopra ciascuno dei piani a,, ... 0, una curva del 3° ordine (n° 39). Un Ss: IT uscente dal piano a, — ad es. — seca la M,, fuori di a,, secondo le tre rette traccie sopra TT dei piani incidenti secondo rette al piano 8, all’Sy IT, ed appoggiati ai tre piani @s, 03, a, (n° 38). La M; è pertanto del 6° ordine. E il piano $ è per essa triplo, come facilmente si verifica. CAPITOLO II. $ 5. 46. — Abbiansi due spazì di egual dimensione: TT,,, IT, aventi a comune un S, (£=—1) congiunti cioè da un Ssm_1:9. Si immagini un S,:X uscente da $S, o coin- cidente con S (n=2m—-/). Un sistema co": (K) di S,n dello spazio X tale che da ogni punto P di X esca un solo spazio del sistema, e che non abbia particolari relazioni con TT, IT, determinerà fra questi spazî, nel senso di cui si disse nell’“ in- troduzione , una corrispondenza biunivoca (che potrà ritenersi determinata altresì, tra IT e TT’, dal sistema co” degli S,,; comuni a S ed agli S,_n del sistema (K)). — Come sistemi (K) potranno assumersi nell’S, particolari sistemi di $S,_, incidenti a dati spazîì, e pei quali valga la proprietà enunciata. Determinando categorie di tali ‘sistemi — per » qualunque (22m — 2) — potranno ottenersi fra TT,,, IT,, corrispon- denze biunivoche, il cui ordine sarà, in generale, funzione della dimensione n. Ci limiteremo a pochi esempî, che ci forniranno corrispondenze biunivoche tra due piani o due $S3. Supporremo sempre assegnati i due piani od Ss, e gli spazî direttori del sistema da considerarsi, in posizione reciproca affatto generica nell’S,. 47. — Assumansi due piani m,m' e in un S, che contenga lo spazio mn’ si con- sideri il sistema 0c0?: (K) degli S,-, è quali sono incidenti ad un S,-2: 2 e si appog- (*) Vedi la mia nota cit* al n° 12. — Erasi provato in essa (n° 17) che allorchè una forma cubica contiene tre rette doppie 7,7%, 73, non in un S,, contiene di conseguenza altre 6 rette doppie, ecc. E ciò basandosi sul fatto che quando in un fascio di quadriche la quartica base contiene come parte due rette sghembe deve ulteriormente spezzarsi secondo due rette r, s appoggiate alle prime. Ma queste rette », s possono coincidere: cioè le quadriche del fascio raccordarsi lungo una direttrice comune: in corrispondenza a tale ipotesi le 9 rette doppie si riducono a 6 distinte: distribuite secondo i lati di un triangolo e secondo tre rette uscenti dai vertici di questo (in posizione reci- proca generica), ecc. E la forma cubica assume il tipo ora considerato. (**) Assumendo i punti fondamentali delle coordinate in guisa che il piano $ venga rappresen- tato dalle: =x;= x=0 e le tre rette r,, 2, 73 risp. dalle: cy=a3=x;=%=0, ci=t=2x,=08=0, x=%=x=%y= 0 la Y verrà rappresentata da un'equazione del tipo: @a.xjCyt + darti, + + c.x37,c; + d.ryesta = 0 (essendo a.d,c,d coefficienti arbitrarî). Serir IT. Tom. LIV. v 170 UMBERTO PERAZZO 22 giano ad n—2 rette: ri, r9,....Tn->. Da ogni punto P dell’S, escirà un solo S,-; del sistema: congiungente P agli n — 2 punti comuni all’ iperpiano Px ed alle rette Y1;T9; +3 Tn-s- Se il punto P descrive in mr una retta r, 1’S,_s del sistema (K) uscente da P descriverà il sistema oo! degli S,_s incidenti ad un S,_::2 e ad n—1 rette: r, #1, ro, ..Tn-g: Sistema costituente una forma dell’(n — 1)° ordine, poichè è noto (*) che — dualmente — sono in numero di n — 1 le rette di un S, incidenti ad » S,_s e ad una retta. a) L’S,-»:Z è multiplo d’ordine n — 2 per la Y: poichè da ogni suo punto P escono tanti S,_, del sistema quanti — nella stella (P) — sono gli S,_s incidenti secondo $S,_3 e secondo rette per P risp. all’S,_.X e agli n—1 piani Pr, Pr,, Pra .. Prn-g (ossia quanti sono in un S,_; gli S,-3 incidenti ad un S,_3 e ad n — 1 rette): quindi in numero di n — 2 (per quanto sopra). b) Ogni S,-s del sistema (£) il quale tagli secondo una retta il piano m, si appoggierà ad ogni retta r assunta in mt: appartiene quindi alla F. Gli S,_: del sistema (XK) incidenti a tm, escono dal punto P=nZ: tagliano quindi secondo $S,_3 per P e risp. secondo rette per P: l’S,_.X e gli n—1 piani n, Pr, ..., Pra. Quindi (osserv. a)) sono in numero di n — 2. c) Da ogni S,_3 incidente a Z, r1, #2, ...,7n-s escono 00! S,_: del sistema (K) — costituenti un fascio nell’S,_, che congiunge 1’S,_3 a X: E fra gli S,_s del fascio ve ne sarà uno incidente ad ogni retta r fissata — ad es. — in tr: Gli S,_3 incidenti a Z, 113 9; «+ Tn-g COstituiranno pertanto una M,_, contenuta nella Y: Si possono riguardare come gli S,_3 congiungenti le (n—2)-ple di punti secate sopra le r1, 19, ..., *n_s dagli iper- piani del fascio (2): quindi (x — 2)-ple di punti omologhi in n — 2 punteggiate riferite fra loro proiettivamente. Si verifica agevolmente — p. es. trasformando il problema per dualità nell’S, — che la M,_, in questione è d’ordine n — 2. La indi- cheremo con ©. 48. — Segue dal fatto che la Y è dell'(n — 1)° ordine, e dalle osservazioni a), 5), c): In un S, dl sistema (K) degli n? Sis incidenti ad un S,-2: 2 e ad (n—2) rette 13, l'a, +. Tn-o, definisce tra due piani t,n' una trasformazione — di De JoxquièRES (**) — dell’(n — 1)° ordine. Ponendo n —1=m: Alle rette di © — ad es. — sono omologhe in © curve d'ordine m, aventi a comune un punto (m — 1)-plo e passanti semplicemente per 2 (m— 1) punti fissi. 49. — Dal punto nX escono co! S,_s del sistema (K) costituenti — come facil- mente si deduce dall’oss.° a) (n° 47) — un cono d’ordine n — 2, pel quale è multiplo d'ordine n— 3 l’Sn_>Z; ed a cui appartengono — evidentemente — gli n —2 S,_s incidenti a tt; Z; #1, #2, ...7n-e (n° 47 d)) ela Mî_-} © (n° 47 c)). Pertanto: Al punto TX corrisponde in ©' la curva d'ordine m-—1 avente nel punto n'E un punto (m — 2)-plo e passante semplicemente per gli ulteriori 2 (m — 1) punti fondamentali (semplici) della trasformazione. — Ai punti (fondamentali) traccie su m degli n—2 S,-s incidenti a (*) C. Carrone, Memoria cit*, n° 22. (**) “ Nouv. Ann. ,, (II), 6, (1864). — “ Giornale di Mat. ,, t. 23 (1885). 23 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 171 m',Z, 1, 72, ++, 7n-» corrispondono le traccie di questi spazî su n’, ossia (poichè ognuno di essi contiene un Sn_3 incidente a , r1, r9, ..., 7, ed appoggiato a m'): le rette congiun- genti il punto n'X ad m—1 determinati punti base (semplici): le traccie della ® su n'. Analogamente si prova che ai punti comuni a n ed alla ® sono omologhe le congiun- genti il punto n'X agli m—-1 punti traccie su n' degli S,_3 incidenti a m,Z,r;,t9, .... Tio. UP 6. 50. — Si considerino due $3: TT, IT, e in un S, contenente lo spazio TITTI": i/ sistena 003: (K) degli S,-3 incidenti ad un S,-a e ad n—3 rette ri, ro, ..., tn. Da ogni punto P dell’S, esce un solo S,_3 del sistema: congiungente P agli n--3 punti co- muni all’$S,-, PX ed alle rette r,, r2, ..., 7-3. Se il punto P descrive in TIT un piano: a, l’S,-3 del sistema (K) uscente da P descriverà: “ il sistema o? degli S,_3 incidenti a X, r1, f2; «+, 7-3 ed appoggiati al piano a ,: Si distribuiranno questi, secondo o! fasci negli co! S,_s incidenti ad a (secondo rette), a X ed alle r1, r>, ..., 7,3 (fasci aventi per s sulle sostegni gli S,_; congiungenti i gruppi di x — 3 punti secati da quegli S,_» Tiufej ce, Falg). Gli co! S,_s in questione escono dal punto aZ, e costituiscono un cono d'ordine n-—2 che indicheremo con £ (efr. n° 49): a) LS. 22 è multiplo d'ordine n —3 per il cono Y (n° 49). 5) Appartengono ad / gli S,_» incidenti a X, 1, r3; ....7n_3 ed all’S; IT (secondo piani), poichè incideranno ad ogni piano a contenuto in TT. Tali S,_3 esciranno dalla retta TTZ: saranno quindi (cfr. n° 47 a)) tanti quanti in un S,_» gli S,_; incidenti ad un S,_4 e ad n— 2 rette: quindi (n° 47) in numero di n — 3. c) Appartiene ancora alla F la M,_3:® degli co! S,_y incidenti a X, ri,t9, ...3 7n_s (cfr. n° 47 c)): Essa è d'ordine n — 83 (cfr. ancora n° 47 c)). 51. — Discende dal numero precedente: In un Sn il sistema (K) degli 008 S,_3 incidenti ad un S,-. e ad n—3 rette definisce tra due Sy: TT, TT una trasformazione dell'im — 2)° ordine. Ponendo n —2=wm: Agli 03 piani di TT — ad es. — sono omologhe in TT' le rigate d’ordine m aventi a comune: (a) una direttrice rettilinea (m —-1)-pla; (b)m — 1 generatrici; e passanti (c) semplicemente per m —1 punti fissi (*). 52. — Se un punto P descrive in TT una retta r, l’S,.; del sistema (K) uscente da P descrive “ il sistema co! degli S,-3 incidenti ad un S,_s:XZ e ad n — 2 rette PT, 19, «+ n-3 n: Sistema costituente (n° 47 c)) una M7-;, che indicheremo con R. a) Gli S.3 generatori della £ secano X secondo S,_y costituenti una M,_s (forma) dell’(n — 3)° ordine: poichè un S,-1:w per X seca ulteriormente la R secondo il solo S,3 congiungente gli n —2 punti wr, Wwr,, ... Wr,_3. (*) La trasformazione birazionale trattata dal Prof. Sere al n° 21 della sua Nota: Sulle varietà normali a tre dimensioni composte di serie semplici razionali di piani, * Atti R. Acc. delle Scienze di Torino ,, vol. XXI (1885) — dedotta mediante convenienti proiezioni su due S3 di una -M; normale luogo di una ce! razionale di piani — abbraccia come caso molto particolare la trasformazione di cui sopra. 172 UMBERTO PERAZZO 24 5) Ciascuno degli n — 3 S,-» incidenti (n° 50 9)) a X, r1, #2, ....7._3 ed a TIT (e quindi ad ogni retta r contenuta in TT), contiene un (solo) S,_3 della R (congiungente gli #n—2 punti comuni a quell’S,_, ed alle: r, r1, 79, ...; 7-3). c) La M,-3 ® degli S,_; incidenti a X, r1, r9, ...,7n-3 appartiene alla È, poichè da ogni suo S,_; generatore esce un S,_; del sistema (K) incidente ad una fissata retta r (ad es. in TT). Potremo ora aggiungere al n° 51: Alle rette di TT — ad es. — sono omologhe in TT' de curve d'ordine m aventi una data retta (ZTT') quale m — 1 secante; appoggiate semplicemente ad m —1 rette (che incidono alla m—1 secante); e passanti semplice- mente per m—1 punti fissi. 58. — Gli S,_x del sistema (K) i quali si appoggiano alla retta s= TITZ (retta fondamentale (m — 1)-pla in TT) costituiscono un cono d'ordine n—3: proiettante dalla s la varietà ® (n° 50 c)): Invero ogni S,_; che congiunga la s ad un S,_y inci- dente a X, 7, ...,7»_3 contiene tutto un fascio di S,_3 del sistema (XK) incidenti alla s. L’S,-.X è multiplo d’ordine n —4 per il cono (poichè un S,_1:w per X seca ulte- riormente il cono secondo il solo S,_s generatore, congiungente la s agli a» — 3 punti POL A DIE Al cono appartengono, oltre alla ®, gli n — 3 S,_s (n° 50 5) ) incidenti a 2, r,, T9, +. 7-3 ed a TT (e quindi uscenti dalla s = TTXZ). Pertanto: AMa retta s = TT è omo- loga in TT la rigata dell’ (m—1)° ordine avente la retta XT' quale direttrice (m—2)-pla, e passante semplicemente per le m — 1 rette e gli (m — 1) punti base del sistema oma- loidico in TT'. E precisamente: Ai punti della s corrispondono le curve d'ordine m—-1 aventi la XIT' quale (m —2) secante, appoggiate alle m — 1 rette basi e passanti sem- plicemente per gli m —1 punti base. (Infatti: Gli S,-3 del sistema (K) uscenti da un determinato punto P della s costituiscono evidentemente il cono — d'ordine n — 3 — proiettante da P la varietà ®. E poichè gli S,_ generatori della ® secano — come facilmente si verifica (cfr. n° 52 a)) — su 2 una M,_y d’ordine n — 4, il cono (P) sarà secato da X secondo una M?_j (conica). D'altra parte ciascuno degli S,_» inci- denti a X, r1, r9, ...,7n-3 ed a TT contiene certamente un S,_3 del cono (P), quindi ecc.). Alle rette (fondamentali semplici in TT) traccie su TT degli S,-. incidenti a X, r,, r>, ...Tr_s ed a TV, corrispondono evidentemente i piani comuni a questi spazî ed a TT' ovvero: è piani congiungenti la XTT' agli m — 1 punti fondamentali semplici in TT' (n° 51): poichè un S,_; (della ®) incidente a X, r1, r3, ....7n_3 ed appoggiato a TT’, congiunto alla XIT' dà luogo ad uno degli m — 1 S,_s di cui sopra. — Più precisamente: A punti di ciascuna delle rette fondamentali semplici in TT, corrispondono, nel piano omo- logo, i raggi di un fascio: avente per centro il punto fondamentale congiunto da quel piano alla XTT'. Analogamente si prova: Ai punti (fondamentali semplici in TT) comuni a TT ed alla varietà ® (n° 50 c)) corrispondono in TT' gli m—1 piani congiungenti la ZTT' alle m_—1 rette fondamentali semplici di TT'. 25 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARI, ECC. 173 UP - 54. — Si considerino due $S, : TT, TT' e in un S, contenente lo spazio TTTT': dl sistema 008:(K) degli Si-3 è quali incidono — secondo Si; — ad un S,-3: assegnato, e si appoggiano ad n—-3 piani: ,, &, ..., x. Da ogni punto P dell’S, esce un solo S,_3 del sistema: congiungente P agli n — 3 punti che l’S,_.PX seca sopra aj, ..., 0,_3. Se il punto P descrive in TT un piano a, 1’S,_3 del sistema (K) uscente da P descrive “ il sistema 00? degli S,_3 incidenti ad un S,_3: X (secondo S,_: ciò sottintenderemo in seguito) ed appoggiati ad n — 2 piani: a, @,, 09, ..., &,_3 y: Tale sistema costituisce una forma / dell’(n — 2)° ordine. Invero: un S,-,:w uscente da X seca la / unica- mente secondo la M7_5 degli co! S,_3 “ incidenti in un S,_, ad un S,_3: X e ad (n — 2) rette: a =0W, a, ="0,W4, ag =0%W,...G,3=0,W4 , (vin° 47). a) L’S,_3* è multiplo d'ordine n — 3 per la /: poichè è multiplo d’ordine n — 3 (n° 47 a)) per le co? M,_» sezioni della F cogli iperpiani uscenti da . 5) Appartengono alla F gli co! S,-s incidenti a X, a TT secondo rette, ed ap- poggiati agli n — 3 piani a,, 4, ...,0,_;. Essi costituiscono una M,_sY, di cui vogliamo ora determinare l'ordine: Escono tali S,_3 dal punto P=TTZ e nella stella (P) inci- dono secondo S,_, e risp. secondo rette per P, all’S,_; X ed agli n—-2 S;: TT, Pa,, Pas, ...: Pan-3: Per sezione con un Sn_1:w, generico, daranno luogo “ agli oo! S,_, che in un Sn: (W) incidono, secondo S,_;, ad un S,_x (Z° = WZ) e si appoggiano ad n — 2 piani (to, 00,13 «++ Co,n-3) ss L'ordine della M,_3 costituita da tali S,_y in w, eguaglierà l'ordine della Y. - Indicheremo con p,_; tale ordine, ed in generale con pn: l'ordine dell’analoga varietà relativa ad un S,. Un S,_: condotto in w per l’S,_s 2, secherà la M,_3, fuori di X, secondo gli n—3 S,_y incidenti a X, ed alle n — 2 rette comuni all’S,_s ed agli n — 2 piani to, 00,13 +++: Cons (n° 47). D'altra parte da ogni punto P di 2, escono (cfr. il ragionamento di poc'anzi) tanti S,_; della M,_3 quanti in un S,_s sono gli S,_; incidenti, secondo S,_;, ad un S,_; ed appoggiati a n—2 piani: cioè in numero di p,_s: L’Sn Zo è quindi multiplo d’ordine p,_s per la M,_3. E si avrà quindi: p,--= (n — 3) + + pus (*). Analogamente: p,_3 == (n — 4) + pn_3 ecc. E poichè (n° 45) è p;=" 6, sarà Pi (ordine della Y) — de si iiin) c) Appartiene alla F (cfr. n° 47 c)) la M._,:® degli co? S,_y incidenti al- l’Sn-s 2, secondo S,-;, ed appoggiati ai piani 0,09, ...,0n-3. Un Si-1:W uscente da X seca la ®, fuori di X, secondo la Mî_3 (cfr. n° 52) degli co! S,_, incidenti a X ed alle rette A, = W03, Ag = W09, ..., An 3 = W0,_5. D'altra parte, da ogni punto di 2 escono tanti S,_, incidenti a X ed appoggiati ad a,,...,0,_3 quanti S,-; — in un S,_} — incidono ad (*) Alla stessa relazione si può giungere pure brevemente come segue (cfr. n° 45): In w gli 00! Sn_4 “ incidenti secondo Sn-5 a Zy ed appoggiati ai piani tt, Wi, ..., don-3 , secano sopra ognuno di tali piani una curva d'ordine n —3 (vi sopra: determ.° dell'ordine della /). Conducasi per uno di essi (tm ad es.) un S3: TT. L’'intersezione di TT, colla varietà, fuori di ©), sì comporrà di un numero finito di rette: tante quanti sono — in w — gli Sn “ incidenti a X) (secondo Sn—5), a TT) (secondo rette) ed appoggiati agli n — 3 piani 0,1, ..., Go,n-3 »: quindi in numero di pn-e. Ece. 174 UMBERTO PERAZZO 26 un S,; (secondo S,_;) e si appoggiano ad n —3 piani. Detto quindi p, l'ordine della ®, e in generale: p, l'ordine della varietà analoga relativa ad un S,, sarà pi=(a—3)+ p,-.. Analogamente: pi1=(r—4)+ pis ecc. E poichè (n° 5): pi=3 (1-2) (n—3) sarà p, = 3 55. — L’S,32 — (multiplo d'ordine n—--3 per la F) — è multiplo d’ordine (n—2)(n—-3) \ _ per ciascuna delle due varietà (x, )y e ®. Queste contengono ancora entrambe la M,_;: H degli 00!S,_ incidenti, secondo S,_;, a , e che si appoggiano ad a;, 09,..,,0n3 ed a TT (*). L'ordine di questa M,_3 eguaglia l’ordine della M,_;:H, degli 00° S,_; incidenti ad un S,_3(2) e che si appoggiano ad (n-—4) piani (a, 09, ...,n_4) e a due S; (TT,TT,), poichè per entrambe le varietà l’ordine è espresso dal numero finito di S,-s incidenti, secondo S,_;, ad un S,_3, ed appoggiati ad n—3 piani e a due Sg. Premettiamo la determinazione dell’ordine della M,_s “ luogo degli 00! /S,_3 di un S, incidenti ad un S,_,:X, ad n—3 rette: 71, r2,..., 7n_3 6d appoggiati a due piani , o — ciò che fa lo stesso — l’ordine della M,_; (forma) “ degli 00? S,_; incidenti ad un Ss: 2, ad n—4 rette: 71, r2, ..., 7-4 ed appoggiati a tre piani: 0,,09,03 ,, Un S,1:Ww condotto per X, seca la M,_,, fuori di 2, secondo il cono quadrico di specie n— 4, costituito dagli 015,3 — in w — i quali passano per l’S,_; congiungente i punti R,=tr,w, Ro=rw, ..., Rn4=Tn_W e si appoggiano alle tre rette: a, =0,w, ag=%w, az =03w (ovvero: “ incidono — secondo S,_{ — ai tre S,_3 proiettanti da quell’S,_; le rette a,, 43, 43 ,). — D'altra parte, indicato con p, l'ordine della forma, ecc. (come al n° prec.), l’S,-:2 sarà multiplo d'ordine p,-,, poichè da un suo generico punto I escono tanti S,_s della forma quanti — in un S,_1 — sono gli S,_; incidenti ad un S,_3, ad n — 4 rette ed appoggiati a tre piani. Pertanto: p,= p., + 2. Analogamente: Pr-1 = Pn-2 + 2, ecc. E poichè (n° 32): p:=5, sarà: p,=5+2(n—-5)=2—3)+1. Conducasi ora — per la determinazione dell'ordine della Hj — un S,_1:w per l'S.-32: secherà la H,, fuori di X, secondo la M,_3 degli: “ 001,_, incidenti (in w) a Z, alle (n — 4) rette a, = 0, ..., Gn_4= 0_W ed appoggiati ai due piani T = TTw, t,=IT,w,: varietà d'ordine: 2(n—4)+ 1, per quanto sopra. — D'altra parte: indicando con p,, al solito, l'ordine della H, ecc., si verifica — come poc'anzi — che l’S,_32 è multiplo d’ordine p,-, per la H,. Quindi: p, = pi + 2Mnm—-4) +1. Analogamente: p,_1= Pr + 2(nm— 5) + 1, ..., pe=pPs+2.2+41. Ma (n° 15), è pj=4. Pertanto: pp=4+2}2+... +(n-5)+(n-4{+@—35). Ossia: pp=4+(n_-2)(n-5)+—5)=(n—- 3)? (9. (*) La Y si ottiene anzi proiettando la H dal punto TTZ. (**) L'ordine della varietà H può determinarsi altresì col procedimento seguente: Gli coi Sn_y “ incidenti a X (secondo Sn-5) ed appoggiati agli a —3 piani a, ..., an-3 ed all’S3 TT, secano su TT una curva d’ordine (in 8) (n° 54 c)). Un generico Sj:w uscente da TT seca ulteriormente la H, fuori di TT secondo le rette, in mumero finito, traccie su w degli Sn-4 “ incidenti a X (secondo Sr-5), ad w (secondo rette) ed appoggiati ad di, ..., @n-3. Tale numero rappresenta l’ ordine della varietà degli c0* S.4 “ incidenti a Z (secondo S,--5), ad w (secondo rette) ed appoggiati ad n —4 piani (04, .... n). Gli Sn-i generatori di tale varietà si distribuiscono secondo 00! fasci negli Sn-3 inci- Pre — 7 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. La 56. — Discende dai n' precedenti (54 e 55): In wn S, il sistema 08 degli S,_4 incidenti (secondo S,_.) ad un S,-3:X ed appoggiati ad n —3 piani: 0,, 09, ... dna defi- nisce tra due Sz:TT, TT' una trasformazione dell'(In —2)° ordine. Ponendo: n —-2=wm: Ai piani di TT sono omologhe in TT' le 08 superficie d'ordine m, aventi un punto (m—1)-plo 3 - : ._ m(m—1l a comune (il punto XTT') e passanti semplicemente per due curve sghembe d'ordine —— , 141 le quali hanno a comune: il punto TT, multiplo per entrambe d’ ordine elmo?) ed ulteriormente (m — 1)? punti semplici (*). 57. — Se un punto P descrive in TT una retta r, l’S,_; del sistema (A) uscente da P descrive — nell’iperpiano w= Xr — la forma (M,_:): FE “ luogo degli 0018,_3 incidenti — inw — a X ed alle n—2 rette r, a, = aw, ag =0W,..., Gn3 OngUW 1 forma d'ordine n — 2 (n° 47). a) L’S,-32 è multiplo d'ordine n —3 per la È (n° 470)). 5) L’S,_1w seca la Y (n° 545)) fuori di Z, secondo n—3S,_3, i quali, giacendo in w e incidendo (secondo rette) a TT, si appoggieranno ad », e quindi apparter- ranno ad È. c) L’S,_1w seca la © (n° 54c)), fuori di Z, secondo una M773: da ognuno dei suoi S,y generatori esce un S,_3 della È: comune ai due S,_» che da quell’S,_y proiet- tano X ed r. La Mî_3} appartiene quindi alla £. Se ne deduce: Alle rette di TT corrispondono in TT' le 4 curve piane d'ordine m, aventi nel punto ZIT' un punto (m — 1)-plo ed appoggiate a ciascuna delle due curve a m (ml basi (emer ) in m—1 punti (fuori di ZTT'). Costituiranno tali curve: 00? reti nei piani della stella di centro il punto ZIT', per ciascuna delle quali i punti base saranno forniti: dal punto ZTT':(m — 1)-plo e dagli (m — 1) + (m — 1) punti d’intersezione (fuori di XTT') del piano della rete colle due curve basi. 58. — Dal punto ZTT (come da ogni punto di X) escono 0? S,_3 del sistema (XK): costituenti un cono d’ordine (n — 3), pel quale è multiplo d’ordine n — 4 1° S,_3Z ed a cui appartengono le due varietà Y e © (cfr. n! 49, 53). Pertanto: Al punto ZTT cor- risponde in TT una superficie d'ordine m — 1, avente in ZIT' un punto (m — 2)-plo, e passante semplicemente per le due curve basi del sistema omaloidico in TT'. Ai punti della curva (fondamentale in TT) che è traccia su TT dalla M,_s “ luogo degli 001S,_3 incidenti a X, a TT’ secondo rette ed appoggiati ad a, 0%, ..., Gr_3 » denti a X (secondo Sn-4), ad w (secondo piani) ed appoggiati ad a, ..., Ins : Sn-3 uscenti dalla retta wX. Sopra un generico Sn-e essi secano la varietà degli 00! Sn-s “ incidenti ad un Sn-5 (secondo Sn-s) (n_ 3).(n—- 4) ed appoggiati ad n—3 piani ,: varietà d'ordine — pra (cfr. ad es. la nota (*) al n° 54). . —_ = — 3)(n—- : L'ordine della H sarà espresso pertanto da: P Da i) Dal Da 4) =(n_- 3). (*) Si ottiene tale trasformazione dalla trasformazione monoidale trattata dal De Paotrs, * Gior- nale di Mat. ,, t. 13 (1875), supponendo ivi che la curva base C"l-!) (cfr. n° 10 e seg) del sistema omaloidico si spezzi in due curve di egual ordine. Altro caso particolare interessante — dimostrato possibile e trattato distesamente dal De Paolis — si ottiene spezzando la C*(-!) base in n —1 curve razionali: le due particolarizzazioni si trovano riunite in un caso da noi esaminato al n° 61. 176 UMBERTO PERAZZO 28 saranno omologhe le rette traccie su TT' di quegli S,_3, ovvero (poichè ognuno di quegli S,_3 può ottenersi congiungendo il punto ZIT' con un S,_; (della ®) incidente a X ed appoggiato ad a,, 09, ..., 0,3 eda IT’): Ze generatrici del cono (d'ordine m—1) m.(m-1) che dal punto fondamentale ZTT' proietta la C_?® traccia della varietà ® sopra TI!. Analogamente si verifica che: A? punti della curva comune a TT ed alla varietà ® corrispondono in TI" le generatrici del cono (d'ordine m—1) proiettante dal punto XTT' la traccia su TT della varietà Y. 88 59. — Nell’S; v'hanno i seguenti (e soli) sistemi di spazîì (53, piani e rette) “ incidenti a dati spazi in numero finito , e tali che “ da ogni punto dell’$; esca un solo spazio del sistema ,: Sistemi oo? di $3: (002)3, (111)z, (030)z, (301). 1 03 di piani: (300), = (003);, (201),, (121), (022)», (011):, (0; 2,1; 0)x. È c04 di rette: (101);, (020);,, (012),, (004),. Esamineremo brevemente le corrispondenze (biunivoche) determinate tra due piani, ovvero tra due S3 dai sistemi di S3 risp. o di piani di cui sopra (*). 60. — (002);: Gli c0?$; incidenti a due S$3:Z,,Z, escono dalla retta X,X,: ven- gono secati da un generico Sg secondo “ le rette incidenti a due rette ,: sistema il quale determina (com'è noto) fra due piani m e m', fissati in quell’Sg, una generale corrispondenza quadratica. Della stessa natura, evidentemente, risulterà la corrispon- denza determinata dal sistema (002); fra due piani “ assunti in posizione generica ,. (111)3: Gli o? incidenti ad una retta r, un piano a ed un S3: X passano pel punto A=aZ: incidono quindi secondo rette per A ai piani a, Ar e secondo piani per A all’S3Z. Da un arbitrario, generico S, verranno secati secondo “ gli o? piani incidenti (in quell’S,) a due rette 7r,, 7» e ad un piano: o ,. Potremo limitarci, come poc'anzi, all’ esame della corrispondenza determinata da questo sistema tra due piani m, n',-fissati nell’S, che lo contiene. Il sistema stesso rientra quale caso parti- colare: n= 4 in quello esaminato ai n' 47-49. Pertanto: la corrispondenza ch'esso determina fra i piani n, n' è del terzo ordine. Alle rette di mn — ad es. — sono omo- loghe in n' le curve del 3° ordine aventi a comune un punto doppio e passanti sempli- cemente per altri 4 punti. Ecc. (#*). (030)3: Da ogni punto P dell’S; esce un solo S3 incidente a tre piani dati: 01, 49, 4g (1’S; congiungente le tre rette comuni agli S; Pa,, Pas, Paz presi due a due): La cor- rispondenza (biunivoca) determinata dal sistema (030); :(K) tra due piani n, n' è del (*) Dal Prof. CArRonE vennero esaminate — nella Mem® più volte citata — le corrispondenze determinate fra due S, dai sistemi di rette (101), (020),, (004); (nì 23 e 22). Il sistema (012), defi- nirebbe tra due S, una corrispondenza (343), secondo la notazione usata in tale Memoria. (**) Tralascieremo per brevità di ripetere per n=4 i risultati del n° 49, relativi alla determi- nazione delle linee omologhe agli elementi fondamentali in mt. — Ciò sia detto altresì per le ulte- riori applicazioni dei risultati dei $$ 5, 6, 7. 29 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 177 4° ordine: Se il punto P descrive invero in tm — ad es. — una retta: r, 1'S3 del sistema (XK) uscente da P descrive il “ sistema o! degli Sy incidenti a tre piani (0, 09, 43) e ad una retta (r) ,: sistema contenuto in una forma / del 4° ordine (n° 15). a) Da ogni retta p incidente ad a,,09,0; escono due S} del sistema (K) ed appoggiati alla r (i due Sy incidenti ai 483, po, pes, paz, pr, uscenti dalla p). Questi due S; non giacciono in uno stesso iperpiano: quindi ogni retta p è doppia per la FY. In altre parole: La Y contiene quale varietà doppia la M} delle rette incidenti ad @,, 09,03. — 5) Appartengono alla F i tre $3 (n° 5) incidenti ad a;, 0,03, T. Se ne deduce: Alle rette di n sono omologhe in ©' le quartiche aventi tre punti doppi fissi e passanti sem- plicemente per altri tre punti. Ecc. (301): È caso particolare (n= 5) del sistema studiato ai ni 47-49. Pertanto: In un S; il sistema n? degli Sg incidenti a tre rette e ad un S; definisce tra due piani n, m' una corrispondenza del 4° ordine. Alle rette di n — ad es. — sono omologhe in n' le curve del 4° ordine aventi un punto triplo fisso e passanti semplicemente per altri sei punti. Ecc. 61. — (300),)=(003).: Determina tra due $3, una corrispondenza biunivoca del 3° ordine studiata dal Prof. Ascrone (*) e ulteriormente dal Prof. CARRONE (#*). (011)»: I piani incidenti ad un piano @ e ad un $32, escono dal punto A= ax, ed incidono ad a e X “ secondo rette per A ,: verranno secati da un arbitrario S,:w secondo le “ 003 rette incidenti (in w) ad una retta e ad un piano ,. Tale sistema determina tra due S} : TT,TT" una trasformazione del 2° ordine (**). (201),: È caso particolare (n= 5) del sistema trattato ai ni 50-53. Si avrà quindi: In un Ss è sistema x dei piani incidenti a due rette e ad un S3:X definisce tra due Sg: TT, Tuna corrispondenza biunivoca del 3° ordine. Ai piani di TT — ad es. — sono omologhe in TT' le rigate cubiche aventi a comune la direttrice doppia, e due gene- ratrici; passanti inoltre per due punti fissi. Alle rette di TT sono omologhe in TT' le cubiche sghembe bi-secanti la direttrice doppia, appoggiate semplicemente alle due generatrici e passanti pei due punti fissi. Ecc. (0; 2,1; 0).: È caso particolare (n= 5) del sistema considerato ai ni 54-58. Per- tanto: In un S; il sistema 3 dei piani incidenti secondo rette ad un piano, ed appog- giati a due altri piani definisce tra due Sg :TT, IT una corrispondenza biunivoca del 3° ordine. Ai piani di TT — ad es. — sono omologhe in TT le superficie del 3° ordine che passano per due cubiche sghembe, assegnate con cinque punti a comune; ed hanno inoltre tutte quale punto doppio uno di quei cinque punti (***). Alle rette di TT sono omologhe in TT' le cubiche piane, aventi in quello un punto doppio, ed aventi a comune una coppia di punti con ciascuna delle due cubiche basi. (*) * Giornale di Mat. di Battaglini ,, 1893. (**) Memoria citata, n° 23. (***) Oppure — assunta in modo generico su ciascuna delle due cubiche una quaterna di punti —: ... le 003 superficie del 3° ordine aventi a comune un punto doppio e 12 punti semplici (in posizione particolare). Serie II. Tom. LIV. x 178 UMBERTO PERAZZO 30 62. — (121),: Da ogni punto /P dell’S; esce un solo piano “ incidente ad una retta » ed un S; X assegnati, ed appoggiato a due dati piani 0,, 0 , (il piano comune nell’Sj:w= PX ai due S; che dalla congiungente Pal punto È = wr, proiettano le due rette a, = 0;w, 4, = gw). Il sistema (121), — che denoteremo, al solito, con (K) — definisce pertanto tra due S:TT, TI" una corrispondenza biunivoca. Descrivendo il punto P un piano a in TT, il piano del sistema (/) uscente da P descriverà “ il sistema 00? dei piani incidenti ad », Z ed appoggiati ai piani a, 0,, ag ,: costituente una forma del 5° ordine (n° 32). a) L'S32 è triplo per la F (n° 32). b) Appartiene alla F_ la M}:Y — del 5° ordine (n° 32) — degli co! piani “ incidenti a r, X, IT e appoggiati ad a}, as ,. c) Alla F appartengono ancora le due M3 delle rette incidenti: 1) ad r, a, X; 2) ad r, 0, 2 (poichè da una retta p, incidente p. es. ad 7,@a;, 2 esce uno ed un sol piano del sistema (K) ed appoggiato ad a: il piano comune ai tre $, pa, pas, p>). Indicheremo risp. con ®;, ®» le due varietà. d) La F contiene finalmente i due $}:A4,, A; incidenti ad 7, 03, 08,2 (poichè in ognuno d’essi è contenuto un fascio di piani della F: di cui è asse la congiungente i due punti intersezioni di quell’S; con r ed a). 63. — Determineremo ora le relazioni di posizione esistenti fra le varietà (MM;) >; Y; D,, ®; A4,,4; (che tradurremo in relazioni di posizione tra le curve basi del sistema omaloidico in TT'). 1) X — Y: Gli co! piani incidenti ad r, TT, X, appoggiati ad a,, a,, secano X se- condo le generatrici di una rigata del 4° ordine (*): comune quindi a X e Y. — 2) £— ®} (0 ©»): L’S;X è secato dalle o? rette incidenti ad r,0,,Z (p. es.) secondo gli co? punti di un piano (comune a X ed all’Sjra;), — 3) Z—4A; (0 Ag): I due S34,,43 sono incidenti (secondo piani) all’S3Z. — 4) Y—®, (o ®»): Da ogni retta p inci- dente ad r,a,,Z ed a TT esce un piano incidente a TT,Z,r, ed appoggiato ad a,,0s (il piano comune ai tre $S,:pIT, pZ, pas). Pertanto: le due M}:Y, ©, hanno a comune la superficie delle co! rette incidenti ad r,a,, Z, TT: rigata cubica giacente nell’S, ra, (n° 12). Analogamente Y e ®, hanno a comune una rigata cubica giacente nell’ S,:r 09. — 5) Y-A; (0 A.): In un S; (A;) il quale sia incidente ad 7,0, 0., > giace uno ed un solo piano incidente ad 7, TT, X, appoggiato ad a,,0s (il piano congiungente il punto A,r alla retta A,T). La .M}Y ha quindi un piano a comune tanto con A; che con A. — 6) d; (0 62) — Ai (0 A): Detti risp. È ed a; il punto Ar e la retta A;0,, è chiaro che le rette uscenti da nel piano Ra, si possono considerare come inci- denti ad r, a, e (giacendo in A4;) anche a ©. Pertanto ®; e 4, hanno a comune un piano; così pure ®;, A2; D,,A;; Da, Au. È facile verificare che le due M}:®, e ®» non hanno alcuna superficie a comune, e che i due S; : A,,A, non sono fra loro incidenti. 64. — Indicheremo con s; ®;,®3; d;, ds e con s'; ©", 02; d1', ds' le intersezioni delle varietà: X; ®,, 3; A;,A, risp. con TT e con TT". Detta infine W' la M} degli 00! (*) Un S, uscente da X seca infatti la Y, fuori di X, secondo un (solo) piano, come facilmente si verifica (vi del resto il n° 67, in fine). 31 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 179 piani “ incidenti ad r, Z, IT ed appoggiati ad a,,a, , ne indicheremo con y l’interse- zione con IT; con w' indicheremo l’intersezione di Y e TT'. — Segue dai n' 62-63! In un S; il sistema (K) degli #3 piani incidenti ad una retta r, un Sg ed appoggiati a due piani a, ag definisce tra due SyTT, TT" una corrispondenza biunivoca del 5° ordine. Ai piani di TT — p. es. — sono omologhe in TI le superficie del 5° ordine aventi a comune una retta tripla (s'), passanti inoltre semplicemente per una curva del 5° ordine (w'), per due coniche (®,', 92) e per due rette (d,', ds') (*). La quintica (sghemba, razio- nale) p' ha la retta s' quale quadrisecante, le due coniche P', Pg si appoggiano ognuna in un punto alla s', le rette d,', ds' sono incidenti alla s'; la quintica w' ha tre punti a comune con ciascuna delle coniche ®,", ps" ed un punto con ciascuna delle due rette dy', dg"; le due coniche ®,', pa si appoggiano ognuna in un punto alla d,' ed ognuna in un punto alla dy'; non hanno punti a comune. Le due rette d,', dy' sono fra loro sghembe (*%). 65. — Se un punto P descrive in TT una retta w, il piano del sistema (A) uscente da P descriverà il sistema co! “ dei piani incidenti a due rette 7, nm, ad un S3 ed appoggiati a due piani @,, % ,: sistema costituente una MM; del 5° ordine (n° 32) che indicheremo con M. a) Gli co! piani — di (£) — costituenti la MW secano 2 secondo le genera- trici d'una rigata del 4° ordine (n° 32). 6) Le due M}:Y, M hanno a comune quattro piani. Invero: gli o! piani della Y secano pure TT secondo le generatrici d’una rigata del 4° ordine (cfr. n° 63): da ciascuno dei punti comuni alla 7 ed a questa rigata esce un piano incidente ad w, r, IT, X ed appoggiato ad a,, 0»: comune quindi a Y ed M. c) La M ha a comune con ciascuna delle Mi®,, ®, una rigata del 4° ordine. Infatti: la M seca sopra il piano a,, ad es., una cubica C3 avente nel punto A, =0,X un punto doppio (n° 31, in fine). È chiaro che le due varietà M, ®, avranno a comune la rigata “ delle rette uscenti dai punti della C8 ed incidenti ad » e X ,. Queste si appoggiano a X nei punti di una cubica C' (piana, con punto doppio A) proiezione sopra X, dalla retta r della cubica C3. Un Sj:w condotto per X seca la C°, fuori di A,, in un punto P, la » in un punto R: la retta PR costituisce colla cubica C°3 la completa intersezione di w colla rigata, la quale risulta pertanto del (*) Il passaggio per le due rette d', 43 è conseguenza delle condizioni precedenti (come si deduce dal seguito). (**) Assegnati in TT’ tre punti A', B', C', è unica la superficie del 5° ordine avente in s' una retta tripla e passante semplicemente per 4°, B', C' e per le linee yw; @i, ps; di, dy : il piano n'=A"BC' seca infatti la s in un punto S’, la y' secondo 5 punti P;), ..., P;, le due coniche @;', 9g. secondo coppie di punti P;, P;; Pi, Ps, le due rette dy, da' secondo due punti: P'u, P'11. Si consideri nel piano la quin- tica Q (unica) passante semplicemente per i 14 punti: A',B,C"°, Pi, ..., Py ed avente in S' un punto triplo. Un piano 0 condotto ad arbitrio per la s' seca — fuori della s — la w' in un punto, ciascuna delle due coniche @;',y in un punto e la quintica Q in una coppia di punti. Si immagini la conica passante per questi cinque punti: variando il piano 0 nel fascio (s') essa assumerà una ce' di posizioni. Una superficie del 5° ordine la quale abbia la s' quale retta tripla, passi semplicemente per le linee w; 9,3; di’, dy' e per i tre punti A’, B', C' è secata da m' secondo la quintica @: di conseguenza sarà costituita dalle c0' coniche di cui sopra (poichè ognuna di esse ha a comune colla superficie due punti tripli (su s') per la superficie, e cinque punti semplici). Quindi, ecc. 180 UMBERTO PERAZZO 39 4° ordine. (Si è fatta astrazione dalla retta EA,, la quale descriverebbe, al variare di w nel fascio (2) un fascio (4;) nel piano Ar, non appartenente alla M). Se ne deduce: Alle rette di TT sono omologhe in TT' le quintiche sghembe aventi la s' quale quadrisecante, appoggiate in quattro punti alla quintica w' ed in quattro punti a ciascuna delle due coniche ®,', Ps" (*) (#5). 66. — Da ogni punto P della s= XTT escono co! piani del sistema (): inci- denti secondo rette per P ai tre $3 : X, Pa, Pa, ed al piano Pr: costituenti quindi un cono cubico (P) (come si rende manifesto secando con un S;). a) Il cono (P) è secato da X secondo un cono quadrico (comune a X ed al cono quadrico di 2? specie “ degli co? piani incidenti ai due $3 Pa, Pas ed al piano Pr ,). 5) Ogni retta p incidente ad r,a,, £ ed all’S3 Pa, è congiunta a P da un piano generatore del cono (P). Il cono cubico (P) e la varietà ®, hanno quindi a comune la rigata delle “ co! rette incidenti ad r,a,, X ed all’ S; Pa, ,: rigata cubica giacente nell’ S, ra, (n° 12). Ed analogamente per la varietà ®,. c) Il cono (P) e la Y hanno a comune i tre piani incidenti secondo rette per P ai quattro S3: X, TT, Pa, Pas ed al piano Pr. Gli 00? piani del sistema (K) uscenti dai punti di s costituiscono una forma G del 4° ordine. Infatti: è del 6° ordine (n° 33) la forma degli co? piani incidenti a due rette s,r ed appoggiati a tre piani 0,0, %. Suppongasi che il piano o giaccia colla s in uno stesso S; : X. La forma si spezzerà: 1) nel cono quadrico degli 00? piani uscenti dal punto S = so e secanti secondo rette per Si due S; : Sa,, Sa, ed il piano Sr. 2) nella forma G degli co? piani che incidono ad r, a X secondo rette incidenti alla s; e si appoggiano ad a, cy. Quindi ecc. a) L’S; X è doppio per la G (poichè l'ulteriore intersezione colla G di un S, del fascio (2) è un cono quadrico). 6) Un piano inci- dente a X e TT si appoggia alla s loro intersezione: appartiene quindi alla G la varietà Y. c) Da ogni retta p incidente ad 7, 0a,, £ esce un piano della G, comune all’ S; ps ed all’ S, pas. Analogamente da ogni retta incidente ad r, 0», 2. Appartengono quindi alla G, le varietà ®,, ®.. d) E finalmente appartengono alla G gli S; A,, 4», poichè incidendo a X, e quindi ad s, contengono ognuno un fascio di piani della G, di asse la congiungente i punti intersezioni di quell’ S3 con » ed s. Si deduce dalle considerazioni del presente n°: Az punti della retta s = ZTI sono omologhe in TT! le cot cubiche sghembe le quali si appoggiano in due punti alla s', e in tre punti alla y' ed a ciascuna delle due coniche ®', pg". — Tale sistema o di cubiche costituisce una superficie del 4° ordine — omologa alla retta s — la quale con- (*) La linea del 25° ordine completa intersezione di due superficie del sistema omaloidico in IT: omologhe a due piani a,f di TT, si spezza: 1) nella retta s, da contarsi 9 volte; 2) nella quintica wi; 3) nelle due coniche @;', Py; 4) nelle due rette dd; 5) nella quintica omologa alla retta af. (*#) Assegnati ad arbitrio due punti 4’, B' in TT': è unica la quintica passante per A4',B'e sod- disfacente a quelle condizioni. Assunto invero un punto €‘, fuori della A'B'’, è individuata (nota (5) al n° 64) la superficie del 5° ordine avente la s' quale retta tripla, passante per le yi @4, ar dl da e per i tre punti 4°, B, C'. Una quintica la quale sechi secondo quaterne di punti le linee 5‘; wj; Pi, P3 e passi per A4' e B' ha con quella superficie un numero di intersezioni maggiore del prodotto degli ordini: giace cioè sulla superficie. Assunto un secondo punto D' e costruita la superficie del 5° ordine relativa alla terna A’, B, D', la quintica si otterrà individuata come parte (nota precedente) dell’in- tersezione delle due superficie. 33 SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII ORDINARII, ECC. 181 tiene la s' quale retta doppia e — semplicemente — tutte le altre linee del sistema oma- loidico in TT' (*). 67. — Da ogni punto della curva y — comune a TT ed alla varietà Y' — esce un piano del sistema (0) incidente a TT’ (secondo una retta). Poichè tale piano incide a X, e contiene una retta incidente ad r, Z, a, — ad es. — eda TT' (congiungente i punti d’intersezione del piano stesso risp. con r ed a,): Ai punti della quintica y sono omologhe in TT le rette che si appoggiano alla retta s' ed alle due coniche ®y', Ps". E — ricordando che ciascuna delle due coniche ha a comune un punto colla s' —: Alla quintica y è omologa in TI la rigata del 4° ordine di cui è direttrice — tripla — la retta s' e direttrice semplice ciascuna delle due coniche @,', pg', unisecanti la s'. 68. — Da ogni punto P della conica gp; — comune a TT ed alla varietà ®, — (n° 62 c)) ovvero: traccia su TT delle co! rette p incidenti ad r,0,, £ e TT, escono co! piani del sistema (X) costituenti un fascio (p) nell’ S3 comune ai due S, pZ, pas. a) L’ S; contenente il fascio è incidente a X. — 8) Fra gli co! piani del fascio uno è incidente a TT, e quindi appartenente alla varietà Y (il piano congiungente p alla retta intersezione di TT coll’ S3 contenente il fascio). — c) L’S; che contiene il fascio ha pure un piano a comune colla ®, (poichè giace in un S,(pos) col piano as ed incide ad r e X). Pertanto: Ai punti della conica ®, sono omologhe in TT le rette che sì appoggiano alla retta s', alla quintica y' ed alla conica pg. E — ricordando (n° 64) che la s' è quadrisecante la quintica w', che la conica 9,’ si appoggia in un punto alla s' e in tre punti alla y' — si potrà concludere senz’ altro: Alla conica @, è omologa in TT' la rigata del 4° ordine, della quale son direttrici: la retta s' (tripla), la quintica y' e la conica ®3' (semplici). (Le due rette d,', d»' ne sono generatrici). — Analogamente scambiando i due piani a, ed a.. 69. — Da ogni punto P della retta d, = A,TT escono co! piani del sistema (A) costituenti un fascio nell’ S3A,, di asse la congiungente i punti P, Ar. Quindi: Ad ogni punto della retta A, è omologa in TT’ tutta la retta d,'. Analogamente si cor- rispondono d, e dy'. 70. — (022). Assegnati nell’S; in modo generico due piani a,, a» e due S3Z,, Es da ogni punto P dell’ S; esce un solo piano incidente a X;, X; ed appoggiato ad a,, as (il piano congiungente P ai due punti che l’ S3 comune agli iperpiani PX, PX, seca sopra a, ed as). La corrispondenza — biunivoca — definita dal sistema (022), tra (*) Può verificarsi — con procedimento affatto analogo a quello tenuto nella nota (**) al n° 64 — che tali condizioni definiscono effettivamente una superficie del 4° ordine. Un piano w arbitrario seca invero s' in un punto S'; w' secondo cinque punti P;', ..., P; ; le due coniche @y', pg secondo due coppie di punti Py, P;; Ps, Py e le due rette d;', d,' secondo due punti Pip, Pai. Si consideri in w la quartica C* avente in S' un punto doppio e passante semplicemente per gli 11 punti Pi, ..., Pu. Ogni superficie del 4° ordine avente s' quale retta doppia, passante per W; @;'p;'; e conseguente- mente per di', da dovrà contenere la C*. Condotto ora un piano 9 ad arbitrio per la s, sì immagini la conica passante per i 5 punti — fuori di s' — comuni a 0 ed alle w'; 9", Py e C*. Variando 0 nel fascio (s') ecc. 182 UMBERTO PERAZZO — SULLA INCIDENZA DI RETTE, PIANI E SPAZII, ECC. 4 due S;: TT, IT' può studiarsi con procedimento perfettamente analogo a quello tenuto pel sistema precedente (n! 62-69). Ci limitiamo pertanto ad enunciare i risultati cui si giungerebbe: In un S; il sistema degli 23 piani appoggiati a due piani a,, as ed inci- denti a due S3X,,Zs definisce tra due S3 TT, IT" una corrispondenza del 5° ordine. Ai piani di TT (ad es.) sono omologhe in TT le superficie del 5° ordine aventi a comune due rette doppie s,', 83° e passanti semplicemente per una curva y' del 6° ordine, una quartica sghemba di 1° specie p' e due rette dy', d' (*). Le due rette s,', sg" sono fra loro sghembe; ciascuna di esse è quadrisecante la curva y' e corda della ®';} le due curve w',0'" hanno sei punti a comune; infine le due rette d,', ds' sono fra loro sghembe e sì appoggiano in un punto a ciascuna delle linee s,',s,y' e ' (**). Alle rette di TT corrispondono in TI' le ot curve sghembe del 5° ordine aventi le due rette s,', sg" quali quadrisecanti, ed appoggiate in quattro punti a ciascuna delle due curve y' e @'. Indicando con s1, $2;W; @; di, ds le linee fondamentali in TT, analoghe ordinata- mente alle sy, s3'; w; @'; d,", dy' in IT": Ai punti della s, corrispondono in TT' le coniche giacenti nei piani del fascio (s'>), appoggiate semplicemente alla s', e in due punti a ciascuna delle due curve y' e ®' (le coniche cioè che contengono i gruppi di cinque punti intersezioni — fuori della sy" — dei piani del fascio (sy') colle linee s,’, y', g'). Costituiscono queste coniche la superficie del 4° ordine — omologa alla sj — che ha s9' quale retta doppia e passa semplicemente per le ulteriori linee fondamentali del sistema omaloidico in TT' (s,'; y'; p'; di’, dy'). — Analogamente scambiando si con ss. Ai punti della curva w corrispondono le rette incidenti a s1', sg’ ed alla quartica p' — costituenti una rigata del 4° ordine (omologa alla y) di cui s;', 83° sono direttrici doppie. Ai punti della curva @ sono omologhe le rette incidenti ad s,', sy" ed alla curva del 6° ordine y' — costituenti una rigata del 4° ordine (omologa alla ®) di cui 3',, 8's sono direttrici doppie. Ad ogni punto della d, è omologa in TT tutta la d,'. Analogamente si corrispon- dono ds e dy'. (#) Il passaggio per le due rette d;', da è conseguenza delle condizioni precedenti, come appare dal seguito. (*#*) Le due rette s;',sy° sono le traccie degli S3 Z;, Za sopra TT; y' la curva intersezione di TT colla M,5Y “ degli ce! piani incidenti a Z;, Z3, TT ed appoggiati ad a, 0; p' la curva traccia su TT' della M;*® delle 00° rette incidenti ad @,,03,%;,Z2,; d,d, le rette comuni a TT ed agli S34,, Ap incidenti risp. a Xi, 23,0, e a Zi, Z3, 09. Analogamente indicheremo con s1, s3; P; di, da le traccie delle varietà X;, Z2; ®; A, A: su TT; con w la curva comune a TT ed alla M;° “ degli 0! piani incidenti a Z,, Za, Il' ed appoggiati ad a;, 03, RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE Bufo viridis Laur, del Bufo mauritanicus Schlegel Bufo regularis heuss. MEMORIA del Socio LORENZO CAMERANO Approvata nellAdunanza del 28 Febbraio 1904. “ Avee les mathématiques plus largement em- ployées, on verra s’introduire dans les sciences biologiques plus de meéthode, plus de rigueur, plus de précision. Pour employer une expression vulgaire, mais significative, on se paiera moins de mots qu'on ne le fait aujourd'hui ,. J.-J. DescHAMPs, Principes de la Biologie rationnelle, * Bull. Soc. Philom. ,, Paris, 1902. In una lettura intorno alle “ Ricerche somatometriche in zoologia , che io ebbi l'onore di fare recentemente al terzo “ Convegno nazionale dell’Unione zoologica ita- liana ,, tenutosi in Roma nell'ottobre 1902 (1), io dicevo: “ L’indeterminatezza dei dati descrittivi che la maggior parte dei lavori di zoologia sistematica presenta è la ragione precipua per la quale essi riescono di così scarso aiuto per lo studio dei molteplici problemi che le teorie evolutive hanno fatto sorgere intorno ai viventi, problemi che per esser risolti vogliono invece dati formolati nel modo più preciso possibile e sopratutto dati che si possano facilmente comparare fra loro. Nello studio degli individui, io aggiungevo, i dati che si ricavano dalla misura delle varie loro parti sono i primi e più importanti, non solo perchè le dimensioni di un organo sono la risultante di moltissime cause che hanno agito sull’organo stesso, ma anche perchè costituiscono un elemento importantissimo, e talora l’unico che noi abbiamo, per la comparazione degli individui fra loro, comparazione che deve fornirci gli elementi per determinare la rassomiglianza degli individui stessi e per formare il criterio morfologico, uno dei concetti fondamentali, come è noto, della specie. Conchiudevo dicendo che per fare lavoro utile per un ulteriore progresso della zoologia sistematica e dello studio del fenomeno della variazione delle forme animali (1) “ Bollettino dei Musei di Zool. e Anat. Comp. di Torino ,, vol. XVII, n. 481 (1902). 184 LORENZO CAMERANO 2 è necessario: 1° Stabilire un piano uniforme di misure per ciascun gruppo di animali ; 2° Non limitarsi a dare le misure degli individui di maggiori dimensioni ; ma aggiun- gere quelle delle altre serie di individui studiati, accompagnandole con tutti i dati necessari che possono condurre alla interpretazione delle misure stesse (1). Per tutte le questioni di indole generale relative alla applicazione del metodo somatometrico da me proposto, della lunghezza base, della costituzione delle serie, dell’aggruppamento del materiale di osservazione ecc., voglia il lettore consultare il mio precedente lavoro: Sulla variazione del “ Bufo vulgaris , (£ Mem. Accad. delle Scienze di Torino ,, Ser. II, vol. L, 1900), del quale il presente è una continuazione. Credo utile tuttavia di insistere sopra alcuni punti relativi al metodo stesso e alla sua applicazione. Scopo del precedente lavoro sul Bufo vulgaris e del presente non è di fare uno studio statistico delle variazioni nei vero senso della parola; ma di fornire i materiali per tentare di risolvere alcuni punti del fenomeno di variazione; i dati potranno anche essere utili a chi voglia fare uno studio statistico propriamente detto. Non si deve intendere che il metodo da me proposto per esprimere con numeri diverse modalità del fenomeno della variazione sostituisca il metodo della ricerca sta- tistica propriamente detto. Insisto sopra questo punto, perchè qualcuno, forse per non aver io saputo nei precedenti lavori esporre abbastanza chiaramente il mio con- cetto, ha interpretato il metodo da me proposto come se dovesse sostituire il metodo statistico classico. Lascio qui in disparte la questione generale se l’applicazione pura e semplice del metodo statistico allo studio della variazione degli animali possa darci realmente quei frutti che taluno spera, sopratutto per quanto rizuarda la controversa questione dei limiti della specie, della varietà, malgrado il poco buon risultamento che ne ha tratto l’Antropologia, che l’ha per lungo tempo applicato, tanto che essa ripiglia ora lo studio delle questioni antropologiche, partendo da altre basi. Dico tuttavia che se si vuol fare uno studio statistico della variazione negli animali non vi è modo di uscire dal metodo statistico propriamente detto, dal calcolo delle probabilità, dalla fondamentale teoria dei grandi numeri e via discorrendo. Il metodo da me proposto e seguito mira anzitutto a determinare per ciascun carattere e per ciascuna specie è limiti di variazione possibili dei rapporti; mira a determinare ciò che si potrebbe dire è campo, nel quale è possibile una variazione dei rapporti stessi per ciascuna specie: mira a determinare i valori estremi della loro variazione nell’ambito della diagnosi specifica. Il numero dei valori diversi che il rapporto di un carattere può presentare per una data specie (studiato col metodo del coefficiente somatico), dato il criterio mo- derno che presiede alla distinzione delle specie, non può essere che relativamente (1) Per quanto riguarda, ad esempio, il Bufo viridis Laur. una delle specie che ora ci occupano, io potrei dare qui un lungo elenco di lavori faunistici che trattano della specie in discorso, dallo studio dei quali si dovrebbe ragionevolmente supporre di poter trarre i dati necessari per farsi un concetto dei caratteri che il Bufo viridis presenta nelle diverse località. Essi invece il più delle volte non portano altro che il nome della specie e l'indicazione se essa è comune o rara e, per lo studio della variabilità del Bufo viridis, non riescono di nessun aiuto. 3 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 185 limitato. Nel caso che ora ci occupa delle specie del genere Bufo si può ritenere che l'esame di qualche centinaio di esemplari, sopratutto se provenienti da località diverse dell’area di distribuzione geografica della specie stessa, mette in evidenza tutti i valori possibili in questione, e per tal modo si determinano i valori estremi. Ora a fare ciò non si richiede nessun lavoro statistico propriamente detto; poichè basta esaminare tanti esemplari quanti la ricerca empirica dimostra necessari ad ottenere quei due valori estremi della serie dei valori stessi, che non vengono più oltrepassati da nessun individuo, per quanti altri se ne esaminino. Quando ciò è stato ottenuto è campi di variabilità dei varì caratteri nelle diverse specie si possono com- parare fra di loro e dalla loro comparazione pare a me non si possa negare che ne esca un criterio chiaro della potenzialità a variare dei rapporti delle varie parti fra loro nella stessa specie e fra specie diverse. — Lo studio così fatto concede di dare un valore sicuro ai varì caratteri nei loro rapporti colla formazione della diagnosi specifica. Si dirà: quando si studia una serie anche numerosa di individui di una specie è possibile che in essa non si incontrino che valori o più elevati o più bassi e quindi non si ha alcun criterio sicuro che i valori estremi della serie siano realmente i va- lori estremi del campo di variazione che si cercano. Ciò è giustissimo: ma come ho ripetutamente detto, in questo genere di ricerche è d’uopo non essere impazienti; è d’uopo ritenere come provvisorì i valori estremi, fino a tanto che l’esame successivo di altre serie di individui, mostri, come ho detto sopra, che per quanti muovi individui si esaminino, non si trovano valori nuovi. Quando si è giunti a questo risultato si riuniscono-tutti i valori delle diverse serie in una sola (e ciò si può fare senz'altro se si tratta di valori calcolati col metodo del coefficiente somatico) i di cui termini estremi segneranno i limiti delle variazioni possibili pel carattere che si studia. Non è certamente necessario avvertire che i valori anormali, od anche quelli che per qualsiasi ragione possono lasciare dubbio che lo siano, vanno esclusi dalla serie e devono essere studiati a parte per determinare bene il modo di interpretarli. Risulta da quanto si è detto che l'indice di variabilità da me proposto indica un fenomeno speciale del variare delle specie e che non può sostituire l’indice di variazione del metodo statistico propriamente detto che esprime un fenomeno diverso. Così pure si dica della media da me proposta del campo di variazione; ed infine che i valori estremi hanno nel procedimento in questione una importanza particolare. L’indice di variabilità, la media, i valori estremi appartenenti a campi di va- riabilità stabiliti colle condizioni sopradette, diventano termini paragonabili fra loro per lo studio dello speciale sopradetto fenomeno della variazione. L'importanza del campo di variazione determinato nel modo che si è detto potrà essere riconosciuta, o negata, secondo i concetti fondamentali dai quali si parte e che riguardano il modo di intendere la specie ed il suo variare. Per chi considera la specie come qualche cosa di indefinibile esattamente, perchè in movimento di variazione continua per mutamenti minimi, in qualunque dire- zione; per chi qualunque minima variazione degli individui considera senz'altro come indizio di variazione della specie; per chi in una parola segue l’idea che si venne . formando in molti dopo le pubblicazioni darwiniane e che fu concretata nella formola brutale: “ non esistono specie ,; per costoro, dico, l’importanza della determinazione Serie II. Tom. LIV. ì 186 LORENZO CAMERANO 4 del campo di variabilità col metodo sopra detto deve apparire nulla. I valori estremi non sono per essi valori limiti; ma sono valori aberranti o sono valori di passaggio ad altre forme. È necessario allora ricorrere al calcolo statistico propriamente detto con tutte le sue modalità per vedere di determinare i valori più probabili per una delimitazione della specie pur non riconoscendo in essa alcun carattere oggettivo. Come è noto, a questa maniera di intendere le cose, che rispecchia un po’ delle teorie fondamentali della variazione del Lamarck e del Darwin, un po’ della inter- pretazione che per molti anni se ne fece, oggi si contrappone un ragionare diverso e si fa strada la convinzione che si è andato troppo oltre nell'affermare senz'altro: le specie non esistono. Si fa strada la convinzione che, pur accogliendo il principio dell'evoluzione delle forme animali, si debba tuttavia considerare la specie come entità oggettivamente definibile e costante, malgrado le variazioni degli individui che la costituiscono, per un tempo determinato. Le variazioni individuali sono come oscillazioni intorno ad un punto, il quale può rimanere costante, come costanti possono rimanere i limiti di oscillazione dei caratteri. Se si parte da questi concetti fondamentali, è chiaro che la determinazione dei limiti del campo di variabilità è possibile, non solo, ma diventa elemento importante per determinare i limiti fra i quali oscilla la forma della specie in un momento de- terminato. Pare a me che il metodo sopra proposto per la determinazione del campo di variabilità possa, senza bisogno di altre complicazioni, soddisfare alle esigenze della ricerca. Aggiungerò che dalle ricerche fatte sulle specie del genere Bufo risultano, a mio avviso, argomenti per accogliere la seconda maniera sopra menzionata di intendere la specie e il suo variare. Quella variabilità che si legge in tante opere descrittive, come così grande e con limiti così vaghi, in realtà appare essere molto minore e contenuta entro a limiti non difficilmente definibili, quando si sottopongono allo studio somatometrico serie abbastanza numerose di individui provenienti dai vari punti dell’area di distribuzione geografica delle specie. Nel metodo da me proposto ho indicato pure varie sorta di indici: di frequenza, di mancanza, ecc. Essi si riferiscono allo studio delle frequenze delle varianti mel- l’interno delle serie, vale a dire costituiscono un mezzo semplice e preciso per espri- mere le modalità di distribuzione delle frequenze nelle serie e per sostituire la solita frase di più 0 meno abbondante 0 scarso, che si suole usare generalmente quando viene opportuno di discutere della frequenza di certe varianti in rapporto a questioni spe- ciali che interessano, ad esempio, le circostanze di vita di una data serie di indi- vidui, ecc. Nel valore da darsi a questi indici è d’uopo aver presente il fatto che è possi- bile che in una serie le frequenze si presentino casualmente distribuite e perciò prima di conchiudere in modo definitivo è d’uopo esaminare un numero sufficiente di serie numerose di individui, per aver un criterio attendibile della costanza della distribuzione delle frequenze stesse. Particolarmente utili riescono questi indici nello studio dei varî caratteri di una stessa serie di individui. 5 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 187 Consideriamo, ad esempio, cento individui è di Bufo vulgaris nella variazione somatometrica dei loro caratteri e nella distribuzione delle frequenze delle varianti di ciascun carattere; se si trova che per la lunghezza massima del capo il maggior numero delle frequenze è pei valori inferiori alla media del campo di variabilità, mentre per la larghezza massima del capo stesso il maggior numero delle frequenze è per i valori superiori alla media (trattandosi di valori di rapporti somatometrici delle parti), questo dato ha certamente un notevole grado di attendibilità, poichè è un fatto che si osserva nella stessa serie di individui. Ripetendosi l'osservazione sopra altre serie sufficientemente numerose di individui, in tempi diversi, si potranno otte- nere dati che concederanno conclusioni attendibili da mettersi in rapporto colle cause della prevalenza di certe varianti rispetto alle altre, in rapporto, ad esempio, col- l’azione esercitata dalla scelta naturale, ecc. Anche gli indici in questione, come l’indice di variabilità sopradetto, indicano speciali modalità del fenomeno di variazione, mentre gli indici del calcolo statistico propriamente detto ne indicano altre. Gli uni non possono sostituire gli altri; ma a mio avviso, e gli uni e gli altri, opportunamente usati, possono riuscire utili ad uno studio dei fenomeni in questione più preciso di quanto non sia stato fatto fino ad ora. In un mio precedente lavoro sulla Variazione del “ Bufo vulgaris , Laur. (* Mem. R. Accad. delle Scienze di Torino ,, Serie II, vol. L, 1900), ho seguito un determinato piano di misure su ogni individuo della specie sopradetta. Lo stesso piano ho seguito pure nelle presenti ricerche sul Bufo viridis Laur., sul B. mauritanicus Schlegel e sul B. regularis Reuss. — Ho creduto utile tuttavia, per ottenere una precisione mi- gliore, data la natura delle parti e la conservazione del materiale in alcool, di mo- dificare il modo di misurazione delle dita della mano. Se si trattasse di misure da eseguirsi sullo scheletro non vi sarebbe evidentemente dubbio alcuno sul modo di procedere; trattandosi invece di procedere sulla mano rivestita dalle sue parti molli e dovendo i dati dello sviluppo relativo delle dita servire precipuamente ai bisogni delle diagnosi specifiche, la pratica mi ha dimostrato essere conveniente misurare le dita stesse dal loro apice all'angolo che ciascun dito forma col seguente, a comin- ciare dal dito interno. Del Bufo viridis, specie, come è noto, che ha un'ampia distribuzione geografica in Asia, in Europa e in parte anche nell'Africa settentrionale, ho potuto studiare 559 esemplari provenienti da molte località diverse. Del Bufo mauritanicus, specie dell’Africa settentrionale e occidentale ho studiato 77 esemplari, provenienti in maggior parte da varie località del Marocco. Del Bufo regularis, specie che dai catalogi faunistici appare diffusa, si può dire, in tutta l'Africa ed anche nell’Arabia, io ho avuto a mia disposizione una serie di 125 esemplari provenienti da Wadi Halfa nel Sudan. 188 LORENZO CAMERANO 6 È tuttavia da studiarsi la questione se le forme indicate della costa di Guinea, della Sierra Leone ecc. (var. A. del Catalogue of Batr. sal. del BouLENGER, 1882) e quelle dell’Africa meridionale, del Capo di Buona Speranza, ecc. (var. B. del sopracitato catalogo), non siano da separarsi in specie distinte. I dati che qui fornisco intorno alle serie di Wadi Halfa, potranno essere, spero, un buon contributo allo studio di tale questione. 2A Statura. — Intorno al modo .di disporre i dati numerici relativi alla statura degli individui delle diverse specie di Bufo, il lettore potrà consultare il mio prece- dente lavoro: Intorno alla variazione del “ Bufo vulgaris , Laur. (£ Mem. R. Accad. delle Scienze di Torino ,, Ser. II, vol. L, 1900, pag. 93 e seg.). Nel presente lavoro ho seguito le stesse norme. I dati numerici della statura sono espressi in millimetri, e vengono disposti in serie per dedurre i limiti del campo di variazione della statura stessa nel periodo della riproduzione. Bufo viridis. Serie di individui in amore è e 9 raccolte contemporaneamente a Givoletto (località non lontana da Torino alle falde delle Alpi): è 503-51-523-53-543-553-564-573-585-59- 603-61,- (61,50) -623-637-64;-653-66-67,-69-73 — 9 53-54-553-56-58-59;-603-61-623- (63,50)-64-65-66-67-683-69-70-71-723-74. Serie di individui in amore è e 9 raccolte contemporaneamente a Moncalieri (presso Torino): è 50-523-533-54-554-565-579-589-59;-6010-(60,50)-61-62,-63,-643-654-663-70-71 — 9 53-553-56-583-593-60;-61,-62,-633-64-65-66,-673-68-693-70,-71-73-75. Individui è e 92 raccolti in amore in una pozza presso Torino: è 56-58-59-61-63 — 9 58-60-63-64-65. Contorni di Sassari. Individui in amore raccolti contemporaneamente: È 70-713- 734-743-759-77-781-79,-(80)-81;-82,-834-843-854-863-873-88-89-90, — 9 71-74-803-813- 82-83,-89-(91,50)-92-112. Luras (Sardegna). Individui in amore raccolti contemporaneamente: è 63-66-69- (78)-85-90-93 — 9 70-72-80. Individui in amore di Sardegna di località varie. Ghilarza: 9 76 — Località non precisata: 2 77-82-85 — È 69. Contorni di Catania. Individui in amore raccolti contemporaneamente: è 64-65-663- 67-683-69-703-71-(72,50)-73-75-81 — 9 65-71-74-87. Bordonaro (Messina): è 68-70-73-74,-77,-85 — © 68-72-76-77-82-89. Milazzo: è 62-70-72-74 — 9 68-69-70-71-72-75-81. Modica: è 66 — 9 70-76-88. Isola di Lipari (La specie venne importata dalla Sicilia 12 0 15 anni fa): È 559 58-68 — 9 82. Cosenza: $ 58-60-69 — 9 73. Taranto: è 58-60-65-68, — 9 71-72. 4 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 189 Campobasso: è 613-63,-64-65-67-70-(70,50)-72-73-76-80 — 9 64-73-773-78. Roma: è 60-61-63. Firenze: 2 67. Ancona: è 58-59-61-63-64-66-68 — © 75. Lago Trasimeno (Isola maggiore): è 60-62-633-653-67-68-73 — 9 65-67-68-69,-70-78. Conegliano veneto: è 60. Marcellise veronese: Q 75. Valle di Non: è 65. Rovereto: ? 68. Corfù: è (in amore) 57-59-60;-61-623-643-65-(65,50)-663-67-69-74 — è (id.) 57- 58,-59-61,-62,-63,-67-71-73-77. Isola di Candia: è 68-70-71-73 — 9 659-68-70,-71-73-76,-81-87. Gerusalemme: è T74-759-76-78-81 — 9 82-83-84. Ain-el-Doueh (Palestina): è 64-74-75 — 9 91. Jaffa: $ 64. Ain-Nana (Libano) 2000 metri s. 1. del mare: è 65-68 — © 69. Stria (località non precisata): è 66-68-73 — © 75-82-83. Ferzol (Palestina): 92 70. Tunisi: & 70. Atene: 9 72. Volo. (Grecia): 9 73. Tiflis: è 67-73-79-82. Tokmak: è 81. Chuldscha (China): è 57. Riferisco anche i dati di statura seguenti, traendoli da vari autori. Sì tratta per lo più di misure di individui isolati di diverse località. Individui maschi. Canton Ticino (Fatio (1)) 60 — Piemonte (M. Lessona (2)), dimensioni mass. 75 — Verona (Boulenger (3)) 71 — Provincie venete (De Betta (4)) è e 9 da 60 a 70 e nel Tirolo da 80 a 85 — Atene (Boulenger (5)) 82 — Duirat (Tunisia) (Bou- lenger (5)) 72 — R. Ili (Boulenger (5)) 77 — Copenaghen (Boulenger (5)) 72 — Tschinas Turkestan (Boulenger (5)) 78. — Le maggiori dimensioni osservate dal Bedriaga in individui dell'Asia centrale (6) sono di mill. 63-70 1/3. (1) Faune des Vertébrés de la Suisse. Rept. Batr., p. 415. (2) Studii sugli Anfibi anuri del Piemonte, © Accad. Lincei ,. Roma, 1876-77. (3) The tailless Batrachians of Europe. p. II. Londra, 1898, p. 231. (4) Erpetologia delle provincie venete e del Tirolo meridionale, * Acc. di Agricolt. di Verona ,, XXXV, 1857, p. 316. (5) Palaeartic and Aethiopian Toads, “ Prooc. Zool. Soc. è, 1880, p. 554. (6) Wiss. Resultate der von N. M. Przewalski nach Central Asien, © Zoolog. ,, Theil. III. Amphibien und Reptilien. St. Petersburg, 1898. ? 190 LORENZO CAMERANO 8 Individui femmine. Canton Ticino (Fatio (1)) 73-83 — Piemonte (M. Lessona (2)) dimens. mass. 82 — Berlino (Boulenger (3)) 79 — Szamos Ujvar (Ungheria) (Boulenger (3)) 85 — Ghardaia (Algeria) (Boulenger (3)) 87 — Mar Morto (Palestina) (Boulenger (3)) 93 — Algeri (Boulenger (4)) 70 — Noukauss, Amou-Daria (Boulenger (4)) 82. — Le maggiori dimensioni osservate dal Bedriaga in individui dell'Asia centrale sono (5) di mill. 72-76. Bufo regularis. Statura. — Wadi Halfa (individui in amore raccolti contemporaneamente): È 45-46,-47,-48,-50,-513-533-55;-56-57-(57,50)-61-62-63-68-70 — © 503-51-54,-55,- 57-58-60-61-63-(63,50)-68:-690-77. Bufo mauritanicus. Statura (Individui in amore). — Larache (Marocco): $ 87-110; 9 96-106-115-122 — Tangeri (id.): 5 105-112-118-120,-128-135; 9 114-1203-126-127-136, — Rabat (id.): È 95-105-107-112; 9 110, — Tetuan (id.): è 80-83-86-91-93,-953-1059-107-108-112- 113-115; 9 107-108 — Mazagan (id.): 3 94-124-125; 9 125-126-130 — Tunisi: È 100-115; 9 98-100-115-120. Considerando complessivamente le serie delle varie località di questa specie si ha: C. e. è = 80-135 — M= 107,50 C. o. O = 96-136 — M= 116 Dal confronto dei dati sopradetti vengono messi in evidenza i fatti seguenti : In Piemonte, che è una delle località continentali estreme nelle quali si trova verso sud-ovest il Bufo viridis, i maschi e le femmine di questa specie si trovano nel periodo della riproduzione ad avere una statura oscillante pei maschi intorno alle medie di mm. 60,50-61,50 e per le femmine di mm. 63,50-64, con spiccata maggior frequenza di valori inferiori a queste medie. I valori: millim. 69 a 75 sono da considerarsi pei maschi come massimi che vengono raramente raggiunti; la stessa cosa si dica pei valori: mm. 74 a 82 per le femmine. Per le altre località della Valle del Po, per quanto posso giudicare dagli esem- plari, in verità poco numerosi, da me esaminati, e dai pochi dati di misure che si possono trarre dai numerosi lavori faunistici che menzionano questa specie per le località anzidette, i valori relativi alla statura media e massima oscillano, con poche differenze, intorno a quelli sopra citati pel Piemonte. Procedendo per l’Italia peninsulare mi pare che le dimensioni del Bufo viridis vadano crescendo portando le medie dei maschi a mm. 66,50 e quelle delle femmine a mm. 71,50. (1) Op. cit. (2) Op. cit. (3) The tailless Batrach., op. cit. (4) Palaeartic and Aeth. Toads, op. cit. (5) Op. cit. 9 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., ECC. 191 Per la Sicilia sì trovano nei maschi di Bufo viridis le medie di mm. 68-72,50-76,50 e per le femmine mm. 74,50-76-78,50. Per la Sardegna le medie dei maschi dàonno mm. 78-80 e quelle delle femmine mm. 78-91,50. In Italia, per quanto ho potuto osservare, il Bufo viridis raggiunge le sue mag- giori dimensioni in Sardegna. Nei maschi ho osservato la dimensione massima di mm. 90 (colla frequenza = 0,0357) e nelle femmine la dimensione massima di mm. 112 (colla frequenza = 0,0667). Se si confrontano le serie di valori presentate dagli indi- vidui piemontesi con quelle degli individui sardi si nota che i valori massimi delle prime corrispondono ai valori minimi delle seconde. Per la Siria e la Palestina trovo nei maschi i valori medii di mm. 64-69,50-77,50 e nelle femmine mm. 76-79-81. In un esemplare di Ain el Doueh ho trovato il valore di mm. 91. Il Boulenger dà per una femmina del Mar Morto mm. 93. Si noti che gli individui raccolti ad Ain-Nana nel Libano, a 2000 sul livello del mare presentano invece (valori isolati) pei è mm. 65-68 e per le 9 mm. 69. In complesso pare che gli individui della Siria e della Palestina sì avvicinano per le dimensioni medie e massime a quelli di Sardegna. Gli individui delle isole di Candia e di Corfù si avvicinano alle dimensioni di quelli di Sicilia e forse la stessa cosa si può dire per quelli della Grecia, del Tirolo, dell'Ungheria, di Tifiis e dell'Asia centrale. La dimensione massima segnata dal Boulenger per un è di Copenaghen è di mm. 72 e per una 9 di Berlino di mm. 79. Risulta da quanto precede che, nello stato presente delle nostre cognizioni, il Bufo viridis raggiunge le sue dimensioni maggiori in Sardegna e le sue dimensioni minori in Piemonte. Ricerche più estese dimostreranno in seguito l’attendibilità o meno di queste ipotesi e concederanno di tentare la spiegazione delle differenze dei limiti del campo di variazione della statura mettendo questo fatto in rapporto colle circostanze locali. Del campo di variabilità delle parti nelle diverse specie studiate. La variabilità maggiore, come risulta dagli specchietti uniti a questo lavoro, è in tutte le specie presentata dall’arto posteriore, nel suo complesso, e in particolar modo dal piede. Vengono in seguito l’arto anteriore, il capo coi suoi diametri longitu- dinali e trasversali (mediani e posteriori) e le parotidi nel loro diametro longitudinale. In generale i maschi presentano nello sviluppo relativo delle varie parti varia- bilità spiccatamente maggiore che non le femmine. Nel B. mauritanicus tuttavia, per quanto risulta dagli esemplari studiati, le femmine variano per diversi caratteri, come i maschi e per taluni presentano variabilità maggiore. Nelle quattro specie del genere Bufo studiate si notano differenze complessive nella potenzialità a variare dello sviluppo relativo delle parti. Più variabile appare il B. vul- garis, seguono il B. mauritanicus e il B. viridis e per ultimo viene il B. regularis. Non credo sia possibile dare una interpretazione di questo fatto, tanto più osservando che pel B. vulgaris, pel B. viridis e pel B. mauritanicus ho potuto studiare serie 192 LORENZO CAMERANO 10 provenienti da numerosi punti della loro distribuzione geografica, distribuzione, come è noto, molto ampia sopratutto pel B. vulgaris e pel B. viridis. La maggiore o minore potenzialità a variare dipende forse da caratteri inerenti alle specie, dalle sue condizioni dietologiche e forse anche potrebbe avere azione nel fenomeno in discorso l’età delle specie stesse (1). Ma per discutere con frutto tali questioni mancano per ora i dati necessarii. Venendo ad osservazioni più particolareggiate, nel B. viridis si nota una com- plessiva minore variabilità nei $ di Corfù rispetto ai è delle altre località. E così pure nelle 9 di Candia rispetto alle 9 delle altre località. Ciò è forse in rapporto colla vita della specie in un'isola relativamente ristretta? Anche per rispondere a questa domanda è d’uopo ripetere le osservazioni intorno ad altre serie delle stesse località. Negli individui molto giovani delle varie specie è notevolmente maggiore che non negli adulti la variabilità dello sviluppo relativo dei diametri trasversali del capo, sopratutto la larghezza del capo all'angolo posteriore dei mascellari, la larghezza del capo a metà degli occhi, il diametro interorbitale e il diametro trasversale mag- giore dell'occhio. Nell’accrescimento dell'animale fino all’epoca della riproduzione, la variabilità delle parti sopradette del capo va diminuendo, mentre si fa più manifesta la variabilità delle diverse parti dell’arto posteriore e dell'arto anteriore. Queste parti conservano una spiccata variabilità anche in individui di età relativamente avanzata. Il paragone della variabilità delle diverse parti, fra le serie studiate, di individui della stessa specie, ma di località diverse, mostra talvolta differenze notevoli. Nei è di B. viridis, ad esempio, di Givoletto, la variabilità della lunghezza del piede dà 77, mentre in quelli di Moncalieri si ha appena 41. Le serie studiate di queste loca- lità sono assai numerose di individui e perciò si può dare a questa differenza un certo peso, tanto più che una analoga differenza si ha per la variabilità della lun- ghezza della coscia. Nei $ di Givoletto essa è 68, in quelli di Moncalieri appena 37. Nelle femmine delle stesse località si osserva lo stesso fatto per la lunghezza della coscia; nelle 9 di Givoletto si trova 34; in quelle di Moncalieri solo 28. La stessa cosa si dica per la variabilità della lunghezza del braccio: nelle 9 di Givoletto 34, in quelle di Moncalieri 28. Per la variabilità dell’avambraccio la cosa è anche più spiccata; nelle 9 di Givoletto si trova 41; in quelle di Moncalieri solo 16. L'esame dei dati riuniti nelle tabelle degli indici di variabilità uniti a questo lavoro (e in quelle che si riferiscono al B. vulgaris e che sono stampate nel mio precedente la- voro sulla variabilità di questa specie)(2) mostrerà molti altri fatti analoghi in serie di individui provenienti anche da località non molto discoste fra loro. Ricerche future condotte sopra serie anche più numerose di quelle ora studiate concederanno forse di precisare meglio le modalità del fenomeno ora indicato, per poterne tentare la spiegazione. (1) DanieLe Rosa, La riduzione progressiva della variabilità, ecc. Torino, C. Clausen, 1899. (2) Op. cit. ni RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 193 Indici di variabilità wrrcrr-rrrrr_ R1r_—___—> Individui in amore B. viridis |B. regular.| B. maurit. | B. vulgaris SAI e a 1 _(1) Ò Od A o, Q ò Q Lunghezza del capo . . 28,50| 23 | 34| 23 | 28 | 25| 28 |14,50 Largh. del capo agli angoli dei mascellari| 23 | 21|21|19{[48 34 29,50] 26 Id. a metà degli occhi e 126,50/20,50)- 21] 191 :26.] 22 182.50] 26 Id. alle narici . . 15 11,50] 13| 10 3| 8 Îi150 8,50 Alt. del capo a metà della reg. timpanica 14 | 19 | 15| 13 | 15 | 14 [18,50| 11 ale ee e 007 00] LI DO] TE 9 | 141 13 |A0 Diametro interorbitale . SIL2450 111050] 44112 P15 | 15,4 15.16 Distanza dall’ apice del muso alle narici .| 15 | 12 | 14| 12| 12 | 20 |15,50/10,50 [d. dalle narici all’occhio .T 14 [10,501 16] 11 | 12 | 9 |13,50| 10 Id. dall'occhio al timpano . È -[15,50| 7 9SCIROrIO EL0N 7 Lunghezza massima delle parotidi ? -125,50123,50| 29 |.:26 | 31.| 84 40 18 Larghezza id. id. .| 23 [17,50| 14| 11 | 23 | 26 [18,50|14.50 Lunghezza del braccio . .{31,50| 26 | 26| 25 | 41 | 39 | 39 | 29 Id. dell’avambraccio . -[31,50/26,50| 19| 26 | 41 | 39 |43,50|28,50 Id. della mano . 26 |14,50| 24| 18 | 22 | 29 [34,50 19 Id. del 1° dito . MZ 1850171027. 13; |123:/25,50k 19 Id. del 2° dito. . [17,50] ,12 | 19] 16 | 19 | 19 [26,50] 15 Id. del 3° dito . -|17,50|14,50] 19] 16 | 15 | 15 [34,50/ 30 Id. del 4° dito . . [13,50|12,50] 15| 13 | 13 | 12 | 28 |24,50 Diam. mass. tubercolo palmare mediano .| 10 LO. S0l9, li 470:] AZ AL 16 | 10 Id. id. id. id. interno 14 110,5 Sie ad A EL-114;50).,8 Lunghezza della coscia . 47 | 29| 22) 32| 47 | 51 [51,50 26 Id. della gamba 27 (23,50) 25| 18| 34|37| 42| 42 Id. del piede 57 | 34| 41| 20| 59 | 59| 68 [44,50 Id. del 1° dito. 16 | 14 | 13| 16.1 17 | 14 | 27 {27,50 Id. del 2° dito . 28 |20,50| 25] 22/18 |22| 34] 21 Id. del 3° dito . 59 | 9412988 1 40 | 30 |54,50/26,50 Id. del A dito . 41 [32,50] 24| 25 | 37 | 33 | 57 | 29 Id. del 5° dito . .| 29 | 20 | 24] 27 | 25 | 18 [32,50| 32 Dio massimo trasversale dell’ occhio 13,50|10,501 20] 13 1.14.| 20 I. 11 | 7,50 Id. minimo del timpano -{8,50 |13,50| 14| 11 | 6 | 11 [10,50 8,50 Id. massimo del timpano .[11,50|12;50| 13] -10-| 10| 12| 13] 7 Lungh. del tubercolo metatarsale interno | 9 | 10| 8 | 18| 1110 |12,5010,50 Id. id. id. esterno |14,50) 11 | 14| 12| 8 | 10] 13 |8,50 Dist. dall’apice del dito della membr. interd. | | | Id. id. dall’apice del 1° dito . . .|17,50| 14 | 18| 16 | 20 | 17 |19,50| 14 Id. id. id. 2° dito . 28,50] 17 | 19| 17 | 30 | 22 [25,50] 12 Id. id. id. 3° dito . 24,50/22,50 26 | 21 | 39 | 37 |31,50|16,50 Ta. id: id. 4° dito . 13 | 16 { 17/14 | 17 | 12 [16,50| 10 Lunghezza della ripiegatura tarsea . (1) Sono segnati qui i valori medii degli indici di variabilità, desunti da tutte le serie, riunite in una serie unica, degli individui studiati. Serie II. Tox. LIV. z 194 LORENZO CAMERANO 12 Bufo viridis. Della variazione delle parti nelle serie di individui studiati. Lo studio dei limiti del campo di variazione delle parti dà luogo alle conside- razioni seguenti: Individui in amore (1). Lunghezza del capo. — La variante minore è 92 e la maggiore è 132. — Nelle femmine si hanno: 86 e 126. Il capo nei maschi è più lungo che nelle femmine. Ciò dipende in massima parte dalla maggior lunghezza della porzione che va dalle narici all'apice del muso; nei maschi si ha infatti per questo carattere variante minore 0 e variante maggiore 23 e nelle femmine: var. minore 0 e var. magg. 18. Minore differenza vi è fra i due sessi per la distanza fra le narici e l'occhio: nei 5 var. minore 17, var. magg. 35; nelle 9 var. minore 19, var. magg. 36. Così pure il diametro trasversale massimo dell'occhio dà nei $: var. minore 30, var. mag- giore 50; nelle 9 si ha: var. minore 32, var. magg. 47. Inoltre la distanza dall'occhio al timpano presenta nei 3: var. minore 0, var. magg. 14; nelle 9: var. minore 0, var. magg. 9. Nella lunghezza obliqua del capo troviamo nei è: var. minore 94 e var. magg. 133; nelle 9: var. minore 90 e var. magg. 144 (2). Larghezza massima del capo ed altri diametri trasversali. — La larghezza del capo misurata agli angoli post. dei mascellari presenta nei $ la var. minore 101 e la var. magg. 139; nelle 92 la var. minore 92 e la var. magg. 142. La larghezza del capo misurata a metà degli occhi ha nei $: var. minore 81, var. magg. 120, nelle 9: var. minore 82 e la var. magg. 118. La lungh. del capo misurata alle narici ha nei 9: var. min. 21 e var. magg. 44; nelle 9: var. minore 19 e var. magg. 34. Il diametro interorbitale dà nei j: var. minore 21 e var. magg. 38; nelle 9: var. minore 19 e var. magg. 35. Ne risulta che nelle 9 il capo è più corto in complesso che nei 3; ma tende ad essere posteriormente più largo. A metà del capo la differenza fra i 5 e le 9 è minima nella larghezza. Altezza del capo misurata a metà della regione timpanica. — Nei $ si trova variante minore 36, var. magg. 55; nelle 9: var. minore 35 e var. magg. 55. Altezza del capo misurata alle narici. Nei è var. minore 19, var. magg. 35; nelle 9: var. minore 19 e var. magg. 34. Come si vede, fra i due sessi non vi è nell’altezza del capo differenza sensibile. Osservando ora l'andamento della variazione, entro ai limiti estremi sopra men- zionati per la specie, nelle serie delle varie località si nota quanto segue (3): (1) I dati numerici che seguono sono 860*simi somatici e sono senz'altro comparabili fra loro. (2) Questo maggior valore della 9 dipende in parte dal maggior sviluppo del diametro trasver- sale del capo a livello dell’angolo posteriore dei mascellari. (3) Non è d’uopo ripetere che questi dati non sono da ritenersi definitivi : essi costituiscono un primo materiale per giungere poi, coll’esame di un maggior numero di individui delle stesse località a risultamenti definitivi. 13 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Eco. 195 Maschi. -— Per la lunghezza totale del capo i valori minori sono presentati dalle serie di Corfù e di Candia, mentre i valori maggiori sono presentati dalle serie di Catania, di Tiflis, Campobasso, Sassari, Siria, Moncalieri: i valori intermedii dalle serie di Givoletto, Messina, Ancona, Roma, Taranto. Per quanto riguarda la larghezza maggiore del capo si nota che i valori più elevati sono presentati dalle serie di Sassari, Moncalieri, Corfù, Tiflis, Messina, Roma, e in seguito vengono Campobasso, Ancona, Taranto, Candia e per ultimo Catania, che presenta complessivamente i valori minori. Si vede da ciò che lo sviluppo dei due diametri non procede nella stessa direzione nelle serie delle varie località. Con- frontando gli specchietti uniti a questo lavoro in cui sono registrate le classi estreme delle serie, si nota anzi per parecchie di esse il fatto che ad un grande sviluppo della lunghezza del capo corrisponde un minore sviluppo della larghezza maggiore; si ha ad esempio: Maschi in amore di Catania. Lungh. mass. del capo: Cl. estr. 111-132 — Largh. mass.: CI. estr.: 101-122. Maschi in amore di Corfù. Lungh. mass. del capo: Cl. estr. 92-111 — Largh. mass.: Cl. estr. 115-138. Maschi in amore di Messina. Lungh. mass. del capo: CI. estr. 98-118 — Largh. mass.: Cl. estr. 114-132. Maschi in amore di Milazzo. Lungh. mass. del capo: Cl. estr. 107-116 — Largh. mass.: CI. estr. 126-134. In altre serie si trova uno sviluppo corrispondente di tutti due i diametri, come ad esempio: Maschi in amore di Tiflis. Lungh. mass. del capo: Cl. estr. 107-126 — Largh. mass.: CI. estr. 123-138. Maschi in amore di Sassari. Lungh. mass. del capo: Cl. estr. 92-128 — Largh. mass.: CI. estr. 111-139. Maschi in amore di Campobasso. Lungh. mass. del capo: Cl. estr. 99-124 — Largh. mass. Cl. estr. 112-128. E via discorrendo. Altezza del capo nella regione timpanica. — Hanno altezze maggiori le serie se- guenti: Tiflis, Messina, Taranto, Ancona, Roma, Sassari, Givoletto, Moncalieri, Candia. Seguono Catania, Milazzo, Campobasso, Siria, Corfù. Nella regione delle narici hanno maggiori altezze le serie: Givoletto, Tiflis, Taranto, Milazzo, Ancona, Messina, Moncalieri, Corfù. Seguono: Catania, Sassari, Candia, Roma. 196 LORENZO CAMERANO 14 Considerando complessivamente la lunghezza, la larghezza massima e le altezze del capo sopradette si nota: 1° Che nei maschi di Catania il capo tende ad allungarsi e a restringersi ed a rimanere poco alto; 2° che nei maschi di Tiflis il capo tende ad allargarsi poste- riormente e ad essere più alto invece che ad allungarsi; 3° analoga tendenza si nota nel capo dei 5 di Corfù; 4° nei è di Moncalieri e Givoletto il capo è relativamente corto; ma largo posteriormente e alto sia anteriormente che posteriormente ; lo stesso si può dire per la serie di Sassari. Diametro trasversale dell'occhio e diametro del timpano. — Non vi sono notevoli differenze nelle varie serie. Femmine in amore. — La lunghezza maggiore del capo è presentata dalle serie seguenti: Sassari, Catania, Givoletto, Lago Trasimeno, Moncalieri, Corfù, Milazzo, Messina. Vengono in seguito: Siria, Taranto, Candia, Campobasso. — I maggiori valori della larghezza del capo si trovano nelle serie di Messina, Sassari, Milazzo, Givoletto, Moncalieri, Corfù, Campobasso; seguono quelle di Siria, Candia, Catania. — Nel capo delle femmine, contrariamente a quanto venne sopra notato pei maschi, ad un maggior sviluppo della lunghezza corrisponde in generale un maggior sviluppo della larghezza massima. I valori maggiori dell’altezza del capo nella regione timpanica sono presentati dalle serie seguenti: Sassari, Givoletto, Trasimeno, Moncalieri, Milazzo, Taranto; se- guono: Messina, Corfù, Siria, Campobasso, Candia. Per ciò che riguarda l’altezza maggiore del capo alla regione delle narici ven- gono in prima linea le serie di Moncalieri, Givoletto, poi quelle di Sassari, Catania, Candia, Corfù, Siria, Trasimeno, e poi ancora Milazzo, Messina, Campobasso, Taranto. In complesso, il capo delle 9 di Sassari, Givoletto e Moncalieri, appare più grosso che non nelle altre; mentre meno sviluppato si mostra nel suo insieme il capo delle 9 di Candia, di Siria. Diametro trasversale dell'occhio e diametri del timpano. — Le serie non presentano differenze notevoli, salvo per i diametri magg. e minore del timpano, che negli indi- vidui di Sassari possono essere notevolmente minori, discendendo fino a 5 e a 7; mentre nelle altre serie stanno al disopra di un minimum di 10. Giovani. — Le proporzioni delle varie parti del capo sono notevolmente diverse da quelle degli individui in amore e la differenza è in complesso più spiccata, come agevolmente si comprende, negli individui da poco metamorfizzati che non negli altri. L5 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., ECC. 197 2 SS $ Pina | © E E Dica oso a ala © ra ORI 2 legali ELE 3 Da | GP] 4] Sol gs] falsa) 24) 04 6 ; : e ag | TPol Tglkg99 & dl g| SS|ASE Giovani e adulti S Si MES LE A a Ra E A el a Dl Sua A CONSOLO RO OOO TRONO | | | Siria, giovani, lungh. base | | | | da mill. 11 a Eve .p@ - (134,50) 128 33,50|56,50| min.| (2) | | @ Id. id. da a 50 100,50 127,50 dd 27, 50/47,50| 9 11| 0 |79,50|43,50 Ta: (id incamore. | 108°| 121./42,50) 25] 40] 10 |. 16 | 0 (73,50/36;50 Td: £105 49 id. 0 98,50: |M109- | 43 | 25 | 41) 6 LO ORZoni 38 Torino, giovani, lungh. base | | | da mill. 20 8140 . .| 126 (129,50156,50] 29 | 50 | 10| 12| 0| 74 | 32 Id. 3 in amore di Givoletto | 102 | 120 |46,50| 28 |38,50|12,50117,50) 0 |73,50|) 30 Id. in amore di Moncalieri (108,50) 125 | 44 |25,50/42,50] 19 | 11| 0 |76,5031,50 Id. 9 in amore di Givoletto 106,50} 123 |48,50) 27 40,50) 8 |15,50| 0 | 71 [32,50 Id. Qin amore di Moncalieri| 105 |120,50) 44 | 27| 40| 4 | 16| 0 (72,50] 29 Sassari, giov., lungh. base | | | | OASI | da mill. 30 a 50 .. ./104,50| 121 (46,50| 27 | 46| 9 | 11 | 7| 80 [34,50 IgoRad ag Gnniamore N. 100 | 125,]) 47 | 24 40,50) 10 | 17 | 0| 81 {41,50 ieggodan Sfmeamere:. «sl ia 31 49,50) 26 40, 50) 9,50 114,50. 0 182,50) 42 Catania, giov., lungh. base | | | da mill. 80.a50 . .|122,50/126,50| 50 |[28,50| 42 6 ({12,50] 2| 78 [36,50 Id. id. $ in amore . .]|121,50/111,50| 44 [24,50] 40| 4 16 | 0 82,50}38,50 idea no ntamore IT |120,50/42,50) 26) ‘38 [1,50 ]14,50| 0 79 44 Taranto, giov., lungh. base | | | | | da mill. 88 a 48 . .|118,501128,50| 49 [26,50] 47 | 16| 9 | 0 (77,5086,50 Id. id. Sin amore. .| 110| 119| 46| 24) 41] 12] 14| 0 [90,50(34,50 Id. id. Qinamore . .| 108 |123,50| 48 | 25 40,50 50] 14| 0 80,5044,50 | | | | Appare chiaramente dallo specchietto sopra riferito come il capo negli individui molto giovani sia più grosso che negli adulti; la differenza è di già notevolmente diminuita quando il giovane si avvicina nella lunghezza base a 50 mm. Mentre nei giovani diminuiscono, col crescere dell’animale, la lunghezza, la lar- ghezza e l’altezza del capo, pigliano sviluppo altre parti e particolarmente la por- zione del capo che è allo innanzi delle narici, cioè aumenta la lunghezza che va dall’apice del muso alle narici stesse. Si noti pure come questa distanza nelle 9 in amore sia minore che nei è, con- servando le 9 a questo riguardo carattere di giovane. Il diametro trasversale dell'occhio viene, col crescere dell'animale, a trovarsi notevolmente minore; mentre invece aumenta quello del timpano. Si noti a questo (1) Valori medii del campo di variazione in 360esimi somatici. (2) Negli esemplari giovanissimi di Siria che io ho studiato la membrana timpanica o è invi- sibile o appena; ma non abbastanza da concedere una misura sicura. (3) Negli esemplari giovanissimi di Siria da me studiati le parotidi sono appena accennate. 7, °° 43 34 3 198 LORENZO CAMERANO 16 proposito che negli individui giovanissimi la membrana timpanica non è visibile o appena. Si noti inoltre come i $ in amore di Catania conservino il carattere giovanile della lunghezza notevole del capo; mentre in essi è avvenuta una diminuzione for- tissima della larghezza massima e mentre per gli altri caratteri del capo le cose sono procedute nell’accrescimento in modo normale. Parotidi. — La differenza di sviluppo in lunghezza delle parotidi fra i $ e le 9 in amore appare dai dati seguenti, per le serie delle varie ‘località. Classi estreme. Catania Lungh. mass. 3 71-94, 9 73-83 — Largh. mass. è 31-46, 9 39-49 Taranto A o s 69-112 , 75-88 — È a » 26-43 , 38-51 Sassari 3 5 » 70-92, 69-96 — È ; n 92-51, 35-49 Campobasso È 3 s 70-92, 70-84 — 5 ; n CAB RIOIAZ Moncalieri = a s 69-90, 63-82 — A a n 24-39 , 22-36 Givoletto È i s 57-90, 54-88 — È n ,, 21-39, 5 26-39 Lago Trasimeno È 3 s 12-89, 68-77 — S 3 , 04-44, 81-42 Messina a. 3 n 15-89, 79-90 — A A n 90-39 , 32-40 Milazzo 5 s » 14-85 » 18-89 — i È 3 04:98. 91-42 Stiria a ; » 62-85 , 69-83 — Ù È s 29-44 , 30-46 Corfù S Ù » 68-84, 67-92 — i M » 29-38, 23-43 Candia 7 a » 69-77, 71-82 — P ” 5 29-35, 25-40 Tiftis ; \ , 715-102, — — : È 96-49 , — Ancona A i STES) —, = = E a s 98-44 4, — Nelle serie di Catania, Taranto, Campobasso, Moncalieri, Givoletto, Lago Tra- simeno, Siria, la lunghezza delle parotidi è spiccatamente maggiore nei $ che non nelle 9. Nelle serie invece di Sassari, Messina, Milazzo, la lunghezza è leggermente superiore nelle 9, e nella serie di Corfù la cosa è anche più spiccata. — Il diametro trasversale massimo è per contro di valore più elevato nelle femmine delle serie di Catania, Taranto, Messina, Milazzo, Siria, Corfù, Candia, mentre è meno elevato che nei $ nelle serie di Sassari, Campobasso, Moncalieri, Trasimeno. Nelle 9 vi è quindi la tendenza nelle parotidi a compensare col maggior diametro in larghezza la mi- nore lunghezza rispetto ai è. Il maggior sviluppo in lunghezza delle parotidi nei è è dato dalle serie di Tiflis, Taranto, Catania, e il minor sviluppo da quelle di Corfù e di Candia. Nelle £ il maggior sviluppo delle parotidi in lunghezza è dato dalle serie di Sassari, Messina, Taranto, Milazzo, Candia, e il minore dalla serie del Lago Trasimeno. Giovani. — Negli individui giovanissimi le parotidi sono appena accennate e non si può procedere a misure sicure: sono invece ben sviluppate negli individui che hanno raggiunto una lunghezza base da 20 mm. a 40. i Nella maggior parte delle serie di Torino, Sassari, Catania, Taranto, le parotidi degli individui giovani sono meno sviluppate che nei $ in amore. Nella serie di Siria si osserva invece il fatto inverso. Nell’un caso e nell’altro le differenze sono tuttavia poco spiccate. Er RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 199 Braccio — Avambraccio — Mano. — In tutte le serie queste tre parti presentano le varianti maggiori nei è che non nelle 9, sopratutto per ciò che riguarda il braccio. Si osservano tuttavia differenze notevoli fra le serie delle diverse località. Classi estreme. Givoletto. Lungh. del braccio, è 110-152, 9 111-144 — Id. dell’avambraccio, è 71-114, Q 78-118 — Id. della mano, è 79-111, 9 82-100. Sassari. Lungh. del braccio, 4 115-149, £ 109-140 — Id. dell’avambraccio, è 85-106, Q 82-102 — Id. della mano, è 75-99, 9 77-96. Messina. Lungh. del braccio, è 122-143, 9 110-130 — Id. dell’avambraccio, è 87-106, Q 81-95 — Id. della mano, è 85-97, 9 84-95. Moncalieri. Lungh. del braccio, 5 111-145, 9 97-124 — Id. dell’avambraccio, è 79-109, Q 74-89 — Id. della mano, è 82-104, 9 76-90. Candia. Lungh. del braccio, è 123-137, 9 111-128 — Id. dell’avambraccio, è 95-101, Q 84-95 — Id. della mano, $ 88-98, 9 82-90. Siria. Lungh. del braccio, è ni Q 104-123 — Id. dell’avambraccio, è 84-102, PG 74-88 — Id. della mano, 3 82-102, 9 75-89. Taranto. Lungh. del braccio, è 122-133, 9 122- ui — Id. dell’avambraccio, è 85-99, Q 85-96 — Id. della mano, $ 83-90, 9 85-9 Milazzo. Lungh. del braccio, è 122-129, 9 La Lo — Id. dell’avambraccio, è 87-100, Q 75-87 — Id. della mano, è 87-98, 9 63-91. Trasimeno. Lungh. del braccio, 5 108-139, 9 122-125 — Id. dell’avambraccio, è 89-99, Q 85-96 — Id. della mano, $ 83-99, 9 85-91. Ancona. Lungh. del braccio, 3 126-148 — Id. dell’avambraccio, è 87-101 — Id. della mano, 5 83-97. Catania. Lungh. del braccio, è 120-139, 9 104-117 — Id. dell’avambraceio, è 69-101, Q 76-83 — Id. della ERI 5 74-98, 9 81-83. Tiflis. Lungh. del braccio, è 118-148 — Id. dell’avambraccio, 3 88-109 — Id. della mano, 5 83-105. I 3 e le 9 di Givoletto presentano le varianti maggiori. Le varianti minori si trovano in esemplari delle serie di Corfù e di Campobasso, pel braccio nei è, nelle serie di $ di Catania per l’avambraccio e così pure per la mano. — Per le 9 le varianti minori si trovano pel braccio nelle serie di Corfù e di Moncalieri, per l’avam- braccio pure in esse e in quella di Siria, e per la mano in quelle di Milazzo, del Trasimeno, di Siria e di Moncalieri. Nei giovani la lunghezza del braccio, dell’avambraccio e della mano è minore che negli adulti, come appare dallo specchietto seguente. La differenza fra i giovani e le 2 in amore è minore che non fra i primi ed i è. 200 LORENZO CAMERANO 18 "alori medii in 36080 somatici del campo di variazione. © e | 8 E cls. &|É pari (3) L=: (3) [Do] 2 [A N | (ac) << ni sE Li 2 3 a 3 ic E ® 2 © © = =) che nelle 9. Braccio, avambraccio, mano. — ll braccio è più lungo nei $ che nelle 9. Nei gio- vani la lunghezza è presso a che eguale a quella delle 9. Così si dica per l’avam- braccio e per la mano, quantunque la differenza fra è e 9 sia meno spiccata. Pic- cole differenze in lunghezza presentano nei due sessi le dita della mano. Coscia, gamba, piede. — La coscia è di lunghezza presso a che eguale nei due sessi: essa è un po’ più lunga nei giovani. La gamba nei $ e nei giovani è egualmente lunga un po’ più che nelle ©. Il \2 x piede è notevolmente più lungo nei $ che nelle 9. Nei giovani è più lungo che nei è. Le dita sono in complesso un po’ più lunghe nelle 9? che nei è. I tubercoli palmari presentano nei due sessi piccole differenze: i tubercoli plan- tari sono più sviluppati nelle 9 che nei $. Il tubercolo plantare interno è nei giovani presso a che come nelle 9. L’esterno invece è un po’ più sviluppato nei è. Lo sviluppo delle membrane interdigitali è poco diverso nei è, nelle 9 e nei giovani. In complesso, dalle serie di B. regularis studiate, risulta ch'e in questa specie, le differenze di dimensioni relative delle varie parti fra è, 9 e giovani sono minori che non nel B. viridis. Bufo mauritanicus. Non molto spiccate sono le differenze fra è e 9 per ciò che riguarda le misure longitudinali e trasversali del capo. I 3 presentano valori medii leggermente più elevati delle 9. — L'occhio è un po’ più grande nei $ che nelle 9; maggiore ancora nei giovani. — Piccola differenza vi è fra i due sessi nelle parotidi. 204 LORENZO CAMERANO 22, Il braccio e l’avambraccio dànno valori medii superiori nei è che nelle 9. La mano invece dà valori più elevati per le 9. Nella lunghezza delle dita della mano non vi sono differenze notevoli fra i due sessi, salvo pel 3° dito, che è più lungo nelle 9. Le misure dell’arto posteriore nelle varie sue parti dànno valori medii poco dis- simili nei due sessi. — Le membrane interdigitali appaiono tuttavia più sviluppate nelle £ che nei è. * * 0 * L'esame degli indici di frequenza mette in evidenza alcune modalità del feno- meno di variazione di cui si è parlato nel capitolo precedente. Bufo viridis. — Lunghezza del capo e sua larghezza massima. Lunghezza del capo nei è. Givoletto. M= 102 —FM=0,7903 Moncalieri”, ='‘108:50,— o =0:3333 6667 Corfù. n =.101,50,— e ==03182/— ee =: 06818 Catania. 120 — 0,4118 — —, = 0,5882 Sassari. n == 106 RE 5A Stiria. s» = 108. —<, ==0;6250 0° =08750 Lunghezza del capo nelle 9. Givoletto. M= 106,50 — F< M=0,6129 —- F>M=0,3871 Moncalieri. , = 105 — g = 0,6154 — n —=10;3077 Corfù. pi = 100,50— tg E =10;2308— n =10,7,692 Sassari. ss == 12 =», gole =0(/5500/ = E10000 Candia. 3 =M100;50— "0g; B=10)5945 9 RISST041545 Larghezza del capo nei è. Givoletto. M= 120 —FM=0,6452 Moncalieri. , = 125 — 5 —= 0,3718 — $ —= 0,6026 Corfù. a == 126,50 — — © =08636 — ae = 0561 Catania. n =dI15D0—-. pe ee = 165 Sassari. sr et —='‘0,456k0—655 =0,4561 Stria. i — e È = 0,5000 — È = 0,5000 Larghezza del capo nelle 9. Givoletto. M= 123 —FM=0,1935 Moncalieri. ; =120,50.— .,' (= 0,4872 —* “,:=0;5128 Corfù. » =122,50 — , =10,2154 —. «, ==0/77846 Sassari. pi = dl => Ge= 10450005900 Candia. n= 117,90, e 054 _ —= 0,4545. Da questi dati si osserva che nei $ di Givoletto, Moncalieri, Corfù, la lunghezza del capo superiore alla media è presentata da un notevole maggior numero di indi- vidui che non quella inferiore, e così si dica per gli esemplari di Givoletto e di Mon- 23 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 205 calieri, anche per la larghezza massima del capo stesso. — Negli individui # di Corfù sono più frequenti gli esemplari con valori inferiori alla media per la larghezza del capo. — Nelle 9 di Givoletto e Moncalieri prevalgono per la lunghezza del capo invece i valori inferiori alla media: prevalgono pure sulle 9 di Givoletto per la lar- ghezza del capo, mentre in quelle di Moncalieri sono quasi egualmente numerosi gli individui con valore inferiore e quelli con valori superiori. Negli esemplari $ di Sassari e di Siria predominano per la lunghezza del capo i valori superiori alla media, mentre per la larghezza massima le due serie di valori sono presso a che eguali per la loro frequenza. Per le £ di Sassari e di Candia si dica la stessa cosa per i due diametri. + Distanza dall’apice del muso alle narici nei è. Givoletto. M= 12,50 — FM=0,5000 Moncalieri. , = 12 —F=M=0,2179 — n 0282, = 0,5000 Catania. gi= 4 a =10W647/==>. \lx —= 0,2353 Sassari. het: — a = aos a = 0,6140 Corfù. no ==10,50:— n CE04545) =. 4 —=:0,5455 Siria. e 0 E = 0,3125 — n = 0,6875 Distanza dall’apice del muso alle narici nelle 9. Givoletto M= 8 — FM=0,2258 Moncalieri , = 4 — }, = 0,7949 — 3 ZAMQ051 Sassari. i= 195507 4, = 0,7500 — dani=#02500 Candia. = Ali, = 0,7273 — ne 02727 Corfù. pi or, = 0,3846 — È 061054, Anche dalla considerazione delle frequenze risulta spiccata la differenza fra è e 2 per ciò che riguarda il prolungamento del muso: fa eccezione la serie di è di Catania in cui predominano i valori inferiori alla media molto bassa, e le serie delle 2 di Corfù, in cui predominano i valori superiori alla media. Diametro massimo trasversale dell’occhio nei è. Givoletto. M= 38,50 — FM=0,6452 Moncalieri. , =42,50 — — , = erlvgT —*. = 0;2821 Catania. een ‘058888. 04 = 04118 Sassari. a == 40,50 =, +; — 0,6667 — — , —#03339 Corfù. »s =36,50 — — , == i = 0,8182 Siria. PAGE: ='05602d5.—.. 4 =:0,3750 Diametro massimo trasversale dell'occhio nelle 9. Givoletto. M =40,50 — FM=0,3548 Moncalieri. , = 40 — 3 = 0,6410 — , — 1,9938 Sassari. » =40,50 — 4 —= 0,6000 — È = 0,4000 Candia. ed RM =03636 — —, =0,2727 — 4 = (0,3636 Corfù. pr 40: — 5 = 0,5000 — —, =0,5000 Si vede che la tendenza dei valori è verso 40 e 41, poichè nelle serie con valore medio inferiore ad essi si hanno i maggiori valori di F > M, mentre nelle serie in cui il valore medio è superiore a 41, il maggior valore è per F < M. 206 LORENZO CAMERANO 24 Lunghezza e larghezza massima delle parotidi. — Nei $ in amore in alcune località le serie presentano, per la lunghezza massima, un notevole maggior numero di valori inferiori alla media e per la larghezza massima invece, un notevole maggior numero di valori al disopra della media. Esemplari © in amore di Givoletto. Lungh. mass. F < M=0,6038 —- F > M = 0,3962 î pi ; Largh. mass. , = 0,2264 — > = 0,6981 a 3 di Stiria Lungh. mass. , 2900 106 = 0,7500 > 3 x Largh. mass. x =075008= 3 = 0,2500 Si potrebbe in questi casi pensare ad una sorta di correlazione di sviluppo fra i due diametri delle parotidi, nel senso che mentre la lunghezza cresce, la lanzo diminuisce ed inversamente. In serie di altre località il fatto è meno spiccato od anche si nota pei due dia- metri una distribuzione presso a che eguale della frequenza dei valori al disopra e al disotto della media. — Nelle 9 questa ultima condizione è quella che si verifica più frequentemente. Lunghezza del braccio, dell’avambraccio e della mano. — La ripartizione delle fre- quenze dei valori delle serie rispetto alla media dà indici non molto differenti per le tre misure sopradette, in guisa che essi o tendono ad equilibrarsi come pel braccio, o crescono 0 diminuiscono di conserva per l’avambraccio e per la mano, e ciò tanto pei 5, quanto per le 9. Diametri massimi del tubercolo palmare mediano e la tubercolo palmare interno. — Nelle serie in cui i valori inferiori alla media sono più abbondanti pel diametro mas- simo del tubercolo palmare mediano, sono invece meno abbondanti i valori inferiori alla media pel diametro massimo del tubercolo palmare interno, ed inversamente. — In altre serie gli indici di frequenza sono presso che in equilibrio. Esemplari © di Givoletto. Diam. mass. tubercolo palmare mediano. F < M = 0,6129, F>M=0,3871 3 3 3 È interno i 10/9220 eee — dio Esemplari 9 di Sassari. Diam. mass. tubercolo palmare mediano. F < M = 0,6000, F > M = 0,4000 È > 5 interno è = 0,2000 a = 0,6500 Esemplari 9 di Corfù. Diam. mass. tubercolo palmare mediano. F < M = 0,3845, F > M = 0,6154 P interno a SO i ==1080/77 » » » Nello sviluppo dei due tubercoli si nota come la tendenza ad una correlazione di sviluppo, nel senso che mentre l’uno cresce l’altro diminuisce. Fenomeni analoghi si verificano per le frequenze dei valori della lunghezza del tubercolo metatarsale interno e del tubercolo metatarsale esterno, come si può facil- 25 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Eco. 207 mente osservare dal confronto degli indici di frequenza registrati nelle tabelle unite al presente lavoro. L'esame di queste tabelle per ciò che riguarda gli indici di fre- quenza delle varianti nelle serie farà vedere fatti analoghi anche per le misure delle varie parti dell’arto posteriore. Nel Bufo regularis e nel Bufo mauritanicus si osservano fatti analoghi, come si può vedere dalle tabelle relative. Bufo viridis. — Se si confrontano gli indici di frequenza delle serie di località diverse si osservano spesso differenze notevoli. Così, ad esempio, il diametro massimo di lunghezza del tubercolo palmare mediano dei è di Givoletto presenta: indice di frequenza < M= 0,6129, mentre lo stessa indice nella serie di è di Moncalieri è soltanto = 0,1667, mentre ancora in quella di Corfù è = 0,8636, e così via discor- rendo per gli altri caratteri. Per poter determinare se ciò sia indizio d'una variazione in un senso o in altro negli individui delle varie località, come già feci osservare nel precedente la- voro sulla variazione del B. vulgaris (Op. cit.), è necessario ripetere in tempi succes- sivi queste ricerche sopra altre serie di individui delle stesse località. Per ora si può solo stabilire il fatto che rimane come un punto preciso di partenza per ricerche future. Lo studio delle tabelle di misure e di indici unite a questo lavoro mette pure in evidenza un’ altra serie di fatti relativi alle tendenze della variazione. Così, ad esempio, nelle serie sopra citate di $ di Givoletto, l'indice di frequenza dei valori inferiori alla media del diametro massimo del tubercolo metatarsiale interno è eguale a 0,7419 e quello superiore alla media è di 0,2581, mentre gli stessi indici nella serie di Moncalieri sono rispettivamente di 0,1026 e di 0,7821 e in quella di Corfù sono rispettivamente di 0,8636 e di 0,0909. Si osserva qui una sensibile eguaglianza nell’andamento della frequenza dei valori fra i tubercoli dell’ arto anteriore e quello posteriore nelle serie di individui delle diverse località. L'esame paziente degli indici di frequenza degli altri caratteri uniti a questo lavoro metterà in evidenza altri fatti simili che qui sarebbe troppo lungo enumerare minutamente. I dati sopra esposti intorno alle frequenze delle varianti sono un primo materiale che dovrà essere completato coll’esame di serie più numerose delle stesse località, per poter poi tentare una qualche spiegazione in proposito. Se si tiene conto delle cose dette nei capitoli precedenti e si confrontano con quanto già esposi nel precedente lavoro intorno alla variazione del B. vulgaris sì vede che il fenomeno della variazione nelle cinque specie del genere Bufo studiate, B. vulgaris, B. viridis, B. mauritanicus, B. regularis, B. praetertatus, per quanto si può giudicare dal materiale che ho avuto a mia disposizione, si presenta, in complesso, con un unico aspetto, sia per ciò che riguarda le differenze di variazione dei due sessi, sia pel variare dei giovani rispetto agli adulti. 208 LORENZO CAMERANO 26 Da tutti i dati riuniti mi pare si possano trarre le considerazioni seguenti : 1° (1) Le varie parti dell'animale, nelle loro proporzioni rispettive, hanno oscillazioni di variazione meno ampie di ciò che potrebbe far credere l’esame dei dati assoluti di misura fatti sopra individui isolati. 2° Le variazioni dei rapporti degli organi nella specie per quanto riguarda lo sviluppo delle loro dimensioni hanno carattere di oscillazioni di una determinata ampiezza che sì possono verificare nelle serie di individui della stessa specie anche in località molto distanti della sua area di distribuzione geografica. 3° È necessario procedere con molta prudenza nello stabilire le così dette va- rietà o sottospecie locali, fondandole su dati dedotti dai rapporti di dimensione delle varie parti dell'animale, coll’esame di pochi esemplari, poichè tali variazioni di rap- porti possono coesistere anche in località molto diverse. 4° Rimanendo sempre nel campo ora studiato del variare dei rapporti di di- mensione delle parti, il fenomeno di variazione di una specie non ci appare, per servirci di un esempio grossolano, come un corpo che proceda con una data velocità in una direzione con moto rettilineo; ma come un corpo che si sposta in una data direzione oscillando continuamente, fino a che abbia raggiunto il punto determinato. Le oscillazioni si compiono intorno a quel valore del rapporto che corrisponde al valore medio del campo di variazione inteso nel modo da me proposto. 5° Soltanto osservazioni fatte in tempi successivi sopra serie numerose di individui della stessa località, in modo che si possa avere certezza che essi rappre- sentano generazioni di individui successive, potranno far conoscere esattamente quale sia la direzione del cammino che tende a percorrere la variazione. Credo tuttavia, si possa, fondandoci sui precedenti dati di misura, ritenere che (nei casi in cui l'esame sia stato portato sopra una serie molto numerosa di individui), data la frequenza delle varianti superiori ed inferiori alla media eguale delle due parti della media del campo di variazione, la parte dell’animale che si studia nelle sue dimensioni sia come in equilibrio, oscillando intorno al suo valore medio. Se invece osserviamo, ad esempio, che la frequenza dei valori inferiori alla media è maggiore di quella dei valori superiori, si può credere che le dimensioni del carattere in questione tendano a diminuire; poichè crescendo sempre più la frequenza dei valori inferiori alla media, avverrà che i valori estremi della serie maggiori della media tenderanno ad essere eliminati (probabilmente per opera della scelta naturale), poichè essi si trovano sempre più lontani dall’optimum per la specie stessa. Così il valore della media del campo di variazione si abbasserà. Se la variazione del carattere continuerà a procedere nello stesso senso, vale a dire a procedere verso un optimum voluto da determinate circostanze, vedremo dimi- nuire questo valore medio fino a che le frequenze dei valori tornino ad equilibrarsi rispetto al nuovo valore diminuito della media del campo di variazione. Quando ciò sia stato ottenuto, il nuovo campo di variazione rappresenterà il campo di varia- zione compatibile colle circostanze di vita dell'animale, e il carattere studiato potrà, nelle serie di una data località, ritenersi (almeno temporaneamente) in equilibrio. La (1) Il lettore voglia sempre aver presente alla mente che le considerazioni seguenti si fondano sulle variazioni dei rapporti delle parti e non sulle variazioni assolute delle parti stesse. 27 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 209 cosa può procedere tanto oltre fino a produrre la scomparsa del carattere (dato che ciò sia possibile per la natura del carattere stesso). Un esempio si può trovare nella variazione della membrana esterna del timpano del B. vulgaris (op. cit.). 6° Credo che nel caso nostro, trattandosi di specie certamente molto antiche e adattate da lungo tempo a condizioni di vita, oscillanti esse pure entro a limiti relativamente ristretti e necessariamente poco dissimili nei diversi punti dell’area di distribuzione geografica delle specie stesse, si possa ritenere che queste hanno raggiunto una costanza notevole nei rapporti di dimensioni delle varie parti, costanza che può non apparirci quando limitiamo il nostro studio a pochi individui presi qua e là e che ci rappresentano alcuni dei momenti della variazione oscillatoria, ma che - ci si fa manifesta quando rivolgiamo la nostra attenzione a serie numerose di indi- vidui anche di località diverse. 7° Per poter affermare che una specie di Bufo (per non uscire dallo stretto campo delle presenti ricerche) è molto variabile od è poco variabile, nel senso che comunemente si attribuisce a queste parole, non basta tener conto dell’ ampiezza del campo di variazione (calcolato col metodo da me proposto), ossia dei limiti nei quali oscillano i caratteri, ma bisogna anche vedere (con ripetute osservazioni in tempi successivi) se il valore medio del campo di variazione rimane costante, o tende a spostarsi in un senso o nell’altro. Il presente lavoro ha appunto lo scopo precipuo di fissare in un momento dato i limiti del campo di variazione e il suo valore medio per serie di individui di varie località appartenenti alle sopranominate specie di Bufo, affinchè si possa avere un primo nucleo di materiale adatto a determinare un punto preciso di partenza, che conceda in seguito di determinare se il valore medio del campo stesso rimanga costante o si sposti, e in una parola, conceda di poter vedere se le specie in discorso variino veramente nel senso che si suole comunemente attribuire a questa parola nel campo delle teorie evolutive. 8° Da tutti i campi di variazione delle varie parti del corpo (formati coi valori numerici dei rapporti di sviluppo delle parti stesse) per le specie seguenti del genere Bufo: B. vulgaris, B. reqularis, B. mauritanicus, B. viridis, riuniti nel mio pre- cedente lavoro sulla variazione del B. vulgaris e nel presente, si possono dedurre dei raffronti che servono ad indicare differenze specifiche nelle proporzioni delle varie parti. Del 5. vulgaris sono stati studiati e misurati 462 esemplari, del 5. viridis, 559, del B. regularis, 125, del B. mauritanicus, 77. Si può credere che coll’esame di questo materiale si siano potuti riconoscere i valori estremi di variazione dei rispettivi rap- porti delle parti per le singole specie e si può credere pure che l'esame di nuovo materiale farà variare di poco (particolarmente per le due prime specie) e forse solo per qualche carattere i limiti riconosciuti di oscillazione dei rapporti delle parti stesse. — Un più numeroso materiale sarà invece necessario, come già sopra è stato detto, per lo studio delle altre modalità della variazione, come la frequenza delle classi, la tendenza della variazione, il carattere speciale che può assumere la variazione delle serie di località determinate, e via discorrendo. Nella tabella seguente sono segnati i limiti estremi del campo di variazione per ciascun carattere delle diverse specie studiate, desumendoli da serie uniche formate da tutte le serie di individui in amore delle varie località per ogni singola specie. SerIr II. Tom. LIV. n 210 LORENZO CAMERANO 28 Bufo Bufo Bufo Bufo vulgaris | mauritan. | viridis _| regularis iz SE ERO as STO Ò Lunghezza base (espressa in millimetri) . .| 53-103 | 80-135 | 50-93 45-70 Lunghezza totale del capo (1). . . . .|85-122 | 83-110 | 92-132 | 97-130 Id. dall’apice del muso alle narici . . . .| 3-26 6-27 0-23 0-13 Id. dalle narici all'occhio 1 eee 32 17-34 17-35 21-36 Id-dall'occhiosal&bimpano Serene 5-19 | 3-12 0-6 0-8 Largh. del capo all'angolo post. dei mascellari | 102-148 | 103-150 | 107-139 | 118-138 Id. a metà degli occhi . . . . . . . .| 74-116 | 75-100 | 81-120 | 89-109 Id. alle Marie e i Ce GO OI RSS) 19-31 19-44 19-31 Diametro interorbitale . . . . . . . .| 23-44 24-38 21-38 26-39 Altezza del capo alla regione timpanica . .| 29-56 42-56 36-55 46-60 tal alle-martici = 610° AO RR 91 22-30 18-35 22-31 Diametro massimo trasversale dell'occhio .| 23-46 32-45 30-50 35-54 Diametro minimo del timpano . . . . . 6-19 12-17 10-22 19-32 Td Smassimo det ao 7-24 14-23 11-25 20-32 Lunghezza massima delle parotidi . . . .|47-102 | 63-93 | 57-112 | 55-83 Larghezza id. id. E ra MZO SALE 27-49 21-51 19-32 Lunghezza del braccio . . . . . . . .|116-166| 99-139 |102-152 | 105-130 Id. dell'’avambraccio . . . . . ... .| 89-160 | 72-112 | 69-114 | 72-90 Td. della mano. . 0/00 Li 2 a 705120 75-96 MITA 408 Lunghezza del 1° dito della mano (2). . .| 35-47 34-46 30-50 35-51 Id. 2° dito id. ge 30-43 21-39 24-45 21-39 Id. 3° dito id. eg al 142-55 32-46 33-55 36-54 Id. 4° dito id. su e clat24:36 21-33 20-39 21-39 Diam. mass. del tubercolo palmare mediano 9-31 18-29 13-30 15-23 Id. id. id. interno 5-26 12-22 3-24 9-19 Lunghezza della coscia. . .. . . . .|117-176|120-166 | 104-171 | 124-145 Id. della gamba .. . . .0. . 0.0.0. | 100-155] 120-153.) 112-154 | d20-144 Id. del piede . . . . . . .. .. .]|189-306 | 189-247 | 206-288 | 197-237 Lunghezza del 1° dito del piede . . . .| 30-71 30-46 27-50 31-43 Id. 2° dito * id. e GAI 104 O 51-93 47-71 Td. SPA GITOM dì I |TRILSATA6N] TRS SS Id. 4>dito: (adi . +. + | 86-178 | 117-153 | 124-174 | 123-146 Id. 5° dito © id. | 80-123 | 80-104 | 69-114 | 75-98 Diam. mass. del tubercolo plantare interno . | 5-24 14-24 12-37 10-17 id. id. esterno. 6-28 8-15 2-23 3-16 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale . .| 25-49 24-43 24-48 23-40 Jd.: id delé20 dito are RR e 25-65 26-55 26-60 36-54 Id: id.. del'S°*ditor e 13 5Ò 41-79 50-88 52-77 Ta: ddl) del A-Sdito Nagt RN 9-30 13-29 5-24 14-30 Lunghezza della ripiegatura tarsale . . . — | 44-58 37-71 45-62 (1) Questa e tutte le misure seguenti sono espresse in 360esmi somatici. (2) La lungh. delle dita è misurata dall’apice del dito all’angolo interno che esso fa col dito vicino. 29 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., ECC. 211 ——— renne ee _e e_N ms | Bufo Bufo Bufo | Bufo vulgaris | mauritan. | viridis | regularis 2 O I Lunghezza base (espressa in millimetri) . 381-148 | 96-136 | 53-112 | 50-77 Lunghezza totale del capo | 81-111 | 82-106 | 86-126 |110-122 Id. dall’apice del muso alle narici . 3-21 0-21 0-18 0-11 Id. dalle narici all'occhio . 15-29 20-28 19-36 23-33 Id. dall’occhio al timpano . 9-19 2-11 0-9 0-2 Largh. del capo all'angolo post. dei mascellari | 108-149 | 108-141 | 92-137 | 118-188 Id. a metà degli occhi . e ZE 7-98") 89118 | 90108 Id. alle narici . da 19-30 19-26 17-3 21-30 Diametro interorbitale . 25-45 24-38 19-35 25-36 Altezza del capo alla regione timpanica . 37-58 42-55 35-50 43-55 Id. alle narici . o 22-39 20-33 0-3 22-32 Diametro massimo trasversale dell’occhio 23-37 27-46 34-47 35-47 Diametro minimo del timpano 6-16 10-20 5-22 18-28 Id. massimo del timpano 7-16 13-24 | 7-22 20-29 Lunghezza massima delle parotidi . 50-87 61-94 | 54-96 »5-80 Larghezza id. id. 21-44 30-55 22-51 16-26 Lunghezza del braccio . | 107-153 | 94-132 | 97-144 | 98-122 Id. dell’avambraccio . 81-121 | 69-101 | 74-118 | 61-86 Id. della mano 82-106 | 74-102 | 63-100 | 77-94 Lunghezza del 1° dito della mano . 40-48 | 29-51 29-55 | 83-59 Id. 2° dito id. 34-41 22-40 26-41 26-41 Id. 3° dito id. 38-52 34-48 30-52 37-52 Td. 4° dito id. S4-44 19-30 29-48 21-33 Diam. mass. del tubercolo palmare mediano | 16-27 20-30 14-24 17-23 Id. id. id. interno 10-21 10-20 5-19 9-17 Lunghezza della coscia . 112-172 | 119-169 | 113-164 | 120-151 Id. della gamba 84-147 | 114-150 | 102-139 | 120-137 Id. del piede NINCTOR: 181-244 | 183-241 | 178-242 | 197-216 Lunghezza del 1° dito del piede 27-75 32-45 | 31-48 31-46 Id. 2° dito id. 44-80 47-68 46-70 51-72 Id. 3° dito id. . | 75-110 | 80-109 | 69-118 | 85-122 Id. 4° dito id. . | 109-153 | 114-146 | 106-189 | 120-144 Id. 5° dito id. . | 119-169 | 72-99 12-107.| ‘179-105 Diam. mass. del tubercolo plantare interno . | 14-28 16-25 11-29 12-24 Id. id. id. esterno. | 15-26 9-18 3-17 3-14 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del margine | libero della membrana interdigitale . 21-38 21-37 25-42 23-38 Id. id. del 2° dito. 28-48 28-49 35-55 34-50 Id. id. del 3° dito. . | 44-69 39-75 51-78 52-72 Id. id. del 4° dito. .-| 11-24 16-27 | 9-27 11-24 Lunghezza della ripiegatura tarsale | — 34-35 35-66 42-62 Dall'esame della precedente tabella si osserva che ciascuna specie ha qualche parte che spiccatamente è diversa per le proporzioni dalla corrispondente delle altre 2192 LORENZO CAMERANO 30 specie. Ad esempio, il B. vulgaris si distingue molto nettamente per l'ampiezza della distanza dall'occhio al timpano, e ciò tanto nei 3 quanto nelle 9. — I B. viridis e regularis sono notevolmente diversi dal B. vulgaris e dal B. mauritanicus per la di- stanza dall’apice del muso alle narici. Il diametro massimo trasversale dell’occhio è spiccatamente minore nei $ e 9 del B. vulgaris, che non nelle altre specie considerate; mentre il B. regularis si distingue dalle altre specie per la notevole ampiezza della membrana timpanica tanto nei $ che nelle 9 e pel minor sviluppo proporzionale delle sue parotidi. È spiccata la maggior lunghezza dell’arto anteriore del B. vulgaris nei due sessi e la maggior lunghezza del piede nei è, colle relative dita, e via discorrendo. Disposizione delle varianti in classi nelle serie ©. Bufo viridis. Giovani (lunghezza base da mill. 20 a 40) del contorno di Torino. Lunghezza del capo: 115-120,-124,-125,-126-127-129,-130,-131-133,-135-137 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 115-120-124,-126-1273-1293-(129,50)- 130,-131,-132,-133;-1853-139-141-144, — Id. a metà degli occhi: 97-98-99,-101-105- 106-107;-1083-(108,50)-110-111-113-115,-116-118-120 — Id. alle narici: 25-269-27,- 28,-29:-(29,50)-30;-31,-32,-33-384 — Altezza del capo a metà della regione timpa- nica: 49-503-51-539-54,-55-56:-(56,50)-58;-60;-63-64 — Altezza del capo alle narici: 24-253-263-273-28,-29;-30,-31-33-34 — Lunghezza obliqua del capo dall'angolo mascel- lare al muso: 116-120,-124;-1253-127,-129-130-132,-133-134-135-137-138-139-140,- 144 — Diametro interorbitale: 25-26-27,-28-30-313-32,-33:-(83,50)-34,-35-36,-373- 39-40-42 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 3-59-6-710-83-(10)-123-13,-16-17 — Id. dalle narici all'occhio: 25-273-28-29,-30-31,-32,-(32,50)-333-34,-36,-373-39-40 — ld. dall'occhio al timpano: 0;-3g-(5)-4-7 — Diametro massimo trasv. dell'occhio: 40-43-44-453-47,-483-493-50;-51,-53,-54-58-60 — Id. minimo del timpano: 7-8-10-113- 12;-13,-143-16-17 (invisibile 7) — Id. massimo del timpano: identico al precedente, un caso solo con 15, mentre in esso il diametro minimo è di 8. In tutti gli altri casi i due diametri sono eguali -— Lunghezza del braccio: 93-101-103,-1063-107,-1083-110-111- (1) I valori delle varianti sono espressi in 860esimi della lunghezza base eguale alla distanza dalla sinfisi della mandibola a metà dell’apertura cloacale. Il numero stampato in carattere più grosso e nero è quello della classe media. Se esso è collocato fra parentesi vuol dire che nella serie studiata esso non è stato verificato. I numeri a sinistra della classe media indicano le classi di varianti inferiori alla media; quelli a destra le classi di varianti superiori alla media stessa. I numeri più piccoli collocati in basso a destra di ciascuna classe indicano la frequenza della classe stessa nella serie. — Una classe la di cui frequenza è eguale ad 1 non porta nessun numero più piccolo a destra. I valori sono stati arrotondati, trascurando le quantità frazionarie inferiori a 0,50, facendo eguali ad 1 le quantità superiori a 0,50 od eguali a 0,50. Sal RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 213 1123-1133-114-1153-120-124,-129-130,-133 — Id. dell’avambraccio: 72-73-74-75-78,- 79,-80,-81-82-(82,50)-83-843-85-86,-873-903-93 — Id. della mano: 74-78-79-803-81- 83-84,-853-863-87,-90,-(91)-93,-97-101-108 — Id. del 1° dito: 31-34-35-36-37-39,-40,;- 41-43,-(44,50)-453-47-48-503-51,-58 — Id. del 2° dito: 31,-32-33;-34;-35-363-387,-39,- 40-42-43 — Id. del 3° dito: 40-42-43-459-47;-48-49-50;-51,-53-54-57-58 — Id. del 4° dito: 25-26-27;-28-29,-303-313-(32,50)-33-343-35-36,-37,-39-40 — Diametro mas- simo del tubercolo palmare mediano: 7-8-12;-133-149-153-16-17 — Id. del tubercolo palmare alla base del dito interno: 4-64-7,5-83-94-10-(10,50)-14-15:-17 — Id. della coscia: 115-120-124,-125-126-127-129-130,-131-132-133,-135-(136,50)-137,-139-141- 144,-150-158 — Id. della gamba: 106-107-115,-120,-124,-125-126;-127-129,-130-132- 133,-135-144 — Id. del piede: 180-186-187,-189-191-199-200,-203,-204-206-207-208- 211-(212,50)-213,-214-216,-223-225-227-230-231-245 — Id. del 1° dito: 33-34-36,- 37-39-40,-42-43,-45-47-48-51 — Id. del 2° dito: 48-49-50-51-533-55-56,-58,-60;-62,- (62,50)-63-64-67-72,-77 — Id. del 3° dito: 80,-82-84-863-87,-90,-93;-94-96-97-99- 1013-103,-108s — Id. del 4° dito: 115-1203-124-130-131-133;-134-135,-(136,50)-137,- 139-141-144,-146,-148-158 — Id. del 5° dito: 803-84-863-87;-9013-(90,50)-93;-98-1013 — Lunghezza del tubercolo metatarsale interno: 12;-13;-14-15-163-17,-183-20-22, — Id. dell'esterno: 33-43-53-(5,50)-63-714-8 (17 valore anormale) — Id. delle parotidi: 62-65-67;-69-713-72,-74,-75-77-78-79;-80-82-84-86 — Larghezza id.: 24-25-263-27;-284- 29-30-315-(32)-33-34,-36,-37,-40 — Distanza dall’apice del dito della membrana inter- digitale. Dall’apice del 1° dito: 24-253-26-27;-29-30-313-(32)-33-343-35-36;-39,-40 — Id. dall’apice del 2° dito: 39-40,-41-43-453-47;-48;-(48,50)-49-50,-56-58, — Id. dal- l’apice del 3° dito: 62-63-67,-72;-74:-76-(76,50)-77-79-80-82-86;-90, — Id. dall’apice del 4° dito: 15-18,-203-21-22-23,-24-253-(25,50)-263-27;-28-29-36 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 42-43-47;-48-49-50,-51,-53,-54-55-563-(57)-58-66-72,. ° Maschi in amore di Moncalieri. Lunghezza del capo: 93-101-1043-1053-1063-107,-108;-(108,50)-109,-1103-1113- 1123-113-1143-115;-116-118,-1203-122-124 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 111-116-118,-120;-122;-124,;-125- 126,3-1273-128,-129-130g-131-132,- 133,-134,-135-137,-139 — Id. a metà degli occhi: 87-92,-933-94;-95-96;-97-98,-99- 100;-101;-102;-1035-(103,50)-104;-1053-106;-107;-108,-109-110-112,-116-120 — Idem alle narici: 233-24,5-2510-2613-2713-(27,50)-28,-29,-303-31-32 — Altezza id. alla re- gione timpanica: 37-39-413-42-435-4414-457-469-47-48,-49;-50-51, — Id. alle narici: 20-21-22-23,0-24,3-2514-(25,50)-26,1-273-2810-293-303-313 — Lunghezza obliqua del capo: 1053-106-107,-109,-1109-111,-1129-1133-1143-115,-116,0-117-118,0-120x-1223- 124,-128-129 — Diametro interorbitale: 233-24,-25,-264-2711-285-29-301-3114-326- 33-35 — Lunghezza del muso alle narici: 33-64-73-8-97-10-11,-12,7-13g-144-1514-164- 173-19;-21 — Distanza dalle narici all'occhio: 233-24,-259-26,0-2713-(27,50)-28,-29;- 30;-35,-324 — Distanza dall'occhio al timpano: 0;4-13-2;-83; — Diametro massimo trasversale dell’occhio: 353-373-38;-39,7-409-4113-427-(42,50)-433-443-454-463-50 — Id. minimo del timpano: 11-12;-13;-147-1513-1611-(16,50)-17,1-18,1-193-20y-21-22 (2 casi invisibile a destra e 2 casi invisibile a sinistra) — Id. massimo del timpano: 123-13s- 14,-159-16,4-170-1816-199-203-21-22 — Lunghezza delle parotidi: 63-66-67-68-69,-70,- 214 LORENZO CAMERANO 32 719-723-733-743-759-763-(76,50)-773-783-79,-80-81;-82;-833-84-85-89-90 — Larghezza idem: 249-253-264-277-28-29,-309-81,1-(31,50)-325-333-343-353-36,-373-38-39. — Lun- ghezza del braccio: 111-112-116,-118,-119-1203-122-124-126,3-1273-128:-129;-130;- 131,-132;-133-1343-137,-138,-143,-144-145 — Idem dell’avambraccio: 79-82,-833-84,- 85 -865-873-88,-89;-90-91-92;-93g-94;-953-96-98,-99,-1003-1013-102-104-105-109 — Id. della mano: 82-83,-84,-85-86,-875-88,-893-9010-9210-93;-941-95;-96;-98-99-101-104 — Id. del 1° dito: 355-36,-37,-38,-393-40;-4112-421-(42,50)-43,0-44-45;-46,-48,-50 — Id. del 2° dito: 24-28-29,-304-315-327-333-34g-(34,50)-3511-365-37;-38,-39,-40-42-45 — Id. del 3° dito: 34-35-363-37,-383-39;-403-41,1-42;-(42,50)-43,3-44;0-45;-465-479-482- 49-50-51, — Id. del 4° dito: 233-24-253-26,4-27,-289-29-3011-31,3-323-33g-35» — Di- mensione massima del tubercolo palmare mediano: 13-153-163-17-(17,50)-18,5-195- 20,1-219-22, — Id. del tubercolo interno: 11-123-135-143-15g-167-(16,50)-17,,-18s- 19,4-205-22 — Lunghezza della coscia: 130-132-133-134,-135,-136,-1373-138;-139;- 140,-141-1423-143,-144,-1453-1463-147-148,-149,-150,-151-1523-1599-154,-1555-156- 158-159-166 — Id. della gamba: 118,-122-124,-1263-128,-129;-130-131;-132,-138,- 134;-135,-136;-1373-139,-1403-141-143,-144-145-148 — Id. del piede: 209-218-222,- 224-225,-226-228,-229-2303-232;-234,-235-2363-238,0-240g-241-242-2443-2463-248:- 249; — Id. del 1° dito: 30-35,-36;-37;-38,-3919-(40)-4113-423-439-443-45,-464-475-49-50, — Id. del 2° dito: 53-58,-59,-60,-61,-62;-63-64;-65:-(65,50)-66,0-67;-68;-69-70;-71,y- 724-733-74-753-77-78 — Id. del 3° dito: 77-89-94-96:-97-98,-99-1003-101,-102;-103,- 104,-1055;-106-(106,50)-107;-108,-109;-110,-111;-112,-114,-115-118-120-124 — Idem del 4° dito: 124-134-136-138-143-144,-1453-1463-147,-148;-149;-150,-1513-152-153,- 154-155,-1563-1573-158;-159;-160-161,-162:-165-166:-167-168,-174 — Id. del 5° dito: 79-85-88-89,-91-92-93,-94,-95,-(95,50)-96,-97,-985-993-100-1013-102;-103,-1043-105;- 106,-109,-110-112 — Lungh. del tubercolo metatarsale interno: 12-14-159-164-179-1897- 1933-20;-22; — Lunghezza id. dell'esterno: 3-5-635-75-83-(8,50)-9g-10-11;-12g-132-149 — Distanza dall’apice del dito della membrana interdigitale: dall’apice del 1° dito: 269-283-293-304-31-325-337-34-853-36-973-383-39;-48,-44, — Id. dall’apice del 2° dito: 33-35-37-383-393-403-419-42;-439-44-45;-467-(46,50)-47-48-493-503-51;-58-57-58-60 — Id. dall’apice del 3° dito: 51-53-54-55-56-58-593-603-61;-62;-63;-64,-657-664-67,-685- 69,-70;-713-72;-75-76-77-79 — Id. dall’apice del 4° dito: 69-7-9;-103-11-1210-135-14s- 15,-16,-17-19;-203-22 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 42-44-46,-47,-48-50- 513-523-53,-549-55;-563-(56,50)-57-58,-59,-60-61;-62,-63,-64-65-680-71. Femmine in amore di Moncalieri. Lunghezza del capo: 94-96-97-98,-993-100-101,-1023-103,-104;-1053-106,-107- 108,-109-110,-114-116 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 109-113- 118g-120,-(120,50)-122,-123,-124,-125-126,-128,-129,-131,-132 — Id. a metà degli occhi: 86-87-893-91,-92-93;-943-95-96;-97-98,-99-101-102; — Id. alle narici: 20-21- 22,-23-2411-253-263-27:-28-29-34 — Altezza id. alla regione timpanica: 36-38-39- 413-42;-437-44-453-465-47,-48,-49,-52 — Id. alle narici: 20-213-223-235-24,0-253-269- 27,-28-34 — Lungh. obliqua del capo: 983-100-101-1023-1033-104,-1053-106,-1083- 109;-110,-111,-112;-113-114,-115,-116-118 — Diametro interorbitale: 22-23,-24-25s- 26:-27,-28-29,-30;-31-32,-33-343 — Dall’apice del muso alle narici: 0g-313-53-64-8 — 33 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 215 Dalle narici all’ occhio: 21-223-23;-244-25,-26g-273-28-29,-30;-31 — Dall’ occhio al timpano: 037-15-3;-5-6 — Diametro trasversale massimo dell'occhio: 34-353-363-37;- 385-39;-40-41,-42;-43,-46 — Diametro minimo del timpano: 113-125-133-145-15x-161- 17-18-21, — Idem massimo: 11-12-133-14;-15;-163-17,-18;-21° — Lunghezza del braccio: 97-98-102-104,-105-106-107-108,-1093-1103-(110,50)-1113-112-113,-114,- 1153-1163-1183-120,-122,-124 — Id. dell’avambraccio: 74-76,-77,-783-79,-815-(81,50)- 82-83,-84;-859-863-87,-88-89 — Id. della mano: 763-77,-78-79;-80-81,-82,-833-84-853- 86-873-88,-89-90 — Id. del 1° dito: 35-36-37-38,-393-40-417-42;-43;-443-463-48,-51 — Id. del 2° dito : 27-29-303-31,-32-(32,50)-33,-34;-35;-367-37;-383 — Id. del 8° dito: 33-35-36-383-39-40-41-42-43-44;-45-46-49-51 — Id. del 4° dito: 24;-25,-26;-27g- 28,-29;-30-31;-33,-34 — Lunghezza delle parotidi: 63-64-663-67-683-69-70,-71-72g- (72,50)-73,-74-753-763-773-783-79-80-81,-82 — Larghezza id.: 22-26,-273-28-29;-30;- 313-32,-333-344-35,-36;3 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 59-63- 7-95-10,0-11,-12-14-153-16,-17 — Id. dell'interno: 14-153-163-17:-(17,50)-18-19,- 203-215 — Lunghezza della coscia: 116-118-120,-1233-124-125-1263-128-129,-(129,50)- 130-131,-132,-134;-136-137-138;-139-140-142-143 — Id. della gamba: 108-111-113,- 115;-1163-1183-(119,50)-120;-122;-123-125-126:-127-129-131 — Id. del piede: 194- 198-202;-203,-204-2053-206,-207,-209-210-212,-214-215-216;-219-220-222-224,-226- 231-232-238 — Id. del 1° dito: 31-33-34,-35,-36-373-383-39;-403-41-423-43,4-44-45- 46,-47 — Id. del 2° dito: 48-51-55,-56-57,-58;-59,-60,-613-62,-63-64;-65-66-68-71-72 — Id. del 3° dito: 78-84-86-87,-89,-90-92,-93,-943-95-963-97,-983-99-102,-103-104,- 105-106 — Id. del 4° dito: 126,-127-128-129-130,-1313-132-134,-135-136-137-138,- 139-1419-143-1443-1459-146-147,-149-157-168 — Id. del 5° dito: 78-81-823-83,-84y- 859-863-87:-(88,50)-89,-90-91,-92,-93;-94-95-96,-98,-99 — Lunghezza del tubercolo metatarsale interno: 15-16,-173-183-19,-20,-21,0-22-23 — Id. dell’esterno: 3-5-6,,-7- 85-(8,50)-9,-10-11,-12-14 — Distanza dall’apice del dito della membrana interdigi- tale: dall’apice del 1° dito: 26,-27-29,-30;-313-382,-33;-343-353-363-37,-38 — Id. dal- l'apice del 2° dito: 353-37-38-39-40-413-423-43-(43,50)-44,-459-46-47-483-493-51-52 — Id. dall’apice del 3° dito: 53-55-56-57,-58,-59,-60;-61-62,-(62,50)-643-66,-67,-683- 69-70-71,-72, — Id. dall’apice del 4° dito: 10-11-12-15;-169-173-18;-(18,50)-19-20,- 21-239-24-27 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 46-48,-50-51,-52;-53:-(53,50)- 04 g-554-563-573-58,-593-600-613. Maschi in amore di Givoletto (presso Torino). Lunghezza del capo: 96-97-993-100-101-102;-1033-1043-1054-106;-107-1084-109;- 111,-1123-113,-114,-115-116,-118 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 107-109-110-114,-116,-118-120-122-123-124-125-126-1273-129,-1303-131-1323-133 — Id. a metà degli occhi: 90,-91-929-933-943-953-963-97;-98-99;-1004-101-102,-103,- 1053-1065-1073-108,-109,-1113-112-114 — Id. alle narici: 239-24-253-269-27-28g-29g- 305-31,-32g-33;-(35,50)-34;-353-36:-38-42,-44 — Altezza del capo alla regione tim- panica: 38-393-40-41,-42-433-44,-453-46,0-(46,50)-47,-483-493-50,-515-52-54-55 — Idem alle narici: 21-23,-243-259-264-273-283-29;1-30;-31,-323-33,-35 — Lunghezza obliqua del capo: 94-100-101,-102,-1043-1053-106,-107,-1083-109,-110y-1115-112-1183-114,- 115;-116-118,-120, — Diametro interorbitale: 23,-243-253-26-27-284-299-304-(30,50)- 216 LORENZO CAMERANO 34 31-323-334-34,-35,-363-38 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 6g-74-8-93-10- 113-123-(12,50)-13,-145-15,-16,-177-183-19, — Id. dalle narici all’occhio: 17-23;-24;- 253-26,-27,-2810-29g-309-313-323-34-35 — Id. dall'occhio al timpano: 039-311-4-63 — Diametro trasversale massimo dell’occhio: 30,-32-333-34-35;-36,-37;-38:-(38,50)-39,1- 4()9-415-42g-433-44-46-47 — Diametro minimo del timpano: 113-127-130-147-154-163- 175-18,-19g-21 — Id. mass.: 11-12-133-14-15;-16g-1710-(17,50)-183-19;-20,-21-223-239-24 — Lungh. delle parotidi: 57-60-62,-64,-66-683-693-70,-714-725-73,-(73,50)-743-75;-77 783-793-803-84-87-90 — Id. larghezza : 21-23,-25-26-27,-28,-29-80,-31;-32,-33g-343-35,- 36,-37-38-39 — Id. del braccio: 110-114-116-118,-120,-121-122,-123-124;-126;-128- 129,-130,-181,-132;-134,-135-136-137,-1383-140-141-143-1443-145-147-148-149-1503- 152 — Id. dell’avambraccio: 71-79,-84,-85-86,-87-88:-893-90-91-92,-(92,50)-935-94s- 95-96;-973-98,-99;-100-101-102-103-114 — Id. della mano: 79-81-833-84-869-873-883- 89;-90,-92,-93g-94,-95,-96-973-98,-102,-111 — Id. del 1° dito: 33-34,-354-36-37,-385- 39-40;-(40,50)-41,-423-43-44-45,-463-47,-483 — Id. del 2° dito: 27-28,-293-30,0-317- 32,-333-34-(34,50)-35,-363-373-38,-393-40-42 — Id. del 3° dito: 34-39-41;-423-43g- 445-(44,50)-454-469-47,-48;-51-55 — Id. del 4° dito: 23-24-25,-26-27;-289-29-3011- 31:-32;-334-943-35-36,-39 — Diametro mass. del tubercolo palmare mediano: 17g-187- 19,1-209-(20,50)-21,-22,-23;-24, — Id. dell'interno: 9-11;-12;-133-14,-153-(15,50)- 163-17,9-189-19;-20,-213-22 — Lunghezza della coscia: 104-1203-126-128-129,-1309- 132,-134,-135-137,-(137,50)-138,-139-141;-1423-143,-144;-145,-146:-148-1503-155,- 156-159-161-162-171 — Id. della gamba: 120,-122-124,-1263-1273-128,-129-130-1313- 132-133,-134,-135;-186-137;-138-139-140-141,-144,-145-151-152 — Id. del piede: 212,-214,-216-218,-219,-220-221,-222-224-225,-226-227,-2283-229,-230,-231-232-234,- 235,-236,-238;-2403-242,-2463-248:-(250)-256-288 — Id. del 1° dito: 29-30,-31,-32,- 33,-34;-35;-36,-37-38,-39,-40-41,-423-44-45-47-49 — Id. del 2° dito: 533-54,-55s- 563-57,-58-59,-60;-61-62,-633-64;-653-66;-68;-69,-70-71-72,-73-74-93 — Id. del 3° dito: 77-82-89-90;-93,-94,-952-96,-97,-98,-99,-100,-1013-1023-103,-1043-105,-1063-1075- 108,-109-112-114-115, — Id. del 4° dito: 134-135-138-140-1413-142-1433-144-1453- 1463-1483-149;-150;-151,-152-1533-154,-155;-1563-1573-158-159,-160-162-163-166 — Id. del 5° dito: 69-72-81-84,-85,-863-87,-88:-89,-90,0-91-92;-93;-94-95-96,-973-983-993- 100,-102-104-107 — Lunghezza del tubercolo metatarsale interno: 16,-17,,-181-199- 20,1-:(20,50)-21;-22,-23;-25 — ld. dell’esterno: 63-73-83-10-111-12,g-(12,50)-13,3-14g- 15-173-183-19 — Distanza dall’apice del dito della membrana interdigitale: dall’apice del 1° dito: 25-26-28;-29,-30,-31,-32;-33; -349-35,-36;-(36,50)-37,-383-399,-41-48 — Id. dall’apice del 2° dito: 373-393-403-41-423-435-447-45;-46g-47;-48-50-51,-53-54-55-57 — Id. dall’apice del 3° dito: 55-56,-58-59,-603-61-62;-63;-64;-653-66-67,-68;-69-70,- 713-72-73-74-753-77 — Id. dall’apice del 4° dito: 6;-93-10-11,1-12,3-13g-147-15,-169- 17,-18:-193-20; — Lunghezza della piegatura tarsea: 44-46-47-48,-493-503-515-52,- 53,-54-553-56-(56,50)-57,-584-593-62-63-64-69. Femmine in amore di Givoletto (presso Torino). Lunghezza del capo: 953-963-97-98-1013-103,-1043-1053-1063-(106,50)-107,-108- 1103-1113-112-115-118 -— Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 114-116-117,- 118,-120;-1223-(1283)-127-128,-130,-132 — Id. a metà degli occhi: 90,-92-93-96-973- 30 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 217 98;-99,-1003-101,-1023-104-105-107,-112 — Id. alle narici: 21-233-24,-25;-(25,50)- 26-27;-28-29,-30 — Altezza del capo alla regione timpanica: 429-43g-449-45,-46g-473- 483-(48,50)-49,-50-54-55 — Id. alle narici: 21-23-24,-263-27;-28-29;-30,-31,-33 — Lunghezza obliqua del capo: 95-98-100-101-104-1053-(105,50)-106-1073-108,-109,- 110;-111,-112-114,-1153-116, — Diametro interorbitale: 20-24,-25,-26,-(26,50)-27;- 28-29,-30,-31,-32-33 — Dall’apice del muso alle narici: 3g-57-67-73-(8)-9-10-11-13, — - Dalle narici all'occhio: 20-24;-25;-26-(26,50)-27,-28-29,-30-31-33 — Dall’occhio al timpano: 0,5-13-23-39 — Diametro massimo trasversale dell'occhio: 343-353-36,-3 383-393-40-(40,50)-41,-42-43,-46-47» — Diametro minimo del timpano: 11-12,-1 14-15,-16;-17;-183-19 — Id. massimo: 11-12,-133-15;-(15,50)-16,-17;-184-193-20, — Lungh. delle parotidi: 54-65-66-67-683-693-70-71,-72,-733-74-75-763-773-78-79-80-85-88 — Id. larghezza: 26-273-29,-803-31-32;-(32,50)-33,-34-353-36-37,-38-39, — Lunghezza del braccio: 1113-112-113-1143-115,-116;-118-120,-122,124,-126-127:-(127,50)-128- 129-130-135-140-144 — Id. dell’avambraccio: 78-80-81-82-83,-843-85,-86-873-89,-90,- 91,-92-93-95,-98,-118, — Id. della mano: 823-83-84,-85,-86-87,-89,-90,-91,-92,-93-95- 98-100 — Id. del 1° dito: 29-873-39,-40-41;-42,-433-44-45-463-47,-48,-49-51-52-55, — Id. del 2° dito: 313-32-333-343-351-386;-37,-38-39-40,-41 — Id. del 3° dito: 36-37-39,- 40-413-42-433-44-463-47,-48,-49-50-51-52 — Id. del 4° dito: 26,-27,-29;-30,-31;- (31,50)-323-33,-34,-353-37 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 15- 165-17;-18;-193-(19,50)-20-21;-22-24 — Id. dell’interno: 9-103-11,-123-18;-14-153-16s- 17 — Lunghezza della coscia: 118-1203-124-126-127,-128,-1303-131,-132-1833-134,- (134,50)-135-137-138,-139-140,-148-145-147-150-151 — Id. della gamba: 116-117-118,- 1203-122,-1243-125,-126,-127,-1283-129,-130,-133-134-136 — Id. del piede: 195-199- -; la i (2) Ig 227-228-231 — Id. del 1° dito: 31-33-34-35,-36-37;-38-(38,50)-39,-403-41,-42,-43,-44- 46» — Id. del 2° dito: 46-51-52,-53,-55-56-57-58,-59,-603-61,-633-663-68-69-70. — Id. del 3° dito : 69-79,-87-90,-91,-92;-93,-(93,50)-94,-95-98-100-101-102;-103-105-118 — Id. del 4° dito: 126-127-129;-130-131,-1343-1363-1373-138-139-1403-(141)-143,- 144,-145-150-156 — Id. del 5° dito: 72,-793-80-81-82-83-84,-(84,50)-85;-86-87,-88,- 89,-90,-91-93-95-97 — Lunghezza del tubercolo metatarsale interno: 11-16,;-17,-18;- 19,-20,-213 — Id. dall’esterno: 6-83-93-10,-113-(11,50)-12,-13,-14-15-17 — Distanza dall’apice del dito della membrana interdigitale: dall’apice del 1° dito: 263-28-29,- 30-313-32-333-34-353-36-37,-38 — Id. dall’apice del 2° dito: 39,-40-4Î742,-44,-45-46,- 47,-48,-493-50,-51-53-54,-55 — Id. dall’apice del 3° dito: 55-57-583-60,-61-62-63,-64,- 65-66-(66,50)-67,-68-69-70-72-75,-76-78, — Id. dall’apice del 4° dito: 133-15-163-17- 18,-193-203-213-233-24-25,-27 — Lunghezza della piegatura tarsea: 39-42-44-47-483- 493-503-513-523-(52,50)-533-54-550-56-570-58-61-64-66. Giovani in cui la lunghezza base varia da 30 a 50 millimetri, di Sardegna (Sassari). Lunghezza del capo: 96-103-(104-50)-106-109-111-113-115,-117-123 — Larghezza del capo all'angolo del mascellare: 108-120-(121)-126-128-129-1530-151s- 132-154 — Id. a metà degli occhi: 90-94-98,-100-(102,50)-106-110-111-113-115 — Id. alle narici: 23y-24-253-263-29 — Altezza del capo alla regione timpanica: 42-45-(46,50)- 47-48-49,-50-51, — Id. alle narici: 23-253-26-27-29-30,-31 — Lunghezza obliqua del Serir II. Tom. LIV. c! 918 LORENZO CAMERANO 36 capo: 108-113-115-1173-120-(121)-123,-134— Diametro interorbitale: 26-29-30-31-33,- (33,50)-36-39-41 — Dal muso alle narici: 03-4-8,-17» — Dalle narici all’occhio: 23- 25-26,-27-29-(29,50)-30-33-35-36 — Dall’occhio al timpano: 03-2-33-43-7 — Diametro trasversale dell'occhio: 39-41-45-46-47,-48-49-51-53 — Id. minimo del timpano: 83-9- 10-(11)-123-13-14 — Id. massimo del timpano: 83-9-10-(11)-123-13-14 — Lunghezza delle parotidi: 66-75-78-(80)-82,-83-86,-90-94 — Larghezza id.: 24-34,-(34,50)-36- 39-41,-42-43-45 — Id. del braccio: 108-(119)-1233-125-126-128-129-130 — Id. del- l’avambraccio: 72-86,-(87)-90,-93-94-98-100-102 — Id. della mano: 82-84-86,-90-92- 93-94-98-102 — Id. del 1° dito: 36-39-41-42,-(42,50)-43,-44-49, — Id. del 2° dito: 25-31,-38-34,-36-37-38-41 — Id. del 3° dito: 41-42-433-44-47,-49-50-53— Id. del 4° dito: 24-26-29-30-31,-333-34 — Id. del tubercolo palmare mediano: 12-15-16,-17;-20-21-22 — Id. dell’interno: 6-8;-9-10-14, — Id. della coscia: 120-123-133-135-(135,50)-141- 144-147-151, — Id. della gamba: 120,-123-125-(127)-128-129-130-131-134, — Id. del piede: 192-205-206-(210,50)-211-214-218-222-223-226-229 — Id. del 1° dito del piede: 31-33,-34,-36,-(36,50)-38-39-42 — Id. del 2° dito del piede: 48-49,-50-51,-55-(56,50)- 60-63-65 — Id. del 3° dito del piede: 72-84-86-(89)-90,-92-94-101-102 — Id. del 4° dito: 120-123-129-134-(184,50)-135-141-146-147-149 — Id. del 5° dito: 77-82-84-(89,50)- 90,-93-94,-102 — Id. del tubercolo metatarsale esterno: 12-16,-17,-19-20-21-22, — Id. dell’interno: 7-8,-93-10-(11,50)-16 — Dall’apice del 1° dito alla metà del margine libero della membrana interdigitale: 27-30-31-32-333-84-35-41 — Id. dall’apice del 2° dito: 42-43-46-(48,50)-49,-50,-51-55 — Id. dall’apice del 3° dito: 60-65,-67-68-69- (69,50)-70-72-73-79 — Id. dall’apice del 5° dito: 17-18-21,-(21,50)-22-23,-25,-26 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 42-46,-47-49,-(50,50)-51-53-55-59. Femmine in amore di Sardegna (Sassari). Lunghezza del capo: 98-99-101-102-104-1073-108-109,-112-113;-116-118-126 — Larghezza del capo all'angolo de! mascellare: 120-123-124-125-126-127-1303-131-135, 138-139-141-142 — Id. a metà dell’occhio: 87-89-90-91,-943-95-96-97-99-100-101-102;- (102,50)-107-108-118 — Id. alle narici: 17-22,-233-24;-25-26;-27-30 — Altezza del capo alla regione timpanica : 44-453-46-48-49,-(49,50)-51,-52,-533-543 — Id. alle narici: 22-243-26,-27,-283-30; — Lunghezza obliqua del capo: 98-100-104-109,-111-112-1134- 115,-116-117-1183-120 — Diametro interorbitale : 22-25-263-273-(27,50)-28-293-30,- 31-32-33 — Dal muso alle narici: 0g-2-43-53-83-93-(10)-11-12,-13-18 — Dalle narici all'occhio: 19-22-23-24:-(24,50)-25-263-27,-29,-30 — Dall’occhio al. timpano: 05-2-8- 3,-4-5-(5,50)-9 — Diametro trasversale dell’occhio: 34-353-363-39,-40-(40,50)-413- 42,-43-44-47 — Diametro minimo del timpano: 5-10-11-12,-13;-(13,50)-153-163-17- 18-20-22, — Id. massimo: 7-13;-(14,50)-15;-16-17,-18,-20;-22, — Lungh. delle paro- tidi: 69-75,-77,-78,-80-82-(82,50)-83,-85-86,-87-89-91-93-96 — Largh. id.: 353-362-39»- 40-413-42-433-44,-46-48-49 — Id. del braccio: 109-117-122,-123-124,-(124,50)-126,- 129,-130-131,-132-133-138-140 — Id. dell’avambraccio: 82-83,-86-87,-89,-90-91,-(92)- 933-94-98-99-102 — Id. della mano: 77-82,-83-85-86-(86.50)-87,-89,-90-91,-92-933- 95-96 — Id. del 1° dito: 39-40-413-42,-43;-443-(44,50)-45,-46-48-50 — Id. del 2° dito: 313-32-34-35,-(35,50)-36;-38,-40 — Id. del 3° dito: 30-393-(39,50)-413-42-433-443-45- 46,-47-48-49 — Td. del 4° dito: 26-27-28,-29,-30;-313-32-36, — Id. del tubercolo 37 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 219 palmare mediano: 18-19-20,-(20,50)-21,-22;-23 — Id. dell'interno: 5-9-103-113-1 133-143-163-17 — Id. della coscia: 119-124-130,-132-133-135-136-138,-139-148- 144, 145-147-150-152-153 — Id. della gamba: 112,-117-119-122;-124-(124,50)-129;-1305- 131-1323-134-135-137 — Id. del piede: 202,-203-207-209- -217-219,-221-225-2263-227- 228-230-231-236,-240 — Id. del 1° dito: 313-32,-353-36-(36,50)-39;-40,-413-42 — Id. del 2° dito: 51,-53-56-579-583-(58,50)-59,-60-61-62,-63,-65,-66 — Id. del 3° dito: 82-83-87-89,-92,-93,-95-99-100-101-102-103-104 — Id. del 4° dito: 119-122-132-133- 135-136-137-(137,50)-138-139-140-142-1433-144-147-1483-156 — Id. del 5° dito: 80- 83-85-86,-87,-88-89,-90:-91,-94,-96 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 169-17,- 18-19-20-21,-22-23-24 — Id. dell'esterno: 4,-53-6-7-9;-10-12-13-15-16 — Dall’apice a 1° dito alla metà del margine libero della membrana interdigitale: 26-27-29-30,-31,- 2:-(33,50)-34-35-36,-37-39-41 — Id. dall’apice del 2° dito: 39-409-433-44,-453-46- di 50)-47,-48-50-51-52-54 — Id. dall’apice del 3° dito: 55,-59-61,-62,-653-67,-68,-69- 71-78-83 — Id. dall’apice del 4° dito: 13-153-169-173-183-(18,50)-19-20,-21-23-24, — Lungh. della ripiegatura tarsale: 39-48-49,-51,-52,-533-54-563-54-56,-58-59-60-62-63. Maschi in amore di Sardegna (Sassari). Lunghezza del capo: 92-96-97-100,-101,-1023-1033-1043-1063-107;-108;-109-110;- 1113-112,-113,-1153-1163-122,-124-128 — Larghezza del capo all'angolo del mascel- lare: 111-113,-116,-117-118-1193-120,-122;-123,-124;-125;-126-127;-128,-129,-1303- 1323-133-136-139 — Id. a metà degli occhi: 83-863-87-88;-893-91,-923-93-94,-953-963- 97,-98;-993-1003-101-102;-104-105,-106-111 — Id. alle narici: 19-203-21;-22,-23,- (23,50)-24,-25,5-26;-27-28» — Altezza del capo alla regione timpanica: 39-41-42,- 439-44-464-475-487-4910-507-51-530-54,-55 — Id. alle narici: 18-20-213-22,-23-24,-251y 269-27-285-29,-804 — Lungh. obliqua del capo: 97-993-101,-102-103-1043-1053-1063- 107,-1083-1093-110,-1113-1123-1133-1143-1153-116-117,-122-129-133» — Diametro in- terorbitale: 22,-233-24,-25-26-2711-284-(28,50)-29-30,-31-323-35 — Dall’ apice del muso alle narici: 03-3-4-53-6-73-83-9g-103-113-(11,50)-12,-13,0-143-15g-163-175-183-19-20 — Dalle narici all’occhio: 19-203-21,0-2211-239-(283,50)-24;-25,1-263-27-28 — Dall’occhio al timpano: 035-230-3-4:-53 — Diam. trasversale dell’occhio: 353-36x-377-387-39g-407- (40,50)-41;-42;-433-44,-46 — Diametro minimo del timpano: 10-11-123-13,3-14;1-15io- 16;-17,-18,-19,-22 — Id. massimo: 134-143-15;-163-17,1-1814-193-20;-21, — Lunghezza delle parotidi: 70-71-72-73-74-75,-76,-77,-78;-793-805-810-82;-83y-84-863-883-893-90-91- 92 — Id. larghezza : 32-34;-35-36,-37,-38;-39-40g-417-(41,50)-42;-433-44,-45-463-48-51 Id. del braccio: 115-117-119-122-123,-124,-127;-1283-1293-130-131,-1323-133,-1343- 135-136-1373-138,-139,-141-142-149 — Id. dell’avambraccio: 85-893-91-92-93,-94s- 95:-(95,50)-96;-97,-983-99-100-1013-102;-103-1043-1053-106, — Id. della mano: 75-77- 79-803-81-82-83,-84,-853-86,-87;-88;-893-903-91;-92;-933-943-96,-98-99 — Id. del 1° dito : 32-34,-35-36,-373-383-39;-40,-(40,50)-41-429-433-443-46;-49 — Id. del 2°dito: 25-28-29;- 30;-31-325-83;-343-35;-36,-37-38;-39-40-41 — Id. del 3° dito: 36-37-383-39;-404-417-429- (42,50)-43,-44,0-464-47-48-49, — Id. del 4° dito: 22-24-257-26;-27;-283-293-303-314-32g- 333-353-36 — Id. del tuberc. palmare mediano: 15-173-184-194-20;-2110-2210-2314-244-25» — Id. dell'interno: 3-5-9;-10,-113-(11,50)-12;-133-14,0-15g-16-17-183-20 — Id. della coscia: 120-127-131-134-135,-136-137,-138,-139-140-141-1423-1433-144,-1453-146, - 220) LORENZO CAMERANO 38 147;-148,-149,-150-151,-1523-1543-1553-157-160 — Id. della gamba: 112-116-123-124- 125-126-1273-1283-1293-130; -131,-132;-133;-1343-1354-1363-1373-138,-139,-141-142,- 144-146-147-154 — Id. del piede: 209-212-219-220,-2223-224-226,-227;-228,-230-231,- 232-233:-(233,50)-234, -235-236,- 237-239, -240-241-242, - 243;-245-246-247-248;-250,- 251-253-258 — Id. del 1° dito: 28-29-30-32,-33,-34,-35,-365-37-38,-393-40,-41,-42,- 43,-44,-46, — Id. del 2° dito: 51-52-53-56-57-58,-59,-60;-61,-62,-633-64-65,-66-67;- 683-693-703-713 — Id. del 3° dito: 80-83-84-88:-923-933-954-963-97-98,-99;-100-101;- 102,-103,-104-1054-106,-107,-110,-111-112-115-116 — Id. del 4° dito: 136-137-139,- 1413-142-143,-144,-146,-1473-1483-149,-150;-151,152;--158-1543-155-156-157,-158- * 159-160,-161-162-163-164,-168-170 — Id. del 5° dito: 84-85-87-88,-893-917-92-933-94;- 953-96;-97,-98,-99-100-1013-102,-103-108-112 — Id. del tubercolo metatarseo interno: 15-16-177-18,0-197-203-215-22,:-23, — Id. dell’esterno : 2-41-511-65-83-93-10;-(10,50)-115- 12-13-14,-19 — Dall’apice del 1° dito alla metà del margine libero della membrana interdigitale: 24-25-26, -27,-28-29,-383-31,-32;-(32,50)-33,-34-357-36;-37;-39,-41 — Id. dall’apice del 2° dito : 26-36-37-38-39-403-41-427-43;-44;-453-4610-473-48-493-513-53- 57-58 — Id. dall’apice del 3° dito: 50-55,-57-58-60,-613-62,-63,-64;-65;-66,-67-68:-69;- 703-713-72-73-743-76-78-82,-83,-88 — Id. dall’apice del 4° dito: 5-85-9,-103-114-12;- 13;-14,-(14,50)-15;-16;-17;-18-21-23-24 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 42-44- 46-47,-48-49-50,-517-523-537-54-55;-56,-57-584-593-60,-61-62. Maschi in amore di Messina. Lunghezza del capo: 98-102,-103-106-107-108-113-118 — Larghezza del capo all'angolo del mascellare: 114-117-122,-123-124-126-128-132 — Id. a metà degli occhi: 84-89-93-94,-97-100-101-102 — Id. alle narici: 21-23,-24-25-26,-27» — Altezza del capo alla regione timpanica: 423-44,-46-(46,50)-47-48-51 — Id. alle narici: 21-23,- 24-(24,50)-25-26-27,-28 — Lungh. obliqua id.: 98-102-(106)-107-108,-1125-113-114 — Diametro interorbitale: 21-25-27-28,-29,-33 — Dal muso alle narici: 0-23-33-4-5- (8)-11-14 —- Dalle narici all'occhio: 21-23-25-(25,50)-26-27-28-29,-30 — Dall’occhio al timpano: 0;-23-4-5 -— Diametro trasversale dell'occhio: 34-37,-39-(40,50)-41-47 — Diam. minimo del timpano: 13-14-153-(16)-17-18,-19 — Id. massimo: 14-153-16- (16,50)-17-18,-19, — Lungh. delle parotidi: 75-76-78-79-(82)-84,-87,-89 — Id. lar- ghezza: 30-31-34,-(34,50)-35-37,-39» — Lungh. del braccio: 122-123-126-129-131- (132,50)-136,-142-143 — Id. dell’avambraccio: 87-89-93-94-95-(96,50)-97-98-99-106 — Td. della mano: 85-89,-(91)-92-93-94-95-97 — Id. del 1° dito: 37-39-41-(42)- 44,-47, — Id. del 2° dito: 28-30-31-(31,50)-33-34:-35, — Id. del 3° dito: 37-39-41- 42,-(48)-44-46-48-49 — Id. del 4° dito: 29-313-32,-33-34-35 — Id. del tubercolo pal- mare mediano: 16-17-18-19,-20-21-22-24 — Id. dell’esterno: 3-7-8-9-10-11-12-15 — Id. della coscia: 123-128-131-134-136-(188)-141-143-151-153 — Id. della gamba: 126- 128-129-131;-(134,50)-136,-142-143 — Id. del piede: 222-229-233-234,-236-233- (238,50)-248-249 — Id. del 1° dito: 34-36-37,-39,-(40-50)-42-47 — Id. del 2° dito: 64,-66,-67-68-(70,50)-73-74-77 — Id. del 3° dito: 99-102-103,-107,-(107,50)-108- 112-116 — Id. del 4° dito: 143-150-156-157-159-160-169-171 — Id. del 5° dito: 89- 97-98;-(100,50)-102-106-111-112 — Id. del tubercolo metatarsale interno : 14-18- 19,-21,-22, — Id. esterno: 5-8-9-10;-11-15 — Dall’apice del 1° dito al margine libero 39 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., ECC. 221 della membrana interdigitale: 29-30-33-34,-35-36-37 — Id. dall’apice del 2° dito: 37-39-40-41-42-44-46-47 — Id. dall'apice del 3° dito: 58-59-64-66-(66,50)-68-69-71- 72-75 — Id. dall’apice del 4° dito: 103-14-15-(16,50)-17-18-21,-23 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 47,-49-51-(52,50)-53,-54-57-58. Femmine in amore di Messina. Lunghezza del capo: 101-103-105-(106)-109-110-111 — Largh. del capo all'angolo del mascellare: 122-123-130-(132)-134-142 — Largh. id. a metà degli occhi: 89-92- 94-95,-(100)-111 — Id. alle narici: 22-23-24,-25-26 — Altezza del capo alla regione timpanica: 41-42,-44-45-47 — Id. alle narici: 22-23,-24-26, — Lungh. obliqua del capo: 106-108-109-110-(112,50)-115-119 — Diam. interorbitale: 23-26-28,-32-33 — Dal muso alle narici: 03-23-5-(5,50)-9 — Dalle narici all'occhio: 23-24,-26,-(29,50)-36 — Dall’occhio al timpano: 0-2-33-4 — Diam. trasv. dell’occhio : 34-35-37,-38-40 — Diam. minimo del timpano: 13-14,-(15,50)-16,-18 — Id. massimo: 14,-15-16-(17,50)- 18-21 — Lungh. delle parotidi: 79,-81-84-(84,50)-85-90 — Largh. id.: 32-33-35-(36)- 37-38-40 — Id. del braccio: 110-116-117-119-(120)-122-130 — Id. dell’avambraccio: 81-83-84-(88)-89-90-95 — Id. della mano: 84-85-88-(89,50)-90-95 — Id. del 1° dito: 38-40-42-(43,50)-45-49 — Id. del 2° dito: 31-33-35-(36)-37,-41 — Id. del 3° dito: 42-44-45,-(47)-48-52 — Id. del 4° dito: 28-31-32-(32,50)-33-35-37 — Id. del tubercolo palmare mediano: 18-19-20,-(20,50)-21-23 — Id. dell'interno: 5-8-93-10-11 — Id. della coscia: 126,-127-130-(139,50)-147-153 — Id. della gamba: 112-(122,50)-126-127- 130-132-133 — Id. del piede: 201-215-(217,50)-220-225-233-234 — Id. del 1° dito: 35-36-37-(38,50)-40,-42 — Id. del 2° dito: 56-(60,50)-61-62,-63-64-65 — Id. del 3° dito: 89-92-95-(97,50)-100-101-106 — Id. del 4° dito: 131-140-142-(143,50)-150-153-156 — Id. del 5° dito: 84-88-(92,50)-93-95-100-101 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 16-18-19-20-21-(22,50)-29 — Id. dell'esterno: 5-93-(10)-14-15 — Dall’apice del 1° dito alla metà del margine libero della membrana interdigitale: 26-28-(30,50)-32-33-35 -— Id. dall’apice del 2° dito: 35-37-41-(41,50)-43-45-48 — Id. dall’apice del 3° dito: 51-57-61-(68,50)-65-69-76 — Id. dall’apice del 4° dito: 13-14-16-(16,50)-19-20 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 51-52-55-(56)-57-58-61. Maschi in amore di Milazzo. Lunghezza del capo: 107-110-(111,50)-113-116 — Larghezza del capo all'angolo del mascellare: 126-129-130-134 — Id. a metà degli occhi: 92-93-(96)-98-100 — Id. alle narici: 24-25-(27)-29-30 — Altezza del capo alla regione timpanica:: 39-(44,50)- 46-50 — Id. alle narici: 24-26,-28 — Lungh. obliqua del capo: 107-110-(112,50)- 115-118 — Diametro interorbitale: 26-(27,50)-28-29, — Dall’apice del muso alle narici: 2-3-(7,50)-12-13 — Dalle narici all'occhio: 24-25-26, — Dall'occhio al tim- pano: 0-2-3 — Diametro trasv. dell'occhio: 35-(38)-39-41, — Id. del timpano d. mi- nimo: 153-(16)-17 — Id. massimo: 153-(16)-17 — Lunghezza delle parotidi: 72-73- (78,50)-81-85 — Id. larghezza: 34-35-36-38 — Id. del braccio: 122-125-(125,50)- 128-129 — Id. dell’avambraccio : 87-93-(93,50)-98-100 — Id. della mano: 873-(92,50)- 95-98 — Id. del 1° dito: 38-39-40-(42)-46 — Id. del 2° dito: 29-30-(32,50)-34-36 222 LORENZO CAMERANO 40 — Id. del 3° dito: 40-41-(42,50)-43-45 — Id. del 4° dito: 20-(24,50)-25-26,-29 — Id. del tubercolo palmare mediano: 19-(22,50)-23-25-26 — Id. dell'interno: 9-10,- (12)-15 — Id. della coscia: 126-128-(137,50)-140-149 — Id. della gamba: 122-128- (183)-135-144 — Id. del piede: 209-214-(222,50)-225-236 —- id. del 1° dito: 34-36- (37,50)-40-41 — Id. del 2° dito: 58-63-(64)-67-70 — Id. del 8° dito: 93-102-(103)- 110-111 — Id. del 4° dito: 145-146-(152,50)-159-160 — Id. del 5° dito : 87-92-(93,50)- 98-100 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 19-20-21 — Id. dell’esterno: 53-(7)-9 — Distanza dall’apice del 1° dito alla metà del margine libero della membrana inter- digitale: 29-31-(32,50)-35-36 — Id. dall’apice del 2° dito: 34-(40)-41-43-46 — Id. dal- l’apice del 3° dito: 58-(64)-67-70, — Id. dall’apice del 4° dito: 5-(8,50)-10,-12 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 52-53-(56)-60,. Femmine in amore di Milazzo. Lunghezza del capo: 101-102-106-108-110,-115 — Larghezza del capo all’angolo del mascellare: 127,-129,-130,-(131,50)-136 — Id. a metà degli occhi: 89-90-93-(95)- 96-99-101, — Id. alle narici: 22-24-25,-26,-50 — Altezza del capo alla regione tim- panica: 40-42-43-44-(45,50)-47-48-51 — Id. alle narici: 22-24-25,-26;3 — Lunghezza obliqua del capo: 107-110-111-112-113,-(113,50)-120 — Diametro interorbitale: 263- 27-(28)-29-30; — Dall’apice del muso alle narici: 0-2-33-10 — Dalle narici all’occhio: 22-25,-24-25-26-30 — Dall’occhio al timpano: 03-23-33 — Diametro trasv. dell’occhio: 36,-38-(40,50)-41-42,-45 — Diam. minimo del timpano: 14-153-16,-18 — Id. mas- simo: 14-153-16,-18 — Lunghezza delle parotidi: 73-79-80,-81-(83)-86-89 — Lar- ghezza id.: 31-35-(36,50)-37-40-41-42 — Lunghezza del braccio: 115-118-120-122,- 125 — Id. dell’avambraccio: 75-80-(81)-85-86,-87 — Id. della mano: 63-77-80-853- 86-87-91 — Id. del 1° dito: 36-42-45-46,-48, — Id. del 2° dito: 31-34-35,-36-37, — Id. del 3° dito: 38-40-41-42-(42,50)-46-47 — Id. del 4° dito: 25-26-27-(28,50)- 29-30-31-32 — Id. del tubercolo palmare mediano: 16-19-21-22-253-26 — Id. dell’in- | terno: 53-8-9-10,-11 — Id. della coscia: 115-125-126-(127)-154-136-138-139 — Id. della gamba: 102-(118,50)-115-122,-123-125, — Id. del piede: 191-208-(218)-215-217-219- 221-235 — Id, del 1° dito: 32-36-(37)-38-40-41-42 — Id. del 2° dito: 58-62-(68)-65,-68 — Id. del 3° dito: 90-93,-95-(95,50)-99-101 — Id. del 4° dito: 129-132-135-136- (136,50)-144, — Id. del 5° dito: 89-90,-(92,50)-93,-96 — Id. del tubercolo meta- tarsale interno: 16-(18,50)-19,-20-21 — Id. dell’esterno: 53-(8)-9-10-11 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 27- 31,-32-34-35 — Id. dall’apice del 2° dito: 40-41-(41,50)-42-43-45, — Id. dall’apice del 3° dito: 62,-63-65-67-68 — Id. dall’apice del 4° dito: 11-14-15-16-19-21 — Lun- ghezza della ripiegatura tarsea: 42-49-51-53,-57-60. Giovani (lunghezza base da mill. 11 a mill. 20) del contorno di Beyruth in Siria. Lunghezza del capo: 131;-133-(134,50)-135-138 — Larghezza del capo all'angolo del mascellare: 123-124-(128)-131;-133 — Id. del capo a metà degli occhi: 984-(106)- 113-114 — Id. del capo alle narici: 33,-(33,50)-34, — Diametro interorbitale: 38- 45-(47,50)-55-57; — Dall’apice del muso alle narici: 03-5-6 — Altezza del capo alla 41 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 223 regione timpanica: 45-(55)-57-65; — Id. alle narici: 29,-333-(383,50)-38 — Lunghezza obliqua del capo (dall’apice del muso all'angolo posteriore del mascellare superiore): 133-135:-(140,50)-148; — Dalle narici all'occhio: 38-(48,50)-45-493 — Diametro trasversale dell'occhio: 56-(56,50)-57;3 — Lunghezza del braccio: 98;-(106)-111-113- 114 — Id. dell’avambraccio: 73,-(78)-81-83 — Id. della mano: 73-83-(85,50)-95-98 — Id. della coscia: 124-133-(136)-138-148, — Id. della gamba: 111-113-(122)-131,-133 — Id. del piede: 183-191-(198)-208-213; — Esemplari con 19 mill. di lungh. base. Lungh. del 1° dito della mano: 38 — Id. del 2° dito: 34 — Id. del 3° dito: 57 — Id. del 4° dito: 38 — Id. del tubercolo palmare mediano: 19 — Id. del tubercolo palmare alla base del dito interno: 19 — Id. del 1° dito del piede: 38 — Id. del 2° dito: 57 — Id. del 3° dito: 95 — Id. del 4° dito: 133 — Id. del 5° dito: 95 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 19 — Id. del tubercolo metatarsale esterno: 8 — Altezza delle membrane interdigitali del piede: fra il 1° e 2° dito: 38 — Id. fra il 2° e il 3° dito: 57 — Id. fra il 3° e il 4° dito: 76 — Id. fra il 4° e il 5° dito: 28 — Lungh. della piegatura cutanea tarsea interna: 57. Maschi in amore di Siria. Lunghezza del capo: 96-97-98-101-102,-104-106-107-(108)-111-113-116-118-120, — Larghezza del capo all'angolo del mascellare: 113-115,-116,-120,-(121)-122;-123- 126-127-128-129 — Id. a metà degli occhi: 83-863-93-94-95,-963-97,-98-100-101-108-111 — Id. alle narici: 21-223-233-24,-25-(25,50)-26-28,-30 — Altezza del capo alla regione timpanica: 37-38,-39-41-42,-(42,50)-43-44,-45,-48 — Id. alle narici: 19-22,-23-24;- 25-26,-27-28,-31 — Lungh. obliqua del capo: 102-1063-1073-108-1093-1103-1113-113- 118-120 — Diametro interorbitale: 22-23-24,-25-26,-27-28,-29,-30, — Distanza dal muso alle narici: 33-6-9-(10)-12,-13-14;-15-163-17 — Id. dalle narici all’oechio: 19- 22-23,-243-(24,50)-25-26,-27-28-29,-30, — Dall’occhio al timpano: 0,;-2;-33-4 — Diam. trasversale dell’occhio: 36-37-38,-39;-40-42,-43-44 — Diam. minimo del timpano: 123-13-143-(14,50)-15-16,-173 — Id. massimo: 12-13-14-153-16,-17,-19-20 — Lungh. delle parotidi: 62-65-72.-(73,50)-74-75-76-78,-79-82,-83-84-85, — Largh. delle parotidi: 29-30-31,-323-34;-36,-(36,50)-37-38-39-44 — Lungh. del braccio: 118-120,-123-124- 1253-126,-127,-(128)-131-132-137-138 — Id. dell’avambraccio: 84-89,-90-92,-93-96,- 100-101,-102, — Id. della mano: 833-84-85-86-87-89,-90,-91-(92,50)-93-95,-96-102 — Id. del 1° dito: 30-34,-36-87,-38-39,-42,-44 — Id. del 2° dito: 25-28,-29,-313-(31,50)- 323-33-34,-36-38 — Id. del 3° dito: 36-38,-39,-42,-43,-44-45-48 — Id. del 4° dito: 243-25-26-27-28;-(28,50)-29,-30-32-33 — Lungh. del tubercolo palmare mediano : 193- 21-22,-(22,50)-23-24,-26 — Id. del tubercolo palmare interno: 10-143-15-163-(16,50)- 173-19-21,-22-23 — Id. della coscia: 133,-134-135-136-138-139-141-142-144-(145,50)- 146,-148-149-152-158 — Id. della gamba: 124-125-130-1313-132-133»-(134)-135-138- 139-141-142-144 — Id. del piede: 209-217-222;-225-226-227-228-229-230-231-233,- 242-245 — Id. del 1° dito: 34-35-36,-37,-383-39-42-43,-44, — Id. del 2° dito: 58- 603-62:-63,-64-(65,50)-66,-68-70-71-72-73 — Id. del 3° dito: 93,-95-96-101-(101,50)- 102:-1043-106-107;-109-110 — Id. del 4° dito: 133-139-141-143-146-147-148-145,- 150-151-152-153-156-158-163 — Id. del 5° dito: 89-94-95-96-97,-98-99-(99,50)-101,- 102,-109-110 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 14-15-17-18-19,-20-213-22- 224 LORENZO CAMERANO 492 23,-24, — Id. dell'esterno: 59-6-73-83-93-(9,50)-11,-12,-14 — Dall’apice del 1° dito alla metà del margine libero della membrana interdigitale: 28-30-31,-323-383-34,-35- 36-37-38 — Id. dall’apice del 2° dito: 31-39-423-44-45-46-483-49:-52-53 — Id. dal- l’apice del 3° dito: 55-60-62,-633-(64,50)-66,-68-69-72,-74 — Id. dall’apice del 4° dito: 9-12-13-16-17,-18-19,-22-23-25 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 47-50-51-533-55- 56-(56,50)-58-59-60-62,-63-66. Femmine in amore di Stria. Lunghezza del capo: 87-95-97-(98,50)-99-100-101-103-109-110 — Larghezza del capo all’angolo del mascellare: 92-109-111-116-12533-1253-126 — Id. a metà degli occhi: 82-87,-(89,50)-90-93-94-95-96-97 — Id. alle narici: 20-21-22-(23)-24-263 — Altezza del capo alla regione timpanica: 37-39-40-41-42-(42,50)-43,-46 — Id. alle narici: 21,-22-24:-(25)-26,-29 — Lunghezza obliqua del capo: 90-95-99-100-101-103- 104-105-112 — Diametro interorbitale: 19-22-(22,50)-24-26, — Distanza dal muso alle narici: 03-1-23-3-5-(6,50)-12-17 — Id. dalle narici all'occhio: 19-22-(22,50)-24,-26, — ld. dall'occhio al timpano: 04-2-33-4-(4,50)-7 — Diametro trasversale dell’occhio : 34-35,-36-37-38-39,-42 — Id. minimo del timpano: 12-13,-(14,50)-159-169-17, — Id. massimo: 12-15-16-17,-18, — Lungh. delle parotidi: 69-72-73-743-75-(76)-82-83 — Largh. delle parotidi: 30,-31,52-35-(38,50)-13,-46 — Lungh. del braccio: 104,- 110-111-113-(118,50)-116-120-123 — Id. dell’avambraccio: 74-75-78-79-(81)-82,-84- 87-88 — Id. della mano: 75-77-78-82-87,-88-89 — Id. del 1° dito: 34-35-36-38-39,- 41-42-44 — Id. del 2° dito: 26;-28-30,-(31)-32-34-36 —. Id. del 3° dito: 32-33-34- 36-37-(38)-39-42-43-44 — Id. del 4° dito: 26;-(27,50)-28-29 — Lungh. del tubercolo palmare mediano: 17,-193-(19,50)-20-21,-22, — Id. dell'interno: 7-93-12-(12,50)-13- 15-16-17-18 — Id. della coscia: 117-120-123-126-130-(131,50)-132-139-146 — Id. della gamba : 111-112-113-114-120-125-126-130-139 — Id. del piede: 178-191,-198-(198,50)- 202-206-211-217-219 — Id. del 1° dito: 31-34,-35»-(36,50)-37-38,-42 — Id. del 2° dito: 56,-57-58-59-61,-(62)-65-68 — Id. del 3° dito: 86-87,-90-91-(98)-94-95-97-100. — Id. del 4° dito: 106-120-124-126,-127-129-143-(147,50)-189 — Id. del 5° dito: 79- 82,-86-87,-(89)-91-92-99 — Id. del tubercolo metatarseo interno: 173-18-19-203-22-23 — Id. dell’esterno: 8-9,-10-(11)-13-14 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 26,-30-31-32-34 — Id. dall’apice del 2° dito: 39-41-43,-(43,50)-44-47-48 — Id. dall’apice del 3° dito: 52-56-59-60-63-65- 66-68 — Id. dall’apice del 4° dito: 13-17-(17,50)-18-19-20-21,-22 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 35-(46)-47-48-52,-53-57.. Individui giovani di Siria in cui la lunghezza base varia da mill. 80 a 50. Lunghezza del capo: 81-(98)-103-108-109-110,-111-114-115 — Larghezza del capo all'angolo del mascellare: 122,-123,-126,-(127,50)-129-133 — Id. a metà degli occhi: 81-95-103-104-105-110-(114)-115-118-147 — Id.alle narici: 24-25,-26,-27-(27,50)-31 — Altezza del capo alla regione timpanica: 40-41,-43-(44)-45,-47-48, — Id. alle narici: 24,-259-263-27,-(27,50)-31 — Lunghezza obliqua del capo: 109-112-114-117- (117,50)-118-120-123,-126 — Diametro interorbitale: 25-28-30-(30,50)-313-32-33-36 43 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO vIrIDIS Laur., eco. 225 ” — Id. dal muso alle narici: 3-4,-(5,50)-55-8» — Id. dalle narici all’ occhio: 25-27 28-(29)-30-313-33 — Id. dall'occhio al timpano: 2-4-(4,50)-5-7 — Diametro trasver- sale dell’occhio: 413-43-443-45-47-(47,50)-49-54 — Id. minimo del timpano: 8-9-12- 133-14,-16, — Id. massimo: 9-12-(12,50)-13,-14-16, — Lunghezza delle parotidi: 65-75-77-79-(79,50)-80-81,-90-94 — Id. larghezza: 33-34-35-37-40-41-(43,50)-45-47-54 — Lunghezza del braccio: 106-108-114-115,-116-(117)-118-125-128 — Id. dell’avam- braccio: 70-(80)-81-82-86,-88,-90, — Id. della mano: 70-81-82-(84)-86,-88-90-95-98 — Id. del 1° dito: 33-40-415-43-44-45-47-49 — Id. del 2° dito: 27-29-32-34,-35-36- 39-41 — Id. del 3° dito: 40-41-43-44-(44,50)-45,-47-48-49 — Id. del 4° dito: 24-25- 26,-27,-31-(32,50)-34-41 — Id. del tubercolo palmare mediano: 16-173-18-20, — Id. dell'interno: 8-9,-12,-(12,50)-14-16-17, — Lunghezza della coscia: 118-129-131- 132-(133,50)-135-136-144-147-149 — Id. della gamba: 1233-128-129,-131-133-135, — Id. del piede: 184-197-205-(205,50)-206-207-210-216,-221-227 — Id. del 1° dito: 33-34,-35-363-(37)-39-41 — Id. del 2° dito : 49-51-53-54,-56-59-(59,50)-65-70 — Id. del 3° dito: 81-82-86-88,-90-(90,50)-96-106-110 — Id. del 4° dito: 126-129-131-132-135- (137,50)-143-144-147-149 — Id. del 5° dito: 81-82-86-88,-(89,50)-90-94-95-98 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 14-17-18:-20, — Id. dell’esterno: 43-93-(10)- 13-14-16 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 25-26,-273-(31)-32-35-37 — Id. dall’apice del 2° dito: 35-41-(43)-45,- 48-49-51 — Id. dall’apice del 3° dito: 53-56-60-(62,50)-65,-68-70-72, — Id. dal- l’apice del 4° dito: 163-183-(21)-24-25-26 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 44-48-51- 543-(54,50)-55-56-65. Maschi in amore di Corfù. Lunghezza del capo: 92-97-983-1013-(101,50)-102-104,-105,-106-107-108,-109,- 110-111 — Larghezza del capo all'angolo del mascellare: 115-1163-117-118-120,-122- 124,-126;-(126,50)-127-134-138 — Id. a metà degli occhi: 92-94-96-97-98,-99-100- (101)-102,-104,-1053-106-107-108-110 — Id. alle narici: 23-24-253-263-(26,50)-27,0- 29,-30 — Altezza del capo alla regione timpanica: 38-393-403-41;-42;-(42,50)-43,- 44,-45-47 — Id. alle narici: 233-243-253-26-(26;50)-27;-28,-29-30, — Lungh. obliqua del capo: 104,-105-107,-108-109,-1105-(113)-114,-115-116-1183-120-122 — Diametro interorbitale: 23-24-253-26,-27,-(27,50)-28,-29-30,-31-32 — Id. dall’apice del muso alle narici: 63-83-93-103-(10,50)-11;-12;-15 — Id. dalle narici all'occhio: 23-243-263- 27,-28,-293-305-31, — Id. dall'occhio al timpano: 03-39 — Diam. trasv. dell'occhio: 80-34-35-36-(36,50)-38,-39-40-413-423-43 — Id. minimo del timpano: 11-12-15,-16;- 17-185-19 — Id. massimo del timpano: 11-16-16,-(16,50)-17,-18,-19-22 -- Lunghezza delle parotidi: 68-71-72,-733-74-76,-78,-79-813-82,-83,-84 — Id. larghezza: 23-26,-27- 28-293-303-(30,50)-31-32-33,-343-35-36,-38 — Lunghezza del braccio: 102-110-113- 1163-118-120;-(120,50)-122-124-1263-128-129,-130-139 — Id. dell’avambraceio: 81- 85-873-90,-(91,50)-93-96-97,-98,-99-100-101-102 — Id. della mano: 84-86-87,-89- 90-92-983-96,-97-101-102, — Id. del 1° dito: 34-353-36-37-38;-39,-(39,50)-41-42,-44,- 45, — Id. del 2° dito: 30-31-323-33-343-350-86;-38,-39-42, — Id. del 3° dito: 39-40- 43-44,-463-(46,50)-47,-48,-49,-513-54 — Id. del 4° dito: 26-273-29,-30-31-323-333-34»- 36; — Id. del tubercolo palmare mediano: 164-17;-18-193-(19,50)-21-23, — Id. del- Serie II. Tom. LIV. p' 226 LORENZO CAMERANO 44. l'interno: 11-12,-13-143-(14,50)-15;-163-17,-18 — Id. della coscia: 131-137-139-141,- 144-1453-146,-(146,50)-148-150,-153-1553-156-158-159-162 — Id. della gamba: 123- 124-130-131,-132-134,-(134,50)-135-137-1383-139,-140-142-144,-146 — Id. del piede: 214-215-221-224-228,-230-232-234-235-238,-(239)-240-242,-245-246:-250-264 — Idem del 1° dito: 333-353-36-37-38,-39,-40-41,-42,-47 — Id. del 2° dito: 59,-60-61-62-63s- 64-66;-69-70,-723-73, — Id. del 3° dito: 91-96-97-98,-99-101-103-105-(105,50)-106- 108,-109-110,-111-113-120 — Id. del 4° dito: 134-141,-144-145-149-150-151,-152- 153;-156-157-159-161-163-168; — Id. del 5° dito: 90-91-93;-96,-97-98,-99-100-101- 102-103-104-105-108; — Id. del tubercolo metatarsale interno: 15-16,-17,-18,-19- 21-23 — Id. esterno: 83-9-103-113-12;-14; — Id. dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 27-28-29-32-33,-34:-(34,50)-35,-36-37,- 38-39-42 — Id. dall’apice del 2° dito: 39-41,-42,-43-44,-45-46,-47-48-49,-50-53 — Id. dall’apice del 3° dito: 54-60-62,-633-643-66,-67-70-71,-72-74-78, — Id. dall’apice del 4° dito: 10-11-123-14-15-16-17,-18, — Lungh. della ripiegatura tarsea: 45-48-49- 50-51-52,-53-(53,50)-543-55-07-58-59-603-62. Femmine in amore di Corfù. Lunghezza del capo: 86-97,-982-99:-(100,50)-101,-103-104-1053-1063-107-108- 109,-110-111,-115 — Larghezza del capo all'angolo del mascellare: 108-110-112-114- 117-118;-119-120;-122,-(122,50)-124,-126-128-129,-136-137 — Id. a metà degli occhi: 86-87-91-92-93-94,-95-97-98,-(100,50)-101-102,-1033-1043-105-106-111-115 — Idem alle narici: 20-23,-24-253-26;-27,-283-29,-30 — Altezza del capo alla regione timpa- nica: 35-37-39-40,-41;-42-43,-443-463-47,-48-51 — Id. alle narici: 21-235-243-25;-264- 27-28-29, — Id. lunghezza obliqua: 105-108,-1093-110-1113-1123-114-1153-116-118,- 122,-(124,50)-131-144 — Diam. interorbitale: 22-23,-243-253-263-273-28,-29;-35-36- — Id. dall’apice del muso alle narici: 0-3-6;-73-8-(8,50)-9-10,-113-123-13-14, — Idem dalle narici all'occhio: 23,-243-25;-263-273-28-29; — Id. dall'occhio al timpano: 0,g- 2,-3;-4 — Diam. trasversale dell’ occhio: 34-353-37,-383-39-403-(40,50)-41,-42,-483,- 45-46-47 — Id. minimo del timpano: 133-145-153-163-17-183-193-21 — Id. massimo: 133-14,-15,-16-17;-18,-19;-20-21 — Lungh. delle parotidi: 69-70-71-753-76,-77-793-803- (80,50)-81;-82-85,-86,-88-92 — Id. larghezza: 23,-27-28-29;-30;-313-38,-34-353-37- 38-41-43 — Id. del braccio: 97-102-104;-1059-107-109,-110-111,-1123-115,-117-117- 118,-124-125 — Id. dell’avambraccio: 74-813-843-85,-87-(87,50)-883-89,-90-92;-93- 94,-101, — Id. della mano: 843-859-869-873-88-895-90,-(90,50)-92;-93-94,-97 — Idem del 1° dito: 35-393-40-41,-423-(42,50)-433-44-45,-46;-47-50, — Id. del 2° dito : 27-30,- 32,-33-34;-353-36,-37,-39,-413 — Id. del 3° dito: 43-44,-45-46,1-47,-48,-49-50-51, — Id. del 4° dito: 28-29-30,-31,-32,-33,-341-353-(85,50)-37,-39-43 — Id. del tubercolo palmare mediano: 14,-15-16-17;-(17,50)-18,-19;-20;-21 — Id. dell'interno: 63-75-94 10;-11;-12,-13-14, — Id. della coscia: 125-128-129-131,-132-133-134-1363-137-138,- 139-143,-(144,50)-144,-145,-148-149,-151-152-164 — Id. della gamba: 115-118-122,- 125-126:-(126,50)-128,-129,-130,-1313-132-133-134-136-137,-138 — Id. del piede : 197- 212-214-215,-216,-218,-219-(219,50)-223-224,-228-229-230-231,-236-242 — Id. del 1° dito: 31-32-333-34,-35,-362-37,-39:-(39,50)-40,-41-44-48 — Id. del 2° dito: 50-52,- 53-54-55-56-57-58,-59.-(60)-61;-62-63-64-65,-66-69-70, — Id. del 3° dito: 84-87-88- 45 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO vIRIDIS Laur., Ecc. 227 90-92,-93-94,-95-96,-97,-983-99,-100-101-103-104-107-108 — Id. del 4° dito: 132-133- 134,-137-138-139-140-141-1423-143;-1443-145-(145,50)-151-155-156-159 — Id. del 5° dito: 84,-869-87-90,-923-94-95-(95,50)-97-98,-99-101-104-107 — Id. del tubercolo me- tatarsale interno: 14,-159-16-17,-18,-19,-20,-21-22 — Id. dell’esterno: 63-73-97-10;- 11,-12,-13-14 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della mem- brana interdigitale: 25-29-30,-313-32,-33,-(33,50)-34;-353-36,-37-42 — Id. dall’apice del 2° dito: 35-41-42-433-(483,50)-44-46,-473-48;-50-51-52, — Id. dall’apice del 3° dito: 58-613-633-64-65-(66,50)-67-68,-69;-70-71,-723-75 — Id. dal 4° dito: 143-153-16-17y- 183-19,-20;(20,50)-21,-22,-23-27 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 469-47-50-519- 527-533-(58,50)-54-553-560-58-59,-61,. Maschi in amore di Candia. Lunghezza del capo: 95-99-(100,50) — Larghezza del capo all'angolo del ma- scellare: 113-117-(117,50)-118-122 — Id. a metà degli occhi: 93-94-95-(97)-101 — Id. alle narici: 24-25-26 — Id. Altezza alla regione timpanica: 42-44-46, — Idem alle narici: 24-25-26 — Lungh. obliqua del capo: 101-104-(106,50)-108-112 — Dia- metro interorbitale: 25,-(25,50)-26, — Id. dal muso alle narici: 7-10-(11)-13-15 — Id. dalle narici all'occhio: 21-(23,50)-25,-26 — Id. dall'occhio al timpano: 34 — Diametro trasv. dell'occhio: 37-39-41, — Diametro minimo del timpano: 3-(11,50)- 15-20 — Id. massimo: 18-19-20-(21,50)-25 — Lunghezza delle parotidi: 69-(73)- 74-76-77 — Larghezza id.: 29-31-(82)-33-35 — Lunghezza del braccio: 123-127-128- (130)-137 — Id. dell’avambraccio: 95-98-99-101 — Id. della mano: 88-90-91-(98)-98 — Id. del 1° dito: 37-39-41, — Id. del 2° dito: 30-31-32-(32,50)-35 — Id. del 3° dito: 37-39-41, — Id. del 4° dito: 25-26-(30)-31-35 — Id. del tubercolo palmare mediano: 20-21,-(22.50)-25 — Id. dell’interno: 19-20-21 — Lunghezza della coscia: 148-149-(150,50)-153 — Id. della gamba: 134-138-(141)-148 — Id. del piede: 236- 237-239-(239,50)-243 — Id. del 1° dito: 35-(39,50)-40-44 — Id. del 2° dito: 59- (65,50)-66-69-72 — Id. del 3° dito: 94-(106,50)-107-111-113 — Id. del 4° dito: 148-152-153-(158,50)-159 — Id. del 5° dito: 89-96-101-103 — Lungh. del tuber- colo tarsale interno: 15-16-(17,50)-20 — Id. dell'esterno: 53-(9)-13 — Distanza dal- l'apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 33-36- 37-41 — Id. dall’apice del 2° dito: 39-(45)-46-48-51 — Id. dall’apice del 3° dito: 62- 63-64-66 — Id. dall’apice del 4° dito: 5-10-(11,50)-16-18 — Lunghezza della ripie- gatura tarsea: 58-59-61-62. Femmine in amore dell’isola di Candia. Lunghezza del capo: 93-95-99,-100,-(100,50)-1013-103-105-108 — Larghezza del capo all’angolo del mascellare: 112-113-114-115-1169-(117,50)-118-119-122,-123- — Id. a metà degli occhi: 903-91-93-95-98,-99-100, — Id. alle narici: 213-22-23-24y- (24,50)-25,-26-28 — Altezza del capo alla regione timpanica: 40-413-429-489-443-46, — Id. alle narici: 22,-24-253-263-28, — Lunghezza obliqua del capo: 100-101,-102- 104,-108,-116 — Diametro interorbitale: 24-25,-269-27-(27,50)-29-30-31 — Id. dal muso alle narici: 03-2-3-4-53-(8)-10-11-14 — Id. dalle narici all'occhio : 22-243-253-263- 27-28, — Id. dall'occhio al timpano: 29-3,-4-53-8 — Id. trasversale dell'occhio: 38s- 228 LORENZO CAMERANO 46 40-41,-42-44, — Id. minimo del timpano: 10-133-(18,50)-14-15-16-173 — Id. mas- simo: 13,-153-16-173-19-20-21 — Lunghezza delle parotidi: 71,-72-74-75-(76,50)-77- 78-79-81,-82 — Largh. id.: 25-27-29-31-32-33-35-36-38-39-41 — Lungh. del braccio: 111-115-116-118,-119,-(119,50)-122,-123-128 — Id. dell’avambraccio: 84,-85-86-89- (80,50)-90-92-93-94-95, — Id. della mano: 82-83-84-85,-86-87-89,-90 — Id. del 1° dito: 35-37-39:-(39,50)-40-413-43,-44 — Id. del 2° dito: 31-32-33;-35-36,-39 — Id. del 3° dito: 39-40-433-44-(45)-46,-48-50-51 — Id. del 4° dito: 283-30-31,-(82)-333- 35-36 — Diam. mass. tubercolo palmare mediano: 16-183-19-20;-21,-22-24 — Id. del- l’interno: 83-9-103-113-(13)-14-16-18 — Lungh. della coscia: 122-128,-129-(180,50)-132- 133-134-137-138,-139 — Id. della gamba: 1183-119-120-122-123,-124-127,-(128,50)- 139 — Id. del piede: 195-202-204-(205,50)-208-211-212-213,-216; — Id. del 1° dito: 334-35-362-(37,50)-39:-42 — Id. del 2° dito: 51-52-54-55-57-58-(58,50)-59-61-62-63-66 — Id. del 3° dito: 33-85-89-91-(91,50)-933-94-95,-100 — Id. del 4° dito: 123-126- 128,-129-133,-(133,50)-134-138-139-144 — Id. del 5° dito: 81,-83-84-85-87,-(87,50)- 89,-90-94 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 15-16-17,-18-19-20-21,-22-25 — Id. esterno: 53-83-9-10-11,-12-15-17 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdig.: 26-28-29:-30-(30,50)-333-34-35 — Id. dal- l'apice del 2° dito: 38-39-413-43-44,-46-(46,50)-55 — Id. dall’apice del 3° dito: 51- 56-57-58-(58,50)-59-62,-66; — Id. dall’apice del 4° dito: 10-12-14-153-16-17-18-19-22 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 43-46-48-49-50-51,-54-55,-57. Maschi in amore di Ancona. Lunghezza del capo: 104-106-(109,50)-112-113-115 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 116-118-120-(121)-124-126 — Id. a metà degli occhi: 92-93- 94-95-(105)-118 — Id. alle narici: 23-24-(24,50)-25,-26 — Altezza del capo a metà della regione timpanica: 42-44-(45)-46-47-48 — Id. alle narici: 23,-24-(25)-27, — Lungh. obliqua del capo dall'angolo mascellare al muso: 111-113-(114,50)-115,-118 -— Diametro interorbitale: 22-23-24-26, — Distanza dall’apice del muso alle na- rici: 11,-(14,50)-16-17-18 — Id. dalle narici all'occhio: 21-23-(23,50)-24-25-26 — Id. dall'occhio al timpano: 03-3-66 — Diametro massimo trasversale dell'occhio: 39-41,-(41,50)-42-44 — Id. minimo del timpano : 113-12-(15)-16-19 — Id. mas- simo: 113-14-(15)-16-19 — Lungh. massima delle parotidi: 79-82-(84)-85-86-89 — Larghezza id.: 38-39-41-42-44 — Lunghezza del braccio: 126-129-130-137-148 — Id. dell’avambraccio: 87-(94)-96-97-100-101 — Id. della mano: 83-87-90-96-97 — Id. del 1° dito: 35-(37,50)-38-39-40, — Id. del 2° dito: 30-33-34-35-(36)-42 — Id. del 3° dito: 41-42-44-(44,50)-46-48 — Id. del 4° dito: 24-26-(26,50)-27-28-29 — Dia- metro massimo del tubercolo palmare mediano: 18-19-20-(20,50)-21-23 — Id. del- l'interno: 8-11-12-(12,50)-16-17 — Lungh. della coscia: 120-129-(134)-136-138-148 — Id. della gamba: 126-129-(132)-136-138, — Id. del piede: 224,-(233)-235-238-242 — Id. del 1° dito: 33-(39)-41-42-43-45 — Id. del 2° dito: 59-60-(64)-69,-73 — Id. del 3° dito : 89-93-(101)-109-111-113 — Id. del 4° dito: 142-148-(153)-155-159-164 — Id. del 5° dito: 89-97-98-106-107 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 27-30- 32-34-37 — Id. dell’esterno: 16-17-18-(19,50)-23 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 27-30-32-34-37 — Id. dal- 47 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., ECC. 229 l'apice del 2° dito: 41-42-44-46-(48,50)-56 — Id. dall’apice del 8° dito: 59-60-(66)- 69-73 — Id. dall’apice del 4° dito : 11-16,-(17)-21-23 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 49-51-53-(56)-58-63. Maschi in amore del Lago Trasimeno. Lunghezza del capo: 108-1113-(112)-113,-115,-116 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 116-118-120-(125)-126-128-132,-133-134 — Id. a metà degli occhi: 89-90-91-94-(94,50)-96-97,-98-100 — Id. alle narici: 23,-24-253-26-27-29 — Altezza del capo alla regione timpanica: 40-43-44;-46-(46,50)-47-48-53 — Id. alle narici: 24-253-263-(26,50)-28-29 — Lungh. obliqua del capo dall'angolo mascellare al muso: 100-103-104-107-108-109-110-(111)-113-122 — Diametro interorbitale: 21- 23-24-25,-(25,50)-26-28-29-30 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 63-8-9- (11,50)-13-14-15-17 — Id. dalle narici all'occhio: 21-22-233-24-25,-26-29 — Id. dal- l'occhio al timpano: 0,-2-33-6 — Diam. massimo trasversale dell'occhio: 38-393-40y- 41-42-44 — Id. minimo del timpano: 12-14,-(14,50)-15-16,-17, — Id. massimo: 12- 143-(15)-163-17,-18 — Lungh. mass. delle parotidi: 72-74-76,-78-79?-(80,50)-86-89 — Larghezza id.: 34-35-36-37-38-(39)-40-41,-44 -— Lungh. del braccio: 108-(123,50)- 1263-127,-129-134-139 — Id. dell’avambraccio: 89-91-92-94-96,-97-99, — Id. della mano: 83-85-86-89,-(91)-92-96-97-99 — Id. del 1° dito: 36-38-39,-40-(41)-42,-44-46 — Id. del 2° dito: 27-28-30-31-(31,50)-32,-33-35-36 — Id. del 3° dito: 33-34-38-39- (39,50)-423-44-46 — Id. del 4° dito: 25-26,-27-28-29-(80)-34-35 — Diametro mass. del tubercolo palmare mediano: 18-19-20-21,-(21,50)-22-23,-25 — Id. dell’interno: 9-11-12-(18)-15-163-173 — Lunghezza della coscia: 126-127-129-133,-134-(134,50)- 138-143 — Id. della gamba: 122-124-126-127-128-132;-133-134 — Id. del piede: 211-220-(226,50)-227-234-235,-238,-242 — Id. del 1° dito: 33-34-37-38,-39;-(39,50)-46 — Id. del 2° dito: 61-63,-64:-(65)-66:-69 — Id. del 3° dito: 94-99-100-101-(101,50)- 102-103-104-108-109 — Id. del 4° dito: 139-148-149-(149,50)-150-155-156-157-158-160 — Id. del 5° dito: 83-(93)-95-97,-99-100-102,-103 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 16-17,-19-(19,50)-20-21-23 — Id. dell’esterno: 83-93-10-12-16 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 26-28-30,-(30,50)-32-33-34,-35 — Id. dall’apice del 2° dito: 393-40-42-43-(43,50)-44- 46-47-48 — Id. dall’apice del 3° dito: 55-(62,50)-633-64-66,-69-70 — Id. dall’apice del 4° dito: 11,12-13-14-(14,50)-15-17-18 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 50y-52- 53-(53,50)-543-57.. Maschi in amore di Campobasso. Lunghezza del capo: 99-1003-101-108-1093-110-(111,50)-113-114,-124 -— Largh. del capo agli angoli dei mascellari: 112-113-115-116-117-118-120-1233-124-126 — Id. a metà degli occhi: 81-83-89;-91-92-93-95,-96-103 — Id. alle narici: 213-28;-243-25» — Altezza del capo alla regione timpanica: 36-393-40-413-(42)-43,-44-45-46-48 — Id. alle narici: 20-233-24,-(24,50)-25-26-28-29 — Lunghezza obliqua del capo dal- l'angolo mascellare al muso: 100-101-102-104-106-1093-110-113-(113,50)-123-133 — Diametro interorbitale: 21-24-25,-(25,50)-26-27-28-29,-30, — Distanza dall'apice del 230 LORENZO CAMERANO 480, muso alle narici: 33-5-11-12-13-14-15-17-18-21 — Id. dalle narici all'occhio: 19-20- 21-22-23-243-25-26-29, — Id. dall'occhio al timpano: 0-23-33-5 — Diametro mass. trasversale dell’occhio: 34-353-36-38,-39-40,-41,-44 — Id. minimo del timpano : 3-(10)- 119-133-14-153-17»3 — Id. massimo: 139-14-153-17, — Lunghezza massima delle parotidi: 70-773-79-81-82-85-86,-90-92 — Larghezza id.: 27-28-385,-38,-39-403-415-43 — Lunghezza del braccio: 107-112-113-(122,50)-124-127-128-129,-130-132,-138 — Id. dell’avambraccio: 83-86-89,-90-91-(91,50)-97-98-100; — Id. della mano: 80-81- 83-85-86-(86,50)-89,-90,-92,-93 — Id. del 1° dito: 38-393-40-41-43-44-45-48 — Id. del 2° dito: 28-30;-31-32-88-34,-35-38 — Id. del 3° dito: 33-36-38-39-(39,50)-40,-413- 43-44-46 — Id. del 4° dito: 23-24,-26,-(26,50)-27-28,-29-30;3 — Diametro mass. del tubercolo palmare mediano: 17-18-19-203-21,-22-23,-24-25 — Id. dell'interno: 14,- 163-17,-(18)-19,-20-22 — Lunghezza della coscia: 118-124-129-(180)-131-132,-134- 137-138-139-140-142 — Id. della gamba: 118-120-122-124-125-(127,50)-129-130- 132,-133,-137 — Id. del piede: 207-216-220-225-227-(229,50)-235,-236-237-238- 242-252 — Id. del 1° dito: 32-34-35,-(87,50)-38-39,-40-41,-43 — Id. del 2° dito: 593-63-64-(65)-66,-67-68-69,-70-71 — Id. del 3° dito: 89-97-103-104,-106-107-109,- (111)-113-115-133 — Id. del 4° dito: 136-140-149-150-(151)-154-155,-158-159-161- 163-166 — Id. del 5° dito: 86-89,-92-93-95-96-97-100,-104-106 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 15-16-17,-(17,50)-183-19-20, — ld. dell’esterno: 10-113-133-143- (14,50)-15,-17-19 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 28-30-32,-33-34,-(34,50)-35-36-40,-41 — Id. dall’ apice del 2° dito: 439-45-47,-49-50-51,-52-57 — Id. dall’ apice del 3° dito: 59-64-659-66,- (66,50)-67-68-69-70-71-74 — Id. dall’apice del 4° dito: 10-12-133-143-(16,50)-17,- 18-23 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 47,-49-50-51-523-54,-573-67. Maschi in amore di Taranto. Lunghezza del capo: 108-(110)-111,-112 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 114-116-(119)-122,-124 — Id. a metà degli occhi: 90-94-95-96-102 — Id. alle narici: 22-24-(25)-26,-28 — Altezza del capo alla regione timpanica: 423- 44-(46)-48-50 — Id. alle narici: 22-24-25-26,» — Lungh. obliqua del capo dall’an- golo mascellare al muso: 95-106-(107,50)-111-112-120 — Diametro interorbitale: 25-26,-(28)-30-31 — Dist. dall’apice del muso alle narici: 3-12-14-16-21 —- Id. dalle narici all’ occhio: 21-(23)-24,-25, — Id. dall’ occhio al timpano: 03-33 -— Diametro mass. trasversale dell’occhio: 39-(41)-42:-43 — Id. minimo del timpano: 12-14-16, — Id. massimo: 12-14-16, — Lungh. mass. delle parotidi: 69-78,79-(90,50)-112 — Larghezza id.: 26-33-(34,50)-36-37-43 — Lungh. del braccio: 122-124-(127,50)- 132,-133 — Id. dell’avambraccio: 85-89-90-(92)-95-99 — Id. della mano: 83-(86,50)- 87-90, — Id. del 1° dito: 31-39-(39,50)-42,-48 — Id. del 2° dito: 31-82-33, — Id. del 3° dito: 37-39,-(40)-42-43 — Id. del 4° dito: 22-26-(28)-30-31-34 — Diam. massimo del tubercolo palmare mediano: 19,-(20,50)-21,-22 — Id. dell'interno: 11- (14,50)-16,-17-18 — Lungh. della coscia: 127-(185,50)-137-138-139-144 — Id. della gamba: 122,-124-126-(127)-132 — Id. del piede: 216-217-222-(224,50)-230-233 — Id. del 1° dito: 32,-36-(37,50)-39-43 — Id. del 2° dito: 53-(61)-66,-68-69 — Id. del 3° dito: 89-95-99-102-(102,50)-116 — Id. del 4° dito: 143-144-(148)-149-150-153 — 49 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 231 Id. del 5° dito: 90-94-(94,50)-95-96-99 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 15- 16-17-19, — Id. dell’esterno: 5,-63-(7)-9 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 26-31-32-(32,50)-33-39 — Id. dal- l’apice del 2° dito: 33-(38)-42:-43 — Id. dall’apice del 3° dito: 61-62-63-(65)-66-69 — Id. dall’apice del 4° dito: 5-6:-(6,50)-8, — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 37- 42-43-47-(48,50)-60. Maschi in amore di Catania. Lunghezza del capo: 111-115-116-117-118-120,-(121,50)-122,-123-124-126-129- 131-132 — Largh. del capo agli angoli dei mascellari: 1015-102-104-1065-1073-108,- 109-110-111-(111,50)-113-120-122 — Id. a metà degli occhi: 873-90-933-94-95-96,- 98,-100-101,-102-103 — Id. alle narici: 21-24-(24,50)-253-26-27;-28, — Altezza del capo a metà della regione timpanica: 39-40-413-423-43-44,-45-46-48-49 — Id. alle narici: 21,-23-24,-(24,50)-25,-264-27,-28» — Lunghezza obliqua del capo dall’angolo mascell. al muso: 102-103-104-107-108-111-112-(112,50)-113-115;-116,-118-122-123 — Diam. interorbitale: 24-25-26;-273-28:-(28,50)-29-30-31-33 — Distanza dall’apice del muso alle narici : 0-3;-23-53-(5,50)-8 — Id. dalle narici all’occhio: 24,-253-26;-273- (27,50)-28,-30-31 — Id. dall'occhio al timpano: 03-13-23-33-5 — Diametro massimo trasv. dell’occhio : 363-373-384-393-(40)-41-423-433-44 — Id. minimo del timpano: 11- 133-15-16,-17-19-20,-21 — Id. massimo: 11-153-16-17-18-19;-20,-21 — Lungh. mass. delle parotidi: 71-72-73-74-76-77:-78-793-80-81-(82,50)-87-90-94 — Larghezza id.: 31- 32-33,-35-36-37;-38,-(38,50)-39-40-42,-43-46 — Lunghezza del braccio: 120-122,-123,- 124-125-1273-129-(129,50)-131-133-134-137,-139 — Id. dell’avambraccio: 69-(85)-89;- 90,-92-933-953-96-97-983-101 — Id. della mano: 74-79-82-86,-87,-88-89,-90,-93-94- 96-98, — Id. del 1° dito: 363-37-383-39-40-(40,50)-413-42-44,-45 — Id. del 2° dito: 26-27-31,-32,-33,-34-35-363-37-38 — Id. del 3° dito: 363-37,-38,-39-415-42-(42,50)- 43,-46-47-48-49, — Id. del 4° dito: 25-26,-27,-28-29-(30,50)-31-32-33,-36 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 17-203-21,-(21,50)-22;-23,-26-27 — Id. del- l'interno: 5-103-11;-13-(14,50)-15-16-17-18-19-21-24 — Lunghezza della coscia: 123- 132-133-134,-135-136-137-138-140-(141)-144-147-148-150-151-153-159 — Id. della gamba : 123-127;-1293-133-134,-(1835)-136-137,-138-139-147, — Id. del piede: 206-221- 224-225-227-229-2313-232-235,-238-240-243-248-252 — Id. del 1° dito: 323-35-363-37- 385-39-40-41,-42-46 — Id. del 2° dito: 59-62-63,-64-65-66-67,-68-69-71-72,-(72,50)-76- 77-86 — Id. del 3° dito: 95-98,-99-101-102-106-107-(108,50)-110-1113-1133-115,-122 — Id. del 4° dito : 138-143,-144-148-149-150-151-152-153,-155-158-159-164-172 — Id. del 5° dito: 87-90-93;-94-95-96,-97-98-99-(99,50)-100-103-104-112 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 155-16,-173-19,-20-213-22 — Id. dell'esterno: 8y-103-11,-(12)-13s- 14-16, — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della mem- brana interdigitale: 25-26,-27-28-30-31-32,-34-363-39, -— Id. dall’ apice del 2° dito: 34-37-38-413-423-43-443-45-(45,50)-47,-56 — ld. dall’apice del 3° dito: 53-56-58,-59- 63-(64,50)-66:-67,-70-71-72-74-76 — Id. dall’apice del 4° dito: 10-11-13y-14-154-16;- 17-22, — Lungh. della ripiegatura tarsea: 49-51-53y-55-56-573-083-59-60,-61-62-69. 232 LORENZO CAMERANO 50 Maschi in amore di Tiflis. Lunghezza del capo: 107-108-109-110-(116,50)-124-126 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 123-124-127-128-(130,50)-134-138 — Id. a metà degli occhi: 97-99-100-101-(102,30)-105-108 — Id. alle narici: 21-24-23-(25,50)-26-27-30 — Altezza del capo alla regione timpanica: 43-44,-46-47-(48,50)-54 — Id. alle narici: 25-26-27-(27,50)-30, — Lunghezza obliqua del capo : 105-113-,-114-(114,50)-120-124 — Diam. interorbitale: 26-27,-28-30, — Dist. dall’apice del muso alle narici: 5-9-11-13- (14)-18-23 — Id. dalle narici all'occhio: 23-24-25-(26,50)-27-30, — Id. dall’occhio al timpano: 2-33-4-6 — Diam. mass. trasvers. dell’occhio: 39-40-41,-42-43 — Id. minimo del timpano: 11-12-13-14-(14,50)-15-18 — Id. massimo: 11-14-(14,50)-15-18 — Lun- ghezza delle parotidi: 75-78-81-(88,50)-89-94-102 — Largh. id.: 36-40-41-(42,50)-48,-49 — Lungh. del braccio: 118-126-132-(183)-134-137-148 — Id. dell’avambraccio : 88-90- 943-97-(98,50)-109 — Id. della mano: 83-893-90-(94)-97-105 — Id. del 1° dito: 33- 36-(40)-42-43-44-47 — Id. del 2° dito: 27-30-31-32-33-35 — Id. del 3° dito: 35-36-39- 41-(41,50)-43-48 — Id. del 4° dito: 23-24-(27,50)-30:-32 — Diam. del tuberc. palmare mediano: 21-22-24,-25-27 — Id. dell’interno: 12-15-16-(16,50)-18-20-21 — Lunghezza della coscia: 132-138-(141)-142-149-150, — Id. della gamba: 123-126-129-130-(132)- 136-141 — Id. del piede: 207,-220-222-(224,50)-228-242 — Id. del 1° dito del piede: 27-30-32-(383)-35-36-39 — Id. del 2° dito del piede: 59,-60-61-(61,50)-64, — Id. del 8° dito del piede: 94-99-100-(100,50)-101-102-107— Id. del 4° dito: 140-142-143-144- 146-(150,50)-161 — Id. del 5° dito: 89-94-96,-(96,50)-97-102 — Id. del tubercolo meta- tarsale interno: 18-213-23-24 — Id. dell’esterno: 4-53-(11)-12-15-18 — Distanza dal- l’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 26-27-32- (33,50)-35-36-41 — Id. dall’apice del 2° dito: 44,-46-47-48, — Id. dall’apice del 8° dito: 55-593-60-(62,50)-66-70 — Id. dall’apice del 4° dito: 7-13,-15-(15,50)-21-24 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 47-(53,50)-54,-55-57-60. x Maschi in amore di Roma. Lunghezza del capo: 106-108-(110,50)-111-112-115— Larghezza del capo agli an- goli dei mascellari: 124-1263-(127)-130 — Id. a metà degli occhi: 94-96-97-(97,50)- 99-101 — Id. alle narici: 24-25-26-28 — Altezza del capo alla regione timpanica: 42-(46,50)-47-48-50-51 — Id. alle narici: 23-24-25, — Lunghezza obliqua del capo: 112,-115-(116)-120, — Diametro interorbitale: 28,-29-30-(30,50)-33 — Distanza dal- l’apice del muso alle narici: 9-(10,50)-11-12; — Id. dalle narici all'occhio: 27-283-(28,50)- 29-30 — Id. dall’occhio al timpano: 0-3, — Diam. mass. trasvers. dell’occhio: 40-41,- (41,50)-42-43 — Id. min. del timpano: 12;-(15)-17-18 — Id. massimo: 12,-14-(15)-17-18 — Lungh. delle parotidi: 65-72-(73)-76-80-81 — Largh. id.: 34-36-37-(37,50)-38-41 — Lungh. del braccio: 118-126-(128)-133-137-138 — Id. dell’avambraccio: 89-90-93-95- (96)-103 — Id. della mano: 89-93-95-96-97 — Id. del 1° dito: 36-37-38-(38,50)-40-41 — Id. del 2° dito: 30-32-(32,50)-34,-35 — Id. del 3° dito: 43-44,-(45,50)-46-48 — Id. del 4° dito: 28-29-30,-32 — Diametro massimo del .tubercolo palmare mediano: 21-22-23-25-(25,50)-30 — Id. interno: 12-(15,50)-18,-19) — Lunghezza della coscia: 136-138-143,-(144)-152 — Id. della gamba: 124-(181,50)-132-137-138-139 — Id. del piede: 234-240-242-(249,50)-258-265 — Id. del 1° dito: 40-43-44-47-48 — Id. del 51 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 233 2° dito: 68-70-71-72-74 — Id. del 3° dito: 100-102-106-(107)-109-114 — Id. del 4° dito: 149-1583-156-(157,50)-158-166— Id. del 5° dito: 99-106-(106,50)-108-109-114 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 18-19-20 — Id. dell'esterno: 6-9,-11-12 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdi- gitale: 34-35-386-37-38 — Id. dall’apice del 2° dito : 42-46-(46,50)-47-50-51 — Id. dal- l’apice del 3° dito: 60-65-68-69-70 — Id. dall’apice del 4° dito: 11-123-(14,50)-18 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 52-54-56-57-(58,50)-65. is ASTA o e o Pe e I . Dal TERE | Ezio: ‘E = ML Maschi in amore E Ei È | 6 È E È C | S cai | Y Lunghezza del capo . . 109 114 | 116 | 103 | 102 | 114 Largh. del capo agli angoli dei mascellari 1815.) 126 | 127 129 | 120 | 139 Id. a metà degli occhi. . . . . . .| 98 | 96 | 106] 98 | 98 | 107 Id. alle narici . . 22 30 | 25 | 26 | 27 | 21 Alt. del capo a metà della reg. timpanica dl 48 dd 41 | 44 | 44 Id. alle narici . . 22 24 25 26 | 22 | 25 Lungh. obl. del capo dall’: ang. masc. al muso | 109 | 108 | 116 108 | 107 | 126 Diametro interorbitale . —. . ge 3601, 26 26. | 22 |182 Distanza dall’apice del muso alle narici . 3 12 LL E, 13 9 Id. dalle narici all'occhio . . . . . . 25 30 Do 2 CZ 32 Id. dall'occhio al timpano . . 0 DE eee o 6 Diametro massimo trasversale dell'occhio | 38 42 42 41 40 | 44 Id. minimo del timpano . . . . . .| 16 12 17 © ts Ag I N Id. massimo del timpano . . SR 16 12 19 15 | 15 | 18 Lunghezza massima delle parotidi . anita, 87 78 94 82 | 80 | 114 Larghezza i n rn, 00 30 44 | 36 | 49 | 44 Lunghezza del braccio . . . . . . .| 142| 126 E n n ZI A Co Io@dell'avambraccio o... ...| 98 | 96 | 94 93 | 93 | 95 lege n i 98 96 94 82 | 84 | 95 idee... a SSL ARI IZET "960 40 44 iui It 0. .| 88 30 330 26%) 27 | 88 ladino RD a i A 45 DA 300400 5 Id. del 4° dito . È 27 30 | 28 26 27 | 32 Diam. mass. tubercolo palmare mediano . 22 24 22°*| 21 24 | 22 Id. id. id. id. interno . LU a 17 Lo; 18; gl 19 Lunghezza della coscia. . . . .. .| 142) 150 144 129 | 129 | 152 legcliatoamba Se. 0... 132°) 132 | 130 | ‘129 | 124 | 139 ldffdeltpiede 0 i. 0.0... + .| 246] 240] 222] 206] 204 | 240 Ie E i rn 38 36 39 36 40 38 o 0. 0... .| #6] 66) 61 | 62 62. 76 e e, , L15102 100) 98 | 93 | 107 diaoliito LUI.,.| 1647 150) 144) 139) 133 | 192 Id. del 5° dito . 115 | 102 100 87 89 | 107 Lungh. del tubercolo metatarsale interno Preglbe. at 22 181 184% |--19 Id. id. id. esterno | 5 18 8 155 9 6 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | gine libero della membrana interdigitale 393-130 28 | 91 | S1 | 44 Id. id. id. Bo 149 48 44 | 41 | 44 | 51 Id. id. id. Sedilo atta eo el 66 | 66 57. | «0204 40 Id. id. id. eee cai | 40 | 19 15 | 92 | 19 Lunghezza della ripiegatura tarsea. . .| 66 | 54 55 | 51 | 53 | 63 Serie II. Tom. LIV. . E! 9394 LORENZO CAMERANO 592 Femmine in amore Ancona Taranto Modica Lunghezza del capo . . 96 101-105 94-108-109 Largh. del capo agli angoli dei ‘mascellari : 120 | 120-127 118-123» Id. a metà degli occhi , 101 | 85-96 82-87-90 Id. alle narici . 3 24 | 25-28 19-21-25 Alt. del capo a metà della regione timpanica 48 | 45-51 37-38-41 Id. alle narici . 24. | 259 19-20-23 Lungh. obl. del capo dall’ angolo masc. al muso | 106 | 110-112 102-104-108 Diametro interorbitale . : | 29 | 25-28 24-25-26 Distanza dall’apice del muso alle narici . 5 | 5-10 03 Id. dalle narici all'occhio . 29 | 23-25 20-24-26 Id. dall'occhio al timpano . . 2 | 2-5 0-2-3 Diametro massimo trasversale dell'occhio 38 | ‘40-41 33-36 Id. minimo del timpano 17 | 13-15 14-16-21 Id. massimo del timpano ? 19; .lL WiIR-15 14-16-21 Lunghezza massima delle parotidi 5 070 5-06 78-81-82 Larghezza id. id. 29 (Di | 38,01 28-33-36 Lunghezza del braccio . 115 | 122-125 118-119, Id. dell’avambraccio . | 86. .| 85-96 82-90 Id. della mano | 82 | 85-91 78-81-82 Id. del 1° dito della mano 48 | 38-41 31-38-41 Id. 2° dito id. 29 | 30-33 28-31-33 Id. 3° dito id. 38 | 41-43 37-38-41 Id. 4° dito id. N EB7 2330 24-25-26 Diam. mass. del tubercolo palmare mediano 22 20-23 16-19-21 Id. id. id. interno 10 5-10 8-9-10 Lunghezza della coscia . Pai: DE 134 | 135-142 114-127-129 Id. della gamba 115 | 123-127 115-118-119 Id. del piede ; 206 | 200-218 200-204-207 Id. del 1° dito del piede 38 40-41 33-38-41 Id. 2° dito id. 62 | 60-66 61-62-67 Id. 3° dito id. | 96 | 90-96 85-93-94 Id. 4° dito id. | 134 130-137 133-134-135 Id. 5° dito id. 91 85-91 87-90-95 Lunghezza del tubercolo metatarsale interno 19 18-20 15-16-19 Ta. id. id. esterno 14 6-10 4-59 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale . 34 | 30-33 26-28-33 Id. id. del 2° dito. 43 359 33-41-45 Id. id. del 3° dito. (1058 61-65 52-61-62 Id. id. del 4° dito. 1 24 13-15 9-15-16 Lunghezza della ripiegatura tarsea” 56 50-51 51-52-53 Femmine in amore del Lago Trasimeno. Lunghezza del capo: 98-99-102-103-107-110,-116 — Larghezza del capo all’an- golo del mascellare: 110-113-116-118-120;-122 — Id. a metà degli occhi: 86-88-89,- (90,50)-93-94,-95 — Id. alle narici: 21-23-(28,50)-24-25-26, — Altezza del capo alla regione timpanica: 42,-43-44-46-(46,50)-47-48-51 — Id. alle narici: 21,-23-(24,50)- 26,-27-28 — Lunghezza obliqua del capo: 94-98-99-102-105-(107)-110-111-120 — 53 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 235 Diametro interorbitale: 21,-22-23-26-31 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 39-59-(7)-8,-10-11 —Id. dalle narici all'occhio: 21,-22-23-(283,50)-25-26 — Id. dall’occhio al timpano: 2-33-(4)-53-6 — Diam. mass. trasv. dell'occhio: 373-38-(39-50)-41-42, — Id. min. del timpano: 10-133-(14)-163-18, — Id. mass. : 10-133-(14)-163-18, — Lunghezza delle parotidi: 68-69-70-72,(72,50)-733-74-77 — Larghezza id.: 31-32-34-35-36-(36,50)- 37-39-42 — Lunghezza del braccio: 104-107-1113-(112)-113-115-116-120 — Id. del- l’avambraccio: 79-81-82-84:-(84,50)-89-90 — Id. della mano: 74-78-(79,50)-81-82-83- 84-85 — Id. del 1° dito : 37-39-40-41-42,-43 — Id. del 2° dito: — 313-32,-34-(34,50)- 36-38 — Id. del 3° dito: 37,-40-41-42,-43 — Id. del 4° dito: 23-(25,50)-26;-27-28 — Diam. mass. tubercolo palmare mediano: 18-193-(20,50)-21;-22-23 — Id. dell'interno: 5-9-10-(10,50)-11:-16,— Lungh. della coscia: 113-116-120-(121)-124-125,-127-129 — Id. della gamba: 113,-115-116,-(116,50)-119-120, — Id. del piede: 1933-194-195-199- (202,50)-209-212 — Id. del 1° dito: 37,-38-39-40-41 — Id. del 2° dito: 52,-53-55- (57,50)-59-61-62-63 — Id. del 3° dito: 78-85-(86)-88-89-91-93-94, — Id. del 4° dito: 120-124-125-129,-(129,50)-133-138-139 — Id. del 5° dito: 78-81-83,-(83,50)-84-85- 87-89 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 163-17-18-(19,50)-21,-23 — Id. del- l'esterno: 6-83-10-113-14 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 28-29-30,-(30,50)-31,-32-33 — Id. dall’apice del 2° dito: 37-39-41-42-43-(48,50)-47-48-50 — Id. dall’apice del 3° dito: 51-55-57,-59-61-63, — Id. dall’apice del 4° dito: 13-14-15-163-17-21 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 42-44-46-(46,50)-47,-48-50-51. Femmine in amore di Catania. Lunghezza del capo: 105-107-(111)-116-117 — Larghezza del capo all'angolo del mascellare: 117-(120,50)-122,-124 — Id.a metà degli occhi: 86-87-(983)-97-100 — Id. del capo alle narici: 223-(22,50)-23, — Altezza del capo a metà della regione timpanica: 39-41-(42,50)-44-46 — Id. alle narici: 22-24-(26)-27-30 — Lungh. obliqua del capo: 112-116-(122,50)-124-133 — Diam. interorbitale: 21-24-(24,50)-25-28 — Distanza dal- l’apice del muso alle narici: 0-2-3, — Id. dalle narici all’occhio: 21-24-(24,50)-25-28 — Id. dall’occhio al timpano: 0-2-5-6 — Diam. mass. trasv. dell’occhio: 37-38-39, — Id. min. del timpano: 12-13-(14,50)-15-17 — Id. massimo: 12-13-(14,50)-17, — Lungh. delle parotidi: 75-78-(79)-81-83 — Larghezza id.: 39-41,-(44)-49 — Lunghezza del braccio: . 104-106-(110,50)-116-117 — Id. dell’avambraccio: 76-(79,50)-83; — Id. della mano: 81-(82)-83; — Id. del 1° dito della mano: 39-413-(41,50)-44 — Id. del 2° dito: 33- 34-87-41 — Id. del 3° dito: 37-(41,50)-42-45-46 — Id. del 4° dito: 25-27-29-33 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 19-20-(20,50)-21-22 — Id. del- l'interno: 8-11-(13,50)-15-19 — Lungh. della coscia: 124-(180,50)-131-133-137 — Id. della gamba: 112-116-(117)-122-131 — Id. del piede: 203-205-209-(210,50)-218 — Id. del 1° dito del piede: 28-(31)-33,-34 — Id. del 2° dito: 54-55-58-61 — Id. del 3° dito: 87-91-(92)-94-97 — Id. del 4° dito: 132-(135,50)-136-137-139 — Id. del 5° dito: 81-83-(84)-87, — Id. del tubercolo metatarsale interno: 15-(16)-17; — Id. del- l'esterno: 6-10y-14 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 28-29-30-(31)-34 — Id. dall’apice del 2° dito: 39-41-(41,50)-44 — Id. dall’apice del 3° dito: 55-61-(61,50)-63-68 — Id. dall’apice del 4° dito: 15-17- (18,50)-22 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 469-50-(52)-58. 9236 LORENZO CAMERANO Lunghezza del capo . s Largh. del capo agli angoli dei mascellari . Id. a metà degli occhi . Id. alle narici . Alt. del capo a metà della | regione timpanica Id. alle narici . Lungh. obl. del capo dall’ angolo masc. al muso | Diametro interorbitale . È Distanza dall’apice del muso alle narici . Id. dalle narici all’occhio . Id. dall'occhio al timpano . . Diametro massimo trasversale dell’ occhio Id. minimo del timpano Id. massimo del timpano Lunghezza massima delle parotidi 4 Larghezza id. id. Lunghezza del braccio Id. dell’avambraccio . Id. della mano. Id. del 1° dito della mano e si Id. 2° dito id. AT SRP da | Id. 3° dito id. Id. 4° dito id. Diam. mass. del tubercolo palmare mediano Lunghezza della coscia . Id. della gamba Id. del piede 2 Id. del 1° dito del piede Id. 2° dito id. Id. 3° dito id. Id. 4° dito id. Id. 5° dito id. | Lunghezza del tubercolo metatarsale uni Dist. dall’apice del 1° dito a metà del margine Eee CRE? Gino: IG si65 cale otro, Id. id. del 4° dito 54 - @ S È È - SE ® È Femmine in amore © | 88 © | S| £ S = | #E| &|83 ug > 1135 M0Lt Sassi tgia L00% o 113 | 125 | 132 | 132 | 135 | 128 97 1,96 | 1014) 101.) ‘LOO-M294 24 | 24 | 26 | 26 | 25 27 43 | 48 | 53 | 53 | 45 49 21 | 24) 26.| 26 | 25 30 113. | 106 | 116.| 116,| 115, 108 24 | 29 | 26 | 26 | 25 25 5 ig 3 3 0 24 | 29 | 26 | 32 | 25 30 3 5) 3 3 0 2 38 | 38 | 42 | 42 | 40 44 ita SITA beiote googi Ola) 20 SS PASTOR NEL 66 LS 20 ft e E SO TS) ET 74 32 | 48 | 37 | 42 | 40 | 44 124 | 120 | 132 | 138 | 110 | 118 Sd 8668 90900) a 89 Sila 8600 MOL 00885 89 38 | 38 | 48 | 42 | 50 39 DI SEA STMITO 35 43: 4948 88 5 44 Di (290 Sd 20 32 lit) (240/210) 1216025 20 Id. id. id. interno 8 19 16 11 10 10 124 | 134 | 143 | 143. | 135 | 143 118 | 120 | 132 | 122 | 110) 133 209 | 203 | 243 | 222 | 215 | 222 38 | 34 | 37 | 48 | 45 44 pda 08 090 ego 64 97 8600) ALO6NRLO5AMLOE 134 | 134 | 159 | 148 | 140 | 148 91: || 86401018 | 018) 95 94 16, s19:te2i 217 020. 20 Id. id. id. esterno 5 14 | 11 Llelss 15 libero della membrana interdigitale . . | 27 | 29 | 21 | 32 | 30 35 | 43 | 43 | 48 | 53 | 40 39 DON ode 69, 95 64 TO 96 9 2 CO 0 o 20 45 | 58 | 58 | 53 | 50 59 Lunghezza della ripiegatura tarsale Femmine in amore di Campobasso. Lunghezza del capo: 97-98-99-101-(102,50)-108, — Larghezza del eapo all'angolo del mascellare: 116-117-118,-122-(123,50)-131 — Id. a metà degli occhi: 83-(88,50)- 893-90-94 — Id. alle narici: 20-21-(21,50)-23, — Altezza del capo alla regione timpa- nica: 39-(483)-45-46-47; — Id. alle narici: 21-23-(24,50)-25,-28, — Lungh. obliqua del capo: 98-104-(105,50)-106-108,-113 — Diametro interorbitale: 25-263-(26,50)-28, 55 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Eco. 237 — Dist. dall’apice del muso alle narici: 53-73-8-9—Id. dalle narici all'occhio: 22-(22,50)- 23; —Id. dall'occhio al timpano: 0-2,-5 — Diam. mass. trasv. dell'occhio: 35-373-39, — Id. min. del timpano: 12,-143-16 — Id. massimo: 12-14-16, — Lungh. delle paro- tidi: 70-73-75-(77)-80-83-84 — Id. larghezza: 33-35-37-(37,50)-38-39-42 — Id. del braccio: 113-116-117,-(117,50)-118-122 — Id. dell’avambraccio : 80-83-843-(87)-94 — Id. della mano: 80,-83-84-(84,50)-89 — Id. del 1° dito: 39-42,-(48)-45-46-47 — Id. del 2° dito: 28-(32,50)-33:-34-37 — Id. del 3° dito: 39-42,-45 — Id. del 4° dito: 28;- (29)-30 — Diam. mass. tubercolo palmare mediano: 18-19-20, — Id. dell’interno: 93-10- (11,50)-12,-14 — Id. della coscia: 122-126-128,-(132,50)-143 — Id. della gamba: 112-1173-118-(118,50)-123-125 — Id. del piede : 203-2063-(210)-211-213-217 — Id. del 1° dito: 28-32-33-(33,50)-35-37-39 — Id. del 2° dito: 55-563-(59,50)-61,-64 — Id. del 3° dito: 89-90-92-94,-(96,50)-104 — Id. del 4° dito: 129,-136-(138,50)-148 — Id. del 5° dito: 83-84,-(88,50)-89,-94 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 14,-17-18-19- (19,50)-25 — Id. dell’esterno: 11-12,-(18)-14,-15 — Distanza dall’apice del 1° dito alla metà del margine libero della membrana interdigitale: 28-(31,50)-32-33,-34-35 — — Id. dall’apice del 2° dito: 37,-(41)-42,-44-45 — Id. dall’apice del 3° dito: 56,-59- 61-65-66 — Id. dall’apice del 4° dito: 9-14,-(14,50)-15-18-20 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 45-47,-(50,50)-51-54-56. Individui giovani di Taranto, in cui la lunghezza base varia da 38 a 43 millimetri. Lunghezza del capo: 114,-117-118-(118,50)-123 — Larghezza del capo agli an- goli dei mascellari: 123,-126-(128,50)-133-134 — Id. a metà degli occhi: 95-(102)- 104-105-108-109 — Id. alle narici: 25-26-(26,50)-27-28, — Altezza del capo a metà della regione timpanica: 45-47-(49)-50-52-54 — Id. alle narici: 25-26-27-28, — Lun- ghezza obliqua del capo dall’angolo mascellare al muso: 114-(120)-1233-126 — Dia- metro interorbitale: 26-27-28-(29,50)-33, — Distanza dall’apice del muso alle narici: 13-14-(16)-17-18-19 — Id. dalle narici all'occhio: 24-25-26-27-28 — Id. dall'occhio al timpano: 0,-2 — Diametro trasversale dell'occhio: 44-45-47,-50 — Id. minimo del timpano: 5-93-13 — Id. massimo: 5-93-13 — Lungh. massima delle parotidi: 70-77- (77,50)-84-85. — Largh. id.: 28-33-35-(36)-38-45 — Lungh. del braccio: 1143-118- (124)-134 — Id. dell'’avambraccio: 79-85:-(85,50)-90-92 — Id. della mano: 79-81- (82)-85. — Id. del 1° dito: 28-36-38-42-44 — Id. del 2° dito: 24-26-(31)-32-33-38 — Id. del 3° dito: 38-42-(42,50)-44-45-47 — Id. del 4° dito: 25-26-(26,50)-27-28, — Diametro mass. del tubercolo palmare mediano: 17-18-19, — Id. dell'interno: 8-(8,50)-9, — Lungh. della coscia: 123-126-(128,50)-133-134 — Id. della gamba: 142-118-120- 123-126 — Id. del piede: 189-198-199-(200)-209-211 — Id. del 1° dito: 28,-35-41-42 — Id. del 2° dito: 53-(56,50)-57,-59-60 — Id. del 3° dito: 85-88-90-92-95 — Id. del 4° dito: 123-132-(132,50)-133-135-142 — Id. del 5° dito: 85,-88-(88,50)-90-92 — — Id. del tubercolo metatarsale interno: 14-17-18:-20 — Id. dell'esterno: 5-(7)-8-9, — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana inter- digitale: 26-28,-29-(31)-36 — Id. dall’apice del 2° dito: 44-45-47,-50 — Id. dall’apice del 3° dito: 61-66-(66,50)-67-72 — Id. dall’apice del 4° dito: 18:-193-(19,50)-21 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 38-(42,50)-45-50-53-57. 238 LORENZO CAMERANO 56 è © [e De a È SARNO E | È Tiflis È È $ E | S = ||| | guv. lei È Juv. | juv. | juv Lunghezza base (espressa in millimetri) | 21 90-53 | 50 | 50 | 29 | 89 Lunghezza del capo. . 120 | 109-122| 108 | 108 | 124 | 120 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | 120 115-130 122° 122°| 124129 Id. a metà degli occhi. . . . . . .| 152 | 94-102'}094'|-101! 99011 Id. alle narici. . ui cotgil 84, 222401206829 RESLD 28 Alt. del capo a metà della reg timpanica | ©l 41-50 | 43 | 50 | 50 | 55 Id. alle narici. . | 34 | 24-25 | 22 | 25 | 25 | 28 Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso | 129 115, | 122 | 108 | 124 | 129 Diamo interorbitale . . . MEZ:S, 29-31 22 25 25 SI Distanza dall’ apice del muso alle narici . te pole e ASD EL 9 Id. dalle maricitalliocemo e eee 20-29 4925 | 29 | 20/097 Id. dall'occhio al timpano . | invis. 3-4 0 4 6 9 Diametro massimo trasversale dell’ ‘occhio | 43 41-43 | 43 | 43 | 50 | 46 Id. minimo del timpano .. . . . ..|invis.| 11-14 | 18 | 14 6 5 Id. massimo del timpano . . 2 ERO: gl iis, Ag: 1,18, | L46129 Lunghezza massima delle parotidi Sie €S600] VETO: 860, ATOM ITA Nic Larghezza id. id... e Lunghezza del braccio" i, 00 |iilb-122 87084 0400 Id..dell'avambraceio. | '..ubanini cnlgenii. VEN a ER SG 8 Id. «della mano. o Lula 78 RR Td-gel*i dito = 080 © CS 36-41 | 36 | 36 | 34 | 42 Id: del2° dito? ile. 7 ER A 64813670 Ao Igtaeks38 dito et fior Ab 51 43-48 45 43 43 46 Id. del 4° dito lr cg4 |1,7:29-34/)| 29 | 2019/250132 Diametro mass. tubercolo palmare mediano | 17 | 20-22 | 18 | 22 | 19 | 18 Id. id. id. id: interno (Ig RA OT TA O) 18 Lunghezza della coscia. . . . . . :| 120 |136-137| 137 | 137 | 137 | 129 Id. della. gamba (a cont ante 0 | 2022-1429 AES0O SES 1240) 29 Id. del piede . >. ea coniate R0681 194224723008 P2098 LOS N22 Tasdelblie dio Pete | 43 29-38 ASM 42 Td: del‘29*dito 0 TSE RR OVE NE | 58 | 62 | 60 Td: ‘del :‘38' ‘dito sales ana died. bL638) L09838 (101: 94870107 Id::del:4° dito. LL «i e di 1871430 4 MIR VA AZ Ao Id. del 5° dito 95. | .72-122 | 94 | 101 | 81 |.92 Lungh. del tubercolo metatarsale interno | 17 | 20-22 14 14 12 23 Id. id. id. esterno | 5 | 3-14 7 4 DA AQ Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | gine libero della membrana interdigit. | 34 | 41-43 | 32 | 22 | 31 | 32 Id. id. id 02° dito) ae o o 43-54 | 43 | 43 | 37 | 5I Id: “idiv id’ “S*Idito: 057 iI Centa ES 68 oo e e 5 ao Id. id. Tab 40 i@itoDE —— Ti ORA 26 | ‘(14-20 | 14; |.14L] -L9 23 Lunghezza della ripiegatura tarsea . .| 51 | 54-58 | 50 | 58 | 50 | 55 57 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 239 Individui giovani di Catania in cui la lunghezza base varia da 80 a 50 millimetri. Lunghezza del capo: 114-115-117-120,-(122,50)-123-124,-125-129-131 — Lar- ghezza del capo agli angoli dei mascellari: 111-1203-1233-124,-(126,50)-131-133-142 — Id. a metà degli occhi: 92-94-98,-100-101-(108)-104-110-111-113-114 — Id. alle na- rici: 23,-24-25-27-28:-(28,50)-34 — Altezza del capo alla regione timpanica: 459-469- 47,-49-(50)-51,-55 — Id. alle narici: 23-28;-(28,50)-30-31,-33-34; — Lungh. obliqua del capo: 113-115-117-120-123-124-125-129,-131-133 — Diametro interorbitale: 23-27- 28,-30-31-883-34-37-41-43 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 3-4,-5-65-8-9, — Id. dalle narici all'occhio: 233-283-(28,50)-30-31-33,-34, — Id. dall'occhio al tim- pano: (timp. invis. 2)-0,-3-3-113 — Diametro mass. trasversale dell'occhio: 37-38,- 39,-41-42-433-47 — Id. min. del timpano: (timp. inv. 2)-93-11;-12-(12,50)-14-15-16 —' Id. massimo: (timp. inv. 2)-93-113-12-(12,50)-14-15-16 — Lunghezza mass. delle parotidi: 70-75-76,-78-79-84:-86, — Larghezza id.: 28:-30-33-34-(36,50)-39;-43-45 — Lungh. del braccio: 101-110-113-1153-117-120,-123,-133 — Id. dell’avambraccio: 65- 74-77-78-79-(80)-83-84-85-86-90-95 — Id. della mano: 77-78-83-(87,50)-90,-92,-94- 95-98 — Id. del 1° dito: 33-34-37-38-39;-(40)-433-47,— Id. del 2° dito: 28-33-(33,50)- 34,-37-38-39; — Id. del 3° dito: 43-453-469-47-49-51; — Id. del 4° dito: 23-24-28- 30-313-(32)-34,-41 — Diametro mass. del tubercolo palmare mediano: 11-14-153-16- 17,-19-20,-23 — Id. dell’interno: 4-6-8-9;-(10)-11:-16, — Lungh. della coscia: 98- 113-120-(122,50)-127-129-135-1413-142-146-147 — Id. della gamba: 90-113-(116)- 120,-125-127-128-131-135-141-142 — Id. del piede: 173-180-203-204-206-211-212-213- 222-225-235 — Id. del 1° dito: 33-34,-35-38-39-(41)-43,-45-46-47 — Id. del 2° dito: 56-57-60,-61-(62,50)-63,-65-68-69 — Id. del 3° dito: 90,-92-94-95-96-98-102-103-104- 106 — Id. del 4° dito: 128-131-133-1353-137-142-(142,50)-148-153-157 — Id. del 5° dito: 79-82-83,-85-86-92-(94,50)-95,-100-110 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 15- 16-17-18-19,-23; — Id. dell'esterno : 43-5-(8)-93-113-12 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 21-26-(27,50)-28,-30-31,;- 33-34, — Id. dall’apice del 2° dito: 38-42-43-45,-46-47,-49-59 — Id. dall’apice del 3° dito: 60-65-66-68,-69-(69,50)-70,-74-77-79 — Id. dall’apice del 4° dito: 153-18-19- (20,50)-23;-25-26 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 33-38-(44,50)-46-47-513- 53-54-559-56. Individui giovani di Ancona, in cui la lunghezza base varia da 53 a 59 millimetri. Lunghezza del capo: 105-110-111-(114)-115-120-122 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 118-120-122-(127)-129-131-136 — Id. a metà degli occhi: 93- 98-100-(101)-102-104-109 — Id. del capo alle narici: 23-25-27, — Altezza del capo a metà della regione timpanica: 46-47-48,-49-50 — Id. alle narici: 23-24-25-27, — Lungh. obliqua del capo: 110-111-114-115-118-(119,50)-129 — Diam. interorbitale: 24-25-(25,50)-26-273 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 9-10,-(11,50)-17- 19-20 — Id. dalle narici all’oechio: 24-25-(25,50)-26-27; — Id. dall'occhio al tim- pano: 0-3,-6-73 — Diametro mass. trasversale dell’occhio: 43-45,-45-(46,50)-47-50 — Id. minimo del timpano: 12-18-14, — Id. massimo: 129-183-14, — Lungh. delle parotidi: 67-72-75,-(76)-81-85 — Larghezza id.: 33-37-(38)-39-41,-43 — Lunghezza 240 LORENZO CAMERANO 58 del braccio: 122-127-129-130-131-(132,50)-143 — Id. dell’avambraccio: 85-88-92-93- (93,50)-94-102 — Id. della mano: 79-(87)-88-92-93-94-95 .— Id. del 1° dito della mano: 34-39-(41)-43,-44-48 — Id. del 2° dito: 31-33-34,-37, — Id. del 3° dito: 39- 43-(43,50)-46-47-48 — Id. del 4° dito: 27-(30,50)-31,-33,-34 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 19-20-21 — Id. dell’interno: 6-93-10-(11,50)-16-17 — Lunghezza della coscia: 128-129-130-131-134-(135,50)-143 — Id. della gamba: 122,-130-131-(132,50)-134-143 — Id. del piede: 207-217-(222,50)-230-234-236-238 — Id. del 1° dito del piede: 31-(37,50)-39-41,-43-44 — Id. del 2° dito: 61,-62-(64,50)- 66-67-68 — Id. del 3° dito: 92-95-(98,50)-99-100-102-105 — Id. del 4° dito: 128-136- (141)-143-149-151-154 — Id. del 5° dito: 85-92-93-(983,50)-95-98-102 — Id. del tu- bercolo metatarsale interno: 27-(32)-33-34-37, — Id. dell'esterno: 18-19-20, —- Di- stanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale : 27-(32)-33-34,-37, — Id. dall’apice del 2° dito: 40-41-43-(45)-46-48-50 — Id. dall’apice del 3° dito: 61-(64,50)-66-67-68, — Id. dall’apice del 4° dito: 12-13,-(16)-17-18-20 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 43-(48,50)-50-52-53-54,. Bufo mauritanicus. Individui giovani di Mogador (Marocco), in cui la lunghezza base varia da 69 a 82 mill. Lunghezza del capo: 102-105-(106)-108-110, — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari : 125-129-1830-131-132-135, — Id. a metà degli occhi: 97-99,-(101)-102,- 104-105 — Id. alle narici: 23;-24-25-(25,50)-28 — Alt. del capo alla regione tim- panica: 54,-55:-(55,50)-57, — Id. alle narici: 27,-28-(29,50)-30-313-32 — Lunghezza obliqua del capo: 104-110,-(111,50)-115-116,-119 — Diametro interorbitale: 363-37,- (38)-40, Distanza dall’apice del muso alle narici: 2-53-(5,50)-7-8,-9 — Id. dalle narici all’occhio: 25-28-303-313 — Id. dall'occhio al timpano: 53-(7,50)-9;-103 — Diam. massimo trasversale dell’occhio: 37-413-(41,50)-423-45-46 — Id. minimo del timpano: 12-13-14,-15-16,3 — Id. massimo: 14-163-(17,50)-18,-21, — Lunghezza del braccio: 1263-129,-130-(131)-132-136, — Id. dell'’avambraccio: 783-(87,50)-88-90-92-95,-97 — Id. della mano: 88-90-(91,50)-92,-94,-95, — Id. del 1° dito: 44-455-46-47,-(47,50)- 48-51 — Id. del 2° dito: 32-(34,50)-36,-37, — Id. del 3° dito: 42-44-459-46-(47,50)- 50-52, — Id. del 4° dito: 25-263-(26,50)-27,-28 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 23,-25-(25,50)-26,-27,-28 — Id. dell’interno: 15-169-(16,50)-18; — Lunghezza della coscia: 141-145,-149-(150,50)-151-152,-160 — Id. della gamba: 141- 143-144-145,-148-151-155 — Id. del piede: 213-217-224,-(226,50)-230,-240 —- Id. del 1° dito: 35,-363-37»-(38,50)-42, — Id. del 2° dito: 53-(60,50)-63,-653-68. — Id. del 3° dito: 92-(97)-99,-100-102, — Id. del 4° dito: 132-139-141,-143-145-149, — Id. del 5° dito: 88-90;-(91)-92,-94, — Id. del tubercolo metatarsale interno: 183-20-(20,50)- 21-23 — Id. dell’esterno: 10;-(12,50)-13-14,-15 — Distanza dall’ apice del 1° dito alla metà del margine libero della membrana interdigitale: 26-(31,50)-323-353-37 — Id. dall’apice del 2° dito: 46-47,-48-(50,50)-51-54,-55 — Id. dall’apice del 3° dito: 60- 65-(67,50)-68,-70-72,-75 — Id. dall’apice del 4° dito: 18-21,-(21,50)-22-233-25 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 403-(50)-513-529-54-60. 09 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 241 Maschi in amore di Tangeri. Lunghezza del capo: 88-90-93-96-(96,50)-104-105 — Larghezza del capo agli an- goli dei mascellari: 108-112-117-124-(125)-126-142 — Id. a metà degli occhi: 75-80- 84-(86)-88,-97 — Id. alle narici: 19-20-213-(22)-25 — Altezza del capo alla regione timpanica: 43-45,-47-(48)-53. — Id. alle narici: 22-23-24,-(24,50)-25-27 — Lungh. obliqua del capo dall'angolo mascellare al muso: 87-91-96-101-(106,50)-109-126 — Diametro interorbitale: 24-(29,50)-30-32,-35 — Dist. dall’apice del muso alle narici: 8-9-10-12-(14,50)-16-21 —- Id. dalle narici all'occhio : 17-18-21-22,-25 — Id. dall'occhio al timpano: 63-7-(7,50)-8,-9 — Diametro mass. trasversale dell'occhio : 33,-353-(39)-45 — Id. minimo del timpano: 13-143-(14,50)-15-16 — Id. massimo: 14-(15,50)-16,-17, — Lungh. mass. delle parotidi: 72-75:-78-(78,50)-82-85 — Larghezza id.: 27-35-(388)- 39-42-47-49 — Lungh. del braccio: 99-104-(109,50)-116-117,-120 — Id. dell’avam- braccio: 72-80-81-(82)-85,-92 — Id. della mano: 753-79-81-(83,50)-92 — Id. del 1° dito: 34-36-37-(37,50)-39,-41 — Id. del 2° dito: 21-25-(26,50)-27,-28-32 — Id. del 3° dito: 82-36,-(37)-41,-42 — Id. del 4° dito: 21,-24-(24,50)-25-26-28 — Diam. massimo del tubercolo palmare mediano: 18-(23)-24,-25-26-28 — Id. dell'interno: 14-15-17-(17,50)- 18-19-21 — Lungh. della coscia: 120-128-(141)-142-143-147-162 — Id. della gamba: 120-123-129-130-(136)-139-152 — Id. del piede: 189-190-192-211-(214,50)-215-240 — Id. del 1° dito: 30-32-36-(37)-41,-42 — Id. del 2° dito: 39-(55)-59-60-61-63-71 — Id. del 3° dito : 83-84-85-87-88-93 — Id. del 4° dito : 117-123-(126,50)-127-130-132-136 — Id. del 5° dito: 80-81-85,-87-(87,50)-95 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 15-18-19,-(19,50)-21-24 — Id. dell’esterno: 9-(10,50)-11;-12, — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 24-28-30-32, — Id. dall’apice del 2° dito: 37-39,-42-(43)-44-49 — Id. dall’apice del 3° dito: 53-54- (61,50)-63-64-69-70 — Id. dall’apice del 4° dito: 18-21,-(21,50)-24-25 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 45-49-(49,50)-51,-53-54. Maschi in amore di Rabat. Lunghezza del capo: 79-(85)-87-91, — Largh. del capo agli angoli dei mascel- lari: 103-106-(112)-114-121 — Id. a metà degli occhi: 80,-82-(83,50)-87 — Id. alle narici: 19-21-(21,50)-23-24 — Altezza del capo a metà della regione timpanica: 42- (44,50)-45,-47 — Id. alle narici: 243-(25,50)-26-27 — Lunghezza obliqua del capo dall’angolo mascell.al muso: 87-89-90-(93)-99 — Diam.interorbitale: 29-30-31-(31,50)-34 — Distanza dall’apice del muso alle narici : 6-7-(9,50)-10-13 — Id. dalle narici all'occhio: 29-30-31-(31,50)-34 — Id. dall’occhio al timpano: 103-(10,50)-11 — Diametro mas- simo trasv. dell'occhio: 32-(38)-34; — Id. minimo del timpano: 13-14-15, — Id. mas- simo: 17-18-(18,50)-19-20 — Lungh. mass. delle parotidi: 69-71-72-(73)-77 — Lar- ghezza id.: 34,-35-(39)-44 — Lunghezza del braccio: 110-114-(117)-122-124 — Id. del- l’avambraccio: 79-88-84-87 — Id. della mano: 79-80-83-(85)-91 — Id. del 1° dito: 39-41-(41,50)-42-44 — Id. del 2° dito: 30-31-32-(33,50)-37 — Id. del 3° dito: 39,- (39,50)-40, — Id. del 4° dito: 23-24-(25)-26-27 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 21-(22,50)-23,-24 — Id. dell'interno: 14-15-(15,50)-16-17 — Lun- ghezza della coscia: 128-134-(139,50)-144-151 — Id. della gamba: 123-128-(133,50)- 136-144 — Id. del piede: 196-212-(215,50)-220-235 — Id. del 1° dito: 34-35-36-37-38 Serir II. Tom. LIV. ei 242 LORENZO CAMERANO 60 — Id. del 2° dito: 58-(62,50)-64-67, — Id. del 3° dito: 86-91-(95)-96-104 — Id. del 4° dito: 123-133-135-(185,50)-148 — Id. del 5° dito: 80,-87-(88,50)-97 — Id. del tu- bercolo metatarsale interno: 14-16-19-24 — Id. dell'esterno: 9-10-11-13 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 31-32- 34-37 — Id. dall’apice del 2° dito: 42-45,-(46)-50 — Id. dall’apice del 3° dito: 64,- 65-(69)-74 — Id. dall’apice del 4° dito: 17-19-(20,50)-22-24 — Lungh. della ripie- gatura tarsea: 453-(47,50)-50. | | | Maschi in amore DE Saffi i Tunisi | | Lunghezza del capo . .|88-101| 92-(100)-106-108 |104-110 Largh. del capo agli angoli dei ‘mascellari . |121-137| 123-132-(141)-150 |125-131 Id. a metà degli occhi 3 | 92-99 86-90-(91)-96 86-88 Id. alle narici . | 23-29 22-(23)-24 | 229 Alt. del capo a metà della regione tir mpanica | 52-54 | 49-(52,50)-54-56 | 43-50 Id. alle narici . | 26-29 | 24-25-(27)-30 | 28-29 Lungh. obl. del capo dall’ angolo masc. al muso |108- -124| 95-108-(110,50)- 126 | | 103% Din interorbitale . na | 29-37 | 31-82-33 29-31 Distanza dall’ apice del muso alle narici . | 12-13 12:-(15)-18 | 8-11 Id. dalle narici all'occhio . . | 28-27 | 21-22-(24,50)-28 | 25-29 Id. dall’occhio al timpano . . .| 7-9 6,-(9)-12 3-4 Diametro massimo trasversale dell ‘occhio 37-39 | 36-37-(37,50)-39 34-36 Id. minimo del timpano . | 16-17 | 12-(14,50)-15-17. | 14-16 Id. massimo del timpano - . | 18-20 | 16-(18)-20 | 14-16 Lunghezza massima delle parotidi 3 ; | 75-85 65-(74,50)-81-84 83-88 Larghezza id. id. . | 37-39 | 37-42-(42,50)-48 33-38 Lunghezza del braccio . : 121- 124) 114-117-(121)-128 |116-126 Id. dell’avambraccio . | 91-92 | 90-92-(101)-112 88-97 Ia. della mano 88-91 77-84-(86,50)-96 85-86 Td. del 1° dito della mano | 43-46 39-(39,50)-40, | 40-41 Id. 2° dito id. 33-39 279-(27,50)-28 25-29 Id. 3° dito id. 39-41 | Ra 36- ED: -44 36-38 Id. 4° dito id. | 29, | 21-(26,50)-27-32 259 Diam. mass. del tubercolo palmare mediano | 23-29 | "97. -(27,50)-28, 38-58 Id. id. id. interno | 15-21 | 15-16- o) 21 18-2 Lunghezza della coscia . 147-166 148-(156,50)-160- 165] 130- Di Id. della gamba 137-158] 141-142-(144,50)-148| 137-147 Id. del piede i 198- 219 210-216-(233)-236 |216-225 Id. del 1° dito del piede | 39-46 36-(41)-42-46 36-41 Id. 2° dito id. N6sÈ 75) 60-(62,50)-64-65 61-66 Id. 3° dito id. . | 95-116 84-(94)-99-104 90-97 Id. 4° dito id. 141-158, 126-132-(137)-148 |130-144 Id. 5° dito id. 195-104) 90-95- ia 10, 90-91 Lunghezza del tubercolo metatarsale interno | 21-23 | 20-(21)-22, 22, Ta. id. id. esterno | 12-13 | 12-(13,50)-14-15 11-13 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del margine | | libero della membrana interdigitale . | 29-37 | 31-33-(33,50)-36 29-31 Id. id. del 2° dito. . | 43-54 | 39-(44,50)-46-50 | 36-47 Td.Mad-deli3*faito? | 65-75 54-59-(63)-72 61-66 Id. id. del 4° dito. 245 22-(23)-24, 22, Lunghezza della ripiegatura tarsea 49-54 48-49-(50)-52 50-54 vie) 61 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO vIRIDIS Laur., Ecc. 24 Maschi in amore di Tetuan. Lunghezza del capo: 88-91-93,-95-96-(97)-101-103,-104-105-106 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 113,-116-117-120,-121-123,-125-126-132-139 — Id. a metà degli occhi: 80-85-863-87,-(89,50)-90-92-93-96-97-99 — Id. alle narici: 20- 21-22-23:-(283,50)-24-25-26,-27 — Altezza del capo alla regione timpanica: 44-453-483- (49)-50-51,-53-54, — Id. alle narici: 23,-24-25-(26)-27,-28-29 — Lunghezza obliqua del capo: 99,-104,-105-107-108-(109,50)-110-111-115-116-120, — Diametro interor- bitale: 25-29-(30,)-31,-323-33-34,-35 — Id. dal muso alle narici: 73-8-9,-10-11-12,-14- 16-(17)-22-27 — Id. dalle narici all'occhio : 22-233-24,-(25,50)-26,-27,-29, — Id. dal- l'occhio al timpano: 6-7,-8,-9-10-11-123 — Id. trasversale dell'occhio: 343-363-37-38- (38,50)-39,-40-42-43, — Id. minimo del timpano: 13,-14;-15; — Id. massimo: 15- 16-17,-18-19,-20-21, — Lunghezza delle parotidi: 633-71,-75-77.-(78)-79-81-87-91-93 — Largh. id.: 293-32,-37-38-(38,50)-39,-41-48 — Lungh. del braccio: 111-1133-116- 117-118-120-121-123-(125)-132-134,-139 — Id. dell’avambraccio : 85-86-87-89-90,-91,- 92-93-96-97 — Id. della mano : 85-86,-873-88-89-90-(90,50)-91-92-96 — Id. del 1° dito: 36-38-39-40-41-42,-433-44,-46 — Id. del 2° dito: 31-32,-33-34;-35-36-37, — Id. del 3° dito: 36-393-41-42,-433-44-48 — Id. del 4° dito: 22-24-253-26-27-(27,50)-28-29-31-33 — Diam. mass. tubercolo palmare mediano : 19-22,-23-24,-25-26,-27, — Id. dell’interno: 12-133-143-(14,50)-15,-16-17 — Lungh. della coscia: 138-143-148-149-150-(150,50)- 153-154-158-159,-161-163, — Id. della gamba: 127-130-132-135-137-143,-144-(147)- 150-1513-167 — Id. del piede: 203-212-214-216-221-223-224-(225)-231-233-234-235- 236-247 — Id. del 1° dito: 33,-36-(38)-39-40-41,-42-433 — Id. del 2° dito: 59-62-63,- 64-(65,50)-66-67,-68-69-72, — Id. del 3° dito: 77-(90)-953-96-99-101;-103, — Id. del 4° dito: 131-134-136-1373-(141)-143,-147-149-151 — Id. del 5° dito: 86-87-89-91,-92,- 93-95-103:-104 — Id. del tubercolo metatars. interno : 16-17;-18-19;-20; — Id. esterno: 8-9,-10,-11-(11,50)-12,-13-15 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 27-303-323-34-85-37-38,-43 — Id. dall’apice del 2° dito: 36-(40)-45-47-48,-49-503 — Id. dall’apice del 3° dito: 62-63-64-65-67-68-70- (70,50)-74-77,-79 — Id. dall’apice del 4° dito: 13-16-19-(21)-22-23-24,-26-29 — — Lungh. della ripiegatura tarsea: 44-46-48-50,-51,-533-54-57-58. Maschi in amore di Mazagan. Lunghezza del capo: 93-95-(96,50)-100 — Larghezza del capo agli angoli de mascellari: 112-116-(125)-138 — Id. a metà degli occhi: 86-87-(93)-100 — Id. alle narici: 233-(27)-31 — Altezza del capo a metà della regione timpanica: 46-(50)-54 — Id. alle narici: 26-(27,50)-296 — Lungh. obliqua del capo dall'angolo mascellare al muso: 101-102-(106)-111 -- Diametro interorbitale: 29-32-(33,50)-38 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 15-(19)-20-23 — Id. dalle narici all'occhio: 20-23 - (23,50)-27 — Id. dall'occhio al timpano: 6-(8,50)-9-11 — Diametro mass. trasversale dell'occhio: 35-(36,50)-38, — Id. minimo del timpano : 14-(14,50)-15: — Id. mas- simo: 17,-(20)-23 — Lungh. massima delle parotidi: 73,-(75,50)-78 — Larghezza id.. 38,-(42)-46 — Lunghezza del braccio: 113-(124,50)-134-136 — Id. dell’avambraccio : 81:-(88,50)-96 — Id. della mano: 78-81-(87)-96 — Id. del 1° dito: 35-37-(38.,50)-42 244 LORENZO CAMERANO 62 — Id. del 2° dito: 25-26-(29,50)-34 — Id. del 3° dito: 32-35-(39)-46 — Id. del 4° dito: 22-23-(24,50)-27 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 23,-(25)-27 — Id. dell'interno: 17-18-19 — Lungh. della coscia: 132-139-(148)-157 — Id. della gamba: 127-128-(138)-149 — Id. del piede: 193-200-(215)-237 — Id. del 1° dito: 35- 40-(40,50)-46 — Id. del 2° dito: 60-61-(66,50)-73 — Id. del 3° dito: 86-87-(96,50)-107 — Id. del 4° dito: 121-128-(139)-157 — Id. del 5° dito: 81,-(90,50)-100 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 20-23-26 — Id. dell'esterno: 10-11-(12,50)-15 — Di- stanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 26-32-38 — Id. dall’apice del 2° dito: 26-32-38 — Id. dall’apice del 3° dito: 41-43- (45,50)-50 — Id. dall’apice del 4° dito : 20,-(21,50)-23 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 46,-48-50. Femmine in amore di Larache. Lunghezza del capo: 83-87-(94)-99-105 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 124,-129-(129,50)-135 — Id. a metà degli occhi: 86-92-97-98 — Id. alle narici: 22,-(28)-24, — Altezza del capo alla regione timpanica: 50,-(52)-53-54 — Id. alle narici: 24-25-(25,50)-26-27 — Lungh. obliqua del capo dall'angolo mascel- lare al muso: 100-105-109-110 — Diametro interorbitale: 30-31-384-38 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 33-6-9 — Id. dalle narici all’occhio: 25-26-27 — Id. dal- l'occhio al timpano: 9, — Diam. massimo trasversale dell'occhio: 383-39-42-46 — Id. minimo del timpano: 12-13-(16)-19-20 — Id. massimo: 18-19-(21)-22-24 — Lun- ghezza mass. delle parotidi: 74-(79,50)-81-83-85 — Larghezza id.: 30-(39)-41,-48 — Lungh. del braccio: 112-(120,50)-125-128-129 — Id. dell’avambraccio: 83-(92)-94-95- 101 — Id. della mano: 83-91-(92,50)-98-102 — Id. del 1° dito: 38-(44,50)-47-49-51 — Id. del 2° dito: 30-84-37-38 — Id. del 3° dito: 38-(43)-44-45-48 — Id. del 4° dito: 24-26-27-28 — Diametro mass. del tubercolo palmare mediano: 24-25-26-(27,50)-31 — Id. dell'interno: 13-14-15-(16)-19 — Lunghezza della coscia: 148-157-(158,50)- 167-169 — Id. della gamba: 127-(188,50)-144-146-150 — Id. del piede: 198-(219,50)- 225-233-241 — Id. del 1° dito: 32-34-(38)-41-44 — Id. del 2° dito: 56,-60-(62)-68 — — Id. del 3° dito: 91-94,-(100)-109 — Id. del 4° dito: 124-185-139-146 — Id. del 5° dito: 83-90-91-94-99 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 18-19-(21,50)-24-25 — Id. dell'esterno: 11-12-(12,50)-13-14 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 30,-31-(32)-34 — Id. dall’apice del 2° dito: 44,-45-(47,50)-51 — Id. dall’apice del 3° dito: 59-(65)-66-68-71 — Id. dall’apice del 4° dito: 21-23-24-25 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 41-47-48-53. Femmine in amore di Saffi. Lunghezza del capo: 93,-95-96-99 -— Largh. del capo agli angoli dei mascellari: 130-131-132-(132,50)-134-135 — Id. a metà degli occhi: 85-89-90-(91,50)-93-98 — Id. alle narici: 213-22,-(22,50)-24 — Altezza del capo alla regione timpanica: 51-52- 53-55, — Id. alle narici: 22-24;-27-32 — Lunghezza obliqua del capo dall’angolo mascellare al muso: 101-107-(107,50)-109-110-113-114 — Diametro interorbitale: 27- 31,-(31,50)-34-35-36 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 7-8-9-12-(13,50)-14-20 63 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Eco. 245 — Id. dalle narici all'occhio: 21-22-23-24-26-27 — Id. dall'occhio al timpano: 7,-(9)- 10-11, — Diametro mass. trasversale dell'occhio: 27-(383)-34,-35-37-39 — Id. minimo del timpano: 14,-16-17,-18 — Id. massimo: 15-18-(18,50)-19,-21-22 — Lunghezza massima delle parotidi: 82-85-(86)-87-89-90, — Larghezza id.: 43-45-(49)-513-55 — Lunghezza del braccio: 1123-113-122-123-132 — Id. dell’avambraccio: 76-79-82-(84,50)- 86-87-93 —Id. della mano: 76-84-(84,50)-86,-90-93 — Id. del 1° dito: 39-40-41-(42)-454 — Id. del 2° dito: 27,-28-31-32-33-39 — Id. del 3° dito: 40-413-42,-(42,50)-45 — Id. del 4° dito: 21-22-24-25-(25,50)-27-30 — Diametro mass. del tubercolo palmare mediano: 21-24,-(24,50)-26-27-28 — Id. dell’ interno: 14-15-16-(17)-18-20 — Lunghezza della coscia: 144,-146-154-(154,50)-157-165 — Id. della gamba: 131-137-(140,50)- 141-150 — Id. del piede: 197-198-(211)-213-215-216-225 — Id. del 1° dito: 34-35- (38)-39-41-42 — Id. del 2° dito: 51-55-58-(58,50)-59-65-66 — Id. del 3° dito: 85-90- 93:-(93,50)-99-102 — Id. del 4° dito: 122-124-128-130-(138)-144, — Id. del 5° dito: 81-82-84-(87)-90-93, — Id. del tubercolo metatarsale interno: 18-21;-22-24 — Id. del- l'esterno: 12-14,-(15)-17-18 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 25-(29,50)-31-32-33-34 — Id. dall’apice del 2° dito: 39-43-(45)-46-48-51, — Id. dall’apice del 3° dito: 56-58-61-(65.50)-69,-75— Id. dal- l'apice del 4° dito: 19-20-22-(23)-24,-27 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 48-51,- (51,50)-52-54-55. Femmine in amore di Tangeri. Lunghezza del capo: 82-87-88-(92)-94-96-102 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 108-109-112-117-(118,50)-120-129 — Id. a metà degli occhi: 77;-(85)- 87-93 — Id. alle narici: 19;-20-21-23 — Altezza del capo alla regione timpanica : 42-433-44-45-48 — Id. alle narici: 213-(22,50)-23,-24, — Lungh. obliqua del capo: 86-88-90-93-96-(98,50)-111 — Diametro interorbitale: 24-26-28-(28,50)-29-30-33 — Id. dall’apice del muso alle narici: 5-6-93-11-(13)-21 — Id. dalle narici all'occhio: 203-(20,50)-21, — Id. dall’occhio al timpano: 6-(7,50)-8:-9; — Diametro trasv. del- l'occhio: 313-32:-(35)-36-39 — Id. minimo del timpano: 12-13-14-15-18 — Id. mas- simo del timpano: 16-173-19-(19,50)-20-21 -- Lunghezza delle parotidi: 64-66-68-72- (74)-78-84 — Larghezza id.: 33-34,-(39)-45 — Lunghezza del braccio: 94-99-103-(104)- 109-111-114 — Id. dell’avambraccio: 723-773-(78)-81-84 — Id. della mano: 74-77- 78-(80)-84-85-86 — Id. del 1° dito: 29-31-34-37-39-45 — Id. del 2° dito: 233-(26,50)- 27-29-30 — Id. del 3° dito : 34;-(36,50)-37-39, — Id. del 4° dito: 19-20,-21,-(21,50)-24 — Id. del tubercolo palmare mediano: 20-213-(22)-23-24 — Id. dell’interno: 133-14»- 15-(16)-19 — Id. della coscia: 119-129-(131,50)-135-138-140-144 — Id. della gamba: 114-123-(124,50)-125-127-135, — Id. del piede: 185-188-189-193-(197,50)-207-210 — Id. del 1° dito: 33-34,-(34,50)-36 — Id. del 2° dito : 48-513-(54)-56-60 — Id. del 3° dito: 80,-83-85-(88)-90-96 — Id. del 4° dito: 114,-116-120-126, — Id. del 5° dito: 72-77-80-81,-82 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 163-17-(20)-21-24 — Idem esterno: 9,-11-12-13-15 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 21-23-(26)-27-29-30-31 — Id. dall’apice del 2° dito : 37+- 39-40-42-43 — Id. dall’apice del 3° dito: 51-563-57-60-63 — Id. dall’apice del 4° dito: 16-(19,50)-21,-23 — Lungh. della ripiegatura tarsea : 34-37-(42,50)-43-48-51-54. 246 LORENZO CAMERANO 64 Femmine in amore | Rabat | Tetuan Mazagan | Lunghezza del capo . . | 88, | 87-93 91-92-(97)-103 Largh. del capo agli angoli dei mascellari 118, (154-140. 119-121-(124)-129 Id. a metà degli occhi E MA ESA 86-(87,50)-89, Id. alle narici . . [O NOS 248 19-20-(21)-23 Alt. del capo a metà della reg. timpanica | | 46-49 50, 44-46-(47,50)-49 Idivalle naricitoe | 28-26 | 23-24 20-(23)-25-26 Lungh. obl. del capo dall’: ang. mase, al muso | 92-99 101-117 87-(91)-94-95 Diametro interorbitale . . . .| 29-38 | 80, | 29-30-(31,50)-34 Distanza dall’apice del muso alle narici . | MSSSt 08 0-9, fd. ‘dalle ‘narici all'0echio tt. REN: 023-268 20-(21, 50)- -22-23 Id. dall'occhio al timpano . . . (TO 1030) 65-(7,50)-9 Diametro massimo trasversale dell’occhio : 39-39 | 34-40 1-33-(33,50)-36 Ta: minimo ‘del timpano! See 3160 3-17 10. (12,50)-14-15 Id. massimo del timpano . . IRIS RIS 208) 15-16-(17)-19 Lunghezza massima delle parotidi 001 Ton SANB0= SE 61-72-(72,50)-84 Lar ghezza id. id. SOR N I RR 3) 379 | 33-37-(39,50)-46 Lunghezza del'bracconi i .| 111, [101-128] 94-102-(103)-112 Id. dell’avambraccio . sia + + «| 78-85 | 87-90 67-72-(75)-81 Id-T'aellafimano RR e 2, 87-90 78-80-(81)-84 Td.del A°dito Re: 36-40-(41)-46 Id. ‘del'2°5dito. LORA 30-32-34 Id. del'3°%dito.—.. CEREA 36-37-(45)-54 Id. del 4° dito . .| 263 | 27-80 | 22-(22,50)-23, Diam. mass, tubercolo palmare mediano Rimi23 | 24, | 22-23-24-26 Id. id. id. id. interno .| 13-16 | 10-17 13-(13,50)-14; Lunghezza della coscia . . . . . . .|144-150/144-163] 126-(133,50)-136-141 Id. della gamba . . . . . . . . .| 134; |144-147] 119-123-(127,50)-136 Id. del piede Lo... 0 0 | 199 (225-226) (188-197-(202)-207 Id: del.-1° dito, ai PRE SO e 33-34-(38)-43 1a: del 2°%ditof; ci A 0a ce 47-(55)-60-63 Ta: -del'3* dito so I SO STVOZION 83-(86)-89, Id. del 4° dito. . . . . .... .(121-137/140-141) 116-(121,50)-126-127 Id. del 5° dito . 82-88 | 90-94 | 75-(80,50)-81-86 Lungh. del tubercolo metatarsale interno | 204 20, 17-18-(20)-23 Id. id. id. esterno | 10-13 | 10-12 9-11-13 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | gine libero della membrana interdigitale | | 39a0 1 24-37 28-(28,50)-29, Id. id. id. LOTGIO tr a 98 479 28-29-(34)-40 Id. id. id. 30 Ito: ose e OO in 39-40-(49,50)-60 Id. id. id. ASTUILO VEL pe 1 OR AO SI IO 17-(18,50)-19-20 Lunghezza della ripiegatura tarsea. . .. 39-46 | 50-53 40-42-(44,50)-49 Femmine in amore di Tunisi. Lunghezza del capo: 85-89-90-(95,50)-106 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 119-125-128-(180)-141 — Id. a metà degli occhi: 81-(88,50)-91-95-96 — — Id. alle narici: 19-21-22-(22,50)-26 — Altezza del capo alla regione timpanica: 44-(47,50)-48-50-51 — Id. alle narici: 25,-26-(29)-33 — Lunghezza obliqua del capo dall’angolo mascellare al muso: 89-(101,50)-108,-114 — Diam. interorbitale : 28-30- 65 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 247 (31)-33-34 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 2-(4,50)-5-6-7 — Id. dalle narici all'occhio: 22-25-27-28 — Id. dall'occhio al timpano: 2-33-(4)-6 — Diam. trasversale dell'occhio: 31-34-(34,50)-36-38 — Id. minimo del timpano: 133-(14)-15, — Id. mas- simo: 13:-(15,50)-17-18 — Lungh. delle parotidi: 72-81-(88)-84-94 — Larghezza id.: 31-40-(43)-47-55 — Lunghezza del braccio: 110-116-(119)-126-128 — Id. dell’avam- braccio: 72-(80)-81-87-88 — Id. della mano: 78-81-(83)-81-87-88 — Idem del 1° dito: 343-(41)-48, — Id. del 2° dito: 22-(27,50)-28-30-33 — Id. del 3° dito: 38-39-41-44 — Id. del 4° dito: 22,-(25,50)-27-29 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 25-26-(27,50)-28-30 — Id. dell’interno: 13;-(15,50)-18: — Lunghezza della coscia : 128-141-(143,50)-154-159 — Id. della gamba: 125-128-(136)-143-147 — Id. del piede: 191-200-(209,50)-210-228 — Id. del 1° dito: 34-37-38-(39,50)-45 — Id, del 2° dito: 53-56-(59,50)-62-66 — Id. del 3° dito: 81-85-90-99 — Id. del 4° dito: 125- 128-(132)-135-139 — Id. del 5° dito: 78-(88,50)-91-92-99 — Id. del tubercolo meta- tarsale interno: 19,-(21,50)-22-24 — Id. dell'esterno: 11-13-15 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 28-30-(30,50)-31-33 — Id. dall’apice del 2° dito: 39-41-(43,50)-44-48 — Id. dall’apice del 3° dito: 59-60- 63-(66)-73 — Id. dall’apice del 4° dito: 19,-(21,50)-22-24 — Lungh. della ripiega- tura tarsea: 47-48-(49)-50-51. Bufo regularis. Giovani in cui la lunghezza base varia da 10 a 30 millimetri, di Wadi Halfa (Sudan). Lunghezza del capo: 120-122-1259-126,-127;-129-132-135,-138g-1403-1443 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 120-123,-125-126,-127,-135,:-(137)- 138-144,0-1483-154, — Id. a metà degli occhi: 90-93,-96,-98;-100g-101,-1033-(105)- 108,-116,-120,; — Id. alle narici: 25-26-27-30,7-323-(33,50)-34,-35,g-360-37,-385-42 — Altezza del capo alla regione timpanica: 473-4811-51;-543-(55,50)-57,-58,-60,0-62x- _ 63;-64, — Id. alle narici: 34,0-357-36,-88;-42,; — Lungh. obliqua del capo dall'angolo mascellare al muso: 126-127-128;-130-135;-138,>140-1423-1439-144;3-148-1540 — Diametro interorbitale: 34-363-39-403-4213-(42,50)-45-48,1-51, — Distanza dall’apice del muso alle narici: 0,9-2-4-513-(5,50)-6,-7,-9; — Id. dalle narici all'occhio: 23-28,- 30-32,3-(32,50)-343-37-385-40,1-413-42;»3 — Id. dall’occhio al timpano: 0;» — Dia- metro trasv. dell'occhio: 42-47-48,-49,-50-513-5319-54-55,-573-603-62;-64-68 — Idem min. deltimpano - timp. invisibile in 50 esempl.; in 2 esempl.: 20-23 — Id. mass: 20-23 — Lung. del braccio: 96-100,-101-102-1033-106,-1073-(111,50)-113,,-102-1023-106-108- 115-118-120,0-126,-127 — Id. dell’avambraccio: 64-68-723-75-773-78-79;-(79,50)-80,7- 837-84-85-90,-95 — Id. della mano: 859-86-90,-91,-92;-95-963-(96,50)-100,9-101, — — Id. del 1° dito: 36-39,-40;-(40,50)-41,-423-43,3-45» — Id. del 2° dito : 26,-32;- 33:-34;-35,0-36,5-40 — Id. del 3° dito: 45-473-48,-50;-51,-52:-(52,50)-537-543-55y- 57-60 — Id. del 4° dito: 243-25-26,-27,4-283-303-32;-333-36 — Diametro massimo del tubercolo palmare mediano: 163-17,0-1810-19s-20;3-21,11-24 — Id. dell'interno: 9,- 10-11;-124-(12,50)-133-14,9-15,1-163 — Lunghezza della coscia: 131,-152;-135y-137- 1383-140g-141-1433-(143,50)-144;-146,-148;-156; — Id. della gamba: 1209-1254-120y- 248 LORENZO CAMERANO 66 127,-129,-132-135;-1384-1413-1423-144; — Id. del piede: 200,-203-2063-212,3-214-216- 220-(223)-224:-225,-228-231-233-240,-246 — Id. del 1° dito: 39-403-42,3-43-45g- (46,50)-48,0-54,5 — Id. del 2° dito: 513-54-55,-58-(59,50)-60;-62;-633-64,3-68,4 — Id. del 3° dito: 80-85,7-86-90,3-(92)-96,,-100-103,-104 — Id. del 4° dito: 117-120g- 131,-(132,50)-1353-138,-140,-141,-1423-144g-1463-148,3 — Id. del 5° dito: 72,-75- 775-807-(84)-859-90,7-96; — Id. del tubercolo metatarsale interno: 1130-133-15g-173- (17,50)-18;-24,3 — Id. dell’esterno: 54-63-711-(7,50)-8,7-910-107 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 213-28,-30s- (31,50)-36,-42,, — Id. dall’apice del 2° dito: 36-39-401-(44,50)-45,3-48;-51-527-531e — Id. dall’apice del 3° dito: 54-60-64,0-(65)-683-69s-72-76; — Id. dall’apice del 4° dito: 18-20,3-217-(22,50)-233-24g-27, Lunghezza della ripiegatura tarsea: 51,-55,3-562- 583-60-64,,-66-68,-69-(69,50)-72,-76-78. Individui giovani di Wadi Halfa (Sudan) la cui lunghezza base varia da 31 a 38 millimetri. Lunghezza del capo: 114-116 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari : 128, — Id. a metà degli occhi: 104, — Id. alle narici: 23-24 — Altezza del capo alla regione timpanica: 47-58 — Id. alle narici: 28-29 — Lunghezza obliqua del capo: 117-128 — Diametro interorbitale: 38-39 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 0-2 — Id. dalle narici all'occhio: 28-39 — Id. dall'occhio al timpano: 0° — Diam. massimo trasv. dell'occhio: 43-46 — Id. min. deltimpano: 19-26 — Id. mass.: 19-23 — Lun- ghezza delle parotidi: 70-76 — Larghezza id.: 23-24 — Lunghezza del braccio: 99-114 — Id. dell’avambraccio: 66-76 — Id. della mano: 88-95 — Id. del 1° dito: 46-47 — Id. del 2° dito: 35-43 — Id. del 8° dito: 46-47 — Id. del 4° dito: 28-29 — Diametro mass. del tubercolo palmare mediano: 17-19 — Id. dell'interno: 12-14 — Lungh. della coscia: 139-152 — Id. della gamba: 128, — Id. del piede: 197-218 — Id. del 1° dito: 35-38 — Id. del 2° dito: 57-64 — Id. del 8° dito: 93-99 — Id. del 4° dito: 128-133 — Id. del 5° dito: 81-88 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 17-19 — Idem dell’esterno: 12-14 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 35-38 — Id. dall’apice del 2° dito: 46-47 — Id. dall’apice del 3° dito: 57-64 — Id. dall’apice del 4° dito: 19-23 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 52-57. Maschi in amore di Wadi Halfa (Sudan). Lunghezza del capo: 97-103-105-1063-108-110,-112-1133-(113,50)-114-1153-117s- 118;-120,-123-130 — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 118-1203-1223- 123-1243-125-126,-127;-128,-129-130-131;-135-137-138 — Id. a metà degli occhi: 89- 92-97,-98,-99-101-102,-103-104-105;-1063-107;-108,-109 — Id. alle narici: 19-20-21- 23,-24,-253-26-27,-28,-31 — Altezza del capo alla regione timpanica: 46;-47-484-493- 50,-51,-52;-58;-54,-55-56-59-60 — Id. alle narici: 22-23-24-253-269-(26,50)-273-28,- 29,-303-313 — Lunghezza obliqua del capo: 106-107-109-1113-1133-115-116-117,-1183- 120,-122;-123-124-125-126 — Diam. interorbitale: 26-27,-28-29,-30,-313-32,-(32,50)- 67 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 249 339-34-35,-36-39 — Dist. dall’apice del muso alle narici: 0-34-43-63-7;-83-10-113-123-13, — Id. dalle narici all’occhio: 21-233-243-26;-275-283-(28,50)-29,-30,-31,-32,-33-36 — Id. dall'occhio al timpano: (8)-033-2; — Diam. mass. trasvers. dell'occhio: 35-383-39s- 409-41-423-43-44-(44,50)-45;-46,-473-48-49-51-54 — Id. minimo del pagar 19-20,- 21,-223-239-243-(25,50)-263-27,-28-30-31-32 — Id. massimo : 20-21,-22-23,-25-26,-273- 28,-29,-30-31,-32 — Lunghezza delle parotidi: 55-56-58-59-60-61-62-63,-64-663-68,- 69,-70-71-72,-75-76,-77-78-83 — Largh. id.: 19-20-213-22-23;-24,-(25,50)-26-27-29- 31-32, — Lungh. del braccio: 105-109,-1103-111,-112,-113;-1153-116-1173-(117,50)- 1183-120,-123-130 — Id. dell’avambraccio : 72-743-763-773-78,-79;-80-81-82-833-86-90, — Id. della mano: 77-793-83,-84-85,-863-87-88:-(88,50)-90;-92,-973-100 — Id. del 1° dito: 353-38-39;-40-41-42-43-453-46,-47-483-49-50-51 — Id. del 2° dito: 21-24,-26;- 27-28-29-80,-31;-32,-33-343-35-36-38-39, — Id. del 3° dito: 36-39-40,-413-42-433-44- 453-463-473-48,-49,-503-53-54 — Id. del 4° dito: 21-23,-24,-25-26-27,-28,-29, -30,- 319 323-35 — Diam. del tuberc. palmare mediano: 15-16-173-18-19;-20g-21-22,-233 — Id. dell’interno: 93-103-113-12-13,-14-15;-16,-19 — Lunghezza della coscia: 124-125- 126-128-129-1303-1313-132-133-134,-(134,50)-135,-136-1383-139-1413-142-144,-145 — Id. della gamba: 120-122,-124,-1253-126-128,-129,-130-131,-132-1333-134,-138,-144 — Id. del piede: 197-199-203,-2043-205-206-207,-208-209-210-211-212-2159-2163- (217)-219,-221-223-237 — Id. del 1° dito del piede: 31-32-33-343-35-36:-(37)-38;- 39;-40-41-43 — Id. del 2° dito del piede: 47,-533-55-56,-57-58,-59-603-613-62,-63- 64-663-68,-71 — Id. del 3° dito del piede: 83-85-88-89-90,-92,-933-94;-97,-98;-99-100- 101-102-103-104-111 — Id. del 4° dito: 123-125-128,-130-131;-132,-133-(1834,50)-135;- 136,-1383-139-141,-1443-146 — Id. del 5° dito: 75-80-82-83,-84-85,-86;-(86,50)-87,-88- 90,-92,-93-953-98 — Id. del tubercolo metatars. interno: 10-11-12-13,-(13,50)-14;-15- 16;-17; — Id. dell’esterno: 3-6-73-8;-9-(9,50)-103-11;-123-133-143-15-16 — Distanza dal- l’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdigitale: 23-26,-28,- 29,-303-313-(31,50)-32,-33,-343-352-36,-383-40 — Id. dall’apice del 2° dito: 36-38- 399-41-427-443-453-463-47,-483-493-50-52-54 — Id. dall’apice del 3° dito: 52,-553-56- 979-584-599-60,-61-62-633-642-(64,50)-66,-68-69-72-77 — Id. dall’apice del 4° dito: 14-153-165-173-18-193-20,-21:-22-23;-24-26-30 — Lunghezza della ripiegatura tarsea: 45-46-49-513-52;-53-(58,50)-54,-55:-56-57-58-59-60-62. Femmine in amore di Wadi Halfa (Sudan). Lunghezza del capo: 100-102-103,-104-1063-1073-1103-1113-112-114-117-1183-122, — Larghezza del capo agli angoli dei mascellari: 1183-120;-122-1243-1253-126-1273- 128-130,-131-138, — Id. a metà degli occhi: 903-92- 98. 94-97-983-99-1003-1013-102- 104-1053-106-108 — Id. del capo alle narici: 213-233-24;-25-(25,50)-26;-27-29,-30 — Altezza del capo a metà della regione timpanica: 43-443-46-47-48-493-50-52;-53-55 — Id. alle narici: 22-233-24,-253-267-27-28-29-30,-32 — Lungh. obliqua del capo: 101-104-1063-107-108-109-111-112-114-115,50-116-117-118-120,-122-124-136 — Dia- metro interorbitale: 25-26,-28-29,-30,-313-323-333-36 — Distanza dall’apice del muso alle narici: 0,0-23-33-43-5-(6,50)-10-11 — Id. dalle narici all'occhio: 23-24-25-26,-27- 28-29-303-31-32-33 — Id. dall'occhio al timpano: 030-2» — Diam. mass. trasv. del- l'occhio: 35-373-38-393-403-(41)-42;-433-45-465-473 — Id. min. del timpano: 183-20-21,- Serte IT. Tom. LIV. a! 250 LORENZO CAMERANO 65 22,-28-24-253-26,-28 — Id. massimo: 20;-21:-23:-(24;50)-25;-263-27,-28-29 — Lun- ghezza delle parotidi: 55-58-59,-60-61-62-63,-64-66-(67,50)-68-69.-70-71-72-78-80 — Larghezza id.: 16-18-19,-203-21;-223-23-243-25-26; — Lunghezza del braccio: 103-106,- 107-109-110-111,-112-113-114-115-118-120-122 — Id. dell’avambraccio: 61-69-703- 72,-733-(783,50)-74-75-77-78;-80-82-86 — Id. della mano: 77-79,-80,-84-853-(85,50)- 87-88,-89,-90-91-92,-94, — Id. del 1° dito della mano: 333-37-39-40-42,-43-45-46,- 47,-48-49-50-51-52-53-59 — Id. del 2° dito: 265-29,-30-313-32,-33;-(38,50)-34,-35-36-41 — Id. del 3° dito: 37-39,-403-42;-44-(44,50)-46-47;-48-49-52 — Id. del 4° dito: 21- 23,-24-25-26-27,-28,-29,-31-32-33 — Diametro massimo del tubercolo palmare me- diano: 17-18,-19;-20;-21;-22-23, — Id. dell'interno: 9-10-113-12,-18,-14;-16;-19 — Lungh. della coscia: 120-122-127,-131-132,-134-(135,50)-137-138,-140-1413-142-143- 144-146-147-151 — Id. della gamba: 120,-122;-124;-126,-127,-(128,50)-1303-131;- 133-137 — Id. del piede: 197-201,-202-203,-204-206-(206,50)-207,-209,-2113-212- 214-216; — Id. del 1° dito del piede: 31-32,-33,-343-35,-36-373-(38,50)-39,-40,-42- 43-46 — Id. del 2° dito: 51-52-53-54-563-57,-58,-59-603-(61,50)-64-653-06-72 — Id. del 3° dito: 85,-86-87-88-89-90,-92,-93-94,-96-98-101-(103,50)-105-122 — Id. del 4° dito: 120-122-124-125-126-1303-131,-132,-134;-136-138-1443 — Id. del 5° dito: 79-803-81-82,-84-85:-863-87-88-89,-90,-923-105 — Id. del tubercolo metatarsale interno: 123-133-14,-164-17-(18)-24 — Id. dell'esterno: 3-53-63-73-8-(8,50)-93-103-113-12,-133-14 — Distanza dall’apice del 1° dito a metà del margine libero della membrana interdì- gitale: 23-26:-30;-(80,50)-31:-32;-33;-36, — Id. dall’apice del 2° dito: 34-373-39-403- 41-42,-439-44-46:-47-48-50 — Id. dall’apice del 3° dito: 52-53-573-583-59-603-61-62- 633-643-66-67-72 — Id. dall’apice del 4° dito: 11-16,-17-(17,50)-18-193-20-213-22»- 23,-24 — Lungh. della ripiegatura tarsea: 42,-44-46-47,-49,-50,-51,-52-533-56-58- 5993-60-62. 69 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO vIRIDIS Laur., Ecc. 251 Bufo viridis. CLASSI ESTREME. Individui giovani Siria Torino Siria Sassari Lunghezza base (espressa in millimetri) 11-20 20-40 30-50 30-50 Lunghezza del capo . 131-138 | 115-137 | .81-115 96-123 Largh. del capo agli angoli dei mascellari 123-133 | 115-144| 122-133 108-134 Id. a metà degli ‘occhi i 98-114 | 97-120 | 81-147 90-115 Id. alle narici . 33-34 25-34 24-31 23-29 Alt. del capo a metà della reg. timpanica 45-65 49-64 40-48 42-51 Id. alle narici . 29-38 24-34 24-3 23-31 Lungh. obl. del capo dall’ ang. mase. al muso | 153-148 | 116-144) 109-126 108-134 Diametro interorbitale . ; 38-97 25-42 25-36 26-41 Distanza dall’apice del muso alle narici . — 3-17 3-8 0-17 Id. dalle narici all'occhio . 38-49 25-40 25-31 23-36 Id. dall'occhio al timpano i 0-7 2-7 0-7 Diametro massimo trasversale dell'occhio | 56-57 40-60 41-54 39-53 Id. minimo del timpano | — \7-17inv.7, 8-16 8-14 Id. massimo del timpano . — {7-17 id. 9-16 8-14 Lunghezza massima delle parotidi . — 62-86 65-94 66-94 Larghezza id. 1d.. - 24-40 33-54 24-45 Lunghezza del braccio . 98-114 | 72-133 | 106-128 108-130 Id. dell’avambraccio 73-88 | 72-98 | 70-90 72-102 Id. della mano 18-08) 745108 | ‘70-98 82-102 Id. del 1° dito 2 —88 31-58 | 33-49 39-49 Id. del 2° dito ° (SE —34| 31-43 27-41 25-41 Id. del 3° dito ss—07| 40-58 40-49 41-53 Id. del 4° dito . | 2 e—88| 25-40 24-41 24-34 Diametro mass. tubercolo palmare mediano | 2°-19| 7-17 16-20 12-22 Id. id. id. id. interno.|8£—19| 4-17 8-17 6-14 Lunghezza della coscia . | 124-148) 115-158| 118-149 120-151 Id. della gamba . | 111-133 | 106-144| 125-135 120-134 Id. del piede 183-213 | 180-245 | 184-227 192-229 Id. del 1° dito Si 88 33-51 39-41 31-42 Id. del 2° dito = 57| 48-77 49-70 | 48-65 Id. del 3° dito = 95 | 80-108 81-110 | 72-102 Id. del 4° dito = 133| 115-158| 126-149 | 120-149 Id. del 5° dito | & 95| 80-101 81-98 77-102 Lungh. del tubercolo metatarsale interno | © 19] 12-22 14-20 12-22 Id. id. id. £ 8| 3-8 4-16 7-16 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | & gine libero della membrana interdigit. | £ 38 | 24-40 25-37 27-41 Id. id. id. 2° dito SUO 39-58 35-51 42-55 Id. id. id. 3° dito 2 76) 62-90 53-72 60-79 IR: VUE > id ‘4° dito = 28) 15-36 16-26 17-26 Lunghezza della ripiegatura tarsea 2 57| 42-72 44-65 42-59 N Ur DO LORENZO CAMERANO Bufo viriais. CLASSI ESTREME. 70 Individui giovani Catania Taranto Ancona Lunghezza base (espressa in millimetri) 30-50 38-43 53-59 Lunghezza del capo . . I 114-131 114-123 106-122 Largh. del capo agli angoli dei ‘mascellari ed 11142 123-134 118-136 Id. a metà degli occhi 92-114 95-109 93-109 Id. alle narici . | 23-34 25-28 23-27 Alt. del capo a metà della - regione timpanica | 45-55 44-54 46-50 Id. alle narici . 23-34 25-28 23-27 Lungh. obl. del capo dall’ angolo masc. al muso 113-133 114-126 110-129 Diametro interorbitale . . . Sag 23-43 26-33 24-27 Distanza dall’ apice del muso alle narici . 3-9 13-19 9-20 Id. dalle narici all’occhio . 23-34 24-28 24-27 Id. dall'occhio al timpano . . lo- 11 (invis. 2) 0-2 0-7 Diametro massimo trasversale dell’ occhio 37-47 44-50) 43-50 Id. minimo del timpano Nord dl II) 5-13 12-14 Id. massimo del timpano . . NERA ICE 16 (id.) 5-15 12-14 Lunghezza massima delle parotidi ; 70-86 70-85 67-85 Larghezza id. id. | 28-45 28-45 39-43 Lunghezza del braccio (a et01-133 114-134 122-143 Id. dell’avambraccio . | 65-95 79-92 85-102 Id. della mano. . 11-98 79-85 19-95 Id. del 1° dito della mano 33-47 28-44 34-48 Id. 2° dito id. 28-39 24-38 31-37 Id. 3° dito id. 43-51 38-47 39-48 TGA 4° dito id. 23-41 25-28 27-34 Diam. mass. del tubercolo palmare mediano 11-23 17-19 19-21 Id. id. id. interno | 4-16 8-9 6-17 Lunghezza della coscia . | 98-147 123-134 128-143 Id. della gamba 90-142 114-126 122-143 Id. del piede ; 173-235 189-211 207-238 Id. del 1° dito del piede 33-49 28-42 31-44 Id. 2° dito id. 56-69 55-60 61-68 Id. 3° dito id. 90-106 85-95 92-105 Id. 4° dito id. 128-157 | 123-142 128-154 Id. 5° dito id. | 79-110 | 85-92 85-102 Lunghezza del tubercolo metatarsale interno | 15-23 i 14-20 27-37 Id. id. id. esterno | 4-12 5-9 18-20 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del margine | libero della membrana interdigitale 21-54 | 26-36 27-37 Id. id.. del 2° dito. 38-54 | 44-50 40-50 Id. id. del 3° dito. 60-79 | 61-72 61-68 Id. id. del 4° dito. 15-26 | 18-21 12-20 Lunghezza della ripiegatura tarsale 33-56 | 38-57 43-54 71 Maschi in amore RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., ECC. Bufo viridis. CLASSI ESTREME. Givoletto Moncalieri Ancona Lago Trasimeno Lunghezza del capo . Largh. del capo agli angoli dei mascellari Id. a metà degli 0h x 96-118| 93-124104-115/108-116 107-133 (111-139/116-126/116-134 90-114 | 87-120) 92-118) 89-100 Id. alle narici . Alt. del capo a metà della regione timpanica Id. alle narici . Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso Diametro interorbitale . 5 - | 23-38 | 23-35 | 22-26 | 21-30 Distanza dall’apice del muso alle narici . 6-19 3-21 | 11-18 | 6-17 Id. dalle narici all'occhio . | 17-35; | 23-32 | 21-26 | 21-29 Id. dall'occhio al timpano. . 0-6 0-3 0-6 0-6 Diametro massimo trasversale dell’ d.iiù | 30-47 | 35-50 | 39-44 | 38-44 Id. minimo del timpano . | 11-21 | 11-22 | 11-19 | 12-17 Id. massimo del timpano . RI 11- 24 | 12-22 | 11-19 | 12-18 Lunghezza massima delle parotidi .- | 57-90 | 63-90 | 79-89 | 72-89 | Larghezza id. dali 91 39 | 24-39 | 38-44 | 34-44 Lunghezza del ‘braccio : 23-44 | 23-32 | 23-26 | 23-29 38-55 | 37-51 | 42-48 | 40-53 23-35 | 20-31 | 23-27 | 24-29 94-120 |105-129/111-118100-122 Campobasso 99-124 112-128 81-103 21-25 36-48 20-29 100-133 21-30 3-21 19-29 0-5 I4-A44 11-17 13-17 70-92 27-43 . | 110-152 111- 145126-148,108-139) 107-138 Id. dell’avambraccio . . | 71-114| 79-109) 87-101| 89-99 | 83-100 Id. della mano . | 79-111| 82-104| 83-97 | 83-79 | 80-93 Id. del 1° dito | 225 48 | 35-50 | 35-40 | 36-46 | 38-48 Id. del 2° dito | 27-42 | 24-45 | 30-42 | 27-36 | 28-38 Id. del 3° dito 4-55 | 34-51 | 41-48 | 33-46 | 33-46 Id. del 4° dito 23-39 | 23-35 | 24-29 | 25-35 | 23-30 Diametro mass. tubercolo palmare mediano | 17-24 13-22 | 18-23 | 18-25 | 17-25 Id. id. id. id. interno. 9-21. | 11-22 | 8-17) 9-17 | 14-22 Lunghezza della coscia . 104-171 130-166 120-148126-143, 118-142 Id. della gamba 120-152 |\118-148126-138 122-134) 118-137 Id. del piede 212-288 |209-249/224-242/211-242) 217-252 Id. del 1° dito 29-49 | 30-50 | 33-45 | 33-46 | 32-43 Id. del 2° dito 53-93 | 53-78 | 59-73 | 61-69 | 59-71 Id. del 3° dito 77-115| 77-124 89-113| 94-109) 89-133 Id. del 4° dito 134-166 124-174 142-164 139-160 136-166 Id. del 5° dito 69-107 79-112 89-107 83-103. 86-106 Lungh. del tubercolo metatarsale interno 16-25 | 12-22 | 27-37 | 16-23 | 15-20 Id. id. id. esterno 6-19 8-14 | 16-23 8-16 | 10-19 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. | 25-48 | 26-44 | 27-37 26-35 | 28-41 Id. id. id. 2° dito. 87-57 | 33-60 | 41-56 | 39-48 | 43-57 Id. id. id. .8° dito. 55-77 | 51-79 | 59-73 | 55-70 | 59-74 Id. id. id. 4° dito. : 6-20 6-22 | 11-23 | 11-18 | 10-23 Lunghezza della ripiegatura tarsea 44-69 | 42-71 49-63 | 50-57 47-67 254 LORENZO CAMERANO 72 Bufo viridis. CLASSI ESTREME. | 8 3 s | 8 E Maschi in amore : È | ADS È E S See = È Lunghezza del capo . 108-112 107-116 111-132 98-118| 92-128 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | 114-124 126-134/101-122/114-132 |111-139 Id. a metà degli occhi 90-102| 92-110) 87-103! 84-102| 83-111 Id. alle narici . 22-28 | 24-30 | 21-28 | 21-27 | 19-28 Alt. del capo a metà della reg. timpanica 42-50 | 39-50 | 39-49 | 42-51 | 39-55 Id. alle narici . 22-26 | 24-28 | 21-28 | 21-28 | 18-30 Lungh. obl. del capo dall’: ang. masc. al muso | 95-120|107-118/102-123) 98-114| 97-133: Diametro interorbitale . 25-81 26-29 | 24-33 | 21-33 | 22-35 Distanza dall’apice del muso alle narici . 3-21 | 20-13 | 0-8 0-14 0-20 Id. dalle narici all’occhio . 21-25 | 24-25 | 24-81 | 21-80 | 19-28 Id. dall'occhio al timpano . 0-3 0-3 0-5 0-5 | 4055 Diametro massimo trasversale dell’ ‘occhio 39-43 | 35-41 | 36-44 | 34-47 | 35-46 Id. minimo del timpano 12-16 | 15-17 | 11-21 | 13-19 |-10-23 Id. massimo del timpano . 12-16 | 15-17 | 11-21'| 14-19! 13-23 Lunghezza massima delle parotidi . 69-112| 72-85 | 71-94 | 75-89 | 70-92 Larghezza id. 2 ue 26-43 | 34-38 | 31-46 | 30-39 | 32-51 Lunghezza del ‘braccio 3 122-133 |122-129120-139/122-143 115-149 Id. dell’ avambraccio . 35-99 | 87-100) 69-101| 837-106 85-106 Id. della mano 83-90 | 87-98 | 74-98 | 85-97 | 75-99 Id. del 1° dito 31-48 | 38-46 | 36-45 | 37-47 | 32-49 Id. del 2° dito 31-33 | 29-36 | 26-38 | 28-35 | 25-41 Id. del 3° dito 37-43 | 40-45 | 36-49 | 37-49 | 36-49 Id. del 4° dito 22-34 | 20-29 | 25-36 | 29-35 | 22-36 Diametro mass. tubercolo palmare mediano 19-22 | 19-26 | 16-27 | 16-24 | 15-25 Id. id. id. id. interno. | 11-18 9-15 | 5-24 | 3-15 | 3-20 Lunghezza della coscia . . | 127-144 |126-149|123-159 123-153 [120-160 Id. della gamba . | 122-132 | 122-144/123-147|126-143 |112-154 Id. del piede . 216-233 | 209-236 206-252 222-249 209-258 Id. del 1° dito | 32-43 | 34-41 | 32-46 | 34-47 | 28-46 Id. del 2° dito 53-69 | 58-70 | 59-86 | 64-77 | 51-71 Id. del 3° dito .| 89-116| 93-113| 95-122) 99-116| 80-116 Id. del 4° dito . | 143-153 | 145-159 /138-172143-171|136-170 Id. del 5° dito | 90-99 | 89-100) 87-112) 89-112| 84-112 Lungh. del tubercolo metatarsale interno 15-19 | 19-21 | 15-23 | 14-22 | 15-23 Id. id. id. esterno 9-9 2-9. | 8-16! 5-15 | 2-19 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. | 26-39 | 29-36 | 25-39 | 29-37 | 24-41 Id. id. id. 2° dito. ; 39-43 | 34-46 | 35-56 | 37-47 | 26-58 Id. id. id. 38° dito. 61-69 | 58-70 | 53-76 | 58-75 | 50-88 Id. id. id. 4° dito. 5-8 5-12 | 10-22 | 10-23 5-24 Lungh. della ripiegatura tarsea . 37-60 | 52-60 | 49-69 | 47-58 | 42-62 Bufo viridis. CLASSI Maschi in amore Lunghezza del capo . . Largh. del capo agli angoli dei mascellari Id. a metà degli occhi | Id. alle narici . . Alt. del capo a metà della reg. timpanica Id. alle narici . Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso Diametro interorbitale . Distanza dall’apice del muso alle narici . | Id. dalle narici all'occhio . Id. dall'occhio al timpano . Diametro massimo trasversale dell’ oechio | Id. minimo del timpano Id. massimo del timpano . . Lunghezza massima delle parotidi . Larghezza id. Lunghezza del braccio . Id. dell’ avambraccio . Id. della mano Id. del 1° dito Id. del 2° dito Id. del 3° dito Id. del 4° dito Diametro mass. tubercolo palmare mediano | Id. id. id. id. Lunghezza della coscia . Id. della gamba Id. del piede . . del 1° dito . del 2° dito . del 3° dito 4° dito 5° dito . del tubercolo metatarsale interno id. id. esterno Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. interno . Id. id. 100 N 2° dito Id. id. id. 3° dito Id. id. id. 4° dito Lunghezza della ripiegatura tarsea . ESTREME. Corfù | 92-111 115-138 23-30 38-47 23-30 104-122 23-32 n (A) DI ' pai — (er) 59-73 91-120 134-168 90-108 | 15-28 8-14 27-42 39-53 54-78 10-18 45-62 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Candia Laur Siria 92-110 | 95-106 113-122 935-101 24-26 42-46 24-26 25-26 1-15 21-26 3-9 | 87-41 | 15-20 18-25 69-77 29-35 123-137 | 95-101 88-98 STA1 30-35 37-41 25-35 1* 20-25 ESSI 148-153 | 134-148 | 236-243 | 35-44 59-72 94-113 148-159 89-103 15-20 5-13 33-41 39-51 62-66 5-18 58-62 96-120 113-129 83-111 21-30 37-48 19-31 102-120 22-30 3-17 19-30 0-4 36-44 12-17 12-20 62-85 29-44 118-138 84-102 58-73 953-110 133-163 89-110 1, E00. Ut (SA Tiflis 25-30 105-124 26-30 DAI 3-80 ni 6 39-43 11-18 11-18 75-102 36-49 118-148 838-109 v 00 1 (30) I DI DI PH MIMO DOH —- = IU DMN Vv Ò Ut ©) ' a 94- 107 140-161 89-102 18-24 4-18 26-41 44-48 55-70 7-24 47-60 256 LORENZO CAMERANO 74 Bufo viridis. CLASSI ESTREME. = v (©) S 5 E Di Bo) = Da è . . eo) = è 2 Femmine in amore E E È A E ° S Si È & Lunghezza del capo . . . 95-118 | 94-116 | 98-116 97-108 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | 114-132 | 109-132 | 110-122 | 116-131 Id. a metà degli ‘occhi . 0, o ILE AES 74905127) MS 6=1021 MNX86-95 83-94 Id. alle narici. . Tae 2130 20-34 21-26 20-23 Alt. del capo a metà della reg. ina | 42-55 96-52 01 42-51 Vl 3947 Id. alle narici . . | 21-38 20-34 | 21-28 21-28 Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. almnso | 95-116 | 98-118 94-120 98-113 Diametro interorbitale . . . .| 20-33 22-34 | 21-31 25-28 Distanza dall’apice del muso alle narici . 3-19 02360 ci SSL 9-9 Id. dalle narici ‘all'occhio. | 2, Mt. (a20-338 0 AZIEIMM21226 22-23 Id. dall’occhio al timpano . . à 0-3 0-6 2-6 0-5 Diam. massimo trasversale dell'occhio .| 34-47 34-46 37-42 35-39 Id.mimimo ‘delitimpano Sr ARR Io SII 10-18 12-16 Id. massimo del timpano . . bha 11220) | Ti-2100\AL0-158 12-16. Lunghezza massima delle parotidi . an) 1 Ro=88 63-82 | 68-77 70-84 Larghezza O RECON ta i oli RODI MA 33-42 Lunghezza del''Braccio, SII) RCS a | 97-124 | 104-120) 113-122 Id. dell’avambraccio. . . . . (| . .| 78-118| 7489 | 79-90 80-94 Taffdellasm ano Mede ee 82-100 76-90 | 74-85 80-89 Id. \del<10 ditoften@ 5826008 de 29-55 35-51 37-43 39-47 Td-+del2°-ditotn2. oben i Seno 41008 27-38 31-38 28-37 Td.Xdelt3°dito11"t 2 Peet. Raz 36-02 8 37-43 39-45 Id. del 4° dito | 26-37 24-34 23-28 28-30 Diametro mass. tubercolo palmare mediano | 15-24 14-21 18-23 18-20 Id. id. id. id. ‘aInternor. je (92470 57 5-16 9-14 Lunghezza della coscia. . . . . . .| 118-151 | 116-143 | 113-129 | 122-143 Id. della: gamba .. . . ././. 4.0 | 116-136 | 108-131 | 113-120 112-125 Id. "del: piede. 0 1 AM 1195:291 9 4-23808 MIO 22 A 02 Td. èdel'l'° ditortoMt.. esa eg 31-46 31-47 | 37-41 28-39 Id..idel! 2° “dito Mat. 0 e L670 48-72 | 52-63 55-64 Id. #del (3° dito. it... |a i Re 69-18 10 MSI 89-104 Id. del 4° dito ii. ii Li. nie | L26-156 126-168 M1:20-1390N 1294143 Id. del 5° dito SURE) 7229700) MR SMTE-89 83-94 Id. del tubercolo metatarsale interno "IRR. 11-21, |NM5=23/58| iL6-23* 14-23 Id. id. id. esterno . .| 6-17 3-14 6-14 0E15 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | | gine libero della membrana interdigit. | 26-38 | 26-38 | 28-33 28-35 Id. id. ido- [2° dito ci MEM | 39-55 35-52 37-50 37-45 Id. id. ld: -19° dito i Mia 55787 053-727 0 eC68 56-66 Id. id. id. 4° dito si | eli =270 1 aL0=27 13-21 9-20 Lunghezza della ripiegatura tarsea ; | 39-66 | 46-61 42-51 45-56 x 75 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 257 Bufo viridis. CLASSI ESTREME. 2 | ° | (5 | = | N | sped Femmine in amore E | È E E "9 di IA 5 = | Lunghezza del capo. . | 101-115 | 101-115 | 105-117 | 101-111 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | | 120-127 | 127-186 | 117-124 | 122-142 Id. a metà degli occhi . . . . . . .| 85-96 89-101 86-100 89-111 Id. alle narici. .,. | 25-28 | 22-30 | 22-23 | 22-26 Alt. del capo a metà della reg. timpanica | 45-51 | 40-51 39-46 41-47 Id. alle narici . . | 25 | 22-26 | 22-30 | 22-26 Lungh. obl. del capo dall’: ang. masc. al muso | 110-112 | 107-120 | 112-133 | 106-119 Diametro interorbitale . . . | 25-28 26-30 21-28 23-33 Distanza dall’apice del muso alle narici. | 5-10 0-10 0-3 0-9 Id..dalle narici all'occhio. . . . . .| 23-25 22-30 21-28 23-36 Id. dall'occhio al timpano. . | 2-5 0-3 0-6 0-4 Diametro massimo trasversale dell’ ‘occhio 40-41 | 36-45 37-39 34-40 Td\imunimo del'timpano |. . . (....,) 19-15 14-18 12-17 13-18 Id. massimo del timpano . . e volazlo® |. ‘14-18 12-17 14-21 Lunghezza massima delle parotidi MAROTTA 76-86110|2078:89 75-83 79-90 Larghezza 0 ARS ene at. (96-51. "| 31-42 39-49 | 32-40 Lunghezza del ‘braccio SE E 22125 LI5-1250] 104-117 | «110-130 Id. dell’ @2vamibraecio i ik. UL... | 85-96 75-87 76-83 81-95 id#idellafmanong 0 . (Nap... | 85-91 | 63-91 81-83 84-95 losgdelbiscdito (1 R. 0, >». SG. |-88-41 | 86-48 39-44 | 38-49 idoli: too en a a +|-80-38 31-37 33-41 | 31-41 bidet oPfdito tc. fac. 0. a 41-43 38-47 37-46 42-52 Id. del 4° dito . .| 28-30 | 25-32 25-39 28-37 Diametro mass. tubercolo palmare mediano | 20-23 16-26 19-22 18-23 Id. id. id. id. interno. | 5-10 | 5-11 8-19 5-11 Lunghezza della coscia. . . . . . .|135-142 | 115-139 | 124-137 126-153 Welieliazcambate 000) 000.0. | 129-127 | 102-125 | 112-131 112-133 Iinlsdolipiede tti 00 -0. 040 .|200-218 | 191-235 | 203-218 201-234 deli cdito n.0, I... 40-41 32-42 28-34 35-42 RA a ai 1 60-66 58-68 55-61 56-65 Medolessrdito N. 0 i. FUN... 90-96 90-101 87-97 89-106 Id. del > Ron e e I, | 130-137 | 129-144 | 132-139 131-156 Id. del 5° dito È 85-91 89-96 81-87 84-101 Lungh. del tubercolo metatarsale interno 18-20 16-21 15-17 16-29 Id. id. id. esterno 6-10 5-11 6-14 5-15 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. | 30-33 27-35 28-34 26-35 Id. id. Milesi e La Ln 85 40-45 39-44 35-48 Id. id. adito Sl uti 61-65 62-68 55-68 51-76 Id. id. Maso edito n | 13-15 11-21 15-22 13-19 Lungh. della ripiegatura tarsea . . . .| 50-51 42-60 46-58 51-61 Serie II. Tom, LIV. ni 258 LORENZO CAMERANO 76 Bufo viridis. CLASSI ESTREME. Femmine in amore Sassari Corfù Siria Candia Lunghezza del capo . 98-126 | 86-115 | 87-110 | 93-108 Largh. del capo agli angoli dei mascellari 120-142 | 108-137 92-126 | 112-123 Id. a metà degli occhi ; 87-118 | 86-115 | 82-97 90-100 Id. alle narici . 17-30 20-30 20-26 21-28 Alt. del capo a metà della reg. timpanica 44-54 | 35-51 39-46 40-46 Id. alle narici . 22-30 | 21-29 21-29 22-28 Lungh. obl. del capo dali’ ang. masc. al muso 98-120 | 105-144 | 90-112 | 100-116 Diametro interorbitale . i 22-33 22-35 19-26 24-31 Distanza dall’apice del muso alle narici . 0-18 0-14 0-12 0-14 Id. dalle narici all’occhio . 19-30 23-29 19-26 22-28 Id. dall'occhio al timpano . 0-9 0-4 0-7 2-8 Diametro massimo trasversale dell'occhio 34-47 34-47 34-42 38-44 Id. minimo del timpano 9-22 13-21 12-17 DOT Id. massimo del timpano . . 7-22 13-21 12-18 13-21 Lunghezza massima delle parotidi . 69-96 67-92 69-83 71-82 Larghezza id. A +30 Pl 35-49 23-43 30-46 25-41 Lunghezza del braccio . 109-140 | 97-125 | 104-123 | 111-128 Id. dell’avambraccio . 82-102 74-101 74-88 84-95 Id. della mano 77-96 84-97 75-89 82-90 Id. del 1° dito 39-50 35-50 34-44 35-44 Id. del 2° dito 31-40 27-41 26-36 31-39 Id. del 3° dito 30-49 43-51 32-44 39-51 Id. del 4° dito 26-36 28-43 26-29 28-36 Diametro mass. tubercolo palmare mediano 18-23 14-21 17-22 16-24 Td. id. id. id. interno. 5-17 6-14 | 7-18 8-18 Lunghezza della coscia . 119-153 | 125-164 | 117-146 | 122-139 Id. della gamba . 112-137 | 115-138 | 111-139 | 118-139 Id. del piede . 202-240 | 197-242 | 178-219 | 195-216 Id. del 1° dito 31-42 31-48 31-42 33-42 Id. del 2° dito 51-66 50-70 | 56-68 | 51-66 Id. del 3° dito 82-104 | 84-108 | 86-100 | 83-100 Id. del 4° dito 119-156 | 132-159 | 106-189 | 123-144 Id. del 5° dito 80-96 84-107 | 79-99 81-94 Lungh. del tubercolo metatarsale interno 16-24 14-22 17-23 15-25 Id. id. id. esterno | 4-16 6-14 8-14 5-17 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | gine libero della membrana interdigit. | 26-41 25-42 26-34 26-35 Id. id. id. 2° dito 39-54 35-52 39-48 38-55 Id. id. id. 3° dito 55-83 58-75 52-68 51-66 Id. id. id. 4° dito 13-24 14-27 13-22 10-22 Lunghezza della ripiegatura tarsea . 39-63 46-61 35-57 43-57 77 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., ECC. Bufo viridis. Maschi in amore di Givoletto. Lunghezza del capo . Largh. del capo agli angoli dei mascellari Id. a metà degli ‘occhi . Id. alle narici . Alt. del capo a metà della reg. timpanica Id. alle narici . Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso Diametro interorbitale . x Distanza dall’apice del muso alle narici . Id. dalle narici all'occhio . Id. dall'occhio al timpano Diametro massimo trasversale dell’ ‘occhio Id. minimo del timpano Id. massimo del timpano . Lunghezza massima delle parotidi . P Larghezza id. 1d,. Lunghezza del braccio . Id. dell’avambraccio Id. della mano Id. del 1° dito Id. del 2° dito Id. del 3° dito Id. del 4° dito Diametro mass. tubercolo palmare mediano | Id. id. id. id. interno. Lunghezza della coscia . Id. della gamba Id. del piede Id. del 1° dito Id. del 2° dito Id. del 3° dito Id. del Di dito Id. del 5° dito Lungh. del tubercolo metatarsale interno Ia. id. id. esterno Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. Id. id. id. 2° dito Id. id. id. 3° dito Id. id. id. 4° dito i Lunghezza della ripiegatura tarsea di variabilità Media | 102 120 102 33,50 0,0968 \0,1129 10,0645 46,50 | 28 107 30,50 | 12,50 26 ti 38,50 16 17,50 73,50 30 151 0 0 0,2097 | 10,0645 92,50 | 20,50 15,50 137,50 156 250 39 3 96 150 88 20,50 12,50 36,50 47 66 13 56,50 (0) 0) 0,0645 0 (0) 0,0323 () 0,0484 () 0) (0) 0,0806 | 0 () 0) 0,0161 0) 0,1129 0,0161 0,0323 0.0806 0,0484 0 {) 0 0,0806 0,0161 0,0968 0 0,1129 0,2419 0,5968 0,6935 | 0,5323 0,3548 0,2581 0,5968 0,5000 0,2419 0,9839 | 0,3548 0,6452 0,5385 0,6038 0,2264 05929 0,4194 0,5806 0,6613 0,7581 0,6129 0,6613 0,6129 | 0,3226 0,3226 0,7258 0,9672 0,5968 0,9516 0,1935 0,5000 0,2258 0,7419 0,4194 0,7742 0.5323 0,4677 0,4677 0,7419 i 0,7903 0,6452 | 0,3387 0,3065 0,4677 0,4355 0,6774 0,4032 0,5000 0,6935 0,0161 0,6452 0,3226 0,4615 0), 3962 0.6981 0,4355 0,5806 sgudt | 0,9387 0,2419 0,3871 0,25S1 0,3871 0,6774 0,6774 0,2581 0,0328 0,2903 0,0323 0,7742 0,4194 0,7258 0.2581 (),5806 gii LIL 259 D_d 1 (D+d) Kr 22 Her 0,63 0,37 0,50 0,24 0,49 1,04 0,72 2,00 0,44 0,63 0,75 0,45 0,60 0,32 0,46 0,34 0,37 0,43 0,47 0,52 0,94 0,84 0,48 0,23 0,30 0,51 0,55 0.40 0,21 0,459 0,44 1,04 0,63 (0,43 0),33 1,08 0,44 Lunghezza del capo Id. a metà degli occhi . Id. alle narici Dianne interorbitale Id. dalle narici all’occhio Id. dall'occhio al timpano . Id. minimo del timpano . Id. massimo del timpano Larghezza id. id. Lunghezza del braccio Id. dell’avambraccio Id. della mano . . 3 Id. del 1° dito della mano . Id. 2° dito id. Id. 3° dito id. Id. 4° dito id. Lunghezza della coscia . Id. della gamba Id. del piede SIE: Id. del 1° dito del piede Id. 2° dito id. Id. 3° dito id. Id. 4° dito id. Id. 5° dito id. TA STAN ee TANA de]N3oditon Id. id. del 4° dito . 260 LORENZO CAMERANO 78 Bufo viridis. Maschi in amore di Moncalieri. & Dro Ca SE Media | F=M | FM Tono E TI +d) S | 32 | 108,50 0 0,3333 | 0,6667| 0,29 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | 29 125 | 0,0256| 0,3718/0,6026| 0,22 MI €040 103,90 0 0,6538 |0,3462| 0,32 Tdstalle narici. | 10 27,50 0 0,6667 |0,3333 | 0,32 Alt. del capo a metà della. reg. timpanica 16 44 0,1795| 0,1538 |0,5641) 0,34 12 25,50 | 0 0,5256 |0,4744| 0,43 Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso | 26 117 | 0,0128| 0,6795|0,3077| 0,21 È 13 29 0,0769 | 0,4487 0,4744| 0,41 Distanza dall'apice del muso alle narici 19 12 0,2179| 0,2821|0,5000| 1,50 10 | 27,50 0 0,5256 0,4744| 0,32 È 4 1,50 0 | 0,8590/0,1410) 2,00 Diametro massimo trasversale dell’ occhio. | 16 42,50 0 0,7179|0,2821| 0,35 (12 16,50 0 | 0,5513/0,4487| 0,67 dol. 197 0,1282 | 04487 0,4231| 0,59 Lunghezza massima delle parotidi | 28 76,50 0 0,6410/0,3590| 0,35 167 MS 500 0,6410 |0,3590) 0,49 35 128 0,0383 | 0,5000 | 0,4615) 0,26 31 94 0,0641 | 0,6026|0,3333 | 0,32 23 98 | 00769] 0,6923|0,2308| 0,24 16 | 42,50 0 0,6026 |0,3974| 0,31 22 | 34,50 0 | 0,5128/0,4872| 0,61 18 | 42,50 (CRON 04615 0,5256) 0,40 | 13 29 0,0897 | 0,3846 |0,5256| 0,43 Diam. mass. del tubercolo palmare mediano | 10 | 17,50 0 0,1667 |0,8333| 0,52 Id. id. id. interno 1216750 0 03393 0,6667) 0,67 | 37 148 | 0,0513| 0,5897|0,3590| 0,24 31 | 133 | 0,0513| 0,3974/0,5513| 0,22 | 41| 229 | 0,0128| 0,1667/0,6923| 0;17 | 21 40 0 | 0,4359/0,5641| 0,50 26 | 65,50 0 0,4359|0,5641| 0,38 48 | 100,50 0 0,1923 | 0,8077| 0,46 51| 149 | 0,0385| 0,2821/0,6795! 0,33 .| 984 95,50 0 0,2179/0,7821| 0,35 Lungh. del tubercolo metatarsale interno . | 11 Jr 0,1154| 0,1026|0,7821| 0,59 Id. id. id. esterno | 12 8,50 0 0,6282|0,3718| 1,28 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigitale | 19 35 0,1026 | 0,5128|0,3846} 0,51 28 | 46,50 0 0,6795|0,3205| 0,58 | 29 65 0,0897 | 0,4103 |0,5000| 0,43 1074 14 0,0256 | 0,6795/0,2949| 1,14 30 MM5:6:150 0 0,4487 |0,5513| 0,51 Lunghezza della ripiegatura tarsale. tend cei PL 00 79 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Bufo viridis. Maschi in amore di Catania. Lunghezza del capo . Largh. del capo agli angoli dei mascellari | £ Id. a metà degli dda Id. alle narici . Alt. del capo a metà della regione timpanica | Id. alle narici . Lungh. obl. del capo dall’: ang. masce. al muso E Diauietro interorbitale . 2 Distanza dall’apice del muso alle narici Id. dalle narici all'occhio Id. dall'occhio al timpano . Diametro massimo trasversale dell’ ooo Id. minimo del timpano Id. massimo del timpano . . ga Lunghezza massima delle parotidi SS Larghezza id. MO RS TOTEN Lunghezza del 'bxdedio ì Id. dell'avambracoio . Id. della mano Id. del 1° dito Id. del 2° dito Id. del 3° dito Id. del 4° dito Diametro mass. tubercolo palmare mediano | | Id. id. id. id. interno. Lunghezza della coscia . Id. della gamba Id. del piede . Id. del 1° dito Id. del. 2° dito Id. del 3° dito Id. del 4° dito Id. del 5° dito Lungh. del tubercolo metatarsale interno Id. id. id. esterno Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. Id. id. id. 2° dito. Id. id. ida (3° dito. Id. id. id. ‘(4° dito. | Lunghezza della ripiegatura tarsea Indice di variabilità 72,50 | 108,50 Io 99,50 32 12 0 0,0588 | 0 0,23583 0 (0) 0 0 () 0) 0 | 0,4118 0,3529 (0) Sia coeoioOoSPSDS0O Se 00 00 0,0588 0 0,2353 0 0,2353 0 () 0,2941 0,0588 ECC, | | FM | | | | 0,4118 | 0,5882 | | 0,8235 | 0,1765 0,3529 | 0,5882 0,1176 | 0,8824 0,5294 02353 0,2941 | 0,7059 0,4705 | 0,5294 0,7647 | 0,2353 0476047002853 0,7647 | 0,2353 0,7647 | 02353 0,5882 | 0,4118 0,2941 | 02941 0,1765 | 04705 0,8235 | 0,1765 0,6471 | 0,3529 0,6471 | 0,3529 0,0588 | 0,9412 0,1765 | 0,7059 0,6250 | 0,4000 0,3333 | 0,6000 0,5882 | 0,4118 0;2941 | 0.7647 0,4118 | 0,5882 0,4118 | 0,5882 0,4118 | 0,5882 0,5882 | 0,4118 0,2941 | 0,6471 0,6471 | 0,2941 0,8235 | 0,1765 0,5294 | 0,4705 0.,7059 | 0,2353 0,7647 | 0,2353 0,1176 | 0,6471 0,6471 0,3529 0,4118 | 0,3529 0,8235 | 0,1765 0,3529 | 0,6471 0,5294 0,1765 0,6471 | 0,2941 261 D-d 3 D+d) > = [I ta] 262 LORENZO CAMERANO © 80 Bufo viridis. Maschi in amore di Sassari. dr) 35 a -£| Media | F=M | FM 7 a ui Lunghezza del capo . . 37 | 110 | 0,1053 | 0,5789 | 0,3158 | 0,33 Largh. del capo agli angoli dei mascellari 29 | 125 | 0,0877 | 0,4561 | 0,4561 | 0,22 Id. a metà degli OGGni DD sesti er e29 97 0,0702 | 0,5088 | 0,4211 | 0,29 Td.-alle narici. | 10 | 23,50 0 0,4912 | 0,5088 | 0,38 Alt. del capo @ metà della reg. timpanica 17 47 0,1053 | 0,2982 | 0,5965 | 0,34 Id. alle narici . . 13 24 0,0702 | 0,1754 | 0,7544 | 0,50 Lungh. obl. del capo dall’: ang. masc. al muso | 37 | 115 | 0,0526 | 0,8246 | 0,1228 | 0,31 Disigina interorbitale . . . nd 28550 0 0,7018 | 0,2982 | 0,46 Distanza dall’ apice del muso alle narici .| 21 10 | 0,0526 | 0,3333 | 0,6140 | 2,00 [d..dalle:marici all'occhio!. è. TARme- L02350 0 0,5965 | 0,4035 | 0,38 Id. dall'occhio al timpano . . AO) 0 | 0,8070 | 0,1930 | 2,00 Diametro massimo trasversale dell’ ‘occhio | 12 | 40,50 0 0,6667 | 0,3333 | 0,27 Id. minimo del timpano WA rino 16 | 0,0877 , 0,6842 | 0,2281 | 0,75 Id. massimo del timpano . . JA 17 | 0,1930 | 0,3509 | 0,4561 | 0,47 Lunghezza massima delle parotidi . (00804 PERSE 0,0351 | 0,5965 | 0,3684 | 0,27 Larghezza Ta. id. PR, e 5 ARA RI O O | 0,6667 | 0,3333 | 0,45 Lunghezza del braccio RL AAA 0,526 | 0,4561 | 0,4912 | 0,26 Id. dell'avambraccio i... a. Uni | 1224695,50 0 0,4737 | 0,5263 | 0,22 Id; della.mano:- 0803 AR 5 87 0,1053 | 0,4035 | 0,4912 | 0,28 Ias delHitodito.. pi/‘dUu. a Wi ARS 00 O |0,4386 | 0,5614 | 0,42 Tar del9eNdito: oe deere Vie ir 9 0,0877 | 0,4561 | 0,4561 | 0,48 Id &gel'3rdito:. |, 94043 et A AZIO 0 0,5614 | 0,4386 | 0,31 Id. del 4° dito . A Mlb 429 0,1579 | 0,4737 | 0,3684 | 0,48 Diam. mass. tubercolo palmare mediano cai 620 0,0877 | 0,2105 | 0,7018 | 0,50 Id. id. id. id. interno .| 18 | 11,50 0 0,2105 | 0,7895 | 0,47 Lunghezza della coscia . . . . . . .|41| 140 0,526 | 0,2105 | 0,7368 | 0,28 Id. della:gamba 5. è » #00. .|88 | 13300, 1053 0478700201024 Ido del fpiedo ti font dl LUX | 90.288,50]. 0. | 0;47377 0,a26058| 0,21 Id del-1°;ditoi: es CREsoio AI 0,526 | 0,4211 | 0,5263 | 0,49 Id. del-3%dito;.. strali ZII 0,1228 | 0,3158 | 0,5614 | 0,33 Id.:del 3% dito. | tg La e CORE SS 0,0702 | 0,3509 | 0,5789 | 0,37 Idi'del'4°%ditor. | gs GICASAI ct. 86 158 | (0501754 0:6140,1) 10,368 48|0:22 Id. del 5° dito. sL29 98 0,0351 | 0,7544 |‘0,2105 | 0,29 Lungh. del tubercolo metatarsale interno | 9 19 0,1228 | 0,3333 | 0,5439 | 0,42 Id. id. id. esterno | 22 10,50 O | 0,8772 | 0,1228 | 2,00 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | | gine libero della membrana interdigitale | 18 | 32,50 0 0,4386 | 0,5614 | 0,52 Id. id. id. Do dito. fe LIS IS 0,1228 | 0,1579 |.0,7193 | 0,76 Id. id. id. se dito” Bi ei 9 68 0,0577 | 0,6923 | 0,2500 | 0,55 Id.-id. «id 4° dito; ogg. obo 0: | 1450 0 |0,5439 | 04561 | 0,68 Lunghezza della ripiegatura tarsea. . si 21 52 0,0526 | 0,8158 | 0,6316 | 0,38 81 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., ECC. 263 Bufo viridis. Maschi in amore di Corfù. | | | | £ | | | 82 | D—d | Dil Media | F=M FZM F>M j|j RENE. | AAA, | Lunghezza del capo 1 20! 101,50 0 0,3182 | 0,6818 | 0,18 Largh. del capo agli angoli dei mascellari 24 |126,50| 0 0,8636 | 0,1364 | 0,18 Id. a metà degli occhi NUMERO 101 |0,0455| 0,4545 | 0,5000| 0,17 Ia. alle narici . . . 9 | 26,50 0) 0,3182 | 0,6818| 0,30 Alt. del capo a metà della reg. timpanica | 10 | 42,50 0 0,7273 | 0,2727 | 0,21 Id. alle narici . . 9 | 26,50 0 0,4545 | 05455 | 0,30 Lungh. obl. del capo dall’ ang. mase. al muso | 19 118 (0) 0,5455 | 0,4545| 0,16 Diametro interorbitale 10. 27,50 0 0,5000 | 0,5000 | 0,32 Distanza dall’ apice del muso alle narici . | 10 | 10,50 0 04545 | 0.5455| 0,86 Ia cdalle mariei all'oechio .\. . .. .| 9 27 |0,1364| 0,3182 | 0,5455| 0,30 Id. dall'occhio al timpano . . 4 | 1,50 0 0,5909 | 0,4091| 2,00 Diametro massimo trasversale dell’ occhio 14 | 36,50 0 0,1818 | 0,8182| 0,36 Id. minimo del timpano. . . .-. . .| 9 15 |0,0909| 0,0909 | 0,8182| 0,53 Id. massimo del timpano . . BASTA 16:50 0 0,2727 | 0,7273| 0,67 Lunghezza massima delle parotidi A iL 76 |0,0909! 0,3636 | 0,5455| 0,21 Larghezza id. id. 16 | 30,50 0 0,5000 | 0,5000 | 0,49 Lunghezza del braccio i 38 | 120.50 0 0,5455 | 04545 | 0,30 IWdell'avambraccio .. . . . .0. . .| 22] 91,50| 0 0,4091 | 0,5909| 0,23 Id. della mano . . : 19 93 |0,0909]| 0,4545 | 0,4545 | 0,19 Id. del 1° dito della mano. 12 | 39,50 0 0,5455 | 0,4545| 0,29 Id. 2° dito id. 13 36 | 0,2273| 0,5000 | 0,2273| 0,33 Id. 3° dito id. 16 | 46,50 | 0) 0,4545 | 05455 | 0,32 Id. 4° dito id, LR I, II 31 |0,0455| 0,3636 | 0,5909| 0,32 Diam. mass. del tubercolo palmare mediano | 8 | 19,50 0 0,8636 | 0,1364 | 0,36 Id. id. id. interno 8 | 14,50 0 0,4091 | 0,5909| 0,48 Lunghezza della coscia 132 |146,50| 0 0,5455 | 0,4545| 0,21 Id. della gamba 24 | 134,50 0 0,3636 | 0.6364| 0,16 Id. del piede i 51| 239 0 0,5455 | 0,4091| 0,21 Id. del 1° dito del piede 15 40 |0,0455]| 0,6818 | 0,2273| 0,35 Id. 2° dito id. 15 66 |0,2273]| 0,3636 | 0,3636| 0,21 Id. 3° dito id. 30 | 105,50 0 0,4545 | 0,5455 | 0,28 Id. 4° dito id. 35 151 |0,0952| 0,3333 | 0,5714| 0,22 Id. 5° dito id. | . .|19| 99 |0,0476| 0,5238 | 0,4286| 0,18 Lungh. del tubercolo metatarsale mano) 9 19 |0.0455| 08636 | 0.0909 | 0,42 Id. id. id. esterno | 7 11 |0,1364| 0,4545 | 0,4091| 0,55 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | gine libero della membrana interdigit. | 16. 34,50 0 0,4762 | 0,5238| 0,43 Id. id. del 2° dito . 15 46 |0,0952| 0,5238 | 0,3810| 0,30 Id. id. del 8° dito . PRI L42265 66 |0,1905| 0,4286 | 0,3810| 0,36 seuietid. gel 4° dito. . ... RO E. 14 |0,0476| 0,5238 | 0,4286| 0,57 Lunghezza della ripiegatura tarsea . 18 | 53,50| 0 0,4545 | 0,5455| 0,31 264 LORENZO CAMERANO 82 Bufo viridis. Maschi in amore di Siria. ® CIC NSA D_d DE Media | F=M FM Ji a 3 (D+d) n] Lunghezza del capo . . 25 | 108 0 0,6250 | 0,3750 | 0,21 Largh. del capo agli angoli dei mascellari LT QI0I2% 0 0,5000 | 0,5000 | 0,13 Id. a metà degli ‘occhi ROBE Li INZO 97 0,1250 | 0,5625 | 0,3125 | 0,29 Id. alle narici. . 20 | 25,50 0 0,7500 | 0,2500 | 0,74 Alt. del capo @ metà della reg. timpanica 12 | 42,50 0 0,5000 | 0,5000 | 0,24 TaSallemaricit. 0a \138.| 25 0;0625|.0;3750 | 055625 110,48 Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso | 19 | 1'»| 0,1875 |0/6250, 051875. 0x7 Diametro interorbitale . . . 9 26 | 0,1250 | 0,3750 | 0,5000 | 0,31 Distanza dall’ apice del muso alle narici . | 15 10 0 0,3125 | 0,6875 | 1,40 Id. dalle narici all’occhio . Seo SOS 24,50 | 0 0,3750 | 0,6250 | 0,44 Id. dall’occhio al timpano . o 2 | 0,3125 | 0,4375 i 0,2500 | 2,00 Diam. massimo trasversale dell’ ‘occhio 9 40 | 0,0625 | 0,5625 | 0,3750 | 0,20 Id. minimo del timpano . SO 508 0 0,4375 | 0,5625 | (0,34 Id. massimo del timpano . . A MEO 0,2500 | 0,3750 | 0,3750 | 0,50 Lunghezza massima delle parotidi . So + |024 | 78,50.|1#° 0% 140;25001/0;7500 Moi Larghezza id. È Le Ti Aa (RR L63690.) MOSA 10, 7390002500 Lunghezza del''braccio 0. i I RSI | O | 0,6875 (-0,3125 Id.-dell'avambraccio? 8. | Rd 1029 93 | 0,0625 | 0,3750 | 0,5625 Idiwdella1mano: te fto. 020 O | 0,3125 | 0,6875 Id.-del 1° dito © © 00. 00 0 a I] 37 (0125.000370 0055000 Tds*del“2®”:dito;\ au atea A 0 | 0,5000 | 0,5000 Id. ‘del 3°%dito 10.0. 0. 0 E MST 4200) 00,25004/00,43750 0325 Id. del 4° dito 10 | 28,50] 0. |0,6250 | 03750 Diametro mass. tubercolo palmare mediano | 8 | 22,50 0 | 0,5625 | 0,4375 Tdi ia: id. id. interno.|14 | 16,50 O |0,3750 | 0,6250 Lunghezza della coscia. . . . . . .|26|145,50 0 | 0,6250 | 0,3750 | Id .della;gamba è REEAit 0; 0,6250 | 0,3750 Id. del piede ii ROS e [187/227 |10,0625, (04975) (00008 Id. del 1° dito | dl 389 | 0,1250 | 0,5625 | 0,3125 | | Id. del 2° dito 16 | 65,50 | 0 | 0,5000 | 0,5000 Id::-del'3°%:dito .- 0... (01 (8000 O 0.125 060 Id. del 4° «dito Ciuirnoe enti. e e NS 1£8110,0625,3 4013750910156 250) Id. del 5° dito . .| 22 9950. 0 |0,5000 | 0,5000 Id. del tubercolo metatarsale interno . . | 11 19 | 0,2500 | 0,2500 | 0,5000 Id. id. id. esterno . .|10 | 9,50 | 0 | 0,5625 | 0,4375 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | | | | gine libero della membrana interdigit. | 11. 33 | 0,0625 | 0,4375 | 0,5000 | Id. Lo id. 2% dito: 80: 1281 AD 10181501250 06375 Id: id. (id. 78" vditon (i 20 650 0 620 Id. id. 1ù 54 tdit087 RD A I IL7 0,2500 | 0,2500 | 0,5000 Lunghezza della ripiegatura tarsea . .|20 | 56,50 0 | 0,5000 | 0,5000 | | | | | 83 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 265 Bufo viridis. Femmine in amore di Givoletto. | | | 8 | $.2 me 3-£| Media |F=M| F LÉ di SS | 5 (D+d) Le] | | Lunghezza del capo . . 24 |106,50 0 0,6129 | 0,3871 | 0,22 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | 19 123 0 0,8065 | 0,1935 | 0,15 Id. a metà degli occhi. . . . . . .|23| 101 |0,1290| 0,6129 0,2581 | | 0,22 Id. alle narici. . 10 | 25,50] 0 |0,3871 | 0,6129| 0,35 Alt. del capo a metà della reg. timpanica I° ASSO 40 0,1935 0 8065 i 0,27 Id. alle narici. . 13 | 27 |0,1613| 0,4839 | 0,3548 | 0.44 Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso | 22 | 105,50 0 0,2258 | 0,7742 |-0,19 Diametro interorbitale . . . 14 | 26,50 0 0,4839 | 0,5161 | 0,49 Distanza dall’apice del muso alle narici. | 11 Sis PbO 0,7742 | 0,2258 lia 25 Jaftdalle“narier ‘all'occhio. 0. . . .| 14 | 26,50 0 0,5806 | 0,4194 | 0,49 Id. dall'occhio al timpano . 4 1.50 0 0,6129 | 0,3871 | 2,00 Diametro massimo trasversale dell’ ‘occhio 14 | 40,50 0 0,6451 | 0,3548 | 0,32 Id. minimo del timpano . . . . . . 9 15 |0,1290| 0,4516 | 0,4194 | 0,53 Id. massimo del timpano . . IESCIOLO | eb5:50 0 0,3548 | 0,6451 | 0,58 Lunghezza massima delle parotidi . 10% 195 71 |0,0645| 0,3548 | 0,5806 | 0,48 ei ai. 14: (32,50, 0 04839 [05161 | 0:40 Lunghezza del braccio SR 12790 0 | 0,8065 | 0,1935 | 0,25 Id. dell'’avambraccio MIE AT 98 |0,0645| 0,8710 | 0,0645 | 0,41 fifdella mano (i... 00, 0. . 19] 91 |0,0645] 0,7097 | 0,2258 | 0,20 ungniel i Midito COSIO 00 2... 27 42 |0,0645]| 0,4516 | 0,4839 | 0,62 Id. del 2° dito MI O LL 601667] 04667 | 0:36675) 0,28 me dito: Pe 0064, LI, 17 44 |0,0323| 0,5484 | 0,4194 | 0,36 Id. del 4° dito 12 | 31,50 | 0 0,6667 | 0,3333 | 0,34 Diametro mass. tubercolo palmare mediano 10 |pd9,500]) Oni 05161. 04839. 046 Id. id. id. id. interno. | 9 | 13 (0,1613| 0,6451 | 0,1935 | 0,62 Lunghezza della coscia. . . . . . .|984]|134,50) 0 |0,6129 | 0,3871| 0,24 fees dellapamba it.) . 0. . 00020] 21 | 126 |0,0645] 0,5484 | 0,3871 | (0/16 Id. del piede . . PRO o 2 eSÙ 213 | 0 0,4516 | 0,5484 | 0,18 Id. del 1° dito MELATO Ri VG | 3850 () 0,4839 | 0,5161 | 0,39 fuifideltaAstdito Das. (000,0. 0. .|25]| 58 |0,1290| 0,3548 | 0,5161.| 0,41 dele gsstinizto oe 00). 50 | 93;50 O | 0,6129 | 0,3871 | 0,51 Id. del 2 MEMI TON\ Ego. 31 141 0 0,7742 | 0,2258 | 0,21 Id. del 5° dito .|26|84,50| 0 |0,3226 | 0,6774| 0,29 Lungh. dell tubercolo metatarsale interno | 11| 16 | 0,1985 | 0,0323 | 0,7742 | 0,63 Id. id. id. esterno | 12 | 11,50) 0 |0,5161 | 0,4839 | 0,96 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | | gine libero della membrana interdigit. | 13 32 | 0,0323 | 0,5161 0,4516 | 0,38 Id. id. Mesgoidito de. el. IRE. 47 0,0645| 0,5484 | 0,3871 0,34 Id. id. ideeiS® dito: : .| 24 | 66,50 0 | 0,6129 | 0,3871 0,34 Id. id. Rena dito O. 20 20 |0,0968| 0,5806 | 0,3226 | 0,95 Lunghezza della ripiegatura tarsea . .| 28 | 52,50 0 0,5806 | 0,4194 | 0,51 Serie II. Tom. LIV. I! 266 LORENZO CAMERANO 84 Bufo viridis. Femmine in amore di Moncalieri. & cele CS È Media | P=M| FM e ali 5 (D+d) si Lunghezza del capo . . 23 105 | 0,0769| 0,6154 0,3077 0,20 Largii. del capo agli angoli dei mascellari | 24 120,50 d 0,4872|0,5128| 0,19 Id. a metà degli OGEhis ei UR, SUP BI 94 0,0769| 0,4359|0,4872| 0,17 Td..:alle' naria(. | 15 29 0,0769| 0,8462 |0,0769) 0,52 Alt. del capo a metà della” reg. timpanica ISBIZA 44 0,0513 | 0,4615 |0,4872| 0,36 Idi alle narici. * 15 27 0,1026 | 0,8462 |0,0513| 0,52 Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso | 21| 108 0,0769 | 0,4103|0,5128| 0,19 Diametro interorbitale . . . SI 28 00256 0,6154|0,3590| 0,43 Distanza dall’ apice del muso alle MAFICIO o 4 0 0,7949 0,2051| 2,00 Id::dalle narici allicechio. .. (0° | RIDI 26 0,2051| 0,3846|0,4103| 0,38 Id. dall’oechio al timpano . . 7 5) 0,1282 | 0,8205|0,0769| 2,00 Diametro massimo trasversale dell’ occhio. RENO 0,0256 | 0,6410 |0,3333| 0,30 Id-*minimadelttimpano? PIELC eeeo i | L60001 0,2821 | 0,4359 |0,2821| 0,63 Id. massimo del timpano . . MIO E 16 | 0,3333| 0,3846|0,2821| 0,63 Lunghezza massima delle parotidi | 20 72,50 0 0,4872/0,5128| 0,25 Larghezza id. id. dieta | bo 29 0,1282 | 0,1795/0,6923| 0,48 Lunghezza delibraccio Mito e A a288 050 0 0,3846 | 0,6154| 0,24 Id: delliavambraceioì ce Nanna eee 6 81,50 0 0,5385|0,4615| 0,18 Id. della mano . . IRE e E to. 83 0,0513 | 0,4615|0,4872| 0,17 Id. del 1° dito della mano. . . . . .|17 43 0,1282| 0,5897 |0,2821| 0,37 Id. 2° dito id. TU e ZA] 825 00 0,2308 |0,7692| 0,34 Id. 3° dito id. RIO 42 0,2051| 0,4103|0,3846| 0,43 Id. 4° dito id. Merlot: 29 0,1282| 0,3846|0,4872]| 0,34 Diam. mass. del tubercolo palmare mediano | 13 | rk7350 0, ,1026! 0,5385 |0,3590| 0,68 Id. id. id. interno 8, calibri] 00. |%0,48721/0/128| 024 Lunghezzavdella fcosela 8 0 i 4284 1129150 0 0,4615 |0,5385| 0,21 Td:della. gamba: Leta.L fait Re 21 950 0 0,5128|0,4872| 0,19 Id. del piede . Ul 450| 216 | 0,1282) 0,6410/0,;23088 70/22 Id. del 1° dito del piede solai MI SIA 089 0,1282| 0,3333 |0,5385| 0,41 Id. 2° dito id. MET. ao. i d25 MA60) 0,0513 | 0,3846|0,5641| 0,40 Id. 3° dito id. se Li 204 02 0,0513 | 0,2308|0,7179| 0,30 Id. 4° dito id. e a a 10 1439) A700 0105134 1078718100769 0029 Id. 5° dito id. | 22| 88,50 | 0 | 0,4103/0,5897| 0,24 Lungh. del tubercolo metatarsale interno . 9 | 19 | 0,1026| 0,4103/0,4872| 0,42 i Id. id. id. esterno 12 | 0855080! — OMO R0£6151 053554 IS Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | | | | \ gine libero della membrana interdigitale | 13, 32 0,1026 0,4615|0,4359' 0,38 Idi. id. dote2% ditosee Da l'al a VELI VE fi ZA350 0 0,4615|0,5385| 0,39 Id.. id. del .3° dito! . |120.] 62,50% 0 0,5385 |0,4615| 0, 30 i Taro id (delP4°-ditollena, | GSS 500 0,6667 | 0,3333 | 0,92 ( Lunghezza della ripiegatura tarsale. . . | 16] 53,50| 0 | 0,3333 | 0,6667| 0,28 | | | Lunghezza del capo. . a | 85 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Bufo viridis. Femmine in amore di Sassari. Largh. del capo agli angoli dei mascellari Id. Id. a metà degli occhi . alle narici . Alt. del capo a metà della regione timpanica Id. alle narici . Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso Diametro interorbitale . . .. . DI Distanza dall’apice del muso alle narici Id. dalle narici all'occhio Id. Diametro massimo trasversale dell’ OTO | Id. minimo del timpano Id. Lunghezza massima delle par otidi Larghezza id. SPAGO) Lunghezza del ‘braccio . Id. Id. Id. Id. Id. Id. dall'occhio al timpano . massimo del timpano . . i ei dell’avambraccio . della mano del 1° dito del 2° dito del 3° dito del 4° dito Diametro mass. tubercolo palmare mediano Id. Id. id. id. interno . Lunghezza della coscia . Id . della gamba Id. Id. Id. Id. Id. Id. del piede . del 1° dito del 2° dito del 3° dito del 4° dito del 5° dito Lungh. del fuborcolo motatariale uno Id. id. id. esterno | Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | Id. Id. Id. gine libero della membrana interdigit. id. id. 2° dito. id. id. 3° dito. id. id. 4° dito. Lunghezza della ripiegatura tarsea Indice di variabilità Media | 112 131 23 49,50 | 26 109 27,50 9,50 | 24,50 36,50 58,50 93 137,50 89 20) 10 DO) 46,50 69 18,50 di 0,0500 | | 0,4500 | 0,0500 102,50) 0,2000 i 0,1500 0 0,1500 0,0500 0 0,0500 0) 0 0,1000 0 0,0500 0,1500 0,0500 0 0 0,0500 0 0,1000 FM 1 Da) lat si 16 | 100,50 0 0,5455 | 0,4545 | 0,15 12 | 117,50 0 0,5455 | 0,4545 | 0,09 skal 95 0,0909 | 0,4545 | 0,4545 | 0,11 8 | 24,50 0 0,6364 | 0,3636 | 0,28 7 43 0,1818 | 0,4545 | 0,3636 | 0,14 7 25 0,2727 | 0,2727 | 0,4545 | 0,24 17 | 108 | 0,0909 | 0,7273 | 0,0909 | 0,48 BANAZIOO 0. 0,6364 | 0,3636 | 0,28 15 7 0 07273 |-0,2727|12700 7 25 0,1818 | 0,2727 | 0,5455 | 0,24 Ci 5 0,2727 | 0,6364 | 0,0909 |71,20 7 41 0,3636 | 0,2727 | 0,3636 | 0,15 10 | 13,50 0 0,3636 | 0,6364 | 0,68 9 17 0,2727 | 0,4545 | 0,2727 | 0,47 12 | 76,50 0 0,4545 | 0,5455 | 0,14 17 33 0,0909 | 0,4545 | 0,4545 | 0,48 89450, 0 0,6364 | 0,3636 | 0,14 12 | 89,50 0 0,4545 | 0,5455 | 0,12 9 86 0,0909 | 0,5455 | 0,3636 } 0,10 10. | 39,50 0 | 0,3636 | 0,6364 | 0,23 9 35 0,0909 | 0,6364 | 0,2727 | 0,23 13 45 0 0,5455 | 0,4545 | 0,27 9 32 0 0,5455 | 0,4545 | 0,25 9 20 0,1818 | 0,3636 | 0,4545 | 0,40 11 13 0 07273 | 0;27279 NOT 18 | 130,50 0 0,3636 | 0,6364 | 0,13 22 | 128,50 0 0,9091 | 0,0909 | 0,16 22 | 205,50 0. .| 07273 0;27270| 00x12 10 | 37,50 (0) 0,6364 | 0,3636 | 0,24 16 | 58,50 0 0,5455 | 0,4545 | 0,26 18 | 91,50 0 0,3636 | 0,6364 | 0,18 22 | 133,50 0 0,6364 | 0,3636 | 0,15 14 | 87,50 0 0,6364 | 0,3636 | 0,15 Il 1 'a20 0,0909 | 0,5455 | 0,3636 | 0,50 13 cl 0,1818 | 0,5455 | 0,2727 | 1,09 gine libero della membrana interdigitale | 10 | 30,50 0 0,5455 | 0,4545 | 0,29 Id. 1a. id. 2° dito ; 18 | 46,50 0 0,9091 | 0,0909 | 0,36 Id. id. id. 3° dito 16 | 58,50 0 0,3636 | 0,6364 | 0,26 Id. id. id. 4° dito 15) 16 0,0909 | 0,5455 | 0,3636 | 0,75 15 50 0,0909 | 0,3636 | 0,5455 | 0,28 Lunghezza della ripiegatura tarsea . 87 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur. , Bufo viridis. Femmine in amore di Corfù. Lunghezza del capo Largh. del capo agli angoli dei mascellari Id. a metà degli occhi Id. alle narici Alt. del capo a metà della reg. timpanica Id. alle narici Lungh. ob]. del capo dall’a ang. mase. al muso | Dia nici o interorbitale Distanza dall’apice del muso alle narici . | Id. dalle narici all'occhio Id. dall'occhio al timpano . . Diametro massimo trasversale dell occhio Id. minimo del timpano. Id. massimo del timpano Lunghezza massima delle parotidi Larghezza id. id. Lunghezza del braccio Id. dell’avambraccio Id. della mano . . Id. del 1° dito della mano. Id. 2° “dito id. Id. 3° dito id. Id. 4° dito id. Diam. mass. del tubercolo palmare mediano Id. id. id. interno Lunghezza della coscia Id. della gamba Id. del piede DR Id. del 1° dito del piede Id. 2° dito id. Id. 3° dito id. Id. 4° dito id. Id. 5° dito id. Lungh. del tubercolo metatarsale interno . Id. id. id. esterno Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. Id. id. del 2° dito . Idi. id. del 3° dito . Id. id. del 4° dito . i Lunghezza della ripiegatura tarsea . Indice di variabilità | 90,50 | Media 100,50 | 122,50 100,50 | 25 43 25 124,50 29 | 7,50 | 26 2 40,50 | 17 i; 80,50 99 (RÌ 87,5 42,50 | 35 47 35,50 | 17,50 | \0,1923 F=M 0 0 0 0,1154 0,1538 | 0,2308 0 0,1923 0,2308 | 0) 10,0769 | 0,0769 | () 0 0 0,2000 0,0800 0 0 0,2308 0 0 0 0) 0) 0,0769 | 0 0) | 0,1154 | 0,1538 FM 0,7692 0,7846 0,5000 0,6538 0,3462 0,4231 0.0769 0,0769 | 0,6154 0,4291 (),2308 0,5000 0,2692 0,4615 0,3846 0,2692 0,5000 0,6154 0,3846 0,5769 0,5600 0,3200 0,1600 0,6154 0,3077 0,3077 0,6923 0,5385 0,1923 0,5385 0,5000 0,1538 0,3333 0),3846 0,2308 0),4615 0.7692 0,6154 0.2308 0,4231 269 D—- dl 3 (D+d) 0,28 0,24 0,28 0,40 Oe9i 0,536 0,51 0,40 1,86 0,23 2,00 0,32 0,47 0,47 0,28 0,60 025 0,31 0,14 0,35 0,40 0,17 0.42 0,40 0,80 0,27 0,18 0,21 0,43 0,33 0,2 ,25 0,18 0,24 0,44 0,80 0,51 0,39 0,25 0,63 0,28 270 LORENZO CAMERANO 88 Bufo viridis. Individui giovani del contorno di Torino (lunghezza base da 20 a 40 millimetri). ® 5 DEA 35] Media F=M | FM 5 E 3 (D+d) dI Lunghezza del capo . . 23 126 0,0333 | 0,5667 | 0,4000 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | 30 129,50 0 0,4000 | 0,6000 Id. a metà degli Di at LOGIN 24008550 0 0,6000 | 0,4000 Id. alle narici . . | 10) 29,50 0 | 0,4667 0,5333 Alt. del capo a metà della reg. timpanica | 16 56,50 0 0,6667 | 0,3333 Id. alle narici. . al 29 0,2000 | 0,5667 | 0,2333 Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso | 29 150 0,0333 | 0,6000 | 0,3667 Diametro interorbitale . . . .| 18) 33,50 0 0,5000 | 0,5000 Distanza dall’ apice del muso alle narici .| 15) 10 0 0,7000 | 0,3000 Id. dalle narici all’occhio . A 682050 0 0,5667 | 0,4333 Id. dall'occhio al timpano. . 8 300 0 0,9333 | 0,0667 Diametro massimo trasversale dell ‘occhio | 21 50 0,1667 | 0,4667 | 0,3667 Td; ‘minimo! dell'timipazio. SMS 0,2174 | 0,2609 | 0,5217 Td:imassimb fdelitimpano OO a O 0,2174| 0,2609| 0,5217 Lunghezza massima delle parotidi . . . | 25 T4 0,1429| 0,4286 0,4286 Larghezza id. . TONNO OC MIO 32 0 | 0,6429| 0,4571 Tiunehozza delbraccio Di MISI (41| 113 0,0667 | 0,5667 | 0,3667 Id. dell’ avambraccio . o AE 622 82,50 0 0,4667 | 0,5333 Id. della mano da PAN 00 ESD 91 0 0,8000) 0,2000 Id. del 1° dito | 28 | 44,50 O | 0,6429| 0,3571 Id. del 2° dito ea n 0,0714| 0,7143| 0,2143 Id, (del (3° dito: — . è UU eva a Mt 0,0357 | 0,4286 | 0,5357 Id ldel 4°Gdito; 4A \16| 32,50 0 | 0,6071) 0,3929 Diametro mass. tubercolo palmare mediano | 11} 12 0,0667 | 0,2000 | 0,7333 | Id. id. id. id. interno. | 14| 10,50 O 0,9000) 0,1000 Lunghezza della coscia. . . . ... .|44 | 136,50 O | 0,7333| 0,2667 Id: idella gamba (TORU. Beta 39) Mr25 0,0333 | 0,5667 | 0,4000 Id:-«del ‘(piede (L°' < fie | De 0,0 d660 212,50 0 0,5667 | 0,4333 Td: fdel iPcdito? 5 ATOTNEL O 42 0,0333 | 0,4333 | 0,5333 Id: del. :20sditor ate Reto anos 130 62,50 0 0,7667 | 0,2333 Td; vdel 32fdito. PISO OOO e 29 94 0,0333 | 0,6333 | 0,3333 Id: rdel.:49-ditoy 1 06600 o e PE ST 36150 0 | 0,6000] 0,4000 Id.del:!52#dito 908 22 90,50 0 0,7667 | 0,2333 | Lungh. del tubercolo metatarsale interno 11 DE7; 0,0667 | 0,7000 | 0,2333 Id. id. id. esterno | 6 5,50 0 | 0,4188| 0,5862 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | | gine libero della membrana interdigit. | 17 32 0 0,5000 | 0,5000 Id. id. id: Qt dito: 14, DAI 220448590. 0 | 0,6667) 0,3333 Id. id. Id: -r9° dito Ve OTRS 76,50 O | 0,5667| 0,4333 Id. id. idi v4°%dato: 1 iO 22 25,50 0 0,5333 | 0,4667 Lunghezza della ripiegatura tarsea . . .| 31 57 0 0,8000 | 0,2000 89 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Bufo viridis. ECO, Individui giovani di Catania (lunghezza base da 30 a 50 millimetri). Lunghezza del capo . Lar gh. del capo agli angoli dei mascellari Id. a metà degli occhi Id. alle narici . Alt. del capo a metà della reg. timpanica Id. alle narici . Lungh. obl. del capo dall: ang. mase. al muso Diametro interorbitale . Distanza dall'apice del muso alle narici . Id. dalle narici all'occhio . Id. dall'occhio al timpano . Diametro massimo trasversale dell’ ‘occhio Id. minimo del timpano Id. massimo del timpano . Lunghezza massima delle parotidi . Larghezza id. s Lunghezza del ‘braccio O Id. dell’avambraccio . Id. della mano Id. del 1° dito Id. del 2° dito Id. del 3° dito Id. del 4° dito Diametro mass. tuber colo palmare mediano Id. id. id. id. interno. Lunghezza della coscia . Id. della gamba Id. del piede Id. del 1° dito Id. del 2° dito Id. del 3° dito Id. del 4° dito Id. del 5° dito Lungh. del tubercolo metatarsale interno | Id. id. id. esterno Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. , Id. id. id. 2° dito. Id. id. id. 18° dito. Id. id. id. 4° dito. Lungh. della ripiegatura tarsea . Indice di variabilità 122,50 126,50 103 28,50 50 28,50 123 99 6 28,50 5,50 49 69,50 20,50 44,50 0,0909 0,0909 0,1818 0) () 0 0 | 0,0909 0 | 0,0909 0 0 0 0 0,1818 0 0,1818 0) 0 0) 0,0909 0 0 0,0909 0 0 0,1818 {) I) 0,0909 0 I) 0) FZM | di 0,3636 i 0,3636 1 0,0909 | 0,5455 0,5455 0,4545 0,7667 0,4545 0,6667 0,6687 0,3636 0,5455 0,4545 0, a 39 DI DIRI ,6364 ra 0,4545 | 0,7273 | 0,4545 0,5455 0,2727 0,1818 0,2727 0,9455 | 0,5455 0,5455 0,7273 0,6364 0,3636 0.3636 0.1818 0),4545 0),5455 0,3636 0.I818 0,5455 0,2727 0,4545 0,0909 0,2727 0,6364 0,5453 0,3636 0,27237 0,5455 0,2222 0.,3636 0,3933 0,3333 0,5455 0.4545 0,4545 0, 395 0,7273 0,3636 0,8182 0),3636 0,2727 0,3636 0,4545 072730) 0,8182 0,6364 0,4545 0,4545 0,3636 (), 2727 0,3636 04545 0,6364 0,8182 ().4545 (),4545 0).6364 0.8182 [N] Ce | D-d (D+d) 0,14 0,24 0,21 0,42 0,20 0,38 0,16 0,61 1,00 0,38 2.00 0,24 0,56 0,56 0,21 0,47 0,27 0,38 0,24 0.35 0,33 ONIN7 0.56 0,71 1,30 0.40 0,44 0,30 0,39 0,21 0,16 0,20 0,33 0,42 1.00 0,47 0,95 0,27 (),55 0,51 —— re e e e TT ]7”—( (0 ee" DI M 90 0,2000 0,2000 0,5000 0,6000 0,2000 0,4000 | 0,5000 0,7000 0,8000 0,6000 0,6000 0,3000 0,5000 0,5000 1 0,3000 0,3000 0,1000 0,3000 0,5000 0,3000 0,3000 0,5000 0,2000 i 0,4000 0,7000 0,4000 0,4000 0,3000 0,7000 0,7000 0,3000 0,4000 0,4000 0,3000 i 0,9000 0,7000 0,3000 0,6000 0,4000 0,6000 0,8000 0,8000 0,5000 0,1000 0,8000 0,5000 0,4000 | 0,3000 0,2000 0,4000 0,1000 0,6000 0,5000 0,5000 0,7000 0,7000 0,9000 0,7000 0,4000 0,7000 0.7000 0,3000 0,7000 0,3000 0,2000 0,6000 0,6000 0,7000 0,3000 0,3000 0,7000 0,6000 0,6000 0,5000 0,1000 0,2000 0,7000 | 0,4000 0,6000 0,4000 | LL 91 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Eoc. Bufo viridis. Individui giovani di Siria (lunghezza base da 30 a 50 millimetri). SEL ZII D-d E Media | F=M FM |j = nei n) (D+-d) 5 | | | Lunghezza del capo . . 40 | 100,50 0 0,1000 | 0,9000 | 0,38 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | 12 | 127,50 0 0,8000 | 0,2000 | 0,09 Id. a metà degli occhi A A O ILA | 0 0,7000 ; 0,3000 | 0,57 Id. alle narici . . 8 227,50 0 0,9000 | 0,1000 | 0,25 Alt. del capo a metà della reg. timpanica 9 | 44 | 0 0,5000 | 0,5000 | 0,20 Id. alle narici. . 9 |27,50 0 0,8000 | 0,2000 | 0,25 Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso | L75750) 0 0,4444 | 0,5556 | 0.13 Diametro interorbitale . . . . | 12 | 30,50 0 0,3333 |! 0,6667 | 0,36 Distanza dall’apice del muso alle narici . EGRPESZ50n 6 0 0,7667 | 0,2222 | 0,91 Ta: dalle nametall’oechio .0 . . . ...| 9 2A 0 0,4444 | 0,5556 | 0,28 Id. dall'occhio al timpano. . Si ke3508), 0 0,6667 | 0,3333 | 2.00 Diametro massimo trasversale dell’ ‘occhio 14 | 47,50 0 0,7667 | 0,2222 | 0,27 Id. minimo del timpano . . . . . .. 9| 12 | O,1111|0,2222 | 0,6667 | 0,67 Id. massimo del timpano . . . cer: 1250 0 0,2222 | 0,7667 | 0,56 Lunghezza massima delle parotidi . Mo ada 7E50) 0 0,4444 | 0,5556 | 0,37 Larghezza 10 LARA RE Eta da 122 £3.50 | 0 0,6667 | 0,3333 | 0,48 Lunghezza del in STI 8 | 117 0 0,6667 | 0,3333 | 0,18 Id. dell'avambraccio . 180 0 0,1111 | 0,8889 0,25 menielia mano) Sri. 0... 1, | 29 84 | 0 0,3333 | 0,6667 | 0,33 Id. del 1° dito . . 00... 17) 41 |0,2222 | 0,2222 | 0,5556 | 0,39 Id. del 2° dito . A Mt (34 | 02292 | 0,9333|/0,4444 || (041 fiideli 3° dito (. . . .... 0. .|10| 4450] 0 |0,4444 | 0,5556 | 0,20 Id. del 4° dito | 18 | 32,50 0 0,7667 | 0,2222 | 0,52 Diametro mass. tubercelo palmare mediano 5 180] 0.33331|'0,4444 | 0;2222 | 0,22 Id. id. id. id. interno. | 10 | 12,50 0 0,5556 | 0,4444 | 0,72 Lunghezza della coscia. . . . . . . 32 | 133,50 0 |0,4444 | 0,5556 | 0,23 feidelia gamba... . . . . .. .| 13] 129 | 0,2000| 0,4000 | 0,4000 | 0,10 mune piede i... o... | 44 {205,50 0 | 0,3000 | 0,7000 | 0,21 iero dito? “>... 3.6... .| 9 37 0 0,7667 | 0,2222 | 0,22 elgedolsbotdito i. . . . ...0.| 22 | 59,50 0 0,7667 | 0,2222 0,35 edotto i... 0.80] 90,50] 0 0,6667 | 0,3333 0,32 delete dito e... 0... . .| 24 [137,50 0 0,5556 | 0,4444 | 0,17 Id. del 5° dito 18 | 89,50 0 0,5556 | 0,4444 0,19 Lungh. del tubercolo metatarsale interno RIVA o Ta 0 0,2222 | 0,7667 | 0,35 Id. id. id. esterno | 13 10 0 0,5556 | 0,4444 | 1,25 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. | 13 | 31 0 0,6667 | 0,3333 | 0,39 Id. id. dere dito, cu. i. | 17 43 0,1111 | 0,2222 | 0,6667 | 0,37 Id. id. acngito "... , . +120 | 62,50 0 0,3333 | 0,6667 | 0,30 Id. id. med alito e | I1| 21 0 0,6667 | 0,3333 | 0,48 Lunghezza della ripiegatura tarsea . . . 22 | 54,50 0 0,6667 | 0,3333 | 0,34 Serie II. Tom. LIV. E 274 LORENZO CAMERANO 92 Bufo mauritanicus. ar | Indice Deo Maschi in amore Classi di Media 1 estreme | variabilità a D+d) Lunghezza del capo . 83-110 28 96,50 0,27 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | 103-150 48 126,50 0,37 Id. a metà degli occhi . 75-100 26 87,50 0,29 Id. alle narici . 19-31 IL33 25 0,48 Alt. del capo a metà della reg. timpanica 42-56 15 49 0,29 Id. alle narici . 22-30 9 26 0,31 Lungh. obl. del capo dall’: ang. masc. al muso 87-126 40 106,50 0,36 Diametro interorbitale È 24-98 15 S1 0,45 Distanza dall’ apice del muso alle narici . 6-27 - 12 16,50 0,67 Id. dalle narici all’occhio . 17-34 12 25,50 0,43 Id. dall'occhio al timpano . 3-12 10 7,50 1,20 Diametro massimo imasrertalo dell’ occhio 32-45 14 38,50 0,34 Id. minimo del timpano 2 6 14,50 0,34 Id. massimo del timpano 14-23 10 18,50 0,48 Lunghezza massima delle parotidi . . 63-93 Sl 78 0,38 Larghezza iggid: - 27-49 23 38 0,58 Lunghezza del braccio . 99-139 41 119 0,33 Id. dell’avambraccio . 712-112 41 92 0,43 Id. della mano. 75-96 22 85,50 0,24 Id. del 1° dito . 34-46 16) 40 0,30 Id. del 2° dito . 21-39 19 30 0,60 Id. del 3° dito . 32-46 15 39 0,36 Id. del 4° dito . i; 21-33 13 27 0,44 Diam. mass. tubercolo palmare mediano .| 18-29 12 23,50 0,46 Id. id. id. id. interno 12-22 Ibi 17 0,59 Lunghezza della coscia . 120-166 47 143 0,32 Id. della gamba 120-153 34 136,50 0,24 Id. del piede 189-247 59 218,50 0,26 Id. del 1° dito . 30-46 ir; 38 0,42 Id. del 2° dito . 58-75 18 66,50 0,45 Id. del 3° dito . 77-116 40 96,50 0,40 Id. del 4° dito . 117-153 37 T95 0,26 Id. del 5° dito . .. 80-104 25 92 0,26 Lungh. del tubercolo metatarsale interno | 14-24 11 i 0,53 Td. id. id. esterno | 8-15 8 11,50 0,61 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | gine libero della membrana interdigitale | 24-43 20 33,00 0,56 Id. di id. 2° dito 26-55 30 40,50 0,71 Td.tid: id. 3° dito 41-79 39 60 0,63 Id. id. id. 4° dito 13-29 19 21 0,76 Lunghezza della ripiegatura tarsea . 44-58 15 al 0,27 93 RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., Ecc. 2 Bufo mauritanicus. | | F SI Classi | il | D_d emmaine im amore | di Media | estreme + pili4 (0a variabilità | Lunghezza del capo . . | 82-106| 25 | 94 0,26 Largh. del capo agli angoli dei mascellari | 108-141 | 34 124,50 0,26 Id. a metà degli occhi * datori... i 0. ale. | 29-51 23 40 0,55 inierdel 2P dito: ... 0a. e... 22-40 19 31 0,58 Most 5° dita 0. 0. 0 | 84-48 15 41 0,34 Id. del 4° dito | 19-30 | 12 24,50 0,44 Diametro mass. tubercolo palmare mediano | 20-30 | 11 25 0,40 Id. id. id. id. interno.| 10-20 11 15 0,67 Lunghezza della coscia . \119- 169 | 5I 144 0,34 Id. della gamba . | 114-150 37 132 0,27 Id. del piede . | 183-241 59 212 0,27 Id. del 1° dito 32-45 14 38,50 0,34 Id. del 2° dito 47-68 22 57,50 0,36 Id. del 3° dito .| 80-109 30 94,50 0531 Id. del 4° dito . | 114-146 33 130 0,24 Id. del 5° dito | 72-99 18 85,50 0,19 Lungh. del tubercolo metatarsale interno 16-25 10 20,50 0,43 Id. id. id. esterno 9-18 10 13,50 0,67 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- gine libero della membrana interdigit. | 21-37 17 29 0,55 Id. id. a ono 0 28-49 22 88,50 0,54 Idle id Void. 8° dito. . . 0. .| 39-75 37 57 0,63 Id. id. id. 4° dito. ; 16-27 | 12 21,50 0,51 Lungh. della ripiegatura tarsea . 34-55 | 22 44,50 0,47 Ut 276 | LORENZO CAMERANO 94 Bufo mauritanicus. . Indice Giovani (Lunghezza 69-82) Seli di Media e estreme | variabilità a Da Lunghezza del capo . 102-110 9 106 0,07 Largh. del capo agli angoli dei mascellari 125-135 11 130 0,08 Id. a metà degli ‘occhi 3 97-105 9 101 0,07 Id. alle narici . 23-28 6 25,50 0,19 Alt. del capo a metà della reg. timpanica 54-57 4 55,50 0,05 TaSalle narici 08 27-32 6 29,50 0,17 Lungh. obl. del capo dall’ ang. masc. al muso | 104-119 16 111,50 0,34 DOO interorbitale . 5 36-40 5 38 0,11 Distanza dall’ apice del muso alle narici . 2-9 8 5,50 1,27 Id. dalle narici all'occhio . 25-31 7 28 0,21 Id. dall'occhio al timpano . 5-10 6 7,90 0,67 Diam. massimo trasversale dell’ ‘occhio 37-46 10 41,50 0,22 Id. minimo del timpano 12-16 5) 14 0,29 Id. massimo del timpano . 14-21 8 050 0,40 Lunghezza massima delle parotidi . : 78-102 25. 90 0,27 Larghezza id. s ‘87-61 25 49 0,49 Lunghezza del braccio 126-136 11 131 0,76 Id. dell’ avambraccio . 78-97 10 87,50 0,10 Id. della mano 88-95 8 91,50 0,08 Id. del 1° dito 44-51 8 47,50 0,14 Id. del 2° dito 32-37 6 34,50 0,14 Id. del 3° dito 42-52 11 47 0,21 Id. del 4° dito 25-28 4 26,50 0,11 Diametro mass. tubercolo palmare mediano 23-28 6 25,50 0,19 Id. id. id. id. interno. 15-18 4 16,50 0,18 Lunghezza della coscia . a E 141-160 20 150,50 0,12 Id. della gamba 141-159 15 148 0,09 Id. del piede 213-240 28 226,50 0,12 Id. del 1° dito 35-42 8 38,50 0,18 Id. del 2° dito 53-68 16 60,50 0,24 Id. del 3° dito 92-102 11 3 0,10 Id. del 4° dito 132-149 18 141 0,12 Id. del 5° dito 88-94 7 Sul 0,07 Id. del tubercolo metatarsale interno 18-23 6 20,50 0,24 Id. id. id. esterno 10-15 6 12,50 0,40 it dall’apice del 1° dito a metà del mar- o della membrana interdigit. 26-37 12 31,50 0,34 dito 46-55 10 50,50 0,17 dito 60-75 16 67,50 0,22 dito 18-25 8 21,50 0,32 xgatura tarsea 40-60 21 50 0,40 PT ——_..._——__——————————————————————t@—@—@——@—@—»—»——È—»——»———— —_m—@—È——@ Bufo RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE DEL BUFO VIRIDIS Laur., regularis. ECC. mM I NI Maschi in amore (lungh. dall’apice del muso all'apertura cloacale m. 0,010 a m. 0,030. Media 113,50 128 99 29 553 26,50 | 116 32,50 6,50 28,50 4 44,50 25,50 26 25,50 '26|117,50 81 24 88,50 43 30 45 28 119 14 122 217 37 59 97 24 86,00 13,50 9,50 18| 31,50 45 26, 64,50 99 di i Classi | È estreme = Lunghezza del capo . 97-130 34 Largh. del capo agli angoli dei mascellari |118-13821| Id. a metà degli ‘occhi . 89-109/21| Id. alle narici . 19-31 |13 Alt. del capo a metà della reg. timpanica 46-60 |15 Id. alle narici . 22-31 |10 Lungh. obl. del capo dall’ ang. mase. al muso [106-126 21| Diametro interorbitale . 1 26-39 |14 Distanza dall’apice del muso alle narici . | 0-13 14 Id. dalle narici all'occhio . 21-36 |16) Id. dall’occhio al timpano 0-8 |9 Diametro massimo trasversale dell'occhio | 36-54 |20| Id. minimo del timpano 19-32 |14 Id. massimo del timpano . 20-32 |13 Lunghezza massima delle parotidi . 55-83 [29 Larghezza 10:10," 19-32 |14| Lunghezza del braccio . 105-130!£ Id. dell’avambraccio 72-90 |19 Id. della mano 77-100 Id. del 1° dito 39-51 |17 Id. del 2° dito 21-39 |19 Id. del 3° dito 36-54 19 Id. del 4° dito 21-35 |15 Diametro mass. tubercolo palmare mediano | 15-23 |9 Id. id. id. id. interno. | 9-19 11 Lunghezza della coscia . 124-145)22) 134,50 Id. della gamba 120-144 25 Id. del piede 197-237 41 Id. del 1° dito 31-43 |13 Id. del 2° dito 47-71 25 Id. del 3° dito 83-111|29 Id. del 4° dito 123-146 24 134,50 Id. del 5° dito 75-98 Lungh. del tubercolo metatarsale interno | 10-17 |8 Id. id. id. esterno | 3-16 |\14 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | gine libero della membrana interdigit. 23-40 Id. id. id. 2° dito 36-54 |19 Id. id. id. 3° dito 52-77 Id. id. id. 4° dito 14-30 |17 Lunghezza della ripiegatura tarsea 45-62 |18 53,50 F=M F| Media|F=M|FM estreme | ;8 | | ———_____-t — — ssi — ——— Lunghezza del capo . . . (120-144 25 132 |0,1538/0,4038 0,4423 Largh. del capo agli angoli dei mascellari |120-154]85| 137 | 0 |0,711502885 Id. a metà degli occhi 090-1202101) 105. | 0 .10,6731/0,3269 Id. alle narici . . . | 25-42 |18|33,50| 0 |0,4423/0,5577 Alt. del capo a metà della. reg. timpanica 47-64 |18|55,50| 0 |0,4231|/0,5769 Id. alle narici : . + | 394-429) 38 (0,05770,4615 0,4409 Lungh. obl. del capo dall’a ang. masc. al muso |126-154,29| 140 (0,01920,4423 0,5385 Diametro interorbitale . . . . . .| 94-51 |19|42,50| 0 |0,7308/0,2692 Distanza dall’'apice del muso alle narici .| 0-9 |10) 4,50 i 0 0,4667 0,5333 Id. dalle narici all'occhio . . . . . .| 23-42 [20/32,50| 0 |0,3269)0,6731 Id. dall'occhio al timpano . . Uta — Diametro massimo trasversale dell’occhio. hi 42-68 (27) 55 |0,07690,6731 0,2500 Id. minimo del timpano. . . . . . . :iuv.-23 |—|21,50| — — -- Id. massimo del timpano . . Mar CL) — _ - Lunghezza massima delle parotidi Sgr — || | — Larghezza id. id. PISA pdl —| — —_ — Lunghezza del braccio . . . . . ..| 96-127|32/111,50 0,2692|0,7308 Id. dell’avambraccio Id. della mano . . Id. del 1° dito della 1 mano . Id. 2° dito id. 85-108 24 96, ‘50 | 10,5577|0,4423 | ‘0,2115|0,7885 0 64-95 |32/7950| 0 (0,2692/0,7308 0 36-45 (10 40,50| 0 26-40 |15) 33 0, 1346/0,2692 0,5962 Id. 3° dito id. A 45-00, (L6 LAO 50) 0) 0,5000) 0,5000 Id. 4° dito id. 24-36 |13 30 10,0577(0,7885] 0,1538 Diam. mass. del tubercolo palmare mediano 16-24 |9| 20 |0,25000,4615|0,2885 Id. id. id. interno 9-16 |8|12,50| 0 (0,3269/0,6731 Lunghezza della coscia . . . . . . .|131-156|261143,50| 0 (0,6538/0,3462 Ja. della gamba . . . . . . . . .|120-144/25] 132 (0,019200,5 385, 0,4423 Id. del piede gie: - +++ ++ |200-246|/47| 223 | 0 |0,7045|0,2955 Id. del 1° dito del piede «+++ + + | 89-54 [16[46,50| 0 |0,5192/0,4408 Id. 2° dito id. IRR 000001 0 DIS68 18596010 0! .103077/0,60925 Id. 3° dito id. a Rd Lirio 80-104[25] ‘92 I-.0. +10; 7415/:0,2880 Id. 4° dito id. ox + + + « |117-148[32/132,50| 0. |0,2500/0,7500 Id. 5° dito id. . .| 72-96 |25| 84 0 |0,3269/0,673 Lungh. del tubercolo metatarsale interno . 11-24 |14117,50| 0 |0,6358|0,3462 Id. id. id. esterno 5-10 |6| 7,50| 0 |0,2885/0,7115 Dist. dall’apice del 1° dito a metà del mar- | 2131,50| 0 0,5000)0,4408 gine libero della membrana interdigitale | 21-42 Id. id. del 2° dito. . . . . . . .| 36-53 [(18|44,50| 0 (0,2500[0,7500 sud eidie ls (dito. >»... . . .. . | 54-76 [29] 65 0 0,5577|0,4423 Id. id. del 4° dito. . . . .| 18-27 (10/22,50) 0 (0,4000/0,6200 Lunghezza della ripiegatura tarsale. . . | 51-78 128 69,50| 0 0,7885)0,2115 D-d 1 1 (D+d) 280 LORENZO CAMERANO — RICERCHE INTORNO ALLA VARIAZIONE, ECC. 98 Nota aggiunta: Per lo studio della variabilità delle parti dello stesso animale, volendosi con- frontare fra loro parti di dimensioni molto diverse, è d’uopo fare le considerazioni seguenti che mi vengono suggerite dal dr. Umberto Perazzo, assistente alla Scuola di Geometria proiettiva e descrittiva, il quale ha testè compiuto nel laboratorio del Museo Zoologico di Torino una serie di ricerche intorno alla “ Variazione dell’ Hy- drophilus piceus (Linn.) ,. L'indice di variabilità dipende in modo essenziale dalle dimensioni della parte a cui sì riferisce; ora il confronto di tali indici, quando le dimensioni delle parti sono notevolmente diverse, non dice direttamente quali delle due siano effettivamente più variabili rispetto ad una misura base. Si possono però facilmente dedurre dagli indici stessi numeri suscettibili di con- fronto assumando i loro rapporti alle corrispondenti classi medie (ottenute cioè come medie aritmetiche fra le classi estreme). Nel caso nostro in cui le classi contigue differiscono per un 360°m° basterebbe fare il rapporto i in cui À è l’indice di variabilità e M è la media. Il dr. Perazzo chiama tali numeri “ coefficienti di varia- bilità relativa alla misura base ,, e propone pel loro calcolo la formola seguente: D-@ n : TRO È Ile . A Ù : I pid la quale è applicabile in ogni caso, sia in quello in cui le Sa contigue delle serie differiscono per un 360° sia in quelli in cui si considerano contigue due classi differenti fra loro per metà o per un quarto ecc. di 36089, Nella formola sopradetta D è il valore massimo avuto dal rapporto di una data dimensione alla misura base (espresso in 360iri di essa e dedotto, ad esempio, me- diante il coefficiente somatico) e d è il valore minimo. Sia ad esempio la serie: 90-97-102-103-104-105-106-107-108-110, sì avrà: _110-90 _ 20 (99 I (10 Leo) 00 Negli specchietti uniti a questo lavoro ho indicato anche i valori dei coefficienti di variabilità relativa, calcolati nel modo sopradetto, per ogni indice di variabilità. FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA MEMORIA PESTE Bir E A PIACENZA Approvata nell’ Adunanza del 17 Aprile 1904. INTRODUZIONE Le tre geometrie d’Euclide, di Lobacefski e di Riemann si considerano ordina- riamente come tre rami di un medesimo tronco: e come tali si presentano di fatto così dal punto di vista analitico del Riemann, dello Helmholtz, del Lie, come dal punto di vista projettivo di Cayley e Klein. Ma le ricerche analitiche sui fondamenti della geometria hanno come primo presupposto la rappresentabilità dello spazio mediante coordinate: si fa in esse, per esser precisi, una geometria di numeri; ora è ben vero che lo spazio nostro può riferirsi ad un sistema di coordinate, ma a ciò si giunge nel modo più ovvio poggiandosi precisamente sopra ipotesi che non si veri- ficano ugualmente nelle tre geometrie (*). Non altrimenti le ricerche che s’innestano alla geometria projettiva restano, quali le considerava il Cayley, applicazioni della teoria delle coniche e delle quadriche, piuttosto che studi sui fondamenti della geo- metria, almeno finchè la geometria projettiva non si poggia su basi proprie, indipendenti da ogni concetto tolto ad una particolar metrica. E per due vie diverse si cercò di fatti di liberare dalle ipotesi proprie alla geometria euclidea la costruzione della geometria projettiva. Nell’una, seguìta di preferenza dai geometri italiani, si abbandonò ogni riguardo alle ordinarie intuizioni spaziali e si volle unicamente costituire la geometria projettiva in organismo logico. Nell’altra, seguìta di preferenza dai geometri tedeschi, si cercò di esprimere in forma di postulati alcuni fatti primordiali, che si suppongono riconosciuti sperimentalmente in una limitata regione dello spazio, e di dare per tal modo alla geometria projettiva e alla metrica una base comune, sulla quale si potessero poi costruire indifferente- ('*) Si deve ricordare a questo proposito una nota del prof. Exriques, Sulle ipotesi che permettono l'introduzione delle coordinate in una varietà a più dimensioni, “ Rend. Palermo ,, XII, 1898. Da un semplice esame di questo lavoro si riconosce come le ipotesi adottate dall'A. contraddicano preci- samente alla geometria iperbolica, almeno finchè con opportune convenzioni non sia conveniente- mente completato lo spazio. Serie II. Tom. LIV. ' 282 BEPPO LEVI DI) mente le tre geometrie sorelle; l’opera fondamentale in questo indirizzo furono le Vorlesungen del Pasch (1). î Nel primo indirizzo la geometria metrica è ancora lo studio di un gruppo arbi- trario di proprietà delle coniche; nel secondo invece le ricerche fatte fin qui non possono dirsi totalmente esaurienti. Se infatti si considerano i postulati mediante i quali il Pasch (che prima d’ogni altro li enunciò esplicitamente) cercò di mostrare come la metrica si coordini alla geometria projettiva secondo le vedute del Klein, si dovrà osservare che, contro l’opinione dell’À., essi escludono precisamente una delle tre possibilità: quella della geometria ellittica (2). Non è difficile, invero, colmare tal lacuna, quando non si impongano limitazioni al modo onde si risolve la questione. Ma che ciò sia fatto esplicitamente non è a mia conoscenza; e più ancora resta aperto il campo alle investigazioni, ove si limiti il numero e la natura delle nozioni e delle proposizioni primitive — il che, come tosto si avrà occasione di ripetere, è fra i desideri di una perfetta costruzione logica. A tal ricerca s’ispira il capitolo I del presente lavoro. Si enuncia in esso un sistema di postulati che sono validi ugualmente per le tre geometrie nominate non solo, ma per tutta una classe di metriche rispetto a una quadrica o conica assoluta, tra cui le geometrie poste recentemente in evidenza dal sig. Dehn (3) e la metrica del campo esterno ad una quadrica. Inoltre, indipendentemente da ciò, tali postulati rap- presentano, pel loro minor contenuto, un progresso su quelli proposti fin qui da altri autori (4). Nel capitolo II, appoggiandosi ai fatti metrici stabiliti nel capitolo precedente, si gettano le basi della geometria projettiva e si mostra la dipendenza della metrica da essa. È degno di nota come ne risulti la rappresentazione per coordinate dello spazio projettivo e la geometria analitica, e di conseguenza tutta la geometria projet- tiva nelle sue parti essenziali, indipendentemente da ogni nozione circa la potenza dell’aggregato dei punti (5), e circa l'ordine degli elementi in una forma di prima specie; nozioni estranee effettivamente alla geometria projettiva generale, giacchè è noto che i suoi teoremi fondamentali sono validi ugualmente nello spazio (numerabile) di punti razionali e nello spazio di punti immaginarî (in cui non è definito l’ordine). (4) V. anche Scuur, Einfihrung der idealen Elemente u. s. w., È Math. Ann. ,, 39, e Ueber die Grundlagen der Geometrie, “ Math. Ann. ,, 55. (2) Il Pasch ammette (II Grundsatz) che un segmento si possa sempre prolungare di una ugual lunghezza ed afferma esplicitamente (p. 115, 4) che in figure congruenti a punti proprii corrispondono punti proprii. Questa ipotesi, unita al postulato d'Archimede (IV Grundsatz, p. 105) e alle sue con- seguenze projettive, nel caso che l’involuzione assoluta sopra la retta sia ellittica, porta alla con- elusione che il punto coniugato di un punto proprio è anch'esso proprio. Il che contraddice agli altri postulati. (3) Die Legendre’schen Stitze ii. die Winkelsumme im Dreieck, © Math. Ann. ,, 53. (4) V. in particolare Scuur, l. c., © Math. Ann. ,, 55, e Pieri, Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo (£ Memorie della R. Acc. delle Se. di Torino ,, serie II, vol. XLIX), i cui postulati hanno coi nostri maggiori contatti. Oltre all’esclusione della nozione di ordine, di cui si parla nelle linee seguenti, noto in particolare i postulati della retta: il relativo post. VIII del Pieri esclude contemporaneamente la geometria ellittica e lo spazio a più di tre dimensioni (cfr. l. c., p.10 e 26). Nè l'una nè l’altra eselusione nei postulati presenti, mentre poi quanto resta general- mente valido del post. VIII del Pieri è stabilito per deduzione nei n' 9 e seg. (3) Riguardo alla potenza dell’aggregato dei punti necessari alla geometria projettiva, cfr. il n° 21. 3 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 283 Nel capitolo III si dimostra dapprima, per mezzo di esempi, l'indipendenza ordi- nata del maggior numero dei postulati ammessi nel cap. I e si discute poi della capacità dei postulati medesimi in confronto del teorema di Pascal, della determina- zione del campo dei punti da attribuirsi allo spazio metrico e della determinazione della geometria metrica. Rimando il lettore all'indice inserito alla fine del presente lavoro, per completare questa notizia riassuntiva del contenuto. Il presente sistema si svolge intorno alle idee primitive di punto e di congruenza di due coppie di punti. Una tal riduzione dei concetti primitivi non è, per sè, una novità nella storia della geometria, nè nelle ricerche di questi ultimi anni (!); nè io vorrei esagerarne l’importanza, come mi pare si faccia talora, in confronto, per es., alla riduzione attuata dal signor Pieri per la geometria Euclidea e Lobacefskiana ai concetti primitivi di punto e di moto: non si può infatti evitare di considerare, insieme colla congruenza di coppie, delle corrispondenze che mutino determinati sistemi di punti in sistemi congruenti (?), perchè è nell'oggetto medesimo della geo- metria metrica che, date talune congruenze fra coppie di punti di due sistemi, si possa senz'altro affermare la congruenza di tutte le loro coppie omologhe di punti (8). A parte queste modalità, la riduzione dei concetti primitivi ai più semplici e meno numerosi ha per iscopo di precisare nel modo migliore l’analisi dei postulati; essa equivale alla decomposizione di un sistema di equazioni logiche — i postulati di un dato sistema deduttivo — in due parti, di cui l’una, risolta rispetto al massimo numero possibile di incognite (concetti che si definiscono), si muta in un sistema di definizioni, l’altra, rimasta implicita, costituisce i postulati proprî della teoria. Si viene così a diminuire l’arbitrarietà dell’attribuzione di significati agli enti intorno a cui questa s'aggira. Nella scelta dei postulati ho procurato che essi esprimessero proprietà contenute nella nostra abituale concezione geometrica e fossero, quanto possibile, ordinatamente indipendenti. La scuola dei logici non chiede generalmente ai postulati altro che siano inde- componibili e fra loro indipendenti, e distingue fra indipendenza ordinata ed assoluta, (') Ricordo fra i tentativi antichi di definire gli enti geometrici mediante la nozione di distanza, quelli del Leibniz e del Bolyai: fra le costruzioni recenti quella del Veronese (Elementi di Geometria), ove però intervengono anche come nozioni primitive la retta e il segmento; e i sistemi di defini- zioni pubblicati dai sig. Peano (“ Atti della R. Accad. di Torino ,, 1902) e Padoa (“ Periodico di matematica ,, 1904). Anche il sig. Kagan ha esposto nei “ Jahresberichte d. d. Math. Verein.,, 11, 1902 (Ein System von Postulaten welche die euclidische Geometrie definierenj vedi anche un'appendice nel vol. 12 dello stesso periodico) un sistema di postulati in cui non compaiono, come rappresentanti idee primitive, altre parole che punto e distanza, ma la distanza del sig. Kagan è senz’ altro un numero, onde la soppressione di altri concetti primitivi è piuttosto simulata che effettuata. (*) Cfr. il post. IX e il $ 2 del Cap. III (*) Così il postulato dell'uguaglianza dei triangoli nel sistema dello Hilbert non riuscirebbe a definire la congruenza delle figure piane se non fosse unito ai postulati della congruenza fra segmenti (e fra angoli) i quali non esprimono solo una relazione fra le coppie costituite dagli estremi di questi, ma bensì l’esistenza di una corrispondenza (realizzata dal movimento) fra i punti di segmenti congruenti (e fra i raggi di angoli congruenti). La qual corrispondenza il detto postulato permette di estendere a figure piane qualsiansi. Si noterà qui che la nozione di congruenza di figure che ne risulta è eccessivamente complessa di nozioni primitive diverse. 284 BEPPO LEVI 4 tendendo a questa come ad aspirazione ultima. Ma pare a me che queste distinzioni siano ben poco determinate e traggano più che altro dalla forma verbale che i postu- lati assumono. Si dice infatti che si decompone un postulato A quando si enunciano due proposizioni A' e A" di cui A sia il prodotto logico. Se ora nella classe logica cui appartengono gli elementi di cui tratta il postulato A (enti, relazioni: relazioni binarie, ternarie, ...) ne esiste un'infinità che non soddisfano ad A, onde A limita in essa una classe minore È, si potranno pensare infinite proposizioni delimitanti classi 2” in cui £ sia contenuta e tali quindi che A possa risultare dal prodotto logico di esse e di altre proposizioni: onde il postulato indecomponibile è un’illusione, almeno finchè non si enunci esplicitamente un principio limitatore di questa indefinita decom- ponibilità. Parimenti, quando i postulati A, 5, C,... siano ordinatamente indipendenti, saranno assolutamente indipendenti le proposizioni: A, Bv- A, Cu- Av- B,... equivalenti, nel loro insieme, al sistema proposto (!); onde con una semplice trasformazione logica si può ritener risoluto il problema della indipendenza assoluta, tosto che sia risoluto quello della indipendenza ordinata. Ben è vero che proposizioni della forma accennata ripugnano ordinariamente, ma non sarebbe nuovissimo il caso di un simile enunciato, almeno fra i teoremi, e d’altronde non è difficile spesso trasformare le proposizioni in modo da dissimularne la grottesca composizione e da raggiungere la forma categorica, ch'è fra gli incoscienti desiderì comuni: in ogni modo, se anche talora meno facile, la questione è condotta a una trasformazione verbale e quasi abbandonata, per una maggior determinazione, al gusto del ricercatore (?). (') Siano A, B, C, D,... proposizioni fra loro assolutamente indipendenti, cosicchè ciascuna di esse non sia deducibile dalle rimanenti per moltiplicazione logica. Sia M una proposizione da esse ordinatamente indipendente, cioè che non consegua dal loro insieme, senza che si escluda che una delle A, B, C,... sia conseguenza delle rimanenti e della M. Si consideri la proposizione Mv —(ABCD...) =Mv—-Av—-Bu-Cu—-Du... Il prodotto logico ABD... (Mu — Av—-BuT—-Cu— Du...) si sviluppa in (MABD...)v(ABD...— C). Ora, per ipotesi, C non è conseguenza di ABD..., quindi la classe definita da ABD...— C non è nulla; d’ altronde, per definizione, essa non è contenuta in quella definita da C, onde nemmeno sarà contenuta in quella definita da C la classe definita da ABD...[Mv—-(ABCD...)]. Così la proposizione Mu—(ABCD..., come M, non è conseguenza delle proposizioni precedenti, e ciascuna di esse — (qui si è mostrato per la C) — non è conse- guenza di questa e delle altre. Ma ABCD...[Mv—(ABCD...)]= MABCD..., vale a dire che il sistema costituito dalla M e dalle proposizioni A BC D... è equivalente al sistema formato da queste proposizioni e dalla Mv(ABCD...). — Si supponga ora che A,5, €, D, ... siano solo ordina- tamente indipendenti: il risultato precedente ci mostra che saranno indipendenti assolutamente Ae Bu— A, poi queste proposizioni e la Cv— Av—(Bu—-A)= Cu Av(— Bn A)=(C — Auv— Bln(Cu—-AvA):=Cv—Av— B, poi queste ela Du —-Av—-(Bu—-A)u—-(Cu-AvT— B), che un calcolo analogo permette di scrivere Du— Au— Bu—-C, e così via, secondo è enunciato nel testo; e il sistema di queste proposizioni è equivalente al dato. (?) Posso offrire qui alcuni esempi di tali trasformazioni: il post. IV del sistema che io qui pre- sento è conseguenza dei postulati VII e VIII; ma i tre postulati sono ordinatamente indipendenti; ora basterà nelle ipotesi di VII aggiungere, per es., che la coppia ef sia diversa dalla de (oppure sia diversa dalla de la ab) perchè la deduzione sia impossibilitata, ma il sistema totale sia equi- valente al primitivo. Così, per tacere di altri postulati la cui trasformazione è anche troppo evidente, basterà che al postulato XVII si sostituisca: “ Se abe sono tre punti non allineati, e d è un punto “ tale che t(be)=r(db), tutto il piano p(abd) è contenuto nel piano (ade) , perchè il nuovo postulato equivalga ad affermare la somma logica del post. XVII e della negazione del post. XV. — Un altro esempio può trarre occasione da una ricerca del sig. Hilbert (Ueder den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck, “ Proc. of the London Math. Soc. ,, XXXV). Egli dimostra infatti che il teorema dell’uguaglianza degli angoli alla base del triangolo isoscele non è conse- LT —_ ‘e 5 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 285 Un certo maggior lume pare offrire la scuola degli empiristi, in tutte le sue sfumature — da quelli che considerano i postulati come un risultato sperimentale, a quelli che li considerano semplicemente come un artificio comodo per la spiegazione di fatti sperimentalmente acquisiti. — Nemmeno a tale concezione io saprei sotto- scrivere senza riserva. Come noi percepiamo unicamente attraverso i nostri sensi, e della capacità di essi è affetto ogni nostro acquisto sperimentale, così è inconcepibile una interpretazione dell'esperienza che non sia appoggiata ad un sustrato qualsiasi precedente ad essa. E la geometria è in massima parte da identificarsi con questo sustrato; e per spiegarci la formazione di esso noi possiamo riposarci col Kant nella supposizione di un'intuizione, ma non ci è negato di scendere a una critica più pro- fonda di leggi generali del nostro pensiero, le quali forse non possono escludere un notevole contributo dell'autorità e dell’errore (!). I postulati adottati nella presente ricerca sono, per comodità del lettore, elencati - alla fine del lavoro. Piacenza, Marzo 1904. guenza del postulato d’Archimede; che dal detto teorema non possa conseguire il post. d'Archimede è d'altronde evidente. Il sig. Hilbert aggiunge allora il postulato del contenuto limitato (Axiome der Nachbarschaft), mediante il quale si può completare la deduzione del teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base. Ora si osservi che, date due proposizioni fra loro assolutamente indipendenti A e B, se ne può dedurre una C=(A45B)v— B indipendente da B e tale A non sia conseguenza di C, ma sia conseguenza di B e C, e tale inoltre che B non è conseguenza di C ed A; cosicchè un sistema equivalente al sistema A, B è fornito dal sistema €, B od anche dal sistema C, A, B. Per riconoscere l'esattezza di queste affermazioni, basta effettuare i prodotti delle nostre proposizioni a due a due e confrontarli colla proposizione residua. Applicando le osservazioni del testo si può anche dedurre _un sistema di tre proposizioni assolutamente indipendenti cioè le (48) — B, Av(B— A), Bu—-A. Il postulato del contenuto limitato dello Hilbert ha appunto le funzioni della proposizione C. Ma una proposizione che occupi lo stesso posto si può ottenere trasformando la proposizione C dalla sua definizione medesima: (A4B)v— B. Sia A il teorema dell'uguaglianza degli angoli alla base del triangolo isoscele, B il postulato d'Archimede: si enuncerà dapprima: “ Se in un triangolo isoscele “avviene che esista un multiplo dei suoi lati, superiore ad ogni segmento assegnato, gli angoli “ alla base del triangolo sono uguali ,. Ma da questa forma, di composizione troppo evidente, si passerà tosto ad una, forse verbalmente più soddisfacente, dicendo: ° Rendendo sufficientemente “ piccoli i lati di un triangolo isoscele si può fare in modo che la differenza dei suoi angoli alla “ base risulti piccola quanto si vuole ,, riuscendo così ad una forma che pare anche trarre dall’espe- rienza esterna. (') Queste leggi generali possono forse raccogliersi intorno alla semplicità e all’analogia, sem- plicità che va però intesa nella tendenza ad alterare il meno possibile ordini di cognizioni e inter- pretazioni di fatti precedentemente acquisiti. Ma nella estrema arbitrarietà della scelta delle interpretazioni possibili pei fatti nuovi, non si devon forse dimenticare le ammissioni quasi casuali che ogni giorno si fanno — almeno provvisoriamente, per fermare le idee e fino a prova contraria — in ogni ricerca scientifica; le quali ammissioni si perpetuano poi per l'autorità del maestro sullo scolaro finchè da esse non derivino contraddizioni inconciliabili: e ciò che noi chiamiamo intuizione non è spesso altro che una idea imposta prima dall'autorità, assorbita poi per abitudine e indisso- lubilmente legata alle altre nozioni concomitanti. La riscossa che è talora compiuta da spiriti critici e ribelli all'autorità, è una delle migliori prove in appoggio di questa tesi: per questi spiriti, adde- strati al perpetuo dubbio alla scuola della filosofia scientifica, si forma quella intuizione flessibile e continuamente mutevole che permette la facile variabilità dei postulati fondamentali di certi campi scientifici nei quali s'aggira soltanto il pensiero dei dotti. Mi si permetta di collegar qui due fatti noti: nel testo euclideo l’assioma V (il noto postulato d'Euclide) ha la forma esplicita di proposizione inversa di un’altra indipendente da esso, e d'altra parte la scuola Pitagorica ammetteva il più spesso implicitamente le proposizioni inverse, — e ciò avviene d'altronde tuttodì ad ogni mente poco addestrata all'analisi. 286 BEPPO LEVI 6 CAPITOLO I. I POSTULATI DELLA METRICA PROJETTIVA. $ 1. — Punto - Congruenza. 1. ENTI PRIMITIVI: LORO POSTULATI ESISTENZIALI. — Post. I, II. — Si ammette l’esistenza di una classe di enti — punti — costituita da più di un elemento, e tale che è definita una relazione fra coppie di punti detta congruenza. Se abed sono quattro punti, la congruenza delle coppie ab, ed si afferma mediante la scrittura ab = cd. Def. — L’aggregato di tutti i punti sì chiama spazio. 2. PROPRIETÀ FONDAMENTALI DELLA CONGRUENZA DI COPPIE DI PUNTI. — Post. III — Da ab=cd segue cd = ab. Post. IV. — Da ab=cd segue pure da = de. Post. V e VI. — La coppia che si ottiene nominando due volte uno stesso punto è congruente ad ogni coppia analoga, e non è congruente ad alcuna coppia costituita da due punti distinti (!). Post. VII — Da ab = cd, cd = ef segue ab = ef. Post. VIII. — Sussiste la congruenza ad = da. 3. LA CONGRUENZA FRA SISTEMI DI PUNTI. -— Def. 1. Se abed..., a'b'c'd'... sono due sistemi di punti fra i quali sia stabilito un riferimento, indicato qui col rappre- sentare punti corrispondenti colla stessa lettera senza e con apice, si dirà che è due sistemi abcd..., a'b'e'd'... sono congruenti (in simboli aded... = a'd'e'd'...) se sono verifi- cate le congruenze ab=a'b', ac=a'c', ad=a'd', ..., be=b'c', .. Tr. “Se abced...=a'bd'c'd'...: 1° sarà pure @a'8c'd’...= abed... (01); 2° saranno “ancora congruenti i sistemi che si ottengono operando una permutazione qualunque “ sui punti del primo sistema e la permutazione analoga sui punti del secondo (IV); “3° se sono distinti i punti del primo sistema, lo stesso avviene dei punti del se- “ condo (VI); 4° se è inoltre a'd'e'd'...=a"6"c"d"... sarà pure aded...= a"b"c"d" , (VII. Post. IX. — Se due sistemi di punti sono congruenti, ad ogni sistema di punti contenente l’un d’essi è congruente un sistema di punti contenente l’altro, per modo che i punti dei due sistemi dati si corrispondono nella nuova congruenza come si corrispondevano nella primitiva (cfr. n. 29). Def. 2. — Il teorema precedente e il post. IX permettono di affermare che, assegnati due sistemi congruenti di punti, esistono trasformazioni biunivoche che (') La proprietà enunciata col post. V non ha altro scopo che di completare la nozione di “ coppia di punti coincidenti ,, richiesta per poter enunciare la proprietà VI. me V 7 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 287 mutano i punti dell’un sistema nei punti omologhi dell'altro, e mutano ogni altro punto che si voglia pensare aggiunto al primo sistema in un punto determinato, per ciascuna di queste trasformazioni, per modo che ogni coppia di punti è trasformata in una coppia congruente. Tali trasformazioni si chiameranno coneruUENZE (!); e se si ha ade... = a'b'c'... ognuna di tali trasformazioni la quale muti i punti ade... rispetti- vamente in a'd'c’... si dirà determinata dalla congruenza ade... = a'b'e'... Se e ed e' sono due punti non appartenenti rispettivamente ai sistemi abc..., a'2'c'..., e se esiste una congruenza che trasformi e in e’, determinata dalla relazione abe...=a'8'e'..., si dirà sovente, per brevità, che Za o una congruenza abc... =a'b'e’... muta e in e'. È da notare che può talvolta usarsi l’articolo determinato se anche la relazione abe...=a'b'c'... non determina univocamente la trasformazione di ogni punto che si possa pensare aggiunto al primo sistema in un altro punto, purchè sia univocamente determinata la trasformazione dei punti che si considerano. Il precedente teorema enuncia per queste trasformazioni l’invertibilità (1°), e la componibilità per prodotto (4°): useremo per queste operazioni sulle congruenze il comune simbolismo per le operazioni sulle trasformazioni; se una congruenza p tras- forma un punto a in a’, un sistema S in S', scriveremo ua = a’, uS= S'. $ 2. — La catena e la retta. 4. PUNTI MEDI DI UNA COPPIA - SIMMETRICI DI UN PUNTO RISPETTO AD UN ALTRO. — Dai post. VIII e IX segue che, qualunque siano i punti «dc, esiste un punto c' tale che abc = dac'. Noi ammetteremo che Post. X e XI. — Qualunque siano i punti «, è, esistono punti tali che, detto c uno di essi, 1° È ade = dae; 2° Non esiste alcun punto d distinto da « tale che abc = dde. Tr. 1.“ Nemmeno esiste un punto e, diverso da bd, tale che abc= eac ,. Se infatti tal punto esistesse, ogni congruenza che trasformi «be in dac (X e n° 3) farebbe cor- rispondere ad e=#=5 un punto e == a, tale che ace= dee’ e quindi ade = e'de ovvero bac = be'e e, in forza del post. X e del teor. del n° 3, ade = de'e contro il post. XI. Def. 1. — Ogni punto e soddisfacente alle condizioni dei post. X e XI si dirà punto medio della coppia a, b. In simboli si scriverà ced|a, cea|b. Def. 2. — Si dirà pure che b è simmetrico di a rispetto a ec ed a simmetrico di d rispetto a c. In simboli dea/., aed/.. Tr. 2. “ Se una congruenza tien fermo il punto a e un punto c medio della coppia ab, terrà fermo anche è ,. Se infatti tal congruenza potesse portare è nella posizione d'=#=d, sarebbe ade = ad'e ossia (X e n° 3) dac= ad'e, abe = b'ac contro il teor. 1. Tr. 3. “ Se abe = def e cea|b, ne segue che fedle ,. Infatti: 1° Da ade = def, “ (') La lieve traslazione che così subisce il significato della parola “ congruenza , mì pare senza danno: essa concorda con locuzioni comuni e non mancano esempî di altre traslazionì simili. Il testo del discorso sarà sempre sufficiente ad evitare ogni equivoco. 288 BEPPO LEVI 8 abe = bac segue bac = edf = abc = def; 2° Se esistesse un d'=+#=d tale che def = ed'f, esisterebbe pure un a' == a (trasformato di d' per una congruenza che porta def in abc) tale che abc = ba'c, contro il post. XI. La stessa proposizione può enunciarsi, a causa del post. IX, “ Se ab = cd il sistema costituito da a, d e da tutti i a|d, a/,, bla (1) è “ congruente al sistema costituito da c, d e da tutti i c|d, cl, d/. ». 5. LA CATENA DI UNA COPPIA DI PUNTI. — Def. Si dirà catena della coppia ab di punti distinti l’aggregato dei punti a, 5, dei loro punti medi, dei simmetrici — qua- lora esistano — di a rispetto a d e di è rispetto ad a, e di tutti i punti che si otten- gono da coppie di punti appartenenti alla catena medesima mediante determinazione di loro punti medi e di simmetrici dell’un punto della coppia rispetto all’altro. La catena della coppia ab si rappresenterà con (ab). Poichè ogni coppia possiede punti medi (X e XI), ogni catena contiene almeno tre punti. Tr. 1. “ La catena (ab) è individuata dalla coppia ab, coincide colla catena (ba), “e — se c e d sono due punti qualunque di (ab) — la catena (cd) è interamente “ contenuta nella catena (ad) ,. La prima parte di questa proposizione può anche enunciarsi: Tr.2. “ Ogni congruenza che non sposti i punti a e d trasforma in se stessa la “ catena (ad) (naturalmente senza che debbano restar fissi perciò tutti i punti di “ questa) ,. Il teor. 3 del n° 4 dà ancora: Tr. 3. “Da ab=cd segue (ab) = (cd) , vale a dire “ una congruenza trasforma una catena in una catena ,. K 6. LE CONGRUENZE SULLA CATENA. — Post. XII. — Se abc appartengono ad una stessa catena e se ad = de, c è un simmetrico di « rispetto a 5. Def. 1. — Un punto a si dirà aderente ad un punto b se esiste un simmetrico di a rispetto a d (?). Tr. 1. — “ Se il punto a è aderente a 5, anche il punto 5 è aderente ad a ,. Risulta dal teor. 3 del n° 4 quando si ricordi che da = ad (VII). Def. 2. — Occorrendo di esprimere in modo simmetrico rispetto ai due punti a e d che a è aderente a d e d ad a, si dirà che a e b sono coerenti. Tr. 2. — “Se a e b sono punti coerenti esistono congruenze che trasformano in “ se stessa la catena (ab), portano a in è e non lasciano fermo alcun punto della “ catena (ad) ,. Sia infatti cea/,; sarà abe=cba (X); d'altra parte cb=be (VIII). Il prodotto delle due congruenze (n° 3) converte ad in dc e quindi (ad) in (be) (n° 5 t. 3): d'altra parte c appartiene ad (ab) e a a (bc) (poichè aec/,); quindi le due catene (ad) e (bc) coin- (4) La proposizione è evidentemente condizionata all’esistenza dei a/», d/a, che nulla permette di affermare: ma essa afferma che se esistono a/ e b/a, esistono pure c/a e dle. (9) Qualunque siano 4 e d, ogni a/b è aderente ad a: se quindi si volessero introdurre le nozioni relative all'ordinamento dei punti, si dovrebbe concludere che sopra ogni catena (e in seguito poi sulle varietà maggiori) i punti “ abbastanza prossimi , al punto @ sono aderenti ad @ secondo la definizione del testo. Valga questa osservazione a giustificare la scelta del nome. 9 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 289 cidono (5 t. 1), cioè la nominata congruenza converte in se stessa (46). Nessun punto di (ad) potrà restar fermo per questa congruenza, perchè, se x fosse un tal punto, sarebbe abr = dex e quindi ar = bre = er. In forza del post. XII, 6 dovrebbe essere un a/, il che la congruenza abx = der esclude (post. XI). Tr. 3. — “ Ogni congruenza che porti « in & e in un altro punto della “ catena (ab) diverso da a, converte la catena in se stessa e porta il punto è in “ un a/ e un d/, in @ ,. Infatti, detti d' il punto in cui 5 è portato dalla congruenza e a; quello che da essa è portato in @, si ha ab = dd’, a1a = ab. Quindi, poichè per ipotesi d' appartiene ad (48), d'ea/, (XI1). Allora il ragionamento del teor. precedente mostra che la congruenza converte in se stessa la catena (20) e lo stesso avviene della congruenza inversa. Allora @,eb/.. L'ipotesi che d sia portato dalla congruenza in un punto della catena diverso da a conduce quindi ad affermare l’esistenza di a/, e di d/,. “ Se dunque i punti « e 6 “ non sono coerenti, ogni congruenza che converta in se stessa la catena (40) e porti “a in d dovrà portare d in a ,. Post. XIII. — Non esistono due diversi simmetrici d’uno stesso punto « rispetto a un dato punto d. In simboli, se cea/,, c'ea/, è ce = e’. D'or innanzi la relazione cea/, si potrà dunque scrivere c = a). Tr. 4. — “« Se a e db sono punti coerenti, ogni congruenza che porti a in è e “ qualche a|ò in un altro punto di (ab), porta è in a/,; ed ogni congruenza che scambi “ oppure tenga fermi a e 5, tien fermi tutti i punti medi della coppia ad ,. Se infatti cea|ò, ed una congruenza porta « in è, e in un punto c'==c appar- tenente ad (ab) e d in d’, è abe= db'c'; e quindi (4 t. 3) d'= d/... d' appartiene ad (ab); dunque la congruenza muta in se stessa la catena (48) (t. 3). È inoltre c'6=ca=68; quindi (XII e XIII) c'= c/,; e tutte le congruenze che portano « in d e spostano e portandolo in un altro punto della catena, convertono e e d negli stessi punti. Ora una di esse fu considerata nei teor. 2 e 3 e porta d in @/;; lo stesso avviene quindi di ogni altra. Poichè ora a/, è, per definizione, diverso da a, se una congruenza dovrà scam- biare a e d, non potrà muovere alcun alb. Se infine una congruenza tien fermi a e d, essa non potrà muovere alcun @|ò, perchè, facendola seguire da una congruenza che scambi « e 5 (VIII) si otterrebbe una congruenza prodotto che scambia & e d e sposta qualche a|bd. Dal teor. 4 segue che: Tr. 5. — * Ogni congruenza che tenga fermo un punto medio della coppia ab “ di punti coerenti e converta la catena (ab) in se stessa, tien pure fermi tutti i punti “ medi della coppia «6 , perchè tal congruenza dovrà tener fissi ovvero scambiare i punti a e d (XII e XIII). Tr. 6. — “ Se a e d sono punti non coerenti, la coppia ab ha almeno due punti “ medi, e precisamente ad ogni punto medio della coppia ne è associato un altro, sim- “ metrico del primo rispetto a ciascun punto della coppia. Ogni congruenza che converta “ la catena in se stessa e porti a in è, scambia questi due punti, e se tien fermo un “ loro punto medio, tien pur fermo il suo associato; se lo muove, lo scambia con questo ,.. Sia infatti cea|b: i punti a e e sono coerenti e quindi esiste (t. 2) una congruenza u tale che ua =c, uc=b e, se si pone ub=d/, sarà 9'=c/, poichè 8=a/.. Se allora si Serie II. Tox. LIV. L 290 BEPPO LEVI 10 applica nuovamente la congruenza 4, si ha ua=puc=d, u?e=ub=d', u?b=ud'=uc/u=dfy. Essendo u?a = bd, un corollario del teor. 3 ci mostra che u?% non può differire da a. Quindi 3/,=a, cioè d'ea|b; inoltre si è trovato 2' = c/; infine si ha B=a/, e quindi bd = ub.—la/i=c/2 Se ora una congruenza tien fermo c e sposta a e d, convertendo in se stessa la catena, scambierà a e 5 e convertirà d' = c/, in c/=b'. Se una congruenza converte in se stessa la catena e porta « in 5 spostando c, lo porterà in un punto c' tale che c'b=ca= cb. Allora c'=c/, (XII e XIII) cioè ec' =". La congruenza convertirà inoltre è ina (t.3)e d=c/inbdb'h=c. Si è trovato incidentalmente uad = cd’; quindi ab = cd', cioè: Tr. 7. — “ Se a e b non sono coerenti, la coppia ab è congruente a ciascuna “ delle coppie di suoi punti medi simmetrici rispetto alla coppia: tutte queste coppie “ sono dunque congruenti fra loro ,. Tr. 8. — “ Se c e c' sono due punti medi di una coppia ad di punti non coe- “ renti, e sono fra loro simmetrici rispetto alla coppia ab, esiste nella catena (ad) “ una coppia di punti coerenti di cui essi sono punti medi ,. Se infatti dec|a, d sarà aderente ad a ed esisterà (t. 2) una congruenza u che trasforma in sè la catena (ad) = (ab), porta a in d e non lascia fermo alcun punto della catena. Sarà (t. 3) ud=c e quindi uc= ua/u=d/,. Se si pone uc=d' sarà dunque ced|d'; inoltre pac=dd' onde dd'= ac: siccome a e c sono coerenti, sono pure coerenti d e d'. Infine la con- gruenza definita da cd = cd' converte in sè la catena e tien fermo ce; quindi (t. 6) tiene pure fermo c'; è cioè c'd=c'd' e c'ed|d'. Tr. 9. — “Ogni congruenza che tenga fermi due punti coerenti a, ò, tien pure “ fermi tutti i punti della loro catena ,. Sia difatti u una tal congruenza e sia cea|b: sarà uc=c (t. 4). Sia ora #m un punto della catena (ab) il quale, se possibile, si sposti per 4 e sia um= m'. Sarà am=am', bm = bm', cm=cm'. Sia poi v una con- gruenza che scambi a e db; sarà ve=c (t. 4), ma vm dovrà essere diverso da n, altrimenti am=bm, onde mea/b (XI) e quindi um=wm (t. 4). Se si pone vn=m/', m' apparterrà ancora ad (a0) (5 t. 3) e sarà m'c=cm e quindi m''=m/,=m!'. Allora ma=m'b, mb=m'a, onde, per le congruenze precedenti, ma=mb, cioè di nuovo mea|b, il che, nell'ipotesi che um=#="m, contraddice al teor. 4. 7. LA RETTA E LE CONGRUENZE SU DI Essa. — La catena di una coppia di punti rappresenta, per gran parte delle sue proprietà, la retta congiungente i due punti. Fondamentale fra le altre è la proprietà enunciata nel precedente teorema: ma esso non dice che non esistano altri punti fissi per quella congruenza per cui non sono spostati i punti della catena; di più non è escluso che la catena determinata da due punti d’una catena data non sia una parte soltanto di questa catena (cfr. n° 5) (1), ed in tal caso tali altri punti fissi debbono esistere se non si vuol contraddire ad una proprietà fondamentale della retta. Porremo perciò la seguente (') Gli esempî sono ovvii: siano 1,2,3,...,9 i vertici di un ennagono regolare inscritto in un cerchio : si chiamino congruenti due coppie di essi quando gli archi (minori della semicirconferenza) determinati da esse sono uguali e spazio sia l’insieme di questi 9 punti: i postulati precedenti sono soddisfatti: ogni coppia ha un punto medio e ogni punto un simmetrico rispetto a un altro. La catena (1.2) comprende tutto lo spazio: la catena (1.4) è costituita dai soli punti 1,4, 7. 11 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 291 Def. 1. — Chiamasi retta della catena (ab) o semplicemente retta 0 congiungente della coppia ab l’aggregato di tutti i punti che non sono mossi da nessuna congruenza che lasci fissi tutti i punti della catena (ad). La retta della coppia ad si rappresenterà con r(a8). Evidentemente la catena di una coppia qualunque di punti coerenti appartenenti ad r(ab) è contenuta nella retta. Noi ammetteremo che Post. XIV. — Se ogni congruenza che lasci fermi tutti i punti della catena (ad) lascia pur fermi tutti i punti d’un’altra catena (cd), reciprocamente ogni congruenza che non muova nessun punto di (cd) lascierà fermi tutti i punti di (ab). Post. XV. — La catena di due punti qualunque d’una retta appartiene alla retta. Segue tosto dal post. XIV che “ la retta d’una catena è identica colla retta “ d’un’altra sua catena qualunque , e da questa osservazione e dal post. XV che “ la congiungente due punti è identica colla congiungente due suoi punti qualunque ,. Segue pure: Tr. 1. “ Ogni congruenza trasforma una retta in una retta , (IX e XIV). Tr. 2. “ Tutte le congruenze che lasciano fermi due punti coerenti d’una retta “ lasciano fermi tutti i punti della retta , (XV, 6 t. 9, XIV). Tr. 3. “ Se abe sono tre punti di una retta e se ac = de, sarà a= d/., ovvero “a e b coincidono ,. Si supponga infatti, in primo luogo, che d e e siano coerenti. Ogni congruenza che tenga fermi d e c tiene fermi tutti i punti della retta (t. 2), fra gli altri a. Se dunque a è distinto da d, sono soddisfatte le due condizioni: 1° abc =bac; 2° non esiste un punto d tale che abe = dbe: quindi ceald (n° 4). Se poi d ec non sono coerenti, sia d'e d|jc; esiste un punto a’ tale che aa'e = dBb'e (IX) ed è a'e alc (4 t. 3). Allora @'c = d'e e d' e c sono coerenti: se a'=d', a=c/y=c/y=b; ' ed costitui- se poi a'==d', risulta dalla dimostrazione precedente che a' = d'/.: a scono quindi una coppia di punti medî di è e c, simmetrici rispetto a questi punti (6.60) ea=c/.=b. Tr. 4. « Tutte le congruenze che tengon fermo uno stesso punto d’una retta e “ trasformano la retta in se stessa spostandone qualche punto, tengono fermo ogni “ punto della retta non aderente a quello e trasformano ogni altro punto della retta “ nel suo simmetrico rispetto a tutti questi punti fissi. Tutte queste congruenze sono “ quindi identiche fra loro rispetto alla trasformazione della retta ,. Esse non pos- sono di fatto muovere un punto della retta non aderente al punto fisso, altrimenti quel punto avrebbe simmetrico rispetto a questo (t. 3), contro l’ipotesi; nè possono tener fermo un punto aderente ad un punto fisso, altrimenti resterebbe fissa tutta la retta (t. 2). In generale tutte le proprietà della catena riscontrate nei n' prec. appartengono pure alla retta. Def. 2. — Chiameremo ribaltamento di una retta intorno ad un suo punto la cor- rispondenza determinata sulla retta da quelle congruenze che tengono fermo quel punto e spostano qualche altro punto della retta. Se «a è il punto fisso si rappresen- terà il ribaltamento con p,. 292 BEPPO LEVI 12 Def. 3. — Chiameremo cardine l'insieme dei punti di una retta che rimangono fissi per uno stesso ribaltamento della retta. Tr. 5.“ L'insieme di un punto e di tutti i punti di una retta per esso, ad “ esso non aderenti, costituisce un cardine. L'insieme dei punti medì di una coppia “ di punti coerenti è un cardine; a due a due questi punti non sono coerenti , (t. 4). Tr. 6. “ Tutti i cardini d’una stessa retta sono fra loro congruenti; dati due “ cardini d’una retta esiste cioè una congruenza che trasforma l'uno nell’altro scam- “ biando fra loro due punti arbitrariamente assegnati l’uno dell'uno, l’altro dell’altro “ cardine ,. Tal congruenza è infatti il ribaltamento della retta intorno a un qualunque punto medio della coppia di punti assegnata. Tr. 7.“ Se ad una retta appartiene una coppia di punti non coerenti, ogni sua “ coppia di punti ha almeno due punti medì ,. Infatti la coppia di punti non coerenti ha almeno due punti medì (6 t. 6), e questi sono pure medì di una coppia di punti coerenti (6 t. 8) e appartengono quindi a un cardine (t. 5); basta allora ricordare il teor. prec. Tr. 8. “ L'insieme dei punti medîì d’una coppia di punti non coerenti è costituito “al più da due cardini ,. Siano infatti a e è due punti non coerenti e sia me a/b. Il ribaltamento p, scambia fra loro a e è e scambia un qualunque @|m con un deter- minato bm (simmetrico del primo rispetto ad m); questi due punti sono coerenti e il ribaltamento terrà fermo ogni loro punto medio. L'insieme di questi punti medì costituisce un cardine cui m appartiene e di cui tutti i punti sono a|]b. — Suppo- niamo che esista un a|)b non appartenente a questo cardine e sia ».pn porta » in un altro a|d e sia n': sarà na = n'd e poichè na = nò, n'=n/; e parimenti n' = na. Cioè: “ Il ribaltamento intorno a un alb porta ogni altro ajb che con esso non appar- “tenga ad uno stesso cardine in un altro a|b simmetrico del primo rispetto ad a e a d “ (il punto associato al primo del n° 6, teor. 6) ,. Sia, se possibile, p un a|jb che non appartenga nè con m nè con n ad uno stesso cardine. Il prodotto dei due ribalta- menti P», fn riporta in se stessi a, d, p e trasforma m ed » rispettivamente in m/, ed #/,; assurdo perchè, a e p essendo coerenti, ogni congruenza che li tenga fissi deve tener fisso ogni altro punto della retta. Si osservi che n'=x/n; e parimenti, se m'=m/=mh, sarà m'=m/,=m/w; cioè Tr. 9. “Se due punti non coerenti (appartenenti quindi a un cardine) posseg- gono due cardini di punti medî, a ogni punto di ciascuno di questi cardini è associato un punto dello stesso cardine, simmetrico di esso tanto rispetto ai punti del cardine cui appartengono i punti dati quanto rispetto ai punti dell'altro cardine; si ha così una terna di cardini tali che i punti di ciascuno di essi si associano in coppie di cui gli altri due cardini costituiscono l’insieme dei punti medi , (1). R x (!) Lo studio del piano escluderà, nel $ seguente, che una coppia di punti non coerenti possa possedere più cardini di punti medî, e fisserà a 2 il massimo numero di punti che possono costi- tuire un cardine (10 t. 10). L'ipotesi che una stessa coppia di punti non coerenti possa possedere due cardini di punti medî dà luogo a una quantità di conseguenze di notevole simmetria: dati due cardini d'una terna di cui al teor. 9 il terzo è perfettamente determinato da essi, come coppia di cardini di punti medî di convenienti sue coppie: reciprocamente a due cardini arbitrarî di punti medî di coppie di punti d’uno stesso cardine è sempre associato un cardine ben determinato che forma con essi una terna. Rileviamo anche i teor. 12 e 13 segg. — Cionondimeno ci manca ogni esempio 18) FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 293 Tr. 10. “ Se una congruenza trasforma in sè una retta, spostandone ogni punto “ (cfr. 6 t. 2), il prodotto di essa e di un ribaltamento della retta intorno a un suo “ punto @ è un ribaltamento della retta intorno ai punti medîì della coppia costi- “tuita da a e dal punto che quella congruenza porta in @ ,. Sia infatti a, questo punto e sia de ala, e d' il suo trasformato per quella congruenza; sarà a,b=ab=abd'; quindi 2’ — d/,. Se dunque dopo la congruenza si opera il pa, 6’ sarà riportato in d. Tr. 11. “ La trasformazione che la congruenza considerata nel teor. prec. opera “ sulla retta è determinata da una coppia di punti corrispondenti a,, a ,. Infatti, poichè il ribaltamento è una congruenza involutoria (sulla retta) il teor. prec. mostra tal trasformazione come il prodotto di quelle operate dal ribaltamento intorno al cardine a,]a e da p°. Def. 3. — Si chiama scorrimento della retta la trasformazione determinata sopra la retta da una qualunque congruenza che la trasformi in se stessa spostandone ogni punto. È Tr. 12. “ Se due punti non coerenti si trasformano l’uno nell'altro per uno scor- “ rimento della loro retta, la loro coppia, ed ogni coppia della stessa retta hanno un “ solo cardine ,. Se infatti a,a è la coppia considerata, il teor. 10 mostra che esiste un ribaltamento che tiene fermi insieme tutti i punti medi della coppia: essi costi- tuiscono quindi un sol cardine. Tr. 13. “ Il prodotto dei ribaltamenti di una retta intorno a due suoi punti è “ l'identità se questi appartengono allo stesso cardine, è un ribaltamento se essi “ appartengono a cardini distinti di una stessa coppia di punti non coerenti, è uno “ scorrimento in ogni altro caso ,. $ 3. — Il piano. 8. ProPRIETÀ DI APPARTENENZA. Post. XVI. — Esistono punti non apparte- nenti ad una retta. Segue: Tr. 1. “ Esistono più rette, e due rette distinte non possono avere a comune “ più di un punto ,. Def. — Se abc sono tre punti non allineati, dicesi piano dei punti abe l’aggre- gato dei punti che appartengono alle rette che congiungono il punto a coi punti della retta r(dc), il punto è coi punti della retta t(ac), il punto e coi punti della retta r(ab)('). Il piano dei punti abe si rappresenterà con p(abde). Ammetteremo il Post. XVII. — Se ade sono tre punti non allineati, e d è un punto della r(bc) diverso da d, tutto il piano p(abd) è contenuto nel piano p(abc) (2). Rimando al citato lavoro del Pieri per le conseguenze che se ne deducono circa la determinazione di un piano mediante tre suoi punti non allineati e circa l’appar- tenersi di rette e piani ($ 1, P. 24-27, p. 13-14). concreto in cui siano soddisfatti tutti i precedenti postulati e si verifichi l’esistenza di due cardini d'una stessa coppia di punti; la quale esistenza non abbiamo per contro potuto escludere deduttivamente. (') Cfr. Preri, Della geometria elementare, ecc. P_ 20, p. 12. — Scuur, Uebder die Grundlagen der Geo- metrie, “ Math. Ann. ,, 55, p. 268. — Pascn, l. c., p. 25. (2) Cfr. Pregr, 1. c., post. IX, p. 13. 294 BEPPO LEVI 14 9. UNA CONGRUENZA NON PUÒ TENER FISSE DUE RETTE CONCORRENTI. Def. 1. — Si dirà che un punto a è aderente ad una retta r quando è aderente a qualche punto di r senza appartenere ad r. Post. XVIII. — Se r è una retta di un piano n, esistono congruenze che tengono fermo ogni punto di r e trasformano n in se stesso spostandone qualche punto. Def. 2. — Ogni congruenza che soddisfi al post. XVIII si dirà un ribaltamento del piano n intorno ad r. La nuova posizione di un punto a del piano, che la con- gruenza sposti, si dirà simmetrica di a rispetto ad r. Dimostrerò ora che un ribaltamento di un piano intorno ad una sua retta non può lasciar fermo alcun punto del piano aderente a questa. È perciò necessario pre- mettere alcune considerazioni preliminari; s’intenderà in questo n° e nei due seguenti che si parla unicamente di enti appartenenti ad uno stesso piano. Lemma 1. — “ Se un ribaltamento di un piano intorno ad una sua retta r lascia “ fermo un punto del piano aderente ad r, lascia ferma qualche retta concorrente “con r ,. Infatti su r esiste un punto aderente al punto fisso considerato (Def. 1): il ribaltamento non sposta nè l’uno nè l’altro; quindi lascia fissi tutti i punti della loro retta. Lemma 2. — “ Se una congruenza lascia fermi tutti i punti di due rette, le rette che congiungono i punti dell'una coi punti dell’altra non possono a due a due avere comuni punti che ia congruenza sposti ,. La congruenza converte infatti cia- “ “ scuna di queste rette in se stessa. Se due di esse avessero a comune un punto mobile, dovrebbero aver comune il punto trasformato e quindi coincidere. Lemma 3. — “ Se una congruenza lascia fermi tutti i punti di due rette con- correnti, e se esistono — nel piano delle due rette — rette pel punto comune che sì trasformino in se stesse senza tener fermi tutti i loro punti, queste incontre- ranno ciascuna congiungente due punti delle rette fisse, e la congruenza lascia fermi i punti d’intersezione ,. 1 Siano r(ab) e r(ac) le due rette fisse, r(am) una retta del piano che — per ipo- tesi — si trasformi in se stessa, e si supponga chè essa incontri r(6e). Se il punto d'incontro fosse mosso dalla congruenza, sarebbe trasportato in un altro punto di r(5c) e contemporaneamente in un altro punto di r(am); cioè r(be) e r(am) avreb- bero due punti comuni e coinciderebbero, mentre r(bc) non passa per a. — Ciò posto r(3c) incontrerà certamente t(am): perchè, si consideri il piano come p(abe): se t(am) non incontrasse r(be), ogni suo punto dovrebbe stare sulle rette che da d e da c projettano rispettivamente r(ac) e 1(20), e quindi — pel precedente ragiona- mento — dovrebbero tutti esser fissi per la congruenza considerata: la t(am) sarebbe cioè retta di punti fissi, contro l’ipotesi. Lemma 4. — “ Sempre nell'ipotesi di una congruenza che tenga fermi tutti i “ punti di due rette concorrenti, ciascuna retta del loro piano, passante pel loro punto “ comune, che la congruenza non trasformi in sè, incontra tutte le congiungenti i » “ punti delle due rette fisse, fatta al più eccezione per una di queste congiungenti “ per ciascun punto delle rette fisse ,. Siano sempre r(ad), t(ac) le due rette di punti fissi, r(am) la retta considerata, che la congruenza sposta. Intanto esistono congiun- genti è con punti di r(ac) o c con punti di r(ab) che incontrano questa retta (basta ala SE 705S FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 295 per accertarsene considerare il piano come p(a28c)). Con una conveniente scelta di 4 e dic sulle r(a6), r(ac) si può dunque supporre che r(de) incontri t(am). Il punto d’in- contro sarà spostato dalla congruenza, poichè r(am) è spostata. Siano d ed e due altri punti rispettivamente di r(a0), r(ac), distinti entrambi da a, b ec, e si consideri il piano come p(ade): o r(am) sarà la congiungente @ con un punto di r(de), nel qual caso essa incontra t(de) — ovvero i suoi punti staranno tutti su congiungenti d ed e rispettivamente con punti di t(2c) e di t(23). Ma il punto che t(2m) ha su r(bc) non può esser di tal fatta, perchè, essendo mobile, non può stare su alcun’altra retta congiungente punti di r(a5) e di r(ac) (Lemma 2). r(am) deve dunque incontrare (de). — Si noti che, scelto arbitrariamente d==5 su r(a5), e è un punto arbitrario di t(ac), purchè diverso da ce; dunque r(am) incontra ciascuna congiungente d con punti di r(ac), fatta al più eccezione per la r(de). Riguardo a questa possibile eccezione si deve aggiungere: Lemma 5. — “ Sempre nelle ipotesi del lemma precedente, se delle rette t(a0), r(ac) “ una almeno contiene più di tre punti, ogni retta del piano, passante pel punto a, “ che la congruenza sposti, incontrerà tutte le congiungenti i punti di r(24) con “ quelli di r(ac) ,. Perchè la dimostrazione precedente cadeva in difetto solo quando sì trattava di mostrare che dalla t(am) fossero incontrate le t(de), (de). Ma se esiste, p. es., su r(a6) un punto f distinto da «a, d, d, si proverà allo stesso modo che r(am) deve incontrare t(fe) e quindi, cambiando nella precedente dimostrazione è in 9A c in e, e in c, si concluderà che anche r(de) è incontrata da t(am); e cambiandovi allora è in d e d in 8, si avrà che anche r(de) è incontrata da t(am). Osserviamo che ogni retta contiene almeno tre punti, perchè almeno tre punti contiene ogni catena; si ha allora il Lemma 6. — “ Se per un punto « del piano passano due rette r(abd), r(ace) “ costituite ciascuna da tre soli punti, le rette t(be), r(de), t(de), (de) sono tutte incon- “ trate da ciascuna retta per a che contenga più di tre punti; e fra le coppie di “ rette t(bc) r(de), r(de) t(de), almeno una è incontrata da tutte le rette per a, fatta al “ più eccezione per una , ('). Si consideri infatti il piano come p(abdc). I punti del piano staranno tutti su r(de), t(be), r(cd) e sulle projettanti da « punti di r(dc); se dunque una retta per « contiene più di tre punti, deve forzatamente incontrare t(be). Considerando d’altra parte il piano come p(ade) o p(ade) 0 p(ade) si riconosce simil- mente che le rette per a di più di tre punti incontrano t(de), r(de), r(de). — Una retta per a che contenga tre soli punti potrà invece non incontrare alcune di queste rette, ma se essa taglia r(bc) dovrà incontrare (de); si consideri infatti il piano come p(ade): i punti di t(òc) non possono appartenere a questo piano che in quanto stanno su rette projettanti da a punti di t(de) (in particolare, uno di essi può even- tualmente appartenere a r(de)): la retta proposta dovrà dunque essere una tal projet- tante Se eventualmente la retta proposta passasse pel punto comune — supposto che esista — a r(bc) e a r(de), basterebbe considerare il piano come p(ade) per con- cludere che il suo terzo punto dovrebbe appartenere a t(de); ed allora si conclude- rebbe come or ora che essa deve tagliare r(cd) in un punto che, data l’esistenza di tre soli punti sulla retta, non potrebbe differire da quello. — Tolto questo caso, dunque, =——_——______— (UCfe ‘ni 21. 296 BEPPO LEVI 16 con una conveniente attribuzione dei nomi è, c, d, e, si può ritenere che un punto della retta è a, un altro sta su (bc), il terzo su r(de). Si supponga ora che una retta r(amn) non contenga che tre punti e precisamente m ed » stiano rispettivamente su t(de) e su t(de): si consideri il piano come p(abm): i punti del piano staranno sulle r(6m)= r(de), r(br), r(dm) e sulle projettanti da @ punti di r(be): poichè r(bn) e r(d4m) non possono avere con r(be) e r(de) altri punti comuni che db e d, ed eventualmente i punti % e % d’intersezione rispettivamente di r(de) con t(dm) e di r(de) con r(0n), da questo piano sarebbero escluse le rette che incontrassero t(de) e 1(de) fuori di è e % e non incontrassero t(bc), assurdo (n° 8): tutte queste rette debbono dunque incontrare r(bc) e quindi r(de); infine non fanno eccezione nemmeno le r(ak), (ak), se esse sono distinte, perchè non potrebbero esse pos- sedere un terzo punto senza incontrare t(bc) (si consideri sempre il piano come p(adm)). L’eccezione non sì elimina senz'altro se si suppongono % e £ allineati con a e si suppone che t(alk%) non contenga altri punti. Però in tale ipotesi basta ripetere il medesimo ragionamento su p(a64) per concludere che ogni retta per a diversa da r(amn) e da r(ahk) incontrerebbe le quattro rette r(bc), (be), r(cd), (de) e conterrebbe con ciò più di tre punti. “ Basta affermare l’esistenza di due rette per a costituite da soli “tre punti, diverse da r(a0) e da r(ac) ed aventi i loro punti diversi da @ sulla stessa “ coppia di rette r(be) (de) 0 r(be) r(de) perchè sia esclusa anche l’esistenza di quelia “ retta eccezionale e si possa asserire che tutte le rette per a nel piano incontrano “ quella medesima coppia di rette ,. Tr. 1. Un ribaltamento di un piano intorno ad una sua retta » non può lasciar “ fermo alcun punto aderente ad r ,. Pel lemma 1 questa proposizione equivale a dire che quel ribaltamento non può lasciar fermi tutti i punti di una retta concorrente con r. Noi supporremo appunto che per uno stesso ribaltamento u siano rette di punti fissi due rette r(a8), (ac) con- correnti in un punto « e mostreremo l’assurdo di questa ipotesi. Osserviamo anzitutto che per a passa certamente qualche retta i cui punti non sono tutti fissi per u: tale è ogni retta che congiunga a con un punto mobile per u; ma di più si potrà supporre che non siano trasformate in se stesse tutte le rette per a. Infatti u trasforma r(bc) in se stessa; se non lascia fissi tutti i suoi punti, ogni retta congiungente a con un punto mobile di r(dc) è trasformata da u in un’altra retta per a; se invece r(bc) si suppone retta di punti fissi per u, si osservi che ogni punto che sia congiunto così ad a come a bd da rette che u trasforma in sè, resta fisso per u; se dunque qualche punto del piano si sposta per u, almeno per uno dei punti a, dò passano rette che u non trasforma in se stesse. Siccome tanto a quanto d sono punti di concorso di due rette di punti fissi per u, si potrà chiamare a quello per cui passa qualche retta che u non trasforma in se stessa. — Ciò posto distin- guiamo due ipotesi: 1? ipotesi. “ Si suppone che per a passino due sole rette di punti fissi e che “ di esse una almeno contenga più di tre punti, ovvero che ne passino quante si “ vogliano e due almeno di esse contengano più di tre punti ,. Siano t(ab), t(ac) le due rette fisse nel 1° caso, le due rette fisse di più di tre punti nel 2°. Tutte le congiungenti punti di queste due rette incontrano ciascuna retta per «a che non sia per u retta di punti fissi (lemmi 3, 4, 5). Si può ritenere che fra queste congiun- 7 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 297 genti ve ne siano di quelle i cui punti siano spostati da u, ciò equivalendo ad am- mettere, come si mostrò potersi fare, che passino per @ rette che u sposti. Ma allora, poichè tutte queste rette mobili incontrano ciascuna di quelle congiungenti, ciascuna di tali congiungenti possiede punti mobili per u, e u induce su ciascuna un ribalta- mento intorno ai suoi punti fissi su r(ab), r(ac). Consideriamo in particolare r(be): d e e non saranno fra loro coerenti. Sia me dc; m è aderente a d e a e e sarà spostato da u e portato in m' = m/,= mf. (cfr. 6 t. 6 e passim); t(aw) è quindi spostata da u ed incontra perciò (a cagion dell'ipotesi) tutte le congiungenti punti di r(ab) con punti di r(ac). Sia v un ribaltamento del piano intorno a t(am); esso dovrà spostare il punto d: nell'ipotesi contraria resterebbero infatti fissi per v tutti i punti di r(be) (poichè dè è aderente ad m); le rette r(ad), r(ac) si trasformerebbero in se stesse per v, e siccome v non può trasformare le congiungenti punti di queste due rette (le quali tutte incontrano r(am)) in altre simili congiungenti che seghino r(am) negli stessi punti (lemma 2), tutti i punti di r(ad) e di r(ac) resterebbero fissi per v. Tal con- clusione è assurda perchè, siccome (bc) contiene almeno 4 punti: bd, c, m, m', tutte le congiungenti punti di t(am) e di r(bc), in particolare r(ad), debbono incontrare le rette per m, mobili per v: tali rette mobili passanti per m sarebbero dunque escluse. Lo stesso avverrebbe considerando le rette per d: ora, che non tutte le rette per due diversi punti fissi possano trasformarsi in se stesse per uno stesso ribaltamento, fu osservato già nelle linee precedenti. Ritenuto dunque che v sposta d e r(ad), osserveremo ancora che una almeno delle rette vr(a0), vr(ac) sarà retta di punti fissi per u. Difatti, se v trasforma t(be) in se stessa, scambia fra loro d e c e quindi r(ab) e t(ac); se poi v e quindi il ribalta- mento inverso v non mutano (be) in se stessa, la retta vr(de), avendo a comune con r(bc) il punto m, mobile per u, non potrà incontrare entrambe le r(ad), r(ae) (lemma 2): quindi non entrambe le v t(40), v t(ac) incontrano t(8c) ed una almeno di esse è retta di punti fissi (lemmi 3, 4, 5). Sia questa la vr(a0) e sia vè = c/; si noti che questa retta, non incontrando r(dc), sarà certo distinta da r(ad), (ac): allora per a passano più di due rette di punti fissi ed è quindi esclusa la prima parte dell'ipotesi. Conservando allora solo la seconda parte, la retta r(42), e quindi la vr(a0) possiederà più di tre punti; r(dc'), congiungendo punti di due rette fisse di più di tre punti concorrenti in a, incontrerà r(am) in un punto x, che v lascia fermo. Quindi r(de’) sarà convertita in se stessa da v: chiamando dunque, al bisogno, m il punto », c il punto c', si può ritenere che v induce un ribaltamento su r(bc) e scambia quindi fra loro r(ad) e r(ac). Sia d un punto di r(ad) diverso da a e da d e sia e = vd: e ap- parterrà a r(ac). Sarà vt(de) = (cd). Allora, siecome r(de) e r(ed) incontrano r(am), dovranno passare per lo stesso punto di questa retta contro il lemma 2. 2* ipotesi. “ Si suppone che il ribaltamento u tenga fisse due rette r(2bd), r(ace) “ passanti per a, costituite ciascuna da tre soli punti ,. a) Escluderemo anzitutto la possibilità del caso eccezionale del lemma 6, quando l'ipotesi enunciata dovesse verificarsi. Si ricordi perciò un'osservazione pre- liminare per la quale esistono rette per a che u sposta. Se una tal retta contiene tre soli punti, la sua trasformata possiederà ancora tre soli punti, e, poichè r(be), r(de), t(dc), (de) son trasformate da u in se stesse, quelle due fra queste rette su cui stanno i due punti diversi da a della prima (lemma 6) contengono pure quelli della seconda, onde Serre II. Tox. LIV. sl 298 BEPPO LEVI 18 il caso eccezionale è escluso per un'osservazione finale del lemma 6. — Se poi quella retta mobile contiene più di 3 punti, taglia ciascuna delle 4 rette nominate (lemma 6); ciascuna di esse possiede quindi punti mobili per yu, e u vi induce un ribaltamento; ciascuna possiede, ancora perciò, più di tre punti. Sia me djc, ne dlm; m ed n sono aderenti a d e c; sia un = #'; siano v e v' due ribaltamenti intorno a t(an), r(a2'); essi spostano certamente d e c, poichè si suppone che quelle rette contengano più di tre punti; altrimenti avrebbero anche t(bc) = r(bn) = t(bn') come retta di punti fissi e si troverebbero nella prima ipotesi. E poichè non è Bb = c/,, quei due punti non pos- sono scambiarsi per detti ribaltamenti. Si osservi che si può assumere (1) v' = uvu; se allora si suppone che v e v' trasformino t(bc) in se stessa, si riottengono due rette per a [t(am) e ur(am) trasformate di r(ab), 1(ac) per v o v'|] di tre soli punti, diverse da r(ab), (ac), e appoggiate a t(5c); si applica di nuovo l’ osservazione finale del lemma 6. Se invece si suppone che vr(bc) == t(be) sarà vr(be) #= v'r(be), perchè le due rette passano l’una per n, l’altra per »' e, se coincidessero, dovrebbero coincidere con r(5c). Uno almeno dei due punti 5 e c è dunque trasformato in punti diversi da v e da v': sia db e si ponga vb=d, vb=0b;/==d;; sarà uvub5= pub, = di; dunque b, è spostato da u; inoltre ciascuna delle rette t(ab,), r(ab;') è diversa dalle r(ab), t(ac). Poichè r(ab,) possiede tre soli punti, 6; sta su una delle rette r(de), (de), r(be) (pel lemma 6 e perchè r(b;n) == t(bn)); queste si trasformano in sè per u, dunque by’ sta sulla medesima retta e così r(ab,')==r(a0,) e si determina ancora una quaterna di rette di tre punti per a, appoggiate tutte ad una stessa delle quattro rette che con- giungono i punti d, d ai punti c, e, onde si esclude come sopra il caso eccezionale. b) Fra le due coppie di rette t(bc) r(de), r(de) t(4c) una è dunque caratterizzata dal fatto che ad essa si appoggiano tutte le rette di soli tre punti passanti per a (rette che il precedente ragionamento mostra essere almeno 4). Sia (bc) r(de); essa sarà incontrata da tutte le rette per a (lemma 6). Ogni ribaltamento intorno ad una retta per a trasforma questa coppia in se stessa, e quindi in se stessa ciascuna delle due rette, a meno che quella retta passi per l'eventuale punto è comune alle due rette, nel qual caso potrebbe scambiarle. Ma tal punto è non esiste; infatti, qualora esistesse, un ribaltamento intorno alla congiungente a con un punto di r(bc) aderente ad i dovrebbe tener fisse le due rette r(bc), r(de), il che, possedendo queste più di 3 punti, contraddice alle conclusioni ottenute nella 1° ipotesi. c) Dimostrerò infine che per a passano rette contenenti più di tre punti. — Ogni ribaltamento intorno a r(bc) sposta a. Nella contraria ipotesi tal ribaltamento dovrebbe infatti tener fissi d, c, d, e e trasformare in se stesse r(be) (e parimenti (de), x(dce)) e le rette per a (le quali tutte incontrano r(bc)). I punti di r(de) starebbero così ciascuno su due rette che si trasformano in sè (r(be) e la retta che li con- giunge ad a) e sarebbero fissi. Se allora r(be) si suppone di più di tre punti, il ribal- tamento considerato si trova nella 1? ipotesi, che si mostrò assurda. Se t(be) si sup- pone di tre soli punti è, e, f, si consideri il piano come p(abde): esso conterrà i soli punti a, d, d, c, e,f, e i punti delle rette t(bce), 1(de), t(af). Di tutti questi punti già si sa che essi sono fissi pel ribaltamento, meno che pei punti della r(af). Ma ogni “ (4) Diciamo “ si può assumere , perchè non è fin qui escluso che possano esistere più ribalta- menti del piano intorno ad una stessa retta. 19 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 299 retta che congiunga uno di questi punti con è deve possedere almeno un terzo punto, che non potrà stare altrove che su r(de); sarà quindi fisso; così anche quella congiun- gente si trasforma in se pel ribaltamento e son perciò fissi anche i punti di r(af). Il ribaltamento non esiste. Sia dunque p un ribaltamento intorno a t(be), pa non può essere contemporanea- mente d ed e; scambiando all'occorrenza i nomi è e e, 4 ed e, si può dunque supporre pa==d, pd == a. Si ponga pa = a’, pd = d', t(a'bd'), trasformata di r(abd), sarà retta di 8 soli punti passante per d. Ciascuna delle rette t(24'), r(ad') è dunque incontrata da ogni retta per è che possegga più di tre punti (lemma 6), in particolare da r(be). Uno almeno dei punti a’, d' non sta su r(de), altrimenti non potrebbe r(a'd') pas- sare per d; sia esso a’. La retta r(aa') dovendo segare t(de) e quindi r(de) (lemma 6) conterrà più di 3 punti. Sia p il punto d’intersezione di r(aa'), (e) e sia geb|p. Un ribaltamento intorno a t(ag) trasforma in sè la r(bce) (5)) e la ribalta quindi intorno a g, scambiando 8 e p, t(25) e t(ap). Ora ciò contraddice all'ipotesi che r(ab) non possegga più di tre punti mentre r(ap) = t(a0') possiede almeno quattro punti. Tr. 2. — “ Una congruenza non può muovere qualche punto di un piano e lasciar “ fissi tre suoi punti non allineati di cui uno sia aderente agli altri due ,. Perchè la- scierebbe fisse le due rette che congiungono quel punto a questi. Tr. 3. — “ Se una congruenza trasforma una retta r ed un punto a ad essa “ aderente nella retta 7’ e nel punto a', trasforma ogni simmetrico di a rispetto ad r “in un simmetrico di a’ rispetto ad r',. 10. I RIBALTAMENTI DEL PIANO. — Post. XIX. — Un punto non ha più di un simmetrico rispetto ad una retta. — Nei riguardi della sola trasformazione del piano (*) “ tutti i ribaltamenti di un piano intorno ad una stessa sua retta sono “ fra loro identici ,. Def. 1. — Se r è una retta del piano che si considera, si indicherà con p, la trasformazione del piano determinata da ogni ribaltamento intorno ad ». Non altri- menti, la si indicherà con pw se la retta è individuata come t(ad). Tr.1.— “ Se pa=a', sarà p,a' = a e p, trasforma la retta r(aa') in se stessa ,. Ogni ribaltamento trasforma cioè il piano involutoriamente. Def. 2. — Si esprimerà che la retta s è trasformata in se stessa da p,, ma non è per p, retta di punti fissi, dicendo che s è perpendicolare ad 7; in simboli si seri- verà sr. Tr. 2. — “ Se s è una retta perpendicolare ad r, si ha p, = p,p.p, ». Ribalta- menti intorno a rette perpendicolari sono, cioè, commutabili. Infatti, se @ è un punto di s e se a'—= p,a, sarà p,a' = d', p,a' = a; quindi p,p.p,.@ = a; d'altra parte la tras- formazione p,p.p, non è l’identità, perchè se è è un punto aderente ad s e d'=p,b, anche d' sarà aderente ad s ed allora p,6' ==’ e p,p,p,ò = p,p,b' == d. Tr. 3. — “ Sempre nell'ipotesi che s Lr, se a,d, a',5' sono punti del piano tali “ che a' = pa, b=p,a, d'=p,a', sarà d'=p,ò ,. Perchè p,p.pòo =!'. (4) E tutto quanto si dirà in questo e nel seguente numero sarà sempre inteso nei riguardi della sola trasformazione del piano. 300 BEPPO LEVI 20 Tr. 4. — “ Nella stessa ipotesi rispetto alle rette r ed s, se « è un punto fisso “ per p,, anche p,a sarà punto fisso per p, ,. Perchè allora p,p,p,a = p,p,a e, pel ber. 2 =/P,%. Lemma 1. — “ Se la retta s è perpendicolare alla x e la incontra in un punto, sarà pure 7 Ls ». Infatti p, converte r in una retta di punti fissi per p, (t. 4), la quale passa pel punto comune a r e s; ma p, non può tener fisse due rette concor- renti (9 t. 1); quindi p,r= r; d'altra parte r non è retta di punti fissi per p,, poichè incontra s; dunque r Ls. Lemma 2. — “ Se la retta s è perpendicolare alla » e la incontra in un punto 0, “ogni altra retta per o perpendicolare ad 7 sarà pure perpendicolare ad s ,. Si sup- ponga che £ sia una perpendicolare ad r nel punto 0: p, e p, convertono ciascuna r in una retta di punti fissi per p, (t. 4) la quale dovrebbe passare per 0, fisso in ciascuno di questi ribaltamenti; ma non esistono due rette concorrenti fisse per uno stesso ribaltamento (9 t. 1); quindi p,r = r, pr =; e poichè in queste trasforma- zioni di » il punto o resta fisso, i due ribaltamenti p,, p, determinano su r ‘lo stesso ribaltamento. p,p, lascia quindi fissi i punti di r, mentre sposta i punti di # e di s (giacchè p, non può lasciar fissi i punti di £ e p, non quelli di s (9 t. 1)); così p,p.= p,. Siccome p,6=t# sarà p.pt=p,=t; cioò t Ls. Lemma 3. — * E assurda l'ipotesi che tre rette differenti siano perpendicolari “in uno stesso punto ad una stessa retta ,. Perchè se s, t, v fossero tre perpendico- lari ad r che le incontrasse tutte in o, in forza del lemma 2, p;p, terrebbe fissi tutti i punti di » e di x, mentre sposterebbe punti di s e di #; assurdo (9 t. 1). Tr. 5. — “Il ribaltamento intorno ad una retta non può tener fisso più di un “ punto non appartenente alla retta ,. Sia » la retta, /, 9 due punti non appartenenti ad r e fissi per p,. Poichè r ha almeno tre punti, esistono almeno tre congiungenti f con punti di r. g sarà spostato dal ribaltamento intorno ad una almeno di esse. Se infatti esse sono tutte distinte da r(f9) e se il ribaltamento attorno a ciascuna di esse lasciasse fisso 9g, a ciascuna di queste rette 1(f9) sarebbe perpendicolare; e poichè tutte incontrano r(f9), ciascuna sarebbe perpendicolare a (fg) (lemma 1) e ciò è mostrato assurdo dal lemma 3. Se poi una di quelle rette è r(f9) medesima, t(f9) incontra r ed una di quelle rette si può sempre supporre passare per un punto di » aderente a questo punto d’intersezione. Il ribaltamento intorno ad essa converte questa intersezione in un altro punto di r e quindi t(/g) in un’altra retta per f e 9g in un altro punto. Ciascuna di quelle rette è Lr, e perciò il ribaltamento intorno ad essa porta g in un altro punto g' fisso per p, (t. 4). Se ora r ha più di tre punti, un suo punto è certamente fuori delle 1(f9), t(f9'), 1(99') ed i tre punti f, g, g' son projettati da esso secondo tre perpendicolari distinte alla r contro il lemma 3. Se poi r ha tre soli punti %, &, ? e si ammette che pei primi due, % e %, passino le r(f9), 1(f9') e che i punti y e g' si corrispondano pel ribaltamento intorno a +(/2), la retta t(99') non può passare per /; altrimenti, poichè 2 è fisso per p che scambia 9 e g9', sarebbe /eg|g' e quindi yg aderente ad / e ad r, contro l’ipotesi che g sia fisso per p, (9 t. 1). Anche allora quindi le rette che da / projettano f, g, g' sarebbero distinte 1 », il che il lemma 3 esclude. 21 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 301 Tr. 6. — “ Se sLr sarà puro r Ls ,. Si operi infatti p,. La retta p,r è retta di punti fissi per p, (t. 4); il teor. 5 esclude allora che essa possa essere distinta da r. i Tr. 7.— “ Due rette concorrenti non possono avere due perpendicolari comuni ,. Infatti il ribaltamento intorno a ognuna di tali perpendicolari dovrebbe muovere l’altra (t. 5) e mutare ciascuna di quelle retto in se stessa e dovrebbe quindi tener fisso il punto di concorso e indurre su ciascuna di quelle rette il ribaltamento intorno ad esso. Il prodotto dei due ribaltamenti dovrebbe tener fisso quelle due rette e spostare gli assi dei due ribaltamenti contro il teor. 1 del n° ®. Tr. 8. — £ Se ad una retta » esiste una perpendicolare che la incontri: 1° qua- “lunque sia la retta sr i due ribaltamenti p,, p, hanno almeno un punto fisso “comune; 2° p, determina sulla retta s un ribaltamento, e parimenti p, sulla r ,. 1° Siccome fuori di r e di s rispettivamente esiste al più un punto fisso sia per p, sia per p,, esiste certamente un punto a che è spostato da p, e da p,. Posto pa=a', pa=b, pa' =pbd=l' (t.3), si può supporre inoltre che i tre punti abb' non siano allineati: infatti, se è la retta Lr che per ipotesi incontra r in un punto 0: o si verifica che non è #1 s, — e si soddisferà detta condizione prendendo « su t—, ovvero si verifica che # Ls, — ed allora p,p, == p, e un’altra perpendicolare qualunque ad r non potrà essere . s, altrimenti sarebbe convertita in se stessa da p, e sarebbe cioè anche .#, contro il t. 7: basterà allora assumere « fuori di t perchè abb' non siano allineati. — Si consideri allora il piano p(ab60’). Il punto a' si tro- verà: o su una congiungente @ con punti di 1(52'), o su una congiungente con punti di r(a2'), o su una congiungente 0’ con punti di (ad). Nel 1° caso s'incontrano le t(aa'), t(52'), e poichè p, converte in se stessa ciascuna di queste rette, e p, le scambia, p, © p, ne lasciano fisso il punto comune; nel 2° caso s'incontrano r(a'5) è r(20') che così p, come p, scambiano lasciandone fisso il punto comune; nel 3° caso resterà fisso il punto comune a r(a'5'), r(a0), come si vede ragionando come nel 1° caso, previo lo scambio di p, e p,. 2° Se r ed s s'incontrano, è evidente che p, determina su s il ribaltamento intorno al punto comune. Se r ed s non s'incontrano, ogni punto fisso comune a p, e p, sarà esterno ad una almeno delle due rette. Si consideri uno di questi punti fissi: se appartiene a s è di nuovo immediato che p, induce su s un ribaltamento. Si supponga quindi che un tal punto fisso comune sia f e non appartenga ad s. Siano a, a" due punti di s scam- biati da p, (necessariamente non coerenti nell'ipotesi che s non subisca un ribalta- mento). Sia mea|]a' e sia m' — m/ =m/y (6 t. 6): sarà 1' = pyn, se m non è fisso per p,. Si consideri la congruenza pymPyP, p, porta aa'm in a'am' e scambia r(fa) è r(fa'). oltre, siccome p, converte in se stesse le rette per f e per un punto della s mede- sima, le r(fm), t(fa), t(fa') sono 18. Allora pa porta a'am' in a'am (t. 6), tien fissa t(fa) e ribalta r(fa') intorno ad f. Infine pyn porta a'am di nuovo in aa'm e scambia r(fa) e r(fa'). Segue che pynPfP, lascia fissa s, e converte in se stesse t(fa), t(fa'). Ora può supporsi che p,n riportando r(fa) in r(fa') e viceversa stabilisca fra i loro punti la stessa corrispondenza che p, ovvero stabilisca la corrispondenza prodotto di questa e del ribaltamento di una di esse rette intorno ad f. Nella prima ipotesi pymPyPr ribalta (fa) e tien fissa r(fa'), nella seconda tien fissa r(fa) e ribalta r(fa'): nell'una 302 BEPPO LEVI 29 e nell’altra tiene fissa s e un’altra retta; si contraddice così al teor. 1 del n° 9. Onde l’assurdo dell’ipotesi che s non si ribalti. Si vede così che: “ Se s non incontra r esiste certo un punto fisso per p, fuori di r (su s) — ed uno solo a cagione del teor. 5 ,. In tutto il ragionamento fatto in 2° si possono evidentemente scambiare r ed s. Tr. 9. — “ Per un punto di una retta » non passano due perpendicolari alla “ retta medesima ,. Sia o un punto di r per cui passino, per assurdo, due rette s, # entrambe Lr. Sarà t1s (lemma 2). Notiamo che ci troviamo nelle ipotesi contem- plate nel prec. teor. È p,== p,p, e il punto fisso comune a p,, p; è quindi ancora fisso per p;: e siccome per esso passa una delle t(2a'), r(ab), r(a8') (t. 8-1°) e d'altronde a'=p,a, b= p,a, d'= p,a' = pa, passa per quel punto fisso una retta — che si può sempre ritenere distinta da r,s, t — perpendicolare a una di queste rette. Questo punto non può dunque essere o (lemmi 2 e 3). Sia allora distinto da 0: esso sarà fuori di due almeno delle rette r, s, t, ma non potrà essere fuori di tutte tre perchè la retta che lo con- giunge ad o sarebbe allora perpendicolare a ciascuna di queste, contro il lemma 3. Sia dunque p e stia su r. Sia n un punto di s e sia m un punto di r(pr) aderente a p(!). p.m è un punto di t(pr) diverso da m. Sia p,pim=wm'; sarà m'= Pm. m' non starà più in t(pr); altrimenti dovrebbe essere m' = m contro il teor. 5. 1(mm') ha dunque un punto fisso per p, (t. 8) diverso da p, appartenente quindi a ? (t. 5), e di- verso da o se non si vuole che per o passino tre perpendicolari a t (Lemma 3). Sia g e sia n' = n/, il punto d’intersezione di s con t(pm'): t(p9) e r(mm') sono Lt e passano entrambe per 9g; quindi r(p9) (mm) (lemma 2); onde p,, scambia m e wm', t(pm) e t(pm'), n ed n'. E cioè r(pg) Ls. Le due rette s e # avrebbero due perpendicolari mo comuni: r e rt(p9), contro il teor. 7. Tr. 10. — “ Se r è una retta del piano, ed esiste un punto f, non appartenente “ad r e fisso per p,: — 1° Per ogni punto di r passa una ed una sola perpendi- “ colare ad r. — 2° Ogni perpendicolare ad r passa per f ed ogni retta per f è ri- “ baltata in se stessa da p, ed è quindi Lr. — 3° Ogni coppia di punti coerenti di “ una retta per f ha due soli punti medi, se la retta incontra r, uno solo se non “ incontra r. Su queste rette un cardine è quindi costituito al più da due punti, e “una coppia di punti non coerenti ha un solo cardine di punti medi ,. [Questo teorema completa e in certo modo inverte il teor. 8]. 1° Sono Lr le congiungenti f coi punti di r: per ogni punto di r ne passa quindi una, ed altre 1r non passano per r in forza del teor. prec. — 2° Qualunque sia m, se p,m= m', r(mm') passa per f: infatti essa deve avere almeno un punto fisso per p, (t. 8) e se un tal punto non è f, deve stare su r (t. 5), e la retta che lo congiunge con f è ir e non può differire dalla r(m7m') medesima (1°). Ogni retta per f è allora ribaltata da p, perchè deve coincidere colla congiungente un suo punto qua- lunque col suo trasformato per p,. — 3° p, non tien fissi che f e i punti di r: quindi ogni coppia di punti coerenti simmetrici rispetto ad » ha due soli punti medi, se la sua retta incontra r, uno solo (f) se non la incontra: lo stesso avviene allora per ogni coppia di punti coerenti della retta (7 t. 5 e 6). Se sopra una retta un cardine è (') Dal teor. 5 segue d’altronde che ogni punto di t(pn) diverso da p e da n è aderente a cià- scuno di questi punti. 23 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 303 costituito da un solo punto, non esistono sulla retta coppie di punti non coerenti: se è costituito da due punti a, a', la coppia aa' non può avere più di un cardine di punti medi: abbia infatti, se possibile, i due cardini mm’, nn'; sia pem|n, p' il punto non aderente a p: il ribaltamento della retta intorno al cardine pp' scambia i due cardini mm', nn'. Si ricordi ora (7 t. 9 e 8) che mm', aa' è la coppia dei cardini di punti medi di nn', e n2', aa" quella dei punti medi di mm; quel ribaltamento scambia queste due coppie di cardini e converte quindi in se stesso il cardine aa' (efr. n° 7 t. 9 e la nota relativa); e poichè « e a’ sono aderenti a p e p', non li lascia fissi. La coppia aa' avrebbe così tre cardini di punti medi contro il teor. 8 del n° 7. Tr. 11. — “ Ad ogni retta del piano esistono perpendicolari che l’incontrano ,. Sia infatti r una retta del piano, s una retta ad essa perpendicolare. Può supporsi che s incontri r: la proposizione non ha allora più bisogno di prova; — ovvero che s non incontri r ma che p, determini su r un ribaltamento: allora su » e fuori di s esiste un punto fisso comune ai due ribaltamenti p,, ps; il teor. 8-2° mostra allora che anche p, induce su s un ribaltamento (!) ed esiste quindi su s, fuori di » un punto fisso per p,, onde esistono rette Lr che la incontrano (t. 10); — ovvero può supporsi che p, determini su » uno scorrimento che scambi fra loro punti a due a due non coerenti (6 t. 6). Sia a un punto di r; si può sempre ritenere di aver scelto come retta s una che passi per un punto p aderente ad a; sia 0’ il punto in cui a è por- tato da \p;, bea la’, d'=d/i=blv=Pòd. È ab=ab', pb = pb'; quindi pab = pab'. La congruenza che converte pad in pad' (IX) converte in sè p(pad); e siccome p ed a sono coerenti, ha la retta r(pa) come retta di punti fissi; questa congruenza è dunque un ribaltamento intorno a r(pa) e converte d'altronde r(00') = in se stessa. Così t(pa)r ed anche in questo caso è provata la tesi. Questa proposizione, unita al teor. 8, permette di enunciare Tr. 12. — “ Ogni ribaltamento del piano induce un ribaltamento su ogni per- “ pendicolare all'asse del ribaltamento ,. E unita al teor. 10 dà il Tr.13.— “ Su una retta esiste al più un punto non aderente a un suo punto «“ qualunque: ogni cardine è costituito al più da due punti: ogni coppia di punti, “ coerenti o non, ha un solo cardine di punti medi ,,. Tr. 14. — “ Ogni congruenza che tenga fisso un punto o e converta in se stessa “ una retta r aderente ad esso, converte in sè il piano p(or) determinandovi un ri- “ baltamento intorno alla Lr per o ,. Sia infatti t la Lr da o. Sia u la trasforma- zione determinata nel piano dalla congruenza considerata; poichè ur = r, uo = 0 sarà ut=t; d'altronde u—'p,u=p,; quindi il punto fisso per p, che # possiede (t. 12) è pur fisso per u. Esso deve infatti esser convertito da u in un punto fisso per p, e non può quindi essere spostato (t. 5) se non appartiene ad r; ed anche in tale ipotesi, essendo comune a # e a r che yu converte in se stesse, è fisso per u. Questo punto è inoltre aderente a 0 che p, sposta. Quindi # è retta di punti fissi per u: u=p. (‘) L'ipotesi della 2* parte del teor. 8 era unicamente che esistesse un punto fisso comune ai due ribaltamenti pr, ps. 304 BEPPO LEVI 24 11. RIBALTAMENTI E ROTAZIONI DEL PIANO. — Tr. 1. — “ Se str e se r eds “ non s'incontrano, il prodotto p,p, è un ribaltamento. Se invece r ed s s’incontrano, “ il prodotto p,p, è una congruenza che ribalta attorno al punto comune ogni retta “ passante per questo punto e appartenente al piano ,. — 1° Se le due rette r ed s non s'incontrano, ciascuna di esse contiene un punto fisso pel ribaltamento intorno all'altra (10 t. 12). La congiungente questi due punti è convertita in se stessa da p,p., e così p, come p, vi determinano il ribaltamento intorno al cardine costituito da quei due punti fissi: essa è quindi per p,p, retta di punti fissi. p,p; è il ribaltamento in- torno ad essa. — 2° Se le due rette r ed s hanno a comune il punto 0, potrà ancora avvenire che ciascuna di esse contenga un altro punto fisso pel ribaltamento intorno all’altra; p,p, è allora ancora il ribaltamento dianzi determinato, ma questo ribalta- mento tiene fisso il punto o e la tesi non differisce allora da quella del teor. 10-2° del n° prec. Indipendentemente però da ogni ipotesi circa l’esistenza di quei punti fissi, val- gono le seguenti considerazioni: Poichè i ribaltamenti sono congruenze involutorie, e sono fra loro commutabili nel prodotto quelli intorno a rette perpendicolari (10 t. 2), la trasformazione p,p, è involutoria. Sia «a un punto del piano aderente ad o. La con- gruenza p,ps lo sposterà certamente, altrimenti per esso passerebbe una retta per- pendicolare a r e a s: il ribaltamento intorno ad essa convertirebbe in se stesse r ed s e terrebbe fisso o ad essa aderente, contro il t. 1 del n° 9. Sia dunque p,p.a= a': la retta r(aa') è convertita in se stessa dalla trasformazione. Nell'ipotesi che essa non passi per o, p,p, sarebbe il ribaltamento intorno alla Lt(aa') da o (10 t. 14) e i punti di questa perpendicolare, aderenti ad o sarebbero fissi per p,p,, il che già si mostrò impossibile. Dunque r(aa') passa per o e subisce il ribaltamento intorno ad 0 secondo la tesi. Inversamente : Tr. 2. — “Se abe sono punti non allineati, e se esiste una congruenza che tien “ fisso a e converte de c in d/,, c/,, sul piano p(ade) esiste una coppia di rette per- « pendicolari passanti per a ,. Sia u la congruenza di cui si suppone l’esistenza. u ribalta r(a0) ed r(ac) in- torno ad a: il suo quadrato tien fisse queste due rette e quindi tutto il piano : la con- gruenza u è cioè involutoria. Si vede allora che up,M = pa perchè tien fissa t(ab) e sposta qualche punto; se quindi uc= e’, pae =d sarà ud = pue= d'. Se fosse d=c, sarebbe t(cc') Lt(10) e poichè t(ce') passa per @ l’esistenza della coppia di perpendi- colari per a sarebbe provata. Se d == c, si consideri r(cd): paM muta r(cd) in se stessa scambiando i punti c e d; e poichè « è aderente a c, si riduce al ribaltamento intorno alla retta #.Lr(cd) per a (10 t. 14). Dunque pal = p;: ma p.h ribalta (ad) intorno ad a; quindi #1 t(ad). Combinando questo teorema col precedente si ha che “ gruenza che tien fisso 4 e converte d e c nei loro simmetrici rispetto ad a, esiste “ una congruenza che converte in se stesso P(abe), lasciando fisso @ e portando ogni “ altro punto del piano, aderente ad @, nel suo simmetrico rispetto ad « ,. Riguardo alla trasformazione del piano p(abdc) le due congruenze coincidono, cioè: Tr. 3. — £ Ogni congruenza che lasci fisso un punto a e converta due punti “ aderenti ad « e non allineati con esso nei loro simmetrici rispetto ad @, conver- “ se esiste una con- 25 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 305 “ tirà ogni punto del piano dei tre punti, aderente ad « nel suo simmetrico rispetto “ad a ,. Infatti il prodotto della congruenza data per quella di cui, secondo la precedente osservazione, questa determina l’esistenza, tien fisse 1(a2), t(ac) e quindi tutto il piano p(abe). Def. — La trasformazione determinata in un piano da una congruenza che tenga fisso un punto a e ribalti ogni retta del piano, passante per a, si dice semirotazione del piano intorno ad a, o simmetria nel piano rispetto ad a. Tr. 4. — “Se per un punto— in un piano -— passa una coppia di rette per- “ pendicolari, ad ogni retta per quel punto, in quel piano, esiste la perpendicolare in “ quel punto ,. Sia « il punto per cui passano due rette r ed s perpendicolari fra loro: pel teor. 1 esiste una semirotazione del piano intorno ad a. Se allora si ripren- dono le considerazioni del teor. 2, si vede che come retta t(ad) vi si può assumere una retta qualunque per @ nel piano. Tr. 5. — “ Su ogni piano contenente una coppia di punti non coerenti e per “ ciascuno di questi punti passa una coppia di rette perpendicolari ,. Siano a e è due punti non coerenti, r una retta per è aderente ad a. Si ribalti il piano p(ar) intorno ad re sia pa=a'. La retta r(a'8) contiene la coppia di punti non coerenti ad; quindi per ogni suo punto possiede il punto non aderente. — Sea resta fisso per p,, è t(ab) 1 r(a'd) (10 t. 10): per d passa intanto una coppia di rette perpendicolari; ma volendosi mostrare che in ogni caso una tal coppia di rette passa per 4, si osservi che, mutando la r, muterà pure la r(a'5) (') e poichè per è non possono passare due Lt(ad), si potrà sempre supporre a mosso da pan. — Sia pasa = a”; è t(a'd) Lr(aa") e poichè r(a'3) possiede coppie di punti non coerenti, ogni sua coppia di punti sim- metrici rispetto a r(aa’’) possiede due punti medì, l’uno su. r(aa”), l’altro non aderente ad essa e fisso per par. La retta per a e per questo punto è Lt(aa"). Tr. 6. — “ Se in un piano esistono due punti non coerenti, ad ogni retta del “ piano ed in ogni suo punto esiste nel piano la perpendicolare ,. Siano a e è due punti non coerenti sul piano considerato. Si è mostrato che in @ esiste una coppia di rette perpendicolari: esiste quindi la 1t(ad) in a (t. 4); sia r. Il punto d resta fisso per p,. Sia allora c un altro punto qualunque del piano: se c appartiene ad 7, si ha già r(0c) Lr (10 t. 10); se c non appartiene ad r è ancora r(dc) Lr e debbono distinguersi due casi: o r(bce) incontra r in un punto d; d e d non sono coerenti e su r(bc) esiste un punto non aderente a e; per c passa allora una coppia di rette perpendicolari secondo il teor. 5, — ovvero r(bce) non incontra r; su r esiste allora un punto f fisso per p,. (10 t. 12) non aderente a t(bdec) e r(fe) Lr(bc) (10 t. 10). — Allora, a norma del teorema 4, ad ogni retta per c esiste nel piano la perpen- dicolare. Tr. 7. — “Se un punto a ha un punto non aderente b, su ogni piano per a e “ esiste una retta di punti non aderenti ad a, e questa retta è il luogo dei punti “ del piano che godono di questa proprietà ,. In un piano per a e è si consideri (4) a' e 3 non sono coerenti; quindi, se non mutasse la r(a'6), resterebbe invariato a'. I ribal- tamenti intorno alle diverse r indurrebbero sulla r(2a’) lo stesso ribaltamento intorno ai a[a'. Ora esistono al più due rette r per cui possa determinarsi sulla t(aa') lo stesso ribaltamento: la con- giungente d con un ala’ e la perpendicolare a questa in è (ammesso che tal perpendicolare esista) Serie Il. Tom. LIV. ni 306 i BEPPO LEVI 26 infatti la Lr(a0) in d e sia r. p, ribalta r(ab) intorno al cardine ab; quindi a è fisso per p, e non aderente ad alcun punto di r. Sia ora c un punto del piano non ade- rente ad a: p, ribalta r(ac) intorno ad a (10 t. 10): quindi tien fisso e: ma non pos- sono esistere altri punti del piano fissi per p, che a e i punti di r (10 t. 5); dunque c appartiene ad r. La retta » è determinata come congiungente due punti qualunque del piano, non aderenti ad a; dunque “ se due punti di una retta non sono aderenti ad un terzo “ punto, tutta la retta non è aderente a questo punto ,. Tr.8.— “Se un punto a ha in un piano per esso una retta non aderente, una “ semirotazione intorno ad @ coincide con un ribaltamento intorno a questa retta. “ All’infuori di questa retta la semirotazione non può convertire in se stesse altre “ rette che quelle per a ,. La semirotazione ribalta intorno ad @ le rette che con- giungono a coi punti della retta considerata; poichè essi non sono aderenti ad a, restano fissi per la semirotazione. Se poi una retta è convertita in se stessa dalla semirotazione, non può esser retta di punti fissi se è aderente ad a, e allora, perchè due punti corrispondenti sono allineati con a, deve passare per a. Tenendo conto del teor. 5 del n° prec. si avrà che Tr. 9. — “ Non esistono in un piano due punti non aderenti ad una stessa < TOLLASE Tr. 10. — “ Se una congruenza converte in se stesso un piano e scambia due “ suoi punti fra loro coerenti è un ribaltamento od una semirotazione del piano ,. Siano infatti a e a' i due punti coerenti che la congruenza scambia, e mea]a'. Si chiami u la congruenza; essa terrà fermo m. Se ora si sapesse che la trasformazione del piano è involutoria, la proposizione sarebbe evidente, perchè, se c e e' sono due punti corrispondenti aderenti ad mm, la r(cc') si trasformerebbe in se stessa. Allora: o t(cc') passa per m e subisce il ribaltamento intorno ad m, nel qual caso si avrebbe la semirotazione intorno ad m (t. 3): — ovvero r(cc') non passa per m e si avrebbe il ribaltamento intorno alla Lt(cc') per m (10 t. 14). Si noti che questa retta sa- rebbe Lt(aa') in m. Si supponga dunque che, se possibile, la trasformazione del piano non sia invo- lutoria. Allora u? tien fissa r(aa') e non è l’identità; quindi u? = p,. Si ponga ue=c', ue' = Pac =d, MPart= dîe= Patio = hd = Past! =di (sarà ud' — l?pye — pin); e si consideri il piano come p(cc'd). (Si osservi che a tre a tre i punti considerati non saranno allineati; se lo fossero, p. es. ce'd, sarebbe ur(ce'd) = 1(c'dd'), e cioè sulla stessa retta starebbe d'; la retta r(cd) sarebbe convertita in se stessa da u, e l’esi- stenza di una tal retta fu il solo fatto che nelle linee precedenti si applicò, nell’ipo- tesi dell’involutorietà della corrispondenza). Almeno una delle coppie di rette r(cc') r(dd'), r(cd) r(e'd'), 1(c'd) +(cd'), dovrà risultare di rette concorrenti: — Concorrano anzitutto le rette r(ce'), 1(dd'): si ha pawt(ce') = t(dd'): il punto di concorso è dunque fisso per par; inoltre pr(cc') = t(e'd), ur(dd') = r(d'c); concorrono dunque anche t(e'd), t(cd') ed il loro punto di concorso è pure fisso per pay (perchè parxU=hM°= Hp). Siano k e k' i due punti di concorso, che non possono coincidere perchè non sono alli- neati ce'd. Essi dovranno appartenere alla r(aa') (10 t. 5) e sarà p&k=#' uk'=% onde ck' = e'k, c'k' = d'k' = ck onde ce'k=c'ck'. Ma ce'k sono allineati; dovrebbero quindi esserlo c'ck’, cioè dovrebbe essere r(cc')= t(aa’): ora c fu scelto fuori della r(aa'). 27 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 307 —- Concorrano invece le r(cd), t(e'd'): esse sono Lr(aa'): il loro punto di concorso (sia 2) non sarà aderente a r(aa'), e sarà t(/m) Li(aa'): allora pint = pay € M = PimPaai u sarebbe la semirotazione intorno ad m (t. 1). Coi teoremi dimostrati in questo e nel precedente n° si pongono i fondamenti della teoria dei movimenti nel piano. Però quasi tutti i teoremi del presente n° sono affetti da un elemento ipotetico il quale prende alternativamente la forma dell’esi- stenza della semirotazione intorno a un punto, o di una coppia di rette perpendico- lari in questo punto, appartenenti al piano, o di una coppia di punti non coerenti, o semplicemente, nell’ultimo teorema di una trasformazione per congruenza del piano in sè, la quale scambi due punti assegnati. L'esistenza della coppia di rette perpen- dicolari in ogni punto si farà dipendere nel $ successivo dai postulati dello spazio: ma l'ultimo teorema mostra come, inversamente, basterebbe ammettere che il piano non sia contenuto in uno spazio maggiore perchè la proposizione divenisse senz'altro dimostrabile. Difatti, in tale ipotesi, ogni congruenza trasformerebbe il piano in sè, e i post. VIII e IX affermano che una coppia qualunque di punti si può invertire mediante una con- gruenza. Sia allora dato nel piano un punto qualunque m e siano @ e @' due punti fra loro coerenti e simmetrici rispetto ad m: la congruenza che scambia a e a’ sarebbe, secondo il precedente teorema, la semirotazione intorno ad m ovvero il ribaltamento intorno alla it(aa') nel punto m. In ogni caso sarebbe stabilita l’esistenza di questa perpendicolare (cfr. t. 2 e 4). $ 4. — Lo spazio. Post. XX. — Esiste un punto fuori di un piano. Post. XXI. — Se due piani hanno a comune un punto, hanno pure a co- mune qualche altro punto. Evidentemente le proposizioni del n° 8 permettono im- mediatamente di dare a questo postulato la forma: Se due piani hanno a comune un punto, hanno pure a comune una retta per esso. Il primo postulato enuncia l’esistenza di quattro punti non complanari. Da esso e dai postulati precedenti risulta poi l’esistenza di altri punti: ma del numero o della potenza dell’aggregato dei punti richiesti non intendiamo di occuparci qui. 12. RETTE E PIANI PERPENDICOLARI - SEMIROTAZIONI INTORNO A UNA RETTA. — Tr. 1. — “ Non esiste alcuna congruenza che tenga fissi quattro punti non compla- “ nari di cui uno sia aderente agli altri tre, spostando qualche altro punto ,. Siano infatti aded i quattro punti che si suppongono fissi per una congruenza u; sia d ade- rente agli altri tre punti; la congruenza u dovrà lasciar fissi tutti i punti dei piani (bed) p(add) p(acd) (9 t. 2). Sia ora m un altro punto qualunque; per nm, d e per un punto di p(bcd) non appartenente a r(5d) nè a r(ed) passa un piano che taglia p(bed) secondo una retta per d non appartenente ad alcuno degli altri due piani, e uno qualunque di questi secondo un’altra retta per d (XXI). u lascia fissi i punti di queste due rette, quindi tutti i punti del piano considerato e fra essi m. Il teorema fu enunciato nella forma che ci sarà utile in seguito: ma all’ipotesi che uno dei punti sia aderente agli altri tre si potrebbe sostituire quella più gene- 308 BEPPO LEVI 28 rale che uno dei punti sia aderente a due rimanenti ed il quarto ad uno almeno di questi tre. Se infatti d è aderente ad a e 6, la congruenza y tiene fisso b(abd): se poi c è aderente per es. ad a resterà anche fisso p(eda), e ciò basta per la precedente dimostrazione. Tr. 2. — “ Se una congruenza tiene fissi tutti i punti di un piano, è involu- “ toria ,. — Sia u la congruenza considerata: m il piano fisso; sia a un punto spo- stato da u e sia pa = a'; sia m un punto di r non appartenente a r(aa'). Il piano p(aa'm) taglia m secondo una retta r per m che u tien fissa. u ribalta dunque p(aa’m) intorno ad » e la corrispondenza fra i punti a e a' è quindi reciproca. Sia » un punto di m fuori di r: la retta t(an) non ha comuni con p(ar) altri punti che a; ur(an) = t(a) è dunque distinta da r(an) e ogni suo punto diverso da » è mosso da u. Sia è un tal punto #= a e sia ub=d'; il piano p(68'm) è convertito in se stesso da u; quindi u ribalta intorno ad m l'intersezione (XXI) dei piani p(aa'm) p(25'm), la quale è così Lr. Per m non passano altre rette che la congruenza ribalti perchè un piano per una tal retta e per un punto qualunque di m sarebbe ribaltato dalla congruenza, la quale così ribalterebbe pure l'intersezione di questo piano con b(aa'm); su p(aa'm) esisterebbero cioè due rette per m e Lr contro il teor. 9 del n° 10. Poichè m è qualunque su m si potrà dunque enunciare il Tr. 3. — “ Per ogni punto del piano fisso passerà una retta che dalla supposta “ congruenza sarà convertita in se stessa (ribaltata intorno a quel punto). E le rette «“ di tal proprietà passanti pei punti di una retta del piano fisso apparterranno ad “ un piano che la congruenza ribalta intorno a questa retta: in questo piano esse “ saranno tutte perpendicolari ad essa ,. Def. 1. — Un punto si dice aderente ad un piano quando non appartiene al piano ed è aderente a qualche punto del piano; si dirà anche che il piano è aderente al punto. Tr. 4. — “ Se una congruenza tien fissi tutti i punti di un piano, sposta ogni “ punto aderente al piano e tien fisso ogni punto non aderente al piano medesimo ,. Sia u la supposta congruenza, m il piano fisso, @ un punto aderente a tr, m un punto di m aderente ad a, n e p due punti di m non allineati con m ed aderenti ad m; se la congruenza tenesse fisso a, terrebbe fermi i 4 punti amnp e quindi ogni altro punto (t. 1). — Sia ora @ un punto che si sposti per u e sia ua=a’. Sia m un punto di n fuori di r(aa'); il piano p(aa'm) è ribaltato da u intorno alla sua inter- sezione con tt; e il punto a sarà aderente a questa retta, poichè se @ non le fosse aderente, alla retta non sarebbe aderente nemmeno a’; ora, pel teorema 9 del n. 11, sul piano non possono esistere due punti non aderenti alla medesima retta. Ii punto @ è dunque aderente a q. Tr. 5. — “ Non esistono due diverse congruenze che tengano fissi tutti i punti “ di un piano ,. Siano 4 e v due congruenze che tengano fissi tutti i punti di un piano tr; esse sposteranno tutti i punti aderenti a m; sia a un punto mobile, ua=a/, va= a". Se una almeno delle rette r(aa'), t(aa'”) incontra t il piano p(aa'a”) è ribal- tato dalle due congruenze intorno alla sua intersezione con n; quindi a' = a". Se le due rette non incontrano , sia p un punto qualunque di n :p(ca'p) e p(aa"”p) essendo ribaltati rispettivamente dalle due congruenze, i punti a|a'= f, a|ja'"= yy saranno fissi rispettivamente per u e per v; non saranno dunque aderenti a (t. 4) e saranno 29 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 309 fissi per entrambe le congruenze. Se f=9g, al;=a'=a"; conformemente alla tesi; l'ipotesi f=#=9 è assurda: sia infatti m un punto di m: il piano p(fgm) segherebbe secondo una retta cui non sarebbero aderenti due punti, contro il teor. 9 del n° 11, Tr. 6. — “ Se una congruenza ribalta il piano fisso della congruenza supposta “ nei teoremi precedenti intorno ad una sua retta t, o ribalta pure il piano per # di “ cui al teor. 3, ovvero lo tien fisso ,. Sia infatti v la congruenza nominata; v7'uv tien fissi i punti di mt e non differisce quindi da u (t. 5); una retta che u converta in se stessa è quindi trasformata da v in un’altra retta che u converte in se stessa; e se essa incontra # dovrà dunque esser trasformata in sè stessa. Il piano di t e d’una tal retta è dunque convertito in se stesso da V. Tr. 7. — “ Esiste una congruenza che tien fissa una retta £# e ribalta intorno “a t due piani passanti per # ,. Sia infatti m un piano per #; esiste una congruenza v che ribalta m intorno a # (XVIII); questa congruenza è involutoria su q (10 t. 1); si può supporre che sia o non involutoria per i punti non appartenenti a m. Nella se- conda ipotesi v? tien fisso t, ma non tutti i punti dello spazio; quindi è la congruenza u dei teori preci. La prima ipotesi poi può dar luogo a due casi: o che si supponga che v tenga fisso un piano per f, ovvero che sposti ogni piano. 1° Si supponga dunque l’esistenza di una congruenza che tien fisso un piano per f. À questo sarà coniugato dal teor. 6 un altro piano per # e un’altra congruenza che lo converte in se stesso, ribaltando intorno a £#. Se la nuova congruenza non tien fisso quel piano, sarà essa la congruenza affermata nel teorema: se essa lo tien fisso sarà tale il prodotto delle due congruenze. 2° Non si supponga l’esistenza di una congruenza che tenga fisso un piano per #. La congruenza v che ribalta m intorno a t, dovendo essere involutoria, ribalta ogni piano per ?, ed è la congruenza di cui si afferma l’esistenza. Tr.8.— “ La congruenza di cui il teor. prec. afferma l’esistenza è involutoria. “ Per ogni punto della retta passa un piano ed uno solo che la congruenza trasforma “ in se stesso, inducendovi una semirotazione intorno a quel punto. Ogni piano per “ la retta # subisce il ribaltamento intorno a # ,. 1° Siano difatti t e 0 i due piani per # che si sa essere ribaltati dalla con- gruenza; il quadrato della nostra congruenza li terrà fissi; quindi (t. 4) deve ridursi all'identità: la congruenza è involutoria. 2° Sia a un punto arbitrario di # e sia m un punto di m che la congruenza sposti e tale che la Lt per esso non passi per a. Sia m' il trasformato di m e sia n un punto mobile fuori di mr. Il piano b(amn) sarà convertito in un piano p(am'n'), diverso da p(amn) (che non passa per m'): i due piani si tagliano secondo una retta r per a che la congruenza trasforma in se stessa. Per ipotesi p(2mn) non passa per #: dunque r==t; inoltre r non può esser retta di punti fissi per la congruenza, altri- menti sarebbe piano di punti fissi p(rt); per ogni retta di b(rt), per es. r, passerebbe un piano convertito in se stesso dalla congruenza (t. 3) che segherebbe m e o secondo due rette ribaltate dalla congruenza, per lo stesso punto a, contro il teor. 3. La con- gruenza considerata ribalta dunque r. Parimenti b(amn'), b(am'n) si segano secondo una retta s per 4 che la congruenza ribalta, e s==r e s=#=# perchè p(amn') == p(amn) e b(am'n) # b(m't). La congruenza determina dunque una semirotazione in p(rs) intorno ad a (11 t. 3). 310 BEPPO LEVI 30 3° Ogni piano t per # taglia p(rs) secondo una retta che la congruenza ribalta intorno ad a. La congruenza ribalta dunque t intorno a #. 4° Nessun piano per a diverso da p(rs) e dai piani per # può essere conver- tito in sè dalla congruenza perchè le intersezioni di un piano per a che la congruenza converta in sè e che non passi per # con p(rt) e con p(st) sono rette per @ che la congruenza converte in sè, e non differiscono quindi da » e da s rispettivamente. Poichè tutte le congruenze che ribaltano un piano intorno a una sua retta t sono identiche fra loro rispetto alla trasformazione del piano, la congruenza studiata nei teorìi 7 ed 8 è completamente definita dalla retta fissa #. Ha quindi luogo ad esser stabilita la seguente Def. 2. — La congruenza che ribalta ogni piano per t intorno a ? si dirà semi- rotazione intorno a t. t si dirà l’asse di rotazione. Tr.9. — “In ogni piano ed in ogni punto di ogni sua retta esiste la perpen- “ dicolare a questa retta medesima ,. È l'intersezione del piano dato con quello su cui la semirotazione intorno alla retta data determina la semirotazione attorno al punto dato. Tr. 10. — “ Se esiste un punto non aderente a una retta #, esiste tutta una “ retta di punti non aderenti a t. Essa resta fissa per la semirotazione intorno a # “ e fuori di essa non esistono altri punti non aderenti a # ,. Se % è un punto non aderente a #, la semirotazione, ribaltando intorno a t il piano p(A4t), tien fisso 4 (11 t. 8); le Lt in questo piano passano per % (10 t. 10); per % passa quindi ogni piano su cui la semirotazione intorno a # determina una semirotazione. L’intersezione di due di questi piani è una retta per À, e sopra ciascuno di questi piani è convertita in sè dalla semirotazione senza passare pel punto fisso di questa. Essa è dunque retta di punti fissi e non è aderente a detto punto (11 t. 8) e non è aderente ad alcun punto di # perchè ogni piano per essa e per un punto qualunque di # subisce la semi- rotazione intorno a questo punto. — Se fuori di questa retta esistesse un punto non aderente a #, esisterebbe al pari una retta per esso tutta di punti non aderenti a # e per ogni punto di t passerebbero due piani (l'uno per l’una, l’altro per l’altra retta) non passanti per # e convertiti in sè dalla congruenza, contro il teor. 8. Tr. 11. — “ Per ogni punto aderente a # passa uno e un sol piano non conte- “ nente #, che la semirotazione intorno a # converte in se stesso ,. Sia a un punto aderente a t: in p(at) sia r la Lt per a: se essa incontra # in un punto w, il piano di cui si afferma l’esistenza è quello per m su cui la congruenza induce la semiro- tazione intorno ad m. Se » non incontra #, contiene un punto % non aderente a £; per » passa una retta t, di punti fissi per la congruenza; p(at,) è il piano di cui si afferma l’esistenza: esso subisce il ribaltamento intorno a t,. La semirotazione intorno a t coincide allora colla semirotazione intorno a t,. — Un altro piano per a che la semi- rotazione converta in se stesso sega il precedente secondo una retta che la congruenza trasforma in sè, cioè secondo la r; esso passa quindi per m o pel punto che » ha su t, e non può perciò (t. 8-4°) differire da p(at). Def. 3.-- Il piano unico che passa per un punto « aderente a # od appartenente a t e che, senza passare per f, è convertito in sè dalla semirotazione intorno a # si dirà piano perpendicolare a t pel punto a. La retta si dirà perpendicolare al piano. La nuova relazione di perpendicolarità si rappresenterà ancora con 1. 81 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA SI I teoremi 8 e 11 dànno luogo al Tr. 12. — “ Per un punto aderente ad una retta od appartenente alla retta passa uno e un sol piano perpendicolare alla retta. Esso contiene tutte le perpendi- colari alla retta pei punti del piano. Condizione necessaria e sufficiente perchè un piano sia perpendicolare a una retta è che a questa siano perpendicolari due sue rette senza che il piano passi per essa ,. » “ Tr.19. — “ Ad un piano ed in un suo punto esiste una ed una sola perpendi- “ colare ,. È l'intersezione di due piani perpendicolari in quel punto a due rette pas- santi pel punto medesimo, sul piano dato. 13. SIMMETRIA RISPETTO A UN PUNTO. — 7. 1. — “ Assegnato un punto arbi- “ trario o, la corrispondenza che si ottiene riferendo ad ogni punto aderente ad o il “ suo simmetrico rispetto ad o è una congruenza ,. Siano a e d due punti arbitrari, e sia a' = a/,, d' = d/,. Se abo sono allineati, la coppia ad è portata in a'd' dal ribaltamento della retta 1(20) attorno ad 0; quindi ab=a'b'; se abo non sono allineati, a’ e d' appartengono a p(abdo) e la coppia ad è portata in a'd' dalla semirotazione del piano intorno ad 0; ancora ad = a'8'. Def. — La congruenza definita nel teorema precedente si dirà una simmetria rispetto ad 0. Come per teoremi analoghi precedenti si prova che Tr. 2. — “« La simmetria rispetto ad un punto 0 sposta ogni punto aderente ad o e tien fisso ogni punto non aderente ad o. Se un tal punto esiste, esiste tutto un piano di punti non aderenti ad o, ed ogni punto non aderente ad o appartiene a questo piano ,. 14. SIMMETRIA RISPETTO A UN PIANO. — Tr. 1. — “ Assegnato un piano arbi- trario, esiste una congruenza che tien fermi tutti i suoi punti e sposta qualche altro “ punto ,. Tale è il prodotto di una simmetria rispetto a un punto o del piano e di una semirotazione intorno alla perpendicolare in o al piano (12 t. 13). Def. — La congruenza nominata si dice simmetria rispetto a quel piano fisso. I teoremi del n. 12 permettono di enunciare il “« Tr. 2. — “« La simmetria rispetto a un piano è individuata da questo piano; essa è una corrispondenza involutoria che ribalta tutte le perpendicolari al piano; tutte le perpendicolari al piano nei punti d’una retta sono complanari. La simmetria sposta ogni punto aderente al piano. Esiste al più un punto non aderente al piano. e questo in tal caso è fisso per la simmetria. Tutte e sole le perpendicolari al piano “ passano per questo punto. Per ogni punto aderente al piano passa una ed una sola “ perpendicolare al piano ,. Ogni altra proprietà relativa a rette e piani perpendicolari si dimostra ora, con procedimenti noti. 15. — Non è nel nostro disegno di proseguire nello studio delle trasformazioni metriche fin qui definite e dei loro prodotti. Ci volgeremo invece a mostrare come, sulla base dei postulati metrici ammessi, si possa stabilire la geometria projettiva e come ne risulti la definizione della nostra metrica, siccome una metrica projettiva 312 BEPPO LEVI 92 rispetto a una quadrica; ma risulterà altresì che i postulati ammessi non sono capaci ancora di separare fra loro le tre metriche fondamentali ellittica, parabolica e iperbolica, nè da altre metriche sorelle (*); e risulteranno evidenti i postulati che ancora sono necessarì per individuare queste metriche medesime. Ma i postulati precedenti permettono in generale di assicurare l’intersezione di rette e di piani solo quando essi appartengono ad una stessa stella: ci occorre, per proseguire, di poter affermare altre intersezioni e noi lo faremo col Post. XXII. — Dato un piano p e più rette non perpendicolari a p ed uscenti da un suo punto, esiste un piano .p che incontra tutte queste rette, senza passare per quel punto. L'applicazione di questo postulato è d’altronde ristrettissima e si limiterà a si- stemi di non più di 10 rette (?). Esso serve a far dipendere dai precedenti postulati metrici il teorema di Desargues nella stella (3), e potrebbe quindi sostituirsi col teorema di Desargues medesimo. (') Alcune fra l’altre furono messe recentemente in evidenza dal signor Dehn “ Math. Ann. ,, 53. (*) Qualora sì trattasse di 2 sole rette il post. è verificato evidentemente dal piano 1 p per una retta che le incontri entrambe. (*) Altra applicazione se ne fa qui, pel teorema di Pascal, al n. 20; ma essa è inessenziale, come mostrano le considerazioni del Cap. III, $ 3. 435) FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA Ss CAPITOLO II. IL COMPLETAMENTO DELLO SPAZIO E LA GEOMETRIA PROJETTIVA. $ 1. — Il completamento dello spazio. 16. IL TEOREMA DI DESARGUES. — Tr, 1. — « Se in un piano n due triangoli è “ abc, a'b'c' sono riferiti in modo che le coppie di lati omologhi s’incontrino in punti “ d'una retta r e le congiungenti due coppie di vertici omologhi siano 1r, anche la ° congiungente i rimanenti due vertici sarà 1 r ,. Siano corrispondenti i vertici omo- nimi dei due triangoli. Siano w, », pi punti comuni, per ipotesi, a t(12), t(a'8'), r; t(be), 1(5'c'), r; (ca), t(c'a'), r. Infine sia, per ipotesi, r(2a’) Lr, r(00/)1r: Si mostrerà che r(ce')Lr. — Sia 0 un piano diverso da per r e sia a"0"c" il triangolo simme- trico di ade rispetto a o. r(a"8"), 1(0”c"), 1(c"a") passeranno rispettivamente per mnp e p(aa'a"), p(68'8") saranno 1 r e r(ce'') 10. Saranno dunque complanari i punti a'8’ 4''d" e così d'e' de, c'a' c''a''. Sia o' il piano per r, Lt(a”a'). I piani b(a'd'a'b'), p(08'8!) sono L0'; quindi r(8'8”)10' ed allora i piani p(c'a'e''a'’), b(b'e'b''c''), passanti rispet- tivamente per r(a'a”), t(5'8”), sono Lo’ e così r(c'e'’)1 o". Il piano b(cc'e'’), conte- nendo due rette, l’una 10, l’altra 10 è perpendicolare alla loro intersezione r e quindi r(cc') Lr. Tr. 2. — “ Se in una stella 2 due trispigoli sono riferiti in modo che le coppie “ di facce omologhe s’incontrino in rette di un piano p, i piani delle tre coppie di ‘ spigoli omologhi passano per una stessa retta ,. Siano ade, a'd'e' i due trispigoli e siano omologhi gli spigoli omonimi; siano mnp le intersezioni dei piani d(ab) p(a'8'), P(be) p(2'e'), p(ca) b(c'a') ed appartengano, per ipotesi, a p; sia r l'intersezione dei piani p(aa'), p(68): a) Supponiamo in primo luogo r.Lp; saranno Lp i piani p(aa') p(6d') e si dovrà dimostrare che p(cc') sp. Si seghi la figura con un piano m.p che incontri le rette abe a'b'e' mnp (XXII); la figura piana risultante sarà quella del teor. prec.; l’interse- zione di p(ce') con n sarà £ all'intersezione di r e p (congiungente le intersezioni di con n, n, p) onde p(ee') Lp. 5) Supponiamo poi r non —p © non appartenente a p. Si seghi la figura con un piano .p, che incontri le retto a de a'd'e' m npr nei punti ABC 4'B'C' MNPR (XXII). Per la retta t(MNP) e pel punto R si conducano un piano p, e una retta r, fra loro perpendicolari: Se s'incontrano in un punto 9,, si proietti da 9, la figura ABC A'B'C' MNPR; si avrà nella stella £, la configurazione considerata nel caso a): il piano d(2,0C"), passerà dunque per r,, r(CC') per R}, e quindi p(ce') per (Q0R) =. — Se r; non incontra P1, esisterà in essa un punto S non aderente a Pi: sia n il piano Lr, in S; esso sarà pure Lp, (14 t. 2) e non esisterà punto non aderente a rr, Le im dai vari punti dello spazio lo incontreranno tutte; in particolare quelle con- dotte da ABC A4'B'C' MNP: siano A,B;C, A',B',C', MN;P, i piedi sum di queste Serre II. Tox. LIV. o! 314 BEPPO LEVI 34 perpendicolari; essi costituiranno di nuovo la configurazione del teor. 1 (perchè p(r AA') = p(ry A;A',) Lp, e a , onde r(A,A4',) Lt(M,N;P,) intersezione di t e p e così via). Così r(C;C',)Lt(M NP) e quindi t(C;l‘,) passa pel punto S non aderente a r(M; N; P,) e sono per conseguenza collineari anche CC'R: p(ec') passa per r. c) Supponiamo infine che l’intersezione dei piani p(aa') p(65') appartenga a p. Basterà osservare che, se si suppone che p(cc') non passi per detta intersezione, l'intersezione di p(aa'), p(ce') non appartiene più a p; ed allora i risultati dei casi a) e b) mostrano che per questa intersezione dovrebbe passare p(80'); non potrebbe dunque incontrare p(aa') su p. 17. LA GEOMETRIA ANALITICA. — Il sig. Hilbert ha mostrato (') come, sul fon- damento del solo teorema di Desargues, sì possa fondare una rappresentazione per coordinate degli elementi della varietà lineare a due dimensioni. Riassumerò in questo numero quanto dovrà servirci del procedimento e delle conclusioni del sig. Hilbert, trasportati dal piano alla stella; tralascierò tutte quelle dimostrazioni che possono leggersi, mutatis mutandis, nel citato lavoro dello Hilbert. In una stella £ sia fissato un piano w (d’altronde arbitrario) ed un raggio oLw, e siano £ e n due piani fissi per o. Per le applicazioni successive converrà che i piani , n siano simmetrici rispetto a un piano 0 per o. Siano le, 1) due raggi fissi rispettivamente su € ed n. Converrà ancora, per le seguenti applicazioni, che 1£ e 1, siano simmetrici rispetto a 0; si chiami e l'intersezione di w col piano p(1£1,); sarà allora eo. Se ag e a) sono due raggi di & e n rispettivamente, si dirà ag = an (?) se dé, ay SONO complanari con e; nel caso della nominata simmetria aé e an saranno simmetrici rispetto a 0. Siano ancora w£ e wy le rette d’intersezione di w rispetti- vamente con Z ed n, cosicchè we = Wy. Siano ag e de due raggi di &, a)=ag; sia r l'intersezione dei piani p(ay we), p(b£ w,) e sia c£ l'intersezione di € e p(re); si dirà cs la somma di ag e de: Si ha: a L'addizione così definita si può invertire univocamente per modo che ne risulti definita la differenza fra due raggi ce ed ag, purchè i due raggi non coincidano reo ODE sali i alga Dia pese uti entrambi con we. Si verifica agevolmente che 0 ae = ag e quindi ag — ag= 0. Converrà quindi chiamare il raggio o, raggio 0. Ad ogni raggio ag corrisponderà un raggio — aes=0 — ag. Quando € ed n siano simmetrici rispetto a 0, az e — ag Sl (!) Grundlagen der Geometrie. “ Festschrift zur Feier d. Enthillung d. Gauss-Weber-Denkmals in Gottingen , - Leipzig, Teubner 1899 (2t° Auflage, 1908). (£) Lo Hilbert parla d’uguaglianza, di somma, ecc. di segmenti. Noi non possiamo usare una ter- minologia analoga, poichè non abbiamo ancora discorso dell’ordinamento degli elementi d’una forma di prima specie. D'altronde le operazioni definite si riferiscono precisamente solo all’estremo mobile del segmento. (*) Le due uguaglianze sono due forme d’una stessa; lo Hilbert non scrive la seconda, come non scrive quella analoga per la moltiplicazione. Nella scelta di & ed n simmetrici rispetto a 0, l’ugua- glianza si dimostra per simmetria, senza ulteriore ricorso al teorema di Desargues. 35 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 315 corrispondono per una semirotazione intorno ad o (come si mostra facilmente osser- vando che la semirotazione intorno ad 0 si compone mediante la simmetria rispetto a 0 e quella rispetto al piano 10 per 0). Occorre rilevare la doppia univocità dell’addizione, per cui sommando o sot- traendo a uno stesso raggio che non sia ws (0 w,) raggi diversi si ottengono risultati diversi. L’addizione definita gode pure della proprietà associativa: (as + de) + ce= ag + (be + ce) e quindi della proprietà commutativa applicata a un numero qualunque di addendi. Il piano p(an 1é) seghi w secondo la retta r e p(b£ 7) seghi n in cy; ce=cy si dirà il prodotto di ae, de: Per simmetria rispetto a 0 (o mediante il teorema di Desargues) si mostra che agbe= ayby; non si può però dimostrare la proprietà commutativa della moltiplica- zione (!), la quale, nel nostro sistema geometrico, risulterà dagli ulteriori sviluppi; la moltiplicazione gode invece, sul fondamento del solo teorema di Desargues, della proprietà associativa: as(bece) = (agbe)ce e delle due proprietà distributive rispetto all’addizione: ag(05 + se) = agbe + agee (be + celae = beag + c£ae. Infine risulta immediatamente dalla definizione: léag=agle=ag, ago=0ag=0, agw Risulta pure che la moltiplicazione è operazione univoca che ammette due inverse, che si propongono di determinare l’una il fattore a destra, l’altra il fattore a sinistra, anch'esse univoche se il prodotto e il fattore dati non sono entrambi 0 0 ws=wy: chiameremo divisioni queste due operazioni e porremo: ze= 55. quando ae=webe, ye= be|5 quando ag = bdeye. $ Si chiameranno coordinate di un raggio r di £ le intersezioni di & ed n rispet- tivamente coi piani p(rwy), p(rwe); le coordinate sono univocamente determinate dal raggio, se questo non è wg o wy, e lo determinano univocamente se esse non sono rispettivamente wg, wy, cioè se il raggio non sta sul piano w. of lne,S 83. 316 BEPPO LEVI 96 Il sig. Hilbert dimostra che tutti e soli i raggi di un piano di 9, non apparte- nenti a w, soddisfanno a un’equazione lineare della forma ax 4 by4+.e=0 dove abc sono tre raggi fissi di & o di n diversi da we, w, e x, y le due coordinate, sul piano £ e su n rispettivamente, del raggio variabile. Quest’equazione è l'equazione del piano nel sistema di coordinate prescelte. 18. — I calcoli seguenti saranno semplificati se alle coordinate sopra definite si sostituiscono le 2=1/x t=ylx (1); si potrà fissare che 2 e # rappresentino due raggi di &; quando si debba indicare che le coordinate appartengono ad un determinato raggio si applicherà il nome di questo raggio come indice: pei raggi di w sarà 2 =0, ma # prenderà un valore variabile in corrispondenza biunivoca col raggio, cosicchè saranno ora rappresentati biuni- vocamente tutti i raggi, tolti quelli di n. L'equazione del piano prende la forma a+ bt + ca =0, 0, cambiando il significato di a, b, Cc, az + bt 4+ce=0 (1). Sia ora mt un piano Lo non passante per 2 ed aderente a £ e sia £' il punto simmetrico di £ rispetto a m. Si riferisca la stella £' ad un sistema di coordinate, simmetrico rispetto a m di quello stabilito in £; siano cioè piani di riferimento #', n' i piani £ ed n medesimi, piano w' il simmetrico di w rispetto a t, e in generale si indichino colla stessa lettera coll’apice gli elementi simmetrici di quelli di £ rispetto a tm. Se 2',, t'» sono le coordinate del raggio s', analoghe in 9' alle 2,, t, di rin 9, rappresenterò con 2',, t', i raggi di 2 in £ simmetrici di E RENE rispetto a t: essendo rer' simmetrici rispetto a t, sarà evidentemente 2’, = 2,, t,,=t,. Si osservi che l'equazione di un piano di £ passante per 0 è #t=c, ove e è un raggio fisso: questo piano sarà simmetrico di se stesso rispetto a t; esso potrà quindi essere considerato come piano di £' ed avrà in £' un’equazione della stessa forma '=c'. Se ora r è una retta di questo piano uscente da 9, sarà t.=c: la sua sim- metrica 7' apparterrà allo stesso piano e sarà quindi #, ="; per l'osservazione pre- cedente sarà dunque, per tutte le rette per £' in questo piano #' =t= e. Il ragio- namento si può invertire, cosicchè potrà affermarsi che: “ Condizione necessaria e sufficiente perchè due rette r ed s' di Q e 2' rispet- “ tivamente siano complanari è che #'»="t, ,. Se p è un punto qualunque dello spazio, esso determina i raggi t(Qp)=r, r(L2'p)=s' complanari, e ne è determinato. “ Si potranno dunque assumere a rappresentanti del “ punto (coordinate del punto) i tre raggi 2,, 'y, t,=t'y. Il punto ne sarà univocamente “ determinato purchè non appartenga al piano n ,. (1) Si sono soppressi qui e nel seguito gli indici €, n, il che permettono di fare le uguaglianze ae + bE=an + bn, atbé=anby. 37 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 317 Se Z è una retta qualunque ‘non incontrante o, essa determina due piani distinti (92), (2/2), e ne è individuata. Si potranno assumere a rappresentanti della retta le equazioni dei due piani; e si può imporre alle variabili # e t, nelle due equazioni, di essere costantemente uguali; allora le soluzioni comuni alle due equazioni, che rappresentino un punto, rappresenteranno un punto della retta. “ Le due equazioni della “ retta assumeranno la forma: az + bt 4-e=0 de' + et+f=0 (2) “ dove a ed=+=0 ,. La rappresentazione si estende da sè al caso che una delle co- stanti a o d sia nulla; risulterà allora determinato # indipendentemente da 2 e 2’ e conseguentemente una di queste variabili sarà ancora determinata indipendentemente dall'altra, mentre questa sarà completamente arbitraria. Si avrà cioè una retta per Q o per £'. Se invece si supponesse a = d = 0, non si rappresenterebbe che la retta 0, ovvero i due piani coinciderebbero. Se delle due equazioni che rappresentano una retta si fa una combinazione li- neare, si può disporre del parametro di questa combinazione in modo che l’equa- zione lineare risultante sia soddisfatta quando alle variabili si diano i valori delle coordinate di un punto assegnato. Viceversa, data un'equazione lineare fra le varia- bili.2,2/, t: oz + de' + Bt+-y=0 (3) e l'equazione (1) d’un piano di 2 (ove si supponga 4#= 0, per modo che il piano non passi per 0), si può formarne una combinazione lineare in cui sia nullo il coefficiente di 2 e che rappresenti quindi un piano di 9’, e se questo piano, insieme con (1), de- termina una retta, tutti i punti di questa retta soddisferanno all’equazione (3). Se dunque le coordinate di due punti soddisfanno la (3), vi soddisferanno pure tutti i punti della loro congiungente, le cui equazioni sono costituite dall’equazione (1) del piano che da 9 projetta quei due punti e dall'equazione che si ottiene eliminando fra (1) e (3). [Non va dimenticata qui la restrizione che si suppone a=#= 0, cioè quei due punti non complanari con 2 e Q'. Su questo caso ritorneremo tosto. — Qua- lora si supponesse a = 0 si potrebbe ancora, formalmente, eliminare la = fra la (3) e la (1), ma si riotterrebbe generalmente la (1) e si cadrebbe nel caso d’indetermina- zione già citato a proposito del sistema (2) — a meno che fosse anche a — 0 oppure è =0, nel qual caso (3) e (1) (con a=0) formerebbero senz’ altro un sistema (2) e rappresenterebbero una retta per 9' o per Q]. Ciò posto si consideri un piano p(mnp) non passante per o; fra i tre punti m,n,p sì potrà sceglierne due m, n, la cui congiungente non incontri 0 e si rappresenti quindi con un sistema (2), e si potrà formare delle equazioni di questo una combi- nazione lineare (3) che sia soddisfatta anche da p. Se allora anche r(mp) e t(rp) non stanno in piani per o, i punti di queste medesime rette soddisfanno la (3) e così ancora i punti delle rette che congiungono wm, n, p rispettivamente con punti di r(np), t(mp), tm) — almeno finchè queste congiungenti non sono complanari con 0. — L'eccezione circa queste rette si rimuove subito osservando che, quando m » p non appartengano ad un piano per o, si può sempre (in quanto non servono ad altro che 818 BEPPO LEVI 98 alla determinazione del piano) mutarli in altri tali che un punto il quale apparte- nesse al piano in quanto appartiene ad una sua retta per m, n o p complanare con 0, sia assegnato al piano medesimo da una retta in differenti condizioni. Dunque “ tutti “ji punti di un piano non passante per o soddisfanno ad una stessa equazione della “ forma (3) ,. D'altra parte si è già visto che “ anche i punti di un piano per o sod- « disfanno ad una determinata equazione della forma (3) cona=d=0,. Reciprocamente “ se quattro punti mnpg soddisfanno una stessa equazione (3) “ sono complanari ,. [Si debbono supporre i quattro punti a 3 a 3 non allineati, altri- menti la proposizione diviene illusoria]. Si supponga infatti che p(mnp) non passi per ®; i piani p(mnp) e p(Lpg), avendo a comune il punto p, si segano secondo una retta, la quale dovrà rappresentarsi nella forma (2) tosto che, come può supporsi (!), p(Qp9) non passi per 0; e questa retta dovrà soddisfare tanto all’equazione della forma (3) cui soddisfanno i punti di p(mrp), quanto a quella della forma (1) del piano p(2p9). Ma i coefficienti di (3) sono determinati dalle coordinate di m x p (o almeno ne son determinati i rapporti (?)) e l'equazione del piano p(mmp) non differisce quindi dal- l'equazione (3) cui, per ipotesi, soddisfanno i quattro punti .w, n, p, g: così è comple- tamente determinato un sistema della forma (2) equivalente al sistema (3) (1) e conte- nente fra i punti che lo soddisfanno tutti quelli dell’intersezione di p(mrp), b(Lp9). Quel sistema della forma (2) rappresenta t(p9g); dunque l’intersezione di quei due piani è contenuta in t(pg) e coincide così con essa. Vale a dire che 9g appartiene a p(mmp). (4) Infatti come punto p si può prendere uno qualunque dei punti rappresentati come w, n,p: è allora chiaro che se tutti appartenessero a (09), anche p(mmp) passerebbe per o, anzi coinciderebbe con p(09); e risulta incidentalmente dimostrato che anche allora i 4 punti sono complanari. (2) Perchè non supponiamo alla moltiplicazione la proprietà commutativa, non sarà forse inutile esporre uno dei calcoli che permettono quest’affermazione ed altre che seguiranno, come altre simili, sebbene più semplici, furono fatte già. L'equazione (3) debba essere soddisfatta dai punti wm,x,p di coordinate (2121) (2,23/t3) (232343). Si indichino con (3;)(32) (33) le equazioni che si ottengono sosti- tuendo in (3) a (22'7) rispettivamente questi valori; sottraendo (833) e (33) da (3,) sì ha: af — za) + deu — 29) +-B(1—6)=0 ale — 2) + dle — 23) + B(1—-t)=0 onde at òd isa NR TUA 25) atòd "Ag 5 + R dl e =) (1) e sottraendo to Ai nl ex (RT sd ò (" das “la (5) da B ( ne S,sa N Versa) spl! ossia, sottraendo dai due membri il 2° termine e dividendo davanti per B e di dietro per ’ ’) ’ ,r Bi —£a | MO o) Sa 21-83 Lea p|ò dl Co bia SE ) dh) 59E 0; ® (E Ò a 2 pisa) Da una delle (1), per es. la 1°, dividendo dinnanzi per R si ha poi | bsx-2o =} e|®+g|d" Au MiFse ù "aa 0 da cui sì ricava puis; e finalmente, dividendo davanti per f i due membri della (3), si ricaverà p/T. Risulta così anche posto in evidenza che i rapporti dei coefficienti che, come si disse, sono determinati, sono quelli ottenuti per divisione a sinistra; ed infatti l’equazione (3) si muta in un’altra equivalente per moltiplicazione a sinistra di tutti i termini per uno stesso fattore. 39 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 319 Se p(mnp) passasse per £, l'equazione (3) corrispondente assumerebbe la forma (1) ed allora il raggio r(29) dovrebbe appartenere senz'altro a questo piano per quanto fu detto a proposito di quella prima equazione (o della equivalente del precedente numero). “ Ogni equazione della forma (3) che sia soddisfatta da tre punti mmp non alli- “ neati potrà dunque chiamarsi l'equazione del piano p(mnp) ,. Date le equazioni di due piani distinti che passino per una stessa retta rappresentabile nella forma (2) si possono ottenere le equazioni di questa forma che rappresentano la retta per com- binazione lineare di quelle dei due piani — come già l'equazione di un piano qua- lunque per la retta fu ottenuta per combinazione lineare di quelle del sistema (2). Si ottiene così una rappresentazione più generale della retta mediante le equa- zioni di due piani per essa, e questa rappresentazione si estende alle rette — che finora erano state escluse — complanari con 0; se infatti due piani si intersecano secondo una retta complanare con o, i punti di questa dovranno soddisfare le loro equazioni ed ogni combinazione lineare di esse: reciprocamente se le equazioni di tre piani sono tali che una di esse non è combinazione lineare delle altre due si può, con un facile calcolo determinare un unico sistema di valori per le coordinate e pei loro rapporti ottenuti per divisione a destra, che le soddisfa tutte tre e ogni loro combinazione lineare: se questi valori non rappresentano un punto i tre piani non s'incontrano; s'incontrano in caso contrario, ma non potranno mai avere comune una retta. ‘ Una lacuna presenta ancora la precedente rappresentazione per coordinate dei punti del nostro spazio, ed è relativa ai punti del piano n (cfr. il principio del pre- sente numero), fu essa che ci obbligò, nelle linee precedenti, a parlare dei rap- porti delle coordinate; essa si elimina in modo notorio, sia definendo il punto me- diante le equazioni di tre piani per esso, linearmente indipendenti, e tutte le loro combinazioni lineari, sia mediante l’uso di coordinate omogenee; si giungerà agevol- mente a queste ultime introducendo nuovamente la coordinata # che al principio del numero si è eliminata, e le equazioni da sostituirsi alle (1), (2), (3) si otterranno applicando a destra del termine indipendente dalle variabili la nuova variabile x, come già per divisione a destra questa coordinata si era eliminata. Si dovranno considerare come identici sistemi di coordinate che si ottengano l’uno dall’altro per moltiplicazione a destra di tutte le coordinate di un sistema per uno stesso raggio. 19. COMPLETAMENTO DELLO SPAZIO PROJETTIVO. — I risultati precedenti ci mettono in grado di definire un campo di punti ideali, o preferibilmente punti projettivi, che comprende come caso particolare la varietà dei punti cui si riferiscono i nostri po- stulati metrici: campo nel quale è assicurata l'intersezione di piani e rette. Chiameremo punto projettivo l'insieme di quattro raggi della stella £ nel piano £, non tutti coincidenti con wg e dove si considerino come identiche quaterne diverse in cui i raggi omologhi differiscano solo per la moltiplicazione a destra per uno stesso fattore. Si potranno rappresentare generalmente questi raggi con x, xs 3 x, e si chiameranno le coordinate omogenee del punto, mentre si chiameranno coordinate non omogenee i tre rapporti 2=”/x, 2'="2|/2, t=”|[x, Se questi raggi sono, secondo 320 BEPPO LEVI 40 il preced. n°, le coordinate di un punto del nostro spazio fondamentale si dirà che questo punto e il nominato punto projettivo coincidono. Si dirà piano projettivo l'insieme dei punti projettivi le cui coordinate non omo- genee soddisfanno ad una equazione della forma (3) e a tutte quelle che dalla mede- sima si ottengono moltiplicando a sinistra tutti i coefficienti per uno stesso fattore (ovvero le cui coordinate omogenee soddisfanno all’equazione (3) resa omogenea mercè la moltiplicazione a destra per x). Si dirà retta projettiva l'insieme di punti projettivi comuni a due piani projet- tivi distinti (e a tutti quelli che si deducono mediante combinazione lineare delle loro equazioni). Due punti projettivi determinano una retta projettiva, tre punti projettivi non appartenenti alla stessa retta projettiva, un piano projettivo; due piani projettivi si tagliano secondo una retta, tre piani projettivi non passanti per la stessa retta hanno comune un punto projettivo. — Punti dello spazio fondamentale allineati o compla- nari nel senso del Cap. I sono pure punti projettivi d’una stessa retta projettiva o d'uno stesso piano projettivo; e reciprocamente, punti dello spazio fondamentale che, in quanto punti projettivi, appartengano ad una stessa retta o piano projettivi sono allineati o complanari. — Se tre piani hanno comune un punto dello spazio fonda- mentale, e, in quanto piani projettivi, hanno comune una retta projettiva, avranno comune una retta di punti dello spazio fondamentale, contenuta in detta retta pro- jettiva (perchè due di quei piani, avendo comune un punto, avranno una retta comune, e questa sarà contenuta in quella retta pro]ettiva e quindi comune ai tre piani). Il nostro spazio projettivo così costruito godrà senz'altro di tutte le note pro- prietà di cui si fa uso nella geometria projettiva, riguardo all’incidenza di punti, rette e piani (Verkniipfungsariome secondo lo Hilbert). $ 2. — La geometria projettiva e la metrica. 20. IL rEoREMA DI Pappo-Pascar. — Noi siamo ora in grado di dimostrare senza difficolta il teorema di Pascal per la coppia di rette: completato infatti lo spazio come nel precedente $, non esiste più alcuna limitazione al trasporto delle proprietà grafiche per projezione, e basterà quindi dimostrare il teorema per una particolar coppia di rette. Si può allora trasportare al caso nostro la dimostrazione insegnata dal sig. Schur nei Math. Ann. 51 (*). Riassumerò molto brevemente quella dimo- strazione dando rilievo alle poche osservazioni complementari che qui occorrono: nel seguito (Cap. II, n. 33) riotterrò lo stesso risultato per tutt'altra via, la quale mi pare anche degna di nota. Occorre premettere che il prodotto di due simmetrie rispetto a piani per una stessa retta non è una simmetria, il prodotto di tre simmetrie rispetto a piani per una retta è una simmetria rispetto a un piano per quella retta medesima. Sia r la retta per cui passano i piani di simmetria 0, 0, 03: siano X, Xs X3 le tre simmetrie; (4) Ueber den Fundamentalsata der projectiven Geometrie. 41 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 321 se Z30, = 01" sarà X,Z}0j= 0)", e ZsX, e Xs stabiliscono la stessa corrispondenza fra i punti dei piani 0,, 0,7"; ma esiste una sola simmetria che scambia due dati punti e tien fissa una retta data aderente ad essi: così, se X,Z, fosse una sim- metria, coinciderebbe con Xs, 03 dovrebbe essere per X, piano di punti fissi e quindi 0, = 0,, Zg= X;; ma allora 32, sarebbe l’identità. Sia poi P un punto di 0, ade- rente ad r e sia Zy3Z»P = P'; Pe P' stanno in uno stesso piano Lr; se questo piano incontra r, sia 0 il punto d’incontro e sia MeP|P'; si ha MOP = MOP' e la congruenza così definita sul piano (n. 3) è un ribaltamento intorno a r(M0), se M è aderente a 0; se .M non è aderente a 0, scambierà P e P' il ribaltamento intorno alla 1 t(MO) in O. Questo ribaltamento del piano può sempre ottenersi mediante una simmetria rispetto al piano determinato da r e dall’asse del ribaltamento. Il prodotto di 232,2, per questa simmetria ha il piano p(rP) come piano di punti fissi: se esso non è l’identità, è una simmetria rispetto a questo piano. Ora lo stesso deve dirsi del prodotto di X; Xy per la medesima simmetria. Se il primo prodotto non fosse l’identità, lo sarebbe il secondo e X3XZ, sarebbe una simmetria, contro le precedenti conclusioni; così sarà una simmetria 23Z3Y,. — La dimostrazione si svolge con maggior semplicità se sul piano Lr per P e P' esiste una retta r, non aderente ad r, il che è certamente il caso se questo piano non incontra r. Infatti ciascuna simmetria, X,, Xs, 23, induce su r} un ribaltamento e quindi il loro prodotto ancora un ribaltamento (7 t. 13 e 10), onde immediatamente si vede che il prodotto delle tre simmetrie è la simmetria rispetto al piano che unisce r con uno dei punti fissi in questo ribaltamento o rispetto al piano per r perpendicolare a questo. Premesse queste osservazioni, siano 4,434; tre punti projettivi di una retta projettiva, Ag A4A4; tre punti d’una retta projettiva giacente con questa in uno stesso piano projettivo. I 6 punti saranno projettati da £ secondo rette (dello spazio fon- damentale). Le due rette sostegni dell’esagono possono sempre, per projezione, imma- ginarsi trasportate su due piani per £, simmetrici rispetto a un piano 0, per es. sui due piani &, n del n° 17. Si seghi allora la figura mediante un piano 10, non pas- sante per £ e che tagli in punti dello spazio fondamentale le 6 rette nominate (XXII); sì otterrà un nuovo esagono 44345, 49044; a cui si potrà ora senza ulteriori modifi- cazioni applicare la dimostrazione del sig. Schur: siano g e g' le due rette sostegno dell’esagono e sia r una retta di o non perpendicolare al loro piano. Siano 919395 le simmetriche di 9g rispetto ai piani p(ra,), p(r43), P(ra5); 9° 9495 le simmetriche di g' rispetto a b(ras), p(ra.), b(ra;). Le precedenti osservazioni circa ai prodotti di sim- metrie mostrano che ciascuna retta con apice è complanare con ciascuna retta senza apice, ma rette con o rette senz’apice non saranno complanari fra loro perchè il loro piano dovrebbe essere }(9g9'). Ciascuna retta r(a,a;) (? dispari, 2 pari) sta sul p(g;91'). Si considerino i seguenti punti projettivi: D; intersezione di t(4,09), t(4405) F, intersezione di 939, *T) TÀ Dy ” » t(a54g), t(4903) Fg “ » S1 94 1) , Ds ”» ” t(454,), t(4344) Fs fe ” I5 Yo a e le rette projettive: d,= ‘(FsFs) = intersezione di p(91"99), b(9495)) da —t(#3F,) = ” » P(95'96), P(4293") ds= (FF) = i » P(4691°), P(93'94) Serix II. Tom. LIV. Pi 22 BEPPO LEVI 42 D,, Ds, Ds stanno, come si vede dal quadro precedente, su d,, ds, d3 rispettivamente e quindi sul piano projettivo b(f/F/:), e perciò sulla retta projettiva intersezione di questo piano con p(g9'). 21. LA GEOMETRIA PROJETTIVA. — Il sig. Schur, nella citata memoria, mostra come, sulla base del teorema di Pascal e di quello di Desargues si possa dimostrare il teorema fondamentale di Staudt e istituire quindi l’intera geometria projettiva. Per altra parte il sig. Hilbert giunge allo stesso risultato, per via analitica, dimo- strando la proprietà commutativa della moltiplicazione, definita al n° 17, mediante il teorema di Pascal. Io non m' intratterrò quindi ulteriormente sopra questo argo- mento. Mi piace invece di rilevare come il concetto di ordine degli elementi di una forma di prima specie non abbia avuto fin qui alcuna parte nella istituzione della nostra geometria e non abbia più alcuna ragione di averne in seguito, in tutto lo sviluppo della geometria projettiva, giacchè è interamente stabilita la rappresenta- zione per coordinate e la geometria analitica. È essenziale notare che, per questa costruzione della geometria projettiva, non è necessario che a espressioni aritmeticamente irreduttibili fra loro nel campo di numeri definito al n° 17 — (così, imitando lo Hilbert, sarà conveniente chiamare d'or innanzi l'insieme degli elementi su cui si opera colle regole aritmetiche del n° 17) — corrispondano raggi diversi dei piani coordinati, pur tenendo conto della pro- prietà commutativa della moltiplicazione ora introdotta; bensì è necessario soltanto che a raggi diversi corrispondano numeri o espressioni fra loro aritmeticamente ir- reduttibili. Per chiarire ci riferiremo alle espressioni — numeri — generate dalle opera- zioni definite al n° 17, che, per comodità, trasporteremo dalla stella al piano projet- tivo. Sono fissati nel piano due assi €, n; il loro punto d'incontro si chiama 0; sui due assi inoltre sono fissati due punti we, wy. Ad ogni punto di ciascuno degli assi si fa corrispondere un elemento aritmetico — numero — e il punto medesimo si rap- presenta collo stesso simbolo di questo numero affetto dall’indice E 0 n secondochè si trova sull’uno o sull'altro asse. Si attribuisce uno stesso numero a punti dei due assi allineati con uno stesso punto TT sulla retta r(wgw,) e fuori degli assi: per la definizione della moltiplicazione occorre inoltre che fra i numeri del nostro campo se ne distingua uno da chiamarsi 1 (e quindi 1g e 1, i punti corrispondenti sugli assi E, n) per cui, qualunque sia il numero a, a.1= a. Se, conservando le comuni convenzioni aritmetiche, si pone 1 +1= 2, 2+1=3,.....a.a=a?,..... sì mostra che, mediante le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione defi- nite al n° 17 (tenendo conto, per quest’ultima, che la proprietà commutativa della moltiplicazione elimina anche la differenza fra divisione a destra e a sinistra), si possono costruire tutti i punti degli assi, corrispondenti agli elementi del campo di razionalità che ha per base il sistema dei numeri corrispondenti a quanti si vogliano punti fissati arbitrariamente sugli assi. Ora sì può supporre che due elementi di questo campo, fra loro aritmeticamente irreduttibili, rappresentino tali successioni di opera- zioni che conducano allo stesso punto finale. La differenza fra questi due elementi rappresenterà allora lo 0. L'insieme di tutti gli elementi rappresentanti lo 0 costi- 43 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 323 tuisce evidentemente un modulo (Zahlenmodul) con coefficienti appartenenti al campo di razionalità sopra nominato: e rappresentano uno stesso punto tutte le espressioni di questo campo di razionalità, congrue fra loro rispetto a quel modulo. Il prodotto di due punti p, qg non sarà mai lo 0 se non è 0 almeno uno di essi, come si vede considerando direttamente l'operazione di moltiplicazione definita al n° 17. In parti- colare, se il campo di razionalità considerato è il campo naturale generato dal- l'elemento 1, gli elementi rappresentanti lo 0 saranno tutti quelli della forma ln dove n è un numero primo e % non è divisibile per n. È evidente come si possa verificare una geometria quale quella qui accennata, Sì consideri, per es., il piano numerico costituito da tutte le coppie (xy) di numeri razionali, e si chiami punto l'insieme di tutte le coppie le cui coordinate omologhe a ; 5 h D . differiscono fra loro per numeri della forma x" dove n è un numero primo fisso e % non è divisibile per n; si chiamino altresì punti gli aggregati di tali coppie in cui una almeno delle coordinate ha il denominatore multiplo di » ed in cui i rapporti fra le coordinate — prese nello stesso ordine — contengono tutti ancora n a denominatore Maglie = h È duro a 2 oppure differiscono fra loro per numeri della forma 7° sopra nominata, Vi si chiami retta: 1° ogni aggregato di questi punti le cui coordinate non hanno al denomina- tore il fattor ” e che fanno prendere ad uno stesso trinomio ax + by +e | a, b, c ra- zionali e con denominatore non divisibile per n; a, b non entrambi della forma mi ( valori della forma zu, più il punto le cui coordinate hanno al denominatore il fat- sla b } tore n ed hanno un rapporto che differisce da — 7 Per un numero della forma PILE 7 — 2° l’aggregato dei punti di cui almeno una coordinata ha per denominatore un multiplo di n. Si otterrà così un piano di punti in cui si verifica la geometria projettiva nel modo sopra detto (1). Se in particolare si fa n = 2, si otterrà un piano projettivo in cui si verifica il teorema di Desargues e quello di Pascal e si può quindi costruire simbolicamente la geometria projettiva e immerger questo piano in uno spazio projettivo a tre dimen- sioni (*); ma nella qual geometria projettiva il quarto armonico dopo tre elementi dati coincide con uno di questi tre (8). L'esempio offerto dal sig. Fano (4) per dimostrare l’indipendenza della proposi- zione: “ il quarto armonico dopo tre elementi dati è distinto da ciascuno di essi , (!) Cfr. n. 8L (*) Cfr. HiLserr, l. C; $ 29. (*) Se quindi il piano projettivo è costruito, come sopra si disse, sul piano numerico costituito dalle coppie di numeri razionali (2 4), la retta non contiene più di tre punti; ma un campo projet- tivo analogo si ottiene ancora se si allarga il detto piano numerico, allargando il campo di razio- nalità cui debbono appartenere x,y; dovranno allora rappresentare lo 0 i multipli di 2, con fattore di multiplicità un elemento qualunque di questo nuovo campo di razionalità. (*) Sui postulati fondamentali della geometria projettiva. * Giornale di Battaglini ,, XXX-1891. 324 BEPPO LEVI 44. dai postulati di appartenenza (Verkniipfung secondo il sig. Hilbert) è una realizza- zione geometrica di questa costruzione analitica. Le presenti considerazioni mostrano appunto il posto che quel postulato occupa nello sviluppo della geometria projettiva; in mancanza di esso molte proposizioni non diverrebbero erronee, ma illusorie. È chiaro che su queste osservazioni generali intorno alla geometria projettiva non sono senza influenza i postulati metrici del Cap. I. Così l’esistenza delle perpen- dicolari, in un piano, ad una sua retta esclude immediatamente il caso dianzi trattato che non esista la quaterna armonica di punti distinti: basti osservare che il teorema di Desargues nella forma del teor. 1 del n° 16 si traduce projettivamente in ciò che le perpendicolari ad una stessa retta concorrono in un punto, che può essere reale o projettivo; la quaterna formata da due punti simmetrici rispetto a una retta r, dal punto d'incontro (reale o projettivo) della loro congiungente colla » medesima e dal punto di concorso delle 1 è certamente di punti distinti, e considerazioni notis- sime mostrano che essa è una quaterna armonica. Poichè tutte le quaterne armoniche sono fra loro projettive, resta provato in generale che non esistono quaterne armo- niche che si contraggano in tre soli punti distinti. All’opposto, seguendo passo passo le considerazioni che si faranno ai n' 31 e 34, è facile vedere come non si cada in contraddizione coi nostri postulati fissando il numero n del precedente discorso a 3 e si possa così ottenere una metrica in cui ogni retta possiede tre soli punti (reali) distinti. 22. Le METRICHE PROJETTIVE. — Istituita la geometria projettiva, si stabilisce, con ragionamenti noti, la dipendenza da essa della geometria metrica definita nel Cap. I (1). Limitandoci ad accennare brevemente del piano, ricorderemo l'osservazione delle linee precedenti, le perpendicolari ad una retta concorrere in un punto che si potrà dire, secondo una locuzione comune, il polo assoluto di quella retta. Il ribalta- mento intorno ad una retta è allora una omologia armonica che ha per asse la retta e per centro il suo polo assoluto. Il polo assoluto di una retta è interamente deter- minato da due perpendicolari a questa. Se allora due rette hanno due perpendicolari comuni — (hanno lo stesso polo assoluto) — tutte le perpendicolari all’una sono per- pendicolari all'altra; e il loro punto di concorso è polo assoluto di tutte queste per- pendicolari comuni, e il loro comune polo è pure polo di ogni retta per questo punto di concorso. Se al contrario due rette hanno una sola perpendicolare comune, a due a due le perpendicolari a questa non hanno altre perpendicolari comuni: i poli asso- luti di tutte queste rette sono distinti fra loro. — Generalmente si dirà perpendi- colare ad una retta anche una retta projettiva che passi pel polo assoluto di quella. Se due rette m, n s'incontrano in un punto O che non sia polo assoluto di tutte le perpendicolari a una di esse, i loro poli assoluti sono distinti, perchè si è mostrato che se due rette hanno lo stesso polo tutte le perpendicolari a ciascuna di esse hanno per polo assoluto il loro punto di concorso. La congiungente i due poli è perpendi- colare comune alle due rette; e nessun’altra perpendicolare comune le due rette pos- (') Cfr. Pasc©, l. c., $$ 19, 20. La differenza essenziale fra le presenti considerazioni e quelle del Pasch sta in ciò che noi non ammettiamo tutte le rette congruenti fra loro (cfr. il Grundsate, II, p. 104 del Pasch e anche p. 147 linee 5-6). 45 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 925 sono avere. — Supponiamo che le due rette m e n siano perpendicolari: il prodotto dei ribaltamenti intorno a m e » (semirotazione intorno ad O, se O è reale — v, 11 t. 1) converte in sè quella retta e ne tien fermi tutti i punti (efr. 11 t. 1), quindi si potrà chiamare ribaltamento intorno ad essa, anche se la retta non è reale. Sia r un’altra retta qualunque per 0; il ribaltamento intorno ad essa converte m ed n in altre due rette per O fra loro perpendicolari e il prodotto dei ribaltamenti intorno alle rette trasformate non potrà differire dalla precedente congruenza (come si vede distinguendo i due casi di O reale — 11 t.3 — e O non reale — la retta dei poli è reale: 11 t. 1 —); quindi il ribaltamento intorno ad r converte in sè la retta o dei poli di m ed », ed il polo di r sta su quella retta: sia R. La congiun- gente È con O è perpendicolare comune a r e 0; quindi il suo polo è il punto d’intersezione (reale o projettivo) di r e o: sia 7'= r(R0) e P' il suo polo, interse- zione di r e o. Il punto P' non potrà esser polo di altre Lr: se infatti r, fosse un’altra perpendicolare a » col medesimo polo ' si potrebbe ragionare su r e r, come or ora su m ed n e concludere che o è anche perpendicolare a tutte le rette per il punto O, d’incontro di r e r,; ma ' sarebbe allora polo di tutte le perpen- dicolari ad r, e così o sarebbe perpendicolare ad ogni retta del piano (incontrante r in un punto qualunque — reale o projettivo — fuori delia o medesima). Ma allora i poli di tutte le perpendicolari a m# (o ad n) starebbero su o e coinciderebbero col suo punto d’incontro con »m (od n) medesima, contro l'ipotesi. Adunque raccogliendo: “Se sopra una retta un punto è polo assoluto di due perpendicolari a questa retta, esso è polo assoluto di ogni perpendicolare alla retta medesima, e tutte le per- pendicolari ad una medesima retta — qualunque — del piano hanno lo stesso polo. “I punti del piano che sono poli assoluti di tutte le rette per uno stesso punto appartengono ad una stessa retta, reale o projettiva, perpendicolare comune a tutte quelle rette. Questa retta è unica e mai reale nel caso sopra citato; in ogni altro caso varia univocamente col punto considerato e, quand’anche essa sia projettiva, questo punto deve considerarsi come il suo polo assoluto ,. Se r è una retta qualunque del piano, r' una sua perpendicolare, che la incontri in O, R' il polo assoluto di questa (su r), 0 e A’ possono chiamarsi punti associati (1). “ Corrispondentemente ai due casi distinti nel precedente enunciato, può supporsi che uno stesso punto sia associato a tutti i punti della retta ovvero ad un unico: se avviene il primo caso su una retta del piano, lo stesso avviene sopra ogni altra, fatta eccezione per la perpendicolare comune a tutte le rette del piano: se avviene il secondo caso su una retta del piano non perpendicolare ad ogni altra, o su due diverse rette projettive (vale a dire sopra rette di cui una non possa essere la sud- detta retta eccezionale) si verificherà pure il secondo caso sopra ogni altra retta: il gruppo costituito da due punti, dal loro punto medio e dal punto associato a questo è armonico ,. x » « » ta Si ha così la distinzione fra le metriche a polarità assoluta degenere (parabo- liche) e a polarità assoluta non degenere. Esse potranno poi essere la metrica di Euclide, di Lobacefski o di Riemann, ovvero le metriche poste recentemente in evi- (!) Verkniùpfte secondo il Pasch. 326 BEPPO LEVI 46 denza dal sig. Dehn, ovvero altre di cui sarà discorso tra poco, ed altre ancora, a seconda dei nuovi postulati che si vorranno aggiungere. Per ciascuna di esse occorrerà certamente ritornare sui singoli postulati per veri- ficarne l’ applicabilità, ma le teorie note delle nominate geometrie permettono di lasciare al lettore questo facile còmpito. Ci limiteremo ad un'osservazione che colpisce in particolare la geometria Riemanniana. Quando si costruiscono le metriche projettive nel modo più uniforme, assegnando fin da principio una conica o quadrica assolute, e intendendo che le rette metriche debbono essere contenute nelle rette projettive dello spazio, posto così a base della definizione medesima della metrica, ne risulta una definizione della congruenza come trasformazione projettiva che muta in sè l’assoluto, e non si ricerca particolarmente la dipendenza di questa trasformazione da singole congruenze di coppie di punti. Di qui una lieve divergenza dalla nozione di congruenza fra sistemi introdotta al n. 3, la quale si dimostra bensì priva di importanza per le geometrie iperbolica e parabolica, ma non ugualmente per la geometria ellittica. Due cerchi del piano ellittico possono invero avere 4 punti comuni: se a, d sono i centri dei due cerchi, c c'e''e'’’ i 4 punti comuni ad essi, questi si distinguono in due coppie che chiameremo ce’, c''c""", per modo che le terne abc, ade’ si convertono l’una nell'altra per una congruenza, nel nuovo significato (la simmetria rispetto alla retta ab), e così pure le terne ade", ade"; ma non così una delle prime terne in una delle seconde, quantunque sussistano le congruenze, per es., ab = ab, ac= ac", be = be". A queste osservazioni ci rannoderemo tosto col n. 29, ove uno studio più pro- fondo del post. IX, porterà ad escludere anche queste ultime contraddizioni colla geometria ellittica ed altre più generali. 47 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 327 CAPITOLO III. SAGGIO SULL'INDIPENDENZA E SULLA CAPACITÀ DEI POSTULATI. $ 1. — Sull’indipendenza dei postulati I-XXI. 23. — In questo $ dimostrerò mediante esempî l'indipendenza ordinata della massima parte dei postulati ammessi nel Cap. I. Condizione logica primordiale a cui deve soddisfare un qualsiasi sistema di postulati è che con esso non si enuncino pro- prietà di enti di cui non si sia dichiarata l’esistenza: i postulati che enunciano questa esistenza sono allora, per lor natura, indipendenti dai rimanenti. e tale indipendenza non potrà esser maggiormente chiarita da qualsiasi esempio. Sono così senz'altro messi fuori di discussione i postulati: I -- esistenziale della classe dei punti —, II — esistenziale di una relazione fra coppie di punti —, XVI — che enuncia l’esi- stenza di un punto fuori d’una retta —, XX — che enuncia l’esistenza di un punto fuori d'un piano —. 24. I POSTULATI GENERALI DELLA coNnGRUENZA (II-IX). — Finchè si afferma (II) che la congruenza è una relazione fra le coppie di punti, non si distingue tal rela- zione da alcun’altra tra coppie qualsiansi di elementi, onde certamente sarà ordina- tamente indipendente dagli altri il primo postulato che ne assegni una qualsiasi pro- prietà, qui il post. III. A mostrare l'indipendenza ordinata dei rimanenti postulati della congruenza, valgano i seguenti esempì: Post. IV. —— Si interpreti “ punto , in “ numero intero e positivo , e si dica ab=cd , quando “ af = e ,; sarà bensì c° = a° (III), ma sarà generalmente b°==d". Post. V. — Si interpreti “ punto , in “ numero intero e positivo , e si dica “ab=ced, quando a Xb=e X d; saranno soddisfatti i postulati III, IV, non il V. Post. VI. — Si interpreti “ punto , in “ punto euclideo , e si dica “ ab = cd , quando “ per le coppie ad, cd passano due rette parallele ,: saranno soddisfatti i post. III-V, non il VI. Post. VII. — Si interpreti “ punto , in “ punto euclideo , e si dica “ ab = cd , quando “ qualunque retta contenente una delle coppie è perpendicolare a qualche “ retta contenente l’altra ,; saranno soddisfatti i primi 6 postulati, non il VII. Post. VIII. — Non sarà soddisfatto, ma saranno verificati tutti i precedenti quando si interpreti “ punto , in “ numero con segno , e la relazione “ ab = cd , nella relazione “a —bd=eT—d,. “K Post. IX. — L'indipendenza di questo postulato dai precedenti dipende essen- zialmente da ciò, che in esso per la prima volta si considerano sistemi di più di due punti. Si limiti il campo di punti da chiamarsi spazio, interpretando la congruenza fra coppie, per es., nell’ordinario senso euclideo, e in infiniti modi si potrà negare tal postulato, rimanendo verificati i precedenti: nel modo più semplice, si chiami spazio l’aggregato dei punti interni a un contorno chiuso qualsiasi. — Va notato 328 BEPPO LEVI ù 48 che i postulati VIII e IX si combinano per esprimere la proprietà transitiva della congruenza. 25. I POSTULATI DEL PUNTO MEDIO D'UNA coPPIA. — Post. X. — Si interpreti “ punto , in “ vertice di un dato rettangolo abed ,, “ congruenza fra due coppie , nell’ordinaria “ congruenza euclidea ,; non sarà verificato il post. X, bensì tutti i precedenti. Post. XI. — Sia “ punto , l'elemento d’una classe qualsiasi, che contenga al- meno 4 elementi; si chiamino fra loro congruenti tutte le coppie di punti distinti; e fra loro congruenti, ma non alle prime, tutte le coppie di punti identici; sarà veri- ficato ciascuno dei post. I-X, non l'XI°. 26. I POSTULATI DELLA CATENA. — Post. XII. — In uno spazio euclideo sia fis- sata una giacitura t, e si dicano congruenti le coppie che determinano segmenti uguali e ugualmente inclinati a detta giacitura. È immediato che i postulati della congruenza di coppie (III-VIII) sono verificati. Se ab=a'b' la coppia ab si trasforma nella coppia.a'd' mediante una traslazione, una rotazione intorno a una retta Lm e, può darsi, una simmetria rispetto a un punto. Per effetto di queste trasformazioni, ogni sistema di punti cd... si trasforma in un sistema di punti c'd’... tale che aded ...= a'd'e'd'... Per stabilire però la completa validità del post. IX occorre analizzare se, con queste sole trasformazioni, un sistema di punti si muti in ogni sistema congruente ad esso. Ciò equivale a chiedere se esi- stano sistemi congruenti aventi punti omologhi comuni, e come si passi dall’ uno all’altro. Se abc sono tre punti qualunque, esiste in generale uno e un solo punto e' tale che abe = abe': i due triangoli sono simmetrici rispetto al piano passante per ad e Lr. Eccezioni si hanno: 1° quando adLt; i punti c' tali che ade = ade’ sono tutti i punti di una circonferenza di asse ab. — 2° quando il triangolo ade sta in un piano Lr, e ab non è parallelo a m, e quando abc sono allineati; il punto c viene a mancare. 3° quando il triangolo ade sta in un piano Lt ed ad|t; esiste ed è unico il punto c', ma c e c' sono simmetrici rispetto ad «ab; — 4° quando ab||t e il piano abe non è LT nè ||t; i punti e’ sono 3, cioè il simmetrico di c rispetto al piano 1 m per ab e i simmetrici di c e di questo punto rispetto alla retta ad (o rispetto al piano |m per ab) [se il piano abc fosse ||m si rientrerebbe nel caso generale]. Si vede così che, quando esiste un punto c tale che ade = ade’, la prima figura sì porta nella seconda mediante una simmetria rispetto a un piano 1, o rispetto a un piano ||t, o a una retta ||m (prodotto questa delle due prime simmetrie); e tutte queste trasformazioni mutano ancora ogni sistema di punti de... in un sistema d'e'... tale che, secondo la nostra definizione, abede ...= abde'd'e'.... Onde si ottiene che il post. IX è verificato per ogni ampliamento di un sistema di tre punti. Se abed sono quattro punti, non esiste, in generale, un punto d' tale che abed= abded', perchè d e d' dovrebbero essere simmetrici rispetto ai piani 1 per ab, ac, de; un punto d' esisterà se il piano ade è LT e d non sta in esso, e sarà il simmetrico di d rispetto a questo piano; esisteranno inoltre punti d' se abc sono allineati, negli stessi casi e nello stesso modo che esistono punti d’ tali che abd' = abd. Onde ancora si 49 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 329 verifica il post. IX pei sistemi che derivano da un ampliamento di una quaterna di punti. E ripetendo convenientemente lo stesso ragionamento, si conclude senza dif- ficoltà per induzione per ogni sistema di punti. Il post. X è verificato dal punto medio della coppia nel senso euclideo, e dai punti della perpendicolare in questo punto ad a5 nel piano parallelo alla giacitura tr; inoltre se ad Lr, ovvero abdlm verificheranno pure il post. X tutti i punti del piano perpendicolare al segmento «5 nel suo punto medio. Però non da tutti questi punti sarà soddisfatto il post. XI, perchè, se c è uno di questi punti e il piano abe non è Lr, si chiami d il simmetrico di a rispetto al piano im per de, sarà abe = dbe=bdde : quindi i punti che, rispetto ad una data coppia ab si possono assumere come punti c per soddisfare ai post. X e XI, sono: il punto medio del segmento 40 se questo è obliquo a m, i punti della Lt per questo punto medio se ab|m, finalmente tutti i punti del piano La nel suo punto medio se abit. La catena di una coppia di punti la cui congiungente euclidea sia Lt è dunque tutto lo spazio, ma in essa non è verificato il post. XII, perchè, se 5 è un punto della retta parallela alla giacitura m e perpendicolare ad un segmento ac obliquo a m nel suo punto medio, è ab = de, senza che d sia punto medio fra « e c. Post. XIII. — Se però si costruisce la metrica analoga alla precedente sul piano euclideo, anzichè nello spazio (assumendo quindi come congruenti le coppie che determinano segmenti uguali e ugualmente inclinati ad una direzione fissa p) si rico- noscerà tosto che anche il post. XII risulta soddisfatto. Non esiste, infatti, allora alcun punto m'==wm tale che «bm = abm', a meno che il segmento aB non sia per- pendicolare o parallelo a p. Se ora ab = de e se abi o |p, tale sarà pure de e i tre punti abc saranno allineati onde cea/,; se poi ab = de ed ab è obliquo a p, non esiste, come si osservò, un punto e’ tale che acò = ae'd, onde ancora cea/,. Ma, assegnata la coppia ab, saranno simmetrici di « rispetto a è i tre vertici residui del rettangolo avente un vertice in a, il centro in è e due lati paralleli (e due perpendicolari) a p. Non sarà dunque verificato il post. XIII 27. IL posrurato XVII peL PraNo. — Si ricordi che due figure uguali di un piano euclideo si sovrappongono quando si portano l’uno sull’altro due loro triangoli omologhi ade, a'd'e’. E questa sovrapposizione può ottenersi mediante la traslazione a'a, alla quale, se 5" ne è portato nel punto d''==8, si farà seguire una simmetria rispetto alla congiungente a col punto medio di 50'' se a bd" non sono allineati, ovvero una sim- metria rispetto ad a se abb” sono allineati. Se, dopo ciò, la posizione c''’ di e’ non coincide con e, basterà operare ancora la simmetria rispetto alla ad. Ciò posto, si immagini il piano riferito ad un sistema di coordinate cartesiane di cui siano X ed Y gli assi, e vi si considerino tutti i punti le cui coordinate sono numeri razionali i cui denominatori hanno per fattori primi solo somme di due qua- drati (fra gli altri fattori possano quindi contenere tutte le potenze di 2= 1° 4 12). Fra questi punti esiste evidentemente il punto medio di ogni coppia di punti del campo, e il simmetrico di un punto qualunque rispetto a un altro | perchè se (af), (a,B,) sono ata, B+B; CRE al secondo, (2a, — a, 28, — 8); a meno di fattori 2 i denominatori di queste coordi- Serie II. Tom. LIV. a due punti, il loro punto medio è ( e il simmetrico del piano rispetto 330 BEPPO LEVI 50 nate non posseggono quindi altri fattori che quelli dei denominatori di a, 8, a, 8. |. Inoltre il simmetrico del punto (£n) rispetto alla retta dei punti (08), (0183) è 5(B—B,)[n(a—a,) — E8—B,) — (abi — a1B)] (a—a;) [n(a- a,) — E(B—B,) — (aB—B)] ELA i - i SP ni (a — 0)? + (B — B,)? AL - (a — a) + (8 — B,)? à (B—8,)[n(a—a,) —EB—B,) — (aB—B)] (a—a,)"+ (BB)? zione ai minimi termini, ha per fattori i denominatori di B—8,, di n(a—a;) — £(8— 8) — (08;:—a;8) e una somma di quadrati dei numeratori di a—a, e di B — B, previamente ridotti allo stesso denominatore. Ciascuno dei primi fattori porterà nel Il denominatore del termine , prima della ridu- denominatore soli fattori primi somme di due quadrati. Quanto all’ ultimo occorre ricordare che una somma di due quadrati ha per soli fattori primi somme di due quadrati, oltre i fattori che fossero comuni ai due addendi. Ma si supponga che sia m il fattor comune ai numeratori di a —a, e di 8—8, (solo fattore che si debba ritrovare comune ai due numeratori dopo riduzione delle due espressioni al loro minimo comun denominatore) e sia w' il prodotto degli eventuali suoi fattori primi non somme di due quadrati. Ciascun denominatore di a, 8, a,, B, ... sarà primo con m'. e DI , \ K Si ponga aa=m -, B_B=m' 3: risulta ag —ag=mn |58—4 a) e ciascuno dei numeratori di a—a;, f—8;, 08, — a;8 conterrà il fattor m'. Così la riduzione ai minimi termini della frazione totale considerata condurrà a ridurre il fattore m'2 proveniente nel denominatore dall'espressione (a — a")? 4- (3 — B')?, col fat- tore medesimo m'? che nel numeratore di (8 —B,)[n(a—a;) —#(B—8,) — (a8,—a,8)] necessariamente si presenta. (a—a1) [n(a—a,)—E(—B,))—(aB1—08)] n (a— ay)? + (B—B,)° ; onde si vede che il campo di punti considerato contiene il simmetrico di ogni suo Le stesse osservaz. si ripetono per l’altra frazione punto rispetto ad ogni sua retta: la precedente osservazione relativa all'esistenza dei punti medî e simmetrici rispetto a due punti dati, dimostra ch’esso contiene il sim- metrico di un suo punto qualunque rispetto a ogni suo punto; e poichè la trasla- zione si effettua analiticamente per semplice somma e differenza di coordinate, si rileverà in modo analogo che ogni traslazione che porti un punto del campo in un altro, trasforma tutti i punti del campo in punti del campo medesimo: “ Il campo “ considerato è chiuso rispetto all’insieme delle traslazioni e delle simmetrie che tras- “ formano un suo punto in un altro suo punto e, riguardo alle simmetrie, che hanno “ per asse o per centro una retta o un punto del campo ,. Si chiami spazio della nostra geometria il campo ora definito, e vi si definisca la congruenza al modo euclideo: le precedenti osservazioni circa le trasformazioni di uguaglianza nel piano euclideo mostrano che in esso saranno verificati tutti i postu- lati ammessi fino al XVI incluso. Ora, secondo la definizione adottata pel piano (n° 8), il punto (1, 1) appartiene al piano p((00) (07) (70)), perchè sta sulla projettante dal punto (00) il punto (PR della r((07) (70)); ma non appartiene a p| (00) (0 5) (70) Il perchè le rette (euclidee) 51 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA J9l ur ‘ che projettano il punto (1,1) dai punti (0, 0), (0, 3 i) (7,0) segano rispettivamente le rette euclidee che contengono :((0 3(10)), r((00)(70)), cl (00)(0 2)) nei punti (7 i 20) 3 (3) 0) ° (0, n) che non appartengono al nostro campo. 28. IL posruLaro XXI peLLo spazio. — L'indipendenza di questo postulato dai precedenti è evidente quando solo si osservi che esso ha la particolar funzione di limitare a 3 il numero delle dimensioni dello spazio. — Riguardo a questo postulato non è forse fuor di luogo l’osservare un certo qual suo carattere diverso dai rima- nenti: essi riguardano generalmente soltanto proprietà della congruenza, questo afferma l’esistenza di una determinata intersezione: termine di passaggio fra l’uno e l’altro genere di postulati è il post. XVI (e il XXII). Sarebbe possibile ridurre il conte- nuto di questo postulato alla forma medesima dei post. XVI, XVII, XVIII, sosti- tuendo ad esso i tre seguenti: Post. XXI. — Se abed sono quattro punti qualunque non complanari, ogni altro punto appartiene ad una almeno delle rette che da ciascuno di questi punti projettano i punti del piano dei rimanenti tre. Post. XXI" e XXI". — Esiste una ed una sola congruenza che tien fissi tutti i punti di un piano qualunque n e sposta qualche punto dello spazio. Dal post. XXI' si deduce infatti — valendosi all’uopo della proposizione analoga già dimostrata pel piano — che la congruenza postulata in XXI" non può lasciar fissi punti aderenti a m. D'altronde XXI"' dimostra che la congruenza medesima è involutoria, e permette quindi di definire rette e piani perpendicolari a m e di dimo- strare, per la simmetria relativa a t, le proprietà analoghe a quelle stabilite nel n° 10 per la simmetria piana. Se due piani 0 e t hanno a comune un punto P si scelga un punto M qualunque aderente a , e da esso si conducano le perpendicolari a O e T: la perpendicolare da P al loro piano è comune ai due piani dati. $ 2. — Riduzione del postulato IX della congruenza fra sistemi. Conseguenze. 29. — Ripuzione DeL PostuLato IX. — Il postulato IX. (il quale non differisce dal Grundsatz VIII del Pasch) ha un ufficio essenziale che fu rilevato già nell’introdu- zione. D'altra parte fu osservato alla fine del n° 22 che, lasciando a questo postulato una illimitata validità, ne risultano ancora contraddizioni, sian pure lievi, alla metrica Riemanniana. Ragioni queste perchè s'imponga la domanda se non sia possibile di diminuirne la capacità, ricorrendo anche al sussidio dei postulati successivi. Osserveremo perciò che due uffici notevolmente distinti compie il post. IX nel sistema delle nostre deduzioni. Per una parte esso conduce nel n. 3 alla definizione della trasformazione per congruenza, e ricompare nei ragionamenti seguenti ogni volta che si afferma l’esistenza di una tal trasformazione. Per altra parte, applicato nel suo più esteso significato, esso permette di dedurre l’esistenza della trasforma- zione per congruenza da un numero limitato di congruenze fra coppie di punti. 332 BEPPO LEVI 52 La prima applicazione è chiaramente inessenziale: basterà definire fino da prin- cipio coneRUENZA una trasformazione univoca di un sistema di punti in un altro sistema di punti, tale che coppie di punti corrispondenti siano congruenti e che, esteso il primo sistema coll’aggiunzione di un punto, si possa analogamente estendere il secondo per modo che esista una trasformazione fra î sistemi estesi, che goda delle medesime proprietà, ed in cui i primi due sistemi si corrispondano come nella trasformazione primitiva. E si dovrà soltanto mantener sospesa ogni affermazione circa l’esistenza di tali trasfor- mazioni. Nel n° 4 si dovrà ancora intendere che i segni = nei post. X e XI abbiano il significato definito nel n° 3, riserbando ai post. XI e IX' (che tosto si enuncerà) di dar loro forza di affermazione d’una trasformazione. Invece tale affermazione dovrà intendersi espressa col post. XVIII. I luoghi fondamentali in cui si applica il postulato nel 2° modo sono: 1° Ogni qual volta — segnatamente nel $ 2 del Cap. I — dalla congruenza di due coppie si deduce l’esistenza di una trasformazione per congruenza che porta l’una sull’altra. Casi tipici sono il t. 3 del n° 4, nella sua forma finale, e il t. 3 del n° 5. 2° Il teor. 11 del n° 10 e il teor. 10 del n° 11 ove ricorre per dimostrare l’esi- stenza di perpendicolari ad una retta che l’incontrino; 3° Il n° 20 ove si applica a dimostrare che il prodotto di tre simmetrie rispetto a piani per una retta è una simmetria. Come sia possibile svincolarsi da quest’ultima dimostrazione sarà mostrato nel n° 33; così l’esistenza della perpendicolare di cui al n° 11 t. 10 fu, sotto altre ipo- tesi, dimostrata come conseguenza dei postulati dello spazio col teor. 9 del n° 12. Anzi questo teorema ci dice di più che in ogni punto di una retta, in ogni piano per essa, esiste la perpendicolare. Allora il teor. 10 del n° 11 risulta anch’esso im- mediato, poichè: se u è una congruenza che converte in sè un piano m scambiando i due suoi punti coerenti a, a’, sia mea/a' e sia r la Lr(aa') in m; il prodotto up, tiene fissi a e a' e quindi tutti i punti della r(aa'); adunque, o up, è l'identità e p,= b,, OVVero up, = Paa' © U= Par, cioè u è la semirotazione del piano intorno ad m. Così, mediante i postulati dello spazio, si può ridurre il campo d’applicazione del post. IX al 1° caso osservato, cioè a quanto è espresso dal Post. IX'. — Se due coppie di punti sono congruenti, esiste una tras- formazione per congruenza che porta la prima coppia nella seconda. 30. SULLE METRICHE PROJETTIVE. — Si elimina così ogni limitazione al ricono- scimento della geometria ellittica nel campo definito dai nostri postulati (cfr. le osser- vazioni finali del n° 22), e, per quanto riguarda il postulato IX, al riconoscimento in esso di una qualunque metrica projettiva rispetto a una quadrica o a una conica assoluta. È essenziale pel seguito aggiungere alcune considerazioni al riguardo, e per semplicità limiteremo il nostro esame alla metrica sopra un piano. Si chiami spazio l’insieme dei punti di un piano esterni ad una data conica non degenere di punti reali, e si consideri in esso la metrica projettiva rispetto a quella conica come assoluto. La metrica che così resta definita sulle rette del piano (inten- 53 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 398 dendosi qui per “ retta , la “ retta del piano projettivo , posto a base della defini- zione della metrica) è iperbolica sulle rette che tagliano la conica, ellittica su quelle che non la tagliano. Ma completamente eccezionali sono le tangenti alla conica. Su di queste tutti i segmenti sono congrui, esiste cioè una omografia per cui la conica è invariante ed in cui due punti assegnati su una tangente si trasformano in altri due punti assegnati su un’altra tangente. Risultano di qui rilevantissime eccezioni alle nozioni di punti medî e di simmetrici: di più rispetto alle tangenti mancano le simmetrie: ogni trasformazione projettiva che trasformi la conica in sè ed abbia una tangente come retta di punti fissi è l'identità. I postulati della nostra metrica escludono così la metrica projettiva all’esterno di una conica (o all’esterno d'una quadrica ellittica, o da una parte di una quadrica rigata) se, con conveniente limitazione del campo, non si escludono le tangenti alla conica (o quadrica) medesima. Di ciò ci occuperemo nel $ 4. $ 3. — Il teorema di Desargues e il teorema di Pappo-Pascal. Nel presente $ porteremo principalmente la nostra attenzione sopra i legami fra i postulati del piano e le sue proprietà d’immersione in uno spazio superiore. Risulterà, da quanto andremo dicendo, la indipendenza ordinata dei postulati metrici del piano in unione al teorema di Desargues, del teorema di Pappo-Pascal e dei postulati metrici dello spazio. Nel n° 31 si mostrerà cioè che è possibile un piano in cui siano verificati i postulati I-XIX, ed in cui abbiano interpretazione i teoremi di Desargues e di Pascal, senza che detto piano possa immaginarsi immerso in uno spazio in cui si verifichino i postulati metrici; e dal n° 32 risulterà poi che, anche ammesso il teorema di Desargues, il teorema di Pappo-Pascal non può dimostrarsi col solo aiuto dei postulati I-XIX. Le condizioni per la dimostrabilità di questo teorema saranno studiate nel n° 33. 31. — UN PIANO METRICO DI NOVE PUNTI E UN PIANO PROJETTIVO DI TREDICI. — Un esempio notevole di un piano soddisfacente ai post. I-XIX è fornito dalla configu- razione dei 9 flessi di una cubica piana e delle loro 12 rette. Siano @,090301b903€10903 questi nove punti e si ordinino sulle 12 rette: Ad,4943 ab903 a dg3c9 bbgbg bd903 b,agzc9 C1C9€3 CdA 3 Cd349 axbie, a9bg09 A3b303 Si pongano, per definizione, le congruenze (') (4) Si è disposto, con questa definizione, che siano congrue coppie di una stessa terna e fra loro terne diverse per modo che ogni punto appartenga a due e due sole terne congruenti e che le coppie di vertici d'un triangolo non appartengano a tre terne congruenti. Perciò, fissata arbitra- riamente una terna «4,003, si è stabilito che siano congrue ad essa tre terne pei suoi tre punti e non aventi punti comuni: 40303, @903c, 430103; e congrue ancora le terne che, con axa343 hanno la stessa proprietà rispetto ad una qualunque di queste tre; quindi le terne dibada, 10203. 394 BEPPO LEVI 54 0309 = 4943 = 434, = TRA = b303 = C(3901 = b143 = 0g€l3 = cIbi = by bg = babz = b3b; 0 = = agbz = d3e, = C1l9 = C903 = CgC1. adi = DIGA = (0, = d9b9 = bgcs = Gg = d3b3 = db3c3 = C903 = a dz = bscs = C(94, = b,c3 = = (C509 = 50,—C1Ag=\(@303— 02010 Coppie dei due gruppi differenti siano incongrue fra loro. In questa metrica il punto medio di una coppia di punti coincide col simmetrico di uno qualunque di essi rispetto all’altro, ed i tre punti completano una catena: la retta della catena coincide colla catena medesima. Le rette si distinguono in due sistemi : a14943, dbibobz, cICSCZ, d1bo03, bi0203, CLADd3 abc, Agboc9, dgbsez, dba, biczag, CIAZD9 ; rette d'un medesimo sistema sono congruenti fra loro, rette ‘di sistemi differenti in- congrue. Per ogni punto passano due rette dell’un sistema e due dell'altro. In ogni triangolo due lati appartengono ad un medesimo sistema, il terzo appar- tiene all’altro sistema. — Ogni ribaltamento intorno ad una retta ribalta in sè la retta congruente ad essa per ciascuno dei suoi punti scambiandone i due punti re- sidui; le altre due rette per lo stesso punto projettano ciascuna un punto di un’altra di queste rette ribaltate e quindi sono scambiate dal ribaltamento. Così nel ribal- tamento intorno a t(4,5,6;) si scambiano i punti delle coppie d9C3 4 b943, Cab3 e si trasformano in se stesse le rette dg03b; bsa30, C96341 mentre si scambiano a:db3cz © A,0309 , 0,056; e biazsca , C10263 © C10343 e si scambiano pure dgb909 e C3030g le quali però non incontrano l’asse del ribaltamento. In questo piano è impossibile la configurazione dei triangoli omologici, la quale contiene 10 punti, ma diviene possibile previo un conveniente completamento del piano ; sì ottiene tale completamento considerando come concorrenti in un punto ideale le rette di ciascuna delle terne aibier , @dobaer , @dgzbs03 Gi03ca "0, (01c3080 ° (010305 a1A943 , bibabg , €10203 aber , bicsgazg , CcIAZd3 Chiameremo quei quattro punti rispettivamente d,, d, dy', d'; si dirà che essi stanno in una retta ideale (retta all’infinito): le rette della prima terna sono perpen- dicolari alle rette della seconda, quelle della terza alle rette della quarta. 55 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 335 Una configurazione quale quella definita non si può notoriamente ottenere sopra all’ordinario piano projettivo reale; essa non può nemmeno aversi nel piano imma- ginario, perchè le condizioni di collinearità ora stabilite, insieme con quelle prece- denti relative alla configurazione semplice dei 9 flessi d'una cubica obbligherebbero, per es., ciascuno dei punti 8,0,93 ad essere il coniugato armonico di dy' rispetto agli altri due. Ma essa può realizzarsi in un piano projettivo del tipo definito al n° 21, ove sì ponga n= 3. È ciò che mostra sufficientemente l’unita figura. 3 ca 14205615 pi: az=2, 2; bi=2, 0; 2, 3; = 1;2, 1; a=ò, Ti; oo 10. 4 0}, ol gi- A ZA dali; CATE 1 4 2 2, Ato STR SI Mo oe Si riconosce così che il nostro piano può ancora immergersi in un conveniente spazio projettivo in cui siano verificati i postulati XX, XXI — lo spazio costruito colle coordinate projettive al n° 21, per n=3 —, ma non si può in questo spazio separare un gruppo di punti che definiscano uno spazio metrico nel quale il nostro piano sia con- tenuto. In ogni piano di questo spazio e per ogni suo punto passano infatti 4 sole rette le quali (quando piano e punto appartenessero allo spazio metrico) dovrebbero distribuirsi in due coppie di rette perpendicolari (*). Il ribaltamento intorno ad una qualunque retta di una coppia dovrebbe scambiare quelle dell’altra coppia — ciò che realmente avviene sul nostro piano di 9 punti —; quindi le rette perpendicolari sa- rebbero congrue fra loro. Se allora esistesse lo spazio metrico contenente il nostro piano, la perpendicolare a questo in un suo punto, per es. a,, sarebbe congruente a (‘) In un piano soddisfacente ai postulati I—XIX il quale non sia immerso in uno spazio mag- giore, oppure sia immerso in uno in cui siano soddisfatti i postulati XX, XXI, passano per ogni suo punto almeno quattro rette. Infatti la definizione di piano e il post. XVII hanno per conse- guenza che per ogni punto del piano passano almeno tre rette. Ma a ciascuna di queste rette esiste in quel punto e in quel piano la perpendicolare (n. 11 osservazioni finali e n. 12 t. 9); la relazione di perpendicolarità essendo reciproca (n. 10 t. 6), se le rette per un punto nel piano sono in numero finito, tal numero è pari: dunque se => 3, almeno = 4. 336 BEPPO LEVI 56 tutte le rette del nostro piano per quel punto, e queste sarebbero tutte congruenti fra loro, mentre è condizione essenziale pel verificarsi dei postulati X, XI che ciò non sia (e non è nella nostra definizione della congruenza). Si è mostrata così la possibilità di un piano metrico in cui siano soddisfatti i postulati I-XIX e (previo completamento di esso piano mediante convenienti punti ideali) i teoremi di Desargues e di Pascal, senza che esso sia immergibile in uno spazio in cui siano verificati i postulati metrici. Si rilevi come dai precedenti sviluppi risulti pure un saggio delle nuove pro- prietà grafiche che possono verificarsi in spazi projettivi quali furono definiti al n° 21. Il piano metrico studiato provvede pure un esempio del caso d’eccezione riscon- trato al lemma 6, del n° 9: Pel punto a; passano le rette di tre punti 1(@,03c3) t(4b3c3) ed inoltre le altre due r(40;c;) 1(410943): i due punti della prima di queste diversi da a, stanno sulla coppia di rette r(0,03) t(c»c3), i due punti della seconda diversi da a; sulla coppia x(03c»), t(0363). Si noti infine come da questo esempio risulti la compatibilità dei post. I-XIX per semplice enumerazione dei casi in cui essi possono applicarsi (essendo finito il numero degli enti cui essi sì riferiscono), indipendentemente da ogni considerazione aritmetica (!). 32. (GEOMETRIA PIANA PARABOLICA NON-PASCALIANA. — Si consideri un sistema di numeri Desarguiani, non-Pascaliani, quale fu costruito dal sig. Hilbert (?) e che, facendosi qui astrazione dalle proprietà di ordinamento, possiamo enunciare breve- mente così: Si chiamino numeri tutte le funzioni costruite mediante due variabili #, s e gli elementi di un campo di razionalità dato £, colle operazioni aritmetiche fondamen- tali (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione a destra e a sinistra) e colla convenzione che valga la relazione ts= — st (in luogo di ts= st), mentre goda della proprietà commutativa il prodotto di una qualunque delle variabili s, # per ogni elemento del campo £, e la moltiplicazione entro il campo £ medesimo. Si chiami £ il campo numerico così costruito; in esso non vale, per definizione, la proprietà commutativa della moltiplicazione. — Se un campo numerico analogo si costruisce, dopo aver ampliato il campo È (naturalmente mediante l’aggiunzione di elementi che non siano t od s), il nuovo campo £' conterrà evidentemente 2. Noi potremo assumere come campo di razionalità R il campo di razionalità na- turale, come campo ampliato ' quello che ha per base (1, Va) dove a è un numero non quadrato. Ogni numero di £' sarà allora la somma di un numero di £ e del prodotto di un numero di 2 per Va. La proprietà distributiva della moltiplicazione, la sua commutatività rispetto ai numeri di £' e la commutabilità dei termini d’una somma rendono la cosa evidente finchè alla formazione del numero considerato non intervengano che le tre prime operazioni. Quando intervenga anche la divisione, si h x . . . 1 x È) ni - osservi che basterà considerare i numeri della forma = dove n è un’espressione in- ” (4) Si confrontino le considerazioni del sig. Hilbert nei Mathematische Probleme, “ Gòtt. Nachr. ,, 1900 e © Comptes rendus du 2"® congrès intern. des math. ,, 1900. (£) L.c., 833. 57 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA BRIT tera (1): la quale potrà quindi contenere Ya solo quando è della forma Vaa 0 a + Vab, dove a e d sono numeri di 2. Ora si ha e Meri 1 esp 1_-Vaalb (g Vaa aa’ a+ Vab a 1-4 aalb a 1-—a(alb) Nell’una e nell’altra espressione il denominatore è liberato dal radicale Va. Mediante il campo £' si costruisca un piano numerico TT’ chiamando punti le coppie di numeri di £' e i numeri di £' medesimi (punti all’ oo); in TT’ sarà con- tenuto un piano numerico IT costruito allo stesso modo mediante i numeri di 2. Si chiamino rette projettive in TT gli aggregati di punti che soddisfanno all’ equazione ax + by + ce= 0 dove ade sono numeri di £ cui si aggiunga il punto all’infinito rap- presentato da — 4/2: si dica pure retta all'infinito l'insieme dei punti all’ oo. Nel piano TT vale allora il teorema di Desargues e su ogni sua retta si può definire una metrica parabolica, chiamando medio fra due punti il coniugato armonico del punto all'infinito della retta rispetto alla coppia: ribaltamento della retta intorno a un suo punto, la corrispondenza stabilita dalla involuzione che ha per punti doppî questo punto e il punto all'infinito. Per estendere la definizione della congruenza a tutto il piano si fissino sulla retta all'infinito due punti di TT' le cui coordinate siano numeri di 92’, non di 9, che si desumano l’uno dall’altro mediante lo scambio di Va e — Va. Il coniugato armonico di un punto all'infinito di TT rispetto a quei due punti (punti assoluti) apparterrà ancora a IT. Si dirà associato ad una retta di TT il coniugato armonico del punto all'infinito della retta rispetto ai due punti assoluti; ribaltamento del piano intorno a una retta l’omologia armonica che ha per asse la retta e per centro il punto ad essa associato. Si assuma come piano (spazio) metrico il piano TT in cui si astragga dai punti all'infinito, vi si definisca congruenza ogni prodotto di ribaltamenti intorno a una retta sopra definiti; basta riprendere le osservazioni iniziali del n° 27 per ricono- scere che saranno verificati tutti i nostri postulati I-XIX della congruenza sulla retta e nel piano. — Ma non sarà verificato il teorema di Pappo-Pascal, poichè non vale la proprietà commutativa della moltiplicazione nel campo numerico cui appar- tengono le coordinate (*). (!) Si può cioè considerare una sola specie di divisione, riconducendo la differenza fra le due operazioni sempre nella forma del differente ordine dei fattori di un prodotto. Si ha infatti Un=a. tl, pl@=pha. D'altra parte si ha a/4=1; applicando allora al rapporto a/“ la precedente decomposizione, si ha a/'.a=1 e quindi a/'='/a: l’unico rapporto si potrà rappresentare con a e (4 si avrà in generale: 4/7 = ai , 5/2 =} a. (*) La riduzione del denominatore alla forma 14] am mediante divisione per a è resa indi- spensabile dalla non commutabilità dei fattori di un prodotto: si ha infatti, in generale, (m+n (mn) =m° — mn4- nm — n}; î due termini medî sì eliminano se mn = nm; in particolare se m=1. (3) Cfr. Hinsern, l. c. Serig II. Tom. LIV. r! 338 , BEPPO LEVI 58 Si mostra così sotto un aspetto ben diverso da quanto sia avvenuto nel n° 28, l'ufficio dei postulati dello spazio: là essi si riconoscevano come determinanti il nu- mero delle dimensioni, qui si vede come essi compiano un effettivo ufficio metrico. Il sig. Schur aveva appunto mostrato, come abbiamo ricordato al n° 20, che si può dedurre dalla considerazione dello spazio una dimostrazione metrica del teorema di - Pascal: d’altra parte dalle ricerche dei signori Hilbert e Schoenflies (') risulta che, se veramente lo spazio deve intervenire in questa dimostrazione, ciò deve avvenire pei suoi postulati metrici: e che sia realmente necessaria la considerazione dello spazio è mostrato dal precedente esempio. Nè ciò contraddice alla dimostrazione data dallo Hilbert, mediante la sola geo- metria piana euclidea, del teorema di Pascal: il sig. Hilbert fa uso perciò dell’ugua- glianza inversa delle figure piane e della congruenza di tutte le rette fra loro: egli medesimo ha dimostrato poi (?) che negata l'uguaglianza inversa delle figure piane, si nega pure il teorema di Pascal. Nella nostra geometria si afferma ancora l’ugua- glianza inversa delle figure piane (ribaltamento), si nega invece la congruenza di tutte le rette del piano l’una coll’altra, ed ancora perciò viene a cadere il teorema di Pascal. 38. DEDUZIONE DEL TEOREMA DI PASCAL DALL’'ESISTENZA DI UNA POLARITÀ. — Le cose accadono però molto diversamente se si esclude la metrica parabolica; se cioè si suppone che due diverse perpendicolari ad una stessa retta non abbiano lo stesso polo assoluto (v. n° 22 (3)). Si è infatti mostrato al n° 22 che, fatta questa ipotesi per due determinate perpendicolari ad una retta, ne segue che essa è verificata per ogni retta per modo che risulta stabilita una corrispondenza biunivoca involutoria fra le rette del piano e i loro poli assoluti: noi proveremo che, ammesso in una forma di 2* specie (piano) il teorema di Desargues, e quindi la rappresentazione per coor- dinate indicata ai n° 17-18, l'affermazione dell’esistenza di una polarità equivale al- l’affermazione della proprietà commutativa della moltiplicazione, e quindi al teorema di Pappo-Pascal. Sia difatti (Z, n) un elemento (punto) qualunque del piano, (x, y) il punto mobile sulla retta polare di (z, n). L'equazione di questa retta sarà a(En)e + b(En)y + c(En)=0 (1) dove a(En), b(En), c(£n) sono funzioni da determinarsi di E, n. Se si fissano arbitraria- mente i valori di , y, l'equazione (1) dovrà essere soddisfatta da tutti e soli i punti (£,n) della polare di (xy). Si potrà dunque assumere come funzione c(zn) il primo membro dell'equazione della polare di (0, 0); se, per semplicità, si assume come triangolo di riferimento un triangolo autopolare, si porrà quindi c(En)=c, costante. (2) (') ScnoenrLIEs, Ueber den Pascalschen Schnittpunktsatz, “ Phys.-6kon. Gesellschaft zu Kònigsberg VP. 619034 (®) Ueber den Sata v. d. Gleichheit d. Basiswinkel im gleichschenkliges Dreieck, © Proc. of the London Math. Society ,, 35, 1903. (*) Il n. 22 segue, nell’ordine naturale dell’esposizione, alla dimostrazione del teorema di Pascal: ma è evidente come le considerazioni cui qui ci riferiamo siano da esso indipendenti. 59 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 339 Parimenti, ponendo x = w(= 0), y= 0, si ottiene a(£n) = 0 come equazione della polare di (w0); sarà quindi a(En) = pE (3) dove p è una funzione di z, n che non si annulla mai quando z*= 0. E indicando parimenti con o una funzione di &, n che non si annulla mai quando n= 0, si avrà, in modo analogo dalla posizione £=0 y= w, b(En) = on. (4) Ciò posto osserviamo che dalla uguaglianza 1la = a1= e dalla doppia pro- prietà distributiva della moltiplicazione (n° 17) segue (n+1)a= na +1la=na+a.1 e quindi, se si ammette che na = an, (n + 1)a = a(n + 1): la moltiplicazione di un numero qualunque per un numero intero naturale (che si ottenga cioè per semplice addizione dal numero 1) gode dunque della proprietà commutativa: in particolare questa moltiplicazione ha una sola operazione inversa, onde si definiscono in modo unico i numeri razionali (del campo naturale); e nel prodotto di un numero qualunque per un numero razionale i fattori sono ancora commutabili. Si immaginino allora sostituite in (1) le espressioni (2), (3), (4), e si pensino attribuiti a x, y valori razionali: la (1) potrà sceriversi pri + om+4e=0. Essa dovrà essere equivalente all’equazione della polare di (xy), sia: E+4kn+=0; pek = 0y pel= e. quindi La seconda di queste equazioni mostra che p è tal funzione di , n che assume lo stesso valore lol per tutti i punti della polare di uno stesso punto (xy) 2 coordi- nate razionali. Se, d’altra parte, in (1), senza supporre la razionalità di x, si pone p=0, si ha pix + e=0 onde pe= — c/e; l'equazione della polare di un qualunque punto (x0) è della forma & == cost, e questa costante può essere qualunque; essa potrà dunque essere equivalente ad un’equazione della forma pz=— c/x solo se p è funzione della sola z. Il precedente risultato dice poi che questa funzione prende lo stesso valore in tutti i punti della polare di un punto (xy) a coordinate razionali; ora se == 0, su questa polare esistono (En) per valori arbitrarìî di Z: p è dunque una costante. Similmente, scambiando x ed y, si concluderà che anche o è una costante e l’equa- zione della polarità diviene azx + bny +ce=0 (5) dove a, d, c sono costanti. Ponendo in questa equazione successivamente y=0 e a =0) si hanno le equazioni delle involuzioni di punti reciproci che la polarità determina sugli assi coordinati: a r—-— ae=è ny= — p(e= h. 340 BEPPO LEVI 60 Affinchè queste corrispondenze siano involutorie è necessario che, qualunque siano %, y, klo = afk kiy= ylh. 1 ISTE 1 È x Poichè da. A ljy=y/1 = z sono arbitrarî, X e X debbono dunque essere commutabili nel prodotto con qualunque altro numero. Lo stesso avviene allora per —} e i: si chiamino m, n; l'equazione (5) diviene nzx + mny +1=0. (6) La condizione d’involutorietà impone che, in conseguenza di questa equazione, sia soddisfatta la next + myn 4 1=0 o, per la trasponibilità dei fattori m, x in ogni prodotto, la c.na+y.m+1=0. (7) Ora, per una scelta conveniente di z, n l'equazione (6) rappresenta ogni retta ax+by+1=0; la (7) mostra che la stessa equazione può scriversi va +yb+1=0. Si faccia a razionale, p. es. a =1; dovranno essere equivalenti le due equazioni Ma «x può scegliersi arbitrariamente in modo che —x —1 rappresenti ogni prodotto dy, dunque generalmente Ì by = yb. Questa dimostrazione si applica evidentemente al caso parabolico solo quando, la considerazione dello spazio a 3 dimensioni abbia dato luogo alla geometria della stella ove rette e piani perpendicolari determinano precisamente una polarità. Quindi un esempio analogo a quello del numero precedente non si potrebbe tentare nello spazio. — Mostra inoltre un certo eccesso di considerazioni metriche nella dimostra- zione del sig. Schur: in questa infatti si fa essenzialmente uso del fatto che la mediana divide il triangolo isoscele in due triangoli uguali (uguaglianza degli angoli alla base del triangolo isoscele); ora ciò è bensì contenuto nel teorema medesimo di Pascal, ma nella presente dimostrazione non ne è fatto uso esplicito. Nasce altresì che in una geometria iperbolica o ellittica vale certamente il teorema dell’uguaglianza degli angoli alla base del triangolo isoscele tosto che si conosce il teorema di Desargues. $ 4. — Una metrica projettiva generale. 34. GEOMETRIA NON PARABOLICA. — Conseguenza del teorema di Desargues è che lo spazio projettivo che si ottiene completando lo spazio metrico (n° 19) contiene tutti i punti le cui coordinate sono funzioni razionali di quelle di un qualsiasi sistema di punti di questo spazio medesimo. Il punto projettivo del n° 19 si può dunque assi- ) 61 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 341 milare generalmente all'insieme dei rapporti (x, : 3:23: ,) di quattro numeri arbi- trarì di un determinato campo di razionalità Q. A differenza di quanto si disse al n° 19, non si deve più distinguere qui fra rapporti a destra e rapporti a sinistra, ammettendosi la proprietà commutativa della moltiplicazione. Si richiamino le defi- nizioni di piano e retta projettivi stabilite al n° 19. Le osservazioni del n° 22 e del n. 30 mostrano che la più generale metrica non parabolica soddisfacente ai nostri postulati (sostituito essendo il post. IX' al post. IX) è la metrica projettiva rispetto a una quadrica presa come assoluto. Questa quadrica non potrà essere degenere, perchè tutte le coppie di punti appartenenti a due rette passanti pel vertice del cono quadrico assoluto (!), qualora un tal caso sì supponesse, sarebbero congrue fra loro e questa metrica contraddirebbe già ai post. X, XI. D'altra parte già si osservò al n° 30 che deve escludersi che una tan- gente alla quadrica possa possedere più di un punto reale (dello spazio metrico). Infine sopra ciascuna retta il punto associato a un punto dato è funzione razionale di questo e di due punti simmetrici rispetto ad essi; l’equazione complessiva dei punti uniti dell’involuzione dei punti associati, e quindi l’equazione della quadrica hanno così coefficienti appartenenti al campo di razionalità Q. In questo numero studieremo più da vicino su di un esempio molto generale le ulteriori condizioni imposte alla quadrica assoluta in relazione collo spazio metrico. Limiteremo l'esposizione al piano, il che non avrà altro effetto che di semplifi- care alquanto la scrittura; l'estensione allo spazio sarà evidente, come si avrà cura di rilevare. Nel piano projettivo sia fissata la conica assoluta += te? (1) [per semplicità si adottano lettere diverse per le coordinate, al luogo degli indici usati precedentemente]. Se a' = (e'y'2), a" = (e'y"2") sono due punti qualunque, le coordinate del punto di r(a'a') coniugato di a’’ rispetto alla conica (1) (punto associato ad a” sulla t(a'a'’)) IERI (SA A (SSN 1) PESA 1} f appartiene al campo di razionalità R(1'y'2'2"y"="t); il punto a'” coniugato armonico Y Y g ‘'"= a'/a:)) apparterrà quindi ancora al campo è di a' rispetto ad a'’ e al suo associato (a di razionalità R(x'y"2'2"'y"2't). Reciprocamente, dati a'a'’a’”, è individuato il coniugato armonico di a' rispetto alla coppia d'a’ e fra le coniche della forma (1) ve n’ha una sola rispetto alla quale a’ e questo punto siano coniugati, ovvero sono tutte (e allora la coordinata 2 di uno di questi punti è 0). Nel primo caso # è funzione razionale delle coordinate di a'a’’a’”’; il secondo si esclude perchè esso può verificarsi solo per particolari posizioni dei tre punti. Concludiamo: “ Mediante la costruzione “ del simmetrico di un punto rispetto a un altro si generano punti le cui coordinate appartengono al campo di razionalità generato dalle coordinate dei punti dati e dal numero #, per modo inoltre che questo campo di razionalità è identico col campo di razionalità generato dai tre punti ,. “ “ LS (4) Che pel vertice del cono passino rette projettive che contengono rette metriche è evidente ove si pensi che passano pel vertice le -perpendicolari a un piano generico. 342 BEPPO LEVI 62 I due punti d,, ds, coniugati armonici comuni ad a’, ae ai due punti d’interse- zione della retta r(a’'a') cella conica (1) hanno per coordinate (Xx'+ ue", \y'+puy", \e' + uz") dove Ù = EV (ey — 2) epy) u=o0'? + y'° — te'?. Esse appartengono quindi al campo di razionalità R(x' y' 2 x! y' 2! 6 V (e? na y? 9 t2"2) (e? HiL y''2 e): Almeno uno di questi punti è da definirsi come punto medio della coppia a'a”. Del pari la polare di un punto a'= (x'y'2') rispetto alla conica (1) ha i suoi coefficienti nel campo di razionalità N(x'y'2't) e reciprocamente le coordinate del polo d’una retta di coefficienti a de appartengono al campo di razionalità R(abcet). Così, se si definiscono ribaltamenti le omologie armoniche che hanno centro e asse coniugati rispetto alla conica, l’asse e il centro d’omologia nel ribaltamento che scambia a' e a” sono pure nel campo di razionalità ION A V(e'2+y"> —te'>)(a"2 + y"2 — t2/72)) e il trasformato di un punto a" = (x'"y'"2") appartiene al campo generato dal pre- detto e da queste coordinate. Ciò posto, fissato un campo di razionalità fondamentale E, lo si allarghi mediante l’aggiunzione di un elemento #, positivo, non appartenente, nè esso nè le sue potenze, al campo medesimo: per es. sia # un parametro; lo si allarghi ancora mediante l’ag- giunzione di tutti i radicali della forma )/ Q dove Q è un’espressione della forma [EE UL eIn; na “| Se |F9 + #29; + =] dove &,, n;, ..., 8,, ®,, .... sono funzioni intere del campo È, di # e di altri radicali della stessa forma, e tale inoltre che ogni radicando Q contenga sempre termini indi- pendenti da ogni altro radicale (termini razionali in #) e che fra questi, quello di grado minimo in # sia positivo o negativo secondochè ha grado pari o dispari. Occorre notare — ed è essenziale perchè coi radicali V Q si possa costruire un campo di razionalità — che il prodotto di due di questi radicali è un radicale della stessa forma. Infatti un tal prodotto è della forma V P dove nia De) ai Cetara | ; [osta aree = E (ES = En,S de -) Mt; (29° n° le = -) e dove &* rappresenta ogni prodotto della forma &,€/, n,* ogni prodotto delle forme En, En, 9,9/, ecc. Ciascuna delle espressioni &*, n,%, ... sarà allora la somma di un polinomio nel campo di razionalità N(£,+) e di termini affetti da radicali della forma di quelli ammessi nelle &,, n;, ..., e prodotti di questi radicali. L’addendo polinomio di &* produce in &*? come termine d’ordine minimo in # uno d’ordine pari e coefficiente positivo. I termini affetti da radicali si possono sup- 63 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 343 porre ridotti in precedenza in &,* ponendo ciascuno di questi in evidenza nella somma di tutti i termini che hanno a fattore lo stesso radicale, e raccogliendo così questa somma in un termine unico. Allora tali termini potranno produrre in Zi** termini indipendenti da radicali a solo mediante i loro quadrati, e se si ammette verificato pei radicali contenuti nelle espressioni &;, &/ che i loro prodotti a due a due sono ancora della forma VQ, tali quadrati produrranno termini d’ordine minimo con coefficiente positivo o negativo secondochè il loro ordine in t è pari o dispari. Si può così rite- nere dimostrato che i termini polinomi nelle espressioni &.** soddisfanno alle condi- zioni imposte ai termini polinomi dei radicali / Q. Le stesse osservazioni si ripete- ranno per le espressioni n,*, ...; si conclude che i termini indipendenti da radicali in P, d'ordine minimo in # non possono fra loro ridursi (perchè in tutti i termini di P hanno lo stesso segno) e sono positivi o negativi secondochè il loro ordine è pari o dispari. Si deve notare che nessuna eccezione può presentarsi qualora anche &*, n,*, ... non possedessero termini indipendenti da radicali, perchè per ipotesi &,, &:, ... con- tengono sempre, nei loro radicali, una parte polinomia — indipendente cioè da ulte- riori radici —; lo stesso avviene dunque pei loro prodotti e l'elevazione a quadrato avrà per effetto di produrre in &,*?, ... termini polinomi derivanti da questi. Si chiami K il campo di razionalità ora definito; si chiami S l'insieme dei punti le cui coordinate xy appartengono al campo K. Le cose dette precedentemente mo- strano che tutte le trasformazioni di una metrica projettiva rispetto alla conica (1) come assoluto, trasformano tutto S in se stesso tosto che trasformino in punti di S tanti altri punti di S quanti sono necessari a determinarle: le simmetrie rispetto a un punto assegnato trasformano infatti in sè il campo di razionalità su cui operano; quelle invece che debbono scambiare due punti assegnati allargano questo campo mediante l’aggiunzione di un radicale della forma VR +y?— te) 4/1) — n V[(ea + yy + ey"? + "2y/2) + 12022] — t(2'20' + 2?y"? L22924 2!2y9) e questo radicale è della forma YQ, per le considerazioni medesime fatte riguardo al prodotto di due radicali della forma Vo. La conica (1) non possiede punti in S. Da (1) si ricava infatti x = +Vte? — è; si suppongano y e 2 espressioni intere appartenenti al campo K: sempre per le con- siderazioni fatte riguardo alla precedente espressione P si concluderà che in y? e in e? non può mancare ogni termine razionale: ed ancora il loro termine razionale d’ordine minimo è positivo o negativo secondochè il suo ordine è pari o dispari. Nell’ espressione #2? — y? un termine razionale d’ordine minimo in # non può dunque mancare e sarà negativo o positivo secondochè è d’ordine pari o dispari. Via — non può dunque essere un polinomio, nè un radicale della forma VQ : x non appartiene allora al campo K. Se ora a è un punto di S, i coefficienti dell'equazione della sua polare rispetto a (1) appartengono a K: non potranno allora appartenere a X i coefficienti delle equazioni delle tangenti da « alla conica (1), altrimenti apparterrebbero ad S i loro 344 BEPPO LEVI 64 punti di contatto, intersezioni colla detta polare; quelle tangenti non contengono dunque punti di S altri che a. Il campo S ora definito ci dà modo di esemplificare in modi diversi la generale metrica projettiva soddisfacente ai nostri postulati. Si ritenga infatti t un para- metro, e non si definisca in modo alcuno un ordine negli elementi di XK per modo che non ci sia luogo a distinguere fra punti esterni ed interni ad (1): si potrà assu- mere S come il nostro spazio metrico e si otterrà una geometria assimilabile alla ordinaria geometria ellittica (1). Si fissi invece che £ sia un campo di razionalità ordinato e, per es., lo si de- termini nel campo naturale: si assuma per t, anzichè un parametro, un numero trascendente e accanto agli elementi di KX si consideri il loro valore come elementi del continuo numerico. Si chiami X l’insieme degli elementi di X il cui valor nume- rico è reale e si pensino gli elementi di X ordinati secondo questo valore medesimo. I fatti noti nella geometria analitica permetteranno di distinguere i punti reali di S in esterni ed interni alla conica (1) e di affermare che se due punti appartengono alla stessa parte, il simmetrico dell'uno rispetto all’altro è reale ed appartiene a quella parte e almeno uno dei loro punti medî è nelle stesse condizioni. Si può allora determinare il nostro piano metrico nell'interno della conica (1): si avrà una forma di metrica iperbolica in cui non esistono le parallele proprie da un punto ad una retta (limiti fra le rette secanti e le non secantì). Si può infine determinare il nostro piano metrico nell’ esterno della conica (1): sì avrà una metrica in cui le rette non suno tutte congruenti fra loro: per ogni punto passano rette su cui si verifica la metrica ellittica, altre su cui si verifica la metrica iperbolica: dato un angolo non esiste sempre un triangolo isoscele che lo abbia come angolo al vertice. In ciascuno di questi piani metrici l’aggregato dei punti è numerabile: è evidente però che non è questa condizione essenziale delle metriche considerate. Basta infatti, per ottenere metriche analoghe agenti sopra un piano con un'infinità non numerabile di punti, estendere, per es., il campo È all'insieme di tutti i numeri reali e, indi- cata con t una variabile, considerare tutte le funzioni di # sviluppate in serie di potenze (intere o fratte) crescenti della #, e distinguere i numeri di K in reali e im- maginari a seconda che sono tutti reali oppur no i coefficienti degli sviluppi corri- spondenti, e ordinare infine i numeri reali di K per modo che si dica « precedere 6 quando la differenza delle serie corrispondenti (a — ) incomincia con un termine positivo o negativo. (1) Si noti che questo piano si dovrà però sempre supporre immerso in uno spazio di 38 dimen- sioni; in esso avviene cioè che su ogni retta per un punto esiste un punto non aderente a questo, ad ogni retta esiste un punto non aderente. Sia allora «be un triangolo i cui vertici siano a due a due non coerenti: sarà abe = bac (poichè abe si porta in bac mediante il ribaltamento intorno alla congiungente ec con un d/5) e non esiste nel piano alcun punto d=#=« tale che abe = dae. Quindi, se il piano non fosse immerso in uno spazio, sarebbe a=bd/ contro l'ipotesi che è e e non siano coerenti. Ma se il piano è immerso in uno spazio di 8 dimensioni, si potrà assumere come punto d, soddisfacente alla congruenza «be=bde, ogni punto della retta non aderente a t(be) (t. 10 n. 12). 65 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 945 35. — Nessuna difficoltà ad estendere allo spazio le osservazioni sviluppate pel piano del numero precedente. Basterà porre a fondamento della metrica, anzichè la conica (1) una quadrica assoluta: xi task x = tei ovvero a+ at = ta +28) ove t rappresenti, come prima, un elemento positivo, non quadrato e non apparte- nente nè esso nè le sue potenze ad un certo campo di razionalità fondamentale & (1). 36. MerRICA PARABOLICA. — Le precedenti considerazioni non si applicano in alcun modo alla metrica parabolica. Ma per essa nulla è da aggiungere a quanto già fu detto al n° 22 e all'esempio di costruzione d’una metrica parabolica piana offerta al n° 32. Si otterrà una metrica parabolica nello spazio a tre dimensioni fissando nello spazio projettivo un piano all’infinito e definendo nel modo noto, mediante esso, le simmetrie rispetto a punti e piani. Su questo piano all'infinito dovrà all'uopo esser definita una polarità assoluta in cui siano coniugati i punti e le rette all’infinito di rette e piani perpendicolari. Solo si dovrà osservare che la conica fondamentale di questa polarità non può contenere punti all’infinito di rette reali (metriche) perchè nessuna retta appartiene ad un piano ad essa perpendicolare; ricordando che ciascuna retta projettiva pei punti reali £, £" del n° 17 contiene una retta reale, si con- clude che quella conica non può contenere nemmeno punti all’infinito di rette projet- tive ottenute per completamento dello spazio secondo il n. 19. Se x,= 0 è l’equazione del piano all’infinito, l'equazione della conica assoluta sarà quindi una qualunque equazione omogenea di 2° grado nelle x,, xs, 23 a coef- ficienti appartenenti al campo di razionalità definito dai punti reali (perchè essa è interamente definita dalla polarità di piani e rette perpendicolari in una stella) ma non soddisfattibile per alcun sistema di rapporti (x, : xs: 3) appartenenti a quel campo. — Tali, per es., nel campo di razionalità naturale, af + x3 + x$= 0, dai — ad —x=0. (4) Evidentemente considerazioni analoghe si possono ripetere introducendo nei coefficienti maggior numero di parametri che fungano come il presente parametro #, e questo deve considerarsi come il più semplice esempio di una serie. È da notarsi che, rappresentata la conica o la quadrica con somme e differenze di quadrati, quadrati di segni diversi debbono avere a coefficienti parametri diversi. Non potrebbe, per es., servire all'uopo la quadrica x,° +8 — x3°* = t2,?. Infatti essa può seriversi x1° — x3° = tr — x°, onde si vede che appartengono alla quadrica i punti di intersezione Pa TIR xi xC3 Qi dg 1 u ; ; 3 = _ = i, — — *=— (#t— n?) dove X ed ns arametri arbitrari. Il dei piani ni n "a L A iv dia = ( n°), dove XA ed n sono parametri arbitrar piano sei può essere il piano polare di qualunque punto della retta x,=%3=0. Per ogni 4 punto di questa retta passano quindi tangenti alla quadrica i cui coefficienti appartengono al campo di razionalità dei punti metrici. Serie II. Tom. LIV. S 346 BEPPO LEVI 66 $ 5. — I punti richiesti dallo spazio metrico. 37. — Una questione s'impone dall'insieme delle cose dette innanzi: In qual misura possono essere esclusi dallo spazio metrico punti dello spazio projettivo mi- nimo che lo contiene ? È noto che lo spazio euclideo contiene tutti i punti del corrispondente spazio projettivo, all'esclusione del piano all’infinito e che l’ordinario spazio ellittico con- tiene tutti i punti projettivi, l’iperbolico i soli punti interni ad una quadrica. Ma il sig. Dehn (') ha mostrato che, escluso il postulato d’Archimede, assai maggiori limi- tazioni si possono portare allo spazio metrico in confronto di quello projettivo, poten- dosi escludere dal primo, su ogni retta, tutti-i punti che, rispetto al loro ordine pro- jettivo sono abbastanza avanzati. Il Dehn costruisce cioè la sua metrica piana sopra un piano numerico in cui le coordinate dei punti sono funzioni analitiche (anzi una classe limitata di funzioni analitiche) di un parametro t e, se a e d sono due di queste funzioni, stabilisce che a >d quando a—d è positivo per valori abbastanza elevati di #. Egli limita poi il suo campo metrico a punti le cui coordinate hanno rispetto a t ordine d’infinità non superiore ad un certo limite (che egli fissa in due esempi nei valori 0 e — 1). Noi incominceremo coll’approfondire le conseguenze geometriche della definizione di “ punto del piano metrico , adottata per tal modo dal sig. Dehn. Cercheremo poi di riconoscere fino a qual segno si possono invertire i risultati ottenuti: se con ciò non esauriremo la questione, spero che almeno intorno ad essa porteremo un note- vole lume. Sia ax + by +c=0 l’equazione d’una retta projettiva passante pel punto (0%) del piano metrico e sia (£,M0) una soluzione qualunque dell'equazione az + dn =0; moltiplicando &, e no per una stessa conveniente potenza (positiva o negativa) di #, sia #, sì può disporre in modo che gli ordini d’infinità di &,t”, not” siano minori di un qualsiasi ordine assegnato: dal punto (x0%0) si deduce così il punto (xo + do”, Yo + Not‘) che ancora appartiene così alla retta data come il piano metrico. Conclu- diamo: “ ogni retta projettiva passante per un punto del piano metrico è sostegno “ di una retta di punti di esso piano ,. D'altra parte è evidente che tal retta pos- siede certamente punti projettivi non appartenenti al piano metrico. Ora è facile rilevare che — almeno nei casi ellittico e parabolico — “ appartengono al piano me- “ trico tutti i punti della retta che si deducono colle sole operazioni di projezione “e sezione da due punti reali (metrici) MM, N della retta e da un suo punto ideale P “ (a coordinate reali, ma esterno al piano metrico) e da due punti projettivi arbi- “ trariamente scelti, purchè allineati con uno di quei primi tre ,. Occorre premettere che, in conseguenza del teorema di Desargues (o dell’esistenza dello spazio a tre dimensioni) i punti or nominati sono completamente definiti sulla retta, indipendentemente dalla scelta dei due punti projettivi ausiliari: essi sono tutti quei punti cui si attribuiscono ascisse razionali (nel campo naturale di razio- (1) Die Legendre’schen Stitze ii. die Winkelsumme im Dreiecke, “È Math. Ann. ,; 54 ;. OR e IE TOTI Tee ll 67 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 347 nalità) in un sistema di coordinate projettive in cui sì assegnino ai tre punti dati i numeri 0, 1, co. Ora è chiaro che tutti questi punti apparterranno al piano metrico se tali erano effettivamente le ascisse dei tre punti (supposti sull'asse della x) nella loro defini- zione come elementi del piano numerico e se, per conseguenza, l'ordine in # ammesso nelle coordinate dei punti del piano metrico era "0. Ma si supponga che le ascisse dei tre punti M, N, P siano w, n, pe che essi appartengano alla retta ar+0y4+e=0. Si faccia la doppia trasformazione di coordinate = y=1 (y' — ax — c) r__ (m_mput mn— p) Di egli vi z —_ (m_nu+(a— p) CA (m_ n)u+ (n— p) asse delle ascisse (v) sarà divenuta la retta ax + 6y + c=0, e i tre punti dati vi avranno le ascisse u= 0, 1, co. Sia ora % l'ordine massimo in # delle coordinate (x, y) dei punti reali; gli ordini di m, » saranno “<#, quello di p>%. Ne segue immedia- tamente che per ogni valore di w di ordine 0 in #, «' (e quindi x) è in t d'ordine = %. Quanto al valor di y, si ricordi che i nostri punti appartengono alla retta ax+0y+c=0 onde (ap + c)(m_-nu+ (am + e)(n— p) bin — n)u+4- (n — p)] e si ricordi inoltre che debbono avere in # ordini = % i numeri am ec ant e bi’ QUA, valori di —y per «x=wm e per #=»; è quindi pure di ordine <% la loro differenza _alm — n) b clm — n) b tivamente delle prime due frazioni. Si vede allora che hanno ordini <% gli addendi e di ordine <2% il numero , differenza dei prodotti per m e per » rispet- alm — n) p c(m — n) amte n—-p b * (m-nu+t(a—p) bdblim—nmutl(n—p)’ b (m_-nu+(n- p) di cui si compone —y, tosto che «x ha valore di ordine 0 in #: onde y medesimo avrà in # ordine = È. Nel caso iperbolico una parte di questi punti può evidentemente essere esclusa dal piano metrico per essere esterna alla conica assoluta. Ma, pur escludendo questo caso, questi punti del piano metrico sopra definito sono tutti effettivamente richiesti dai nostri postulati? Noi ci occuperemo del solo caso parabolico e mostreremo che a questa domanda si deve — in tal caso — rispondere : “ Si consideri, come poc'anzi, stabilito sulla retta un sistema di coordinate projet- “ tive in cui si chiamino 0,1 due punti reali e co il punto all'infinito della retta (1). (*) Polo assoluto delle perpendicolari alla retta. 348 BEPPO LEVI 68 “ La condizione che la retta appartenga ad un piano metrico definito dai nostri “ postulati ha per conseguenza che appartengono necessariamente ad essa, come punti “ reali, tutti i punti razionali, fatta eccezione per quelli che sono rappresentati da fra- —“« zioni irreduttibili il cui denominatore sia multiplo di una determinata potenza di un “ numero primo fisso (per tutto il piano) della forma 4n+-3 (non somma di due quadrati). “ Se però uno di questi punti è reale, sono reali anche tutti gli altri ,. Si riferisca il piano ad un sistema di coordinate projettive di cui gli assi siano l'uno E la retta data, l’altro n la perpendicolare a questa in uno 0 dei punti reali (del piano metrico) dati, cosicchè a questo punto apparterranno le coordinate (0, 0). All’altro punto dato sulla € apparterranno le coordinate (1, 0) e le coordinate (00,0) al punto all’infinito della retta. Sull’asse n si fissi poi un punto reale arbitrario che si chiamerà (0,1) e si chiami (0, ©) il punto all’infinito. Mediante determinazione di punti medî e di simmetrici si costruiscano su ciascuno degli assi i punti che hanno rispettivamente per ascisse e ordinate tutti i numeri interi e i fratti aventi per deno- minatore una potenza di 2; saranno tutti punti reali del piano. Osserviamo che, in una geometria parabolica, la perpendicolare da un punto ad una retta incontra sempre la retta medesima. Il nostro piano conterrà dunque, come punti reali, tutti quelli che hanno per coordinate i detti numeri; e reciproca- mente gli assi &, n contengono come punti reali i punti che hanno rispettivamente per ascissa e per ordinata l’ascissa e l’ordinata di un qualunque punto reale (xy) del piano. Si considerino i punti: 0= (0,0), A=(a, a’), B=(0, 3), K=(A, 4) e siano tutti punti reali del piano. Le rette r(AK), :(BK), r(OK) incontrano rispettivamente le rette n, (0A), (AB) nei punti projettivi (0 ak — a'h \ | abh a'hb VA abh able d a=—W È abtah—ak’ abt+ah— ak ) \ bh- ah+ ak’ bh_— a h+ ak E Il post. XVII impone che uno almeno di questi punti sia reale. Se ora si fa a'=0 ab ab a+’ a+5 di questi punti non è reale: un'osservazione precedente mostra allora che sull'asse & ab ab a+’ bT-a' . Sia m un numero intero: si ponga a= 2, b=M— 2; sarà a, = SOmn DI 2(\m—2) . Sull’asse esiste allora almeno uno dei punti di ascisse o” e h=k=a, questi punti diventano (0, 00), i 0), | ). Il primo esiste, come punto reale, almeno uno dei punti di ascissa ab ___2Am—-2) b-a = in—@4 2(\an — 2) im_— 4° 2(Am —2) Mn 2 im_-2 __ 2 ? n, È im — dei punti di ascisse ——-, 1 — = pu È e im ® 1 Van im Dall’esistenza del punto di ascissa risulta ora successivamente l’esistenza simmetrico del precedente rispetto al TA . 1 CITARO È MIO punto — | e infine da cui si otterranno ancora, per successive costruzioni di simmetrici il punto —— e tutti i punti le cui ascisse sono numeri razionali di denomi- natore m. | j ® 69 FONDAMENTI DELLA METRICA PROJETTIVA 349 SIN 1 Su 1 BORE 2Aim — 2 Se invece si nega l'esistenza del punto OL quindi quella del punto n O qualunque sia A, dovrà, per ogni valore di , esistere sull'asse & il punto di ascissa 2(Am— 2) im_ 4 1 bn 4° ag+ bp, DI e quindi, per un ragionamento identico al precedente, il punto 5 2 5 dl 1 DOO È 5 Se esistono 1 punti pg Ped primi fra loro, esiste pure il punto : (1 2 LE . : : 1 : medio fra 2 e È e cioè, per una conveniente scelta di a e f, il punto Da Si con- M ammette almeno un fattore m, potenza di k 5 1 clude che, se non esiste il punto ETA - . . 1 un numero primo, e tale che non esiste il punto ae Sia m = € (u primo), e sia » un numero qualunque non divisibile per yu; potrà sempre risolversi in numeri interi l'equazione \m — vn=4, nelle incognite X e v. Le gi im—-4 7 vn Così si potrà supporre che Dall’ esistenza del punto di ascissa I segue, per successive costruzioni di simmetrici, l’esistenza del punto di ascissa TA Y quindi di tutti i punti la cui ascissa è un numero razionale con denominatore w. Se inoltre uf è la minima potenza di u tale che non esiste il punto i ep GEA nt pace È ul 1 n'= un (0 Enti primitivi — Loro postulati Gneo mini 1 Proprietà toadamentali della congruenza fra coppie di punti. 2 — La congruenza fra sistemi di punti. 3. $ 2. La catena e la retta Punti medi d'una coppia; simmetrici di un punto Fispettto a un do; the La catena d’una coppia di punti. 5 — Le congruenze sulla catena. 6 — La retta e le congruenze su di essa. 7. 8 3: Il piano . 7 E 5 ; ; ; 7 4 ; 3 Proprietà di appartenenza. 8 — Una congruenza non può tener fisse due rette concorrenti. 9 — I ribaltamenti dei piano. 10 — Ribaltamenti e rota- zioni del piano. 11. $ 4. Lo spazio = È 5 . c - Post. XX-XXI — Rette e piani e semirotazione intorno a una retta. 12 — Simmetria rispetto a un punto. 13 — Simmetria rispetto a un piano. 14 — Post. XXII. 15. Cap. II. — 1 completamento dello spazio e la geometria projettiva . $ 1. Il completamento dello spazio 7 ; P Il teorema di Desargues. 16 — La geometria analitica. 17. o = Compie: tamento dello spazio projettivo. 19. $ 2. La geometria projettiva e la metrica Il teorema di Pappo-Pascal. 20 — La geometria projettiva. 21 — 5 «ione projettive. 22. Cap. III. — Saggio sull’indipendenza e sulla capacità dei postulati . $ 1. Sull’indipendenza dei postulati x Preliminari. 23 — I postulati generali della congruenza. 24 — I DN del punto medio d’una coppia. 25 — I postulati della catena. 26 — Il postulato XVII del piano. 27 — Il postulato XXI dello spazio. 28. $ 2. Riduzione del post. IX della congruenza fra sistemi. Conseguenze , Riduzione del post. IX. 29 — Sulle metriche projettive. 30. $ 3. Il teorema di Desargues e il teorema di Pappo-Pascal . Un piano metrico di nove punti e un piano projettivo di tredici. 31 — Geo- metria piana parabolica non pascaliana. 32 — Deduzione del t&orema di Pascal dall’esistenza d’una polarità. 33. $ 4. Una metrica projettiva generale Geometria non parabolica. 34-35 — Geometria Aa 36, $ 5. I punti richiesti dallo spazio metrico (n. 37-38) $ 6. Separazione delle metriche classiche (n. 39) ELENCO DEI POSTULATI — è —n + 74 13 27 33-46 33 40 51 53 60 66 71 72 LE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI A FRANCESCO I E FERDINANDO I Granduchi di Toscana E A FRANCESCO MARIA II Duca di Urbino TRATTE DALL’ARCHIVIO DI STATO DI FIRENZE E ILLUSTRATE DA ORESTE MATTIROLO Approvata nell'adunanza del 17 Aprile 1904. La corrispondenza epistolare di UtIsse ALDROVANDI (1) con Francesco I, Fer- DINANDO I Granduchi di Toscana, e Francesco MARTA TI DELLA Rovere, Duca di Urbino, conservata nell'Archivio di Stato di Firenze (2), risulta composta di 55 lettere (3), le quali, se anche non si possono giudicare tutte importanti, formano in complesso un documento prezioso per chi si accinga a studì aldrovandiani, o intenda ricercare l'indole e le tendenze degli scienziati italiani del XVI secolo, tra i quali per la uni- versalità del sapere meritatamente eccelse UtLIssr ALDROVANDI, onore della scienza, sulla quale esercitò l'influenza di maestro e di precursore illuminato. Le lettere di ALpROvaNDI ai nominati personaggi, i quali unitamente a due Pon- tefici, GreGorIio XIII e Srsro V (4), a Cardinali e Vescovi (5), concorsero generosa- mente in vario tempo e in varie guise ad aiutarne l'opera (6); mentre da una parte (1) Ulisse Aldrovandi nacque in Bologna addì 11 settembre 1522 e vi morì il 4 maggio 1605. (2) Ringrazio la Direzione dell'Archivio di Stato di Firenze e in particolar modo il Cav. GHERARDI per avermi, con ogni gentilezza, nell’anno 1900, agevolata la ricerca di questi documenti nell'Archivio Mediceo e nell'Archivio di Urbino. Un cenno intorno alla corrispondenza aldrovandiana coi GraNnpUCHI DI Toscana fu fatto dall'Autore al Congresso Internazionale di Scienze storiche, tenutosi in Roma nell'aprile dell’anno 1903. (3) Fra queste 55 letterò, quelle segnate ai numeri 31, 32, 35, 40, 45, 47 e 48 furono dall'Aldro- vandi indirizzate al Cav. Beisario Vinta da Volterra il noto Segretario della Corte Medicea, perchè fossero da lui fatte conoscere ai suoi Signori, epperò fanno corpo colle altre. Noto poi che le 12 let- tere che seguono in Appendice sono di pugno del Dottore Giuro CurpeLLiNo agente del Duca di Urbino — e che trattando esse di cose relative alla stampa delle opere aldrovandiane patrocinata e sostenuta coi sussidì del Duca di Urbino si credette utile riferirle. (4) Gregorio XIII, 1572. Sisto V, 1585. (5) Questi furono: GasriELE PALEOTTI e Atessanpro Pererti, Cardinali. — G. BatTISTA CAMPEGGI, CamrLLo Anronso PaLeortI, Vescovi. (6) Per quanto ha rapporto alle opere e alla ponderosa bibliografia relativa a Ulisse Aldrovandi il lettore troverà ampie citazioni di testi, specialmente nelle opere seguenti: Fantuzzi, Memorie della 396 ORESTE MATTIROLO 92 valgono a scolpire il carattere dell’uomo, a rivelarne l’intimo pensiero e gli ideali altissimi; a spiegare in modo netto e preciso il concetto direttivo dell’immane ciclo delle grandiosissime sue imprese; servono dall’altra come testimonianze di una quan- tità di fatti; come ricordi di lavoratori modesti e benemeriti, il cui nome altrimenti sarebbe rimasto ignorato; immagini vive e preziose della vita e del sentimento di un’epoca che fu per la scienza epoca di transizione insieme e di progresso. Le lettere che io presento, costituiscono nuovo titolo di gloria per il sommo bo- lognese; sono le prove del valore morale e del nobile carattere di questo uomo tanto ammirato dai contemporanei’; che assorto nelle meditazioni della scienza, dedicò tutto se stesso ad un lavoro continuo, indefesso; visse di niente altro curante che dello studio e della gloria che ne deriva; misurando l’estimazione che gli altri dovevano a lui, dalle fatiche durate per conseguirla, e dalle opere che lasciava; quelle invero grandissime e queste numerosissime e diversissime di materia (1). Non credo opportuno ritornare in questa occasione sopra un argomento già da me ampiamente discusso (2), cercando cioè di dimostrare col sussidio di questi nuovi documenti, come ben altrimenti voglia essere giudicato ALprRovanpI, da quello che avvenne in progresso di tempo per l'ignoranza delle principali opere sue; perocchè, è un fatto, che perdutasi nelle menti dei successori l'impressione viva della influenza esercitata dalla sua scuola, fu l’ALpRrovanDpI dai successori appena ricordato come un commentatore, un credulo erudito, mentre era stato un ardito innovatore, un precur- sore illuminato e più di tutto un ottimo osservatore (3). L’indole dei tempi levò a fama mondiale il nome di ALpRovanpI per la sua scon- finata erudizione (4), cosicchè di lui, per naturale conseguenza di questo errato giu- dizio, rimase nei posteri radicato il concetto, che egli fosse stato maestro di erudizione inutile; che le sue opere null'altro fossero che una raccolta di tutte le opinioni, di tutte le favole, delle superstizioni, delle poetiche leggende, dei miracoli, che si rife- riscono alle produzioni naturali; e così avvenne, che nessuno più pensò di ricercare la vera indole e il valore dello scienziato nelle numerosissime opere di lui, rimaste sepolte negli scaffali delle biblioteche, dove però seppero rintracciarle i tristi che ne usarono per abbellirsi senza fatiche del lavoro altrui (5). Io, che per quanto ha riguardo alla botanica ho iniziato questo lavoro (6), ho Vita di Ulisse Aldrovandi. Bologna, 1774. — In., Scrittori bolognesi, Vol. I, 1781. — MarmtIROLO 0., L’opera botanica di Ulisse Aldrovandi. Bologna, 1897. Edita a cura del Municipio di Bologna, inau- gurandosi la sala destinata alle raccolte botaniche di U. ALprovanpI, nell'Istituto botanico della R. Università di Bologna. Dicembre 1897. Trattarono di ALprovanpi, della sua vita e delle sue opere moltissimi autori, tra i quali ricor- deremo: BayLe, MazzuccneLti, Monti C., Cuvier, CAasteLLi, Mazzenti, SAInT LAGER, Camus, SAccARDO, CapeLLINI, ecc. ed altri come MonrarsanI, HALLeR, SprencEL, SeGuIER, Meyer, PrITzEL, SACHS, ecc., dei quali si trovano le indicazioni nei lavori sopra citati, essendo impossibile in questo scritto citare tutte le fonti. (1) V. Fanruzzi, loc. cit., pag. 65. (2) V. MarmIROLO, loc. cit. (3) V. ivi, pagg. 30 a 75. (4) V. loc. cit., FantUZZI. (5) V. MartIROLO, pag. 64. (6) Ip. 3 LE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI, ECO. 357 potuto, sebbene ancora lontanamente, misurare e valutare i meriti eccelsi di questo sommo, che fu ritenuto superasse per il valore dell'ingegno tutti gli uomini dell'età sua!; ho potuto dimostrare che la Scuola botanica italiana, che per ULIsse ALpro- VANDI e AnpRrEA CesaLPINO fa capo al loro comune maestro Luca Gwsr, fu l’am- biente predestinato, nel quale col diretto studio della natura, aiutato dalla conoscenza delle antiche sorgenti del sapere, si andò formando lo spirito moderno della scienza botanica. Chè, se fu precursore l’ALpRovANDI nei concetti che dovevano informare lo studio della botanica, ugualmente e necessariamente deve ritenersi sia stato tale in quelli che hanno rapporto alle altre scienze naturali; ed io mi auguro che, per maggior gloria d'Italia, la dimostrazione dell’azione efficacemente innovatrice esercitata dalla scuola aldrovandiana sulle scienze naturali, già data per la geologia (1) e la botanica, possa da qualche studioso della storia della zoologia, esserci concessa prima del 4 maggio 1905, giorno nel quale la dotta Bologna commemorerà solennemente il terzo centenario della morte del suo illustre figliolo. Vorrei che gli scienziati italiani moderni scegliessero quel giorno per dimostrare al mondo come essi sanno cono- scere e venerare quei sommi che come ALpRovanpI, vanto di un’ epoca, onorarono la patria, precorsero i tempi, e guidati dalla ragione e dalla osservazione, seppero indirizzare le menti alla conquista della verità scientifica! Le lettere che io mi onoro di pubblicare sono documenti interessanti, indispen- sabili per Io studio dell’uomo e dell’epoca in cui egli visse, perocchè l’uomo e lo scienziato vi si rivelano con tutti i pregi e con tutti i difetti dell’epoca. Il primo, cortigiano, un po’ gonfio e manierato nei modi di esprimersi, facile alle lodi esagerate; il secondo affascinato dal vecchio spirito di cultura, animato ancora dai pregiudizi e dalle sottilità medioevali, di null'altro curante che di sod- disfare la sua sete di raccogliere e di conoscere le più rare produzioni della natura, di possederle per il suo Museo e di tramandare ai posteri i risultati delle immani fatiche dell'ingegno suo. Ma chi, facendo astrazione da questi difetti, si fa serenamente a leggere le epi- stole aldrovandiane, rimane deliziosamente affascinato dal profumo della ingenua na- turalezza colla quale egli sa esprimere i sentimenti suoi; dà sfogo alla sua naturale passione, implora ad ogni momento soccorsi nuovi pur di riescire a superare le dif- ficoltà inerenti al ragguardevolissimo onere di spese d'ogni genere che gli derivavano dall'opera dei pittori, degli intagliatori, dei copisti, dei raccoglitori e da quella in- gente delle spedizioni, della corrispondenza estesissima, per le quali egli, oltre all’aver speso tutto il suo, profondeva tutto quanto ricavava per stipendio dal Senato di Bologna (2). (1) Dei meriti di Aldrovandi, come continuatore e sostenitore delle idee di Lronarpo e di Fra- castoRO si occuparono insigni scienziati. Il Senatore G. CapeLLINI, volle nel Museo geologico bolognese dedicata alla memoria di ALprovanpi una Tribuna, dove raccolse gli scritti, i materiali, le silografie aldrovandiane riferentisi alla Geologia. (2) Intorno alla valutazione delle ingentissime spese sostenute dall’Aldrovandi per il suo cele- berrimo Museo, di cui ancora cospicui materiali si conservano oggi nell'Istituto botanico e nell'Istituto geologico della R. Università di Bologna, v. Fantuzzi e MarmtIROLO, loc. cit. 358 ORESTE MATTIROLO 4 I soccorsi destinati alla pubblicazione delle opere sue, egli (quasi presago del- l’obblio che l'avvenire serbava ai manoscritti suoi) implorava ancora nel 1604, un anno prima della morte, con parole commoventi: E già (scriveva egli al Duca di Urbino, addì 16 marzo), l’hRavrei, poco meno, stampato tutto (parlando del lavoro De Insectis), se non fosse stata tanta penuria di carta che pure un foglio non s'ha potuto avere, con mio grandissimo danno, in questa età d’52 anni, la quale molta prestezza e non tardanza ricerca! E così al cav. BeLisARIO Vinta alcuni anni prima si rivolgeva, implorando l’aiuto del Duca: crederei di far troppo gran mancamento se, fin che io ho tempo, non procurassi di non lasciar perdere tante mie fatiche; et non potendo io da me farlo, non chiedessi l’aiuto da chi meglio di ogni altro Principe di Cristianità può dar- melo. L’opere son molte et tutte (il che sia detto senza jattanza) ripiene di singolare eruditione, utili e curiose, et vaghe et non indegne chel Gran Duca Ferdinando de’ Me- dici, a imitatione de progenitori suoi, porga loro la potente mano, acciò non perano (1). E tutte queste esortazioni, tutto il naturale supremo desiderio di veder pubbli- cate le opere sue, scaturiscono onestamente ingenui quasi in ogni lettera e si ritro- vano epicamente compendiati nelle pagine grandiose del suo testamento (16 nov. 1603) riferito, per extenso, nella citata opera di FANTUZZI (pag. 67 e seg.). Due altre volte ancora e per altri motivi richiese ALDROVANDI l’aiuto dei Gran- duchi di Toscana; e tutte due le volte, come risulta evidente dalla corrispondenza, per compiere opere che elogiano la nobiltà del suo carattere. Nell'anno 1578 e nel 1585 per richiedere Francesco I della sua potente intro- missione presso il Pontefice Gregorio XIII, acciò non venisse, per l’honore et dignità della Casa Aldrovanda, defraudata questa della carica nel Quarantado del Reggimento di Bologna, dopochè per la durata di anni 140 detta carica aveva nobilitato i membri della sua famiglia! Nell'anno 1603, nell'intento di aiutare il giovane ALEssANDRO PIETRAMALA (v. let- tera), povero cittadino di S. Sepolcro nel Granducato di Toscana, perito nelle lettere e nelle scienze naturali, suo assistente, onde ottenergli dal legittimo sovrano FeRDI- naNDo I, il permesso di addottorarsi in Bologna sotto gli auspicì di esso ALDROVANDI “ gratis et amore ,, senza perdere con ciò, più tardi, il diritto di esercitare in patria. Da quanto emerge adunque dalle lettere, risulta che se ALDROVANDI implorò soc- corsi dai potenti suoi mecenati, li implorò per ideali altissimi che stanno all’infuori di qualunque personale interesse. L'amore per gli oggetti o le produzioni naturali, straordinarie o varie; la smania febbrile di arricchirne il Museo, erompono ad ogni momento; onde è che quasi in ognuna delle epistole (astrazione fatta di quelle per la nascita di un putto ducale; per le condoglianze in occasione della morte dell’infelicissima GriovaNnNA D'AUSTRIA; per congratulazioni nell'immediato e sciagurato matrimonio di Francesco I con Branca CAPELLO; e infine per l'assunzione al trono di FERDINANDO I), troviamo raccomandazioni, preghiere, caldissime supplicazioni rivolte ad ottenere dai potenti protettori, pitture, disegni di produzioni naturali di ogni sorta, di piante, di animali, vasi, semi, piante, (1) Lettera 32°. Bologna, aprile 1588. L 5 LE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI, ECC. 359 animali vivi o preparati,..... ogni cosa insomma rara, o mostruosa, o comunque stra- namente foggiata, quale in quei tempi di nuove scoperte, i viaggiatori potevano riportare in Europa, in special modo dalle Indie. E di tutto ALpRovaNnpI sì interessa; di tutto fa ricerca attivissima! ricorrendo anche ad artifizi, pur di averne copia per il suo Museo. Così scriveva il 1° aprile 1586 a Francesco I: Monsignor Segna Vescovo di Piacenza, mi disse che haveva veduto appresso la Maestà del Re FrLippo un libro di varie piante, animali et altre cose indiane nove, dipinte ; cosa veramente regale; perciò se piacesse a V. A. Serenissima per il Signor suo Ambasciatore di Spagna trarne ritratto di qualche figura degna, penso che non le potrieno fursi esser discari..., e tutto ciò per ottenerne in seguito le copie dal pittore Granducale!, e tanto si accende, il povero vecchio, dal desiderio di vedere le cose accumulate nei Musei e nei giardini del GRANDUCA, che così gli scrive: Il ragguagliarmi poi che Ella fa d’haver raccolte tante varie cose rare et peregrine, come d’animali aquatili et terrestri dell’ Indie et d'altri luoghi, mi ha così acceso di desiderio di vederle per servirmene alle historie mie, che sarà forza un dì, piacendo a dio, mi trasferisca a vederle! (1). Nel Museo aldrovandiano, “ admirabilem Universi mercatum ,, celebrato in versi e in prosa, in greco, in latino ed in volgare, ammirato come una delle meraviglie del- l’epoca, dove “ mundi patet ampia suppellex ,, tutti i rami delle naturali discipline erano ugualmente rappresentati. Le descrizioni, i cataloghi che ne rimangono (2), l’Elenco dei personaggi che lo visitarono, non che i materiali residui che ancora ci perven- nero, stanno a testimoniare l’opera immensa compiuta da quella prodigiosa attività di ricerca che ebbe alcunchè di febbrile durante tutta la lunga vita di ALDROVANDI. Nelle lettere aldrovandiane qua e colà si incontrano dati riferentisi alle raccolte destinate al Museo, ai disegni eccellenti che ancora oggi fortunatamente in gran parte si conservano; alle pitture o meglio alle miniature di Lorenzo BENNINI fioren- tino, di CorneLIo Swinto da Francoforte, e in parte anche dal celebre veronese JA- copo Licozzi allievo di PaoLo CALIARI, pittore del GranpUCcA, che dedicò l'ingegno e la straordinaria maestria del pennello a rappresentare colla più penetrante verità di particolari i vegetali e gli animali (3); alle piante essiccate e agglutinate negli (1) Lettera 14 aprile 1586. (2) Vedi a questo riguardo i lavori citati e gli Elenchi interessantissimi per le indicazioni di dati e di nomi conservati nella Biblioteca di Bologna fra i manoscritti Aldrovandiani, ai numeri 41 e 110 — Catalogus virorum qui visitarunt Museum nostrum et manu propria subscripserunt in meis libris Musei secundum ordinum, dignitatum studiorum et professionum. — Intorno a questi catalogi, in numero di 5, vedi MarriroLo, loc. cit., pag. 72 et seg. (3) Fu anche merito particolare di Ulisse Aldrovandi quello di aver iniziata tutta una Scuola di artisti egregi, indirizzandoli ad un genere speciale di arte, della quale il Ligozzi Jacopo può dirsi il principe. Tanta è la precisione del disegno, la virtuosità della esecuzione, la perfezione mimetica raggiunta da questi artisti, che i Commissari della Repubblica francese incaricati da Napoleone I di scegliere in Bologna i capilavori da inviarsi a Parigi (5 luglio 1796) non esitarono a ritenere i loro lavori degni di accompagnare la sublime Santa Cecilia di Raffaello a Parigi, colla quale poi fortunatamente fecero ritorno in Italia nell’anno 1815, dopo il Trattato di Vienna. Intorno ai lavori di JAcoro LiGozzi e del suo nipote BarrtoLomeo, emuli e forse superiori ai noti Olandesi: Giovanni BrueeneL, DanieLe SeGnERS, Giovanni Davine pi Hrem, Giovanni Van Huysux, Ra- cneLe Ruysca, che furono ritenuti insuperabili nell’arte di rappresentare i fiori, spero in breve di 360 ORESTE MATTIROLO 6 Erbarii che per buona ventura pervennero insino a noi (1); ai semi, agli animali, e a tutte le altre produzioni naturali che facevano bella mostra nel Museo aldrovan- diano. Così, ad esempio, dalla Nota annessa alla lettera aprile 1588, rilevasi, che a quell'epoca le figure degli animali peregrini riprodotte al vero erano radunate in sedici volumi in numero di tre mila; che le piante essiccate e agglutinate erano in numero di sette mila e che di esse quattro mila erano dipinte al naturale; le prime raccolte in quindici volumi (2), quali attualmente si conservano ancora nella Sala dedicata alle raccolte aldrovandiane nei locali del R. Istituto botanico di Bologna (3); e che parimenti sommavano a quattromila le pietre, i marmòri, le gemme, i sassi, i metalli mezzi, i minerali et î succi concreti, come eletro, zolfo, bitume, canphora ed altri. Per la storia dei Musei in genere, e in particolare di quello famoso ideato e messo insieme da ULisse ALDROVANDI, sono adunque da ritenersi queste lettere di peculiare interesse. Degne di menzione sono pure le Epistole segnate coi numeri XXXVI a XXXIX, che si riferiscono alla richiesta di alcuni uccelli, di cui ALpROvAaNDI aveva bisogno per completarne la descrizione anatomica. Ricercando egli per bellezza et perfettion maggiore dell’opera sua, per intagliarla et disporla et precisamente descriverla con l’historia sua nel suo libro, uno apparato alle parti. anatomiche dell'Aquila e dell’Avoltoio, si rivolge al Granduca, scrivendogli che: desideraria il avoltoio, il quale fra più di sette- cento uccelli che aveva tutti intagliati în pero, siccome l'aquila, mai gli era capitato alle mani, e che riceverà da questo frutto non poco ogni studioso, come spera, l’opera sua ornamento e l’autore del dono gratia singolare. Aggiungendo inoltre nella chiusa della lettera 27 novembre 1591, che gli sarebbe molto necessario d’haver il vero animale vivo o morto, per cavarne la verità dalle tenebre et uscire dalle favole descritte da l’antichi! Io ricorro, scrive ALprovanpI, a V. Alt. Ser. siccome fece ARISTOTILE ad ALESSANDRO MaGno, quando compose l’historia d’animali, perchè queste piante et animali peregrini, non si possono conseguire se non per mezzo di grandissimi principi siccome è S. A. Se- rENiSSsima..... Parole che dimostrano l’importanza che l’ALprovanpi attribuiva all'osservazione diretta e diligente della natura, siccome appare luminosamente anche dalla lettera XXX, nella quale sono minutamente descritti i particolari anatomici relativi alla lingua delle specie de’ Pici, da lui sezionata e studiata. L'osservazione diretta, attenta e minuziosa della natura formò la base degli studî tassonomici e organografici che l’ALpROVANDI riassunse poi, per quanto ha riguardo ai vegetali, nelle 1700 Tavole sinottiche che compongono la Syntaxis plantarum, dove, poter presentare uno studio esteso, avendo avuto agio di fare le ricerche opportune nei Musei di Bologna e di Firenze e nelle Biblioteche, dove meritatamente si conservano come preziosi cimelî; per dimostrare come anche in questa arte speciale l’Italia fu maestra al mondo. V. anche MarTIROLO, loc. cit., pag. 77 e seg. (1) Vedi a questo riguardo MartIROLO, loc. cit., e le opere di Sr-Lacer, Camus, CaRUEL, SAccARDO, ivi ricordate. (2) Vedi 0. MamtIRoLo, IMustrazione del primo volume dell’Erbario di Ulisse Aldrovandi. “ Mal- pighia ,. Anno 1899. Genova. (3) Vedi 0. MartIRoLo, La nuova “ Sala Aldrovandi , nell'Istituto botanico della R. Università di Bologna. © Malpighia ,. Genova, 1898. f( LE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI, ECC. 361 come ho dimostrato (1), si ammirano con un senso di stupefazione i principî fonda- mentali di quel sistema di classificazione, che sotto il nome di sistema sessuale di Linneo, doveva duecento anni dopo conquistare il mondo! Nella lettera XXXII ALprovanpI ci offre, riassunto in lingua volgare, tutto il piano dei suoi lavori (2), spiega il concetto scientifico a cui erano informate le sue opere; ne indica le proporzioni, ne dimostra l'utilità per raccomandarne la pubblicazione (83). Questa lettera costituisce il documento più prezioso di tutto il carteggio, perchè ci fornisce il modo di abbracciare col pensiero tutta l’immensità dell’opera di questo fortissimo ingegno enciclopedico, che fu ad un tempo celeberrimo naturalista, medico insigne, filosofo, matematico, astronomo, storico, ed erudito valentissimo! Interessanti per molti riguardi sono pure per la storia delle scienze nostre i varì accenni ai nomi di naturalisti contemporanei suoi. Così, troviamo nelle lettere in più luoghi ricordati: GrusePPE CASABONA, semplicista del Granduca, noto general- mente sotto il nome di Benincasa, fiammingo, di bellissima fama come botanico, viaggiatore, coltivatore e importatore di piante esotiche in Toscana; il celeberrimo CLustus (De l’Écluse) — il notissimo GrroLamo MercuRIALE — Lorenzo BeNnINI (0 Bo- NINI), fiorentino, pittore abilissimo nel ritrarre gli oggetti naturali, come piante ed animali..... Messer GrovannANTONIO ConFREDI genovese, Dottore del Collegio di Bologna, che ALpRovanpI giudica così valoroso botanico, da raccomandarne al Granpuca FeR- pIinANDO I la elezione alla Cattedra dei Semplici di Pisa (1602), allora vacante, rile- vando un dato storico ignoto agli illustratori delle cronache dell'Orto pisano. Altri nomi chiari, quali quelli di messer GiuLrANO GRIFFONI, nipote di ALDROVANDI, camerlengo del Papa; del Senatore Grovanni ALpRovanpI, ambasciatore di S. S.; del Cardinale PaLEoTTI, di Towmaso NarALI LAaGusro, filosofo, medico e canonico di Cra- covia, ecc., figurano pure qua e là nella raccolta delle epistole, dalle quali pure emer- gono curiose osservazioni. Così ricorderò che ALprovanpI (6 aprile 1599), rivolgendosi al Granpuca FeRpI- NANDO, al quale aveva inviato in dono un esemplare della sua Orrithologia, lo supplica perchè voglia accordargli per dieci anni la gratia del privilegio — dicendo che se bene nel primo tomo egli non avesse inserito il privilegio, basterà che egli lo abbia appresso di sè, come sì costuma da alcuni altri. Indicazione questa, che io ritengo possa avere qualche importanza per gli studiosi della antica legislatura relativa alla proprietà letteraria; come possono averne per la storia delle edizioni aldrovandiane le lettere del Dottore GiuLio CuPeLLINO, agente del Duca di Urbino, relativamente alle sue re- lazioni coll’editore bolognese GeroLaMmo TamBuRINO, le quali figurano in appendice alla raccolta presente. (1) V. Marmroto, loc. cit. Da quanto ivi è riferito, colla scorta di documenti, risulta che la clas- sificazione Linneana dei vegetali deve essere considerata nulla più che una felicissima sintesi delle osservazioni dei predecessori di Linneo, fra i quali deve essere per primo annoverato ALprovanpI. (Comte c'est que l’antiquité ne nous fournit point d’exemple d'un dessein aussi étendu et aussi laborieur que celui de notre Ulysse à légard de V Histoire Naturelle, disse M. BayLe nel suo Dizionario. (3) £ se oltre alle mie deboli forze havessi qualche aiuto, verrebbe a luce alcuna delle mie opre, che così è necessario stieno sepolte! scrive egli ancora nell'età di 80 anni (Lettera 23 sett. 1602). Serie II. Tox. LIV. u! 362 ORESTE MATTIROLO i 8 Di minore interesse è la corrispondenza col Duca pi UgBINO, compendiata in 7 let- tere, in gran parte dedicate a ringraziamenti per gli aiuti che il Duca generosa- mente gli concedeva, anche nell'intento di possedere copia dei libri che fosse miniata coi colori naturali et con gran diligenza dai pittori di ALDROVANDI, siccome è ampia- mente riferito nelle lettere del CuPELLINO ; nelle quali è pure menzionato un Dot- tore Giovanni CorNELI, morto improvvisamente nel dicembre del 1619, il quale non è altri che il prediletto allievo di Arprovanpi, Giovanni CorNELTO UTERVERIO. Questi dopo la morte del maestro successogli nelle cariche (1605-1619), curò per alcuni anni la stampa delle opere di ALDROVANDI, continuatasi poi dall’AmBRrosini e purtroppo dal MontALBANO (1). Termino il presente scritto, che deve servire di introduzione e commento alla corrispondenza di ALDROVANDI coi Mepici e col Duca pi URBINO, dichiarando, che non ho creduto opportuno accompagnare le lettere con note illustrative (fatta eccezione di alcune da me ritenute indispensabili); imperocchè nulla avrei potuto, nè saputo ag- giungere alla chiarezza del testo e ben poco ho potuto ricavare dalle opere stesse di Arpropanpi e da quelle dei contemporanei suoi in merito a certi nomi strani usati in dette lettere per designare oggetti naturali, che poi sono stati altrimenti indicati dallo stesso ALprovanpi nelle sue opere. La maggior parte però dei nomi che si incontrano non hanno bisogno di spie- gazioni e specialmente quelli che indicano gli animali, si possono con facilità com- prendere da chicchessia. Trattandosi poi di personaggi sul merito dei quali la Storia ha giudicato inap- pellabilmente e severamente, mi compiaccio far rilevare come possano essere consì- derati quali titoli di merito, tanto il favore da essi concesso all’ALDROVANDI, quanto l’amore da loro dimostrato per le scienze naturali, alle quali anche gli ultimi di- scendenti della famiglia Medicea, pure così degeneri dagli avi, seppero rendere im- portanti servigi, accumulando materiali, collezioni classiche e libri rarissimi di scienza, i cui residui, rispettati dalle vicende del tempo, formano oggi ancora uno dei pregi che rendono storicamente importanti i Musei di Storia Naturale che si ammirano nella città di Firenze. A Francesco I e a Ferpinanpo I l’Italia va in gran parte debitrice di quel bril- lante movimento orticolo manifestatosi in Firenze sulla fine del XVI secolo, di cui tanta traccia rimane nel mondo; perocchè da Firenze si sparsero ovunque le nuove colture, le varietà più rispondenti ai capricci della moda, alle esigenze del lusso, ottenute coltivando le più rare specie delle piante importate dai più lontani paesi (2). La protezione illuminata accordata già da Cosrmo I a Luca GuINI; poi da FRAN- cesco I a Lurci Leoni, a Domenico BoscHi, a Giuseppe CASABONA, al sommo ANDREA (1) V. Fanruzzi, Opere stampate di Aldrovandi, pag. 106 e MartIROLO, loc. cit., pag. 40 e seg. per quanto riguarda gli errori di Montalbano! (2) V. Le innumerevoli opere dei Targioni, quelle del Mrcneti, del Lastra, è volumi dell’Acca- demia dei Georgofili ..... — e principalmente— A. TArGIONI Tozzemi, Cenni storici sulla introduzione di varie piante nell’agricoltura ed orticultura toscana. Ristampa. Firenze, 1896. — G. TarGIoNI Toz- zemti, Notizie sulla storia delle Scienze fisiche in Toscana, Firenze, 1852. — 0. MarmRoLo, IZ Calen- dario di Flora per Firenze, secondo il manoscritto dell'anno 1592 di Frate A. Del Riccio. “ Bollettino Soc. Ort. Toscana ,, 1900. — 0. MartIROLO, Cenni cronologici sugli Orti botanici di Firenze. Pubbl. del R. Istituto di Studi Sup. Firenze, 1899. 9 9 LE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI, ECO. 363 Cesanpino; da FerpIinANDO I continuata al CAsABONA, data al padre Francesco MA- LoccHi e da entrambi generosamente concessa a ULISsE ALDROVANDI; nonchè i risul- tati ottenuti mercè l’attivissimo commercio da essi mantenuto coi più rari semplicisti dell’epoca, che resero allora Firenze prima nel culto di Flora, non dovranno mai essere dimenticati dallo storico nel giudicare questi uomini. TAVOLA CRONOLOGICA DELLE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI ® [Ag'ancoscollgeeg gn en ne — © Lettere, N. 8 Anno 1577 ’ ” È O P 1578 3 h n SI su 1580 ” ” ” sil ” 1581 : È È eg £, dg1588 ” ” ” x 4 n 1585 x ; A se CB , 1586 3 - È Pià 5 1587 AGRErdIMando lese e 3 IDA = 1587 (cLCaveaVimta) MN N n. a Can: 2 1588 ” ” È go ” 1590 ” ” ” gui ” 1591 ” ” ” eg ” 1599 î È i a , 1600 > È r SI È 1601 ” ’ ” ERI ’ 1602 " ” n RAT: n 1603 " » a » 1 ” 1604 As Duer Ur bINO Re * e! A 1599 - A È Set] S 1601 ts fa È i I 1602 - 3 n na È 1603 A " n ve 3 1604 N. 55 Del D. G. Cuppellino al Duca d’Urbino . . . k ara | È 1599 Pali” » > ” SUBn x 1610 ” ” ” ” SÙ © 1611 - " » 5 sa 5 1613 ”» si 5 x | x 1614 s A È È E S 1616 E A & a n] A 1619 ” ” ” ” VS % 1620 z pi » x Sal2 s 1621 N. 12. (1) Va ricordato che quattro di queste lettere furono già pubblicate da Gruseppe PaLaci bibliote- cario, nell'occasione delle Nozze ALprovanpi-Marsano avvenute in Bologna, La pubblicazione (in folio), di 50 esemplari, fu fatta in Firenze coi tipi dei Succ. Le Monnier nell’anno 1873. Le quattro lettere sono quelle datate: 8 Settembre 1578 - 4 Giugno 1585 - 10 Dicembre 1585 - 26 Luglio 1587. 364 ORESTE MATTIROLO 10 Lettere di Ulisse Aldrovandi a Francesco I‘ dei Medici Granduca di Toscana (1577-1587). [£. Archivio di Stato di Firenze, Mediceo, Cart.° di Francesco I - Filza n° 698, 168]. Ser.®° Sig. Sig. et P.rone mio Col.»° Ancorchè l’osservanza et devota servitù ch’ho sempre portata a V. A. Ser.®* et alla Ser.m* Casa sua, possa haverle fatto fede et testimonianza della molta allegrezza et gran contento che ho preso della bella gratia fattali da N. S. Iddio, in haverli dato il Putto maschio, nondimeno m'è parso significargliela per il mezzo di questa mia; si come con ogni reverenza faccio, ral- legrandomene grandemente con V.A. Ser.®*, pregandoli ogni dì maggior contentezza et prospe- rità; con che, inchinandomele, le baso le mani. Et N. S. Iddio ogni suo desiderio conduca a lieto fine, ecc. Da Roma li xxrv di maggio 1577 Di V. A. Sere Humilissimo et Devotissimo Ser®® ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Ser.m° Sig. il Sig." Gran Duca di Toscana, Sig."° et P.rone mio Colendissimo, a Fiorenza. Filza n° 702, 11. Sereniss.®° Sig.°** mio sempre Colend.®°. Doppo la partita mia di Fiorenza a Bologna, sono stati tanti li travagli et fastidii che ho havuto per l’acerba et immatura morte del mio unico figliuolo, d’età di xvit anni, qual per l’età sua era ben fondato nelle lettere humane; di modo che per questi dispiaceri sono stato distratto di fare quello che era debito mio con S. A. a cui infinitamente mi trovo obligato. Hor venendo costì a Fiorenza il presente latore messer GiuLIANO (Griffoni) mio Nipote, per godere l’honorate feste di S. A. che si celebrarano per il Santiss.®° Battesimo del Sereniss.®° suo figliuolo nato; donde non ho voluto mancare con questa occasione di cometterli che faccia rive- renza a S. A. a nome mio con iscusarmi anchora appresso di quella del mio haver differito di scrivergli; et in segno della mia servitù et buon animo che ho verso lei, le mando una scato- letta con xxv cose naturali inchiuse, le qual forse potrebbe essere che le fossero grate, per non haver io veduto appresso quella consimili. Fra otto o dieci giorni gli ne mandarò un altra per mezzo del Sig.°* Grovanni ALpRovanDI, Senatore Ambasciadore a N. S. Et prego S. A. d’accettar il mio buon animo, perchè io dubito, come si suol dire, di non mandar acqua al mare. Et si persuada al certo che di tutte le cose che potrò, et mi pareranno degne di S. A. ne farò par- tecipe. Et essendo stato il mio Pittore quasi tutto questo tempo fuor di Bologna, et parte amalato, non ho potuto far depingerlì il Dracone et Riverso pesse dell’India per mandarglile. Et acciò habbia maggior lume di queste cose che io le mando, ho scritto un breve Catalogo, separato dalla lettera, secondo il numero de scartozzini, quali responderano al Catalogo. Et così farò nell’altre che le mandarò per l'avvenire. Appresso di questa scatola li mando quattro figure (1) Francesco I (II° Granduca di Toscana) n. 25 marzo 1541 - m. 9 ottobre 1587. tai x i pi! LE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI, ECC. 365 di quattro piante Indiane molto belle e rare, quali sono da otto anni che hebbi di Portagalo, et le feci dipingere nelle mie historie da questi originali, da quali S. A. potrà farne far pittura dal suo eccellente Pittore, il qual per il suo disegno le potrà aiutare et farle più belle et più perfette. Et S. A. si servi questi originali appresso di sè, perch’io n’ho fatto fare il trassonto di quelli nelle mie historie. Appresso di questo desideraria un favor singolar da S. A. la pittura di quei doi serpenti, cioè del Ceraste et Ammodite che mi donò vivi, perchè non havendo potuto haver il mio Pittore, non li ho potuto far dipingere; et uno di quelli è morto, qual ancora si sia magrito per essersi nutrito di suo flemma, non havendo mai mangiato. Lo fo essicare per mettere nel mio Museo. Desiderarei anchora per memoria di S. A. un vasetto di porcellana di sua inventione et un bicchiere di cristallo di montagna. Et non essendo questo per altro, con ogni riverenza basciando a S. A. le honorande mani, le desidero ogni maggior felicità. Di Bologna alli xrx di settembre 1577. Dell’Altezza Vostra Humiliss.®° et devotiss.®° Servitore ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Sereniss.®° Gran Duca di Toscana. Filza n° 703, 308. Sereniss.®° Principe Sig.° mio Colend.®°. Avendo io promesso a V. A. di mandarle alcune altre cose naturali per mezzo del sig.” GrovannI ALDROVANDI, eletto Ambasciatore dal Clariss.®° et Il1."° Senato nostro a N. S.; però non ho voluto mancare di sodisfare a quanto era debitore, supplicando V. A. ad accettare, secondo l’occasione che si offerisce di presente, questo piccolo segno della mia servitù; alla picciolezza del quale la prego che si degni di supplire con parte dell’infinita humanità sua. Et acciò che meglio ella possa confrontare la mia opinione, ho scritto separatamente un Catalogo brevissimo, con i numeri respondenti alli scartozzini dove sono inchiuse le cose mandate: nel medesimo modo che io feci nelle altre che le mandai questi giorni passati, seguendo il numero dal xxvi insin alli Lvi. Di più ancora ho aggionto a questo Indice quel medesimo che mandai a V. A. per mezzo di messer GiuLIANo GRIFFONI mio nepote, havendo seritto ogni cosa in questo libretto in quarto, acciò che più comodamente le possa leggere et confrontare, secondo le verrà l'occasione. Et non mi occorrendo altro a dire per ora, bascio con ogni riverenza le mani a V. A. pregandola a conservarmi nel numero de’ suoi minimi servitori; supplicando il Signore Iddio che le dia lunghissima et felicissima vita, per consolatione di tutti quelli che l’amano di cuore. Di Bologna, alli rr di ottobre 1577. De l’Altezza Vostra Humiliss.®° et divotiss.®° Servitore ULISSE ALDROVANDI. (fuori) A) Sereniss.®° Principe il Gran Duca di Toscana, Sig. mio Colendissimo. Filza n° 710, 240. Sereniss.®° Gran Duca Sig."° e P.rone mio Colendissimo, Se io non conoscessi V. A. Ser."® esser dotata e di prudenza e sapienza grande, nel vero mi sforzarei hora di persuaderle in qualche modo a comportare con l'animo quieto e pacato il dolore et affanno causato in lei dall’acerba et inaspettata morte della Ser.®* Gran Duchessa, già ottima Consorte di V. A. Ser." Ma sendo io certo che lei con incomparabile fortezza e con- stanza d'animo soporterà questo così acerbo e crudo colpo, per esser ella munita et armata di quelle belle e rare doti dell'animo che per tal caso le possono allegerire il conceputo dolore, altro non le dirò, se non che pigliando ogni cosa dalla benedetta mano del Signore Iddio, del tutto si conformi con la volontà di Sua Divina Maiestade; tenendo per fermo che noi più presto nell'animo rallegrar ci dobbiamo che contristarci; sendo noi certi che S. A. haverà commutata la terrena nella celeste patria, sendo ella stata lucentissimo specchio al mondo di bontà, di 366 ORESTE MATTIROLO 12 costumi e di virtù christiana; circa il che si può dire che S. A. non ha avuto all’età nostra pari, non che superiore. Ma forse è meglio di questo per hora tacere, perchè qui non è luogo di numerare le lodi sue. Onde si come crediamo che S. A. adesso godi felicemente i frutti delle sue santissime virtù che ebbe in terra, così dovemo pregare l’alta Maestà del Grande Iddio che vogli per sua misericordia far degni noi di rivederla un giorno in Cielo a laude e gloria del Suo Santissimo Nome. E con questo fine, e con quella maggior riverenza che io debbo, bascio le mani di V. A. Serenissima, desiderando che ella mi conservi nel numero de’ suoi minimi et aff.® Servitori. Di Bologna il dì 21 d’Aprile MDLXXVIII. Di V. A. Serenissima Humiliss.®° et devotiss.»° Servitore ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Ser." Gran Duca di Toscana, Sig." mio Colendissimo, Fiorenza. Filza n° 712, 286. Sereniss.®° Sig." mio Colendissimo (©) }} Ritrovandosi hora il Sig." Giovanni ALprovanpo mio zio, Imbasciatore di Bologna a N. $., infermato a morte, mi è parso perciò ricorrere a V. A. Sereniss.®® come a mio singolarissimo Signore, supplicandola con ogni affetto a volermi favorire d’una sua a S. B. (1) con pregarla che si contenti impiegare la dignità del Quarantado nella persona mia; essendo tal dignità stata per cento e quarant'anni continui nella casa nostra. Potrà anco lA. V. accrescere l’obligo mio con raccomandare l’istesso mio desiderio al Sig. MarcnEsE Boncompaeno, che mi voglia favorire appresso S. S.!è ad intercession pure di V. A. Et perchè so di che maniera suole favorire gli suoi servidori affettionatissimi, come io le sono, non mi stenderò più a longo in pregarla; le dirò solo che di quanto mi verrà sempre d’honore et utile, tutto riconoscerò dalla molta beni- gnità di V. A. Sereniss.®* alla quale vivo per sempre servidore obbligatiss.®°. Et qui bascian- dole con ogni riverenza l’honoratiss.®° mani, le prego dal Signore Iddio longa et felicissima vita. Di Bologna a dì 13 di giugno 1578. Di V. A. Serenissima Humilissimo et Deditissimo Servitore ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Sereniss.®° Granduca di Toscana Signor mio Colendissimo. Filza n° 713 493. ’ Sereniss,° Sig.r° mio Colend.m° Dalle lettere di V. A. et dal Commendatore di Santo Spirto, mio fratello, ho molto bene inteso l’amorevole et molto efficace offitio che a V. A. è piaciuto di fare a benefitio mio, e con N. S.°° e con il Sig. MarcHese Buoncompagno. Et se bene non è seguito l’effetto, non essendo venuto il caso; non è per questo che io non vivi all’A. V. obligatissimo, tanto quanto huomo che viva. Et tanto più che mi resta speranza si grande di poter conseguire all’occasione questo et maggiore cosa assai, mediante il molto favore dell'A. V.; quale promessomi da lei per l’av- venire, non per merito mio ma per sua infinita bontà, sarà molto bene messo in opera all’oc- casione da me. Et insieme con tutta la Casa mia di così segnalato favore et obligo che le dovemo, pregarò sempre per il felicissimo stato dell’A. V. alla quale con quella più riverenza che devo, humilmente le bascio le mane. Di Bologna il primo di luglio 1578. Di V. A. Sereniss.®* Humiliss.®° et obligatiss.° ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Sereniss.®® Granduca di Toscana, Sig.?* mio Colendiss.»°, Fiorenza. (1) S. B. = Senato bolognese. 13 LE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI, ECC. 367 Filza n° 725, 589. Sereniss."° Gran Duca Sig." mio Col.,m° L’esser io forse l’ultimo fra tanti suoi servitori deditissimi a congratularmi con V. A. Sereniss.®* del suo felicissimo matrimonio, non è stato causato d’altro, se non che di giorno in giorno desiderava in propria persona di fare questo uffitio; ma essendomi sopragiunti certi negotii publici, importanti, non ho potuto fare quanto era debito mio, il che m'ha portato non poco dispiacere. Ma forsi havrò questo di più de gl’altri, che l’avere io ritardato insin ad hora fare quanto ricercava la servitù mia, operarà che la mia allegrezza sarà in qualche consideratione appresso V. A. dove prima saria stata oscurata dal colmo delle congratulationi di tanti Principi et Signori Illustrissimi. Resta adunque che questa mia faccia quell’uffitio che a me non è stato permesso. Sono certissimo che non senza gran misterio dell'eterno Iddio, che ordina et dispone il tutto, sia venuto V. A. a questo legame del Santissimo matrimonio, del quale infinitamente mi rallegro, et ne piglio quella consolatione che deve un suo divotissimo Servitore come io le sono. Et non essendo questo per altro, con quella maggior riverenza che debbo, bascio le hono- rate mani a V. A. Sereniss.®* supplicando il Signore Iddio, che le dia longa et felicissima vita. Di Bologna alli 4 di luglio MDLXXVIIIT} Di V. A. Sereniss.m® Humiliss.®° et divotiss.®° Servitore ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Sereniss.®° Gran Duca di Toscana Sig.:* mio Colend.»° Filza n° 715, 226. Sereniss."° Gran Duca di Toscana Sig.** mio Colendissimo Con l’occasione del ritorno del signor Conpe Poriporo CasteLLI a Fiorenza, non ho voluto mancare, Sereniss.»° Gran Duca, di far riverenza a V. A. et insieme mandarle per il sudetto Sig." Conte sei figure, cioè quattro d’animali et due di piante peregrine; depinte al vivo dal mio pittore; et tal qual sono si degnarà accettarle et goderle per la servitù che li porto. Et acciò V. A. possa havere più particolarmente cognitione di queste cose che hora le mando, ho descritto separatamente in questo libretto un piccolo discorso sopra quelle. Et al primo numero è il Riverso di forma d’Anguilla, al secondo l’altro Riverso, quale è tutto spinoso, al terzo è il Coracino del Nilo, al quarto è il Serpente da dieci piedi mostrifico. Là prima pianta è ’1 fiore del Tigre, la seconda è la Corona Imperiale. Supplico V. A. che mi faccia favore di farmi havere la pittura del Ceraste et del Hammodite serpenti, che l’anno passato fece dipingere al suo pittore, acciò le possa porre nelle mie historie; perchè io non potè far dipingere quelli che mi donò l’A. V. non havendo potuto havere il mio pittore avanti moressero. Mi serà ancora carissimo haver un vaso di Porcellana et di Cristallo fatti di sua inventione. Questi giorni pas- sati ho havuto da Polonia le figure dell’Uro, del Turo et dell’Alce, che sono animali bellissimi, depinti al vivo; e se V. A. ne vorrà la copia la farò fare molto volentieri. Et se per mezzo suo se potesse havere di Polonia la pittura di sei sorti di Topi salvatichi et del Varo, de’ quali le mando il memoriale in questa inchiuso, con i suoi nomi proprii, mi sarà gratissimo ; et credo che ancora a lei sarà caro di haverle tra le sue pitture. Et non mi occorrendo hora altro, bascio con ogni riverenza le mani a V. A. Sereniss.®*, pregando il Signore Iddio a darle ogni pro- sperità et contento. Di Bologna, alli 8 di settembre 1578. Di V. A. Sereniss.®® Humiliss."° et deditiss.®° Ser.” . È ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Sereniss.® Gran Duca di Toscana. 368 ORESTE MATTIROLO 14 Filza n° 715, 227. Catalogus quorundam animalium, quorum icones ad vivum depictas e Polonia Ulysses Aldrovandus desiderat. Mus ponticus seu varius, vulgo Armelino vel varo, cui rutulus color mistus sit cinere. Poloni Murium sylvestrium, qui in pretio habentur ad vestimenta presertim nobilium, quatuor precipua genera observant; quorum picturas appeto scilicet: I. Popieliza (sic) grisei coloris est. II. Gronosthay animal albissimum in fine caude nigricat. III. Novogrodel ab oppido eiusdem nominis dictum albicat quidem, sed ita ut sit inter- mixtum aliquid grisei. III. Vuenvork castanes colore clare; haec genera omnia parva differunt coloribus, capitis forma et victu quod alia in terra, alia in arboribus degunt. Secundum quidem genus non aliud quam MHermolinum vulgo dictum esse apparet. Primum et tertium ad Variorum sive Ponticorum, murium genus refero, quartum sciurum significat sed nos eum habemus, si diversus est a nostro Italico, mittatur. Mustella, Zebelino, valgo, mas, et femina, presertim si in sexu sit discrimen. Filza n° 742, 284. Sereniss.®° Sig." et Pron.® mio Col.m° Tanto è grande la cortesia et benignità che l’A. V. si degna usare ogni giorno verso di me, suo minimo servitore, che in vero non saprei trovare parole con le quali potesse debbita- mente ringratiarla. Nondimeno con quella più gran riverenza che posso ringratio per questa mia lA. V. Ser.» delle figure de serpi et uccelli Indiani, che sono benissimo dipinti al vivo. Però mi sono state gratissime et l’ho fatto subito legare con l’altre mie figure. Ringratio pari- mente V. A. Ser.» della lettera scritta al R.®° Arcivescovo di Fiorenza, suo Ambasciatore a Roma, a mio favore per conto del Quarantado; la qual con buona occasione presentarà Mons.” Commendatore mio fratello al prefato suo Ambasciatore, acciò faccia officio per noi favorevole con N. S. con ogni occasione che potesse avvenire. Il mio pittore è stato ammalato insin a morte d’una grave caduta, come potrà intendere dal presente suo simplicista. Però non ho potuto fare quel tanto che io desiderava di mandarle qualche cosa straniera; ma hora incomincia a star bene, et subito potrà depingere non man- carò di mandarle qualche figure che crederò piaceranno all’A. V. Ser.®® alla quale mi trovo obligatissimo Ser."*. Et con ogni riverenza le bascio le mani et le prego dal Signore Iddio feliciss.®° successo in tutte le sue imprese. Di Bologna il p.° di decembre MDLXXX. DIAVANARISen5o Humil.®° Ser. ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Sereniss.®»° Gran Duca di Toscana, Sig."* et Pron.® Col.m°, Filza n° 745, 243. Ser.®° Gran Duca S.° mio Col.m° Hancor ch'io sappia quanto sia copiosa V. A. Ser.»® di molte cose naturali, nondimeno con l’occasione di messer GiuLIaNo GRIFFONI, mio nepote, il quale se ne passa a Roma, mando a V. A. Ser.®* sei figure varie, tre di piante et altre tante d’animali, le quali forsi 16 potranno esser care. E se pur non seranno così a suo gusto, le potrà far di nuovo depingerle dal suo i 1653 LE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI, ECO. 369 diligente pittore. Et perchè V. A. Ser.®* habbia più minuta notitia delle sudette figure, le mando un puoco di discorso sopra di esse separatamente. Nè restandomi altro che dirli, con maggiore humiltà che debbo le bacio le mani, raccordandomeli suo obligatiss.®° Ser." Di Bologna il dì x di marzo 1581. INTE VER RE Humiliss.”"° et devotiss."° Ser." ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Ser." Gran Duca di Toscana, Sig."° et Pro.° mio Col.m°, Filza n° 760, 555. Sereniss."° Pron.° mio Col,m° Ho desiderato molte et molte volte di saper le piante che nel Giardino dell'A. V. Ser.®® si ritrovano, tutto per poterla servir in cosa che le fosse cara, et per molte volte che n’ habbia scritto a m. Groserro (1) suo giardinero, mai ne ho havuto gratia. Dove ho risoluto supplicarne con questa mia V. A. Ser." a contentarsi di porgermene lei stessa occasione, essendo che altro non desidero che di servirla. Mi posso assai ben credere che ’l suo Giardino sia copiosissimo, dove dubito che mandandole io qualche cosa, non sia poi fuora di proposito, et che quella se le ritrovi. Tuttavia ho voluto mandarle per questo mio huomo a posta certe cose a ventura; le quali se le saranno di gusto mi sarà cariss.®° et se non, saranno almeno cagione che quella si risolverà a mandarmi nota di tutto quello che nel Giardino di V. A. Ser.®® sì ritrova, a causa che per l’avenire io non incorra più in questo errore. Et ciò lo dovrà fare, perchè se bene non mi troverò io cosa nel mio giardino per lei, sarò almeno buono da procacciarne, et da indrizzar lA. V. Ser."* di dove lei potrà cavare cose rarissime, le quali a me sono in progresso di tempo morte. Et queste sono, alla somma che ne ho havuto, da 7000/m, le quali sono appresso di me parte depinte, parte essicate et agglutinate ne libri. Delle quali potrà V. A. per mezo di miei Cataloghi haverne notitia, et le metterà assieme in pochissimo tempo, per la gran potenza che lei tiene in tutte le parti del mondo, cosa che a me ci è corsa un etade. Si risolverà dunche V. A. Ser.®* di servirsi di me in tutto quello vederami buono. Et se anco manderà il suo m. GroserFo o altro qua nel mio giardino, sia certa che pur che ci sia cosa a proposito suo, che ne sarà patrona di quelle che saranno etiam uniche, non che del resto, et mi reputarò favoritissimo se mi commanderà. Et con ogni riverenza le bacio la mano. Di Bologna alli 26 d’aprile 1583. DIVA: Sera Obligatiss.®° et Humiliss.®° Serv.” ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Sereniss.»° Gran Duca di Toscana Sig.”° et Pron.° mio Col.m°. Ivi a 556. Catalogo delle piante mandate dal Dottor Aldrovandi. Scilla over Squilla, venuta da Cephalonia, la quale, come ancora si può vedere dalla sua base, era quattro volte più grande che hora si vede. Chamairis Lutea caerulea. ° Argentina. Rhodia radix. Ranunculus Illyricus. Trinitas flore albo purpureo. Clematis :Daphnoides Flore candido, rubro, purpureo. (1) Giuseppe Casabona. V. pag. seguente. Serie II. Tom. LIV. vi 370 ORESTE MATTIROLO 16 Dictamnum Cretense verum. Thalictrum minimum. Calamentum Aquaticum. Calamentum Anglicum, variegatum albo et viridi. Caryophyllum Ungaricum. Thlaspi Orientale parvum. Anemone Mediolanensis. Bulbus Eriophoros. Thlaspi contra morsum canis rabidi. Salvia minima. Carduus Eriophoros. Titymalus dendroides. Cithisus verus. Tanacetum Anglicum. Digitalis maior. Archangelica flo. albo. Filza n° 763, 246. Sereniss.®° Sig.!* e Pron.° mio Col.m° Andando a Roma messer GruLiaNo GRIFFONI, mio nipote, con l’Ill.®° Cardinal GUASTAVILLANO, suo Signore, mi è parso debito di servitore di basciar la mano a V. A. Sereniss.®* con questa mia, et inviarle insieme queste poche sementi, che mi sono state mandate questi giorni di Fiandra e di Spagna; le quali prego voler accettare per sua benignità, quantunque non ci sia forsi cosa ch’ella non habbia; sendo il suo Giardino di tante cose rare pieno, che toglie a suoi servitori divotissimi, qual io le sono, il modo di poterle servir in cosa alcuna. Nè per questo mancherò di far sempre parte a V. A. Sereniss.®* di tutte le cose rare che mi capitarrano alle mani, essendo desiderosissimo di mostrar di continuo qualche segno della servitù che le porto. Fra tanto pregarò l’Altissimo Iddio ad effettuarle tutti gli suoi sublimi e santi pensieri. Di Bologna alli 21 settembre 1583 Di V. A. Sereniss.® Obligatiss.®° Servitore ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Sereniss.»° Gran Duca di Toscana ecc. Filza n° 764, 92. Sereniss.®° Sig.t° et Pron.® Col.m° Havendomi scritto M. GrosePPE DI CAsABUONA che desideraria haver una pianta o due di Vidalpa doppia del fior purpureo, ho aspettato tempo opportuno di mandarle. Così parendomi hora stagione atta a trapiantare, mando a V.A. Sereniss.®* una pianta di questa Vidalpa doppia, che facilmente si può dividere in tre piante, in una scatola per il suo Corriero, acciò resti manco in viaggio. Se altro desiderarà, non mancherò mai di servir l’A. V. in tutto quello che potrò. Però la supplico che ella si degni commandarmi, che da questo riceverò infinita conso- latione, non cercando io altro che di poter mostrare a V. A. la servitù et obligo infinito che le tengo. Et le prego da Dio N. S. lunga et felice vita. Di Bologna alli 28 di novembre 1583 DAVARASISerEE humiliss.®° et obligatiss.®° Serv," ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Seren.®° Gran Duca di Toscana Sig." et Pron.® Col.m°. J " 17 LE LETTERE DI ULISSE ALDROVANDI, ECO. 971 Filza n° 772, 657. Sereniss.®° Sig." et Pron. mio Col. Essendomi a questi giorni stato mandate da Costantinopoli e da Vienna dal CLusro alcuni semi, ho voluto inviarle subito a V. A. sperando che lei con la sua solita benignità si degnerà accettarli tal qual sono. Mi rincresce bene che siano così pochi et non così rari come io desi- derarei mandarli per il suo regio giardino; ma acceterà il mio buon animo, che sempre è pron- tissimo per servirla. Et con questo baciando con ogni debita reverenza le mani a V. A. Sereniss."® le prego da Dio ogni felicità. Di Bologna alli 16 d’aprile 1585 Di V. A. Sereniss.®* Umiliss.®° et obligatiss.n° Serv.” ULISSE ALDROVANDI. (fuori) Al Sereniss.®° Gran Duca di Toscana, Sig."° et Pron.° mio Col.m°. Filza n° 774, 33. Ser.®° S.7° mio Colend.m° Tanta e tale è la magnanimità e benignità Sua, Ser.®° S.°* mio, che viene in me tal volta superato et vinto ogni rispetto di fastidire una tanta Altezza et disoccuparla da suoi reali et alti pensieri, sicome ora faccio con questa mia a lei humilmente inchinandomi. La Santiss.* memoria di PaPA GrEGORIO, morto il $."° GirovanNI ALpROvANDO senatore, mio zio, levò (et forse non le fugge da la memoria) di casa nostra il Quarantado, et lo diede al Bon- figlio, suo Tesoriero, a cui prima l’havea promesso. Hora temendosi che non sia per restarsene privo, perciò il risguardo che io ho a l’honore et dignità di Casa nostra, che mi preme assai, et li suoi, già di molto rilievo, pronti et cortesi favori in tal occasione fattomi, et le proferte di nuovo, son stati duoi sproni, con che sino a lei subito ho mosso questa mia, humilmente et caldamente pregando V. A. Ser.®* si degni scriverne in raccomandatione mia al Ill.®° S.°” suo Imbasciatore con quella caldezza che ha fatto altre volte in questo negotio (di che se bene non è seguito l’effetto, tutta via come se l’havessi conseguito le ne tengo quel’istesso obligo), et in mat." che essendo privato il BoxrieLIo del Quarantado, operi con Sua Beatitudine, di commission di V. A. che sia rintegrata di quello la Casa Aldrovanda, et particolarmente la persona mia. Appresso supplico V. A. Ser.®* favorirmi di mandarmi la sua, diritiva a me, che io la farò poi a l’occasione presentare all’Ill,mo S.° Suo Imbasciatore, per mezzo del S.°* GruLIaNno GRIFFONE mio nepote, Camarlingo di N. S.:°. Il che tutto sarà riposto a perpetua memoria ne l’animo mio con gli altri oblighi che ho infiniti a V. A. Ser.®*, a la quale il S.7° Iddio doni quei con- tenti che essa desidera, et io con ogni debita riverenza baciole le mani. Di Bologna a dì 4 giugno 1585 D. V. A. Ser.,m® humil.®° et obligat.®° Ser."e ULIssE ALDROVANDO. (fuori) Al Ser."® S.°* mio Colen.®° il Gran Duca di Toscana. Filza n° 774, 64. Ser.m° S.°t mio Col.m° Ho ricevuto le lettere di V. A. Ser." con l’inclusa all’I11.»° S.°" Ambasciatore suo, e come indubitatamente aspettate, così indubitatamente et oltra modo care et dilettissime, di che non so, come vorrei, nè posso, a pieno ringratiarla. Solo con gli oblighi infiniti mi restarà, Ser.®° S.° mio, questo vivo desiderio, bramando che sì representa occasione che si degni farmi un minimo cenno di suo commandamento, che questo reputarò somma gratia. 372 ORESTE MATTIROLO 18 Di quà le dò di novo come in Bologna si trovano due Gazzelle, maschio et femina, con l’hinnulo di sei giorni, et un Porco Indiano, il quale ha sopra il dorso un forame con che urina, oltre il suo loco naturale, ma questo credo che sia mostrifico, tutti quatro vivi, in mano d’uno che dice che se ne viene a presentarli a V. A. Ser.»® Io li ho fatto dipingere al mio pittore, per che mi piacevano assai, nè mai vidi simili animali. Non occorrendome altro che darle di quà di novo, a V. A. Ser.®* con ogni riverenza bacio le mani, pregandole dal S."* Iddio longa et vera felicità. Di Bologna, a dì 11 giugno 1585 DIV. v,— n'=50—8=42. a spettri di due, tre e quattro righe sono rappresentati nelle ultime 7 SU LA STRUTTURA DEGLI ATOMI MATERIALI 4()9 subito come il problema rimanga indeterminato, quando anche si assegnino i rapporti delle lunghezze d'onda (!). $ 4. Un possibile indirizzo dell’analisi spettrale. — Una volta dimo- strati i teoremi dei paragrafi precedenti, sì vede subito quale sia la strada, che conviene battere, quando, da uno spettro osservato, si voglia ricavare qualche indizio su la natura del complesso vibrante. Bisognerà anzitutto procurare di riconoscere se il sistema, che si considera, comprenda un solo conduttore o invece ne abbia parecchi, e ricercare in seguito la forma dei singoli elementi. Per questa via l’indeterminazione del problema risulta infatti sensibilmente diminuita. Se, per esempio, lo spettro proposto ha sei righe, e, con qualche artifizio spe- rimentale, si riesce a stabilire che il sistema emittente contiene due conduttori a tre oscillazioni, la difficoltà di determinare la forma di ciascuno (e quindi dell'intero complesso) diventerà di gran lunga minore, che non sarebbe stata da principio. In luogo di 48 casi possibili ne resteranno infatti 3 soli superstiti per ogni elemento. (*) Sia dato, per fare un caso semplice, un conduttore del tipo d (Tav. I) e si supponga che in esso i due fili e le tre capacità siano uguali fra loro. I periodi saranno forniti senz’altro (Memoria citata, $ 4) dalle formole: T,=2nV LC, DE T, sm V- 3° s essì hanno dunque un rapporto bene determinato. Malgrado questo lo stesso spettro si può anche ottenere, ad esempio, dal sistema (aa). Supposti uguali fra loro, anche nel caso presente, i fili e le capacità, verrà subito (Memoria citata, $ 15): , ‘92 A+u) rim GE r=on ff La congruenza degli spettri si ottiene quando siano soddisfatte le condizioni: 2LC=(X+ 4), e: (*) 2 3 LC=(X—- W)Y, dalle quali risulta anzitutto : 4 op 3 L e e: i 5 LC=UY, e, dividendo membro a membro: i A (a) u=—. Portando poi questo valore in una qualunque delle (*) si ricava: (5) \X= 3 LC. Non solo dunque i vincoli imposti sono accettabili, ma vi è anzi un sistema semplicemente infinito di soluzioni. Serie II. Tom. LIV. pì Mi. 410 ANTONIO GARBASSO 8 $ 5. Ricerche di Sir N. Lockyer: linee lunghe e linee brevi. — Inda- gini nel senso indicato furono condotte già, se pure senza preconcetto teorico, da molti anni e da varii autori. In primo luogo, per la data e per l’importanza, conviene citare le belle ricerche di Sir N. Lockyer su le Linee lunghe e brevi (1). Il Lockyer (?) osservava nelle sue esperienze delle scintille fra elettrodi metal- lici; e poneva davanti allo spettroscopio una lente, per modo che sopra la fenditura (allargata) si venisse a formare della scintilla una imagine reale. se i poli sono di due diversi elementi si produrranno “ In queste condizioni (*) “ tre spettri distinti. Nella parte superiore apparirà una regione ricca del vapore “ più basso, nella parte inferiore una regione ricca del vapore più alto, ed una fram- “ mezzo ricca nè dell'uno, nè dell'altro. Così abbiamo nello spettro come tre strati, “ almeno: e cioè gli spettri del vapore superiore, del vapore inferiore, e della regione “ centrale ,. “ Si capisce a prima vista, che si produrrà una condizione di cose assai somi- “ gliante se invece di una scintilla adopereremo un arco elettrico, nel quale il solo “ vapore della sostanza resa incandescente occupi tutto l’intervallo fra i due poli. “ Possiamo proiettare l’imagine di un tale arco (orizzontale) sopra una fessura ver- “ ticale; la quale così ci darà lo spettro di una sezione ad essa perpendicolare....... “il vapore, che si trova lontano dal nucleo dell’arco, dà uno spettro assai più “ semplice di quello, che si trova nel nucleo medesimo. Lo spettro del nucleo con- “ siste di una grande quantità di linee, le quali vanno scemando di numero: finchè «“ quello delle regioni più laterali si riduce ad una linea sola (sic) ,. Quelle righe, che appartengono alla radiazione di diverse regioni della scintilla o dell’arco, appariscono naturalmente nello spettro più lunghe delle altre, che carat- terizzano una sola regione in modo particolare. Il Lockyer osserva in fine, e la cosa deriva con tutta naturalezza da ciò che precede, che le righe lunghe si mostrano più facilmente delle altre e in condizioni assal varie. Da queste esperienze il nostro autore dedusse subito la verisimiglianza della dissociazione dei così detti elementi; ma concluse anche all’impossibilità di stabilire la cosa per via di esperienze. Cito letteralmente (4). “ Si può certo ammettere che il calcio una volta formato, sia poi un elemento “o no, costituisce un ente distinto; e per conseguenza, se ci limitiamo a sperimen- “ tare sopra di esso, non potremo mai decidere, ancorchè, in avvenire, se ne accer- (4) Sono riassunte, almeno in parte, negli Studi di analisi spettrale, dei quali esiste una tradu- zione italiana (Milano, F.li Dumolard, 1878). Prima del Lockyer lo Sroges (“ Phil. Trans. ,, CLII, 1862), osservando direttamente una scin- tilla elettrica, con lo spettroscopio privo di fenditura, aveva notato che le righe metalliche si distinguevano da quelle dell’aria, perchè apparivano solo a piccola distanza dalle punte degli elet- trodi, mentre le altre attraversavano lo spettro in tutta la larghezza. () L. e., Capitolo II, 42 e Capitolo V, 182. (() Ubs 04,2 (4) I. e., 182. 9 SU LA STRUTTURA DEGLI ATOMI MATERIALI 411 ® tasse la dissociazione, se la temperatura produce una forma più semplice, una “ condizione più atomica della medesima cosa, oppure se la sostanza si decompone ta effettivamente in X+ Y; e ciò perchè, nè X nè Y potranno mai variare di pro- “ porzione ,,. Vale la pena di considerare un poco da vicino codesto ragionamento, perchè in realtà, sebbene appaia limpido e piano, esso è in disaccordo con i resultati più semplici e più sicuri della teoria. Ho stabilito nella Memoria più volte citata ($ 18) che se si considera un sistema di a conduttori, e le caratteristiche di questi sono date sotto la forma: Ma=0, (a=102 30) la caratteristica del sistema complessivo potrà scriversi simbolicamente: Ri, . Ni, 00 Mia Ea > Kuv,uw Muy Mu Vv == 0. Se uno dei conduttori, per esempio il conduttore Mia, venisse a separarsi dal sistema, si otterrebbe subito, come nuova caratteristica: Ma } DA: . M, 0 Ma-1 . Mai Der Ri, + 2 Kuvuv Muy Muy | = 0, essendo adesso le u, v, u',v' soggette alla restrizione di non poter mai assumere i valori proprii dei fili contenuti nell’a-esimo conduttore. A parole: per il solo fatto che l'elemento a è uscito dal sistema, tutte le righe dello spettro appariranno spostate. Non è vero dunque che l’esperienza non sia in caso di decidere se il calcio o un altro metallo si dissocia nella scintilla elettrica; anzi le fotografie ottenute dal Lockyer, mostrando le linee (lunghe o brevi) perfettamente diritte, provano con tutta sicurezza che, nelle condizioni delle sue esperienze, la dissociazione non è avvenuta. $ 6. Ricerche di Sir N. Lockyer: linee basiche. — Il Lockyer, dalle sue osservazioni su le linee lunghe e le linee brevi, volle dedurre anche un’altra conse- guenza, che, quando fosse confermata, avrebbe un’importanza eccezionale. Se, per esempio, studiando (') gli spettri del calcio e dello stronzio incontrava una stessa linea, ma lunga nel primo e breve nel secondo, questa veniva da lui attri- buita ad una impurità (tracce di calcio), almeno nel caso in cui apparissero, con quelle dello stronzio, anche le righe più lunghe dello spettro del calcio. Nel caso opposto restavano due soluzioni possibili. O la riga apparteneva ad un terzo elemento, o era veramente comune al Ca e allo Sr, derivando da una porzione, che si ritroverebbe in entrambi gli atomi. Ma la prima ipotesi si poteva scartare facilmente col confronto degli altri spettri, e in particolare di quelli proprii dei corpi più affini. Per questa via il Lockyer fu condotto a ritenere che esistono veramente nella natura delle righe, caratteristiche di più corpi ad un tempo. E le chiamò linee basiche. (') H. Karser, Handbuch der Spektroscopie, Il, 264, 1902. 412 ANTONIO GARBASSO 10 Mentre dunque dalle prime ricerche risultava, secondo il fisico inglese, la com- plessità degli atomi, da queste ultime egli dedusse la prova che in più atomi si può ripresentare il medesimo sistema vibrante. Le ricerche ulteriori sembrano, ad ogni modo, avere dimostrato che non vi sono linee basiche (!); e che le coincidenze osservate dal Lockyer erano dovute, in massima parte, alla piccola dispersione dei suoi apparecchi. Non è il caso dunque di insistere troppo in proposito. Voglio osservare però che se, con mezzi estremamente delicati di ricerca, si potesse stabilire con tutta sicu- rezza la coincidenza di una o più linee in spettri di diversa origine, questo resultato sarebbe più contrario che favorevole all’ipotesi del Lockyer. Perchè, quando uno stesso conduttore (per usare il termine della mia teoria) entrasse a far parte di sistemi differenti, le sue righe caratteristiche non potrebbero in nessun modo conservare la loro posizione. $ 7. Ricerche di Sir N. Lockyer: dissociazione degli elementi nel sole. — Di ben maggiore peso si devono ritenere, per il nostro argomento, alcune osservazioni fatte dal Lockyer su gli spettri delle protuberanze (?). Dalle quali osservazioni ri- sulta che in codesti spettri, alle ® | volte, certe righe o serie di righe | | | appariscono spostate, mentre al- | ol ESCE] tre righe dello stesso metallo ri- | | mangono ferme, o, più spesso, si è | muovono in senso opposto. © è | ! La conclusione del Lockyer | i (accettata anche dal Kayser), che 3 | segua di qui la complessità e la | dissociazione degli atomi elemen- tari, è in perfetto accordo con la teoria. e) | Riporto a proposito, per | maggiore chiarezza, una serie di figure, tolte da una mia Nota recente (8). | La prima e la terza di que- sN ste figure rappresentano due di- ; versi conduttori con due gradi a è di libertà, e gli spettri relativi; ee la figura seconda corrisponde alla | o i | | 4 (') Si veda la bibliografia nel Kayser, 1. c., 266. (2) KaysEr, l. c., 271. (3) A. GarBasso, Su la teoria dell'analisi spettrale, “ Boltzmann-Festschrift ,, Leipz., J. A. Barth, 1904. Ja SU LA STRUTTURA DEGLI ATOMI MATERIALI 413 riunione di un conduttore 7 con un conduttore 3; la figura quarta al sistema di due conduttori 3. Come si vede subito, lo spettro dell'atomo complesso (1, 3) ha quattro righe, che non coincidono esattamente con quelle dei componenti. Se dunque l’atomo, di cui si tratta, venisse a dissociarsi, il vapore (1-3) mostrerebbe certe linee spostate verso il rosso, e certe altre verso il violetto. $ 8. Le serie di Kayser e Runge. — Le osservazioni del Lockyer, di cui ho parlato finora, rispondono in certo modo al primo problema dell’analisi spettrale, da me posto nel paragrafo quarto di questa Memoria; le ricerche di KAyser e RunGE (1) su gli spettri dei corpi semplici contengono, almeno implicitamente, un accenno alla soluzione del secondo problema. Di quello cioè che si riferisce alla struttura dei con- duttori elementari dell’atomo. Kayser e Runge hanno trovato, come è notissimo, che in molti spettri esistono delle serie di righe, definite da una formola del tipo: (A) x = A+ Bn? + Cn dove A, B, C sono quantità costanti, e per n si deve porre la successione dei numeri interi a cominciare dal 3. È naturale di pensare che le righe collegate insieme in un modo tanto semplice derivino da un unico conduttore (?); e le esperienze di Kayser e Runge indicano anche una strada facile e piana, per sceverare uno dall’altro i diversi elementi costi- tutivi dell'atomo. Gli autori citati osservano infatti a più riprese che talune serie appariscono invertite nello spettro, mentre altre non lo sono. Poichè Kayser e Runge adoperavano come sorgente un arco voltaico, nel quale facevano evaporare i metalli studiati, se ne può dedurre senz'altro che le diverse serie saranno diversamente distribuite nelle varie regioni dell'arco. Una riga infatti apparirà invertita se è emessa in uguale misura dalla parte centrale dell’arco e dal mantello. Sarà brillante se predomina nella prima regione, e manca nella seconda. $ 9. Ricerche di F. Lenard su lo spettro dei metalli alcalini nel- l’arco. — Nasce da queste risultanze l'opportunità di studiare il comportamento dei metalli nell’arco voltaico; la cosa fu tentata infatti dal LenARD, sebbene in condi- zioni poco favorevoli, come si vedrà nel seguito, almeno dal punto di vista teorico. Il Lenard (3) produceva l’arco fra due carboni, dei quali l’inferiore (positivo), foggiato a coppella, conteneva un sale del metallo in esame. Egli studiò in modo (4) Kayser, l. c., 503-573. (*) Se non erro, la cosa fu avvertita la prima volta da me. Si confronti il $ 20 della Memoria citata, nel quale è descritto uno speciale conduttore che, almeno in certi casi, fornisce degli spettri costrutti secondo la formola (A). (*) P. Lenarp, Veber den elektrischen Bogen und die Spektren der Metalle, © Ann. der Physik ,, (4), XI, 1903. 414 ANTONIO GARBASSO 12 particolare gli spettri del sodio e del litio, e si valse del metodo classico del Lockyer, proiettando, in altri termini, su la fenditura allargata un’imagine reale dell’arco voltaico. In questo modo ogni linea viene sostituita naturalmente da un’imagine colo- rata dell'arco, e si può riconoscere subito quali lunghezze d’onda spettino alle diverse regioni. Nelle esperienze del Lenard il fenomeno luminoso è costituito da due fiamme, che si toccano per un punto del loro mantello. La forma caratteristica si svolge quando l'intensità va oltre ai 15 Amp., altrimenti la fiamma di sopra è piccolissima e serrata verso il carbone. In ogni caso le apparenze luminose sono meglio spiegate quanto più grande è la distanza degli elettrodi. Sperimentando in questo modo si trova che le fiamme corrispondenti alle linee della serie principale (Hauptserie) sono le più lunghe, poi vengono quelle della prima Nebenserie, e da ultimo quelle della seconda. Le esperienze rendono sempre più probabile la complessità degli atomi per il sodio e per il litio; resta però impregiudicato un problema della massima importanza. Se in un dato punto dell’arco le linee appartenenti ad una serie speciale vengono a mancare, si possono dare della cosa due diverse interpretazioni. Può ritenersi in primo luogo che l’atomo sia dissociato, e che il conduttore corrispondente alle righe di cui si tratta non esista più in quella determinata regione. E si può pensare invece, con uguale diritto (fino a prova contraria), che la minore intensità sia dovuta ad uno scotimento di minore ampiezza, senza che cambi d’altra parte, in modo essenziale, la struttura dell'atomo. Le due ipotesi portano, teoricamente, a conclusioni affatto distinte. Perchè i periodi caratteristici di un sistema sono determinati con la definizione del sistema medesimo. Il numero e il luogo delle righe nello spettro dipendono, in altre parole, dalle equazioni differenziali o, meglio, dai loro coefficienti. Invece l'ampiezza dei singoli moti, cioè l'intensità di ciascuna riga, è affare di condizioni iniziali, vale a dire di costanti di integrazione. Se in un sistema di conduttori un elemento non viene eccitato, certe linee po- tranno mancare nello spettro, ma quelle che restano non si debbono muovere; se invece l'elemento si allontana, cambieranno le equazioni differenziali, e cambierà di conseguenza ogni periodo. Ora il metodo sperimentale del Lenard, mentre fornisce, secondo la teoria da me esposta, degli indizii sicuri su l’esistenza dei conduttori costitutivi dell'atomo, non può insegnare nulla sul problema della dissociazione. Perchè, quando il sistema che si studia fosse decomposto nell’arco, le righe superstiti in un dato punto dovrebbero subire bensì certi spostamenti, e ne verrebbe come conseguenza una deformazione di alcune fra le imagini colorate, che si osser- vano nello spettroscopio; ma quelle deformazioni, trattandosi di figure che vanno mutando con molta rapidità, non potrebbero certo constatarsi con sicurezza. $ 10. Forme e colori dell’arco voltaico fra elettrodi metallici. — Io mi sono proposto dunque di riprendere, per altra via, lo studio degli spettri me- tallici ottenuti con l’arco, tenendo conto nel miglior modo dei resultati teorici. 19: SU LA STRUTTURA DEGLI ATOMI MATERIALI 415 La strada, che si presenta più naturale, quando si voglia decidere della natura delle radiazioni emesse dai varii punti dell'arco, consiste nel proiettare sopra la fen- ditura dello spettroscopio un'imagine dell'arco medesimo, spostandola poi successiva- mente da zona a zona. Ma, perchè un esame di questo genere riesca possibile, sopra tutto se si vuole del fenomeno ottenere una registrazione fotografica, è necessario che l’arco sia rela- tivamente tranquillo, e durevole, e di forma quasi costante. L'impiego dei carboni a coppella e dei sali di metalli alcalini non è quindi rac- comandabile, almeno per lo scopo nostro. Del resto, usando i carboni come supporto, si introducono nello spettro delle bande, la cui eliminazione dai risultati finali esige un lavoro lungo e penoso; e d'altra parte il litio ed il sodio non sono nemmeno idonei, come sostanze di prova, per le loro caratteristiche spettrali. Si sa infatti, dai lavori di Kayser e Runge, che negli spettri dei metalli alcalini la quasi totalità delle righe si può ordinare in serie, secondo la formola (A); ma io ho mostrato (come avvertivo più innanzi: paragrafo ottavo, in nota) che le serie si possono attribuire a conduttori estremamente semplici. Ora appare invece ovvio, volendo ottenere dei fenomeni di scissione, di riferirsi a sistemi di circuiti complessi. Per quest’ultimo motivo, e per eliminare le bande del carbonio, mi sono deciso a studiare degli archi, prodotti direttamente fra elettrodi metallici. Prima di descrivere le esperienze da me fatte, dirò qualche cosa della forma e dei colori di questi archi, non avendo trovato quasi nulla in proposito, nemmeno nei libri speciali. Mi sono servito sempre di una vecchia lanterna di DuBoso, sistema FoucAULT, alla quale avevo tolto il condensatore, sostituendolo con un semplice diaframma con foro circolare di due centimetri. Davanti al foro collocai una lente convergente, che dava sopra uno schermo, posto a forse due metri di distanza, una imagine reale dell’arco, rovesciata e ingran- dita quattro o cinque volte. Queste esperienze che, almeno per alcuni metalli, sono estremamente facili, baste- rebbero già per dimostrare, ad esempio nella scuola, le enormi differenze che corrono fra le radiazioni emesse dai diversi tratti dell’arco. La forma che si osserva è per solito (Cu, Fe, Sn, Pò) (1) quella della figura 1, Tav. II, si possono cioè distinguere tre regioni particolari e, quasi sempre, bene limitate. Vi è in primo luogo il tratto immediatamente vicino agli elettrodi, e che chia- merò nel seguito la regione polare; questa è la parte più brillante del fenomeno, e le sue tinte richiamano sempre la estremità più rifrangibile dello spettro. Le regioni polari sono raccordate dall'arco propriamente detto. Il quale è pure assai intensamente luminoso, ma molto ricco, di solito, di onde lunghe. Finalmente, intorno all'arco è avvolta a cartoccio una fiamma o coda, col vertice (') Le osservazioni devono essere fatte sopra archi un po’ lunghi. 416 ANTONIO GARBASSO 14 nell’elettrodo inferiore ('). Questa emette, per regola, poca luce, di toni freddi, verdo- gnoli o giallastri. Vi sono però dei corpi, che dànno fenomeni assai diversi da quelli ora descritti. Il cadmio e lo zinco intanto non formano un arco stabile; ma, quando si cerca di staccare gli elettrodi uno dall’altro, si vede partire da ciascuno una fiamma a due tinte, con coda leggerissima (fig. 2, Tav. Il). Le fiamme non sono raccordate, come quelle descritte dal Lenard, ma si tagliano anzi spesso sotto angoli acuti. A questa speciale struttura si deve senza dubbio l’insta- bilità del fenomeno (2). Merita ancora una menzione il caso dell'alluminio (3), perchè nel suo arco i rap- porti di luminosità fra la coda e le altre regioni risultano invertiti; la coda è invero il tratto più brillante del fenomeno (fig. 3, Tav. II). Ho esaminato successivamente sette metalli: rame, ferro, alluminio, zinco, cadmio, stagno e piombo, e inoltre dei carboni impregnati (così detti Effektkohlen) della marca C. ConrapTy “ Noris ,. Niederspannung (4). Raccolgo in breve i resultati ottenuti, avvertendo che la differenza di potenziale fu sempre di 110 Volt (continui). ‘NOrISO;= Resistenza in circuito Corrente 5 Ohm. 13-15 Amp. La regione polare è chiarissima, appena volgente al cilestro, l’arco è di un bel violetto; la coda, molto ampia e ricca, ha una tinta arancione. Il fenomeno appare straordinariamente tranquillo, e la lampada regola anche meglio che coi carboni ordinarii; a volte la coda rimane immobile e conserva la sua forma per parecchi minuti. . Rame. Resistenza in circuito Corrente 5 Ohm. 11-13 Amp. La regione polare, assai brillante, ha quella speciale tinta azzurrognola, che si osserva portando un filo di rame umettato di acido nitrico nella fiamma di un becco BunsEN; l’arco invece stacca in un bel colore verde-pistacchio pallido. La coda, legge- rissima, instabile, e a volte soffiata orizzontalmente, è rossastra. (') Le figure essendo prese dalle imagini reali, osservate su lo schermo, sono naturalmente capovolte. (*) Si potrebbe pensare che questa, come più generale, sia, in condizioni opportune, la forma propria di tutti gli archi. Però, anche spingendo la corrente fino a 30 Amp., non mi è riuscito di ottenere nè dal rame nè dal ferro niente di simile. (3) Il metallo da me impiegato conteneva molte impurità, e in particolare del calcio, come de- dussi da un’analisi del sig. Rolla, laureando in Chimica, e verificai con lo spettroscopio. (4) Secondo un’analisi che il Dr. Roncagliolo, primo assistente in questo Istituto di Chimica generale, ebbe la bontà di fare per me, l’anima dei carboni “ Noris , contiene quasi esclusivamente del fluoruro di calcio. La cosa è confermata dai risultati spettroscopici (si confronti il $ 11°). asi 15 SU LA STRUTTURA DEGLI ATOMI MATERIALI 417 Anche per il rame si ha una certa regolarità d’andamento. Ma l’ossido, che ricopre con una crosta nera gli elettrodi, appena la lampada cessa di funzionare. impedisce molte volte all’arco di ristabilirsi. Ferro. Resistenza in circuito Corrente 5 Ohm. 12-13 Amp. Bell’arco celeste, con poli appena accennati, più luminosi, ma dello stesso tono. La coda è tranquilla, abbondantissima, di color giallo-cromo carico. La lampada fun- ziona bene solamente se il polo positivo sta in basso; però, invertendo gli uffici degli elettrodi, il fenomeno non cambia di aspetto. L'arco del ferro è, fra quelli metallici, il più tranquillo, tanto che potrebbe forse trovare qualche applicazione nella pratica. Alluminio. Resistenza in circuito Corrente ò Ohm. 13-14 Amp. Arco e poli debolmente luminosi e violacei, bensì i poli volgono alle volte verso il carnicino; coda fissa, brillantissima, color verde-pavone (1). L'ossido, che ricopre gli elettrodi, è anche più isolante di quello del rame, e im- pedisce il funzionamento regolare della lampada. Ferro, rame e alluminio (e i primi due in particolare) consumano pochissimo. Zinco. Resistenza in circuito Corrente 10 Ohm. 6-10 Amp. La parte delle fiamme più vicina agli elettrodi è azzurra, la punta è porporina; ma l'aspetto del fenomeno è molto variabile. Da principio, quando gli elettrodi si staccano, il colore azzurro predomina; poi compare il porporino, cominciando dal mezzo. Se la distanza degli elettrodi cresce ancora tutto l’arco si tinge di porpora, e finisce per spegnersi. A momenti compare intorno alle due fiamme un’aureola leggerissima, instabile, di color giallo-limone. La bacchetta positiva si consuma rapidissimamente. Caamio. Resistenza in circuito Corrente 10 Ohm. 6-10 Amp. Il fenomeno è simile in tutti i particolari a quello presentato dallo zinco. Solo le tinte variano, all’azzurro sostituendosi il verde e al porporino un color di mattone. Non vi è traccia d’aureola. (‘) La straordinaria ricchezza di raggi ultravioletti rende pericoloso per la vista l’arco dell’al- luminio. Un mio allievo, che l’osservò a più riprese, senza occhiali, ne ebbe per due giorni una congiuntivite assai molesta. Serie II. Tom. LIV. c to 418 ANTONIO GARBASSO 16 L’arco è anche più instabile che per lo zinco, e il consumo (al polo positivo) è anche maggiore: nelle condizioni delle mie esperienze una bacchetta di un cm. di dia- metro e di parecchi cm. di lunghezza si svaporava in un mezzo minuto. La forma caratteristica della fig. 2 (Tav. Il) si osserva particolarmente bene se il polo positivo sta in alto, e il negativo in basso. Stagno. Resistenza in circuito Corrente 10 Ohm. 7-8 Amp. Anche per lo stagno la regione polare e l’arco mutano spesso di grandezza; le tinte del resto non le differenziano fortemente, passando in modo quasi insensibile da un color malva a un color di lavanda. L’arco è tumultuoso e instabile; la coda, che si svolge ad intervalli, ha un bel tono caldo, fra l’arancio e il rosso-rame. Il consumo degli elettrodi non è grande. Piombo. Resistenza in circuito Corrente 10 Ohm. 8-12 Amp. Arco irregolare, instabile, e come per esplosioni successive, non dissimile da quello dello stagno; la coda, più leggera, ha anche una tinta più fredda. L’elettrodo positivo consuma moltissimo, poco meno che nel caso del cadmio. Riassumendo le osservazioni che precedono, risulta chiaramente come lo zinco e il cadmio, lo stagno e il piombo non siano adatti per una ricerca, nella quale si richiede una certa stabilità di apparenze. Mi sono dunque limitato nel seguito allo studio del rame, del ferro, dell'alluminio, e dei carboni “ Noris ,. $ l1I. Spettri emessi dalle varie regioni dell’arco. — Ho stabilito nel paragrafo quinto che il problema della dissociazione degli atomi si risolve solamente con lo studio delle posizioni caratteristiche per le singole righe; nel nono paragrafo poi ho fatto vedere che lo spettroscopio, usato col metodo di Lockyer, non può dare in proposito nessun indizio sicuro. Determina invece con molta agevolezza la esistenza e la varia eccitazione dei singoli conduttori. Prima di accingermi alle ricerche definitive volli quindi esaminare con lo spettroscopio obbiettivo gli spettri del rame, del ferro, dell’alluminio e dei carboni “ Noris ,. È Non è necessario per questo impiegare una lente, e proiettare nel piano della fenditura una imagine reale dell’arco; ma si può procedere in un modo più semplice. La lampada di Dubosq viene disposta nella sua custodia, e si allontanano tutti gli accessori del portaluce, compreso il tubo destinato a reggere il condensatore; si colloca poi lo spettroscopio (!) a cinque o sei metri di distanza (sopra un tavolino a piattaforma girevole), e si priva per intero del suo collimatore. (4) Era un grande spettrofotometro del Kriiss con due prismi. 17 SU LA STRUTTURA DEGLI ATOMI MATERIALI 419 È molto facile, girando un poco la piattaforma del tavolo, disporre l'apparecchio sotto l'incidenza migliore; ogni riga appare in tale caso sostituita da una piccola imagine dell’arco. In realtà si ritrovano per questa via, e in condizioni particolarmente facili e comode e adatte alle esperienze dimostrative, dei resultati analoghi a quelli del Lockyer e del Lenard. Ricorderò alcuni esempii in modo speciale. Per il rame Kayser e Runge hanno stabilito l’esistenza di due serie di righe, corrispondenti alla formola (4), pure lasciando in disparte tutto il resto dello spettro. Si trova che le imagini appartenenti alle serie sono prive di coda, mentre tutte le altre ne sono fornite. È caratteristico il comportamento delle tre righe brillantissime verdi (fig. 4, Tav. Il): mentre le due di sinistra "A = 5218 e XA= 5153), che costituiscono i secondi termini delle serie (n =4), mancano della coda, la terza (A — 5106) è provvista di una coda abbondantissima. Sono pure senza coda le due righe A = 4063 e A= 4023, che rappresentano i terzi termini (n = 5) nelle serie. In certi istanti la X= 5153 e la \= 4023 sembrano però leggermente allar- gate; sarebbe questo un argomento per ritenere, come risulta del resto da altri indizi], che le due serie ron sono dovute allo stèsso conduttore. Sicchè è più ragionevole parlare, come appunto ho fatto, di due serie distinte, piuttosto che di una serie di coppie. Per il ferro non ho potuto ricavare nessun risultato sicuro, il mio spettroscopio avendo una dispersione troppo piccola, perchè le righe tanto fitte di questo metallo fornissero delle imagini abbastanza distinte. L'alluminio da me impiegato mostra di nuovo alcuni fatti interessanti. Mi ac- contenterò di ricordare che le righe violette H, e H7,, presenti nel suo spettro, hanno una coda amplissima (fig. 5, Tav. II), mentre nessun’ altra raggiunge, nem- meno da lontano, le loro dimensioni (1). Finalmente i carboni “ Noris, possono servire anch’ essi ad una bella espe- rienza dimostrativa; appaiono infatti nel loro spettro tre righe violette, a comporta- mento diverso, la mediana delle quali (è la riga \= 4226 del calcio) ha il massimo splendore. Or bene: mentre la prima, la meno rifrangibile, è ridotta nello spettroscopio obbiettivo a due tratti luminosi, corrispondenti alle regioni polari, e la terza presenta l’intero arco, la linea di mezzo è fornita di una coda abbondante. Se si proiettano su la fenditura dello spettroscopio, rimesso in condizioni nor- mali, le tre regioni, una dopo l’altra, si osservano, in perfetto accordo con ciò che precede, le apparenze delle figure 7, 8 e 9 (Tav. II). La riga mediana, presentandosi anche nella coda, che avvolge a cartoccio l’intero arco e la regione polare, sì mostra in 7 invertita. (!) L'alluminio di cui disponevo essendosi mostrato assai impuro, non lo impiegai nelle ultime esperienze. Il fatto che riporto nel testo fa vedere come l'esame allo spettroscopio, senza fenditura, riveli immediatamente la presenza di corpi estranei. 420 ANTONIO GARBASSO 18 Ho raccolto su gli spettri or ora descritti una serie di dati interessanti, e mi propongo di pubblicarli in altro luogo. Ora preferisco passare alla descrizione delle esperienze e dei resultati fotografici, che, per lo speciale argomento di questo lavoro, offrono un interesse di gran lunga maggiore. $ 12. Posizione delle righe negli spettri delle diverse regioni. — Per stabilire con esattezza la posizione relativa delle righe, negli spettri delle diverse regioni di un medesimo arco, ho preferito di fotografare direttamente il fenomeno. Sopra ogni lastra furono prese due fotografie nel modo che segue. Dell’arco si formava un’imagine reale (ingrandita 10 a 15 volte), che veniva a proiettarsi nel piano della doppia fenditura dello spettro-fotometro di Kriiss; movendo la lente era facile condurre nella posizione voluta un tratto o l’altro dell’imagine. — Ciò posto si chiudeva una delle fenditure, lasciando l’altra aperta, e, subito davanti a questa, si collocava uno schermo di cartone bianco, con una piccola finestra. La finestra serviva, come si intende, per fissare la posizione dell’imagine. Fatta una prima fotografia (') si chiudeva la fenditura adoperata innanzi, si apriva l’altra, esattamente allo stesso punto, e si spostava del tratto necessario, nel suo piano, lo schermo. Si riconduceva quindi su la finestra l’imagine, nella posi- zione voluta. SS RETI Delle prove che ottenni (e sommano ad un paio di dozzine) riproduco tre sole, nelle ultime figure della tavola II (?). La tabella fornisce i dati delle esperienze relative. “ Noris , Rame Ferro Spettro superiore Arco (Posa 4') Poli (Posa 4’) Arco (Posa 4') a inferiore | Coda (Posa 15’) Arco (Posa 4/) Coda (Posa 15’) Come si vede subito certe righe scompaiono, quando si passa da una ad un’altra regione dell'arco, ma le righe superstiti rimangono ferme. Il risultato è simile a quello, che ho dedotto innanzi dalle esperienze del Lockyer su le scintille, e sembra indicare che le temperature, di cui possiamo disporre finora nei nostri laboratorii, non sono sufficienti per la dissociazione degli atomi materiali. (4) La macchina stava al posto del cannocchiale. Non è necessario avvertire che un diaframma, inserito fra schermo e fenditura, rimaneva abbassato finchè l'imagine non fosse a suo luogo; e si poteva far cadere d’un colpo, quando sopravvenisse qualche incidente a disturbare l'andamento normale dell'esperienza. (3) Queste figure sono ricavate dalle negative con un processo fotomeccanico; non si fece natu- ralmente nessun ritocco. x 19 SU LA STRUTTURA DEGLI ATOMI MATERIALI 421 $ 13. Conclusioni. — Raccogliendo adesso tutto ciò che ho esposto nei para- grafi precedenti mi sembra di poter stabilire che: a) dallo spettro osservato non risulta, e non può risultare, in modo univoco, la struttura degli atomi ($$ 2 e 3); 5) piuttosto conviene cercare in primo luogo se l’atomo abbia per modello un conduttore unico o un sistema di conduttori ($ 4); c) la seconda ipotesi è la più verisimile ($$ 5, 7, 8,9 e 11); d) le serie di Kayser e Runge corrispondono a particolari conduttori ($$ 9 e 11); e) nella scintilla e nell’arco gli atomi non si dissociano, ma in diverse regioni i diversi conduttori sono variamente eccitati ($$ 5 e 12); f) non esistono linee basiche, nel senso del Lockyer ($ 6); g) gli atomi di alcuni metalli sono probabilmente dissociati nel sole. Richiamerò da ultimo ancora una volta che le serie di Kayser e Runge si pos- sono ottenere da un modello molto semplice. Genova, Istituto Fisico della R. Università, aprile 1904. nol''arupnsa a » . ni i MIO ssa) I I i x i Li st itt® eeoETUOna » 9a : ui 3 gd d l ! hi ( A 4‘ 4 Ms San È Accad.R.d. Scienze di Gorino, CL. ve fio matie nat. Serie 2° Como LIV GARBASSO A. Struttura degli atomi —- Tav. /. n i Sa RA Le st n N pa 2 e_o oa e oe CS e © e © o è eo S E N à \. GARBASSO. — Struttura degli atomi. OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI DANNEGGIATI DALL'INCENDIO DELLA BIBLIOTECA NAZIONALE DI TORINO MEMORIA I DEL SOCIO ICILIO GUARESCHI Approvata nell’ Adunanza del 19 Giugno 1904. INTRODUZIONE È questa una Memoria che avrei volentieri intitolata: La chimica applicata alle biblioteche, se questo titolo non sembrasse troppo ampolloso e forse anche pretensioso. Essa non ha certamente per iscopo di mostrare quel poco che posso aver fatto in vantaggio della nostra maggiore Biblioteca; sarebbe una meschina vanità, dalla quale spero di essere immune. Ha invece uno scopo ben più elevato, quello cioè di esporre e far conoscere quali possano essere, a mio avviso, i mezzi di soccorso che il chimico può portare in simili casi; i quali fortunatamente sono assai rari! È bene premettere subito che buona parte, per non dire tutto, di quanto riguarda il salvataggio, il ricupero ed il restauro di codici, è di competenza del chimico; non è quindi vanità il parlarne. E di competenza del chimico, se non si vuole cadere nell’empirismo o, peggio, nel ciarlatanismo. Ecco perchè in questo lavoro non sola- mente si parla di salvataggio de’ codici, ma principalmente del ricupero, cioè dello sfogliamento de’ blocchi carbonizzati, dello spianamento dei fogli, ece., e sì dà un cenno anche del restauro. Da qualche tempo nel mio laboratorio si erano anche incominciati alcuni lavori di restauro perchè in origine appena costituitasi la Commissione per il ricupero ed il riconoscimento dei codici danneggiati dall'incendio, si era stabilito di impiantare, come annesso alla Biblioteca, un laboratorio pel ricupero e pel restauro ; laboratorio al quale, almeno in parte, sarebbe stato adibito il personale che aveva fatto una buona pratica nel mio laboratorio. Questa era l’idea dominante poco dopo il disastro 424 ICILIO GUARESCHI 92 dell’incendio. Così si avrebbe avuto un personale adatto, ed anche economicamente conveniente, che in tempo relativamente breve avrebbe potuto eseguire il ricupero e in parte anche il restauro delle opere principali. Ma..... In questo lavoro di poco più che quattro mesi nel mio laboratorio non solo si sono messi in istato di perfetta conservazione tutti i codici e frammenti consegnati, ma se ne sono aperti, sfogliati, spianati ed in parte restaurati moltissimi, come potrà vedersi in questa Memoria. La chimica in questo genere di lavori è la scienza che può arrecare maggiore sussidio. Sino dal 1815 H. Davy, a proposito delle sue ricerche sui papiri di Ercolano, scriveva queste memorabili parole: “ In questa comunicazione, mi farò un onore di esporre alla Società Reale un resoconto di quanto ho potuto fare a questo proposito: cioè, dapprima, un breve accenno ai miei primi esperimenti fatti in Inghilterra su frammenti di papiri, espe- rimenti che mi indussero a credere che la chimica può essere di considerevole aiuto nell’opera di svolgere i manoscritti; e in seguito, una descrizione dei rotoli trovati nel Museo di Napoli e di alcune esperienze analitiche fatte su di essi , (1). Il 23 ottobre 1731 bruciò nel British Museum, la piccola ma |preziosa biblioteca cottoniana (lasciata da Sir Robert Cotton). Dei 958 manoscritti preziosi ne furono distrutti completamente 114 e ne restarono guasti 98. Di questi alcuni furono subito restaurati e i codici pergamenacei alterati dal calore furono conservati per lunghi anni. Nel 1824 i signori Forshall e Madden, conservatori dei manoscritti al British Museum, riuscirono a sfogliare e restaurare anche questi 98 manoscritti da tanto tempo conservati (2). Non ho però potuto trovare la descrizione di quei codici danneggiati, e dei modi tenuti per renderli ancora leggibili. Il fatto però che tutti i 98 furono restaurati indica che in complesso non erano profondamente alterati. Ciò che ha rovinato specialmente î codici pergamenacei è stata l’azione dell’acqua gettata sui libri in via di combustione. Mentre nel caso del libro cartaceo il fuoco subito si spegne coll’acqua e se il libro è rapidamente asciugato può restare intatta la parte non bruciata, invece nel caso del libro in pergamena la parte non bruciata ma portata a temperatura anche solamente da 200° a 250° se si raffredda rapida- mente con acqua rimane contratta in modo che più non si distende. Essendochè questi libri in pergamena nelle grandi biblioteche sono sempre in quantità molto minore dei cartacei, e spesso, specialmente per le ricche miniature, sono preziosissimi, sarebbe bene tenerli con cura tutta speciale, non solamente in luoghi appartati e sicuri (però di facile accesso) ma anche messi in maniera che, dato il caso di incendio, lo si potesse spegnere senza bisogno di gettare acqua sui libri brucianti. Innanzi tutto si dovrebbe far uso di scaffali incombustibili; e questa sarebbe già una delle precipue cause per evitare l'incendio. Dato il caso di incendio questo dovrebbe spegnersi, anzichè coll’acqua, con gas incombustibili od in altri modi, come si fa nei luoghi ove sono raccolte materie molto infiammabili, quali i petrolî, ece. (1) The collected Works, VI, p. 161. (2) V. Caiovi, Per la Biblioteca di Torino, © Nuova Antologia ,, 1904, aprile, p. 697. ta rn » 3 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, Ecc. 425 Ora si conoscono non pochi processi chimici coi quali si possono rendere incom- bustibili il legno, le tele, le tappezzerie, ecc. Già da molti anni ne’ teatri, ne' basti- menti, ecc. molti oggetti sono resi incombustibili o almeno resistenti al fuoco con procedimenti chimici. Perchè non si è mai fatto nulla in questo senso nelle nostre Biblioteche, ove i vecchi scaffali in legno in parte tarlato sono facilissima preda del fuoco? Una delle sostanze che in molti casì potrebbe ed avrebbe potuto servire è l'amianto, il quale può usarsi sotto forma di fogli sottili come la carta, o di cartone o anche in pasta come pittura. L'amianto sotto forma di pasta molle per pittura si utilizza ora molto, specialmente in Inghilterra, su vasta scala; appena appena dimi- nuisce la pieghevolezza e la flessibilità dei tessuti ai quali si applica. In Inghilterra le Compagnie di assicurazione contro gli incendi accondiscendono ad una riduzione del 38 °/, sui prezzi correnti, per le costruzioni in cui si impiega la pittura di amianto (1). Nei nostri laboratori di chimica facciamo molto uso dell'amianto. L'Italia è ricca di miniere di amianto (che è un silicato misto di magnesio, ferro, ecc.); uno de’ migliori è quello della Valtellina (2). Ottimo amianto abbiamo anche noi in Piemonte. Tra noi purtroppo non si è mai pensato di applicare i metodi chimici per ren- dere refrattarie al fuoco le varie sostanze, nelle Biblioteche. La R. Marina e la Dire- zione generale delle Antichità e Belle Arti, hanno applicato da qualche tempo il processo di immunizzazione inventato da Alberto Issel (3). Data l’enorme contrazione che subisce la pergamena per l’azione del calore e peggio per l’azione dell’acqua insieme, è possibile far tornare i fogli alle dimensioni di prima? In alcuni casi sì, in molti no. Sarà possibile quando la contrazione non è molto notevole, la temperatura subìta dalla pergamena non molto alta (circa 100° a 125°) e a condizione che quando era molto calda non abbia sentito l’azione del- l’acqua; sarà invece impossibile quando si avranno le condizioni opposte alle precedenti. Vedremo più avanti che quando la contrazione ha raggiunto un certo limite, non vi è più mezzo, almeno io così penso, per ricondurre il foglio alle dimensioni di prima. Io ho fatto a questo proposito numerose serie di osservazioni ed esperienze, che qui non posso altro che brevemente accennare, riserbandomi di esporle con dati analitici in una seconda Memoria. Prima di discorrere di queste osservazioni ed esperienze fatte sulle pergamene antiche e moderne sarà bene che io dia un cenno di ciò che si è fatto pel salva- taggio e di ciò che potrebbe dirsi la chimica delle pergamene, tanto più che nei comuni trattati si trova ben poco o nulla a questo proposito. Mi invogliai a scrivere su questo argomento importante quando mi accorsi che nella letteratura chimica non esistevano descrizioni dei processi seguiti da chimici in casi analoghi, come pure scarsissime notizie trovai sulle pergamene, sugli inchiostri e anche sui colori usati dagli antichi. (1) Si vegga l'articolo IncomsustisILi Sostanze, nella mia Nuova Enciclopedia di Chimica scien- tifica, tecnologica ed industriale, 1903, vol. VII, pag. 1041. (2) Nuova Encicl. chimica, II, p. 935. (3) G. Bracir, La morale dell'incendio di Torino (“ Nuova Antologia ,, 16 marzo 1904). Delle giuste considerazioni sì trovano in questo scritto. Serie II. Tom. LIV. n° 426 ICILIO GUARESCHI 4 Nessuno di coloro a cui ho chiesto se conoscessero altri casi precedenti simili al nostro, mi seppe dare notizie in proposito; nessuno seppe dirmi se e quali chimici hanno prestato l’opera loro in tali occasioni! Anche nella bibliografia chimica non ho trovato nulla. Nessuno di coloro, chimici e non chimici e anche di professione restauratori, che visitarono le sale del mio laboratorio ove si facevano i lavori, aveva mai lavorato o visto a lavorare su codici pergamenacei in parte bruciati o altrimenti danneggiati dal fuoco e dall’acqua. Pensai allora che un lavoro come quello che ideavo di fare, basato su osserva- zioni ed esperienze mie, poteva riuscire utile assai in questa ed in altre purtroppo infauste circostanze. Mi ci invogliai pure quando vidi un grande chimico come Humphry Davy non sdegnare di occuparsi dello studio dei colori usati dagli antichi e dell'esame dei papiri trovati ad Ercolano (1). È bene che io dica in quale senso intendo, e credo debbano intendersi, le parole salvataggio, ricupero e restauro. Per salvataggio (parola proprio brutta, ma espressiva) si intendano quelle ope- razioni che valgono a salvare il materiale non completamente distrutto dall’incendio, disseccarlo, disinfettarlo se occorre, e ridurlo nello stato da potersi conservare anche lungo tempo. Per ricupero si intendano quelle operazioni colle quali si trattano i codici o fram- menti di codici carbonizzati o altrimenti danneggiati, in maniera da ricuperare i fogli e renderli leggibili. Per restauro poi si deve intendere tutte quelle operazioni che valgono a rista- bilire in buono stato i fogli o le miniature che non lo fossero e ridurli per quanto è possibile allo stato di prima. Dividerò questa Memoria nei seguenti capitoli: I. Ricupero dei codici pergamenacei. — Materiale studiato. II. Ricerche sulla pergamena moderna e antica. 1) Cenno storico — composizione; 2) Uso della camera umida, spianamento dei fogli e prove con soluzioni saline — prove di restauro — descrizione di alcuni codici danneggiati e in gran parte ricuperati; 3) Ricerche sulla contrazione della pergamena per l’azione del calore e dell’acqua. III. Ricerche sui colori usati dagli antichi. Nella mia raccolta di documenti per la Storia della Chimico, più ampiamente riporterò le esperienze fatte sulla pergamena e sui colori; e forse anche sugli inchiostri. (1) Some experiments and observations on the colours ‘used in painting by the ancients, “ Phil. Trans. , 1815, e Some observations and experiments on the Papyri found in the ruins of Herculaneum, in “ Phil. Trans. ,, 1821, datato da Roma, 12 febbr. 1819. Questi due magnifici lavori trovansi riu- niti in The collected Works of H. Davy, vol. VI, pag. 130 a 178. 5 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, EC. 427 Ricupero dei codici pergamenacei. — Materiale studiato. Ed anzi tutto, farò una breve storia di quanto si è fatto nel mio laboratorio per disseccare e disinfettare i codici e frammenti di codici, poi distaccare i fogli e spianarli, onde consegnarli poi per i lavori di restauro. Le prime esperienze fatte riguardano il modo col quale poter distaccare i fogli dei codici in parte bruciati, senza, per quanto era possibile, alterare le miniature e le lettere colorate. Il giorno 27 gennaio 1904 fui invitato da S. E. il Sotto-segretario di Stato per l'Istruzione Pubblica, onorevole Em. Pinchia-ad esaminare parte del materiale rimasto molto danneggiato dall'incendio della Biblioteca Nazionale di Torino, avvenuto nella motte dal 25 al 26 Gennaio, per vedere se era possibile ricuperarne almeno una parte, e nello stesso giorno fu costituita una speciale Commissione per il ricupero ed il riconoscimento dei codici danneggiati dall’incendio. Nelle ore antimeridiane dello stesso giorno mi fu consegnato un frammento di codice carbonizzato, in pessimo stato, per fare, come suol dirsi, esperienze in anima vili; questo frammento fu poi riconosciuto per una specie di dizionario latino, molto abbreviato. Tolta colla lima o col raschiatoio la parte del carbone che poteva distac- carsi e visto nei primi tentativi che il libro non era alluminato, esso fu immerso nell’acqua tiepida a 30-35° e così lentamente poterono separarsi in circa 24 ore tutti i fogli, che si conservano ora ben spianati e leggibili. Nello stesso giorno mi furono consegnati altri due frammenti di codici perga- menacei attaccati a due pezzi di tavole di legno in gran parte bruciate. I due fram- menti, tutto all’intorno carbonizzati e duri come pietra, furono trattati come il precedente e lentamente si andarono staccando i fogli. Ma la difficoltà era grande, perchè in una parte del codice la pergamena era come gelatinizzata ed i fogli attac- cati saldamente. Difficoltà questa, che era resa più grande dall'aver riconosciuto che uno di questi frammenti apparteneva ad un codice in pergamena fina con due o tre belle miniature conservate assai bene, e l’altro in pergamena più ordinaria aveva lettere assai ben miniate. Del primo i colori erano molto resistenti, del secondo meno. Il primo era un codice latino appartenuto a Casa Savoia. Mano a mano che i fogli si distaccavano, venivano asciugati fra carta e messi l’uno sull’altro, si lasciavano a sè cambiando di tratto in tratto la carta fra i fogli. Feci varî tentativi con soluzioni diluite di acido acetico (1°), di carbonato di sodio (0,5 a 1°/), di alcool diluito, ecc. per vedere se i fogli si staccavano meglio, ma non riuscii a miglior esito. In questi primi tre codici nè in molti altri, però, l'inchiostro non fu alterato. Ad ogni modo il lavoro di distacco era abbastanza avanzato perchè le pagine, fra cui anche le miniate, potessero essere vedute il giorno 29 da S. E. il Ministro della P. I., il quale riconobbe che il risultato era assai soddisfacente. In quello stesso giorno mi fu portato in Laboratorio un grosso 428 ICILIO GUARESCHI 6 blocco nero, lungo almeno 30 cm. e largo circa 16, che aveva l’aspetto di un pezzo di carbon fossile, arrotondato da ogni lato e nella parte superiore per un buon terzo completamente bruciato, al punto che, come poi si vide in seguito, tutti i primi fogli erano scomparsi, e molti altri non erano che un decimo della super- ficie delle altre pagine meno danneggiate. Questo blocco, accuratamente pulito, fu trattato come i primi, tanto più che da un saggio si vide non essere un libro miniato. La pergamena però era di qualità non ordinaria come pergamena, ma assai spessa, ed i fogli erano attaccati così che assai difficilmente si staccavano anche coll’acqua tiepida. Questo grosso codice fu riconosciuto per una bibbia spagnuola scritta con caratteri ebraici ed alcune annotazioni, ma il tutto di poca importanza, del che potè accertarsi il mio amico, Prof. Italo Pizzi, che di ebraico s'intende benissimo. Il giorno 7 febbraio i fogli dei quattro frammenti accennati erano tutti staccati. Già nei giorni 5 e 6 si era notato un odore sgradevole che si sviluppava dai fogli della bibbia, alcuni dei quali si attaccavano alla carta sugante. La pergamena comin- ciava ad entrare in putrefazione. Così accadde anche degli altri fogli separati dagli altri ultimi due codici. Allora, feci immergere rapidamente tutti i fogli parte in soluzioni diluite di sublimato corrosivo, parte in acido tannico anch'esso molto diluito, ed altri furono fatti seccare sotto una delle cappe aspiranti del mio Laboratorio. Si arrestò così la putrefazione, ma una buona parte dei fogli erano corrosi o distrutti, tranne il frammento del primo codice che fu completamente salvato ed è ancora in buonissimo stato. I dottori Francesco Nicola e Rinaldo Carretto fecero alcune preparazioni micro- scopiche, rinvenendo, naturalmente, i bacteri della putrefazione. Questo disastro è da attribuirsi al fatto che le pergamene avevano dovuto stare lungo tempo in contatto coll’acqua ed essendo allora la temperatura del Laboratorio, causa la rottura del calorifero, quasi mai superiore a + 12° i fogli disseccavano assai lentamente e di più si tenevano accumulati gli uni sugli altri, tenuti separati da fogli di carta sugante. Da ciò senza dubbio il rapido sviluppo dei batteri. Farò notare che la pergamena della bibbia ebraica-la prima ad alterarsi per putrefazione, era poco ricca di materie minerali e si comportava come le pergamene più antiche dei secoli X e XII; fatto sta che dopo, quando l’ essiccamento si potè fare abbastanza rapidamente, non si svilupparono più i batteri in nessun modo. I numerosi fogli distaccati mediante l’acqua tiepida erano stupendi, le poche miniature assai bene conservate se si eccettua la perdita di un poco di color azzurro. Di questi fogli ne sono rimasti intatti ben pochi; ora non vi sono che i residui corrosi e disfatti dai microbi. Fu un errore mio quello di mettere fra carta e so- vrapposti l’uno sull’altro i fogli, i quali in questo modo non potevano disseccarsi che molto lentamente. Ma è errore scusabile dato il momento e le altre circostanze. Errore che però ha avuto il vantaggio di mettere in guardia contro il pericolo a cui era esposto tutto il numeroso materiale che si conservava umido nelle sale della biblioteca. Bisogna far conoscere anche gli errori e non cercare. di nasconderli; la verità deve stare al disopra di ogni altra considerazione. Tanto più quando si può trarre buon profitto anche dagli errori. Il giorno 4 febbraio avevo ricevuto un codice intero tutto carbonizzato esterna- mente e che da una fessura lasciava scorgere avere almeno il frontispizio alluminato. 7 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, Ecc. 429 Questo codice era lungo 20-21 cm., largo circa 15-16 cm. e dello spessore di circa 13 cm. Fu fotografato. Nel timore che si danneggiasse colla completa immersione nell'acqua, pensai di cominciare il distacco dalla parte inferiore e dopo tolta parte almeno del carbone esterno colla lima e col raschiatoio, di immergerne, tenendo il blocco sospeso con un sostegno, solamente poche pagine nell’acqua tiepida. Così si riuscì a staccare bene l’ultima pagina con poca scrittura e le altre successive senza bagnare le rimanenti. Si riconobbe questo libro essere un bel romanzo francese del secolo XV di 250 pag. circa numerate in rosso. Il distacco delle pagine cominciò il giorno dopo che ci accorgemmo del guasto degli altri codici e quindi le precauzioni aumentarono. I fogli appena staccati erano passati per circa 1 minuto in una soluzione acquosa al 0,20 °/, circa di tannino, poi asciugati con spugna fina, posti fra carta e messi su rete metallica sotto una cappa aspirante del Laboratorio. L'impiego di piccole spugne per asciugare la pagina è utilissimo: pensai a questo ripiego manuale per risparmiare la molta carta asciugante che si doveva adoperare. In queste condizioni tutti i fogli si asciugarono benissimo e nessuno di questi si guastò per putrefazione. Il disinfettante e la aerazione agirono benissimo. Debbo però subito dire, ad onor del vero, che l’uso del tannino, impiegato allora pel timore di una completa distruzione, non è necessario. La metà dei fogli del grosso codice francese soprac- cennato, che non furono trattati col tannino, ma direttamente asciugati su reti me- talliche, sotto una cappa, si conservano tuttora benissimo e sono più bianchi e morbidi che non quelli trattati col tannino e colla formaldeide. Ma nel principio, trattandosi di saggi, di tentativi, l’uso di antisettici si imponeva. Del resto, io non tenevo e non tengo alcun segreto su tutte le prove e tenta- tivi che si facevano e si fanno nel mio Laboratorio, sia per conservare i pezzi in via di putrefazione, sia per staccare i fogli, per renderli morbidi o per spianarli. Il Laboratorio era ed è visitato dai miei colleghi di Torino e di fuori, da chimici e da non chimici e se qualcuno gentilmente mi ha suggerito qualche buona idea, in questo mio lavoro è ricordato: unicuique suum. In questo frattempo, cioè negli ultimi giorni di gennaio e nei primi di febbraio, la maggior parte dei codici membranacei e cartacei erano stati traslocati dalle sale della biblioteca in una grande sala (N. VIII) a pianterreno dell’Università (e nell’antica fabbrica de’ tabacchi), con poca luce e scarsa aerazione; e qui erano pure accatastati un immenso numero di frammenti di codici raccolti fra le macerie e ancora umidi o bagnati. L’aver lasciato per molti giorni in cattive condizioni questo materiale, fece sì che la putrefazione delle pergamene si sviluppò in modo straordinario. Lo sviluppo dei microbi era da prevedersi, ma disgraziatamente mancavano locali adatti per potere effettuare una pronta e completa disseccazione del numeroso ma- teriale avariato; erano momenti di grande confusione e di dolore. Il primo provve- dimento da prendersi appena accaduto l’incendio si è quello di mettere il materiale danneggiato all’aria libera su reticolati metallici, o di legno, o di corda, in luogo asciutto e ventilato, in maniera che possa presto asciugarsi completamente. Anche la stagione nel caso nostro era sfavorevole. Il giorno 7 febbraio la Commissione si recò nel mio Laboratorio per vedere i lavori fattisi su alcuni frammenti di codici. Fu qui che la Commissione per la prima 430 ICILIO GUARESCHI 8 volta potè vedere il guasto prodotto dai microorganismi della putrefazione sui fogli di pergamena che erano già stati distaccati per mezzo dell’acqua; come pure potè osservare che nei fogli disseccati completamente e stati previamente bagnati con soluzione diluita di tannino o di sublimato, si era arrestato il processo putrefattivo e ciò meglio col tannino che in soluzione diluitissima si andava applicando ai fogli di un codice intero. Ma, come si vedrà, questi antisettici non erano sempre necessariî. Fu in questi primi giorni che si pensò seriamente a prevenire questo guasto sia coll’aerazione e disseccazione, sia coll’uso di qualche antisettico in soluzione diluitis- sima. Quando il P. Ehrle, accompagnato dalla Commissione, venne l’11 febbraio nel mio Laboratorio, trovò i fogli di un codice che allora si stavano staccando stesi all'aria e non in pacchi, come pure trovò sotto le cappe aspiranti una parte dei fogli, ad asciugarsi in presenza di formaldeide. Egli restò molto impressionato dal fatto che si era facilmente sviluppata la putrefazione nelle pergamene; notò il modo col quale io lentamente facevo staccare i fogli con immersione parziale del pezzo, ma disse che avrebbe preferito la camera umida come usa in altri casi per codici non bruciati; anche, soggiunse egli, se se ne staccava un foglio solo ogni due o tre giorni. Il giorno dopo io presentai alla Commissione moltissimi fogli già staccati e asciutti; osservai che nei libri che hanno sofferto molto anche all’interno per l’azione del calore e dell’acqua, o del vapor d’acqua insieme, si notano specialmente, fra le altre, due cause della dilatazione od assottigliamento, oppure della contrazione della pergamena: l’una è l’aria interposta od occlusa fra i fogli, la quale quando questi sono rammolliti, li rigonfia; l’altra è l’infossamento profondo, ad ansa, di una parte della pergamena scritta; la parte rimasta a carattere molto -più piccolo è come agglutinata o gelatinizzata ed è quindi più difficilmente distaccabile. Quando la pergamena ha subìto un certo grado di calore e per di più fu bagnata quando era ancora calda, si contrae molto e non può più riprendere le dimensioni di prima. Chi dice essere operazione facile quella del distacco dei fogli dimostra di non avere la minima idea di questi lavori e di non esser chimico. 3 Il fatto materiale in se stesso di essersi prodotta la putrefazione nelle perga- mene umide non avrebbe molta importanza, essendo la pergamena formata di materia albuminoide e quindi putrescibile; ma assunse un alto grado di importanza quando, fatta questa osservazione su moltissimi fogli come si vide nel mio Laboratorio, spinse a trovar subito modo di disseccare più rapidamente i fogli e fece sì che la Commis- sione consigliò di fare subito la separazione di tutti i codici membranacei dai car- tacei e di provvedere rapidamente al salvataggio dei codici e frammenti bagnati ancora, pur continuandosi nel mio Laboratorio il lavoro di distacco, trattandosi allora solamente di prove e tentativi, per trovare modo di procedere più in grande in seguito. Ed infatti nel pomeriggio del giorno 13 la Commissione si riunì nella sala N. VIII e qui erano presenti: il P. Ehrle, il Rettore, i professori Cipolla, Stampini, Renier, Desanctis, Guareschi, il Bibliotecario e il vice-Bibliotecario. Tutti presero parte attiva al lavoro di cernita (che continuò sino a sera) dei codici più o meno danneggiati, di cui alcuni, anzi molti, erano già in via di putrefazione, insieme a cumuli di frammenti quasi tutti alterati. Alcuni erano addirittura disfatti dall’azione 2 gia A? 9 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI coDprcr, ecc. 431 dei microbi. Visto lo stato delle cose, la Commissione mi invitò ad accettare tutta questa roba nel mio Laboratorio. lo esitai alquanto ad accettare, non per il lavoro, ma per la grande responsabilità di dover operare con un materiale così abbondante, ed avariato. Ma il P. Ehrle mi incoraggiò colle parole seguenti: “ Se questa roba sta quì ancora poco tempo, non si salva più nulla; Ella invece può, operando pre- stamente, salvarne almeno una parte; responsabilità grave Ella non ha, perchè quando si fa quel che si può e si deve, bisogna restare contenti, non allarmarsi e non badare al resto ,. Allora di questo materiale guasto se ne riempirono due grosse ceste, che furono inviate al mio Laboratorio. Colà i codici ed i frammenti furono subito posti sotto cappe aspiranti, per asciugarli, procurando di dividerli con intromissione di pezzi di legno dolce (canapoli) per facilitare la circolazione dell’aria; metodo comodo ed economico che fu adottato in seguito con vantaggio anche nella Biblioteca, e procurando di arre- stare la putrefazione trattando inoltre il detto materiale con poca aldeide formica gasosa. I codici e frammenti furono stesi su reticolati di filo di ferro, in modo che circolasse bene l’aria; metodo usato da me anche prima per asciugare i fogli che si staccavano dal codice francese accennato. In questo come nei lavori precedenti, e dopo, fui efficacemente coadiuvato dai miei assistenti, e particolarmente dal Dottor Galeazzo Piccinini; e dal 1° inserviente Chiarle Giacomo. Nel mattino dopo (14 febbraio) sono inviati al Laboratorio altri frammenti e frammentini quasi in poltiglia. Nello stesso mattino vengono nel mio Laboratorio il P. Ehrle ed il bibliotecario, i quali approvano in tutto le pronte disposizioni prese e mi fanno viva premura di accettare quasi tutto l’altro materiale guasto della sala N. VII e parte di quello che era nella vecchia fabbrica dei Tabacchi in via Po, che andai poi a vedere nel pomeriggio. Nello stesso giorno 14 febbraio furono mandate circa sei ceste con frammenti, ed il giorno successivo altre tre ceste con codici bruciati ed in parte danneggiati dai batteri. I minuti frammenti erano in istato tale che non potevansi prendere colle mani, ma si doveva fare uso di lunghe pinze in ferro. Il giorno 17 fu mandato un altro cesto con alcuni grossi codici. Se ne riempirono così sei cappe aspiranti, e quelli meno danneggiati si misero su tavoli o reticolati all’aria, irrorandoli con formalina. Si trovò utile usare dei pol- verizzatori per far penetrare bene nell'interno la formalina. La figura della Tavola I può dare una idea dello stato di una delle grandi camere del mio Laboratorio nel momento che si stavano prosciugando e disinfettando i codici sotto una delle cappe. Alcuni pochissimi saggi sull'uso dell’alcool diluito come mezzo di lavaggio non diedero buoni risultati. I reticolati metallici, ricoperti o no di carta sugante, si prestano benissimo. Le cappe anche senza accendere il gas, hanno un tiraggio sufficiente, e asciugano rego- larmente i diversi pezzi; lentamente o rapidamente secondo che si lasciano chiusi od aperti i camini che servono per l'aspirazione. , Molti dei pezzi carbonizzati si possono almeno in parte raschiare o limare, ma colla massima cura, quando si è quasi certi di non portar via della scrittura, all’esterno 432 ICILIO GUARESCHI 10 per non togliere il carbone catramoso; e allora, quando non sono troppo secchi se ne possono staccare i fogli i quali però rimangono molto raggrinziti e che in seguito bisogna inumidire, stirare e spianare. Molti codici bagnati, a largo formato, come alcuni ebraici, in causa del catrame, furono aperti con qualche difficoltà in diversi gruppi di fogli fra i quali si inter- ponevano dei grossi canapoli che servivano bene alla circolazione dell’aria e nel tempo stesso si poteva con un piccolo polverizzatore far passare il vapore di for- malina in quei punti ove lo si credeva utile. In questo modo anche nella stagione invernale i fogli asciugano più presto che non coll’interporre fra foglio e foglio della carta asciugante, che bisogna rinnovare spesso e si ha quindi una spesa enorme. La formalina è soluzione acquosa al 40° di aldeide formica CH?0. Pensai all'impiego di questa sostanza, perchè la formaldeide, che per se stessa è gasosa, agisce benissimo come disinfettante, non altera le miniature e si può far agire sul materiale da disinfettare senza bagnarlo tutto. La formaldeide agisce sulle materie albuminoidi dando dei composti stabili. Bisogna però non usarla in eccesso, perchè altrimenti la pergamena rimane dura. Ed invero un certo numero di fogli del codice francese accennato a pag. 7, che per timore della putrefazione furono trattati insieme col tannino, forse con un po’ troppo di formaldeide, rimasero induriti e non più tanto facilmente spianabili. Tanto più che la formaldeide agisce anche sul tannino. Questa aldeide ha un alto potere antisettico. Secondo Trillat ha un potere disin- fettante doppio di quello del sublimato. K. Walter, Berlioz e Trillat (1) ne hanno studiata l’azione sul bianco d’ovo, sul siero del sangue, ecc. Soluzioni diluitissime possono servire per conservare le materie alimentari, quali il latte, la carne. Ha una gran forza di penetrazione; se, ad esempio, in un tubo contenente dei pezzetti di pelle, si fa passare una corrente di aria carica di formaldeide, l’aria che esce dall’altra parte del tubo non contiene affatto formaldeide. Le preziose proprietà microbicide della formaldeide furono soggetto di numerose esperienze di Trillat, Schleich, Gottstein, Blum, Vanderlinden, ecc. i In base a questi fatti era dunque giustificato l’uso della formaldeide ed i risultati infatti furono nel caso mio splendidi. Molti dei codici danneggiati sembravano apparentemente secchi, ma aperti con precauzione, si trovavano bagnati e talora in via di alterazione nell'interno; allora si facevano disseccare trattandoli come fu detto più sopra. Come ho detto più sopra, la pergamena in molti punti è come agglutinata, per cui è quasi impossibile staccare in quel punto i fogli senza rottura. Tentativi per sciogliere la parte agglutinante con benzene, alcool, ecc. non riuscirono. In molti casi è utile, indispensabile, levare il carbone esterno non solamente colla lima o col raschiatoio ma tagliando addirittura una porzione dell’orlo carbonizzato. Nel caso di frammenti di codici troppo putrefatti, quasi colanti, e che non si sarebbero potuti essiccare presto, furono immersi in una soluzione alcoolica di fenolo, come il Prof. L. Camerano mi disse che egli usa per pezzi animali in via di putrefa- zione. Ottenni buoni risultati. Vi ho immerso per qualche tempo dei frammenti di codici che erano come dissi troppo putrefatti; la putrefazione si è arrestata e si sono potute (1)UC: Ri SINIl5= pag: 290. ]l OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, ECC. 433 salvare quelle parti che non erano corrotte. Usai prima alcool a 95 °/, e fenolo nella pro- porzione del 2°/,; ma dopo trovai utile l’uso di alcool al 50 °/, con 2-3 % di fenolo. Due o tre fogli di un frammento di codice nel quale si erano esaminati i batteri furono immersi in una soluzione acquosa all'1°/, di solfofenato di zinco (29 febbr.). Pel confronto si lasciarono all’aria gli altri fogli. Il risultato fu buono. I fogli disinfet- tati si mantennero benissimo, negli altri la putrefazione continuò sino a che il pezzo non fu completamente disseccato. Non vi è gran vantaggio però sulla soluzione alcoolica di fenolo. Ma in fondo si è visto che il rimedio migliore è la pronta aerazione e dissecca- zione all'aria e occorrendo in presenza di formalina. Ad esempio, sino dai primi di febbraio alcuni fogli di un codice francese furono lasciati disseccare semplicemente dopo lavatura con acqua ed asciugamento con spugna e su carta all’aria libera sotto le cappe. Essi sono ancora benissimo conservati, come gli altri trattati con disin- fettanti. I guasti osservati nei primi frammenti esaminati pe’ primi saggi, erano senza dubbio dovuti al fatto che i fogli erano rimasti troppo tempo umidi, per averli dovuto tenere a lungo in contatto coll’acqua onde staccarli. Il giorno 15 di febbraio venne nel mio Laboratorio per essere di aiuto in questo lungo e non facile lavoro la signora Serafino-Bonomi, preparatrice nel Museo Zoolo- gico, la quale veramente prestò l’opera sua con intelligenza ed attività. Pochi giorni dopo, il 18 e 20 di febbraio, ebbero incarico di aiutare in questi lavori anche le signorine dottoresse Castagneri e Giani, per le quali pure non ho che parole di encomio. La signora Serafino-Bonomi tentò l’uso della glicerina, ma inutilmente. Un pezzo frammentario di codice con pergamena durissima, quasi vetrificata in alcuni punti, fu immerso in soluzione al 30 % di glicerina. Dopo alcuni giorni i fogli si stacca- rono, furono lavati con acqua e seccati sotto cappa con vapori di formalina. Ma però rimasero trasparenti, quasi come carta oliata: non si leggono bene. I fogli non riman- gono molli. Si è provato anche con glicerina più o meno concentrata, ma non si ebbero risultati tali da poter raccomandare il metodo. Nella Biblioteca vaticana si raccomanda, quando si tratta di stendere e lisciare i fogli, di usare con gran cau- tela, la glicerina; non so però se abbiano mai provato con pergamena alterata dal calore. La glicerina concentrata o diluita potrà servire utilmente per rendere morbide le pelli fresche, ma non credo sia utile usarla per le pergamene, specialmente se alterate dal calore. I frammenti e pezzi di fogli raccolti in parte fra le macerie e che in origine erano ridotti in parte quasi come poltiglia e che erano assolutamente irriconoscibili, quando furono ben disseccati e disinfettati come fu detto, vennero a poco per volta immersi nell'acqua per alcuni minuti o più, oppure tenuti nella camera umida, poi passati rapidamente in altra acqua sino a che questa non asportasse più materia nera e terrosa, poi si passavano, occorrendo, in soluzione alcoolica al 2 ®, di fenolo ed infine si facevano asciugare su reti metalliche sotto le cappe. Quando erano appena umidi si comprimevano alquanto su carta in modo che i fogli restavano abbastanza spianati. Serie II. Tox. LIV. E° 434 ICILIO GUARESCHI 12 In questo modo si potè ricuperare un gran numero di codici diversi e che a prima vista sembravano doversi gettar via. Da questi frammenti, detti delle macerie, siamo così riusciti a separare un numero immenso di fogli, molti dei quali rotti in più parti, altri abbastanza bene conservati; tutti questi fogli e foglietti furono divisi in gruppi secondo le lingue: latina, greca, francese, italiana ed ebraica, poi si sono riuniti i fogli eguali e così con un lavoro lungo e metodico si è riusciti a ricostruire se non de’ codici interi dei frammenti di codici sufficienti almeno per essere identificati. Così tra codici quasi interi o a grossi frammenti e questi ricuperati dai frammenti delle macerie ne ho avuto in laboratorio circa 250, dei quali circa 150 latini, 20 greci, 30 francesi, 34 ebraici e 8 italiani fra i quali il Pungilingua e un altro codice del Cavalca. Si intende che si lavavano con acqua fredda o tiepida solamente quei fram- menti staccati, sporchi, raccolti fra le macerie e che, per quanto era possibile accor- gersi, non contenevano miniature. Anche di queste se ne sono ritrovate alcune abbastanza belle. 2 Una parte di questi frammenti, dai quali molto probabilmente non si potrebbero ricavare che dei frantumi di fogli più o meno leggibili, li ho conservati in istato ben secco. Ho fatto fotografare un cumulo di questi frammenti disseccati, prima di trat- tarli con acqua. Fra questi frammenti detti delle macerie si rinvennero dodici fogli di un codice greco importantissimo, dicesi, cioè un codice greco dei salmi in lettera onciale del sec. VIII, il cui complemento fu poi trovato fra i codici consegnati al laboratorio di materia medica. Furono trovati inoltre moltissimi fogli di un codice italiano bob- biense, del Cavalca, del sec. X, con palinsesti, e del quale feci fotografare un foglio prima e dopo l'operazione dello spianamento, come pure molti fogli di un codice francese molto importante, ancora inedito, Roman de Floriamont, del Bovo d’ Antona, così pure del Roman de la Rose, del Roman de Godefroy de Bouillon, ed altri che non è qui il caso di enumerare. La Ricerche sulle pergamene moderne e antiche. 1) Cenno storico — Composizione. La pergamena propriamente detta ora si prepara quasi solamente colla pelle di montone o di pecora, da ciò anche il nome ab antico di cartapecora; era preparata anche colla pelle di capra, ma è più grossolana. La pergamena vergine, denominata in Inghilterra anche vellum, è più fina della precedente ed è preparata colla pelle di capretto o di agnello nati morti. Quella più fina detta velino si prepara colla pelle di giovani vitelli, meglio se nati morti. Le pelli di asino, di bue, di vitello, ecc., servono per fare la pergamena da usarsi per tamburi, timpani, ecc. La pergamena di pelle di porco serve per fare stacci, crivelli, ece. La pergamena pei libri liturgici era un tempo quasi sempre preparata con pelle di porco (1). (1) GrrarpIn, Legons de chimie élém. appl. aux arts ind., V, p. 26. 13 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, ECC. 435 La pergamena viene ora ricoperta generalmente su una faccia con della creta, o con un apparecchio composto da colla di pelle di guanto e salda d’amido che la rende lucida e permette di poterci scriver sopra (1). Io ne ho trovato nel commercio di quella che in una faccia era ricoperta da uno strato sottile di biacca ossia carbonato basico di piombo. Questa pergamena an- neriva subito coll’acido solfidrico. Già da molti secoli prima dell’èéra nostra si usava la pelle degli animali per la scrittura. I Persiani usarono de’ nastri di cuoio; gli Ebrei presentarono a Tolomeo una copia delle Sacre Scritture su pelli conciate. La vera pergamena, quale si usa ancora, pare sia stata fabbricata per la prima volta a Pergamo, nel II secolo a. C.; da ciò il nome di pergaminum o pergamina charta. L'uso della pergamena per scrivere o disegnare sarebbe stato inventato da Eumene II re di Pergamo. Secondo Varrone essendo nata grande discordia fra i sapienti di Pergamo e di Alessandria, questi, nella cui città principalmente fabbricavasi il papiro, impedirono che fosse inviato del papiro a Pergamo, ed allora gli scrittori di Pergamo dovettero necessariamente pensare a trovare un nuovo materiale per scrivere, e da ciò l'inven- zione della pergamena o membrana di Pergamo preparata colle pelli degli animali. Però secondo Erodoto e Diodoro pare siano stati i Joni ed i re di Persia, prima ancora di Eumene, i primi ad usare le pelli di animali per scrivere. Ad ogni modo, se que’ di Pergamo non banno proprio inventata la preparazione della membrana clie prese il nome di membrana di Pergamo o pergamena, essi certamente l'hanno molto perfezionata e da quel tempo se ne diffuse l’uso. Ai tempi di Plinio si usava già molto la pergamena in sostituzione del papiro o carta egiziana, che diventava sempre più rara e costosa; non erano però ancora conosciuti i processi di imbianchimento. L’uso della pergamena si diffuse molto in Oriente e in Occidente, e specialmente in Germania. Se ne conoscevano tre qualità: bianca, gialla e porporina. Vi sono ancora de’ libri interi, di chiesa, in pergamena porporina. In Germania ed in Inghil- terra, ove non era conosciuta la carta d'Egitto o papiro, non si usava che pergamena. — In Inghilterra vi sono delle carte reali formate solamente da piccoli pezzi di per- gamena e che portano il timbro reale; pezzi che erano grandi quanto una carta da giuoco; molti di questi pezzi si riunivano insieme, occorrendo, e se ne faceva un volume o un rotolo; coloro che incollavano i fogli si dicevano glutinatores (2). Gli antichi ebrei erano tanto abili nell’incollare i fogli di pergamena pe’ loro libri sacri che non si scorgevano le giunture. Secondo Giuseppe fu un momento di ammirazione per Tolomeo Filadelfo quando i 70 vecchi ebrei inviati dal gran Sacerdote spiegarono in sua presenza i rotoli ove la legge di Dio era scritta in lettere d’oro (loc. cit.). In principio si scriveva da una pagina sola; dopo il secolo X si cominciò, secondo alcuni, a scrivere dalle due parti. Il che non è esatto, perchè si conoscono mano- scritti in pergamena scritti nelle due pagine e molto anteriori al secolo X. (1) VirraveccHIa, Dizionario di merciologia. (2) Nouveau Traité de diplomatique, tomo I (1750), pag. 480. Questo libro mi fu fatto conoscere dal sig. cav. Armando, che ringrazio. La breve parte storica dell'art. ParcHemin del Larousse è in gran parte presa da questo Trattato. 436 ICILIO GUARESCHI 14 Secondo D. de Vaines (1) non si sarebbe scoperta nessuna' carta 0 diploma in pergamena prima del secolo VI; prima di questo tempo la pergamena serviva per scrivere ed il papiro o carta d'Egitto per i diplomi. Pare che i più antichi manoscritti su pergamena non risalgano oltre il II secolo d. C., e che i più antichi atti scritti su pergamena non risalgano oltre il VII secolo. Il famoso documento detto Papiro di Leyda del INI secolo è appunto un manoscritto su papiro. Ma dopo il V secolo il papiro non si usò quasi più. Quasi tutti i manoscritti dal V al XV secolo sono su perga- mena; così pure dopo il secolo VIII tutti gli atti o carte sono su pergamena. Scoperta la stampa, alcuni libri furono stampati su pergamena; ad esempio, le bibbie che Jean Faust portò a Parigi nel 1462 erano stampate su pergamena, ed egli le vendette come bibbie manoscritte al prezzo di 60 ducati d’oro (550 franchi) ogni copia (2). Tra i codici che ho nel mio laboratorio v’è un libro d’Heures a stampa su pergamena del secolo XVI molto bello, che era in pessimo stato ed ora è quasi tutto ricuperato e leggibile. Fu tra il secolo III e IV che la pergamena ebbe il sopravvento sul papiro e questo definitivo successo, scrive il G. Lafaye, va di pari passo col trionfo del cri- stianesimo, perchè gli scrittori di opere ecclesiastiche dovettero preferire la perga- mena al papiro, essendo più resistente, più durevole, e prestandosi meglio per opere di gran mole e per l'insegnamento. Tra il II e V secolo si ricopiarono su pergamena molte opere antiche classiche, quale, ad esempio, De frepublica di Cicerone, perchè i papiri erano in cattivo stato. Vi fu un momento, verso il secolo VII, in cui la pergamena era molto rara e costava moltissimo, stante ij grande consumo che se ne faceva; così che si cercò di utilizzare i fogli in pergamena già scritti, cancellandoli mediante raschiatura colla calce, ecc. e scrivendovi di nuovo sopra (palinsesti); questa è stata una delle cause per cui molti manoscritti preziosi andarono perduti. A. Mai, che aveva una straordi- naria perizia nel leggere i palinsesti, trovò molti avanzi dei sei libri del De Republica di Cicerone (scritto nel IN) in un palinsesto del X secolo. Nel Medio Evo e princi- palmente nei secoli XI, XII e XIII, per opera di monaci si cancellavano purtroppo opere importanti di autori profani per scrivervi specialmente libri sacri, preghiere, ecc. L'uso della pergamena raschiata era stato proibito per gli atti pubblici. Tra i codici che sono nel mio laboratorio ve n'è uno bobbiense con palinsesti che ha manifesti segni di tentativi, veramente un po’ grossolani, per poter renderli molto visibili e leggerii. Il costo enorme della pergamena fu anche causa per la quale molti manoscritti sono in carattere finissimo e spesso abbreviato. I certosini di Parigi nell’ XI secolo pregarono il conte di Nevers di riprendere il vasellame d’argento che loro avea donato e di sostituirlo con della pergamena (3). Nel Medio Evo la pergamena si fabbricava generalmente nelle abbazie. A Parigi la grande fiera della pergamena si teneva ‘a Saint-Denis, e si apriva il mercoledì della seconda settimana di giugno. L'Università e suoi adepti ed i pergamenieri del (1) Dictionnaire de diplomatie. (2) Perenor, Essai sur l’histoire du parchemin et du vélin, Paris, 1812, in Povcuer, Histoire des sciences au moyen dge, p. 628. Non ho ancora potuto consultare quest'opera del Peignot. (3) Ip, in Poucxsr, loc. cit., pag. 109. 15 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, ECO. 437 re avevano il privilegio di essere i primi acquirenti e di scegliere la pergamena mi- gliore che loro occorreva. Questo privilegio durò sino al 1633. I pergamenieri erano costituiti in corporazione come gli alluminatori, i legatori, gli scrivani e i librai; erano esentati dalle tasse, dalle gabelle, ecc. Dopo la rivoluzione francese l’uso della pergamena diventò ancora più raro. Le più antiche notizie che io ho trovato intorno le pergamene usate per la pit- tura sono quelle che si trovano nell'opera di un anonimo: Compositiones ad tingenda musiva, pelles et alia, ad deaurandum ferrum, ecc., manoscritto dell'VIII secolo, tro- vato nella biblioteca deiCanonici di Lucca e pubblicato dal MuratoRrI nelle sue Antiquitates Italicae, tomo Il, De artibus italicorum post inclinationem Romani imperti, Dissertatio XXIV, p. 364-387, e commentato dal BerrHELor nella sua opera: La Chimie au moyen dge, 1893, vol. I. L’ignoto autore nel capitolo De Pergamina, scrive: “ Pergamina quomodo fieri debet. Mitte illam in calcem, et jaceat ibi per dies “ tres. Et tende illam in cantiro. Et rade illam cum nobacula de ambas partes; et “ laxas desiccare. Deinde quodquod volueris scapilatura facere facere, fac, et post “ tingue cum coloribus ,. È interessante il fatto, che forse il più antico manoscritto che tratti di chimica applicata è questo di un autore italiano. Era pochissimo conosciuto prima della pub- blicazione fatta dal Berthelot. Come si vede, sino d'allora si usava la calce. E di questa infatti più o meno ne resta sempre nelle pergamene per la scrittura o per la pittura. Teofilo, del secolo XII, che pare l’inventore della pittura ad olio, nel suo famoso libro Diversarum artium schedula, non tratta della fabbricazione della pergamena; ac- cenna invece alla pergamena greca che dice fatta con cotone del legno (?), parla della fabbricazione dei colori come il verde di Spagna, la cerussa, il cinabro; insegna a preparare la colla (che deve servire a fissare i colori), colla pelle, colla pergamena, colla vescica, ecc. La pergamena è una pelle resa resistente non già per mezzo di una vera concia, ma per mezzo di operazioni in gran parte meccaniche. Che non sia veramente con- ciata si desume già dal fatto che la pergamena non è imputrescibile come il cuoio (1). Si conoscono poche analisi chimiche della pelle nel suo stato naturale. Lo strato epidermico è costituito in massima parte di sostanza cornea, di keratina; non dà gelatina per ebollizione con acqua, e non contiene albumina solubile. L'acido nitrico l’ingiallisce ed il nitrato d’argento la colora in bruno riducendosi. Mulder (2) vi trovò: C = 5098 H = 6.76 NO =Uig91 = O = 25.01 Seoe= 0.74 oltre a 1—-1.5 °/, di cenere. (1) E erroneo il dire che “ sotto il nome di pergamene si intende una pelle la quale è resa impu- trescibile non già per via di una concia, ecc..... , (Enciclop. Arti ed Industrie, II, p. 832). La perga- mena è invece putrescibile. È imputrescibile nelle condizioni ordinarie di secchezza. (2) Hoppe-SerLer, Physiol. Chem., 1877, I, p. 90; A. Gaurier, Chim. diol., 1897, III, p. 335. 438 ICILIO GUARESCHI 16 Secondo Miintz (1), la pelle di bue disseccata a 110-120° perde gr. 19 a 19.25 °/ di acqua ed ha allo stato secco la composiz C H N O I ione seguente (media di 2 analisi): 51.43 6.64 18.16 23.04 Lo strato principale che è il sottostante, derma o corion, è costituito da sostanze diverse, di natura albuminoidea. Reimer (2) la sostanza fibrosa, tessuto congiuntivo, che Il 0 H Nes O16= distingue nella pelle due sostanze; una, ha la composizione seguente: 48.45 6.66 18.45 26.44 e che l’autore rappresenta colla formola C8°H46N1°012; e l’altra, la sostanza cellulare o cortina, che ha la composizione: OEZIETO 45.91 6.57 17.82 29.61 e che l’autore rappresenta colla formula C3°H59N10015, Secondo Reimer per ossidazione e idratazione, la sostanza fibrosa del tessuto con- giuntivo si trasforma in cortina: C3°H46N10012 + 0 + 2H?20 = C3°H50N10015, Per quanto le analisi descritte concordino bene con le formule, noi diamo queste formole con tutta riserva. Per ebollizione con acqua sotto pressione la pelle fornisce della gelatina, la quale per idrolisi dà pressochè gli stessi prodotti che gli albuminoidi, se si eccettui la tirosina (3). Cramer (4) trovò per la fibroina e la gelatina o sericina, dalla seta, la compo- sizione seguente, analoga a quella trovata da Reimer per la pelle: Fibroina C = 48.39 HR ei NOM ONT_M2640 Secondo Miintz (5) la pelle di cenere, che ha la composizione seguente: (1) Ann. Chem., 1870 (4), t. 20, p. 315. (2) Dingler’s polit. Journ., 205, p. 243; Mem. sc (3) Z. f. physiol. Chem., 1902, p. 80. (4) J. pr. Chem. (1), XCVI, p. 76. (5) Loc. cit., p. 330. Sericina 44.32 6.18 18.30 31.20 di bue completamente disseccata fornisce 0,6693 °/o ient., 1873, p. 599 e 688. 17 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, Ecc. 439 Silice solubile nell’acido cloridrico - 0,0446 Calce . x . i x | 4 0,1736 Acido fosforico . : , : ) 0,0974 Ossido di ferro e allumina . A L 0,0930 Ossido di manganese . ) non dosato Cloruri alcalini . : | i , 0,1380 La pelle di una giovenca conteneva ceneri= 0,467 °/,, di cui (ivi, p. 334): Silice solubile in acido cloridrico | 0,0311 Calce . : £ : , x ; 01212 Acido fosforico . i : : - 0,0892 Aliumina e ossido di ferro . } : 0,0704 Cloruri alcalini . 4 ; s : 0,1102 Analisi queste incomplete e che per di più in alcuni libri italiani sono riferite in modo affatto erroneo. L'autore non fa cenno della presenza o no del magnesio. Anche Wienholt ha pubblicato alcune analisi del derma, non dà però la percen- tuale delle materie minerali (LamBLING, Chim. physiol. Encyclop. Fremy, IX, p. 404). Non sappiamo quali siano le modificazioni subìte chimicamente dalla pelle du- rante la trasformazione in pergamena. Avendo un campione di pergamena bellissima, antica, del secolo XII, e che la- sciava pochissima cenere, ho voluto analizzarla ed ho ottenuto i risultati seguenti: Acqua a 100° ; : : : ee Acqua a 125° : 2 ; ; = 17.68 , Cenere sulla sostanza secca all'aria = L016, Cenere sulla sostanza secca a 125° MII ” La sostanza disseccata sottoposta all’analisi diede i risultati seguenti: I. Gr. 0,1575 fornirono 0,2859 di CO? e 0,0988 di H?0., II. Gr. 0,1286 fornirono 20.8 cm? di N a 23° e 744 mm. Da cui dedotte le ceneri: 49.48 6.81 ig ge 25.93 da dl Questa pergamena riscaldata, rigonfia moltissimo e dà un carbone voluminosissimo che poi brucia bene. Composizione che si avvicina a quella trovata da Reimer per la sostanza fibrosa. In questa e nelle analisi precedenti di altri- chimici non è tenuto conto dello zolfo, che certamente vi è. Basta scaldare la pergamena verso 200° per osservare lo svi- luppo di ammoniaca, insieme ad acido solfidrico. 440 ICILIO GUARESCHI 18 Tra le pergamene moderne ne ho trovato una che contiene una assai piccola quantità di cenere, circa 0,3 a 0,4°/, sulla sostanza disseccata a 125°. Un dosamento di carbonio idrogeno ed azoto diede i seguenti risultati : I. Gr. 1593 di sostanza diedero 0,2950 di CO? e 0,0980 di H?20. II. Gr. 0,1044 fornirono 16.6 cm3 di N a 24° e 725,2 mm. Da cui, dedotte le ceneri: L= 90.50 —M6:85 N=17.48 (0) — 25583 Questa pergamena quando si scalda rigonfia quasi niente ed il carbone duro che si ottiene brucia abbastanza presto. Le operazioni che si fanno subire alle pelli grezze, cioè pulite e depilate, sono: la tiratura su telaio, la scarnatura, la sdossatura, la spolveratura e la essiccazione. La spolveratura, che serve a facilitare la essiccazione e a ricoprire le parti grasse non ben elimate nelle precedenti operazioni, consiste nello spolverare la pelle con calce spenta (idrato di calcio Ca(0H)?) o con bianco di Spagna, mediante uno strofinaccio. Le pergamene da servire per scrittura, pittura, ecc., si sottopongono inoltre alla raschiatura ed alla pomiciatura. La prima operazione si eseguisce con un ferro detto ferro da scarnare, ed ha per iscopo di rendere la pergamena più omogenea. La pomi- ciatura poi completa la fabbricazione della pergamena ed ha per iscopo di eguagliare e lisciare la pelle togliendole tutte le scabrosità lasciate dalla raschiatura. La faccia deve essere bianca e a grana fina (1). La fabbricazione della pergamena ha subìto molte variazioni nel medio evo e dopo, secondo i luoghi e le epoche. In generale fino al secolo X o XLi manoscritti sono fatti con pergamena bianca, molto liscia e fina. Dopo, se ne fabbricò di quella molto ordinaria, non omogenea, spesso non ben digrassata, di spessore disuguale, anche molto grossa come ora. Non ho fatto delle analisi complete delle pergamene antiche e moderne, non era questo il caso, nè io avevo intenzione di farle. Mi sono limitato ad alcune determi- nazioni quantitative che mi potevano servire a fare qualche confronto. Ho determi- nato l’acqua e la perdita di peso in totale a varie temperature, e cioè a: 100-125- 182.5-210° e anche 230.5, notando quando incominciava lo sviluppo di ammoniaca e di acido solfidrico. Volli anche vedere quanta era l’acqua che la pergamena disseccata a 125-182.5-210° ricuperava stando all'aria. Determinai inoltre la percentuale delle ceneri e tenni nota del modo di comportarsi della pergamena quando si carbonizza e poi brucia. Sino dapprincipio osservai che le pergamene molto antiche (secoli X-XII), scal- date su lamina di platino in generale rigonfiano molto più che non le pergamene dei secoli posteriori e delle pergamene moderne: il residuo carbonoso è molto più volu- (1) Altre notizie si troveranno in: MonseLice, La Concieria, in Enc. Arti e Ind., vol. II; VornErTEN pe LaveLineEs, Cuirs et Peaux, 1894. 19 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, Ecc. 441 minoso, leggiero; dànno cenere bianchissima ed in quantità minore che non le per- gamene de’ secoli XIV e XV. Vi sono certe pergamene che rigonfiano talmente che il carbone leggiero occupa tutto il volume della cassula di platino entro cui si fa l’incenerimento; 0,6 gr. di sostanza in una cassula della capacità di circa 50 cm?. Quasi tutte le pergamene moderne invece non rigonfiano quasi niente e lasciano un residuo carbonoso che non brucia tanto facilmente. La pergamena che non ha sentito l’azione del calore ad un grado non molto alto contiene la quantità normale di acqua, cioè da 17 a 19.5 °/, e la ricupera tutta stando all’aria. Per giudicare se una pergamena è antica o no non sì deve dar troppo peso al colore bruno sporco o nerastro; una pergamena nuova può essere scura ed una molto vecchia anche bianchissima. Molti de’ codici che ho nel mio Laboratorio, e che sono de’ secoli X e XII erano in pergamena bianchissima. Invece una bibbia spagnuola del XV° o XVI° era in pergamena grossa e brunastra anche nella parte non tocca dal fuoco. L'analisi chimica dimostra che le pergamene molto antiche spesso contengono poca calce. Le pergamene antiche che hanno sentito molto l’azione del calore, e peggio poi se sono come vetrificate, contengono relativamente molta cenere, anche perchè essendo state in parte decomposte la percentuale della cenere deve aumentare. In un’altra pubblicazione riporterò i dati numerici delle numerose determinazioni che ho fatto. Qui mi limito a dare i risultati delle determinazioni fatte su alcune solamente delle pergamene antiche e moderne: Pergamena TÒ T ss Modo di comportarsi pel riscaldamento a | Secolo IX-X. . . . .|18.46| 2.2 | rigonfia molto Secolo XII . . . . .|17.68| 1.21| rigonfia moltissimo Bibbia ebraica-spagnuola | 18.35) 2.48 | rigonfia meno di XII Codice francese sec. XIV 18.95) 3.15 | rigonfia molto, ma meno di XII ” 2° metà XV | 17.7 | 6.1 | rigonfia molto e brucia bene Pergamene moderne Francese, di montone | detta lisse . . . .|18.88) 1.54| rigonfia poco; carbone che brucia difficilmente detta blanc . . . .18.1 | 3.31) rigonfia poco; brucia bene Fina acq. a Torino . .|18.0 | 4.5 | quasi non rigonfia; brucia bene Ordin.', na . .|16.1 | 6.53| rigonfia poco Di montone acq. a Torino 18.9 | 0.35 rigonfia pochissimo Di vitello , à 18.6 10.38 | rigonfia bene; la cenere contiene Piombo | | Serik II. Tom. LIV. DE 442 ICILIO GUARESCHI 20 2) Uso della camera umida Spianamento dei fogli — Prove con soluzioni saline — Prove di restauro. Come ho già detto, alcune volte quando i codici non sono stati troppo alterati dall'azione del calore o meglio quando probabilmente non hanno sofferta l’azione del- l’acqua fredda usata per spegnere l'incendio, se si toglie il carbone colla lima o col raschiatoio e si lasciano all’aria, sì dividono quasi da sè in parti minori o gruppi di fogli, che poi a poco a poco si possono sfogliare usando molta cautela: è vero però che i fogli rimangono moltissimo raggrinziti, ma ad ogni modo si raggiunge lo scopo del distacco senza bagnare il codice. Ma nella maggior parte dei casi questo mezzo non basta e bisogna usare l'immersione graduale e parziale del codice nell’acqua tie- pida, oppure usare la camera umida. La camera umida in moltissimi casi serve bene per staccare i fogli dopo che fu tolta buona parte del carbone e catrame esterno colla lima o col raschiatoio. Col- l’acqua calda che si mette dentro la stufa si può comodamente scaldare l’ambiente umido a 20°-25° e anche 30°. Io esperimentai subito anche questo mezzo raccoman- dato dal P. Ehrle; una camera umida, piccola, mi fu prestata gentilmente dal collega prof. Camerano sino dal 16 febbraio, e lo ringrazio vivamente. I risultati sono lenti, ma buoni, specialmente se si ha l’avvertenza di tagliare quelle parti del codice a largo margine ove la pergamena è troppo attaccata. L'azione della camera umida è più regolare ancora, ma lenta, se si mette nell'acqua molta sabbia, come mi racco- mandò il prof. Camerano. Ma in seguito ho visto che nel caso nostro si poteva sen- z'altro usare anche solamente l’acqua calda. Nel marzo si cominciò a far uso anche di una grossa camera umida che prima in laboratorio serviva come ghiacciaia e questa serve benissimo; su cinque o sei piani a reticolato sta molto materiale che alterna- tivamente si lavora. Grande cautela-si abbia sempre di badar bene se in questo am- biente umido e caldo non si sviluppino batteri. In questo lungo periodo di lavoro non si è più visto nessun foglio di pergamena invaso dai microbi. Ho fatto fotografare anche questo apparecchio che ci servì tanto bene. L'uso della camera umida che in principio pareva non tanto soddisfacente perchè l’applicai ad alcuni pezzi o frammenti già troppo alterati, diede invece in seguito ottimi risultati, e la seconda parte del codice francese del XV secolo fu dalla sig* Serafino in parte sfogliata applicando già nel febbraio questo semplice apparecchio. In certi casi poi è impossibile usare la camera umida e ciò per varie cause. O il codice, o frammento di codice, è troppo compatto e incatramato anche all’interno, e allora non si stacca o si stacca così lentamente che si corre pericolo dello sviluppo di batteri; oppure, come nel caso de’ frammenti dalle macerie, il materiale è così sporco con carbone e terriccio che bisogna per forza pulirlo coll’acqua, badando volta per volta se si scorgono miniature, o se in qualche modo i fogli si alterano. Coll’uso della camera umida si ottengono spesse volte molto allargati 1 fogli, quasi nello stato primitivo, come coll’uso dell’immersione diretta nell'acqua, ma altre volte ciò non riesce e i fogli non possono allargarsi tanto quanto si raggiunge in- vece coll’immersione nell’acqua. 21 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO È SUL RESTAURO DEI CODICI, ECC. 443 Certo che per ogni codice bisogna fare qualche prova. Se l’ inchiostro non soffre e il codice non è miniato, allora, dopo staccati i fogli, lasciando il pezzo nella camera umida, si immergono per pochi minuti nell'acqua pura e tiepida, poi si sten- dono e si spianano. Codice latino (N. 31 del mio catalogo) carbonizzato all’esterno. — È in assai cat- tivo stato. È un frammento che ha la parte anteriore bruciata, come pure ai lati, ma nella parte posteriore si vede bene una pagina tutta contratta. Il frammento ha le misure seguenti: Lunghezza alla linea centrale posteriore . 13,2 em. Larghezza del foglio in alto : } e MD “ ro »s 1 centro . . - 8 È DS] % (i) e Ò © Spessore del frammento La fig. 2, Tav. I, rappresenta il pezzo di fronte e in parte di fianco; la fig. 3 rappresenta la pagina posteriore raggrinzata. Messo il frammento in camera umida per staccare alcuni fogli, questi si stac- cano abbastanza bene, però gli ultimi no, e li conservo riuniti e disseccati. Nella ca- mera umida i fogli non si dilatano molto; le dimensioni aumentano appena di qualche centimetro. Il foglio, fotografato, immergo nell'acqua a 25°-30° per pochi minuti, poi si distende. Misura: Lunghezza . : ; . ; A ) is ngem. Larghezza . : 5 : 3 è È 125 m cioè la superficie del foglio che prima era di circa 112 cm? diventa circa 225 em?, vale a dire più che raddoppiata. La fig. 4 rappresenta il foglio staccato e spianato. Come si vede, il risultato è ottimo. La piccola rottura che è quasi nel mezzo del foglio spianato trovavasi anche nello stesso foglio prima, come può scorgersi esaminando bene la fotografia. I fogli spianati ed asciutti dei varî codici li comprimo poi in un piccolo strettoio fra due tavole di legno duro. Così si riducono a piccolo volume e in istato da poter essere legati. I fogli del primo frammento di un codice latino abbreviato ricevuti il 27 gen- naio e che occupavano un enorme volume, furono inumiditi in camera umida, stirati e pressati. Ora sono bellissimi, lisci e sono riuniti in un pacco dello spessore di circa 8 centimetri. Quando si comprimono col torchio fra due tavole di legno bisogna che i fogli siano asciutti, o quasi. Lo spianamento può essere fatto bene ed anche presto mediante stiramento dei fogli a mano e fissazione su tavolette di legno con striscie di cartoncino e punte piatte per disegno. .Il foglio deve essere ancora umido, ma non molto. Tra il foglio e il legno si mette della carta asciugante. 444 ICILIO GUARESCHI 22 La signora Serafino-Bonomi poi, in casì di fogli in parte molto contratti e che non possono uniformemente spianarsi causa larghe e profonde anse, trovò assai utile usare un ferro caldo, ma non molto, col quale, passando lievemente sulla parte del foglio rigonfiato, ma umido e ricoperto con pannolino umido, fa alquanto contrarre la parte dilatata e la rende uniforme al resto. Ho fatto fotografare alcuni fogli con larghe e profonde anse prima e dopo lo spianamento: qui non posso riprodurre molte figure. I risultati che così si ottengono sono ottimi; in altro modo sarebbe impossibile avere una pagina liscia. Perchè, come si vedrà più avanti, quando la pergamena ha subìto una certa temperatura non si riesce più a dilatarla tanto quanto era prima, o almeno a rendere il foglio omogeneo. Adoperando poi dei congegni meccanici come piccoli telai per lo stiramento e spianamento, come ideai di fare sin dal principio ed è facile immaginare, si capisce che i risultati saranno anche migliori, ma certamente più lenti; io però mi tengo soddisfatto dei risultati ottenuti nel mio laboratorio sino dai primi tentativi. Anche in questo lavoro le signorine Giani e Castagneri, e particolarmente la signora Se- rafino Bonomi, vi hanno acquistata tanta abilità che spianano e distendono molti fogli in poco tempo, tanto più ora nella stagione calda, che i fogli distesi asciugano dalla sera alla mattina. , Operando nel modo sovraindicato o coll’acqua sola o con soluzioni saline, si è potuto in questo breve tempo nel mio laboratorio spianare e distendere qualche mi- gliaio di fogli. Prove con soluzioni saline. —In questo frattempo ho fatto anche numerose espe- rienze con sostanze igroscopiche o deliquescenti per vedere se si poteva fare in modo che i fogli staccati restassero, dopo lavatura e spianamento, morbidi, pieghevoli e non duri e fragili. A questo scopo si teneva per pochi minuti immerso il foglio nella soluzione sa- lina, piuttosto diluita: circa 1 °/o. Il dott. P. Biginelli mi suggerì l’uso del cloruro di zinco. Fatte le esperienze di confronto con acqua sola e con cloruro di zinco all’1 °/, risultò che le pagine con- venientemente trattate e spianate restano non molto morbide, ma forse un poco più morbide che non coll’acqua sola. Ad ogni modo il foglio rimane bello. Tentai l’uso dell’acetato di potassio neutro o lievissimamente alcalino. Il risultato fu buono. I fogli si dilatano come coll’acqua sola, ma dopo asciugati rimangono bene spianati e alquanto morbidi, al punto che si possono leggere bene e si possono ripie- gare senza che sì rompano. Ho fatto fotografare un foglio’ molto raggrinzato, con larghe anse agli orli, di un codice latino (N. 90 del mio catalogo provvisorio). Il foglio è “poco colorato in una pagina e giallo-bruno dall’altra pagina. La pergamena è fragile, dura, non si piega senza rompersi, il carattere si legge male. Misura: Lunghezza nella linea mediana 5 3 12,5-13 cm. Larghezza s i ? : : ? 8-9,5 ” Cioè superficie, circa | ; } 3 Ji, “em 23 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, ECC. 445 Dopo immersione per circa 10 a 15 minuti in soluzione di acetato potassico al- _l'1°/, si distende su tavoletta; quando è asciutto all’aria misura Lunghezza i È 3 ; * È 18-19 cm. Larghezza : | î A i y 13,5-14,5 , Cioè superficie 1 ; : ; | 243 a 275 cm?. Come si vede, anche qui la superficie è più che raddoppiata. Il foglio è quasi bianco, pieghevole senza rompersi ed il carattere si legge be- nissimo. In questo modo ho pure trattato un frammento di codice greco (N. 108). I fogli sono raggrinzati, carbonizzati agli orli, di color giallo-bruno nelle due pagine, ma bene leggibile il carattere. Misura: Lunghezza . ; - 3 o È 13 cm. circa Larghezza . - y x 5 È De & Cioè superficie | : - > 117 em?. Dopo immersione in soluzione di acetato potassico al 1 °/,, fissazione su tavo- letta ed asciugamento all’aria, i fogli rimangono giallognoli con ancora qualche macchia, il carattere si legge benissimo, la pergamena è abbastanza morbida, pieghevole, mentre prima era friabile; dopo il trattamento misura: Lunghezza . 3 î 3 3 , Eden iS cm. Larghezza . ; : s a , Loading CinetBnpetficie i surottva 10195: #216cm® Due di questi fogli furono pure fotografati prima e dopo il trattamento. Ho esperimentato anche coi cloruri di magnesio e di calcio in soluzione all15% circa; i fogli si allargano bene, si spianano bene e rimangono abbastanza morbidi. Meglio forse col cloruro di magnesio che col cloruro di calcio. Ma in complesso poco più vantaggioso che coll’acqua sola. Visti questi risultati, pensai alla soluzione del sapone di potassa. Usai del buon sapone a base di potassa e che non aveva eccessiva reazione alcalina. La concen- trazione più conveniente mi parve quella dell’1 °/, od anche un po meno. I fogli dopo immersione per 10 minuti circa in detta soluzione, poi asciugati e spianati ri- mangono abbastanza morbidi e lisci, più che coll’acqua sola o con altre soluzioni sa- line. È questo secondo me il mezzo migliore da preferirsi ora. L'inchiostro quasi sempre non si altera. Bisogna adoperare la soluzione fatta di recente e quasi lim- pida: la stessa soluzione essendochè intorbida dopo l'immersione dei fogli, non deve usarsi per molti fogli; è bene rinnovarla. Ho detto che nella camera umida talora i fogli si dilatano tanto quanto dopo immersione nell'acqua e che in molti altri casi no. Ricordo alcune delle numerose esperienze fatte. 446 ICILIO GUARESOHI i 24 Esperienza. — Codice latino N. 136. — I fogli di questo codice ‘sono ingialliti, molto raggrinzati, in alcuni punti imbruniti dal catrame. Tentando di piegarli si rom- pono. Misurano: Lunghezza, al centro . 3 3 : 3 12,5 cm. Larghezza, 2 x 3 3 4 > 9,5 n Superficie . È È . ; 3 È 118 em?. Dopo immersione per dieci minuti in acqua, soluzione di cloruro di magnesio o di sapone, sì hanno i risultati seguenti: Con acqua sola: Lunghezza 9 - ; r : 4 18,5 cm. Larghezza , ; s 3 ; 3 13,5 n Superficie è i , i, 5 5 249 cm?. Col cloruro di magnesio: Lunghezza È ; i 5 . E 859 demi Larghezza ; 3 ; È : * 13,0 è Col sapone: Lunghezza ; | ì . i 18,5-19 cm. Altezza . . | } Ì L E 13-38, Superficie . i | È 3 3 249-256 em?. Come si vede, la superficie del foglio che prima era di circa 118 cm?, dopo trat-' tamento con acqua e sapone arriva a più del doppio, cioè a circa 250 em?. La fig. 5 rappresenta il foglio quale era quando era secco, e la fig. 6 quando fu spianato dopo il trattamento con sapone. Si mettono alcuni fogli di questo codice nella camera umida per vedere se si allargano come coll’immersione. Dopo 24 ore si trova: l'o, DAk25 demi dopo 48 ore: ER 245 dopo 72 ore: IS Tol 204 dopo 4 giorni: 18 SI > Dunque si allargano tanto quanto quelle messe direttamente nell'acqua o nelle soluzioni saline. Risultati diversi invece ottenni con altri codici, come ad esempio col codice la- tino N. 124. È un latino abbreviato. I fogli sono duri, raggrinzati. Misurano: Lunghezza . : È | | 15 cm. Larghezza . i 3 , È : 3 ire Superficie 3 ; : 3 ; : ; 180 em?. 25 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI coDICI, Ecc. 447 Dopo immersione in soluzione di sapone, asciugamento e distensione, le pagine sono belle, leggibili, abbastanza morbide e misurano: Lunghezza . ; ; . : $ î 22,8 em. Larghezza . 2 : È , ? î ) Superficie. : ; È ; : i 387 em?. Con soluzione di sapone detto neutro (1), cioè meno alcalino, si ha: 23 cem. X 16,5 =379 cm? circa. Alcune pagine di questo stesso codice furono messe in camera umida e dopo 48 ore, distese e spianate, misuravano : 18 X<14=252 em?, e dopo 4 o 5 giorni misuravano ancora 18 x 14 e non più. Come si vede, coll’acqua o col sapone e successiva distensione, senza l’uso di un telaio meccanico per distendere, i fogli raddoppiano e anche più la loro superficie: da 180 cm? circa diventano 387 a 390 cm; colla sola camera umida, no. Un altro codice (N. 95). — I fogli misurano: TIP ocemi Dopo immersione in acqua con sapone detto neutro, si ha: 20-21 X 16-16,5 cm. Dopo 48 ore, e in camera umida, si ha solamente: 14,5 X 12 cm. e non più. Ottimi risultati ottenni pure con un codice francese molto importante, quale è il Roman de Floriamont del secolo XIV, ancora inedito. Era in istato deplorevole, in parte nero anche nelle pagine, i fogli molto attaccati. I fogli di questo grosso fram- mento di codice erano bruno-neri, difficilmente distaccabili e misuravano: Lunghezza 3 î 20-21 cm. Larghezza ; : . È i = ISIS Superficie à : : 260 a 283 em?. Furono staccati lasciandoli in camera umida e diventarono : Lunghezza. È : 3 3 7 22,5 cm. circa Larghezza à 3 : s J _ 14 De Superficie À ona: * i È 315 ecm? ” Rimasero bruni, non bene leggibili, anzi la maggior parte dei fogli non leggi- bili. Si immersero per 10 minuti circa in soluzione di sapone potassico all’1°/, e poi (1) L'uso di questo sapone detto neutro, e che forse contiene ancora materia grassa non sapo- nificata, non è da raccomandarsi perchè la pergamena rimane quasi come oliata, e si legge men bene. Alla pag. 443 [21], invece di: fig. 2, Tav. I, leggasi: fig. 4, Tav. II; fig. 5 e fig. 6. Alla pag. 446 [24], invece di: fig. 5 e 6, leggasi: fig. 2 e 3. Alla pag. 450 [28], invece di: fig. 5 e 6, leggasi: fig. 2 è 3. a 448 ICILIO GUARESCHI 26 furono spianati. Il testo si legge benissimo, le pagine rimangono abbastanza pulite, x anzi molte quasi bianche o biancastre; l'inchiostro non è affatto alterato, o quasi. I fogli misurano: Lunghezza. ° ; A x 3 3 28-29 cm. Larghezza . : ; : 1 , ; 10-47 G Superficie : ì 1 2 È 7 448 a 486 cm?. I fogli di questo codice importante, di cui pur troppo mancano i primi, sono perfettamente ricuperati. Solo che molti di essi, in causa delle rotture prodottesi in origine, dovranno essere restaurati. Ho fatto fotografare uno di questi fogli che era molto raggrinzato e misurava: Lunghezza . 23 Jr x 3 5 3 21 cem. Larghezza . 3 ; : e 3 ; 14305 Superficie . 5 : : ; À 294 cm?. Dopo trattamento conveniente, e solamente con acqua, il foglio misurava: Lunghezza . : : 3 È È 30 em. Larghezza . 7 t x ° : . eso Superficie . È È È : A 3 585 cm?. Il foglio così ottenuto è bellissimo, gli ornati che sono ne’ margini, sono ben conservati; il colore azzurro che era alquanto sbiadito fu rinforzato e le lettere co- lorate sono bellissime. Nella parte inferiore a sinistra in basso vi era una rottura della pergamena, nella parte non scritta, che deturpava il foglio e che quando era raggrinzato non si vedeva. Allora si pensò di togliere la parte rotta, e sostituirla con un pezzo di pergamena simile; poi vi si fece dal signor dott. Torrese un fram- mento di fregio identico a quello che vi era prima. Questo foglio è così restaurato benissimo. Buoni risultati pure con un codice latino (N. 45). — La pergamena di questo co- dice è sottile; i fogli in molti punti all’esterno sono come vetrificati; color bruno, in alcune pagine biancastro. Pergamena fragile ma più elastica. Carattere quasi il- leggibile. Lunghezza al centro . . ; E 14,8 cm. Larghezza P 9 È : P : LORE Si lascia molti giorni in camera umida, poi si distaccano i fogli: Lunghezza . : : A : 5 | 15,5-16 cm. Larghezza . 3 ; 4 È . E 10-10,5 , Le pagine restano sporche, brune, non si distendono bene. Ne metto un foglio in acqua tiepida e. si distende: Lunghezza . ) i 3 3 | . lo cmi Larghezza . È î - 3 } 5 dA: a 27 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, ECC. 449 Il foglio è abbastanza morbido, ma non come col sapone. Questo codice ha delle lettere tutte colorate o in roseo o in verde. Quelle rosee resistono bene. Il verde invece è come agglutinante, corrode la pergamena; per cui, dopo il lavaggio, ove era il verde rimane un foro. Splendido risultato ottenni con un codice italiano bobbiense (del Cavalca) del se- colo X-XI e che ha segni di palimsesti. Questo codice, come tanti altri non è im- portante per la sostanza che contiene, ma per la paleografia. È un codice imper- fetto, di cui si sono trovati molti frammenti e fogli sparsi fra le macerie. Un foglio misurava: Lunghezza . ] 3 È È 13 cm. circa Larghezza . È ; i: $ biro Superficie . 3 : : 5 Sarcm?i , Era molto raggrinzato e in molti punti bruno-sporco. Dopo 36 ore in camera umida a 25° circa, si ha: 15 X 8. I fogli si staccano bene, ma anche dopo 4 e più giorni di camera umida, le di- mensioni non aumentano. Immersi i fogli in acqua tiepida, stirati e spianati, si trova: 20-20,5 X 10-10,5, cioè superficie — 200 a 215 cm?. In questo caso dunque la superficie del foglio spia- nato è circa una volta e mezza maggiore di quanto era prima. L’inchiostro non si altera. Ho fatto fotografare il foglio prima e dopo lo spianamento. In certi casi si hanno ottimi risultati solamente col cloruro di zinco. Codice francese (N. 82). Forse del secolo XIV. — È un commento al giuoco degli scacchi che tratta di moralità. Il carattere è molto piccolo, contratto molto, e non facile a leggersi. I fogli misurano: Lunghezza . . 3 : : ) 13,5-14 cem. Larghezza x : 3 4 z È 7-8 . Superficie : i i ; s î 94 a 112 em?. Immerso in soluzione di cloruro di zinco (1 °/y), poi asciutto e messo sotto presse: E X10,5 ed il carattere è bene leggibile. In soluzione di sapone poi steso e spianato: IR SO LK5; ma il carattere non si legge bene. Dopo 24 ore in camera umida: IA STI Serie II. Tom. LIV. (Chi 450 ICILIO GUARESCHI 98- Il carattere non è ingrossato ma è leggibile. Immersi altri fogli in cloruro di zinco, poi stesi e spianati, misurano: 20-21 x 11 cm. =220 a 230 cm?. Il carattere è ingrossato molto ed è bene leggibile. La superficie anche in questo caso più che mai raddoppiata. Le righe che erano 4 a 4,8 cm. diventano 7 a 7,2 cm. La pergamena rimane abbastanza morbida e ben pulita. Anche di questo codice ho fatto fotografare un foglio prima e dopo il tratta- mente con cloruro di zinco. Ho fatto molte altre esperienze con altri frammenti di codici, che descriverò in altro lavoro. Le sostanze da me esperimentate hanno dato in complesso buoni risultati: ciò non toglie che se ne potranno trovare delle migliori. Ho fatto qualche tentativo con soluzioni diluitissime di ipoclorito di sodio o di acqua di cloro, ma non ne sono rimasto soddisfatto. In ogni singolo caso bisogna sempre agire con prudenza e fare qualche prova per vedere se l’inchiostro soffre. Rare volte mi è capitato di vedere a diminuire l'in- tensità di colorazione dell’inchiostro; ma qualche volta capita. Inchiostri poco buoni ho osservato in codici a grande formato e non molto antichi, come ad esempio un grosso codice latino (N. 10), forse del sec. XV. e anche dei codici riccamente illustrati e miniati, come ad esempio il Guiron le courtois. In questi casi non si deve assoluta- mente immergere i fogli nell'acqua e aver molta cautela anche colla camera umida, quando poi si distendano i fogli. In certi casi quando anche nei codici con inchiostro buono, in qualche punto il carattere si è un poco scolorato, si può ravvivare col passare sulle lettere una so- luzione diluita di tannino, mediante un sottilissimo pennello, in maniera da non toc- care l'intervallo manoscritto delle righe. Prove di restauro. — Nel mio laboratorio si sono fatte anche alcune prove di restauro e con ottimo risultato. Il restauro, che consiste essenzialmente nel togliere i difetti principali che si trovano nei fogli spianati, richiede abilità e pazienza e anche un certo senso artistico. Regole generali non se ne possono dare ed il chimico deve nei singoli casi usufruire le sue cognizioni scientifiche e pratiche che crederà più opportune. In certi casi il restauro può consistere, almeno in parte, nel far scomparire o dimi- nuire certe macchie scure che si trovano sulla pergamena dei fogli stati alterati dal- l’acqua e dal catrame; il chimico può valersi secondo i casi o di una azione meccanica, se non vi è scrittura, quale la pomiciatura, oppure di soluzioni di sapone, che spesso non alterano affatto la scrittura e rendono più chiara la pergamena. La figura 5, rela- tivamente alla figura 6, dimostra i vantaggi che se ne possono avere. Ad esempio, se si deve aggiungere qualche pezzo di pergamena nei margini dei fogli è bene usare pergamena antica pressochè dello stesso aspetto della pergamena del foglio che si vuole restaurare; in questo modo l'illusione è completa. Se si deve ravvivare l'inchiostro, può usarsi il tannino, il solfuro di ammonio, od altro reattivo, secondo i casì. Se si tratta di chiudere dei fori esistenti nei fogli si possono usare mezzi diversi. 29 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, Ecc. 451 Miscugli ad esempio di gelatina o colla di pesce (ittiocolla), con qualche sale metallico, e con un poco di formalina od altro antisettico conveniente. La donna può in questi lavori raggiungere un grado di abilità, forse superiore a quella dell’uomo. Io ho potuto persuadermene nel breve tempo che ho dovuto occuparmi di queste cose. Maggiori difficoltà si hanno quando si tratta di restaurare qualche disegno o figura, miniature, ecc. Può avvenire che durante il distacco si esporti qualche pezzo di pergamena di una miniatura, come accadde per una bella illustrazione del Guirom le courtois. La signora Serafino-Bonomi pensò di applicare nella parte posteriore un pez- zetto di tulle a maglie non troppo larghe, poi fece aderire su questa con un pennello un poco di gelatina e su questa, quando era ben secca, la materia colorante verde, per cui tutto il disegno è quale era prima. Ma questa è la parte che più che al chimico spetta all’artista; e perciò questi saggi furono subito interrotti. In quei punti ove la pergamena agli orli è bruciata od altrimenti mancante può essere sostituita con pezzi di altra pergamena simile. Trattandosi però di codici ma- noscritti che furono poi stampati, tante minuziose cure forse forse non sono nemmeno necessarie: importa invece salvare quanto più si può le miniature, e queste del Guiron sono in parte ben ricuperate. Dall'esame di molti codici e frammenti mi risultò un altro fatto, ed è che quando il codice ha sentito molto l’azione del calore e specialmente nelle pagine ove sono le miniature, spesse volte la pergamena è tutta corrosa nella scrittura; ciò, natural- mente, dipende in gran parte dalla natura dell'inchiostro e molto probabilmente le profonde corrosioni preesistevano in gran parte anche prima dell’incendio. Tale è il caso di un bel codice: De regimine principum, molto alterato dal fuoco, e perforato a metà da un potente colpo di piccone. Descrizione di alcuni codici danneggiati e in gran parte ricuperati. — Tra i codici che con le sovraricordate minuziose cure sono stati ricuperati e resi leggibili, se non in tutto, almeno in gran parte, posso ricordare i seguenti: i Rhabanus Maurus. De Laudibus sanctae crucis del secolo X. Era in istato deplo- revole; i fogli sporchi, attaccati in modo che riescì assai difficile staccarli, la scrit- tura in molti punti era illeggibile. A poco a poco si riuscì a staccare quasi tutti i 45 grossi fogli lunghi circa 30 cm. e larghi 20 a 25 cm. e a renderli leggibili. Le fotografie che ho fatto fare dànno un'idea dello stato dei fogli prima e dopo il trat- tamento. Questo codice è stato ricuperato totalmente ed in buono stato. È importante specialmente perchè molto antico. Specialmente 20 a 25 fogli sono stati ottenuti in così buone condizioni che non hanno quasi più bisogno di alcun restauro. Codice francese della biblioteca dei duchi di Borgogna. — Era un ammasso informe carbonizzato molto più ristretto in una parte che nell’altra e che in alcuni punti dimostrava di essere bagnato ancora e in via di alterazione. Lo si fece disseccare sotto cappa, poi raschiando il carbone, lo si potè dividere in due parti ed allora apparve come codice francese, assai bene miniato, a due colonne, di cui una quasi distrutta dal fuoco, specialmente in basso. Levata via la parte carbonosa e lasciato a sè dopo essere ben disseccato, si potè separare a poco a poco in più frammenti, 452 ICILIO GUARESCHI 30 e così renderli ben conservabili per lavori ulteriori. È costituito di pergamena fina e magnificamente illustrato con figure ed ornamentazioni fatte con oro e con colori finissimi. Questo bellissimo libro, traduzione francese del Polistore di Pietro Comestore, apparteneva alla biblioteca dei duchi di Borgogna, è del secolo XV; le finissime mi- niature sono del Lancellot Cardon, alcune delle quali ben conservate. E quasi completamente distrutto nella parte inferiore e buona parte della co- lonna interna. Ha sentito l’azione del calore, specialmente in basso. Molte pagine in basso misurano ora 7-8 cm., mentre in alto 18 cm.; altre, 13 cm. in basso e 21 cm. in alto e anche 12 X 23. Le righe in basso misurano 4 cm. circa e in alto circa 8 cm. È questo uno degli esempi migliori che dimostrano la grande contrazione subita dalla pergamena. Una delle miniature meglio ricuperate rappresenta Mosè sul monte Sinai in atto di ricevere le tavole dal ‘Padre Eterno. Le ultime pagine di questo codice sono più ricche. I Molti fogli si sono potuti avere separati, spianati e in istato da leggerne più della metà. Anche di questo codice furono fatte fotografare alcune pagine. Guiron le courtois. — Di questo famoso romanzo cavalleresco, in grande formato, già appartenente anch’esso alla ricca biblioteca dei duchi di Borgogna, ne ho avuto un grosso blocco di 317 fogli. Questo grosso codice in pergamena di ottima qualità misura : Altezza eee tem circa Larghezza in alto . . 17 a 22 cm. a È in basso . . 28 a 32 cm. È a due colonne, assai bene illustrato con bellissime figure e fregi nei margini. I colori sono bellissimi. Questo codice ha sofferto specialmente in alto e nelle colonne interne; in molti punti è impossibile la lettura o è distrutto il disegno. Le righe in alto misurano 6 cm. a sinistra e 7,4 a destra, e 9,5 a 9,8 in basso. Staccato con molta prudenza in diverse parti tagliando una parte della perga- mena carbonizzata o vetrificata agli orli, si sono potuti staccare i fogli nella camera umida. Non si poterono immergere i fogli nell'acqua, perchè l'inchiostro si altera. Ad ogni modo si è potuto far dilatare la parte contratta in alto in maniera che ora è in gran parte leggibile. I fogli distesi e spianati, sono ora in gran parte bellissimi e misurano : Altezza totale . . . 40 a 42 cm. Larghezza in alto . . 23,5a25 , — in basso . 32 5 Anche di questo codice furono fatte alcune belle fotografie. Frammento di codice di Casa Savoia. — Questo fu uno de’ primi esaminati. Era in forma di un parallelepipedo quasi nero, eccetto la prima pagina tutta sporca e poco leggibile. Era attaccato ad una tavoletta in legno in parte carbonizzata. Stac- 31 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, ECC. LO cato il frammento, fu raschiato attorno per togliere il carbone, poi messo in acqua fredda e poi tiepida a mai più di 40°. A poco a poco cominciò a dar segno di sfo- gliarsi, specialmente in alto, ma in altre parti rimaneva come una massa dura, i cui fogli parevano fusi insieme l’un coll’altro. Con molta cura e pazienza però si riuscì a poco a poco a staccare i fogli che mano a mano si staccavano si asciugavano fra carta sugante. In alcune pagine aveva lettere in oro ed alcune pure miniature i cui colori resistevano bene all’azione dell’acqua. Le miniature erano fatte solamente con oro, rosso e azzurro. Verso la metà del frammento si trovò una bella pagina mi- niata, a cui però mancavano ai lati due pezzi dell’ornamentazione. In questo tempo era in laboratorio un grosso frammento di una bibbia in per- gamena, di qualità inferiore, la quale in breve tempo entrò in putrefazione: poco dopo anche i fogli del frammento del codice di Casa Savoia furono invasi dai microbi, i fogli si attaccarono alla carta e in gran parte si guastarono, per quanto rapida- mente si immergessero in soluzione di sublimato corrosivo o di tannino. Ho la fotografia di un foglio che rappresenta lo stato del foglio dopo invaso dai microbi. Di questo codice furono fotografate le miniature principali; in una di queste si vede la croce di Savoia. Salterio în lettera onciale del secolo VILI, contrassegnato con sigla Y.— Nei primi giorni di marzo furono trovati ne’ frammenti dalle macerie alcuni foglietti che atti- rarono l’attenzione per la forma delle lettere greche. Di questi foglietti se ne tro- varono altri, in tutto dodici, che furono riconosciuti dal cav. Frati, come appartenenti al codice greco dei Salmi in lettera onciale del secolo VIII; una buona parte del medesimo codice fu poi ritrovata fra quelli consegnati al laboratorio di materia medica. Questo codice dicesi essere molto importante. Non lo trovo però ricordato fra i più celebri codici del genere che sono enumerati da E. M. Thompson nell'art. Pa- lacography della Encyclop. Britan. e tradotto in italiano dal Fumagalli. Anche di questo furono fatte alcune fotografie. Due grossi codici ebraici (N.71-72). — Sono due grossi codici quasi completi che mi furono consegnati bagnati, sporchi in gran parte di terra e polvere nera ed in alcuni punti, dove era la legatura, danneggiati, ma non molto, dal fuoco; alcuni di questi fogli erano irriconoscibili. Furono prima asciugati tenendoli sotto cappa e frap- ponendo fra i fogli dei grossi canapoli che lasciavano passare l’aria. Le pagine più sporche furono con cura lavate con acqua e così si ridussero bene, perchè l’ acqua non alterava la scrittura. Però è curioso il fatto che in alcune pagine la scrittura era quasi stata completamente staccata dall'umidità, prima che fossero portati in laboratorio. La pergamena è di buona qualità, bianchissima, sottile, morbida, come vellutata. Questo codice misura 39, 40, 41 cm. in altezza per 24, 29, 30, 30,5 di larghezza. I fogli dopo essere stati disseccati all’aria o nelle cappe, furono a poco per volta messi nella camera umida a circa 25° e così poterono essere quasi completamente spianati. Non furono però ancora distesi, stante il gran lavoro che richiederebbero, ma è lavoro che può sempre farsi. Ora sono perfettamente leggibili, distaccati, ab- bastanza lisci e possono essere così conservati. Sono in totale circa N. 380 fogli. Sono due codici che trattano unicamente di preghiere (libri di preghiera detti Mahazor). 454 ICILIO GUARESCHI 32 Grosso codice latino (N. 10). — Questo grosso codice non è molto alterato, per più di 4/; della superficie i fogli sono poco contratti, ma è molto contratta la parte superiore. I fogli in basso e nel centro misurano circa 22 cm., mentre in alto sola- mente 12-13 cm.; la, lunghezza totale è di 33 cm. Le righe che in basso e al centro misurano 8 cm., in alto solamente 4 a 4,5 cm. La parte contratta in alto è duris- sima, ed i fogli si staccano assai difficilmente; questa parte contratta è giallastra, ed il carattere come pure i colori sono ben conservati. A poco a poco si riuscì a dividere il grosso blocco in frammenti minori. Uno di questi metto in camera umida, ma senza gran vantaggio; la parte superiore in parte si distacca, ma si rompe anche con grande facilità. Non si dilata gran che. Allora immergo la parte contratta di due fogli nell'acqua a 25°-30°, e dopo disten- zione su tavoletta rimane abbastanza distesa, ma molto meno di quanto si osserva in altri casi. Da 12 a 12,5 cm., quale era prima, diventa 14 a 16; le righe scritte che erano di 5,2 ecm. si allungano a 6,5 ed anche 7 cm.; ma il carattere si legge male e rimane come unto, trasparente. Anche l'inchiostro è poco resistente; coll’acqua in parte scompare. Così pure i colori di molte lettere; il rosso e l'azzurro sì distac- cano molto presto. Credo perciò sia bene conservare quali sono ora i pezzi di questo codice ben disseccati. Codice N. 56. — È un grosso codice latino i cui fogli misuravano 33-38 X 15-18 cm. In cattivo stato specialmente agli orli. Sono 197 fogli di cui 188 spianati ed anche restaurati ed ora misurano 40-41 X 18-19 cm., senza tener conto che quasi tutti dovet- tero essere tagliati nei margini. Le lettere ed altri disegni colorati sono ben conservati. ‘ Codice N. 121. — È una parte dell’opera De animalibus di Alberto Magno. Fu uno dei primi frammenti portati in laboratorio in uno stato deplorevole. Più estesamente di questi e di numerosi altri codici o frammenti ricuperati e spianati sarà detto in altra pubblicazione. Certo, impiegando un tempo due o tre volte maggiore si sarebbe, forse, fatto il lavoro un po’ meglio specialmente ora che il personale che eseguiva questi lavori ha acquistato una certa pratica; così ad ogni modo il risultato è buono. Può dirsi senza ombra di esagerazione che la maggior parte del fhabanus Maurus, e special mente 20 a 25 fogli (dei 45 in totale), quasi tutto il grosso codice latino (197 fogli, di cui 188 spianati) N. 56, parte del Guiron, molti fogli (circa 80) del Floriamont, molti codici greci e latini, due grossi codici ebraici di circa 350 fogli (libri di pre- ghiera detti Mahazor), sono non solamente ricuperati ma restaurati, o quasi. Quasi tutti i codici francesi, e molti degli ebraici, a me consegnati, furono iden- tificati dagli egregi proff. Renier e Pizzi, i quali ebbero la cortesia di esaminarli nel mio laboratorio. 3) Ricerche sulla contrazione della pergamena per l’azione del calore e dell'acqua. Uno de’ fatti che subito saltano all'occhio quando si osserva un codice o fram- mento di codice in pergamena danneggiato dall'incendio è quasi sempre l’enorme contrazione de’ fogli e quindi anche del carattere, per cui molte volte è resa impos- («da 4 ui 33 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, Ecc. 4i sibile la lettura. In alcuni casi, ad esempio, il foglio in basso misurava da 23 a 24 cm. e in alto 11-12 cm.; alcune righe dello stesso codice, quasi allo stato naturale (a due colonne) misuravano 8 a 9 em. in basso e in alto appena 4 cm. Ho fatto fotografare un foglio che rappresenta un codice latino contratto in alto e quasi allo stato naturale, o almeno poco contratto per */,o, in basso. Ho già detto precedentemente che molti codici sono danneggiati solamente pel fatto che un estremo di essi è molto più contratto del rimanente. Ora questa con- trazione quasi sempre è tale che sia colla camera umida, sia coll’immersione nel- l’acqua tiepida e per gli stiramenti e spianamenti non si riesce a ridurre le parti ad eguali dimensioni. Ho voluto vedere quale era la temperatura alla quale la pergamena deve essere scaldata perchè stando all’aria o stirandola anche dopo inumidita, non riprenda più le dimensioni di prima. Ho voluto anche vedere se la pergamena, scaldata ad una data temperatura e poi immersa rapidamente in acqua fredda, si contraeva di più e permanentemente che non per la sola azione del calore, come era da prevedere. A questo scopo ho sottoposti varî campioni di pergamena antica e moderna a temperature diverse, ma in condizioni perfettamente eguali, per vedere anche quale era il punto in cui cominciava la decomposizione con sviluppo di ammoniaca e di acido solfidrico. Ho adoperato preferibilmente un apparecchietto analogo a quelli di Anschiitz e di Roth per determinare il punto di fusione; io però l’ho modificato in maniera che può riuscire molto utile in tante altre ricerche di chimica, e molto comodo per man- tenere per più ore una sostanza a temperatura perfettamente costante meglio che colle ordinarie stufe. Il principio in fondo è quello su cui è basato l’uso della stufa di Victor Meyer, ma essendo l’appareechio in vetro, si può vedere quali sono le mo- dificazioni che subisce la sostanza; inoltre essendo piccolo, se ne possono tenere pronti due o tre, o anche più, con liquidi a punto di ebollizione costante. Il tubo di vetro scaldato dal vapore è poco inclinato. La sostanza si mette dentro un tubetto chiuso con tappo a smeriglio e che con filo di platino si può so- spendere alla bilancia. I liquidi adoperati per varie temperature sono: AGM ie i a II Mmeromo” ... .-. 118°-120° Amina. e 0 182°-183 Etere ossalico . . 182,5 Etere benzoico . . 209°-210° Minoli ne °° 290%. L'apparecchio, del quale non posso dare qui la figura, è stato costruito dietro mio disegno dal sig. A. Zambelli. 50 a 100 cm di liquido bastano. Un decimetro quadrato di pergamena fina francese di montone detta lisse fu scaldata a 100°-110°, si contrae, e misura 9,5 X 9,5. Stando all'aria, dopo 24-48 ore riprende l'estensione di prima 10 X 10. Se scaldo a 150°-160°, allora stando all’aria le dimensioni diventano come prima o quasi, cioè 9,9 X 10, però se si immerge ancora calda nell’acqua non misura più di 9,5 X 9,7. 456 ICILIO GUARESCHI 34 Scaldo separatamente due decimetri quadrati della stessa pergamena detta lisse a circa 210°-220°; diventa rossastra e lasciato un campione all'aria rimane 9,2 X 9,3 anche dopo lungo tempo. L'altro campione, scaldato a 210°-220° e immerso ancora caldo nell'acqua fredda, non riprende più le dimensioni di prima, rimane (7,5-7,8-8,8) x 7,8 cm. La parte più ristretta, rosea, misura 7,5. Dopo 15 giorni le misure sono le stesse. Allora tengo immersi i due campioni nell'acqua tiepida per 10-15 minuti, poi asciugo e stendo come si fa pei fogli dei codici e trovo che l’uno rimane 8,5-9 X 8,8-9,9 e l’altro 7,5-8,5 X 8. Ripeto l’esperienza scaldando la pergamena di montone francese detta lisse a 210°, tenendola entro tubo immerso nel vapore di etere benzoico. Esperimento suc- cessivamente con tre pezzi di 1 decimetro quadrato ognuno. Scaldo in ogni caso per circa 15 minuti. La pergamena si colora in rosso bruno, ma più in una pagina che nell'altra. Si sviluppa ammoniaca ed acido solfidrico. 1° Lascio all’aria. Misura 8,2-8,8 X 8,2. Dopo tre ore 8,4-8,8 X 8,3 cm.; dopo 36 ore non cambia; la pergamena è morbida discretamente. Si immerge in acqua tiepida a 21°-30°, e si distende, e non si riesce ad avere che 7,5-7,7 X 7,3. Rimane dunque molto contratta. 2° Opero come col primo e ancora caldo immergo rapidamente il pezzo nel- l’acqua a circa 15°; poco dopo misura 6,8-7,2 X 7,5 cm. Dopo alcune ore è ancora più contratto: 6-6,8-7,2 e dopo 36 ore 6-6,5 X 7,2. Si immerge in acqua a 21°-30° e si tenta di distendere così: anche dopo molti giorni rimane 7-7,2 X 7,3. 3° La pergamena è stata scaldata rapidamente per 10 minuti, poi gettata nell'acqua a 15°. Ancora umida misura 7,8-8 X 8-7,8 e dopo trattamento come più sopra non si riesce che a 7,6-8 X 7,8. 1 decim. quad. della stessa pergamena detta lisse scaldo per 15 minuti a 210°, poi l’immergo rapidamente in acqua quasi bollente. Ha color caffè scuro; si accar- toccia molto. Ancora umido il pezzo misura: 6,2-6,5 X 6,5 cm.; dopo 36 ore è ac- cartocciato e fragile; non può misurarsi bene, in lunghezza è 6 cm. Si mette in acqua a 21°-30° e si distende; non si riesce a più di 6-6,6 X 6,5 cm. Un pezzo della stessa pergamena lisse che misura 9,8 X 7,6 scaldo a 182°,5 (in vapore di etere ossalico), poi immergo ancora caldo nell’acqua quasi bollente. È gial- lognolo, molto morbido quando è ancora umido e misura 6,2 X 4,6. È appena gial- lognola molto morbida quando è ancora umida. Poco colorata. Dopo 36 ore è un poco meno fragile della precedente, ma non può misurarsi, in lunghezza è 5,9 cm. Si mette in acqua a 25°-30°, e sì distende; ottiensi 5-5,3 X 6,4 cm. Pergamena moderna stata prima bagnata con acqua, poi lasciata asciugare all'aria. — Ho bagnato con acqua un decimetro quadrato di pergamena fina moderna, poi l'ho lasciata asciugare all’aria e successivamente scaldata a varie temperature. AO RM 1002 Lasciata all'aria, ricupera tutta l’acqua perduta, 100 °/o. Scaldo a 182°,5 in vapore di etere ossalico e trovo (dà pochissima ammoniaca e H?S): Perdita °/ = 21,08. A 210° in vapore di etere benzoico: Perdita °/ = 23,5. 35 OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO E SUL RESTAURO DEI CODICI, ECC. 457 Come si vede, la perdita di peso sino a 210° non è molto grande. Lascio la sostanza all’aria e dopo due giorni ricupera 46,1 °/ dell’acqua perduta; dopo anche molti giorni non ricupera più nulla. Quando la pergamena ha raggiunto un certo grado di calore la sua struttura è disorganizzata ed alle volte i fogli messi in acqua tiepida si dilatano, ma rimangono molto fragili, non elastici e non si possono distendere. Questo è il caso, ad esempio, di un codice ebraico, compatto, durissimo (N. 48 del mio catalogo). In questo come in altri casi simili la quantità di acqua è normale, a 125°, ma lasciata all’ aria la pergamena non ricupera più tutta l’acqua perduta. La pergamena di questo codice a 125° perdette 18,54 °/, e lasciata poi all'aria non ricuperò più del 68,3 °/, del- l’acqua perduta. A 182°,5 perdette 20,08 °/, e calcinata lasciò: 3,02 ° di cenere sulla sostanza all’aria 3,70% n n SPREA Cha Questa pergamena rigonfia moltissimo, fa un voluminoso fungo quasi come XII°, che poi brucia bene. ; Ho fatto numerosissime esperienze scaldando le pergamene antiche e moderne a temperature assai diverse, ma non ho sino ad ora avuto risultati che mi permettano di trarne qualche importante conclusione generale. I Anche dopo varì tentativi non sono riuscito a produrre la contrazione della per- gamena in maniera che poi questa per immersione nell’acqua e spianamento possa raddoppiare la superficie che aveva quando era contratta. Nel caso del codice che sente l’azione del calore durante l'incendio è da tenere in considerazione anche la forte pressione in causa della quale divenne molto contratto e raggrinzito anche senza aver subìto una temperatura elevata. Alle volte il blocco è bruciato tutto all’intorno e per la poca conducibilità della pergamena pel calore, la parte interna rimane quasi allo stato naturale, ma enorme- mente compressa, perciò quando poi si toglie il carbone, e si mette nella camera umida o nell'acqua, il suo volume aumenta di molto. Ma su questo argomento dovrò ritornare in seguito. HI. Ricerche sui colori usati dagli antichi. Se poi il codice contiene delle miniature, allora le precauzioni pel distacco e lo spianamento de’ fogli debbono essere maggiori. Le miniature finissime resistono al- l’azione della camera umida ed anche dell’acqua; il color rosso, fino (cinabro vero), non si stacca. Il colore azzurro, quasi sempre a base di rame, invece si stacca più o meno facilmente. I colori di codici molto antichi (VIII-XIII secolo) si staccano piut- tosto facilmente. Dei due colori rossi: cinabro e minio, cioè HgS e Pb804, il più resistente al calore, come si sa, è il primo; esso non si altera nemmeno quando la pergamena è completamente bruciata, mentre il minio o è diventato nerastro o lascia del piombo ridotto. In alcuni fogli del Rhabanus Maurus, notai come la scrittura rossa in alcune o Serie II. Tom. LIV. ul 458 ICILIO GUARESCHI — OSSERVAZIONI ED ESPERIENZE SUL RICUPERO, ECC. 36 parti fosse ridotta a color grigio metallico, dovuto precisamente a piombo ridotto. Riduzione che non è difficile riprodurre. Mescolando il minio con gomma arabica e poi scrivendo su pergamena si ha un color rosso che scaldato a 210° diventa prima bruno scuro poi d’aspetto metallico. Le miniature ordinarie non solo non resistono all’acqua ma nemmeno alla camera umida. Ad esempio, le miniature del codice francese Homan de la Rose, perdono l’az- zurro anche quando si staccano i fogli lasciandoli nella camera umida. In moltissimi casi il colore azzurro della miniatura è già stato in parte staccato dall’acqua quando sì estinse l'incendio; dopo disseccamento il colore si trova diviso su le due pagine combacianti. Molte delle miniature più importanti che trovansi in fogli molto alterati dal calore, come, ad esempio, il codice dei duchi di Borgogna e il Guiron le courtois, è bene conservarle quali sono senza cercare di distendere troppo la parte alterata, & non bagnarle con acqua; così possono ricuperarsi quasi tutte le principali miniature. La maggior parte del Guiron è così ricuperato, coi fogli ben spianati. Ma di tutto ciò che riguarda i colori dirò în extenso nella mia Raccolta di docu- menti per la storia della Chimica. Riferirò allora anche le esperienze che ho fatto, e sul numeroso materiale storico che ho raccolto. Non credo di aver detto molte cose nuove, ho solamente la speranza che queste. mie osservazioni ed esperienze possano riuscire utili agli amatori de’ libri, alle biblio- teche. Il lavoro di ricupero e restauro è un lavoro molto lungo, che deve essere ese- guito con metodo, e diretto, almeno nelle sue linee generali, da chi ha veramente cognizioni chimiche. Certo che i sacrifici che la Nazione deve fare devono essere in proporzione dell'importanza del materiale da ricuperare e da restaurare. E qui occorre tener conto del famoso: cum grano salis, affinchè questo genere di lavori non diventi pretesto a sfruttamento del pubblico denaro. La gran maggioranza de’ codici latini, greci ed ebraici che ho avuto per le mani, trattano di religione, o sono bibbie o libri di preghiera. Quasi nessuno di questi è miniato. Molti de’ codici francesi invece sono miniati ed alcuni anzi riccamente e benissimo miniati. Operando nel modo che fu sovra descritto in questa Memoria, sia adoperando la disseccazione e disinfezione, sia usando la camera umida, oppure l’acqua o le solu- zioni saline, ecc., si è potuto in questi quattro mesi eirea di lavoro, non solamente mettere in istato di non più alterarsi tutti i codici e frammenti di codici consegnati, ma se ne sono sfogliati e spianati ed in parte restaurati moltissimi. Sono ora più che 3000 i fogli fra grandi e piccoli stati ricuperati, spianati, e in parte distesi, ridotti in istato di essere letti. A. ciò si aggiunga il tempo stato necessario pel distacco di alcune miniature. Torino, R. Università, giugno 1904. GUARESCHI I.-- Osservaz dall'incendio della Biblioteca Nazionale di Torino. oni ed esperienze sul ricupero e sul restauro dei Codici danneggiati Memorie della KR. Accad. delle Scienze di Torino. Ser. Il Vol, | Tav, | Codice latino n. 186: foglio prima del trattamento. fig. 1 ur gr aa erat in o fl Gta va nur inlo:aundg jusd Gueniaut vi 120 culi Tvepad pornumer fiv orutam aSa er nat atotio nutre ted. aepututa È mini. ospiti d'oî pose enbees ine Afigna maniplo(. Bra er bi Rovani a equtof Tua orteei e cenni fivevusiare BO e agli vague pn deS 6, cd rude cal rusardr gue fi nti siva amine cai 3 a ai arri SIT. COMPIE tme venitetrIne AM09 drm te Aletane fan deflen naiuiirtri DUB Zioturype citecufa prostum mofterto Arr nona ale. Popnm 4 0A, Diffinsioate g ur pre ref irta ettauele fotte cn cin? d n) Meg en Alpi ufo Menini met finta can “ mfrontnoitamo: Yomurk spet pen fiarostat uti aiorio, d A due a xi TEtueuT grerum. us È fava dl Uborrey Que, urngni rev unfanze erorer a API at rininme ni Rami lurrf'otentie orrido, putuce co gordon a plobia play Vi ie Canronumertni ge zioni VA[pios A I siga fe fem Spb clienti PO 20 ilaturne cre wu ho picbf ar. piera MAusaTE. cutiog ere nirdiat quite vinenz nafimeise Tefs ucm tVYA mer DI dd ammagr. Vi pi ser. Creare x FPICLANC OF Ala pro id) vietati abano qui que nale i e a all anat opo trattamento con sapone potassico TAD, ELIOT. ING. MOLFESE. TORE GUARESCHI I. -- Osservazioni ed esperienze sul ricupero e sul restauro dei Codici danneggiati dall'incendio della Biblioteca Nazionale di Torino. fig. 4 Codice n, 81 carbonizzato, visto di fronte e di fianco. fig. 5 Codice n. 31, aperto: aspetto di una pagina interna MNTemozie della R. Accad, delle Scionze di Sovimo. Ser. II. Vol. LIV. Tav. Il “E sr fi ce n» : fi Roda ».Y pre è andere r i i) fi Î ww - g . ta rr ty AB ine AIRIRINORE | det ] N°, du Ne, on Four sula pri” ; Sul fa pr TRE bra rta varia inte sE canta Ds "do A nie ve È Eyeute gine ORIO Slo dr mon , | ‘6; otefinkbe ni P té tttor, ca ‘xii pe EH(0 $3 bmabut. 1 rio nosdun deg rtrirratzaci 3 slerazz n maturo fia. srt ri, «Apro lun aan oo Dalton (equa. inelntare DS pes leeds sori atbalamolshem o tag dt, LR PR RIONI x è lai de di 64 16 stre 00% serie rafiai 103 tal ro li Gapat fold isuattii.ep pi Ata 2 rime) i ); i \O Hel fire more hack. 40 dl avrnstirmalbmià Nic: = Pi Lea Luini errate n yadlartir atafi rr % nes ] 3 w reni : ‘ ‘ ‘ovsma mont De rene TRAD. x Li A resa silos » fig. 6 Codice n, 31 : foglio spianato che mostra la pagina rappresentata dalla figura precedente. STAB, ELIOT, ING, MOLFESE, TORIFIO e___—__Uù60_P__;.; _ iii w.AÒ,GU_Gl6605 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO REISER cEù ZA. AZIONE COMPARATA DEI REATTIVI DECALCIFICANTI RICERCHE SPERIMENTALI DEL Prof. LUIGI SABBATANI Approvata nell'adunanza del 15 Maggio 1904. Colle pubblicazioni anteriori sulla funzione biologica del calcio dimostrai che tutti i reattivi, i quali sono capaci di produrre una diminuzione nella concentrazione jonica del calcio, per ciò stesso aggiunti al sangue ne provocano l’incoagulabilità, e dimostrai pure che i fenomeni tossici generali e locali, di eccitazione prima e di depressione poi, ed in fine la morte, provocata da alcuni di questi reattivi, dipende sempre da diminuzione nella concentrazione del Ca-jone contenuto normalmente nei protoplasmi. Inoltre, lo studio sull’azione antagonistica fra citrato e calcio e quello sul calcio-jone nella coagulazione del sangue mi condussero a stabilire che per la coagu- lazione del sangue e per la vita dei protoplasmi è indispensabile una determinata con- centrazione di jone-calcio, la quale può in condizioni fisiologiche variare soltanto entro certi limiti, che probabilmente dipendono dalla natura del protoplasma e dal momento funzionale in cui si trova. Al di fuori di questi limiti si hanno subito manifestazioni tossiche, e per variazioni troppo forti presto s’arriva a dei valori critici, minimo e massimo, oltre i quali, così la coagulazione del sangue, come la vita dei protoplasmi è interamente sospesa, non però abolita, poichè riconducendo con mezzi adatti la concentrazione del Ca-jone entro i limiti fisiologici, la coagulabilità del sangue, ed anche la vitalità dei protoplasmi subito ritorna normale, se si interviene abbastanza presto. E poichè l'aumento della concentrazione del calcio-jone protoplasmatico è sempre accompagnato da fenomeni di depressione e la diminuzione è sempre accompagnata da fenomeni di eccitazione, assegnai al Ca-jone protoplasmatico una funzione biologica permanente moderatrice. In appoggio di questa ipotesi ho creduto opportuno fare uno studio comparato dell’azione generale e tossica di tutti i reattivi decalcificanti, come già feci rispetto 460 LUIGI SABBATANI 2 alla coagulazione del sangue, poichè mentre sarebbe assai difficile dimostrare diret- tamente l’esistenza del Ca-jone protoplasmatico e l’importanza biologica sua, una dimostrazione indiretta appare facile mercè lo studio delle modificazioni funzionali e tossiche prodotte da quelle sostanze le quali possono aumentare o diminuire la con- centrazione del calcio-jone nell'organismo. Sperimentando sopra individui unicellulari, e sopra vegetali ed animali molto semplici, si può variare la concentrazione del calcio che viene a diretto contatto di essi, usando liquidi di cultura adatti; ma sperimentando negli animali superiori, non pare si possa far variare sensibilmente e rapidamente la concentrazione del calcio- Jone circolante, amministrando loro cogli alimenti dei sali di calcio, o nutrendoli con alimenti privi di calcio. Questi animali in loro stessi hanno sempre dei depositi enormi di calcio nell’endo od ecto scheletro, e poichè la concentrazione del Ca-jone nel sangue è la risultante di un equilibrio in parte di natura fisico-chimico fra i diversi sali, ed in parte fisiologico fra assorbimento ed eliminazione, aggiungendo o sottraendo calcio all’alimento potremmo ottenere tutt’al più delle variazioni lente nella concentrazione jonica del calcio, tanto lente, che facilmente sarebbero masche- rate da fenomeni immancabili di compenso fisico-chimico e fisiologico. Nell’'un caso probabilmente si avrebbe una eliminazione un po’ più abbondante di calcio, una mag- giore deposizione di sali calcarei nelle ossa, nell'altro caso probabilmente si avrebbe in ridisciogliersi di sali dalle ossa; ma intanto, proprio per questi fenomeni di com- penso non sì avrebbe mai una variazione abbastanza forte e rapida nella concentra- zione del Ca-jone del sangue e dei citoplasmi da produrre disturbi funzionali. E notisi che, se pure a lungo andare una variazione forte si potesse ottenere, questa si pro- durrebbe tanto lentamente, che con sicurezza il protoplasma avrebbe tempo di adat- tarsi alla variata concentrazione del Ca-jone. Numerose esperienze fatte da me e da DeLo6U (1) dimostrano infatti che si ottengono facilmente nei cani fenomeni di abi- tudine al calcio, anche se amministrato per via endovenosa. Per ottenere una variazione forte e brusca nella concentrazione del Ca-jone cir- colante e degli organi si deve quindi ricorrere a quegli stessi reattivi di cui si serve il chimico (sali di calcio o reattivi decalcificanti) ed iniettarli rapidamente nel sangue, o porli a diretto contatto di organi isolati, perchè amministrati per bocca, restereb- bero inefficaci, o tutt'al più produrrebbero dei disturbi locali sul tubo digerente, come avviene per il solfato, fosfato, citrato e saponi di sodio, i quali provocano azione purgativa; in ogni caso poi per ottenere fenomeni tossici per via gastrica con questi sali, occorrono dosi di gran lunga maggiori che per via endovenosa. Contro questo metodo sperimentale si potevano sollevare alcuni dubbî, relativi al modo d’agire del calcio e dei reattivi decalcificanti nell'organismo, dubbî che però non hanno serio fondamento. Per lo addietro si credette da alcuni che non si potes- sero fare impunemente delle iniezioni endovenose di cloruro di calcio, perchè, secondo essi, provocavano trombosi generalizzata (2); ma ora questo dubbio non ha più ragione (1) DeLogu G., Sulla tossicità comparata del calcio, “ Arch. di Farmacologia e Terapeutica ,, vol. X, fase. 7°-8° (1902). (2) Dasrre et Froresco W., Trombose généralisée à la suite d’injections de chlorure de calcium, “ Compt. rend. Soc. de Biol. ,, 8 [10] (1896), 560. 3 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 461 d’essere, poichè come già RaBureAU (1) e Curci (2) sperimentando col calcio non fa- cevano cenno di coaguli intravascolari, così nè ReGoLI (3), nè io, nè DeLogu (4), in numerosissime esperienze sugli animali non li abbiamo mai osservati, se non in con- dizioni del tutto eccezionali, e facilmente spiegabili (DeLo6u); ed il cloruro di calcio è stato iniettato impunemente anche nelle vene dell’uomo con intento terapeutico da SiLvesTRI (5) e da RoncoronI (6). Rispetto poi all’azione dei reattivi decalcificanti si può « priori ritenere che essi producano veramente una diminuzione nella concentra- zione del Ca-jone nell'organismo, come fanno è vitro, perchè quantunque la presenza di colloidi ostacoli o dia un andamento anormale a molte reazioni (7), pur tuttavia non modifica affatto quelle precipitanti del calcio, ed i reattivi decalcificanti con- servano intera l’attività loro anche nel liquido sanguigno, così come in acqua pura. Le osservazioni di De Bruyn mostrano che in un mezzo di gelatina le sostanze insolubili, che precipitano allo stato cristallino o diventano tali dopo alcun tempo, precipitano realmente e non formano soluzioni colloidali; fra queste egli ricorda l’os- salato di calcio, il fosfato ammonico magnesiaco, il solfato di bario; ed io stesso con esperienze dirette volli assicurarmi che in presenza di albumina d’ovo e di siero di sangue le reazioni fra cloruro calcico da un lato e carbonato, fosfato e metafosfato sodico dall'altro, si compiono bene e prontamente, quasi come in acqua pura. Solo notai alcune particolarità nella forma cristallina dei precipitati che si formano in presenza di albuminoidi, particolarità, che mentre nulla tolgono alla sensibilità delle reazioni, sono di speciale interesse per la biologia, quando si mettano in relazione colla deposizione di sali calcarei nello scheletro (8). Onsux (9) del resto aveva già da tempo osservata la presenza di cristalli di ossalato calcico nei vasi sanguigni di animali avvelenati con ossalati, ciò fu confer- mato da altri; e quando due anni or sono io cercava di provocare nei mammiferi dei fenomeni di antagonismo fra ossalato e calcio, ebbi la formazione di ossalato calcico nei vasi, il che era poi causa di coagulazione intravascolare (10). (1) Rasureau et Ducowprey, Sur les propriétés des sels de calcium, * Compt. rend. ,, T. 76 (1873), p. 349, 355. (2) Curci A., Sul meccanismo di azione dei comuni metalli alcalini cd alcalino-terrosi, “ Ann. di Chim. e Farm. ,, vol. III, ser. IV (1886), p. 337-350. (3) RegoLi P., Azione dei metalli alcalino-terrosi sulla eccitabilità elettrica della corteccia cerebrale, © Bollettino della Società tra i cultori delle Se. med. e nat. in Cagliari ,, 1900, p. 151-156. — Sw- l’uso del calcio come emostatico, © Rivista critica di Clinica medica ,, anno III (1902). (4) DeLo6u G., loc. cit. (5) Sirvesrri T., Dell’azione emostatica delle iniezioni endovenose di cloruro di calcio, “ Gazzetta degli Ospedali e delle Cliniche ,, 1902, N. 39. (6) Le esperienze fatte da Roxcoroni, alle quali assisteva io pure, credo sono. tùttora inedite; le iniezioni endovenose di Call? nell'uomo non produssero alcun inconveniente nè immediato, nè lontano. (7) Losry A. C. De BrurN, L’état physique de substances insolubles dans l'eau, formées dans un milieu de gélatine, È Ree. Trav. chim. Pays-Bas ,, T. XIX (1900), p. 236-249. (8) Di questi fatti mi occuperò, spero, in un prossimo lavoro assieme al collega Borrrs, Profes- sore di Mineralogia. (9) Citato da NoraxaceL H. e Rosssaca M.-J., Nuovi elementi di materia medica e terapeutica, versione italiana, Napoli (1887), p. 358. (10) Vedansi più avanti le esperienze coll’ossalato di sodio e cloruro calcico. 462 LUIGI SABBATANI 4 Conviene però ricordare che, per la piccola concentrazione del Cat* nell’orga- nismo e per la solubilità abbastanza alta di alcuni sali di calcio, come il solfato, il citrato ecc., i corrispondenti sali di sodio non potrebbero produrre alcun precipitato calcare nel sangue, o nei protoplasmi; l’azione decalcificante di questi reattivi si esplica solo o mercè fenomeni di retrocessione nella dissociazione elettrolitica, allorchè cresce molto la concentrazione di un dato anione (solforico), o per la formazione di molecole poco dissociabili rispetto al calcio (citrato). Solo così, riferendoci al jone- calcio, possiamo comprendere come tutti questi reattivi siano capaci di provocare nell'organismo dei fenomeni di decalcificazione. Certamente con nessuno di questi, e neppure a dosi altissime, si potrebbe mai produrre una decalcificazione totale; ma come nella analisi chimica quantitativa, così pure nell’esperimento fisiologico, col cre- scere della quantità di reattivo decalcificante iniettato, la concentrazione del Ca-jone fisiologico diminuisce sempre più, finchè per una determinata quantità di reattivo si raggiunge un valore così basso nella concentrazione del calcio-jone, che questo non è più sufficiente per la funzione sua normale nel sangue o nei citoplasmi. Dall’ altro lato, iniettando nelle vene degli animali un sale solubile di calcio, la concentrazione del jone-calcio nei liquidi circolanti e protoplasmi aumenta, e seguitando ad iniettare calcio, presto si raggiunge un valore così alto nella concentrazione del Ca-jone, che è esso. pure incompatibile colla funzione normale. Per le considerazioni sopradette ho studiato ora l’azione generale e tossica com- parata dei seguenti reattivi decalcificanti, facendo con ciascuno una lunga serie di esperienze; solo per ciò che riguarda i saponi, come già feci nella II parte delle presenti ricerche, mi sono limitato a riferire alcuni dati sperimentali ottenuti da altri, perchè non è mia intenzione addentrarmi ora nello studio dei saponi che, per i rapporti coi grassi, troppo lungi mi condurrebbe dallo scopo delle presenti ricerche. 1°. Fluoruro di sodio; 2°. Solfato di sodio; 3°. Metafosfato di sodio; 4°. Pirofosfato di sodio; 5°. Solfato bisodico; 6°. Carbonato sodico neutro; 7°. Carbonato sodico acido; 8°. Saponi di sodio; 9°. Ossalato di sodio; 10°. Citrato trisodico. In questo studio ho cercato di mettere bene in evidenza le analogie, il modo d’agire e l’importanza che nel determinismo dei fenomeni tossici acquista il carattere di decalcificante per questi sali; e come nei lavori antecedenti, così anche ora, speri- mento sempre di pari passo col calcio e coi reattivi decalcificanti, li inietto diret- tamente nelle vene, o li applico sopra organi isolati, a ciò che le variazioni di con- centrazione del Ca-jone, che in questo modo si producono nei liquidi circolanti e nei protoplasmi, siano abbastanza forti e rapide; così evito che possano sorgere fenomeni di compenso fisico-chimico o fisiologico, oppure fenomeni di abitudine. Ho raccolti “) 5 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 463 anche alcuni fatti di antagonismo fra il calcio da un lato ed i varì reattivi decalci- ficanti dall’ altro, i quali, quantunque non siano così numerosi e belli come per il citrato trisodico, e ciò o perchè si formano precipitati, o perchè alcuni anioni hanno una tossicità loro speciale, o perchè in alcuni di questi sali, idrolizzandosi, l’azione resta complicata dalla formazione di OH od H* jone, tuttavia sono interessantissimi e li riferirò a suo luogo. Tenni poi conto speciale della influenza che la concentra- zione delle soluzioni iniettate e la velocità delle iniezioni stesse hanno sopra le mani- festazioni tossiche. Con queste ricerche, mentre si porterà un nuovo contributo allo studio fisiolo- gico dei sali in genere, si porranno in evidenza alcuni fatti molto interessanti per lo studio farmacologico di alcuni di essi (carbonati, meta- piro- ed orto-fosfati), e dal complesso di tutte le esperienze si trarranno nuovi e sicuri dati in appoggio della ipotesi sulla funzione moderatrice del calcio-jone protoplasmatico. Adoperai sempre sali puri del commercio, o purificati da me stesso, alcuni anzi li preparai direttamente, ed ebbi cura che la tecnica, del resto semplicissima, restasse sempre la stessa per tutte le serie di esperienze a ciò i risultati fossero sicuramente paragonabili. ; Per la bibliografia dei lavori farmacologici e fisiologici sopra i sali di calcio ed i reattivi decalcificanti, alle indicazioni che già riportai nella I e II parte di queste ricerche, altre ne aggiungerò a suo luogo; ma fin d’ora giova osservare, che mentre le ricerche sperimentali coi sali aventi azione decalcificante sono molto numerose, di poche solo potremo giovarci. La massima parte di esse furono fatte quando ancora non si sospettava che nel determinismo dell’azione tossica loro intervenisse il potere decalcificante; ma indipendentemente da ciò, spesso i risultati ottenuti da diversi spe- rimentatori e con diversi sali non sono affatto comparabili, perchè diverse erano le condizioni sperimentali, e spesso mancava un criterio direttivo chimico esatto, od una tecnica sperimentale rigorosa, quale il confronto della tossicità diversissima di sostanze, ora molto attive, come l’ossalato sodico, ora pochissimo attive, come il bicarbonato sodico, esigeva. Lt 1. Fluoruro di sodio. L’azione dei fluoruri era stata studiata primieramente da RaBurEAU (1), poi da TapPEINER, da ScHuLz (2), ed istologicamente da PrrortI (3). TAPPEINER nei mam- miferi e per via endovenosa od ipodermica a dose di gr. 0,15 per chilo corporeo osservava fra i varîì sintomi convulsioni parziali o generali, aventi in alcuni animali (1) RasurEAU, Étude expérimentale sur les effets physiologiques des fluorures et des composés métal- liques en général, Paris, 1872. (2) Tarperner H., Zur Kentniss der Wirkung des Fluornatriums, © Arch. fir ex. Path. u. Pharm. ,, Bd. XXV (1889), S. 203-224. — Scnurz U., Untersuchungen iiber die Wirkung des Fluornatriums und der Fluorsiiure, “ Arch. fiir ex. Path. und Pharm. ,, Bd. XXV (1889), S. 328-346. — Tarperner H., Mittheilung iiber die Wirkungen des Fluornatrium, * Arch. fiir ex. Path. u. Pharm. ,, Bd. XXVII (1890). (3) Prromrr G., Dell’influenza che esercita il fluoruro di sodio sui vari organi e sugli elementi dei tessuti dell'organismo animale, “ Bullettino delle Sc. mediche di Bologna ,, serie VII, vol. IV (1892). 464 LUIGI SABBATANI 6 carattere epilettico, la qual cosa perfettamente concorda con quello che vedremo accadere con tutti i reattivi decalcificanti, i quali sempre producono fenomeni di ecci- tazione generale intensi. Le osservazioni di TAPPEINER sono state poi confermate in tutto da Lazzaro (1), il quale notò per giunta che, quando l’avvelenamento procede lento, compare dege- nerazione grassa del cuore, del fegato e dei reni, ed in appresso avremo occasione di notare qualche cosa di analogo anche per altre sostanze di questo gruppo. Ma di tutte le esperienze del TAPPEINER a noi specialmente interessano due fatte nei conigli per iniezione intravenosa: Un coniglio di 1600 grammi con 0,12 di fluoruro sodico, iniettato nelle vene, presentò subito debolezza, dopo 10 minuti trisma, e dopo 3 ore era di nuovo normale. Un altro coniglio di 1180 gr. con 0,20, ancora per via endovenosa, presentò dopo 5 minuti aumento della frequenza respiratoria da 65 a 114 al minuto, in ap- presso salivazione e dopo 15 minuti trisma, convulsioni generali e morte. Siccome però nel confronto della dose minima letale dei reattivi decalcificanti io mi sono attenuto sempre a quella che provoca morte immediata dell’animale, così queste esperienze non potevano servire all'intento, e ne ho fatte appositamente alcune. EspeRIENZA 1* (2 maggio 1903). Coniglio m. di Chgr. 1,035. — Iniezione nella giugulare destra di cm? 4,5 di soluzione al 5 °/, di fluoruro sodico, fatta in due minuti circa. L'animale muore con poche scosse convulsive generali, non ben chiaro se dipendenti da asfissia o no. Aperto subito il torace, le orecchie sono dilatate, i ventricoli fortemente contratti e rigidi. Muore con gr. 0,225, gr. 0,217 per chilo, gr.-mol. 0,0051 per chilo. Esperienza 2° (2 maggio 1903). Coniglio f. di Chgr. 1,100. — Iniezione nella giugulare destra con cm? 38 di soluzione all’1 °/, di fluoruro sodico, fatta in 5’. L'animale presenta moti convulsivi ripetuti, lunghi, generali a carattere tonico, quando il cuore pulsa ancora bene, poi muore. Aperto subito il torace, si trova il cuore fermo, ineccitabile, col solo ventricolo sinistro contratto. Il sangue raccolto dal cuore coagula abbastanza presto, in 10' circa. La rigidità cadaverica compare pure prontamente. Muore con gr. 0,38, con gr. 0,34 per chilo, con gr.-mol. per chilo corporeo 0,0082. EsrERIENZA 8° (4 maggio 1903). Coniglio di Chgr. 0,920. — Per la vena giugulare destra in 2' circa inietto cm° 4,2 di soluzione al 5 °/, di fluoruro sodico. L’animale, dopo ripetute scosse convulsive generali muore. Aperto, si nota che i ventricoli sono fortemente contratti e rigidi. Questo coniglio morì con gr. 0,21, gr. per chilo 0,23, gr.-mol. per chilo corporeo 0,0055. (1) Lazzaro C., Sull’azione dei fAluoruri alcalini nell'organismo animale, “ Sicilia med. ,, Torino- Palermo, 1891, III, 405-411. Pr # ue ate e Li FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 465 Da tutte queste esperienze vediamo quindi che nei conigli e per via endovenosa: con gr. 0,075 per chilo l’animale sopravvive (TAPPEINER); con gr. 0,169 per chilo l’animale muore dopo 20’ (TAPPEINER); con gr. 0,262 per chilo l’animale muore immediatamente (media delle tre espe- rienze mie). Questa dose letale corrisponde a gr.-equivalenti 0,0062 per chilo d’animale. Ricorderò poi che il fluoruro sodico, applicato direttamente sulla corteccia cere- brale, non ha dato mai un aumento deciso e chiaro dell’eccitabilità elettrica, e perciò credo che le manifestazioni fisiologiche prodotte da esso non dipendano esclusivamente dall'azione sua decalcificante, ma in parte anche dal fluor-jone, ed in questo concetto mi confermano varie considerazioni, fra cui il comportamento del fluoruro sulla coa- gulazione del sangue, il quale è, come già vedemmo altrove, un po’ diverso da quello degli altri reattivi decalcificanti. Pur tuttavia la tossicità grande del fluoruro sodico dipende direttamente dall’azione decalcificante sua, come apparirà chiaro dal confronto fra il potere decalcificante, anticoagulante e tossico di tutti i reattivi che ora studiamo. 2. Solfato di sodio. Il solfato di sodio, Na?S04+ 10H?0 = 322, come reattivo precipitante del calcio è assai poco sensibile, e perciò anche ha una minima azione anticoagulante, come abbiamo visto trattando del Ca-jone nella coagulazione del sangue. Era quindi lecito prevedere che la tossicità sua, in quanto è un reattivo decalcificante, fosse assai pic- cola, e l’esperienza ha confermata pienamente la previsione. Di tutte le esperienze fatte per brevità ne riporto solo alcune, tenendo però conto esatto di tutte nella tabella riassuntiva a pag. 466. EsperIENzA 4* (14 dicembre 1902). Cane f. di Chgr. 4,100. 17,1’. — Comincia una iniezione nella vena femorale destra con soluzione di solfato sodico al 15,2 °/ (cristallizzato). ‘ 17,6. — Si sono iniettati em* 100 e compaiono convulsioni a carattere nettamente tetanico, ma di breve durata. Appena slegato, l’animale subito cammina. 19,30. — Rifiuta il mangiare. (15 dicembre 1902). Mangia poco, sta bene, ha emessa urina di reazione o neutra o leggermente alcalina. Questo animale ha ricevuto in 5' cm? 100 di soluzione = gr. 15,2 = gr. per chilo cor- poreo 3,7. EspeRIENZA 5° (30 dicembre 1902). Cane f. di Chgr. 3,700. E ) Iniezione nella femorale sinistra con una soluzione di solfato sodico al 15,2 ‘/s. — Tan 24 Si iniettano em3 200. Durante l’iniezione l’animale si agita e si lamenta, in ultimo presenta un accesso tetanico lunghissimo, con spasmo della glottide. Col lungo arresto di respiro compare poi cianosi intensa 9 Serie II. Tox. LIV. sr 466 LUIGI SABBATANI 8 e rilassamento generale dell’animale; però a questo punto, praticando la respirazione artificiale colla compressione del torace, il cuore, che pulsava debolissimo, non si rianima, e poco dopo cessa ogni pulsazione. Aperto subito il torace e l’addome, si trova il cuore fermo, ineccitabile, in forte diastole. Il sangue contenuto in esso e nei grossi vasi è perfettamente liquido, ma coagula prestissimo appena fuoriesce. Il fegato è fortemente congesto e scuro assai: presenta in varî punti delle chiazze emorragiche, è grandemente lacerabile, e durante la necroscopia una piccola lacerazione in esso fa uscire una grossa quantità di sangue. Estratto il fegato e spremutolo leggermente, sì che fuoriesca il sangue, appare di colore giallo intenso. Questo animale ebbe in 5' cm° 200 di soluzione al 15,2 °/, = gr. 30,4= gr. 8,2 per chilo corporeo. EsperIENzA 8° (4 luglio 1908). Coniglio f. di Chgr. 1,350. 17,18". — ) Iniezione nella giugulare destra di cm? 114 di soluzione al 16 °/, di solfato sodico rg — cristallizzato. Dapprima l’animale resta tranquillo, poi durante l’ iniezione presenta scosse convulsive generali, indi scosse muscolari isolate e piccoli movimenti delle dita, che si fanno sempre più lievi, fino a che in uno stato di profonda depressione il respiro s’arresta e contemporaneamente le pulsazioni cardiache si affievoliscono fino a che più non si percepiscono. Durante l’iniezione si ha diuresi abbondante. Aperto subito il torace si trova che il cuore fa lievi pulsazioni. Il sangue interamente liquido coagula presto fuori dei vasi. Fegato congesto, lacerabilissimo. Questo coniglio ebbe in 18' em? 114 di soluzione= gr. 13,5=gr. 0,75 per chilo corporeo, I dati principali e l’esito di tutte le esperienze fatte col solfato sodico trovansi riuniti nella seguente tabella: S | Inrezione di solfato (Na?S0'+ 10H?0) si E | > IZ | ; E DosE LETALE MEDIA 2 RIME corrispondente a dei i | ANIMALE pro E E Zi Micca Be ? È DA = | 7 in Chgr.| ‘£ È 3 | N. n E chilo corporso cdi .E ce ana per chilo | ® minuto] £ in grammi Z | 9 (velocità) & | | 4| cane |4,100| 5 |15,2/100| 15,2 37 OO EV d | 5 3,700| 5 » | 200| 30,4 8,2 1,64 M 85 6 | O 4,400| 16 n 272] 392 8,9 0,55 Mi 34 oli 7 4,200 | 10 » |283| 35,4 8,4 0,84 M 8 | coniglio | 1,350| 18 |16 |114| 18,2 | 13,5 0,75 M 3 9 | L, M0;S dl db st 4l 6,5 7,8 1,56 M Î 10.3 10 | ; 1,010.) 9 n 690 1,02 039 1,21 M \ 3 160 n Teri oce) n To| 12,0 9.1 Ion M Da questa si vede che il solfato sodico è veramente assai poco tossico, sì che ne occorrono gr. 8,5 per chilo corporeo nei cani, e gr. 10,3 nei conigli, onde pro- durre la morte immediata. Queste dosi, le quali corrispondono rispettivamente a (1) In questa e nelle seguenti tabelle si indica con M che l’animale muore e con V che sopravvive. P a 9 . FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 467 gr. 3,7 ed a gr. 4,5 di sale anidro, concordano abbastanza bene con alcuni dati di MiinrzER (1) (gr. 4,47). Nei cani la velocità della iniezione pare influisca poco sulla grandezza della dose minima letale; ma nei conigli ha una influenza manifesta e sta- rebbe in relazione colla diuresi profusissima che in essi provoca l’iniezione di solfato sodico, diuresi colla quale si elimina rapidamente una grande quantità di solfato. Riguardo ai sintomi si hanno qui fenomeni convulsivi, ma meno intensi che per gli altri sali di cui ci occuperemo, e ricordano piuttosto quelle contrazioni che si hanno con iniezioni endovenose di alte dosi di cloruro sodico, di quello che convul- sioni nettamente tetaniche, nè ciò può fare meraviglia qualora si ricordi che il solfato sodico, come reattivo decalcificante, è assai poco sensibile, ed alle dosi altissime cui bisogna introdurlo, onde produrre la morte degli animali, indubbiamente entrano in scena fenomeni dipendenti da una tossicità fisica, per la concentrazione molecolare elevata che si porta nel sangue, fenomeni che vengono a complicare il quadro della intossicazione. Anzi, se la concentrazione molecolare non intervenisse, come già abbiamo dimostrato a proposito della incoagulabilità del sangue, ottenuta în vitro con questo sale, il solfato sodico non potrebbe produrre una diminuzione sensibile della concen- trazione jonica del calcio nei tessuti, il che diventa possibile solo allorquando, per la concentrazione molecolare elevata del solfato, verosimilmente si provocano fatti di retrocessione nella dissociazione elettrolitica dei sali di calcio. 3. Metafosfato di sodio. Dei caratteri chimici del metafosfato sodico (POCO) dissi già parlando del- l’azione sua anticoagulante (2), ed ora basterà ricordare che in piccola quantità pre- cipita il calcio, dando un metafosfato calcico insolubile, ma in eccesso ridiscioglie il precipitato calcare, ed il liquido limpido che ne risulta non dà più le reazioni sensi- bili, caratteristiche del calcio; si comporta allora come il citrato, il quale non preci- pita il calcio, ma ne impedisce le reazioni. Da questo risulta quindi che il metafosfato sodico, a seconda della dose, può produrre una diminuzione nella concentrazione jonica del calcio in doppio modo: 0 precipitandolo come fa l’ossalato, o trasformandolo in joni complessi come farebbe il citrato trisodico; e ciò tanto in soluzioni acquose pure, che nel sangue în vitro, 0 nell’animale vivo per iniezioni endovenose, provocando in ogni caso una decalcifica- zione di interesse puramente chimico, fisiologico o farmacologico, a seconda dell’am- biente in cui si produce. E le manifestazioni fisiche e fisiologiche di questa decalci- ficazione, prodotta dal metafosfato, saranno quindi varie, a seconda della dose; ora somiglianti più a quelle date dall’ossalato sodico, ora a quelle date dal citrato. Come per il citrato, saponi, ossalato ece., anche per il metafosfato sodico la tos- sicità è assai diversa, a seconda che s’introduce per via gastrica, per via ipodermica, (1) Miiyrzer E., Zur Lehre von der Wirkung der Salze, 7 Mittheilung. — Die Allgemeinwirkung der Salze, “ Arch. fiir ex. Pathol. u. Pharm. ,, Bd. 41 (1898), S. 74-96. » (2) Sasparani L., Funzione biologica del calcio, Parte II, Il calcio-ione nella coagulazione del sangue, “ Memorie della R. Ace. delle Se. di Torino ,, Serie II, tomo LII (1902), p. 213-257. 468 LUIGI SABBATANI . : 10 o per via endovenosa, tanto diversa che si sarebbe tentati a dire che queste sostanze sono per bocca quasi del tutto innocue, a confronto della tossicità grandissima che acquistano per iniezione endovenosa. GAMGEE (1) aveva constatata la tossicità dell’acido metafosforico nelle rane; ScHuLz (2) vide poi che il metafosfato sodico per iniezioni ipodermiche nei conigli alla dose di gr. 0,5 riesce innocuo, ma letale a gr. 1,0; vide che amministrato per via gastrica provoca infiammazione della mucosa, la quale si mostra coperta da eechi- mosi bruno nere più o mene intense. Ma io dubito assai che ciò provenisse da qualche causa d’errore che è sfuggita forse alla osservazione di ScHuLz, poichè il metafosfato sodico non ha affatto azione irritante e caustica (Vedi Esp. 15) e può precipitare gli albuminoidi (Vedi Esp. 14) e fissare i tessuti (Vedi Esp. 16) solo a condizione che si trovi in presenza di una forte quantità di acido. Dubito che colla sonda ScHuLz pro- ducesse forse nello stomaco delle lesioni materiali e degli stravasi sanguigni, i quali per la presenza di un liquido ad azione anticoagulante energica, come è il metafosfato sodico, diventavano gravi, laddove in condizioni ordinarie sarebbero passati del tutto inosservati. E nota l’azione precipitante dell’acido metafosforico o del metafosfato sodico in ambiente acido sugli albuminoidi (3) e mentre di questo fatto io doveva tener conto nell’interpretazione dei fenomeni tossici prodotti dal metafosfato, è evidente altresì che, avendosi in tutto l’organismo sempre un ambiente alcalino, tranne che nello stomaco e nelle vie urinarie dei carnivori, si poteva ritenere che, qualora nell’orga- nismo avvenissero fatti di coagulazione o precipitazione di albuminoidi per opera del metafosfato, ciò fosse esclusivamente nello stomaco o nelle vie urinarie dei carnivori. Conveniva quindi stabilire se l’acidità normale di queste parti sia realmente baste- vole per la reazione, ed è con questo intento che ho fatte le seguenti esperienze : Esperienza 12° (13 novembre 19083). Un albume d’uovo viene sbattuto con quattro volumi d’acqua, quindi filtrato e su di esso si sperimenta l’azione precipitante del metafosfato in presenza di diversi acidi, usando però delle soluzioni acide abbastanza diluite, e tali che da sole non dànno alcun precipitato coll’albumina. Si vide così che il metafosfato sodico cogli acidi cloridrico, nitrico, solforico, fosforico ed acetico precipita benissimo l’albumina. Si vide che il solfato acido di sodio serve ancora benissimo, mentre poi il fosfato mono- sodico e l’acido carbonico non precipitano affatto l’albumina col metafosfato sodico. Si vide in fine che, in presenza di fosfato monosodico occorre aggiungere molto più acido perchè la reazione avvenga. Esperienza 18° (13 novembre 1903). Aggiungendo a dell’urina d’uomo o di cane normale e molto acida del metafosfato e del- l’albumina d’uovo, non si ha alcun intorbidamento; questo si ha solo aggiungendo dell’acido. A parità di condizioni la reazione avviene più debole che in acqua pura; nell’urina occorre aggiungere più acido. (1) Citato da Scnutz. (2) Scaurz H., Uebder die Giftigleit der Phosphor-Sauerstoffverbindungen und iiber den Chemismus der Wirkung anorganischer Gifte, “ Arch. fir ex. Pathol. und Pharm. ,, Bd. 18 (1884), S. 174-208. (3) Il precipitato è stato paragonato alle nucleine. i (a FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 469 Esperienza 14% (5 dicembre 1903). A del siero di sangue di cane, diluito con 3 volumi d’acqua, aggiungeva del metafosfato sodico, poi delle quantità progressivamente crescenti di acido cloridrico, fino ad ottenere un lieve intorbidamento. Ripeteva poi questo saggio diverse volte, aggiungendo sempre più acqua, in modo che i reagenti sì trovassero successivamente e sempre ad una concentrazione minore. Vidi così che la reazione col metafosfato ed acido cloridrico sulla siero-albumina compare quando il metafosfato e l'acido si trovano in un determinato rapporto, indipendente dalla diluzione. In un’ altra serie di saggi, fatti in modo identico, determinava la quantità minima di acido che, per una quantità fissa di metafosfato, era sufficiente a dare il massimo di preci- pitazione dell’albuminoide; e vidi che ciò si ottiene quando i rapporti equivalenti fra meta- fosfato ed acido sono di 5 a 2; per poco che il metafosfato ecceda, il precipitato albuminoideo sì ridiscioglie. Esperienza 15* (5 dicembre 1903). Appena ucciso un coniglio colla puntura del bulbo, si apre lo stomaco, si vuota e si tocca ripetutamente la mucosa con un batuffolo di cotone bagnato con soluzione di metafosfato î 1 a È sodico 71 N, ma non sì osserva nessun cambiamento nella mucosa. Bagnata poi in più parti con una soluzione di metafosfato, acidificata con acido cloridrico nei rapporti 5 a 2, come s’è visto nell’Esp. 14*, la mucosa assumeva un aspetto bianco opalino. La soluzione era così preparata: Di soluzione di metafosfato N em 30 Di soluzione di HCI 3 °/so cm° 25. EsrerIENza 16* (5 dicembre 1903). Si pongono pezzetti di muscoli delle pareti addominali, d’intestino, di polmone e di fegato in una soluzione di metafosfato sodico, acidificato come nella esperienza precedente. I varî tessuti, più o meno presto, assumono un colorito biancastro, che compare prima dove più abbondante è il tessuto connettivo. Passati poi nella serie degli alcool, inclusi, colorati, sezionati e montati dal Dott. Pasini, questi osservò che la soluzione acida suddetta di metafosfato è un buon fissatore. EsperIENZA 17% (6 dicembre 1903). Cm° 20 di sangue arterioso di cane, mescolati con em* 2 della soluzione acida di meta- fosfato sodico, usata nelle due esperienze precedenti, si conservarono indefinitamente liquidi, plasma incoloro, lattescente in alto, globuli rossi bene stratificati al fondo. EspeRrIENZA 18° (12 gennaio 1902). Cavia m. di Chgr. 0,521. — Introdotti nello stomaco em? 15 di soluzione al 2,428 °/, di metafosfato, l’animale non presentò nessun disturbo (gr. 0,70 per chilo). EsperIENzA 19* (12 dicembre 1903). Coniglio m. di Chgr. 1,400. 16,10". — Si introducono colla sonda nello stomaco cm3 39 di soluzione - N di metafosfato sodico. 470 LUIGI SABBATANI 12 (13 dicembre 1903). 9,30. — L’animale non ha presentato alcun disturbo; ucciso colla puntura del bulbo, alla sezione non si riscontra nessuna lesione anatomica. EsPERIENZA 20* (11 gennaio 1902). Cane f. di Chgr. 4,700. — Introdotti nello stomaco em? 40 di soluzione al 2,428 °/, di metafosfato sodico, corrispondenti a gr. 0,97, a gr. 0,20 per chilo corporeo, l’animale stette sempre bene e non presentò il più piccolo disturbo. Nell’urina non si conteneva nè albumina nè zucchero. Da queste esperienze si vede che il metafosfato sodico dà precipitazione degli albuminoidi e fissazione dei tessuti solo quando trovasi in presenza di acidi forti (Esp. 12*) e che l'acido carbonico ed il fosfato monosodico non sono sufficienti a ciò. Quindi nè l’acido carbonico, che il metafosfato sodico assorbito può incontrare nell’or- ganismo, nè l'acidità dell'urina (Esp. 18*), proveniente da fosfati primarî, possono far sì che il metafosfato dia luogo, o nei tessuti in genere, o nelle vie urinarie, a modi- ficazioni funzionali dipendenti da precipitazione di albuminoidi. E notisi per giunta che verosimilmente nelle urine non passa neppure del metafosfato sodico (Esp. 362), e che se anche a dell’urina normalmente acidissima aggiungiamo ad arte del meta- fosfato e dell’albumina, a ciò si formi intorbidamento apprezzabile, conviene aggiun- gere più acido di quello che se si operasse in acqua pura (Esp. 13?). Da queste esperienze si vede inoltre che mentre l’acido cloridrico è adattatissimo a dare una buona reazione col metafosfato e gli albuminoidi, questa però avviene solo quando l’acido non è in troppo scarsa quantità; e che il rapporto equivalente fra metafosfato ed acido di 5 a 2 rappresenta la quantità minima di acido con cui si può ottenere il massimo di precipitazione albuminoidea. Quindi ben difficilmente nello stomaco, o per deficienza di acido gastrico, o per eccesso di metafosfato, rapidamente ingerito, potremo trovare quei rapporti favorevoli che del resto darebbero una lesione del tutto superficiale: ed in fatti nella cavia, nel coniglio ed anche nel cane, che pure ha una forte acidità gastrica, per introduzione di alte dosi di metafosfato nello sto- maco non abbiamo osservato alcun disturbo funzionale, nè alcuna lesione anatomica. In fine, se anche avvenisse assorbimento della soluzione acida di metafosfato, la quantità di essa sufficiente a dare l’azione caratteristica è così piccola, che tosto sa- rebbe ad esuberanza neutralizzata quella poca acidità della soluzione dagli alcali del- l'organismo (Esp. 172). Quindi riassumendo, non pare affatto credibile che nel determinismo delle mani- festazioni generali e tossiche prodotte dal metafosfato sodico intervengano fenomeni di coagulazioni albuminoidee, neppure là dove, come nello stomaco e nelle vie urinarie dei carnivori, avendosi reazione acida, pareva la cosa più probabile. Per lo studio dell’azione del metafosfato ho fatte numerose esperienze sulle rane, sulle cavie, conigli e cani, servendomi di iniezioni ipodermiche ed intraperitoneali nelle prime, e di iniezioni endovenose in tutti gli altri animali; ho poi fatte espe- rienze di applicazione diretta del metafosfato sulla corteccia cerebrale, sul midollo, sui nervi e sui muscoli, ed in fine ho fatti alcuni saggi di antagonismo fra metafosfato 13 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 471 e calcio, analogamente a quello che già feci per il citrato. Di tutte queste esperienze però riporterò per esteso solo quelle che a me sembrano più interessanti: Esperienza 21° (15 gennaio 1902). Rane del peso medio di gr. 30. —TA cinque rane iniettai nel sacco linfatico dorsale rispet- tivamente cm* 1 — 0,8 — 0,6 — 0,4 — 0,2 di soluzione al 2,428 °/, di metafosfato sodico. Quella che n’ebbe cm 1, iniettata alle 17,19’, alle 17,45’ (dopo 26') si mostrava molto depressa; posta sul dorso sì rialzava lentamente, con stento reagiva, debolmente, con movimenti tardi. Alle 17,57’ (dopo 38') posta sul dorso non riusciva più a raddrizzarsi. Alle 18,8’, posta sul dorso, non si raddrizza, ma stimolata reagisce discretamente, assai più di prima. Quella che n’ebbe cm* 0,8, iniettata alle 17,22’, alle 18,8’ (dopo 46’) si mostrava molto depressa, nè altro di più presentò in appresso. Quella che n’ebbe cm* 0,6, iniettata alle 17,24’, alle 18,10' (dopo 46') posta sul dorso era incapace di raddrizzarsi, reagiva fortemente agli stimoli, e spesso faceva contrazioni toniche generali di carattere tetanico. Alle 18,15' (dopo 51’) si raddrizza bene quando viene posta sul dorso. Quella che n’ebbe cm* 0,4, iniettata alle 17,24’, alle 18,8" (dopo 44') reagiva manifesta- mente in modo assai più vivace che in condizioni normali. Altro non si notò in appresso. Quella che n’ebbe em* 0,2, iniettata alle ore 17,27’, alle 18,8' (dopo 41') reagiva manife- stamente con maggiore vivacità di quello che in condizioni normali. (16 gennaio 1902). Al mattino si trova che tutte queste rane stanno così bene, che non si sarebbero distinte da rane non tocche. (25 gennaio 1902). Dopo dieci giorni dall’iniezione stavano ancora perfettamente bene; uccise, alla sezione non presentavano nulla degno di nota. EsPeRIENZA 22* (17 gennaio 1902). Rane del peso medio di gr. 30. — A cinque rane iniettai nella cavità addominale rispet- tivamente em? 1 — 1,2 — 1,4 — 1,6 — 18 di soluzione al 2,428 °/, di metafosfato sodico. Quella che ebbe em* 1 dopo 8' si mostrava manifestamente un po’ eccitata, ma poi dopo 35' reagiva assai meno vivacemente che in condizioni normali. Dopo 14 ore giaceva sdraiata sul dorso, ma dopo 16 ore si raddrizzò da sè, e stette poi sempre benissimo, sì che il 26 (dopo 9 giorni) si tralasciò l'osservazione. Quella che ebbe cm* 1,2, dopo 6’ posta sul dorso non poteva più raddrizzarsi, ma stimo- lata reagiva fortemente; dopo 17’, stimolata, faceva contrazioni a carattere tetanico. Dopo 34' reagiva poi pochissimo, e dopo 14 ore si trovò morta. Quella che ebbe cm 1,4 dopo 15’ posta sul dorso non si raddrizzava più e reagiva debol- mente; dopo 32' reagiva appena; ma poi dopo 14 ore si era del tutto ristabilita, e stette poi benissimo anche nei giorni successivi. Quella che ebbe cm* 1,6 dopo 15' si mostrava già molto depressa; dopo un’ora, posta sul dorso, non si raddrizzava più e reagiva pochissimo agli stimoli; 14 ore dopo stava immobile, giacente sul dorso, ma poi a poco a poco si ristabilì completamente e stette poi sempre benis- simo, sì che il giorno 26 verso sera venne uccisa. Quella che ebbe cm* 1,8 dopo 14’ si mostrava molto depressa; dopo un'ora, posta sul dorso sì raddrizzava con stento e reagiva pochissimo agli stimoli. Dopo 14 ore stava sdraiata, supina, e stimolata rispondeva con contrazioni toniche generali. A poco a poco anche questa rana sì ristabili e stette poi sempre benissimo. 472 LUIGI SABBATANI 14 Esperienza 25* (8 luglio 1903). Cane f. di Chgr. 6,600. 18,58". — i In tre riprese si iniettano cm 57 della solita soluzione di metafosfato; si hanno 19, 8". — $ dapprima violenti e ripetuti accessi convulsivi a carattere tetanico, alternati da periodi di quiete, si notano contrazioni di muscoli isolati, poi contrazioni fibrillari, indi depressione ed arresto di cuore mentre il respiro dura ancora per qualche tempo. Il sangue raccolto dal cuore era interamente liquido e coagulava bene, quantunque un po” lentamente. Questo animale morì con gr. 1,38 = gr. per chilo corporeo 0,21. EspeRIENZA 26° (8 luglio 1908). Coniglio di Chgr. 0,890. 16,29". — } 16,331. — Durante l’iniezione l’animale presenta scosse convulsive forti, generali, a carattere preva- lentemente tonico; in appresso presenta contrazioni di muscoli isolati, poi tremiti fibrillari, indi verso la fine dell’iniezione il respiro s’arresta, ma il cuore pulsa sempre bene e validamente. Inietto nella giugulare destra cm* 6,6 di soluzione al 2,428 °/, di metafosfato sodico. 16,35. — A poco a poco il respiro spontaneamente è ricomparso, ma l’animale è molto depresso e solo ad intervalli presenta lievi scosse convulsive. 16,40. — Sta bene e cammina. (9 luglio 1903). Sta sempre bene. Questo animale in 4' ebbe cm* 6,6= gr. 0,16=gr. per chilo corporeo 0,18. 1 EsperIENzA 27* (8 luglio 1903). Coniglio di Chgr. 1,299. 16,49". — Iniezione nella giugulare sinistra di cm? 9,5 di soluzione al 2,428 °/, di meta- 16,53' 30". — $ fosfato sodico. Si hanno dapprima scosse convulsive a carattere tetanico, poi contrazioni isolate e tremiti, indi arresto del respiro, con che l’animale muore, mentre il cuore seguita a pulsare a lungo. Il sangue raccolto dal cuore è interamente liquido e tale resta ancora dopo 24 ore. Questo animale morì dopo aver ricevuti in 4'!/, cm*° 9,5 = gr. 0,23= gr. per chilo cor- poreo 0,17. EsperIENZA 81° (183 luglio 1903). Coniglio di Chgr. 1,210. — Praticata la nefrectomia bilaterale con taglio lombare, imme- diatamente dopo si pratica una iniezione lentissima di metafosfato sodico per la vena giugulare destra. oi ano ona 7 7 ° D 17.30" ( Iniezione di cm* 10 di soluzione solita al 2,428 °/o. Durante l’iniezione l’animale non ha presentato alcun disturbo. 18,41’. — (Dopo un’ora e 9' dal termine della iniezione) viene ucciso con un colpo alla nuca e raccolto il sangue dal cuore. Si lascia coagulare per raccogliere il siero. pe 15 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 47: (14 luglio 1903). Questo coniglio, cui erano stati asportati i reni, sopportò senza presentare alcun disturbo em 10 di soluzione == gr. 0,243 = gr. per chilo corporeo 0,20 iniettati in 41’. EsperIENzA 33% (30 dicembre 1901). Cavia f. di Chgr. 0,515. — Si inietta nella vena giugulare sinistra della soluzione solita di metafosfato. 10,52’. — Prima iniezione di em* 1,5. Compare una convulsione generale di carattere tetanico. 10,54". — Seconda iniezione di cm* 2,0. L'animale si mostra depresso, respiro superficiale, raro. ’ ) Ì » POSE ] ) 10,55". — Terza iniezione di em* 1,5. Si ha arresto del respiro e del cuore. Aperto il torace, il cuore è fermo, flaccido, ineccitabile. Il sangue raccolto dal cuore si con- serva liquido, ancora dopo 7 ore. Questo animale in 3' ebbe cm* 5 = gr. 0,12= gr. per chilo 0,23. Nella seguente tabella trovansi riuniti i dati principali e l'esito di tutte le espe- rienze fatte sui mammiferi con iniezioni endovenose di metafosfato sodico al 2,428 °/;: = Iniezione di metafosfato S __—_—_—_—___———— _—_—_— _— — — — _ _ E A Peso | i - |ingrammi Dono 2 ù in Chgr. nm i at In gr. | per chilo dell'animale ai minuti |!" © | 1 8 Lerchilo| € minuto (velocità) 23 cane 4,900 5 2,8 0,68 0,14 0,028 M 24 n 6,700 2 29,5 0,72 0,11 i 0,055, M 25 A 6,600 10 50: 1 =1038 | 0521 0,021 M 26 coniglio 0,890 4 6,6 |. 0,16 | 0,18 0,045 V PA si 1,299 41/3 DD 0,23 | 0,17 0,038 M 28 = 0,925 2 7,0 0,17 0,18 0,090 M 29 n, LESS UE A L1L5 0,28 | 0,18 | 0,072 M 30 x 0,830 25 10,0 | 0,24 | 0,29 0,012 V SÒl 5 1,210 41 10,0 0,24 0,20 0,005 | V 32 n 1,340 ZIA IO: De OT 0,054 | V 3h) cavia 0,515 3 OO 0238 1000:077 M 34 9 0,517 3 4,2 | 0,10 | 0,19 0,063 M 95) 3 0,462 2 At 0,09 0,19 | 0,095 M Da questi dati risulta che per via endovenosa la dose letale di metafosfato sodico per chilo corporeo è: nel cane di gr. 0,15 nel coniglio a SA I) nella cavia si s 0,20 Se poi ordiniamo queste esperienze secondo la velocità della iniezione, disponen- dole in gruppi naturali, secondo l’animale adoperato, si vede che la tolleranza al metafosfato cresce quando l’iniezione procede lenta: Serie II. Tom. LIV. J 474 LUIGI SABBATANI 16 S Veni CANE ConiGLio CAVIA È della |T ani » ta) "niezione lugr.muettati esito gr. iniettati esito gr, iniettati esito 35 0,095 — _ — _ 0,19 M 28 | 0,090 _ = 0,18 M = _ 33 0,077 — c- — 0,23 M 29 0,072 — = 0,18 M = — 4 DOGS — — _ — 0,19 M 24 0,055 0,11 M — — — — 32 0,054 —_ — 0,11 V — — 26 0,045 -- — 0,18 V = — 27 0,038 — == 0,17 M _ -- 23 0,028 0,14 M — —- -- — 25 0,021 0,21 M — —- — — 30 0,012 ‘| a — 0,29 vi — — Sl 0005 —_ — 0,20 V — — ScHuLz aveva osservato che un grammo di metafosfato, iniettato a dosi refratte nel tempo di alcuni giorni non dà alcun disturbo, e questo fatto, che è conforme a quello ora notato da noi, ci dimostra che la tossicità del metafosfato è legata ad una modificazione rapida dell'organismo, la quale si ottiene solo allorchè la concentrazione del metafosfato raggiunge un determinato valore, e non dipende affatto da modifica- zioni lente, paragonabili a quelle del fosforo. Questa variazione della dose letale minima in rapporto colla velocità dell’inie- zione è conforme a quella che abbiamo notato per altri sali, ma parmi sia meno spiccata che per il carbonato e per la soda. Si può quindi credere che il metafosfato sodico, iniettato nelle vene, venga eliminato, o trasformato in prodotti meno tossici, ma ciò assai meno prontamente che per il carbonato sodico. Appare poi più vero- simile che il metafosfato si trasformi nell’organismo in prodotti innocui o meno tos- sici, di quello che si elimini rapidamente, poichè nell’urina di animali, che hanno assunto per bocca alte dosi di metafosfato, non se ne trova. EsperIENzA 36* (13 dicembre 1903). Coniglio m. di Chgr. 1,250. “ ORE j ; 1 14,15". — Si introducono nello stomaco colla sonda cm* 30 di metafosfato 7° N. 16,30. — L’urina che ha emessa è limpidissima e lievissimamente alcalina. Dà coll’albumina ed HCI reazione negativa per il metafosfato. 16,38". — L’urina emessa al momento è come per solito torbida, fortemente alcalina. Dà come sopra reazione negativa. (14 dicembre 1908). 7,45. — L’urina raccolta è torbida e dà reazione negativa di metafosfato. Appare in tutto normale, e non contiene neppure traccia di albumina. 10,5". — Ucciso; alla sezione non si osserva alcuna lesione nè nello stomaco nè negli altri organi, 17 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 475 Certamente la tolleranza maggiore alle iniezioni lente non può essere attribuita ad una eliminazione rapida per i reni, poichè nell’Esperienza 31, essendo stati aspor- tati i reni, l’animale tollerò così bene l'iniezione di una dose alta di metafosfato sodico, iniettata lentamente, come nell’ Esperienza 30, in cui i reni erano integri. D'altra parte i rapporti chimici che passano fra acido meta- piro- ed orto-fosforico inducono a credere che per un semplice processo di idratazione il metafosfato sodico possa trasformarsi nell'organismo in ortofosfato acido di sodio, i I 0 A 70H LAS + 0H =*PO-0H , » T ONAa ONa il quale è sicuramente assai meno tossico del metafosfato, può ad alte dosi dare feno- meni riferibili alla acidità sua, come vedremo che fa il fosfato bisodico, allorchè per la presenza dell’acido carbonico sì trasforma parzialmente in fosfato acido, ma non può dare fenomeni fisiologici gravi, riferibili a decalcificazione, poichè il fosfato mono- calcico è solubilissimo, bene dissociato elettroliticamente, e serve benissimo per la coagulazione del sangue. Come media di due esperienze ho trovato che la dose letale di fosfato monosodico è nel coniglio di gr. 1,64 per chilo corporeo (1), gr. 1,42 se si considera il sale anidro, mentre abbiamo visto sopra che per il metafosfato sodico la dose letale è nel coniglio di gr. 0,18. Abbiamo quindi che a produrre la morte del coniglio in 4' minuti oc- corrono in media per chilo d’animale gr.-molecola 0,00176 di metafosfato e gr.-mo- lecola 0,01188 di ortofosfato monosodico; da ciò si comprende che, se il metafosfato si trasforma in fosfato primario e l'iniezione procede lenta, debbono diventare innocue quelle dosi che, rapidamente iniettate, riuscirebbero letali; ma da ciò pure si vede che la tossicità del metafosfato non può essere riferita ad una trasformazione sua in fosfato acido. Per le cose che vedremo a suo luogo, circa le trasformazioni nell'organismo del fosfato bisodico in fosfato monosodico a contatto dell'acido carbonico, già @ priori non pare neppure possibile che la tossicità del metafosfato dipenda da una trasformazione di esso nell'organismo in fosfato bisodico, ed i dati di fatto lo escludono recisa- mente; vedremo che la dose letale media del fosfato bisodico è nel coniglio di gr. 2,10 per chilo corporeo, il che in gr.-molecola corrisponde a 0,00586, dose questa mole- (1) Esperienza 37%. — 13 luglio 1903. Coniglio di Chgr. 0,930. 10,55") Iniezione nella giugulare destra con soluzione al 10 °/ di fosfato monosodico (NaH?PO* noe H°0=1838). Si ha dapprima affanno di respiro, poi convulsioni asfittiche ed arresto di ( cuore. — L'animale ebbe in 5' gr. 1,60 = gr. per chilo 1,72. Esperienza 38%. — 13 luglio 1903. Coniglio di Chgr. 1,215. 11,13/,30” Iniezione nella giugulare destra di cm? 19 della soluzione sopradetta. — Stessì sintomi. 11,17,30” — Il sangue raccolto dal cuore coagula bene. Questo animale ebbe in 4 gr. 1,90= gr. 1,56 per chilo corporeo. 476 LUIGI SABBATANI 18 colarmente più che tripla del metafosfato sufficiente a produrre la morte (grammi- molecola 0,00176). Riesce invece assai difficile stabilire se la tossicità del metafosfato possa dipen- dere o no, in parte od in tutto, da pirofosfato acido che, come prodotto primo di idratazione, può formarsi dal metafosfato. Trattando dell’azione del metafosfato sodico sul sangue in vitro, dimostrai che provoca incoagulabilità per sè stesso e non per prodotti suoi di idratazione: dimostrai che a contatto delle materie albuminoidi e del sangue in vitro, se subisce un processo di idratazione, ciò avviene molto lentamente; ma questo risultato sperimentale in vitro non esclude che nell'organismo vivo non possa avvenire il contrario, ed il dubbio diventa più grave quando si osserva che la tossicità del pirofosfato acido di sodio, rispetto a quella del metafosfato, stando ai rapporti molecolari loro di formazione, è più che doppia di quello che per il meta- fosfato : 2NaP0?+- H°0 = Na?H?P20" 2X 1024 18= 222. La dose letale media per chilo corporeo di metafosfato nel coniglio, la quale è di gr. 0,18, se interamente si trasformasse nell’organismo in pirofosfato acido, cor- risponderebbe a gr. 0,195 di questo, mentre fra poco vedremo che a produrre la morte nel coniglio di un chilo bastano soltanto gr. 0,087 di pirofosfato, ossia una dose minore della metà di quella che potrebbe originarsi dalla dose di metafosfato necessaria a produrre la morte. È quindi pienamente giustificato il dubbio che la grande tossicità del metafosfato sodico dipenda non dal metafosfato stesso, ma da pirofosfato sodico che per processo di idratazione si può formare dal metafosfato, e questo dubbio, che si potè allonta- nare con sicurezza allorchè si studiava l’azione anticoagulante del metafosfato sul sangue in vitro, ora invece riesce alquanto difficile allontanarlo interamente. Aveva pensato che si potesse risolvere questo dubbio tenendo conto da una parte dei dati chimici relativi alla velocità di idratazione degli acidi meta- e piro- fosforico e dall’altro della diversità di tolleranza che gli animali presentano alle iniezioni lente dei sali sodici relativi, considerando che quello che più velocemente si idrolizza meglio dovesse venire tollerato per iniezioni lente; ma le incertezze chimiche da un lato e le differenze poco spiccate che otteneva sugli animali non mi permisero di trarre da questi dati un giudizio discriminativo sicuro, molto più che i risultati delle esperienze chimiche sulla velocità di idratazione degli acidi liberi non possono essere valevoli anche per i sali, i quali assai meno si idratano, e le soluzioni loro si con- servano assai meglio che quelle degli acidi. Se però si considera l’istantaneità dell’azione generale del metafosfato iniettato direttamente nelle vene, e l’azione sua per applicazione diretta sulla corteccia, sul midollo, sui muscoli, sui nervi, converrebbe dire che la supposta trasformazione in pirofosfato sia istantanea e possa essere operata egualmente bene da diversi tessuti, le quali cose non sembrano probabili, e diventano anche meno probabili di fronte al comportamento del metafosfato sul sangue in vitro, nel qual caso l’azione decalcifi- cante diretta del metafosfato non può più essere posta in dubbio. 19 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 477 Ma a questo punto possiamo osservare che se l’azione tossica del meta- e piro- fosfato sodico dipende da una decalcificazione che essi stessi direttamente provocano sui protoplasmi, così come fanno sul sangue in vitro, è perfettamente logico che la tossicità del metafosfato sia molecolarmente un quarto circa di quella del pirofosfato, poichè mentre una molecola di metafosfato può fissare un equivalente di calcio, una molecola di pirofosfato ne può fissare quattro. Le dosi letali minime per chilo cor- poreo nel coniglio e per iniezioni nelle vene del meta- e piro-fosfato sodico, calcolate in gr.-equivalenti diventano eguali, il che dimostra come la tossicità loro sta in rap- porto diretto della valenza chimica. DosE LETALE TT _—————— _——___——t———mm6 in gr. in gr. equivalenti Metafosfato sodico ., . . 0,180 0,0017 Pirofosfato sodico . . . 0,087 0,0015 La concordanza perfetta di questi dati sperimentali da sola basta ad allontanare i dubbî suesposti, circa il modo d’agire del metafosfato, il quale però è da ritenere sia di per sè stesso tossico, in quanto sottrae del Ca-jone ai protoplasmi, analoga- mente a quello che fanno gli altri reattivi decalcificanti. Infatti, come il citrato trisodico, così pure il metafosfato sodico per applicazione diretta sulla corteccia, sul midollo ecc., dà fenomeni intensi di eccitazione; e fra il metafosfato ed il calcio si hanno fatti chiarissimi di antagonismo. EspERIENZA 39* (8 gennaio 1902). Cane f. di Chgr. .4,500. — Sopra la corteccia cerebrale a destra applico della soluzione di metafosfato sodico al 2,43 °/, e saggio la eccitabilità elettrica. 10,30". — Si ha movimento sensibile dell’arto anteriore sinistro coi rocchetti della slitta a mm. 145 10,40". — . : 7 , 150 10,52". — Dopo una prima applicazione di metafosfato per 10' ato) 11,3. — Dopo una seconda applicazione nal75 11,16". — Dopo una terza applicazione s 200 11,29". — Dopo una quarta applicazione e presenta poi scosse epilettiche forti all’arto anteriore sinistro. 11,44". — Dopo una quinta applicazione n 220 e come sopra presenta scosse epilettiche all’arto anteriore sinistro. Esperienza 40° (10 gennaio 1902). Cane m. di Chgr. 7,400. — Sperimento sulla zona motrice di sinistra con una soluzione di metafosfato sodico al 2,43 %/,, avendo cura speciale in questa esperienza di non fare alcuna eccitazione elettrica. Alle 13,49’ comincio ad applicare la soluzione, e cambiando spesso il batuffoletto di cotone, seguito fino alle 14,30’. A questo momento scoppia un accesso epilettico spontaneo, grave e lungo, che comincia con scosse tonico-cloniche dell'arto superiore destro, si diffonde all’inferiore pure di destra, e passa quindi al muso ed al resto del corpo. Dopo l’accesso l’animale resta abbattuto. Alle 14,40’, durando sempre l'applicazione del metafosfato, si hanno scosse epilettiche limi- tate all’arto anteriore destro, ma alle 14,48’ scoppia un secondo accesso generale violento, più 478 LUIGI SABBATANI 20 lungo del primo, e come quello si svolge dall’arto anteriore destro al posteriore destro, poste- riore sinistro, anteriore sinistro, testa e collo. Termina con grande agitazione e grida dell’ani- male, che ha salivazione profusa. Alle 14,50' si ha un terzo accesso. Alle 15 si notano scosse epilettiche quasi continue all’arto anteriore destro. Alle 15,2’ si ha un quarto accesso epilettico generale. Alle 15,7’ quinto accesso più debole. Alle 15,10" sesto accesso più forte. Alle 15,16’ settimo accesso. Alle 15,28’, lasciato libero l’animale, cammina malamente, fa pochi passi, poi cade, presen- tando un ottavo accesso epilettico generale. Dopo ciò resta depresso molto, ma poi si ristabi- lisce alquanto, ed alle 17,17' mangia con avidità. Esperienza 41* (22 marzo 1902). Cane m. di Chgr. 6,500. — Scoperta la zona motrice di sinistra, senza fare alcun saggio di eccitabilità elettrica, vi applicai al modo solido un batuffoletto di cotone imbevuto di solu- zione al 2,43 °/, di metafosfato sodico: ciò dalle 17,45' alle 18,21’, per 36’. Comparvero allora accessi epilettici, che cominciavano con scosse all’arto anteriore destro e si generalizzavano poi come al solito rapidamente; si ripeterono gli accessi sempre più spesso, e negli intervalli si notavano scosse miocloniche continue, dapprima all’arto anteriore destro, di poi anche al posteriore destro; si ebbe in fine uno stato epilettogeno quasi continuo. Si uccise allora l’animale aprendo le carotidi, ed il Prof. RoxcoroxI l’usufruì per ricerche istolo- giche sulla corteccia. Esperrenza 42* (7 gennaio 1902). Cane m. di Chgr. 3,700. — Scoperta la corteccia cerebrale a sinistra, dopo riposo di ‘/, ora vi applico della soluzione di metafosfato sodico al 2,43 °/ 11,40". — Si ha movimento dell’arto anteriore destro a mm. 135 11,50'. — Si ha movimento a SARI 5 12, 2". — Si ha movimento a a “SEGO. 12,16". — Si ha movimento a gi 155 12,30". — Dopo una 1* applicazione per 10' di metafosfato , 160 12,42". — Dopo una 2* applicazione gi 185 12,55. — Dopo una 3* applicazione, appena si tocca la corteccia colla pinza elettrica, essendo i rocchetti a 185 mm., subito si ha un movimento violento e scosse epilettiche all’arto anteriore destro. Diminuita l'intensità della corrente, si ha movimento evidente della zampa anche a mm. 240, ed avendo provata varie volte questa corrente, scoppia poi un accesso epi- lettico fortissimo, generale, assai lungo. 13,4". — Applico sulla corteccia della soluzione di cloruro calcico al 2 °/,, ed. ottengo che poco dopo scoppia un secondo accesso epilettico (13,8') pure fortissimo, ma fu l’ultimo. Dopo 10', da che s’era applicato il calcio, si aveva movimento evidente della zampa solo coi rocchetti a mm. 110. EspPerIENZA 48* (8 gennaio 1902). Cane f. di Chgr. 4,500. — Alle ore 15,35’ colla puntura lombare introduco: nel canale spinale cm* 0,2 di soluzione all’1,214 °/, di metafosfato sodico, ed ottengo istantaneamente tetano e rigidità in estensione fortissima e persistente degli arti posteriori e della. coda. DI FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 479 Si ha poi tetano netto anche al treno anteriore, con opistotomo e trisma; quindi si notano scosse violenti ad accessi, ed i riflessi sono esageratissimi. Alle 16 il tetano diminuisce, l’animale si mostra assai debole, specie nel treno posteriore, per cui non si regge affatto in piedi. Alle 18 il cane si regge bene in piedi, cammina e mangia con avidità. Il giorno dopo stava sempre benissimo. Da tutto quello che abbiamo esposto fin qui appare evidente che l’azione tos- sica del metafosfato sodico non è affatto paragonabile a quella del fosforo, che non è minimamente legata all’azione coagulante dell'acido metafosforico sopra gli albu- minoidi, che non dipende certo da prodotti di idratazione dell’acido metafosforico; ma dal metafosfato sodico per sè stesso. Resta dimostrato che le modificazioni organiche prodotte dal metafosfato, le quali sono causa delle manifestazioni tossiche, sono certamente molto delicate e facil- mente riparabili, e si ottengono soltanto per una introduzione rapida della sostanza. Resta dimostrato che le manifestazioni di eccitazione generale e locale sulla cor- teccia, sul midollo ecc., in tutto paragonabili a quelle del citrato, dipendono da una diminuzione brusca nella concentrazione del Ca-jone protoplasmatico, prodotta dal metafosfato, poichè scompaiono con applicazioni di calcio. 4. Pirofosfato di sodio, ScHuLz (1) trovò che con gr. 0,50 di pirofosfato tetrasodico (Na'P20") per via ipodermica i conigli vengono a morte in 12 ore, e con gr. 1 in 3-4 ore; io, colle espe- rienze seguenti, dopo avere visto che l’azione generale del pirofosfato tetra- e bi- sodico è presso a poco la stessa, ho determinata la dose minima letale del pirofosfato bisodieo per chilo corporeo e per iniezione endovenosa nei conigli. L’acidità di questo sale è paragonabile a quella del fosfato monosodico, è di poco momento, e riesce del tutto indifferente agli animali per le piccole dosi di pirofosfato sufficienti ad ucciderli. Ho poi fatte alcune esperienze sul midollo spinale del cane per assicurarmi che veramente anche in questo modo il pirofosfato sodico si comporta come gli altri reattivi decalcificanti. Di tutte le esperienze fatte riporto poi per esteso solo quelle che a me sembrano più importanti. EsperIENZA 44° (29 aprile 1902). Cane f. di Chgr. 2,800. — Nella vena femorale destra inietto della soluzione di pirofosfato neutro di sodio al 5,60 °/,. Dopo iniezioni di cm? 0,5 l’animale si lamenta fortemente. — Dopo cm' 6,5 si ha tetano fortissimo. Per un incidente sorto durante l’esperienza il resto dell’osservazione va perduta. Sappiamo quindi da ciò che gr. 0,364 di pirofosfato tetrasodico (= gr. per chilo corporeo 0,16= gr.-molecola per chilo corporeo 0,0006 = gr.-equivalenti per chilo 0,0024) dànno accesso convulsivo intenso a carattere nettamente tetanico. (1) Loc. cit. 480 LUIGI SABBATANI 29 Esperienza 45* (15 luglio 1903). Coniglio di Chgr. 1,970. 15,24". — ) Inietto nella vena giugulare destra cm? 3,4 di soluzione al 4°/, di pirofosfato 15,25' 30” — Y acido di sodio. Durante l’iniezione l’animale presenta accessi convulsivi intensi a carattere tonico con opi- stono. Poi si ha arresto del cuore e quindi anche del respiro. Aperto subito il torace, si trova il cuore fermo, ineccitabile; il sangue raccolto dal cuore è interamente liquido e tale resta anche dopo più di 24 ore. Questo animale morì con gr. 0,136 = gr. per chilo corporeo 0,100, iniettati in 1' ‘/,. EsperIENzA 47* (15 luglio 1903). Coniglio di Chgr. 1,720. 16,11'30". — | Iniezione nella vena giugulare destra con cm* 6 di soluzione al 2°/, di piro- 16,16'15"". — ‘ fosfato acido. Il coniglio muore con fenomeni identici a quelli descritti nella esperienza precedente. Alla sezione, fatta subito, si trova il cuore fermo ed ineccitabile, il sangue liquido inte- ramente, che però coagulava bene con grande lentezza. Questo animale ebbe in 4'*/, gr. 0,120= gr. per chilo corporeo 0,070. EsperIENza 50* (4 aprile 1902). Cane f. di Chgr. 3,000. — Scoperto il midollo lombare, lo bagnai mercè un pennellino di vaio con una soluzione al 5,6°/, di pirofosfato sodico neutro; dapprima solo da un lato, ed ebbi tetano unilaterale, poi da ambo i lati ed ebbi tetano generale. Esperienza 51% (5 aprile 1902). Cane m. di Chgr. 3,800. — Scoperto il midollo spinale ai lombi, lo bagno dal lato destro al modo solito, con una soluzione al 5,6 °/, di pirofosfato sodico acido; tosto dal lato destro compare una contrazione tonica fortissima e persistente, con incurvamento di tutto il tronco verso destra, a guisa d’un arco. Sollevato poi il midollo, e passando del liquido a sinistra, si ebbe un tetano netto, generale e fortissimo. Da queste esperienze si vede che tanto col pirofosfato bisodico, che col tetra- sodico, per iniezione endovenosa nel cane e nel coniglio, o per applicazione diretta sul midollo spinale, sempre si hanno intensissimi fenomeni di eccitazione, ai quali segue, come anche per gli altri reattivi decalcificanti, depressione e morte. Per ciò poi che riguarda l’azione tossica, nella seguente tabella ho riuniti i dati delle esperienze fatte sui conigli: S | $ x Iniezione di pirofosfato acido $ © | sE? | ——_————m€m6m6m6P Ps 2 È Z| ANIMALE È 50 j in gr. per| & £ Gi | =. |in minuti |incm | al % in gr. ichiloe min. da S| a per chilo | (velocità) È 45 | coniglio 1,370 po 3,4 4 | 0,100 0,066 M 46 | ; 1,510 Teti Dil 4 | 0,068 0,045 M 47 ) 1,720 sl 6,0 2 0,070 0,014 M 48 ha 153600 31 93 2 0,136 0,004 M 49 $ 1,480 4 4,5 2 0,060 0,015 M 23 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 481 Da ciò si vede che la dose letale media nel coniglio è di gr. 0,087 per chilo corporeo; e se si prescinde dalle esperienze 45 e 46, fatte con rapidità eccessiva, e con soluzioni troppo concentrate, data la tossicità grande del pirofosfato acido di sodio, si vede inoltre evidente l’influenza che la velocità della iniezione esercita sulla grandezza della dose letale: Esperienza velocità della iniezione dose letale per chilo corporeo 48 0,004 0,136 47 0,014 0,070 49 0,015 0,060 E veramente le esperienze 45 e 46 furono fatte con eccessiva velocità, e s’ebbe la morte per azione diretta sul cuore, prima che il sale iniettato avesse tempo di diffondersi ai tessuti: prova ne sia che in queste due esperienze si notò arresto ra- pidissimo del cuore, il quale alla sezione, fatta subito, era ineccitabile meccanica- mente, e che il sangue raccolto da esso era incoagulabile, il che ci attesta una decal- cificazione intensa subìta da esso, tale da renderlo incoagulabile, e quale non si avvera mai, non solo col pirofosfato, ma neppure con alcuno degli altri sali decalci- ficanti, allorchè si fa l’iniezione con lentezza sufficiente, a che possa aversi il pas- saggio del reattivo dal sangue ai tessuti, nel qual caso si immobilizza del Ca-jone dei tessuti in quantità tale, che è incompatibile colla vita, prima ancora che si sia immobilizzato tanto Ca-jone del sangue da renderlo incoagulabile. È indubitato poi che la tossicità del pirofosfato bisodico dipende dal pirofosfato stesso e non da derivati suoi, metafosfato od ortofosfato, perocchè esso è il più tos- sico di tutti questi: Quantità corrispondenti dei sali dose tossica e —r_ EE per chilo corporeo b 0) d e d 2NaP03 = 204 gr. 0,18 0,0008 Na?H?P20" — 222 a 08 0,0003 2NaH?P04 = 240 SOR 0,0059 5. Fosfato bisodico. Il fosfato sodico ordinario, Na2HP04+ 12H?0 = 358, è un eccellente reattivo pre- cipitante del calcio, e quindi, allorchè viene aggiunto alle soluzioni acquose nei tubi da saggio del chimico, precipita il calcio e ne diminuisce la concentrazione jonica, aggiunto al sangue diminuisce ancora la concentrazione jonica del calcio esistente in esso (1), e ciò tanto più quanto maggiore è la quantità di fosfato aggiunto, sì che presto s'arriva ad un valore per il quale la concentrazione del Ca-jone è insufficiente alla coagulazione, ed allora il sangue resta indefinitamente liquido. Analogamente, allorchè s’inietta del fosfato bisodico nelle vene dell’animale, si provoca una diminu- zione nella concentrazione del calcio-jone degli organi, diminuzione, che si fa sempre più grave col crescere della quantità di fosfato iniettata, e presto è causa di disturbi (1) Cfr. Funzione biologica del calcio, Parte II, loc. cit. Serie II. Tom. LIV. ro ea 482 LUIGI SABBATANI 24 funzionali, i quali, come vedremo, dipendono, almeno in parte, da deficienza di calcio-jone. L'importanza grande che hanno i fosfati alcalini ed alcalino-terrosi nell'economia animale; i rapporti chimici e farmacologici che passano fra i varî acidi ossigenati del fosforo ed il fosforo stesso; le questioni fisio-patologiche relative alla degenera- zione grassa che si produce nell’avvelenamento per fosforo; l’alcalinità del sangue e l’acidità dell'urina nei carnivori, strettamente legate alla presenza di sali alcalini primarîì e secondari dell’acido ortofosforico; le questioni chimiche e fisiologiche rela- tive al lavoro del rene, che da un liquido alcalino elabora un secreto acido; la pre- senza ed importanza del fosforo in alcuni proteidi, sono questioni di una importanza grandissima, che io oso appena ricordare qui ora, questioni tutte che si rannettono intimamente al contegno dei fosfati nell'organismo. Lo studio dell’azione decalcificante del fosfato bisodico appare quindi molto più interessante che per gli altri sali, ma presenta anche difficoltà speciali, dipendenti dai caratteri chimici suoi, poichè essendo il terzo atomo d’idrogene dell’acido fosfo- rico pochissimo dissociabile, ed il secondo pure poco, in soluzione acquosa il sale bisodico subisce idrolisi parziale e reagisce alcalino sulle carte di tornasole. Farmacologicamente viene considerato come un preparato alcalino, mentre chi- micamente è un sale acido e l’acidità sua, come vedremo, si manifesta intensa nel- l’atto stesso in cui opera come decalcificante. Da ciò ne viene che la sintomatologia dell’avvelenamento per fosfato bisodico è molto più complessa, varia e difficile da interpretare, di quello che per la maggior parte degli altri sali di cui ci occupiamo attualmente. Le esperienze che ho fatte con questo sale sono numerosissime, ma, come al solito, solo di poche riferirò la descrizione per esteso, riunendo poi in una tabella finale i dati principali e l’esito di tutte. EsprerIENza 58° (4 dicembre 1902). Cane f. di Chgr. 8,700. — Si inietta nella vena femorale destra della soluzione di fosfato bisodico al 17 °/,, tiepida. 17,15". — Comincia l’iniezione. 17,19". — Arresto lungo di respiro, pause inspiratorie lunghissime. 17,20". — Si sospende l’iniezione a em? 85 perchè compare tetano, specie ai muscoli della nuca e mandibola; le pupille sono dilatate; il respiro è arrestato; ma il cuore pulsa vali- damente. Si fa un po’ di respirazione artificiale comprimendo il torace. 17,21. — L’animale respira da sè. 17,23". -- Ripresa l’iniezione, subito si ha arresto di respiro. 17,24. — Forte spasmo della glottide; torace fermo e rigido in inspirazione forzata; trisma intenso. Scompare poi il reflesso oculo-palpebrale, mentre il cuore pulsa ancora bene. 17,25". — Seguitando sempre l’iniezione, l’animale pare si calmi; fa rari respiri con lunghi arresti in inspirazione. 17,27. — Si termina l’iniezione a cm3 167, e l’animale è del tutto rilasciato, la lingua è cia- notica, presenta tremiti fibrillari diffusi, il respiro è arrestato; ma il cuore pulsa sempre validamente. Si fa la respirazione artificiale comprimendo il torace. 17,29. — Si osserva che, quando colla respirazione artificiale scompare la cianosi, si ha trisma fortissimo, rigidità alla nuca ed ai muscoli toracici, lieve agli arti; poi tetano fortis- 245) FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 4883 simo, generale. Tralasciando la respirazione artificiale, che quasi non si può fare durante l’accesso tetanico, l’animale si fa di nuovo cianotico e si rilascia. Allora, facendo di bel nuovo la respirazione artificiale, collo scomparire della cianosi ricompare il tetano. 17,31. — Respira da sè in uno stato lieve di cianosi. 17,32". — Stimolato, ricompare un accesso tetanico lieve. 17,33". — Respira da sè. Ha opistotono, e quando tenta di reggersi in piedi viene colto da contratture agli arti posteriori. 17,35’. — È calmo, profondamente depresso, ancora incapace a reggersi in piedi. 18,15. — Improvvisamente è colto da accesso tetanico forte, dopo il quale presenta respiro affannoso (110 respiri al minuto). “VR 18,40". —. È calmo, respira tranquillo, non ha più tetano, è incapace a reggersi in piedi, poichè al minimo sforzo viene colto da tetano: emette urina di reazione fortemente acida. 19,40". — Sì trova morto. (5 dicembre 1903). 12,—'.. — Alla necroscopia si nota: rigidità cadaverica forte; grumi di sangue nero in tutte le cavità del duore e nei grossi vasi. L’urina contenuta in vescica è fortemente acida. Questo animale ha ricevuto in 12' em* 167 di soluzione al 17 °/,= gr. 28,39 = gr. per chilo 3,26. Esperienza 54° (5 dicembre 1902). Cane m. di Chgr. 12,000. — Nella vena femorale destra si inietta della soluzione di fosfato bisodico usata nella esperienza precedente. 15,6". — Comincia l’iniezione. 15,8. — L'animale si agita, trema, ha respiro difficile, con lunghi arresti inspiratori. 15,10". — L'animale è più calmo. 15,13". — Si termina l’iniezione a em* 200, che è proceduta sempre in modo continuo e rego- lare. Il respiro s’arresta e si pratica la respirazione artificiale. 15,20". — Ha le mascelle fortemente serrate, presenta movimenti fibrillari della lingua e respiro superficiale. 15,21". — Compaiono accenni di convulsioni tetaniche. Lunghi arresti del respiro a torace in inspirazione forzata. L'animale è incapace a reggersi in piedi. 15,49. — A poco a poco il respiro si fa regolare e calmo. L’animale si rizza, fa alcuni passi : ma cade barcollando. 16,10. — Emette urina di reazione acida. 16,21". — Ha respiro molto affannoso. 16,391". — Temperatura rettale 39°. Si regge male in piedi. 16,45". — È molto abbattuto; sta sdraiato sul fianco, incapace a reggersi. 17,—'. — Temperatura rettale 39°,2. 17,50". — x aL 1099, 19,30". — 3 gl 058%, 19,50". — Emette abbondante urina di reazione acida. 20,50’. — Si trova morto (dopo 5 ore dalla fine dell’iniezione) e la rigidità cadaverica è già grande per tutto il corpo. (6 dicembre 1902). 8,—'. — La rigidità cadaverica perdura. In tutti i grossi vasi e nelle cavità del cuore sì riscon- trano abbondanti grumi neri. Questo animale ricevette in 7" em* 200 di soluzione al 17°/,=gr. 34=gr. per chilo corporeo 2,8. 484 LUIGI SABBATANI 26 EspeRIENZA 58* (11 dicembre 1902). Cane f. di Chgr. 4,900. 17,29". — ) Iniezione nella vena femorale destra di cm* 64,8 di soluzione solita di fosfato 17,84. — contrazione tetanica generale, intensa, lunga. Il respiro si arresta al comparire del- bisodico (tiepida). Durante l’iniezione dapprima l’animale si agita, poi presenta una l’accesso tetanico, e mentre questo dura, l’animale a poco a poco si fa intensamente cianotico. Allora soltanto la contrattura cede per dar luogo ad un rilassamento gene- rale dell'animale; ma il respiro è sempre fermo. 17,36. — Il cuore pulsa sempre validamente e si soccorre l’animale colla respirazione artifi- ciale mercè la compressione del torace. Prontamente scompare la cianosi; ma mentre questa scompare, ritorna l’accesso tetanico. 17,40". — Varie volte si è ripetuta questa alternativa di rilassamento generale coll’asfissia pro- fonda e di tetano collo scomparire dell’asfissia, senza che l’animale potesse respirare da sè o per il rilassamento generale, o per la contrattura tetanica del torace e glot- tide. A poco a poco l’animale comincia poi a respirare da sè lievemente, facendo appena 14 respiri al minuto ed essendo le mucose assai cianotiche ed i muscoli un po’ con- tratti, specialmente alla parte anteriore del corpo ed alla testa. Intanto l’animale sta sdraiato, immobile. 18,2". — L’animale tenta rizzarsi. 18,7". — Cammina un po’ barcollante. 21,35'. — Rifiuta il cibo; ma del resto sta bene. (12 dicembre 1902). L’urina emessa ha reazione acida forte. Nei giorni successivi l’animale è stato sempre bene, solo mangiava un po’ poco. (15 dicembre 1902). Pesa Chgr. 4,350. (29 dicembre 1902). Ucciso colla puntura del bulbo, alla sezione si vede che il fegato presenta in alcuni punti delle zone di degenerazione grassa, di varia grandezza, da un pisello ad una piccola nocciuola. Il resto del tessuto epatico appare normale. Questo cane ebbe in 5" cm* 64,8 di soluzione al 17 °/,="gr. 11,016= gr. per chilo cor- poreo 2,25. EspeRrIENZA 59* (15 dicembre 1902). Cane m. di Chgr. 7,900. 16,34. — | Si pratica una iniezione endovenosa di cm? 116 della soluzione solita di fosfato 16,37. — Y bisodico tiepida. 16,40. — Si regge in piedi abbastanza bene; ma presenta leggere contratture agli arti. 18,20. — Ha respiro molto affannoso; rifiuta il cibo. A 19,—'. — Temperatura rettale 41°,7 C.; ha grande affanno di respiro. 19,20". — Temperatura 42°,1 C.; seguita l'affanno. 20,—'. — Temperatura 42°,8 C.; ha sempre affanno grande. 20090 Temperatura 43°,4 C.; il respiro è lento, debole. L'animale sta sdraiato, immobile, con tremiti muscolari per tutto il corpo. 20,50". — Muore, dopo circa 4 ore dalla fine dell’iniezione. 27 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 485 (16 dicembre 1902). 9,—/. — Alla necroscopia si osserva quanto segue: La rigidità cadaverica è forte. Nella pleura si ha poco liquido sieroso, leggermente san- guinolento. Il polmone mostra qualche piccola ecchimosi puntiforme sulla superficie esterna. Il cuore è contratto e duro, specie il ventricolo sinistro, che al taglio appare pallido. Tutte le cavità del cuore ed i grossi vasi sono pieni di grumi neri, compatti. Nel peritoneo si ha poco liquido sieroso, fortemente sanguinolento. La milza appare molto congesta ed al taglio la polpa sembra un po’ scarsa. Il rene destro mostra all’esterno una iniezione venosa saliente, ed alla sezione la parte periferica della sostanza corticale appare arrossata, specialmente nella parte di mezzo, mentre ai poli del rene lo è assai meno. La parte interna della sostanza corticale è pal- lida. Il rene di sinistra invece presenta la sostanza corticale uniformemente pallida, ben distinta dalla midollare. La vescica urinaria è fortemente ripiena di urina, limpida, chiara, di reazione fortemente acida. L’intestino è tutto ripieno di gas e presenta qua e là zone fortemente arrossate. Tutto il sistema della vena porta poi è pieno di gas e nel cellulare perivenoso sì ha pure dila- tazione a bolle per gas. La vescica biliare è piena e fortemente distesa da bile. Fegato di grandezza normale, di colore giallo-pallido evidentissimo, specie al lobo destro. Alla superficie convessa di tutti i lobi, ed anche al taglio presenta numerose vescichette piene di gas, con apparenza di polmone enfisematoso. Al tatto il fegato dà sensazione untuosa ed appare di con- sistenza molle. Il liquido tracheale, pleurico e peritoneale è di reazione acida al tornasole. Questo animale ebbe in 3’ em* 116 di soluzione al 17°/, = gr. 19,72= gr. per chilo corporeo 2,50. Esperienza 61° (10 gennaio 1903). Cane m. di Chgr. 12,900. 16,—’. — Si vuota la vescica urinaria e si lascia in posto un catetere per raccogliere di con- tinuo l'urina: questa ha reazione acida lievissima. 16,8" . — { Iniezione nella vena femorale destra con cm? 190 di soluzione al 17 °/, di fosfato 16,18". — Y bisodico. Durante l’iniezione si ha scoppio di convulsioni intense a carattere net- tamente tetanico. Si soccorre l’animale alcune volte colla respirazione artificiale finchè passa la crisi, dopo è molto abbattuto e resta sdraiato sul fianco, immobile per tutto il resto dell’esperienza. 16,23". — Si raccoglie l'urina, em? 32 (em? 14 ogni 10'). 16,45". — L'animale presenta i muscoli un po’ contratti ed ha respiro affannoso, frequente. — RRsstio 16,53. — Si raccoglie l'urina, em* 151 (cm? 51 ogni 10". Ha reazione acida forte. 17,15". — Respiro affannoso, muscoli sempre un po’ contratti. T. 400,2. 17,23. — Si raccoglie l’urina; cm* 42 (cm? 14 ogni 10’). Reazione acida forte. 17,53’. — Si raccoglie l’urina; em* 36 (ecm? 12 per ogni 10'). Reazione acida forte. 18,5 — Ha tetano quasi continuo, specialmente accentuato nella parte anteriore del corpo. TEZdt, 18,23. — Si raccoglie l’urina; cm* 26 (em? 9 ogni 10’). Reazione acida forte. 18,35". — Lo stato generale è invariato. T. 41°,6. 18,53’. — Si raccoglie l'urina; em* 16 (cm* 5 ogni 10'). Reazione acida forte. 19,15’. — Stesso stato. T. 420,2. 19,23’. — Si raccoglie l’urina; cm* 4 (em* 1 in 10’). Reazione acida forte. A questo momento lo stato dell'animale è tale che fa presentire inevitabile la morte, e si tralascia l'osservazione, considerandolo morto dopo 4 ore circa dall’iniezione di em* 190 di solu- zione al 17 °/, = gr. 32,25 = gr. per chilo 2,5, iniettati in 10'. 486 LUIGI SABBATANI 28 EsperIENZA 66° (20 gennaio 19083). Gatto f. di Chgr. 1,300, lo stesso che servì per l’esperienza delli 6 gennaio 1903 con car- bonato sodico. 16,20’. — } Iniezione nella vena giugulare sinistra con cm? 19,1 di soluzione tiepida al 17 °/ 16,26". — Y di fosfato bisodico. Durante l'iniezione l’animale presenta contrazioni generali forti a carattere tetanico, sì che, essendosi avuto poi un arresto lungo del respiro, sì è costretti a sospendere per un momento l'iniezione e praticare la respirazione artificiale. Terminata l'iniezione, l’animale si mostra molto depresso; ma si ristabilisce assai presto. 16,28". — Si regge in piedi e gira barcollando. 17,50. — L'animale emette un po’ d’urina acidissima. 20,—/. — Ha emessa altra urina di reazione acida; ha anche vomitato. (21 gennaio 1903). Sta bene e mangia. Questo animale ricevette in 4" cm? 19,1 = gr. 3,25= gr. 2,50 per chilo corporeo. EspeRrIENza 67° (14 gennaio 1903). Coniglio f. di Chgr. 1,918. 16,1". — { Iniezione nella vena giugulare sinistra con em? 12 di soluzione al 17.°/, di fosfato 16,4. — Y bisodico. Durante l’iniezione l’animale presentò scosse convulsive. Subito dopo stava bene. 17,80". — L’urina spremuta dalla vescica è di reazione acida; è torbida; l’intorbidamento scom- pare con acido cloridrico, ma non fa effervescenza. (15 gennaio 1903). L’urina emessa durante la notte ha reazione alcalina ed è torbida. L’animale sta bene. Questo coniglio ebbe in 3' em? 12 di soluzione = gr. 2,04= gr. 1,06 per chilo corporeo. EsperIENza 68% (14 gennaio 1903). Coniglio f. di Chgr. 1,606. 16,24". — { Iniezione nella giugulare destra di cm* 30 di soluzione al 17°/, di fosfato 16,32". — È bisodico. Durante l’iniezione l’animale dapprima presenta scosse convulsive lievi, poi due accessi convulsivi intensi a carattere decisamente tetanico. 16,29. — Ha moti convulsivi, affanno di respiro. L’urina è acida. 18,15. — Emette un po’ d’urina e poi muore. L’urina era acida molto, conteneva deposito che, trattato con acido cloridrico, sì scioglie; ma non dà affatto effervescenza come fa il deposito dell'urina d’un coniglio normale. Questo animale morì con em* 30 di soluzione, iniettati in 8'=gr. 5,l== gr. 3,17 per chilo corporeo. - Esperienza 74* (29 giugno 19083). Coniglio di Chgr. 1,420. 17,40". — Comincia una iniezione come nelle esperienze antecedenti. Si osservano dapprima scosse convulsive, poi convulsioni forti, indi depressione rapida ed arresto persistente del respiro. 17,45. — Muore dopo aver ricevuti em* 25 di soluzione. — Aperto il torace, il cuore seguita a pulsare ancora a lungo, ma debolmente. Questo animale ebbe in 5" cm? 25 = gr. 2,5 = gr. per chilo 1,76. 29 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 487 EsreRIENZA 75* (29 giugno 1903). Coniglio di Chgr. 1,535. 17,58. — Comincia una iniezione come al solito. — Dopo accessi convulsivi forti si mostra abbattuto. 18,5". — Termina l’iniezione di em* 25. Slegato l’animale, si regge bene in piedi e cammina. (30 giugno 1903). Sta bene. Ebbe in 7’ cm? 25 di soluzione= gr. 2,5 == gr. per chilo corporeo 1,61. , Esperienza 76* (15 gennaio 1903). Cavia m. di Chgr. 0,793. — L’urina normale è alcalina. 18,2". — % Iniezione nella giugulare sinistra con em* 7,5 di soluzione al 17 °/, di fosfato biso- 18,7". — Y dico (tiepida). Durante l'iniezione l’animale presenta scosse convulsive prevalente- mente toniche. Finita l’iniezione, l’animale si mostra depresso; ma poi si ristabilisce presto e mangia. 18,30". — Emette spontaneamente urina di reazione acida. 18,50. — Emette altra urina quasi del tutto limpida, acidissima. 19,20". — Emette ancora urina limpida, di reazione pure acida. 21,10". — L’animale sta male; ha scosse convulsive ad intervalli, specialmente intense alla parte anteriore del corpo. (16 gennaio 1903). Si trova morto. L’urina contenuta in vescica è limpidissima e di reazione acida. Dalla tabella riassuntiva della pag. seg. risulta che la dose letale per chilo cor- poreo può essere valutata (1) in gr. 2,60 per il cane, in gr. 2,10 per il coniglio, ed in gr. 1,75 per la cavia; la dose letale minima per chilo di coniglio, calcolata come sale anidro, sarebbe adunque di gr. 0,83, mentre MiinTZER (2) trovava gr. 1,58 (una dose quasi doppia); ma la lentezza grande dell’iniezione nelle sue esperienze (più di un'ora) spiega benissimo la diversità della dose. Per i diversi animali di esperimento la tolleranza al fosfato appare un poco diversa, e la diversità risalta ancor meglio quando si consideri che mentre i conigli (1) Dose totale in gr. per chilo corporeo nel O OOoOoOpqQf.._.tl)9eee)eyèelà=«a;---_ <— —=—=—=—s ——"=—"—T—T—_—_—____m cane coniglio cavia =. l'//— En a_n —.—————————__—_ Esperienza gr. di fosfato Esperienza gr. di fosfato Esperienza gr. di fosfato 52 2,17 68 3,17 76 1,60 53 3,26 69 1,15 77 1,89 54 2,80 72 1,61 ; 3p 59 2,50 73 2,62 pr a 61 2,50 74 1,76 z 62 2,50 Vee 64 250 Media 2,06 65 2,50 Media 2,59 In questo conto non tengo calcolo dell'esperienza 71, che manifestamente troppo si scosta dalla norma. - (2) MinrzER, loc. cit. 488 LUIGI SABBATANI 30 morivano subito, i cani e le cavie soltanto dopo alcune ore. Esaminando la tabella riassuntiva, si notano poi delle variazioni individuali forti fra animale ed animale, anche se della stessa specie, ma contrariamente a quello che avviene per altri sali, la velocità della iniezione non pare influisca poi molto sulla grandezza della dose letale, come risulta evidente dalla tabella a pag. 489, in cui le esperienze sono ordinate a seconda della velocità. A questo proposito giova ricordare che dalle esperienze di MiinrzeR risulta che il fosfato sodico, rispetto agli altri sali, si elimina meno pron- tamente. Esperienze col fosfato bisodico. | Iniezione di fosfato | S | | 3° corrispondente a | > È 3 | ANIMALE in ChE E s E E © 3 È Osservazioni 5 | 3 È S| gr. DE ESS È 52 | cane 4,700 7 | 17 60,0 10,2 | 2,17| 0,31) M |morì dopo 4 ore 53 ; ('IS:700) IZ L67024 13,200 2 MT cn 2 54 | 3 | 12,000) 7 » |200,0/34,0 | 2,80| 0,40 M | , DM Oo 55 Ù 12,700] 3 5 | 112;0|119:00| 1,5040507 56 3 5,900) 2 2 60% 1034015 OS NAVI 5 i 4,100) 2 P 48,21 8,2 | 2,00| 1,00| V 58 È 4,900) 5 ? 64,8/11,0 | 2,25] 0,45| V 59 | P 7,900) 3 gle L 16,0 |M97 12:50 0 RM rana 60 a | 6,300) 7 ; 92,6] 15,7 | 2,50 0,95) V 61 È [21900] 10.4.‘ 1900/1822) E21501 10725 MO DATI 62 7 | 6,300) 8 5 92,6) 15,7 | 2,50| 0,31| M | morì durante l’iniez. 63 È 4,400) 3 È 64,7 11,0 | 2,50] 0,83| V 64 | A 6,200) 4 6 91,2|15,5 | 2,50| 0,62] M |morì dopo 5 ore 65 5 0,2001545] » |150;0| 25,5 | 2,50 045 UM CECONITE 66 | gatto | 1,300 4 È 19,1) -3.25)€2/50! “01624 (VI 67 | coniglio | 1,918) 3 n 12,0) 2,04| 1,06| 0,35] V 68 È 1,606) 8 S 30,0). 5,1084147, 10;39/ MN ATI 69 >, 1,180| 3 & 8,0) 1,36) 1,15! 0,38| M |morì durante l’iniez. 70 | ‘ |-1,590| 6 10)|25/0/ 25504157 0200 fel o 1,455) d44 62 110001008) 06/878 0 9 Mo f i 72 ; Ts 2 n Pe 0 eo Me K a 73 È | 1,450) 7 A 88:0/-19,9 102,62 0,50 CMAS È 7 74 | a 1,420) 5 e er So eo 3 Ù {| È | 1,535) 7 si LIO 0a av 76 | caviaa 0,793 057 7,5| 1,27) 1,60] 0,32| M | morì dopo 3 ore ETA è | 0,494) 6 : Db 10,98/1:89) (031 RM POL Questo contegno del fosfato bisodico, diverso da quello del carbonato e della soda, rispetto alla velocità dell'iniezione ed alla grandezza della dose letale, non ci farà meraviglia quando sì consideri che col fosfato bisodico non solo si può avere morte immediata dell'animale durante l’iniezione; ma anche dopo alcune ore, quando cioè l’animale ha superati i primi fenomeni acuti e pare ristabilirsi, e ciò non per 31 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 489 un fenomeno tossico attuale, diretto, provocato dal fosfato bisodico; ma indiretto, per modificazioni che lentamente si producono nell'organismo a seguito dell'iniezione di fosfato. & = e | a È NRE per 2 È È Rc per | ° : Ei si Ria ee gr. per chilo SE 3 N RIA sn gr. per chilo RE a) (velocità) c Z (velocità) © HYA 1,00 2,00 V 69 0,38 1,15 M 56 0,87 IZ V 73 0,37 2,62 M 59 0,85 2,50 M 4 0,36 1,76 M 65 0,83 2,50 V 60 0,95 2,50 V 72 0,80 1,61 M |67 0,35 1.06 V 64 0,62 2,50 M 76 05208 1,60 M 66 0,62 2,50 V 62 0,31 2,50 M 55 0,50 1,50 M VA i 0,91 1,89 M 71 0,49 6,87 M 92 0,91 2,17 M 65 0,45 2,50 M 59 0,27 3,26 M 58 0,45 2,29 V 70 0,26 1557 V 54 0,40 2.80 M |61 0,25 2,50 M 68 0,39 3A 0 M (45) 0,23 1,61 V Questo costituisce uno dei caratteri salienti che distingue l’avvelenamento per fosfato da quello per carbonato ed idrato sodico; e poichè in questi casi, come vedremo in seguito, la variabilità della dose letale minima in rapporto alla velocità d’iniezione dipende dalla presenza dell’OH7 e dalla neutralizzazione di esso per opera dell'acido carbonico del sangue, neutralizzazione che è tanto più facile quanto più è lenta l’inie- zione, conviene concludere che alla produzione del fenomeno tossico, provocato dal- l'iniezione endovenosa di fosfato bisodico, poco o punto intervenga l’idrossile, l’alcalinità del sale parzialmente idrolizzato; e ciò trova conferma da un doppio ordine di fatti, chimici e fisiologici, poichè mentre SHieLDs (1) trovava che il carbonato sodico è for- temente idrolizzato, ed il fosfato bisodico solo in minimo grado, il carbonato sodico altera profondamente i globuli rossi (2) e dà al sangue aspetto di lacca, ma il fosfato bisodico no. In tutte queste esperienze, fatte con iniezioni endovenose di fosfato bisodico nei cani, gatti, conigli e cavie, si ha una concordanza perfetta riguardo ai sintomi del- l'avvelenamento; sempre si osservano fenomeni di eccitazione generale, e scoppio di convulsioni a carattere nettamente tetanico; ma riguardo al decorso dell’avvelenamento in generale esso è del tutto diverso, a seconda che si tratta di dosi piccole od alte. Nel primo caso si ha scoppio di convulsioni durante l’iniezione, le quali presto cessano del tutto, e dopo un periodo più o meno lungo di depressione l’animale si ristabilisce abbastanza bene, sì che nel giorno seguente non presenta più alcun disturbo. Nel (1) SireLps (vedi più avanti, a pag. 508, dove si parla del carbonato). (2) Confrontare le esperienze fatte sul sangue in vitro con questi sali nella Parte II delle pre- senti ricerche sulla Funzione biologica del calcio, loc. cit. Serie II. Tox. LIV. 490 LUIGI SABBATANI 32 secondo caso, quando la dose iniettata è alta, si ha ancora scoppio immediato di convulsioni, ma molto intense, per le quali l’animale può morire subito, se non viene opportunamente soccorso colla respirazione artificiale; ancora in questo caso segue poi un periodo di depressione e calma in cui pare che l’animale si ristabilisca, ma dopo un certo tempo improvvisamente ricompaiono accessi convulsivi intensi, che durano fino alla morte dell'animale, il quale in questo periodo di convulsioni, quasi continue e sempre a carattere tetanico, offre una ipertermia rilevante ed una diuresi profusa. La temperatura sale spesso altissima, fino a 43,4 C. nell’Esperienza 59, e cede alquanto solo presso a morte; e come nell’avvelenamento stricnico può essere messa in rapporto cogli accessi convulsivi intensi e di lunga durata. La diuresi com- pare prontamente, sia per dosi piccole di fosfato, come è già noto da ricerche di Ricner, che per dosi alte, come risulta dalle esperienze di MiintZER, e come appare anche da molte delle esperienze mie; ma di interessante ha questo, che con essa si elimina una urina acidissima, quantunque segua all’iniezione di fosfato bisodico, che reagisce alcalino. Questo fatto, a primo aspetto stranissimo, ch’io aveva già visto in alcune esperienze fatte da molti anni, allorchè era assistente di Gaglio a Bologna, è evidentissimo nelle esperienze sui conigli, nei quali l’urina cambia decisamente la rea- zione sua normale alcalina in acida, e se ora vogliamo discuterne il significato, parmi sia opportuno prendere le mosse da poche, ma sicure nozioni chimiche sui fosfati, le quali sono in perfetta armonia coll’indirizzo generale di tutte queste ricerche sul calcio. Innanzi tutto il fosfato bisodico è un buon reattivo precipitante del calcio, perchè il fosfato bicalcico, e più ancora il tricalcico, è pochissimo solubile; ma allorchè il fosfato bisodico reagisce con un sale neutro di calcio, si tende a formare del fosfato tricalcico, e conseguentemente resta sciolto del fosfato primario, per cui dalla miscela di una soluzione neutra (sale calcico) e d’una alcalina (fosfato bisodico) ne nasce un liquido di reazione fortemente acida. Quindi il fosfato bisodico, nell’atto stesso in cui precipita il calcio agisce come acido, e già nella parte II delle presenti ricerche sulla “ Funzione biologica del calcio ,, a p. 241, ricordai le ragioni per cui questa acidità deve essere riferita alla presenza di un fosfato primario. In secondo luogo l’acido carbonico sposta del sodio dal fosfato bisodico, trasfor- mandolo parzialmente in sale primario, e producendo del carbonato acido (1) secondo l'equazione: Na?HPO4+- H?C03= NaH?P04-+ NaHCO?. È quindi perfettamente logico ammettere che iniettando noi del fosfato bisodico nelle vene degli animali, quivi incontri dei sali di calcio e dell’acido carbonico, e reagendo con essi formi del fosfato primario, il quale è acido, e come dà normalmente l'acidità dell’urina negli animali carnivori, così ora, eliminandosi in grande quantità a seguito dell’iniezione, determini un rilevante aumento dell’acidità urinaria nel cane, un cambiamento deciso dell’urina del coniglio, da alcalina ad acida. Così mentre il (1) Per la letteratura vedi: Dammer 0., Hamdbuch der anorganischen Chemie, Stuttgart, F. Enke, 1894, Bd. II, Theil 2, S. 178. — Gmeuin-Kraur, Handbuch der anorg. Chem., Heidelberg, C. Winter, 1386, Bd. II, Abth. I, S. 166-167. 39 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 491 rene colla diuresi profusa tende ad eliminare del sale estraneo iniettato, ed a ricon- durre la pressione osmotica del sangue ad un valore fisiologico, elimina urina aci- dissima in dipendenza delle reazioni chimiche che indubbiamente si sono prodotte nel sangue e nei tessuti fra il fosfato bisodico da un lato, i sali di calcio e l'acido carbonico dall'altro; ed in prova di ciò potrei ricordare i saggi fatti sulla alcalinità del sangue, benchè dia loro ben poca importanza, e la reazione acida che in qualche caso si è riscontrata nei liquidi sierosi del peritoneo, della pleura del pericardio. Così mentre prima abbiamo visto che nel determinismo della tossicità del fosfato bisodico l’alealinità sua non ha nessuna importanza, ora invece si è indotti a ritenere che il fosfato bisodico possa agire come acido, e con questo concetto si accorderebbero alcune delle alterazioni anatomiche che abbiamo riscontrate in quegli animali in cui l’avvelenamento si protrasse più a lungo. Il decorso relativamente lento dell’av- velenamento con fosfato bisodico nei cani, a confronto di quello che avviene cogli altri sali decalcificanti, la degenerazione grassa del fegato ecc., mentre costituiscono un carattere differenziale fra questo e gli altri sali, offrono interessanti punti di ras- somiglianza cogli avvelenamenti per acidi minerali. Dopo ciò parmi si possa interpretare l’avvelenamento per fosfato bisodico nel modo seguente. Allorchè iniettiamo nelle vene di un animale del fosfato bisodico, questo, come ogni altro reattivo precipitante del calcio, provoca una diminuzione della concentra- zione jonica del calcio nel sangue e negli organi, e dà quelle manifestazioni di ecci- tazione generale dei centri nervosi, che dipendono precisamente da sottrazione di Ca-jone, e che però sono comuni a tutti i sali capaci di immobilizzare del calcio-jone. Per questo ed in questo momento l’animale può morire; ma per poco che sopravviva, presto la decalcificazione grave del primo momento viene a diminuire per la presenza e fissazione di acido carbonico come bicarbonato sodico e per il passaggio d’una parte del fosfato bisodico a fosfato primario, sali che hanno un’azione decalcificante molto minore del fosfato bisodico, e perciò le convulsioni cessano e l’animale mostra di star bene. Ciò è conforme a quello che s'è constatato circa la tossicità comparata del fosfato bisodico e del fosfato monosodico (1), poichè nel coniglio e per chilo corporeo a pro- durre la morte occorrono: gr. gr.-molecola Na?HP0O4*+ 12H?0 2,10 0,00586 NaH?P0* + H?0 1,64 0,01188, ossia, per il fosfato monosodico occorrono delle dosi molecolari più che. doppie del fosfato bisodico. Da questo risulta che nell'atto della iniezione all'organismo riesce meno dannosa l'acidità del fosfato monosodico, di quello che l’azione decalcificante del fosfato bisodico; e però si comprende come ai primi fenomeni gravi di decalcifi- cazione, provocati dal fosfato bisodico, subentri un periodo di calma e di benessere per la trasformazione parziale di questo in fosfato primario. Successivamente, colla (1) Cfr. per questo la nota a p. 475. 492 LUIGI SABBATANI 34 formazione dei fosfati acidi, insorgono nell’animale fatti riferibili ad una intossica- zione acida (acidità dell’urina, di liquidi sierosi, degenerazione grassa del fegato ecc.). Da ultimo, allorchè colla poliuria acida si va eliminando una grossa quantità di fosfati primari, tornano a comparire fenomeni di decalcificazione grave e persistente, assieme a fenomeni di intossicazione acida subacuta, e l’animale muore. A chiarir bene il concetto valga un esperimento semplicissimo. Ad una soluzione diluita di cloruro calcico s'aggiunga fosfato bisodico: si forma un precipitato abbon- dante di fosfato calcico; si faccia gorgogliare dopo ciò dell’anidride carbonica nel liquido torbido: l’intorbidamento subito scompare, il calcio si ridiscioglie; ma intanto il liquido assume reazione acida forte, molto più di quello che farebbe se si fosse fatta gorgogliare l'anidride carbonica in acqua pura, il che ci attesta la formazione di fosfati primari. 6-7. — Carbonato e bicarbonato di sodio. Come è facile comprendere, per i rapporti stretti chimici, fisiologici e farmaco- logici che passano fra carbonato e bicarbonato sodico, ho creduto utile, anche per evitare dannose ripetizioni, di riunire in un unico capitolo le ricerche sperimentali e critiche eseguite intorno all’azione fisiologica di questi sali. E poichè le loro solu- zioni acquose hanno reazione alcalina, farmacologicamente si considerano come pre- parati alcalini, e nel determinismo dell’azione fisiologica di essi deve intervenire indubbiamente l’idrossile, che per la dissociazione idrolitica contengono, così ho dovuto fare alcune esperienze colla soda, di confronto a quelle coi carbonati, esperienze che qui pure riporto. Mentre il bicarbonato sodico è così poco tossico, che si è usato per farne uno siero artificiale (1), il carbonato invece è molto più tossico, e da tutti si ritiene che la soda iniettata nel sangue già a piccole dosi produce la morte. Bottazzi (2) per iniezione endovenosa di NaOH otteneva la morte con: soluzione % gr. per chilo iniezione fatta in minuti 0,264 0,168 22 3,000 0,270 27 Muncx (3) invece con gr. 0,126-0,207 di NaOH per chilo corporeo di cane non otteneva la morte dell'animale e neppure disturbi serii. La diversità dei risultati, come osserva Bortazzi, dipende dalla velocità della iniezione, e però in queste ricerche delle piccole differenze non si deve e non si può affatto tener conto; vedremo però a suo luogo che per queste sostanze varia enormemente la dose minima letale, non solo a seconda della rapidità della iniezione, ma anche della concentrazione della solu- zione adoperata. Il carbonato sodico spesso è causa di avvelenamenti; ma dalle ricerche speri- mentali, e dalle osservazioni cliniche tossicologiche fatte a questo proposito quasi (1) Riczer C., Dictionnaire de Physiol., T. II, p. 56. (2) Borrazzi F., Sull’azione fisiologica dei saponi, “ Riv. di Scienze biologiche ,, n. 4-5, vol. II (1900). (3) Muncx T., “ Centr. f. Physiol. ,, XIII, 657 (1900). 90 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 493 nulla o nulla affatto si può desumere circa gli effetti dell'ingresso rapido in circolo di forti quantità di questo sale, poichè le alterazioni locali più o meno profonde che si verificano nel tubo digerente, ed i disturbi che direttamente od indirettamente da queste dipendono, dominano quasi esclusivamente la sindrome dell’avvelenamento. D'altra parte, allorchè si prendono tracciati manometrici della pressione arte- riosa, riempiendo le cannule ed i tubi di congiunzione con soluzione di carbonato sodico, se non si usano le debite cautele, si va incontro ad accidenti spesso mortali, che: FrangoIs FrancK fin dal 1877 descriveva nel modo seguente: “ È bene che la carica manometrica oltrepassi un poco la cifra della pressione “ sanguigna, ma è pericoloso, sopratutto se si opera sopra una carotide, che il mano- “ metro sia sotto forte pressione. Al momento in cui si stabilisce la comunicazione “ fra l'arteria ed il manometro, il carbonato di soda penetra nei vasi, e se vi entra “ troppo fortemente, ne nascono accidenti varì secondo l'arteria impiegata. Nel mon- “ cone centrale della carotide la penetrazione del carbonato di soda può uccidere “ l’animale in alcuni istanti, probabilmente arrivando fino al cervello per la carotide “ opposta; può darsi anche iniettando il cuore stesso per le coronarie. Se la femorale “è stata messa in rapporto col manometro, al momento dell’apertura del rubinetto, “ l’animale è preso da convulsioni nella zampa corrispondente, spesso nelle due zampe “ posteriori, per effetto dell’arrivo di carbonato sodico nelle collaterali. Egli manda “ dei gridi e, se non si fissa l’arto, può strappare la cannula, o far cadere il manometro. “Io ho osservato ultimamente dell’ematuria, quasi immediatamente dopo la pene- “ trazione di carbonato sodico, sotto troppo forte pressione nel moncone centrale “ della femorale in un cane non cloralizzato; credo che quest’ematuria possa essere “ attribuita alla penetrazione di carbonato sodico nelle arterie renali. Questi differenti “ accidenti sono da evitarsi, ed inoltre non è indifferente mescolare al sangue una “ certa quantità di carbonato sodico. La contrattilità vascolare è infatti profonda- “ mente modificata per effetto di questa penetrazione , (1). Apucco (2) poi fece uno studio dettagliato delle modificazioni di circolo che si producono con iniezioni di carbonato sodico nelle arterie e nelle vene. Con gr. 3-6 in soluzione al 30 °/, iniettati nelle vene dei cani, ebbe un aumento lieve della pres- sione sanguigna, di 31-50 mm. di mercurio, analogamente a quello che aveva otte- nuto precedentemente Curci (3); ma colle iniezioni di carbonato nel moncone centrale delle arterie Apucco ebbe un aumento enorme della pressione, il quale aumento l’ot- teneva anche quando gli animali erano profondamente depressi, ed in essi riuscivano (1) Frangors-Franck, Notes sur quelques appareils et sur quelques procédés opératoires, È Physiologie expérimentale, Travaux du Laboratoire de M. Marey ,. III° année, 1877, Paris, Masson, p. 329-334. — Da tutto questo appare molto singolare il metodo fisiologico che Sorera e CappareLLI propo- nevano nel 1879 e praticavano nel 1882 per misurare la velocità della corrente sanguigna, metodo col quale essi introducevano nel moncone periferico dell'arteria, del carbonato di sodio della den- sità 1,050 (Nuovi procedimenti sperimentali per determinare la velocità della corrente sanguigna, “ Atti dell’Ace. Gioenia ,, t. XIV (1879)). (2) Apucco V., Azione del carbonato di soda iniettato verso i centri nervosi, £ Ann. di Freniatria ecc. ,, Torino, II (1889-90), p. 281-260. — Action du carbonate de sodium injecté vers les centres nerveux, “ Arch. ital. de Biol. ,, t. XIV (1891), p. 344-373. (3) Curci A., Alcune ricerche sul meccanismo di azione dei comuni metalli alcalini ed alcalino- ferrosi, Laboratorio di Farmacologia sperimentale, Bologna, Azzoguidi, 1889 (citato da Apucco). 494 LUIGI SABBATANI 36 vani altri mezzi fisiologici per rialzare la pressione; e poichè l'aumento di pressione non si otteneva negli animali cui aveva cocainizzato il midollo ed il bulbo, conclu- deva che l’azione del carbonato si esplica direttamente sui centri nervosi. Nel corso di queste esperienze poi, circa l’azione del carbonato sui centri ner- vosi, d'accordo con Frangors FRANCK (1) notava convulsioni toniche di tutti i muscoli, con arresto spasmodico della respirazione. Tutti questi fenomeni descritti da Frangors FRANcK e da Apucco non sono suf- ficienti per lo studio dell’azione tossica generale del carbonato sodico, poichè essi dipendono prevalentemente da disturbi locali e perciò sono variabilissimi a seconda del territorio arterioso in cui penetra la soluzione; e non possono neppure essere riferiti semplicemente alla tossicità della molecola Na?CO?, poichè il carbonato è un buon reattivo precipitante del calcio, subisce dissociazione idrolitica e reagisce forte- mente alcalino; nelle esperienze fisiologiche suddette si adoperava poi in soluzione molto concentrata (2), ed arrivava agli organi colla velocità stessa della corrente arte- riosa, e perciò appunto sembra verosimile ammettere che la causa dei fenomeni descritti debba essere riferita a parecchi fattori: 1° Azione decalcificante; 2° Idrossil- jone (da cui dipende anche l’azione caustica); 3° Ipertonicità della soluzione; 4° Arrivo brusco di essa agli organi, direttamente per le arterie; 5° Territorio arterioso in cui penetra. Quindi le osservazioni cliniche-tossicologiche sull'uomo, ed i disturbi che si pos- sono avere per iniezioni nelle arterie sugli animali con soluzioni concentrate ben poco possono giovare al nostro intento, per il quale conviene principalmente tener conto delle modificazioni funzionali che si ottengono a seguito di iniezioni endovenose di carbonato. In queste ricerche però la tolleranza degli animali varia moltissimo a seconda delle condizioni sperimentali, onde riesce già assai difficile fissare la dose minima letale. Ma lo studio e l’interpretazione farmacologica dei fenomeni tossici, prodotti dal carbonato sodico, appare assai complesso, difficile ed interessantissimo quando dal punto di vista chimico si consideri: 1° Che esso è un eccellente reattivo precipitante del Ca*7; 2° Che le sue soluzioni acquose sono sempre più o meno fortemente idro- lizzate, sono alcaline, e '’OHT7 che così contengono ha caratteri chimici ed azione tossica sua speciale; O 3° La facilità con cui il carbonato fissa anidride carbonica per trasformarsi in bicarbonato; (1) Frangors Franck, Lecons sur les fonetions motrices du cerveau (1876). Appendice (Esp. 51), p. 483-485 (citato da Apucco) — Vedi per questo anche il brano sopra riportato di Francors FraNcK. (2) La soluzione di carbonato sodico consigliata da E. Meyer per prendere tracciati deve avere una densità di 1083 (Traité de physique biologique, publié par D'Arsonvar, Cnauveav ete., Paris, Masson et C.°, 1901, t.I, p. 374); ora secondo la tavola del GerLaca (Commentario della Farmacopea italiana, pubblicato da I. GuarescrI, Torino, Unione Tipografico-editrice, 1897, vol. II, parte II, p. 386) la soluzione che ha D= 1083 contiene di Na?C0*-+ 10H°0O gr. 21,2 circa °, mentre una soluzione da me preparata con A=0°,61 aveva D=1015 e conteneva solo 3,82% di sale. TA 37 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 495 — quando dal punto di vista fisico-chimico si consideri: 4° La concentrazione dei varî joni e più specialmente dell’OH-jone nelle soluzioni di carbonato, a seconda delle condizioni sperimentali; 5° La reazione reversibile Na?CO* + H?C03 s_$ 2NaHC0?; 6° Lo stato d’equilibrio fra acido e sali, vario a seconda della tensione del CO?, temperatura, ecc.; — e l’interpretazione dei fenomeni tossici diventa ancora più delicata, ed esige si proceda colla massima prudenza quando dal punto di vista fisiologico si consideri: 7° La presenza e produzione continua di anidride carbonica nell'organismo, e la tensione sua che varia grandemente da organo ad organo, ed a seconda del ter- ritorio vascolare; 8° L'importanza grande che i più assegnano al carbonato sodico per il pas- saggio fisiologico del CO? dai tessuti all'aria ambiente, secondo l'equazione reversibile suesposta (1): Na?CO* +4 C0? + H?0 = 2NaHC0? nei tessuti=—> <—z nei polmoni. Ma per buona fortuna le conoscenze chimiche e fisico-chimiche sui carbonati alca- lini ed alcalino-terrosi, neutri ed acidi, in presenza d’un eccesso di CO? oppur no, in acqua pura od in soluzioni di colloidi, sono oggi molto estese, e lo studio fisiologico del CO? è a tal punto condotto, che si possiede ormai una eccellente e solida base per le ricerche critico-sperimentali sul determinismo dell’azione farmacologica e tossica dei carbonati, iniettati direttamente nelle vene. Qui, come al solito, per brevità sono costretto a riportare per esteso solo alcune delle esperienze da me fatte. Esperienze col carbonato di sodio. EsperIENzA 78* (1° dicembre 1902). Cane m. castrato di Chgr. 6,700. — Inietto nella vena femorale sinistra della soluzione di carbonato sodico anidro al 5%. 16,12". — Incomincia l’iniezione lenta. 16,16. — Si sono iniettati em? 10; l’animale si lamenta molto, si agita e presenta delle con- trazioni toniche energiche agli arti anteriori ed al collo. Poco dopo il respiro è raro, con lunghe pause a torace in forzata inspirazione e con espirazioni molto prolungate. (1) Qui non possiamo discutere, e non ci interessa, per quale meccanismo avvenga la scissione nei polmoni, se per opera di un acido, di forze vitali, o di semplici leggi fisico-chimiche, ecc. 74 496 LUIGI SABBATANI 38 16,17. — Si ricomincia l’iniezione, che procede senza altri disturbi dell’animale. 16,26’. — Si sono iniettati in tutto em? 84 della soluzione. Slegato subito l’animale, sta bene, gira, e lasciato tranquillo si accovaccia. 19,—'. — Mangia volentieri pane ed ossa. (2 dicembre 1902). Il cane sta benissimo, l’urina è di colorito giallo normale, lievemente torbida, di reazione alcalina forte, non contiene affatto albumina. Questo animale ricevette in 10' cm 84 di soluzione, contenenti gr. 4,20 di carbonato sodico anidro, corrispondenti a gr. 0,62 per chilo corporeo. EspeRrIENZA 82* (3 dicembre 1902). Cane m. castrato di Chgr. 6,600, lo stesso che servì per l’esperienza 78*; ora sta benis- simo, l’urina sua è di reazione acida normale. Inietto per la vena giugulare destra della soluzione al 27% di carbonato sodico cristal- lizzato (10% anidro). 16,50". — Comincia l’iniezione. 16,52. — Si sono iniettati cm? 57 di soluzione. Si arresta il respiro, che già da un po’ era lentissimo ed a lunghe pause, poi compare lenta una rigidità tetanica per tutto il corpo. 16,53. — Il riflesso oculo-palpebrale manca, e durante l’accesso tetanico la lingua appare sempre più intensamente cianotica, mentre da ultimo la contrazione cede lentamente. 16,54. — Respiro fievole e raro, il cuore pulsa validamente, la lingua presenta tremolii fibril- lari, diffusi, vivissimi. 16,56". — Arresto di respiro; respirazione artificiale; persiste il tetano solo alla nuca. 16,59". — L’animale sì è alquanto ristabilito; defeca. — Si pratica una seconda iniezione di cem3 27 e tosto compare lentamente una rigidità tetanica generale; le pupille sono dilatate. 17,5". — Lo stato tetanico perdura sempre, ma assai meno intenso di quello che si ebbe colla prima iniezione. I reflessi sono esagerati, il respiro difficile. 17,20. — Il tetano è scomparso; l’animale si regge bene in piedi e, quantunque barcollando, corre abbastanza svelto. 18,30". — Mangia con discreto appetito, gira e mostra di star bene. (4 dicembre 1902). Al mattino si trova che ha emessi cm? 335 d’urina, lievemente torbida, di color giallo ranciato, di reazione fortemente alcalina, priva di sangue e d’albumina, effervescente cogli acidi. 11,—/. — Emette altra urina di reazione ancora fortemente alcalina. In questo animale si ebbe tetano già dopo la prima iniezione di cm* 57, praticata in 2", corrispondente a gr. 5,7 (anidro), a gr. 0,86 per chilo corporeo. Si ebbe poi tetano molto più grave dopo iniezione di cm* 84 di carbonato, corrispondenti a gr. 8,4, a gr. 1,27 per chilo d’animale. EsperIENZzA 88* (8 dicembre 19083). Gatto f. di Chgr. 2,000. — Inietto nella giugulare destra della soluzione di carbonato (anidro) al 10%. 15,58". — Comincia l’iniezione, e dopo che si sono iniettati cm* 9 si ha arresto persistente del respiro. 39 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 497 15,59. — Termina l’iniezione di cm* 18 e compare una contrattura tonica generale, dopo la : quale, pur seguitando il cuore a pulsare benissimo, l’animale si rilascia, diventa cia- notico, non ha più i reflessi, e la pupilla sua è dilatatissima. A questo momento, comprimendo alquanto il torace per tentare la respirazione artificiale, fuoriesce dal naso un’abbondante schiuma bianca, di reazione alcalina. Aperta la trachea, e pul- sando ancora il cuore benissimo, comprimendo lievemente il torace, fuoriescono fiotti d’un liquido chiaro, incoloro, ora schiumoso soltanto lievemente, di reazione fortemente alcalina. Questo animale ricevette gr. 1,30, corrispondenti a gr. 0,65 per chilo corporeo. Esperienze col bicarbonato di sodio. Siccome queste esperienze dovevano servire essenzialmente per confrontare la tossicità del bicarbonato a quella del carbonato, così furono fatte contemporanea- mente ad altre esperienze col carbonato (Esp. 86, 87, 89, 90). Quelle e queste furono fatte su conigli e cavie di peso poco diverso e con soluzioni esattamente equivalenti, poichè mentre in quelle adoperava una soluzione di carbonato al 5 ° (anidro), in queste adoperava la stessa soluzione, saturata però prima con CO? alla pressione e temperatura ordinaria, onde si calcola: Peso 5 rr S %o 0/o SALE SODICO FormuLa della soluzione! della soluzione molecolare | equivalente in gr. in gr.-equiv. carbonato. . .| Na?C0 106 53 5,000 0,0943 bicarbonato . .| 2NaHCO3 84 84 7,924 0,0943 In tutte queste esperienze poi, onde i risultati fossero meglio comparabili, e rife- ribili giustamente ad una diversa tossicità dei sali, si ebbe cura di praticare le inie- zioni con una velocità media non troppo diversa da esperienza ad esperienza. EsperIENZA 91% (21 dicembre 1901). (Fatta di confronto alla 86* con carbonato sodico). Coniglio di Chgr. 0,409. — Si inietta nella giugulare sinistra della soluzione di bicarbonato sodico al 7,924 %. 17,5. — Comincia l’iniezione. 17,10". — Termina l’iniezione di cm? 13,1. Si ha arresto di respiro e morte senza convulsioni. L’animale muore con gr. 2,53 per chilo corporeo. Esperienze coll’idrato di sodio. Feci queste esperienze ora con soluzioni forti, ora con soluzioni deboli di soda, a volte iniettandole rapidamente, a volte invece con estrema lentezza. In alcune espe- rienze poi mescolava della soluzione forte di soda con sangue o siero di sangue, Serie II. Tom. LIV. M° 498 LUIGI SABBATANI 40 quindi diluiva con soluzione fisiologica ed iniettava il liquido così ottenuto. In tal modo potei esaminare come variasse la dose letale per effetto della concentrazione della soluzione, della velocità d’iniezione e dell’azione caustica della soda sul sangue. EspeRIENZA 101° (3 aprile 1903). Coniglio m. di Chgr. 0,895. — Iniezione nella giugulare destra con soluzione di soda all’1 X. 18,—'. — Comincia l’iniezione. 18,37. — Termina l'iniezione di cm* 42. Durante l’iniezione l’animale non ha presentato nulla di speciale. Finita l'iniezione e slegato l’animale, cammina. 18,50". — Emette un grido e.muore. Alla sezione si trova il cuore pieno di grumi neri di sangue. Il sangue nei grossi vasi appare leggermente laccato. L’urina contenuta in vescica è rosea per sangue. Questo coniglio morì con gr. 0,42 di soda, corrispondenti a gr. 0,47 per chilo corporeo, iniettati in 37°. Esperienza 102° (4 aprile 1903). Coniglio m. di Chgr. 1,300. — Iniezione nella giugulare destra con soluzione all’1% di soda. ' vr ss È Iniezione di cm? DUibi A. principio dell'iniezione si nota un rallentamento grandissimo del respiro, che poi scompare. Alla fine dell’iniezione, che è fatta un po’ più rapidamente, l’animale presenta accessi convulsivi che scompaiono col cessare dell’iniezione. Slegato, gira bene. 11,-'. — L’urina è leggermente emoglobinurica. (5 aprile 1903). 9,45". — L’animale sta bene, l’urina è incolora. Questo coniglio ebbe gr. 0,575 di soda, corrispondenti a gr. 0,442 per chilogrammo cor- poreo, iniettati in 21’. Esperienza 103* (4 aprile 1903). Coniglio di Chgr. 1,080. — Iniezione nella giugulare destra con soluzione all’1% di soda. 15,9. — Comincia una iniezione rapida. 15,6',30". — Si sono iniettati cm* 11, e dopo un arresto lungo di respiro, comparso immediato coll’iniezione, l’animale con scosse convulsive forti muore. Aperto all’istante, si ha schiuma abbondante, bianca, che riempie tutto l’albero respiratorio, e fuoriesce dalla bocca. Il cuore è pieno di sangue aggrumato. Questo animale morì con gr. 0,11 di soda, corrispondenti a gr. 0,106 per chilo corporeo in'1 minuto e ‘/s. Esperienza 104% (5 aprile 1903). Coniglio di Chgr. 1,130. — Iniezione nella giugulare destra con soluzione di soda all’1 %. 10,21". — 10,24". — $ 10,26. — L’animale muore. Aperto subito il torace, si trova il cuore ancora pulsante, specie le orecchiette ed il ventricolo sinistro. Il sangue contenuto nel cuore e grossi vasi è perfettamente liquido, coagula però prontamente, appena estratto, e dà prestissimo siero abbondante, rossiccio. (Ciò attesta una distruzione di globuli rossi e passaggio abbondante di materia colorante nel plasma). Questo coniglio morì con gr. 0,20, corrispondenti a gr. 0,177 per chilo corporeo iniettati in 3'. Iniezione di em* 20, che termina allorchè compaiono forti convulsioni generali. 41 > FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 499 Esperienza 105* (6 aprile 1903). Coniglio di Chgr. 1,300. — Iniezione nella giugulare destra con soluzione di soda al 0,5 %. 15,51’. — Iniezione di em* 20, e l’animale muore con scosse convulsive generali. Aperto subito 15,53". — ) l’animale, si trova che il cuore pulsa, ma irregolarmente; nel cuore e nei grossi vasi non vi sono coaguli; il sangue coagula appena estratto e dà poi siero abbondante di colorito leggermente roseo. Questo coniglio morì con gr. 0,10 di soda, corrispondenti a gr. 0,077 per chilo corporeo, iniettati in 2°. Esperienza 106% (6 aprile 1903). Coniglio di Chgr. 1,055. — Iniezione di soda al 0,5% nella giugulare destra. 16,45". — 17,56". — Durante l’iniezione l’animale non ha presentato alcun disturbo degno di nota; dopo era (In ore 1,11’) Iniezione continua di cm' 143. vivacissimo, l’urina rossiccia. Durante l’iniezione si è avuto dalla ferita uno stillicidio lento di sangue, che non s'è potuto arrestare. (7 aprile 1903). Sta bene e non presenta nulla degno di nota. Questo coniglio ebbe gr. 0,715 di soda, gr. 0,677 per chilo corporeo in ore 1,11'. Esperienza 107° (20 dicembre 1902). Coniglio m. di Chgr. 1,535. 10,9". — Si inietta per la giugulare sinistra lentissimamente della soluzione di soda al 0,46 %. 11,1’. — Termina l’iniezione di em* 65 senza che l’animale durante o dopo di essa presenti alcun disturbo. (28 dicembre 1902). Fino ad oggi l’animale è stato sempre bene e si tralascia l’osservazione. Questo animale ha ricevuto gr. 0,299 di NaOH corrispondenti a gr. 0,198 per chilo cor- poreo, iniettati in 52". EsperIENza 108* (20 dicembre 1903). Coniglio f. di Chgr. 0,930. 11,15". — Comincia una iniezione nella giugulare sinistra con soluzione di soda al 0,46 %, e l'iniezione si fa rapida. — Durante l’iniezione l’animale si agita per due volte e grida, nel resto del tempo sta tranquillo e non presenta alcun disturbo. 11,23. — Termina l'iniezione di cm* 64,4. Slegato tosto l’animale, sta bene e non presenta nulla degno di nota. (28 dicembre 1902). Fino ad oggi è stato sempre benissimo e viene usato per altra esperienza. Questo animale ha ricevuto gr. 0,296 di soda, corrispondenti a gr. 0,32 per chilo corporeo. Esperienza 109* (28 dicembre 1902). Coniglio m. di Chgr. 1,840. 10,56". — Estraggo dall’arteria femorale destra cm° 10 di sangue e li mescolo tosto, agitando di continuo, con em 4,2 di soda al 4,6%. 500 LUIGI SABBATANI 49 10,59’. — Diluisco il sangue così trattato, che ha assunto colorito lacca, poi verdastro cupo, con em° 27,8 di soluzione fisiologica. Così ho una soluzione che dovrebbe contenere soda alla concentrazione di 0,5 %. 11,8. —- Comincio ad iniettare questo liquido nella giugulare sinistra. 11,11". — L'animale ha scosse convulsive. 11,14. — Ha ancora convulsioni. 11,16". — Termina l’iniezione di cm* 38,5, e l’animale muore; il cuore seguita a pulsare a lungo, non presenta traccia di coaguli nel cuore e grossi vasi. Questo coniglio, supponendo che la soda fosse restata libera tutta a contatto del sangue, avrebbe ricevuti em* 38,5 d’una soluzione al 0,46%, corrispondenti a gr. 0,177, a gr. 0,096 per chilo corporeo, iniettati in 8°. Esperienza 110* (12 giugno 1903). Coniglio di Chgr. 1,185. — Estraggo dalla carotide destra cm? 10 di sangue e li mescolo tosto con em* 5 di una soluzione di soda al 5%. Dopo 8' diluiseo con em* 35 di soluzione fisiologica e così si porta il liquido a 50 cm5. Il sangue si fa di color lacca intenso, poi ver- dastro bruno, mentre si dissolvono i globuli. Inietto di questo liquido nella giugulare destra. 17,39°. — ) Iniezione di cm* 13,5. L'animale presenta scosse convulsive tetaniche intense e 17,43. — ) muore. Il sangue del cuore è interamente liquido. Questo coniglio in 4° avrebbe ricevuti (se la soda fosse rimasta libera a contatto del sangue) gr. 0,067 di soda, corrispondenti a gr. 0,065 per chilo corporeo. Esperienza 111° (12 giugno 1903). Coniglio di Chgr. 1,015. — Estraggo dalla carotide destra cm? 10 di sangue e li mescolo con una soluzione di soda così composta: Di soluzione di soda al 5% cem 5 Di soluzione fisiologica n 35 Totale cm* 40 Col sangue si ha un volume di cm* 50 di liquido, che presto assume color lacca intenso e poi bruno verdastro. Dopo 8' minuti inietto di questo liquido nella vena giugulare destra, ed in ‘/, d’ora circa, in tre riprese ne inietto cm? 20, con che l’animale muore, dopo aver presentate intense convul- sioni a carattere tetanico. Il sangue nel cuore è interamente liquido. Questo coniglio avrebbe ricevuti gr. 0,100 di soda, corrispondenti a gr. 0,098 per chilo corporeo. Esperienza 112° (12 giugno 1903). Coniglio di Chgr. 1,225. -- Ripeto esattamente tutto quanto s'è fatto nell’esperienza precedente. 18,10. — } Iniezione di cm? 11,5 del liquido sanguigno. Morte dell’animale preceduta da scosse 18,17. — ) convulsive tetaniche, generali, intense. Il sangue del cuore è liquido. Questo animale avrebbe ricevuti gr. 0,0575 di soda, corrispondenti a gr. 0,047 per chilo corporeo in 7’. 43 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 501 Esperienza 113* (4 gennaio 1903). Coniglio m. di Chgr. 1,094. — Mescolo em? 2,5 di soluzione di soda al 4,6% con em* 10 di siero di sangue di coniglio, preparato con ogni cura asettica fin dal giorno prima. Tengo la miscela a 38° C. per 10', quindi diluisco con em* 12,5 di soluzione fisiologica. Così ho una soluzione che dovrebbe contenere soda nella ragione del 0,46%, se fosse rimasta tutta libera a contatto del siero. 11,41’. — } Iniezione di tutto il liquido (cm* 25) nella giugulare sinistra, senza che nè durante, 11,49. -— Î nè dopo l’iniezione, l’animale presenti alcun disturbo. 18,—'. — L'’urina è del tutto normale. (6 gennaio 1903). È stato sempre bene e pesa Chgr. 1,105. Questo coniglio quindi avrebbe ricevuto gr. 0,125 di soda in soluzione al 0,46%, corri- spondenti a gr. 0,114 per ehilo corporeo, iniettati in 8'. EspeRIENZA 114* (4 gennaio 1903). Coniglio f. di Chgr. 1,485. — Mescolo em? 6,8 di soda al 4,6% con em' 10 di ‘siero di sangue, preparato asetticamente il giorno prima da un altro coniglio sanissimo. Mantengo la miscela per 15’ a 40° C., poi diluisco con cm3 51,2 di soluzione fisiologica. Ottengo così un totale di cm* 68 di liquido in cui, se la soda fosse tutta libera, dovrebbe essere alla concentrazione del 0,46%. 18,1. — } 18.8" \ (In 7°) Inietto tutto il liquido senza che l’animale presenti alcun disturbo. (5 gennaio 1903). L’urina è in tutto normale. (6 gennaio 1903). L’animale sta sempre bene e pesa Chgr. 1,393. Questo coniglio avrebbe quindi avuti, coi em* 68 al 0,46 %, gr. 0,3128 di soda, corrispon- denti a gr. 0,210 per chilo corporeo, iniettati in 7”. Dovendo ora discutere i risultati ottenuti in tutte queste esperienze col carbo- nato, bicarbonato ed idrato sodico, credo opportuno incominciare dall’idrato sodico, poichè la presenza di idrossil-jone nelle soluzioni dei carbonati e bicarbonati è un fatto secondario, dipendente dall’idrolisi, variabilissimo a seconda delle condizioni sperimentali. Così potremo subito farci un criterio circa gli effetti che nell'azione farmacologica dei carbonati possono essere ascritti all’alcalinità delle loro soluzioni, effetti secondarî, disturbanti l’azione fondamentale dei carbonati stessi. Nel seguente quadro ho riuniti i dati principali di tutte le esperienze fatte con soluzioni pure di soda, e da un attento esame di esso si rilevano subito due fatti importanti circa la dose letale; l’uno riguarda l’influenza della velocità dell'iniezione e l’altro l'influenza della concentrazione della soluzione iniettata. 502 LUIGI SABBATANI 44 SOLUZIONE Sona di soda iniettata iniettata in di S Peso — | — uri Dose LETALE È del È; 5 2 _ È di soda £. | coniglio E 3 È SES E. | per chilo corporeo [| in Chgr. | in em | al % È gr * © -0È E (medie) E SS SE 95 1,092 2000 MAD ò 0,115 | 0,105 | 0,021 M 0.104 96) 0,975 2,2 | 4,6 2 0,101 0,103 | 0,051 M 3 9700055 OSSA RPS; 11/, | 0,085) 0,080] 0,054| M ) 0.075 98 1,357 2,6 | 3,7 5) 0,096 | 0,071 | 0,014 M | 7 99 | 1,472 L05258 11 0,294 | 0,200 | 0,018 M 0.185 100| 1,372 SD 238 i) 0,242 | 0,170] 0,034 M 7 101| 0,895 42,0 1,0 37 0,420| 0,470| 0,013 M 102 1,300 57,5 1,0 21 0,575 | 0,442| 0,021 Vi ti 931 103 1,030 11,0 1,0 11/3 | 0,110! 0,106] 0,071 Me? 104| 1,130 20,0 1,0 3 0,200 | 0,177 | 0,059 M 105| 1,300 20,0 | 0,5 2 0,100 | 0,077 | 0,038 M | 106] 055 43,005 71 0,715 | 0,677] 0,009 VA e 107 1,585 65,0 | 0,46 02 0,299 | 0,198 | 0,004 IVI 108) 0,930 64,4 | 0,46 8 0,296 | 0,320 | 0,040 isa ona | | | | | Per vedere chiaramente come la dose letale varii per effetto della velocità della iniezione, basta ordinare le esperienze secondo la velocità. Numero d'ordine Velocità Na0H iniettata Esito MEDIE dell’esperienza dell’iniezione per chilo corporeo dell'animale Velocità Dose letale 103 0,071 0,106 M 104 0,059 0,117 M 97 0,054 0,080 M 96 0,051 0,103 M Rca Pioei 108 0,040 0,320 V 105 0,038 0,077 M 100 0,034 0,170 M 5 0,021 0,105 M 102 0,021 0,442 V 99 0,018 0,200 M 98 0,014 0,071 M ii 0,208 101 0,013 0,470 M 106 0,009 0,677 V 107 0,004 0,198 V Troviamo così che in 5 esperienze in cui si tenne una velocità grande, da 0,071 a 0,038, la dose media letale per chilo corporeo fu di gr. 0,097, ed in altre 5 espe- rienze, nelle quali la velocità fu assai minore, da 0,034 a 0,013, la dose media letale per chilo corporeo fu più che doppia, di gr. 0,203; ed allorchè si mantenne una delle più basse velocità (0,009 per chilo e minuto) si potè iniettare la dose massima di gr. 0,677 per chilo, senza che l’animale morisse (Esp. 106). 45 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 503 Per vedere come varii la dose letale per effetto della concentrazione della solu- zione di soda adoperata, basta ordinare le esperienze secondo la concentrazione: x 0 della soluzione iniettata 4,6 or] 2,8 1,0 0,5 Dose letale media per chilo corporeo 0,104 0,075 0,185 0,231 Per vedere poi come varii la dose letale per effetto combinato della concentra- zione e della velocità, basta disporre le esperienze secondo un ordine del tutto natu- rale: prima in gruppi, a seconda della concentrazione, poi nei singoli gruppi ordinare le esperienze a seconda della velocità dell'iniezione. 2 ; A relocità È della soluzione È TO ù | 2 iniettata ella iniezione DR a 4,6 0,051 95 o 0,021 dI 3,7 0,054 si ” 0,014 100 2,8 0,034 99 6 0.018 103 1,0 0,071 uo ” 0,059 102 i 0,021 101 E 0,013 Do> 0,5 0,038 oli ” 0,009 108 0,46 0,040 da , 0,004 NaOH iniettata per chilo corporeo in gr. 0,108 0,105 0,080 0,071 0,070 0,200 0,106 0,177 0,442 0,470 0.077 0,677 0,320 0,198 DosE LETALE = È media per chilo corporeo ai = | in gr. M ’ ; M \ MEO TO4 ci ‘ MRS :075 Mu | Z M W è . e 0,185 M ) M | fi 19 3 V \ Re 0231 M MV Veglia V_Ù V ve Vediamo così in modo evidentissimo che col diminuire della concentrazione della soluzione adoperata la tossicità s’abbassa moltissimo, come indica la dose minima letale aumentata, e per una stessa concentrazione la tossicità diminuisce ancora col diminuire della velocità della iniezione. In queste esperienze quindi non solo riesce difficile, ma quasi del tutto impos- sibile fissare la dose letale senza tener conto di tutte le più piccole condizioni spe- rimentali; e per avere dati attendibili è indispensabile che la velocità della iniezione sì mantenga uniforme dal principio alla fine, poichè, per le ragioni suesposte, un acceleramento lieve verso la fine dell'iniezione è indubbiamente causa di errori non piccoli, facendo apparire letale una dose di soda che per la concentrazione e per la 504 LUIGI SABBATANI 46 velocità media non doveva esserlo. Mantenere del tutto uniforme la velocità era tecni- camente difficile per i mezzi di' cui poteva disporre, e probabilmente i valori lieve- mente discordanti che ho ottenuti in alcune esperienze dipendevano da ciò. Che la velocità dell’iniezione influisca molto sulla dose letale è un fatto abba- stanza generale per molte sostanze tossiche, che facilmente si comprende come possa avvenire, e nel caso presente il Bottazzi ne dà spiegazione plausibile con ciò, che “ non bisogna far l'iniezione troppo lentamente e dar tempo che l’alcali o sia elimi- “nato o passi in uno stato in cui non sia più attivo ,, e parlando dei saponi osserva: “ vi sono però considerevoli differenze nei varî esperimenti, dipendenti sopratutto “ dalla rapidità con cui si fa l'iniezione, ossia dalla quantità di sapone che in un “ dato momento viene a trovarsi nel segmento venoso del cuore ,. L'influenza poi che la concentrazione della soluzione adoperata esercita sulla dose letale minima, quale risulta evidente dalle esperienze che ho sopra riportato, è molto più interessante e ci dà modo di indagare più addentro perchè la soda riesca tossica, allorchè viene iniet- tata nelle vene. L'influenza della concentrazione ci richiama alla mente l’azione caustica locale, che varia d’intensità, e dà prodotti di causticazione chimicamente diversi a seconda della concentrazione stessa. E poichè la soluzione a quel grado preciso di concentra- zione al quale la preparammo viene a contatto esclusivo del sangue, e poi subito con esso si diluisce, così era logico ammettere che l’influenza della concentrazione dipen- desse da fenomeni di causticazione sul sangue: però feci le esperienze 109, 110, 111, 112, 113, 114, mescolando in vitro del sangue o del siero di sangue con della soda, ed iniettando poi il prodotto diluito con soluzione fisiologica, in modo che e per la quantità di soda adoperata, e per la concentrazione di essa, e per la velocità della iniezione si calcolava dovesse riuscire innocua, mentre poi realmente non lo era. Ciò chiarissimamente risulta dalla seguente tabella. SOLUZIÒNE DI SODA SODA INIETTATA iniettata in 6 e 3 Dose LETALE 5 Peso a vesta e o Ss di soda ‘E |del coniglio 4 = E 2a la È per ta) in Chgr. |;n em? | al‘ in tax SE Sio n = | chilo corporeo SSN ninni ai ES | ABS ie (medie) RN Soda mescolata con sanque intero 109| 1,840 38,5 | 0,46 8 | 0,170] 0,096) 0,012 M 110} 1 1485 13,5 | 0,5 E) 0,067 | 0,065| 0,016 M 0.076 111 1,015 20,0 | 0,9 —_ |-0,100| 0,098 — M 4 112| 1,225 11,5 | 0,5 7 0,057 | 0,047] 0,006 M Soda mescolata con siero di sangue 113| 1,094 25,0 | 0,46 8 0,125 | 0,114| 0,014 NOSTRI 114| 1,485 68,0 | 0,46 7 0,313 | 0,210| 0,030 V_ 4 Soluzione pura di soda 107| 1,535 65,0 | 0,46 | 52 | 0,299] 0,198| 0,004 V 108| 0,930 64,4 | 0,46 8 0,296 | 0,320| 0,040 V Î n 05. «130020108 075 2 0,100] 0,077) 0,038 M 106| 1,055 |143,0 | 0,5 71 0,715| 0,677] 0,009 V 47 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 505 Nell’esperienze 113 e 114, in cui si adoperò del siero di sangue, gli animali sopportarono benissimo l'iniezione, e non presentarono alcun disturbo. Nell’esperienze 109, 110, 111, 112 invece, in cui s'era mescolata la soda col sangue intero, si ebbe morte dell'animale, quantunque per la dose e per la diluzione di essa dovesse riuscire innocua; onde la morte è in questo caso da attribuirsi ai prodotti di causticazione che la soda dà sui corpuscoli sanguigni. Questo concetto trova appoggio dall'azione distruttiva che la soda esercita sui globuli rossi in vitro, e dalla emoglobinuria (vedi Esperienze 101, 102, 106) e dal colore rossiccio (vedi Esper. 104, 105) che il siero di sangue assumeva in alcune esperienze fatte colla soda. Osservazioni analoghe a queste furono fatte da Borrazzi coll’oleato sodico sopra elementi cellulari di varì tessuti (cellule sanguigne, epitelio peritoneale, tessuto adi- poso, parenchima epatico, splenico, tessuto placentare di cagna) e sempre vide che si aveva una distruzione abbondante delle cellule e formazione contemporanea di nucleo-proteidi per opera della soda, che si libera dal sapone per idrolisi. Possiamo quindi concludere che quando la concentrazione della soda è grande, riesce tossica per la variazione forte che provoca nella reazione chimica del sangue, per la distruzione cellulare e per la formazione di nucleoproteidi; che quando la con- centrazione è debole, e non dà fenomeni locali di causticazione, la soda non riesce molto lesiva al sangue, è assai meglio tollerata per iniezioni endovenose, e riesce letale solo quando viene iniettata rapidamente, verosimilmente perchè provoca allora una brusca variazione dell’alcalinità dei liquidi dell'organismo, variazione che può essere lesiva ai protoplasmi o direttamente, oppure indirettamente, in quanto viene a rompere condizioni peculiari di equilibrii molecolari salini (1), la cui variazione, oltre certi limiti, è incompatibile colla vita. Possiamo inoltre concludere che quando la concentrazione della soda (dell’OHT7 jone) è piccola, e la velocità dell'iniezione lenta, allora non si ha formazione di prodotti di causticazione di per sè tossici, l'organismo ha tempo, come dice BortAZzzI, di eliminare o trasformare l’alcali in uno stato in cui non sia più attivo, ed allora l'iniezione diventa indifferente e la soda non è più tossica. Solo per ciò che riguarda le trasformazioni, che la soda può subire nell’orga- nismo, fermamente ritengo siano assai semplici; iniettata lentamente ed in soluzione diluita, incontra nell’organismo acido carbonico in quantità più che sufficiente per trasformarsi in carbonato o bicarbonato di sodio, assai meno tossici della soda stessa, i quali prontamente s’eliminano per le vie naturali. Quantunque non possegga appa- recchi precisi, pure in alcune esperienze, esaminando l’aria espirata, vidi che durante l'iniezione lenta di soda l'eliminazione di CO? diminuisce ed aumenta la quantità dei carbonati nell’urina. Con questo concetto armonizza perfettamente una osservazione sperimentale molto importante di LoEB, che egli stesso così descrive: “ The quantity of “ free HO-ions in the blood is neither increased by a considerable addition of NaHO “ nor decreased by a considerable addition of HCl , (2). Ora, senza voler entrare in questioni molto difficili, relative all’alcalinità del sangue ed alle sue cause, credo (1) Si ricordi ad esempio che gli alcali precipitano i fosfati alcalino-terrosi. (2) Loes J., On jon-proteid compounds and their ròle in the mechanics of life phenomena. I. The poisonous character of a pure NaCl solution, © Amer. Journ. of Physiol. ,, vol. III (1900). Serie II. Tom. LIV. N 506 LUIGI SABBATANI 48 però opportuno osservare che questa esperienza e moltissime altre possono spiegarsi bene con concetti semplici di chimica minerale. Nel sangue in vitro, ma più ancora nel sangue circolante, la soda incontra del- l’acido carbonico, e si trasforma in carbonati, e l’acido cloridrico dei carbonati alcalini; che quindi nell’uno e nell’altro caso, mentre aggiungiamo direttamente dell’alcali o dell'acido, in realtà portiamo una variazione in più od in meno nei carbonati del sangue; e poichè l’ alcalinità del sangue è data principalmente dalla dissociazione idrolitica dei carbonati e fosfati alcalini, così l’alcalinità del sangue non può crescere proporzionalmente alla soda, o decrescere proporzionalmente all’ acido aggiunto; ma varierà solo in dipendenza dei carbonati, e varierà non proporzionalmente ad essi; ma, come risulta dalle ricerche di SHieLDs, che vedremo fra poco, secondo la radice quadrata della concentrazione del carbonato. Quindi le variazioni nella concentrazione dell'OH-jone per aggiunta di soda o di acido devono essere molto piccole e spesso comprese entro i limiti degli errori inevitabili dei metodi sperimentali. Passando ora ad esaminare la tossicità dei carbonati, abbiamo riuniti nelle seguenti tabelle i dati principali e l’esito delle esperienze relative. Esperienze col carbonato sodico. | IR RS Na?CO* iniettato in S | LE) RE don = © | | Do 3 Si 2.E ai ANIMALE Peso | ORA es UR G in Chgr. |. po à in A fo ed e R inem'| al o iainati gr. An. eo a | 609 | 9 È ‘9 RIS 78 | cane 6,700 84 5 10 4,20| 0,62 | 0,062 NI 79 È 9,000 dI 5) 14 4,59| 0,91 | 0,065 V | : 21I 5) Te) ; 80 | A 14,200 3 IA gp ey dieta et, ca 81 ò 13,000 | 132 10 6.1 13,20), 4,01 |(0,170 V 32 a 6,600 s4 10 9 lE SALZA OMAV 83 | gatto 20004 10 1 1,30] 0,65 | 0,650 M 94 È 1,300 2a 10 24 2,10| 1,61 | 0,067 V 85 È 1,450 16 10 16 1,60] 1,10 | 0,069 V 86 coniglio 0,415 | 5 5 2 0,25) 0,60 | 0,300| M 87 È 0,956 dal ò 4 0,55! (057 (SO1407 MM 88 a 1,870 | 29 10 94 | 2,90] 4,55 4 0045 V 39 . cavia 0:0394 IL 5) 5 0,55 | 0:86) M0172, SM 90 | n 0,488 19 5 18 0,95| 1,94 | 0,108|. M 49 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 507 Esperienze col bicarbonato sodico. SOLUZIONE DI BICARBONATO | 3ICARBONATO SODICO hi iniettata | iniettato in © se DIOR © a sie! A ANIMALE Peso | eli A ie i in Chgr. ° 3 al in DES 2 = | DE E i Fi [a] in em'| al" | ninuti gr. et & 509 | I > — n li Atri la ci — î = = a I | 91 coniglio di 409 13,1 | 7,924) 5 1,038| 2,53 | 0,506} M 92 a ),550 >» 0 | Diut RLO. 1,585.| 2,07 |.0,287 |M 93 cavia vee 15,0 | Sat gt IAT Ca ORE: A 94 È 0,427 17,0 | n fi 1,347| 3,15 | 0,450 M | | Esperienze comparate fra carbonato e bicarbonato. 2 2 Dose INIETTATA Dose iniertATA in gr.-equiv. E SIA in gr. e per chilo corporeo | per chilo corporeo n | ANIMALE | i E ars Ps apr ee e EE [SA ea | Dai E° carbonato | bicarbonato | carbonato | bicarbonato = | 4 = n | | 86 | coniglio M 0,60 —_ | 0,0113 = 91 M = 2,59 | -- 0,0301 » | ’ | ’ 87 5 M 0,57 — MIAFOLOLOT Re! — 92 3 0 dei = 2,87 | -— 0,05841 89 | cavia a M 0,86 —_ 0,0162 | — 93 s V 1 2,13 — 0,0253 90 | P M 1,94 — 0,0366 — 94 " M | _ 9,15 _ 0,0375 | Ì | | TS | x | FP o Ta la =" | | medie | | di | conigli e cavie M 0,99 | 2,85 | 0,0187 0,0339 | | | 8 Esp. | | Le esperienze eseguite col carbonato e bicarbonato sodico richiamano la nostra attenzione essenzialmente sopra due fatti, che appariscono evidentissimi; l’uno riguarda la natura dei fenomeni generali, l’altro riguarda la tolleranza degli animali, diversis- sima a seconda delle condizioni sperimentali. Il carbonato sodico in tutti gli animali per iniezione endovenosa dà, come sintomo costante e più saliente, dei fenomeni con- vulsivi a carattere tetanico; il bicarbonato sodico invece, come già è noto dalla lette- ratura, e come risulta dalle poche esperienze di confronto che ho fatto col carbonato, è molto meno tossico, ed invece di dare fenomeni convulsivi, come fa quello, dà per lo più depressione e paralisi generale. La maggiore tossicità del carbonato sodico per iniezione endovenosa non pare possa essere attribuita all’alcalinità forte di questo sale, come a primo aspetto si 508 LUIGI SABBATANI 50 sarebbe indotti a credere, poichè noi abbiamo già visto che la tossicità della soda è grande, ma dipende non tanto dalla dose per chilo iniettata, quanto dalla rapidità con cui viene iniettata e dalla concentrazione della soluzione adoperata, ed abbiamo visto che al disotto di un certo valore della concentrazione e velocità la soda riesce del tutto indifferente. Quindi nel determinismo dell’azione dei carbonati alcalini dovremo tener conto dell’idrossile, come elemento tossico secondario, disturbante l’azione fon- damentale dei carbonati stessi, solo nel caso che la concentrazione di esso e la velocità della iniezione superi un certo valore. Ora, per valutare la concentrazione dell’OH-jone nelle soluzioni di carbonato sodico da noi adoperate, dobbiamo prendere le mosse dalle ricerche di Jonn SHreLDS (1). Questi, studiando l’idrolisi di alcuni sali in soluzione acquosa, ha trovato che alla temperatura di 24°,2 le seguenti percentuali di carbonato sodico sono in forma di soda caustica: Na?C0* ———e Ac —— — EEE soluzione (mol.) n. °% idrolizzato 0,1900 2,12 0,0940 pun 0,0477 4,87 0,0238 7,10 e conclude che la quantità dell’alcali libero è proporzionale alla radice quadrata della concentrazione del sale. Le soluzioni di carbonato sodico che ho adoperate per iniezioni endovenose erano al 5 ed al 10°/ di Na?CO?, ossia in equivalente al 0,943 ed all’ 1,8867 per litro, troppo concentrate quindi perchè si possa applicare loro con precisione la formula suesposta; tuttavia possiamo con essa farci un criterio approssimativo, nel caso nostro sufficiente, della quantità di sale che in queste soluzioni trovavasi idrolizzato : circa l’1 °/ soltanto. In questo modo è lecito calcolare che nelle nostre soluzioni di carbonato al 5 °/ si trovassero idrolizzati al massimo gr. 0,05 di sale per ogni 100 cm? di soluzione, corrispondenti a gr. 0,04 circa di NaOH, mentre noi abbiamo visto che soluzioni di soda, 10 volte più concentrate, riuscivano innocue anche a dosi elevate. Così vediamo che in media per ottenere la morte in 7’ dei conigli e cavie col carbonato sodico in soluzione al 5 °/, occorrevano gr. 0,99 di sale per chilo cor- poreo, i quali, per la supposizione fatta che alla concentrazione del 5 °/, sia idroliz- zato circa l1°/ del sale, contenevano di soda gr. 0,0079, mentre poi un coniglio (Esp. 108) non presentava alcun disturbo per una iniezione di soda, fatta in 8' e corrispondente a gr. 0,32 per chilo corporeo. A questo si potrebbe obbiettare giusta- mente che, come abbiamo visto, l’idrolisi del carbonato cresce molto colla diluzione, e che, allorquando la nostra soluzione al 5 od al 10 °/, viene iniettata nel sangue, tosto si diluisce con esso grandemente, e più ancora poco dopo, diffondendosi nei liquidi dell'organismo, e che quindi nell’atto stesso della iniezione viene ad aumentare gran- (1) Sureros J., Uedber Hydrolyse in Wiisserigen Salzlòsungen, “ Zeitschr. fir physik. Chem. ,, Bd. 12 (1893), S. 167-187. 5I FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 509 demente la quantità di alcali. Ora noi sappiamo già,che nell’atto stesso in cui s'inietta la soda, per la presenza di CO? nell'organismo essa tende a sparire, e fra poco vedremo che, per la presenza di sali di calcio, l’alcalinità del carbonato iniettato diminuisce, formandosi del carbonato calcico; quindi non possiamo ammettere che l’idrolisi proceda per diluzione nell'organismo come fa in acqua distillata, ma concediamo pure per un momento che proceda allo stesso modo: noi avremmo allora che la dose letale di gr. 0,99 di carbonato sodico, corrisponde a gr.-equivalenti 0,0187 (vedi tab. a p. 507) per chilo d’animale, ed a questa diluzione, seguendo i dati di Shields, dovremmo 0,99 X 8 100 rispondenti circa a gr. 0,060 di soda per chilo corporeo, mentre abbiamo visto che calcolare che sia dissociato circa 1’8 °/, del sale, ossia -= gr. 0,0792, cor- l’animale non presenta alcun disturbo con gr. 0,32 di soda per chilo corporeo, iniettati in egual tempo circa del carbonato. Ma concedasi pure ancora di più, che cioè il 50 % del carbonato iniettato si idrolizzi, con che il restante dovrebbe convertirsi in bicar- bonato, il quale, come sappiamo, è di gran lunga meno tossico del carbonato; anche 99 LET 106 chilo d’animale, mentre sappiamo che dosi poco diverse di soda, iniettate diretta- mente ed in tempo uguale riescono del tutto innocue, quando anche si adoperi una soluzione al 0,46 °/,, mentre nella soluzione di carbonato sodico, come abbiamo visto sopra, potevasi supporre esistesse per idrolisi soda libera soltanto al 0,04 9. Da tutto questo parmi quindi resti dimostrato che, nelle condizioni sperimentali suesposte, la tossicità del carbonato non dipende dall’alcalinità sua; ma se noi la riferiamo all’ azione decalcificante, allora tutti i fatti che abbiamo raccolti fin qui armonizzano perfettamente con questo concetto. così però si sarebbero iniettati in circolo col carbonato \ — gr. 0,37 di soda per I fenomeni convulsivi che sì ottengono sono conformi a quello che era lecito prevedere, considerando il carbonato sodico come reattivo precipitante del calcio, capace cioè di produrre una diminuzione forte nella concentrazione del Ca-jone, tanto nei tubi da saggio del chimico, che nel sangue, o nei protoplasmi. Infatti il carbo- nato serve al chimico come reattivo precipitante del jone-calcio: serve al fisiologo a produrre incoagulabilità del sangue, diminuendo in esso la concentrazione jonica del calcio fin sotto al valore minimo sufficiente per la coagulazione: ed in fine dà fenomeni di eccitazione generale ed accessi convulsivi intensi, come ogni altro reattivo capace di diminuire la concentrazione del Ca-jone contenuto nei protoplasmi. A questo pro- posito possiamo riunire qui alcuni dati comparativi molto importanti, i quali riguar- dano da un lato l’azione decalcificante del carbonato e del bicarbonato, e dall’altro l’azione anticoagulante sul sangue (1) e l’azione tossica di questi sali sui conigli e cavie. In gr. equivalenti t=] —T_ ox. -.@OTr°® P -<—r”rr carbonato bicarbonato Solubilità per litro (del sale calcico) : : i $ 0,00025 0,01760 Dose letale per chilo corporeo (sale di sodio) . ; : 0,01870 0,03170 Quantità minima anticoagulante per litro di sangue (sale di sodio) ; } Ù : 5 ; 0,06600 . 0,47140 (1) Sasparani L., Funzione biologica del calcio, parte II, loc. cit. 510 LUIGI SABBATANI 52 Da questi dati appaiono evidenti due cose: 1° Che là dove il sale calcico è meno solubile, ivi l’azione anticoagulante e l’azione letale del sale sodico si ottiene con dosi assai minori; 2° Che per questi sali l’azione tossica non è proporzionale all’azione anticoagulante: il primo fatto ci attesta con sicurezza l’esistenza d’un rapporto fra la tossicità e la precipitazione del calcio; il secondo, che potrebbe sembrare contrad- dire al primo, trova spiegazione chiara dalla presenza di CO? nell'organismo vivo, che trasforma una parte del carbonato in bicarbonato, assai meno tossico. Infatti, come per la soda, anche per il carbonato sodico la dose letale varia moltissimo a seconda della velocità dell'iniezione. Ciò si vede bene quando dalla tabella esposta a p. 506, togliamo tutte le esperienze fatte sui cani, i quali mani- festamente presentano una resistenza grande all’azione tossica del carbonato sodico, e l’esperienza 87® sul coniglio, il quale morì soffocato dalla ipersecrezione bronchiale, ed ordiniamo le restanti esperienze secondo la velocità della iniezione. Esperienza Velocità della iniezione Dose iniettata per chilo Esito dell’animale 85. Gatto 0,650 0,65 M 86. Coniglio 0,300 0,60 È M 89. Cavia 0,172 0,85 M 90. Cavia 0,108 1,94 M 85. Gatto 0,069 1,10 V 84. Gatto 0,067 1,61 Mi 88. Coniglio 0,045 1,55 V Inoltre, come per la soda, anche per il carbonato, allorchè la velocità della inie- zione è piccola, la tolleranza degli animali diventa grandissima, perchè mentre il carbonato introdotto si trasforma parzialmente in bicarbonato, la eliminazione segue passo passo la introduzione della sostanza. E per le ragioni dette a proposito della soda, piccole dosi di carbonato sodico iniettate nelle vene dei cani, non possono pro- durre neppure variazioni forti dell’alcalinità del sangue. Infatti Cavazzani E. (1), a seguito di iniezioni endovenose di piccole quantità di carbonato sodico, osservava che “la alcalinità del sangue ha presentato oscillazioni relativamente piccole: restando “alcun poco superiore al livello iniziale, ma entro è limiti dell’alcalinità normale del “ cane y. Così anche questi risultati sperimentali sulla alcalinità del sangue, per quanto sì debba essere molto scettici sulla loro attendibilità, per la critica generale fatta ai metodi da HenRI (2), sarebbero in perfetto accordo coll’ipotesi suesposta. Ed ora è bene ritornare un momento alle osservazioni interessanti di Apucco (3); da esse risulta evidente che il carbonato sodico. è di gran lunga più tossico allorchè sl inietta nelle arterie, anzichè nelle vene, e mentre ciò trova spiegazione sufficiente dalla concentrazione e rapidità maggiori con cui il carbonato arriva agli organi, deve pure dipendere, almeno in parte, dalla diversa quantità di CO? contenuta nelle arterie (1) Cavazzani E., Intorno alle variazioni nel contenuto di alcali del sangue dopo la iniezione endo- venosa di carbonato di sodio. Comunicazione fatta all’Acc. di Sc. med. e nat. in Ferrara il 27 dic. 1902. (2) Hewri V., La dissociation électrolytique et la mesure de V’alcalinité du sang, “ Revue générale des Sciences pures et appliquées ,, 13° Année, N. 7, 15 avril 1902, p. 328-383. (3) Apucco, loc. cit. Day FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 5LI e nelle vene, per cui la trasformazione del carbonato in bicarbonato, assai meno tossico, è molto più facile nelle vene che nelle arterie. Apucco inoltre osservava un fatto importantissimo, che molte volte s'è avverato pure nelle mie esperienze, ed è che mentre il carbonato sodico dà fenomeni imponenti, è però una sostanza “ rela- “ tivement inoffensive au point que 5-6-15 minutes après l’injection les animaux sont “ complètement remis ,: e ciò a noi dimostra che il carbonato iniettato prontamente perde dell’azione sua tossica, e che non provoca sugli elementi cellulari una modifi- cazione profonda: ma lieve, facilmente e prontamente riparabile, quale potrebbe essere precisamente una variazione momentanea nella concentrazione protoplasmatica del Ca-jone. Riassumendo abbiamo che l’azione generale del carbonato sodico è identica a quella degli altri reattivi decalcificanti, che come ha azione decalcificante ed anti- coagulante più forte del bicarbonato, ha pure azione tossica più intensa; però la tossicità sua è minore di quello che potevasi calcolare dal potere decalcificante, e ciò perchè nell’atto stesso in cui viene iniettato nel sangue, come fa la soda, fissa del- l’acido carbonico, e si trasforma, almeno in parte, in bicarbonato, il quale ha azione decalcificante, anticoagulante e tossica di gran lunga minore. La trasformazione del carbonato in bicarbonato è tanto più abbondante quanto più lenta procede l’iniezione, e perciò stesso la dose letale del carbonato (analogamente a quanto avviene per la soda) cresce assai col diminuire della velocità dell'iniezione; al disotto poi di un certo valore della velocità, come per la soda, anche per il carbonato sodico l'iniezione diventa innocua; i fenomeni tossici sono più gravi per iniezioni nelle arterie che nelle vene, fors’anche in rapporto colla diversa quantità di CO? contenuto in esse, ed i fenomeni tossici scompaiono prontamente perchè il carbonato stesso nell'organismo si trasforma rapidamente in bicarbonato, meno tossico, e perchè la diminuzione della concentrazione del Ca-jone da esso provocata nei protoplasmi deve cessare quasi inte- ramente per la trasformazione del carbonato in bicarbonato. 8. Oleato di sodio. Borrazzi e MuncK si sono occupati dell’azione fisiologica e tossica dei saponi. Secondo Munck, che adoperava soluzioni al 5 °/,, l’oleato è letale nel coniglio alla dose di gr. 0,25; il palmitato e lo stearato sono ancora più tossici. Borrazzi, che adoperava soluzioni all’1 ed al 10 °/,, otteneva dei valori che oscillavano attorno a quelli trovati dal MuncKk, e notava che, indipendentemente dalla concentrazione della soluzione iniettata, si hanno delle grandi differenze individuali di resistenza degli animali all’iniezione endovenosa di sapone. Riporto qui quattro esperienze di Borrazzi fatte sul cane (1): (1) Borrazzi F., Sull’azione fisiologica dei saponi, “ Rivista di Sc. biol. ,, Como, vol. II, N. 4-5 (1900). 512 LUIGI SABBATANI 54 I. Iniezione di gr. 0,14 di sapone per chilogr. (soluzione 1 °/o in NaCl 0,6 °/0) in 20”. II. Iniezione di gr. 0,155 di sapone per chilogr. (soluzione di sapone 10°/, in H?20). III. Iniezione di gr. 0,52 di sapone per chilogr. (soluz. di sapone 1 °/, in NaCI1 0,6 °/o) in circa 40". [L'animale presentò alla fine dell'esperienza una grave emorragia polmonare che lo soffocò]. IV. Iniezione di gr. 0,456 di sapone per chilogr. (soluzione di sapone 10 °/o in 420) in 20°. In media ottenne coll’oleato sodico come dose letale per chilo corporeo nel cane gr. 0,318. Credo quindi che la dose letale possa essere calcolata nel modo seguente: per chilo corporeo _—-_TC_Te—— r_trTT_u_— _k in gr. in gr.-equivalenti Nel cane (Bottazzi) 0,318 0,00104 Nel coniglio (Munck) 0,250 0,00082 Così troviamo ancora per i saponi verificarsi una sensibile differenza nella tos- sicità fra coniglio e cane, come sempre ho visto accadere per tutti gli altri sali esaminati. Per i saponi si affacciano gli stessi dubbî, le stesse questioni che già abbiamo esaminate a proposito del carbonato sodico, e relative alla dissociazione idrolitica. Che l’alcali delle soluzioni dei saponi intervenisse nel determinismo dell’azione fisio- logica e tossica di essi, fu subito ammesso da Borrazzi, e fu negato da MuncK; ma nella polemica che sorse fra questi BortAZZI modificò il suo primo giudizio e concluse che “ l’azione tossica dei saponi solubili molto probabilmente è dovuta in “ parte all’alcali libero che le loro soluzioni contengono ed in parte, forse maggiore, “ alla sottrazione che essi operano del Ca ai citoplasmi viventi , (1). Se ci riferiamo però a quanto s'è visto sopra, circa l’azione della soda e del carbonato sodico, è evi- dente che l’importanza tossica massima dei saponi sta nell'azione decalcificante e non nell’alcalinità delle loro soluzioni, la quale interverrà come efficace fattore di tossicità solo a seconda della concentrazione e velocità della iniezione. Noi possiamo, per mezzo di una interpolazione grafica nella tavola annessa a questo lavoro, calcolare quale sarebbe la tossicità dell’oleato sodico, dipendente esclu- sivamente dall’azione decalcificante sua. Troviamo allora i seguenti dati per la tos- sicità dell’oleato sodico reale, trovata da Bortazzi e da Muncx e la tossicità calcolata in base alla semplice azione decalcificante. Tossicità dell’oleato sodico in gr.-equivalenti per chilogr. corporeo: Trovato da Bottazzi per il cane —0,00104 Calcolato da me per il coniglio —0,00500 Trovato da Munck per il coniglio 0,00082 è indubitato quindi che la tossicità dell’oleato sodico, riscontrata sperimentalmente da Borrazzi e da Munck molto superiore a quella che gli spetterebbe come semplice. reattivo decalcificante, devesi ascrivere, come voleva giustamente BortAZZI in parte all’alcalinità sua, e ciò per le condizioni sperimentali. (1) Borrazzi F., loc. cit. 55 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 515 9, Ossalato di sodio. Lo studio dell’acido ossalico ed ossalato presenta un grandissimo interesse fisio- logico, farmacologico, tossicologico e clinico, e perciò da molto tempo è stato oggetto di svariatissime ricerche. Quantunque poi Onsum avesse osservata la formazione di ossalato caleico nel sangue, solo di recente la tossicità dell’ossalato è stata posta in rapporto colla sot- trazione di calcio che esso apporta nell'organismo. Prima si ebbero le osservazioni di ArtHUs sull’azione decalcificante dell’ossalato nel sangue, di cui provoca incoagu- labilità, poi le osservazioni di Cavazzani sulle rane, in cui i fenomeni tossici pro- vocati dall’ossalato vengono tolti con successive iniezioni di calcio, le osservazioni di Cyox (1), di LorB e di molti altri. Si ebbero poi le osservazioni di BortAzZI (2), nelle quali si fa un raffronto fra la tossicità dell’ossalato, dei saponi e fluoruri in rap- porto all’azione decalcificante. In ultimo si ebbero le osservazioni di FRIEDENTHAL (8), il quale molto opportunamente confronta la tossicità molecolare degli ossalati, fluoruri e saponi. Incidentalmente, trattando dell’azione antagonistica fra citrato trisodico e calcio, io pure mostrai i rapporti che passano fra la dose letale minima dell’ossalato, citrato e saponi e l’attività loro come reattivi decalcificanti. Nella prima parte di queste ricerche ricordai che secondo Kocn R. l’ossalato neutro di sodio è per iniezione ipodermica tossico nei conigli alla dose di gr. 0,25 e nel gatto (di peso medio) a gr. 0,375; questi dati servono bene a dimostrare la grande tossicità dell’ossalato, ma non possono a priori essere ritenuti sufficienti per l'intento nostro di confrontare l’azione dei diversi reattivi decalcificanti; per questo scopo, come già ho detto altre volte, è indispensabile tener conto sopratutto di dati ottenuti sempre con iniezioni endovenose e sempre sullo stesso animale d’esperimento. Borrazzi nel lavoro sopra citato riporta tre esperienze fatte con iniezioni endòvenose di ossalato sodico nei cani; ebbe la morte degli animali con: “I. Iniezione di gr. 0,117 di ossalato sodico per Chgr. (soluzione 2 °/, in H?20) in 10 minuti; “ II. Iniezione di gr. 0,071 di ossalato sodico per Chgr. (soluzione 1,5 °/) in “8 minuti; “ III. Iniezione di gr. 0,092 di ossalato sodico per Chgr. (soluzione 1,5 °, in “ due volte) in 20 minuti ,. K Non intendendo, almeno per ora, diffondermi in modo speciale nello studio dell’ossalato, mi sono limitato a fare alcune poche esperienze nelle cavie, conigli e cani, poi alcune altre (Esp. 121, 122, 123, 124) con iniezioni alternate o miste di ossalato e calcio; di tutte però una sola riporto qui per esteso, limitandomi per altre a presentarne lo specchietto riassuntivo. (1) Citato da Borrazzi. (2) Borrazzi F., Sull’azione fisiologica dei saponi, loc. cit. (3) FriepentHAL, Ueder die Giftwirkung der Seifen und der anderen Kalkfallenden Mittel, * Arch. fir Anat. und Physiol. ,, 1901, Heft I-II. Serie II. Tom. LIV. o° bd LUIGI SABBATANI 56 Esperienza 121° (22 dicembre 1900). Cavia m. di Chgr. 0,650. — In un vaso di vetro mescolo un volume di soluzione al 2,66 % di ossalato sodico e 2 volumi di soluzione all’1,11% di cloruro calcico; così l’ossalato ed il cloruro si trovano in rapporti equimolecolari, e formano un abbondante precipitato finissimo di ossalato calcico. {l liquido lattescente così ottenuto viene iniettato nella giugulare sinistra della cavia. oe ) Si iniettano cm 20 della miscela; ma l’animale non presenta alcun disturbo, nè 17,14. — | subito, nè dopo slegato. Sta bene, corre e mangia come al solito. In appresso però a poco a poco l’animale si mostra abbattuto, poì muore verso le 19. Dalla seguente tabella riassuntiva si ha come dose minima letale media di ossa- lato sodico per iniezioni endovenose e per chilo corporeo: Nella.«cayia, e. gr 0110 Nel coniglio . x OSL05 Nel cane 5, O L18 Su queste differenze però, che sono molto piccole, non c'è da fare troppo asse- gnamento, perchè potrebbero dipendere dalle diverse condizioni sperimentali. 2 2 Inrezione di ossalato sodico | 3 | oB |- aaa a IR | ANIMALE IO | a inter EEISE Dee uno © | CZ8 | % |in cm e, Der. chilo 3 io > minuti gd :l e minuto | è | 2A10 | (velocità) | 115 0 creavia 0 orso Posa A M 116 | 7 0,565 VESSe io ZO 0,055 M oa | coniglio 1,620 DIVORZIO 4 0,09 0,026 M 118 | 3 Io 200007 di NOx2 0,048 M SRL | cane 5,800 2,66 | 30 3) 0,14 0,045 M 120 5 7,900 | 2,66 | 53 = 0,17 si M Die | P —- | 2,00) — 10: MO 17 _ M SÉ | ’ — | 150| — | 8 |0071) — M lm | i | -— | 150] — | 20 | 0,09} — | M Uirca l’azione generale dell’ossalato sodico ho visto che, come gli altri reattivi studiati, esso pure per iniezione endovenosa dà sempre nei mammiferi fenomeni di eccitazione generale e convulsioni a carattere tetanico; ciò è d'accordo con quanto è stato osservato da quasi tutti quelli che hanno sperimentato coll’ossalato. Nelle rane, che sono pochissimo sensibili al calcio (DeLoGu), l’ossalato dà invece fenomeni di depressione, paralisi e morte (CAVAZZANI), mentre il citrato dopo la paralisi del primo momento dà fenomeni di eccitazione generale, allorchè l’avvelenamento grave del primo momento va attenuandosi, mentre quello dell’ossalato conduce subito a morte. 57 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO DIL Ma anche nelle rane si possono veder bene fenomeni di eccitazione, allorchè si bagna direttamente l’encefalo con soluzione di ossalato sodico; compaiono allora con- vulsioni generali intense e di lunga durata (1). Nei cani poi dimostrai che l’appli- cazione di ossalato sodico direttamente sulla corteccia cerebrale provoca aumento della eccitabilità elettrica, e scoppio di convulsioni epilettiche (2). L'azione antagonistica fra ossalato e calcio era stata osservata da UAVAZZANI sulle rane (3), come già ricordai nella prima parte di queste ricerche; ma nei mam- miferi e per iniezione endovenosa i fenomeni di antagonismo fra ossalato e calcio si riducono a ben poca cosa, poichè per effetto di queste iniezioni si produce sempre coagulazione intravascolare. Dall’esperienza 121 si vede che quando s’inietta dell’ossalato calcico, sospeso in acqua e di recente precipitato, esso non è punto causa immediata di morte, neanche quando l’ossalato è in quantità più che doppia della letale (Esp. 116). Quindi appare evidente che la tossicità dell’ossalato è del tutto sospesa, allorchè esso trovasi in forma insolubile di ossalato calcico nel sangue, e che la introduzione e la presenza del precipitato finissimo di ossalato calcare nel sangue circolante non è condizione sufficiente alla formazione di coaguli, i quali compaiono subito che la formazione del- l’ossalato avviene direttamente nel sangue o per iniezione contemporanea di quantità equivalenti di ossalato e calcio per due vene simmetriche, o per iniezione successiva ed alterna di quantità pure equivalenti delle stesse soluzioni. Ciò limita grandemente il campo sperimentale per l’antagonismo. Per queste osservazioni semplicissime però resta chiaramente dimostrato che l’ossalato sodico ed il cloruro calcico da noi iniettati per due vene diverse trovansi anche nel sangue allo stato di ione, poichè nel sangue circolante si ha l’immediata formazione della reazione ionica loro caratteristica, precipitante — ossalato calcico — e queste osservazioni sono perfettamente concordi a quelle di Oxsum e di altri, i quali constatarono al microscopio la presenza di ossalato calcico nei vasi sanguigni di animali avvelenati con ossalato. Ora però la morte degli animali l’attribuiamo non agli effetti meccanici del precipitato calcare, come faceva Oxsum, ma alla diminu- zione della concentrazione di Ca-jone che l’ossalato produce. 10. Citrato trisodico. Nella prima parte delle presenti ricerche (4), studiando l’azione antagonistica fra citrato trisodico e calcio, feci alcune esperienze sull’azione fisiologica e tossica del citrato, delle quali ne riportai solo tre sui cani (4*-5?-6°). Successivamente feci molte (1) Sagparani L., Come si debba interpretare l’azione antagonistica fra il calcio ed i reattivi che lo immobilizzano, * Rivista critica di Clinica medica ,, anno III, n. 15 (1902). (2) Sasparani L., Importanza del calcio che trovasi nella corteccia cerebrale, © Rivista sperimentale di Freniatria ,, vol. XXVII (1901). (3) Cavazzani A., Dell’azione dell’ossalato potassico sul plasma muscolare ecc., © Ritorma medica ,, N. 131-32 (1892). (4) Sasparani L., Funzione biologica del calcio, Parte I: Azione antagonistica fra citrato trisodico e calcio, “ Memorie della R. Accademia delle Sc. di Torino ,, Serie IT, tomo LI (1901), p. 267-305 516 LUIGI SABBATANI 58 ricerche sulla tossicità dell'acido citrico, citrato mono-bi-tri-sodico e sull’etere trietil- citrico, amministrando queste sostanze per via gastrica, ipodermica ed endovenosa, nei cani, gatti, conigli, cavie, topi e rane; ora non voglio intrattenermi sulle diffe- renze che, riguardo ai sintomi ed alla tolleranza, si riscontrano da animale ad ani- male, a seconda che si tratta dell'uno o dell'altro preparato, ma ricorderò solo che le maggiori differenze si hanno sempre a seconda della via di introduzione, e ciò verosimilmente perchè con questa varia moltissimo la rapidità dell’ingresso in circolo del citrato. Qui riferisco solo il risultato finale di tutte le esperienze che ho fatte sui cani, conigli, gatti e cavie con iniezioni endovenose di citrato trisodico, dalle quali possiamo fissare con sufficiente sicurezza la dose minima letale. L'acido citrico è stato già studiato da MirscHERLICH (1) e sappiamo che riesce tossico negli animali producendo dapprima accelerazione del cuore e del respiro, in seguito accessi convulsivi violenti con diminuzione della sensibilità, impulso cardiaco insensibile, dispnea, grande debolezza e morte. Recentemente è stata studiata da ViETINGHOFF (2) l’azione tossica comparata dei citrati e tartrati neutri, e l’azione anti- coagulante sul sangue e sul latte; di interessante ha visto che il citrato dà azione eccitante sui centri nervosi, concordemente a quello che già aveva osservato io. Da tutte le esperienze risulta che, come già dimostrai nella prima parte di queste ricerche, il citrato trisodico, iniettato nelle vene degli animali, riesce molto tossico, dà sempre fenomeni di eccitazione generale e convulsioni alle quali segue rapida- mente la morte con fenomeni di depressione e paralisi generale. Le convulsioni sono prevalentemente toniche, ed il più delle volte assumono carattere nettamente teta- nico; ciò si vede assai bene nei cani, nei conigli e nelle cavie; nei gatti invece le convulsioni sono prevalentemente tonico-cloniche, ed una volta sola ebbi un accesso tetaniforme deciso, mentre negli altri casi le convulsioni sembravano piuttosto epilet- tiformi: troviamo così un nuovo punto di analogia fra l’azione comparata di questo e d’altri sali ad azione decalcificante. Il gatto si mostra poi più sensibile degli altri animali all’azione tossica del citrato, come si vede bene dalla tabella alla pag. seguente, in cui sono raccolti i dati principali e l’esito di tutte le esperienze fatte col citrato. Da ciò risulta che la sensibilità all’azione tossica del citrato trisodico è massima nel gatto, minore nella cavia, minore ancora nel coniglio, minore che in tutti gli altri poi è nel cane. In gr.-equivalente e per chilo d’animale la dose minima letale è: Nellsatto 0 orari 00032 Nella cavia, nt Re 2000036 Nel coniglio . . . . 0,0044 Nelbceame:t, 2 0-07 (010061 Per le cose dette altrove, e specialmente a proposito del carbonato ed oleato sodico, facilmente si comprende come, a seconda delle condizioni sperimentali e più (1) Tronoro Huseman, Manuale di materia medica, traduzione di V. Gautier, p. 703. (2) Vrerincnore-ScneLr, Zur Giftwirkung des neutralen Citronensùuren und Weinsiure Natriums und iber ihren Einfluss auf die Blutgerinnung und die Kaseingerinnung mit Lab., © Arch. internation. de Pharmacodinam. ,, X (1902), p. 145-176. 59 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 517 che tutto della velocità d’iniezione, debbano variare le manifestazioni tossiche, ed ora essere più intense sui centri nervosi ed ora sul cuore; purtuttavia pare esista veramente una differenza sostanziale a questo proposito fra i diversi animali d’espe- rimento. Nei cani si aveva sempre prima arresto di respiro e poi del cuore, nel gatto invece e nelle cavie si avrebbe il contrario, poichè tranne una volta (Esp. 134) in questi animali il cuore si arrestava e diventava ineccitabile mentre il respiro durava ancora a lungo, e ciò potrebbe essere una ragione sufficiente alla differenza di tos- sicità del citrato per i cani, gatti e cavie. a | INIEZIONE DI CITRATO | | DIE 3 5 2 Peso % n — para | È | sE a pi Di e © | in Chgr. minuti g.23° | CREARE | | in gr. | in gr. | & de: LE E primi Sha | iper chilo A @ R ron DE (1) » li it | Pa 220] dB iù ee aos 5 | 200 170) 0817 126 | ì m.| 5,000 | 24r.| 8,5 | 50,0 |4,25 | 0,85| M 127 x fi | 3,900 | 24r.| 8,5 |40,0|3,40 | 0,87 M Î 128 n m. | 2,200 6r.| 8,49| 12,2 | 1,03 | 047|M \ 0,73 129 3 m.| 2,900 | 8r.| 8,49| 25,0 | 2,12 | 0,73| M \ 130 ; m. | 4,100 | 28r.| 8,49 | 35,0 | 2,97 | 0,72|M 131| gatto BRMD TION ot 5:08 16.0 |10,80-|10,38 | M 132 a fa il:000 2e.| 5,0 7,0 | 0,35 | 0,35 | M | 0.38 133 x dere a 50 17,0 | 0,85 | 0,50| M \ s° 134 a PIATONIV bue. (5:00) 850,42.) 0;30 | M 135| coniglio eo. 708 o e 0A 0,196 0,19 | V| 136 s (010,995 RO Si 017 LV | iS 4 «e | 0,950 9r..}.5,0. | 10,0] 0,50 | 0,53 | M 138 4 Leti n 224 ga RL: 1) 12,0 | 0,60 | 049 | M los 139 È m. | 10204 Il ce. 50 14,6] 0,73 | 0,60| M RS 140 cavia m. 0,482 teli DAMA AS be ROn75:| “036 |M 141 " 019508 (BO 4,0 | 0,20 | 0,57 | M Î 0.43 142 | 1 0 005: 0,225. 0,48 |M \ pa 143 A a2 N ):952 sa 0 2,5 | 0,125|] 0,35 | M LI A questo proposito sono interessantissime le esperienze 132 e 133 sui gatti, e la 130 sui cani, poichè nelle prime chiaramente si vide che il citrato spiega una azione letale più intensa sul cuore che sul centro respiratorio, sì che quando da 17' (Esp. 133) i ventricoli erano immobili ed ineccitabili, mercè la compressione ritmica del cuore si conservava bene attiva la funzione respiratoria, mentre poi nè la respi- razione artificiale, nè la compressione ritmica del cuore erano state sufficienti a riat- tivare la funzione cardiaca. Nell’Esp. 130% sul cane si vide invece che praticando la iniezione lentamente e per la vena femorale, si aveva prima arresto del respiro di quello che del cuore, e che a produrre l’arresto di cuore occorreva una dose un po’ maggiore di citrato. (1) "= refratta, c= continua. 518 LUIGI SABBATANI 60 Come per gli altri sali, per il citrato la tossicità varia molto a seconda della velocità della iniezione, e ciò, trattandosi qui di un sale organico, facilmente ossi- dabile, non può far meraviglia, anzi in questo stesso senso riesce ovvio interpretare le differenze grandissime di tossicità che si hanno col citrato per iniezioni endove- nose, ipodermiche o gastriche. La grande tolleranza degli animali al citrato per questa ultima via non dipende certo da una azione protettiva del fegato, poichè iniettando il citrato in una vena della circolazione generale od in un ramo della vena porta la dose minima letale per il cane è presso a poco la stessa. Diremo adunque che, iniettato nelle vene con grande lentezza, od amministrato per bocca, nel qual caso l'assorbimento è pure lento, il citrato va incontro ad un pro- cesso di ossidazione, ed occorre introdurne delle dosi assai maggiori per raggiungere nell'organismo quella concentrazione minima di citrato che può produrre fenomeni tos- sici, dipendenti da diminuita concentrazione del Cat*. In vitro, e coi comuni mezzi di ossidazione l’acido citrico in ambiente acido dà come primo prodotto di ossidazione dell’acido acetondicarbonico e poi subito dopo dell’acetone (1), in ambiente alcalino dà invece dell’acido ossalico. Il primo caso non pare, teoricamente considerato, possa avverarsi e sperimentalmente dimostrai che non s’'avvera infatti (2); maggiore verosimiglianza avrebbe il secondo caso, per l’am- biente alcalino dei tessuti, per i rapporti fra ossaluria ed alimentazione, per la tos- sicità grande dell’ossalato stesso e la somiglianza dei sintomi coll’avvelenamento per citrato; ma se consideriamo da un lato la pochissima ossidabilità dell’ossalato nell’or- ganismo e dall’altro la fugacità grande dei fenomeni provocati con iniezioni endo- venose di citrato, allora appare ben poco probabile che il citrato nell’organismo si ossidi con formazione di ossalato. Quindi, mentre non è credibile che l’azione tossica intensa del citrato dipenda da formazione rapida di ossalato, a più forte ragione non pare neppure credibile che la minore tossicità del citrato, allorchè s’inietta lentamente, dipenda da ossidazione di esso con formazione di ossalato. Verosimilmente in questi casi si deve ossidare compiutamente con formazione di carbonati ed acqua, secondo l’equazione: 2Na?C6H507 + 5 1 H20 + 6-1 0° = 6NaHC0* + 2H?0 vo| da gr. 0,53 di citrato si formerebbero gr. 0,37 di bicarbonato, e quindi la dose di citrato, che è sufficiente a produrre la morte in un coniglio d’un chilo, trasformata in bicarbonato, non produrrebbe alcun disturbo, poichè abbiamo visto a suo luogo che la dose letale minima per il bicarbonato è nelle stesse condizioni sperimentali di gr. 2,70. (1) Sassarani L., Sulla ossidazione dell'acido citrico e dei citrati col permanganato di potassio ‘0 col ferro, “ Atti della R. Ace. delle Sc. di Torino ,, vol, XXXV, 8 aprile 1900. (2) Sasparani L., Ricerche farmacologiche e chimiche sugli acidi acetondicarbonico e citrico, * Atti della R. Acc. delle Sc. di Torino ,, vol. XXXIV, 1° gennaio 1899. 61 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 519 Ill. Da tutte le serie di esperienze esposte fin qui appare evidente che i sali decal- cificanti per iniezione endovenosa a dose or più or meno alta provocano costante- mente fenomeni gravissimi nei diversi animali d’esperimento; dapprima eccitazione, di poi paralisi e morte. Solo col bicarbonato sodico non si osservano fenomeni di eccita- zione, ma questo è uno dei sali meno tossici, che facilmente si elimina, che facilmente si decompone, e probabilmente nell'azione tossica di esso prende una parte non indif- ferente l’acido carbonico; le manifestazioni tossiche poi dipendenti da decalcificazione devono essere con questo sale debolissime, in relazione colla debole azione precipi- tante che ha sopra i sali di calcio. Così, all'infuori del bicarbonato, tutti questi sali per iniezione endovenosa in un primo momento agiscono da eccitanti, come da eccitanti agiscono per applicazione diretta su organi isolati; mentre d'altra parte sappiamo che il calcio agisce sempre come deprimente. Per i muscoli abbiamo le osservazioni di LoreB (1) fatte col fluoruro, carbonato, fosfato, ossalato, citrato e tartrato sodico, e le mie col citrato e metafosfato, dalle quali si vide che questi reattivi provocano un aumento della irritabilità e contrat- tilità del muscolo, mentre il calcio ne provoca una diminuzione. L’ossalato poi (CavazzanI), il citrato e metafosfato (esperienze mie) ostacolano la rigidità cadaverica, che per contro è favorita dal calcio. Pei nervi pure LorB ed io abbiamo visto dei fatti analoghi, e mentre STEFANI (2) osservava che il nervo di rana a contatto della soluzione fisiologica addizionata di cloruro calcico conserva più a lungo la sua eccitabilità, l’eccitabilità del nervo stesso è però minore. Per il midollo spinale alle osservazioni che pubblicai nella I° parte, fatte col citrato trisodico, altre ne abbiamo visto ora col metafosfato e pirofosfato sodico, le quali perfettamente si accordano con quelle, nel senso che tutti i reattivi, capaci di provocare una decalcificazione, applicati direttamente sul midollo spinale a dosi pic- colissime provocano fenomeni di eccitazione intensi e scoppio di tetano violento, che spesso sì localizza da quel lato a cui si limitò l'applicazione sul midollo; il calcio invece, come risulta dalle esperienze mie e di ZANDA (3), sul midollo spinale provoca depressione, paralisi, e spiega azione antagonistica coi reattivi decalcificanti. Per ciò che riguarda il centro respiratorio, non essendo ancora terminate le mie ricerche, ricorderò soltanto che secondo BarTtELLI (4), il respiro dura più a lungo quando si fa circolare nei centri nervosi della soluzione fisiologica contenente calcio, (1) Loes J., On an apparently new form of muscular irritability (contact irritability?) produced by solutions of salts (preferably sodium salts) whose anions are liable to form insoluble calcium compounds, “ Amer. Journ. of Physiol.,, vol. V (1901). (2) Srerani U., Intorno all’azione del cloruro di calcio sull’eccitabilità nervosa, ecc., © Rivista sper. di Fren. e di Med. leg. ,, vol. XIX (1893), p. 574. (3) Zanpa G. B., Azione dei metalli alcalino-terrosi per iniezione lombare, © Arch. di Farm. e Tera- peutica ,, vol. X, fasc. 3-4 (1902). (4) BarreLLI F., Influence des différents composants du sang, ete., * Journ. de Physiol. et de Pathol. génér. ,, 1900, No. 6. 520 LUIGI SABBATANI 62 a confronto di semplice soluzione fisiologica; e che secondo le mie esperienze l’ecci- tabilità dei centri nervosi negli animali trattati col calcio, permane più a lungo durante l’asfissia, ma mancano le convulsioni asfittiche. Per ciò che riguarda l’azione sulla corteccia cerebrale io aveva sperimentato col citrato, fluoruro, ossalato e saponi di sodio (1), ed ora anche col metafosfato e col pirofosfato; il mio amico e collega Prof. RoxcoronI (2) ha estese poi le ricerche a tutti i reattivi decalcificanti, ed ora possiamo generalizzare come legge il concetto che tutti i reattivi, capaci di abbassare la concentrazione del Ca-jone, applicati diretta- mente sulla corteccia cerebrale ne aumentano l’eccitabilità elettrica e dànno azione epilettogena. Ciò risulta evidentissimo dalla seguente tabella in cui ho riuniti i risul- tati di quasi tutte le esperienze fatte da me e da RoxcoronI. EccrrasiLità ELETTRICA della corteccia cerebrale misurata dalla dist. in mm. dei rocchetti della slitta A î ® dopo varie applicazioni di sali . DALE DI SODIO lo (E della durata di 10' ciascuna SPERIMENTATORE f=| RITO O O_O_o_eae+e.6__rr—*s S 1? Za 3a 4% 5a 62 fluoruro 0/10) 454 01553 Mode 50560 Roncoroni sa 0,7 diminuzione dell’eccitabilità Sabbatani È 0,7 diminuzione dell’eccitabilità ri solfato 4,64| 140 | 150 | 160 Roncoroni È do A L50450 60 ; È Sidi 160. (L60465 7070. z metafosfato 243150. 5087520082250 Sabbatani Y 2,43, — — | — — E. 4 x 2,43 | ASS 1913) ì = ZA3I L600) 6085 | 3 pirofosfato tetra-| 1,0 | 145 |-145 | 165 | 180| —- |180 Roncoroni pirofosfato bi- | 0,75| 150 | 170 | 165 | 175 | 180 | 195 5 n 0775 | L65 MEZORISIS0 182 n fosfato bi- 7,0 | 130 |145E , : TOR GAORLo ; E (0060 SOR E. 7 Li L00955 BLITONE: , carbonato diminuzione dell’eccitabilità S A — diminuzione dell’eccitabilità Sabbatani sapone 1-3 | 1850/135050 71508) D È 300 14040145 A AL550 RI6SA 6 E: 5 ; 3,0, 1) 160.) 16560600 13585895. E ossalato 30000408 BI IAS Lo RE 3 È 3,020] 213530008) | 5 Ù 126 N95. 640) 61554 MI L5 45 E 5 citrato tri- 4717 30000: — | 140 N : 4,170 4460 | 146 E ” (1) Sasparani L., Importanza del calcio che trovasi nella corteccia cerebrale, © Rivista sperimentale di Freniatria ,, vol. XXVII (1901). (2) Roncoroni L., Aumento dell’eccitabilità corticale e fenomeni di epilessia provocati da reattivi decalcificanti, “ Arch. di Psichiatria, Scienze penali ed Antropol. crimin. ,, vol. XXIV, fase. IV (1903). dute Lia 63 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 521 Alla regola fanno eccezione il fluoruro ed il carbonato sodico: per il primo Ron- coroni con soluzioni al 0,1 °/, otteneva un aumento non bene deciso dell’eccitabilità, mentre io con soluzioni al 0,7 ° ebbi sempre una decisa diminuzione, e ciò devesi probabilmente ascrivere ad una azione farmacologica propria del fluor-jone, analoga a quella del bromo-jone. Quanto al carbonato sodico, mentre per iniezioni endovenose l’alcalinità sua non costituisce un fatto tossico grave, perchè coll’anidride carbonice del sangue si forma prontamente del bicarbonato, invece per applicazione diretta sulla corteccia l’idrossil-jone dà manifestazione tossica sua propria depressiva, il che benis- simo ha dimostrato Roncoroni, confrontando l’azione del carbonato e della soda; onde per la corteccia l’azione eccitante, che si dovrebbe avere colla decalcificazione, è mascherata dall'azione depressiva dell’alcali. Queste eccezioni, chiaramente spiegabili per il fluoruro e per il carbonato, trovano riscontro in anomalie corrispondenti rispetto all’azione anticoagulante, poichè, come già mostrai nella II° parte delle presenti ricerche, il fluoruro sodico a piccole dosi riesce anticoagulante in quanto precipita il calcio, ma a dosi alte l’azione sua è più complessa; ed il carbonato sodico, che ha azione distruttiva sui globuli rossi, certo mentre provoca l’incoagulabilità del sangue, decalcificandolo, provoca in esso altri e più profondi cambiamenti. L’azione poi del calcio sulla corteccia cerebrale, come risulta sicuramente dalle esperienze mie, di ReGoLI (1) e di RoncoronI (2), è sempre depressiva ed antagoni- stica con quella dei reattivi decalcificanti; e per ciò che riguarda la funzione del calcio nella corteccia sarà bene ricordare che secondo Tovonaga (3) si trova più calcio nella sostanza grigia che nella bianca. Per l’azione eccitante sulla motilità dell'intestino e l’azione purgativa di alcuni sali, questione ch'io aveva proposta fin dal 1901 al Dott. Srmox (4), come argomento di studio complementare alle sue ricerche sulla motilità dell'intestino, e che è stata molto bene svolta da Mac CaLLux (5), sappiamo ormai con sicurezza che viene inibita dal calcio. Per la secrezione urinaria Mac CaLLUM stesso (6) vide che diminuisce col calcio. Per la glicosuria poi, prodotta da soluzioni di sali di sodio, FiscHER (7) vide che viene arrestata dal calcio. Per gli infusorî la relazione che passa fra l’azione decalcificante dei sali e la tossicità loro può essere messa ora in evidenza per mezzo di ricerche fatte molti (1) RecoLi P., Azione dei metalli alcalino-terrosi sull’eccitabilità elettrica della corteccia cerebrale, “ Boll. della Soc. tra i cultori di Sc. med. e nat. in Cagliari, 1899-1900, p. 151-156. (2) Roxcoroni L., Azione del calcio-jone sulla corteccia cerebrale, © Rivista sperimentale di Fre- niatria ,, vol. XXX (1904). (3) Toronaga M., Ueder die Vertheilung des Kalks in thierischen Organismus. From the * Bull. of the College of Agriculture ,, Tokyo, Imperial University, vol. V, n. 2. (4) Srwon I., Ricerche sperimentali sulla peristaltica intestinale. Tesi di Cagliari, 1902, pubblicata nello © Sperimentale ,, anno LVII (1903). (5) Mac Carrom J. B., On the mechanism of the action of saline purgatives, and the counteraction of their effect by calcium, University of California publications, vol. I, p. 5-6 (1903). (6) In., The influence of calcium and barium on the flow of urine, * University of California publi- cations ,, vol. I (1904), p. 81-82. (7) Fiscner M. H., On the production and suppression of glycosuria in rabbits through electrolytes, “ University of California publications ,, vol. I (1904), p. 87-115. Serie II. Tom. LIV. p° 522 LUIGI SABBATANI 64 anni addietro da FaecroLi per altro scopo (1). Infatti, calcolando in gr.-equivalenti le dosi dei diversi sali, che per 100 cm? di soluzione erano sufficienti a determinare la morte del Puramaecium Aurelia, troviamo i seguenti dati: i gr.- equivalente per 100 cm? DETS di PÒ Na?00%: tran Pg 0,0015 Nais0L. er al e 0,0021 Nata ts Ao ata Re 0,0031 Nb PA di: 20 I GORI 0,0032 INasP 04 ae IA 0,0035 NaBr,.ste feta aa 0,0037 Na HGO® Aia ate 0,0040 Na 0,0045 NENO8 18.5 6 RI | 0,0053 Da questi vediamo che, prescindendo dal ioduro e dal bromuro, di cui gli anioni I e Br verosimilmente hanno una tossicità speciale, la tossicità minore spetta al nitrato, cloruro e bicarbonato sodico, di cui i sali di calcio corrispondenti sono molto solubili, mentre poi la maggiore tossicità spetta al carbonato, selfato e fosfati, cui corrispondono dei sali di calcio assai poco solubili. Per i vasi sanguigni KoBERT, studiando l’azione di molte sostanze medicamen- tose colla circolazione artificiale, osservava che l’acido ossalico e l’ossalato sodico (2) li restringono; e quando io faceva passare attraverso un arto di un animale appena morto del citrato trisodico, onde vedere l'influenza di esso sulla rigidità cadaverica, notai che durante il passaggio del citrato dapprima la resistenza che s’incontrava nel fare l'iniezione cresceva moltissimo, per diminuire poi grandemente verso la fine. Per ciò che riguarda poi la tossicità comparata di alcuni reattivi precipitanti del calcio, conviene ricordare le ricerche interessantissime di FrIieDbENTHAL (3) e di Borrazzi (4); ma per considerazioni teoretiche circa la solubilità diversa dei corri- spondenti sali di calcio, per la tossicità speciale di alcuni anioni e per i risultati spe- rimentali sicuri che abbiamo ottenuti, e che discuteremo fra poco, non si può affatto parlare di equivalenza chimica delle dosi tossiche di fiuoruro, ossalato ed oleato sodico. Ora, senza volerci dilungare più oltre nella enumerazione di altri fatti, possiamo veramente affermare che, mentre il calcio provoca sempre fenomeni di depressione, i reattivi decalcificanti invece tanto per iniezione endovenosa, che per applicazione diretta su organi isolati, sempre in un primo momento provocano fenomeni di ecci- (1) FacGroLi F., Di alcune azioni chimiche studiate sui protozoi, ©“ Atti della Società Ligustica di Sc. Nat. ,, vol. IV, N. 4, dicembre 1893, p. 383; vol. V, N. 2, gennaio 1894, p. 1. (2) Kosert R., Ueber die Becinflussung der peripheren Gefiisse durch pharmakologische Agentien, “ Arch. fir exp. Path. u. Pharm. ,, Bd. 22 (1887), S. 77-106. (3) FriepentHAL H., Uedber die Giftwirkung der Seifen ete., loc. cit. (4) Borrazzi F., loc. cit. 65 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO OZ) tazione; ma come iniettando delle dosi alte nelle vene ai fenomeni di eccitazione seguono presto la paralisi e la morte, così pure seguitando a lungo nelle applicazioni locali sui muscoli, sui nervi, ecc. alla eccitabilità aumentata del primo momento segue la depressione e l’ineccitabilità. Se poi limitiamo le dosi fino ad ottenere sol- tanto fenomeni di eccitazione, questi possono essere anche molto intensi, ma sempre scompaiono prontamente col cessare dell’applicazione, allorchè si sperimenta con inie- zioni endovenose o su organi isolati, in modo però che questi conservino i loro rap- porti anatomici normali di circolazione; e ciò dimostra che le modificazioni provocate da questi sali sui protoplasmi sono sempre lievi, facilmente e prontamente riparabili. Conformemente a questo concetto RoxcoronI (1) non vide istologicamente sulla cor- teccia cerebrale modificazioni anatomiche importanti, neanche dopo prolungata appli- cazione locale di reattivi decalcificanti o di cloruro calcico; ed io per quasi tutti i sali decalcificanti, e DeLogu (2) per il calcio, abbiamo osservato che la dose minima letale varia molto a seconda della velocità della iniezione, e che alcune volte, quando anche i fenomeni erano gravissimi, e la morte imminente, in pochi minuti colla respira- zione artificiale e, se occorreva, colla compressione ritmica del cuore, l’animale si rista- biliva (3). In fine giova ricordare la prontezza con cui compaiono e scompaiono i fenomeni di eccitazione e di depressione nell’antagonismo fra decalcificanti e sali di calcio. | Abbiamo quindi nell’andamento delle manifestazioni tossiche generali e locali dei decalcificanti e del calcio un tale accordo, che siamo costretti ad ammettere si tratti sempre e per tutti questi sali di uno stesso meccanismo d’azione, basato sopra variazioni in più od in meno della concentrazione del Ca-jone protoplasmatico, ana- logamente a quello che avviene per il sangue, sul quale l’effetto di una decalcifica- zione o di una ipercalcificazione, oltre determinati valori critici, conduce sempre alla incoagulabilità. Se ora consideriamo soltanto i reattivi decalcificanti, l’azione tossica loro può evidentemente essere subito riferita al carattere chimico comune di diminuire la concentrazione del Ca-jone, come l’azione anticoagulante di essi dipende sicuramente da una decalcificazione che provocano. Infatti nella II* parte delle presenti ricerche potei dimostrare che l’attività anticoagulante di questi sali aumenta col crescere della attività loro decalcificante, e che l’incoagulabilità prodotta dalle dosi minime “di essi è prontamente tolta con aggiunta di sali solubili di calcio; raccogliendo ora i dati ottenuti nei capitoli speciali, vediamo che anche la tossicità aumenta in questi sali col crescere della decalcificazione che possono produrre, e che fra questi ed i sali di calcio si possono ottenere fenomeni di antagonismo interessantissimi. Onde poter fare dei confronti sulla tossicità dei sali, è indispensabile tener conto (1) RoxcoronI L., Alcune esperienze intorno all’azione del calcio sulla corteccia cerebrale, © Rivista sperimentale di Freniatria ,, vol. XXIX, fase. I-II (1903). è (2) DeLogu G., loc. cit. (3) Vedasi a questo proposito ‘ciò che s'è riportato delle esperienze di Apucco sul carbonato sodico, e le esperienze 132, 133 col citrato. 524 LUIGI SABBATANI 66 soltanto dei dati ottenuti sopra uno stesso animale d’esperimento, per il che ho pre- ferito il coniglio, sul quale il numero delle esperienze fatte è maggiore che per gli altri; ed è pure indispensabile calcolare le dosi in gr.-equivalente per chilo cor- poreo, onde evitare gli errori che si avrebbero per la grandezza molecolare e la valenza varia dei sali, e quelli provenienti dal diverso peso degli animali. Con questi criterî ho raccolti nella seguente tabella i dati relativi alla dose letale. | | Dose LETALE —— N. | SALI FoRrRMULA | Equivalente Di o o in gr. in gr.-equiv. - a 1. fiuoruro (sodico Re Re CA Nani 42,0 0,262 | 0,0062 2 | solfato sodico . . . .| Na?2S044+10H?0 161,0 10,300 | 0,0644 3 | metafosfato sodico. . .| NaPO? 102,0 0,180 | 0,0017 4 | pirofosfato sodico . . .| Na?H?P?20 55,9 0,087 | 0,0015 5 | ortofosfato bisodico . .| Na*?HP0412H?0 195 2,060 | 0,0173 6 | carbonato sodico . . .| Na?CO3 Sto 0,585 | 0,0110 7 carbonato acido di sodio | NaHC0* | 84,0 2,700 | 0,0321 84 oleato ‘sodico © UP NI. EN 0:3H8302 304,0 as =- 9. | ossalatolisodico fai) Na2020: 67,0 0,100 | 0,0015 10 | citrato trisodico. . . .| Na8C*H°07+51/$H?0| 119,0 | 0,530 | 0,0044 n __r__T_—_—___—_—<—Pvm————€€€€€—€€—6—__>©>Tddee‘6OtenT__ ______mrmer0_e——m Da ciò vediamo che la tossicità è per questi sali molto varia: — grande — fluoruro, ossalato, metafosfato, citrato: — discreta — fosfato, carbonato: — piccola — bicarbonato, solfato: e mentre al primo gruppo appartengono tutti quei sali che sono considerati come reattivi più sensibili del calcio, al secondo appartengono quelli che sono considerati soltanto come reattivi discreti del calcio, ed al terzo quelli che manifestamente sono reattivi assai poco sensibili del jone-calcio. E la relazione che passa fra tossicità e decalcificazione è poi per tutti così stretta, come chiaramente risulta dal confronto diretto delle cifre nella tabella alla pagina seguente, nella quale, accanto ai dati della solubilità dei sali di calcio e della tossicità dei corrispondenti sali di sodio, ho aggiunto quelli relativi all’attività anticoagulante, che pure dipende dalla decalcifi- cazione, riportandoli dalla II° parte delle presenti ricerche. Queste tre serie di dati con ogni cura raccolti, e però esatti per quanto ricerche biologiche di questo genere lo permettono, non lasciano dubbio alcuno circa la rela- zione strettissima che passa fra potere decalcificante, anticoagulante e tossico dei sali ora studiati, e si può dire con tutta sicurezza che il carattere di dare un sale calcico poco solubile è accompagnato sempre da una corrispondente azione anticoa- gulante e tossica degli anioni. Questa relazione causale fra azione decalcificante ed azione anticoagulante e tos- sica, che per alcuni sali soltanto era sicuramente dimostrata, non pareva si potesse prima d’ora generalizzare a tutti i reattivi decalcificanti, perchè alcuni di essi sono 67 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 525 in gr-equivalente —_— Teen = = r_ N. SALI DI SODIO solubilità quantità minima |dose letale minima | del sale calcico anticoagulante per | corrispondente per chilo corporeo | | per litro di soluz. | litro di sangue di coniglio a b c d gilossalato E Sete | 0,0001 0,0090 0,0015 3 | metafosfato . . . . . . — | 0,0095 0,0017 AN pirofosialo . .° 0. .u. - | 0,0100 0,0015 Ielmalo nie o ie — | 0,0200 | 0,0044 SOLO E — | 0,0246 at IR ROraE Gna RI. 0,0004 | 0,0357 0,0062 6 | carbonato bisodico . . . 0,0002 | 0,0660 | 0,0110 5 | fosfato bisodico . . . . 0,0015 0,2251 0,0173 7 | carbonato monosodico . . 0,0176 0,4714 | 0,0321 ASEM n n, 0,0300 0,6000 | 0,0644 poco sensibili come precipitanti del calcio, e perchè varie considerazioni chimiche potevano far credere che la tossicità di alcuni di questi sali dipendesse da altre cause, che non sia la decalcificazione. Così ad esempio per il bicarbonato, e più ancora per il solfato era lecito dubitare che nel determinismo dei fenomeni tossici concorresse una tossicità fisica in rapporto alla quantità forte di sale che conviene iniettare per produrre la morte, molto più che anche il cloruro sodico ad alte dosi, iniettato nelle vene, dà fenomeni generali di eccitazione (1), tremiti muscolari, crampi, convulsioni, ed iniettato nelle arterie verso i centri nervosi dà ancora fenomeni convulsivi (2), i quali si ottengono pure per applicazione diretta sulla corteccia (3) di soluzioni con- centrate di cloruro sodico. Se però si ricorda che nel coniglio e per via endovenosa (1) Miwrzer E., Zur Lehre von der Wirkung der Salze, 7 Mittheilung, Die Allgemeinwirkung der Salze, “ Arch. fiir exp. Pathol. u. Pharm. ,, Bd. 41 (1898), S. 74-96, descrive le seguenti esperienze: 16 ott. 1894. — Coniglio di gr. 1400; ricevette in più riprese, in 47’, cm? 28 di soluzione di cloruro sodico al 10 %, corrispondenti a gr. 2 per chilo corporeo; presentò dapprima tremori agli arti anteriori e posteriori, in ultimo convulsioni generali. 13 dic. 1894. — Coniglio di gr. 2800; ricevette in 91’ em? 101 di soluzione al 10 % di NaCI1, corrispondenti a gr. 3,6 per chilo; presentò dapprima tremiti delle estremità, poi convulsioni cloniche ed in ultimo morì. Già Bonne, d'accordo con Ricner e BLumentHAL, notava che per azione del cloruro sodico si hanno convulsioni e tetano; MiintzER poi aggiungeva che questa non è un'azione specifica del cloruro sodico» ma comune agli altri sali. Convulsioni generali nei conigli per grosse dosi di cloruro sodico, le osservava pure Serro (Uedber Diurese, Zweiter Theil, Die Wirkung artificieller Bluteindickung auf Harnabsonderung und Lymphorrhòe. Ein Beitrag zur Pharmakologie colloider Substanzen, “ Arch. fiir exp. Path. und Pharm. ,, Bd. 41 (1898), S. 148-157) ed anche-Bosc e Vepet (Recherches sur la toricité et les effets des solutions fortes (7°) de chlorure de sodium en injection intra-veineuse, * Compt. rend. Soc. de Biol. ,, t. III [10] (1896), p. 736); Bosc e Marrer poi fissavano come dose letale gr. 4 per chilo corporeo di coniglio. (2) Novi, Einfluss des Chlornatriums auf die chemische Zusammensetzung des Gehirnes, © Pfluger's Arch. ,, Bd. 48 (1891), S. 320. (3) ReeoLI P., Azione dei metalli alcalino-terrosi sull’eccitabilità elettrica della corteccia cerebrale, “ Bollettino della Società tra i cultori delle Sc. med. e nat. in Cagliari ,, 1899-1900, p. 151-156. 526 LUIGI SABBATANI 68 a produrre la morte occorrono gr. 4 di cloruro sodico (1) per chilo corporeo, ossia gr.-equivalenti 0,0683, mentre per il bicarbonato abbiamo visto che occorrono gr.-equi- valenti 0,0321, e per il solfato gr.-equivalenti 0,0648, allora appare evidente che la tossicità di questi due sali non può essere ascritta interamente alla semplice concen- trazione molecolare, od alla così detta — azione salina — nel senso comunemente accet- tato. D'altro lato, se confrontiamo la debole attività precipitante di questi sali per il calcio, e le piccole quantità di calcio che trovansi nel sangue e negli organi più importanti e vitali, appare credibile che possano produrre così nel sangue come nei protoplasmi una diminuzione nella concentrazione jonica del calcio solo per un feno- meno di retrocessione nella dissociazione elettrolitica. Dal confronto poi delle cifre relative alla tossicità del cloruro sodico e dei sali decalcificanti appare evidente che la tossicità di questi non dipende certo dal catione — sodio — comune in tutti, il quale fra i metalli viene giustamente considerato innocuo. Solo LoeB (2) considerando l’azione del cloruro sodico puro, poi quella del cloruro sodico assieme a piccole quantità di altri sali, e specialmente di calcio, era stato condotto ad assegnare al sodio-jone una azione tossica che non ha, ed una azione antitossica al calcio, che pure non ha; parmi invece che ai fatti interessan- tissimi, osservati da Lor, debbasi dare un altro significato, molto più semplice, questo: come per la funzione fisiologica dei protoplasmi è indispensabile una deter- minata pressione osmotica, una determinata pressione barometrica, una determinata composizione salina, così certi rapporti fra i diversi sali normali non possono essere impunemente variati oltre determinati limiti, come avviene per la composizione cen- tesimale dell’aria, sì che riesce tossica una atmosfera di azoto puro o di ossigeno puro, come una soluzione di cloruro sodico o di cloruro calcico puri. Le osservazioni di LoeB sono interessanti specialmente perchè hanno mostrato l’importanza fisiologica di determinati rapporti molecolari nella composizione salina dei liquidi; ed è su questo che giustamente insiste egli nelle pubblicazioni sue più recenti: “ By a series “ of researches in my laboratory the idea has been arrived, that the irritability “ of the nerves and muscles and the rhytmical activity of different organs is amongst CNa Cca “jions divided by the concentration of the calcium ions of the solution surrounding “ the tissues in question , (3). Con ciò però non si dice ancora quale sia la funzione di questi ioni, il cui quoziente fisiologico delle concentrazioni, forse in rapporto alla legge dell’azione di massa, dipende dalla funzione loro biologica speciale. Per il calcio-jone la funzione è, a mio credere, moderatrice, e va studiata non solo per quello contenuto nelle soluzioni che circondano i tessuti, ma più ancora per quello “ others, a function of the quotient , that is, the concentration of the sodium contenuto nei protoplasmi. Per il carbonato e bicarbonato sodico, per il fosfato bisodico e per il pirofosfato tetrasodico si poteva dubitare che la tossicità dipendesse in parte almeno dall’alca- (1) Vedi nota 1 a pag. antecedente. (2) Lore J., On ion-proteid compounds and their rile in the mechanies of life phenomena. I. The poisonous character of a pore NaCl solution, “ Amer. Journ. of Physiol. ,, vol. III (1900). (3) Loe J., On the segmental character of the respiratory center in the medulla oblongata of mammals, “ University of California publications ,, vol. I (1903), p. 71-75. 69 FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 527 linità delle soluzioni loro; -:ma per quello che abbiamo visto, trattando della soda e del carbonato sodico, è certo che la concentrazione dell’OH-jone nelle soluzioni dei sali da noi sperimentate, e la velocità dell’iniezione erano tali, che nel deter- minismo delle manifestazioni tossiche l’alcalinità delle soluzioni è del tutto tras- curabile. La funzione acida del terzo atomo d’idrogene dell’ acido fosforico è così debole che può del tutto essere trascurata nel fosfato bisodico, allorchè si ha un avvelenamento rapido, e noi infatti abbiamo visto che con questo sale si hanno segni di intossicazione acida solo quando l’avvelenamento decorre lentamente. Quanto poi all’acidità forte del pirofosfato bisodico, questa non può essere causa di fenomeni tossici, per la piccolezza della dose letale del pirofosfato stesso. Si poteva dubitare inoltre che l’azione tossica di questi reattivi dipendesse dalla incoagulabilità del sangue che provocano; ma a questa obbiezione si risponde che quando con tutti i reattivi avviene la morte dell'animale il sangue coagula ancora benissimo, appena estratto dai vasi, e che per produrre l’incoagulabilità del sangue in vitro occorrono delle dosi molto maggiori che per produrre la morte dell’animale. Ciò risulta evidente confrontando i dati delle colonne c e d della tabella suesposta, dai quali facendo il rapporto D vediamo di quante volte la dose anticoagulante per litro di sangue in vitro è maggiore della dose letale per chilo d’animale. Numero d'ordine Sali di sodio E, 9 Cssalato. 0; a 6,0 5; Metafosfato . . 6,5 4 Pirofosfato . . 6,6 10 Udo n 4,5 8 VIGGO io e — 1 Rluomuro 0835" è DU 6 Carbonato bi- . 6,0 5 Fosfato bi- . .. 12,4 7 Carbonato mono- 14,6 2 Solfato . . . . 9,3 Ora, senza voler dare eccessiva importanza a questo rapporto, perchè nel chilo di animale abbiamo molta parte inerte (ossa, peli, ecc.) e molti tessuti ed organi diversissimi fra loro chimicamente, per la funzione e per la sensibilità ai reattivi decalcificanti, purtuttavia osserveremo che, eccettuati tre sali, per gli altri il rapporto non varia molto e fa pensare che le modificazioni chimiche operate sul sangue, le quali portano all’incoagulabilità, e quelle operate sui protoplasmi, le quali portano alla morte, siano veramente dello stesso ordine per tutti i sali, molto più che i tre sali, pei quali troviamo un rapporto troppo alto dalla media di 6,0 sono proprio quelli che possono produrre una diminuzione nella concentrazione del Ca-jone del sangue e dei protoplasmi solo quando per una concentrazione molecolare elevata si possono produrre fatti di retrocessione nella dissociazione elettrolitica dei sali di calcio. Rias- sumendo, da questo confronto fra l’azione anticoagulante e tossica mentre si raccol- gono nuovi elementi, che inducono a riferire l’incoagulabilità e la tossicità alla sottrazione di Ca-jone, acquistiamo la certezza che la tossicità di questi sali non 528 LUIGI SABBATANI 70 dipende dalla incoagulabilità, che possono produrre solo a dosi molto più alte di quelle letali. Per l’ossalato non credo si possa più pensare ora ad una tossicità speciale del- l’anione suo, e neanche alla formazione di precipitati nell'interno dei vasi, ma sì bene alla diminuzione della concentrazione del Ca-jone che provoca. Per molti reattivi poi la formazione di precipitati calcarei potrà modificare alcuni dettagli, ma non l’azione fondamentale loro, e noi vediamo infatti che tanto per iniezione endovenosa, che per applicazione sui muscoli, sui nervi, sul midollo e sulla corteccia cerebrale l’azione è sempre la stessa fondamentalmente, sia per i reattivi che provocano una diminuzione nella concentrazione del Ca-jone precipitandolo, che per quelli i quali non lo precipitano. Quanto poi alla tossicità degli anioni meta- piro- ed orto-fosforico, mentre per i lavori di ScnuLz si era tentati a porla in relazione colla tossicità propria del fosforo o con fenomeni di ossidazione, ora è indubitato che questa dipende invece da una decalcificazione intensa che producono. Anzi, prescindendo da questi tre di cui mi sono occupato in modo speciale, e considerando da un lato la tossicità di tutti i sali sodici degli acidi ossigenati del fosforo e dall’altro la solubilità dei corrispondenti sali di calcio troviamo una concordanza singolarissima fra quella e questa; ma di ciò mi intratterrò prossimamente. Solo per ciò che riguarda la tossicità del fluoruro e del bicarbonato sodico, non pare possa ascriversi ad una semplice decalcificazione; ma almeno in parte anche ad una azione propria del fluor-jone e dell’acido carbonico, come dimostra il comporta- mento loro diverso dagli altri sali, che spesso nell’azione generale e locale abbiamo notato. Tornando quindi ai rapporti fra l’azione decalcificante, anticoagulante e tossica, esposti nella tabella a p. 525, rapporti che possiamo rendere evidentissimi nella Tavola annessa al presente lavoro, appare ora chiaramente che l’azione tossica fonda- mentale di questi sali dipende dalla diminuzione che producono nella concentrazione del Ca-jone. 6 Circa la tossicità comparata dei reattivi decalcificanti sopra i comuni animali d’esperimento, non si ha un rapporto costante, come si vede dalla seguente tabella: Dose letale in gr. per chilo corporeo dei sali sodici ANIMALE LI ‘ion A solfato fosfato metafosfato citrato cane . 8,5 2:59 0,15 0,73 gatto — —_ 0,38 coniglio 10,3 2,06 0,18 0,53 cavia — 1,75 0,20 0,43 e ciò probabilmente perchè, a seconda delle proprietà chimiche varie dei sali e della specie dell'animale, si ha una maggiore o minore facilità all'eliminazione od alla tras- formazione in prodotti meno tossici del sale iniettato; talchè la decalcificazione, che ai © sal FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 529 costituisce il fenomeno fondamentale tossico, è alterata variamente nei singoli animali da azioni di difesa; ma è possibile inoltre che a determinare queste differenze inter- venga anche una particolare sensibilità di alcuni animali a determinati anioni. Probabilmente è per queste ragioni che non possiamo trovare una relazione fra la tossicità del calcio e quella dei reattivi decalcificanti. DrLo6v infatti fissava la dose letale minima per il cloruro di calcio come segue: Gr. per chilo corporeo DEN de 0 019 Galore en 94 Conelipie ti 0. 0 0,50 ini det i 030 e quantunque a priorî sì possa ammettere che fra la tossicità dei decalcificanti e del calcio debba esistere una stretta relazione, in quanto l’una e l’altra sono espres- sione di alterazioni protoplasmatiche dello stesso ordine (concentrazione del Ca-jone aumentata o diminuita), purtuttavia non si riesce a metterla bene in evidenza. Se però ci limitiamo a confrontare quelle serie di esperienze, che per essere più numerose sono anche più attendibili, cioè quelle fatte sui cani e conigli col citrato trisodico e col cloruro calcico, si sarebbe tentati a credere che quegli animali, i quali sono più sensibili al calcio, forse perchè normalmente ne contengono meno, siano per la stessa ragione meno sensibili alla sottrazione del calcio, e però ai reattivi decalcificanti. CaLcio Dose letale minima per chilo corporeo PONTI | conten. normalmente | In gr. eran in 1000 parti di sangue ——_==— —_——_m (Abderhalden) cloruro calcico citrato trisodico LP I ___(Delogu) ____(Sabbatani) COMO e 0,062-0,049 | 0,19 0,73 coniglio n de, 0,072 0,50 ì 0,53 Ma su questo concetto, che pur sarebbe molto interessante, in quanto si collega a questioni generali, non posso ora insistere per la scarsità dei dati di cui dispo- niamo attualmente. Se poi confrontiamo la tossicità dei reattivi decalcificanti energici con quella del cloruro di calcio nello stesso animale, il coniglio, desumendola per i primi dalla tabella esposta a p. 525 e per il secondo dal dato surriferito di DeLoGU (gr. 0,50 = gr.-equivalenti 0,0090 di CaC1? per chilo corporeo di coniglio) abbiamo i seguenti dati: Dose letale minima per chilo corporeo di coniglio in gr.-equivalenti Metafosfato sodico . . . . . . . 0,0017 Pirofosfato sodico. . . . . . . . 0,0015 Uitrato trisodito. . .. . .°. . . 0,0044 Ossalato sodico . . . . . .. . 0,0015 Cloruro calcico. . ... .. . .. 0,0090 Serie II. Tox. LIV. 530 LUIGI SABBATANI — FUNZIONE BIOLOGICA DEL CALCIO 72 dai quali possiamo farci un'idea dei valori critici, minimo e massimo, della concen- trazione del Ca-jone, incompatibile colla vita, rispetto alla concentrazione fisiologica di esso; graficamente verrebbero espressi così. Cca Cca Cca minima fisiologica massima Da tutto quello che abbiamo esposto fin qui parmi quindi sì possa ritenere che, come per la coagulazione del sangue, anche per la normale funzione dei protoplasmi sia indispensabile una determinata concentrazione jonica del calcio, la quale, tanto nel primo che nel secondo caso, può oscillare entro limiti abbastanza ampî, senza che si abbiano forti variazioni fisiologiche della coagulabilità del sangue o della funzione protoplasmatica; però, oltre certi valori critici minimo e massimo, diversi per il sangue e per i protoplasmi, si ha nel sangue l’incoagulabilità, e nei protoplasmi la sospensione della vita; ma come per il sangue la coagulabilità ritorna normale, tosto che con mezzi adatti si riconduce la concentrazione del Ca-jone entro i limiti fisio- logici, così anche la vitalità e la funzione nei protoplasmi torna normale, tosto che si allontana l'eccesso di calcio, o si ridà al protoplasma il Ca-jone che gli mancava. Soltanto, onde ciò possa avvenire, conviene che si intervenga abbastanza presto, prima che il protoplasma muoia, ed in questo troviamo un nuovo punto di analogia colla coagulabilità del sangue, la quale può essere sospesa da una deficienza o da un eccesso di calcio, ma se avviene, i reattivi decalcificanti ed i sali di calcio non hanno potere di ridisciogliere il coagulo di fibrina. Così si interpretano bene e coordinatamente i numerosi fatti di antagonismo bilaterale fra il calcio ed i réattivi decalcificanti, che si sono osservati rispetto alla coagulazione del sangue ed all’azione farmacologica: antagonismo che acquista perciò una grandissima importanza rispetto all’ipotesi della presenza e funzione biologica moderatrice del calcio-jone nei liquidi circolanti e negli organi. Dal Laboratorio di Materia Medica e Farmacologia sperimentale della R. Università di Parma. Aprile 1904. , ———— ro >_ omo LIN G- . Fa ee A, omat.enat.— ei ), { I ’ (CE dC | Fal . { Worino e d - - mm Î] Clan d.R oh Vele; L SABBATANI L.- Funzione biol.del calcio tore prera pa oybiuo) 2P 0)? dd 2)P}9) DULNUNU ISO). — ODIpos ITeg a oTedzb Brita da ga anbuns 27 04}2) dd 2,2v pb 0 un 280P — 00TpPpos [BS ema I nsonbon QU0OZM}08 1) 04}1) dd DI1}2YN]08 — OVI0[RO CILS io lese] Ss Si S S SÌ S > S SI È Ò ù S $ = S $ S S 3 $ o S 3 3 S SI È S "FA SAPLCARIIIR IONE IR I SSR SOI SSR ROIO ORE TE DE 1 TERI I I S S Ss S SI DI S > S Di > > DS > S S i sa & 3 Si Si S x ai Si à ? 7uopnamba — sub e 1111 __________—___1_11_12—=-T——+——«=EE««<»MòMéMòMòMEAEòk<6Z ÈZ68;KEEEE IG" 5G[/57;ééééé ZI 072/05 AQFDUOGLDI1Y ò 074/80 d;D UOGLI). } O4T440ON}f 0} Vd}0 0)D.L}?9 | sul o0v;so;pond Î ) > O]DJSOyDJAUI | | 0)D]DSSO LAU, 06052