S, 'l'f? A MEMORIE DI MA TEMA T I C A E DI FISICA DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE TOMO XVI PARTE I CONTENENTE LE MEMORIE DI MATEMATICA VERONA DALLA TIPOGRAFIA DI LUIGI MAINARDI MDCCCXIII INDICE DELLE COSE CONTENUTE IN QUESTA PRIMA PARTE S tatuto della Società ^^S- XII Catalogo fi»' Sooj Annali della Società, continuati da OTTAVIO GAGNOLI Vice-Segretario Amministratore della medesima xvii Riflessioni sui principi d'Idraulica del Sig. Bernard: del Sig. ANTONIO LOMBARDI Socio Onorario pag. i Descrizione di un Teodolite stenografico: del Sig. GIO: BATTISTA MAGISTRINI 5i Sopra le linee e le superficie parallele : del Sig. A. BORDONI : presentata dal Socio Sig.Cav.i?rMnacc« i% Li Baratti Mercantili ridotti e dimostrati per algebra : del Sig. PIETRO COSSALI ia4 Sopra la misura delle altezze del Barometro : Appen- dice alla Memoria inserita nel volume XIII : del Sig. GIO: RACAGNI i53 Saggi di Algebra trascendente e di Meccanica: del Sig. PIETRO FRANGHINI : presentati dal Sig. Giusep- pe Venturoli 22,3 Disquisizione su i vaij metodi di eliminazione con il componimento di un nuovo : del Sig. PIETRO COSSALI 272 Ricerche sulla latitudine dell'Osservatorio di Padova, del Sig. GIOVANNI SANTINI : presentate dal Sig. Pietro Cassali 33 1 Dimostrazione facile e naturale d'alcuni Teoremi geo- metrici ed analitici : del Sig. PIETRO TERRONI 347 Sopra la costruzione della curva., nella quale l'arco s • è dato in funzione di |^ : del Si-r. GIO: PLANA: presentata dal Sig. Cav. Cesaris pag. 36 1 Di un nuovo metodo generale di estrarre le radici nu- meriche : del Sig. Cav. PAOLO RUFFINI 878 Errori e correzioni in questa prima parte ^"00 STATUTO DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE. 1815. I. Lia la Società Italiana delle Scienze è composta di qua- ranta Socj attuali, tutti Italiani, di merito maturo, e per Opere date in luce ed applaudite riconosciuto . II. La scienza della natura è il grande oggetto , che la Società medesima si propone. Pubblicherà pertanto, sotto il titolo di Memorie di Matematica e di Fisica, le produzioni di chiunque de' Socj vorrà render pubblico negli Atti Sociali il frutto de' proprj studj . III. De' quaranta Membri, uno sarà Presidente della So- cietà , e la presidenza durerà sei anni . IV. Avrà la Società un Segretario, ed un Vicesegretario amministratore . Il primo sarà partecipe di tutte le facoltà dei Quaranta, benché non fosse uno d'essi, ed avrà diritto, non obbligo , di presentar Memorie da inserirsi negli Atti . Il se- condo terrà il maneggio economico . V. 5- I- Altra Glasse vi avrà di Socj Emeriti in numero indeterminato. Essa è preparata a chiunque dei Quaranta, o per età avanzata , o per abituale mancanza di salute , o per altro motivo , non producesse veriin suo lavoro in quattro consecutivi tomi delle Memorie sociali . §. a. Ma se un Socio attuale passasse negli Emeriti do- po aver posto otto Memorie ne' tomi sociali, in tal caso se- guiterà a godere, quantunque Emerito, tutte le prerogative di Attuale . §. 3. Che se un Socio Emerito ponga Memorie in tre tomi consecutivi , sarà restituito nel ruolo degli Attuali . VI Statuto VI. Un'altra Classe, parimente indeterminata, compren- dt-rà i Sucj Onorar]. A questa saranno ascritti, previo l'as- senso di ventuno almeno dei Quaranta, i Compilatori, eletti dal Presidente, degli elogj de'Socj attuali defunti. Inoltre, esso Presidente potrà aggregare a questa classe, nel suo ses- sennio, due Soggetti, non più, che avessero operato cosa a prò della Società, onde meritassero d'esserne onorati parti- colarmente . VII. Ed altra Classe avrà fuialmente il titolo di Socj stra- nieri, stabilita per distinguere ed onorare il merito nelle Scien- ze in qualunque parte fuori d'Italia. Sarà composta di dodici Soggetti, a ciascun de' quali verrà esibito in dono un esem- plare d'ogni Volume, che uscirà in luce, delle Memorie Sociali. Vili. Le aggregazioni alle classi de'Socj attuali e degli stranieri si faranno nel modo seguente . Per ogni posto che rimanga vacante, dovrà il Presidente, col mezzo del Segreta- rio proporre sei nomi a ciascuno de'Socj attuali, il qual farà scelta d'uno, e lo indicherà per lettera al Segretario. Quel de' sei, che, entro il termine di due mesi dalla proposta, avrà più sufFrogj, s'intenderà aggregato, e la Compagnia sarà fatta oppoitunaniente consapevole dell'acquistato Cooperatore. IX. All'elezione del Presidente saranno invitati li Socj attuali con una lettera circolare del Segretario, al quale ognu- no di essi farà tenere in iscritto la nomina del Socio da sé eletto a Presidente: e la pluralità de' voti, che arriveranno al Segretario , dentro il termine di due mesi dopo la data del circolare invito, determinerà l'elezione, che dovrà esser dal Segretario annunziata ai Membri votanti . X. Ciascheduno dei Quaranta ha facoltà d'inserire negli Atti una scoperta utile, un^importante produzione, anche di persona non aggregata ma Italiana, purché tal produzione, o scoperta sia giudicata degna degli Atti stessi anche da un altro Socio, il qual venga destinato segretamente dal Presidente di volta in volta all'esame della cosa presentata, ed il suo no- me ( quando approvi ) si stampi insieme con quello del pre- sentatore . D E L L A S O e I E T a' . VII XI. Di questi Autori non Socj dovrà il Presidente aggiun- gere i nomi, segnati con asterisco, ai sei che presenta, a te- nor dell'articolo Vili, per l'elezione d'un Socio attuale. Bensì questa nomina cesserà, dopo fatta sei volte, contate dalla pubblicazione d'ogni Memoria. XII. Le Dissertazioni o Memorie da pubblicarsi ne' Volu- mi della Società, debbon essere scritte in lingua Italiana e in carattere chiaro . Il Segretario dovrà apporvi la data del re- capito, acciocché sieno stampate con essa in fronte e per or- dine di tempo. Che se l'opera sia voluminosa, può l'Auto- re distribuirla in due o più parti pe' tomi susseguenti . XIII. Tutto ciò che è destinato pegli Atti dev'esser nuo- vo, inedito, importante, ed analogo all'indole scientifica di (juesti Volumi, che non ammette sfoggio d'erudizione, né moltitudine di note e di citazioni . XIV. I fogli stampati di ciascun Volume non dovranno eccedere il numero di cento . Le Memorie soprabbondanti re- steranno in deposito pel tomo susseguente, o saranno restitui- te agli Autori che le dimandassero. Bensì, nel caso di soprab- bondanza, le Dissertazioni degli Autori non Socj dovranno ce- dere il luogo a quelle de' Socj. XV. La Società non si fa risponsabile delle Opere pub- blicate negli Atti. Ogni Autore dev'esser mallevadore delle cose proprie , come se le pubblicasse appartatamente . XVI. Non permette peraltro la Società le invettive per- sonali, e né anche le ci-itiche non misurate: sopra di che ve- glierà il Segretario, e ne farà inteso il Presidente per un ac- concio provvedimento . XVII. Il Socio attuale. Autore d'una Memoria o d'un Elogio, avrà in dono cinquanta esemplari della sua produ- zione, con frontispizio apposito, e con la numerazion delle pagine ed il registro ricominciati . Ad ogni altro Autore sa- ranno corrisposte dodici copie. Qualunque Autore ne deside- rasse di più, non sarà aggravato d'alcuna spesa per conto della composizion tipografica . XVIII. Nell'atto di queste spedizioni sarà trasmessa ai So-- vni Statuto cj, che avranno mandato il voto per le elezioni, la dimostrazio- ne stampata del numero de'suffragj toccati ad ogni Candidato, sejnza il nome però de' votanti, e così ancora i conti stampati dell'amministrazione tenuta dal Vicesegretario amministratore. XIX. Alle principali Accademie estere sarà offerto in do- no un esemplare d'ogni Volume delle Memorie sociali, che andrà successivamente uscendo alla luce . XX. I doveri del Presidente, oltre i già mentovati, so- no: mantener l'osservanza dello Statuto; eleggere il Segreta- rio ed il Vicesegretario, qualunque volta sia di bisogno; ave- re in governo e cura ogn' interesse della Società ; rivedere , almeno una volta alFanno, i conti dell'amministrazione del Vicesegretario, alla validità de' quali fa d'uopo l'approvazio- ne e sottoscrizione di mano propria del Presidente : e rag- guagliar finalmente il Successore dello stato degli affari nell' atto di rinunziargli l'Uffizio. XXI. Dopo il Presidente, il Segretario è la Persona pro- priamente deputata a mantener corrispondenza con tutti i Membri della Società , e quasi centro , ove debbono metter capo tutte le relazioni Sociali. Egli invia le patenti d'aggre- gazione; presiede alla stampa, ai Correttori di quella, ed all' incision delle tavole; prende cura delle spedizioni, e d'ogni altro interesse della Società, sempre però con l'approvazione del Presidente . Egli deve pure tener registro d' ogni atto ohe importi; custodire i voti de'Socj per le elezioni, mani- festandoli al Presidente ad ogni richiesta ; e finalmente ese- guii- tutto ciò, che ne' precedenti articoli gli è addossato. XXII. §. I. Ad esempio delle principali Accademie, la Società Italiana delle Scienze avrà Membri pensionar] : e la pensione sarà d'annui zecchini ventiquattro, pagabili per me- tà allo spirare d'ogni semestre; non com^iutate in verun ca- so, sia di morte, o di rinunzia, o di transito negli Emeriti, le frazioni di semestre . 5. a. Saranno capaci della pensione li tre più anziani, e di permanenza non interrotta , nel ruolo de' Socj attuali ; sin a tanto però che rimangiano nel ruolo medesimo. dellaSocieta. IX 5. 3. Qualunque volta l'eguaglianza d'età accademica renda ambigua la scelta d' uno o più Pensionar] ; sarà tolta l'ambiiiuità concedendo la preferenza alla maggior età natu- rale. Nel qual caso, il Segretario chiederà a ciascun de' coe- tanei come sopra, documento legale dell'epoca di sua nasci- ta ; e chi non lo faccia a lui pervenire entro mesi tre dopo la domanda, s'intenderà che rinunzj alla pensione. 5. 4- Due Socj ( sia ciascun d'essi attuale o emerito ) potranno inoltre goder la pensione, loro vita naturale duran- te, quando siano autori ciascuno di dieci o più Memorie stampate ne' Tomi Sociali, il valor delle quali venga giudi- cato degno di tal premio dalla pluralità assoluta de' Socj at- tuali , a proposizione del Presidente ; ovvero dalla pluralità relativa , quando si tratti di giudicare del merito relativo fra più Candidati . 5. 5. In ambi questi partiti le opinioni de' Socj reste- ranno sempre segrete, ed a sola notizia del Presidente e del Segretario : si pubblicherà unicamente il numero de' suffragi a favore di ciascun Candidato, siccome è prescritto per le elezioni nell'articolo XVIII. §. 6. Avranno tìtolo di rmisìonarj anziani li tre del 5- a ; di Pensionar] giubilati li due del §. 4- 5. 7. Potrà il Pensionarlo anziano passare a goder la pen- sione come giubilato , sotto le condizioni prescritte dal 5- 4? e quando l'un de' due posti sia vacuo. XXIII. A compensazion delle spese, che incontrano i Quaranta ne' porti di lettere per cagion della Società , ogni anno, nel mese di Gennajo , sarà fatto l'esame, onde rico- noscere i Membri attuali, che avranno corrisposto a tutte le lettere del Presidente e del Segretario nel corso dell'anno antecedente, e dentro li rispettivi termini di tempo in esse specificati; ciascuno de'quali Socj avrà diritto di esigere zec- chini tre dalla cassa della Compagnia . XXIV. 5- ^- Ogni volta, che la forza pecuniaria della stessa Società lo consenta, si esporranno programmi al con- corso pubblico. Risoluto ciò dal Presidente, il Segretario in- X Statuto ^ itera !i Socj attuali a proporre argomenti. Questi esser do- vranno, o Fisici, o Matematici, o Fisico-Matematici, o in qn;ilin)f)ne modo giovevoli a queste scienze, e sempre appli- cabili ad utile general dell'Italia. Il Segretario li manderà stampati a ciascliedun Socio, pretermettendo quelli che uscisse- ro dalle condizioni ora prescritte. Ogni Socio spedirà al Se- gretario il proprio suffragio per la scelta dell'argomento, e dichiarerà insieme qual premio reputi conveniente e qual tem- po alla facitura ed alla presentazione delle Memorie . Quel tema che avrà più sufFragj, sarà adottato: nel caso di parità di voti , deciderà la sorte . §. 2. Tosto si comunicherà alla Compagnia l'argomento coronato, ed il numero de' sufFragj riscossi da ogni argomen- to. Nell'atto stesso sarà richiesto ciascliedun Socio attuale di nominarne tre ( di qualunque Classe , purché Italiani , e di- moranti attualmente in Italia ); quelli cioè, che ciascuno, os- servato il quesito, stimetà più adattati a giudicar le Memorie che compariranno al concorso. Quei tre, ne' quali concorre- rà maggior numero di suffragj ( l'uguaglianza rimovasi con la sorte), s'intenderanno destinati a pronunziare il giudizio. 5. 3. Nelle occasioni statuite sopra, saranno come non fat- te le risposte de' Socj, qualora non giungano al Segretario den- tro quaranta giorni dalla data della rispettiva Circolare di Lui . 5. 4- I^ nome de' Giudici eletti rimarrà a sola notizia del Presidente e del Segretario : se non che ciascun di quelli sa- rà fatto consapevole della propria destinazione , con divieto di concorrere al programma e di manifestarla a chicchessia : iiiun di loro saprà i suoi Colleghi. Se qualcun ricusasse , sa- rà sostituito il prossimo inferiore in quantità di voti . Ogni Giudice riceverà , dopo pronunziato il giudizio , un decente compenso dell' esclusion dal concorso. §. 5. Il Presidente, considerati i pareri de' Socj , lo stato economico della Società, e l'importanza di moltiplicare i pro- grammi, stabilirà la grandezza del premio, ed il termine da assegnarsi al concorso. Sarà tosto promulgato il problema per dellaSocieta'. Xì tutta Italia. Ogni Italiano, anche Socio, potrà concorrere : ri- mangono esclusi li soli tre Giudici . Le Memorie dovranno es- sere inedite, scritte in lingua Italiana, e pervenute nelle ma- ni del Segretario entro il termine prescritto dal programma: il nome degli Autori sarà occulto : ogni Memoria porterà in fronte un motto, e sarà accompagnata da un biglietto suggel- lato, contrassegnato al di fuori dal medesimo motto, e con- tenente, al di dentro in maniera occultissima, n ome, cogno- me, patria, domicilio e profession dell'Autore. Il mancare a qualunque delle antecedenti condizioni fa perdere il premio. 5. 6. Tosto che il concorso sia chiuso, il Presidente, ve- duto il numero e l'estension delle Memorie, definirà il tem- po , entro il quale ogni Giudice dovrà pronunziare il giudi- zio. Allora il Segretario trasmetterà le Memorie, tutte unite, ad uno de' Giudici: da cui restituite che siano, e notificato il proprio giudizio al Segretario, saranno da questo fatte per- venire ad altro Giudice j quindi con le regole stesse al terzo. Ogni Memoria coronata da un Giudice, sarà stampata col no- me dell'Autore. Il premio sarà dato a quella Memoria, che venga coronata da tre , o da due Giudici . Se tutti e tre li giudizj fossero discordi , si dividerà il premio fra le tre Me- morie coronate . Lo stesso si farà tra due coronate , qualora un Giudice neghi il premio a tutte le Memorie , e gli altri due non siano concordi . Che se fossero due li giudizj di ne- gativa generale del premio, in tal caso il terzo giudizio non sarà di alcun valore : si notificherà alla Compagnia l'esito del giudizio e si passerà alla pubblicazione di nuovo programma, coi metodi stabiliti sopra. 5. 7. Ma quando sia conferito il premio, il Segretario an- nunzierà prontamente ai Socj ed a tutta l'Italia il nome de- gli Autori delle Memorie coronate, indicando quello cui spetta il premio. Esse Memorie saranno stampate senza indugio; se ne spedirà un esemplare ad ogni Socio, 12, della propria a ciascun degli Autori coronati , 38 di più al premiato ; i ri- manenti si esporranno a vendita pubblica . XII CATALOGO DE' MEMBRI COMPONENTI LA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE. GAGNOLI ( Cav. Antonio ) Pensionano giubilato . Verona. . Socj Attuali . ALDINI (Cav. Giovanni) Consigliere di Stato degli Uditori . 31 ila no . AMORETTI ( Cav. Ab. Carlo ) Bibliotecario nell'Ambrosiana. Milano . ARALDI ( Cav. Michele ) Segretario del R. Istituto Italiano. Milano . BONATI ( Cav. Teodoro ) Pensionarlo Anziano, Ispettor Ge- nerale onorario alle acque, e strade, e Piofessore Speciale d' Idrostatica . Ferrara . BRERA ( Valeriano Luigi ) Professore e Direttore di Clinica Medica nella R. Università. Padova. BRUNACCI ( Cav. Vincenzo ) Ispettor Generale di Publica Istruzione ecc. Milano. CALDANI ( Floriano ) Professor di Anotomia umana nella R. Università . Padova . CALDANI ( Leopoldo Maria ) Professore emerito nella R. Uni- versità . Padova . CALUSO ( Cav. Ab. Tommaso Valperga ) Professor di Lìngue Orientali nell'Imper. Università. Torino. CANTERZANI ( Cav. Sebastiano ) Pensionario Anziano, e Professore di Fisica generale nella R. Università. Bologna. CESARIS ( Cav. Ab. Angelo ) Astronomo nel R. Osservatorio di Brera . Milano . CHIMINELLO ( Ab. Vincenzo ) Direttore del R. Osservato- rio . Padova . De' S o c j . xin COSSALI ( D. Pietro ) Professore di Matematica sublime nel- la R. Università. Padova. DANDOLO ( Gav. Vincenzo ) Senatore . Milano . FABBRONI ( Cav. Giovanni ) Barone dell'Impero Francese ec. Parigi . FERRONI ( Pietro ) Presidente dell' Imp. Accad. della Cru- sca ec . Firenze . FOSSOMBRONI ( Co. Vittorio ) Senatore dell'Impero Fran- cese . Parigi . GALLINI ( Stefano ) Professore di Fisiologia , ed Anatomia comparata nella R. Università . Padova . GIOBERT ( Giannantonio ) Professore di Chimica generale , e Mineralogia nell' Imperiale Università . Torino . GIOVENE ( Giuseppe ) Presidente della Società Agraria . Lecce . MAGISTRINI ( GIo: Battista ) Professore di Matematica subli- me nella R. Università. Bologna. MAIRONI ( Giovanni Daponte ) Professore di Storia Naturale nel R. Liceo . Bergamo . MALACARNE ( Vincenzo ) Pensionario giubilato. Professore d'Istituzioni Chirurgiche 5 e d'Ostetricia nella R. Univer- sità . Padova . MASCAGNI ( Paolo ) Professore d'Anatomia nell'Arcispedale. Firenze . MOSCATI ( Co. Pietro ) Pensionarlo Anziano, Pretore del Senato . Milano . PAOLI ( Pietro ) Professore di Matematica sublime nell'Im- periale Università . Pisa . PARADISI ( Co. Giovanni ) Presidente Ordinario del Sena- to . Milano . PESSUTI ( Gioacchino ) Professore di Matematica sublime nell' Archiginnasio della Sapienza . Roma . PEZZI ( Cav. Francesco ) Tenente Colonello nel Corpo Impe- riale del Genio Francese . Genova . PIAZZI (D.Giuseppe) Professore d'Astronomia. Palermo. PINI (Cav. Ermenegildo) Professore di Storia Naturale, Is- pettor Generale della Pubblica Istrjtizione . Milano . RAG AGNI ( D. Giuseppe Maria ) Professore di Fisica nel R. Liceo . Milano . RE ( Cav. Filippo ) Professore d'Agricoltura nella R. Univer- sità . Bologna . ^ ^ xrv Catalogo RUBINI ( Pietro ) Professore di Medicina nella Imperiale Uni- versità . Panna . RUFFINI ( Cav. Paolo ) Professore di Matematica sublime nel- la R. Scuola Militare. Modena.. TARGIONI TOZZETTI ( Ottaviano ) Professore d'Agricoltura, e di Botanica . Firenze . VASSALLI EANDI ( Cav. Antonio Maria ) Professore di Fisi- ca, e Segretario dell'Accademia Imperiale. Torino. VENTUROLI ( Giuseppe ) Professore di Matematica applicata nella R. Università. Bologna. Divisione dg'Socj Attuali in due Classi E INDICAZIONE De' ToMI , IN CUI HANNO MeMORIE . Classe Matematica . Bonati a. 5. 8. ii. i5. Brunacci i4- i^- ^^^ Gagnoli 3.4. 4. 5.5.5. 6.6.6. 7. 7. 8. 8.8. 9 . 10. 11. i4- Caluso 9. la. i4- Canterzani a. 5. 8. 11. i4- Cesaris a. io. (pag. x) ri.(pag. 176) i4- •Chiminello 7. 8.8. 9.9. io. io. 11. 11. 11. la. la. la. i3. i3. 14. i4' i4- '^• Cessali 9. IO. i3. i5. i5. 16. 16. Ferroni 5. 7. 9. io. 10. 11. la. i4- i5. 16. Fossombroni 3. 7. 9. la. i3. Magistrini 16. Paoli a. 4- 4- 6.6. 8. 9.9. io. i3. Paradisi Pessuti II. i3. i3. 14. i5. Pezzi 4- 5. 6. 8. II. II. i3. Piazzi II. 12. I a. i3. Racagni io. i3. 16. Ruffini 9.9. IO. II. la. i3. 16. Venturoli la. i4- D E* S 0 e jr . XT Classe Fisica . Aldini i4- Amoretti 8. io. la. i3. i5. i6. i6. Araldi io. ii. la. i3. i5. Brera i4- i5. i6. Caldani Floriano 7. 8. la. i3. 16. Caldani Leopoldo 4- 7- 8. 9. io. la. la. i3. 14. i4' ^^' i^* Dandolo ... Fabbroni io. 11. la. i3. 14. 16. Gallini i4- i5. 16. Giobert io. i3. Giovane 8. 9. io. 11. la. i3. 14. i4- i4- ^5. 16. Maironi Daponte 4- 9* 9- n- ^3. 14. i5. 16. Malacarne i. a. 3.3. 4- 4- 5- 6.7. 8.8.9.9. io. 11. la. la. i3. 14. i5. 16. Mascagni 8. 11. i5. Moscati I. 5. IO. i3. Pini 3. 5. 6.6. 9. IO. la, i3. i3. 14. i5. Re la. 14. Rubini 14. i5. Targioni Tozzetti 11. i3. i3. 14. Vassalli Eandi 4- 8. 10. 10. i3. 14. Socj Emeriti. BRUGNATELLI ( Luigi ) Professore di Chimica nella R. Uni- versità . Pavia . ORIANI ( Gav. Ab. Barnaba ) Astronomo nel R. Osservatorio di Brera , e Senatore . Milano . POLI ( Giuseppe Saverio ) Direttore del R. Museo di Storia Naturale . Napoli . SALUZZO ( Giuseppe Angelo ) . Torino . SCARPA ( Cav. Antonio) Professore nella R. Università. Pavia. STRATICO ( Cav. Simone ) Senatore . Milano . VENTURI ( Cav. Gio: Battista ) Membro del R. Istituto Ita- liano . Berna . VOLTA ( Cav. Alessandro ) Professore nella R. Università, e Senatore . Pavia . xTi Catalogo Socj Onorar] . BALBO ( Prospero ) Rettore degli Sttidj , Ispettor Gener. di publica Istruzione nell'Impero Francese. Torino. BRAMBILLA ( Paolo ) Professore di Matematica nel R. Liceo. 3Iilano . DALL'OLIO ( Gio: Battista ) . Modena . DELBENE ( Benedetto ) Membro del R. Istituto Italiano. Verona . LANDI ( Ferdinando ) . Piacenza . LOMBARDI ( Antonio ) Bibliotecario publìco . Modena . PINDEMONTE ( Ippolito ) Membro del R. Istituto Italiano . Venezia . POZZETTI (D.Pompilio) Prefetto della R. Biblioteca. Bologna. ROSSI ( Cav. Luigi ) Ispettor generale della Pubblica Istru- zione . Milano . VIVORIO ( Ab. Agostino ) Ispettor generale onorario d' acque e strade . Vicenza . Socj Stranieri. ACHARD . Berlino . Co. LAPLACE . Parigi . BANCKS. Londra. BURG . Vienna. RODE . Berlino . OLBERS . Brema . Co. CHAPTAL . Parigi . GAUSS . Gottinga . DELAMBRE . Parigi . ZACH . Gota . HERSCHEL . Londra . HAUY . Parigi . Segretario . Vice Segretario Amministratore . OTTAVIO GAGNOLI . XVII ANNALI DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE Dall' Aprile mdcccxi al Luglio mdcccxiii Continuati dai. Sic. Ottavio Gagnoli Vicesegretario Amministratore della medesima . 174- V><( [74- vJompita nell'Aprile io ri l'edizione dei Tomo XV, e spediti i respettivi esemplari agli egregj Socj ad esecuzione dell'Art. VI dello Statuto il Cav. Presidente ricercò a quel- li quale dei tre Scrittori degli Elogi contenuti in detto Tomo potevano ammettersi nella classe de' Socj Onorarj, e il Vice- Segretario fé promessa di comporre l'Indice ragionato delle materie contenute nei Tomi X a XV innestandolo all'altro suo lavoro dal Tomo I al X . 175. Condotto a termine felicemente in Modena a meri- to del Sig. G. B. Dall'Olio Procurator Generale della Socie- tà (147) l'atteggio con un debitore che esponeva l'interesse della medesima , il Cav. Presidente volendo allo stesso far sentir la gratitudine propria per lo zelo, da cui fu animato nella lunga lotta j ben considerate le cognizioni scientifiche e letterarie non comuni , di cui è fornito il prefato Signor DALL' OLIO ., e delle quali pose anco a parte la Società no- stra in varj Tomi; in base dell'Art. 6 dello Statuto lo anno- verò spontaneo alla classe degli Onorar] con pieno aggradi- mento dei Socj , come poscia lo dimostrarono . J76. Nel Giugno successivo i Quaranta spiegarono il lo- ro voto sulle resultanae de' giudizj (171), e la maggiorità disponendo che il Problema Fisico (160), alla soluzione del quale concorse con dottrina non comune l' Autore dai XVIII Annali motto Numqnam autem etc. (167) fosse di bel nuovo sot- toposto agl'ingegni Italiani, il Cav. Presidente unì a quello il Problema Matematico offerto da'Socj nel 1809 = Non por- gendo la teoria del La grange intomo alle corde vibranti la spiegazione de' suoni armonici, che al vibrarsi d'una corda si compongono col suono principale , ed opinando per ciò il no- minato sublime Geometra contro il comune sentimento , che quelli armonici suoni si debbano non alla medesima corda, ma ad altre fibre rispondenti nello strumento: si domanda o di verificare accuratamente per esperienza la opinione del La- grange o di perfezionare la sua teoria . Nel programma poi dei ac Giugno fu dichiarato che il premio di L. 600, e il tempo d'un anno, erano i limiti cui sì assoggettava il con- corso. In tal occasione, a senso del 5 21 dell'Art. XXIV del- lo Statuto furono eccitati i Colleghi a nominar nel loro seno tre giudici per ciascuno de' due Problemi. 177. A gran pluralità i Quaranta vollero aggregato alla Glasse dtì'Socj Onorarj il Sig. PROSPERO BALBO, Rettore dell'Accademia degli Studj in Torino, Scrittore nel Tomo XV della Fifa del defunto Morozza, e il Vice-Segretario nel si- gnificar alla Compagnia tal novello Consocio, partecipò il vacuo accaduto per la morte di Maskeline , Socio straniero , rassegnando, sei Nomi dal Presidente esibiti, a senso dell' Art. VII dello Statuto . 178. Trascorso il termine ordinario di 2, mesi la maggio- vita dei voti Sociali preferì il celebre BURG, cui fu solleci- to il Viee-Segretario partecipar tal nomina, non senza signi- ficarla pure ai Quaranta . 179. Nel Gennajo 18 la il Vice-Segretario premuroso di dar principio al Tomo XVI eccitò il fervore dei Socj ad in- viar alcune delle loro dotte produzioni , e in pari tempo no- tificò loro, che a senso dell'Art. XXllI dello Statuto, fatti col Cav. Presidente i più accurati esami sull'epistolario so- ciale del 181 1 resultarono in diritto del compenso statutario N.° aS dei Quaranta . Del Sic. Ottavio CACNOLt . xix iBo. Al programma ao Giugno 1811 niuno de' Dotti Ita- liani avendo concorso, il Cav. Presidente invitò i Colleghi a produrre nuovi Problemi , non senza raccomandare che tu tti fossero d'una chiara utilità alle scienze, alle arti, e all'u- manità . 181. Tra i moltiplici quesiti, che il fervore degli egregi Socj seppe proporre accadde, che pari voti prescelsero i pro- blemi di Fisica sotto i N.' I e XII; il Cav. Presidente, ri- portarsi volendo alla saggia decisione de'Colleghi, anzicchè alla propria, li fece interpellare, e rimase preferito il N." XII, come pili sotto . i8a. Frattanto col Gennajo i8r3 scadeva l'esecuzione dell'Art. XXIII; alle poche circolari spedite nel iBia si tro- vò, che 16 dei Quaranta pienamente corrisposero, ed essi ebbero quindi dalla cassa sociale il compenso statutario . i83. Nel mese successivo furon resi consapevoli i Socj, che pel Problema di Matematica da esporsi a publico concor- so era stato prescelto il seguente : Quale tra le pratiche usa- te in Italia per la dispensa delle acque è la più convenevo- le , e quali precauzioni ed artifizi dovrebbero aggiungervisi per interamente perfezionarla , riducendo le antiche alle nuove misure ( metriche), e che gl'ingegni dei Medici Italiani era- no chiamati alla soluzione di altro importante problema, così concepito : Poiché la tosse convulsiva è una delle malattie le più ostinate, le più moleste^ e micidiali, ed è quindi es- senziale, che i Medici se ne occupino con tutta V attenzione ;. cercasi qual sia la teoria più esatta di tale infermità, e qua- le il miglior metodo di cura . In detta enciclica fu ricercata a' Socj la nomina dei 6 Giudici, e fu dichiarato nell'apposi- to Programma, che il premio sarebbe di L. 800 per ciascu- na soluzione , e che il tempo per questa era accordato a tut- to il 24 Febbrajo 1814. 184. Nel primo Giugno accaduta l'amara perdita del So- cio Cav. Girolamo Saladini si affrettò il Vice-Segretario Am- ministratore di riparar tal vacuo proponendo , a nome del XX Annali Gav. Presidente, i nomi di varj Scienziati Italiani, e si at- tendono le relative risposte . i85. Non può tacersi la generosità di varj Autori, che vollero spedir alla Società le saggie loro produzioni, e in se- gno di doverosa riconoscenza qui si descrivono . Analisi delie virtìi dei medicamenti del Sig. Dott. Giuseppe de Matthseis Professore di Medicina nell' Archiginnasio romano. Roma 1810. Triticorum definitiones atque Synonyma , curante Jeanne Maz- zucato R. Utinensis Licaei Rectore . Catalogo delle opere stampate e de' discorsi inediti di Vin- cenzo Malacarne per Giare Giuseppe Malacarne suo figlio . Delle epizoozie de' bovi, delle pecore e dei porci, della rab- bia de' cani ec. di G. Pozzi. Ménioires de T Accademie Imp. de Turin Tom. IV Sciences, Litterature et beux arts pour les années 1809, 181 0. Annales de 1' Observatoire de l' Accademie de Turin par le Professeur Vassalli-Eandi . Premier semestre 181 1. Istruzioni pratiche sul modo di ben fare e conservare il vi- no del Gonte Senator Dandolo . Description d'un plain souterrain par Frangois Henri Egerton. II Gorao Favola boschereccia di Gio: Milton tradotta da Gae- tano Polidori da Bientina in 8.° e in 4-'' coli' originale inglese di prospetto . Su la dottrina della Vita. Di Maurizio BufFalIni. Forlì 181 3. I MEMORIE D I MATEMATICA RIFLESSIONI SUI PRINCIPI D'IDRAULICA Del Sic. Bernard MEMORIA Del Sic. Antonio Lombardi Socio Onorario. Ricevuta li io Ottobre 1811. iJa Teoria delle Velocità dei Fluidi , che sortono dai fori dei vasi , e che scorrono per canali orizzontali , fu già impu- gnata dal Sig. Gennetè , il quale anziché seguire la regola già stabilita di considerare esse velocità proporzionali pros- simamente alle radici delle altezze, vi sostituì un'altra ipo- tesi fondata sopra una serie di esperienze da lui eseguite , dalle quali ne veniva di conseguenza che le velocità stesse fossero proporzionali alle altezze : l' insussistenza però di que- sto principio fu chiaramente dimostrata dall'illustre Sig. Cav. Teodoro Boriati con pubblici , e rigorosi esperimenti , che confermarono l'antica teoria già ricevuta da tutti gl'Idrauli- ci , i quali poi furono anche vieppiù rassicurati sulla verità di questo fondamentale principio della scienza, dalle belle, ed esatte esperienze fatte con grandi apparati dall'egregio Sig. Michelotti . Tomo XVI. A a Sui raiNcii'j d'Idraulica di Bernard. Ma terminata così vittoriosamente questa scientifica con- tesa, un'altra ne insorse, non ha molti auui, allorquando il Sig. Bernard pul)blicò li suoi Nuovi prìncipi cV Idraulica , liei quali egli esaniinanrlo i fondamenti della scienza stabili- ti in gran parte dagli Italiani credè di scoprirvi molti erro- ri, ed inesattezze 5 e proponendo egli nuovi principj fonda- mentali, tentò di erigere un novello edilizio in questo nobil campo della Fisica Matematica . L'egregio Sìg. Boriati però, che per tanti titoli è bene- merito della scienza idraulica, non volle lasciare anche que- sta seconda volta senza difesa l'onore degli Italiani, e nella sua Memoria inserita nel Tomo XV della Società Italiana del- le Scienze, dimostrò col raziocinio congiunto a diverse in^e- gnose esperienze l'incocrenza del principio addottato dal Sig. Bernard per determinare la velocità del flnido che esce dai fori dei vasi ; e confroHitando le formolo lasciateci da Newton, e da Bernullì con gli esperimenti da lui instituiti fece pale- se, che queste si allontanano assai meno di quella di Bernard dai risultati eflettivi che si ottengono in pratica. Seguitando io benché da lungi le traccie di questo nostro ^rand'Uomo, intraprenderò in questa Memoria l'esame di alcuni altri nuo- vi principj che trovansi sparsi nell'Opera stessa risguardanti specialmente la teoria del corso dei Fiumi . Non mi è ignoto in quanta oscurità sia involta questa niateria, di quante spine siano cinte le questioni Idrauliche, e quale sia la moltiplicità degli elementi, che entrano a nìo- dificare, ed a variare nella pratica le teorie che s' insegnano, motivo per cui non ben si accordano fra loro in molti punti li più esimii Scrittori , che finora batterono quest'ai'dua car- riera . Ciò nullamcno io ardisco di accingermi ad esaminare al- cuni fra i punti principali della nuova teoria del Sig. Bernard sì perchè troppo interessa il tener saldi i fondamenti di una scienza cosi utile anzi necessaria, sì perciiè l'onore degli Scrittori Idraulici Italiani potrebbe ricevere qualche discapi- Del Sic. Antonio Lombardi. 3^ to, se Te massime fondamentali da essi con tanti studj , e con tante osservazioni stabilite dovessero soffrire riforma . Cile se la mia tenuità non permetterà, che questo scrit- to corrisponda alla sublimità dell'argomento, mi lusingo al- meno che i Professori della Scienza gradiranno il mio zelo , ed impegno per una cosi giusta causa, e per un così inte- ressante o^.'^getto . ^. f. Semplicissimo è il metodo che ci pi*esenta il Big. Bernard per misurare la pressione dei fluidi in moto, qua- lora la superficie di essi sia parallela al fondo, e la quantità che attraversa ciascuna sezione sia costante ; poiché egli la uguaglia a quella dei fluidi in quiete, giacche la forza che produce la velocità orizzontale nulla influisce sulla pressione . Ora io cosi ragiono . Questa forza qualunque essa siasi , agirà in linea orizzontale, mentre la gravità agisce in linea verti- cale . Se si consideri una particella di fluido animata da que- ste due forze che agiscono in direzioni ad ansolo retto fra loro, vorreni noi dire che gli efi^etti dell'una, non turberan- no punto quelli dell'altra? Questa particella premerà essa ugualmente il fondo, e quando è animata dalla sola forza di pressione , e qualora debba ubbidire a questa insieme , ed a quello che gli inqiresse il moto orizzontale ? Io non mei so persuadere . Gli effetti che osservo sui corpi solidi ( se pure è lecito in questo caso il paragone ) mi dicono apertamente che no: un Cocchio che rapido scorra, lascia dietro sé orme assai meno profonde di un altro che lentamente si muova . La supposizione dell'Autore cioè che la superficie del fluido resti parallela al fondo , che forse potrebbe favorh'e la sua teoria , è distrutta dalle osservazioni . Ma le ragioni metafi- siche debbono cedere il luogo alla guida principale in que- ste ricerche, voglio dire alla sperienza. Se il nostro Autore avesse consultato le sperienze dell'egregio Sig. Cav. Gio: Bat- tista Venturi sul movimento laterale dei fluidi, avrebbe os- servato che, queste possono diffìcilmente convenire con la sua teoria . Il Fenomeno maraviglioso osservato , e spiegato da 4 Sui principi d' Idraulica di Bernard . questo esperìmentatore, del succhiamento del fluido prodotto dal moto laterale d'altr' acqua che si muove per un canale, credo che basti a dimostrare essere la pressione dei fluidi in moto diversa da quella dei fluidi in quiete . 5. 2.. Calcolando la quantità d'acqua che sorte dalla estre- ma bocca di un canale orizzontale secondo i principj del Sig. Bernard trovasi esser questa la metà di quella che ottiensi impiegando i metodi già prima noti. Io qui non mi arreste- rò a ricercare se sia da attendersi o nò questo l'isultato , perchè dipendente affatto dalla teoria delle velocità già esa- minata dall'egregio Sig. Boriati nella Memoria da lui ultima- mente pubblicata , e da me citata ; e mi limiterò a presen- tare alcune riflessioni sulle obbiezioni fatte alla teoria dell' illustre Guglielmini (i) dal nostro Autore. La velocità, dice egli , assegnata da Giiglìehnìni all' acqua che scorre per un canale orizzontale è maggiore di quella che ha in realtà (2,). Imperocché , si adatti all' estremità di questo un altro cana- le della stessa larghezza del primo , inclinato per modo che l'acqua conservi in esso la velocità media che può produrre la caduta . Si osserverà allora che il fluido avrà in questo nuovo canale un'altezza minore di quella che aveva nel ca- nale orizzontale dove ha luogo la caduta ; dunque la velocità media alla caduta è maggiore della velocità media nel cana- le superiore , poiché queste due velocità sono in ragione in- versa dell'altezza viva del fluido nei due canali. Distingue- (i) L'Idea rhe oi dà il Sig. Bernard «lei sapere di Guglielmini nel discorso storico ( p. IO ) disonorerebbe assai la sua memoria se questo celebre Italiano non fosse già in possesso di una stabile gloria. Le espressioni del Sig. Bernard sono le seguenti . Nato con uno spirito vasto ( Guglielmini ) ntjn gli mancarono che i veri principj delle materie che trattò; egli se ne immaginò all' esempio de' suoi contemporanei , e subì come essi l' influenza del suo secolo . Gli elogi pevò prulasi ( con non mol- ta ragione secondo Bernard ) a questo Scrittore It.diino dai sommi Uomini A' Alembert , Bossut, Fontenelle , e Mou- tucla sono a mio giudizio un testimo- nio cosi cbiaro della sua profondità nel- la Scienza Idraulica , che spero nou potrà essere per un solo istante bilan- ciato in contrario dal suddetto giudizio del Sig. Bernard , il quale io rispetto sommamente , ma non credo , che pre- tenda di essere messo a livello dei guu- nominati celebri Matematici . (a) jSernard p. 97. Del Sic. Antonio LoMBAnor. S remo i casi, e vedremo di togliere così il dubbio del Signor Bernard . Il movimento di un fluido sopra vin fondo orizzontale è ben diverso da quello sopra un fondo inclinato . La pressio- ne è la sola causa producitrice della velocità nel primo caso, quando però il fluido non abbia preconcepito velocità alcu- na per la caduta; ma nel secondo l'acqua si accelera conti- nuamente, e quindi deve ribassare il proprio pelo per la leg- ge scoperta dal celebre Abbate Castelli . Ora il fluido giunto alla estremità del canale orizzontale si abbassa alcun poco di pelo , la sua superficie si dispone in un piano inclinato , e questa inclinazione di pelo si estende per qualche tratto su per r alveo orizzontale . Questo effetto è cagionato da ciò : le particelle estreme 5 e le più basse del fluido non essendo pili premute da altre particelle , né essendo più sostenute dal fondo , precipitano , e seco si strascinano le superiori . La velocità deve adunque in quell'attimo crescere qualche poco , e perciò 1' altezza deve diminuire nel canale che si applica , semprecchè scorra per questo tanto fluido appun- to, quanto ne somnrinistra il canale superiore. L'inganno del Signor Bernard consiste a mio parere nel trasportare la teoria dei canali orizzontali a quella dei canali inclina- ti , e nel credere , che Guglielmiìii abbia inteso essere la velocità all' estremo del canale orizzontale precisamente u- gnale a quella del fluido nelle parti superiori dello stesso canale (i). Questa diversità però non rende in conto alcuno (i) Alla pag. 16 del Discorso Storico l'Autor francese vorrebbe distruggere la ronseguenza di Giiglìelmini , die quando la velocità dipenda dalla sola alte/.za viva essa crescerà al crescere dell'altezza perchè dio'egli tal conse- guenza è contraria all'altro' inconcusso principio , che le velocità sono recipro- che alle Sezioni . Chi vorrà però riflet- tere alla condizione che richiede Gii~ glielmini , cioè che il canale sia oriz- zontale ed abbia una larghezza costan- te , converrà che Bernard ha questa volta applicato inopportunamente il sud- detto principio j perchè nelle circostan- ze dell'Autore Bolognese , o non si de- vono paragonare insieme le Sezioni di un medesimo canale orizzontale , ma quelle di due differenti canali orizzon- tali di uguale larghezza , e nei quali l'acqua abbia diverse altezze vive; op- pure , se si vuol considerare Io stesso canale, conviene intendere che vi siano introdotte diverse quantità d'acqua j eh» facciano variare l'altezza . 6 Sui principj d' Idraulica ni Bernard . difettoso r ingegnosissimo metoJo prescritto dal nostro cele- brt' Italiano per misurare la quantità d'acqua die sbocca da un C-anale orizzontale. Eijli suppone è vero, che la velocità allo shocco sia precisamente quella dovuta a tutta l'altezza viva superiore, e quindi qualche poco minore dell'attuale, ma egli ottiene un corrispondente compenso nella maggiore altezza della sezione che introduce nel calcolo . E tanto è ciò vero, che egli propone (i) per unico metodo da usarsi per misurare la quantità d'acqua anche nei grandi fiumi, il ^uo regolatore, in cui come a tutti è noto, non s'impiega r^l calcolo la velocità dell' ultuìia sezione libera, ma bensì ([iiella media, che compete all'altezza del fluido reso stagnante. Chi bramasse d' iaqiiegarvi l'attuale velocità media dell'ac- qua, dovrebbe poi impiegare anche l'altezza precisa della sezione allo sbocco, cioè quell'altezza che resterebbe detei- minata dal velo inclinato dell'acqua alla caduta senza rego- latore. Ma Guglìelmini vide quante, e quali difficoltà sareb- ])onsi incontrate volendo misurare la velocità media della se- zione allo sbocco, che dipende da piti elementi; e perciò vi sostituì la velocità superiore modificando poi opportunamen- te l'altezza . §. 3. L'altra obbiezione che ci presenta il Sig. Bernard alla esposta teoria di Guglielniini è la seguente . Pongasi colla immaginazione (2) nel luogo di una sezio- ne verticale di fluido una parete di uguali dimensioni a quel- le del canale orizzontale, e che abbia precisamente la stessa velocità dell'acqua, questa sarà premuta ugualmente da am- bedue le parti , perchè l' altezza del fluido sarà la stessa tan- to a destra, che a sinistra, essendo il fluido orizzontale, e premendo ugualmente per tutti i versi. Si supponga ora che sia praticato in qualunque luogo di questa parete un foro : (1) Misura delle acque torrenti T." 1° della Race, di Parma p. "'Sg , 34^. (a) Bernard p. 99 ìi.° 187. Del Sic Antonio Lombardi . 7 l'acqua trattenuta dalle pressioni uguali non sortirà . Fin qui l'Autore, il quale io prego a riflettere che questa iinma'.'i- uaria parete, si potrà nella sua ipotesi considerare co!..? un suttil velo di fluido, il quale si muova entro lo stesso fluido con la stessa precisa sua velocità . Ora , e come potrà mai sortire il fluido da un foro in questa parete fatto , se questa sfugge davanti a lui con la stessa velocità con cui csso la insegue ? Farmi che questo caso sia appunto quello di due corpi li quaH partendo dallo stesso punto si muovano sempre con uguali velocità, dei quali non si avvererà giammai che ]' un d'essi avanzi in cammino l'altro che si muove al suo fianco. Ma io osservo inoltre, che l'ipotesi del nostro Au- tore poggia sulla supposizione del 5- iSa, cioè, che la pres- sione dell'acqua in moto uguagli quella dell'acqua in quie- te, e che la superfìcie di essa, quando si muove, sia per- fettamente orizzontale . Abbiamo già superiormente osserva- to, che la prima supposizione non sembra molto fondata, e non credo che si possa cosi facilmente convenir seco nella seconda (i) . L'esperienza ci dimostra che l'acqua al sortire da un canale orizzontale si abbassa in altezza, e questo sbas- samento deve per l'aderenza che hanno fra loro le parti del fluido, e per la somma sua mobilità comunicarsi alle sezioni superiori dell'alveo, estendendosi insensibilmente all' insù, e diminuendosi a poco a poco ; quindi la pressione che si eser- cita sulla immaginata parete non può dirsi rigorosamente uguale da ambe le parti . Chiunque conosce la natura dei fluidi non potrà a meno di non convenir meco, che una mi- nima differenza di pressione che si ammetta nel fluido ante- riore , e posteriore a questa parete , basta per produrne la contrastata in^linozione I2.) . (i) Le esperienze di Bossut sui canali orizzontali T." il" p. aSi dimostrano ad evidenza che la superficie di un fluido elle si muove in un canale orizzontale, è inclinata verso lo sbocco. L'altro fe- nomeno poi che osservasi di un luogo cioè del canale, in cui l'accfua è più alta , che in qualunque altro, dipende dalle resistenze di cui non è qui luogo di parlare . (a) Molte sono le critiche date dall' Autore agli Scrittori Italiani Idraulici , 8 Sui principi d'Idraulica di Bernard. 5. 4- Passiamo ora a confrontare i risultati delle sperien- ze eseguite dall'egregio Sig. DeBiait, per misurare la quan- tità d'ac([ua che sorte da un canale orizzontale e ripor- tate da Bernard (i) con quelli dati dalla teoria di Gi/gliel- ì/iini , onde veder cosi a qual partito sia meglio l'attenersi in mezzo a tante dubbiezze , ed oscurità . La maggior diffe- renza , che osservo fra le quantità dedotte dalle sperienze del Sig. Di Bj/at , e quelle dedotte dalia teoria del chiaris- simo Bolognese si è di 60 in piìi , e la minima è di 8 pure in più, impiegando la corx'ezione di ^ per la contrazione del- la vena e non quella di | , e ciò per considerare il caso più sfavorevole. Se si divida l'errore massimo di 60 per la quan- tità dedotto dalla sperienza cioè Suo avremo jL circa, ossia 0,192 che ci esprimerà l'eccesso massimo della quantità teo- rica di Giiglielniini sulla sperienza di Buat ; ed Jj ossia 0,1 85 è il difetto che si trova dividendo 8 per la quantità 432, dell' altra corrispondente sperienza, dal che dedur si potrebbe tut- to al più , che invece di adoperar la correzione di \ usar si debba quella di || (a) ossia 0,346 . Si confrontino ora le es- sperienze medesime con le quantità teoriche di Guglielmini , jc con quelle date da Bernard che ne sono la metà . Le suc- cessive differenze in più fra le quantità dedotte secondo la teoria Guglielminiana , e le quattro corrispondenti esperienze sono come i numeri ii88, 5bo , 364, 164? quelle dedotte secon- le quali però cadono ila se qualora si dimostri la poco sussistenza de' nuovi principi j "on posso però ommettere qui la difesa dell'illustre Torricelli che da Bernard ( Discorso preliminare pag. 7 ) viene accusato di aver scoperta cosi a tentone la legge delle velocità dell'ac- qua che sorte da un serbatojo per ori- fizi piccoli usando della esperienza sen- za darne la dimostrazione . Se l'Autore si fosse dato il pensiere di scorrere le «pere Geometriche di questo cìiiaro Ita- liano , VI avrebbe incontrata alla pag. 19O ( Edizione di Firenze in /|.° 1644 ) la dimostrazione, che desiderava fondata appunto su i principi dell'incomparabile Galileo da lui rammentati nel citato luogo del suo discorso . (i) Pag. 119. (2) Questa frazione ^l è dedotta nel modo seguente . La quantità teorica di Guglielmini è 660 : per ridurla a 43^ , quantità avuta dalla sperienza , convie- ne detrarre 22,8, che è all' incirca f| del totale 660 . Dra. Sic. Antonio Lombardi. q secondo la teoria di Bernard, sono in corrispondenza, ma in meno, come i numeri i35o, 947, 374, 57. Da questo sem- plice confronto rilevasi che gli errori in più nella teoria di GiigUelinlni sono minori di quello siano gli errori in meno nell'altra. Chiunque è versato in questa scienza giudicherà ora, se, prescindendo anche da quanto io ho fatto osservare negli antecedenti paragrafi, debba, o no preferirsi il metodo ordinario per calcolare la quantità del fluido nel caso concre- to alla nuova regola che incontrasi nell'opera che andiamo esaminando . Non isfuggirono queste riflessioni al S!g. Bernard, il qua- le vide che li suoi risultati teorici diff'erivano fino ad | dalla sperienza, ma attribuì questo errore alla mancanza delle con- dizioni da lui richieste nei vasi usati nelle sperienze per ve- rificare la sua teoria, e convenne, che applicando li suoi principi (1) non si otterrà che una porzione di tutta la quan- tità d'acqua, che sorte dall'emissario di un canale, cioè di quella , che secondo lui cade liberamente ; ma quando sare- mo al caso pratico , qual norma dovremo seguire per sapere quanta sia l' altra parte del fluido che sgorga ? I nostri Ita- liani ci somministrarono dati piìi certi per avere in questi calcoli quella approssimazione a cui solo può pretendersi in tali materie . Il chiariss. esperimentatore Sig. Michelotti ci istruisce che l'error massimo fra la teoria di Guglielmi ni , e le sue delicate, ed esatte esperienze fu di pollici cubi 16 in un corpo di acqua di pollici cubi i4i4 (^) ^^^^ ^' sa ^^^ ^^' tale, e determinò in conseguenza di esse il rapporto da usar- si in questi calcoli onde evitare ancora un tale difetto spe- cialmente nelle altezze maggiori di un piede . Il minimo er- rore poi fu di piedi 8 | in piedi cubi i473 ^ cioè di jfj circa Tomo XFI. B (0 pag. Ii5 , N.' 217. (i) Michelotti Sperimenti Idraulici, Tom. I, pag, i35 e segg. IO Sui duncipj d'Idraulica di Bernard. Jel totale . Posta questa corrispondenza fra la teoria di Gu- glielmi ni , e le sperienze dell'egregio Sig. Michelottì che le «segui con grandi apparati , e con tutta la possibile esattez- za parmi a dir vero, che si possa conchiudere che l'ordina- rio metodo di determinare la quantità d'acqua sia più sicu- ro, o almeno assai piìi prossimo al vero di quello sia la nuo- va teoria che viene proposta . 5- 5. L'immortale Galileo aveva insegnato che la Velo- cità delle Acque iti un Canale dipende dalla pressione delle Acque superiori {i) , Non piacque al Sig. Bernard questa teo- ria , e tacciò d' immaginaria quest' asserzione di Galileo . Se alla estremità di un canale incHnato si applichi un serbatojo <1' acqua orizzontale, il fluido, che trovasi nell'ultima sezio- ne dice Bernard non franerà più perchè la causa di questo efFettOj sarà distrutta dall'opposizione del fluido orizzontale (a). Quando egli cosi ragionò, convien dire che dimenticasse il noto principio fondato sulle costanti osservazioni fatte da tut- ti gl'Idraulici che l'acqua influente si spiana tutta sotto il pelo del recipiente . Questa osservazione porta necessariamente a concludere, che nel caso da lui supposto, il franamento dell'acqua non sarà così sensibile è vero, e si estenderà a minor distanza , ma però sussisterà , e sarà tanto più sensi- bile, quanto sarà maggiore l'inclinazione del letto, e quindi la velocità dell'acqua all'estremità del canale; perchè que- sta avrà maggior forza per spingere oltre, e penetrare l'ac- qua del serbatojo orizzontale. Che se l'Autore avesse atten- tamente esaminato il passo di Galileo, in cui cioè stabilisce il nominato principio, gli avrebbe certamente resa quella giu- stizia che iiierita un si grand' Uomo. Galileo non parla di un canale immaginario, in cui si supponga scorrere sempre la stessa quantità d'acqua, ma bensi di un fiume per cui muo- vendosi r acqua , si aumenti rapidamente il suo volume al (i) Ga/;7eo opere . Padova 1744^ Tom. 1 (2) 5er«arrf Nouveaux principes d'Hy- III., pag. 865, lin. la. | draulitjue pag. 69, N.° i3o. Del Sic. Antonio Lombaiidi . ir sopravvenire di una piena . Avendo egli più superiormente dimostrato con il raziocinio, e con la sperienza del fiume Arno, che l'accelerazione delle acque in tempo di piena, è prodotta in massima parte dall'aumento celere del volume d'acqua, e non dalla inclinazione dell'alveo: ed in forza del- le resistenze di esso, e delle sponde scorrendo le acque or- dinarie con una velocità assai minore di quella che dovi'eb- bero avere dipendentemente dalla inclinazione dell' alveo , succede , che arrivando le acque in piena animate da una velocità maggiore di quella delle acque ordinarie, e in gran volume, pionìbano dirò così su queste, e le spingono avanti accrescendo cosi la loro velocità . Non sembrami poi in parte alcuna fondato il paragone, che istituisce il Sig. Bernard (i) del principio di Galileo al- la opinione di alcuni, i quali sono di sentimento, che nelle piene grandi, e rapide le acque comprimano l'aria al segno, che essa acquisti forza bastante a sollevare i sassi , e farli rotolare colla massima rapidità . Chiunque leggerà attenta- mente il citato passo di Galileo , dovrà sicuramente convenir meco, esser ben difficile il poter paragonare il pi-incipio di questo alla stravagante idea della compressione dell' aria di cui egli non fa pur cenno, e si vedrà che egli non attribui- sce il movimento delle acque inferiori alla pressione di quel- le che sono più vicine alla loro origine, come asserisce Ber- nard ^ ma bensì alla maggior copia delle acque superiori pre- menti, e spingenti. Io non ardirò di sostenere che questo effetto si estenda ad una grande distanza nell'alveo inferio- re, e nemmeno Galileo lo dice: bastami l'aver dimostrato, che non può dirsi assolutamente immaginaria l'asserzione di questo insigne Filosofo il quale appunto per la sublimità de' suoi talenti, e per la superiorità, e estensione delle sue co- gnizioni fu lo scopo dell'invidia de' suoi contemporanei, e (i) pag. 147, Sez. IV, Gap. lU.. li Sui l'iiiNcipj d'Idraulica di Bernard. che non so per cjuale avverso destino , non meritò poi dagli Enciclopedisti altro eiK omio, che quello di esser posto a li- vello con Pascal, e giiid'K.'ato inferiore a Cartesio (i). §. 6. L'interpretazione data dal Sig. Bernard a questo principio di Galileo^ lo conduce a dedurne alcune conseguen- ze, le quali se potessero sostenersi come dipendenti da que- sta massima j oscurerebbero assai la gloria di questo nostro Italiano . La prima conseguenza che Bernard ne ricava si è , che se nel letto dei fiumi le acque superiori agissero sulle infe- riori, chiudendo queste, s'impedirebbe alle altre di scorrere al basso (:i) . Se noi immagineremo, che le sezioni del fluido siano come tanti corpi solidi isolati, come egli persuadere ci vorrebbe, allora potrà verificarsi ciò che egli dice; ma finché ci formeremo delle idee giuste della iluidità, e semprecchè si supponga che il canale sia (}ualche poco pendente, ed ab- bia il suo pelo inclinato verso lo sbocco, come ci ammaestra l'esperienza, credo, che nessun fisico ricaverà dal principio di Caldeo una conseguenza cosi singolare. Quando l'Autore Italiano ammise questa gravitazione delle acque superiori sul- le inferiori, non s'intese già che le acque scorrenti all'ori- gine di un fiume agiscono su di quelle dello sbocco , come vorrebbe interpretare Bernard^ allorché dice che le acque le quali scorrono per un fiume non sono nel caso di quelle, che corrono racchiuse in un tubo (3). Se il canale fosse poi per- fettamente orizzontale , e si chiudesse il suo sbocco , mentre seguitasse a correre Tacqua nel suo letto, chiunque per po- co versato che sia in queste materie, vedrà primieramente, che questo non é il caso preciso contemplato da Galileo^ ed inoltre rileverà facilmente, che in simile ipotesi il pelo d'ac- qua allo sbocco si eleverebbe quanto richiedesse la differen- za di livello delle acque fra l'emissario del canale, e la sua (i) Enciclopedia. Discorso prelimina- 1 (a) pag. i5i, . re pag. 28, Edizione di Parigi 1751. | (3) Ivi. Del Sic. Antonio Lombardi . i3 origine, sì disporrebbe in una linea orizzontale, e intanto ii fluido potrebbe superare le sponde, e seguitare a muoversi . 5. 7. L'altra conseguenza che deduce il S'ig. Bernard (i) si è che quando le acque superiori divengono più abbondan- ti , il moto delle altre dovrebbe crescere in una maniera uni- forme ; anzi se il movimento fosse tanto più considerabile , quanto la distanza alle acque affluenti fosse minore, potrel)- bero accader delle piene in quei punti dei fiumi nei quali dette acque non sarebbero arrivate . Per conoscere quanto fondata sia questa conseguenza, si osservi, che supposta an- cora questa comunicazione cosi lontana di movimento come s'immagina Bernard, e non Galileo, semlirami che da ciò non si potesse dedurre altro, sennonché le acque più lonta- ne dall'origine del fiume, acquisterebbero del moto, e si ac- celererebbero, dando cosi luogo alle sopravvegnenti . Affinchè succeda una piena richiedesi assolutamente un aumento d'ac- qua in quel luogo, il che non veggo come possa aversi al so- lo aumentarsi della velocità cagionato dalla supposta comu- nicazione di movimento, anzi al crescere della velocità, de- ve secondo il principio del chiariss. Abbate Castelli decre- scere l'altezza delle sezioni specialmente nei canali inclinati di fondo , quando non vi sia reale aumento di fluido . §. 8. L'influente in un fiume più grande sarebbe capa- ce dice per ultimo Bernard (a) supposto sempre il principio di Galileo, di muovere, e spingere avanti le acque del reci- piente, che d'ordinario sono di una massa assai enorme ri- guardo a quello del primo : siccome Galileo nel proporre la tanto contrastata massima si espresse in termini generali, così non doveva contemplare un'eccezione della regola; ed a lui, che scopri le leggi del moto era sicuramente noto, qual pro- porzione ricerchisi fra le velocità di due masse perchè l'ur- to della minore fra esse sia capace di muovere la maggiore. (0 pag. i5i. l^) Ivi . r4 '^ui PRiNCiPj d'Idraulica di Bernard, Oltre di che il regiirgito delle acque del recipiente siili' al- veo dell" influente è cagione che la piena di questo segua nello scaricarsi leggi ben diverse da quelle che osservansi in un gran fiume recipiente . Se il Sig. Bernard avesse poi più attentamente esaminato il passo di Galileo, non avrebbe im- maginato una nuova spiegazione del fenomeno dell'accelera- mento delle acque (i) osservato anche da Buffon, la quale poi in sostanza non è diversa da quella del nostro Italiano ; giacché anche Bernard suppone, che vi sia un punto neli' alveo del fiume , in cui si renda sensibile il cangiamento di velocità prodotto dalle acque della piena . Ma si termini or- mai questa forse troppo lunga discussione, e passiamo ad os- servare quali siano le leggi con cui secondo il Sig. Bernard i fiumi regolano le loro pendenze . 5- 9- Erasi fin qui creduto che la teoria di Guglielmini la quale c'insegna che il volume, e la rapidità delle acque hanno molta influenza nel rendere sensibilmente orizzontale il fondo di un fiume, fosse giusta, e comprovata anche dal- la esperienza ; tale però non è il sentimento del Sig. Bernard , il quale crede che le due esposte cause non siano capaci di produrre un tale effetto (a), perchè le acque giusta il suo parere si adattano al piano sul quale scorrono. Mi permet- ta di chiedergli soltanto , se avendosi due fiumi di assai di- versa portata che scorrano per le stesse pianure , e vadano a sboccare nella stessa spiaggia di mare, siano essi dotati nei punti omologhi del loro corso di uguale pendenza . Le osser- vazioni, e gli esperimenti istituiti nei nostri fiumi d'Italia ci coiivmcono, che l'inclinazione del letto di questi due fiu- mi sarà ben diversa. Eppure supposto vero questo nuovo prin- cipio il Pò, per esempio, il Reno, ed il Panaro aver dovreb- bero verso il loro sbocco la stessa pendenza. Ma dalle reite- rate osservazioni fatte in questi fiumi, sappiamo che miiiitie (i) png. i5a. (a) pag. i54 , N." a63. Del Sic. Antonio Lombardi . iS il Pò Ila oncie 6 all' incirca di pendenza per miglio (i), e rende poi il suo letto quasi orizzontale nei tronchi più vici- ni allo sbocco (a) , il Reno che corre in una pianura vicina a quella del Pò. dopo l'ingresso della Samoggia ultimo suo influente ha onc. i4 di pendenza per ogni miglio (3) . Così il Panaro fiume di portata pressocchè uguale a quella del Reno, nel suo ultimo tronco pende onc. i8 alle onc. 19 per miglio, e va a sboccare in Pò, che in quel luogo non avrà nemme- no le onc. 6 di pendenza per miglio (4)- Parimenti il torren- te Idice al punto dove voleva introdursi in Reno , ha una caduta di otto piedi Bolognesi per miglio , mentre il Reno verso il Trebbo ha una inclinazione di piedi simili tre , e mezzo, di sotto al qual punto doveva ricever l' Idice con la suddetta enorme pendenza (5) . Quando il Sig. Bernard fissò questa sua massima che abbiamo veduto combinare assai po- co con gli esempi pratici, ommise forse la considerazione im- portantissima della torbidezza delle acque che portano i fiu- mi, e l'altra, che opponendosi degli ostacoli al loro corso, quanto maggiore sarà il volume, e la rapidità della corren- te, tanto pili facilmente essa terrà incorporate le materie che seco trasporta, e supererà gli ostacoli che incontra per l'al- veo . Io non dirò giù che la situazione dei luoghi non influi- sca a determinare la pendenza stabile di un fiume special- mente torbido , ed è certo , che quando esso scorre fra le colline ha maggior pendenza, che quando scorre per una pia- nura, ma dirò bensì che commetterebbe non piccolo errore, chi volendo fissare in qual pendenza di letto si stabilirà un fiume correndo per esempio fino al mare , determinasse con gli strumenti la caduta del terreno per cui si volesse condur- re il nuovo alveo , e credesse che il fiume stabilisse la sua nuova cadente in una linea paralella all'inclinazione del j3Ìa- (1) Raccolta degli Scrittori d' acque di Parma , Tom. IV , pag. 122. (2) V. sopra, Tom. V, pag. 81. (3) V. sopra , Tom. V , pag. 8. (4) V. sopra , Tom. IV , pag. 335. (5) V. sopra, Tom. V, pag. 17. 1-6 Sui iiiiNcu'j d' Idraulica di Beunakd . no livellato. Nò semLrami a dir vero, clic gli esempj da lui liferiti dei fiumi dell'Africa giovino a stabilire la verità del suo principio; poiché, come egli riflette (i), questi fiumi cor- jono iu mezzo alle rupi fino al loro sbocco, e sono anche interrotti da cateratte, e quindi scorrono per alvei non su- scettibili di escavazione , e formano perciò una eccezione al- la regola generale . Se la Saonna avendo un corso più lungo della Durenza (2), la prima ha il suo fondo meno inclinato, ciò è conforme alla teoria dei fiumi : ognuno sa che qualora si dice 5 che il volume, e la rapidità influiscono a determi- nare la pendenza, s'intende sempre di parlare di que' luoghi nei quali l'alveo non è interrotto da ostacoli insuperabili, o da cateratte artificiali, nel qual caso non si possono conside- rare soggetti alle variazioni dipendenti dalle suddette due cau- se , che i tratti intermedj fra ostacolo , ed ostacolo . Ninno si è mai immaginato che quando un fiume passa per dei pia- ni di assai diverso declive fra loro^ esso debba mutare all'at- to l'inclinazione del suo fondo, e debba per esempio scorre- i-e orizzontale in mezzo alle colline . La verità si è , che se passerà un fiume con un dato corpo d'acqua per un dato pia- no inclinato , il suo Ibndo prenderà una certa inclinazione adattata alla sua portata, ed alla qualità delle sue acque, e se per questo stesso alveo si vorrà far passare un altro fiu- me di portata assai diversa, e le cui acque sieno più torbi- de di quelle del primo , egli è certo dalla esperienza , che <[uel fondo cambierà la sua inclinazione , e si adatterà alla portata del nuovo fiume (3) . 5. IO. L'inclinazione del letto dei fiumi, viene ricono- sciuta dal Big. Bernard per la causa principale della loro ve- locità , (i) pag. i54, Nota I . (^) pag. i56. (3) Se dalla primitiva organizzazione «Iella terra dipendesse unicamente l'in- clinazioue del letto dei fiumi come in- segna Bernard alla pag. 265 si dovreb- Le osservare il fenomeno del parallelis- mo del fondo al piano della campagna , rosa che abbiamo già osservato non sus- sistere in generale . Del Sic. Antonio Lombardi. 17 lecita , al qual proposito riflette die non sì verifica in natu- ra la teoria di Galileo dalla quale deducesi che la velocità dovrebbe sempre aumentare (i) . Non credo però che questa osservazione sfuggisse a Galileo, perchè egli ben sapeva, ed a tutti li Fisici è noto, che prescindendosi nella teoria del- la accelerazione dei gravi dalla considerazione delle resisten- ze, le quali nel caso concreto s'incontrano sempre, non è a stupirsi se li risultati teorici differiscono da quelli, che la pratica osservazione ci presenta . Ma nell' adottare il Signor Bernard questa massima si forma in conseguenza di esso del- le idee particolari sulla rapidità dei fiumi : paragona egli il moto delle acque che scorrono per gli alvei inclinati a quel- lo di enormi massi che precipitando giù dai monti rovescia- no ciò che incontrano , e tanto maggiore è il loro impeto , quanto è maggiore il loro peso , e volume . Se questo paragone può ammettersi in qualche parte , qualora si consideri il movimento di un impetuoso torrente che scorre fra balze , e dirupi , io non credo , che in gene- rale possa istituirsi senza offendere le leggi dalla natura im- poste ai corpi fluidi quando i fiumi scorrono per le pianure, quantunque inclinate . Il sasso che si rotola per lo pendìo di un monte, è un corpo solo unito, e il fluido composto di parti amovibili non potrebbe considerarsi come tale se non s' immaginasse che tutte le sue minime particelle fossero ani- mate da una velocità infinita, il che involve l'altro princi- pio non ben fondato, che la pressione non si alteri, quando il fluido è in moto . E qui io credo di essere in diritto di pretendere dal Big. Bernard maggior moderazione verso il chìariss. Guglielmìni il principio di cui sull'aumento di ve- locità prodotto dalla maggiore altezza d'acqua viene chiama- to una chimera (a) . Se questa teoria non si avvera con pre- Tomo XVI. G (i) pag. 161. (a) pag. i63, Nota i. l8 Sui PRiNGipj d'Idraulica di Bernard. cisione nella pratica, non è perciò che essa sia falsa. Gli ostacoli che il fluido incontra per via ne devono certamente modificare i risultati , uè egli è a supporsi , che Guglielmini non conoscesse la differenza che vi è fra la teoria , e il ca- so concreto in questo arduo problema . Le esperienze però instituite da molti insigni Matematici, e specialmente dall'e- gregio Sig. Blìclielotti (i) ci istruiscono, che immergendo la palla del quadrante a diverse profondità l'angolo di deviazio- ne cresce, il che parmi, che dimostri la verità del principio in general.;, perchè se la velocità dipendesse soltanto dall'in- clinazione dell'alveo, l'angolo suddetto dovrebbe rimaner co- stante per tutta l'altezza viva della sezione, anzi in tempo di piena dovrebbe esser maggiore in superficie di quello, che s'incontrasse a qualche profondità, perchè allora l'inclina- zione del pelo è ordinariamente maggiore di quella del fon- do (a) . Non si limita però il Sig. Bernard a giudicare erro- nea la teoria di Guglielinini , in ciò che riguarda la velocità dipendente dalla pressione ; ma inoltre non crede potersi dire che in una data sezione una parte di fluido scorra con una velocità dipendente dalla inclinazione ^ e l'altra con mìa ve- locità dipendente dalla pressione (3) ; perchè giusta il suo ra- ziocinio la pressione non può cessare di agire. Ma io osservo che se avrò un canale, che abbia una data inclinazione in cui l'acqua si nuiova sotto una certa altezza, la pressione produrrà un certo determinato eftetto qualunque poi esso sia, e l'inclinazione ne produrrà un altro pur esso determinato. Ora se io aumenterò la pendenza , restando costante la pri- miera altezza del fluido, crescerà il secondo effetto, perchè la causa è più potente , mentre il primo non si altererà pun- to . £ perchè dunque non vi potrà essere uu' inclinazione di (i) Tom. I , pag. i6i. (j) I,".Himeiito dell'angolo tli devia- zione al crescere dell' immersione non può certamente attribul^si all'ostacolo del filo, perchè questo d'ordinario t; assai tenue, e la sua superficie è mini- ma in confronto di (juello della palla . (3) Discordo storico j pag. l3 , N.° 111. ^. )el Sic. Antonio Lombardi. 19 alveo, tale, che l'effetto da essa prodotto sopra una parte di fluido superi rpiello prodotto su di essa dalla pressione cor- rispondente all'altezza? Sembrami che questo discorso provi almeno che la ragione addotta per distruggere la proposizio- ne di Giiglìelmìnì non sia assai forte . Io non asserisco né Cnglielmini ha mai asserito che la pressione cessi di agire r ma dico bensì che l'effetto da essa prodotto sopra una data particola di fluido può essere superato da quello prodotto sul- la medesima dal pendìo del piano, su cui essa muovesi : che se l'alveo sarà inclinato, e scabroso, non potrà forse succe- dere che il fluido nelle parti inferiori della sezione sia im- pedito a muoversi liberamente dai risalti , e dalle asprezze del fondo, e che si richieda un'altra forza per spingerlo avan- ti ; cosicché un canale a cagione d' esempio inceppato da ei-- be palustri nel suo fondo permetta al fluido un lento, e dif- ficile scolo, mentre se, restando costante l'inclinazione del letto , crescerà il volume di esso fluido , si muoverà questo pili liberamente , e supererà gli ostacoli frapposti col suo mo- vimento ? 5. II. Ma è falso soggiunge Bernard, che nei fiumi i quali hanno poca pendenza (i), la velocità debba attribuirsi all'altezza viva, perchè ne seguirebbe, che essendo uguali le altezze vive, e la pendenza insensibile , le velocità dovreb- l>ero essere uguali . Non mi sembra a dir vero erronea que- sta conseguenza , cioè che in parità di tutte le altre circo- stanze , le velocità siano uguali essendo uguali le altezze . Né l'avere il Signor De la Condamine potuto misurare la profondità del fiume Maragnone alla distanza di | della sua lunghezza, vale, cred'io, a distruggere l'accennato principio, sebbene Bernard pretenda, che ciò non si sarebbe potuto ese- guire , se la velocità fosse cresciuta in ragione sudduplicata dell'altezza . E verissimo che la velocità sarebbe stata in quel punto della sezione alla profondità di braccia a8 (2) più di (i) Discorso storico , pag. i3. (a) la termine di Marina , un braccio è di piedi 6, ao Sui principi d'Idraulica di Bernard. novanta piedi secondo la teoria, ma chi conosce le modifica- zioni grandi, a cui le resistenze dell'alveo assoggettano que- sto metodo, non si maraviglierà punto, se la velocità di que- sto gran fiume era in quel punto della sezione assai minore dei piedi 90, e permise perciò di gettare lo scandaglio. Pri- ma però che l'illustre viaggiatore Francese eseguisse le suc- cennate sperienze , il chiariss. Sig. Zendrini ne aveva istitui- te altre consimili per determinare la velocità nel fiume Pò a varie altezze sotto la superficie , delle quali ne riferirò qui alcune per vieppiù illustrare questo importante punto della presente teoria . Il pendolo immerso a due piedi di profondità sotto il pelo dell'acqua (i) declinò per un angolo di 40 gradi dalla verticale, e proseguendo l'immersione fino ai 5 piedi, la de- clinazione ascese fino ai gradi 70 , e la proporzione delle ve- locità fu espressa dai numeri 289 , 5^4 . Chi volesse con que- sti dati determinare quale profondità si ricei'casse perchè la velocità a8g , che corrispondeva a due piedi sotto la superfi- cie, divenisse dodici volte maggiore, formar dovrehbe il se- guente lazìocinio fondato sulla supposizione che gli aumenti di velocità nelle altezze maggiori di piedi 5 seguissero la leg- ge determinata dalle suddette due immersioni del pendolo . L'aumento di velocità corrispondente all'aumento di pie- di tre viene espresso da • „ ^ "^ = o , Boa . Ora supposta i la velocità corrispondente a due piedi , con le solite regole di proporzione si troverà che l'altezza corrispondente ad una velocità undici volte maggiore sarà di piedi 41 •> i4?- Duncpie nel fiume Pò si richiederebbe una profondità di piedi 43, i47» perchè la velocità corrispondente a piedi due sotto la super- ficie divenisse dodici volte maggiore ; e chi volesse determi- nare di quanto sarebbe cresciuta la velocità del Pò alla pro- (i) Zendrini, Leggi, e Fenomeni delle acque correnti, pag. no. Del Sic. Antonio Lombardi. ai fondita di braccia 28 ossia piedi 168, se vi fosse questa pro- fondità in Pò, troverebbe con lo stesso raziocinio che essa sarebbe espressa dal num. 4-^5 57-5, e quindi che essa sareb- be divenuta cinquantaquattro volte maggiore di quella a cin- que piedi sotto Ja superficie . Ma la velocità in superficie , era sicuramente minore di quella a due piedi sotto di essa ; ignorando noi quale realmente fosse, perchè il Sig. Zendrini non ce lo addita , così supponiamo che ascendendo verso il pelo d' acqua essa velocità decrescesse con la stessa regola ^ con cui si aumentava discendendo, e vedremo che la veloci- tà a un piede sotto la superficie esser doveva espressa dal numero 104,80; e partendo da questo dato, l'aumento a due piedi sarebbe espresso dalla differenza fra li numeri 2,89, e 104,80, cioè da 184,2,0, onde con la solita regola trove- remo che la velocità a due piedi sotto la superficie si sareb- be resa dodici volte maggiore alla profondità di piedi 8 , a5 : le citate esperienze dunque del Zendrini favoriscono , anzi- ché opporsi alla teoiia di Guglielmini , la quale secondo il Sig. Bernard, ci dà degli aumenti assai notabili di velocità al crescere delle altezze , perchè vediamo che realmente le velocità trovate , o dedotte da quelle date dalla esperienza crescevano assai rapidamente come si rende anche più mani- festo al riflettere, che l'angolo di deviazione crebbe di 3o gradi coir aumento di tre soli piedi d'immersione. §. la. Abbiamo già osservato, che uno de'nuovi princi- pi del Sig. Bernard è che la pressione del fluido in moto uguagli quella del fluido in quiete. Ammette però anch'agli qualche eccezione a questa massima , perchè volendo spiega- re il fenomeno del colmeggiamento che osservasi d'ordinario nel filone di un fiume in piena anzicchè addottare la spiega- zione di Guglielmini (i) che forse più si converrebbe con li suoi principi , introduce una differenza nelle pressioni del (i) Bernarii pag. lyr . Guglielmini 1 dell'Edizione inserita nella Raccolta di Natura dei Fiumi ^ Gap. VII, pag. 174 I Parma . 23 Sui principj d'Idraulica di Bernardo fluido, talché quelle fra le sue parti, che corrono più velo- ci, premono meno, che le altre. Ciò nulla ostante egli ha voluto impugnare la spiegazione di questo fenomeno che il chiariss. Sig. Da Duat ci ha dato. Attribuisce questi l'effet- to della curvatura della superficie di una corrente alla disu- guaglianza delle pressioni fra le colonne del fluido di mezzo, e quelle che accostansi alle rive , fissando principio , che la pressione laterale di una colonna fluida in quiete è minore di quella che essa esercita, allorché si muove, quant'è la pressione, che compete alla propria velocità. Per dimostrare la fallacia di questa ingegnosa spiegazione il Signor Bernard dimentica quanto già ci insegnò nella pagina antecedente sul- la disuguaglianza delle pressioni, e confonde la pressione dal- le colonne fluide esercitata sul piano dell'alveo con la pres- sione laterale delle medesime . Accordandogli anche per un momento che una superficie risenta lo stesso sforzo da una colonna di fluido in quiete che su di essa poggi, e da un'al- tra che pur la preme movendosi, come può egli inferirne che la pressione laterale sarà pure la stessa in amendue le ipote- si ? Chi volesse argomentare in questo caso per analogìa, cre- do che s'ingannerebbe a partito. Ma l'idea di equilibrio fra colonne disuguali situate sullo stesso livello è opposta ai prin- cipj della meccanica, soggiunge Bernard. Si farebbe un gran torto al Sig. Du Buat se si credesse , che egli obbliando i primi elementi di Fisica persuader ci volesse un assurdo così manifesto . Una sola riflessione però basterà a dimostrare quale dei due Autoi-i sia in errore . E vaglia il vero : quando un sistema è in quiete, allora ripugna alla verità il principio del Sig. Du Buat; ma questo non è il caso da lui contemplato; egli suppone il fluido in moto ; e qual cosa avvi piti mani- festa di questa , che possa darsi equilibrio in un sistema di corpi , quando le loro velocità sono bensì disuguali ma con- tempcrate in modo che li momenti si bilancino intorno ad un asse comune, per il che appunto richiedesi, che le pres- sioni corrispondenti alle colonne più alte siano minori perchè animate da maggiore velocità ? Del Sic. Antonio Lombardi . a3 §. i3. L'osservazione, e l'esperienza aveva insegnato agli Scrittori d' Idraulica che i galleggianti gittati in una corrente in piena si uniscono nel filone , o spirito del fiu- me (i) ma ben diverso è il risultato delle osservazioni di />e/-«ar^ (a) . I galleggianti anzicchè stare uniti al filone sono gettati a riva, e vengono come da esso respinti, perchè il fluido in quel luogo avendo maggiore altezza , ha un movi- mento verso le rive , e componendosi questo con quello di progressione a seconda dell' alveo , egli si immagina che i galleggianti muover si debbano per la risultante . Questa spiegazione sembra a dir vero soddisfacente, ed è molto in- gegnosa, ma io sento qualche difficoltà ad ammetterla, qua- lora rifletto che la velocità del filone dev'essere assai mag- giore di quella prodotta dalla differenza di altezze nelle co- lonne fluide, diffisrenza a cui secondo ciò che egli dice nel- la cit. pag. 171 corrisponde una minor pressione, e quindi è poco atta a pi'odui're questo movimento del fluido vei-so le rive, e manca perciò un lato dell'ideato parallelogrammo. Molto più poi cresce in me la dubbiezza, sapendo per l'es- perienza costante dei nostri fiumi d'Italia, che i galleggianti vengono come rapiti dal filone, ed anzi gl'Idraulici preval- gonsi sovente di questa osservazione per determinare il luo- go dello spirito della corrente . Io non credo che i fiumi os- servati dal Sig. Bernard siano d' indole tanto diversa dai nostri , e mi nasce piuttosto il sospetto che egli abbia osser- vato i galleggianti portarsi a riva non nello stato dell'au- mento della piena , ma bensì nel suo deciesciiuento , effetto prodotto dal diminuirsi appunto la velocità del filone in quel- le circostanze . Inoltre se li galleggianti si dirigessero alle rive in tempo di jjieiia , io dico che allora osservare non si dovrebbe il cohneggiaie del fluido, poiché se la forza della corrente non fosse capace di sostenerli in quella direzione , (i) Guglielminij Opera citata^ Gap. VII, pag- 174- (2) pag. 173. 24 Sui PRiNCirj v Idraulica di Bernard . ed a quella altezza, potrebbe poi molto meno reggere le parti del fluido che sono specificamente più gravi dei cor- picciuoli, che seco strascina; perciò insensibile, a non dir nul- lo , esser dovi-elibe il gonfiamento della superficie del fluido dove più rapido scorre, il che non si osserva. Né a pi'ovare il movimento verso le sponde del fluido che cade dirò cosi dalla sommità del filone, e quindi dei galleggianti, credo che valga l'esempio recato dall' Autoi-e (i) delle onde che vanno a percuotere le rive a guisa dei flutti marini anche in tem- po, che l'atmosfera è tranquilla. La cagione principale di questo movimento così fatale alle sponde deve a mio credere ripetersi dalla velocità prodotta dalla inclinazione e varia di- rezione della superficie della corrente anzicchè da questo la- teral movimento che non può essere se non assai lento in proporzione di quello del filone del fiume (2) . L'ardua questione del modo, con cui i fiumi stabilisco- no il loro Ietto, che fu come è noto tanto ben maneggiata dall'illustre Guglielmini , somministra al Sig. Bernard nuova materia di osservazioni, e di critica contro questo Scrittore. Neil' esporne però che egli fa il risultato in succinto commet- te alcuni errori di fatto che il solo amor del vero mi obbli- ga di rilevare . Guglielmìni fu di parere , che le ghiaje col sofFregarsi assieme si rotondino, e s'impiccioliscano, ma non s'ingannò giammai nel credere questa operazione, e questo degradamen- to troppo rapido, come dice Bernard pag. 191. Leggasi con attenzione quanto scrisse in proposito l'illustre Bolognese (3). Essendo , così egli ragiona , nel fiume una forza determi- nata, che cagiona una determinata velocità nel moto de' sas- si, ed essendo, che questi hanno una grandezza, e durezza limi- (i) pag. 174. (2) Su questo ''movimento trasversale delle Correnti , si consulti la Memoria dell'egregio Sig. Cav. Senatore Simone ^//■ijiico 5 inserita nel Tomo II, Par. II, Classe Fisica-Matematica degli Atti dell' Istituto Nazionale Italiano, pag. 261. (3) GuglieLmini Nat. de' Fiumi, Gap. V, pag. 100 del Tom. II delie Raccolte di Parma. Del Sic. Antonio Lombardi".' aS limitata che ordinariamente non oltrepassano ( potendo però avere V una ^ e V altra minore )^ ne siegiie che la velocità del moto impresso dall'acqua ne' sassi ^ dovrà ricìàedere un, tempo determinato^ cìie sia proporzionato alla durezza , gran- dezza ec. de' sassi medesimi per intieramente stritolarli , e perciò altresì dovrà essere determinata la lunghezza dello spazio ne- cessario per V effetto medesimo , come che questa è figlia del- la velocità, e del tempo. Sembrami a dir vero die Gugliel- mini nel sistema da lui adottato si ritenga entro que' limiti che una teoria generale richiede , e non posso comprendere come dica Bernard^ che quegli ha fatto troppo rapidamente decrescere la grandezza dei sassi nei fiumi ; ma ciò non ba- sta : egli suppone inoltre , che Guglielmini desuma la forza di stritolare le ghiaje dalla velocità prodotta dall'altezza dell' acqua accresciuta col crescere il corpo del fluido stesso nel fiumi . Io però rifletto che l'Autor Bolognese (i) profondo co- noscitore, quale egli era di queste materie, non s'impegna direttamente nella ricerca donde provenga nell' acqua di un fiume questa forza di portare avanti, e di stritolare le ghiaje, ma si limita soltanto ad esaminare gli effetti da questa forza qualunque essa siasi. Le parole d'impeto dell'acqua, di spi- rito che egli usa nello spiegare questo fenomeno , ci fanno però travedere , che egli dipender faceva questa forza dalia velocità generata non già dall'altezza viva dell'acqua, ma bensì dall'inclinazione dell'alveo, il che poi si rende più chia- ro , se pongasi mente a quanto dice sulla fine della citata proposizione del Gap. V. Sminuendosi .... continuamente la mole de' sassi , e rendendosi con ciò l'alveo meno declive, ne siegue che un sasso il quale sotto una mole maggiore contra- stando colla forza dell' acqua potrà sostenersi in un alveo più declive , ridotto poscia ad una mole minore cede all' impeto Tomo XVI. D (i) Gap. V suddetto . «ì6 Sui nuNcipj u'Iukaumca di Bernard. della medesima lasciandosi spìngere all' ingiù fino a ritrovare tjuella declività , che resti proporzionata ulla diminuzione del- la di Ini mole. So Gnglielmini avesse pensato, che Ja forza per spingere avanti il sasso fosse dovuta alla velocità prodot- ta dall'altezza viva, siccome i liiinii crescono ordinariamente in altezza quanto più si scostano dalla origine loro , perchè ricevono il trihuto degli influenti , non avrehhe certo asseri- to così assolutamente, che il sasso si ferma ove trova un declive proporzionale alla diminuzione della sua mole , ma avrebbe fatto riflettere che cresce bensì la resistenza del sas- so , quanto più il piano è meno declive, ma cresce anche l'iinpeto dell'acqua per spingerlo avanti crescendo il volu- me di essa nel fiume, il che egli non asserì, appunto per- chè riteneva che la sola forza di pressione del fluido non fos- se sufficiente, generalmente parlando, a smuovere i sassi di un alveo. Inoltre se egli avesse ammesso ciò che s'immagi- na il Sig. Bernard , non avrebbe nella stessa pagina ico fat- to osservare come cosa straordinaria , che alcuni fiumi porta- jio le lox'o ghiaje fin dentro il mare, giacché se la forza sud- detta di pressione fosse quella che principalmente producesse il movimento nei sassi, dedur si può facilmente da quanto abbiamo detto più sopra , che il caso più ordinario a succe- dere , quello sarebbe che le ghiaje fossero trasportate al Ma- re, mentre ognuno sa che avviene più sovente il contrario. 5. i4- Esposta così, e rischiarata per quanto ho potuto la teoria di Guglielmini , da Bernard interpretata in nuova foggia, esaminiamo le opposizioni, che egli contro di essa propone. La prima che io incontro, ieggesi nel Discorso sto- rico-critico (1). L'equilibrio tra la forza della corrente, e la resistenza del fondo, sono sue parole, è un effetto immagi- nario, perchè le acque non trasportano le gliiaje in |Mopor- zione dfino all'orizzontale? nessuno certamente: dunque continuan- do essa ad agire dovrà produrre il descritto effetto . Ma un altro assurdo pretende di rilevare Bernard nell' ammettere il principio, che quanto piìi la forza di un fiume sarà grande, tanto minore sarà la sua pendenza. Nel letto, die' egli, dello stesso fiume decresce tanto più la velocità , quanto più de- cresce la pendenza, il che accader non dovrebbe, se cre- scendo la forza del fiume, il fondo vieppiù si escavasse . Se noi intenderemo a dovere la proposizione di Gugllelmini , spero, che svanirà qualunque contraddizione . Si avverta che (i) DÌ8C. stor. , pag. 2a. Del Sic. Antonio Lombardi. ag l'Autore Italiano considera il caso di un fiume che debba stabilire il proprio Ietto sopra una data linea e non già quel- lo di un fiume , che scorra sopra un fijudo già stabilito . Se vi saranno adunque due fiumi di diversa portata d'acqua che scorrano sopra fondi incerti, dirò così, e dotati di uguali pendenze, quello in cui scorre maggior quantità d'acqua in parità delle altre circostanze, dopo un certo tratto di tempo si troverà avere il fisndo meno declive dell'altro, e intanto la velocità in questo sarà minore , se dipenderà dalla pen- denza, sarà poi maggiore se la causa, che la produrrà, sarà l'altezza viva del fluido. Una opposizione però piìx grave produce il Sig. Bernard contro il sistema di GugHelmmi , ed è la seguente. Egli non ammette generalmente parlando , che le arene siano formate da sassi stritolati dalla violenza delle acque (i). Io non ignoro che egli ha a sostenitore della sua opinione il chiar. Mate- matico Frisi, il quale istituì diverse sperienze per scoprire, se agitandosi fortemente fra loro de'sassi fluviatili si ottene- va dell' arena (2) . Potrebbesi , a dir vero , promuovere qual- che piccola difficoltà su di queste sperienze , perchè sem- brami assai difficile il potere con esse pareggiare in qualche modo le occulte forze dalla natura esercitate specialmente in tempo di piena nei fiumi dove corrono in ghiaja . Potreb- besi all'esempio recato da Bernard del marmo che si puli- sce , da cui non staccasi , che una sottilissima polvere (3) rispondere, che i sassi fluviatili sono d'ordinario assai più teneri del marmo, onde non regge il confronto. Ma in tanta contrarietà di opinioni fra uomini così chiari, io mi guarde- rò bene dall' appoggiare direttamente piuttosto l'una, che l'altra sentenza; e mi limiterò soltanto a ponderare le ra- gioni , che Bernard andrà adducendo a sostegno del proprio sistema, ed a produrre alcune osservazioni atte a spargere (i) pag. 192. I opuscolo di Frisi, Gap. II. (2) Raccolta delle acque , Tom. VII , | (3) ihid. Art. agg. 3o Sui pringipj d' Idraulica di Bernard . qualche lume su questo intralciato argomento . Se vi sono vasti paesi nei (juali, al dir di Bernard , incontransi sassi ro- tondati,, abbencliè non vi scorrano al presente fiumi di sorta alcuna (i), e chi ci assicura, che nella grandi rivoluzioni fìsiche sofferte dal globo non ve ne siano scorsi nei Secoli pili remoti ? Se conoscessimo a fondo la storia naturale di ciascun paese dalla sua origine sino al giorno d'oggi, po- tremmo asserire con franchezza, se le ghiaje siano primige- nie, oppure formate dall'urto generato dalla violenza delle acque fra i massi staccati dalle montagne, ma in mancanza di queste cognizioni non credo che possa cavarsi nessuna fondata conseguenza a favore dell'opinione di Bernard, e di Frisi . Né gli esempi che il primo di questi Autori adduce dei fiumi Duranza, e Lupo (a), i quali non trasportano dio' egli le ghiaje , e le altre materie grosse avanti , ma passano per luoghi dove esistevano esse, e specialmente i sassi roton- dati, mi possono persuadere che in generale la violenza delle acque valevol non sia in molti fiumi a spingere innanzi le ghiaje (3). Oltre la ragion succennata, che nei luoghi dove corrono al presente la Duranza , il Lupo , il Varo , sianvi scorsi altri fiumi , i quali abbiano trasportato in que' luoghi i sassi, che vi si incontrano di presente, io rifletto, che vi sono molti altri fiumi, nei quali osservasi patentemente que- sto fenomeno. La scrittura del Cìùay . Vi^^ìani sul fiume Arno ci istruisce, che il letto di questo fiume dopo di aver levate alcune Pescaje, che frenavano il suo corso, si è notabilmente rialzato sulle parti inferiori. Molti de' nostri fiumi d'Italia attraversano pianure, nelle quali non si riscontrano sassi ro- tondati, se non nel loro alveo, o almeno in poca distanza. Vorrem noi dire che queste ghiaje rotondate siano primige- (i) pag. 197, N." 307. (a) pag. 198 , e 199. (3) li Sig. Bernard alla pig. 2^8 poi confessa di aver veduto egli stess" del- ie pietre prismaticlie volumiaote esser spinte avanti i.i teinno di piene per uà tratto assii lungo d di' alveo, onde non veggo cjjTne passa egli nella sua ipotesi spiegare questo tenoraeno ^ Del Sic. Antonio Lombardi. 3l nie , e clie la natura abbia limitato nella formazione del globo lo spazio che occupano a quei luoghi precisi , nei quali in seguito hanno preso corso i fiumi (i)? Non par certamente che possa così ragionarsi ; ma v' è di più . Tutti gli Idrauli- ci, sono concordi, e l'esperienza ce ne convince, che so raddrizzeremo l'alveo di un fiume, se lo porteremo a sboc- care nel recipiente per una via più breve, vedremo le sue ghiaje avanzarsi e l'alveo escavarsi nelle parti superiori, con danno alle volte non piccolo di quello del recipiente che viene rialzato dall'introdurre in essole ghiaje dell'influente. Distinguendo perciò la questione in due parti i" cioè se li fiumi siano capaci di spingere avanti le ghiaje . 2,° Se siano capaci con la violenza delle loro acque di smussarle , roton- darle , e ridurle in arena ; sembrami che nascer non possa dubbio alcuno , che in quanto al primo effetto essi lo pro- ducano sovente, e specialmente quando si rende in qualche modo più libero il loro corso, secondo quanto insegnano tutti gli Autori Italiani . Sospendo, come dissi, il mio giudizio riguardo alla se- conda questione, e farò soltanto osservare che l'Illustre Viag- giatore Saussure è di sentimento contrario al Sig. Bernard, il quale però ne riporta per esteso il testo {-2.) da cui rilevasi chiaramente esser quegli di massima che la violenza delle acque produca l'effetto del rotondamento delle ghiaje. E quantunque si possa conchiudere dal testo di Saussure l'esi- stenza di diverse montagne formate di ciottoli rotondati , o smussati forse da un' altra causa diversa da quella di cui parliamo, ciò nullameno sembrami, che quest'altra impor- tantissima conseguenza ricavare si possa con giusto fonda- mento, cioè che vi sono dei fiumi i quali strascinando dalle circostanti moiittigiie de' sassi con spigoli , ed angoli , la vio- (l) Alla pag. 198 Bernard conviene poi , che quando non si veggono sassi rotondati in distanza dell'alveo di un fiume in cui ve ne siano , è duopo il dire , che si sono staccati dalle monta- gni! , e si sono rotolati per l'alveo. (2) Bernard pag. 20u. 32, Sui prikcipj d' Idraulica di Bernard . lenza delle loro acque è capace di rotondarli, e di inipiccio* lirli, e clie perciò se la teoria di Guglielmini non si verifi- cherà in tutti i casi, ed in tutta la sua estensione, pure si verificherà in moltissimi , giacché non sono così facili a ri- trovarsi questi strati di montagne formate di sassi rotondati , menti'e in tutti gli alvei dei fiumi, che attraversano monta- gne, si incontreranno più o meno delle ghiaje smussate, e via via minori, quanto più si scostano dall'origine del fiume (i). 5. i5. Per dimostrare che la grossezza dei sassi sparsi in un alveo può somministrare un fondamento , onde giudicare almeno per approssimazione la forza di un fiume, il che non si ammette dall' autore (2) , io lo pregherò a rifletter meco che per muovere i corpi di molto peso come sono i grossi sassi , richiedesi assai maggior forza che per spingere avanti le piccole e minute ghiaje. L'osservarsi poi nel medesimo luogo del letto di un fiume de' sassi di mole assai diversa , nulla toglie all'ideato giudizio come pretende il Sig. Bernard^ perchè egli è certo che quando vi sono sassi assai volumino- si, bisogna assolutamente supporre, che la forza dell'acqua, prescindendo dal caso che vi siano stati in origine, ve li ab- bia spinti , e perchè moltissime sono le cause che arrestar possono ad un tempo le ghiaje minute, e grosse, come so- no a mò di esempio i gorghi, e le xisvolte . Ma quello che più importa , si è che la forza di un fiume varia a diversa profondità . Se osserveremo infatti diligentemente il suo alveo dopo una piena, vedremo, che ne' luoghi più profondi del letto vi è d'ordinario la ghiaja più grossa, nei meno profon- di la più minuta , e finalmente nei banchi più alti la pura sabbia : onde non è a maravigliarsi se quel fiume il quale se- mina (i) A conferma del sentimento di Saus- sure sulla forza che hanno i fiumi, loro contrastata da Bernard, posso assicurare di avere io stesso veduto il fiume Leo il quale attraversa montagne formate di strati calcari , nelle quali non incontran- si ciottoli rotondati , se non quando si discende all'alveo del fiume stesso , ove se ne trovano d'ogni grandezza. (;l) pag. 231. Del Sic. Antonio Lombardi. 33 mina il suo fondo di grossi sassi, aljbandoni anche quelli di minor moie . Ma dovendosi valutare specialmente per la sicu- rezza delle pratiche applicazioni la sua forza dal maggior ef- fetto , ottima regola , sarà , cred' io , il far fondamento sulla mole delle ghiaje che egli trasporta, e spinge avanti (r). §. i6. Non ostante che Bernard alla pag. ai 5 ci abbia chiaramente detto che le acque acquistando più masso, e più velocità strascinano seco le sabbie, e le ghiaje; pure ci pre- senta (a) in seguito un calcolo fondato sulla teoria , col qua- le egli crede di dimostrare evidentemente che il trasporto della ghiaja , e la rapidità delle acque sono due fenomeni in- dipendenti fra loro . Se il fluido si muoverà con una velocità di sei piedi per secondo, sarà capace di spingere avanti una pietra calcare cubica di un piede quadrato di superficie; que- sto è il risultato del suo calcolo , dal quale egli deduce, che questa velocità essendo per un fiume assai discreta, la rapi- dità delle acque nulla influisce a smovere le ghiaje , perchè d'ordinario non si riscontrano negli alvei dei fiumi dotati di tale velocità sassi di cosiffatta grossezza . Mi sia permesso pe- rò di far qualche riflessione su questo calcolo : sarà vero che la velocità di piedi sei per secondo compete a que' fiumi che scorrono piuttosto lentamente, ma osservo poi, che il calco- lo dell' Autore è fondato sulla ipotesi che l'urto del fluido si faccia perpendicolarmente alla superficie del sasso, ipotesi che ben difficilmente si avvererà in pratica ; e perciò si richiede- Tojno XVL E (i) Bernard nel discorso storico ( p.8 ) dice che Vivianì si è ingannato nel va- lutare l'azione dell'acque sulle ghiaje; ma siccome egli non ne adduce alcuna prova, se non il testo di Fiviani, ed anche alterato , così io lo pregherò sol- tanto , che sia un'altra volta più cauto neir accusare gli Autori di gran nome , quale SI è il Vivianì , o almeno lo iac- cia con più solidi fondamenti . Dissi poi che il testo di Viviani riferito da Ber- nard è alterato ; per convincersene ba- sta leggere la nota apposta da esso alla pag. 8 suddetta, e confrontarla col te- sto italiano di Viviani che trovasi nella più volte citata Eaccolta degli Scrittori d'acque ( T. I p. 216, 317 ). In tutto il rimanente del discorso di Viviani non mi è riuscito di ritrovare altro periodo che si accosti più a ciò che leggesi nella suddetta nota di Bernard, e perciò ho asserito che questi ha alterato il testo dell'Autor Italiano. (a) pag. 229 , 23o , 34 Sui PRiNcirj d'Idraulica di Bernard. rù una velocità molto maggiore di quella di piedi sei per un secondo affine di smuovere i sassi , quando saranno urtati sot- to un angolo ohbliquo dalla corrente; perciò sembrami che il caso ipotetico di Bernard sia assai lontano da quello che succede in natura. Inoltre io son d'avviso che l'Autore af- fine di provare concludentemente l'indipendenza dei due su- esposti fenomeni , dovesse dimostrarci con gli esempj pratici che al crescere della rapidità delle acque , il trasporto delle ghiaje non si facesse in maggior copia a maggior distanza, ed in qualità più grosse . Intanto noi gli faremo osservare che i fiumi, i quali corrono fra i monti, appunto perchè sono co- là rapidissimi, smuovono, e spingono oltre dei massi enormi, i quali certamente se fossero ti'asportati in pianura, e collo- cati nel fondo di un fiume, verrebbero bensì in alcuni luo- ghi di esso sepolti in profondi gorghi ; ma non avanzerebbe- ro di un sol passo nelT alveo. 5. 17. La spiegazione dei fenomeni che succedono, quan- do da un alveo angusto l'acqua passa in uno più ampio, e dilatato forma l'oggetto di altre osservazioni del nostro Au- tore. Si fa egli questa domanda. E perchè mai avviene (i) che i vortici prodotti al piede di una caduta d'acqua non si riempiono mai ? Eccone la risposta : Les eaux cessent de pou- voir deplacer des cailloux au dessus , tandis qii elles avoìent eiicore la puissance d' encharier au poìnt ou l' affouillement commence ; il est dono impossìhle que cet affouillement soìt comblé , si les bords ne changent pas . Ma confesso il vero,' o che io non arrivo a penetrare la spiegazione dell' Autore , o che egli si è certamente ingannato . Come può mai imma- ginarsi , che le acque cessino di poter smuovere i sassi nel- le parti superiori al gorgo, mentre che egli suppone, che potessero trasportarli fino al punto dove comincia il gorgo stesso ? Non è forse più naturale il dire che la diversa dire- (i) pag. 245. Del SiG. Antonio Lombardi, 35 aione , che acquistano i filamenti acquei , entrando nel gor- go 5 produce quel movimento tortuoso che osservasi , il qua- le poi mantiene in continua agitazione le materie che entra- no nel gorgo , e le spinge fuor d' esso ? Per decidere poi con sicurezza se V osservazione dimostri non esser vero , che i gorghi , i quali trovansi in un alveo di un fiume vengano colmati , qualora si fabbrichi in esso una chiusa di sotto al luogo in cui esistono, come si asseri- sce positivamente da Bernard (i), sembrami^ che si richiegga un pili diligente esame sull' indole dei diversi fiumi , che scor- rono sul nostro globo ; e per potere con fondamento tacciar d'errore su questo punto il chiar. Guglielmi ni , convien pri- ma accertarsi di aver compreso nel loro vero senso li suoi pensieri . Se il fiume in cui si fabbrica la cateratta avrà una grande inclinazione , e quella abbia una piccola elevazione , egli è chiaro che estendendosi poco all' insù il regurgito da essa cagionato, pochi saranno i gorghi, che verranno riem- piti dopo la sua fabbricazione . Ma non accadrà lo stesso , quando l'alveo abbia una dolce pendenza, perchè allora in parità di tutte le altre circostanze , il regurgito si estenderà assai più oltre di quello che succederebbe nel primo caso . I termini poi con i quali esprime l'egregio Bolognese il suo sistema 5 sono tali, che abbracciando per quanto è possibile, i casi più generali , lasciano luogo alle dovute eccezioni nei casi particolari , e non credo quindi , che possasi dar loro la singolare interpretazione di Bernard. Ecco il testo di Gugliel- minì (a) . „ Edificata che sia una di queste cateratte, negan- „ do ella il passaggio all'acqua del fiume, è d'uopo, che „ questa si elevi, e riempia il tratto dell'alveo superiore, „ che sta sotto il livello della soglia, e sommità di detta ca- „ teratta, formando con ciò uno stagno d'acqua a guisa d'un „ laghetto , la cavità del quale in breve tempo sarà riempiu- (i) niscorso Stjrico pig. 34. I Raccolta degli Scrittori ec. T.» IP , (a) Gap. XII. Della natura dei fiumi | pag. 265. 36 Sui principi d' Idraulica di Bernard . „ ta di materia portata dal fiume cioè di sassi, arena., terra, „ e simili; e con ciò alzandosi il letto del fiume sino all'al- „ tezza della chiusa, darà altresì occasione ad un simile, e ,, proporzionato alzamento nelle parti superiori dell' alveo me- „ desimo . Pregherò i miei Lettoi'i ad osservare che il nostro Idrau- lico Italiano non fa motto alcuno del riempimento de' gorghi in questo paragrafo , e che egli si limita a predire un alza- mento proporzionato nelle parti superiori dell'alveo. Ora , e chi potrà mai da queste espressioni cosi genera- li ricavarne la conseguenza che egli abhia inteso di dire che tutti i gorghi superiori ad una chiusa si riempiranno ? Né Gugliclmini così si espresse riguardo all'alzamento del letto in detti luoghi , per non saper spiegare come vi rimangano dei gorghi di sopra alle chiuse, mentre ivi non si osservano vortici come dice Bernard (r) che li mantengano . Siccome l'alzamento di fondo si fa in proporzione e quindi sempre mi- nore, quanto più si estende alla insù per l'alveo, così non si può applicare la proposizione di Guglielmìni tutt' al più , che a que'soli gorghi che restano compresi in quel tratto dell' alveo che riceve un maggiore alzamento, giacché tutti gli altri gorghi già stabiliti che s' incontrano fuori di questi li- miti , non si colmeranno punto per questo mezzo , quantun- que non vi siano vortici che li mantengono escavati . E giac- ché mi sono inoltrato a parlare di vortici, e di gorghi, om- iiìetter non debbo di esaminare la critica che Bernard isti- tuisce delle ingegnose spiegazioni lasciateci dall'illustre Gu- glielmìni sul modo con cui agiscono i vortici , e si formano i gorghi . Dopo di avere riferita (a) per esteso la teoria del nostro Italiano sopra questo complicato fenomeno, ecco come si esprime (3) . (•) Ivi . (a) Discorso Storico crit. pag. a8 sino alla 33 (3) Ivi 5 pag. 3a . Del Sic. Antonio Lombardi. 3^ Oli volt que G\\^\\e\m.\x\ì multiplie les causes pour pouvoir renare raìson cles ejfets . Les tourbìllons verticaux soni ìmma- ginaires , il modìfie leur action selon les cìrconstances^ il les fait tantót superficiels , et tantòt profondi; il leur fait for- mer dans les premiers cas des atterrìssements en imniaginant iiuils ont au dessous d'eux des eaux tranquilles cornnie si la cliose étoit possible dans un méme courant ; dans le second cas il leur fait corroder le fond . Io desidererei che il Sig. Bernard non si contentasse di asserire soltanto, ma che realmente provasse, che Guglielmini ha errato nel porgerci la spiegazione di que&to fenomeno as~ sai difficile da investigarsi, e ce ne somministrasse poscia una spiegazione più naturale di quella immaginata dall' egregio^ Bolognese. Intanto io son d'avviso, che se quegli avesse isti- tuite delle osservazioni precise in qualche fiume specialmen- te di molta portata, avrebbe certamente veduto che i vorti- ci verticali non sono punto immaginar], ma che la loro pro- fondità varia moltissimo al variare dell'altezza viva, e deli' impeto del fluido, e che specialmente quando la loro forza si esercita per tutta la loro altezza, producono terribili eifet- ti , trivellando con la punta dei loro coni il fondo al segno- di generare delle corrosioni considerabili . Chiunque poi avrà osservato i diversi torneamenti che fa verso il mezzo dell'al- veo la superficie di un fiume in piena, non poti"à negare l'e- sistenza dei vortici orizzontali affatto innocui al fondo , ed alle sponde . §. i8. Siccome accade sovente, che i fiumi, specialmen- te quando corrono in ghiaja, trasportino ora ad una liva, ed ora all'opposta il filone della corrente; cosi il nostro Autore si accinge a spiegare qual effetto produca nel movimento del- le ghiaje questo fenomeno. Quando un fiume si escava, die' egli, un nuovo alveo a cag. d'es. in mezzo ad un ghiarile, allora esso non spinge avanti la ghiaja , ma la getta ai lab- bri come fa la ruota che penetra nel fango (i) . E a compro- (i) pag. a53. 38 Sui PRiNcipj d'Idraulica di Bernard. vario, osserva specialmente, che se le acque spingessero avan- ti le ghiaje , se ne accumulerebbe una quantità così grande in certi punti dell'alveo, che non potrebbe essere superata dalla corrente. Sembrami però che questa conseguenza possa meritare qualche eccezione : io inflitti osservo che formar si potrebbe questo ammasso, qualora l'alveo di sotto al nuovo canale non avesse pendenza bastante affinchè l'acqua scorren- dovi potesse strascinar seco le ghiaje , ma questo elemento così importante della inclinazione dell'alveo viene trascurato dal Sig. Bernard. Se egli mi avesse prodotto delle esperien- ze, e mi avesse citati degli esempj , allora io mi arrenderei forse alla sua spiegazione 5 ma finché mi t'orma in simili ma- terie dei raziocini astratti, credo che mi sia permesso di muo- vergli qualche dubbio . Infatti io non posso così facilmente concepire , come la corrente di un fiume debba avere mag- giore energia per far balzare le ghiaje alle rive anziccliè far- le avvanzare a seconda dell'alveo mentre la sua forza è assai maggiore in questa seconda direzione, che nella prima. E non riesce forse più chiara la spiegazione del modo con cui sono trasportate le ghiaje sul ciglio della riva di un ramo di fiu- me , essendo ivi piìi alte che nel mezzo , deducendola dalla diversa velocità da cui sono animate le sue acque ? Scorren- do queste in un ramo profondo di un fiume hanno maggior velocità verso il fondo, che verso la sommità; quindi è che mantengono più profondo l'alveo nel luogo a cui corrisponde la maggior velocità la quale diminuendosi a misura che l'ac- qua si accosta alle rive, ed a misura che l'altezza è minore, dispone il fondo a guisa di una conca abbandonando le ghiaje più minute, nelle parti più vicine al ciglio delle sponde, e rotolando le più grosse nella parte più bassa della conca sud- detta . Non veggo perciò, come sia generalmente assurdo il dire che i sassi accumulati nei luoghi dove prima scorreva un ramo di un fiume, vi sono trasportati dalle parti superio- ri, e sono diversi da quelli che formavano duo così le spon- de del ramo otturato , come in coasegueiizu delle suesposte Del Sic. Antonio Lombardi." 3q teorie pretende di provare Bernard (i). Io non dirò già, che questi sassi vi siano trasportati dall'origine del fiume, ma può benissimo accadere che discendano dai punti superiori del let- to , il quale perciò si escaverà in que' luoghi , e si alzerà gra- datamente negli inferiori . 5. 19. Le conseguenze che i meno istrutti nelle Idrau- liche discipline trar potrebbero per la pratica difesa dei fiu- mi dalle massime che Bernard stabilir vuole sulla mina di quelle di Guglielmini risguardanti la rettitudine, e la tortuo- sità degli alvei da lui impugnate nel seguente tratto della sua opera, mi obbligano a trattare con qualche estensione questo punto del mio esame . ^ L'Autor non conviene con Guglielmini, che i fiumi sia- no indomabili sopra un fondo sassoso, e che siano assai più facili a regolarsi, quando corrono sulla sabbia, ed anzi asse- risce che hanno tanto minore stabilità di fondo, quanto me- no sono tenaci le materie sulle quali scorrono (2) . Avvertirò primieramente che l'Autore Italiano non si espresse in ter- mini assoluti, ma secondo il suo lodevol costume (3) usò del- la frase seguente : potendosi dire che i fiumi in siti simili siano quasi indomabili , o almeno richiedano una piucchè or- dinaria vigilanza , ed assistenza per essere mantenuti in do- vere, e ciò è sempre tanto più vero, quanto le ghiajc, o sas- si sono più copiosi, e più grandi di mole. Da queste espres- sioni parmi, che si possa conchiudere che il Sig. Bernard non sia molto esatto nello esporre le altrui dottrine. Ma per ragionare sul merito della cosa , io esporrò a Bernard la teo- ria di Guglielmini, perchè temo che nello interpretarla abbia preso qualche equivoco. Questi esaminando le cause che in- fluiscono a render tortuosi gli alvei, annoverò fra una delle più forti quella dell'ammasso delle ghiaje che succede nei fondi sassosi de' fiumi , ammassi che costringono la corrente. (i) pag. 2S4. I (3) Raccolta delle acque T.° II», 4o Sui PRiNCii'j d'Idraulica di Bernard. la quale in que' luoghi muovesi per un piano assai inclinato, a vagare da una sponda all'altra, e quindi a generare delle corrosioni fortissime nelle rive, e in questo senso egli intese che i fiumi i quali corrono in ghlaja sono quasi indomabili. Ma la ragion principale per cui Bernard pretende che non siano tali , si è perchè quando il fondo è più facile ad es- ser corroso ([), come nel caso in cui i fiumi corrono in sab- bia, accade che allora la corrosione è più pronta, e si gene- ra più facilmente perchè il terreno è meno tenace , laddove nei luoghi nei quali corrono in ghiaia, la resistenza del fon- do è assai maggiore, e quindi più difficilmente l'acqua può corroderlo . Ora io temo che Bernard in questo luogo non abbia ben penetrato il fondo della questione . La grande in- clinazione del fondo che hanno i fiumi quando corrono in ghiaja unita al trasporto dei sassi li rende difficili ad essere regolati , e tenuti a freno . Il fondo , e le sponde sono più tenaci è vero in questi siti ; ma lo sono essi in proporzione della forza, e dell'impeto corrispondente dell'acqua? Quan- do corrono in sabbia è bensì vero che le coiTOsioni del fon- do sono maggiori , ma perciò appunto si rendono dirò così più mansueti , perchè escavando essi il loro letto , e corren- do sopra un piano di sua natura assai meno inclinato di quel- lo sia nei luoghi più alti, perdono la pendenza, e quindi la causa più efficace a produrre la loro tortuosità . A giustifica- re poi pienamente la teoria di Guglìelmini basterà a parer mio l'osservare la qualità dei ripari che si usano nei fiumi allorché corrono in ghiaja, e di quelli con i quali s'imbri- gliano nei luoghi dove il fondo è sabbioso . Ognuno sa che alle volte non bastano i più robusti muri a frenar l'impeto di un fiume che ha l'alveo pieno di sassi; mentre alcuni la- vori di vimini, e rami d'alberi ripieni di terra, ed opportu- ni piantainenti bastano a difendere dalle corrosioni le rive di un (t) Ivi. Del Sic. Antonio LoMBARor ; ^t un fiume che corre sulla sabbia . E dove mai i fiumi hanno la corrente più tortuosa, non ostante che l'intiero ampio let- to lo sia assai meno, se non nei luoghi dove corrono in ghiaje? E quale è la ragione per cui in questi luoghi il loro alveo è eh una capacità assai maggiore della loro portata, se non per- chè appunto la corrente va errando a suo capriccio ora a de- stra, ed ora a sinistra, insultando, direi quasi, l'arte che tenta di tenerla in regola (i)? Io poi non comprendo come il Sig. Bernard avanzi la proposizione die vi sono pochi fiu- mi i quali corrono in sabbia, se si eccettui il tronco più vi- cino al loro sbocco . I fiumi da lui osservati , saranno forse tali ; non così certamente molti dei nostri di Lombardia , i quali attraversando questa vasta pianura abbandonano le ghia- je in distanza notabile dal loro sbocco . Noi ne abbiamo al- cuni , che possono considerarsi più come torrenti , che come fiumi , i quali corrono in sabbia in distanza di 35 e di 5o miglia dal Mare; il Pò fiume reale poi lascia le sue ghiaje ad una distanza di più di cento miglia dal mare (a) . 5. 20. Il voler d'ordinario prescindere dall'idea del mo- do con cui agisce il fluido dipendentemente dalla sua fisica essenza ha condotto il Sig. Bernard a non ammettere il prin- cipio (3) ordinariamente ricevuto che il fluido cadendo dal ciglio di una cateratta produca qualche accelerazione nelle sezioni superiori . Se il raziocinio da lui istituito per dimo- strare vera la sua asserzione regge in teoria, non può certa- mente ammettersi in pratica, almeno in molti casi. L'osser- vazione da me fatta nei canali che hanno, poca, o ninna pen- Tomo XVI. F (i) Bernard dica, che quando i fiu- mi coirono in gliiaja, le rive sono più facilmente corrose che il fondo ; ed a questa facilità attrihuisce in questo ca- go la minor consistenza dell'alveo. Ciò sarà vero in molti casi; ma non stabi- lisce una regola generale, e sicura, al che fare se non conduce direttamente almeno si accosta assai il principio del- la pendenza che genera in questi luo- ghi una grande velocità. (i) Il Pò da Cremona al mare corre per lao miglia circa senza ghiaja. Il Panaro l'abbandona più di 35 miglia in distanza dal suo sbocco, e la Sec- chia in distanza di circa 5o miglia . (3) pag. 12.3 N." a34 . 4^ Sul PRiNCiPj d'Idraulica di Bernard.' denza , e in cui la superficie del fluido si disponga in una linea sensibilmente orizzontale in vicinanza di una diga , mi ha istruito che i galleggianti non accelerano il loro moto se non precisamente nel momento in cui cadono dal ciglio del- h. chiusa; ma cosi non avviene nei canali dotati di penden- za , e nei quali il fluido in superficie corra con qualche in- clinazione , poicliè allora si osserva nei galleggianti un acce- leramento il quale si estende ad una certa distanza dal ciglio della diga , effetto evidente dell'inclinazione del piano la qua- le si fa in quel punto maggiore , onde è d' uopo conchiude- re che in questo caso debba un tal effetto comunicarsi anche alle sezioni superiori decrescendo però sempre a proporzione che si ascende su per l' alveo del canale . Non è cosi ( con- chiude l'Autore ) . La velocità alla diga non è quella che de- termina la velocità che ha luogo nel canale , ma questa è ([nella che determina la prima. Io non credo che alcuno ab- bia mal concepito in questo senso l' idea dell' acceleramento suddetto . Egli è verissimo che dalla Velocità che ha il flui- do nell'alveo superiore alla diga si potrà desumere quella che avrà nelle parli più vicine ad essa, e quest'ultima velocità dipenderà in parte dalla prima; ma ciò non toglie, che se avremo a cagion d'esempio due canali in cui l'acqua scorra con uguale velocità, e che abbiano ciascheduno una caterat- ta , ma di diversa altezza , non succeda uu maggiore accele- ramento in quello in cui l'altezza della caterata è minore. Se dunque si parli di quella parte dell'alveo, che è vicina alla diga, l'altezza di questa farà variare la velocità in quel tratto, e si potrà dire che questa dipende almeno in parte dall'altezza della cateratta; ma se si tratti delle sezioni si- tuate a qualche notabile distanza dall'ostacolo, allora la ve- locità in questo luogo non farà variar punto quella del flui- do in dette sezioni più vicine alla diga . Sembrami perciò che il Sig. Bernard non abbia ben ponderato questo caso, il che se egli avesse fatto, avrcldje usato maggior riguardo verso il chiar. Ab. Castelli che viene da lui accusato di essere cada- Del Sic. Antonio Lombardi . 4^ to in grandi errori (i) quando asserì che l'acqua si accelera cadendo dal ciglio di una chiusa (a) . §. ai. L'analogìa che ha la presente questione con l'al- tra sulla varia inclinazione che si osserva nel pelo dei fiumi in magra, ed in piena mi obhliga a produrre in questo luo- go varie osservazioni fatte dai nostri Idraulici , le quali ser- viranno a più chiaramente dimostrare la verità del principio stabih'to . L'Ai). Castelli osservò, che l'altezza delle piene del Pò si \?L diminuendo all'accostarsi del suo pelo al mare; ma Bernard glielo nega perchè dice di non sapere quali sia- no le profondità dei luoghi paragonati fra loro dal chiariss. Benedettino (3) . Ma se egli avesse esaminato quanto dice Guglìelmìiii nel Capo 8." della sua grand' Opera, avrebbe pre- stata maggior fede alla osservazione di Castelli, perchè avreb- be osservato , che dovendo i fiumi per legge costante della natura impostar la loro cadente sotto il pelo basso del mare, è d'uopo che qualunque piena per alta che sia nelle parti superiori si vadi sempre a spianare sotto il pelo suddetto . Se avesse letto il ragionamento dell'egregio Sig. Eustachio Zanottì sulla disposizione dell'alveo dei fiumi pressoio sboc- co in mare avrebbe osservato (4), che la profondità della foce in ogni fiume è molto pìccola se si paragona alla massima (i) pag. 261 . (a) Nel discorso storico critico ( pag. 45 ) Bernard accusa l'Ab. Frisi dicen- do che in luogo della sua opera sui torrenti ha adottata la massima di Zeii- drini, e di Castelli sull'acceleramento dell'acqua al cader del ciglio di una chiiisa , ed in un altro la sentenza con- traria di Viviani . Chi però vorrà com- piacersi di confrontare ciò che dice l'Ab. Frisi al Gap. Ili, pag. 18 della sua 0- pera ( T. VII Raccolta degli Scrittori ec. ) in cui cita il discorso di Vn^iani, per provare che i fiumi alzano il loro fon- do, senza impeenarsi punto a parlare in quel luogo d'aumento di velocità con il paragrafo che trovasi alla pag. 21 , vedrà cred'io , che Bernard non ha ben compreso i sentimenti di questo mate- matico Italiano; il quale non parrai cer- tamente in contraddizione con sé stesso . (3) Alla serie di osservazioni che io qui riferisco può aggiungersi anche l'al- tra fatta dallo stesso Ab. Castelli ( Rac- colta delle acque T.° I pag. 100 sul fi- ne ) nell'Arno: cioè che sei, o sette braccia d'altezza d'acqua dentro Pisa ne producono un solo mezzo braccio alla Marina. Da tutto ciò io credo , che il Sig. Bernard dovrà concludere che gli Italiani non si sono limitati alle semplici ipotesi, ma che hanno consnl- tato i fatti prima di stabilire le loro teorie . (4) Raccolta degli Scrittori T.» VI», pag. 214. 44 Sui raiNCiPj d'Ioraulica di Beunard. altezza nelle parti superiori . Il celebre Sig. Eustachio Man- fredi gli avrebbe pur fatto vedere, che le osservazioni ese- guite ci istruiscono, che il pelo alto del fiume Pò è parallelo all' incirca al pelo basso ^ disponendosi essi in due curve con- vesse, le quali poi vanno ad unirsi allo sbocco, e quindi le altezze delle piene sono in que' luoghi minori. Che più? Dal- lo stesso aureo ragionamento (i) sarebbe stato istruito che fu realmente osservato, che nel Pò l'accostamento dei due peli comincia a Lago-scuro, e viene poi con precisione descritto dal chiar. Autore il quale dimostra , che dove arriva l' oriz- zontale del pelo basso del Mare , ivi incontrasi la massima al- tezza della piena che va poi scemando nell' accostarsi alla fo- ce , e quindi le altezze vive delle sezioni vanno diminuendo neir accostarsi che fa questo fiume al suo sbocco (2). Ma il Sig. Bernard secondo il suo costume illustra la sua opposta teoria con l'esempio del Rodano, che ha, dice egli maggior profondità ad Arles auzicchè a Beaucaire . Io credo però che non possa influir molto questa osservazione perchè converreb- be, affine di poterla valutare, che egli ci dimostrasse, esse- re questi luoghi situati omologamente a (pielli del Pò riguar- do ai rispettivi sbocchi di questi fiumi . Veruno ha mai ne- gato che la profondità di quelli, che corrono in ghiaja sia minore di quella che hanno allorché corrono sulla sabbia; ma non perciò cred'io, alcuno concluderà da questa generale os- servazione, che i fiumi nell' avvicinarsi al loro sbocco abbia- no sempre una maggiore profondità . Gli accidenti , ed i fe- nomeni che osservansi in un fiume, quando ha l'alveo sas- soso, e quando lo ha sabbioso, sono troppo dissimili fra lo- ro, per poter, dirò cosi, legarli insieme, e farli dipendere immediatamente gli uni dagli altri . 5. 22. Ottima, a dir vero, sarebbe la massima proposta (i) pag. 318, aaS . (2) V. ZenJrini ( Leggi, e fenomeni delle act[ue correnti pag. 24 ' '"5' T.° V della Raccolta suddetta ) che dimo- stra la verità di questo fenomeno ron molte osservazioni fatte nel Pò, e nell' Adige . Del Sic. Antonio Lombardi. 4'^ da Bernard di dirigere gli alvei dei fiumi in linea retta per le ragioni, che egli adduce (i), ma gli è sfuggita una rifles- sione importante, la quale se fosse ammessa in pratica, ca- gion sarebbe di gravi disordini nel buon sistema d'un fiume. Siccome dirigendo l'alveo di esso in linea retta la corrente si muove in parità delle altre circostanze con la massima ve- locità, così succederà in molti casi che non vi sarà modo di sostenere le rive, le quali franeranno, e cadendo nell'alveo stesso , lo riempiranno producendo così molti altri inconve- nienti . Quando perciò non si possa esser ben sicuri che le rive siano di una tal consistenza da resistere allo sforzo ge- nerato contro di esse dalla grande velocità del fluido , che si muove in un canale rettilineo, non sarà il miglior partito quello di levare all'alveo di un fiume le sue tortuosità. Che se questo scorrerà per un letto sassoso , molto maggiore do- vrà essere allora la cautela da usarsi prima di risolversi a qualche raddrizzamento , quantunque Bernard consigli il con- trario (2). Infatti aumentandosi la velocità del fluido, le ghia- je potrebbero essere spinte piìi avanti , e distribuirsi in uno spazio più lungo . Ora se il fiume corresse sempre incassato , e le sponde fossero stabili, come suppone in primo luogo l'Au- tore (3) , allora potrebbe adottarsi la massima del raddrizza- mento dell'alveo; ma se poi mancassero queste condizioni, e che raddrizzando l'alveo, le ghiaje s'inoltrassero in que' luoghi dove prima non arrivavano, ognuno vede, che potreb- be questa operazione essere funesta al sistema del fiume. Né credo che compensar potesse questo pericolo il vantaggio ri- levato da Bernard (4), che quando le rive non fossero stabi- li, esse verrebbero meno corrose, ed in una estensione mi- nore, quando esse fossero disposte in linea retta, e l'alveo si eleverebbe meno . Imperocché quando il fiume corre per (1) pag. 278. (2) pag. 276 . (3) Questa supposizione non si avve- rerà , cred' io , cosi facilmente in pra- tica . (4) pag- 277. 46 Sui principi d' Idraulica di Bernard . un alveo tortuoso , mentre corrode una riva , depone in fac- cia ad essa , e forma un banco , onde ne viene che le spon- de tortuose, sono corrose, dirò cosi a salti, ed or la destra, or la sinistra viene attaccata , ma quando il flnido corresse in linea retta, e non fossero stabili le sue rive, chiunque è pratico del corso dei fiumi potrà facihnente immaginare qual grande dirupamento cagionerebbe in esso la sola prima piena che accadesse in esso dopo il raddrizzamento . Onde non so se il rapido riempimento dell'alveo raddrizzato prodotto dal suddetto dirupamento potesse bilanciare l' effetto del lento rialzarsi clie succede nel Ietto tortuoso di un fiume . Chi poi vorrà meco riflettere alla difficoltà che s' incontrerà nel te- nere con l'arte il filone del fiume sempre verso il mezzo del- l'alveo, cosicché non si accosti piìi ad una riva che ad un' altra, con pericolo di generare delle tortuosità nell'alveo ret- tilineo, vedrà che conviene prima di determinarsi ad appro- vare un raddrizzamento esaminar bene tutte le circostanze che possono renderlo infruttuoso , onde non avventurarsi ad un'operazione o dannosa, o per lo meno inutile (i) . Io os- servo inoltre che l'elevazione del fondo si distribuirebbe for- se in uno spazio maggiore, quando esso fosse disposto in li- nea retta, e perciò sarebbe in ogni parte minore; ma appun- to perciò temer si potrebbe che questo alzamento si estendesse ai tronchi inferiori del fiume con pericolo grave dei terreni vicini . 5. 2,3. Ma si lasci l'argomento della direzione degli al- vei in linea retta , e si prenda a considerai-e la critica che Bernard ci presenta in una lunga nota {1) su quanto scrisse il Sig. Dii Buat delle corrosioni . Questo Autore dice che l'esperienza dimostra avere le corrosioni un limite, ed acceu- (i) Avvertasi che io parlo sempre di fiumi tortuosi, i quali si de!iboiio rad- drizzare, e non già di quelli che sono staljiliti, ed hanno quilcha loro tro^i-o in linea retta , perchè trattandosi di questi io convengo , che sia assai mi- gliore la loro costituzione in generale che dei primi, i quali hanno l'alveo tortuoso . (2) pag. 274 e segg. Djil Sic. Antonio Lombardt: 47 na in breve le condizioni che devono concorrere a far sì che una corrosione possa dirsi stabilita . Ninno Idraulico ignora che questa osservazione fu già opera dell'ingegno, e della penetrazione del Filosofo Bolognese , onde prendendo io la difesa del Sig. Du Buat ^ vengo al tempo stesso a compro- vare la verità delle osservazioni di questo nostro cliiar. Ma- tematico. La stabilità, ossia il limite delle corrosioni, non sì ammette da Bernard ne' fiumi rapidi, quando il terreno del- le rive possa venir corroso dall'urto diretto della corrente, onde converrà , soggiunge , rivestire le rive , e sottrarle così all'azione del fluido che le investe. Io osservo però che il tipo di qualunque fiume anche rapido mi presenta un anda- mento obbliquo, ed una curva serpeggiante nella maggior par- te del suo corso, e ciò anche nei luoghi, ove l'arte non ha rivestito le sponde per difenderle dall' impeto della corrente . Conviene dire perciò che questa , quando investe sotto un certo dato angolo una riva, produca un certo determinato ef- fetto , e non più , a cui possa il terreno disposto in una de- terminata figura resistere, perchè se accadesse diversamente, non si dovrebbe osservare nei fiumi già stabiliti l' indicato ser- peggiamento , o vogliam dire oscillazione della loro corrente ora alla destra, ed ora alla sinistra. Questa riflessione mi con- duce poi naturalmente all'altra già fatta degli Idraulici; che cioè 5 corrodendosi una sponda l' angolo d' incidenza dell' ac- qua Varia sempre, e quindi varia pur anche la resistenza del- la riva alla corrente , onde combinando insieme la pratica suddetta osservazione con questo riflesso, io credo che possa desumersi da ciò , che la massima di Bernard in tutta la sua estensione non è da ammettersi, tanto più che non mi por- ge argomenti che appoggino validamente la sua asserzione . Perchè una corrosione sia stabilita il Sig. Du Buat ha osservato richiedersi che vi sia al piede della medesima un gorgo, ossia che la profondità dell'acqua sia maggiore ivi che altrove. Ora jBer«arJ vorrebbe, che quando incontrasi al pie- de di una riva questa maggior altezza d'acqua, quando la 48 Sui fftiNCiPj d'Idraulica di Bernard. corrosione cessa , questo fosse un indizio della tenacità del terreno di cui la riva è composta, e non una condizione del- la sua stabilità. Semprecchè l'osservazione del Sig. Dii Buat sia vera in pratica, cioè che quando una corrosione abbia al suo piede un gorgo, essa non si avvanzi di più (i), egli è certo che potrà un Idraulico pronosticare che quando si for- nii al piede di una riva tormentata dal filone del fiume un gorgo , questo sia vicino a stabilirsi ; proceda poi la forma- zione del gorgo , o dalla tenacità del terreno della sponda , o da qualunque altra causa . Avverto però che si richiederà una serie di osservazioni, e di esperienze fatte in casi ana- loghi prima di poter su questo problema pronunciare un fon- dato giudizio. L'ultima condizione che il Sig. Du Buat ri- chiede perchè l'alveo di un fiume si possa dir stabilito in una risvolta, si è che vi sia nel concavo della Botta un au- mento di pendenza , o una carica capace di vincere la resi- stenza della sponda incurvata, sembra a primo aspetto, e così ha giudicato Bernard, che questa condizione anzicchè essere un indizio di stabilità, possa essere una causa di distruzione della sponda. Ma se ben si rifletta, che la richiesta stabilità può intendersi in due modi, cioè, può dirsi una corrosione stabilita, quando non s'interna più oltre nella campagna, e quando il fiume non si ritiri da esso per dirigersi con la corrente altrove, si vedrà che può benissimo richiedersi quest* ultima condizione affinchè l'impeto della corrente sia in equi- librio con la resistenza che vi oppone la sponda incurvata, jjer modo che il filone , o spirito del fiume sia da questo e- quilibrio di forze ritenuto sempre aderente alla riva battuta, prescindendo però sempre dalle cause superiori che possono determinare ad altra parte la corrente . (l) Per S[iiegaio nome Icirmanrlosi un gorgo al piede ili una corrosione si pos- sa credere che essa sia allora al suo limite , si potrebbe dire , che incontran- do la corrente nel successivo corrodere una riva il terreno forte , o tufo che resiste all' impeto suo , allora essa ri- percossa da questo con varie direzioni rivolga le sue forze contro il fondo j e vi escavi il iiorgo . Del Sic. Antonio LoMEARor. 49 <>. 24. Quando il t'ondo di un fiume si alza, succede per l'ordinario, che si alzano anche le rive j o per le deposizio- ni cagionate in tempo d' inondazioni , o per lo scorrimento delle terre dalie montagne , e dalle colline nelle valli per la quali corrono i fiumi. Così e' insegna Bernard alla pag. 2,81. Questa teoria però è appoggiata ad una supposizione, la qua- le verificandosi, sarebbe cred' io contraria al buon regolamen- to di un fiume . In fatti se le sponde devono alzarsi contem- poraneamente al fondo, è d'uopo che le piene le superino, e s' inondi perciò il terreno adiacente . Ora vorrein noi sup- porre che la corrente limiterà le sue espansioni a piccole di- stanze dalle sponde , oppure , il che sembra più probabile , t^sa non avrà altro freno, se non che quello che gli verrà opposto dalla diversa inclinazione dei fondi , onde potrà ac- cadere, che trovando qualche avviamento la corrente diriga, e stabilisca un nuovo ramo sul terreno coltivato con danno notabile dei possidenti del terreno inondato? Non dovrà per- ciò un Idraulico destinato a regolare un fiume confidarsi mol- to nell'alzamento delle rive supposto da Bernard, perchè potrebbe commettere errori rilevanti nella difesa a lui affida- ta (i) . Le osservazioni poi dei Fenomeni, che ogni giorno avvengono nei nostri fiumi non ci persuadono abbastanza dell* altro principio stabilito da Bernard (2), che i depositi parti- colari di sabbia poco contribuiscano ad alzare il fondo dei fiumi . La grande altezza , a cui sonosi dovuti portare fra noi nel giro di pochi anni le arginature ci conducono a que- sto dilemma . O il fondo de' fiumi d'Italia si alza di continuo, o le piene sono piii copiose degli anni addietro. Ma siccome, perchè si verificasse questa seconda supposizione, ammetter si dovrebbe un cambiamento nelle stagioni, da cui argomen- Torno XVI. G (i) L' innalzamento delle rive che produr potesse lo scorrimento delle ter- re Etaccate dai monti riuscirà come o- gnun vede troppo irregolare per potere esser giovevole a tenere incassat'> le acque, (a) pag. a8i N.° 366. 5o Sui PRiNcirj d' Idraulica di Bernard . tar si potesse che cadessero maggiori le pioggie , e le nevi al presente, di quel che avveniva negli anni passati, del che non credo che finora i più celebri meteorologisti ci abbiano avvertito, cosi dovrà ammettersi l'alzamento del fondo. Chi poi conosce per esperienza quanto valga ad aumentare la ve- locità di un fluido qualunque piccolo aumento di altezza, non vorrà dar gran peso alla causa che alcuni indicano pro- durre maggiore alzamento delle piene , cioè li restringimenti moderati dall'alveo, che da molti si praticano nella difesa dei fiumi . Qualche influsso piuttosto aver potrebbe su que- sto fenomeno così fatale alle arginature la rapidità con cui precipitano dai monti coltivati le acque ; ma io son di pare- re , appoggiato anche alle più recenti osservazioni di fatto , che la causa principale dell'alzamento del pelo delle piene sia il rapido alzamento del fondo cagionato poi in parte al- meno dalla coltivazione troppo estesa introdotta nelle mon- tagne . 5i DESCRIZIONE DI UN TEODOLITE SCENOGRAFICO MEMORIA ^ Del Sig. Giovanni Battista Magistrini, Ricevuta li 12, Novembre 181 1. utta l'arte della Prospettiva lineare sì può ridurre alle ue equazioni semplicissime r = , i? = , nelle qua- c-t-7, c-t-yx ^ Vi r , t sono le coordinate dei punti projettatì , Ux,yx^Zx le coordinate dei punti objettivi , a , e le coordinate del punto di veduta , prese sopra le tre intersezioni del piano geome- trico, della tavola, e del piano verticale tirato pel punto di veduta, e pel raggio principale. Determinate le costanti a, e a norma delle circostanze , cioè , scelta una conveniente si- tuazione del punto di veduta , sostituite le espressioni delle coordinate Zx^/x, Ux, ossia delle distanze dei punti objettivi dai tre piani mentovati , non restano più che i successivi cal- coli , o le costruzioni geometriche dei valori delle coordina- te /-j t corrispondenti ai successivi valori dell' indice di situa- zione X , e V applicazione dei medesimi alla tavola . A bea dichiarare tuttavia l'origine, l'utilità, e le applicazioni di queste formole , che io non ho che accennate nella mia Po- ligonometria analitica , debbonsi distinguere primieramente due specie di oggetti relativamente alla prospettiva. Altri so-' no puramente ideali, quale sarebbe una macchina di prima invenzione, di cui non si avesse modello davanti agli occhi: altri sono reali, e visibili. Negli uni e negli altri conviene in oltre considerare tre casi: quello, in cui tutti i punti co- stituenti gli oggetti sono disposti fra loro con data legge db distanze da tre piani dati 0 da un dato polo ; quali sarebbe- Sa Sa DI UN Teodolite Scenografico . re i vertici, li spigoli, le faccie di un corpo regolare; cosic- ché le posizioni rispettive non dipendono che dal calcolo , date che siano tre qualunque di esse : quello , nel quale i punti objettivi, quantunque non l'egolati da nota legge uni- ca, e generale, nelle distanze fra loro, e da piani dati , tut- tavia sono soggetti nelle dimensioni, e nel rispettivo colloca- mento a noti limiti, e particolari condizioni, per le quali si può senza bisogno di misui'e , uè ispezione attuale rilevarne numericamente ciascuna distanza particolare , ed eseguirne la prospettiva ; di questo numero sono gli edifizj architettonici, e le varie parti , e rnembiature loro in ciascuno dei varj si- stemi inventati dagli Antichi: il terzo caso finalmente, in cui si tratta di oggetti ^ per le dimensioni, e distanze dei quali altro dato non ha il disegnatore die l'attuale misura di cia- scun punto objettivo o d'appresso,© da lontano. Questa di- versità di casi e di circostanze per altro poco interessa la maggior parte dei pratici , i quali nulla curando la scorta si- cura dell'analisi e della geometria tutto abbandonano l'esito delle loro operazioni al materiale meccanismo dell' occhio e della mano : somma importanza vi trovano al contrario quei pochi illuminati, i quali non obbedendo all'occhio, se non quando ragione il consiglia , e non stendendo la mano che dove loro addita la 'geometria , hanno di qualche maggiore lunghezza del loro operare il largo compenso di un grado di sicurezza , e rigore , inarrivabile alla sola cieca pratica della mano e dell'occhio anche il più esercitato. Questa seconda classe di periti , ai quali unicamente è diretto questo scrit- to , troverà non picciolo vantaggio nei primi due casi pi-ece- denti soggettando l'esecuzione de' suoi disegni alle due equa- zioni superiori , o alle equazioni polari corrispondenti , che formar si ponno colle solite permutazioni . Poiché le coordi- nate 2,7, M, che suppongonsi funzioni dell'indice intiero variabile x, rappresentano appunto ciascuna la legge delle distanze dei punti objettivi da ciascun piano rispettivo , la qual legge è data nei due casi suddetti . Quell' indice x , ol- Del Sic. Giovanni BAmsxA Magistrini . 53 trecche mette a pai'te delle combinazioni , e dei vantaggi dell' analisi stessa delle curve i continui discontigui , sotto la qual denominazione son compresi i sistemi di punti objettivi , di cui parliamo , porge altresì il risparmio di molti altri segni di convenzione, dei quali soglionsi ingombrare i disegni per argomentare con prontezza , e senza confusione dagli oggetti apparenti della prospettiva le situazioni, le direzioni, e al- tre proprietà degli oggetti reali . Ma nel terzo caso , che è il più frequente e comune nelle arti, specialmente in quella del paesista , e nella Geodesia , il disegnatore analista e geo- metra, limitato alla sola ispezione degli oggetti, non conten- to al tempo stesso delle semplici congetture né delle appa- renze è costretto a rivolgersi alla ricerca esatta delle distan- ze col soccorso delli strumenti . La camera oscura è certo in questo caso il migliore strumento fra quanti ne furono im- maginati ; poiché essa offre immediatamente la prospettiva di un intiero sistema d'infiniti punti senza bisogno di alcuna misura , né costruzione geometrica di distanze né di dimen- sioni . Se non che il vantaggio di tanta facilità e prestezza di disegnare per mezzo delia camera oscura diveniva tosto un difetto , allorché degli oggetti così copiati nasceva bisogno di formare un rilievo, o d'istituire qualunque ricerca geo- detica ; pei quali usi é indispensabile la cognizione delle di- stanze , e delle dimensioni reali . A sì grave inconveniente rimediò mirabilmente l'illustre Geologo Marzari Pencati mon- tando la camera oscura a guisa di teodolite , praticandovi i due movimenti rotatorj orizzontale, e verticale intorno al cen- tro della lente misurati da due circoli graduati , e quel che più gli meritò il premio, e l'applauso dell'Istituto Reale, proiettando sul vetro della camera i circoli massimi vertica- li, e i circoli orizzontali di una ({ualunque sfera visuale con- centrica colla lente, dalle intersezioni dei quali son misurate le distanze angolari degli oggetti rispetto al centro della len- te, projezione ingegnosa e felice, per la quale lo spettro de- gli oggetti, ai quali è rivolta la camera, viene in certo modo 54 Su DI UN Teodolite Scenografico . a ritrovare da sé , e ad indicare sul vetro la vera situazione dei punti , che ad esso corrispondono nello spazio . Quando però il numero dei punti da rilevare è piccolo , e massime quando trattasi di oggetti inaccessibili , e insieme posti in grande distanza, che non si possa spezzare con replicate sta- zioni , il teodolite ha per la sua esattezza per confessione dello stesso Sig. Marzari la preferenza sopra tutti gli altri strumenti . Per esso alle due equazioni della prospettiva ri- ferite di sopra subentrano le equivalenti r = a -i- ^ ''"^ sen. 6^ t-^ctang. Pjc:, essendo ora a , e le distanze del centro di ro- tazione del cannocchiale del teodolite dal piano geometrico , e dalla tavola del disegno, dxt^x gli angoli segnati sul qua- drante verticale, e sull'orizzontale nell'osservazione del pun- to objettivo marcato coli' indice :*; . Queste sono le formole più semplici, che alla prospettiva vengono somministrate dal teodolite nella sua attuale struttura . Ma con questa stessa semplicità di equazioni già preceduta dal penoso travaglio in campagna della misura ad uno ad uno di altrettanti valori degli angoli ^ , /? , quanti sono i punti objettivi , nuova fa- tica , e nuovo imbarazzo non minore resta a superarsi nell' esecuzione, in cui richiedesi un numero di costruzioni delle equazioni stesse doppio di quello dei punti stessi osservati . Che se nel triangolo sferico rettangolo, di cui son cateti gli angoli ^, i?, occorra bisogno di conoscerne altresì gli angoli obbliqui ; sorgono nuovi inciampi, e complicazioni, e di più nuovi pericoli d' inesattezze e di errori : poiché questi angoli non si possono dedurre dai già noti ^ , /? , i soli che vengo- no misurati dallo strumento , se non che per mezzo di lun- ghi calcoli d' approssimazione . Considerando io tutte queste difficoltà, e questi varj casi della prospettiva, mi venne in animo d'indagare se il teodo- lite fosse suscettibile di una modificazione, la quale senza to- gliere i principali vantaggi di si prezioso strumento, lo ren- desse più utile a quest'arte, e porgesse o tutti o - "ta Del Sin. Giovanni Battista Magistrini . 55 senza bisogno di nuove approssimazioni aritmetiche quelli ele- menti , per la misura dei quali è stato finora necessario di chiamare in soccorso il calcolo . Lusingandomi di avere ot- tenuto un qualche intento di tale mia ricei'ca utile per la pratica , e non indegno della curiosità di chi si diletta anche delle pure speculazioni geometriclie , mi avanzo a sottoporlo al giudizio della Società Italiana d'ogni utile perfezionamen- to delle Arti , e delle Scienze tanto benemerita , alla quale ebbi poc'anzi la sorte e l'onor singolare d'essere ascritto. I. Se si porta l'intersezione di due linee rette ortogo- nali sui punti di una sfera obbligando il piano, in cui giac- ciono, a passare pel centro, e dirigendone una costantemen- te ad una estremità di un diametro fisso: l'altra retta, c'in- segna la Geometria elementare , passerà sempre per 1' altra estremità di quel diametro stesso . a. Adempiansi queste tre condizioni con un regolo, e con una diottra o con un cannocchiale connessi a squadra obbligando il regolo a passare per un punto fisso . E mani- festo, che uno spettatore, il quale guardasse per questa diot- tra gli oggetti , che lo circondano , verrebbe a dirigere tut- te le sue visuali ad un altro punto parimenti fisso , la cui distanza dal primo sarebbe un diametro della sfera circoscrit- ta alla squadra , come se qui scelto avesse il punto di vedu- ta, e di qui se ne stesse immobile ad osservare. 3. Tra i modi meccanici d'imprimere un tale sferico mo- vimento all'intersezione dell'asse visuale d'una diottra colla normale linea media di un regolo , che la sostiene , il piti semplice, e'I più vantaggioso m'è parso il seguente. Un pezzo di lastra d'ottone Ut ( fig. i ) è tagliato se- condo la curva i/, che ha per equazione r = a ( i — sen. ?i ) , T^u essendo le coordinate polari, e a il diametro della sfe- ra sulla quale si vorrà eseguire il movimento cercato ; e 'l taglio si estende fino ai limiti dati da m:=o ,«=—, preso/; eguale a due angoli retti. Questo pezzo nella sommità ì del 56 Su DI UN Teodolite Scenogiiafico . lembo ricurvo , cioè , nel punto , ove u =: —, è munito cT un picciol manico cilindrico im , il cui asse coincide colla tan- gente della curva nel punto stesso . Da questo stesso punto sporgono sopra ambedue le superficie della lastra due corti e piccioli perni opposti, cilindrici anch'essi. Il manico s'in- grossa alquanto nel mezzo r in forma di ruota , indi ripresa per un breve tratto la prima grossezza, termina in un bot- tone , o cresta m a guisa di vite . Sorge dalla testa S ( fig. 7 ) di un treppiede P Q R S , quale si adopra per sostenere la tavoletta pretoriana, un pa- rallelepipedo bd ( fig. a ) scavato per un tratto verso la cima nel senso di due faccie opposte . Le altre due pareti per due fessure ai, cr aperte nella loro sommità sostengono il mani- co cilindrico precedente loro normale, abbracciando, e strin- gendone la ruota . Due mollette in oltre gì, che partono dal mezzo g del pieno del parallelepipedo, e verranno a battere in i sulla ruota , ne accresceranno vieppiù la compressione , e r attrito . La figura 3 rappresenta la sezione della ruota , delle due mollette, e del parallelepipedo fatta per l'asse, e perpendicolarmente alla faccia anteriore . Il parallelepipedo viene innestato sulla testa del treppiede mediante il cilin- di-etto l, che lo termina. Un regolo di ottone pq ( fig. 4 ) diviso da una fessura longitudinale in due parti tenute in sesto in una estremità da una diottra normale e nell'altra da una picciola traversa hi . Nelle pareti interne del regolo sono praticate due scan- nellature parallele hk , li di larghezza , e profondità sufficien- ti per ricevere esattamente i due perni cilindrici accennati di sopra, che sono fissi nella sommità i della curva li ( fig. i ). Parimente la fessura, che separa le due parti del regolo, è capace della grossezza della lastra , la quale vi può scorrere liberamente senza però oscillare . Unita che sia la diottra sulla testa del regolo , la linea visuale , le due linee medie parallele delle due scannellature interne del regolo, e la li- nea Del Sic. Giovanni Battista Magistrini. Sj nea di confine della traversa, che forma la base del regolo, dovranno essere stabilmente situate in un medesimo piano : in oltre la distanza della base del regolo dalla linea visuale della diottra eguaglierà l'altezza della curva della lastra, cioè la distanza dei punti estremi di essa, ossia il parametro a dell'equazione r = a { i — sen. ii ). La figura 5 rappresenta la diottra munita di due alette b , d , colle quali verrà ferma- ta sulla cima del regolo . 4. Si uniscano ora, e si adattino questi pezzi coli' ordi- ne, e colle condizioni esposte, e di più in modo, che i due perni alla sommità della curva si trovino inseriti nelle scan- nellature del regolo, la traversa inferiore di questo batta sul- la concavità della curva , e uno stesso piano passi per la li- nea visuale della diottra, per l'asse del. manico della lastra, e per mezzo della grossezza della lastra medesima. Dico, che spingendo (fig. 7), e ritirando il regolo per la base /" a pia- cimento, purché rada colla traversa il margine curvilineo BGF, e a qualunque grado d'inclinazione di giri mediante la cre- sta, o il bottone e, la visuale prolungata terminerà sempre in uno stesso punto G dietro allo strumento sull'asse di ro- tazione alla distanza dai due perni eguale all' altezza GB del- la curva, ossia l'intersezione della visuale della diottra colla linea media del regolo si troverà costantemente sulla sfera di diametro eguale all'altezza della curva avente asse comune Collo strumento , e vertice comune colla curva . A dimostra- zione di ciò, servirà l'esposizione, che ora darò dell'origine della curva stessa, e del modo di descriverla meccanicamente. 5. Sulla lastra AD ben piana, e liscia ( fig. 8 ) si descri- vano due assi ortogonali ab, GF , e il semicircolo anmd so- pra il diametro ad^ la cui lunghezza si sceglierà a tenore della grandezza, e dello sviluppo, che si vorrà dare allo stru- mento . Nel centro G si fermi un picciol gnomone , e sopra questo si adatti uno stilo GN , che abbia la libertà di girar- vi d'intorno, forato in n alla distanza dal centro G eguale al raggio . Un regolo ns della lunghezza del diametro ad del se- Tomo XVI. H 5o Su DI UM TKOnOLITE ScENOGRAFICO . mioiicolo si munisca nelle estremità di due punte rivolte per di sotto , e con una fessura longitudinale praticata tra le due punte stesse investa un altro gnomone fisso nel vertice a del semicircolo in modo, che possa ruotare, e scorrere, ma pas- sando sempre pel vertice a . Una punta del regolo entri nel foro n dello -stilo nC , e faccia sì clie il regolo siegua ruo- tando , e progredendo lo stilo , e descriva egli stesso colla punta obbligata nel foro n la semicirconferenza anmd . Ora se menando in giro lo stilo Cra si comprime leggermente il regolo, die è forzato a seguirlo; l'altra punta estrema 5 de- scriverà sulla lastra la specie di trattoria bsa , la cui equa- zione, se a è la distanza delle due punte n,s, e insieme il diametro ad, sarà appunto r = a ( i — sen.u), essendo in oltre II la metà del numero dei gradi dell' arco aji sotteso di mano in mano dal regolo, ed r la distanza tra'l vertice a del semicircolo, e la punta inferiore 5 del regolo . Poiché abbia- mo r r=. as ■=■ ns -^ na ■=■ a — a sen. — = a { i — - sen. u ) . Eseguita la stessa operazione sulla faccia opposta della lastra con un semicircolo eguale e similmente posto rispetto al precedente , si tagli la lastra seguendo esattamente la cur- va cosi descritta da ambe le parti , e proseguendo il taglio a piacimento se ne levi un pezzo d'una certa larghezza di- screta, quale sarebbe la figura Ut ( fig. i ) , e si metta in opra, e si adatti colle condizioni, e avvertenze poc'anzi pre- scritte . Sarà facile il rilevare dalla meccanica costruzione del- la curva , che il regolo AF ( fig. 7 ) obbligato costantemente a passare pel vertice di essa, e a seguirne con una sua estre- mità l'andamento porterà sempre sullo stesso circolo di dia- metro eguale all'altezza della cui-va un punto della sua linea inedia distante dall'estremità stessa, quanto è alta la curva, il qual punto dovrà essere l' intersezione colla visuale della diottra, o del cannoccliiale . Il che sempre succederà a qua- lunque inclinazione si giri la lastra sopia il parallelepipedo, cui è appesa . Del Sic. Giovanni Battista Magistrini . o ( fig. 2 ) in modo che il quadrante abbia il centro sulla linea tirata per le due fessure e, a, intorno alla quale roterà lo strumento ; in oltre la periferia graduata sia in un piano pa- rallelo alla faccia /7tì? del parallelepipedo , e in fine il raggio, che passa per mezzo del quadrante sia nel piano normale apd^ che bipartisce il parallelepipedo passando per e, a. Il qua- drante si costruisca di tal raggio, che la diottra ruotando noa venga ad urtare contro di esso . Applicato in tal modo il qua- drante si prepari un triplice stilo, quale si vede nella figu- ra 6 medesima , di cui due raggi ad,ae siano diametralmen- te opposti, e gli altri due aB, aC siano ad angolo retto fra. loro , e seraiietto coi primi . Si fermi sul manico tra m , r ( fig. I ) lo stilo mediante il suo occhio a in tal posizione, che quando la lastra pende dal suo asse non inclinando né a destra, né a sinistra del parallelepipedo, lo stilo si trovi co' suoi tre raggi rispetto al quadrante , come appare nella figura 6 . Il triplo indice , e '1 quadrante non compajono nel- la projezione dello stromento della figura 7 , se non nelle due linee opposte x/, zt . Questo triplo indice potrà ruotando collo strumento marcare sopra del solo quadrante i gradi di due semirivoluzioni intiere una a destra, l'altra a sinistra, e risparmierà così l'imbarazzo di un intiero semicircolo gra- duato, che impedirebbe la rotazione traversale della diottra, 7. Nell'atto che si descrive sulla lastra AD ( fig. 8 ) la curva asb, s'incidano successivamente presso l'estremità s deb regolo, e sulla direzione della linea media del medesimo i 6o - Su DI UN Teodolite Scenografico . numeri suddnpli dei gradi , che son descritti sul circolo ge- neratore anmd dall'altra estremità n . Questi numeri suddupli esprimeranno i complementi degli angoli naG ., che il regolo formerà coli' asse ad. Per evitare l'incomodo dell'espressa graduazione numerizzata del circolo generatore , si descriva concentrico con esso, e sulla stessa base GF un semicircolo GNMF della grandezza di qualcuno, che se n'abbia già gra- duato, e allungato lo stilo Gn dell'intervallo reN, si osser- vino i gradii che sono marcati sul nuovo semicircolo dallo stilo CN o mediante la numerizzazione del semicircolo stes- so , ovvero riportando col compasso gli archi GN , GM sul semicircolo, o quadrante d'egual raggio, che si ha in pron- to già numerizzato . Lo stesso si eseguisca suU' altra faccia della lastra . Anzi sulle due faccie si ponno impiegare due ordini diversi di graduazione in modo , che le divisioni di una servano di nonio, e di correzione alle divisioni dell'altra. Nella figura si vedono due esempj di questa graduazione del margine della lastra, sulla quale i numeri 3o, e 70 sono scrit- ti in fondo al regolo nelle due posizioni, che questo prende, allorché lo stilo si dirige ai numeri 60 , e 140 del semicir- colo . Dal mezzo della base del regolo ( fig. 4 ) sulla direzione delle due linee medie delle scannellature interne sporgono due aghi ^,f , i quali mentre il regolo investirà la lastra ilù ( fig. I ), dovranno indicare da ambe le parti le divisioni pre- cedenti. Per essi io saprò subito l'angolo d'inclinazione della diottra o della visuale OC ( fig. 7 ) coli' asse dello strumento, poiché il numero che si troverà sotto la punta D, sarà il numero dei gradi dell' angolo OCB . 8. Invece della graduazione del lembo curvilineo della lastra si potrebbe, se si credesse piìi facile, e comodo, divi- dere in parti decimali le due faccie laterali del regolo, come rappresentano i punti marcati sopra vq (fig. 4)5 e sopra AF ( fig. 7 ); e adattando una piccola staffa sui due perni del re- golo, o prolungando le punte dei perni stessi fino ad escire. Del Sic. Giovanni Battista MàgistriniT ór e mostrarsi sulle faccie laterali medesime , rendere vislhili le successive distanze della testa del regolo, e della visuale del- la diottra dal centro dei due perni . Queste distanze sareb- bero le corde dei doppj archi , che misurano gli angoli ACB ( fig. 7 ) nel circolo generatore della curva BFG . g. Ora suppongasi un sistema di punti H, M, L, K, N ( fig. 9 ) traguardati collo strumento fin qui descritto, il cui asse cada sulla linea CQ , e la cui diottra porti tutte le suc- cessive visuali nel punto C. S'immagini la piramide visual» così risultante tagliata da un piano DE normale a CQ . Il sistema dei punti A, 772, q, Z, k, n d'intersezione del pia- no colle visuali sarà la prospettiva sopra il piano stesso dei punti H , M , Q , L , K , N . Il punto q sarà il così detto jjuii- to principale della prospettiva, e ^G, o (^c il raggio, che chia- masi principale . Se da f^' si tirano nel piano DE a tutti i pun- ti d'intersezione h , m ^ l , k , n le rette qli , qm , ql , qk , qn normali necessariamente al raggio principale C^ , risulteranno altrettanti triangoli rettangoli, i cui angoli obbliqui opposti a queste normali saranno quelli , che di sopra chiamavamo u nella equazione della curva dello strumento ( num. 5 ) . Se; dunque si chiama s la normale ^Z , cioè 1' ordinata polare del- la prospettiva l di un punto qualunque L, nel traguardarli quale siasi trovato sulla divisione della lastra dello strumen- to il numero u segnato dal regolo; avremo 5 = e tang. u^ dove e è la distanza ^C della tavola dal punto di veduta . Ov- vero chiamando h la parte del regolo prolungato fino alla vi- suale della diottra, che sottendeva l'arco di gradi in nel cir- colo generatore di diametro a, per essere Z' = asen.z^, quin- di sen. Zi = — , e cos. u = , e tang. u =: sarà 5 = — — , dove b verrà dato successivamente dalla divisione del regolo , quando di questa invece della gradua- zione della curva V02;liasi far uso . Sebbene non sia tanto complicata né l'una né l'altra di fj2 Su DI UN Teodolite ScENOCRAFino . queste due formole , perchè difficile , e lungo riescir ne pos- sa il calcolo aritmetico , massime se si hanno buone tavole trigonometriche : sarà tuttavia più spedita ed esatta la misu- ra geometrica , che ne offre la figura i o . Si adatti a due assi ortogonali AQ , QB un quadrante graduato AU, e si tirino i raggi QD , QE , QF , QG , che formino coli' asse QA succes- sivamente gli angoli u . Si prenda sopra QA partendo dal cen- tro la distanza Qc-=^c, e si tiri la normale indefinita cz: i segmenti di questa retta ed, ce, cf, cq saranno i valori del- le ordinate polari rappresentate dall'equazione s ■=■ e tang. mj come è chiaro dai triangoli rettangoli cQ^?, c^e , ec. Che se invece degli angoli u son date dallo strumento le corde è, he e si deve far uso della formola j=— — — —; si prenda sopra J/ (a —b) il medesimo asse Qa = a , e sopra di esso sì descriva il se- micircolo ahkQ\ indi si applichino in a le successive corde osservate ah, ak , al, ai, e per le estremità A, k, l, ì, ec. si tirino le corde supplementarie QA , Q/t , QZ, Qì , ec. Que- ste taglieranno sulla retta precedente cZ i segmenti ed, ce, cf, cg , ec, che saranno i valori cercati di .? della seconda formola: il che si vedrà osservando che i triangoli Qah,Qak,ec^ rettangoli sona simili ai triangoli rettangoli Qcd, Qce , ec. L'elemento e però non può prendersi a capriccio nei ca- si particolari , come noi abbiam fatto in questa costruzione generale delle due formole. Dipende esso dall'estensione, che in ciascun caso si vorrà dare alla prospettiva , potendo que- sta variare all'infinito per un medesimo sistema di oggetti, attese le infinite posizioni del piano secante della piramide, ottica rispetto al punto di veduta . Sia s la massima dimen- sione stabihta , che dovrà avere il disegno intorno al punto principale, cioè sia s l'ordinata polare della prospettiva del punto più lontano dal raggio principale fra tutti i punti ob- iettivi , che debbon essere disegnati e compresi nella tavola ; e sia u' l'angolo corrispondente fatto dalla visuale col raggio principale , allorché si traguarda questo punto estremo : ov- Del SiG. Giovanni Battista Magistrini . 63 VPi'o sia //' il pezzo del regolo , che rimane iscritto nel cir- colo genitore della curva dello strumento, allorché parimente si traguarda un tal punto. Avremo le due formole c = tang.ii" e = ^-^—j, . Si prolunghi QB in S.( fig. io ) , e sia QS = /, e AQ sia di gradi u . Tirato il raggio QG , e a questo da S s' Ja parallela SC , il segmento QG sarà = •,. Per la formo- *■ ° taiig. it la poi c= — — si prenda nel semicircolo ahlQ di dia- metro a la corda ai = b\ e si tiri Qi , che sarà=:p/(a^ — b'^). Si porti sopra QB la coi-da ai in QB' , e la Qi in Qo , e sia QS = s' . Tirata la B'o , e la retta SG parallele , questa de- terminerà nel segmento QG il valor di e rappresentato dalla seconda formola, come risulta dal confronto dei lati omologhi dei due triangoli simili B'Qo , SQG . Resta ora a determinarsi la giusta situazione di ciascuna ordinata s della prospettiva di ciascun punto objettivo sulla tavola . S' immagini un piano indefinito ( fig. 9 ) tirato pel rag- gio principale , e normale al piano DE , che rappresenta la tavola . Questo piano è quello stesso , che si tirerebbe per l'asse dello strumento, e pel mezzo del quadrante applicato al medesimo. L'intersezione col piano DE sarà la retta RS, che passerà pel punto principale q , che si prende per origi- ne o polo delle ordinate s , delle quali abbiamo poc' anzi espres- se analiticamente, e costruite geometricamente le grandezze. È chiaro, che l'angolo Kqn fatto con questa linea d'inter- sezione RS dall'ordinata polare per esempio qn del punto n prospettiva del punto objettivo N sarà lo stesso che 1' ango- lo , che si troverà marcato sul quadrante dello strumento , allorché si mira con esso il punto N . Chiamo la linea RS asse principale della prospettiva , e gli angoli , che con essa formano le ordinate polari , gli esprimo con dr u , -H gli an- goli a destra, e — gli angoli a sinistra, come Kql. Ora pren- (>4 Su DI UN Teodolite Scenografico. deiido dal quadrante dello strumento questi angoli , e dalla curva direttrice del regolo graduata gli angoli u, mentre ho coi secondi, e colla costruzione precedente le ordinate polari della prospettiva, avrò nei primi le ascisse angolari sceglien- do nella tavola il polo nel punto principale, e l'asse sulla linea , che chiamo asse principale della prospettiva . Dato dun([ue un sistema di punti osservati col nostro strumento, stabilisco prima di tutto la grandezza della tavo- la, su cui voglio rappresentarlo in prospettiva; e secondo che l'asse dello strumento nell' osservare era rivolto verso il mez- zo del sistema, o da un lato, o verso la cima, o verso il fondo, fisso sulla tavola similmente il punto principale o ver- so il mezzo , o da un lato , o in cima , o in fondo . In que- sto jjuuto colloco il centro di un semicircolo graduato DAE ( fig. II ) munito di una riga HK , che si può girare intorno al centro C , e un lembo della quale giace sempre sulla di- rezione d'un diametro; e adatto la base DE del semicircolo in modo, che il vertice cada in A , per dove passerebbe l'as- se principale, cioè la linea d'intersezione della tavola col pia- no prolungato dello strumento nella sua primitiva situazione, ossia la linea RS della figura 9. Indi giro la riga HK a de- stra o a sinistra del vertice A di tanti gradi , quanti per cia- scun punto objettivo osservato ne trovo notati a destra o a sinistra sul quadrante dello strumento: in fine prendo le aper- ture di compasso ed, ce, ef, ec. nella figura io, e le tra- sporto sulla riga HK ( fig. 1 1 ) partendo dal centro verso le divisioni, sulle quali la trattengo di mano in mano. Per esem- pio sulla graduazione della curva dello strumento, oppure so- pra quella del regolo avendo per un certo punto objettivo osservato il numero 4^5 oppui'e la corda ak ( fig. io ), e sul quadrante dello strumento il numero i5 a sinistra; applico nel quadrante di costruzione ( fig. io) il raggio QE alla di- visione 40, e formo il segmento ce sulla linea delle ordina- te polari : giro sul semicircolo DAE ( fig. 11) la riga alla di- visione i5 a sinistra del vertice A; colf apertura di compasso ce Del Sic Gioy-\J!Ni Battista Magistrini. 65 ce precedente segno sulla tavola PQ la distanza Ce dal cen- tro lungo la linea CH . Il punto e è la prospettiva del pun- to osservato . IO. Il medesimo strumento senza bisogno di nissun' ag- giunta o modificazione serve egualmente alla misura delle di- stanze si dirette, che orizzontali, e verticali dei punti inac- cessibili . Solamente per le distanze orizzontali , e verticali richiedesi di più, qualcuno dei noti mezzi per collocare l'as- se dello strumento in direzione orizzontale . A tal fine si po- trebbe munire il parallelepipedo nell'estremità di un disco normale all'asse, cioè, parallelo all'asse dello strumento, e i tre appoggi del treppiede di tre viti quali s' adoprano pel teodolite usato . Collocando sopra il disco due livelli a bolla d'aria, e regolandoli col movimento dolce di tutta la mac- china medianti le tre viti si verrebbe facilmente ad orizzon- tarne il raggio principale . Premessa questa operazione si di- riga la diottra successivamente ai varj punti proposti , e di })iù ad uno scopo I ( fig. 9 ), che si collocherà sulla direzio- ne CQ del raggio principale alla maggiore distanza CI dalla stazione principale, che si possa misurar sul terreno. Osser- vati, e registrati gli angoli u formati dalle visuali della diot- tra col raggio principale , che chiameremo angoli di devia- zione longitudinale , e gli angoli v che chiameremo di devia- zione trasversale, dati i primi dalla graduazione della lastra ricurva, i secondi dalla graduazione del quadrante, si tra- sporti lo strumento nel sito dello scopo I rivolgendolo o nel- la stessa direzione , o in direzion contraria , coli' asse o rag- gio principale però orizzontato come prima, e situato sulla stessa linea CI , sulla quale trovavasi prima . Si traguardino di nuovo i punti stessi già osservati dal punto C , e si noti- no gli angoli delle nuove visuali IN, IL, IM, ec. fatti coli' asse dello strumento, e indicati sulla curva direttrice della diottra . Gli angoli poi di deviazione traversale dello strumen- to in questa seconda stazione saranno li stessi , che veniva- no indicati nella prima per li stessi punti rispettivamente . Tomo XVI. I 66 Su Dt UN Teodolite Scenografico . Avremo così i triangoli CNI , GLI, CKI , CHI, nel quali il lato CI, per ipotesi misurato sul terreno, è comune a tutti, e in oltre sori dati in ciascuno gli angoli contigui al lato co- mune CI, cioè l'angolo in C, che chiamiamo u ., e l'angolo in I , o il suo supplemento, che chiameremo ìÌ . Dunque chiamando in oltre d la distanza diretta CL di u:i punto L qualunque , ed Z la distanza CI delle due stazioni , avremo / ; e per la di- stanza LN dei due punti , che chiameremo d , si troverà t^=^[/\d'^x-\-n — ^d^dx-^n cos.^-f-r// |, uota formoladiiJfozV/-^, trattandosi d'nn triangolo rettilineo LCN , in cui oltre ai la- ti CL = r4 , CN=:fZj,-t.„ è ora noto anche l'angolo da essi compreso = t . 68 Su DI UN Teodolite Scenografico . Si descriva ( fig. la ) con raggio = CD = dj; il semicir- colo DNA , e col diametro AB =1 il semicircolo BVL'N'A tangente al primo in A . Si tirino le corde AV , AL' , AN' , die taglino nel secondo gli archi BV = M.r , BN'r=Mj;^„, Bh' = T'xH-n — Vx , sarà AV =: cos. iix-, AN' = cos. Us-t-t,, AL'=:cos.(t'j^„ — Vx) , e le distanze BV , BN', BL' saranno rispettivamente ^sen.Ux-, sen.Ux-^n •> sen.{i>j:^„ — v^) . Si ti- ri per A FG normale a DA prolungato, si prenda AF=AG = r . Indi presa Ae = AV = cos.Mj; , Ar = AN' = cos-zi^-».,, e tirate Gr, es parallele, sarà As = gos.Ux cos. Ux-t-n- Similmente fatto A/=:sen.Mx_j.„ , Ah = sen.7t.x , le due parallele Fh , fi ci da- ranno Ai = sen. Ux sen. iix-^n- Presa in fine AJ = AL' = cos. [vx^n — i^x) ■) e tirate le due parallele Gi , dk ^ si troverà Ak =Ai cos.(uxH-n — Uj, ) =: sen . 7Vv. r,j.s. tlc„.^ P^iBTE JVMTEMATICA / T X VJ /'}'/.j3. .T^r. II. PaBTE MATEMATICA /<'< . //V//. T XV J . ^>. jo. /'l'i/. /X r 1» * • <» #» 1 ^ .7 ^ ? ^ ^ i ,V y <» + -'i? rry } Jt> fio - v.^ -fi H rf.< + //'« ,■ -U 71* SCOLIO Alla Memoria Magistrini Da inserirsi tra le pag. 70, 71 del Tomo XVI, Parte I. Nelle applicazioni geodetiche precedenti abbiamo suppo- sto i.° che il punto di veduta ausiliario sia allo stesso livel- lo col punto principale; 2.° che questi due punti siano nello stesso piano verticale, in cui trovasi l'asse principale dello strumento, cioè, l'asse del cono visuale della stazione prin- cipale; 3." che non debbansi osservare altri oggetti fuorché quelli, che sono compresi nel massimo cono visuale, che lo strumento può descrivere intorno ad un solo asse principale CQ ( Fig. 9 ) . Queste tre condizioni saranno bene spesso im- praticabili, le prime due specialmente, essendo assai raro, che il luogo delle operazioni offra sul terreno una base oriz- zontale in quella direzione, e di quella grandezza conveniente che si richiederebbe . E dunque necessario di provvedere a questi casi, clie non abbiamo di sopra contemplati, additan- do le opportune modificazioni si dello strumento , come del- le formole esposte . I. La testa S del treppiede ( Fig. 7 ) presenti all'albero zB una base fissa circolare graduata , e forata nel centro ; il cui asse coincida coli' asse dell'albero, allorché questo vie- ne ad essa innestato e sovrapposto : inoltre l' albero possa rotare sopra la base intorno all'asse comune, senza oscilla- zioni ne' scuotimenti, e rotando misuri con uno stile sul lem- bo della base il proprio movimento. Questa base o disco nor- male all'albero dello strumento quando sia di una sufficien- te ampiezza, servirà primieramente a sostenere due livelli a bolla d' aria , mediante i quali e col mezzo di due viti ap- plicate al treppiede, atte ad inclinarlo lentamente per ogni verso , si potrà orizzontare lo strumento ossia renderne ver- ticale l'asse dell'albero. II. Sia ora l'osservatore in tali circostanze, che non pos- 7a* sa scegliere una stazione ausiliaria allo stesso livello della principale, e sia costretto a prendere un nuovo punto di ve- duta o più elevato, o più depresso del principale, con que- sto vantaggio però che il nuovo punto sia nel piano vertica- le scelto nella prima stazione . Collo strumento collocato e orizzontato in una delle due stazioni traguardi l'altra: mi- suri l'angolo d'elevazione, o depressione dell'una rispetto all'altra, e la distanza diretta delle due stazioni medesime. In seguito raedianti i movimenti subalterni longitudinale, e trasversale della diottra o cannocchiale venga traguardando gli oggetti giù osservati nella prima stazione ; avvertendo in questa nuova serie di osservazioni ausiliarie di registrare nel- lo schizzo non solamente le nuove deviazioni longitudinali u' della diottra, ma ancora le trasversali in una quinta colon- na, le quali non saranno in questo caso eguali a quelle del- la stazione principale, come lo erano allorché le due stazio- ni trovavansi sullo stesso asse orizzontale . III. Non possa in secondo luogo l'osservatore trasportare lo strumento in una stazione ausiliaria né situata allo stesso livello colla principale né situata nel piano verticale fonda- mentale prescelto in quella , ma sia costretto di pi-endere il secondo punto di veduta in un nuovo piano verticale paral- lelo al primo , e di orizzontare in questo il suo strumento . Nel movimento dell'albero aggiunto poc'anzi avrà, con che verificare il parallelismo di questo nuovo piano verticale con quello della prima stazione. Oltre a questa operazione misu- rerà r osservatore la distanza delle due stazioni , e traguar- dando una collo strumento collocato nell'altra, noterà la par- ticolare deviazione trasversale e longitudinale corrispondente . Dopo questa preparazione fermerà, come si conviene l'albe- ro sulla sua base, in modo cioè, che l'asse ne resti verticale, e'I nuovo asse ottico orizzontale riesca parallelo al principa- le ; indi procederà alla successiva osservazione ausiliaria degli oggetti , registrando i nuovi elementi rispettivi di situazione sullo schizzo a canto dei primi già segnati nella stazione pri-. ni aria . 73* Sia / la distanza trovata dei due punti di veduta; siano U , V le deviazioni longitudinale, e trasversale della diottra diretta dall'uno all'altro punto di veduta ; u, v come sopra le deviazioni per un dato oggetto qualunque mirato dalla stazion principale; m' , v' le deviazioni dell'oggetto stesso mirato dal- la stazione sussidiaria . La più semplice formola delle distan- ze d dal primario punto di veduta che convenga d'impiega- ■ 7 _, Zsen.U sen.('w' — V) r^ ^ • . ' r M i. re , e « = ± . Questa si troverà tacilmente sen.u sen. (v — v' ) nei triangoli che risultano immaginando tirata la linea df, e dall'oggetto calate le normali ai due assi orizzontali delle due stazioni , e unite con una linea retta le estremità delle nor- mali stesse. Tale sarà l'espressione generale delle distanze che si dovrà sostituire alla superiore, la quale non serve che nel caso di un asse unico orizzontale per entrambe le stazio- ^ ir 1 J- • 7 _._ / sen. U seti, u' ni . Se V = o la tormola diviene a =■ zìz , e gen.tt sen. {v — v') appartiene al caso del numero II precedente. Se V = — , cioè retto , saranno i due assi delle due stazioni non solamente orizzontali, e paralleli, ma altresì allo stesso livello; e la formola per questo caso sarà d^=.-±: '■ '■ — . Per de- sen.ttsen. (i; — 'u') durre similmente una formola pel caso considerato a princi- pio, cioè, dei due punti situati sullo stesso asse orizzontale, si dovrebbe porre U:=o; ma siccome sarebbe inoltre v=v\ la formola riescirebbe indeterminata , e bisognerebbe scam- biarla in un'altra . Ma a questo caso essendo già stato prov- veduto di sopra , si può tralasciare siffatta permutazione . Dei due segni della formola poi si riterrà quello , che renderà ciascun valor particolare deWa distanza d positivo . IV. Terminate le osservazioni di tutti gli oggetti com- presi nella prima ampiezza visuale, di cui è suscettibile la doppia deviazione della diottra intorno a un dato asse fon- damentale vogliansi riconoscere, e determinare anche gli altri oggetti d' intorno alla stazione primaria . Ritenendo in que- 74* sta orizzontato e collocato Io strumento come qui innanzi ; se ne giri poi l'albero sulla propria base d'un angolo a ver- so i nuovi oggetti . Verrà così il punto di veduta a descri- vere un arco orizzontale di gradi a intorno all'asse dell' al- bei'O ; e lo strumento prenderà un nuovo asse visuale incli- nato col primitivo dell'angolo stesso a. Fermato l'albero si traguardino i nuovi oggetti e in un nuovo scliizzo si registri- no i nuovi elementi u ,v , u\v' . Quindi si passi a tutte ri- petere similmente le stesse operazioni nella stazione ausilia- ria . Chiamando ì la distanza del punto di veduta dello stru- mento dall'asse dell'albero, e D la distanza degli oggetti venuti in tal modo a portata dello strumento dal punto pri- mitivo di veduta , quello , cioè , cui già si riferirono gli og- getti del primo cono visuale, si avrà D medianti le due formole - Z sen.U sen.(t)' — V) seii . ii seti . ( ^• — v' ) D = t/\ ^i^ sen . — -h d^ — 4^^sen. — isen.M sen.w cos. — -hcos.m sen. V. Ha pertanto l'osservatore, che voglia far uso dello strumento proposto , il vantaggio di poter mettere in opra gli elementi geodetici , e determinare gli oggetti tutti , che son visibili d'intorno ad una stazione principale in una for- , . .... , ; sen . U sen . ( tj' — V) , moia unica, e semplicissima d = ± , qualun- sen. usen.(v — v' ) que sia la situazione rispettiva delle due stazioni principale, ed ausiliaria, purché in entrambe fermi, e adatti lo strumen- to in due piani verticali e paralleli . La formola riesce inef- ficace, allorquando l'oggetto trovasi nel piano, che congiun- ge i due assi visuali orizzontali delle due stazioni, poiché in questo caso si ha v' = Y, v' = v. Ma si osservi che colla for- mola precedente ha luogo del pari quest' altra _ /( I — r sen. !t' sen.Ucos.( 'u' — V)-t- cos. u' cos.U 1^ ) , t d = li/ l 1 -J- S la quale di- y / I — I sen. Msen.ii' COS. (■y — 'u') -Hcos.M COS. u J J , ±:Zsen. ( »'— U) . ,, Viene nel caso presente rf = ■ ; e compie 1 assun- '■ sen. (u — !t) r • jfi to di queste aggiunte. . .-,\ ;,.» ,., Del Sic. Giovanni Battista Magistrini. 71 specie di prospettiva simbolica da potersi realizzare, quando, e dovunque gli piacerà , nel modo descritto di sopra al nume- ro 9. Né dovrà egli ritornare sul luogo per la livellazione, e per la misura delle distanze degli oggetti osservati : ha del pari nel registro stesso, e nelle regole esposte al numero io, e II quanto gli bisogna per tale intento : dovrà egli solamen- te modificare i trovati elementi a norma delle rettificazioni dello strumento, e delle correzioni della refrazione della lu- ce, e della sfericità della terra, se le circostanze lo esige- ranno . SOPRA LE LINEE E LE SUPERFICIE PARALLELE MEMORIA Del Signor A. Bordoni. Presentata lì i4 Novembre 1811. Dal Sic. Cav. Brunacci ed approvata dal Sig. Venturoli. L. leibnìzio fu il primo a spiegare coirajuto del teorema del Quldini^ che, la superficie compresa tra due curve parallele nello stesso piano, è sempre equivalente ad un rettangolo avente per base la parallela condotta a metà della distanza, e per altezza la distanza stessa. Dopo di lui li Signori Kaestnei\ Cagnazzi , ed il Professore Lotterì nel medesimo anno , cioè nel 1792, pubblicarono tre Memorie relative alle curve paral- lele sullo stesso piano, nelle quali insegnarono a trovare l'e- quazione della pai'allela ad una data, l'area compresa tra due linee parallele , e ciò fecero con principi diversi da quelli impiegati da Z/eiè«Ì2Ìt) , ed ottennero altri nuovi risultamenti . Nella presente Memoria, oltre le dimostrazioni rigorose degli anzidetti risultamenti e di altri nuovi relativi pure al- le linee nel medesimo piano , si troveranno delle proposizio- ni rispetto alle curve parallele a doppia curvatura , e tutte quelle proposizioni generali, che ho creduto le più importanti relativamente alle superficie parallele : proposizioni , se non m' inganno , che non furono sino ad ora conosciute . Delle curve parallele situate nel medesimo piano . Definizione. Una linea che abbraccia tutte le periferie, che hanno il medesimo raggio ed i centri sopra di una stessa linea Del Sic A. Bordoni. ^3 linea data, si dice parallela a questa data. Ecco la definizio- ne di due linee parallele nello stesso piano data dal medesi- mo Le/è«iz/o ^ e sulla quale io fonderò la prima proposizione della teorica delle curve parallele, che sono nel medesimo piano . Proposizion e I. Data V equazione finita [y:=.(px) di una curva, trovare quella della sica parallela . È dimostrato nella teoria delle soluzioni particolari (5. a8:i) (*) che ,seF(^^zi^a:) = o rappresenta l' equazione di una curva tra le sue coordinate t,u ed il parametro x, è dimo- strato , dico , che fatto continuamente variare quel parame- tro, onde divenga x' , x\ ec. le curve rappresentate dalle equazioni F ( f , z< , .r' ) = e , F ( ^ j ?/. , a;" ) = o , ec. sono tutte abbi-acciate da un'altra, e l'equazione di quest'altra si ha, ponendo nell'equazione F (t , u , x) ■= o in vece della x il suo valore , che si cava dalla ( -— | = o . \ ^^" / In conseguenza pertanto della data definizione delle cur- ve parallele sullo stesso piano , se QEQ'F ( Fig. i ) è una di quelle periferie, le quali hanno tutte un medesimo raggio « , ed il centro sulla curva data DD , e debbono essere abbrac- ciate dalla parallela GC ; e se indichiamo colle x,y=z(px le coordinate OP , PM del centro M; e colle t,u\e coordinate OR , RQ del punto Q nella parallela CC e corrispondente ad M nella data, l'equazione della periferia QEQ'F, cioè (t — xY-^{u — (pxY—n''=.c, ci darà quella della paralle- la, quando vi si porrà in vece della a;, quel valore che per X ci darà l' equazione differenziale ^ — x -f- ( m — (^jt ) [ — ] = o . Tomo XVI. K HLe citazioni deiJJ.si riferiscono al trattato del calcolo sublime del Prof. jSrMnacw. 74 Delle Linee e Superficie Parallele . Corollario i. Cavando i valori delle coordinate t , ti dal- le due equazioni (^t — xY-h{u — (pY — 11^ = 0, t — x-^{u — (p){^\=o , ossia dalle equivalenti si ottiene '=-«a ■■ A ■ -0> ^^ "=^-" Vi ■ -(s^)]' i 4„ali differenziati danno (|f)=,_„(p):j/( , +.(|:)y , "(E)=(|E)).-«(|r:).-|/(-(|^rr^-^ Vale a dire la tangente QT della linea CC è parallela alia tangente Mt della linea DD; ossia le tangenti condotte pei punti corrispondenti delle curve data e parallela sono esse pure parallele . Corollario 2.. Ponendo nell'equazione ■*=l>'~'~'*^* (r")"''i(ó-) (5- 78) della normale MN alla curva DD in luogo delle coor- dinate r, s della stessa normale, i valori delle t, u trovati qui sopra , si ha ossia 0 = 0; cioè i valori delle coordinate t,u del punto Q soddisfanno all'equazione ^=j-+-x : 1^1 — '"•(r") della nor- male suddetta ; e perciò il punto Q sarà un punto del pro- lungamento della normale stessa NM, e la MQ una p^irte del medesimo prolungamento. Pertanto la retta MQ , essendo par- te del prolungamento della normale NM, sarà perpendicolare alla tangente Mt , ed anche, pel Corollario antecedente, alla Del Sic. A. Bordoni. 75 tangente QT della curva parallela GC ; cioè a dire , la retta MQ sarà perpendicolare tanto alla tangente M^ , quanto al- la QT . Di più la stessa retta MQ, essendo eguale a i/({t-xY-\-{u-yY\ , sarà pure, a motivo di (t — xY-i-{ii — /Y — «•'' = 0, eguale evidentemente alla n ; vale a dire , le normali delle due li- nee parallele condotte ai punti a cui corrispondono le coor- dinate x,y, e t,u hanno la stessa posizione, ossia coinci- dono , e differiscono costantemente dalla quantità Ji : quindi due linee parallele esistenti sul medesimo piano , avendo le normali comuni, avranno comune anche la sviluppata ordi- naria , cioè la sviluppata piana . Corollario 3. Il doppio segno che può precedere il ra- dicale 1/ ( I ~*~(5~) ) contenuto nelle espressioni delle t, u trovate nel Corollario primo, significa, che ad ogni valore delle coordinate x,y della data^ corrispondono due di quel- le della parallela ; cioè che ciascun ramo DD della linea da- ta, avrà alla medesima distanza /i = MQ = MQ' due archi CC, ce paralleli uno da una parte e l' altro dall' altra di esso . Corollario 4- Se si porranno nei valori delle coordinate t,u i valori delle quantità J? {^) dati in x e cavati dall' equazione / = <^x della linea data, e si daranno alla x diver- si valori particolari , si otterranno i corrispondenti delle coor- dinate t , u della parallela , coi quali si potrà essa descrivere per punti . Corollario 5. Se sì daranno dei successivi valori alla quantità n, che entra come parametro anche nell'equazione della parallela , ossìa se essa si farà variare , non varierà sem- pre la specie o natura delle successive linee rappresentate dalle equazioni risultanti ; e ciò pel principio su cui è fon- data la divisione delle diverse specie delle curve del mede- simo ordine : ma le linee rappresentate da queste successive 76 ' Delle Linee e Superficie Parallele . equazioni ,, essendo parallele alla data , sono parallele tra di loro; adunque non è escluso il paiallelismo alle curve della medesima specie. Ciò che prova l'insussistenza del teorema. ,, Nessuna curva, trattone la periferìa, ha per parallela un' ,, altra curva della medesima specie „ stabilito da un cele- bre Analista , e commendato da altri . Osservazione i. Quantunque non sia escluso il parallelismo tra le curve della medesima specie , come si è dimosti'ato nell'ultimo Corollario, nulladimeno , non tutte le curve pos- sono avere delle parallele della specie alla quale appartengo- no anch'esse; come se ne vedrà un esempio alla fine di que- sta osservazione . Per iscoprire se una data linea possa avere una o più parallele della sua specie, o in generale di una data specie, il metodo diretto sarebbe di tentare la riduzione dell'equa- zione della parallela a quella della specie data ; ma siccome questo metodo, che in sostanza riducesi evidentemente a sco- prire , se la parallela abbia la proprietà della data , espressa algebraicamente dalla sua equazione, dà dei risultamenti ge- neralmente complicati ; cosi nei casi particolari sarà meglio scoprire coli' equazione stessa della data , qualche altra più semplice proprietà parimente ad essa caratteristica, ed indi osservare, se questa avrà luogo anche in una o più linee sue parallele . Esempio. Si dimanda se la parabola espressa dall'equa- zione j^ — ax — b = o, abbia una o più parallele ^ che sieno anch'esse parabole della medesima specie, cioè apolloniane . Dall'equazione data /^ — ax — b-=.o, si cava jj — 1=— , cioè la sottonormale costante : proprietà caratteristica delle parabole di questa specie . Adunque se la parabola potrà ave- re una o più parallele della sua specie, dovrà essere costan- te per vuio o più valori della n la sottonormale u \T']^ os- sia u Ir- j ; i^j; nia sostituendo nella espressione "(r-j '. (j-) Del Sic. A. Bordoni. 77 i-i vece delle w, (t^)i i^) i 'oro valori trovati nel Corol- lario primo, si ha (^^){y-^'^'l/(^-^(^) )}' ^ ^'' ""^' vo sostituendo in quest'ultima in luogo delle y, I —j i lo- ro valori i/{a.v -^ b) , a [ 2.[/{ ax -i- b ) , che dà l' equazio- ne j* — ax — Z/^o , si ottiene — h a?i ] 2.1/1 ax-\-b-i-— \ per espressione della sottonormale di qualunque linea paral- lela alla parabola apolloniana; e questa espressione, qualun- que valore abbia la 7i, ossia qualunque sia la linea parallela, varia , variando la x ; quindi la parabola apolloniana non può avere un' altra parabola della sua specie ad essa parallela ; cioè non vi possono essere due parabole apolloniane tra di loro narallele . Osservazione a. Volendo disporre i valori delle coordina- te t,u per fissare i successivi punti di una delle due paral- lele allo stesso ramo della data, bisognerà prima di tutto os- servare, per un valore particolare della x, quali saranno i segni che si dovranno dare ai termini «(r^ I 1/ ( ^ "^(^) )' n'.l/i i-f-(— ) I per ciascuna di quelle parallele; affinchè i valori delle t , u corrispondenti ai successivi della x sieno le successive coordinate di una delle due parallele , e non l'ascissa di una e l'ordinata dell'altra. Fatto questo, si terran- no quei segni stabiliti sino ai punti corrispondenti a i -^^ i = — , dopo i quali converrà ripetere la stessa osservazione , od ave- re tutti quei riguardi relativamente ai segni , che si hanno in casi simili , quando si vogliano trovare le tangenti trigo- nometriche degli angoli formati dalle tangenti di una curva coir asse delle ascisse . 78 Delle Linee e Superficie Parallele. Proposizione II. Trovare V equazione differenziale delle linee parallele alle date espresse dall' equazione differenziale

ed x = t-^ n (1^) : t/ l i-^\^) )? tli più atteso il paralle- lismo , dovranno le tangenti corrispondenti ai punti a cui competono le coordinate x , 7 , e t -^ u essere parallele tra di loro , cioè ( 5~ 1 = ( ù~ l^ come abbiamo dimostrato nello stes- so Corollario ; vale a dire , sussisteranno tra le coordinate delle due linee parallele le quattro equazioni y=u-n'A/ 1 1 -+- (^\ K (p lx,y, r^j) = o. Ora ponendo nell' ultima di queste quat- tro equazioni in luogo delle quantità x , / , I — li loro valori cavati dalle prime tre , si ha la sola la quale rappresenterà l'equazione differenziale delle linee pa- rallele a tutte quelle rappresentate dalla data -)i§-^1' Q indipendente dalla x, ossia costante relativamente a qua- Del SiG. A. Bordoni. 83 sta variabile . Ponendo ora in queste espressioni in vece del- le quantità u^ ('T") ' (t~) ^ ^^^^ valori trovati nel Corol- lario primo della Proposizione I, si otterrà /^^n (k'y\ (h^ iìLf\ ^ ^^'^."^"^ (f) ©" come sopra . Ora dall'ispezione della figura si comprende essere iden» tica r equazione /x = i/z^c -4- P — <^j; — Q , la quale differen- ziata per rapporto alla variabile x dà (|^J=(||J-4-(|!j- \^, e sostituendo in questa equazione i valori delle quantità |-^|, (-1—), (x") trovati sopra, e riducendo, si ottiene r equazione (|/) = n (|) - ? (0) : (|)" , L quale integrata dà r area fx = «5 — ^ ^«g. tang. I — ) -t-cost. Ma fatto x=OB si ha pei dati della proposizione , yir=:c, ed 5 = 0; adun- que cost. = — Ang. tang. aj e quindi l'area fx^ ossia HLiVIQ=:/Z5-H^Mreg.tang.a — ^«g.tang.(|^n = /i5-+-^ A . Vale a dire , l' area cercata HLMQ equivale ad un rettangolo avente l'arco 5 = LM per base, e la distanza re = MQ delle due linee parallele per altezza ; più la superficie di un setto- re circolare avente per raggio la medesima distanza n^ e cor- rispondente ad un angolo eguale a quello formato dalle nor- mali condotte alle estremità degli archi corrispondenti S, 5. Corollario i. Indicando colla /",x l'area compresa tra la linea data j, e la sua corrispondente Si dalla parte concava 5 84 Delle Linee k Superficie Parallele. si avrà fiX s= «S, -H — A ; ovvero ponendo per S, il suo va- lore s — fiA trovato nel Corollario primo della proposizione antecedente, sa.rk fiX=:ns — — A. Cioè l'area compresa tra l'arco s ed un suo corrispondente dalla parte concava equi- vale ad un rettangolo ec. ec. Corollario a. Se la linea data fosse un ovale , e che si cercasse la superficie della intera corona esterna , avrebbesì fx=^ns-\ — ^rtg. 36c" = «5 -H ;r/2.^; cioè la corona esterna equivale ad un rettangolo avente per base il perimetro dell' ovale data , e per altezza la distanza della parallela dalla me- desima ; più la superficie di un cerchio descritto colla distan- za etessa, o larghezza della corona: come trovò Fontana Gre- gorio con ragionamenti geometrici. Se la / indicasse l'area compresa tra una curva di m giri , e la sua corrispondente dalla parte convessa, sarebbe /= «j -H ??2. ;r«.^ . Corollario 3. Moltiplicando per n ciascun membro dell' equazione M = j h A , esposta nel Corollario terzo della Ti proposizione antecedente ., si ha M/i = «5 -4- — A ; cioè M«=/i; = HLMQ. Vale a dire l'area HLMQ compresa tra le due linee parallele HQ , LM sullo stesso piano è eguale alia distanza re = MQ moltiplicata per la linea parallela corrispon- dente M=aè ed equidistante da esse; ossia equivale ad un ret- tangolo avente per base la parallela condotta a metà distanza , e per altezza la stessa distanza : risultamento clie forma il teo- rema di Leìbnizio accennato al principio di questa Memoria . Corollario^. Essendo M = , come abbiamo veduto nel Corollario terzo d'ella proposizione antecedente , si avrà ancora 3M =: aM -+- -^ , ossia M/i = -j I aM -i- -^ I , molti- Del Sic. A. Bordoni. 85 plicando ambedue i membri pei- — ; ma , pel Corollario ante- cedente, Mn è eguale all'area compresa tra i due archi S, 5; adunque l' area compresa tra due linee parallele è anche egua- le ad un terzo della loro distanza , moltiplicata per la metà della somma delle due linee corrispondenti insieme col dop- pio della parallela condotta a metà distanza . Risultamento che ha tutta l'analogia coli' utilissimo ed elegantissimo teo- rema di Torricelli esposto dal Torelli nelle aggiunte che egli fece alle sezioni coniche di Guido Grandi, ed ultimamente riprodotto dal Sig. Rossi in una sua elegantissima Memoria • Corollario^. Se le normali estreme di due archi s, s' equivalenti formeranno angoli eguali , le aree comprese tra di essi ed i loro corrispondenti S , S' dalla stessa parte ed egualmente distanti, saranno anch'esse equivalenti. In fatti, ì valori di queste aree verranno date dalle espressioni ns-^ — A, re" ns' -{ — A , le quali sono eguali tra di loro , giacché ^ = 5' . Quindi nelle ovali isoperimetre , e generalmente parlando in tutte le curve rientranti isoperimetre , le corone che avran- no la medesima larghezza , e che saranno dalla stessa parte delle ovali o curve date , cioè dalla parte esteriore o dalla interiore , saranno equivalenti : teorema utilissimo per gli Ar- chitetti . Corollario 6. Finalmente coli' equazione f-=ins-\ A si potrà trovare una delle quattro quantità/, n, s, A conoscendo le altre tre: di piìi combinando le due equazioni /:=«j-h— A , S = s-+-jiA si potranno delle cinque quantità, f , S , s^ n , A determinar due atte a soddisfarle, date essendo le altre tre. Per esempio. Se fosse data la lunghezza dell'arco 5, l'ango- lo A formato dalle due normali condotte alle sue estremità, e si cercasse la distanza e l'equazione di un altro arco suo 86 Delle Linee e Superficie Parallele. corrispondente dalla parte convessa, il quale dovesse chiude- re col dato 5 e le due normali estreme un'area equivalente alla superficie data a, l' equazione /= ?z^ H — A ci darebbe immediatamente re= ^ cioè «= , A A perchè l'altro valore non ha in questo taso nessuno lignifi- cato . Quindi conoscendosi l' equazione dell' arco s , si avrà quella del parallelo cercato , facendo nella Proposizione P — 5-»-l/(i"-*-3aA) il z= . Delle curve parallele a doppia curvatura . Definizione . Due linee a doppia curvatura si diranno pa- rallele , quando saranno eguali tra di loro le rette tirate da tutti i punti di una perpendicolarmente all'altra, e di più paiallele tra di loro le due tangenti di esse condotte all& estremità di ciascuna di queste rette . Questa definizione del- le linee parallele a doppia curvatura, vale anche per quelle esistenti nel medesimo piano ; anzi per queste ultime , si po- trà ommettere la seconda |jarte , essendo essa , per le linee parallele esistenti nello stesso piano, una conseguenza della prima . Potrei qui esporre e dimostrare relativamente alle curve a doppia curvatura delle proposizioni simili a quelle esposte e dimostrate per le linee parallele sul medesimo piano , e di più aggiungerne molte altre particolari alla doppia curvatu- ra; ma ne esporrò solamente alcune, le quali oltre di essere le più importanti , saranno utili anche per dimostrarne delle altre nella teorica delle superficie parallele . DelSig. A. Bordoni. 87 Proposizione V. Due linee qualunque parallele tra dì loro esìstono sempre su dì una stessa superficie sviluppabile ; cioè sopra di una di quelle superficie , le quali supposte flessibili ed ìnestendibilì , si possono svolgere con una semplice flessione in modo di poterle distendere interamente, senza nessuna piegatura né rottura, sopra di un medesimo piano . Abbassando da tutti i punti di una delle due linee pa- rallele delle rette perpendicolari all'altra, queste rette risul- teranno anche perpendicolari alla prima , essendo parallele le tangenti condotte alle loro estremità ( definizione esposta ); cioè le rette così condotte , saranno normali all' una ed all' altra , ossia normali comuni alle due linee a doppia curvatu- ra parallele. Di più, per lo stesso pai'allelismo delle tangen- ti, tutte queste normali comuni, prolungate sufficientemente, s'incontreranno a due a due; cioè la prima incontrerà la se- conda, la seconda la terza, questa la quarta, ec, per essere a due a due sul medesimo piano delle corrispondenti tangen- ti parallele : dimodoché esse formeranno colle loro successive intersezioni una linea, generalmente a doppia curvatura, la quale avrà per tangenti le normali stesse , ed in conseguen- za essa sarà una sviluppata tanto di una quanto dell' altxa; ossia sarà dessa la sviluppata comune delle due linee paral- lele . Ora ella è una proprietà definitiva delle superficie svi- luppabili, che esse si possono generare da una retta, la qua- le movendosi nello spazio, si conserva costantemente tangen- te ad una data curva ( Monge i&vàWe ig); e della quale su- perficie la curva alla quale mantiensi costantemente tangen- te la retta generatrice è lo spigolo di regresso , e le sue tan- genti le così dette caratteristiche della stessa superficie svi- luppabile . Pertanto , se una retta si moveià mantenendosi costantemente tangente alla comune sviluppata delle due curve 88 Di.LLE Linee e Superficie Parallele. parallele, essa genererà una superficie sviluppabile, la quale avrà per ispigolo di regresso la stessa comune sviluppata , e per rette caratteristiche le tangenti della medesima sviluppa- ta ; ma tutte le rette caratteristiche della superficie svilup- pabile , ossia le tangenti della comune sviluppata , passano per le due curve parallele , giacché sono tutte normali ad ambedue queste curve; adunque ancora la superficie svilup- pabile passerà per ambedue le curve parallele •■, e perciò le due curve saranno sopra , o meglio saranno nella superficie sviluppabile stessa . Vale a dire , due linee qualunque paral- lele tra di loro sono sempre sulla stessa superficie sviluppa- bile, che ha per ispigolo di regresso la loro comune svilup- pata, e per caratteristiche le rette normali comuni alle me- desime due linee parallele , ossia tangenti alla stessa comune sviluppata . Proposizione VI. Date le due equazioni [ y r=i fx , z= (px) di una linea qualunque, trovare l'arco corrispondente di una sua paral- lela . Immaginando interamente sviluppata , ossia distesa sul medesimo piano qOp ( Fig. 3 ) la superficie sviluppabile sul- la quale vi sono le due linee parallele ( prop. ant. ), ed in- dicando colla DD condotta sullo stesso piano qOjj , quella nella quale si sarà cambiata, dopo l'immaginato sviluppo, la linea a doppia curvatura rappresentata nello spazio dalle equa- zioni y-=.fx, z = (px, e colla linea CG quella nella quale si sarà cambiata la sua paiallela , saranno evidentemente queste due linee piane anch" esse parallele tra di loro ; di pili avran- no una distanza MQ eguale a quella delle due parallele a doppia curvatura , e per comune sviluppata la linea piana IXH rappresentante la linea nella quale si sarà cambiata la comu- ne sviluppata delle due linee a doppia curvatura , ossia lo spigolo di regresso della superficie sviluppabile . Ora Del Sic. A. Bordoni. 89 Ora riferendo le due linee DD , CC agli assi ortogonali 0(7,0/?, cioè alla normale comune O^ , che passa per le pri- me estremità D,G delle due linee parallele , ed alia Op pa- rallela alle tangenti DN , CL condotte alle stesse estremità ( si terranno sempre questi assi ), ed indicando colla j?; l'a- scissa OP, colla q l'ordinata PM, colla s l'arco MD, colla S l'arco corrispondente CQ , colla n la distanza MQ , e final- mente indicando colla A, al solito, l'angolo DVM formato dalle due normali DV, MV condotte alle estremità D, M dell* arco s, avrassi colla Proposizione 111 ( x~ )= l cT" )-•-«{ à~ ji ossia la~) = lr". )-t-'^( S~) prendendo ia x per variabile prin- cipale , od anche S = ^-H«A; cioè si conoscerà sempre l'ar- co corrispondente S, quando si conosceranno le quantità 5, ed A. Vediamo pertanto, come si possono trovare queste due quantità coll'ajnto delle due equazioni y-z=fx, z = ipx , le quali per ipotesi sono date . Supponendo il punto M della linea piana DD quello al quale corrispondevano nello spazio le coordinate x,y,Zi sa- rà l'arco 5 eguale anzi il medesimo arco della linea a doppia curvatura avente per equazioni /=/rj z = che fa la tangente MT coli' asse delle ascisse, sarà A = Ang. tang. ^|:Q; ossia difFerenzlando (j^)= fA. i ^^ i»di- cando colla R il raggio osculatore MX della linea piana DD , si Tomo XVI. M 9° Delle Linee e Superficie Parallele. sa. che R è eguale ad ^^ ^^^^^e perciò ^< , = ^ ^^ -, adnnque | — | = V ^^r ' = ^^r/ ^ ovvero supponendo x la variabile principale, sarà 1 — 1 = i^iiZ. . Vale a dire si cono- scerà { Vr ) ? <|uando si conoscerà la quantità R . Il punto M rappresentando sul piano qOp la nuova po- sizione di quel punto a cui corrispondevano nello spazio le coordinate x, y, z, e la sviluppata IXH rappresentando la .linea nella quale si è cambiata la comune sviluppata delle "due linee a doppia curvatura, il p»uuto X di contatto dellq « stessa IXH colla normale ME rappresenterà la posizione che avrà preso il punto di contatto della comune sviluppata del- le due linee parallele a doppia curvatura colla normale co- mune , che passa pel punto corrispondente alle coordinate x,y, ZI e perciò il raggio osculatore MX = R della linea ])iana DD sarà eguale al raggio della linea espressa dalle e- quazioni j=/r^ z =(^x j il quale è anche tangente alla svi- luppata connine delle parallele. Ma Monge c'insegna, nel decimo volume delle Memorie presentate alla Reale Accade- mia delle scienze di Parigi, comesi possono trovare i raggi di una cui-va, tangenti ad una tale sviluppata, quando sieno date della curva stessa le equazioni e le coordinate di un pun- to per cui dee passhre una sua normale tangente a quella tale sviluppata; adunque conoscei'emo la R , giacché sono da- te le equazioni y=fx, z = 'px di una delle due linee paral- lele a doppia curvatura, e le coordinate di un punto, per lo meno, per cui deve passare l'altra, ossia le coordinate di un punto di una normale della curva data; e con ciò conoscere- mo tanto il numeratore / ^' J =1/ ( ' ■+■ (M) "•" (|^) ) ' quan- Del Sic. A. Bordoni. 91 — I ; quindi conoscere- mo ancora lo stesso angolo A , poiché esso sarà eguale all' in- , r\/i'^^t)^01 ^ . ■ 1 • • ,• • tegrale 11 ^^ 2£. *£_L Q^x , presa tra 1 medesimi limi- ti, tra i quali si prenderà l'altro /l/ { i "♦"(1^) "'"(l^) ) ^^ per avere 1' arco s . Altro modo per avere V angolo K , od almeno una sua derivata prima . Essendo le normali comuni alle due linee parallele tan- genti nel medesimo tempo alla comune loro sviluppata, gli angoli formati dalle stesse successive normali saranno i me- desimi angoli formati dalle successive tangenti di questa svi- luppata j e perciò la ricerca dell'angolo A è ridotta a quella dell'angolo generato da una tangente della comune sviluppa- "b"*" to^ ta , la quale scorra lungo la medesima curva , senza cessare mai di essere sua tangente : ma l' angolo che genera questa tangente è eguale a quello che genererebbe una retta , la quale variasse di posizione nello spazio, senza cessare di pas- sare per l'origine delle coordinate e di mantenersi parallela alia medesima tangente; e questa retta genererebbe eviden- temente una superficie Conica , la quale avrebbe il vertice all'origine; adunque l'espressione dell'angolo A , saia la stes- sa di quella della intersezione della suddetta superficie Coni- ca con una superficie sferica avente il centro all'origine, e per raggio quello delle tavole trigonometriche . Passiamo per- tanto a determinare l'espressione di questa intersezione . Chiamate Xjy,z le coordinate di un punto della comu- ne sviluppata , o in generale di una linea qualunque , e p, q, r quelle di un punto di una retta, che passa per l'origine pa- rallelamente alla tangente della stessa sviluppata condotta al punto a cui corrispondono le coordinate x,/jZj si avranno Qa Delle Linee e Superficie Parallele. le equazioni q = | — |/;,7* = |^ 1/?, le quali rappresenteran- no la retta parallela alla tangente , se si considererà in esse la X come determinata , e rappresenteranno la superficie Co- nica di cui abbiamo parlato, se si considererà la stessa x co- me quantità da eliminarsi . Adunque le equazioni della inter- sezione della superficie Conica e della sfera , che ha il cen- tro all'origine delle coordinate e per raggio l'unità trigono- metrica, saranno q =^\-r-\p ,r =:.y:r-\p ,p''-\-q'^-\-r'' — i =o ( indicando/?, q ,r adesso le coordinate ortogonali della inter- sezione stessa ) \ ovvero i/(-(|^)-(|-:)rt)~ ■u.;''-u;-w- r=|-^i;|^J. Quindi considerando l'arco di questa in- tersezione e le sue coordinate p^ q, r funzioni della x, si U /~Uv ■ U / W) U V vw ' ik\ — (Ki\ ■ lk\_ìk\ ÌKl\- l^Y ^ (|ì)'=(ì?)'^(^'r"^(^)'' "'"" P''"'"'*^ nell'espres- ''^"^ "^^ (i^y ' "^^'^^ '^'"^ (t) ' {^^) ' (I;) ' '^ ^""'^ 1 1 i^^V /3s=V /^'V •■ IT ro , osservando , clie i-+-lù-;./-t-(ì-| =|ir"l '^ perciò dil- Del Sic. A. Bordoni. 98 do la radice quadrata, si avrà I ^j— 1= J^^ Nelle considerazioni fatte per ottenere quest'ultima e- spressione abbiamo supposto la x variabile principale , se in vece si fosse supposta la stessa x, unitamente a tutte le al- tre quantità j,0,j, A funzioni di un'altra qualunque varia- -r— j r espressio- ne , che si otterrà, sostituendo in quella trovata di 1— — l in delle quantità (-|^) , (|^) , (|^) , (|^) le loro equi- vece cioè si sarebbe ottenuto ^-^ =^" ^^ ^^'t^^^ "^'"^ ^ • Espressione affatto simile a quella che dà Lagrange nella sua Meccanica Analitica per l'espressione dell'angolo di contin- genza di una linea qualunque , e che egli trova cogl' infini- tesimi , seguendo un metodo tutto diverso dal nostro . Trovato che avremo colle regole esposte, tanto l'arco s della linea avente per equazioni /=yii:j z = (^jr;, quanto l'an- golo A, avrassi immediatamente coli' equazione S=:5-t-«A, esposta sopra, l'arco corrispondente S. Vale a dire l'arco corrispondente dalla parte convessa di una linea qualunque, sia essa a semplice, o a doppia curvatura, sarà sempre egua- le a quello della data , più un arco circolare avente per rag- gio la distanza delle due linee parallele, e corrispondente ad un angolo eguale all'integrale dell'angolo di contingenza del- la comune sviluppata , preso tra i limiti indicati dagli stessi archi corrispondenti; cioè all'angolo A. ^ Delle Linee e Superficie Parallele. Corollario i , Ponendo nell' equazione , esposta sopra , ossia l'equivalente (|.) : R, si avrà (|^ ) =(|i ) ^ « kl_"; cioè prendendo per variabile principale l'arco 5, sarà (;r-)=i-+-^ '■ formola , che servirà mirabilmente , come si vedrà , per di- mostrare facilmente alcune proposizioni , che esporremo nel- la teorica delle superficie parallele . PflOPOSIZIONE VII. Trainare la porzione della superficie sviluppabile compresa tra le due lìnee parallele e le normali estreme, conoscendosi , come nella proposizione antecedente , le equazioni di una di esse . Supponghiarao , come nella proposizione antecedente, la superficie sviluppabile sulla quale vi sono le due linee tra di loro parallele, distesa sopra il piano qOp ^ e per quello che abbiamo detto nella medesima proposizione , sarà la superfi- cie cercata equivalente alla superficie DCQM compresa tra le due linee parallele DD , CC condotte sullo stesso piano, e le loro normali estreme QM , DG . Quindi indicando colle s^n^ ed A;, ciò che abbiamo indicato nella proposizione anteceden- te, e colla yò: la superficie cercata, si avrà, per la Proposi- zione IV, /r^«5H-— A . Vale a dire, la superficie compresa tra la linea data e la sua corrispondente dalla parte conves- sa equivale sempre ad un rettangolo avente per base l'arco della data, e per altezza la distanza delle due linee paralle- le ; più la superficie di un settore circolare avente per rag- gio la medesima distanza delle due linee pai-allele , e corri- spondente all'angolo A, cioè all'integrale dell' angolo di con- tingenza della sviluppata comune , preso tra i limiti indicati dagli stessi archi corrispondenti . Del Sic. A. Bordoni. gS Stante la grande simiglianza che hanno le formole S = J -+- nk , fx = ns -{ A e le quantità in esse rappre- sentate co' segni S^s,n,A,fx riferibili alle curve a doppia curvatura, colle analoghe equazioni e quantità rappresentate co' medesimi segni esposte nelle proposizioni III, IV, io tra- lascio qui di esporre le conseguenze , compatibili colla dop- pia curvatura , simili a quelle esposte estesamente in quelle proposizioni : di più veduta la semplicità sotto la quale si so- no fortunatamente presentate le equazioni S = 5 -)- nA , fx =z ns -^ — A di queste due ultime proposizioni, e perciò la facilità colla quale sì possono cavare da esse le conseguen- ze, tralascio anche di esporne delle nuove particolari alle li- nee parallele a doppia curvatura, e passo immediatamente a parlare delle superficie parallele . Delle superficie parallele. Relativamente alle superficie parallele esporrò delle pro- posizioni affatto simili a quelle esposte l-ispetto alle linee pa- rallele sullo stesso piano; di più, senza nuocere alla succes- sione delle idee seguirò anche il medesimo ordine , inseren- do però di mano in mano quelle proposizioni particolari alla natura diversa di queste estensioni : anzi appoggierò qui pu- re la prima Proposizione alla Definizione. Una superficie che abbraccia tutte le sfere, che hanno il medesimo raggio ed i loro centri tutti sopra di una superficie data , dicesi parallela a questa data . Questa definizione è affatto simile a quella data per le linee parallele esistenti sullo stesso piano, e sopra della qua- le ho appoggiato la prima proposizione della loro teorica. 96 Delle Linee e Sui'erfigie Parallele. Proposizione Vili. Data V equazione finita i^z-:=.(p {x , y)^ di una super- ficie qualunque , trovare quella di una sua parallela . E dimostrato nella teorica delie soluzioni particolari (5-^84), che, se F { t , s , u , x , y ) = e rappresenta l'equa- zione di una superficie tra le sue coordinate t,s,u ed i pa- rametri x,y, è dimostrato, dico, clie fatto continuamente variare quei parametri, onde divengano x ,y' , x" , y" ,^ ec. le superficie rappresentate dalle equazioni F {t,s,u ,x' , y'):=o, F {t ^ s , u , x" , y") = o , ec. sono tutte abbracciate da un'al- tra, e l'equazione di quest'altra si ha, ponendo nell'equa- zione F ( t, s, u, X, y ) = o in vece delle quantità x,y i lo- ro valori cavati dalle equazioni |^J = o, |— l = o. In conseguenza pertanto della definizione esposta delle superficie parallele, se colle t , s , jì indichiamo le coordinate di una di quelle sfere, che hanno un medesimo raggio ?i , e tutte il centro sulla superficie data, e debbono essere abbrac- ciate dalla superficie parallela; e se indichiamo colle x,y, z ■= ìp [x , y) le coordinate del centro di questa sfera, la sua equazione , cioè { t — x ^ -{- { s — 7 l"" -^- ( « — z )- — n''= o, ci darà quella della superficie parallela, quando vi si porrà in luogo delle x,y quei valori che per .r j / ci daranno le equazioni t — x-i-{n — z) (^j = 0^ s — y -\-{u — z) (^) = o . Nota. Nell'avvenire scriverò per brevità u,u,,z',z"j, .,...,< in vece delle (|i') , (|j) , f ,) , (^ , (^) , (|^), Corollàrio i. Considerate nell'equazione (t — xY-i-{s — yY -^ { u — zY — n^ ^ o le due quantità x,y siccome funzioni delle t, ed s, e quali vengono date dalle due e([uazioni t — X. D E L S I G . A . B 0 R D O N r . 97 i^x-^{u- z)(^) = c,s-y-^(u-z){^) = o, ossia t — x-^{u — z)z' = o, s—y-i-{u—z)z, = o, e prese di quel- la le due prime differenziali rapporto alle stesse variabili t, ed s indipendenti tra di loro, si hanno le due equazioni dif- Torenziali le quali, per la sussistenza delle due t — x-^(u — z)z'^o, s — j -|_ ( ?/! — z)z^ = o si riducano evidentemente alle altre t—x-+-{n—z)u' = c,s—y-¥-{u—z)u,=o; dal che risulta che tra le coordinate delle due superficie parallele sussistono le quattro equazioni t — x ■+• { u — z) z =o , s — y -i- { u — z) z,:= o , ^t — x-^(u — z)ii' = c, s — y -i- { u — z ) u, = o le quali danno = z', =:u\- — = z ^ ^ ——__=u ,; e perciò z'=iu\z,=ni,. Vale a dire, i piani tangenti alle due superfi- cie parallele ai punti corrispondenti alle coordinate x,y,Z3 e t^s,u sono anch'essi tra di loro paralleli. Corollario a. Cavando dalle tre equazioni {t — xY-^{s—yY -+-(«— s)^—«='=o, t—x^{u—z)z:^o^ s—y-+-[u—z)z^=zo i valori delle coordinate t , s , n si ottiene ìiz n:^ n i quali sostituiti nelle equazioni (§.809) a — x-^[c — z)z'^o b — 7 -+- ( e — ^)^,=:o in luogo delle a, Z»^ e coordinate della normale rappresentata da queste due equazioni , danno ossia 0 = 0,0 = 0; adunque la normale della superficie data condotta al punto a cui corrispondono le coordinate x,yiZ Tomo XVL N x — \/(i-*-z'^z;) y — 98 Delle Linee e SuPERFicre Parallele . passa pel punto della superficie parallela a cui corrlsponclono ie coordinate t,s,u. Ma abbiamo trovato nel Corollario an- tecedente, che, il piano tangente alla superficie data nel pun- to a cui corrispondono le coordinate x,y,z, e quello della parallela nel piuito corrispondente alle altre f^^^M, sono pa- ralleli tra di loro ; quindi la normale alla superficie data, che passa pel punto corrispondente alle coordinate x,y, z sarà anche normale alla parallela al punto a cui corrispondono le t,s,u\ cioè a dire sarà normale comune alle due superficie tra di loro parallele . Similmente, essendo la distanza dei due punti corri- spondenti alle coordinate x ^ y , z , ^ t , s , u eguale a \/{it — x)^-i-{s — j)^-4-(u — z)^) , e questa quantità risul- tando per l'equazione {t — xY-i-{s — j)^-h(m — z)^ — «^ = o eguale alla quantità n , la distanza tra questi due punti sarà anch' essa costantemente eguale alla n . Vale a dire , le nor- mali delte due superficie parallele, condotte ai loro punti che corrispondono alle coordinate x,y,z,et,s,u occupano nel- lo spazio la stessa posizione , e differiscono costantemente del- la linea n . Corollàrio 3. Il doppio segno che può precedere il ra- dicale j/( I -H 2'* -t- z,* ) contenuto nelle espressioni trovate qui sopra delle coordinate t , s , ii ci fa vedere, che ad ogni va- lore delle :»,•, jK , 3 corrispondono due di quelli delle coordina- te t,s,u della parallela; cioè che a ciascuna foglia della su- perficie data corrispondono due foglie della parallela, una da una parte e l' altra dall' altra di essa , ed alla medesima di- stanza . Osservazione i . Volendo descrivere per punti una tale su- perficie parallela alla data, bisognerà primieramente fissare il segno al radicale contenuto nei valori delle medesime coor- dinate ; ciò che si farà , come si fa generalmente per avere le coordinate di quelle sole porzioni di tutte le normali di una superficie, che cadono dalla stessa parte della superficie medesima . Fatto questo , si porranno nelle espressioni delle Del Sic. A. Bordoni. 99 t,s,u, così stabilite, i valori delle quantità z, z\ z^ cavati dall'equazione z-=(p [x , y) della superficie data; ed indi si daranno alle due quantità indipendenti x ,y diversi valori par- ticolari, e si otterranno i corrispondenti delle coordinate t,s,u, i quali disposti perpendicolarmente l'uno all'altro nel modo a lutti noto , daranno nello spazio i punti di quella tale su- perficie parallela . Osservazione a. Veduta l'uniformità della soluzione data della Proposizione presente con quella della Proposizione I, colla quale quest'ultima ha tutti i rapporti , stimo inutde la ripetizione della conseguenza esposta nel Coi'ollario quinto della suddetta proposizione; giaccliè essa si applica, senza il minimo cambiamento, ancora alle superficie. Proposizione IX. Trovare l'equazione differenziale delle superficie paralle- le a quelle rappresentate dall' equazione pure differenziale (p{x ,y ,z ,z ,z,) = o . Siccome i rapporti delle coordinate delle due superficie parallele espressi dalle equazioni [t — xY-^{s — yY-^[u-zY — re^=o t — x-i!-{u — z)z=:zo,s — /-«-(m — a);jr, = o ed il parallelismo dei piani tangenti, ossia le due equazioni sì z=u' , z^-=.u^^ sono affatto indipendenti dal modo che si presenta l'equa- zione conosciuta della data superficie , cosi si avranno , tra le coordinate delle due superficie di cui si parla, le seguen- ti equazioni y) =y — ,T, 7. Z=y ' tla cm cavasi e di più pel Corollario primo della medesima Proposizione Vili, si ha «'=z',z<,=z,, per cui \/{i ^u'^ ^u^)z=^{i^z'^-^z^)=zo; Tomo XFI. O ro6 DixLE Linee e Superficie Parailet.e. ailnnque ponendo nelT espressione esposta di I —— ^ 1 in vece dalle quantità (|^), (|/), (|^), (|^), /(, ^,/.*„.) questi loro valori , si avrà ovvero facendo le moltiplicazioni indicate, e sostituendo in luogo della o il suo valore [/{ i -4-z'^-Hs,^) ., si otterrà t-^ — | eguale ali' espressione {z)t/(l -HS^H-SfjH 1 ■ -, la quale dipende, come si vede, dalla sola equazione della superficie data; dimodoché sostituendo nell'espressione in luogo delle quantità z , z, , z' , z" , s„ i loro valori cavati dall'equazione della superficie data, si avrà una funzione de 1- le sole variabili indipendenti x , / il di cui integrale doppio preso relativamente a queste due variabili, ed esteso tra gli stessi limiti , tra i quali converrà estendere quello dell'altra espressione ^x'^y\/{i -i-z'^-i-z^^) per avere la superficie da- ta , ci darà la superficie corrispondente cercata Q . Con que- sto metodo la difficoltà è ridotta alla sola integrazione doppia, cioè ad una difficoltà appartenente alla natura medesima del- la questione . Corollario i. Se la superficie data sarà quella della mi- nima estensione , ossia quella la cui equazione soddisfa alla diffisrenziale az'z,^,' — ( i -+-=,° )s" — ( n-s'^)z„ = o , come di- mostrasi nel calcolo delle variazioni " Lagrange . Funzioni. Lezione vigesima terza ,, allora sparirà il termine n[^'z,z;-(.\.znz"-(l-^z'n'-.A . . ,. , / ^N-Q \ 5 e SI avrà semplicemente I „ . I I-HZ ■'-t-Z/ Del Sic. A. Bordoni. 107 = i/( I -»- ;;'^ -t- z ^ ) H '■ ; cioè basterà integrare l'e- spressione ||/( i -^z" -^z^)-^ ^ '^,^^_^ (^ìh^'^y per ave- re la superficie corrispondente a quella della minima esten- sione . Corollario 2.. Similmente, se la superficie data sarà svi- ir%~ ) ^^ i/^( ^ -H z'* -t- z^^ ) , essendo per le superncie svi- I -t-z ■■ -\-z: luppablli z"z,, — z'^=.o, come dimostrasi nella loro analisi; ed integrando l'espressione avrà la superficie corrispondente alla data superficie svilup- pabile . Esempio. Sia z ■=:■[/[ a' x'^ — X^)-) cioè la superficie data sia quella di un cono retto , che ha il vertice all' origine delle coordinate , e per asse quello delle :c , e di cui la tangente trigonometrica dell'angolo che fa un suo lato collo stesso as- se è a\ e cerchiamo la superficie corrispondente alla quarta parte di essa compresa tra i piani delle coordinate positive . L'equazione z=:[/(a='x^ — y"^) ci dà z' a .V |/(a».r"— j» ) 2-r-» — y — a'y —a-'x «'-^J ■ ~ y, , X ax[/( I -i-a^) z , = — ; Cloe 1/(1 -H z " -H z,'' ) = , n [ 2zV', - (J ■*- V)="-(i -+--'") 2 J n . . ; — — = ; e perciò in que- Sto caso sarà ( -— — ] = ( n -\- ax i/( i -i- a^ )] '- . « -<- ax j/( a* -+- I ) j , ,^,_ relar io8 Delle Linee e Superficie Parallele . tivamente alla j, ed estendendo l'integrale tra i limiti di j==o, ed y=iax fissati, si otterrà — \n -^ ax \/ {^i -\- a']\\x \ e di nuovo integrando questa espi'essione relativamente alla a"j e ti'ovando l'arbitraria colla condizione, che spariscono unitamente le coordinate e la superficie, si avrà la superficie cercata Q = 2 nnx -+- \ nax^ i/( i -f- a* ) . m Altro modo generale per avere V espressione della superficie corrispondente , od almeno una sua derivata seconda parziale . Supponendo fissate sulla superficie parallela due linee qualunque , da cui partire e da considerarsi quali assi per misurare gli archi di curvatura della stessa superficie, e chia- mando C , e le lunghezze degli stessi archi compresi tra il punto del loro incontro e le due linee fissate , si avrà -,) = I . Ma indicando colle C, e i due archi di cur- vatura della superficie data e corrispondenti ai due C , e' già nominati , e colle R , r i suoi raggi di curvatura che corri- spondono ai medesimi archi C , e , si ha , per quello che ab- hiaino esposto nel Corollario secondo della proposizione ante- cedente , I — l=i-H-^, e /^l=i-H— ; adunque colla medesima regola accennata ed impiegata sopra per trasforma- re i differenziali secondi parziali, si avrà I ^ „ ^ j = 1 ' -t- g- ì siderando l'espressione I ih ^ r ~^^ ) ^*^^^' ^'^^ dipen- * Benché la formola (^ -'\(') — -^ "°" siasi sino ad oi'a né dimostrata né espo- sta da nessuno ch'io sappia, uuUadi- meno ^ qui l'assumo senza dimostrarla per la grandissima facilità colla quale si può dimostrare co' principi Leibni- ziani . Del Sig. A. Bordoni. 109 de dalla sola superficie data, come funzione degli arcKi C,c di curvatura della stessa superficie , e prendendo il suo in- tegrale doppio rapporto alle variabili C, e esteso tra gli stes- si limiti, tra i quali bisognerà estendere quello dell'espres- sione B\C^G per avere la medesima superficie data , sarà que- sto integrale doppio dell'espressione | ' -^-7-+" ^-^-j:^ I^^^G la superficie cercata Q . Corollario i . Supponendo la superficie data quella della minima estensione, sarà R = — r, cioè i due raggi di cur- vatura eguali e di segno contrario , come dimostra Monge nell'applicazione dell'analisi alla generazione delle superficie curve ; così per questa superficie si avrà semplicemente Corollario ■2.. Similmente, supponendo sviluppabile la su- perficie data , sarà uno dei raggi R , r , come si sa , eguale all'infinito; e supposto questo R, si avrà — =0, e perciò „ „P 1= IH : dimanierachè, prendendo l'integrale doppio dell' espressione / I H ) 8\^8\C relativamente alle variabili C, e, ed estendendolo tanto alla fine della prima integrazio- ne quanto alla fine della seconda tra quei limiti, che si pre- scriveranno, si ottez'rà la superficie corrispondente ad una data sviluppabile . Esempio. Sia BVC (Fig. 4) la quarta parte della super- ficie di un cono retto , che iia il vertice al punto V , per asse VA, e di cui un lato qualunque fa coli' asse VA un angolo EVA , che ha per tangente a ; e cerchiamo , come nell'esempio antecedente, la superficie corrispondente alla porzione PVR compresa tra i lati PV, RV, e l'arco circola- re PMR, che ha tutti i punti equidistanti dal vertice V. Le linee di curvatura di questa superficie conica corri- no Delle Linee e Superficie Parallele. spondenti al punto M saranno una la retta OMV , e l'altra l'arco circolare IIMP , diniodocliè ritenendo l'ipotesi del co- rollario, cioè che R sia il raggio eguale all'infinito, sarà G una parte della retta OMV, cioè sarà C = MV, supponendo lo stesso vertice V l'origine di questi archile l'altro arco e sarà una parte dell'arco circolare PMR, cioè sarà eguale ad MP, supponendo la retta BV l'asse, o l'origine da cui par- tire per misurare questi archi; e pei'ciò il raggio di curva- tura della medesima superficie conica corrispondente all'arco e, cioè Vr sarà eguale alla normale MN ; vale a dire, sarà C=MV, c= arco circolare MP, R=5, /•=MV tang. MVN=«G, PQ = ^!1_, e PMR = i;r. "^ Ora considerando l'arco G costante, sarà costante pure il raggio r; e perciò l'integrale dell'espressione I i -h— I ^c rapporto alla e, sarà ('-+- — ) c-t-arbitr.; cioè I— — 1 = 1 i -+-— l e -H arbltr.; ed esteso tra i limiti di c = o,e c = PMR = ^.t:. ÌT^::?-) si avrà {^j = i ^;;;j;:^^ . G -+- ^ ^^.^^^^ ; ed integrando di nuovo relativamente alla C,ed osservando che sparisce la superficie Q insieme all'arco G^ si otterrà Q = | . -;- . G^ _+- — . C. Ponendo in quest'ultima espressione in luogo della G il suo valore x [/( i-j-a^), si ricava, come sopra, Q = la7t x'^ \/{ i-4-a*)-<-|7r/iar. Quantunque lo scopo ch'io mi sono prefisso in questa memoria di analisi geometrica , sia di esporr© e dimostrare le sole regole o formole generali, che possono essere utili tanto al pratico quanto al teorico, e di farne qualche sem- plice applicazione per insegnare l'u'so delle formole stesse, nuUadimeno, siccome s'incontrano spesse volte le superficie di /Ivoluzioue sì nella pratica che nella teorica , così prima Del Sic. A. Bordoni. iii di lasciare questa proposizione farò vedere a qual semplicità si possono ridurre le forinole (i), (/r) per qualunque superficie di rivoluzione; di più farò vedere, per queste superfìcie, come si possa cavare d'ambedue il medesimo risulta mento . Ciò che servirà per conoscere maggiormente le formole stes- se , e particolarmente la seconda . Prendendo per asse delle x quello di rivoluzione, ed in- dicando colla M = 1^:»; l'equazione tra le coordinate ortogonali X, u della intersezione della medesima superficie con un piano ux, che passa per l'asse di rivoluzione, sarà z^-t-/^=M^, ossia z = |/( 7i* — /=" ) l'equazione della stessa superficie; e perciò scrivendo u , u , in vece "i I r- I , I ^ j , uu' ,, uu" y^u.'^ —y "' ■> e ^,, = -— -— j; e quindi i/( i h-z^-hs,^) c finalmente '■ = ■ . Vale a di- re , sarà per qualunque superficie di rivoluzione • n n"- V^^^// l/C'i'-J^') ' ■' (i-+-J4'')i/K-/^) !/'(«='- j") 1/(1-+-;/") oss equazione che integrata relativamente alla /, ed esteso l'in- tegrale tra i limiti di y = o, ed y=iu , cioè tra i piani del- le coordinate positive , qualunque sia la superficie di rivolu- e per l' intera superficie (|?) = ,,j„^(,^,.) I-4-!i'* — ttu" n 7z' Individuata pertanto che sarà la superficie di rivoluzione, e Ita Dri.t.e Linee e SuPERncrK Parau.ei^e; perciò conosciuta l'equazione u •=■ (px ponansi nell'espres- sione 2;r { u i/'( I -H m'^ ) -H re n'^ ( Xx , o nella equivalente in \ ii -\ 1 1 i/( i -i- 'i'"" ) \ò\^ in vece delle quantità u, u , u" i loro valori cavati dall'equa- zione 71 ■= (px , e si avrà un'espressione, la quale integrata relativamente alla x, ed esteso l'integrale tra i limiti j che si prescriveranno , ci darà la superficie cercata Q . Ora indicando colla p l'ordinata di una linea parallela a quella rappresentata dall'equazione u = /3\0\ / n n n»\ 1 limiti di c = o , e ni c = 2,7TU da I — I = ì:tz;I i h '"n'"' — ^I? ossia (ótJ^^^^I M-t-ra~")( '"*"r)- Quindi ponendo nell'e- spressione njTU l IH '~T~'"~ir) ^^ *" luogo delle r, R i loro valori espressi per l' arco C , ed integrando l' espressione che ne risulta relativamente alla G , ed indi determinando convenientemente l' arbitraria , si avrà la superficie Q . Finalmente, essendo i raggi r, R di curvatura di una superficie di rivoluzione , uno la normale e l' altro il raggio osculatore della linea avente per equazione u^=(px, in que- sto caso sarà primieramente r = ?/[/( i -t- w''' ) , e perciò u -Ir- Il — = u-t- - _^^, ■> ossia eguale alla/?; ed in secondo luogo pel Corollario della Proposizione VI, i -t- -^ = ( — | ; quindi /—l = 2^y?|^j , ovvero prendendo la x per varia- bile principale , si avrà / — J =z2.7ip \^\ come abbiamo tro- vato sopra per la formola (i) . Proposizione XIII. Data V equazione di una superficie, e quelle del suo con- torno, trovare V espressione del volume o solido compreso tra essa ed una sua corrispondente . Rappresentando colla funzione 0{x ., y , n) \a. superficie Tomo XVI. P -ec. -ec. 114 Delle Linee e Superficie Parallele. coiTÌs(3ondente alla data e distante da essa della «, saranno Q(x-+-a,/-»-f'?,«) — Q(x, )--+-/?, «) — Q(.r-)-a,r,7?.)-4-Q(a,-,/w^), -r-Q{x , / , n-i-d) , ovvero due superficie corrispondenti a quella porzione della data , la quale ha per projezione sul piano delle xy il rettangolo di cui i lati sono gli aumenti a , (i ; e distanti dalla stessa data, la prima per l' intervallo n e la seconda per n -^ 6 . Simil- mente rappresentando colla funzione N{x , y ^ n) il volume compreso tra la data superficie e la corrispondente Q{x ,y^n) ^ saranno N{x-Ji-a^y-\-^,n) — V [x ,y -^t- ^ ,n)^\ {x-ir-a,y ,n)-^N [x ,y ,n) , V(x--Ha,/H-/?., «H-^) — ^{x.y-^^iTi-^d) — \{x-^a,y,n-\-d) -^N[x,y,n-^d)^ ossia i due volumi compresi tra le superficie A , B e la porzione k- l-*-ec. esprimerà il volume compreso tra le due superficie A, B fra di loro corrispondenti . Ora evidentemente questo sarà maggiore di kd e mino- re di B0, o minore di A0 e maggiore di B^; adunque col primo dei due principj dai quali dipende la soluzione di qua- lunque Problema fondamentale di Geometria (*) o di Mecca- (*) Per questi principj si vegga una Memoria dal Cav. Brunacci inserita nel primo tomo dell'Istituto Italiano. -ec. ec. Del SiG. A. Bordoni. ii5 Trovata pertanto l'espressione della superficie Q colla propo- sizione antecedente, basterà Integrare l'espressione Q^/i rela- tivamente alla sola variabile n, e trovare l'arbitraria intio- dotta dall'integrazione colla condizione che spariscono insie- me V, ed n; e l'espressione risultante, sarà quella del vo- lume V compreso tra la data superficie e la sua corrispon- dente Q{x,y,n); cioè a dire sarà l'espressione cercata. Corollario . Differenziando 1' equazione trovata sopra — ) = Q relativamente alle variabili c,G, si ha i 1 -^-T^ì ■> cioè si hanno tra le quantità V , Q le due equa- ponendo In vece delle quantità (-P-^) ■> l^^l ^ 'oro valori trovati nella proposizione precedente, si otterranno le equa- zioni j/(i^.3"h-:,^)5' l3;^¥a;cj = ''-+-T-t- R -^7S' 'e quali integrate relativamen- te alla n ed oraraesse le arbitrarie , giacché determinate ri- sultano eguali a zero , danno /3s^V\ , '^Lz'z,z!-{i^z,^)z-'-(i^z'^)z\ j(z'-z,-z:^) zioni si cava che, il volume cercato, sarà anche eguale all' integrale doppio dell'espressione Il6 Delle Linee e Superficie Parallele. preso per rapporto alle variabili x , y ; ovvero a quello dell' altra \n-i h — h- -^ \ B\'^^C preso per rapporto alle e, C, ^ 2r Q,\\ orli 1 ed estesi ambedue tra i limiti medesimi, tra i quali bisognerà estendere quello dell' espressione ^.r^/ [/{ i -)- ^'^ -t- z,^ ) per avere la superficie data . Osservazione . Nelle proposizioni esposte relativamente al- le linee a doppia curvatura , ed alle superficie abbiamo sup- posto tacitamente gli archi e', C dalla parte convessa dei loro corrispondenti ; e da questa supposizione risultarono i valori delle quantità (|^), (|i), e quelli delle altre (^) , (^) da esse dipendenti composti di termini tutti positivi. Questa supposizione , quantunque non abbia luogo in generale, giac- ché per molte superficie uno degli archi C',c' trovasi dalla parte convessa del suo corrispondente, e l'altro all'opposto dalla parte concava, e per altre trovansi ambedue dalla parte concava dei loro corrispondenti , nulladimeno non limita la generalità delle formole esposte. Imperciocché, se l'arco C si trovasse dalla parte convessa del suo corrispondente C, e l'al- tro e dalla parte concava del suo corrispondente e, si avreB- r7-|=i-f-^ti 1—1=1 — — , 1 quah darebbero ^^= i —--4--- - , e ^^ = « -- -1 — ; e se all'opposto C si trovasse dalla parte con- cava e e dalla convessa , o se ambedue si trovassero dalla parte concava dei loro corrispondenti , si avrebbe coli' accen- nata proposizione, nel primo caso, 1^1= ^ — ~^i \TZÌ^^ ^ n /^'0\_ !L^-_£. /_^lL\— ll_Iil — e nel secoudo (|') = i-^, (|) = i_^, (|^)=i_^ DelSig. A. BoRD(jNi. 117 n^ n^ I ^M \ n- n^ n^ — H — r , \—-—-\:=n — — --^ -T-- . Vale a dire ammes- R rll yi^c^C/ ar 3R 3rR SI 1 principi esposti, sarà generalmente I-— l=i-+-— ,^ iT"/ = I H , e perciò I — — — I = i h h— H — ;r , e I ,.' ^, ,. I = «• "' "' "' 1 1 • i J -) 1 — ^7 ■+■ TT" 5 come abbiamo sempre supposto, prenden- do però positivamente i raggi r, R^ quando gli archi e', C saranno dalla parte convessa dei loro corrispondenti e, C , e negativamente nel caso opposto . Esempio. Supponghiamo, che Tarco circolare HBG {Fig. 5 ) unito invariabilmente alla AE faccia unitamente a questa ret- ta un'intera rivoluzione intorno alla retta 00, e cerchiamo la superficie generata dall'arco LCM parallelo al dato GH , ed il solido compreso tra questa superficie e quella generata dall' arco stesso HBG ; cioè cerchiamo la superficie corrispon- dente di quella generata dall'arco HBG quarta parte della periferia, che ha il centro al punto A distante dall'asse 00 di AE = Z', e per raggio AG^^a; e cerchiamo il solido com- preso tra essa e la generata dal quadrante circolare HBG . Supponendo che le due linee da cui partire e da consi- derarsi quali assi per misurare la lunghezza degli archi e, G sieno l'arco circolare HBG nella sua posizione primitiva e quello generato dal punto G colla rotazione ; e considerando un punto della superficie data pel quale passa il punto B rotando, si avrà r = AB, R = BQ, c = BG, e G eguale alla parte dell' arco circolare descritto dal punto B per arrivare al punto della superficie, che si considera; cioè sarà r = a, R = — a, c = BG, C= alla parte suddetta della perife- cos. — a ria 2.n(b — a cos . — \ , e BD ^=b — a cos . — . \ a / a Nel caso presente i due aixhi G^ C' avendo i loro cen- tri ambedue al punto Q, ed essendo per ipotesi BQAB, ed avendo i due archi e, e i loro centri al medesimo punto della periferìa generata dal punto A, biso- gnerà prendere /• positivamente ; cioè sarà Ora l'arco G è evidentemente indipendente dalle altre quantità, e , r , n , R ; e perciò integrando le espressioni ('■^7-R-;R)S^C. («^-----^)3^C relativamen- te alla stessa C, si ^vrà (-^j=( r -+- -^ -- ^_ ^^) G -+-«/-*, il7;=(""^i;~S~ 3;r)^"^''''^' ''^''^^'' estendendo gl'integrali tra i limiti di G = o, e di G = 2:;r.BD, si avrà fc)="^( ^ -^7-R -;r)^^D' ^ feH^('^-^r.-iR-3;R)BD Quindi ponendo in queste ultime espressioni di (— i, (a-) per le quantità r , BD , R i loro valori , ed integrando relati- vamente alla e, ed indi estendendo gl'integrali tra i limiti fissati di c = c, e di c = — , si otterrà la superficie corrispon- dente Q = b(a-^n)7i'^-i-2i{a-i-n)'^TC,ediì solido V ^ abìiTi^ •+■ 2 bri^ji^ — 2.a^nn — ^an^n — | un? . A compimento di quanto ideai di esporre in questa Me- moria sino dal momento che incominciai a scriverla mi rima- ne solo ad avvertire il lettore, che, quando la distanza re tra la curva data e la parallela sia maggiore del minimo raggio della curva data, il quale è anche tangente alla comune svi- luppata , e per le superficie maggiore del minimo raggio di curvatura della superficie data, e che la linea, o la superfi- cie cercata sia dalla parte concava della conosciuta, la trop- po generalità inseparabile dai metodi analitici introduce nei ?isiikamenti esposti alcune incongruenze , l' esclusione delle Del Sic. A. Bordoni. 119 quali è assolutamente impossibile ; e die lo sviluppo , e l' e- sposizioiie di queste ed altre incongrueuze le pubblicherò, all'uopo pubblicando un altro lavoro, che è una continua- zione del presente . A compimento del quale aggiungo il presente Problema . Quali sono le proprietà che debbe avere una curva, ossìa le condizioni a cui debbono soddisfare le sue coordinate, ac- ciò essa sia parallela a quelle curve, le quali sono incontra- te da tutte le normali della medesima nelle quali si trovano i suoi raggi osculatori , e nel medesimo tempo le porzioni di queste normali comprese tra essa e la curva che incontrano abbiano per tutto la stessa lunghezza . Sieno x,y,z le coordinate della curva di cui cerchiamo le proprietà, ed a,b,c quelle della sua normale nella qua- le si trova il raggio osculatore, che compete al punto a cui corrispondono le coordinate x,y,z; e saranno allora X — rt-H(7 — b)m-¥-[z — c)/i=Oj le equazioni della stessa normale , nelle quali m , n sono da- te dalle altre due equazioni I valori delle quantità a ,b ,c cavati dalle tre equazioni (i) x — a-^-{y — h)m->r-[z — c)n — G^ (e) [x — aY^{y — bY-^{z — cf=zd^, supponendo che il d non muti valore, sìa cioè invariabile, rappresenteranno i valori delle coordinate di una di quelle curve, le quali sono incontrate dalle normali anzidette in che riescano sempre eguali le porzioni di queste m. m tzO JJELtE Linee e Superficie Parallele. normali, comprese tra ciascuna delle stesse curve e quella di cui cerchiamo le proprietà, ossia le condizioni a cui debbo- no soddisfare le sue coordinate, acciò essa sia parallela a cia- scuna di quelle . Due sono le proprietà che debbono avere due curve on- de essere parallele, cioè essere eguali tra di loro le rette ti- rate da tutti i punti di una perpendicolarmente all'altra, e parallele tra di loro le due tangenti condotte a quelle curve nelle estremità di queste rette perpendicolari . Chiaramente si scorge che la prima di queste due pro- prietà regna tra la curva di cui le coordinate sono x , y, z e quella espressa dalle tre equazioni («),{//), (e) , essendo es- sa proprietà una legittima conseguenza, di ciò che esprime l'equazione (e). Vi sarà anco la seconda di quelle due prò- prietà, se le due equazioni (|;) = (^) ' (|^)=(|-l)' --— ^"'--"G-^)(E)=(i-:)' a:)(E)=(ro saranno rese identiche dai valori delle quantità a, b, e, \\xj''\\xì'' l^j' ^^^^ '^^ *^"° ^^^^ dalle equazioni (a), (Z»), (e), unite ai loro differenziali prese per rapporto alla x , i quali sono («)----©"-(|)"-(/-')(|3)-(---)(.^)-(l?)-(|;)f)-(t^)(|3 (''■)•■■— a-(|-:)-(/-*)(feK(-')(l^)-e-:)-'»(U-)-"t')=' vale a dire, la curva le cui coordinate sono x,y,z sarà pa- rallela all' altra , se sussisteranno insieme tutte le otto equa- zioni seguenti («)•••— «-^(/-M(|-:)^(—)(|-;)=o, I '"■' [b) . . . X — «-l-(7 — b)m-\-{z — c)n-=c^ I Del Sic. A. Bordoni. lai (c)...{x — aY-^{y-~by-hiz-cY = d\ (''')--(|-:)"-(|ir-(^-*)(IS)-(-^)(p-(l?)-(|^)f)-(^)(t')=°' M-(/-*)(lf)-(-^)(li)-(li)-"'f)-"(l^)=''. (,)...(,_.)(||)^(,_»)(|i)^(.-c)(||) = c. Eliminando adunque da esse le sei quantità a, b, e, (tt)» ( r~ ) ' ( r" ) ' ^^ equazioni che rimarranno, se non saranno da sé stesse identiche, rappresenteranno le condizioni diman- date . Ma ponendo nelle tre [a) , (b') , {e') in vece delle quan- tità (r-j 5 (à~) i 'oro valori cavati dalle ultime due equa- zioni, cioè eliminando le due quantità ( a~ ) ? (h^)' rihan- no le sei equazioni {a) , (U) , (e) M-(r-*)(|=)-(-c)(^^)=c, le quali si riducono alle sole cinque (a) , {b) , (e) , [b") j (e") , essendo la [a") identica colla [a) . Cavando ora dalle quattro (a), [b) , (e), (b") i valori delle quantità <^ > b , e , lx--\ ^ si ottiene : y ■ Tomo XVI. Q laa Delle Linee e Superficie Parallele. - — r-W- Biap-(|f)(p • supponendo però /[;''(i)-'"(i^)r-s»-(i^)M-t)r]=- ^ Questi vaioli sostituiti 0611' ultima equazione (e") , la ri- ducono alla 'iJ la quale non contenendo alcuna delle quantità a, i, e, (^-|, I r- I , Ir")? 6 non essendo da sé stessa identica, rappresen- terà la condizione cercata . Quantunque quest' ultima equazione sia composta di mol- ti fattori d. k-'HtHi^'' i(|.)(p):(|i)0)j' pp-(s^)(p)' nulladimeno nessuno di questi , se si eccettua quest' ultimo , può essere uguagliato a zero per soddisfarla , senza una evi- dente contradizione; adunque la condizione cercata sarà espres- sa dall' equazione differenziale ossia dal suo integrale completo z= Ay-i-Bx-i-G . Vale a di- re, la curva rappresentata dalle tre equazioni (a), (Z») , (e), sarà parallela a quella le di cui coordinate sono x , y, z, purché sia quest'ultima una curva piana. Il Sig. Tramontìni nella sua Opera sulle costruzioni gra- fiche pubhlicata questo anno , ammette la curva espressa dal- le tre equazioni (a), (è), (e) parallela all'altra; quindi, in for- za del risultamento esposto ^ bisognerà circoscrivere ciò che egli dice al solo caso che quest'altra sia una curva piana. ' 21,. /// ^ ^oc e^/é* *■ >Vrt/e«*^j«» t<.cié '- — ^«.«v»^< ^>L^ JL^^r»*.** J ( ,t/t 'il .1 tt V ti ^.^y . 4-X: /r y /^ 2 D VI It /'' / %• q o H () r, II 14 .-^^ -7 N I) r « /b A T R /'"-< N- '^ 'r o P K Del Sig. a. Bordoni. 12,3 Se nella equazione (e") . . . (/ — ^)(t~)"*~(^ — <^)(~~) = ^' o nell'equivalente la quale esprime la condizione che si cercava , in vece di supporre che à sia la distanza costante delle due curve sud- dette , supporremo che esso sia il raggio di curvatura della curva di cui le coordinate sono x,y,z, essa rappresenterà, come dimostra Lagrange nella sua teorìa delle funzioni Ana- litiche, la condizione, acciò la curva dei suoi centri di cur- vatura sia anche una sua sviluppata; e perciò cogli stessi ra- gionamenti fatti superiormente , si concluderà , che il luogo geometrico dei centri di curvatura di una data curva sarà una sua sviluppata, nel solo caso che questa sia una curva piana: come dimostrò, in altro modo, Monge , nel decimo volume delle Memorie di Matematica presentate alla Reale Accademia delle scienze di Parigi . ia4 LI BARATTI MERCANTILI RIDOTTI E DIMOSTRATI PER ALGEBRA. MEMORIA Dgl Signor Pietro Gossali Ricevuta li la Febbrajo 1813. Onblimi e ceìebratissimi uomini hanno recata l'algebra a versare su di soggetti aritmetici e teorici, e pratici, ed han- no fornito di bellissime Memorie gli Atti delle Accademie . Ma ninno , che io mi sappia , ha preso cura di richiamare all' algebraica scienza i problemi su i Baratti. Eulero nella sua Arithmetique Demontrée ne tratta quattro ma de' più facili, due sotto il titolo di Règie du trois^ e due altre sotto il titolo di Questionnaire sur les précédentes Régles all'artico- lo sur la Règie du trois . Ma oltre che sono in dati particola- ri, e numerici, egli è ben lungi, che dimostrati sieno della Regola i fondamenti, non essendovi a ciascuno Pi'oblema, che la prova per mezzo dell'inversione di esso. Numero ben mag- giore di tai problemi , e ben più complicati ritrovasi nelle Opere di F. Luca , e di Tartaglia . Nella somma del primo uscita l'anno i494 "^ontano essi a 48 , e nel Trattato gene- rale del secondo ascendono a 43 • Ma nell' uno , e nell' altro le risoluzioni mancano di dimostrazione , e nel primo alcune sono false . Avendo io trasportate dai numeri alle lettere tut- te esse risoluzioni, ed essendomi riuscito di scoprire in due equazioni l'una che chiamo di contanti l'altra che di baratto denomino , il fondamento generale di tutte , mi è sembrato quindi bene di presentare qui un compendio ristretto a XI Problemi discutendole, e mostrando la verità delle buone, la falsità delle erronee, ed il difetto delle imperfette. E poiché F. Luca distingue tre sorti di Baratti , i ° die egli chiama Del Sic. Pietro Cossali . laS semplice^ a." che egli appella composto^ 3." che egli deno- mina a tempo quando il pagamento non si fa di presente ; io perciò incoraincierò dal semplice, proseguirò per lo com- posto che è quando parte si fa per contanti , e terminerò per quello a tempo . Problema I. La merce M vale a contanti P , ma in ba- ratto ne vuole il Mercante P -h A , la merce m vale in con- tanti p : a quale prezzo deve il secondo Mercante porla in baratto per non avere discapito ? E per quantità Q delia mer- ce M qual deve essere la quantità g della merce m ? S' in- stituisca la proporzione P:P-+-A: :/?; — (P-t-A), che si chiamerà p -h x , e sarà questo il prezzo , che dovrà volere per la sua merce m il secondo Mercante . La quantità g si determinerà dall'equazione Q(P-f-A) = q (p -i- X ) , d' onde q = . Così F. Luca nel que- sito suo 1°, e Tartaglia ne' suoi quesiti 3.°, ^.° , 5.° Io comincierò a distinguere due equazioni l'una, che chiamo Equazione di contanti QP = gp V altra , che dico Equazione di baratto Q (P-f- A) = «7 (/?-hx ) QP Dalla prima ne viene g Dalla seconda g P Q(P-t-A) d' onde F : V -^ A '. : p ; p -^ x , che è la proporzione stabili- ta sul principio da F. Luca, e da Tartaglia. Problema IL II Mercante della merce M vuole la parte — del prezzo P -f- A in contanti , qual deve essere il prezzo p -h X della merce m , onde il secondo Mercante non abbia nel baratto discapito ? F. Luca nei quesiti 9.", ro.", 39.°, e Tartaglia nel 9.° ia6 Li Baratti Mercantili ec. ingiungono d'istituire la proporzione seguente e e ^[P-kA--(P-»-A)] p--(p-hA):P-hA--(p-+-a)::/?:/;h-x-: pK P-— (P-»-A) n Che io riduco a p P - — ( P -*- A ) Ma ciò, che merita di essere qui considerato, si è, che né Fra Luca, né Tartaglia non adducono ragione della co- mandata proporzione . Io a dimostrarla pongo le due equazio- ni, l'una che seguo ad appellare dei contanti in quanto che Oltre alla parte — del prezzo P -f- A di baratto in contanti , contiene li prezzi a contanti P,/7, l'altra, che chiamo equa- zione di baratto , poiché comprende i soli prezzi di baratto . Equazione di contanti — (P-t- A )Q-t-^/> = PQ . Equazione di baratto — (Ph- A ) Q-t-^ (/?H-a;) = (P-hA ) Q sottraendo da questa la equazione prima ne viene ^:c = QA, OA d'onde q-= — , sostituendo il qual valore nella prima ne segue — (P-+-A)Q-t-— ^ =PQ, e dividendo per Q,e liberando a; • 1. f A . . pA risulta X = , e qumci />-t-a; = »-4- • P-— (P-t-A) P ^(P-i-A) ri n È poi semplicissima la espressione a me proveniente di OA q-=z — . Secondo F. Luca , e Tartaglia essa verrebbe ad Q(P-vA)--Q(P.*-A) . ,.,,,. essere q = 1 , e sostituendo u valore di p-\-x ^\ avrebbe [^Q(Ph-A)--^(P-hA)q][p-^(P-hA)J Qrp_Ì.(P-vA)J q—- j;(P+A)-— (P-i-A) Del Sic. Pietro Cossali . 127 espressione molto più composta della mia . La coincidenza però manifestasi , osservando essere x = — , conse- P— — (P-+-A) n guentemente P (Ph-A)=^— . Esempio di F. Luca . M è panno, che a contanti vale lire 5, ed a baratto 6 , /« è lana che a contanti vale 1 7 lire al cen- to j il Mercante del panno vuole 1 dell'importo del suo pan- no al prezzo 6 in contanti : a quale prezzo il Mercante del- la lana deve alzarne il prezzo ? 6 — 5 = A=i,^=i7, ^ = i, onde a:=^^^ = ^ = 5|,^-+-a;=i7-f-5| = 2a|. Si prenda qualunque quantità di panno e. g. canne 68, sa- rà il numero di centinaja di libbre da prendersi di lana = q = — 7T~ = 12 > cioè libbre di lana laco . Di fatto il prezzo di canne 68 di panno a lire 6 la canna = 68 . 6 = 408 , ^.408= r36, la centinaja di lana a lire 17 il centinajo = la . 17 = ao4; ora i36 •+■ ac4 = 34o := 68 . 5 secondo la prima equazione ; i36-f-ia,ai|=i36-t- 372=408 = 68 .6 giusta la equazione seconda . Dalla equazione x = delle cinque quantità P_±(P^A) n P? A, —,j),x date quattro qualunque si troverà la quinta, su di che vertono altri quesiti di F. Luca ^ e di Tartaglia. E se reciprocamente il Mercante della merce M dar do- vesse al Mercante della merce m in contanti la parte - {p-k-x)q, e ciononostante si trattasse di cercare il valore Ai p^x^le due equazioni sarebbero — (/?-l-c)^-+-Q(P-f-A) = ^(/?-H:c) equazione di baratto ~{p-^x) q -i^QV :=. qp equazione di contanti, e sottraendo 12,8 Li Baratti Mercantili ec. OA questa da quella si avrebbe al solito QA = qx , donde g = — , che sostituito nell' equazione seconda dà e OA OA — {p-^x) h PQ = — p, dalla quale dividendo per Q, e liberando x si ottiene X = , e qumci p -\- X = p -^ . P--A ^ P^±A « n Tartaglia nel suo quesito i^." insegna la proporzione P-^--^(P-^A):P-HA-H— (Ph-A): :«:»-<- a; d'onde n—e ^ ' n—e ^ ' ' i • r p H-X= =p-\ =p-^ Ph (P-f-A) Ph (P-i-A) Ph- — A n — e n — e n, La Proporzione adunque di Tartaglia si riduce alla mia formola . Non così la proporzione di F. Luca nel suo quesi- to ia.° la qual è P-H- -^( P-t- A ) ; P-H Ah--^ (P-t-A)::/> I/^-f-^; laonde erra F. Luca . Se si ha poi ad indovinare la via , per la quale Tarta- glia pervenne alla sua proporzione, forse fu questa. Dall' e- quazione di baratto ~{p-¥-x)q-^Q{V-^k)=.q{p-^x) si i haQ(P-HA) = (i — —){p-^x)q. Si faccia ora (i-f)(/^-»-^)'7:Q(P-'-A)::^(;^-+-":^)^:,7:É:^Q(P + A) il che è generalmente lecito, essendo il prodotto degli estre- mi uguale al prodotto de' medj , e si avrà , siccome il primo termine uguale al secondo, cosi il terzo uguale al quarto, laonde la stessa equazione di baratto si cangia in ;^Q(P-hA)-hQ(P-hA) = .7(/7H-:c), e e l'equazione in contanti PQh {p-*-^)^=FQ cangiasi in PQ Del Sic. Pietro Cos3ali. rag PQ -H -^ Q ( P -H A ) = 7/? : onde e n — e e Ph (P-hA):Ph-Ah {V^k)\\p\p-^x. Problema III. Avendo il secondo Mercante, che diede al primo in contanti la parte — (P-f- A ) Q , alzata la merce sua dal prezzo /?-»- 2 , cercasi se lo fece con vantaggio, o con di- scapito, e del quanto per loo. F. Luca ne' suoi quesiti 9 , e 27 trovato per il Probi . II il prezzo p-^x, a. determinare il quanto di vantaggio, o di- scapito per 100 di capitale argomenta pq:q{±[p-^z)z^{p-^x)\\: ioo\^{±z{p-^z)z^z{p-^x)] che si riduce a. p'.{zìzzT+:x)'.'. loo; [zì::,z^^zx) . Ed a trovare il quanto di vantaggio, o discapito per ogni ICO di baratto argomenta q{p-^x):q[-:ìi{p-^z)z^{p-^x)]\:icc:^^[-:ìz{p-^-z)z^{p^x)\ che similmente nducesi a. p-^x '. [zìzz'ifZx)','. 100 ; ["lizzai x) Tartaglia comincia dall' argomentare ?(i'-^^)[P-f (Ph-A)] p-hA--{p+a):p-1(p^a)::^(/;-h^): j^ , " P-t-A- -(P-+-A) n indi ordina di sottrarre dal quarto termine il prodotto qp ^ finalmente comanda d'instituire la proporzione ^ ?(/)-Kz)[P— 1(P-kA)1 qp -*-7(p-hA)Q: -^ ^;,::ioo:G " P^.A-Ì.(P*A) n intendendo per G il guadagno per 100 sopra la somma del secondo Mercante nel contratto impiegata qp-\ ( P -+- A ) . Io rifletto alle due equazioni Tomo XVI. R T.^o Li Baratti Mercantili ec. i.^ in contanti — (P-HA)Q-f-^/> = PQ 2.» di baratto - ( P-h A ) Q -H<7(/?-f-z) = (P-t- A )Q Essendovi per il a." Mercante guadagno si verifica la secon- da, ma non già la prima. Per esempio essendo M panno, il cui prezzo in contanti alla canna P = lire 5, in baratto P -+- A = 6 , la quantità Q = canne 75 ; m lana fatta valere in baratto p -^- z = lire 3o al cento in luogo di p = 2.0 in contanti, q = 10 centinaja , ed essendo — = ^, si avrà ^ (P-hA)Q=:^ .6 .75 = ^ .450= iSo; (P-j-A)Q = 45o, ^ ( y? -+- z ) = IO . 3o = 3oo : onde 3oo -h i 5o = 4^0 , ecco verificata la equazione seconda di baratto . Ma avendosi qp = i o . 2,0 ■= 200 ; PQ = 75.5 = 375 si ha — (P-t-A)Q-t-^/?=: 35o ; PQ = 37$ . Onde non sarà veri- ficata la equazione prima dei contanti, ma si avrà {? -h A)Q-i-qp=PQ — 2.5. Dunque in generale sarà qp -\ (P-hA)Q-t-2)[P ^ (P^A)] p H 2 : ji ^ : : loo : G ; Ph-A (P-«-A) P-t-A— — (P-^A) ed a togliere ii divisore P-+-A (P-i-A), moltiplicando per esso/?, — j9 , indi dividendo per/?(P-HA)H 2(P-»-A) 'e " ' ) I I lOO . ,(^h-- = )(P-hA) n Egli è poi evidente che F. Luca calcolò il quanto per loo del guadagno, o discapito del secondo Mercante sopra il prezzo della sua merce in contanti/?, o sopra il prezzo per il baratto accresciuto p-^x\ e dice di essersi su di ciò trovato in grandi controversie ; ma pur finalìter sì conclude per li saputi che ditto guadagno s' intende del Capitale cioè di pq . Tartaglia lo condanna ragionevolmente volendo, che per capitale si consideri non solo il /> -4- a >/? -f- a; PQ_l(P^A)Q:PQ_f(P-KA)Q-^-£^(p-t.A-^(P.4-A))Q e perciò chiamando D' il discapito del primo Mercante per ice (^^z)(p_^(Ph-A)). e nel caso ài p -\- z t- x , p' -i- x' ^ ed il primo vuole la parte — di P -i- A in contanti , e delle merci m , m! quantità q,q tali, che kq{p-^ x)'=zq' [p' -^x') si domanda l'equazione tra Y^?-\-k^p,p-^x,p\p'-^x\ — , k? sarà n I .' equazione di contanti — (P-t-A)Q-f-^/?-+- q'p' = PQ a."» equazione di baratto -^(P-*-A)Q-)-//r(/?-+-^)-H^'(/?Vx')=Q(P-t-A) 3." equazione di condizione kq {p-\-x) = q' (p -i-x ) sottraendo dalla seconda la prima si ha ^. ,, , , QA — flx . . QA — i7.r , , ,v qx-+'qx =:QA, d onde q = ; — , e quinci ; — (p-^x) = kq (p-^x) dal che si ricava Del Sic. Pietro Cossali . i35 QA(p'-t-x') , kQA(p-*-x) <7 = — — ; — n — tt; ^' = ~7~, — r: — 7~r, : sostituiti ^ x(p -t-x )-t-kx' (p-i-x) ■* x(p -t-x )-t-kx (p-t-x) i quali valori nella prima equazione ne uscirà A[p(p' -t-x')-t-kp'(p-^x)] e = P ( P -H A ) . x( p' -t-x' )-i-kx' (p-t-x) n ^ ' Se si supponesse g ■= q' avrebbesi le equazioni I .» - ( P -f- A ) Q -t- ^ (/^ -H a;' ) = PQ e n e n e sottraendo la prima dalla seconda proverrebbe q{x-^x')=QA OA e surrogando nella prima il valore di ^ = risulterebbe ^^, ■ = P — — (P-hA) e facendo uso della terza k{p-*-x)=p-*-x' dalla quale si cava x' = k{p-^x) — p' ne seguirebbe , ' ; ' r = P--(P-+-A). x(K-t- i)-i-kp — p n ^ ' Tartaglia nel suo quesito 3a , supponendo di fatto q =q\ e cercando p -\-x' prescrive di fare e. e (»-t-p')((P-HA)-— (P-.-A)) p--(p-kA):P-^a-ì-(p+a)::^^/: ^^ \ 2 P- — (P-.-A) n (i'-^/)(P-t-A-— (P-kA)) e di prendere "- / _ ( » ^- x- ) = »' -t- x', P (P-t-A) n che risolvesi in p-i^p'-^ —^ p — x=p'-¥-x', o sia P (P-hA) n in ;; ; = x-^x\ d'onde "^ , =P — -(P^A . P (P-t-A) x-t-x' n \ I F. Luca nel quesito a3 in luogo di p-^-p' pone a terzo termine della proporzione /j-j-x-i-/?', ed erra perciò, seguitan- do nel resto allo stesso modo , che Tartaglia . Nel quesito aa non si sa che cosa si voglia non essendo coerente ne' numeri. tSo Li Baratti IMercantili ec. Se nella mia forinola si supporvà. p ; p -ì- x ; ', p' ; jf' -\~ x\ sostituendo a p'-^x il suo valore — (/;-+- x), si trasformerà A( I -*-i )pp' e essa in — ; — — — = P (P-f-A)e volendo anche elimi- xp -t-kxp n ^ ' nar x' col mezzo dell' equazione p' -^ x = — {p-i-x),ìa. qua- le porge x' = — X , si avrà — =P — — (P-i-A), ed in questo caso QA ^ kQpA ^ x{i-t-k) ^ xp'(i-i-k)' Sono queste mie formole piìi ragionevoli di quelle di Tarta- glia nel quesito 3a . E perchè prender q = q' a costo di do- ver senza proporzione alzare il prezzo p' ? Problema V. Innalzando il secondo Mercante li prezzi delle sue merci m, m' dalli prezzi in contanti p, p ai ynez- z'i p -i- z -i- p -+- z">- p -\- X ■+• p' -i- x , $ì. domanda il suo gua- dagno per ICO ? Le tre equazioni saranno per il Probi. Ili, e per il IV e n e i.'in contanti — (P-h A ) H-^/7-i-^y = PQ — g a." di baratto— {V -^ k)-\-q{p-\-z)-^q{p -¥-z') — Q_{V -\- k) 3.'' di condizione kq{p-\-z)-^q' [p' -^z) . Da queste tre equazioni si trova {(ìk^g)[p{p'^z')^kp-{p^z)] e ; — ; T, =:PQ (P-t-A)Q — e onde [PQ-^(P-+-A) Q] [ I (/,'-f-s')-f-^:' (^-+-2')] -QA [p (/-+-i')-H fo'(;7-t-3) ] ^~ (i-f-A:)(/.-+-s)(/-H=') guadagno sopra 7 ( P -+- A ) -t- ///i? -+- //>' , o sia sopra PQ — g. Ora PQ — g si trova uguale a 100 . 100 Del Sic. Pietro Cossali . i37 {i-^k){p^z){p'-*-z') e perciò il guadagno G sopra loo p(P- -^(P-t-A)) (= (p'^z')^kz\p^z)'j^A^pip'-^-z')^kp' (/)-vz) j L (P-t-Aì(p(p'-^z')-^.kp'(p-^.z))-^l-(V-^A)(^z{p'^z'}^kz'ip-^z}'j J E nel caso dì p -i- z -i- p' -^ z \p-^z)'^^^^{P^A)\^z(p'^-J)^k-J{p-^z)^ J il corrispondente discapito D' , o guadagno G' del primo Mer- cante , )i portandosi a PQ ( P -)- A ) Q , sarà [(?--! (F-^-A) ) (=: {p'^z')^k-J (p-^z) )'-a[p (p'-^z')-^kp'(p-^z) ^ — — I lOC (i^A)(j.-h- = )(/h-z')(p--^(Ph-A)) J A (;;(/-Kz')H-Ay(;'-t-z))-(P-^(P-f-A)) {z(p'^z')^kz' (p^z)^ Q'_ ^ ^ y^ lOe. (.-4-A-)(/,-H=)(/-+-=')(P--(P.f-A)j Se suppongasi p ; p -^r- z ; ; p '. j> -^ z conseguentemente p'.zWpì'.^ sostituendo £-(^ -+-_•-) in luogo di />'-»--', e ^z P P in luogo di z SI trova G = | _ i I ice, non al- V;;-»-=-^(P-(-A) / trinienti, che allora quando di due sole merci M, /?? si trat- ta; dicasi lo stesso di D , e di G' , D' . Posta qr=.q' , siccome pone Tartaglia nel quesito suo 33, e di più fatto , come egli fa , A. = i , dal che ne segue eziau- -4-z)(p--l(P-f. A)) Non fa di bisogno di esporre le formole nel caso di — =0. Noterò bensì, che F. Luca erra nel metodo, e nel n ' computo nel suo quesito %^. Phoblema vi. Si aggiunga per parte del secondo Mercan- te ia merce in il cui prezzo in contanti/?", in baratto /?"-<- 2", essendo p-\-z -h/?' -^z -\- p' -+- z" >/»-+- a; -)- // h- ;c' -H /?" -+• x" , e si aggiunga la condizione ^A.q [p -\- z) =^ cf {p" ->t- ^' ) ^ essen- do ci' ia quantità della merce ni' si cerca i' equazione tra i prezzi , considerando anche il caso del guadagno ? Quattro essendo le equazioni I .' di contanti — (P-|-A)Q-H^/7-+- qp -\- q"p = PQ — g a.» di baratto -(P-t-A)Q-t-^(/;-Hs)-H^'(/-*--2')-+-'7V-^^")=(P-^A)Q di condiz. i .•'' ^y (y^-f-z ) = ^' (/>'-!- 2') ^.^^q{p^z) = ci'[f^z") si troveranno operando similmente che nel Probi. Ili (/-.-=') (y'-t-z")(QA-t-g) , (/>-^z)(/'-Kz")(QA-Kg) '^ "~z(/-4-z')(/'-f-z")-HA:z'(/>-Hz)(/'-l-z")-t-Hz"(j5-i-z)(/-l-^') „ (j,-Kz)(/y-«-2')(QA-Hg) ^^ '^ '~"z(/-f-z')(p'-«-z")-)-i-z'(;,-f-z)(/'-l-z")-H-Hz"(/)-Hz)(/-f-s') li quali valori sostituiti nella equazione di contanti daranno l'equazione di g, che fatto Del Sic. Pietro Cossali . 189 /pQ_I.(PH.A)QV^(/.'-H3')(/>"-H2")-H^2'(/»-H2)(;?"-H2")-^-H^"(>-H^)(;?■-Hz'))=RQ (R-S)Q CO l'O (J ■ 1^ ■ 6 (i-f.i-t-H)(^-t-z)(/-Hz')(/'-+-z") e fatto risulterà rC^ — g = Laonde g e R-s e (jiiinci G = (^-1Ì) 100; D = /^^ì 100. Ma per D', G', rapportandoli a PQ — — (P-4-A)Q, si avranno D'=(_.Z£ \ioo=( \PQ_1- ^p^_A) Q / \( iH-yt- e n S — R PQ_1.^P^_A)Q / \(i-HA-f-HKi^-+-z)(/-t-z')(_p"-t-z")(p-I.(P-t-A))J c=( ^5 -, ,) ,00. \{i^k-^B.){p^z){p'-^z')(p"-^z"){V—:^(V-^k)y Se suppongasi p '. p ^ z ; \ p' \ p -\- z' '. \p" \ p" ^ z" le quan- tità q,q ,q si ridurranno a QA-Hg _ _ ^(QA-t-g);, H(QA-t-g)^ . . *? — T — rr ' ^ r; ; — tt ■> Q = ■ e quinci , , „ I, (QA-t-g)p qp-^qp -^-q p =— ; conseguentemente l'equazione in contami -l(P-HA)^-L2f:t£lf = PQ_g, la stessa, che di- veniva nel Problema ITI, essendo una sola la merce del se- condo Mercante ; onde anche tutte le formole derivate sa- ranno le medesime . 100 ^4^ Li Bakattj Mekcantili ec. Se vogliasi rj =z g' = q" si ridurrà l'equazione prima dì contanti ad f { P+A )Q-H<7(/>-H/-H7/') = PQ-g; la seconda di baratto ad -i(P-f-A)Q-H^(/?-*-^-+-/-H2'-H/'-H2")=(P^.A)Q dalle quali si fia irnmantinenti q = ..V "^^ ^ , e quinci Z -4- Z — ♦— S / P-f(P-.-A)(;.^~i'H-2")-A(j,-H/-*-/') V ^ = 1— ) ICO ^(P-*-A)(^H-/-+./')-f--(P-»-A)(z-4-s'-l-s")/ (J>-*-z-^-p'-^.z'-^-p•■-^-z") Tp— l(P-i-A) | d'onde si vede quali saranno le espressioni di D, o D'. Delle quantità, che entrano a costituire le formole ge- nerali di g, G, Dj G' , D'., si troverà una qualunque, date le altre tutte . Esempio. Sia M lana di P^=ii al centinajo di libbre in contanti, m pepe di p-=3.i^,/>-t-z=2.8; m' cannella diy = 4^, jp' -h z' r=z 53 , m" garofani di /?" = 34 , /?" -H s" =: 4° • Vuole il Mercante della lana ^ in pepe, ^ in cannella, ^ in garofani : che deve essere ? -f- A , onde riesca perfetta la uguaglianza senza guadagno o discapito per parte di alcuno de' due Mer- canti ? Sarà primieramente — =o. E dovendo stare q'{p'-^z')*. r^ [p'-^z') :: ^ : i :: § : I sarà q{p'-^z')=iq{p^z), cioè .^ = I ; e per dover essere q" [p -T-z)\q[p-^z)'.\\\\\\\\ i , e perciò ^"(y-(-2")=:| ^(jc-t-z) , sarà H=:|. Dunque dalla formola di g, fatto g r^ o , ne verrà per essere anche — = c A = n P [s (p' -V, -:')(//"-+- 2")-l-A-z'(;)-t- = )(/)"-+-2")-+-Hz"(/'-H:)(//-^-')l j>{jl ^^)\p<' ^:^')^kinp^z){f -^-J')-i-\\f (p^z){p' ->rz") e sostituiti i Valori dati A = r> -i , onde F ■+- A = 14 H • 27427 27427 / Del Sic. Pietro Cossali . i4r E cosi trova Tartaglia nel suo quesito 35 prendendo in luogo di 2, j5 3 le frazioni ^, j*j , j^j, che sono proporzionali. Piglia il prezzo di 6 quantità di pepe in contanti =6.24=i44' in baratto i68; l'importo della quantità di cannella dev'es- sere nel baratto | di quello della quantità del pepe: dunque = 1 . i68=i la; e l'importo della quantità de' garofani =§. i68 = 84; dunque somma = i68-t- i i2,-t-84 = 364 • Si cei-chino i corrispondenti valori in contanti j e si avrà 28:^4:: 168:144 .... 53:45:: uà: 95^.... 40: 34:: 84: 711 somma = 3io II5 . Or argomentisi 3ic ì|ì : 364:: 12, : 142'^ = P-f- A , F. Luca prende ^, i, i di P= 13, che sono 6, ^, 3; ma 6 -+- 4 H- 3 =: i3 ; dunque dicasi i3:ó:: ia:5jV-- -13:4:: 12:3 -,|....i3: 3:: 12:219. Argomentisi ora 2^.2,0.. o jj. 24 .Oj3 ...zj.o.oo..a j^ .35.D J3....54. 40 .. 2 jj , i^.a j3 sarà P-i-A — 58 f^JL-i-SS ^ _9. _i_ 40 r> lO — , /, , io.(, saia r-i-A — 24-^iJ^^45'^n^^34-2n — '4^^ His • Lo spirito del metodo di Tartaglia è questo . Dovendo le tre somme di baratto, che dar deve il secondo Mercante esser tra loro in proporzione delle frazioni—, —, y, saran- no panmenti nella proporzione di i , — , — . Dia egli In merce m la somma q{p-^z) , saranno le somme proporzio- / f nali dovute nelle merci w' , /«", y q{p-\-z), j qip -f- z), f f e r aggregato di tutte e tre ^ {/> -h z ) -j- y «7 (/>-h z ) -^\q{p-^z\ =1 I H — ^ ~*~t)(/'~^^)^' I' valore in contanti corrispon- dente al valore in baratto -rq{p-^z) della merce m' si tro- verà dicendo / />' -+-2' :/•':: -r?(/'-t-.z) : Y . — ; — —■-, e similmente con fare i4-2 hi Baratti Mercantili ec. j)"-i-z":p"::jg{p-hz): - . ^ ^^J sarà questo il valore in contanti della merce m" corrispondente al valore di barat- to — q{p-\-z) . Laonde l'aggregato dei valori in contanti sarà / q{p-*-z)p' f q(p-^z)p" . ^P^T- y*.' -^---y^T^- S' faccia / qip-*- = )p' f g(p-*-^)p' . / f /\ , , _ / {/>-t-z)p' / (p'-i-z')p = P-(-A p^ h ■ p<^^ -^ l ■ p' ," É _" e si troverà questa formola nel caso dell' esempio coincidere con la mia prendendo — ■=. k ^ — = H . ^ hi Lo spirito del metodo di F. Luca è il seguente . PreVi- . p p p dasi 1 1 e facciasi / h l P P P _ P P p indi si argomenti *(0-H3) U(p'-^Z') y(p"^z"\ , „ . t(p-^z) u(p'-^z-) y{p"-^z") sarà P H- A = -+- : -+■ = P P P" P / -(- z' P /' -4-2" P \ _ _ _ f P' h P" l f - h ' l JS^on si vede a prima vista la ragione perchè sia falso questo metodo, anzi sembra ragionevole, ma l'applicazione 2126 smentisce la buona sembianza, riuscendo la frazione—— più 3510 ^ che di maggiore della . A scoprire il difetto pa- 27427 °° i'74^7 ragoniamo la espressione cui conduce di P -t- A con quella. Del Sic. Pietro Cossali . i43 che proviene dal metodo di Tartaglia coincidente nelle cir- costanze dell'esempio con la mia dedotta da' suoi veri prin- cipi . Fatto pertanto paragone si ha j_^j_^A p ' f~^ p ■ ''"^ p" ■ ^/ , / ^p^-)p' , / (p^--)p" f h l ^ h p'-*-z.' L /'-t-s" onde (_i _i_ _i_ y / p-^-z I p'-*-z' j_ p"-^-z" i_ \ / -*- A -^ / ; - \ ~ • 7 "^ p' ■ ^ ^ p" ■ ^ / / P I , p' I , /' J\ ' , ' , ' , h(p'^z') , 7^'(;^-H=_)\ \/?-Hz ■ / p'-^-z''h y-t-z" ■ l)~f^ h^ /* V^'^-?"*""> P(P-^")Ì i_ 2_ jpip"-^^") p"(p-^=)\ \ j_ lp(p"^^") p'ip ■*■--' )\ ■ j_ / ■ '' "^U"(/'-^-2) "^;'(/'+2")/ / ■ / ■^V"(/-H=')"*"/--(/'-K=")/ /. • i dalla qual equazione viene P(P'-*-^') P'{p-^Z) />(/'->-z") P^SPml — r,. p'{p-*-z) p(p'-hz') "> p"{p^t) p{p"-t-z") ' P'ip"-*-^") p"(.p'->-z') _ p"(p'-^z')'^ p'(p"^z")—^ ciascuna delle quali equazioni è della forma A B g--^-^ = 2., che importa A^ -j- B'' = 2AB , A^ — 2AB -4- B^ = o A— B = o, A = B. Dunque d'onde ne segue P'^^'=^{P^^),P"^^"=j{p-^'=),p"-^z''='yip'^z') vale a dire la condizione dei prezzi di baratto in proporzio- ne di quelli a contanti . Il metodo adunque di F. Luca è giusto a questa condizione., ed è perciò appunto , per avere cioè qualche verità, che non si appalesa a primo colpo falso. Ma F. Luca lo applica fuori del caso di tale condizione : e di fatto dovrebbe nell'esempio essere M 6 — 6 — ^a ;^ , e 40 _ ^^ — 3 — g — 09 5 . l44 I-'' Baratti 3'Iercantili ec. Erra dunque F. Luca di un errore nato senza dubbio daìl' avere trovato il metodo giusto in qualche caso compre- so nella condizione, e dal non avere avvertita la diflFerenza de' casi per difetto di non essere stato da lui con algebra ge- neralizzato il metodo stesso, come io ho fatto. Problema VII. Il Mercante della merce M ne alza il prez- zo da P a P-hA, e ne vuole la parte — di P -h A in con- tanti ; il Mercante della merce m ne alza il prezzo da ^ a p-^z, e ne vuole in contanti la parte — (/7-hz): cercare la equazione tra questi prezzi, ed il guadagno, o discapito dell' un Mercante, o dell'altro? Le due equazioni in questo caso sono i.=*in contanti — {? -^ A)-¥-qp = PQ-i- j{p -^z) q — g a.'^ di baratto ■^(P-t-A)-+-^(/7-f-z) = (P-HA)Q-+-y (/?-+-« )^ sottratta la prima dalla seconda ricavasi q = , e rimet- tendo questo valore nella prima si deduce z (?q- — (V-*-A)q)-qa(p--^(p^z)) g = -i ^ ^ ^^^ — ■ guadagno rispetto ad j(P-+-A)Q-+- ^^^^ lp — j{p-^^)) onde si ricava G = | ^^—-^ ^1 loo il corrispondente P' del primo Mercante riportato al capitale PQ-^ 7 (Z'-^^)^- T (P-^A)Q= ( P-f (Ph-A) ) Q -t- r r D' = Del Sic. Pietro Cossali . i4S .(p-I.(P^A))-A(,-f(,...)) Dilla formola di G si ricava t (.^(p-^a)-^a)(ì'-^^) A questa ultima formola io riferisco il quesito 3o di Fra Luca oscurissimo, e male in sé medesimo, e nella sua solu- zione coerente , e che io interpreto cosi . Due Mercanti ba- rattano panno e lana . Il primo del panno lo alza da 5 = P in contanti alla canna ad 8=P-)-A in baratto, e ne vuole — (P-l-A) in contanti; il secondo alza il centinajo di libbre di lana dal prezzo y7=i3 in contanti al prezzo /?-i-2=: i5 a baratto: egli dovrebbe giusta il Problema II aver discapito, ma invece vuole guadagnare il 5 per loo con domandare — (/>-!- 2) in contanti: qual deve essere questa parte — ? Si trova giusta la formola — = . *= t 255 Ecco il quesito di Fra Luca tal quale egli lo propone . Dei barattano lana e panno : la canna ( intendi del panno ) a contanti vale lire 5 , ed a baratto si contò lire 8, e vole i in contanti; el centinajo di libbre di lana vai i3, e con- tosse ]5; e quello della Lina guadagnò 5 per cento: diman- do, che parte deve all'altro Mercante chiedere a ciò il ba- ratto sia uguale . Proulema Vili. Due Mercanti uno della merce M, l'al- tro della merce m volendo fare tra loro baratto, quello del- la merce M ne alza il prezzo da P in contanti e costo a P -f- X in baratto e colla dilazione del tempo T, e quello della mer- Tomo XVL T i4ó Li Baratti Mercantili ec. ce m ne alza il prezzo da p in contanti e tosto a. p -+- z in baratto 5 e colla dilazione del tempo t: stabilire la proporzio- ne di X'.z, tanto se ninno dei Mercanti richieggano in con- tanti parte alcuna dei prezzi , e tanto se il primo richiegga in contanti la parte— (P-f-X)j ed il secondo — (p-^z) . È primieramente evidente, che nel primo caso X.z'.'.TlF :tp; spettano a qnesta proporzione li quesiti 87 , 38 , 89 , 4*3 , 4' 5 42 di F.Luca^ e li 87, 88, 8q , 4^ di Tartaglia. F. Luca nel suo 87 usa tre modi a dimostrare essa pro- o ■ r • n . r. v . . . P(^-*-^) ■ j porzione , i . si laccia P ; r -f- A . . y? . , si prenda p-=-—: poi SI argomenti -^ . 1 . . z \ t a onde TPz if = . 2.° Poicliè in mesi T il contante P cresce X sarà X X — il crescimento dell'unità in esso tempo T, ed -— il cre- p * ri scimento della unità del contante in unità del tempo , cioè in un mese , ed —r . ^ il crescimento della unità del contan- te in numero di mesi i, e finalmente — .^ ./? il crescimento del contante p nel tempo i^, il quale crescimento dev'essere TPz ~pX X TPz = z i dunque — . t . p =■ z e quinci t = — — . 3." Dopo ave- X re dedotto che — è il crescimento della unità del contante P in un mese deduce essere similmente — il crescimento pt della unità del contante p in un mese; dunque per ugua- X " TPz elianza di condizione — = -^ d'onde ? = — ~. Tartaglia di- ^ PT pt pX '^ ce che F. Luca conclude qui per una via oscura: io non so vedervi questa oscurità , essendo la stessa la unità del con- tante P 5 e del contante p . Del Sic. Pietro Cossali. l47 Similmente dalla proporzione X : z : .TU :pt si fa mani- festo, che nel caso secondo diminuito il contante P del con- ' 5 e .. h tante — ( P -H X ) , ed il contante/? di — (/?-+-z) si avrà X:z ::t/p — ^(P-4-X)) : t (p — -^{f-^^))- Su questa for- mola piti composta versano il quesito 45, ed il 4^ di F. Luca^ ed il 4^ di Tartaglia . È diverso il quesito 43 di F. Luca il quale però soggiugnerò sotto il titolo di Problema IX. Due barattano panno, e lana. La lana co- sta al centinajo di libbre in contanti /?, al baratto /»-Hs , e h . . , di questo prezzo ne vuole il Mercante — in contanti dopo mesi f; la canna del panno vale a contanti P, in baratto P -1- X : i prezzi sono in lire : si domanda la rendita di una lira al mese ? Qui come si vede non vi ha che uno de' Mercanti, che conceda tempo , siccome uno solo ve ne ha , che richiegga parte del prezzo alterato in contanti dopo uno stabilito tem- po ; questa parte si è — {p-^z)q . La parte Ip-^z (p-^^) ÌQ è quella da lui data tosto in baratto , ed uguagliata da ( P -H X ) Q ; laonde Q = -^ — . Il contante della quantità della lana è qp, ciò che il Mercante ricava dall'al- tro in panno vale contanti PQ , ciò che per uguaglianza do- vrebbe di più ricevere è qp — PQ; ma a tempo di mesi t h riceve invece —{p-i-z) q ; dunque in mesi t , pq — PQ diven- m ta —(p-^z)q, per lo che una lira in mesi t diviene » — (p^z)q cosi che la rendita viene a risultare i ; onde la pj-PQ l48 Li Baratti Mercantili ec. a: ■ • . • ^ ' /-^<^*=)? \ rendita in im mese si restrigne ad —I i I. Nel quesito di F. Luca /? = 2,0 , p -i- z ^ óo , — = — , 3 ^=i6, P = 8, P-hX=io. Quindi si ha primieramente Q=—q 7 7 7 la rendita di una lira in mesi 16= — ed al mese =- — : = — . 8 8.16 128 Problema X. Il Mercante della merce M, che vale in contanti P , ed alza al prezzo P -f- X baratta col Mercante della merce m il cui prezzo in contanti è/?, ed egli innalza al prezzo p-i-z; ma questi domanda il tempo T esibendo di dare al primo Mercante tanta parte di (P-t-X)Q in contan- te, e tanto in merce 7?i , che esso primo venga a guadagna- re G per 100 sopra PQ : qual deve essere la parte di {P-»-X)Q in contante , e quanta la quantità della merce m . Fatta la proporzione 100 : 100 -i- G : : PQ : PQh-GPQ sa- G . G rà PQ H PQ ciò che col guadagno — varrà la quantità Q ICO 100 della merce M al prezzo P di contante dopo il tempo T , e tanto si faccia conto che vaglia al tempo del baratto . Si chia- g mi poi — la parte di (P-i-X ) Q che dopo il tempo T deve sborsare in contante il secondo al primo Mercante ; e si pon- ga =^ la quantità della merce m , che deve dare : si avranno , G come nel Probi. II, surrogato a PQ la quantità PQn PQ nella prima equazione le due equazioni n ^ ■* \ 100 / .(P^_X)Q-H^(/;-+-..) = (P-4-X)Q. Onde sottraendo la prima dalla seconda si ricava ^^[p^x-(p^Ap)]q^(x-^p)q e n Del Sic. Pjetro Cossali . i49 e sostituendo questo valore di q nella prima si rileverà il va- lore dell' altra incognita — che sarà ,/ph-J1p)q-^(x--2-p)q n z(Ph-X)Q e lo stesso valore di — si deduce dalla seconda equazione sostituitovi il valore di ^ . Esempio nel quesito 44 ^^ ^- Luca . M è panno che al- la canna vale in contanti fiorini 4 = P! a baratto 5=P-+-X; m è lana che al centinajo di libbre vale fiorini io = /? , a baratto i3=:p-i-z , Q=2,5 canne, e — =: — -=— . Si ha 100 loo IO quinci q = S cioè 5 centina] di lana, ed — =— di (P-t-X) Q cioè di 5 — a5 vale a dire 6o |fiorini . Di fiitto nella i .* equazióne 6o -i- 5 . io = 6o -f- 5o = |4h 4) 25=:ioo-Hio; nella a." equazione 6oh-5 . i3 = 6o H- 65 = 5 . aS = laS . . . i3 i3 5 jp. Luca forma le ragioni — = — , = S i3-:o 3 5_/^^i^ \ \^ 100 / Y = — : indi divide la ragione prima — , che è minore, per la seconda, che è maggiore, ed il quoziente =— siè la par- te di 5 . a5 = laS, che il secondo Mercante deve in lana, che perciò trovasi = — . ia5 = i3 . 5 = 65 , ed i — — = — di ia5 = la . 5 =: 6o si è ciò che egli deve dare in danari. Trasportando dal particolare al generale le due frazioni sono p-*-~ P-hX P-t-X e dividendo la prima per P + x_(ph-^p) X--^P \ ICO / 100 iSo Li Baratti Mercantili ec. (;, + = ) (X-^P) la seconda, risulta la parte — — di (P-t-X)0 = • = , Cile latta u- i(P-t-X) z guale a q{p-^z) dà, come io ho trovato, -^ ^— = (7- Per riguardo ad — si trova — = i ^ ~ — = ° re re 3(P-t-X) .(P^-£.P)_^(X-^P) \ 100 / -^ \ 100/ iinmediatamente coincidente col va- s(P-*-X) lore della mia formola. È dunque giusta la regola di F. Luca', ma il mio metodo ne dichiara in generale il fondamento , es- sendo ad un tempo più lucido , e più semplice . Problema XI. Due barattarono merci M, ed m\ la mer- ce M valeva a contanti P , ed a baratto a termine di mesi T ne volle il Mercante il prezzo P -j- X richiedendone la par- te — in contanti ; la merce m valeva a contanti p ed il Mer- cante a baratto ne volle a termine di mesi t il prezzo /7-Hz; ed il primo Mercante guadagnò 6 per loc : vi fu poi tra il prezzo P ed il prezzo P-f-X una data ragione: si cerca qual fosse P ? Egli è questo il quesito 4^ di F. Luca in cui po- ne P-f-X = 4i/P, — =i, T= i3,/7 = a4,/?-<-z = a9, ^ = 9, ed il — = — . A sciogliere il quesito egli adopera la rego- 100 100 la della cosa e suppone P uguale al censo, che noi signifi- caremo per 7* , e continuando a trasportare il particolare nu- e merico al general letterale avremo P-f-X = 47, P — "~(P"+"X)= 7»--.47,P+X--(P-+-X)=47--.47,P^-X-i(P-i-X)- Del Sic. Pietro Cossali . l5i /p_± (Ph-X) ) = X — 4/— 7* accrescimento di/'-— ^4/ per il tempo T ; dunque ■- ( 4/ — /M accrescimento per il tempo i^ . Ma il primo Mercante guadagnò G per loo sul suo capitale /^ — — •4/5 dunque questo divenne al fine del tem- po T , y^ — .47H ly^ — ^.47)5 e tanto fa conto che valesse la merce M a contanti. Prendi poscia —(47—7^) — zione -2_ ( y^ i . A y \ . Finalmente instituisci la propor j? ; z o sia (,^±.)y^{,^±.)±4:{U.t.^)4_ll.^±.)y:j,:, \ too/- \ ioo/« ^ \T " 100 / ' \T loc/-^ ■* d' ©nde 7 = 7 Gì 7-7 Gì ' ^'=^"" V 100/ -^ \ T reo/ Ne' dati particolari di F. Luca risulta 7^8,7^ = P = 9 . Ma nella regola di F. Luca non è spiegata la ragione della proporzione , che prescrive d' istituire . A vederla fa di me- stieri ricorrere a queste due mie equazioni I .-^ a contanti /?^=/ P — ^(P-hX)) Q -H -^ ( P — -1 ( P-(-X) ) Q o.-^ di baratto {p-^z)q=i?— ^ (P-H-X) ) Q-*-^ X (p_ì.(p^_x))q. Sottraendo la prima- dalla seconda si trova q = — , il qual valore sostituito nella prima , porge i5a Li Baratti Mercantili ec. f[7X'3-^(''-^<''-'')0)] = ^(~^)x (p-^(P-<-X))Q-^^(p-^{P-f.X))Q. La qual equazione concoi'da con la proporzione prescritta da F. Luca sostituiti a P ed X i valori da lui attribuiti loro. Del resto F. Luca nota, che correva il proverbio di chia- mare imbratti H baratti , perchè spesso una delle parti resta dall'altra più astuta imbrattata; e che quando il sensaro mo- strava saggio di alcuna merce, se gli domandava, se la do- tava, e quanto? alludendo ai matrimonj , che il più delle volte male per avarizia oggi si fanno . E Tartaglia riferendo il quesito 87 di F. Luca osserva, che tali quesiti con dilazione di tempo per l'una parte e per l'altra non possono intendersi per veri baratti, non dandosi attualmente né dall'una parte, né dall'altra soldo veruno, e che in luogo di baratti si dovrebbero intitolar quesiti di vendite, o sia di vendita, e contro-vendita con consegna di merci, e pagamenti poi con profitto dei danari proporziona- to alle dilazioni . %i lOa SOPRA LA MISURA DELLE ALTEZZE DEL BAROMETRO APPENDICE Alla Memoria inserita nel volume XHI Del Sic. G. Ragagni Ricevuta li a8 Febbrajo i8ia. Oe della grandezza e delia importanza non solo, ma ancora della amenità di un filosofico argomento giudicare si può dal numero, e dalla eccellenza degli Autori, che presero ad illu- strarlo, sicuramente tra i più grandi, ed importanti, ed ame- ni dovrà annoverarsi quello della misura delie altezze ileriva- ta dalle osservazioni barometriche, sopra di cui hanno scritto tanti, e così illustri Fisici, quanti nella Memoria indicata fu- rono citati da me, che pure ne ho tralasciato alcuno, che già conosceva , e altri ne ignorava forse non pochi . E bene doveva parere, che da tanto moltiplicati travagli, e singolar- mente da quelli di Ramond , e di La Place fosse quel sog- getto ridotto alla sua perfezione; né io aveva preso già a trat- tarne sulla lusinga di migliorarlo, o di accrescerlo, ma sol- tanto di mettere in chiaro, e debitamente valutare quello, che scritto ne aveva il Rohde massimamente criticando que- st'ultimo celebre Matematico, che da tutt' altri aveva riscos- so l'applauso più deciso. Ma dopo quella mia Memoria quan- te opere, e di quanto insigni Fisici mi sono sotto gli occhi venute, che per lo scopo loro primario, o per incidenza a quel soggetto appartengono? E molte si troveranno indicate in questa Appendice, poiché da principio io aveva pensato di stenderla solamente per compiere la promessa data (3i,e37 ) Tomo XVI. V iS4 Misura delle altezze del Barometro. di ritornare sopra qualche luogo di quella Memoria, che la- sciato aveva incompleto per non renderla lunga soverchia- mente, o perchè mi mancavano le notizie opportune; ma in seguito mi parve di dovere aggiugnervi altre cose , che ho trovate in quelle opere, o leggendole mi sono sovvenute , e che mi sono sembrate meritare l'attenzione altrui. Dovendo però questa Appendice servire al compimento di quella Me- moria io ne seguirò l'ordine dei numeri, e premetterò le de- nominazioni , e le relazioni principali delie quantità, ciie in quella si trovano , al fine di schivare la fatica di andare a cercarle . 40. Supposta pertanto la terra sferoidica (4) generata dal- la rivoluzione d'una ellisse intorno all'asse minore, e in que- sta , che ne sarà un meridiano , chiamando a il semiasse maggiore ; Ita il minore ; / l'ascissa presa su quell'asse, cominciando dal centro; X l'altra coordinata ad un punto qualunque; i' il semidiametro , che da questo punto va al centro ; a r angolo , che questo semidiametro forma con l' asse maggiore ; /3 l'angolo, che la verticale di quel punto forma con que- sto semidiametro ; ìp l'angolo, che la verticale stessa prolungata forma con l'asse maggiore, e che misura la latitudine di quel punto; V (5) una lunghezza presa salendo j o discendendo dall'el- lisse sopra quella verticale ; b la retta, che dall'estremità di quella lunghezza sia con- dotta al centro ; z' un altro semidiametro, che cade sopra questa lunghezza; <)' l'angolo, che resta compreso tra i due semidiametri s, e z'; o l'angolo, che il semidiametro z forma con l'asse maggiore; g } g' i g" (6) le gravità acceleratrici alla estremità del se- midiametro z, all'altra estremità di ?j , e a quella del semi- diametro 2'; Dgl Sig. G. Racagni. ,i55 j costante da determinarsi per la legge delle gravità acce- leratrici g, ^ secondo le distanze dal centro; p,p' (7) le pressioni dell'aria alla estremità del semidiame- tro z, e all'altra estremità Ai v; d , d' le di lei densità alle estremità stesse; e, e i di lei gradi di calore a quelle estremità computati sul termometro centigrado partendo dallo zero assoluto, e noii dall'arbitrario ; t, t' i gradi stessi computati dallo zero arbitrario; q (19) grado di calore, che su quel termometro corrispon- de allo zero arbitrario ; h,K (ao) le altezze del mercurio nel barometro a quelle due estremità ; V, V i di lui gradi di calore presi sopra quel termometro dallo zero arbitrario ; H, H' (29) le altezze h, K corrette dipendentemente dai gradi del caloi'e ; A (33) la densità del mercurio al grado di calore e; i (16) costante da determinarsi con le osservazioni del ter- mometro ; V, V (8), V" (3o), M (36) lettere ausiliarie; m (3) altra lettera ausiliaria =1 — n . 41. Posto L il segno del logaritmo tabulare, e il loga- ritmo iperbolico di ro, le relazioni tra le quantità corrispon- denti a quelle lettere si sono trovate (4) y^ = /i^ ( a= — 0:=^ ) ; z^ ■= x'' ->r- y"^ , ì tang. xp =-^; tang. a =z ^ ; (3 = ^p — a .-, V . seti, fi (5) tang.y= ,^,.,,,,g; « = « -f- y ; z' = a ( I — m . sen . ^o — "ònt^ . sen . ="« . cos . ""« ) ; (6) « = «";(?) *■?'«<' = -Vi ce *^ P p (16) c' = i/(c^ — iu); (19) e = 2,302585; l56 Misura delle altezze del Barometro. , ,„ , H hf(ff-t-v) (36) M = i8336/i-H^^^^^^-y(^-cos.aT//-4-|.cos.#))i 42. Se il calore per tutta la lunghezza v della colonna d'aria, e la gravità g suppongansi costanti, sarà c = c',g'=g', l'equazione (11) diverrà dp'-^d'p, e la (7) sostituendo il va- lore di ^', e integrando come al num. 19 darà -0=— (L/» — L/?'); ed essendo ( ao , e 33 ) /? = A Agc , p' = à.h'gc , per ragione della gravità, e del calore costanti resterà v^=—^{hh — L/i'), che è l'espressione con l'analisi infinitesimale derivata della teorica anticamente dimostrata daìV Hallejo per mezzo delle proprietà dell' Iperbola tra gli assintoti , di cui già Newton l Princ. L. II ,prop. XXII ) avvertì, che valeva soltanto posta costante la gravità, e aggiunger doveva ancora posto costan- te il calore . E questa è poi la formola , che in queste sup- posizioni si deve riguardare come fondamentale, poiché dopo V Hallejo pressoché tutti gli altri fisici non hanno fatto altro che introdurre alcuni cambiamenti nel di lei coefficiente — , ovvero nel fattore logaritmico LA — LA' . 43. Se alla lunghezza v aggiungasi un'altra lunghezza v', alla cui estremità siano /?", 5', A" le grandezze analoghe alle p Ahgc p, d, h, per la legge di Mariotte (8) essendo y = -g- = |:= ^ si avrà V' =^ ( LA' - LA" ) , e posta v = v' resterà LA — LA' = LA'— LA", e perciò ancora Lj»— L/»'=Ly— L/»" cioè pigliando le lunghezze uguali v , v\ o le distanze dall' ellisse crescenti in progressione aritmetica le pressioni , o le densità dell'aria, o le altezze barometriche corrispon- Del Sic. G. Racacni. 137 denti saranno in progressione geometrica, che è la legge sta- bilita pure da\r Halle/o . 44- '' coefficiente —r- secondo la legge del Mariotte, tenendo costanti il calore , e la gravità , è pure costante , e rappresenta l'altezza, che avrebbe l'atmosfera partendo dal luogo , dove si fossero trovate l' altezza barometrica h con la densità d sotto al calore e fino alla sommità, se tutta la co- lonna dell'aria superiore a quel luogo insieme a questo ca- lore avesse costante ancora quella densità. Quel coefficiente, o questa altezza dell'atmosfera si può chiamare il modulo dei logaritmi atmosferici, perchè in questi si riducono i tabulari moltiplicati per quello ; infine quel coefficiente rappresenta la sottangente di una logaritmica, nella quale, le ascisse e- spriraendo le altezze , le ordinate esprimerebbero le pressio- ni, o le altezze barometriche . 45. Ora riducendo il calcolo ò^ Halle] 0 alle misure fran- cesi . Egli sotto air altezza barometrica h di pollici a8 aveva trovato y = 10891 , e perciò -T- = a,3oa585 . 10891 .aS^"'- = 9741'"* , e posto e = I , t) = 974i [\Ji — LA')'"' . Ma le mi- sure derivate da questa formola erano tanto lontane da quel- le prese coi metodi geodetici , che i Fisici non potendo in questi supporre errori tanto gravi avevano generalmente de- posta la speranza di potere alcun vantaggio conseguire dalle osservazioni barometriche per la misura delle altezze . In se- guito però l'attenzione loro a questo argomento ancora rivol- sero Maraldi ( Mem. de Paris 1708 ), De la Hire ( wi 1709), Scheuchzero ( Trans. Philos. Land. N. 4o5 ) , Cassini { Mem. de Paris 1705, e 1783 )j Daniele Bernoulli [Hydrod. sect. x). Cassini de Thuri ( Mem. de Paris l'J^o ) , e Horrebovio { Elem. Phys. cap. vin, e Nouv. Bibl. Germ. d'Octob., ]Sov.,e Decemb. lySc), dei quali mi basta di averli indicati, perchè i lavori loro si possono vedere esposti esattamente , e giudicati da De Lue ( Recher. i j Part. Chap. iv ) . i58 Misura delle altezze del Barometro. 46. Ma debbo alcun poco trattenermi intorno a Bougucr , che veramente si distinse sopra tutti quelli , che di questo argomento trattarono prima di De Lue . Egli {3fem. Paris 1753) diede una regola non molto diversa da quella d' Ilalle/'o, ma derivata da un grande numero d'esperienze, in cui stabili- sce, che se prendasi la differenza dei logaritmi delle due al- tezze barometriche espresse in linee francesi ritenendone le sole prime quattro cifre dopo la caratteristica , basterà sot- trarne la parte trentesima per avere espressa in tese l'altez- za della stazione superiore sopra l' inferiore , ossia la distan- za verticale delle due stazioni, nelle quali le due altezze ba- rometriche saranno state osservate ; laonde usando le tavole logaritmiche a sette decimali la foi-niola Hallejana si conver- tiva in quest'altra v= 1 0000 ( Lh—Lh') 1 1 — ^1= 1 0000 (L/i— LA') .■^=9667(1/4 -L/i'); e questa infatti serve a determinare le altezze di Pitchincha^ e dì Choussai ^ che non discordano pii^i di una tesa dalla mi- sura geodetica , e aggiugne Bouguer , che avrebbe potuto giu- stificarla con più di altri trenta esempi . 47. Egli stesso però avvertì, che quella sua regola non riusciva nella parte inferiore delle Gordilliere, né sulle mon- tagne della Zona torrida, né sopra quelle d'Europa, e vo- lendo pure procurare di dare la cagione di quella diversità, che degna era di rimarco. Egli da principio ricorda, che al- cuni Fisici sembravano stabilirla nel calore, che si prova pres- so alla superficie della terra in proporzione maggiore che in alto , parendo loro , che quello dovesse turbare la proporzio- ne geometrica nelle pressioni, o densità dell'aria, o nelle al- tezze barometriche corrispondenti a diverse elevazioni prese in progressione aritmetica , che è la base del calcolo Halle- jano (43) , da cui è ancora derivata la formola antecedente ; e confessa egli in seguito , che la considerazione del calore è veramente importantissima , e serve qualche volta a risola vere la difficoltà , ma secondo lui il più delle volte non fa Del Sic. G. Rag agni. i5() che accrescerla , polche il calore è più torte abbasso che ad una certa altezza; e nondimeno crede egli, che l'aria abbas- so sia sempre quasi più condensata a proporzione, che non. Io comporta la regola dei pesi comprimenti detta di Blariotte (8), perchè cercando l'altezza delle montagne di 3oo a 4^0 tese, e paragonandole con altre più basse l'errore risultante è sempre in difetto; onde a lui pareva chiaro, che l'aria in- feriore occupasse in proporzione meno spazio ; o avesse mi- nore elasticità, non ostante che il calore tendesse a renderla maggiore . 48. Così credendo di aver confutata l'altrui spiegazione di quella differenza Bougunr per darne una, che gli sembra- va migliore, premette quelle stesse idee, che poi con mag- giore precisione sciolte hanno dato luogo alla distinzione del- la elasticità assoluta, o dello sforzo assoluto, che fa un cor- po compresso per ritornare allo stato primiero, e della elasti- cità specifica, o dello sforzo, che il corpo compresso fa, in proporzione della propria densità ; laonde in ciascun pezzo d'acciajo l'elasticità assoluta è lo sforzo, che oppone ad una data forza comprimente; e in diversi pezzi d'acciajo l'elasti- cità specifica è lo sforzo corrispondente al grado diverso di compressione, che soffrono per una medesima forza compri- mente, che è l'esempio addotto da Bouguer, e io vi aggiu- gnerò l'altro dei diversi gas, ciascun dei quali ha la propria elasticità assoluta , con cui resiste ad una data forza compri- mente , e una diversa elasticità specifica , perchè da una da- ta forza soffre una diversa compressione , 0 si lascia ridurre ad una diversa densità; laonde nello stato di quiete l'elasti- cità assoluta è sempre eguale alla forza comprimente, e la specifica è in ragione diretta di questa forza, e reciproca della densità , a cui il corpo per questa si lascia ridurre . 49- Poste pertanto queste nozioni Bouguer primamente immaginò, che le parti dell'aria non avessero tutte la stes- sa elasticità specifica ma diversa in modo, che tutte si la- sciassero comprimere secondo la legge di Mariotte in propor- i6o Misura delle altezze del Barometro. zione dei pesi comprimenti , ma fatta ancora astrazione dal calore non tutte dallo stesso peso si lasciassero comprimere egualmente , ma altre più , e altre meno ; e come vedeva i liquori meno gravi portarsi sopra i piìi gravi, così immaginò in secondo luogo, che ancora nell'atmosfera più in alto do- vessero portarsi le partì specificamente più elastiche , o che sotto ad un dato peso si lasciano comprimere di meno, e più abbasso successivamente dovessero restare le parti specifica- mente meno elastiche, o che sotto ad un dato peso si lascia- no comprimere di più , laonde sebbene in ciascuna sorte do- vesse valere la legge di Mariotte , non potesse però in tut- te valere l'altra di Hallejo (43), che ad altezze crescenti in progressione aritmetica le densità corrispondenti scemino in progressione geometrica. Né Bouguer fu il solo a sospettare l'aria atmosferica essere un composto di fluidi forniti di pro- prietà diverse, poiché il P. de Beze (io) pensò pure a quel modo, e similmente pensarono quelli , che credendosi di ave- re osservate le rifrazioni del lume nella zona torrida diverse da quelle delle zone temperate posero l'aria tra i Tropici dotata di una forza refringente maggiore che fuori di essi, come riferisce Humboldt ( Essai sur les refrac, astron. Voyag. 4» P.F. I), che li confuta; e in fine il Generale Roy sospettò, che le parti dell'atmosfera siano specificamente meno pesanti all'equatore che verso ì poli, laonde i venti sud , e sudovest nelle medie latitudini recandovi l'aria meno pesante dall'e- quatore facciano discendere il barometro, e i venti Nord re- candovi l'aria più pesante dai poli lo facciano alzare dentro un'oscillazione, che nei paralelli medii d'Europa giugne fino a due pollici . 5o. Ma questo bel discorso di Bouguer non serve al fi- ne proposto . De Lue ( Becker. Voi. I ,pag. i8i ) cominciò ad opporgli, che conveniva supporre una differenza di specifica elasticità molto grande ^ perché altrimenti la sola resistenza, che oppone l'aria alla disunione delle sue parti, bastava co- me nella differenza del peso specifico a contenere quelle, che ten- Del Sic. G. Ragagni. i6i tendono a discendere, o a salire; e aggiunse poi, che la so- la azione dei venti doveva impedire la disposizione delli strati atmosferici secondo i gradi della loro specifica elasticità ; e finalmente osservò, che gli esperimenti dei pendoh instituiti da Bouguer potevano bene mostrargh , che le densità dell' atmosfera non erano secondo la legge d' Hallejo , ma non scoprirgli la cagione della differenza . Lasciate però queste ragioni del De Lue ; io dirò , che le osservazioni piìi esatte ci hanno mostrate con la maggiore evidenza le cagioni , che influiscono sulla misura delle altezze col barometro , e che bastano a spiegare , e anche a togliere tutte le anomalie , che vi si sono trovate , senza aver bisogno di alcuna differenza intrinseca, e indipendente dal calore tra le parti dell'aria; e quando bene questa si volesse concedere , non appare pe- rò la ragione , per cui le più elastiche si dovessero collocare di sopra , e le meno elastiche di sotto , come accade per la gravità, perchè in questa si vede una cagione atta a produr- re quella disposizione , e non cosi nella elasticità ; e inoltre Daltoii (io) ha dimostrato, che i flnidi gassosi diversi ancora per la specifica gravità si mantengono diffusi insieme nello stesso spazio senza quasi agire uno sull'altro come fanno i liquidi . 5i. Dopo queste premesse chi crederebbe di potere di- fendere Bouguer, e sostenere la di lui opinione per la ragio- ne, che l'elasticità dell'aria è diversa almeno secondo la tem- peratura locale diversa, quando egli stesso ha espressamente esclusa la considerazione di ogni circostanza relativa al calore? Nondimeno V Horsley ( Trans. Phil. Voi. lxiv) non pretende quello solamente , ma dice , che egli si crederebbe colpevole di empietà verso le ceneri di un uomo, la di cui memoria sarà sempre cara alla scienza, se non pigliasse l'occasione, che aveva di lavarlo da un rimprovero, che gli era stato fat- to in termini generalissimi, e con poca amenità sull'oggetto in questione, e che non era fondato che in parte; quasiché quelli , che hanno fatto quel rimprovero a Bouguer, non sa^ Tomo XVI. X IÓ2, Misura delle altezze col Barometro. pessero,che l'elasticità dell'aria è diversa secondo la diver- sa temperatura ; ovvero indicando una svista di questo cele- bre Autore avessero voluto diminuire la stima, di cui gode meritamente; ovvero in fine la memoria di lui dovesse esse- re meno cara alla scienza, perchè in qualche pensamento ha pagato il suo tributo all'umanità. Sa. Io non ho prima d'ora parlato di quella Memoria ^ Horsley ^ che conosceva già da molto tempo non solo per- chè 1' oggetto suo di ridurre alle misure inglesi i risultamenti delle osservazioni espressi da altri in misure francesi era per noi poco interessante , ma molto piìi perchè mi parve , che egli non avesse bene compreso lo spirito dell'opinione di so- pra riportata di Douguer^ né della critica, che a questi fu fatta da molti, né del metodo di De Lue per trovare la misura delle altezze col barometro . E quanto a questo metodo io mi sono coinpiacciuto trovandomi d'accordo coli' estensore del- la Biblioteca britannica ( an. i8ic, N. ^^o, 4, 6^ e 7 ) , che in quattro eccellenti articoli ha raccolto tutto il migliore, che prima di quell'anno era stato sopra quella misura insegnato; ma vedendo che quest'uomo celebre in un' opera tanto spar- sa ampiamente , e stimata con ragione riporta con segni di approvazione le riflessioni, e le censure, che prima giaceva- no nella Memoria ben poco conosciuta di Horsley ^ non ho potuto non risolvermi a tentare di scolparne me, e gli altri, contro ai quali quelle furono dirette . E egli è per Io stesso motivo , che io mi tratterrò ancora qualche poco sopra il primo di quei articoli, in cui mi sembra, che sia attribuito alV Horsley quello, che non gli compete, e che siano appro- vate alcune di lui idee analoghe al presente soggetto, che a giudizio mio sono ben poco felici . 53. La formola [ 4^ (7) ] &'g'dv = — dp' si può integrare in molte supposizioni oltre a quella del num. 19, che riguar- da il solo metodo di La Place; infatti suppongasi d' propor- zionale a pii^ e g' proporzionale a d , quella equa- Del Sic. G. Racagni. i63 zioiie diverrà = — , ed integrando si avrà \—s „"— ?r (r-t-^-)— ^_ y 1 — 5 . I -»-J „' I — it c ; e poiché posta v =o e p =/?' sarà = — C -i-C, onae si avrà la tormola — I — S I — It I — ;r . , la quale si applica a tutte le ipotesi della gra- vità (6), e delle pressioni, o densità ponendo i corrispondenti valori di j, e n ^ fuori dei casi della gravità, o della pres- sione , che decresca nella ragione , in cui crescano le distan- ze semplici , poiché allora ponendo j = i , o ;r = i , uno , o l'altro, o ambedue i membri delia formola divengono ~; ma in questi casi la prima formola s' integra o tutta o in parte coi logaritmi essendo / = eL ( th-t; ) -i- e = eL ; e J r-Hu r f r = — eLo' -4- e = eL — , onde nel caso di j = i = n; SI avrebbe = — . r / 54- Analizzando le trovate formole ritengasi ;i:>>o, e sup- pongasi u = co per avere la pressione alia distanza infinita ; e poiché— sollevato ad una potenza positiva é zero, sarà * / ' ' \ pt~^-p't^x . 1 — — ——r I = ; laonde se sia « > i j e perciò = 0 , rimarrà = L f , e guin- ^i p' ■={p '~^ -)- ' _ , , _ , 1 I— ;t , cioè a dire la pressione/?' alla distanza v infinita dalia terra sarebbe finita ; e diverreb- be indeterminata, o infinita nelle altre supposizioni di /i=i, ovvero ra < i . 55. Suppongasi poi v=z — /•, e v -h r = o per avere la pressione p alla distanza zero dal centro j la forinola (33) di- I 164 Misura delle altezze col Barometro. .1/1 I \ pi—Jt^p'i—Tt ^ 7Zr, \ Z^. irr I = 5 e posta .?> i essendo 'J\0 T f I — 31 — = CO la pressione al centro in questa supposizione diver- verr; rà />' = co ' '^ , cioè infinita . Se poi nella formola (53) per determinare la costante e supponga- (r^v)^—' „i I — Ji 00' si , che posta «; = co divenga ^' = 0 , sarà e = , e quin- di SI avrà '^ = — <- -\- ; e posta u = — r sarà I — s 1 —n I — s -—=-P—-^-—, e posta .> I seguirà;, =|^^ — JX c^~' |^^5 ossia la pressione al centro nulla. Né seguirà al- trimenti posta .?=! , e solamente quella pressione sarà finita nel caso della prima formola posta 5 < i . 56. Questi risultamenti , che si possono trovare variando il valore di w, e che possono sembrare assurdi, e paradossi furo- no con qualche differenza di metodo, e senzachè uno sapesse dell'altro quasi al tempo stesso dimostrati da Taylor ( Meth. increm. Schol. prop. a6 ), e dal Varìgnon (Mem. Paris 17 16); e poiché lo stesso Horsley cita Taylor, non si può bene com- prendere, perchè l'Estensore della Biblioteca britannica a lui gli attribuisca quasi gli avesse egli avvertiti pel primo; e fa poi meraviglia, come V Horsley ^ e questo Estensore non ab- biano prodotta la riflessione, che quei paradossi non seguo- no generalmente ma solo fatte certe supposizioni del valore di j, ossia della legge, secondo la quale la gravità si cam- bia in proporzione delle distanze , e risultano poi solamente dalla contradizione, che si mette nelle condizioni, che si stabiliscono per determinare la costante nell'integrazione; poiché infatti la condizione della densità infinita al centro ripugna alle altre due, cioè che essa alla distanza finita r sia Del Sic. G. Racagni. i65 eguale a p finita , e che sempre corrisponda in qualche ra- gione diretta al peso comprimente, perchè allora seguirebbe, che la pressione finita/; insieme con l'altra parimenti finita, che può risultare dal peso finito dell'aria contenuta nella co- lonna dell'altezza r, facesse una pressione infinita. Quando poi si considera la distanza infinita dal centro, o la densità ivi sia finita , ovvero nulla , chiaro è , che il peso dell' aria contenuta in una colonna infinita deve rendere al centro , e alla distanza r dal centro infinita la densità , prescindendo dalla supposizione particolare , che questa si accostasse alla distanza infinita diminuendosi con qualche legge assintotica. 57. Ma tutte quelle conseguenze provano soltanto, che la legge della densità, che mantenga una proporzione costan- te coi pesi comprimenti, non può valere come nei casi dell' estrema rarefazione , o condensazione (9) , così in quelli del- la lunghezza infinita, o nulla della colonna dell'aria premen:- te . Né quelli sono i soli casi, nei quali applicando l'Alge- bra alle leggi fisiche tratte dalle osservazioni , o dalle espe- rienze ci incontriamo in paradossi , poiché ne vedremo qual- che altro in questa Memoria ; ma tutti sembrano provenire da uno stesso principio , che la natura non ammette i casi delle quantità grandi, o piccole infinitamente, che si consi- derano dai matematici , e che sole conducono ad altri risul- tamenti di quantità grandi, o piccole infinitamente, che nel- la fisica ripugnano; quindi pare, che l'Estensore della Bi- blioteca britannica non dovesse mostrare quasi di approvare il sogno d'/forj/e/, che appoggiato a quelle conseguenze vor- rebbe stabilire infinita l'atmosfera della terra, e degli altri corpi mondani, perciocché le ossei'vazioni mostrano, che l'at- mosfera delia terra, della luna, e del sole capace di riflet- tere, o di rifrangere il lume è assai limitata; e secondo la teorica quella non può estendersi oltre al limite di distanza , in cui la forza risultante dalla forza centrifuga nata dalla ri- voluzione intorno all'asse combinata con le attrazioni vicen- devoli dei corpi mondani , per cui le parti atmosferiche tea- i66 Misura delle altezze col Barosietho. dono ad allontanarsi dal corpo centrale, riuscirebbe maggio- re di quella, con cui tendono ad accostarvisi, come può ve- dersi presso Frisia ( Op. Voi. IH, pag. nò, e seg.) . Nò con verità afferma Ilorsley , che a lui consenta Newton ( Opusc. de Mundi sistem.)^ perchè questi calcola la rarità, a cui si ridurrebbe Faria, supposta la legge di Mariotte ad una cer- ta altezza dell'atmosfera solamente per addurre un esempio atto a far comprendere la rarità, che aver possono i vapori, che sortono dalle comete; ma in quel luogo non stabilisce egli cosa alcuna per riguardo all'estensione della nostra at- mosfera, che egli per le ragioni già addotte non avrebbe mai supposta infinita . 58. Ma ecco un altro paradosso avvertito à'àW Horsley , il quale sembra, che molto se ne dilettasse. Sia dall'unità espressa l'elasticità dell'aria per un dato grado di calore, e suppongasi , che cambiandosi questo per gradi eguali ancora quella si cambj per una costante quantità k , come credono di avere osservato alcuni (12), onde al grado n esimo sopra, 0 sotto quel grado di calore debba essere i zìztik . Dunque salendo nell'atmosfera dovrebbe esservi un limite, dove es- sendo I — nk-=.v l'elasticità divenisse nulla, e oltre a quel- lo divenendo i <^nk la elasticità diverrebbe negativa ; così secondo le osservazioni di De Lue per esempio supponendo 1 l'elasticità, o il volume dell'aria a gradi 16 3 Reaumuria- ni , poiché essa cambia il volume per — — ad ogni grado, l'elasticità a 16 3 — n sarebbe i -, e diverrebbe nulla a gradi ?i=:ai5, e negativa a gradi re>>ai5. Ma chi può in- tendere in che consista questa elasticità nulla, o negativa, per cui l'aria dovrebbe tendere non a comprimersi diminuen- do il calore , ma a dilatarsi ? 59. U Horsley avrebbe potuto accrescere il numero dei paradossi aggiugnendovi quello del mercurio, e di ogni altro corpo , che, mostri i cambiamenti di- volume eguali in corri- Del Sic G. Racacni. 167 spondenza ai cambiamenti eguali di calore, perchè se ancora nel mercuiio la densità al zero del termometro centigrado sia espressa dall'unità, siccome secondo La Place per ogni grado esso si cambia per -^ — , così al grado n . mo la sua elasticità diverrebbe i r±: r— - , e il mercurio dovrebbe cessa- 5413 re di ristringersi al freddo di 5^12.°, e crescendo questo an- cora di più per l'elasticità negativa dovrebbe tendere a di- latarsi ; il che è impossibile . Ma non è da fare caso alcuno di questi assurdi, o paradossi, che in natura non hanno mai luogo , e servono solo a provare , che niun corpo può cam- biare sempre il volume in una proporzione costante col ca- lore ; e quelli che tengono questa supposizione , riguardano il cambiamento del volume non già vicino ai gradi estremi del calore, dove l'assurdità si manifesta, mai nei gradi me- dj , dove l'ineguaglianza della proporzione tra i cambiamenti del calore, e del volume non è così grande, che non possa trascurarsi senza errore sensibile . 60. Ancora la formola [ 4' (?) ] ^' P^ò integrare con ipo- tesi diverse da quelle del La Place (16); poiché suppongasi e' = cf* ( e" dz iv Y , quella diverrà — — ( e" it iv Y dv=. — P dp' . , e '""/*?£' ^ -r- : e integrando ± 5_ ( e" rt zu )'— * = — ehp' -t- e ; e P " ip(i-k) ^ ' f •> poiché posta u = c diviene p'-=zp, sarà rt: c'~^^g'c"~'** :^ — eL/7 -»- e ; laonde si avrà la formola ± — L- x ip(i—k) [(c»±/u)'-^ — €«-"*]= e {Lp — Lp'), che vale sempre fuo- ri del caso di k =: 1 , nel quale la formola prima diviene V ■ ^ J • 1, _4_ c^-l'Sg' ^..^ o inTOrrtruTrlrk ci hi — +— o ( e" ± iv )—' dv=i -, e integrando si ha P P " ip L{c"rt:zv)=: — L/?'-t-c, e poiché posta v=^o àìvìene p r^p, sarà la formola finale rt ''^~^^s' [L(c":lrfu)]— Lc''=L/7— L/?'; i68 Misura delle altezzk col Barojietro . e come questa esprimerà V ipotesi di Lagrange del calore {i6), che salendo decresce nella ragione aritmetica con le altezze V ponendo re = /i= — j=:i, e ^ = o, così quella esprime- rà l'ipotesi di La Place ponendo re = 2,,^ = 25f* = *^5^ = — i> d' Eulero ponendo re = o_, /; = — i, ^=i; e di quelli, che tengono il calore costante eguale al medio aritmetico tra i due gradi , e , e e ponendo A = o , e cV- =. . 6i. Quale però tra queste ipotesi debhasi sciegliere , è ancora così incerto, come quando io pubblicai la mia Memo- ria, e forse lo sarà ancora per lungo tempo; perciocché tra le cagioni, che riscaldano l'atmosfera, le principali sono l'e- stinzione del lume solare, che l'attraversa, l'estinzione del calorico radiante riflesso dalla terra, e le correnti, che ascen- dono ; lasciando la comunicazione del calore da una molecola all'altra dell'aria, che è stata contradetta da Riimford, e i cambiamenti di temperatura, che possono provenire dai cam- biamenti di stato, che accadono nelle parti stesse dell'aria, o nei vapori, e in altre sostanze, che vi sono framischiate . Ora pare, che l'estinzione del lume debba essere in ragione diretta della densità dell'aria, e del lume stesso; quindi il massimo di quella del lume riflesso sembra dover essere in molta vicinanza della terra, dove e l'aria, e il lume hanno maggiore la densità; laddove il massimo di quella del lume diretto pare dover essere ad una certa distanza dalla terra , perchè la densità di questo lume è maggiore in alto , dove è minore la densità dell' aria : ma finora non si è scoperto alcun dato per conoscere i luoghi di quei due massimi , o del loro medio, né la legge, con cui il calore allontanando- si da quei luoghi si cambia ; le correnti poi , che ascendono per l'atmosfera, sono assai più lente sopra del mare, o del- le campagne coperte di neve, che sopra i deserti, e altri strati nudi , o lisci ; e sono assai diverse sulle montagne for- mate a' piani con una certa gradazione elevati ^ che sul pen- dìo delle montagne piramidali ; e infine sono interrotte , e ■ ' ■ spesso Del Sic. G. R a cagni. 169 spesso cambiate per ragione delle correnti di altre direzioni;, quindi sono generalmente tanto irregolari, che non è da spe- rare di conoscerne gli effetti con qualche legge costante . 62,. E come poco ci istruisce la Teorica, così accade del- le osservazioni. Veramente Humboldt, che ha avuto occa- sione di osservare i gradi del calore dal livello del mare fino alla cima dei più alti monti delle Gordilliere, e gli ha para- gonati con le osservazioni di altri paesi ( Voyage . . . Voi. I , Sur la limite inferìeure des neiges perpetuelles . Mem. lue à la prem. Clas . de V Instit . natìon . Nivose an. XIII , e Journ. des Min. Voi. Lxxiv ) in mezzo alle perturbazioni prodotte da tante cagioni accidentali pare, che giunto sia a determinare i." che poiché salendo nell'atmosfera ad una distanza non grande dalla terra si arriva ad una temperatura fredda quasi costante , e questa alla superficie della terra è molto varia secondo le diverse ore del giorno, o stagioni dell'anno, an- cora r altezza , a cui si deve salire , perchè il termometro si abbassi di un grado , deve essere una funzione inversa della temperatura della superficie, cioè maggiore, o minore, se- condochè questa è minore , o maggiore ; ma la differenza non oltrepassa certi limiti , perchè nel freddo più grande arriva ai a44 metri , e non scema , che di un quinto circa dai ag" fino ai a5° . 2,.° Che i risultamenti medj delle misure di quell' altezza prese in diversi tempi dell'anno fino ad una certa distanza dalla terra sono funzioni della temperatura media delle diverse latitudini ; ma oltre a quella distanza di metri 470 circa il calore sembra distribuirsi nell'atmosfera con una certa uniformità, onde l'altezza corrispondente al decremen- to medio di un grado è a un dipresso la medesima dentro , e fuori dei Tropici ; e infatti Matthìeu da due osservazioni di Sivanbergh, e da una formula di La Place ha dedotta queir altezza di metri 243 , 8 , e di metri 243 , sebbene il calore nella prima fosse — i3°, e nella seconda —29°; e le osservazioni di Humboldt sopra Chimboraco gli hanno data di metri 196, ossia di tese 98 quell'altezza, che le tempe- Tomo XVI. Y 1 70 Misura delle altezze col Barometro . rature inedie fissano a loo partendo dal livello del mare; e Say Lussac , essendo il termometro inferiore a 217° , 7 lo tro- vò ad 8° , 5 all'altezza di 8700 metri; e a — 9° all'altezza di 6980 metri , onde nella prima colonna il decremento di un grado era all'altezza di metri 198, e per l' altra , che sta tra le altezze di metri 8704, e $876 di Teneriffa, e di Gliim- bora^o , era all'altezza di metri i83; e sarebbe di metri 187 all'altezza di tutta la colonna, che era di metri 7000. Sic- come però nel tempo dell'ascensione il caldo a Parigi creb- be di tre gradi , supponendo contro ogni probabilità , che quel cambiamento si fosse propagato ancora a quella altezza, a cui era Say Lussac., l'altra corrispondente al decremento di un grado sarebbe di soli metri 178, che assai più dei 198 distano dai 191 risultanti dalle osservazioni di Humboldt. 63. Nelle osservazioni di Say Lussac non si sa bene com- prendere, come alle altezze di i333, e di aooo tese la dif- ferenza del calore sopra quello della terra non passasse i gra- di tre , e i gradi cinque e mezzo circa , quando fu da altri trovata molto maggiore . Ma forse al termine della di lui sa- lita il termometro fu sempre a — 9° , e sulla terra essendo- si cambiato per circa 3° , deve in quella computarsi non il massimo di 27°, ma il medio di a5°, onde quella differenza diverrebbe maggiore . Quello poi , che ragionando non si a- vrebbe potuto indovinare, anzi di cui forse sarebbesi argo- mentato il contrario, e che risulta dalle osservazioni di Hum- boldt, e di Say Lussac, si è, che il calore decresce più ra- pidamente nelle regioni superiori fino ad una certa altezza , che nelle inferiori . Li risultamenti delle osservazioni di Humboldt si vedono nella tavola seguente da lui stesso di- sposti . Del SiG. G. Racagni . Altezze Temperatura sopra il livello in gradi Differenze del mare centesimali O a5,3'' 5oo a4,o 1,3° loco aa, 6 1,4 i5oo ai , a 1,4 aooo ao , 0 i,a aSoo 18,7 1,3 3ooo 4,4 4,3 35oo 9,0 5,4 4000 6,4 a , 6 45oo 3,7 2,7 5ooo e, 4 3,3 55oo — 3,0 -3,6 6000 — 6,0 — 3,0 65oo IO j 0 -4,0 7000 — i3 , 0 — 3,0 7500 — 16, 0 ^3,0 171 Da cui si vede , che il decremento del calore è più rapido circa nella ragione di 5 : 3 di sopra ai 35oo metri , che dal livello del mare ai aSco ; e che lo strato d'aria, dove il raf- freddamento è più pronto almeno sotto all'equatore è com- preso tra i aSoo , e i 35co metri, ossia tra le altezze del S. Gottardo, e dell'Etna. 64. Se poi riflettasi, che calcolando sopra diverse ossei- vazioni delli stessi Humboldt , e Say Lussac l'altezza sopra il livello del mare, in cui il calore scema di un grado, rie- sce diversa 5 e che Saussure la stabilì a metri 160, come pu- re d' Aubuisson ( Suite du Mem. sur la mes.... Jour. de Phys.... Juìllet 1810 ), si vedrà, che ancora dentro un certo limite quell'altezza non è accertata appunto percìiè le diverse tem- perature dello strato inferiore dell'aria, e massime le diver- lyi Misura delle altezze col Barometro . sp influenze delle circostanze locali sopra l' estinzione del ca- lore riflesso dalla terra (ói) dovevano produrre differenze no- tabili nelle osservazioni, dalle (jiiali i[uell' altezza è stata de- rivata. In generale i risultamenti ottenuti da quelli, che si occuparono di questo soggetto, debbono considerarsi come dipendenti dalle temperature, che si provavano al luogo del- la terra , sopra cui il decremento è stato osservato ; ma non si ha finora un così grande numero d'osservazioni, dalle quali si possa una sicura conseguenza dedurre ; poiché le migliori sarebbero quelle, nelle quali le temperature sulla terra fos- sero molto basse , e in aria avessero potuto replicarsi assai volte ; ma quelle sono nel minor numero , perchè in Europa non possono procurarsi che coi viaggi atmosferici , che non sogliono intraprendersi in temperature fredde, e in America, dove sopra le Cordilliere si trovano dei Villaggi di 4*^0 me- tri più alti della cima di Teneriffe , dove un Fisico potrebbe farvi un soggiorno poco penoso , e interessantissimo non so- lo per l'oggetto presente, ma per tutta la metereologia, so- no rarissimi i viaggiatori . 65. L'incertezza diviene ancora maggiore per riguardo alla • ^figge , con cui il calore salendo decresce , poiché c[uesta di- pende da quell'altezza, nella quale questo comincia a sce- mare di un grado , e la differenza delle circostanze tra le par- ti inferiori, e le superiori dell'atmosfera è sempre più nota- bile , quanto la distanza è più grande . E io so bene , che Offmann ( Voyage d' Humboldt quatt. partìe Astron. , et Magnet. Voi. i ) calcolando con la formola di La Place ha trovate sei osservazioni di Humboldt conformi alla legge di Eulero-, ma tra le leggi dei diversi Autori qual è, a cui non si trovino conformi alcune osservazioni, quando tra le molte si faccia la scielta opportuna, imperciochè fino BernouUi ne riporta quattro , dalle quali ricavò la strana sua opinione del calore crescente a misura, che si sale nell'atmosfera. Ma an- cora qual è tra quelle leggi, a cui non si possano trovare le osservazioni in grande numero contrarie , quando si prenda- Del Sic. G. Rag agni. 1^3 no in circc^tanze molto diverse per le temperature sulla ter- restre superfìcie? Ad ogni modo tra quelle incertezze si può ritenere il principio di La Place (i6) che la legge del de- cremento del calore salendo per l'atmosfera sia compresa tra i limiti delle due progressioni aritmetica, e geometrica; né si scosterà molto dalle osservazioni usando quella verso la temperatura di 2,5° centesimali , e questa sopra , o sotto i a5°. 66. Siccome poi le leggi principali proposte da diversi Autori non differiscono molto da quelle progressioni (17) così non deve farci meraviglia, se quasi tutte convengono a un di presso nel medesimo risultamento . E già si è veduto questo (17) per riguardo a De Lue, Schuckburgìi , Eulero, Lagrange, e La Place, ai quali mi piace aggiugnere in questo luogo il Fenini, il quale ( Jnstit. Nazion. Ital. T. I, P. I; e T. Il, P.I) ha già pubblicate tre parti di una Memoria sulle livellazioni barometriche , e ne promette una quarta pel volume terzo . Egli tiene la progressione aritmetica , e arriva ad una for- mola veramente semplicissima ■■, poiché nella seconda formola (6c) pongasi « = I =g , e t-=B, rimarrà L(c — iv)z=.hc — iBL-^: e passando dai logaritmi ai numeri si avrà e — /'ìy=i:c(-^) = -5-,equ,nd.. = -[r-(-) J=_(_f_J.Ma da tre osservazioni sue, e due del Generale Roy per un va- lore medio egli trova B.Lio=:r7 — =02,40,7; e B=-;^ — —■=■ 401 3, 2; ed i = e , coco5 ; e perciò iB = 0,00066, e w = lOOOOO r in' \OjOCo66 "J \ l p' \ O , OO066 "l e inoltre egli assume, che li o,coo66 dell'esponente si pos- sono senza notabile errore tralasciare , e che i valori di e presi da una tavola delle dilatazioni dell'aria da lui calcolata erano espressi da dieci millesimi ; quindi conchiude, che se que- 1^4 Misura delle altezze col Barometro. I I sti intendansi per intieri resterà il valore di v = 2.cl- ^ — 1, P che coi logaritmi si calcola facilissimamente . 67. Mentre ammirava la semplicità di questa formola , mi venne un dubbio, se li 0,00066 si possano con ogai si- curezza trascurare essendo nell' esponente , come quando so- no il moltiplicatore di un numero; perchè nell'esempio stes- so del Ve?iini, che è l'altezza del campanile di Domaso, in- vece delle /?,/?' sostituendo le h,h' era A=333,a5; A'=33a,i75; I I L — = 0,5045540 ; L— := o , 5042734; A =3,19561; A = 1 I 7 5 » f j 2.00 3,19351; I =37l6l' ® quindi w=i3,a87a'"-. Ma se h' hh , e LA' non si avessero a dividere per s, ossia a molti- plicai-e per o,aoooo , ma per o,aoo66 , si avrebbe o, 20066 X LA=o,5o62i9i;o,aoo66LA'=o,5o59375;Ao>2oo66_3^o,o7887; ;, O, 20066 _^- 0,20066 _ ^'0,20066=: 3 ao58o8; =- — -—; e poiché ^^o, 30006 3207887 è L — — — =6,81 1 6354; Lio3o6=4'°i 3*^9°' ;La=:o,3oio3oo, .S207887 sarebbe Lw = i , 1257555 , che porterebbe il valore di u a 1 3, 35843 tese, e si avrebbe una differenza di circa un mez- zo per cento per le sole quantità trascurate nel calcolo, che veramente pare un pò grande almeno per certi casi . 68. Dalie esposte dottrine si può inferire, che per la legge del decremento del calore per 1' atmosfera debbono ri- fiutarsi quelle, che molto si s( ostano dalle medie tra l'arit- metica, e la geometrica singolariuente quando importassero un calcolo molto lungo, ed imbaiazzato . E tale in primo luo- go mi pare quella del Liiideiiau ( Tahles barometrìques pour facilìter le calcili des Nìvéllemeats, et des mesures des hautews Del Sic. G. Rag agni. 175 par le harometre . Gotha 1809), che per esprimere la corre- zione dipendente dal calore dell'aria nel coefficiente M (36) invece di uno introduce i due termini 0,002 (^-H^') — 0,000004 (t — t' Y '■, e invero non havvi alcuna positiva ragione, che richieda questo secondo termine, che allunga, e imbarazza il calcolo senza renderlo notabilmente più esatto, perchè nel- le altezze non estremamente grandi non porta una differenza maggiore di quella, che può supporsi nelle osservazioni. 69. Ma molto piìi in quel caso è l'altra di Kinvan ( Bibl. Brìtan. Voi. XXI , pag. 3aa ) . Egli veramente si pro- pone soltanto di mostrare, come si possano correggere le re- gole di Saussure, che tra le latitudini medie di 4'^° , e 47°> e nei mesi d'estate il calor medio salendo scemi di un gra- do Reaumuriano per ogni 100 tese, avendo riguardo alle dif- ferenze del calore nelle diverse latitudini ; ma la correzione stessa si potrebbe a qualunque altra regola applicare; poiché a quel fine egli osserva, che Boiiguer [Mem. Par. 1^44' ^ '749) aveva stabiliti ad altezze diverse secondo le diverse latitudi- ni nell'atmosfera due punti da lui chiamati uno inferiore, e l'altro superiore della congelazione, dei quali il primo meno alto è quello, dove ancora d'estate gela tutte le notti, e di giorno la temperatura s'alza assai poco sopra la congela- zione; e il secondo piìi alto è quello, sopra cui non s'alza alcun vapore sensibile ^ laonde egli crede, che in ambedue si possa stabilire la temperatura costante di Sa"^, ovvero 0°^ . Appresso egli scieglie questo secondo , che sembra il meno mobile, e coi dati presi da Bouguer ., e da Saussure forma una tavola, che è riportata ancora da! Venirli {L. 1. 66, v.ii), e che presenta la di lui altezza sopra il livello del mare, la quale si verifica nei mesi di Maggio, Giugno, Luglio, ed Agosto, nei quali i due punti di congelazione sembrano a lui dovere coincidere; e insegna poi a determinare per mez- zo della indicata tavola i gradi , che avrà il termometro a diverse altezze , e a diverse latitudini , quando sia dato il gra- do di lui a qualunque stazione inferiore, col calcolo seguente. 176 Misura delle altezze col Bauometro . 70. Sia A una latitudine, in cui il grado termometrico t sia stato osservato al livello del mare, il quale dal termine superiore della congelazione abbia la distanza D, die si pren- derà dalla tavola indicata di sopra, e la differenza di tempe- ratura, che le corrisponderà, sarà t — 3^"''" . Ma si è suppo- sto (60) , che dove la differenza della distanza era v , fosse e =: e/* ( e" zt ró )* , e quindi che pel calore c = t fosse e' = tl^ { t"^ ± iv Y '■> dunque per conseguenza delle premesse nella di- stanza D essendo e = f — 82° , e w=:D, sarà t — ^ù."^-=H^ (i'^driD)*; e dividendo quella per questa equazione si avrà c' = (f — Sa"^) I ~ j . Se poi il luogo del calore t sìa alla distanza y sopra il livello del mare, la sua distanza dal ter- mine superiore della congelazione sarebbe D — 7, a cui cor- risponderà la differenza t — 82,"^ -, laonde ritenendo la suppo- sizione , a cui tutto questo calcolo è appoggiato , che il ca- lore sia sempre una funzione simile della distanza, nella pe- nultima equazione a D sostituendo D — y sì avrà t — 32,^^ = ^f* [t" ±. i [D — y ) ]* 5 onde pare , che alla distanza v il calore I , e non c' = (^ — 3a°'") -7^— I , come sembra supposto da Kirwan , il quale pren- de sempre la distanza del termine superiore della congelazio- ne dal livello del mare, quando pare, che debba pigliarsi dal luogo, dove è stato osservato il calore t . Con questa re- gola ben si vede , come si possa trovare il calore della re- gione superiore, quando sia dato l'altro della inferiore; ma a che prò entrare in così grande lavoro di calcolo , quando la regola non serve che per quattro mesi dell' estate più cal- da, e pei luoghi, dei quali sia nota l'altezza sopra il livello del mare ; e quantunque applicata agli esempi alcune volte presenti una bastevole approssimazione j in altre però manca assolutamente? ' • 71. L'effetto del calore sull'aria non è ancóra conosciu- to DelSig.G.Ragagni. 177 to altrimenti che dentro i limiti dell'incertezza, che furono notati nella Memoria (a4,a5); ad ogni modo pare, che i Fisici ad imitazione di La Place seguano generalmente Say Lussac, che ha trovato il cambiamento di un 0,00875'"'' del volume per ogni grado centesimale ; e io stesso mi tengo a questa opinione per l'autorità di Majer, sulla quale voleva portarlo a c,oo38o (ag) . Allora io non conosceva il di lui esperimento, ma inseguito ho trovato presso Gilbert [Annalen. 1807 Stiick , ^. pag. 3g5 ) , che l'esperimento qui indicato sembra essere non di Tobia Majer^ ma del di lui figlio pub- blicato nella Dissertazione ( Pìiys. Mathem. Abhandlung ùber dos avsmenen der wàrme . . .Frankf. 1785^ 5- 7^ )' ® instituito ai a5 Gennajo 1780 con un termometro ad aria di Amontons, che era stato esattamente calibrato , e nella sfera poteva con- tenere 8072, grani di mercurio a 0°^, e aveva una massa d'a- ria, che sotto l'altezza di 3^°'- n ^ iHn. par. ^ ^ quella tempe- ratura, e sotto la pressione di 2,'jP''^' i ''"• occupava il volu- me di 2,443,3 grani. Ora quando l'istromento fu posto nell* acqua bollente il volume dell'aria della sfera sotto la pres- sione di 27^°'- i^"»- -H i4^'''"9,6''"- di altezza di mercurio oc- cupò il volume di a5ia,2, grani di questo metallo; ma Io atesso Majer ha accresciute ambedue le altezze di pressione di 3''"- per ragione della capillarità; quindi poiché il volu- me dell'aria sotto eguale pressione è proporzionale al volu- me osservato , e alla pressione , sotto a cui questo si man- tiene, secondo quell'esperimento il volume dell'aria a 0°^ al di lei volume sotto il 80"^* con la pressione di s.'jP"'- 1''"- di altezza barometrica sta come a443 , 3 : aSiiì, a -h 376^"'- 6""- : SoòP"'- i'"*-, cioè come i : i , 38a . 72. Ma pare, che 3IaJer abbia non bene calcolate, o trascurate le dilatazioni del mercurio, o del vetro; e della prima è chiaro, che ingrandisce il volume dell'aria contenu- ta nella sfera, il quale si calcolava soltanto, quando il mer- curio era ridotto alla quiete, e perciò dava pure una pres- sione manifestamente più grande di quella, che corrispondeva Torno XVI. Z 178 Misura delle altezze col Barometro. alla colonna del mercurio divenuto meno grave specificamen- te . Ora Majer suppone, che questo metallo da 0°^ ad 80°^ si dilati per 0,01 56 del suo volume, onde calcola il volume dell'aria corretto per la dilatazione del mercurio = i , 870 nel calore dell'acqua bollente. Ma secondo Lavoisier^ e La Place questa dilatazione arriva a 0,0189, ^ perciò i due ul- timi termini dell'antecedente proporzione dovrebbero dive- nire a5oc,8, e 5o3 . La dilatazione poi del vetro accresce la capacità della sfera, e del tubo del termometro d'aria, che a 0° eguagliava il volume di 8170 grani di mercurio, calcolando il tubo fino al segno , in cui vi si trovava il mer- curio agli 80°*^ , e perciò diminuiva la dilatazione dell' aria . Dal Soldner ( Gilbert Annal. Z. e. 71 ) si ricava, che questa nel dato caso velerebbe tanto quanto il volume di 3 170. 3 .o,coo83 = 11,7 grani di mercurio; laonde i a5oo,8 divengono a5ia,S, e perciò il volume dell' aria corretto per la dilatazione del mercurio insieme, e del vetro nel calare dell'acqua bollente ^• • 28125 5o3o n n -UT • 11 • » diviene = ■ . ^-—z = i , 370 . Ma siccome 1 esperimento e stato instituito sotto all' altezza barometrica di slSp°'' i ''"• , il calore dell'acqua bollente non poteva giugnere agli 80°'^, ma solo ai 79° 34 secondo le formule del citato Soldner ( Gilbert Annalen. . . . 1804 Stuck ) , così la già calcolata dilatazione ap- parterrà a questa temperatura, e alli 8c°^ il volume d'aria i diviene i ,873 -+- o, 878 .-^= 1,876, che è molto più vici- no al risultamento ottenuto da Say Lussac , secondo il qua- le quel volume diviene i , 876 . Ma meritano di essere lette le riflessioni sopra questo esperimento, che sono esposte ne- gli Annali citati . 78. Ma questo accrescimento conviene all'aria nello sta- to di siccità ; e egli è noto , che questa nel suo stato ordi- nario è sempre mischiata con una più o meno grande quan- tità di vapore acqueo, che a forza elastica eguale essendo meno pesante scema la di lei densità, e quindi la colonna v \ \ Del Sic. G. Racagni. 179 dovrà essere accresciuta in proporzione al decremento di den- sità per modo che se questo si esprima per x' , si dovrebbe nel valore di v (36) introdurre un altro fattore i -t- a;' ; e il La Place ( Mech. cel. voi. IV,pag. 272 ) seguito da d' Auhuìs- soii { Journ. de Phys. Juìl. iSio ) insegna, come dallo stato del termometro , e dell' igrometro si possa trovare il valore di x' col seguente metodo . 74' Sia (p' la forza elastica del vapore di un fluido qua- lunque a diversa temperatura in uno spazio, che ne sia ri- pieno; i la temperatura sopra il 0°, sotto alla quale il flui- do bolle sotto alla pressione di 0,76 metri; t la temperatu- ra sopra il 0° al tempo dell'osservazione. Con questi dati La Place ha rappresentate molto esattamente le esperienze di Dalton sopra la forza elastica dei vapori con l'equazione 0' = o,76'""- X io'Xo,oi54b4-i'Xo, 000002583^ la quale usando il termometro centigrado, applicata all'acqua, che bollendo a 100° rende ì ^= t — 100, dà l'altra <^' = o , ooSiaS X jo t X 0,02797 i — f='X 0,000002583^ laonde si avrà il logaritmo ta- bulare della forza elastica (p' del vapore, ossia della pressio- ne, che eserciterebbe, 0 dell'altezza, a cui si terrebbe il mercurio nel barometro in uno spazio unicamente occupato da quel vapore, se al logaritmo di 0,76 si aggiunga la quan- tità iX 0,0 15454 — z^ X o 5 oooo6a583 , ovvero al logaritmo di o , ooSiaS si aggiunga la quantità ^ X o , 02,7971 — i'^ X o 5 0C0062583 . 75. Esaminando la tavola data da Saussure ( Essaìs sur l' Hygrometrie ^. 176) della quantità del vapore acqvieo con- tenuta in uno spazio limitato a gradi diversi dell'igrometro, ma sotto una stessa temperatura si trova, che quella, se al punto delia saturazione si esprima coli' i , diminuisce di o,oi5 per grado dell'igrometro dal ico""', o piuttosto dal 90'"" fino al 60""*, e ancora al So"", che è il grado, sotto al quale quello stroniento discende assai rare volte nelle basse regio- ni dell' atmosfera . Ma la forza elastica deve seguitare quello stesso rapporto . Se dunque si chiami (p questa forza a ù° del I So Misura delle altezze col Barometro . termometro, o u" dell' igrometro si avrà (p=(p'[i — o,ci5(9o — «)] = (p'{c,ci5u — 0,47)- Al di sotto però di 5o° s'impiegherà direttamente la tavola di Saussure; e ponendo, che il nu- mero di questa, che corrisponde all' u dell'igrometro, sia w, e che la quantità , o la forza al punto di saturazione sia 11,069, si avrà <^ = '^'-7^- 76. Ma secondo Saussure ( §. a88 ) a forza elastica, e temperatura eguali il peso del vapore acqueo sta a quello dell'aria secca come io : 14 ^ e un metro cubo d'aria secca a 0° , e sotto 0,76 metri di pressione pesa grani i3oo; e questo peso scema di 0,00875 di grano per grado d'innalza- mento del termometro , e inoltre è proporzionale alla pres- sione, o forza elastica. Dunque a t° dì temperatura, e a (^ di for- .. T IT- V '3oo Ó za il peso di un metro cubo di aria secca sarà — -^ . — -i ' 1-^-0 jOoò^bt 0,70 e un metro cubo di vapore acqueo nelle circostanze medesi- i3oo flJ IO , me peserà 7-r- • — 2 • ~1 gl'ani ; onde se sia '^ i-i-OjOoSySf 0,76 14 '' ' P il peso del vapore acqueo rinchiuso in uno spazio vóto , o pieno d' aria ; a lo spazio stesso espresso in metri ; t l'indicazione dell'igrometro nello spazio stesso di sopra ai 5c° 5 ovvero 60° dell'igrometro si avrà P = 6,259 grani -^-^ ^^tLi __ ; e di sotto dai 60° , ovvero 5o° dell' igrometro pigliando ?ìi dalla sopraindicata tavola di Saussure sarà erre . o.m. io' X 0,027971 -<='Xo,oooo62583 P ^ o , 5655 grani . i-t- 0,00370* 77. Quando l'aria, e il vapore acqueo sono misti insie- me , le forze dei due fluidi si uniscono per fare equilibrio alla pressione dell'atmosfera; laonde se questa sia espressa da ^ , essendo (p la forza elastica del vapore, quella dell'aria contenuta nella mischianza sarà espressa da h — (p . Ora sup- Del Sic. G. Racagni. i8i pongasi, che nella unità del volume, per es. nel metro cubo i due fluidi siano separati uno dall'altro, e contenuti in due spazi distinti in maniera, che le loro forze elastiche si fac- ciano equilibrio j lo spazio occupato dall'aria secca a quello occupato dal vapore sarà come h — ^:<^\ e se parimenti il peso del metro cubo dell' aria secca sia i , quello dell' aria , che secondo la fatta supposizione è rinchiusa nell'unità di volume , sarà -^ , e quello del vapore sarà ^ ; e perciò la differenza tra il peso d'un metro cubo d'aria secca, e quel- lo d'un eguale volume della mischianza d'aria, e di vapo- re , ossia dell' aria umida sarà i — I -^ — h -^ I = —^ • "^^ ì pesi sotto r unità di volume danno le densità i dunque que- atp Sta sarà — 7- . 7^ 78. È chiaro questo essere il valore di x . Ma l'esposto metodo , che serve a trovare il decremento di densità cagio- nata dai vapori in una piccola massa d'aria, non si può con sicurezza applicare ad una lunga colonna atmosferica, nella quale il decremento di densità dovuto alla presenza del va- pore succede ancora più irregolarmente dell'altro dovuto al- la temperatura ; quindi manca ancora un metodo di calcolo semplice , ed esatto , con cui si possa nella ricerca delle al- tezze col barometro eseguii-e la correzione igrometrica, e con- viene contentarci di una media , che valga almeno nel cli- ma, dove si opera; e per riguardo al nostro, e ai finitimi basterà osservare, che nella regione inferiore dell'aria la di- minuzione di densità per ragione dei vapori acquei assai di raro oltrepassa i 0,006, ovvero i 0,007; ^ discende sotto al o,ooa fuori dei tempi, nei quali il termometro è a c"'^ , ov-:- vero al di sotto ; epoca , in cui non sogliono ricercarsi le al- tezze col barometro . Pertanto la diminuzione media sarebJ>e 0,004, ^* quale suole trovarsi, quando il termometro è 17°, e r igrometro ad 80" , che sono li stati medj di questi stro- i8i Misura delle altezze col Barometro. menti nella stagione di quelle ricerche, cioè dall'Aprile ali* Ottobre . Ma nelle alte regioni la quantità dei vapori è bea minore , e più piccola la diminuzione di densità ; la quale se- condo le osservazioni di Saussure, e d^ Humboldt nelle no- stre latitudini non pare cambiarsi che da 0,002 fino a o,oo3 per le altezze di acce metri ; e quindi per le altre dai Sco fino ai i5oo metri si potrà fissarla ai o,oo35, che sarebbe il valore di x' . 79. Ma questo essendo costante, e tenue assai, non tor- na conto r introdurlo nella fi)rmula (36) del valore di v ; quin- di i(^ Place ( Medi. cel. Voi. iv) ., e ad imitazione di lui Biot^ e Arrago ( Mem. de V Instit. 1806, e Phys. Medi., pag. aig ) avendo osservato , che l' atmosfera contiene più vapori nella calda stagione , hanno creduto , che per calcolare gli effetti dell'umidità dell' aria si potesse fare qualche accrescimento al fattore dipendente dalla temperatura ; laonde il La Place invece del fattore i n r , che risultava dalle sue osser- vazioni ha preso l'altro i n (3?)» ^ g^^ ^'tri due in- t-t-t' vece del fattore i -1-0500375 hanno preso l'altro i •+■ t-i-t' e , 004 . = I -4- o 5 oca .{t-i- 1') . Ma questo fattore è sem- brato troppo grande a d' Aubuisson ( /. e. (73) Juìn 1810 ) per la ragione che essendo il termometro a 17° dai'ebbe x' = 0,006, quando allora non è a un dipresso che 0,004. Egli pertanto pare che da principio inclinasse a combinare la correzione igrometrica col fattore numerico di M (36) , che egli da prin- cipio aveva posto 18317 secondo Biot., e Arrago., e per que- sta correzione sarebbe divenuto i838i ; ma in seguito con- venne con questi nella scielta del fattore per la temperatura I -+-o,ooa (f-l-t') insieme col fattore i83i7 numerico di M. 80. Tra questi metodi niuno corregge intieramente gli errori, che possono provenire dalla umidità dell'aria, con Del Sic. G. Ragagni. i83 tutta l'esattezza; poiché in tutti si trascura la differenza del peso tra l'aria umida, e la secca, che dipende dalla varietà della temperatui-a , e della pressione dell' aria . Ma chi può dubitare della prima massime se l'umidità sia molto grande, quando egli è certo , che la densità del vapore cresce con la temperatura , e ancora molto più presto di questa . Gli espe- rimenti poi, sui quali il peso dell'aria umida, e secca è sta- to determinato, sono tutti stati fatti sotto la pressione a un dipresso di pollici 28 , né alcuno ha ancora tentato di supe- rare le difficoltà, che si avrebbero per pesare quelle arie sul- le montagne per averne il peso sotto pressioni minori , o di ricavarlo dagli esperimenti di Dalton per introdurlo in que- sti calcoli . Finalmente non abbiamo alcun mezzo, col quale si possa distinguere l'umidità propria dell'aria, che influisce sulla colonna barometrica , che serve a determinare le altez- ze dei luoghi , dalla umidità accidentale proveniente da qual- che fiume , o da qualche palude . Nondimeno non è da te- mere , che da queste omissioni nascano errori gravi , poiché gli effetti prodotti dalla umidità sono sempre assai tenui . 81. Ma intorno al metodo, con cui s'introduce la cor- rezione per la diversa temperatura dell'aria, Tardy de Brossy ( Bibl. Britan. an. 1810 P. Ili , pag. 807 ) promove una diffi- coltà, che già era stata indicata da Chiminello ( Journ. de Phys. Juin 1779 ); poiché, dice egli, ogni azione, che dila- ta, se venga esercitata nelle parti inferiori di un fluido ela- stico, deve riguardarsi come una forza d'impulsione, che ten- de a cambiare di luogo , e ad innalzare ciascuno delli strati superiori fino all' ultima sommità in ragione inversa delle lo- ro densità rispettive . Quindi se il barometro sia al livello del mare, esso soffrirà ancora la pressione medesima, perchè tutta sostiene la colonna d'aria prima, e dopo la dilatazio- ne, e l'allungamento; ma se quello sia ad una certa altez- za, e la dilatazione segua al di sotto, egli è chiaro, che la massa d'aria corrispondente all'allungamento della colonna sottoposta al barometro passerà sopra di lui , e aumenterà in 1 84 Misura delle altezze col Bakometro . pi'oporzìone la pressione , che esso deve sostenere . Né acca- dere altrimenti ancora in un barometro posto ad una stazio- ne superiore, poiché l'azione dilatante della colonna sottopo- sta al primo si estende ancora all'aria sovrapposta al secondo . 82,. Se dunque il barometro inferiore sia al livello del mare , il riscaldamento di una parte della colonna ad esso sovrapposta non produrrà alcuna irregolarità; ma in altre cir- costanze la massa d'aria corrispondente alla dilatazione della colonna sottoposta ai due barometri passerà ad agire col pro- prio peso sopra ambidue, e accrescendo di una quantità me- desima la pressione, che soffrono, toglierà la proporzione geo- metrica, che avrebbero senza l'effetto del calore, e che è necessaria , perchè si possa loro applicare il metodo logarit- mico àaìV Hallejo (ig)- Pare pertanto a Tarcly ^ che ottima- mente operassero i Fisici da principio , quando per avere le altezze dei luoghi riportavano tutte le osservazioni al livello del mare; e non cosi Bouguet ,g tutti quelli venuti dopo di lui, che lo seguitarono pretendendo di potere usare, di quel metodo in generale, e applicarlo ad ogni stazione; poiché nelle stazioni elevate sopra quel livello la proporzione geo- metrica richiesta per l'uso della regola Hallejana viene alte- rata per l'azione dilatante dell'aria a quelle sottoposta, e non è restituita con avere riguardo alla diffei'enza della tem- peratura delle due stazioni , o alla temperatura media della colonna frapposta ad ambedue, come si usa generalmente. E poste queste nozioni prosegue Tardy a dimostrare , come per quei luoghi, dei quali si conosce l'altezza sopra il livel- lo del mare , o la media altezza del barometro ricavata da quotidiane osservazioni si possa trovare quella quantità di massa d'aria innalzata, che turba la proporzione geometrica delle altezze barometriche osservate, a fine di toglierla, onde queste alla richiesta proporzione ritornino . 83. A questa obbiezione del Tardy ha cercato di soddi- sfare F. de La Roche ( Bibl. Bnfan. Mars 181 1 ) il quale pri- mamente osseiìva , che quella non può valere, se non si sup- pone Del Sic. G. Rag AGNI. i85 pone, che l'aria tra le due stazioni sia come un fluido in- coaipressihile, onde per l'azione dilatante della colonna sot- toposta alla stazione inferiore debba tutta insieme sollevarsi, e portare sopra ambidue i barometi-i un accrescimento di pres- sione eguale alla massa d'aria innalzatasi per la dilatazione. Ma egli è chiaro, che altrimenti dovrà accadere essendo l'a- ria compressibile , perchè deve acquistare una densità mag- giore nelli strati frapposti alle due stazioni per ragione della massa, che sarà stata innalzata oltre alla stazione superiore; e per questa ragione cerca egli di mostrare , che il cambia- mento di temperatura sulla colonna d'aria sottoposta alle due stazioni non toglierà la proporzione geometrica tra le pres- sioni, che in queste si esercitano; perchè siano esse A, e B, e la colonna d'aria AB ascendendo dividasi in tanti strati Aa , ab, bi . . . piccolissimi, perchè ciascuno possa riguardarsi come di uniforme densità, la quale vada crescendo dall'uno all'altro discendendo. Sia h la pressione in A , e ^ quella dello strato Aa , onde in a sia h — d ; segua poi una dilata- zione al di sotto di A , che non operi che sopra AB , e por- tando una massa d' aria sopra di A accresca in A la pressione per la grandezza r, onde divenga h-^-r; per questo aumen- to di pressione ancora la densità di A a crescerà in propor- zione per modo , che se il suo peso si chiami x , la pressione in. a sarà h-^-r — x, e la densità dell'aria essendo proporzio- nale alla pressione si avrà B '. x ; '. h — di h-t-r — x, e quin- di X =: d . —^ ; e se questo valore d'.r introducasi nella ra- S^o"^ aÌtT; ^^ ^^'^^ : ^T"T7=fcZ3' e perciò la ragione n tra le due altezze del barometro in A , e a non sarà turba- ta in alcun modo dal cambiamento di densità accaduto al di sotto di A per ragione della diversa temperatura; e poiché si proverà all'istesso modo, che quello pure accade per le pressioni in b,c...,sì potrà concludere, che il rapporto tra Tomo XVI. A a l86 Misura delle altezze col Barometro. le pressioni in A , e B resterà pure lo stesso, non ostante i cambiamenti di densità, die per la variazione del calore po- tessero accadere al di sotto di A . 84. Io non entrerò a discutere il valore di queste rispo- ste , ma per riguardo alla obbiezione di Tardy confesso, che non ho mai saputo comprendere , perchè la ragione tra le pressioni non debba cambiarsi ancora, quando la stazione in- feriore sia al livello del mare, perciocché cambiandosi la tem- peratura al di sotto della stazione superiore, la pressione ri- mane ancora la stessa alla stazione inferiore, e alla superio- re si cambia. Ora due quantità non cambiano il rapporto, quando una restando costante, l'altra soffre alterazione? Si- milmente non mi sembra, che lo scopo dei cambiamenti , che si fanno nelle espressioni delle altezze ricavate secondo la legge Hallejana per le cagioni diverse, che vi influiscono, sia quello di ristabilire il rapporto tra le pressioni, che quel- le cagioni hanno turbato. All'opposto per le difficoltà, che hanno i Fisici incontrato nella determinazione della influen- za di quelle cagioni, mi pare, che quelle espressioni si deb- bano considerare come forinole empiriche composte di fatto- ri diversi ricavati dal paragone con le osservazioni, che sia- no atte a fornire quelle altezze in modo, che a queste os- servazioni meglio si accostino. E infatti se non fosse così, tutti quelli, che hanno fornita alcuna di quelle formolo non avrebbero potuto introdurre tanti cambiamenti nelle quanti- tà numeriche, che vi entrano, i quali non sono derivati dall' indole stessa delle cagioni, alle quali appartengono, o dal modo, con cui operano, che è quasi generalmente sconosciu- to , ma solamente dal confronto del risultamento , che esse forniscono, con le misure delle altezze ottenute coi metodi geodetici . 85. Anche le nozioni intorno agli effetti del calore sul mercurio non sono state migliorate dopo la pubblicazione del- la mia Memoria ; poiché finora non è stato con maggiore pre- cisione determinato il cambiamento di volume , che quello DelSig. G. Racagki. 187 soffre per un cambiamento dato di calore , né ancora si è potuto bene fissare , se a cambiamenti eguali di calore esso soffra cambiamenti eguali di volume. E veramente pare, che il mercurio a guisa di ogni altro corpo ad eguali accresci- menti di calore debba dilatare il volume in una progressione crescente; ma nel barometro è sottoposto a due cagioni, che producono un effetto contrario, e sono le pressioni di una quantunque piccola massa d'aria rimasta nella di lui sommi- tà, e del vapore, che dal mercurio stesso si alza nel vóto barometrico secondo l' osservazione di Daniele Bernoulli con- fermata da Smeaton , e da altri . Ma chi sa ancora fra que- ste contrarie cagioni quale , e come prevalga ? Ad ogni mo- do r effetto loro è sempre assai tenue ; laonde pare , che i Fisici siano oramai convenuti ad ammettere nel mercurio la variazione del volume stabilita da La Place (3o) sopra gli esperimenti di Say Lussuose a tenerla costante per ogni co- stante variazione del calore . 86. Ma dalle osservazioni di André de Sy autore di una Memoria assai bella sulle livellazioni barometriche ( Journ. des Mines Termidor an. XIII , N. 107, e 108 ) risultano due importanti avvertimenti, che non debbono trascurare quelli, che le vogliono replicare; e il primo è, che sempre deb- bano dare al mercurio del barometro un tempo sufficiente , perchè possa tutto ricevere il cambiamento, che corrisponde alla temperatura; perciocché quello ha trovato, che questo cambiamento è successivo, e non si compie che in un tem- po notabile per modo , che sotto 80°'^ dopo -^ ,—,—,— , 12 ,, 1 1-1 ^ • • p 46 57 60 65 73 — ti ora le dilatazioni furono —, -^ ,—,—, — di linea . 4 12 13 li 12 la L'altro avvertimento poi è, che sciegliere devasi un certa tempo per le osservazioni barometriche, poiché in otto gior- ni continui egli non trovò alcuna regolarità nelle variazioni del volume del mercurio, che succedettero avanti le otto ore antimeridiane, e qualche irregolarità vidde ancora in quelle i88 Misura delt.e altezze col Barometro. sull'una alle quattro pomeridiane senza però averne potuto precisare la ragione . Quindi si può dar ragione dei diversi risultamenti, che ottennero diversi Autori, che forse non tutti all'istesso modo attesero a quelli avvertimenti. 87. Parimenti presso di' Aubuisson ( /. e. 64 ) trovasi un al- tra correzione da farsi alle osservazioni dipendentemente dal- la temperatura per quei barometri , che portano una scala intiera di ottone; questa non è esatta, che ad un certo gra- do di calore , che nel sistema metrico suole essere il o"'^ ; laonde l' altezza del mercurio in altri gradi di calore deve essere corretta dall'errore, che vi avrebbe potuto arrecare il cambiamento di lunghezza nella scala. Ora il Gen. Roy ha trovato, che l'ottone si dilata di o,ooooi85 per grado del termometro, mentre il mercurio si dilata di o,ocoi85, ossia dieci volte di più ( Suìton Mem. de V Instit. 1808 ); quindi la correzione si farà diminuendo di un decimo o i valori di ?, e i^', o il moltiplicatore -r-- =0, 0001 85, che diverrà 7 — z'=- o,ooci66. 88. Non è però dubbio, che sopra questa ineguaglianza non debba influire il legno , a cui suole essere attaccata la scala , e che forma la montatura del barometro . Il d' Angos ( Extraìt d' une lettre . . . Journ. de Phys. Aout 181 1 ) suggeri- sce di appoggiare il barometro a due verghe metalliche, che sostengano la scala, e non dubita ^ che questi non dovessero dare osservazioni molto più esatte degli altri , nei quali le montature molto diverse tra loro spesso difendono il tubo dall'aria, ed essendo igrometriche, pieghevoli, e inegualmen- te affette dal calore comunicano le ineguaglianze, che soffro- no, al tubo barometrico, o alla scala, o al termometro, che vi è annesso -, quindi d' Angos osservava con barometri for- mati da tubi nudi , che sostenevano essi medesimi la scala ; e in questi spesso trovava regolari quelle osservazioni , che in altri mostravansi irregolari ; e tra gli altri fenomeni in quelli gli parve di vedere, che le dilatazioni d'estate siano DelSiC. G. RaGAGNI. ìo() un pò minori delle contrazioni d'inverno. Ma non è tale, e così determinata la differenza, che si possa tenerne conto nel- le osservazioni barometriche fatte per dedurne le altezze dei luoghi . 89. Similmente ancora non si è potuto deffinire l'influ- enza , che in quelle osservazioni aver possono i venti ; per- ciocché egli è vero , che il barometro prima del vento si ab- bassa , ma non è ben noto , se questo abbassamento sia pro- dotto dal vento , o da quella stessa cagione , da cui è risul- tato il vento . Inoltre alcuna volta i venti sembrano agire sul barometro, ma in realtà i cambiamenti, che in questo suc- cedono, non sono che accidentali; così scrive d'Angos, che a Malta i venti scuotono i muri, e sembrano per questo pro- durre dei movimenti nel baiometro . Perfine pare certo, che qualche azione sopra di questo aver debbano i venti ascen- denti , e discendenti ; ma i venti sembrano per lo piìi essere orizzontali, e cambiare questa direzione solo per le circostan- ze particolari ; ma in queste non abbiamo alcun mezzo per conoscere la precisa direzione, o forza loro. Quindi non de- ve recarci meraviglia , se volendo tener conto della influen- za dei venti a contrarie conseguenze siano stati condotti De Lue, e Ramona; e se la maggior parte dei Fisici quantun- que non convenga con De Lue, che ninna influenza attri- buiva ai venti sul barometro, pure acconsenta al Pietet ^ il quale dubita , che mai si possa valutarla , non ostante le ri- cerche bene diligenti , che ne ha fatte Ramond . 90. Ma questi molto più felicemente ha potuto determi- nare ancora nelle zone temperate una ineguaglianza, a cui è sottoposto il barometro , e che Humboldt ( Tableau Pkysi- que des regions equìnoxiales , pag. 94) aveva già riconosciu- ta tra i Tropici . Sebbene per la ricerca delle altezze dei luo- ghi non sia necessario di paragonare ciascuna altezza baro- metrica osservata con quella del livello del mare (84), questo però si richiede sempre, quando si vuole far uso delle osser- vazioni isolate . Ora questa altezza media non è veramente 190 MlSUIlA DELLE ALTEZZE COL BAROMETRO. determinata con ogni precisione, poiché La Place a 0°'^ la pone di 0,76™, e Lindenau a io"'' scrive d'averla da mol- te osservazioni singolarmente di Chiminello , Toaldo, Fleurian de Bellei>ue , Schuckburgh , e Thulis dedotta di 2,8^ 2,' , a , e d' Angos a ló"'*, 58 nell'aria, e a 17°'' nel barometro inse- guito a 468 osservazioni fatte a Malta, e altre ice fatte in parte a Siracusa , e in parte al Capo Pachino 1' ha ridotta a a8^ 2} , 08 . Ma qui non si tratta della grandezza di quella altezza, ma bene importa di sapere, che Humboldt osservan- do tra i Tropici ha potuto confermare il fenomeno scoperto già a Surinam fino dal 1722 dai Fisici olandesi, e da Goudin a Quito di una piccola variazione diurna , o piuttosto oraria simile alla marea, per cui quell'altezza cresce, e cala in due periodi ogni ventiquattr' ore prossimamente come nella tavo- la seguente dalle 9 ore di mattina alle 4 ^^ sera cresce di 0,90' dalle 4 ore di sera alle 11 di sera cala di o,5i dalle II ore di sera alle 4 di mattina cresce di o,3i dalle 4 ore di mattina alle 9 di mattina cala di 0,70; e si può vedere tra le sue opere ( Nwellement barometrique pag. 2,89 ) una tavola , che presenta la quantità di quel mo- vimento, che corrisponde a ciascun' ora. 91. Fuori dei Tropici, dove l'altezza media del barome- tro al livello del mare è sottoposta a variazioni molto mag- giori prodotte da altre cause straniere, la determinazione di quella oscillazione era molto più difficile , né vi voleva me- no della sagacità, e pazienza di Ramond per classificare 3a8i osservazioni barometriche fatte nel corso di due anni in mo- do, che potesse riconoscerla; e trovò infatti, che quella va- riazione diurna segue in generale la marcia stessa nei nostri climi come nella zona torrida con la differenza, che l'abbas- samento del giorno è la metà solamente di quello , che si osserva all'equatore, e che presso di noi la salita della sera è a un dipresso eguale all'abbassamento della mattina, laddo- ve tra i tropici queste quantità stanno come uno a due. Fi- Dei, Sic. G. Ragagni. 191 naìmente egli trovò, che l'estensione delle oscillazioni, e l'istante del loro ritorno variano nelle nostre latitudini con le stagioni dell'anno essendo in Europa più forti nella pri- mavera ; e forse questa differenza scompare nella zona torri- da , dove non vi sono stagioni . 92. Ma V Humboldt ( Tableau ec.pag. 89 ) ha pure mes- sa fuori di dubbio l'altra variazione, per cui l'altezza media del barometro al livello di mare va continuamente scemando dai poli all'equatore. E già quando io scrissi la mia Memo- ria mi erano note in gran parte le osservazioni citate da Humboldt^ di Fleurìan de Bellevue , Schukburgh , de Lue nelle zone temperate, e di Bouguer , Condamine, e George Ivan dentro i Tropici , che trovarono quell' altezza di me- tri o, 76434; o, 76800; o, 76250; o, 76022,; o, 75683; o, 75796; ma non mi parve allora di potere alcuna cosa sta- bilire con certezza , e forse una teoria già concepita mi fe- ce illusione, poiché questa mi fece credere ( 33 , e 34 ) , che l'altezza barometrica al livello del mare dovesse crescere ac- costandosi all'equatore., e non mi lasciò credere vera la con- seguenza contraria, che seguiva da quelle osservazioni. Ma l'autorità, e le osservazioni di Humboldt non lasciano du- bitare, che la media pressione dell'atmosfera, e perciò la media altezza barometrica realmente scema andando dai poli all'equatore per modo, che se nelle nostre zone temperate si ponga di aO^a', a essendo il termometro a -4-ic°^, nella zona torrida secondo Humboldt è solamente di a8^i',oa, cioè minore di 1', 18. 93. E osserva lo stesso Humboldt, che questa differen- za, che è quasi di due millimetri, non si può spiegare per la differenza della temperatura d'Europa, e dei paesi equa- toriali, e ciò tanto meno, perchè nella parte bassa del Perù per tutti i quattro, e cinque mesi, nei quali il sole sta na- scosto sotto di una bruma spessa , il termometro si tiene a i5, o 16 gradi centesimali ; quindi nel citato \uogo Humboldt mette quella diff'erenza tra i fenomeni difficili da spiegarsi; ig^ Misura delle altezze col Baroitetho. ma altrove ( Esiais sur les refract. astron. ) sembra attribuirlo alla sorgente costante del calore, e delia uniifiità, che si trova all'equatore, per cui l'aria dilatata s'innalza, e nelle colonne piìi elevate rifluisce continuamente sopra le colonne vicine, onde in quelle pesa meno pel moto di ascensione, e invece aumenta la pressione di queste. Io ag , che e li logaritmo 1000 ' ° della differenza cercata di due altezze . hrp Del Sic. G. Racagni. aoi L(p = L iSSoS ±: L --^, — ; — — - , dove il ' 35 1,4 — a.senr della altezza del polo segno -H , o — serve per le latitudini minori , o maggiori di 45°; ma Oltmanns ( Voy. d' Humboldt quatr. part., voi. \ , e Ephem. de Berlin 1809 ) ha cercato di ridurre queste formole a maggiore semplicità pei casi , dove una osservazione baro- metrica sia fatta al livello del mare, o non molto sopra; poiché egli avverte , che si può supporre (v—v' \ i H — g— - I , o puittosto a = L^ — LI r -4- '"— — I — LA' ; e poiché posta j la sot- , , . < T / v — v' \ v — v' tangente del sistema e L 1 i -+- -r, — | = -r; — • 5, si avrà e l 5412 I 5413 ' a = L/i — ( ^, — \ s — L/i . Ma se sia h V altezza presa verso il livello del mare si potrà tenerla per costante, e per- ciò ancora cercare la variazione del numero invece di quella del lofìjaritmo ; dunque si avrà L I A — -^ . [v — v' ) I — L/i' = a ; poiché l .as ., che è il logaritmo della base a moltiplicata per la sottangente del si- stema è = I ; ma presa h = 337'' , 8 si ha prossimamente = — ^ o, o64a ; dunque pel caso enunciato la formola 54ia 16 j ^ 1 ì. i di Ramona sarà LI h — I — 7— il — L/i' =: a ; e La-+-L(é-4-L i ^ 1 = Lu . '^ \ 1000 / 108. Un altro ripiego usato per diminuire la difficoltà del conteggio è stato quello di preparare delle tavole , nelle quali alcuni conti si trovassero già fatti ; poiché come in al- tre parti delle matematiche alcuni calcolatori tolleranti della Tomo XVI. Ce aoi Misura delle altezze gol Barometro . fatica hanno con una modestia, e una perseveranza egual- mente degna di elogio consecrata una parte della loro vita a lavori oscuri, che avevano l'unico oggetto di procurare ai loro contemporanei, e alle future generazioni l'avvantaggio di scorrere di un passo più rapido, e sicuro la strada delle sco- perte , così è ancora accaduto per riguardo alle livellazioni , che si fanno col barometro, a rendere meno lungo, e inco- modo il calcolo delle quali primamente pubblicarono alcune tavole Horsley ( Z. e. 5i ), e Schuckburgh, le quali non furo- no mai molto adoperate . In seguito lo stesso fecero fVunschl { NacÌLtrag zìi baroriieter niessiingen ) , e Bìot prima nella sua Astronomia fisica ( Voi. II ), e poi in un opuscolo separato [Tables barometrìques portatives) e Pictet [Bibl. brìtan. Vol.Iifi). Ma sopra tutti in questo lavoro si distinsero Oltmanns ( l. e. 107 Fo/age etc. e ancora separatamente sotto il titolo di Tables hypsornetriques etc. ) e Lindenau ( /. e. loi ) ^ e separa- tamente sotto il titolo di Tables barometrìques etc. ) i quali spettano ambedue a quella Nazione illustre per tanti riguar- di che ha dato Keplero , Speidellie , Ursinio rinomati tra i primi Editori delle grandi tavole dei logaritmi , e ancora a nostri giorni Mayer, e Burg celebri per la estensione, e mi- glioramento, che hanno arrecato alle tavole lunari . log. Lasciando stare le tavole di Biot, che sono state costruite soltanto per calcolare le elevazioni medie, e per que- ste ancora si trovano in qualche caso mancanti , pare , che Oltmanns siasi determinato a comporre le sue tavole hypso- metriche, perchè non gli parvero al bisogno sufficienti le tre, che Lindenau senza porvi il suo nome aveva pubblicate nel Giornale di Zach ., le quali sebbene corrispondano alla for- mola, per cui furono costruite, pure nell'applicazione richie- dono delle interpolazioni molto lunghe , e poi non sono che un ristretto di altre tavole più considerabili, che l'Autore stesso ha ivi enunciate, ma non pubblicate fino al i8og, cioè quattro anni dopo , quando Oltmanns aveva già compite , e pubblicate le sue . Si può dunque credere , che questi sareb- Del Sic. G. Racagni. 2o3 besi risparmiata così grande fatica , se avesse vedute le tavo- le di Lindenau ; e veramente queste non lasciano cosa v^ni- na a desiderare per l'uso, a cui sono destinate; poiché seb- bene suppongono esse le antiche misure francesi, che in Ger- mania ei-ano più conosciute , e il termometro ottantigrado , pure vi ha aggiunte alcune tavole ausiliari per ridurre quel- le prime al sistema metrico, e al termometro centigrado, e ancora alle misure inglesi , e al termometro di FahrenheitJi ; e in fine ha posta ancora una tavola di fattori, con cui le gran- dezze trovate con le di lui tavole, e con la sua formola si posso- no ridurre a quelli, che si troverebbero, se si usassero le formo- le di La Place, Ramona, Trembley, De Lue, Roy, e Schuckbiirg. no. Ma senza volere togliere in qualunque piccola par- te il merito di Oltmanns , e massime di Lindenau siami per- messo di aggiugnere, che ambedue nella introduzione premes- sa alle loro tavole fanno l'ingenua confessione di averle com- poste per supplire alle tavole logaritmiche , onde potessero senza di queste eseguire le livellazioni barometriche quegli osservatori, che non le hanno, o che non credono di dover- sene caricare massime nei lunghi viaggi . Ma in verità chi è , che si occupi della ricerca delle altezze col barometro, che, non possegga le tavole logaritqaiche, o non sappia al bisogno servirsene . E paragonando per es. le tavole logaritmiche ste- reotipe con le opere à'' Oltmanns ^ e di Lindenau chi potreb- be non trovare per la spesa , e ancora pel trasporto più co- mode quelle, che queste massimamente se si aggiunga, che queste servir possono al solo calcolo delle altezze, e quelle giovano ad ogni altro uso di conteggio . Quindi io dubito , che le tavole à^ Oltmanns ^ e di Lindenau possano mai ren- dersi comuni, e servire all'uso dei Fisici, i quali sicuramen- te debbono essere più obbligati a d' Aubuisson, a cui spetta una tavola pubblicata da La Metherie ( Journ. de Physique etc. Fevrier i8:i ), e dall'Estensore della Biblioteca britannica ( Scienc, et arts , Voi. 46 ), che per errore l'attribuisce ad Oltmanns , la quale è tanto breve , che ciascun osservatore? ao4 Misura delle altezze col Barometro . potrebbe portarla attaccata al suo barometro, e serve alle livellazioni barometriche con una meravigliosa facilità . Que- sta è la seguente Barom. Altezza Differ. Cent. Metr. Metr. 77 0 io3 76 104 ioA 106 75 210 74 817 1C7 73 425 108 72 535 no 71 647 112 70 760 ii3 69 875 n5 68 992 117 67 II IO 118 66 ia3o 120 65 i352 122 64 1476 124 63 iboi 125 6a 1728 127 61 i858 i3o 60 1990 l32 59 2124 134 58 2261 137 57 2400 139 56 2541 141 55 2685 144 54 2881 146 53 2980 149 52 3i32 l52 5i 3287 i55 5o 3445 i58 49 3607 162 48 3772 i65 47 3940 168 46 4112 172 45 4287 176 44 4466 179 43 46bo 184 42 4838 5o3i 188 4' 193 40 5228 197 39 5430 202 38 5638 2C8 37 585i 2l3 36 6070 219 Del Sic. G. Racagni. 2o5 II r. Per mostrare l'uso di questa formola io l'appliche- rò all' esempio recato dagli Autori citati , in cui suppongo A = 75 , 2,8 centimetri , h' = 5g , 10 -, t = ao° , 4 ^^1 termo- metro centigrado , ^' = 6° , 2, ; u = 1 9° , 6 ; -u' = 5" , a ; e ?p = 4 1 ° ; nella colonna di mezzo delle altezze si prenda il numero cor- rispondente a 7.5 parte intiera della altezza h del barometro inferiore che è aio, e da questo sottraggasi il prodotto del- la frazione o , a8 di h' per la differenza 106, che nella co- lonna delle differenze corrisponde alla parte intiera, cioè da aio sottraggasi 3o , e si avrà 180 . Similmente per l'altra al- tezza h' del barometro superiore si prenderà l'altezza aia4, che corrisponde a 69 centimetri parte di lei intiera , e sot- trarrassi da questa il prodotto della sua frazione o, io per la differenza corrispondente 134, che è i3, e si avrà ani . La differenza dei due numeri ai 11, e 180 trovati, cioè igSi sarebbe l'altezza v cercata, se la temperatura fosse dapertut- to al gelo, che è il e del termometro centigrado ( se però fos- se A = 77 -4- a: centimetri al numero trovato per h' si dovrà aggiugncre io3,x per avere v nell'esposto stato della tempe- ratura ) . Ila. La correzione pel diverso calore del mercurio nel barometro si avrà per mezzo della formola w zp | ( t» — v' ) pigliando il segno — , o n- secondo che v' sarà < , o > di w ; onde nell'esposto caso l'altezza cercata sarebbe ig3i — i454 — 7,a= 1981 — ai, 6= 1909 , 4 • II 3. E se l'altezza così corretta pel calore del mercurio si chiami v' , si avrà 1' altezza medesima corretta pel diverso calore dell' aria per mezzo della formola w' ( i -t- a . '~^ 1 i 1000 / pigliando il segno -f-,o — secondo che ambedue i gradi t, e t' saranno di sopra , o uno sarà di sotto al zero ; onde nell' esposto esempio l'altezza cercata sarebbe 1909 ,4 ( i -Ha ■-—^) = ^9'^9^ 4( n-o, o53a) = 1909,4-+- loi , 580 = 2010, 980. Ma nei casi ordinari nella espressione di si potranno ao6 Misura delle altezze col Barometro . pigliare le cifr,e decimali ancora in numero minore di quat- ti?» o ; 114. Se questa altezza cosi corretta si chiami v'\ essen- do la premessa tavola costruita per la latitudine di 4^° 5 si avrà la correzione dipendente dalla diversa latitudine per mez- zo della formola «" ( i :±: 4^ ^ 'A ) pigliando i segni superio- ri , o gli inferiori , secondo che è 45 > o < -^ ; laonde nell' esposto caso l'altezza cercata sarehhe 2.010,980 1 ih 1 = aoio , 980 . I , oco4 = aoi r , 784 • Nella zona torrida si ac- cresceranno le altezze di a ^ millesimi, e si diminuiranno d'al- trettanto nelle glaciali . ii5. Se il barometro avesse la scala di ottone, per cor- reggere r effetto della sua dilatazione converrebbe diminuire di un decimo i gradi di calore v , & v' dei termometri fisici; quindi nel proposto esempio i loro valori sarebbero 17,6, e 4,7, onde l'altezza risulterebbe 2014,1 invece di 2011,784. 116. La premessa tavola è calcolata sulle formole di d' Aubuìsson , le quali sono v' ■=■ i8365 ( i -t-o, 00284 •cos.2»p)X [i-Ho, 002(^-1- t')] [la- L^' ( i-i (:^)^]; e -y = u' I I -t- 2 I ; nelle quali a è l' altezza della stazio- ne inferiore sopra il livello del mare , e r il raggio terrestre . E se l'altezza dell'esempio arrecato si ricercasse con queste formole, si troverebbe 2011,9 metri ben poco diversa da quella, che si è ritrovata di sopra. Similmente per la piti al- ta delle montagne, che è il Chindioraco, pigliando le osser- vazioni di Humboldt, che danno A =: 0,76200; A' = 0,37717; w = 25°,3; u'=:io°,c; ^ = 25% 3; i' = — i'',6; ^=i°45' si avrebbero 5857 metri tanto per la formola, quanto per la tavola ; e facendo ancora la correzione dipendente dalla lati- tudine la prima darebbe metri 5873, e l'altra 5872.. 117. Veramente le premesse formole, perle quali è fatta ia tavola di d' Aubuìsson differiscono da quella di La Place (36). Del Sic. G. Ra.cagni. 2,07 Ma non è difficile dal valore ritrovato per quelle ricavare l'altro, che da questa può risultare, poiché se questo si chia- mi w , e quello V si avrà lasciando i fattori comuni alle due formole v ; Y ; ', i8336 l i8365 a un dipresso, poiché i fatto- ri diversi sono troppo piccoli j perché possano produrre una differenza notabile. Quando adunque sia ritrovata V, si po- trà senza temere alcun sensibile errore porre z; = V . i , oooo5 . 118, Ma noi non siamo forse lontani da un grande cam- biamento in queste ricerche. Egli è ben noto, che Mariotte dopo di avere scoperta la legge, secondo cui l'aria si con- densa in proporzione dei pesi comprimenti, volendo applicar- la al ritrovamento delle altezze dei luoghi, e di quella sin- golarmente di tutta l'atmosfera, immaginò questa divisa in 4o3ii strati quanti sono i dodicesimi di linea in pollici a8 , ciascinio dei quali a base eguale pesasse tanto quanto un do- dicesimo di linea in altezza di mercuiio, e avesse costante la densità , la quale però salendo andasse scemando nella ra- gione, in cui scemava il peso sovraincombente . Ora conoscen- do la proporzione tra i pesi specifici dell' aria , e del mercu- rio sotto all'altezza barometrica di pollici 28 era ben facile di derivarne l'altezza del primo strato, che per riguardo ad un dodicesimo di linea doveva essere come il peso del mer- curio a quello dell'aria; e ricavata avendo l'altezza di que- sto strato conobbe Mariotte, che per mezzo dei logaritmi si poteva senza grande difficoltà calcolare l'altezza degli altri strati separatamente, la somma dei quali data avrebbe l'al- tezza dei luoghi, quando fosse data la differenza dell'altezza barometrica ridotta a dodicesimi di linea, che corrispondeva a questi luoghi . Ma volendo pure risparmiare ancora la dif- ficoltà di questo calcolo logaritmico , si prese egli stesso la fatica di comporre una tavola , in cui già si trovano calcola- te le altezze degli strati atmosferici , che corrispondono al peso dei dodicesimi di linea in altezza di mercurio, e così diede egli il primo esempio di tavole preparate per comodo degli osservatori, che vogliono dalle altezze del barometro argomentare le altezze dei luoghi . ao8 Misura delle altezze col Bako metro . 119. Questo, che si può chiamare metodo a strati, cad- de prestamente in discredito , perchè messo alle prove dava le altezze di alcuni monti troppo diverse dalle misure trigo- nometriche, e fu poi del tutto abbandonato dai Fisici, i quali assai prestamente rimasero invagliiti del metodo Hallejano . E infatti geometricamente parlando sono in questo metodo maravigliose l'eleganza, e l'evidenza. Ma d'altra parte la facilità quanto è maggiore in quel primo, il quale non ri- chiede calcolo sublime in verun modo , né conduce ad alcu- na formola un poco complicata ? E lo stesso metodo Halleja- no non è poi esattissimo , perchè si potrebbe ottenerne dei risultamenti ancora più precisi , se si adoperassero i logaritmi per es. a dieci decimali invece di quelli a sette. Finalmente gli errori risultanti dal metodo di Mariotte non erano tanto prodotti da questo, quanto dall'uso, che egli ne fece, poi- ché in primo luogo si servi di una proporzione tra i pesi specifici del mercinio , e dell'aria;, che non era esatta ba- stantemente; appresso avendo trovato con Picard, e Cassini, che all'osservatorio di Parigi conveniva alzarsi per 63 piedi, perché il barometro, che era a pollici 28 si abbassasse di una linea, per comodo del calcolo argomentò, che al livello del mare per vedere questo abbassamento avesse dovuto conve- nire alzarsi per piedi 60 . Finalmente ancora per scemare la difficoltà , e lunghezza delle operazioni egli calcolò le altezze di quei strati come se fossero tanti termini di una serie arit- metica del second' ordine , quando in realtà quelle spettano ad una serie di un ordine superiore, o piuttosto ad una se- rie armonica . 120. Ora Benzenberg ha procurato di rimettere in onore quel metodo a strati , poiché primamente in un opuscolo ( Beschreibung eines einfachen Beisebarometer . Nebst einer An- leìtung zur leìchtern Berechnung der Berghòhcn etc. ) dopo di averlo esposto con molto dettaglio ha fatto stampare una ta- vola che presenta le altezze delli strati corrispondenti cia- scuno a base eguale al peso di una colonna di mercurio al- ta Del Sic. G . R a e a g n i . iog ta di un pollice dalla pressione barometrica di pollici ag fino ai a3 partendo dalla supposizione, che il mercurio sotto ai pollici ag pesi io4g4 volte più dell'aria, onde il primo strato riesce alto 8,746 di piede. Appresso egli ne fece l'ap- plicazione a diverse montagne, e mostrò, che l'errore non arrivava che a pochi piedi ^ e singolarmente nel Montblanc la differenza tra la misura trovata con questo metodo, e l'al- tra derivata dalle operazioni geodetiche non oltrepassava i piedi 5a , laddove giugneva fino ai piedi i55 con la stessa for- raola di Trenibley, che la dava minore di tutte le altre. Una gran parte di queste cose egli ha replicate nel Giornale di Gilbert ( Annaleii der Physik Jalugang 1810. Zehntes stùck ), dove egli avverte , che basterebbe duplicare il numero degli sti'ati, nei quali s'intende divisa l'atmosfei'a, riducendoli per esempio al peso di -^ — di pollice di mercurio, perchè l'er- rore si ridurrebbe anch'esso alla metà, e il metodo sì acco- sterebbe ancora di piìi all'esattezza. Né è da temere, che la formazione , o l' uso di una somigliante tavola debba im- portare lunga fatica ; poiché quella di Benzenberg non gli co- stò che il travaglio di due giorni , e riempie soli due foglj , e se ne compie l'uso con una sottrazione, e una moltiplica- zione soltanto . Ma per ora basti il cenno dato del metodo degli strati ; poiché forse in altra occasione io farò parte all' Italia del lavoro, che Benzenberg ha dato alla Germania, non senza qualche accrescimento . lai. Ninno deve meravigliarsi di vedere l'impegno di tanti illustri Fisici de' nostri giorni non solo per rendere fa- cili i calcoli richiesti alla derivazione delle altezze dalle os- servazioni barometriche , ma ancora per ridurre il metodo stesso quasi alla portata del popolo . Una volta si cercavano con questo le sole altezze delle montagne , che pareva un oggetto di mera curiosità; ora si vorrebbero livellare tutte le ineguaglianze della terrestre superficie per fissarne la posizio- Tomo XVI. Dd •2Ì0 Misura, delle altezze col Barometro. ne per riguardo al livello del mare . E veramente egli è no- to , che per conoscere la posizione di un qualunque luogo abbisognano tre coordinate , delle quali due sono date dalla geografia astronomica, che ne mostra la latitudine, e la lon- gitudine, ossia la posizione sulla superficie della terra, per cui si può pigliare quella del mare; ma a compimento della geo- grafia fisica manca ancora una terza coordinata, che deve essere a quelle due perpendicolare, e che perciò segnar deve per cia- scun luogo l'elevazione, o la depressione per riguardo a quel- la superficie . E chi non vede , che la cognizione di questa coordinata non meno che quella delle altre due è necessaria, e deve contribuire alla cognizione della economia tutta della vegetazione, e della vita animale, e della stessa costituzione morale dell'uomo? Ma noi siamo ancora ben lontani dall'a- vere le osservazioni, che farebbono di bisogno alla deteruii- nazione di quella coordinata, se non per tutte, almeno per le principali ineguaglianze terrestri ; poiché dopo i lavori di Condamine, Bouguer , Humboldt , Boupland , e Caldus non abbiamo in tutta l'America che cinquecento punti circa, dei quali si conosca la posizione per riguardo a quel livello; e sicuramente un numero maggiore per l' Europa ne fissarono De Luc^ Saussure, Pictet, Schuckburgh , Ro/, Wetss, e Tralles nella Svizzera, lo stesso Schuckburgh, Venini, Pini, e Orianl neir Italia , Gersdorf , e Dai)id nella catena dei monti tra la Boemia, e la Sassonia, Fidai, Reboul, Mechain, e Ramond ne' Pirenei, Vierthaller , Schultess , Moli, e gli Arciduchi d'Austria Giovanni, e Ranieri in molte parti della Monar- chia Austriaca, e massime del Tirolo, e Ville/osse nell'Harz; e finalmente Humboldt ( Voyage etc. quattr. part. etc. Astro- nomie etc. ) pensa , che ancora in Asia siano conosciuti circa cinquanta punti . Ma neh' Europa stessa non abbiamo ancora la livellazione di alcuno dei grandi fiumi , o di alcuna delle grandi strade, prescindendo da quella, che pel Brenner con- duce da Monaco a Trento, e che Buch ha percorsa sempre col barometro alla mano. > • Del Sic. G. Racagni. aii laa. Ora le osservazioni richieste per la determinazione di quella terza coordinata non si possono aspettare che dall' uso del barometro, perciocché quello degli stromenti geodeti- ci è molto difficile , e costoso , e forse pei difetti , che que- sti portano seco dalla prima costruzione, o contraggono nei trasporti, e massime per la incertezza delle rifrazioni non dà risultainenti migliori; laonde le misure trigonometriche del Montblanc prese da Pictet , e Schuckburgh differiscono tra loro fino a 1 14 piedi, che sono del totale, e all'oppo- sto Benzenberg (119) col suo metodo vi trovò la differenza sola di piedi 5a , che non sono che -r- del totale . È adun- que chiara la ragione dell'impegno, per cui si vorrebbe mol- tiplicare, quanto si può, le osservazioni barometriche, e ren- dere popolare il metodo di servirsene per le livellazioni li- berandolo non solo dalla necessità del calcolo sublime , ma ancora da ogni formola algebraica . Ad ottenere però l' inten- dimento proposto forse gioveranno le seguenti riflessioni . raS. E primamente come nelle due coordinate della la- titudine, e della longitudine, cosi nella terza, che sì potreb- be chiamare di livello, alcuni piedi di errore non si debbono curare , perchè in realtà non si potrà mai assicurare , che vi siano ; e quando bene ciò si potesse , quell' errore non potrà mai influire notabilmente sulle conseguenze , che da quella si vogliono derivare ; quindi debbono sembrare inutili gli sfor- zi, che ancora fare si potessero per indurre qualche cambia- mento nelle formole, poiché la diligenza dei Fisici le ha ora- mai ridotte al segno, che col cambiarle si otterrebbe soltan- to la differenza di pochi piedi. Al contrario fa d'uopo, che i Fisici convengano insieme , affinché i valori di quella terza coordinata ancora spettanti a diversi luoghi si possano tra lo- ro paragonare; il che richiede pure l'accordo di tutti tanto nel metodo di osservare, quanto nella formola per calcolare; poiché pare , che con ragione Benzenberg abbia escluse le li- aia Misura delle altezze col Barometro. vellazioni deli' Harz date da Ville/osse {Gilbert . Annalen et e. Jahrgang i8xo ejlftes stùdi ) appunto per la correzione parti- colare, che ha introdotta nelle sue osservazioni, e nella for- niola di de Lue dipendente dalla costituzione stessa del suo barometro . 124. Ora per quanto spetta alla forinola da usarsi , io sono sempre nella opinione di pigh'are quella di La Place ^ e alle ragioni addotte altrove aggiungo pure gli esempj A"" Hiim- holdt, e Oltmanns, che con quella hanno calcolata l'altezza di poco meno di cinquecento punti nell' America . Per riguar- do poi al metodo di osservare converrebbe, che tutti si va- lessero di barometri costruiti all'istesso modo, e che stati fossero insieme paragonati , perciocché sebbene non sia da concedere a Ville/osse ( Annales de Physìque etc. 1808 ), che ogni barometro sia individuo, e presenti differenze notabili da qualunque altro, che possono influire sulle conseguenze, che si vogliono dedurre dalle sue osservazioni, è però vero, che questo succede in alcuni, e che per escludere ogni pe- ricolo d'inganno converrebbe, che gli Artisti avessero alme- no un campione , con cui potessero paragonare i barometri , che mettono in commercio . Pareva , che a conseguire questa corrispondenza di osservazioni mirasse l'Accademia di Man- heim, quando insieme ad altri stromenti meteorologici man- dò in diversi luoghi ancora il barometro ; e se questa libera- lità avesse potuto durare pirx lungamente, e quelli, che ri- cevettero gli stromenti, ne avessero tutti fatto il convenien- te uso, e pubblicate le loro osservazioni, sicuramente molto ne avrebbe approfittato la meteorologia , e massime il meto- do di livellare col barometro . Ma senza cercare una condi- zione , che non si può ottenere , io penso , che poiché l' ar- te di costruire i barometri è ridotta ad im grado , che non vi si possono temere sostanziali differenze , il desiderio di avere una quasi generale livellazione della superficie più col- ta della terra si potrà soddisfare in gran parte, se piìi, che si potrà, ancora con le liberalità dei Governi si moltipliche- Del Sic. G. Racagni. 3i3 ranno i barometri, e i termometri, e ciascuno' sarà sollecito di pubblicare le sue osservazioni , onde si possa da molte ri- cavare la media, che debba poi servire all'uso. laS. E veramente Ramond in una Memoria letta all'Isti- tuto di Parigi riportata per estratto nella Biblioteca Britan- nica { Scien., et Aris Z". 44 ) ^^ mostrato, che le migliori os- servazioni baiometricbe per le livellazioni sono le simultanee vicine, nelle quali al tempo stesso osservansi due barometri a poca distanza uno dall'altro nel senso orizzontale, poiché la differenza tra i risiiltaraenti, che si ricavano da queste, e dalle livellazioni geodetiche più esatte, sono come insensibi- li, e si trovano indifferentemente in più , e in meno . Ma non sono di molto inferiori le osservazioni simultanee quan- tunque lontane, che si fanno al tempo stesso sopra due ba- rometri distanti orizzontalmente uno dall'altro dalle sei fino ancora alle ottanta leghe , purché quelle non siano isolate , ma le medie tra molte fatte alla medesima ora^ e massime al mezzodì in circostanze di stagioni, di temperature, di ven- ti, di umidità ec. molto diverse j poiché sebbene le variazio- ni atmosferiche non seguano al tempo stesso nelle due sta- zioni , come adoperando quelle osservazioni si suppone , ad ogni modo, quando queste si replicano, quelle si compensana, e si riducono ad un equilibrio medio, a cui si riporta l'os- servazione media, la quale dà delle conseguenze tanto vicine all'esattezza geometrica, quanto le osservazioni simultanee vicine . Né però le simultanee lontane quantunque isolate si dovranno trascurare , perchè le variazioni atmosferiche negli intervalli di circa sei leghe non interrotti da montairne se^uo- no al tempo stesso , e nelle distanze ancora maggiori , come tra Parigi, Londra, e Marsiglia, si propagano con una cele- rità meravigliosa, che non si può colla celerità dei venti spiegare . ii6. Finalmente ancora di grande profitto potranno es- sere le osservazioni isolate paragonandole con quella, che si avrebbe al livello del mare, ovvero con altre pure isolate ai4 Misura delle altezze col Barometro. fatte successivamente . E nel primo caso converrà tener con- to delle variazioni, alle quali l'altezza barometrica al livello del mare è soggetta (90) , e della differenza del calore , che si avrà tra questa stazione, e l'altra dell'osservazione dando nell'estate un grado Reaumuriano meno di calore per ogni cento tese circa d'innalzamento (6a...); e così in questo, co- me nell'altro caso converrà sciegliere quelle osservazioni, sulle quali ossia per la piccola differenza del tempo , ossia per la qualità del clima , o della stagione si potrà argomen- tare, che le variazioni dell'atmosfera abbiano avuta la mini- ma influenza ; quindi al proposto fine sogliono le osservazio- ni pigliarsi ogni due ore al più , e nei giorni più costante- mente sereni d'estate ; e con questo metodo non solo Hum- boldt per lo più nella zona torrida, dove le variazioni atmo- sferiche sono quasi nulle , ha potuto livellare quattrocento cinquantatre punti in America sopra una estensione di otto- cento venticinque leghe dal Nord al Sud, e settecento dall' Est all'Ovest, e compiere il progetto gigantesco di presen- tare il taglio verticale del Messico dal mare Atlantico al Pa- cifico, ma ancora in Europa De Lue, Saussure, Schukburgh, Pictet, Buch, Pini, Oriani, Venìni, ed altri han potuto de- terminare le altezze di qualche migliajo di punti molto im- portanti , che serviranno a formare un fondo ben ampio per la Geografia fisica . • 127. Le ricerche delle altezze dei luoghi sono divenute più interessanti , dacché Humboldt richiamando un problema già esposto da Varennìo ( Geogr. gener. cap. IV , e IX ) ha pen- sato di valersi delle altezze dei monti come di basi per de- terminare le distanze orizzontali , che hanno tra sé , o con altri luoghi; e mostrandone l'uso, e il vantaggio coli' unire la Capitale del Messico colla Veracrux sopra una distanza di 1600C0 tese ha indicato un facile metodo per la costruzione delle carte geografiche . Della soluzione di questo problema oltre ad Humboldt, e Oltmanns nelle opere già citate, e De Lambre nella Memoria sopra la misura dell'arco del me- Del Sic. G. Rat, agni. atS ridiano si è occupato Lindenau { Tabi, baroni., pag. xlviii), il quale cita la corrispondenza di Zach ( Voi. XIV ) , e pro- cede in questi termini . Sia k la distanza orizzontale di due monti, o di un monte da un certo luogo della superficie ter- restre da cui si possa vedere la di lui sommità; sia poi d la distanza apparente di uno dal zenit dell'altro; e sia C l'an- golo, che comprendono al centro delia terra i raggi corri- spondenti ai due monti , o ad un monte , e al luogo sovra- indicato; pongasi poi n la ragione della rifrazione a G, onde la distanza vera della sommità di uno dal zenit dell'altro sia è-\-nC, e finalmente sia N l'altezza relativa dei due monti, o di un monte sopra il luogo, da cui è stato riguardato; si avrà, dice Lindenau , l'equazione N .cos.—^^k .cot. 1 d i-reC I , e poiché G si può sempre pigliare tanto piccolo , che sia cos. — =: I , si avrà N = ^ . cot. 1 ^ h- nC I . 128. Da queste espressioni di Lindenau mi parve, che si potesse argomentare quella prima equazione essere gene- rale , ed esatta , e la seconda particolare , e limitata al caso c di cos. — = I . Se così è, confesso, che a me non è mai riu- scito di dimostrare la prima ; anzi condotta avendo la corda dell'arco corrispondente alla distanza k ., mi parve, che gli angoli formati dalla visuale con questa corda, e con l'altez- za del monte dovessero essere espressi da 90° — d — 7iC-H , e da ^ -H nC — C; e gli angoli formati da quell'altezza con la corda stessa, e con la tangente, che eguaglia la distanza c orizzontale , dovessero essere espressi da 90° -t- —, e da 90° — C ; laonde dal triangolo formato dalle prime tre rette si ricaverebbe, che quella corda sta ad N come sen.^-4-7zC^ c e e : sen.9o° — d — nC-F-, come stn. d-^nG—C'.cos.d-\-nC ; ai6 MlriURA DELLE ALTEZZE COL BAROMETRO. e del triangolo formato con queste altre tre rette seguireb- be , che quella corda sta alla distanza orizzontale k come c r sen. 90° -f-— : sen. 90° — C, come cos. C : COS. — ; e perciò l'equazione generale, ed esatta sarebbe N.sen.(a-+-«C — C).cos.-^ = k . cos. /^ -h «C— ^) cos. C ; ossia N -cos.-j sen.| ^-4-«C ^ I 1 . cos. cos. |^-)-?zC— — |x sen. — = ^ .cos.l d -\-ììG ^ J | cos.^— — senr — I, da cui pel e co caso di — piccolissimo ponendo cos. — = i , e sen. — = o si 3 ^ ^ 3 2 ricava N . sen. | <5' -t- hC — — j = /; . cos. | ^ -4- «G — — 1 , ossia N = K . cotang. ( ^ -H «C j , che è la seconda equazio- ne di Lindenau . 129. Ma C è sempre una funzione di k data per T equa- zione C = il — — . sen.^ L I , in Cui e , ed L es- rag.5 .sen. i" y a / primono l'eccentricità della terra, e la latitudine geografica; quindi si potrà eliminare C dall' equazione trovata per la- sciarvi la sola incognita k . Nel caso però in cui sia — assai C piccolo , molto più sarà tale tzC , onde si potrà porre cos. 1 -^ .— hC I = I , e sen. | — — nC J = C — «C; ed esegui- te queste sostituzioni nell'equazione N^A .cot.|^-i-«C -j, ossia N . sen. l $ -+- nC -ì = k . cos. i § -^ ìiG ^J, ossia N I sen. d' . cos . I nC J -h cos. ^ . sen. I reC I 1 = Del Sic. G. Rag agni. 2,17 h .1 COS. d .cos.l ttC J — sen. d . sen. I «G j j, si avrà k.coi.d-+-ki^ — nC\ .sen.^ = N .sen.^ — N^-^— /iCJ.cos..^; e se per brevità pongasi -j; — ri 1 .sen.^L J = a resterà A* .k =0, e perciò A;= — h-, -H,/r , / i-H(è-^)«N y Ni i3o. Quantunque il valore trovato di k non sia rigoroso, non si può tuttavia temere , che i termini trascurati Io ren- dano sensibilmente mancante se non dove si tratti di distan- ze grandissime. Ma per quelle, che oltrepassano le looo tese il calcolo numerico di quel valore riesce un pò faticoso, poiché esso allora diviene assai grande . Per diminuire questa diffi- coltà Lindenau introduce le formole trigonometriche, per- ciocche se lacciasi p = — ■ : r; q = — — ; tang. A — , sostituendo nell equazione /c^ H — : k — p ^ (5 — h) a . tang. 8 N . . A ,- = o, e analizzando si troverà k = tang. — . i/g . i3i. Per ridurre in pratica questo metodo è d'uopo de- terminare la rifrazione terrestre. Si sa, che il coefficiente ?i, da cui questa dipende , è diverso secondo il vario stato dell' atmosfera i e De La?nbre per la Francia stabilisce « = 0,075 d'estate, 0,08 alla primavera, e all'autunno, e da 0,09, a o,cic d'inverno; La Place prende ?i = o,o84; ma Lindenau prende il valore di n = 0,077, ^^e egli dice di avere rica- vato da molte osservazioni sue, e di Roy, Bouguer, Bosknvich, De Lambre, e d' altri essendo il barometro a 28^ ; e con que- sto valore ha costruita una tavola , che presenta la distanza orizzontale per approssimazione ; per correggere però gli er- rori , che nei valori forniti da questa tavola risultano per la Tomo XVI. E e *lo Misura delle altezze col Barometro. incostanza della rifrazione, egli osserva, che questa è fun- zione della elevazione media delle due stazioni , e scema in proporzione dell' altezza ; e nominando A^ , e AR le variazio- ni della distanza orizzontale, e della rifrazione ricava l'equa- à.k N — o,4a3a.A:^ (0,846» .A;.tang.S-t-o,423aN-(- i)cos.'9 ^'°"^ Tr"—! — ^77. — rz T 7-TT^ ; TT ' <* quest'altra ^K (o ,»4oa .t .tane.S-t-o.423aN-(- 1 )cos .' 5 '• di una maggiore approssimazione A^ = AR | - \i5,86i . cos.(5-+-C)/' k . sen. 1" laonde moltiplicando questo fattore , J^-^«"-' ^^ ' ^ i5,86i,cos.(?-(-C) ^ ottiene A A;, ossia la correzione della distanza orizzontale, che era stata determinata per approssimazione ; e questa cor- rezione è negativa sempre, e solamente nei casi soli, quan- do la rifrazione terrestre sia minore di 0,77, come è stata supposta . Finalmente egli da molte osservazioni fatte in di- versi paesi , e a diverse elevazioni ha ricavata una tavola , che presenta le quantità da sottrarsi da 0,077 P^'" ottenere AR ; e quelli ^ che vorranno occuparsi di queste ricerche, potranno consultarla . i3i2. Ma il partito migliore sarà sempre quello di osser- vare le distanze dal zenit reciprocamente da ambedue le sta- zioni, poiché da queste, quando non siano molto diverse tra loro , si potrà dedurre immediatamente la rifrazione . Imper- ciocché se le distanze apparenti di ciascuna stazione dal zenit dell'altra siano d , e d\ e le rifrazioni corrispondenti siano R, e R' , le distanze vere dal zenit saranno ^-hR, e o^'-f-R', esclusi quei casi rarissimi , dove per la rifrazione quelle di- stanze debbono essere diminuite ; quindi la somma di ambe- due sarà ^ -I- 5'' -)- R -H R' ; ma questa somma è ancora eguale a 180° -t-C, perchè eguaglia tutti gli angoli del triangolo formato dalle tre rette , che uniscono le due stazioni tra lo- ro , e col centro della terra con di più l' angolo C ; dunque si avrà ^ -+- 5' -t- R -i- R' = 180" -h C . Ma quando R , e R' non differiscano molto tra loro , si può prossimamente porre R = R' , e si ha aR = 180'^ H- C — ^ — ^' , dunque allora si DelSig. G. Racagni. aiQ avrà — = 00° H = Ji . Solo potrà farsi qualche ecce- C a C zione a questi risultamenti , quando la rifrazione per la di- spersione irregolare dei vapori abbassasse gli oggetti invece di alzarli, o inclinasse ancora in qualunque modo i raggi orizzontali; ma l'osservatore attento potrà con ogni facilità accorgersi di questi accidenti, che di raro avvengono per le circostanze locali . i33. Finalmente siccome la ricerca della rifrazione è il lavoro più difficile per lo scioglimento del proposto proble- ma , così io non voglio lasciare di aggiugnere , che seguen- do gli insegnamenti del celebre Autore della Meccanica Ce- leste, dove alla pag. 2177, e seg. del Voi. IV tratta delle ri- frazioni terrestri, si può cercare quello scioglimento senza avere riguardo alla rifrazione, e poi ritrovarla per mezzo di una formola , che sarebbe la seguente p o, 000298876. ^;;pi-^ 3,08338/ /, /,' \-| '=[ ,-.o,oo375V ■ -— ^r-l^-IiV')Jta"g-^; 541^ 5413 dove si suppone G assai piccolo . Ma io non mi fermerò a svolgere, e a dimostrare questa formola y che ciascuno potrà facilmente ricavare dal luogo citato . 134. Ora resterebbe a trattare dell'altro uso, che si può fare delle osservazioni barometriche per determinare la pro- fondità delle caverne di ogni sorte , e massimamente delle miniere . La formola generale si adatta facilmente a questo caso ponendo ( 6 , e 36 ) u negativa, e ^ = — i per ragione, che la gravità decresce come le distanze dal centro ; e nel rimanente seguendo il calcolo come per la determinazione delle altezze . Questo metodo è riuscito ad Humboldt nella miniera di Valensiana ( Voyage . . . i Voi., pag. 3i3 ) la più profonda dell'America con una precisione cosi grande, che ha data la sola differenza di tre metri sopra cinquecento quat- tordici j di che possiamo bene meravigliarci, perchè si tratta R: 2:iO MlSUIlA DIiLLE ALTEZZE GOL BAROMETRO . di una altezza così poco notabile in circostanze , nelle quali molte anomalie devono risultare dalle correnti verticali dell' aria, dalla ineguale distribuzione del calore, e massime dall' umidità, la quale in grande copia si trova nelle profonde ca- verne , e non si sa bene, quanto, e come modifichi le leggi della pressione dell' aria , da cui dipende il metodo barome- trico per misurarle. Forse per queste cagioni, o come sospet- tò Humboldt, per qualche vizio contratto dal barometro, di cui si serviva, il metodo stesso non è riuscito aW Ulloa , il quale aveva trovata la sovraindicata miniera di 838 metri , cioè a dire quasi maggiore del doppio . Ma questa ricerca non è tanto per noi importante , che convenga occuparcene più lungamente. Quelli, che ne hanno l'occasione opportu- na , usando di questo metodo per determinare le profondità delle miniere potrebbero arrivare a sciogliere il problema as- sai importante, in cui si cerca come, e quanto l'umidità in- fluisca sulle leggi della pressione dell'aria. i35. Io pensava di chiudere in questo luogo l'appendice, che mi sembrava necessaria a compimento della Memoria già pubblicata , quando mi venne in pensiere di cercare il volu- me XIV della corrispondenza di Zach citato da Lindenau per vedere, se ritrovava qualche rischiarimento intorno alla pri- ma equazione da questo arrecata, di cui ho parlato ai num. lay , e 12,8. In verità vi rinvenni alcune ottime riflessioni sul merito di questo metodo di dedurre dalla relativa altez- za dei luoghi la loro distanza orizzontale ; ma del resto vi trovai quella equazione tal quale l'aveva veduta presso di Lindenau come se questi 1' avesse ricopiata da quell' opera , o piuttosto come se fosse di lui stesso la nota , in cui di quel metodo si parla . Ma scorrendo i varj articoli contenuti in quel volume mi cadde sott' occhio il quinto del mese di Luglio alla pag. 02,, in cui si dà conto di un" altra Memoria di Rohde {Sur la nouvelle correction des liauteurs mesurées par le barome- tre relative a la latitude geografique dans le IV tome de la Me- eanìque Celeste • ■ ■) il quale con nuovi argomenti diversi da Del Sic. G. Racagni. aai quelli , che egli aveva esposti nell' altra Memoria (a) , e che! io credo di avere confutati, cerca di escludere la correzione stabilita da La Place per la differenza della gravità dipen- dente dalla diversa latitudine. Se dall'estratto riportato in quella corrispondenza io ho bene compresa la di lui mente, quegli argomenti si riducono a questo . i36. Il metodo differenziale usato da me ad imitazione del La Place dipende dalle due equazioni (7) d'^Bv^zz — dp'\ I \ <^^ '^^P' 1 TI 1- • I 1 1 cSg'Sv dp' e (icil j:=— ;— , dalle quali si deduce la terza — ; — = r-j \ -" e p T- cp p' e in queste ultime si potrà tralasciare la frazione -7-, quan- do la temperatura si supponga costante per tutta l'atmosfe- ra . Ora Rohcle niente oppone alla prima equazione, ma da questa prende argomento per dimostrare mancante la secon- da ; poiché come in quella si trova il coefficiente g esprimen- te la gravità , perche un coefficiente relativo a questa forza non dovrà ancora trovarsi nella seconda ? E infatti non è si- curo, che dalla gravità dipende la pressione dell'aria? Pare adunque a Rohde , che, posta g la gravità alla superficie del- la terra , la seconda equazione dovesse essere d' = — ; — , da cui per la terza seguirebbe — ; — = p, la quale può bene contenere un coefficiente che risulta dalla differenza delle gravità g' , g per ragione della diversa distans^ dal centro, ma non può contenere alcun coefficiente risultante dalla dif- ferenza della gravità nelle latitudini diverse, perchè questo^ essendo tutta la colonna d'aria premente alla stessa latitudi- ne , spetterebbe egualmente alle due gravità g , e g , e sva- nirebbe nella frazione —, che moltiplica il valore di —. e '^ p iSj. Confesso di non aver bene intesa la risposta, chef a questa opposizione fa l'estensore dell'articolo citato, il qua- le pare concedere, che nella seconda delle due equazioni fort- lamentali del metodo differenziale esposto da La Place maa- aaa Misura delle altezze col Barometro. chi il coefficiente g relativo alla gi-avità, come afferma Rohde^ e sostenere nondimeno, che nella equazione finale debba tro- varsi il coefficiente relativo alla differenza della gravità di- pendente dalla diversa latitudine , come insegna La Place ; ma ancora non mi sono data gran pena per intenderla, e mi riservo a ritornai'e sopra quell' articolo se mai accadrà , che io possa avere la dissertazione di Rohde ,, e in quella trovi alcuna cosa , che meriti di essere conosciuta ancora tra di noi . Intanto osservo , che quella equazione controversa si ri- duce a questa -p- = — - ■> la quale vuol dire , che le densità dell' aria d , d\ posti costanti i gradi di calore e , e' sono co- me le pressioni /» , p' direttamente secondo la legge di 3ia- rlotte; e poste costanti le pressioni /»,j!?' sono reciprocamen- te come i gradi di calore e , e' ; e in generale sono diretta- mente come le pressioni , e reciprocamente come i gradi di calore secondo la legge d'Eulero (ii). Ora quantunque que- ste leggi siano sottoposte a quelle difficoltà , che sono sta- te già nel corso della Memoria esaminate, niente però è piii chiaro di questo, che non sussiste la nuova proposta da Rohde, e che in quella equazione , che le esprime non può entrare alcun coefficiente relativo alla gravità, poiché l'effetto di questa non è altro che la pressione, e tenendo conto di que- sta si tiene ancora conto di quello ; laonde poiché in quella equazione si trova il coefficiente j? relativo alla pressione , questo basta pure per quello della gravità, perciocché lo con- tiene . E in vero qualunque sia la pressione p , può sempre esprimersi pel prodotto di una certa massa nella gravità g ; quindi se dovesse adoperarsi la correzione di Rohde., questo coefficiente g si troverebbe nel numeratore insieme , e nel denominatore della frazione esprimente il valore di —, e sva- nirebbe, cosicché con quella correzione si toglierebbe il giu- sto riguardo, che aver si deve alla gravità nel determinare la pressione, che modifica la densità. Ora questa risposta mi pare tanto evidente, che non abbisogni altro discorso. aa3 SAGGI DI ALGEBRA TRASCENDENTE E DI MECCANICA Del Signor Pietro Franchini Presentata li 2,0 Gennaio 18 12 dal Sig. Giuseppe Venturoli E APPROVATA DAL SiG. CaV. CaNTERZANI . ÀrtigoloI Sulle spìnte di una trave inclinata Y) §. i.Probl. J_-/ato che una trave di nota forma e di noto peso colla testa si appoggi ad un muro verticale, e col pie- de insista su di un piano orizzontale, si vuol sapere qual sia la forza con cui tende ascivo lare lungo il piano, quale la sua pressione contro di esso, quale la sua spinta contro il muro. Se la sicurezza delle nostre case è un oggetto interessan- te e prezioso quanto la nostra vita , la completa soluzione dell' enunciato Problema , deesi riguardare come uno de' più grandi servigi , che la Matematica abbia mai resi alla socie- tà \*). Una breve istoria de' tentativi fatti per risolverlo, fa- rà conoscere ai meno esperti, che quantunque, per una com- binazione straordinaria e quasi inesplicabile, le indagini d'in- signi geometri , molto abbiano sin qui servito al teoretico di- sviamento dell'umano ingegno, niente al pratico bisogno delle architettoniche operazioni, meritano ciò non pertanto alcune (') La teorìa de'tetti che spiovono da ■una sola parte, quantunque essi faccia- no una gagliarda spinta contro il muro inferiore , non si riferisce al nostro Pro- blema , ma bensì all'accelerazione lun- go i piani inclinati . Tale spinta cresce pertanto a misura che i tetti di cui si parla si discostano dal piano orizzon- tale. Fra i tetti spioventi da più parti , quelli che diconsi alla Mansarda, e ohe sono indicati colla fig. i , esigono più di tutti gli altri le avvertenze che risulta- no dalla soluzione del Problema proposto. 224 Sulle spinte d'una trave ce. tracce da lor segnate, distinta lode e riconoscenza: tanto più, che all'emulo impegno di quei che agitarono la difficil que- stione, l'origine deesi e l'importanza qualunque sia dell'at- tuale nostro lavoro . I primi a cimentare le proprie forze nella soluzione del nostro Problema furono. Couplet e Gio: BernouUi: ma le for- mole dai loro metodi somministrate, altro non fecero che te- nere lungamente incerto o diviso il sentimento de' calcolato- ri e degli architetti . Aspettavasi, non senza impazienza, un valoroso geometra, che meglio analizzando il segreto giuoco delle meccaniche forze, stabilisse la verità su più chiari prin- cipi , quando i Professori Frisi e Krajft, avendo con una par- ticolare risoluzione, ottenuta una formola simile ma non iden- tica con quella di BernouUi^ già confermata da Kaestener , aggiunsero in vece alle antiche idee, nuove e più incomode oscurità. Siccome peraltio, gli sforzi del genio soglion essere proporzionati agli ostacoli da superarsi, alcuni fra i più illu- stri Italiani (*), lasciata da parte la costruzione di Couplet, non assai per tutti naturale ed evidente , di nuovo si accin- sero , e con altri mezzi più semplici ed ingegnosi , alla con- trastata soluzione. I risultati del loro profondo studio concor- demente si unirono a sanzionare la formola del Francese Geo- metra; e parca che altro più non restasse, se non che com- pletarne il significato con la considerazione dell'attrito, e metterla a prova con una scelta serie di sperimenti ; ma le astruse meditazioni di qualche geometra , che pretese trovar., difetto nella citata formola, a motivo ch'ella dà una spinta infinita quando è retto l'angolo della trave col muro, trat- tennero questa pregevolissima operazione ; mentre uno di lo- ro, meno forse tollerante e più coraggioso, nuova e compli- cata formola produsse, da sostituirsi per di lui avviso alle al- tre (*) Lorgna j Gregorio Fontana e Mascheroni . Del Sic. Pietro Franchini. aaS tre ( Delanges Soc. hai. T. X) . In tale e tanto inviluppo di analitici pensamenti, il nostro Problema non ha cessato di essere, quale Gregorio Fontana lo ravvisò ( Soc. Ital. T. Ili ) pietra d' inciampo per parecchi Geometri di prima sfera; ed ognun vede, che a vantaggio della Società, e per decoro delle scienze esatte molto tuttavia importa, che si decida pur una volta la memorabile controversia, determinando con la geometria, con l'analisi algebrica e con gli sperimenti, se tra le quattro formole sino ad ora conosciute, ve ne sia pur una legittimamente dedotta, e capace di rappresentare, me- diante un'opportuna modificazione, tutti i dati dell'esperien- za . Tale appunto è il primario scopo delle attuali nostre ri- cerche, e noi crediamo di anticiparne una più chiara e com- piuta nozione , suddividendole nei quattro seguenti articoli , il primo de' quali ha per oggetto di giungere con una sola figura e con un calcolo diretto e semplice , alle formole sin qui ottenute con tanti e diversi metodi : il 2,.° di scuoprire il difetto comune a tutte le formole, e quello che a ciascu- na esclusivamente appartiene : il 3.° di presentare una serie di risultati sperimentali, atti a verificare qual delle note for- mole sia legittima e genuina : il 4-° ^ destinato a derivare da una delle formole suddette , quella che in ogni caso fe- delmente si accordi coli' esperienza . Cammin facendo ci occuperemo di qualche Problema ana- logo all'argomento, e non trascureremo di contemplarlo sot- to quei rapporti , che meglio possono interessare la pratica utilità della scienza . §. a. Sia G il centro di gravità ( Fig. i." ) e P il peso del travicello BD che si suppone trattenuto nel punto D da un ostacolo situato sul piano orizzontale CH . Espiessa la for- za P colla GP , questa risolvasi nelle GE,GF normali fra lo- ro, e fatto CBD = (^, si avrà GF = Pcos.(^, GE = P sen.(p. Siccome la GÈ agisce sugli estremi B, D, in ragione reci- proca della loro distanza dal punto G , si sostituiscano a GÈ le forze BR , DN tali , che sia BR -*- DN = GÈ , BR . GB = Tomo XVI. Ff aaG Sulle spinte d'una trave ec. DN . GD ; e indicando BD per a , BG per b , sarà BR = — . sen. (h , DN = — sen. (S . Prolungata la BD in K finché sia DK = GF si compia il parallelogrammo rettangolo NKT, e si conduca ML norma- le a GH . Le forze che agiscono in D, cioè DN , DK , ven- gono così ridotte alla DM, e quindi alle due DL,ML ( = D0). Per trovare l'espressione di queste, si risolva il tetragono hirettangolo iscrittibile DNML , nel quale ND( = A)=-X a. sen.(^, MN(=D)=:Pcos.(j5, DNM = DLM = ico% LMN ( = NDC ) :^ (p . La Jrg. a presenta i! tetragono con le respet- tive indicazioni, adottate nel nostro Trattato Analitico di Trigonometria e PoligonometHa ( Lucca i8o5 ) . Richiamando le formolo da noi esposte ( Memoria Trigo- nometrica , Lucca 1807 , pag. a4 ) cioè 1 1 .Ah-Bcos.^ — Csen. dove y esprime l' ef- fettiva spinta orizzontale inferiore . La a." siccome equivale a V {a — b) sen. (p r= ax cos. <^, cioè a P . DT = Bè .BC, che è l'equazione destinata ad impedire la rotazione del sistema, si cangia in P . Dr = B^» . BC -+- B/3 . DC , cioè in Tomo XVI. Gg 2,34 Sulle spinte d'una tuave ec. P {a — b) sen. (p ■=■ ax cos. ip ■+■ afx sen. ^ . Dividendo quest'ultima equazione pei- sen. (^ si ha ?{a—b) La I .'^ diviene s = P ( i ^^'^ ^^ ^ | . a{f-i-cot.

accorda la formola (V) coli' esperienza : ed è chiaro , che se il valore di / esiste , nell'ipotesi che tutti gli sperimenti sieno di un'assoluta esattezza, dee trovarsi costante- mente eguale ad uno stesso numero. Una leggiera aberrazione dovrà riferirsi alle minime inesattezze, inseparabili dai fisici sperimenti, e molto più dai nostri, ne' quali sempre doveasi vincere la doppia difficoltà, di misurare esattamente l'ango- lo (^ , e di misurarlo quasi a volo, cioè nel punto preciso in cui l'equilibrio cessa. I risultati dell'indagine sopra indicata sono i seguenti: ^f;' 1 33° 1 , 4o° , 5o° , 6o° , 65° , 66° | , 78° | , 8o% 84° . Valori ( '"^- *''• '>''■ *''• ^''- ^''- *''■ *''• ^''• della D(fl o, 76; 1 , 08 ; I , Sg; 1 ,74; a ,'i; a, 39; a ,9; 8,72; 4,2, ^^°'' I o, io;o,o9;o, lajc, 16; o, i6;o,i4;o,i6;o, i6;o,i8. È da osservarsi che i valori corrispondenti all'esperienze r.* , a." e 9." , sono quelli che più aberrano dal cercato valore medio; e che tal difetto nasce appunto dalla maggiore diffi- coltà che s'incontra nell' effettuarle . Infatti nelle prime la spinta essendo debole , una piccola differenza nell' attrito in- fluisce sull'origine del disequilibrio; né si può prescindere da tale differenza , per non essere noi sicuri che i cilindri sieno dotati di una mobilità esattamente uguale , qualunque Del Sic. Pietro Franchini . a35 elemento longitudinale serva loro di appoggio. Nell'ultima esperienza la spinta è troppo forte, e forte è in proporzione l'attrito. Le variazioni di questo divengono quindi sensibili, per una ragione opposta a quella , che avea luogo nelle pri- me esperienze . Preso il medio aritmetico o, 14 fra 1 valori di /, i va- lori teorici della D^ sufficientemente si avvicinano a quelli trovati coli' esperimento . Quello della Dd relativo alla i .=' e- sperienza del §. g si trova = i , 79*'^ : quello della Dd rela- tivo alla a," esperienza dello stesso §. risulta = i,4'J*'^- Cal- colando il valore della z( = D/) spettante alle due esperienze del 5- IO, si ottiene 2;= 3,92*''-, s = 3,84^"-i valori de' quali il 2..° coincide col valore sperimentale . In pratica non mai succederà che l'attrito sia tanto leg- giero , quanto quello che ha luogo nella nostra macchina ; ma siccome l'aumento disfavorisce la sicurezza dell' edilìzio, l'uso della formola (V) non soggiace per tal motivo ad al- cuna eccezione . Noi però facciam osservare, che il valore di J" cade sempre fra dei limiti molto angusti , perchè se giun- gesse a o , 5*'^- , posto ip =. 5o° si avrebbe per y un valore negativo , lo che contraddice . Quindi ne segue, che l'attrito del pie di una trave in- clinata, contro il piano orizzontale su cui scivola, abbia ge- neralmente un valore intermedio, fra quello dell' attrito di \ J^ e di a.** specie; giacche il. coefficiente del primo attrito, le superficie confricanti essendo ambedue di legno , giunge, corn è noto, sino a o , 5o ; e quello del secondo, in virtù di una mediocre pressioni, diviene come si è veduto, =0, \\. 5- la. Facendo per semplicità è = ^ « , le formole de* due attriti superiore ed inferiore sono a(/H-cot.(^) -' \ 3,{f-t-tot.8 : quindi apparisce perchè la spinte^ verticale DZ si trovi minore ( 5- io ) a misura che si aumen- ta l'angolo (p . 2,.° Che la somma degli attriti B/?-4-D^ cresce da (p=o fino a

D^ , vi dev' essere un valore di (p a. cui corrisponda B/? = D^ . Per trovarlo si supponga ^ =//i l—) a(/-l-cot.fj) -^ \ s,(f-t- cot.(p) f e poiché ne deriva i =zf-i- a. cot. (p , con fare /= 0^14 si' ottiene cot.

tan. ^ =/>' tan. (j5' . Basta dunque che i pesi stiano in ragione inversa delle tangenti degli angoli colla ver- ticale . a38 S A e a I d' A l e e b r a ec . AnTrcoLoII Si vuol dimostrare = C/4e ogni equazione algebrica determinata, ha una risolvente reale a immaginaria . 5. 1 . Tutti i Geometri hanno ravvisato il teorema onde si tratta, come il principio fondamentale della teoria dell'e- quazioni algebriche. Alcuni, come il Dottor Tommasini { In- troductio in Alg. T. 2,,^. 407 ) l'hanno ammesso come conse- guenza dell'ipotesi da cui l'equazione stessa deriva, come se qualunque ipotesi anche contradittoria, dovesse di sua natu- ra verificarsi : altri si è contentato di supporlo tacitamente : vi è stato in fine chi ha fatto ogni sforzo, per non lasciarlo senza una qualunque siasi dimostrazione , ma con successo , per quanto a noi sembra , del tutto infelice . Egli è un fe- nomeno analitico , per lunga esperienza riconosciuto , che le verità semplici e fondamentali , sieno per ordinario le più astruse e recondite; e che l'umano ingegno non soglia giun- gere a dimostrarle, se non dopo avere stabilite sulla loro esi- stenza ipotetica o induttiva , le principali verità che ne di- pendono . Il Sig. Lacroix nel suo Complemento dell'Algebra ( p. u6 ) comincia dal confessare, che si V on n'a pas encore de dé~ monstration complète de la proposition doni il s'agit, on peut du moins donner des raisons assez fortes , pour qu' elle ne soìt plus douteuse; ed il suo discorso è sì specioso, che il Signor Francoeur ( Cours complet de Mathém. T. a, §. 449 ) "O" ^^ esitato a prevalersene come di una vera dimostrazione . Com- pendiandolo com'è suo stile, egli si esprime presso a poco in questi termini . L'equazioni di grado pari, aventi l'ultimo termine po- eitivo , sono le sole per cui sia incerta l' esistenza di una ri- solvente reale, perchè non si sanno trovare generalmente due valori d' X , i quali diano una variazione di segno nella som- Del Sic. Pietro Franchini. aSg ma de'teimini. Chiamando jc^ ^^ r ec. i coefficienti della pro- posta, u l'ultimo suo termine, con mutare il segno di u si . ha un' equazione con due risolventi reali , che debbon esser funzioni di p,q,rec. u, perchè il loro valore varia con quel- lo de'coefficienti. Dunque si può supporre x-=zf{p, q,r...u). Ma lo spirito del calcolo algebrico , il quale è indipendente dai valori particolari che possono darsi alle quantità , prova che mutando il segno di u ^ la formola x-=zf{^p,q,r... — «) dee soddisfare alla pi'oijosta , ancorché per la mutazione del segno di u sia sotto una forma immaginaria, € per conseguen- za una semplice espressione analitica o un simbolo, atto uni- camente ad annullare la somma de'termini. Dunque ogni equa- zione algebrica determinata ha per lo meno una risolvente reale o immaginaria . Siccome tutta la dimostrazione si fonda sull'esistenza della formola x ■=.f[p, q ,r . . .u)^ e questa non può sup- porsi se prima non si prova possibile la generale soluzione dell'equazioni algebriche di qualunque grado, i soli dubbj proposti dal Sig. Lacroix ( Compierti, cìt., §. 56 ) basterebbero per distruggerla, qualora il Sig. Cav. Ruffini non avesse ri- gorosamente provata l' impossibilità della soluzione onde si tratta ( Soc. Ital., T. X). Tolta di mezzo la dimostrazione del Sig. Francoeur , si fa luogo a quella che passiamo ad es- porre , e per cui ci giova premettere le seguenti nozioni . I. Se in una funzione delle variabili 7, z, espressa per F ( 7 , z ) si fa variare successivamente / e z , con mettervi 7 H- A per y , z -^ h per z, si ottiene la stessa funzione va- riata F'(7,z), la quale nasce dalla sostituzione simultanea à\ y -^ k per 7, e di z -k- h per z . Infatti , siccome le va- riabili 7, z sono per ipotesi fra loro indipendenti, la varia- zione di una non può influire nella variazione dell' altra . II. Sostituendo z-hA per z in sen.z e cos.z, si ottiene sen.(zH-/j)= sen.z cos.^-Hsen. h cos.s , cos. (3-h/j)^cos.s cos. A — sen.z sea.h ; ma sen. h = n ec. , cos. h= i ec. a4o Saggi di Algebra ec. Dunque se h sia una quantità infinitamente piccola, on- de possano trascurarsi le sue potenze superiori alla prima , si ha sen . (s-t-A) =: sen . s-t- A cos . z , cos, (z-f-A) =: cos . z — Asen . z : e se in vece di z abbiasi mz , e pongasi z-^h per z , risulta «en. (mz-*-mh) =: sen. mz-^-mh oos. mz , cos. ( mz-t-mh) r= cos. mz — mh sen. mz, III. Avendosi due quantità finite A, B, si possono tro- vare due quantità infinitesime k,h, tali, che stia A'.B'.'./c'.h. Infatti A : B : : - : - . 00 oo Ciò posto sia x^*™ -+-/?.«*'"-" -4- ^.r"'"— * ...-+- ;rj«; -4- C = o e s'indichi per d una quantità prossimamente minore della minima differenza fra le sue risolventi . Avendo riconosciuto coi noti metodi che la proposta non abbia né risolventi egua- li, né risolventi razionali, si ponga ^, a^, 3^ ec. per ar , fino ai limiti delle massime risolventi, positiva e negativa. Se si trova una variazione di segno ne' risultati , fra i numeri so- stituiti per a; vi è una risolvente reale , Suppongasi dunque di non incontrare alcuna variazione di segno , e siccome qua- lunque risolvente della proposta, se esiste, dev'essere imma- ginai'ia, pongasi x = ^{cos./i'"~' 6tn.(2.m— i ) ji-t- ^^^'"""sen. (ara — 2)0 . . .-t-}t^,sen.(p e tutto si riduce a provare che vi è sempre un valore di À e di <^, il quale dà simultaneamente P = o, Q = o. Sieno À' , (p' due qualunque determinati valori di À, (^; e P,Q divengano respettivamente P' , Q' . Pongasi À'-ìr-k per À'.,(p'-^Ji per <^', essendo k,h quantità infinitesime: si tra- scurino le potenze di k -, h , superiori alla prima, e chiaman- do P" , Q" ciò che respettivamente divengono F' , Q' , si avrà (n."! e n.°II) T" :=?' -t-lzmJi,'*"' cos.amf' -*-(2m— lìpV^"-' cos.(2m— i)^' . . .-4-3T/1'cos./ j-;^ — [27«A'*^sen.3m7i'-H (am— i )/)A'""r' sen.(2m— i )?!' . • .-^-}tX' sen.(f>']h, Q" = Q' Del Sic. Pietro Franchint. 2.^1 Q" = Q' -f- j am/l'^" sen . zmip' -t- ( sto— i )/>,l""— ' sen. (am— i)(p' ...-*- nX sen . (p'VTj -♦- [2m^'"'»cos.2TO .^'-t-(aTO— i)^ o e Q* > o bisogna che -— N/z , — ^ -t- N^ sieno quantità infinitesime negative, e viceversa se P'o, g dev'essere >-^; e se /> < o , il massimo valor negativo di g dev'essere <,p. a." Che se ^>o il segno di g è contrario a quello dif: è lo stesso se g<,o . Basta avvertire ch& il segno di / si de- sume dall'equazione ipotetica x=:::izf, 3° Il divisore estremo g rimane escluso quasi sempre, perchè non può essere x-=.-±:q se non abbiasi ji? negativo ed insieme p dt: t un quadrato , dove si ha il segno -4- se q è negativo e viceversa . È questa una conseguenza della so- stituzione di ^ g per X nell'equazione x^ -i-px -t- <^ = o . a44 Saggi d' Algebra ec. Esempio I. Abbiasi x^ — aix — ao = o . Risciolgo ao ne' fattori 45^» 2,, lOj escludendo gli estremi 1,2,0; il primo perchè troppo piccolo, il secondo perchè 2,1-1-1 non è un quadrato . Posto/"=5 osservo che g-4-2,i=/^ diviene 4 -t- 2,1 =5* e ne deduco x=S. Il fattore x^±fx-i-g si cangia in x*-f-5x-*-4 e dà X =: — I, X =: — 4- Esempio II. Sia x^ — I7:i;-h4o = o. I più semplici diviso^ ri di 40 essendo i , a , 4 5 5 , 8 , sperimento i primi tre , e veg- go subito che non può farsi f=± i , ±2,, ±4' perchè il 2,.° membro della caratteristica g-t-i7=:/* risulta eccessiva- mente minore del primo . Pongo y = 5 , e siccome trovo 8-4-17 = 5^, ne deduco x = — 5 . Il fattor quadratico è x'' — Sa; H- 8 . Esempio III. Suppongasi data l'equazione ^^-^2,8^-4-64=0. La caratteristica g — a8 =/* dimostra che il minimo valore di g non può esser ■< ag . Dunque non sì può assumer per g altro divisore che 3a . Ma Sa — a8 = a=^, e — a verifica la proposta . Dunque x ■= — a . Esempio IV. L'equazione assegnata sia x^ — 96:1; — 576 = 0, che per essere /? 96 , avverto diì prendere positivamente per g i numeri a88, rga, 1 44^96 • Un brevissimo sperimento dimostrandomi che le prime^ cinque coppie di divisori sono inutili, provo le due coppie susseguenti 8,72; 9,64, e queste essendo parimente inuti- li, pongo /= 12, g = 48. Il risultato è 48 -+- 96 = i a'' . Dun- que a?=:ia. Ecco il quadro delle operazioni che sono neces- sarie pel metodo de' divisori . ( Fedi Tavola ) arte I del Tomo XVI. 5, —8, —9, —13, — 16, — 18, — 3a, —36, —48, —64, -72, —96,— 144,— 193,— 288,— 676 , "(6,— 73, — 64,— 4^'"" ^^' — 3a,— 18, — 16,— la,— 9,— 8,— 6, — ^,— 3,— s.,— i £■•'■ )a,— 168,— -lóo,— i44j— '33, — 128,— 114, — 113,— '108, — 10.5,— io4,— 103,— 100,— 99,— 98,— 97. I3, 21, #, la, #, *, *, *, #, #, *, *, ♦, #, #j #, *, *, *, — I, #, #, *, *, #, #, *_, *, #, ♦, #_, #. -^ H I =0 ione — '■ Hi=o ci dà la risolvente richiesta .r=iti Tavola che dovrà collocarsi tra le pag, o.\\ , 2^B della Parte I del Tomo XV I. Indicando per a un divisore di q , abbiamo Valori di a \ ,576,288,192,144, 96, 72, 64, 48, 36, 3a , 18, 16, la, 9, 8, 6, 4, 3, a, i, — i, —2, — ?, —4, —5, —8, — 9, _ia, _i6, —18, —3a, —36, —48, —64, —73, —96,— 144,-193,— 288,-576 , Valori di -2- ) I, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, i8 , 3a , 36,48, 64, 72,96 , 144, 192,288,576,-576,— 288,— 193,— 144,— 96,— 73,— 64,— 48,— 36,— 3a,— 18,- 16,- 12,- 9,— 8,— 6,— 4,— 3,- 2,— i Valori ( d' X ] —95,— 94,— 93,— 92,— 90,— 88,— 87,— 84j— 80,— 78,— 64,— 60,— 48,— 32,— 24, o, 48, 96, 193, 48oj— 673,— 384,— a83,— 240,— 192,— 168,— 160,— 144,— 132,-128,-114,— 112,— 108,— ie5,—io4,— 102,-100,- 99,— 98,-97. Valori ) *, #, *, *, #, *, #, *, *, *, *, *, — 4, *> — 3, o, 12, 3a, 96,480, 673, 193, 73, 60, 32, 21, ♦, 12, #, #, *, ♦, *, #, n,, #, #, #, itj ,_ Valori di \ ("7 "^■?') •"■*■"[ *' *' *' *' *' *•• *' *' *' *' *' *> *; *) *> *, 3, #, 48,480,— 672, —96, —24, i5, #, #, *■, — !, #, *,, ♦, *, ♦, #, #, #, #, *, *, * . Il divisore la che verticalmente corrisponde al numero — i , da cui resta verificata l'ultima condizione ^ ^-t-i=o ci dà la risolvente richiesta .r=iii Hi=o ci da \ Del Sic. Pietro Franchini. i4^ Esempio V. Abbiasi finalmente x^ — 6or — iboo = o . Siccome p>o e q 60,/ positivo e <2,7. Basta dunque cercare i divisori di 1600 minori di 27, che sono I, 3, 4, 8, IO, 16, ao, e che danno respettivamente g = 1600 , 800 , 400 , aoo -, 160 , 100 ., 80 . Si vede subito che i primi quattro non convengono alla caratteristica g — 60 =/^ ; che il 5.° dà 160 — 60 = 10^, e però x= io . (*) 5. 3. Quando la formola Cardanica è reale, nel qual ca- so una soltanto può essere la risolvente razionale della pro- posta, il valore di tal risolvente, se esiste, trovasi anche con estrarre successivamente le respettive radici quadrata e cu- bica , indicate dalla formola y/^iadz \/b) . Così da x^-i-dx — 14 = 0 si ritrae ^ = |/^{ 7-i-l/5o )h-|^( 7 — l/5o) = tX{ 7 -^- 7 ' 07 0 -t- lX( 7 — 7 ' 07 1 ) = (X 4=07 n-tX-05<37 ^ = a,4''' — 0,4- .. = 2,. Da x^-i-6x — ao = o si deduce ^ = 1/ ( io -4- 6 |/3 ) -4- |X(io-6i/3) = jX(ic^-t-6Xi,73a)^-lX(i«-6xi,73a) = \/^2,o , Sga ■+■ 1/ — o , 892 = 2,7... — 0,7... = a. Questo metodo , che è molto facile nel caso rarissimo che b sia un quadrato , ed a rt: [/ò sieno cubi , come in x^ — g:»: -t- a8 = o , esige quasi sempre un calcolo fastidioso, che divien tale anche di più , se i numeri a , b contengono delle frazioni ; e riesce poi del tutto inutile quando è è ■< o - Avendosi per esempio l'equazione semplicissima a;^ — 5;c-*-i2=:05 si trova (*) Per agevolare la supposta riduzio- ne di un'equazione cubica qualunque Ayi ^By^^Cy-t-D — o alla forma X -^ px -i- q zn o , giova far uso della formola i'-t-(AC-3m^)T-*-A(AD-Cw)-4-aTO5=o iove m sta per -^ ^à x k ■^ Ky -^ m . Il numero de' casi in cui si verifica che sia p divisibile per 3 , è il terzo di tutti i casi possibili , ed a questo nu- mero deesi aggiungere quello dell'equa- zioni originariamente prive del a.° ter- mine . Quindi apparisce quanto esteso sia il numero dell'equazioni da noi contem- plate . 246 Saggi d' Algebra ec. ^*l/o, 404 = 1/ II ,596-1-1/0,404 = 2, a ...-t-o, 7.. . espressione dipendente da una serie di otto operazioni , che indica una risolvente razionale 3 , ma ci lascia nella necessi- tà di verificarla . Il metodo del §. a è incomparabilmente piìx semplice e pivi spedito, poiché l'equazione g-H5=/' si vei-ifica subito con fare y = 3 , g = 4 • §. 4- Gli autori di elementi algebrici, in vece dell'an- zidetto metodo aritmetico , sogliono adoperare nella ricerca delle risolventi razionali l'estrazione algebrica della radice cubica esatta (*) . Noi , quantunque siamo persuasi esser questa un' opera- zione assolutamente viziosa, ci proponiamo di trattarne , per- chè la ricerca di 1/ (azt/^) può riguardarsi come un pro- blema relativo al calcolo algebrico , necessario al compimen- to dell'Algebra Trascendente, e perchè siamo d'avviso di poterne perfezionare ulteriormente la soluzione . Omesso il metodo di tentativo , ornai abbandonato , per cui la parte razionale della radice cubica fassi dipendere dal- la determinazione di un numero ^, il quale renda un qua- m — t^ e drato la funzione 'òt a noi sembra che uno soltanto sia il metodo attualmente adottato dagli Analisti . Pongasi 1/ (a-Hj/^) =/-l-/f , essendo y^, Z' , due nu- meri razionali da determinarsi . Fatto il cubo si deduce fl=y-f.37i . . .(i) i/b = {3y^-i-t)i/t . . .{2,). (') Fra i moderni Tommasini ( Intra- alieno in Alg^ Tem. Il , pag. 6 ) ; Paoli { Ehm. d' Mg. Tom. I , p. no ); Fran- coeur ( Cours Compi, de Math. voi. 2,, pag. 79 etc. ) . Bossut si serve unicamen- te del metodo del §. 3 , ma non lo ado- pera nella ricerca di una risolvente ra- zionale . Lacroìx tralascia ogni applica- zione della teoria dell'equazioni cubi- che ; omissione , che per essere affatto nuova tra gli autori di elementi , ci dà Ivwgo di sospettare eh' egli non fosse contento de' metodi pratici conosciuti . Del Sic. Pietro Franchini . 2,4? La differenza de' quadrati dà fl* — b=:{y^ — t )^ , cioè j* — 1-=^\/ {a^ — b). Affinchè y,t sieno razionali dev'essere a'' — b-=±.h^ cubo razionale. Dunque t = y^^ih^ e l'equa- zione (I) diventa 4/^^ 3A/ — a = o ...(Y); equazione, che se ha luogo la radice ipotetica, dee avere una risolvente ra- zionale, per la di cui determinazione si ricorre al metodo de' divisori . (*) 5. 5. Prima di prendere in esame l'esposto metodo, ci gio- va stabilire alcune utili verità, ed osservare se possa vantaggio- samente estendei'si ai casi, in cui a -¥■ ^ b non è un cubo. I. Siccome deesi avere a* — b-='±:h? tutti i binomj cubi della forma azìi^b sono compresi nella formola a^^la'^zfzh^). Ma una formola di questa natura suppone un'equazione cu- bica z* it: 3hz — aa = o e viceversa . Dunque la ricerca del- la radice cubica esatta di a:iz\/b, e la ricerca di una risol- vente razionale dell'equazione z^±3hz — affl = o . . . (Z) sono due problemi che reciprocamente dipendono l'uno dall'altro. Lo stesso risulta dall'ispezione della (Y), la quale con fare 2j = 2 si cangia nella (Z) , e sostituendo il valore di h diyie» ne z^ — 3|/'(a=» — b)y,z — aa = o, equazione da cui deriva ^=:^{a^l/b)^^{a-i/b). Qualunque volta la ricerca del valore esatto di \/ {a-¥-[/^b) debba servire alla soluzione di un' equazione cubica, il meto- do sopra esposto ci riconduce dunque con circolo vizioso al punto da cui siamo partiti . IL Se vien data un' equazione cubica qualunque x^-^px-\- q:=zo, che abbia almeno una risolvente razionale, esiste sem- pre la radice cubica esatta del binomio — ^qzìzi/ {^q" — ijP^) C) Il metodo proposto dal P. Bosco- vich ( Elem. Univ. Math. T. II, p. i^ò. Venet. 1787 ) sembra del tutto diverso dal precedente , ma se attentamente si considera l'equazione finale del suo cal- colo , cioè u' — 6flu" -♦- ( 276— i5o* )u — 8o^ = Cj si vede ch'ella equivale ad un'incomoda trasformata della (Y) . In- fatti con porre jt ::i o -H aa si ottiene o' — 27(a° — i)o — 27 (a' — ì)X 23^0, ovvero , perchè a' — bzizh^ , o^ — s.'jh^o — 20 X !^7^' ^^ o 5 equazione che si can- gia nella (Y) purché si faccia o^a . 3hy, 248 Saggi d' A l c e b r a ec. sotto la for;:7-a y -^ \/ 1 , poicliè la determinazione di questa radice non dipende che dall'esistenza di una risolvente ra- zionale della (Z) identica colla proposta . (*) Qualora il binomio dato sia a -\- [/ — ^, e la { Z ) abbia tutte le risolventi razionali, i tre valori della radice y-^[/t sono immaginar] come dev'essere; e l'imraaginarietà deriva dall'essere t ■= y^ — \^{a^-+-b)^ e ^{a^-^b) sem- pre maggiore del quadrato del massimo valore d'/ . Sappia- mo infatti dalla teoria dell'equazioni cubiche, che nell'equa- zione x^ — px ± q ■= o ^ le di cui risolventi sieno tutte rea- li, è :i;<2|/i/>. Dunque nella (Z) si ha 2='<4^<4|/^(a='-t-^'). Ma 2^ = 4/^ . Dunque j^ < |/^( a^ -H è ) . III. La formala Cardanica è inutile per determinare le risolventi razionali^ ove si tratti del caso irriducibile . Infatti nulla si ottiene coli' estrazione algebrica della radice cuba, perchè si cade in un circolo vizioso ; a nulla giova il meto- do aritmetico del §. 3 perchè \/ — b non può estrarsi : né le serie derivanti dallo sviluppo della potenza j di a-^[/ — b^ a — [/ — Z» , sono di alcun vantaggio, perchè altio non dan- no generalmente che delle semplici approssimazieni . IV. Il valore di \/{a-±i\/b) essendo necessariamente triplice , è impossibile determinarlo con un metodo diretto , il quale sia indipendente da un'equazione di 3." grado. V. Essendo a, b numeri intieri, per qualunque valore , ,. • T .1 ir aM-t- I / lazionale dispari di z si ha j sotto la torma ; , e ^Z i [=:/(r--A)] = i/[(=^^-+-')'-4/0 = i/^' PUf-c^^è sia (^ numero dispari. Dunque, sebbene a,b sien numeri intieri, può aversi l/la-^\/b\ = -^^^^~—...{l), proposizione gra- tuitamente contradetta da qualche illustre Geometra , e se- gnatamente dal P. Boscovich ( Op. cit. Tom. II ,p. i47 ) • (*) Male dunque si appose il P. Bo- non poterit , licci mquatio proposita ra- scovich ( Op. cit. p. ì3i ) ove disse ; Sm- tionales radices habuerit . pe ai/lem radìcis cubicce extractio haberi . Del Sic Pietro Frattchini . 249 Istituendo subito l'equazione (I) sì giunge alla (Z) sen- za passare p«r la (Y) . L'equazione ipotetica (I) è dunque preferibile . VI. Affinchè due risolventi dell'equazione x^-hfx^-i-g-=o sieno della forma yztz\/t, bisogna che sia g=.h^ , e che l'e- quazione sussidiaria z^—-3hz-^f=o abbia almeno una risol- vente razionale. Infatti la proposta ci dà - = [/[-if^\/(ìf-s)]- 5. 6. Se a-+-[/b non è un cubo, sia n un numero in- tiero o fratto , tale che risulti ^'[ /i ( -s -f- i/b )]=/-!- [/t . Indicando ^^ j =|X— I per l/^N , abbiamo ^{a-^\/b)=^ .(/-t-^/^)l^N, e l'equazioni (1)5 (2') del §. prec. divengono Da queste 7=^ — ^ = 1/ — — = ^^ — , e però si vede che per determinare il valore di n , basta trovare un nume- ro N il quale renda a^ — b un cubo ; numero che sempre esiste, perchè tali sono («=" — i>)*, ( a^ — é)~'. Per altro, siccome richiedesi per m il piìi semplice fra i valori possibi- li , e per la ricerca di questo valore più semplice non evvi alcun metodo , tutto il successo dipende dalla dubbia scorta di un fastidioso tentativo . Trovato il più semplice fra i va- lori di «, valore che non può essere un cubo, alti'imenti non sarebbe atto a trasformare in un cubo il binomio dato , la radice dimandata comparisce sotto la forma {y-\-\/t)\x N. Ma questa esige l'estrazione di una radice quadrata e di una radice cubica, e poi una somma ed una moltiplicazione, men- tre per determinare aritmeticamente il valore di \/{(t-^\/b) basta l'estrazione delle due radici ed una somma. Dunque, anche nel caso il più favorevole che sia N un numero intie- ro, il metodo del §. 3 non si estende né con facilità uè con vantaggio ai casi in cui a-^\/b non sia un cubo. Tomo XVI. li i5o Saggi di Algebra ec. Diciamo adesso , che il metodo di cui si tratta non va esente da ogni difetto , neppure nel caso che il binomio da- to sia un cubo: i ." perchè il metodo de'divisori, da cui si fa dipendere la ricerca de' valori d'y, è laborioso e prolisso: i." perchè la forma dell'ausiliare (Y) è sovente inopportuna. Infatti, qualunque volta la (Z) ha una soia risolvente razio- nale dispari, la (Y) ha una soia risolvente razionale fratta; e quando la (Z) ha tutte le risolventi razionali dispari , tut- te le risolventi della (Y) sono razionali fratte . In ambedue questi casi riesce del tutto inutile il sottoporre la (Y) al me- todo de'divisori. Così l'equazione (Y) relativa al binomio — i20 -4- 1/ è 4/^ — 1 77 -f- ae = o , e non ha nessuna ri- solvente razionale intiera . Prevalendoci della (Z) che è z^ — 173 H- 40 = o , si trova subito (§.2,, es.a) z = — 5. Dunque r = — S 5 e siccome h = -^ ne deriva ^1= ^)=-^, e la radice è — | -t- 1 / — . (*) 5. 7. In seguito di quanto si è fin qui esposto si può ades- so concludere , che per ottenere il valore esatto di i/-\-[a\/b) giova istituire l'equazione ipotetica i/ (a-t-i/b)-=i- — — — : dedurne cubando Sa = z^-{-Szt . . .{a) , 8i/b =:{Ìz'^ -\-t)\/i . Quindi {F,aY — {8i/bY = {z'' ~ tf , cioè 2^ — * = 4i>(a"— *) e tr=z'' — 4^1. Cosi l'equazione (a) diventa 4-z^ — mhz — 8a=o, e divisa per 4 coincide colla (Z) , della quale si hanno facil- mente ( 5- a ) le risolventi razionali, ed in conseguenza C) Data un'equazione kx"'-t-ec.^o, prima di applicarle il metorlo de'diviso- ri, giova liberarla dal coefficiente k, al- trimenti può succedere , che l'applica- . ' zione di detto metodo non porti a ve- run risultate , quantunque la proposta abbia più di una risolvente razionale , reperibile dopo la trasformazione indi- cata . Del Sic. Pietro Franchini. a5i In pratica basta calcolare il valor di h [ = ^{ a^ — b )] per sostituirlo nella (Z) che si risolve come sopra . Questo metodo , il quale come ognun vede , altro non ha di comune con quello del 5-4' ^^^ l'artifizio con cui si ottiene il valore di t, ne differisce i." nell'equazione d'ipo- tesi : a.° nell'equazione finale: 3.° nella maniera di ottenere le risolventi razionali dell'equazione finale. Per conseguire anche più speditamente l'intento, giove- rà I ." osservare , che quando a sia intiero e è >► o -non può supporsi 2=2a, poiché l'equazione (a) diverrebbe 8«=8a^-+-^a^, cioè I = a^-+- 1 t , dove t ha necessariamente il segno di b . In moltissimi altri casi, l'esclusione del divisore aa si desu- me in un istante dal segno , o dal valore del coefficiente 3h della (Z) ( 5. a, n.° 3 ). a.° Con mettere a prova la prima coppia di divisori reciproci appena ottenuta, quindi la se- conda ec, poiché in questa guisa spesso ci riuscirà dispen- sarci dalla ricerca di una parte di tali divisori : circostanza favorevole che sempre ha luogo quando è /?>-o (5. a , n."!"). Le seguenti applicazioni, che non sono scelte fra le più fa- cili, faranno sempre meglio conoscere l'opportunità del no- stro metodo, anche nel caso che i numeri a, b siano fratti; caso pei metodo comune assai svantaggioso, perchè riducen- do la (Y) A forma intiera, l'ultimo suo termine notabilmen- te si accresce . Esempio i ." Si dimanda C/{ lo-t-l/ioS) . Abbiamo h=^ — 8 = — a, e la (Z) è s^-+-6z — ac = o. Esclusi i divisori i , ao perchè p > o (5. a,n.°3) pongo ao = a X io e fo /"= a , g=: IO. Siccome g — 6=f^ resta verificata, deduco — =r» ?[=i=^ — (_a)] = 3, i>(io-+-i/io8)=i-+-i/3. Esempio 2.° Si vuole j/' (81 -H 1/6534) . Essendo a'^ — ^ = 27 e però A = 3 la (Z) è 2^ — gz — 1 62 = o , e si tratta di verifica re g -4- 9 =/^ . Escludo subito i divisori i , 162; il primo per- ché l'ispezione della (Z) lo dimostra falso; il secondo perchè a è intiero e è > o . Suppongo 162 = 2X81 , ma l'equazio- ooa Saggi d' A l g e b r a ec. ne g -t- 9 =/* indica subito la falsità di questi valori . La terza coppia di divisori reciproci essendo 6,37, pongo /= 6 e trovo a,7 -)- 9 = 6" . Dunque — = 3, t ^= 3^ — 3 = 6, jX( 81 -(- 1/6534 ) = 3 H- /6 . Esempio 3.° Si cerca 1/ ( 7^ -<~ 1/ 77^ ) • Essendo h = ,/r/i^V_Ìil = -i, si ha z^^±,-JL = o. Pongo ijz=:ii ed ottengo ii^-^6ou — 1600 = 0. Dunque {§. a sul fine) u=io,- = -=y,^=--H- = -ed--H^-e la radice richiesta . (*) 5. 8. La ricerca delle risolventi razionali ed eguali di. un' equazione di 4-° grado x* -^ px^ -)- ^.r -H r =: 0 , per mez- zo del noto metodo del massimo comune divisore , essendo di sua natura molto incomoda , e ordinariamente soggetta ad un inutile tentativo; e la rtcerca delle risolventi razionali di- seguali per mezzo della ridotta s^-^%ps^ -^{p'' — 4'')-^ — 9^ = 0? esigendo talvolta un prolisso e fastidioso calcolo , o perchè sia troppo grande l'ultimo termine «^^ , o perchè troppo gran- di sieno i coefficienti di 5,5^, e grande insieme il valore de' divisori quadrati di ^^ ; ed essendo, come in seguito dimo- streremo, la suddetta ricerca impossibile col metodo genera- le, quando la proposta abbia una sola risolvente razionale, noi ci proponiamo di rintracciare le risolventi razionali eguali e diseguali, con un metodo semplice, che direttamente con- duca all'esatto valore delle medesime. Nell'ipotesi che la proposta abbia tre risolventi eguali. (*) Se ambedue i termini del binomio sieno affetti da irrazionalità quadratica, giova ridurre i radicali alla più sempli- ce espressione , e poi moltiplicare e di- videre tutto il binomio pel cubo di uno de' suoi radicali. Così |/'a43 -4-1/143 = 91/3 _8i-F33t/6 ~ 3|/3 = |/3-Hl/a . _3|/3(9t/3-t-iiiXa) "1^^= Wi — e la radice è p/3 Del Sic. Pietro Franchini. Si55 può supporsi x^ ->t-px'^ -\-qx-^r=i{x^-^ "ifx^ -»- 3/^jc q=/^ ) ( ^ :±: 3/) , cioè x'^ -'npx'^ ->nqx->r-r=ix^ — bf-x'^ zt 8/^:1? — 3/4 . ^q... ^^^,g > Dunque l'equazione data dev'essei'c x'^ — px^±.qx — 7- = o..(A) dove deesi avere — ^ se le risolventi eguali sono negative . Il confronto de' termini dà 6/-=;;,=t:8/3 = ^, 3/4 = r. Quindi p/| /? = I C^q = 1^5 r , ovvero />^ = i ar , q^ •=. ^ p^ . Queste condizioni, unite con quella che risulta dai segni del- la formola (A) , costituiscono i criterj per distinguere se un' equazione di 4-" grado abbia tre risolventi eguali. Verifican- dosi le predette condizioni si deduce x = \/\p-, x — \/lp, x-=}/'^p, x=i—lx/lp. Sia per esempio oò — %\x'^ -H 64^ — 4^ = <^ • Si ha j» < o ed r •< o i ." condizione : poi l/'^/»( = a) = ^j^64 = i^i6 . Dunque ar=a,=a,=2,=: — 6. Fatto il confronto di \/iP->\\/(l come al §■ i 5 si trova che y dev'essere un numero razionale. Dunque un'equazione di 4.° gradoni che abbia tre risolventi eguali, le ha tutte razio- nali . 5- 9. Pongasi che le risolventi eguali sieno due, e però x^ -Jr-px'^ •+- <7x -(- r = { x^ ih 2fx -\~f^ )(x^^z %fx ■+■ g ) = .r4_H(g_3/'^).r-=t2(/g-/3)xH-g/- • • • (B). Ne deriva gp = r , ± ^ {fg —p ) = q, g — ^f^ =p , dove i segni inferiori hanno luogo quando le risolventi eguali so- no positive. Dalia i.^f^ = — : la 3." diviene g"" — pg = Zr e a S= — valore razionale, perchè razionali debbon essere /, g, onde tale sia l'equazione (B) e però la proposta. Trovato g si deduce/ = i/ — , e se i valori di /, g , verifi- cano l'equazione zì= 2. {fg—f^ ) = q , la proposta ha due ri- solventi eguali , il di cui valore è /. Le altre si ricavano da X* hìt a/c -t- g = o . a54 Saggi d' A l g e b r a ec. Tre sono pertanto i criterj che decidono dell' esistenza di due risolventi eguali : r.° che iarH-/?=' sia un quadrato; a." che tale sia — ed inoltre un numero intiero; 3.° che i valori di S , Cloe ^ '^ \ i-' , 1/ -— _ verifichino I' e- quazione rt a {fg — /^ ) =: g . Moltiplicando per / l' equazione g — 3f^=:p si deduce /^ = -j (g — p). Pongasi questa espressione in — 3/^-4-a/g=y, dove si prendono per maggior comodo i segni superiori, e si avrkf=:— -. Dunque due risalimenti di un'equazione di 4-" grado non posson essere uguali senza che sieno razionali. Sia x'^ — é^ix'^ -i-'ja.x-^ iia:=:o . Avendo riconosciuto che si ha iar-f-jt;^:= I344-^- i68i =:3oa5 = 55^, deduco g=r: — — , 55 /• / "2 / • ...... — — ^7,/ = I/ = 4 5 ^ siccome questi valori sostituiti in ± a (/g— /3 ) r= q danno dz 8 ( 7 — i6 ) = 73 , equazione identica se si prende il segno inferiore, concludo che la pro- posta ha le due risolventi x=z4^ ^ = 4- Le altre due sono comprese in ^t;'' -i- 8:r -h 7 = o . Se nella proposta mancasse anche il 3.* termine, il me- todo sarebbe anche più spedito . Abbiasi x^ -+- 4^- -h 3 = o . Siccome laX 3 -i- o'' = 6" deduco g = i: 5- — = ± 3 , f=^ziz / — = rt I , e r equazione zt a ( 3 — i ) = 4 resta verificata con prendere il segno superiore. Dunque j?= — i,„t = — i e poi a;^ -H aa: -t- 3 = o . Questo metodo 3 è come ognun vede, molto piìi sempli- ce di quello che dipende dalla ricerca del massimo comune divisore, perchè la non esistenza delle risolventi eguali vie- ne spesso indicata dalla mancanza del primo criterio , quasi Del Sic. Pietro Franchini . aSS spmpre dalla mancanza de' primi due, e sì l'uno che l'altro con somma facilità si sperimentano . jg gj^-c 5. IO. Prima di accingerci alla ricerca delle risolventi razionali diseguali, crediamo a proposito di stabilire le due seguenti proposizioni . I. Che il metodo generale relativo alla soluzione di un* equazione di 4" grado, non è atto a somministrare il valore delle risolventi razionali , che nei casi in cui queste sieno due o quattro . JI. Che la soluzione ricavata dal metodo generale è di- fettosa in tutti quei casi, in cui niuna risolvente della ridot- ta è un numero quadrato . Per concepire la verità della prima proposizione , basta osservare che ciascuno de' fattori quadratici componenti la proposta , non può dare che due risolventi razionali , o due risolventi irrazionali . Se la proposta contenga una sola risol- vente razionale, non si può dunque averne il valore median- te il metodo generale . E chiaro poi che le risolventi razio- nali non possono esser tre , altrimenti la proposta sarebbe sotto una forma irrazionale , contro l' ipotesi . Passando alla seconda proposizione convien riflettere, che quando nessuna risolvente della ridotta è un numero quadra- to , i coefficienti de' fattori quadratici sono numeri decimali indefiniti . Eccettuato il caso rarissimo che questi sieno tut- ti periodici, l'inesattezza de' coefficienti debbe influire nel valore dell'incognita x, valore che risulta anche più inesat- to , quando il valore di s non possa ottenersi esattamente . §. II . Essendoci assicurati che la proposta equazione di 4-* grado non abbia risolventi eguali, suppongasi che ne ab- bia una di razionali , e si faccia x^ -hpx=' -i- gx -h r = { x^ ±fx^ -\- gx -¥- h) {x zp/) = ^^-^-{g-f')x--^{h zfifg ) X =f:fh = o . Dal confronto de' termini simili si ritrae g —p =p , h nr/g = q , zjzfh = r . Dalla I .* g =jt? -<-/'' . La a,.'' diviene hz^zpfzfip — ^ = 0^ a56 Saggi d' Algebra ec. oss'm f^ -i-j>f±z {q — h) = o...{C) dove il seo;no superion 8i riferisce alla risolvente positiva x=f: l'inferiore alla negati- va vX" = — f. Si divida r in due fattori e si pongano in (C) , •uno per y, l'altro per h. S'ella resta verificata, il valore di / è una risolvente razionale della proposta ; e se niuna cop- pia di divisori reciproci di /•, prosi co' segni -+- e — , la ve- rifica, non esiste alcuna risolvente razionale. Trovato /ed A si ha g =P -^f^ 0 e però si conosce anche il fattore di 3." grado . Sia x^ — ax^-i-iòx — iS=o . Abbiamo/^ — 2f±{i6 — 7i)=o, e i divisori reciproci di i5 sono 3,5; i,i5. Pongo /=:3, A = — B; f= — 3 , A = 5 ed ho 2,7 — 2,x3=t(i6-i-5) = o, — a7-t-aX3=t:(i6 — i5)=:o. Siccome nella prima si debbon prendere i segni inferiori, e questi danno o ^ o , inferisco x = — 3. La seconda, perchè si debbon prendere i segni superiori non resta soddisfatta . Pongo quindi /= — i , A = 1 5 ; f= i , A = — i S , e tro- vo che l'equazione (G) mediante la prima sostituzione diven- ta — i-i-a — ( i6 — i5) = o. Dunque x=i . Le altre due risolventi si hanno con dividere la proposta per (t-j-3ì (x — i). Sia x^ — Sx'^ — 4^x — 4o:=o. I divisori reciproci di 4o sono 1 ,4o; a,2,o; 4' IO-, 5,8 . Posto/=i suppongo x-)-/=o e però A = — 4^ • Preso il segno inferiore , perchè la risol- vente ipotetica è negativa, l'equazione (G) diviene I — 3^ — («-42.-+-4°) = — 3-t-3=:o. Dunque x =z — i . Abbiasi x'* — aBx^ -f- 6ox — 36 = o . Essendo 36 = i X 36 = iXi8 = 3Xia = 4X9 = 6x6, pongo /= i ed ar— i =o. Preso il segno inferiore perchè r è negativo ed / si suppone positivo, l'equazione (G) diviene I — a5 H- ( 6o — 36 ) = — a4 -4- 24 = c> e però si ha. x = i . Facendo /"= a ed x — a = o , 1' equa- zione (C) si cangia in 8 — 5o -(- ( 60 — 18 ) = — 4^->~4^ = ^- Dunque x = 2, . Divisa la proposta per (x — i)(^ — 2.) si • trova x^ -^ Sx — 1 8 = o , cioè a? = 3 , ■■= — 6 . Per Del Sic. Pietro Franchini. 257 Per far uso del metodo generale sarebbe stato necessario calcolare la ridotta s^ — Sos^ -H 7695 — 36oo =: o : cercare i divisori quadrati di 36oo , e sperimentare qiial di essi la ve- rifica . La seconda di queste operazioni è laboriosa^, e molto più lo è la terza, qualora non si ottenga presto l'intento, come fortunatamente succede nel caso attuale in cui ^ = 9. 5. 12. Gli esempj addotti erano diretti a dimostrare, che il metodo da noi proposto è per ordinario assai comodo e vantaggioso . I due esempj che seguono serviranno a dare una riprova della proposizione I del §. io, ed a stabilire per con- seguenza il pregio maggiore del metodo di cui si tratta . Sia proposta l'equazione x^ — Bóx^'-t- 600:1; — 1280 = 0. Esclusi i divisori i , a , che sono manifestamente troppo pic- coli, pongo /= 4 e però /i = Sao , e trovo che l'equazione (G) si cangia in 64 — 4 X 86 -h 600 — 3ao = o, cioè in 64 -H 280 — 344 = 344 — 344 = o . Dunque x = 4- • Divisa la proposta per a;— 4 si ottiene x^-t-^x^-^-joz-t-Szo^o, per cui è molto incomodo il metodo de' divisoli . Inerendo al metodo del §. 2 , dopo aver osservato che qualunque sua ri- solvente reale dev' esser negativa , e che per g non può as- sumersi alcun numero negativo, veggo che è necessariamen- te/< io, perchè Sa — 4"r- rx -^-s=^{x'^±¥x'^-^Gx^\{){x^'^i Fjph-I) =0 . Risulta G— F^-hI=/?, H=tF(I— G)=^, GI^iFH = r, m=^. Dalla I." G=/?-hF^— I. La a.» diviene ¥^ -^{p-^2l)¥±[q—tì) = 0 . . .(1) e la 3/I(;?H-F^ — I)=:rztFH . . . (a) . Se il valore assunto per H , I è giusto , l' equazione (a) dee dare per F un valore razionale ed intiero , e questo dee verificare l'equazione (i). Si vedrà però facilmente, che sic- come la massima potenza di F nell'equazione (i) è libera dal coefficiente , ed il metodo del §. a le si applica con molta prontezza, meglio è cercare la risolvente razionale dell'equa- zione (i) e verificar poscia l'equazione (a). Sia x^ — a5;t;^H- a3j;^ -H 58:t; -H ao = o . Facendo H = 5, 1 = 4 l'equazione (i) diviene F^ — 33Fiti8 = o, e preso il segno superiore si trova ( 5- 2 ) che la caratteristica g -f- 33 =/^ resta verifi- cata con fare g = 3,y=: — 6. Mediante la sostituzione di H,I,F nell'equazione (a) si ottiene ( — a5-4-36 — 4)4=58 — 3o , cioè 7 X 4 = ^8 • Dunque H = 5, 1 = 4? F = — 6, G ( ^ j» •+-f^ — z ) = 7 , ed i fattori cercati sono x^ — ó:c^ -t- '/X-+-6 , x'^ -i- 6x -i- 4 ■ Se s sia un numero primo, o se le condizioni (i), (a) non possono verificarsi , la proposta non è risolubile in due fattori razionali, e convien ricorrere al metodo delle sostitu- zioni successive . .'•■ .;;, ! '^ ■•!'■"., iL' Del Sic. Pietro Fìianohini . 261' Articolo IV. Si vuol dimostrare , che inoltrando quanto basta la se- rie de' numeri positivi decrescenti A, B, C, D. ec. ottenuti col metodo del Sig. Lagrange^ relativo alla soluzione in nu- meri razionali di un' equazione quadratica indeterminata , si giunge sempre ad un numero eguale all' unità . La proposizione enunciata nel titolo dell' Articolo at- tuale, essendo una base del metodo del Sig. Lagrange, e non trovando noi adequata la ragione su cui suole stabilirsi , ci proponiamo di darne una rigorosa dimostrazione: ed affinchè niuno debba cercare altrove la teoria che serve all'intelligen- za del nostro calcolo , riassumiamo qui l' insigne metodo del Geometra Torinese , modificandone in una guisa forse non disacconcia , i dettagli e le simboliche indicazioni . Assunta l' equazione generale ax^ -¥- hxy -+- cy'^ -f- dx -(- ey -t-y^ o se ne deduca ^ax-^by->r-d-=.\/\{hy-\- dY — 4''(c/°-HejK-(-/)], espressione, che facendo h"^ — ^ac:=.^^bd — 2^ae-=g,d^ — é{af-=.h si cangia in 3,ax-^by-i-d-^i/[By'^-i-2,gy-i- h] . Siccome per x , y si vogliono de' numeri razionali^ la funzione B/" -H ag/ -j- Zt dev'essere un quadrato. Sia t^ que- sto quadrato, e moltiplicando per B l'equazione By'^-*-!lgy-^^h=t'^, si avrà By -¥- g ■= [/[Bt^ -h g"" — Bh] . Pongasi g^ — BA = A , l/[ Bi^ -H A ] = M , e non si tratterà che di risolvere l' equa- zione Bt^ -4- A = M* . Trovate tutte le soluzioni di questa in numeri razionali , si hanno tutti i valori d' x , y per mezzo dell'equazioni x t — by — d u — g dove le indeterminate t^u posson prendersi con quel segno che si vuole . Avendo ridotti i numeri if , m al medesimo denominatore , aóa Saggi d' Algebra ec. pongasi 11 = — , t = — , onde 1' equazione da risolversi sia = — Ao^ , l'ultima delle quali è assurda, la terza coincide colla secon- da , e si rende simile alla prima con moltiplicarla per A , e con fare Ao = o', AB = B', poiché risulta o'^ — Bi/^'^ = A^'^ . Premesse queste nozioni preliminari eccoci alla soluzione . Sia nel 2.° membro il termine affetto dal coefficiente maggiore, e nell'ipotesi di A > B abbiasi (p'^ — B?/'^ = Aa*. Se la proposta è solubile, ijel qual caso esiste almeno un Del Sic. Pietro Franchini . a63 determinato valore di (^ e di ^, per esempio (p = m,tp=:n, si può sempre ( Teoria dell'equazioni indeterm. di i ." gr. ) soddisfare all'equazione m-=.an — Ai/v', dove m , n , k son numeri dati primi fra loro, perchè primi sono (p, tp ed A, ìp ; e dove a , ip' sono due indeterminate . Senza conoscere i va- lori m,n, si può dunque supporre (p =: aip — A^' . Cosi la proposta diviene / £^ )ip — zatprp' -H Aip'^ = o» ed a* — B dev'essere divisibile per A, poiché A, i^ sono pri- mi fra di loro. Sia =A'^^, essendo k'- il massimo qua- A. drato che può dividere il numero — - — , e 1' e quazione da sciogliersi sarà A'k'^ip'' — 2at/yi//' -+■ A4>''- = o' . . . . (a) dove A' non contiene alcun fattore quadrato . Qualunque sia il valore di a che rende a'^ — B divisibi- le per A , è certo che assumendo un numero qualunque ^ , deesi avere anche (^tAzira)^ — B divisibile per A. Ma nell' espressione ^A ± a si può prendere il segno di a ed il va- . . A A lore di fi tale, che (lA zìz a cada fra i limiti — , . Dun- que se vi è un valore di a che renda a* — B divisibile per A A A, debb' esservi un valore di a compreso fra i limiti —, — — , A ovvero =zh:— , che soddisfi alla medesima condizione; altri- menti la proposta non è solubile in numeri razionali . Si moltiplichi l'equazione («) per A'/t^ , e facendo j A'k^ìP — a7p' = (p',ka = o'\....{l) si avrà (p'^ — Bìp'^ = A'o''' . Risoluta questa si ha ^ , i^ , « per mezzo delle ausiliari (I) e della proposta (p^ — Bip^ = Aro"* . Osservisi che avendo preso a < — , il numero — — — cioè A', '■ 2 A** 2,64 Saggi d' A l c e b r a ec. A risulta positivo e < — : positivo, perchè se fosse a'*> B , cioè — - — non sa- rebbe divisibile per A che è >■ B , cioè — r — non sarebbe A un numero intiero qual dev'essere: è A'< — , perchè nell* ipotesi 1 a pili svantaggiosa , che sia cioè a = |A,B = o,A=r, si ha — — - = l A . Si può dunque concludere , che in virtìi del calcolo precedente , la soluzione della proposta dipende da quella di una trasformata del tutto simile , nella quale il A coefficiente A', che tien luogo di A , è < — . Posto che sia A' > B , dalla f'"^ — Bi/y'* = AV* deducasi collo stesso metodo una a." trasformata (p"^ — Bip"'^ = A"o"* , A' A e si avrà A" < — e però < — , essendo A" un numero posi- 4 IO tivo che non contenga verun fattore quadrato . Infatti , per giungere alla a.* trasformata convien trovare un numero a' tale , che sia un numero intiero A"k'^ ; ma siccome si A' a^— B . , , T • o'*— B o • ^ o è ottenuto = A^'' , la a." condizione = n. int. resta compresa nella i." "-^ = n.° int.° . Ora se vi è un va- lore di a che renda a^ — B divisibile per A', debb' esser ta- le anche il numero a=n'A'±:a. Dunque se si prendono il segno di a ed il valore di ^' tali, che a' cada fra i limiti ^,_^, o sia =±:-, il numero "-^ ( = A" ) dee risul- A' tare intiero , positivo e < — i numero che si può supporre libero Del Sig . Pietro Franchini . a65 libero da ogni fattore quadrato , per esser compresi in h!'^ tutti 1 fattori quadrati di . Se A">B deducasi una 3.^ trasformata (^"'^— Bi//"'^=A"'o"'», A" in cui A'" < e cosi ec. Si ottiene in questa guisa il se- guente sistema di trasformate secondarie (p'^ __ B^'^ = A'a'" , <^"» _ Bt//"^ = A"o"^ , (^"'^ _ B.//"'^ = A'V"% ) (a) ,j5(«)2 _ B(/-(")* = A(")«(")^ nell'ultima delle quali dee necessariamente aversi AM < B . Posto A(") = G si trasponga nel a." membro il termine affet- to dal coefficiente maggiore, e facendo (p^"-):=(pi^ ^(") = ?//,, o(") =1 a, 5 si tratterà di risolvere (pi'' — Co," = Be//," , per lo che giova procedere alla diminuzione di B per mezzo di un secondo sistema di trasformate secondarie <^.'- _ Co/^ = B'^y/% (^/'^ — Co,"^ = B"(//,"S ^/"- _ C«/"^ = B'>/"% ) [b) (^j('"> — CoiM^ = B('")i//,('")=' T> Tir dove B' < — , B" < — ec, finché giungasi ad una trasforma- ta in cui si abbia B('") ( == D ) < G . Sia nel 2,.° membro il termine affetto dal coefficiente mag- giore , e fatto (^,('") = (p^ , ,//,(™) = ^^ , a.('") = «^ , il proble- ma sarà ridotto alla soluzione di (p^"" — D(/^,^ = Co^* . Proseguendo si forma la serie A, B, C, D ec. compo- sta di numeri intieri positivi decrescenti, e la corrisponden- te serie di trasformate primarie : Tomo XVI. LI a66 Saggi d" x\ l g e b r a ec. ' I 5 (p}-Eo} = B4^,% ) (A). (p^^r) — U«^(,.) = T(^'*(,o ovvero (p\^ — Ui/^V) = T«^,.) dalla i.'' delle quali si passa alla a." per mezzo de' rapporti tt* — B = AA'k'' , a ossia («A rt a < — , a'^ — B = A'A"/;'* , a' ossia ^«'A' it: a < - , a" — B = A"A"'A;"^ , a" ossia fi"A" =tz a' < ^ ^(._,)._g__A('»—)A(«)yt("-")%a{"-') ossia ^("—)At''-0:ta(''-^)<-^ A'R e tale, che procedendo alla diminuzione di Q median- te la forinola = Q' si trovi Q' •< R . Noi diciamo che se la proposta è solubile , la prima o la seconda trasformata dedotta dall'equazione (I) dev'essere della forma tt^ — t^ = Ma^. La supposizione che sia R =: o < 7 e Q' < R non porta eccezione alcuna alla dimostrazione, perchè l'ipotesi di R>7 si liduce a quella da noi assunta, con diminuire i coefficienti Q, R uno dopo l'altro, finché il più piccolo divenga = o <;7, e l'altro sia qual noi supponiamo il coefficiente Q. Infatti se Q = 8 , 9 , 10,11 IO,, affinchè la formola —rrr— -, dove Q/l" R « < — j dia un numero intiero, deesi respettivamente avere R= I , 7,6, 5,4. Se Q -< la ed R = o < 7, affinchè la proposta sia riso- lubile, dee potersi dedurre —— - = Q', dove sia Q'< — ; poi Z* — R O' — — ^ = Q" , dove Q" < — e così ec. fino a Q("— 0, essendo Q("— ) tale, che Q(") risulti 12 ed R>7, s'inoltri la serie (*) Il Sig. Legendre ( Thégr. des Nomb. §. 20 ) rende ragione di questa propo- sizione dicendo := La suite des nomhres positifs et décTuissants A , B^ C , D ec. ne saurott aller à l' infini : elle se ter- minerà necessairement par V unite ; ed il Sig. Paoli (Elem. d'Alg. T.I,p. 169) si esprime rosi : Siccome i numeri A, B, C , D ec. formano una serie decrescente di numeri intieri, questa non potrà an- dare all' infinito ., ma sarà sicuramente limitata. Ónde se il problema non am- mette soluzione in numeri razionali , giungeremo ad una condizione impossi- bile a soddisfarsi: ma se il problema è risolubile , arriiJ eremo ad un' equazione , in cui uno de' coffficienti sarà un qua- drato ., e risoluta questa potremo rimon- tare retrocedendo sino alla prima. Noi però non restiamo persuasi di un simile ragionamento , perchè in astratto non vediamo impossiliile die la serie A,Bj C,D ec. sia composta di numeri non quadrati , e termini con uno de' numeri 3,3; ipotesi nelle quali la serie non dà luogo al conseguimento di un nume- ro = i . Del Sic Pietro Franchini . 269 Q',Q'\Q' ec. QC') finché sia Q(»')=:o<7, e se R non sia tale che R' risulti < Q("), si deduca R', R" , R'" finché giungasi al numero desiderato . Con una simile operazione deesi arrivare ad una trasformata , i due coefficienti V , W sieno tali, che il più piccolo V sia = o < 7, l'altro essen- do tale che W provenga < V . Ciò posto la dimostrazione è semplicissima . Noi sappiamo che se la proposta é solubile , tal è l'equazione (I), e che la forraola — ^ dee dare un in- tiero Q' < — e < R , onde ne derivi la trasformata (II) ^^(jM-i) — Q'ìp'{p^i) = Ro^ip^j) . Dunque — - — = n.° int.° ; e pei-chè £<— si ha — —i- ovvero — —^ = n.° int." La I .'' formola dà un numero intiero in tre ipotesi di- stinte e sono : i.'^ che sia Q' = a, R = 7; a." Q' = 3, R = 6; 3.° Q' = 4, R = 5, e queste conducono tutte ad un nuovo quoziente R' = i . La 2,.^ forinola dà un intiero se Q' = i , R = 3 . Dunque o si ha Q' = i e la trasformata (II) è quale si richiede: ovvero R , Q' sono tali, che la trasformata dedotta dall'equazione (II) risulta della forma ^""{pH-z) — o\p^!2,) = Q'tp''(p^2), cioè della forma richiesta. • AllTICOLoV Stili' Integrazione dell'equazioni a differenze, i di cui coefficienti sieno costanti , e V ultimo termine della forma a* . 5. I. Essendo proposta l'equazione si faccia /, = Zi-»-Ha'' , dove z^ sia un integrale particolare 2.-0 Saggi d' Algebra ec. della solita equazione ausiliare Siccome il valore espresso per Zx riduce l'equazione (I) all' ultimo suo termine a^ , altro non i-esta che verificare l'equa- zione Ha" — BHa"-' — CHa«-^ .... — THa — UH = i il che si ottiene con prendere H= rr* Sia per esempio 7a:-»-3 =jKar-H3 -f- 8/x-hi — ^^Jx -+-6^, e si co- minci dal soddisfare all'equazione Zx^l = S:rH-2 -H 8zx-i-i — 1 22; ,, , cou assumere z^ = w'' . Ne proviene riv — in^ — 8to -t- la = o , equazione le di cui risolventi sono m' = a , w'^ii , /« " = — 3. Posto — i per B, ed i respettivi valori di m nella formola da noi esposta nel T. XI della Soc. Ital. §. 4? per servire alla completa integrazione dell'equazioni di 3." ordine, le quali abbiano due risolventi eguali , si ottiene z. = a-i:^(-|)^4r::, = _3-S^(|)-A. La I .'' di queste formolo equivale a Zx = — — I — I -t-A,a;-t-A -, e per brevità può mettersi sot- to la forma z^^ = ^ . 3^ -h A;, . Jti^ -^ k^.o.^ . Pongasi j^ = A . 3"= -H /i, . ^ta* -i- k^ . a.'' ■+■ H6^ , e perchè B = -Hi5 C = -*-8, D = — la, si avrà IT _ l __i_ • 63 — 6" — 6.8-1- la i44 e per essere = , si dedurra i 144 4 6'—» y- = A . 3* -H A;, . ;r . a'^ -t- /e, . a^ H . 4 Abbiasi yx-t.3 = 4yx-^2 — /x-t-i — ó/^H-ó^, la di cui equazio- ne ausiliare Za-»-3=4^a:-+-a— z.r-i-y— ó^x somministra w^— 4'«^H- 7n — 6 = 0. Le risolventi di questa essendo w' = — i, w" = a. > / ■ tc'cct qJcc. (^/fa./. Je/Ù oic/c-tiY TTcjn XVi' /i^^-'. 'Z'^O c^>. Q, i^^-^tj a_T Il r.^ ^' i'/ jkZ.. \ • B cy«j IV- Q Al.--mo,-ce ?)/ VJ%afl.„.atcco, Q_Xc. oft^/. JJà kic/e,,^e 'zX„. XV/ ,,^^ ^Z^O CAy./ ^T ^ Ai II <--i^ 6^' Del Sic. Pietro Franchini. 271 7re"'=3, si ha Zx^=k3''-i-ki3,'':±zk^. Pongasi 7j:=^3^-t-A,2,*±:/t^ -+■ H6^ , e fatta la sostituzione si avrà 6H ( 6=^ -4- 6^ — 4 . 6 . 6^ -f- 6 V 6' ) = ó'' , cioè H = - 84 j TT/:r 6' 6'-' ed Ho^ = — = : per conseguenza 84 14 t- & jx * 14 Sia per ultimo es. jih-s = g/jr-^a — aó/i-^i -f- 24rx ■+■ S* . Si ha m^ — gm^-i-2,6m — i24 = o, irì ■:=. % ^ w" = 3 , rrì" ■=. é^-. e però 7^ = A; . a'^ -f- /t , . 3* -+- A;^ . 4^ -+- HS'^ . Sostituendo si trova S^H = 9H5^ — a6H . 5 -H a4H -+- r . Dunque H = -, — ^-r == — = — . T 5^ — 9.5" -t- ab. 5 — 24 laS — aa5-i-i3o — 24 6 Suppongasi che i tre primi termini della serie a cui la proposta si riferisce, sieno i,a,4- Siccome i respettivi va- lori d' X sono o , I , a , ne deriva a = a^ -4- "iki -t- 4^3 -H g 4 = 4/t -H 9^, H- \^k^ -H ^ e quindi A; = |,^, =|,/?;^ = — |. Dunque il termine gene- rale della serie i , a , 4 5 9 > ^c» ? ^^1 ^^- ^ 5.2'-4- 3. 3'-t-3. a'-t-S' 7,= _ L'integrale completo delle tre equazioni sopra esposte crasi da altri ottenuto, ma con un metodo sommamente la- borioso e prolisso . 27i DISQUISIZIONE SU I VARJ METODI DI ELIMINAZIONE CON IL COMPONIMENTO DI UN NUOVO MEMORIA Del Signor Pietro Cossali. Ricevuta li 20 Blarzo 18 la. ARTICOLO I. Metodo di uguagliamento del Newton e del Bezout . S- t Via dal Bezout tenuta non sicura dai fattori alteranti . N. cwton fu il primo a dare nella sua Aritmetica universale formole di eliminazione in simboli generali, e sino al quarto grado si estese. Sebbene poi, non recandone dimostrazione, occultato abbia il metodo , per cui ad esse giunse , credesì cionondimeno comunemente, che servito siasi del metodo di uguagliamento ; anzi , due essendo le vie che in esso batter si possono 5 pare , ignoro su qual fondamento , all' Eulero di poter assegnar quella dal grande uomo tenuta . Questa , a serbar l'ordine de' tempi, dovrebbe essere nella esposizione la prima: torna però meglio cominciare dall'altra, che il Bezout scelse; ed è ciò tanto più permesso, quanto che del cammino del Newton non si ha certezza . Date le due equa- zioni (I)A23-HBs='-f-Cs-f-D = o. (II)Pc3-hQ2^-hRz-hS = o, nelle quali A,B,C,D,P,Q,R,S comprendono quantità note , ed un' altra incognita / non più elevata che al terzo erado : Del Sic. Pìeteo Cossali . 37.3 grado : in Lieve sono funzioni al terzo grado non superiori di y , ma tali che A non sia divisore di tutte tre insieme le B,G,D, né P di tutte tre insieme le Q,R,S. Sottraendo dalla (I) moltiplicata per P la (II) moltiplicata per A, si ha per l'uguagliamento, ed abbattimento dei termini primi un' equazion di secondo grado: un'altra se ne cava sottraendo dalla (I) moltiplicata per Ps-l-Q la (II) moltiplicata per As-+-B; ed una terza se ne conseguisce sottraendo dalla (I) moltipli- cata per Pz^ -f- Qz -H R la (II) moltiplicata per Az^ -h Bi; -4- G . Ponendo per brevità DP— AS=G, BP— AQt=H^DQ— BS=K„ GP — AR = L, GQ — BR = M, DR — GS = N, le tre equazio- ni di secondo grado sono (i) Hs^ -+- Lz -(- G = o (2) Lz^ -)- ( G ^ M ) z -+- K = » (3) Gs^ -t- Kz -t- N = o . Da queste combinate a due a due , moltiplicando reciproca- mente per i coefficienti di z" , e sottraendo poscia un' equa- zione dall'altra si traggono le tre di primo grado, che se- guono [a) [L» — H(G-hM)]z-»-GL — HK = o, (è) (GL — HK)z-4-G- — HN = o, (e) [G(G^-M) — KL]z-hGK — LN = o, dalle quali ricavasi le tre espressioni di HK — GL HN— G» LN-GK L»-H(G-(-M) GL-HK G(G-i-M)-LK ' le quali ordinatamente si rappresentin per (a), (^) , (y) - Combinandole a due a due si ottengono tre equazioni libere da z , e in sola y , e quantità note . La combinazione della (a) e della (j3) somministra ((^)HG3-i-HMG='— HG(HN-4-ììKL)-hH*(K^— MN)-hHL»N=o. La combinazione della (a) colla (y) porge (i^)LG3.+.LMG-— LG(HN-H2KL)-LH(K"— MN)-hL3N=o. La combinazione delle due (/?), (y) produce (o) G3-t-MG^ — G(HN-i-aKL)-4-H(K- — MN)h-L^N = o. Si vede a primo colpo d'occhio che <^=H(o), e (^)=L(o). TortiQ XV L Mm >a74 '^"J "^ "^^^■' METODI DI Eliminazione ec. I fatLoii H,L sono di quelli, che dir si sogliono supertlui , inutili; io li chiamerò alteranti, riserbandorai ad esaminar poi se abbiano , o no qualche utilità . Si commenda per al- tra parte l' esposto metodo di Bezout siccome esente da fat- tori alteranti, anzi siccome il migliore di quanti se ne sia- no sino ad ora escogitati. Ma se esso dona l'equazione fina- le (ra) al dovuto grado, esso medesimo ci offre eziandio le due alterate (^),(t//). E ciò, che più contraddice alla lode, si è , che la ecpiazione immune da alteramento si è quella che pro- viene dalla combinazione della espressione prima di z colla terza tratta dalla equazione terza di primo grado, che comu- nemente non si calcola . E chi dubiterà che il siniile non sia per produr questo metodo in equazioni piìi alte? Che nel crescere il numero delle finali non cresca la moltitudine delie alterate ? Laonde necessario si fa il conchiudere , che esso metodo non è da fattori sicuro, in quanto che non n'è per ogni lato immune. Applichiamo ora la finale [io) alle due equazioni (G) z^—pz-^y{y'^—p) = 'ù. (D) 3j;3^ -h S/^z — ^ = o . Sono queste le due equazioni che dalla x^ — px — qr=o, tra- sformata in z^-i-3yz'^-^3y^z-*-y^ — pz — py — q=:o si tirano con uno spezzamento inverso a quello detto Cardanico . Pa- ragonandosi (C) alla (I) si ha A= i , B=o, C=: — p, D=:y{y^—p). E richiamandosi (D) alla (II) con moltiplicarla per z, si avrà paragonando P = 3/, Q = 3j^ , R = — q : onde si cava G = 3y^y--p),E = -^y%K = Sy^y--p),L = q-Spy, M = — 3jy>^, N = — qyiy'^ — p) ■ sostituiti i quali valori nell' equazione (o) , ne proviene r^ — -| py^ -^- j pY— ^ pqy^ H~^^^'^ ^P^17^— Y^Pty=^^ ■ Or tosto si vede esser questa divisibile per y . Ma di più si può anche divider per /* — p ^ e per quoziente n' esce la equazione (N) j6 _ 4^ ^^4 _+- i. ^^^^ _ i. ^^j ^_ ^ y- = o come in altra mia Operetta fu da me trovato . Del Sic. Pietro Cossali. a.'jS Anche dunque la finale (o), che in generale non ha fat- tori che l'alteri, applicata alle particolari equazioni {C),(D) riesce avvolta di due fattori /, J* — p i quali dal grado 6.", proprio della giusta finale di esse (G) , (D) , la sollevano al grado 9.° . Se ne presenterà evidente agli occhi la ragione , sotto di essi schierando le tre espressioni (a) , (/?) , (y) di 3 particolari al caso nostro ; e sono r(y' -pìlq" -^-^yUy"" -p) — ^P9y'i 3p'(y'-p)['//-^y'(y'-p)^ Che anzi combinando la seconda e la terza di quest' espres- sioni, siccome per formare la generale equazione (o) combi- nate si sono le generali espressioni (a), (y), pare, che pro- venir ne dovrebbe un'equazione in / di grado ia.°; ma i termini di /'", /'° spariscono distruggendosi i loro coelii- cienti , e il termine 7" non nasce. Ma i fattori alteranti , de' quali esce avviluppata la fi- nale (o) nella particolare applicazione , che si viene dal far- ne, sono ad essa imputabili? possono volgersi eglino ad ac- cusa del metodo? Sarà questo un altro punto, che diluci- derò a suo luogo . A tal dilucidamento appax-ecchierò intan- to strada con osservare, clie oltre al richiamare l'equazione particolare (D) alla generale (II) con moltiplicare , come è più in costume, essa (D) per 2 , vi ha un altro modo di ap- plicazione , qual è di richiamare inversamente la (II) alla (D) facendo P=:o; con che si ha Q = 3j, R = 37=^,S = — z/, sussistendo i valori A = i, B = o, C= — p , D = y (y^ — p): con questo inverso modo di condur 1' una all' altra le equa- zioni (II), (D) cangiati i valori di P, Q, Pi, S, divenuto G = — AS = 9, H = — AQ = — 3/, K = DQ = 3y"- {y^ — p), L = — AR = — 37- , M = CQ = — 3/ , N = DR — GS = ;V [y^ — p) — pq -, anche le tre espressioni di z si cangiano cosi: 3jir[q-*-3y(y--j))] ~ 3y[<3y-iy^{y'-p)] ~ >l'^o-j''b-'-p)-ipiy 276 Su 1 VARJf METODI DI ElIMINAZIONE CC . delle quali si ha una combinazione, quella cioè della secon- da e terza, relativa alla generale («), che dona l'equazione (N) senza verun fattore in y che ne alteri il grado ; e la combinazion delia prima con la seconda altera ( N ) con il fattore /; e quella della prima con la terza con il fattore di secondo grado y\ ma niuna con il fattore /=* — p. S- li- Via al parer dell' Eulero tenuta dal Newton prodiicente fattori alteranti . Eulero nella sua Memoria su la eliminazione, inserita negli atti dell'Accademia di Berlino anno 1764, espone un metodo , con il quale pare , a suo dire , che il Newton de- terminasse le formole di eliminazione , che primo ci diede sino alle equazioni di quarto grado, che perciò giusta al parere di Eulero io denominerò Newtoniano . Consiste esso in rendere eguali per reciproca moltiplicazione i termini pri- mi delle due equazioni, ed i termini ultimi^ con che sot- traendo dopo i' uguagliamento un' equazione dall' altra si avranno due equazioni di un grado più basso delle date , e replicando 1' operazione ne proverrà un pajo parimenti di un grado ancor inferiore , e così via via sino a giunger a due di ssemplice primo grado . Vediamolo nelle equazioni di terzo grado ; (I) As3-j-Bi'*-J-Cz-»-D = o. (II)P33-i_Q2^-+-R2-hS = o. Rendendo uguali i primi termini ne nascerà per sottrazione la stessa equazione v'^he nel metodo di Bezout, essendo stes- sissimo r operare . Avi'.'^nio dunque 7 compendiate come là le espressioni , (i) Hs^-f-L^-+-G = o. Si rendano ora uguali gli nltimi termini moltiplicando la equazione (I) per S , e la (II) vicendevolmente per (D) : sot- traendo questa da quella troveremo la (3) G2^-l-lC8-t-N = o, Del Sic. Pietro Cossali . 277 avuta nel metodo del Bezout alla terza reciproca moltiplica di (I) per P-»-t-Qz-t-R, e di (II) per Az^' -+- Bz -h G . E chi porrà un po' d'attenzione agli effetti di quelle e di queste moltiplicazioni ne rilei'erà da sé , senza che io mi dilunghi a dimostrarla , la ragione . Si trattino in simil modo le due equazioni (i),(3); cioè si uguaglino prima i termini di 2' , e si avrà, sottraendo, non altrimenti che nel metodo Bezoutiano per la combina- zione medesima, (*) ( GL — HK ) z -+- G^ — HN = o . Ma rendendo uguali gli ultimi termini ne sortirà con la sot- trazione un'equazione, che segnerò [d) (d) ( HN — G" ) z -H LN — GK = o. Finalmente rendendo uguali i primi termini delle due equa- zioni (b) , (d) si conseguirà per finale equazione libera da z, ( HN — G^ )^ -H ( LN — GK ) ( GL — HK ) = o cioè svolgendo (A)G4— G^(2HN-t-KL)-t-G(HK^^L-N)-HHN(HN— LK)=o. Ecco una equazione di quarto grado in G , e che per conse- guenza è certamente alterata da un fattore , poiché la fina- le (a) del metodo Bezoutiano parimenti in G é di terzo. Eulero dice, che è divisibile per G , e si vede tosto che que- sta quantità deve certamente entrar nel fattore ; ma non ap- parisce come essa sola esser possa il fattor tutto : soggiugne Eulero scoprirsi ciò sviluppando l'equazione, efFc'ttuando cioè dopo rimessi in luogo delle specie compendiose G, H, K . . . che io uso, i valori loro^ le potenze, ed i prodotti. Ma sen- za tutta questa pena io osservo essere HN — KL = — MG , cioè (BP-AQ)(DR-CS)-(CP-AR)(DQ-BS)=--(CQ-BR)(DP-AS): dunque avremo G4_G='(aHN-t-KL)-f-G(HK^-f-L=N) — HMNG = o, vale dire G[G3 — G(2HN-<-KL)-+-H(K* — MN)-hL»N] = o e nel moltiplicatore del termine in G , in luogo di un HN ponendo , KL — MG verrà 278 Su I VARJ MKTODl DI ElIMINAZIONE CC . G[G3 — G(HN-t-KL — MG-hKL)-hH(K='— MN)-<-L-N]=c, per conseii;uenza (A) = G(«), siccome nel metodo Bezoutiaiio () = L(a). Presentaiuio dunque il metodo Newtoniano l' equazion finale alterata dal fattore G, egli è quindi che Eulero il ri- getta , e ne deduce la necessità di proporre il suo , che poi vedremo . Qui permesso mi sia un riflesso sul calcolo , che Eulero medesimo fa del grado dell'equazione (A), otnraesso il fattore G , che viene poi ad essere il grado della [a] . Di- ce che essendo G di secondo grado , sarà 1' equazione [a] che monta a G^ di grado 6 .° Ma io osservo , che G = DP — A S , e D, P possono contenere ambedue 7^, e similmente con- tener lo possono le due A, S; dunque G può essere di gra- do 6.°, e per conseguenza G""', e quindi 1' equazione {ro) sa- lire al grado 18°. Nel caso delle equazioni (G) , 2; (D) ,G = 3/^ (/" — p) è di grado 4-° 5 6 l'equazione (tj), che risultar do- vrebbe di grado ia.°, risulta di q." sol percliè a ragione dei particolari rapporti delle quantità A, B, C, D, P, Q, R, S, e conseguentemente delle funzioni loro G,H,K si annullano i coefficienti di y'^ , 7"^ , e non risulta termi- ne in /" . Se tratto dall' equazione HN — KL = — MG il valore HN = K.L — MG s'introduca nell' equazion (tì?) , questa coin- ciderà con la (e) del metodo Bezoutiano^ e per finale equa- zione invece di (A) proverrà a dirittura la Bezoutiana («) . Dunque la equazion {d) non differisce dalla (r) che in aspet- to, essendo in fondo la stessa, ed il metodo Bezoutiano non è in sostanza diverso da quello che sul parere di Eulero io ho chiamato Newtoniano , e non è che un' utile estensione di esso, la quale all'uguagliamento dei soli termini estremi sostituisce un ordinato uguagliamento continuo dai primi agii ultimi , e la quale moltiplica le finali equazioni , e ne pro- duce una di giusto grado . I tre fattori H , L , G , i due primi dal metodo Bezou- tiano prodotti , il terzo dal Newtoniano , «eli' applicazione Del Sic. Pietro Cossau . ^79 alle due equazioni (C) , (D) ricevono differenti valori secon- do il differente modo di far convenire tra loro !a (II), e la (D) , o elevando questa , con moltiplicarla per z , al grado della (II), il die porta S = o, od inversamente abbassando (II) al grado della (D) , con porre a dirittura P=:o. Nel primo modo H = — 3/^ ; h^q — ipy; G = 3j^ { ''^ — P ) ■ Nel secondo modo H = — 3/ ; L = — 3/=^ ; G = r-{r-f)z'^-yz->r-b-{%a-f)y=.o . Avendosi qui A = i , B =/ , C = — y , D = ^ — ^ay ;, P = i , Q = j — /, R = — 7, S^Z» — ( 2,a — f)y-> e pei" le generali posizioni essendo H = BP — AQ, L = GP — AR, G = DP— AS, ne verrà H = B — Q=/, L = C — R = o, G = D — S = — /r, e quindi il primo divisore H^^ H- Lz -t- G =_/à^ — fy , ed il primo residuo (rt')=:| — y-+--^\z-h-b — 2.ay-i-y.y, vale dire b — aizy -+-/". Dunque l'equazione y^ — 2.ay -i- b = o sarà l'equazione fina- le libera da z , che ci darà i valori di j , e 1' equazione fz^ — fy = o , ossia z'^ — j = o sarà il divisor comune di se- condo grado delle due date equazioni (IV), (V), il quale per ciascun dei valori di y ci somministrerà due valori di z. Che z^ — y sia divisor comune delle eqqazioni (IV), (V) si vedrà cogli occhi instituendo le divisioni : la divisione di (IV) darà per quoziente z~i-y, e per residuo /' — 2,ay-^b; e la divisione di (V) darà di quoziente z-J-j — f, e di residuo y ^y — y) _t- è — ( aa — f)y-, che per la elisione dei due ter- mini — fy, -^ fy ricade nell'antecedente /* — ^ay-\-b, il quale, essendo per ipotesi =o, rende ambe Io divisioni per- fette, e dimostra 2* — /comune divisore delle due equazioni. Accennerò eziandio la maniera di costituire in genere le forme di due equazioni di terzo grado dell'esposta natura, ammettenti cioè un comun divisore di secondo grado , qual è 2^ -4- Y2 -t- Y' = o , intendendo per Y,Y', funzioni di/ an- che frazionarie . Supponendo le due equazioni desiderate es- sere (I) Az3_HB2^-t-Cz-!-D = o. (II) Pz3-+-Q2--f-R2-)-S = o, si cerca il conveniente rapporto tra le funzioni di / , A , B , C,D,P,Q,R,S. Per render la determinazione di tal rapporto più agevo- le , Del SiG. Pietro Cossali . 289 le, e più chiara, si suppongano A = P^i, e per non pre- giudicar al tempo stesso alla generalità si concepiscano, se piace , le altre funzioni di y , cioè B , C , D , Q , R , S frazio- narie . Confrontando s^H-Y^-i-Y' con Hì:^ -t- Ls -H G , e mo- dificando giusta l'ipotesi di A = P = i i generali valori H, L , G , si vedrà essere i=H=:B — Q; Y = L = C — R; y = G = D — s . Ad esser poi 2^-4- Yz -4- Y' esatto divisore delle due equa- zioni (I), (II), dovendo nel residuo (R") annullarsi da sé il coefficiente di s, ed essere l'altro termine una funzione di y { clie segnerò Y" ; dà potersi costituire in equazione , si avrà G — Y' — Y(B — Y) = o. D — Y'(B — Y) = Y". Cin([ue sono le equazioni, e sei le determinazioni da farsi, onde una resta libera, ed arbitraria: sciegliamo a fare B=Y"': saranno quindi B = Y"';C = Y'-4-Y(Y'" — Y);D = Y'(Y"' — Y)-f-Y" Q=Y"'— i;R = Y'h-Y(Y'"— Y) — Y;S = Y'(Y"'— Y)-f-Y"— Y'; e perciò le due ricercate equazioni saranno -3_^_y'V-+-[Y'-hY(Y"' — Y)]z^-Y'(Y"' — Y)-+-Y" = o, 23_^.(Y'"_ i)^-_h[Y'-hY(Y"'— Y)— Y]s-t-Y'(Y"'— Y)— Y'-f-Y" = o . Il comun lor divisore sarà z^-nYs-f-Y', ed il residuo di am- be le divisioni determinante i valori di/ sarà Y" = o; e per ciascun di questi valori di / 1' equazione c"^ -H Ys -h Y' = o darà due valori di s . ARTICOLO IV. Metodo dì contìnua condizione delV Eulero , dì nuove viste , e finali equazioni arricciato producente fattori alteranti . Da quello del metodo di continua divisione«non è diver- so il fondamento del metodo dàW Eulero proposto nel volu- me dell'Accademia di Berlino per l'anno 1764. Ma Eulero vi aggiugne un nuovo luminoso riflesso , e ne fa un nuovo maneggio, di cui dà un esempio in due equazioni, una di Tomo XVI. Oo ) ago Su I VARI METODI DI Eliminazione ce. terzo, l'altra di secondo grado. Sieno Dovendo le due equazioni verificarsi insieme , cioè V una e l'altra per un certo valor di z, qual esprimasi per Y, do- vendo per conseguenza ambedue le equazioni contener a fat- tore z — V , d' altro non si tratta in cercare una equazione , . ^ . . B C D R S senza z, e solo composta dei coemcienti —, —, —, —, —, che di determinare il rapporto di questi tutti in fra di loro, onde la condizione esposta abbia realmente luogo , cioè sia effettiva mente z — Y fattor comune delle due equazioni. Ec- co in fondo, ed in ultima analisi l'oggetto della eliminazio- ne di :; : determinar l'equazione, che leghi in tal continuo rapporto i detti coefficienti tutti , che si avveri la condizio- ne accennata; egli è di qui die io ho preso il titolo dato a qn!^sto metodo di Eulero di continua condizione . Si ponga pertanto • (III) --h1c-h| = (^-^-/)(^-Y). Moltiplicando reciprocamente (I) per z-i-f, e (ITI) per z^-hgz-i-h, dovranno i prodotti riuscir uguali, siccome ambedue =z — Y. Paragonando quinci i coefficienti dei termini simili di essi prodotti , si avranno le quattro equazioni R B- SR -GB- Q ^ A •' Q Q A A-' S R, D C/^/Sr ^ r per mezzo delle quali, discacciate /, g^ /i^ si otterrà l'equa- zione desiderata : e siccome il discacciaraento si fa con un continuo processo, che va continuamente legando fra loro nel rapporto alla mentovata condizion necessario i divisati coefficienti; così giusto mi par, che sempre meglio apparisca Del Sic. Pietro Cossali . aoi il titolo di continua condizione^ onde questo metodo ho di- stinto . Il calcolo poi per giugnere alla bramata equazione , espulse f,g,h, è agevole e senza ostacolo veruno, non aven- dosi a maneggiare che equazioni semplici. Tratta dalla i ." la espressione di /, e trasportatala nella a." , e da questa cava- \ ta l'espressione di A, ed introdotte le espressioni di/, e di h nella 3." si troverà qVq a/ vq a/ E con le medesime espressioni di /, ed h introdotte nella 4.* proviene B 'QVQA/'^QA , < B rv ^^A s_/_R_Bx D > <=^'e porro =-^-7; Q \ Q A/"*" A onde ne deriva p)[MM)-^T-[l(l-i)-(l-T)]B(|-lhl]^ Che se confrontisi , trovasi essere la equazione fornitaci dal continuo inserimento divisa per A^Q ; onde (E) = — i-j- (0) . A'Q Ommette V Eulero la determinazione di Y rappresentan- te il valor di z soddisfacente ad ambe insieme le equazioni, giusta che il problema esige . Prendendo a supplirvi , per maggior comodo, in luogo dei coefficienti fratti sostituite del- le spezie intere, rappresenterò le date equazioni (I), (III) così : (I) z3-(-a2='-+-/?z-+-y = o. (Ili) z'''^dz-+-e = o . Or si osservi che essendosi supposto z^^dz + e = {z^f){z-l) = z--i-{f-y)z-fY, si ha conseguentemente/ — Y = ^, — /Y = «; onde Ma f=d—oH-g=à—a-ha— - =zd—a-^a— - =d— - —d— - . 39^ Sa 1 VARJ METODI 01 ElIMINAZIONE 60. t V —su —et Dunque I = := -=: r = — . 1 u t Su — t ot — v . t s(S-a)-^y _ v _He—6)-*-Sy Devesi rillettere , che — =: — - — ;^ — ; r-; — — — ^ -— - . Per lo che trovasi, che la quarta espression di Y^, vale di- re ~ ^*- , coincide con la prima ^^ : cosicché di quattro si dt — v ' ^ u ^ riducono a tre : Y = =— — = — "' ■ ; e piìi distesa- li t òu, — t *• t niente y_ s(d-a.)-*-y _ t(s-6)^dy _ f [g(g-a)-(£-g)] ~ ~ &{ìi—a) — (e—t)) ~~ £ ( § _ a ) -K y d\d—a)-S(s—6)—e{8—a.)-Y La terza espressione , se ben attendasi , nasce dalle due an- tecedenti, moltiplicando il numerator della prima per ^, e dal prodotto sottraendo il numerator della seconda, con che si ha il numerator della terza; moltiplicando il denominator della prima parimenti per d , e poi sottraendo dal prodotto il denominator della seconda, e la differenza costituisce il denominator della terza. La ragione s'intende da una equa- — Et zione , a cui ci conduce la già notata coincidenza di ' o ot — v — 1_... . 5. 1 — eu dt—v con . Di qui cavasi eu = dt — v : dunque = — , U Oli. — t Oli — t cioè la struttura della terza espressione , che ho descritto . Dalla equazione eu = dt — v tirasi anche reciprocamente v=:dt — eu-, onde — = ~"'' . Per la qual cosa essendo — = — t t ^ ut sarà — = , e quindi f- = u( dt — £u ) . ut Ecco in breve forma la finale equazione (S) costrutta pella sola frazione — , senza che vi entri il numeratore v ^ u della frazione — . t Poiché per Y abbiamo indicato il valor di z, avremo di Del Sic Pietro Cossali . agS questa tre espressioni t St — eu su u, t Su — t ComLinandole a due a due si scopre tosto che la combina- zione della prima con la seconda, e quella della prima con la terza coincidono in dare t^ — u { dt — fji ) = o . E la combinazione della seconda con la terza si trova produrre d[t'^ — u{dt — eu)\-=zo : laonde abbiamo da tutte e tre in- sieme le combinazioni [t] t^ — u{dt-eu) — o. (2') = ^ (2) . L'equazione (2) darà i valori di y. Giusta il numero loro ciascheduna delle tre espressioni di z prenderà un numero di determinazioni diverse , ma per ciascuno ciascuna la deter- minazione medesima, ossia il medesimo valore. Le tre espres- sioni di z pei primitivi coefficienti delle equazioni (I), (III) saranno Q\(ì A / "*" A Q\Q A/"^AQ qVq a/ \q a/ qVq A/"*'A qLqvq a/ Vq A/J /R^ ^\/R_B\_ R_/^__C\ D • \q»""q/Vq a/ q\q a/ a Applicando il trovato sin qui alle due equazioni (C), (D), si avrà t— - , u -^ - ; et ; ou — - , du — t — j q , tu p-j , at — EU = i '—^ il — LlL ■ onde r equazione ^94 SiJ ' ^'-'^^'•' METODI DI Eliminazione ec. E svolgendo si vedrà essere (2) rrrp-j (N) e quinci (21')=7(2) = r-^ (N) • Si può trasferire il calcolo fatto per le due equazioni (I), (III), la prima di terzo grado, l'altra di secondo alle due di terzo (I)^ (II)" dedncendo pnina da esse la più volte usata di secondo grado (i) Hz* -t- Lz h- G = o . Trasportando dunque il calcolo dalle due (I), (III) alle due (I)z3^-Z^+-Z-H- = 0. (l)z^+_Z-4-- = 0, , T R r* s ' ' con sostituire — in luogo di — ; — in luogo di — si otterrà ^^)[l(^-^Kir~[¥(^-T)-(¥-f)][l(^-l)^Tr]=' che si uguaglia al (R") , a cui il metodo di continua division terminò , diviso per HA^ ; e perciò (A) = — ^ (o) , Se si desiderano le tre espressioni di z, esse sono: G/h B\ D 2.(2.— £.\ ^ hvh""a/'^a H\H a/'^ah z = L/L_^\_/G_C\ — 2.(L—^) £ hVh a) \h a) hvh a/'*"a hIhVh a/ Vh a/J Vii" H/VH A/ HVH a) A La combinazione della seconda con la terza espressione dona (A') = -5 (^) = h (°) • Ma cerchiamo la finale di eliminaraento per le equazioni (I) zi^lz^^jZ-i-^ = C. (II)23-+-^z--HyZ-H|=0, applicando loro il metodo di Eulero immediatamente . Del Sic. Pietro Cossali. agS A maggior comodo però si faccia onde sieno (I) s3^_B'z^H-C'z-hD' = 0. (II) 23_f_Q'5a_^R'2-HS' = 0. E si ponga inoltre D' — S'=G', B' — Q'=H', C — R' = L'. Dopo ciò concepiscasi (I) z^-i-B'z^-^Cz-i-T>' = {z^-\-gz-^h){z^Y). (II) z3 -H Q'a^ -H R'z -H S' = (z^-t-ez -»-/)( 3 — Y), si avrà ppT conseguenza (z3-|_B'2^H-C'z-*-D') (z^-f-ez-t-/) = (23-4-Q's^-t- R'zH- S') (s^-+-gz-f- /i) . Eseguiti i prodotti^ il paragone dei coefficienti di ciascuna podestà di z nell'uno e nell'altro somministrerà le cinque equazioni I." B'-He = Q'-Hg. a.^" C ■+- B'e H-/= R' ■+■ Q'g -H h . 3." D' -+- Ce -+- B/= S' -H- R'g -H Q'/i - 4.=' D'e -4- C/= S'g -H R'A . 5.» D/=S'A. dalia I .'' ricavasi e = — H' -t- g ; dalla a.' /= — L' -+- B'H' — H'g -f- A ; dalla 3.''H'A = C'H' — G-hB'(L' — B'H')-(L' — B'H')g; dalla 4.." g = B ^ ^che porro =B , ^ » L'(L' — B'H')-t-H'(C'H'-G') ^ " dalla 5.'ff = B ^ che porro =B ; onde È cosa degna di osservazione , che se invece di trarre dalla 3.^ equazione il valor di A, si tragga quello di g, e poi dalla 4-* e dalla 5.* si cavino due valori di A, e dal loro con- T ' — R' H' fronte si derivi l'equazion finale, riesce essa — rp — (i"— z/i^)=o. Di fatto dalla 3/ " ~L' — B'H' C'H'-G'-H'/i _,, g= t;-r-h' ^^> o()6 Su I VAKJ METODI DI ElIMINAZIONE CC, dalla 4.-^ (L'-b'H')(d'H'-b'G'h-^') c'h'-g' ,t(l'-H* C'H'-G' H' L' ( L' - B'H')-*- li' ( C'H'-G') H' „ dalla 5.^' C'H'-G' (L'-B'H')(d'L'-C'G'^^) c'H'-G' ff(L'-B'H')'' 7, :33 1 3= 1 H' D'H'^-+-G'(L' — B'H') H' t ,. , • /L'-B'H'\ , , Dunque uguagliando , proviene I ; — I [ t^ — uv ) = o . Si scorge , che la via migliore , vale dir conducente ad uiuì finale più semplice , è quella , che più ritarda le frazioni di denominator complesso . _ , , L G ^ V Lt — Gu Faro osservare che w= — t u , onde — = , e uh' t Ht tv quindi l'equazione . — = — , dalla quale fu inferito t^ — uv=o, si converte in Hi^ — u {Lt — Gu ) = o . Dal supposto z^ -i- B'z^-t-G'z-t- D' = ( z^-^gs-^h ) {s—Y) = 23_,_^g — Y)z^-f-(A — gY)z — AY si traggono tre espressioni di Y h-C -D' Y = g - B' = = — - . Abbiam veduto sopra cavarsi dalla terza equazione la re- lazion di g, A, cioè H'A=C'H'— G'-<-B'(L'— B'H')-(L' — B'H')g. Secondo ì due valori di g si tireranno i due corrispondenti di h '■ ■ A = i^(C'H'-G')-*-^(L'-B'H').l; A = ^(CH'-G')+^(L'-B'H').^. Distinguendo i due valori di g per g,g', e i due corrispon- denti di h per A , // , sei pare che ne dovrebbero provenire — B' . . le espressioni di Y ; ma la sesta — ;- coincide con la prima g — B' , onde ristringonsi a cinque Del Sic. Pietro Cossali. 297 Rimettendo in luogo delle spezie accentate B' , C , D' . . . i coefficienti fratti —, —, — . . . . si troverà G' = — = A A A A P DP-AS G „, H ^, L , ,. ^^AP' aT' ^^ap'^ compendiosa equazione t^ — uv =: e , si stenderà nella ,.,[H:^o(l-^)]-[l(l-H)^„(™_o)][^.c(H-g)]=, la quale è = -] (R") = H(«), l'altra equazion ^ ( L' — B'H' ) ( £^ — uv ) = o diverrà Ì(L-t)(^) = (l-x)H^ segnisi (a'). Le cinque espressioni di Y, e conseguentemente di z , saranno (fziMiilH(?-o) «(l-^")-.o. CBH* DH" A" A /DL CGW^ BH\ DHG v~~~A^"-A~ / — r La combinazione della prima, e della quarta dona la equa- zione (Q); e la combinazione della prima con la terza produ- B one prima e la g — Tomo XVI. Pp ce la equazion (Q,') : poiché la espressione prima è la g — — , aQS Su I VAEJ METODI DI ElIMINAZIONE CC. — D con cui si è notato coincider la — - per tal motivo qui om- messa; e la terza è la — ; dunque la combinazione della h — D — D prima con la terza è quanto prendere =— — ; donde A=/i', h' h che è l'uguagliamento, da cui si cavò sopra la (fi). E chia- ro che il numero delle combinazioni delle cinque espressioni di z a due a due monta a io, ed altrettante ofFerirannosi. equazioni finali . E di più a riflettersi che similmente dall' equazione si posson trarre cinque diverse espressioni di Y , ossia di s; e per conseguenza altre io finali equazioni . Che anzi con- giungendo queste cinque nuove espressioni con le altre cin- que , il numero delle combinazioni di tutte e dieci fra loro a due a due, e del pari 11 numero delle finah equazioni ascenderà a 45- Io non mi prenderò la pena di formarle , e sott' occhio stenderne la schiei'a . Bastano al mio scopo le due {Ù) , [DJ) rendendosi per esse a sufficienza palese che questo metodo di Eulero^ scorto da una luminosa considera- zione su l'ultimo oggetto dell' eliminamento, non gode però il pregio dall' esimio Autore creduto , di schivare i fattori alteranti; che anzi la finale {Q!) reca seco un fattore più complesso, che qualunque altro, da cui affetta presentata si sia la finale di qualsivoglia dei metodi superiori . ifuriq BÌi3ti 1!j.) ioihBi al ■' • o-irÀAa 6 1 mrT[ r,T' Del Sic. Pietro Cossali . 299 ARTICOLO V. Tdetodo di prodotto non producente che divisori , ma comuneinente inutili . S- I. Fondamenti del metodo per V Eulero . Calcolo di lui . Cose desiderate alla perfezione di esso . Se bella e profonda idea su l'intento della eliminazio- ne, e r uffizio dell' equazion finale produsse 1' Eulero nel volume dell'Accademia di Berlino per l'anno 1764, belle e profonde viste sul rapporto delle due equazioni a due in- cognite premesse avea nel volume per l'anno 1748, e meto- do più felice aveaue ordito. L'argomento della Memoria non è espressamente l'eliminazione, ma un argomento affine, e porta essa il titolo : Démonstration sur le nombre des poìnts , Oli deux lignes des ordres quelconques peuvent se couper . Ciò che vi è d' incidente , divenendo l' essenziale al mio proposi- to , è ciò che io debbo estrarne . Sieno le equazioni (I) 2™-+-a2'"-' -+- /?s'^-^ -j-yz'"-5-+- ^s'"-^ -4- 0 = o (K) s" -»- a'z"-' -+- ^'2'^-=' -H 7'2"-3 -H ^'s"-4 -H tt' = o le quali faccia mestiex-i combinar di modo , che ne risulti una , la quale non contenga più la lettera z . Si comprende tosto che il valor di z risultante da una di codeste equazio- ni deve essere uguale al valore di z risultante dall' altra . Dunque se l'una e l'altra equazione dia più valori di ^ , le due equazioni proposte potranno sussistere insieme, se un valore qualunque di z dato dall'una sia uguale ad un valore qualunque di z dell'altra. Supponiamo che tutte le radici della prima equazione sieno a, b ^ e , d , . . . . al numero m, e le radici dell'altra sieno a' , b' , c\ d' al numero n : egli è chiaro, che l'una e l'altra delle due equazioni proposte avrà luogo in tutti i casi , che una delle radici della prima equazione (^) sarà uguale ad una dell'altra (K) . 3CC Su I VAHJ METODI DI ElIMINAZIONE CC. Esse due equazioni si possono rappresentare così : ■ (I) {z-a)(z-b){z-c){z-d) = 0 (K) {z — a'){z — b'){z — c){z — d') = 0. E da tal rappresentazione rendesi manifesto, che se a = a., il valor z = a-==a' soddisferà all'una e all'altra equazione, e che accaderà lo stesso se a = b' od a = c' , od a =: d' Similmente il valor z := b soddisferà all'una ed all'altra se b:=a' , se =b', se =c' . . . . ed il valor z = c soddisferà ad ambedue le equazioni se c = a\ se ■=b\ se =c', se ■=.d Ed è evidente , che tutte queste combinazioni insieme rac- colte rappresentano tutti ì casi possibili, ne' quali le due pro- poste equazioni possono sussistere ad un tempo . Poiché dunque Tequazion, che si cerca per mezzo deli' eliminamento, comprender deve tutti i casi possibili, ne' quali un medesimo valore posto in luogo di z soddisfa ad un tem- po all' una ed all' altra equazione , egli è palese dover essa contenere tutti i casi notati , e perciò sarà ella composta dii tutti questi fattori , (« — «')(« — Z>'){«— e') (a — ^').... ^h — a:)^b—b')\b—d){b — d;).... (e — fl'){c-Z*')(c— c')(c-J').... \d — a:){d-b'){d — d){d—d) . . . . E poiché in questa equazione non si trova piìi z , dunque essa stessa sarà la equazion cercata per l'eliminazione, rac- chiudente tutti i casi, ne' quali le due equazioni proposte possono avere una radice medesima . Avendo pertanto supposto (K)z''^a'z"-'H-/?'2»-^-f-y'z''-3 . . . .-HT'=(z-fl')(«-Z-')(z-c')(2- J') . . .=0. Sostituendo successivamente in luogo di z nell'uno, e nell' altro membro a , b ^ e , d . . . . avremo , siccome dal secondo la serie dei fattori esposta , così dal primo questa ( a" -H a'tó"-' -+- (ì'a"-'- -f- y'a"-^ -+- d'a"-'^ -+- t' ) • i b" -¥■ a'^"-' -H ^'b"-^ -¥■ y'b"-^ -+- d'b"-^ -^'t')\ { e" -+- a! e"-' -*- /S'c»-» -H 7'c"-3 ■+- d'c"-^ h- t' } ( d" -+- aUl"-' -+- ^'6?«-^-t- y' J"-3 -H è'd"-^ -t- r' )' Del Sic. Pietro Cossali . 3oi che saranno in numero m giusta il numero delle radici del- la prima equazione (|), e il cui prodotto comporrà parimen- ti la cercata equazione finale dell' eliminamento . Egli è altresì evidente, che siccome scambiando le equa- zioni invertir si può il calcolo j così la stessa equazion finale rappresentar si può sotto la forma del prodotto ( a'"» -t- ad"'-' -H /?fl""-^ -»- 7a""-3 -t- da!"'-'^ -^6) ( b"^ -H ab""-' -4- ^b'""-^ -H yZ>""-3 H- db'"'-'^ -\-d) ( e"" ■+■ ad"'-' -4- /3c'"'-^ -f- yc"'-^ -+- òc"'—'^ -\-d) ( d'"' -¥■ ad"'-' -H /5J'™-" -H yd""-^ H- dd"'-'^ -\-d) ec. II numero de' fattori essendo re, quale il numero delle radi- ci a' ,b' ,c ,d dell' equazione (K) . Scielgasi ad effettua- re il prodotto primo . Vi nasceranno varie potenze , e varie combinazioni delle sconosciute radici a, è, e, ^ ... . molti- plicate fra loro . Ma per la teoria delle equazioni si ha — a = a-+-b-\-c-\-d. . . . ^ = ab -^- ac -i- ad -^- bc -i- bd . . . -i- ed . . . — y ^ abc -f- acd -t- hcd . . , d = abcd .... E per mezzo di a , /? , y , ^ . . , . si troverà di poter esprimere le somme delle altre potenze, o degli altri prodotti di esse sconosciute radici, come il dimostreranno gli esempj . S' in- cominci da due equazioni di secondo grado le radici supposte S=' -(- «3 -t- /9 = O z= -+- a'z -H ;3' = o dunque per esser /« = re = 2,j l'equazione, a cui l' elimina- mento condur deve , sarà ( a^' -)- a'a -+-/?' ) ( è^ -)- a'^ -f- ^' ) = o , che sviluppata darà a^b^ -\- aJab [a-^b)-^^\a? -^.b^)-\-a!^ab-^a: ^' {a-^b)-^p—o . Or avendo a-Hè = — a, ab = ^ , sarà a^ -+- è^ = a^ — a;? ; per conseguenza la equazion cercata sarà /3^ — a'a^ -H /?' ( a^ — a/? ) -4- a'^^ -4- a'/?'a -4- /?'^ = o . Siene al presente le due equazioni proposte di terzo grado a ^ b a' , b' 302, Su 1 VARJ METODI DI ElIMINAZIONE CC. le radici supposte a ^ h ^ c s^ -t- az^* "+- /So -t- 7 = o 2^ H-a'2= -+-;3's -4- y = o l'equazioii cercata priva di z sarà (a5-<-a'a^4-/3'a-H/) (^'3-*-a'Z*^-t-i3'Z'^-/) (c8-4-a'c='-H/5'c-t-y')=o ,. che per lo sviluppo diverrà H- 7'- (a^H-Z'^-Hc^) ^_ ^y (^3^_,.^^3_,.^^3^_^^g3_^^3g_,_^(,3^ _^ y'3 -i- ^'y- {a-\-b-^c)-^ ay- ( a° -l- Z*^ -»- e" ) = o intorno al quale bisogna osservare che tì.-»-èH-c = — a; ab -¥• ac -¥- bc =: ^ ; abc=^ — y ; e le altre espressioni si trove- ranno formate degli stessi coefficienti a,^,y nella guisa che segue fò=-t-è'-}-c==a='— 2/?; a=Z'-+-flZ»^H-a^c-Hflc=-+-è^c-+-èc^=— a/?-4-3y a 3 -b^-^c^=—a^-^Sa^—3y ; a?b-^ab^-^a^c-^aà->r-b^c-^bc^=:a^^—ay—ìi a~b--^a^c'^-^b~c'^=3''—2.ay, a?b'^-^a'^b^''-^a^c^-*-ar'c'-*-b^c'-^b^à=—a^^-^2.a^\ a^p _f_ ^3^,3 ^ ^3^3 _ ^3 __ 3^^j, _^ 3y^ . ! 1 Applicando il tutto alle due A A A '' ' P P P con fare si trova -1- («) . A3p3 ^ ' Mi sono dal principio ristretto a dire ordito questo me- todo da Eulero . Perchè i .° si desidera in esso una teorìa su- gli effetti del prodotto , la quale insegni a trovarli con certo ordine pei'spicuo, senza la meccanica moltiplica, e senza av- volgersi in una farragine di termini; a.° perchè vi si deside- rano le formole generali per ridurre ad essere espresse con Su I VARJ METODI DI ElIMINAZIONE GC. 3o3 i coefficienti a, ^, y, ^.... le somme delle potenze, e del prodotti varj delle supposte radici a , b , e ^ d . , . , Prima che io vi supplisca vediamo i tentativi del Cramer . S-n. Calcolo del Cramer ìnancante dì una esatta general dimostrazione . II Cramer dando l'anno 1750 in luce la sua preclara opera Introductìon à V analyse des lignes coiirhes algehriqites , vi aggiunse un'appendice per esporre un nuovo suo artificio, ad isfuggire nella eliminazione i troppi imbarazzi , la lun- ghezza laboriosa de'calcoli, e la soverchia altezza dell' equa- zion finale . Comincia dal presentare sotto una nuova fibr- ina le fi.inzioni di /, che fanno da coefficienti ai termini delle due date equazioni ordinate per le potenze di z . Ec- co come .,(.V) z™.4-[i]s'"-'H-[i^]3'"-^-l-[i3]z'"-3-4-[i4]s'"-*....-4-[i'"]=o ^^"(W) (o)z° + (i)s'h-(o)s=^-h(3)s3_h(4)s+ -\-[n)z-=o significando cioè con i, i^, i^.... chiuse tra le parentesi quadrate le fiinzioni razionali di y, che moltiplicano a mo- do di coefficienti le potenze di z in una delle equazioni da- te (V) , corrispondendo i numeri posti in capo all' i ai nu- meri sottratti da 7??, ossia co' quali vanno abbassandosi le potenze di z; e significando con i numeri progressivi 0,1, a , 3 .... . chiusi tra le parentesi rotonde i coefficienti delle potenze corrispondenti e'» , i" , a" ;, 3' . . . . di ;= nell'altra equazione (W) . Suppongansi ora « , Z» , e , ^^ . . . . le radici in numero m dell' equazione (V) . Trasportata ciascuna nell' equa- zion (W) ne nasceranno numero m equazioni (c)fl''H-(i)a'-t-(a)a^-+-(3)fl3^_(4)rt4 ^(,^)a»_.o (o) h''-^{x)b^-^{D.)b'^[i)b^-^{éi)bK...^{n)h'' = o (o) c"-4- (i)c^-h(2) c='-t-(3)c3-H(4)c-+ ■+.{ìi)c" = o (o) ^° -f- ( 1 ) d' -4- (2) d' -(- (3) d^ -H (4) f^-t . . . . -H (/?.) d" = o ec. 3o4 Su I VARJ METODI DI ElIMINAZIONE ec. il prodotto (Ielle quali costituirà requaziou tinaie di climì- nnmeuto . La prova che Cramer ne adduce, non è che un ristretto della dottrina dell'Eulero sopra recata. Ma qual sa- rà il contenuto di tal prodotto? come assegnaiuie senza l'at- tuale moltiplica l'effetto? Ciò è in che si adopera il Cramer. Si distinguano in ogni termine del desiderato prodotto il fattor primario^ ed il fattor secondario^ intendendo per fattor primario il prodotto dei coefficienti (o) , (i), (a) e per fattor secondario il prodotto delle radici a , Z* , e . . . . In quante maniere possono combinarsi a due , a tre , a quattro ec. le potenze da i ad m dei coefficienti (o) , (i), (2)5 (3) .... con legge, che il prodotto sia sempre del gra- do m , tanti saranno i fattori primarj . A determinar con ordine queste combinazioni si comin- ci dal prender la potenza m""""^ del coefficiente (o) scriven- dola così (C") ; si combini poi la sua potenza m — j»"™» con ciascun altro coefficiente scrivendo ( o™— 'i ) , (o"'— 'a) . . . in- di si combini ia potenza m — a"""" di esso con due qualun- que degli altri in questo modo (o'"— ^x .a), (0'"— '"i .3) .... così sino a no;» restarvi tra le parentesi che un o combina- to con un numero m — i degli altri coefficienti . Si passi ma- no mano a far il simile su ciascun altro coefficiente con or- dine , avvertendo di ommettere le combinazioni già avute in altra serie . A ciascun fattor primario corrisponderà il suo secondario, poiché supponendo farsi la moltiplica delle nu- mero m equazioni, ogni coefficiente nell'andare a combinar- si o seco lui , o con qualunque altro da una in altra equa- zione , e dal prodotto di due in una terza, e così via via, porta seco la potenza corrispondente della radice a^h ^ e . . . . a cui fa da coefficiente. Acciò meglio s'intenda, sia m=^n = 3 . Il fattor primario ( e . o . i ) avrà seco unito il secondario a'b°c° -i- a'^b^c° -i- a"b°c' z=z a -\- b ->r- e . Al fattor primario ( i .a.a) sarà accoppiato il secondario a'^b^c^ -^a'b^c^ -^a^'b'^c^ ; e per il fattor primario ( i . a . 3 ) sarà moltiplicato il secondario a'h^à -f- a*¥(? -+- a?b'à -4- d'b^c' -t- a^y^c"- -H a^é^c' . Ma come espel- Del Sic. Pietro Cossali . 3o5 espellere generalmente le sconosciute radici a ,b ^ e , d constitiienti nelle varie combinazioni delle potenze loro i fat- tori secondar] ? Riflette pi'imieramente Cramer che , essendo per ipotesi a^b ^ e ^ d . . . . le radici dell'equazione (V), per la teorìa delle equazioni ne segue essere a-t-è-f-c... = fi] coefficiente di 2™"' in essa (V) , cioè il fattor secondario del primario ( o""'! ) =: [i] ; il fattor secondario del primario (o™— ^i .ì)=iab-^ac-^ad . . . .-^bc-ir-bd . . . .-^cd . . . .=[i']; il fattor secondario del prim.ario (o™"~^i . i . i) = (zéc-f-aè^ -+-acd ....-¥- bcd ... . = {i'^) , e così di seguito, in modo che ottengonsi immediatamente e senza calcolo per i coefficienti dell'equazione data (V) tutti i fattori secondar] che hanno a primarj loro non altro che la potenza o'"~* ed un numero di volte h V 1 . Dopo di che l' Autore insegna ad ottenere con ordine per i medesimi coefficienti le espressioni degli al- tri fattori secondar] tutti col mezzo di un teorema che spie- ga con un esemplo . Sia da trovarsi il fattor secondario del primario (o'"~^i.a.3); si scomponga questo in due parti, una delle quali sia (o"~"^2,) fornita di una sola cifra significativa, qual è 2, minore di una unità della massima 3, che vi ha nel proposto fattor prima- rio; l'altra parte sia (e™— ^i . i .a), che da esso non differi- sce se non in quanto la massima cifra 3 è cangiata in i ; onde ne viene, che la somma delle cifre significative nelle due parti, cioè a -f- i -f- i -H a, riesce uguale alia somma delle cifre significative i -H 2. -4- 3 del fattor primario proposto . Prendendo ora i fattori primarj per indici dei secondar] ri- spettivi si avrà l'equazione (o"'-3i .1 .2)x(o'"~'4=(<^'"~^^ -i 4)-+-{c'"'~^^ •2..3)H-a(o"'-^i .1 .a.a) il cui vero senso è : il prodotto dei due fattori secondar] dei primar] (e™— ^i .i .a), (o'"~°a) è uguale al fattor secon- dario del primario (o""^! . i .4)5 più il fattor secondario del primario (o™"^! .2.3), più due volte il fattor secondario del primario {o'"~^i . i .2. .2,) . Il numero de' fattori primar] nel secondo membro dipende dal numero delle qualunque cifre Tomo XVI. {^(i 3o6 Su I VARj METODI DI Eliminazione ec. diverse , che sono nel fattor primario moltiplicando del pri- mo membro: distinguendo con tal nome quello de' due di es- so membro , al quale date si sono tante cifre significative , quante ne aveva il fattor primario proposto ; e chiamando quello, a cui attribuita se n'è nn^. ^oXa. ^ fattor primario mol- tiplicatore. Nell'esempio recato il moltiplicando è (c'"~^i.i.a), in cui vi sono tre cifre diverse o, i,a; pei'ciò tre sono nel secondo membro dell' equazione i fattori primarj . Per ogni cifra di esso moltiplicando se ne determina uno accrescendo- la del a , che è la cifra unica significativa del moltiplicatore (o'^—'ii), ed accoppiando essa cifra così accresciuta alle altre 0 semplici o iterate del moltiplicando lasciate nell' esser loro. La cifra 2, accresciuta di 2, dona 4? che associata alle due 1 . I del moltiplicando forma il primo fattor primario del se- condo membro ( c'"~^i .1.4)5 aggiungendo a alla cifra del moltiplicando i ne viene 3, ed accoppiandolo all'altro i ed al a di esso moltiplicando si ha il secondo fattor primario (o™~^i .a. 3); l'aggiugnere a alla cifra del moltiplicando o rende a , il cui assodamento alle cifre di esso i . i . a porta una replica del a, e produce il terzo fattor primario (o'"~+i . i.a.a). Questo vien preso due volte , ossia moltiplicato per a , per- chè contiene duplicata la cifra a, che nel moltiplicando è semplice . E generalmente se nel moltiplicando vi fosse nu- mero K di volte una cifra, e riuscisse numero K-i-i di vol- te in uno dei fattori primarj del secondo membro formati nel modo esposto , dovrebbe questo fattor primario moltiplicarsi per K-f-i . Il secondo dei fattori primarj del secondo mem- iaro è, come si sarà di già avvertito, il fattor primario pro- posto, di cui si cercava il fattor secondario; e così ben pe- netrando la regola comprendesi dover sempre avvenire , cioè che tra i fattori primarj del secondo membro dell'equazione vi cada il fattor primario, di cui fu proposto trovare il fat- tor secondario . Trasportandolo solo da una parte si avrà l'in- tento, come nell'esempio (?()(o'«-3i.a.3)=(o™-3,.,,2)x(o'"-'a)-(o'"-^i.i.4)-2(o'«-4i.i.2.2). Del Sic. Pietro Cossali . 807 Il significato della cjuale equazione è : il fattor secondario del primario (o™~^i .a. 3) è eguale al prodotto dei due fattori secondar] spettanti ai due primarj (c™""^! .1 .a), {o'^~'2,), meno il fattor secondario del primario (o'"~^i .1 .4)0 meno in oltre il doppio del fattor secondario , cui per primario com- pete (o'"~'^i .1 .a.a). Nel caso, ad esempio, di m = 3 sarà ab'c^ ■+■ a'bc^ -+- a^bc" -t- ab^c' -t- a'b^c -h a^b^c = ( abc" ■+■ ab^c -f- ci'bc ) ( a' -f- Z*' -+- e" ) — ( a^bc -h- ab^c •+• abé ) , essendo la serie dei prodotti nel pi-imo membro il fattor se- condario del primario ( i . a . 3 ) , a cui riducesi in tal caso di 77Z = 3 il generale ( o'"~^ i . a . 3 ) ; essendo 1' aggregato abc'' -t- ab^c -+- a'bc il fattor secondario attinente al primario (i.i.a); a^-^b^-^c' il secondario del primario (o.o.a); e l'aggregato a'^bc -r- ab'^c -\- abc'^ il fattor secondario relativo al primario ( i . i . 4 ) • H termine — a(o™~'^i . i . a . a) non ha luogo posto w = 3<4j e si vede chiara la ragione, ri- chiamando a memoria la generazione di esso termine forma- to coir aggiunta del a cifra unica significativa del moltiplica- tore ( o™~"'a ) alla cifra o del moltiplicando ( c'""~^i .1 . a ), la qual cifra o da esso moltiplicando sparisce nel caso di m = 3 restando solo ( i . i . a ) . Che l' equazione sia vera , si toccherà con mano eseguendo la moltiplica, e la sottrazio- ne, che nel secondo membro sono indicate. Mi è piaciuto di sciegliere a prova della verità dell'equazione {u) questo esempio in luogo dell'esempio, a cui l'Autore l'appoggia, a^ne che dal termine ommesso apparisse la regola da tener- si in casi simili . Conformemente a ciò , che si è fatto sul fattor primario [o^~-^i .a. 3) operando su quahxnque altro, del quale si desideri il fattor secondario, cominciando dal fattore primario più semplice , e ordinatamente procedendo ai più composti , si determineranno tutti i fattori secondar], e si verrà a capo di ottener l'equazione finale dell' elimina- mento . Ma non cercando Cramer del suo teorema una ge- neral dimostrazione , il suo calcolo manca di un matematico sostegno , ed ha bisogno di essere esso pure perfezionato ; 3o8 Su I VARJ METODI Di ElIMINAZIONE CC. per la qual cosa non è per ogni parte idoneo a perfezionare quello deìV Eulero . S- "i Calcolo composto di quelli di Eulero e Cramer perfezionati . È dimostrato comunemente dietro il Newton il Teorema seguente Teorema I. Data l'equazione (M) Az"" -+- Bz'"-' -+- Cz'"-' ■+■ Dz""-^ -»- 0 = o , o dividendo per A B e D , (M z'" -4- — z"'-' -+- — z'"-' -+- - z'"-^ . ^ ' A A A se le sue radici suppongansi a, b , e , d . . . n(') = a -+- b -^- e ■+■ d ... n(^) = a-' -^b' -^c' -^d' . . . n(3) = a^-^b^-^c^-hdK . . generalmente IK') = a' -i- b' -+■ e' -*- d'' . . . sarà n(^) = _ 1 n(^-' ) _ £ n(^-^) — - 0(^-3) o e si faccia tT intendendo per — il coefficiente del termine z'"""' sino a tan- ^ A to che r •< od = 772 , poiché al di là , divenendo cioè r'>m la formola finirà da sé in — Yiv — "^) . A Da questo Teorema si tira Teorema II. Se per IK^') si concepisca rappresentata la somma a^b' ■+- a'b^ ■+- a^c^ -(- aV .... Sarà n(^') = n(').n(') — n('-»-0. Poiché moltiplicando 11(0 cioè a^-^b'->r-c^ . . . . per IlC) vale dire per a*^ -\- b^ -+- c^ . . . . ne proverranno tutti i termini della forma a*"*"', e tutti quel- li della a^b' : dunque rimane dimostrato il Teorema . È facile vedere che nel caso di s=.t i prodotti saranno Del Src. Pietro Gossali . 809 a due a due uguali, cioè a^V ■= a^h' ^ a'é .... dunque non volendosi che la somma dei prodotti dissimili, si dovrà di- videre il provento di DM . 0(0 _ n(^-*-0 per a . E se per FK''*'") si rappresenti la somma a'Z.'c" -4- a'h"'c^ -H a*b'd* -4- a^h"-d -t- a%*c' -H a''b'd ... .-4- a'h^ct .... sarà ii(s,t, «)=n(o.n(o.n(")— n('-*-'-^-")— n(^-^' > »)— n('-^" - o— n(*-^" > *). Poiché dal prodotto FK') . UiO . IK") ne nasceranno i termini delle cinque forme a'-^^-^", a'-*-*b" , a'-+-"èS a^-^^b' , a'b^c" i dunque ec. Se s=t saranno i prodotti uguali a due a due, a^b^c"=a*b'c"', a'b"c* = a^b"c^ . . . . onde il provento della formola, desideran- do quello solo dei prodotti dissimili, si dovrà divider per due. Che se sia s = t = u saranno i termini uguali a sei a sei, a'b^c" = a'b'^c* = a^h'c"" = a%"c' = a"è*c' = ù,"b'c* ; per lo che volendo ristrigner il provento ai soli prodotti dissimili si do- vrà divider per 6 . Si comprende già il progresso di questa bellissima spe- cie di forraole , che diede Waring nelle sue Misceli. Anal. e 3Iedit. Alg. Probi. III. Or DW , n(''), n(''''") rap- presentano in genere quelli che il Cramer chiama fattori se- condar] . Ecco pertanto il modo di perfezionare il metodo dell' Eulero con il calcolo del Cramer perfezionato . Date le due equazioni (I) A2:'"-HBs'"-'-t-Cz'"-'^H-D2'"-^ . . . .-f-0 = O (II) Ps" -H Q3«— -H Rz"-^ -H Sz"-^ . . . . -H U = o , si esprimano i coefficienti delle potenze di z nella equazion (II) alla maniera di Cramer dando ad essa equazione la forma (o) z^ ^ (i) .-' -f- (a) z' -+- (3) z3 -H (4) s4 -4- («) s^ = o. Si formino in ordine i fattori primarj cominciando dal pren- dere la potenza in^""^<^ del coefficiente (o),poi combinando la sua potenza m — i««'«« con ciascun degli altri coefficienti, indi combinando la potenza sua m — a"""'' con tutti i possi- bili ambi degli altri ec; il simile facciasi successivamente su ciascun degli altri coefficienti , ma con rigettare le combina- 3lO Su I VARJ METODI DI ElIMINAZIONE ec. zioni già antecedentemente avute , e notate , notando le so- le nuove , il numero delle quali si anderà mano mano sce- mando sino a ridursi l'operazione combinatoria su l'ultimo coefficiente (ra), alla sola combinazione di esso seco lui nu- mero m volte, cioè alla sua potenza rn""^'^ . Adoperando per rappresentare i fattori secondar] in genere le specie 11(0 , n(^' '), n(*' '' ") .... si particolarizzino per i numeri dei pri- marj fattori i generali indici r , s , ? , zi . . . . , e ad ogni fat- tor primario si accoppj la specie per esso particolarizzata e- sprimente il suo fattor secondario. Finalmente per i due espo- sti, e dimostrati teoremi si determini qualunque delle parti- colari mo , n(^ ' 0 , n(^ ' ' ' " ) , e l' equazion finale di eliminamento desiderata sarà formata . Sia m = n=:S, cioè sieno le due equazioni date di ter- zo grado (Ì)A23h-B2^-i-Cz-hD = o (II)Pi3^Qz=H-R^^S = o la seconda delle quali cangiati i coefficienti alla maniera del Cramer si esponga così : (II) (o) z° ■+. (i) s' -4- (a) z' H- (3) z^ = o . La schiera ordinata dei fattori primarj , unitivi i rispettivi secondar] espressi colle specie che ho assegnato , sarà (o.o.c)-^-(o.o.I)^(')-l-(o.I.I)^(■,')-t-(I.I.I)^<^^')-^.(2.a.2)^l^^=').^(3 .3 .3)11(^^5) -t-(o.o.a)n(')-(-(o.3.2)n(»,=')-t-(i.i.2)n A^ , . /-BC 3D\ -(o.a.3)(: BD\ — BC^ aB^D cn\ A^/ I.I.I I .1.2 I.I .(3.3.3)(^) 1 .2 .a 3BD= ~a7 ,.3..3)(=££h „^/BCD 3DA ...3,(=^) ) Rimettendo in luogo degli ausiliarj coefficienti (o), (i), (a), (3) i dati S , R , Q , P , e così in luogo di ( o . o . o ) prendendo S^ , in luogo di ( o . o . I ) S^'R ec. , si troverà questa equa- zione, che segnerò (A) convenir con lo sviluppo («") della Bezoutiana («) diviso per A^ , cioè essere (A)=-^((j). 3 li Su 1 VARJ METODI DI ElIMINAZIONE CC. §. IV Calcolo del La Grange corretto e semplificato . Il celebratissimo La Grange nel volume dell'Accademia di Berlino per l'anno 1769, sebben dell'avviso che Eulero., Cramer , Bezout fossero tutti ben riusciti a dare dei mezzi per evitare nella eliminazione l'inconveniente di una equa- zione finale oltre il dovere elevata ; cionulladimeno si accin- se egli pure ad esercitare intorno al medesimo oggetto l'esi- mia sua analitica industria , assumendosi di offerire un me- todo godente ii vantaggio di ridurre la eliminazione a delle formole generali e semplicissime , quali potessero con facili- tà gli analisti adattare al bisogno . Lo spirito del suo meto- do è questo . Si diano alle date equazioni le seguenti forme (3-) 1 -i-a2-H/3z^-t-7z'-H5'24 -ir-dz"' = 0 Suppongasi , che i — az , i — bz , i — cz , i — dz al numero di ni sieno i fattori dell' equazione (^) , di modo che — , — , — 5 — .... al numero m sieno le sue radici . Dunque a o e d (^) = ( I — az) { i — l-'z ) { i — CZ ) { I — dz )....., e sosti- tuendo ciascheduna delle medesime radici nell'equazione (À) ne proverranno le numei'o m equazioni (y) I _H a'a -+- /3'a^ -H y'a' H- da'* -H r'a'" = o (g) i-i-ab-^ ^'b^ -¥■ y'h' ■+■ d'b'* -H l'b'" = o (h) 1-4- a'c -+- /?'c^ -H y'c' -+■ à'c^ ■+■ t'c"' = o ( i ) IH- a'd -+- ^'d^ -+■ y'd' -h- Ò'd^ ■+■ t'd"' = o ec . Segnando il prodotto di queste tutte (T) sarà {r) = {/)(g)(/0(O = 0 l'equazion finale di eliminamento . Questo , che è il fondo del metoJo dell' Eulero , quello si è pure, su cui il suo alza il La Grange . La diversità con- siste Del Sic. Pietro Cossali . 3i3 siste nel modo di formare il prodotto (F) . Appoggia il La Grange il calcolo suo ad una formola logaritmica , che per comoda citazione in seguito porrò io qui sotto il titolo di Lemma . Lemma . l{i -^x)-=.x — ^x^'-^^x^ — | a;^ . . , . Facendo successivamente x ■=■ — «s , =: — bz , = — cz si troverà l{^)=,l{i—nz)-^l{i—bz)^l{ì — cz)-^l{i—dz).... =z — z{a-hb-+-c...)—iz^{a^-hb^-hc\..)—iz'{a'-hb'-^-c\..) compendiando in À la somma a-i-^-+-c . . . . , in ^ la somma a^ -+- b"" -h e"" . . . . :, in v la somma a' -{- b' ■+■ c\ . . . ec. Sa»à similmente l(f)z= — À'a — l(i'a^ — ^v'a' — ^^'a^ l(g) = -A'b-i^'b--',v'b^-l^'b^.... l{h) = — A'c—i fi'c^—iv'c' — l |'c4 l{i) = — À'd -^2t^'d^ — i^v'd' — i^'d^ . . . . ec. intendendo per À' , {^i , v delle somme analoghe alle À, (j. , V . . . . , le quali è evidente dover essere riguardo a tutti li Z(/), l{g)-, l{h) .... le medesime, avendo le (/), (g), {h) .... tutte la costituzione medesima, e diverso so- lamente il simbolo della incognita, che in (/) è a, in (g) è Z» . ... Per lo che essendo l{r) = l{f) -^ l{g) -^ l{h) -h l{i) sarà l{r)=—A'{a-hb-i-c...)—^^'{a^-i-b^--hc\..)—^,v'{a'-^b'-\-c\..)—... =- W -i^^' -^,vv' -iW . . . . = o . Ponendo il secondo membro =; — (p sì avrà / (F) = — (p , don- de (F) = e~^ , supposta e la base dei logaritmi iperbolici ; e risolvendo in serie la quantità esponenziale , (r)=i_<^^i<^^_-i^^'.... = o. Per determinar le somme À , ^ , v .... À' , (x , v ... . una via spedita somministra il calcolo differenziale; poiché essen- do l{^) cioè /( I -^-az-^^'z'--+-dz'...) = — Àz — ^Hz^ — ^:Vz' — 5 Iz^ . . . . , variando z sarà Tomo XVI. Rr 3l4 Su I VARJ METODI DI ElIJVUNAZIONE eC. ez-i-yz^-+-Sz =■ — À — uz — uz^ — èz' Onde, tolta la frazione, e paragonati i termini si ricaverà A, = — a (.1 = a^ — 2,/? V = — a^ -i- 3a/3 — 3y § = a+ — 4a^/9 ■+■ 2.^'' — 4«/ — 4^' • Similmente differenziando qual più piaccia delle etjuazioni di l (/), /(g), l{h) . . . con far variare quella delie radici a,b,c..., che le serve da incognita , si troverà À' = — a' fi,' = a- — 2/9' v' = — a" -i- 3a'(3' — 3/ t' = a^ — 4a'^^' -+- iì/3'^ — 4ay — 4^' ec. Sarà dunque (^ = aa' -4- i ( a^ — 2/3 ) ( a'^ — 2/3' ) -t- i ( — a' H- 3a/9 — 3;/ ) ( — a" -f- 3a'/3' — 3y' ) -H , ( a* — 4»^^ A- 2/3^ — 4ay — 4^ ) ( a'-^ — 4a'^/3' -H a/?'^ — ^a'y — ^ò' ) . . . . quindi si formeranno (p^ ^ (p' . . . e si determinerà (F) . È però a riflettersi, che essendo fondamentalmente (r) = (/) is) i^'-) (')•••• "^ ognuna delle quali equazioni cadauno dei coefficienti a' , /?' , y' , ^' . . . . non vi è , che nello stato semplice ; e non potendo perciò nel prodotto di esse equa- zioni al numero di m montare ciascuno che alla potenza w, o formare tra loro che un prodotto di grado in; per conse- guenza si dovranno dalla serie del valore di (p rigettare co- me incompetenti quei termini, ne'quali i coefficienti a., ^yy^d... salgono a podestà , o prodotti di grado superiore al m . Ed istessamente rigettar si dovranno i nuovi termini contenenti podestà o prodotti di essi coefficienti oltra il grado w, che verranno a nascei'e formando (p^ , r- yz'^ ->r-dz^ ) : si troverà l[i^az-\-^z'-^yz^^dz^....)=zz[a-^0z-^yz''-^dz^....) — lz^i^a-^^x-^yz=--^dz^ . . .^ -{-^z^ {a-\-^z-\-yz^ -^dz^....)^ .... Si eseguiscano le podestà qui indicate, si raccolgano in uno i coefficienti di z , quelli di z^ . . . . poi si paragoni termine a termine questo svolgimento immediato di l{^) con lo svol- gimento della somma logaritmica de' suoi fattori, e si ottei- ranno le determinazioni bramate di /l , ^ , u . . . . Per simil maniera sviluppando una qualunque delle equazioni di l{f)-, /(g), l[h) . . . . per esempio quella di /(/), e ponendo lo sviluppo = — À'a — I //V — 5 va' .... si determineranno ^' 5 ^' , y' . . . Il calcolo però riesce laborioso . , Ma che sono in fine, dico io, le >^, ^a , t; . . . ., e le X' .^ (i' ,v' . . . .? Sono À, (i, V . . . . le somme delle semplici quantità , dei quadrati , dei cubi , delle più alte podestà di a, b, e, d . . . . denominatori delle supposte radici dell'e- quazione {^); supposto essendosi in essa z = — , =-r ? =— ? = — ... Or da questa ipotesi stessa si tira - =«,=è,=c^. ■=.d... Se dunque facciasi — = «' sarà 3'=a,=:J,=c,=f^.... e dividendo l'equazione {^) per s"' , e poi in luogo di —so- stituendo z', ne nascerà l'equazione inversa, o reciproca (^■) z''« -Has''"— -H /3z""-^ -(- yz"^-^ -+- ^s"«-^ ••= o , che avrà per sue radici a , b , e , d . . . -, delle quali X sarà la somma , e /x , u . . . le somme dei quadrati , de' cubi .... Del Sic. Pietro Cossali . 817 Per la qual cosa, richiamando il simbolo generale superior- mente nel metodo del Cramer introdotto 11(0, sono le X^yb, u ... le n(0 relative all'equazione (3''), reciproca alla data («S"). Di simil guisa comprendesi dover essere le /l' , ^' , u' . . . le jtC'') relative a qualsivoglia delle reciproche delle (/),(g), (A), (i).... relative cioè a qualsivoglia delle I _f_ a' . J. H- ^' . 1 -H y' ' -4- a' . -^ . . . . = O a ^ a'' ' a} a* ri /ir I I I •iir I i^«'.I._H^'.i,-H/.^-^^'.^.... = o ec. le quali tutte vengono rappresentate dalla o sia z'^ -t- a'z'«-' -H ^'s'"-^ H- y's'^-s -I- ^'2:'«-4 h- r' = o . Ecco dunque a che riduco io il metodo del La Grange . In luogo delle due equazioni (3-) I -f- as -4- (?z^ -+- 7^3 _^ ^^4 . . . , _H 6>z™ = o si prenda a considerare il pajo di equazioni {Sr') z'"' -+■ az'""-' -H yz'"'-'' -+- dz'"'-^ . . . . 6 ■= o (;i') z'" -+- dz"—' -4- 7'^'"-=^ H- a'z'«-3 . . . . -H t:' = o Si cerchino le IKO relative alla (3^') per mezzo della formola n(o=— an('— ) — (3n(^— )— j/n('— 3) — ^n(^-4) . . . . — r|, intendendo per % il coefficiente del termine z"'"*^ , sinché r< od z=w; poiché al di là, cioè divenendo r>w, la for- inola finirà da sé in dz''~'^ . Similmente si cerchino le ;t(') re- lative alla (À') per la formola 7i(') = — a'7i('-') — /?'.t('-^) — y'^('-^) — §'jr('-^) .... — ri' . Se ben però si attenda alla regola di escluder dalla equazion 3l8 Su 1 VARJ IMETuDI DI ElIMINAZIONE CC. finale tutti i teimini, nei quali le potenze, od i prodotti de' coefficienti di un'equazione sorpassino il grado dell'altra, de- ducesi potersi risparmiar la fatica di una particolar ricerca delle :t(') . Poicliè , supponendo /«•<«, determinate tutte le convenienti rK')^ nelle quali conservar si debbono tutti i ter- mini non eccedenti il grado n, si tireranno da esse le con- venienti Ti'^') , trascegliendo i soli termini non eccedenti il grado w, e cangiando in essi i coefficienti a, /? , y, è .... negli a', ^' , y' , d' . . . . E nel caso di m=.n non si avrà che a cangiar gli uni coefficienti negli altri in tutti i termini . Generalmente dunque il calcolo tutto si riduce alla determi- nazione delle n^) ; e la regola medesima assegna ad esso cal- colo il limite. Al giunger ad una IK) , la cui rK'"™) già tro- vata non abbia termine veruno di grado n — i , si tralasci di determinarla ; poiché essendo ogni più basso termine di Y\(r—m) (|g| grado n , il prodotto 011^— "0 ultima parte , e la più bassa di IK') salirebbe oltre il grado n . Per un altro ri- sparmio di calcolo, in luogo di determinar le IK'^) intere, ri- servandosi a purgarle poscia dei termini incompetenti, si pur- ghino a dirittura tra via, di mano in mano che si van for- mando, poiché purgate le inferiori minor si renderà il nu- mero de' termini di eccedente grado nelle supei'iori , e più spedita , quanto più contratta , riuscirà la successiva forma- zion loro . Vediamo un esempio nel caso di m = « = 3, cioè di due equazioni di terzo grado . Avremo , rigettati passo passo i termini al terzo grado superiori , n(') = _a 5r(') = — a' n(^) = a^ — a^ 7r(=) = a'^ — a^' n(^) = — «3 -I- 3a/? — 3y ?r(3) = — a'^-t- 3a'^' — Sy n(4) = — 4a^/? ->- 4ay -H 2(5^ 71^^) = — 4a'^/?' -+- 4ay -i- a/?'^ n(5) = _ 5ay — 5ai3^ -f- 5/9y jii^) = — 5ay — Ba'^'^ -+- S/J'y' n(^) = — 1 2.a^y — a/53 -+- 3f jt(^) = — 1 2.a^y — a/?'^ _(- 3^'=» n(7) = _ Yaf"- — 7/S^y ;r(7) = — ^ay^ — 7/3' Y n(8) = — 8/9y^ jr(8) = — 8/3'/^ n(9)=— 3;/3 ' ^(9)__3y.3_ Del Sic. Pietro Cossali . 819 È uopo osservare, che le n(^) , 11(9) lianiio ambedue un sol termine, e così le due 7i(^) , tc^"^) ; onde ingannerebliesi a par- tito chi arrivando ad una IK'), che, purgata essendo, restas- se con un sol termine, la prendesse per l'ultima delle con- venienti, e stimasse di non dover andare con il calcolo più oltra . In questo inganno è caduto lo stesso La Grange alla pag. 3i5 del citato volume dell'Accademia di Berlino nel determinare con il calcolo differenziale le somme che io qui esprimo per IK"^) , ommettendo egli la determinazione della n(9) : ommission che rende difettoso tutto il calcolo da lui tessuto per formar la finale equazione di eliminaaiento , ed in questa stessa produce la mancanza di un termine . Ciò che dapprima non sospettando io , e con piena fiducia seguendo le vestigia dell'esimio Autore, in faticosi iterati calcoli mi avvolsi , in pt^na ed imbarazzo nel confrontare essa finale e- quazione con quelle dagli altri metodi ottenute , sinché con più seria riflessione ai principi , e diligente esame delle ope- razioni dell'errore mi ac^^orsi . Le !]('■), ;;r('') o per loro stesse, o per il rigetto già libe- re dei termini incompetenti, cioè al dovuto grado superiori, chìaminsi le FK') , 71^'') purgate. Moltiplicando con ordine cia- scuna corretta EKO con sua simile corretta :t(') , prendendo intero il prodotto n(').:;r('), la metà del prodotto IK^) . :;r(*) , ^ del prodotto IK^) . ti^-'^) , j- di OW) . 7t^^) .... la somma costitui- rà

) ( - '^aJy'- - q^y ) -ki-m')(-m'')-H--¥){-^Y") -h i ( aa' -+- a^^' -H 3yy' )^ -+- ( (?a'^ -(- Sya'^' ) ( ^'«^ -1- Sa/?/' ) -^(aa'-Ha/3(5'-.-377')(-/3a'^-37a'/?'-a^/^'-3a,/?/-4«'a'^-H3a/?a'/3' -t- io'ya'y ■+- -iay^'^ -h aa>'^^ ■+- /?^/?'= -h -S/?//?'/' -t- 1 7^7'^ ) — -^ ( aa' -t- 2/3.5' ■+■ 5yy' f Il termine j che manca nella equazion finale calcolata dal La Grange si è il — g { — 3y^ ) ( — 3/' ) ^ che dona — y^y'^ . Ad applicare codesta finale alle due equazioni (I), (II) e confron- tarla con le finau per gli altri metodi conseguite , primiera- mente si pongano le {I), (II) sotto l'aspetto delle (3"), {A) così B ^ A3 ,j^. Q I Ri Si D D ^ ' P z P z^ P s^ Indi in luogo di queste considerando V / D D D ^ ' P P P corrispondenti alle due (, e q:=3py=s:±i6pi/lp . Si avrà dun- z que l'equazione x^ — px =p:6/>i/^/» = o, di cui sarà radice x = z -i- y =dz\/^p :±:VL[/lp = d:z3i/\pf e la chiameremo la radice prima; nota la quale rendesi fa- cile, dividendo l'equazione per xzf:Si/^p , trovare le altre due . Saranno pertanto le tre radici x=:±=3^/^p,x=^zà^/^p^l^/^5p,x=^^^/^P—^^/—5p. Essendo q — 3py moltiplicatore dell'equazione (N) , ba- stando per altra parte a rendere effettivamente il prodotto {q — 3py) (N) = o la posizione q — 3/»/ = o , nasce dubbio, se stante tal posizione ritenga o perda (N) il suo diritto di equazione, passando, reciprocamente che q — 3py , allo sta- to di mera quantità? Ad acquistar lume su questo dubbio, pongasi che ritenga di fatto (N) il suo essere di equazione , e vi si introduca il valor di q=ziz6pi/^p effetto della po- sizione q — 3py = o . L' aspetto particolare che prenderà (N) sarà Del Sic. Pietro Cossali . 3a5 (N') / _ |^^4 H- ^j,y' rp -/;? V 5/^ -*- J^ = ^ • Or questa equazione trovasi divisibile per /^raj/i/?, risul- tandone a pei-fetto quoziente y^^-2,y^i^^P'^^p'y^^p*i/iP- Concordano dunque fra loro le posizioni q — 3/?y = o, (N') = o, e fatta la prima posizione , non vi ha che osti a conservar contemporaneamente (N) = o , purché si dia a q quella mo- dificazione , che la prima posizion importa . Se inversamente , senza punto pensare alla posizione q — 3py = o , ad arbitrio formata si finga l' equazione x^ —px± bpi/lp = o, sarà, sostituendo z -t- y in luogo di x, la trasformata z^ •+■ Syz' ■+■ Sy'z -4-7^ — pz — py z^z 6p \/lp = o , e le due (G), (D) provenienti per spezzamento al consueto contrario saranno (C) z^—pz-\-y(y'—p) = c (D') "òyz^ -\-%y^zz^òpi/^p = o, e la risultante dall' eliminamento di z precisa troverassi (N') j6 _ |py^ H_ ^^py m ^yp' ^ip H- ^y = e , ed il fattor alterante q — "òpy = rt bp\/\p — 3/»/ . Per lo che avendo (N') a suo divisore /"aj/'^/;, con- seguentemente a radice sua /=:rtaiX^/?, si ricade, trasfe- rendo, in it 6/7 |/f/7— 3/?7 = d= 6/?i/ i/7 -p 6/7^/1/7 = g; laonde per ogni parte confermasi la contemporaneità di q — 3/7/ = o , ed (N) = o , posto q ■=■ ■±z 6p y/ \ p . Nella II." delle mie Lettere apologetiche dell'analisi stam- pate l'anno 1783 nei num. XV, XIX, XX del Giornal Let- terario di Venezia intitolato Dai confini d' Italia , ho addot- ta la metafisica ragione , perchè spezzandosi la trasformata 2^ -+- 3/z' -«- 3/'z -4-7^ — pz — py — q = 0, pel modo usitato nelle due (A) z3-i- j3 — ^ = o (B) Sz'y ■+■ 3zy'—pz —py = o, la risultante dell' eliminamento di z (E) 7* — qy^ -+- J^ /7^ = o riesce di sesto grado . In compendio la ragion è, perchè i ° sostituendo z-j-/=:r, 32,6 Su I VARJ METODI DI ElIMTNAZIONE CC. tal sostituzione non spetta più ad una che alle altre due ra- dici dell'equazione x^ — px — q z= o , onde necessariamente spetta del pari a tutte e tre , e virtualmente racchiude tre sostituzioni, così che distinte per x' , x'\ x'" le tre radici di x^ — px — <7 = o , e per z' , y' le parti di x' , per z" , /" le parti di x" , per z'" , y'" le parti di x'" , la sostituzion sola z-i-y=x equivale alle tre z'-hy'^x', z"-+-y"=x", z'" -hy'" =zx"\ e tutte insieme le comprende. 2,," Perchè essendo le equa- zioni (A), (B) similmente costituite riguardo a 2:, e 7, di modo che cangiando z in jy e reciprocamente non nasce in (A), (B) cangiamento veruno, per conseguenza non vi ha ra- gione che la risultante contenga piuttosto i valori di y , che di z , onde a comprendere tutti e tre quelli di / , e tutti e tre insieme quelli di z prende il sesto grado . Questa meta- fisica ragione è intieramente per ugual modo applicatile alle due equazioni (C), (D) di spezzamento al consueto contrario, e quinci intendesi , perchè la finale (N) riesca di sesto gra- do . Di questa verità ci procura una conferma di fatto j ed oculare il caso di q=:±6pi/^p. Si esperimenti, e si tro- verà esser (N') non solo divisibile per / ip: a j/ i jf? , ma del pari per y ZfZy^^p , sebbene sia propriamente ±i/^p il va- lore ^ che, posto in (D') jy = ± aj/jjw, risulta per z; a tal che si appalesa E che è la equazione di quarto grado ? Non resta più luogo a dubitare , che siccome la equazione di secondo { y ^W\P ) (7 HH \/\p )=f ^ ^y\/\P -*-!/? = o, contie- ne sotto il simbolo / a radici sue le parti reali y=rta[/'^/7, 2' = ±1/^/7 di x! reale; così la equazione di quarto grado sotto lo stesso unico simbolo y comprenda a radici sue le al- men due immaginarie parti j", z", jy"', z'" di od\ x^" imma- ginar] . Mi sono alquanto diffuso sul fattore alterante q — 3/?/; potrò trascorrer celere su l'altro y'^ — p^ lasciando al leggi- tore d'applicare i riflessi . Costituito questo alterante fattore Del Sic Pietro Cossali . 827 in equazione /^ — p = o, si ha tostamente / = :JZ|/'/7, ed annientato nell'equazione (C) l'ultimo termine, ridotta essa ai termini z^ — ■/?z=o, divisala per z, si ottiene 2 :=:±:(/'y!^z=j, onde, sostituendo nell'equazione (D) , trovasi q-=z±z6p\/ p. Quindi la equazione x^ — px — ^ = 0, si modifica in x^ — px rp bp [/ p = o , la cui prima radice :f = zt i//? ±: |,//? = rt 2, |/^ , e le altre due, dividendo per xz^ 2.\/ p -, si trovano a; = :;= i/p -H 1/ — 2// X = =H \/p — /" — a/7 , la equazion (N) riceve la modificazione (N") 76 _ Ipy^ -H r^pY I^ J.r/7" i/p ^'^p^ = o, che rinvienesi = (7 =^= t/> )' {y" — ^y^ \/p -^ ìpy'' — ì/p [/p-^ìp')- Del rimanente codesti calcoli fondati su le posizioni q — 'òpy = e , y'^ — p =0 , lungi è che dir si possano calcoli di scioglimento dell'equazione x^ — px — q ■= o per la (N) , determinando per p^ e q le parti z^y di x\ che anzi dir si debbono inversamente calcoli di fabbrica dell'una, e dell'al- tra, determinandosi per le parti z,/ di x sapute pria il va- lor di <7 ; e ben di fabbi-ica particolare , fissandosi per q ■=:±i(ìp\/ jp , q ■=^±()p\/p tra q, e p dei rapporti parti- colari lontani da quella generalità, e indipendenza tra loro, che poteasi prima in essi contemplare . Egli è anzi a riflet- tere , che r artificio dello spezzamento al consueto contrario nelle due (C) , (D) , avendo per oggetto di conseguir per tal via sotto reale aspetto le parti z ^ y di x ^ che per lo spez- zamento consueto della trasformata nelle due (A), (B) pro- duconsi sotto aspetto immaginario, suppone perciò xq^'^^p^- Or le equazioni q:=±6p\/ \p , q-=i:iz()p\/p , dando la pri- ma 5 ^* = 3/?^ , la seconda \q'^ ■=. g/?^ , fassi evidente quanto escan fuori di esso supposto, nel contrario \q^~>jaP^ get- tandosi , e trascorrendo . Propriamente dunque le posizioni q — 3/?j = o, y^ — p^=.o ci rimovono dallo scopo, a cui s' in- tendea , ed altrove ci trasferiscono . Per le quali cose tutta , ^ 3:28 Su I VARJ METODI DI ElIMINAZIONE CC. al più, l'utilità, che loro donar si può, si è di averci con- dotto ad una conferma di fatto, che l'equazione (N) contie- ne non solo i tre valori di /, ma sotto questo simbolo me- desimo i tre ben anche di z . Dico al più , poiché , senza trasmutar in equazioni i fattori alteranti q — 3/?/^ j' — /?, si potevano, e si possono di capriccio fingere simili equazio- ni in numero infinite, istituire simili calcoli, e lumi simili conseguire . E già tempo di procedere a considerare 1 fattori alteran- ti in generale. Dirigiamo l'attenzione ad H(a) = o. Ci si presenta tosto questo punto di ricerca . I ." Per la teorìa generale delle equazioni la equazione (o) 5 che è la prima Bezoutiana , concepir deesi composta di un numero di fattori : rappresentiamoli per F' , F" , F'" .... si chiameranno quésti a differenza del fattor H legittimi? Ma per lo appunto, qual ragione di sì diverse denominazioni? Qual è il carattere che li distingua? Fattore alterante api>el- lar si deve quello , che non abbraccia tutti i coefficienti A , B, C, D.... P, Q, R, S...., o da essi tutti quanti non dipende; e che costituito in equazione induce mutazion nel problema. Esempigrazia il fattor H = BP — AQ non racchiu- de che i quattro coefficienti A, B, P, Q, e nulla affatto di- pende dagli altri . E si osservi non essere la medesima cosa contenere tutti i coefficienti, e contenere la incognita nella eliminazione salvata y con tutte le quantità note : il fattore particolare q — "ipy contiene egli la incognita y , e le quan- tità note/?, q, che sono le sole, che nelle equazioni (G), (D) unitamente ad / compongono i coefficienti, e ad onta di ciò egli è un fattore alterante, perchè non è un risultato di- pendente da tutti insieme i coefficienti , come il debbon es- sere, ed esser si troverebbero i fattori legittimi dell'equa- zione (N) . Ritornisi col pensiero alla dottrina dell' ^w/ero nel suo metodo da me appellato di contìnua, condizione . La equa- zione finale di eliminamento altro non ha per oggetto che di fissare il rapporto di tutti insieme i coefficienti A, B, G, D DfL SiG. Pietro Cossali . 3^9 P, Q, R, S . . . . sì che ad nn tempo verificar si possano le due effiiazioiii date (I), (II), i fattori legittimi dell'equazio- ne finale, die la rendon ciascuno effettivamente =o, del)- bono essere conformemente a tal rapporto costrutti , e per conseguenza i-acchiudere una dipendenza da tutti i coefficien- ti in generale. Abbastanza, io credo, del primo carattere dei fìittori alteranti . La mutazione poi per essi indotta nel problema, dando loro la natura di equazione, può esser va- ria, esser può di distruzione, ed esser può di modificazione soltanto. Ne abbiamo veduto dell'uno, e dell'altro caso gli esempi "^^ particolare : si trovò per alcuni fattori alteranti allo stato di equazione recati distruggersi la quantità data q \ per altri modificarsi il suo valore con metterla in un rappor- to determinato con l'altra quantità nota/?. a." Qual è egli dunque il naturale essere degli alteranti fattori ? Quello di mere funzioni di / insignificanti . 3.° È egli però lecito trasferirli all'ufficio, al senso di equazione ? Se sien di quelli , che a tale stato tradotti pro- ducono annichilamento della incognita/, distruggimento di alcuna delle quantità date , no certamente . Se sien di quel- li, che in equazione costituiti non fanno che produrre tra quantità supposte note un rapporto particolare e determina- to, è mestieri distinguere . Poiché se il problema sia gene- rale, e le quantità supposte note sieno indeterminate, allora il rapporto particolare indotto tra loro si potrà riguardare come una modificazione del problema generale ^ come un ca- so particolare nella generalità compreso , la equazione arbi- traria del fattore alterante formata non inchiuderà ripugnan- za , ed introdotto il particolar rapporto per essa determinato nella naturai equazione (o), anderanno l'una con l'altra d'ac- cordo, come sopra particolarmente si è veduto. Ma se le quantità note sieno date in valor numerico, il nuovo rappor- to tra esse dall'arbitraria equazione voluto, potrà ai loro nu- merici valori ripugnare : così se a p, q valori numerici sup- pongansi , avvenir potrà di leggieri , che ad essi ripugnino Tomo XV I. T t 33o Su I VARJ METODI DI EuMINAZIONE CC. il rapporto q = -±i()p\/lp ^ e l'altro q-=-±if)p[/p dalle ar- 1 «iti-arie equazioni q — "ipy =: o , y" — p =■ G nascenti . Che se le quantità note non sieno no in numerici valori date , ma però nell'oggetto del calcolo si concepiscano astrette ad una legge di rapporto^ e l'arbitraria equazione rovesci la legge, e le trasporti ad un rapporto di legge contraria , defraudi l'oggetto del calcolo, e tragga il calcolatore suo malgrado nel caso opposto : come abbiamo osservato appunto fare le due testò citate equazioni , trasferendo q , p dalla legge \(t<^-ÌlP^-> ^"^ diametralmente contraria ^ ^° > 3^ 7?^, in tal evento l'arbitraria equazione riceve il carattere di ripugnan- za oggettiva, cioè rispetto all'oggetto di già prefisso. 4-° Può egli tornar utile il dare lo stato di equazione ad un fattor alterante? Per l'intento della diretta soluzione, alla quale si mira, nulla del tutto. Può al più esser modo a scorgere col fatto addentro nella finale equazione (a), e conoscerne esperimentalmente la struttura . 33 1 RICERCHE SULLA LATITUDINE DELL' OSSERVATORIO DI PADOVA Del Signor Giovanni Santini. Presentata li 12 Febbraio 181 a dal Sig. Pietro Cossali ED APPROVATA DAL SiG. CaV. CeSARIS , J_Ja prima cosa , che in un osservatorio sì deve procurare , è di bene stabilire la sua posizione geografica . La ricerca della longitudine è complicata per la lunghezza de' calcoli , se con molte osservazioni si voglia stabilire . Ma la ricerca della latitudine suol portar seco una difficoltà anche più no- tabile, in rfuanto che è più intimamente legata alla perfe- zione degli stromenti astronomici. Così noi vediamo, che an- che negli osservatori più rinomati sovente s' incontrano delle notabili differenze fra i risultatati ottenuti da Astronomi di sommo merito in tempi diversi . La latitudine dell'Osservatorio di Padova fu determinata dal Signori Toaldo , Chìmìnello , e Rizzi-Zan?ioni fino dalla sua prima fondazione mediante le altezze del Sole prese ad un Gnomone, ed il medio di molte osservazioni dà per la latitudine dell'Osservatorio ^5" 2,3' 40" ( vedansi gli atti dell' Accademia di Padova Tom. I ). Ma oltre che le osservazioni citate danno de' risultati molto fra loro discordi, dall'esame delle medesime sembra potersi concludere, che il piano del- la meridiana non fosse perfettamente di livello, come i chia- rissimi citati Autori ne hanno sospettato { ivi pag. 2,68 ) . Soggiunge poscia il Sig. Toaldo , che col quadrante murale di Ramsden trovava un risultato presso a poco conforme , cioè 45° 2,3' 43" , 4 • ^on pare per altro, che egli abbia te- nuto conto dell'errore, che può essere nel principio di nu- merazione di quel grande strumento, né trovo, che sia stata giammai determinato mancando il comodo dell'inversione. 33a Sulla latitudine dell'Osservatorio. Restava ancora qualche incertezza nella latitudine dell' Osservatorio, allorquando nel Settembre del 1807 passando per Padova il celebre Barone di Zach^ dal cui zelo l' Astro- nomìa, e la Geografia ritraggono tanti vantaggi, con un ec- cellente circolo moltiplicatore osservò l'altezza meridiana del Sole ne' giorni a6, 2,7, e 2.9 di Settembre, e da 90 osserva- zioni risultò la latitudine di 45° 2,4' i"i6i più forte di 21", 6 di quella stabilita dai sopralodati Astronomi. Dopo quest'e- poca tentai diversi mezzi per verificare questo risultato; ma per la mancanza di buoni strumenti non ero giammai perve- nuto ad ottenere un accordo plausibile nelle osservazioni . Fra i diversi metodi praticati non mancai di porre in uso il nittodo suggerito dall'insigne Geometra, ed Astronomo D."" Gauss nel Voi. XVIII della corrispondenza raensuale, riferito anche dal celebre Sig. Senator Oriani nell'Effemeridi di Mi- lano per il 181 o con nuove, ed eleganti dimostrazioni, il quale consiste in osservare il tempo, in cui tre astri di no- ta posizione pervengono alla medesima altezza , qualunque d'altronde sia questa bene, o male determinata, od anche in alcun modo conosciuta. Per questi primi tentativi mi so- no servito d'un quadrante mobile ò! Adams di due piedi , e mezzo di raggio fornito di un canocchiale acromatico, e di un filo a piombo per stabilire il principio di numerazione . In seguito trovai più sicuro, e più comodo impiegare due livelli a bolla d'aria fabbricati dall'abile Meccanico Sig. Ro- della ^ uno paralello al piano dello strumento, e l'altro in un piano a questo perpendicolare . Queste osservazioni sono quelle, che sottopongo al giudizio degli Astronomi unitamen- te ai risultati, che mi hanno somministrato. Il metodo d'osservare era il seguente. Si portava fuori lo strumento all'imbrunir della notte, e postolo di livello si osservavano le stelle, che successivamente arrivavano ad una medesima altezza , la quale rimaneva inalterata per tutto il corso dell'operazione. Si notava il tempo dell' appulso ad un filo orizzontale nel pendolo di Le-Paiite regolato sul tempo Del Sic. Giovanni Santini . 333 sidereo, 11 cui moto sebbene non affatto regolare, pure non variava sensibilmente nell'intervallo di una o due ore. In tali osservazioni ho avuto per compagno il mio Collega Sig. Abate Bertirossì-Busatta , che con molta diligenza coltiva l'Astronomia . Posto ciò è facile vedere, che chiamando (p la latitudine dell'Osservatorio, T l'angolo orario osservato, k l'errore del medesimo dipendente dall'errore dell'equazione del pendolo, di modo che il vero angolo orario sia T -+- /; , ò la declina- zione della stella ( supponendo le declinazioni boreali positi- ve, negative le australi) h la sua altezza sopra l'orizzonte, si avrà san. h =r sen. ò . sen. (p •+• cos. ò . cos. (p . cos. (T-+-^) . (i) Ora se si avrà cura di ridurre il tempo osservato al tem- po sidereo prossimamente mediante l'equazione del pendolo d'altronde conosciuta, la quantità k sarà sempre piccolissi- ma, e l'equazione precedente si cangia prossimamente nella seguente sen. A = sen. ^. sen. ^-t- cos. ^. cos. T. cos. ^ — cos. 5'. sen. T. A; .cos.i^ Ciascheduna osservazione somministrando una simile equa- zione, se molte di queste equazioni si avranno, sottraendola una dall'altra, sparirà l'incognita h, e resteranno delle equa- zioni con le sole incognite k , e (p , \e quali combinate in- sieme daranno i valori di queste medesime incognite. Affin- chè gli errori d<'lle osservazioni abbiano una piccola influen- za conviene procurare, che i coefficienti non risultino troppo piccoli , al quale inconveniente si riparerà facilmente sceglien- do delle stelle molto fra loro distanti in declinazione . (i) Tre osseiTa/inni , somministrando tre (ii queste equazioni . sono suffieienti a determinare ]e inrngnite h , k , (fi, etì a qtiesto oggetto .-.i possono vedere defl' inj"ornosi artifizi di c;ilc(»lo triponoine- tvico nelle opere eitate, mediante i quali la risoluzione delle medesime rendesi assai piana . Frattanto se si avranno molte osservazioni, la risoluzione diret- ta riesee lunga e penosa , mentre ehe la esposta soluzione approssim.ita godendo dt-lla neeessaria esattezza, riesce molto più spedita . 334 Sulla latitudine dell'Osservatorio. Questo metodo ha due vantaggi sommamente pregevoli, di essere cioè indipendente dalla divisione dello strumento, e dalla rifrazione, la quale non può variare nell'intervallo di una, o due ore supposta almeno l'altezza delle stelle di qualche grado sopra 1' Orizzonte . I. Passiamo ora ad esporre le osservazioni originali . a Maggio 1811. Stelle. Tempo del Pendolo . AR appar. Deci. app. Bor. I a Corona = 1 1\ a8'.a6",8 = a3i'^.4o'.47", S = 27°.a7'.a7", 7 2, ^Vergine = 11 .46. 1 1 , 5 = 2oi . 16 . 35 , 5= o . aa .ai ,8 3 C d'Ercole=ia . ao. aa ,8 = a48 . 3a . 5a ,8 = 3r .57 .4,3 4 ^Dragone= i3 . o. 4 ^ 5 = a88 . 7 .3i ,8 = 67 . 19 . 37 ,8 L'equazione del pendolo, ossia la quantità da aggiunge- re al tempo osservato per avere il tempo sidereo era — 34" prossimamente . La posizione apparente delle stelle scritta a fronte dei tempi osservati è stata desunta dalle posizioni del celebre Professor Piazzi riferite nell' Effemeridi Milanesi per il 1810, e 1811, e per applicarvi l'aberrazione, e la nuta- zione mi sono servito delle tavole del sopralodato Sig. Dott. Gauss . Calcolando con questi dati la forinola superiormente esposta per sen. A, trovo i seguenti risultati, ove per brevità ho scritto ^' , in luogo di k . cos.

p — 0,01879 •'^=1 ,0141 ai (5) — (i) . . . tang. (^ -+- o, 79690 ./;= 1 ,018929 — (2^ . . . tang. (p — 0,29174.^=1^0x4191 a. (3) -4- (4) — (i) s . . tang. (p -4- 0,46856 .k= 1,013991 Dalla seconda più la quarta togliendo la prima più la terza, sì ottiene . . . i , 57099 .k-^ — o , 000892 ; e A = — o, 0008181 . Sostituito questo valore di k , nelle quattro precedenti equa- zioni, danno per ordine 336 Sulla latitudine dell' Osserva- 1 ; 5/~i • r i \ servate . s Cassiopea =10 i ^.,o J L'equazione del pendolo nella prima osservazione è = — 1' 4^"; la sua accelerazione per ogn'ora è o" , 5 . Calcolando le al- tezze, e sottraendo una dall'altra le cinque equazioni clie risultano , si formano le seguenti equazioni (5) — (2) = taiìg.(p -t- 0,81 109 .A = 1 ,014084 (5) — (i) = tang.^ — 0,04939 .k = i ,014089 (4) — {2) = tang. (^ -4- o, 76991 .^ = 1 ,014128 (4) — (i) = tang. (p — o, 13288 ./t=i,oi4ii4 (3) — (a) = tang.

7 L'equazione del pendolo è = — i'.o",o; la sua accelerazio- ne oraria =o",7 . Risultano di qui le seguenti (i) — (a) = tang.(^ ■+■ i , 3oi 14 • k = i ,014490 (i) — (3) = tang.(^ -+- 0,43696 . k = 1 ,014160 (0 — (4) = tang.i^ -4- o,3ia75 . k = r,ci4ra9 (a) — (3) = tang.(j5 — o,8oa44. ^= i,ci3685 (2) — (4) = tang.i^ — o,9a3io . A; =: i , oi3i7g Dalle quali risulta /t = -+- e, 0008744;

^ L'equazione del pendolo era = — 4' ^^'•>7-> '^ sua acce- lerazione oraria = o", 9 . Risultano quindi le equazioni (i) — (2) . . . . tang.^ -4- 1 , 15944 • ^ = 1 ,01412,2 (i) — (3) .... tang.

3 B 3 1^ Pegaso =16 .47 -20,0 = 338 .3a. 59,6=29 . 14.20,8 B 4 £ Pegaso =17. 7. 8,5 = 3a3 .44- II 52= 9.1. 7,06 a Cassiopea = . . . .= 7 . 38.2i , a = 55 . 29 .5i ,0 B L' equazione del pendolo nella prima osservazione era = — i'42.",88; l'accelerazione per ogni ora = i", 09. Quin- di risultano le seguenti equazioni (2) — (i) .... tang. (^ — 0,40574 . k = 1,014087 (3) — (i) .... tang. (p — 1 , 13900 . k r= I ,oi4o54 (4) — (i) tang.-^— i,9a386.yt= i,oi4oo3 3/[j|. Sulla LATiTuniTcc dell'Osservatorio. (a) — (3) .... tang.(/)-H i ,30276 . k = i ,oi4ia5 (2,) — (4) .... tang.(|5 -HO, 74485 . k = i ,oi4i3o (3) — (4) .... tang.^-i- 1 ,2,1 106 . /t = 1 ,0141 36 Sommando separatamente le prime tre , ed ultime tre si for- mano le due seguenti 3 tang.(j5 — 3,46860.^^3,042144 3 tang.(^ H- 3, 25867 . A; = 3,042.391 dalle quali si ottiene ^ = -t- 0,0000367 ; ^ = 45° ^4' 3", o . XV . 1 9 Luglio 1 8 1 1 . I ^ Scorpione = 16''. 20'. o", o = \ a «Cassiopea = 16 . 25 . 55 ,0 = / ^^ posizioni apparenti delle stelle so- ' ^ I no le stesse di quelle niente sotto 3 ^Cassiopea =16 .33 .4-3 ,6^j» il giorno 17, che a propriamente 4 ^ Pegaso = 1 6 . 48 . 8,3 = 1 ^tf L'ra!°"° ''"'' ''''"''''' ^"" '^"" 5 £ Pegaso =17. 7 . 56 , 5 = j Equazione del pendolo = — 2' 32", 04 per la prima os- servazione . La sua accelerazione è = i",o2 per ogni ora. Con questi dati si formano le seguenti equazioni (2) — (i) . . . . tang.^ — 0,4969 . k = I ,oi4o36 (3) — (1) . . . . tang.^ — 0,4066.^=1,014017 (4) — (i) . . . . tang.

., X TT— •> cioè . , z= , come appunto la ì/A^-t-ii' 1/a^h-B^-kC* 1/A'-*-B'w-G» ' ^^ Stabiliscono gli Analisti . Anzi andando dietro alle traccie dell' istessa dottrina avrebber potuto ottenerne 1' elegante Teore- ma , che hanno ( per quanto io sappia ) taciuto , e consiste nell'essere immancabilmente i coseni dei tre angoli o incli- nazioni d'un Piano coi tre scambievolmente normali, a cui si riporti, indipendenti in primo luogo da D , e in secondo sempre proporzionali ai coefficienti G, B, A delle tre variabili 35a D'alcuni Teoremi GEOMETnicr ec. combinati o presi all' inverso , o sivvero C per il Piano del- le x,y^ B per quello delle x,z, ed A finalmente per T ul- timo delle y,z, cioè desumendolo sempre da quella tal coor- dìnata , che resta esclusa or da questo or da quel Piano di projezione . Avvisai non Iia guari di tempo i Geometri ( Discorso geometricO'Storico della vera Curva degli Ardii del Ponte a S. Trinità di Firenze. Verona m. dccc.viu . alla pag. 22,enel Tomo XIV della Società Italiana delle Scienze a pag. 217 del- la I.* Parte ) che poco a ragione da alcuni Algebristi Fran- cesi e Svizzeri del passato secolo «vizi erasi adoperato il Cal- colo, e segnatamente infinitesimale, affine di riconoscere il perimetro o centina d'una Parabola conica tostochè venisse descritta per via di tangenti, avendosene la derivazione fa- cile , ed anche molto più estesa , da una delle Proposizioni del III.° Libro delle antichissime Coniche d' Apollonio . Gli feci accorti altresì che dalla Proposizione sintetica precitata conseguivasi ancora il modo di determinar sulla centina po- ligona nata dall'intreccio delle tangenti i respettivi punti di contatto , ossiano i punti veri attenenti al preciso contorno della Parabola, d'altronde nascosavi sotto sembianza ài fles- silineo . Ma lasciai di render palese una pregievolissima ana- logia tra siffatta descrizione grafica , e V altra da me rinve- nuta nel Codice manuscritto cartaceo delle Opere inedite di Torricelli, rincontrandosi ancora l'istessa, avvengacliè di più vecchia data, nel II." Scolio del Teorema IX." del VI." Libro della Geometria indivisibilibus continuornm nova quadam ra- tione promota del Cavalieri . Come dunque per mezzo delle secanti ( Fig.'^ B.°- ), che congiungano i punti inversamente contati delle divisioni , comun([ue multiplici nello stesso nu- mero di parti eguali, dei lati di qualsivoglia Rettangolo, ab- bozzasi una Centina parabolica, non altrimenti addiviene se- gnar volendola per approssimazione consimile coli' interseca- mento delle tangenti ( ultimo limite delle secanti ), abbenchè in sito, e direzione diversa quanto al vertice^ ed al diametro della Curva . Del Sic. Pietro Ferroni . 3d3 Mi è sempre stato di gran meraviglia che acconciatesi dagli Algebristi le Sezioni coniche alla maniera degli altri Luoghi geometrici di grado superiore al secondo non abbiano dessi avuto mai in niente per avventura di cambiare per po- co la corrispondenza mutua delle coordinate alla Retta tra- sformandone la proporzione di diretta in reciproca ( vedasi De Calculo Integralium etc.^ Opera citata di sopra, nomina- tamente alle Annotazioni (9^) (108), e alle pag. 241-2G7), d'onde procederebbero incontanente lucidissime e amplissime a un tempo le più ragguardevoli proprietà dell' Iperbola , e quelle massimamente concernenti le asintote , i diametri con- iugati , i raggi di curvatura , le dimensioni delle Superficie piane e rotonde , ed in ultimo la cognazione dei Logaritmi colle Parabole. E siccome dal Circolo sorgono tosto l'Ellissi scorciandone nell' istesso rapporto o prolungandone V ordina- te, e da quelle la Parabola, che n'è il termine estremo, cosi n'avverrebbe che tutta intera la Dotti'ina delle Coniche si collegasse assai meglio che nell'insegnamento ordinario colla Geometria piana od elementare . Intorno al quale argomento fermato essendomi tempo addietro alcun poco m'incontrai in una sorte di Paradosso risguardante il paragone che voglia farsi del sito del centro di gravità in Un Segmento o Berret- tino., come dicevano i nostri bravi Scolari di Galileo ^ d'una Sfera o Sferoide, e d'un Iperboloide o Conoide Iperbolico di pari semiasse ed altezza. Analoga all'andamento o procedi- mento degli strati, in cui può decomporsi o notomizzarsi l'un Solido e l'altro, è l'Area d'una mezza Parabola Apolloniana tagliata da una retta perpendicolare al suo asse , eguale al semiasse della Generatrice del Solido, e referita alla retta me- desima ( Fig."^ 6.'* ) , colla differenza però che dove volge al- la retta stessa la concavità., rappresenta la Sferoide, e per il contrario ove si rivolta convessa , l' Iperboloide . Ora il pun- to 0 di separazione è sul medesimo ramo di Curva rigorosa- mente continua : come torna dunque lo stacco o discontinuità dell' Iperbola dall'Ellisse? come spiegare che la Parabola ab- Tomo XVI. Yy 354 D'alcuni Teokliu Geometrici ec. bia la stessa stessissima affinità con due Curve tanto diverse di specie, se non di genere, quanto lo è nelle linee il finito rientrante in sé stesso daW infinito semprepiìi divergente ed aperto nell'immensità dello spazio? come appagarsi così di leoo-eri che dalla Parabola, diflerentissima d'indole da ambe- due le Generatrici , si ricavino dirittamente i due centri di gravità si dell'uno come dell'altro dei Solidi generati? Ep- pure , in aggiunta a ciò che loci osservare intorno ai pregj di venustà della Sintesi ( in calce dello Scolio finale del I." Articolo dei summentovati Principj della Meccanica ) renden- do contezza ai Geometri dell'Opera aneddota , sebben man- cante delle Figure, delle quali ho fornito il manoscritto au- tografo, sempre pronto alla stampa, che ne possiedo, cioè, Vincent a Fiviuni Centrobarycoruni Libri duo, ed in aumento all'Articolo IV.'', N." i.° della ¥.=" Sezione del Supplemento alla Dottrina Torricelliana sopra le Coclee ( pu])blicato con Note in Verona nel 1811 , e senza Note tra le Memorie del- la Società Italiana ec. Volume XV, Parte I.'' , pag. 108-109), ove tenni proposito della coincidenza o identità di df>tti due centri poste alcune condizioni particolari , piacerai adesso di f-ir riflettere che assumendosi IO=IM=a semiasse, IS,IS'=a;, ST,ST=j,y, son le ST ovvero 7 proporzionali a MS. SO :=[a-^x)[a — x)=^a^ — x"^ , cioè proporzionali ed analoghe ai circoli od elementi del Berrettino o Callotta sferoidale, come trapassato il punto O le S'T' ovvero /' lo sono a MS' . S'O :=[a-^x) [x — a) = x'^ — a^, ossia analoghe agli elementi dell' iperboloidale^ coli' unico cambiamento del positivo in negati- vo , che non altera mai la continuità della Curva . Possono dunque benissimo rappresentarsi , e si rappresentan difatto dalla medesima Scala parabolica inversamente riferita all'istess' asse delle ascisse i due Solidi, ma non cosi le respettive lo- ro Generatrici, che restano sempre staccate a motivo che il passaggio da |/a^_i» a [/x» — o» non si fa altrimenti ( come sopra rispetto ai loro quadrati ) passando dal positivo al ne- gativo, poicliè viceversa si fa dal reale a\V immaginario ^ Del Sic. Pietro Ferrosi , 35j i/o» - i» : i/a:"-a=' : : I : i/~, per cui non hn , né può ave- ye mai luogo una sola Curva contìnua. Quest'ultimo rappor- to simbolico, comunque di per sé medesimo assurdo, con- tuttociò m' ha servito altrove d' ottima guida ( De Calcalo Integralium etc. Sectìo lì." , §. a4, pag. ^i-^n ) non tanto per rintracciare il senso nascoso , e la dipendenza mutua di quelle due Curve conicìie , onde dalle funzioni anco trasceti^ denti dell'una passare con tutta brevità e sicurezza alle /««- zìonì corrispondenti dell'altra, ma oltrediciò spiega chiaro il perchè le misure delle due superficie d'una Sferoide oblongata e compressa, avvengachè generate dalla medesima Ellissi, si conseguiscano, come primo trovò VHuyghens sino dal m.dc.lviii, mediante le Quadrature di due Curve differentissime di na- tura, quali sono l'Ellissi stessa e l'Iperbola. E dalla consi- derazione del centro di gravità d'un Segmento di Sferoide venendo a tradurre il discorso alla Sferoide o Sfera intera {Fig." 'j .") n'accade che quella proporzione continua IT I IV : IX -H- ( posto in I il centro , e posti T , e V i punti , che di- vidono in tre, e due parti eguali l'altezza del Berrettino ), la quale conduce alla determinazione di X centro di gravità, prenda la forma di IT : O : 0 tt , e perciò la ragione sem- pre indeterminata 0 ; O , o invero dy \ dx , ddy \ dx^ , ec. ec. possa anch'essere equipollente all'ultima inassegnabile à\ i '.o, ossia di co : I , di che s'è menato tanto romore nella Repub- blica Letteraria se si conti da Leibnitz infìno ad Euler, e va- le a dire inclusivamente per piti della durata d'un Secolo. III. Tornando adesso al subietto della Piramide, da cui mi son dipartito, e eh' è fondamento non sol della Statica, e conseguentemente della Dinamica ( Tomo X.° di questa Col- lezione Accademica ) , ma eziandio della Trigonometria sferi- ca, della quale è Corollario immediato la rettilìnea, ( vedansi i ParalelU ec. delle due Trigonometrìe nel Volume XII della Collezione suddetta, pubblicato nel m.dccg.v., e perciò an- teriori almen d'un triennio alla pubblicazione della Mémoire sur la transformatiofi des Coordonnées dei Sig. Francaìs^ inse- 356 D'alcuni Teoremi Geometrici ec. lita nel Tom. VII, e Dispensa XIV (divulgatasi nel m.dccc.viii. At^ì Gì ornai Politecnico sin dapprincipio citato), ognuno, che si prendesse l'assunto di ben ponderare da (|uali Formule complicate (5-III-5pag- 1^9-90) l'ultimo Autore deduca il Teorema primario Trigonometrico, dell'eguaglianza cioè di rapporto dei seni de' lati ai seni degli angoli opposti , in con- fronto della semplicità , che si scorge leggendone la deriva- zione a pag. 108- 109 dei Paralelli , non potrebbe a meno di non apprezzare per avventura quanto prevalga in siffatte materie la Sintesi lineare . E nella congiuntura medesima di cercar d'avanzarsi viapiù nella Trigonometria Sferica anali- tica con ricavarne le più recondite proprietà dei Triangoli andando dietro alla Piramide triangolare equicrure , non fa- rebbe tampoco mestieri ricorrere a quelle Formule per di- mostrare che il detto rapporto ( F *. D nel 1. e. ) sia F istesso di quello del volume della Piramide principale all'altro della Piramide supplementare . Imperciocché, stando alla nota espres- , , _,. _ sen. » sen. a sen. i sen. e ,, , Sione del big. Lagrange — — - = , nella quale F rappresenta il sestuplo della prima Piramide ( Trigonome- tria del Sig. Legendre, edizion di Firenze del m.dccc.x. pag. lai-iaS, e nuova Tav. a pag. iGS), s'averebbe per la stes- sen.A sen. A sen. B sen. G • i i • i • i i-ii •• sa ragione = ; , simboleggiandosi da F il sestuplo della seconda : dunque, divisa l'una per l'altra Equa- (sen.a)' F' / sen. a sen. 5 zione , immantinenti si conseguisce -— = — I - ' ° (seri. A)» F \sen.A sen. e \ F'(sen. n)' , , F' / sen. « \ ) = — — ; : laonde i =: — l I ^ e perciò sen.C / F(sen.A)^' F\seii.A/' ^ F i F — = ^ , che esprime il Teorema novissimo di Francais , e F' i F' ' 1 ' ' lo esprimerebbe colle medesime sigle subitochè si cambiasse in D la lettera F' , accentata da me per conservar meglio r analogia . Son poi quasi di prima intuizione il parabolismo rileva- seli. B sen. a sen. A Del Sic. Pietro Ferroni . 357 to dal Sig. Ampère neW Ei^oluta del Circolo, che fece un dì le delizie di Diderot ( pag. 176 del Tomo VII precitato, il quale contiene sin dalla pag. iSg la Mémoìre sur les avan- tages quon peut retirer , dans la tliéorie des Courbes , de la coiisidcratiori des Paraboles osculatrices etc. ), egual manteche V analogia della Cicloide, confe della Spirale, alla Linea ret- ta , e della prima in apparenza anco al Circolo . Ed il vero ( JFig." 8." ) 5 per essenza ed effetto delV ei>oluzione, i due di- segnati elementari Settori son sempre simili , e torna perciò che debh' essere a [ dr '.' r'. ds , d' onde ads =: rdr , e r^= aa (j-f-c); Equazione della Parabola Apolloniana . Ptiportandosi la Cicloide all'arco del Circolo generatore, la sua Equazione diventa (né v'è chi noi sappia) ax = by, non diversamente dall'Elice di Co/ione o Archimede; laonde ambedue sotto quest' aspetto considerate simpatizzano colla Retta . Ma assai più dell'Equazione à' Ampere s^ -i- 1^ = i éa'^ per mio avviso asso- migliasi a quella della Periferìa circolare l'altra, che giova d'aggiungere s'^ -i- r^ = a"^ concernente la Cicloide primaria ( s arco, r raggio osculatore, a raggio di curvatura nel vertice), ed è l'isultamento chiarissimo della Fig." f).'^ , da cui manife- stansì s,r,a respettivamente doppie di AB, BG , AC, corde supplementari, e diametro del Semicircolo genitore. Non farò qui parola d' un altro non meno facile Teore- ma di Hachette, che aggirasi intorno all'Epicicloidi sferiche ( Art." VI, pag. 355 , Tomo Vili, Cahier xv del già rammen- tato Journal de V Ecole Polytechnique ), e segnatamente con- siste nella sposizione d'un accidente speciale delle loro tan- genti, che può con tutt'agio innestarsr al principio fecondo di condur le tangenti alle Curve, immaginato sino del m.dc.xu. da Viviani ancor giovinetto per mezzo della composizione del moto ( che diede a Newton il primo incontro àeWe flussioni ), abbracciato da Torricelli, preteso da B-oberval come suo ri- trovato, e di cui fan menzione l'Epistolario RohervaUiano già edito, il Racconto parimente a stampa ( Num." xni ) es- tratto dal Codice Palatino più volte citato nel Supplemento, BSÌB D'alcuni Teoremi Geometrici ec. die annunziasi «3al precedente II." 5-5 il termine ScW yfppcn- flix de dimensione Cycloidis ( pag. 92 della a." numerazione ), e la parte narrativa o proemiale del conosciutissirao Opusco- lo di Boscovich intitolato De Cycloìde , et Logistica. IV. Aveva il è'ig. Laplace sino dal m. dcc. lxxxii. pubbli- cato negli Atti della già Accademia delle Scienze di Parigi che fdt . c~'^ =^i/^ , posto n Vindice del rapporto tra la periferìa circolare e il diametro, e l'integrale disteso da — co sino a -H co quanto al valore della variabile . Egli è tornato a trattare dell' istesso argomento nel m.dccc.ix. ( pag. 2,40-47 del Volume Vili del Giornale medesimo Politecnico , ed ivi a aag Mémoire sur divers points d' Analyse ) inoltrandosi col- le sue considerazioni sagaci a notare che tra i medesimi /f- miti r integrale ft'^^'dt . c~''^ = — ^ — ■j_i^^ _ ^/n., ed ha per- ciò patentissima analogìa, e simiglianza alle note Formule Newtoniane della Quadratura delle Curve , ed alle Serie in- terpolate di Wallis . Quello, che a me parrebbe ora più de- gno d'osservazione, si è che siffatti integrali o combinano appieno, o molto stretti s'accoppiano con altri di limite e forma affatto diversa fdx { — La;)— 2, fdx{ — La;)l, salvo la differenza per gli ultimi da ar a a"" , come può riscontrarsi gettando 1' occhio sulle Meditazioni Analitiche inserite nel Tomo Vili degli Atti de' Fisiocritici pubblicato a Siena l'an- no M.Dccc, e massimamente sul II.° Paragrafo alla pag. 38 e seguenti, il qual somministra la chiave, e la maniera più acconcia , ed inosservata sino a quell' epoca , onde ricondur gli ultimi al Circolo, che avea tutta sembianza d'esserne lon- tanissimo e disparato, non altramente che la Logistica com- parve strano che appartenesse alla gran famiglia delle Para- bole secondo il divisamente del Capo VIII.° ( N.' 344-4''' pag. 5c8-9- IO ) dell'Opera venuta a luce nel m. dcg. lxxxii. col titolo Magnitndinum exponentialium , Logarithmorum , et Trìgonometrice sublìmìs Theoria nova methodo pertractata . In proposito di quest' Opera , che prima d'ogni altra am- Del Sic. Pietro Feuroni . 3Óg pliò r Uso del Binomio di Newton con adoprarlo ancora pel caso d'un esponente variabile ( vedansi il Giornale de' Lette- rati di Pisa, Volumi L. ( Art." 5 ) , LI. ( Art." 7 ) , ed il Tomo XX ed ultimo, postumo Fabroniano, delle Vitce Italonim doctrina excellentium , qui Scecul/s xvii et xviii florueriint a pag. ajS ), uso, che poscia nelle Matematiche trascendenti per V integrazione di Formule spinosissime è stato seguito dai pili valenti Analisti , non sarà fuori di luogo avvertire cosi di passaggio che senza citarla un tal Belli nel Tomo IX de' Fisiocritici ( Siena M. Dccc. vili. ) si giovò quasi a lettera del- la sostanza dei tre primi Capitoli ( a pag. 2,55 Blernoria sulla risoluzione dell' Equazione trascendente a^=:b), e vale a di- re dopo più di cinque lustri trascorsi dall'edizione della dett' Opera, stampata nella Capitale della Toscana, e dedicata al Gran Duca Leopoldo. L'istesso Biìiomio a esponente varia- bile viene sciolto nel medesimo modo eziandio da Laplace, e segnatamente nella Memoria sopraccitata ( Art." ultimo Sur la réduction des Fonctions en Tables a pag. a6o ) ove svol- ge in Serie infinita, come spiegasi appunto nel Capo II.° Magnitudinum exponentialiuin etc. , intitolato De Exponen- tialibus dalia pag. 61 alla 64 incl., la Formula ( i -hqdx) ~7~ 1 e svolgendola ne ricava il noto valore di e = 2,71828 (non già 2,71821 ec), e quinci in tutti i Sistemi possibili V es- ponenziale c^^ -^^y ■=. xy , o sivvero la Tavola Pitagorica a doppio ingresso ridotta alla Logaritmica o Neperiana o Brig- giana o qualunque altra siasi d'ingresso scempio, siccom' ac- cadeva delle più antiche , e già familiari sino dal principio j 1 1 o j . . {x-^-yY —{x—yY del secolo xvi. , ad unico ingresso xy= , xy = sen.X sen. Y = COS. (X — Y) — cos. (X-+-Y) affine di con- vertire in sottrazioni o somme le prolisse e fastidiose ad un tempo moltiplicazioni dei numeri grandi più dell'usato, e delle frazioni decimali composte di moltissime cifre nelle Ta- vole delle refrazioni { Libro X." della Mécanique Celeste ), 36o D'alcuni Teouemi Geometrici ec. iielle barometriche à^ Oltmans e Bìot , non meno che nelle Tavole ingegnosissime d' integrazione d'' a.\cune dell'Equazioni a differenze parziali . La Storia delle Matematiche ha ancora diverse lacune, e specialmente sugli artificj multiplici ^ per la massima par- te sagaci degli antichi Abbachisti e Geometri, che fiorirono ivanti della Scoperta dei Logaritmi , e della compilazione la- )oriosissima delle Tavole trigonometriche . Havvi oltre al ci- tato più fiate antico Ragionamento cV Algebra di Raffaello Canacci , alla Prospettiva ed Agricoltura di Gio: Battista Te- (laidi dedicata al Gran Duca Francesco I. <^/e' Minici , ed ai vetustissimi Codici manoscritti di Paolo Dagomari ^ detto per antonomasia dell' Abbaco ^ un Trattato d"" Aritmetica a stampa del quattrocento (Firenze m. ecce. xci. ) di Pilippo Calandri^ dedicato al Duca di Nemours Ginliano di Lorenzo f/e' Medici, nel quale tra gli altri esempj fiilici d'applicazione del Calco- lo numerico alle Cose geometriche si dà la maniera (a pag. 76) di trovar V area di qualunque Triangolo scaleno^ o come l'Au- tore lo chiama diversilatero ^ conosciutine solamente i tre lati^ e di più { a pag. 83 ) accennasi il modo di misurare e ridur- re in piano la superficie d'una Sfera come quadrupla esatta- mente del suo Cerchio massimo:, proclamata così l'ima e l'al- tra Proposizione molto prima che fossero divulgate l'Opere di Tolomeo^ e ò^ Archimede . Non fo parola della Pratica d' Aritmetica d'un altro celebre Fiorentino, cioè di France- sco Gali gai , stampata dai Giunta nel m.d.lii., che meritava egualmente d'esser notata, e laudata dai Bibliografi Etruschi, ed in particolar modo dal moderno Scrittore della Bibliogra- fia Storico-ragionata della Toscana ec. ( Firenze m. dccc. v. ), cui potrebbesi con ragione , se lo chiedesse il pregio dell' Opera , rivolger l' equivoco , o fatuo o inconsiderato che sia (pag. 368 del I.° Volume) — Tractent fabrilia fabri — . ùcci (é/ócùtcì <±fta/.'c/c/A C^-Ctenj^ yiac/Hm - 1 E A ./ / \ \ / ■Jav. V yftemo'ue ai rL^j',a>imaÌ'ica QJocittà t^tiJ^cA//e. QJctt, '/""/ -P' 'OS I 5i\- 7. T ~\ X >>f H i £-^-^ 36i SOPRA LA COSTRUZIONE DELLA CURVA NELLA QUALE L'ARCO s È DATO IN FUNZIONE DI- MEMORIA Del Signor Giovanni Plana. Presentata li 2,3 Maggio i8ia dal Sic. Cav, Cesaris ED APPROVATA DAL SiG. MaGISTRINI . I. il cl)iarÌ3SÌrao Geometra Legendre dopo aver esposto nel- la sua opera intitolata Exercìces de Calcai Integrai una for- mola generale per le quadrature , prende a trattare il Pro- blema, che forma il soggetto di questa Memoria con un me- todo diverso da quello eli' egli lia dato per il caso generale. Non si può certamente otteneje un risultato più semplice e più elegante di quello a cui è arrivato questo insigne anali- sta . Solo , si potrebbe desiderare una soluzione più diretta , ed ho osservato, che questa si può avere colla immediata applicazione della formola generale al raso particolare . a. Sia 6 l'angolo, che la tangente alla curva forma coli' asse delle ascisse; si avrà 0— =■ tang.^, e l'equazione data fra l'arco 5 e la tangente potrà essere espressa con s ^=F .{d). Supposte note le ordinate x e y per il punto in cui d:=a^ trattasi di cercare il valore di queste ordinate per il punto corrispondente a 6 = a-^-no , ove n è un numero int ^ r o^^^^.r".cos.9 ^ X /\y^-^'""-'^°^-' 1 ce. 364 Sopra la costruzione della Curva ec. ^^ . F' COS. » l__ 0^ g ^KV'-.cos.e -o^B^-^r-" ^,f:B^-^---ec. fi^ V . F' . COS. fl Ma se si suppone , t/'a = F".cos.0-4-F'.sin.0; ^,^ = F"".cos.^-t-F"'.sin.^— F".cos.0— F'.sin.6; ^/,^=F""".cos.O-i-F""'.sin.0— F"".cos.(9— F"'.sin.0-f-F".cos.^^F'.sin.0 ec. egli è chiaro che si ha , fF".cos.d%,d=rpd-xifF""'.cos.d.^e=ipfi-^x; /¥'""". cos.0^d=^„d-x; dunque l'equazione precedente potrà essere posta sotto que- sta forma -, ho -7X3 • :^ '^^ - riTT^ • '^ -^'^ - TZM^Ty • S^ ^''^-^*'- . ^ /^.F'.cos.e I o^^.F" .cos.O I o4^.F""\cos.^ /9,^F-.cos.^ I ' £^3.p,..,„,., V ^ /; /3,5.F'.cos.^ V d' onde si deduce , sen.io ^ sen.io _t_ _li_{A'o^-^-BVJ4^-C'a«•4-D'o8-^-ec.) . (HI) sen. {a facendo , A' = A ^<* I . a . 3 a^ ii— — ^ ^e> ^i.a.3 a» ^(? i.a.3.4.5 a*"^' j^5,F'.cos.» I B3,^F"'.cos.g r £ ^. ¥'"•'. COS. ff 1.2.3.4-5.6.7 Del Sic. Giovanni Plana . 365 A 9s.F""'".ros.^ I I , ^ i.a.3.4.5.6.7 a* 8^9 I. a. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9 2.» ec. La legge colla quale si formano questi coefficienti è evidente. 4. Ora conviene eseguire le differenziazioni, che sono in- dicate nei valori di A', B' , G' , ec. Al cui fine vuoisi osser- vare, che per ottenere in un modo breve il differenziale dell' ordine n di un [trodotto yz basta scrivere l'equazione, n.{n—l)(n — 2.)n, „_:) r. 3 "^ TTl ^z"—'^/--^ ec. e trasportando in seguito alla caratteristica ^ gli esponenti delle potenze ne risulta immediatamente , a,» .yz =7^- -+- n.^--'z . ^y h- "-^^ ^''-'z . ^y Col soccorso di questo principio si trova : A' = F".cos.0./a L^.^)_F'sen.0(AH "—.-); \ 1.2.3 a"/ \ 1.2.3 2'/' B'=F"".cos.a/-B-H —.± 1 V \ 1.2.3 2^ I .2.3 .4.5 .a-*-/ -F"'.sen.6>f-3B-+--1- . --h l ) \ 1.2.3 a» 1.2.3.4.5.2'*/ -F".cos.^/_Ì-Ì.B '- ) Va 1.3.3.4.5.34/ -HF'.sen.^(-Ì:^B-+. ^^^-^); y 3.3 1.3. 3. 4-5. 2'*^ C'=F""".cos.0/c--V--^-i rT-7'A .A \ 2.3 a^', 1.3.3.4.5 at 1.3,3.4.5.6.7 a'/ Ì566 SoPEA LA COSTRUZIONE DELLA CuRVA CC. y 2.3 3* i.a.3.4.5 2+ 1.2.3.4.5.6.7 26^ \ 2 2.3 2 2* 1.2.3.4-5.6.7 2°/ Tir-r /l/5'43p, l3.2.i B I l\ ^F".cos.0(Ì:Ì-^G ' , , .4) \ 2.3.4 1.2.3.4.5.6.7 2^/ _Fsen.WÌ:i-^CH- -f-— -.-i); y 2.3.4.5 1.2.3.4.5.6.7 a*/ D'=F"""'.cos.^/-D-4-— ^ ' ^ 3 2=' 2.3.4.52+ 2.3.4.5.6.7 sfi 2.3.4.5.6.7.8.9 ' a' •rirrtrrrt /i/ „rt . ' 5G ' q "^ ' A i — b .cos.t'l .Uh — .— e , r • — '-T r^ .- y 2 1.2.3 a 2' ^.3.4.5 2 2* 1.2.3.4.5.6.7.8.9 ; \ a. 3' 1.2.3 a. 3 ■ 2' 2.3.4.5 2.3 ■ 24 1.2.3.4.5.6.7.8.9 "1 1 F"" co: ^/ 7-6 5.4 jj ^ 1 5.4.3.2 C I ^\ \ 2.3.4 " 1.3.3 2.3.4 2" 2.3.4.5.6.7.3.9 ■ 2«/ — F'" sen ^/_1:1:ÌiÌJdh ^ ^-^-^-^-^ G_ i i\ \ 2.3.4.5 i.a.3 2.3.4.5 2" 2.3.4.5.6.7.8.9 ■ 2»! T.V' _„, ai 7-6.5.4.3.2^ I i\ — r .cos.a^ a. 3. 4. 5. 6 ^"2.3.4.5.6.7.8.9 • T^J — it /3/7-6-5.4.3.2.I I i\ -^-1^ -Sen.g^- ,.3.^,3,,.^ P-^a.3.4.5.6.7.8.9-2-j ec. I rapporti 5 che esistono fra i coefficienti A, B, G, D, ec. danno luogo ad alcune riduzioni in questi risultati. Se si fa uso del metodo ordinario per determinare i coefficienti dell' equazione , I ■+■ Ao= -4- Bo^ ■+■ Co^ ■+■ Do'"^ -H ec. sen. jo si trova , 1 Del Sic. Giovanni Plana . 867 A— ' ' • A I a.3 a* 2.3.4-5 a'' a. 3 ■ a» a. 3. 4. 5 " at "*" a.3 .4.5 .6.7 ' 2* ' T-^ _i_ C I B I A X 3 ■ a^» a.3.4.5 ' a* a.3.4.5.6.7 ■ a* i.a.3 .4. 6.6.7.8.9 ' In vigore di cfueste equazioni ciascheduno dei primi ter- mini, che entrano nei valori di A',B',C', ec. diventa egua- le a zero : i secondi termini ricevono una piccola riduzione mediante l'eliminazione della lettera A , ed i seguenti resta- no nello stato in cui sono . Si avià adunque A' = ^.F'.sen.^; a . 3 . a^ ' B'=-F"'.sen.^.(_2B-<-— ^)-F".cos.0(--B ^-f— ) y a.3.4.5. a*/ y a a.3.4.5.a* / H-F.^sen.^(-^-Ì-lB-<- ,;, \, \ a. 3 a. 3. 4-5. a**^ C' = -F""'.sen.0/4C-^ .-^——^---.±\ \^ a. 3 a' a.3.4.5.6.7 a"/ -F"".cos.^p-^G- -^ . i^ . ^ -1— - . 4) \ a a. 3 a a" 3.3.4.5.6.7 a"/ T^"r /i/'^-4-3-^ iS.a.iB I i\ ''■=-'' •^«"■«(-6Dh- -t . £ _ _1. . i .^,3^;,,,^ . i ) -F .cos4--D-l--.Ì^- —.-.- : X\ \ a a.3 a a* 3.34.5 a a* a.34.5.6.7.8.9 a> / 368 SuPKA LA COSTRUZIONE DELLA CuRVA CC. 3.3 a. 3 3.3 3' 3.3.4.5 2.3 a* 2.3.4.5.6.7.8 -+F- cos.6'(-I:%l D-H ^ .^^ ^- —V-r • ^) \ 3.3.4 ^-3 2.3.4 ^ a. 3.4.0. 0.7. 8.9 2" / F'" ^/ ■7.6..^.4.3 I 5.4.3.3.1 _C I I \ t .sen.(^ 3.3.4.5 ~^2.3 2.3.4.5 ■■?~*~2.3.4.5.6.7.8.9 !«/ V a. 3. 4. 5. 6 a. 3. 4. 5. 6. 7. 3. 9 3"/ „/ 7. 6. 5. 4. 3. 3.1 I i\ \ a. 3. 4. 5. 0.7 2.3.4-5.6.7.8.9 2"/ S. La legge di fonnazìone di questi coefficienti è eviden- te . Per verità queste espressioni sono ancora troppo compli- cate ; e per arrivare a qualche cosa di più semplice la prima idea, che s'offre allo spirito pare quella di sostituire in luo- go di B , C , D , ec. i loro valori numerici, e di esaminare in seguito, se i risultati che ne derivano possono essere po- sti sotto una forma regolare : ma presto si riconosce , che questo mezzo conduce a dei coefficienti i quali non ammet- tono quel grado di semplicità che si desidera . Resta adun- que a vedere se , sostituendo nel prodotto , -^^ . ( A'o^-+-B't)4-f-G'o6^-D'o«-f-ec. ) sen.io \ / in luogo di ■"" il suo valore in serie ° sen, i o I -+- Ao* -H Bo^ -+- Cfi)^ -H ec . diventa possibile di avere dei coefficienti , che sieno concisi e nello stesso tempo soggetti ad una legge . In questo modo si avrà per x il valore seguente ; :r = -i^ 2A5 . COS. ( a -+- * o) -4- -^- H -H A"o^ -+- B"a\-+- C'o^ H- ec. sen. lo * ' sen.|o nel quale , A" = A'; B" = B'H-AA'; C" = C -H AB' -4- BA' ; ec. Svolgendo in serie la nota equazione Del Sic. Giovanni Plana . 869 O 20' 20" 20* = I H ; ec. si ottiene , ove ec. ^^=^-^Ì-^-F-*-?^^^-» ^4=i-t-^-+- 34 + 44 -^ec; j. = I -t- ^ -<- ^ -)- -^ -+- ec. ; ° sfi 3^ 4* e colla sostituzione dei rispettivi valori di queste somme , i quali si trovano nell'Introduzione all'analisi di Eulero, si avrà ; A=i'-i. — L_;B=a3_i.__L-_.i;C=25_i. — — i- — ^.i;ec...(c) 1.2.3.2» 1.3.3.4.5.2* ^ 1.2.3. 4. 5.6.7. 2* Ciò posto 5 incominciamo a cercare il valore di B" . Noi abbiamo B' = F'". sen . 6 /aB ^-—\^W .cos.dl Bh ^-^-, . \\ \ 1.2.3.4.5. 2't/ \ 1.2.3.4.5.2* ^/ -F'.sen.e/B-H^A tT^— 4), \ 2.3.4 1.2.3.4-5.2*^ e eliminando A colla seconda delle equazioni (b) ( N.° 4 )■} si ha , B'' = F^sen■0(.B-^_^3;,^,)-H3F^cos■0(B-^^^^3l3;^j ~3F.sen.^(B-H^-^3^.^), ma le equazioni (e) danno , Tomo XVI. A a a 3^0 Sopra la costruzione della Curva ec. I B dunque si avrà , B" = ^-^{ F" . sen. 6 h- 3F" . cos. 6> — 3F' . sen. ^\ . Ora è facile di scorgere, che secondo il teorema di cui ab- biamo parlato nel N.° 4 ^i ha l'equazione, ^'•^•f""^ = F'" sen . e ■+■ 3F" , cos. 6> — 3F' sen. ^ — F . cos. d , dunque B =—, l —-5 t-S.COS.d a' - I I 3,0^ Nello stesso modo si troverà il valore di C" . In fatti noi ab- biamo C"z=z — F"".sen.el AG ^ aB ^ '^ '(4G iì.3.4 1.2.3.4.5.6.7.2'* — F"".cos.0r IO. e ^.3B. 2.3.4 2, .d . 4 ■■^ ■ 6 -7 ■ ^^ f -t-F"'.sen.0/io.CH — J-B _i_ aAn , /^ ^ \ \ 2.3.4 3.3.4.5.2+ 1.^34.^.6.1.3.^ f -hF",cos.0(5C-<--4-3B^— ^-^,A TTTT— ?) >,> , y 2.3.4 2.3.4.5.2* 1.2.3. 4-5. 6. 7. 2^ / "'' -F.sen.elc-i ^ 3B ^.^^ A + -— ^-— , ) , y 2.3.4 1.3. 3.4.5. a"» 3.3.4.5.0.7.3''/ e facendo l'eliminazione di A mediante la terza delle equa- zioni (b) si avrà C" = -F""' .sen.^f 4C "— . sBh- — — -fi ó) \' 2.3.4 2.0.4-5.D.7.2''/ -F"".cos.0(ioC i-3B -— ^ \ \ 3.3.4 3. 3. 4. 5. 6. 7. 3"/ i H-F"'sen.a(iaG ^B ^- :) / y ,2.3.4 3.3.4.5.6.7.2»/ H- F". cos . ^ (4C-H -i- . 4B ) - F' . sen . 0 /aC-Hj^ . 2B J Le equazioni (e) danno .<,-.' { - o? Del Sic. Giovanni Plana . 871 I 3C 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 2* a'— I B _ (a^-r)7. i_i£lll2l£. 2.3.4 I .a.3.4.5.6.7,2'i "^ 2^ — 1 ' per conseguenza si avrà I 3 ^^^ . T" ^^3~4'^ "*" 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. a* ~ 2^-1 ' I 5.3^C 2.3.4 1.2. 3. 4-5. 6. 7, 12. C ^.B — a. 3. 4 ■ 1.2.3.4.5.6.7.^6 a' — I ' lo.a'C 4C-+--^.4B= , , ' 2.3.4 2' — I aCn ---aB = ^ ; 2.3.4 2^ — 1 C"=_^!--£./F""'.sen.0-i-5F"".cos.O-io.F"'.sen.^-io.F".cos.0H-.5F'.sen.^V Ma qui ancora si riconosce agevolmente clie ^^-:J^-F.cos.0=F'"".sen.0-f-.5F"".cos.0-io.F'".sen.0-io.F".co3.0*5.F'.sen.^ dunque , Seguendo Io stesso metodo si arriverebbe a e colla stessa legge si potrà formare un qualsivoglia numero di coefficienti della serie, che dà il valore di x . Ma per to- gliere i dubbj , che il principio di induzione potrebbe far na- scere a questo proposito , basterà verificare la serie col dare un valore particolare ad 5, siccome ciò vien fatto in un mo- do ingegnoso dal Sig. Legendre ( pag. 327, N.° i4)« In ultima analisi si avrà adunque Sjs, Sopra la costruzione della Curva ec. ove V aA / ^. J . sen.^ „\ -^.tzt( ^0^ +s.cos.dJ -P37(-I;^a S.COS.dj -+- ec. e X(ft) rappresenta il valore di X(^) quando vi si fa 6 = a . Egli è poi evidente , che il valore di y si ottiene cambiando d in 90° — 0, e o in — o nel valore precedente di x. -fi u ■ \ «i,-. . } ''■'■' j4 - ;. i;,^ . .■ [ '-J-,. , ■ ■ 1 ) .■■'.■'- 1 ■ ':', 373 DI UN NUOVO METODO GENERALE DI ESTRARRE LE RADICI NUMERICHE MEMORIA Del Signor Cav. Paolo Ruffini Ricevuta li 3o Settembre i8ia. SEZIONE I Esposizione pratica, e dimostrazione del sovraindicato metodo. N. tei ( N." 269) del mio corso d'Algebra elementare esposi un metodo generale di estrarre una qualunque radice da un numero dato . In seguito ho veduto potersi tal metodo ren- dere più semplice; ed è principalmente, onde indicare que- sta semplificazione, che io lo espongo di nuovo nella pre- sente Memoria . I. Cominciamo per maggiore chiarezza da qualche caso particolare , e vogliasi quindi in primo luogo la radice quar- ta del numero 19987173376 Poiché 4 è l' indice della radice domandata , comincio dal dividere qui sotto in (I) il proposto numero di quattro in quattro cifre principiando dalla destra , e cerco per mez- zo di opportune tavole il massimo quadrato-quadrato, che si contiene nella prima parte a sinistra 199 . Essendo questo 8r la cui radice quarta è 3, scrivo in (II) il 3 ottenuto, e ai- la sua destra separata con una lineetta verticale scrivo l'u- nità, tanti zeri, quanto è l'indice 4 diminuito di i, cioè tre, e infine la prima parte 199 del dato numero (I). Ciò fatto, pongo in una seconda linea orizzontale, e nella colon- 374 Metodo di estrarre le Radici numeriche. na verticale seconda lo i , moltiplico questo i per 3 , som- mo il prodotto, che ne viene col numero sovrapposto, che nel caso presente è zero, e colloco il risultato 3 alia destra dello I . Moltiplico quindi il 3 ottenuto per 3 , unisco il pro- dotto g col numero sovrapposto, che qui pure è zero, e scri- vo il risultato 9 alla destra del 3 . Moltiplicato in egual mo- do questo 9 per 3, e scritto alla sua destra il prodotto, che se ne ottiene , sommato col sovrapposto numero , che anche qui è zero, cioè il 27, moltiplico finalmente questo 27 pel solito 3, sottraggo il prodotto 81 dal sovrapposto 199, e pon- go alla destra il residuo 118. Formata così la seconda riga, passo a formarne una terza , collocando in essa il solito i nella terza colonna , moltiplicando quindi lo stesso i , e gli altri numeri 6 , 217 , che si ottengono successivamente , tutti pel medesimo 3 , e sommando i successivi prodotti coi nu- meri della seconda riga corrispondenti : ottienesi cosi il 6 col moltiplicare lo i per 3 , e sommare il prodotto 3 col 3 so- vrapposto ; risulta il 27 col moltiplicare il 6 per 3 , e som- mare il prodotto 18 col sovrapposto 9, e ricavasi in fine il 108 col moltiplicare per 3 il 27 , e sommare il prodotto 81 col 27 sovrapposto . Operando in seguito nella stessa manie- ra , formo una quarta riga , avendo però V avvertenza di por- re in questa lo i nella quarta colonna ; nel modo medesimo ne formo una riga quinta, portando lo i nella colonna quin- ta ; e finalmente ne formo una sesta , nel caso presente ulti- ma , col solo I collocato nella sesta , ed ultima colonna . Determinati con questa operazione in (II) nell'ultima colonna a destra i numeri i, la, 54, 108, 118, aggiungo alla destra del secondo di essi uno zero, alla destra del ter- zo due zero, tre alla destra del quarto, e alla destra dell' ultimo aggiungo la seconda parte 8717 del dato numero (I). Scrivo quindi in (III) i numeri risultati ; e poiché il numero , che deve ora determinarsi, deve essere non >9, ed insieme non maggiore del quoto, che risulta, dividendo l'ultimo de* numeri (III) pel penultimo , cerco questo quoto ; e siccome Del Sic. Paolo Ruffini . 875 nel cnso presente esso è 1 1 , lo trascuro , e tengo conto del 9 : ma ancora questo 9 potrebbe essere troppo grande ; per ciò riconoscere con qualche sollecitudine tolgo in (III) le ul- time due cifre dagli ultimi tre numeri, scrivo i numeri, che ne risultano, 54, 1080, 11887, in (IV), collocando alla loro sinistra separato con una lineetta verticale il 9 , e posto il 54 sotto del 1080, lo moltiplico per 9 , e ne sommo il pro- dotto col 1080 sovrapposto; scrivo il i566, che ne viene al- la destra del 54 , e lo moltiplico per 9 , osservando , se il prodotto , che ne nasce , è , o non è maggiore del sovrappo- sto II 887: ora nel caso presente esso ne è realmente mag- giore, essendo = 14094- Dunque dirò, che il 9 è un nume- ro troppo grande , e passerò ad osservare , se sìa opportuno 10 8 . Operando perciò con Io 8 , come ho fatto col 9 , lo scrivo sotto del 9 stesso in (IV), moltiplico per esso il 54, sommo il prodotto, che ne viene, col sovrapposto 1080, e scrittone il risultato i5oa nella terza colonna, moltiplico que- sto per 8, e siccome il prodotto laoió, che ne nasce, è an- cora maggiore del sovrapposto 11887, dirò, che anche 8 è troppo grande ; passando quindi al 7 , rinnovo con questo la medesima operazione, e siccome veggo, che l'ultimo risul- tato loaoó è < 11887, dirò, che il 7 potrà essere opportu- no . Scrittolo perciò in (III) alla sinistra del primo i separa- to con una lineetta verticale, opero quivi in una maniera affatto uguale a quella, con cui ho operato precedentemente in (II) ; formo cioè le successive linee orizzontali seconda ter- za quarta ec. con Io scrivere in primo luogo lo i rispettiva- mente nella seconda, nella terza, nella quarta ec. colonna, poscia col moltiplicare ciascun numero ottenuto per 7 , som- mare il prodotto, che ne nasce, col numero immediatamente sovrapposto , e porre alla destra del piecedente il numero , che ne risulta , avvertendo però che il prodotto per 7 del penultimo numero della prima riga, cioè del iSaoaS deve non già sommarsi, ma sottrarsi dal sovrapposto 1188717^ ed avvertendo , che se mai 1' indicato prodotto fosse maggiore 876 Metodo di estrarre le Radici numeriche. del 1108717, onde la difFerenza ne risultasse negativa, allo- ra anche il 7 sarebbe troppo grande, e converrebbe diminuir- lo ; ma siccome ciò non succede , esso sarà opportuno . Scrivo ora in (V) i numeri i. 148, oai4, Ì102612,, i24-'556 dell'ultima colonna in (IH), unendo alla destra del secondo uno zeio , alla destra del terzo due zeri, tre alla destra del quarto, e a quella del quinto l'ultima parte 3376 del dato numero (I). Divido quindi, come precedentemente l'ultimo di questi numeri pel penultimo, e tniovato il quoziente 6, non farò quivi le pruove esposte di sopra per iscuoprire se sia troppo grande, perchè esistendo nel numero antipenulti- mo 8ai4oo tre cifre meno di quelle, che esistono nel pe- nultimo 202,6iacoo, possiamo quasi essere certi, che esso non sarà tale . Posto pertanto il 6 alla sinistra dello i , se- parato con la solita stanghetta verticale , eseguisco la solita operazione ; e siccome in questo caso , nel sottrarre il pro- dotto del penultimo numero 207593896 della seconda linea per 6 dal sovrapposto 1245563370, ne viene il residuo zero; dirò che l'operazione è terminata, che il dato numero (I) è una quarta potenza esatta , e che congiunti i numeri ottenu- ti successivamente , il 876 , che ne risulta è la radice cor- rispondente . (I) 199 , 8717 , 3376 (II) (III) 3| o , o , o , 199 I j 3 , 9 , 27 , 118 1,6, 37 , io8 I , 9 > 54 1,12 (IV) 9I 54, 1080, II887 8| 54, i5G6, 14094 7Ì i5ia, 12096 1458, 10206 7(1, 120, 5400, I080CO , I188717 I, 127, 6289, i52033_, 124556 I , 184 , 7227 , 202612 I , 141 , 8214 I, 148 i (V) 6| 1 , 1480,821400,302612000, 1245563376^ I, i486, 83o3i6, :5C7593896, 0000000000 . ' a. Vo- Dei, Sic. Pvolo PiUrFrxt . 877 2. Vogliasi in secondo luogo la radice quinta del nurneio 290660637 i45937544q-^ • Essendo in questo caso o l'indice della radice, divido il numero dato qui sotto in (VI) di cinque in cinque classi, co- minciando dalla destra, e col mezzo della tavola delle poten- ze cerco la massima quinta potenza esatta, che si contiene nel primo membro a sinistra 29866: essendo questa 16007, la cui radice quinta è il 7 , scrivo in (VII) tal radice, e alla sua destra separata con una lineetta verticale scrivo la uni- tà, quindi tanti zeri, quanto è l'indice 5 della radice da estraersi diminuito di i, cioè quattro, e in fine il numero 29866 . Dopo ciò eseguisco quivi la stessa operazione, che si è effettuata precedentemente in (II), ed in (III), e determi- nati per tal modo nell'ultima colonna verticale i numeri i, 890, 60840, 474'^^^*^' '85075280, 99432008, li scrivo nuo- vamente in (Vili), col porre alla destra del secondo uno ze- ro, due zeri alla destra del terzo, tre alla destra del quar- to, quattro alla destra del quinto, e a quella del sesto il secondo membro 06871 del numero (VI). Ciò fatto tolgo da- gli ultimi tre di questi numeri le ultime quattro cifre, e po- sti in (IX) i risultati 848, i2Co5, 180590, operando come si è fatto nel numero precedente in (IV) cerco quel numero, che mi renda l'ultimo prodotto < 180590, e tale truovando essere lo 8, giacché l'ultimo prodotto, che da esso risulta, è 117992, pongo questo 8 in (Vili) alla sinistra dello i , frap- ponendo la stanghetta verticale, eseguisco la solita operazio- ne, e truovati cosi i numeri i, 890, 60840, ec. dell'ultima colonna, li pongo in (X), coll'aggiugnere alla destra del se- condo, del terzo, del quarto, e del quinto di essi gli zeri, come di sopra, e coli' unire alla destra dell'ultimo il terzo membro 4^g^Y ^^^ numero dato. Divido in seguito l'ultimo di questi numeri (X) pel penultimo, e siccome le cifre com- ponenti il numero antepenultimo sono tre di meno delle com- ponenti il penultimo, siccome accadde nei numeri (V), dirò qui pure , come si disse nel numero precedente in corrispon- Tomo XVI. Bbb 3^8 Metodo di estrarre le Radici numeriche. denza ai suddetti (V), essere noi quasi certi, che il quoto 5 ottenuto è opportuno, perchè non troppo grande. Tralasciato perciò di fare i tentativi simili agli esposti in (IV), ed in (IX), colloco alla sinistra dello i in (X) esso 5, determino con la solita operazione i numeri i, Sgao, 6i42.65o, ec. dell" ultima colonna, e scritti essi nuovamente in (XI), unendo come precedentemente gli zeri alla destra del secondo del terzo del quarto e del quinto, e alla destra del sesto il mem- bro 54493 7 divido, come si è fatto in (X) l'ultimo di loro pel penultimo. Ancora qui il quoto 3, che ne risulta, potrò dire essere non troppo grande, e però atto all'intento, poi- ché il numero penultimo contiene quattro cifre più di quel- le , che esistono nell' antepenultimo : posto pertanto senz'al- tro tentativo esso 3 alla sinistra dello i , comincio ad effet- tuare la solita operazione; ma al fine della prima riga per ultimo risultato ottienesi lo zero . Dunque concluderò come sul fine del numero precedente, che l'operazione è termina- ta , che il dato numero (VI) è una potenza quinta esatta , e che 7853 ne è la sua quinta radice . 3. Venga domandata in terzo luogo la radice terza del numero 35. Eseguisco ne' luoghi (XII), (XIII), ec. (XXI) la solita operazione ;, riflettendo, che ai numeri 8, aa3a, 34ai7, ec, che si ottengono nelle ultime colonne, debbonsi unire, men- tre si scrivono di nuovo ne' luoghi (XIII), (XV), (XVI), ec. tre zeri ; perchè il dato numero 35 non essendo cubo per- fetto, l'operazione non può aver fine, e in esso non esisten- do cifre ulteriori, non si possono agi' indicati numeri 8, aa3a, 34^17, ec. aggiungere, che gli esposti zeri. Avvertasi di più, che in (XVII) , siccome il numero 3ao983a3oo non si contie- ne alcuna volta esatta nell'altro 2128489000; quindi si scri- ve per quoto lo zero, e aggiunti i soliti zeri, uno al nume- ro 98130, due al 320983a3oo , e tre al 2128489000, ricavo con la consueta divisione il quoziente 6, lo pongo presso dello zero , e proseguo la operazione solita : un accidente si- Del Sic. Paolo Ruffini . 879 niile è accaduto eziandio in (XXI) . Raccolti finalmente i nu- meri risultati dall'operazione coli' osservare , che a riserva del primo 3, gli altri tutti deggiono essere evidentemente tanti decimali, dirò essere prossimamente \/ 35=3, 51710663101 . 4. I. Giunti nella precedente operazione ai risultati (XVIII) , potremo ottenere le ulteriori cifre 3 , 1,0, i del- la radice in una maniera assai semplice e breve , operando come segue. Osservando, che nel terzo numero dell'ultima colonna ivi esistente contengonsi sette cifre, tolgo le ultime sette dal primo, e scritti in (XXII) i risultati 3^0996, 995693, divido questo per quello : ottenuto così il quoziente 3 , e l'avanzo 32,705, taglio dal divisore 320996 l'ultima cifra 6, divido pel restante 82099 ^' Bii^cS , pongo presso del 3 il quoto I, e avuto il residuo 606, taglio dal divisore l'altra cifra 9, e proseguo a dividere il 606 pel numero, che risul- ta, 3209: poiché il quoziente, che ne viene, è o, e l'avan- zo corrispondente è lo stesso 606, pongo appresso dello ze- ro già scritto il quoziente i , ed avrò così ottenute con mol- ta semplicità le indicate cifre 3 , i , o , i . Siccome poi il numero 286, che ha servito all'ultima divisione, è composto tuttavia di tre cifre, potrò anche per una volta eseguire l'o- perazione ora accennata, e tagliata quindi dal 3ao l'ultima cifra e , potrò dividere per 32 il residuo 286 , ed il quoto 8 sarà la cifra, che nel valore della radice richiesta succede all'ultima i . Ridotto così il dividendo a contenere nel 3o due sole cifre terminerò qui l'operazione. Se oltrepassati i (XVIII) fossimo nella precedente estra- zione della radice giunti ai risultati (XX); allora siccome il terzo numero dell'ultima colonna contiene nove cifre, taglia- te le ultime dieci dal numero secondo, e le ultime nove dal numero primo, avrei potuto instituire l'operazione ora accen- nata tra i numeri 82099624, 6o58659 ; ed ottenuto così sic- come in (XXIII) il quoziente gì 8859, scrivendo esso dopo lo I quoziente della divisione in (XX), ne verrà il numero 3, a7io663ici8859 , distante dal vero valore di [/ 35 me- 38o Metodo di estrarre i,n; R\Drci numeriche . no di — 1^ , e però distante, quanto meno si può con 14 ci- fre decimali . II. Conviene nel metodo di abbreviamento ora esposto avere alcune riflessioni, se nell' eseguire le successive divi- sioni risulti uno dei residui formato di una sola cifra; allora in luogo delle cifre, che si troverebbero ulteriormente, e che supporlo di nvimero r, pongansi tanti zeri, e l'operazio- ne è terminata : se per esempio in (XXII) nella divisione se- conda invece di 606, si fosse ottenuto un residuo di una sola cifra, per esempio il 6, allora avendosi nel caso nostro r = 3, porrei presso l'ottenuto 3i , tre zeri, e direi, che 3iooo sarebbe il numero domandato . Che se qualcheduno dei residui fosse formato di due cifre : allora , se questo residuo fosse il primo, aggiungerei al numero già ricavato r — i ze- ri, e tagliate secondo la regola stabilita r cifre dal divisore, dividerei il residuo supposto per quanto fosse rimasto nel divisole . Se in (XXII) il residuo primo invece di 3:i7o5 fos- se stato un numero di due sole cifre, fosse stato per esem- pio 75 ; poiché in questo caso abbiamo r =: 4 al numero 3 ottenuto dalla prima divisione aggiungerei r — i r= 3 zeri, quindi tagliate dal divisore Saogqó le ultime r = 4 cifre, di- viderei pel 32, che resta il supposto avanzo yS , ed essendo 2, il quoto, che ne viene, direi, che il numero richiesto sa- rebbe 3ooo2 . Che se il residuo avente due cifre sia, non già il primo, ma uno degli ulteriori : allora, aggiunti, come pre- cedentemente , al numero prima ottenuto gli r — i zeri, non si deve poi, come precedentemente, determinare, e aggiun- . gere dopo gli zeri alcun' altra cifra. Cosi in (XXII) se il se- condo residuo invece di 606 fosse stato un numero di due cifre , per esempio 66 ; avendosi in questo caso r = 3 avrei all'ottenuto 3i uniti r — 1=2, zeri, e nulla aggiungendo di più, avrei detto, che nel caso ora supposto non può median- te il nostro metodo di abbreviamento, ricavarsi, che il nu- mero 3 100, il quale sia sicuramente fornito del dovuto gra- Da inserirsi dopo la pagina 38ò-. (Vili) 1 , 34^0000 , i2Co.'Joooo , i3o59o637i ;, 61864, 384491Ì, 150809296' 9943a"o3 , 366 , 54793 , 4:283248 , 186075280 I, 3-4, 67784, 474.)52o 1 , 382 , 60840 I, 390 (XI) (IX) 9I 343? i2co5 , iSSgo 81 343, 16092, 135733 14749, 11799^ ,4887366260000, 18986662531250000, 67003540531264493 616342769, 48392x6278277, 19001180177084331, coooooooooooooooo (XV) - I I , 960 , 307200 , 2232O00 I, 967, 318969, 34217 z, 974, 320787 I, 981 I (XVIII) 6|i,98i3i8o, 32099.500670800, 202654292984000 i', 93i3i86, 32099669449916, 9966936284.504 I, 9813192, 32099618829068 1 , 9813198 (XX) 50, 320996242169870700, 327049902695753000 I, 981319891, 32099624316II9069I, 6053669444662409 Ij 981819892, 320996244133610483 I, 981319893 II) 96698 1 3 10 18 32706 (XXIII) 320 1 9 1 9 I 6 1 2 1 4 1 6o53659 j 2848697 018869 606 286 3o 276729 18987 2892 13 Da inserirsi dopo la pagina 38o-. (VI) 19866, 06371, 45987, 54493 71 I: (VII) • , 05 29866 49 > 34.3, 2401, i3o59 '4. '47 > l372 , laooS ij ai, 294 > 3430 Jj 28, 490 I. 35 (IX) 0| 343 , i2oo5 , 13590 81 343, iSoga, i35738 14749 ) "799» (X) 51 I, 3900, 6084000, 474''52oooo J iSGoySaSoocoo , 9943200345937 I; SgoS, 6ic35a5, 477603762.5, ,1874632988125, 57oo354o53ia 1^ 3910, 6ia3c75 , 43o6653ooo , 1898666253125 I, 3916, 6142650, 4837366250 I , 3920 , ójóaaSo 1 ^ 3925 31 (Vili) 8| j, 35o , 49000, 3430000, iaoo5oooo , i3o59o63"t I, 358, 61864, 8844912, i5o8c92()6 > 9943aoo3 I, 366, 64792, 4283248,186075280 1 , 374 , 57784 , 4745520 I j 382 , 60840 1 , 390 I (XI) :, 39260, 616225000,4837366250000, 18986662531250000 , 57003540531264493 i, 39263, 616342759, 4339216278277, 19001180177084831 , 00000000000000000 (XII) 3 I 1 , 0 , e , 35 1 , 3 , 9, 8 I, 6, 27 'j 9 (XIII) aj I , go , 2700 , 8000 I , ga , 2834 , 2232 I , g4 , 3072 I, g6 (XIV) 3 1 9 , 270 , 3oo 9 , 288 , 576 (XVI) ll 1, 9810, 32078700, 34217000 i^ 981 1, 32c885ii, 2128489 1 , 9812 , 32098323 I, 9813 I (XVII) o6| i; 981300 3 SaogSSaSoooo , 212848900C000 ^ ij g8i3o6, 32og8gii7836 , 202654292984 i, 981812, 820995006708 ci8i3i8 (XV) 7 I 1 , 960 , 807200 , 2282000 I, 967, 818969, 34217 I, 974, 820787 I , 981 ( XVIII ) 6| I, 9813180, 82099500670800, 202654292984000 ij 9813186, 82099659449916, 9956986284604 1, 9818192, 82099O18329068 I, 9818198 I (XIX) 3| I, 98181980, 3209961882906800, 9956986284504000 ij g8i3ig88, 8209962127802749, 827049902595768 I3 98181986, 3209g6242i6g8707 1/ 98181989 1 (XXI) oi|i, 9818198930G, 3309962441335104880000, 6053669444562409000000 (XX) ij I, 981819890, 820996242169870700, 827049902595753000 1, 981819891, 820996243161190591, 6053669444562409 I, 981819892, 320996244'W5io483 I , g8i3i9893 (XXII) 32|ol9l9|6 I 996698 I 81018 82706 606 a86 3o (XXIII) 820 I 9 ( 9 I 6 1 2 1 4 I 6o53659 | 018869 2843697 376729 18987 2892 Del Sic. Paolo Roffini ." 38 1 do di apprnssi inazione verso il valoi- vero della radice . Per- ciò iu (XXIII) dopo la quinta divisione essendoci risultato un residuo di due sole cifre, cioè il 12,, non abbiamo aggiunto al numero oiSSSg il quoziente o, che sarebbesi ricavato dal- la divisione di la per Sao : perchè, siccome in questo caso abbiamo r= i, per la regola stabilita non dobbiamo all'ot- tenuto 018859 "^''^ aggiugnere r — 1=0 zeri. Volendosi estendere questo metodo alla determinazione di un numero di cifre > io, bisogna avere delle riflessioni ulteriori, le quali esporrò in seguito, ove darò le opportune dimostrazioni , e che presentemente tralascio tanto per amo- re di brevità, come perchè mai, o quasi mai viene in pra- tica richiesta un'approssimazione tanto inoltrata. Finalmente si rifletta, che in caso di approssimazione, mentre il valore , ii quale ottienesi col mezzo de' metodi es- posti ne' numeri i, a, 3, I. 4 ^ senipre minore del valor vero della radice domandata; il valore poi, che risulta da' metodi stessi , mentre abbian luogo i casi contemplati nel (prec.II), può essere tanto maggiore, come minore dell'in- dicato valor vero della radice. In tutti i casi però l'appros- simazione è tanta , quanta può mai esigersi col trovato nu- mero di decimali . 5. Le dimostrazioni di quanto è stato fin qui esposto praticamente dipendono in primo luogo dall'operazione, che è stata accennata nel N." 12 della Memoria Sopra la deter- minazione delle radici nelle Equazioni numeriche di qualun- que grado ^ che è stata da me presentata nel i8o3 alla Socie- tà Italiana delle Scienze , e dalla Società medesima pubbli- cata nel i8o4; operazione, per mezzo della quale una data Equazione numerica (XXIV) Ax" -4- B.r'"-' -H ar'"-= ec. -i- Sx^ -+- Tj»: -f- V = o , nella ipotesi di x ■=■ p -^ y , ove p esprime un numero razio- nale qualunque, trasformasi speditamente nella corrisponden- te Equazione in j, che supporrò cominciando a scriverla dall' ultimo termine, essere la (XXV) v-k-uy-\- ty^- h- sy'^ -h- ry^ h- ec . -h è/'"-' -f- A/" = o . 38a Metodo di estrarre le Radici numeriche . Ho dimostrata la verità di tale operazione tanto nel ci- tato N." la della citata Memoria, come nei numeri ia3, ec. lay dell'Appendice alla mia Algebra Elementare; ma sicco- me colà suppongo noto il calcolo differenziale, e quivi note le serie algebriche; non sarà forse inconveniente, prima di procedere innanzi, l'esporre nuovamente simile dimostrazio- ne, senza supporre le indicate nozioni, ed in un modo per conseguenza più elementare . 6. Suppongasi A/? -i-B = P„ A/>^-HB/^-t-C = P^, A/?3_t-B/>^-(-C/?-HD = P,, ec, e in generale A/>"-hB/?"~' -+-C/?"~^-»- ec. -+-H/y""~'''-H ec. -)- L/y^ -f- M/7 -t- N = P„ . Moltiplichiamo nella P„ ciascun termine successivamente per l'esponente dì p , sì diminuisca l'esponente stesso di un' unità, e i successivi risultati, che ne derivano, s'indichino con la stessa P« , a cui vengano successivamente sovrapposti uno, due 5 tre, ec. apici, cosicché si abbia nkp"-' -+-(«—! ) B/?"-^ -<-{«— iì) Cp"-^ -4- ec. -*- («— ^) H/?''-^— -H nhp -H M = V'n n{n—i) A/»"-^ -^{n—\ ) [n—o.) B/?"-^ -h ( « _ 2, ) ( « — 3 ) C;j«-4^_ ec. -+- {n—h) {n—h— i ) Hy/'-'—^ -+- ec . -t- aL = P"« , n{n—i) (« — a) kp''-^^{n—\ ) [n — 2.) ( « — 3 ) B/?«-^ -4-(ra — a)(/z — 3) (a7,_4)C/7'^— 5 -f-ec. -»-(« — /i) {n—h—ì ) (n — h — 2,) Hp"-^-^ -h ec. = P"'„ , ec. e in generale (XXVI) « («— I ) ( 7i — a ) (/i— 3) . . . (« — r-t- 1 ) A/>«-^-H ( «— I ) {n—2.){n—S)...{n—r)Bp" ' -^{n—!i)(n—3)(n — 4) .. . [n — r—i )C/'"-'^-^-+-ec.-H(/z— A) [n — h—i )(«— A — a)... [n — h — r^i) H/?»-''-' ■+■ ec. = P(0„ . In conseguenza di queste supposizioni avremo evidente- mente ' ' ■ • .■-■■-.■■■■ P, = A , P", = o P'^ = aA/? -+- B , V\ = aA , P'"^ = o P'J = 3A/?^-i-aB^-(-(D,P"3 = a.3A^-HaB,P"'3=a.3A,P""3=o, ec. • ' : ■ • ■ . ■ \ ' ■ ■ '.■ ' Del Sic. Paolo Ruffini . 383 avremo P(")„ = ;/ ( ?? — i ) (ra — a ) (/i— 3 ) . . .2. lA, P(''-^0„ = o, e fatto 11 r=z m ^ avremo P,„ — hp'"- ^- B/^™— -+- C/?'"-* -H PC . -+- S/?' -H T/7 -H V , P',„ =:///A/>'"— -h( w— j JB/^^-^-t-fw — 2)0^?"-^-+- ec. -HaSy^-i-T, P",,, =OT(TO-i)A/?'"-^-i-(w-i)(w-2)B/?'"-V(/72-a)(w-3)C/j"'--*-f-.'c.-H2S, P''',„=w(TO-i)(OT-2)A/;'"-3-i-(w-i)(//z-2)(//2-3)B/7™~-^-+-(//i-2)(w-3)(w-4)C/?"'-'^-4-ec. ec. 7. Qualunque siansi i duo numeri interi, e positivi «, r, purché abbiasi r >• o , e non >> « , dovrà sempre essere (XXVII) p(^ = rP('— )„_, ^-y?p(')„_, . Posto nella (XXVI) n — i invece di n , avremo («-i) (ri-a) (/z-3) (/i-4) . . . («-;■) A/>"-'-'H- («-2) (/z-3) {n-\) . . . («-r- 1) V,p"——- -4- («_3) («— 4) («—5) . . . («— r— 2) Cy>"-^-^ -H ec. -h \n—h— I ) («—A— 2) («_A— 3) . . . («— /i_r) H/;"-''-'-' -t- ec . = P(')„_r , e posto /z — X invece di re , ed r — i invece di r risulterà (/z-i) (ra-a) («-3) («-4) . . . («-r-*-i) A;?"-^-H («-2) (ra-3)(«-4) . . . {n-r) By>"-'— ^ (/i — 3)(;z — 4)(re— 5).. .(« — /-— i)G/9"-'— ^-Hec.-^- („_/,_I)(,^_/^_a)(7^_/i_3) . . .(«— A— r-4-i)H/?"-''-''-4-ec. = P('-')„_, . Prendansi i termini generali (^n — h—i ) {n — h — 2,){n — h — ^)...{n—h — r)Ep"-^'-''-\ {n — h—i)( n—h—2 ) ( re — A — 3 ) . . . ( n — h—r-^ i ) Up"-''-' di questi due risultati P(0„_, , P(''— ')„_,, e moltiplicato il pri- mo di essi per /^, ed il secondo per r, si sommino insieme; ottenendosi da ciò {u — h—i){n — h — 2.){n — h — ^)...{?i — h — r)ììp''-''-'-h („_/,_ I ) ( n — h — -2) ( re — A— 3 ) . . . ( re— //— rn-i ) rtìp"-''-' = ( n—h— I ) ( n—h — % ) ( re— A— 3 ) . . . ( ?z— A— r-f-i ) ( «- A— r-i-/-) H/?"-'^' = \n — h){n — h— I ) (,z — A — 2) (,2 — A- 3). . .(re — A — 7--+- i ) Hy-''-% si avrà l'Equazione identica (XXVIII) (re-A) (re — A— 1 ) (;ì— A— 0) («— A— 3) . . . (re— 7i— r-f-i ) Hp«-''-^ = r{n—h—i ) ( n—h— 2. ) ( n—h—?> ) . . . ( n — h—r^ i ) H/^"-^-^^- ;, ( «—A— I ) ( re— A — 2 ) ( re— A — 3 ) . . . ( «— A — ;■) H/'-'—^— . Ora il primo membro di questa Equazione non è che il termine generale della quantità P(')« , il primo termine del suo secondo membro non è che il termine generale della 384 MeroDO m kstrapre ml TlAorcr numeriche. ?('■—')„_, moltiplicato per r, ed il termine secondo dello stes- so membro secondo non è che il termine generale della P(')„_i moltiplicato pav p . Dunque, poiché col fare successivamen- te A = o, [,2, 3,4' ^^■■> ^^^ primo membro della (XXVIII) si ottengono tutti i successivi termini della P(')„ , e dai due termini del membro secondo si ottengono tutti i successivi termini delle P('~')„_, , ?(')„ moltiplicati i primi per ?• , ed i secondi per/?; ne segue, che, essendo l'Equazione (XXVIII) identica, e però vera per tutti gli esposti valori di /i , tutti i termini della ?(")„ uguaglieranno le somme dei rispettivi ter- mini delle rP('^— ■)„_,, /??(')„_,, e però si verificherà l'Equa- zione (XXVII). 8. Supponghiamo F'„ = a„ , P"„ = 2^n , P'"„ = a . 3 j/„ , P""„ = a . 3 . 4^„ P"„ = 2 . 3 .4 . 5e,i , ec. Ponendo quivi n — i invece di ra , ot- terremo P'„_, = «„_., P"„_, = 2/?„-,, P"'„- =a.3y„-, F"_ =a.3.4^,_,, P"„_, = a .3 .4.5e„_, ec. In conseguenza delle supposizioni ora fatte, e delle Equa- zioni truovate nel N.° 6, agevolmente vedremo, che col fa- re n successivamente =1, a, 3, ^, 5,ec., risulta A = «i = /?a = 73=^~4 = ^5 = ec. _ Inoltre per le proprietà già note dei coefficienti della Equazione (XXV) considerata come trasformata della (XXIV) sotto l'ipotesi di x=p-^y ( N.° 5 ), e per le Equazioni del citato N.° 6 avendosi tj — 1 ifi , ic —— ir tu ^ ^ -^— t ìli ^ s ^— i ni ^ V ^^ r ni 'j n ^— i /'/ , ec • , a a .3 a.3.4 2.3.4-'> ne verrà V = P„, , li = a,„ , t = ^,n , s = y,„ , r = dm , q = s,,, , ec . g. Si collochi nella Equazione generale (XXVII) un api- ce in luogo di r: risultando da ciò P'„ =/9P„_, h- P„_, , per le supposizioni dei numero precedente si avrà a,, = /'«„_, -i- P„_, . Sostituiti nella medesima (XXVII) due apici invece di ì. - r, ot- Del Sic. Paolo Ruffini . 385 r, ottiensi P"„ =/;?"„_, -+-:2P'„_, . Dunque per le citate sup- posizioni del numero precedente sarà Pn =/>/?„_ I -+- a„_i . Pongansi nella solita (XXVII) tre apici in luogo di r; avendosi quindi P"'„ =/>P"'„_, -+- 3P";,_, , risulterà Nella stessa maniera proseguendo a sostituire quattro, cinque, ec. apici invece di r; poiché ricavasi in corrispon- denza P\ =pF\-, -+- 4P"'„_, , F\ =/'?"«-, -t- 5P'"„_. , ec, ne verrà d„ =pdn—i -+- yn—i ec. Supponghiamo successivamente nelle Equazioni ora truo- rate n. = 2,, 3, 4^ 5, 6, ec; avremo quindi, e pel ninne- rò precedente 0^=pA->-a^ , /?^=/'/?3-Ha3 , ^i=p(i^^a^ , ^^=p(i^-^-a^ , ec . £^=pA-*-d.^,ec. ec. IO. Per eseguire il metodo di trasformazione indicato nei N." 5 sappiamo dalla sovraindicata Memoria ( N.° 5), e dalla Appendice alla mia algebra doversi scrivere, siccome in (XXIX) prima in una linea orizzontale i coefficienti A,B,C, ec. V della equazione data (XXIV), e sopra, o alla sinistra di questi , divi- so con una stanghetta verticale , il numero p . Quindi si for- mano successivamente sotto della prima tante altre linee oriz- zontali seconda, terza, quarta, ec. , e sappiamo formarsi que- ste col porre da prima, nel modo, che apparisce in (XXIX), in ciascuna di esse il primo coefficiente A , poscia col mol- tiplicare esso A, e così tutti gli altri termini successivi, che van risultando, per jf?, e col sommare ciascheduno dei pro- dotti , che ne nascono , col termine immediatamente sovrap- Tomo XVI. Ce e 386 Metodo di estraure le Radici numeriche . posto, così proseguendo fino alla colonna verticale 7?z-4-a esima . Se nella (XXIV) mancassero dei termini, in luogo de' loro coellicienti sappiamo linalmente , che bisognerebbe scrivere tanti zeri . Operando nella maniera ora accennata, è. facile a veder- si dal N."6, e dalle forinole determinate nel numero prece- dente, che i termini, i quali in (XXIX) costituiscono la fi- la seconda, altro infine non sono, che gli A, Pi, P,, Pt, Pj , ec, che i termini delia fila tirza non sono, che gli A, a., C.3, a,, ec, che quelli della quarta sono gli A, /?3 , /Jj ec; che sono A , 74 , ec. i termini della quinta; e cosi di segui- to . Dunque proseguendo queste operazioni fino alla colonna verticale TO-H I eji/raa, otterremo nella successiva iii-^n esìma i termini P,„ , a,„ , (ì,.. , y,n , 9,„ , £„ , ec. A ; ma questi per quan- to si è detto sul fine del N.° 8, costituiscono i valori de' coefficienti u , zi , t^ s, r, ec. A della Equazione trasforma- ta ( XXV ) . Dunque , sostituiti in loro vece , verrà così essa trasformata a determinarsi . Ed ecco per simile guisa dimo- strato, indipendentemente dalla cognizione attuale del calco- lo differenziale e delle serie il soyraesposto metodo di tras- formazione ( XXIX )j»|A,B,C,D,E,F,G,ec. V A 5 X 15 A 25 "35 -1^4' ^^D ^^' ^"' — * 5 ■'^rn A. 5 tìCa 5 tìts 5 ^4' ^^5 ce. CH/u — I 5 (X/,i A, /?3, ;54, /?3, ec. i?„,_, , /?,„ A , 74, ys, ec. 7™—, , 7„, A 5 ^5, ec. d,„—t , d„, ec, A Se l'Equazione data sìa per esempio A la x^ — 4-x'^ — i2.x'^ -(-g:r H- 10 = 0 , e supposto a; =7-4- 2, se ne voglia la trasfor- mata; operando qui sotto, come è stato insegnato, trovere- mo speditamente essex-e questa la 7^-+- ic/'^-H 36/^-h44/* — 7/ — 20 = 0 Del Sic. Paolo Ruffini . 887 0,— 4, — la, 9. IO / , a, 0 , - - la ,- - 1 5 , — ao I , 4, fi. 4'.- 7 I , b. ao, , 44 1 •> a , 3ó I , IO / 1.. II. Osservando i numeri ottenuti in (XXIX), vedasi, che mentre quelli dell'ultima colonna sono i valori dei coef- ficienti della Equazione trasforniata ( XXV ) ; i numeri della colonna penultima, cioè i numeri P ._, , a.n—i-, /?/«— i , ec. al- tro non sono, che i coefficienti della trasformata, che, col porre x=/?-+-r, ottienesi dalla Aa;'"— ' -t-B.t™— ^-l-C.t"'"~^-f-ec. -f. S.r -4- T = o . Così i numeri della colonna antepenultima co- stituiscono i coefficienti della trasformata, che sotto la stes- sa supposizione di a- =/?-(- r, ricavasi dalla A.r'"~'' -H Bx'"~- -f- Cr'"—^ -H ec. -+- S = o , e cosi di seguito . Inoltre i numeri A , P, , P^ , Pi , ec. della seconda linea orizzontale altro non sono, se non che i valori, i quali per la solita ipotesi di x =1 p -h- y acquistano rispettivamente le quantità A, A^rH-B, Ax^ -1- Ba: H- G , Az^-H-Bx'-t- Cx-t-D, ec: i numeri A , a, , ai , a; , ec. della fila terza altro non sono, che le prime derivate dalle P, , P^ , P; , P4 , ec, consideran- do la p come variabile; i numeri A, ^3, /?} , ec. della fila quarta altro non sono, che le derivate seconde delle P^ , P3 , P4 , ec divise per a; gli altri A, j'; ec. della riga quin- ta costituiscono le derivate terze delle stesse P3 , P; ec. di- vise per 2 . 3 : e così in progresso . Finalmente i numeri delle linee , che scorrono ohbliqua- mente dall'alto al basso, e da sinistra a destra costituiscono tante serie di numeri a differenze costanti. Cosi i numeri A, A, A, ec. della piima delle linee ora accennate sono tutti uguali fra loro; gli altri, B , P, , a, , /?^ , 74 ? ec della linea seconda formano una serie , in cui la diffiirenza prima è co- stante, ed è questa ■=.kp\\ numeri G , P, , «3 5 /^4 5 73 5 ec 388 Metodo m estrarre le Radici numeriche . costituiscono una serie , nella quale la differenza seconda è costante , ed = A/?' ; una serie , in cui la differenza terza è costante, ed = Ap^ viene formata dai numeri D, P3 , «4, (Jj , ec. della fila qua ta ; e così di seguito. 12. Accioccliè il metodo sovraesposto di trasformare la Equazione (XXIV) nella (XXV) sia vantaggioso , e di abbre- viamento; esigesi evidentemente, die la (XXIV) sia un'Equa- zione numerica, ove i coefficienti A, B, C, ec. siano tanti numeri interi, e si esige, che sia intero anche il numero jp nella a:=/;-4-j. Che se i coefficienti della (XXIV) fossero o tutti, o in parte rotti; converrebbe prima ridurli allo stes- so denominatore, operare in seguito giusta il N.° io con i soli numeratori, e in fine dividere il tutto pel denominator comune , mentre se ne voglia , o se ne debba tener conto . Che se sia fratto il numero/?: allora supposto /? = -- , con- verrà in primo luogo scrivere in una linea orizzontale , sic- come in (XXX), le successive potenze i , k, k'^, k^, ec. k"^ , e sotto di esse rispettivamente in una seconda linea scrivere i coefficienti A,B,C,D, ec. V; moltiplicati quindi questi con quelle, e ottenuti i prodotti A, Bk, CA'', D^^, ec. VA"", converrà con essi, e col solo numeratore h eseguire l'indi- cata operazione del citato N.° io; e finalmente moltiplicare l'ultimo termine della fila, che nella operazione risulta pri- "'^ P^'' "ì:^' moltiplicare il termine ultimo della fila seconda per j!l,-, l'ultimo della fila terza per ■._^ , l'ultimo della fila quarta per f_^- , e cosi in progresso: la somma di tut- ti questi prodotti costituirà la trasformata richiesta • (AAA) I, A, k •, A, ec. A 5"- A, B , C , D , ec. T, V A, Bk,Ck%Dk\ ec. Tyt'"— , V/t"' Sia per esempio x^^.-i-^x^ — |a;*-t-4« — | = o l'Equazione Del Sic. Paolo Ruffint . 38g data, e vogliasi x ■= y — 3. Togliendo i rotti comincio dal ridurre essa Equazione alla 6x*-f- \ox^ —~ aia:^-H %^x — i6 = o; quindi operando qui sotto col metodo del N.° io ottengo la trasformata 6/4 — óa/^ -h 213/^ — aa8jy — 6i=o, ossia divi- dendo pel denominatore 6 , y^ y^-\ y^ y = o . — 3| 6, IO, — ai, a45 — i6 6,-8, 3, i5, — 6r ^ 6 , — a6 , 8i , — aaS 6,-44, 2i3 6 , — 6a 6 Essendo x^ — zx^-i-icx'^ — i5 = o l'Equazione data, vo- gliasi in secondo luogo la trasformata, che ottienesi dal por- re X = y -\-l . Opero qui sotto , come è stato poc' anzi ac- cennato, e la trasformata sarà y^-t- -7 T^ ; y^ -t- -^ y* -^ 4 16 64 338i iocc5 -^ .56 ^ : [0^4 ) , I, 4, 16, H, a56 , ioa4 I , —a , 0 , IO , 0 , — i5 3 1,-8, 0 , 640, 0 , - -15360 1 , -5, -i5. 595 , 1785, — loooS I » — a , — ai , 53a, 338i I s I s - 18, 478 I . 4, — 6 7 I . Per riconoscere il perchè il metodo ora esposto sommi- nistri nella ipotesi di x =y -i-— la trasformata richiesta; si osservi , che posto a; = j -l- /? , i coefficienti della ( XXV ) ( N." 5 ) sono «> = A;)'»-f-B/7'"-'-i-C/?'"-=-+- ec. -t- R^^ ^ S/?=» -+- Tj? -t- V , i<=mA/?"'-'-f-(m- i)B/?'"-='-»-(wi-a)G/>™— ^-t- ec. -t-SR/?^-»- aS/^-t-T, Sgo Metodo di estrarhe le Radici humbriche . ^ 3R/7 -H- S . ^ m(ro— i)(m— 3) . ^_3 (m—i) (m—a) (m—S) „ ^_^ (m-g)(m-3)(m-4) Cy-^ -H ec. -f- R, ec. ec. Dunque collocata la frazione — invece di /> , e ridotti in fc ciascuna fila tutti i termini allo stesso denominatore, poiché si ottiene (XXXI) v = ~{ Ah"" ^- Bkh'^-' -h Ck^li^-^ -H ec. Kk"'-VL^ -+- u = — ^ [ mkhJ"-' -4- (w— I ) BA/i"-^ -t- (»z— a) C^^/i'"-3 -h ec. -1- SRyf^-^A^ H- aS^'"-Vi -+- T/t'"— ] ^ = _i_ / m(m-.)^^^_, _^ (m-.)(m-.) ^^^^_, _^ (m-a)(m-S) /t"— " y a a a C>tVi'«-4 -H ec. ^ SR^^-Vi ^ S/c'^-^ ) , j __ ' / m(m-i)(m-a) p^j^rn-Z _^_ (»z-i) (m-a) (m-3) g^^^„_4 _^ il'"— ^ y 2 3 a 3 (,.-,)(^-3)(^-4) (.^,^^_5 _^ ec. H- Ryt™-3 ) a 3 / ec. ec. saranno questi ultimi risultati (XXXI) i coefficienti della tra- sformata nella supposizione di x = y -^ — . Ma se poste le quantità A, B^, C^% ec. R/t'"-3, S^™-% T^"'"' , V/;"' , con queste, e col numero h si eseguiscono le operazioni del N.° IO, ottengonsi appunto le quantità, che nei risultati (XXXI) esistono tra le parentesi . Dunque moltiplicando !n prima di queste quantità , come si è proposto di sopra , per -— - , la Del Sic. Paolo Ruffini . 091 seconda per - _ - , la terza per " _^ ., e cosi di seguito, e sommando tutto insieme, dagli stessi risultati (XXXI) è chia- ro , che verrà la trasformata , che si domandava . . . ^ m(m—i) „ m(m-i)(m-2) IO. suppongasi A=i , j3=/7ì,(.j= — , U= ~ 5 _ m(m — ì) „i TT ec . S = , !=:/«, V = I . Sostituendo questi valori nei risultati (XXXI); le quantità , che in essi esistono tra parentesi , divengono evidentemente (,,„ ,, m (m — i),„T >"■{ ^ — I ) ( '" — 2) 1^7 h'"- ■+- mkh'"-' -1 i k^h"'-''-\ ^ , k^h"—^ H- ec. -H a 3. i m 1 /i'"-' -^ ( ni—\ ) kli"'—" -I- ' ■■ k''à"'-'-+- '-^ ' X ""^"^^ '^ k"'-^h'' -¥- mk'"-' h -H k'" \ = [k-\-h)" (7 / \ I 7 ( "J"" 1 ) ( m—i.) , „ , A'"-' -+- ( m— I ) kh"'—" -f- ^ ^ i k'^h' = TO(^-t-/i)"'— , - I h'"-^ _H ( w — a) AA'"-^ -t- i ^ /c^/i"'-! -+- ec. -h(/?2 — 2)A'"-3A-hA"'— ) = "'^"^~'^(/l-4-A}"-% — i 'l /i'"-ì^lm—S)kh"'-^-+-- k^h'"-^ -t- ec. a 3 \ ^ ' a / a o 7?j (m — ec. Dunque se tra la serie (XXXII) l,mk, '^^rillk^ , m(,»-i)(m-a) ^3 ^(m-0 ^„_ ^ a a 3 a mk"'~' , k'" , ed il numero /i si praticherà la solita operazio- ne del N.** IO, i risultati, che quindi si ottengono nell'ul- tima colonna a destra, cioè corrispondenti in (XXIX) ai P„, , «m 5 /3m 5 yw , ec. ( N." io ), saranno pel numero precedente 39:i Metodo di estrarre le Radici numeriche. mim — i)/, >\ mini — i)('ra — a),, ,, , {k^h)"' , m[k^h)"^-\ :il:i-l!(/t-^A)"-% ^3 \k-^h)"-\ ec. 'llUlIllllk-^hY, m{k-^h), I, ossia scrivendoli al rovescio saranno , X mim — i), , , v^ mfra — i)(m-a),, ,>„ (XXXIII) I , m ( ^-+-/^ ) , -^^ { k-i-h )^ 60 . — ^-~- {k-^hy m (m — i) - ( A; -H A )'"-% w(^4-/i)""~S (^H-A)" i4- Suppongasi I." A = o , h'=:.a; le quantità (XXXII) diverranno per- ciò (XXXIV) I, o, o, o, ec. o, o, o, e le (XXXIII) diverranno m(m.—i) „ m(TO— i)(m— 2) , ^(«1—1) ( XXXV ) i, ma, ^— a% ec. -^ — a"-^ , -— X a'"-' , tna'"-' , a'" . a.° Si faccia ^=ioa, A=è; avremo quindi dalle (XXXII) (XXXVI) 1 , mX loa,"'^"'"'^ io^a% ec. llUlZll io"'-^a"'-% m X I C'-'a"—' , I o"' X a"' ? e dalle (XXXIII) avremo (XXXVII) I , m{ioa+b), l^{ica^b)\ ec."^"7'^<7^^X ( lOfl-t-i')"'-^ , '"^"'"'^ (ioa-(-Z')'"-% m(ica-hb)"'-', (ica-+-b)"' . 3.° Pongasi k = {ic^a-i- icb) , h=:c; per questa suppo- sizione le (XXXII) si cangeranno nelle ( XXXVIII ) i,m{ic^a-¥- lob), ZllTlL^ ( 10=»^ -f- lo^» )% ec. m (m—i) {lo^'a-^icb)"'-", m{io^a-*-iob)"'-\ {io''a-\- lob)"' , e le (XXXIII) nelle (XXXIX) 1 ,m{io''a-^ lob-i-c), -'""'- (lo^'a-H ioZ>-4-c),ec. Del SiG. Paolo Ruffini . 3g3 m(m — ì)(m — a), „ » \ 5 m(m — i), „ 7 \ , -^ ^ ( [C^a-+-icb-hc )"'-^ , — ■ ( I o^a -H I ol? -f- c)'"-% /«( lo^a-H loZ^-t-c)"— , ( io*a-t- loè-t-c)'" . 4." Ponendo k = { lo^a -i- lo^b -ì- ice), h =: d ; le solite quantità (XXXII) diventeranno (XL) I , m{io^a-¥-io''b-^icc), "^ ■~ {io^a-i-io''b-^ ior)°,ec. m(m— i)(m— 2)/ o „, v,„ , m(m — i), 5 „, . v„, , a 3 a ^ /re(io'a-<- io^è-4-ioc)'"-',(io^«-+- lo^è-*- ice)'"; e le (XXXIII) diverranno (XLI) i,m{io^a-*-io'^b-t-ioc-*-il),'" ~^ (io^a-^-io^b-*-icc-t-dY,ec. m(m— i)(m — 2). , , , \,,,_i m(TO— r) a 3 ^ ' ' a '^ ( io^a-+- io"^-i- ICC -1-6?)'""^ : m{ lo^a -+- lo^è -+- ice ■+• d)"'~\ ( lo^a -H io*è -+- loc -t- " G-f- 1 bf"-^'"' H-H I o("-^''" l-*- 1 o("-^>" K-i- 1 o'"-^'"' L-h ec . , comincio col meszo della tavola delle potenze, o del meto- do, che esporrò in seguito, dal determinare la massima po- tenza mesima esatta, che si contiene in G, potenza, la cui radice mesima sappiamo già essere sempre >o, e < io; chiamata essa «", tonno con m — i zeri la serie ( XLIII ) I, o, o, o, ec. o, o, G, e con questa, ed il numero a eseguisco l'operazione del N.° IO, avvertendo giusta la regola stabilita nei numeri i, a, 3, di sottrarre dal sovrapposto G il termine, che nella prima linea orizzontale ottienesi dal penultimo, moltiplican- dolo per a. Poiché la serie (XLIII) altro non è, che la (XXXIV), cangiato in questa l'ultimo zero in G; dal nu- mero precedente apparisce, che l'indicata operazione produr- rà nell'ultima colonna verticale in corrispondenza alla prece- dente (XXXV) la serie ^ /vTT^rv m(m—i) m{m—i)(m—a) _ , m(m—z) (XLIV) I , ma,— a^, ec. — ^ —- — ' a""— ,-1 -«"'-% 2, 2, o a, ma"—' , G — a'" . Moltiplico ora in questa (XLIV) il secondo termine per IO, il terzo per lo^, il quarto per io', ossia pongo ioa, invece di a, e cambiato l'ultimo termine G — a"' nell'altro io"'(G — a'"), aggiungo ad esso il secondo membro H del dato numero (XLII); avuta cosi la serie /vTtr\ .^ 7n(m—i) _ „ m(m—t)(m,—2,) , ■> ( XLV) 1 ,mXioa, — '. lo^a^ , ec. -i —-—■ io"'-V'-^ m(m—i) , -, \ ,^ — ^ ■ i o'"-=a'"-' , w X I o™— a™-' , i o"' ( G — a"' ) -H H , divido r ultimo termine io ( G — a.'" ) -t- H pel penultimo mX io"'~'a"'— ' , e seguendo il metodo accennato nei numeri I, a, 3 determino un numero b, il quale sia uguale, o pros- simamente minore del quoto , e tale , che sot- to l'operazione del N.° io praticata tra esso è, e la serie (XLV), somministri non >io'"(G — a'")-*-H il prodotto, che Del Sic. Paolo Ruffini . 3<}-? ottienesi moltiplìcaiulo per b il termine penultimo della pri- ma linea orizzontale, che risulta dall' accennata operazione del N. 10 . Ciò fatto compisco attualmente l'indicata opera- zione del N.° IO, con l'avvertenza, come precedentemente, di sottrarre dal sovrapposto i o'" ( G — a'" ) -+- H l' accennato pro- dotto risultante dalia moltiplicazione per b dell'esposto pe- nultimo termine; ed essendo la serie (XLV) la stessa, che la (XXXVI) cambiato semplicemente il termine io'" a'" nell' altro io"*(G — a"')-»-H; vedesi che l'operazione accennata ci darà nell'ultima colonna la serie (XLVI) i,m{ica-^b),"'^"'~'\ioa-^bY, ec.^^^(io«-Hè)'"-% m( ioa->r-b)"'-' , io"'G-hH — ( loa-t-Z»)'" , la quale moltiplicato il secondo termine per io, il terzo per lo^, il quarto per lo^, ossia posto ioa, lob invece della quantità o, b, e aggiunto il terzo membro I del dato numero (XLII) all'ultimo termine cambiato nel io^Iio^G-kH— (ioa-+.^)'"] diverrà (XL VII) I , ( I o-a-H I ob), "^^^^ ( I o^a-*- 1 o^) ec . "^^ ( i c-a-hbY'-^ /n( lo'a-t- lo^»)'"— ', io'"[ io"'G-hH — { iG(2-t-è)'"]-f-I. Mediante ora la divisione dell'ultimo termine io"' [ IC'"G■^-H— ( io^i-4-è)"']-Hl pel penultimo m{ lo'-'a-i- icb)"~' truovo, come di sopra un quoto e oppor- tuno , e con questo , e con la precedente serie (XLVII) ese- guisco la solita operazione del N.° io, osservando sempre di sottrarre dall'ultimo termine IG"' [ic^G-hH— ( iCfl!-+-Z')'"]-t-I quello che nasce dalla moltiplicazione per e del termine pe- nultimo della prima linea orizzontale . Dal paragone delle (XXXVIII), (XLVII) vedesi pel numero precedente, che dall'esposta operazione j nell'ultima colonna verticale si ot- terrà la serie (XLVIII) I, m(io=fl-Hio3-+-c),!^ÌÌ^(io=a-*-icà-*-c)%ec. m(m— i) / . , , — (icM-t-ic^-i-c)'"-', w(io*a-Hioè-+-c)'"-', Sg^ Metodo di estrarre le Radicf numeriche . io^"'G-+- io"'H-»-I — ( lo^a-f- lo^-t-c)'" . Proseguendo l'operazione moltiplico, come di sopra ri- spettivamente per io', io'', io^, ec. i successivi termini se- condo, terzo, quarto, ec. ; aggiungo al termine ultimo dive- nuto io"'[ io=""G-+- iC'Hh-I — ( I o^a -+- I oè -t- e )'" ] il quarto membro K; quindi con la divisione di esso pel penultimo ot( lo'a-l- lo^^-f- ioc)""~' determino nella sovraesposta manie- ra , e con le sovraesposte condizioni un numero d opportu- no all'intento; e ciò fatto, con questo d^ e con la serie (XLIX) I ,m(io^a-t-io^^-t-i oc), "'"'"' (io^(Z-t-io^^-4-ioc)^, ec. 7?i(m— i) /a T \ Il T \, ( io^a-4- io»6-^- locf'— ' , m{ io^a-+- lo*^-»- loc)"— ' , io'"[ lo^^G-i- lo^H-i-I — ( lo^a^ io^'-i-c)'"]-hK pratico la solita operazione del N." io. La serie , che quindi risulterà nella ultima colonna ver- ticale pel numero precedente sarà la seguente (L) I, /?z(io^«-)-io-Z>-+-ioc-+-^), "' (io^a-+-io^^-Hioc-H6?)'',ec. "^ (io^i- ec .)'" = o , e che però essendo i o"— 'a-i- 1 o"'—^b-^ i o"~^c-t- 1 o"""^^-»- 1 o"~'^e-t-ec . la radice richiesta, l'operazione sarà terminata. Che se il numero (XLII) non è potenza mesima esatta, allora il risul- tato (LI) non sarà =o; e volendo proseguire l'operazione onde accostarsi al vero valore di l !/^P j nello stesso modo, come si sono jjrecedente mente aggiunti i membri H, I, K> ec. Del Sic. Paolo Ruffini . 897 converrà per la determinazione di ciascuna cifra decimale ag- giungere all'ultimo termine m zeri. La semplice precedente esposizione del nostro metodo di estrarre le radici numeriche considerato in generale è suf- ficiente a dimostrarne la giustezza e la verità. Difatti i suc- cessivi numeri «, b^ e, ec. componenti la radice richiesta vengono ivi infine a determinarsi nella maniera medesima, con cui essi si determinano col metodo di estrazione ordina- rio; e gli ultimi termini delle serie (XLIV), (XLVI), (XLVIII), (L), ec. altro evidentemente non sono, che i residui, i qua- li col metodo ordinario vanno successivamente ottenendosi . In conseguenza poi di ciò ciascuno dei numeri interi a , b ^ e, ec. dovrà essere non < o, e ■< 10 . SEZIONE II. Dimostrazione di Metodo di abbreviamento . 16. Per conoscere la ragione del metodo di abbreviamen- to, che è stato esposto ne' luoghi (IV), (IX), (XIV); si os^ servi , che le cifre ivi trascurate influiscono solamente nel valore delle cifre a destra del risultato, clic preso esatto de- ve poscia sottraersi dal num.° 1188717 in (III), dal i3o5go637i in (Vili), dall' 8000 in (XIII), e in generale dal ic"'(G — a"') H-H in (XLV); ma il numero, che si cerca ne' citati luoghi, e che in generale abbiam denominato b in (XLV), e che in (III) si è il 7, in (Vili) lo 8, ed in (XIII) il 2, deve ugua- 1- j • -11, ic'"(G— a")-»-!! gUare, od essere prossimamente mmore del quoto ^_, ^_- , ed essere tale, che sotto l'operazione del N." io eseguita tra ^ , e la serie (XLV) somministri nella moltiplicazione per h del penultimo termine della prima riga orizzontale un pro- dotto non >io"'(G — fl"')-(-H. Dunque per riconoscere, se si soddisfaccia a queste condizioni , bastando in generale la considerazione delle prime cifre a sinistra; ne segue, che per 398 Metodo di estrarue le RAnicr nujteriche . l'indicata determinazione del numero è, si potranno in ge- nerale trascurare, come si è fatto ne'citati luoghi (III), (IX), (XIV) le cifre a destra, e più brevemente si otterrà così il numero b domandato . Affine poi di riconoscere qual sia la ragione del metodo di abbreviamento del N.*45 ^ quando esso abbia luogo, con- verrà eseguire le seguenti riflessioni . 17. Supposto in generale ic( io''/z-f-io*~'Z'-t-io''~'c-t-ec.-»-/) il polinomio, che elevato alle successive potenze o", i'^,2,'^, 3'^,ec. m — i*^, e moltiplicato rispettivamente pei coefficien- ti Newtoniani 1 ^ m , '^^—^ — —, ec. m forma la hesima delle a precedenti serie (XLV), (XLVII), (XLIX), ec; il polino- mio , che costituis;ce la successiva serie A -<- i esima sarà io( io*-^'a-f- ic''b-^ IO*— 'cH-ec.-t- io/-Hg) ( N." i5), e chia- mato quello per brevità loA, sarà questo = lo(ioA-t-g). Supposto inoltre , che L , M esprimano i coefficienti Newto- niani de' due termini successivi k esimo, k-¥-i esimo delle espo- ste serie; tali termini nella serie hesima saranno 10^""' LA'— ', lo^MA^, e nella serie A-t-i esima, saranno io*— 'L(ioA-Hg)'^— ', io*M( ioA-f-g)* . 18. Ciò posto , si sottragga la precedente quantità 10*^— 'LA*— ' dall'altra io*MA* . Per la natura de' coefficienti della formola Newtoniana essendo M ^ 7 — Lj ne verrà io*MA^- io*-'LA*-' = ^^^=^i^^^ [{m - A-4- i ) ioA - A] . Ora essendo A un numero non < i , è facile a vedersi , che qualunque valore si attribuisca ad m, ogni qualvolta si fac- eia k non > — , quando m e pan , e non > quando m è dispari, sempre risulta {m — A;-i-i)XioA — A>o. Dunque jieile nostre serie (XLV), (XLVII), ec. i termini comincian- do dal primo fino inclusivamente al termine di mezzo, quan- do 7» è pari e ai due di mezzo, quando 772 è dispari, sempre Del Sic. Paolo Ruffini . 899 aii(]eraniio successivamente crescendo di valore, qualunque sia ■RT ' il • » ^ '^ m -t- I m. Ma ogni qualvolta pongasi a;> — , oppure > , secon- dochè m è pari o dispari; potendo risultare {m—k-*-ì) icA— ^' '" loA- e però k^m-i-i ; — — ; ma considerando l'andamento dei termini delle nostre serie fino al penultimo , vedesi non poter essere k'> m — i , e quindi dover essere k<^m. Dun- que in conseguenza di questi due rapporti ^>7«-t-i '""^' , k<^m^ dovendo risultare — : i > i , ne segue , che , affinchè abbia luogo l'indicato decremento di valori nei ter- mini delle nostre serie, dovrà essere w>2oA-(-i . 19. Col supporre nella espressione A^( ic^a-i-io^^'^-t- io*— ^c -Hec.) (N.° 17) A = o, a=i, é = o, c=:o, ec, si riduca A =: i , e si faccia w=ai-t-«, essendo n un intero >o: 1 precedenti rapporti A;>/nH-i 7 , k 20 H- ?j— —, A 20-1-/1 — — , ne verrà jf7< i n 9 II e per conseguenza nella serie, ove A = i, ed m=i!ii -^n, saranno decrescenti quei termini, ne' quali in ^ = 21 -hm — p il numero p ha dei valori interi compresi tra i valori zero , ed I -4- — . 4co Metodo di estrarre le Radici numeriche. i." Sia /i<;ia. Ili questa supposizione non potemlo p acffuistare, che il valore i ; ne segue, che ogniquaivolta il numero m esprimente il grado della radice da estraersi sia uno dei seguenti aa , a3 , ec. Sa, , e sia frattanto A= i , si avrà decremento solamente , mentre si passa dal termine m — 2j esimo allo m — i esimo, cioè dall' antepenultimo al pe- nultimo . a.° Pongasi «> 1 1 , e però ^ 1 1 -4- «' : risultando da que- sta ipotesi m = 3a-+-«', ^ = 3a-»-«' — y7,/?ai, ossia «'>ii . Fatto quindi /i'=ii -+-«", TI poiché si ha ?ìi = 4^ -i- n" , k = /^S -^- n" — /?,/;< 3 h , e pe- rò nella ipotesi di -V < la, acquistandosi dalla/» solamente i valori I, a, 3; ne segue, che, mentre A = i , ed m ugua- gha uno dei numeri 44' 4^^ ' ^^' ^4' i' decremento di valo- re avrà luogo nei successivi termini /re- — 4 ssimo, m — 3 esimo, m. — a esimo , m — i esimo . 4-'' Sia in generale « =r 1 1 r -h «('') , ove r rappresenti un intero qualunque non < o , ed n(0 un intero >o, e < la. Questa supposizione somministrando w = ai -+- iir -»-«('■) , A=ai -t- I ir-#-/2('; — p, e p , -, m — ù.T — 5 X = =: , e nel secondo x = = — ^ . Ora il più piccolo valore, che possa attribu- irsi ad r, si è lo zero, e contemporaneamente all'ipotesi di r = o il valore più piccolo, che possa darsi ad «(') , si è i , oppure a, secondochè m è pari, o dispari ( i.°, ^\ N.° 19) . Dunque risultando in amendue questi casi x^=Ci, ed essen- j . . ■ • 1 n j • • 1 7 -i-gr -+-«''> i6-*-9r-Hre(') ^ ^ do 1 termini delle due espressioni — , ■ tut- ti positivi ; ne segue , che quando A = i la diminuzione di valore nelle nostre serie (XLV), (XLVIJ), ec. non potrà giammai accadere , che a 9 termini per lo meno al di là di quelli di mezzo; e quanto più grande sarà il valore, che si attribuisce tanto ad r, come ad ni') ^ tanto più si allontane- rà dal mezzo il termine, da cui comincia T indicato decre- mento . ai. Sottraggasi dal termine lo^M ( icAn-g)* l'altro 10^— 'L( ioA-t-g)*— ' (N.° 17); avremo da ciò ic*M(iGA-i-g)^. — 10^— L(ioA-4-gy— = "''~'^^'^^'^^^'~'[(m-ylH.i)io(ioAH-g) ;1 «ir 1 -1 i- X IO^"'L(loA-*-g)*"' — K\. Ma essendo g non ^o, si ha questa quantità [(m — A-f- i) io(ioA-4-g) — kl molto maggiore dell'altra Tomo XVI. Eee 4oa JMetodo di estrarri; le Radice numeriche. i^!lI£.^[(,,;_yt-Hi)icA— /.) (N." 18). Dunque il ter- mine ]c'M( icA-b-gY suppierù eli valore il suo precedente !o^~'L( icA-t-g)*~' , più di quello, che il terniiiie ic'^MA* superi il precedente io^~''LA*"~' ; e per conseguenza i ter- mini ulteriori supereranno iu valuiu i precedenti, più nella serie (XLVII), che nella (XLV), più nella (XLIX) che nel- la ( XLVII ) , e così di seguito . 22. Da quanto si è detto nei precedenti ( N. 17, ec. ai ) apparisce, che, siccome i è il valor minimo, che possa at- tribuirsi ad A ( N.° 19), quindi risulta, che 1 ." Finatantochè il ffiado della radice da estraersi non supera il ventunesimo, i termini delle nostre serie (XLV) (XLVII), ec. dal primo fino inclusivamente al penultimo non potranno essere giammai decrescenti , anzi cresceranno sem- pre di valore 5 rimanendo soltanto l' antepenultimo uguale al penultimo, quando 7« = 2i, ed A=r ( N.° 19). a." Qualunque sia il grado della radice; il decremento di valore ne' termini della serie, mentre esista, non potrà mai cominciare , che dal nono al di là del termine , o dei due termini di mezzo ( N." 20 ) , e da questo fino al penul- timo inclusivamente proseguirà sempre ( N.° 19). 3.'^ Se l'indicato decremento di valore manchi nelle pri- me delle nostre serie (XLV), (XLVII), ec, molto più pel (N.°2i ) dovrà mancare nelle ulteriori: anzi, anche, allor- quando in quelle esista, dovrà pel citato ( N.° 21 ), progre- dendosi innanzi, scomparire in queste; onde avanzandosi il calcolo, quanto conviene, sempre giungeremo a delle serie crescenti in tutta la loro estensione, cioè dal primo fino in- clusivamente al penultimo termine . 4-° Qualunque sia l'esponente m, supponghiamo di es- sere giunti a delle serie, le quali siano crescenti per tutta la loro estensione ( precedente 3." ), e ritenuto, che ioA = io(io''«-H ir/— 'è-+- io''~^c-)-ec.-H/) ( N.° 17 ) sia il polino- mio, che forma una di esse, supponghiamo, che in questa Del Sic. Paolo Ruffini . 4*^3 il numero tlelie cifre, che formano il penultimo termine io"'~' //zA"*"' superi di un numero l il numero delle cifre componenti il termine antepenultimo io^~^ ^m—2. ^ In questa supposizione un termine qualunque della nostra serie anteriore all' antepenultimo , in generale il termine lo^MA^, in cui sia k<,m — i, sarà tale, che il numero del- le sue cifre supererà il numero delle cifre del precedente IO*— "LA^""' per Io meno di l — i . Difatti avendosi io™~"'wA'""~" __ lo'n— 2 m(m—i) ^„_^ ^ — 3 — icXr, l'anmento delle cifre, che a III-' I accade nel passare dal termine io"*— ^ ^m—o. gj termi- ne io'"— '//zA""' , dovrà dipendere dal moltiplicar quello per' ioA, e per conseguenza sarà questo ioA un nu- 771 —• I th^ 1 mero intero o fratto non << io'—'; ma a cagione di k<,m — i . , m — A- -HI 1^2 j 1 1 ™ — k-^i si ha ; ioA > ioA : dunque essendo ancora — ; k m — I ^ K ioA>io^— %ed essendo io*MA^ = io'-- 'LA^— ' X ^^— 7— foA; k esso termine lo^MA* dovrà contenere sopra l'altro io*— 'LA^— ' un numero di cifre certamente non a , onde i(*-') -t- / — i > /(*-') -+- i , ed K*) non < i(*-') ■+■ a . In queste supposizioni, poiché le cifre esistenti in io*— 'LA*- '^ sono tutt'al più di numero i*— ' -f- 1 , ne segue, che, men- tre in lo^MA* la cifra i(*) — ( i*-' -h i ) esima sia diversa dal 9, le prime i(*) — ( i(*^— ') -t- a ) cifre della somma io*— 'LA'^"'^ 4o4 Metodo di estrarre le Radici numeriche . -H io*MA^' saranno perfettamente le stesse, che le prime i*_(i(i— O-f-i) del termine io*MA* . Sia ora 9 la cifra i^ — {ii''~^)-¥-i) esima del termine lo^MA.* diversa dal 9 la iW — ( j(*~') -»- a ) e^zV/za , e siano di numero z(*— O-f-i le cifre in io*— "LA*^""^ . Neil' eseguire l'indicata somma, potendo risultare un'unità da portarsi ad unire alla cifra iW — (?■(*—') -t- I ) ej/wfl ; essa nel caso diverrebbe io. Dunque, ciò accadendo, il luogo z(*) — [i(''~')-i- i) esimo del- la somma io*~'LA*— '«^-t- io*MA* verrà occupato dallo zero, si accrescerà di i la cifra iC") — {i(.''~') -{- 2.) esima e rimarran- no le medesime, che quelle del termine lo^MA*, le prime iC^)— (i(*-')-t-3) cifre. Che se sia 9 anche questa iW— ( i(*^~')-+-i ) esima cifra, verrà ancora il luogo £(*) — ( i(*— ') -f- a ) e«>«o oc- cupato dallo zero, e si aumenterà di i la cifra f(^) — {i(*— 0-i-3) esima ^ restando le stesse, che quelle del termine ic^MA'', le prime z(*) — (z(^— ')-h4), e così di seguito. Pertanto se le prime fC) — ( i(*— ') -)- 1 ) e«"/?2e cifre del termine io*MA'' siano tanti 9; esse nella somma io*— "LA^— '^ -t- lo^MA* potranno diventare tanti zei'i, e ciò succedendo, la prima cifra di es- sa somma sarà allora i . In quest'ultimo caso il numero to- tale delle cifre in io*— 'LA*— '-a (prec. 5."), onde i(*-+-') non •<;(*) -t-a . Dunque ancora nella somma io*— 'LA*~'^'^-l-io''MA*5'-»-io*"'"'X NA*"*"' avendo luogo il discorso del (prec. 5.") diremo, che eziandio in essa se la cifra i(*-*-') — ( i(*) -h i ) e5Ì/«a del termi- Del Sic. Paolo Ruffini . 4^5 ne io*-*-'NA^-^' sia diversa dal 9, le prime sue iC"*-') — (i(*)-t-i>,) cifre saranno affatto le medesime, che le prime f(*-*-') — (i(*)-4-2) del termine io*-^'NA*-^' ; se la i(*-*-') — {i^')-i- 1 ) esima cifra di questo termine sia 9, essa nell'esposta somma potrà di- venire zero, aumentandosi allora di i la cifra iC'-*-') — (/(')-+- 2,) e^i/rafl, e rimanendo le medesime le altre z(*-*-') — (i(^)-(-3); e cosi in progresso; e se le prime i(^-*-') — ( iC^) -h i ) cifre di ro^-^-'NA^-*-' siano tanti 9, potranno nella somma trovata di- ventare tanti zeri preceduti tutti dalla cifra x . Le cifre tut- te dell'indicata somma in quest'ultimo caso saranno, come sopra, di numero i(^-*-i)-f-i , in tutti gli altri casi di nume- ro i(*-^-i). 7." Chiamato ii^-^-^) il numero delle cifre esistenti nel ter- mina I o^-*-2PA*-*-2 susseguente all'altro io^"-^iNA^-^', con di- scorso affatto simile a quello de' ( prec. 5.° , 6.° ) troveremo anche nella somma io*— iLA''--'): allora se la cifra [iV— ') — ( /('"~^)-l- j )] e^i/Tza di io'"~'wA'"~' sia diversa dal 9, le pri- me i('«— ') — ( i(™— 2)-Ha) cifre di T saranno perfettamente le stesse, che le prime i(™— 0 — ( iC™— =^) -f- 2 ) di io'"~'mA'"~' : se in questo termine sia 9 la cifra [ K"»— ') — ( Km— 2.) _4_ i ) ] esìma, e ne sia diversa la [ zX"*— ') ( j("i— a) _{_ a ) ] esima; allora potià in T il luogo [Kw— ') — [ìi"^— ^) -^ i)\ esìmo venire occu- Del Sic. Paolo Ruffini . 4^7 pato dallo zero, e le sue prime i(™— 0 — (i(™~^)-f-3) cifre saranno le medesime, che le prime i(™— >) ( /(«— s*)-h3) di to'"— '/«A'"""'; e cosi di seguito. Avvertasi in questo luogo, clie a cagione di i(™— i) = i("i-^)-H/ (prec.4-°) avremo iv'^~') — { /("^— 2)-)- i ) = ^ — I , Hm-i) — ( i('^-3) -f- 2, ) = / — a , j(«-i) — ( i("i-2) -H 3 ) = / — 3 , ec . Rapporto alle quantità (LIV) si osservi, che siccome i è la prima di esse, e di più abbiamo B' = g'H-B, C = B'g -t-C, D' = C'g-f-D, ec. T'=S'g-»-T, e finalmente si ha la differenza /]>a ( prec. 5.°); con discorsi simili a quelli de' ( prec. 5.°, 6.", ec. ) troveremo, che le cifre esistenti in B' sono di numero i' , ovvero i' -f- i , le esistenti in C sono di numero i" , ovvero i" -+- i , ec. e finalmente le esistenti in T sono di numero ii'"—'), oppine i(™— ')-(-i; osservando ancora quivi, che quando in T le cifre sono di numero /('""')-(- i , la prima di esse è sempre i , e le successive i('"— ' — (i("'~°)-Hi) sono tanti zeri corrispondenti ad altrettanti 9 costituenti le prime /('"—■) — ( iO"—^) -+- i ) cifre del termine T; quando poi in T la cifra i("'"~') — ( i('"~'') -+- i ) sia diversa dal 9; allora le cifre in T sono di numero i('"~'), e le prime i('"~') — {i('^—^)-i-2,) cifre sono le medesime tanto in T', come in T. Se l'indica- ta cifra i('"~') — ( ii""—^) -hi) esima sia 9 , e non sia 9 la i('«— )_(;(™-^)-+-2) esir?ia; allora in T le prime i('^— )_(i('«-=)-l-3) di T , ed i('"—') ne sarà il numero totale. Così in progresso; dicendosi evidentemente Io stesso in corrispondenza sulle al- tre quantità B' , C , D' , ec. Con maniera simile alla precedente vedremo, che riguar- do alle quantità (LV) le cifre esistenti in S" sono di nume- ro ii"^—-"), oppure i(™-"') H- I , riguardo alle (LVI) le esistenti in R'" sono di numero i('"— ^) , ovvero i("'— ^) -h i , e così di seguito; osservando qui ancora, che quando le cifre sono in numero /('"—=')-»- i, i('"— 3) _f_ j ^ ec, la prima di loro rispet- tivamente in S", R'", ec. è l'unità, e le successive iC'^—^) — ( i('»— 3) -t- I ) , iC-^-s) _ ( i('«— 4) _t_ I ) , ec. sono tanti zeri. 9.° Pel (N.°i5) avendosi U — gT>o, U(g-f-i)T (XLVII), (XLIX), ec. ( N.° i5), che risulta nel presente caso sarà (LVII) I , loBC"»-'), lo^CC"^^), io3D("'-3), ec. lo-^-^R'", io'«-"-S", lo^-'T', io'«V. Si chiami g, la cifra da aggiungersi alla porzione di ra- dice già determinata lo^A-i-ir^', si eseguisca con questa g, e la serie (LVII) la solita operazione de' numeri io, i5, e siano (LVIII) I, B, , C. , D. , ec. R, , S. , T, , V, , I j X> 15 CC« -K 1 5 ^19 I , ec. K"\, ec. i risultati, che si ottengono nelle successive righe a.*, 3.'^, 4.«, 5.", ec. Ciò fatto, sarà g, la parte intera del quoto -^y~' sarà V, = io"'V— g, ,T, = io"'V — ( io=A-h iog-+-g, )"'-)- re™ ( loA-f-g^iN." i5), T', =7?^(Io-A-^-Iog-4-g, j'^-sS", = ^i^^( io*A-+-iog-4-g, j'"-^, ec, e la serie tra le (XLV), (XLVII), (XLIX), ec, che corrisponde a questo caso, sarà (LIX) I , icB/"»-'), ro='C/'«-^), io3D,(™-3), ec. iC^-SR'", , lom-ag", , IO'"-'!', , IO"'V, . IO." Presi due termini successivi della serie (LVII), ec- cettuatone l'ultimo io"'V, per esempio i due ic^-^S", io'»-'T' siano le cifre in S" di numero i(™-a), ed in T' di numero i(m-i) ( prec. 8.° ): in questa ipotesi i numeri delle cifre nel- le Del Sic. Paolo lluFFiNr . ^c() le quantità ic'"~^S", io™"^'T' , risulteranno rispettivamente ^•(m— a) _,_ ^ — ^^ ì(m—i)_^^ — j^ J^^^ Sottraendo si ottiene i(m—ì) — 2(m— i) _)_ r ^ e lo stesso si dice di altri due rfuaiisivo- gliono degli accennati termini . Dunque nella supposizione ora fatta uno qualunque O25 A25 V2 I , B'2 , ec. P' C T' JA.25 O25 -^2 I , ec. IX 2 5 '-' 1 ec, ed avremo V^=io'"V,-g^T^ = io™V,-(io3A-*-io^g-Krog,-+-gJ'" H-io"'(io*A-t-iog-»-g,)"', T'2=m(io3A-Hio*g-Hiog,-*-g^)™-*, ec; e come nei ( prec io.° ii.° ) si troverà, che quando il nu- mero delle cifre in S", ed in T, sono rispettivamente H'n—2) -i-m — a, £(«—') -Hm — i, oppure i(™— ^)-i-w — r, f(m— i)-)-»z; allora risultando i numeri delle cifre nelle quantità ic™— ^S", , lom— 'T'i rispettivamente /(™— 2) -+- aw — 4 ■> i(™~'^ -1- a/re — a , ovvero ii"^—^)-i-2m — 3 ,/('"'"') -i- aw — i; il termine io"'— 'T'^ conterrà sopra l'altro io"»— ^S", un numero i('«— ') — iC»»— a)-t-a di cifre, e però una cifra di piìi di quelle, che il termine Del Sic. Paolo RurriNi . /^ii io""*"!' nella serie (LIX) contiene sopra io"— ^S", e due cifre più di quelle, che il termine io'"~^ mA"'~' nella serie (LII) contiene in corrispondenza sopra lo""^ ^^-^ — ^ A"*— ^ . Allorché poi il numero delle cifre in S", sia iC'"— ^)-+-w — i, ed i('"— ')-H7n— I sia questo numero in T, ; tante saranno le ci- fre di io'""~'T', sopra di io'"— ^S", , quante sono le cifre dì IO™— 'T' sopra di io'"— ^S"; ma la prima cifra a sinistra di io*"-"^S"j sarà i , e le successive i(™— =■) — (i(™— 3)_4_ j ) tanti zeri . Come nei ( prec. 8.°, ec. 1 1 ." ) vedremo, che ancora nel- le quantità T^ , T'2 il numero delle cifre è i('"~') -h- 2./?i — a, oppure i('"~') -i- 2.rn — i, avendosi nel secondo di questi casi la prima cifra a sinistra = i , e le successive i('"— 0 — K"'— 2)_+_i tanti zeri corrispondenti ad altrettanti 9 esistenti , riguardo al termine T, , sul principio del termine io'"~'T'i, e rappor- to al termine T'^ sul principio di Tj . Nel caso primo poi quando la cifra (iC"*- ') — i^''^~'')-i-i) esima di io"*— 'T', , oppu- re di T2 sia diversa dal 9 ; allora le prime zX"'— ') — ?('"-*) ci- fre rispettivamente di T3 , ovvero T'2 , saranno le stesse, che le prime ii""-') — H'"—'-) di T', o di T'^ . Se sia 9 questa «('"-') — { i('"~^) -t- 1 ) esima cifra; negli indicati termini saranno le medesime le prime K'"— ') — ( z('"— ^) -t- i ) cifre j così in pro- gresso . iS." Lo stesso dicesi evidentemente di tutte le ulteriori serie, che nel proseguir l'estrazione della radice ottengonsi successivamente ; avvertendo , che , quanto più si progredi- sce , tanto più aumenta nel modo indicato nel { prec. 12.° ) la differenza tra il numero delle cifre in un dato termine, e il numero delle cifre nel termine successivo . 23. Ritenute le supposizioni tutte dei ( 4-*' 5 ce, iS.", N.° 22 ), e posto per semplicità di scrivere i invece di i^'^~^), abbiasi '»' »" (LX) I o"'-'mA"'~'=i o'-'a-H i o'-^/3-+-ec .-4-ro'-('-^)£-Hi o'-(^— =)' C -H io'(^—')ì2-i- IO'— 'i-t-ec, e sia la cifra »; diversa dal 9» ^12 Metodo ui estrakre le Radici numehighe- onde risulti T ( 8.° N.° 2,2 ) avente i cifre, e le sue prime l — 2 uguali alle supposte a, /?, ec. £, ^, e però avente la forma ( LXI ) T = lo'-'a-i- 10'-=^^ ■+■ ec. -t- io'-(^-3)e-f- io'-(^-^)? •4- io'— ('—')?/ -t- io'~"V ■+- ec. Poiché g è un intero di una sola cifra esprimente la parte intera del quoto — (8.°, 9.°, N.° 22, ) ; la quantità U non potrà contenere più di i -+- i cifre , e porrò quindi in generale (LXII) \J=iio'À-i-\o'-'(j,-^io'-^v-¥-ec.-i-io'-(^-^')p-^io'-(.'-^) a -+■ I e'— ('— ')t -h 1 e'— '^1 -+- ec . Ciò fatto vogliasi dividere attualmente U per T , e suppon- gliianio, che q esprima il massimo numero delle volte esat- te, ciie a contienesi in icÀ -t- ^ ^ ed insieme /? contienesi nel corrispondente numei'o v accresciuto dell'avanzo rimasto, dalla divisione di iO/l-(-|tt per a, e cosi di seguito fino alla divisione del numero a, aumentato dall'avanzo precedente, per t,; e suppongliiamo, che da quest'ultima divisione si ab-: bia un residuo non '-Hff', e nel caso di gu non >y avendosi v — gu della forma io'~('—')t' ■+- io'~'|' -+- ec, sarà (LXVII) V= lo'-^i'H-io^-V-i-ec.-H io'-(^-V-+- i^'~^^~'K -+-io'-('-')t'-+- io'-^|'-+-ec. Che se si abbia gu > v; allora , nelT unirsi della quantità v — gu=.— {gu — v) coir altra i o'-('— ^) ( ^ _ g5 ) , onde otte- nere il valore di V, rimarrà nel risultato (LXVII) cangiata per lo meno la cifra & . Siccome poi si ha V= io'~('~^)(^ — gs) — (g" — "")■! ^ dalle (LXV) apparisce essere sempre gu — y io'-('-=')(^— g^)— lO^-C-^^ a5. Nel proseguii-e avanti l'operazione si osservi tosto, ehe la cifra gj (9.° N.** aa ) da aggiugnersi all'ottenuta quaa- tità lo^A -1- log deve essere la parte intera del quoto — - — (LVII), (LVIII) (9.''N.''aa). Ora suppongasi, che nella quan- tità T=(LXI) la cifra {l — i) esima ^ oppure la {l — 2.) esìma ^ cioè la r/ , ovvero la t, sia diversa dal g ; in conseguenza di ciò le prime Z— 3 cifre della T' (LIV) (S.^N.^aa) saranno le medesime , che le prime l — 3 della T , e potrà quindi' porsi T'= I o'— a-t-i o'-^/3-+-ec .-+- i c'-(^-')£-4- i o'-(^-^)C'h- 1 o'-<^-' V -)- I o'— 't" H- ec . , e però avremo jo"'— 'T'=io'-^'»— ^a-i-io'-^"— ^/?-i-ec. ro'-^'«—('—%-*-ic'-^"Ì— ('—')?'•' ■+■ io'-^'"-V-+- to'-^-^-^'-^-'V-^-ec. 4i4 Metodo di estharre le Radici numiìrighe. Suppongasi inoltre, che in questo valore dì io"'~'T' la cifia lesima^ o la {l-~ i)esima, o la (/ — 2.)esima, cioè i" , ovve- ro ?/', oppure C" sia diversa dal 9: per questa supposizione le prime l~S cifre della T, (LVIII) per lo ( ìì^N.^aa) risulteranno le stesse, che le prime / — 3 della T' , e però che le prime / — 3 della T, e quindi porremo (LXVIII) r = io'-<-'"-^a -H lo'-^-^-^^-H ec. -+- i o'-^'"-i^-^) e -+- io'-*-'"-('-')4""-t- io'-^'"-V"-+- io'-+-'"-('-t-'V"-H-ec. Finalmente si supponga gu non >u(N.° prec), onde la (LXVII) espvima il valore di V e si ponga la quantità ( LXVI ) = t\ la parte lo'-C— )rH- io'-'|'-Hec. della (LXVII) moltiplica- ta per IO"» si ponga = i;', si faccia nella (LXIV) lo'-^a-i-io'-^/? -l-ec.-i-£ = ^^^ = s', e nella (LXVIII) facciasi lo'-^""— ('—%'" -H io'-<-'"-'j^"'-H io'-^-«-('^')i"'-t.ec. z=u' . Risulterà da tut- to ciò , ( I0'"V=I0'-^'"-('-^)^'-l-t;', Esprimasi con la lettera q^ la parte intera del quoto—, e l'avanzo, che in ultimo risulta dall' attuai divisione di t' per s' , sia non — g?0 = io'-('-^) ( t — gs—t' ) -*- ( I o'-(^-^) t'->,-v — gu)=zi C— (•'—'') t'-\-v—gu > o , ne verrà V quantità positiva, e della forma iG'""('~^)r" -t- ic'~(' — 'V-t- io'~''i;"-i-ec. , in cui ciascuno dei numeri r",T", io"'V I", ec. sarà •< io: ma gì è la parte intiei'a del quoto — - — ( 9.° N." 22, ); ed ogni qualvolta sia / > 4^ 1^ frazione — - — — — r- { LXVIII , N. ao 1 r" -¥■ io~'i"-i- io~^r'-t-ec. n^ ^ VHHeC. a cagione di a non 4i l'isulte- rà g,= 0 . Poiché V, = io^V — g,T, (9.° N." aa), nel caso di l> ^ avendosi gi=:o; otterremo V,=:io'"V-, ma essendo T'i-=:Ti ~^g,6\—r, (g.^N." aa) e T3 = to'"— r'.-i-g^j, ( ia.° N.''aa ) = io"'~'r[ -Hg^i'i , pel cit. (9.°N.°aa) sarà esso T3 una quan- tità della forma 10'-+-^'"— ^a-H io'-*"""— ^i^-f- ec. Dunque risul- , to^V, 10'-^*"— e— ')r"-«- io'-^-'"'-<'-")T"-+-ec. _ r"-(-io— ■r"-f-ec. T, io'"^'""~^a-t- IO'"*-*"»— *é-t-ec. io'~^ a-+- io'~' tf-*-ec. ne segue, che, mentre abbiasi />ò", sarà ancora la parte intiera del quoto — - — , e pero ga ( la. JN. aa ) =: o . Nella maniera medesima trovandosi lO^V lo'-^'"*— e— ")/'-+- to'-^^"—<'-')T"-(-ec. r"-t-ro— T"-l-e eziari- T3 io'"*"'"— *ch- io'''"^'*~^S-*-ec. io'— * a-t- io'~^6; e così di seguito, fino ad essere g/_4 = o. II. Ritenuto il residuo t — qs-=-t' -^.q ^ supponghiamo in secondo luogo, che qualcheduna delle cifre 7/ ^ t', ec. del divi- Del Sic. Paolo Ruffini . 4' 7 divisore T si contenga nella corrispondente r, |, ec. del di- videndo U accresciuta del dovuto avanzo meno delie esposte q volte. In questa ipotesi sarà g<^? e sarà U — ^T = ic'~(^~^) ■=. io'~(^~-')t' -i-v — qui/^P ( 8.", 9." N.° 2,a ) e quindi la nuova cifra da aggiungei-si alia quantità io^A-f-io<^, onde accostarsi op- portunamente al valore di l/^P -, dovrà essere negativa . Sia — gj questa nuova cifra; poiché il numero^ (N.°5), che si adopera ad eseguire le operazioni de' ( N.' io,ec. iS ) può pei numeri citati essere egualmente positivo, e negativo, si collochi nel ( 9.° N." 33 ) — gj invece di gì , e per indicare i risultati, che ne vengono, serviamoci per brevità delle stes- se lettere (LVIII); posto in oltre U — ^T = — V, sarà eviden- — lo^V temente — g, la parte intera del quoto — ; ma Y = — (IJ — qT) = qu — { io'~^'~'-'')t' -i~v) è quantità nel presente ca- so positiva, e non può essere che della forma io'~^^~'')r"' -^- io'~"('~Or"' -4- io'~'|"' -+- ec, in cui ciascuno dei numeri r'" , t'", I"', ec. è < IO, e con discorsi simili a quelli dei ( 5°, 6.°, ec. N." 2,2, ) in conseguenza delle ipotesi fatte truovasi risultare T, anche presentemente della forma i o'"*"'"~^a H- ic'-*'"'~^^ -i- io'-^"'~^'y -i-ec. Dunque avendosi — lO'-V / io*-*-™-('-»)r'"-Hio-*-"— ('-')t"'-(- io'-^"-T'-t-ec. \ _^ ri \ nj.-t-m-^a^ ,e.-*-»-3g^. 10 '-»-'"-'>)' -i-ec. / 1 ■ ■ I , ne segue, che, ogni qualvolta sia l'>4-> dovrà risultare anche qui g, = 0. Pongasi realmente />45 onde sia g, = o , converrà in questo caso determinare la successiva cifra gì , la quale sot- tratta dalla quantità io^A-f-ic^5' — ioXo=io^A-t-io='^-f-ioXo produca il risultato lo^A-i- lo^^-t-ioXo — gì prossimo al va- lore di y^P . Avendosi V. = — ( i o-^V — g, T, ) = — i o^V , e posto nel ( ia.° N." aa ) — g, invece di gj , risultando Tomo XVI. Ggg 4lO HeTCDO m EàTRARIin LE RaDICI NUMERICHE. T,= io— 'T',-g,S,= io— (T,-g,S'.)-g,S,=io— T,--g,S,, sarà iC^V, = — { io'-^-=^'"-('-^V"-H lo'-^-^^H^-'V'H-ec.) , e sa- rà 1\ della forma 10'-^=""— ^a-+- lo'-^^'"— ^/?-l-ec. ; ma — g^ non è che la parte intera del quoziente '""V, _/io-+'"— ('-')r"'-no'+°-^('-')T"' ■+■ ec.\ _ /"-4-10— r"'-t-ec. T* \ zo-<-''"-^a-t-io'->-'"'-'^6-i-^. )~~ io'-''a-i-io'-H-t-ec. ' Dunque 5 allorché si ha l^s, dovrà essere ancora g, = o . Nella stessa guisa la cifra gj, la quale nella ipotesi di />>? dovrebbe sottrarsi dalla quantità lo^A-t- io^^-h lo^'X e — loXo = lo^A -t- 10^^-4- io=»X c> -f- loX o, onde accostarsi opportunamente al valore di \"XP , essendo, cangiatone il segno, Ja parte intera del qnoto ^ , ove V^ , T3 esprimo- no le quantità, die succedono, e sono analoghe alle prece- denti Vi 5 T2 5 e trovandosi, come precedentemente ^ — i = — / 10'+^"— "-')r'".4-io'+3^-('— )r'"-t-ec.\ / r"'-t- io— r'" -i-ec. \ \ lo•+5".-4„_^.Io.+3„-5g^g^^ j — ~ \joi-6a-^ io'-76 -t- ec./ ' ^^* sulterà eziandio g^ = o , mentre si abbia Z > 6 . Proseguendo nella medesima maniera , troveremo in ge- nerale, che dovrà ancora in questo secondo caso essere zero ciascuna delle cifre gì 5 g^ 5 gs ? ec. gi—^ . Dunque ogni qualvolta il residuo t' , che nasce dalla di- visione della quantità t = ( LXIII ) per l' altra s = ( LXIV ) { N." 28 ), sia minore del quoto ^, e lo stesso si dice se sia <; io; avremo tanto nel primo, come nel secondo dei casi ora considerati un risultato io^~^A -f- io^"~^ ■+■ io^~^ X o -H 10'— ^Xo -H ec. -+- IO X o -H o = io'— ^A -4- 10'—^^, il quale, ( supposto che q sia in esso la nesima cifra decimale ) sarà nel primo caso inferiore , e nel secondo maggiore del vero valore di 1 /^P per una quantità piìi piccola di ^_^^_^ , e a- vrà per conseguenza in amendue i casi tanto accostamento verso il valor vero di l/^P , quanto può esigersi con un nu- mero «. H- / — 4 ^i decimali . Dunque , allorquando si abbia il Del Sic. Paolo Ruffini . 4' 9 residuo t' l/^P ? si deter- minerebbe assai facilmente il valore prossimamente V {N.'24,a5). In questa supposizione poiché si ha V= io'— e- ^)^'-(-u — qu^ osservo se sia io'— ('— -)i-'-H-t; — qu'>o^ o non lo sia : se lo sia , risultando positivo l' avanzo V della divisione di U per T, saia ^ = g, e il supposto accidente di V — qii<,o non apporta alcuna variazione nella determinazio- ne della cifra g. Glie se sia io'— ('— ^)i'-4-iy — qu■ io'— ('— ^)i' -f- r^ . Ora essendo q numero di una sola cifra, il prodotto /-hio'— V-nec.) ( N.' a3 , 24 ) deve essere della Torma io'— <'— ^)/?" -+- ic'— ('— 0 •?;'"-+- io'— V-+-ec. , e in questa io dico dover essere la prima cifra p" ^'-t- io'— 'i' -j- ec. ;_f/_aì IO— ('-■));"-+. IO— 'i)"-t-ec. , j = 10' y *^-)-' ; ma questo secondo mem- ? bro è > IO'— e- ^); dunque dovrebbe essere ancora io'—''—') 7^ ->r- IO'— 'i'-Hec. < io'— e-'*); ma ciò a cagione di ciasche- duno de' numeri 1^', /, ec. q-> ne segue elle ec. Pertanto avendosi 10'— ('—*)/»"-<- 10'— (' — ') jj'" -4- ec. 4ao MeroDO di estuarre le Radici numeriche . >ìc'-i'-^)t'-i-v e però >io'-('-%'-h io'-('-')r-+-io'-'|-4-ec. (LXV) (N.°23), ed avendosi p" l/^P •> 11^ avrà al vero valore di questo radicale lo stesso grado di avvicinamento che è stato indicato nel citato ( II. prec. r." ) . II. Ritengasi io'~('~^)^'-t-t; — • ^m>-o, cosicché si abbia ^=:g ( prec. I. ) . Avendosi per la ipotesi v — qu <^o , ossia V — g«<;o, e però, ritenute le denominazioni del ( N.° aS ), avendosi io'"(t; — gtó) = — 'y' , sarà io™V= lo'-^™— ('— ^)^' — u'. Si divida come nel citato ( N.° a5 ) la parte t' della quantità io'"V per la parte / della T, = io'^™-('-^Vh-m' (LXIXN." aS), e chiamatane ^, la parte intera del quoto, ne sia t" l'avan- zo, cosicché t" o , oppure V, o, al- io'"V lora , essendo q^ la parte intera del quoziente — - — si avrà ^, = g, . Che se sia V, < o , e però qiu! -h w' > io'-^'"-('-^)r ossia (7,?/-i-io'"g«>io'-^'"-('-^)^"-Hio'"t;; risultando pel (N."a5} /^/i' = (jr_ ( io'-*-'"— e— ')^"'-H lo'-^'"— ^»/"-f-ec.)5 sarà questo pro- dotto della forma io'-+-'"-('-=^)/" -H io'-^'"-(^— )?'"■+- lo'-^'"-'' 5/'^-4-ec., in cui, come nel (preci.), ci dimostra p'"<,q,' Si sommi ora con questo il valore io'"gM, che esprimerò co- me nel ( prec. I.), per io'-t-™-('-^y-+- io'-^'"-('-')j?"-h lo'-^'"-^ i"-(-ec.: essendo ciascuna delle cifre, che compongono que- ste due quantità < io, la somma qji -^ lo'^gu dovrà acqui- stare la forma io'-*-'^-('-2)^'' -H io'-^'"-('-=')r^ -*- io'-^'"-(^— )C" -Hic'-^™— '/^'-f-ec, in cui p'" sarà solamente = i , oppure =0 , Dunque avendosi io'-^'"-(^-3);,«-h io'-^'^-(^-^)r"-i- io'-^'"-('— ) ^''-Hec> ic'-^'"—('-~'')^"-t-io'-*-'"— (^— Or-t-io'-^"— '2;-t-ec., dovrà Del Sic. Paolo RaFFim . 4^i essere t" non > lo-t-r", e quindi i"-<2, . io . Potenrlo pertan- to in questo caso il residuo t" essere formato di due cifre, il discorso del ( II. prec. i ." ) avrà bensì luogo ancor quivi, ma Io avrà fino al valore lo'—^A-f- io'~^g-t- lo'"^^, , il qua- le, conservate le supposizioni del citato (II. prec. i.°), sarà più grande del vero valore di l/^P per una quantità soltan- to < ■ — - . Questo avvicinamento è realmente minore di quello, che hanno al vero valore di i/^P le quantità deter- minate nel ( prec. I.° ), e nel ( prec. i )•■, ma ciò procede per- chè nei citati ( prec. I.°, prec. i ) il residuo era sempre < io, e nel caso presente dovendo essere solamente il residuo if"<^a.IO, potrebbe esso risultare >>io. III. Nel caso, in cui si ha Vi o , op- pure Vj < o : nel primo di questi casi , come precedentemen- te , si trova dover essere q^'=z g^ . Nel caso secondo , aven- dosi Y-, = I o^-»-2'«— (^— 2)/'" — (Io"'■y'-^-IO"'g,^^'-^-(7^^^")=Io^-*-2'"— {^— ^> i"'-t-io='«u — [io"' ( io'^gu-{- giti )-i-qji"]; essendo qji"=:q.j, ^ joi-Hara— (i— i)£t"^_ iciH-aTO— ;^"'_^. ec. ) della forma i o'-^^to— (^— a) però avendosi la somma io'" {ic"'gu-i-giu)-^qji"=-[ic'-*-^'^—i^—^'> ^"-t-i o'-»-2'^— {^— ^)r''-Hi c'-^^"»— (^— O^^-t-f o^-*-^'"— ^/j'^-nec] (prec. Il) ( _f- I ci-t-2m—{l—D.)pv" _^ j ^i^2,m—(l—i)£v<' _^_ j pi^.2OT— /^f " -)_ ec . ) del la forma i o^-^^m— (Z— 3)^w"' _^_ j oi-i-am— (/— 2) ;•"'" _j_ iei-*-2m— (Z— !)£"'" _^_ io'-*-2'^— '^"'"-f-ec, ove /?"'" non può avere che uno dei valo- ri a., I, 0; a cagione di V., o , onde q, = g^ . Seguendo nelle denomi- nazioni ulteriori 1' analogia delle precedenti e posto perciò e'^-'-Hec, io'-6a-t-io'-7/?-i-ec. = y", ioi-^3'»-('-iy^-Hio'-^3w-t e" -i-ec. = u" , IO'" (v" -i-gji") = v"' , ne verrà IO™ Va = ioi-^3'n^(.i-2)i"' — v'\ T3 ^ ioi-H3f?i-(Z-a)/"-HZi"' 6 SUp- t'" posto ^3 parte intera del quoto —, e t'^ l'avanzo, avremo V3 = I C^V. — ^3X3 = I o^-^-3'«-('-^)i'" — ( v'" -H qy ) ; e però , se sia V3 >o, avremo ancora qui qì =: gì . Che se V3 < o ; al- lora, come nei ( prec. II, III ), rifletto essere V3 = i o^-^3w— ('— 2^) t'^-^- io^"'v — [io"'{io"'[io'^-gii,-i-g,u']-^g^u")-hq^u"'], ed es- sere inoltre q^u'" = q^{ ioi-*-3™-('-i)j/'*-(- ioi-t-3«— '«'■--+- ec.) del- la forma io^-+-3«— (^— 2)/?'^ -)- ioi-^3m— ('— 1)}/=^ -f- lo'-^Sm— /g^.). ec, ove/?^<5^3, per cui la somma io'"[ ic"'( io™gM-t-g,M')-(-g^/i"] ■+■ q^u'" = ( I oi-t-3m-(Z-3)^t"" _^ j (ji^3OT-('-a)r""' -+- i oi-^im-(l-i) g^'" £"" -H ec. ) ( prec. Ili ), acquista la forma i o^-^-3"i— ('— 3)/^'^' -H jQi-f-3m— (Z— a)^2'_(_ jQÌH-3w— (/— i)j,35' _^ j^i-^Sm— Z^j:' _+_ ec. avendosi j)^' uguale ad uno dei numeri 3 , a , i , e . Dunque a cagione di V3 < o , risultando i c'-^3ra— (Z— a) j'«.f,I QÌ-*-3m—(l—i)T^^ j oi-t-3ra— Z |_f. ec . < I o'"*"3m— (Z— 3) o=='-h i QÌ-*-3m—(l-2.) /•^'H_ioJ-»-3ra— (2— i)y2'_f_ioi-t-3w— Z£a:'_,_ec., si avrà t''"<,iop^' ^r""'., e però i'''<4-io. Dunque anche nel caso presente potendo il residuo t'^ < 4^ essere composto di due cifre ; come nei ( prec. II, III ) resterà determinata una quantità io^~^A -H io^"".Vio'~^g,-Hio^""7^-i-io^~^[/ P per un valore < -^~ri' •> Del Sic. Paolo Ruffini '. ^i% V. Supposto V3 >o, per cui ^3 =:g3 ( prec. IV. ), se pro- •Sf!guiremo innanzi : nel modo stesso si troverà , che quando il residuo susseguente V4 = lO'^Vs — qj!\ sia >-o, allora sa- rà q/, ■= g^ . Che se V4<;o; allora ^4 sarà maggiore del do- vere, ma risultando in tale ipotesi il residuo ^"^t'^—qi^s'^KS. io, e potendo esso però contenei-e due cifre; verrà ad ottenersi una quantità io'~4A -+- io'~^g -(- ec. -t- io'— ^gj _f_ 10^—9^4 su- periore per un valore più piccolo di ^_^ al valore vero Così in progresso fino al quoziente gjo •> riguardo al qua- le se si abbia Vio>o, si otterrà ^,0 = gio ; ma se VioryP per un valore solamente < r—^ . Così di seguito . IO""*"'"" 3.° I. Sia nella quantità (LX)= icrn-imAm-i (n.° a3 ) la cifra ?^ =: 9 , e nel formarsi la somma gS -H 10"^— 'w A™— ^ (8.°N.°aa), onde ottenere il valore di T , si trasporti ad unire con la jj^ = 9 un' unità : in questa ipotesi , poiché risul- ta i^-»-i = io, nella quantità (LXI) = T dovrà essere »/ = o, e la cifra t dovrebbe essere accresciuta di i . In conseguen- za di ciò, ritenute tutte le denominazioni dei ( N.' aS , a4; I, II, ec. prec. a.° ) avremo T= ic'— ('~^)^ -H i o^^C— '^) -h m , e V = IO'- e— ^)i'-Hu — ( IO'— e— =^)-t-z^)o, oppure V g . In questo secondo poi a cagione di 'rl-=.o non potendo il prodotto (ici— ('— ^)-i-m) ^=(ic'— e— ^)-l-ic^— ^f'-4-ec.)^ che essere della forma io'— ('— ^) <7 _4_ IO'— e- i)jp"-f- io'— 'f"H-ec. , ed essendo io'— C—^) *'-+-«=: IO'— e— 2) t' -(- IO'— e— i)r -t- IO'— 'I -»- ec. 5 ne verrà io'— C— =) *'-f- io'-('-^)t-i-io'-'|h- ec.< lo'-C-^)^-*- ic'-('-i)>?"-i-io'-^ t"-Hec.; e però i non >5', e quindi i' < io. Dunque qui 4^4 Metodo di estkabre le Radici numeriche. ancora , siccome nei ( II. prec. i ." , I. prec. 2.° ) , coucluderc- mo ottenersi tostamente la quantità i g'~3j;\^ -t- i o^~4^ > ijX P per un valore < — - — - . II. Sia V>o, onde ^, . Dun- que, sommando questo con la quantità io"' ( io^—(^— 2) g-f-gz/) = j j^i-KTO— (/— 3) g _>_ jjji^m— (Z— 1)^"_(_ IO'-*-™— ^i"-i-ec. ( prec. II. ), poiché risulta un valore della forma io^-+-™~(^— 3)/?"-+- lo^"^'""^^""^) r'" •+■ i o'-'-'"— {'— ') j^" -H i o'-*-"»— ^ i" -+- ec . ; ove p^= i , ovvero := o ; ne segue, che quando si ha V,« o , allora sarà anche quivi ^. = g, . III. Pongasi V, > o , per cui ^i = g, . Essendo in Tj (prec- II.) il valore di r/" non > r , in una maniera simile alla Del Sic. Paolo Ruffini . 4^-^ alla praticata nel citato (predi), e in conseguenza degli ( II.", ra.", N." 22 ) vedremo, come nel ( II. prec. a." ), risul- tarci T = io'-+-2'"— ^cj^ioi-^-am— 45^.ec.H-io'-»-2'"~('~^))'-*-io'-'-^'"-('-') £ _4_ I oi-t-zm—l ( ^ _)_ I ) ^ I (ji-i-2.m—(l-t-i) ^a' _j_ i Qi-i-a.m—1 1"' _f- ec . , OS- sia, conservan.do sempre le solite denominazioni T^= i o^-*-2'"-('-=») s" _H u" , ove , potendo tanto C 5 come e essere = 9 , sarà lì' della forma io'-t-2"i-('-=')/j""-4-io'-^^'«-<'-^)£'"'-4- io'-^-'''^-'C""-^ec., e in questa /?"" non potrà avere che uno dei valori i , o , e quando //""= I , si avrà £''" = 0. Ora avendosi giusta il soli- to ^^ — q^ -<- 7 ' « però V. = ( iC^V, — ^J, ) = io^-^2w-(i-3) t'" ^io^'"v — [io"'{ic"'{\ij'-C--^)g-\-gu]-^giu')-¥-qjLi"'\ ed es- sendo per quanto si è ora detto q^u" della forma i o*-^^'"— ('— a) ^«"'-<_ io'-^a™-(^-') £''"'-+- ic'-<-2'"-^C'""H-ec. in cui/?"'" non >q^\ col sommare questo valore con l'altro esprimente il valore di io'"[ io"'( I o'— (^— ^) g -+- gzi ) -H giu" ] ( prec. II ) ottiensi un risultato della forma io'-*-2™-(^-3)y-t-io'-+-^'«-(Mr'-^-t-io'-^2TO-(/-i) £'^ -f- io'-'-^"*"~^C'^ -+- ec. , in cui p' deve uguagliare uno dei numeri a , 1,0. Dunque , ogni qualvolta sia V^ < o , risul- tando ^"'<3 . IO, si ricaverà il valore io'~^A-!- \o'—^g->r-io^~^g, -¥■ lo^—Tq-j. > 1/ P per un valore < ,^^i_i come nel ( prec. II ). Nel caso poi di Va > o , si avrà q^ = gì ■ IV. Proseguendo avanti nella stessa guisa agevolmente vedremo, che come nei ( prec. I, II, III ) sonosi ottenute del- le approssimazioni simili a quelle dei ( I, II, III prec. 2,.° ) , così in seguito ottengonsi in questo caso le altre successive simili anch'esse alle corrispondenti dei ( IV , V prec. 2.° ) . 4-° I. Nelle considerazioni de'( prec. i.°, 2.", 3." ) ho po- ste sempre le quantità V , V, , V^ , ec. maggiori, oppure mi- nori, e non mai uguali allo zeroj e ciò perchè presentemen- te si tratta di un'approssimazione, e non già di una deter- minazione di radice esatta, e se qualcuna delle accennate V, V,, V2 , ec. fosse zero, allora la radice sarebbe esatta, e rimarrebbe pienamente determinata contro la supposizione . Tomo XVI. Hhh 426 MuTODO DI ESTRARRE LE RaDIGI NUMERICHE . II. Nei ( I. prec. i." , I. prec. 3." ) , anclie allorquando si Ila V>o, purclìè contemporaneamente risulti l'avanzo t' di una cifra sola, ossia < io, avremo un valore io'~^A-+-io'~^g, il quale difFerisce dal vero valore di i"/^ per una quantità < ; — -: e tutto ciò si dimostra come nel f I. prec. i ."^ ) . IO""*" — ■+ \ r 1 Così nei ( II. prec. a.°, II. prec. 3." ) ancora mentre sia Vi>o, purché t" non sia formato che di due cifre, si otterrà una quantità i o'~4A -f- i o^^'^g -+- io'— ^g, differente meno di ^ ^^_^ dal valore vero di i"/ P . Nello stesso modo dei ( III. prec. a.°. III. prec. 3.° ) quando sia t'" di due sole cifre, anche nel caso di V2 > o si ricaverà il valore io'— 4A-t- io'— ^g-+- io'— V, -+■ io'- 7g, diverso meno di ^_^^_; da y/ P . Così di seguito come nei ( IV, V prec. 2.°; IV, V prec. S.'' ) . Si rifletta però che in tutti questi casi le quantità risultanti lo'— ^A-i- io'— ^g, io'— 4A-+-ic'— 5g-f-io'— ^gi, io'— 'i'A-f-io'— ^g-l-io'- ^g,-i-ro'— 7g^, ec. sono non già maggiori, come nei luoghi citati, ma mi- nori del valor vero di x'/^ • III. Le cifre, che si contengono nel dividendo (LXIII) = ;= io'— ='/^-H io'— ^^-+-ec. { N." 23 ) sono di numero/ — i, e quando han luogo le condizioni dei ( N.' 28, a5 ), l'opera- zione di abbreviamento proseguesi giusta il (I.N.°4)5 fi"" che rimangono nel dividendo due sole cifre . Dunque le g , gi,g,, ec. che vengono successivamente determinate, saran- no di numero / — 3, e avremo il risultato 10'— ^A -f- io'— '^g H- io'— 5g, -4- io'— ^g^-Hec.-H iogz_3-t-gi-4i ma ritenuto, che g sia la nesima cifra decimale ( II. prec. 1.°), il risultato ora esposto sappiamo, che differisce dal valor vero di 1/ P nie- no di ^ — 7 . Dunque, dallo stesso valor vero di L/ P dif- ferendo meno di Vtj anche il risultato lo'-^A-t- io'— ^dr io""*" ^ Del Sic. Paolo Ruffini . 4^7 dei (I, II prec. i ." ; I. prec. 2.°; I prec. 3.") ne segue che quanilo hanno luogo i casi dei citati ( I, II prec. i.°;I.prec. 2..° ; I. prec. 3.° ) allora nella espressione semplicissima io^~^A -i-io'~^q avremo un accostamento verso 1/ P uguale a quel- lo, che si ha, mentre si verifichino le condizioni de'(N.' a3, a5), dall'operazione ivi accennata, e continuata, giusta il (I.N.°4)5 finché nel dividendo non rimangono, che due sole cifre. Che se hanno luogo i casi dei ( II , III , ec. prec. 2,.°; II, III, ec. prec. 3."); allora i valori ivi ottenuti fino esclusivamente al valore , che ha per ultimo termine il quoto <7,o ( V. prec. a. ), accostandosi al valor vero di ì'/^ per una differenza soltan- to < ; — r, avremo un'approssimazione, la quale, avuto riguardo ai limiti, è io volte minore dell'approssimazione, che si ottiene , mentre verificandosi le condizioni de' citati (N.^aS, a5 ) , si prolunghi l'operazione ivi esposta, fino a rimanere, come di sopra, due sole ciFre nel dividendo. I va- lori poi, che risultarebbero aventi per ultimo termine uno de' quozienti 3; ec. ( I .", 2.°, 3." N.°26): ma in tutti questi casi, cioè tanto quando t' non è che di una cifra, come quando uno dei t'\ t" , t'^ , ec. t^ è soltanto di una, o due cifre; come quando- il numero delle cifre componenti uno dei t''' , t"^" , t'''" , ec. t non supera il 3 , ec, abbiamo nel cit. ( N.° a6 ) veduto, co- me debbasi regolare , onde accostarsi quanto è mai possibi- le, col numero de' decimali determinato, al vero valore di ly^P . Dunque nell' eseguire attualmente il metodo di abbre- viamento de' ( N.' 4^ ^3, 2.^) ) non dovremo , che osservare il numero delle cifre, che forma ciascuno de' residui t',t'\t"', ec; se questo numero fino esclusivamente all'avanzo t^' tro- vasi >a, dovremo sempre seguire la regola dei { N.' a3,a5, 1.4)5 ras se il numero medesimo in t' si vede = 1 , oppure in quaiuiKpie degli altri t" , t'" , t'^' ^ ec. risulta ^=- i , oppure = a; allora dovremo determinare il valore richiesto giusta le regole del ( II. N.° 4 ) ^ ciò per quanto si è detto nei ( i.", I, II, ec IV. a."; I, II, ec. IV. 3.% N. 26). Che se progreden- do la determinazione dei successivi quozienti q, (jr, , q^ , ec. oltre i! q^ , si truovi , che qualcuno dei corrispondenti resi- dui i^' , i^" , f^'", ec. sia formato di tre cifre, allora convie- ne arrestarsi , e per la determinazione del richiesto valore approssimantesi al vero valore della radice, conviene seguire la regola del (V.2.°N. 26), diventando allora il limite di approssimazione = ^_^^_^' . Se poi si volesse proseguire avari- lo" ti, determinando i quoti ^gg , ^,005 ec; allora, mentre si trovasse uno dei residui f^ , f^'^ f^" ■> ec fornito di un nume- ro di cifre non >4- bisognerebbe fermarsi, e seguitando in- Del Sic. Paolo Ruffini . 4*9 nanzi le l'egole , e i raziocinj dei ( a.°, 3.° N.° a6 ) trovereh- besi nel caso del numero delle cifre =4 un risultato, il cui limite di approssimazione al valor vero della radice sarebbe = ^ ^_ ; e cosi di seguito. Ma questi ultimi casi non so- no che di pura speculazione, perchè mai estendesi in pirati- ca l'approssimazione ad un grado così alto. Riflettasi però, in conseguenza di quanto si è ora detto, che quando la de- terminazione dei quozienti si prolunga oltre il q^^ allora non può più aupporsi di estendere come nel (I. N.**4) '^ divi- sioni , finché nel dividendo non rimangono che due cifre ; perchè la determinazione sicura de' successivi quoti qtoign-) ^,, , ec. esige che nel dividendo esista un numero di cifre > a ( V. a.° N.° a6 ) . 43o ERRORI CONTENUTI IN QUESTA PRIMA PARTE {*) Pagina Linea Errori Correzioni 3 aa quello quella IO a7 in cui cioè in cui 12, 3 Pescai Pascal 19 18 col al ag lunghezza larghezza aa a premono premano 33 7 masso massa 34 a4 encharier en charier 43 nota a Un. 3 in luogo in un luogo 48 a3 esso essa 56 16, 17 verranno . . . accre- vengono . . . accre- sceranno scono — a3 diviso è diviso 57 16 / F — 18 di si — 19 e E 59 a formarla fermarla — 7 superiore posteriore 6a 9 CfJ ^g 63 5 AQ AG 66 i3 AQ AE — 19 di rette dirette 67 9 D'm sarà D'm : sarà (") Il Correttore , benché conosca non aver da incolparsi d' incuria nella rcvi- «ion della stampa dei Manoscritti , dove , per difetto degli Amanuensi , trovansi alcune delle inesattezze, ora rettificate, e dove mancano certe aggiunte, che ades- so vengono inserite dai respettivi Autori, ha chiesto ed ottenuto da questi la Nota completa degli Errori occorsi, onde pienamente corretta comparisca l'edizione di questo Tomo . 43 1 Pagina Linea Eb.rori Correzioni 68 ai i/[Cd,^n-{n i/[{d,^-C?Y] 69 21 e col * e del 8a 24 83 4 « #4 n (hr) (MY — n- 116 5 S'aggiunga il Corollario seguente Chiamando M la superficie corrispondente alla data D e distante da essa per l'intervallo — , si avrà per la proposi- zione antecedente „ /D-i-Q ,,\ l^)=^-^^T-^is-^^' ^ p-'^- t( — ^;;5^ — )="^ -H— H — ;r -I- T-TT • Ma il secondo membro di ciuesta equazio- 2r aR 3rR ^ 1 1 ; adunque V=--l ^-naMl. Vale a dire, il volume compreso tra due superficie parallele è uguale ad un terzo delia loro distanza, moltiplicata per la metà della somma delle medesime superficie insieme al dop- pio della superficie parallela e corrispondente aneli' essa alla data, e condotta alla metà della loro distanza. Risultamento affatto simile al Teorema di Torricelli accennato nel Corolla- rio quarto della proposizione quarta di questa Memoria . 43a Pagina Linea 12,7 129 a5 5 Errori dal prezzo p- — aia «7/7 H ( P -H A ) i3o i8,ai,23 Ì-(P-hA) i3i 3 Ì.(P-hA) Correzioni — {p-^x) dal prezzo/? al prez- zo p-\-z i35 i36 140 143 148 149 4 ao 5 aa a, 3 la 17 18 aa 4 8 i3 1 1 — 16 i5a ^(P^-A)Q -(P-<-A)Q n capitale e guadagno capitale a guadagno p-\-x Kp'ip'^z') -(P-4-A) p = 4B q'(p-^z) q{p-^z') ICs" .... K/;" p{p^z") PQ-hGPQ 5 — a5 \T ^ 100 \ f(P + A)Q -Ì(P-hA)Q. Kz'(/;-4-z) e re / = 45 H2" .... H/' ^") PQ-(- G PQ 5Xa5 — a5 Vt 100 /( (P-4-A))q p-^ 433 Alle pagine i55, iSó, i6a, 167, aai ove leggasi d deve in- tendersi il segno ^ indicativo la ciffra differenziale . Alle pagine 170, 171, 177, 178, 187, 188 ove sì trovano no- mi proprj coir iniziale S dev'essere letto il nome coli' iniziale G . Alle pagine i56, 199, aoo, aoi, aoS, ao6 ove leggesi v e v' deve leggersi V , V Pagina Linea Err.ob.1 C0KR£Z/0iVT i54 17 y l'ascissa ;»; l'ascissa — 18 X l'altra y l'altra i55 ag — 3 — 1 i56 IO della dalla a3 fe" A" T 8" i63 3 I —re 1 —i 164 7 «> 0 166 ai t> 0 172 a6 Offmann. Oltmanns . ^77 la dos avsmenen dos ausnehmen i85 i5 bi bc 197 i5 Monùtliche... ,i://irer Monàthliche...Eìfter ao6 '4 fisici fissi ai6 I e del e dal ai8 7 k k^ aa3 4 ascivo lare a scivolare aaS 5 a. lin. I (Fig.^i-) {Fig-^-) a3a 9 NN MN a33 § 1 1 lin .4 del 5 3 del § 3 e 4 a36 5 B/3 = o, 5oP B/3 = o,o5oP a4a 9 possibile possibile : perchè ( num. IH ) si può pren- dere a ; a' : : P' ; Q' . a44 23 I, a, 4, 6> ec. I , a, 3, 4, 6, ec. a47 4 (I) (0 434 Pagina Linea jEnROR/ Correzioni H7 nota lin 6 (a76— i5fl=)?/ (27^ — i5tì*)?< a48 IO x^ — px ±g = c x^ — px-±:q-=o — a6 Ij/^' purché ...dispari hl/t' a49 5 6. lin. 5 i/^.=N(37--+-fi/0 l/è=N(.3/--4-/)/^ — IO per m per n a5o 18 iX-^(V^) \y{a-^i/b) i6o 6 F3-H(/7H-ar)F F3-H(^_2l)F i6a 9 Kt// = i// Kt//=i//' — 27 (p-^BÌp = — Ao^ <^a_^B)//^ = — Acj^' a63 8 (^)* ("-^")*" a64 3 e 4 Cioè — : — non sa- A rehbe divisibile per A che è > B jì /<»« a68 17 a74 ag 3 3V-y^ 3^ ^79 a5 accidenti accidentali a86 ai ^[-K-^-f)] '5[''-K''-f)r 3o7 33 cercando recando 3i6 a l{ì—dz) /( I — flz) 3i7 »4 z'- s'" 3ao i3 (-3/) (_3/3) 321 a 2B3 aB3 Dà . — 6 -3AQK '♦- — 3AQR 340 4 e 5 osservate riferite " 34a i3 ao° aa° 343 3 5" , 0 3",o -r. *4 9".j'.7",oB .4 9'i'7%9B 435 Pagina Linea Errori Correzioni 374 3o zero zeri 37S 18 iaoi6 12096 377 i5 390 ec. 994 32003 355490,3430, raooS, 130S9 378 5 3930 392$ 379 9 tolgo tolgo le ultime otto dal numero secondo 17 606 6c6 , operando sem- pre nella maniera me- desima, taglio dal divi- sore l'altro 9, divido per 320 il 606 , 386 3r per esempio Ala per esempio la 395 18 (io^a-1-io^),' m{m—i) / , 7 X m(m—t) ( io*a-t-i ob) {lo^a-^bY 397 18 di Metodo dei Metodi 4i5 29 entra entro 416 2,1 />.' />5 418 5 io"V — 6,8 1>S />5 4ao ult. e 1 4^2, a3 (H- + { ^■^ ult. 10'—^ H- 10^- '%-^ io'— Sg -)- io'— ^g, •+• 4a5 ao I I IO»-*-'-' IO"-*-;- 5 427 17 poiché poi , che 436 Nella Memoria Boriati inserita nel Tomo XV della Società Italiana delle Scienze occorsero i seguenti errori alla pag. 233 liti. 2.4 invece di ... la formola diviene a-\ = 2» y si dica ... la formola «H — diviene = aa 7 alla pag. 288 lin. a5 invece di . . . aar^ — p- , che e . . . a,by — b\ si dica .... a»/* _ al quarto termine proporzionale aay l^~^\, , che è alla pag. 247 lin. 4 invece di . . . scorrere un minuto . . . si dica scorrere in un minuto .... alla pag. 248 lin. 4 invece di . . . diametro 4 | 8Ì dica diametro di linee 4 | -I- ; -y^ ih; yiioi INDICE D E' P R I M I QUINDICI TOMI DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE. INDICE DEGLI ARGOMENTI TRATTATI NE' PRIMI QUINDICI TOMI DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE E DEL NOME DEGLI AUTORI DELLE MEMORIE COMPILATO DA OTTAVIO GAGNOLI VICE-SEGRETARIO AMMINISTRATORE DELLA STESSA. VERONA DALLA TIPOGRAFIA DI LUIGI MAINARDI JSJ2. { ARGOMENTI TRATTATI NEI PRIMI QUINDICI TOMI DELLE MEMORIE DELLA SOCIEIÀ ITALIANA DELLE SCIENZE // numero romano indica il Tomo, V aralo la pagina, l'asterisco gli Autori non Socj , il P. la Parte del Tomo . Abiesiko ; ijjlatena o Abissino , l)evanda vinosa . Giovanni Fabhroni . XII. igS. P. II. Acqua; scomposizione. Lettera di Felice Fontana. V. 58i. A< QuE . Saggio d'una nuova teoria del movimento delle acque pei fiumi. Teodoro Bonati . II. 676. Nuovo metodo per trovar colla sperienza la quantità dell'acqua corrente per un fiume. Teodoro Bo- nati . Ivi . Della figura del Gorgo, clie la natura forma in un vaso cilindrico ripieno d'acqua, nel centro del cui tondo sia aperto un toro circolare. Giordano Riccati . IH. a38. Del misurar l'acqua che esce dalle cateratte con moto libero. Anton Mario Lorena. V. 3l3. con moto perturbato . V. 33o. Cateratta idrometrica . Lorgna . V. 397. Della velocità dell'acqua per un foro nel fondo d'un vaso, che abbia uno o più diafragmi: e della velocità pure dell'acqua per un tubo verticale cilindrico o divergente annesso a un loro nel fondo di un vase semplice: e del soffio che si procura nelle fornaci di alcune ferriere col mezzo dell'ac- qua . Bonati. V. 5oi. "— — Legge inseparabile dal principio fondamentale del Castelli intorno al moto e alla misura dell' acque correnti. Lorgna. VI. ai8. --— Sopra la costruzione delle Chiuse per la derivazione de' canali regolati. Bernardino Ferrari. VII. 157. — — Esame e rettificazione de' diletti e. paralogismi che s'incontrano in tutte le dimostrazioni del teorema fondamentale d'Idraulica. Gregorio Fontana. VIII. 184. ■ ' Dell'aste Ritrometriche ^ e di un nuovo Pendolo per trovare la Scala delle velocità d'un' acqua cor- rente . Bonati . VIII. 435. '-^— Difesa e conferma della comune misura della velocità dei fluidi uscenti per i fori dei vasi . Pietro Zuliani ». Vili. 533. Della resistenza e dell'urto dei fluidi. Vittorio Fossombron' . IX. 535. Della fermezza e resistenza de' canali contro lo sforzo dell'acqua. Gregorio Fontana. IX. 632. Della pressione dell'acqua in moto contro i vasi e tubi, pe' quali scorre. Dal medesimo. IX. 656. — — Sulla miglior forma da darsi ai ripari, che si costruiscono ne' fiumi. Antonio Lombardi *. X. 640. • Sulle acque minerali della provincia bergamasca . Di Giovanni 3Iaironi Daponte . XI. 285. t— ^ Sul metodo di determinare il centro di pressione nelle cateratte , ovvero parature di figura circolare ed elittica . Girolamo Saladini . XI. 147- — — Osservazioni sull'azione dell'acqua idro-solforataj e dell'acido solforoso su di alcuni colori vegetabi- li . Bartolomeo Barani *. XI. 241. Osservazioni sulle resistenze dell'acifua e dell'aria. Paolo Delanges . XIII. 161. Tentativi per investigare la celerità dell'acque correnti. Francesco Focacci * . XIII. 3go. Ricerche per conoscere i rapporti delle velocità dell'acque in andamenti sui quali s'incontrino difTe- lenti attriti . Oel medesimo . XV. 820. — — Vedi Tubi addizionali ; Tubi . Apjuatico . Congetture su d'un antico sbocco dell'Adriatico per la Daunia fino al seno Tarantino. Luca de Samuele Cagnazzi *. XIII. 189. P. II. Aereostatica . Vedi Macchine. Ago magketico . Congetture sville cagioni delle diverse variazioni dell'ago magnetico dal Nord. Vincenzo Chiminello . XI. 198. Alberi. Sopra la caduta delle foglie degli alberi nell'autunno. Giuseppe Maria Giovene . XIII. 161. P. II. — — Osservazioni sopra quegli alberi , che si caricano di frutta senza semi , cioè del solo periorpio , e sui giacinti che si mettono a vegetare nelle caraffe piene di acqua . Filippo Re . XIV. i36. P. II. A I r.KBRA . Intorno alla moltiplicazione ed alla divisione algebraiche . Leonardo Salimbeni . VII. 4^^' Ai 1 ezze . Vedi Barometro. i'iiiuvioKi. Sopra la distribuzione delle Alluvioni. Vittorio Fossombroni . IX. 585. A -«ALISI. Su diversi articoli spettanti all'analisi. Pietro Franchini *. XI. 264. — ' ■ Nuovi metodi tendenti a perfezionare l'analisi algcbraica . Del medesimo . XII. 160. "•— Di alcune forinole che esprimono i tre lati de' triangoli rettilinei- rettangoli . Giuseppe Slop , XIII. a85. 4 Akatowia . Saggio d' osservazioni anatomiche intorno agli organi della respirazione degli Uccelli . Michele Girardi . II. 782. — — Conferma delle medesime . Vincenzo Malacarne . IV. 18. — — Osservazione anatomica sopra un vitello-vacca, detto dagl'Inglesi Freemartin . Antonio Scarpa. II. 846. — — Osservazioni anatomico-patologiche sugli organi uropoietici. Vincenzo Malacarne. III. 103, V. 408. — — Osservazioni e riflessioni intorno alla tunica vaginale del testicolo . Michele Girardi . IV. 53o. — Saggio d' osservazioni anatomiche intorno agli organi elettrici della torpedine. Del medesimo. III. 553. — — Esposizione anatomica delle parti relative all'encefalo degli uccelli. Vincenzo Malacarne. I. 747, II. 337 , III. 136, IV. 37 , VI. ic6 , VII. rgS , XI. 33. — — Sezione d'un cadavero . Gianverardo Zeviani . V. Sgi. P. II. — — Intorno ad un uomo perfettamente bilingue , e sulla struttura delle parti più interne della lingua . Jacopo Penada * . VIII. 36. P. II. — ^ Questioni anatomiche fisiologiche e chirurgiche. Vincenzo Malacarne. Vili. aig. P. II. — — Osservazioni anatomico-patologiche. Floriano Caldani. XII. i. P. II. — — Osservazioni anatomiche circa all'origine de' mostri. Vincenzo Malacarne. XII. 164. P. Il- ' Vedi Encefalotomia ; cuore . Angina pectoris ; Vedi Stenocardia . Animali riproduzioni . Ricerche intorno alcune riproduzioni che si operano negli animali ( così detti a sangue caldo, e nell'uomo. Giuseppe Baronia *. IV. 4^0. ( cosi detti a sangue freddo . IX. 385. Anim.ìli fossili. Sugli animali fossili. Ermenegildo Pini. XII. 210. P. II. Annali . Annali della Società Italiana delle Scienze . Pompilio Pozzetti . IX (I) , X. i , XI. xv , XII. xvi , Xlll. XVI. — — Continuazione degli Annali della Società Italiana per Ottavio Gagnoli. XIV (i) , XV (i5). Anno francese . Spiegazione popolare della maniera , colla quale si regola l'anno sestile o intercalare , ed il cominciamento dell'anno republicano . Lorenzo Mascheroni. IX. 33i. Anno tropico solare. Della misura dell'anno tYopico solare. Giuseppe Piazzi. XIII. i. Antiquaria. Osservazioni fatte presso Stabio, nel Cantone Svizzero del Ticino. Carlo Amoretti. XV. 117. P. II. Archi . Della vera curva degli archi del ponte a S. Trinità a Firenze . Pietro Ferroni . XIV. 8. Archi baleni . Sopra sei archi-baleni contemporanei e concentrici . Chiminello . XIV. 4- Areometro. Saggio intorno alla rettificazione dell'areometro, e a' differenti suoi usi. Giamhatista da S. Martino . VII. 79. Arcano. Della maggior perfezione dell'Argano. Leonardo Ximenes . I. 6i3. Argento ; Vedi Gravità . Argonauta Argo. Notizia sull'Argonauta Argo del Linneo. Giuseppe Maria Giovene . XIV. saa. P. II. Aria. Osservazioni sulla costituzione dell'aria atmosferica. Carlo Lodovico Morozzo . VI. aai. Ariete idraulico. Sull'Ariete Idraulico. Ermenegildn Pini e Giuseppe Racagnì . X. 776. Artritide . Saggio dell'efficacia dell'olio d'oliva nell' artritide vaga. Giannantonio Marino. III. 4o5- Astronomia. Osservazioni astronomiche. Antonio Gagnoli. VI. 369. — — Delle variazioni nella longitudine eliocentrica d'un pianeta, e loro cause. Giuseppe Slop . XIII. 336. — — Notizie astronomiche di Germania comunicate all'Italia da Antonio Gagnoli. XIV. 384. Osservazioni e calcoli di alcune opposizioni de' pianeti superiori. Giovanni Santini * . XV. 335. — Vedi Eclittica , Giove , Giunone , Marte , Mercurio , Occultazioni , Pallade , Pianeti , Rotazioni , Sole, Solstizj , Stelle , Toro , Transiti , Venere , Urano . Attrazione. Dell'adesione, o attrazione di superficie. Giovacchino Carradori " . XI. 75, XII. 89. P. Il, XV. 126. P. II. — Sulla teoria dell'attrazione degli sferoidi elittici . Giovanni Plana *• XV. 870. Aurore boreali . Sopra le Aurore boreali locali . Pierantonio Bondioli . IX. 4^3. AziojNE irritativa^ Ricerche sull'azione irritativa. Del medesimo . XIY. 161. P. U. B Ballo di corda . Xtagionamento Fisico-meccanico sopra i ballerini di corda . Vincenzo Srunacci . XV. io4- P. II. Barometro . Ricerche ed osservazioni fatte per perfezionare il barometro . Pietro Moscati e Marsilio Lan- driani * . 1. 235. — — Delle altezze barometriche . Francesco Maria Franceschinis . V. 294. ji — — Dei moti del barometro nei temporali. Giuseppe Toaldo . VIII. 21. Osservazioni elettrico-atmosferiche e barometriche . Giuseppe Maria Giovene . Vili. 85. IX. 438. —— Sopra la misura delle altezze col barometro . Giuseppe Maria Racagni . XIII. 307. — — Nuova ipotesi per ispiegare la discesa del barometro in tempo piovoso . Vincenzo Chiminello . XIII. 140. P. II. — — Indagini per sottomettere a calcolo il barometro nelle diverse sue fonne , nelle su,e dipendenze , ne suoi usi. Pietro Cassali > XV. i. Babometro . Fenomeno de' barometri nel loro scuotimento o trasporto da luogo a luogo. Vincenzo Chimi- nello . XV. 5o. •— — Sui barometri luminosi , con appendice dimostrante nel barometro una macchina elettrica singolare . Pietro Cassali. XV. 76. P. II. Biblioteche . Fedi Insetti . — • Sulla maniera di costruir biblioteche. Giovanni Fahbroni. XI. 92. Binomio . Saggio analitico principalmente diretto ad ampliare gli usi di quella formula chiamata il binomio di Neuton . Pietro Ferroni . IX. 291. — - Nuove considerazioni su di alcune singolari proprietà de' coefficienti della nota formola del binomio N eut ornano . Gìovacchino Fessati. XI. 44^- Borace . Vedi Sale . Botanica. Esperienze ed osservazioni sopra la direzione della Plumula e della Radicula nelle semenze, che germogliano . Gìovacchino Carradori * . X. i38. — Istoria di ciò eh' è stato pensato intorno alla fecondazione delle piante. Pietro Rossi. VII. 369. — Esperienze ed osservazioni sopra le proprietà fisiche dei sughi lattiginosi delle piante nostrali e sopra la loro simiglianza colla gomma o resina elastica. Gìovacchino Carradori * . XI. 62. — Sopra una specie distinta di cipero. Ottaviano Targioni Tozzetti. XIII. 333. P. II. — — Vedi Piante. G <• Calcolo integrale. Xticerche intorno al calcolo integrale dell'equazioni differenziali finite. Mario Lorena'. I. 373, II. 177. — — Delle formole differenziali, la cui integrazione dipende dalla rettificazione delle sezioni coniche. Gian- francesco Blalfatti . II. 749. — Sopra l'integrazione della tormola Q^a;-(-P^'^jr±3\y:=o . Mario Lorgna . III. 220. — — Prodromo d'osservazioni sopra il trattato di calcolo integrale publicato in Parigi da Co7i(forcef l' anno 1765. Pietro Ferroni. V. i3o. — — Ricerche sopra l'inteerazione sviluppata in una serie finita della formula fJ^cKf ^ ^ ^^ (a^" — 3«i!')cos.(^-(-i*z')i" essendo p un numero qualunque intero . Francesco Pezzi . IV. 677. — — Integrazione in sene finite delle lormole ; r jtt , , ; r — ,. »,„ , ; , . 7~3 ; — 77^ ° (a-t-bx-t-cx^)P (a-*-l>x-i-cx'-t-Jx^)P ' (a-l-ta-i-c-t -t-/x^-(-/w+)p essendo p e q numeri qualunque interi . Del medesimo . VI. 266. — Riflessioni sull'integrazione di quell'equazioni, le quali non soddisfanno alle condizioni d'integrabi- lità. Pietro Paoli. VI. Sci. — — Lettera di Pietro Ferroni. VII. Sig. Riflessioni sopra l'integrazione dell'equazioni lineari a due variabili. Sebastiano Canterzani . Vili. 307. — — Dell'integrazione dell'equazioni a differenze parziali finite ed infinitesime. Pietro Paoli. Vili. 675. — Teoria e calcolo di A-^ — • Tommaso Valperea Caluso . XII. 268. S- = — — Sull'integrazione d'un nuovo canone d'equazioni differenziali d'ordine alto. Francesco Cardinali * . XIII. 38 1. Vedi Analisi , Moltiplicatore . Calcolo trascendente . Considerazioni sopra una maniera diversa da quella, che segue l'Eulero di trarre dal circolo le quantità trascendenti, che allo stesso appartengono ^ e dimostrazione d'un teorema analitico. Francesco Pezzi. V. 4'7- Calcoli. Sopra alcuni prodotti singolari dell'animale economia morbosa. Pietro Moscati. XIII. 3iOj 32i. P. II. ' Pensieri sulla varia origine e natura de' corpi calcolosi ^ che vengono talvolta espulsi dal tubo gastri- co . Pietro Rubini . XIV. 69. P. II. Calendario . Saggio di calendario perpetuo delle umane natività ricavato da più registri di anni lx . Vìrir- cenzo Chimìnello . XII. 194. Calore . Articolo di Lettera . Felice Fontana . I. 104. — — Brevi riflessioni sul calore animale. Leopoldo Maria Caldani. XIII. 296. P. II. Canali . Vedi Tubi . Canchero . Brevi considerazioni intorno a quella crudele malattia , che chiamasi canchero . Del medesimo . XII. 127. P. II. Cani rabbiosi. Cura felice d'un uomo morso da un cane, certamente rabbioso. Gianoerardo Zeviani.X. s.3.3. Cannocchiali. Tentativo per migliorar i cannocchiali acromatici proposti da Eulero. Barnaba Orioni. IH. 664. Cantaride. Dell'accoppiamento d'una cantaride con un elatere. Pietro Rossi. VIII. 119. Capillarità' . Teoria dell'azione capillare di La Place ridotta alla più semplice ed elementare geometria. Gioacchino Pessuti , XIV. 87. 6 Capra . Vedi Parallasse . Cajikonato (li potiiisa . Sull' uso del carbonato di potassa nella malattia che affligge le vie urinarie . Paolo Mascagni . XI. 635. Carbone . Sopra il gaz molto ossigenato , che si ottiene dal carbone messo neU''acico Moruzzo . XI. 33i. Carbonio. Dell'origine del carbonio, cli'entra nelle piante. Gidmhatista da S. Martino. Vili. i. ■■ Esperienze ed osservazioni per dimostrar che le piante assorbiscono il carbonio . Giovacchino Carra- dori " . XI. 3i3. Catarro . Sul catarro epidemico . Gianverardo Ze^iani . XI. ^l6. Cecità' . Sopra la cecità temporanea d'un occhio. Jacopo Peaada * . X. 6i. Cembali . Vedi Organi . Cervello . Le scoperte di Gali sul sistema nerveo della spinai midolla e del cervello , esposte da Biscoff e ridotte al giusto valore. Vincenzo Malacarne. XIV. i. P. II. Chimica nomenclatura . Vedi Mineralogia . CiiiN.vcHiNA . Nuovo USO della chinachina nel vajuolo . Gianverardo Zeoiani . I. 826. Sull'azione specifica della chinachina sulle vie urinarie. Pietro Rubini *. VIII. 665. — — Sopra una falsa specie di china. Ottaviano Targioni Tozzetti . XI. 53i. Chiuse . Vedi Acque . Cicuta. Guarigione mirabile d'un tisico disperato con l'uso della cicuta. Gianverardo Zeviani . IV. 278. Cocco . Nota sopra la storia del cocco tintorio detto volgarmente Kermes , o grana da tingere . Michele Rosa . VII. 225. Coclee. Supplemento alla dottrina Torricelliana sopra le coclee. Pietro Ferroni . XV. 60. Colèra. Intorno ad una specie singolare di quella malattia che si chiama Cholèra morbus, o semplicemen- te Cliolera . L. M. A. Caldani . XII. 2.0^. P. II. Colori . Congetture intorno alle cagioni del vario colore degli AfFricani e di altri popoli , e sulla prima ori- gine di questi . Del medesimo . VIII. 44^- Nuove osservazioni sulle cagioni del vario colorito negli animali . Floriano Caldani . Vili. 4^8. Indagine fisica sui colori. Giambattista Venturi. Vili. 699. Ricerrlie sulla produzione de' colori immaginarj nell'ombre. Pietro Petrini * . XIII. 87. P. II. — — Vedi Sangue . Colori vegetabili . Vedi Acque . CoriFEBVE . Delle conferve irritabili e del loro movimento di progressione verso la luce. Giuseppe Olivi . VI. 161 . CoKFiNAzioNE . Nuovo mctodo per istabilire i confini dei terreni. Vincenzo Chiminello . Vili. 473. Cohtinuita' : legge . Vedi Meccanica . Corde . Sperienze sulle minuge o corde d' intestini , e sulle funi o corde di canapa . Bonaventura Corti * . XI. 642. CoTonE . Della tintura del cotone e filo in rosso colla robbia . Giannantonio Giobert . XIII. 363. P. II. Cristalli-. Sui cristalli di Selvino . Gio. Maironi Dapoiite . XV. 291. P. II. Cuore . Varice singolarissima formata e scoppiata al seno quadrato del cuore con una nuova anatomica .di- mostrazione delle fibre componenti Io stesso seno quadrato . Jacopo Penada * . XI. 545. INIalattia straordinaria del cuore cun riflessioni patologico-anatorniche . Del medesimo . Xlll. 67. P. II. D'una straordinaria rottura del cuore. Valeriano Luigi Brera *. XIV. aaS. P. II. Vedi Sangue , Vermi . CiRVA . Sopra l'equazione d'una curva ec. Gregorio Fontana. II. laS. D Dekti . Analisi dello smalto d'un dente fossile di elefante, e dei denti umani. Domenico Morichini * . XII. 73 , 268. r. 11. Derivazioni. Sul calcolo delle derivazioni. Pietro Paoli. XIII. aS. E Eclittica, vjbliquità dell'eclittica osservata nel solstizio 22 Giugno 180'i da. Vincenzo Chiminello . XI. i8i. Vedi Obliquità . EccLissi . SuU'ecclissi del dì 11 Febbrajo 1804. Giuseppe Cassella *. XI. 620. — — Osservazione dell'ecclissi lunare degli 11 Luglio i8o5 . Vincenzo Chiminello . XII. 3i8. — — Descrizione d'una macchina, pel cui mezzo si predice l'avvenimento di qualsivoglia ecclissi del sole e della luna . Giuseppe Veneziani * . XIII. 9. Elateha . Vedi Abiesino. Elef-^kte . Sopra i denti fossili di un elefante trovato nelle vicioanze di Roma. Lodovito Morozzo . X. i6a. — — Vedi Denti . 7 EtETTr.iciTA' . Introduzione a nuovi principi Jell» teoria elettrica dedotti dall'analisi de' fenomeni dell'elet- triche punte . Car/o ^artofi . I. i , li- i • • ir 77- E- J- 1\T (.A Sperienze elettriche sull'acqua e sul ghiaccio. Anionmaria Vassalli t.andi . IV. 264. j)^.lla supposta eguaghanza di contraria elettricità nelle due opposte tacce del vetro , o di uno strato resistente per ispiegare la scarica o scossa della boccia di Leyden . Del medesimo . IV. 804, VII. 444. ''<"';. Barometro, Fenomeni. , Elettrometro Della maniera di far servire l'elettrometro atmosieiico portatile ali uso ci un igrometro sen- sibilissimo. Alessandro Folta. V. 55i. Descrizione d'un nuovo elettrometro, ed alcune esperienze relative alla carica della colonna VoUiana. SahatOT Dal Negro ' . XI. 6a3. Elogio di Giuseppe Torelli. Ippolito Pindemonti . II. iil — — di Ruggero Boscovich . Angelo Fahbroni . IV. vii — — di Leonardo Ximenes . Luigi Falcarli . V. IX — — di Anton Mario Lorgna . Lo stesso . VIII. i — — di Giovanni Arduino. Benedetto Dellene . Vili, xiv — — di Giuseppe Toaldo . Angelo Fahbroni. Vili, xxix — di Michele Girardi . Luigi Bramieri * . IX. i — — di Lazaro Spallanzani. Angelo Fahbroni. IX. xxi — — di Giordano Riccati . Antonio Pellizzari *. IX. xlix, X. xxvrt — — di Giambattista di Sanmartino . Ippolito Pindemonti. IX. lxxi — — di Giuseppe Olivi . Pompilio Pozzetti . IX. lxx.xxi — — di Lorenzo Mascheroni Ferdinando Landi . XI. xxxviii .— — di Alberto Fortis . Carlo Amoretti . XIV. xvii — — di Pierantonio Bondioli . Mario Pieri * . XV. i — — di Gianfrancesco Malfatti . Giuseppe Venturuli . XV. xxvi — — di Gianverardo Zeviani . Antonio Guarienti * . XV. xxxvil — — di Carlo Lodovico Morozzo . Prospero Balbo . XV. lxv Encefalotomia . Saggio di splancnogratia ed enretalotomia della foca. Vincenzo Malacarne XII. Sg. P. II. Epilessia. Sull'epilessia e suo rimedio. Gianverardo Zeviani. XII. 179. P. II. Equazioni. Sull'equazioni a differenze finite e parziali. Pietro Paoli. II. 787, IV. 4^5, X. 249- Sulla ipisteriosa Alembertiana equazione (i-i-/i(/ — i)'"=:(i — //(/— i)". Pietro Cossali. IX. aSr, Della soluzione dell'equazioni algebraiche determinate particolari di grado superiore al quarto. Paolo Ruffini. IX. 444. Lettera di Pietro Abbati * . X. 385. — — Della insolubilità delle equazioni algebraiche generali di grado superiore al quarto . Paolo Ruffini . X. 410 • Lettera di Sebastiano Canterzani . XI. 178. — — Metodo per trovare le radici numeriche d'ogni equazione. Giuseppe Cassetta *. XI. 2o3. — — Dubbj proposti al Socio Ruffini sulla sua dimostrazione dell'impossibilità di risolvere le equazioni su- periori al quarto grado . Gianfrancesco Malfatti . XI. 679. — ^ Risposta al Socio Gianfrancesco Malfatti . Paolo Ruffini . XII. 2i3. — — Riflessioni intorno al metodo proposto dal consocio Malfatti per la soluzione delle equazioni di quin- to grado. Del medesimo. XII. 32i. — — Sopra un metodo d'approssimazione proposto senza dimostrazione da Simpson per la risoluzione nu- merica d'ogni specie d'equazioni. Giovacchino Fessati . XIII. 198. — — Nuovi teoremi sulla possibilità dell'equazione x'' — Kj^ zz.'àz 1 , e ricerca del numero de' termini del periodo della radice quadra d'un numero non quadrato, sviluppata in frazione continua. France- sco Pezzi . XIII. 343. —^ Sopra le soluzioni particolari delle equazioni alle differenze. Vincenzo Brunacci . XIV. 17-5. Vedi Frazioni , Radici . Equilibrio. Esposizione del vero principio dimostrativo dell'equilibrio. Ermenegildo Pino. XIV. 56. Ermafroditi . Lettera di L. M. A. Caldani . VII. i3o. . ' Esempj della dimetria-dihysteria , della pseudhermapliroditia— pseudaeschia , e della genometabole . Vincenzo Malacarne . IX. 104. Esofago. Sull'esofago, sulle intestina » sopra alcune valvole del tubo alimentare. Del medesimo. X. i. Febbri . Oull' attività della dattisca cannabina del Linneo contro le febbri int^^rmittenti . Pietro Rubini * . VII. 43 1. Fekojieki . Fenomeno di alcune vampe di caldo in mezzo al freddo. Giuseppe Toaldo. VI. 85. ■ Riflessioni intorno alla causa di un fenomeno elettrico . Giambatìsta da Sanmartino . VI. 170. ■ — Relazione d'un arco luminoso osservato ai 5 Settembre 1788. Vincenzo Chiminello . VII. i53. 8 Fr.KOMETs'i . Sopra una doppia iride a rovescio e a contatto . Del medesimo . X. 146. I ■ Vedi Fosfori . FEnRiERE . Vedi Acque . Fiamma. Articolo di lettera di Felice Fontana. I. 104. Filo . Vedi Cotone . ' Fisica . Lettera sopra argomenti fisici e chimici . Felice Fontana . I. 648. — ^ Osservazioni fisiclie istituite nell'isola di Citerà, oggidì detta Cerigo. Lazzaro Spnlìmizani. III. 43g. Fumi . Vedi Acque . Flogisto . Articolo di Lettera di Felice Fontana . I. 104. Flou A . Prospetto per la Flora economica Fiorentina. Ottaviano Targioni Tozzetti . XIV. i85. P. II, Flvidi . Sopra la pressione de'fluidi. Gregorio Fontana. II. 143. — — Osservazioni sopra varj effetti della pressione de' fluidi. Simone Stratico . V. SaS. — — Risultati d'esperienze sopra l'elasticità de'fluidi aeriformi permanenti sul mercurio . Felice Fontana . I. 83. —— Vedi Acque , Liquidi . Fliidita' . Principi generali della solidità e fluidità de' corpi . Felice Fontana. I. 89. FoKTAKE . Vedi Fuochi . Formula cardanica. Dell'irriducibilità della formula Cardanica a forma finita algebraica e libera da aspet- to immaginario. Lorgna. I. 707. Fornaci . Vedi Acque . FoRuncoLi . Breve descrizione d'una malattia della pelle umana, che regnò epidemica in Padova nel i3o7. L. M. A. Caldani. XIV. 174. P. II. Forze. Sopra un grave error di taluno nella risoluzione delle forze. Gregorio Fontana. III. 5ai. — — Sopra la forza centrifuga . Del medesimo . II. SaS. — — Sopra la misura delle forze muscolari . Vittorio Fossombroni . XIII. 366. — — Nuovo rapporto tra la teoria del centro di gravità e quella delia composizione delle forze . Antonia Bordoni *. XV. 3oi. — — Vedi Moto. Frattura . Vedi Funghi . Fbazioki . Sopra la legge di trasformazione di una frazione continua indefinita qualunque in una frazione volgare, e sopra la più semplice risoluzione delle equazioni indeterminate del primo grado. Fran- cesco Pezzi. XI. ^\o. Freddo. Dell'anomalo fredrlo dell'inverno 1808 e delle sue cause. Vincenzo Chimi nello . XIV. 79. Fosfori. Sopra alcuni fenomeni de'fosfori Bolognesi ne'diflTerenti aeriformi. Lodovico Morozzo , III. ^ao, — — Sopra le meduse fosforiche. Lazzaro Spallanzani. VII. 271. Fossili. Lettera relativa a diversi oggetti fossili e montani. Lazzaro Spallanzani. II. 861. — Osservazioni sui feldspati ed altri fossili singolari dell'Italia. Ermenegildo Pini. III. 688. Fukghi . Sopra il veleno dei funghi . Gianverardo Zeviani . III. 465. — — Sopra alcuni funghi ritrovati nell'appaiecciiio d'una frattura complicata d'una gamba umana. Otta- viano Targioni Tozzetti. XIII. x5. P. II. — ^ Delle specie nuove di funghi ritrovate nei contorni di Firenze e non registrate nel Systema Naturx di Linneo . Giuseppe Raddi * . 345. P. II. Funi. Sulla tensione delle funi. Pietro Cassali. X. 285. — Vedi Corde . Fuochi. Sopra i fuochi dei terreni e delle fontane ardenti in generale, e sopra quelli di Pietramala in par- ticolare . Alessandro Volta . II. 563. Finzioni . Sul calcolo delle funzioni razionali delle radici di una data equazione qualunque algebraica de- terminata, dotate della forma 7 (x' ,x" ,x" jr'") ) . Pietro Abbati *. XII. 7. — — Alcune propriet.a generali delle funzioni . Paolo Raffini . Xlll. 293. — *- Sul paragone del calcolo delle funzioni derivate coi metodi anteriori. Tommaso Valperga-Caluso , XIV. 201. I Galvanismo. O.iggio sopra il fluido galvanico. A. M. Vassalli Eandi . X. 733. — — Lettera . Del medesimo . X. 8oa. — — Esperienze Galvaniche sul potere del solo arco animale nelle contrazioni musculari . Gio. Aldini. XIV. 329. P. II. Gemelle . Istoria anatomica di due gemelle mostruose . Filippo Uccelli * . XI. ia3. P. II. Geogratia . Della più esatta costruzione delle carte geografiche . Antonio Gagnoli . VIII. 658. Geologia. Viaggio geologico per diverse parti meridionali dell'Italia. Ermenegildo Pini. IX. 118. P. II. —^ Sopra una terra vulcanica scoperta nella Provincia Bergamasca . Gio. Maironi Daponte. IX. 335. P. II. Lettera . Del medesimo . IX. 699. P. II. — Oss''ivazin,ii geologiche sulla montagna Barbellino nel Dipartimento del Serio. Del medesimo. XIV. a82. P. IL 9 Geologia. Notizie peologl(-he e meteorologiche eli Terra d'Otranto nel Regno di Napoli. Giuseppe Maria Giouene. XV. 274. P. II. — — Vedi. Animali fossili . Geometria. Soluzione generale d'un problema geometrico. Gianfrancesco Malfatti. IV. 301. Pensieri geometrici. Pietro Ferroni . X. 649. — — Fra i triangoli equilateri, i quadrati e il circolo, che si possono inscrivere in un dato triangolo, sce- glier la lìgura dell' aja massima. Francesco Malfatti. XIII. 247. GicAKTi . Saggio di riflessioni sull'istoria e la natura de' giganti. Gaetano D'Ancora *. VI. 371. Giove . Opposizioni di Giove osservate da Vincenzo Chiminello . XII. 72. Occultazione di Giove osservata dal medesimo . XIV. 199. — — Opposizione di Giove osservata in Pisa da Giuseppe Piazzini * . XV. 282. GuMARRi . Sulla pretesa esistenza di alcuni quadrupedi detti Giumarri o Giumerri . L. M. A. Caldani . X. 2c5. GiuKONE. Osservazioni ed clementi del pianeta Giunone. Giuseppe Slop . XIJ. 07. Gonorrea. Sulla gonorrea nel sonno, e suo rimedio. Gianverardo Zeviani . XIII. i53. P. II. Gorgo . Vedi Acque . Gravidanza. Lstoria d'una gravidanza estrauterina , che si ritrovò in un cadavere con alcune osservazioni intorno alla continuazione dei minimi vasi sanguigni arteriosi coi venosi nell'utero e nelle secon- dine . Paolo Mascagni . XV. 248. P. II. —— Quinquenne . Vedi Mostro . Gravita' . Sopra la discesa de' gravi per la convessità de' canali curvilinei. Gregorio Fontana. I. 174. Determinazione del tempo che impiega un grave discendente per un canale circolare . Gianfrancesco Malfatti. VII. 402. — ^ Sopra alcune particolarità concernenti la gravità terrestre . Gregorio Fontana . Vili. 124. — ^ Circa la deviazione de'gravi liberamente cadenti. Girolamo S aladini . IX. 352, XII. 292. — — Sull'esperimento Poleniano della caduta de'gravi in materie cedevoli. Angelo Zendriiii *. XIII. ^,42. -^— Se la gravità specifica degli ori e degli argenti allegati semplicemente in combinazioni binarie possa servire a determinare il valore . Gio. Fahhroni . XIII. 256. P. II. ~ Nuovo rapporto tra la teoria del centro di gravità e quella della composizione delle forze. Antonio Bordoni * . XV. Boi. I Idraulica . Alcune riflessioni critiche sui nuovi prlncipj d'idraulica di M. Bernard. Teodoro Sonati. XV. aa6. — — Vedi Acque . Idrofobia. Cura felice d'un uomo morso da un cane certamente rabbioso, Gianverardo Zeviani. X- !*23. Idrometria . Vedi Patomologia , Pendolo . Idropisia. Sopra due idropici fortunatamente guariti per una caduta dall'alto. Gianverardo Zeviani. IX. 274- Igrometro . Vedi Elettrometro . Immaginarj . Vedi Logaritmi , (juantità . Insetti . Pensieri sopra un particolare insetto nocivo ai libri , ed alle carte ; e sopra i mezzi da usarsi per liberarne le biblioteche. Pompilio Pozzetti. XIV. 92. P. II. ■^— Descrizione ed uso della cocciniglia dell'ulivo. Giuseppe Maria Giovene . XIV. ia8. P. II. Iksettologia . Osservazioni insettologiche . Pietro Rossi . IV. 122. — ^ Osservazioni sopra la trasformazione d'un insetto. Floriano Caldani. VII. 3o5. Intestini . Vedi Esofago . Iperboloidi. Sopra un errore che si commette da molti nell'assegnare la misura delle iperboloidi. Gregorio Fontana. III. 607. Iride . Vedi Fenomeni . Irritabilità' dei vegetabili. Sperienze ed osservazioni sopra l'irritabilità della lattuga, con delle riflessioni generah sull'irritabiUtà de' vegetabili . Giovacchino Carradori * . XII. 3o. P. II. Latitudine. Uella latitudine e delle refrazioni di Parigi e di Verona, e dell'obliquità dell'eclittica. An- tonio Gagnoli. V. aSg. — Sulla formola di Douwes per ritrovare in mare la latitudine con due altezze del sole, prese fuori del Meridiano del fu Giuseppe Cassetta * . XV. 264. Lattuga . Vedi IrritabiUtà . Libri . Sulla maniera di preservare e di ristaurare i libri danneggiati , e di costruir biblioteche . Giovanni Fabbroni . XI. 92. Liquidi. Teoria fisico-matematica intomo al moto de' liquidi uscenti da' fori delle conserve. Mario Lorena. IV. 369. — Misura dell' impulsione permanente de' liquidi contro le superficie piane . Del medesimo. IV. 4'^» a te LiToioGiA . Lettera. Gio. Maironi Dapoiite . IX. 699. Livellazioni. Vedi Marrhine . Logaritmi. Sopra i logaritmi (Jel)e (jiiantità negative, e sopra gl'immaginarj . Gregorio Fontana, l. i83. Logistica. Sull'uso della logistica nella costruzione degli Organi. Pietro ferrarli. XI. 3y3. > LoKGiTiDiKE. Della longitudine di Verona determinata con osservazioni astronomiche. Antonio Gagnoli. V. 77, Llce . Articolo di lettera. Felice Fontana. 1. 104. Sopra la misura della luce in generale, e sopra l'illuminazione de' varj segmenti del disco Solare ta- gliati dall'orizzonte nel tempo del nascere e del tramontar del Sole. Gregorio Fontana. 1. m. Rictrclie analitiche sulla rifrazion della luce. Del medesimo. III. 498. — — Sulla macchina a specchi di Buffon, e sulla luce che da uno specchio piano circolare viene ripercosso sopra uno spazio circolare dato . Del medesimo . Vili. 140. Lumache. Risultati di sperienze sopra la riproduzione della testa nelle lumache terrestri. Lazzaro Spallan- zani . I. 58i , II. 5o6. — — Sugh occhi delle lumache. Giuseppe Bonvicini *. VII. agi. LiPA . T edi Ritrazione . LuKi'LE . Vedi Volte. M Macchine . Sopra una nuova macchina per dividere una data retta in qualunque numero di parti eguali . Francesco Soave . VIII. 56. P. II. ■^^ Sopra alcuni stromenti meteorologici , che segnano per sé stessi le variazioni atmosferiche per 24 °''^ e più. A. M. Vassalli-Eandi . VIII. 5i6. P. II. — — Sopra una macchina per tacilitare il movimento dello scopo delle aste nelle livellazioni . Antonio Lom- bardi * . IX. 44. P. II. — — Riflessioni circa la Memoria di Eulero intorno la salita delle macchine aereostaticlie . Girolamo Sala^ dini * . X. 264. A specchi di Buffon . Vedi Luce . Descrizione d'un mntilingua, cioè d'uno stromento con cui i muti e sordi possono con altri parlare. Ermenegildo Pini. Xlìl. 289. P. II. Vedi Eclissi , Stratimetro . I BIalattie . Ricerche sopra le forme particolari delle malattie universali. P. A. Bondioìi . XII. ^56. P. II. Vedi Calcoli , Foruncoli , Sale . Mappe. Intorno alle mappe ed alla sfera di riduzione per l'arte navigatoria. Mario Lorgna . V. 17. Make . Nuove sperienze intorno alla dolcificazione dell'acqua del mare. Del medesimo . III. 875, V. 8. 'Mx^iTSE produzioni . Lettera relativa a diverse produzioni marine . Lazzaro Spallanzani, IL 6c3.. Marte. Opposizione di Marte. Vincenzo Ghiminello . X. i5o. Masegha . Vedi Orittologia . Matematica. Sopra diversi aneddoti matematici. Pietro Ferroni . VII. 809. I\Ieccakica . Sopra alcuni problemi meccanici . Pietro Paoli . VI. 534- Sopra l'estensione e i confini della legge di continuità tanto nella meccanica generale quanto neli' animale . Michele Araldi . X. 76. — — I principj della meccanica richiamati alla massima semplicità ed evidenza. Pietro Ferroni. X. ^Zi. — .^ Schiarimenti intorno a' principj da anteporsi nell'applicazione de' comunemente noti alla soluzione de' problemi meccanici . Paolo Delanges . XII. 78. — — Vedi Problema . Mediciha . Osservazione sopra un tumore singolare cistico interno. Gìannantonio Marino. IV. Sg , 72. — ^ Sopra un vomito urinoso . Gianverardo Zeviani . VI. 98. - Sopra una tosse degli alimenti. Del medesimo. VII. 124. — • La malattia tredecennale di Elio Aristide Adrianeo sofista . Vincenzo Malacarne . Vili. 278. — — Dello scopo che devon aver i Medici nella cura delle malattie , a loro propriamente appartenenti . Stefano Gallini . XV. 280. P. II. — — Vedi Azione irritativ.i , Oppio. MEP.cur.io . Congetture sull'azione del mercurio vivo nel volvolo e sulla natura del sugo gastrico. Pietro Moscati. X. i53. Mercubio pianeta. Osservazioni del passaggio di Mercurio pel disco del Sole li 6-7 Maggio 1799. Vincen- zo Ghiminello . VIII. 765. Osservazioni di Mercurio e di Venere. Del medesimo. IX. 99. Calcolo del passaggio di Mercurio pel disco del Sole nel giorno 8-9 Novembre i8oa, secondo le OS'^ servazioni di Padova e di Napoli. Del medesimo. XI. 188. Metalluecia . Sopra alcuni miglioramenti all' amalgamazione delle materie aurifere ed argentifere. Erme- negildo Pini. XIII. 1. P. II. — — Vedi Gravità . Meteore. Saggio analitico di alcune lucide meteore. Carlo Barletti . III. 33 1. 1 1 Meteorologia. Osservazioni meteorologiche no^li anni 1788, 1789. Antonio CagiioU . V. i. . '79O5 1791 VI. 3o5. — . 1792, 1793 VII. 3oo. Descrizione dall'Osservatorio Moteorologico eretto nel 1780. Pietro Moscati. V. 356. — — Saggio d'un Tiattato di Metporologia . A. M. Vassalli EancU . XIII. 85. Notizie geologiche e meteorologiche di Terra d'Otranto nel Regno di Napoli . Giuseppe Maria Gu- vene . XV. ^74- P. H. — — Vedi Fenomeni , Macchine , Prognostici , Pioggia . Midolla spinale. Le scoperte di Gio. Gali sul sistema nervoso della spinai midolla, e del cervello e$po=te da Biscotr, e ridotte al giusto valore da Vincenzo Malacarne . XIV. 1. P. II. Mineralogia. Osservazioni sulla nuova teoria e nomenclatura chimica come inammissihile in mineralogia. Ermenegildo Pini . VI. 809. — — Vedi Montagne . Mikiere . Di varie miniere di metallo e d" altre specie di fossili delle montane provincia di Feltre , di Bel- luno, di Cadore e della Gamia e Friuli; e specialmente del sale catartico amaro a base di magne- sia, scoperto recentemente in quelle montagne. Giovanni Ar duini . III. 297. MiSEEERE malattia. Lettera di L. 31. A. Caldani. IV. 3io. Molle. Sopra le molle. Gregorio Fontana. III. Sog. AIuLTiPLicATOEE . Teoremi sopra il moltiplicatore, che rende integrabili le equazioni differenziali di primo ordine a più variabili. Del medesimo . III. 5i6. jMoktagke. Memoria orografico-mineralogica delle Montagne Bergamasche. Gio. Maironi Daponte . IV. 554. Osservazioni orittografiche sopra parecchie località de' Monti Padovani. Alberto Fortis . VI. 236. TiIiisTRi . Lettera di Gianverardo Zeviani . Vili. Sai. —— De' mostri umani; de' caratteri fondamentali, su cui se ne potrebbe stabilire la classificazione; e delle indicazioni che presentano nel parto. Vincenzo Malacarne . X. /^(j. — — Istoria anatomica di due gemelle mostruose . Filippo Uccelli * , XI. laS. — — Della gravidanza quinquenne della madre d'un feto mostruoso asomalogacefalo . Francesco Orazio Scortigagna * . XIV. 3o5. P. II. — — Conferma della proposizione circa alla produzione de' mostri umani , Vincenzo Malacarne . XV. i- P. II. — — Vedi Anatomia . Moto . Della forza viva di alcuni corpi che ruzzolano sopra un piano orizzontale, o pure girano intorno ad un asse verticale, movendosi ancora, se cosi piace, per una direzione orizzontale. Giordano Ric- cati- IV. 96. I ■■■ ■ Saggio sopra il moto degli animali , e sopra i trasporti . Vittorio Fossombroni . XII. 887. ' Saggi intorno alla teoria del moto concreto de' corpi. Paolo Delanges . XIV. 148. Noto perpetuo . Esame d'uà nuovo argomento in favore del moto perpetuo. Gregorio Fontana. III. 5o2. Moto rotatorio . Teoria generale del moto rotatorio spontaneo de'corpi naturali sopra piani inclinati . Paolo Delanges . V. 278. Vedi Solidi . Mule . Esame di alcune storie spettanti alla gravidanza delle mule . L. M. A. Caldani . IX. 870. INlrsiCA . Sull'applicazione della mateiaatica alla musica. Giambattista Dall'Olio * . IX. 609. Sul preteso moderno ripristiuamento del genere enarmonico de' Greci. Del rrtedesimo *. X. 634. MuTiiiNGUA . Vedi Macchine . ,:• N , Natro . JrVicerche intorno all'origine del natro o alcali marino nativo. Mario Lorgna , IH. 89. ! — — Del natro orientale. Luigi Palcani. VIII. 77. t Narici . Di due nuovi legamenti proprj della tramezza delle narici . Floriano Caldani . XIII. 214. P. II. Natigli a remi. Nuova teoria intorno al movimento de' navigli a remi. Mario Lorgna. II. 4'^7" Nautica . Vedi Mappe . Nosologia vegetabile . Saggio di nosologia vegetabile. Filippo Re. XII. 225. P. II. Nulla. Sopra la pretesa distinzione fra il nulla reale e il nulla immaginario. Gregorio Fontana . Vili. 174. ■■ Vedi Teoremi . Numeri. Dell'uso delle frazioni decimali nella moltiplicazione de' numeri. Isidoro Bernareggi *. VI. i. •^— Nuova dimostrazione d'un teorema importante nella dottrina dei numeri. Pietro Paoli. IX. 85. — — Sul metodo di formar le equazioni, onde ritrovare i numeri Bernoulliani . Sebastiano Canterzani ., XI. 178. — — Saggio di alcuni problemi numerici. Gianfrancesco Mal/atti. XII. 296. —— Vedi Equazioni . o Obliqitita' dell'eclittica . J_/e)l' obliquità dell'eclittica. Giuseppe Piazzi. XI. 4^6, XII. 6a. — — Felli Astronomia , Latitudine . Occhi. Sugli occhi fiammeggianti d'una bambina. Giambattista. Merzari *. XI. 670. .— Intorno ai movimenti dell'iride dell'occhio. L. M. A. Caldani. XIV. loi. P. II. Occultazioni. Occultazioni di stelle per la luna osservate a Napoli da Giuseppe Cassella *. VIII. 78. Odori . Intorno la denominazione e la classificazione degli odori . Nicolò Da Rio * . XI. 664. Olio. Del principio dolce degli olj . Giovacchino Carradori '. XIII. 100. P. II. Oppio. Storia d'un diabete guarito coli' oppio, e riflessioni sulla forma, e sull'indole di questa malattia. Pietro Rallini. XV. ao. P. II. Oegani . Sopra la tastatura degli organi e dei cembali. Giambattista Dall'Olio *. XIII. 374- Vedi Logistica . Okittolocia . Sopra la cosi detta Masegna de' monti euganei . Nicolò Da Rio * . XV. 189. P. II. Obittografia . Fedi Montagne . Oro . Fedi Gravità . Oscillazioni. Sulle oscillazioni d'un corpo pendente da un filo estendibile. Pietro Paoli . XIV. aaS. Ossa silicee. Sopra le pretese ossa d'animali terrestri silicee del Montperdu negli alti Pirenei . Alberto For- tis . X. 173. Ostetricia. Casi d'ostetricia non comuni raccolti da Vincenzo Malacarne . XIII. 119. P. II. OmcA . Considerazioni ottiche . Giambattista Venturi , III. 268. Pallade pianeta . J-iettera di Vincenzo Chiminello . IX. 707. Palle geiìinantiche . Fedi Pendoli . Panizzazioì^e . Sulla panizzazione . Gio. Battista Dall'Olio * . XI. 337- Parallasse. Ricerche sulla parallasse annua di alcune delle principali fisse. Giuseppe Piazzi. XII. 40. Sull'annua parallasse di a della Capra. Fincenzo Chiminello. XIV. i. P.ATOLOGiA . Fedi Anatomia . Patomologia . Sperienze ed osservazioni patomologiche . Teodoro Sonati . XI. 680. Pendoli. Determinare il massimo allungamento che il peso d'un pendolo produce nella corda, a cui è at- taccato che si suppone priva d'inerzia e di gravità. Giordano Riccati . IV. 81. Dell'azione di varie sostanze sopra altre sostenute pendenti su di esse. Carlo Amoretti. Xlll. aai. P. II. Pendolo idrometrico composto. Giuseppe VenturoU . XIV. i58. Pianeti. Sulla vera densità de' pianeti, sulla riduzione de'loro semidiametri, e suH' ipotesi de'loro nuclei. Leonardo Ximenes . III. 378. Della stazione de' pianeti. Antonio Gagnoli. III. 869. — -•- Fedi Astronomia . Piante . Sullo stabilimento di alcuni nuovi generi di piante . Gaetano Savi * . VIII. 477* — — Sopra alcune nuove specie di piante. Del medesimo *. IX. 849. — — Fedi Carbonio . Pioggia. Descrizione d'una macchina meteorologica per mezzo della quale si determina d'ora in ora la du- rata e quantità della pioggia. Marsilio Landriani . I. ao3. ' Prospetto comparato della jiioggia della Puglia. Giuseppe Maria Giovene . XII. Ii3. P. II. — — Sull'opinione delle pioggie dei sassi dai vulcani lunari. Pietro Cassali. XIII. 104. Pittura. Del dipignere a olio combinato. Mario Lorgna. VI. 56o. Pollastre . Riflessioni ed esperienze sulla pretesa castrazione delle pollastre, e sulla fecondazione dell'evo. Gianfrancesco Cigna . IV. i5o. . i 1 .•, • . j • Potassa . Fedi Carbonio . Potenze . Della progressione delle potenze affette . Mario Lorgna . II. 210. — — Teoria delle potenze parallele. Gregorio Fontana. III. 5 19. Precipitato porpora . Sperienze sopra il precipitato porpora ottenuto dal gaz ricavato d.allo stagna e dalla sua calce. Carlo Morozzo . I. 43i- Pressioni. Sulle pressioni esercitate da un corpo sostenuto da tre o più appoggi collocati nello stesso pia- no. Paolo Delanges . IV. 107, VIII. 60. — — Dell'azione d'un corpo retto da un piano immobile esercitata ne'punti d'appoggio, clie lo sostenta- no. Mario Lorgna. VII. 178. — — Sopra la pressione delle porte contro i loro arpioni. Gregorio Fontana. Vili. i35. ^— Tentativo sul problema delle pressioni , che soffrono gli appoggi collocati agli angoli d' una figura , derivata da un peso posto dentro la sua aja . Gianfrancesco Malfatti. Vili. 819. — - Sul problema degli appoggi . Pietro Paoli . IX. ga. i3 Pressioni . Brevi riflessioni alla critica del tentativo sul problema delle pressioni fatta dal Sig. Paoli nel Tomo IX. Gìiinfrancesco Malfatti . X. 245- — ^ Sopra la spinta delle travi o tetti contro i loro sostegni. Gregorio Fontana. III. 5a3. — — Appendice al problema delle pressioni. Gianfrancesco Malfatti. XII. loo. Esame di alcuni tentativi di soluzione d'un famoso problema di meccanica-statica. Michele Araldi. XIII. 74. Analisi e soluzione sperimentale del problema delle pressioni. Paolo Delanges . XV. ii4- Probabiltta' . Esame critico d'un problema di probabilità di Daniele Bernoulli , e soluzione d'un altro problema analogo al BernouUiano . Gianfrancesco Malfatti. I. 768. Problemi. Considerazioni sintetirbe sopra d'un celebre problema piano, e risoluzione di alquanti altri teo- remi affini . Annibale Giordano * . IV. 4- — — Problema grafico . Giuseppe Tramontini * . XIII. 38. —^ Considerazioni su d'un problema meccanico. Giovacchino Fessati. XIII. 181. — • Sulla risoluzione de' problemi di massimo o minimo, quando la quantità cbe vuoisi massima 0 mini- ma è data . Sei/astiano Canterzani . XIV. 167. Pronostici. Dei pronostici ragionati delle annate e delle stagioni. Giuseppe Maria Giovene . X. 108. Prusopalcia . Saggio sopra la prosopalgia , e della sua analogia colla pedionalgia . Giannantonio Marino . IX. I. QuADBATi'RA . JViflessloni intorno alla rettificazione, ed alla quadratura del circolo. Paolo Raffini . IX. 527. •^^ Della impossibilità della quadratura del cerchio. Tommaso Valperga Caluso . IX. 558. Quantità' immaginarie. Dimostrazione della riducibilità d'ogni quantità immaginaria algebraica alla forma A±Bl/'( — i), adattata ad un Trattato elementare della natura delle equazioni. Sebastiano Can- terzani . II. 720. Quarzo . Vedi Cristalli quarzosi . QuiMA . Ricerche sulla quina . Gio. Fabbroni . X. 814. R Radici . IN atura delle radici delle equazioni letterali di quinto e sesto grado: e nuovo metodo per le ra- dici prossime dell'equazioni numeriche di qualunque grado. Teodoro Sonati. VIII. a3i. '■ Vedi Equazioni , Funzioni e Teorema . Ranocchie . Osservazioni sopra le idatidi delle ranocchie . Floriano Caldani . VII. 3o5. Rifrazioni . Sulla rifrazione lunare . Francesco Berlirossi Basata * . XIII. 6. — ^ Sopra la rifrazione lunare. Angelo Cesaris . XIV. 4^'- — — Vedi Latitudine . Robbia . Della tintura del cotone e filo in rosso colla robbia . Giannantonio Giobert . XIII. 363. P. II. Rose. Lettera relativa a due rose prolifiche. Paolo Spadoni * . V. 488. — ^ Sopra alcune rose prolifiche. Giuseppe Maria Giovene . XI. i. — — Sopra alcune rose particolari dell'Italia inferiore. Pompilio Pozzetti. XI. 608. Rotazione. Degli elementi spettanti alla teoria della rotazione solare e lunare. Antonio Gagnoli. Vili. 196. Sale . Oopra la salinazìone artificiale . littorio Fossombroni . VII. Sf. ' Sopra il sale sedativo d'Hombergio, ossia acido boracico , che si trova ai lagoni del Volterrano e del Senese, e sopra diversi borati, che pur ivi si trovano. Paolo Mascagni. VIII. 4'*7- —— Sopra alcuni prodotti singolari dell'animale economia morbosa. Pietro Moscati. XIII. 3io , Sai. P. II. — Vedi Miniere . Sale ammoniaco . Osservazioni ed esperimenti sopra la scomposizione del sale ammoniaco per mezzo della calce terrea . Giuseppe Angelo Saluzzo . I. 5a6. Saline a fuoco . Sopra un nuovo laboratorio di salina a fuoco. Domenico Ranaldi * . XII. 33o. P. II. Sangue . Della forza e dell'influsso del cuore sul circolo del sangue . Michele Araldi . XI. 342, XV. i6(). P. II, Riflessioni ed osservazioni intorno al color rosso del sangue. L. M. A. Caldani. XV. 69. P. II. Sassi . Vedi Pioggie . Saturno. Opposizioni di Saturno osservate da Vincenzo Chiminello . XIV. 197. Semipluidi . Statica e meccanica de'semifluidi . Paolo Delanges. IV. Sag. '4 ... Serie. Nuova investigazione della somnia generale delle serie. Mario Lorgna . I. a63. Sopra le serie . Gregorio Fontana . II. 386. ^— Sopra le serie armoniche a termini infinitamente piccoli . Del medesimo . II. 128. Teoremi sopra le serie infinite convergenti formate dai prodotti de' numeri dispari successivi, divisi pe'prodotti de' numeri pari corrispondenti. Del medesimo. III. 174- - — Delle serie ricorrenti. Gianfrancesco Maltatti . III. hji. Ricerche sulle serie. Pietro Paoli. IV. 4^g. — • Osservazioni sul ritorno delle serie . Sebastiano Canterzani . V. 88. Seta. Ricerche chimico-economiche intorno alla seta. Giannantonio Giohert , X. 47i- Sferoidi ellittici . Vedi attrazione . Sole. Segmenti illuminati nell'orto e nell'occaso. Gregorio Fontana. I. iii. ^— Vedi Luce . Osservazioni dell'eclisse di Sole del 16 Giugno 1806. Giuseppe Piazzini *. XV. 290. Solidi. Sopra il movimento concreto de' solidi . Paolo Delanges . IH. i. ^— Intorno all' incurvazione de'solidi. Del medesimo . XII. i. Solidità' . Principi generali della solidità e della fluidità de' corpi . Felice Fontana . I. 89. Solstizi. Osservazioni solstiziali fatte al gnomone della Cattedrale Fiorentin.i nell'anno 1782 e de' loro ri- sultati j, paragonandole colle simili osservazioni del 1756, 1764 e 1773. Leonardo Ximenes . II. Ji56. Sonno . fedi Gonorrea . Specchi . Vedi Luce . Splancnografia . Vedi Encefalotomia . Statica. Saggio d'un nuovo corso elementare di statica. Leonardo Salimbeni . V. 4^6. —— Nuova soluzione d'un prohleraa statico Euleriano. Gregorio Fotitana . IX. 62.6. Principi di statica per i tetti, per i ponti e per le volte. Paolo Delanges . X. i33. Stelle. Catalogo di stelle. Antonio Gagnoli. X. 687, XI. 676. Stenocardia . Della stenocardia , malattia volgarmente conosciuta gotto il nome di angina pectoris . Vale- riano Luigi Brera . XV. 196. P. II. Stereotomia . Sopra un problema stereotomico . Gianfrancesco Malfatti. X. 235. Storia nntnrale . Osservazioni fatte presso Stabio , nel Cantone Svizzero del Ticino. Carlo Amoretti. XV. 117. P. II. Vedi Litologia , Insettologia . Stratimetro. Descrizione ed uso d'uno stratimetro, cioè di un nuovo stromento diretto a facilitare la de- terminazione si della comune sezione di due strati , filoni, o piani qualunque, come di altri og- getti di geometria sotterranea . Ermenegildo Pino . XV. i55. SioNo . Delle vibrazioni sonore de' cilindri. Giordano Riccati . I. 444- SiPERFiciE . Vedi Attrazione . Tatto . v_fsservazioni sopra la squisitezza del senso del tatto di alcuni vermi marini. Giuseppe Olifi . VII. 47^- Tempo. Sulla determinazione a priori del valore dell'equazione del tempo. Francesco Pezzi. Vili. 2.^2,, Tensione. Sulla tensione delle funi. Pietro Cossali . X. 285. Teoremi. Sulla falsità di due famosi teoremi. Gregorio Fontana. II. i23. — — Il nulla immaginario non può confondersi col reale- Giordano Riccati. IV. 116. Esame d'una dimostrazione che dà l'Eulero d'un Teorema analitico, e d'una celebre regola per de- terminare la natura e i valori prossimi delle radici di qualunque equazione . Gianfrancesco Mal- fatti . IV. 206. Tereeimina . Sulla maniera di preservar i libri, e di restaurarli danneggiati , e di costruir biblioteche. Gio. Fabbroni . XI. 92, Termometro. Della costruzione d'un termometro ad indice. Giambattista da S. Martino. VI. 71. Terra . Nuovo e sicuro mezzo per riconoscer la figura della terra . Antonio Gagnoli . VI. 227. — Sulle rivoluzioni del globo terrestre prodotte dall'azione dell'acque. Ermenegildo Pini . V. i63 , VI. 38g. Tetti. Sui tetti che piovono da una sola banda. Leonardo Salimbeni. IV. 249. Tisichezza . Vedi Cicuta . Toro . Notizie d'un banco di tofo, lacustre in riva al mare nelle vicinanze di Trani nella Puglia. Giuseppe Maria Giovene . XIV. 114. P. II. ToHEiEBE . Sulla Torbiera di Cerete nel Territorio Bergamasco. Gio. Maironi D aponte . XIII. 78. P. II. Toro . Osservazioni dell'occultazione di i del Toro sotto la luna dei 2 Ottobre i3o6 calcolate da Giuseppe Piazzini * . XV. 296. Torpedine . Vedi Anatomia . Transiti. Formule per corregger le deviazioni d'un istromento de' transiti. Antonio Gagnoli. IX. 3o. Trappo . Sul trappo del monte Simmolo presso Intra , e sui vetri che se ne sono forniati . Carlo Amoretti. Vili. 416. Thasporti . Fedi Moto . TiiKMUoTo . Sopra il tienmoto rlie da 7 mesi scuote le valli del Peli ce , del Cliisone e del Po. G. M. sain-Eandi . XIV. aSB. P. II. Trigonometria. Co&e trigonometriche. Antonio Gagnoli. Vili. i. Delle diflerenze finite nella trigonometria . £)el medesimo . Vili. 2.1^. Calcolo delle variazioni finite nella trigonometria piana e sferica. Mario Lorgna . IV. i56, VII. Sopra un problema trigonometrico. Francesco Pezzi. XI. ic. — — Paralleli e principio unico e semplice dcUe due Trigonometrie . Pietro Ferroni . XII. lo6. — — Nuovo metodo per la trigonometria sferica . Giovacchino Pessuti . XV. 197. Trombe. Osservazioni sopra alcune trombe di mare formatesi nell'Adriatico il aS Agosto 1785. La Spallanzani . IV. 47^- Tubi. Esperienze sul disjiendio d'acqua de' tubi, e de'canali rettilinei e tortuosi . Paolo Delanees . XIII. Tubi addizionali. SuU'etlusso pe' tubi addizionali. Giuseppe VenturoU . XII. 277. Tumore . Vedi Medicina . i5 Vas- 346. zzar a 173. Vajolo . y edi Chinachina . Variazioni . Vedi Trigonometria . Vegetabili . Vedi Nosologia . Velocita'. Sopra la trasfusione della velocità nel conflitto de' corpi. Gregorio Fontana. III. 5i3. \hVERE pianeta . Osservazione della congiunzione inferiore di Venere col Sole ai 20 Marzo 1782 con alcune riflessioni . Angelo Cesaris . II- 3x3. Lfe digressioni di Venere e di Mercurio in Aprile e in Maggio 1788 osservate in Verona da Antonio Gagnoli . IV. 519. Osserva/ioni di Mercurio e di Venere . Vincenzo Ghiminello . IX. 99. Congiunzione inferiore di Venere dell'anno 1807 osservata in Pisa da Giuseppe Piazzini * . XV. 276. Vlebii . Sopra 1 vermi pestilenziali de'buoi. Gianverardo Zeviani . X. 36i. Sopra una straordinaria affezione verminosa. Giambattista Dall'Olio *. XI. i58, XII. 347. P. II. Vermi del cuore vivi e veri. Giaiuerardo Zeviani . XIV. iSa. P. II. Veterinaria. Storia d'un egagropile trovata nel secondo ventricolo d'un bue . Francesco Toggia* . V. 38a. Vitaiita' . Tentativi diretti a indagare le leggi della vitalità nell'economia animale. Stefano Gallini. XIV. 214. P. II. Volte. Sulla costruzione e quadratura di alcune volte e lunule. Giordano Rìccati . V. 48. Volvolo . Vedi Mercuno . Urano . Teoria del nuovo astro osservato prima in Inghilterra. Ruggero Boscovich . I. -55. — — Opposizione del nuovo pianeta osservato negli anni 1781, i783, 1786 a 1792, 1794 a 1797 ^^ Giu- seppe Slop de Cademherg . II. 853, III. 258, VI." 187, Vili. 40, X. 799, XII. 24. ^— Opposizione del nuovo pianeta osservata nel 1788 da Antonio Gagnoli. IV. i. ^— Opposizioni di Herschel osservate da Vincenzo Ghiminello . XIII. Sa. Urina . Vedi Chinachina . ViLCANi. Circa gì' indizi d'antichissimi vulcani nelle montagne e alpi Vicentine, Veronesi e Trentine. Gio. Arduino . VI. ioa. Tomi Prezzo Tomi Prezzo Tomi Prezzo 1 in lire italiane in lire italiane in lire italiane | I L. 13 : 5o VI L. 8 : 5o XI L. 16 5o II „ i3 : So VII „ 9 : 5o XII „ 18 5o III ,, II ; — Vili „ i5 : 5o XIII „ 18 5o IV „ IO : 5o IX ,, 17 : 5o XIV » i8 — V „ II ; — X ,> 17 : 5o XV „ 20 — Il Tomo II è il solo che non può darsi separato dagli altri . Chi acquisterà la collezione intera goderà la diminuzione d'un terzo sul prez- zo totale . i6 NOME DEGLI AUTORI CHE HANNO INSERITO MEMORIE NEI TOMI DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE E INDICAZIONE DEI TOMI OVE SI TROVANO. L' asterisco semplice significa V Autore non Socio; il doppio il Socio Onorario iibbati Pietro * X , XII. Alemanni Pietro " XIII. Aldini Giovanili XIV. Amoretti Carlo Vili , X , XII , XIII , XIV , XV. Al. lidi Mirhele X, XI, XII, XIII, XV. Arduini Giovanni IH , VI. Balho Prospero *' XV. Uaronio Giuseppe * IV , IX. Balletti Carlo I , II , III , IV , VII. B.uani Bartolomeo * XI. Bernareggi Isidoro VI. Bertirossi Basata Ab. Francesco * XIII. Sonati Teodoro II , V , Vili , XI , XV. Bondioli Pier Antonio IX, XII, XIV. Bonvicini Giuseppe VII. Bordoni Antonio * XV. Boscovich Ruggero I. Braraieri Luigi * IX. Brera Valeriane Luigi XIV, XV. Bninacci Vincenzo XIV , XV. Cagnazzi Luca de' Samuele * XIII. Gagnoli Antonio 111, IV, V, VI, VII, Vili, IX, X , XI , XIV. Gagnoli Ottavio " XIV, XV. Caldani Floriano VII , VIII , XII , XIII. Caldani Leopoldo Maria IV, VII, Vili XII. XIII. XIV. XV. noiiano va, vili, .Ali, AHI. Leopoldo Maria IV, VII, Vili, IX , X , , XIII, XIV, XV. ;7„I... T TV VII VT-?r XII, XIII, XIV, XV. Caluso Valppiga Tommaso IX , XII , XIV. Canterzani Sebastiano II , V , Vili , XI , XIV. Cardinali Francesco * XIII. astiano II v>" Fontana Felice I , II , V. Fontana Gregorio I , II , III , Vili , IX. Fortis Alberto VI . X. Fossombroni Vittorio III , VII , IX , XII , XUI. Franceschinis Franceaco Maria V. Franchini Pietro * XI , XII. Fabbroni Angelo IV , Vili , IX. Fabbroni Giovanni X , XI , XII , XIII. Ferrari Bernardino VII. Ferroni Pietro V , VH , IX , X , XI, XH, XIV, XV. Gallinl Stefano XIV , XV. Giobert Giannantonio X , XIII. Giordano Annibale IV. Giovene Giuseppe Maria VIII , IX , X , XI , XII , XIII, XIV, XV. Girardi Michele II , IH , IV. Guarienti Antonio ' XV. Landi Ferdinando ** XI. Landriani Marsilio I. Lombardi Antonio '*'* IX , X. Lorgna Mario I , II , IH , IV , V , VI , VII. Maironi Daponte Gio. IV, IX, XI, XIII, XIV, XV. Malacarne Vincenzo I , II , HI , IV , V , VI , VII, VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV, XV. Malfatti Gio. Francesco I, H, IH, IV, VU, Vili, X, XI, XII, XIH. Marino Giannantonio IH , IV , IX. Marzari Gio. Battista * XI. Mascagni Paolo Vili , XI , XV. Mascheroni Lorenzo IX. Morichini Domenico * XII. Zvlorozzo Carlo Lodovico I , II , III , VI, X , XI. Moscati Pietro I , V , X , XIII. Olivi Giuseppe VI , VII. Oriani Barnaba III. Balcani Luigi * V , Vili. Paoli Pietro II, IV, VI, VHI, IX, X, XIII, XIV. Pellizzari Antonio * IX , X. Penada Jacopo " Vili , X , XI , XIII. Pessiiti Gioacchino XI , XIII , XIV , XV. Petrini Pietro * XIII. Pezzi Francesco IV , V , VI , VHI, XI, XIIL Piazzi Giuseppe XI , XII , XIII. Piazzini Giuseppe * XV. Pieri Mario * XV. Pindemonti Ippolito ** II , IX. Pini Ermenegildo III , V , VI , IX, X, XII, XIII, XIV , XV. Plana Giovanni * XV. Pozzetti Pompilio ** IX, X, XI, XII, XHI, XIV. Racagni Giuseppe X , XIII. Raddi Giuseppe * XIII. Ranaldi Domenico * XII. Re Filippo XII , XIV. Riccati Giordano I , III , IV , V. Rosa Miolicle VII. Rossi Pieno IV , VII , Vili. Rubini Pietro IV, VII, Vili, XIV, XV, Ruffiiii Paolo IX , X , XII , XIII. Saladini Girolamo IX , X , XI , XII. Salirabeni Leonardo IV , V , VII. Saluzzo Giuseppe Angelo I. : Santini Giuseppe * XV. Savi Gaetano * VIII, IX. Sraipa Antonio II. I Scortigagna Francesco Orazio * XIV. I Slop Giuseppe II , III , VI , VIII , X , XII , XIII. Soave Francesco Vili. Spadoni Paolo * V. Spallanzani Lazzaro I , II , HI , IV , VII. Stratico Simone V. ^7 Targionì Tozzettl Ottaviano XI , XIII , XIV. Toaldo Giuseppe VI , Vili. Toggia Francesco V. Tramontini Giuseppe * XIII. Vassalli Eandi Antonmaria IV, VIII, X, XIII, XIV. Veneziani Giuseppe * XIII. Venturi Giambattista III , Vili. Venturoli Giuseppe XII , XIV , XV. Uccelli Filippo * XI. Volta Alessandro II , V. Ximenes Leonardo I , II , III. Zendrini Ab. Angelo * XIII. Zeviani Gianverardo I, III, IV, V, VI, VII , VIII, IX, X, XI, XII, XIII, XIV. Zviliaiii Pietro * Vili. •2>v r