^^^^^^L.

MEIHORIE

deli; I. R. ISTITITO VE^ETO

DI SCIEIVZE, LETTERE ED ARTI

^,11 i 0.^. J^

MEMORIE

DELL'I. R. ISTITUTO VENETO

DI SCIE^ZE, LETTERE ED AllTI

VOLIME TERZO

YENEZIA

PRESSO LA SEGUETEllIA IJELL' I K ISTITUTO

^ E L PALAZZO D II C A r. K

1847

COI TIPl DEL SEMINAKIO DI PADOVA

AVYERTIME^TO

In esecuzlone clell' Articolo i34 tiegli Statuti Interni,
si dichiara die ognl Autore e particolarmente risponsa-
l)lle delle opinioni e dei fatti esposti ne' proprii scritti.

M.

E L E N C 0

DEI

MEMBRl ATTUALl DELL' I. R. ISTITLTO VEIVETO

DI

SCIENZE, LETTERE ED ARTl

1."'° Lufjlio 1847

rRESIDENTE

S. E. il sig. conte Andhea Cittadella VicoDAnzEnt:, Cav. dei Gioanniti, Consigliere intinio e Ciam-
bellano di S. M. I. R., Consigliere straordinario dell' I. R. Accadeniia di Belle Arti in Ve-
nezia, Membro effettivo dell' I. R. Accademia delle scienze di Vienna, Memltro onorario del-
r I. R. Istituto e di varie altre Aecaderaie.

VICEPRESIDENTE

Mekir ab. LoDOMco, Direttore della Faeolta filosofica e Professore di Storia nell'I. R. Universita
di Padova, Socio di varie Accademie.

SEGRETARIO

Pasim Lodovico.

VICE SEGRETARIO

Carrer dott. LuiGi, Preposto al Civico Museo Correr.

M E iM B R I 0 N 0 R A R J

S. A. 1. R. I'Arciduca d' Austria Frakcesco Carlo Gicseppe, Principe Imperiale, Principe Rcale
(I'llnghcria e di Boemia, ec, Cav. del Toson d'oro, Gran Croce dell'Ordinc Realc di s. Ste-
fano d'Ungheria, ec.

S. A. I. R. I'Arcidiica d' Austria Giova>ki Battista Gii'SErrt Fabiaro Seeastiaiso, Principe Impe-
riale, Principe Reale d'Unglieria e di Boemia, cc , Cav. del Toson d'oro, Gran Croce dell'Or-
dinc militare di Maria Teresa e dcU'Ordine Imperiale Austriaco di Lcopoldo, ec.

S A. I. R. I'Arciduca d' Austria Ra-viebi Guseppe Giovapim Michele Fkakcesco Girolajio, Prin-
cipe Imperiale, Principe Realc d'Unglieria c di Boemia, ec., Cav. del Toson d'oro, Gran Croce
deirOrdine Reale di s. Stefano d'Ungheria e dell'Ordinc Imperiale Austriaco di Leopoldo,
Cav. di prima classe dell'Ordine Imperiale Austriaco della Corona di ferro (in brillanli). c
del R. Ordine Sardo dell' Annunziata, Vice Re del Regno Lombardo Veneto, ec.

.S. A. I. R. I'Arciduca d' Austria Luigi Giuseppe Antomo, Principe Imperiale, Principe Reale d'Un-
gheria c di Boemia, ec, Cav. del Toson d'oro, Gran Croce dell'Ordinc Realc di s. Stefano
d'Unglieria, ec.

S. A. I. R. I'Areiduca d' Austria Fedekico FERDWAPiDO Leopoldo, Principe Imperiale, Principe
Reale d'Ungheria e di Boemia, ec., Cav. del Toson d'oro e dell'Ordine militare di Maria
Teresa, Cav. di prima classe degli ordini I. I. russi di s. Andrea, di s. Alessandro iS'ewskj',
dell'Aquila bianca e di s. Anna e di s. Giorgio di quarta classe, Cav. del R. Ordine mili-
laro prussiano del Merito e di quello R. britannico del Bagno, ec.

.S. A. S. il Principe Clemekte Ve>ceslao di METTEnreicii-Wi^sEmnG, ec, Grande di Spagna di pri-
ma classe, Cav. del Toson d'oro. Gran Croce dell'Ordine Reale di s. Stefano d'Ungheria (in
lirillanti), Croce d'oro dell'Ordine civile, I. R. Consigliere intimo, Cancelliere della Casa, della
(;orte e dello Stalo, ec , Ministro di Stafo e delle Conferenze, ec.

S F. il signor conte F^u^cEsco Antoimo di KoLrAMiA-r Liebsteiissky, Ca\'. del Toson d'oro. Gran
Croce dell'Ordine Imperiale Austriaco di Leopoldo, Croce d'oro deU'onor civile, Balio Ono-
rario e Gran Croce dell'Ordine sovrano di s. Giovanni di Gerusalemme, I. R. Consigliere
intimo, Ministro di Stato e delle Conferenze, ec.

S. E. ii signor conte Carlo d'Ikzagdi, Gran Croce dell'Ordine Imperiale Austriaco di Leopoldo,

e dell'Ordine Costanliniano di s. Giorgio di Parma, I. R. Consiglicre inliino, I. R. Ciambel-
lano, cc. , Gran Canceliiere c Prcsidonle deli' I. R. Comiiiissione Aiilica degli studii.

S. E. il signor conte Carlo Fkoehico di Kiiceck e Kueac, Cav. del R. Ordine di s. Stefano d'Un-
glieria, Gran Croce dell'Ordine R. havaro di s. Michele, Cav. di seeonda dasse dell'Ordine
I. russo di s. Stanislao, ec., I. R. Consigliere intimo, Presidente dell' I. R. Camera Aulica ge-
nerale e dell' I. K. Camera Aulica per lo zecehc e per le niiniere.

S. Eniinenza Reverendissima Jicoro Momco, Cardinale della S. R. C, Cav. di prima classe del-
l'Ordine Imperiale Austriaco della Corona di Ferro, I. R. Consigliere intimo, Cappellano della
Corona, ec. , Palriarca di Venezia.

S. E. il signor eonte Luici Palffy di Eudod, Cav. dell'Ordine de' Gioannili, Cav. dell'Ordine
russo dell'Aquila bianca, dell'Ordine pontificio di Cristo, I. R. Consigliere intimo attuale di
.Stato, I. R. Ciambellano, ee. , Governatore delle Provincie Venete.

S. E. il signor conte Giova^m Battista di Spair, Gran Croce dell'Ordine Imperiale Austriaco
di Leopoldo, Cav. di prima classe dell'Ordine Imperiale Austriaco della Corona di Ferro. ec.,
I. R. Consigliere intimo, Ciambellano, ec, Governatore delle Provincie Lombarde.

S. E. monsignor Gio. Battista Ladislao Pyrker di Felso-Eor, Cav. di prima classe dell' Ordine
Imperiale Austriaco della Corona di Ferro, I. R. Consigliere intimo, ec., Patriarca Arci\esco-
vo di Eriau.

S. E. il signor barone Frakcesco di Galvagka, Cav. di seeonda classe dell' Ordine Imperiale Au-
striaco della Corona di Ferro, Commendalore dell' Ordine pontificio di s. Gregorio il Grande.
I. R. Consigliere inlimo, ec. , Presidente dell' I. R. Aecademia di Belle Arti in A'enezia.

S. E. il signor conte Akdrea Cittadilla Vigodarzere, come sopra.

Di Sebregondi nobile Giuseppe conte e patrizio romano, Cav. dell'Ordine Imperiale Austriaco
di Leopoldo, Gran Croce dell'Ordine pontificio di s. Gregorio il Grande, Cav. dell'Ordine
dei Gioanniti e di quello pontificio di Cristo (in brillanti), Vice Presidente dell' I. R. Go-
\erno. Socio di parecchie Accademie.

Hallaschra Fra>cfsco Cassiami, I. R Consigliere Aulico, .Assessore deU'Eccelsa Aulica (ioninii'^-
sione degli studii, Presidente della Facolta filosofica dell' 1. R. Uni^ersita di Menna e .Sncin
di parecchie .\ccademie.

III. 6

FrascEscoNi Erme.^ec.ildo, I. R. Consigliere Aulico, Cav. di seeonda classe dell' I. R. Ordinc Au-
slriaco dclla Corona di Ferro, Coinnicndatore del R. Ordine Relgio di Lcopoldo, Socio ono-
rario dell' I. R. Accadeniia di Belle Arli in Yenezia, Capo dell' I. R. Direzione Generale tecnico-
amministrativa per le strade ferrate dello Stato.

Sartori Cakova monsignor Giovakm Battista, Vescovo di Mindo, Cav. della Corona di ferro,
Socio onorario dell' I. R. Accademia di Belle Arli in Vcnezia.

MEMBRI EFFETTIVI TENSIONATI

(•26 Novembre 1839)

Sahtiki Giovaski, Cav. di terza classe dell' Ordine Imperiale Austriaco della Corona di Ferro,
Cav. del R. Ordine Danese del Danncbrog e di qiiello Granducale Toscano di s. Giuseppe, Di-
rettore della Facolta matematiea, dell' I. R. Osscrvatorio, c Trofessore di Astronomia nell'I.
R. Universita di Padova.

Catullo doUor Tomaso A>Tor.io, Cav. della JMilizia Aurata, Professore di Storia Naturale nel-
r I. R. Universita di Padova.

Ze>drim ab. Akgelo, Professore emerito di Matematiea dell' I. R. Universita di Padova, in Me-
sire.

Zamedescoi ab. Fr.uvcesco, Professore di Fisica nell' I. R. Liceo di Venezia.

(26 Novembre 1839 — 20 Giugno 1843)

Caso.m ingegnere Giovakni, Architetto all'Ufficio dellc fabbriehe civili e lavori idraulici dell'Ar-
senale, in Venezia.

(26 Novembre 1839 — 16 Gennaio 1844)

Fapahm dottor AGOsTmo, Cav. della Milizia Aurata, in Treviso.
Pasiri Lodovico, come sopra.

(26 Settembre 1840)

Bizin dottor Bartolomeo, Professore nell' I. R. Seuola Tecnica, in Venezia.

Bflla^itis nob. Giusto, Professore di Geometria deserittiva nell' I. R. Universita di Padova.

Fi RLANETTo ab. GiuscprE, in Padova.

VE?iA>7,io dottor GiROLAjio, in Portogruaro.

SA>Dni Giruo. in Verona.

BiAKcnETTi dottor GusErrE, in Treviso.

(26 Seltembre 1840 — 3 Giugno 1843)

FisiNiERi dottor AiicnoGio, in Vicenza.

ScoroLi conte Gio. Aovtonio, Segretario perpetuo dell' Accademia di agricoltura, coiiiniertio ed

arti, in Verona.
Nabdo dottor Gio. Domekico, in Venezia.

(26 Settembre 1840 — 20 Giugno 1843)
Co.>TARi-M conte Nicolo, in Venezia.

(26 Settembre 1840 — 16 Gennaio 1844)

De' VisiAM dottor Roberto, Professore di Botaniea nell' I. R. Universita di Padova.

(3 Giugno 1843)
MixoTTO nob. GiovAsivi, in Venezia.

MEMBRI EFFETTIVI i\ON PENSIONATl

(26 Novembre 1839)

Racchetti dottor ALEssArsDno, I. R. Consigliere, Professore di Procedura giudiziaria nell'l. R. Uni-
versita di Padova.

MErtm al)ate dottor Lodovico, come sopra.

Paleocapa ing. Pietro, Cav. di terza classe deU'Ordine Iniperiale Austriaco della Corona di Fer-
ro, Direttore dalle Pubbliche Costruzioni in Venezia.

(21 Warzo 1840)

S. E. il sig. conte Leonardo MArsn, Grande Ciambellano del Regno Lombardo-Veneto, I. R. Con-
sigliere intimo di S. M. I. R., in Venezia.

(26 Settembre 1840)
Co>Ti dottor Carlo, Professore di Matematica applicata nell' I. R. Universita di Padova.

XII

(3 Giugno 1843) . -

JirPLLLi ing. GirsErrF, in Padova.

Barbieri ab. Giuseppe, Professore emerito, in Padova.

Za^ok Bartolojieo, Chimico farmacista, in Bclluno.

iMiLANi ing. GiovAMXi, in Venczia. . :

(20 Giugno 1843) '■■

CoRiEsE dottor FiiAi^cEsco, Professore di Anatomia nell' I. R. Universita di Padova.

TIIUZ7.A dottor DoMEMco, Professore di Geodesia e Idromctria ncH'l. R. Universita di Padova.

(16 Gennaio 1844)

GiAcoMiM dottor GiAcoMO A.NDREA, Profossore di Medicina nell' I. R. Universita di Pado\a.

Meheghiki dottor Gilseppe, Professore nell' I. R. Universita di Padova.

Carrer dottor LuiGi, come sopra.

FRE.SCH1 nob. GnFjtARDo, in s. Vito del Friuli.

Maggi Pietro, Doltore in Matematica, in Verona.

CiTTADFLLA conte GiovAKKi, in Padova.

Mdich dottor StRAFirio Rafaele, Professore di Calcolo sublime nell" I. R. Universita di Padova.

PoLi dottor Baldassare, Professore di Filosofia nell' I. R. Universita di Padova.

Namias GiAcmTO, Dottore in Medicina, in Venezia.

SOCII CORRISPONDENTI

DELLE PR0V1>CIE VE^ETE

(28 Novembrc 1842)

CicoGisA EuHAtiuELE, Cav. della Legion d'onore, Consigliere slraordinario dell' I. R. Aecadeniia di

Belle Arti, in Venezia.
Fario L. Paolo, Dottore in Medicina, in Venezia.
Gai.vam dottor Ahdrea, in Pordenone.
Paroum nob. Alberto, Scudiere di S. M., in Bassano.
Parravicim nob. LuiGi, Direttore dell' I. R. Scuola Tecniea, in Venezia.
Pasim Valektiko, Dottore in legge, in Vicenza.
De Tipaldo dottor EiiiiLio, Cav. dell'Ordine R. Greco del Salvatore, in Venezia

XIII

(7 Agoslo 1843)

Gera Flu^l.E.^^o. Dolloi'o ill Mcdiciiia. in Conegliaiio.
MiGSA Gio. Battista. DoKorc ia Medicina, in Padova.
ToBLiKi GiAcipiTo, Professore di Matematica nell' I. R. Licuo di Verona.
ZiSARDiM GiovAisivi, Dottoi'e in Medicina, ia Vcnczia.

ZiKELLi ab. Federico, Professore e Viee-direltore deilo studio filosofico nel Semiiiario Patriarcale
di Venezia.

(26 iMaggio 18i4)

Asso> Michelangelo, Dottore in Medicina e Ciiirurgia. in Venezia.

Berjardi ab. Gil'seppe, in Padova.

Cappelletto Aktoemo Alipjo, Ingegncre meccanico, in Venezia.

Penolazzi Ioazio, Dottore in Medicina, in Venezia.

QcADRi AyTomo, Consigliere Imperiale, in Venezia.

Sagredo conte Agcstwo, Consigliere straordinario dell'I. R. Accademia di Belle Arti. in Venezia.

Zescevico Giovaimvi, Professore nell' I. R. Collegio di Marina, in Venezia.

(20 Gennaio 1843)

Selvatico Este.-vse nob. Pietro, in Padova.

SpojiGiA dottor FiLippo, Direttore della Faeolta medica dell' I. R. Universitii di I'adosa.

(7 Agosto 1843)

Cakal ab. nob. Pietro, Professore di Filologia nell' I. R. Liceo di Venezia
Pereoo dottor Aktomo, Professore di Fisica nell' I. R. Universita di Padova.

(22 Marzo 1846)

Clemeuti dottor Giiseppe, in Padova.

Negri dottor CRisTOfORo, Professore di Scienze politiche nell' I. R. Universita di Pado\a.

Trois dottor Fraiscesco Ekrico, Direttore del Civico Ospitale di Venezia.

(30 Novembre 1846)

LocATELi.i dottor ToMMAso, in Venezia.

Valektiselli ab. Giuseppe, I. R. Bibliotecario della Marciana, in Venezia.

ZA5ir.KA dottor Bernardino, Professore di Fisica nell' IK. Liceo di Udine

FL'ORI DHLLF, rROVIISCIE VE^ETE

Aiitini ingcgn. Giovanm, in Trieste.

A[i>ETH cav. GirsErrE, Diretfore dell' I. R. Gabinetto di Numismatica c di Anlichila, in Vienna,

ArcnEn padre Giajibattista, della Congregazione Armena dei Mccliilaristi.

liAi.iu.Ar.TOER prof. Andrea, Dircttore della Facolta filosolica dell' I. R. Universila di Vienna.

De BiArtcniivi Beroaldo, Tenenle Maresciallo in Vienna.

C.t>TL! cav. Cesare, in Milano.

CzoERiMo cons. Carlo, Direttore dell'Uffieio di Statistica animinislrativa in Vienna.

E>DLicuER Stefako Ladislao. Pfofessore di Botanica in Vienna.

D' EiTiTiGsnArsEiv Andrea, Professore di Fisica nell' I. R. Universita di Vienna.

De Fii.irpi FiLipro, Doltore in Mcdicina, Aggiunlo al Museo civico di Sloria Naturale, in Milano.

GiiEGA cons. Carlo, Dottore in Malematica, I. R. Ispettore delle slrade ferrate, in Vienna.

Hyrtl Gii'SErpE, Professore di Anatomia nell' I. R. Universita di Vienna.

Kreil dottor Carlo, Astronomo Direttore dell' I. R. Osservatorio di Praga.

De LioAM Gr.seppe, Diretfore dell' I. R. Accademia di Nautica, in Trieste.

Mainardi dottor Gaspare, Professore di Mateniatica nell' I. R. Universita di Pavia.

Partsch dottor Paolo, Conservatore dell' I. R. Gabinetto di Storia Naturale, in Vienna.

Pratobevera bar. Carlo Guseppe di Vienna.

Prechtel cons. Gio. Giuseppe, Direttore dell' I. R. Istituto Politecnico, in Vienna.

RosMiisi abate Aktopsio, di Rovereto.

TojiMASEO NicoLO, di Sebenico.

Unger Frakcesco, Professore nel Gioanneo di Gralz.

Ze.>drim Gio. Maria, Professore di Storia naturale nell' I. R. Universita di Pavia.

rUORI DELLA MONARCHIA

Amici cav. Gio. B.ittista, di Firenze.

A.%TiNORi comm. Vince.nzo, di Firenze.

Bertoloki prof. Aimokio, di Bologna.

BoNAFOus cav. Matteo, di Torino.

BoAPARTE Carlo Lrcuw, Principe di Canino, in Roma.

BoTTo prof. Giuseppe Dotieinico, di Torino.

BuFFALiM cav. Mai'rizio, di Firenze.

Dalle Chiaie prof. Stefaho, di Napoli.

Dcci Di Serra di Falco Dojienico, di Palermo.

Gejie cav. GirsErPE, in Torino.

GioRDAKi PiETEo, di Pamia.

GioRGipsi cav. Gaetaso, di Firenze.

Giiuo prof. Carlo Ioazio, di Torino.

Likari prof. Sakti, di Siena.

Mariakipii cav. Stefako, in Modena.

Matteccci prof. Carlo, di Pisa.

Melloki cav. Macedoimo, in Napoli.

Moris cav. Giacirto, di Torino.

MossoTTi cav. Ottaviako Fabrizio, di Pisa.

Orioli prof. Francesco, di Roma.

Paoli conte DojiE.Mco, di Pesaro.

Pareto march. Lorkszo N., di Genova.

Parlatore prof. FiLirro, di Firenze.

PiAjsciARi prof. Gio. Battista, di Roma.

Pilla prof. LEoroLDo, di Pisa.

PiRiA prof. Rafaele, di Pisa.

Pla.aa comm. Giovamm, di Torino.

PucciROTTi prof. Fharcesco, di Pisa.

Repetti prof. Emmahuele, di Firenze.

RiDOLFi march. Cosnjo, di Firenze.

Savi cav. Paolo, di Pisa.

ScAccni prof. Arcakgelo, di Napoli.

SisM0>DA cav. A?.GELo, di Torino.

Spi.>ola march. jMassliiilia.'>o, di Genova.

Teisore cav. MicHELE, di Napoli.

MEJIORIE

SULLA

FILOSOFIA BELLA FISICA

MEMORIA

DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI

X er esaurire ne' suoi dettagH V argomento delP uso della filosofia
nella fisica, converrebbe percorrere tutti i rami di questa, ed allora
diverrebbe assai vaslo. lo mi limito a dei principii generali i qiiali
servono di guida, e di cui le applicazioni son facili per chi li abbia
rettamente intesi, e non sia Iroppo prevenuto da sistemi immaginarii,
il qual difclto pur Iroppo e frequente.

§1.

Metafisica

1. Le idee delle cose a noi esterne ci vengono dai sensi. Circa
gli errori dei sensi niolto fu scritfo dai filosofi. Se vediamo un corpo
in dislanza e da vicino, le due sensazioni sono differenti. Un globo,
per esempio, a certa dislanza ci sembra un piano circolare. Se ar-
miamo roccliio di microscopio vediamo in un corpo cio che sluggiva
alFoccbio nudo; e quanlo plu forte e il microscopio ci vediamo sem-
pre delle cose nuove e sempre ne restano di non vedute. Inollre le

4 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

idee die ci danno i corpi sono idee di siiperficie. Per quanlo si pro-
seeua a dividerli c suddividerli, le idee reslano senipre superficiali .
ISienfe di cio cli'e veramenlc interno, ossia dei corpi in se stessi.

Le sensazioni dunque non ci danno le vere idee delle cose. De-
rivano da impressioni die ricevono i nostri organi, dissimili dagli og-
gclti chc le producono. Cosi i colori, i suoni, i sapori, gli odori sono
niodificazioni dei nostri sensi, e non esistono fuori di noi.

Ci niancano le vere idee delle cose esterne tanto qiianto ad iin
uomo manca la idea dell' interno di un altro uomo. Queirt'o per cui
ciascuno e conscio di se slesso e impercettibile ad un altro. E sol-
tanto per analogia della coscienza die ogniino ha di se slesso, die la
suppone negli altri senza esscrne a parte.

Qiiello die i sensi ci rapprcsentano si chiama fenomeno. Per una
specie d'islinto invincibile, riportianio fuori di noi quello die sentia-
mo. come se esistesse simile, anzi identico, alle nostre sensazioni.

2. Dalle sensazioni individuali forniiamo delle idee generali, ma
in qiial niodo? Non e possibile formarsi una idea intuiliva, ossia una
inimagine, di un oggetto generale; come non e possibile che un og-
getto generale esista. Tutto quello che esiste e individuo omnimode
determinahim, dicono i filosofi.

Come non e possibile, per esempio, chc esista un Iriangolo ge-
nerico, ossia scnza determinazione delle cpianlita dei lali e degli an-
goli, cosi e ugualmente impossibile rappresentarselo nella mente. Le
idee generali, o aslratte, in luogo di essere intuitive, sono semprc sim-
bolidie. Cosi i matematici rapprcsentano le quantila con cifre, le quali
non hanno simililudine coUe cose die sono destinate a rappresenlare.

II segno o sinibolo e un mezzo virtuale di rapprescnlazione. \ale
a dire, col simbolo s'indica la potenza della mente di rappresentarsi
tutti gli individui possibili di un dato genere. E un vessillo solto il
quale si raccolgono, non in atto, ma in possibilita tutle le rappresen-
lazioni individuali che hanno una ccrta rassomiglianza fra di loro. Ma
non si possono distaccare le somiglianze delle cose simili. E quando
in geoinelria si adopra una figura individuale, per esempio un cir-
colo, lo adopriamo come simbolo di tutti i circoli possibili.

DEL DOTT. AMDROGIO FUSINIERI 5

Gli scrltlori di logica non hanno avverlito die le idee generall
non esistono nella mente per mezzo d'imniagini, ma sollanto per mezzo
di simboli. Hanno anzi supposto la esistenza di idee general! come
rapprescntazioni nella mente di cose comuni agli individui; ed e que-
sto un errore.

Donde anche qiiesta conseguenza: che due idee contraddittorie non
possono coesislere se non che per simboli . Sono lanto impossibili due
immagini contraddittorie, quanto e impossibile che una cosa sia e non
sia nello stesso tempo.

5. Come per mezzo dei simboli divengono generali le nostre idee,
cosi formiamo collo stesso mezzo i giudizii o proposizioni generali (sog-
getto e predicato); ed i raziocinii che sono applicazioni ai casi spe-
ciali dei giudizii generali (i sillogismi). Donde le tre operazioni della
mente (idee, giudizii e raziocinii). Le connessioni dei raziocinii in se-
rie costituiscono le dimostrazioni . Quindi la scienza che habiftts de-
monstrandi .

La logica da le regole per la formazione dei giudizii e dei ra-
ziocinii, senza delle quali si cade in errore. Qui si vuole notare al
proposito che tutto si fa per simboli e non per composizioni di idee
intuitive .

4. Col mezzo di simboli o vocali o scrilli gli uomini si comuni-
cano dalluno aH'allro le idee, i giudizii, i raziocinii. Per la qualita
della nostra organizzazione, e principalmente per Fuso dei simboli a
cui la nostra organizzazione ci rende alii, e per la consegucnte nostra
capacita a dette tre operazioni della mente, capacita che costituisce il
nostro intelletto^ siamo immensamente superiori ai bruli. E la princi-
pale sorgente dclle grandi differenze che vi sono fra popoli rozzi e
popoli inciviliti, consiste nella perfezione minore o maggiore deiruso
dei simboli vocali o scritti. Quanto grande e meravigliosa divenga la
nostra potenza intelletluale per mezzo dei simboli lo moslra Tanalisi
matematica.

o. Dove le idee sono cosi semplici che non vi e errore ad assu-
inerle come simiii alle cose, per esempio in geometria; o dove i sim-
boli dilTeriscono bcnsi dalle cose, ma sono trattati con lecsi che non

6 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

difforlscono da quelle delle cose eslerne, come nelF arilmetica e nel-
I'analisi: il nostro intellelto opera con sicurezza, perche nulla v'e nelle
cose esterne che non sia rappresentato nei simboli; sicche riescono
questi cquivalenli a quelle. Donde le scienzc esatte, come la geome-
tria, la meccanica e lutta la matemalica, scienza delle quantita.

Ma dove i fenomeni (n. 1) sono tanto imperfetli da non compren-
derc rinsieme delle cose eslerne, e dove tante parti di quesle restano
senza il corrispondente nei fenomeni, si ha un mondo ideale assai lon-
tano dalFanalogia col mondo reale. Tali sono le scienze delle cose na-
lurali, fra le quali principalmente la Fisica.

Siccome pero abbiamo sempre il potere di generalizzare le idee
simbolicamente, e di formarne giudizii e raziocinii; e siccome d'altro
canto le leggi dei fenomeni hanno le loro analoghe negli oggelli reali,
perche quelli sono effetti di questi: cosi per mezzo di quella potenza,
e per mezzo di nuove osservazioni die rendono sempre piu i feno-
meni analoghi (non mai simili) allc realla esterne, le scienze delle cose
naturali progrediscono .

Ma resla sempre vero che i fenomeni sono dissimili dagli oggelti
reali in se stessi (n. 1); e che tante realta non hanno il corrispon-
dente nei fenomeni sensibili; cosicche rimangono in gran parte total-
mente occulte. Ecco le imperfezioni delle scienze naturali; imperfe-
zioni che possono essere e vengono di continue diminuite e con nuove
osservazioni, e con nuovi raziocinii; senza che possano essere tolte
intieramente .

A causa di quelle imperfezioni, ed a causa della inlemperanza di
voler sapere al di la dei fenomeni, e al di la di cio che dai feno-
meni si puo retlamenle dedurre col raziocinio, molti pretendono sup-
plirvi con supposizioni arbitrarie, le quali riescono o fuori dei feno-
meni 0 contro i fenomeni; oppure fuori o contro le legittime dedu-
zioni che dai fenomeni si traggono. Tali supposizioni si dicono ipotesi.
Oppure abusando della nostra facolla di usare mezzi simbolici di rap-
presentazione, vengono adoprati dei termini privi di idee corrispon-
dcnli, ossia vani e vuoti di scnso.

6. La filosofia che si definisce scientia possibilium quatemis esse

DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI 7

possmit, ha dei prlncipii generall e dimostrati, per non cadere in
quelle vanila e in quegli errori; e sono principll applicabili non solo
alia scienza delle cose natural!, ma anche a tulle le altre.

I principii fondamentali da cui procedono lutti gli altri sono due.
II principio di contraddizione Fieri non potest ut idem simul sit et non
sit, che fu usato fin dal tempo di Aristotile e dagli scolastici. L'altro
e il principio di ragione sufficiente Nihil est sine ratione sufftciente
cur potius sit quam non sit. Di tale principio uso una volta Archi-
mede a stabilire le ieggi statiche. Ma fu poi da Leibnizio espressa-
menle introdollo in filosofia, per la retlificazione delle idee e per di-
mostrare le proposizioni.

Si distingue la causa della ragione sufficiente in cio; che la causa
efficiente, la quale ha un'azione produttrice, e anteriore di tempo al-
reffetto. Non e cosi della ragione sufficiente. Dall'avere un triangolo
un angolo retto, s'intende che il quadralo della ipotenusa sia eguale
alia somma dei quadrat! dei cateti. Neir angolo retto vi e la ragione
sufficiente della eguaglianza di quella somma; come viceversa dalla
eguaglianza di quella somma s' intende che uno dei fre angoli sia
retto. Qui non vi e ne causa ne effetto con difTerenza di tempo. Al
contrario se un corpo in moto urta in un corpo quiescente, quell' urto
e causa che il secondo si mova.

In ambidue i casi da una idea si passa necessarianiente alFallra.
Ma nel primo caso non vi e la differenza di tempo che vi e nel se-
condo. La causa prossima e sempre ragione sufficiente delP effetto,
ma non sempre la ragione sufficiente e causa.

§ II.
Fisica generate^ primi principii

7. I due esposti principii (n. 6) hanno grandissimo uso nella filo-
sofia della fisica. Servono ad evitare Terrore; tutto quelle cioe ch'e
contrario ai fenomeni, e ad evitare 1' immaginario, cioe quelle ch'e
fuori dei fenomeni.

Nel traltare filosoficamente la fisica si sentono ad ogni istante quelle

g SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

iniperfezioni dei fenomeni di cui sopra (n. 3), per cui di lanti efletti
ci restano occiiUe le cause. E bisogna dire di piu, che di tante qua-
nta dei corpi che non arrivano a ferire i noslri sensi, i fenomeni non
oi danno idea alcuna.

Eppure il noslro istinto e tale di riportare fuori di noi Ic nostre
sensazioni come fossero oggetti esterni (n. 1). Cosicche siamo condan-
nali a questa perpelua contraddizione; di supporre i corpi del tutto
simili ai fenomeni, e di lagnarci che i fenomeni non ci presentano
le vere qualita dei corpi.

In quanlo alle conseguenze in fisica del principio di ragione suf-
ficiente, una immediata e questa.

Qualunqiie corpo persevera nello stalo di qiiiete, o a moversi uni-
formemente in diretto, se non vi e causa esterna che gli faccia can-
giare il suo stato.

E la prima delle leggi di moto assunte da Newton ne' suoi prin-
cipii malematici di filosofia naturale.

8. Anche stando ai fenomeni (n. 1), le cose soggette a mutazioni
interne e che rimangono le medesime si chiamano sostanze. Quindi
fu definila la sostanza subjeclum perdiirabile el modificabile. Con tutte
le mutazioni a cui siamo di continuo soggetti, esperimentiamo in noi
stessi di essere una sostanza.

Meglio si definisce la sostanza per subjectum vi activa praeditum,
o per siibjecttim actionis ch'e lo stesso; perche non vi sono sostanze
puramente passive, come importerebbe T altra definizione .

Le sostanze sono in continua mutazione di stato interno, anche
per azione propria, e lo sperimentiamo in noi stessi.

9. I sensi non ci presentano aU'esterno che sostanze estese, ossia
corpi. Cartesio avca definito il corpo colla sola estensione, ens exlen-
sum, confondendolo collo spazio. Altri Tha definito in seguilo per un
ente composto ch'entra come parte a costituire il mondo. Ma con tale
definizione si e inteso per composto un aggregate di enti semplici
inestesi, a modo delle monadi di Leibnizio; sicche quella definizione
e fondata sopra un'ipotesi. Migliore di tutte e la definizione del corpo
secondo i fenomeni, substantia extensa vi motrice praedita.

DEL DOTT. A.MBROGIO FUSINIERI 9

Se si considerano i corpi soltanto come passlvi per azionc di allri
corpi o sostanze, si dlcono materia.

Propriela essenziale del corpo e di essere impcnelrabile. La im-
penetrablHta dei corpi si dimostra col principio di contraddizione (n. 6)
in questo mode.

Se due corpi fossero conipenelrati occuperebbero lo stesso spazio;
cosicche in qualunque parle, per quanto si voglia piccola, dello spazio
occupato dai due corpi, \i sarebbero ad un tempo le qualita dciruno
e le qualita dell'altro; il che e impossibile, perche le qualita dei due
corpi si escludono a vicenda. Supposto per esempio cbe i due corpi
siano oro e ferro; ogni piii piccola parte della estensione comune sa-
rebbe ad un tempo oro e ferro, il che e contraddittorio.

Essendo ogni corpo un indlviduo omniinocle determinalum (n. 2);
ne potendo esistere corpi in astratto, cioe con sole qualita coniuni af-
fatlo idenliche, la dimostrazione procede in tutli i casi.

10. Posla la impenelrabilita dei corpi io dimoslro col principio di
ragione sufficiente la comunicazione di mofo da uno alP altro come
segue .

Un corpo in molo non esisle realmente in nessun luogo dello spa-
zio percorso; ossia non vi esiste oltre un istante ch'e lo stesso; im-
perocche se esistesse in un luogo di quello spazio per un tempo co-
niunque piccolo, siccome in quel tempo sarebbe in quiele, persisle-
rcbbe a riraanervi secondo il principio del n. 7.

0 in altri termini; non si puo concepire che un corpo sia in un
luogo qualunque dello spazio percorso senza concepire insieme che lo
abbandoni. \i e dunque nel moto antecedente la ragione sufficiente,
ossia la causa del moto seguente (n. 6). E piu esattamente ; nel mo-
mentaneo del moto vi e la ragione sufficiente dl proseguirlo. Quel
momentaneo, ragione sufficiente della continuazione del moto, dicesi
conalo. E siccome la ragione sufficiente del moto si chiama forza, il
conato e la forza sono la stessa cosa.

Ora se un corpo in molo si riduce conliguo ad un corpo quie-
scente; in quel moto \i e la ragione sufficiente che il primo corpo
entri nel luogo occupato dal secondo. E siccome ambidue sono impe-
rii 2

{ 0 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

netrabili, non piio il priino entrare nel luogo del secondo senza che
qucslo lo abbandoni. Dunque di necessila il secondo dee moversi.

Se il primo corpo giunto in contatto del secondo si fermasse, cio
sarebbe contio il principio di ragione sufficienle. Se il secondo non
si movesse sarebbe penetralo, il che e impossibile (n. 9).

Vi e dunque nel moto del primo e nella impenetrabilita dei due
corpi la ragione sufficienle donde s' inlende che il secondo si mova.
Ed in questo caso la ragione sufficienle e causa (n. 6).

II conato del primo corpo di occupare il luogo del secondo si dice
anche conflitlo o tirto. Donde il conflilto dei corpi e causa neces-
saria di comunicazione di moto. Anzi niun'allra causa e concepibile.

Neiralto che il secondo corpo acquisla moto dal primo, lanto e
Turto di quello su questo, quanlo di questo su quello. Non e possi-
bile che un corpo prenia un allro senza essere egualmente premuto.
L'urlo del secondo sul primo si dice reazione, la quale e uguale e
conlraria all' o -/one. Sono due idee equivalenli, e la pressione e re-
ciproca cd una sola. Le due idee non differiscono che neU'ordine di
concepire la slessa pressione. In quanlo si concepisce la pressione di
-/ mosso conlro il corpo B quielo si dice azione. In quanlo si rife-
risce la slessa pressione a B conlro ./ si chiama reazione.

Al quale proposilo di idee equivalenli, ne ravvisera una serie chi
attende alia suddetta dimoslrazione della comunicazione di moto per
conflilto, le quali non differiscono che neH'ordine di rappresentazione
comunque simbolica (n. 2, 3).

Cosi e sempre quando dalla ragione sufficienle si passa a cio di
cui e ragione sufficienle. E in genere i raziocinii, le dimostrazioni,
consislono in una serie di idee equivalenli. Del che esempii chiaris-
simi si ha in lutla la matemalica; e per simboli differenli dalle cose
nelFanalisi .

11 moto acquistalo da un corpo per conflilto ha poi la slessa legge
del n. 7. Si dimoslra inollre secondo le masse dei due corpi e la ce-
lerila del primo, qual sia la celerita comune dopo il conflilto; e di
piu come vengano nel conflilto modificate le celerita e le dirczioni
dalla elasticita dei corpi; e quali slano le leggi di moto dopo il con-

DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI 1 1

flltto, se ambidue i corpi siano prima in nioto o per la stessa dire-
zione o in conlrario. E le esperienze confermano le deduzioni.

H. Sorprende che i Cartesiani non abbiano ravvisata la necessita
della comunicazione del moto nel conflilto dei corpi. L'hanno consi-
derata tanto misteriosa che vi fecero intervenire di mezzo la Divinita;
nel che si e distinto Malebranche, il quale in tal modo ha ridotla la
comunicazione di moto ad un miracolo.

D'altro canto Leibnizio ha data una idea immaginaria e falsa della
forza motrice, considerandola una realta interna ai corpi quasi stimolo
al moto, e da questo diversa. Donde ha dato anche una misura delle
forze vive differenle dalla misura del moto.

Tutte queste fantasie svaniscono quando si considera, che la forza
motrice non e allro che il momentaneo del moto, ossia il conato (n. 10).
La comunicazione del moto da un corpo alKaltro e conseguenza del
principio di ragione sufficiente, e del principio di contraddizione (n. 6)
in quanto alia impenelrabilita dei corpi (n. 9).

12. II moto locale di un corpo e un cangiamento di sua relazione
esterna cogli allri corpi, cioe di posizione e distanze. Nulla vi e d in-
trinseco nel moto; ed il corpo in se stesso e indifferenle tanto alio
stato di quiete che a quello di moto (n. 7). Cio e cosi vero che se
vi fossero nel mondo due soli corpi che cangiassero di distanza, sa-
rebbe indiscernibile quale dei due si movesse e quale fosse in quiete;
0 se ambidue si movessero.

Ma ogni corpo come sostanza e in continua mutazione di stalo
interno (n. 8). Ne mutazione alcuna si puo concepire nei corpi senza
moto. Cosicche le mutazioni interne dei corpi consistono in moti in-
testini fra le loro parti. E il moto intestino fra le parti, e non il moto
locale che importa nei corpi cangiamenli intrinseci. Tali cangiamenti
sono continui, comunque fra parti piccole e insensibili. Cosicche un
corpo non dura assolutamente identico nel suo interno oltre un istante.
Questo e di tutte le sostanze gia dotate di forza attiva, e lo esperi-
mentiamo in noi stessi (n. 8). La durata nei corpi del medesimo stato
interno non e che un'apparenza, un fenomeno. Egli e perche le mu-
tazioni riescono insensibili (n. 1).

1 2 SULLA FILOSOFIA BELLA FISICA

Sicconic gli slessi moviinentl inteslini non sono die cangiamenli
di rclazioni Ira le parti del corpo; e chiaro che il cangiamento di
seinplice relazione fra le parti e cangiamento reale intrinseco rispelto
al tut to.

13. Nel conflilto dei corpi vi e la ragione sufficiente di comuni-
cazione di moto (n. 10). ISe si puo concepire die senza iiiolo vi sia
produzionc di moto; ne die vi sia produzione di moto senza conflitto
dei corpi, il quale non si da senza conlatto.

La rasione sufficiente, c cio di cui e rasione sufficiente, non dif-
feriscono se non die nellordine di rappresentazione nella nostra mente
(n. 10). Posta una e necessario porre anclie Faltra c viceversa. Cosi
posto il conflilto dei corpi si concepiscc necessaria la comunicazione
di moto; e posla la comunicazione di moto si concepisce necessario
il conflitto.

E quindi inconcepibile die un corpo produca moto in un altro corpo
a dislanza senza conlatto e senza conflitto. Ed e ancora piu inconce-
pibile die un corpo in istato di quiete produca moto in un altro corpo
a dislanza.

Tutto questo dimostra assurde quelle attrazioni a dislanza che i
fisici nioderni amniettono come forze primitive dei corpi.

In quanio allc attrazioni e repulsioni elettriclie e magneticlie, in-
vece di collocarle fra le parti dei corpi, le collocano fra parti di sup-
posli fluidi inipondcrabili di cui si dira qui sotto (5 V.).

E bensi vero die i fenomeni come vengono dai sensi (n. 1) ren-
dono apparenli quelle attrazioni senza conflitto. Ma gli slessi fenomeni
palesano che causa di comunicazione di moto e il conflitto; e col-
rintclletlo si comprende (n. 4) die senza conflitto non vi puo essere
comunicazione di molo, per essere quelle ragione sufficiente di que-
sto (n. 10).

Bisogna sempre rammenlarsi che i fenomeni, scmpre disslmili dalle
cose in se stesse, non ci danno di queste che inimagini imperfettis-
sime (n. 1, 4, 5); e che la scicnza delle cose naturali e sempre in
aspcllazione di nuovi progressi in virlu di nuove osservazioni .

Quelli die amniettono le attrazioni a dislanza come forze primitive

DEL DOTT. AMBROGIO FUSLNIERI 1 3

e Indipendenti da ogni conflilto, versano in qiiesto crrore, che quello
che finora e insensibile non esisla. E di piu animellono quelle gene-
razioni di inoto a distanza contro il principio di ragionc sufficiente.

14. Nei fenomeni molecolari, come son quelli delle chimiche affi-
nita, e come son quelli della forza repulsiva da me scoperta nella
materia altenuala, Ic aftrazioni e repulsioni sono fra parti cosi minute,
che per dipendere da conflilli o da pressioni devono queste avvenire
col mezzo di matcric ancora grandemente piu soltili; il che mostra
in cjuale profondila di abisso, rispetlo ai nosfri sensi, giacciano le
cause prime dcgli dTelti sensibili.

Per altro le mie osservazioni di meecanica molecolare mi hanno
dimostrala una causa evidenle di coesione nelle reazioni convergenti
della forza repulsiva fra le parti dei corpi. Ma resla sempre da co-
noscere la causa per conflillo o pressione della stessa azione repul-
siva; cd inoltre rcsta da sapere se la rcazione della forza repulsiva
sia la sola causa di coesione .

E siccome la repulsione fra le parti della materia attcnuata e sem-
pre in due contrarie direzioni, una dal dentro al fuori, Tallra dal
fuori al dentro, la stessa forza che opera la coesione dal fuori al
dentro, agisce anche in contrario. Donde io rendo ragione di quelle
cmanazioni tenuissime che portano con se le immagini dei corpi, le
quali sotto certe condizioni si rendono sensibili sopra piani levigati
secondo le recenti esperienze di Moser.

15. La gravita dei corpi terrestri e la gravitazione universale dei
corpi celesti apparlengono pure a quel genere di fenomeni dei quali
non si conoscono le cause; e perche non si conoscono, vengono am-
messi quegli effetti come forze primitive, indipendenti da ogni con-
flitto o pressione, ossia senza causa. \i e la stessa assurdita di cui
sopra (n. 13). Se fosse dimostralo che nicnte per assoluto vi sia di
mezzo fra i corpi celesti, sarebbe da compatire chi crcdessc a ten-
denze miracolose dei corpi fra loro reciprocamente . Ma quel niente
di mezzo e ben lungi dall'essere dimoslrato. Intanlo luce frammista
a calore anche oscuro; raggi detli cliimici invisibili frammisli alia luce
ed al calore, ma che operano effetti assai segnalali per contattoj tullo

1 4 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

questo moslra abbastanza che vi sono continue emanazioni per irrag-
giamento dai corpi celesti, le quali si dilTondono nella immensita dello
spazio. Tali emanazioni servono di mezzo di comunicazione per con-
tatlo dei corpi fra di loro. INon sappiamo ancora le qualila e le quan-
tita di tulte le emanazioni, ne quali effetti meccanici siano atte a
produrre.

E siccomc abbiamo prove di quelle emanazioni anche dai corpi
terrestri, sia per la forza repulsiva da me dimoslrata in tut la la ma-
teria atlenuata, sia per le recenti osservazioni di Moser spiegabili con
quella forza , io ritengo come abbastanza fondato questo principio :

Da ogni corpo emana materia alio stato raggiante a un grado di
temiita superiore ad ogni immaginazione.

Questo principio conduce a considerare la divisibilita dei corpi .

§ III.
Divisibilita dei corpi

16. I corpi come sostanze (n. 8, 9) sono di loro natura in conti-
nue cangiamento di stato interno, e tale cangiamento consisle in moti
inteslini (n. 12). Le mutazioni interne che i corpi subiscono sono di-
mostrale anche dalle osservazioni ; e intorno a cio veggasi il trattato
del sig. Paoli sul moto molecolare dei solidi.

Ma oltre la natura d'ogni sostanza che importa un continuo can-
giamento del suo stato interno, del che abbiamo continua esperienza
in noi medesimi; rimontando ai principii della Cosmologia abbiamo:
che tutte le parti del mondo sono fra loro connesse e neH'ordine dei
coesistenti e nelF ordine dei successivi, in virtu di reciproche in-
fluenze e della dipendenza degli effetti dalle cause, verita questa che
risulta abbastanza anche dai suesposto (n. 10, 12, 15, 14).

Dal che deriva che le mutazioni continue alle quali il mondo e
soggetlo, importano mutazioni continue anche in qualunque enle o
corpo cire parte delPuniverso; comunque tali mutazioni risultanti dalle
azioni del tulto riescano insensibili.

DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI 1 5

Donde quesla vcrita incontrastabile: die lo stato inlerno di qual-
sivoglia ente o corpo non dura assolutamente idcnlico oltre un istante.
Slcche la idenlita assolula per un tempo dello stato interno dei corpi
non e che un'apparenza, o per meglio dire una supposizione fallace,
ed anche simbolica (n. 2, 3); perche non e neppure possibile rap-
presenlarci intuitivamente una idenlita assoluta per un certo tempo.

Se un corpo non dura assolutamente identico nel suo stato in-
terno oltre un istante; molto meno possono darsi corpi assolutamente
simili. E questa conseguenza necessaria dclla connessione fra tutte le
parti delluniverso. Ma deriva inimediatamente anche dal principio di
ragione sufficienle; perche se vi fossero due corpi assolutamente si-
mili, sarebbe senza ragione sufficiente che uno esistesse nel suo luogo
piuttostoche nel luogo deiraltro.

17. Le mulazioni interne dei corpi si risolvono in nioti inteslini
(n. 12). E siccome ogni parte di corpo e pure un corpo, il moto in-
testino vi e in ogni parte, ed in ogni parte di parte, e cosi ulte-
riormente senza limite.

Tulto questo sembra a prima vista un paradosso contrario alle
sensazioni. Ma sono da avverlire due cose. L'una che le sensazioni
non ci rappresentano la verita delle cose in se stesse (n. 1). L'allra
che le stesse sensazioni sono continuamente mutabili; e non conser-
vano neppur esse un' assoluta idenlita oltre un istante (n. 16).

18. Conseguenza immediata del moto inteslino dei corpi, e del
molo inteslino in ciascuna parte ed in ogni parte di parte, ed ulterior-
mente senza limile (n. 17) e questa, che la materia non solo e divisi-
bile, ma e anzi atlualmente divisa in parti di parti indefinitamente.

Del resto la divisibilita indefinita della materia si dimoslra facil-
mente anche senza Taltuale divisione indefinita. Ogni corpo e divisi-
bile in parti, ed ogni parte essendo pure un corpo, sara pure divi-
sibile; e cosi saranno divisibili parti di parli che sono sempre corpi,
ed ulleriormente senza limite.

Si domandera se dunque la materia sia divisa o sia divisibile al-
1 infinito; e sc vi siano parli infinilamenle piccole. lo rispondo che
la slessa divisione o divisibilita senza limite imporla che non si possa

1 6 SULLA FILOSOFL\ DELLA FISICA

arrivare airinfinito, c die quindi non vi sono pari! infinitamente pic-
cole. Una divisione condoUa airinfinito Involve contiaddizione e con
se stessa c colla divisibilita senza llmite.

§ IV.
Jssurdita degli atomi

19. Per porre iin linilte alia divisibilita della materia, alcuni hanno
supposto, clic i primi dementi dei corpi siano senza estensione, e li
chiamarono semplici. Cosi Leibnizio coUe sue monadi, ed altri che
hanno supposto privi di estensione gli element! dei corpi (n. 9). Ma
queslo era ridurre il mondo ad un aggregato di punti fisici inestesi;
era ridurre i corpi compenetrabili, cioe atli in piu d'uno ad occu-
pare lo stcsso spazio, perche i loro elementi non occupano spazio
(n. 9); era togliere in conseguenza il conflitto dei corpi, e rendere
impossibile la comunicazione del moto (n. 10).

20. Altri invece hanno supposto che i corpi siano composti di ele-
menti bensi estesi, ma indivisibili colle forze naturali, e li chiamarono
alomi. I chimici ne fecero il fondamento principale della loro pre-
tesa filosofia, massime per la spiegazione delle combinazioni chimi-
che in proporzioni definite. Ma queste non iniportano la indivisibilita
delle parti che si coniblnano indivise. Importerebbero soltanto che le
forze chlmiche non glungono a divlderle.

Ma non e molto che i volumi risultanti nelle combinazioni del gas
obbJigarono a supporre anche la divisione degli atomi (Jnnali delle
Scienze ec. 1835, p. 369). Pegglo poi; vi sono le combinazioni in
proporzioni Indefinite, come le dissoluzloni, le leghe ec, clie sono
Inesplicablli col mezzo degli atomi.

21. Secondo la idea antica degli atomi sono indivisibili di loro
natura, allrimentl non sono atomi. Ma sono estesi, sono corpi, e quindi
hanno parli. Queste dunque sarebbero fra loro coerenti per una forza
Infinlta; e secondo I chimlcl modernl sono coerenti per un' attrazlone
superiore ad ognl forza naturale; quindi miracolosa.

DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI 1 7

Di conseguenza: durezza assolula e senza causa naturale; conti-
nuita assolula, cioe senza intervallo alcuno fra le parti; uniformita as-
solula di quesle; immulabilila interna assolula, figure senza causa,
quantila di materia proporzionale al volume, attitudine sollanto a mote
locale, ed a conflitlo secondo le leggi dei corpi duri.

Tali sono le idee immaginarie degli atomi desunte dalla idea pri-
mitiva ed unica di essere estesi e indwisibili; che viene data dalla
supposizione pure immaginaria della loro esistenza.

In forza di tali idee sarebbero anche lutti simili, giacche non
avrebbero allre qualila che le indicate comuni a tulli. Quindi senza
ragione sufficiente di Irovarsi nei luoghi che occupano, piuttostoche
in quelli occupali da altri atomi.

Inaltivi di dentro, e allivi al di fuori sollanto per conflitlo dei
corpi duri, non sarebbero atti a produrre nei corpi nessuno di quei
fenomeni alia cui spiegazione si vogliono destlnare.

Si melton di mezzo fra tali esseri creali coUa immaginazione at-
trazioni reciproche, delle quali non si rende ne si puo rendere ra-
gione alcuna colle suddelle idee primitive e derivate di loro qualila.
Quindi ancora altrazioni senza cause, ossia miracolose.

In somma la idea di atomi estesi e indivisibili come elementi dei
corpi involve una moltitudine di assurdila. Su di che si veda negli
Jnnali delle Scienze ec. 183o, pag. 149, Riflessioni getierali contro la
teoria degli atomi e contro quella degli imponderabiii.

§V.
Dei fluidi imponderabiii e loro assurdi

22. La supposizione degli atomi ha condotto naturalmente alia ipo-
lesi dei cosi detti fluidi imponderabiii.

CoUa prima supposizione non si ha che corpicelli durissimi, uni-
formi, immutabili intrinsecamente, e per se stessi inaltivi; e vi si
aggiungono altrazioni reciproche, delle quali niuna causa o ragione
sufficiente nelle loro qualita.

3

I 8 SULLA FILOSOFU BELLA FISICA

Ma vi sono dci fenomeni corporei che procedono da forze repul-
sive. Qiiesle forze repulsive vengono dale a dei prelesi fluidi che si
suppongono IVapposti agli atomi.

Quiudi altrazioni Ira que' fluidi e gli alonii, repulsioni fra le parti
di ciascun fluido, ed attrazioni reciproche ira gli atomi. Ecco create
il mondo stando a tavolino. Cosi il calorico, secondo la ipotesi, si
attrae cogli alonii dei corpi; e fra le sue parti vi e repulsione.

Cosi fra le parti di ciascuno dei due fluidi eletlrici positive e ne-
gative v' ha repulsione, e v' ha atlraziene h'a ciascuno di que' due
fluidi e gli atomi dei corpi. Yi e pei un'altra atlrazione fra le parti
di un fluido e quelle delPaltro.

Lo slesso c dei due fluidi magnelici iniponderabili, con queslo
che le loro attrazioni sarebbcro quasi esclusivamente pegli atomi del
ferro.

Con quesle fantasie di sostanze e di forze, ove le attrazioni e re-
pulsioni senza cause vengono dispensate a profusione, si e fabbricata
la cosi delta fisica teorica.

Ampere in Francia dopo la scoperia dell' elellro-magnetismo avea
cercalo di spiegare gli efletli magnelici con correnli circolari dei fluidi
eletlrici. Negli Annali delle Scienze ec. 1840, ho esaminala quella ipo-
tesi col confronto dei fenomeni, ed ho Irovalo che questi vi sono con-
(rarii. Sembra che ora sia cessato il fervore per quella ipotesi.

La luce pure veniva considerala un fluido imponderabile, o per
meglio dire una mescolanza di lanti fluidi imponderabili quanli sono
i suoi colori. Anche questa con forza rcpulsiva fra le sue parti; ma
sarebbe un fluido molto meno imbarazzante degli altri imponderabili
con attrazioni reciproche cogli atomi dei corpi.

Ecco le soslanze immaginarie con forze allrettanto immaginarie, e
senza cause, inlrodolle nei corpi, anzi fra i loro atomi, per dare spie-
gazione degli efletli repulsivi mostrati dai fenomeni.

25. Si vede in primo luogo che la ipotesi dei fluidi imponderabili
e sussidiaria a quella degli atomi. Sicchc le assurdila degli atomi (5 IV.)
si rinversano anche sopra gli imponderabili.

In secondo luogo per ammellere delle sostanze frapposte agli atomi.

DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI j 9

o coinunque fra le parll de' coipi, die producano gli eflelll repulslvi,
converrebbe niostrare la csistenza di tali sostanze; e per provare che
esistano, converrebbe Irovarle isolate dalla materia.

Le mie osservazioni di meccanica molecolare hanno dimostrato,
chc una forza repulsiva si sviluppa fra le parti della materia per il
solo fatto di essere questa ridotia a minime dimensioni; ed ho stabilito
delle leggi di azione e reazione di quella forza col mezzo delle stesse
osservazioni. lo mi sono limitato ai fenomeni, ed a cio che col mezzo
dei fenomeni si piio rettamente dimostrare, per dare cosi delle ve-
rita certe e luminose, sgombre dalle incertezze e dalle nubi delle
ipotesi.

Per altro siccome i fenomeni mostrano uno sviluppo di forza re-
pulsiva nella materia attenuata, e progressivo a misura della tenuita
della materia, fino anco a potersi questa ridurre col mezzo della stessa
forza alio stato raggiante; non v'ha dubbio che le verita da me di-
mostrale hanno recata una grave scossa al sistema degli impondera-
bili chc furono introdotti nella materia.

Invcce di creare un genere di sostanze per le repulsioni, alle quali
sostanze si accordano insieme atfrazione e fra di loro e cosli atomi
dei corpi, il complesso dei fenomeni indica che attrazioni e repulsioni
molecolari siano rispettivamente azioni e reazioni di una sola forza,
o principio di azione esistente nei corpi; principio ancora sconosciuto,
ma che si dee ridurre ad una causa di conflilti, pure sconosciuti, dai
quali proceda di sua natura la comunicazione di moto (n. 10) sotto le
apparenze di attrazioni e repulsioni.

Ne a tali oscurila, conseguenze della iniperfezione dei fenomeni
rispetto alle cose csterne (n. 1, 4, i5), si puo supplire con ipotesi ar-
bitrarie e chimeriche di alomi e di lluidi imponderabili ; le quali ad
altro non servono che ad impedire il progresso della vera scienza.

24. Si parla di fluidi imponderabili, e non si sa qual sorta di flui-
dita loro atlribuire; perche quando ci dipartiamo dai fenomeni e da
cio che coi fenomeni si puo rettamente dimostrare. non abbiamo idee
ma errori.

Quello che conosciamo e lo stato raggiante, come del calorico e

20 SULLA FILOSOFLV BELLA FISICA

della luce, ma quello non e uno stalo di fluidita. Lo stato raggiante
dipcnde certanientc da forza repulsiva fra le parti; e questa forza io
riio Irovata nclla materia attenuata (n. 23), con progressive sue svi-
luppo secondo die precede la suddivisione della materia. Donde e fa-
cilissimo concepire come la materia si possa ridurre alio stato raggiante.
Per conseguenza lo stato raggiante del calorico e della luce non prova
per niente die siano sostanze diverse dalla materia attenuata.

2i5. Quando poi si passa coUa ipotesi a collocare i supposti impon-
derabili enlro i corpi e fra gli atomi, si sa ancora meno qual forza
di fluidita loro attribuire.

Certo e die per ritenerli in qualsivoglia modo fluidi, le loro parti
prime dovrebbero essere solide, mobili e distanti; giaccbe se lali non
sono, so sono ancor fluide, non sono parti prime, ma risolubili in
parti solide, mobili e distanti. La fluidita non puo essere uno stato
primitivo .

Di fatto lo stesso calorico, come imponderabile, fu considerate
composto di molecele fra lore distanti a guisa della cestiluzione dei
gas (Jnnali delle Scienze cc. 1833, pag. 37 c 131). Ecco dunque i
supposti imponderabili costituiti in ultima analisi da atomi indivisibili,
durissimi, dcnsissimi, immutabili, capaci soltanlo di moto locale e di
cenflitte secondo le leggi dei corpi duri, essia da atomi eguali a quelli
di cui si vuole compesta la materia ponderabile (§ IV.). Sicdie col fab-
ricare gi' imponderabili in ultima analisi non si e fatto niente.

26. Ma v'e anche di piu. In causa della forza repulsiva die si
suppone fra le parti di ciascun imponderabile (n. 22) non potrebbero
que' supposti fluidi essere tratlenuti entro i corpi ; ma si disperde-
rebbero nello spazio. II calorico, per esempio, che si vuole interposte
nei gas fra gli atomi materiali, imniensamente fra lore distanti rispetto
alle lore piccolissime masse, non petrebbe essere fra que' corpicelli
Irattenuto alle slate latente, ma si spargerebbe nello spazio alle stato
raggiante, in virtu della sua forza repulsiva.

Questa sola riflessione mi pare che basti a dimostrare che le cose
non possono essere come vengone supposte col mezzo d' imponderabili.

DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI 21

§ VI.
Ultime assurdita e vocaboli viioti di senso

27. Da poco tempo sembrano abbandonate quelle chimere di tanti
lluidi imponderabili interposti fra gll alomi dei corpi. \i fu sostiluito
per lutli 11 cosi detto etere, di cui si suppone riempito lo spazio celeste.
Si suppone un fluido elastico sottllissimo che sia internato anche in
tutti i corpi, ossia coUocalo fra i loro atomi (5 lY.). Si danno a questo
fluido tante e tante vibrazioni, oscillazioni, ondulazioni, ma colle pa-
role, perche non se n'ha idea alcuna, come non si ha idea neppure
dello stesso etere (n. 1). Si vuole con cio spiegare la luce ed i suoi
colori, il calorico in genere, le due elettricita, i due magnelismi. E
siccome i tanli effelti chimici della luce, che indicano la presenza di
sostanze ponderabili, dislruggono quella supposizione rispelto alia luce;
alcuno si e sforzato di sottomettere alle vibrazioni dell' etere anche gli
stessi effetti chimici della luce, colle aslratte parole di monmenli e
disposizioni di molecole^ che sono vuote di senso.

lo non entrero nei dettagli di queste nuove chimere soslituile alle
precedenli (§ V.). In luogo di tante sostanze imponderabili se ne vuole
ora una sola. Ma anche per questa bisogna cominciare dal provare
la sua esistenza; al che nessuno si accinge. Fu addotto soltanto che
una delle comete a breve periodo moslralo abbia di trovare una re-
sislenza nel suo corso. Ma e gia noto che senza T etere lo spazio ce-
leste non e affatto vuoto, e che vi e materia sparsa da per tutto, la
quale concretandosi forma gli areoliti, i bolidi, gli asteroidi ec.

D'altronde quel preleso fluido universale che riempia il firmamcnto
non si polrebbe ammelterlo finito; perche come elastico si espande-
rebbe al di la di ogni limite che si volesse assegnargli. Ecco dunquc
un fluido infinito! Supposizione ben degna defla qualita di filosofia che
nei tempi reccnti si usa nella fisica.

I matematici applicando il calcolo alle ondulazioni deU'etere giun-
gono ad alcuni risultali analoghi a quclli della luce, come, per esempio,

22 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

qucllo (Icllc interferenze. Ma il calcolo e un metodo astralto che non
serve a detcnnlnare le cause fisiche dei fenomeni. Considera moti in
ecncre, qiialunqiic ne sia la causa, ed anchc senza causa. Si crede
di applicare il calcolo alio ondulazioni dell'etere, e invece si appHca
a ondulazioni in genere qualunque sia il mezzo ondulante, anche se
fosse un mezzo in proiezione; per esempio se fosse un irraggiamcnto
ondulalorio .

Infine si ripele deH'elere quello che si e detto dei fluidi impon-
dorabili ora abbandonati (n. 2o); che in ultima analisi dovrebbe es-
sere costiluito da parli solide, ossia da atomi coUe stesse qualita de-
gli atomi corporei; cioe durissimi, immutabili, senza causa di figure,
privi di azioni interne e soggetti soltanto al conflilto dei corpi duri.
Quindi sarebbero senza causa anche le supposte vibrazioni.

Si noli che col sostituire il solo etere a tutti gli altri impondera-
bili, si fa anche svanire quella caterva di attrazioni e repulsioni che
con quelli si voleva associare (n. 22). A tutte quelle pretese forze senza
cause si sostituiscono le vibrazioni, ma anche quesle senza causa.

28. A tante vanita circa le cause dei fenomeni, viene a succedere
ancora piu di recente, o ad esservi associato, un altro metodo singo-
larissimo di filosofare. Si scopre, per esempio, una classe di feno-
meni che non si sa spiegare colle ipotesi ammesse. Se ne ignora la
causa ; ma alia causa occulta si da un nome d' ordinario tratto dal
greco. Si riposa su quel nome, senza cercar altro; e si crede cosi di
aver fatto avanzare la scienza.

E ben chiaro che a quel nome non corrisponde nessuna idea di-
versa da quella degli effetti osservati. Quindi il nuovo nome nulla ha
aggiunto alia scienza. Con tal metodo si riconducono alia moda le
qualita occulte degli scolastici.

Per esempio, si osserva che il platino coUa sua presenza deler-
mina le combinazioni delle sostanze gazose senza nulla dare e nulla
togliere; e si osservano altri effetti consimili. Non si sa la causa; e
la causa che s' ignora si chiama forza cafalifica (Jnnali delle Scienze ec.
1841, pag. 8i5). Ecco un nome che nulla aggiunge alia scienza; una
qualita occulta.

DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI 23

lo veramente ho scoperta la causa di quel fcnomeno del platino,
e la ho pubbllcata fino dal 1823 nel Giornale di Fisica dl Pavia.
Consiste in una successione di lamine concrete, a cui si riduce un gas
o vapore suUa superficie del plalino, lamine che scorrono, abbru-
ciano in contatto dell'ossigeno almosferico, e si rinnovano. Vedansi i
falli raccolti e ordinal! del fenomeno negli Jnnali ihlle Scienze ec. 185o,
Bim. I, II, III.

Quel fatlo manifestissimo dimoslra, che il plalino non esercita al-
cana forza, e non fa allro se non che ofTrire la sua superficie alia
formazione e successione di quelle lamine. Quindi il tcrmine di forza
catalitica contiene anche un errore, supponendo nel plalino una forza
parlicolare e misleriosa.

Per allro esempio, si osserva che le gocce dei liquidi, i vapori
delle soslanze anche solide, si espandono sulle superficie levigate; e
nel caso dei vapori i corpicelli donde si svolgono, come la canfora,
acquistano dei nioti giratorii. Non si conosce la causa; e senza cono-
scerla le si da il nome di forza epipolica {Jnnali delle Scienze ec.
1844. Appendice ai Bim. Ill, 1\, pag. 28, e Bim. V, \I, pag. 213).

Quel fenomeno da me osservato accuratamentc dipende dalla forza
repulsiva che ho scoperto svilupparsi nella materia allenuata, di cui
sopra (n. 23, 24); ed ho delerminato che i corpicelli da cui si svol-
gono i vapori acquistano i moti giratorii per le reazioni in contrario
della stessa forza repulsiva. Vedansi gli Jnnali delle Scienze del 1833,
ove fu dato il sunlo di altre mie Memorie degli anni 1821 e 182o.
Cosicche anche il termine di forza epipolica, indicante una qualita oc-
culta, contiene o 1' errore di attribuire alle soslanze che si espandono
in superficie una forza misleriosa, o 1' allro di attribuire alle super-
ficie una forza che non hanno.

29. Ecco dunque a che si riduce la filosofia fisica che viene ado-
prata. In luogo di limilarsi ai fenomeni i quali possono essere spinli
alPinfinito con sempre nuove osservazioni, ed a cio che dai fenomeni
si puo rettamenle dedurre e dimostrare colle regole logiche; con una
sfrenata immaginazione si fabbricano alomi, fluidi impondcrabili, forze
altratlive e repulsive senza cause; poi quasi tullo abbandonando ad

2 4 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI

un tratto, si sostituisce un ctere universale, e vibrazioni di queslo pure
senza cause; e in ultimo luogo, quasi per disperazione, s^invenlano
dei termini per contrassegnare delle cause occulle, i quali pure con
supposizioni di forze misteriose comprendono degli errori.

(Letta il 19 Giiujno 18 45)

SOPM IJBiO SCRITTO

DEL DOTT. AMBROGIO FUSINIERI

RISGUARDANTE LA FILOSOFIA DELLA FISICA

COXSIDERAZIONI

DEL PROF. CARLO CONTI

PARTE PRIMA

Ua naturale tendenza fui sempre Iratlo a meclitare su quella por-
tentosa facolta delFuomo die II separa e distingue da tanti altri csseri
viventi, che il rende doniinatore della natura: e piu volte in me stesso
i-islretlo e raccolto andai perscrutando la via onde I'umana ragione rag-
giugne il vero, il reale, sia nelle relazioni de' proprii concetti, sia
nella relazione de' fatti esteriori; andai ricercando i motivi pei quali
talvolta allerra sicuramente un principio da cui scendono iante conse-
guenze che la serie de' fatti conferma, da poter dire che ha letto una
pagina segnata dal dito di Dio ne' giorni della creazione; e i motivi pei
quali tal altra vacilla ed inciampa, e cercando il vero da questo piu
si dilunga; per cui malgrado le incertezze, gli crrori, le lotte continue
nella sovrana scienza della ragione, la Filosofia, io consecrai ad essa
piu ore della mia vita.

Ed in vero quando io considero che tanti avvenimenti sociali, tante
sciagure, tanti beni. tante violenze di opinion!, tanti benefizii, la stessa

III. 4

26 >n 1 A FU OSOFIA VLU.\ FISICA

barbario o I' iiuiN ilinu'uto. iiiiando considoro cho tanti^ %oi'ita soiontiti-
olio 0 tanti iMrori. ^\\c tanU' opi^-a/ioni di arti hcWc cd iiuhistrioso Ji
bisoiuo 0 ili dik'tto proNoni;ono in tino dallosorci/io di quella facol-
la; nou so troNaro spio^a/iouo doli'abbandono in i.ho o la<i.-iato q\ud
nobilis#inui stndio. o porcho sposso al >uo nomo sovi^a noia o fastidio
uoll;i pin parto dollo porsono aiuho colto ed istrutto.

So Ic braoi'ia do^^li uoniini innal;arono su[iorbo nioli, appianarono
monti. tronarono tononti. qua o la (.irooscrissoro il maro a dotonni-
iiati I'ontini. <e cli noniini doniarono lo nalurali poten/o ed a loro pro
lo riNolsovo. lo ln\uaa doH'uoiuo. lo ti>ioho suo torzo roali//arono il
pn^jrolto dolla nionto. ^olla nionto o il oonlro di ocni alto cho Tuonio
adonipio. od i^i o la sodo di o^ni sna dotovniina/iono.

For lo q\iali uTodita/ioni . piu a niodo di osorii/io od intraniossa
a' niioi >tiidii ordinavii. iho a scopo di profossaro quolla si. ion/a. ho
<te>o 0 lotto quak'ho racionanionto. ondo no t'u I'atto o pubblicato qua!-
oho oonno. V pin innan.d mi saroi si'or/ato di arriNaro. >o pin tonipo
a^o^^i potuto spondowi. <o pol uiio ut'ti:io non t'o>>i obblicato a <tu-
dii pill livcosiritti, ad un osauio di fatti ostoriori dolla nuwanioa o dol-
r idranlica.

Ouindi 0 cho il titolo dol hnoro oho il Fusiuiori ha lotto all' I. R.
l<liUito. mi vuhiamo a soria attonziono. nii riohiamo a quollo modi-
ta.'ioni a cui o procliNO od osorvitata la mia monto. o a lic faro mi
>pin>oro duo altri >alidi motiNi: oioo primo il saporo oho il distinlo
tis-iiM oltrt' a tUosotioo aouino oombina 1' inco>vanto o ^o^ora Lonsulta-
f.iono doH'osporionra. bahro cho lo coso trattato <i attailiano al t'on-
damonto tilosotico dolla >cion:a iho prot'ov>o.

ba Momoria dol Vusiniori nii ha sui^orito alcuno c^'Usidorajioni.
cho mo>>o \n ordino, como moclio io ^apo^a, dosidorai loi;i;or^ i atlincho
0 1 autoro dollo scrilto cho lo ha occasionato, o n oi tutt.i abbiato a darno
illiuiiinato cindino.

No, io crodo. <i \orra con>idorar-o como inulilo polomica qiiosto di<-
cu>*ioui, qiiando puro a^o^^o^o a duraro per qualcho tomp-o. no q^u
^ituto si to>>o p'Or districaro il ^iluppo o pronunriaro tlnalo sontonza.
che io StMupro cpinai. o moco do^o pur opinaro ohi o sollouto del

1)1,1. I'llOl (.Al!l.(J CONTF 27

progrcsso dcllii sciciizii, dovcrsi in iirj^oiiKiilo (T iiii|)<)i'l:iiix:i conic v.
(fucsto in ciii si rivc^^ono i fondiuncnli (lcll<; fisiclic, (Jollrinc, con tem-
po c dili}^<'nza scliicran; Ic ra^ioni, i niolivi del pro c, del contra,
p<'snrc lino per uno o con pa/icn/.a aKcndcrc. (piando cIk; sia, iin
^iiidi/.io d(-finilivo.

(JcrlainiinU; die, con (picslo }:;iiislissinio (inc il I iisiiM(*ri, (juasi solo
coniro a' fisici liilli, niovcndo da' priini principri^ si ac(ins<! a conlra-
slarc Tusilala nianicia di rapprcscntarc, di coninicnlarc, di s|»i<';_'ar<r
ninncrosissinii Icnonicni c lalli dclla natina.

iJiio ancora cIh^ a discorrcn" sulle opinioni del Idsinicri, non a
c,oml)allorl(!, die, (ale parola oriiiai dovr<!hl)('si sijaiidin' dalla IcUcra-
ria rcpiihhlica, c. piii clic in allri Icnipi, in (picslo di pace [)er I in-
dvilila Min'Opa, a discorrcnr, dico, snile, o|iiiiioni del I'lisinieri mi con-
lorlo la naliiiii della dis(|nisi/Jone come il medesimo tilolo anniiii/.ia.
Irallasi di esaminare (piali conse^Mienze sono iiecessariamenle colle^aU;
con idee ammessc; e ddinile,, piiilloslodie di ioiilroiilare il lasoro della
iii(!ti(c colle es(< rioiila. «|iieslioiie di piiia loj^jica; al die senio haslarmi
alciine c();.Mii/.ioiii di lisica di die mi Irovo loniifo.

li' indiil^eii/.a vosira die al(r<^ vol(,(^ mi avele accordala. coiicede-
U'la, vi pi'C^o, alia maiiiera da me (ciiiila iiel Irallare cosi de^'iio siiIj-
l)i('ll(>; non la domatido per la iialnra delTai ^omenlo, <'lie in se ini-
portanle e suhlime slor/.a ad atlcn/ione., (piando pun; coslasse lalica,
o<,'ni intellelto indinalo a pensare., a nnrdilan;.

iVIellendomi adesso dinanzi a voi |)<>r esporn; alciini diihhii, di-
cliiaro die ove il f usinieri li de^ni ed onori di iin commenlo, saro
pionio a laiiie (|ii<Ho sliidio ed esaiiie die ripnlero coiiveiii<iile, es-
sendo lien io peisiiaso die dopo il lalicare di lanti iiomini celehri m
(|iiesla maleria, dopo il lavoro del liisinieri die a me [tare non ler-
iiiiiii la (piestioiK'., selihene al)l)ia miialo al ceiilro all Csseiiza. si picslo
non sai'ii da meller da parte la penna.

I)ella (jiial coiidizione di luii|.'o e sliidialo conrroiilo. coniedie moiti
sieiio per miioNer Li^iiaiiza. e per consii;liariie lalihaiidoiio diceiido
non potei'seiie allendeic Iriitio coriispondenle die \al^a a compensare
il tempo o la lalica; io non mi sgomento, (;d anzi mi ripronictio ccrla

28 SULLA FILOSOFLl BELLA FISICA

ulilitii, mcnlie neirallrito e nel raffrontarsi dellc opinioni, scnza iiiai
abbandonar il campo scicnlifico, la inente si esercita e rinfranca ed acqui-
sla potcnza a Irattare facilmente qiieslioni meno complicate ed astruse.
AA"\'erto per ultimo clie la leltura dello scritto del Fusinieri falta
non e gran tempo all' Istituto e richiamala dappoi con eslratto, mi la
presiunere che ricorderetc la sostanza di alcune proposizioni suUe quali
discorro; e che desidero possa queslo mio lavoro essere accolto nel
medesimo Volume delle Memorie, affinclie il lettore col solo voltar
qualche pagina abbia dinanzi le ragioni, quali sono lelteralmente espo-
sle, per poter giudicare.

Dai sensi ci vengono le idee delle cose esterne, i sensi c' ingan-
nano, e poco ci rivelano della natura; le sensazioni non ci danno le
vere idee delle cose, le sensazioni derivano da impressioni fatte sui
nostri organi, impressioni che sono dissimili dagli oggetti che le pro-
ducono. Su queste prime proposizioni del Fusinieri faro le seguenli
considerazioni .

I sensi sono il mezzo per cul siamo messi in relazione col mondo
esteriore. La sensazione, che il Fusinieri chiama fenomeno, e una ma-
niera di linguaggio col quale i corpi esteriori manifestano al noslro
essere le loro propriela. Varra a chiarir meglio il concetto di questa
relazione, il contrapporre la manifestazione de' suoi pensieri che ne fa
uomo sconosciuto, colla manifestazione delle sue proprieta che ne fa un
corpo. Colla parola Tuomo arriva ad indicarci alcune intime e nasco-
stc condizioni del suo animo; colFazione fatla sui nostri sensi, quando
e percepita dalPanima, siamo messi in relazione col corpo. Nel primo
caso la condizione delF essere a noi simile, la convenzione di linguag-
gio. ne metle anche a grado di perfetta conoscenza del suo interno,
di cio che non potremmo per allra via rilevare; nel sccondo caso la
condizione di essere da noi diverso ci arresla a quello che noi pro-
viamo, o non avvertendola siamo spinti a dare a quel corpo le slesse
lacolla e tendenzc noslrc.

Colla esperienza e colla osservazione aumenlansi le relazioni col

DEL PROF. CARLO COXTI 29

mondo cslcriore. o per queslo mcdcsinio fatto di molte modalila rico-
nosciutc, di die prima non aveasi pure presenlinienlo, e pei salli e
laciine che restano, noi concludiamo di sapere assai poco di quello
ehe appartiene alia natura.

Comiinque si possa dire giusla la lagnanza sulP imperfezione dei
nostri sensi, perche noi desidereremmo di vedere co'nostri occlii quanlo
si Acde ora coiraiulo di slrunienti ottici, e piu ancora; di averc Pudito
squisito, sensibilissimo rolfatlo e die so io; dairaccusa di die i sensi
I'urono gravali da alciini fdosofi , io li difcndo col soslenere die i
sensi non i'allano, e die il lallo sla nella deduzione die fa Tanima. Per
non andare alia lunga ridiiamero quell' ordinario esempio del renio
die appare rotto quando, niesso obbliquo alia superficie orizzonlale del-
Facqua, in parte ne sporge. L'ocdiio riceve la sensazione della luce
come sc il remo fosse realniente roKo, Tanima da cpiel fenomeno vi-
sivo ritiene die vi si accompagnino tulle le altre condizioni die ap-
partengono a remo rolto. Non e Foccliio die falla, e la mente che
senza la verificazione di quegli altri caratleri, li ritiene. I filosofi die
accusano Foccliio di errore dovrebbero anzi riconoscere in questa sua
indicazione segnalato servigio, perche desso nulla altendendo a quelle
altre propriela la cui conoscenza non e del suo ministero, fedele an-
clie in queslo caso, accetta quel linguaggio die e proprio della luce,
donde venimmo alia scoperta di tante novelle proprielfi.

Un uomo preso da ilterizia o che ha ingoiato medicamenlo partico-
lare da far apparire sialli e;li oscetli, li giudica tali anziclie riconoscere
un mutamento in se stesso: ecco un altro esempio derrore dei sensi. Fin-
gete invece, io soggiungo, che uomo il quale crede aver preso il medi-
camenlo di cui sa Fefficacia, sia tralto, senza saperlo, in una stanza ad-
dobbala arlificiosamente a giallo, ed esso la credeni chsposta al consueto,
non gialla, attribuendo tal fenomeno alia attuale sua condizione; si dira
che fallano i sensi? E se noi si puo dire in queslo caso, facile analisi
moslra die non e concesso il dirlo nel precedenle.

Le sensazioni o fenomeni, dice il Fusinieri, sono dissimili dagli og-
getti. Questa e proposizione che nulla insegna; poiche quella parola
dissimili indica di natura diversa, e cio e manifesto per la definizione

30 SULLA FILOSOFIA DELLA FISIGA

medeslina di sensazione, che e apparenza di modificazioni nostre rela-
tive a cause che non conosciamo in veruna guisa.

E poiclie discorriamo delle sensazioni, diro qualche parola sui co-
lor!, sapori, odori. 11 Fusinieri, con niolti altri filosofi, ci avverle che
dcssi sono modificazioni de'noslri sensi, che non esislono fiiori di noi.
Alcuni filosofi, aggiunsero che i colori, sapori, odori sono neiranima.
In qucste proposizioni vi e molto di vero: fa per altro meraviglia che
tali filosofi, scrutator! della genesi delle idee e del linguaggio che le
esprime, abbiano cosi poverainente coniinentato ed analizzato questo
fetto ideologic© . Sapore e cerlamente denominazione della nostra sen-
sazione, di quella modificazione che in fine e prodotta neiranima dal-
rimpressione di oggetto esteriore; ma nel linguaggio, sapore e anche
nome attribuito a quella modalita di causa esteriore che opera su noi
queU'effetto. Quindi e che nelPordinario linguaggio, e linguaggio che
nulla ha di antilogico, si dice che una bevanda ha sapor acido, amaro,
dolce, intendendo che ha la proprieta di produrre su noi certe modi-
ficazioni che si contrassegnano coi medesimi nomi. Accorderanno i fi-
losofi che nel linguaggio descrittivo delle sensazioni e delle cause a
cui le atlribuiamo, sono due cose da esprimere, la modificazione o fe-
nomeno, e la causa: domando io adesso quali sono le parole che le
contrassegnano? Riducendo poi ad un solo ufficio quelle parole, non si
avvidero di comporre certe frasi strane e ridicole. I colori sono nel-
I'anima; il verde, il rosso, il giallo e nell'anima. I sapori sono nel-
Fanima; I' amaro, Tagro, il dolce. Gli odori sono nelFanima; il fetido
c la puzza. E perche nelFuso comune e corrente s' impiegano quelle
voci piuttosto nel secondo ufficio che ho notato, anziche nel primo,
quelle frasi corrispondono ad anima verde, rossa, gialla, amara, agra,
dolce, fetida, puzzolente.

Se i filosofi non disprezzando il grossolano modo di comporre le
idee e di esprimerle, quale si tiene dalla massa della gente, avessero
di queste falta raccolta ed analisi, assai meno lungi andrebbero da cio
che e reale e veritiero. Comunque indeterminati e confusi, sono pin-
scmpre falli ideologici, da non trascurare.

La fontc delle nostre cognizioni sta nel principio che dicesi di ana-

DEL PROF. CARLO CONTI 3i

logia, o d" induzione, c cli'io attribuisco a facolta deR'anlma nostra che
ho chiamalo credenza. Tal principio di analogla, per dirlo in maniera
familiare, sta in qiicsto; le sensazioni simili o gruppi simili di sensa-
zioni si atlribuiscono a cause esleriori simili. Qui si die la parola si-
mile ha netto significalo derivando dal paragonare scnsazione con sen-
sazione che e della medesima nalura, causa a causa della medesima
nalura. Le sensazioni sono i dati che abbiamo; la tendcnza di altri-
buirle ad altivita esleriori accenna alle cause; il principio di analogia
dispone a gruppi qucsle cause, mellendo nella medesima classe e gra-
duando quelle che corrispondono a simili sensazioni.

Si dira, e fu gia detto, che quel principio di analogia mena al-
Ferrore, e che la storia delFumano spirito molti e molti ne ha registralo.
Chi puo negarlo? lo vorrei per allro che si faccsse confronto tra i casi
mollissimi ne' quali ci preslo e ci presta grandissimo servigio, con quelli
in cui fu trovato in difetto. Si rifletta che in ogni passo che faccia-
mo, in ogni nostra azione, in ogni uso degli oggelti esleriori appro-
filtiamo di quel principio. Se muovo la mano al bicchiere che mi sla
dinanzi, se Taccosto alia bocca e be^o, lutti quei fatli che furono pre-
senlili per analogia, accadono realmenle. La scnsazione alluale simile
a quella che altra volla ho allribuita alFacqua, mi fa pcnsare per quel
principio, che corrisponda a causa alluale simile alia precedenle, e ne
attendo percio lo sviluppo di analoghi fenomeni; il refrigerio, la ces-
sazione della sele.

Quando si consideri, come si deve, V incessante e sicuro servigio
che ci presta cpiel principio nell' esercizio ordinario della vita, si a^Ta
molivo di annnirare la sapienza del Crealore che mettendoci in mezzo
di tanle altivita esleriori, ci ha dalo una guida che mai ci abbandona.
E quelli che ingrandendo c numerando i soli casi di errore, a che ne
mena quel principio, sconforlali cercarono allri crilerii, abbandonala
quella sola face che polea mostrar loro il cammino, brancolando alia cie-
ca, miseramenle errarono per vaneggiamenli stranissimi.

II Fusinieri parlando delle idee generali, e giustamenle dic&ndo
che non possono esislcre nella menle col mezzo d'immagini, con Iroppa
generalila allribuisce a lutti i logici la contraria senlenza.

32 SULLA F1L0S0FL4 DELLA FISICA

Quando la mente si rappresenta V idea di un oggello, o, come
dice il Galuppi, quando ha dinanzi un fanlasma, quel fantasnia e in-
dividuo, e un parlicolare, ne puo riunire lultc le propriela essenziali
etl accessorie della idea che figura, ne avcre le sole propriela es-
senziali.

II fantasnia di Iriangolo sara scaleno, isoscele od equilalero, in qual-
chc maniera detenninato nella sua grandezza; ne possiamo unire in-
sienie le condizioni di uguaglianza e disuguaglianza ne' la[i, ne pos-
siamo limitarlo al caraltere essenziale di figura conlerminata da tre
lati, esdudendo la condizione di uguaglianza o disuguaglianza ne' lati.
Se per altro al fantasnia Iriangolo, quale che siasi, unisco la cogni-
zione che tal nome gli appartiene non per la condizione di grandezza
de" lati, ne manco per la sua estensione, ma soltanto per essere figura
piana compresa da Ire lati, potro dire che ho il concetto esatto di
triangolo in generale. E polrcmo ancora ritenere che alia sola parola
triangolo corrisponda Tidca generale, ove sieno nelte nella mente quelle
condizioni essenziali.

Questa puo essere la ragione onde il dolt. Fusinieri asserisce che
le idee esistono nella mente per mezzo di simboli, in quanto che il
simliolo o fanlasma o la sola parola, da mezzo di awerlire quali sono
poi i caralteri essenziali che convengono colP idea generale.

II Fusinieri vorrebbe che dai soli fenonieni si facessero deduzioni
col raziocinio, e chiama ipotesi quelle supposizioni arbitrarie che rie-
scono o fuori de' fenonieni o contro i fenonieni, o fuori o contro le
legitlime deduzioni die da quesli si traggono.

Ricordiamo quelle, in che interanienle conviene il Fusinieri, che
noi partiamo sempre dalle nostre sensazioni di nuniero grandissimo si
ma determinalo, die desse non ci rappresentaiio se non la condizione
leniporaria delle altivila esleriori sopra di noi, per se nulla ci dicono
di quello die non abbiamo provalo, nulla di quello che accadra in
avvenire.

La legge delFanalogia che abbiamo avvertila ci sforza ad ammel-
tere altivila esleriori simill quando si presenlano fenonieni simili e vi-
ce^el■sa. Le nostre sensazioni, ollre a che diverse per nalura, schieransi

DEL PROF. CARLO CONTl 33

in gi'uppi simlli, ed in ogni gi'uppo si ordinano per inlcnsita. Ma Ic
gradazioni csperimenlale sono sempre di nunicro llmitato e ponnet-
tono di rilencre che allre niolte ve ne possano essere inlcrcalale. La
esperienza e 1' osservazione sorregge e sostiene questa pcrsuasione. Cosi
distribuiamo per gradazioni anche le cause esteriori perlinenli ad un
medesimo gruppo.

II legame delle cause e degli effetti, quando ci fosse manifesto, ci
mellerebbe nella condizione di predire molli avvenimenti cbe interes-
sano il nostro ben essere; noi tentiamo questa predizione col supporre
quel leganie che soddisfa ai fatti esperimenti, e questa e ipotesi. II
ricavare dalla legge stabilita nelP ipotesi, un caso pavticolare di legame,
e ufficio del raziocinio.

Coir esperienza sulla rifrazione della luce attraverso Tacqua si avra
raccolto il confronto di dieci, di venti, di mille angoli d' incidenza e
di rifrazione, ma rimarra ancora da sapere come si comporlera la luce
quando penetra nelFacqua sotto angolo diverso da quelli. Ecco una
gradazionc di angoli d' incidenza, una gradazione di angoli di rifra-
zione. Nel confronto di quelli osservati si trova costante il rapporto
dei seni, e si fa T ipotesi che tale coslanza sussistera sempre.

Per quanto numcrose sieno state le preziose osservazioni che Ti-
cone specialmenle ha lasciato al sommo Keplero, erano un nulla in
confronto delle successive positure prese da Marte e dagli altri pia-
neti ne' loro movimenti in quel periodo di tempo e ne' tempi poste-
riori. Nella prima legge di Keplero vi e 1' ipotesi che le posizioni os-
servate cpiadrando baslevolmente colla figura elUltica, il pianeta anche
nei luoghi intermedil batlesse quel cammino; nella seconda, che si
estenda a qualsiasi area di settore la proporzionalita del tempo alio
spazio, riconosciuta con sufficiente approssimazione nelle fatte osser-
vazioni .

Malamente conchiuderebbesi che il Keplero non poleva supporre
altrimenti da quello che indicavano le osservazioni. Le osservazioni sono
limitate di nmiiero; e molte e molte curve si trovano che corrispondono
ad ellissi in piu punti, molte leggi si trovano che collegano tempo e spa-
zio, di maniera che alcuni rapporti tra spazio e tempo sieno uguali.
m. 5

34 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

Tanto e \cro poi qiiosto, die nella storla della scienza per rappre-
sentare randamento di alcuni fcnomeni si e dovulo lenlare piu leggi,
pin ipolesi, quaiido i falti ulleriori non quadravano con quelle die si
erano assunle. E questo oonfronto fra i easi particolari indicati dalle
siqiposte leggi coiresperimenlo e coirosservazione, quaiido riesca, ci
la dire die le leggi rilrovate sono le leggi della natura.

Anclie qui torna in campo una lamentosa sdiiera di filosofl die
piangono sulF infido appoggio delle ipolesi, di quelle ipotesi die me-
narono tante volte alFerrore. Vero c die le pagine della sloria della
scienza sono piene di ipotesi die fallirono, di ipotesi die ostinatamente
sostenute tardarono di anni, ed anclie molti, il progresso intellettuale.
Ma per questo die si ha da fare? lo non conosco altro mezzo per
tentare la previsione del futuro nelle sue gradazioni di cause, e per
ispiegare qiiello die avvenne.

Troppo lungi andrei se volessi, come pur tocclierebbe, trattare alia
distesa questo punto cardinale di filosofia.

Stando a quello die dice il Fusinieri ed alcuni fllosofi, col princi-
pio di ragione sufficiente e con quello di contraddizione si fa tutto ;
sono principii di tale fecondita die da essi procedono tulti gli altri.
D'altra parte ogni uonio, per quanto sia di ottuso intelletto, tostoche
arriva ad intendere cosa sigiiificliino quelle parole con die tali principii
si esprimono, risponde die nienle di nuoAo apprese; die sapeva ben
egli andie prima di formale istruzione dovervi essere una ragione suffi-
ciente, il perclie una cosa sia in tal modo piuttosto die in altro; die
sapeva ben egli die una cosa non puo nel medesimo tempo essere e
non essere. Di tali aiuli filosofici non sa Tuomo die fare, avendo gia
semprc ricercato il motive, la ragione di qualche effetto, ed assai di
rado avendo peccato contro quel principio di contraddizione che il vio-
lare frequentemente sarebbe pazzia, ed a^^ertito Tcrrore anclie innanzi
che i filosofi modulassero quella proposizione.

Diffatti per naturale tendenza siamo Iratti a ricercare la causa di
lanti effelti, le condizioni di certi rapporli od elementi che li deter-
ininano tali e non allri. Siamo dunque naturalmente sulla ^ia della ri-
cerca, sulla quale ci porrebbe il principio di ragione sufficiente. Per

DEL PROF. CARLO CONTI 36

applicare II princlpio di conlraddizione bisogna aver trovato qualche
inanlcra dl cssere di una cosa per paragonarla con altra e vedere se
combinano o ripugnano. Questo principio convlene applicarlo al ter-
mine della ricerca a niodo dl finale criterlo. Cos! la filosofia che, come
dissi, e la scienza della ragione, se avesse que' due soli principii, met-
terebbe Tuonio alia ricerca, e lascitmdolo poi andare da se, in fine gli
darebbe quel criterlo del principio di conlraddizione per avverlire I er-
rore die avesse commesso.

Dinanzi ad uno specchio concavo e messo un oggetlo, secondo quel
modo che nella catottrica si adotta per indicare il canunino del raggio
luminoso che batte e rinibalza, modo che dicesi la riflessione, si an-
nunzia che i raggi riflessi hanno da formare un'immagine dinanzi lo
specchio. L'c in fine una proposizione di geometria che ha da proce-
dere tutla razionahnente. Ma qui si domanda al filosofo, che si altiene
al principio di conlraddizione, se queslo principio vi si opponga o no.
Ecco un caso, e tanli altri se ne potrebbero addurre, a' quali non cosi
facilmente si puo applicare quel principio.

Vero e che i filosofi i quali sono persuasi della fecondita di quel
principio, diranno doversi applicare passo a passo e non attendere a
far questo dopo lunghissimo viaggio. BelFaiuto in verita! dare un cri-
terlo per riconoscere se il passo e falso quando e fatlo e nulla occu-
parsi della maniera di farlo giustamente, nel che starebbe propriamente
il buono della filosofia. Ne accagiono la filosofia di questa mancanza,
ma quei filosofi che videro tanto ausilio in quella senlenza od assioma,
pcrche nella piu parte de' ragionamenti si vede come sieno comprese
le illazioni nelle premesse, e molto si e fatto senza Tapplicazione ma-
gistrale di quel principio.

Asserisce poi il Fusinieri che i due esposti principii servono ad
evitare Terrore e Timmaginario, cio ch'e contrario e cio ch'e fuori
dei fenomeni. Non so come possa avvertirci deU'errore il principio di
ragione sufficiente, che solo ne insegna, quanto Tuomo sa diremo istin-
livamente, dovervi esserc un perche una cosa sia in tal modo piul-
tosto che in altro, cioe un niotivo e bastante a produrre quel modo.
Se avesse detto soltanto che il principio di conlraddizione ne fa evi-

36 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

tare gli orrori, acconscnio; ma per cio ch'e conlrario e fiiori dai feno-
nioni, lo nogo. 11 principio di contraddlzione si applica airandamcnto
inlellcttuale, alle idee, e quivi pure con iscarso effelto, non mica alle
cause dei fenomeni. Quel criterio ne mosfrera anclie doversi rigetlare
una conseguenza se conlraria alia ipolesi clic abbiamo foUo, ai dali che
abbiamo assunli; ma nol potremo applicare nel confronto tra il modo
dedoUo col ragionamento , e quello die Tesperienza e T osser\ azione
insecnano.

Ponele cb'io finga la luce degradare nelPinversa della dislanza, e
qui gia inlendo per misura di degradazione Tandamento dei fenomeni
come si rivela cogli slrmnenti clie adopriamo, per non impigliarmi in
altre queslioni; domandando di cbc intensita sara T illuminazione por-
tando roggetlo luminoso a quadrupla distanza, si trova con tutta age-
volezza, come vedete, che si ridurra alia quarta parte. Qui il principio
di conlraddizione non e per niente offeso, non ne puo avvisare di er-
rore, che la nostra conclusione e giustissima. Confrontata la conseguenza
col falto non quadra, P ilkmiinazione operata c assai minore della quarta
parte, vi vogliono assai piii di quatlro lumi per produrre una luce egual-
mente intensa di prima. II principio di contraddizionc ne assicura che
stando all' ipotesi delF intensita nella ragionc inversa della semplice di-
stanza si arriva a quella conseguenza che fu detta; il fatto vi contra-
sta, e percio il fatto e conti'ario all' ipotesi.

Potrebbesi anche dire che noi rigettiamo 1' ipotesi pel principio di
contraddizionc, mentre intendiamo 1' intensita della luce, per non disco-
starmi da quell' esempio che ferma la nostra attenzione, non poter es-
sere ridotta alia quarta parte per quanto ne dice la deduzione, ed a
minore intensita per quanto ne porge I'esperienza; altrimenti quell' in-
tensita di luce dovrebbe essere nel medesimo tempo la quarta parte
di prima e non esserlo. Quando abbiamo falta 1' ipotesi, si e gia di-
chiaralo doversi questa ritenere se le conseguenze legittimamente dedotle
quadrano coH'esperienza, doversi rigettare se le conseguenze legittima-
mente dedotte contrastano o deviano dal fatto. Perchc poi vi e un'al-
Ira osservazione da fare sul principio di conlraddizione: desso m'an-
inmzia che una cosa non puo essere e non essere nel medesimo tempo.

DEL PROF. CARLO CONTI 37

e su questo nienle vi e a ridire; ma il princlpio di contraddlzione mi
sbriga nella decisione di quella vertenza? la cosa e o non e? L'uomo
die contrastassc in se per sapere se una conseguenza sia giusla o
lo sia Topposta, poco servigio trac da quel principio clie Tassicura
non potcrsi adoUare contemporaneamenle tutte e due. Cio sapeva egli
anclie prima, questo anzi e il molivo che lo tiene sospeso nel sen-
tenziare, cgli ricerca un crilerio per appigliarsi air una od alPaltra, e
con sicurezza.

Fra le definizioni di sostanza io adotto quella che e preferila dal
Fusinieri, sostanza e soggelto dotato di forza atliva; ed e per mag-
giore chiarezza sollanlo che io dichiaro risguardare la nola di allivita
come una nota caratteristica, senza dire che siasi per tal maniera de-
finila e stabilita Fessenza di sostanza. Cosi per corpo intendo insieme
al Fusinieri soggelto esteso dotalo di atlivita. Veramente egli lo defi-
nisce per substantia extensa i-i motrice pyaedita^ lo che importerebbe
la seguente ft-ase corpo e soggetto dotato di forza atti\u esteso dotato
di forza motrice. Comunque siasi in fine, il Fusinieri riconosce nel corpo
le due note caratteristiche di estensione ed attivita; e quesle due note
formano le premesse dalle quali col ragionamento si vorrebbero cavare
tante conseguenze.

Dice che quella definizione e secondo i fenomeni, cioe secondo la
maniera con cui i corpi si manifestano a noi; ne puo essere altrimenti,
che una definizione della essenza del corpo ci manca.

Secondo me le trc idee, spirito, corpo e spazio sono determinate
per queste note: lo spirito e atlivita senza estensione, il corpo e at-
tivita con estensione, lo spazio e una estensione senza attivita.

Dalla definizione di corpo col principio di contraddizione il Fusi-
nieri dimostra 1' impenetrabilita, poscia con quello di ragione sufficiente
dimostra la comunicazione ch moto da uno ad altro corpo. Andrei troppo
a lungo volendo quivi mostrare come sieno manchevoli quelle dimostra-
zioni, farollo ad altro tempo; qui intanlo prendo come dimostrato che il
conflitto o conato del primo corpo di occupare il luogo del secondo sia
causa necessaria di comunicazione di moto, che e quello cui tende tutto
quel discorso.

38 SULLA FILOSOFLl DELLA FISICA

Ogni corpo, secondo il Fusinieri, in quanto e sostanza, e in con-
tinua niutazlone di stato interno, perclie la sostanza ha questo attribiUo
anclie per azione propria.

Sogliono i filosofi distinguere una facolta in potenza ed in atto. Sc
quella condizionc di forza attiva messa nella definizione di sostanza
Auol egli die rappresenti una facolta in atto, puo dire senz'altro die
la sostanza e in continua manifestazione di attivita; se poi, come si de-
ve, non si obbliga quella facolta ad cssere incessantemente in atto, cade
la sua proposizione.

Non poteva poi egli assegnare al corpo come sostanza quella con-
dizione di incessante esercizio di sua attivita, mentre ha detto da prin-
cipio die noi non abbiamo le vcre idee dei corpi, e rammettere quel
continuo lavoro e una ipotesi la piu ardita e generale die immaginare
si possa.

Pill avanti asserisce che senza moto non si puo concepire che vi
sia produzione di nioto, e percio sentenzia di assurde quelle attrazioni
a distanza che i fisici risguardano quali forze primitive de' corpi. II
progresso del discorso deve essere tutto razionale; nella premessa de-
finizione di corpo si ha da trovare V incompatibilita dell' azione a di-
stanza. Ora in quella definizione abbiamo due elementi, estensione ed
attivita . Nell' estensione non puo trovarsi condizione di movimento o
non movimento, che questo appartiene alia attivita. Nell' attivita, presa
cosi in generale, niente ripugna che un corpo operi a distanza una mo-
dificazione sopra altro corpo, modificazione che si risolva in moto.

Ma poiche nell' originale sua definizione, il Fusinieri usa delle pa-
role forza attiva. e per forza intende poi la ragione sufficiente del
moto; I'assurdo ch'egli trova nell' ammettere 1' azione a distanza sta-
rebbe nella proposizione, che il corpo dotato di estensione e di ra-
gione sufficiente del moto atti\ a, non puo operare il movimento sopra
altro corpo a distanza.

Domando se quella attiva ragione sufficiente del moto nel corpo
risguarda il moto di se stesso, od il moto che puo ingenerare in un
altro. Se assume il primo ristrelto significato, manca nella definizione di
corpo la ragione sufficiente di comunicazione di moto in qualsiasi caso;

DEL PROF. CARLO CONTI 39

e se poi comprende anche il nioto che puo produrre in un altro, sic-
come niuna condizione vi e di distanza, non ne conseguila per niente
quella conclusionc che accenna. Condizione di distanza non e nella
espressione di ragione sufficienle di moto, ed a meno che non si ri-
componga la definizione, si puo concepire possibile Tazione a distanza.

Dal qual esanie si viene a quest' altra conseguenza lutla opposta a
quanto dice il Fusinieri. L'assurdo considerate logicamente come qui
dee farsi, stando nel campo deU'esame delle illazioni colle premesse,
consiste neirammettere che una cosa sia e non sia nel medesimo tem-
po. Quando io pronuncio una illazione contraria a cio che ho stabilito
nelle premesse cado in assurdo, mentre coir illazione dico clie quello
che ho riconosciuto nelle premesse non puo cssere. Ma e pur assurdo
il sostenere che un' illazione e necessariamente esclusa dalle premesse
quando queste in fatto non la escludono, mentre in fine e asserire che
una cosa sia e non sia nel medesimo tempo. Ridotte le cose a questo
punto, e facile vedere essere assurdo il dire che Fazione a distanza
sia incompatible colla definizione di corpo, mentre in questa nulla vi
e che ripugni a quella maniera di azione.

Difesa dalla taccia di assurdita Topinione emessa da alcuni fisici
che possa aver luogo T attrazione a distanza, anzi fatto vedere che
nelle note caratteristiche di corpo niente vi e che vi si opponga, di
guisa die e assurda la contraria sentenza che vorrebbe sostenere Tim-
possibilita fondandosi su quei dali; rimarrebbe Tesame analogico, che
e il pill fruttuoso, qucllo che nelle fisiche ricerche e giiida utilissima ad
ottenere la probabilita maggiore di verita nello stabilire le proposizioni.
Se non che e per questo argomento e per altri che si presentano nel
lavoro del Fusinieri ci riportiamo ad altro esame, limitandoci in que-
ste considerazioni a guardare Tandamento logico delle proposizioni che
si vorrebbero dedottc razionalmente , cioe per necessaria illazione, da
alcune premesse.

Non mi sono fermato ad analizzare la dimoslrazione del Fusinieri che
nel conflitlo de' corpi abbia necessariamente a seguire la comunicazione di
moto, perche quand' anche si ammetla giusta, che non lo e, sa ognuno
esser mestieri dimostrare anche V inversa che il moto deve essere ori-

4 0 SULLA FIL0S0FL4 DELLA FISICA

ginato dal conflitto. E quello clie va qua e la dicondo per negarc poi
possibile I'azionc a distanza, ho lasciato per non perder tempo, c di-
riltaiiienle mi riporlai alle note caratlerlsticlie di corpo da cui in fine
deve cavarsi, se si polesse, quella conseguenza.

Affinche poi non sorga dubbio chc quella accusa di assurdita in chi
crede possibile Y azione a distanza non vada esaminata sollo il punto
di vista logico, faro not arc che piu innanzi aggiugne che i fenomeni,
come vengono dai sensi, mostrano queirattrazione senza conflitto, e che
coll intelletto si comprende non potervi essere moto senza conflitto.

Poi cambia faccia alia dimostrazione mentre accusa i fisici di aver
ammessa 1' azione a distanza negando che vi sia mezzo di comunica-
zione, che potrebbe esservi quantunque a' nostri sensi attualmente non
si manifesli. Questo errore, a dir vero, e assai meno grave della colpa
che avrebbero commessa sbagliando il ragionamento e cadendo nien-
temeno che in contraddizione. Che sia possibile Tcsistenza di un mezzo
di comunicazione , che sia piu o meno probabile, niuno vi sara che lo
contrasti; ma quest' e argomento ben diverse da quello che aJjbiamo
finora trattato. Dissero mai i fisici che sia impossibilc un mezzo di
comunicazione fra corpi che appariscono agire a distanza? Se Taves-
sero detto fondati sulla definizione di corpo che prendemmo a fonda-
mento del nostro ragionare, sarebbero caduti nelFassurdo, ritencndo in
quelle premesse contenuta V impossibilita di un mezzo di comunica-
zione, impossibilita che non puo dedursi.

Quanto poi aggiugne sulle proprieta da lui discoperte nclla mate-
ria attenuata, questo non ha che fare coll' andamento razionale di puro
ragionamento logico che noi esaminiamo.

Avvertiro soltanto una cosa, che il suo principio della emanazione
per raggi di materia in ogni corpo, comunque possa essere vero e fe-
condo, e una ipotesi, una supposizione. Perche qui non si tratta di
aver osservato queste emanazioni in alcuni casi e per analogia di ri-
tenerle in casi simili; egli parla di emanazioni si tenui da superare
ogni nostra immaginazione. Ecco imperfezione dei sensi ed inlempe-
ranza di voler sapere al di la dei fenomeni che trae anche il Fusi-
nieri a quelle supposizioni che condanna.

DEL PROF. CARLO CONTI 41

Passando a trattare della divisibilila de' corpi, stabilisce che la ma-
teria e atlualmcnte divisa in parti di parti indefmitamente. Quella pa-
rola indefmitamente nieriterebbe essere ben dichiarata. Noi non pos-
siamo neppure collo sforzo piu intenso della fantasia, rappresentarci la
moltitudine dclle parti in che alcuni corpi possono dividersi; ma che
la divisione attuale della materia non sia suscettibile di limite, questo
non si deriva certo dalla nostra definizione di corpo. E torno sempre
a quel concetto, dal quale solo si puo razionalmente venire alle conse-
guenze ora esaminale.

Una parte dello spazio e occupata da un corpo, cioe in quella esten-
sione che appartiene alio spazio si manifesta un'attivita, per cui si dice
ch' ivi e un corpo . Se da qualsiasi punto di quella estensione possiamo
immaginare che si passi ad un altro con continuazione di quella atlivita
che appartiene a quel corpo, diremo che il corpo e intero; se poi ne
tocchera di trovare mancanza di continuazione di quella attivita, di-
remo che il corpo e diviso in due o piu parti. Ora niente contrasta
alia definizione di corpo che vi sia quella continuita, e percio niente
contrasta ad una limitata attuale divisione della materia.

Mi sono ingegnato di dare una definizione di corpo intero, e diviso
in parti; definizione che II Fusinieri manco di dare, sebbene richiesta
dal giusto andamento logico; come nella trattazione del conato uso delle
parole massa ed elasticita senza darsi la pena di precisarne il signifi-
cato. Nelle ordinarie questioni si puo senz'altro usare di alcune parole
nel significato ammesso generalmente ; ma in una trattazione raziona-
le, dove si tenta di assegnare i limiti estremi di alcune conclusioni,
il filosofo ha Tobbligo di definire nettamente le sue idee per ragio-
nare con giustezza.

Non contento il Fusinieri di una dimostrazione, con un sillogismo
vuol provare per altra guisa il suo assunto della divisibllita della ma-
teria senza limite. Ogni corpo, die' egli , e divisiJjile in parti, le parti
sono pure corpi e quindi divisibili. lo non conccdo la maggiore, non
concedo cioe che ogni corpo sia divisibile, qualunque sia la sua esi-
guita; ammetto che quella proprieta riscontrata in corpi soggetti ai
nostri scnsi, o che indirettanicnte si esperimenta, abbia un limite. E
in. 6

42 SULLA FILOS0FIA DELLA FISICA

diranno il medesimo quelli che ammettono gli atomi, e devono iarlo,
non potendo sfuggire, a chi ha iin po' di critcrio, clic dalla maeeiore
assunta dal Fusinieri ne verrebbe una contraddizione pel sisteina ato-
mistico.

Doveva pur notare il Fusinieri che la maggiore del silloglsmo o
riposava suU'analogia o sopra ragionamento. L'analogia fondata sopra
grandezze sensibili de' corpi potra spignersi anche ad indefinita appli-
cazione della medesima proprlela, senza formare per altro una verita
apodlttica da far cadere in assurdo chi non la riconosce. II ragiona-
mento ha da basare sopra qualche altro princlpio, ma egli no 1 riporta.
Percio dalFesame del silloglstico discorso si raccoglie, non esservi al-
cuna contraddizione nel risguardare I corpi divisibili fino a certo limite,
il quale puo oltrepassare ogni nostra immaginazione.

II Fusinieri passa a sostenere che sono caduti in assurdo I fisici e
chimici tulti, i quali ammettono gli atomi, vale a dire corpicelli mi-
nimi indivisibili per le attivita che sono in natura.

Primamente vuole che sieno indivisibili di loro natura, poi dice
che sono corpi e quindi hanuo parti, dal che ne verrebbe che quesle
sarebbero h-a loro coerenti per forza infinita, o per forza superiore ad
ogni forza naturale e quindi miracolosa.

Se gli antichi intesero per atomi, corpicelli minimi indivisibili per
loro natura, cioe tali che fosse Impossibile 11 separarli in parti, non e
dovere del moderni di starsi a quel concetto. I moderni 11 definiscono
megllo con ritenerli indivisibili relallvamenle alle forze che sono in na-
tura, quantunque sieno estesi, perche In fine sono corpi.

II Fusinieri obbletta che hanno parti. Per aver parti io Intendercl
che 11 corpo sla la riunione di altri corpi minori, ovvero che lo si possa
separare In corpi minori, o finalmente che si conslderino quelle parti che
corrispondono alia divisione dello spazio in che 11 corpo e collocato. Per
quanto io vi pensi non trovo altro significato della frase, un corpo ha
parti. Gli atomisti non ammettono ne 11 primo, ne II secondo signifi-
cato; quanto al terzo non contrasta colla Indlvislblllta di quel corpo,
Imporlando solo quel concetto la divislbllita dello spazio. Un cuIjo
di ferro e mcsso ad occupare il posto di otto cubi minori di legno:

, DEL PROF. CARLO CONTI 43

io separo colla mente quelle parti del cubo di ferro die andarono ad
occupare il posto di ciascheduno de' cubi minori; vuol dire questo che
tal eid)o e diviso od e divisibile? pare a me che no.

Esaminiamo anche la necessita di quella forza miracolosa. I corpi
esteriori agiscono sulFatomo per dividerlo, e questo resiste; diremo
che la sua atlivita c superiore alle forze che lendono a frangerlo: ma
queste forze non sono infinite, che non ammettiamo in natura tali agen-
ti ; dunque neppure fa mestieri ammeltere infinita la forza d' indivisi-
bilila deiratomo. INc adoprerei in questo caso la parola cocsione o coe-
renza, nel di cui concetto entra la condizione di corpi minori che si
attengono quasi prima fossero separati; concetto giustissinio nelFordi-
naria contemplazione delle natural! cose, insufficientc o falso per quel-
Testrema picciolezza di corpi ne' quali neghiamo la divisibilita.

Se non che una forza superiore ad ogni altra della natura e detta
da ognuno miracolosa; e, secondo il Fusinieri, sono pcrcio costretti
gli atomisti di ricorrere ad un miracolo, per rendere possibile il loro
concetto .

La considerazione sarebbe giusta se gli atomisti non riconoscessero
gli atomi in natura, se mettessero fuori della natura le forze che si
oppongono alia loro divisione. Poniamo che nella natura sieno mille
le forze e che una soverchi le altre; questa sara superiore a tutte le
altre forze naturali, ma si dovra percio dire miracolosa? no certamente,
perche prima si e detto che anch'essa e una forza in natura. Se fuori
delle mille sorgesse una forza capace di vincere anche la piu gagliar-
da, quella si che dovrebbe dirsi miracolosa. Donde si arriva a quest'al-
Ira conclusione, che secondo gli atomisti vi vuol un miracolo a rom-
pere un atomo, non un miracolo perche desso sia tale.

Continua il Fusinieri a trovare nel concetto d' indivisibilita degli
atomi tanle idee che chiama immaginarie, li vuole duri assolutamen-
Ic, e questo senza causa naturale, continui uniformemcnle nel loro
interno, figurati senza causa, massa proporzionata al volume, inaltivi di
dentro, attivi al di fuori per conflitto de' corpi duri, ed attrazioni re-
ciproche in essi senza causa.

Tutto questo deve saltar fuori dall'idea di corpo indivisibile, per-

4 4 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

che, il ripcto, qui siamo nel campo logico della razlonalila, non in
quello dclla analogia per quanlo vuole il medesimo Fusinieri.

Le note caratterisliche di cstensione, attivila, indivisibilila non me-
nano a veruna di queste conseguenze da lui indicate. Posso immagi-
nare, senza contraddire a quelle premesse, die un atomo si allarghi
e rislringa, che in tutti i sens! non sia continuo, posso supporre alomi
di figure diverse. Quanto alle attrazioni reciproche, e questa una qua-
lifica di loro attivita o piuttosto di una fase di loro atlivita, che non
mena certo a contraddizione.

Una curiosa opposizione fa ancora il Fusinieri agli atomi, ed e
che non avrebbero ragione sufficiente di trovarsi ne' luoghi occupati
da essi piuttosloche in altri. Ma io trovo che vi e abbastanza di ra-
gione sufficiente nelPazione che soffrono per parte degli altri corpi.
ne' quali ammeltendo attivita si ha quanlo occorre a spiegare la dif-
ferenle situazione nello spazio di due o piu atomi.

Tocca adesso di esaminare le assurdita imputate dal Fusinieri ai
fluidi imponderabili od iinponderati che dire si vogliano. Ammetten-
dosi atlrazione fra que' fluidi, dic'egh, e gli atomi della materia pon-
derabile, e ripulsione fra le particelle di quei fluidi, si creo il mondo
stando a tavolino. Onde ne verrebbe che Volta, Franklin, Fresnel,
per non menzionare altri illustri cultori dellc sclenze, stavano a tavo-
lino e con sogni crearono il mondo.

Anche la luce, ricorda il Fusinieri, era considerata un fluido im-
ponderabile, anzi ammetteasi la mescolanza di tanti fluidi quanti i co-
lori. E vero che si ammetteano molti atomi luniinosi per ispiegare i
varii colori. La teorica della luce mostra come quelli fra i fisici, che
sono veri filosofi, sieno persuasi essere le ipotesi necessarie per de-
scrivere i fenomeni e, quello che importa assai piu, per segnare le
leggi di loro gradazione e la gradazione delle cause a cui si riporta-
no; e doversi una ipotesi abbandonare allorche una novella spiega piii
fenomeni e toglie le numerose difficolta della prima. II sistcma delle
vibrazioni, oltre a che spiega a rigore di calcolo tanti fenomeni che
quello deU'emissione non ispiegava, ci libera da quella moltiludine di
atomi rossi, gialli e via dicendo, ed II fenomeno mirabilc del colori e

DEL PROF. CARLO CONTI 45

leso simile a quello dei suoni. La stessa aria, commossa diversamenle,
porta air orecchio la sensazione del grave e dell' acuto per isvariate
gradazioni, il carattere e 1" inlensita diversa di luono; Telere, com-
inosso dai corpi luminosi, porta airocchio la sensazione del rosso, del
violello ed innumerevoli gradazioni di colori che vi sono di mezzo.
Pm'e a questo sistenia delle ondulazioni, ch'e gloria somma del nostro
secolo, si oppone il Fusinieri per attenersi a quello dell' emissione, e
solo in luogo di una materia particolare vuol egli considerare nobililata
e resa luminosa la ordinaria che si tocca, si palpa e si calpesta.

Ne taccio di una difficolta che fa il Fusinieri alia ipotesi delle so-
slanze o fluidi imponderabili, volendo egli che si mostrasse Tesistenza
loro, che si Irovassero isolate dalla materia. Tale esigenza e un po'
strana in un filosofo che ha confessato dalle prime righe del suo la-
voro, 6 ripetuto dappoi, che ci mancano le vere idee delle cose, che
noi sianio condannati ai fenomeni. Appunto perche i fenomeni lumi-
nosi, quelli di calorico, di eletlrico, e magnelico si scostano forle-
mente da quelli che appartengono alia materia da noi delta pondera-
bile, si atlribuiscono a sostanze diverse da quella.

Stabilire che non si possa conchiuderne Fesistenza se non pel mezzo
di fatlo, pel solo mezzo di toccarla e palparla, di separarla, in guisa
da poter dire qui e materia ponderabile, e qui e solo elettrico o sola
luce, contrasla col metodo razionale ed analogico adoperalo in tante
altre ricerche filosofiche. Perche si potrebbe andare piu innanzi colla
stessa esigenza, e dire, che per assicurarsi della esistcnza delFanima uma-
na, e necessario di averla isolala dalla materia che compone il corpo.

Lascio di addurre molte ragioni che favoriscono F ipotesi ammessa
dalla comune dei fisici, anzi da tutti: e quando colla ipotesi della ma-
teria allenuata si avra spiegato tutti i fenomeni de' quali ora si
parla col linguaggio degF imponderabili, i fisici, che sanno non essere
verita apodittica F esistcnza di quei fluidi, si volleranno cerlamente alia
nuova ipotesi che ci sbriga di sostanze novclle. Tale e sempre il vero
andamento analogico nella filosofia delle scienze sperimentali .

Nella proposizione del Fusinieri, che la fluidita di quei corpi non
puo essere primitiva, manca la definizione di stato primitko. Non

46 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

saprei se inlcndcssc lo stato in cul crano appena creati da Dio. Che
sc, dlcendo egli stato priinitivo, vuol esprimcre la condizione delle
ultimo particelle die in cumulo unite forinano un fluido aggregalo;
diro che gli atomisti guardano ogni particella come un solido, ne vi
altribuiscono il caraltere di fluidila che racchiude la condizione di se-
parazione, di facile divisibilita.

Contraslando egH a quei corpi la condizione di fluidita, doveva
pure occuparsi di darne una defmizione, onde almeno dalle note ca-
ralleristiche che vi metteva, fosse dalo di trovare una contraddizione
neiripotesi. Ora siccome dai fisici si da il nome di fluido a quell" ag-
gregato di particelle minime la di cui grandezza sfugge ai sensi, e
che per non essere rattenute da vincolo di coesione scappano e fug-
gono con grandissima mobilita da ogni banda, pare giustissimo di aver
messo tra questa classe di corpi la luce e gli altri imponderabili.

Oppone ancora che il calorico dotato di forza ripulsiva, ossia, io
dico, qualificato nel concetto generale di attivita con modalita di ri-
pulsione, abbia a starsene fra gli atomi della materia ponderabile alio
stato latente, e non piuttosto debba esso spargersi nello spazio. Sa
egli bene, c 1' ha detto, che i fisici, lontani dal commetlere tali gros-
solani error! , amniisero fra la materia ponderabile ed il calorico at-
trazione, lendenza a riunirsi, e die percio il calorico puo essere ini-
prigionato, per cosi dire, sino a certa quantita. Nella chimica ab-
biamo simili andamenti; una base ed un acido quando sono in satu-
razione nascondonsi a vicenda, onde T acido non manifesta molte delle
sue proprieta; ma quando T acido soverchi, ecco tosto dar segno di
sua liberta col presentare i fenomeni che gli appartengono.

Le accuse poi die da air ipotesi degli atomi di luce, di calorico
e via dicendo, le abbiamo ribatlute abbastanza precedentemente . II
qualificare V attivita generale del corpo colla forza ripulsiva fra gli
atomi della medesima natura, colla forza di attrazionc per altri, non
e condizione che implichi contraddizione colla indivisibilita di minime
estensioni godenti di quelle proprieta, ed a questa conseguenza noi
esclusivamente iiiiriamo colle atluali considerazioni.

II Fusinieri annunzia die i fisici sembrano allualmente animettere

DEL PROF. CARLO CONTI 47

un solo fluido, rctere, c che con esse vogliono spiegare tiitli i fe-
noineni che prima si atlribuivano agli imponderabili . Priniieramente
dico clie qiicsto non e vero assolutaniente, e che non sia vero si ri-
leva dai Trattati e dagH scrilli della piii parte dei fisici: i fisici sono
piu giiardinghi di quello niostra il Fusinieri. Desiderio lodevolissimo
di ricondurre tanli effelli ad una causa sola, li muove a nolare fpielle
analogic che potrebbero verificare un sospetto. Cio si fa dalla massima
parte dei fisici che usano, com' e dovere, del principio d'induzione.
Ne credo sia convenienle parlare a quel modo di tutli i fisici, e della
fisica teoretica in generale, quando fosse opinione di qualcheduno sol-
tanlo: altrimenti, con eguale ragione, potrebbe dirsi che sonosi abban-
donate le ipotesi di lanti fluidi imponderabili e sostiluita la materia
attenuata, asserzione falsa.

Dice.il Fusinieri che a queiretere si danno tanle e tante vibrazioni,
oscillazioni, ondulazioni; poteva dire con giustezza che a spiegare i
fenomeni della luce si aramette che il movimento deU'etere si rasso-
migli a quello delParia nel suono, a quello delFacqua nelle onde, a
quello dei corpi solidi quando vibrano.

Desidererei solo che il Fusinieri spiegasse co' suoi principii i due
fenomeni meravigliosi indicati dal calcolo all' Hamilton e verificati dal
Lloyd, del raggio luminoso che attraversando un cristallo in certa po-
situra sorte a cilindro cavo, del raggio luminoso che sotto altre con-
dizioni se n'esce a cono cavo, e questo senza ammettere le vibra-
zioni nella luce od etere, che col suo movimento genera le sensazioni
della luce, ma col principio della emisslone.

Se non che mi lasciai trasporlare nelle analogie abbandonando il
campo logico, che riprendo ancora per poco onde dar termine a que-
ste mie considerazioni.

11 calcolo, continua il dott. Fusinieri, non serve a determinare le
cause fisiche dei fenomeni. Se qui per determinare s'intende che il
calcolo dica quali sono le cause, confesso che non arriva a tanto. Non
si arrivera mai, chiamando x la natura del calorico, a trovare quelPac
bello e determinato da una equazione. 11 calcolo serve a tirar giuste
le conseguenze, anche difficili e complicate, da una ipotesi che siasi

48 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

ammessa; e un ragionamento che si fa con algoiilmo, con metodi par-
ticolari; sicuri pel cammino che si batte, sicurl per le molle confer-
me clie si prescnlano.

Appunto per questo, il calcolo e di grandissimo aiuto nella fisica
che Iralta delle nalurali cose create da Dio in mimero, pondere et men-
sura, quantita che formano il soggetto della matematica. Fate una ipo-
tesi sulla gradazione delle cause, perche altrinienti la matematica non
vi entra, e dessa vi cavera fuori da alcuni dati la gradazione particolare
che locca. Quando poi avremo nel confronto col fatto molte conferme
di quella legge di gradazione, potremo tenerla per legge di natura.

11 calcolo, per esempio, non s' imbarazza nel definire la natura
della causa delPavvicinamento a cui tende la materia ponderabile; ma
dalla gradazione supposta da Newton della proporzionalita colla massa,
deirinvcrsa del quadrato della distanza, il calcolo ci ha regalati della
meccanica celeste.

Leggi di gradazione sono nelPottica trattata col metodo della emis-
sione, leggi di gradazione sono neiroltica trattata col metodo o si-
stema delle vibrazioni. II calcolo ha condotto le prime a concordare
coi fenomeni fino a certo punto, dopo il quale non pote riuscire; il
calcolo ha condotto le seconde leggi assai piu avanti, a scoprirc fe-
nomeni ncppur sospettati, che I'esperienza conferma meravigliosamen-
te. In queste leggi di gradazione non entra per niente la proprieta
di altrazione vicendevole fra le particelle della luce, quella che e co-
mune a tutta la materia ponderabile; quindi e che il calcolo non qua-
lifica la natura producente su noi i fenomeni della luce, ma si svi-
luppa in consegucnze, senza che vi sia mestieri di quella proprieta
della vicendevole attrazione delle particelle che appartiene alia mate-
ria ponderabile, anzi escludendola.

Le vibrazioni, dice il Fusinieri, sono senza causa. Veramente i fi-
sici ammettono una qualificazione nelF attivita generale riconosciula ne'
corpi; c quando si tratta della luce ammettono una modalita di ripul-
sionc, ed ammettono che operi proporzionalmente alia distanza. Spo-
state le particelle di luce, o diremo deiretere luminoso, fanno come
un pcndolo che si scosla dalla verticale, compiono de' movimenti oscil-

DEL PROF. CARLO CONTI 49

hUorii die si propagano per onde ora uniformemente, ora in maniera
diversa, secondo che la condizionc di (jiieir etere e omogenea o no.

Poteva dire il Fusinieri improbabile quella causa, od altro che io
non saprei, ma non gia che I fisici avessero ammesso cosi all' in-
grosso vibrazioni senza causa ; sapendosi bene da ognuno che senza
causa e la sola causa prima da cui Uitte le allre ebbero la loro esi-
stenza .

Siamo alle ultime assurdita notale dal Fusinieri. Egli dice che in
fisica s'e inlrodolta ullimamenle una stranissima moda di filosofare.
Scoperta una classe di fenomeni che non si sa spiegare (cioe ridurre,
io dico, a cause di fenomeni conosciuti), alia causa occulta si da un
nome tolto dal greco, e si crede aver aumentata la scienza. Osscrvo
prima che questo andamento non e recente, ma vecchio assai; tanto
e vero che con lal melodo, come dice il Fusinieri, tornansi alia moda
le qualita occulte degli scolastici.

Pare a me che il rimprovero doveasi dare in altro modo. Sco-
prire una nuova serie di fenomeni e sempre buono per la scienza, e
la scienza per questa parte sara riconoscente al Fusinieri, che colla
sua allivila e diligenza ha trovato alcuni curiosi e rari fenomeni. Dare
un nome a quella causa, non mi pare sia riprovevole; gia quel nome
ricorda solo un gruppo di falti che non si sanno riportarc a cause di
azione conosciuta. Quel nome unifica, per cosi dire, que' fenomeni si-
mili, li comprende in un gruppo e, se non altro, si avra certamente
il vantaggio di sbrigarsi con una sola parola quando occorre di no-
minarli .

Sara male di starsene a quella parola senza indagare la possibi-
lita di riunire quel gruppo ad altro o ad altri di origine meglio de-
terminata.

II rimprovero che si meritano i fisici quando cosi facciano, e di
dare a spiegazione d'uno di quei fenomeni il nome della causa oc-
culta. Qui si che convengo pienamcntc col Fusinieri e con lui mi unisco
a gridare fortemente contro un tal abuso, abuse per altro frequente
in molte scienze naturali, raro nella fisica.

A chiarire meglio questa osservazione scendiamo ad un esempio:
in. 7

50 SULLA FILOSOFL\ DELLA FISICA

un uomo e plu uomini guardandosi nello specchio veggono la propria
immaginc, c rallribiiiscono ad una causa die chiamano ripercussione
della propria fisionoinia, o con una parola sola foggiata dal greco, che
qui non imporla. Domandato poi uno di questi perche affacciandosi alio
specchio si vede la propria immagine, se rispondesse per la ripercus-
sione die e nello specchio dclla fisionomia posta davanti, non darebbe
cerlo spiegazione; che messa a luogo di quella parola relaliva alia cau-
sa la sua definizione, torna una proposizione identica.

La filosofia e campo vastissimo e fecondo, e qui mi sentirei tratto
aU'esame di quella opinione emessa da molli lilosofi che tutto abbiasi
a ridurre al principio d'idenlita. La riserbo ad altro moniento per
non abusare, malgrado T imporlanza degli argomenli, della vostra in-
dulgenza.

Tornando al precedenle soggetto, dico che la spiegazione suppone
una leggc di gradazione nella causa operante, od una legge di rela-
zione fra causa e causa, e die quando si cava da quelle leggi un fe-
nomeno parlicolare cirebbe luogo, si spiega; come quando si cava un
fenomeno parlicolare die poi si verifica, si fa predizione.

Dalla legge di riflessione della luce, da quella semplicissima legge
di uguaglianza tra i due angoli d' incidenza e di riflessione, si cava
che i raggi cadenti su d'uno specchio piano e riballuti, si dispongono
come provenissero da punti al di la dello specchio. L'occhio adunque
riceve quei raggi come si spiccassero da oggetto, e questi fanno ini-
pressione analoga a quella che sorgerebbe dalla vista dell' oggetto reale.
E poidie r occhio, fedele minislro delle impressioni della luce, non
bada agli allri fenomeni die acconipagnano T oggetto reale, lascia al-
Tanima il giudicare; e questa se non confronta quei soli dati delF oc-
chio con gli altri solili ad accompagnarsi alia presenza di oggetto reale,
e tratta in errore. Ma quando Taninia avverte polersi separare le im-
pressioni deir occhio da quelle degli altri sensi, come qui accade, da
un nome a quel solo gruppo e lo chiama immagine.

Con quel criterio della vera e dcirapparente spiegazione dei fe-
nomeni, crilerio che quivi adombrato in altre occasioni tratlero alia
distesa e toccando moltc dottrine scientifiche, pare a me dirigersi la

DEL PROF. CARLO CONTI 51

inentc siil merito che hanno molte tcoriche, sullo scopo iitilissimo delle
ricerche scientifiche, ch' e uno del prlncipall ufficli della scienza della
ragione, della filosofia.

Le precedent! questioni sembreranno di poca utilita, perche serrate
al logico andamento ristretto all'esame di illazioni e premesse. ISelle
scienze naturall quello che piu importa e V induzione, di che dircmo
ad altro tempo. Gia nol non possiamo conoscere Tessenza delle cose,
e forse tal frase non ha significato preciso rigiiardo alle allivita esteriori
ed anche riguardo alia niente nostra. Pare sia stata presa dalle defi-
nizioni essenziali della geometria. Quando io definisco il cerchlo, esprimo
I'essenza di qiiella aslratta figura, cioe tal condizione da ricavarne tante
proprieta come necessarle conseguenze c Tesclusione di tante altre. Si
trasporto questa idea nel mondo reale, si desidero conoscere I'es-
senza delle attivita esteriori, delPanima nostra, ma inutilniente. Per
questi motlvi ho semprc detto che nelle definizioni di spirito, spazio,
corpo, furono niesse note caratteristiche e niente piu.

Se quelle note caratteristiche di corpo, che abbiamo anche troppo
ripetute, ne coslituissero la definizione essenziale, dovremmo col solo
ragionamento cavarne fuori tutte le proprieta dei corpi: invece desse
ci permettono, senza incorrere in assurdo, d'immaginare tante e tante
condizioni di corpo, che non sappiamo se saranno reali.

Stando ai fenomeni, si qualificano alcune di quelle fasi di attivita,
ed e dal continue esperimentare ed osservare che il mondo esteriore
si mettera In maggior relazione con noi.

Se parliamo pochissimo con un uomo, malamente noi possiamo ar-
guire del suo inlerno; parlando niolto e vivendo alia lunga con esso,
arriveremo a conoscere molte delle sue tendenze . Ma 1' uomo ha il
potere e spesso la volonla di nascondersi, d' ingannarci col linguaggio;
i corpi per supremo decreto della Provvidenza ci parlano sempre se-
condo la loro natura.

L'esperienza e Tosservazione ci forniscono i dati sopra i quali col
mezzo deir induzione formansi le ipotesi, che comprendendo i fenomeni

52 SULLA FILOSOFLA. DELLA FISICA

presi a fondamcnto, si cslcndono ad altri in numero indefinito. La fi-
losofia o seienza della ragione c'illuniina sulla scclta dclle ipotesi nelle
varic analogic chc potrebbcro prescntarsi rigiiardo iin gruppo di fe-
nomcni; non esscndo sempre si schlella e facile la somiglianza loro
e qnella dcllc cause da cui si considerano dipendenti. E questo primo
passo, di che sempre abbisognano le naturali scienze, coslituisce la parte
indultiva .

Dair ipotesi cbe racchiudc la legge di derivazione d' innumerevoli
fenomeni, col mezzo del ragionamento, date che sieno alcune condi-
zioni, si cavano i fenomeni particolari che vi si riporlano, e questo
e officio della parte razionale. II confronto di questi fenomeni cogli
effettivi conferma, indebolisce, o distrugge una ipotesi.

Quesla parte razionale, quando e costrelta a raggirarsi sopra altis-
sime astrazioni che raccolgono pochi elementi, perche si estendono a
nunierosissinii fenomeni, a diverse cause contrassegnate da pochissimi
caratteri coniuni, somminislra scarse conseguenze; cd il filosofo che
ruminandovi sopra si stilla il cervcllo per fame una seienza, o si ag-
gira in circolo vizioso, od intesse forme di ragionamento che fruttano
pochissimo.

Raro c che la mente si mantenga in quel forzato isolamcnto da
tutti gli altri fenomeni che sono esclusi nellultima astrazione; la mente
assediata di continue da questi, spesso e sorpresa e crede che appar-
tengano alle conseguenze del suo ragionare.

II linguaggio modellato sopra casi familiari e sensibili, spinio alle
astrazioni porta seco elementi che non vi appartengono; quindi la ne-
cessita di definizioni rigorose per segnare le idee che debbono fare
comparsa nel ragionamento, per separare cpielle che non v'entrano.

Non ci sgomenti qualche esercizio intorno alle piu generali astra-
zioni, giacche condotto con attenzione e diligenza acuisce 1' intelletto e
gli da nerbo, ma coltiviamo con amore ed operosita le scienze spe-
rimentali guidati da quella filosofia che, versando sopra fatti non ische-
letriti per soverchia astrazione, porge alimento ad indagini fruttuose,
ad utilissime applicazioni .

{Letta il 1 Jtjosto 18 45)

53

PARTE SECOKDA

Nello esporvi, in una precedenle adunanza, alcune rlflessioni riguar-
danti il lavoro filosofico del doll. Fusinicri, per non ingrossare di troppo
lo scrltto, e per non abusarc soverchiamente della vostra indulgenza,
lasciai da parte alcune proposizloni suUa di cui csattezza dubitava, e
suppostele pure rigorosamenle dimoslrale, ho rivolto Tesame ad altre
per mettere in chiaro le difficolla die ni'erano insorle. E gia col falto
avrete riconosciuto la convenienza di tale misura, menlre troppo grave
e lunga riusci non pcrlanto quella mia leltura.

L' importanza delF argomento, 1 obbligo che m' era assunto di porre
in netto i miei dubbii, come nella prima parte ho promesso, mi richia-
mano adesso a soslenere le mie asserzioni, a mostrarc 1' inefficacia di
quelle dimostrazioni, non gia a rafforzare le conclusioni dedotte dalla
mia analisi che rimangono intatte.

E qui subilo debbo farlo, primieramente per non separare di troppo
dal primo discorso, qucsto che ne c continuazione e compimento; poi
perche onorandomi il Fusinieri di discussione, e conveniente che quanio
io aveva da dire su quella sua Memoria sia dot to, e cosi tolgasi an-
che il sospetto che nella conclusione delFesame mi vantaggiassi di
qualche osservazionc fat la nella sua risposla o per avvenlura mutassi
viso alle mie considerazioni.

Alia parte che risguarda Fandamenlo logico delle deduzioni ag-
giungero lo sviluppo di alcune idee che mi vennero alia menle nello
stendcre qucllo scritto, e che di passaggio ho notato. Queste idee ri-
portansi alF esame del progrcsso indullivo nelle naturali scienze , e
sotlo questo punto di vista rivedremo le proposizioni annunziate dal
Fusinieri ; cosi soddisfaro alF altro impegno incontrato di temperare
I aridila di una severa analisi logica intorno ad allissime astrazioni,
con uno sguardo di quella modesta filosofia che registra i fatli nalu-

5 4 SULLA FILOSOFIA DELLA HSICA

rali, H dispone a gruppi, tenia le ipotesi, indaga la legge delle rap-
presentate cause, la legge de' falti, e sempre compagna dcU' esperienza
e della osservazione corrcgge e perfeziona col pazienle confronto le co-
gnizioni; di quella filosofia die ferma nel sostenere una legge sino a
clie quadra coi falll, abbandona un' ipotesi e s'appiglia ad altra che
mcglio spiega i fenomeni, pcrche sa non potersi aspirare nelle spe-
rimentali scienze a certezza metafisica.

Mostrato che le odierne dottrine della fisica, come sono profes-
sate dalla maggior parte, il sistema atomistico, V azione a distanza,
le ipotesi degli imponderabili, non contrastano colle prime idee di
corpo, di forza, onde non si possono tacciare di assurdita; mostrato
anzi che nell' ordine analogico sono suggerile dai fatti, che sono adat-
tate alia rappresentazione di tanti fenomeni, costrelti come siamo a
starsene alia manifestazione esteriore di quelle attivita che sono nel
mondo, senza poter sapere della loro intrinseca natura; mi propongo,
perche alcuno non creda ch' io abbia toccata appena la scorza dei
pregevoli lavori esperimentali del Fusinieri, e mi sia limitato a sotti-
lizzare sull' ultima sua Memoria, mi propongo, dissi, nel corso di que-
st'anno di trattare particolarmente dei fatti ch'egli ascrive ad una forza
ripulsiva della materia attenuata.

Nel quale esame mi saranno scorta quel principii di filosofia in-
duttiva che qui andro ricordando, a fine di distinguere cio che vera-
mente apparliene al fatlo, da cio che spetta alia deduzione; e riguardo
a quesla, notando da quali ipotesi muova il ragionamento, sieno poi
desse chiaramente esposte, cio che di rado avviene, o sotlintese, e
come siensi fondate.

II qual lavoro ormai intrapreso, ben volentieri condurro a fine,
rivedendo con attenzione ed ordine cio che di tratto in tratto ho letto,
e perche risguarda copiosi fatti osservati, e perche piu della mia as-
serzione dimostrera che in queste ricerche sono entrato coUa brama
di conoscere il vero, e non con sinistra prevenzione di dover geltare
tutto da banda, per essere stato educalo ad una scuola e per profes-
sare dottrina che il Fusinieri accusa d' immaginaria ed assurda.

DEL PROF. CARLO CONTI 5 5

Qualunque corpo, dice il Fusinierl, persevera ncllo stato dl quiele
od a inuovcrsi iinlformcmente in diretlo, sc non vi e causa esterna
clie gli faccia cangiare il suo slalo. Quesla proposizione chc si mclte
per una delle leggi del moto, c un' induzione suggerita dalla espe-
rienza, non mica una conseguenza necessaria del principio di ragione
sufficiente combinato colla definizione di corpo.

Difatli essendosi definito il corpo per soggetto esteso dotalo di
forza motrice, e poi per forza inlcndendo il Fusinieri ragione suffi-
ciente di moto, quella proposizione suona nel segucnte modo: qua-
lunque soggetto esteso dotato di ragione sufficiente del moto perse-
vera nello stato di quiete, od a muoversi uniformemente in diretto
se non vi sia causa esterna che gli faccia cangiare il suo stato.

Con quella ragione sufficiente di moto, applicala cosi assolutamente
e generalmente al corpo, non poco vi contrasta la persevcranza di
quiete; di plu siccome il moto, di cui il corpo posscde la ragione
sufficiente, non e qualificato di uniforme o vario, di rettilineo o cur-
vilineo, manca proprio la condizione di uniformita, di cammino per
diritto.

Aggiungasi che il Fusinieri ritiene non esservi sostanza puramente
passiva, per cui rigetta una definizione di sostanza data da alcuni fi-
losofi; dunque il corpo che e pure una sostanza, non essendo pura-
mente passivo, puo possedere un'attivita di muoversi da se.

Potrebbesi anche dire, volendo cacciare per tutto quel principio
di ragione sufficiente, se il corpo e in quiete e vi rimane, ha da es-
servi una ragione sufficiente di questa perseveranza: risponderemo noi
che persevera nella quiete perche e soggetto esteso dotato di ragione
sufficiente di moto?

Diro ancora che Fespansione spontanea attribuita dal Fusinieri alia
materia attenuata , contrasta assai colla definizione di materia data
nella Memoria che commento. Ivi e detto che i corpi considerati come
passivi diconsi materia.

Egli e percio manifesto anche in questo case, come nei casi dis-
cussi precedentemente, che certe conseguenze non discendono neces-
sarie da quella aslralla definizione di corpo, essendo semplicemente

56 SULLA FILOSOFLV DELLA FISICA

una dcfinizione per note caralleristiclic, non una dcfinizione deir es-
scnza .

Altre osservazioni mi tocca fare intorno alia dimostrazione del-
la impenetrabilila dc' corpi. Anche qui, che un corpo si opponga a
cedere il poslo ad allro, che dove e un corpo non ve ne possa es-
scrc un secondo, la e verila cosi manifcsta c costanlemenle dinio-
strata dairesperienza, da far meraviglia che i filosofi sieno andati in
cerca di si sollili dimostrazioni. E quindi ne viene che chi sta al fatto
non ne dubita punto, chi vuole prendersi a guida il discorso razionale,
ottenebra quella idea e si sente pullularc nella mente qualche incertezza.

Oia il Fusinicri dice prima che V impenetrabilila e propriela es-
senziale del corpo e che si dimoslra col principio di conlraddizione.
S'ella e essenziale, io soggiungo, ha da entrare nella dcfinizione di
corpo, altrimenli quella dcfinizione e manchevole, e messa nella de-
finizione sara di fondamenlo a cavare altre proprieta. Dimostrare quella
proprieta vuol dire dedurla da altra che siasi ammessa; e questa pro-
prieta sara essenziale o secondaria ? Se essenziale, dimque vi sareb-
bero pill proprieta cssenziali, il che contrasta colla idea che ne danno
i filosofi; se secondaria, cadrebbesi neirassurdo che T essenziale pro-
prieta dipenda da cio che e secondario.

II forte poi del ragionamento del Fusinieri sta in queslo, che se
due corpi fossero compenetrati, occupando lo stesso spazio, ivi sareb-
bero ad un tempo medesimo le qualita delFuno e delPaltro: trattan-
dosi di oro e ferro, ogni piii picciola parte sarebbe ad un tempo
ore e ferro, lo che e assurdo.

A mostrare V insufficienza di questo discorso per generale conclu-
sione, io non prendo due corpi diversi oro c ferro com'egli fa, io
considero ferro e ferro. Allora cessera la contraddizione che nel me-
desimo spazio vi sia ferro e ferro^ per cui sembrerebbe che V impe-
netrabilila fosse sollanlo per corpi diversi. Cosl ricorrendo al princi-
pio di contraddizione, per fare una proposizione necessaria, si esclude
una moltiludine di casi che Tesperienza insegna.

I filosofi lamentano tanlo la poca sicurczza del fatto, dicono essi
che il parlicolare non vale a fondarvi sopra proposlzioni solide e ferme;

DEL PROF. CARLO CONTI 57

c la meccanica dimostra invece assai spesso, che le verila slabilite per
induzlone dai fatli sono talmcnte manifesle e sicure, da nicravigllarsi
di chi ne dubitasse, mentre allre verila che si vogliono dimostrate ra-
zionalmente vacillano, e guai se il fatlo non accomodasse Terrore del
ragionanienlo.

Passo adesso ad esaniinare la dimoslrazione data dal Fusinieri
sulla comunicazione di molo per mezzo di urto. Nel moto antecedcn-
te, dic'egli, vi e la ragione sufficiente di proseguirlo, ed il momen-
laneo ragione sufficiente della contimiazione del moto dicesi conato.
Siccome poi la ragione sufficiente del moto chiamasi forza, il conato
e la forza sono la stessa cosa.

Se il corpo in moto e ridolto contiguo al corpo quiescente, che ne
avverra? Ecco quello che la ragione non sa indicare. Dice il Fusinieri
che se il primo corpo si fermasse, cio sarebbe contro il principio di
ragione sufficiente. Ma quella ragion sufficiente che. quasi anima, muove
il primo corpo, quando pure necessariamente il muovesse a velocita
costante per diritto, al sopravvenire di circostanze csteriori non si
sa che sia per fare. Appunto perche entra in campo un'allra ragione
sufficiente che contrasta la prima, quale sia per esserne il risultato,
Teffetto composto, non al ragionamento si ha da domandarlo. ma
bcnsi air esperienza.

Un grano di miglio avra la sua ragione sufficiente di muoversi
uniformemente e per diritto; quando per altro intoppi in un maci-
gno, che ha la sua ragione sufficiente di star fermo, do-vTa cedere,
ed il come ce lo dira il falto, non il ragionamento.

Tanto e poi vero che nello scontro cessa quella prima ragione
sufficiente di moto, che il movimento si muta.

Assunta anche necessaria la legge di movimento uniforme, cessa
di estendersi a questo caso novello, perche si e gia detto che sussiste
sino air intervenlo di cause esterne, ne piu in la si voile progrediro.

Noto benissimo Hume che, pel nostro spirito, indefinito numero di

accidenti sono possibiH nello scontro di due corpi. Potrebbe il se-

condo corpo, ch'era fermo, al primo tocco sbandarsi e dar luogo al-

r altro che passi ; potrebbe il primo girare attorno al secondo, tornar

IIL 8

58 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

addictro e che so io: una novella condizione aggiunta lurba neces-
sariamenlc quel principio, fosse anche generate, fondalo senz' avorvi
risuardo.

Ed e appunto da questo che rnuove la diflerenza caralterislica delle
due scuole di Hume e di Kant. Disse Hume che noi non abbiamo, ne
possiamo avere 1' idea della connesslone necessaria fra gll avvenimenfi
dcUa natura. Kant ammettendo il princlpio di Hume altrimenti con-
chiude. La causalila, dic'egli, non e nella cosa osservala, dunque e
neir osservalore; non e oggelllva, dunque e soggettiva. E poiche la
congiunzione, continua Kant, che si pone fra il moto del corpo urlante
e quella deirurlalo non viene dalPesperienza, essa e soggettiva. En-
Irando in campo il Galluppi osserva che se fosse soggettiva do>rebbe
essere necessaria, ma lo spirito non riconosce questa necessita, dun-
que, egli conchiude, non puo essere soggettiva.

Cosi mcntre Hume e Galluppi riconoscono che lo spirito non vede
la necessita di comunicazione di moto, Kant vuole quella ragione sog-
gettiva, ed il Fusinieri si assume di dedurla dalla legge di perse ve-
ranza di un corpo nello stato in che si trova. Xante e si diverse sono
le sentenze del filosofi che credono da una definizione descrilliva po-
tersi cavar tutto razionalmente, da far dubbiare sui fatti piii palesi e
manifesti chi loro abbadasse.

Piu innanzi e detto che il conalo del primo corpo di occupare il
luosfo del secondo si chiama conflitlo od urto, che il conflitlo e causa
necessaria di comunicazione di moto, che anzi nessun'altra causa e
concepibile, e che Furto del secondo nel primo nominasi reazione.

Dair idea di corpo, per quanlo la si esamini, non si cava la ne-
cessita di quella comunicazione; Teffelto dcllo scontro ci viene indi-
cato daU'esperienza e come uno dei casi di moto, non gia come Tuni-
co, perche i fcnomeni ci appalesano moti senza lo scontro, e sara
semplice ipotesi il credere che questi riducansi poi a comunicazione
per contatto. Non so poi come, usando della parola urto nel significato
che le fu attribuito, si possa dire urto del secondo corpo nel primo.

A mostrare T inconvenienza di quelP applicazione basta richiamare
la definizione e sostiluirla alia parola che la rappresenta. Metlendo in

DEL PROF. CARLO CONTI 59

luogo di conato la sua definizione, ne viene che urlo e 11 niomcntaneo
ragioii sufficiente della conlinuazione del nioto del primo corpo dl oc-
cupare il luogo del secondo; ed applicando quella frase al secondo.
ne viene che urlo e il niomenlaneo ragion sufficiente della conlinua-
zione del molo del corpo in quietc. Cosi tradoUa la parola urlo, so-
sliluita la definizione al definito, ne alcuno puo opporsi, la proposi-
zionc parla da se.

Si scorge die il voler cavar fuori da una idea una condizione che
non vi si e compresa conduce a slranezze, ed in luogo di un giusto
razionalismo si cade in oscurita e contraddizlone.

JNe passero sotto silenzio V asserzione che V urto del primo corpo
sul secondo e di questo sul primo sieno due idee equivalenli, non
potendo inlendere come sia equivalente V idea di corpo che perde di
velocita e quella di corpo che acquisla velocila; come sia equivalenle
r idea di corpo che pi*ima movendosi si arresta, e 1' altra idea di
corpo che prima essendo quielo poi si niuove.

Osservero ancora che si Iratla di esporre i fondamenti della leo-
rica deirurto de' corpi senza dire che cosa sia massa ed elasticila. La
definizione data di corpo non comprende il caraltere di massa, ne
quello di elasticila. E quando pure si tenesse per dimoslrata la ne-
cessita che un corpo, incontrandosi in altro che posa, lo dctermini al
moto; abbisognano altri principii, o diro meglio suggerimenti delFespe-
rienza, per dire in che maniera procederanno le velocila.

Certamentc chi dietro la definizione prende in aiulo tullo quello che
ne insegno I'esperienza, e lo crede raccolto nella definizione, vede ne-
cessarie quelle conseguenze. Ma questa e una illusione logica.

Contrasta poi questa maniera razionale voluta dal Fusinieri di de-
durre necessariamente gli effetli dell' urto, con quello ch' egli ha detto
espressamente nelle prime linee, che ci mancano le vcre idee delle
cose esterne, che le idee si limitano alia superficie, che niente sap-
piamo di quello che e veramente interno de' corpi.

A tullo questo s' aggiunga che le questioni sull' urto de' corpi sono
delle piu difficili a trattarsi nella meccanica, che solo ne abbiamo abboz-
zata la soluzione in qualche caso. Ne si dica che la leorica dei corpi

60 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

pcrfottamente duri o molli e facile e rigorosa ; oh' lo mi riporto al
(alio e qiiello ha da dccidere. lo non so die fare di quelle doUrine
che si dicono verc in teorica, false in pralica, quando si tratta di spie-
gare i fenomeni della natura. Al piu saranno passi falti per arrivarvi,
non mai lavoro compiuto; ed il Fusinieri non voile certamenle parlare
di corpi fitlizii, ma de' corpi che sono in nalura.

Ed e ancora da avvertire che riguardo alle azioni de' corpi a di-
slanza, riguardo airaUrazione universale, abbianio problemi difficili si
ma risoluli completamente, circoslanze di moto dedotte, che Tosscr-
vazione mirabilmcnle conferma. Cosi mentre si vorrebbe lirar tulto al-
Purlo, la meccanica e imbarazzata nolle qucslioni di comunicazione di
moto per urto, e grandeggia e va superba per quelle dei movimenti
che si appalosano dipendenli da azioni a dislanza.

In lutta quesla disamina io convcnni col Fusinieri sulla definizione
di corpo; c mostrai mano a mano col ragionamento che non ne de-
rivano per nienle quelle conseguenze ch' egli vorrebbe, ond' e che a
torto accusa i fisici, che la pensano altrimenti, di assurdita e di con-
traddizione. Ho supposto giusta la definizione, e la tengo giusta come
ho delto da principio, senza fare mai la domanda che ho serbala a
questo momento: da che ha egli cavato quella definizione?

Permettete che su questo pimto spenda poche parole, giacche tal
esame convalida per altra maniera tulto quanto fu detto sin qui, e
mi aprc la via a quelF idlima parte del lavoro che contiene alcuni prin-
cipii, alcune regole di filosofia induttiva.

L' idea di corpo qualificata dalla nota di estensione e di attivita
non puo essere che soggettiva od oggettiva, quando pure, riguardo al-
F origine delle idee, si considerino in tutla generalita i sistemi filosofici.

Primamente non credo che il Fusinieri si metla con quei filosofi
trascendentali che guardano lo spazio e 1" estensione come una forma
dello spirito nostro; poi, se cio fosse, domanderei a lui cd a tulti
questi se si limitano a considerare quella idea di corpo innata nel-
r anima, come una scmplice contomplazionc interiore, ovvero se vo-
gliono che abbia una corrispondenza col mondo rcale. Nella prima sup-
posizione lascieremo quel fantasma ed il suo culto a tali sacerdoti,

DEL PROF. CARLO CONTI 61

giacche niuna relazione ha con quanto c' Interessa. Neiraltro caso, poi-
chc alcuni Irasccndcnlali dicono chc le intuizioni soggettive assuniono
un valore oggettivo nelF cspcricnza, e nianifcsla una riccrca importan-
tissima: posto die quella Interna ed intima intuizione ha da combinare
con quello che e fuori dclFanima, con quali mezzi Faninia puo vcri-
ficare questa corrispondenza?

Fingete che tahino dica di possedere nella mente V immagine di
una persona non mal vedula ; volendo verificarc quella corrispon-
denza tra il fantasnia sorto In qualsiasi maniera nella fantasia e Y ef-
fettiva persona, di che mezzo sara per usare? In questa circostanza e
chiara la risposla: del mezzo de' proprii occhi guardando la persona.
Allora pronunziera se sia giusta o no quella sua anticipata rappresen-
tazione.

Dunque anche nel sislema filosofico delle idee innate, quando si
tratli di fisiche verita, e necessario di esaminare per quali fenonieni
dc' sensi si arriva alia importante conclusione che le interne rappre-
sentazioni corrispondono a realta.

Stando alia sola intuizione interiore, tutto quello che si cavasse sara
al piu esercizio logico e costringente Tassenso della mente che lo fa,
non gia conclusione che abbia applicabilita esteriore, e meno ancora
conclusione a cui ogni mente pensante sia obbligata di darvi assenso,
sotlo pena di essere accusata di assurdo o contraddizione.

L' idea deU'ente sia pure innata, sia un elemenlo della dote delFani-
ma quando e mcssa col corpo prima che per questo suo ministro abbia
avulo commercio col mondo esteriore; in qual maniera vcrifica Tani-
ma che quella sua intuizione combina colle rapprcsentazioni del mondo
esteriore, come trova un' applicabilita vera e reale di quell' elemento
soggettivo ?

Del resto veniamo alia considerazione che V idea di corpo sia og-
gettiva, nel che consente il Fusinieri, avendolo espresso chiaramente
col dire che le idee delle cose ci venaiono dai sensi.

A definire questa idea bisogna richiamarci ai fatli particolari che
rappresenta ed alia generalita dei caralteri che si sono assunti, alia
forma con cui si sono delerminati.

62 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

Ecco che questi fatti si spartono in due grandi classi. Slanno nella
prima Ic modificazioni prodotte sopra di noi direttamente ; nella se-
conda tulte le viccndevoli modificazioni prodotte dai corpi fra loro,
ed a noi rivelate per fenomeni. Nella prima classe le attivita esteriori
agiscono direttamente sopra il nostro essere; nella seconda classe dei
fatti, le modificazioni che riceviamo sono un linguaggio con cui quelle
atlivita ci appalcsano cio che fanno Ira loro.

Un sasso urta nel mio corpo e mi fa provare una modificazione
che direttamente mi manifesta quanto possa sopra di me quelfeste-
riorc causa ; un sasso s' incontra in altro e lo sposta o lo muove o lo
spezza, il fenomeno visivo mi rivela un elTetto di quella prima atti-
vita operante sulF altra.

In questa multiforme scrie di fenomeni si trova intanto un carat-
tere comune, quello dell' estensione . Poi si trova il mutamento o pro-
prio 0 prodotto. Se adunque con attivita intendesi generalmente la fa-
colta di modificarsi e di modificare, coUe due note di estensione ed
attivita si qualifica generalmente T idea di corpo.

Bisogna per altro ricordarsi che siffatta dcfinizione e descrittiva, non
e essenzialc. Quei caratteri desunti dai fenomeni e rilenuli in quanto
che si appalcsano variamente si, ma in tutti i corpi, bastano per dire
quello e corpo; ma da essi soli cosi in generale non ci sara mai date
di arguirc tulte le proprieta parlicolari dei corpi. Quella definizione e
propriamentc da paragonarsi alle definizioni artificiali della botanica.
Una pianta porta un fiore in cui vi ha una corolla distinta affalto per
semplice carattere da tutti gli altri fiori; ecco che la frase botanica
ch'esprime quella strutlura costituisce la definizione arlificiale di quella
pianta. Vorrcte dedurre da questa la configurazione delle altre parti,
le proprieta della pianta? ben si vede che noi si puo fare, mentre
nella medesima parola di artificiale e chiaramente espresso lo scopo di
quella definizione.

Fra le modificazioni di un corpo vi e il moto od il mutamento di
moto combinato al fenomeno di contatto, di scontro. Certamente que-
sta e una fase, e una maniera di attivita de' corpi. Stando a questa
sola dovrebbesi dire che il corpo e soggetto esteso dotato della pro-

DEL PROF. CARLO CONTI 63

prieta di cssere mutato nel suo stato di quiete o di moto quando e
sconlralo da ahro soggeUo cslcso.

Ovc si adoltasse qucsta definizione cesserebbe la neccssila di fare
un ragionamenlo, per dire che un corpo scontrandone un allro in quiete
lo muove.

Questo bo dctto percbe se il Fusinieri, in quel carattere di forza
motrice attribuita al corpo, s' intendesse propriamente di aver messo
la circostanza del mutamento di stato per contatto o scontro, osservo
cbe cessava il bisogno di fare lungo discorso per conchiudere che il
conflitto od urto e causa di comunicazione di moto; poi ripeto che
tale definizione di corpo sarebbe povera e manclievole ; in fine con-
chiudo che non poteva accusare di assurdo o contraddizione chi, stando
a piu larga definizione, comprende nel carattere di attivita I'azione a
distanza.

E ormai tempo che abbandonando il campo logico, il confronto se-
vero delle premesse colle conseguenze, esaminiamo le proposizioni del
Fusinieri riguardo all' induzione, per vedere se sia vero che quanto la
esperienza insegna, contrasta o malamente si adatta alle ipotesi che
corrono per le scuole. Gia ben s' intende che, se cio fosse, il peccalo
dei fisici sarebbe solo di poca avvedutezza nella scelta delle ipotesi o
delle maniere con cui si rappresentano i fenomeni del mondo; non mai
quelle di cadere in assurdila o contraddizione, ammettendo essi pro-
prieta nel corpo che vengono escluse dalla medesima sua definizione,
accusa che ben alia lunga ragionando, abbiamo ribattuta e dimostrata
insussistente .

Molte e variate sono le sensazioni o modificazioni nostre, le quali
non dipendono dalla nostra volonla, ma seguono spesso suo malgrado,
e percio si attribuiscono ad attivita esteriori distinle dalla nostra.

Tali fenomeni dispongonsi a gruppi, a classi, secondo la nostra sen-
sibilita, secondo la maniera con cui noi li riportiamo a cause esterne.
Fine a questo punto si starebbe semplicemente nella sloria di cio che
sentiamo senza andare piu innanzi.

Ma I'umana mente si estende al passato, al futuro. L'uomo crede
che le cause esteriori abbiano prodotto effetti che non si rivelarono

6 4 SULLA FILOSOF[ A BELLA FISICA

ad csso, che le cause cstcriorl continueranno ad operare nelP avve-
nire anclie quando egli sara tollo a qucsta gran sccna del mondo ma-
teriale.

Per quesla credenza ruomo melte continuita nel passato che ha
esperimentato ad intervalli, fra il passato esperimenlalo e quelle che
sfuggi a' suoi sensi, fra il passato e Tavvenire.

Questa e condizionc delF aiiima nostra voluta dalla Provvidenza,
non e frutto di ragionamento che riposi sopra altri principii, e invece
base di quelle deduzioni che menano a particolari verita. Ben disse
Hume, non essere la ragione che ci animaestra, il future essere si-
mile al passato; e quindi adombro F idea di un islinlo, di una legge
dello spirito.

INe solo Hmne, le di cui opinioni potrebbero essere sospetle di
scetticismo, ma nei libri de' filosofi piu moderati trovasi e la necessita
di quesla -visione di continuita, e meglio ancora la conoscenza di un
sentimento dato da Dio alFanima, pel quale, senza raziocinio, crede
alia concatenazione delle cause cogli effetti. Ed a questo mirarono i
sistemi filosofici, fra' quali Farmonia prestabilila di Leibnizio, la visione
in Dio di Malebranche.

Noi ci rappresentiamo quelle cause per mezzo de' fenomeni che
ce le hanno rivelate, e distribuiamo per gradi i molli fenomeni ap-
partenenti ad una classe. Di qui F idea della varia intensita della causa
relativamente a quei fenomeni.

Dobbiamo ricordare che i fenomeni ci hanno condolti alF idea di
quella causa, che ce la rappi^esentiamo come potenza operante quei
fenomeni, che allra idea di quella causa non possiamo avere. Cosic-
che la credenza di quella causa dipendc da una legge delF anima no-
stra; la sua rappresentazione nella nostra mente risulta dal gruppo
dei fenomeni pei quali F anima venne in quella credenza. Ferro, le-
gno, acqua, olio e che so io, sono nomi di attivila esleriori ferma-
mente credute, definite per fenomeni particolari che loro corrispondono.

La lendenza di attribuire i fenomeni a cause, di spiegare, di pre-
dire, e cosi forte nelFuomo, che il piu zotico formasi la credenza di
cause, spiega, predice, e spesso con maggiore persuasione delF illu-

DEL PROF. CARLO CONTI 65

mlnalo, ond' cbbe a dire lo Stewart non esservi maggior teorico che
r ignorante.

L' esperienza e V osservazlone che danno origine a quella credenza
di cause, sono quai punti dlrettori che guidano nella difficile \ia
delle verita naturaH.

Ogni fenomeno si lega a molti altri, e noi teniamo che uno o po-
chissimi bastino ad assicurarci di una causa contrassegnata anche da
molti indizii. Cosi si cade talvolta in errore, errore della niente che
riticne il concorso di tutli quei fenomeni indicatori al manifestarsi di
uno solo o di pochi. Che se i filosofi studiosamente segnano questa
sorgente di errore, io considero che d' altra parte senza questo slancio
saremmo in una continua diffidenza, le nostre determinazioni sareb-
bero lentissime; da mane a sera saremmo condannati ad una continua
verificazione, da poter appena so^'^enire a' nostri bisogni principali.

Badare attentamente la prima volta alia serie delle modificazioni
che corrispondono ad una causa, andare guardinghi quando in novelle
esperienze ed osservazioni sianio tolti dalF ordinario andamenlo, e ri-
vedere quei legami che ci siamo formati quando fenomeni particolari
sturbano le ammesse credenze; ecco le regole di filosofia induttiva che
ci possono fruttare assai.

Le manifestazioni del mondo esteriore per V uomo sono ad inter-
valli, formano per esso una serie discreta, a salti; e la legge di con-
tinuita, le leggi particolari di relazione sono in fine ipotesi espresse
o soltintese. Quindi e che le ipotesi sono volute dalla condizione dello
spirito nostro. La menle che non facesse ipotesi sarebbe come quella
di uomo in letargo che si sveglia a quando a quando riscosso da azioni
esteriori, sarebbe come quella di uomo privo di memoria che sente e
niente piu.

E queste conclusion! che potrebbero sembrare troppo generali stan-
no salde contro qualsiasi sistema filosofico che le oppugni.

La mente crede ad un legame, ad una relazione tra i fenomeni;

verita e questa di cui nessuno puo dubitare. Questo legame non lo

legge direttamente nel mondo esteriore, prima perche i dati che ha

sono particolari, isolati ; poi perche quello che fu e non V ha osservato,

in. 9

6g SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

qucllo clic sara, non puo cntrarc ne' suoi dati; e I' aspettazione del
futuro simile al passato c una frase con la quale si annunzia la ge-
neralissima ipotesi della conlinuila, dellc relazioni tra i fenonieni e le
cause.

Quella credenza e nelFanima mediante le modificazioni che riceve
dal mondo esteriore; senza di qucste, derivanti daH'csperienza e dal-
Tosservazionc, niuna idea avrebbesi delle vicende della natura. Per
quelle che va poi a mano a niano ricevendo, Tanima si conferma
nella persuasione prima concepita, o corregge ed abbandona le prima
vedute.

JNelPesamc del grandissimo numero d' ipotesi, sulle quali poi si
esercila il ragionamento, a me pare doversi fare una principale di-
slinzione. Metliamo due scrie di fenomeni e che Ira quelli delFuna
ed i corrispondenti deirallra si trovi una relazione; T anima ben pre-
sto formasi V ipotesi che tale relazione sia generale, che abbia luogo
per tutti quel fenomeni delle due classi che si presenteranno.

Nella fisica aljbiamo frequenti esempii di qucste leggi, che potreb-
bero dirsi dei fenomeni. Le tre leggi di Keplero appartengono a que-
sta classe. E per venire a piii familiari esempii le leggi della rifles-
sione e della rifrazione sono di qucsto genere. Ivi si tratta di espri-
mere, qualunque siasi la causa, una certa corrispondenza fra due serie
di angoli che rappresenlano i fenomeni della luce quando e ribattuta,
quando trapassa.

Allorche il Fusinieri accennava la necessita di starsene ai fenome-
ni, pare a me abbia avuto in mira queste leggi dei fenomeni, leggi
di molto aiuto nello studio della nalura; leggi che comprendono quello
che i sensi ci somministrano, e che, una volta determinate con molta
cura e per lunghi confronti accertate, sussistono qualunque siasi il si-
stema che si adotti per ispiegare le cause di quei fenomeni.

Ma la mente umana si spigne piu innanzi a vedere un ordine di
fenomeni ch'esprimono T intensita delle cause. Quell' ordine di feno-
meni caratterizza la maniera di azione delle cause in guisa da cavarne
per conseguenza particolare le prime leggi che abbiamo accennato.
Keplero ha dimostralo colF osservazione quelle tre leggi; Newton risali

DEL PROF. CARLO CONTI 6 7

airattrazionc universale, da cui scendono come corollarii. Cio che im-
porta nolare si e, e qucsto sia detto per i molli casi simili che si tro-
vano nelle scienze naturali, che Newton confronto la serie dei fenomeni
che qualificano I'attrazione doppia, Iripla ec, colle dislanze e le masse.
Ho detto serie di fenomeni che qualificano atlrazione doppia, tripla,
sapendosi bene che cio si risolve in ispazio e tempo, che sono quan-
tita misurabili e rappresentanti la velocila che si prende a misura del-
r intensita della causa.

Quindi e che per fenomeni esprimiamo le condizioni delle cause,
e per fenomeni le classifichiamo ; per gradazioni di fenomeni espri-
miamo le intensita delle cause: e le scienze naturali progrediscono ed
aumentano colla scoperta delle leggi fenomeniche, e delle leggi ch'espri-
mono la relazione tra fenomeni misuranti Y intensita delle cause e fe-
nomeni che corrispondono a varii effetti.

Spiegare e predire nel concetto filosofico sottosta alle medesime
condizioni, riducendosi al mostrare che due fenomeni sono legati per
una legge che si e supposta. Spiegansi i fenomeni che furono, si pre-
dicono quelli che hanno da succedere. Spiegare Tepoca in cui e av-
venuta un'eccllssi di sole, sta nel mostrare che, secondo i movimenti
de' corpi celesti, T ombra della luna appunto allora doveva arrivare
alia terra e spandersi per determinate regioni . Predire 1' ecclissi che
avra luogo in epoca futura torna il medesimo. E solo variare la data
del tempo per cui si calcola.

E se facciamo grandissima differenza tra spiegare e predire, se fa-
cilmente ci mettiamo a spiegare un fenomeno osservato, se siamo ri-
trosi invece a fare una predizione, cio avviene pcrche nel dare spie-
gazione si prendono elementi anche estranei, sapendosi dove tocca ar-
rivare; nella predizione e la sola legge che ci guida.

Spiegare adunque suppone una gi'adazione di fenomeni, una legge
di cui si mostra esser caso particolare quello che si considcra. Quel
fenomeno non ha da essere esplicito nella determinazione della legge,
altrimenti farebbesi circolo vizioso.

Un sasso lasciato in balia di se stesso cade. Dire che questo avviene
perche e grave, perche e soggetto alia gravita, non e spiegare il fe-

68 SULLA FILOSOFIA DELLA FISICA

nomcno. La caduta de' corpi ci condusse a definire la gravila; quel
fenomeno e comprcso nclla definizione.

Un pendolo compie la sua oscillazione In dato tempo. Mostrando
che cio dcriva dalla gravita si da una vera spiegazione, menlre il fe-
nomeno del pendolo non entra esplicitamenle nella definizione della
gravita .

Tornando al lavoro del Fusinieri diro che riguardo alle prime pro-
posizioni delF impenetndjilita, della comunicazione del moto per urto,
i fisici sono d' accordo con esso : gia Y esperienza parla assai manife-
stamente, ed abbiamo gia dimostralo alia distesa che inutilmente si
tenta stabilirlc per via di ragionamento.

Una numerosissima serie di fenomeni di movimento si presenta
fra corpi a distanza, mdvimenti di corpi che dipendono da allri c che
si collegano per intensita alle distanze. Percio siamo obbligali ad am-
mettere silTatta attivila ne' corpi, da influirsi ne' moti a distanza e non
per urto. E un vessillo, secondo il linguaggio medesimo del Fusinieri,
solto cui si schierano que' moUeplici fatli; e propriamentc stando ai
fenomeni, lo che tanto egli giuslamente raccomanda, dobbiamo rap-
presentarci tal maniera d' azione nei corpi . Se avverra che per nuovi
fatli si dimostri che quei fenomeni riduconsi a casi di urto o scontro,
allora riuniremo in una sola classe tutti i fenomeni di movimento di-
pendenli da azione di corpi.

La legge delF attrazionc universale non soffrira verim cangiamenlo,
avendo piu sopra osservato che quella legge mette in relazione una
serie di fenomeni, che direbbesi misurare I'attrazione, con una serie
di fenomeni che comprendono massa e distanza. Qualunque siasi la
causa di quella maniera di avvicinamcnto fra due corpi, Tesposta legge
sussistera sempre, perche confcrmata da tante osservazioni .

L' ipolesi degli atomi, intendendosi gia de' corpi semplici, oltre a
che ne rappresenta benissimo alcuni fenomeni della chimica, e sugge-
rita da quel notissimo fatto, che un corpo sprigionato da una combi-
nazione con allri ha le medesime propriela di prima. E ragionevole
il pensare che le parlicelle ullime delP idrogeno, che con quelle del-
r ossigeno ban formala I'acqua, sieno rimasle inlatte.

DEL PROF. CARLO COiNTI 69

Supponiamo che mettcndo insieme e varlamente agitando granelli
di varia nalura, scparandoli poi dalla commistione, le masse dei gra-
nelli abbiano il inedesimo volume, le medesime proprieta ed appa-
renze di prima; sara ben ragionevole il ritenere che quei graiielli siensi
serbati inlalli.

E poi che difficolta porta seco il sistema atomislico in quelle spie-
gazioni di fenomeni che abbisognano di ima enorme divisibilila della
materia? niuno ha detto che latomo delF idrogeno sia, in volume, la
millesima parte del granello di sabbia. Se si dicesse che occorre im-
maginare una particella d' idrogeno minore di un milionesimo del vo-
lume di granello di sabbia, il sistema atomistico non vi si oppone. A
tutti i fenomeni di attenuazione della materia osservati dal Fusinieri
puo corrispondere il sistema atomistico. Sara piutlosto da pensare come
in quella immensa diradazione della materia si possa escludere lazione
a distanza, e tutti i moti abbiano a seguire per urto soltanto.

Dunque il sistema atomistico rappresenta alia nostra immaginazione
molti fenomeni; non si oppone, ne puo opporsi a quelli che addoman-
dano una grandissima e portentosa divisibilita della materia; non con-
trasta colla idea di corpo: e percio tal sistema e suggerito dalla filoso-
fia induttiva.

Vengo alia ipotesi degli imponderabili, e particolarmente alia ipo-
tesi del calorico, affinche il discorso sia meglio determinato; tanto piu
che quanto diremo per questo, si potra riportare agli altri fluidi suoi
compagni.

I corpi che diciamo ponderabili, oltre a tante proprieta per le quali
distinguonsi fra loro, producono sopra di noi quelle modificazioni che
diciamo caldo, freddo. II ferro, il marmo, il legno, Tacqua ed altri
corpi esposti al fuoco, esposli al sole, acquistano la proprieta di pro-
durre sulla nostra mano, quando li locca o loro si avvicina, la sensazione
del caldo. Tale sensazione si csperimenta con varia intensita se acco-
stiamo la mano, se la esponiamo al fuoco od al sole.

Questa proprieta comune a quei corpi dopo che furono esposti al
fuoco, i fenomeni che producono sopra di noi analoghi a quello che
esperimentiamo direttamcnle dal fuoco, suggerisce V idea che dessi ab-

70 SULLA FILOSOFFA DELLA FISICA

biano acquistala qiiclla facolta, die non sia loro propria, e che tale
inodificazione derivi da altra causa, da un corpo particolare.

Cosi (jiiando loccando colla mano piu corpi, provlamo una sensa-
zione analoga a quella die si esperimenta al tocco di panno bagnato,
riconosciamo che un velo di acqua circonda quei corpi, e che dal-
Facqua addossata proviene quell' uniforme sensazione. Se colla lingua
si locchi olio, vino, acqua, e si provi una sensazione salina analoga
a quella che si prova assaggiando il sale comune, si credera ragione-
volmente che in quei liquidi sia sale. E se quei liquid! abbiano un
sapore spiccalo comune che non abbia a fare con quello che e loro
proprio, dircmo che in essi vi e sostanza particolare.

Quanto piu quei primi corpi solidi si lasciano csposti al fuoco,
quella proprie[a di riscaldarc la mano che li tocca, trovasi apparte-
nere alia parte piu interna, e quindi si rinforza la prima induzione
di altribuirc tale potcnza a corpo particolare che a mano a mano in-
vade quelle materie.

Cosi i primi fenomeni di calore si attribuiscono ad una causa di-
versa dai corpi ordinarii, a particolar corpo die diciamo calorico; e
quei fenomeni ne costituiscono la prima dcfinizione.

I fenomeni di riscaldamento non annunziano quelH di dilatazione
operati dal calorico sopra i corpi che invade, ne la mutazione di stato
che vi produce; ma rcsperienza e Tosservazione mostrandoci congiunti
que' due elTetti, ci obbliga a risguardare quelle due proprieta perti-
nenti al calorico.

Certamente che questo avanzamento di cognizioni si fa per sintesi,
essendo, come ho dctto altra volla, le definizioni di che usiamo rela-
tive ai corpi, definizioni arlificiali che servono soltanto a distinguerli
fra loro, ne giti, come avviene nella geometria, definizioni essenziali
da cui col ragionamento si cavano tante proprieta collegate necessa-
riamente.

Guardate ne' libri de' naturalisti e vedrete i segni per riconoscere
i varii corpi, segni per la massima parte indipendenti gli uni dagli
allri. La proprieta che ha il ferro di combinarsi alFossigeno dando
origine a corpi che hanno alcune peculiari proprieta, non e legata

DEL PROF CARLO CONTI 71

colla sua tcnaclta, ne col siio peso specifico, ne col suo colore. La
parola fcrro e quel nome, quel simbolo che rappresenla nella mente
il corpo cui appartengono certe proprieta. E quanto piu si procede
colla esperienza e colla osservazione, si agglungono allre proprieta, e
talvolta si legano insieme proprieta, di maniera che Tuna fa passare
ad altra.

Quel calorico che penetra nei corpi e di particella in parlicella si
trasfonde come acqua che si caccia in materia porosa, alle volte attra-
versa Taria e si diflbnde anche per raggi, o per meglio dire arriva
a' corpi senza fermarsi tra via, come lo spruzzo di acqua bagna le pa-
reti lasciando asciutla Taria per cui passa.

11 calorico si riflette secondo le Icggi dell' elasticita perfetta, cioe
arriva ad un luogo come arriverebbe corpo elastlco ripercosso.

L' esperienza e T osservazione fornirono mezzi di descrivere la gra-
dazione dei fenomeni che noi altribuiamo a queslo corpo, alia ma-
niera di sua azione.

Cosi nel penetrare ne' varii corpi, ncl diffondersi per la loro mas-
sa, nel modo di uscirne si notano le varie conducibilita; e questa pa-
rola, come tante altre, riportasi a fenomeni che descriviamo, che mi-
suriamo.

Trovaronsi leggi di fenomeni che assoggettate a calcolo servirono
a spiegare, a predire alcuni fatti, e la conferma dell' osservazione ci
assicuro di loro esaltezza.

Dobbiamo al Melloni 1' indicazione di numcrosi fenomeni che di-
mostrano questo calorico eterogeneo, c quindi ci conviene ammeUere
differenti raggi di calorico dotati di varie proprieta riguardo ai corpi
che trapassa.

La natura si rivela a poco a poco, e per sintesi si compone il Hbro
delle scienze sperimentali. Bella e sublime e I'idea o la speranza di arri-
vare ad una legge che tutte le particolari leggi leghi ed unisca, che a
verita neppure sospeltale ci meni. Lodevoli i voli della fantasia nella
scienza quando tenia di trovare un nesso, ima unione fra i fatti che ap-
paiono indipendenti . La scoperla dell' atlrazione universale, che con un
solo principio spiega tanti movimcnti complicati, scusera sempre questa

72 SULLA FILOSOFLV. DELLA FISICA

speranza deiruomo, se pure nel lungo volgcr del secoli rimanesse delusa:
ed il sislcma dcirondulazlone, pe' fcnomcni della luce, incoraggia il fi-
sico a pensarc die da un solo fluido provengano i fatti del calorico,
r incoraggia ad imniaginare che da un solo fluido derivino i fenomeni
che ora ascriviamo a tanti corpi.

Ora il Fusinieri vorrebbe die i fenomeni del calorico derivassero
dalla materia ordinaria, e da questa ancora i fenomeni deirelettricita,
della luce, del magnelisnio. Qual vanfaggio ha questa ipotesi sopra quelle
delle scuole? Per ora queste proprieta diverse dalle altre che ci pre-
sentano d'ordinario i corpi, bisogna metterle a lato, non confonderle
con quelle che si conoscono. Che il ferro attenuato penetrando nelle
mie fibre produca la sensazione di calore, che entrando nel ghiaccio
lo risolva in acqua, ch'entrando nell'aria la riscaldi e la dilati, sareb-
bero fenomeni divcrsi, indipendenti da quelli che abbiamo riconosciuti
in quel corpo. E tali fenomeni, o simili, si avrebbero dall'acqua atte-
nuata, dagli olii, dagli altri corpi.

Cosi alia schiera de' fenomeni, che ora diciamo del calorico, si do-
vrebbe dare la denominazione di fenomeni della materia altcnuata.
Dunque non si avrebbe che mutato il nome.

Ma r ipotesi del Fusinieri ci obbliga ad ammellere ne' corpi, ridotti
ad attenuazione, proprieta opposte a quelle clic presentano in masse
sensibili. L'olio non ha tendenza di unirsi alF acqua; attenuato e ri-
dotto capace di produrre i fenomeni del calore si unirebbe al ghiac-
cio liquefandolo, senza piu dar segno di se: vice versa corpi dotati di
affinita non presenterebbero in quella attenuazione tendenza ad unirsi.
Di quante specie di materia attenuata dovrebbe riempirsi una boccia
quando ci si offre riscaldata, e sempre senza combinazione?

I corpi solidi die conosciamo sono imperfettainente elastic! ; ridotti
ad attenuazione acquisterebbero la perfetta elasticita.

Ecco adunque che quella ipotesi esaminata neir induzione e infe-
riore c d'assai alia ordinaria, la quale, descrivendo i fenomeni, li aUri-
buisce a cause speciali diverse dai corpi ponderabili.

Calorico, luce, elettrico, magnetico, sono nomi, sono simboli che ci
riuniscono alcuni gruppi di fenomeni diversi da quelli che ascriviamo

DEL PROF. CARLO COiMI 73

alia mak'iia ponderabile. La via indulliva ci consiglia a separare quelle
cause dalle ordinarie; altrinienli doviessiuio ritenere i medesinii gruppi
o classi di fenonieni, e denominandoli per effetti della materia alte-
nuata, senza alcun vantaggio nella determinazione delle leggi, dovres-
simo dimenticare le solite proprieta, quasi che i corpi ordinarii aves-
sero due o piu nature.

E qui ormai pongo termine a queste considerazioni suggerite da
attento e paziente esanie del lavoro del Fusinieri, la di cui autorita
mi spinse a dubilare delle correnti dottrine, benche sostenute e pro-
fessate da fisici distinti; e a non fidare piu in esse, senza prima aver
ponderate per quanto meglio io sapeva, le ragioni per le quali ei le
condanna come erronee ed assurde.

Onde credo che, sebbene io non sia per attenermi a quanto egli
consiglia e vorrebbe. gli avro date segno manifesto di stima qual ei
ben merita, non di quella che il piu sovente dimostrata soltanto in
parole e con eslerni segni, e poi conlraddetta col fatto da chi rigetta
senza ponderazione, senza analisi, senza pensarvi pur sopra, suggeri-
mcnti opposti alia propria opinione.

E queste considerazioni ho voluto leggervi, perche appunto toc-
cando a molli fra voi di accogliere o rigettare le ri forme della fisica
proposte dal Fusinieri, abbiate a pronunziare finale sentenza dopo che
vi saranno state messe innanzi ed avrete bastevolmente esaminate le
ragioni die militano per Tuna e per Pallra parte.

{Letta il 30 Xoiembre 1845)

in.

KIOVA DETERMI^AZIONE

DELLE COSTANTl RELATIVE

ALLV RESISTE\ZA D'ATTRITO

NEL MOVIMENTO DELL'ACQUA

PE^ lL.\Gin TIBI Dl COXDOTTA E PER Gil AlVEI
DEL PROF. DOMENICO TURAZZ.\

0.

'gni qual volta la teorica, per mancanza di dati o per difficolla
cui non valse per anco a superare, si vegga costrelta a lasciar da
parte alcune ricerche, della cui soluzione ha frequente ed imperioso
bisogno la pratica, suole quest' ultima far corredo del maggior nu-
inero possibile di osservazioni, e cio collo scopo di cercarvi per en-
Iro una qualche leggc che non e dato alia teorica di mostrare, od
almeno un mezzo con cui giungere alle soluzioni desiderate.

Due strade sono ordinariamente battule in tale ricerca. Luna e
quella di accomodarc al bisogno una formola di interpolazione^ la
quale, adattandosi ai casi cffettivamente osservati, possa far nutrire
fondata speranza di inchiuder pur quelli che dai medesimi non si di-
lungan di molto. L'altra, preferibile sempre ogni qual volta sia pos-
sibile usarne, si e quella di considerare attentamente le variazioni pro-
dotte nella quanlita che si cerca da quelle che subiscono i ^arii ele-

76 NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec

mcnti da oiii essa dipendo, ed, abbozzata la legge di tali Aaiiazioni,
coslruire la foiinola relaliva, complelandola col necessario nuinero di
foslanli. chc dal oonfronlo colic varie osser\azioni ed esperienze vcn-
goiio ill apprcsso determinate.

Quest" ultimo modo die tiene, per cosi dire, il mezzo fra la sem-
plice interpolazione e la rigorosa teorica, ha sul primo, quando si possa
praticarlo, il notabilc vantaggio di potersi allargare nelle sue applica-
zioiii, cssendo per esso assai maggiore la probabilita clie la continuita
della lormola sussista ancora pel fatto.

Nelle formole clie vengono di tal modo costruite devonsi dunrpie
attentamente osservare due cose, la composizioiie della formola cioe,
e i valori delle costanti cirentrano nella medesima. Egli e solo col
moltiplicare le esperienze e le osservazioni clie si possono sce^erare
le cause efficienli da quelle chc accidenlalincnle soltanto accompagnano
il fenomeno; che si puo conoscere T influenza di queste cause, e si
rende possibile di scoprlre la legge secondo la quale esse operano, la
funzione infine dei varii dementi che misura I" inlensila del fenomeno.
E qui con\ien ricordare che e ben altro il dire un fatto determinato
essere prodolto da una certa causa, altro il pretendere di avere con
queste sole parole data la spiegazione del fenomeno; die questa e al-
lora solo perfetta, quando valga a seguire e misurarc il fenomeno in
tutte le sue varie e minime cradazioni. Intravvista la leace secondo
cui alcuni dementi dipendon dagli allri, si riuniscono fra loro quesli
dementi in una formola mediante alcune costanti opportunamenle in-
Irodolte, e dipendenti dai parlicolari \d\ov'\ numerici dei detti de-
menti nei particolari casi contemplati dalla formola.

Se la legge presnpposta in essa formola fosse la vera, ed esattis-
sime fossero le varie osservazioni, per giungere alia determinazione nu-
merica dei ^alori di quelle costanti baslerebbe prendere un numero
d osservazioni eguale al numero delle costanti medesime, e formare
con queste altrettante equazioni da cui rica>are i >alori cercali. Ma puo
la legge non essere che aj)prossimata, le varie osservazioni od es[)e-
rienze essere aflette d errori piii o meno notabili, e allora quei valori
delle costanti che vcnissero di tal maniera determinati, s'accorderebbero

DEL PROF. DOMEMCO TURAZZA 77

bcnsi colic ossorvazioni preso a (ondamonto della loro doterminazione,
ma condurrcbbero ad error! anche (orli per tulte quelle die non si
fossero fatte concorrere nella ricerca dei valori predetli. Ora la proba-
billla d'una formola c deterininala non gia dalla sua coincidenza con
alcuni casi special!, ma da! l!m!l! estrem! fra' quali slan comprese le
diHerenze dei valori calcolali con quell! somministrat! dal falto ; e
quanto pin sono ristrelti tali limit!, tanto e maggiore la bonta della
formola. Percbe i valori delle costanti riescano allora determinati nel
modo il piu proprio, e mestier! far concorrere tulle le espericnze alia
loro determinazione, ed e noto che la formola che fosse cosi deter-
minata deve soddisfare alia condizione che la somma do! quadrat!
degli error! sia un minimo, imperocche sla a favore di una tal for-
mola la probabilitfi della esattezza. Queslo metodo, che e conosciuto
solto il nome del metodo dei minimi quadratic gia da lungo tempo
adoperato in aslronomia, e ognun sa con quanlo successo, venne pure
ultimamente introdotto pe' medii delle osservazioni meteorologiche, e
dovrebbe sempre essere esclusivamente usalo in tulle le altre scienze,
nelle quali si present! il bisogno di analoghe determinazioni.

E perche quanto ora abbiamo detto riesca d! piu facile e comune
intelligenza, non sara qui inutile il soffermarsi alcun poco ad un esem-
pio parlicolare. Supponiamo che sopra im piano qualunque si debba
tracciare una relta colla condizione ch' essa debba passare per alcuni
punt! segnat! nel piano medesimo. E evidente che sc i punt! proposti
saranno due solamente, allora la retta sara pienamente determinala,
ne alcuna indecisione occorrera nel suo tracciamento . Ma se i punt!
proposti fossero in numero maggiore di due. allora non polrebbe es-
sere che per un caso al piu alto grado improbabile ch essi si trovas-
sero esistere tutti in una retta medesima, anche se a questo scopo
appunto fossero stati disposti da una mano e da un occhio fra i piu
esercitali. La retta allora che piu si avvicinera a soddisfare la condi-
zione imposta pel suo tracciamento, sara quella da cui quei punti si
scostano meno che da un'allra qualunque. quella che passando a loro
inframezzo tiene al piu possibile rislreili i limili delle estreme devia-
zioni dei punti medesimi. Ora e evidente che se condurremo una retta

78 NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec.

la quale j)assi per due tli quel punli scelli ad arbllrio, questa retta
si scostera piu o mono dagli allrl tuUl, e le devlazloni loro potranno
essere anclie sensibilissime. Si Iratta ora di cercare quale sia quella
retla per cui tali deviazioni son miniine, e a quest' uopo, ineglio ehe
qualunque altro, sopperirebbe il inetodo de' minimi quadrali. 11 caso
ora accemiato si presenta appunto allorquando, col solito metodo del-
r ombre di eguale lungbezza, si voglia tracciarc la linea meridiana in
un piano orizzontale; cbe i punli di mezzo degli arelii attraversati dal-
TomJjre eguali sarebbero in linea retta nel solo caso cbe non si fosse
commesso alcun errore nel segnare que' punti, pei quali avvenne il
passaggio negli arcbi predetti.

E per ritornare all' argomento, da cui il desiderio di rendere chiaro
e palpabile lo scopo di questo mio scritto mi aveva per poco distolto,
ricordero aver detto cbe le osservazioni cbe noi prendiamo a fonda-
mento delle nostre ricercbe, possono essere affette d'errori piu o meno
grand! ; lo cbe ci si rendera immediatamente evidente per poco cbe
si considerino i mezzi d' interrogar la nalura, cbe sono in nostro po-
tere. Ogni esperienza cbe per noi si intraprende addomanda misura
di quantita, e questa misura se alcune volte si presenta facile e spon-
lanea, alcune allre invece esige praticbe e mezzi coi quali c impos-
sibile raggiungere una scrupolosa esattezza. E quindi evidente cbe non
si puo sempre cbiedere ad una formola il mcdesimo accordo col fatlo,
ma cbe si dee commisurarc la sua convenienza alia bontii delle os-
servazioni, e non esigere dalla stessa risultamenti cosi prossimi agli
osservati, cbe gli errori della formola sieno notabilmente al di sotto
degli errori probabili dell' osservazione medesima.

Quesle cose io andava meco stesso pensando nell' occasione di do-
vere stendere un libro di pratica idrometria per I'uso della mia scuola.
e di dover in esso dellagliatamente Iraltare dei due problemi del mo-
vimenlo dell' acqua pe' lungbi tubi di condotia e per gli alvei; pro-
blemi, la cui soluzione cade appunio nel secondo caso da principio
accennato.

E noto cbe ambedue le formole cbe liuidano alle soluzioni deside-
rate poggiano sopra una parlicolare slima della resistenza dovula al

DEL PROF. DOMEiMCO TURAZZA . 79

soflrca;amento dclF acqua lungo le paretl del tubo entro ciii scorre,
o sopra il fondo e le sponde degli alvei ne' quali si muove. Portando
la nostra aUenzione sul varii elcinenll che possono influire sopra una
lal resistenza, i quali sono il perimetro della sezionc in imniedialo
contallo coir acqua, e che percio appunio addoniandasi perimriro ba-
gnato, I'area della sezione, la velocita media dell' acqua, e finalmente
pe' tubi la lore lunghezza, sara facile il vedere che non lutli si de-
vono comportare egualnienle, ma che laddove la perdita cresce al
crescer d alcuni, deve invece diminuire all' aumentarsi di altri: cosi
sara dessa maggiore quanto e piu grande il perimetro e la velocita,
e minore invece quanto sara maggior la sezione. Se non che quesla
sola cognizione non essendo sufficienle a fondarvi sopra una formola,
e meslieri procedere ad unipotesi circa alia funzione che lega fra loro
gli elenienti accennati. La piu semplice maniera di soddisfare a quella
prima condizione essendo la ragione diretta e I'inversa, si tento di
rappresentare di tal niodo le varie esperienze; e solo dopo aver ve-
dufo non accordarsi esse con un solo termine proporzionale al qua-
drato della velocitii, si introdusse per questo elemcnlo un nuovo ter-
mine semplicemente proporzionale alia velocita. La formola allora as-
sunta a rappresentare la resistenza dallrito e pei lubi

pegli alvei

CL C L

■ v' + b

s s

a — v' + b — r,
S S

dove C, iS, V rappresentano il perimetro bagnato, la sezione e la ve-
locita media, ed L la lunghezza del tubo ; a e b sono poi le due co-
slanti che restano a determinarsi, e che si vogliono in modo che pei
lubi quella formola esprima altezza premente, pegli alvei forza acce-
leratrice.

Complelata dal Coulomb nel modo ora accennato la formola per
la resistenza d'attrilo ne' tubi e negli alvei. il Prony s'accinse pel
primo alia determinazione numerica dclle due costanti « e 6, e quindi

80 NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec.

r Eviehveiii, i cui valori sono anche i piu coimiiiemcnlc adoperati nella
pralica, c la cui liccrca forma lo scopo diina sua Mcnioria inserila
fra quelle dell" Acoademia di Berlino per gli annl 18!'i-181o, e negli
Jnnoles des J/inex, toni. XI, pag. All.

INe' (piadri die accouipaguano quella Memoria Irovasi falto il coii-
fronlo iVa i valori della velocila somministrali dalla forniola c quelli
dali dair esperienza; dal quale confronlo sebbene risulli che la for-
mola segue abbaslauza davvicino F esperienza, pure si vede ch'essa
in molti casi se ne nianliene ancora cosi discosta, da far desiderare
una piu minula discussione della formola slessa c risultamenti piu
prossinii ai vcri.

E qui non posso a meno di non notarc die il D' Aubuisson, nel
suo corso d' idraulica ad uso degli ingegneri, adolla pe' lubi allri coef-
ficienli, ricaAali, siecome egli accenna, dalle esperienze del Couplet; ma
quei coefficienti malamente s'accordano colle esperienze ancbe del-
ristesso Couplet. E cio io ho unicamente detto per metlere in guar-
dia i pralici sulluso di quei coefficienti, die proposti da autore di
fama non dubbia, e messi in un libro meritamente slimato, potrcb-
bero condurre ad errori non tollerabili.

Prima pero di entrare in verun esame c necessario che ci solfer-
miamo alcuii poco inlorno ai dati che ci vengono soinministrati dal-
r esperienze, ed alia probabilita maggiore o minore della loro esal-
tezza. I dali die noi dobbiamo procurarci si riducono pei tul)i, ordi-
nariamente circolari, e tali in tulle le esperienze die si posseggono,
al loro diamelro, alia loro lunghezza^ al carico d' acqua sul cenlro
della bocca d'efflusso, e finahnenle alia velocila media con cui Tacqua
scorre per essi : pegli alvei, alP area della sezione, al perimelro ba-
gnato, alia pendcnza, e finahnenle alia velocila media deU'acqua che
corre cnlro i medesiini. Ora per poca pralica die si abbia di tali nii-
sure, e facilissiino lo scorgere che i dali relalivi ai lubi si possono
avere colla piu sollil precisione, ed invece quelli die si riportano agli
alvei non si possono ricavare dalle diretle misure se non con gros-
solano grado di approssiniazione, ma nulla piu; e die percio laddove
possiamo aspirare a molta esatlezza per quei dati die spetlano ai lubi.

DEL PROF DOMENICO TURAZZA 81

dobbianio invece accontentarci di una sufficiente approssimazione per
quclH relalivi agli alvei.

Conchiudercnio da cio non essere tollerabile se non se piccoHssimo
cri'ore nella formola che si riferisce ai tubi, ma potervi avere diffe-
renze ben maggiori in qiiella che agli alvci apparliene, poiche le
islesse osservazioni che possono avere il nierilo di inolta esattezza nel
prinio caso, possono essere affelte d'errori piu o meno notabih nel
secondo. Non dovra quindi recar meraviglia se nelle tavolc di con-
fronlo fra i risullanienti della formola, e quelli somminislrati dal fat-
to, si trovera notabile differenza fra quelle tavole che appartengono
ai tubi, e quelle che inchiudono le esperienze sugli alvei: le note che
alcune volte trovansi apposte ai quadri medesimi porranno in caso
di giudicar facilmente la confidenza maggiore o minore che si puo
avere nelF esperienza medesima.

Possessori come noi siamo di un gran numero di prege^oli espe-
rienze ed osservazioni, dobbiamo riprendere le formole stesse, e cer-
care di renderle tali che si scostino il meno possibile dair esperienza.

Comincieremo dal considerare la formola che rappresenta la per-
dita in carico dovula alia cosi detta resistenza d'attrito nei lubi, for-
mola che pei tubi cilindrici si puo scrivere sotto raspetto

4/:

4 L

v'

+

b

D

D

essendo a e b \e due costanti numeriche che si devono determinare,
D il diamelro della base.

Falle concorrcre tulte le esperienze insieme alia detcrminazione
dei valori dei due coefficlenti predetti, si trova che gli errori della
formola sono troppo sensibili, per poter in pratica usar della slessa
con abbastanza fiducia. E assai probabile che cio avvenga soltanio
per non esser la piu propria quella funzione che si e assunta, e per-
che i varii element! che hanno diretta influenza nella slima di questa
perdita, debbano entrare nella composizione della formola in modo
diverse da quelle che un prime aspello e minor numero d" esperienze
aveane fatte supperre.

III. n

82 NUOVI COEFFICIEiNTI IDROMETRICI fc

Per procedcre allora nel niodo il piii scmplice, e necessario clas-
sificare Ic varic csperienze in gruppi, per ciascun dei qiiali sia co-
stanle uno dei quattro elementi che entrano nella formola; e vedere
se una determinazione speciale dei due coefficienti per ciascun gruppo
in parlicolare. conduca la forniola cosi vicina alF csperienza, da indurre
la fondata credenza ch'essa sia convenienlemenle posla rapporto agli
altri elementi, cosicche si possa supporre che sia sufficienle alluopo
variare la composizione della formola rapporto a queirelemento sol-
tanto. Fu questa I'idea che spinse Venturoli pel primo, e quindi il
cavalicre di Gerlsner a classificare le csperienze in rapporto al dia-
metro. Questo istesso cammino venne pure da me seguito, ed e per-
correndolo per intero che ho potuto raccogliere le conseguenze che era
slo per esporre.

Classificate dunque le csperienze secondo i varii diametri, e de-
lenninati per ciascun diametro gli speciali valori numerici di quelle
costanti, si ha motivo di rimaner sorpresi delP accordo della formola
col fatto, attesoche gli errori della formola sono allora dello stesso
ordine dcgli errori probabili dell' esperienza; cio che si rendera evi-
dente percorrendo le tabelle che accompagnano cpiesto mio scritlo.
Dovrem dunque conchiudere essere giusta la composizion della for-
mola rapporto alia lunghezza, al carico, alia velocita media, ma ri-
chicdere una correzione rapporto al diametro; unico elemento, a quanto
sembra. la di cui influenza non sia esatlamente espressa dalla formola
supcriore.

Dietro quanto abbiam detto e mestieri cercare se V influenza di
tale elemento si possa sottoporre a facile espressione, e completare
con cio la formola, senza pero ch'essa perda notabilmcnte della sua
semplicita; e solo se non ci riescisse di raggiungere un tale scopo,
polremo servirci di quella formola, ma variando i valori dei coeffi-
cienti numerici secondo il variar del diametro, procurando di slendere
un quadro dei loro valori in corrispondenza ai varii diametri, per ri-
correre ad esso nei varii casi che la pratica puo presentare.

A quest' uopo appunto io calcolai i coefficienti suddetti per tutti
quei diametri pei quali si posseggono esperienze di non dubbia esat-

DEL PROF. DOMENICO TURAZZA 83

tezza, e qucsta tabclla si Irovera insieme al oonlVonto colle esperienze,
nel scguito di queslo scritto. Lc conseguenze die la tabella predelta
(A) ci pone immediatamente sott'occhio, si compendiano nelle seguenli.

1." I coefficienti nuinerici variano sensibilinente al variar del dia-
melro.

2.0 Queste variazioni sono niollo pronunciate nel coefficienle della
semplice velocila; non molto grandi per quelle del quadralo della ve-
locita stessa.

3.0 II coefficienle del quadi'ato della velocila diminuisce in princi-
pio col diamelro, poi cresce invece al diminuir del medesimo presen-
tando iin minimo pel diamelro di circa cinque cenlimelri.

4.0 II coefficienle della semplice velocila cresce conlinuamenle al
diminuir del diamelro.

Costruendo le curve dei valori dei delti coefficienli si avranno
quelle rappresenlale in figura (Tavola I), dove la (a) esprime la curva
di a, e la (b) quella di b ; egli e medianle tali curve che si sono ol-
lenuli i coefficienti medesimi pei diamelri intermedii a quelli delle
esperienze che si Irovano nella tabella i?, i quali valori pero sono ben
lungi dal meritare la fiducia dei primi.

Osservando che le variazioni si riporlano principalmenle sul se-
condo coefficienle, il quale cresce al diminuir del diamelro, e che le
variazioni di b.\X D sono piccole, come si puo scorgere in figura,
dove la curva di tali valori e la (I0 6lX/>), sembra che la formola
da adollarsi pe' luJ>i debba essere la

i L ^ A L

a. • r* + /3

e che una variazione cosi semplice della formola sia sufficienle a dare
alia formola stessa il caraUere di una plausibile approssimazione. La
curva corrispondenle ci moslra pero die pei piccoli diamelri le va-
riazioni son Iroppo sensibili, e che quindi la formola superiore non
e proprianienle applicaljile se non pe' diamelri superiori a un centi-
nielro ; allora nel calcolo dei coefficienli « e /3 converra unicamenle
appigliarsi alle esperienze di Couplet, Bossul e Dubuat; e cio avendo

8 4 NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI u

io fatto. la niia supposizione venno pienaineiilc avverala, come lo mo-
stra il confronlo colic espcrienze I'iporlalo ncl (juadro n. VIII.

L' accordo colF esperienza dclla lonnola pc lul)i e ben luna;i dal
conliniiare per quella die rappresenla la resislenza datlrilo ne2;li al-
vei. del die le cause accennale in principio ci danno plausibile spie-
gazione. Per aAAicinarla maggiormenle al caso reale ho tentalo di^i-
dere le varie esperienze in Ire classi, e deferminare i coefficienli per
ciascuna in parlicolare. Qucsto metodo riesci in parte, cioe gli errori
vennero altenuali, ma, e mi convien confessarlo, essi sono ancora tut-
t' altro die trascuntbili . La divisione venne basata sul crado della ve-
locita, e le tre classi appartengono a velocila inferior! ad un metro,
a quelle comprese fra nno e due metri, e superior! a due melri, pel
qual ultimo caso, disparendo il termine proporzionale alia sola velocita,
la formola si riducc anclie notabilmente piu semplice, e varia soltanto
un poco nel coefficiente numerico da quella alia (juale il Tadini dieile
il nome di caiinne pei canali e pei funni. Forse, ed io sono il primo
a confessarlo, una tal divisione non e la piu propria, e sarebbe slalo
assai meglio classificare le dette esperienze rapporto alia pendenza;
ma e cosl difficile di stimare esattamente la pendenza, cir io ho cre-
duto dover preferire il primo metodo, il quale inline vi fa in qualche
inodo concorrere anche la pendenza medesima.

Ho rigettalo le esperienze che il Dubuat esegui con piccoli ca-
nali artefatti di legno, imperciocche esse si allontanan di troppo dai
casi reali della pratica, ne sono paragonabili i dali che si possono ri-
cavare per qucsti canali e pei fiumi, e quindi gli errori probabili del-
r esperienze non essendo tulli del medesimo ordine, non sono para-
gonabili fra loro le esperienze medesime. Cosi pure trascurai le espe-
rienze del Bertelli riportate dal Masetti nelle sue note alF idraulica del
\'enturoli, e cio perche non e detto come le velocitti siensi osservate
e perche V inteslazione di porlata dedolta indica che non fu essa os-
servata. Di piu, F accordo dei risultamenli del calcolo con quelli del-
Fosservazione, accordo a vero dire straordinario, e molto superiore a
quello presentato dalle stesse osservazioni fondamenlali , induce a do-
ver ragioncvolmente sospettare della loro esattezza.

DEL PROF. nOMEMCO TURAZZA 85

Devo .ivvcrtirc per ultimo die. dietro 1" eseinpio di Evlelweiii. iii-
vece di rendere niiniina la soinnia dei quadrali della (juanlila

«'

M

4 L

H ■

~27'

1-'

— rt I "

D

4 L

— b r.

D

H

~27'

- tJL v"

D

C

C

P -

-a — V
S

' — 6 — f,
S

ho

reso

niiniina

la

somnia dei

quadrat!

dell" allre

a V

+ b —

D 1
[H-

2 yA

a. I

/3

D

("-a^

) +

1/

D Mv

a V

+ b-

C v'

Cio infine non reea differenza notabile, e i ooefficicnli delenninati
in quesia ultima maiiiera tenendo la forniola im poco piu \icina alia
esperienza, lio creduto ehe meritassero la prelVrenza. In fine della
Memoria si troveranno anche quelli che sarebbero sommlnislrati dal
metodo in primo luogo accennato.

Le formole fondamentali essendo pe' tubi

oppure

e per gli alvei

t^ 4 L H L

H = a t)' + 6

2 g D D

I' 4 Z, o 4 Z

H = :i d' + /6

29 D D \/ D

C C

n = a — v'' + b— c.
S S

dove // esprinie il carico, p la pendenza; applicando il metodo dei
minimi quadrati alle quantila superiormenle indicate, e posto per bre-
vita

(h ) = f

86 NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec

0(1 indioato con » il miniero dollc espericnze o dcllc osscrvazioni. si
ha pei tidji

,

» 2 r /•— 2 t. 2 /■

I a -
(1)

» 2 r' — (2 I))'
2 /■ 2 r' — 2 r 2 r /•

f ^ '

H 2 d' — (2 !))'

2-2 (./■— 2 —^2

D \/D y D

(2).

r

2^2„'-f2 -^ y

2 «' 2 — !- 2 — — 2 V f

2 - 2 r' - (2 )

D \ y DJ

c per gli

alvei.

ponenc!

lo

si avranno i coeffioienti a e b dalle slesse lonnole (I).

Pel calcolo poi delK influenza die gli errori possibili nella slinia
(lei dali possono avere sulla velocita. si avranno pei lubi le forniole

b

- + v

(, V a 2. a L t L

~V~~ M V + iV "IT" IT

b

1- ''

0 1 a 2, a L \ D

V Mv+N n D

I V I

I- 2 I' (.V I' + 3 )
dove per brevita si e posto

I/I.

I A L 2 L

2 g D D

DEL PROF. DOMEMCO TURAZZA 87

c per ifli alvei

b

I r a I I,

b p

- + 2 I'

6

— + r

n IC

b C

- 4- 2 I-

Ij

a 2 <y

V b S

h 2 i;

a

Calcolati i ooefficienti numerici si avra poi la velocita dalle lormolo
pei lubi

' ~ Ji

dove M ed N hanno i valori superior! per coefficienti speciali, e souo

1 4 z „ 2 z:

2 J, D Di/D

pei coefficienti generali « e /3.
Per s\\ alvei sara

Debbo avvertire infine che i valori dei coefficienti die ora son per
riportare suppongono tufto misurato in metri.

QUADRO I.

Esperienze del Couplet con uii tubo del diametro di 5 potlici parirjini:
corrispondenti a O^.ISSSS

Valori dei coefficient i

b
0 = 0,00028659; 6 = 0,00002807; —=0,09794

a

b
log. a = 6,45727 log. 6 = 5,44825 log. —= 8,99099

a

Confronto colle esperienze

Lunghezza

Carico

Velocita

Velocita

u — (r)

v — (v)

osservata

calcolata

L

H

r

d')

V

secondo E} -
telwein

0,6767

0,1441

0,1444

— 0,0019

— 0,060

0,6497

0,1411

0,1407

+ 0,0027

— 0,056

2280

0,5707

0,1301

0,1297

+ 0,0033

— 0,059

{i,^b^ii

0,1117

0,1U8

— 0,0013

— 0,068

0,3061

0,0854

0,0861

— 0,0078

— 0,087

0,1592

0,0544

0.0542

+ 0,0049

— 0,062 f

III.

42

90

NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI fx.

Influenza degli errori probabili sui dati dell'esperieaza
pel carico massimo e minimo

Espe-
rienza

per

V

Sz) = o.ooi

ptT

r

= 0.001

L

(jV

per

r

<,//= 0.001

I"
6'

0,0046
0,0054

0,0005
0.0006

0.0009
0.0046

Avvertenza. Le esperienze del Couplet qui riportate sono quelle da lui eseguite a Versailles
sul lubo che dalla Piazza di s. .\ntonio niette a! serbatoio della Piazza Delfiiia. Molte altre espe-
rienze si trovano nella Menioria del Couplet sopra altri condoiti dello stabiliniento medesinio,
ma queste per essere ingombre troppo di straniere resistenze non si prestano ad un calcolo pre-
cise.

DEL PROF DOMENICO TURAZZA

QIADRO II.

Esperienze del Bo^sut con un lubo del diamctro di pollici parigini 2,01:
conispondenli a 0'",05 441

94

Valori dei toeflicienli
fj = 0,00025806; 6=: 0,000046:

= 0,17826

log.a = 6,4H74 log. 6 = 5,66279 log. — = 9.25 1 05

a

Confronto colle esperienze

Lunghezza

Carieo

Velocita
osservata

Velocita
calcolata

P-(r)

1

V

L

H

I'

('-)

V

secondo Ey-
telwein

9,745

0,6497

i,5945

1,5913

+ 0,0026

+ 0,063

id.

0,3248

1,0915

1,1057

— 0,0130

+ 0,087

19,490

0,6497

1,1640

1,1668

— 0,0024

— 0,029

id.

0,3248

0,7908

0,8038

— 0,0164

+ 0,000

29,235

0,6497

0,9682

0.9573

+ 0,0112

— 0,054

id.

0,3248

0,6444

0,6552

— 0,0168

— 0,019

38,981

0,6497

0,8364

0.8270

+ 0,0112

+ 0,015

id.

0,3248

0,5606

0,5630

— 0,0056

— 0,020

48,726

0,6497

0,7436

0,7360

+ 0,0102

+ 0,013

id.

0,3248

0,4954

0,4987

— 0,0107

— 0,033

58,471

0,6497

0,6695

0,6435

+ 0,0387

— 0.009

id.

0,3248

0,4433

0,4337

+ 0,0216

— 0,051

Influenza degli enori probabili sui dati lieU'espei-ienza pel carieo massinio e mininm
nella massinia e minima lutjcliczza

Espe-
I'ienza

per

V

>,Z>= 0,001

per

= 0,001

per

V

S//= 0,001

l»

0,0077

0,0004

0.0008

O'l

0,0079

0,0004

0,0017

11»

0,0099

0,0005

0.0009

12"

0,0103

0,0005

0.0018

92 NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec

QIADRO III.

Esperienze del Bossut con un tu/jo del diametro di pollici parkjini i ed
corrispondenti a O^.OSei

Valori dei coefficienti

a = 0,00026; 6 = 0,00005605; - = 0.24556

log. a = 6,41504 log. 6 = 5,7 486 1 log. —= 9,33357

a

Confronto coUe esperienze

v — (r)

Lunghezza

Carico

Veloeita
osscrvata

Veloeita
calcolata

*-('■)

I

L

H

V

(0

I

secondo Ey-
lelwciii

9,745

0,6497

1,3150

1,3110

+ 0,0030

+ 0,031

id.

0,3248

0,8980

0,9025

— 0,0050

+ 0,006

19,490

0,6497

0,9317

0,9356

— 0,0042

— 0.008

id.

0.3248

0,6328

0,6360

— 0,0051

- 0,03 4

29,235

0.6497

0,7605

0,7566

+ 0,0051

— 0.020

id.

0,3248

0,5131

0,5098

+ 0,0064

— 0,010

38,981

0.6497

0,6502

0.6478

— 0,0037

— 0.035

id.

0.3248

0,4369

0.4329

4- 0,0093

— 0.068

48,726

0,6497

0,5697

0,5722

— 0.0044

— 0.054

id.

0.3248

0,3810

0,3798

+ 0.0031

— 0,055

58.471

0.6497

0,51 19

0,5160

— 0,0080

— 0,067

id

0,3248

0,3403

0,3 40 4

— 0.0000

— 0,099

Influenza degli crrori probabili sui dati delPesperienza pel carico massimo e minimo
nella massima e minima Innghezza

Espe-
rienza

Br
per

V

Bi
per

IL

^ = 0,001

L

— - per

I'

g//= 0.001

l-i

0,0128

0,0005

0,0008

2.1

0,0132

0,0005

0.0017

ll''

0,0159

0.0006

0.0009

12''

0,0168

0,0006

0,0019

DEL PROF. DOMENICO TURAZZA

93

QUADRO IV.

Esperienzc del Dubuat con tubi del diameiro di 1 pollicc di Purigi:
corrispondcnic a 0"'.027l

Valori dei coefiicienti

a = 0.0002679; 6 = 0.00006069; — = 0,2265:

log. a = 6.42790 log. 6 = 5,7831 0 ioc — = 9,35520

Confronto colle esperienze

Lunghezza

Carico

Velocila
osser'sala

Velocita
calcolata

.-(P)

L

H

r

('')

f

seeondo Ey-
tclwein

3,1672

0,9745

2.2995

2.2719

+ 0,0120

+ 0,079

id.

0.7219

1,9301

1.9443

— 0,0073

+ 0.051

id.

0.4873

1,5784

1,5839

— 0,0035

+ 0,049

3,7320

0.5671

1,5918

1,6044

— 0,0079

+ 0.037

id.

0.1624

0,7942

0.8222

— 0.0351

— 0.019

id.

0,0189

0.2352

0.2353

— 0.0004

— 0,096

19,9505

0.6416

0,7761

0,7736

+ 0.0032

— 0.038

id.

0.3952

0,5916

0,5874

+ 0,0071

— 0.055

id.

0.3709

0.5677

0,5663

+ 0,0024

— 0.062

id.

0.3335

0,5411

0,5324

-t- 0.0160

— 0,007

id.

0.2431

0.4500*

0,4418

+ 0.0182

— 0,068

id.

0.2431

0.4408*

0.4418

— 0.0022

— 0,087

id.

0,2106

0,4091

0.4053

+ 0,0093

— 0,086

id.

0.1605

0,3604

0,3434

+ 0,0471

— 0,067

id.

0,1137

0.2889*

0,2765

+ 0,0428

— 0,117

id.

0.1137

0,2826'

0.2765

+ 0.0215

— 0.098

94

NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec

Influenza degli errori probabili sui dati delPesperienza pel carico massimo c minimo
di lutte e tre le liinghezze csperimentate

Espe-
rienza

8.
per

V

Sz)=o,ooi

- — per

V

=0,001

per

V

S//=0,001

i'

0,0139

0,0004

0,0005

3'

0,0142

0,0004

0,0011

A'

0,0149

0,0004

0,0009

6"

0,0199

0,0005

0,0332

7'

0,0197

0,0005

0,0009

16'

0,0207

0,0006

0.0017

Avverlenza. Furono lasciate le due ultinie esperienze del Dubuat come quelle che ossendo
istituite coi piccolissiini carichi O^jOlSS; 0'",0041, si risentivano troppo dei possibili errori
d'osservazione.

Le esperienze segnate con asterisco nella tabella di eonfronio, scbbene eseguile nelle identi-
che circostanze, differiscono gia fra loro, e gli errori sono del medesimo ordine dei pii'i grandi
dati dalla formola. Questa semplice osservazione niostrera facilmente quanto la foriiiola si ap-
prossinii al vero.

DEL PROF. DOMEiMCO TURAZZA

95

QUADRO \.

Esperienze del cav. di Gerstner con un tvbo del diajnetro di pollici parigini 0.51:
corrispondenti a O^.OISS

Valori dei coefficienti

a=:0, 00027817; 6 = 0,00010692: — = 0,38437

log. o = 6,44431 log. 6 = 6,02907 log. —=: 9,58476

ConfroDto colle esperienze

Velocita

Velocita

1
c-(r)

LuDghezza

Carico

osservata

ealcolata

r-(r)

I'

L

H

V

secondo Ev-

ip

p

tehvein

1,2181

2,4092

2,4081

+ 0,0005

+ 0,0242

1,0828

2,2604

2,2611

— 0,0003

+ 0,0201

0,9475

2,1114

2,1067

+ 0,0022

4- 0,0197

0.8121

1,9490

4,9406

+ 0,0043

+ 0,0175

0,6768

1,7595

1,7601

— 0.0003

+ 0,0117

1,705

0,5414

-1,5565

1,5609

— 0.0028

— 0,0015

0,4060

1,3265

1,3344

— 0,0060

— 0,0154

0.2707

^.0557

1,0665

— 0.0102

— 0,0372

0,1354

0,7038

0.7189

— 0,0214

— 0,0897

0,1083

0,6226

0,6307

— 0,0130

— 0,0975

0,0812

0,5414

0,5311

+ 0,0225

— 0.0870

0,0541

0,4331

0,4139

+ 0,0448

— 0,0924

96

NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec

influenza dcgli errori probabili sui dati dell'csperienza
pel carico massimo c mininio

Espe-
rienza

per

V

B/J=0,0005

per

V

IL

= 0,001

L

per

V

S^=0,002

12'

0,0145
0,0189

0,0005
0,0005

0,0008
0,0201

Aw
piccolo
questo
perehe

Le
tenute

ertenze. Si e preso Tcrrorc probabile sul diametro di solo mezzo millimetro, perchc nel
diametro die or si considcra, e supponibile che sia stalo misurato con niaggiore cura
influentissimo elemento. L'errore probabile in altezza si e assunlo di due millimetri,
nelle esperienze original! non e tenuto conto che dei mezzi poliici di Parigi.
differenze fra le velocita osservate e le calcolate colla formoia di Eytchvein furono ot-
usando della formoia originale del medesimo, cioe colla

'J J

-..|/|

(2750273 L + d89395917 D)

122,98 L +'8469 dI -,

dove e nolo che il g sla in luogo del coniune — 3, e che quindi, ridotta in metri, diventa

— L + iy\L' + (56077 7 L + 3S6l~ i3b B) D H]
' ~ 25,075 L + 1726,8 D '

Le differenze fortissinie che si riscontrano, specialmente nelle ultime esperienze, e che sono
ancor niaggiori nelle tabelle di confronto che vengono in appresso, renderebbero in ([uesti casi
inapplical)ile la formoia superiorc.

E pero necessario avvertire che queste esperienze furono eseguite su lubi troppo corii per
meritare un'intera fiducia. Cio serva anche a giustificare in qualche modo il salto che si riscon-
tra nei coefficienli .

Queste stesse avvertenze s'intendono valcre anche per le esperienze che seguono del mede-
simo autore.

DEL PROF. DOMENICO TURAZZA

QIADRO VI.

Espcrienze del cav. di Gerstiier con un tiibo del diametro di jwllici pariyini 0,39:
corrispondenti a CjOlOSG

97

Valori dei coefficient!

(1 = 0,00030853; 6 = 0,00012462; -=0,40393

a

b
log. fi = 6,48930 log. 6 = 6,09560 log. —= 9.60631

a

Confronto colle espericnze

Influenza degli errori probabili sui dati deU'esperienza
pel carico massimo e minimo

Espe-
rienza

8.

per

V

gZ>=0,0005

per

V

IL

= 0.001

L

per

V

lH=0,002

1'
12'

0,0209
0,0278

0,0004
0,0006

0,0008
0,0221

Lunghczza
L

Carico
H

Velocita
osservata

V

Velocita
calcolata

(")

I'

seeondo Ej-

telwein

1,2181

2.0844

2,0509

4- 0,0161

— 0,0290

1,0828

1,9220

1,9253

— 0.0017

— 0,0510

0,9475

1,7785

1,7914

— 0,0073

— 0.0611

0,8121

1,6378

1,6475

— 0,0059

— 0,0656

0,6768

1,4889

1,4759

+ 0,0087

— 0,0686

1,705

0,5414

1,3129

1,3203

— 0,0056

— 0,08)6

0,4060

1.M80

1,1226

— 0,0041

— 0.0966

0,2707

0.8798

0,8668

+ 0,0148

— 0,1320

0,1354

0,5847

0,5575

+ 0,0464

— 0,2073

0,1083

0,5143

0,5162

— 0,0037

— 0,2057

0,0812

0,4331

0,4310

+ 0,0048

— 0,2147

0,0541

0,3519

0,3320

+ 0,0565

— 0,2240

III.

13

98

NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec.

QLADRO VII.

Esperienze del cav. di Gersiiier con un tubo del diametrii di poltici parigiiii 0,27:
corrispotidenti u 0'".00734

Valori dei coeffieienli
a = 0,0003165 6 = 0,00010718

_ = 0,33865

Ij

log. a = 6,50038 log. i = 6,0301 4 loi; - = 9.52976

Confronto colle esperienze

Lunghczza
L

Curico
H

Velocita
osservata

Velocita
calcolata

(■

sctondo li)-

k'lwein

1,2184

1,7460

1,7364

+ 0.0055

— 0,0682

1,0828

1,6350

1,6 300

+ 0,0031

— 0,0746

0,9475

1,5210

1,5157

+ 0,0035

— 0,0789

0,8121

1,39 41

1,3936

+ 0,0004

— 0,0882

0,6768

1,2587

1,2608

— 0,0096

— 0,0977

1,705

0,5414

1.1099

1,1141

— 0.0038

— 0.1108

0,4060

0,9339

0,9479

— 0.0149

— 0.1392

0,2707

0.7255

0,7513

— 0,0355

— 0,1930

0,1354

0,4873

0,4972

— 0,0203

— 0,2352

0,1083

0,4331

0,4331

0

— 0,2359

0,0812

0,3709

0,3609

+ 0,0269

— 0,2394

0.0541

0,2978

0,2764

4- 0,0718

— 0,2428

Influenza degli error! probabili sui dati dell'csperienza
pel carico massinio e miQinio

Espc-
rionza

— pui'
^,/>=0,0005

per

= 0.00 1

L

I.
per

V

B//= 0.002

12''

0.0322
0.04 19

0.0005
0.000,'i

0,0008
0.0218

DEL PROF. DOMENICO TURAZZA

99

TABEILA A

Quwb-o dei valori dei coefficienti che competono ai diametri particolarx
precedentemente discussi

0,43540
0,05444
0,03609
0,02707
0,01380
0,01056
0,00731

0,0002866
0,0002581
0,0002600
0,0002679
0,0002782
0,0003085
0,0003165

0,00002807
0,00004600
0,00005605
0,00006069
0,00010692
0,00012462
0,00010718

0,097940
0,178260
0,215560
0,226570
0,384370
0,403930
0,338560

byXD

0,00001033
0,00001073
0,00001065
0,00000999
0,00001257
0,00001280
0,00000916

TABELIA B

Quadro dei cocffkienti che corrispondono a\arii diametr,
interpolati ai precedenti

D

a

b

b\/D

0,01

0,000308

0,000124

0,0000124

0,02

0,000271

0,000075

0,0000106

0,03

0,000264

0,000060

0,0000104

0,04

0,000257

0,000052

0.0000104

0,05

0,000256

0,000048

0,0000107

0,06

0,000260

0,000043

0,0000105

0.07

0,000263

0,000038

0,0000101

0,08

0,000266

0,000036

0,0000102

0,09

0,000270

0,000034

0,0000102

0,10

0,000273

0,000032

0,0000101

0,11

0,000277

0,000030

0,0000100

0,12

0,000281

0,QQ(iQ^^

0,0000100

0,13

0,000284

0,000028

0,0000101

<00

NUOVI C0EFFIC[ENT1 IDROMETRICI fc.

Ql'ADRO VIII.

Confrunto colle esperienze dei sig. Couplet, Bosstil e Dtibuat delta fornicla

V' i L „ 4 Z-

// = 16 l,' + /3

29 /> DyxD

Valori dei coefficienti

K = 0, 00026414 /3 = 0.000010251

log ct = 6.42184 log. /3 = 5.01077

ConfroDto colle esperienze

Osservalore

Vclocita
osservata

Veloeita
calcolata

V — (V)

v~{v)

i

V

sccondo Ey-

V

V

k'hvein

0,1441

0,1490

— 0,034

— 0,060

0,1411

0,1420

— 0.006

— 0,056

Couplet

0,1301

0,1337

— 0,028

— 0.059

0,1117

0,1152

— 0,031

— 0,068

0,0854

0,0885

— 0,036

— 0,087

0.0544

0.0555

— 0,020

— 0,062

1,5945

1,5803

+ 0,009

+ 0.063

1,0915

1,0992

— 0.007

+ 0.087

1,1640

1,1590

+ 0,004

— 0.029

0,7908

0,7993

— 0,011

0

Bossut

0,9682

0,9513

+ 0,017

— 0,0 5 4

serie I.

0,6444

0,6523

— 0,012

— 0.019

0,8364

0,8222

+ 0,016

+ 0,015

0,5606

0,5610

— 0,001

— 0,020

0,7436

0,7321

+ 0,015

+ 0,013

0,4954

0,4958

— 0,004

— 0,033

0,6695

0,66 46

4- 0,007

— 0.009

0,4433

0,4497

— 0,014

— 0,051

DEL PROF. DOMEMCO TURAZZA
Contimiazione del quadro preccdente

iOl

Bossut
serie II.

Dubuat

^,3150

0,8981

0,9317

0,6328

0,7605

0,5131

0,6502

0,4369

0,5697

0,3810

0,5119

0,3403

2,2995

1,9301

^,5784

1,5918

0,7943

0,2352

0,7761

0,5916

0,5677

0,5411

0,4500

0,4408

0,4091

0,3604

0,2889

0,2826

1,3060

0,9000

0,9329

0,6352

0,7555

0,5098

0,6469

0,4333

0,5718

0,3806

0,5160

0,3414

2.2807

1,9517

1,5892

1,6101

0,8240

0,2345

0,7756

0,5883

0,5671

0,5329

0,4403

0.4052
0,3429

0,2757

+ 0,006

— 0,002

— 0,001

— 0,003
+ 0,006
+ 0,006
+ 0,005
+ 0,008

— 0,004
+ 0,001

— 0,008
*- 0,003

+ 0,008

— 0,011
+ 0,007

— 0,011

— 0,037
+ 0,003
+ 0,001
+ 0,006
+ 0,001
+ 0,015
+ 0,021
+ 0,001
+ 0,009
+ 0,048
+ 0,046
+ 0,024

+ 0,031
+ 0,006

— 0,008

— 0,034

— 0,020

— 0,010

— 0,035

— 0,068

— 0,054

— 0,055

— 0,067

— 0,099

+ 0.076
+ 0,051
+ 0.04 9
+ 0,037

— 0,019

— 0,096

— 0,038

— 0,055

— 0,062

— 0,007

— 0,068

— 0,087

— 0,086

— 0,067

— 0,117

— 0,098

102

NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI i.e.

Confronto dcgli error!

Indicazione

Massimo
positivo

Massimo
negative

Medio
positivo

.VIedio
negati>'o

.VIedio
assoluto

Secondo Eytelwein
Nuova formola

0,087
0,048

0.H7
0,037

0.0428
0,0H7

0,0510
0,0135

— 0,0088
0,0000

DEL PROF DOMENICO TURAZZA

OSSERVAZIOi\I SUGLI ALVEI

4 03

QIADHO l.\.

f'etocitd iiiffiiori ad un metro
'^=j/f^»'^4 y^^-O.O082j_ 0.0906

Clio cornspondo ai \aloi-i dd louffieienti
n = 0.0003443; 6:^0.00006237

<>onfronto colle osservazioni

Osser-
vatorc

Dubuat

[ Wattman

Dubuat

Waltnian

Dubuat

Wattman
Bonati
Dubuat
Pianigiani
Bonati
Dubuat
Briinnings
Funk

Briinnings

27648

27648

21827

M650

32951

457)

^5360

35723

4800

-16366

6413

2825

J6366

6048

4 931

92,3
6701
9045
7957
5825

c

Veloc-ita
osser\ata

0,00001850

0,00002143

0,00002866

0,00003909

0,00004470

0,00004407

0,000051 16

0,00004973

0,00006500

0.00016130

0,00027279

0,00018260

0,00022830

0,00024776

0,00025482

0,00030830

0.00033055

0,00041940

0,00039322

0,00040357

0,1509

0,1619

0,2006

0,2809

0,2867

0,3152

0,3333

0,3379

0,4297

0,6870

0,6927

0,6960

0,7360

0,7465

0,7708

0,7721

0,917 4

0,9185

0,9382

0,9749

Vcloeita
calcolata

0,1583

0,1548

0,2118

0,2648

0,2809

0,2818

0,3054

0,3001

0,3533

0,6000

0,7949

0.7100

0,7290

0,7625

0,7744

0,8600

0.893 4

1,0168

0,9819

0.9958

(•-(0

— 0,049
+ 0,044

— 0,056
+ 0,057
+ 0,020
+ 0,105
+ 0.084
+ 0,112
+ 0,178
+ 0,127

— 0.147

— 0,020
+ 0,009

— 0,021

— 0,005

— 0,114
+ 0,026

— 0,107

— 0,046

— 0.022

secondo
Eytch\ein

— 0,287

— 0,304

— 0,240

— 0,060

— 0,109
+ 0,060

— 0,026
+ 0,002
+ 0,092
+ 0,080

— 0,200

— 0,064

— 0,030

— 0,060

— 0.047

— 0,147

— 0,007

— 0,136

— 0,0 71

— 0,0 44

-104

NUOVI COEFFICIEiNTI IDROMETRICI r.c.

Confronto degli errori

Indieazionp

Massimo
positivo

^Massimo
negativo

Medio
positivo

Medio
negativo

Medio
assoluto

Secondo Eylelwein
Nuova formola

0,092
0,178

0,304
0,161

0,0585
0,0762

0,1 139
0,05 9 7

— 0.0799
+ 0,0082

Influeciza deuli errori sui dali dell'osscrvazione

Ammettendo che si coinnielta un orrore di iin venlcsimo nella
stlma della sezione, di un decimo in quella del perinictro bagnato.
di un cinquecenlesimo in quella della pendenza, si a\Ta

If
s

h — - = 0,05,

C p

quindi

= 0,05

b

V ^- —

2i: + -

Nel nostro caso Terrore probabile sara

per la velocila minima 0,0344
» massima 0,0271

Avvertenze. Le osservazioni original! del Dubuat danno la veiocita superfieiale osservata,
dalla quale si e dedotta colle solite regole la veiocita media ehe comparisce nel quadro prec«-
dente. Le differenze grandissinie che per tali osservazioni si riscontrano nella formola di Eylel-
wein dipendono dall'aver qucsto autore considerata la veiocita superfieiale invece della media.
Pel calcolo di queste osservazioni si uso della formola originale d'Eytelwein, la quale sonuninistra

t =— 0,03319 +1/(^27 35,6 — + 0,00 uY

Ho trascurato I'osservazione di Funk che nel quadro di Eytehvein comparisce al numero 28.
perche la troppa differenza tra il risultamento dell'osscrvazione e quello del calcolo fa ragione-
volraente sospeltare dell'esattezza dell'osservazione medesima.

DEL PROF. DOMENICO TURAZZA

405

QIADRO X.

Felocitd comprese fra uno e due melri

" = 1/ (2610,1 — 4- 0,00029j- 0,01692

Che corrisponde ai valori scguenti dei coefficienti
a = 0,0003831 A = 0,00001296

Confronto colle osseryazioni

Osser-

1

Sp
C

Velocita

Velocita

P-(P)

vatore

7'

osservata

calcolata

p — (P)

p

iv)

V

secondo

Eytelwein

5223

0,0004214

1,0116

1,0321

— 0,020

— 0,024

1987

0,0006903

1,0357

1,3255

— 0,279

— 0,295

— 0,240

4009

0,0006612

1,0577

1,2966

— 0,226

1987

0,0008178

1.2269

1.4442

— 0,177

— 0 193

4009

0,0007176

1,2395

1,3518

— 0,091

— 0 104

4009

0,0007593

^,3377

1.3910

— 0.032

— 0 052

5223

0,0007749

1,4173

1,4054

+ 0.008

— 0.004

4009

0,0008003

1,4506

1,4285

+ 0,015

+ 0,003

3251

0,0007576

1,4676

1,3894

+ 0,053

+ 0,053

Funk

1987

0,0009425

1,4908

1.5516

— 0.041

+ 0.007

2222

0,0007184

1,5021

1,3526

+ 0,099

+ 0,089

4009

0,0008512

1,5065

1.4737

+ 0,022

+ 0,009

1817

0,001 1338

1,5093

1,7034

— 0,128

— 0,1 45

3251

0,0009570

1,5754

1,5636

+ 0.007

— 0,006

4009

0,0009184

1.5979

1,5315

+ 0,041

+ 0.028

1987

0,0010233

1,6007

1,6176

— O.OU

— 0,025

4009

0,0009485

1,6085

1,5571

+ 0,032

+ 0,019

1817

0,0012449

1,6267

1,7858

— 0,097

— 0,114

4009

0,0009635

1,6634

1,5691

+ 0,057

+ 0,044

4009

0,0010748

1,7356

1,6582

+ 0,044

+ 0,031

III

14

106

NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec.

Continuazione del quadro preeedente

Osser-

I

Sp

Velocita
osservata

Velocita
calcolata

v-(.)

V

vatore

P

C

V

(V')

V

secondo
E3'tehvein

1987

0,0011650

1,7576

1,7271

+ 0,011

+ 0,003

1987

0,0012493

1.8204

1,7892

+ 0.022

+ 0,002

Funk

1987

0.0013215

1,8693

1.8404

+ 0,015

0

1817

0,0014986

1,9219

1,9631

— 0.021

-0,017

1817

0,0015619

1,9936

2,0021

— 0,004

— 0,020

904 5

0.0004741

1.0383

1,0961

— 0.055

— 0.136

6701

0,0004168

1,0396

1,0263

+ 0,012

+ 0,007

7571

0,0003956

1,0923

1,0002

+ 0,084

+ 0,078

4542

0.0005812

1.1218

1.2141

— 0,083

— 0,068

9045

0.0005646

1,2100

1,1972

+ 0,010

0 1

Brunnings

7957

0.0004652

1,2182

1,0952

+ 0,100

+ 0,010

4931

0.0005791

1,2254

1,2127

+ 0,010

— 0.001

5825

0,0006259

1,2742

1,2615

4- 0,009

— 0.001

7957

0,0004473

1.2934

1.0613

4- 0.179

+ 0.191

7957

0.0006512

1.2995

1.2871

+ 0,008

— 0,002

7571

0.0006559

1,3041

1,2915

+ 0,008

— 0,002

4009

0.0008378

1,4739

1,4620

+ 0,007

— 0,052

Bonati

10040

0,0007052

1,2690

1,3398

— 0,054

— 0.068

Ing. Pont if.

10040

0,0004647

1,1460

1,0850

+ 0,053

+ 0,045

7657

0,0003725

1,1150

0,9820

+ 0,118

+ 0,12 4

Pianigiani

1863

0,0006099

1,3490

1.2450

+ 0.076

+ 0.078

Confronto degli error!

Indicazione

Massimo
positivo

Massimo
ncgalivo

Medio
positi\o

Medio
negativo

Medio
assoluto

Secondo Eytehvein
Nuova formola

0,191
0,179

0,295
0,279

0,0432
0,0437

0,0723
0,0878

0,0174
0,0056

DEL PROF. DOMENICO TURAZZA

107

QUADRO XI.

f^elocitd superiori a due metri

v= 51,14

1/

Sp

Confronto colle osservazioai

Osser-
vatore

1

P

c

Velocita
osservata

V

Velocita
calcolata

v-(v)

V

1
v-{v) j

V

secondo
Eytelwein

1987

0,0016045

2,009

2,079

— 0,020

— 0,026

1187

0,0016302

2,035

2,065

— 0,014

— 0,021

1987

0,0015705

2,040

2,027

+ 0,006

+ 0

Funk

1987

0.0016398

2,101

2,066

+ 0,013

+ 0,008

1987

0.0017314

2.119

2,128

— 0,004

— 0,011

1817

0.0019632

2,295

2,266

+ 0,011

+ 0,004

1817

0,0022395

2,409

2.420

— 0,005

— 0.013

1817

0,0021648

2,416

2,379

+ 0,016

4- 0,007

Gli errori niedii delle formole sono

secondo Eytehvein — 0,006 7
colla nuova + 0,0004

108 NUOVI COEFFICIENT! IDROMETRICI ec. DEL PROF. DOMENICO TURAZZA

TABEILA C

Falori dei coefficienli delerminali rendendo minima la somma dei quadrati
delle quantitd

V' A L A L

H 0.——V' — b V ec.

23 D D

Indicazione

a

6

b
a

Couplet
Bossut serie I.
» II.
Dubuat
Gerstner serie I.
" II
.X III.

0,0002815
0,0002567
0,0002503
0,0002669
0,0002725
0.0002926
0.0003018

0,00002869
0,00004320
0,00006218
0,00005850
0,00011630
0,00015160
0,00012650

0,1019
0,1682
0,2483
0,2191
0,4269
0,5184
0,4191

I coefficienli et e j3 della formola generale determinati a render minima la somma dei qua-
drati della quantita

v' A L „ 4 Z-

sarebbero

ct = 0,00026811 ; ^ = 0,0000091323.

{Lelta U 28 Dicembre 1845)

SUL PIU FACILE MODO

DI TROVARE IE RADICl REAII

DELLE EQllAZIO\I ALtiEBRAICHE

E SOPRA UN NLOVO METODO
PER LA DETERMINAZIONE

DELLE RADICI IMMAGIKARIE

MEMORIA

DEL PROF. GIUSTO BELLAMTIS

±JA formula che da la risoluzione delle equazioni del lerzo grado
contiene due radici cube di quanlita che bene spesso divengono im-
maginarie; in tal caso la formula non puo riuscire di alcun pratico
vantaggio, e siccome inutili furono tutti i tentalivi per togliere alia
medesima il suo aspetto immaginario, cosi quel caso si disse irredu-
cibile, 6 si ritenne che la compiida risoluzione delle equazioni non si
estendessc oltre il secondo grado. Poslomi a considerare queslo caso
irreducibile che tanto occupo gli analisli, immaginiamo, io diceva fra
me, che non si sapesse eseguire se non le quattro prime operazioni
aritmetiche; allora affalto inutili sarebbero le formule cardaniche. poi-
che Teslrazione delle radici cube non e riducibilc ad altra operazione;

4 1 0 SULLA RISOLUZIOi\E DELLE EQUAZIOiM

cosi per applioarle e necessario invenlare una nuova operazione arit-
inelica, lestrazionc cioe dclla radice cuba: ora, io soggiungeva, questa
operaziono riguarda le sole quantita reali; inventiamo una nuova ope-
razione aritmetica per eslrarre le radici cube delle quantita immagi-
narie, c le formule cardanicbe saranno applicabili ed utili anche nel
caso irreducibile . Riguardando poi alPeleganle processo di calcolo con
cui il Riiffini (Memorie delta Soc. Ital. XVI, 1813) insegno ad estrarre
le radici di qualunque grado, e seguendo una certa tal quale empi-
rica analogia, Irovai senza alcuno studio un'operazione moltissimo ras-
soniigliante a quella del Ruffini, mediante la quale potei estrarre la
radice cuba di una quantita ininiaginaria. Applicando tale operazione
alle lormule cardanicbe, la risoluzione del caso irreducibile mi riusci
facile e sicura quanlo Testrazione di una semplice radice cuba; e sic-
come la risoluzione delle altre equazioni del terzo grado esige Testra-
zione di una radice quadrata e di due cube, cosi meravigliava meco
stesso che il caso irreducibile fosse in efletto il piu facile da risol-
vere: se non clie poco stante m'accorgeva che lo stesso processo di
calcolo si applica senza bisogno delle formule cardanicbe a tutte le
equazioni del terzo grado, e che anzi poteva egualmente servire a
Irovare tutte le radici di un'equazione di qualsiasi grado. Ma dopo
avere seguito per tal guisa lo sviluppo della mia idea, mi accinsi ad
esaminare quanto vi fosse di nuovo in questa operazione ch'era F ul-
timo risultamento del mio studio, e vidi ch'essa di poco differiva dal
melodo del Budan, poiche nella stessa materiale disposizione del cal-
colo, allatto ch'io aveva modificala quella del Ruffini, era caduto senza
pensarlo in quella del Budan. Laonde prima di accennare che cosa
io creda avere aggiunto alia risoluzione delle equazioni, e sotto quali
riguardi io speri che la pubblicazione di questa Memoria non sia priva
di utilita. indichero brevemente alcuni punti del procedimento del-
Falgebra nell" importantissimo argomento della risoluzione delle equa-
zioni.

\ieta, il primo che siasi occupalo della risoluzione delle equazioni
numeriche di un grado qualunque, riconobbe che niolte equazioni si
possono risolvere con operazioni analoghe alle estrazioni delle radici

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS iU

del numeri, e cerco un metodo esegetico che fondalo sopra i soli
principii del calcolo algebraico valesse alia risoluzione di tutte le equa-
zioni. — Cartesio scopri la regola dei segni. per la quale un'equazione
non puo avere piu radici positive del numero delle sue variazioni di
segno, e se le radici sono tutte reali il numero delle positive e pre-
cisamente uguale a quello delle variazioni: sicche in questo ultimo
caso si ha un modo facilissimo e sicuro per riconoscere quante radici
sieno comprese in un dato intervallo; per esempio, se data un'equa-
zione in X con tutte le radici reali, si domandi quante radici cadano
tra 2 e 9, bastera formare I'equazione che ha per radici i ^alori di
{x — 2), e quelFallra che ha le radici (x — 9); i nimieri delle varia-
zioni di segno di queste due equazioni Irasformate mostrcranno quante
radici della proposta sieno maggiori di 2, e quante sieno maggiori
di 9, e la differenza di questi due numeri indichera percio quante
radici cadano neir intervallo da 2 a 9.

Due oggetti si debbono avere in vista nella risoluzione delle equa-
zioni: la separazione delle radici per togliere ogni pericolo di omet-
terne alcuna, ed il metodo per avvicinarsi indcfinitamente al loro valore.
A raggiungere il primo scopo Rolle osservo che h-a due radici di una
equazione e serapre compresa una radice della sua equazione derivata;
per lo che se si conoscesscro tutte queste ultime radici, basterebbe so-
stituirle successivamente nell" equazione proposta. e si avrebbe la sicu-
rezza di separare tutte le radici; e siccome 1 equazione dernata e in-
feriore di un grado alP equazione proposta, cosi mediante lo stesso
teorema si puo far dipendere la separazione delle radici dell equa-
zione derkata dalla risoluzione di altra equazione ch grado inferiore
ancora di una unita, e cosi a passo a passo si puo discendere fino ad
im' equazione del primo grado. — In quanto al secondo oggetto JNewton
diede la nota regola che e gencrale quanto il principio fondamenlale
del calcolo differenziale, da cui essa dipende.

Lagrange insegno a separare tutte le radici sostituendo una pro-
gressione aritmetica di valori. la cui differenza fosse minore della mi-
nima differenza delle radici stesse; in tal guisa puo richiedersi un nu-
mero grandissimo di sostiluzioni estese a tutti glinlervalli, anche a

i I 2 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONl

quclli iiei quali non sono comprese radici o vi sono comprese delle
radici molto discoste c facili da separarsi: d'altra parte Tequazione,
inedianlc la quale si delermina una quantiU\ minore della minima dif-
I'ercnza, esige un calcolo laboriosissimo, sicche il Fourier giustamente
osservo che questa soluzione c soltanto leorica c d'impraticabile ap
plicazione se il grado delPequazione proposta sia alcun poco elevato.
— Come metodo d'approssimazione il Lagrange sostitui le frazioni con-
linue alle frazioni decimali.

INcl 1807 Budan pubblico il suo melodo per la risoluzione delle
equazioni numeriche di ogni grado; tre cose vi si possono osservare:
lalgoritmo per calcolare successivamente mediante semplici addizioni

o soUrazioni le trasformate in (ar;^l), in (x — 2), in {x — 3), ; il

criterio per conoscere in quali intervalli non cada alcuna radice; ed
il metodo d'approssimazione: quest' ultimo e quello stesso che si ado-
pera nella divisione e nelFestrazione delle radici, e che e una con-
sesuenza del sistema deciniale di numerazione; vale a dire si trova
successivamente la cifra delle unita (o di altra classe superiore decine,
centinaia, ecc), poi quella dei decimi, poi quella dei centesimi, ecc,
e dopo trovata ciascuna cifra si calcolano il residuo cd altri numeri
che servono a trovare la cifra seguente. — -Lalgoritmo per calcolare
le trasformate deriva da principii elementarissimi, ed e esso pure una
imitazionc di quanto si pralica nella divisione, come si vedra piii sotto:
il Legendre in un rapporto alTIstituto di Francia giudico tale algoritmo
come facile conseguenza di cose gia note. — Non si potrebbe appro-
vare che il Budan, per conseguire lo scopo piuttosto curioso che utile
di risolvere ogni equazione mediante le due sole prime operazioni
deiraritmelica, siasi astretto a calcolare ciascuna cifra della cercata ra-
dice ad una unita per volta, sicche, per esempio, per calcolare la
cifra 9 gli occorrono nove operazioni, mentre bastcrebbe una sola:
se non ch<' questa fu in parte una necessita dell imperfctto criterio
da lui adoperato per riconoscere la mancanza di radici. Questo cri-
terio richiede certe trasformate collaterali che sono quelle che si cal-
colano quando si vuole svihippare la radice in frazione continua, ed
il Budan e ooslretto di adoperare lal criterio per assicurarsi della

DEL PROF. GIUSTO CELLAVITIS ) I 3

mancanza di radici negli inlervalli da 0 ad 1, da 1 a 2, da 2 a 5, ccc.
— Dei resto per quanlo sia facile dimostrare ralgorilino del Budan,
c per quanto esso dipenda da principii elenienlari, e pur glusto ri-
conoscere clie da esso proviene in buona parte la spedilezza del cal-
colo; e dee notarsi che quando si tratta di una effettiva applicazione
pratica non basta dire scmpliceniente : calcolate la tal Irasforinata, de-
terminate il tal valore; ma giova moltissimo indicare lalgoritmo piu
comodo per eseguire lali prescrizloni.

II succitato metodo del Ruffini per le cstrazioni delle radici dei
numeri non e che mi' applicazione particolare deiralgoritmo del Bu-
dan, colla diflerenza peraltro che il Ruffini non si ristringe ad ope-
rare con una sola unita alia volla, ma calcola colle cifre dall' 1 al 9,
appunto come sempre si fece nella divisione e neU'estrazione delle
radici.

Non so intendere per qual motivo alcuni geometri attribuiscano al
Budan la scoperta del teorema del Fourier, mentre il Budan non ha
fatlo che sospettarne la verita. Questo teorema, che e a mio credere
il piu importante fra quelli che servono alia numerica risoluzione delle
equazioni, insegna che se una qualsiasi equazione abbia la trasformata
in {x — a) con m variazioni di segno, e la trasformala in (x — b) con
n variazioni, neHintervallo tra a e b vi saranno tulto al piu m — n
radici reali. Se si sapesse che Tequazione e priva di radici immagi-
narie, il teorema sarebbe, come dicemmo, una conseguenza di quello
del Cartesio; fuori di questo caso il teorema del Cartesio ci farebbe
certi che T equazione non ha ne piu di m radici maggiori di «, ne
pill di n maggiori di 6, ma ci lascierebbe in dubbio sul numero delle
radici comprese tra a e b. L'importanza del teorema del Fourier con-
siste in questo che se m = /i, noi siamo certi che nessuna radice cade
tra a e 6; sicche basta rivolgere il nostro esame a quegli intervalli
nei quali si perde qualche variazione di segno, intervalli il cui nu-
mero non put) mai cccedere il grado delF equazione. II Budan per
assicurarsi che non vi sono radici per eserapio fra 7 ed 8, ricorre
alle Irasformate collaterali anche quando le trasformate in (x — 7) ed
in (x — 8) presentano lo stesso numero di variazioni, il che e prova

III. i5

1 J 4 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZTONI

indubitala ch'egli non era sicuro del teorema da lui presenlito; ed
infatli nei §§ 39, a2 e nelle note (M) (T) egli dice d'aver forti molivi
per credere che la regola del Carlesio possa estendersi anche alle
equazioni avenll radici immaginarie, ma non potendo darne la dimo-
strazione ricorre sempre al predelto criterio.

II Lagrange dichiaro {Traiie de la resolution etc. 1808, Note VIII)
che il melodo del Budan non lasclava niente a desiderare per la ri-
soluzlone delle equazioni che hanno tulte le radici reali; ma ad onta
di questo autorevolissimo elogio sembra che tal metodo non sia stalo
accolto dagli analisti col favore die meritava; ne saranno slate ca-
gioni la lentezza delF operazione procedenle di unita in unita, e, per
le equazioni avenli delle radici immaginarie, la difficolta di dislinguere
gli intervalli privi di radici, appunto pcrche non era ancora cono-
sciuto il teorema del Fourier. Cosi nei tratlati d'algebra si vede pre-
ferito il metodo del Lagrange, perche in tcorica esso presenta ogni
sicurezza, quantunque in pratica non possa servire per le equazioni
di grado alcun poco elevato'r

Anclie prima del Budan il Fourier avea fatlo importanli lavori in-
torno alia teoria delle equazioni, ma fu lardo nei pubblicare le pro-
prie scoperle; egli riguardo la risoluzione delle equazioni numeriche
come un'operazione aritmetica assolutamente della stessa natura del-
Festrazione delle radici, e che deve effettuarsi su tutti i coefficienti
delFequazione presi in una volta, mentre, se pur eslstessero, inutili
sarebbero quelle formule che esprimessero le radici median te estra-
zioni di radici, e nelle quali la verita che si ricerca rimarrebbe piu
celata di quanto il fosse nelFequazione proposta. — Quantunque il Fou-
rier siasi specialmente occupalo deireffettiva applicazione numerica,
pure per calcolare le successive trasformate in (x — o) anziche ado-
perare un algoritmo analogo a quello del Budan (che da alcuni au-
tori e attribuito alF Horner) pare ch'egli abbia sempre usato di can-
giare a; in y + «, e poscia sviluppare separatamente le potenze di
questo binomio; e per adoperare il suo importantissimo teorema egli
sempre suggeri di soslituire il \alore « attribuito all' incognita x, tanto
nei primo membro deirequazione proposta, quanto in tutte le sue

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 1 J 5

derivate; calcolo questo non poco tedioso ed affatto Inutile, polche i
coefficienli della Irasformala in {x — a) danno immedialamente i va-
lori di tulle quelle derivate. Anche la dimostrazione del teorema e
data dal Fourier mediante la considerazione delle funzioni derivate.
lo faro vedere ch'essa risulta in niodo piu facile ed elenientare da
quello stesso algoritmo che serve alia forniazione delle successive tras-
formate, e che dipende immediatamenle dalla divisione algebraica.

Non basta trovare col mezzo del teorema del Fourier tutti gl'in-
lervalli nei quali vi possono esser radici, bisogna inoltre distinguere
quelli che In fatto ne mancano; il Fourier mediante considerazioni
geometriche stabilisce a tal uopo un criterio che fu ampliato dal Lo-
batto {Journ. de mathem. par Liouvllle 1844). Nella presente Memo-
ria esporro un allro criterio piii facile, il quale non richiede ne che
la equazione sia liberata dalle radici eguali, ne che le due trasfor-
niate, fra le quali e compreso il dato intervallo, abbiano gli stessi
segni in tutti i termini precedent! il penultimo; ed anzi non esige nem-
meno che si conoscano ambedue le trasformate. Cosi questo criterio si
puo appHcare a molto piu larghi intervalli di quelli per cui puo ser-
vire il criterio del Fourier, e molto minor! avvertenze si richieggono
neir adoperarlo.

Separate che sieno le radici, il Fourier ritiene che il metodo di
approssimazione piu proprio ad avvicinarsi al valore delle radici sia
quello del Newton, peraltro cgli stabilisce molte condizioni necessa-
rie perche tale approssimazione lineare possa applicarsi con tulta si-
curezza; bisogna assicurai-si che il primo membro della proposta equa-
zione non abhia alcun fattore comune col suo derivulo secondo^ che
lulte le derivate conservino i medesimi segni da un limite alFaltro,
bisogna scegliere il limite a cui dee applicarsi la formula d' approssi-
mazione, ecc. II Fourier cerca di rendere piu speditivi i calcoli evi-
tando tutte le ripetizioni di operazioni; ma mi sembra che molto me-
glio avrebbe raggiunto lo scopo, se in luogo di calcolare i valori
delle derivate avesse considerati i coefficienli delle trasformate.

Da quanlo ho accennato risulta, a mio credere, la soluzione piu
diretta e piu facile del problema propostosi dal Lagrange : trovare i

U6 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIOiM

valoi'i osatli o (juanto si voglia approssimali di una qualsiasi equa-
zione munerica. I inezzi da adoperarsi sono : algorilmo per calcolare
le trasforinatc: — leoreiua del Fourier per conoscere gli inlervalli nei
quali pos.sono oadere radioi; — criterio iniperfelto, ma (juasi sempre
sulficienle, per distinguere fra quesli intervalli quelli elie mancano di
radici; — teorema del Rolle per togliere ogni dubhio sulla separazionc
delle radiei, e per iscegliere piii opportunamente le successive posi-
zioni quando si e ancor lungi dalle radici stesse; si noti die per ap-
plicare il teorema del Rolle non occorre traltare separalamenle le va-
rie equazioni derivate, poiche lalgoritmo die da le trasformate della
proposta equazione puo servire a Irovare non solo le radici della me-
desima, iiia eziandio quelle di tutte le deri\ate.

Quanlunque i precedenti principii sieno conosciuti, e forse solo mi
appartenga quel criterio die credo vanlaggiosamenle sostituire a quelli
del Budan, del Fourier, del Lohallo e di allri aulori; pure mi sem-
bra cosa opporluna presenfare in lutla la sua semplicila la soluzione
di quel problema che si a lungo occupo gli analisti; ed intorno al
quale si fecero lanli tenlativi die per lo piu non riuscirono di alcun
vantaggio nella pralica esecuzione. Questa soluzione e cosi comoda da
rendere aHallo inutili le forniule per le risoluzioni delle equazioni del
lerzo e del quarto grado ed anche del secondo, e da togliere perfino
il desiderio della algebraica risoluzione di allre equazioni, poiche il
calcolo delle lormule sarebbe sempre piu laborioso della direlta riso-
luzione deir equazione. — 11 Fourier conosceva tutto quanto occorre per
dare questa semplicissima risoluzione, ma, come nolai di sopra, non
mi senibra die dalla sua opera posluma (1831) essa bastantemenle ap-
parisca. — lo mi proposi di esporre Targomento in modo affatto ele-
mentare ed in guisa da non richiedere se non le prime nozioni del-
r algebra; cosi mi dilungai in dettagliati esenipii e mostrai come Fope-
razione aritmetica die serve a trovare approssimativamente ciascuna
radice di un' equazione sia in qualche maniera un' estensione della
divisione: mi pare die quesla istruzione dovrebbe far parte delFinse-
gnamenlo elemenfare. La scienza e lanto vasla die non bisognerebbe
arreslare lo studioso intorno a parziali ed imperfettc riduzioni delle

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 1 1 7

cquazioni; riduzioni tanto scarse di oonsegucnze teoriche, qiianto privc
di pratlca utilita : ed invece giovercbbe cho lo stiidioso apprendcndo
il modo gcnerale per risolvere le equazioni algebraiche, si abituassc
scmprc pill al calcolo numerico. senza del quale nianca alle specula-
zioni teoriche ogni pratica applicazione.

Non mi limilai al calcolo arilmelico. ma esposi tutla quella parte
della teoria delle equazioni clie riesce opportuna per la loro risolu-
zione; nel che sembrami non indegno d'osservazione il modo con cui
dimostrai il teorema del Fourier ed allri parecclii, fondandomi unica-
menle sulle regole di quel processo di calcolo, e senza ricorrere al
calcolo differenziale od a nozioni equivalenti ad esso. Cost la teorica
elementare delle equazioni di ogni grado puo insegnarsi in minor tempo
di quello che suole impiegarsi intorno alia incompleta risoluzione delle
equazioni del terzo e del quarto gi-ado. Per teorica elementare delle
equazioni intendo tulta quella parte che e necessaria o giova alia loro
risoluzione, scopo precipuo della teorica stessa; ed escludo percio le
teoriche delle funzioni sinmietriche delle radici e delle trasformazioni
delle equazioni; elegant issime e profonde teoriche, ma delle quali 1" al-
gebra elementare puo far senza; tanto piu che lo scopo principale
della teorica delle funzioni simmetriche era la risoluzione approssi-
mata delle equazioni, e la trasformazione di queste tendeva, piu che
altro, a ricercare o dimoslrare impossibile la loro risoluzione alce-
braica; cose tutte rese ora in certo modo inutili da un" operazione
aritmetica che serve alia risoluzione delle equazioni di ogni grado.

Alcuno potrebbe forse conlrapporre al metodo di approssimazione
da me preferito quello notissimo del i^e^^ton, e nolare che mentrc nel
prime si determinano ad una alia volta le cifre della cercata radice,
invece con ogni ulleriore operazione del secondo si trova un numero di
cifre esatte doppio di quello delle cifre trovate nell' operazione prece-
dente. Abbiamo pero accennato quante difficolta si debbano superare
(secondo lo stesso Fourier) nella prima applicazione del metodo del
Newton; d'altronde ogni operazione di queslo comprende una divisione,
e ben si sa che nella divisione le cifre del quoziente si tro^ ano ad una
alia volta; e quando si sono calcolate tutte le cifre che si possono spe-

1 1 8 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

rare csatte, bisogna determinarc un nuovo tlivldendo ed un nuovo
divisore sosfiliiendo il valore Irovato nella data equazione e nella sua
dorivala, operazioni non poco lunghe : nientre nel calcolo del Budan
si vanno successivamente calcolando il dividendo, il divisore e quegli
allri Humeri che servono alia loro formazione, e che particolarmonte
in sul principio del calcolo sono necessarii per trovare tutle le radici,
e per evitare le difficolta che presenterebbe il solo metodo del Newton.
Si deve inoltre notare che anche nel nostro calcolo si polrebbe, me-
diante la divisione dei due ultimi termini (che sono appunto il divi-
sore ed il dividendo del metodo newtoniano), determinare piu cifre
in una volta, e formare la tabella successiva con tulle queste cifre
prese ad un tempo : peraltro ritengo che sara piu comodo calcolare
una cifra per volta.

Mi conforla a credere che non sia inutile la mia pubblicazione il
vedere che anche dopo il Budan ed il Fourier si conlinua ad insegnare
parecchi metodi per la risoluzione delle equazioni, anziche atlenersi
al piu comodo ; e che da alcuni analisti ne furono anche proposti di
nuovi. 11 Legcndre nella Theorie des nombres (tom. II) risolve le equa-
zioni che egli dice omali col metodo del Newton; riguardo alF equa-
zione generale del grado n.«s'mo ogni successiva approssimazione richiede,
secondo il metodo del Legendre, un' estrazione di radice n.^sima ollre
una non breve sostituzione; e quantunque sia possibile che si facciano
molli calcoli inulili perche non esisla alcuna radice, pure Tautore giu-
dica che il suo metodo sia il piu semplice ed il piu generale per la
risoluzione delle equazioni numeriche. Egli propone eziandio un se-
condo melodo che a me sembra non poco laborioso.

II Cauchy preferiva separare tulle le radici sostiluendo nelFequa-
zione una progressione arilmetica di valori colla differenza minore
della minima differenza delle radici, ed il limile inferiore a questa
differenza lo determinava con un calcolo diverso da quelli insegnati
dal Lagrange: ma negli anni 1857 e 1840 il Cauchy trovo un allro
melodo per la risoluzione delle equazioni, i cui vantaggi gli sembra-
rono lalmcnte evidenti da dover esser posto in pratica da tutti gli
analisti; alF approssimazione lineare del Newton egli sostituisce una

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 1 1 9

approssimazione mediante un'equazione del secondo grade, la quale
ha 11 pregio di dare successivamenle tutte le radici senza lasciarne
fuori alcuna.

Molt! analisti proposero di risolvere Ic equazioni mediante le se-
rie ricorrenti; il Fourier osservo che tal mctodo e generale, che non
richiede alcuna anteriore cognizione, che serve tanto per le radici
reali quanto per le immaginarie; ma nolo inoltre che landamento del-
r approssimazione e poco rapido e che csige Iroppo calcolo. — Quando
si prendono i primi termini della serie ricorrente nel modo piu op-
portuno quale fu insegnato dal Lagrange ^ le radici vengono a sepa-
rarsi perche in sostanza alle radici stesse si sostituiscono le loro po-
tenze seconde, lerze, quarte, quinte, ecc. ; ora queslo medesimo scopo
e ottenulo ben piu rapidamente nel metodo del Graffe, col quale si
trovano successivaniente le trasformate che hanno per radici le po-
lenze seconde, quarte, ottave, ecc. delle radici della proposla equa-
zione .

Nella presente Memoria io espongo da prima in via afftUto ele-
mentare e mediante parecchi esempii quel metodo di determinare
le radici reali che mi sembra di gran lunga preferibile a tutti quelli
precedentemente accennati. Vi aggiungo il calcolo delle radici in fra-
zioni continue ed il teorema dello Sturm, acciocche lo sludioso Irovi
qui riuniti quesli due importanti argomenti, quantunque io creda che
ben di rado occorra adoperarli. Passo da poi ad una piu difficile ri-
cerca, a cpiella cioe delle radici immaginarie; il Legendre (Op. cit.)
propose due metodi per determinare approsslmatamente tali radici,
ma riconobbe die essi sono molto ImperfeHi, e confesso che tale og-
getto fu troppo trascurato dagli analisli . Spero che non sia indegno
di attenzione il nuovo metodo da me esposto, che mi senJjra tanto
comodo quanto si puo augurarsi in tal sorta di questione ; vi si ado-
perano le solite trasformate in (x — «), e per ciascuna trasformata si
risolve od almeno si Irova una radice di un' equazione il cui grade
e inferiore alia mela del grado della proposla; quando si e alcun poco
avvicinati ad un paio di radici immaginarie si calcola con tutta sicu-
rezza una cifra decimale per ciascuna operazione, appunto come si fa

120 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

iiolla (letcrniinazlone delle radici reali : per csser poi sicuri di iion
oinetlei'c alcun paio di radici si adopcra una regola clie ho dedolta
dalla leoria degli indici del Caucliy.

Un altra ricerca intorno a cui suole spendersi non poco tempo si
e qiiella delle radici espressc da miiueri interi : si suole suggerire di
deterininare lulti i divisori delF ultimo termine si della proposta equa-
zione die delle sue trasformale in {x — 1) ed in (x + l); tal calcolo
polrebbe riuscire lunghissimo; d altronde la compiuta risoluzione delle
equazioni e tanto facile che credo doverscnc cercare tulte le radici,
che cosl per certo se ne troveranno le intere se esistono. Nulladi-
meno faccio anche vedere come con molta bre^ila si possa limitarsi
alia ricerca delle radici reali, tentando successivamente quel numeri
che soddisfanno a certe condizioni; e siccome si vanno sempre ag-
giungendo nuove condizioni, cost i tentativi si riducono a pochi. — - An-
che per la ricerca dei fattori razionali di grado superiore al primo,
credo che il metodo piu comodo sara quello di I'isolvere Tequazione
proposta, poscia scegliere tra le sue radici quelle die danno per soinnia
un numero intero. Pure aggiungo due iiietodi per la determinazione
dei fattori razionali del secondo grado ; nell uno de quali si esclu-
dono i divisori delF ultimo termine che non soddisftuino a certe con-
dizioni; iieir altro si calcolano per ciascun divisorc le due equazioni,
alle quali dovrebbe soddisfare il coefficiente del secondo termine del
fattore ricercato, e cosl facilmente si scorge se tali equazioni abbiano
veramente qualche radice intera comune.

La risoluzione delle equazioni conduce immediatamente alia decom-
posizione dei polinomii interi, la quale torna vantaggiosa neirapparec-
chiare le formule ad una piu comoda calcolazione numerica; si collega
pure con queslo argomenlo quell' altro della decomposizione delle for-
mule razionali frazionarie. E noto che se abbiasi una formula frazio-
naria razionale rispetto ad una sola quantita letterale (mentre tutli i
coefficienti sicno numerici) ed il numeratore sia di grado inferiore al
denominatore, si puo decomporre la formula in tante frazioni piu sem-
plici quanti sono i fattori del denominatore. II metodo per eseguire
una tal decomposizione occupo moltissuni analisti, i quali piu spesso

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS I 2 I

vi impiegarono il oalcolo diflerenziale, e laluno immagino anclie un
nuovo calcolo per meglio risolvere ii proposto problema: a me sem-
bra die si aljbia In tal guisa miralo alia elegante generalita del nie-
todo. piultostoche alia coniodita del calcolo numerico; e credo che
questa per se slessa elementarissima questione riesca piii semplice
trattata con metodo affatto elemenlare. II metodo die mi sembra pre-
feribile consiste nel togliere al denominatore della proposta rorniula un
suo fattore del priiiio grado, sia poi esso semplice o multiplo non im-
porla, poscia dividere per questo fattore del primo grado lanto il ri-
manente fattore del denominatore, qiianto il numeratore della formula;
i due quozienti e i due residui, che per tal guisa si ottengono, danno
con brevissimo calcolo i numeratori delle due frazioni, nelle quali la
proposta formula viene a separarsi. Se il fattore, anziclie del primo
grado, sia del secondo, si richieggono quasi sempre quattro divisioni
anziche due sole.

I malematici dovrebbero rendersi abituale I'operazione aritmetica
della risoluzione delle equazioni, quanto la moltiplica o la divisione,
e troverebbero frequenti occasioni di adoperarla: la Nota IV ne con-
tiene un esempio relativo air interpolazione, cbe applico alia risoluzione
di un'equazione composta di un piccolo numero di termini; colla qual
applicazione credo di conipiere quanto puo importar di conoscere per
la piu conioda risoluzione numerica delle ef|uazioni.

§ I.
Divisione e trasformazione dei polinomil

1. La risoluzione delle equazioni dipende per intero dalla divisione
dei polinomii pei binomii; noi comincieremo prendendo per esempio
il polinomio 2x' — ox' + x — 7 da dividersi pel binomio x — 5: la
operazione potra disporsi cosi:

2a:^ — 5x'+ x — 7

X— 3 \2x'+ X + 4 -TT
HI. ,6

122 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIOiNI

dove 2 x' e il quozionle di 2 x' diviso per x-, 6 x' e il prodolto dl
2 x' per 3, x e il quoziente della somma del termini che gli stanno
di sopra tlivisa per x-, e da quel x si dedusse il termine 5x-, che
sommato con 4-x- e diviso per x diede il termine 4, il quale mol-
liplicato per 3 diede 12, che finalmenle sommato a — 7 diede +3;
cd in tal modo 2 x' — 3 x' + x — 7 diviso per x — 5 offri il quo-
zienle 2x' + x + 4 ed il residuo ~\-6. Siccome il calcolo riguarda
unicamente i coefficient! numerici, cosi potremo per brevita soppri-
mere la x e disporre il calcolo come qui si vede

2—5+1—7
3 J2 + d + 4 + 5

dove e cseguilo a memoria ciascun prodotlo per 3 dei termini 2, I, 4
successivamente ottenuti e la somma di tal prodotto col termine della
prima riga. Si rammenti che -}- o e il residuo, ed i precedent! 2 + 1+4
sono i coefficient i del quoziente 2 x' + x + 4 . Se occorra ulterior-
mente dividere Tottenuto quoziente pel medesimo binomio x — 3, si
polni proseguire Toperazione al di sotlo della riga gia scritta

2— 5+ 1—7
3

2+ i + A + 5 .
2+7 + 25
2 + 13

2

(liccndo 3 ^ ia 2 fa 6, che sommato col +1 da +7 che si scrive;
poscia 3 via +7 fa 21 che sommato con +4 da +2o; e simil-
menle nella riga seguente, dopo scritlo il 2, si dira 3 via 2 fa 6 e
+ 7 (la +13 che si scrivera. In tale maniera si sara trovato che
2 X' + ^- + 4 diviso per x — 3 da il quoziente 2 x + 7 ed il residuo
+ 23, e che nuovamenle 2x + 7 diviso per x — 3 da il quoziente 2
ed il residuo +13.

2. Colla precedenle operazione si viene a conoscere che il pro-
posto polinomio puo presentarsi sotto le differenti forme

2 x^ — 5 x' + X — 7 =(2 X' + X + i) (ar — 3)+5 =

= (2 x + 7) (a: — 3)' + 2 5 (jc — 3) + 5

=: 2 (x — 3)' + 1 3 (a- — 3)' + 25 (x — 3) + 5.

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS I S3

Questa semplicissima operazione e la base della risoluzione delle equa-
zioni; talvolta ci arresteremo alia prima rlga del calcolo, ed allora
diremo die diviso il polinoinio 2 x' — 6 x' + x — 7 per x — 3 ci diede
il quozienle 2 x' -f- x + 4 ed il residue + 6 ; piu spesso dovremo
compiere il calcolo soprascritto, che noi chiameremo una tabella di
calcolo, e diremo di aver cosi trovati i coefficienti 2 +15 -+-2'6 -f-o
del polinoinio trosformalo in x — 3, il quale, se per brevila si ponga
X — 3 = X , puo scriversi cosi :

2 x'^ + 1 3 x'* + 25 x' + 5 ;

il numero 5 con cui furono eseguiti tutti i calcoli, e che e quello
che aggiunto ad x col segno — costiluisce il (lii:isore x — 3, lo di-
remo la cifra della tabella, perche generalmente parlando esso sara
un numero formato di una sola cifra.

§ II.
Determinazione di una raclice di qualunque equazione data

3. Le equazioni del precedente ) 2 sono equazioni identiche, vale
a dii'e trasformazioni di una medesima formula, percio esse sono esatte
qualunque sia il valore della x; le equazioni di cui ora noi ci dob-
biamo occupare sono invece esatte solamente in quanto la x abbia
un certo valore particolare, e diccsi risoluzione delV equazione la ri-
cerca del valore deir incognita x, che rende soddisfatta T equazione
proposta. Cosi per esempio se sia data 1' equazione x' — x'=14x — 24
sara facile verificare che essa non e soddisfatta quando in luogo di x
pongasi per esempio il numero o, poiche allora si ridurrebbe al-
Tequazione evidentemcnte falsa 12d — 23 = 70 — 24, ed invece essa
e soddisfatta da x = 2 che la riduce 8 — 4 = 28 — 24.

4. Se neir equazione proposta per esempio si trasportino tutti i
termini nel primo membro, ed essi si ordinino secondo le potenze
della X, sicche la si scriva cosi:

x^ — x"— 14x + 24 = 0;

poscia si divida il polinomio che ne costituisce il primo membro pel

124 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

binomio x — 2 die risulta trasportando nel primo membro i lermini
deirequazione x = 2 die esprime il valore delF incognita, avrenio

1—1—14 + 24
2 |l +1 —12 0

(ioe si olterra il residno zero, e Fequazione potra scriversi sollo la
forma

(x' + x — 12) (y- 2) = 0;

e die il residuo debba essere nullo lo sintende considerando che
quando e x = 2 svanisce il valore del fallore (x — 2), e peroio anche
quello del suo prodotto pel valore, qualunque esso siasi, del quo-
zienle x' + x — 12; sicclie Tequazione che devVssere soddisfalla da
x=i:2 esige che anche il residuo della divisione del primo membro
per X — 2 sia nullo, come nullo ne e il secondo membro. — Se il fat-
lore x'-Hx — 12 si volesse dividere per x — 2 si avrebbe un resi-
duo, ma se invece si divide per x — 5 si otliene il quoziente x 4- 4

1+1 — 12

3 |l + 4 0

6 nessun residuo; sicche la proposta equazionc puo anche scriversi
sotto la forma

{x + 4) {x — 3) (x — 2) — 0 ,

la quale rende palese che essa e soddisfatta non solaniente da x = 2,
ma anche da x =: 3, ed anche da x = — 4, ed inoltre si riconosce
die niun allro valore di x varrebbe a soddisfarla, poiche lal valore
lion farebbe svanire nessuno dei faltori (ji + 4) (x — 5) (x — 2), e
percio nenimeno il loro prodotto. Viene da cio che per la compiuta
risoluzione di un'cquazione non basta Irovare un valore dell" incognita
che la renda soddisfatta, ma bisogna trovare tutti i valori che hanno
tal propriela; questi valori si dicono le rodici delFequazione; cosi la
precedenle equazione ha le due radici positive 2, 3 e la radice ne-
gativa — 4.

3. Generalizzando le considerazioni del § 4 si riconosce die una
qualunque equazione algebraica (cioe formata di termini contenenti
r incognita elevata a potenze di esponente intero positivo) non puo
avere piu radici di quello che sia il suo yrmlo^ cioe il piu grande

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 125

dcgli esponenti dell' incognita, e che risolvere unequazione o decom-
porre iin polinomio in fatlori del 1.° grado sono in soslanza una sola
ricerca; cosi trovarc le radici dell'equazionc x^ — x' — i4x-t-24 = 0
o decomporre il polinomio x' — x' — 14x-f-24 nei suoi fatlori x — 2,
X — 5, x-4-4 sono due questioni sostanziahnente identiche; perche le
radici 2, 3, — 4 sottratte dalla x danno i fattori, ed i fattori sepa-
ratamente eguagliati a zero danno i valori dell" incognita, cioe le ra-
dici delFequazione.

6. Ma le equazioni non hanno, generalmente parlando. le radici
espresse da numeri tanto semplici e cosi lacili da trovare come nel-
Tesempio precedente; e bisogna invece ricercare il valorc di ciascuna
radice espresso approssimalivamente mediante una frazione decimale.
Debbasi risolvere Tequazione del primo grado

345a; — 869 = 0

se ne dividiamo il primo membro per x — 2 col solito calcolo. cioe

345 — 869
2 |345 — 179

moltiplicando 543 per 2 ed il prodotto 690 unendolo a — 869 ab-
biamo — 179; vale a dire si ottiene il quozientc 54o ed il residue
— 179, ossia Tequazione puo scriversi 546 (x — 2) — 179=:0. Molti-
plicbiamo questa equazione per 10 e poniamo x' in luogo di 10 (x — 2);
avremo la nuova equazione 343 x — 1790 = 0, il cui primo membro
diviso per x — o da il quozientc 343 ed il residuo — 63, percio essa

345-^790
5'|345— 6?

puo scriversi cosi 543 (x — 3) — 63 = 0, che moltiplicata per 10 e
posto 10(x— 3) = x" diventa 343 x — 630 = 0 che potremo dividere
per x" — 1, e continuare nello slesso modo quanto ci piaccia. 1 cal-

3 4 5-650
d"|345 — 305

coli numerici potranno disporsi piu brevemente come qui si vede:
«d osservando che

x' , x" ,, x'"

X — 2 =; , x — 5 = , X — 1 = , eec.

10 10 10

126
vedremo clie

SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

x—2 +

100 "^ 1000

10000

= 2,5188

345 —

869

345 —

1790

345 —

650

345 —

3050

345 —

2900

345 —

140

L'operazionc da noi fatta non consiste in allro che nella divisione
del nuinero 869 pel numero 5AS: noi ci siamo arrestati intorno alia
niedesima solamenle perche Toperazionc con cui si risolve un'equa-
zione di qualunquc grado e fondala sullo stesso principio della pre-
cedenle; si tralla senipre di trasformare la proposla equazione in x
in nn'altra in

10

dove bisogna the il numero inlero a sia tale che x' riesca minore
di 10; poscia Teqiiazione in x' si trasformera in un'altra in

■ b = -

10

essendo x- <^ 10, ecc. sicche in fine si otlenga

b

x = a-\ h ecc.

10

7. Nel predello caso di un'equazione del 1.° grado raritmetica ol-
fre delle regole siciire per iscegliere le cifre 2, o', 1", ecc. in guisa
che non sieno ne troppo piccole nc Iroppo grandi. Supponiamo di
non conoscere tali regole e vediamo quali inconvenienti e quali ri-
medii si avrebbero. Suppongasi in prinio luogo che dopo ottenuti i
coefficienti della trasformata in x'^10(x — 2) 543 x' — 1790 = 0,

345 — 869
2

4'
9"
9'"

345 —

1790

345 —

4100

345 —

9950

345 —

68450

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

127

si adoperi la cifra 4 (anziehe la giusta i5) c si giunga cosi alia trasfor-
mata 343 (x' — 4) — 410 = 0: se si conlinuassc il calcolo e palese che
si avrebbero dei residui 99o, G84i5, ecc. seinprc piu grandi; ma se
noi divideremo il primo menibro della oA6{x' — 4) — 410^0 (non
moltiplicata per 10) per (x — 4) — 1 avremo la trasforniata in x — 6
54iJ (x — 6) — 6o = 0; poscia procedercmo come al • 6.

345 — 869
2

345 —

1790

345 —

410

345 —

65

Dunque quando una cifra e minore del giuslo, vi si rimedia fa-
cendo il calcolo colla cifra 1 (si suppone che I'errore sia di una sola
unita) e cib senza moltipUcare rullimo termine per 10. Del resto po-
tra riuscir piu comodo cancellare la riga calcolala colla cifra 4', e
sostituirvene un'altra calcolala colla cifra 6'.

8. Supponiamo in secondo luogo che siasi presa la cifra troppo
grande 3: il prodotto 3.54i5 =: lOoo unito a — 8G9 da un residuo
-f-166 di seyno oppo.sto a quelle delYiiltimo termine — 869; questo
sura sempre indicio che la cifra adoperala fu troppo grande; se non

345 —

86'J

3

345 + 166

— I

345 —

1790

5'

345 —

650

2"

345 +

40

— 1"

345 —

3050

8"'

345 —

290

si preferisca cancellare la riga gia scritta, si potra operare colla cifra
negativa — 1. la quale dara il prodotto — l . 54o = — 54o che unito
con +166 da il residuo — 179. Si procedette al solilo colla cifra
giusta o, e conlinuando si adopero la cifra 2 ' piu grande del giu-
sto, il che si corresse colla cifra negativa — 1", e raccogliendo tutte
le cifre trovate si vede che

5 2—1

x^3 — 1 H 1-

10 100

1000

+ ecc. = 2,518 .

i2» SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

Del reslo anche in questo caso riesce piu comodo cancellare i calcoli
fatll colle cifre troppo grandi, e ridursi sempre al calcolo del § 6.

9. Proponiamoci adesso di trovare il valore della radice positiva
dell'equazione del 5.° grado

2x' + 5x' + 7a: — 188 = 0

dividendonc il priino membro per x — 3, poscia ancora il quoziente
per X — 3 ed il nuovo quoziente dividendolo ancora per x — 3, noi
olterremo mediante la seguente tabella di calcolo (§ 2) i coefficienli

2+ 5+ 7 — 1
3

2 + 14 +40— 68
2 + 17 + 91
2 + 23
2

li -j-23 4-91 — 68 delPequazione trasformata in x — 5

2(x— 3)' + 23(x — 3)' + 91 (x — 3) — 68 = 0.

Giova avvertire di non abbandonare una tabella senza essersi ben as-
sicurali di non avervi commesso qualche errore; cosi al compiere della
seconda riga dopo aver calcolato 3X17 + 40=^91 si sommeranno da
parte i due numeri 11 -f- 17 ^28 e si osservera se 3X28-1-7 = 91;
cosi pure al compiere della lerza riga si sommeranno i tre 2 della
prima colonna, poscia si osservera se 3X6-f-o = 25. La predetta
trasformata moltiplicata per 1000, poscia postovi

x~3 — ,

10 '

si cangia nella

2 x' + 230 a-' + 91 00 x— 68000 = 0 ,

i cui coefficienli sono quelli stessi della precedente rispettivamente
molliplicali pei termini della progressione decupla 1, 10, 100, 1000.
Dividiamo adesso il primo membro di questa equazione per x — 6

2 + 230+ 9100 — 68000
6' 2 + 242 + 10552— 4688
2 + 254 + 12076
2 + 266

e colla solita tabella otterremo i coefficienti della trasformata

2(x'— 6)' + 266(a;'— 6)' + 12076(x'— 6)— 4688 = 0;

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS <29

e nuovamcnte raoltiplicandone i coeiTicicnli per 1, 10, 100, 1000 avre-
mo la trasformata

2x"^ + 2660x"'4- 1207 600/'— 4688000 = 0

essendo

x"

X — 6 = .

10

Su quesli ultimi coefficienli si polrebbe operare nel solilo modo colla
cifra 3 ; ma nel caso die non si voglia spingere T approssimazione
mollo innanzi, roperazione riuscira piu spediliva tagliando, per esem-
pio, tre cifre a ciascun nuraero e calcolando Tunita tabclla coH'om-

0,002 + 2,66 + 1207,6 — 4688
3" I ,002 + 2,67 + 1215,6 — 1041
,002 + 2,68 + 1223,6
,002 + 2,69

mettere senipre le ultime cifre nel modo che riuscira facilissimo a chi
sia alcun poco abituato al calcolo delle decimali. I coefficienli 0,002
+ 2,69 +1223,6 — 1041 che cosi si ottengono si moltiplicheranno
rispeltivamente pei termini della progressione decupla 0,001, 0.01,
0,1, 1 e si procedera nel modo solito al calcolo della successiva ta-
bella colla cifra 8", e cosi di seguito; ed in fine raccogliendo tutte

0,03 + 122,4 —

1041

,03 + 122,6 —
,03 + 122,8

12,3 —

60
60

4"

12.3 —

11

9'"

1,2

0

le cifre trovale si avra per la radice cercata il valore x=: 3,63849.
10. Nulla si disse finora sul modo di trovare le cifre colle quali
sono calcolate le precedenli tabelle; vediamo quali inconvenienti e
quali ripieghi si avrebbero nel caso che si sbagliassero tali cifre. Sup-
poniamo che da prima siasi adoperata la cifra troppo piccola 2; se
procedessimo alia seconda tabella coi numeri 2+1 70 +3100 — 138000
si vedrebbe che anche adoperando la massima cifra 9' non si toglie-
rebbe che non andasse sempre aumentando il rapporto dell' ultimo
m. 17

ISO SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

tcrmine coi precedenll, inenlre invece si dee avere in vista di ren-
derlo il piii piccolo possibile; noi dunque non molliplicheremo i tro-
vali coefficienli 2 + 17 +i>l — i38 per la solila progressione decu-

2+5+7 — 188
2

2+ 9 + 25 —

138

2 + 13 + 51

2 + 17

2 + 19 + 70 —

68

2 + 21 + 91

2 + 23

pla, bensi ripeteremo su di essi il solilo calcolo colla nuova cifra 1,
e giungeremo prccisamente agli stessi coefficient! 2 + 25 +91 — 68
che si sarebbero trovati operando a bella prima colla cifra 3: e si
noli che 1' ultimo termine — 68 della prima riga ci avverte col suo
segno che veramente la cifra 2 era troppo piccola. Siccome la so-
verchia grandczza delFultimo termine — 138, e quindi la troppa pic-
colezza della cifra 2, potra quasi sempre arguirsi dalla sola prima
riga 2 + 9 + 23 — 158 della tabella, cosi in pratica potra riuscir piii
comodo di cancellare la riga gia scritta e procedere alia formazione
della tabella colla cifra 5.

11. Supponiamo in secondo luogo che siasi cominciato il calcolo
cx)lla cifra troppo grande 4; al compiere della prima riga della ta-
bella noi troveremo che il residuo 4 X Jj9 — 188=: + 48 ha segno
opposlo delFultimo termine superiore — 1 88, e questo e indicio si-
curo che la cifra adoperata fu troppo grande; per rimediare a cio
dopo compiuta la tabella adopreremo la cifra negativa — 1 . e con

2+ 5+ 7 — 188

2 + 13 +

59 +

48

2 + 21 +143

2 + 29

2 + 27 + 116 —

68

2 + 25 +

91

2+ 23

una nuova tabella (nella quale dovra dirsi —1 via 2 fa —2 che
unito con +29 da +27, —1 via +27 fa —27 e +145 da + 116,
— 1 via +116 fa —116 e +48 da —68, ecc.) saremo ricondotti

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS IBi

a quegli stessl coefficienti die si oltcngono operando immediatanienle
colla cilVa 3. Del resto riuscira quasi seinprc piu comodo cancellare
la prima riga calcolata colla eifra troppo grande 4, e ricominciare il
calcolo colla 3.

12. Quello che abbiamo detlo in riguardo alia prima tabella, si
dira di lutle le seguenli nel caso ch' esse si calcolassero con cifre

0 troppo gi'andi o troppo piccole; ma si noli che in fatto sara quasi
sempre facile prevedere qual sia la cifra da adoperarsi avendo in
vista che lo scopo si e di ridurrc il piu piccolo possibile il residuo
procedente dalla prima divisione, mantenendolo pero dello stesso se-
gno delFultimo termine che gli sta di sopra. Generalmente parlando
nel progredire delFoperazione la scelta delle cifre e tanlo sicura, quanlo
se si trattasse di una semplice divisione di due nunieri, e I'opera-
zione va sempre piii riducendosi ad una divisione.

15. Bisogna peraltro confessare che nel precedente eserapio la ra-
dice si e facihnente presentata. Come si operera negli altri casi, e
quali avvertenze specialmente dovranno aversi per esser certi di tro-
vare tutte le radici della proposta equazione? Per poter compiuta-
mente soddisfare a quesla giustissima esigenza premelteremo 1' espo-
sizione delle principali proprieta delle equazioni, che noi vedremo
nascere spontanee dalloperazione stessa che conduce alia determina-
zione di ciascuna radice in particolare; ma prima aggiungeremo un
altro esempio di questa operazione.

14. Si ricerchi la radice positiva delFequazione

z' — 54500 = 0.

Prima di tutto vi si aggiungano i termini mancanti dando ad essi i
coefficienti nulli, sicche Tequazione

oc' + O .x' + O .X — 5 4500 = 0

ci mostrera che dobbiamo formar la tabclla cominciando coi numeri

1 +0 + 0 — 34o00. Non e difficile I'iconoscere che la cifra 9 sarebbe
troppo piccola; prenderemo adunquc una cifra di decine, e siccome
40 sarebbe evidentemente troppo grande. cosi opereremo colla cifra
30: compiuta la prima tabella si procedera alia seconda cominciando
colla cifra 8 che sembrerebbe opportuna, ma che in fatto si trova

4 32

SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

esser troppo grande, sicche si riprendera il calcolo oolla cifra 7.

I + 0 + 0 — 54500

30

(8)
7

d+ 30+ 900 — 27500
1+ 60 + 2700
1 + 90

(1)+ (98)+(3484)+ (372)

i + 97 + 3379 — 3847
1 +104 + 4107
1 +1U

0,01+U,1 +4107 —38470

0,01 + 11,19 + 4207,7 —
,01+11,28 + 4309,2
,01 +11,37

601

0,11+ 430,9 —

601

1" ,11+ 431,0 —
,11 + 431,1

170

43,1 —

170

4 143,1 + 2

Volendo liniitarmi a poche decimali moltiplicai i rlsullanti coefficienti
1 -f-lH +4107 — 3847 per la progressione decupla 0,01 0,1 1 10
(anziche per la 1, 10, 100, 1000) e continuando nello slesso niodo
trovai la radice x = 37,914.

13. 11 valore precedentemente trovato e qiiello la cui lerza po-
tenza e =34300, esso si dice la radice terza di questo numero; si
vede percio che Toperazione per eslrarre la radice di una quantita
non e in niente piii facile dell' operazione coUa quale si determina
immedialamente la radice di una data equazione^ sicche portano poco
o nessun vantaggio pratico le formule medianle le quali in rarissimi
casi si puo ridurre la risoluzione delle equazioni ad eslrazioni di ra-
dici di quantita.

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

4 33

III.

Teoria dementare delle equazioni algebraiche

16. Nol dedurremo le principall proprieta delle equazioni dalla
operazione mediante la quale (§ 2) dato un polinomio in x si oltiene
il suo Irasfonnato in (x — 0)7 operazione che prendendo per esempio
il polinomio generale del A." grado

(1) Jx^ + Bx^ + Cx' + Dx + E

e espressa dalla tabella

J + B +C +D +£

dove

J + B, + C, + D, + E^
A + B^ + C. + Di^
A + B^ + C^
-4 + B^
A

E, = aD, + E

B,=aA + B , C, = aB, + C , Z?, = a C, 4

B, = aA + B^, Cj = aB, + C^, D^ — aC,+D,

Bi = aA + B^, C^ — aB^ + C,
B^ = aA + B,

ed il polinomio Irasformato e

(2) A{x — a)''-\-B^(x — af + C^(x — aY + D,{x — a) + E^.

Abbiamo gia notato che i numeri di ciascuna riga della tabella sono
i coefficienti del quoziente ed il residuo del polinomio che ha per
coefficienli i numeri della riga superiore diviso per x — o, sicche

(3) A x'' + B x^ + C X' + D X + E=z(A x^ + B,x' + C,x + D^) {x — a) + E^

(4) A x' + B,x' + C,x + D^ = {Ax' + B,x + C,) {x — a) + Z),

ecc.
17. Ricordiamo da prima (5 4) che essendo la (5) un'equazione
idenlica, il valore che prende il primo membro quando vi si pone
X ^ 0 e uguale a quello che prende in tal caso il secondo membro
cioe ^ a''--hBa^ -\-Ca" -[-Dci-hE=E^-, dunque : ■' se o e una radke
delFequazione Jx''-hJix^-i-Cx'-i-Dx-hE=:0 il suo primo mem-

134 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

bro diviso per x — a da un residue nullo » . Viceversa si vede ufi;ual-
menle che se il priino membro deirequazione .4 x^-.-i- E=zQ diviso
per X — a da il residue nullo, essendo identicamente A xK...^ E=^
= ( / x^ + ^. x' -f- C, X H- O3) (x -T- a) V equazione avra la radice a, ed
inollre lulte le radici dell' equazione di grado inferiore di un'unita
./x' + i?, x' + 6', x + Z>3 = 0; ne viene che « un'equazione potra avere
tulto al piu tante radici quant' e il suo grado " .

18. Se il valore di a renda nello stesso tempo E^=zO e Z>^i=0,
siccome la A x'*.... -\- E ^Q ha oltre la radice a tutte quelle della
/x' + ^, x'4- C,xH-Z)3 ^0, che in tal caso e identica colla {A x" -\-

H-^, X+C3) (x — rt)^0, cosi si dice che I'equazione .^ x^... + £"=0
ha due volte la radice a, od in altri termini, ch'essa ha una radice
doppia eguale alia a. Similmente se a renda nello stesso tempo £"^^=0,
Z>4 = 0, i\ r= 0 si dice che I'equazione proposta ha la radice tripla a.
Nel contare il numero delle radici di un' equazione ogni radice dop-
pia si conta per due, ogni radice tripla per trc, ecc.

19. Dallequazione identica

A x^....+E=A{x — of + B^(x — af + C^(x — ay -i-D^{x — a) + E^

si desume che il valore del polinomio A x^....-\-E quando x = ffl (va-
lore che e ^= E^f ed il valore che esso prende per un altro valore
di X hanno una dilTerenza che col diminuire di (x — a) puo ridursi
quanto piccola si voglia; ossia con altre parole se il valore di x can-
gia per gradi infinitesimi, lo stesso avviene pel valore del polinomio
.;/x\. .. + £!, valore che non puo mai divenire infmito finche x e fi-
nilo; percio se per due valori della x quali sono x=:a, x = a + 6
i corrispondenti valori del polinomio sieno Tuno positive P altro ne-
gative, bisognera che il valore di quel polinomio si annulli almeno
per un valore della x compreso tra a ed a -+- b. Dunque : " se i due
valori che prende il primo membro dell' equazione A x''.... -i- E=0
per x = a e per x =: o + 6 hanno segni opposti, 1' equazione ha al-
meno una radice compresa tra a ed a-i-b'. In particolare ' se i valori
£, E^ del primo membro dellequazione corrispondenti ad x^O ed
a x^rt hanno segni opposti, I'equazione ha almeno una radice com-
presa tra 0 ed a " .

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 1 35

20. L'equazione identica del precedente § mutandosi x in y -+- a
diventa

J iy + a)'' + B (ij + af + C (ij + n)' + D (ij + n) + L'^ ./ if + i?, if + C^if + D.y + E^^.

Sviluppando le varie potenze del binomio (y + a) i due menibri deg-
giono risultare identici, percio si ha

D^=iAa^ + 3Ba'+2Ca + I)
B^=ziJa +B

formule che fanno conoscere In qual modo i coefficienti della Irasfor-
mata dipendano dal valore di a. Risulta dall'egual natura di queste
formule che non solamente E^^ ma anche gli altri coefficienti Z>^, C. ccc.
procedono per gradi Infinitesimi quando a va cangiando per gradi
infinilesimi, e che se un certo valore di a rende D^ di segno opposto
a quelle di Z>, vi sara almeno un valore di a compreso fra il prece-
dente e zero, il quale rendera D^=^0: lo stesso dicasi per C\ ecc.
Per istudiare randamento dei coefficienti dal polinomio proposto ad
un Irasformato possiamo supporre che sieno calcolati tulti i polinomii
intermedii, nei quali un qualche coefficiente si annulla; vale a dire
supporremo che colla cifra positiva a sieno calcolati i coefficienti del
polinomio in (x — «), poscia colla cifra positiva b sieno dedotti da
questi quelli del polinomio in (x — a — b) e cosi in seguito, fino al
poHnomio in (x — a — 6.... — h) in guisa che tutti i numeri minori
di a-f-6 .... -h A che fanno svanire qualche termine sieno alcuni dei
o, a-f-6. ...., a + 6 + .... -{-/(. — Si noti che queste cifre positive a.
6, ...., h possono essere indifferentemente intere o frazionarie, giac-
che ora non si tratta di effettivamenle calcolare i poUnomii, ma sol-
tanto di supporli calcolati.

21. In una serie qualunque di (juantita, per esempio .4 B C D A,
si dice variazione di segno il cangiamento di segno da un termine al
successive ; cosi per esempio si dice che la serie 4-2 — 3 + 4 — 1
ha Ire variazioni di segno, che la serie — ij + 7 — 10 ne ha due,
e che la — 2 — 1 — 3 non ne ha alcuna. Se qualche termine e nullo,

4 36 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIOM

esso non si considera, oppure (il che torna lo stesso) gli si altribui-
sce lal segno da rendere minimo il nuinero delle variazioni; cosi la
serie

+ 1—2 0 0+3 0+2

ossia la

+ i —2 —0 —0 +3 +0 +2

ha due variazioni di segno. — Consideriamo le seguenli serie di nu-
nieri lolte dalla tabella del § 16.

A

B

C

D

E

A

B,

C

D

E

A

B,

c.

D

E

A

B,

c.

D,

E

A

B,

C,

D^

E,

A

B,

c.

D,

E,

A

B,

C^

D,

E^

A

B,

c.

D,

E^

A

B,

c^

D,

E^

A

B,

c^

D^

E\

A

B,

c.

D,

E,

dove da una serie alPaltra e sempre cangiato un solo termine nel-
Tordine con cui essi si calcolano; e ritenuto che a sia positiva, cer-
chiamo quali cangiamenli nel numero delle variazioni di segno possano
avv.enire da una serie allaltra. Osserveremo inlanto che da una serie
alia successiva vi potra essere diminuzione nel numero delle varia-
zioni, non mai aumenlo, poiche se per esempio dalla serie

A B, C, D, Ei^ • .

alia

A B^ fj Z?3 ^4

vi sia cangiamento di segno da C^ a C3 :=o ^, -f-C,, questo C, sara
necessariamente dello stesso segno di B^^ e percio vi sara la perdila
di una variazione da 5, C\ a B^ C\; d'altronde da C, D, a C, D, vi
potra essere o perdita 0 acquisto di una variazione; cosi dalla prima
serie alia seconda vi sara la perdita di due variazioni nel caso che
B, e Dj abbiano lo stesso segno, e non vi sara ne perdita ne ail-

V

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITFS 137

mento se B, D, alibiano segni opposti. — Nel caso di E^=zO dalla
serie

J B, C, D, E

alia successiva

A B^ C, D^ 0
vi sara la perdlla di una variazione, poiche ossendo /" , =^ « ^3 + £^=0
e necessario die D^ E abbiano segni opposti: che se lo stesso valore
della cifra a renda £, = 0 e />, = 0 vi sara la perdita di un'altra
variazione dalla serie

/ B, T; Pi 0

alia successiva

J B, C, 0 0;

ed una terza variazione si perdera nel caso che sia anche (\ = 0, c
cosi di seguito; noi abbiamo gia detto (5 18) che in tali casi a e una
radice semplice, doppia, tripla ecc. dell" equazione Ax' .... -\- E^=0.
Che se il valore di a faccia svanire uno dei coefficienti intermedii
2?^ C, D^ del polinomio trasformato in (x — o), dopo del qual coef-
ficienle ve ne sia almeno uno che non si annulli ; come, in via dVseni-
pio, se sia C^ = 0, e D^ non sia zero, dalla serie

J B, C, D. E^ " .

alia successiva

A B, 0 D^ E^

o non vi sara alcun cangiamento nel numero delle variazioni, o vi
sara la perdita di due variazioni, secondo che B^ D^ avranno segni
opposti o segni uguali. La ragione di cio e quella stessa data di so-
pra, poiche, essendo C^^z 0^3 + 63 = 0, i termini B^ C^ presentano
una variazione, mentre C^ D^ possono avere segni uguali 0 presen-
tare un'altra variazione; nel pi'inio caso la variazione B, C, si con-
serva in B, 0 Z)^, nel secondo caso si perdono tutte due le varia-
zioni. Quel valore di a che annulla un termine della trasformata in
(x — a) compreso fra due termini di segni uguali, e che percio la
sparire due variazioni, dicesi un valor criiico della proposta equa-
zione J x''....-^- E^O. — Che se lo stesso valore a faccia sparire due
termini contigui per esempio C,^ D^ i quali sieno seguiti da uno E^

HI. 1 8

138 - SULLA RISOLUZIOiNE DELLE EQUAZIONI

die non si aniuiUi vedrenio die vi sara la perdila di due variazioiii
o dalla serie

A B, C, D, E^
alia successiva

A B, C, 0 l]^

o dalla

alia

B, C, 0

B, 0

Andie in questo caso a si dice un valor critico dellequazione. — E
se a annulli iiello slesso tempo tre termini contigui per esempio B^
Cj Z>^, oppure due termini non contigui per esempio B^ e /?^,vi po-
Ira essere la perdita di quattro variazioni; ma sempre le perdite di
variazioni non provenienli dalle radici saranno di numero pari. Se a
produca la perdita di due paia di variazioni, lo si dira un valor cri-
tico doppio e lo si contera per due valori critici, ecc. — Si noti die
se im valore di a annulli per esempio E^ e non Z>^, ma annulli an-
che C^, e B^ D^ abbiano segni uguali, in guisa die svaniscano tre
variazioni, esso sara nello stesso tempo radice e valor critico. — E fa-
cile intendere die se e nullo alcuno dei coefficienti B C D E del po-
linoniio primitivo, cosi per esempio se C:=0 ed £"=0, non vi e al-
cun cangiamento nel numero delle variazioni ne dalla serie

alia successiva
ne dalla serie
alia
poiclie

A B, 0 D 0

A B, C, D 0,

A B, C, Z>3 0

A B, C, D, £4,
C^ :=aB, E,=za D^.

22. Quanto noi abbiamo argonientato intorno alia supposta labella
calcolata colla cifra a potra ripetersi per tutte le successive tabelle
calcolate colle cifre 6, c, .... A, mantenendo la supposizione fatta nel

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS *39

5 '20. oho luttc le I'adici o liitli i valori critlci inaggiori d\ icro e
non raaggiori di « + 6 + c .... + A sieno alcuni del nunieri «, « + 6.
« + ^ + c, ecc, siccho ncssun valor critico e ncssuna radice cada tra
zero ed a , tra a ed a -\-b ecc. ; ed osservando die si giunge alio
stesso polinomio in (j— /.) cssendo k=^a -\- b .... -^ h sia che si ado-
peri inimediatainenlc la cifra k oppure successivainente le cilrc o, 6,
.... /* ne trarrenio 1 iinporlantissima conclusione che - il numero delle
variazioni di segno perdute dall'equazione in x ad una sua qualsi-
voglia trasformata in (x — k) e uguale al numero delle radici del-
I'equazione proposia che sono maggiori di zero, e non niaggiori di /.,
pill il doppio del numero dei valori critic! compresi in quello stesso
inlervallo " .

23. Polendosi prendere la k tanto grande che tulti i termini della
trasformata in (x — k) sieno dello stesso segno, risulta come corollario
del precedente teorema del Fourier quello del Cartesio : < il numero
delle radici positive di un'equazione e tutto al piu eguale a quello
delle sue variazioni di segno, e la differenza fra questi clue numeri
e sempre pari >> ; essendo eguale al doppio del numero dei valori cri-
tici positivi.

24. Dopo che medlante una cifra positi^a qualunque o si saranno
Irovati i coefficienti / B^ C. D^ E. della trasformata in (x — a) se E
ed £4 abbiano segni opposti, il teorema del J 1^ c'insegnera che per
certo neirintervallo fra 0 ed a esiste almeno una radice. al cui va-
lore noi ci avvicineremo mediante il solito calcolo con cifra minori
di a. Che se per lo contrario la serie /, B^ .... £, abbia tante varia-
zioni di segno quante ne aveva la A B C D £, il teorema del Fou-
rier (5 22) ci rendera sicuri che neirintervallo tra zero ed a non
esiste alcuna radice, e cjuindi c'indurra a procedere alle trasformate
in (x — o — 6), (x — a — h — c), ecc. finche sparisca almeno una va-
riazione di segno. — Rimane una sola difficolta: se tra I'equazione in
X e la trasformata in (x — a) vi sia la perdita di un numero pari di
variazioni, come faremo a separare le radici che forse esistono in
quelFintervallo, o come potremo renderci sicuri che nessuna radice
sia compresa tra zero ed rt. e che quella perdita di variazioni dipenda

I 40 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

dallesislenza d'l uiio o pin valori critici? — Le seguenli considerazioni
va|n;ono a toglierc pienamenle qucsta difficolta.

*I'6. Se a e una radice della proposla eqiiazione /x''4-^x\...+£=0
si ha (§ 16)

e se inoltrc 1 equazione proposta abbia un altra radice b si avra pure
(§ 1 7) Tequazione identica / x' -+- /?, x' + (\ x-\-D,=z{l x" -\- B' x -)- T )
(x — h)\ e se finahnente nessun' altra radice della proposla sia com-
presa tra a e b bisognera che I a^ -i- B' a + C\ A b" ~\- B' b -{- C ab-
biano segni uguali, aUrimenti (§ 19) la ./ x' + ^' x-f- C = 0, e percio
ancbe la ./ x' + • •. + ^^= {4 x' + 7?' x -+- C) (x — b) (x — a) = 0, avreb-
bero una radice compresa tra a e 6, il die e contro I'ipotesi. Ora
se operando colla cifra a e medianle la solita tabella si calcoli il
trasformato in (x — a) del polinoniio ./ x '....+ A", che e idenlicamente
eguale a ( / x' + Z? x -{- C) (x — 6) (x — o), si vedra per le (3) e (4)
del § 16 che il polinoniio trasformato avra rultiino termine E^=zO
ed il penultinio D^= / a' -^ Bji'-\- C^a-i- D = ( / a' + ^' a + C ) (a—b);
per la medesinia ragione il polinoniio trasforinato in (x — b) avra T ul-
timo termine nullo ed il penulthno ^={ / b~h B' b-i-C) {b — «), e per
quel che si disse di sopra quesli due penultinii termini avranno se-
gni opposti; quindi |)el '] '20 vedremo che « se una data equazione
abbia le due radici a b tra le quali non sia compresa alcun'altra ra-
dice, le equazioni traslorinale in (x — a) ed in (x — b) avranno i pe-
nultimi termini di segni opposti, e percio vi sara un' equazione tras-
formata in (x — a.) essendo ■< un numero inlermedio tra a e 6, la
quale aAra il penultimo termine nullo > . — 1 valori che annullano il
penultimo termine sono (veggansi le equazioni del 5 20) le radici del-
r equazione 4 / x' + 5^x'H-2 Cx-f- /> = 0, che dagli analisti e delta
la derivofa della proposla J x' -f- B x' + t' x' + i> x + £= 0 ; cosi si
ha il teorema del Rolle: » Se <>-, /?, y .... l sieno le radici delK equa-
zione derhcda distribuite in ordine di grandezza, T equazione proposta
avra tutlo al piu una sola radice minore di ^', una sola compresa tra

« e /3, una sola tra /3 e y, , ed una sola maggiore di ^ ; percio

noi saremo certi di separare ad una ad una tulte le radici della pro-

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

144

posla equazione se nc calcoloreiao Ic trasformale in (x — <), in (x — /3),
...., in (x — I).

26. Prendasi per esempio T equazione

3x1— 68x^ + 522 x'— 1620x4-2100 = 0.

Siccome i coefficienti 3 + 52 + 282 + 420+100 della trasformata in
(x — 10) non presentano alcuna variazione di segno mentre la pro-
posta ne ha quattro, cosi tutle le radici e tulti i valori crilici sono
compresi tra 0 e 10: resta da decidere se vi sieno qnaltro radici, o
due radici ed un valor critieo, o due valori critici. Ora 1' equazione
derivala 12 x' — 204 x' + 1044 x — 1620=^0 ha le Ire radici 3, 3, 9;
calcolando dunque le trasformale in (x — 3), in (x — iJ), (x — 9), noi
sianio certi di separare tutte le radici della proposla (cio fu fatlo ope-
rando successivamente colle cifre 3, 2, 4, e si vede qui sotto).

3 — 68 + 522 — 1620+2100
10

3 — 38 + 142— 200 +

100

3— 8+ 62+ 420

3 + 22 + 282

3 + 52

3 — 68 +

522 —

1620 + 2100

3

3 — 59 + ,^45 —

585+ 345

3 — 50 + 195 +

0

3 — 41 +

72

3 — 32

2

3 — 26 +

20 +

40+ 425

3 — 20 —

20 —

0

3 — 14 —

48

3— 8

4

3+4 —

32 —

128— 87

3 + 16 +

32 +

0

3 + 28 + 144

3 + 40

Le trasformale in (x — 9) ed in (x — 10) hanno gli ullimi termini — 87,
+ 100 di segni opposti, percio (j 19) una radice della proposta equa-
zione e compresa tra 9 e 10, e non ve ne puo essere che una, poi-
che se ve ne fossero due, tra mezzo ad esse cadrebbe (^ 2o) una radice
delFequazione derivala, (d'altronde Pesistenza di una sola radice e pro-
vala (5 22) dalla perdita di una sola variazione dalla trasformata in

142 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIO.M

{x — 9) a qiiella in (x — 10)). Rimane il dubbio se da zero a 9 vi
sia una sola, oppure Ire radici; ora se osscrvianio la Irasformata in
(x — 5) vedianio che il suo ulliaio tennine -f- 34,j lia lo stesso segno
doirultinio termine +2100 della proposta, percio tra zero e 3 non
puo {) 19) oadere una sola radice, e pel teorenia del Rolle () 2'6) non
ve ne puo oadere piu di una; cosi pure manca ogni radice Ira 5
e o, e le due variazioni perdute dalF equazione in x a quella in
(x — 6) dipendono da un valor critico, il quale (nel noslro easo pai-
tioolare) e appunlo il 5 che annuUa un termine conipreso fra due
+ 72 + 54iJ di egual segno.

27. Si osservi die per trovare le radici dell'equazione derivata,
od alnieno per avvicinarsi indefinilamentc alle medesime, non e gia
necessario traltare separafamente lale equazione, poiche calcolando le
tabelle che si riferiscono alF equazione proposta e facile scegliere le
cifre in guisa di far annullare od almeno render sempre piu piccolo
il penultinio tennine anzichc T ultimo, e varranno anche per tal caso
conclusion! analoghe a quelle stabilite nei §§ 21, 22. — Nel precedenle
esempio 1' equazione proposta presenta, quando si eccettua I' ultimo
termine, tre variazioni; e la irasformata in (x — 10), pure eccettuando
rultimo termine, non ne presenta alcuna; dunque Fequazione derivata
ha tre radici, oppure una radice ed un valor critico tra zero e 10,
vale a dire siamo certi che tra zero e 10 vi e uno oppur tre valori
che fanno annullare il penultimo termine: calcoliamo adunque i coef-
ficienti di una trasformata intermedia, per esempio di quella in {x — 6);
essi sono 5 + -5 — o-i — {08 H- 572, dove, eccettuando Pultimo ter-
mine, si ha una sola variazione, e percio Tequazione derivata ha una
radice conipresa tra 6 e 10. Resta da sapere se tra zero e 6 ne
abbia due o nessuna, il che facilmente si riconoscera mediante qual-
che trasformata intermedia.

28. Vedremo che in pratioa non occorre mai di fare tulte quesle
considerazioni; cio nondimeno, acciocche il metodo non lasci assoluta-
mente alcuna incertezza. dobbiamo notare che se un numero pari di ra-
dici dell equazione deri^ala. ossia di valori che annullano il penultimo
termine. sieno talmenle vicini che non si lascino facilmente separare ; per

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 14S

esser certi di separarii, o di riconoscere die non eslstono, bisognera
calcolare le trasformate corrispondenti al valori che fanno annullare
i penultinii termini, i quali sono le radici dellequazione derkata se-
conda ([ 20) 6 / j;' + 3 /?x-|- 6' = 0, e cosi di seguito; giacche lulto
quanlo si disse Ira I ullimo e il penultimo lermine puo ripetersi tra
il penultimo e rantipenultimo, ecc. In tal modo saremo condotti a
cercare il valore che annuUa il secondo termine, il quale separera i
due valori, se esistono, che annullano il terzo termine, e con questi
saremo certi di separare i valori che annullano il quarto termine, e
cosi in seguito fino all'ultimo.

(0) 3 — 68 + 522 — 1620 + 2100

(3) 3 — 32+ 72+ 0+ 345

(4) 3 — 20— 6+ 60+ 388

(5) 3— 8— 48— 0+ 425

(6) 3+ 4— 54— 108+ 372

(7) 3 + 16— 24— 192+ 217
(9) 3 + 40 + 144+ 0— 87

(10)3 + 52 + 282+ 420+ 100

Nel precedente esempio il valore che annulla il secondo termine e
(come vedremo al § 43)

68
"~4X3 '

ma anche prendendo il valore approssimato « ^ 6 si ha la trasfor-
mata in (x — 6), la quale separa i due valori che annullano il terzo
termine che sono all'incirca 4 e 7, i quali separano i tre valori 5.
S, 9 che annullano il quarto termine. II terzo di questi valori se-
para i due valori che annullano Tultimo termine, ed i due 3, 6 sepa-
rerebbero gli altri due valori se esistessero, ed invece colla costanza
di segno deUultimo termine mostrano che la proposta equazione non
ha altre radici oltre quelle due, una compresa fra 3 e 9, I'altra mag-
giore di 9.

29. Coi calcoli precedent! si verranno a determinare anche lutti
i valori critici della proposta equazione, poiche essi sono quei valori
che fanno annullare qualche termine compreso tra due di egual se-
gno: che se importasse determinare con molta approssimazione i va-

144 SULLA RISOLUZIONE DEIXE EQUAZIOM

lori critici, sarebbc piu coniodo risolvere separatamente le varie equa-
zioni derivalc (5 20). — Se im valore a annulli nello stesso tempo pa-
rccchi termini della trasformata in (x — o), esso potra essere un valor
orilico doppio o triplo ecc; per riconoscere quante variazioni spari-
scano dalla trasformata in {x — a-\-u) alia trasformata in (x — a — w),
essendo w nna quantitjj cstremamente piccola. si noti die dalla tras-
formata in (x- — a) a quella in (x — a — w) il numero delle variazioni
rimane (§21) lo stesso; cosi pm'e se mutiamo il segno alP incognita,
sicche si abbia Tequazione in ( — x + o), questa avra tante variazioni
quante I'equazione in ( — x + o — w), ma it numero di variazioni di
questa (che non manca di alcun termine) e uguale al proprio grado
meno il numero delle variazioni della trasformata in (x — a4-w); da
lutto cio risulla la regola che esprimiamo col seguente esempio. Data
I'equazione x" — So x' + 84 x' + 1 =0 essa ha due variazioni di se-
gno, e percio (5 22) non puo avere plii di due radici positive, e la
trasformata in ( — x) — ( — x)' -f- 33 ( — x)' + 84 ( — x)' + 1 = 0 avendo
una sola variazione moslra che la proposta non puo avere piu di
una radice ncgativa ; e la trasformata in (x + w) avra 7 — 1 variazioni ;
percio nel passaggio dalFequazione in (x + w) e quella in (x) si per-
dono 7 — 1 — 2 = 4 variazioni, c lo zero c un valor critico doppio.
L'equazione trasformata in (x — i)^=z 3- + 7 3°-h33 -*+70 :;-hol = 0
non avendo variazioni di segno non puo avere radici positive, e dalla
considcrazione della sua trasformata in ( — c) si vede che essa ne
puo avere tutto al piu o di negative; e qui la diffcrenza 7 — 0 — 5 = 2
mostra che lo zero e un valor critico deirequazione in c, e che per-
cio 1 lo e delPequazione in (x), la quale per conseguenza non am-
mettc che una sola radice negaliva.

30. Le radici si separeranno quasi sempre senza bisogno di far
annullare i varii termini precedenti al primo, e la mancanza di ra-
dici si riconoscera, anche senza detcrminare i valori critici, colPadope-
rare invece il criterio che or ora esporremo; del reslo glova notare,
che se due equazioni trasformata presentino per esempio i segni

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 145

per decidere se le due variazioni perdute dalla prima alia seconda
dlpendano da due radici o da un valor critico non sarebbe gia ne-
cessario cercare la Irasformata intermedia nella quale svanisce il se-
condo termine, poscia t'crcare quelle due (cbe forse csisleranno) nelle
quali svanisce il terzo termine ecc. Infatti osserveremo che i cinque
primi termini presentano nella prima equazione tre variazioni e nella
seconda due, e siccome i ragionamenti del § 22 possono applicarsi
anche al penultimo termine, cosi saremo cerli che nelF intervallo di
cui si tratta il penultimo termine non puo svanire che una sola volta;
6 la relativa trasformata, secondo che avra rultimo termine col segno
— o col segno +, mostrera Fesistenza di due radici o di un valor
critico: se in tale trasformata si annullassero insieme i due ultimi ter-
mini, si avrebbe una radice doppia.

§ IV.

Criterio per riconoscere la mancanza di radici
in un dalo intervallo

31. Dopo che mediante le considerazioni dei 55 23, 28 siamo ialti
sicuri di poter in ogni caso particolare separare tutte le radici di una
proposta equazione, vediamo come si possa dispensarsi in pratica dalle
ricerche suaccennate mediante criterii che facciano conoscere la non
esistenza delle radici, e quindi Tinutilita di cercarle. La questione che
sarebbe da risolvere e la seguente : Data un' equazione di qualsiasi
grado, che noi in via d'esempio esprimiamo colla lx^-\-Bx^-\-lx-\-D=^0
la quale non abbia alcuna radice compresa tra zero ed «, trovare un
criterio, il quale ci^ assicuri di tale mancanza di radici . II criterio as-
soluto e generale fu trovato dallo Sturm, e lo esporremo in appresso;
ma siccome il suo impiego riesce in pratica non poco tedioso, cosi
ora ci proponiamo di trovare qualche criterio piii comodo, quantun-
que esso sia imperfetlo in questo senso, che la equazione possa man-
care di radici nell' intervallo da zero ad a, e nulladimeno il criterio
non lo indichi, restando pero sempre vero che se il criterio e sod-

III. 19

I 46 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

dislallo r<'<juaziono inanca di radici. Nel priino caso T imperfezione
del crilerio ci condurra a calcolarc qualche trasformata intermedia tra
lequazioiie in r e la trasformata in (x — a), ed avendo cosi rislretto
lintervallo sara piu facile chc il critej-io sia applicabile, vale a dire
ilie esso indiciii la niancanza di radici; alia peggio noi andremo con-
tiiiuaniente avvicinandosi ad un paio di radici o ad iin valor crilico.
— II criterio di ciii parlerenio non richiede la conoscenza della tras-
formata in (x^«); del resto se quesla fosse conosciuta e se o il suo
ultimo lermine avesse segno opposto a quello della proposta, oppure
essa conlenesse tante variazioni di segno quante ne ha la proposta, non
si avi-ehhe occasione di adoperarc il criterio, poiche nel primo caso
noi sapremmo pel ) 19 che da zero ad a vi e almeno una radice,
e nel secondo noi saremmo al conlrario sicuri (5 22) che non ve ne
puo essere alcuna.

52. Nella maggior parte dei casi nei quali avremo da adoperare
il criterio, la quantita a sara eguale ad uno, ma se cio non fosse sara
facile ridursi a tal caso; infatti posto x=^ay Tequazione divenlera
a' A ]f -i- cr B if -\- a Cy -+- D^=0 e saremo ridotti a cercarc se questa
abbia radici da y^O ad y^l- Questo cangiamenlo dei coefficienti
vale qualunque sia a positiva o negaliva, cosi in particolare se sia
data la trasformata in x — 1 ^ x A x'' -+- B^ x" -j- Cj x -f- D3 = 0 e si
voglia cercare se vi sieno radici da x = 0 ad x=i, cioe da ,c=0
ad x'^ — 1, porremo x'= — y e saremo ridotti a cercare se Tequa-
zione — A y' -{- B^y" ~ C, y -\- 0,:= 0 abbia radici da y=0 ad y = l.

35. Noi saremo certi che un'equazione non ha radici da x=:0
ad X = 1 se potremo riconoscere che in tutto questo intervallo il va-
lore del suo primo membro conscrva senipre lo stesso segno e mai
non si annulla. Quando x =: 0 il primo membro si riduce all" ultimo
lermine, che per fissare le idee supporremo positivo. Ora se il primo
membro deU'equazione sia la somma di alquanti binomii o trinomii,
ognuno dei quali non divenga mai negalivo fmche x e compreso tra
zero ed uno, ed inoltre almeno uno di essi non si annulli in lale in-
tervallo, e palese che il primo membro conserveni sempre un valore
positivo. — Segnando con P, /V, M, L, K delle quantita positive, dico

DEL PROF GIUSTO BELLAVITIS 147

che (la X =zO ad x = 1 non diviene mai negativo no il binomio
— Px-hP, ne il trinoinio ( V— V)x'— /Vx-f-/V, purche 77/ < od =2/V,
ne il trinoniio //.r' — A .« + /. purche H^X':4L. Pel binomio la
oosa e per se evidenlc. Pel j)riino trinomio calcoliamone nel solilo

(J/— V)- 1/ +T

{M— ?t) — -V - 0

(M—N) — (2A' — 3Jj

(M—N)

modo il traslormalo in (x^l), e si \edi'a che lequazione (iU — V) x' —
y¥x-f-:V=:0 ha la radice x=l, la quale e doppia se M:=2\. e
se yy<C2 V Tequaziune ha una radice maggiore di 1, giacche il po-
linomio (J/^ V) (x — 1)' — (2 V — J/) (x — J) — 0 ha una variazione
di segno, dal che risulla che il priino menibro deirequazione si con-
serva posilivo da x = 0 ad x=I. — L'altro trinomio H x' — A'x + A

H—K+ L
A
2H

11-

K

2

.(.-

4/y/

H+0

If

adoperando la cilra K-.^H si trasforma nell allro

h{t. \+(l ).

V 2^/ \ Mil

il quale quando H^ fC : \ f. presenla un valor critico dell'equazione
H x" — Ax-t-L = 0, percio quesla non ha fadici ed il suo primo
membro si conserva posilivo qualunque sia il valore di x: che se
fosse H=K.JiL sarebbe // x* — A x + L— U (x — A' : 2 //)' (pian-
tita che non diviene mai negativa e che si annulla nel solo caso di
x = A':2^. — Concludiamo adunque che se Q, P-, V, J/, />. A, H.
sieno quantita positive, e sia M eguale o minore di 2 :V, e // eguale
0 maggiore di IC . IlL^ la somma di quante si vogliano lonnule

Q, —Px + P, (M—N)x'' — 3Ix + N. Hx^ — Kx + L

moltiplicale per quali si vogliano potenze della x si manlerra seinpre
positiva neirintervallo da xr= 0 ad x =: 1.

<48 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

34. Dalle precedenli conclusioni si deduce il seguenle crilerio:
Quando si dubili se una data equazione di qualunque grado, per
eseuipio A x' -h B x"^ -h C x^ ~\- D x' ~i~ E x ■-}- F ^ 0^ abbia radici com-
prese fra zero ed uno, si eseguisca sopra i coerficienli delF equazione
il seguenle caleolo, il quale si Icrra facilmenle a memoria notando la
sua analogia colle relazioni cbe hanno luogo nelle solite tabelle. Si av-
verta pero che i numeri della seconda riga si dovranno ora calcolare
procedendo da deslra verso sinistra, anziche sccondo il solito da sini-
stra a deslra. Si scrivano in una riga tutti i coefficienti della proposta
equazione, ponendo degli zeri in luogo dei termini che mancassero

+J+B+C+D+E+F

I \Z+J, + B, + C,+ D, — F 0

nella seconda riga si scriva cominciando a deslra lo zero; — poscia
— F, che sommato con F darebbe lo zero gia scritto ; — poscia lal
quantita + D^ che sommata con E dia — F; — poscia lal quantita + C,
che sommata con -{- D dia -{-D^, e cosi in seguito, finendo col ter-
mini; Z antecedente al primo A: vale a dire sia

D, = ~£—f\ C,^ — D + D^, B,=z — C+C\, J^ = — B + B,, Z = — A + A,.

se tulle le quantita Z, + A^^ ...., — F della seconda riga abbiano egual
segno noi saremo certi che la proposta equazione non ha alcuna ra-
dice da x- == 0 ad x = 1 . Dicendo di ei>ual sesno non si esclude il
caso che qualche quantita sia nulla; se lo fosse il primo termine Z
I'equazione avrebbe precisamente la radice x = l. — JNel caso che imo
dei numeri H-i),, +C ecc. riuscisse di segno opposlo a /'', ma per-
altro esso fosse minore (fatta astrazione dal segno) di quello gia scritto
e che gli sta a destra, si scriverebbe nulladinieno anche questo nu-
mero e si proseguirebbe il caleolo nel modo gia detto: e se fra i nu-
meri Z-{-A^-\~B,-\-.... — F ve ne fosse uno di segno opposlo agH
altri, ma esso pero fosse preceduto e seguito da due termini dello
stesso segno di — F^ dei quali il secondo (cioe quello a destra) fosse
maggiore di quello che ha segno opposlo agli altri; noi ancora sa-
remo sicuri che la proposta equazione non ha alcuna radice da x = 0
ad X := 1 . E si noti che il caso ora indicato potra ripetersi piu volte :

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS i 49

cosi per esempio A^ e C, potrebbcro avere segni opposli ai Z. B, D,
— F, e purche il valore di A, fosse ininorc di quello di B, ed il
valorc di C, minore di D,^ sussislerebbe ancora la concliisione del
crilerio. — Nel caso poi che uno dei numeri -t- D3 + C, ecc. per esem-
pio C, ;= — D-\-Dj riuscisse di segno opposto a — F. ed inoltre que-
sto C, avesse valore maggiore di D, non si dovrebbe scrivere questo
C = — D-\-D,^ ma invece sostituirvi un mimero C, almeno ueuale
a — D' : 4 Dj ; e se il seguente numero -i- B == — C-\-C, risulti dello
stesso segno di — /. e lo stesso sia degli altri +^„, Z sussistera
ancora la conclusione del crilerio. — Che se per lo conlrario facendo
i oalooli sopra indicati si trovassero due termini successivi di segno
opposto a — /. oppure Z di segno opposto alio stesso — F. non si
potrebbe ricavarne alcuna conclusione; perche, o Pequazione proposta
avrebbe realmente delle radici nell* intervallo da 0 ad 1, od il dato
criterio sarebbe insufficiente a mostrare la loro mancanza.
3d. Serva di primo esempio Tequazione

x" — 6x^+3a;'— 2x-|-5 = 0.

Fatti sui coefficient! i calcoli gia spiegati, cioe scritti nella seconda riga

1— 6 + .3 — 2 + 5
i 1—1—0—6—3—5 0

i numeri 0. — 6. -\-2 — 6^= — 3, — 5 — 3=: — 6. 6 — 6 = 0,
— 1 — 0 ^ — 1 , siccome essi sono tutti dello stesso segno, cosi ne
dedurremo che Tequazione non ha alcuna radice da zero ad uno. —
Osservando d'altronde che nella trasformata in [x — 1) spariscono due

1 —6+3—2+5

1 II —5 — 2 — 4+ 1

variazioni (delle quattro che presenta la proposta), ne dedurremo che
neir intervallo da zero ad uno esiste un valor critico.
36. Abbiasi per secondo esempio 1 equazione

x' — 2x*+4x^— 2x'' — 28x* + 18x — 3=0.

Nella seconda riga dopo avere scritto lo zero ed il +5 si dovrebbe

^50 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

scrivere secondo la prima regola — 18 + 3^ — lo, nia siccome que-
sto — lo e di segno opposto al +3, e 16 ha un valor maggiore
del seguente 3, cosi bisogna invece scrivere — 27 = — 18.18:4.3;

1—2 + 4 — 2 — 0 — 28+18 — 3
1 |0 + 1 — 1 +3+ 1 +1 — 27 + 3 0

poscia progredendo al solito si scriveranno i numeri +1, +1, H-3,
e si scrivera anche — 1 ^ — 4 + 3 quanlunque esso abbia segno op-
posto agli allri, perche ba un valore minore del 3 ohe lo segue a
deslra: finalmente si scrivera 1=2 — 1, e 0:=1 — 1. E scorgendo
cbe tuUi i numeri della seconda riga banno segni uguali, tranne i due
— 1 e — 27 cbe sono preceduti e seguiti da termini di segno op-
posto. se ne dedurra cbe la proposta non animette radici da zero ad
uno. A motivo del primo termine della seconda riga, cbe e zero an-
zicbe positivo, potrebbe rimanere il dubbio cbe T equazione avesse
precisamente la radice a- = 1 ; ma e facile vedere cbe il dubbio e in-
sussistente.

37. Sia per ultimo esempio proposta 1' equazione

x'' + 6a:'+14x'— 20a; + 7 = 0.

Nella seconda riga si scrivera il — 7, e poscia non si scrivera il
20 — 7^15 perche esso riuscirebbe di segno opposto e maggiore

1+6 + 14 — 20 + 7

+1+15— 7 0

del 7 gia scrilto; vi si sostituira adunque 15^20.20:4.7; poscia
si ha — 14 + 13=1, ma siccome in tal maniera il termine +lo
di segno opposto al — 7 non e preceduto da un altro di segno op-
posto. cosi niuna conclusione possiamo trarre dal fatto calcolo, e ri-
niane dubbioso se F equazione abbia delle radici comprese tra zero
ed uno, oppure sc tali radici non esistano, ma il criterio sia insuf-
ficiente ad indicarne la mancanza.

58. Per rimaner persuasi della verita delFesposto criterio bastera
notare cbe i polinomii dei dati esempii si decompongono in parti,
ognuna delle quali si mantiene (§ 35) positiva nelP intervallo da x := 0
ad x = l.

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 151

Cosi il polinomio

.<■'' — 6 a^^ + 3 a' — 2 3- + 5

e lonnalo dalFunione di

— 5 Jf + 5

(—3 X +3).r
(— 6x +6)x'
(— X +\)x''

+ X* ... ■ . :, ., , •:_

(>d il polinoinio

— (x" — 2x'*+ d.r^'— 2.1^ —28 .r'+18x — 3)

e lormalo daH'iinione di

4- 27 x'— 18x + 3

(— X + l)x'
(— X + i ) x^
(x' — 4 X + 3) x"
\ (— x + l)x^

In quanto al polinomio x^ + 6x'+ 14 *' — 20x4- 7 del 5 37 la
sua parte 13 x' — 20x + 7 rimane sem-

pre posiliva da x =: 0 ad x ^ 1 . ma lo stesso non puo dirsi della
parte (x' + 6 x — 1 ) x\

§ V. .^

Hisoluzione delle equuzioni

39. Prima di passare ad alcuni esempii, riassumiamo i principii
clie guidano alia compiula risoluzione di ogni equazione algebraica.
Un facile calcolo ci da (;jl,2) il modo di ottenere quante si vogliano
Irasformate in (x — a), (x — 6) ecc. di una data equazione in x; po-
scia pel teorema del Fourier {) 22) basta nunierarc le variazioni di
segno che presentano quesle trasformate per conoscere in quali inter-
valli non vi sieno ne radici ne valori critici, ed in quali sieno com-
prese le radici od i valori crilici. Questi ultimi inlervalli si suddivi-

152 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

dano mediante trasformate inlerinedie, e cosi si vada indefinitamenle
avvicinandosi a ciascuna singola radtce, vale a dire a ciascun valore
die annullando rullimo lermine fa sparirc una variazione; ed a cia-
scun valore critico, vale a dire a ciascun valore che annullando un
terniine conipreso fra due di segni uguali, fa sparire due vfiriazioni;
I'esaine del modo con cui si formano le tabelle, medianle le quali
si Irovano le trasformate, facilitera la scelta delle successive cifre per
giungere piu speditaniente alio scopo. D' altra parte pel teorema del
RoUe (§§ 23, 28) il termine, per esempio, .quarto non potrebbe in un
certo iiitervallo annuUarsi due volte senza che un valor intermedio
non annullasse il lermine terzo; percio trovata la trasformata che ha
il terzo termine nullo, si vedra se veramente il quarto termine si an-
nulla nel dato intervallo due volte o nessuna. Inoltre il teorema del
Fourier applicato ad un certo numero dei primi termini delle trasfor-
mate (5 30) fara conoscere alcuni intervalli, nei quali per certo non si
annulla un dato termine delle equazioni, e cosi si risparmiera qualche
ricerca inutile. — Che se si voglia trovare (come e il caso ordinario)
le radici delFequazione, e non si curino i valori critici, la ricerca sara
resa piu spedita e piu semplice, poiche tutte le successive tabelle sa-
ranno dirette a far annullare F ultimo termine, ed il teorema del Fou-
rier (5 22) c'insegnera in quali intervalli cio sia impossibile. E vero
che per qualche intervallo (quello in cui sia compreso qualche valor
critico o qualche paio di radici) il teorema ci lasciera in dubbio se
vi sia radice si o no, ma applicando all'intero intervallo o ad alcuna
delle sue suddivisioni il criterio esposto nel § I\. vcrremo quasi sem-
pre a conoscere ben presto quali sieno quegli intervalli nei quali esi-
stono valori critici anziche radici; che se pure il criterio cada in di-
fetto, noi non avremo fatto se non se un calcolo inutile, in quanto che
esso ci condurra ad un valor critico anziche ad una radice: per lo
che questi calcoli inutili non potrebbero in verun caso superare il
numero dei valori critici, numero il cui doppio sommato col numero
delle radici e uguale al grado delPequazione.

40. II caso estremo e quello di due radici uguali; allora e ben
evidente che per quante intermedie sostituzioni si facciano le due ra-

DEL PP.OF. GIUSTO BELLAVITIS <53

dici non si polranno giainmai scparare. 11 teorenia del Fourier ci terra
sempre avverlili in quale intervallo cadano due radici o un valor cri-
tico, ed il crilerio del 5 54 ci lasciera sempre in dulibio se esisla
questo o quelle; nia inlanlo il nostro calcolo guidato dal teorema del
RoUe procedera direttamenle alia determinazione del valor approssi-
mato della radice doppia: sicche in pralica non giova arreslarsi alia
ricerca delle radici mulliple (ricerca di cui parleremo in seguilo) a
meno che non si abbia qualche motivo per credere chc realmente ne
esistano. Puo rimanere il sospelto, che quando si determina appros-
simataniente il valore della radice doppia si trascuri forse qualche
piccola quantila, per lo che possa scambiarsi la radice doppia in va-
lor critico o viceversa; si rispondera che Findecisione dipende dalla
nalura slessa della questione, poiche non si tratta se non se di tro-
vare un valor approssimalo e spingere Tapprossimazione quanto in-
nanzi si voglia: se i coefficienti delPequazione sieno espressi appros-
simatamente, potra essere affalto indeciso se vi appartenga la radice
doppia od il valor critico.

4i. Non occorre stabilire alcuna regola per I'ordine nel quale si
calcoleranno le successive trasformate di una data equazione, poiche
lanto si potra adoperare da prima una cifra molto grande come sa-
rebbe 10, 100, 1000, ecc. per fare sparire tutte le variazioni e co-
noscere quindi dentro quali limiti sieno comprese tutte le radici po-
sitive della proposta; quanto cominciare colic cifre piccole c andare
innanzi finche siensi Irovate tutte le radici. Ogni trasformata inserita
in un intervallo in cui vi e qualche perdita di variazioni e utile, per-
che o serve ad avvicinare i confini dentro i quali sono comprese le
radici, o serve a separarle.

42. Mediante le cih"e negative si polrebbero trovare le radici ne-
gative di una proposta equazione; se non che riuscira piu comodo
ricondurre questa ricerca a quella delle radici positive mutando j:
in — X.

45. Piuttostoche adoperare delle cifre decimali riesce piu facih^
nioltiplicare (§ 9) i termini delle successive trasformate per quelli di
una progressione decupla crescente, ed adoperare delle cifre sempre

lU. 20

( 54 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

intere; qiicste cifre debbono scegliersi (§12) in guisa da diminuire
il piu che sia possibile I'ultimo niunero della prima riga di ciascuna
labella, senza cbe peraltro csso pronda segno opposto a cjuello del-
r ultimo lermine dclla trasformala di cui si tralta. Ponendo menlc al
modo con cui si forma ciascuna labella (veggasi il ) 16) sara Cacile
scorgere che se i coefficienti ./, Z?, C\ />, E sieno dal primo all" ultimo
rapidamente crescenti, la cifra o, opportuna per annullare F ultimo ler-
mine £],, sara alFincirca il quoziente di E diviso per — Z>; mentre
invece se vorremo annullare il penultimo termine D^ prenderemo per
a aH'incirca il quoziente di D diviso per — 2 C; e per annullare I'an-
tipenultimo Cj, la cifra a sara allincirca il quoziente di C diviso per
— 3 5; ecc.

44. Esempio I. Sia proposta Fequazione

*' — 15 a:' + 68a: — 83 = 0.

Per Irovare la piu piccola delle sue radici positive formiamo la prima
tabella colla cifra 1, giacche si vede a colpo d'occhio che la cifra 2
farebbe cangiare il segno delF ultimo termine, e quindi rimarrebbe
sorpassata una radice: in tal guisa si ottengono i coefficienti 1 — 12 +
4-41 — 29 della trasformata in {x — 1). Passiamo adesso alia ricerca
dei decimi e moltiplicando i predetti coefficienti per una progressione
decupla otteniamo i coefficienti della trasformata in 10(x — l)r=x';

1 —15 + 68 — 83

1

1—14 + 54 — 29
1—13 + 41
1—12

1—120 + 4100 — 29000

8'

1—112 + 3204— 3368
1 —104 + 2372
1- 96

adopreremo la cifra 8, giacche quantunque Fullimo termine —29000
contenga appena 7 volte il penultimo 4100, pure si vede che questo
e molto diminuito dal precedente — 120, ed anzi dopo compiula la
tabella si scorge che la cifra fu troppo piccola, perche Fullimo ter-
mine 3368 comprende piu di una volta il penultimo 2372, il quale

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 155

inoltre dee esser diminuito dallantipenultimo — 96. Piulloslo di oan-
cellare la seconda tabella e calcolarne un'' altra colla cifra 9 potra
esscr pill coniodo partire dai coefficienli iilliinamente trovali, e cal-
colare una nuova labella colla tilra 1 , che ci dara i coefficlenti flella
Irasformata in (x — 9).

4 — 96 + 2372 — 3368
I'

I —95 + 2277-
I —94 + 2183
1—93

1091

0,01—9,3 +2183

10910

,01-9,25 + 2136,7-

226

— 9,20 + 2090,7

— 9,15

— 0,09+ 209,1-

226

— 0,09+ 209 -

17

20,9 -

17

2,1

0

(juesli calcoli si continueranno fin che si oltenga tulla quella niaggior
approssimazione che si desideri: se voglianio liniitarci a calcolare la
radice con qualtro sole decimali, nioltiplichcremo (j 9) i coefficienli
della Irasformata in (x' — 9) per la progressione decupla 0,01 0,1 1 10;
e colla cifra JJ , che risulla dalla dlvisione dell ultimo termine pel pe-
nultimo, calcoleremo un'altra tabella, dalla quale passeremo alia suc-
cessiva che si riduce ad una semplice divisione di 22G per ii09 e
ci da il quoziente 108, e quindi la radice cercata x=l,9al08, che
e esatta anche nella quinta decimale (veggasi la JNota I).

4o. Per procedere alia ricerca delle allre radici delF equazione
x^ — lox'H-68x — 83^0 potremo prendere per cifra un'intera de-
cina, e senza terminare la tabella

1—15 + 68 — 83
10 11— 5 + 18 + 97
|l+ 5....

scorgeremo dalla perdita delle tre variazioni della proposta equazione
che oltre la radice gia trovata essa ha due radici, oppure un valor
crifico minore di 10. La cifra 6 ci mostrera mediante la solita ta-

I 56 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZlOiM

bella die siaino prossimi alia seconda radice, (juindi passercino alia ci
fia di decimi che sara 3, poiche non e difficile prevedere che qtian
(iinque 1000 uon coiilenga tie volte 'iOO, pure a inotivo del penul
timo termine avremo iin residuo
termine + 1000.

97 dello slesso segno deHiiltiino

1—15 + 68-83

1 — 9 + 14+ 1

1—3—4

1+3

1 +30 — 400 + 1000

1+33 — 301+ 97
1+36 — 193
1 +39

0,1+39 —1930 +9700

0,1 +39,5 — 1732,5 + 1037
,1 +40,0 — 1532,5
,1 + 40,5

0,40— 153,3 + 1037

6"
8'"
9'

0,4 — 150,9+ 132

— 14,85+ 13

— 1,5 0

Nel passare alia successiva tabella riteniamo una cifra di piu di quelle
che nel § precedente, perche la piccolezza dei termini farebbe che si
temesse di non oltenere nella radice quattro deciinali esatte. — La se-
conda radice si trova x = 6,3o689.

46. Volendo trovare direttamenle la terza radice (la quale del re-
sto da colle altre due la somma lo) potremo osservare che pel leo-
rema del RoUe (§ 26) T ultimo termine non puo svanire due volte
senza che nelP intervallo svanisca il penultimo; percio se calcoleremo
la trasformata col penultimo termine nullo, noi ci saremo avvicinati,
ma non avremo oltrepassata lidtima radice. Ora la trasformata in
(,r — 5) = 10x — 65 ha i coefficienti 1+39 — 193 + 97, e per an-
nuUare il penultimo termine occorrerebbe calcolare una nuova tabella
con una cifra eguale (5 43) all'incirca a 193:2.39; sicche volendo
un poco piu avvicinarsi alia cercata radice adopreremo ancora la ci-
fra 3, ed otterremo i coefficienti 1+48 + 68 — 104 della Irasfor-

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

157

mata in (x — 6) = (iO j — 66).

i +39 — 193+ 97

3'

1 +42— 67 — 104
1+45+ 68

1 +48

0,1 + 48 + 680 —10400

,1 + 48,9 + 1120,1 —

319

,1 +49,8+ 1568,3

,1 +50,7

+ 0,51 + 156,8— 319

0,51+ 157,8 —

3

15,88-

3

1.6

0

In questa noterenio die 104 non e gran fatto maggiorc di 68, il
quale nel forraare la tabella viene ad accrescersi in causa dei ter-
mini precedent!; scorgeremo quindi lopportunita di passare alia suc-
cessiva decimale che troveremo 9' . In fine avremo la terza radice
0:=: 6,69202.

47. Essendosi trovate tre radici e certo (§ 17) che la proposta
equazione non ne ammette alcun'altra; del resto se avessimo voluto
cercare le radici negative avressimo cangialo x in — x, e siccome la
nuova equazione x^ + 1 3 x' + 68 x + 83 = 0 non presenta alcuna va-
riazione, cosi avressimo riconosciuto che ne questa ha radici positive,
ne la proposta ne ha di negative.

48. Esempio II. Sia proposta la

a-^ — 1 8 a:'* + 1 05 x^ — 206 «' + 70 X — 8 = 0 .

Si vede che la prima tabella formata colla cifra 1 non e lerminata,

1—18+105-206 + 70— 8

1 1 — 17 +

i 18 — 48 — 56

perche essendovi la perdita di due variazioni noi conosciamo (§ 22)
che fra 0 ed 1 vi e o un paio di radici od un valor critico; ne
il criterio del § 34 e sufficiente a mostrare V assenza delle radici .

1—18+105 — 206 + 70 — 8

— 36 — 54+ 52 — 154+ 8 0

158 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

Passiamo adunque ai decimi e prendianio la cifra 2' che tendendo
ad annullare il penultimo termine ci lascicra plu facilmente separare
le due radici se esistono;

1 —180 + 10500 — 206000 + 700000 — 800000

1 —178 + 10144 — 185712 + 328576 — 142348
1—176+ 9792 — 166128— 3680

Siccome ancora spariscono due variazioni, cosi cercheremo se il no-
stro crilerio sia valevole ad asslcurarci dell'assenza di radici neirin-
lervallo da 0 a 0,2; ponendo x^2y:l0 restera da sapere se la

4 i/^ — 360 )/4 + 1 0500 )/' — 1 03000 »/' + 1 75000 »/- 1 00000 =: 0

ammella radici da y = 0 ad »/ = 1 ; quindi faremo il seguente calcolo

4— 360 + 10500-103000 + 175000-100000
1 I+.... + 17860 + 17500 + 28000— 75000 +100000 0

c nella seconda riga essendovi un solo termine negalivo, e questo com-
preso fra due positivi e seguito da uno di maggior valore, noi sa-
remo certi che Tequazione proposta ha un valor critico tra 0 e 0,2.
49. Gli ultimi termini della trasformata in (x — 2) avendo segni
eguali fanno presentire che le altre radici sieno lontane, e se ado-
preremo la cilia 10 conosceremo colla perdita di lutte le variazioni
che al di la del 10 non vi sono ne radici ne valori critici; quindi

1—18 + 105 — 206+ 70— 8

10 1— 8+ 25+ 44 + 510 + 5092

1 + 2

lornera piii opportuno adoperare la cifra 3, la quale tendendo ad
annullare il secondo termine c'insegnera a separare i due valori che
annullano il terzo termine, e cosi in seguito, nel caso che fossimo
costretti a seguire passo a passo le indicazioni del teorema del RoUe.

1—18 + 105 — 206+ 70-

1-15 +

60— 26— 8-

-32

1 — 12 +

24+ 46 + 130

1 — 9 —

3+ 37

1 — 6-

21

1— 3

DEL PROF GIUSTO BELLAVITIS 4 69

Del rcsto falto il calcolo scorgiamo subito che una ladice e molto
vicina, e passando ai decimi

0,0001—0,003 —0,21 +3,7 +130 —320
2'

,0001- ,0028— ,216 + 3,27 + 136,5— 47
,0001— .0026— ,221+2,83 + 142.2

vediamo che e airincirca x = 3,23.

60. Dopo la precedente radicc oi resteranno ancora due varia-
zioni, le quali indicano due radici od un valor critico compreso da
3,23 a 10; calcoleremo percio la trasformata intermedia in (x — 6),
i cui coeffieienli o dedotti da quelli della proposla o dedotli da quelli
gia trovati per la trasformata in (x — 3) sono l-|-i24-33 — 44 —
— 134 + 124, e mostrano la vicinanza di un'altra radice che si trova
poco superiore a 6,90.

0,0001+0,012 +0,33 —4,4 —134 +1240
9' I ,0001+ ,0129+ ,446— ,39-137,5+ 2
I ,0001+ ,0138+ ,570 + 4,74— 94.8

31. I coefficienti della trasformata in {x — 6) danno facilmente ('' 11)
quelli della trasformata in (x — 7) i + 17 -f- 91 -f- 137 — 70 — 8, e
quantunque i due ullimi termini abbiano segni eguali, pure e facile
prevedere che siamo vicini ad una radice; passando ai decimi il va-
lore che annujla il penultimo termine della prima riga e circa 4

0.001+0,17 + 9,1 +137 —700 —800

,001 +

,174+ 9,796 + 176,18+ 4,7 —

781

,001 +

,178 + 10,508 +218,21+877,5

.001 +

,182 + H.236+ 263.15

e si vede che Tultima radice e circa x=7,47.
S2. Esempio III. Sia proposla I'equazione

ac*- 20x' + 101 =0

la quale presentando due sole variazioni di segno potrebbe avere tutlo
al piu due radici positive. Post! degli zeri in luogo dei termini man-

160 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

canti ed adoperata la cifra 5,

1 + 0 — 20— 0+ lOl

i + 3 — U -

-33 +

2

1 + 6+ 7-

-12

1+ 9 + 34

^ +i2

la piccolezza dellultinio termine c'indica che se vi e una radice de-
v'cssere poco lontana; percio passando ai decimi adopreremo la ci-
fra 2, la quale tendendo ad annullare il penultimo termine sarebbe
opporluna a separare (§ 26) le due radici; ma si vedra che spariscono
le due variazioni, e che percio o il valor critico o ambedue le ra-
dici esistono nelF intervallo da 3 a 5,2. Ora il nostro criterio appli-
calo anche al piu largo intervallo da 5 a 4 moslra che non esistono
radici, poiche il numero 18=: 12': 4. 2 e il solo che sia positivo ;

1 + 12 + 34 — 12 + 2

1 1-29-28-16 + 18— 2 0

dunque si ha un valor critico da 5 a 5,2. Mulando x in —x Pequa-
zione non cangia, percio essa ha un altro valor critico da — 5 a —5,2.
155. Esempio IV. Anche per le equazioni del secondo grado il me-
todo di risoluzione che abbiamo esposto riesce piu speditivo delFuso
della nota formula che esprime le radici di lali equazioni mediant*;
radici seconde di quantitii (§ Id). Serva di esempio la ricerca della
radice positiva dellequazione

0,125 4.x' — 36,11 .ic — 6698 = 0

i cui coefficienti si suppongono soltanto approssimati, sicche a motivo
della prima cifra 400 Tindecisione nelF ultima cifra di 0,12iJ4 porta
deirindecisione nell' ultima cifra di 1078, per lo che sarebbe inutile
protrarre i calcoli piii in la, e si trova x = 416,5.

0,1254 — 36,11 — 6698
400

,1254 + 14,05 —
,1254 + 64,21

1078

,1254 + 65,46 —
,1254 + 66,71

423

,13 +67,5 —
,13 +68,3

18

+ 6,8 +

2

DEL PROf. GIL'STO BELLAVITIS

161

o4. In pralica si possono seniplificare le tabelle di calcolo; cosi
per la radice positiva della

i' + 3x — 32 = 0

riunendo insienie tulle le tabelle si formo il secuente calcolo, do\e
la prima eifra 4 della cercata radice si uni al 3, e pel risultanle 7
si e diviso il 52, il clie diede, oltre il quozienle 4 (gia scrilto), il re-
siduo 4 a cui si aggiunsero due zeri; il 4 si e unilo una seconda
volta al 7, ed accanlo all' 11 si scrisse il 3, che e la seconda cifra 5
oltenula dividendo 40 per 11; poscia il 113 ed il 400 diedero il
quozienle 3 (gia scrilto) ed il residue 61, a cui si aggiunsero due
zeri; e cosi di seguito fino a che, avendo oltenula la niela delle ci-
fre desiderate, si cesso di aggiungere zeri ai dividendi, e si proce-
delle tagliando ogni volta una cifra airultimo divisore 11704:

I + 3

-32

4

1+ 7

— 400

3'

113

6100

5"

1165

27500

2'"

11702

40960

3"

11704,3

5847

4''

1170,4

1165

9"

1 1 7,0

112

9'"

11,7

7

cosi si trovo x- = 4,332 3o0.

VI.

Espressione delle radici mediante frazioni continue

66. 11 melodo piu usilalo e piii comodo per esprimere i nunieri
approssimali si e (pello delle frazioni deciniali; nulladinieno puo lal-
volla tornar opportuno di adoperare invece le frazioni continue a de-
norainatori inleri. E palese che una quantila x, che superi 1 intero a
di una frazione minore dellunita, polra esprimersi con x = a + l/»/,
essendo y una quantila maggiore di uno, la quale a sua volta potra
esprimersi coll' intero b e colla frazione l/z essendo z una quantila

III. 21

162 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

maogiore di uno, ecc; sicchc soslilucndo avrcmo x=a-i-^/b-^-^/c-\-
-f- l/il-h ecc. (dove coi segni di divisione posli inclinali indico die il
denominalore del priino 1 e lulta la quantilct

1

b +

1 , ecc).

(/ + ecc.

II Lagrange si servi appunto delle IVazioni continue per esprimere
approssiniatamente Ic radici delle equazioni; ma siccome non cono-
sceva il teorenia die fu poi scoperto dal Fourier (§ 22), cosi egli
doveva da prima separare tutte le radici, per esser sicuro di non
oltrepassare alcuno degF intervalli conlenente qualdie paio di radici.
II citato teorema insegna die tali intervalli sono conlraddistinti dalla
perdita di qualdie paio di variazioni; il solo piccolo inconveniente a
cui si possa andar incontro si e di cominciare qualdie calcolo die
poscia si riconosca inutile, per esservi invece di un paio di radici un
valor critico.

36. Ecco il inetodo da seguirsi: si forinino nel solito modo (5 2)
le trasformate in {x — a) della data equazione, essendo a un numero
intero positivo, non escluso lo zero; e senza curarsi degli intervalli,
nei quali non vi sono perdite di variazioni di segno, si ristringano
gli altri intervalli in guisa die dalla traslormala in (x — a) a cjuella
in {x — a — i) vi sia la perdita di alineno una variazione . Quanto ora
si dira per questo intervallo dalla trasformata in (x — a) a quella in
{x — a — 1) si ripeterii per ogni allro intervallo: e palcse die il nu-
mero di tali intervalli non potra mai superare il numero delle radici,
pill quello dei valori critici. Si ponga x — o=l:^y, poscia si inol-
tiplichi r equazione per la convenienle potenza della y in guisa da
darle la forma consueta, cosi per esempio la

J{x — a)'' + B^{x — af+....+E^ = 0

darebbe

e evidenle die quanti saranno i valori di x compresi tra a e « + l,
altrettanti saranno i valori di y da uno allinfinito; percio (§ 22) « se
la trasformata in (y — 1) aljbia un numero di variazioni niinore del

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 163

luiincro delle variazioni perdulc dalla equazionc in (x — a) a quclla
in {x — a — 1), la diflerenza di lali ninneri sara pari, e la sua meta
sara uguale aU'eccesso del nuniero dci valori critici coinpresi Ira x=n
ed x= o + 1 sopra quello dei valori crilici coinpresi Ira y^i ed
y=z<x>:. — Sulla equazione in y si opcrera come si fece per quella
in X, vale a dire, se tra due trasfonnale in (y — b) cd {y — b — 1 ), es-
sondo b un nuniero intero maggiore di zero, vi sia la perdita di una
o piu variazioni, si ponga y — 6=1 ::;, e si dica delF equazionc in ;
quello die si disse delP equazione in y. Nel prcsente metodo di so-
luzione non occorrono i criterii die diniostrano Tassenza di radici,
j)oidie tale niancanza si viene a conoscere niediante le precedenti con-
siderazioni: io non mi fernio su questo argoniento, da me aggiunto
al solo fine die il leltore trovi qui riunito tutto quanto puo tornar
vanlaggioso alia numerica risoluzione delle equazioni.
67. Sia proposta per esempio Fequazione

x^ — 4 x'' + 7 x^ — 9 x^ + 10 X — 6 = 0 ,

le unite tabelle di calcolo

1 — 4 + 7-

-9 + 10 — 6

1—3 + 4-
1—2 + 2-
1 - 1 + 1 -
1+0+1
1 +1

-5 +
-3 +

-2

5—1

2

1 + 2 + 3 + 1 +

3 + 2

ambedue cseguite colla cilra 1, e delle quali la seconda non e ter-
niinata, cio riuscendo inutile, nioslrano die due variazioni di segno
spariscono daU'equazione in x a quella in (x — 1), e tre da questa
a quella in (x — 2) . In riguardo alle prime si ponga x = 1 : y e si
avra T equazione

— 6 t/ + 10 i/ — 9 i/ + 7 If — i y + I = 0 ,

la cui trasformata in {y — 1) non ha alcuna variazione; dunque la pro-
posta non puo avere alcuna radice minore di uno, e la perdita di
quelle variazioni dipende da un valor critico.

«64

SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI
-6 + 10 — 9 + 7-4 + 1

—6+ 4-5+2—2-1
— 6— 2 — 7 — 5....

In quanto alle tre variazioni perdute da (x — 1) a (x — 2) si ponga
u — 1 = 1:?/ e si avra V equazione

— i/ + 2y'' — 2y' + if + y + l^0,
—1+2—2+1+1+1
1

— 1 +1 -

1 -

-0 + 1 + 2

— 1

-0-

1-

-1 —0

— 1

— 1 —

2-

-3

— 1

— 2-

4

— 1

— 3

la cui trasformata in (y — 1) ha una sola variazione; dunque due di
quelle tre variazioni sono dovule ad un valor crilico. Resla da con-
siderare il valore di y^l, il quale e palesemente <C2, perche la
trasformata in (y — 2) non ha alcuna variazione; noi dunque porremo
y — 1 = 1 : c ed avremo Tequazione

2— 0— 3 — 4— 3-

-1

2+ 2— 1 — 5— 8-

-9

2+ 4 + 3 — 2—10

2+ 6+ 9 + 7

2+ 8 + 17

2 + 10

— 9 — 10+ 7+ 17 + 10+ 2

— 9-

19 —

12 +

5 + 15 + 17

— 9-

28 —

40 —

35-

-20

— 9-

37 —

77-

112

— 9-

46 —

123

— 9-

55

17— 20— 112

123—55— 9

17+ 31- 19— 180 — 595-

-1794

17+ 82+ 227+ 501+908

17 + 133+ 626 + 2379

17 + 184 + 1178

17 + 235

— 1794 + 908 + 2379+1178+ 235+ 17
1 1—1794 — 886 + 1493 + 2671 + 2906 + 2923

DEL PROF. GIUSTO BELLAVmS 165

la cui Irasformata in (z — 1) mostra che si deve porre z — i = l : t
ottenendosi

continuando porrenio t — 1 = 1 : u ed avremo

1 7 u^ — 2 0 n" — M 2 u' — 1 2 3 M' — 5 5 i( — 9 == 0 ,

poscia u — 5=1 : V, ecc, sicche avremo

x = { +1/1 +1/1 +1/1 +1/3+1/1 +ecc.

Operando col melodo da noi preferito (J V) si ottiene molto piu spe-
ditamente x= l,64074o97.

38. Si ricerchi per secondo esempio se Fequazione

ac''— 12a;^ + 50x*— 84x+49 = 0

abbia radici maggiori di 4: siccome la trasformata in (x- — 6) non ha
variazioni, cosi le due radici maggiori di 4 se esislono sono comprese
tra x = 4 ed x=^6. Poniamo x — 4=l:y, ed avremo I'equazione

y''—Ar/ + 2y' + 4y+ 1 ==0,
1 — 12 + 50 + 84 + 49

1 —

8 + 18 —

12

+

1

1 —

4 +

2 —

4

1 +

0 +

2

1 +

4

1—4+2+4+1

2

1—2—2—0+1

1 +0—2—4

1+2 + 2

1 +4

le cui variazioni si perdono dalla trasformata in {tj — 2) a quella in
(y — 3): porremo adunque y — 2 = 1 : js ed avremo

;4 _ 4 -3 ^ 2 2' + 4 : + 1 = 0 ,

la cui trasformata in {z — 2) conserva ancora due variazioni, le quali
si perdono nel passaggio alia trasformata in (r — 5); percio e ancora
dubbioso se si tratti di un paio di radici o di un valor critico. E
quanto piu andremo innanzi coi calcoli scnza che spariscano le due
variazioni, tanto piu si rendera probabile che le due radici non si
possano separare per essere affatto uguali; e quindi fornera oppor-

166 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

tiino ricorcare dirotlaiiienle se la equazione abbia radici multiple, del
die trallerenio in seguito. Del resto nel noslro caso, siccome la equa-
zione in z e identica con quella in y, e palese senza piu, clie la pro-
posta ha una radice doppia il cui valore e espresso dalla frazione
estesa allinfinilo x = 4 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ecc.

s vii.

Teorema dello Stnnn e delerminazione delle radici multiple

39. Se per oompiuta risoluzione delle equazioni si volesse inten-
dere la delerminazione di tutte le radici e di tutli i valori critici, il
teorema del Fourier (§ 22) non lascierebbc nulla a desiderare, giac-
che per ogni intervallo csso indica la presenza o I'assenza di radici
o di valori critici; poscia il teorema del Rolle (§ 2o) sussidiato da
qucUo del Fourier (5 50) guida nella scelta delle cifre per calcolare
le trasformate in guisa da separare tutte le radici o valori critici. Ma
la conipiuta risoluzione delle equazioni si riferisce soltanto alia ricerca
delle radici, per lo che tornano vantaggiosi quei criterii che rispar-
miano ricerche inutili, col far distinguere gli intervalli che contengono
radici da quelli che comprendono i valori critici. Mollissimi criterii fu-
rono a tal uopo trovati, e ci sembra che quello esposto al § IV sia
preferibile perche comodo nelle applicazioni e facile da ricordarsi; ma
tulti tali criterii erano imperfelli in quanto che si avea certezza di non
escludere intervalli contenenti radici, ma non di escludere tutti quelli
contenenti soltanto valori critici. 11 Cauchy fu il prinio (1815) a tro-
^are un crilerio completo, vale a dire una regola sicura per cono-
scere il numero delle radici comprese in un certo intervallo; ma e
molto piu semplice il celebre teorema dello Sturm, che ora breve-
menle esporremo.

GO. Abbiamo veduto al § 21 che dai coefficienti A, /?, C, D, E di
un' equazione in x a quelli ./ B^ C,^ D^ E,^ dclla sua trasformata in
(x — a) si perdono tantc variazioni di segno quante sono le volte che
neir intervallo da o=:0 ad a si annuUa Fultimo terminc E, = J a'' ■+■

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS i 67

■^B a^ ~h Co' -{-D o-\- E, ed inoltre si perde un paio di variazioni
o^ni qualvolta si annulli un termine compreso fra due di cgual se-
gno; perche adunque il numero delle variazioni perdnte sia eguale al
solo numero delle radici bisogncra sosliliiire alle precedenti quantita
J £^ C^ Z>4 E^ dipendenti (tranne la prima) dal valore di o, altre quan-
tita 7^4 F; F, D^ E^ tali che una delle intermedie non possa annullarsi
se non quando quelle tra cui essa e compresa abbiano segni opposti;
e in secondo luogo la prima F^ conservi senipre lo stesso segno: al-'
lora ogni cangiamento di segno delP ultima £, dara, come vedemmo
(i 21), la perdita di una variazione; poiche noi facciamo per ora aslra-
zione dal caso che le due ultime E^ D^ svaniscano insieme, cioe che
I'equazione proposta abbia radici multiple.

61. 1 due ultimi polinomii E^ D, sono adunque gli stessi tanto nel
teorema del Fourier, quanto in quello dello Sturm; noi \'\ cangeremo
fl in ac e li esprimeremo con

F=J x'' + B x^ + C x' + D X + E, F'= i J x^ + 3 B x' + 2 C x + D ;

ora se I'anlipenultima F^ sia data da F^ = — F-\-(p,F\ essendo ©_ una
funzione della x, la cjuale non divenga mai infinita; se avvenga che
!a F' si annulli essa sara compresa fra due /\ = — F, ed F di segno
opposto; pertanto Ic quantita F. F^ F^ F F soddisfaranno alia prima
condizione se sia analogamente

F,=:— F+cp.r, F, = — F-\-(p,F,, F^=z — F, + (p,F,;
e soddisfaranno anche alia seconda, se le (p, (p^ (pj sieno binomii della
forma li x -f- /•, tali che, essendo F del quarto grado ed F' del terzo, F^
risulfi del secondo, /% del primo ed F^ sia una quantita indipendenle
dalla X. ' Determinali in tal guisa i polinomii .... F^^ F, F', F se noi
vi sostituiremo in luogo di x i due valori quali si vogliano a e b^ a.,
tanto sara il numero di variazioni che la serie .... F^ F^ F' F perdera
nel passare da x^=a ad x = b quante sono le radici della F=0
comprese neirintervallo da a a b » .
62. Serva di esempio Tequazione

x^— 4.T' + 36a:*— 108x-f-81 =0

avremo

F=a;'i— 4a;3 + 36sc' — 108a; + 81. = i' — 3a;'-f-'18x — 27,

468 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

dove il secondo polinomio fii diviso per 4, giacche trattandosi di con-
siderare i soli segni delle quanlita, esse si possono dividere o inolli-
plicare per qualunque niimero posilivo: poscia

F, = ~F+(p,F'=:3{~5x'+2l x — 18)

essendo (p, = (x- — 1 ) : 4 c progredendo, dovremo dividere — F : i
per F, :3; e ad evilare le frazioni divideremo invece — 2oF':4 per
F-.5 ed avremo

essendo

e finalmente
essendo

25
F,^ F' + (p,F,= 27 (—i»x + 29)

5x + 6
3

F^^—lOSF, + ,f,F, = —925

90x— 233

<P3 = -

27

percio (posto per brevila F =^Af^^ F^^of^, Fj^27 f,) dovremo
osservare i segni delle quanlita

(•) —925, f3~—lSx + 29 , f, — —5x' + 2ix—lS,

/■. = x'— 3a;'+18x — 27, F^x''— i x^ + 36 x'— 10 x + SI .

I valori di questi polinomii si possono o calcolare direttamente inlro-
duccndovi i singoli valori di x, o dedurre dai valori dei prinii ter-
mini — 925, ^3 mediante le relazioni

925 + (90x— 233)/"3 — 27 ^ — {5 x + 6) f,

324 125

oppure si potranno dedurre dai valori dei coefficienli delle trasfor-
mate, i quali sono (\ 40)

E=x'>—ix^+3(jx''—iQSx + 9,i , Z>=4x'— 12x= + 72x— 108
t'^Gx'— 12X+36, B=ix — i, J—i,

sicche le quantita (*) sono anche

9
(*') —925, f^ = B+MJ

5 11 I

f, = C+ B + 23J, f,^-D, F=E.

6 4 4

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 169

Queste ultime formule sono parlicolarmente comode in quanlo che, per
awicinarsi al valori delle radici, occorre determinare i coefficienti delle
successive trasformate, e, quando si conoscano B, C, si scorgera quasi
sempre a colpo d'occhio quali sieno i segni dei /"j /",; e puo anche
notarsi che se f, e f, abbiano segni opposti, non occorre ricercare
qual sia il segno di f, (giacche esso non cangia il numero delle va-
riazioni). Non rade volte bastera conoscere i numeri totali delle ra-
dici positive e delle negative; ora tali nuineri si desumono dai segni
degli ultimi e dei primi termini dei polinomii (*). La nostra equa-
zione non puo avere radici negative, ed atteso le 4 variazioni che
essa presenta, potrebbe avere 4 radici positive; ma quando e x = 0 i

polinomii (*) avendo i segni 1 \- presentano 3 variazioni, e

quando x=^ eo hanno i segni h -h con una variazione, dun-

que due sole sono le radici positive. L'equazione e le sue trasfor-
mate in (x — 1) ed in {x — 3) hanno i coefficienti

(0) 1 — 4 + 36—108 + 81 (4 variazioni)

(1) 1+0 + 30— 44+ 6 (2 variazioni)
(3) 1+8 + 54 + 108 + 54 (nessuna)

Si potrebbe domandare se le due radici positive cadono Ira 0 ed I.
oppure tra I e 5; ora le formule (") applicate alia trasformata (1)
mostrano che i segni sono h h (avendosi trascurato di deter-
minare il segno di /",, giacche esso cade fra due segni opposti), per-
cio le tre variazioni si conservano da 0 ad 1, sicche in quell inter-
vallo non cadono radici; quindi le sole radici reali sono quelle indi-
cate dalle variazioni della trasformata (1): non si determinarono i se-
gni delle (**) corrispondenti alia (3), perche si sapeva ch' essi deg-
giono presentare una variazione tanto come quelli corrispondenti ad
a- r= eo , giacche la mancanza di variazioni della (3) rende sicuri che
nessuna radice e maggiore di 5. Del reslo senza usare del teorema
dello Sturm bastava osservare, che la trasformata in (x — 1) ha un coef-
ficiente nullo compreso fra due di segni uguali, per riconoscere che
X = 1 e un valore critico ; cosi pure il dubbio sulla realta delle ra-
dici tra 1 e 3 e tollo dalla trasformata in (x — 2), la quale ha Pulti-
mo termine negativo.

III. 22

1 70 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

65. Potra avvenire che il polinomio F=Jx"-\- 5x"~' + ecc., ed il
suo derkato F' =^n Ax"~' -\-{n — 1) 5a:"~' + ccc. abbiano un qualche
fattore ooiminc; in lal caso lo stesso faltore dividera pure senza residuo
Uilti gli altri polinoinii F,= — F-[-(f>,F\ Fj^ — F'-\-(p^F^^ F^^ — F,4-
-\-(f),F,^ecc.^ e pcrcio giungereino finahiienle a F.^., = — F__,+9„F, = 0
ed F„ saia 11 fattor connine a tutli i F„_,, F„_,, .... F,, F, F; qiiindi,
posto F^=F,^G., la data equazione F=0 si decomporra nelle due
F„^0, G^O, le quali saranno piu facili da risolvere perche di grado
meno elevato. Quesla decomposizionc non mancbera inai di aver hiogo
quando Tequazlone F^O ammetta delle radici multiple (§ 18), ed i
fattori multipli del polinomio F saranno sempre anche fattori del po-
linomio F„, ma \'i saranno contenuti una volta di meno; siccbe ancbe
F„ e G (ecceltuato il caso che sieno uguali) avranno un fattore co-
mune, e si potranno ancora abbassare di grado le due equazioni F„ :^ 0
G = 0. Noi dunque abbiamo veduto che "gli stessi calcoli coi quali
si trovano i polinomii, che secondo il teorema dello Sturm (^ 61) ser-
vono a determinare i numeri delle radici comprese in dati infervalli,
fanno anche conoscere se la proposta equazione ammetta radici mul-
tiple, ed in tal caso servono ad abbassarla di grado " .

64. Nel suddetto caso che la serie dei polinomii F, F, F,, F3....,
anziche terminare (§ 61) con una quantila F„ indipendente da x, ter-
mini col polinomio F„, non sussiste la dimostrazione data al § 60, poi-
che tutti i polinomii possono svanire insieme; nuUadimeno se non si
voglia rifare i calcoli relativamente alle nuove equazioni, nelle quali la
proposta viene a decomporsi, si potranno adoperare i polinomii

F„_ F, F' F

i quali sono tra loro dipendenti mediante le solite relazioni

F. F F' F„_, F„_,

F„~~ F^'^^' F^' "" ~~ F^ +<?"■— p'^

e pei quali ancora si verifica la condizione, che ogni valore che fa sva-
nire rultimo termine F: F„, produce la perdila di una variazione. D'al-

DEL TROF. GIUSTO BELLAVITIS 171

Ironde se invece della serie (A) si prenda la serie

(B) F„, F„_,, ....F,, F', F

e vi si sostituiscano in luogo di x due valori a 6, nessuno dei quali
annulli la F, il numero delle variazioni di segno sara il medesimo tanlo
nella serie (B) quanto nella (A); percio al numero di variazioni per-
dute da x = a ad x = b sara eguale il numero delle radici della F=0
fra loro differenli e coniprese nelF intervallo da a a b.

§ VIII.

Determinazione dei faflori del secondo (jrado dei polinomii.
e quindi anche delle radici immmjinarie delle equazioni

60. Quei polinomii algebraici, ehe non possono decomporsi in lat-
tori del primo grado, possono sempre decomporsi in lattori della for-
ma x' — la X -\-a -\-h., la qual verita si esprime anche dicendo, clie
le equazioni algebraiche die non ammellono radici reali, hanno sem-
pre le radici immaginarie della forma x = « + l/( — 6), essendo b una
quanlila posiliva. Fu mollo cercato un metodo generale e sicuro per
la determinazione di tali radici immasinarie, ma credo che lulti i me-
todi linora proposli richieggano lunghi calcoli numerici; spero percio
che sia accolto favorevolmente un metodo che non e gran fatto pin
laborioso di quello con cui si trovano le radici reali, e che precede
con un algoritmo in gran parte identico a quello che serve per le ra-
dici reali.

66. Per riconoscere se il polinomio .4 x^ -\- B x' -\- C x'' -\- D x^ -\-
-h Ex' ~\-Fx-\-G sia divisibile per x'-j-6, s'intende facilmente che
bastera osservare se i due polinomii che noi diremo ausillani

sieno divisibili per y — 6; percio, se noi troveremo che le due p(jiia-
zioni axisiliarie

By' — Dy + F=0, — J y' + Cy' — Ey + G=0

<72 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

abbiano una radice comiine y ^b, noi ne dedurremo che il [)roposto
polinomio ha il fattore x'-\-b. D'allra parte abbiaino gia veduto (§ 2)
con qual facile algoritnio si passi dal proposto polinomio a quello tras-
formato in (x — «), e, se le equazioni ausiliarie provenienti da que-
st'ultimo ammeltano la radice coniune b, noi ne dedurremo come so-
pra che il polinomio Irasformato ha il fattore {x — ay + 6, e che percio
il polinomio proposto e divisibile per x' — 2 ax — a' -+-b. — Vicne da
cio che, se per due polinomii trasformati corrispondenti a due valori
non molto discosti di a si sieno trovate lutte le radici reali delle due
equazioni ausiliarie, e dal confronto di queste radici si possa arguire
che per un valore di a compreso fra quei due le equazioni ausiliarie
abbiano una radice comune, si polra, dando ad a dei valori interme-
dii, accostarsi indefinitamenle alia esatta delerminazione di a e di 6.
Per esempio se ad o ^ 1 corrispondano due equazioni ausiliarie, la
prima delle quali abbia le radici 2, 9, e la seconda le radici 4, 10,
12, e, se ad o = 2 corrisponda una prima equazione ausiliaria nella
quale le due radici si sieno cangiate in un valor critico, mentre anche
nella seconda equazione ausiliaria le due prime radici sieno divenute
immaginarie, noi ne dedurremo che nelFintervallo fra « = 1 ed o = 2
le due radici 2 , 9, nelF avvicinarsi fino a divenir uguali per poscia
mutarsi nel valor critico, si sono uguagliate ad una delle radici 4, 10,
le quali pure tendono ad avvicinarsi; cosl si scorgera Topportunita di
tenlare un valore intermedio tra a ^ 1 ed a =: 2 . Mediante analoghe
considerazioni si giungera ad otlenere un polinomio trasformato tale
che le due equazioni ausiliarie abbiano due radici quanlo si voglia
tra loro approssimate.

67. Quantunque il metodo precedente possa sembrare dubbioso ed
indeterminato, nulladimeno in pratica esso guida non niolto indiretta-
mente alio scopo proposto; ma d'altra parte, essendo pur possibile che
si rimanga delusi nella speranza di trovare in un certo intervallo un
valore di o, a cui corrisponda uno dei ccrcati fattori del secondo grado,
e cio per non csistere quella continuita nelle radici delle due equa-
zioni ausiliarie che implicitamente si e supposta; cosi torna niolto op-
porluno r uso del seguente crilerio di cui per brevita omclliamo la

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 1 73

dimoslrazione, la quale del resto si deduce dalla teoria degli indici
del Cauchy.

68. Si cominci dallo slabilire che per primo polinomio ausiliario
By' — Dy-hF intendesi quello che ha per ultimo lermine il penult imo
coefficiente del proposlo polinomio J x^ -{- B x^ -\-C x'' -\- D x' -\- E x' -\-
-i~Fx-\-G, e i cui altri coefficienti sono quelli che ne distanno di 2,
di 4 ecc. posti, presi alternativamente coi segni cangiali; similmente
che il secondo polinomio ausiliario — A y^ -\- C if — Ey-\-G ha per
ultimo termine Vultimo del polinomio proposto. e gli altri suoi coef-
ficienti sono quelli che ne sono distanti di 2, di 4 ecc. posti, presi
coi segni alternativamente cangiali: il primo polinomio ausiliario egua-
gliato a zero da la prima equazione ausiliaria . Cio poslo, -' per una
radice positlva della prima equazione ausiliaria si determinino i segni
dei valori che prendono il secondo polinomio ausiliario quando vi si
sostituisce tal radice, ed il primo polinomio ausiliario quando vi si so-
stiluisce un valore pochissimo inferiore a tal radice; se questi segni
sieno opposti si avra V indice -{-1, se sieno eguali si avra Tindice — 1:
si ripeta la stessa considerazione per tutte le radici positiK^e della prima
equazione ausiliaria : alia somma di tutti questi indici si aggiunga — 1
nel solo caso che gli ultimi termini dei due polinomii ausiliarii ab-
biano segni opposti: inoltre, se il polinomio proposto sia di grado pari,
e se i due primi termini dei polinomii ausiliarii sieno di segni oppo-
sti, si aggiunga -l-l: la somma di tutti questi numeri costituira V in-
dice corrispondente al proposto polinomio. Si calcolino nello stesso
modo gli indici corrispondenti ai polinomii in {x — a), in {x — o), ecc.
La diflerenza di due di questi indici dara il numero delle radici reali
od immaginarie della proposta equazione, la cui parte reale e com-
presa nel corrispondente inlervallo " ; cosl si sapra in quali intervalli
si debbano ricercare i valori di a che danno i desiderati fattori x' —
— 2 a X -h u^ -h b. II precedente teorema sussiste anche se la pro-
posta equazione ammette radici multiple. Per maggior semplicita in-
tendo esclusi i casi nei quali svanisca il primo o Tultimo termine del
primo polinomio ausiliario, o che la prima equazione ausiliaria am-
metta qualche radice posiliva multipla; questi sono casi eccezionali

174 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

Aw facilinentc si evitano nuitando alcun poco il valore di a. Sono
pure esclusi i casi che il secondo polinomio ausiliario abbia T ultimo
lerniine nullo, o che esso riinanga annullato da una radice positiva b
ilolla prima equazione ausiliaria; giacche in lali casi si ha immediata-
nionle pel proposlo polinomio o il fattore x — a od il {x — a)' + 6.

G9. hi sulle prime non si avra alcuna norma per la scelta del
valore di a, e polranno quindi occorrere piu tenlalivi per calcolare
la prima cifra di tal valore; tenlativi che saranno del reslo regolati
dal leorema del § precedente: ma giunti alia seconda od alia terza
cifra ci sara facile prevedere con certezza la cifra seguente, e cio con-
siderando gli errori corrispondenli ai due valori prossimi attribuili alia
a. Potra prendersi come errore il valore del secondo polinomio ausi-
liario quando vi si soslituisce quella radice positiva della prima equa-
zione, che da il valore approssimato di 6; infalti i valori cercati di
a e di b debbono annullare ambcdue i polinomii approssimati . Si
potrebbe anche dai valori approssimati di a e di b dedurne allri piii
approssimati mediante un calcolo analogo allapprossimazione Newto-
niana, e cosi ottenere in una sol volta piu cifre esatte di a; ma credo
che in pratica cio non riuscira vantaggioso, quando non fosse in siil
fine dell operazione (veggasi la INota al § 70).

70. Esempio. Si ricercano le radici reali od immaginarie dell' equa-
zione

**'— 8 a:'+ 27x^—52 x'+ 69 X' — 62 x + 28 = 0;

i due polinomii ausiliarii sono

— 8)/' + 52 I/— 62 —i/ + 27if — 69y+2S

— 8 +44 —18 1 —4 +26 —43 —15

— 8 +36 I

4 |— 8 +20 +18 4 I— i +23 +23 +120

1—8—12 I

Un semplicissimo calcolo fa vedere che delle radici positive della prima
equazione ausiliaria una e alquanto maggiore di 1, ed una maggiore
di 4; con queste due cifre 1, 4 il secondo polinomio prende i valori
— 13 -(-120, come si vede dai calcoli soprascritti, che sono le sole

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS <75

prime righe delle solite tabelle formate colle cifre 1, 4, partendo sem-
pre dai coefficienti — 1+27 — 69 + 28. E facile asslairarsi che i se-
gni degli ultimi termini — 43 +120 sono gli stessi di quelli del va-
lori che si otterrebbcro sostituendo nel secondo polinomio i valori esatti
delle radici della prima equazione ausillaria, anziche i valori appros-
simati 1, 4. Procedendo ora alia determinazione deir/*(f/('cp, {'] 68) i
sea;ni eguali di — 18 e — li5 danno — 1; cosi pure i +18 e +120
danno — 1, i segni opposli degli ultimi termini — 62 +28 danno
— 1: e quantunque la equazione proposta sia di grado pari, pure nulla
si ha da aggiungere in forza dei primi termini dei polinomii ausiliarii,
giacche essi sono di ugual segno; cosi si ha in complesso Tindice — 3.
Col solito calcolo mediante la cifra 0=1 si trovano i coefficienti
1 — 2 + 2 — 4 + 10 — 6 + 3 della trasformata in (x — 1); essi danno
i due polinomii ausiliarii

— 2if+iij—6 —y^+2rf — l0y+3

d I— 2 +2—4

1—2—0

Si vede tosto che 1 e un valor critico della prima equazione ausiliaria,
e che percio essa non ha radici positive; Tindice e adunque — 1 di-
pendente dalfopposizione dei segni degli ultimi termini — 6+3. Con-
frontando questo indice con quello corrispondente ad a = 0, si deduce
che I'equazione proposta ammette due radici tra o ^ 0 ed o == 1 ; ra-
dici che non possono esser reali perche le equazioni in x ed in (x — 1)
presentano lo stesso numero di variazioni di segno.

Facendo la supposizione intermedia a = 0,2 si ottengono i due po-
linomii ausiliarii

— 6, 82/= + 33, 442/— 39,838

— 2/' + 19,6 »/•- 43. 66 4 2/ +17, 9847

— 6,8 +i9,84 — 0,158

— 6,8 + 6,24

2 _1 +-17,6 — 8,464 + 1,0567
— 1 +15,6 +22,736

— 6,8 + 0,80 + 0,482

— 6,8 — 4,64

e si vede che la prima equazione ausiliaria ha una radice poco su-
periore a 2 ed una poco superiore a 2,8; ambedue rendono positive

176

SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

— 7,4 +34,6

— 7,4 +27,2

— 15,1

1

0,7

— 1 +22

— 1 +21

— 1 +20

— 34

— 13

— 11,6

— 7,4 +22,8

— 7,4 +18,3

— 1,4

-1+19

+ 0,3

— 11,4

il secondo polinomio, e vedremo che rindlce e — 1, e che percio le
due radici sono comprese Ira a = 0 ed a = 0^2.

Ponendo o = 0,l si hanno approssimatamente 1 polinomii

— 7,iy'+ 42, 2/— 49,7 — ^'+23?/'- 56 j/ + 22,4

0,6

La prima equazione ausiliaria ha una radice poco inferiore ad 1,7, la
quale sostituita nel secondo polinomio gli da il valore — 11,4 che
puo considerarsi come I' errore corrispondente ad a = 0, 1 , menlre
a = 0,2 diede I'errore +1,0367; sicche puo arguirsi che debba es-
sere all'incirca a =: 0,191. Non si e calcolato I'indice, poiche, sapen-
dosi che due radici sono comprese fra a = 0 ed « = 0,2, basta ormai
osservare il valore che prende il secondo polinomio quando vi si so-
stituisce una radice (nel nostro caso la piii piccola) della prima equa-
zione, per conoscere da qual parte cadano le due radici.

Partendo dai coefficienli del polinomio in (x — 0,2) dedurremo me-
diante la cifra — 0,01 i coefficient spettanli ad a ^ 0,1 9, ed avremo
il primo polinomio ausiliario

— 6,86.v

' + 34,2301/

— 40,721

1

— 6,86

— 6,86

+ 27,370
+ 20,510

— 13,351

0,9

— 6,86

— 6,86

+ 14,336
+ 8,162

— 0,449

0,05

— 6,86

— 6,86

+ 7,819
+ 7,476

— 0,058

0,008

— 6,86

— 6,86

+ 7,421
+ 7,366

+ 0,001

che da nel solito modo la radice 6 = 1,938, la quale dee sostiluirsi
nel secondo polinomio

— )/'+ 19, 941. J/' — 44,678 y + 18,388

— 1 +17,983

— 26,693 -+- 8,911

— 10,510 -+- 0,401

— 9,611 — 0,072

— 9,467 — 0,148

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS 177

II che fu qui fatto prendcndo per cifra rintero numero l,9d8 (il ca-
rattere piii piccolo spiegail deltaglio di calcolo con cui si oltenne la
prima riga — 1 + 17,985 — 9,/j67 — 0,148 della tabella), sicche il
valore 6^1,9o8 che annuUa il primo polinomio da al secondo il va-
lore — 0,148, che, riguardato come un crrore e paragonato coirerrore
-h l,0o7 corrispondente ad «=:0,2, mostra che o =: 0,19 deve au-
menlarsi di circa 0,001, sicche avremo approssimatamente « = 0,191,
6=1,96. Conlinuando questi calcoli polremo spingere qiianto innanzi
vorremo I'approssimazione verso le radici immaginarie x = rt±K( — 6),
ossia verso il faltore {x — af -\~ b (Vcgg. la Nota III).

71. Trovato un primo fatlore, si potrebbe dividere per esso la pro-
posla equazionc, che cosi si abbasserebbe al quarto grado, ma noi
ora procederemo alia ricerca diretta degli altri due faUori. Ponendo
a = 2 si trovano i coefficienli 1+4 + 7-1-4 + 0 + 6 + 4 dell' equa-
zione in (x — 2), e quindi i due polinomii ausiliarii sono

La prima equazione ausiliaria non ammette radici positive, e percio
rindice e +1 dipcndente da cio che Tequazione proposta e di grado
pari e che i primi termini dei due polinomii hanno segni opposti; ne
viene che due radici sono comprese tra n = 1 ed a = 2, ed il crite-
rio esposto al ^ 54 ci assicura che tali radici non possono esser reali.
Siccome tanto per n =: 1 quanto per « = 2 la prima equazione ausi-
liaria manca di radici positive, cosi non abbiamo alcun dato per ar-
guire il vero valore di a. daremo adunque ad a alcuno dei ^alori
intermedii tra 1 e 2, e ben presto c' imbalteremo in « = 1.5 che
conduce ai due polinomii

— 0,2 J/' + 2,860 J/ — 0,930 4

0,3

— 0,2 +2.800 —0,0904

— 0,2 +2,740

0,0.3

-0,2 +2,734 —0,0084

-.'/ +

0,35//'

— 7,0615?/ + 2,0041

0,3

-1 +

— 1 —

0.05
0,25
0,55

— 7,0465 —0,1099

— 7,1215

0,03

— 1 —

0.58

— 7,1389 —0.3241

13 1—0,2 +0,260 +2,4496 14 j— 1 — 13,65 —

1—0,2 —2,340 I

III. 23

178 SULLA RISOLUZION'E DELLE EQUAZIONI

La prima equazione ausiliaria ha una radice poco niaggiore di 0,35
ed una quasi uguale a 14, le quali sostituite nel secondo polinomio
gli danno valori negativi; sicche Tindicc e formalo da — 1 + 1 c da
— 1 per Popposizione di segno dei due ultimi termini dei polinomii
ausiliarii, quindi Tindice e — 1, e le due radici die cerchiamo sono
comprese Ira «=:l,3 cd « = 2. Si Irovera airincirca « = 1,31, 6=0,29.
72. Venendo finalmenle alia ricerca del terzo paio di radici, os-
serveremo die ft = 3 dando i coefficienli 1 -|- 10 + 42 + 92 + 11 4 -f-
H- 82 4- 31 conduce ai polinomii ausiliarii

10;/'— 92 .I/+82 —if+i2y'—iliy+ 31

i ITo —82 + 0 1 1—1+41 — 73 — 42

8 110 —12 -14 8 1—1 + 34 +158 +1295

|lO +68 I

La prima equazione ausiliaria ha una radice =1, ed una poco niag-
giore di 8; un valore poco inferiore ad 1 da ai due polinomii segni
opposti, lo stesso avviene del valore 8, percio Findice e formato da
+ 1 e da + 1 , a cui si aggiunge -f- 1 perche la proposta equazione
e di grado pari ed i primi termini dei polinomii sono di segno op-
poslo, quindi Pindice e +3, e Tultimo paio di radici cade tra a = 2
ed a = 3.

Tentando il valore intermedio a = 2,3 si ottengono nel solito modo
(mediante la cifra 0,3 partendo dai coefficienli gia trovati per a = 2)
i coefficienti della trasformata in (x — 2,3), ed i due polinomii ausi-
liarii

7)/'— 30,5 »/+18,9375 —y'+ 20,75 »/* — 27,4375 (/ + 9,3281 25

0,7

0,05

7 —25,6 + 1,0175
7 —20,7

0,75

7 —20,35 +

-i-0,62i87S
— 1+20, —12,4375 +0,000000

sono annullati dallo stesso valore 0,73, percio si ha esaltamente o=:2,3,
/>=:0,73, ed il proposto pohnomio ha il fattore (x- — o)'4-6 = x" —
— 3 X + 7. Mediante la divisione si ottiene il fattore del quarto grado

ac'i — 3 X- + 5 x' — 6 X + .

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 1 79

73. Esempio II. Proponiamoci di trovare i fatlori del precedente
polinoniio

x''— 9x^ + 5 x'—dx+i,

i due pollnoinii ausiliarii sono

3r-e .r'-5j+4

2|3— 0 all— 3— 2

II priino e annullato da 6 = 2, ed un valor poco minore di qiiesto
ronde negativi ambedue i polinomii, pcrcio abbianio lindice — 1, a
cui si aggiunge — 1 per Topposizione di segno degli ullimi termini
— 6, +4, sicche Pindice e — 2.

Ponendo a = I si ottengono i coefficienti 1 + 1+2 — 1 + I , ed
i due polinomii

-y-i r-2y+l;

la prima equazione ausiliaria non ha radici positive, sicche lindice e
formato da — 1 per Topposizione di segno degli ultimi termini, e da
+ 1 per Topposizione di segno dei primi termini (il proposto polino-
mio essendo di grado pari), e quindi Pindice 0 ci avverte che due
radici sono comprese tra a = 0 ed « = 1 , ed esse non sono reali co-
me lo mostra il solito criterio

1 — 3 + .5 — 6 + 4

I | — 1—0 — 3 + 2 — 4 0

Ponendo o ^ 2 si giunge ai polinomii ausiliarii

— 5 ) •+ 1 0 y'— I I V + 4

2|— 5+0 2jl— 9— 14

che danno F indice 2, percio altre due radici sono comprese tra « ^ 1
ed « = 2. II modo di avvicinarsi a tali radici apparisce bastantemente
da quanto si disse. Cosi se prendiamo rt=l,5 avremo i due poli-
nomii

— 2,2 j+ 0,578 y'— 3,44 y + 0,9 I 51

0,263

0,2

— 2,2 +0,138

0,06

,006

0.003

,000

-t- 0,27 9 7

-+-0,0891

1—3,177 +0,0796

180 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

e quindi lerrore +0,0796. Invece o = l,31 da

— 2,24 y + 0,6474 j'— 3,5066 j + 0,921 2

0,2

0,08

0,009

— 2,24 +0,1994
,0202
,0001 «'289

-+- ,2777

-+- ,0203

1

— 3,2176 —0,0086

e percio Ferrore e — 0, 086, sicche il valore approssimato da inipie-
garsi ulteriormente sara o = 1,509, ecc.

74. Esempio III. Serva per ultimo esempio Tequazlone del quinto
grado risolta al § 48. Per o = 0 abbiamo i polinomii

j'— 105 y+70 — 18r'+ 206. r— 8

0,6 1—104,4 + 7,36 0,6 —18 + 195 + 109

100 |l— 5 —430 100 |— 18 —1794 -179408

le due radici positive della prima equazione ausiliaria ed il confronto
coi valor i che prende il secondo polinomio danno gFindici — 1, — 1,
e — 1 e pur dato dalF opposizione di segno dei due ultimi termini,
ne si curano i segni dei primi termini perche I'equazione proposta e
di grado dispari, cosi Tindice e — 3. Per a ^10 si hanno i polinomii

)/'- 385y+ 5450 32 y'— 21 44 y + 5092

14 11 —371 + 256 14 [32 —1696 —18652

300 |l— 85 —20050 300 |32 +7456 +....

e lopposizione di segno dei loro valori per y poco inferiore alle ra-
dici positive della prima equazione ausiliaria danno I'indice -f- 1 -j-
+ 1=2, percio tutte le 6 radici sono comprese tra 0 e 10.
Se a = 0,2 abbiamo (§ 48)

y'—giy — 0,368 — 17y'+ 147,24^-1,42848

91 |l— 0 —0,368 91 |— 17 —1400 — ....

la sola radicc positiva della prima equazione ausiliaria da I'indice — 1,
dunque due radici sono comprese Ira rt = 0 ed o=0,2.

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS . iSl

Ponendo «=0,1 si trovano i polinomii

J'"- 97,90.r + 31,8785 — 1 7,5)* + 1 75,570.r — 2,95679

0,3

1—97,6 + 2,60
1—97,3

0,3
0,03

— 17,5

— 17,5
-17,5

+ 170,320 +48,14
+ 165,07

0,03

1—97,3 — 0,32

+ 164,54 +53,08

97

1_ 0,90 —55

100

— 17,5

_.... ....

die danno rindice — 3, e Perrore corrispondente alia radice piii pic-
cola 6 = 0,33 della prima equazione ausiliaria c cii'ca -f- o3, mentre
per a = 0,2, e per la radice poco inleriore a zero Ferrore e circa
— 2, percio il vero valore di a e mollo prossimo a 2; porremo o=0,19
e trovercmo i polinomii ausiliarii

.r'— 91, 681 r + 2,604

— 17,05/'+ 149, 980y— 1,4396

0,02
0,008

1—91,661 +0,771
i— 91,641

0,028

-1-149,639 -1-1,5505
-17,05 +149,503 +2,7465

■91,633 +0,038

che danno 6 = 0,028 e Ferrore +2,7; cosi saremo condotli al valore
a = 0,193 che da 6 = 0,0122 e Ferrore 0,38, poscia ad a = 0,1938
ecc. ecc.

IX.

Badici razionali delle equazioni numeriche

73. Per trovare tutte le radici intere di una equazione si suol
prescrivere di determinare tulti i divisori degli ullimi termini della
equazione proposla e delle sue trasformate in (x — 1) ed in (x-hl); e
molto piu speditivo attenersi ad uno dei metodi che ora esporremo.

7G. Data un'equazione di un grado qualunque, che noi rappresen-
leremo col caso particolare /x'' + /^x'+ C'x'+ />u;-h^^ 0, nella
quale tulti i coelficienli ,/ .... E sieno numeri inleri, se essa abbia una
radice razionale = n : d (dove h, d sono numeri tra di loro primi) il
suo denominatore d dividera esattamente ./. Infatti posto x = y : d
avremo Fequazione .1 xf -{- B dif ....+ Ed"* ^^0, che dovra esser sod-

482 • SULLA RLSOLUZIUNE DELLE EQUAZIONI

(lislalla (la ij = »-, qiiindi fallo colla cifra /; il solifo calcolo

.J + Bd + Cd^ + Dd' + Ld''
n \J + B, +C, +D, +Ei

cioe

B, = nJ + Bd, C, — nB, + Cd\ D^ = nC, + DdK E^ = nDi + Ed^

do\Ta essere £^ = 0 ; ora se d non dividcsse esattainenle ./ esso (per-
chc primo con n) non potrebbe divldere esaltamente nemmeno i?,, e
quindi nemmeno C,, ecc. ne potrebbe essere ^^r=0.

77. Se adunque sieno trovate approssimalamente le radici della
equazlone i x'' ....-{- E^O bastera moltiplicarle per ./, e se nessun
prodollo riesca intero noi saremo cerli che Tequazione non ammette
radici razionali. Quando per allro si sospetti che Tequazione abbia
delle radici razionali giovera trasformarla nella y'' -\- B y' -\- A C xf -\-
-h /'Dy -\-A^ E^O essendo y = Jx^ perche in lal guisa le sue radici
razionali che saranno anche intere (giacche il coefficiente del primo
termine e 1) si otterranno immediatamente senza bisogno di spingere
Fapprossimazione allc decimali.

78. Serva di esempio Tequazione

X''— 23 x''+ 160x^—281 x'— 257 J— 440 = 0

La necessita di canijiare il se^no medianle i due termini positivi I
+ 160 ai tre ultimi termini negativi puo indurre a tentare la cilra
piuttosto grande 6;

1 — 23 + 160 —281 — 257 — 440

(6) (i)-(i7)+ (58)+ (67) + (145) + {430)

5 I 1 — 18 + 70 + 69 + 88 0

falto il calcolo della prima riga, il cangiamento di segno delF ultimo
lermine mi avverte di aver sorpassata una radice; torno adunque alia
cifra o, e annullandosi Tultimo termine veggo che la proposta ha la
radice 3, e veggo ncllo stesso tempo che il primo membro diviso per
X — 3 da il quoziente x'' — 18 x' + 70 x' + 69 x + 88. Conlinuando
adunque i calcoli sui coefficienti gia trovati, provo la cilra 7, e ve-

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

183

dendo ch'cssa e Iroppo piccola preferisco cancellare la riga gia scrida.
anziche compiere la labella, e provando la cifra 8 trovo la nuo\a ra-
dic'c 8 ed il niiovo qiiozienle x' — 10 x' — 10 x — 11. E evidenle die
le radici di queslulliina equazione sono maggiori di 10, nulladiincno
non volendo calcolare le tabelle se non se con una cifra alia volta,
adopero la cifra 10 e compio la labella che mi da i coefficionii 1 -\-
+ 20 + 90 — 111, poscia coUa cifra 1 veggo che la proposta ha la
radice 10 + 1 = 11; ■ -

(7)

I — 18 +

70

4-

69 + 88

(l)-(U)-

(7

+

(20) + (228j

8 11 — 10 —

10

-

11 0 . " • '

10

1 + 0 —
1 + 10 +
1 -f- 20

10
90

HI

1

1 + 21 +

1 11

0

1 — 2i +

111

-

10

i — J 1 +

1 — 1

1

'J

1

1 + 0 +

1

in quanto al quoziente ?/* + 21 y + lll bisogna nolare che essendo
partiti dagli ultimi coefficienti della tabella calcolata coUa cifra 10 ab-
bianio la trasformata in y^x — 10. L'ultima equazione ?/' + 21 y+ 111
manca di variazioni di segno, e quindi non puo avere radici positive;
per vedere se ne abbia di negative cangiamola nella u' — 21m+111=0,
e fatto il calcolo colla cifra 10 avremo la trasformata v' — v + 1, dalla
quale colla cifra 1 si fanno sparire le due variazioni di segno, ed il
solito criterio mostra (cosa d'altronde evidentissima) che non si hanno
altre radici reali oltre le gia trovate o, 8, 11.

1 — 1 + 1

1—0—1

79. Operando nel modo predello se le radici non fossero intere
si sarebbe suUa strada per tro^arIe approssiinatanienle. e per tal ra-
gione che quel nietodo lo credo preferibile al scguente; pure se ci

184 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

I'ossimo proposti di trovare le radici intere senza curarcl delle altre
avremino potulo liinilarci a calcolare le sole prime righe delle solite
labelle come qui si vede

1—23 + 160 — 281—257— 440 ,

1

1-22+138 — 143 — 400- 840

2

1-21+118— 45 — 347 — U34

4

1-19+ 84+ 55— 37— 588

5

1-18+ 70+ 69+ 88 0

1_10— lo-

ll 1 1 + 1 + 1 0

dove, sempre parlendo dai dali coefficienli 1 — 23+160 — 281 —
— 2o7 — 440, si sono calcolale le prime righe corrispondenli rispet-
tivamente alle cifre 1, 2, 4, i>. Per vero dire si avrebbe dovulo ri-
sparmiare di calcolare le righe corrispondenli alle cifre 1, 2, 4, es-
sendo palese che esse erano troppo piccole per soddisfare all'equa-
zione, ma non si voile profiltare di questa conoscenza. Non si fece
poi il calcolo colla cifra 5, giacche, per la maniera slessa con cui
procede il calcolo, si riconosce che I'ullimo termine non puo annul-
larsi sc non se medianle un suo divisore, ed il 3 non divide esatta-
menle il 440. Si fece il tentalivo colla cifra 4, perche essa e un di-
visore del 440, e perche, diminuita di 1 e di 2, i rcsidui 3 e 2 di-
vidono esattamenle i numeri 840 e 1134, che sono gli ultimi termini
delle trasformale in (x — 1) ed in (x — 2). Similmente, prima di len-
laie la cifra o, si e osserva(o non solo se essa divide esattaniente il
440, ma nnche se 6 — 1, H — 2, 6 — 4 dividono rispeltivamente gli
ultimi termini gia trovati 840, 1154, o88. Trovata la radice o si pro-
cede sui coefficienti gia ottenuti 1 — 18 + 70 + 69 -h 88; non si tenia
alcuna radice minore di i5, poiche se essa vi fosse stata la si sarebbe
gia trovala; non si tenia ne il o, ne il 6, ne il 7 perche non sono
divisori delF 88, e tentato VS (giacche 8 e divisore di 88, e 8 — 1,
8 — 2, 8 — 4 lo sono di 840, 1154, o88) si trova che esso pure e
una radice della proposta equazione. Conlinuando il calcolo sui coef-
ficienti 1 — 10 — 10 — I cosi ottenuti non si puo tentare alcun nu-
mero minore delF 8, e si e cosi necessariamente condotti a tentare

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 1 85

Til che e il solo divisore delF ultimo termine e die offre una nuova
radice. La rimanente equazione x'-t-x-{-i nun piio ccrtamente avere
ladici niaggiori od uguali di 11, ed e pur cerlo che non ne lia di
negative, perche non ne puo avere la proposta, dalla quale essa In
dedotta mediante sole divisioni; d'allronde sarebbe facilissimo assicu-
rarsi che essa non amnictte la radice — 1, che e la sola intera che
potesse avere. Percio la proposta equazione non ammette altre radici
Lntere ollre le trovate d, 8, 1 1 .

80. Serva di secondo esempio T equazione

x^— 28 a-^ + 30.x'— 103 a; + 360 = 0.

Fatti i soliti lentativi colle cifre 1, 2, 3, che sono divisori del 360,
non si tenia il 4 perche 4 — 1 non e divisore del 260: dopo tentato
inutilmente il 6 si osserva che a motivo dci pochi divisori del 66
non rimarrebbero da tentare se non se le cihe 8, 13, 24, 3o, 68,
le quali d'altronde si escludono perche 8 — 1, 13 — 1 non sono di-
visori di 260, e 24 — 3, 3o — 3, 68 — 3 non lo sono di 334.

1—28 + 30 — 103 +

360

1

2
3
5

1—27+ 3 — 100 +
1—26 — 22 — 147 +
1—25-45-238 —
1 —23 — 85 — 528 —

260

66

354

2280

Dunque non vi e alcuna radice intera positiva, ed e poi evidente che
non ve ne e alcuna di negaliva, perche la proposta equazione can-
giando x in — x perde tulte le sue variazioni di segno.

81. Quando i coefficienti deU'equazione proposta sono molto grandi,
anche il precedente metodo riesce laboriosissimo. Se non si voglia at-
tenersi al metodo generale indicato nel § 78, si potra determinare
le cercate radici intere, cominciando dalla cifra delle unita e proce-
dendo alle decine, centinaia, ecc. nel modo che si rendera palese dal
seguente esempio, e che puo utihnente adoperarsi anche per ricono-
scere se un numero molto grande sia divisibile per un dato nuraero
dispari. Proposta Tequazione

X'— 3268 x + 104942 7 = 0,
HI. 24

186

SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZlOiN'I

che ha sole radici positive, ponendo mente alle ultime cifre dei suoi
terininf, e facile riconoscere che se x ammette un valor inlero, la ci-
lia delle sue unita sara o 1 o 7. Si cominci per esempio col tenlare
r I , ed a lal fine si calcolino nel modo solito i coefficienti della tras-
forniata in {x — 1), poscia considerando le ullime cifre significative
dei termini —3266 + 1046160 si vedra che x — 1 deve contenere
o 10 0 60.

1 —3268 + 1049427

1

1 -3267 + 1046160
1 —3266

\0

1 —3256 + 1013600
1—32 46

■100

1—3146+ 699000
1 —3046

500

4—2546— 574000
1 —2046

-1000

1 — 1046- 1620000
1 — 46

1 —3266 + 1046160

60

800

1 —3206
1 —3146

853800

1 —2346 — 1023000
1 —1546
inipossibile

300

1 -2846-

00000

Col 10 si calcola la trasformata in (x — 11), i cui ultimi termini
— 3246-1-1015600 mostrano che x — 11 deve contenere o 100 o
600. La trasformata in (x — 111) non puo avere una radice di sole
migliaia, perche il 6 non puo dare colla moltiplica un numero che
tern)ini col 9: bensi potremo tentare il oOO, il che e lo stesso come
se a bella prima si fosse adoperato il 600 anziche il 100. Gli ultimi
termini della trasformata in {x — 611) mostrano che rimangono da ten-
tare il 1000 ed il 6000; il 6000 farebbe sparire tutte le variazioni
di segno e quindi sarebbe troppo grande; il 1000 puo tentarsi, ma
condurrebbe poscia a tentare 50000 e 80000 che sono troppo grandi;
quindi x non ammette un valore le cui ullime cifre sieno 11. Ripren-
dendo ora il calcolo col 60 Iroveremo la trasformata in (x — 61), i cui
ultimi termini — 5146 -}- 8o5800 mostrano che de!>;2;iono tentarsi 500
e 800. L'800 conduce ai due ultimi termini — lo46 —1025000, i
quali mostrano Timpossibilita di procedere alle migliaia, perche nes-
sun mulliplo di 6 sommato con 5 puo dare F ultima cifra 0. Invece
il 500 da la desiderata radice x=:561.

DEL PROF. GIUSTO BELL.WITIS

487

L'altra radice si troverebbe parlendo dalla cifra 7, che abbiamo
veduto poter appartenere alia x. Considerando i termini — 52o4 -f-
+ 1026600 della trasfonnata in (x — 7) si scorge cbc x — 7 deve
contenere o iJO o 400 o 900.

1 —3268 + 1049427

7

1 -3261 + 1026600
1 —3254

50

1 —3204+ 866400
1 -3154

100

1—3054+ 561000
1 —2954

500

1 —2454— 666000
1 — 1954

1000

1- 954—1620000
1 + 46

i -3254 + 4026600

400

1—2854— U5000
1—2454

500

1 -1954 — 4092000
4 —4454

2000

4 + 546 000000

La Irasformala in (x — 37) moslra che si deggiono tentarc 100 e 600:
dopo della trasfonnata in (x — 137) non si puo evidentementc pas-
sare alle migliaia; bensi lo si potrebbe dopo quella in (x — 637), ma
il 1000 non soddisfa airequazione cd il 6000 e troppo grande. Pas-
sando alia trasformata in {x — 407) si vede che non si puo procedere
alle migliaia. Invece considerando i valori ed i segni degli ultimi ter-
mini — 1434 — 1092000 della trasformata in (x — 907), si riconosce
che le migliaia possono essere o 2 o 7; il 2000 soddisfa all equa-
zione e da la radice 2907.

Fattori razionali del polinomii

82. I fattori razionali del primo grado, cioe della forma x — a
si desumono immediatamente dalle radici razionali delPequazione, che
si ottiene uguagliando a zero il proposto polinomio; dopo essersi as-
sicurati che non esiste alcuno di tali fattori, si potra ricercare se vi
sia qualche fattore del secondo grado x' — « x + /3 essendo « R nu-
meri razionali. Per verificare se il polinomio J x'^-h B x\...-i- G sia

iSS SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

dlvisi'bile per x' — «xH-/3, e per ottenere il quoziente di tal divisione
si potra fare un calcolo analogo a quello con cui sogllamo dividere
per X — a, e di cui qui si vede il tipo

-/3

J+ B+ C+ D+ E+ F+ G

A + Z.', + C, + />3 + E.

Le due cifre f?, — fl sono quelle per le quali si moltiplica ciascuno
dei coefficienti A B, C, D, E^ che si vanno trovando e che sono le
somme di quelli posti di sopra in ogni singola colonna, cioe

B,=^B-{-u.A, C, = C — fi J + a B, ecc,

cosi il quoziente e

J x'' + B,x^ + C^x'' + D^x + E^,

e le condizioni perche la divisione sia esatta, consistono nelle

F—f2D, + c(.E. = 0, G — f^E.^O;

allrimenti sarebbe

{F-QD,-i-a.E^)x-'-(G-l2E^)

il residuo.

85. Se il polinomio abbia i coefficienti razionali si potra sempre
niediante la sostituzione x' = y : ■§ fare in guisa che J if -.1'^ -^ .... -i- G
niolliplicato per >/ : / abbia tutti i coefficienti interi, poscia cercarne
i fattori della forma x' — a x -f- G, essendo « /3 numeri interi positi^ i
o negativi. Si noti che Tassunto polinomio x'^-f-ecc. non polrebbe
avere alcun fatlore x' — aa;-f-/3 coi coefficienti a fi razionali frazio-
narii; infatti se cio fosse possibile, ponendo x = y:o anche il polino-
mio y^-i- Bly\... -i- GV' sarebbe divisibile pel Irinomio y" — al y -\-
+ /3l% e cio qualunque fosse il numero intero I; ora si puo sempre
scegliere ^ in modo che abbia luogo uno dei tre casi: 1.° a^ intero
e 12,%' frazionario col denominatore contenente il numero primo v ;
2." (iV intero e ul col denominatore contenente il numero primo »;
3° cil col denominatore >?, e /3^ col denominatore y'; e si dimostra,

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS 189

come segue, che ognuno di questi casl e impossible . 1.° Se il poli-
nomio a coefficienti interl x^ -\-B x\...-{-G ammettesse il fattore

essendo a intero e R:n una frazione ridotta ai minimi termini, segnato
con

x'' 4- 5, x^ + C, a' -\-D,x -\-E,^

I'altro fattore a coefficienti razionali, le eqiiazioni

& & & &

G — -£4=0, F — -I)3 + u.Ei=0, E—-C, + ciD^ = E,. D — i-B, + c/.C, = D,

H U -fl H

mostrerebbero che E^ D, C, B^ debbono esser interi, e che percio non
potrebbe verificarsi la

&

C—- + c/.B, = C,.
n

2.° Se il fattore fosse

x' X -'.- &

*!

le equazioni

darebbero E^....B^ interi, e sarebbe impossibile la

3.* Se il fattore fosse

B^ — =.e,.

X X -\

VI ViVi

le equazioni

G— -i-£', = 0. F~^—D^-^-E.=:Q D — ^--B,-\--C\ — D,

mostrerebbero che E.^....B^ deggiono essere interi e multipli di >; >;, e
percio sarebbero impossibili le

C— .i-- + -5, = C,, B + — = B,.

1 90 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

Viene (l:> oio clio la ricorca (U-'i fallori a cocffiolenti razionali del po-
linomio ./ x' + tfx'"' + .... riducesi alia ricerca dei fallori a coel'fi-
cionti inleri di un allro polinomio, die lia il priino ooeCficicnle egiiale
ail unila e lili allri inleri. II iiiodo elie in praliea riuscira piu comodo
|)er (juesrulliina rieei'ca eoiisislera nel tro^are tutte le radici delFeqiia-
zioiie die si olliene ei-uagliando a zero il dato polinomio, poseia cer-
care se lali radici si possano conibinare inslemc in guisa chc e la loro
soiiinia e il loro prodollo sieno nuineri inleri . Percio quanlunque a
eoinpiinenlo della risolnzione delle eqnazioni nuineridie io qui csponga
due nielodi pei- tro\are i I'allori razionali del secondo grade, pure
liconosoo die lale ricerca era opporluna sollanU) (piando si conside-
ra\a come un' operazione dillicile la delerminazionc di lultc Ic radici
(li imcqiiazione.

8-5. Si polrebhe rilenere pel fallorc del secondo grado la I'ornia
.»:' — «x-j-/3, cssendo « /3 nuineri inleri; ma per meglio accordarmi
col mclodo csposlo nel § Mil prcferisco la forma (x — o)' + 6, es-
sendo a h numeri posili\i o negalivi. Per csser cerli chc essi sieno
inleri hisognera die nel polinomio x"+ Z?x '"' + ccc. B sia divisibile
|)er 2, C per >?, 1) per 8, ecc; se non lo fossero si ridurranno lali
passando dal pi'0|)osl() polinomio in .» a quello in 2,f. II ])olinoniio
in (x — a) da (J IJG) i due polinomii ausiliarii, die deggiono ambcdue
svanire quando vi si pone y = b. Sara facile vedere se cio sia possi-
liile. e nel caso conlrario avremo escluso il valore assunlo per a. Pei
fallori corrispondenli a b positive, il inelodo degli indici (§ 68) inse-
giia a rislringere semprc piu gli intervalli, nci quali deggiono cer-
carsi i valori d<'Ila r/; ma quel mclodo non indidierehbe dove si Iro-
\ino i fallori corrispondenli a b negalivo, e polrebbe lornar necessario
di tenlare un nuniero Iroppo grande di >alori di a: le seguenti con-
siderazioni serviranno ad esdudere la massima parle dei lenlalivi in-
utili.

U,;. Kisiilla evidenlemenle dal calcolo del 5 82 che fi = a^-\-b e
iin divisorc delFullimo lermine del proposlo j)olinomio; per la slessa
lagione siccome il jiolinomio in (x — /) avra il fallore

I »■ — /)' — Hit — i) {x — i)-\-{n — iV -I- /j ,

DEL PROF. (ilL'STO BELI.AVIJIS 1 9i

cosi il siio ultimo tcrminc sara divisibile per /' — '1 a i -\- <i' -h fj ■ noi
percio calcolercmo parecchi polinomil Iraslonnati in (x — /), e soeglie-
irnio qiu'lli i fui iilliiiii tciinini lianno |)oclii divisori; poscia corche-
leino (juali valori inlcri posilivi o iu'p;alivi di a c di b rendano cia-
scun ultimo terminc divisibile pel corrispondente /' — 2 a i -i-u' -hb .
Giova osservaie die per F assunta ipotcsi (i 84) inlorno ai eoei'ficicnli
//, C, .... anclie 11 polinomio in x : 2 avrebbc i coefficicnti interi, e
siccome esse avrebbe il faltore

x' X a' + b
— - — a — I ,

cosi a'-\-b dev'essere divisibile per ^i.

86. Esempio I. Sia proposto il polinomio

x'' — 9x^ + 33a' — (j9 x + 5G

Mutando x in z.'l lo Iraslormo iicirallro

s*— 18r'+132j:' — 552: + 896

e trovo gli ultinii termini dei suoi traslonnati in

(z-ii), (z-2). (c-3), (c-l);
) — 18 + 132 — 552 + 896

\

1 — 17 + 115-

-437 + 459

2

1 — 16 + 1 00 -

-352 + 192

3

1—15+ 87-

-291+ 23

4

1-14+ 76-

-248— 96

sifche

896 = 7.2', 459 = 3'.i7, 492 = 3. 2^ 23, 96 = 3.2'

dovranno essere rispellivamente divisibili per

«' + </. 1— 2n + a' + 6, 4 — 4a + a" + </, 9 — 6a + a' + /'y. 16 — 8a + f(' + 6;

risulta da cio clie i divisori tli tali nunieri dciigiono distribuirsi in
serie tali che le difl'erenze fra i tennini sutcessivi I'ormino la progres-
sione dei lunneri dispaii

....-5,-3,-1,1,3,5,7

Si noti clie i lennini in poslo pai'i deitiiiono essere tulti divisibili per 4,

192 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

dal die ne viene che qiiclli in posto dlspari se vengano divisi per 8
de^ono dare o tutli il residuo 1, o tulti il residue 3, o allernativa-
mente i residui 3 c 7. Per formarc lulte qiieste serie giovera sce-
gliere gli ullinii termini 439 e 23 che hanno il minor numero di divi-
sori, e tulti questi divisori presi tanto positivamente quanto negativa-
mente si combineranno a due a due, scegliendoli in guisa die soddisfac-
ciano alia predetta condizione; poscia si determinera il numero inter-
medio (die dev'esserc inultiplo di 4) e sara facile conlinuare la serie:
si do^^an poi cancellare in ogni serie quei niuiieri die non divideranno
esattamente gli ultimi termini 896, 192, ecc. ed escludere per con-
seguenza la serie relativa. Cosi per esempio i due divisori 1, 1 danno
il divisore intermedio zero, e tutta la serie e formata da

....4,1,0,1,4....

colle differenze

.... —3, —d, 1, 3 ... .

la qual serie deve escludersi perclie 0 non e divisore di 192; simil-
niente i divisori 9 — 25 danno V intermedio — 8 e formano la serie

.... 28, 9, —8, —23, —36 ....

colle differenze

— 19, —17, —15, —13 ....

die deve escludersi perclie 56 non e divisore di 96, ecc. ecc.

896 459 192 23 96

4

1

(0)

1

4

16

1

— 12

— 23

— 32

46

9

4

1

(0)

28

9

— 8

-23

-(36)

28

17

8

1

— 4

(40)

17

— 4

-23

153

(76)

1

(244)

153

64

— 23

— 4

3

12

23

(36)

3

(0)

— 1

32

27

24

23

24

(44)

27

12

— 1

51

(36)

23

(80)

51

24

— 1

459

(240)

23

459

(228)

— 1

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS

193

Rimangono non escluse le tre sole serie

16 1 —12 —23

la prima da

onde

la seconda da

e la lerza

■32; 28 17 8 1 —4; 32 27 24 23 24;

a' + 6 = 1 6 ,

«' + 6 = 2J

o' + 6=:32 ,

Per conoscere se alcuno dci

1 — ft + a' + 6 = 1 ,

4 = — 4 8 ;

(1 = 6.

n = 3,

6 = — i

:23

x' — ax +

■^x' — 8 a; +

■x' — 6 X + 7 ,

: X' — 3 X +

sia veramente un fattore del proposto polinoniio, rimarra da eseguire
la divisione, il che potra farsi coiralgoritmo dato al 5 82, come si
vede qui eseguilo relativaniente al fattore x' — 6 a + 7, che da il re-
siduo zero e per quoziente Taltro fattore x' — 3 x H- 8.

— 7

1—9 + 33 —

69 + 56

— 7 +

21 —56

+ 6 — 18 +

48

1—3+8

0 0

4

1—9+33— 69 + 56
— 4 + 4 — 84
+ 8— 8 + 168

1-1+21 + 103 — 38

Se invece si tentasse la divisione coll' altro trinomio x" — 8 x -h 4, si
otterrebbe il residuo 105 x — 38. Si riconosce anche piu speditamente
che x' — 8 X 4- 4 non e un fattore del proposto polinoniio. eseguendo
il calcolo da destra verso sinistra, ed arrestandosi quando si dovrebbe

III. 25

194 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

scI■i^ ere iin nuniero frazionario . .

4 —

9 + 33 —

69 +

56

—

43 —

56

+ 86 + 412

+

43

+ 14

0

0

Vale a dire lo zero delF ulliina colonna porta di necessita il — 36,
quindi -f-14 nclla colonna antipenulthna e +H2 nella penultima,
in cui a molivo della somma zero deve pure scriversi il — 43, dal
quale risulta il +45:4, che essendo frazionario inostra rinutilita di
proseguire il calcolo.

87. Del reslo pei polinomii del quarto grado si conosce un me-
todo diretto per decomporli in lattori del secondo grado ; noi lo ri-
portiamo perche in esso sla forse tutto cio che praticamenle giova
sapere intorno alFalgebraica risoluzione delle equazioni di grado non
superiore al quarlo. II polinomio

x'^ + Bx' + Cx' + Dx + E
puo sempre ridursi alia forma

(x' + -x + 2vY—\(iv-\ C)x' + (2£v — D)x + {iv' — E)l

2 I i J : :

e se si determinera 1' incognita v in guisa che

{iv' — E) {l6v + B'—iC) = {2Bv — D)'

il polinomio compreso tra le { } sara un quadrato perfetto. e quindi il
polinomio proposlo sara ridotto a

P'-Q' = {P+Q){P-Q)-
era I'equazione

(y4v^—l6Cv^ + {4BD—i6E)v — B'E+iCE—D'=:0

ammelte sempre almeno una radice reale col cui mezzo si elTettua la
desiderata decomposizione. Cosi ncl presente esempio avremo

r"— I8:'+ 132:'-552r + 896=^(:'— 9r + 2()'— {(4);— 51)i' +
+ (— 36 u + 552)1+ 4 1^ — 896}

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS I 95

e dovremo fare ;. • - ;

{«• — 224) (4i;— 51) = (9u— 138)' ' ^■' '■ ■ ' '-■

i;^ — 33 y'4-397i;— 1905 = 0 • . ■ . . - ■ ., ,

Di questa equazione noi cerchereino una radice inlera, giacche le ir-
lazionali non potrebbero dare alcun faltore razionale del polinomio
proposto: basla la semplice ispezione dei coefficienti per assicurarsi
che requazione non puo avere radici piccole; sicche piuttosto di fare
i calcoli colle cifre 1, 2, 5, ecc. sara meglio trovare Fequazione Iras-
formata in {v — 10), giacche cosi ci avvicineremo alia cercata radice,
6 diminuiremo 1' ultimo terminc e probabilmente anche il numero dei
suoi divisori e dei lentativi da farsi: lentercmo poscia inulilnienle la
cifra 1, cscludercmo le 2, 3, 4 perche non dividono il 25o, e la ci-
Ira 6 ci dara la cercata radice y = lo,

1 —33 + 397 —

1905

0

1—23 + 167 —
1—13+ 37
1— 3

235

1

5

1— 2 + 35 —

1 + 2 + 47

200
0

sicche il polinomio si decomporra nei due fattori

(r' — 9; + 30)±(3 = + 2).

88. Esempio II. Sia proposto il polinomio del '] 70 il quale can-
giato X in z : 2 diventa

z'^— 162^+108 2"— 41 6z'+ 1104 j'— 1984:+ 1792.

II suo ultimo termine e quelli dei suoi trasformati in

(z-l) (r-2) (=-3) (z-i)

sono

1792 = 2^7, 589 = 19.31, 192 = 2^3. 133=7.19, 256 = 2*. 597 = 3.199;

coi loro divisori si dovranno formare delle serie che abbiano per dif-

496 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

ferenze i termini della progressione .... — 3, — 1, 1, 3, i>, .... A tal
fine combineremo fra di loro i divisori dei numeri 389, 133 coH'av-
vertenza die se uno di essi diviso per 8 da il residue + 1 oppur
H-i>, lo stesso dev'essere anche deiraltro; che se invece uno da il
residue + 3, I'aliro deve dare il residue + 7. Da queste serie si esclu-
dono quelle che comprendono qualche nurnero che non e divisore dei
Irovati 1792, 192, ecc, come si vede nel seguente prospetto:

1792 589 192 133 256 597

(0)

28 19 12 7 4 3

- 8 (-1 3)

1

— 4

— 7

— 31

— 16

1

— 31

(- 20)

— 7

19

12

7

19

8

— 1

— 589

(—292)

7

— 589

(-296)

— 1

589

(360)

133

589

(284)

— 19

— 19

(56)

133

— 19

(- 20)

— 19

31

24

19

31

(- 52)

— 133

— 1

8

19

— 1

(- 68)

— 133

-8 (- 7)
(20)

16 (15)
32 (47)

sicche rimarra la sola progressione

28 19 12 7 4 3,

la quale da

«' + 6 = 28, 1— 2« + a" + 6=19

cioe

a = 5, 6 = 3 ;

quindi resfa da tenlare se il proposto polinomio abbia veramenle il
faltore

tt' + l)

■^x' — 5 x + 7

1

-8 + 27 — 52 + 69 — 62 + 28
— 7+21 — 35 + 42 — 28
+ 5 — 15 + 25 — 30 + 20

1

— 3 +

5 —

6 +

4 0

0

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS 197

Si trova che cio ha luogo e si oltienc I'altro fattore

89. Quest'iiltiino polinomio non puo ammettere altri falloi'i razio-
nali, ed infatti so lo scrivianio sollo la forma

f 3 u \'

V 2 2,

dovrenio fare

{u'—i6) (4 »— H) = (3((— 12)\

cioe

H^ — 5 »(* + 2 » + 8 = 0 ;

quest' equazione ha le radici intere 2, 4, — 1;

1—5+2+8

i

2

I _4_2+6
1_3— 4 0

2
4

1 — 1—2
1 + 1 0

— 1 U 0

la sola che renda posilivo il coefficiente (« — 11 : 4) di x' e la 4. ed
essa da al polinomio la forma

/ 3 \' 5

.x' — — X + 2 a- ,

V 2 / 4

la quale mostra che esso si decompone nei due fattori a coefficienti
irrazionali

3±(/5

a' x + 2 .

2

90. Per riconoscere direllamente se un dato polinomio, per esem-
pio quello dei § 5 70, 88

se''- 8x^ + 27 x'i- 52x^ + 69 x' — 62j" + 28

ammetta un fattore razionale x' — ax +3, essendo /3 un dato divi-
sore dell" ultimo termine 28, si operera come segue. (Pel caso che

i 98 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

invece fosse dato a. veggasi il § 84). Col date valore di — /3, per
esempio con — /3 = 2 e coi coefficienti del dato polinomio si calcoli
la seguente tabella

■1—8 + 27— 32+ 69- 62+ 2i
2

— 8+29-

68 + 127-

198 +

282

-8+3i-

84 + 189-

366

— 8 + 33 —

100 + 255

— 8 + 35 —

116

— 8 + 37

— 8

la quale e essenzialmente differente da quelle di cui finora si e par-
lato, poiche ogni numero e uguale a quelle die gli sta iminediala-
mente di sopra soniinato col prodotto della cifra 2 per il penultimo
sulla propria riga, cosi

— 100=:— 84 — 2 . 8, 255 = 189 + 2 . 33, ecc.

dopo cio il valore di « dovra soddisfare alle due equazioni

ct«_ 8 ct^ + 37 ct^ — 1 1 6 ci^ + 255 cc' — 366 :t + 282 = 0
ct' — 8ci''+35cc' — 100ci*+189c4 — 198 =0

i cui coefficienti sono gli ultimi ed i penullimi numeri della prece-
dente tabella. Moltiplicando la seconda per «, sottraendo dalla pri-
ma, e dividendo per la cifra 2 se ne deduce

ct^- 8ct'+33ct' — 84:t + 141 =0 ,. .

poscia ancora si Irova

ci^ — 8ct'+24ct— 99 =0

ed ancora

9 ct' + 1 5 ci + 1 4 1 = 0

Limitandosi alia ricerca delle radici intere e palese die queste equa-
zioni non lianno alcuna radice comune, e percio il proposto polino-
mio non ha alcun faltore della forma x' — *x — 2 .

DEL PROF, GIUSTO BELLAVITIS

Se per secondo esempio si cerchino i faltori dell a forma x' — u.x
si opereia colla cilia — ^ = — 7, e compiula la tabella

199
+ 7

— 8 + 27— 52+ 69— 62+ 28

— 8 + 20+ 4— 11— 90 + 525
-8 + 13+ 60 — 162-510

— 8+ 6 + U6 — 204

— 8— 1+172 .•--.:(;-,.=-,.

si avranno le due equazioni ' ' • .'

c."— 8 «= — 8 cc'i + 1 72 c4' — 20 4 c4' — 51 0 cc + 525 = 0
(/.'■■ — ia}— ct^+ 116:t'— 162ct — 90 =0

dalle (juali si ricavano successivamente le .

ci"— 8cc'+ 6cc'+ 60c(— 75 = 0

7cc'— 56c4'+ 87ci +90 =0

45ct'— 330ct + 525 = 0

Le radici intere comuni alle due ultime deggiono dividere esat-
famente tanto 90 quanto 325:13 = 33; percio rimangono da tenlare
i soli numeri 1 e 3

7 — 56+87 + 90

5 l7 — 21 — Ij

3 — 22 + 35
1 13-19 + 16
5 13— 7 0

II secondo soddisla ad ambedue le equazioni, quindi si ha il fattore
x' — 3 X + 7. ■

200 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIOiM

§ XI.

Decomposizione delle formule frazionarie

91. E una questione die dipende dalla risoluzione delle oqua-
zioni, e die con questa naturalinentc si coUega la decomposizione
delle funzioni algebraiche frazionarie; sembranii die il melodo piii
coniodo sia quello fondato sopra i principii affatlo elementari die ora
esporro come un'altra applicazione della disposizione di calcolo adope-
rata in questa Memoria. Proposla la formula N: />, dove N e D sono
polinomii della forma I x' -h B x'~' ~\- ec. (suppongo die il grado del
numeralore V sia inferiore a quello del denominalore Z>, pero i calcoli
seguenti varrebbero anche nel caso opposlo) ed avendo decomposlo
il denominalore D nei due fattori reali F />, mi propongo da prima
di eseguire la decomposizione

N _ A iV,
a lal fine io pongo

(1) D = FD,, (2) Z?,=Fd, + S,, (3) N=^Fn + v

dove />, (/, g, n v saranno nuovi polinomii interi dei quali S, v , che
sono i residui della divisione di D e di N per F, saranno di grado
inferiore ad F; falle le sostituzioni nella

avremo

F,i + v = ./F(l,+./l,+FiV.

percio se ?>, non sia iiullo, poslo / = i/:>, avremo

I'rf, iV I' iV,

(4)u — -— =:iV, (a) -= H .

S, D l.F D,

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 204

Che se ^, sia nullo, cioe se />, sia divisibile per F., in luogo delle
precedenti equazioni stabilirenio le

(I) D = FD,=F'D^.... = F'D,

essendo Z>, un polinomio non piij divisibile per F,

(II) D, = Fd, + l, (III) N=Fn-\-v

e Tequazione

Fn+v=AFd, + Al, + FN^

reslera soddisfatta ponendo

J = -:r

dopo di che sara

(IV) a ^ = .V.

N V N,

(A) — = -;^ 1

D l,F- D.

Operando sulla iV_ : D, come si fece sulla N : D vedremo che se si
pongano le

(III) iV, = F«, + i',, N,=^Fn^ + v,, ■■■■N,_,=Fn,_,-hv,_,

si avra lo sviluppo

N V V, /-' iv;

(B) -= h .... + 1 .

D S,/" S.F'-' •g.F D.

92. Se ?, sia una quantita puramente numerica, il che avverra sem-
pre quando F sia del primo grado, la forma della (A.) o della (B)
sara precisamente quella in cui si brama avere lo sviluppo; ma se
il lattore F sia del secondo grado, e se l, contenga la x noi porremo

(V) F=l,f + (p. (VI) v = l,m+iJ.

III. - 26

202 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

dove f sara un binoinio del primo grado, ed ju, fJ-. (p saranno quan-
lila numeriche: dopo cio Tequazione

potra scriversi sollo la forma

f(ii+^\-\- m l,— -fl, = Jl, + F{J d. + 1\, )

e si deconiporra nelle due

(VII) n + ^ — ( m — ^f)d, = iY,
<p \ <p /

ed in luogo della (A) avreino la

TV m q) — /Jt.f N,
D~ <pF' D/

E se vorremo continuare a decomporre V : Z). , porreino

(111') ]S,^Fn, + v,, ■■■■ K^,=Fn,_, + v._,

(VI') i', = ?H, B, + /W, , v^ — l,m,+ij.,, ■••!',_, = B,»«,_, +//,_,

(VIL) », + — -fw,- — AV/.^^iV,, . ..n,_, 4--^^-f;/' _ --^^^^^=^/"V', = A'.

qt \ <p J (p\ <P '

ed avremo

N tn<T)—af m,(D — u,f m.m — u,/" m^ ,0—u,, ,/ ^V,

D (pF' (pF'-' cpF'-' <pF D,

yuesta trasformazione non vale quando <P = 0, nel qual caso Z>, e
ancora divisibile per 8. che e un fattore di F.

95. Ecco tiunque come si procedera per decomporre la Irazione IS : D\
trovati tutti i iatlori reali del primo o del secondo grado nei quali
si decompone il denominatore Z>, per un gruppo F' di fattori uguali
si calcolino le formula

(I) D=^FD, = F'D,....=F'D,, (II) D, = Fd, + l,
(III) N=^Fn + v (IV) n d^^N,

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS 203

e se i sia maggiore deirunita, anche le analoghe (III) (IV), poscia
nel caso che B, sia un numero, si avra lo sviluppo

Che se S, sia un binomio del priino grado (il che potra av venire
quando F sia del secondo) bisognera calcolare invece della (I\ ) le

(V) F=lj+<p, (VI) !' = g.m-+-a, (VII) n + - — ( m — - f]<l= N,

6 poscia se i ^ 1 le analoghe (HI), (VI), (VII), e si avra

(C) - = — - — !-^...+ — — ^--ii + — L.

D (pF' (pF D,

Rispetto agli allri fatlori contenuti in Z>, sara gencralmente piu co-
modo di pi'ocedere nello stesso modo alia decomposizione della -V: A,
ma si potrebbe anche riprendere il calcolo operando sulla propo-
sta N:D.

94. Sia proposta per primo esempio da deconiporre la I'ormula

iV 2*"* — 20a;'+55x'— 40x — 13

D x^— 12x-' + 52x^ — I06a:' + I23x— 90

avendo trovato che il denominatore ha il fatlore F=x — 5, noi lo
divideremo due volte per x — 3, e cio medianle il solito algoritino
relalivo alia cifra 3; e siccome anche la seconda volta si ha un re-
sidue nullo, cosi lo divideremo una terza volta, e chiameremo f/. il
quoziente, e §, il residuo. Similmente divideremo V, ed avremo il quo-
zienle n ed il residuo ;'; poscia calcoleremo

iV. = (I — — d, ,
I,

che diviso per F dara il quoziente /;. ed il residuo •'.; finalmente
calcoleremo

204

SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

1 x^ — 12x'*+ 52x^ — J06a;'' + 123x — 90 =Z7

3

Ix''— 9x' + 25x'— 3i X 4- 30

0 =D

3

Ix^— 6x'+7x— 10 0

= ^,

3

Ix'— 3x— 2 =rf,, — 16 =

= ^.

2x'*— 20x'+55x'— 40x— 13 = i\

3 |2x^— 14x'+13x — 1=3«, — 16 = :'

rf, = 2 x^ — 1 5 X' + 1 6 X + 1

' 3 2x'— 9x — 11 —n,
-^d, = ' — 3x — 7

■32 = 1'.

e cosi avrcmo per la (B) del § 93

N

1 2

+

3x + 7

D (x— 3)* X — 3 x^ — 6x'4-7x — 10

Per decomporre la nuova frazione

— 3x — 7

N

D x' — 6 x' + 7 X — 1 0

considereremo il fattore F=x — 6 del denominatore , ed operando
nel modo solito avremo

1 x'— 6x'+7x — 10 =D

5

1 x'— 1 X + 2 0 =Z>,

5

Ix 4-4:=d., 22 = g,

— 3x-7 =iV

5 —3 =», — 22 = 1*

quindi

»i — — d, = 1 X + 1 =N,

0,

— 3x— 7 —1

X + 1

x^— 6x''+7x — 10

X — 5 x' — x + 2

Se dalla formula proposta si avesse voluto dedurre immediala-
mente la frazione die corrisponde al fattore F^=x' — ac4-2, fatti i
seguenti calcoli dipendenti dalle (I) (II) (III), e nei cjuali le division!

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

205

per F=x' — x-i-2 si eseguirono nel modo gia indicato al ^ 82 me-
diante le due cifre 1, — 2

icc^—l2jc^ + b2cc^—iO(}x'+i23oc — 90=D
— 2 +22 — 78 +90
+ 1—11+39—45

1 J-'— 11 0''+ 39 a: — 45
— 2 +20
+ 1 —10

0 0 =D.

1 jc —iO=d„27 jr — 25=S,

2oc^—20jc' + 55a:'—^0x — i3 =N

— 2

— 4 +36 —66
+ 2 —18 +33

2a:'— 18a; +33:=n,29j — 79 =v

poscia, osservando che il residuo I, contiene x, vedremo die si deg-

(V) F=/-§,+(p (VI) v^%,m + ij.,

giono calcolare le

1 a:' — 1 a: + 2
25 50

27 729

= F

di^^so^e

1 2

27 "^ 729 ~

1408

27a- — 25

729

29a- — 79 =v

725

+

27

divisore

29 1408

27a- — 25

27 27

poscia

m f—x + i

fJ- / »! \ C 2 T-'- 18a- + 33 — 27)

(p V (pV ' i-.c'+ 9a; + 10 S

206

e quindi

SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

+ 1

■9.r-i 16

r' — a- + 2

'—11 j-' + 39.c— 45

9ij. Eseinpio 11. Sia proposta la

JV .r'+200

• 36. 7' + 300 X — 1800

Bisognera da prima decomporrc in fattori il denominatore. A tal fine
cominciando colla cifra 10 forino la prima labella

1 —36 + 300 — 1800
10 ll— 26+ 40 — 1400
1—16 — 120
1 — 6

cosi sono sparite due variazioni di segno; ma adoperando il nostro
crilerio vedremo che niuna radice e compresa Ira 0 ed 1 nelFequa-
zione che ha i coefficienti 1 — 3, G + 3 — 1, 8. Infatti nella seconda
riga di

1 —3,6 + 3 1,8
1 j + 1,4 + 2,4 — 1,2 + 1,8 0

della quale I ultimo tei-mine e zero, gli allri sono tutti dello stesso se-
gno tranne il solo — 1,2 che e seguito da uno di maggior valore.
Continuando adesso il calcolo coi coefficienti trovati nella prima tabella
avremo colla cifra 10, poscia successivamenle colle cifre 7, 4', ecc.

6 — 120 — 1400

10

6"

1+ 4— 80 — 2200
1 + 14 + 60
1 +24
1+31+277— 261..

1 +38 + 543.
1 +45

0.1 +45,4 + 5611,6
0.1 +45.8 + 579,4,8
0.1+46.2

— 3654

+ 0.46+ 582,2
+ 0.46+ 58,5,0

— 161

58,5

— 44

5,9

— 3

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 207

e Iroveremo che il denomlnalore ha I'unico fattore del priino grado
F=x — 27,465: la divisione di D per questo fattore (eseguila ado-
perando 27,463 come abbiamo seinpre fatto per una sola cifra, ma
scrivendo i prodotti che furono calcolati separalamente e che deg-
giono poscia sottrarsi) ci servira per verificazione del fatto calcolo; ri-
peteremo la divisione per ottenere d, e S_, divideremo anche V, ecc.

Ij-^ — 36 a-' +300 .r —1800
+ 27,463 —234,452 + 1800,15

= £>

27,463

1 y— 8,537 J- + 65,548 0
+ 27,463 +519,75

= />.

27,463

1 a- +18,926=d,, 585,30=>j,

27,463

ice' +200 =IV
+ 27,463 +754,21

|l X +27,463 = n, 954,21 = 1'

1, 6317^ + 30, 882=-rf,

0,

)( — -(/,=— 0,6317 J-— 3,419=i\^.

0,

e finalmente (ommettendo le ultime cifre sulle quali poco si puo con-
tare) avremo

A' 1.632 0,632 .r + 3,42

D .,—27,463 a' — 8,537x + 65,55

{PreseiUata U 31 Mafzo e 29 Dicembre 1845)

IVOTE

Nota I. al § 4 4. II calcolo esposto nel § 44 e conforme alle operazioni arilmetiche, nelle
quali non si calcolano se non se cifre positive; ma se non si abbia difficolta ad adoperare anohe
cifre negative (§11) i calcoli si renderanno piu faeili,perehe ai 9 si sostituiranno altrettanli 0,
e perche le mollipliehe si faranno quasi seinpre colle cifre piu piceole i, 2, 3, 4. 5. Cosi nel-
Tesenipio succitalo si comincera colla eifra 2, - .

1

— 15 + 68 —

83

1

— d3 + 42 +

— H +20

— 9

1

e scorgendo che I'ultimo termine — 83 cangio di segno divenendo +J, si rilevera che si e
aliun poco oltrepassata una radice (§ I 9), per lo che bisognera adoperare una eifra negativa.
I foeffieienti i — 90 + 2000 + i 000 niostrano che la eifra — I' sarebbe troppo grande, per-
cio moltiplicheremo di nuovo per la progressione decupla, ed adoperando la eifra — 5", che e
quella che rende piii piccolo rultinio termine —22625 della prima riga, otterremo i eoeffi-
cienti 1—945 + 209075 — 22625. Se non occorra spingere I'approssimazione mollo innanzi
moltiplicheremo questi coefficienti per la progressione 0,001 0,01 0,1 1

1-900 +200000 +1000000

5"

1-905 +204525 —
1 —910 +209075
1—915

22625

1'"

,001 —9,15 + 20898,4 —
-9,15 + 20889,2

1727

8'
3"
3"^'

+ 208,9 —
+ 20,9 +
+ 2,1 +

56
1

e continueremo nel modo solito; sicche poscia raceogliendo le trovate cifre a\remo
x=: 2, 001 0830 — 0.0500003 = 1,9510827 .
III. 27

■no

SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

Nota IL al § 54. Perehe il It-ttore possa facilmente giudicarc se il inetodo csposto nel § 5
sia preferibile a quelle del Graffe io tolgo un esenipio dalla Menioria nella quale I'Eiicke esposse
questo ultimo inetodo {Jour fiir die MntUemntik von Crelle f'ol XXII -1841).

L'equazione e

k' — • 2 x' — 3 t' — 5 x = — 4 on' — 6

facendo i quadrat! dei due membri TEncke ottiene Tequazione in (ac')

x''' — 2 x'° + 29 x^ — 2B x" — i X''' — 2 x^ — I i x'' + B6 ,

e nuovamente elevando i due nienihri alia seeonda potenza ottiene l'equazione in {xr'); da que-
sto punto egli continua il caleolo col mezzo dei logaritmi a 5 deeimali adoperando la tavoletta
del Gauss, e cosi giunge alia ottava trasformata in {x'^^) , la quale gli da per la radice piii pic-
cola il logaritrao 0,044541 ed il valore t, 10800. Per ottenere una maggior approssimaziono
I'autore adopera il metodo del Newton, vale a dire sostituisce il trovato valore tanto nell'equa-
zione quanto nella sua derivata, e trova t,t080J66; cd adoperando i logaritmi a 7 deeimali
non si potrebbe spingere I'approssimazione piu oltre.

Da questi cenni puo raccogliersi quanto lunghi sieno i calcoli richiesti dal metodo del Graffe:
ecco il dettaglio di quelli che ci saranno suflicienti a delerminare la piu piccola radice positiva
spingendo I'approssimazione fino a che I'indeeisione sia di appena una unita della settima deci-
male. —Caleolo della trasformata in (x — 1)

i +0— 2— 0— 3 + 4-

-5 + 6

l +\— I— 1 — 4 — 0-

-5 + 1

t +2 + I + 0— 4 — 4-

-9

1+3+ 4+ 4+ 0 — 4

1+4+ 8 + 12 + 12

1+5 + 13 + 25

1+6 + 19

1+7

Sono sparite due variazioni, ed il nostro criterio (§ 34)

1+0—2—0—3+4—5+6
1 1 — 1—0 — 0 — 2 — 2 — 5 — 1—6 0

mostra che 1' e(|uazione non puo avere radici da 0 ad I ; essa ha percio un valor critico coni-
preso in questo intervallo, oltre I'altro valor crilico =0. La piccolezza dell'ultimo termine + 1
c' induce ad adoperare una piccola cifra di decimi

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

2H

i +70 + 1900 + 25000 + 120000 — 400000-

-9000000 + 10000000

1+71+1971+2 6971 + 146971 —2 53029-

-9253029+ 746971

1+72 + 2043 + 29014 + 175985— 77044-

-9330073

1 +73 + 2116 + 31130 + 207115 +130071

1 +74 + 2190 + 33320 + 240435

1+75 + 2265 + 35585

1+76 + 2341

1 +77

la cifra dei centesimi e evidentemente nulla; passeremo percio ai millesiini

0,0004 + 0,240 + 13,01 —93300,7 + 746971

,0004+ ,243+14,95-93181,1
+ ,246 + 16,92 — 93045,7

1522

— 930,5

+

592

— 93

+

34

— 9,3

—

3

1

6"

4'"

e cosi avremo trovato il valore x— 1,1080164 che meglio di quello dell'Encke si avvicina
al vero 1.1080163595....

Nota III. al § 70. Quando si sono trovati due valori abbastanza approssimati di a e di 6,
sicche si abbia aU'incirea x — a + (/( — b), il Legendre suggerisce di calcolare le correzioni da
farsi ad n e 6 con una regola analoga aU'approssimazione Newtoniana, cioe col sostituire il predetto
valore approssimato di x tanto nel polinomio che eostituisee il primo membro dell' equazione
quunto nel suo derivato, e dividere il primo risultamento pel secondo: ora il nostro calcolo da
toil tutta facilita tali risultauienti. poiche si dimostra che se sieno D F i due ultimi coefficienti
del primo polinomio ausiliario trasformato in {/ — b), ed E G i due ultimi coeflicienti del .se-
condo polinomio ausiliario pure trasformato in {ij — 6), il primo risultamento e Fi/( — b) + G
ed il secondo e — 2 Ey { — b) + 2 bD + F, e percio il valore corretto di x sara

x = a + ^(—b) +

F^(—b) + G

2EV'(—b)—2bD—F

Cosi nell'esempio del § 70 per a ==0,2 6=: 2 si trovo

Z)=6,24, F=— 0,158, £==22,736, G=1.0567

quindi piio )>rendersi come valore approssimato di x
— 0,158 |/(—2)+l,0567

0,2 +1/ (_2) +

= 0,2 + t/(— 2)+-

45,472|/(— 2)— 24,96+0,158

= 0,191 +0,99l/(— 2) = 0,191 +/(— 1,96).

41 — 44/(— 2)
4746 "

212 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

Poscia per a = 0A9 6 = 1,958 si (rova

/>=7,366, F=0,001, £=24,910. G = — 0,148
percio

0,001 (/(— 1.958) —0,148

j; = 0,19 + /(— 1.958)H ; ■ ■ = 0,1 9095 + /(— 1 .96 355),

43, 82/{— 1.958) —28,846

che poco si scosta da! vero valore r = 0,1 90983 + (/(— 1 ,963526) .

Nota IV. Uso delta risoluzione delle equazioni nell' interpolazione e nella ricerca delle ra-
dici di altre equazioni .

lo credo che, per quanto elevalo sia il grado delle equazioni, il inetodo meno laborioso per
risolverle sia quelle che abbiamo esposto nel § 5, e che le tavole logaritiniche o trigonometrielie
non possano riuscire di alcun vantaggio; pure se I'equazione niancasse di un gran nuniero dei
suoi termini non sarebbe opportuno di toglicrle la sua semplicita passando alle solite trasfor-
niate; sicche in tal case riesce pii'i eoniodo I'uso delle false posizioni. La correzione da farsi ad
una falsa posizione puo desumersi dal nietodo del Newton, sostituendo il supposto valore anche
nella derivata della proposta equazione, ma e piii semplice servirsi della regola di doppia falsa
posizione, che pel grado d'approssimazione corrisponde col metodo Newtouiano. Inoltre se si fac-
ciano fin da principio piii di due false posizioni si ha il vantaggio di operare sopra numeri molto
semplici, e si scorgono facilmente anche due o piu radici uguali o vicinissime, le quali potreb-
bero sfuggire ove si adoperassero i precedent! metodi fondati suU' approssimazione iincare. A
tal fine si attribuiscano successivamente air incognita alquanti valori presi in progressione arit-
metica e non molto discosti dalla cercata radice, si calcolino i corrispondenti valori del prinio
membro dell'equazione, poscia coll' interpolazione si determini il valore dell' incognita corrispon-
dente al dato valore del seeondo membro. Molte formule furono suggerite per 1' interpolazione;
la piu comoda sembrami la seguente

/ A" A"' A" A' \

y—ijc-^^ti^'—- H ^ ecc. +

\2345 /

/A" . 3A'" 11 A" 50A' 274 A" \

+ «' 1 1 ecc. +

V 2 6 24 120 720 /

\ 6

6 A" 35 A^ 225 A"
+

24 120 720 /

/A" 10 A' 85 A'' \

' — ■ 1 ecc. ) +

\24 120 720 /

./ A' 15 A" \ / A" N

' + ecc. + Z'' ( ecc.

Vl20 720 / \720 /

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

213

dove t prende per le successive supposizioni i valori 0, d, 2, 3, ecc. ; i/o e il valore del prinio
inembro corrispondente a < = 0; A', A", A'", .... sono le differenze prima, seconda, ecc. di
tali valori. Finche la risoluzione delle equazioni si considerava come una ricerca difficile, la pre-
cedente formula poteva sembrare affatto inopportuna a trovare t conoseendo y; ma invece cio
.si riduce ad un'operazione spedilissima. Trovato il valore di t si avra immediatamente quello
dfir incognita x, giacche le primitive posizioni si presero in progressione arilmetica: se cio non
fosse, si adoprerebbe una formula d' interpolazione simile alia precedente,

Sia proposta da risolvere I' equazione x' — Sx'' — 6 =: 0 tolta dalla Memoria citata nella
Nota II,; vedremo intanto ehe essa ha una sola variazionc di segno, e ehe mutando x in — x
non ha alcuna variazione: perloehe conchiuderemo (§ 39) ehe 0 e un valor critico triplo. e ehe
I'cquazione amniette una radiee positiva e nessuna negativa. Ponendo suecessivamente x = l,4
ed x=: 1,7 si vede ehe una radiee e compresa fra taU valori; si facciano anche le posizioni in-
termedie e si formi la tavoletta dei corrispoudenti valori di y^^x' — 3 x'* — 6 e delle loro dif-
ferenze

A"

A"'

0

1,4

— 6,9835

1

1,5

— 4,1016

2

1,6

+ 1,1827

3

1,7

+ 9,9776

2,8819
5.2843
8,7949

2,4024
3,5106

.1082

posfia ponendo nella precedente formula d' interpolazione

y — Q, ?/, = — 69835, A'=28819. A" = 24024. A"'=z:11082

si a\ra I'equazione

1847 l^+ 6471 (' + 20501 « — 69835 = 0
i

1847

+ 8318

+ 28819

— 41016

+ 10165

+ 38984

+ 12012

1,847

+ 134.90

+ 4977,6

— 1195

+ 149,68

+ 6175,0

+ 164.46

0,001

+ 1.64

+ 619,1
+ 620,7

— 576

+ 62,1

- 17

1"

9"'

ehe col calcolo soprascritto da <=1,819 e percio x = 1,581 9, valore esatto fino all' ultima
decimate, quantunque i valori di A' e A" fossero tutt'altro ehe piccoli. — Essendo molto giove-
vole assicurarsi dell'esatlezza dei calcoli ehe si vanno facendo (§ 9) noi non tralascieremo di no-
tare ehe dee osservarsi se a t=i{ corrisponda lo stesso valore — 41016 tanlo nella tavoletta
quanto nella successiva tabella di calcolo, poiche se cio non fosse sarebbe occorso qualche er-
rore nella determinazione dei coefficienti dell'equazione in t.

214 SULLA RISOLUZIOiXE DELLE EQUAZIONI

L'elevare alle poteuze quarta e settiiiia i nunieri ■1,4, i, 5, ecc. e eosa molto spedita, ma
se si prefcrisca adoperare i logaritmi giovera assuniere per posizioni primitive non x=l,i ecc,
ma piuttosto logo;— 0,18, —0,19, =:0,20, =0,21, e determinando i corrispondenti
valori di 2/=:log(x' — 3x^) si trovera mediante la predetta regola d'interpolazione che ad
i/ = log6 corrisponde log a; = 0,1 991 6. — Perallro quando si voglia adoperare le tavole lo-
garitmidie giova profittare delle differenze che in esse si trovano per eseguire Tapprossimazione
Newtoniana mollo speditamente e senza bisogno del caleolo differenziale. Questo metodo, che
puo riuseire vantaggioso in moUissimi easi, consiste nei calcolare i valori dei termini dell'equa-
zione corrispondenti ad un dato valore dell' incognita, e nello stesso tempo tener conto degli ac-
crescimcnti che sol'frirebboro tali termini per un dato aecrescimento dell' incognita stessa. Cio
s'intendera meglio nei seguenti esempii .

Se logx' = 0, 18000 si ha Iog(3c")= 1 ,26000, a;'=d8,197, ed iin piccolo aecresci-
mento cJ nei valore di log x , e percio 7 <* nei log x', produce I'accrescimento 7000ci:24=:
= 296c4 nei valore di x' (giacche la tavola dei logaritmi mostra che la differenza 0,0002 4
nei logaritmo produce la differenza 0,01 nei numero); inoltre log(3 x'*)= 1,1 971 2, 3x''=:
= 15,744 e I'accrescimento 4 ct nei log (3 x'') produce Taeerescimento 4000cC:28 = 143c4
nei valore di 3x''; viene da cio che x' — 3x'' — 6=— 3,547, e che dividendo tal numero
per 296 — 143=:153 si avra — 0,023 per I'errore approssimato da togliersi dal logx;
sicche si avra per seconda posizione log x^O, 20300, e ben presto si giungera al valore esatto.

II presente metodo offre una brevissima risoluzione delle equazioni algebraiche trinomie ado-
[lerando la tavola del Gauss, che da it logaritmo della somma di due numeri, dei quali si cono-
scano i logaritmi. A tal uopo mediante la trasposizione dei termini si tolga aU'equazione trino-
niia ogni segno — , e dei due termini che debbono sommarsi uno si riduea all'unita; cosi per
esempio la precedente equazione si scrivera sotto la forma ^ x*" + 1 = x' : 6 : e nolo che se
si ponga log 7-^'' = ^ la tavola del Gauss da il valore di C = log(^ ■»'' + 1); bisogna dun-
(jue trovare tal valore di A che il corrispondente C sia eguale al log. del sccondo membro x" ; 6 .
Ura e paiese che se .4 aumenta della quantita a, il logaritmo del secondo membro aumenia di
7 ci : 4 , mentre il valore di C cresce di una certa frazione di c, che e data approssimatamente
dalla differenza dei successivi valori di C quale si trova nella tavola del Gauss ; cosi ci sara fa-
cile scorgere qual correzione a. debba farsi al valore di ./. Ecco il dettaglio del caleolo, nei quale
(come sara sempre opportuno) si scelso per prima posizione .^ = 0,000, e quindi log r =
= 0,07525- e 7 logx — log 6 = 9,74865

A

C lo

g. 2''.menib.

Differenza

:(0,50 —

7 )

Errore di /

0.000

0,30103

9,74865

,55238

= — 0,44

0,440

0,57452

0,51865

,05587

:{ ,73 —

1,75)

= — 0,055

0,496

0,61630

0.61665

— .00035

:( ,76-^

1,75)

= 0,00035

0,49565

0,61603

0,61604

— .00001

:( ,76-1

1,75)

= 0,00001

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

215

pel' la seconda correzione si prese 0,056 anziche 0,055. giacche il primo numero essendo
di\isibile per 4 da speditamente la eorrezione 0,098 da farsi al log. del secondo niemliro. Dal
trovato ^=0,49564 si deduce logx = 0,1 991 7.

Daremo un altro esempio che presenta qualche maggior difficolta. Si CLrehino le radici dcl-
I'equazione 10°''"'°x'+ 1 ==x'; per la radice positiva cominccrenio poncndo, al solito, A = 0.
percio IogJi== — 0,09903-^, e farenio le seguenti supposizioni

A

C

log

a.^menil).

Differenza

:(0,50 — ^ )

Errore di -•/

0,000

0,30103

—

0,69323

,99426

= — 0,543

0,540

0.65005

0,56677

,08328

:( .78 — 2,33)

= — 0,054

0.594

0,69253

0,69277

— .00024

:( ,80 — 2,33)

= 0,00016

0,59384

0,69240

0,69240

quindi avremo log x= 0,09891 . — Le radici negative della precedente equazionc sono le po-
sitive della x" + 1 ^ 10°''5"'°x^; coniinciando coil .:/=7 1ogx = 0 trovereino che ^ dev'es-
ser negativa, ed infatii e facile eonvincersi che se A aunientasse di cc il log. del secondo mem-
bro aunientando di -^ ci non potrebbe giammai raggiungere il valorc di C, il quale aunienta
piu rapidamente. £ poi nolo che nella tavola del Gauss quando ..'/ e negativa dee prendersi il
valore di B in luogo di quello di C\ eosi faremo le seguenti posizioni

B log. 2.°menib. Differenza

0,000

— 0,056

— 0,077

— 0,084

— 0,082

0,30103 0,29710

0,27393 0.27310

0,26423 0,26410

0,26106 0,26110

0,26196 0,26196

.00393

,00083

,00013

— .00004

Errore di A

(0,50 — 4 ) =0.056

( ,47 — ,43) =0,021

( ,45 — ,43) = 0.0065

( ,45 — .43) = 0,002

ed avremo Iogx = — 0,01 1 71 . — Ora i segni della proposia equazione x"— 1.982 x' + l =0
niostrano che essa o non ha alcana radice positi\a o ne ha due; ci riraane dunque da cercare
un'altra radice. Pei principii del calcolo differenziale le due radici riinarranno separate da quel
>alore di A che rende cguali gli aumenti del log. secondo menibro, e del C, oppur B, corri-
spondente ad A\ nel nostro caso I'aumento del secondo membro e 4-^0,43, e la tavola del
Gauss mostra che tal differenza nei valori di B corrisponde ad A=^ — 0,125. Abbiamo tro-
vata una radice corrispondente ad A = — 0.082 > — 0.125, I'altra corrispondera per con-
seguenza ad A <^ — 0,125; noi la cercherenio continuando la precedente tavoletta con A^
= —0,210

216 SULLA RISOLUZIOi\E DELLE EQUAZIOiNI

A B log. •2.''memb. Differenza Errore di A

— 0,210 0,20860 0,20710 ,00150 :(,38 — ,43) =—0,030

— 0,175 0,22229 0,22210 ,00019 :(,40 — ,43) = — 0,0063

— 0,168 0,22510 0,22510

ed otterremo logx = — 0,02400. - ' • '

Per le equazioni trinomie non solo si possono trovare con somma facilita le radici reali. ma
eziandio le iminaginarie adoperando le tavole trigonometriche. Infatti, come ha gia osservato il
Legeiidre, se neirequazione trinomia a x" + * a" + c = 0 si pone jc=^r%^, essendo t =: e ' ~' .
daU'equazione a r" £"■'+ 6 c" t"'^ + c = 0 e dalla sua coniugata ar'" t~'"* + 6 i" 1""*^ + t:=0
si deducono le

csen(w^) c sen (wo;)

a sen (w- If) (p 6sen(»! — »*) <P

die conil)inate insieme danno

sen"'(m(5) ( — 6)"

sen" (n (p) sen"""" (hj — n)(() a" c"'~"

colla qual equazione si trovano i valori deU'angQlo (p .

Sia proposta per esenipio I'equazione or' 4- 3 j-"" + 6 = 0 ; avremo

7 log (—sen 7 (p)— 4 log sen 4 (p — 3 log sen 3 (p= 7 log 3 — 3 log 6 = 1,0053950

Osservando ehe dev' essere o negativo il sen 7 (p e positivi i due sen 4 (p sen 3 <p , oppuic
negativi quest! due ultimi e positivo il primo, riconosceremo die un valore di tp e conipreso
tra 0,286 e 0,5, uno tra 0,667 e 0,858, ed uno tra 1,43 e 1,5 (I'unita essendo I'angolo
retto). Prendiamo a determinare il secondo valore di (p. Se la tavola trigonometrica conlenesse
i log. seni di grado in grado eentesimale, si sostituirebbero nella precedente equazione i valori
(p = 0,72, =0,73, =0,74, =0,75, =0,76,

e per eseguire 1' interpolazione si risolverebbe un' equazione del quarto grado e si troverebbe
(p^ 0,7501 88. Che se invece si abbia una tavola completa dei log. seni sara piii coniodo ado-
perare anziche il metodo d' interpolazione quello fondato sull'uso delle differenze, cioe nello stosso
tempo che si calcoleranno i termini dell'equazione

7 log sen 7 (p— 4 log (—sen 4 (p) — 3 log (— sen 3 ip) — 1,0053950 = 0 ,

si terra cento degli accrescimenti ch'essi subirebbero per un piccolo accreseiniento di (p . Coniin-
ciando con (p = 0.72 avremo log sen 5.0400 = 9.9991 422, e la sua differenza corrispon-
dente aU'accrcscimento 0.000 1 e —0,00000 43; percio se (p cresce di ct, log sen 7 (p ere-

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 217

see di — 0,301 :C, e 7 1ogseii7<p cresce dl — 2,H ct. Simili considerazioni si facciano per
log( — sen 2, 8800) = 9, 9922385 e per la sua differenza +0,0000130, nonche per log
(—sen. 2, 1600)=:9, 3956581 e per la sua differenza +0,0002656, e col seguente calcolo
si vedra ehe il primo meniljro dell'equazione risulta 0,8326721 anziche 0, e ehe dividendo
tal errore per — 28,09 si avra approssiniatamente I'errore — 0,0296 da togliersi da! suppo-
sto <p — 0,72.

!/^=:0,72

7(p=5,04 9,9939954 — 2,11

4(p = 2,88 —9,9689540 — 2.08

3? = 2,16 —8,1869743 —23,90
— 1.0053950

+ 0,8326721 : —28,09 = — 0.0296

(p = 0,7496
71 = 5,2472 9,7648112 —13,67
4 7 = 2,9984 —9,9999944 — 0,03
3;p = 2,2488 —8,7425740 —14,90
— 1,0053950

+ 0,0168478 : —28,60 = — 0,000589

Colla seconda posizione si giunse in simil modo a p = 0, 750189 " .

ehe pochissimo differisee da! valore esatto i:p = 0,750188....

Abbiamo veduto ehe la risoluzione delle equazioni algebraiche puo utilmente adoperarsi nel-
I'interpolazione, e cosi servire alia risoluzione di aJcune speeiaU equazioni algebraiche o trascen-
denti: anche in altro modo mediante la risoluzione di equazioni di grado poco elevato si puo
trovare una radice di qualche equazione trascendenle, quando si conosca un valore approssi-
nialo di lal radice. A tal fine sviluppando il prime membro della proposta equazione si riten-
gano i termini ehe contengono le prime potenze dell' incognita, e nel modo solito si cerchi la
pill piccola radice di tal equazione ausiliaria, avvertendo di correggere gli ultimi termini delle
successi\e trasformate in modo ehe essi sieno i valori appartenenti al primo membro della pro-
posta equazione, anziche dell'ausiliaria ad essa sostituita.

Serva di esempio I'equazione z'=100: essendo palese ehe essa e soddisfatta da un valore
alquanto inferiore a 4 si ponga s=4 — j-, pereio (4 — j)Log(4— x) — Log 100 = 0 (dove
Log. segna i logaritmi iperbolici). Sviluppando in serie il primo membro di tal equazione si ot-
tiene il primo membro cU un'equazione ausiliaria del terzo grado, il quale moltiplicato per 32 e

a;^ + 4a-' — 76,361420 x + 30,080232

III. 28

218 SULLA RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI

che col solito inelodo da

i +40 — 7636, U + 30080,23 2

4'

1+44 — 7460,14+ 239,672

1 + 48 — 7268,14

1+52

5,2 — 72665,8 +
5,2 — 72650,2

21675

sicche e approssiraatamente j- = 0,403. Ora sostituendo questo valore nelia proposta equa-
zione si trova

32 X 3,597Log3,597 — 32Logl00 = — 0,020796593

e molliplieando per 1000000 si vede che rultimo terniine della Irasforniata in (1 000 .t — 403)
anziche +21675 dev' essere — 20796,593^ percio continuando la risoluzione deU'equa-
zione aM'emo

— 7265—20796,6

— 3"

— 7265 +

998,4

1'

— 726,5 +

272

4"

-72,6 -

18

onde x = 0,402714

il valore esatto e ,r = 0,40271 49 ....

Se i'equazione ausiliaria si fosse formata con un maggior numero di termini (il che sarebbe
stato facilissinio) si a\Tebbc potiito spingei'e Tapprossiniazione mollo pii'i innanzi .

Troviamo per secondo esenipio la pii'i piccola radice dell'equazione di grade infinilo

_^ ^ ^ .7-^

1 1.4 1.4.9 1.4.9.16"*^ ■"" '

pi'endiamo per equazione ausiliaria la j-"* — 16 a'' +144 a?'' — 576x + 576^0, essa ei dara
nel niodo solito

.r=1.44+^^^ .

1000

L'equazione ausiliaria diventa la proposta quando il secondo menibro sia, anziche 0.

25 25.36

e sostituendovi il valore approssimalo .t = 1.44 si ha X = 0.2375 . Ora la (rasforniala in j",

DEL PROF GIUSTO BELLAVITIS 219

oinniesse le decimali d'ordine supeiiore, e 0,87 x"'— 2488,7 j:."'+ 1 6825 = 0, e mutando
lo zero del secondo nienibro in lOOOOX avremo

0,87x""— 2488,7 J-'" +14450 = 10000 X — 2375.
Dallii quale dedurremo

.r'"=5,8+ -— --, e— 24,8x''+44=10000X — 2375.
i 00

Adoperando il valore piii approssiinato j"=: 1,4458 e facile modificare il cakolo logaiitniico,
col quale si sono deterniinali i varii termini di X; eosi si trova all'lncirca 10000 ?x=:2428.
percio — 24.8 a' — 9 = 0 , dalla quale si ottiene x' ~ — 0,4;
quindi (Inalniente .» =1,445796.

CO>SIDERAZIOM

SILLE ^OME\CLATlRE COIMICHE

SUGLl EQllYALEMI CHimCI

E SU AlCUNE PROPRIETA CHE CO?J QIESTI SI COLLEGAXO
DEL PROF. GIUSTO BELLAYITIS

iJa necessita ideologica di un linguagglo si fa piu particolarmcnle
sentire in alcune scienze, le quali nonchc progrcdire, appcna potreb-
bero esistere se non avessero una sistemalica nomenclalura, iondata
sulle loro principall teorie e die ne fosse anzi una compendiosa espres-
sione; dal che poi ne segue che quando nel progresso dcHa scienza
vengono a niutarsi quelle teorie, debba modificarsi la nomenclalura ;
necessita questa che toglie al linguaggio quella stabilita che tanto gio-
verebbe alia sua chiarezza e precisione. E notisi inoUre che quando
la nomenclalura non e rilenuta immutabile, essa viene cangiata non
solamente al cangiarsi delle teorie su cui si appoggia, ma eziandio
quando si crede di poter farvi qualche sccondario miglioramenlo .
Cio avvenne appunto nella Chimica. Dopo che verso la fine del secolo
scorso essa fu, direi quasi, creala mediante la leoria pneumalica, do-
vetle abbandonare il suo empirico e fnolteplice linguaggio e formarsi

222 SULLE iNOMEiXCLATURE CHIMICHE

una nonicnclatura fondata sulla coinposizione dei corpi; od in pro-
a;resso il sempre crescentc nuniero Jci composti, c le differenli ma-
niere leoriche di considcrarne la composizione, portarono di nccessila
ripclule e quasi incessant] modificazioni della nomenclatura; per lo die
mio slesso corpo e chianiato con parecchi nomi, c puo senibrare non
del tuUo irragionevole il timore clie lanla confusione di nomi porli
confusione anche nelle idee, od alnieno renda malagevole lo studio della
scienza. Forse che questo timore e molto meno fondato di quanto a
primo aspetio potrebbe sembrare, ed i provelti nella scienza trovano
poca difficolta nelle molteplici nomenclature, poiche i nomi sistematici
hanno in confronto degli empirici questo singolare vantaggio di riu-
scir facilissimi a chi conoscc le teorie dalle quali prendono origine.
Nulladimeno i diversi progetti di riforma finora pubblicali sembrano
indicarc die i cliimici stessi scnlano se non la necessita, alnieno Top-
portunita di rifondere e richiamare a piii sistematici principii le no-
menclature da loro usate.

Potra senibrare ardiniento ch'io ni'intraltenca di una scienza della

o

quale non ho fatto speciale studio; ma se le niie considerazioni va-
lessero a richiamare sulF argomento Tattenzione di qualdie chiniico.
esse non saranno giudicate affatto inutili .

Quei benemeriti che fondarono la nuova nomenclatura chimica e
(juelli che la modificarono, ebbero, se non m'inganno, principalmente
in AJsla due oggetti, di esprimere cioe la composizione e le proprieta
dei corpi: fu per questo secondo riguardo che i composti dellossigeno
si distinsero in ossldi ed in acidi; che i sali risultanti da difierenti
proporzioni di acido o di base, presero i nomi di neutri, acldnli, al-
culini o basic! ; che alciuie combinazioni aerilormi delFidrogeno si de-
nominarono in maniera non conforme alia rimanenle nomenclatura
quasi fossero un gas idrogeno soltanto niodificato. II Brugnatelli cerco
di tener conto fra i corpi coniponenti anche del calorico latente, e
riguardando a dilTerenti proprieta ch'egli credette riconoscervi, distinse
gli ossidi dai tennossidi^ ecc; allri cangiamenti egli propose; il scllono
loglieva Tanomalia fra Tazoto ed i suoi composti; il flogogene sosti-
tuito rW idrogeno faceva schivare ogni equivoco tra questo corpo sem-

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS 223

plice e lacqua (•); opportune forse ma inulill modificazioni, perche
non furono adoltate, e rimasero un inulilc ingombro alia scienza.

Crescendo il numero dci coniposli si crearono nuovi nomi dipen-
denli unicanienic dalla coniposizione dei corpi ; cosi i numeri coniin-
ciarono ad entrare nella nomenclatura, e si ebbero i prolosskU, i deu-
tossidi, ecc, ed i loro coniposli si distinsero in protosali, deulosali^ ecc;
denoniinazioni queste ullime contrarie ad ogni ragionevole legge di
linguas;gio, poiche dicendo deutosolfalo di ferro si voile inlendere il
solfato di deutossido di ferro, che se si avesse voluto esprimere chc
il sale contiene una doppia dose di acido si sarebbero confusi i deu-
tosali coi soprasali (ossia sali aciduli) senza tener conto della maggior
dose di ossiseno conlenuta in un deuloscde in confronto del proiosale
acidulo, e delle loro differenli proprieta. Fu molto piu consentaneo ai
principii del linguaggio Tuso delle desinenze in oso ed in ico, che il
Berzelius applico agli ossidi, come prima lo erano state agli acidi, e
limpiego di quesli medesimi nomi degli ossidi nei nomi dei sali da
loro risultanti: cosi si ebbero le semplici ed espressive denoniinazioni
di solfato ferroso e di solfato ferrico.

Ma intanto la scoperta della seniplicita del cfoi^o avea smossa una
delle basi della nomenclatura; non si verifico Topinione dei suoi lon-
datori relativamente alia composizione delF acido muriatico; si ebbero
degli acidi senza ossigeno. Allora per un deplorabile sbaglio, benche
si pochi fossero gli acidi contenenti idrogeno, benche questo corpo
mostrasse piuttosto antagonismo che rassomiglianza coll' ossigeno, e
benche viceversa il cloro tanta analogia avesse con questo acidi ficante,
pure si voile considerare I' idrogeno come un nuovo acidificante, e si
creo la classe degli idracidi, mentre gli acidi contenenti ossigeno si
chiamarono con singolare neologismo ossiacidi . Cosi ebbero origine
(juelle denoniinazioni che per varii anni generalmente adottate no-
cquero alia seniplicita della nomenclatura, la allontanarono dalle giu-
ste teorie, e ^i sparsero una confusione non ancora tolta del tutto,
poiche quelle tlenoniinazioni sono ancora, ne saprei dime il perche,
da non pochi preferite alle allre piu razionali.

Riconosciuta ed adottala come principio di nomenclatura I" analogia

224 SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

tra Tossigeno, il cloro, Fiodio, il solfo, il cianogeno, ecc, il Berze-
liiis analogainente agli ossidi ed agli acidi dcnomino i cloruri ed i
cloridi\ i .solfuri ed i solfidi., ecc; e le varie proporzioni di cloro ecc.
conleiiulo in iin cloruro od in un clorido^ egli distinse mediante le
teriiiinazioni in oso ed in ico gia adoperate per gli ossidi e per gli
acidi. Bellissinia riforma della nomenclalura, che nello stesso tempo
che la accordo colla teoria le diede generalita e semplicila. Sc non che
parnii che un grave difello essa contcnga; difetto che il suo celehre
in^en(ore avrebbe senza dubhio schivalo ove Tavessc imniaginala tutla
in una volta, anziche creala sotto F influenza della leoria (se e per-
niesso spiegarmi in tal guisa) dellffc/f/o muriatico^ e poscia modificala
seguendo la leoria del clorido idrlco. Esporro il difetto che scnibrami
avere la nomenclalura del Berzelius con un esempio. 11 solfo puo
combinarsi non solamenle coi niclalli ma cziandio con qualche ossido,
e la prima nomenclalura del Berzelius distingueva ottimamente il sxd-
phuretum kalii dal sidphurelum halkum^ poiche dal momenlo che la
lerminazione in ico esprimeva implicitamento la prescnza dell'ossigeno,
il solfuro potassico, non meno del solfato potassico, dovea conlener<;
Vossido polasstco: ma nella nuova nomenclalura la lerminazione in ico
csprime unicamenle la proporzione delFossigeno o di un quahmque
altro elemento eleltro-negalivo. sicche il solfuro di polassio prese il
nome di solfuro polassico^ lanlico solfuro potassico {sulphuretmn ka-
licH)ii) si dovrebbe chiamare solfuro di ossido potassico, e d'allra parte
il nome di solfato potassico sembrerebbe esprimere la combinazione
delFacido solforico col polassio.

Quesla anonialia nel linguaggio arreca confusione nelle due no-
menclature del Berzelius, e priva del semplice modo di rappresenlare
la combinazione di un ossido con un corpo che non sia un acido. Si
toglierebbe, a mio credere, lanomalia se nello stesso modo che il La-
voisier, per esprimere le combinazioni degli acidi in oso od in /to,
cangio tali desinenze nelle ito ed a<o, cosi pure gli ossidi in oso ed
in ICO nelle loro combinazioni cangiassero di desinenza e prendessero
o le slesse ito ato, o, il che sarebbe mollo meglio, altre due, per
esempio ino ana. In tal modo i nomi di solfato potassano e di solfuro

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 225

potassano mostrerebbero senza alcun equivoco la presenza deW ossido
potassico; ed il solfuro potasslco altro non potrebbe esprimere che
quella combinazione di solfo e di potassio cbe e analoga aWossido po-
tassico. Ne bisogna cbe le orecchie dei filologi rcslino offese da que-
ste insolite desinenze, poicbe cio accade ordinariamenle nelle no-
menclature scientlfiche, ed i nomi gia adottati di solfato ramoso e di
solfato rameico non sono molto piu grati di quelli di solfato ramino
6 di solfato ramano cbe io proporrei di sostituire. Con questa modi-
ficazione la nomenclatura del Berzelius cbiaramenle esprimerebbe con
due sole parole un qualunque composto di due corpi o ambedue binarii,
od uno semplice ed uno binario. Molti cbimici amano scrivere acido
cloridrico piultostoche clorido idrico., nel che parmi che abbiano in mira
il secondo oggelto della nomenclatura gia da me accennato, vale a dire
cerchino di esprimere non solo la composizione ma anche la nalura
del corpo. La particella cloro, e le altre analoghe di solfo ecc. sono poi
indispensabili quando si vogliano nominare i composti del secondo or-
dine formali dai cloridi., dai solfdi, ecc. (2). Del resto le leggi della
nomenclatura e della etimologia concorrono ad indicare come molto mi-
gliore Fespressione di acido cloridrogenico oppure di clorido idrogenico.
Le terminazioni in oso ico pei composti del primo ordine, e quelle in
ito ato ed in oso ico (alle quali ultime io sostituirei quelle in ino ano)
pei composti del secondo ordine, si Irovarono col procedere della scienza
Iroppo scarse al bisogno, poiche parecchi corpi presentano molto piu
di due gradi di ossidazione o di acidificazione; ed e male invero che
i fondatori della nomenclatura non abbiano posto niente a questa pos-
sibilita, e non abbiano scelte le desinenze in modo da polerne esten-
dere il numero seguendo un principio sistematico; e che tal cosa fosse
facile Io mostro il Laurent colle sue desinenze in ase ese ise ose ane ene
ecc. Bisogno adunque denominare i gradi intermedii di ossigenazione
mediante le particelle ipo, iper, sus, sur preposte al nome del corpo
ossigenalo, e qualche volta invece al sostantivo ossido ■, e qualche altra
volta attenendosi ad un differente principio di nomenclatura la parti-
cella ossi servi ad indicare il massimo grado di ossigenazione. Cosi
si ebbero gli acidi iposolforoso, iposolforlco ecc, gli ossidi susosmioso,

III. 29

226 SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

snsnsmico ccc, i surossidi idrico, potassico ecc, gli acldi ossiclorico,
ossimangrniico ccc. Non e piccola causa di confusione che Taccresci-
luento nella quanlita deirossigeno venga espresso lanto colla parlicella
■siir premessa alia parola ossido, qiianto con una delle particelle iper
o sus premessa all'aggetlivo, sicche due particelle di opposto signifi-
calo, quali sono iper e siis^ hanno egual valore, nienlre invece la par-
licella ipo fa ufficio opposto di sus. GH acidi distinli colla parlicella
ipo la conservarono anche nei nomi dei sali da loro formali. La cosa
sarebbe piii imbarazzante rispetto agli ossidi sopraccennati, se non die
pare che essi non entrino in combinazione del secondo ordine. Nei
sali poi occorrono nuove particelle per distinguere da quelli die si
considerano come neutri gli aciduli ed i basici, e I'urono adoperale
ora sopra o sot to, ora bis., ora sesqui, ora di, ecc.

Dai cenai finora es|)osli s'intende non esser senipre facile com-
prenderc pienamenle il significalo del nome di un sale; si aggiunga
che ollre i sali semplici, vi sono i doppii, i Iripli, ccc. .e che la maggior
parte hanno inollre Tacqua per uno dei loro elemenli coslituenti; e si
vedra die anche senza entrare nella vastissima chimica degli esseri
organici, la nomendalura o meglio le varie nomenclature Tuna all'allra
sovrapposle formano un non facile studio parlicolarmente per clii non
si occujii della chimica, ma pur abbia occasione (rintenderne o di
adoperarne il linguaggio; e si fara plauso a coloro che tentarono di
riformare la nomendalura e renderia piu espressiva ed universale.

E siccome malgrado 1 uso tli tanle desinenze nonche di tante
particelle un nome chimico non sempre offre senza equivoco la vera
composizione del corpo, cosi il principe Luigi Bonaparte propose di
compiere la nomenclatura introducendovi delle particelle che esprimes-
sero, mediante la teoria degli equivalent! chimici, la vera composizione
del corpo. Piu radicale e la riforma della nomendalura die TAvogadro
ha esposta nei Tomo XXllI delle Memorie della Societa Italiana. Egli
propone di denominare ogni corpo mediante due parole alia maniera
usata dai naturalisti; il nome generico esprimerebbe gli elemenli del
coi'po e sarebbe formato dalKunione di particelle iniziali dei nomi di
tali dementi, ed il nome specifico nc stabilirebbe le l■ispetli^e pro-

DEL I'ROF. GIUSTO BELLAVITIS 227

poi'zioni con nuineri die si riferirebbero agli equivalenli cbiiiiici. Cosi
lacqua ossia ossido idrico (H, 0) e da lul chiamalo ossidro semplice,
I'acqua ossigenata ossia surossido idrico (H, 0') la dice ossidro doppio
perche contiene due equivalenli di ossigeno per uno (Tidrogeno: Tacido
nilrico cbe ora per uniformita di linguaggio e detlo acido azotico (A, (y)
viene chiamalo dall'Avogadro ossazoto quintuplo. II suo ocarcalcio triplo
contiene Ire equivalenli di ossigeno, uno di carbonio ed uno di calcio,
sicche e il carhonuto calcico (Ca 0 H- C 0' = Ca + C -|- 5 0).

Da questi esenipii si vede che TAvogadro abbandonando del tutlo
uno dei fini gia di sopra nolati della nomenclatura, non si cura me-
nomamente ne delle proprieta dei corpi, ne dei modi con cui piu facil-
niente si compongono o si decompongono, e si restringe ad esprimere
soltanto Tanalisi del corpo. A me sembra che quelle mancanze sieno lali
che rendano la proposta nomenclatura insufficiente ed affatto inoppor-
tuna. 11 nome tli osfosferro semi-dodeplo-tripio indichera benissimo che
il corpo contiene dodici equivalenli di ossigeno (l*iO) tre di solfo (5 S)
e due di ferro (2 Fe) e chi c alcun poco istrutto nella scienza scorgera
in cio tutti i coniponenti del solfato ferrico (Fe' 0' -t- 5 S 0') ; ma cjuel
primo nome c' indichera forse che il corpo nasce immediatamenle com-
binando Vossisolfo triplo coWossiferro semitriplo, appunto come il se-
condo nome ci mostra i coniponenti imniediali acido solforico (S 0') e
ossido ferrico (Fe 01)? U nome di osfosferro semi-dodeplo-triplo ci fa
torse conoscere se il corpo sia un sale neutro od acidulo, e c'insegna
lorse quale reazione nascera unendolo coW ossipolo semplice? Parnii che
se la nomenclatura delPAvogadro venisse adoltala bisognerebbe ad ogni
inomento sostituirvi, o mediante parole o mediante segni, altre espres-
sioni corrispondenti almeno in parte alle nomenclature finora adoperale
dai chimici. Si potrebbe rispondere che per esempio tutto quello che
sappianio di certo sul solfato ferroso (FeO-f-SO^) si e che esso con-
tiene quattro equivalenli di ossigeno, uno di solfo ed uno di ferro, il
che benissimo si esprime chiamandolo osfo ferro quadruplo; e che del
resto e soltanto un'ipotesi, un modo di vedere e non una realta, con-
siderai'lo composto di acido solforico (S 0^) e di ossido ferroso (Fe 0),
poiche forse con altrettanta ragione lo si potrebbe considerare come ri-

228 SULI.E NOMENCLATURE CHIMICHE

sullanle dalla combinazione del soH'uro feiToso (Fe S) coll'ossigeno ('4 0):
cosi anchc per lo stesso acido sollorioo (S 0') vi sarebbero buone ragioni
per considerarlo come una coniliinazione di ossigeno e di acido soHo-
roso (S 0') piuttosloche di ossigeno e di solfo. Ma qucsti in ogni caso
sarebbero niolivi per desiderare che la nomenclatura potesse prestarsi
alle varie maniere di considerare questi composti, non mai valide ra-
gioni per rendere la nomenclatura affalto inetta ad esprimere la for-
mazione e le propriela dei corpi.

II cliimico Selmi considera nei nietalli quattro gradi di ossidazione
secondo clie un equivalente di melallo si unisce ad uno, due, tre, o
quattro semi - equivalenti di ossigeno; egli indica i due primi ossidi
colle solite desinenze oso, ico^ cbe egli adopera rispeltivamente anclie
pel terzo e pel quarto, ma questi invece di chiamarli ossidi li dice
am f ossidi oppure sovrossidi: sono amfiossidi quelli die possono com-
binarsi o cogli acidi o con allri ossidi, e nei nomi dei loro composti
essi conservano la particella amfi] e sono sovrossidi quelli che non
possono combinarsi senza prima cangiare la propria quantita d' ossi-
geno. Qiu^sta modificazione della nomenclatura mi sembra molto ra-
zionale, perche, quando essa fosse adottata, dal noma di un ossido si
conoscerebbe senza equivoco la sua composizione; ed inoltre si avrebbe
una imporlante nozione suUa sua altitudine a formar un composto del
secondo ordine. Ed io credo che la nomenclatura chimica richiegga
parecchic altre di queste modificazioni valevoli ad esprimere qualche
proprieta dei corpi spccialmente in riguardo al modo con cui si ot-
tiene un composto, ai prodotti della sua decomposizione ed ai suc-
cessivi composti ch'esso puo originare. Ed a rendere piu imperiosa
la necessita che il nomc esprima qualche cosa piu della composizione,
concorre il numero sempre crescenle di corpi isomerici e di allolro-
pici che si vanno scoprendo; vale a dire uno stesso corpo semplice
si presenta dotato di dilTerentissime proprieta, e sembra che talvolta
esso conservi tale differenza anche nei composti che lo contengono .
Inoltre vi sono dei composti che quantunque formati degli slcssi prin-
cipii neiridcntico stato allotropico, pure hanno diffcrenti proprieta e
si dicono percio isomerici; il distinguere i varii stati allotropici con

DEI. PR01-. GIUSTO BELLAVITIS 229

una lellera greca mi scnibra cosa poco opporluna, perche non offre
i vanlaggi del linguaggio parlato e non presenta alcuna distinia idea.
Ecco adunque largo campo pei fuluri riforniatori della nomendalura :
oltraccio i difierenti modi di considerare le composizioni dei corpi dil-
ficilmente possono rendersi chiari scnza cangiare di conformita la no-
menclatura ; sicche stabilire una nomendalura invariabile sarebbc in
qualdie modo voler impedire i cangiamcnli ed i miglioramenti delle
teorie. E chi pur volesse render invariabile la nomendalura, lo po-
trebbe egli forse?

Dopo tulle queste mie parole si altendcra forse che io creda di
avere scoperto un qualche mirabile ripiego die valga a conseguire uno
scopo circondalo da tante difficolta, e quando avro palesalo il mio pen-
siero si avra ragione di meravigliare die io proponga una cosa lanlo
ovvia e lanlo nota; parmi nulladiineno che sia non piccolo pregio della
mia idea V esscre eseguibile, mcnlre la nomendalura, per esempio,
deirAvogadro polrebbe essere per se slessa la cosa piu utile del mondo
che tanlo e tanto io riterrei che non sarebbe mai adoltata: non puo
avere la speranza e dirci anche il diriUo di cangiare da capo a fondo
tulta una nomendalura scientifica se non chi ha scoperto nuovi ed ini-
portanti principii su cui appoggiarla. E facile architettare una nomen-
dalura, parlicolarmcntc se non si Iralli che di esprimcre colle parole
alquanli numeri, ma e difficilissimo persuadere i chimici ad adollarla.
Percio bisogna di necessita altenersi alia nomendalura gia esislenle,
8 soltanto medianle piccole e successive modificazioni potra csser tenula
in accordo colle dominanti teorie: ma come schivare gli equivoci nel-
I'uso di nomi non sufficienlemenle espressivi, e che di mano in mano
si vanno modificando? Come conoscere con sicurezza la composizione
espressa da un nome che non contiene numeri? Ora, io rifletteva, vi
sono delle scienzc, il cui linguaggio e almeno in parte destinalo es-
clusivamente piuttoslo per gli occhi di quelle che per gli orecchi; cosi
per esempio nella mineralogia le forme dei cristalli possono imperfet-
tamenle accennarsi colle voci, e non si esprimono csatlamente die con
figure e con ispeciali formule. In egual modo nella nomendalura chi-
mica si lasci pure il nome parlalo, die un tal linguaggio e tanto co-

230 SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

inodo c quasi idcologicamenlc necessario ; ma aggiiingiamovi sempre
il sea;no chimico, il quale ci presentera Tesalta composizione, e sara
anclic modificabile a norma delle varie leorie intorno alia composizione
dei corpi senza nulla perdere della propria ohiarezza. 11 mio progetlo
si riduce adunque a due parole: Non iscrivere niai il nome di una
sostanza chimica senza acconipagnarlo col suo segno. Adottato che fosse
([uesto uso, la nomenclalura potrebbe migliorarsi o divenendo piu ra-
zionale, od eslendendosi ad esprimere alcune propriela dei corpi senza
nessun limore che tali modificazioni cagionassero oscurita od equivoco,
poiche il segno chimico sarebbe sempre pronto a togliere ogni dubbio.
Al conlrario se, per esempio, alcuni chimici adottino la nomenclatura
del Selmi e non vi aggiungano il segno chimico, come sapremo d'ora
innanzi se un ossido manganico sia quello del Berzelius con un equi-
valente e mezzo di ossigeno, o quello del Selmi che ne contiene uno
solo? Senza segni chimici ogni modificazione di nomenclalura, sia pur
essa razionale, e causa di confusione; coi segni chimici ogni perl'e-
zionamenlo della nomenclalura e conciliabile colla piena conoscenza
della composizione dei corpi, la quale forma per cerlo il carattere piu
essenziale delle chimiche combinazioni.

Vanlasiciosissima sarebbe rinlroduzione dei se^ni chimici anche
nelle opere di fisica, o in lulle quelle allre nelle quali occorre di no-
minare un coniposto chimico; quanle volte non si vede nominate un
acido, un ossido, un sale e o non si puo sapere precisamenle quale
esso sia, o, molto piu spesso, non si sa qual peso se ne debba pren-
dere, ignorandosi qual proporzione d'acqua esso debba conlenere?
Giacche negli acidi, negli alcali e nei sali entra spessissimo I'acqua
come elemenlo cosliluenle senza che la nomenclalura chimica la es-
prima con precisione. Inollre generalizzalo I'uso dei segni chimici,
si puo dire che sarebbe generalizzata la conoscenza di alcune fonda-
mentali leggi della chimica: quel linguaggio di segni che e facilissimo
da apprendere pone sott'occhio le principali circostanze di composi-
zioni e di decomposizioni, fa distinguere i due elemenfi eleltro-positivo
ed eleltro-negativo, insegna la leoria degli equivalenli chimici, ccc.

Ma perche i segni sieno scevri di qualunque dubbiezza. bisogna

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 231

(•he essi sieno stahiliti in manlera iimnutabile, menlrc sforlunalaniento
anohe coi scgni i chlniici non parlano tulli lo stesso linguaggio: c questa
sarebbe cosa die vorrei da qualche autorevole chiniieo solenncmente
raccomandala, poiche perdula una volla I" uniloi'inila nei segni non
credo che rimarrebbe finalmenle altro nioflo sicuro di cspriniere la
composizione ohimica oltre quello di darne lanalisi nunierica. Che se
invcce si slabiHsca e si conservi runil'ormita dei sesfni, credo che il
lore uso sara o presto o tardi una necessita da tutli sentita. Pure
anche nei rendere ininiutabile il significato dei sesni chimici bisosna
lasciar modo di niodificarh in guisa che possano accomodarsi alle va-
rie teorie; poiche il segno e tanto connesso colla teoria, che se quello
stabilito non si accordi colla teoria prel'crita da un qualchc chiniieo.
questi sara quasi suo malgrado indotto a cangiare il segno. Ecco come
io crederei si potesse conciliare rinimutabilita e sicurezza del segno
coi cangianienti che qualche chimico potrebbe desiderare di praticarvi.

E nolo che una lettera maiuscola o sola o seguita da una minu-
scola e il segno che rappresenta cio che suol chiamarsi un atonw di
un corpo seniplice; vorrei che questi segni fossero precisamente quelli
adotlati dal Berzelius nei suo Trattato di chimica. Qualunque autore
peraltro che preferisse di dare alPequivalenle chimico un valore mul-
tiplo 0 sunimultiplo del predetto atomo lo potrebbe fare, purche Io
segnasse colle lettere usate dal Berzelius ponendovi a destra abbasso
il numero pel quale cgli intendesse molliplicare o ilividere 1 atomo
del Berzelius; questo numero sarebbe arabo pei mullipli e romano pei
summultipli, e tal numero formerebl)e insieme colle lettere un solo
segno; sicche poscia questo segno complesso riceverebbe quei molti-
plicatori die si sogliono scrivere o nei luogo degli esponenti algebraici
o nei luogo dei coefficienti secondo le regole a tulti note.

Esempii. Esprimendo con 0 = 8 T atomo delF ossigeno, gli atomi
deir idrogeno, dell'azoto, del carbonio, del silicio sono secondo il Bei-
zelius H = 0,o, A =7, C = G, Si = 22; ma sara lecito a chiunque
di preferire invece alcuno dei segni H, = 1 , A, = 14, C„ = 3, C^= 12,
Si,„ = 7,35, od altri formati ad arbitrio mediante moltiplicatori espressi
da Humeri arabi o divisori espressi da numeri romani. Cosi Tacqua

232 SULLE NOMENCLATURE CIIIMICHE

si poira rappresentare con H, 0 o con H, piutlostoche con H'O, e
Tossido azotico con A^O' = A, anziche con A; I'acido carbonico si po-
Irebbe rappresentare con C, invece che con C, il che indicberebbe
cbe i carbonali neutri I'osscro qnelli espressi da nC., e che gli or-
dinarii a C fossero invece sotto-carbonali espressi da n' C, . L'acido si-
licico e espresso dal Berzelius con S i , ma se si vogHa per maggior
comodita, speciabnente nella mineralogia, ridurlo a contenere un solo
equivalente di ossigeno lo si scrivera cosi Si,„: similmenle raUuniina,
cbe il BerzeHus esprime con un segno corrispondente al nostro AJ,,
polra segnarsi con Al„„, indicando con Al^,„ i due lerzi deiratomo
Al=14. Per la piena inlelligenza di questi segni si osservino gli
esempii H: = 6H + 30, 6 Si,„ = 2 Si + 6 0, A1„„S+ 7 H, = (; Al H-
+ 0) + (S + 3 0) + 7 (2 H + 0) .

Ho giii detto che stabililo inia volta Fuso costante dei segni ogni
nonienclatura diviene inlelligibile, ed e lolto qualsiasi pericolo di con-
lusione: cosi i chimici potrebbero meglio e piu speditamente rappre-
sentare la loro maniera di considerare la composizione dei corpi schi-
vando i due pericoli di sopraccaricare la scienza di nuovi noini, o di
adoperarc in nuovo signiflcalo un nonie gia vecchio. Sianii permesso
arrestarnii un poco su questo argomento, e cosi ancbc mostrare i van-
taggi delle due terminazioni in ino ano che io proporrei per gli os-
sidi in oso ico quando entrano in un composto del secondo ordine.
L'ossido azotico (A,) si unisce ad alcune basi facendo Tufficio di ele-
niento clettro-negativo, tali combinazioni furono dette azotati; ma pre-
sentemente questo nome e adoperato dalla maggior parte dei chimici
per indicare quei sali che con grande anomalia di linguaggio si di-
cevano nilratl. Cosi le combinazioni dell'acido azotico (A J avrebbero
lo stesso nome di quelle dell'ossido azotico (A,); io darei a queste ul-
(ime il nome di azotani^ adoperando le desinenze in ino ano anche
come sostantivi; appunto come viceversa le desinenze in tto ate si
adoperano anche come aggettivi, dicendosi: calce carbonata, acido sol-
forico idrato, ecc. II corpo elettro-negativo dara, generalmente par-
lando, il soslantivo, e I'eletiro-positivo Taggetlivo. Cosi si direbbe azo-
tano jjotassano (KAj, ozotano sodiano (NaA,4-H,) ecc. Chi ritenga

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 233

che il clorido idrogenico (H, CI,) possa combinarsi ad una base, per
esenipio alP ossiWo calcico (Ca), senza che nasca la doppia decomposi-
zione in cloruro calcico (CaCIJ ed in acqua (H,), potra dcnominare
quel composto dicendolo cloridrorjenato calciano (Ca H, Cl,-|- 6 Hj. Nei
cloro-sali un clorido si unisce con un cloruro, percio la particella cloro
si porrebbe lanto al sostantivo quanto airaggettivo. Esempii: cloridro-
gcnolo cloroplatinino (Pt CI, + H, Clj, cloroplatinino cloropotassuno
(K CI, + Pt CI,), cloroplatinmio cloropotassuno ( K CI, + Pt Cl^ ) , suppo-
nendo che i due cloruri di platino si dicano, analogamente ai due os-
sidi, cloruro platinoso (PtCl,) e cloruro platinico (PtCI^); che se in-
vece si chiamassero cloruro platinico (PtCl,) e clorido platinico (PtCl^),
le combinazioni del prinio si direbbero cloroplatinani^ e quelle del
secondo cloroplalinali.

Pare che anche Tazoto abbia la propriela, come di basilicare Tidro-
geno, cosi di formare qualche componenle eletlro-ncgativo: per es.
il Diunas animette che T azoturo aurico (Au'A,) si conibini coU'azo-
turo d'idrogeno (H^A,), e formi quello che noi diremo azotaurano di
ammoniaca (H' A, + Au' A,). Talvolta, anziche i due coniponenti ab-
biano lo stesso elemento elettro-negativo, hanno invece comune Tele-
menlo elettro-positivo : per esempio secondo Rose esiste il cloromer-
curiato solfomercurino (2 HgS-f- HgCl, ), considerando il sublimato cor-
rosivo (HgCl, ) piuttosto come un clorido, che un cloruro. La nostra
nomenclatura si presterebbe spontaneamente anche ad altre teorie;
cosi seguendo il Persoz che considera Tacido solforico (S), Tacido
iposolforoso (S), ecc. come composti di acido solforoso (S) si avrebbe
Vacido solfito (S0= S), il solfido solfito {SS = 2S), e cosi pure il clo-
rido sol f to (SCI,) ecc. Questo ultimo composto potrebbe del resto an-
che chiamarsi acido clorossisolforico (SCI, 0'), appunto come si ha
Vacido clorossicarbonico (CCl, 0), e Vacido clorossiazotico (A, CI, 0'),
che cosi chiamerei T acqua regia, piultostoche acido clorossinitroso;
poiche coUa desinenza in ico vorrei fosse indicate che in essa si tras-
forma Vacido azotico (A, 0^), quando ad un equivalente di ossigeno se
ne sostituisce uno di cloro. Finalmente, se il solfato ferrino (Fe S) lo
si volcsse considerare come una combinazione di solfuro ferroso

III. 30

234 SULLE iNOMEiNCLATURE CHIMICHE

(Fe S) e di ossigeno, lo si chiamerebbe ossido solfoferiino (Fe S +
+ 40).

I segni chimici li vorrei invariabilmenle slabiliti quali sono dati
dal Berzelius, poiche, dovendosi fare una scelta, e ben conveniente
di altenersi a cio che fu preferito da questo insigne chimico, die si
liuninosaniente proniosse la teoria delle pioporzioni detcrniinale. In
quanlo ai valori numerici da attribuirsi a tali segni, essi possono can-
giare per tre molivi; o per piii accurate analisi che niodifichino i va-
lori gia rilenuli, o per una dilTerentc scella di unita, o per una leo-
rica moltiplicazione o summulliplicazione delFequivalenle. Ho gia no-
lato die quesla lerza determinazione sarebbe da lasciarsi airarbitrio di
ogni autore, purche col nuniero posto abbasso della leltera sindichi qual
niultiplo o suinniultiplo deiralomo del Berzelius siasi assunto per equi-
valenle. Accennero piu sollo alcune ragioni che mi hanno peisuaso a
preferire gli equivalenti quali si veggono esposti nelf unita Ta\ola I.
Riguardo alia scelta delle unita, e ben evidente die essa e arbitra-
ria; nia credo che si abbia un notevole vantaggio pratico nel porre lo
equivalenle delF ossigeno eguale ad 8 anzidie ad 1, o a 10, o a 100:
e si noti bene che io dico Tossigeno 0 = 8, non gia Tidrogeno H^;= 1,
poiche e T ossigeno che dev'essere espresso da un nuniero seniplice
ed invariabile, non gia Y idrogeno che entra in niinori coniposti, e la
cui determinazione e piu difficile. Sono gia molti anni die il Prout
asseri die, se pongasi H,= l, sara esattamente 0^8, e tutti gli altri
equivalenti saranno pure espressi da numeri interi. Quesla singolare
supposizionc, che, nelP ignoranza in cui siamo intorno alia natiira dei
corpi., non si saprebbe a qual fondamento appoggiare, fu sostenuta dal
Thompson, ma al contrario fu forlemente impugnata dal Berzelius.
Bisogna pero confessare die i lavori analitici degli Erdmann, Marchand,
Dumas, Slas, Boussingault, Salvetat, ecc. intorno ai pesi atomici del-
1 idrogeno, del carbonio, deH'azoto e di molti altri corpi semplici tor-
narono quasi tutti in confernia della supposizione del Prout: anclie il
Marignac trova che da tanti fatti e confcrmala questa teoria; solo gli
sembra die vi faccia eccezione il cloro, e che il peso di questo sia
CI, = 33 4-, cioe multiplo del mezzo equivalente d' idrogeno, eccezione

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS 235

die, qiianlunquc sia ^era, non togliera per certo il mollo \aalaggio
che si trova nell" adopeiare dei piccoli numeri piiittostoche delle lun-
ghe deciinali. Nella Tavola I mi sono ingegnato di porre accanlo ai
pesi atomici ammessi dal Berzelius quelli trovati in questi ultimi anni
da varii chimici; questa tavola non e per altro che un saggio di cio
che pofrebbe divenire se alcuno dei chimici che leggeranno questo mio
scritto, volesse essermi cortese dei dati che avra raccoUi dalle tante
Opere e Meniorie che tultodl si vanno pubbHcando. Da questo saggio
si potra scorgere quante discrepanze vi sieno nelle anahsi chimiche;
pare che ben di rado possa contarsi sopra un'approssimazione spinta
fino al millesimo del peso totale; cosicche fa meravigiia che il Berze-
lins abbia creduto opportuno di esprimere Foquivalente delFossigeno
con 10000, e poscia con 100000, e qualche volta spingere il calcolo
anche piu oltre. Altri chimici o fisici seguono un simile uso di cal-
colare i valori medii con molle piu decimali di quelle che possono
presumibilmente ritenersi esatle: quanto non e inutile e ridicolo tener
conto dei millesimi quando probabilmente sono fallaci anche i decimil
Sommaniente lodevole fu per lo contrario la deliberazione della R.
Accademia di Monaco, la quale proponendo a premio la determina
zione degli equivalent! chimici del solfo, del ferro e del rame, ri-
chiese che sieno inoltre determinati i limiti di sicurezza e i piii ve-
rosimili valori giusta il metodo dei minimi quadrati. Se questo saggio
consiglio fosse sempre seguito dai chimici e dai fisici, quanti numeri
composti di cinque o sei cifre si vedrebbero ridotti a due o tre sol-
tanto, e quanto piu giuste idee si acquisterebbero suirapprossimazione
dei trovati risultamenti I

Sarebbe pure, a mio credere, cosa vantaggiosissima, che piu spesso
si pubblicassero e ritenessero le immediate risultanze delle sperienze.
anziche correggerle a norma della teoria: furono formate molte tavole
anahtiche, le quali invece d'essere lavoro di un chimico lo sono di un
aritmetico, ne vi si puo distinguere le conseguenze di effettive sperienze
dalle determinazioni puramente teoriche; e se avvenga che si debba
mutare qualche equivalente, non si sa piu come procedere nella cor-
rezione delle tavole; poiche, mancando le original! sperienze, non si

236 SULLE NOMENCLATURE CFIIMICHE

vede quali moclificazioni debbano farsi negli altri eqiiivalenti . Nellana-
lisi delle sostanze provenienti dal corpi organizzati s'inconlrano non
plccole incertezze, parlicolarmcnte in forza del cangiamenti nei pesi
degli eqiiivalenti chimici. Ci serva di esempio lo zucchero di canna
crislallizzalo: Tanalisi dei Gay-Lussac e Thenard da con baslante appros-
simazione 12 eqiiivalenti di carbonio ed 11 di ossigeno, ma T idro-
geno invece di esservi compreso per 11 eqiiivalenti vi entra per 12,2:
Panalisi del Berzclins darebbe 13 equivalenti di carbonio, 12 di ossi-
geno e 12,4 d'idrogeno, nondimeno il Berzelius si accorda col Liebig
nel ritenere che Tidrogeno vi entri nella giusta proporzione per for-
niare I'acqua. Ma Tanalisi del Liebig dava 14 equivalenti di carbonio
e 13 di acqua, qiiella del Berzelius come sopra corrella dava 13 di
carbonio e 12 di acqua : pure per accordarsi col peso che si vuol
dare all' equivalenle dello zucchero lo si ritiene composto di 12 di
carbonio ed 11 di acqua (H;'C"0") come dalF analisi del Gay-Lussac
e Thenard, trascurato peraltro quel grave eccesso d'idrogeno. Ora e
nolo che per le recenti sperienze dei Dumas, Slas, Erdmann e Marchand
il peso delFequivalente del carbonio adottato dal Berzelius dev'essere
diminuito nelFesorbitante rapporto di 33 a 32 (dico esorbitante in con-
fronto dei cento -millesimi di cui suol tener conto il Berzelius). Con
questo nuovo dato, e purche esso non influisca a cangiare i risulta-
menti delle esposte analisi, quella di Gay-Lussac e Thenard da 10
equivalenti di carbonio e 9 cF acqua e non piu 12 ed 11; quella del
Berzelius 11 e 10 e non piu 13 e 12; quella del Liebig 12 e 11
e non piu 14 e 13. Quantunque questo ultimo risultamento (H"C"0")
ponga in buon accordo T analisi del Liebig (la sola in cui Tidrogeno
non sia in eccesso) col peso deU'equivalente dello zucchero, e con
quello del carbonio gia anticamente adottato dai Prout, Thompson, ecc.
ed ora confermato; nulladimeno non si puo non meravigliare che in tanta
discrepanza d'analisi si voglia tener conto di minime frazioni: ne si
potrebbe negare che quando si adopera tanta larghezza nella inlerpre-
tazione delle analisi, e si ammette che il numero degli equivalenti
possa giungere e sorpassare la ventina, qualunque sorta di miscuglio
potrebbe sempre rappresentarsi mediante gli equivalenti chimici. Sicche

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 2^7

non sarebbe aflatto senza appoggio Topinione, die nei composti pro-
venienti dai corpi organizzali sia ancora dubbioso se abbia sempre
luogo o no la teoria degli equivalent] chlmici.

Lasciando che per mezzo di ulteriori sperienze sieno fissali con sem-
pre maggior approsslmazione i pesi degll e(pivalenti chimici, e pro-
babilmente confermata la bellissima supposizione del Prout, ci resta da
scegliere quesli equivalenti nel modo piu conforme allc adottate teorie,
ed alle relazloni che sembrano esistere fra tali equivalenti ed alcune
delle proprieta dei corpi. Vi sono motivi di piu specie per preferire una
determinazione ad un'altra: fra questi mi sembrano piu forii (pielli
che dipendono dalle leggi delle sostituzioni, ed in generale delle ana-
logic o nellc proprieta o nel modo di composizione, ecc. dei varii
composti, nei quali un corpo sembra esscrsi ad un altro sostituito. Cosi,
giacche 0 si sostituisce a 2 H, ed a H si sostituisce CI, Br, I, io prendo
nella mia tavola per equivalenti 0, H,, CI,, Br,, I,; il che si accorda
eziandio colla corrispondenza fra moiti cloruri melallici ed i corrispon-
denti ossidi, che contengono tante volte 0 quante i primi contengo-
no CI,, ecc; e cosi pure colla corrispondenza fra gli acidi carbonico
(CO') e clorossicarbonico (CCl, 0) ecc, nei quali il CI, sembra tener
luogo di 0. Non veggo perchc il Dumas abbia prcso per equivalente
del carbonio C„=i3, sicche allora T acido carbonico sarebbe C„0;
percio io ritengo per equivalente il solito C. Appartengono alle leggi
delle sostituzioni anche quelle che riguardano Tisomorfismo, ed e cpiindi
conveniente di scegliere gli equivalenti in modo che i corpi composti
isomorfi sieno espressi da segni composti nello stesso modo. Cosi V iso-
morfismo tra gli ossidi ferrico (Fe'O^), manganico (Mn'O'), cromico
(Cr'O^) ed alluminico fa adottare per questo ultimo il segno ArO', anzi-
che Taltro Al„„ 0, adoperato dal Thompson forse per analogia colle altre
terre. Sono pure isomorfi alcuni composti di Pb, Ba, Sr, e Io sono
pure Fe, Mn, Ca, Mg; e Tisomorfismo tra Sb, ed As,, e tra As, e P,
fa adottare anche per questi corpi dei segni analoghi invece di quelli
del Thompson Sb„„, As^,,,, Ag,, P^,. Non vi sarebbe ragione per rad-
doppiare anche gli atomi Fe, Mn, Cr, Al, cioe prendere per equiva-
lenti Fe,, Mn,, Cr„ Al,: e qui avverto che per fogliere ogni confu-

238 SULLE NOMENCLATURE CF1IMICHE

sione, quando una volta un chimico abhia adottato rcquivalente Fe,
non dovrebbe inai servirsi del segno Fe,, bensi del Fe\ L' isomorfismo
Ira il solfuro ramcoso (Cu'S) ed il solfuro d'argento (AgS) suggeriscc
di diniezzare I'cquivalenle deirargento Ag = 108, c ridurlo ad Ag„ := 34;
sicohe II precedente solluro (Ag', S) si dica argcntoso, e tall sieno pure
fossido (Ag', 0) ed il doruro (Ag', CI.) analoghi ai simili composti del
niercurio (Hg'O, Hg' S, Hg'Cl).

Parnil chc un altro motivo per preferire Tuna alFallra determinazione
degli equivalenfi sia la capaoita di saturazione degli acidi, essendo una
regola molto comoda che in ogni sale neutro tanti sieno gli equivalenti
di ossigeno contenuti nella base, quanti gli equivalenti del radicale con-
Icnuti neiracido; non bisogna pero dimcnticare che molti dubbii possono
rimanere sulla vera neutrallta dei sali. Mediante questa legge gli acidi
che hanno per radicale T idrogeno (H, S, H, CI,, ecc.) Indlcano che si
|)renda per equivalentc delF idrogeno H,, ed i clorati, gli azotiti e gli
azotati indicano che sieno equivalenti I CI,, A,. Gli ossalali (n-f-C'O^)
indicherebbero di prendere C' per equivalente del carbonio, al che
si accordercbbero niolti carbonali potendosi considerare come neutro
piulloslo il hkarhonnlo polassono (KC") che il carbonalo (KC) (in tal
caso quesli due sali si scriverebbero cosi K C, , K'C, ); ma il carbo-
iiato calciano (CaC) induce a conservare per equivalente il semplice
C. Fanno eccezione alia regola i fosfati (□'?,), i fosfiti (□' P,), gli
arseniati (n'As,); ed invece sono conformi alia regola i cromati
(aCr). Nci silicati F ossigeno della silice talvolta e la meta di quello
della base, talvolla e uguale. talvolta e doppio, forse piu spesso e
Iriplo, percio puo ritenersi per Facido silicico il segno Si. Gli iposolfiti
talvolta sono nS, talvolta n S% e talvolta nS'; nel secondo caso si
potrebbe considerare Facido iposoUoroso (SO) come un acido solfos-
sisolforico (S + O'S), cioe considerarlo come acido solforico (SO'),
nel quale un equivalente di ossigeno siasi convertlto in uno di solfo;
ma d' altronde anche gli iposolfati (D + S'O^) fanno eccezione alia re-
gola sopra espressa.

La densita dei corpi nello stato aeriforme sembra a primo aspetto
essere un mezzo sicuro per toglierc ogni ambiguita nella determina-

DEL PROF GIUSTO BELLAViriS 239

zione degli equivalenti chimici; nuUadinieno parmi si debba aver piu
rigiiardo ai due molivi precedent! che hanno una maggior importanza
chimica. D'altronde pochi sono i corpi semplici che si hanno in islalo
di gas o dci quali si puo deterniinare con precisione la densila dei
vapori; e riguardo ai gas composti, le loro densita non possono ser-
vire a determinare gli equivalenti dei componenti, perche non si sa
quali condensazioni essi possano aver subito . D' altra parte finche si
ammetteva che i fluidi aeriformi fossero tutti ugualmente compressi-
bili, e tutti all' aumenlar della temperatura egualmenle dilatabili, si
poteya credere rigorosanienle esatta la legge cosi delta dei volunii,
e la densita dei gas poteva servire a deterniinare gli equl\alenli chi-
mici; ma essendosi riconosciuto che alcuni gas disugualmente si di-
latano, ne viene che quella legge non puo essere generalmenle esatta,
restando ignola la temperatura e Y esterna pressione sotlo le quali
dovrebbe prendersi la densita dei fluidi aeriformi. Ho riunito nella
Tavola II i dati che mi avvenne di trovare intorno alia densita dei
fluidi aeriformi, oscludendo per quanto mi fu possibile le densila che
non furono osservale, ma sollanto calcolale, poiclie esse non pote-
>ano in alcun modo servire al mio scopo di porre a confronto lali
densila coi pesi degli equivalenti, per vedere quanto sia probabile
la teoria dei volumi, e qual parlilo se ne possa trarre per la deter-
minazione degli equivalenti chimici. Si vede dalla Tavola II die gli
equivalenti H, CI, Br^ I, A, C Hg da me adottati corrispondono colle
densita dei rispetlivi fluidi aeriformi, e che sollanto si deve raddop-
piare I' equivalente delF ossigeno. Osservando le due colonne dei rap-
porti, i quali dovrebbero essere 1" uno costantemente 0,0690, 1' allro
costantemente 0,0896, si scorge quante discrepanze vi sieno nelle
densita osservale per un medesimo gas, e quali modificazioni lali den-
sila indurrebbero a fare negli equivalenti chimici. Cosi la densila del
gas idrogeno determinata da Biot ed Arago darebbe H, ^ 1 ,06, in-
vece quella di Berzelius e Dulong darebbe H, =: 0,997, e quella
piu recentc del Regnaull darebbe H, = 1,002 ; si potra rilenere
con molta confidenza H, = 1 . La densita del dorido idrogenico
(H, Clj, come anche una delle sperienze riguardo al cloro, darebbe

240 SULLE NOMENCLATURE CIIIiVlICHE

CI, = 3i5,l, ma allra sperienza dei Gay-Lussac e Thcnard darebbe
CI, = 33,8; si potra altenersi a CI, = 33,S come fu notalo anche nella
Tavola I. II bromo dovrebbe alcun poco aumentarsi c V iodlo dimi-
nuirsi; sicche si rende molto probabile che requivalente del bromo
sia precisamcntc medio fra qiielli dci due corpi tanto ad esso affini
il cloro e V iodio, come osservo il Doebcreiner. Egli nolo pure che la
stessa cosa ha luogo rispetto al selenio tra il solfo ed il telluro, ri-
spetlo alio stronzio tra il litio ed il polassio; e forse sono allri due
simili gruppi cpiello del ferro col manganese e cromo, e quello del-
I'osniio coiriridio e platino. Continuando Tesame delle esposte densita
dei gas i composli del solfo mostrano quanto poco si possa contare su
quesla maniera di delcrminare gli equivalenli, a cagione delle grandi
difterenze che si osservano. 1 composti dell' azoto darebbero all' in-
circa A, = 1 4,2 , il che si accorderebbe col valore adottato dal Ber-
zelius (veggasi nella Tavola I). I numeri ora troppo grandi, ora troppo
piccoli corrispondenli ai composti del carbonio non danno alcuna
spinla a cangiare il C = 6, quantunque Rcdtenbacher e Liebig non
trovassero che C := 6 si polesse accordare colla densita del gas acido
carbonico (C). Le piu recenti sperienze del Regnault sui pesi specific!
dei gas ossigeno ed acido carbonico a 0." e 0™,76 darebbero C = 6,12;
ma egli osservo che diminuendo la pressione il secondo gas si espande
piu del primo, sicche ad una pressione alquanto maggiore del quarto
della atmosferica la densita del gas acido carbonico sara forse 1,3202
precisamenle quale risulta da C=:6, ed e probabile che la maggior
compressione del gas a 0." e 0"',76 dipenda dall' avvicinarsi esso al
punto della sua liquefazione.

Un altro mezzo per togliere il dubbio, che le considerazioni chi-
miche lasciano nella scelta dei multipli o summultipli degli equiva-
lenli, puo desumersi da quella singolare legge scoperta dai Dulong e
Petit, per la quale gli equivalenti dei corpi semplici od almeno dei
melalli hanno la medesima capacltji pel calorico. II Regnault confer-
mo questa legge, e la estese anche a ciascuna classe dei corpi com-
posti che abbiano la stessa composizione atomica e una simile costi-
tuzione chimicaj peraltro egli la trova soltanto approssimata, ed ac-

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 241

cenna come cause delle osservate irregolarita la differente costitu-
zione fisica, il polimorfismo, lo sviluppo di calorico latente, ecc.
Moltissime sono le osservazioni del Regnaull, e quanlunque sia pur
vero che alcune egli ne escluda perche troppo dalle altre discordan-
ti, e che quelle ritenute presenlino fra di loro delle sensibili diffe-
renze, nulladimeno non si puo dubitare che la capacita pel calorico
non dipenda dal peso deirequivalentc chimico, sicche tanto pei corpi
semplici quanto per quelli di una analoga composizione ogni equiva-
lenle abbia approssimatamcnte la medesima capacita pel calorico; cosi
per esempio 10 grammi di solfo (8=16), 28 di ferro (Fe = 28),
30 di coballo o di nickel, 32 di ramc o di zinco, 34 di argento
(Ag„ = 34), ii9 di slagno, 64 di telluro, 64,3 di antimonio (Sb,= 129),
99 di platino o di oro, 101 di mercurio, 104 di piombo, 106 di
bismuto hanno presso a poco la slessa capacita pel calorico che e quella
di circa 3,2 grammi di acqua. Si vede percio che anche la conside-
razione dei calorici specifici induce a dimezzare Tatomo chimico del-
r argento ammesso dal BerzeUus (Ag;=108); lo stesso dovrebbe farsi
anche per gli atomi o equivalenli di sodio (Na ^ 23) e di potassio
(K = 39); ma altre considerazioni chimiche possono consigliare a ri-
tenere Na, K, per serbare V analogia di composizione fra le terre e
gli alcali: dissi gia per quali ragioni credetti di raddoppiare Tatomo
deir antimonio prendendo per equivalente Sb, = 129, anziche il sem-
plice Sb^64,3 che sarebbe indicate dalla capacita pel calorico. Que-
sta capacita farebbe pur presumere che V equivalente del cai'bonio
I'osse C, :=12, ma le sperienze sulle varie specie di carbone e sul
diamante sono molto discordi, e si potra rilenere il semplice C, quan-
lunque anche delle ragioni chimiche fossero favorevoli al doppio C,.
11 Regnault Irova anche troppo grande Tatomo delPurano U^217
date dal Berzelius, e crederebbe necessario di ridurlo alia quarta
parte; ma siccome il Peligot scoperse che esso non e un metallo ma
un ossido, cosi ponendolo a confronto cogli ossidi della forma n, il
suo calorico specifico darebbe per V urano, ossia ossido d' uranio, il
peso atomico 96 = 88 -j- 8, il che troppo si scosla dall' analisi del
Peligot che in 68 d' urano trovo 60 di uranio ed 8 di ossigeno; che

III 31

242 SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

se invece I'urano si considera come im ossido della forma i^' 0\ si
Irova mcdiante il calorico speoifioo il peso atomico 226:= 2.(101 +12),
che abbaslanza si accorda colla prcdelta composizione trovata dal Pe-
ligol: ma siccome le composizioni degli allri ossidi di uranio dale dai
Peligol si allontanano da tulle le analogic, cosi chi volesse piutlosto
affidarsi alio determinazioni del calorico specifico potrebbe ammcllere,
per esempio, cbe uranio = Ui := 64, cbe il suo prolossido Ui 0 = 72
corrispondesse colPurano del Berzelius, di cui e precisamenle la terza
parte; la capacita pel calorico di tal equivalenle sarebbe circa 4,32
che non mollo si scosla dalla 3, speltante alFossido di zinco (Zn0:=40);
e 1' ossido uranico (U'0' = 436) del Berzelius sarebbe un ossido di
uranio espresso dalla formula l]i'0' = l{j2.

Dopo aver parlato delle capacita pel calorico che Dulong, Petit
e Regnault fanno dipendere dal peso degli equivalenti chimici, par-
lero di alcune altre proprieta delle quali cgualmente s'indago la cor-
rispondenza con tali equivalenti. II Becquerel ravviso una qiialche ras-
somiglianza fra 1 ordine termoeletlrico dei melalli e quello delle ca-
pacita specifiche pel calorico, e siccome queste capacita sono inversa-
mente proporzionali agli equivalenti chimici, cosi ne verrebbe che il
potere termoeletlrico procedesse in ordine inverso del peso degli equi-
valenti. Ora r ordine termoeletlrico si puo esprimere con

Sb Fe Zn, Ag„, An, Cu Sn, Pb, Pt — Bi

64 28 53 34 99 32 39 104 99 106

do^e le lineette d' interruzione indicano una differenza mollo sensibile
nel potere termoeletlrico ; invece questi medesimi melalli dislribuili
secondo il peso dei loro equivalenti, sono

Fe, Cu, Zn Ag„ , Sn, Sb Pt, Au, Pb, Bi

28 32 33 34 39 64 99 99 104 106

Si vede adunque che le due serie sono mollo differenli ed in parti-
coiarc gli eslremi anlimonio (Sb) c bismulo (Bi) della prima serie si tro-
vano poco discosli nella seconda; invece rame (Cu) e piombo (Pb),
che sono all" incirca negli eslremi della seconda serie, sono poco di-
scosli nella prima: e di piu nella prima serie F anlimonio (Sb) di
mollo precede il forro (Fe), lo zinco (Zn), il rame (Cu) e lo slagno (Sn),

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 243

mentre nella seconda esso invece li segue; dicasi lo stesso dell' oro
(Au) rispetto alio slagno (Sn).

Quando una correnle elctlrica altravcrsa un corpo, essa vi produce
un generale riscaldaniento, che sembra dipendere dalla imperfetta con-
ducibilita del corpo; oltre a cio se il conduttore sia eterogeneo si os-
serva prcsso i punti di unionc dci due metalli differenli un singolare
lenomeno clettroteiinico, che talvoUa consisle soltanto in un riscalda-
niento piu o meno grande del riscaldamento generale, e talvolla si
converte in un raffreddamento : ora il Lame scopri la dipendenza di
tjuesto fenomcno dal nolo fenomeno termocletlrico, ed osservo che
presso r unione dei due metalli si ha un riscaldamento maggiore del
generale quando la corrente va dal melallo dolato di masgior potere
lermoeleltrico alf altro; e che invece, se la correnle csce dal melallo
dolato di minor potere lermoeleltrico, si ha riscaldamento minore, che
puo divenirc un raffreddamento, se non sia molto grande il riscaldamento
generale, e se i metalli mollo differiscano in riguardo al potere ler-
moeleltrico. Viene da cio che quando una corrente eletlrica attraversa
un conduttore eterogeneo, essa vi produce nelle giunture dei melalli
differenti delle variazioni di temperalura, le quali tulle concorrono a
generare una corrente termoeletlrica opposta alia generalrice, e che
si palesa al cessare di quesla. Quesla teoria fu riprodolla e conler-
mala dal Pacinotti, il quale pure ha Irovalo che la correnle dirella
dal melallo di minor potere lermoeleltrico all' altro produce un raf-
freddamento, che puo essere pero mascherato dal riscaldamento ge-
nerale a tullo il circuilo ; e torna forse a conferma di quesla teoria
r osservazione del predetlo Pacinotti, che come la corrente termoelet-
lrica va dair argenlo al rame, oppure dal rame all' argenlo, secondo
che la temperalura e poco o mollo elevala, cosi pure la correnle elet-
lrica produce, secondo la sua varia inlenslla, il freddo in ambedue
le opposte direzioni. Da quesla corrispondenza fra i fenomeni termo-
eletlrici e gli elettrolermici ne viene che se sussistesse la relazione
indicata dal Becquerel, anche i fenomeni eletlrotermici sarebbero sub-
ordinati alia capacila pel calorico e quindi anche ai pesi degli equi-
valenti chimici, e che pei-cio una correnle eletlrica non polrebbe pro-

24 4 SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

durre iin raffreddamcnto, se non quando il melallo da cui vicn fuo-
ri avcssc iin oquivalento cliimico maggiore di qucllo in cui cnlra.
Ma abbianio gia veduto quanto inesatta sia la legge indicata dal Be-
cquerel; e siccome d' allra parte ne il peso deirequivalente chimico,
ne la capacila specifica pel calorico sembrano teoricamcnte aver al-
ouna relazione col potere termoeleltrico, cosi nulla si puo conchiudcre
sulla mutua loro dipendenza, finche non si possa cangiare la capacila
pel calorico di un melallo, e si venga a riconoscere che cangi nello
slesso lenipo ancbe il suo potere termoeleltrico. Per lo contrario la
piena corrispondenza osservala tra il peso dell' equivalente e la capa-
cila pel calorico rendono sommamente probabile cbe queste due pro-
prieUi dei nielalli abbiano tra loro luia necessaria dipendenza, ed au-
torizzano a credere che le poche anomalie procedano o da imperfe-
zione di sperienze o da calorico latenle che venga a mascherare Pef-
fetto della differenle capacila pel calorico.

Alcuni chimici lenlarono di coUegare ai pesi degli equivalenti an-
cbe i pesi specifici dei corpi. 11 Persoz cerco di stabilire cbe i corpi
solidi abbiano i pesi specifici proporzionali a quelli dei loro vapori,
che (rallronde si rilengono proporzionali agli equivalenti, o a sem-
plicissimi multipli di quelli ; la legge e sommamente semplice e bene
si accorda coi pesi specifici del piombo e del perossido di mangane-
se, ma credo che merili ben poca atlenzione una pretesa legge ap-
poggiala a due soli fatli.

II Kupfer credelte invece che i corpi che si cristallizzano sotlo
una ugual forma primiliva abbiano il peso specifico inversamente pro-
porzionale al peso delF equivalente, e che il prodotto del peso spe-
cifico per r equivalente sia proporzionale al volume della forma pri-
miliva diviso per la lerza potenza del suo asse; per allro, onde far
accordare la sua ipolesi col fatlo, egli e coslrelto a molliplicare i pesi
degli alomi ammessi dal Berzelius per 4, i, ti t-, 2, 4, od anche
per 16; sicche mi pare che anche questa legge affatto empirica me-
rili queir obblio in cui la credo affatto cadula. 11 Kopp pensa per
lo contrario che nei corpi di ugual forma cristallina e di analoga
composizione il peso specifico sia proporzionale alF equivalente chi-

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 2 45

niico, c clie perclo gli equivalenll di tali corpi isomorfi abhiano ugiial
volume.

Suppongo che pochissima ledc sia da prestarsi a qucslc leggi ge-
nerall, e piuttosto ne espongo una di particolare trovata egualmcnle dal
Kopp, e che sembra in qualche modo approssimarsi al vero. E nolo che
fra i composti di idrogeno, carbonio cd ossigeno vi sono due grandi
famigh'e di corpi analoghi, Ic quali hanno per istipiti due corpi iso-
merici, cioe Tuna il gas olefiante (H'C'=:14), T altra il metilene
(H, C =: 7), ed a questi susseguitano i due idrali che sono V elcre or-
dinario (HjC^H,= 37) e Talcool (H^C^H: — 46) per la prima fami-
glia; e Felere metilico (H^ C' H, = 23) e lo spirito di legno (H^ C' H' = 52)
per la seconda: oppure si possono considerare come slipiti delle due
famiglie Tetile (H^C^ = 29) ed il metile (H,^€' = 13), che hanno per
ossidi i due eteri summenzionati (H^ C 0 = 37), (H^C'0=r23); mentre
i due alcool (H'C^O + H,= 46), (H'C0 + H, = 32) sono gH idrali
di tali ossidi. Inoltre retere ordinario e Tetere metilico unendosi con
molti acidi danno origine agli antichi eteri e ad altri analoghi com-
posti metilici, e si quelli che questi possono considerarsi come sali
formati dalKacido speciale combinato colPossido di etile, oppure col-
I'ossido di metile. D' allra parte gli acidi sono ordinariamente miiti
ad un equivalente di acqua (H, = 9), il quale fa le veci di base, e
tiene percio il luogo che nei predelti eteri e occupato dall' ossido di
etile 0 di metile. E ben evidente che nel passare da uno di questi
acidi idrati all' etere corrispondente, ed al composto metilico pure
corrispondente, gli equivalenti chimici accresceranno i loro pesi di
quantita costanti per tutti gli acidi: ora il Ropp Irova in aggiunta che la
stessa cosa avviene in riguardo ai volumi di tali equivalenti ed ezian-
dio in riguardo alle temperature di eboUizione dei relativi composti;
sicche se per fissare le idee prendiamo 8 grammi per equivalente
deir ossigeno, dalF equivalente di un acido idrato a quelle della com-
binazione delFacido anidro colF ossido di metile (H^C0 = 23) vi sara
r accrescimento di 14 grammi ed in volume di 23 millilitri, e la tem-
peratura deU'ebollizione si abbassera di 65°; similmente dal suddetlo
composto air altro analogo coll' ossido di etile (H'C^0 = 57) vi sara

246 SULLE NOMENCLATURE CHLMIGHE

ancora iin accrcscimenlo di 14 granimi e di 19 millililri, iiionlro la
tcniperalura dclF cbollizionc auinontcra di 19°. NelF unita Tavola 111
prosonlo alcunc applicazioni di qucsle due leggi : mi sono studialo di
delerminare i nunieri arbitrarii in niodo da rendere le differenze fra
rosscrvazionc ed il calcolo Ic ininori possibili, e nello stesso tempo
di presenlarc le leggi del Kopp nel modo piu generale.

Un'altra Icgge analoga fu stabilita dallo stesso Kopp, che pure
e sollanlo approssimata specialmente in riguardo alia tcmperatura
deir ebollizione : essa puo esprimersi dicendo die quando in un cor-
po composto ad un equivalente di idrogeno ( H, = 1 ) viene a so-
.slitiiitsi un equivalente di cloro (CI, = 53, J5), mentre il peso del-
r equivalente cresce necessariamenle di 54,'o grammi, il suo volume
cresce di 12,8 millilitri, e la temperatura dell' ebollizione si eleva di
24°; alcune applicazioni di lal legge si veggono registrate nella Ta-
vola IV.

II Kopp ba in seguito modificate le proprie idee in riguardo ai
volumi degli equivalenti chimici, ammeltendo cbe le costanti diffe-
renze di volume tra gli equivalenti che difleriscono in ugual modo
non abbian luogo alle ordinarie temperature delPatmosfera, bensi pei
volumi misurati a temperature corrispondenti, intendendo per tempera-
ture corrispondenti di due liquidi quelle die differiscono di un ugual
numero di gradi dalle temperature di ebollizione; sicche, ammessa la
nota legge del Dalton, a queste temperature corrispondenti i vapori
dei liquidi presentano un' ugual tensione. Perclie la legge del Kopp
sui volumi degli equivalenti dei corpi a temperature corrispondenti
fosse esatta, per qualunque distanza di queste temperature corri-
spondenti dalle temperature di ebollizione, bisognerebbe die tutli i
licjuidi egualmente si condensassero per un egual numero di gradi
partendo dalla temperatura dell' ebollizione ; ed infatti il Kopp am-
mette cbe tal condensamento sia di ^-^ per ogni grado centigrado.
Quantunque tutto cio formi un ammasso d'ipotesi poco alto ad ingene-
rarc fiducia, pure nella Tavola III ho esposle in particolarc colonna
anche le risultanze di questa legge del Kopp; colla dispiacenza per altro
di non poter indicare i veri volumi osservati, poiche quelli che da il

DEI. PROF. GIU.STO BELL.WITI.S 247

Kopp sono li'oppo conformi alia sua teoria, perche possano conside-
rarsi altrimenli chc come calcolati e trovali abbaslanza d'accordo colle
esperienze. Nulladiiiieno qucsto accordo, quantunque sollanlo appros-
simato, sarebbe notabilissimo ed utile, se veramente fosse genera-
ls, il che per allro non puo abbaslanza arguirsi dagll esempii forse
raccolti a bello studio dal Kopp fra i moltissimi composti di car-
bonio, idrogeno ed ossigeno. Bisognerebbe formare delle tavole di
gran lunga piii estese di quelle che io dedussi da quanto lessi del
Kopp, notarvi i voluini degli equivalenti e le temperature delFebol-
lizione veramente osservate, ed allora si verrebbe a riconoscere se le
leggi del Kopp sieno gencrali, o si reslringano a qualche ben definita
classe di corpi, o se invece ammettano si forti e frequenti eccezioni
da renderle affatto inutili.

11 Kopp applico i suoi principii, o meglio si dira le sue suppo-
sizioni, anche ai volumi degli equivalenti dei corpi semplici e spe-
cialmente dei mctalli, e ritenne che i corpi aventi chimicamenlc una
grande rassomiglianza abbiano gli equivalenti di volume eguale; e che
i metalli nel combinarsi colT ossigeno, o col cloro, e cli ossidi nel
combinarsi coll' acido solforico (SO^), o coll' acido azotico (A, 0') au-
mentino i volumi dei loro equivalenti, se non di quantita costanti, al-
meno di quantita riducibili a due, o tutto al piu a tre valori diffe-
renti. Cio fu da me esposto nella Tavola V, anche in tal caso col di-
spiacere che i volumi che tolsi dal Kopp sieno da lui dati come esatti
senza porli a confronto con volumi veramente osservati, e che sieno
probabilmente da lui stati esclusi lutti quegli ossidi e quei sali che
non si adattavano alia sua legge. Se si volesse dar qualche peso alia
supposizione del Kopp suH'egual volume degli equivalenti dei metalli
che in qualche parte si assomigliano, potrebbe dedursene un altro
motivo per dimezzare Tequivalente delFargento (Ag=108) ammesso
dal Berzelius, come gia al)biamo fatto in base della sua capacita pel
calorico.

Relativamente alia tempera tura deirebollizione dei corpi composti
soltanto di idrogeno e di carbonio, il Gerhardt ha data una legge ap-
prossimata, che, alcun poco gcneralizzata, puo esprimersi cosi: 11 nu-

2 48 SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

inero degli equivalcnti di idrogcno contenuli in un cquivalenlc del
corpo si inoltlplichi per 10,4, poscia lo stesso nuinero accresciuto di 4
e dimimiilo del nuniero degli equivalenti del carbonio si moltiplichi per
16; dal primo prodoUo si sollri il secondo, e si avra la temperatura
deircbollizione: la Tavola VI presenla il confronlo fra queslo calcolo
e Fosservazionc, relativamenle ai corpi dali per esempio dal Gerhardt.
A.vendo avulo occasions di nominare gli acidi acelico ecc, e cosi
pure Tetile ecc, vi aggiunsi i segni che ne esprimono Fanalisi ele-
nientare, non gia i segni A, Ae, ecc. che sono usati da alcuni chi-
mici, ma clic mi sembrerebbe doversi affatlo proscrivere, poichc i
segni (secondo la mia maniera di vedere) dovrebbero esprimere la
composizione del corpo, non gia essere una abbreviatura del suo no-
me. E ben vero che A presenta T idea deiracido acelico meglio di
(H^CO^); ma mentre vorrei che il nome di una sostanza chimica non
islesse mai senza il suo segno, viceversa non si dovrebbe nemmeno
adoperare il segno senza il nome, ed allora le parole acelico, acetato
ecc. indicherebbcro Torigine, le proprieta ecc. del composto espresso
da (H^CO'). Le parentesi servono a dinotare quel corpi che si dise-
gnano con un nome parti colare, ed e facile vedere quanti mezzi le
parenlesi e gli altri segni gia usati offrano per rappresentare il modo
con cui si vuol considerare la composizione dei corpi. Cosi, per esem-
pio, lo spirito di legno si rappresenta con (H^C'O'); ma se lo si vuol
considerare come un biidrato di metilene, lo si segnera cosi (H,C)'H^;
e se lo si riguarda come un idrato d'ossido metilico, lo si segnera
cosi (H^C')OH,. L'etere metilico (H'C'O) c anche un idrato di me-
tilene (H^C)'H, , oppure un ossido metilico (H^C')O, ed esso e iso-
merico colP alcool (H'C^O') che e un idrato di ossido etilico (H' 0)011,,
oppure un biidrato di gas olefiante (H^ C')' H^ . L'etere acetico consi-
derato come una combinazione di acido acetico anidro (H^C'^O^) e di
etere ossia ossido etilico (H^C^)O si segnera con (H',C^)0-h(H'C^ 0').
E da stabilirsi per massima di segnare mediante il segno + i composti
del secondo ordine analoghi ai sali, tranne gli idrati che saranno da
segnarsi con H, posto dopo il segno del corpo, tanto se Tacqua faccia
Tufficio di componente elettro-negativo, come se faccia I'ufficio di elet-

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 249

tro-positivo; cosi la potassa idrata, che io chiamerei ossido polassico
idrato (anziche dirla, alia maniera dei sali, idrato potassano), si segnera
con K H, . L'acido solforico idrato, nonic, a mio credere, molto nie-
glio espressivo di quello di solfato idrico, si segnera con S H,, anzi-
che nel modo H, + S, che lo indicherebbe come un sale; il solfato di
ammoniaca si segnera con H' A, + S -h H, ecc.

I segni chimici si prestano benissimo a presentare i processi di
sostituzione, a tal fine crederei che nei coniposti derivati, i componenti
dovessero occupare quelle posizioni che nel composto primitivo erano
occupate da quel componcnte cui vennero sostituiti, cioe che fosse
in tal caso da abbandonare Tordine eleltrico; gioverebbe anche sepa-
rare, medianle virgole o punli, i componenti corrispondenti a quclli
del composto primitivo. Cosi sc vogliamo notare le sostituzioni nel-
Tacido acetico idrato, noi lo segneremo con (H^.C^O''), ed esso dara
Tacido cloracetico (H CP, . C^ 0 ^), dove il Cl^ occupa il posto spetlante
air H^ a cui fu sostituito . Sc il liquore degli Olandesi si suppone de-
rivato dal cloruro etilico, lo segnerei con (H,^C1, . C')C1,, per indica-
re che provicne dal cloruro (H' . C) CI, ; che se lo si volesse notare
proveniente dal gas olefiante (H^ C')', lo si potrebbe scrivere H' CI, . C" -+-
+ H, CI,; con ulteriori sostituzioni si ha H, CI' . C' + H, CI, ecc. Lacido
carbonico C . O" da colle sostituzioni Tacido clorossicarbonico CO CI,,
ed il solfido carbonico C. S\ II surossido calcico Ca . 0' da il cloruro
calciano Ca . 0 CI, ; e con altra sostituzione esso da Tazotano calciano
Ca . 0 A, , dove V ossido azotico A, fu sostituito ad un equivalcnte di
ossigeno; se lo si volesse considerare come un sale, lo si segnerebbe
con Ca + A,. L'etere H'.CO da Tetere clorurato H^CI'.CO, oppure
Pacido acetico H'O'.C^O. L'etere melilico H^ . C' . 0 da Tacido for-
mico H, O'.C'O, r etere clorometilico H' . C\ CI, , ed il cloroforme
H, CIl . C' . CI, ; e T etere metilico H' . C\ 0 puo a sua volta supporsi
derivato dal gas delle paludi H^ . C\ H, . Secondo le idee del W entz
dalPacido fosforico P, . 0' provengono Pacido fosforoso P, . H, 0^ e Paci-
do ipofosforoso P, . H' 0\ ed appartengono pure alio stesso tipo il per-
cloruro di fosforo P, .Cl^, Possicloruro di fosforo P, .CP, 0% ed il sol-
focloruro di fosforo P, . S' Cl^ .

III. 32

250 SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

Laondc mi sembra poter conchiudere die Fuso dei segni chimici,
ogniqualvolta si dee inenzionarc una soslanza di determinata conipo-
sizione, sarcbbe sommamenle opportuno, e che diverra necessario per
fissare il significalo delle nomenclature sempre mutabili, e tali rese
forzalamente dal progresso della scienza; che onde i segni presen-
tino un linguaggio veramcnte universale, bisogna fissarli invariabil-
mente, e die e convenicnte scegliere a tal uopo quelli stabiliti dal
Berzelius: che apponendo al basso di questi segni delle cifre arabe o
roniane si potrebbe fare in guisa, che essi si prestassero a rappresen-
tare le varie opinion! dei chimici intorno alia grandezza degli equiva-
lenti: che le ulteriori modificazioni delle nomenclature dovrebbero
avere per fine principale di ricordare le proprieta dei corpi e spe-
cialmente la loro origine, le loro reazioni, lo stato allotropico od iso-
merico in cui si trovano, i tipi a cui appartengono ecc, e che in
quanto alia numerica composizione essa sarebbe da esprimersi col se-
gno chimico, giacche la nomenclalura diverrebbe ti*oppo complicata
sc dovessc indicare tale composizione; che la totale riforma di no-
menclatura proposta dalF Avogadro porterebbe il gi-avissimo inconve-
niente che il nome non darebbe se non se Tanalisi quantitativa, e sa-
rebbe anche molto meno espressivo del segno chimico; che Tattuale
nomendatura potrebbe forse utilmente modificarsi facendo che gli os-
sidi e gli analoghi cloruri, solfuri ecc, quando entrano nei composti
del secondo ordine cangiassero le loro desinenze oso ico in due nuove
desinenze ino ano^ appunto come gli acidi^ cloridi, solfidt ecc. pren-
dono in tal case le desinenze in ito ato; che si doATebbero sempre
pubblicare le analisi quali risultano dalla sperienza, anziche darle cor-
rette giusta la teoria ; che i valori degli equivalenli chimici si do-
vrebbero dare dentro i limiti di approssimazione risultanti dall'espe-
rienza, e che sarebbe ottima cosa aggiungervi Terror probabile; che
sarebbe utilissinio formare delle estese tavole dove la capacita pel ca-
lorico, i volumi ecc. fossero riferiti all' equivalente di ciascuna sostanza,
e vi fossero anche aggiunte le temperature dell' ebollizione ecc. per
-sedere quali relazioni almeno approssimate esistano fra tali numeri.

(Lette il 23 Marzo 18 46)

DEL PROF GIUSTO REF.LAVITIS 2 51

NOTE

(1) Non e molto che il Longchamp propose per I'idrogeno il noiue di couphos (leggiero).

(2) Esempii. Cloruro calciano := Ca 0 + C\, si chiamerebbe il cloruro di calce che serve a
sviluppare il cloro, e che e ben differente dal cloruro calcico=z CaC\,, il quale iinito ad un equi-
valente di acqua da il miiriato di Calce; che se si voglia espriinerlo coUa nuova nomenclatura
lo si dira cluridrato o, molto meglio, cloridrogenato Crt/c/aHO = Ca 0 + H,Clj. La coinbinazione
del solfiiro carbonico (C S") (che forse potrebbe dirsi solfido carbonico (C S") perche la sua com-
posizione e analoga a quella dell'acido carbonico (CO')) coll'ossldo ferrico (FcOt), che dal Ber-
zelius dicevasi carbosulphuretum ferricum, io la chiamerei solfo-carbonato ferrano (Fe'O'+CS').
L'acido chrossiearbonico (CCl, 0) (nel quale un equivalente di cloro tien luogo di uno di ossi-
geno) da, per esenipio, il clorossicarbonato jnombiano (PbO + CClO). Un esempio di solfo-sale
si ha nel solfidrogenato solfopotassano (KS + E^S). Si ha il ciamtro potassico (KC'AJ ed il
cianuro potassano (KO + C'A,); nel primo il cianogene (C'A,) e unito col potassio, e nel se-
condo coll'ossido potassico.

352

SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

T A V 0!
Che presenta i pesi degli equivalenti dei cor pi semplici

(Vi sono aggiunle le formule ed ii

Secondo Berzelius

3

1 1
i3

19

CoRPi Semplici

Ossigeno
Cloro

Bromo

lodio

Fluore

Solfo

Selcnio

Telluro

Azolo

Fosforo

10

Arsenico

15

Carbon io

14

Boro

20

Silieio

21

Idrogeno

Croiiio

Molibdeno

Tungsteno

Tanlalo (Colunibio)

Pelopio

Niobio

Titanio

Peso

del-

r alomo

8,000
17,706

39,132
63,180

9,352
16,093
39,567
64,516

7,081

15,691

37,603
6,115

10,896
22,185
0,4992

28,145
47,882
94,640

92,297

24.293

Equivalente
probabile

Segno Peso

0
CI,

Br,
I,

Fa

S
Se
Te
A,

Cr
Mo
W

Ta
rp
Nb
Ti

35,5

80
126
18,5
16
40
64
i4

32

75
6

11
22
1

28
48
95

92

li

Ossido cloroso C1,0=: 43,5; Acidi cloroso CI, 0^ = 59, 5)

Cl=: 1 7,7. Marignac trovo da prima Cl, = 36, posci?

mette Cl^ = 35,46.

Acido broniieo Br,0'== 120. Marignac trovo Br, da 79

Acldo iodico 1,0^ = 166: Solfiiri iodoso I,S=1 42,iodicc

I
Acidi iposolforoso SO=24, solforoso SO' = 32, iposolj

Acidi selenioso SeO' = 56, selenico SeO^ = 6 4. Solfurq

Acido tellurico TeO'=80. Solfido teliurico TeS' = 96

Ossidi azotoso A, 0 = 22, azolico A, O'=30; Acidi aztf

A,= 1 4. Erdmann e Marchand ritcngoiio A,= 1 4.

Acidi ipofosforoso -^P, 0=20, fosforoso 7P, 0' = 28,

fosforico =PO' = 31,69. II Thompson aveva gia

discrepanze vi sieno da un chimico all'altro. Pelouze

Acidi arsenioso ^As, 0^=49, 5, arsenico ^As, 0^=57, 5

arsenico As, S' = 1 55 , Persolfuro As, S''= 363 .

Ossido carbonico C0=14. Acidi ossalico CO' = 36,

grafite trovarono C„= 2,9993 e colla conibustione

giustificava la legge delle sostituzioni nella Naftalina

Acido borico B 0' = 3 5 . Etogeno del Balmain B' A, = 3 6

Acido silicico(Silice) Si 0^=4 6. Pelouze trovo Si,„=7,l 1 5.

Acqua H, 0=9, Surossido 11,0' = 17. Acidi cloridroge

drogenico IJ,S=17. Selenido idrogenico n,Se=41

Secondo le prime sperienze del Lavoisier era II,= 1 ,4

determinazione del Prout aspirando ad una esattez

trovo H, da 0,9 98 a 1,005. Erdmanii e Marchand

Ossidi cromico CrO'=40, suscromico (ipercromico;
Ossidi molibdoso MoO = 56, molibdico Mo 0'=64, Acido

Ossido tungstico W0'=1 1 1 , Acido tungstico W0'=1 1 9

3

Ossido tantalieo Ta 0 = 1 00, Acido tantalico Ta 0^=1 04
[NuovI metalli trovati dal Rose.
Acido titanico TiO'=40. Rose trova 1' acido titanico

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS 253

I A I.

uali possono attualmente considetarsi come i piii probabili.
!si di alcuni dei loro coraposti.)

RINCIPALI COM POST I BIMARII

lorico CI, 0^=75,5, perclorico CI, 0"== 9 1, 5; Solfuri cloroso CI, S= 54,5, clorico CI,S' = 67,5. Laurent trovo
;i, = 35,37, infine eon piii diligent! sperienze CI, = 35,4 6. Erdmann e Marchand trovano CI =18. Pelouze am-

>5 a 79,94 e ritenne Br, = 80. i ....

,5"= 1 58. Marignac trovo I,= 120,85. • ' " "

5_

brico S0*=36, solforico S0^=40. Erdmann e Marchand trovarono S= 16,005. Berzelius trovo S=16,06.
>elenioso SeS'=7 2. Fluorido selenioso SeF^ = 77.

oso A,0'=38, azotico A, 0^=54. Dumas trovo A = 7. Marignae trovo A, da 14,006 a 14,030 e ritenne

'elouze, qiiantunque eontrario airipotesi del Prout, pure riconoLbe che A, = 14,006.

osforico -fP, 0^=36. Solfidi ipofosforoso P, S=:48, fosforico P, S'=:112. Longchamp vorrebbe che fosse Acido

unmesso che P=12, e i due acidi fossero: fosforoso P0=20 e fosforico PO':=28, il che niostra quanto gravi

rovo P, = 32,02 4.

iolfuro di arsenico As^.S=466; Solfidi ipoarscnioso (Realgar) As, S' = 107, arsenio.so (Orpimento) As, S^ = 123,

Pelouze trovo As, = 7 5,000.

2arbonico CO' = 22. Sol/ido carbonico CS'=-38. Cianogene C.A, =:26. Duuias e Stas colla combustione della

del diamante C„=: 3,0002, ed osservarono che questa fortissima diminuzione nel valore ammesso dal Berzelius

Erdmann e Marchand coUo stesso mezzo trovarono Cda5,987a6,015.

'nico H, CI, = 36, 5, bromidrogenico H,Br,=:8l, iodidrogenico H,I,= 127, fluoridrogenico H,F,= 19,5, solfi-
Teilurido idrogenico H, Te= 6 5 . .■Vramoniaca H^ .V,= 1 7 . Gas idrogeno carburalo H' C= 8 . Gas olefiante H' C = 1 4 .
poscia H,=: 1 ,36. Berzelius con esperienze che differiscono da H,:=0,992 a H,=l ,066 voile rifiulare la teoretiea
za che non era comportata ne dai pcsi specific! adottali, ne daU'ommissione delle necessarie correzioni. Dumas
trovarono H, = 1 .

CrO''=4 4,Ac!do cromiio CrO^=52,Solfuro cromico CrS'=52, suscromico CrS'=60, Solfido cromico CrS'=76.
molibdico MoO' = 72

T!'0'=72,59.

254

SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

CONTINUAZIONE,*

Xf-

Seeondo il Berzelius

22
16

34

24

25

26

23

27
28

30
29
33

35

36
31

32

40
37

CORPl SElIPI.iri

Vanadio
Antiinonio

Stagno
Osmio

Iridic
Platino

Oro

Rodio
Palladio

Argento

Mercurio

Bisniuto

Pionibo

Cadmio
Rame

Urano (Uranilo)
Uranio

Zinco
Cobalto

Peso

del-

r atomo

68.467
64,516

58,824
99,559

98,680
98,680

99,441

52, HI
53,272

108,129
101.266
106.430

103,560

55,741
31,656

216,909

32,258
29,519

Equivalente
probabile

begno

V

Sb,

Sn
Os

Ir

Pt

Au

R
Pd

Ag„
Hg
Bi

Pb

Cd
Cu

U
Ui

Zn

Co

Peso

68
129

59
100

99
99

99

52
53

54
100
106

104

56
31,7

204
60

33

29,5

^-oU*

Ossidi % anadioso V 0 = 7 6 , vanadico V 0' = 8 4 ; Acid
Ossido antimonioso Sb, 0^ = 153; Acidi aniimoniosi

Sb,„0'^60. ^

Ossidi stagnoso Sn 0 = 6 7 , stagnico Sn 0' = 7 5 ; Solfurc

Ossidi osniioso Os 0=108, suosmioso (iperosmioso

Solfuri e Solfido. Freniy trova Os = 99,82, Acidc *

Ossidi iridioso IrO^107, iridico IrO'=: 1 1 5, cogli anS ^

Ossidi platinoso PtO = 107, platinico PtO' = 115,cogli '

-L i.

Ossidi auroso Au 0 '= 1 03, aurico Au 0 == 11 1 . Solfur.

= Au=98. 3^

Ossidi rodioso R0=60, rodico RO' = 64. Solfuro ro
Ossido palladioso Pd 0 = 6 1 , palladieo Pd 0' = 6 9 , ed ana

Ossido argeutico Ag„0 ' =58; Solfuro argentico Ag„S^=62 *
Ag= 107,921. Erdmann e Marcliand ritennerc

Ossidi mercurioso Hg 0 ' = 1 0 4, mercurico Hg 0 = 1 08:
rido mercurico (Subliniato eorrosivo) HgCl,= l 35,5:

3_

Ossido ( sesquiossido ) bismutico BiO'=118; Solfuro

3_

e Sesquiossido Bi 0 ' = 8 3 , ma Ilcintz trovo Bi =
Ossido piombico PbO= 11 2, Surossido piombico Pb 0' = '

gia ammetteva il Thompson, Pb = 104.
Ossido cadinico Cd 0 = 6 4 ed analogo Solfuro.

Ossidi rameoso Cu0'=35,7, raineico Cu 0 = 39,7

Marchand trovarono eon quattro sperienze Cu djl#
J '

Ossidi uranoso U 0 = 2 1 2, uranico U 0 '= 2 1 6 ; Solfur'

suo 216,909) e il tripio del valore trovato comd
Peligot rUrano e un ossido di Uranio Ui" 0' = 1 36 :

_3

nilo; egli ammette inoltre il SottossidoUi'0'=132J
che puo considerarsi come un Ossido di uranil(!

corrisponde il Cloruro Ui' CI," = 1 73,25 ; al Peroi|
Ebelmen trova Ui = 5 9 , 4 . [

Ossido zincico ZnO=41 ed analogo Solfuro. Jaequeliri •
mann trova Zn= 32,53. I

Ossido coballico Co 0 = 37,5, Surossido (Sesquiossido) di|^

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 255

ELLA TAVOLA L

anadico V 0^=92. ^

|],0''= 161 , antimonico Sb,0^= 169. Thompson ammetteva Sb,„= 44, Ossidi Sb„,0 = 52, Sb„,0' = 56,

iagnoso SnS=75; Solfldo stagnico SnS'^91.

isO" = 112, osinico OsO'=ll6, susosmico (iperosmico) OsO' = l 24; Acido osmico OsO''= 1 32,cogli analoghi

smioso Os 0^, ed Acido osniico Os O"*.

)ghi Solfuri iridioso Ir S ^ 1 1 5, iridico Ir S' = 1 3 1 .

iialoghi Solfuri .

uroso AuS"=107, aurico AuS~=123. Berzelius trovo ultimamente Au=98,333. Non e difficile che Ir = Pt =

ico RS" = 76.
)ghi Solfuri.

tlloruro Ag„ 01^=71, 75. Baup trovo AgO = '116. Marignac trovo a varie riprese Ag=109,92, Ag=108,00.
.g=110, appunto come aveva ammesso il Thompson. Pelouze ammette Ag= 107,921.

oifuro mercurioso IfgS' = 108, mercurico HgS=H6; Cloruro mercurioso (Calomelano) HgCI,'= 1 17,75, Clo-
irdmann e Marehand ammettono Hg= 100 come medio di cinque sperienze da 100,02 a 100,09.

IS "=130. Berzelius sostitui al prinio valore 106,430 ilBi = 70, 954 e ritenne che Ossido bismutico BiO= 79

06,4302, BiO'=122, BiO~=126. Peligot ritiene che I'equivalente deU'ossido sia Bi' 0^=236,

20; Solfuro piombieo PbS^120; Cloruro piombico PbCI,= 139,5. Erdmann e Marehand trovarono. come

liossido di fame CuO''= 47,7, e gli analoghi Solfuri ed inoltre il Persolfuro di rame Cu.S'=lll,7. Erdmann e
,M,70 a 31,75.

|iranoso US=220, uranico US' =2 28. L'equi\alente 204 che attribuisco aU'Uranodel Berzelius (in luogo del

ague dal Peligot e da altri, cosi il UO si accorda col seguente Ui'O^, ed il UO' col Ui'0'=144. Secondo il
he da origine ai sali verdi, e che talvolta invece prende il carattere di radicale, ed e allora da lui chiamato Ura-

I Deutossido nero Ui'0~= 1 40, il Tritossido oliva Ui04-Ui'0'=212, ed il Perossido dei sali gialli Ui'0'=l 4 4,
ji'0'+0= 14 4. AirUrano (ossido d'Uranio) UiO = 68 e analogo il Cloruro d' Cranio UiCl, = 95,5; al Sottossido

^ido corrisponde il Cloruro d'uranilo Ui'0' + Cl, = 1 71,5. Wertheim trova Ui = 5 9 , 7 , Rammelsberg Ui = 60 ed
la quattro sperienze trovo Zn=33,12 fra 33,10 e 33,17. Fa\Te trovo Zn = 32,99 fra 32,94 e 33,07. Erd-
* ohalto CoO^= 41,5; Solfuro coballico Co S= 45,5, Sesquisolfuro di cobalto CoS* = 53,5, Bisolfuro CoS" = 61 ,5.

256

SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

CONTINUAZION^

u

Secondo Berzelius

Ij

EquiVdieiue

s

gj

Peso

probabile

. .. ,■ _ ., , , ,,

s

1^

o 2

CORPI Sf.MPLICI

del-
1' alonio

. \. . .■ . ■

Segno

Peso

38

Nicliel

29,574

Ni

30

Ossido nichelico Ni 0=38 ed analogo Solfuro.

42

Cerio

45,976

Ce

46

Ossidi cerioso CeO=54, cerico CcO~=58 ed analog?; ^

.-

Lantanio

_

Ln

48

Ossido lantanico LnO=56 secondo 1' Hermann. )„

>Du

'o

_

Didiniio

—

Dd

b.

43

Torio

59,592

Th

60

Ossido torinico (Torina) ThO = 68, Solfuro ThS=76

39

Ferro

27,136

Fe

28

Ossidi ferroso FeO=36, ferrico (Colcotar) FeO~=4C
FeS'=: 60. Svanberg e Nolin trovarono Fe= 27,9|

41

Manganese

27,671

Mn

27,5

Ossidi manganoso MnO=35,5, manganico Mn 0~=39,^

45

Alluminio

13,693

AI

14

Ailumina Al 0^=26. Thompson ammclteva A1„„ = 1C

47

Glicio (Berillio)

26,501

Be

26

Glicina Be 0^=38. Thompson aninielteva Be,,,, = 18.

*o

44

Zirconio

33.616

Ir

34

Zirconia Zr0'^=46. Tliompson animetleva Zr„„ = 4f

C
g

Zr^O'=90,5 coll'analogo eloriiro Zr,Ci^=173. *

S

_

Norio

—

No

Nuovo mctallo scoperto nella Zirconia dallo Svanberg.

^

46

Ittrio

32,201

Y

32

Ittria Y0=:40.

—

Terbio
Erbio

—

Tb
Eb

SNuovi metalli scoperti nell' Ittria dal Mosander.

—

48

Magnesio

12,668

Ms

12,7

Magnesia MgO= 20,7; Solfuro magnesico MgS = 28,7

49

Calcio

20,482

Ca

20

Calce CaO=28, Biossido di calcio CaO'=36; Solfur
calcico CaF,= 38,5. Dumas dall'analisi dello spat

'■§,

rignac; Berzelius pur confessando errata la prim,

im

ma Erdmann e Marchand riconfermarono il Ca =

-3

50

Slronzio

43,783

Sr

44

Stronziana SrO = 52, Biossido di slronzio SrO'=:60
Marignac.

51

Bario

68.550

Ba

68

Barite BaO = 76; Biossido di bario BaO' = 84; Solfui /

Pelouze trova Ba= 68,64.

52

Litio

6,43

L

6

Litina L0=14; Solfuro LS = 22. Arfredson avca ti
tiene 0,61 di acido e 0,39 di base, ne dedus

•^

53

Sodio

23,272

Na

23

Soda NaO=31, Surossido Na 0^= 3 5; Solfuro sodi(

1

ruro NaCl,= 58,5. Longchamp dedusse da princii

o

si poco tra loro si aecordano chc danno per I'ossiger

54

Potassio

39,193

K

39

Potassa KO=47, Surossido di potassio KO' = 63, Sj»

Cloruro potassico K CI, = 7 4,5, loduro Kl, = 16.'i

posizione del perossido poco puo stabilirsi di sicui^

r \ ■ ;'-i

0,81. |i

1

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS . 257

ELLA TAVOLA I.

RINGIPALI COMPOSTI BINaRII

olfuri. Hermann trovo Ce=46.

;uovi melalli che il Mosander trovo nel Cerio.

.'on bisogna confonderlo colla terra che portava il noine di Torina. e che si riconobbe essere un Fosfato d' ittria.

•ottosolfuri di ferro FeS^^SO, FeS'^36, Solfuri ferroso FeS=44, ferrieo FeS'=:52. Bisolfuro di ferro
he sembra ammesso anche dal BerzeUus.

iurossido MnO'= 43,5; Acido manganoso MnO^ = 5l,5, Acido ossimanganico MnO^=55,5,Solfuro MnS=43,5.

Vlluraina AU,„0= 18.

; Zirconia Zr„„0= 48. il che costituisce una somnia differenza. Hermann trova Zr, da 66,5 a 67,2 e Zirconia

II

?alcico CaS = 36; Bisolfuro di calcio CaS' = 52, Persolfuro CaS^=100; Cloruro calcico Ca €1^ = 55, 5; Fluoruro

I'lslanda dedusse che sia esattamente Ca= 20, nel che convennero anche Erdmann, Alarchand, Salvetat e Ma-

leterminazione,ritenne che Ca= 20,1 5539, come medio di cinque sperienze eomprese tra 20,1 176 e 20,1944,

20,031.

50lfuro stronzico SrS = 60. Pelouze trova Sr= 43,842. Salvetat trovo .Sr=44, il che e ammesso anche dal

barico BaS = 84; Persolfuro di bario BaS'= 1 48. Salvetat trovo Ba=68 il che e ammesso anche dal Marignac.

'vato L,= 20,45, Gmehn L,= 15,30, Kralovanszki L, = 20,34. Hermann trovo che il Carbonato di Litina eon-
'L,= 12,165, ma atteso la correzione portala nel peso di CO'=22 ne risulta L,= 12,04.

NaS = 39, Bisolfuro NaS'=55, Trisolfuro NaS^ = 71, Quadrisolfuro NaS'' = 87, Persolfuro NaS'=r 103, Clo-

3_

teoretici che il Perossido sia NaO\ ed egli osservo che la formula NaO= fu dedotta da cinque sperienze le quali
contenuto nel Perossido 0,20, 0,30, 0,30, 0,37, 0,42. Pelouze trova Na= 22,974.

furo potassico KS=55. Bisolfuro KS' = 71, Trisolfuro K,S'=87, Quadrisolfuro KS*= I 03, Persolfuro KS' = H9,
Marignae trovo da prima K=: 39,88, poscia K= 39,201, K = 39,115; Pelouze trova K= 39,1 4 4. Sulla com-
poiche in cinque sperienze si trovo per la quantita d'ossigeno in esso contenuto 0,48, 0,61, 0,66, 0,68, 0,79,

III. 33

wSULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

TAYOLl II.

Contenente i pesi specifici di varii fluidi aerifornii,
ed il loro confronto cocjli equivcdenti chimici.

Gas 0 Vapohe

Equivalente chimico

od

un suo multiplo

0 suDiniuUiplo

Densita
del lluldo
aerifoime

Aria = 1

I'l

Peso

in granimi

aO''eO"',7<5

di

un litro

S "H

it

OsSERVATORl

^0,0

"oT"

1 .Gas Ossigeno

20 = 16

1,10359

690

1,43353

896

Biot ed Arago

1,1026

689

1,4323

895

detti

1,1026

689

1,4324

895

Berzelius e Diilong

1,1057

691

Dumas e Boussingaull

1,10563

691

Regnault

21. Gas Idrogeno

H,= l

0,07321

732

0,0951

951

Biot ed Arago

0,0688

688

0,0894

894

Berzelius e Duloiig

0,06926

693

Reguaull

Vap. Acqua

H,0 = 'J

0,062

689

0,8054

895

Berzelius e Dulong

5. Gas Cloro

Cl, = 35,5

2,470

696

3,2088

904

Gay-Lussae e Thenard

2,4252

683

3,1505

887

Bisehof

Pi'otossidodicloro

2,314 4

3,0066

Gay-Lussae

G. Aeido cloridr.

^H,C1,= 18,25

1,2474

683

1,62

888

Biot ed Arago

6. Vap. Bronio

Br, = 80

5,3933

674

Berzelius

Acido broiuidrog.

^H, Br, = 40,5

2,731

67 4

dello

7. Yap. lodio

I,= d26

8,6195

684

11,1976

889

Gay-Lussae

8,716

692

11,323

899

Dumas

8,8172

700

11.4542

909

Bisehof

8,7011

691

Berzelius

Aoido iodidrog

7H,I, = 63,5

4,443
4,4193

700
696

5,7535

5,7719

906
909

Gay-Lussae

delto
Berzelius

4. Gas Fliiotv

3,3979

4.4141

Bisehof

2.Vup .Solfo

.S= Ifi

1,14 4 4

715

1,4867

929

del to

G. .\cido soll'oroso

.SO'=32

2,1204

663

Gaj'-Lussac e Theiiard

2,1930

685

2,8489

890

J. Davy e Gay-Lussae

2,247

702

2,9190

912

Biscliof

G. Acido sollidr.

II,,S= 17

1,1912

701

1,5475

910

Gaj-Lussae e Thenard

1,2132

713

1.5760

927

Bisehof

1.178

693

Pouillet, Pliysique § 533

3. Gas Azo((i

A, = 1 4

0.9691

692

1,2590

899

Biot ed Arago

0,976

697

1,2675

905

Berzelius e Dulong

0,972

694

Dumas e Boussingaull

0,97137

694

Regnault

.\n'a

1,

1,2991

Seeondo Dumas e Boussin-
gaull di 2 3 OSS. e 7 7 azoto

DEL PROF GIUSTO BELLA VITIS
CONTLNUAZIONE DELLA TAVOLA IL

259

Equivalente chimic

0 DensiU | ^ _;

Peso

L.

Gas 0 Vapohe

0(1

un suo multiplo

del Ouido
aeriforme

in grammi ^ J
aO"eO"',76 §.=

OSSERVATOHI

0 summultipio

Aria = 1

'^^

di
un litro

K =

0,0

0,0

G. Ossido azotosc

> A, 0=22

1,520 4
1,5269

691
694

Colin

detto

1,5273

694

1,9841

900

Berzelius e Dulong

G. Ossido azolico

tA,0' = 15

1.0388

692

1,3495

899

Berard

1,0393

693

1,3501

900

Bischof

1.0010

667

1,3004

867

Berzelius e Dulong

Gas Aninioniaca

^H^A, = 8,5

0,59669

702

0,7751

912

Biot ed Arago

0,5912

696

0,7680

904

Berzelius e Dulong
Pouillet, P/ysiV/iie § 533
H. Davy, Berzel. e Dulong
Troinsdorff

9.G. Idrog. protosf

G. Idrog. fosfor.

lO.G. Idrog. arsenic.

?-^H!P, = 17,5
?
?

1,256

0,87

0,529

712

1,1302

0,6872

7 H, As, = 38

2,695

709

3,5023

922

Dumas

Cioruro d'Arsen.

-;- As: Cl,= 92,75

6,3006

679

8,1852

883

detto
Cruikshank

1 5.G. Ossido carbon.

C0=14

0,9569

683

1,2431

888

G. Acido carbon.

CO, = 22

0,9727
1,5196

695
691

1,2636
1,9741

903
897

Berzelius e Dulong
Biol ed Arago

1,524

693

1,9805

900

Berzelius e Dulong

1,5291

695

Regnault; alia temp. 0° e

Gas oleflante

H:C'=]4

0,97804

699

1,27052

907

press. 0'",76
Teo. de Saussure

Vap. Alcool assol.

H:C=H, = 23

0,9804
1,6133

700
701

1,2736

910

Berzelius e Dulong
Gay-Lussac

Vap. Etere

H4C^H,= 37

1,6004
2,5860

696
699

2,0791

904

Berzelius e Dulong
Gay-Lussac

G. Idrog. carbon.
G.CIorossicarbon.

H:c = 8
C CI, 0 = 49,5

2,5808
0,5590
3,3894

697
699
684

3,3527
0,7262
4,4032

906
908

890

Berzelius e Dulong

detti
J. Davy

Vap. Solfido tarb.
Gas Cianogene
V. Acido cianidr.

3,442

697

Pouillet, /'/o^iV/ue § 533
Gay-Lussac
Berzelius e Dulong
detti

CS' = 38

C'A, = 26

fH,C'A, = '13,5

2,6447
1,8188
0,9438

696
700
699

3,4357
2,3628
1,2261

904
909
908

Gas Clorocianico
14. Cioruro di Boro

tC=A,C1,=30,75
?B^CI,= 57,5

2,1113
3,942

687
686

2,7428
5,1212

890
890

Gay-Lussac
Dumas

Acido lluoborieo

?B'F, = 30,5

2,3124

758

detto
J. Davy
Dumas

detto

20. Acido fliiosilicico

Cioruro di silicio

19 Perclor. di titanio

?SiCi:=93
TiCI,'=95

3,5375
5,9390
5,836

639
720

4,6425
7,7154
5,881

830
935

34.Perc]or. distagno

SnCi:=I30

3,1997

708

1,9514

919

detto

29.Vap. Mercurio

Hg=I00

3,976

698

3,0625

906

detto

260

SULLE NOMENCLATURE CIIIMICHE

TAYOLA III.

Dati elementuri dalla sonima del qmdi si possono determinare,

■'<ecoiido i piDicipii del Aopp, i volumi deyli eqiimdenti chimici
di a (cunt corpi liquidi e le temperature delle loro ehollizioiii.

EquivalcQte
cliiniico

Volume
deirequiv.
alle temp,
ordinarie

Tempe-

ratura

delPebolli-

zioiie

Volume
deirequiv.
alia temp,
deireboll.

Formula
0

Peso

8

Ossigeno

4.68 *

Idrogeno

H,

1

4.68 *

Carbonio

C

6

6,24 *

h;;c'

-14

I'J '

I 9". •

21.84*

Aequa

H,0

(J

7

61".*

9,36*'

Ossido metilico

11^ CO

23

32 .

2".

31,2 .

Ossido etilieo (Elere)

H^C^O

37

51

17°..

53

Aeido Formico

H,CO'

37

30 ,

38^ .

31,2 ,

Acido Acetico

Ht C^ 0'

51

49 ,

57". ,

53 .

(*) Questi noil sono sc non sc nuincri affatto ipotetici, i quali soiiimati insieme daniio i vo-
liiini c le temperature di eboljizione dei liquidi composti; cosi per esenipio il doppio della soin-
ina dei nunieri appartenenti a H, ed a C da 11 numero 21,84 appartenente al H'C Questo H'C,
aggiuiilo alia serie melilica da la serie etilica; alia prima serie apparliene I'Ossido metilico ([drato
di metilene) (H^C'O), lo Spirito di legno (H^C'O") e I'Acido formico, menire la seconda serie
contieiie I'Ossido etilieo (Etere) (ll^C^'O), TAlcool (H^CO') e rAcido acelico. Lo stesso HJ C ag-
giunto tre volte ai composli etilici (HjC*) da i compost! amilici (Hj' C'°), ed aggiunto all'Acido
acetico da 1'. Acido Butirico, poscia I'Acido Valerianico, ecc. Si notera che Taggiunta di H'C
porta sempre gli aecrescimeuli 14. 19, 19°., 21, 84 nelle rispettive coloniie,

(**) II numero 9,36 che risulta dalla somma di quelli appartenenti ad II, ed a 0 da confonnc
all'osservazione il \olunie in lilri del peso 9 in chilogramnii ill acqua alia temperatura della sua
ehollizione.

(J Anche questi sono numcri ipotctici die servono soltanio alia formazione di quelli die sc-
guono dopo. .Si notera che le riglie dell' Ossido etilieo e deir.\cido Acetico sono rispettivamente
formate da quelle dell' Ossido metilico e dell' Acido Formico inediante I'accrescimcnto di n^C\,
14, 19, 19°., 21.84. In quanto al numero 51 ed al 53 = 5x4,68 + 4X6,24 + 4,68 essi
danno approssimatamente i \olumi di 37 chilogramnii di etere alia temperatura ordinaria ed
alia lempeiatura della sua ebollizione.

DEL PROF. GIUSTO LELLAVITIS

:261

COMINUAZIONE DELLA TAVOLA III.

J ohimi (le(/li cfjuiKalenli e fp))iperature delV ebolUzione

(li alcuni li(iuidi. valcoldlc soijuiiando i datl elementori Ipotetici

csposii pyca'doi leDH'iiie.

•ato

Equivalente
chimico

Idi". iiR'til.(.Spii". di legno
Idralo ctilico (Akool)
Idrato aniilieo
Acido Fonuico idrato
Formiato mctilito

— t'lilico
Acido Acelico id
Acetalo metilico

— etilico

— aiuilico
Acido Butirico idrato
Butirato metilico

— etilico
Acido Valeiianico idrato
Valerianato etilico
Acido Capronico idrato
Acido Caprilico idrato
Acido Benzoico idrato
lienzoato nictilico

— etilico
Acido Siiccinico idrato
Succinato metilico

— ctilico
Acido Subcrico idrato
.Subcrato metilico

— ctilico
Acido .Mucico idrato
Hucato metilico

— etilico
Etere carbonico
Acido Solforico idrato
Solfato metilico

H|lC'0 + H'0
HfC^O + H,0
Alcool + 3H^e
H, 0 + II, C 0'
H^C'0 + H,CO'
H' C^ 0 4- H, C 0^

H, 0 h Bl C^ 0'
H| C 0 -I- 11^ C^ 0^

H;'C'°0 + II'cH)^

H, 0 + 11- C' 0'
H^CO + H;C'0'

n^c^o + e'C''o'

II, O + H^C'-O^
II^C'0 + H5C'°0'

H, 0 + Hj C'^ 0^

Hfc^o+n^c'^o'

II, 0 + II' C^ 0^

hlco + uic^o'

HfC^O + H'Co^

H^O + H^C'^O
H'C'O + Il^CO'
Il'C''0 + H^C''0'

IlJC^U + CO'
11,0 + SO'

h!c'o + so'

Volume
deir equiv.
alia temp,
ordinaria

osserv. calcolata

32
46
88
46
60
74
60
74
88
130
88
102
I 16
102
130
116
144
1 22
130
150
59
73
87
80
94
108
105
119
133
59
49
63

99

124
144

38

84

93
107

81
101
61
26

48

37

100

Temperatura
deirebollizione

60°.

98°.5

53°. 4
120

58°
4°

19

19

;25

239'
198'
209'
235'

214'

126°

59°.

7 8°.
135°.

99°.

36°.

5 5°.
1 1 8°.

55°.

7 4°.
131°.
156°.

93°
1 1 2°,
175°.
131°,
19 4°.
232°,

— 63°,
} 19°

}-63°
} 19°

Volume
deU'equival.
alia temp,
deir ebolliz.

40,6
62,4

40,6

84.2
62,4
84,2
106

156
178

57,8

101.4

120,

142

68,

Si deduc.dai com-
post! formici som.
mandovi H' C".

Si deduc. dai pre-
ced. colP aggiunta
dei H; C e dci nu
meri corrispond.

I vol. alia temper,
deH'cbollizionesono
calcolati mediante :
dati element, prec
Inquanto alle temp
deU'ebollizione ed i
volumi alle temper,
ordinaria non si po-
terono calcolare se'
non se le diflerenze]
in base delle difTe-
renze 2.d e — 63°
che si scorgono fra
i dati element, cor-
rispond all'acqua e
quelli corrispond
alPossido metilico:
ed in base dellc dif-

SULLE NOMENCLATURE CHIMICFIE

CONTINUAZIONE DELLA TAVOLA III.

Volume

Volume

Equivalente
chimico

delPequiv.
alia temp,
ordinaria

Temperatura
deirebollizione

dell'equival.
alia temp.
deU'eboliz.

Formula

Peso

OSS.

di£f.
calc.

osserv.

66°.
85°.

differ,
calcolata

i 19°.

OSS.

calcol.

Acido Azotico idrato
Azotato metilico
— etilico

H, 0 + A, 0=
H^C"0+A,0=
H^C<0 + A,0'

63

7 7
91

42
65

ferenzc 19 e
portate da ogni
giunta di H^C

19°.

ag-

lodido metilico

H^C? + I,

141

63

> J 0

45°.

] 19°

— etilico

H,*C^+I,

155

81

64°.8

5 5 7°

— amilico

h;' C" + 1,

197

122°.

} ■)/ .

Solfuro di metile

H', e + S

31

37

?,19

— di etile

HjC* + S

45

55

73°.

Surclorido formilico
— acelilico

57°.
7 6°.

j ...

I volumi e le temperature osservate le toisi dai sunli dati dai giornali delle memoric del
Kopp; in esse trovansi anche le temperature calcolate. Sarebbe stato facilissimo calcolare molti
altri numeri, ma non potendo porli a confronto colle osservazioni me ne astenni ; bensi calcolai
i volumi alia temperatura della rispettiva cboUizione per tutti quel composli, pel quali era stato
osservato il volume alia temperatura ordinaria, giacche puo farsi uu confronto fra tali valori. II
Kopp ammette che per ogni grado centigrado il volume dei liquidi di cui si tratia decresca di
-— - partendo dalla temperatura della loro ebollizione.

Si ricordi che nell' Idrato metilico, Formiato metilico, ecc ecc. enlra I'Ossido di metile. e che
nell' lodido metilico, ecc. entra il metile senza ossigeno.

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS 263

TAYOLA IV.

Che dimostra come la sostituzione di CI, a H,

occresca il peso deWequivalente di 34,3, il volume del medesimo di 12,8,

e la temperatura deirebollizione di 24°.

Equivalente chimico

Volume
deir equivalente

Temperat.
deirebollizione

i

Formula

Peso

osserv.

calcolata

osserv.

calcol.

Ossido metilico

H^c'o

23

(Sostituzione del cloro)

Hid. CO

57,5

43,8

44,8

Come nella tavola III.

H.ci^.eo

92

92

57,6

Ossido etilico

HjC^O

37

51

51

Come nella tavola III.

wlai.c^o

106

71

76

Foriniato etilico

j,6(,6q4

74

82

81

Come nella tavola III.

utai.Co''

443

114

106,6

Acetato etilico

uico^

88

99

100

Btai.eo''

157

121

125,6

Acetato metilico

H^C"0^

74

81

81

HjCiJ.C^O*

143

113

106,6

Acido acctico idrato

H^ C^ 0^

60

56

56

120°,

1 18°.

Acido cloroacetico

IL CI'. C^ 0^

163,5

101

94,4

195°.

190°.

Solfuro di elile

H' C^ S

45

55

7 3°.

H, CI-'. C^ S

183

109

106,2

160°.

169°.

Partendo dal preced.

Cloruro di inctik-

lUC' + CI,

50,5

H^C1,.C" + C1,

85

63

30°. 5

H,Ci:.C= + Cl,

119,5

81

75,8

60.8

54°.5

Parlendo dal pieced.

CItC' + Cl,

154

96

88,6

78°.

7 8°. 5

Cluriiro di elik-

H^'C' + Cl'

64,5

74

(Liquor degli Olandcsi)

HfCI,.C^ + Cl,

99

84

86,8

Partendo dal pieced.

1

H^CI^C^ + C1,

133,5

97

9 9,6

!

H^CltC* + CI,

168

110

112,4

1

H,C1^CM-C1,

202,5

123

125,2

1

Cl^C^i

237

118

138

Alik-idc

H^C-lO'

44

56

21°.8

Cloiiil

H, Ci; C^ 0'

147,5

98

94,4

94°.

9 3°. 8

Partendo dal preced.

i

264

SULLE NOMENCLATUHl' CHl.MICHE

TAVOLl V.

Dei volumi deyli oquhalenti di alcuni carpi.

Da qucsla tavola apparisce che i corpi chiniicauiente simili hanno \ oluini eguali, il die, se-
condo il Kopp, ha pur luogo (ra moltissinii corpi composti isomorli. Sono aggiunti i voluini degli
equivalenli di alcuni composti, nei quali il Kopp aiiimetle che un'aggiunta di un equivalente
di 0 aecresca il volume di 2,56, qualche volta della meta od aiiche del doppio; e che se il me-
tallo si unisce, oltre che ad 0, anche ad un equivalente d'aeido azolico (A,0') o di acido earbo-
nico (CO') o di acido cromico (CrO^) o di acido tungstico (WO^) il volume dell'equivalente au-
nienti di 28,64, o di 12,08, o di 18,24, o di 19,52: per I'acido solforico (SO') I'auniento e
0 14,88 oppure 18,88. Cosi pure requivalente CI, uneudosi ad un metallo ne aumenta il vo-
lume 0 di 15,68 oppure di 19,60.

Segno

Peso

Vo-
lume

Vol.
ipotet.

Cunn CoiirosTi

5 Cloro

17,75

12,8

6 Bromo

7 Br,

40

12,8

7 lodio

tI,

63

12,8

Cianogcnc

^C'A'

13

12,8

2 Solfo

S

16

8

8 Selenio

Se

39,6

9,2

9 Fosforo

tP.

15,5

8,9

10 Arscnico
16 Antimonio

4- As,

37,5
6 4,5

6,4
9,6

3

SbO-
SbO'

= 76, 5, vol. 13,4 = 9,6+42,56
= 80,5, vol. 1 2,2 = 9,6 + 2,56

11 Cromo

12 INIolibdeno

Cr

:\io

28

48

5,52
5,52

CrO~
MoO'

= 40, vol. 7,4 4 = 5,52+^.2,56
= 72, vol. 20,88 = 5,52 +6. 2,56

13 Tungsteno
19 Titanio

W
Ti

94,6
24

5,52
4,56

TiO'

= 40, vol. 9,68 = 4,56 + 2. 2,56

2 4 Osiiiio

Os

99,6

4,56

25 Iridio

Ir

99

4,56

26 Platino

Pt

99

4,56

2 7 Rodio

R

52

4,56

28 Palladio

Pd

53

4,56

23 Oro

Au

99,4

5,20

DEL PROF. GIUSTO BELLAVITIS

S65

CONTINUAZIONE DELLA TAVOLA V.

Vo-

Vol.

Segno

Peso

lume

ipotet.

CORPI CoMFOSTI

30 Argento

Ag.,

54

5,20

AgO= 11 6, vol. 15,52 = 2.5,20 + 2.2,56
Ag CI, = 143, 5, vol. 26,08 = 10,40 + 15,68
Ag 0 + A, 0'= 170, vol. 39,0 = 10,4 + 28,6 4
Ago + S0'= 156, vol, 29,3 = 10,4 + 18.88

29 Mereurio

Hg

101

7,44

Hg 0=1 09, vol. 10 = 7,44 + 2,56

Hg0'^ = 105, vol. 10 = 7,4 4 + 2,56
HgCl= 118, 8, vol. 17,2 = 7,44+7- 19,60
HgCl, = 136,5, vol. 27 = 7,44 +19,60

33 Bisniuto

Bi

106

10,8

BiO~=118,vol. 14,6 = 10,8 + 4.2,56

35 Pionibo

Pb

103,6

9,12

Pb 0=11 1,6, vol. 11, 68 = 9,1 2 + 2,56

Pb CI, = 139, vol. 2 4,8 = 9,12 + 15,68

Pb 0 + A, 0'= 16 5,6, vol. 37,76 = 9,12 + 28,64

Pb 0 + C0'= 133,6, vol. 21,2 = 9,12 + 1 2,08

PbO + CrO'= 163,6, vol. 27,36 = 9,12 + 18,24

PbO + WO^ = 230,2, vol. 28,6 4 = 9,12 + 19,52

PbO + SO'= 151,6, vol. 24 = 9,12 + 14,88

36 Cadmio

Cd

56

6,48

CdO = 64,vol. 9 = 6,48 + 2.56

CdO + CO'=86,vol. 18.56 = 6,48 + 12,08

34 Stagno

Sii

59

8,08

Sn 0 = 67, vol. 10,64 =8,08 + 2,56
Sn0' = 75, vol. 10,64 = 8,08 +2,56

40 Zinco

Zn

32

4,64

Zn 0=40, vol. 7,2 = 4,64 + 3,56

Zn0 + C0'= 62, vol. 14,16 = 4,64 + 12,08

questa formula da un errore molto sensibile
ZnO + SO' = 80,vol. 23,5 = 4,64 + 18,88

31 Rame

Cu

32

3,52

CuO=40, vol. 6,08 = 3,52 + 2,56

Cu 0^=36, vol. 6,08 = 3,52 + 2,56

Cu0 + S0^ = 80, vol. 22.4 = 3.52 + 18,88

37 Cobalto

Co

29,5

3,52

Co0~=41,5,vol. 7,36 = 3,52+4. 2,56

38 Kicliel

Ni

30

3,52

,

39 Ferro

Fe

27

3,52

FeO^=39, vol. 7,36 = 3.52 +4. 2,56

FeO + CO'=57,vol. 15,2 = 3,52 + 12,08 appr.

41 Manganese

Mri

27,7

3,52

MnO + CO' = 57,7,vol. 15,44 = 3,52 + 12,08 appr.

Aniinonio

H^\,

18

—

17,44

48 Magnesio

Mg

12,7

3,2

MgO + CO'=42,7, vol. 14,56 = 3.2 + 12,08 appr.
.MgO + SO' = 60, 7, vol. 22,1=3,2 + 18,88

ni.

34

366

SULLE NOMENCLATURE CHIMICHE

CONTINUAZIONE DELLA TAVOLA V.

Segno

Peso

Vo-
lume

Vol.
ipotet.

COBPI COMPOSTI

49 Calcio

50 Stronzio

51 Bario

53 Sodio

54 Potassio

Ca
Sr

Ba

Na

K

20

44

68
23,3

39

23,36

46,64

4,8

8,64

11,44
40,4

18,72

CaO + CO' = 50, vol. 1 8,56 = 4,8 + 1 2,08 appr.

CaO + W0' = 146,6, vol. 24,3 = 4,8 + 19,52

CaO + S 0^ = 68, vol. 23,7 = 4,8 + 18,88

Ca CI, = 55, 5, vol. 2 4,4 = 4,8 + 19,60

SrO + CO'= 7 4, vol. 20,72 = 8,64 + 12,08

Sr 0 + A, 0'= 106, vol. 37,3 = 8,6 4 + 28.64

SrO + SO'=92,vol. 23,5 = 8,64 + -1 4,88

SrCl,= 79, 5, vol. 28,2 = 8,64 + 19,60

BaO + CO'=98,vol. 23,52 = 11,44 + 12,08

BaO + A,0'=130,vol. 40,1 = 11,4 4 + 28,64

BaO + SO =116, vol. 26,3 = 11,44 + 14,88

NaO + A, 0^=85,3, vol. 39 = 10,4 + 28,64

Na0 + C0'= 53,3, vol. 22,5 = 10,4 + 12,08

Na0 + SO' =71, 3, vol. 29,3 = 10,4 + 18,88

Na CI, = 58,8, vol. 26,1 =10,4+15,68

K0 + A,0'=101,vol. 47,4 = 18,72+28,64

K0 + Cr0'= 99, vol. 37 = 18,72 + 18,24

KO + SO' = 87, vol. 33,6 = 18,72 + 14,88

K CI, = 74,5. vol. 38,3 = 18,72 + 19,60

1

DEL PROF. GIUSTO BELLA VITIS

TAVOLA VI.

S67

Che presenla la tempe,atura deWebollizione di akuni composti
rridrogeno e di carbonio, e quella calcolala mediante la formula

10,4. i— <5(i + 4 — c)

essendo i c i numeri degli equkalenti di idrogeno e di carbonio
contenuti in un eqiiivalente del liquido.

Equivalente

Temperatura

chimico

deU'ebollizione

Errore

Formula

Peso

osserv.

calcolala

Carburo del Faraday

H^C«

56

28„,

23°,2

— 5°

Benzina

H«C"

78

86°.

9 2°, 4

+ 6°

Oleene

H-C"

84

55°.

64°,8

+ 10°

Retinafta

Jj8(,,4

92

108°.

11 3°,2

+ 5°

Nafta

HJ'C'i

97

88°.

90°, 2

+ 2°

Naftene

Jj,6c,6

U2

1 1 5°.

106°,4

— 9°

Cuniene

Hl'C'

120

14 4°.

154°,8

+ 11°.

Elaene

Jj.8(.,8

126

110°.

12 7°,2

+ 1 7°

Naftalina

HjC"

128

212°.

203°,2

— 9°

Citrene

j,,e(>,o

136

174°.

166°,4

— 8°.

Amilene

HrC"

140

160°.

148°.

— 1 2°.

SUGII I^TEGRALI AlfiEBRICI

D'^IJN SISTEMA DI EQUAZIOIVI DIFFERENZIALI,

1 cm TERMINI SONO INTEGIIABILI PER MEZZO DI TRASCEiNDEXTI ABELIAIVE,

E SULLA PROPRIETA FONDAMEMTALE DI SIMILI TUASCEXDEXTI

MEMORIA

DEL PROF. SERAFI^O RAFAELE MINICH

vIH inlegrall delle funzionl algebriche, le quali non involgono al-
Ira espresslone irrazionale della variabile Indipendente, che la radice
quadrala d'una funzionc intera di grado superiore al 4°, portano il
nome di Irascendcnti Abeliane in onore del celebre N. E. Abel, che
scoperse la proprieta fondamenlale di simili funzioni analoga a quella
delle trascendenli elHltiche {Nofa I). Questo noine fu loro imposto, an-
ziche quello di funzioni ullra-ellittiche, dalF insigne analista C. G. J.
Jacobi, che neireccellente produzione intitolata — Considerationes ge-
nerates de transcendent i bus Abelianis — (Journal fiir die reine tmd ange-
wandte Mathematik von A. L. Crelle — Berlino 1832 — T. IX p. 394)
maestrevolmente dedusse le proprieta principali delle funzioni inverse
di simili trascendenli. Dal teorema dell'Abel intorno alle predette fun-
zioni lo stesso Jacobi argui Tesistenza degli integrali algebrici d'un
sistema di equazioni differenziali, i cui termini sono integrabili per tra-

270 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

scendenti Abeliane, e propose a' geometri di rintracciare siffalti inte-
grali scrivendo: — Ita eliam operae pretium fore credimus... n — 1 il-
larum aequationum differentialium inter n variabiles n — i intecjralia
complefa algebraica per methodos directas integrationis invesligare, at-
que ita nova nee minus singular i demonslratione theorema Jhelianum
adornare.

La ricerca dei richiesti integrali algebricl e appunto 11 soggetto
della Parte I della presente Memoria. Ma dopo la coinunicazione di
quesla parte del mio lavoro all' I. R. Istituto Venelo nclFAdunanza 10
Agosto 1846, avendo esaminato parecchi volumi del citato Giornale di
Matematiche del sig. Crelle trovai, die il valente analista sig. Richelot
nel T. XXIII p. 334 avea gia dedotlo dal teorema deU'Abel con inge-
gnosa eliminazione i cercati integrali algebrici sotto forme diverse da
quelle ch'io sono per esporre, attesochc involgono n — 1 radici dell'equa-
zione algebrica, il cui 1° membro e la funzione intera posta sotto il se-
gno di radice quadrata. Una sola delle formule da me proposte venne
pur conseguita dal sig. Richelot, ed e quella che conserva tutta Tana-
logia col noto integrale algebrico (Euleri Institutiones calculi integralis
Vol. IV Supplementum vm) delFequazione a due variabili, i cui termini
s'integrano per trascendenti ellittiche di 1" specie. Le formule del Ri-
chelot vennero poscia dedotte dalFillustre Jacobi nel T. XXIV del
Giornale del sig. Crelle p. 28, pel caso in cui la funzione sotto il segno
radicale sia del grado 2n — 1, mediante una dotta analisi ch'egli ri-
guarda come una estensione di quella adoperata da Lagrange {Miscel-
lanea Taurinensia T. IV) per conseguire T integrale algebrico Euleriano
della equazione a due variabili teste mentovata.

Avendo cosl rivolto Fattenzione a' primi risultati di queste mie ri-
cerche, osservai che 1' analisi, merce la quale io pervenni agli integrali
algebrici delle n — 1 equazioni proposte, serviva ancora alFintegrazione
di due nuovi sistemi di equazioni differenziali colFuso delle sole tra-
scendenti deir algebra elemenlare, e che ne risultava qual corollario la
proprieta principale delle trascendenti Abeliane. Aggiunsi pertanto alia
Parte I del mio lavoro una appcndice ch' e la Parte II comunicata
air I. R. Istituto nelFAdunanza 30 Gennaio 1847, e per comodita del

DEL TROF. SERAFliNO RAFAELE MINICH 271

leltore premello un breve sunto tie' varii articoli, in cui si divide la
presente Memoria.

Nella Parle I dopo di avere sviluppala lanalisi (§S I, II, III), merce
la quale si perviene agli integrali richiesti, si dimostra (§ IV) la coe-
sistenza colle date equazioni (1) ad integrarsi di n — 1 equazioni fra
loro dislinle, che sono le differenziali esatte di allrettante funzioni al-
gebriche, e si hanno quindi immediatamente gli integrali algebrici delle
equazioni proposte. In seguito (55\, \1) si eseguiscono gli sviluppi delle
espressioni di questi integrali, e si stabiliscono alcune singolari iden-
tita; indi osservando (§ VII) che il sistema delle date equazioni (1) si
conserva immutato, se alle variabili x. , x, , . . . a;„ vengano sostiluite
le quantita reciproche, ed a' coefficienti «„ , o, , a, , . . . rr„ della fun-
zione sottoposta al segno radicale (2) si soslituiscano le rispettive quan-
tita della stessa serie scrilta nellordine opposlo, si passa a dedurre
nuove espressioni degli integrali algebrici delle equazioni (1). Altre
espressioni di siffatti integrali risultano agevolmente (§ VIII) dalPana-
lisi che serve di base a tutte queste ricerche, e simultaneamente si
inlegra Tequazione (3) col mezzo di sole quantita algebriche se la fun-
zione solto il segno radicale e del grado 2n — 1, e colFuso di tra-
scendenti logaritmiche o circolari se quella funzione e del grado 2 n.
Si assegnano infine (5 IX) i fattori per cui moltiplicate le equazioni (1)
e sommate insieme offrono una differenziale esatta d(p=: 0, supponendo
di conoscere uno degli integrali (p = cost, delle date equazioni (I), e
se ne ricava qual Corollario una speciale equazione identica.

Nella Parle II di questo lavoro, ritenuta X una funzione di x della
forma (2), cioe inlera e razionale, di grado non superiore a 2/i, e
ponendo (79)

si accenna in qual modo dagli integrali delle (1) (5) si desumono le
n — 1 relazioni algebriche fra gli argomenti x, , x, , . . . x„ di piu tra-
scendenti Abeliane c quelli 6,, 6, ,,..6^, di n — 1 simili funzioni,
alia cui somma si riduce Taggregato delle n funzioni precedenli, sup-

07 2 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICi

poslo r susceltibilc de' valori 0, 1,2, 3, ...n — 1 (§ X). Poscia osser-
vando (§5 XI, XII) che colle cquazioni (I) (5) si integrano algebrica-
mente i due sistemi delle cquazioni (86) (87), si diinostra la riduzione
della somma di n trascendenti $' (x,), <t>^ (xj, . ■ . <P, (x„) a quella di
n — 1 consiinili trascendenti O, (h), *, (6j, . . . O, (6„_,) , qualunque sia
Tintero r, coiranimetlere le suddette rclazioni algebriche fra i rispet-
tivi argomenti. Si prova in seguito (§ XIII) che non occorre di pro-
Irarre Y integrazione delle cquazioni (86) oltrc il valore 2 n — 2 del
numero r, attesoche le trascendenti Abeliane di qualsivoglia classe si
possono ridurre a 2 n — 1 trascendenti della forma *, (x) , in cui r
assume i valori 0, 1, 2, 3, ... 2 ?« — 2. Cliiudono questa Memoria (§ XIV)
alcunc osscrvazioni sul modo di ridurre a forma razionale gli inte-
grali algebrici delle cquazioni (I), e qualche applicazione delle teo-
rie generali a' piu facili csempii.

DEL PROF. SEHAFINO RAFAELE MINICH 273

PARTE I.

Dale le n — 1 equazioni di 1° ordlne ad n variabili

d X (1 X d x„
(1) -^ 1 1- . . . H — =0,

X, dx, x.dx, x„dx„
1 »- . . -I =0,

xjdx, x'dXj x'dx„

^X, ^X, i/'X„

= 0.

x"~'dx x" ~dx xl 'dx

+ h . H = 0.

in cui si suppone che A' , Y^ , . . . ,Y„ sieno funzioni siniili intere e
razionali, di grado non superiore a 2 n, delle rispettive variabili x,,
X, ,... x„, cioe in generale (\ota II) ...

p = 2n -+- i
(2) Z,„= 2 CpKr'-
p = 0

Irattasi di conseguire sotlo forma del tullo esplicita gli integrali aK
gebraici delle equazioni (1), I'esistenza de' quali si desume dal teo-
rema Abeliano giusta F osservazione del celebre Jacobi.
Pongasi

x"~' d X, x'l~' d X x'^~' d x„
(3) 1 + . . -i — dt,

cosicche x, , x, , . . . x„ si polranno riguavdare come funzioni d una

nuova variabile t. Per ricavare agevolniente dalle n equazioni (1) (3)

m. 35

274 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

i valori dcgli eleinenli d ac. , d x, , . . . d x„ , si rappresenti in generale
^.Q^^ ( — ly s^ la somma de' prodotli costituiti dalle combinazioni ad r
ad r delle variabili x, , u:, , . . . x„ , e si assuma in conseguenza

(4) (u — X,) (m — x.) . . . (« — x„) = w" + s, u"~' +s^u"~' + . . . +s„ = f{u) :

di pill denolando con ( — l)'~'st1, I't somma de' prodolti risultanti dalle
combinazioni ad r — 1 ad r — 1 delle variabili x. , x, , . . . x„ , esclusa
la x„ . si stabilisca

(5) J^ =, „"- + s'r' m"- + s'r' h"-' + ■■ -+^1,,

e dal confronto della espressione (4) di f(u) con quella die proviene
dal moltiplicare I'equazione (3) per u — x,„ avremo le note relazioni

donde si raccoglie merce le successive sostituzioni

(7) si"^, = s,_, + s,_, x„ + s,_j xl,+ . . . +s, x""'' + x'-' .

Ora la funzione (3) manifestamente va a zero per ciascuno de' valori
X, , X, , . . . x„ di K, eccetto m = x„ , pel quale riducendosi a - diviene

(8) t{xJ = T"-'+s["'^x"-'+ . . . +s'-„'"2.—{x„ — x,) (x„ — xj . . . (x„— x„).

Perlanto se moltiplichiamo le equazioni (1) pe' rispettivi fattori A^'2i, ,
s["l, , • • • «',"', 6 le sommiamo colla (5), otterremo

e quindi altribuendo all' indice m tutti i valori 1,2,5,... n, avremo

(9) dx =- -dt, dx, — — dt,...dx„=—, dl.

Cio premesso, siccome le quantita s'"' , «!"",.. • ^ll!, non contengono
x„, col differenziare rapporto ad x„ T ultima delle relazioni (6), ove si
scriva r in luogo di r — 1 , si rinviene

, DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICn 275

c consegucntemcntc la difforcnzialc lolale dl s, sara

(ls, = ( ^)dx, + ...+ ( ^Vl3r„ = — <»'^2.,dx, + .<!,(! x,+ ... +s["l^dri 1

Vd T,/ \dx„/ I S

per lo chc introdiicendo in quesla ospressione i valori (9) degli ele-
menli do;,,... d x„ , c poncndo

(11) --^ + ^^ + ... + -^ = z,,

Irovianio

d ( ;

Sc poi soslltuiamo nella (11) ad «J^^, , s|.l, ,... s^^l^ i loro valori de-
sunti dalla forniola (7), e ponianio - . .

(13) ;i^ + — f- + ...+ — ^ = *',

ne vienc ad cvidcnza

(14) ;r = Sr_, '\4-s,_, i\+ . . . +s, P,_, + Vr,

(' fjuindi a cagione della (12) si ricava

dr, dl', dp, d Pr—i dp,

(15) = V_, +s,_, + ...+S. ^

d< d« dl! d« d« .

— \ *\ -r_, + P, --^_^ + . . . + iv_, r. } .

II.

Per conseguire rulteriore sviliippo del — - , e mestieri lormare 1 es-

pressione del — -. A Hal uopo diflerenziando la (13) otlcniaiiK* dap-
prinia

276 SUGLI IMEGRALI ALGEBRICI

a^'l/A', fdx,— dj-, dx, — dx, da, — d.r„i
— \ 1 1-...H [

f'{^\) '■{x—x,)dt (x—x^)Al {x—J\)i\n

a?-' I /A' c Ax,— Ax, d3f„ — dx, dx„ — dx„_, j

— :_i — z\ — '. L+ — :: - + ... + — --[ .

f(x„) {(x„ — x,)d« (x„ — xjd( (x„— x„_,)df!)

poscia, introdolti in questa formula i valori (9) di d«,,.-dx,,, avreino

dv' {n — \)x^-\\\ + ^xfr'X; (p — {)x''--'X„ + \xl-'X,;
(16) — £ = li L_L_-^_- +...+

xr"X. (1-1 1

H + . .+

['(X,) ix, — X, X, X3

/"(x„) Cx„ — X,

X„ — X,^,}

+

/XT' — iT^x iZ-v, a; /*r'— ^r'\ i/a', jr„

X, — x^ / /■'(x,) f' (x.

V X. — X, / /■'(x,)/"(x^) V X, — x„ / /" (x.) /" (x„)

\ X, — X3 / f' (Xj

)r(-^3)

— *r'\ i/^i'^, -v„

V »•„_, — a„ ) f'{x„_,) f

D'altra parte, se facciamo il prodotlo dc">alori di v,, r^_, dcsuiiti dalla
I'ormiila (7), troviaino

XT' X, iT^X, i'T^x„

*'„ »'„_, = , + -—-- -f ■ + .

(xT' x"-''-' + xl-' x^'— ) l/^X, Z, (x'-" x^-'— + x^— x^-'-') 1/ A', .V„

(xT' a;?-'"' + a^r' a:?"'"') l/^ X,X,

+

rK-.)f{^:

DEL rROF. StRAFLNO RAIACLE MIMCII 2 77

e soslidu'iulo in qiiesla cquazione all iiulicc y i successivi miineri 1,

2, 3, j) — 1 . rica\ iamo aUretlanle cguaglianzc dalla ciii soinina, a

cagionc dollo idenlila siinili alia soguenle, in cui p si rilienc positivo,

xl— — ap'

= a.^-' + xT^ X, + x''-^ x\ + ...-\- X, x'—^ + .xj-' ,

X, — X, '

risulla

(i7) V,v^, + v,V^, + ... + v^_,v, = : + ^4-... + - rr=

/^r'-ar'x y A', a; /,;— _3p-v i/x, A„

V X, — X. // (x,)/"^(xj \ X, — x„ Jl{x,)l{x„)

+ 2

^, — ^3 M K)r(^3

Per oonsegucnza soltracndo questa equazione dalla (16) niolliplicala
per 2, si desunie

2 ar ' A'. C 1 1 1 >

(k^.)

'X, — a-, X, X,

2 a^— .Y„ \ K 1
1

cioe, adoUalo il segno D^ per indicare la derivata rapporto ad x. si
raccoglie la lorniula

(18) 2 -j-^ = P, iv_, + r, Cp_, + r, (,,_, 4- . ■ + c^.. v',

ar"A', a?— a; a.^~'A„

' /"(x,)' ' ( (xS " f'ixS

la cui finale riduzionc si oltiene nel modo seguente dalla feoria dello
spezzanienlo delle frazioni razionali.

278 SUGLl INTEGRALl ALGEr.RICi

III.

I'lciulasi a dccoinporre la irazione — , in cm si suppone IJ una

A")

lunzione tli ii simile ad .Y, , A,... .V, (2), ed /"(») e la nola lun-
zionc (4). Sicconic il numcralore della frazione proposla ha un grado
(he cccede di p — 1 iinila qiiollo del denominatore, il quozicnle Q da
aggiungersi al gruppo dellc frazioni parziali sara una funzione di ti
inlera e razionale del grado p — 1, cioe

q = p-i-i

e si avra per le note regole clie scrvono alio spezzamcnto delle IVa-
zioni razionali

u''-'U xr-'X, I a^-.V, i 'fr'V,, 1

(19) ; Q=- ; -+ ; T7+-- +

H ./>, - + H />, -^=r- .

« — •«•. ' f(xS » — ^n " f'(T„)

Ora assumendo

(20) liT-' U—QJi^)=R,

sappiamo ehe il grado della funzione R c inferiorc a 2 n , poiclie R
evidenlemenle e il rcsiduo finale della divisionc di (f^_, U per /"(»)•
Sara duncpie in gencrale R della forma seguenle {Nota III) :

ed inserendo nella (20) queslo sviluppo di /?, come pure le espres-
sioni di O, di U (2), e di f{n) (4), si avra Tequazione idenlica

)(''— (o„ u'" + a, It'""' + . . . + ";,_, m""'^' 4- flp m'""'' -H . . . + n„)
— (ct„ tt''-' + C, )i'^' + . . . + ciy_,) (u" + .f, ?«"— + s, m"-' + . . . + .'„)'
=. cc, ir-' + <t"^" h"" + ct<''+" «"-' + ... + cc'^'"-' ,

da cui, merce i confront! de' gruppi affetti in ambo i membri dalle

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 270

eguali potenze di u non inferiori al grado 'In — 1 , scaluriscono le
eguaglianze determinanti c/.„ , cc, , cc, , ... c^ . cioe

(21) «. — «.,

cc, + 2 s, tt„ = a, ,

c4, 4- 2 s, cc, +- (s, 4- s, s, + «,) c4„ = o, ,

01.3+2 4-. a, + {S, + S,S,+ Sj CC, + (S3 + s, »\ + s, s, + S3) cc„ = Oj ,

«p + 2 s, «^, + (s, + «.«, + sj ct^, + . . . + (s, + Sp_, s, + . , . + s. «p_, + s^) £/.„ = n^ .

Indi eguagliando il 2° membro della (19) al 2° raembro della (20) di-
visa per f(u)\ abbiamo una equazione identica, che moltiplicata per u
si puo presentare sotto questo aspelto

-+ -D^ , + . . . + D,

n^s J^_^]' r(x.y /,_i"\' ^_f: •nxs ' ,_5.- '"r(-j

\ 11/ \ uj u u

I i 1

\ uJ \ uJ ' ' ' \ u)

sicche ponendo in questa identila i« ^ - , troviamo

(22) Z?, +Z?, / + ...+/?, =cCy.

' r(-r.) ' r(-r.) " f'i^.)

Conseguentemente la formula (18) diviene

(23) 2 — ^ = c. v'^, + i', P^, + . . . + i'^, !>, + tv ^ + "? '

d t

e se ne trae col sostituire aUindice p i valori 1, 2, 3, ... r

280 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

dc,

2

d]

a

ti

17
dr,

v'.

+ <*, ,

a

dt

r,

V, + v.

V,

+ 1*3,

div

(\t

Questc eguaglianze lispcUivamente niolliplioate per s,_, , s^_^ ,...«,,!
e soinmate insieme esibiscono, a cagione della (14),

/ d r, dt', div\

\ d < d < d ( /

+ V, -r_, + (-, c,_, + . . . + iv_, r, ,

e dalla somnia della presente egiiaglianza colla (16) moltiplicata per 2
si deduce infine

' dt

5 IV

Vuolsi presenlenienle dtmostrare che aggiungendo alia formula (24)
il terniine 2 c/.„ s, si ha una funzione />,_,, la cui diflerenziale va a
zero congiunlamente al sislema delle equazioni (1).

Poniamo infatti

^25) c.„ = ^„.

ct, +*, ct, = J?, .

iz, + ■■>■, cC, +.s',ct„ = j?, ,

Ct^ + «, CC^_, + S, CC,_, + . . . + 4,_, a. + «r '^o = ^r:

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE OTNICH 281

e dalle relazioni (21) ricaveremo

(26) ^<, = ffo,

j?. + s, _^„ = a, ,

e la formula (24), a cagione dell' ultima delle equazioni (2i5), e per
Teguaglianza ct^ = a„, diverra

cosicche aumentando questa espressione di 2 :/.„ s^ , cioe assumendo

(28) ^r+t^o^r— {P, -r_, + ^',Zr_, + • • ■ + f r_, -, } = >'r_. .

ci proponiamo di provare die col sistema delle equazioni (1) ha luogo
Teguaglianza

(29) d>»,_, = 0.

A tal uopo differenziando le equazioni (26), e ricordando la re-
lazione (12), abbiamo

(30) _^=:«z

d( ^

dt d( ro ' J-. .

d&, dj?. d$, „

dt dt di r ' r- ^ r' '

-^+S, -i- h. ■ ■ + K-,-^ = 0'oZr-h ^. 'r-, + ■ ■ +fir-,Z,--

dt dt dt ^

ma dal sommare insienie le relazioni (2i5) lispettivamente moltiplicate

111. 36

■28-2 SUGLI INTEGRALI ALGEBRia

per Ic ([uantita y^. yr-, ■> y-r-,-,--- y,i "/„ ■, f'le si suppoiigono dedotte
dalle ciiuadianze

(3t) >-,= '!.

y^ -I- s. y, = o ,

si ricava

(32) ct, =: jS, + }/, _^,_, + y, JS,_, + . . . + >/,_, /?, + yr^„-

in oonseguenza, presa la somma delle eguaglianze (30) i-ispollivanionle
molliplicate per y,^ yr-,-,'-- y^-, troviamo

(33) -^ ^t^o-r + C'-.^r— + «."r_. + ■ • ■ + °<-r-^~, ■

f I t

xMlronde per le formule (25) (27) si olliene

2

+ ''. (A_> ~ "o ^r-, — f , ^r-S + • ■ • — ('r_3 'J + ~ r^. {< + £«,)

+ t'3 (^r_3 — "o «r-3 '' . 'r_4 ■ • • *^ r—!, ^,) + =r_3 ('\ ♦'a + ^\ '\ + ^>)

■+ i'r_, (^, — n„ s.) + i, (f , IV_, + P, iv_3 4- . . . + iv_, p, + :c,_,) ,

ossia, cancellati i termini eguali fra loro ed opposti di segno, e no-
lata la posizione (14), si rinviene

2
(3 4) d (i\ r,_, + V, r,_, + ...+ tv_, z.) = v. _^,_, + «', _^,_, + . . . + r,_, ^. — a, (:,— (v)

e siccome, prendeudo la somma delle equazioni (2i5), ommessa Tul-

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 382

tima, dopo di avorle rispetlivainente moltiplicate per p^ , v^_^ , . . . c
V,, si ricava, merce la (14),

(35) «,z.+ cc. 7_, + . . . +;4,_.r.=^„,v + A 'V_, + A^r-, + . . . + A_, p. ;

soUralta la (3d) dalla (34), ed avvertita leguaglianza cc, — ^^ = a^ (2o)
(26), avremo

(36) — d {P.r_. + p,z_ + . . . +,_ .,_J _^_ -%_. +«t,^'_. + . . .+:i_z, .

Ora attese le espressioni (33) (36) e la relazione (12), e palese che
dalla differenziazione della formula (28) risulta la gia enunciata cqua-
zione (29), in ciii consisle il teorema che si volea dimostrare.

Sostituendo nellequazione (29) all' indice r i numeri 2, 3,... »
abbiaino n — 1 equazioni differenziali distinte fra loro, e coesistenli
colle proposte equazioni (1) di cui divengono le trasformate. Pertanto
gli integrali di quesle nuove equazioni, cioe •

(37) (f,=c. , », = c,, h = c,,. ..t„_,~c^^,

in cui c, , c, , . . . c„_, rappresentano altrettanle costanti arbitrarie, sod-
disfaranno alle equazioni (1), e ne saranno gli integrali comploti al-
gebrici .

IVon abbiamo posto nella (29) r=l, perche I'equazione che ne
proviene d », = 0 e la differenziale dell'equazione identica ^ = «, (28)
(26), in cui «. e una data costante.

§ V.

Conviene adesso liberare dalle (26) il valore della (juantita ^, com-
presa nell" espressione (28) di ),,_..

A questo fine si osservi, che per le relazioni (31) le quantita y^,
y.^ ?.,••• yr corrispondono a coefficienti de' primi /• -+- 1 termini
della serie ricorrente

yo + y,i> + y\ a^ \ y^ b^ + ecc.

,284 SUGLI INTEGRAI.I Al.GERniCI

cciiorala dallo sviluppo In serie della frazioiie

1

di nianiera die assuincntlo & = — . al)l)iain<> ('i)

«" y. y^ yr

=>'.H 1- -^— -I . . .+ -^— + eec.

f{u) u u' u''

Risulta poi meree le regole dello spezzaniento delle fra/ioni

— 1 +-:; I— -^ h— + ...H + ecc V

f(u) I (X,) <M m' M u"" ^

^ ^- H 1

f (-r„) C " «' '«'

Paragonati quindi fra loro i coefficienli di — ne' due prefali sviliippi

in serie della funzione — , otteniamo

,»+-_.

(38) yr=—, 1 : + ...H , ,

e per r =r 0 essendo (32) ■y^= I ^ troviamo I' idenlita

x"~' x'!~' xl~'
(39) +- + ...+ - =1,

f (r,) f K) f (x.)

elie viene coinprovala dal porre nellVquazione (3) i valori (9) di dx. ,
da\.... dr, . Quest! valori inlrodotti nelle equazioni (I) darebbero
le identila

(40)

4 I

■+^ — = 0.

-, + 3 + •

■ + =0,

r(^.) "*'/"w'^'"'^rw

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MI.MCII 283

gia trovale come pure la (39) dalP Eulero {Instifuttones Calculi integra-
lis Vol. II Sect. II Cap. Ill), e dimoslrate da N. Fuss in una Memoria
inserita nogli Alti dell I. Accademia di Pielroburgo per Tanno 1777
(Parte I p. 91),

I valori di y, , y, , y,. ecc, si possono di mano in mano desu-
mere dalle equazioni (31), ed esprimere per mezzo di formule die
a primo trallo sono piu semplici delle corrispondenti espressioni (30),
ma die si vanno semprc piu complicando al crescere dell" indice /■ .
Abbiarao infatli dulla immediata risoluzione delle (31)

(41) y. = -s,. • ■ .

y^ = \ (.?, ,<t, — S,) S, — S, S, + S3 } S, — (.«, S, — SJ S, + .«, .'3 — .'^ .

II confronlo di queste formule colle espressioni (38) somminislra la
serie delle seguenli equazioni identiche

(42) --^ + --^ + ...+ -—!-= — 5^,

r(^j rw fi^n)

rw"*" "^TK) *'*' '"

r(^.) r(-^j ^

e surrogando nelle (42) alle variabili x, , x,,. . . »„ le rispettive re-
ciproche - , - , . . . — , ed avvertendo che per simili soslituzioni 5, si

cansia in — , ed f (x ) divlene -£r , otlerremo identicamenle

>86

SUGU INTEGRALl ALGEDRICI

1

I I I

^■J'{-'\

) xj{x,) '■■ xj'(x„)'~ s„'

i

* . . * ^ *"—

^:r(^,:

) ' ^'J'i^J ■ ■•• ■ a.^^'(jj~ g^ g^

1

- + + — — = — }

(43)

eec.

Conosciuli i valori (38) (41) di y,, y^^ y^^ ecc. (/Vota IF), si ot-
Icrra il valore di j?, sominando insieme le equazioni (26) rispcttiva-
niente moltiplicale per y^ , y^, , . . . y, , y^. Ne risulta a cagione delle

(51)

(44) ^r=('ryo + o,_^y, + a,_^y, + . . . +a^y^_^ + a,y,.

La funzione »„, (28) si potrebbe espi'imere oltreche per ^, , s, ,
s, , . . , s^, niedianle le sole funzioni c. , v\ , Vj,... v,_, (13), oppiire
nieice le sole z, , i, , ^3'. . . ::^_, (H), altesa la relazione (14) da cui
vicendevolmenle si puo dedurre

(45) V, = yr_,Z,+yr-,Z,+ . ■+y,Zr-,+^r-

Se poi sommiamo colla (28) le cgiiaglianze clie ne risultano, postovi
in luogo di r i numeri r — 1 , r — 2 , . . . 2 , 1 , dopo di averle ri-
speltivamente niolliplicate per s, , s, , . . . .«^_, , s^_, , olterremo (26) (14)

(46) w^, + s, »^_, -t- . . . + V_'», + -V_, W„ = "> + ''o(s,Sr_, -l-Sa-V-, + • • • + 'V_,«,)

5 VI.

IntrodoUi nell'espressione (28) di (»^_, i valori di v, , v, , . . . v',_,
(t3) e di ;, , c, , . . . r^^ (II), ed eseguite le molliplicazioni, se de-
notiamo con ( — l)'~'s^^' la somma de' prodolli provenienti dalle com-
binazioni ad r — 2 delle variabili u , , x, , . . . a;„ , escluse le x^ , x, ,
oosicche sia (4)

(» — x^)(u — a-,)

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MIMCH 287

confronlandc) i valori di , dedolti da quesla cguaglianza con

quelli espressi dalla formula (3), avremo analogamente alia (7)

e conseguenlemenle

(48) K ,_, = ^, 4- n„ «r — (a ;-" + «'.' ' a r' + si" x'r^ + . . . + s^.! ) ' ' -

r (•'•,)/' (aJ ~ 7 (a\')r(r„)

/'(■'■jr('B)

rK_,)/''ar„)

Sostituendo a j3^ il suo valore (44) (38), ed eseguendo le ridu-
zioni a' comuni divisori / (x,)', /" (x,)\ . . . /" (x„)\ attesa la prima dellc
due espressioni (8) di /" (xj, si trova coiradoltarc il segno 2 ncl senso
dclla formula {'2)

m=n-h 1 /o^ a '^-' + o^_ .; ;;, 4- . , . -f f; a "+'■— v

(49) Hr-,=a,s,.+ 2 — )(s!.iar'+--+*-!::2,a-„+,v;,':2,)

m = l ~ f'{r.S '

m=n-+-l /„ x^'— +„ x:;'-^-'+...+„ V

— 2 -^ (a :;-' + «',"" 7 ;■-' + ... + .,^':];)

m=l ^ /"(a-J ''

r(x.)r(o
.■' YixZJn^'

088 SUGLI INTEGRALI ALGEDRICI

Lc forinule (40) (49) si ponno ridune ad un aspetto piii semplice

pe' valori di r che eccedono la meta del numero n -f- 1 . Poniamo in-
fatli

donde risulta colla soslituzione del valore (44) (38) di ^, , attese le
idenlita (40),

(51) ?^=__±i_: — '^^'

x:-^7'(x.)

"r+n ^I"' + ",+-.+1 *'"~'^' + • • ■ + a„»_, a,, + ",„

ovvero a cagione delle identita (43)

a
(52) S„ =

"in— 1 "in *n—

'"" S.. S„ S„

"in— « "i.i— 1 ^n_i "in /^n— I *n— i *»— 'X

"~* S^ S. S.. S.. \ .«.. S., S„ /

ed avreino con facili riduzioni, merce la seguente equazione identica
che si ritrac dalla (8)

^,n_r+,

priniieramente

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 2g9

A',

(5 3 1 >»,_, =: Br + "o V + (41, x"r' + 4" J^"'"' + . . . + si'ij =^r^

■rr"*" /■' (^ j'

poscia colla introduzionc del valore (ol) di S, ,

2s^l','l/^A'. a;

rwrw

2 s';j:,' '" t/ a;_, a„

■ TKUn^'

Queste due espressioni (o3) ('6A) si ponno inettere soUo un aspelto
analogo alia formula (28), dal cui sviluppo si sono dedottc V altrc
espressioni (48) (49). Infatti posla h = x^ nell' equazione (6), e scritlo
p in luogo deir indice in , se ne ricava

<~" + .f',''*x;-'4-. . .+s['2.,x^ + sfl^ = —J-^- + -7-+. ..4- „_,..>,•

X, -T,

e percio risulta dalla (47)

*, ^J ^, a:;; '"^'

e similniente

III. 37

290 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

Pci'lanlo se attribuiaino valori negalivi airindice p della funzionc r
(15) troviamo

(55) >!,_, = '8 , -f o^, s, + (■„ r,, 4- 1'_, ^r+i + ' -, "r+, + . . • + ('_„+,. -„ •

altesoche inlrodotti in questa formula i valori (15) di c„ , r_, , <_, , . ..
^\_„+r, 6 quelli (11) di -^ , c^, , . . . ;:„ si ricade nclla (o5).

Abbiamo gia nolato (5 I\) che ad /• = 1 corrisponde n,=:(i,. Se
diinque poniamo / = 1 nella (o3) ne sorge I'equazione identica

I' ill goiieralc, soltraendo Tcspressionc (28) di «,_, dalla (i5o), si ottiene
I' identila

(56; r,_, c, + v,_,z^ + . . . + v,:,_, + \\z^+ . . . + i_„+,r, + ^, — j?, — 0 ,
in ciii r puo assunicrc lufti i valori 1 , *2 , 5 , . . . n .

\II.

La formula (66) pe' valori piii elevali di /■ diviene semplice quanto
la (28) pc" pin piccoli valori dell' indice stesso. Cosi dalla (28) ovvcro
dalla (48) si ritrac per r = 2

I- h \- . . . + ' > —a Ax +j:, + . . . + -r„) — o<, ( J', + -r, + +.rj' = cost.,

(he r inte£;ralc cia lro\ato dal si". Richelol nella Memoria sovracci-

lata sulla integrazione dun notabile sistema di cquazioni differenziali

{Giornale di Matemutkhe del sig. Crelle di Berlino T. Will p. 534).

Air inconlro per r = n abbiamo dalla (oiJ), oppure dalla (o5)

t/l/.i' i/.Y L -^-. \' ? «.»

x.x.xj.. . T„ j( '•^^^ ' + -t-- h. . + -^— ^ ]—"o( = Cost.

(\x,f{x,) x,f{x,) x„f (x,.)/ S X,I,...X„

DEL PROF. SERAFliXO RAFAELE MLMCH i291

Sostituendo nclla (28) o nello sviluppo di cssa (AS) (49) in luoiio di /

i nunieri 2, 3, 4, ecc. die non eccedono — ^ , ed eseguendo lo ri-

inanenli sostituzioni nella {'66) o ncl suo sviluppo (o5) {64), avromo
gli integrali algebrici delle equazioni (I) piii brevemenle espressi die
non coU'uso esclusivo d'una sola di quelle formule.

Osserveremo col sig. Ricliclot, die il sistema delle date equazio-
ni (1) riiuane intatlo, e solo si inverte 1 ordine in cui sono scritte se
ad x, , X,,... x„ , o„, «, , a,,... «,„ si sostituiscano rispettivamente

— , — ,.-. — , fl„, , «,„_,,••• ff, , «o . Perlanto le equazioni (57) non

cessano di esprimere gli integrali algebrici delle (1), se vi si I'anno
le relative sostituzioni or ora accennate. Per simili sostituzioni tro-
viamo cangiarsi (8) (15) (58) (44) {61)

nelle corrispondenli funzioni

s„ s„_^ s„ s„ x~

e poiche in conformita all' ultima delle (G) si rileva essere

sir', s,_

ne viene pure (11) il cangiamento di z, in "„_, + s„_, v'„ .

Altronde posla »=x„ nella (4), e divisa Tidentita che ne risulta
per x'^" , abbiamo

^T"'' + ■«, ^r'"' + . . . + s„_,_, H (-... + — h — — = 0 .

e quindi attribuendo all" indice m i valori 1. 2, 5,... /( ricaviamo

altrettante eguaglianze , die rispettivamente inoltiplicate per — — ' ,

\/X, \/X„ . . . •, • ,•

, . . . , e sommate msienie, ci esibiscono I equazione

f{^.) n^..)

292 J>UGLI INTEGRAL! ALGEBRICI

t„_, -t- s. *"„-r_, + . . . + s„_r_, t\ + s„_, r. + .s„_,^, I _, + .. . +s„ r_^ = 0 ,
ossia per la (I -4)

(57) r„_^ + s„_,. ('„ + .'!„_r^, i!_, + s„_r+, i'_, + ■ • ■ + s„ t'_r = 0 ,

Consegucntemenle la funzione m^_, (28) per le sovraccennate pernni-
lazioni si convcrle ncUa funzione

(58) e,_, = fl,„ — + s„ h„_, + i-_, r„_,^, + . . . + P_,+, r„_, + r_, r„ — r. (r„_, + s„_, cjL

e gli integrali compleli algebrici (57) dcllc equazioni (1) divengono

(59) e, = t"', e, = c'", fl3 = C<",,.. 9„_,=:C<"-',

essendo e„=«,„_, una determinala coslanle in corrispondenza ad M^=r/,,
e denolandosi con c*'', c*'', c*" ceo. nuovc coslanli arhilrarie. Per * = 2
si avrebbe dalla (38), allese le (o7) (i>2),

\y^\ i/-v, i/x., y

\ — : + ^ — + . . . + , > + «,„^. — — «,„ =

Cost.

Quesla formula vennc csibita dal Richelot come esprcssione dun al-
tro inlegrale algebrico delle equazioni (I).

Sottraendo da' due mcmbri della (08) i rispetlivi membri molti-
plicali per a„ delF eguaglianza die proviene dalla (i>o), ove si scriva
11 — r in luoijo di r , otlerremo

s _r

(60) fir-, = f'v, J- «„ (*'„_r_. — ". S,-, — 2 *'o 'u-r — 'S.-r ^'i!) ■

Se in questa formula sosliUiiamo ad ^•„_,_, la sua esprcssione de-
sunla dalla (28), poslovi n — r in luogo di r, troviamo la formula

in cui si converte la (tJo) pel relalivo cangiamento delle quantita ;r, ,
X, , . . . x„ , ff„ , ff, , . . . o„ nelle — , - , . . . - , o„, «„_, , . . . a,. Que-

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICII 293

sla soslituzionc escguita nclle forniule (48) (49), ovvero nolle (33) (o4),
ri darebbe i coiTispoiulenti sviluppi dcllc (o8) (61).

§ VIII.

Del reslo lanalisi cbc ci lia guidalo alle formule (37) ci soinmini-
slra alli'G niiove espressioni degli integrali algebrici delle eqiiazioni (I).

Eliniinando dl Ira rcquazione (12) e quella die proviene dal som-
iiiare insiemo le (27) (28) cioe

(62) 2 = -V-, — 2 rt„ «, ,

d( -

si oUiene • -

2 r, d z, + (♦,_, d s, — 2 (7„ .^ d s^ = 0 .

e poicbe (»,_ c qiiantila coslanle (29), avrenio dall ininiediala integra-
zione della prescnte eguaglianza

(63) r' + M,_, ,v — "„ ■^'r = -^r ■

deiiolandosi con J^ una costante arbitraria. Pe' valori 1, 2, 5, . . . n — 1
dl *■ si avranno dalla (63) gli /; — 1 integrali algebrici delle equa-
zioni (1). Per r= 1 si ricadrebbe ncU inlegralc trovalo dal sig. Ri-
cbelot che abbiamo dianzi (5 \ II) dedolto dalla (28), postovi / = 2.
Si prescinde dalla soslituzionc del nuniero n in luogo di r nella (65)
perche avendosi {67) z„ = — s„k\. e {6'6) (o2)

"»"

S„

e palese clie dal porre r = n nella (65) risulta I'equazione idenlica

*' + H,^, ■«„ — n„ s^ = fl„, .
on , . I 1 i ,

he nella (65) surrogluamo — , — , . • ■ — , o„ , «,„_, ... </„ ad u\ ,

294 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

a\ , . . . a„, «„ , «,,••• «,„, ne viene dopo vina facile ricluzionc. pel
couseguenlc cangiamento dl z^ in -„_, + s„_, v\ (; \ II) e di k,_, in «,_,

(GO),

",'_r + •<„— r_, ■'""„_, "o *,',—, = cost. ,

lioe la slessa formula (Go), mulato V indice r in n — /■.

Possianio ancora eliminare s, fra le eguaglianze (12) (G2), cioe dif-
feienziarc la (G2), e porvi il valore di ds^ esibito dalla (12). Avrenio
in siniil guisa

(64) d = a<,zd<,

d(

e posto r = l-,

dz.

d ==a„r di

SoUraendo la (64) nioltiplicala per r, dalla susseguenle eguaglianza
molliplicata per r, , si oUiene

d --, d --,

r,d r,d = 0,

dl dt

e quindi integrando, e rappresentando con £,_, la costante arbiliaria,
Iroviamo

dz, d-% ■

(65) r, — - — --, = £r-,

dt dt

Se invece sonimiamo insienie la (64) e la susseguenle equazione, dopo

di averic rispetti\ aniente molliplicale per — ^ . — -\ ne risulta una

ecuadianza dalla cui inteerazione, denolando la costante arbitraria con
G^_, ; si deduce

dz. dz,

(6 6) n„z^z,= G,_,.

' dt dt

Inlrodotti nelle formule (6o) (66) le espressioni (62) di — - — , ed

DEL PROF SERAFLNO RAFAELE MIMCII 295

aftrilniiti all indlcc r i successivi valori 2. 5. . . . n . si oUengono due
nuovi sistcini d integrali algebrici delle dale equazloni (1).

Neir appllcare a' casi parlicolari le varie formule (28) (do) (d8)
(61) (65) (6o) (66) esprimenti glintegrali completi algeljrici delle equa-
zioni (1), si polra desumere i richiesti integrali in parte dalliino di
que' sislemi, e in parte dagli altri, purche si riconosoa die le espres-
sioni di siffatti integrali sieno affatto distinte fra loro. di maniera clie
sottraendo 1" una dall" altra non ne venga una deterniinata relazione
fra le costanti arbitrarie. Cosi il sig. Richelot, dopo di avere espresso
uno degli integrali algebrici delle equazioni (1) colla formula risultante
dal porre nella (28) /== 2 (5 MI), offre un altro integrale nellcqua-
zione che proviene dal porre ; = 2 nella (38) (Xota J).

Sostituito nella (12) a r^ il valore esibito dalla ((Jo) abbianio

— d *,
(67) At = -

iX{^r—y^r-.K+0^!<l\

Ora integrando questa formula, indi restiluendo in luogo di /^ Tequi-
valente espressione (63), troviarao
1° nel caso di a, > 0

(68) r = ^— log //.|^^_,-(7.s, + r,^r/„}.

2° nel caso di </„ <^ 0

1 -.\/'—''o

(69) t = M-^ : arc tan?

5° nel caso di o„ = 0

(70) ( = — +If^.

denotandosi con //, la costante arbitraria.

Le formule (68) (69) 70). secondo i tre casi di r/, positivo, nega-
tivo o nullo, esprimono T integrale dellequazione (5). cbe si suppone
aver luogo insicme alle equazioni (J). Si potra attribuire ad j uno

295 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

<|iialuiiquo de'valori I, 2, 5,... n. Assuinendo il pii'i scmplice va-
lore /•=!, si «vra per intcgralc dcll' equazione (5), sccondochc sia

1

(7.1) « = -^log. //, {ia, — a,^,+:,\XaA

I

^-,l/-".

iZ-^o

~ a, — Oj s.

2z,

//,

So oltro di o,, = 0 fosse a, = 0, converra porre nella (70) un alfro

valore di r diverso da 1.

Sottraendo la 1" delle (71) dalla (68), e scrivendo A,_, in liioi-o

. ff, . II

delhi oostanlc aibilrana — , si avrebbe

(7 2) ^^=: a;_, .

Da quesla fovuiula, col sosliluire ad r i niiincii 2, 3, . . . n , si puo
dedurie una nuova serie di integrali algebrici delle cquazioni (1).

IX.

Cerchiamo infine i lallori per cui molliplicale le cquazioni (I) of-
I'rono per loro somnia una differenziale esalta d(p = 0. supponendo
di conoscere uno qualunquc ® = cost. degli integrali conipleJi delle
equazioni niedcsime. Poiche la somnia delle equazioni (1) rispettiva-
inenlc nioltiplicate pe' lallori richicsli, che indicherenio con F„ , F ,
F , . . . i^,_, , deve cquivalere a d (p ; avrcmo dal confronlo de' coeffi-
cienli delle dillerenziali d x, , dx, ,... dx„, dalFuna e dallaltra parte,
le eguaglianze

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 297

\dx,/

K + x,F, + xlF,+ .+ i---' F„_, = (—) l^J, ,

\dxj

/•; + x„ F,+x'„F,+ .+ ar' F„_, = (—] i/ X„ .

Vd xj

le quali csscndo in nuinero n , e non involgendo che n — 1 incognile,
danno origine ad una equazione di condizione, che si puo delerminare
nel modo seguente. Snpponiamo che Ira Ic n quanlita X, , X, , . . . X„
esislano le n — 1 relazioni

(74) X. + X,-|-X3+ .. + X„=0,

ar, X, +x, ?\,+ .-f-x„?\„=0.
wj >,, + xl X, -h . . . + ar^ X„ = 0 ,

e ponendo inollre

a^'X, + j;'-"X, + . . +.f;;-'X„=o .

T' ^> ■ + J"~' X, + . .. + x"-' K^=^L .

si avra dal somniare quest'' ultima eguaglianza colle (74) rispettiva-
niente moltiplicate per s^'^i, , s^"_i^ , . . . s'"" , (o) (8) (5 I)

/■'(.,gX,„ = Z,

L L L

Conseguentenienle, presa la somnia delle (73) moltiplicate per le quan-
tita rispeltive X,, X,,... X„, spariranno (74) tutte le incognite f\.
F. , F,.... F„_, , e restera T equazione di condizione

m. 38

SUGLI INTEGRALI ALGEBRICi

/•'(X.) \dxj f'(x,) \dxj ^ l'{x:„) \dxj

la quale trovasi cvidcntcmenle soddisfatla, poicho risulta dalP intro-
diiiTC ncir eqiiazione

i > aloii (9) degli elemcnti d x, , d x^ , . . . d x„ . E poi chiaro per la teo-
ria Laifrangiana delle equazioni lineari a deri>ale parzlali di prinio
ordine, che allequazione (7o) soddisfa non solamente II valore :j;:=cost.,
ma in geneiale una funzione arbitraria delle espressioni >;, , «,,... ^„_,
de' prinii menibri dcgP inlegrali (57).

Ora se Ira nuove quanlita ^, , fx,,... fj.„ esistano n — 1 relazioni
simlll alle (74), e solo in luogo d'una qualunque di quelle

abbiasi

x[ fjL, + y ^, + . . . H- r'^ IJt'n=^i 'i

e palese che ponendo

K~' y-i + -i""' ^, + . . + -v"-' ix„ = M ,

avrenio dal sommare le nuove n equazioni rispeUivainente moltipli-
cate per s'^_!_^. •<!, , . • . •<!!.,_.,.•• «'"" , 1, (i») (8)

/■'(■r.JiW» = -s'::2._, + i^/.

e (juindi

^. = -— r;-— ■■■• ^■'• = -

n^,) ' fix.) ' ['{■•■„)

In seguito moltiplicando le (73) per le quan[ita rispetlive //, . ^. , . • .
/^., . e prendendone la somnia si trova che spariscono le incognito F^ ,

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 299

F. , • • • F^, , ad cccezionc di F, , altese le relazioni osistenli fra a, ,
a,,... fi„ ; di piu sparisoe /)/, a cagione della (7iJ), e risulla

.s':; \y A, /d(p\ s'-'J ^_, 1/ V / tl cpx sL"l,_, l/ -^n / d <P \

(76) /v = — '^- ( + 7-^ — ^ +... + — [-r~)-

fix,) Vdj-,/ /■('■,) ^d.r,/ / (,r„) Vcixy

Potrebbesi cliniinare dalla (76) una dellc derivalc parziali di j me-
diante leqiiazione (7o). Cost per eliminarne ( — ] baslcra inlrodurre

nella (76) il valorc di ^—-^ { — ) dcdollo dalla (7o), e si avra
( (.'-„) \AxJ

(11) F,= ^ / ^ -(—-) + ...+- ■ : -^ (- ).

f (x.) \d.r,/ f (.r„_J \d3c„_/

Attribuendo ad r nella (76), oppure nella (77), i valori 0, 1, 2. 5,...
n — 2, si ottengono gli n — 1 fattori ricbiesti, ed allronde e manife-
slo (8) che la somma dalle equazioni (1), rispellivamente molliplicale
pe' valori (76) di F„ , F , F, , . . . F„_, , produce la dilTercnziale csalla
d (p = 0 . Le espressioni di quesli faltori si possono evidentemenle
niolliplicare per una funzione arbitraria X ((p) della quantila (p . poi-
che ne proviene tultavia la diffcrenziale esaUa X (ip) d tp := 0 .

Se r integrale (p^oosl. si suppone dedollo dalla integrazione ini-
mediala (Tuna delle equazioni (1)

.'Tdx. x:d.i, ':;'d'„

H -+ . H -— = 0.

allora il valore di F^ per /•=;» equivale all unila, e pegli altri va-
lori di )■ si annulla. Perlanto. sos[iluiti nella (7()) alle derivale parziali
di (p i corrispondenli \alori. Ii'oxiauio clic la linizione

(78)

I' (X,) fix,) l'(x„)

si riduce alf unila per /• = »(, e va a zero per ogni altro valore di r
essendo m susoellibile de' valori 0, 1, 2, 5.... n — 2.

Onde applicare la lormula (77) ad un esempio supponiamo /( ^ 2.

300 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

e detcnniniamo il fatlore F oho rende il primo inembro deU'equa-
zione

dx, da\,

la diflerenziale csatla di

( X, — X, 3

essendo (pr=:cosl. I integralc algebrico dell'cquazionc proposla, come
appare dalle foriuule (57) (48) (8). Avremo

(— ^ =a, + 2(7„(x, +x,)— (i : ^ ]\ 2-i- \-,

\AxJ \ X, — X, /c(r, — arJlX-'i, (=c. — *a)' )

e poiche (7o) si verlfica Pequazione identica

X' (x, — x,) — 2 X, X' (x.—t) + -2 X,
n, + 2 0, (x. + x,) LLJ 11 1 = _1_ iL ! :

trovorenio agevolmente (77)

•^ -Vdr,/ ^ (x,-xj^ V ' ^ (x,-x,)' r

Questa formula {\ota fl) eorrisponde a quella gia proposla dalT Ridero
nel T. IV delle fstituzioni di calcolo inlegrale Supplemenlo viii.

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 30!

PARTE II.

Dalle cspressioni algebriche degli inlcgrali delle equazioni (1) ri-
sultaiio le relazioni fra gli argoinenii di /; — 1 trascendcnti Abclianc
e quelli dun niaggior numcro di consiniili funzioni. la cui sonima si
puo seinpre ridurre airaggregato di n — I trascendenii della stessa
specie. Infalti se poniamo in generale

r^m * ™ d ^m

(79) \ = $,(2-J.

potendosi supporre 6^=0, finclie r non sia negativo, oKerremo dal-
1" immcdiata integrazione delle equazioni (I) n equazioni finite della
forma

<I>r'-',) + $,(rJ + . . . +$,(J-„)=cosf.

in cui )• e suscettibile de' valori 0, 1. 2, 5, . . . n — 2. Oia assumendo
x„^b. e supponendo the i valori corrispondenti dellallre variahili
sieno le quantita arbitrarie jf, = 6, . x, =: 6, . . . . x„_, = />,_, . ne rica-
vianio a cagione (79) di *^(i)^0

e quindi colla solirazione di quesla eguaglianza dalla antecedentc si
olterra pe" valori 0, I. 2.... y; — 2 di /• la ri<luzione

(80) $.(-(■,) + (I),(J-,)+ ... +$,('„) = <I),I'm + $,(6,) + .. -h<t), I />„_,).

Altronde se poniamo x„ = 6 , x, =^ fj, • x, = ^, , . . . x„_, = ^„_. negli in-
tegrali algebrici (57) delle equazioni (I), e denotiamo con X., ., X.,->---

302 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

X„_. i corrispondenti valori delle funzioni », , (»,.... o„_, . avremo

e quiiuli la relaliva sotlrazionc delle equazioni (37) da quest' ullimc
ci esibira le relazioni

de' nuovi argomenti 6, , 6, , . . . /»„_, co' da[i argomenti .»;, . x, , . . . 3f„
e coH'orlgine b dcgli integrali (79).

L' immediata integrazione deirequazionc (5) olTrendoci

$,^, (^•,) + $„_, (^J + . + $„_, (J,,) = ' + cosl.
se indichiaino con k il valore di t oorrispondente ad a,, = h avremo

$„_, (^,) + C)„_, [lu) + . . . + $„_, ('a,-,) = ^- + cost.

e quindi, eliminata la nuova costantc arbitraria col sottrarre quest' ul-
tima eguagllanza dalla precedcnte, si ollerra

(82) $„_, (x.) + $„_, (,r,) +. . .+ 4>„_, (;'■„) = $„_, (<»,) + $„_, (*,) +■ . + $„_. (i,,-,) + l — k.

Per determinare il valore di i — / poniamo nelle (71) x„=^b, x, z=^,,
X = 6, . . . a:„_, := 6„_, e designando con ^, cio die diviene la lun-
zione :, per queste sostituzioni, e con cr, il corrispondente valore di
A-, , cioe ponendo per brevila

a>renio. secondo i Ire casi di «„ positivo, negativo, o nullo,
1 .-

arc lang -^-!- f //, .

DEL PROF. SERAFLNO RAFAELE MINICH 303

e sollraendo rispcttivainenle queste eguaglianze dalle (71) otterremo

(83) t — k — log

t — k = arc tang. ^^ — — (/ — a,

Converra dunque sosliluire nella (82) a t — k Puna, o Pallra. o la
terza delle espressioni (85), secondo i tre casi di «„ quantila positiva,
negativa, o nulla. Se poi oltre di «„ ^ 0 fosse nuUo anco a,, dall" in-
tegrazione deirequazione ds, := — z^dt (12) in cui z, e costante (63).
si avrebbe

e quindi

f , — s,

t — k = .

XI.

Congiuntamente al sistema delle equazioni (1) possianio integrare
nierce le funzioni delP algebra elementare. oltre lequazione (3). tutte
quelle de' due sistemi seguenti

(84)

<dJ.

a-" d .( ,

4-

J^ d J „

l/^-. '

l/^'.

' lyA,-"-

arr*"dJ:.

xl'^'dx„

k ^v, ' •

l/^„

x^+'dx,

. .H = d^.

IXA'. '

ecc.

30 4 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

(85) H h. -I = dT.

dx, d x,

+ H -7- = d T, ,

d X, d X,

r!i/J^, ^'i/-5r„

uIt, ,

Imperocche moltiplicando per d < le idenlita (42) (45) si trova, a ra-
gione delle eguaglianze (9), che i loro prinii menibri coincidono coi
primi delle equazioni (84) (8i>), di maniera die quest' ullinic eqnazioni
divensono

(86) dl, = — s,dt,

d <, = (s, s, — s,)dl ,

dt,=z — J (s, s, — Sj) s, — s, ,5, + S3 1 d J ,

eec.

d;

(87) dr = ,

dT,= ,

Ora daireliiniiiazione di z, IVa le eguaglianze (65) (68), ponendo per
brevila

(88) {a„J,— ^„l_,)ir,=zA\,

si deduce, purche «„ non si annulli.

(89) .v=-

1 •»,_, + a; f

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MIiMCH 305

ed e quindi paleso chc gF inlegrali dclle forinule (86) (87) si potranno
espriincre mcrce 1' aggregate di piii lorinini o griippi, iino dei quali
sara affelto dalla prima potenza di / moltiplicala per una data co-
stante, e gli altri conterranno le successi\e polenze intere si positive
die negative delPesponenziale e'/". . Se nelle espressioni di questi in-
tegrali introduciamo i valori delle costanti //,, /i, . che sono, come
apparisce dalle (68) (88) (63),

^.t^/a„
H,= . a; =: \ z,. \/'a, — (- (»,_, — «„ s^ \ c'»^« .

si trovera che quelle espressioni piii non involgono T esponenziale e'/"
e nenuneno [/«„, cosicche esse avranno luogo qualunque sia il se-
gno di «„ e daranno /, , /, , fj , ecc. in iunzioni di primo grado della
variabile f . Avremo infalti {Noki III)

(90) t = t-\ hcost.

I ^ Ol\ a , z' o o, \ r, / , a, \ :, z,

Nel caso di «„ = (> si avrebbe dalle lornKile Hio) (70)

(91) s,^—~--jy,,_,{t-/I,r.,

e poiehe tlall" inlegrazione per parti ricavasi

j (?- //J' (/- //J- d « = i- (<-//.)'(<-//.)'- 1 (*(<-//.)'(<- //J d <

=z^H ~ H,)' (t — HS — ~^t — H,)Ht — H,) ^ ~^(t- H/ -^cosi.

3 '2 . .! 2.3.5

III. 39

306 SUGLI INTEGRALI ALGEBRIQ

otlerreino dalF integrare le (8G), e dall' inlrodurre ne' loro integral! i
valori di //. , //, , //j , ecc. desunli dalla (70),

(92) t,= <+-^ — + eost. ,

a, •' a'

jA\ A^^ ^ A,z\ ^ . ^ ,

2 ^. . 2 *»

'3 = - (-T - 2 + ) ' + 2 ^ - ] - _ ,^, _ B. -

\ «; n, ;i, M, / \ n, •* )i, / a, \ -^ " / a,

-7 / »5 ,.3 -a „4„ „3

2 ■'i 4 -"^1*1. 4 *.*a 2 -i~» 2 ^3

+ — — — — h — + — — + cost. .

7 /]4 Si,' 3 o'm 3 n^ 3 t,'

Se con r/^ fosse nullo anco o, , non si potrebbe dedurre s, dalla
(9i), a cagione di t>„ = rt, = 0. Ma allora, essendo (65) c, costante, si
ricava dalP integrazione deireguaglianza d v, = — c. d / (12)

K=-=At-H,),

e poicbe dalF integrazione per parti risulla

("(f -//,)((- i/,)' d ? = I ((- 7/j' ((-//,)- 1 ("((- /^,)^ d (

=- (t - Hf (t — H,) — 'iZ:^ + cost.

■5 3.4

(93) t,=

J 1.3 -3

l, = 1 1 h cost.

«, 3z, 3 „>

'3-= -t+~ !._-—+ +cost.

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 307

Possiamo perlanto in ogni caso lidurre i valori di /, , f, , Z, , ecc. al-
Taspetto scguente

(94) t, = C,t + Z, + cost., t, = Cj + Z, + cosl , ti = C,t + Z, + cost, ecc

intendendo di denotare nelle (90), ovvero per o„ = 0 nelle (91), o
per ff„ = 0, o. = 0 nelle (92), con C , C, , ecc. i fattori coslanti di f,
e con Z, , Z, , ecc. i gruppi degli altri termini. Se adesso indichia-
mo con A\ , k, , ecc. i valori di f, , ?, , ecc. corrispondenti ad x„ = 6,
e siipponiamo che per x„ = 6 , x_ = 6, , a-, = 6, , . . . x„_, ^ 6,_, le lun-
zioni Z , Z^, , ecc. assumano i rispeltivi valori H, , E, , ecc. avremo

(95) «, — ^. = C, (? — A-) + Z. — 3,, t, — k, = C\(t — k) + Z, — E^ ecc.

e poiche dalF immediala integrazione di qiialsivoglia delle equazioni
(84) si ottiene (79)

<^,Ht-' (■^.) + *n+p_. (X,) + + $,.+p_, «) = tp + cost.

essendo p qualunque numero inlero e positivo, si avra per a,, = b

<I>„+p_, (*,) + $„+p_, C^) + - . . + $„+,,_, i'^n— ) = *p + cost ,

e conseguentemente

(96) (I)„+^,(x,) + (D„^p_,(xJ+,..+ <l)„^p_,(j-„) = $„+^_,(/>,)+ ,4-(I)„+^, (6„_,) + ?, — A-^.

11 valore di t^ — k^ verra offerto dalle formule (93), e quello di / — k
dalle (85). A dir vero le formule (94), e quindi altresi le (9o), van no
sempre piu complicandosi al crescere dell' indice p ; ma vedremo fra
poco (§ XIII) che non occorre di protrarre il sistema delle equazioni
(84) ollre la (n — l)esima, attesoche, chiamato q il grado non supe-
riore a 2 « della funzione -Y sottoposta (79) al segno radicale, la tra-
scendente <i>, (x), per cui sia »'></ — 2, si puo far dipendere dalle
sole q — 1 trascendenti $„ (x) , O. (x) , <I>, (x) , . . . <!>,_, (x).

308 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

XII.

Gli inU'iirali dcllc equazioni (8i5) si possono iinmcdiatamcnte de-

smneie da qiiclli dcllc cquazioni (3) (84) coH'osscrvarc clic sc alle

II • 1 ' '

variabili x . jc , . . . jc,, si soslituiscano Ic loro re( iprocne — , . . . — , e

' ' ' ■'', x„

si permuli ciasfiina a^ dclle qnantila a, , «,,... f'„, coUa corrispon-
donle o,„_p, i primi mcinbri delle (3) (84) si convertoiio in quelli
dt'llc (8;;) presi col segno contrario, e peroio /, . /, , /, , ecc. si niu-
lano rispettivamenle in — r , — r, , — t, , ecc. Conseguenlemenle se
nolle fornnile (68) ((}{)) (70) poniamo /• = « , ed eseguiamo le soslitn-
zioni tesle indicate, surrogando ad //„ una nuova costanle avbitraria C,
avremo, per le osservazioni del § \II., cd altese le eguaglianze

v„ = — - (!>7), e e„_, = — + a„ s„ — - = >?,._. (61) (63)

*"■! ■'.I ■'■'.1

(97) T = \os.c(jK-— — — -\y('.,)= : log.^(f/„.s'„ (:„+\y(iJ')

•-- "^ C= arclang C

1 --„l/-",„

|/ — ",„ ■•<. \/ (t ' '_, — <K "J

— c.

2 :„ 2 2 |/ff„

Queste Ire espressioni di t speltano a' Ire casi diversi <li a,,, posilivo,
negativo o nullo. Potrebbesi altresi presenlare la prima di detle for-
niule soUo 1' aspelto

T = log. Cl-y„_, + — l/o,„ :

[/(7,„ \ s„ s„ I

imperocche, a cagione deU'eguaglianza (63), ove si ponga r = iu ri-
sulta

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 309

f T «._. ~ "*" 7 1/ "" ) ( T ""-. — 7 1/ "= J = 7 '''*_, — "o «,„ •

Supponcndo inollre chc, per le sostiluzioni dianzi accennate, i niol-
tiplicalori costanti C, , C, , C, , ecc. nelle forniule (93) divengano C'\
C'\ C'\ ecc, e le funzioni Z, , Z, , ecc. si mutino in Z", Z''', ecc,
otterremo

(98) T, = C<"T + Z<'' + cost. T, = C<='T + Z''' + cost. T3 = C'^>T + Z("-t-cost. ecc.

Le presenti formule si dedurranno dalle (90) finche «,„ non sia nullo,
ovvero dalle (92), se fosse o,„ = 0 senza che sia nullo «,„_, , od in-
fine dalle (95) nel caso in cui sicno simultaneamente fl,„^0, f/^^__=:().
Ora se denotiamo i valori di t , t, , t, , ecc. conispondenti ad
x„ = (j con K , K, , K, , ecc, e supponiamo che per jc„ ^ 6 , x, = 6, , . . .
Jt^^, =:6„_, le funzioni Z"', Z'', ecc. assumano i valori h'", e", ecc,
e -„ , s„ divengano rispettivamente ?^ , o-„ cosicche sia

<^„ = (— i )" fj.f',. .. 6„_, 6 ,

raccoglierenio dalle (97), secondo i tre casi di (i,„ posilivo, negalivo
o nullo

1 1 0", ^ '

(99; T — K=^ log. { :

■1 2{r„(«„cr^ — 2,' — «j„) — £>-(«<.«» — 2^ — «»-.)! 1/ — «,„
^ — " — arc sen. ^ ~

\y—a,„ ' [y {(ao<— -I — ",„)'— 4 a,„ zl \ |// \ (a, Tl — '^l — aj'— 4 a,„ ^l } '

(S„ 1/ "o — --„) ( 5-„ 1/" f'o - ^„) '

e dalle (98) si olterra

(100) T,— k, = C<"(t — K) + Z"* — E<-'. r, — K, = <::^"(T — K) + Z'" — H(", ecc.

Conseguentemente dall' ininiediata integrazione di qualsivoglia delle
equazioni (8o), avendosi (79)

310 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

*_, (X,) + $_, (OC,) +...+*_,, (■T„) = T,_. + cost. ,

ne viene dal porre x„ = i,

*_, (^,) + <t>_, (b.) + ...+<!)_, (IJn-,) = «,,- + cost. ,

e quindi

(101) 0_,(^\) + $_,(■»•,) + . • • + $_,(-^„) = $_, (<-.) + . . . + (I)_,(6„_,) + T,_, -H,_, ,

per qualsivoglia valore intero e positivo di </ . 11 valore di t,_, — k,_,
verra esibilodalle lorniule (99) (100).

Conviene a\ verlirc die qualora V Indice r della trascendente (79)
sia negativo, non si polrebbe supporre Toriginc ^ = 0, perche lo

sviluppo in serie della lunzione — - contenendo allora le potenze ne-
gative r f -h I ■, 'H-^,-- — '^ ■, — ' <^1' ^1 ci ehiarisce die Tin-
teo^rale (79), esleso da ic = 0 sino a qualsivoglia altro liniite, diviene
infinito ed anco imniaginario nel caso di (i,„ negalivo. Per quesla ra-
"ione i liniiti dell" integrale (79) dovranno essere del inedesimo se-
•^no allordie r sia negalivo. Coerenteinenle a simile osservazione si
Irova die, posta Forigine ^ = 0, il valore di t — k , espresso dalla pri-
ma e dalla terza delle (99), diviene infinito, e quello esibito dalla
seconda di dette formule diviene imniaginario, attesodie a 6 = 0 cor-
risponde cr„ = 0, e (65) ^..^l/o,,,.

Se invece di desumere V espressione di r da qiiella di / , nel
modo or ora accennato nel presente 5 Xll., si voglia dedurla dall in-
tegrazione della prima delle formule (87), basteni porre nella (JJ9)
r = n, e si avra a cagione di .^„ = «,„ (65)

• 2 (I '

dT=-

i

«...

1 1/ Oo >

H„ J

e poidie dalla (68) risulta

If,.

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH SH

ponendo
troveremo

dT =

a,„ — \j/'

ed integrando questa funzione, indi sostiluendo s„ [/«„ — s„ in luogo
di 4. , si oHerra, sccondo i tre casi di o„ positivo. negativo o nullo,

■ (102) T = log/:- ■^- hcost.,

1' ",„ 1/ ",„ — S„|^-' «o + --„

1 2 (s„|/o„ — r„)l/— f7„
arc tang hcosi ,

[y —n a_^„ + (s„lXa,~:„f

■ -t- cost.

La prima e la seconda di quesle cspressioni di t coincidono coUe
corrispondenti formulc (97), ove si ponga {\ota J HI) nclla prima

-•»,_, +|/o„o,„)C

e neirallra

I 1/ — 0„ «,„

cost. = arc lang 1- C .

§ XIII.

Veniamo ora a dimostrare come Tintegrale di —7-, in cui si sup-
pone

3 1 -2 SUGLI INTEGRAL! ALGEBHICI

cioi' A (li i^rado (j non siiperiore a 2 «, od r^q—2^ si riduca a
dij)ondcre da' soli inlegrali delle limzioni di simil forma, in ciii r as-
sume i valori 0,1,2,...^ — 2 .
Si assuma a ([ueslo scopo

(1 03) J ±-^:=(3„a— '+■ + 3, X-'' + (/, x'-'- + . . . + </,_,+,) l/ .V

- i ('',_. ^'~' + /',_3 i''~^ + /',_4 Jt''"'' -t- . . . + /'„)

i7^

riguai'dando ^„, r/, , </^ . ecc, /t„, A, , /*^, ecc. , come / -f- 1 costanli
da deterininarsi, e presc le tlcrivale de' due membri inolliplicale per
l/A', avremo T idenlila da verificarsi

j'-=i-(f,„x- '+'+9,x'-'+3,x'-'-+. .+ !/,_,+j{i7 «,,_,, x''-'+('/-0«.»_,,+, *'"'+•■■+«,.-.}
+ /',_, x'"' + /*,_3 i''~' + li,-i *'~^ + . . . + A, :

e conseguentemcnte

(104) ('■ — -r'/+ l)o,„_,/7o = 'l .•

('■ — 7 fl) a,„^,i y, + ('• — 7 7 + t) «,„-,,+, 9o = 0 '

(r— 7 f/ — 1 ) «„_,, f/, 4- (/■ — 7 7 — t) ",._,+, '/, + ('• — 7 <■/) «.„-,,+, '/o = 0 ,
ecc.

Prescindendo dalla prima di queste eguaglianze. da cui risulla

{i--i<i~h 1 )(',„_,

tulle le susseguenli, che servono a determinarc j/, , 7, - . • • ,V,_,+, si
possoiio rappresenlare colla formula

Del prof, serafino rafaele mimcii 3 1 3

(105) {'--llry + Sw); rt,„_,g,„^., + {»•-! (7 + 2 ni — l)i ff,„_,+.7„
+ { '• — -T (7 + 2 "i — 2) i «.„_,+, g — +-... + {>• — ^(q + m—l)\ n,„_,^„+, ?„ = 0 .

in ciii Hi e suscetlibile de' successlvi valori 0, 1, 2,... r — </, e si
fonsidcra nulla ogni quanlila a^ 11 cui indicc sia superiorc a 2?;. Se
ni'lla (IOd) attribuiamo ad m i valori r — 9 + I, r — <jr + 2, . . . r — 2,
>■ — 1, riguardando nulle le quantita a^ i cui indici superano 2», ed
ogni quantila g„ il cui indice hi ecceda r — ^ + 1 ; colFaggiungere al
primo nieinbi'o della (lO^J) 11 tcrminc /(>_„_, avremo Ic equazioni do-
lermlnanli /<„_,, /t^_3 , . . . A,, /*„ , cosicclie il valore di /i,_^_, sara il
prinio monibro della (lOJ) cangiato di segno.

iMcrce la riduzione (103) non sara meslicri di prolrarre 1" inlegra-
zione delle equazioni (84), ollre quella in cui le potenze de' numera-
tori sono del grado q — 2 , e poiclie q non eccedc 2 /* , non sara niai
necessario di integrare piu di n — 1 delle successive equazioni (84).
Si (' gia nolalo (§ XII) cbe gl' integrali delle equazioni (8i>) si dedu-
cono da quelli delle equazioni (5) (84) col solo sostituire ad x, , x\,...

Ill
a„ le loro reciproche — , — , . . . — , e col permutare fra loro i coel-

ficienli a^ , «„_^ , iniperocche la formula "'. mulasi allora in

— '^^-p— — -. Quindi e manifesto che la Irascendenlc o, (xj. qualumiuc

sia r intero )>2h — 2, oppur negativo. si riconduce alle sole 2h — I
trascendenti $„ , *, , 0, . . . 0,„_^ .

Se poi si tralti in generals di ogni funzionc Abeliana rappresen-
lala dalla formula fF(x^[/A)dx, in cui F si suppone funzione al-
gebrica razionale di x e di l/Tf; sicconic questa funzione F non e
cbe Taggregato di espressioni frazionarie, i cui numeratori e denonii-
natori sono funzioni intere di ;/• e di V^. cioe della forma

S+Ti/^X Si —TfA (LT—SF)X I

nc segue cbe la funzione differenziale F{x. [Xx) d x si ridurra, coiuc
Hi. 40

3)4 SUGLI INTEGRAI.I ALGEBRICI

e nolo, al pin somplioc aspcllo

Pdx
TVdxH ^.

in oni V, /-" sono funzioni razionali della sola x. Lo spoz/aiiu'nlo
della funziono P dara nn aggregate di lermini inleri ./ x'', e di Ira-

c
zioni parziali della forma , c percio la inlesrazione della lur-

' (X — f)' ' ^

nulla s;enerale F{x.[y x)dx verra a dipendere da quella delle due
formnle

a:'' d X da;

I/.V {x — cf\XA

1/ inlegrale della prima di qnesle c la traseendenle ^^{x). di cui ah-
biamo non ha ciiari accennato la riduzionc. L'altro intecrale diviene
una Irascendente di simil forma <!>_,,(»/), qualor si ponga x — c =^ ij ,
poiclii' la fnnzione V si miita in una funzionc di ij intera e del nie-
desimo grade. Vere e pero che i ceefficienli di quesla funzione di >/
sarehhero immaginarii, ove sia c = ^ (cos. ^ + l/— i sen. ^); ma liiKa-
^ia si peira eseguire la ridiizione dclT aggregate di n o pin Irascen-
denti della specie *_, (ij) alia somma di n — I consimili Irascendenti,
merce le formule espostc nella presente Menioria, coU'estendere que-
ste formule alia supposizione delle coslanti immaginarie. E se si av-
verla, die nel case di c := ^ (cos. -|-^ l/'— i sen. ^) , alia frazione par-
ziale

Cdx

(x-cM.y

in cui C sara della forma immaninu-ia

//(COS. A + l/— 1 sen. A ) ,

Irovasi aggiuuta la frazione coniugata

C cl J

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 3 I 5

|HM- cui (lev'cssere

c' = ^(cos. ^ — l-/^scn. ^) , C'^Hicos. K— k' — 1 sen. A') :

e facih; coinprendcre, die liasformato del pari V integiale di

(x—cyi/x

nella lunzione (p_, (*/) col porre x — c=tj\, c ridotla la soninia di n
o pill Irascendenli della specie cp_,, {*/) alia somina di n—l tonsiinili
trascendeiiti, se moltiplichiamo rispellivamenlc per C\ C i due gi'uppi
dellc » — 1 funzioni siinili a O., (//)- e deiraltrc n—l funzioni si-
inili a <!'_,, (y), e resliluiaino x — c, x — c in luogo di »/ , y , osser-
vando essere

C- C Cil X C dx )

si trovcra clie Taggregalo di n o piu Irascendenli della lorma

^bl{x~cf {x — c)'<S

d.

1/-Y

puo ridursi alia somnia di n — 1 funzioni consimili, coUa elisione dei
termini afletti da \/'^ {Xola IX). Possiamo dunque condudere, che
la sonuna di ii o piu funzioni rappresentabili in generale con

j\F(x,yX)dx.

si riduce alia sonuna di ii — 1 funzioni di simil forma, e che quesia
riduzione si potra cseguire niedianle le relazioni esposle nel corso
della presenle Memoria.

SUGLI INTEGRALl ALGEBfUCi

XIV.

Kilonulo positive il segno di l/A'„ nelle equazioni (1), si polrebbc
allribiiirc ad ogni allro di que' radicali l/.v^ il segno posilivo o ne-
gativo. Converi-a allora applicare al dclto radicalc, come pure (79) a
^rU'J-, '^r(fjj-^ il medesinio segno positivo o negativo negli inlegrali
aliiebrici delle equazioni (I) c nelle formule di riduzione (BO), (82),
(9G). (101). Cosi r inlegrale algebrico delFequazione

d X , d X,
4- ^ = 0.

nel caso di >; =: 2 esscndo (57) (AH)

X, 4- A\ 2 I/a, A\

(x,— X,)' (x, — xj'

ossia (•■i9)

•2 a, J-'.tl + », J\ J, (.' , + .' J + -2 o, X , ,(, + 03 (x, + J,) + id. 2 l^^, A',
1 H r= c, :

(x, — X,)' (x, — rj'

quelio deir equazione

d X . d X ,

sarebbe

-'^'o «!-'' + ",'«, "».(', + ^J + 2«,x, r~+ «3(x, + xj+ 2«, 2V X.X,

(x.-xj=

Ora se si formi F equazione di secondo grado rapporlo a c, , In
quale abbia per radici le due predetlc espressioni equivalenli a f , ,
si avia in essa Y integrale algebrico razionale di ciascuna delle d\w
|)refate equazioni differenziali, cioe a cagione dell" idenlila

{ 2 <i„ ';.';: + o, X, X, (x, + xj + 2 «, ,r-, x^ + u^ (x, + 'j + ^"J'— ^ -^. -^. _

(X,— X,)'

(4o„o,— fi;)x;x;+4n„o-x, j\,(x,+xJ + 4 fl„r;-(x,+x,)'4-2 n. f/jX,x,+ 4 n, f^lx, + .<,)+ 1 ", ",,— o'j.

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 317

c per le posizioni () 1.)

dondc risulta

(x, — X,)' = s' — 4 s,,

si olterra la scgucnlc fornuila, gia Irovala dalP Eulero onde esprimere
r inlegrale algebrico deircquazlonc

da. dx.

:0.

c riferita da Lacroix {Traile de Calcul di/ferentiel el de Calcul latc-
(/ral T. II n. 694 p. 480) col mutamento dclla costante c, in a, — cost..

(106) ct(.s;— 4sJ + 2c(2fl„.s' — n,.s,,s, + 2fl,.s — njS, + 2«4)
— (4 (i^ii, — (i])sl + 4 n„f'3 .«, s, — 4 n^n^.s] — 2 a, Oj.s, + 4 a, «, s, — (4 «, a^ — O3) = 0 .

Alia stessa guisa potremmo ottenere gli integrali algebrici razio-
nali delle equazionl

= 0.

nella supposizionc di u = 5, coiratlrihuire successivainenle a' radical!
1./A, , \X.\\ ciascuno de' sogni ±, c quindi dedurre dalla formula (48)
quallro divcrsi valori di », , ed allrellanti valori di o, , poscia col for-
mare le due equazioni di quarto grado, die hanno per rispettive ra-
dici i valori di m. , », . SIccome poi i coel'ficienli di queste equazioni
sono funzioni simmelriche razionali delle variabili x, , x, , x, , e pei--
cio si possono esprimere razionalmenle per mezzo di s, , s, , S3 se-
condo i precelli di Waring; ne viene die gli integrali delle siuldelle
equazioni, e in generate quelli delle (1), qualunque sia n . si potranno
ridurre a iunzioni alsebriche razionali delle sole variabili -s,, «,-..• v,,-

dx,

dx,

V-V.

dX3

-.dx.

X, d X,
H

X3 d X3

3 ! 8 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

Ma la dcterminazioiic di siffalle espressioni di (juegli inlogiali sa-
rel)b<' assai laboriosa, anco ncl caso di n=:5, menlre possiamo iii-
veoe agcvolmenle slabilire « — 1 relazioni fra a-, , v, , . . . v,, alio scopo
di luriiiaro re(juazione algebrica di grado /t— 1, cbe ba per radici
iili ai'gomonti i, , 6,,... i„_, dclle Irascendenli, alia cui soinina si ri-
diice r aggregate delle n trascendenti

*, (J-,) + *,(xj 4- . . . + "S, (j-„) .

Iiil'alli designando con E^,^^ G^,^ due costanli arbilraiie, possiamo
ncl inodo stesso, con cui si dedussero le eguaglianze (Go) (G6) dalla
((i'S), raccogliere, supponendo p, q numeri interi non superiori ad /i,

A:. d r d r d r

e poicbe evidentemenle ba luogo 1' identila

<''^> ^'"'d7-^-"i7-"°^-'-

se in questa sostituianio a p Tunila, ed a (j gli allri numeri 2, 5,... *;.
avremo, a cagione delle eguaglianze (62) (05), le n — 1 relazioni se-
guenli

( J 09) G,, [-^ 0, — o„ .g == G,, (7 a. — n„ sj — n„ E,, \/ (./, — «, .«, + n„ i\) ,
G,, (r t>3 — Co -'s) = ^,,j (t "■ — "o •«,) — Oo -£',.3 1/ (-^. — "■ *'. + f'o ■''!) J

0, , (7 t)„_, — n„ sj = G,„ (f fl, — "„ s,) — fl„ £■.,, l/(-'-^. — ", *'. + "o «!) ■

Ora essendo 6, , i, , . . . />„_, (^ X.) un sistenia di valori delle variabili
j;,, x,,... .r^_, corrispondenli ad ;t„ = 6 , se indicbiamo con r,, 5-,,...

5-„ 1 relalivi valori di v , v , . . . .« , e con ?, , —2- quelli di z^ , — ,

si avra manifeslamenle

(110) 6" + r , 6"~' + r, 6"~' + . . . + T„_, b + T„ = 0 .

DEL PROF. SERAFINO RAFAELE MINICH 3 1 9

0 dalle {(i'l) ((}.■>). [xjstovi x„ = i, dedurrcnio

(HI) -2- = 7 !»,_, — f'o Cr^ . Er=l.' '-'^r— ",_, (7"r+"o^;i

(I < '

Iiidi (iaile (109). ovvero dalla (108) avremo

^ A I Al ' ^

^^,.-^=^.3 — -"o£■,3H.■

d^„ , d^, . ^

■■' d J ''" At ° "'^'

inolti'c soslilucndo nella (110) i valori di <t ^ ^ o", , . . . cr„ dcsunli dalla
prima delle rclazioni (111), c poncndo per brevita la costante

( M 3 1 o„ 6" + 7 0, 4"— +-^y, b"-' + . .+^ r^^ l, + \ o„_, = A ,

si oltcrra lequazione

d?, d? d?„_, d?„

(1 1 4) //— —5- + 4"-' ^^22 + . . . + 6 ^ - + -^ = A ,
d « d t d « d «

la quale unitamente alle (111) (112) serve a determinare cr,. cr,.... s-„.

. . ... ,, ..... dp, d^3 dv^

A quest uopo mtroduciamo nella (IM) i valori di -^ , — ^.... —^

» ' d« dr d?

offerti dalle (112), ed otterremo

d?, , ^

(115) (6'— G, , + //-' G, ,+...+ G. „) -^ — «„ (/>"-' £■. , + 6"-' E, 3 +...+ Z-, „) £, = G, , A

d?

Abbiamo poi dalle (111), oppure dalla seconda delle (107), postovi
e se sommiamo i due memljri di (jueslequazione moltiplicali per

(H G ) /■= a, (6"-' /:, , + h"-^ /■, 3 4- . . . + E^J — (A"- G,, + A"-' G, , + . . . + G, „)' ,

320 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICl

co' rispellivi due mcnibri elcvali al quadrato deiroquazionc aulecC'
dente, indi dividendo i mcmbri della nuova cquazione per o„ ne e?-
Iragghiamo la radice, ricavasi

'IE.
(117) (b"-'E,, + b"-'E,,+ ...+OE,„_, + t\„)-^

- (6"- G,,, + 6"-' G,,, + ...+b G, „_, + G.„) ^, = 1/ j^^^ — ■ -S

Ma a cagionc dell' identita

( M 8 ) fl„ ^,„ £,,, - G, , G.,, = - G,,, G,,, ,
dondc risulla

a, E, , A', 3 — G, , G, 3 = — G, 3 G, , ,

e per le seguenti identita che sorgono dalle eguaglianze (46) (B2) (107)

(119) «„(W.— a,) + jal = G,^, ,

"o (*'. — "3) + 7 {^, ", + ", ^.) — 2 G, _, ,

"o (Kj — "4) + 7 (*<= «, + », W, + n, »,) = 2 G,.3 + G,,, ,

"o («4 — "5) + 7 ("3 «. + •>»'»■ + '«, W, + o, >J3) = 2 G,.4 + 2 G,,j ,

— "o «,„_. + 7 ("a-, ^„_, + •»„_, >»„_,) = 2 G„_, „ ,

"o "in + 7 On—, = G„ „ ,

se poniamo di conformita alia (2)

(120) B = a„ b'" + n, 4'"-' + n, i"""' + . . . -I- n,„_, 6 + (t,„ ,

risuUa

(121) G,,^' + F=zi,Ji,,B.

e conseguentemente, rilenuto il segno d'\ 1/ B egualc a f(ii(^ll(i di l/ A,.

DF.L PROF. SERAFINO RAFAELE MINICII 321

si (lovra assumeie col segno negative il radicalc coslitucnte il sccondo
nieinl)io della (117), come verra provato ncl i XV, e si rilrae dalle
cquazioni (Ili») (117). avendo rigiiardo allc eguaglianze (116) (121),

(123) -=^= -^ ~ ~-^ .

^ _ (6—' /;, , + 6"-' £',3 + . . . + >£'„„) A + (4"-' G, , + 6—' G, , 4- . . . + G,,„) ^/j?
^' A' — (7„/? ■

Sostiluendo quesli valori nolle equazioni (112), e ponendo mente al-
r idenlila (118), ed a quest' allra che si deduce dalle (107)

avrenio in generalc

^^r_ (^"~' Gr„ + G„„) A -[ a,(/j"- £;, ...+ 6— ^+' a;,,_. + &"-'•-' ^.,.+. ...+/:,„ I iX-g

e quindi dalla (108), postovi p^r. q = i^ x„ = 6, otterremo

.. (6"-£;, ...+ b'-'+'E^,_, + lj"--'K.+r-+Er„) A +(//-'G,, +...+ G^„)\yB

(124) r, = ^ '- '— '. : .

Avverlasi poi che si avrebbc (H3) (120) (119)

(125) A' — o„5=G._. 4"-' + 2G,,6"-' + (2 G, 3 + G, J 4"-^ + . . . + 2 G„„_, A + G,,,. .

Trovata respressione di — in funzione razionale di quantila che si

espriinono razionalmente per mezzo di x. , a?,,... x„, t/A, , |/A, ....
iX.Y,,, ricaveremo dalla prima delle (HI) il valore di ff"^ , indi de-
notando con ( — lY '^1°^ la somma de prodotti delle quantita i, , 6,,...
6,^, combinate ad /• ad /•, avremo analogamente alia (7)

(126) (rt°' = //+6^— cr, -f...+ 6r,_, +(rr=^—<—, 1- -tt" + ■ ■■+~[;:^l ••

(6005

e verranno cosi espressi razionalmente in funzione di x. , x\. . . . a„ ,
1/ Y. , 1/ Y. , . . . t/.Y,, i coefficienti dell" equazione

(12 7) h"-' + 0-','" 6;r' + cr',°' ir-^ + . . . + cri,°i, = 0 ,

le cui radici sono gli argoinenli richiesti 6, , 6, , . . . 6„_, .

III. 41

322 SUGLI INTEGRALI ALGEBRICI

Ncl caso (li a, = 0 essendo (107) (111) (ll/i)

//-' G„ + 6"-' G„ +...+G,„ = -^ ( 6"- -^ + b"-'-^ + ...+ -=^ ) = - >«, , A ,
d « V dt d ( d < / "

si deduce dalFequazione (124)

(128) ^.= ■■ ■■ : ^ ^^-,

indi dalla 2." delle relazioni (111), postovi a„ = 0, avrcino

(J29) cr,=-^— ^'.

Pero se con a„ fosse nullo anco o, , questa espresslone non ci darebbe
il valore di o", . Converra allora ricavare o-_ dalla relazione (46), die
per J •:= 3 , x„ ^ 6 ci esibisce regiiaglianza

(130) W, + », (T, =03 — 2^,^, ,

in ciii sparisce >», nel caso di n^2.

§ XV.

Applichiamo a' casi piu scmplici il nielodo esposto nel § XIV, onde
forniare Tequazione (127) cbe ba per radici i ccrcati argoinenti 6,,

Pongasi primieramente nz=^. c si avra per I'eguaglianzc (IM)

(12r>) (l2o)

(4 G,, + G,,)(b' + ^-b + ^-) + E,.,\^B
a, ' ' \ a. ttj

G,,b'+2G,,b + G,

Conseguentemente risulta

(131) cr<,°>=:.

O 0, O, H, „ y „

G,J/ + (G,, + r~G,, — i-G,,)b + \-G,, — ^-G,,, — E..,l/B

(t "i •♦i — Tf'o"3) '•*' + (t^j **. — ^'"^i — ir". "3 — '^oC/) ^ + 7 "3"! — r^i "4 — ^1,1 1/^
(-^ n| + "„»>, — Oo "J 6" 4- (7 n, w, — f o "3) * + i ''> — "o "4

DEL PROF. SERAFLNO RAFAELE MIMCII 323

Si pu6 vcrificarc ([xwsUx esprcssione ncl caso di b = 0. o„ = 0. «, =; o,
coirfipplicaria aHeqiiazionc

e si avra

'+-' (■'^.-J"J"+ il/(l -rD-lXH-O]'

x] — a-'

■'.1/ (J — •!>) — ■»■, [/{I —Xj) "^ ' '"^ ^ '"

in confoi-mita alia nota relazione di Trigonomelria

arc sen. x. + arc sen. x, = arc sen. { x, |/( 1 — xl) + x,iX(l —x])l.

Siipponiamo in secondo luogo )i = o, b = 0, e Iroveromo (12G)
(111) (125)

(132) ir':>=:-^-

_ 7 "» ^. + 7 ". ^ ^3 — T "o ". -^ ^3 + -;■ B, r, 73 — -^ ff . ffe — £•, 3 [XCj

■rG,3- + ^3l/-«,

3-W_J._i !

T *»> '2 + 7 ". "2 S3 — T n„ K, s, 's + T iv, r, Tj — t "0 "■ — £,z [^ "e

Pria di dar fine allc prcsenti ricerchc non lascieremo di nolart-
die .se il grado q della funzione X sotloposla al segno radiiale (2)
fosse inferiore a 2 /*. — 1 , cioe se si avesse (y = 2 (« — /) , oppur<'
(y 3= 2 (» — /) — 1, si polra ridurre la somma delle n trascendenti

^r('-,)+*.(-rJ+. . .+$,(x„).

a quella di n — / — I consiniili trascendenli, e I'orniare I e<piazion('
di "rado /( — / — 1. le cui radici sono cli aruonienti delle nuo\e lun-
zioni. col sussidio delle fonnule esposle nel ) \IV.

32 4 SUGLI LXTEGRALI ALGEBRICI

Infatli nella slessa guisa con cui T aggregate delle n IrascoiKlciili
teste indicate si riconduce alia somma delle n — 1 funzioni

si potra ridurre questa somma, ove sia cj <C^ n — 1 , all' aggregalo di
»? — 2 consimili funzioni, i cui argomenti 6'/' , 6*,'' , . . . ^J,'i, saranno ra-
dici d'una equazione del grado n — 2; e denotata con /?„ una fun-
zione di fj„ simile alia (120), i coelflcienti o"','' , cr''' , . . . (r|'^ di que-
sta equazione si esprimeranno per mezzo di i, , 6,,... 6^,, l/ZA ,
l/^. , . . . t/^„_, , come i coelficienli dell' equazione (127) si espri-
niono in funzione di a?, , x^ , . . . a-,, , l/^, , l/.Y. , . . . iX-Y .

Ora e facile rilevare die per la formula (11) e per F equazione
(18) risulta

e se in questa eguaglianza poniamo ac^ = 6 , e quindi sostituiamo h^
ad a-^ , e le quantita rispetlive ^, , ^, , . . . ^„ in luogo di z, , c, , . . .
r, , avremo

(133) l/^B„ = ^^6"-'-{-^,b"-^ + ^,b''-' + ...+^„_,b„ + ^„.

Pertanto i coefficienli <r['\ cr^'' , . . . o-J'^^ deirequazione di grado /; — 2
die ha per radici b['\ ^1'', . . . ^I'i, , si esprimeranno (124) (12o) in
funzioni razionali di 6, , i, , . . . i„_, , e siccome queste funzioni sono
evidentementc simmelridie, se |/-Y , l/.Y, , . . . l/-Y„ nelle date equa-
zioni (1) hanno il medesimo segno, saranno pure simmetriclie se qual-
cuno di que' radicali ix^.Y„ abbia il segno opposto; imperocdie tul-
tavia I /^„ die deesi nrendere collo stesso seuno di l/Y verrebbe
espresso dalla formula (133), se non die allora l/.Y„ verra mutala di
segno nelle espressioni delle quanlita comprese con b nelle fornuile
(124) (12o). Per consegueiiza i coefficienli delta nuova equazione C",
'" — ^li, essendo sempre funzioni simmetriche razionali di ^,. b^ —
b.,^, polrannosi esprimere pc' coefficient i c',"', o-^°\ . . . cr|_°^ delKequa-
zione (127), e diverranno funzioni esplicite razionali di u, , x, , . . . x„ ,

Se fosse q <^'l n — 3 si poira passare in siinil guisa ad una e(jua-
zione di grado /« — 5 . die avra per radici gli argomenti /*f, b["\ . . .

DEL TROF. SERAFIiNO RAFAELE MIMCH 325

6|,'i3 (li altrellanle funzioni della forma *,(i!^'), alia ciii somma si ri-
durra Taggrcgalo delle n — 2 funzioni precedenli. In generalo. suppo-
s(o q^2(n — /), oppuro ry ^ 2 (/( — /) — I. si giungcra infine con si-
mile procedimonlo ad una oquazione del grado n — i — i. le cui radici
/>',', i'J', ... i„'2,_, saranno gli argomenli delle n — i — i funzioni, alia cui
somma si puo ridurre raggregalo delle n proposle funzioni di simil
forma, e i coefficienti ■J"',', cr'j', . . . 2-;_l_ dl quest' ultima equazione ver-
ranno pure espressi razionalmcnte in funzione di x,, x,,... x„, l/A, .
l/.\, , . . . \X -\„ . Riserviamo ad altra Memoria lo sviluppo de* calcoli,
die servono a formare questa equazione, e di quelli accennati nel j Xlll.
Osserveremo a queslo luogo che avendosi dalle (107)

dr.

ossia, poslo af„ == 6 ,

si rilrae dalle equazioni (117) (121), sosliluendovi in luogo di b unal-
tra radice b^ della (110), T equazione (133), e si riconosce che il ra-
dicale coslituente il secondo membro della (117) deesi prendere col
segno negalivo, come abbiamo asserilo nel 5 XIV.

Dobbiamo infine csaminarc come si modifichi I'espressione (13)

di ip, da cui dipendono quelle di z,, (»,_,, -^ (14) (28) (62), allor-

che alcuni de' dati argomenli x, , x, , . . . x„ sieno eguali fra loro.

In queslo caso e d'uopo che i radicali delle funzioni A, , A, ecc.
de' rispeltivi argomenli x, , x, ecc. che si suppongono eguali, sieno
affelti nelle equazioni (1) dal medesimo segno, altrimenti sparirebbero
le coppic di funzioni eguali ed opposte di segno da' gruppi (80) (82)
(96) (101), e r impossibilila della riduzione sarebbe indicata dal va-
lore infinito di i\ . Ora supponendo primieramenle x, m x, e i radi-
cali l/ Y, . i^X^ affelti dallo slesso segno nella formula (13), trovia-

mo per la re^ola determinante il valorc delle funzioni che vanno a —

' "- 0

-r. — X, ([X, — X,)...{X^ — X„) <T^ — XjV Ix^ — x„'l^

f'{x,} Ti-i',! -r. — ^, ((ar, — Xj)...{x^—x„) Ix^—Xj). Ir^—T^](j -^.(j^—x,). (r,— T„)

3:2(i SUCr.I IMLGIl.VI.I ALGtBIIlCI

111 M'liuilo so lossi" .r3 = .r^ = x, , scmpreclu' sicno (Id iiuHlcsiino se-
ii,ii() \,y V,, [/ \,. 1/ Vj . avremo

/■'(•'■,) /■'('■,) /W -^^ (T.-Xj)... (,,■,- r„) /-'(.rj)

(■'3— ■',)' l^e-s — J"4)'-'(-r3 — ^J ('■- J"4)-- (*■> — -O ' '^' [x,—x^)...(x^ — x,;)\

/)'

(x, — X^ . . . (P, — x„)

Cosi procedendo si trovera in generale, die per un nnmero m di ar-
i!,onienli eguali jt, = x, = ^1:3 = . . . = x„ , purclie sieno tulli del mede-
sinio segno i rispellivi radicali l/-Y, , i/A', , . . . L/-V,„, risnila

(134) — ^ji^ + — -^ +...+ — -^ = />;— ^

cosifclie, se tulle le quanlilu x, , a^, , . . . x„ fossero eguali Ira loro, si
Irovcrebhe

t

(135) r,= /r- ..r'l/-V..

'^ 2.3...(»— 1) ^

La leorica deiili inlei>;rali delle lunzioni, clie invol^ono il radicalc
di (jualunque grade d'una limzionc inlera, potra di\enire il soggeKo
di analoiihe ricerche analitiche.

(Pi-csciilala li 10 .-/(joslo 1846 e 30 Geintaio 1847)

DEL PROF. SERAFIiXO RAFAELE MIMCIF 32:

X 0 T E

Nola I. airinlroduzionc. Vcggasi il T. HI pag. 343 del Giornale di Matemaliche del sig
Crclle di Berlino. Nel T. IV dello stesso Giornale pag. 200, e nella Menioria coronata dall'Ac-
cadeniia delle scienze di Parigi (Memoircs das Savans vlraiirjcnijT. VII), il celebre Abel pervenne
ad uii simile teorcnia per gli integrali di luUe le funzioiii clie involgono la radice d'un'equazione
algebrica, i cui coeflicienli sono funzioni intcre e razionali di x. II sig. Ilerniite, che s'era gia sc-
gnalato eoUa divisione degli argomenti nelle funzioni inverse delle abeliane, prese a considerare
le inverse delle nuove Irascendenli a derivata algebrica (Liouville, Juurnnl de Slalhematiques,
oclobre 1844). Poscia I'insigne Jaeobi osservo che quesle funzioni inverse si possono coniporrc
algebricamente di funzioni ad una variabile; e nel Vol. I. pag. 383 delle sue Opere (Berli-
no 1846) presenli) sotto un nuovo aspelto gli integrali delle equazioni ({} ch'egli eliiama ullra-
ellitliclie. Allre iniporlanti Memorie di rinomati autori sullc Irascendenli abeliane, c su quelle a
derivata algebrica trovansi nel citato Giornale del benemerito sig Crelle.

Nola II. al § I. Si attribuisce alia sonuna indicata col segno 2 il liniite superiore /)=2 n-\-\ .

per mantenere I'analogia colla nota formula 2 cp (p)=<p (0) + (p(l)+^(2) + ... + <p (r)

p = 0
nell'ipotesi di A y)= 1 .

Nota III. al § III. Ho collocato superiormente gli indici p + I, p + 2, ec. de" coefficienti
posteriori ad c.^ nella espressione di R per avverlire. che il solo a^ si determina colla stessa
legge a cui obbediscono c/.„, c.,. </.,, ... c/'.^_, .

Nola IV. al § V. Denolando con S^''^ la somma delle polenze di grado r delle quanlita
X, , ,T, , ... x„ si raccoglie dalle relazioni che passano fra S'-'\ 6^'', ec. s, , s,, ec, e dalle egua-
glianze (31) la relazione

^"■^ 4- y, S"-'^ + y, ^<'-" + . . . + y,_, .$<"=>• y, .

Nola V. al § VIII. Nel T. XXIII delle Memorie della Sociela ilaliana (Parte malemalica) il
chiarissinio sig. prof. G. Mainardi, dopo di a\ere espresso colla (28) uno de' due integrali delle
cquazioni (1) nel easo di 7i = 3, e nella siipposizione di o<, = 0 n,= l, rappresenta I'altro in-
tegrate con una formula che spetterebbe al sistema (65), ma che non si accorda del lutto col-
I'espressione risultante dal porre nella (65) r=2.

328 SUdl.I INTF.GRALI ALGEiiRICI DEF. PROF. S R MliMCH

i\'ota VI al § IX. Eliniinando una delle variabili a-,, x, fra resprcssionc del moltiplira-
tiHi' /'' f qiR'lla di «, = c, + (p (28) si trovera eliniiiiala anco I'alira van'ahile, c si avra

/■'=: I,/ {",'"4 + ",' a„ — 4 o„o, (7^ + (4 ff„n^ — ", "3^ '', + «, >),' — >J,'5
Di piii hc dall't'ciuazionc (106), ponendovi n, , 6, 6,, in luogo di f , . a-,, .r, , ricavianio 6,, e no
paragonianio il valorc con quullo offcrlo dalle M27) (131), ollerrenio /''=/"',,,

Nola VII. al § XI. Senza esegnire le inlcgrazioni si polrebbe conscguiro successivaniente
',) '. > '3' c*^'- introdncendo nolle (80) i valori (62) di .«,, s,, Sj en., e per brevita le costanti
I',, I',, I'j ec. determinate dalle relazioni

2 n J', + >»„ = 0 , 2a„ )\ + y'^v, + n, = 0, 2 a, I'j + «„ v, + yj,v, + y, = 0 ec.,
indi ordinando rapporto a dr,, d;, , drj ec. in modo die un gruppo qualunque affetto dal
faltore d :„ non contenga le differenziali delle posteriori variabili ad indice piu elevato. Per
a\ ore r, , f, , ^3 ec. bastcra sostituire in ogni gruppo a' coefficienli de' varii termini nuo\ e co-
slanli indeterminate, e scriverc z„ in luogo del fattore dr,„. Si ottorranno i valori de' coel-
lioienti indeterminati paragonando le differenziali delle nuove formulo coUe precedenti. Del re-
sto venne gia assegnato dallo stesso Abel e da Jacobi (Opere matenialiche, Vol. I. pag. 281) il
valore di 1^ — k^ (95) merce lo sviluppo in serie d'una data funzione, e si polrebbe ancora
dedurre <,, f,, (3, ec. dall' integrazione delle fonnule (86) espresse in funzione di s, medianto
le relazioni (67) (109).

Nola VIII. al § XII. E facile provare I'equivalenza delle prime due fonnule (97) colic ri-
spettive (102), impcrocche sottraendo quelle da quesle troviamo a cagionc della (63)

C 1 , )\Xa,„+s„\y a—z„ zl—{s„i/a„+[Xn,„y

\o.-^n- -(-.+1/ f',ji -^ ~ = -^ = -(^_. + 2lXf'„",„),

2(Mx^X— -%) (i-^'.— ■'n— O — I "..+ (■■■'. [X". — -J'j -n ^ ;- _ ^— "o ".. _

{",, + (s»l/'''o— ^JKr^'—.-'n— "J— 2(S,.l/'0o— •2„)'',„J„ '"~ T>^n-,

Nola IX. al § XIII. Nol modo stesso con cui Legendre ridusse le trascendenti ollittiche a

Ire sole specie, il preclaro analisla sig Ricbelot nella sua prima Alenioria sugli integrali abeliani

di primo ordine ((iiornale del sig. Crelle, T. XII. pag. 221) dimostra, che quesli integrali, cioe

rpdx
le trascendenti rappresentate dalla formula \-jY ' '" *'"' ^ "^ ""^ funzione razionale di x,

(•(1 V una funzione intora del 5" 0 del 6" grado, si possono ridurre a cinque specie senza al-
cun intcrvento di quantita immaginarie.

COIVSIDERAZIONI

I^TOR^O AL GENERE ED ALLA SPECIE

11\ BOTA^ICA

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI

-aS®e.-

Xn lanlo fervore di studii, con che ell uomini d'ossridi si vol-
gono allc scienze naturall in gencralc, ed alia botanica in partico-
iarc. dolti ed indotti, iniziali e provelli muovono egual lamento snlla
soverchia niutabilita, e conseguenle inoltiplicita de' nomi, con che i
varii bolanici salulano la slessa pianla. Coloro, che in queslo piace-
volissimo studio non cercano meglio che un utile passatempo, si la-
gnano di trovarvi invece per questa causa noia e difficolta; e que-
glino slessi che la scienza professano, veggono con dolore, che la in-
costanza e la moltitudine de' nomi sta per avvolgerla in una confu-
sione peggior delKantica, e sempre piii ineslrlcabile. Di che ne viene
che i primi, mancalo loro il dilelto che ne speravano, se ne disgu-
stano e labbandonano; i secondi con gi'ave danno di lei sono coslretti
a perdore neirapprendinienlo e riscontro de' varii nomi un tempo pre-
zioso, che avrebbero meglio impiegato nello studio delle parti sue piii
essenziah. Tentarono di giovare, almeno a questi ultimi, uomini pa-
zientissimi e diligenti. compilando grossi volumi di sinonimia; ma codesli

IH. 42

.•)30 INTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

lavori e sono di lor nalura iinperfelti perche soggetli a continue vi-
ccnde di mutamenii c di giiinte, per cui non soccorrono che incom-
plehuncnle, sol pel niomenlo, ed a' soli bolanici die appunlo men ne
abbisognano, c d'alfra parte non rimediano al male percbe non ten-
dono a toglierne la vera causa.

Mirando addenlro di lanio disordine dclla nomenclatura non e dif-
ficile 1 avvedersi, parccchie essere le cagioni cbe concorrono a pro-
durlo ed a mantenerlo, ma nessuna al certo essere piu dannosamenle
efficace di quclla che consiste nclla incertezza ed inesaltezza del con-
cetto che buona parte de' botanici novatori si forma del gcnere e della
specie, nonche del valore che attribuiscono ai caralteri su cui quello
e questa si fondano. Per essi ogni lieve diversita, ogni piccola modi-
ficazione di forma ncgli organi delle piante paiono sufficienli a sepa-
rare alcuni individui da una specie, alcune specie da un genere per
farnc poscia unaggrcgazione distinla, a cui tosto gli e forza d'imporre
un novello nonic. Quindi o che la fondazione de' nuovi generi, dclle
nuove specie, e quindi dc' nuovi nomi, dipondc al tutto dal differente
grado d importanza che da luno o Taltro botanico a quel dato carat-
lere o a quel dato organo, per fame, o no, un nuovo genere o una
specie nuova, ed e quindi in questo diverso modo di vedere il valor
dei caralteri sia generici sia specifici che risiede la causa prima della
lamentata moltiplicita de' nomi nei vegetabili. S' egli fosse possibilc
laddilare norme piu o men sicure per giudicarc reltamente di lal
valore, e fissare piii nettamenle il concetto vero del genere e della
specie, si torrebbe certamente alia scienza una sorgente inesausla di
nuovi nomi, e, che piu monla, di lanti crrori, quanti sono i falsi ge-
neri e le false specie, che provennero e provengono tullo di dal-
Taverle o sconosciute o neglette.

Convinto da lunga pezza della utilita, e diro anzi ilella necessita
del lavoro, nonche della maggiore opportunita sua in questo tempo,
in cui la scienza e piucdie mai bersagliata dalla smania sfrenata de'
fabbricatori di generi c dei coniatori di nomi, mi sono altenlalo di
porvi mano, meravigliando insienie e dolendomi che bolanici j)iu di
me consumati ed aulorcvoli non Tabbiano falfo ancora, malgrado la

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 331

cvidenza urgenlissima del bisogno, die pure in ogni opera filografica
vicne confessato e riconosciulo. Ho raccollo percio dalle opere di tas-
sonomia piii celebri c piu degne della lor fama tutto clo ch'era slate
dollo di incglio noirargoinenlo ; ne ho fatlo quella crilica spassionata
('he mi fu suggerila e dalle osservazioni degli allri, quando le ho tro-
vale confornii ai falli, e da quelle ancora che una qualche sperienza
in sifFalti sludii ha poluto somminislrarini; e ho cercato da quesle
indagini e da queslo esame di dedurre le regole che a me parvero
fondamentali per la creazione de' generi e delle specie, e per la piu
relta estimazione de' caraUeri che li dislinguono. Raccoglitore e com-
mentatore di Icggi allrui io non m'arrogo allro titolo allinfuori di
queslo di avere sceveralo dalle molte dottrine pubblicate sulPargo-
mento quelle che Fesperienza ha sancilo, di avervene ac;giunta al-
cunallra. che la osservazione posteriore mi ha moslralo non mono
vera o men utile, e di aver chiarito e quelle e quesle con esempii
e con falli che ne comprovano Tesaltezza.

Non dubilo pero che a quesle regole pella grande mulabilita doi
caratteri filografici non sieno per iscoprirsi delle eccezioni; non du-
bilo ne anche che uno sludio piii allento rivollo in seguito piu di
proposito a queslo ramo di scienza possa scoprirne di nuove: nia
1 uno e r allro di questi risullamenti se moslrera da un lalo la im-
perfezione del mio lavoro (ned io il credo compiulo). promuovcra
insieme il perfezionanienlo di quesla parte rilevanlissinia della scienza,
e quindi corra ei pure Io scopo vero ch' io \n ho proposlo nell" im-
prendere la prescnte fatica.

DLL TROI-. ROBERTO DE VISIANI 333

PARTE I.

I> E L G E N E R E

Ouamdiu summi syslenialici oovos introJiicebarU oliaracteres
novosque conceptus generis, lamdiii barbariei exposila gcniuit
Ixilanices scicnlia.

Linn. I'liil. bot. character, p. 13a ii. i02.

Gli anticlil bolanicl non avcxano idea prccisa del genere, percio
si conlenlavano di raocorre in una serie, die domanda\ano generc,
quelle pianle die crescevano in un niedesiino luogo, o fiorivano nella
stessa stagione, o aveano qualita ed usi coniuni, o si assomigliavano
in organi di secondaria iinporlanza, quali erano le radici e le foglie.
Con do confondevano la distinzione generica delle piantc colla loro
distribuzione geografica, o colla coincidenza delK epoca in cni fiori-
scono, o colla loro classificazione (ecnologica, o colla sCessa loro distin-
zione specilica. II primo ad avvisarsi di ravvicinare fra loro le pianle
siniili pei caratleri del fiore e del frutto si fu nella seconda niela del
secolo decimoseslo il celebre Corrado Gesnero. e iiel principio del
successivo il non meno illuslre Fabio Colonna. A quesli due sonimi
e pertanto da riferirsi il merito della prima e rella istituzione dei ge-
neri: ma I'applioazione de' loro principii. bendie in parte eseguita
dal Morison e dal Ray, non fu estesa a tulti i generi delle piante,
ne a questi furono assegnati i caratleri difl'erenziali die dal celebre
Tournefort.

Gli e percio, che ad esso viene altribuita la gloria se non della
invenzione, almeno della prima sistemazione dei generi, avendo egli
pel primo fissale alcune regole da seguirsi nel costruirli. Pero questo

33 4 INTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

i^raiido botanico oniise di far parola fra i caralterl genorici di quelli
tralli dagli staini, dallo slilo, c dallo sliinnia, chc considero puramcnlc
quali organi escretoiii del fiore, e poclie volte descrisse il calice; lal-
che i caralleri di qiiesto e degli organi teste iudicati risultano no
suoi generi pii'i dalle figure dell opera chc dal Icsto, c piu debbono
alia diligenza del piltore che del botanico. Vaggiunse invece talvolta
ai caratteri tratti dalla corolla, dall'ovario c dal frutio, quelli desunti
da qualche organo estraneo alia riproduzione, come la radice; o dagli
accessorii della medesinia, come Ic brattee; o da quelli tratti dal-
Taspetto generale della specie, die e cio che dicesi abito o porta-
mento. Dopo di lui, botanic] di minor nome ne neglessero sciagura-
lamenle le dottrine e Tescmpio, e tornarono allantica licenza, siuo a
che nella seconda meta del passato secolo il grancle legislatore della
botanica postosi a riordinare le parti tutte di questa scienza, ritorno
in onore il canone fondato dal Gesnero, applicato dal Tourneforl, lo
estesc a tutti gli organi della riproduzione non acceltati da queslo, c
rifiuto tutti cli allri caratteri sccondarii dal Tournefort aeeiunti ai ge-
nerici, riputandoli non necessarii alia esatta distinzione dei generi.

Guidato da tai principii il Linneo prese in esame tutti i generi del
francese botanico, e giudicatili secondo Ic nuove regole da esso date,
e secondo il valore attribuilo alio varie parti riproduttrici, ed alle loro
modificazioni, ne adotto la massima parte, n'escluse parecchi, ne ag-
giunse quasi altrettanti, assegnando a tutti, chiari e precisi caratteri
desunti da tutte le parti del fiore e frutto. Quindi e, che se al Ge-
snero e al Colonna spclta la gloria di aver fissata V idea vera del ge-
nera, al Tournefort quella di averla applicata alle piante allor note,
al Linneo si appartiene il doppio merito e d'avere fondato le vere
leggi chc guidar denno il botanico nella creaziono de' generi, o di
avernc estesa Papplicazionc oltre ai generi del Tournefort anche a
tutti quelli scoperti dopo. Or queste leggi da lui consegnatc in qucl-
I'aureo codice della scienza, chc intilolo Filosofa holanica^ essendo
r ultimo risultamento degli studii AUti sulP intero regno de' vegetabili
da una mente atta ed avvezza ad abbracciare d'un guardo T intern
nalura, e a coglierne sicuramentc le analogic e le attinenze, basia-

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 335

rono lungamcntc qiial ccrla norma ai botanit-i nella fondazionc cd ac-
celtazionc de' gcnerl, c Ic osscrvazioni posteriori non fecero quasi
sempre die raffermarne la convenienza e la verita.

In appresso un uomo per ampiezza di vcdute, per dovizia di co-
gnizioni, e per talenlo di osservazione degno di succedere alF immor-
tale svedese, Augusto Piramo De Candolle pubblicava nel principio
di queslo sccolo sotto il lilolo di Teoria elemenlare della botanica
unopera nierilevole per molte parti di stare accanto al codice Lin-
neano, nella quale venivano rivcdute le leggi da queslo imposte alia
creazione de' generi, ed accrcsciutc di alcune norine cd avvertenze
utilissime. Finalmente dopo di lui il degnissimo figlio sue e succes-
sore A. De Candolle, nella Inlrodiizione alio sludio della botanica esa-
mino a lungo il valore degli orguni e de" caratteri, tentando di clas-
sificar quelli e questi secondo il grado di loro iniportanza. affinche
i botanici potessero adoperarli con piii concordia c con piii sicurezza
nella fondazione de generi.

Si furono questi i botanici clie piu di proposilo traltassero ([uesta
parte di scienza, e ne discutessero le dottrine: pcrloche ci conten-
teremo di esaniinare quanto eglino ne scrissero, facendoci carico a
luogo debito delle osservazioni fatte sulle regole del Tournefort e del
Linneo dal Jussieu e dal Mirbel, come quelli cbe non proposero lea;gi
nuove, ma commentarono ed ampliarono soUanlo quelle proposte dai
sopraddetti. Ignore che botanici de' nostri giorni abbiano pubblicato
regole diverse da quesle: ma so benissimo che nelle opere fitografi-
che moderne, alcune delle quali, per molti rispetti. eccellenti, gli autori
moslrarono di aver del genere un concetto diverse da quelle che ri-
sulta dai canoni Linneani. Su qucsto concetto, che non puossi desuniere
se non dal modo pralico con cui questi autori caratterizzano i loro
generi, non avendone essi pubblicata ne una di versa definizione, ne
anco le norma leoriche che seguirono neH'adottarli. c' intratlerremo
airatto di classificare le varie sorte di generi, e di apprezzarne il re-
lative valore.

II Tournefort stabili, le note proprie de' generi doversi ritrarre
dal fiore insieme e dal frutto. dimoslrando non bastar I'uno senza

336 INTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

delFallro. Qucsla regola non e abbastanza vera e sicura, esscndovi ge-
neri ben dislinli Ira loro pel solo fiorc, come il Cenlrunihus dalla f a-
leriana, la Celsia dal Ferbascum, la Primula daW./nclrosace, ed il inas-
siino nuinero delle Labbiale, le quali ne' frulti loro non presentano
seiisibile diversita. Allri generi invece non diversificano che pel fruUo,
come la Lijsimachia i\i\\\./n(i(jallis, V/rctostaphylos <\a\V ./rbutus, c ge-
neri innunierevoli nella faniiglia delle Coniposle. II genere quindi puo
essere londato anche sni caratleri del solo fiore, o del solo frulto,
quando pero sieno tratti o dalle parti loro di prima imporlanza, o
quando sieno \)n\ d'uno, o almeno sieno in accordo coll' insieme di
Inlti gli allri caratleri secondarii delle specie congeneri, che cio che
dicesi il portamento. Cosi il Cenlranthus e buon genere perche differi-
sce dalla J alcrlanu per due caratleri del fiore, la lunchezza c forma
dell'appendice della corolla e la presenza di un solo stame anziche tre:
la Celsia dal I erbascum pel numero minore, ed insieme pella diversa
direzione degli stami: la Primula <\i\\V indrosace pel tubo della co-
lolla cilindrico e non ovalo, ed insieme per la faucc della medesi-
nia allargata anziche contratia, ciocche accenna ad una diversila di
strutlura. Quanio al friitto i siioi caratlei'i hanno certamenle un mag-
gior valore di quelli del fiore, ma per ben apprezzarli converra di-
stinguere quelli desunti dalle parti piu essenziali del medesimo, da
quelli die si Iraggono dalle appendici di queste. Dal non aver Icnuto
conlo di lal dilferenza ne provennero alia scienza generi falsi in gran
numero, perche fondati solaniente su queste appendici di minore im-
])orlanza, quali sono le ali. le coste, il roslro, le code, le chiome, ed il
pappo dei semi e dei frulti, in piu famiglie e specialmente in quella
delle Coinposte.

Allia regola inq)ostasi dal Tournefort si e quella, che non bastando
il fiore ed il frulto alia distinzione de' generi si possa aver ricorso
non solo a tulle le altrc parti delle piante, si ancora a quelle pro-
priela di esse, ch'egli chiama affezioni, niodo di crescere, portamento
o fisonomia delle medesime. Questa regola ha bisogno d'essere com-
mentala e chiarila. 0 fra due generi similissimi nel fiore e nel frutto
avvi una dilTerenza notevole non solo ncgli organi accessorii di queste

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 337

parti, si ancora nciraspctlo generale dclle specie clie li compongono,
ed allora sara dehilo del botanico il distinguerli Fun daH'altro, onde
non riunire insieme due serie d'esseri discordanti, e cosi coinporre
im genere troppo artificialc. 0 fra quesli generi similissimi fra di loro
in tiilte le parti della frullificazione si essenziali che accessoric, non
avvi allra differenza che quella del portamento, ed allora non sara le-
cito su queslo carattere unico, vago, arbitrarlo e non esprimibile con
parole, separare in due generi specie fra loro unite in un solo per
tanli altri e piii iniportanti caratleri.

Nella tcrza regola dichiara il Tournefort, doversi stare alle sole note
caralteristichc del fiore e Irulto quando queste baslino abbondantemente
alia distinzione del genere. Pero alFatto pratico egli slesso devio da
tal legge soggiungendo a que' prinii caratleri altri desunti dalle brat-
tee, dalle foglie, dalla radice, c sino dal portamento per dlstinguere
generi che qualche volla eziandio non ne abbisognavano. come VJm-
mi dixW Jpiuni, il Plialanxjium daW Ornifhorjalum. il Limodorum dal-
V Orchis, ecc. II celebre Ant. L. Jussieu sostenne col suo autorevole
esempio quest' utile deviazione dalla legge del Tournefort accoppiando
sempre i caralteri generici tratti dagli organi riprodutlori essenziali ad
altri rlcavati dagli accessorii, ed anche da quelli della vegetazione. Fia
moderni non pochi il seguirono, soggiungendo alia frase generica Fin-
dicazione dclF infiorescenza, o anche daltri caratteri quando quesli
sieno comuni a tulle le specie, ciocche torna utilissimo, perche nel-
Fatto che nulla toglie alia bonta e perfezione de' caratleri essenzial-
menle generici, che restano sempre i primi e separali dagli altri, serve
a meglio dipingere Faspetto proprio di lutlo il genere, a mostrarne
la naturalezza, e ad indicare come le di lui specie sieno fra loro unite
non solo pei piu importanli ma pin minuii caratteri della frullifica-
zione, si ancora per quelli men rilevanli in valore ma pin spiccati e
visibili deeli altri orcani.

Yuole il Tournefort, che i caratteri proprii si conservino inalterali

ed eguali in tulle le specie die lo compongono, e che ollre a cio si

appalesino alFocchio senza bisogno di microscopio. Non puo essere

posla in dubbio la bonta della prima legge. come quella cli' e pieira

HI. 43

.338 INTORNO AL GENERE ED ALL A SPECIE IN BOTANIC A

fondanienlale del gcncrc. Qiianto alPaltra vuolsi racoomandare a chi
londa iin gcnere di prefcrire a parlla di circoslanze i caratlcri piu
apparent! c visibili a' piu minuti e nascosti per non accrescere le dil-
flcolla dello sludio senza necessila; ma non si potrebbc cscludere dal
nicdesimo Tiiso del microscopio semplice, di cui solo polea parlarc
il Tournefort, onde indagare i piccoli fieri, i piccoli organi cd i mi-
nuti caratteri, senza privare il bolanico d'un polenle soceorso, e la
scienza delle innumerevoli e preziose scoperte che ne derivano.

Propone ancora, le piante prive di fieri c frutta, o dell' una di
queste parti, e quelle pure il cui fiore e frutto per la piccolezza loro
non ponno esser veduti senza il microscopio, doversi riparlire in ge-
neri secondo i caratteri d'altre parti piu insigni. Quesia legge die
lautore applica soltanto allc Crittogame ed Agame non potrebbe se-
guirsi intieramcnte nemmen per queste. Gli e vero clie in mancanza
d'ogni altro organo caratteristico appartenente alia fruttificazione od
analogo a qucslo, si puo ricorrere in tali piante ai caratteri d'altre
parti, quelle cioe della vegetazione, ma pero senza proscrivere Tuso
del microscopio; die anzi in queste piante divenla, non die utile, in-
(lispensabile per la ricerca dei caratteri si generici die specific!, che
in molli casi si desumono dalla struttura intima e microscopica delle
parti .

Composta la descrizionc di un genere, per assicurarsi se tutti i
caratteri adoperati sieno necessarii alia diagnosi del mcdesimo, con-
siglia da ultimo il Tournefort di escludere in via di prova un dopo
r altro i caratteri stessi, osservando quali di cosi fatte esclusioni por-
tino di necessila la dislruzione del genere, c quali il lascino sussi-
stente, mentre con cio si verra a conoscere i caratteri essere nel pri-
mo caso essenziali al genere, nel secondo indifferenti e soverchii. Que-
sto esperimento, di cui non vuolsi negare la utilita per la verifica-
zione del valor dei caratteri relativamente ad un date genere, puo
larsi ove questi abbondino, ed ove piaccia ristringere la diagnosi ge-
nerica alle sole note essenziali, anziche estenderla a tulte quelle die
traggonsi dallo studio di tutti gli organi delle piante.

Da qucsto esame delle leggi create dal fondatore de' geneii ri-

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 339

sulla, non potersene seguire alcuna senza eccezioni o rcslrizioni, ma
colic avvertenze indicate poter ciascheduna di esse giovarc nella for-
niazione ed acccttazione dei generi.

Ben d'allra imporlanza e piu preziose e piu sicure e piii gene-
rali sono quelle fissale dai riformalore svedese. Parti il Linneo dal
principio ammesso pure dal Tournefort, die tutti i generi sieno na-
turali, e quindi stanzio essere lanti i generi quanli sono (jU aUributi
comiini prossimi clelle specie distinte, secondo i quali furono i generi
creati sin dal principio. Ritenuto poscia per canone fondamentale, do-
versene trarre i caratteri dai soli organi della frutlificazione, deter-
niino tali organi essere il calice, la corolla, lo stame, il pislillo, il pe-
ricarpio, il seme, il ricettacolo ed il nettario, considerati secondo il
loro numero, la figura, la proporzione cd il silo. Del portamento in-
segno doverlosi consultare quasi di nascosto, ned anteporlo niai ai
caratteri della fruttificazione, come han fatto gli antichi, per non fab-
bricare falsi generi per lieve causa. Mostro con esempii, cio che ca-
ratterislico di un genere non esserlo di necessita in un altro. Slabili
la gran legge, che il carattere non forma il genere, ma lo indica, e
che quello proviene da questo e non viceversa. Noto nessuna parte
della frutlificazione essere egualmente coslante in tutti i generi, ma
quanto e piu coslante una data parte di quella in un maggior numero
di specie, tanto esser piu certa la nota generica che somminislra. Av-
verti esislere in molli generi una nota carallerislica singolare, la quale
ove mancbi in alcune specie d'un di que' generi, avvi luogo al so-
spetto, non forse queste meritino d'esserne separate; e se invece si
estenda anche a specie d'altri generi affini, puossi credere die queste
ultime meritino per lal carattere d' essere unite ai primi.

Ora esaminando una ad una le fonli de' caralleri generici ammesse
da lui, ei dichiaro in generale quelli del fiore essere in parita di
circostanze da anleporsi a quelli del frutto specialmenle neiraltribulo
della figura, die Irovo piu cerla nel fiore che nel frutto, per cui pre-
scrisse doversi riunirc que' generi, che diversi in queslo, convengono
in quello. Al'fermo nessuna parte essere in tutti i generi costanlissima.
assai variabile il loro numero, men la figura, ancora ineno la propoi-

310 IMORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTAiMCA

zioiie. pill foslanle d'ogni lor propriclu la situazionc reciproca (Idle
parti. Scopri pel priino rimporlanza del nellario, chc quasi anlepose
ad oiiiii altro ora;aiio nella dctcrminazione dei ceneri, disse meno co-
slant! i petali, piii costanti dci pelali il calice e gli staini. Tento da
ultimo di provar con csempii come la strultura del pcricarpio varii
in uno slesso gcncrc, e pcrcio valga meno clie si parrcbbe.

Divisc i caralteri generic! in cssenziali, die distinguono un ge-
nere dagli altri compresi ndio stesso ordine nalurale, e ne lodo so-
pra tutli Fcccdlenza, raccomandandone la brevita; in artificial! o iat-
tizii, die lo distinguono da que' soltanlo di un dalo ordine arlificiale;
ed in natural! chc abbracciano lutte le possibili note genericlic, e
(juindi includono e Tcssenziale e il fattizio. Del naturalc, ch'egli disse
essere la base di tutli i sistemi e d! tutti i generi, insegno per com-
porlo dovers! stendcrc accuratissima descrizione della fruttificazione
intiera d! una prima specie per raffrontar con quesla tutle le altre
specie congener!, cscludendone in seguilo mano a mano que' caralter!
die non si trovassero comuni a lutte. I caratlcri superstil! a questo
spoglio forniano il carattere gencrico naturalc, perletto c Inliillibile,
perche risullanle dal consenso d! tutte le specie di quel generc in
alcunc nolc comuni. Ammise Fuso del microscopio nella ricerca de
caralteri: ripudio invece da quesli la infiorescenza, die qualifico dan-
nosissima nella coslruzionc de' generi.

Ripassando ora in esamc questc leggi da Linneo proposte a' bo-
lanici, e appoggiate sempre a moltiplici esempii tratti da' varii ge-
neri dclle piante, gli e forza il convenire nella eccellenza cd utilila
della massima parte delle medesime, perche desunte tia un numero
di osservazioni quasi incrcdibili in un sol uomo, e perche provate al
crogiuolo della csperienza fallane nella fondazlone dei caralteri di piu
che mille trecento generi. Tre sole di queste non ottennero I'assen-
timento dei bolanici, Tuna die affcrma essere tulti i generi naturali;
laltra die attribuisce maggior valore ai caralteri del fiore, e in par-
licolarita del neltario, che non a quelli del Irulto; la terza che ri-
fiuta i caralteri dell' infiorescenza come generici.

INon si vuol negare csservi alcuni generi composti di specie tal-

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI •" 3 41

mente siniili tra di loro, da non polersi dividerc luna dallallra scnza
violentar la nalura, come i Ranuncoli, i Delfinii, gli Aconiti, le Rose,
i Garofani, Ic Ossalidi, c molli allri. Ma vc ne sono ancora, c in nu-
mcro assai maggioro, le cui specie non lianno fra di loro una si evi-
dente soniiglianza di porlaniento da farlc (oslo rioonoscere per con-
gener!. Sono elleno unite per caralteri meno apparenti, benche im-
portantissimi, e formano un'associazione generica giusla e buona. ma
non naturale, nel senso abueno proposlosi dal Linneo. Tutii que' ge-
neri, suUa conservazione o sulla suddivisione de' quali son discord! i
botanici, secondo die apprezzano pin o mono il valore dei caratleri
discrepanli, non sono certamenle gencri nalurali , cioe composti di
specie evidentemente fra loro simili, ma arlificiali, percbe dipendenti
dalle opinion! degl! uomini. Pero sarebbc vi\amente a desiderarsi cbe
tutt! ! generi fossero natural!, e cbe gli sludi! di lull! i botanici si
volgessero a questa importantissima opera di una accurala r!\ista e
depurazione de' generi dalle specie ambigue cbe gli oscurano, onde
ritenere in ess! le sole specie simili, congiunle cioe e pel caraltere
e pel portamento, ed cscluderne Ic discordant!, per raccorle poscia
o nei generi affini o in nuovi generi secondo cbe i caralteri cbe
vi si scoprissero giustificassero I'uno o Tallro partito. Malgrado cio
reslerebbero , il so , molte specie incerte , quelle cbe intermedie a
pill generi e discordando in alcun cbe da ciascuno di essi, rendono
incerti i limit! dei medesim! , non possono essere collocate esatfa-
menlc in alcuno , ne presentano caratleri sufficient! a comporne di
nuovi. Or quesle specie anomale sarebbe forse pin utile il raccorle
insieme alia fine di quel gcnere, cui piu s'accoslano, come si suol fare
dei generi anomal! per le famiglie, e delle famiglie anomale per le
class!, indicandone le diffcrenze, e cos! additandole a! successiv! sludi!
de' fitografi, anzicbe mescolarle alle vere specie di un dato genere da
cui dissentono, rendendo con cio o non universale, o troppo artificiale
il caratlere del medesimo.

Riguardo alPallra regola Linneana, essere ! caratleri del fiore, e
specialmente del netlario piu costanli cbe que' del frutto, nella gene-
ralita de' cas! essa non regge alFosservazione, ne potrebbes! ammet-

3 42 IiNTOnNO AL GEiNERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

tei'C in assoluto. La sola figura si ncllun che nellallro non e caral-
tere da bastar solo alia distinzione dei generi, ma la struUura del
fnitto, salve eccezioni speciali, sorpassa d'assai in valore quella delle
altre parli. Tutti i moderni convengono in lal senlenza, e degli cseni-
pii stessi recati dal Linneo per provarc la incostanza del fruUo in un
niedesimo genere, non ne reslano oggidi clie pochissinii, i quali da'
botanici posteriori non sieno stati, secondo la forma varia del peri-
cai'pio, riparliti in diversi generi, Cosi la Pavia imiloculare fu sepa-
rata di genere A?A\\lescnlus triloculare, il Nelumbium a frulto forato
all apice dalla yymphaea imperforata., la J'alerianella a frutto calvo
dalla Faleriana papposa, il Paliurus a frutto samaroideo dal lilia-
tnuHs baccato, V Onobrychis a legume con un sol seme dalV fledysanun
polispermo, e per lacere degli altri, infiniti generi delle Ombrellifere
e delle Composte furono divisi in altri generi fra loro distinti pel solo
frutto, benche similissimi nelle altre parti. E qui giova osservare, che
il Linneo stesso, avvedutosi poscia della troppa latitudine di questa
k'naie, non dubito di deviarne in alcun caso ei medesimo, e siane
esempio il genere Trollius da lui citato prima fra i falsi generi, per-
che distinto AixW Hellehorus pel solo frutto, die piu lardi non si riniase
dalfadottare per quelle stesso carattere, che aveva pria rifiulato.

Un'altra massima del Linneo, che i moderni riprovano, si e quella
che esclude la infiorescenza dalle fonti dei caratteri generici, e la re-
puta anzi dannosissima alia costruzione dei buoni generi. Si ritiene
ora con piu ragione, che la infiorescenza sola non possa per se ba-
stare alia creazione di un genere; ma che, in mancanza di caratteri
pill importanti, si possa anche ad essa ricorrere per distinguere ge-
neri, che contemporaneamente sieno diversi per qualche altro carat-
tere secondario della fruttificazione, ed insieme pel portamento. Su
lutte le altre leggi dal Linneo fissatc riguardo ai generi, i botanici
tutti consentono nelPammetterle, o almeno non ne hanno ch' io sappia
apertamente impugnala la verita, benche spesso col fatto se ne disco-
stino. II celebre Anton Lorenzo Jussieu fece al Linneo il rimprovero
d'aver limitato le fonti dei caratteri generici alle sole parti del fiore e
frutto, e di non aver rilevata Pineguaglianza di valore e di dignila

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 343

csislcnle fra i varii caralteri Iraltl da quesle parti. Se non vuolsi
contrastare al Jussicu, chc anchc le parti accessorie della friiltifica-
/ionc possono in alcun caso somministrare note differenziali ad alcuni
generi, per cui la rcgola Linncana non puo sempre seguirsi, come
abbiaino riconosciuto teste, e di giuslizia pcro il riballere laltra ac-
cusa data al Linneo di non aver distinlo il vario grade nel valor dei
caratleri, come conlraria al fatto. II Linneo non classifico e vero gli
organi sccondo il vario loro valore caratleristico, cioccbe non puo farsi
rigorosamente neanco oggidi, e molto meno poteva esser fatto al suo
tempo, in cui T imporlanza degli organi, e il valor dei caratteri co-
minciava appena a conoscersi; ma pero indico egli il valore compa-
rative degli attributi di ciascun organo, preponendo a tutti la situa-
zione relativa dei niedesimi, e cbiaramente alTermando esserc in essi
il numero piu variabile della figura, la proporzione piu certa di que-
sla, meno ccrla del silo. Degli organi stessi rilevo Timportanza in pa-
recchi, dichiarando gli stami e il calice men variabili e piu certi dei
pelali, il netlario piu caralteristico del frutto slesso. Pero il Jussieu
medesimo malgrado le fatte censure confesso , le regole Linneane
esser poco lungi dal vero; non istimo necessario Taggiungervene al-
cuna; dichiaro invece i generi del Linneo ammissibili nel maggior
numero, pochi da riprovarsi. Solo crede opportune di far succedere
suH'esempio del Tournefort in ciascun genere ai caratteri tratti dal
fiore e frutto quelll cbe sono accessorii a questi, od anche speltano
agli organi vegetativi, quando pero sono comuni alP intero genere, e
sempre considerandoli come caratteri secondarii, atti solo a facilitarne
la conescenza col porre in vista tutte T eslerne apparenze delle sue
specie.

II De Candolle ammise tre regole fondamentali alia formazione dei
generi. Luna si e la gran regola Linneana che il carattere non fa il
uenere, esreeiamente da lui commenlafa dicendo, non baslare a for-
mare un genere, che un date carattere del fiore e frutto distingua
una o piu specie da quelle chc lor somigliano; ma essere d uopo al-
Iresi che quesle piante e si distinguano dalle allre, e si somiglino
fra di loro nel portamento. Delle due leggi da lui proposte. Tuna

344 INTORiNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTAiNICA

(lichiara dovcrsi i gcneri stabilirc sopra carattcri, chc raffrontali Iru
loro sicno scnsihilincnle d egual valore; pcrloche, soggiimge egli, al-
loiquando in una faniiglia iin qualunquc caralterc avra servito a di-
\iderc alcuni gcneri, esso dovra serbar semprc nclla nicdcsima lo
stesso grado di iniportanza, cioe sara nicstieri sccondo le circoslanze,
o riunirc i generi separali per lal caralterc, s'esso sara stato ricono-
sciulo fallaoc; o scparare le specie fornile di iin lal caralterc da que
gcneri clie non Thanno, so il caratlcre sara stato riconosciuto costante
in qiiella faniiglia. E qui Tautorc cita resempio del pappo a peli piu-
niosi o semplici, il quale cssentlo stato ammcsso da lutti i bolanici
per dislinguerc i gcneri dcllc Coniposte, dee servire a distinguerc
anclie altri generi di tal faniiglia cbe differiscano fra di loro per tal
carallcrc. Qucsla regola, a cui lautore stesso lia trovato necessario
il soggiungcre alcune limitazioni, non puo esscrc seguita con sicurczza
in lulli i casi. A chi ha studialo i carattcri generici sulle piante e
ovvia rosscrvazione, che anchc nclla stessa faniiglia lo stesso carat-
lore puo variarc non solo ne' sollordini, si ancora nc' diversi gcneri
dcUa slcssa. Cio specialniente si avvcra rispello a quegli organi, che
non sono di prima iniportanza, ma sono appendici o del pericarpio
o del seme, quindi organi tutl'affallo accessorii, a' quali e ingiuslo il
dare T iniportanza dei prinii. E scguendo resempio stesso del pappo
offerloci dal De Candolle, non e difficile il dimoslrarc come ral)uso
lallo de suoi carattcri abbia inibratlalo di falsi gcneri la faniiglia
dcllc Coniposte, lo che ci riscrbiamo di rilcvarc (juantlo passcremo
in csanic alcuni gcneri dclla nicdcsima. Or basli lavcr nolalo. die
la regola qui fondata dal De Candolle posta assolutaniente com c, non
regge allosservazionc, e puo indurre in crrore.

Altra regola, che quest' illuslrc bolanico dichiara esscnzialc, si e
la scgucnlc. Quando in un dalo ordinc esiste un generc assai dislinto
pei carattcri c jid portamento, queslo genere dev'essere conscrvato
inlallo anchc se alcune dcllc sue specie prcsentasscro dei carattcri
da potcrlo dividerc. Ma sc dietro indagini piu sollili si giugnessc a
scoprire, che qucslo genere non apparliene veramente alia famiglia in
cui era comprcso, ma deve formarnc una egli stesso, allora le sue di-

DEL PROF. ROBERTO DE VISIAKI 3 45

visioni o sozioni dlvcngono altrcltanll £;encri. La prima parte di quo-
sla lessc oUerra il suflra2;io di liitli ciuelli chc aniano oonscrvali i
vori gcncri naturali, cd e in accordo colic rcgolc Linncane, c col-
IVscmpio do' bolaiiici piu aulorevoli. La scconda parte inveee noii
puo esserc ainmessa per alcun conto. Difatti o le sezioni del vecchio
senerc erano gia distintc fra loro per que' caratteri die baslar possono
per consenso di tiilti alia fondazione de' generi, ed allora meritavano
di essere innalzate alia dignita di quesli aiiclic prima: o quelle se-
zioui non avoano tali caratteri, c non vi furono scoperti ne anclie dopo
die il genere fu fatto tipo di uii nuovo ordine, e allora nessuna con-
siderazione secondaria deve indurre il botanico a violarc i canoni ion-
damentali dei generi per innalzare le sezioni ad una dignila, die non
merilano. Se ad alcuno venisse falto di trovar nc' Ramex. o ne' Po-
ligoni, o nelle Piantaggini tali caratteri da far d'ognuno di quesli ge-
neri una famiglia distinla, non ne verrebbe percio die le sezioni Ice-
tosa e Lapalhum del primo, /iisloria, Persicarta, Ccnlinodia, Tiniaria.
c Fagopyrum del secondo, Plaatago, Coronopus e Psijlluim del lerzo
debbano costituire altrcltanti generi; perche i caratteri di quesle se-
zioni ne furono sino ad ora, ne potrebbero divenire mai caratteri ve-
lamenle generici. Ne I'esempio addotto dal Dc Candollc delle divi-
sioni del genere Diosma fatte dal Wendland prova punto la come-
nienza di questa legge; giacclie i caratteri di quelle division! aveano
gia in se un valore gcnerico indipendente dalla circostanza, die il ge-
nere Diosma fosse innalzalo ad ordine. Tanto e cio vero chc furono
elleno gia coslituite in allrettanti dislinti generi, andie senza che si
fondasse un tal ordine.

A quesle leggi aggiunse il De Candollc due avvertenze assai utili
a guidare il botanico nella formazione c nell' accettazione de' generi.
L'una di esse insegna, che quantunque il genere possa constare di
una sola specie, pure gli e piu sicuro quel genere ch" e composto
di molte, perche la concordanza di molte specie in uno o piu carat-
teri generici e pro^a del >alore di questi. oltredie in un tal genere
il carat tere puo essere aiutalo e conferniato dal portamento simile di
j)iii specie, lo che manca senipre nei generi che contano una specie
in. 44

3 46 LNTORNO AL GEiNERE ED ALLA SPECIE UN BOTAiMCA

sola. L'allra avvertcnza del Dc Candolle sta in cio, die in que' casi,
ne" (juali c dubbio il caratlere dislinlivo di un nuovo gencrc, e piii
cauto il lasciar la specie nel vccchio generc dov'ora prima, anziche
sopararnola per caralleri d' incerlo valore.

Allro illustre bolanico il Mirbel ne' suoi Elemenii di Fisiologia ve-
(jelale e di Bolanico, dopo di aver definite il genere un'associazione
di specie riunite o concatenale fra loro per analogic di struHura e di
loiiiia. dopo di aver dicbiarato non esser tutti i generi nalurali, per-
clie niolti di essi fondati arbitrariamente dai botanici secondo la varia
iniporlanza cbe quesli assegnano ai diversi caratteri, dopo di aver
provalo non potersi escludere nelle stesse Fenogaine dalle fonli dei
caratteri generic! gli organi accessoril del fiore e frulto, e segnata-
niente l:i infiorescenza, nicnlre nelle Critlogame e mestieri ricorrere
a caratteri ancora inferiori, venne a distincuei'e Ire sorta di aeneri.
Sono eglino: 1. quei generi cli'ei nomina sislemalici^ i quali non si dis-
costano dagli affini die per un solo caratlere riprodotto esattaniente
in ciascuna specie, quello stesso cbe Linneo cbianio xola sincjolare.
e carattere essenziale, quale il genere Salvia dislinto da tutti pel sin-
golar carattere del connettivo soltile e lungo della antera portato in
bilico dal filamento: 2. i generi concafenati o a niolti tipi, cbe son
composti di specie fra loro strettamentc unite per gradazioni insen-
sibili di uno o piii caratteri, e questi generi non banno caralleri di-
slinlivi. non banno liniiti certi, ne sono sovente suscettivi d'essere
migliorali, come i generi Melissa^ Thymus ed altri: 3. i generi //*
griippo o ad un sol tipo, cbe sono pin nalurali e niigliori di lulli gli
altri, percbe costituiti da specie legate insieme per moltl caratteri, i
(juali si ripetono in ognuna di esse con modificazioni si lievi da ba-
stare al botanico lo studio fattone sopra un solo individuo per aver»>
nozioni esatte sopra tutle Ic specie cbe compongono uno di tali generi .

Da ultimo il cbiar. Alfonso De Candolle nella sua Introduzione alio
studio della Botanica tratto piu estesamente di lulti della iniporlanza
relativa degli organi, de' varii aspelti sotto cui questi possono essere
considerati, e della importanza relativa di tali diversi aspelli. Sono
eglino. la esistcnza o la mancanza degli organi, la posizione. la conii-

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 3 47

niii(a o I'ai'ticolaziono, Ic aderenze, il niinicro, la dimensions la lor-
ma e Fuso. Dissc poi dei carallcil c del loro valore relalivo. Quanio
ai diversi aspetli di considerare gli organi, ossia di cio chc Linneo
cliiania i loro allributi, stabilisce superiore a liilti la loro esisfcnza o
inancanza, indi negli organi clemcnlari la forma, in tutti gli allri la
posizione relativa. Quanio ai rimanenti, die riconosce non essenziali,
avverte Timportanza loro crescere a misiira delle allinenze e legami che
presenlano con allri piu o meno numcrosi ed imporlanli. Si oociipa in-
fine del valore dei caralleri, che tenia di porre in serie: pero s av-
vede ei medesimo non avere quesla ancora la necessaria esatlezza; anzi
la dichiara impossibile ad oUcnersi, almen quanio ai caralleri secon-
darii, nello stato alluale della scienza.

Sono queste, se non hide, almeno le piu nole cd accreditale dol-
trine pubblicale finora inlorno ai generi ed ai loro caralleri. Lna gui-
diziosa scella delle medesime, ed alcune modificazioni e schiarimenti
secondo le considerazioni falle sopra alcune di quelle, polrebbero ser-
vir di norma ai botanici nella fondazione ed accellazione dei generi.
Gli c percio. ch' io mi propongo ora di epilogarle e comenlarle m
forma di regole componenli il codice della scienza in cosiffallo argo-
menlo. Innanzi a lullo pero gli e necessario fermare V idea vera e
sola del genere, senza di cui a nulla varrebbero quelle leggi. perche
da quella sola unila di concello puossi sperare in botanica quella con-
cordia di opinioni nella formazione ed accellazione dei generi, la cm
mancanza e causa principalissima del lamenlalo disordine nella nonien-
dalura.

i. I generi sono associazioni di specie unile insieme per uno o
piu caralleri coinuni e costanli Iralti dagli organi tulti del fiore e hullo
nonclie dalla disposizione dei fiori nelle pianle Fenogame, da quelli
della organizzazione gencrale e dalle parti riprodultrici od analoghe
a queste nelle Crillogame.

Nota. Nell'assegnare la nola ai generi. ossia nel coniporre cio che
chiamano la diagnosi dei medesimi, si dara senipre la preterenza ai
caralleri dei>li orc-ani essenziali, che sono il calice, la corolla, u nel-
tario. gli stami, il pislillo, il frulfo. il seme ed il ricellacolo. Solo in

3 i8 INTORNO AL GEiNERE ED ALLA SPECIE IN BOTAMCA

maiicaiiza di qucsli si polra ricorrerc agli acccssorii. quali sono Ic
hiallee. ed alia iiifiorcsccnza; cioc quaiulo i prinii non hasliiio a dii-
fcreiiziaiT gcncri tli lor nalura distinli alnieno pel porlainonlo. Cosi
I infiorcsccnza a capolino, c Ic brallcc inforiorl a (pieslo foggiale a
fiiiaina. divcrsificano a suflicienza V./nneria dalla Statice^ chc ha i
lion* in foi'imbo o in pannoccliia, ed e priva di la! manicra di brat-
tee: la presenza di un involuccllo di molte sctole distingue la Scloria
dal Panicioii die ne nianca; perclie contcniporaneamenle i caraltcri
del portamento e riuniscono tutte Ic .Irmeria fra lore, c le dividono
dalle Stat ice: come del pari aflValellano le Set aria e le allonlanano
dai Panicion. Ai caralleri sopraddelti Iratli dagli organi riprodultori sara
utile il soggiungere, scparatanienle da quelli, anchc i oaratteri degli
organi della vegelazionc, che sieno comuni alle specie tutte del ge-
nere, perclie aiutano nieglio a conoscerlo, e provano la naluralezza
(lellassociazione che lo conipone, c cio speciahnente cpiando si trail i
di fondare un novello genere. Quanlo poi alle pianlc Crilloganie, ol-
tre i caratleri tratti dalle parti riprodutlrici od analoghc a quesle,
spesso negli ulliini ordini e necessario, in mancanza di altri caralleri,
ricorrere anclie a quelli della slruUura, della consislenza, della nalura
ed altre qualita dcllc parli vegetative per trovarvi le dilTercnze de"
varii generi.

2. Due sorla di buoni generi aniniellono piii concordemenlc i bo-
tanici, quelli che si iondano sopra un solo carallerc essenzialc c co-
niune a luttc le specie, delli dal Mirbel sisteinatici, c quelli che si
Iondano sopra moiti caratlei'i, e sono generi piu o men nalurali.

Nota. 1 primi sono tanlo rari quanlo sono rare Ic note singolari
dei generi: i second! sono migliori di lulli perche facili a riconoscersi,
e legati insieme da mollitudine di somiglianzc c di strut tura e di for-
ma. Avvi una lerza sorla di generi, indicata gia dal Mirbel, c seguita
assai dai rccenli, che raccoglie quelle specie, chc non presenlano nel
loro insieme un caraltere comune preciso c cospicuo, ma chc si le-
gano fra di loro per piccole gradazioni e passaggi di piu caralleri di
secondario valore. Sono silTalli generi i peggiori di tulli, perche non
presenlando un carallerc eminenle c preciso lasciano seinpre incerlo

DLL PROF. ROBERTO DE YISIAM 34 9

il holanifo e sul valore del Icgainc die no uiiiscc le specie, e su qiiellu
(lella (lid'erenza cl»e le sejjara da' gciicri piii vicini. E d'liopo coiio-
scere lulle le specie die lo conipongono per formarseiie una qualdie
idea, e (juesta ancoia per lo piii riesce vaga ed inccrla. Pure nello
!>lalo presenle delie noslre cogiiizioni alcuiia voUa gli e lorza tolleradi,
considcrandoli pero sollanlo come aggregazioni arlillciali e teinporarie
di specie ainhigue, lo sludio accuralo delle quali e vivaineiile a rac-
coinandarsi ai lilografi. perche scoprendovi quando die sia note u;e-
neridie piu precise ed universali, aiulino a disporle iin gioriio in ge-
neri piu nalurali e meglio deleniiinali. Ma e d'uopo insienie die quclli,
la cui voce e aulorevole nella scicnza, inculchino cHicaceinente i\ bo-
tunici Iroppo prodivi a silTalli geneii di non ricorrere a questo Iristo
spedienlc, die ne casi d inevitabile necessila, e per le sole specie die
sono nella condizioiie sopra notala. La sniania di dividere e frasla-
gliare i gencri vecclii in allri conlrassegnali da caralleri di seconda-
ria iniporlanza, ha privalo la scienza dei caralleri precisi ed univer-
sali die dipingevano in poclii Iralli laspello inlero dei vecclii generi,
senza sosliluirvcnc allri d'egual valore pei iiuovi. Gli e percio, die
quesli non potcndo esserc indicali dal carallere aiilico, perclie diven-
lalo promiscuo a inolli, ncd essendo abbaslanza di\ersificati Ira loro
pei caratteri novellanienle iniposli ai niedcsiini perdie leggeri, c quindi
niutabili, c gradalainenle decrescenli in valore nelle diverse specie,
rcslano seinpre indelerniinali ed incerli. Da cio ne seguita, die anche
rafl'ronlandoli co' \icini non so ne rileva quella pronla e spiccala diver-
sila, die e tanlo nccessaria per delcrininare facilnicnle e sicurainenle
una pianla; locdie quanto danno port! alia precisione e netlezza delle
cognizioni, c quaiilo ne dilliculli Tacquislo, niuno e die nol vegga.

5. 11 genere tanlo piii e nalurale quanlo piii si fonda sopra un
maggior nuniero di caralleri degli organi riprodullori, e quanlo piii
vi concorroiio anche quelli degli organi conservalori.

4. II genere puo esscre fondato anche sopra un solo carallere co-
mune e coslanlc degli organi riprodullori, quando pero vi si aggiun-
gano anche i caralleri del porlanienlo, die uniscano fra di loro le
sjiecie die lo conipongono, e le dislinguano insieine da quelle de ge-

350 INTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

neri ad osso affini: senza il concorso di qiicste duo condizioni non me-
ri(a esso il noine di gencrc ma di sczione.

3. Un genere naturale, cioe composto di specie siiiiili fra di loro
per moltitudine di analogie, c quindi ancho pel poi'tamenlo generalc
c'he ne conseguc, non puo essere suddiviso in allri gencri per un sold
t-arattere discrcpante.

IVota. II solo carattere, dice il Linneo, non fa il genere, senza di
die si polrehbero far lanli generi qiianle sono le specie, non esseii-
dovi specie, in cui alcuna parte della frutlificazione non divcrsificlii
in alcun die da quella delle specie affini. II vcro niardiio dislinlivo
de buoni generi si e Tesser le sue specie somiglianti fra loro non
solo in uno o piu caralteri della riproduzione, si ancora nell insienie
della vegetazionc, cioe a dire nel portaiiienlo. Sc in un genere di por-
tamento uniforme alcuni gruppi di specie senibrano separarsi dalle al-
ire per un solo carattere anche imporlante, o per moiti di secondario
valore, queslo genere non polra essere spartito in piu, perche quelle
specie sono siniili e vero fra loro nel portamento, ma non diversifi-
cano pel medesimo dalle altre specie di cjuel genere; e quindi non
posseggono lutte le condizioni, alle quali e legata la formazione de"
nuovi generi per la regola quarta. Laonde invece di crearne allret-
tanti ceneri sara utilissimo il fame altrettante sezioni del vecchio se-
nere quanti sono i griqipi discrepant!, contrassegnandone ognuna col
carattere die le apparlicnc. Questo eccellente metodo usato gia dal
Linneo, e non intermesso dappoi dai migliori, rileva e distingue tali
caratteri, da loro quel valore secondario die lor coni|)ete e nulla piu,
lascia nella piena sua forza ed integrita il carattere generico coniune
e prcponderante, e toglie ai fabbricatori de' falsi generi il sol prele-
sto die adducono per formarii, la niillantata utilita di non confondere
i gruppi di specie fornili di alcuni caratteri con quelli die ne son
pri\i; non accorgendosi die, cosi adoperando, essi fanno ben peggio;
mentre per non confondere i gruppi fondati sopra caratteri seconda-
rii, confondono e guastano e talor distruggono i generi, che riposano
sopra caratteri di ben piu alta importanza, e sono associazioni di ben
maesrior dicnita. ■ •

DLL PROF. ROBERTO DE VISUM 351

6. Un goncrc lanlu e j)iii fcrmo ne' suoi caralleri quanto e niai;-
giure il nuinero dollc sue specie, nolle qiiali luUe si ripelano con nio-
(iificazioni licvissinie i caratlcri chc lo dislinguono: piio peio conslare
anche cKuna specie sola, nel qual caso i suoi caralleri polranno essere
niodilicali ogni qualvolta ne venga scoperla un'allra o piu specie, che
nccessitino queslo cangiamento.

Nolo. II numero niaggiore delle specie offre il mezzo di riconoscere
la coslanza ed luiiversalila dei caralleri generici, che si ripelono nelle
medesinie, e la naluralezza del genere provala dalla uniformita del
portanienlo di queste. Ne' generi di una specie sola, la scoperla di
una nuova specie, o di piu, puo porlare la necessila di sopprimere
fra le nole primitive del genere un qualclie carallere, che nel fon-
darlo sopra la prima specie si era crcdulo universale e costanle, e
che invece si e Irovalo mancarc nelle specie scoperle dopo, benche
quesle per luUi gli allri caralleri sieno congeneri della prima. Altra
volta le nuove specie fanno apprezzar meglio un carallere pria ne-
gleUo perche credulo non generale o variahile, oppure sfuggilo per
r inuanzi alia osservazione del fondalore del genere. In ambi quesli
casi sorge la necessila di modificare la frase gencrica primiliva.

7. I soli fonti dei caralleri generici sono gli allribuli degli organi
indicali nella defmizione del genere, fra i quali allribuli viene prima
di tutti la esistenza primiliva o la mancanza degli organi, poi la loro
posizione relaliva, indi in ordine variahile, la conlinuila o larlicola-
zione, le aderenze loro, le dimensioni relative o la proporzione, la
figura ed il numero: nelle Crittogame anche la nalura del lessuto, la
strultura, la consislenza, il colore.

Aota. Fa d'uopo distingucre col ch. A. De Candolle, quanio alia
esistenza degli organi od alia loro mancanza, quella chc dipende dalla
originaria strudura e disposizione della pianta da quella che provione
da un difello di sviluppo, abituale alia pianla slessa. In queslo se-
condo caso il carallere e di minor valore, perche puo variare a se-
conda delle cause evenluali, che polrcbbero alcune voile promuovere
lo sviluppo summentovato.

8. I caralleri del portamento od aspetto della pianla non baslano

352 INTOFuNO AF. GF-NFRE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

inni soli alia dislinzione di uii goiieie; ma sj)esso seivono di scoria
al bolanico per ispiare c scoprlrc oarallcri di inaggioro imporlanza, i
qiiali in conoorso dei piiini baslar possono alia rclta fondazione di un
goncrc.

{). Nessun organo lia la slossa iinpoilanza caralterislica in tniti i
generl dclle pianle, c percio gli organi non possono sccondo qucsla
csscrc incccepibihnenle classificati in scric lineare cd in niodo asso-
iuto.

10. Nessun caralterc ha lo slesso valore in Inlli i gcneri: c poro
pill facile ch'esso Tabbia Ira quclli ad esso pin aflini in una slcssa la-
niiglia, bcnche non si possa a priori affermarlo con sicurczza.

11. Non tntle Ic parti di un organo hanno un egual valore. per
cui non luUe servono in pari grado a dar caralleri per la dislinzione
do' generi.

Nota. Esempii innumerevoli ed ovvii provano la verita dellc regole
nona e dccinia. A questc poi vuolsi aggiungere, die quanlunque sia
probabile o almen pin facile che un caraltere Irovalo coslanle in piu
liencri della stessa laniiglia lo sia pure negli altri della medesinia, o
almen nc' piu affini, pure non si potra servirsene con sicurezza in un
dalo generc se non dopo di averlo Irovalo lale in tulle le specie del
medesimo; die solo allora sara provala dalla osservazione, ch' e Tunica
autorita nella scienza, la immutabilila e gener.alila del caraltere. Quanio
alia undecima, die insegua, Ic varie parti di un organo non soinnii-
nislrare caralleri d egual valore, essa e regola esscnzialissinia per non
londar falsi generi, come fu falto, o su piccole e mutabili modilica-
zioni degli organi rijiroduttori, quali sono le appendici a foggia di jiic-
cole ali, die si riscontrano sul pericarpio della J eronica Crisla (jalli
donde sorse il generc DiplophyUum ; o il maggior numero dei sepali
e petali del Hamoiciilus Ficaria^ die basto a fame il genere Ficaria; o
pill ancora sopra parti del lullo accessorie agli organi riprodutlori,
come i peli piu lunghi negli acbenii di alcune Phlomis^ su' quali si
fondo il genere Eremostachijs; o quegli altri die veslono la sommita
dellc aiilere nella Stipa Calamayroslin^ per cui si creo il genere Lina-
cjrostis; o sul pappo membranoso o mancanle. pel qnal solo ne coslanle

DEL PROF. RORERTO DE VISIANI 35 3

no universale caratlcre si iacero il naturalissimo genere dei Chrysanthe-
vuun in tre generi, Chr>jsanlhemum, Leucunthemum e Pijrcthnim . La
massiina parte dei falsi generi d'oggidi fatli a spese dei vecchi pro-
viene dalPaver neglella cotesta regola, dall'aver creduto cioe, che tutti i
carattori e luUc le parli del fiore e del friillo baslar possano del pari,
ed in tutti i casi, alia fondazione de' generi. JNon avvi parte per at-
cessoria cd insignificante che sia, la quale a sifl'alto scopo non sia stata
csplorata con una sottigliezza eccessiva; non avvi carattere il piii mi-
nuzioso ed inconcludenle, al quale non sia slato attribuilo un valore in-
conipetenle, con ^ero sperpero di tempo, ed abuso di osservazione e
di raziocinio, per cogliere poi questa effimcra, ma pure funesta gloria,
dello squarciamento de' buoni generi, e della creazione de' generi lalsi
e arbitrarii. Cio si provera con eseinpii, che si possono nioltiplicare
a talento, nella rivista che siam per fare dei nuovi generi delle di-
verse famiglie.

12. Quando in un genere v"e un carattere singolare. comune a
pill specie, ma non a tutte, avvi ragionc di credere, che quelle, che
non Thanno, debbano esserne separate.

13. Quando invece un tal carattere singolare di un genere si eslen-
da anche ad alcune specie dei generi affini, si puo sospettare ragio-
nevolmente, che queste per siflatto carattere possano meritare d'es-
sere riunite al primo genere.

14. Quando una o piii specie simili fra di loro sieno state dai va-
rii autori riportate a molti e diversi generi, e sussista ancora la con-
troversia sul vero lor genere, si puo dubitare ch'esse non apparten-
gano ad alcuno di essi, e meritino invece di formare il tipo di un
genere nuovo.

Queste tre ultiine avvertenze possono aiiilare il botanico a rilro-
vare il vero genere di alcune specie dubbiose. iNelle due prime, date
gia da Linneo, la riccrca della nota singolare puo condurlo utilniente
a riunirlc o a separarle di genere, secoiulo che la posseggono o ne
son prive. La terza poi e un indizio spesso sicuro della convenienza
di fondare un nuovo genere. [)erche quando una pianta viene riferifa
da varii autori a molti e diversi generi. e non fu ancora Irovalo
m. 45

35 4 Ii\TORi\0 AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

(|uello a cui clla induhilalainenlc apparlienc, cio significa circssa o non
ha qualchcduno doi caraltcri proprii di ognuno di que' sini>oli gencri,
o no ha invece di f|uclli die in que' generi non s'incontrano: in anibi
i (juali casi piio sorgere il bisogno di crcare per essa un novello ge-
neie. purche eUa jiresenli le allre condizioni riteniUe necessarie a lal
iiopo. Tale si e il caso della jlJatricaria inodora del Linneo riferila suc-
cessivanicntc ai generi Matricaria, Chrysanthemum, Pijrethrtim, Chamo-
milla, e non apparfcnente con esatlezza ad alcuno, per la quale ho
credulo di fondare il genere Chamaemehnn, eh' e distinlo dai prece-
denti per i caratteri del frutto, e per il portamento. AlFopposlo non
si puo conservare il genere /etheorhiza fondato dal Cassini sopra la
Crcpis bulbosa, benche quesla sia stala successivamente riportata ai
generi Hieracium, Leontodon, Prenanthes, Taraxacum, Crepis, perche
divcrsifica da quest'ultimo per un solo e leggero caraltere, c quindi
nianca dello qualifiche necessarie a I'orniarne un genere.

Sono quesle le regole che possono credersi sufficienli alia relta
londazione e sicura accetlazione dei generi. Osservazioni posteriori po-
Iranno lorse accrescerle, forse modificarle, annientarle non niai, perche
desunte dallo studio dei caratteri di tutte le piante sino ad ora sco-
perte, inlrapreso gia dal fondalore dei generi, e continualo dai piu
insigni botanici del passaio e del presente secolo. Raccolte e commentate
sifl'atte Icggi, resla ora, che colla scoria di esse ripassiamo in csame
alcuni de" nuovi generi, lo che servira insieme a provare T esatlezza
e la verita delle medesime, e V insussistenza ed erroneila de' generi
che si fondarono in onfa ad esse. E perche gli c pur duopo Tasse-
gnar limili ad un lavoro, che potrebbe estendersi a tulli gli ordini
delle piante, ci limiteremo ora a rivederne soltanto alcuni delle Dipsa-
cee, delle Composts, delle Campanulacee e delle Scrofularine, ristrin-
gendoci ancora alle sole piante europee, che appartengono a quesle
famiglie.

Nelle Dipsacee il genere Linneano Scabiosa fu ripartito dai moderni,
sulle Iraccie in parte del Vaillant, nei generi Siiccisa. Cephalaria, Jste-
rorephalus, Ptcrocephalus e Scabiosa, malgrado la somiglianza del porta-
mento che da un aspetto comune a tutle le specie del vecchio genere.

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 355

Ma consldeiazioni dl niaggior peso chc il poilaincnlo iiidusscro 1 botanici
ad adollarnc la divisione. II ricetlacolo senza Ijraltcc prescnto un ca-
ralterc iniporlante e prcciso per separaie le Scabiose vere da lutle
le allrc, che Tban fornilo di bratlee. A queslo s'aggiunse rinvolucello
del frutto conipresso in quelle, e non telragono come nella Succisa e
iiella Cephalaria^ ne rolondo come negli Asterocephalus^ ne ollagono
come nci Pterocephalns ; noncbe la corolla quadrifida (com' e nella Suc-
cisa, dalla quale poi dilTerisce pel ricellacolo nudo e pelF involucello
compresso), c non quinquefida come in lutti gli altri generi sopra
detli. La Cephalaria diffeiisce. oltrecbe dalla Scabiosa^ dagli altri ge-
neri affini per V involucro coriaceo squamoso ed embriciato, ed ollre
a cio dagli Asterocephalus e Pterocephalns per la corolla quadrifida e
non quinquefida. dalla Succisa pel Icmbo del calice ruotalo e non con-
cavo, per rinvolucello liscio e non segnalo da oUo solcature. L' /.s7e-
rncephalus diflerisce da tutti i generi affini, meno che il Plerocepha-
lus, per la corolla quinquefida, ollre i caralteri lesle indicali come
difl'erenziali di ciascun genere: dal Plerocephalus poi per avere nel
calice cinque setole e queste scabre, non niolte e piumose, nonche
rinvolucello rotondo e non ollagono. II Plerocephalus infine diversifica
per questi caralleri i\A\V Jsterocephalus, e per gli allri sopra nolali da-
gli allri generi. Questo succinlo esame dei cinque generi, in cui lu-
rono ripartite le Scabiose del Linneo, fa conoscere come ciascun di essi
si fondi sopra piu di un carallere degli organi riprodutlori, e ])aili-
colarmenle del ricellacolo, del calice e dell involucro, e quindi abbia
i requisili assegnali al genere, ned abbisogni del carallere della dis-
somiglianza nel porlamenlo delle sue specie da quelle che vi erano
prima unile, perche in caralteri piu essenziali, che non e queslo, pre-
senla gia la prescrilla diversila. Tali generi sono quindi da conservarsi.
IVelle Composle il genere Cnicus e ben dislinio dalle Centauree per
avere un pappo Iriplice, il piu eslerno de'quali e corneo, e pegli ache-
nii solcali e non lisci. La (rupina diversifica dalle Cenlauree per axe-
re, in luogo duno, due pappi, e per esser quesli di nalura diversa. II
carallere deir;u'eola che occupa il cenlro della base del frutto non e
coslanle. perche nella Cenlaurea Crupinastrum, che pure e congenerc

356 I:\TOIiNO AL GENERE ED ALLA SPECIE LN BOTANICA

della Cntpina, T areola e laterale alia base stessa come nella Centaur ca .
II Cirsium invecc non si distingue dai Carduus che per le setole del
pappo sempliccniente scabre anziche piumose. Non bastando un sol la-
lallere per separare di genere specie siniili fra di loro per mollitu-
dine di rapporti, e lale essendo il caso dei Cirsii rispetlo ai Cardi, il
genere Cirsium non puo cssere conservalo, ma deve considerarsi quale
sezione del genere Carthms, restituendo cosi la primiliva integrila a
(juesto genere naluralissimo. II genere Pycnomon^ dal Cassini I'ondafo
sul Carduus Jcariia, non diflerisce dai Cirsium, e quindi ne anche
dai Carduus^ che pegli stimmi liberi e non riuniti Ira loro, e per un
netlario a cinque raggi sorgente dalla sommila deirachenio. Questo
secondo carattere non e esclusivo del genere, perche trovasi gia nei
Carduus pycnocepJialus, C. acicularis, C. collinus; e il solo carattere,
<'he rimane, non puo bastare a fondare un genere: percio piii a ra-
gione dovra esscre questa pianla ritornala ai Carduus collocandola nella
sezione dei Cirsium.

11 genere Tripolium del Cassini, rilenuto pur dai moderni, dicesi
tlillerire dagli Aster, perche Tinvolucro del fiore e composto di due
serie di braltec anziche di parecchie. Ma questo solo carattere non
baslerebbe gia a separarlo dal vecchio genere, cui e legato per somi-
glianza stretlissima di portamento, anche se fosse preciso, che non lo
e. Di lalti anche il Tripolium presenta piu serie di brattee nelPinvo-
lucro. ma esse in luogo di essere ravvicinale fra loro intorno al ca-
pilolo, come negli Jster, sono piii rimote, piu sparse, e cominciano
gia presso alia sommita del peduncolo; per cui tulta la diflerenza ge-
nerica consisterebbe nella maggiore o minore prossimita reciproca delle
brail ee.

II genere Linosyris del Cassini, che anche i recenti conservano,
dicesi diverso dalla Chrysocomn per Pinvolucro fogliaceo, e le setole
del pappo piu nunierose e disposte in due serie. Ma il primo carat-
lere se scorgesi evidente nella Linosyris vulgaris, non lo e piu nella
L. rillosa. e quindi non e generico: e le setole del pappo se pur sono
pill luimerose che nella Chrysocoma (e questa piccola e non determi-
nala differenza di numero non basta certo a fondare un genere), non

DEL I'KUF. RODERTO DE MSI AM 35 7

forinano nenimcn nclla Linosyriti le tiuc scrie eviclentemenle distintt\
chf gli aulori dcscrivono. II riccltacolo poi c alveolalo con alveoli
marginali si nclla Linosyris che in qualehc Chrijsocoma (p. e. nella
Chr. Coma mtrea) c pcrcio non vale a distinguerle .

II naUiralissinio gencre dei Gnafalii europei venne sparlito in tre
dai nioderni, in Gnaplialium . Laontopodium ed Antennariu . II primo
presenta il pappo si del disco clic del raggio composto di selole fili-
lornii. ed e nionoico; il secondo lo e al pari, nia le selole degli ache-
nii del disco sono un po ingrossate e denlellate nelFapice. Chi puo
credere che su quesla nnica e futile differenza siasi poluto fondare iin
genere? II lerzo Jntennaria ha per se due caratleri, Tesser dioico, ed
avere il pappo dclla piania feminea fertile formato di selole filifonni,
nientre in quello della piania crniafrodila sterile quesle son dilalate in
cinia come le antenne degli inselti. A provar I'erroneita (\e\l\ Jntennaria
fondata su cosi lievi caratleri, in onta del portamento, baslera osser-
vare, che di due specie fra loro similissime lanto, da essere state seni-
pre scambiale 1' una coll' altra anche dallo stesso Gaerlner che fah-
brico queslo genere, quaji sono il Gnaplialium ulpinum, e il Gnapha-
lium carpathiciim, la prima di quesle resta ai Gnaplialium j T altra in-
vece apparliene d\\' Inlennaria. Cosi adopcrando non si avranno mai
cerlamente veri generi naturali, pcrche non solo non se ne fanno di
nuovi, che meritino queslo nome, ma si distruggono anche quelli ch«'
sussistevano.

Invece parecchi nioderni sopprimono il genere Filago, le cui spe-
cie riuniscono ai Gnaplialium; certo a gran lorto, perche quello dil-
ferisce egregiamenle da questo pel riccltacolo lineare, allungalo e for-
nito di paglielte. che nelTaltro e piano ed affalto nudo.

Le Achillee furono smembrate in due generi, Tuno de'quali chia-
mato Ptanniva. Taltro ichillea . A separarnele si trovo sufficiente il
numero de'fiori del raggio di ciascun capifolo, i quali nella prima
spesso (ne sempre) arri\ano a selte, mentre nelP altra sono cinque, e
la lunehezza del rasjsio un no maseiore nel primo che nel secondo.
La natura gia di tai caratleri inconcludenti e mutabili, per cui appena
baslano a dislinguere le Achillee in due sezioni, era tale da fame ri-

338 LNTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

provare lo sineml)iamonlo gcMierico, anche prima ch'io scoprissi nel
niontc Oi'ien, die separa la Dalmazia dal Monlenero, una specie, che
in se riunisce i caralleri (ranibedue qucsli generi, e percio ne prova
I'identila. DilTatli in qucsta, cli'e V./ckillea abroUmoides, trovasi il mar-
gine osciiro dolle squame deirinvolucro (che pero varia anche di co-
lor vcrde), il nuniero maggiore de' fiori del I'aggio (che pure varia
in essa da o a 7) e la maggior lunghezza del raggio stesso, caraltcri
assegnali al gencre Ptarmica dai niodcrni, insieme colla piccolezza dc
capitoli, e quindi ancora del riccllacolo, riscrvala dai medesimi alle vo-
re Achillee.

iNella Iribu delle Crisanleniee ho osservato niutabiie la presenza.
la grandezza e la forma del pappo non solo ne' generi, si ancora nolle
specie. Nel volgarissimo Chrysanthemum Leucanthemuiii, c nella nun
men volgare Matricaria Chamomilla e facile il riconoscere la fallacia
di lal caraUere, mcnlre e nello stesso individuo, e qualche volla an-
cora nello stesso capilolo, il pappo in alcuni achenii manca affalto, in
allri e appena in rudimento, in altri non e che incomplelo, in allri
e completo ma breve, in altri e piu s^iluppalo ma imbutiforme, in al-
lri sviluppatissimo, ampio e campanulato. 1 varii generi percio di quesia
tribii, che fondali sono su questo solo caratlere, ne si distinguono per
allro dai loro affini, debbono essere cancellati. Tali sono fra gli indi-
geni il Leucanthemum del De Candolle, il Phalacrodiscus del Lessing,
il Pijretliram del Gaerlner, lo Xanlhophlhalmii)ii . il Gaylrosaluni o CrU-
.^tro.sijlKiii ed il Tripleurospermum dello Schullz, i (juali due uUimi non
in altro son diversi fra loro che nel pappo bilobo in (juello, inlero in
(jueslo.

All opposto parmi essere ben distinio il nuovo generc Cha)uaeme-
luw da me proposto, il di cui lipo e la Matricaria inodora del Lin-
neo, perche diverso da lutti i varii generi cui fu riferito, cioe alalia
Matricaria pel ricettacolo picno c non vacuo, e gli achenii forniti di Ire
coste, e di una o due grosse ghiandole nere; dai Crisanlemi e dai
Pirelri, pelle corolle cilindriche e non compresse alia base, e pellc
ghiandole sopra dctte. A quesli caralleri si unisce quello del poila-
mento ch e lanto simile ncgli organi vegelativi delle specie (h. inn-

DEL PROF. ROBERTO DE VISIAM • 359

(lonnn. Cit. iniiglandulosum. Ch. praecox^ Ch. maritimum, Ch. discoi-
(louiii. Ch. disci form(>. Ch. confusum clic slnor lo compongono, da po-
(ersi ellcno assai dilficiliucnle distingucrc pel carallcri dci medesimi,
por cui s'c doMilo ricorrere a' caraUeri degli aclicnii.

Nelle Ciooiiacee fu data Iroppa importanza alia liinghez/a del ro-
stro ne" loro frutti. Percio furono divise dalle Seriole la S. aetnensis
e S. cretensis. facendone il generc Metabasi-s fondato sulla brevita o suUa
niancanza del rosiro negli aclicnii del margine, che nelle Seriole vere
si dicono hinganienle rostrati. Ma queslo carallere, anche se fosse di
(pialehe imporlanza, non e esclusivo del nuovo genere, giacche anclie
in alciine Seriole {S. lanifjala) gli aclienii tulli hanno un rosiro o bre-
vissinio o nullo. iNon resta adunrpie altro carallere per dislinguere il
iuio\o genere cbe il pappo dei fiori del margine diverse da quello dei
fiori cenlrali, il qual carallere ed e solo ed e nuilabile, perclie dipen-
dente dalla circoslanza evenhiale che sli aclicnii del inarnine aborti-
scano o no. ncl qual prinio caso (ch'e il piii coniune nia non il solo)
il [)appo di quelli diversifica dai cenlrali. nicnlrc ncH' allro non pre-
senla divcrsita.

Nei Leontodon del Jussieu si voile separar di genere il Leonlodon
hi.spaniciim dal Loonlodon saxatile facendone il gciwrc Isteroihrlx. nien-
(resso non nc differisce neninicno di specie, fondandone la distinzionc
sopra il rosiro degli achenii piu o nieno lunglii, la base delle setole
larga od angusla, le setole slesse o lulle plumose, o le eslerne sca-
bre. Lo sludlo altenlo del frutto e del pappo nel Leontodon, unlli In-
sleme inlimamenle dal portamento, moslra evidentemente, che varia
nelle diverse specie la hmghezza del rostro senza che vi sieno llmifi
si precisi ed esalll fra 11 lungo ed 11 breve, come si vorrebbe perclie
se ne potesse trarre un carallere, c che la base delle selole varia pure
nelle medeslme ora lanja, or anijusta. Dlfatti elleno son lutte laryhe
alla base nel Leontodon autumnale; linearl le eslerne, dilatale le in-
terne nel L. hastile; tulle linearl nel L. saxatile; strette le eslerne, e
dalla base slno alFapice gradalamente attenuate le interne nel L. in-
canus, 11 quale percio presenta 11 passaggio delle setole larghe alia sola
base, che son propric del Leontodon, a quelle tutte affatlo linearl del-

360 INTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE LN BOTANICA

Y .isterothrix, e unisce inconlrastabilnicnlc insieme qucsti due gcncri.
La sicssa variabilita si osserva pure nei peli delle selole componcnti
il lor pappo, le quali ncl L. autumnale e L. saxatile son lutte piu-
inose; nel L. hastile le estcrne scabre, le interne piumose; ncl L. in-
idiuis e nel L. Berinii le eslerne era scabre ora sparsamcnle cd in-
tcrrollanienle pelose, le interne piumose: cioccbe prova allultiina cvi-
denza la fallacia c la futilita del carattere.

11 genere Mijcelis del Cassini, ch'c la Cicerbila del W allroth, lon-
(lato sulla Prenanlhes mural is del Linneo, non diversifica dalle Lat-
tuehe ('he per rinvolucro fornilo alia sola base, anziohe per tutta la
sua lunghezza, di piccole braltee, nicntre il frutto e aflatto cguale in
anibedue i generi, die percio non possono essere separali.

Le Baykausiv del Moench non si distinguono dalle Crepis del Lin-
neo die per avere gli achenii tutli o almeno que' del disco rostrali.
inentre in queste sono appena assottigliali allapice. 11 genere naln-
ralissimo delle Crepis niostra. nieglio che ogni allro, il poco valore del
rostro come carattere generico. Lunghissimo nella Crepis foetida e nella
C. ruhra^ men lungo nelle C. resicaria e C. setoso, e brevissinio e tal-
or manca aflatto nella C. neglecla, la qua! pianla, riportata anche adesso
da alcuni alle Barhcmsie, da altri allc Crepis^ mostra evidentemente Tor-
roneita del carattere, e la convenienza di sopprimere il nuovo genere
ibndato sopra il mcdesinio .

11 genere Phaenixopus al conlrario sembra ben distiiito dalle Lat-
tuche, cui niolli seguono a riporlarlo pel doppio carattere dei (iori
disposti in una sola serie nello slcsso involucro, anzidie in due o tie
serie. e pella natura del rostro clfe fornialo dal seme stesso che assol-
tigliasi in punla, e percio ne serba il colore oscuro, e non gia, come
avviene nelle Lattuche, dal pericarpio solo che sopra il seme rislrin-
gesi improvvisamente in un filo, per cui queslo ha color diverso dal-
rachenio, cioe quello ch'e proprio del pericarpio. A cio s'aggiunge an-
che la forma del rostro stesso, ch'e filiforme nelle Lattuche, lanceolato
nel Phaenixopus .

Alcuni trovano incerti i limiti Ira '^V Ilieracium c le Crepis: pero i
priini si distinguono dalle altre per avere gli achenii egualniente grossi

DLL PKUF. liUULKK) DL VISL\M 361

per tutta la loro lunghezza, e non assotligliali alia ciiua, per essere co-
ronali alPapice da una piega o da piccoli denlicelli, die allc altre nian-
cano, e pel pappo formato da una serie di peli di un color bianco su-
dicio, e non da niolle serie di peli candidi. Tulti (juesli caralteri ba-
slano certamente a mantenere la dislinzionc adoltala sia dal Linneo
per que' generi. Per egual ragione il genere Galyona disparesi dalle
Crepis avendo e V involucro frultifero a piu angoli alternali da solchi,
e gli achenii marginali involti nelle braltee interne delT involucro, ed
a tre cosle, di cui la media prolungata in un'ala, mentre (pielli del
disco hanno coste eguali fra loro; e inoltre per avere un ricettacolo
sparso di paglielte siniili a lunglii peli; i quali caralteri tutti non s'in-
contrano nelle altre Crepis, da cui lu quindi a ragione separata la Cre-
pis Dioscoridis per fame il genere Gatyona.

Non e cosj del genere Aetheorhiza, che fondo il Cassini, e alcuni
de' nioderni conservano, suW Hieracium bulbosum del Willdenow. Non
diversifica dalle Crepis, e specialniente dalle rostrate, clie pegli ache-
nii a quattro o a tre coste, mentre nelle Crepis aggiungono sino a
dieci. Fu percio che il Cassini stesso, e il Lessing e il Froelich dopo
di lui, riportarono quesla pianta alle Crepis, da cui non puo essere
certamente divisa per questo solo e si meschino carattere.

Le osservazioni sin qui islituite inlorno al rostro, al pappo, ed al
numero delle coste dei Irutti in alcuni generi di questa altrellanto va-
sta quanto nalurale famiglia delle Conqioste provano colla scoria dei
fatti la verila della regola da noi fissata al n. 10, nessun carattere ser-
bare lo stesso valore in tutti i generi, ne anche della stessa famiglia,
benche piu facilmente cio avvenga in questi uUinii e specialniente fra'
generi piu soniigliantisi. Vedemmo in fatti che il rostro, die pure e co-
stante in alcuni generi (p. e. Lactuca, Phaenixopus) non lo e piu nelle
Crepis; che il pappo, costante, caratteristico e generico nelle Crepis, e
ne' Hieracium, non lo e del pari nei Chrysanthemum, nella Matricaria,
nei Gnaphalium, nei Leontodon; che 1' involucro caratteristico nella Ga-
lyona^ non lo e piu nella Lactuca, nei Tripolium, nella Linosyris; che
inline I'anipiezza o la ristrettezza del ricettacolo non serve a distin-
guere le Achillee dalle Ptarmiche. Cio prova ancora I'aggiustalezza e
IIL ^46

362 INTORNO AL GENERE ED AIX.V SPECIE liN BOTAiMCA

la ulilila della conclusione di quella regola, che quanlunque sia piu
facile chc un carallere serhi lo stesso valore Ira generi affini di una
stossa fainiglia, non si puo affcrmarlo con sicurozza sc non dopo ri-
conosciuta coiresame delle specie di ciascuno di tali gcncri la costanza
ed universalita del medesimo.

A comprovare vienimeglio la verita delle esposte leggi farcmo adesso
un rapido esame critico ai generi novellamenle londali sulle specie eu-
ropee.del genera Linneano Campanula di cui ncssuno puo negare la
evidenlc natiu'alezza. Sono eglino i generi Specularia , Edraiavihus,
Rotaela, Campanula, TT ahlenhercjia, .Idenophora. II principale, se non
il solo carattcre, per cui furono divise in piu generi le Cainpanule,
consiste nel divcrso modo, con cui s'apre la loro capsula. Ma quanto
sia variabile queslo caraUere in queste piante, ne percio possa in tuUe
es&ere apprezzato come generico, risulta chiaramente dall esame che
siamo per fare del fruUo delle medcsime. Esso e una capsula che va-
ria nel numero delle logge da cinque a due, ed e ricopcrta dal calicc
che vi aderisce ora per tutla la sua lunghezza, cioe sino alPapice,
ed allora dicesl capsula inferiore o aderenle^ nel qual caso non ha
valve ne suture dislinle: ora per una parte di essa, ed allora chia-
masi semi-superiore od adnata, e dividesi in valve separate da suture
nella parte superiore non veslita dal calico. L' aderenza notata e si
stretta che il calice s' immedesima e si confonde coif epicarpo del
frutto, ne questo puo schiudersi mai per tutla quella parte che n' e
coperla senza lacerazione di quello. Questa semplice esposizione della
struttura csterna del pericarpio nolle Campanule basta a far chiaro
non csserne possibile la dciscenza in quelle specie che hanno il frutto
inferiore, o compiutamente aderenle al calice; e poler solo avvenire
in quelle allrc che 1' hanno semi-superiore od adnato, ed in quella sola
parte di esso ch' e nuda e libera d'ogni aderenza, se per dciscenza
vogliamo ritenere col eel. De CandoUe I'aprimento recjolare di un frutto
senza lacerazione, e lunyhesso le suture che congiungono le sue valve.
(DC. Th. elem. p. 403). Secondo la duplicc struttura osservata nel frutto
delle Campanulacee vcnnero esse gia distinte in due tribu, delle quali
pero devono essere leggermenle niodlficali i caratteri, e quindi ancora

DEL PROF. ROBERTO DE VISIAM 363

la coUocazione c distribuzione dei gencri. La prima si c quella dollf
n ahlenber<jiee, la di cui capsula e adnata per ccrlo trallo al calicc die
la circonda, e sopra queslo dividesi in vahe regolari: I altro delle Cam-
panulee, la di cui capsula e aderente al calice per tutla la sua lun-
ghezza, non ha \ere valve, e si apre per sola lacerazione. AUe pri-
me appartengono Ira le europee due sole specie, la frahlenberyia lie-
(lemcea, e la //. niitabmida. mentre il vecchio genere Jasione, ed il
nuovo Edraianihus, die vi I'urono rii'erili, spettano piu propriamcnle
alle Campanulee perche hanno una capsula aflatto inferiore, la quale
percio non si apre in vere valve, ma si lacera irregolarmente alia ci-
ma, schiudendo un largo foro dond'escono i semi.

Alle Campanulee quindi appartengono tulte le altre Campanule eu-
ropee, e lulli i generi in cui furono scomparlite. In queste piante i
semi non trovando alia loro maturita nel pericarpio. che li racchiude,
una slruttura, che ne permetta lo schiudimcnto regolare per valve, os-
sia la deiscenza, obbligano questo a squarciarsi piu o meno irregolar-
mente in que' punti ove ne trovano piu deboli le pareti, e se queste
resistono, sforzano Tapice del medesimo dov'e scoperto dal calice e piu
sottile, ed escono per di la. Gli e percio che a seconda del sito ove
incontrano ([uesta minor resistenza essi lacerano il pericarpio ora alia
base, or verso il mezzo, or presso la sommita, ed a seconda della niag-
giore o minore sottigliezza del punto, che deve cedere, or questa rottura
e un foro piu o men rotondo prodotto dal distacco ed arricciamento al-
r insu di una porzioncella ingrossata delle pareti laterali. la quale per-
sistendo attaccata ad esse sembra quasi il coperchietto sollevato del
foro; ora e una fcssura bisluna;a od una lacerazione irreaolare c vaiia-
bile delle medesime dove sono piu assottigliate. Qualche volta poi in una
slessa specie (C. lamoslssimo) s' incontra indifferenteniente o il foro
quasi regolare verso la meta della caj)sula col coperchietto arricciato al-
I'insii, o una rottura irregolare in altra e diversa parte piu sottile di
essa. Tutte le aperture sin qui notate si trovano nelle Campanule vere
dei moderni autori, e solamente sulle pareti laterali del loro frutto ri-
coperte dal calice. Invece in altre Campanule (C. yramini folia. C. 1e-
nui folia, C. pumHio ecc), sulle quali si fondo il genere Edraionfhiis. I<»

364 IiNTORiNO AL GEiXERE ED ALL A SPECIE L\ BOTANIC A

squarciamcnlo del frulto avvicnc nclla sola sommlta del incdcsinio di'c
scoperta largamcnle dal calico, c su qucslo carallerc appiinto fu foii-
dala la distinzionc del nuovo generc. Ma abbiamo una pianta appar-
leiienlc alio vere Cainpamile {C. Erinus, e forsc anclie la C. drabaefo-
/id) alfine assai agli Edraianlhus per Tampiezza della faucc del calico,
cb'o niolto spiegato, c qiiindi ancora per la larghezza della sonimila
libera della capsula, la quale riunisco i due modi di apertura proprii
liuio dellc Campanule verc, Fallro degli Edraiaulhus. pcrcbe presenla
alia perfetta malurila conlemporaneamenle si i fori lalerali, clie la rot-
lura alia cima, oppurc indifferonlomenle or T uno, or Fallro di tali
modi di aprimonlo. Gli e percio appunlo, die il Dumortier cbe lorse
ossorvo il primo caso, quello cioe della doppia apertura, no feco il
nuovo genere Roncela; il Linneo invece, il Jussieu, il Do Candolle ed
allri, die \idero i soli fori alia cima, le altribuirono una deiscenza ler-
minale, meniro allri moltissimi vidoro i fori slessi solamenle alia base,
e collocarono questa specie fra quelle, die si aprono per di la. 1/ al-
lenta osservazione di questa incoslanza nel silo e modo con cui si
apre la capsula della 6'. Erinus prova incontrastabihnenle 1 invalidila
del caratlere, su cui si fondarono i gencri Roticela da un lato, ed Elro-
ianthus dalPallro, e no comanda la soppressione, anclic perdie conlra-
rii alia regola Linneana cbiarila dal Do Candolle, non baslare per fare
un genere cbe un sol caratlere possa separarc una o pin pianle da
quelle die lor somigliano, si ancora essere mestiori die quelle e si
a-svicinino fra loro, c si dispaiano dalle allre pel portamento. Ora pre-
scindendo audio dalla notala mutabilita del carallere, manca ai generi
sopra nolati quest' ultima condizione, nienlre una cvidonte uniformila
e somiglianza di portamento unisce insiemc la Boucela c gli Edraian-
tlius colle allre Campanule, e specialmenlo questi ulliini colle specie,
i cui (iori sono aggregati a loggia di capolino.

II genei'c Specularia fu distinto dalle Campanule, anziche per la
deiscenza (die si fa per lacerazione bislunga della capsula sotto il suo
apice, come in allre Campanule), per la corolla ruolata, e per il frulto
prismalico. Pero il primo di questi due caralleri desunto da un organo
niutabilissimo nolle Campanule, ove assume tulle le forme, non o esdu-

DEL PROF. ROBERTO DE VISIAM 36 5

sivo alio Spccularic. inciitrc gia frovasi nolle Campanulc vero, p. o. ('.
Elatines. C. fjarfjaiiica. C. clal'nwides. o quindi non puo scrvlre a disliii-
guerle. II friiUo non o un lungo prisma in lutlc le Spccularic, ina nolla
Sj). peifoliala ha forma conica invcrsa, c porcio similissima a quclla
del maggior numcro dcllo vorc Campanule, chc i bolanici cliiamano
tutbinala. Laondc anchc qucslo gcnere pcrchc mancanlc di caratfori
proprii c coslanii non puo csscrc conscrvato.

11 generc ./denophora si distingue dalle allrc Campanule per un
caraltcrc a dir vero cospicuo, quale si e la presenza di un ncUario
oilindrico, olio oirconda la base dello slilo; ma questo carallore e solo.
in alcune specie e minulo, non ha seco nennnen Faiuto del portamenlo,
(•he lo avvalori, e quindi non puo bastarc per le leggi adoltale, a di-
Aidcre dalle Campanule, specie chc hanno con esse in comime tanli
altri caralteri. Concludiamo pcrcio chc i generi Roucela. Edruianlhus .
Specularia c Idenophora perche fondati o sopra un sol caraltcrc. o
sopra caralteri non esdusivi e incostanli, non possono esserc con-
sidcrati chc quali scniplici sczioni, ulili a facilitare il rinvenimenlo
delle specie in un gcnere molto vaslo, ma insicme naluralissimo. dal
quale non possono csscre separati scnza violare ed infrangere le mol-
liplici affinita di struttura c di forma, chc li uniscono alle Campanule.
E a qucslo gcnere chc s'applica esatlamenlc la quinla leggc chc ab-
bianio anmiessa, e quadra a capello la scconda dcllc due regole fon-
date dal Dc Candolle: quando in un dato ordinc esista un gcnere as-
sai distinto pci caratlori c pel portamento, questo gcnere dev' csscrc
conscrvato intallo anchc sc alcune dcllc sue specie presentasscro ca-
ralteri da poterlo dividerc (77*. elem. p. 188).

iXclIe Scrofularincc alcuni aulori seguono lutlavia a confondcre gli
Antirrini colic Linarie, altri lacerano TEufrasic in parccchi generi in-
sussislcnli. Ma la obliquila del calico, la corolla e la capsula gibbose
alia base, quest' ultima obliqua allapicc, ed ivi aprenlcsi per Ire pori,
distinijuono neltamcnte di Antirrini dalle Linarie, in cui il calice e re-
golare, la corolla allungasi nel di dictro della sua base in unappen-
dicc chc assolligliasi in punta, la capsula e affatto regolarc. ed allapicc
schiudesi in due valve trifidc. o interc, ovvcro pin raramenle apron-

366 INTORNO AL GENERE ED ALL A SPECIE IN BOTANICA

dosi mercc due copcrchicUi clie si slaccano circolarmcnto dalle due
valve, schiude uiruscila ai semi in oiaschcduna valva vicino alfapice
dellc medesime. Dalle Eufiasic al conlrario si smcmbrarono parecchie
specie per fame i gencri Odontites, Eufragia, Trixago, e Barlsia. La
prima pero non differiscc dalle EulVasie se non se pel meschino ca-
rattcre, die in queste la setoia, in cui finisce la loggia inferiore delle
anlere degli stami piu corti, e piu lunga di quelle, con cui finiscono
le allre logge, menlre nolle Odontites son luUc eguali. UEufrayia nou
diversifica die per avere la capsula assolligliata in punta anziclie bis-
lunga ed ottusa, ed i semi lisci anziclie striati o costati: ma questo
secondo caratlere, se anclie avesse valor gcnerico, varia nella stessa
Euphrasia latifolia, die e il lipo del nuovo generc, in cui vidi lalora
i semi leggermenle striati come son nelle Eufrasie: ed il primo e ca-
raltere di figura cosi inconcludente da potersi appcna considerare co-
me specifico, variando pure ne' generi affini. 11 genere Trixago ha il
calice campanulato, anziclie lubuloso come i generi preccdenti, e la
capsula piu dura; ma quest'uUimo caratlere e d'assai poco valorc per
dichiararlo generico, e quello della forma del calice si Irova inco-
slante nel similissimo genere delle Barlsie. Questo genere infatti, giu-
sla il piu recenlc lavoro del diiarissimo Benlliani nel Prodromo del
De Candolle, presenta nelle nunierose sue specie era il calice tuliu-
loso ed ora campanulato; il labbro superiore della corolla ora intero
ed ora intaccato; Ic anterc or liscie or pelose, ora fornite di spina ed
ora inernii; la capsula talor coriacea, come nella /i. alpina. piu spesso
mcmbranacea, tal volla roslrata od acuta e lal altra otlusa nella me-
desinia specie; i semi ora alali or costati, e percio prova evidente-
niente non essere essenzialmente diverso per alcun carattere dalle Eu-
frasie. alle quali deve essere riferito come sezione, ristringendola pero
a quelle sole specie die si distinguono pei semi alati, e della quale
presenta il vero tipo la B. alpina L. ch'io diiamero Euphrasia Bart-
sia. Da questo esanie delle specie del genere Bartsia ne viene an-
cora la conseguenza, i caratteri sopraddelti non essere per la loro mu-
labilita sufficieuli alia distinzione dei generi delle Rinantacee teste pro-
posti. come non lo sono nelle vicinissime Antirrinee. ove la sola fi-

DEL I'ROF. ROBERTO DE VISIAiM 36 7

gura dclla capsula, e i caratteri esterni dci semi presentano bensi
buoni caratleri spocifici o al pin dl sezionc, ma nessuno si avvisc-
rebl)e di trarnc da que' soli fondamenlo alia coslruzione di nuovi
generi.

Noil sarebbe eerlamenle difficile reslendere Tesame sin qui isti-
tuilo anche agli altri generi novellamenle creati sullo smembraniento
dei vecchi nelle varie lamiglie di pianle, onde colla scoria delle re-
gole sopra esposle confermare quelli die vi si accordano, c provarc
rinsussislcnza decli aitri che ne dissentono. Pero il saggio dalo di uu
tal hnoro sopra alcuni generi di quallro naturali famiglie parmi po-
ler baslare a far conoscere la maniera, con cui polrebbe esser fatto
nelle altre, e sopra lullo a provare la verila, utilila, e sufficicnza delle
leggi per noi raccolte intorno alia coslruzione ed acceltazionc de' ge-
neri., nonclie a cbiarire il niodo, con cui vogliono essere applicate ai
medesinii per apprezzarne debilamcntc il valore. Cosi i bolanici i'er-
maiiienle volessero e manlenerle e seguirle concordando unanimi nel
concetto vero del generc, e riprovando scveramenle quelli che nc de-
viano! Solo allora, e quando si fossero fermate regole eguali per le
specie, lo die sara argomento della seconda parte di queslo lavoro,
porrebbesi un saldo freno al pazzo arbilrio di cangiar nomi alle pianle,
die or noia e brutta ed impaccia la scienza, e le vale Taniaro ed iii-
giuslo scherno di scienza dei nomi. Senza un tale provvedimento, di
cui stringe il bisogno, la confusione, che da ogni parte cresce e ci
allornia, minaccia Irarla a una cerla ruina, ned avvi modo a salvar-
nela, se non tornandola alia rigorosa osservanza di quelle leggi clw
le frultarono i meslio fondali ceneri che si conoscano.

Impugnino pertanlo coloro che Tamano, e la giovano de' loro scrilti,
e la onorano del loro nomc, impugnino animosi e perseveranli quesli
strumenti invincibili di difesa. ne dubitino che sia loro per fallire il
successo, particolarmenle in Italia, ove gli osscrvalori piu profondi che
soUili meglio atlendono alle generalita che ai minuti particolari, in Ita-
lia, ove gia provarono col loro esempio la necessita della riduzione de
generi e delle specie glillustri aulori delle Flore sarda ed ilalica; in
Italia, ove innanzi a lutli e fin dal sccolo sestodecimo sdamava quel

ggg INTORiNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

soinmo (ilosol'o o medico e natiiralisla die fu il Cesalpino amfii.'ii.s r/e-
ueribns amfioidi omnia necesse est, quel Cesalpino, il ciii in-egiio e
la cui dollriiia levarono in tania animirazione un Linneo <la failo pro-
ruinpeir ne noli \ei'si

Quisquis hie exlislerit, piinios eoneedal lionures,
Caesalpine, tibi. priniaque sella dabil.

{Lfltn a 19 Lmjlio 18 46)

HF.I. PROF RODERTO DE VISL\M 369

PARTE II.

1> E L L A SPECIE

Se lincertezza o rinesatlezza del concetto, die alcuni bolanici si
son fatli del genere, e la discordia loro neirapprezzarne i caratteri sono
cause principalisslme della incessante mutabilita de' nomi generic! delle
piante, e della faticosa e scoraggianle sinonimia, die ne offusca o ne
intristisce la scienza, come mi sono adoperato di dimostrare nella prima
parte, non meno dannosa io m' avviso la intemperante facilita, con ciii
taluni si sbracciano a creare novelle specie, e a fabbricare novelli nomi
per indicarlc. Lo imperche ho slimato utile rimprendere eziandio per la
spede un lavoro simile a cpiello del genere, nel che fare ho frugato
negli scritti de' botanici che dal Linneo al De Candolle piu accurala-
mcnte studiarono questo grave argomenlo, per indi Irarne quelle re-
gole, che confortale d'esempii, e raffermate d'altre avverlenze che a
me apparvero utilissime nella pratica, bastar potessero, o per lo meno
grandemente giovare nella fondazione e nella acceltazione delle novolle
specie.

I botanici anteriori al Linneo non avevano un'esatla idea della spe-
cie, che confondevano sempre e nel concetto e nel nome con allre
associaziuni inferiori. II Linneo fu il primo a definlrla, e a distin-
guerla dalle varieta, e questo primo raggio di luce, balenato appena
nelTalla intelligenza di quelPuom prodigioso, schiaro d\m tratto il te-
nebroso e inordinato caos della scienza. Gli esseri tulti della nafura
allor noti trovarono ben presto il carattere che li distingue, il nome
die li personifica, e V immensa opera di qualificare, denominarc e
dislribuire ordinatamenle quanto esisfe in nalura progredi poscia con
passi rapid! e gigantesch! sulle norme da lui fondate, per non arre-
III. 47

370 INTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

starsi niai piu. Pcro neiralto di dlstinguere la specie dalle variela,
che talvolla ne assuinono le apparenzc, furoiio spesse voile e son
tullora vacillanti i botanici, per cui e furono create assai false spe-
cie, e talor anco per lo conlrario furono alcune specie indebilamenle
considerate quai variela. Ne a logliere quesla incerlezza si slabilirono
regole concordi e sicure, si invece questo grave punto di scienza fu
lasciato non diro al criterio, nia airarbltrio di tutti. Poche parole ed
insuflicienli ne dissero i trattatisti: il prinio ad occuparsene con di-
ligenza e ad esaniinar la quistionc in ognl sua parte si fu il eel. De
Candolle, che nella Fisiologia alFarticolo della Specie, e nella Tasso-
nomia in quel libro die Iralta delle associazioni diverse delle piante,
diede precetti ed avvertimenti, che nessuno e per le cognizioni teo-
riche, e per la vasta sua pralica era in grade di stabilire meglio di
lui. Da queste auree fonti pertanto, e razzolando qui e cola alcune
avvertenze sparse in altri autori eziandio, specialmenlc nella recente
ed accurata memoria del sig. Chevreul s«r V Espece^ io avro materia
bastevole per compiere il niio lavoro, in cui m' ho prefisso di rac-
cogliere ed ordinare tutto che di meglio sia state finer pensato sulPar-
gomento.

Chi getta un prinio sguardo sulle produzioni infinite de' regni or-
ganici non vi scorge di primo tratto che una nioltitudine varia, con-
fusa, innumerevole d'individui, d'esseri cioe che posson vivere e vi-
vono distinti e indipendenti da ogni altro. Ma se attendendo piu di
proposilo ad osservarli, ei si faccia, anche scevro d'ogni prevenzione,
d'ogni cognizione scientifica, a ralTrontarli tra lore, non tardera ad av-
vedersi, che fra cjuesti alcuni si somigliano piu fra di essi che non
cogli altri, e seguitando Y indagine ed il raflronto gli sara agevole a
ravvicinar colla niente quesli esseri piu somighanti, e ad associarli an-
cora fra lore merce alcun carattere, che scoprira ad essi comune, e
pel quale potra distinguerli dai circoslanli. Questo primo grado di as-
sociazione degli esseri somighanti gli e cio che chiamiamo Specie, ed
e da questa che incomincia tutti i suoi studii il naturalista, e questa
la base d'ogni sua classificazione. Non awi alcuno per idiota che sia,
il quale penetrando in una foresta non iscorga a prima giunta che i

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 371

plni sono siniilissimi fra dl loro, e ben diversi dai frassini; che pei-
oorrendo una campagna pianlala a vitl non s'accorga che queste son
tulte cgiiali fra loro nelF insienic dc" lor caratteri, e diverse dalPalbero
che Ic sosliene. La specie csiste quindi in natura, csiste per l" idiola
al pari che pel botanico, si appalesa agli occhi di tulli perche e in-
dipendente dai sislenii delPuonio, cd e pertanlo affallo erroneo il jirin-
cipio opposto che professo prima c ritrallo poscia il Buffon, in na-
tura non esservi che individui, nienlre puossi invecc affermare eon ve-
rita, che alia sussistenza e propagazione della specie e legata inlima-
mente la conservazionc intcra tlel regno organico. Pensano alcuni coUo
stesso Buflbn. che le specie non sieno innnutabili, ma in un lasso di
tempo pill o meno lungo possano cangiar caratteri, passare 1 una nel-
Taltra, suddividcrsi o riunirsi, originarc in tal modo novelle specie o
scemare di nuinero. Seguaci di tale ipotesi, altri immaginano ancora le
specie in origine non essere state che pochissiine, forse una per cia-
sciin genere, e solo in processo di tempo modificale per esterne ca-
gioni aver dato nascimento a quello sterminato nuniero che or ne am-
miriamo. Rafforzano una si strana sentenza (la quale se fosse vera di-
slruggerebbe T idea della specie, e renderebbe inutile la scienza che
vi si fonda) coirosservare che esistono in natura individui intermedii
fra specie e specie, i quali paiono segnarne e dimostrarne i passaggi.
A difendere la persistenza ed immutabilila della specie baltagliarono
viltoriosi i naturalisti piii insigni, provandola e col mezzo di osser-
vazioni di confronto fra Ic specie antiche e le present], e col mezzo
di osservazioni e sperimenti istituili per lungo tempo sopra un gran
numero di specie, alcune delle quali coltivatc alio scopo di ricono-
scere la durata de' lor caratteri. Le pianle e gll animali conosciuti dai
Greci e dai RomanI, in gran parte si ravvisano anche oggidi si per le
descrizioni, benche imperfette, che queglino ne lasclarono, si per cssersi
conservati ne' paesi da essi abitati i nomi antichi, con cui que popoli
soleano dislinguerll, e questi esseri serbano tuttora immutati i loro
antichi caratteri. Gli animali e le plante indigeni gia dellanlico Egitto,
e raffigurali ne' geroglifici, e quel ch'e piii, conservati in natura nelle
necropoli, presentano tuttora i caratteri slessi e la pin perfetta ras-

372 INTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

somigliaiiza con quelli analoghi, clic or vivono c crescono nel pacso
dello piraniidi, quasi per diinoslrarcl non csscr avvenulo nclle lor
Ibrinc il mcnomo cangiamcnlo. Trcmila adunque e forsc quaUroinila
anni non bastarono ad alterarle: c quale piu lunga, pin certa, piu
concliiudcnle prova di qucsla polrebbe Tuonio, nonche chiedcre, ini-
niaginare, code accertare rininuilabilila della specie? In piu di trc se-
coli dacche esistono i giardini bolanici, nei quali alcunc piante si
coltivano coslantemenle, e le annual! si riscminano ciascun anno,
nessuno ha potuto cogliere il passaggio di una vera specie in un'alira,
quanlunque la promiscuila del suolo e del cielo, la prossimila delle
specie allini, Teguaglianza della cultura favoriscano potenleraenle que-
sle trasmutazioni. Nel giardino del re a Parigl si fecero per trent'anni
seminagioni incessanli ed in circoslanzc sempre variate di cenclnquanla
graniinacee diverse, preferendo a belFartc siflalte piante, come quelle,
i cui liniiti generici e specifici essendo sovenle ambigui e Icggeri, par-
rebbero dover confondersi piu agevolmcnte, senza che al sig. Albret,
e poscia al sig. Pepin, clic condussero si lungo tempo con pazienza
pari air avvedutezza siffalti sperimenti, fosse dato glammai di scorgere
alcun passaggio delFuna nelPaltra specie (V. Chevreul Stir I'Espke
negli -Inn. des Scienc. nafur. Sett. 1046 pag. 171).

Ne Tesistenza d' individui inlcrmedii fra specie e specie, se puo
in alcun caso difficultarne la distinzione, puo mai distruggerne la dif-
Icrenza, giacche o quesli individui non si riproducono perche sterili,
o nelle ripetule seminagioni perdono i lor caratteri per riprendere
quelli del tipo da cui provennero, che e sempre una delle due spe-
cie affini, c quindi si ha nella semina il mezzo di smascherarne e ri-
conoscerne la vera origine e la natura. Che se questi individui nelle
ripelute seminagioni non cangiano, si invece serbano immulato il carat-
tere cospicuo che li distingue da quelle, sono allora da considerarsi non
quai passaggi da specie a specie, non quali variazioni intermedie ad
esse, ma quai tipi di una specie nuova, alle slesse affme, ma pur di-
versa. Se invece accade, che quest' individui inlermedii mostrino nelle
varie forme solto a cui si presentano un progressive affievolirsi e suc-
cessivo svanire del caraltere differenziale delle due specie, allora il

DEL PROF. ROBERTO DE VISIAM 373

botanlco lieno in inaiio la prova, clu' le iluo specie sirio allora cre-
dule tali, perche i earalteri clifl'tnenziali delle medesime se irerano
ripulati coslanli, noii lo son punlo, cd ha qiiindi iiii argomcnlo invin-
eibile, perclie di I'atto. della convenienza di riiinirle. Di clie nc viene.
die lo studio dei^li iiulividui intermedii, c dei passai>gi di forma, noii
solo non imoce alia dislinzione specifica, o ne indeboliscc la forza, ma
e. nonche utile, indispensabile a dimostiare il valore spccifico del ca-
rattere, che consiste nella immulabilita del medesimo; e quindi a far
distinguere con sicurczza le vere specie dalle soltospecie, o varieta,
o variazioni, die possono prcnderne le scuibianze. Alcuni esempii val-
gano a chiarir nieglio il concetto. La Mutricaria Chamomilla era le-
nuta e tiensi pur luttavia distinta di specie dalle 31. pusilla^ M. Cow-
rantiana., M. pijrelhroides., e M. coronala., perche in quella gli ache-
nii non ban pappo, in queste il pappo prende diverse forme, sopra
le quali i botanici, che crearono siffatte specie, ne fondarono le dif-
ferenze. Osservazioni ripetute e accurate provarono, die il pappo or
manca, or si trova nella stessa Camomilla comune, e che la forma e
la grandezza del medesimo sono variabili al pari della presenza fin
nella stessa specie: percio mancando a' caralteri di quest" organo ogni
valore specifico c' fu forza riunire in una sola tutte quelle false spe-
cie, che non presentavano altra diversita che nel pappo. II volgare
Chrysanthemum Leucanthemiim distingucvasi dal Chr. montamim perche
gli achenii marginali di questo hanno un pappo che manca nelFaltro; il
CVir. (jraminifoUum separavasi dal CJir. montanum per le foglie piu
strette in quelle che in questo. L'esame di molti achenii del Chr. Leu-
vanthemum avendo provalo, che talora anche in quesli si trova il
pappo, tolsero a questo carattere il valore differenziale; ed individui
intermedii per la forma delle lor foglie fra il Chr. montanum e il
Chr. gramlnlfolium., mostrarono non potcr sempre bastare questo ca-
rattere a diversificare fra loro, piante in ogni altro rispetto soniiglian-
lissime, e quindi forzarono il botanico a riunirle tutte in una sola.
Lo studio attento e sufficientemente conlinuato dei caratteri e dunque
il solo mezzo che abbiamo per distinguere le specie dalle associa-
zioni inferiori: le quali. difterendo fra loro pel \ario grado di mu-

37 4 IiXTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

lal)ilita dci inedesimi, vogliono cssere ora partilanicnte illuslrale, pre-
iiK'Uciulo a queslc la dcfinizione della specie, di cui Taltrc non sono
che gradazioni.

La specie e una riunione d' Individui piu siinili Ira di loro che a
(utti si;li allri, per cui si possono considerare lulli procrcali da una
slessa pianla crniafrodila o monoica, o da una coppia di piante eguali
dioidio, i quali lianno in conume alcuni caralleri immulabili, e si ri-
])ioduc()no inaltcrali per generazione direlta e costantc. II caraHerc
che \a distingue e percio delto specifico, e si dispare dal generico in
cio. che I'ilraesi da organi di minore iniporlanza, prefcribilmenle da
quelli della vegetazione, piu di rado dagli accessorii della liprodu-
zione, piu raro ancora dagli atlribuli men rilevanli degli stessi organi
riproduttori. Dislinguesi poi dal carallere delle associazioni inferiori
per la sua niaggiore importanza, e pcrche riproducesi costanteniente
colla seininagione. ]

La sotlospecle e una riunione d' individui, i cui caratteri coniuni
lo^gono alia cullura, e si riproducono di seme come quel della spe-
cie, ma sono di una importanza inferiore. II papavero a seme bianco
(Papa^-er officinale Gmel.) dilTerisce pel solo colore dei semi dal P.
somnifenim^ in cui nere<ic;iano . Questo caratlere si conscrva nelle ri-
seniine, ma pel suo poco valore non bastando a qualificare una spe-
cie, vale solo a dislinguere il P. offcinale qual sottospecie.

La razza (stirps), che il De CandoUe chiama ancora varield pennaneiite
per seme, e una riunione d' individui simili, i cui caratteri comuni si
conservano immutali per di\isione, ed anche per generazione, ma non
|)er scmpre ne in tutte le circostanze. La digilale, il giacinto, il pa-
])aveio, la Lychnis Chalcedonica a fiori bianchi, e quesle stesse piante
a flori rossi riproducono ordinariamente il colore proprio della pianta
da cui derivano; ma cio non e cosi costantc nelle diverse condizioni,
come lo e della sottospecie, per cui cangiando quelle, tendono esse
pure a degenerare cd il colore si muta. Alle razze appartengono al-
cunc modificazioni di forma, di mole, di carnosita, di sapore, di odore
avvenute in alcune specie primitive, da cui originarono parecchie delle
nostre migliori frutta. per esempio nelle Cucurbitacee, e dc' nostri

DEL PROF. ROBERTO DE VISlAiM 375

erbaiTiii niii riocrcali, come nolle Carole, Selleri, Ualani, Cavoli. As-
paragi.

La rariela. della aiicora raricla ijennanvntc per c'sleiisio)ie, c una
riunione d' individiii simili, i cui oaralteri foimini sconipaiono colla
seininagione, ne si possono conservare alU-iineiili die per divisione di
parti, cioe per iniiesli, margolte, taleo. II sapore zuccherino od aro-
inatico di alcune fruHa o svaniscc o si cangia in allro scipilo od aciilo
o lazzo, so alciin si avvisa di voler riprodurre di seme coleste pianle.

La variuzione infine o vcirieta locale e una modificazione di alcun
carattere della specie, prodotta da circoslanze esteriori di elevazione,
di luce, di temperic, di umidita, nonche da quelle della coltivazione
e del suolo, la quale non puo essere conservata e Irasmessa nemmeno
per divisione. Alcune pianle spinose o pelose o vischiose, proprie de'
luoghi secchi e delle esposizioni piu solalie, se si coltivino in lerreno
morbido e grasso, o in situazione piu umida e fresca, perdono in al-
cun tempo la facolla di riprodurre negli individui, die generano, le
spine, i peli, o I'umore viscoso die ne spalnia la superficie. Riepilo-
gando il gia detto, la specie si propaga per semi, non si inula per
cangiare di circoslanze: la sottospecie si propaga di seme, ma diffe-
risce dalla specie per la poca imporlanza del suo carattere: la razza
si propaga pure di seme, ma non sempre, ne in tulle le circoslanze,
e negletta degenera: la varieta non si propaga die per divisione di
parti: la vartazione infine e una semplice forma locale ed accidenlale.
che svanisce al mular delle circoslanze die Than prodotta, e non puo
trasmettersi ne anche per divisione.

Le sottospecie e le razze possono alcuna volla oscurare la vera
specie, renderne incerti i liniiti, e alquanto vago il concetto. Ma se
quelle distinguonsi tosto alia tenuita del carattere su cui si londano,
le razze, che si possono considerare qual prodollo lento e successivo
operalo dallarle e dalla nalura sui caralteri men rilevanli e percio
piu mulabili della specie, per la incessante loro lendenza a degene-
rare onde riprodurre le sembianze del lipo da cui derivano, lendenza
ben nola ai coltivalori che V accagionano della perdila di tanle razze
di Irutta d antica celebrita, che scomparvero intcranienle da" lor ver-

37C INTORN'O AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

/ieri per non tornarvi forse niai piii, non possono a lungo andare la-
soiarc in forso il botanico siil vcro loro significalo. Sono piu copiose
If razze in quelle specie, die o per la loro ulilila o per la loro va-
gliezza sono collivate da piu lungo tempo, o sopra piu esteso spazio,
<) in niaiigior numero, o in clinii piu dilTercnti, c con niaggior indu-
slria ed assiduita. Da cio si scorgc aver grandemente contribuito a
|)rodurle c la antichila dello collivazioni, cui furono sotloposte le spe-
cie mudri, e Ic condizioni diverse di clima c di suolo, in cui quelle
si colli^arono, e gli ingegni od arlifizii varii della cullura. Cio c tanlo
vero, chc, cangiando alcune di quesle condizioni, svaniscono i caralleri
delle razze . Chi non sa clie i semi di alcune razze di erbaggi, come
Asparagi, Cavoli, Radicchi, LaUughe, Finocchi, Selleri; di alcune radici,
come Carole, Rafani; di certe frulta, come Cetriuoli, Meloni, Coconieri,
procurali da que' paesi, in cui tali prodotti sono piu squisiti o piu
grossi, dopo alcune coltivazioni degenerano; ed e forza per riaverle
rinovar le sementi. ritirandole sempre da que' primi luoghi privilegiati,
ove esislono Ic condizioni, die da prima produssero, e sole valgono
a conservar loro quel grado di perfezione nella forma, nolle dimen-
sion!, nel sapore, o nell'odore che vi ammiriamo?

A queste efficacissime cause della origine delle razze se no ag-
giunge una ancor piu possente, quella vo' dire deW ibridismo^ prodolto
dalPazionc del polline di una pianta sopra i pislilli d'un'allra affme
a quella. Questa estranea fecondazione, delta ancora fecondazione re-
ciproca o incrocicchiata, puo avvenire fra individui di due specie con-
gencri, di due sollospecic, di due razze, di due varieta, fra indivi-
dui della medesima specie, ed anche tra due fiori di uno stesso in-
dividuo. Puo accadere naluralmenle, e puo essere procurata dalFarle.
Si cliiama ihrida la pianla nata da semi procreali da due specie con-
generi, e potrebbero collo Clievreul chiamarsi sottibride quelle, che
provengono dalla fecondazione reciproca di due razze o di due va-
rieta si della slessa specie che di specie vicine. La formazionc degli
ibridi c assai rara in natura, perche a compierla con succcsso si ri-
chicde il concorso contemporaneo di condizioni molle e diverse, quali
sono Tanalogia sirettissima di slruttura e di forma ha le piante da

DEL Pr.OF. ROBERTO DE VISIANF 377

loconclarsi, la lore prossiniila. la coincidenza perfclla della maturita del
j)olllnc di una pianla colla puhcrta del pistillo neiraltra, la verginita
dcllo stlmnia, e rassoluto difetto di pollinc proprio nella pianla cho
si vuole fecondare. Senza quest' ultima condizionc non si oltienc ibri-
disnio, pcrchc Ic osservazioni di M. C. J. Gaerlner ban poslo fuor
d'ogni dubbio, cbc il piii piccolo granello del proprio poUine annienta
aflalto I'azione di qualsivoglia polline estraneo, per cui i giardinieri,
die operano la fccondazionc artificiale, banno ravvertenza di privare
il fiore da fecondarsi di lulli i suoi slanii prima ancora cbc qucsli
sieno maturi, onde antivenirc il versamento del pollinc sul pistillo.
Mancando Tuna o Taltra dellc condizioni or mentovate, la fccondazionc
estranca non raggiunge il suo scopo, quello cioe di far concepirc alia
femina semi capaci di riprodurrc i Iralti malcrni c paterni riuniti e
conlcmpcrati nciressere cbc da quelli c per nasccre. Gli e percio cbc
pocbissimi sono gli ibridi nalurali di ccrta e provala origine, sommando
appcna a quaranta lulli quelli cbc in piu di un sccolo i bolanici ban
potulo osservare. S'inconlrano solo fra Ic specie piii somiglianli c con-
genex'i, c fra i generi piu numerosi di specie; di pocbi si sa con cer-
tczza cbc sieno alti a riprodursi di seme, c pare anzi probabilissima
Topinionc del De CandoUc figlio, cbc ancbc qucsli poco dm-ino, si
cslinguano spesso, e poi di tratto in tralto si rigcnerino accidcnlal-
mente in que' luogbi, ovc i loro parcnli crescono numerosi e vicini .
Ma se son rari gl" ibridi naUu'ali, gli arlificiali, quelli cioe cbc Tuomo
slcsso procura colla fccondazionc, possono a suo talento riuscirc infi-
niti, e gia ne abbiamo cscmpii ancbe troppi nc' Pelargonii, nellc Ci-
nerarie, nelle Calceolarie, nci Dianihus, nolle Phlox ^ c in molli altri
gcncri dei piu Icggiadri cd insiemc piu numerosi. Ei gli otticne sia
senza volerlo e talor senz'addarsene, coltivando insieme in gran co-
pia alcunc specie piu dispostc alia reciproca fccondazionc; sia fccon-
dando a discgno la femina d'una specie, d'una razza, o d'una variela
coi mascbi deiraltra. Gli esscri bastardi che nc provengono sono in-
termcdii ai parcnli, somigliando alia madrc, secondo Ic osservazioni
dcir Herbert sullc Amarillidee, ncgli organi dclla vegctazione; al padre
in quelli dclla riproduzionc. Quando cio avvenga fra due specie di-
III. 48

378 INTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

verse, (ali indnitlui rcndono alcuna volta inccrti i liinili clic Ic divi-
dono. Ma lorUmalamonle qucsl' ibridi raramente si riproducono, e se
anclic il lanno, ordinariamente non si perpeUiano, c tcndono nlVala-
(.•ismo, cli'e quanto dire a riprenderc la forma di una dellc due spe-
cie da cui derivano, lo clie raggiungono per lo |)iu nel corso di poche
generazioni, mostrando senipre nclle semine ripetute quella lenla ma
continua mutabilita di caralleri, die alPocchio deH'osservatorc avve-
diito li fa ben presto riconoscere per cio che sono, e disliiiguere dalla
specie.

Non e cosi dei sottibridi, nali cioe dairincroeiamenlo di una razza
o di una variela con un'allra d' eguale o diversa specie, in cui es-
sendo massima I'analogia, facilissima e la fecondazione, e piii sicuro
il successo. Gli e a quesli, che probaliilmente si debbono quelle piii
0 meno leggiere modificazioni delle pianle assui collivatc, nolle dimen-
sioni, nel numero, nella forma, nel colorito, nellodore e nel sapore,
le quali, reslando intermetlie fra specie e specie, ne velano e ne con-
fondono Ic differenze, e cosi imbarazzano i bolanici neirapprezzamenlo
de' lor caralleri, e quindi nella loro dislinzione reciproca. Pero anche
quesla causa agiscc en(ro limili assai rislrelti, ne puo recar confusione
che in certi casi, quando cioe si (ralli di quelle pianle, che sono pin
copiosamenle e piu diffusamente collivale, Ic cjuali c per crescerc in
massa, e per esscre similissime fra di loro, presenlano le condizioni
pill favorevoli all' ibridismo. Ma in quesle pure I'atavismo proprio de-
gli ibridi, il successivo apparirc di sollibridi intermedii, che nolle se-
guenti generazioni, sorgendo fra la specie e il suo ibrido, ne fanno sva-
nire le differenze, e da ultimo la slerilita si frequenle dopo la terza
o quarla generazione in quesli versalili e capricciosi prodolti dellar-
tificiale fecondazione, lascieranno assai per poco periloso il botanico,
che ne seguira le fasi ed i cangiamenti, suUa vera origine e nalura
di I ali pianle.

Fermate sin qui le idee, che ci sembrano piu accellevoli sul vero
significato della specie, della sollospecie, delle razze, delle variela,
delle variazioni, e degli ibridi; loccale le quislioni piu gravi che ad
esse si riferiscono, chiariline i limili, c mostralo il niodo di non confon-

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 379

(lerli. o disconoscerli, procedercnio ora a segnarc sulle norme e siigli
escmpii datici dai bolanici piu accurati c piii circospclli Ic avver-
tenze piu utill da segiiirsi nella creazione cd accettazionc delle specie
mioAC, oiulc eoinpilarc anche per la specie, come s'e fatlo pel genere,
nil saggio di codice a quesia parle di scienza.

1. La vera specie deve essere dislinta dalle congeneri per iino o
pill caralleri comuiii e costanli, tralli dagli organi della vegelazione,
o dagli accessorii della riproduzione, o anche dagli slessi organi ri-
produKori essenziali, usando pero fra questi ultinii di que' soli caratleri
die non fossero slali adoperali pel genere.

Nolo. II carattere della specie dev' essere coslante, e coniune alle
diverse sue forme. In queste pero esso puo soggiacere a piccoli can-
giamenli passando da iornia a forma senza die cio dislrugga la specie.
Ma se in alcuna di quelle ei dileguisi al Uiito, o si assoUigli od oscuri
a segno da rendersi in qualche individuo irriconoscibile o assai legge-
ro, quel caraltere non e specifico, e la specie die vi si fonda non de-
v' essere conservata.

2. Quando il carattere specifico e unico, deve esser trallo dagli or-
gani di niaggior conto, o alineno dagli atlribuli piu importanli degli
organi, i quali sono la esistenza o la niancanza primitiva od originaria
di questi, la relativa lor posizione, e la forma dipendente dalla strullura.

Nota. Cio specialniente dev' essere osservato a rigore quando trat-
tisi di fondare una specie sopra un solo esemplare, nel qual caso po-
lendo avvenire die il caraltere anzidie essere coslante sia accidcnlale,
si corre riscliio di creare una falsa specie. Gli e percio die in siniili
circoslanze il caraltere dev' essere di tale sia;nificazione orijanocirafica
da non potersene allribuire Torigine a veruna causa eslrinseca od acci-
dentale. E qui e d'uopo ripetere cio die si disse del genere, che neiii-
iiien nelle specie affini un organo ha senipre la slessa importanza; o
un dato carattere un egual valore; in iiiodo die cio die si trovo co-
slante in una data specie debba esserlo di necessila anche negli in-
dividui lulli di un'altra benche consimile. Di die nc vienc la neces-
sila di studiare il valor del carattere negli individui slessi e nelle for-
me varie di ciascheduna specie per accerlarlo; ed il danno che ne pu<>

380 LNTORNO AL GLNERE ED ALLA SPECIE LN BOTAMCA

sora;crc ncl dcdurlo in alcuna di esse dalla semplicc analogia, ch'essa
(iene con allre, bcnchc congeneri e soniiglianti. Qiianto alia forma veg-
jvasi la regola qiiinla.

5. 11 caraltcre tratlo dal numero delle parti relatlvo c costante,
quando qucslo non sia velato o confuso da dilcllo o da eccesso di
sviluppo, ovvero da accidentali aderenze delle medesinie, ha valoie
speciflco.

Jola. II numero assoluto de" tronchi, delle foglic, dei fiori, o delle
lor parti non ha valore. Ma quando present! costante dilTerenza fra
due specie vicine, ben presto acquista una reale importanza. Bisogna
pero avvertire, che anclie il numero relalivo puo cssere accresciuto
da cause accidentali, per esempio da quelle che favoriscono uno svi-
luppo ecccssivo; ovvero puo essere diminuito da uno sviluppo piu
stenlato del nalurale, e dalle aderenze che possono contrarre alcuni
organi fra di loro o colle parti vicine. A sfuggire gli abbagli di simil
genere il botanico estendera le sue indagini a un maggior numero di
individui, e questi, se sia possibile, di diverse localila.

4. Le dimensioni generali di una pianla non hanno valore speci-
flco, ma le dimensioni relative o le proporzioni di alcune parti di una
pianta con alcune allre quando sieno norniali c fisiologiclie, coslanti,
e indipendenli da cause eslrinseche e accidentali, forniscono eccellenti
caratteri.

Nolo. Pero anche le dimensioni assolule possono essere alcuna volla
indizio di differenza, come quando di due pianle simili Tuna resla sem-
pre piccola anche cresciula in terreno morbido e grasso, Taltra sorge
sempre a grandi misure anche nata o coltivata in un magro. Siccome
cio contrasta con la nota influenza del suolo sulla vegetazione,, puo
indurre ragioncvole sospetto, die le due piante diversifichino fra di
loro e per altri caratteri.

o. La forma degli organi presenta in generale caratteri specifici
comuni e coslanti, ma solo allora che le sue modificazioni sieno le-
gate e dipendenli da modificazioni analoghe nella slrultura anatomica,
ossia nella dislribuzione de' vasi di un dato organo.

-\ola. Una foglia puo variare grandemente di forma senza che cangi

DEL PROF. ROBERTO DE VISIAiM 381

punlo la sua struttiira, oil allora siffattc forme non sono spccificlic pci-
fhe variabili, come avvicne nel Senecio nebrodenais^ in cui le foglie
passano dalla forma tipica appeiia dcnlata alia forma incisa, e succes-
sivamenle alia pennalofessa. bipcnnatofessa, e multificla, sulle quali fii-
rono fondate a lorlo due allre specie, il S. nipestris ed il 5. lachiia-
ius. L'aver ncglella siffaUa regola proclamata dal De Candolle ingom-
bro di false specie infinite la scienza, ed oscuro i veri limlli delle
buone.

6. La disposizione relativa delle parti somministra alia specie al
pari chc al genere la sorgente piu pura d'ottimi carattcri diflerenziali.

-Xola. Questo attributo e quasi sempre invariabile, pcrlocche varra
meglio dogni allro a dislinguere sicuramente la specie. In ollre lo stu-
dio del medesimo giovera sommamente al botanico per ispiegare le
anomalie de' caratteri ed apprezzarne debilamenle il valore.

7. I caratteri tratti dal colore, dal sapore, dall'odore delle piante
non possono considcrarsi come specifici, e in ncssun caso un solo di
essi puo bastare a stabilire una specie.

.\ofc(. II colore de' fiori, perclie variabile, non puo mai fornir nola
specifica. Pcro essendo stato osservato, che il color giallo non passa
giammai al lurchino, ne questo a quello, meno forse qualclic rara cc-
cezione, come fra i Giacinti, quando si tratti di due piante affini che
differiscano fra di loro per questi colori, dovranno esserne piu allen-
tamente sludiate le differenze, perclic la diversita sopra delta polrebbe
cssere indizio d'altrc non osservate e specifiche. II colore de sucdii
proprii e costante, roeriterebbe percio a parere del De Candolle di es-
sere impiegato come carattcre; ma per anco nol fu. Costante e pure
soventi volte il colore dei semi, c se ne valsero alcuni botanici per
distinguere fra di loro, specie molto affini negli altri caratteri, come i
Fanjiuoli nelle Leouminose, e alcune Calaminle nelle Labbiate. Meno co-
stante e il colore delle radici e dei pericarpii. II color bruno, rosso, o
giallo delle piante in istato sano, e le macchie di tai colori, con che
ne sono alle volte screziate le foglie. non hanno valor specifico. forse
perche dordinario non si riproducono di seme, bcnche in alcune spe-
cie sieno molto costanli, come nclla Maranta zebrina, Aucuba japonica.

38i2 [NTORNO AL GEiXERE ED ALLV SPECIE IN BOTAiMCA

/rum piciton, Crolon variegatum ecc. Al contrario il color glauco di
alcunc piantc, il quale proviene da iin'cserezioue cerea di color verde-
inare, die emana dalle parli verdi e le vela, viene generalinenle am-
inesso come specifico, senipre pero in que" casi, in cui fu riconosciulo
coslante. Tulto cio riguarda il colore uelle piante vascolari, nienlre
nelle cellulari e pel poco die nc sappiamo, c pclla scarsezza ed incer-
lezza de' lor caralteri, e perchc realnicnte in queste il colore sembra
piu essenziale cd inlrinseco a' lor lessuti, i Micologi, gli Algologi, i
Lichenologi, ed i Muscologi lo tengono e Tusano come specifico. II
sapore e Todore non sono mai caralleri specifici, ma possono alcune
volte essere indizio di sillatti caralleri; e percio vogliono essere no-
tali ed avverlili dal botanico, die da questi puo esscr forse condotto
alia scoperla di dilferenze maggiori e sino allora ignorate.

53. I caralleri del porlamenlo od aspello generale delle pianle, con-
siderali alio scope di riunire in ispecie gli individui, die piu si as-
somigliano, e di separarli da quelli di uii allra, non baslano mai a I'on-
dar soli una specie.

.\ol((. Pero e senipre ulile lo sludiarli, perche non solo servono
spesso d' indizio alio scoprimenlo d'altri caralteri piu essenziali, ma
possono ancora convalidare una specie dubbia o fondata sopra un
solo carallere. 11 porlamenlo lia percio riguardo alia specie quello
slesso srado di valore caralleristico , die abbiamo iiolalo nel crenere
alia parte prima nella regola ollava.

9. La specie londala sopra indi\idui ^ivi, spontanci, numerosi, e
cresciuti in condizioni diverse di clima, di suolo, di elevazione, di
umidila prescnla maggior sicurezza sulla validila, e costanza de' suoi
caralleri, die non quella die trovisi in condizioni conlrarie.

iXola . In conseguenza di quesla legge al botanico corre V obligo
quando Iraltasi di londar specie sopra eseniplari secchi, o collivati,
o poclii, o di podii c poco diversi luoglii di essere piu rigoroso nella
scella ed acccllazione del carallere differenzialc, di non conlentarsi di
caralleri secondarii. di cercarne le differenze necili ornani piu coslanti,
(juali sono quelli della riproduzionc, di notare la patria, la stazione,
la durata. e le varie epoche di vegetazione, fioritura e malurila dei frutii

DEL PROF. ROBERTO DE VISIANI 383

delle duo piaiife per ritrarre dalla loro eguaglianza o diversita all re
prove della diversita. o deU'egiiaglianza specifica della piania crediila
nuova coir altra die piii rassorniglia. Clie se fosse possibile il oolli-
vare in condizioni variale la specie dubbia, e rallevarla ripetulc volte
di seme, si avrebbe in questa prova il mezzo piii ceito per rico-
noscere la slabilita ed il valor del caraltere, e quindi ancor della
specie. Questo sperimento poi riuscira indispensabile quando la nuova
specie sia slata rinvenuta in luoghi coltivati con piante analoghe. nel
qual caso bisogna andare molto a rilento nciraccetlarla, potendo ella
essere o modificazione di alcuna tli quelle piante prodotta dalla cul-
tura, o ibrido accidenlale delle medesime.

10. La specie e tanlo piii naturale e distinta quanto e maggiore
il numero e 1" importanza de" caraSleri, su cui si fonda.

1 1 . Quando una specie cresce commista ad altre a lei legate per
moltiplici analogic, senza che se ne scorgano in alcun caso i passagsji
da quella a queste, malgrado la parita delle condizioni in cui vivono.
avvi fondanicnto a crederla vera specie.

JiOta. 11 Thymus acicularis cresce frammisto a quella ^arieta del
Serplllo, che e il Th. anguslifoUus del Persoon; ma benche ne sia si-
milissima lapparenza non ni'e avvenuto giammai di cogliere alcun
passaggio da quello a questo ne' caratleri specifici delle due piante:
percio meritano di essere considerali come diversi, appunto percbe i
loro caratteri si serbano different], malgrado la promiscuita e leaua-
glianza delle condizioni in cui crescono quelle piante.

12. Quando una specie dubbia e sommamente affine ad un' altra
cresce in luoghi e condizioni diverse da questa, e ne sembra quasi
una soslituzione, pria di accettarla come distinta se ne debbono ci-
mentare i caratteri coltivandole lima presso delf altra, o almeno in
condizioni simiglianti per accertarne la distinzione: senza tal prova
puo sorger dubbio che la specie ambigua non sia che forma locale.

Nota. Per contrario se una specie molto affine ad un altra cresce
in situazione affatto simile a questa. e se ne serba costantemente di-
stinta. avvi una ragione di piii. oltre il caraltere. per riputarla di-
versa.

38 4 INTORNO AL GENERE ED ALLA SPECIE IN BOTANICA

13. Quando occorrano individui internicdii fra specie e specie,
die pero lengano alcun die di proprio e dilTercnte da entrambe, pria
(li forniarne una specie nuova e distinta e necessario il provarc V im-
mulabilita del carallere differenziale o coU'esamc di copioso nuinero
d" individui di differcnti localita, o meglio ancora ricorrendo alia col-
livazionc c alia scniina.

Tola. Gl individui inlermedii, die possono indurre il botanico a
sospetlarc in essi il tipo di una specie nuova, sono ordinariainenle
prodolti deir ibridismo. Questo alcune rare voile origina qualche spe-
cie, ma d'ordinario non produce che delle razze, le quali lendono
seinpre a degenerare, o a dir nicglio a riprendere le forme dell uno
o deU'altro degli esseri da cui derivano, col inutare delle circoslanze
modificano lor caralleri, e a lungo andare disvelano Torigine primi-
liva. JNessun mezzo adunque piii sicuro c lerminativo per riconosccrli
quanto la cullura e le risemine ripetule dei medesimi, variandonc ac-
corlamenle ed incessanlemenle le condizioni e di cielo, e di suolo.
Un carallere die resisle a siffalle prove per alcune generazioni basla
a qualificare per buona specie la pianla die lo possiede. Senza di
quesle, o abneno senza lo sludio cd il raffronlo di buon numcro d' in-
dividui di niolle e ben diverse localila nessun bolanico circospelto s'av-
visera di decidere del valore di un carallere inlermedio, e di fondarvi
sopra una specie.

Con quesle norme, e con quesle avverlenze, allc quali la sperienza
degli errori allrui e dei proprii polra col lenipo aggiungerne delle
allre, ma delle quali non sapremmo ora porre in dubbio Taggiusla-
lezza, il botanico polra quasi senipre evilare il pericolo di dar per
ispecie una razza, o meglio una varieta, addensando ognor piu quelle
lenebre, die lambizione frivola d" immaginarie scoperle, e la legge-
rezza di osservazioni precipilale seminarono fra le specie, particolar-
menle ne' generi piu nalurali e piu numerosi. In alcuni di questi sia-
mo arrivali a lale^ come nei Dclfinii, negli Aconili, nci Dianti, nelle
l\ose, ne' Pelargonii, da non sapere oggiinai come dislinguerle fra di
loro, si percbe ai caralleri immulabili delle specie vere furono nelle
<lescrizioni soslilnili i variabili, per cui elleno differiscono dalle false;

DEL PROF. ROBERTO DE VISI.\NI 38 5

sl pcrc'lie gli ihridi procurali a disegno fra specie c specie n iianno
cancellati i conlini. Di die ne viene die qucsti generi, e lulli quelli
die si Irovano in condizioni simiglianti, iioii potranno essere scienlifi-
camente e diiaramenle ordinati , sino a die colla ciillura e coUa ri-
seinina lungaiiiente continuala e variata degli ibridi e dei sottihridi
non sieno rcsliluiti quesli al tipo da cui provennero. Cliiarita allora
Porigine di quesli esseri capricciosi, si polranno bandit- per seinpre
dalla scienza tuUi que' nomi o barbari, o adulalorii, o iperbolici, od
assurdi^ cbe, inlrodoHi per lo piu da persone eslranee alia stessa, la
noinenclalura ne inibraltano, e a nulPaUro servono die a corbellare i
crcduli, ad arricdiire gli accorli, e a far la scienza quasi complice di
un mercimonio, in cui non resta ad essa altro parlaggio die la ver-
gogna ed il danno.

Colle quali parole io porro fine al lavoro, che m'allento d'ofl'e-
rire a' botanici come breve saggio di un' opera, die la scienza nosira
desidera, e di cui in nessun tempo fu si vivamenle senlito il bisogno.
Fissar Ic regole da seguirsi nella crcazionc ed accellazione de' generi
e delle specie, oggidi, in cui e gli alii accadcniici, e le pagine dei
giornali, e gl' ilinerarii de' viaggiatori riboccano di novila di lal falta,
gli e poire il solo freno possibile alia sniania di crear falsi generi e
lalse specie, e lor di mano a quelli die ne van presi le opporlunila
di coniare inulilmente novelli nomi. Possa la povera mia falica, se
non raggiungere lo scopo die m' ho proposto, eccilare almeno scril-
lori piu profondi e autorevoli a Irallare sopra un piano piu vaslo e
con maggiore probabilila di succcsso, queslo grande argomenlo, che
da se raccomandasi alle medilazioni di lulli, pcrclie nellaccurala di-
stinzione dei generi, delle specie e delle variela riposa lullo lo slu-
dio della natura, e perche laccurata dislinzione di quesli e legala in-
limamenle alle piu ulili applicazioni, cbe slringono Tainena scienza dei
vegetabiU alia piu preziosa delle arli, Tagricoltura!

{Letta il 28 31aizo 1847)

HI. 49

OSSERYAZIOM E RIFLESSIOM

SIL FU^ICOLO OMBELICALE

DEL FETO UMA^O

MEMORIA

DEL PROF. FRANCESCO CORTESE

1 molti scritlori, speclalmente del noslri giorni, die con lanto pro-
fiUo si occuparono dello svlliippo degli animali, non hanno avvcrlilo,
sc la lettura delle piu recenti opere loro non mi Irasse in inganno,
un falto curioso risguardante la struUura del cordone onibelicale del
I'eto umano; il qual fallo, sempre chc sia confermato da nuove investi-
gazioni, puo chiarire la storia ancora mal certa del sistema vcnoso. E
sebbene mi sia dcsso apparso evidente una sola volla, malgrado i ri-
petuti miei tentalivi per oUenerne la rinnovazione, io sono abbaslanza
sicuro della sua realta, per indurmi a renderlo noto ai cultori delle
cose anatomiche; perciocche esso si collega colla particolare confor-
mazione di certi apparati venosi di alcune inferiori specie zoologiche,
e le indagini microscopiche mi sembrano convalidarne le deduzioni.

Si ammetlono in generale come materiali costrultori del funicolo
ombclicale: una vena, due arterie, la gelalina del W arthon, un esterno
indumenlo falto dall' amnios, e traccie dei peduncoli delPuraco, e della
vescicola ombelicale. Schotl e Valentin confermano la esislenza di fi-

388 SUL FUNICOLO OMBELICALE DEL FETO UMANO

lamenli ncrvosi procedcnll dal plesso Ipogaslrico del fcto, chc scgui-
rono coiraiiito del luicroscopio a tre o qiialtro polllci lunge dalPom-
bclico. Le preparazioni del Fohmann, lendenll a dimostrarc la presenza
di liiifalici, parvero all' Hyr[l lult'altro die concludenti, ed anzi alfallo
analoghe agli stravasi del mercurio negli spazii intercellulari del tcssuto
intermedio. Ecco pertanto 11 risultamento delle mie osservazioni.

I. La vena onibelicale non si comporta sempre lungo 11 cordone
al inodo di iin Ironco unico aUorligliato a spira colle due arlcrie. Non
e raro il case, che, reddendo 11 cordone a different! altezze, si mo-
strlno nella sezione due aperture venose ed altrellante arteriose; ed
11 fatlo si rende cliiaro colle iniezioni. Essendoche si scorge allora,
chc il tronco della vena si divide in due alvei per confluire a cerla
distanza in un alveo solo, in vicinanza airouihelico del felo. Allora le
arlcrie, molto inferior! sempre al calibro delle vcne, appariscono co-
me incastrale nei solchi lasciali da queste, ed il tessulo crasso, suc-
coso, Iraslucido, die completa la rotondita del funicolo, si direhbe
per la inlima connessione colPapparato venoso, quasi del tutto appar-
tenergli. Iniperciocchc nelle sezioni Irasversali, come c facile vedere
le arterie sbucciar fuori con lulto il loro parele dal piano della se-
zione, massime se si Irascinano alquanio colla pinzetta, cosi e coslante
che la vena si mantenga sepolta ed immobile enlro al medesimo, co-
munque si adoperi colla inano o cogli stromenli per cavarla da quel-
rastuccio. Onde se e agevol cosa introdurre i tubi d' iniezione nelle
prime per la apcrta boccuccia e legarveli intorno al nalurale parele,
altreltanlo e mestieri incidere ncl delto lessulo per cacciarli denlro
alia vena. Ed c chiaro altresi porger esso al lume venoso, in ispe-
zielta nei cordoni ombelicali piu crassi, una lendenza a rimancrsene
aperlo e bocclieggianle, che suol essere siraniera a quel condoHi, sin-
golari anzi tutlo per la rilassalezza delle pareti; la quale lendenza
non si potrebbe meglio agguagliare, che a quella delle vene proprie
ai corpi ereltili nello slato fisiologico deirorganismo, od a quelle cir-
coslanti a eerie patologiche produzioni, principalmente fungose, in cui
la cellulare die le circonda passa per Irasformazioni analoghe allor-
dimenlo conlrallile dei corpi anzidetli.

DEL PROF. FRAKCESCO CORTESE 389

II. Qnesto tessiito in cui dirobbcsi quasi soavata la vena onibeli-
cale, e chc ricmpie i vani lasciali dalla forma cilindrica dci vasi, si
mostra piii crasso negli intervalli, chc non alia circonferenza, ove la-
scia Irasparire Ic svolle dcrivanli dal loro altorliglianicnto spiralo.
Preso fra le dita, scivola bruscanicnte per una ccrta gelatina filanlo
e viscosa che scalurisce dalle sue cellc. Levatone Testerno indumento
chc precede dalT amnios, e presane una parlicella, se si cerca com-
primcrla fra due velri, e quasi impossibile riuscirvi senza qualchc
aiuto siraniero; percio che scappa rapidamenle come farebbe una fi-
bro-cartilagine, sia per la nalurale elaslicila dei suoi componenii, o
pel succo viscoso che ne riempie le celle. Guardato di Iravcrso alia
luce, rivela una trasparenza maggiore dei due strati amniotico e sie-
roso proprio alia vena, i quali come lutte le lonache congeneri si opa-
cano poco dopo la morle, e nelle sezioni trasverse del funicolo di-
chiarano un confine opaco sulla perspicuita del lessulo intermedio.

III. Che le Jue tonache sopraccennale sieno affatlo perlinenti al
tessuto sieroso, iiii parve larganiente dimostrato dairesame microsco-
pico (Tavola II. fig. 1.). Lo stesso elcmento celluloso, la stessa intrec-
ciatura delle fila, chc ho descritto in una mia Memoria sulla intima
siruttura delle lonache vascolari; e nelle forti pressioni lo stesso modo
di sfasciarsi di quclla trama per lasciar trasparire qua c la fascetti on-
dulati, sconnessi, come se tendessero a rivelare il primitive elcmento
costruttore. Pero una cellulare unitiva credo tenor congiunte quelle
membrane al tessuto intermedio (fig. 2. A), non come conseguenza di
arte, ma come naturalc legamc principalmente di esso colic arterie;
pill stretia, c piu difficilniente disgrcgata dalla pressione nci soliti fa-
scetti serpcnlini e molli fra esso e la vena.

IV. Ora per isludiare queslo tessuto intermedio, il quale e slrac-
ciabile soltanto in grossi e polposi fascetti, che appaiono opachi ai forti
ingrandimenti, e coi dcboli non lasciano rilevarc 1' interna orditura,
ed c inoltre assai sdrucciolevole solto le compressioni, ho pensato di
limitarnc piccole sezioni trasversali longiludinali ed obblique in im cir-
colelto intagliato a mezzo un picciol disco di carta, che collocai sotto
il compressore di Purkinje. Cosi imprigionalo P oggetlo durante lo

390 SUL FUNICOLO OMBELICALE DEL FETO UMANO

schiacciamcnto vorsava fuori riimore viscldo W aiihoniano, e la carla.
assorbeiulolo, lasciava netta Torganlca ordilura chc lo i*acchiudeva. La
quale, come appcna parve evidente alio sguardo, nioslro una Irania
filamcntosa aflallo diversa dalla ccllulare delle due tonache teste men-
tovatc (fig. 2. B). Perclie i fili mi apparvero disposti in direzione pa-
rallela, sempre in piani molteplici, leggeinienle ondulati, elastici nella
pressione, non ramilioati, pellucidi, senza esscre crislallini c canalifor-
mi, pill crassi c regolari dei cellulosi, lerminati alia eslremita ti'onca
da nioncherino rotondcggiante, die non si sfibra od assoltiglia. Onde
guardalo il niargine del pezzetto si presenlano (utti quei monchei'ini
ad un livello, sormontati da piani diversi di altri simili, tanto piii nu-
niero5;i, quanto meno si stringe la vite del coniprcssore; c per con-
verso nelFalto del disgregarli, coerenii fra loro per guisa da non la-
sciarvi vedere nel mezzo fibrille cellulari inlerpostc. Per la qual cosa
coteslo elemento fibroso mi si offerse assai somiglianle al tessuto con-
tratlilc circonferentc i vasi sanguigni dei grossi animali, ed a quello
dei condolli uterini e deferenti, il quale secondo le indagini dei mo-
dern!, e massimamente di Henle ch'io medesimo ho verificato piu volte,
apparlerrebbe a quell'ordine di fibre che quest' ultimo appella musco-
lari non istrialc, e che formano Tanello di transizione dclla cellulosa
\erso i tessuti capaci di contrazione. La sola differenza nolevole e una
maggiore succosita e pellucidita delle fibre, che starebbe in rapporto
colla natura di tulli i tessuti della eta infantile, paragonati a quelli
di un individuo mature.

\ . Pert) questo tessuto organico, che mi parve sempre essere fonda-
menlale ai corpi erettili c cavernosi, e qui parimenti il fondamento
d'un corpo cavernoso ed eretlile; il quale io non so che altri abbia
inlraveduto, e molto meno dimostrato con prove anatomiche. Iniettando
un giorno una placenta, il cui funicolo era lungo da 16-18 pollici, poi-
che la massa era corsa lungo le arterie, spingendola entro la vena,
(piando pervcnne a certe diramazioni nella placenta, ristagno d'improA-
viso, come suole un liquido caldo e resinoso, quando neirinterno dei
vasi incontra acqua, aria, o coaguli di sangue. Per lo che non rispon-
dendo alio scopo ch' io m'era proposto, avrei rigeltata quella I'ailila

DEL PROF. FRANCESCO CORTESE 301

prcparazionc. se non mi fossi avvcduto spiccare lungo il cordoiie ([ua
<" la plache diniezioiie niicroscopica e capillare. Ondc levato da una
il velamento amniotico per vedere se fosse slravaso, avvertiJ quella
massa essere coercnie e difilala per canaletll chiusi, con intrccciaturc
molto analoghe a quelle degli organi ercllili. E perclie le cose vo-
gllono specialmente essere dimostrate per la via dei confront!, rinno-
vai la iniczionc in iin cordone di allra placenta per giiisa, che la
pressione del fluido lacerasse la vena, e dcterminasse un versamenio
di massa, colla rotlura di tutto il parete ed infiltrazione intcrstiziale
nel tessuto circonfercnte.

VI. La prima iniezione venosa (fig. 3.) ha le forme identiche del
corpo cavernoso dell uretra inicttato per la vena dorsale del penc.
del cjuale possiedo esemplari divcrsi e del tutto dimostrativi (fig. 4.).
Due di quei pezzi, messi a riscontro sotto uguale ingrandimento del
microscopio, si scambicrebbero di leggieri uno per Taltro, nei luoghi
ove il riempimento dei capillar! e delle cclle e riuscito completo. Per-
ciocche ambidue fanno vedere capillar! gross! del diametro di 6 o 7
millesiml di linea (termine medio), cioe il quintupio ainieno dei capil-
lar! degli altri organi, speltant! piu direttamente alPapparalo arterioso.
La loro maniera di ammagliamento e distinta per Tangustia delle aree
in paragone del calibro del vaso generatore; e queste maglie appaiono
niollo spesso formate piu presto da diramazion! subitanee dun capil-
lare, che tendono poco dopo a ricomporre un canale solo, od a sboc-
care in uno vicino, clie non dalle anastomosi retiformi. comuni ai tes-
suti fornit! di adesfuata diramazione arteriosa. Ed oltre cio le detle
vene capillar!, com' e costante nei corp! spugnosi ed ercttili, moslrano
per tutto svolte ed appendic! baccate, quasi diverticoli del vaso, la
dove si nasconde nelle cellule della trama fondanientale; non affatto
simili in latitudine alle bacche cellular! del corpo cavernoso dellure-
Ira, come qucsta le ha piu piccole di quell! del pene; ma rispctto a
forma alFinlutto eguali, ed egualmente sporgenli da! lati del vasellino.
Che anz! la dove manco la iniezione, o s! scorgono empile le cellule
sole, o queste medesime rimaste vuote, nel disseccarsi inturgidirono
per Taria racchiusa, non altrimenti che fanno ! corpi erettil! del pene,

392 SUL FUNICOLO OMBELICALE DEL FETO UMANO

quando si preparano colla iiisul'flazionc, die una delle piu clilare cd
iiileressanli nianiere di dimoslrarnc la conlinuita e la figura. E da ul-
linio, perche nulla mancasse alia dinioslrazionc, nei luoghi lonlani dalla
iniezione, ovc Faria ebbe campo di uscire, il corpo spugnoso disscccan-
dosi si ridussc strelto e mcnibranoso, come Furelra, qnando disseccata
non lascia piu vedcr Iraccia di quel singolare ordimenlo die la cir-
oonda.

\II. Nel cordone onibelicale ovc la materia si stravaso, nessuna ap-
parenza si nolo di quelle forme; perche la materia stessa slraccio il tes-
sufo: 0 completaniente, lino a collocarsi sotio lo strato amniolico al modo
di una sostanza amorfa ed omogenea; o parzialmente, ed ivi si dispose
a stiiscie longitudinali e parallele, occupando i vani lasciati dalle fibrille
distraite, che hanno, come dissi, quellandamenlo medesinio. E solto il
microscopio, nello stalo di fresdiezza del pczzo, quelle strisce apparvero
nude ed irregolari, appunlo perche mancava ad esse una parete orga-
nica, die ne delerminasse la fiiiura.

Mil. Del reslo la maggiore abbondanza c densila di quel tcssulo ca-
vernoso, io la rinvenni fra la vena e le arlerie; in guisa tale, die quesle
ne sarebbero state circondale del tulto nei luoghi ove si ascondono sotto
alia concavita che fanno le curve spirali di quella; e la vena non lo mo-
strava che ai fianchi, percio che, nelle svolte riempiuta e distesa dalla in-
iezione, premeva conlro al corpo spugnoso e ne impediva rinieltaniento.
La qual circoslanza io credo sia causa precipua della estrenia dilflcolta
di conseguire si fatle preparazioni piene e compiule; come non si otter-
rebbero nel corpo spugnoso dell'uretra se il suo canale fosse slato pre-
cedentemente distcso da un liquido qualunque, e tanto meno da uno
coerenle, tenace e distensivo qual e la materia resinosa liquefalla e
calda; come difficilmenle si ottengono altresi con questo processo i
vasa vasonim delle vene in modo da ben conoscerne la capillare ordi-
tura. Per lo che le iniezioni microscopiche ch'io conseguii nelle vene
delFuomo anche di assai mediocre calibro, apparvero come effelli di
una iniezione generale, intantoche il lume del vaso e riniasto vuoto.

IX. S'egli e vero che Ic iniezioni a merciirio, elTettualc dal Fohmann
in questo tessuto del cordone onibelicale, sieno prctti stravasamenii in-

DEL PROF. FRANCESCO CORTESE 393

tcrcelliilarl, com'io medcsimo inclino a credere, Iraggo argomento da
(jiielle a confermare la mia prova anatoniica. Perclie quelle iniezloni si
fanno assai spesso all'azzardo, pungendo il tessuto, ed introducendovi il
beccuccio del tubo: poscia aprcndo il robinetlo, e lasciando che 11 mer-
curio si apra la via pei canalelti che trova patenti. Quanle di queste in-
iezioni fatte a quel modo non devono appartenere anzi alle reti pe-
riferiche sanguigne che alle linfalichc! In alcune opere ricche di ta-
volc io rilevai, coi confronti delle iniezioni capillari culanee del siste-
nia sanguigno da me possedute, i linfatici presenlare la medesima di-
sposizione d'anse e di maglie che a quelli e comune; laddove in fi-
gure di pezzi uguali manifeslano una diramazione ed una orditura to-
talniente diversa. Eppure la identila delle forme vascolari e una delle
prove deir identita degli apparali organici, non solo dello stcsso or-
gano nella stessa classe, nia si anche nolle varie class! degli animali,
almeno riguardo al tipo. Per lo che io sono d' avviso che le iniezioni
del Fohmann, se hanno apparenze ora canaliformi, ora baccate, come
dallessere sembrate stravasi e facile argomenlare, possono essersi fatte
nolle cellule e nei plessi venosi che ho poc'anzi descrilto.

Aspettando pero che altrl confermi con prove anatomiche il falto
della esistenza dl un corpo cavernoso lungo il funicolo ombelicale del
feto, dopo avere descritto e delineato c|uanto mi occorse, io voglio
tuttavia cogliere questa occasione per avvertire, che nel sistema delle
vene si trovano presso animali inferior! esempii chiarissimi d'analoghe
forme cavernose. E gia molto tempo che, esaminando il sistema vasco-
lare di alcuni pesci, io ferniai I'altenzione sulla natura spugnosa delle
vene cave, piu somiglianti in certuni a veri seni che a canali semplici
membranosi; ma nessuna cosa mi colpi maggiormente cjuanto la sin-
golare struttura delle parefi proprie alle vene mesenteriche, efficienti
la vena porta, nella fami^lia degli storioni. In questi animali e per
tutto una estrema dovizia di corpi cavernosi, che costituiscono una
delle piu caratteristiche propriety del loro organisnio. II cuore e foi-
nito di copiose appendici, che uguali alia milza nel colore, nella con-
sistenza, ed in tutti i caratteri anatoniici, formano prima un collare in-
III. 50

394 SUL FUNICOLO OMBELICALE DEL FETO UMANO

torno alia sua base, poscia tre linee discendenti dalla base all'apicc,
e danno alia sua superficic eslerna T immaglne d'una piramide Irian-
golarc. La insufflazione operala per cntro airorccchictta cd al ventri-
colo non lascio scorgere comunicazione fra qucstc cavitfi e quel corpi
spugnosi; mollo meno la iniezione mediante le solile masse: forse per-
che, essendo soggette airinfluenza dci vasi coronarii, e della vena prin-
cipalmente, la sua valvulclta inipedisca renlrala doiraria e delle masse
medesime. Aperlo uno di quei corpetli, e soffiandovi aria, se ne ottiene
un gonfiamento non dissimile da quelle della milza esplorata con analo-
ghi spei'inienli; ma Tarla stessa non trapassa da uno negli altri, per cio
appunto die ciascuno ha, rispelto allc sue cclle, una indipendenza cer-
tlssima dal suo vicino. Eppure io ripelei quelFesame sovra eseniplari
che aAevano la mole dun cuore di baml)ino, e speltavano ad indivi-
dui di un metro e mezzo di lunghezza. Tullo il canal digerenlc di
questi animali, dislinto per la grande densila delle pareti, (che giun-
gono negli individui della della misura a 3 buone linee neirinlcslino,
e quasi a 6 nello slomaco) niostra un lessuto polposo, il quale sfa-
scialo dal coltello anatomico si risolve in uno stralo densissimo di fi-
bre muscolari intricate c robusle, intercettanli degli spazii intersliziali oc-
cupali da vasi, e circonferentc alia piu elegante mucosa. La quale per
Lordimento relicolare delle fibre carnose, imitante quello del cuore e
dei vasi sottogiacenti, s'infossa in cellule ample e concamcrate (fig. i>.A),
ripetendo in dimensioni assai gigantesche le glandule muciparc del-
Fumana mucosa ulerina e vaginalc. II pancreas, che in nessun' altra
specie zoologica si manifesta forse piu chiaramenle un' appendice in-
troflessa del tubo alimenlare, ci offre con poche modificazioni la niede-
sima tessitura e la stessa qualila di prodolli viscosi e gelatinlformi,
di cui tutta quella singolare mucosa e una sorgente quasi inesausla.
Ma cio che non puo rivelare il coltello, rivela con una assoluta evi-
denza la prova delle iniezioni, cioe la strultura cavernosa di quellap-
parato. Di dentro e una rete magliata olegantissima c condcnsata, che
alTaspetto di grandi alveoli, dato dalle infinite glandule, aggiunge quello
di alveoli microscopici formati dalle maglie dei vasi (fig. 6. B), Solto
a questo sta un fondamento di grosse vene ammagliale al modo pre-

DEL PROF. FRANCESCO CORTESE 39 5

ciso del corpi cavernosl, colle idenliche svoltc e celle e diverticoll,
proprii a quel tessull nciriiomo (fig. 6.); il quale piu rarefatio alFin-
tcrno, piu filto di fuori, lascia Irascorrere in mezzo le arteriuzze de-
stinale a nulrire Tapparato muscoloso e niuciparo, c riceve il sangue
per mezzo dei fori capillari. Laonde guardalo di fuori I'inteslino pre-
senla una maglia vascolare quadrigliata cir e un caratlere dellc tele
muscolose a due ordini di fascetti die si decussano nel loro tragitlo.
Finalmente perche nulla manclii alia dimoslrazione, le stesse pareli
dei tronchi mesenterici si scorgono dotate del tessulo medesimo. Le
vene mesenteriche scoirono in qucsti animali immedesimate col parete
deirintes(ino in quel suo tratto verlicale, che rapprescnlerebbe il nostro
intestine crasso. Poscia il canal digerente, fatta una grande curva, quasi
di un ccrcliio complelo, viensi solto le condizioni d' intestine tenue a
congiungerc alio stomaco, abbracciando e riquadrando con essa il corpo
glandulare del pancreas. Dal principio di quella curva fmo al fegato i
tronchi mesenterici si slaccano dal parete inteslinale, e decorrono isolali
lino addeniro alia sostanza del fegato stesso, componcndo cosi colle con-
fluenze de' rami pancreatici e gastrici, essi pure isolati, il tronco della
vena porta. Nel principio di questo libero decorso la vena mesenterica
trapassa per un corpo vascolare spugnoso, seguito da altre frangie e
lembi niinori che costituiscono la niilza. Ora che quesle vene manife-
stino pareli crasse, polposc, simill alle intestinali, finche alF intestine me-
desimo sono connaturate, potrebbesi derivarlo da questo, anziche da or-
ganizzazione lor propria. Ma il crescere la dcnsila di quel parete ap-
punto cola dove sono libere, non attaccate neppure da falde o lamine
membranose, dimoslra che si fatta slrultura e ad esse congenita e ne-
cessaria. Pertanto quelle pareli nolle ben riuscile iniezioni si circon-
dano d'una bellissima ordilura vascolare, similissima a quella dei les-
suti erellili e cavernosi (fig. 7. B). L'esterna rele rivela, per la for-
ma delle sue maglie, la natura sierosa del velamenlo periloneale del
vaso. Fra questo e la tonaca interna, i vaseliini capillari assumono le
forme costanti dei plessi cavernosi j)iii volte accennati ( fig. 7. A ) ,
con la sola difl'erenza di un minor dianietro relalivo alia forza e den-
sita del parele. E tale loro apparenza e cosi uguale a quella dei corpi

396 SUL FUNICOLO OMBELICALE DEL FETO UMANO

splcnici pci quali il tronco trapassa, die questi potrebbcro dirsi ef-
florcscenze e svolgiinenli del tessulo inlerniedio del parcle venoso.
Aprendo il vaso per liingo, e guardatonc col niicroscopio rinlima lonaca,
la si ravvisa nelle vene non inieltate tiilla seminala dl pcrlugii, che sono
orificli di infinite diraniazioni; le quali, nei pezzi mediocremente inicl-
tali, si vedono risolversi in cespuglielti cbe ricamano ad isole le lonache
circonferenli; e dove Tiniezione fii piena, appaiono converlile nella delta
tela plessifornie, che quei vasellini a cespuglio lianno conipita coUe in-
finite loro anastomosi. Dalle accennale dimostrazioni si Irae una dedu-
zione chiara ed incontrovertibile: die il sangue scorrente lungo il cave
del vaso, esce da alcune di quelle aperture, circola pei plessi delle pa-
I'eti, e rienlra per altre nell'alveo primitive.

Ora volendo indagare le ragioni di questa interessanle costruttura.
per applicarle al nostro subbietto, io non saprei trovarne che due,
cioe il bisogno d'una forza inipellente, e la necessita di una elabora-
zione del sangue.

Rispetto alia prima non e clii non sappia die nei pesci la grande
clroolazione e del tutto estranea alia diretta influenza del cuore. II san-
gue spinto dal cuore per Farleria branchiale negli organi respiratorii,
e di la per le radici delle arterie, costituenti gli archi aorlici, all' aorta;
da ultimo da questa alia cava, si trova in essa lontano dalla azione
cardiaca per T intermezzo di due sistemi capillari. Ed e tanto piii de-
gno di osservazione un tal fatlo, quantoche I'aorta, fragile assai nella sua
tessitura, spesse volte, come nello slorione, nei luccio ecc, incanalata in
apposila doccia delle vertebre, e percio presumibilmenle in condizioni
assai sfavorevoli ad esercitare una energica azione sulla corrente sangui-
gna. Per la qual cosa la natura ha sopperito con altri modi a intraltenere
la velocita della corrente, massinie lungo le vene della grande circola-
zione: e la recente scoperta dei seni caudali venosi c pulsanti delle an-
guille ne farebbe testimonianza; come i cuori liniatici dei rettili la fanno
rispetto al proprio sistema. Cosi io credo abbaslanza dimoslrato dal fatto
anatomico, mediante questa particolare struttura delle pareti delle vene
mesenteriche spcttanti alio storione, esisterc in quei vasi una forza

DEL PROF. FRANCESCO CORTESE 397

impcllente, tanto piu neccssaria, quanlo die al rifliisso del sangue si
aggiunge per esse una nuova dislribuzione perlferica, neccssaria alia
secrezione di abbondanti succhi biliari. Lo che, se fin ora vale rispelto
agli slorioni, potra in appresso confermarsi coiresame di allre famiglie
di pcsci.

Sul fondamento di queste circostanze anatomiche io credo mollo
probabile, che la vena ombelicale lungo il funicolo possegga, conic nella
strntlura, cosi anclie nelle funzioni iiiolla analogia coi dctii vasi ve-
nosi. Quantunque essa rispelto al cuore si trovi in quei rapporti iiie-
desinii che sono coniuni a lutte le altre venc del felo, e nondinieno
assai degna di osservazione la lunghezza del funicolo slesso, che ob-
bliga le arterie ad una Irasiiiissione niolto lontana del sangue; poscia
la loro dislribuzione per un organo vaslo com' e la placenta; e la ler-
niinazione dei loro surcoli in capillari lenuissinii, che si aggoniilolano
intorno ai fiocchi placcnlali sulle grosse celle venose che ne occupano
il ccnlro. Le quali circostanze congiunte ad un continuo anastoiiiizzarsi
delle vene periferiche, die secondo le diligenli osservazioni del Weber
forniano le stesse intreccialure, gli stessi diverticoli e saccoccie, che
sono proprii ai corpi eretlili e cavernosi, cosliluirebbero al certo una
concorrenza notevole di cause ritardatrici della circolazione. Ed essendo
per converso, alnieno del terniine della vita intra uterina, molto ener-
gica la virtu pulsante del funicolo, anzi direbbesi superiore alia por-
tata delle due arterie per la quale, neiratto della sua recisione, il vuo-
laniento della vena suol farsi senipre con un getto inipetuoso e lon-
lano, e giustificata la idea d'una singolare e veranicnte grande toni-
cila delle sue pareti.

La seconda rasione, die accenna allufficio sanifuificatore delle vene
in quegli aniniali, si fonda singolarmente sulla niancanza dun appa-
ralo linfatico. Iiiiperciocche e manifesto oggidi dalle belle osservazioni
deir Hewson e del Tiedcmann, che la niilza e un organo niolto ana-
logo alle glandule linfaliche del mesenterio, tanto anzi alle stesse cor-
rispondente d'ufficii, die THuschke ardi considerarlo come il ganglio
linfatico dello slomaco. La quale sentenza se pur si volesse tacciarla
d'esagerazione, varrcbbero a confermarne Tidea generate associata a

398 SUL FUNIGOLO OMBELICALE DEL FETO UMANO

qiieirorgano, Ic sporienzc del Meyer e deirHyrll, recentemente fatte
sui coni^li col mezzo della sua eslirpazione . In seguito alle quali si
sono vcdule le superiori glandule del mesenterio tumefalte e conver-
tite In una niassa spugnosa e cavernosa, colic apparcnze tutte chc alia
milza sono pertinenli. Lo die conduce quasi sponlaneamenle alia
giusta illazione, d'una grande concordanza negli ul'ficii di quelle due
forme orijaniche per la quale tendono sempre a sostiluirsi fra loro
al comune scopo della assimilazione del sangue. Per la qual cosa
se neU'uomo e negli animali superiori e pur molto abbondante la co-
pia di questi corpi venosi, malgrado la esistenza dell' apparato linfa-
lico, inaggiore forse die alPaspello generale non paia e merit e vole anzi
d'ulteriori illuslrazioni, esso deve egualmente abbondarc in quelle classi
zoologiche ove son essi dopo I'organo respiratorio Tunico mezzo san-
guificalore. 11 percbe e spiegalo come negli storioni, e cosl forse in
tulti i pesci, sieno organi assorbenti ed elaboratori le tonaclie intesti-
nali, cd oltre quesle i corpi spugnosi inserili a modo di milza lungo
il tragiUo delle veue refluenli dagrinteslini; e le slesse tonache delle
vene medesime, e quelle perfino delle grosse vene spetlanti alia grande
circolazlonc come lio recentemente osservato nelle cave del Zeun Fa-
ber {San Plero volg.), organi questi, io diceva, assorbenti il succo ali-
mentare, ed assimilatori del medesimo dentro lo stcsso alveo sangui-
gno; perclie io non so che sieno state scoperte in quegli animali al-
Ire vie conduttrici del chilo nel torrente della circolazione, tranne le
vene medesime. La qual verita conferma una legge proclamata ulti-
mamcnte dal genio osservatore del Milne Edwards die si traduce cosi:
la deyvadazione dei tipi zooloyici sostanzialmenle dipende dall'accumu-
lamenlo crescente delle funzioni dn^erse sot*« un solo e medesimo or-
(jano.

Ora la placenta, organo teniporario del feto, T ultimo forse die
segni il parallelismo dell'essere umano cogli animali inferiori, durante
gli stadii prodigiosi del suo sviluppo, c uno di quegli organi di cui
appunto e questione. E queir organo, essendo in relazione intinia coi
vasi uterini, non certamente per continuita di canale, com' e ormai
provato da moiti modi di esperienze, nia per sola contiguila di pa-

DEL PROF. FRANCESCO CORTESE 399

roll vascolari, non ha circoscritte le sue funzloni allunico oggelto d'in-
trudurrc ncl sanguc del felo i soli principii, clic piu tardi e dopo Tuscita
dair utero gli entrano per la via del polmoni. Perciocche oltre alia
deficicnza della respirazione e combinala in quello anche la dcficienza
della digestione, altro, e piu potcnte forsc, alio sanguificalorc. Ondo
i principii che dall utero sono Irasniessi airembrione per la via della
placenla, devono di necessila provvedere ad anibedue quelle fonli di
vila e d'incremenlo; c quesli principii coauinque elaborali dalla ma-
dre, abbisognano sempre d'una speciale elaborazione dei vasi che piu
direllamenle si aspellano al felo. E la slrultura spugnosa della pla-
cenla, analoga aflallo a quella della niilza, e prova d'una analogia di
funzioni sanguificatrici; le quali cessano allora sollanlo che, per la coni-
plela formazione degli apparali digeslivo e respiralorio, lorgano tem-
porario si rcnde straniero airorganismo delPindividuo; rinianendo in
lui altivi alia medesima foggia, quclli che in lui erano foggiali sul
medesimo lipo; ma d'un'allivila secondaria e come accessoria ai grandi
apparecclii primarii. Ed io concepisco di leggicri come cjuella elabora-
zione del sangue nella placenla possa conlinuare lungo il funicolo fine
al suo ingresso nel corpo del felo. Stanteche la natura che si approf-
fitta d'ogni cosa, non avrebbe fallo quel lungo tralcio col solo inlen-
dimento di mantenere una semplice comunicazione lontana fra il felo
e la placenla; come neppure voile che fra il leslicolo e la vescichelta
fosse un semplice condoUo di Irasmissione; ma lo lorse ed avvollolo
in se medesimo alia sua origine; poi nel Iralto finale ancora lo dis-
semino di diverlicoli e celle, perche in quel Iragilto vieppiu si ela-
borasse lo sperma.

Per tulle queste considerazioni io sono indotto a concludere che
la slrultura da me annunziala del funicolo ombelicale, quanlimque ap-
poggiata a prove maleriali, che non otlennero ancora ulteriore con-
ferma, sia una realla anatomica, la quale completa la storia d'un or-
gano Iransitorio della vita umana, da cui essa principalmenle deriva.
e che nondimeno in quesli ultimi anni soltanto fu soggelfo di studii
frultuosi ed efficaci.

(Letta il 21 Fehbraio 1847)

SPIEGAZIONE DELLE FIGURE

Fig. 1. Fibre cellulari coniponenti la nieinbrana araniolica del ftuiieolo ombelicale del fcto
mature (Diani. 4 97). La loro disposizione e nalura e simile affatto a qiiclla delle membrane
sierose.

Fig. 2. La delta lonaea sicrosa e atlaccata con fila di prelta cellulosa (A) alio slrato pii'i
tenace (B) elie forma la trama del tessuto cavernoso del ftmicolo. Gli dementi analomici di
questo tessuto mi si presenlarono analoghi alle tonache dei tessati contrattili, che nel punlo della
eccisione rimangono succose, unite, senza tendenza a sfilarsi, ed elastiehe sotto la compressione
(Diam. 197).

Fig. 3. — Diametri 30 — Distribuzione periferica delle vene diran)ate nel tessuto caver-
noso del funicolo. Presentano tronchi brevi. ritorti, frequentemente anastomizzati, con dilata-
zioni baccate ed intercettanti aree ristrettissime, essendo per eonverso cospicuo il lume del
vaso. Questa forma e idenlica alia seguente.

Fig. 4. Corpo cavernoso deH'urelra umana maschile. iniettato e ingrandito a 30 diame-
tri. In B si ^uole rappresentare il detto tessuto spoglialo della tonaea mucosa uretrale, della
quale si veggono in A le tenui reticelle ammagliate al modo delle mucose

Fig. 5. A. Aspetto della mucosa dell'intestino proprio ad uno storione lungo un metro e
c. 20, ingrandita tre volte, (a) Seni mucosi approfondati nel tessuto cavernoso, e formanli
concamerazioni minori, comunicanti fra loro, ed aperte in un rieettacolo comunc. di cui la ma-
glia superficiale e I'orificio. Nella sezione vertieale del parete deirinteslino (6) si scorgono quei
seni spaccati, il cui fondo si nasconde nello strato (c) delle fibre contrattili e carnose che ren-
dono molto crassa la parte medesima.

Fig. 5. B. La medesima ligura vista a Diam. 30 dopo I'iniezione dei vasi. L'apertura dei
seni mucosi e limitata da creste prominent!, su cui i vasellini sanguigni s'amniagliano al modo
stesso che nella memlirana analoga del crasso intestine dell'uomo. Questa apparenza si ripete
nel fondo delle cripte a rispetto ai minori scomiiartimenli. Qua e la si rav\isano rudimenti d'ause
vascolose b.

Fig. 6. Plesso cavernoso del medesimo intestine, sottostanic alia mucosa. I \asi di que-
sto plesso molto grossi si scorgono ordinati al mode notato nelle fig. 3. e 4, e formane iden-
tiche anastomosi e saccoccie A. Sopra di questi si distribuisce una seconda tela di vasi minori
che generano la rete capillare della mucosa B. Sono incerto se questi sieno piu presto capillaii

in. 51

402 SUL FUMCOLO OMBELICALE DEL FETO U.MAXO

arleriosi. che si searichino poi nelle vene sotloposte. come si osserva in liilti i corpi cavcr-
nosi (Diani. 30).

Fig. 7. Struttui-a vascolosa delle lonache proprie alle vene mesenteriche dello storione.
Qui pure si scorge una distribuzione analoga al parete intestinale. dopoche vi si e detratto

10 strato mucoso: =A rappresenta il plesso eavernoso della tonaea media della vena, rico-
perto da sottili vasellini deila sierosa interna, in qualche luogo venuti inielfati a. a-.— B dimo-
stra lo strato sieroso esterno che in\iluppa il plesso ca%ernoso. e che appare analogo airesterno
indunieuto dello stesso inteslino. Perciocche le xene sono incanalate e connaturate quasi con
questo nel lessulo proprio air intestino . e se ne rendono indipendenti soltanlo nella grande
ansa che fa la sua porzione superiore. assumendo allora rapporti con produzioni spugnose so-
miglianti alia milza. Questa tela vascolare esterna e conforme ai plessi delle membrane sie-
rose (Diam. 30).

Fig. 8. Tronchetlo di una vena mediocre intestinale dello storione del diametro naturale
di mill. 3. ingi-andito 30 volte. I vasi di questo calibro hanno il plesso eavernoso poco svi-
luppato a pai-agone dei piii grossi che vanno a comporre il troneo deila porta, rapprcsentati
nella fig. 7. Aprendo uno di questi vasellini in cui la iniezione sia medioeremente riuscita. si
.*corge intei-amente mia serie infinita di punti rossi che sono i confluenti di ramicelli desti-
uati a somministrare le maalie %ascolose della parete. Questi ramicelli formano dei piccioli ce-
spugli A che sarebbero i capillari piii grossi riempiuti dalla niassa d' iniezione. Do\e questa e
andata piii avanti si \edono quel cespugli fusi in una rele generate, specialmente %isibile in P.

11 tronco della vena porta epatica presenta la stessa nioltitudine di punti rossi: ed i cespugli
Nascolari \anno a comporre gli acinetti epafici. che stanno strettamente attaccati all' esterno
parete del \aso.

DELIA FORZA I MAX A

DISCORSO

DEL IX)TT. GIUSEPPE BIANCHETTI

-<«!Se^

I.

\/iiando il filosofo pronunzia quesla paj'ola di forza. sia die I ap-
pliclii ad una cosa scnsibile o non scnsibile. niuno gli domandi (juel
oil egli intcnda per forza: poiche de" modi e degli efletti di essa ei
polra bene talvolla discorrere: ma lanio gli e dale di definirla, quanto
di conoscerc la vera essenza delle cose sensibili o non sensibili. vale
a (lire, non sli c dato in alcuna iiuisa. E nuiladimeno non puo evi-
laro di rappresentarsi ogni cosa qual una forza: menlre, dall islanle
ciio (|uesto concepimenlo gli sfucgisse per rispetto ad una cosa qual-
nn(jue. la cosa medesima cesserebbe di esistere per lui. Quindi egli
si rapprescnta Dio come una forza. la forza suprema. I'univcrso co-
me una forza. il pianeta die abitiamo come una forza. i monfi. i ve-
gelabili. le acque. gli animali come altrellante forze. ogni minuzia,
ogni alonio. in breve, come una forza.

II

Or luomoi del pari che tutte le cose, non e concepibile che co-
me una forza. Ma nel solo uomo. fra tultc le cose, la forza si scorge
operare in tre modi diversi, assumere tre diversi aspelti: tanlo diversi.

404 BELLA FORZA mLVNA

che si potrebboro duaniare Ire forzc. Egli ba la forza del braccio, o
sia la forza fislca; la forza del pcnsicro, o sia la forza della menle;
la forza del senliinento, o vogliam dire la forza dclPaniiiio. Dl quesli
tre modi ne' quali si manifesla quella forza clie coslituiscc V essere
iimano, o, se cosi meglio aggrada, di qxieste tre forze che compon-
gono ciascuno di qiiegli enti che diciamo uoniini, niiina puo sliniarsi
ne piu iilile, ne migliore, ne piu necessaria delTaltra. L'liomo gia
egli s(esso in parte materia, e tutto oircondalo dalla materia, ha me-
slieri di valersene incessanlemente, e di supcrare non meno inccssan-
temente gll ostacoli cli'essa mcdcsima gli oppone: or come farebbelo
senza quel modo della sua forza che si dispiega nel corpo? L'uomo
innalzato al di sopra deH'islinto, in bali'a della sua propria direzione,
bisognoso di procedere sempre coUe regole ciregli diede a se me-
desimo; in qual guisa lo potrebbe senza mettersi e continuare nel pos-
sess© di molte e svariate cognizioni? ed in qual guisa gli saria con-
ceduto di mettersi in questo e continuarlo senza quel modo della sua
forza che si dispiega nel pensiero? L'uomo, in fine, Irovandosi in mezzo
ad uno sterminalo numero di forze della stessa natura della sua pro-
pria, e ad un numero ancora piii sterminato d'altre di natura diversa,
e pero ad una moltitudine immensa di accidenti che gli si possono
attraversare, che possono offenderlo in mille modi; Tuomo capace di
gioia, e quindi per equo compenso di dolore; Tuomo capace di poter
operare il bene, e quindi per equo con)penso di commetlere il male;
come potrebbe aver il coraggio di prevenire od allontanar i dolori,
come di vincerli, come di tollcrarli almeno; come potrebbe aver quello
di fuggire dalFingiuslo piacente per abbracciare il giuslo disaggrade-
vole, senza quel modo della sua forza che si dispiega nelfanimo?

Ciascuno di questi modi, ripeto, non e meno utile, ne men neces-
sario che Taltro; e pero si trovano fino ad un certo grado lutti e tre
in ogni uomo; poichc chi mancasse per intlero o dell' uno o delFaltro,
gia sarebbe al di sopra, o al di sotto deH'uomo stesso. E quegli nel
quale ciascuno dcgli accennati modi fosse innalzato alia maggior ele-
vatezza jiossibile, e tutti e Ire si trovassero in un perfelto e coslante
accordo tra di loro, rappresenterebbe veramente il tipo della specie

DEL DOTT. GIUSEPPE BIANCHETTI 405

uinana. Ma queslo tipo non e che neiridca; idea cosi purameiUe spe-
oulativa, cosi supcriore a quanto vediamo, che gli anlichi si dispostissimi
com'erano ad ingrandire, ad esaltare la nostra naliira, non elibero
ai'dinicnto di poria in elTeUo nc pur colla fantasia. INella lunga schiera
de' loro croi, vale a dire di fjiielli die furono in parte ed in parte
si figuravano tanto soprastanti a tutto il rimanente degli allri da de-
stinarli allonor degli altari, non ve nc iia alcuno che rappresentas-
sero fortissimo ad un tempo in tutti e tre i modi della forza umana.
Quanta forza di pensiero trovasi, per esempio, neirinimagine che han
creata di Ercolc o di Tcseo? quanta danimo in quclla di Dedalo o
di Orfeo?

A darsi il degno spettacolo di vedere sviluppata in lulta la sua
interezza la forza umana e mcslieri di osservaria in piu uomini ad
un tempo, e meglio ancora in uno di quegli aggregati che concepia-
mo pure come altrettante forze, ed alle quali imponemmo il nome
di popoli 0 di nazioni. Poiche, siccome in queste, a costituire cio
che da ad esse la vita e la forma, un modo della forza e specialmente
richiesto ad una classe d'individui, e I'altro ad un'altra, ed il terzo
ad unaltra ancora; cosi ciascuno di essi modi puo agevolmente con-
dursi alia piu grande elevatezza possibile; e quindi, armonizzandosi
in un giuslo accordo fra di loro, portare la forza umana, considerata
nel complesso di un popolo o di una nazione, portarla al sommo grado
a cul puo giungere. Ma quando la si consideri in un solo individuo,
si trova che il procedere oltre alFusato, lo svilupparsi notabilmente
di uno de' suoi modi pone, e dee por di necessila oslacolo al mag-
gior procedimento di un altro. Quel soverchio di vigore che taluno
si adopera di dare alia potenza od alF industria del corpo, cioe alia
forza fisica, gli e mestierl di toglierlo a quella del pensiero; ed il
maggior vigore che un altro cerca dMmprimere in questa non puo es-
sere che non lo impedisca nella fisica, ed anco piii o meno in quclla
deiranirao. Evidentemente Tidea della forza umana al grado in cui la
possiamo concepire, non puo essere rappresentata per intiero da al-
cun uomo in particolare: e vada pure dove sa andar I'arroganza in-
dlviduale, e gonfi pure quanto sa gonfiar sue vele ladulazione, niun

406 DELLA FORZA UMANA

iioino e stalo, o sara niai, o potra inai essere rescmplare della no-
stra specie.

III.

II massimo numero degli uoniini sono passali e passano via so-
pra la terra con tale un grado di forza sia nel corpo, sia nel pensiero,
sia nelFanimo, con tale un respeltivo Irovarsi Ira questi tre modi della
lorza slcssa, clie non chiania, perche non merita, alcuna attenzione;
nienlre, un poco piii un poco meno, non e che il consueto a vedersi
nella natura uniana, e cio che gia si osserva costantemcnte negli ac-
cidenli della vita naturale c civile deiruomo. Onde, pel massimo nu-
mero, non vi ha chi si prenda la briga d'investigare il quanto della
lorza, ed il come de' modi suoi. E se pure, in causa di particolari
motivi, vi e chi 1 faccia in un caso o neiraltro, e tutto un affare in-
dividuale o di famiglia o di municipio; niuno degnerebbe tenerne re-
gistro; e ben toslo se ne dilegua ogni ricordanza. Ma quando in un
uorao o I'uno o I'altro dei modi della forza si dispiega assai oltre al-
I'ordinario, ecco tanti intesi ad osservare altentamcnie e il grado di
essa, e in qual relazione si trovino in lui, con quel modo della lorza
che manifestasi si elevato, gli altri due i quali non vi appariscono tanto:
ecco alcuni che prendono in mano la penna, gia apparecchiati a ren-
derne perpetua la memoria.

Cio avviene della forza del pensiero e di quella dclPanimo consi-
derate in tutti gli aspetti loro; ma della forza fisica particolarmenle,
anzi unicamentc, quando si manifesli in istraordinaria guisa sotto Tuna
() Fallra di quelle sue svariale forme che diciamo industria, o pure
anco talvolta sollo quella forma cui diamo il nome di bellezza. Poi-
che una tal forza, presa nel suo piu rigoroso significato come forza
meccanica e muscolare, soslenitrice di mirabili fatiche od ofl'cse ma-
teriali, operatrice di portentosi effetti nella materia, oggi non la si co-
nosce quasi piu di alcuna importanza che sia degna di nota negl'indi-
vidui; non la si stima mcrilevole d' attenzione se non prendendola ad
osservare in quegli aggregati di forze umane che diciamo nazioni. Ed

DEL DOTT. GIUSEPPE BIANCIIETTI ^OT

anc'o in questo, oh qiianlo diminulla, oh qiianto svisata da quelle tante
arti che abbiamo sapulo Irovare per isceniarle Teffioacia! Pindaro, se
risorgesse, o dovria darsi allri inotivi di canto, o dannare ad un quasi
perpetuo silenzio la sua niusa; perche dove Iroverebbe ora que' sog-
getli ch'egli amava sopra tuUo di canlare? Qual poeta, e fosse pur
anco valenle come Omero, e cantasse pur anco di guerre come Omero.
qual poeta non si esporrebbe oggi a passare almeno per islrano se,
come Omero, non disegnasse i suoi eroi che da una o piu qualita
distinte del loro corpo? Or moltissimi, non dubito, si ammirano che
il piu venerabile di tutti i libri, volcndo abbassare la divinita alia
nostra intelligenza, abbia prescello di darcenc un'idea col trarne so-
pra tutto i colori dalla forza fisica, e rappresentassela grande nelle
forme, terribile negli sguardi, col braccio disteso, con la mano ferma
e robusta. E certo ridiamo tutti, o quasi tulli, di quanto ci apparisce
come una semplicita in quei popoli i quali, essendosi volti al crislia-
nesimo, infrante od atterrate le immagini della lor prima religione.
ricusarono di fare allrcttanlo per quella di Ercole; e non ravrebbero
fatto, ove non fosse stato lor detto, ed essi non avessero creduto che
il nuovo culto darebbe loro da adorare un santo die valeva per sei Er-
coli. Koi abbiamo degli Ercoli da teairo, o piultoslo li abbiamo avuti.
poichc anche di quesle sccniche rapprcsentazioni della forza muscolare
ci siamo presto stancati, e n'e quasi passata la moda. Sarei hi per dire
che i noslri circhi sieno gli slabilimenti dei bagni, i nosiri maestri in
ginnastica i medici, i nostri dircttori gli speziali, i nostri esercizii cor-
]>orei i farmachi. In Ispagna rimangono tultavia nelFamor della nazionc
certi spettacoli che rcndono qualche immagine a quelli de' vecchi Ro-
niani. Ed ecco una turba di scriltori, intitolantisi umanikirii^ che si sfia-
tano di gridare alia barbarie. Sara barbarie; ma se quegli spettacoli in-
duriscono, non corrompono. lo sono con chi diceva teste in Francia:
Non v'ha amante di buon senno, il quale non preferisse cento volte di
veder la sua donna ad assistere alle solcnnita del circo spagnuolo. piut-
loslo che a quelle commedie semisciocche, semioscene, dove le nostre
gran dame vanno a perdere, non la pieta, ma il pudore e Taltezza del-
Tanima. Rese inulili tante opere delKuomo nelle arti drlla guerra. una

408 DELLA FORZA UMANA

lullavia ce ne reslava per anco d'intaUa, la potenza d'indurare la fa-
tica di pronle c lunglie niarcie; polenza per cui tutli sappiamo quanto
andassero lodalisslme le soldatesche del magno guerriero. Ma or ecco
clic dclle masse enormi di soldali polranno d'ora innanzi Irascorrere
da un eslremo allallro deU'Europa senza far iiso di lor gambe, e piu
die abbastanza difcsi dalle vicissiludini ainiosferiche, dalle intemperie
dclle slagioni e dei cliini. lo sono ben lungi, liingi assai, dalFidea di
voler denigrare in akun niodo quel die si dice, ed c in latlo, progresso
del secolo: accenno solo i niolivi pei quali la forza fisica individuale nel-
Fuomo e andata, e va ognor piu, e deve andare scadendo da quel pre-
gio in cui era lenula, e doveva esserlo, dagli anlichi.

Quand'essa si pieghi a svilupparsi in uno straordinario ingegno
delle niani, T aniniirianio, conic dissi, grandcmente lullavia; e ne ab-
biani ben d'ondc; perche ai piu facili a conipiacersi come Tuomo valga
oggi a provvedere a niolli de' suoi bisogni, valga a soddisfare a niolli
de' suoi gusli con non allra falica che quella di dare o regolare il
niolo agli agcnii da lui arlificiosamenle disposli, affinche producano
un lale o lal allro elTelto; a quesli pure dec apparire niollo chiara
rimpossibilila che venga mai un giorno in cui Topcra della forza pu-
ramenle meccanica possa sosliluirsi in tante cose, e delle piu impor-
lanli, a quella della forza nmana, animata com'e dalla scinlilla della
vila, e direlta daircseniplarc dell' idea. E dalFallro canto, devono pur
eglino ben conoscere quauli inolivi rendano soinmamcnle raro, e pero
sommamenle pregevole il poU.'r alluarsi della forza uniana in uno stra-
ordinario incciino delle mani.

Anche quandessa si nianifesli in queirarnionica disposizione del
corpo cui dianio il noiiie tli bellezza, anche allora cerlo andiamo com-
presi da non so qual sentiniento misto di maraviglia e d'aniore. Ma
quanto diverso da qucllo degli anlichi! quanto individuale! quanlo po-
verol quanlo nieschino, quanto ineflicace in confronlo del loro ch'era
si palese, si solennc, si pubblico, si nazionalc, si religioso! L'altare
della forma uniana e oniai atlerrato. Invano si provarono a commet-
terne qualche pieira in onore della bellezza femniinilc i cavalieri dei
mezzo lempo. Ogni popolo della moderna Europa si vergognerebbe

DEL DOTT. GIUSEPPE BIANCHETTI 409

oggl di quel canli e di quelle slorlc di cui tanlo compiaccvansi i Greci,
e chc narravano i loro lunglii esilii, le conlinuate fallche, le iniuime-
revoli morli soslcniitc non per altro chc per il possesso di una bclla
donna. Abbiamo torto? abbiamo ragione?... lo nol decido; e ne pur
cerco crinvesligarc le cagioni di si fafto nuilamenlo, che tengono, come
ben vedete, le loro radici in quelle del cambialo modo di civilla.

IV.

Ma quesla pero non e si trasformala, e gia ne per potcnza di
speculazioni, ne per quella d'iiuniagini o di credenze diverse, ne per
quella di nuovi trovati si potra Irasformar mai cotanlo che Taspello
della forza fisica, se non osservata separatamcnle negl individui, ne
quali, ripelo, e scaduta oggi quasi affalto di pregio, considerandola
complessivamente ne' popoli, e quale i popoli possono ancora moslrarla,
non tenga per anco nel giudizio de' savii Tallo grado che dee tener
tra gli aspetti della forza umana. Tanlo alto, che quantunque la forza
del pensiero e quella deUanimo possano bene spiegarsi, e gia siensi
vedute spiegale non di rado in uomini che forniavano parte di po-
poli non forti ; nuUadinieno, in un certo nuniero d' individui, e ad una
certa energia non comparvero mai che Ira' popoli forli. Vedete quanto
povera di cuori generosi e d'intelletti potenti non divenga la storia
della Grecia, che n'era pur si ricca e Iraboccante, non divenga, io
dico, da quel tempo che la Grecia ando solto il giogo de'Romanil e
quanlo poscia non la troviamo sempre piii povera, sempre piu gretta
e meschina! E quella de' Romani stessi che ci da in clevatezza, in
eslensione, in potcnza d'idee, che in nobilla, che in vigore di senli-
menli da quand'eglino furono costrelli a riporre le fino allora invilte
spade, ed a cedere alia maggior forza fisica dei popoli del selten-
trione? Chi voglia andar invesligando le cagioni di quesla corrispon-
denza tra la delta forza nei popoli c quella del pensiero e dell'animo
negl' individui, avra materia non mcno alia che abbondanle, e nienle
difficile ad cssere agitata. Gia Machiavelli, ne' suoi Biscorsi^ ha piu
volte detto e ripetuto, anzi ha fallo meglio che dirlo e ripelerlo., egli
III. 52

410 DELLA FORZA UMANA

ha provato die la buona milizia e il fondamenlo di luUl gli stati; e
dove quesla non sia, non possono essere, dic'egli, ne Icggi buone, ne
alcun'altra cosa buona.

Le lodi della pace sono in tulle le bocche, materia di versi^ ma-
teria di prose; tenia caro alle scuole e alle accademie; e degno di
esser caro alle scuole e alle accademie non meno che a tutli gli uo-
mini: poiclie qual e che Irovi difficolla a fare, o non oda volenlieri
il panegirico di cosa che si presenta in si leggiadro ed amabil modo,
che produce tanti beni si manifesti e presenli, coni'e la pace; ed an-
cor piu se pongasi a riscontro del suo conlrario; dico di quelFaltra
cosa che si affaccia sotto forme si brulle, si paurose, tulla lacera le
vesti, tulla lorda di sangue, che nianda gridi si tremendi, che cagiona
si orribili disastri, come la guerra? E bene: il filosofo che non tanto
si lascia porlar via dai casi di un individuo o di alcuni individui, di
una famiglia o di alcune famiglie, di un paese o d' alcuni paesi, d'una
provincia o di alcune provincie; non tanto, io dico, die non abbia la
potenza di tenere sollevata la mentc al complesso delle genti e dei
popoli, per meltcrsi sotto gli occhi lo spcltacolo deirintero genere
umano; il filosofo che puo soverchiare il parlicolare per inollrarsi nel-
r universale, la cronaca per andare nella storia, il vicino per correre
nel lontano, il presente per relrocedere nel passalo o per ispingersi
nel futuro; il filosofo piange certo anch'egli sui mali particolari ed
attuali degli uomini; loda anch'egli la pace, ma giustifica ad un tempo
la guerra: ne solo la giustifica, ma ne prova la necessita; ne solo
qucsta ne prova, ma i benefizii ne manifesta ed enumcra. Le buone
idee sono opera si degrintelletti, ma le utili istituzioni provenienti dalle
buone idee non passano i mari ed i monti, non altraversano le lande
ed i deserti, non si diffondono, in breve, largamenle che per opera
delle mani armate. Veneriamo, senza Paudacia di cercarne i motivi,
o di fame de'commenti, veneriamo questo decreto che viene dalFalto,
e la prova del quale e scritta in tutte quante le pagine di tulle le sto-
rie. Gia ben sapcle che una grftnde villoria ha aperla la via ad ogni
nuovo gran passo che desse la civilta nel mondo: ben sapele, per
esempio, die non furono ne parole ne libri i quali portassero la greca

DEL DOTT. GIUSEPPE BIANCHETTI 41 i

in molte pavli dclFAsia, o spargesscro la lalina per tante deirEu-
ropa, ma ben la falange macedone e le legloni romane. Qiiello ch e
accadulo sollo i noslri occhi, niuno ha bisogno che io lo venga a dire:
diro sol queslo, che si trovera forse d'accordo con tuUi i savii chiiin-
que congctluri che gli scritti degli Europei , ne le prediche de' mis-
sionarii polranno mai far uscire alcuni popoli delPAsia da quello sta-
gno, a cosi espriniermi, in cui giace immobile da si limghi secoli la
scarsa e si mal a proposito da lanti vantala loro civilta, se prima
non vada in mezzo di essi la forza fisica d'una nazione assai piu di
essi incivilila.

E poiche il discorso e tullavia intorno alia parte fisica delFuomo,
aggiungiamo che a dilTondere altresi mia maggior perfezione di essa
in un piu gran numero d'individui, o piuttosto di popoli, la sloria
non put) omai aver lasciato ignorare ad alcuno quel che importi la
guerra c la conquisla. Merce di questa le razze forli vanno sostiluen-
dosi da per tutto alle deboli: T organizzazione umana si conforma da
per tullo a poco a poco sopra quclla tanto migliore deU'europeo.
Gia ha cominciato a farlo, per esempio, neirAlgeria: gia da molti e
moiti anni precede verso tal meta nelPIndoslan: a Madras, a Calcutta
vive una popolazione tutta anglo-indiana: gia le pelli rosse spariscono
in mezzo de'puritani: nella Nuova Galles del sud vansi formando delle
colonie ibride che sembrano deslinate a popolare lulte le isole di quello
strelto. Come un'osscrvazione costante ci assicura che anche nel ri-
manente delfanimalita le razze piccole ed imperfelle, i cavalli, per
esempio, selvaggi dei Tartar!, i cani-lupi delle foresle germaniche, di-
spariscono grade grade dalla faccia del globo, compenetrandosi, e in
certa guisa rinascendo nelle razze energiche e superior!; e come ve-
diamo altresi tra' vegetabili le belle specie coltivate ed ingrandite da
noi, impossessarsi progressivamente di tutto lo spazio, e andar ogni di
piu concentrando nel loro seno le selvaggie e primitive; cosi di mano
in mano che i forti portano il piede e stanziano su d'una o d altra
parte del globo, essi vanno innalzando al loro il tipo inferiore che
ivi ritrovano della specie umana.

La forza fisica dunque delFuomo occupa un grade eminente nel-

412 DELLA FORZA UMANA

rumanlta: lo occup.i come opcratricc sopra la natura: lo occupa co-
me operalrice sopra i desllni, e le forme slesse deirumanila mede-
sima.

v.-

lo dissi, ch'cssa, qiiesla forza, non ha e non puo avere molta im-
portanza, oggi specialmente. se non qualora si prenda a considerarla
alluata da una unionc piu o men grande d'individui; cli'essa quindi
non ne ha alcuna o quasi alcuna considcrandola negh individui stessi.
INe mi disdico. E hen chiaro per allro che ad csser posta in alto da
una unione d'uomini, e necessario che ciascuno vi metta la sua parte.
Ma della parte di ciascuno non facciamo molto conto, perche guardata
soltanlo in se medesima non la reputiamo, ed infatti non si puo re-
putarla capace di operarc qualche notahile effetto. A diflerenza della
forza del pensiero c di quella delPanimo, ciascuna delle quali quando
ollrepassi, anche in un solo individuo, i termini comuni, si procaccia
la stima degli uomini; perche gli uomini sanno ch'esse, cosi pure in-
dividuate, valgono a farsi produttrici di tali frutti che meritino la ri-
conoscenza, Tamorc e la maraviglia universale. Dico individuate; e
quanto piu se si consideri ciascuna di esse congiunta ad altre forze
della sua stessa natura in quelle aggregazioni d' individui che chia-
miamo popoli!

La forza fisica, I'abhiamo vcduto, vale certo ad introdurre in un
popolo una forza grande di pensiero e d'animo. Potrei anzi aggiun-
gere che tanlo meglio vale quanto maggiormente si trova posta in
atlo; poiche certo le piu magnanime azioni si compierono, le piu alte
ed estese idee si svilupparono, le piu grandi, le piu utili scopertc si
fecero tra tutti i popoli appunto quand' era prcsso di loro nella sua
maggior agilazione questa forza medesima. E ne parli pur diversa-
menle chi vuole; io me gli arrendero quand'ei sara giunto a cancel-
lare dalla memoria degli uomini i tempi d'Alessandro, di Cesare, di
Carlo, di Luigi, di Federico e quelli di Napoleone. Ma a me or giova
di accennare che,viceversa, la forza del pensiero, ahneno quanta ne oc-

DEL DOTT. GIUSEPPE BIANCHETTI 4 I 3

corra, e soprattullo quella, quella sopraltulto dciranimo vale a inante-
nere, ad accresccre, a rcgolare in un popolo, a rlmeltcre la sua forza
fisica. Nel qual proposito, niuno qui ccrlo ha bisogno che si ricordi
come di forza d'animo essendo divenuti poverissinii i popoli della Gre-
cia, non polcrono contro la forza fisica dc' Romani niente di cio che
aveano polulo lante volte contro quella degli Asiatici; e furono in que-
sto assai inferiori a' Sanniti, tanto piii scarsi di loro in numero, tanto
mono abituati in guerra. E la forza fisica stessa de' Romani, che sa-
rebbc divcnula dopo la sconfilla di Canne, sc non fosse stala presta-
mente rimessa da quella loro immensa forza d'animo? da quella forza,
io dico, per la quale i poderi vicini a Roma, sopra cui i Carlaginesi
avcvano gia pianlati i loro alloggiamenii, messi in quel tempo slesso
in vendila, niente perderono del loro prezzo. E dove, Signori, dove
in altro che in quesla forza medesima i Greci moderni trovarono il
modo di riaver tanto vigore nel braccio quanto bastasse a riguadagnar
la terra che calcano, e a salutar nuovamente per proprio il sole del-
I'Atlica?

Della forza del pensiero, considerata generalmente nel corso dei
secoli e dei popoli, notero sol questo, ch'essa porta con se molto
chiara Timmagine del tempo e della nazione. II pensiero sino ad un
certo grado non ha altra impronta che quella deirumanita; ma oltre
a questo grado^ cioe quando diviene una forza straordinaria, acquista
un tal modo, un tal atto, tanto s'incorpora delle condizioni de' luo-
ghi e dei tempi, che puo bastare da se solo a far conoscere quando ci
sia venuto, e d'onde ci venga. Togliamo pure le date; quanto non
sono distinti i grandi pensieri antichi da quelli dei mezzi tempi, e
quanto questi da quelli de' moderni ! Sopprimiamo pure la differenza
delle lingue; chi confonderebbe un pensiero orienlale con un greco,
od un greco con un romano? E la forza del pensiero ne' Tedeschi chi
or la potria scambiare con quella de' Francesi, e quella de' Francesi
con quella degP ItalianI? i quali forse piu ch'altri devono consolarsi
assai che una certa nazionalita provenga anche dalla forza del pen-
siero.

414 DELLA FORZA UMANA

m.

Ma poiche quesla c la forza non meno dciranimo possono dare
molta e degna materia di discorso, qiiando pur si considcrino singo-
larmente negl'individui, come quelle che sono Tuna e Faltra, anche
operando come forze individuali, di tanta efficacia, onde farsi meri-
tevoli d'allissima slima; c poiche il parlarne guardandole cosi, e tanto
meno difficile, e puo essere forse tanlo piu sicuro ed utile, soffermia-
moci qui ora a riguardarle unicamente in si falta guisa.

E prima di lutto mi piace che le osserviamo un istante trovanlisi
ambedue congiunle in un solo uomo; e prima ancora non pure con-
giunte in un solo uomo, ma Tuna e Taltra immedesimate per guisa che
cospirino ambedue alio stesso identico fine. Del che ne diedero esem-
pio quegli uomini rarissimi, e vero, ma non tanto che non abbia mo-
tivo d'onorarsi d'alcuno, quasi ad ogni generazione, la specie umana;
quegli uomini ne' quali una grande idea non avrebbe mai potulo giun-
gere alia sua maggior potenza, o la potenza di una grande idea non
avrebbe mai potuto cffelluarsi senza I'opera egualmente e piu "vigorosa
e conlemporanea del loro proprio sentimento. Vedele: ecco un giovane,
sin I'altro di poco noto, ora famoso, e la cui fama durera, senza iperbole,
quanto gli astri. Egli pensa che i movimenti irregolari d'Urano sieno
cagionati dall'azione di un pianeta sconosciuto che si aggiri ad una
inunensa distanza da esso. Questa forza speculativa del pensiero non
gli era veramenlc lulla sua propria; essa gli vcnne in gran parte dal
progresso della scienza. Fu tulla sua propria Fabilila di soltoporla ad
un iucessante esperimenlo difficilissimo di calcolo, e specialmenlc fu
tulta sua propria la forza d'animo, onde pcrsevero per anni ed anni ad
aiTaticarsi in calcoli di una spavenlosa lunghezza, e con appena la pro-
babilita dellelYetlo: il qual poi gli riusci, come niuno ignora, tanlo solenne
e sicuro, che pole scrivere a Bcrlino: Guardate nel tal punto dello spa-
zio, ad un tale istante; vi dev'essere un pianeta; cercatelo, lo troverete;
annunziatelo al mondo. Ma io confesso che ammiro per questo di che
ragiono, sopra quanti ne ricordi o innanzi o dopo di lui la sloria, io am-

DEL DOTT. GIUSEPPE BIANCIIETTI 415

inii'O Crisloloro Colombo. Polclie lasciando da parte rimporlanza effel-
tiva della sua scoperta, di cui sarehbo piii die soverchio a parlare, tras-
portiamoci al suo tempo, ed Immaginiamo qual forza di pensicro debba
esscre stata in lui per portarlo al suo alto concepimento; qual forza di
]>cnsiero per tenervcio saldo nullaostante Ic opposizioni di moiti fra
nieglio pensanli del suo secolo. E nulladimeno, a quesla forza gran-
dissima si puo trovare obi nc scemi tanto o quanlo la lode, ricor-
dando que' lampi che balenarono nella mente di alcuni altri, e nel suo
tempo stesso e negli anteriori. Ma le uniche e piu profonde radici
della sua forza d'animo, clii le vorra cercare, e volendo, chi potrebbe
trovarle altrove fuorcbe nelP intimo del cuor suo? Mirabil uomo il Co-
lombo quando pensava; piu mirabile assai, a senso mio, quando, sulla
fede del suo proprio pensiero, ei leva Tancora, lascia i lidi delF An-
dalusia, e si abbandona almare. E poicbe abbiam qui messi vicini
questi due nomi, noliamo passando cosa gia notala tante volte, ma
notevole pur sempre, dico la differenza de' tempi o de' luogbi o della
fortuna. Lc Yerrier ritorna dal suo viaggio di calcoli, dopo la sco-
perta dell'astro con onori, con pensioni, con la slatua; Colombo ri-
torna dal terzo suo viaggio deH'Oceano, dopo la scoperta di un altro
mondo, con le catene ai piedi.

Non tanto immedesimate, ma ben corrispondentisi Tuna all'altra
si scorgono queste due forze, delle quali parliamo, in quegli uomini,
onore ancb'essi grandissimo del genere umano^ i quali congetturando
a che pericoli si esponessero, o piuttosto sapendo a che mali andas-
sero incontro se lasciavansi portare in certe materie alia forza del
loro pensicro, nulladimeno vi si diedero abbandonatamente in preda,
gia apparecchiati a contrastare a' pericoli, a sopportarc i mali con una
potente forza danimo. lo sopra tutto mi compiaccio ed in me stesso
esullo quando la storia mi fa incontrare in quegli uomini che mostra-
rono queste due forze nelFalto che si sostengono scambievolmcnle e
s invigoriscono. Certo e meno difficile di trovare che la forza delFani-
mo sia venuta in aiuto di quella del pensiero; ma non e poi lanto
rarissimo d'imbattersi anche in qualchc caso in cui la forza del pen-
siero si facesse a soccorrere quella stessa dellanimo. Del che gli an-

416 DELLA FORZA UMANA

liclii n' ebbcro un solcnnc esempio o piuttoslo un tipo in Socralo,
quando innalzava la sua mente c la leneva fra piii alii argomenli clie
iili provasscro una vita (lural)ile, c il mantcncssero saklo contro al-
r istinlo clella nalura che pur dovea sospingerlo a dolersi a cagioue
di quella clic slava la la per pcrderc. E gli uomini del mezzo tempo
lo poterono vedere con altrcltanto di maraviglia in Severino Boezio,
che dairintelletto lulto volto a filosofici ragionanienti, trassc piu forse
di quanto gli occorreva a sostenere animosamente il lungo carcere, e
non meno la niinaccia continua di quella tragica morte che in fine
gli diedero. E i nostri padri, oh, qual esempio di qucsto non ebbero
anche i nostri padri! Inlendo in Lavoisier che instava di prohingare
lagonia, per avere un poco di piu tempo a rimanersi Ira la scienza.
Ma che dico io di prolungare Tagonia, s'ei gia non la sentiva lutto
compreso com' era dalla gioia del pensiero! . . . Oh quesle due forze,
quando si Irovino straordinariamente sviluppate e congiunte in un solo
uomo, in qualuuque guisa vi si trovino, con qual si voglia corrispon-
denza tra di esse si stieno, per qual si voglia motivo operino, Io ren-
dono ben decno deir universale ammirazione e venerazione!

E certo devono renderlo, o Signori, se una sola puo baslare; e gia
vediamo che basta a produr molto di questo cfl'etlo. Lo produce in
ispecialita, e deve produrlo la forza deiranimo; poiche un uomo, bcn-
che non mostri niente di straordinario in quella del pensiero, quando
manilesli una potenza grande in questa delTanimo, ed abbia occasione
di attuarla in condizioni piu o meno important! e solenni, gia da di
se uno speltacolo, non solo degno, ma che gli uomini repulano in
certa guisa compiuto. Per contrario, chi dispiega una forza grande nel
pensiero, ma non puo fame vedere una di corrispondente nelPanlmo,
e pill se di questa e in difetto; egli eccita cerlo la maraviglia come
sempre una forza che superi Tordinario; ma e inevitabiie agli uomini
di scorgere nella sua natura un non so che di manchevole, una cosa
che porta con se una certa imperfezione; e quindi e loro inevitabiie

DEL DOTT. GIUSEPPE BIANCHETTI 4 1 7

tli non poler reslare appieno appagati, di dover rlmanerc con desi-
dei'io. Che desidcrianio IcsJiendo le vile di Arislide, di Teniistocle,
degli Scipioni, di Calone, di altri uomini di siniil tempera, venendo
in gill fino a quelle del \\ asliinglon e del De Paoli? Ma non senza
qualolie dcsiderio puo rinianerc ruonio di forti c nobili sentimenti,
quando si faccia a leggere le vite di Aristolile, di Platone, di Livio,
di Virgilio, di niolti altri tali, venendo in giii sine a quelle del Lin-
neo, del \ico, del Monti. INe alcuno vorra uscire in biasinii verso di
quesli, se consideri che una potente manifeslazione nella forza del pen-
siero dev' essere d' impedimento grande ad un vigoroso dispiegarsi in
quella deiranimo. Dev'esscrlo, perche la prima vive c pero si ali-
menla in un mondo che per lo piu diverse dal mondo in cui vive
e si alimenla la seconda. La prima sta sopra tutto nel mondo delle
idee; la seconda in quelle delle azioni: la prima e coslretla quasi sem-
pre a dilungarsi come piu puo da tutte le cose che ci stanno d in-
lorno ; per contrario, la seconda dee invece rimaner quasi sempre,
come piu le conceduto, tra di esse. Or, le forze umane sono bene
im done di Dio, ma in sola la polenza: il melterle in atlo e unica-
mente opera dell'esercizio. E pero il tempo che sMmpiega ad eserci-
lare la forza del pensiero e ben necessario che di frequente lo si
lolga airesercizio di quella deHanimo, se Tuna si Irova in luogo ch'e
spesso tanto diverse da quelle in cui sta Taltra, e se Tuna e lallra
si addrizzano ad inlendimenti che spesso non hanno niente di comunc.
Vedete, Signori, che io giustifico, o piuttosto scuso di buon grado
Tuomo in cui la forza delf animo non corrisponda a quella grande
del pensiero: ma non vorrei che quesle giuslificazioni, o meglio que-
ste scuse, non dice gia da voi, ma da altri si estendessero per av-
ventura oltre al debito, ne in quanto agli uomini, ne in quanto alia
cosa. Non in quanto agli uomini, perche il mio discorso e bene appli-
cabile a quelli ne' quali la forza del pensiero sia proceduta e conti-
nui in un grade eminente, e pero si eserciti in certa guisa al di so-
pra del corso delle vicende umane ; ma non gia a niuno di que' tanti
in cui non oltrenassi il consueto alia ceneralita deijli uomini che si
occupano negli sludii. Non in quanto alia cosa, perche si puo bene

III. 53

418 DELLA FORZA U.MANA

scusarc la maucanza della forza deiranimo; nia non il siio opposlo;
si put) scusare la debolezza, ma non mai la villa. Scuso Tullio, ma
non vSalluslio; il Moro, ma non Baconc; il Tasso, ma non il Guic-
ciardino. Anzi sono tanto hingi dairiiilendcre a qucslo, chc conles-
sero liberamcnle, chc il vedcre un nomo il qual piu o meno si solleva
sopra r universale per la potenza delle idee o dellc immagini o per
lesprcssione di clevati senlimenli, e die in pari tempo si Irova nello
slesso lango di molli, e a niolli piu sla soUo quando ponga in alto
idee, immagini o senlimenli per conlo suo proprio nc' casi della vita,
come quegli die si aggira volentieri ne' corligianesclii labirinli, die
nienle si spavenla di usare Ic simulazioni o le dissimulazioni, die va
in traccia da per tulto di clii il protegga o il lodi, die vuol far largo
in ogni guisa al suo merilo, die intende a far acquisto per ogni mode
o di danaro o di onorl o di gradi, non si vergognando di mettersi
per cio in qual si voglia slrada, e di scendere per anco in giu in
gill sino agl' inlriglii femminili; confessero liberamente, io dico, die il
vedere un lal uomo si commendevole per la forza del pensiero, e si
biasimevole, non gia pel difelto in quella deiranimo, ma pel suo con-
Irario, mi e di tanto brullo, di tanlo inlollerabile spelUicolo, die non
solo il fuggo cogli ocelli, ma volentieri allrcsi coUa penna.

VIII.

Che se da esso fuggendo, or volessimo, Signori, discorrere alquaiilo
i motivi, la natura, gli cffelti di queslc due forze, considerandole in-
dipendentemente da ogni relazione delTuna verso dellallra, osservando
ciascuna di esse in se medesima, ed enlrando in lutli i particolari de-
gli svariatissimi aspelli co' quali ciascuna di esse puo manifestarsi ; gia
avremmo un' ampia maleria da occupare non poche faccie, ma degli
inlicri volumi. Poiclie, siccoine la forza umaiia si dispiega in que' tre
modi di cui abbiamo sino ad ora falto qualche cenno generalissimo;
cosi ciascuno di essi modi puo dispiegarsi sollo varie forme, \edeni-
ino la forza fisica assumerne tre di molto thverse. E quanle non ne
puo ricevere quella deiranimo! Eccovi, per esempio, il coraggio che

DEL DOTT. GIUSEPPE BIANCHETTI 4 1 f*

va incontro ai pcricoli c li affronta: eccovi la rasscgnazlonc che soj)-
porla scnza qucrcle i inali: eccovi il dccoro che non da ne pur vista
d'accorgersi delle Irascuranzc o delle ingiustc preferenze: eccovi la
coslanza che per andarc ad un nobile intendimento indura volentieri
le Iiinghe fatiche, e quasi non si avvede del tempo. Saria colpa se
non ricordassimo anche quelFaspetto in cui e assai piu difficile che
in ogni aUro il manil'estarsi di questa forza. E certo hisogna che sia
difficile, difficile niollo, poiche chi legga le storie o giri inlorno gli
occhi, Irovera un numero non piccolo d'uomini forti in varie guise
neiravversa fortuna: ma quanti pochi nella buona! Molli seppero o
sanno toUerare vigorosamente il peso della poverlti, delle dimenticanze,
dei disprezzi, anco degl'insulti, delle carceri, degli esilii e s'allro v"ha
di peggio; ma I'ari, rarissimi furono c sono quelli che potessero o
possano sopportare da forti il peso della ricchezza o della potenza
o della gloria. Napoleone che dispiego una si grandissinia forza d'ani-
mo, di cui ne diede prove tanlo svariate e slraordinarie ne' primi
anni della sua vita, e tante piu, benche in genere diverso, negli ul-
timi, non resse ne pur egli a questo peso. Le condizioni delFuomo
rendono quasi unico il suo esempio, lo so; ma voi sapete altrettanto
che se ne potrebbero citare piu che molti e molti in tutle.

INon e poi bisogno dirvi, se voi stessi ne date qui a voi mede-
simi un si bell' esempio; non e bisogno dirvi, o Signori, che la forza
del pensiero si mostra pur essa sotto moltiplici aspelli assai diversi
tra di loro. Yi c la forza che persiste, vi e quella che si slancia: vi
e la forza investigatricc degli esseri sensibili, vi e quella che li tra-
passa e si esercita nelle aslrazioni. L'una e potente sopra le cose, I'al-
tra sopra gli uomini; e tpiesta s' interna nelle idee c negli afletti al-
trui per condurli alia guisa di Nestore, od a quella d'Ulisse, alia guisa
degli oratori, o a quella dei diplomatici. Vi e la forza che rimane vo-
lentieri tra le realta per indagarne gli accidenti, scoprirne le leggi eil
ascendere ai principii: essa e quella che si allarga ad operare nelle
svariatissinie parti dell'ampio campo filosofico. Vi e la forza che delle
realta non si vale che come d'altrellanti maleriali per crearsi un mondo
in cui li disponga ed architelli a suo grado, ed in cui possa altuarsi.

420- DELLA FOP.Z.V UMANA

sccondo chc piu lo piace, dal breve passo delP epigraninia al lungo
vlaggio del poema. \i e la forza che ricorda, vi c quclla chc ragiona;
vi c la forza che si dlslendc fuori di sc niedeslma, vi c qucUa chc

tuUa in sc slcssa si rivolge c concenlra Ma se a discorrerc le mol-

lipHci foriue sotto allc qiiali puo manilcslarsi la forza del pensicro c
quclla pur deiranimo, sarchbc materia, come dissi, di volumi, non
puo esscrc ne pure lanlo breve quclla di solo cnumerarlc.

IX.

Giova pero cho Tabbiamo toccata, pcrche risalendo ora alia ge-
ncralita dcirargomcnlo ci vale a non chiudcrlo senza considcrar pri-
ma un istantc, un solo istanle, come la forza umana si sviluppi, si
manlenga, si accresca, s'invigorisca. Essa il fa, Signori, alia guisa stessa
chc gia il fanno luttc quante le forzc che conosciamo, cioe mediantc
i conlrasti. Toglicle qucsti, e la forza umana e per inlicro distrutta.
Or i conlrasti le vcngono in parte dal di fuori; pcrche ccrto la na-
tura, cd anco cio chc chiamiamo la forluna, la qual non c infinc se
non la nalura slcssa opcralrice per cause ignole, muovono una gucrra
conlinua all'umanila, cir c tanto nuova quanto c peregrina su qucslo
globo; ed c ben mcslicrl ciressa escrciti la sua forza se vuol resistere,
se vuol durare, sc vuol vinccre. Onde in mollc di quelle cose sopra
le quali il massimo numero degli uomini piange come sopra disgra-
zic, o sc nc lamcnla come crimpedimenti, o sc ne querela come di
mali, il vero filosofo vede c bencdicc invccc la mano della Provvi-
(Icnza chc voile sollcvala con I'opera loro si alia la dignita, c tcnere
in si emincnte grado la polcnza della nostra specie in mezzo a tutta
quanta la crcazionc.

Ma altri conlrasti, c non minori, la forza umana trova neirintimo
di se medesima. 1 trc modi principali in cui abbiam vcdulo ch'essa
puo dispicgarsi non cessarono nc cesscranno mai di avere piu o mcno
vive disscnsioni tra loro. Ycdetc, per csempio, quante volte cd in
quante guise il modo fisico non ha ccrcato di comprimere, di abbat-
tere, di annullare qucllo della nienle! E bene; questo si riaizo sem-

DEL DOTT. GIUSEPPE BIANCIIETTI 42)

pre pill vigoroso dalla lotta; nc si puo credere, ed io non credo certo,
possibilc che si fosse mai sollevato a tanto vigore a quanlo il vedia-
mo, se non avesse avuto da sostenere la lotta. Mi place, senza dub-
bio, che gli scritlori, e gll storici specialmente, narrino appunlino i
fatli; e il loro uificio. Mi place che versino qiialche lagriina sopra i
marlirl del pensiero: chi polrebbe loro negarla? Ma non possono pia-
cernii quando se n'cscono, come fanno tanto di spesso, in certe de-
clamazioni. Non possono piaccrmi, pcrche guardano a' particolarl, e
non badano all' universale; si fermano agli uoniini, e trascurano Tuma-
nita; hanno dinanzi agli occhi, poniamo, iin Socrate, un Bruno, un
Campanella, un Galileo, un Giannone, ed allri tali degnissimi indivi-
dui; ma non considerano quanto i casi loro fossero opportuni, per non
dire necessarii, a far cntrare quel modo della forza umana che si
manifesta nella mcnle, a farlo entrare in quella nobile ostinazione
d'onde Iraesse poscia Timpulso maggiore al suo maggior proijresso.

Ne solo tra i diversi modi della forza umana avvensrono i contra-
sli de' quali parliamo, ma gia si sono vcduti, e si vedono pur anco
continui tra i varii aspelti o le varie forme di un modo medcsimo.
Ciascuna di esse e in un'incessante agitazione per andar del pari alle
altre o soverchiarle; c da queste perpctue agitazioni di ciascuna for-
ma n'csce il maggior vigore di tutto quel modo sotto del quale stanno
comprcse. Vedele, per csempio, ancora la forza del pensiero! Avreb-
b essa mai potulo allargarsi a tantampiezza di dominio, giungere a
lanla energia di potenza in tullo il suo dominio senza le gare che
avvennero e che procedeltero spesso in battaglie combaltute tra i varii
aspetti sotto i quali le e conceduto di manifestarsi? Certo la storia ci
dti ogni motivo per non crederlo; pcrche la storia non mostra mai
un processo degno di nota in una forma del pensiero mcdesimo, che
gia non ne moslri falto in pari tempo uno di eguale e forse maggiore
da quella che le fa riscontro, e che tahoUa ha la sembianza di es-
serle opposta. I grandi uomini, in ogni aspetto sotto il quale puo di-
spiegarsi questa forza, apparirono sempre conlemporanei. I retori ci
parlarono c ci parlano ancora di condizioni, di luoghi e di tempi;
ci parlarono e ci parlano sopra tutio di mecenali: la via e larga. po-

42 2 DELIA FORZA UMANA

Ircbhe coiuIuito talvolla a' gradi, agli onori; lasciamoveli andare. Ma
il filosolo, se non disprezza la potenza di niuna di tali cose, la causa
vera ed intrinseca del falto a ciii accennianio la vede unicamenle dov'e,
cioe neir agitato contraslo dellc varie forme del pcnsicro; come vede
neiragitato contraslo di quelle del corpo il piu grande svolgimento
della forza fisica, particolarmente quando si nianilesti nei varii aspetti
(leHinduslria; e come vede altresi nell'agilato contrasto di quelle che
possono assumere i nobili ed elevati senlimenti il progresso maggiore
della forza delFaninio. E gia osservazionc di Tacito che le grandi virtu
sono sempre conteniporanee in un popolo anch'esse; e che ivi piu ab-
bondano dove piu si apprezzano, e piu si apprezzano dove piu ab-
bondano. Or la virtu, come il suo nome stesso significa, non e che la
ibrza, la forza delPanimo.

Tulto cio che conqione I'universo e in un perpetuo contrasto; e
questa grande armonia che vediamo non esce che dai contrast!; e pero
non si adagia ne riposa in alcuna parte, ma vien fuori da tutto il
complesso delle cose, dalla piu minima alia piu grande. Cosi la forza
umana non nasce anclfessa, non si mantiene, non si accresce che per
opera dei contrasti. Ondc il filosofo che vuol darsi il degno spelta-
colo di conlemplarla nella grandezza de' suoi effetli, non la cerca ne-
gl'individui, ma nelFumanila; non in queslo od in queirargomenlo,
ma in lutte le materie; non neiruno o nelT altro luo2;o, nelKuno o
nell nliro tempo, ma neirestensione degli spazii e nella successione dei
tempi, cioe nello studio di tutia quanta la storia.

Del quale studio rinlclletto di qualunque uomo polrebbe conten-
tarsi in si fatio proposito, tanlo e vasto, tanlo e utile, tanlo e mirabile.
Ma rintelletto delPuomo e dominate da una curiosita ancor piu forte.
Esso fa prova di rctrocedere indietro indielro nel passato fin la quando
non erano cominciati per anco i tempi, fin \i\ quando era ben lungi
pero ancora Tapparir della storia. Esso vorrebbe conoscere la primis-
smia origine della forza umana; la sua primissima comparsa tra le forze

DEL DOTT. GIUSEPPE lilANCIlETTl 4 23

del globo; poichc una tal forza scmbra cvidentcniente iin complesso di
quelle die esistevano innanzl di lei: esso vorrebbe inoltre conoscere
tutto il procedere del suo svilupparsi di grado in grado fino a quel
punto in cui si trova da quando ne aljbiamo memoria. E quasi il passato
anteriore ai tempi, anteriorc alle sloiie fosse per lui un'investigazione
di leggero peso, o se ne fosse di gia impadronito, ei si slancia allresi
con mirabile coraggio neiravvenire, e prcsagendo i futuri progressi
dclia forza uniana in lulli c Ire i suoi aspelti, si adopera a Irovarc e ad
indicare i modi ond'essa monti sempre piu in su per quella linea cbe
presupponc apertaci a spira dinanzi, ed a cui diede il nomc di perfet-
tibilita indefinita.

Queste due ricerchc che trascurano il presente, o clie del presente
non si valgono se non per volgersi Tuna di esse al passato e Taltra al fu-
luro; queste due ricerche, colF immense numero delle accessorie, gia ben
piu di me lo sapete, occupano un largliissimo spazio in quegli esercizii
cbe dicianio scienze. Con quale o quanio effetto lo occupino o sieno mai
per occuparlo, io nol so. Ma queste so bene che, anche senza o con
poco effetto, furono come sono e saranno pur sempre fatiche degnis-
sime di quelle menti die tanto piu deggiono reputarsi ele^ate, quanto
piu nel solo alio di andare in Iraccia del vero spendono il maggior
vicore della loro vita, senlono la cioia massima della loro esistenza. Les-
sing diceva, die se Dio tencsse in una mano una verita, e neirallra la
potenza di cercarla, e mettesse in suo arbitrio di pregarlo a conce-
dergli o la verita, o la potenza di cercarla, saria di quest'ullima cli ei
lo pregherebbe. Signori! Io sono con Lcssing.

(Lello il -29 AuiCJiiljic 184(j; '

I M D I C E

DEllE MATERIE CONITEMJTE W QIESTO VOllJIE

A

vvertinienlo Pas;- v

Elcnco dei Membri delPI. R. Istiluto Veneto " vii

Sulla filosofia della fisica, del Dolt. Ambrogio Fusinicri .... 5

Sopra lino scritto del Dott. Jmbrogio Fusinieri risgiiardauie la

filosofm della fisica, del Prof. Carlo Conti 2ii

Nuova determinazione delle costanti relatke alia resistenza d'at-
ttito nel movimento deWacqua pe' luncjhi tubl di coudotla e
per fjli alvei, del Prof. Domenico Turazza " 7o

Sul pit) facile modo di Irov^are le radici reali delle equazioni al-
gebraiche, e sopra un nuovo inetodo per la determinazione
delle radici immaginaric, del Prof. Giusto Bellavitis . . > 109

Considerazioni sulle nomenclaUtre chimiche, sugli equivalenti clii-
mici e su alcune proprieta che con questi si collegano. del
Prof. Giusto Bellavitis < 221

Sugli integrali algebrici d'un sistema di equazioni differenziali.
i cui termini sono integrabili per mezzo di trascendenti abe-
liane, e sxdla proprieta fondamentale di simili trascendenti.
del Prof. Serafino Rafaelc Minich 269

Considerazioni intorno al gcnere ed alia specie in Botanica. del

Prof. Roberto de Visiani < 329

Osservazioni e riflessioni sul funicolo ombelicale del feto uniano.

del Prof. Francesco Cortese 387

Della forza umana, Discorso^ del Dolt. Giuseppe Bianchetti. - 403

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