^ llk2 1". MEMORIE DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE RESIDENTE IN MODENA TOMO XVI ir. ^ ■'«- FASCICOLO SECONDO - DELLE MEMORIE DI MATEMATICA \mi\ N. NB. La figura della Memoria Mossotti sta nella prima Tavola della Memoria Fabbroni contenuta in questo Fascicolo. INDICE DELLE COSE CONTENUTE NEL SECONDO FASCICOLO DI MATEMATICA DEL TOMO XVIII. Oul movimento di un'Elice elastica che si scatta, Memo- ria del Sig. OTTAVIANO FABRIZIO MOSSOTTI Pag. a43. Della classifìcazione delle Curve a semplice Curvatura , Memoria II. del Sig. Professor PAOLO RUFFINI 269. L' Equilibrio de' Cieli conformati a foggia di mezza bot- te, Discorso del Sig. PIETRO FERRONI 897. Sopra la dipendenza fra i differenziali delle funzioni e gli Integrali definiti , Memoria del Sig. Professore GIU- SEPPE FRULLANI 458. Nuove considerazioni intorno ad un Problema di proba- bilità. Memoria del Sig. Marchese LUIGI RANGONI 5i8. a43 MEMORIE DI MATEMATICA SUL MOVIMENTO DI UN' ELICE ELASTICA CHE SI SCATTA MEMORIA Di Ottaviano Fabrizio Mossotti Presehtata dal Socio Cav. Bbckacci APPROVATA DAL SIC. PRESIDENTE RUFFINI Ricevuta li a . Settembre 1 8 1 7 . , L Ln una Memoria , intitolata Usage et Théorie d'une Machine quon peut nommer Instrument Ballistique , inserita fra quelle dell'Accademia di Berlino dell'anno 1781. i due fratelli Giovanni e Giacomo Bernoulli hanno preso a deter- minare la velocità che un filo metallico piegato in forma d'e- lice può comunicare ad nn corpo sovrapposto o contiguo . I tentativi di questi Geometri sono molto lodevoli , ma pei diffetti degli Istrumenti de' quali hanno dovuto servirsi in mancanza di migliori , e parmi anche per qualche errore sfuggito nella loro teorica j non riuscirono ad ottenere un soddisfaccente accordo tra i risultamenti del calcolo e quelli degli esperimenti . Procurerò in questo scritto di supplire al- l'imperfezione della teorica data dai Bernoulli, e mentre ver- Tomo XVIII. I i ^44 Su^ Movimento di un' elice elastica ec. rò cosi ad eliminare alcuni elementi di discrepanza fra la teo. rica ed i loro esperimenti, preparerò delle formole che spero potranno essere utili a coloro i quali vorranno instituire dei nuovi esperimenti con migliori elastri , o far uso di questi in qualche macchina . Per risolvere i problemi che mi sono proposti ho assunto due ipotesi , le quali sono però cosi da vicino verificate da- gli sperimenti che, piuttosto che ipotesi, possono risguardar- si come regole di fatto La prima di queste ipotesi è riposta in ciò, che l'elice elastica debba in tutto il tempo dello sciat- to o dilatazione conservare la figura d'elice ed un egual nu- mero di rivoluzioni, talmente che nell'allargarsi i passi delle spire, sia soltanto il diametro dell'elice che venga successi- vamente a diminuire. Colla seconda ipotesi stabilisco ad imi- tazione di Daniele e Giacomo Bcrnoulli che gli accorciamen- ti o costipazioni che possono farsi soffrire all'elice siano pro- porzionali alle forze o pesi comprimenti atti a produrle. Al- lorché nella soluzione dei problemi mi occorrerà di assume- re per la prima volta alcuna di queste ipotesi avrò cura di far conoscere gli esperimenti che mi hanno persuaso ad adot- tarla , acciò il lettore sia egualmente convinto della legitti- mità della medesima. I B<"rnoulli ed altri autori , che hanno considerato il mo- vimento degli elastri piegati in forma d'elice, hanno per sem- plicità supposto nei loro calcoli che il movimento oscillato- rio di un' elice fissa in un estremo sia eguale a quello di una fibra rettilinea ed omogenea dotata d'una stessa massa e d' una pari elasticità, e la cui lunghezza fosse rappresen- tata dall'asse stesso dell' elice . Alla fine della presente Me- moria farò vedere come questa supposizione è giusta , e co- me le equazioni che rappresentano il moto di una fibra rettilinea ed omogenea sono le stesse di quelle appartenen- ti a\\^ oscillazioni di un' elice elastica . V è però una nota- bile differenza fra i miei risultamenti e quelli degli autori ohe mi hanno preceduto . Secondo questi se si suppone ohe Di Ottaviano Fabrizio Mojsotti 3,^0 la fibra elastica sia spogliata in tutta la lunghezza della sua massa , e si immagini che il terzo della medesima sia concen- trato nell'estremità mobile, i moti di quest' elastro immagi- nario devono accompagnare esattamente quelli dell' elastro ve- ro; secondo me non è il terzo della massa dell' elastro che deve snpporsi concentrato nell'estremità mobile, ma la me- tà. La strada semplice e diretta colla quale ho risoluti i pro- blemi parmi che basti a convincere dell'esattezza delle nuove formole a preferenza delle antiche , e non ho creduto oppor- tuno entrare in disquisizioni particolari sull'erroneità di que- ste ultime, perchè ciò ci avrebbe condotti troppo lontani dall'oggetto di questa Memoria. a. Per pili chiara intelligenza premetterò qui le definizio- ni di alcuni termini che userò ad oggetto di evitare certe circonlocuzioni ed abbreviare cosi il discorso. La curva che può immaginarsi descritta sulla superficie di un cilindro retto da un filo che si avvolge attorno allon- tanandosi dalla base con uniforme e regolare distanza sarà da noi detta elice ovvero spirale. Una sola ma intiera rivoluzione di quésto filo sarà chia- mata spira, e la distanza fra i due punti estremi della spira si dirà passo , della spirale ^ o dell'elice. La retta che può concepirsi in mezzo alla spirale egual- mente lontana da tutti i suoi punti si chiamerà asse della spirale . E finalmente nomineremo circolo di projezione il cìrcolo che risulterebbe progettando tutti i punti della spirale su di un piano perpendicolare all'asse, ed il raggio di questo cir- colo lo diremo anche raggio della spirale 0 dell' elice . PROBLEMA I. 3. „ Supposta un' elice elastica composta di un nume- „ ro intiero di spire, non pesante , e posta perpendicolar- „ mente su di un piano resistente , essendo prima ritenuta ^46 Sul Movimento di un' emce elastica ec. ,, compressa da un ostacolo, rimosso immediatamente l'osta-' 5, colo, si dimandano le relazioni tra gli elementi del moto ,, nello scatto dell' elice ohe segue . ., Soluzione . Siccome nessuna forza esterna agisce sulla spirale per trasportarla , ed essendo supposta di un numero intiero di spire , la corrispondente disposizione delle sue parti fa che non vi sia ragione per cui essa si muova piuttosto da una banda che dall'altra , così è evidente che l'asse della me- desima resterà immobile. Prendo quest'asse per 1' asse delle z, e conduco al piede del medesimo nel piano su cui giace la spirale due altri assi delle x, e delle / ortogonali fra loro, ed in modo che quello delle x passi pel punto della spirale in contatto col piano. Ciò fatto Sia A la densità della materia componente l' elice . jt il rapporto del diametro alla circonferenza . r il raggio del filo dell'elice. Siano x,y,z le coordinate di un punto qualunque corrispon- dente all' estremità dell' arco s alla fine di un tempo t con- tato dal principio del moto f,f',f" le somme delle forze acceleratrìci secondo i ris- pettivi assi di tutti i punti del detto arco s. È noto che saranno lj-j^| , Ijp), ijfA le forze acceleratrìci secondo i detti assi del punto corrispondente alla fine dell' arco s . Considerando le tre quantità /, /', /" funzioni di j , e facendo che s aumenti di una quantità o , le tre serie /-«'(f)-°T(S)-°'i-- /"-°(f)*T(1^}-'N. esprimeranno le somme delle forze acceleratrici secondo i tre assi di tutto r arco s-^o, onde sottraendo le prime somme da queste rimarranno le serie Dt OTfAvrANO Faertzio Mossotti 247 «(I)-t(£-0-«''I'- (H) "(^)-?(ff)-»'M. le quali saranno le somme delle forze acceleratrici nella di- rezione dei tre assi, ossia le forze motrici dell'arco o. Im- maginiamo tre forze acceleratrici A, A', A" secondo gli stes- si assi delle x, y, z tali che tutto l'arco o essendo animato da queste tre forze acceleratrici ne risultino tre forze rispet- tivamente eguali a quelle delle tre serie soprascritte. E evi- dente che queste tre forze dovranno essere della forma. (*) A = (|-f)-..X, A'=(S)*»Y, A" = (S)-K.Z. essendo X una funzione di /, j;, o ; Y una funzione di t , y, o , e parimenti Z una funzione di ?, z, o che non diventano infinite quando 0 = 0. Infatti se noi supponiamo che o di- venti zero, le forze acceleratrici A, A', A" devono ridursi a quelle del punto corrispondente alle coordinate x, y, z, co- me appunto addiviene poiché fatto 0 = 0 si ha A = (&"). A=(è), A- = (S). Moltiplichiamo ora quelle tre forze acceleratrici A , A', A" per- la massa dell' elastio o , la quale è evidentemente espressa da A^rr^o, per la supposizione fatta le tre forze motrici che ne risultano dovranno eguagliare quelle espresse dalle tre se- rie (H) ed avremo le equazioni (* )Vedi una Memoria del Prof. Brunacci fra quelle dell' Istituto Na- zionale Italiano , Tomo I, Parte II pag. 79, ove il principio di cui fac- cio Ugo per evitare la considerazione degli infinitamente piccoli fu per la ' prima volta messo in campo > a48 Sul Movimento di un' elice elastica ec. dalle quali, paragonando i coefficienti delle prime potenza di O3 si dedurranno le seguenti. (3) A...(g)=(f). 4. Scolio I. Volendo risolvere rigorosamente il proble- ma converrebbe ora avere le espressioni delle forze f,f\f" in funzioni delle coordinate x,y,z, e dell'arco s o delle loro differenziali, e sostituire questi valori nelle ultime «quazioni ottenute. Risulterebbero così delle equazioni a dijferenziali par- ziali dall'integrazione delle quali dipenderebbe la soluzione del probleina , il cui sviluppo riuscirebbe perciò intralciato da tutte quelle difficoltà che sono proprie di questo ramo di calcolo integrale. Per evitare queste difficoltà, insuperabili nello sta- to attuale dell'analisi, ho assunta un'ipotesi che mi ha sug- gerito un esperimento instituito dal Sig. Francesconi, e da me . Abbiamo presa una spirale nera di acciajo fissa con una d^le sue estremità in un piano immobile, e 1' abbiamo co- stipata sino al totale contatto delle sue spire , in modo che r elice costituiva la superficie di un cilindro retto. Sulla su- perficie di questo cilindro con una riga abbiamo segnata una linea retta, bianca, parallela all' asse dell'elice, ed abbiamo cosi abbandonata l'elice a se stessa. Nelle oscillazioni che snc- ceddettero si osservò che i punti bianchi di ciascuna spira che prima costituivano una linea retta continua, nell' allar- garsi i passi delle spire si staccavano l'uno dall'altro, ma ri- manevano costantemente sulla stessa retta o sul suo prolun- gamento. Le oscillazioni essendo molto rapide non permette- Di Gitavi ano Fabrizio Mossotti ^49 vano che si distinguesse se le distanze fra questi punti erano per ciascun istante eguali su tutta la lunghezza dell' elice, ma moderando superiormente colla compressione di una ma- no la rapidità delle oscillazioni sino al punto che queste di- stanze si potevano ben percepire coli' occhio non si potè no- tare fra loro alcuna sensibile differenza. {*). Le stesse prove ripetute su di un' altra spirale di otto- ne più sottile ma più lunga ci hanno somministrato gli stes- si risultamenti. ( ** ) . Da quest' esperimento se ne deduce un' importantissima conseguenza pel nostro oggetto. Poiché i punti bianchi segna- ti su ciascuna spira rimangono costaiitemenle in linea retta ed a distanze eguali, forz' è che 1' elastro conservi costante- mente la figura d'elice, e sia composto di un egual numero di rivoluzioni , o spire. Sia adunque a il raggio del circolo di projezìone dell'elice, ed e l'inclinazione della spirale, os- sia 1' angolo che farebbe la tangente ad un punto qualunque della medesima col piano delle x,y, le coordinate x , y, z dovranno soddisfare alle equazioni che rappresentano le pro- jezioni dell'elice, che sono x^-t-j* = a* z =z a. tan. e. aro. sin. — . a Di più per le proprietà di questa curva si avranno le equazioni (4) z = .J. sin. e a. are. sin. — = j cos.e . Denomino ^ l'angolo che ha per seno —, sarà (*) Questo risultamento è un po' alterato se l'elice è posta verticalmen- te , perchè in tal caso il peso delle gpire superiori che gravita sulle infe- riori , fa che i passi dell' elice siano verso il basso eiircessivameate un po- co minori , rat\ la differenza di questi .paggi nelle spirali che abbiamo usato non era notabile che nelle due ultime «pire . (**) Per più precisa informaziona di questi esperimenti devo avvertire che la prima spira superiore dell' eli- ce era ridotta con una saldatura in una circonferenza piana. a5o Sul Movimento di un' elice elastca ec. ( 5 ) y =1 a sin- /? onde sostituendo, le nostre equazioni diverranno (6) a; = a COS. ^ a^=zs. cos. e. Ciò posto osservo, i .° che essendo la lunghezza del filo della spirale per la natura della materia di cui è composto im- mutabile , e variando nelle oscillazioni della medesima conti- nuamente la sua inclinazione, ossia l'angolo e, l'elastro non potrà conservare la figura d' elice ed un numero eguale di spire, come mostrano gli esperimenti, senza che il raggio a del circolo di proiezione venga successivamente a variare . a.° Che invece, se si abbassa da un punto qualunque del- l'elice una perpendicolare sul cìrcolo di projezione , 1' arco compreso tra il piede di questa perpendicolare ed il punto d' intersezione dell'asse delle x colla stessa circonferenza, os- sia l'angolo ^ deve rimanere sempre di un egual numero di gradi. Dunque nelle nostre equazioni, variando il tempo, l'arco- sei' angolo ^ rimangono costanti per uno stesso punto , e variano le sole quantità e ed a, ed è per se evidente che pas- sando nello stesso istante da un punto all' altro della curva varieranno viceversa le quantità s e ^ ^ mentre le altre due e ed a rimarranno costanti. Dividendo 1' ultima equazione per as si hanno i due rap- porti seguenti Il primo rapporto è composto di quantità che non variano col tempo , il secondo di quantità che non variano passando da un punto all' altro della curva, questi due rapporti essendo altresì eguali converrà che ciascheduno di loro sia costante per le due dette variazioni. Chiamo p questo rapporto co- stante , ed ho fi =: p s a =z — COS. e per la sostituzione di questi valori le equazioni (4) > (5), (6), diverranno Di Ottaviano Fabrizio Mossottf aSi a; = — COS. e cos. ps -, 7 = - cos. e s\n. ps , z = s sin. e nelle quali ripeto , e varia soltanto col tempo, ed s passando da un punto all' altro della curva. Differenziando queste equazioni due volte relativatnent* a i j si avrà . (d'x \ I / d'cos. e \ tf) = -p \-^F-; ^«s-/'* sostituendo questi valori nelle equazioni (i), (a), (3), avremo integrando relativamente ad s sì otterrà --Arcr^2,l'^)cos.ps=f'^c' All' oggetto di determinare le costanti , osservo che es- sendo ps=^ , al principio della spirale si ha .y ^ o, /)5 =: /? = Oj f ■=: f =/" = o, onde sarà dunque le nostre equazioni diverranno (7) A..^i.(l!^^)sin./,.=/ (8) - A . .^ i, ( '1^ ) cos.p.=/'- Anr^^~ {^1^) Tomo XVIII. K k aSi Sul Movimento di un' elice elastica ec. estendendo ora questi integrali a tutta la lunghezza dell* ar- co dell' elice col fare s = a ed osservando che per esser la medesima composta di un numero intiero n di spire si ha ^ z= pa = 2.ìi7t, resteranno le equazioni (.0) 0 = / (il) o=/' 5. Scolio II. Per proseguire nell' equazione (la) le in- tegrazioni relativamente al tempo conviene prima conoscere la misura della forza /".È evidente che, se supponiamo l'e- lastro costipato e posto verticalmente, sovrapponendo un pe- so che impedisca che più si allunghi, questo peso misurerà la somma delle forze acceleratrici verticali colle qnali I' elastro si distenderebbe in quell' istante essendo in libertà , ossia la forza/". Questa forza sarà poi diversa anche nello stesso ela- stro variando la sua lunghezza, ossia secondo i diversi stati di compressione, e la soia esperienza può somministrare la leg- ge della variabilità della medesima. Per scoprire questa leg- ge ricorrerò alle esperienze eseguite da qualche fisico, e da- rò principio col riferire quelle che trovansi nella Memoria ci- tata nelle prime linee* di questo scritto. Il Sig. Giovanni Bernoulli situò verticalmente una spira- le d' acciajo , ed osservò con esattezza sopra una scala posta di fianco il punto a cui corrispondeva 1' estremità superiore dell' elastro, quindi esaminò di quanto questo punto discen- deva sovrapponendo successivamente all' elice dei pesi mul- tipli, e cominciando da un quarto di libbra, osservò le cos- tipazioni contenute nella seguente tavola . Di Ottaviano Fabrizio Mossotti a53 Pesi Costipazioni Aumenti in — in^:- delle 4 4 di libbra di linea costipazioni I 6 6 a '4 8 3 20 6 t 26 6 3a 6 6 38 6 7 45 7 8 5a 7 9 58 è 10 65 7 II 73 7 la 79 7 i3 86 7 •^ 9a 6 i5 99 7 i6 107 8 '7 114 7 i8 laa 8 '* i3o 8 20 i38 8 ai 145 7 aa ibi 6 aa ,57 6 a4 _ 761 4 Si vede in questa tavola che la prima colonna indica i pesi, la seconda le costipazioni corrispondenti a ciascun peso, la terza gli aume^nti delle costipazioni ^ o le differenze tra le costipazioni per ciascun aumento di peso . Queste differenze poco si scostano dal loro medio che è 6,7 di quarti di linea, cosccichè le piccole differenze sembrano dovute agli errori ine- vitabili delle osservazioni . Si può adunque conchiudere che gli aumenti delle costipazioni crescono nella stessa ragione de- gli aumenti de' pesi , o ciò che torna lo stesso, che le costi- pazioni totali sono proporzionali ai pesi comprimenti. Anche il Sig. Gravesande nella bella sua opera Phyìsices Elementa Mathematica ec. al capo XIII del libro II accenna un esperimento, in cui avendo fatto sopportare ad un elastro a54 Sul Movimento di un' elice ei astica ec. una mezza libbra di peso lo costipò di un mezzo pollice, poi aggiungendo un egual peso la discesa fu parimenti di uu mez- zo pollice 5 e cosi di seguito sin che l'elastro non si potè più comprimere. Il Sig. Professore Francesconi ha voluto unitamente a me verificare il medesimo esperimento sulla spirale di ottone di cui ho fatto cenno nel numero precedente. Questa spirale che era del peso 781 grammi (*) portata dalla posizione orizzon- tale a quella verticale si accorciava di a3 millìmetri. In que- sta situazione della spirale abbiamo sovrapposto alla spira su- periore, la quale era ridotta mediante una saldatura in una circonferenza piana ^ un tampone dal cui centro pendeva un filo che passava per l'asse stesso dell'elice. Il peso del tam- pone e del filo era di q grammi , ed il filo sosteneva un sec- chio pesante 2,00 grammi nel quale si ponevano i pesi atti a produrre i varii gradi di costipazione come si trovano notati nella seguente tavola Stati dell' elice Pesi Costipazioni Aumenti delle comprimenti prodotte costipazioni Spirale orizzontale 0 0 0 Spirale verticale — aS 23 Spirale verticale con tampone , filo e 209 36 i3 secchio 754 63 a? 1199 90 27 1844 117 27 a389 «44 a? 3934 171 37 3479 198 27 Da questa tavola si vede che posta la spirale verticalmente. {*) I pesi e le misure sono secondo il nuovo sistema . Di Ottaviano Fabrizio Mossotti 2,55 e poi aumentando i pesi comprimenti di 545 grammi per vol- ta la spirale si costipa costantemente di 27 millimetri. I risultamenti di tutti questi esperimenti ci autorizzano a stabilire per la variabilità della forza elastica delle spirali secondo le diverse loro lunghezze la legge seguente . Sia A 1' altezza verticale della spirale non aggravata, e À quella che riceve quando è aggravata da un peso rappresentato da gp ( g dinota la gravità ) , avremo per determinare il peso o la forza elastica f" corrispondente all' altezza z' la proporzione A — À:A — z'::gp:f" e quindi Sostituito questo valore nell'equazione (12) avremo A 2 / d^sin.e \ ff^ A — z' ^'^ \-dF-) T=SP Tzrx' Ora essendo per un arco qualunque z ■= s sin.e, sarà z' che rappresenta la coordinata dell' ultimo punto della spirale egua- le a a sin. e per cui si avrà sin.e= — a e perciò ^ (d'aìr>.e\ __ _i_ / J' z' \ dt' ) e \ dt' ) • Ponendo nella precedente equazione questo valore, risulterà A;rr'o- / _£V \ A — g' a \ dt' I =^ A-zl ossia rappresentando con m la massa della spii'ale che è egua- le a A ;;r r* cr Facciasi avremo / o\ m I d* z' \ A — A-/Ì A-A -^ m(A-/i.) «>+($)=-• 2,56 Sul Movimento di un' elice elastica ec, L' integrale di quest' equazione lineare di second' ordine è , at[/—i „ —a/i/^— I essendo e la base dei logaritmi iperbolici , ed e', e" due costan- ti arbitrarie. Per determinarle osservo che chiamata k la lun- ghezza della spirale al principio del moto, ossia quando ^= o si avrà z' =: k , e I -^ J = o , perchè la velocità in quest' i- stanté è zero, avremo così le due equazioni A — A , , ,t o = f ' a [/ — I — e" a [/ — i . Dalla seconda di queste equazioni si ottiene e' = e", on- de dalla prima si dedurrà r ri _I_ A — t a A-A • Sostituiti questi valori nella precedente espressione di y si ha o Sia perche ee -4-e "^ =a cos.ai La frazione . ^ che rappresenta il rapporto del peso comprimente alla corrispondente costipazione è il coefficien- te costante che moltiplicando il raccorciamento variabile del- l' elice dà 1' espressione della forza elastica . Rappresentando con e questo rapporto che è porporzionale alla forza d'elate- rio della diversa spirale, e ponendo per y , ed ai loro va- lori nella precedente equazione, risulta (i4) A-z' = Kkcoi.t i/ ^ ]a quale equazione ci darà l'altezza della spirale in ogni istante. Viceversa sarà / c\ . / m A — z' (■5) *=\/ T^,^'""- c«s- A^rr Di Ottaviano Fabrizio Mossotti aSj è con questa equazione conosceremo il valore del tempo che impiega l'elice ad arrivare ad una data altezza. Per avere il valore della velocità ( -j- ) dell'ultimo pun- to dell'elice si differenzi l'equazione (14)5 avremo <,6) (f )=(A-<)j/^si„.,j/^ equazione che ci darà il valore delia detta velocità pel tem- po. Se si volesse il valore della medesima espresso per la lun- {ihezza dell'elice^ ricavando il valore di s'w.t 1/ -^dall'equa- zione (14) e sostituendolo in questa, si troverà 6. Coiol. I. Se neir equazione (i3) si fa z' = A , ri- mane I jjf 1 = o , questo valore di z che annulla la differen- ziale della velocità l^) è quello che nel nostro caso cor- risponde alla velocità massima . La spirale adunque avrà ac- quistata la massima velocità quando sarà giunta a quelT al- tezza che ha naturalmente non essendo aggravata da alcun pe- so. Il valore di questa velocità massima ci sarà dato dall' e- quazione (17) facendo in essa 2' := A, e chiamando v questa velocità , risulterà (18) 7; = i/if . (A— A ) ni la quale equazione ci fa vedere che la massima velocità è proporzionale alla costipazione iniziale dell'elice. Il tempo che impiegherà l' elice ad acquistare questa ve- locità massima si otterrà dall'equazione (i5) ponendo in essa s' = A, e sarà, indicandolo con r, (19) t = i/j:l .1.. uge a Questo valore del tempo essendo indipendente dalla quantità kf ne segue che , qualunque sia stata 'la lunghezza alla quale 258 Sul Movimento di un' elice elastica ec. colla compressione fu ridotta 1' elice quando cominciò a scat- tare , riacquisterà la lunghezza A che ha nel suo stato natu- rale sempre nello stesso tempo , ossia 1' elice sarà tantocro- na neir acquistare la sua luiigliezza naturale . E un canone stabilito dal gran Newton che vi è tautocronismo ogni qual- volta la forza acceleratrice sia proporzionale allo spazio che rimane a percorrersi onde si annulli . Seguendo questo canone avressimo potuto riconoscere questa proprietà nella dilatazio- ne della nostra spirale, perchè la forza acceleratrice del pun- to estremo e libero della medesima espressa da — (A — z') è veramente proporzionale allo spazio che gli rimane a descri- vere per riacquistare il suo sito naturale : così quel principio serve di conferma all' enunciato risultamento. 7. Scolio. Non abbiamo considerato il movimento del- l' elice che nel tempo del primo scatto , la minima riflessio- ne però sulle equazioni (14)5 {^^)ì ('6) ci mostra che l'eli- ce ad eguali intervalli di tempo pari a quello che qui so- pra abbiamo indicato con r , acquista successivamente le lun- ghezze . A , aA — k , A , k e le velocità V , o , — V 3 o ossia r elice fa una serie di oscillazioni isocrone a quelle di un pendolo cicloidale il cui circolo generatore abbia per rag- m g>o 87- 8. Corol. II. Se invece^ come nel risoluto problema ab- biamo supposto che la spirale si dilatasse liberamente sen- za avere alcun corpo avanti a se, vi si ritrovasse un corpo della massa M , è facile il vedere come nell' estendere 1' in- tegrale (9) avrebbe dovuto aggiungersi al primo membro del- l'equazione (12) il termine M iTTr); cosi pure, denominan- do o il seno dell'angolo che l'asse dell'elice fa coli' orizzon- te, dal secondo membro dell' equazione (i3) avrebbe dovu- Di Ottaviano Fabrizio Mossottt a.5(f to sottrarsi il termine goM che rappresenta il peso relativo del corpo M , onde quell' equazione avrebbe presa la forma ( M-H-^ )(£?:)= g/'iEJ-goM. Si faccia M -H- -^ = -^ , ^ = 7 , A - yM = A' , ;i - y M = ;{' la precedente equazione diverrà A'-z' la quale è tutto simile alla (i3), e va estesa nelle integra- zioni fra i medesimi limiti. Cambiando perciò nelle equazio- ni (14)5 ('5)' (16) m in ^i , A in A', À in À' , e sostituendo M -♦- Y ^ "T •" -^ — 7 ^ a A' , À — y M a À' , st avrà (20) A — vM — 3 ={ A — rM — A)cos.if -^== (A-yM-^)-^Ì^sin..-^' (-) (f ) _ t/g£ l/M-t-- [(A-y M-^ )>-( A~y M~sT T • Così pure la massima velocità dell'estremità libera dell'elice sarà data dall' equazione a il qual valore corrisponderà anche a quello della velocità col- la quale verrà scagliato il corpo M se sarà posto semplice- mente avanti all' elice senza esservi unito , Questa velocità sarà acquistata dall' elice nel momento che la sua lunghezza diverrà eguale a A';, dal che si vede che , se la spirale ed il Tomo XVIII. L 1 200 Sul Movimento di un' elice elastica ec. corpo M saranno collocati in un cannone, la lunghezza più avvantaggiosa da darsi al cannone per scagliare il corpo M , deve esser tale , che quando 1' elice ha la lunghezza A' , il centro di gravità del corpo M si trovi alla bocca del mede- simo . Il tempo per acquistare la massima velocità , sarà l/M-t-^ (a5) T = 31 a, il quale trovasi indipendente dalle quantità k, e y, ossia dal- lo stato iniziale dell'elice compressa , e dalla gravità relativa del corpo M , perciò i tempi per acquistare la velocità mas- sima , o sia la lunghezza A', saranno sempre tautocroni, qua- lunque sia la lunghezza iniziale dell' elice , e 1' inclinazione del suo asse . 9. Scolio II. Per dare un saggio dell' uso di queste for- mole le applicherò alla valutazione delle altezze alle quali il Sig. Giovanni Bernoulli lanciò una palla di rame per mezzo del suo strumento ballistico della cui teorica e pratica si è occupato nella precitata Memoria . Questo istromento consi- steva principalmente in un cannone di rame in cui era col- locata quella spirale che servi agli esperimenti riferiti al nu- mero 5 . Il peso della spirale era di ^ di libbra ; all' estre- mità libera della medesima era attaccato un tampone del pe- 3 a56 '""" 64 9 SO di ;^ di libbra j e la palla di rame scagliata negli esperi- 5 menti pesava -^ di libbra . Sarà adunque M = jg^ H- ^ = ^ . j5 Sia m ■= e dai dati del numero 5. si ricaverà e =: ■^ Quindi se la spirale sarà situata verticalmente si 161 Di 0 ita VIANO Fabrizio' Mossoti I avrà aói i£i i6i e se sarà inclinata all'orizzonte di 45 gradi, r = -J^-^ Sostituendo questi valori nell' equazione (a4) ^ cHe si può mettere sotto la forma ( A — 7 M — A )^ 1»- 3? M-H- si ha per la spirale posta verticalmente. I — := o , 7 1 33o36 (A — k — o , 6o )^ e per quando è inclinata di 45°. II ^s = o,7i33o36( A — ;^ — o, 43)' Dal principii della teorica del moto accelerato dei gravi si sa , che il primo membro nella prima di queste equazioni rappresenta i' altezza a cui un grave dotato della velocità v può salire , e nella seconda la metà della distanza orizzonta- le a cui il grave può essere lanciato : dando perciò nel se- condo membro a A — k i particolari valori avremo le altez- ze , o le semi-amplitudini a cui giungerà la palla scagliata . La prima colonna della tavola seguente rappresenta i va- lori di A — A, ossia le costipazioni date alla spirale, la se- conda le corrispondenti altezze a cui deve giungere secondo la formola I , la terza le altezze che sono date dalla teorica di Giovanni Bernoulli {*) , la quarta le altezze osservate co- gli esperimenti . La 5,*" b''*, e 7'"" colonna rappresentano nel- lo stesso ordine le amplitudini , o distanze orizzontali a cui r istromento balUstico dovrebbe lanciare , o ha lanciato la palla essendo inclinato all'orizzonte di 45°. (') Per un errore di calcolo nu inerico le altezze che trova quest'Au- tore secondo la sua teorica sono diverse dalle riferite ; io le ho poste qui cal-« colate esattamente, perchè se ne possa instituire il confronto con quelle delle nuove formolo. aós Sul Movimento nr un' euce elastica ec. Costipazio- Altezze Altezze Altezze Amplitudi- Amplitudi- Amplitudi- ni secondo secondo osservate ni ni ni iniziali secondo la osservate in la la teorica negli secondo la teorica di negli linee formola I di Bernoulli esperimenti formola 11 Bernoulli esperimenti 6', 5 ^F i' 3.' 3' a.-f 0' 4.' 4' b''. 6' 4" i3, 9. a II. 9 7 6 18. IO a3. 6 i5 19 , 75 ai 8 27. 2 16. 6 44- 4 54. 4 33 a6 , 75 40. 6 48. 6 a6. 6- 82. 4 97. 0 62 34 , 5o 68. 4 78. 7 45. 0 187. 10 157. 2 94 40, a5 93. 3 io5. 5 60. 6 188. 7 210. IO 144 Il tempo che somministra la formola (a5) per tutti que- sti scatti è i'", a, quindi appare la necessità di una somma prontezza nel porre in libertà la spirale perchè non vanghi il suo moto nel principio ritardato o turbato. La spirale del Sig. Bernoulli era fatta dì piìi barre d'ac- ciajo accoppiate insieme a quattro a quattro , e legate con un filo metallico i in seguito alla descrizione del suo elastro que- st' autore soggiunge. On sentirà d' abord quelle dijférence il doit y avoir pour l' ejfet tant' d' intensìté que d' uniformité entre un ressort faìt d' une seule pièce et mince , et d'autres tels que ceux doni j' ai été obligé de ?ne servir ici. Pare ap- punto che si debba principalmente da ciò ripetere la mag- giore aberrazione dei risultamenti del calcolo nelle ultime e- sperienze , perchè in queste più che nelle prime devono ren- dersi, per le forti costipazioni ^ sensibili i diffetti dell' elastro. D'altronde nel calcolo sono stati trascurati gli attriti, e la resistenza dell' aria che possono diminuire di qualche cosa la velocità della palla. j d Ottaviano Fabrizio Mossotti 263 PROBLEMA II. IO. j, Una fibra diritta ed elastica fissa con un'estremità „ in un ostacolo immobile, essendo stata troppo stirata, si ,, accorci o si ristringa in virtù del suo elaterio: cercansi , „ nella ipotesi che la fibra si costipi uniformemente, o sìa „ che le velocità dei diversi punti siano proporzionali alle „ loro distanze dall'estremità fissa, le relazioni tra gli elemen- ,, ti del moto in questa costipazione ? Sia a^ l'area di una sezione normale alla lunghezza del- la fibra A la densità della medesima alla fine di un tempo t. z la distanza di un punto qualunque dall' estremità fissa nello stesso istante. z' quella dell' estremità libera. 1^1 sarà la velocità del primo punto z . I j- I quella del secondo punto o dell'estremità libera. I -^ I sarà la fisrza acceleratrice del primo . { TF" ) 1"^"^ ^^^ secondo dei detti punti. Sia / la somma delle forze acceleratricì sollecitanti la por- zione di elastro compresa tra 1' estremità fissa, e l'ascissa z; la somma delle forze acceleratrici , dalle quali sarà animata la porzione di elastro z-ho, si avrà considerando /" funzione di z, e ponendo z -i- o in luogo di z; sviluppando in segui- to la funzione f col teorema di Taylor sarà onde la somma delle forze acceleratrici sollecitante la porzio- ne di fibra corrispondente alla parte d'ascissa o risulterà ec. 2.6^ Sul Movimento di un' elice elastica ec. S' immagini ora una forza acceleratrice media A dalla quale essendo animata tutta la porzione o di elastro ne ri- suiti una forza eguale alla somma delle forze acceleratrici del- la serie (a6) ; è evidente che questa forza acceleratrice dovrà essere della forma I -rr ) -H « Z essendo Z una funzione di z,o, e t tale che quando o è eguale a zero non diventi in- finita, perchè in tal caso la forza acceleratrice A deve diven- tare quella del punto dell' elastro corrispondente all' ascissa s, ossia ( -r-r ) : moltiplicando questa forza acceleratrice me- dia per la massa corrispondente alla lunghezza o, espressa da Aa^o, dovremo per la supposizione fatta avere l'equazione la quale evidentemente non può sussistere per qualunque va- lore di o se non è Sia s la distanza del punto z dall' estremità fissa allorché la fibra è nel suo stato naturale , per la supposizione che le velocità dei diversi punti della fibra siano in ragione delle di- stanze dall'estremità fissa, l'ascissa z d' un punto indetermi- nato della fibra potrà essere espressa dalla forraola (28) z = e s ove la quantità e varia soltanto col tempo,, ed s passando da un punto all' altro della fibra. Parimenti indicando con A la lunghezza dell' elastro nel suo stato naturale, l'ascissa dell' ultinto punto, o dell'estre- mità libera sarà data dall' equazione (39) z = e A. Quindi se si osserva che nella supposizione di a'' costan- te le densità della fibra nei diversi istanti devono essere pro- porzionali alle rispettive lunghezze della medesima , detta D la densità della fibra nel suo stato naturale , sarà D : A : : A : z' Di Ottaviano Fabrizio Mossotti 2.6^ ossia (3o) A = eD. Poniamo ora nell' equazione (27) per z e A 1 valori testé da- ti, riflettendo che la differenziale di / è relativa soltanto al- la variabilità di ^^ si avrà Integrando quest'equazione relativamente ad 5 ed estendendo l'integrale da s = o a 5 = A, si ottiene In quest' ultima equazione f rappresenta la somma dì tutte le forze acceleratrici agenti sull'elastro, ossia il complesso del- le forze dalle quali è accelerato il movimento di tutte le par- ticelle dell' elastro . Da questo complesso di forze risulta la forza elastica colla quale la fibra tende a rimettersi nel suo stato: valutando quindi questa forza elastica cogli esperimen- ti riferiti al numero 5. e ritenendo le denominazioni in tal numero usate, avremo l'equazione Si elimini da quest' equazione la e per mezzo di quella segna- ta (2,9) osservando ohe la quantità D a^ A esprime la massa dell' elastro la quale è costante, e che rappresenteremo con w si otterrà /o \ mi d^z' \ A — z' (3^) -7 (^ì=èP-A::rx- Quest'equazione è la medesima che quella segnata (i3),che al numero 5. abbiamo visto rappresentare il moto oscillatorio d' un' elice ; quindi, dovendo anche nel presente caso esten- dersi nelle integrazioni fra i medesimi limiti, avremo per la soluzione completa del problema le stesse equazioni (i4)? (i5), (16), (17) ec. che servono per la spirale. Se adunque imma- giniamo che la massa della spirale sia uniformemente concen- trata nell'asse cosi che quest'asse divenghi una fibra elastica della stessa lunghezza e della stessa forza dell' eliccj è evidente a66 Sul Movimento di un' elice elastica ec. che potremo ridurre 1' esame dei movimenti della spirale a quelli di questa fibra omogenea e continua , e saremo certi che i risultameiiti che si deducono per questa fibra fittizia sostituita saranno egualmente applicabili alla spirale. Ho creduto bene di dimostrare con esattezza la legittimità di questa sostituzione nelle ipotesi adottate, perchè essa gratuitamente assunta ser- vì già di fondamento ai calcoli dei Bernoulli e di altri. Ji. Corol. I. Qualora la fibra avesse attaccato alla sua estremità libera un corpo di massa M non pesante^ così che neir accorciarsi dovesse strascinare seco questo corpo, è fa- cile il vedere che il primo membro dell' equazione (3 1) avreb- be in questa circostanza richiesto 1' aumento del termine ]y[ I ^li_ 1 per cui anche l'equazione (Sa) diverrebbe (33) (M+i^)(f|:)=g^|=Ì. Quest'equazione in nuli' altro differisce da quella segnata (i3) del numero 5. se non in ciò, che quìM-H — tien luogo di—. Dunque sostituendo M -4- — ad — in tutte le equazioni (i4)> (i5) , (iG), (17), (18) e (19), avremo per la risoluzione deL problema nel presente caso le seguenti A — 3= (A— A) COS. fl^gi /M-h- a A„- --. A-z' i/m-h - t := ^ Are. cos. . , . / 41 \ =( A-A ) -.tt=. sin.-Jfe==.. \ '' I Vm-^-I /M-t-f ,> — "^ /m /Mh-^ i/^« m a TV a Di Ottavtano' Fabiut^io Mossonr 267 ^ 12, Scolio. Dinotiamo più generalmente la forza di ela- A — -' sticità g/? -jf^T '^ q"a'e in questo caso è negativa, colla let- tera— p, e facciamo altresì A — 2' = :i;, 1' equazione preceden- te (33) diverrà Quindi moltiplicando un membro e l'altro per l --,— I ed in- tegrando si avrà Sia rappresentato 1' elastro nel caso presente dalla retta AB^ è sia Bb lo spazio in fine del quale la forza di elaterio è nul- la . Rappresentando colla retta BF la forza p al principio del moto, e costruendo la curva bEF nella quale le coordinate CD, ed corrispondono alle forze di elaterio negli istanti ne' quali il punto B ritrovasi in C, e, sarà fpdx eguale all' area BF^, dunque scrivendo u per la velocità ( 7- ) ? si avrà (34) {M-h~)u'' = BFb dove qui l'eguaglianza è posta per la proporzionalità. Il Conte Giordano Riccati nel suo Trattato delle corde o fibre elastiche schediasma i. numero VII. proponendosi lo stesso problema do- po aver fatta la medesima costruzione prosieguo cosi , egli è facile a concepire che V aja triangolare bFB pareggia V in- tiera azione delle forze sollecitanti. Ora a guest' azione s'e- guaglia V aggregato delle forze vive acquistate e dal peso sti- rante M e dalle menome particelle che compongono la corda „ Essendo la forza viva del corpo M eguale ad Mm" ed avendo trovata quella dell' elastro eguale ad j «*, stabilisce perciò 1' equazione ( M -1- ^ ) «^ = Z^BF colla quale al numero Vili conchiude che un elastro matè- Tomo XVIU. M ra a68 Sul Movimento di un' elice elastica ec. matico AB che avesse concentrato nell'estremità B un terzo della massa dell'elastro fisico e materiale AB, caricati amen- due del corpo M , sarebbero dotati in luoghi analoghi della stessa velocità, percorrerebbero gli stessi spazii , e quindi sa- rebbero isocroni nelle loro oscillazioni. L'eguaglianza (a) che l'Autore ha posto venendo contraddetta e provata fallace dal- la sovrascritta equazione (34), nella quale w è soltanto divisa per 3, ne risulta conseguentemente erroneo l'esposto teore- ma che Giovanni e Giacomo BernouUi i giovani, Nicolai, ed altri hanno pure adottato in seguito. (*) Se si volesse dedurre dall' equazione (34) un consimile teorema a quello del Riccati , si vedrà facilmente collo stes- so ragionamento che 1' elastro matematico avrà tutti i suoi mo- vimenti eguali a quello del fisico, e sarà per conseguenza iso- crono collo stesso, se nella sua estremità B avrà concentrato la metà della massa dell' elastro fisico e materiale AB . (*) Anche il Prof. Francesconi in una sua Memoria sulla Teorìa della Resistenza de' corpi molli ha fatto li- so di questo teorema ; all' oggetto pe- rò che se ne serve , deve essere per lui indifferente il sostituire la metà al ter- zo della massa risultandone ia massi- ma le stesse conseguenTie . a6g DELLA CLASSIFICAZIONE DELLE CURVE A SEMPLICE CURVATURA OPUSCOLO Del Sic. Paolo Ruffini(*) MEMORIA IL* Affezioni delle Curve Algehraiclie a distanze finite C A P O I." Della natura dei Rami , che nelle Curve algebraiche scorrono alV infinito , dei loro Assintoti , dei loro Diametri , e dei Punti conjugati . 87. Oi esprima con l'Equazione /( x,jK" ) = o ( n." I ) una Curva qualunque algebraica di grado m. Osservo, se in essa Equazione esistono attualmente le due potenze x", jk™, o non vi esistono ; se vi si contengono prendo tale Equazione, co- me si trova ; e se vi mancano o amendue, od una sola, tras- formo l'Equazione medesima in un'altra, la quale le contenga entrambe, e la quale rappresenti la Curva stessa, cangiate senìplicemente le coordinate . Tale trasformazione sappiamo dai metodi generali di permutare le coordinate potersi sempre eseguire, col porre due quantità w -4- « a;-)-/?/, m' -^ n' x -\- p' y in vece rispettivamente delle x, y, nelle quali i coefficienti m , ni , n , n , ec. siano opportunamente determinati. In conseguenza di ciò supporremo costantemente, che la datay(x,/) = o contenga amendue le potenze x"^,/"^, e però che venga espressa dall'Equazione (HI) ( n." i.), nella quale i coefficienti a^ a('") siano sempre diversi dallo zero. 38. Svolgasi la Equazione y ( a:, / ) = o ora supposta in (') La Memoria I del presente Opuscolo trovasi alla pag. 69. «li questo Volume . a70 Affezioni delle Cukve Algebraiche ec. una serie discendente, per mezzo della quale si esprima il valore di y per x . Pel dimostralo nel { n.° 3.) tal serie sarà in generale la (I) , ove si avrà a = i , ed il coefficiente L necessa- riamente diverso dallo zero, e si avrà i > ^>'y> ^> ec.(n.°i.) Relativamente agli rn valori particolari di 7 avremo le m se- rie particolari (II) dove sarà a' = a" = a"' = ec. = a('")= i . 39. Essendo le (I), (II) serie discendenti (n.°prec.), espri- meranno prossimamente i rispettivi valori di y, mentre sia X grande , e tanto più esattamente quanto x è più grande . Dunque le serie medesime potranno determinare prossima- mente i punti , od i rami della Curva espressa dalla y"(x, j) = o, mentre questi punti o rami esistono ad una di- stanza notabile dal principio delle x; e questa approssimazione sarà tanto più esatta, quanto l'accennata distanza è maggiore. 40. Esistano nella supposta Curva dellay(a;,j) := o pun- ti ad una distanza infinita . In questa ipotesi io dico, che i valori corrispondenti dell' ascissa .r deggiono essere tutti infi- niti . Imperciocché se ciò non si volesse, posto finito uno di questi valori ; per la distanza infinita dal principio degli assi delle coordinate del punto corrispondente, dovendo poi essere certamente infinito il rispettivo valore della y, collocato que- sto valore non infinito della x^e l'infinito della / nella E(jua- zione (III), ove il coefficiente «('") è diverso dallo zero ( n." 37.), essa diverrebbe a("')y'"=:o ; ma tale Equazione risul- tata è assurda . Dunque ec. 41. Abbiasi nella (I) oltre l'esponente a = i (n.° 38.)ral- y 8 tro /5 = o, onde essa divenga j = La: -H M -i- Njc h-Po; -f-ec. Trasportati i termini hx , M nel primo membro, suppon- go 7 — hx — M = u , ed X = -^ , ove , chiamato ^ 1' an- golo delle coordinate x , y sia E = [/ ( i -4- a L cos. ^f -H L* ) dai principi della Teorica delle Curve sappiamo , che sosti- tuendo in luogo delle x , y i valori , che rispettivamente ne vengono in z ed z^ ^ la Equazione f[x,y)= o trasformasi perciò in un'altra, che dirò tp { z^ u ) = o , la quale esprime Del Sic. Paolo Ruffini 271 la medesima Curva, cangiatine semplicemente gli assi delle coordinate, e la precedente serie si cambierà nella [XXV) « = N_fL -t-p4- -^-ec., la quale rappresenterà con altre coordinate il ramo stesso della stessa Curva, che viene rappresentato dalla X — Lx-hM-+- Na;' -+- Px -+- ec. , 42. Sia l'esponente /? diverso dallo zero. Ritenuto E=i/(i-l-aLcos.;f-+-L=')eda:= | , faccio in questa ipotesi y—Lx=z), ed ottenuta come precedentemente dalla /(r,7) = o la trasformata (p (x,w) = o, e da\]ax=Lx-^Mx^-i-Nx^-i-?x^ la qui ancora sappiamo non essersi che cangiate le coordinate, rappresentandosi con la (p ( z, w ) = o la stessa Curva e con la (XXXVI) il ramo medesimo Se mai nella (I; si volesse M=o dalle ipotesi di 7 — hx = w , e di x = -^, in vece della N_ y p ? (XXXVI) avrebbesi la x;:^ 5 z -t- — 5- z -f- ec; e siccome ti E anche in questo caso si verificano le precedenti riflessioni, e l'ottenuta serie è simile alla (XXXVI), ne segue, che ridu- cendo questo caso a quello, trascureremo di considerarlo. 43. Ritenuta la stessa linea delle ascisse ar, è lo stesso angolo delle coordinate fi, è facile a vedersi, che l'Equazio- ne rappresentante la linea delle ascisse z nel (n.*'4i') sarà la 7 = L j;-4- M, e nel ( n.° 4=^- ) sarà la y = hx. Supposto , che si abbiano le rette delle due Equazioni 7 = L':c H- M'j 7 = L'x -»- M", le quali si riferiscano ad una me- desima linea delle x, e ad un medesimo angolo delle coordi- nate; tali rette, se sia il coefficiente L"o, l'Equazione w* = —^ z^ ci esprìmerà la parabola pesima del grado kesimo: se sia per esempio A; = 5,/?^a, la risultante w^ = ^^ z"* rappresenterà la seconda parabola del grado quinto. L'Equazione j = Lar ci darà il diametro di tal parabola ( n.° 4^ )^ ^^ ^^' qua'^ si prendono le ascisse z,ed al quale terminano le ordinate v ( n.''4^')* C^^ ^"^ *' abbia V • • ■ i M^ e' ^ < o, posto — p in vece di/? risultandoci iJ* = — ; — , avre- rno così l'Equazione di un'lperbola accostantesi, come ad as- sintoto, alla retta dell' Equazione y ■= Ljc ( n." \'i. ), retta alla quale si rapportano le coordinate z , p. Tale iperbola dal- la comune de' Geometri si considera del grado (^ -+-/?) esi- mo; ma siccome nel caso nostro deve essa considerarsi soltan- to riguardo ai rami che hanno per assintoto la retta delle ascisse z^ e a cagione degli usi che ne esporremo in seguito, converrà a noi meglio stabilire, che ne venga determinato il grado, come si pratica relativamente alle parabole^ solamente dall' esponente k, e che l'esponente p àfW ascissa z ne de- termini la specie: porremo perciò , che la Equazione u* := Del Sic. Paolo Ruffini 278 esprima l'Iperbole pesìma del grado kesimo . Nel caso finalmente, in cui sia /7 = o dovendo considerarsi la (XXXV) (n° ^i.), e quindi nella ipotesi di x infinita la u^' = 0?- rifletto che a cagione di }' /?> y'> ec. ( n.° i . ) ed a'= i (n.^S.), tali rami saranno iperbolici di i .° grado ( n.' 45., 44-) inoltre denominato v' il valore di v ( n.**42") che corrispon- de ad L', ed u il valore di u { u.° j^\ .) , che corrisponde ai valori h', M', cosicché si abbia v'=y — h' x, u' = y — L'x — M', e chiamato E' il valore di E ( n.° 4'- ) che corrisponde ad L' M' e''' la Equazione u= — j— allorché non sia /? = o, e quando si z abbia /3 — o l'altra «' = esprimeranno le iperboli, alle quali gli accennati rami si avvicinano (n.°44-)' ta»to p quan- to q potranno avere uno dei valori i,2,,3ec.w — i (n.'aS., i.° n.° 3o. ); dalla / = L'.r, oppur dalla 7 = L'x-t- M' verrà pel citato ( n.°44' ) determinato il rispettivo assintoto; e ta- le assintoto sarà pel ( n.° 4^- ) obbliquo a tutti gli assintoti. Del Sic. Paolo Ruffini 275 e diametri di tutti gli altri rami iperbolici, e parabolici , che esister possono nella nostra Curva. 48. Si ponga L' reale uguale ad L", e disuguale da tut- ti gli altri valori di L . In questa supposizione i due suc- cessivi coefficienti M', M" dipendenti dal valore L' = L" po- tranno risultare immaginar] e reali, uguali e disuguali fra lo- ro. Siano in primo luogo reali, e fra loro disuguali . Nel va- lore di /?r= |-( n.° 18.) potendo in questo caso A avere i va- lori i,a, cominciam dal supporre k = i . Nell'Equazione ge- nerica w* = ^ zP del {n.«44. ) fatto, come nel (n.° prec. ) y — ìJx-=v', denominato E' il valore di E , che corrisponde ad L', ed a cagione di k =z \ , e però di -j = -2. ^^^ -^ j ( n.° 38. ) collocato nel caso di p non =0, come nel citato ( n.° 44- ) — P i" vece ài p , otterremo le due v' = — Sl_ » V = . Dunque, mentre sia j» diverso dallo zero, espri- mendosi da queste Equazioni due iperboli di i.° grado; ai rami delle medesime, che hanno per assintoto l'asse delle z, si avvicineranno all'infinito rispettivamente quattro rami della Curva data. Pel (n.°28.) potrà /> avere uno dei valori I , 5i , 3, ec. m — 2, ; ed a cagione di aversi in amendue la stessa v' , gì' indicati quattro rami iperbolici si accosteran- no tutti ad un medesimo assintoto, cioè alla sola retta del- la Equazione y = L'x ( n.° 44- )• Che se sia /» = o ; allora supposto a norma del (n.°prec.)j — L'^ — M' = u\ , y—L'x — M." = u' , ritenuto E' valore di E corrispondente ad L', ed a cagione di l (n." ag.) nel caso presente = i , dovendo nel valore y = ^ {n° So.) risultare A' = i , e ^ per essere < o (n.°38), di valor negativo, collocato — ^ in vece di q, l'E- quazione generica m*' = Z__ s? diverrà in corrispondenza Tomo XVIII. ^ N n ^7^ Affezioni delle Curve Alcebraiche ec. 1 WF'' ' N"F'^ T^ X '111 u = ■ , u :;^ ì — — . Dunque qui ancora risultando le I a a o ' * Equazioni di due iperbole di i .* grado , ad esse iperbole si ac- costeranno , come di sopra , quattro rami della data Curva. Qui- vi però tali rami a due a due si avvicineranno pel(n.°4^') a due assintoti paralleli fra loro, tra loro distanti della quan- tità M" — M', e determinati dalle Equazioni/ — h'x — M' = o, / — Ux — M" = o . A cagione fìnalmente di A = a ;=: /t ( n.'ag, i5. ) q potrà avere uno dei valori i , a, 3 , ec. m — a. 49- Abbiasi A: = a; dovendo in questo caso essere /3' = /3" = ^ , ed M', M" essere radici della Equazione k M''= H ( n.' i8, 19.) , dall' Equazione generica w* = }L.zP{n.''4i.)t ep ritenute le denominazioni del ( n.° 47- ) otterremo v" = -— zP, dove p potrà avere i valori x , o , — i , — a , —3, ec. — { m — a ). IT Sia p = i . La v'" := ^ z esprimendo una parabola Apol- lonìana ; ai rami di essa si accosteranno all' infinito due ra- mi della Curva data, e la retta dell'Equazione y — h'x =0 ne sarà il diametro ( n.' ^3. ) . Che se si ponga p uguale ad uno dei numeri — i, — a, 'p — 3, ec. allora, cambiato esso 0 in — p ne verrà la v"^=:z2— — esprimente un' iperbola di a." grado, che avrà per assintoto la retta y' — L'ar = o, ed ai rami di questa, che hanno l'ac- cennato assintoto , avvicinansi i due rami della data Curva. Se in fine si abbia /7 = o: per essere M', M" radici del- la M* = H,eperò disuguali fra loro; sarà nel {n." 29.) A=a, Z = I , quindi nel valore di y = -|? ( n. 3c.) avremo A' = i , e per essere ^^o ( n." 38. ) posto — ^ in vece di ^, e ri- tenute rapporto ai valori di u le denominazioni del {n.°^S.), Del Sic. Paolo Ruftini 277 N'E'' N"E''" 9Ì avranno le due Equazioni lì = — ^7—, 11' = — jtt-^ le qua- li ci dimostrano avere la nostra Curva quattro rami iperbo- lici di I ." grado approssimantisi a due a due agli assintoti fra loro paralleli 7 = L'a;-)-M',7 = L' :r — M', potendo ^ acqui- stare uno dei valori i, a, 3, ec. 772 — a ( i .° n.° 3o. ). 5o. Corrispondentemente ad L'=L" siano i due valori M', M' ( n." 4^. ) immaginar]. Potendo qui ancora k acquista- re i valori 1, a, sia primieramente = i . Diventando in que- sto caso ^ numero intero { n.° 18.), tanto M' x^' , quanto M" x^" saranno sempre immaginar], qualunque valore reale at- tribuiscasi alla X ; e divenendo perciò immaginar] nelle (II) anche i corrispondenti valori y, /", la Curva non avrà in cor- rispondenza rami che scorrano all' infinito . Ciò non ostante, siccome quando si pone x=:co, scomparendo le quantità non infinite rapporto alle infinite, le due serie y=L'ar-l-M,r*'-<-ec. y=L'a:-t-M"x*"-f- ec. divengono j'=L'xj7'= L'.r; e siccome poi in queste Equazioni 7 = L':ir ,/"=L':i; corrispondentemen- te ad un medesimo valore reale della x ottienesi uno stesso valore reale di amendue le 7', 7"; ne segue, che quantunque la nostra Curva non abbia rispettivamente al coefficiente L' ramo veruno che scorra all' infinito, pure potremo conside- rare, che relativamente allo stesso L' abbia due punti, come dicono conjugatì e doppj corrispondenti alle due ascisse x = oo * = — co, ed esistenti perciò a distanze infinite . Questa con- siderazione equivale in altri termini ad osservare, che all'au- mentarsi si nel senso positivo, che nel negativo della x, tan- to più ci accostiamo, senza potervi mai arrivare, a due punti esistenti sulla retta dell' Equazione 7=:L' a?, le coordinate de' quali soddisfacciano all' Equazione /( a:,7 ) = o. 5 1 . Rimanendo i coefficienti M', M" immaginar] , sia A = a , onde si abbia /?' = /?"=: -^ ( n.° 18.); M', M" dovranno esser radici dell' Equazione M*-t- H = o ( n.* 18, 19. ); e dalla 378 Affezioni delle Curve Alcebraiche ec. M » = '^ 2*?(n.''44- ) avrem quindi, posto/ — L'a; = ?;' (n.»47)i w =rt £ ■2 . Sia /7 numero dispari : in questa supposi- E zione 1 due valori di v' saranno immaginar] , ogni qual volta si faccia s>-o; ma quando si attribuiscano alla z valori ne- gativi, divenendo reali i due valori ±'^—^( — 2 )'* , e reali parunenti tutti 1 termini M' x , N' a; , ec. M" x , N" a; ec. . delle serie corrispondenti nelle (II) ^ come dimostreremo fra poco, diverranno reali eziandio i rispettivi valori 7',/'^ e per conseguenza la Curva avrà due rami estendentisi dalla parte delle z, e però delle x negative all'infinito, e approssiman- tisi ai rami della Curva v'^=. \ . Che se sia p numero £ pari, allora risultando il termine '^^^^^^^ 2 ^sempre immaginario, sia il valore di z positivo, 0 sìa negativo^, la Curva non avrà punto rami in corrispondenza, che scorrano all'infinito: os- servando però, che quando si pone a; = co, si considera , che i termini Mx^, N aT, ec. svaniscano tutti rapporto al primo termine Lx; ne segue, che qui ancora, come si è fatto nel ( n.^'prec. ), potremo stabilire , che esistano a distanze infini- te due punti conjugati e doppj corrispondenti all' Equazione y = h'x. I valori poi di p venendo compresi pel ( n." a8. ) nella serie i, o_, — i, — a, — 3, ec. — {m — a); quando sia p=i, iranii della Curva si accosteranno a quelli della para- bola w'^ = — ~ z avente per diametro la retta y=L'x ; allorché /? uguagli uno dei numeri dispari — i, — 3, ec, gì' indicati rami si avvicineranno a quelli delia corrispondente iperbole , di cui la retta 7 = L'.« sarà l'assintoto; e quando finalmente/» si ugua- Del Sio. Paolo Ruffini 279 gli ad uno dei numeri pari o , — 2., — 4, ec; allofa si avran- no a distanza infinita in corrispondenza soltanto due degli ac- cennati punti coniugati. Ho detto, che col porre z di valor negativo, siccome ri- sulta di valor reale il termine ■ { — z) ^ , mentre si ha E' p numero dispari, così degglono risultare reali ancora le due serie, che esprimono i valori delle /', /" nelle (II). Supposto difatti nella (XXVII) e nella (XXVIII) (n.-^ 3i .) /c = 2, L\=i/— H, ed a;[>o, avremo pel cit° ( n.° 3i.) y=X-4-X',7"= X — X', e questi due valori, qualunque numero positivo si sostituisca in vece della x^ saranno sempre immaginar]. Ora posto il va- lor della X positivo e grande, pel (n.° Sg.) esister devono in corrispondenza due radici immaginarie nella data Equazione f[x.y)-=o ( n.° I. )j e tali radici per la natura degl' imma- ginar] potranno, qualunque sia il supposto valore della x , ridursi alla forma Z -i- Z' j/ — f, Z — Z'j/ — i, dove Z, Z sono quantità reali . Dunque , avendosi per approssimazione X-hX'=Z-i-Z' 1/— I, X — X' = Z — Z' i/— I , col somma- re, e col sottrarre queste Equazioni , otterremo prossimamen- te X = Z, X' = Z' [/ — I, e però X sarà quantità reale, ed X' sarà bensì immaginaria, ma riducibile ad una reale molti- plicata in tutti i suoi termini per \/ — i. Ma abbiamo X = L' :»; -K- M' -»- N' a;— -4- P' a;-» -H ec. X'=x^ (L'^^M'^x->-4-N' a-=-+-ec.')(n. "Si.). Dunque tut- ti i coefficientij L', M', N', P' , ec. saranno reali, e gli altri L' , M' , N' , ec. si ridurranno alle forme a't/ — i , b' 1/ — i, III V V ' e' [/ — I, ec. ove a':=|/H, b' , e', ec. siano quantità reali, ed avremo in tal modo con i coefficienti reali i due valori y=L'x-HM'-+-N':c— -HP'x-''-i-ec.-i-(a'-H^'':i;— -+-c'x-^-+-ec.);cV— r. y'=L'a;-HM'-i-N'a;-'-t-P'x-"M-ec.— (o'-hZ^'x— -i-c'a;-"-»-ec.);t:V— I. Ma posto — X in vece di .r, tai valori divengono y=— (L ':*:— M'-hN'o:— -P'a;-^H-ec )—{a!—yx-'-^dx-^—tc .)x^ , a8o Affezioni delle Curve Algebraiche ec. y";=—[L'x—M'-i-Kx-'—?'x-''-hec.)-i-{a—b'x-'-{-c'x-^—tc.)x"j i quali sono aniendue reali. Dunque, ec. 5i2. Abbiasi non solo L'=L"( n.° 4^. ), ma ancora M'=M"; in questo caso è chiaro, che M' = M" dovrà essere di valor reale, e non potendo M', M" essere radici di un' Equazione della forma M*=H, non potrà nel valone /?' = ^ risultare A = a ( n.° i8.); ed avendosi solamente k=i, potrà ^' ac- quistare soltanto uno dei valori o^ — i, — a, — 3, ec. — (m — a) ( n." a8.). Cominciam dal supporre, che abbia esso uno qua- lunque di tali valori a riserva del primo zero. In questa sup- posizione cambiato/?' in — p , avremo tostamente 1' Equazio- esprimenteci un' iperbola di i ." grado (44) » ed ne V = M'E'- ai" avente per assintoto la retta y = L'x . Ora si progredisca avan- ti, ricercando dipendentemente dal coefficiente M' = M", e dal- l'esponente /?= — p' i valori rispettivamente de' coefficienti N' , N" , e degli esponenti y', y", i quali a cagione di y < ^ (n.°38.) dovendo essere negativi, si cangiano in — y\—y'\ Poiché possono questi N' , N" risultare reali ed immaginar], uguali e disuguali tra loro , e poiché nel valore generico fi ( n.° 3o. ) degli esponenti y', y" mentre q può avere uno qua- lunque dei valori \, a, 3, ec. (m — a) ( i ."n.^So. ), deve k' uguagliare soltanto uno dei numeri i, a; cominciam dal sup- porre N', N" reali, e disuguali fra loro, e A;'=i. In questa ipotesi risultandoci y', y" numeri interi, e i termini '^IlL , ^" ^'^ tra loro disuguali , nelle due Equazioni v ■=■ zi" M'E''' N'E'r M'E''' N''E')'" ^p' .-ec; ne segue , che la Curva data avrà quattro rami percorrenti all'infinito, i quali corrispondentemente all' assintoto rettilineo 7 = L'ar, avvici- • j 11. • u 1 ' M'E''' nansi due per parte ai rami dell iperbola 'y=— ^t— • \ Del Sic. Paolo Ruffini a8t 53. Che se, posto k' = 2., i coefficienti N' , N" radici in tal caso di un'Equazione N^ = H ( n.' i8, ig. ) rimangono rea- li e disuguali fra loro: allora, ogni qualvolta sia cj numero di- 3_ spari, la Curva data, a cagione di z ^reale soltanto quando z sia di valor positivo , avrà non più quattro, ma solamente due rami, che percorrono all'infinito, e questi si avvicineranno M'E''"' al ramo dell' iperbola v' ^ — — dalla parte delle ascisse pò- Z sitive , restando dalla parte delle ascisse negative solamente un punto conjugato doppio determinabile dalla / = L'xj col porre z^ — co : se poi si voglia q numero pari, divenendo -2 numero intero, la Curva avrà di nuovo all'infinito quattro rami, come di sopra. 54. Gli accennati valori N' , N" disuguali fra loro siano immaginar] : applicandosi a questo caso, quanto si è detto nei (n.'5o, 5i.) rapporto al caso dei valori M', M" immaginar] , vedremo, che corrispondentemente al valore L' = L" o non esistono a distanze infinite che due punti conjugati doppj cor- rispondenti alla y = lj'x, e ciò mentre abbiasi k'=i, ovvero mentre posto k' = a., sia ppi q numero pari; oppure esistono solamente dalla parte delle ascisse negative due rami esten- dentisi all'infinito, e approssimantisi al rispettivo ramo della M'E''' iperbole o' = — j, — , ed un punto conjugato doppio corrispon- dente a z = oo; e ciò mentre si abbia A' = a, e q numero dispari. 55. Sia finalmente N' = N". Dovrà in questa ipotesi es- sere N' quantità reale, e l' esponente y' dovrà essere un nu- mero intero e negativo onde porremo — y' in vece di y'. Di- pendentemente dal coefficiente N' = N", e dall' esponente — y' cercando i valori dei coefficienti P', P", e degli esponenti — d'3 — d", e proseguendo innanzi i discorsi, come si è fatto pre- cedentemente riguardo ai valori N', N", y\ y", troveremo in aSii Affezioni delle Curve Algebraiche ec. egiial modo, che, quando questi P', P" sono disuguali fra lo- ro e reali , e gli esponenti ò', ò", numeri interi , la Curva da- ta è fornita di quattro rami approssimantisi all' infinito ai ra- mi della Curva v' ='^^^ -t- EElL^ e però a quelli dell' i- percola v = —jp— corrispondentemente airassintoto/ = L'^. Quando essi P', P" sono immaginar], e si ha ^' = 5"= nume- ro intero, troveremo, che la data Curva non ha rispettivamen- te alla/ = L'a;, ed a distanze infinite , che due punti conju- gati, come di sopra. Quando finalmente abbiasi d'=d"=^— > essendo r un numero dispari, troveremo, che la Curva da- ta ha approssimantisi all' iperbola v' = — p— da una parte z due ramij ed ha un punto conjugato doppio dall'altro; ed è quella parte positiva, questa negativa, mentre P',P" siano ra- dici di un'Equazione P'' = H, e vicevèrsa è positiva questa, negativa quella, mentre P', P" siano radici della P' = — H. Si ponga P' = P"; e progredendo avanti col ricercare di- pendentemente da questo F = P", e dall' esponente — 5'' i suc- cessivi coefficienti Q', Q' e gli esponenti — t,'} — C"; come pre- cedentemente, vedremo, che ogni qualvolta Q',Q" siano di- suguali fra loro, sussiste , che la Curva data relativamente al- M'E'^' la solita iperbola v' = — p— è sempre fornita o di quattro ra- mi percorrenti due per parte all' infinito, o di due rami sol- tanto da una parte , e dall'altra di un solo punto doppio con- jugato posto a distanza infinita, o di due solamente di tali pun- ti collocati uno per parte a distanze infinite . Quando poi si abbia Q' = Q", procederò innanzi, e sempre si troverà, chela Curva data deve rapporto alle distanze infinite , ossia ai va- lori della z infiniti essere dotata di una delle tre affezioni ora indicate. Avvertasi , che quantunque si voglia, che sia L'^L", M' = M", N'=N", P' = P", Q' = Q", ec, pure si dovrà, an- Del Sic. Paolo Rufpini 288 dando avanti, giungere necessariamente a due di tali coeffi- cienti, per esempio ai due T', T", i quali saranno disuguali fra loro ( n.° a6. ). 56. Restando come nel ( n.° 5a. ) L' = L", M' = M", sia /?'=o . Si cerchino in questo caso i valori di N', N", y',/' nel successivo termine Nx , e poiché a cagione di essere presente- mente / = /i = 71 = a. ( n .' 29 , 48. ) nel valore y =^(n.''3o.) può k' ottenere i due valori i, 2; e ^ gli altri — i, — a , — 3, ec. — {m — a ) ( i ." n.° 3o. ) ; con i discorsi medesimi, che si sono fatti nei precedenti ( n.'48, ec. 64. ) vedremo, che, supposto/ — h'x — M' = m', , e collocato — ^ in vece di ^, la Curva data sarà fornita in corrispondenza o di quat- N'E'*' tro rami avvicinantisi ai rami delle due Iperbole u' = — jr— N"E''" 11', = — ^rr- (n.''48.) aventi uno stesso assintoto nella retta Z dell' Equazione y = h'x -+- M' ; oppure di due rami approssi- ±N'^ E'' mantisi ai rami dell' Iperbola di a.° grado u"^i = — , do- ve sia q numero dispari, e si prenda o il segno superiore , o l'inferiore { n.' /^g , 5i .) , ed insieme di un punto conjugato doppio collocato all' infinito dalla parte opposta j oppure di nessun ramo scorrente all' infinito ^ ma bensì di due punti doppj conjugati corrispondenti alle ascisse z =co,a = — oo , ( n.'5o, 54-) 5 oppure di quattro rami avvicinantisi due per N'E'^' parte ai rami dell' Iperbola z/, = — p— ( n.' 5a, 55. ), o final- z mente di due rami da una parte, e di un punto doppio con- jugato dall'altra, approssiraantisi quelli ad uno dei rami del- r iperbola u\ = —^, e corrispondente questo al valore in- z finito, ed opposto della z (n.'53,55.). 57. Supponghiamo , siccome nel (n.°i5.)j che il coeffi-: cienfe L abbia un numero n di valori, ciascuno de' quali sia Tomo XFIII. 0 o a84 Affezioni dellb Curve Algebraiche ec. = L', e die gli altri tutti siano da questo diversi . In con- seguenza di ciò nel termine Mx successivo , e corrisponden- te ad L' X posto /? = -^ , i.° Sappiamo pel ( n.° 18.), che k può avere soltanto i valori I , a, 3 , ec. re . 2,° Pel ( n.° 28.) sappiamo^ che di p possono essere va- lori solamente i numeri k — i, k — a, k — 3, ec. o , — i , — a , ec. fino inclusivamente a — {m — A), se sia n ■= k ^ ed a — (w — (^-+-1)), se abbiasi n'> k . p, 3.° Chiamato M' uno dei valori di M inM^* corrispon- dente ad L' , ed essendo 1,^1', (i" , ^" , ec. ^(*~') le radici della fi* = I ( n." 18. ), saranno valori dell'indicato termine e corrispondenti ad llx^ tutti i seguenti I- £. P- JL P. M'x'' , il' M'a;* , il" M'x'' , il"' M'x* , ec. ^(*— ) M'x'' ; e supposto in generale y — Lx = u , y — L(*)j; = v^') , e parti- colarmente y — L'x = v', y — ÌJ'x = u" ec. {n.^ ^2 , 47- ) sa- ranno essi tutti radici dell' Equazione v''' =M*x^ . 58. Denominiamo M', M", M'", ec M('), e rispettivamen- te A; , k y k , ec. k, tutti i valori, che possono M, e k ot- P_ tenere contemporaneamente nel termine M:i; * dipendentemen- te dal supposto h'x, ponendo, che tanto i valori M',M", ec M('), come i k , k ^ ec. k. , possano essere e uguali, e di- suguali fra loro, ed i primi eziandio reali ed immaginar]. Pei ( n.° i5., 3.° n." prec. ) è chiaro , che dovrà essere n = k -^-k -i-k •+• ec. -¥- k , e ritenuto sempre y — h'x = v I a 3 (1) ( 3." n.°prec. ) .r = £, (n.'4i»47-)^ '^ Equazioni E'" E'"" E-'"' E""' ci esprimeranno i rami parabolici, e gì' iperbolici ( n.° 4^- ) Del Sic. Paolo Ruffini a85 coiTispondénti ad L', e dà esse potremo conoscere i punti con- jugati , che pel ( n.° 5o. ) consideriamo esistere in corrispon- denza ai valori della z infiniti ; mentre per altro i valori di p non siano zero , perchè ciò essendo , converrà come si è già veduto più volte ( n/ 4' ' 4? j 4^ ) ^c. ), e come si ve- drà in seguito , per la determinazione delle accennate aff'e- zioni ricorrere al termine Nj: , ec. Sg. Volendosi determinare quanti casi , e quante e qua- li delle precedenti Equazioni (XXXVII.) possono in ciascun caso aversi dipendentemente dal solo valore L' ( n.°57.); è chiaro , che altro non dovrera fare , che trovare tutti i nu- meri interi e positivi k , k , k^ , ec. k. ( n." prec. ), nei ' I a 3 (0 quali può dividersi il dato numero n , trovare tutti i valori, che può rispettivamente ottenere /?( a." n.°57.) ; e ciò fatto, dalle volte, che l'accennata divisione ci somministra k -i- k -h k^-i-ec.-i-k =« potremo dedurre i casi richiesti, X a 3 (t) e combinando opportunamente ciascheduno dei valori di p' con ciascheduno dei valori degli altri/?", p"\ ec, potremo riconoscere quante e quali siano in ognuno degli esposti casi le domandate Equazioni . In tutte queste determinazioni con- viene poi, come si scorgerà in avvenire , che si eseguiscano certe considerazioni dipendenti principalmente dalle proprie- tà esposte nei (n.' i4^32,,36.), e da altre, che vedremo in seguito j onde evitare certi casi assurdi. Sia a cagione di esempio 77z = 6j ti = 5 •* potendo quivi risultare I .° ^ =5, ed in corrispondenza jp'= 4» 3, li, i,o, — i ; a." k^ = ^,— — — — — i9'=3, a, I, o,— i; k = 1 , ■^ — — — — /'=o, — I,— a, — 3, — 4; a 3.°^=3j— — — — — p'^iii I, o, — I, — aj I 286 4'" K = Affezioni delle Curve Algeeraiche ec. i." k =% X /; = a 6.° k —0. I k — k = t k = a /: = 3 k — — — 7> = a, o,— I,— a — _ _ _ _ y }=o.— r»— a, — 3,— 4; __ — ___»" 1=150, — i, — a, —3; — — — — — /?' = I, o, — I,— a, — 3; = 0,— r,— a,— 3, — 4; - - P /" - - /." = 0,-1,— a,— 3,— 4; col prescindere dai casi, nei quali i valori di p sono zero, e da quelle consideraz-ioni , che' abbiani detto procedere , principalmente dalle proprietà dei ( n.' 14 > 3a, 36. ) , e da altre da determinarsi in progresso, diremo ^ che nella prima ipotesi, ove si pone A, = 5, si hanno 5 casi, in ciascuno de' quali esiste una sola Equazione , e tali sono i seguenti nella ipotesi a." ove si ha /; =. A , k := i , risultano i casi la seguenti in cisscheduno dei quali esistono due Equazioni ; e i tali sono E'3 O (,1 ivi ^ 5 -1 . W j^,3 ^ , M"E" M'4 ivrE'5 a8 30 I» IVI-» , , M li ■" , ,, M'-* D M'4 7"^ fft — ^ M"E'* Del Sic. Paolo RuFPiNr 2< v"^ z= z\ V r M"E' 6." v'^ = E'» z' » 1 ■=, > v^ i= E'» 3 f V = M"E'» , 8." y'+ M'4 ■ E'» 1 Z 5 iS = M"E"* z* ec. ec. e cosi in progresso . 6o. Posto M*=H (n." 19. )> P"ò accadere, che nella E- quazione H'-t-e H'~' -4- ec. = o ( n.° 21. ) esistano delle ra- dici reali, e delle immaginarie, delle uguali, e delle disu- guali fra loro. Cominciam dal supporre, che H' rappresenti h una sua radice reale, che si abbia i/H' = M', onde risulti 'd^^.W'xP, e peròu'*= ^ 2^, e che/', A; siano numeri pri- mi fra loro . I ? Siano inoltre amendue i numeri p , k dispari In qua- sta ipotesi la Curva dell' Equazione t)*= -^ zP ha già due rami, che scorrono all'infinito, l'uno dalla parte delle ascis- se, e delle ordinate positive, l'altro dalla parte delle coordi- nate negative. Ora tenendo conto dei valori di v' tanto posi- tivi, quanto negativi, di essa Equazione sono radici non solo ì valori M' l^\ ^ , — . M' l^\ * , ma ancora tutti gli altri ± (.' M' (fr)^ , - ^" M' [l-Y, ± ^r M' {±f ,ec .-^.(^-')M'(^)^ ( 3.° n.° 57. ) , ne' quali ^', ^", ^"', ec. ^i(^— ') sono tante quan- tità immaginarie . Dunque nella supposizione del valore della P_ z infinito, scomparendo la potenza z^ rapporto alla ^ per es- sere sempre p dispari. In questa ipotesi osservo; se il valore H' = M'^ ( n.° prec. ) sia positivo o negativo; e suppostolo in primo luogo positivo, io dico, che la Curva delle u* = —z^, e però la data dal- la parte delle ascisse positive è fornita di due rami percor- renti all'infinito, e di un punto conjugato dell'ordine k — a esìmo; e dalla parte delle ascisse negative soltanto di un pun- to conjugato dell'ordine k esìmo ^ essendo amendue questi pun- ti a distanze infinite. 3.° Ritenendo k pari e p dispari, sia H' = M'* di valor negativo , onde cangeremo H' in — H'. Ogni qualvolta sia 3>o, H' i valori di iy' nella z;'* = — — zP essendo immaginar] , la Cur- va non avrà in corrispondenza alcun ramo , ma un punto con- jugato dell'ordine kesìmo ; mentre poi si ponga — z in vece di z, giacché la Equazione precedente diventa 2>'* ^ __ zJ»^ ed in questa due dei valori di v' sono reali , potrebbe creder- si , che fossero reali anche i corrispondenti di / , come si è veduto accadere nel ( n." 5i. ) , e però che la Curva data avesse in corrispondenza due rami infiniti. Per ciò determinare prendo ad osservare i valori (XXVIII) ( n.° 3i. ); che corrispondentemente a /?= y deve avere la y (n.° i8. ) ; e siccome nel primo tra questi si ha il valore (j, , che è =: I, e in un altro di essi esister deve un altro valore di jj., il quale, a cagione di k numero pari, dev' essere = — i, tale supporremo, che sia il secondo /", onde posto ^' = — i, si ab- bia /" = X — X' -f- X" — X'" -t- ec. -H X(*-^) — X(*— ) . In con- seguenza di ciò y, j" saranno i due valori di y che corrispondo- Del Sic. Paolo Rupfini 2.89 no alle due radici -hi, — 1 della Equazione ^* — i =0; ma an- ^ / H' ^ / iif ••11 che -+- 1/ — y zP , — 1/ "TTT'^^ ^°"*^ quelle tra le k radici del- la u'* = -^ zP , che corrispondono alle stesse radici -t- i , — I della ^*=i. Dunque i due precedenti valori /, /"quel- li saranno, che corrispondono ai due ora accennati della v, ossia rimesso x in vece di gr j ai due ■+■ 1/ — YV xP , — 1/ — H .1^. Ora questi due sono gli unici valori della v , i quali divengono reali, allorché si fa z, e però x di valor ne- gativo ; dunque ancora y , y" essendo gli unici tra i valori della j, che l'accennato cambiamento può render reali, cer- chiamo di determinare , se realmente li renda tali . Facendo perciò un discorso pienamente simile a quello del (n.°5i.), ritengo da prima ^ che x sia di valor positivo, onde si abbia- k k no i/ — R'xP, — 1/ — H'jf'P, e quindi y\y" di valore immagi- nario, faccio le stesse supposizioni del citato (n.°5i.)j e a- vendosi qui ancora prossimamente . X -4- X' -H X" -H X'" -H ec. -t- X(*-^) -f- X(*— ) = Z M- Z' /— I , X — X' -I- X" — X"'-H ec. -f- X(^— ) — X(*— ) = Z — Z'i/ — i , e però X-t-X"-4-ec.-+-X(*-^) = Z, X'-+-X"'-4-ec.H-X(*— )=:Z/— I, la prima di queste ultime somme, e quindi i suoi coefficien- ti saranno reali, e la somma seconda sarà immaginaria, risul- tando , come nel citato (n.°5i.) ciascun de' suoi coefficienti moltiplicato per ^ — i, onde supporrò nella (^XVII) {n.°3i. ) L' = a /— I , M', = ^' / — I > N'.= e'/ — I . ec. L'^=aV-i^ M'^=è"'/-i,N'3=cV-^^c. ec. Pongasi A: = 2e, ed x-=.t'. Sostituendo nei valori delle X , X', X", X'", ec. poiché risulta X = Vt' -1- M' -H N/f-" -H PV-" -H Q7-^* H- ec. X'= (a'r— ^ b't-'-^c't—' -(- ^t-*«— -H ec. ) t* / — I ago Affezioni delle Curve Algebraiche ec. X" = L' t'-' -t- M' t-' •+■ N' t-'-' -+- P' t~''-' -+- ec. 3 a a 2, (XXXVIII) X"'= ( a"7^— H- i"'i-^ -t- c"'i-'— -+- d"'t-'"^-^ec. ) ty-i . ec. X(*-^)=L' t^M' ^-(«— )-f-N', ^-(^»-')-f-P' i-(3«— )H-ec. it— a fc— 2 A— a *— a X(^— )=(a(^— )m-M^-')^-^^c(^-0^-^''-hJ(^— )^-3^-Hec.)?V— r otterremo in fine con la sostituzione le y' , y" uguali a due espressioni della t, clie per brevità accennerò per T -t- Tt^ / _ I , T — Tt^ i/ — I , dove T , T' sono funzioni razionali della t . Ora potendo il numero e essere pari e dis- pari prendasi in primo luogo dispari _, e si cangi la a; in — :i;; dalla precedente Equazione t' = x divenuta perciò i' = — x, e ritraendosi t= — i/x ^ chiamo questo valore — ^i, lo sosti- tuisco nelle Equazioni y=T-+-17V-i.y' = T-T'/l/--i. e chiamato T, , T', ciò che per tale sostituzione divengono T , T', poiché si ot- tiene r' = T,— T', \/t, , /" = T,-+- T', i/t, , vedesi , che al- lorquando— X è reale j risultando reale eziandio — t, diven- gono reali ancora i valori y' , /". Sia in secondo luogo e nu- e mero pari ; diventando in questo caso ?, = j/ — x quantità immaginaria j, ancorché — x sia reale ; divengono evidente- mente immaginarie in corrispondenza anche le quantità T, -t-T',^' f/ — i^T, — T'i^/^/ — I, denominato anche in que- sto caso T, , T'i , ciocché divengono T ^ T' per la sostituzio- ne in vece di ^ del valore ti , e immaginar] per conseguenza divengono ancora i valori y' , y" . Dunque concluderemo _, che nella supposizione di k nu- mero pari , ed =■ 2.6, dì p numero dispari e del valore di H' = M'* negativo j relativamente ai due rami della Curva w'* = j zP esistenti dalla parte delle z negative, la Curva data avrà essa pure due rami a quelli approssiraantisi , ogni Del Sic. Paolo RuffÌni aQi qual volta sia e numero dispari, e non ne avrà di sorta alcuna, quando sia e numero pari. Nel primo poi di questi casi corris- pondentemente a z= — co esiste un punto conjugato dell' ordi- ne A — a esimo, ed uno dell'ordine kesìmo ne esiste nel secondo. 4.° Sia nella H' -H e H'""'-t- ec. = o la radice H' imma- ginaria , e pongasi essa = a -f- b[/ — i ; dovendo esistere un altro tra i valori di H immaginar] che dirò H"=a — b[/ — 1, risulteranno eziandio immaginar] i corrispondenti valori k k k k » M'=/H' = i/(«-i-V-0>M'=i/H=i/(a-^'i/-i), e £. IL quindi i valori tutti dei termini M'.i' * , M"a; *, prendasi il va- lore di X positivo, o negativo. Perciò la Curva data non avrà in corrispondenza ramo alcuno infinito; e soltanto potremo, secondo il solito concetto ( n.° 5o. , prec. i.°, ec. ) considerare, che in essa esista corrispondentemente a ciascuna delle ascis- se 00, — co un punto conjugato dell'ordine nkesimo . 5° Potrebbe forse sembrare a qualcuno, che il discorso fatto nel ( prec. 3.° ) e 1' altro simile del ( n.° 5i.) avessero luogo eziandio nel caso del ( prec. 4° ) > deducendosi quindi false le conseguenze ivi stabilite ; ma con poca riflessione , che si faccia troveremo agevolmente non esser ciò vero. Ri- tenuto di fatti M' = i/{a-t-bi/ — i), ove sia b diverso dallo zero, (prec. 4°) ritenuto A numero pari (prec. 3.°), e nel- la serie corrispondente, che pei (n.'2,a,3i.) porrò essere la k—i k—a y, =: L'x ■+■ ^^—' M'x ^ -i-fi*— * Kx "= -^- ec. , supposto pei noti principj di Algebra che ciascuno dei coef- ficienti si riduca alla forma a-H/Jp/ — i, cosicché si abbia M' = a -f- /? j/— I , N' = Y -¥- § 1/ — I , ec , ove a, ^ , y, d ^ ec. siano tante quantità reali , osservo , che V esposta serie i— 1 k—i si ridurrà alla 7, = Vx -+- fi*—' ax ^ -^ ft^~^ ya; * -j- ec. (k—i k—a. \ iU*— ' /?« * -i-|ti*— * dx '' -H ec. /^Z— I . Ora per essere k Tomo XVIII. Pp a,ga, Affezioni delle Curve Algebraiche ec. numero pari , sotto la ipotesi di ^« = i , e per 1' altra di ^ = — I , si ottengono da essa serie due valori di y, , tali essendo i due A-— I fr—2. / k—t t— a \ h'x-^-ax * -i-yx '^ -H ec. -H \ /?a; * -i- Sx ^ ■+- ec./|/ — i , k—i /(— a / k—1 k—a \ L'x — ax ''"" H- yx ^ — ec. — \^x '' — òx '' -4- ec. /(/ — i ; e le supposizioni mi-df-sime nel ( n.°3i. ) somministrano li due risultati X-nX'-t-X '-H X"'-H ec. , X—X'-t-X"— X'" -H ec. va- lori entrami)! dt-lla / . Dunque fatto k-i I k—i_ \ X-t-X'-+-X"-t- ec. = \Jx -^ ax ^ -»- ec. -f-\/?x * -t- ec. )p/— > > dovrà risultare X— X'-^X" — ec. = L'x — aa; * H-ec— (^x * _ec.//— i . Ciò posto, si faccia , come nei ( prec. 3.°, n.° 5i.) X-f-X'-(-X" -+-ec.=:Z-»-Z'j/ — I ; potremo noi quivi, come si è fatto nei citati ( prec. 3.°, n." Si.), dedurre X — X'-»-X" — ec. = Z — Tl\/ — I ? non mai; imperciocché essendo k numero pa- k ri , la 3 diversa dallo zero ^ ed M' = [/( o -t- h^ — i ) , sarà necessariamente la a diversa anch'essa dallo zero, e però la k-x parte reale della X — X'-hX" — ec. , cioè la L':ir — ax * -f- ec. sarà necessariamente diversa dalla parte reale della k—i X-t-X'-H X"-*l-ec. cioè dalla Ux-Jrax * -t- ec. Dunque ec. 6i. Esistano nella H'-<-e H'~'-Hec. =o / radici ugua- li ad H', e rimangano y?, A primi fra loro (n.°prec.) e /? di- verso dallo zero. In questo caso osserviamo in primo luogo non poter essere A> -y , perchè se lo fosse, ne verrebbe lk'>n\ ma i valori di M corrispondenti al solo L' sono per lo meno di numero ZA;(n.°i8.): dunque i citati valori di M sarebbe- ro più di n contro del (n.° i5.). Inoltre fcorrispondentemen- k te al supposto M' =: ^ H' esister deggiono l valori di N, e Del Sic. Paolo Ruffini agS questi nuovamente in tutto o in parte uguali o disuguali fra loro, reali od immaginar]. Dunque effettuando dei discorsi so- miglianti agli eseguiti nei ( n.' 5a, ec. 56. ), troveremo qui an- cora verificarsi a distanze infinite delle affezioni simili alle de- terminate nei n.' citati . I ." Diffatti avutasi la Curva dell'Equazione u'* = —rj-z^-» e supposto a norma di quanto si è detto nei (n.* 19, ao, ai.) che il valore N' dipenda da un' Equazione N*' = G', ove G' sia radice di un' Equazione G'-t-e G'~' -H ec. ■=■0 , pongasi in primo luogo G' disuguale da tutti gli altri valori di G, o reale, vedremo, che corrispondentemente al valore del termi- i. jie N'x , nel quale ^, K siano primi fra loro, e K numero dìspari, al ramo ?;' =M' (IjI avvicinasi un ramo della Curva data, ed esiste un punto conjugato dell'ordine U — i esìmo. a." Che se A' è numero pari; allora conviene osservare se tale sia, o no, ancora A; e supposto primieramente essere k dispari , osservo se G' sia positivo o negativo : nel primo di questi casi la Curva data sarà fornita dalla parte delle q po- sitive di due rami approssimantisi al ramo positivo della Curva v'*=:H'l^| , e di un punto conjugato dell'ordine A;' — aeiiwo, avendone un altro dell' ordine k' esìmo corrispondentemen- te a 2 = — co . Se sia poi G'i valori di N uguali ad N', e diversi dagli al- tri, e tutti con un medesimo esponente -|, . Ottenuto sotto questa ipotesi il corrispondente termine N'-r , passo alla ri- cerca del successivo coefficiente P* nel termine Px , ove pon- go ^= ^^ , e giusta i ( n.' 19, ao, a^}) suppongo P' dipen- dere da un' Equazione P'" = F', essendo F' radice di un' al- tra F'"-t- e" F'"~i -H ec. = o. Poiché può ancora F' essere Del Sic. Paolo Ruffini 290 reale ed Immaginario, uguale e disuguale dagli altri valori di F: se sia esso immaginario come nel ( 4>'' o-" 61. ) vedremo non esistere in corrispondenza ramo alcuno di Curva, ma sol- tanto dei punti conjugati determinabili come di sopra. Se poi sia F' reale, e diverso da tutti gli altri valori di F, risultandoci E. 1 JL v'=i M' U\ ^ ■+■ N' U) *'-H P' /|-V" , considero i segni delle quantità H' = M'*, G' = N'*', F' = P'*", l'essere pari o dispari degl' indici k , k', k"; e con dei discorsi affatto simili ai pre- cedenti ( n.' $1 j ec. ) determinerò i corrispondenti rami del- P_ la Curva data approssimantisl al ramo z)*= M' l-^i all'infi- nitOj ed i rispettivi punti conjugati; avvertendo^ che mentre siano pari due o tre dei k , k', k", la Curva data non avrà i citati rami , se non quando i rispettivi coefficienti H', G'^ F' abbiano il medesimo segno ; e se, posto F' e particolarmente y-h'x-M=u ,y-Vx-m"=ii' ,y^Vx-^^=u" ,r— L":c_M"=m" lai ^ ec.eposto,cheM',M",M'", ec. siano gli A (n." ag.) valori di M che corrispondono al valore ^ = o, supponghiamo , che M' «ia ripetuto le volte l\ M" le volte /",M"' le volte l'\ ec. Cer- cando nelle supposizioni presenti il valore di N, e quello di ± y~ "f^"®' termine N^r = Nj; , vedremo tosto, che essendo q , k' numeri primi tra loro i.** Il denominatore k' non può dipendentemente da M' che ottenere i valori i , a, 3,ec. r, dipendentemente da M", gli I, a, 3, ec. l'\ dipendentemente da M" gli i, a, 3, ec. l"' ec. ( n.' ag. 3o. ) . a.° I valori del numeratore q sono _ i , _ a , — 3 , ec. fino a —(m — /i) quando si ha h = n,e sino a —(wz — (A-+- i )) quando è h poiché /— L'.j; = o, 7 — L'a; = o sono le due rette, che servon loro di diametri; Tomo XVIII. Q o, /> 1 , r" > a, ec. rW > e , r(*') > e', ec. r('") non < e" , ec. r ipotesi di a; = co fa sì , che ancora altri termini della E- 3oa Affezioni delle Curve Alcf.bkaiche ec. quazione (XL) in generale svaniscono, non rimanendovi che quei termini , nei quali dopo aver posto M;i: in vece di j, , gli esponenti divengono fra loro uguali , e maggiori di tutti gli altri (n.°a. ). Inoltre l'esponente /? è tuttora indetermi- nato, e la varia conveniente sua determinazione potrà far si, che ora alcuni, ed ora altri dei termini della (XL) godano dell' esposta proprietà di acquistare gli esponenti della x u- guali fra loro, e maggiori degli altri. Finalmente trovati questi opportuni valori di /? , e con la sostituzione di ciascu- no di essi nel termine M^ , e la sostituzione di questo ter- mine in vece di j, riducesi la (XL) a quella Equazione fina- le , la qual contiene i soli termini che hanno sulla x espo- nenti fra loro eguali e maggiori degli altri ; ed essa divisa per tali potenze tra loro eguali della x, somministra un' E- quazione in M, dalla quale ottengonsi i valori di questo coef- ficiente, che corrispondono al supposto di /?, come nel ( n.° 2. ) si ottennero in circostanze simili i valori di L corrispondenti a quelli di a . Dunque ogni qual volta avremo scoperti tutti i sovraesposti valori di /? , avremo quindi i rispettivi di M , ed avremo in fine per essi tutti determinate tante Equazio- p ni /, = Mji: , ciascuna delle quali nella ipotesi di a; =00 fa- rà verificare la (XXIII) , ed anzi tutte avremo così ricavate le Equazioni di simil natura . Ma da tali Equazioni , avendo- 6 si 7, =y — Ux ( n.' a , 3. ) = w' ( n.° 47. ) , dalia v' = Ux tut- te vengono rappresentate quelle iperbole, e parabole aventi rispettivamente lo stesso assintoto , o diametro y^\Jx , alle quali a distanze infinite e in corrispondenza all' accennato as- sintoto o diametro j = L'.r avvioinansi rami della Curva rap- presentata dalla supposta Equazione (III) {n.'W,^^.). Dun- que dipendentemente dalla determinazione degli indicati va- lori di ^ otterremo la soluzione del problema proposto . Per determinare attualmente questi valori di /?, i quali finora non sono stati , che semplieemente supposti, si collo- Del Sig. Paolo Pvuffini 3o3 chi nella (XL) Mx in vece di 7,, considerando /? iiidotermi- natOj si raccolgano quindi tutti gli esponenti, che ne ven- gono , della X nella seguente serie m—r, TO— r'-+-/9, m—r'^u.^, ec. /«— /•(^)-+- e/3, ec . 7?z— r("')-+-e'/? . ec m-~n-ì-n^, ec. m—A''") -+- e"^ , ec. m^ , si cerchino in questa tutti i diversi valori di ^ , che rendo- no due o più de' termini della serie uguali fra loro, e mag- giori degli altri , e questi saranno i richiesti. Il metodo del- la sotto posta nota (*) propostoci da Lagrange già noto , ser- virà alla determinazione di tali valori di /? . (XLI) (•) Il metodo di Lagrange onde ottenere tutti i valori, che può nel- la serie (XXIV) avere 6, capaci di rendere due o più termini della se- rie medesima uguali fra loro , e maggiori di tutti glialtri^ sappiamo che consiste nell'uguagliare in primo luogo successivamente il primo ter- mine rti — r con ciascuno dei seguen- ti ni — r -t- 6 , rra — r"-t- a^, ec, nel determinare i varj valori, clie può quindi acquistare 6, e ritenere il più piccolo tra questi. Partendo po- scia dall' ultimo dei termini della serie (XXIV), che ha somministrato r indicato valore più piccolo, si u- guaglia questo a ciascuno dei ter- mini , che seguono ; e tra i valori , elle in questo secondo caso acquista 6, tienesi conto parimenti del più piccolo. Cominciando in terzo luog- go dall'ultimo dei termini, che han- no per 6 somministrato l'esposto se- condo valore più piccolo, uguaglia- si esso termine con ciascheduno dei «uccessivi , tra i valori , che riceve S in questo terzo caso , si conserva in simile guisa il più piccolo; e co- si si prosegue , finché siasi giunto all' ultimo termine della serie sup- posta . Ciò fatto tutti gli accennati valori più piccoli di 6 quelli tutti saranno , che rendono due o più ter- mini della serie data uguali 'fra lo- ro , e maggiori di tutti gli altri . Per questa soluzione poi è essen- ziale , che i termini della s^rie sia- no , siccome nella (XXIV) , scritti in modo , che i coefficienti di 6 for- mino una serie crescente : se mai questi formassero una serie decre- scente , allora i valori della 6 trovati come di sopra , che sciolgono il Pro- blema, non sarebbero già più i mi- nori , ma i più grandi . Sia data per esempio la serie par- ticolare 5,7-f-^,9-t-2§,— 5-4-4^;7^,io-»-8fi,io^, poiché dal paragone del primo 5 con i termini ulteriori trovo per 6 i va- io 5 5 5 lori — a, — 3,— , , _ _ _ ^ 7 tì IO' e siccome ira questi il primo — a nato dal confronto fra i primi tre 3o4 Affezioni delle Curve Algebraiche ec. 70. i.° Poiché i coefficienti di ^ nei termini (XLI) for- mano per la ipotesi una serie crescente ; i valori di esso e- sponente /?, che l'esposto metodo ci somministra, saranno es- si pure successivamente crescenti, in modo che il primo sa- rà il minimo, il secondo l' immediatamente maggiore del mi- nimOj e cosi in progresso. Per conseguenza se esistono iper- bole insieme e parabole assintotiche alla nostra Curva, e cor- rispondenti allo stesso assintoto rettilineo o diametro /=L' a-, verranno prima determinati i valori di /?, che spettano alle iperbole, e quelli in seguito, che riguardano le parabole; e si nelle une, che nelle altre di queste Curve si comincieran- no a trovare quelle , che sono di esponente minimo, e si pro- cederà poi innanzi , ascendendo gradatamente. a.*' Dopo i valori di /?, che appartengono alle iperbole, e prima degli appartenenti alle parabole potranno esistere dei valori di ^ uguali allo zero . In corrispondenza poi a questi valori di /9=:o potranno esistere altre iperbole assintotiche alla Curva data ; ma esse si avvicineranno ad assintoti retti- linei espressi da Equazioni della forma / = L'a;-t-M (n.' 4^'» ec. 45. ) . 71. Tra i valori di /3 , che si determinano nel (n.^óg.). termini , è il più piccolo , dirò che questo — a è uno dei valori richiesti di 6. Partendo ora giusta la regola stabilita dal terzo termine 9 -t- 2^ , paragono esso con i suc- cessivi , e ottenendosi (J := 7 , -^ , — -p- , -^ jdirò , che — -7 nato dal paragone del terzo col termine pe- nultimo è un secondo valore di 6 . Filialmente dall'uguaglianza del pe- nultimo col termine ultimo avendo- li r unico valore 5 ; sarà questo 5 un terzo valore di S : onde nel po- sto esempio tre sono i valori di 6 che sciolgono il Problema , cioè i tre — a , — -p , 5 . Siccome poi nelle considerazioni nostre dev'essere 6 <, a (n."!.) e però 6 <.! ( n.° 3. ) ; quindi è, che non dovremo già tener conto di tutti i valori , che il metodo di Lagran- ge somministra , ma di quelli sol- tanto , che sono eziandio < i. Per- ciò nell'esempio prec . sarebbero giu- sta le nostre considerazioni valori di tf solamente i due — a, — -p- , e nor» già il terzo 5 . Del Sic. Paolo Ruffini 3o5 uno ne esiste necessariamente, il qual nasce, giusta il metodo della nota ivi apposta, dall' uguagliare il termine m — n-^n /? nella serie (XLI) con uno o più dèi termini , che lo prece- dono ; ed anzi questo valore sarà il massimo, che nelle poste circostanze ( n." 69. ) può ottenere esso /?. Preso nella serie (XLI) uno qualsivoglia dei termini che precedono m — n-hn^, in generale il termine m — rW-t-el?, paragono questo a norma dell' indicato metodo con tutti i successivi , tra quali scelgo in generale i tre m — r('')-t-e'/? , m — n-+-n^, m — H*") -1- e" /? . Avendosi pel citato ( n."^ 69 ) ee, r^')>e', H"") non nb'\ A')= e ■+■ a= n — b -i- a , A')z=e'-i-a' = n~-b' -¥-a' , ri'^") = e"-ha'=n-¥-b"-i-a", ove sia b'^b">o, è">o, «>o, «'>o, ed a" non H sccoudo =1 r , ed I ! tcrzo b—h b — b n — e b rl.")_r<') a— a" ^ , , . a e — e . Ora abbiamo 4- > f "'„ , perchè es- h b-*-b' l b-i-b" b b-i-b' a — a i„ a a(b-^-b") a— a" (a—a")b ■ ,. a sendo — = / ' , , ,„ = \--, — ^ , risulta -, , ,„ ^= b b{b-^b ) ' i-f-i ' b (b-fnb ) ' b b—b" ab"-^'i"b ^ ' , . n—rf') ^ r<'")— r'') ■f,,/,_^_i,:o- Dunque avendosi _ < — rr^— , e rappresentan- dosi da m — r(*")-<-e"/? uno qualsivoglia dei termini, che nella serie (XLI) succedono ad m — n -i- n ^ ; ne segue , che tra i valori di ^, i quali risultano dal paragonare m — /-W-ne /? con tutti i termini /« — n-^n^, ec. m^, il primo ""|^ - è il piìi piccolo di tutti. Suppongasi inoltre, che m — r^')-\-e^ sia tra i termini m — r, m — r'-+-^, m — r"-^2,^, ec. m — A"—') ■+-(rt — 1)(3, che precedono 7n — n-k-n^, quell'ultimo, da cui conviene , secondo il metodo della nota al ( n.° 69) , diparti- re, onde proseguendo innanzi il solito paragone con i termi- 3o6 AfFEZTONI DEbLE CuRVE AlGEBRAICHE BC. ni successivi si vengano a determinare gli ulteriori valori di P , che si ricercano . In questa ipotesi io dico dover essere non > — ; perche se ciò non tosse ; allora non più VI — ?('')-+-€ (i, ma bensì m — r(^') -j- e' /? , oppure un altro ter- mine posto tra ?n — r(*')-He'/S, ed m — n-i-n^ sarebbe per la natura dell'indicato metodo quel!' ultimo, che abbiamo poc' anzi supposto, il che è contro della supposizione medesima. Ma tale ipotesi, per poca riflession che si faccia, agevolmen- te si vede , che deve sempre aver luogo. Pertanto^ esistendo sempre un termine m — r(')-+- e/? precedente m — 7Z-Hn/3,dal cui paragone con tutti i successivi della serie (XLI) ottengon- si per /3 tanti valori, de' quali "^ è il più piccolo, ne se- gue, che questo "~]^ , per quanto si è detto nel!' esposta nota sarà sempre uno dei valori richiesti di /?; ma esso ri- sulta dall'uguaglianza m — /•(^)-(-e/9 = rn — n-i-n ^. Dunque, ec. Aggiungo , che fra tutti i valori di /?, che si considera- no questo "~^ è il massimo. Difatti tutti quelli, che posso- no, essere risultati dal paragone fra loro dei termini m — r, ?n — r'-(-/?, m — r'-f-a/?, ec. ?« — rW-+-e/? pel ( i.** n.° 70.) sono tutti ■< ""^ ; dal paragone di m — rW-He /? con i ter- mini ulteriori della serie , ottienesi il solo valore , e 1' ultimo termine , con cui per la determinazione di questo uguagliasi m — rW -»- e/? , è 7n — n-^-n^ . Dunque se mai esi- stesse qualch' altro valore di /? , esso dovrebbe risultare dal paragonare m—n-ì-n^ con i termini della (XLI), che ad esso succedono : ma l' Equazione m — n-+-n^ = m — H'") -+- e" /? som- ministra Z?^ ^ „~^ = I -t- ^ . Dunque esprimendosi da m — ?("") -+- e" ^ uno qualunque dei termini successivi ad m — n-\-nQ\ ne segue, che se mai esistesse qualche ulterior •yalore di ^, esso esprìmendosi in generale da -tt^-^j sarebbe m e Del Sic. Paolo Ruffini 807 non' = ^. I. Ciò posto suppongasi in primo luogo, che niuno dei valori di M sia = e. In questa ipotesi avremo nel termine Ma;« 1' esponente /?, che dovrà essere m volte = 0, e però a- vendosi il numero h ( n." ag. )=to, col porre 7= L'^r-H/, , la Equazione (HI) nel convertirsi nella (XXV), si convertirà nel- Tomo XVIII. R r 3o8 Affezioni delle C0rve Algebraighe ec, la «-t-Vy, -^Tj"*, -+- ec. -+■«('") /"i^zo, ma questa è un'Equa- zione priva affatto della x, la quale per conseguenza ci som- ministra esattamente/ =M', y" =M',y"' =M"',ec.r ('")=M*"'* . t I i I Dunque risultando ancora esattamente y=L'x-t-M',y'=L'^-t-M",y"=L':r-f-M", ec. /"^=ìJx-^W"\ il primo membro dell' Equazione / ( x^y)'=o non sarà contro del ( n .° I . ) , che il prodotto [y — \J x^M' ){y — V x — W ) (y — Ux — M" ) . . .{y — U X — M'"' ) di m funzioni razionali delle X, y\ ed essa Equazione anziché una Curva ci esprime- rà contro della ipotesi un sistema di /re rette parallele fra loro, a." Abbiasi in secondo luogo uno dei valori di M = o. In questo caso diventando nel termine Mx 1' esponente /? uguale allo zero le volte m — i , avremo h ( n.° 29. ) =w — i ; e rimanendo L' ripetuto m volte avremo n ( n.° i5. )==/«, onde risulta n > h; ma , per quanto si è detto ( 3.° n.'ag. ), allorché si ha ra > A, il minimo numero che nei primi ter- mini a sinistra della (XXV) deve sottrarsi da m negli espo- nenti della a:, dev'essere /^-t-i. Dunque nel caso nostro es- sendo A-»-i=:mj la (XXV) diverrà nuovamente u -t- Vji -t- T/'', -H ec. -»- «('")/"', = o, e per conseguenza ancora in questa seconda ipotesi si verificherà il nostro Teo- rema . 78. Supposto, che la Curva dell'Equazione (III)(n."i.) sia dotata di a/ rami iperbolici approssimantisi a due a due ai rami delle/ iperboli £ P_ JL — _^ v'^Mx ^ ,v'—Wx * ,«' = M'V *,ec.t)'=M('-Oa; *, le quali si riferiscano ad un medesimo assintoto rettilineo y=.Vx (n.''47-)5 abbiano uno stesso esponente — -f- > e questo sia il minimo dei valori di (? ( n." 69 i.° n.° 70. ) . Si domanda di determinare i valori, che può ottenere il nume- ro/, ed i corrispondenti delle quantità M', M", M", ec. M^^, volendosi dato il numero re(n.° i5.), e capaci di cambiarsi Del Sic. Paolo Ruffini Sog a piacimento i coefficienti dell' Equazione data , purché si conservi quanto si è stabilito nei ( n.' i.jSy.)- Ottenute siccome nel (n.^óg.) per la determinazione di ^ nella 7, = m/, l'Equazione (XL) , e la serie degli espo- nenti (XLI), supponghiamo, che tra questi ultimi, quelli che uguali fra loro ci somministrano, giusta il metodo della nota al ( n.°69.), il valore di /? = — T^ siano i seguenti ;«„,(«)_H,^,m-r(")-f.e'^,m-r("')-l-e"/?,ec.m-r(«'"')W"">/?,;7z-r('0+e(')/?. (XLII) nei quali sia e < e' < e" < ec. < e(^-') < e(/), e quindi si abbia ,(.')_r(') r(<")-r<''). r''"')-r('") r<'-^)-r(«^~'^ P = -Tir = ■ e'-e- ' = e"'-e" " ^^' — eif)-eif-) ' L' Equazione (XL) { n.° 69. ) cangiandosi perciò nella O(') .".-'« 7/ H- G^^') x'^-'"^ r/' -^ G^"^ ^-^^"'> r/" -+- ec. (XLIII)" posto Mj; invece di /, , otterremo per M 1' Equazione .(*), « («') «' {«") «" I f~^\ (/—') >-,fe^) (0 G^'M -f-G' 'M -t-G' 'M -4-ec.-t-G'« ^M^' -hG^^M =0, e però la gVg M -f-G M ^-ec.-t-G M VG M =0. (^^^V Essendo radici di quest' ultima Equazione tutte le potenze me- M'*, M'S M"'\ ec. M^^^ ( n." 19.); le quali sono dì nu ro /, ed essendo tali solo esse; dalla (XLIV) apparisce dover essere e' — e = k, e" — e = a.kf e" — e ^ 3A , ec. e(^"~') — e = (/ — I )A , e(^ — e-=.fk; ma dalle precedenti Equazioni espri- menti il valore di ^ con le successive sostituzioni , ritraesi ,<•') (') r'^* = (e"-eV-+-r =(e"-e)^-+-r , T '= (e" - e") ^ -4- r""' = (e'" - e) /? "+- '""'' » ec. 3 IO Affezioni delle Curve Alcebraighe ec, (/) = ( ^0 - e^^"'^ ) ^ -+- M'^) = ( e^^ - e ) ^ -+- r^^) , r > dunque sarà ossia r> P it Ik •— U —^^ Jk, ~k » e però (e) (e') («) (e") (e) U'") (/) r — r =/?,r — r =o.p,r —r = 3/?, ec. r =^ . Inoltre dalla forma della (XXIII) chiaramente si vede dover («) l«') ^ I («") ^ r, essere r non m — e, il secondo non > ?« — e ; otterremo con la sostituzione de' valori trovati , y(« > = fk^ -4- r ^ =.fk X — f- -H e -t- a =fk -H e -+- a' , e per conseguenza a' = a — f{k-+-p). Finalmente osserviamo do- vere nella (XXIII) esistere di necessità uno o più termini della prima linea orizzontale, perchè , se mancassero tutti, il primo membro di essa Equazione sarebbe divisibile esatta- mente per y, , e quindi il primo membro della (HI) esatta- mente per y — h'x contro del (n." i.); di pivi osserviamo es- sere 4r per 1' ipotesi V esponente più piccolo di tutte le' iperbole assintotiche alla supposta Curva. Dunque per la no- ta al ( n.° 69. ) il primo termine della serie (XLII) dovendo contenere ^ moltiplicato pel minimo esponente della y, nella (XXIII)-, ed essendo questo minimo esponente lo zero , ne segue, che dovrà essere e = o, e per conseguenza 1° il termine primo della Serie (XLII) sarà /n — /^>= m — r, e nella (XL) (n.°6g.) avremo G necessariamente diverso dallo zero; a." risulterà e' = k,e" = o.k, e"' = Sk, ec. e'^"'^ = (/_i)A, e'^^=fk; 3.' otterremo r =:rz=a,r ' = ffi-i-a. Del Sic. Paolo Ruffini 3ri ' 1.° Ciò posto j prendo i due numeri n, a,e diviso il primo di essi per A, il secondo per k -i- /} , suppoiighiamo risulta- re -?-= j^; in quésta ipotesi io dico, che dovrà essere /=-j=;f-^ . Difatti dalla supposta -j,-:=^— avendosi n = J = j3^ , ne verrà n — n^ =s a , ossia n — n^ =: r , giacché abbiamo r = a , e finalmente m — n -\- ^n = m — r ; ora per essere e = o, come si e poc anzi osservato, m — r e il pi'imo termine della Serie (XLII) ; dunque sarebbe termine della Serie medesima ancora m — n-^-n^ , mentre nella (XXIII) . (n) m—n n e però nella (XL) sussistesse il termine A x jKj ; ma tal termine realmente vi esiste, perchè dev'essere A diverso dallo zero (n.°69.) dunque nella fatta ipotesi di -^ = If:^ dovrà l'esposto m — n -\- n^ essere termine della (XLII) ; aggiungo poi j che ne sarà il termine ultimo, ossia sarà identico con m — r -t- e /?; imperciocché se ciò non fosse ^ ne verrebbe e > re , e però fk>n^ il che non può essere ( n." ao. ) . n • I. j <^ («') j j f*'^ <-^ Dunque risultando e =zn^r =«, ed essendo r =e -+-Oj ne verrà fk = re,a'=ro,e però a — /( k -t-/» ) = o , e in fine f =z-j^ = -^— . Pertanto in questa prima supposizione il quoto ijtesso j- = ^^ ci somministrerà il chiesto valore di/. Avvertasi dovere in questo caso re risultare divisibile e- sattamente per k, ed <2 per k-\-p , onde se ne ottenga il nu- mero f necessariamente intero . Difatti essendo v' =: Mx P, Sia, Affe2I0iM delle Curve Algebraiche ec. r espressione generica delle iperbole supposte, gli esponenti k, p dovranno od essere numeri primi tra loro, od essere ciascuno di essi= i ; poiché se tali esponenti si volessero tra loro composti, e si volesse per esempio k ^:= hi^ p =: hi , es- sendo h'> i , l'Equazione vera dell' iperbola non sarebbe già _ ^ _ ^ i v' = Ma; k _, ossia v' = M.x hi , ma bensì v' = M:c » ; ora se k , p sono numeri primi fra loro , tali fra loro sono ezian- dio k, k-^p; e ciò essendo, non può giammai verificarsi l'Equazione -^ = ^ip ! quando non sia n esattamente divi- sibile per^j ed a per k-ì-p . Dunque ec. Che se si voglia ^= i, /? = I ; allora essendo già — = ^ = n numero intero, tale sarà ancora 1' altro ^£r = -^ , che gli si vuole uguale . 2.° Abbiasi il numero y diverso dall' altro ^— • . Risul- tando in questo caso m — « -4- «/? disuguale da m — rW, non potrà costituire , come nel ( precedente i ." ) , uno dei termi- ni della serie (XLII); e il termine per conseguenza A^"^x"'~"y", non potendo essere contenuto nella Equazione (XLIII) sarà diverso dall' ultimo di essa G ^* ' x^"^ y, * , e però avremo l'esponente e diverso dall'esponente n; ma e ■=fk^ ed fk non >/i(n.°ao.). Dunque in questa ipotesi dovrà essere//;<«; e per conseguenza avendosi e"' < «; dovrà essere /^^ >e-'^ , perchè dalla (XXIII) apparisce , che non ne può essere giammai mino- re; e se si volesse r =e,\\ termine (y^' x y^ (/) „_;/) (/) altro non sarebbe che A x y' e questo deve mancare dalla (XXIII), e però dalla (XLII), perchè avendosi Po, ne verrà a — f(k-hp) >o; e per conseguenza, allorquando i due numeri x-j ,-^ sono disuguali fra loro, avremo/ < -j , ed /< ^—. Aggiungo in questo caso di y non =^- dover essere ^ <-^. Imperciocché se fosse al contrario -j^ < ^ , ne verrebbe n -i- n -j <; a, e però^< — ^. Ma ^ è il valore, che risulta per /? dal paragone della quantità m — a con l'altra m — n-i-n^^ inol- tre a cagione di essere e = o , e pero a = a , ed r =r, ab- biamo/7z — a primo termine della Serie (XLI), e per essere il coefficente A necessariamente diverso dallo zero (n." 69.)^ il termine m — n-t-nfi esiste necessariamente nella citata Serie (XLI) . Dunque essendo uno dei^^valori di /? , che il me- todo della nota al ( n." 69. ) ci somministra; e allorché si volesse x < F^ ^ risultando '^ < — . ^ ; ne segue , che il minimo esponente delle iperbole assintotiche alla nostra Curva con Io stesso assintoto rettilineo / = L'x non sarebbe più — -| , ma bensì — ^^ , il che è contro la supposizio- ne . Ora nelle prime n linee della (XXIII) eccettuati i primi A, A', A', A'", ec. A , i quali tutti sono ■= o (n.^óg.) tutti gli altri coefficienti B, B', B", ec. 6^""'^ C^ C , C". ec. ti , ec. possono essere e non essere zero, rimanendo pe- rò;, per quanto si è detto poc'anzi, nella linea prima un coef- ficiente G necessariamente dallo zero diverso, onde si ha 3i4 Affezioni delle Curve Algebraiche ec. a>o, ed a non >/ra. Dunque ii numero/", purché abbia un valore minore di^^ , ed intero, potendo uguagliare uno qual- sivoglia dei numeri o, i, a, ec; ne viene che chiamato k l'intero prossimamente < T~'' potrà esso f in questo 2°. caso essere uguale ad uno qualunque dei numeri o, i, a, 3, ec. n, 3.° I valori finalmente dei coefficienti M' , M", ec. M sì otterranno dalla soluzione delia Equazione (XLIV) divenu- ta per quanto si è detto fin qui G+G^'^MVG'^^^M^VG^''^M'*-^ec.-HG'*^-^V^-'^VG^^V^= e , (i) i coefficienti G , G , ec. della quale non sono che i coef- ficienti della (XLIII) , ossia di quei termini nelle linee prima {k-h i)esima , {2,k-^i)esima , {3k-i^i)esima,ec. {fk-^~l)esima daììn Equazione (XXIII), nei quali gli esponenti dellax sono rispet- tivamente m — r z=m — a, m — r ^= m — [a—p),m — r = in — \a — 3.p ), m — r =i rn — [a — ^►/'/> ec. m — r =: 772 — (a — Jp ) . Rimanendo il numero a indeterminato ; gli daremo quel valore, che nei diversi casi particolari converrà. Sia per esempio il valore dell'esponente m = 4,s'ìa n = 3,, e sia A = I 5 jp = i; e potendo il numero r =: « acquistare uno dei valore i, a, 3,4 5 vogliasi in primo luogo a = 4> Avendosi quindi -^ =:— = a , ^p^ ■j'= ^ ì pel ( prec. 1 .*" ) dirò essere /= a , e G -»- G' M -i- A" M"^ = e sarà in corri- spondenza l'Equazione generale , da cui dipendono i due va- lori M', M". Che se si voglia a = 3; allora risultando ^^ = ~ = I -(- 4- < ^ P^l ( preced. n." a." ) dirò essere /= r , di- venendo G-t-G'M = o la corrispondente Equazione in M; e dirò essere /= e nelle ipotesi di a = a, e di a = i , Del Sic. Paolo Rupfini ' 3i5 74. Venga richiesto, che la Curva dell' Equazione (III) sia fornita relativamente allo stesso assintoto rettilineo 7=L'a; di tanti rami , de' quali un numero a/ si accosti ai rami di Jl un numero / d' iperbole della specie v' = Mx *(n.°prec.); un numero ./' si^avvicini ai rami di altre /' iperbole della specie ^'=Ma;~*: ' "" """'";;^ ^f" ^' ^^™' ^i altre /"i- perbole della specie v' = Mx *a , ec, ed infine un nume- ro a/" si accosti ai rami di altre f iperbole della specie v' = Mx ** 5 nelle quali specie gli esponenti — -^ , £' p" (*) — j-, ec. — £- siano di valore costante , il 'primo r sia r esponente minimo delle iperbole assintotiche supposte , r ultimo — -|— il massimo j gì' intermedii vadano gradata- ci mente crescendo , cosicché si abbia — ^ < — -^ < — -^ (h) < ec, < — -^ , e finalmente i coefficienti M variino passan- b do da Equazione ad Equazione . Dimandansi ora tutti i va- lori, che può ottenere ciascuno dei numeri f, f, f", ec.f , ferme restando le condizioni, che riguardo all'esponente mj, ed ai coefficienti della (IH) si sono poste nel Quesito del ( n." precedente ) . i.° Operando come nel (n.°prec.), determino in primo luogo il valore od i valori di / esprimente il numero delle __ P_ iperbole della specie v' = M^ * , e determino i valori cor- rispondenti di M. In seguito a norma del metodo della nota ( n.°6q.) prendo l'esponente m — r -i- e^ 0 ultimo della Tomo XVIII. S s 3i6 Affezioni delle Curve Algebraiche ce. Serie (XLII), paragono questo con gli ulteriori della Serie (XLI) , e supposto da ciò risultarci i termini ^_, ^K ^^? .m-^r <*^*'^ ^ e^/-'V. m-/'^^' ^ e^^^^' ^ , ec. ~ m — r -+- e />, i quali tutti, essendo uguali tra loro, ci somministrino per ^ il valore — -r- j con discorsi perfettamente simili a quelli I del (n.*' prec. ), vedremo , che la (XXIII) , fattosi a? = co , si converte in corrispondenza nella é ^""-^ y' -^O x^-' yr ^-i-G^"^ >a;"*- (XLVI) e ,(/**) G* ' a; V, = o j, -+- ec. -f- tr' 'a; y, che quindi pei valori di M avremo I' Equazione G-t-G M M-G M -4-ec. -H G M < = o d' onde si ritrae Jf-fi) (fi , r/-Ha) f/) , (/-+-3) (/) o, .^ é^ — e == AijC — e =:i2,A;, , e — e = oA, , ce. e e =/A, ; vedremo inoltre ottenersi 0= r, st; — 31; —ec — fk, — K ' e però essere ;e/, _,(/-) ^^,y) __^(/-») ^,^.^,(/) ^y-^^=3/,ec. Del SiG. Paolo Ruffini 3i7 e vedremo finalmente, che essendo r ' z=e' -^ a* , dove si ha a' non w — e ( n." prec. ), e posto r = J H- a", dove a" sia non < o , e non > to — é''^^\ vedre- mo , dissi , ottenersi a" = d — /' ( Aj -H/»' ) . a.° Ciò determinato, prendo le due quantità n — fk , Ci ■=. a — f{k -t-/>) ( n.° prec. ), divido quella per A, , que- sta per hi -i-p'; e se i due quoti risultano uguali fra loro, io dico, che dovrà essere f = ^y- =s ;^ _^ -> . Imperciocché dall' uguaglianza degli accennati quoti avendosi n — fk = — ^ , ,essendo/A=:e (n.°prec.) a' = r^^^ — e , ed esprimendo in questo caso — -p il valore di /? , ne f/) /«^)_//) , (*-^) (/), verrà n — e = ^^-^ — , e però r — e p =: n — np , e finalmente m — r -+-e ^ ■=: m — n -\-n ^ . Dunque es- («■^) <"/> sendo m — r -f- e /? il primo termine della Serie (XLV), e d'altronde non potendo essere /A H-jTAj > n (n.° i8.), ed essendo e =e -f-/'^, =fk-h-f'ki ( n.° prec. ) con un discorso perfettamente uguale a quello , che si è fatto nel ( I ." n.° 73. ) , vedremo dovere m — n -¥• n^ essere identico col termine ultimo m — r ■+• e' ^ ; onde risulta e =in = r , e per conseguenza a cagione di esse- re e =//t -•-/ A, , e di essere r =e -+-a , otter- remo fk -\-f'ki =: n , a!' =.a' — /' ( A, -f- p' ) =0 , e finalmente f =— 5p-=j-— r. Qui ancora col discorso medesimo del 3j8 Affezioni delle Curve Algebraiche ec. ( i.°n.°73.) si dimostra, che mentre ha luogo 1' esposta u- guaglianza, esser dee n — fk divisibile esattamente per ^, , ed a per A, -»-/>'. 3.° Che se si trovino i due quozienti ^^~- , . " , = a— y(A;-H/?) ( n." prec. ) tra loro disuguali; allora dovendo le quantità m — n -\- n^ , m — r -f-e /? risultare esi se pur disuguali, dovrà essere e <.n , perchè mentre per r indicata ineguaglianza si ha e non = n , si ha ancora e ■=fk -+-/'^i , ed fk ->r- fk^ non > re; ma in conseguen- za di ciò , come nel ( a.° n.° 73. ) si trova dover èsser r > e^ 3 perchè se si volesse r* =e^ ; nella (XXIII) dovrebbe esistere il termine A a; Ji 9 il che non può essere, giacché avendosi e ■ o , risulterà eziandìo a'—/' ( A, -+-y ) > e , e però /' < j^^, . Inoltre io dico , do- ver risultare r^—,<.—^ : e difatti se si volesse al contrario, ^i^ < T^ ' venendone n —fk < -^-^^in—fk {n—fk)§^<: a\ V) . (A p- (''^) (/; . .(«') n — e'-f-(« — e^')T-<.r — e^', si avrebbe " ^ , < — f- : n — e- ma "^—^ è il valore , che ottienesi per /? dall' uguaglian- za delle due quantità m—r -ne p , m — np esistenti en- Del Sic. Paolo Ruffini 819 trambe necessariamente nella Serie (XLI) . La prima per i- potesi, la seconda per essere A non = o ( n.° 69. ) . Dun- que se fosse ^r^ <^ ^ , , pel solito metodo della nota al {n.°69.) il valore di /? , che succede immediatamente al pri- mo — -| non sarebbe più — ^ j ma jjj- , e dopo la pri- ma iperbola assintotica della Equazione ^' = Ma; succe- derebbe tostamente come seconda l' iperbola della Equazione r ^ ) — n ©'=M^ ra— e •' ; ma ciò non può essere perchè contrario alla supposizione . Dunque ec. Chiamato pertanto k' V intero prossimamente < ^^ ■, , concluderemo qui ancora^ come nel ( a.° n.° 73. ), che può essere valore di/' uno qualsivoglia dei numeri o , i , a, ec. n' . 4.° L' Equazione (XLVII) in fine divenuta ci somministrerà i valori diversi di M nell /' Equazioni della specie v' = Mx ^ . In essa Equazione poi i coefficien- ti G , G , G ec. G altro non sono che i coefficienti della (XLVI) , ossia i coefficienti nella (XXIII) dei termini, i quali nelle linee (fk-i-i)esima, {fk-t-ki-^-i)es ima, {fk-h-a.ki-i-i)esima, ec. {fk-i'f*ki-hi)esima moltiplicano rispetti- vamente le potenze m—{a—fp) m—(a—fp—p') m—{a—fp—s,p') m—{a^fp—f'p') X , X ■ ■> ^ ì ^ • ' 5° Per ottenere il valore di /" ; divido la quantità n—fk—fk, per k^ , e V altra a" — a' — f { k, -h p' ) = a —f{ k -^p) — /' ( kt H-/>') per k^ -H/?"; e se ritrovo i quoti Sao Affezioni delle Curve Algf.braiche ec. ■ — k , ~ic-t-p" tra loro uguali , diro essere ad essi uguale anche /" ; che se risultano questi disuguali , dovrà anche qui il primo di loro superare il secondo , e chiamato allora n" ti r intero prossimamente < -^ t , dirò , che potrà essere valore di f" uno dei numeri o, i, a, ec. ti" . La dimostra- zione di questo metodo è perfettamente simile a quella dei metodi , per cui sonosi ottenuti precedentemente i valori di f, e dì f ; avvertendo, che quivi la Serie degli esponenti p'' somiglianti alle due (XLII), (XLV) , dalla quale si ha /?= — j- , • -, • ^'^^^^ 'f^f^ n ha per primo il termine m — r -»-e /j,eper ultimo, il termine m — r -t-e ^, che si ha e ^c -»-a — / p \ che si pone r =e -+-« , onde risulta a'" = a" — /" ( A^-t-/?" ) ; e che in fine esser d^~ ye fk-^f k^-\-f"k^non>ii . I valori poi di M nelle/" Equa- _^ zioni della specie v' = M:i: k^ , come di sopra, troveremo comprendersi nella Equazione G -»- G M*3 -t- G M '^ -f- ec. -t-G M '=0, i coefficienti della quale non sono, che i coefficienti nelle linee ( k-inf k ^-^ni)esìma , {fk-hfk^-i-i)esima, (^fk-hfkj-¥-2.k^-i-ì)esima^ ecAfk-^f'k -^-f'k -hi)esima della Equazione {XXIII) delle po- ■' I a desta ( m—{ a—fp—fp ) )esima , (m— ( a—fp—f'p'—p" ) )esima , [m — {a — fp—f'p — 2/7" ) )esima , ec . {m — (« — fp—f'p'—f^p"))esima della x. Del Sic. Paolo Ruffini 3ai 6.' Proseguendo innanzi, ed operando sempre in somigliante maniera, otterremo i successivi valori/"',/'", ec.e i corrispon- denti di M; e cosi ricaveremo infine il valore/ coli' ottenere, n-fk~fk -f'k - ec.-/<*~'jt' S— I e paragonare tra loro i due quoti % (b) asserendo, che esso f uguaglia i quoti medesimi, allorché sono uguali fra loro , e che quando sono disuguali , uguaglia uno qualsivoglia dei numeri o^ i ? st , ec, fino a :;; , chia- (h) <*— ■) mandosi it l'intero prossimamente ■< j^ . I coefficienti ^b-*-P (}) poi M di queste ultime Equazioni della specie v z=lilx -^ si determineranno dalla soluzione di un' Equazione contenente nei k 3.k successivi termini le successive potenze M° , M * , M * , ec. /^\ M , e i coefficienti della quale non sono che i coeffi- cienti nella (XXIII) dei termini , che nelle linee {^fk-^f'k -H /"A -f-ec.-4-/~ k-^i)esima, { fk-¥-f'k -Y-f" k -H ec. -+- (4-0 (i-i) ■^ ^, ^-*-^,-^^)esima,{fk-^fk-hf"k -\-ec.-¥-f A -^2k,-^-i)esima *— » t> I a b—i b ' ec.{fk-i-f' k -hf"k ^ ec. -+-/^ "' k -t-/^*^ A- _>_ i )esma con- I » t/—t h I tengono rispettivamente le podestà della x . ^"'-i^-fP-f'p-rp"-^c.-f"'p^''~\sìnia, {ni-[a-fp-f'p'-fy^ ec. - / fi —p ))esima,[m-~{a-fp-f'p—f'p"—^c.^f~'^--2p^''~\sima,ec. )esima» {m^{a-/p-fy^fy_ ec. _/*"' V" "/' V^)). 32a Affezioni delle Curve Algebraiche ec. 7$. i.° Nella successiva determinazione dei numeri/,/', /", f", ec. ( n.' 73, 74. ) se mai succeda, che si verifichi l'ugua- glianza fra i due quoti , che abbiamo detto doversi nella pra- tica operazione paragonare fra loro j se corrispondentemen- te per esempio al numero /" si trovi essere " ~^- .— — ' = a a— /( -^P^~f\ '"*-?) . allora io dico , che tutti I succedenti valo- ri, nell' esempio nostro/'", /'", ec. sono zero; e la dimo- strazione di questa verità deducesi egualmente dall' osserva- re j che per l'esposta uguaglianza il successivo valore di a, nel caso nostro a'" dev'essere =:o ( n.' 78, 74. ). a." Se mai risultasse ^ — 2—? (n.' 73,74.) supporsi qualunque, e determinati in seguito i coefficienti della (XXIII) opportunamente , avremo la soluzione corrispondente dei problemi proposti ( n.' 73, 74. ). Così all'esponente — ^ ( n.° 74- )» purché sia > — ^ e non > — TfT ^^ — T— m" ' P°*'"^ attribuirsi un qual- n — e ■' sivoglia valore ,e determinati da ciò convenientemente i coef- ficienti della (XXIII) , il Problema del ( n.° 74. ) ammetterà in corrispondenza scioglimento. Lo stesso si dice riguardo all'es- ponente — |- ; purché sia questo > — |-, e non >. ^ — .^ ~ = n—e -' n-fk-fk, • Cos^ ^' seguito. 4-° Se mai 1' Equazione della Curva , la quale si vuo- le fornita de' rami iperbolici, che abbiamo supposti nei ( n.' Tomo XVIIL T t 3ji4 Afi'ezioni delle Curve ALCEnaAicHE ec. 73, y4- )' "o" abbia i coefficienti arbitrar] a norma della ipotesi fatta nei citati { n.' 'j3 , 'j^. ) , ma abbia i suoi coeffi- cienti di valore già determinato: allora è cbiaro , che i Proble- mi degli stessi ( n.' 78 , 74. ) non ammettono soluzione , se non quando nella Equazione (XXIII) i primi termini a sinistra del- le linee prima, {k-i- 1 )e$ima, {2,k-+-i)esima ec. {fk-i- i )esima. {fk-i-ki-t-i)esìma, {fk-i-2.kt-¥-i)esinia, ec. {fk-^fk,-i-i) esima. ec. non superino pel ( n.° 27.) le potenze della x, che ab- biamo accennate nei predetti ( n.' 78, 74. ) ; e mentre le rispettive Equazioni in M abbiano le loro radici reali. 5." Rimanendo il numero a= A') ( n.° 73. ) indetermi- nato, potrà in generale avere uno qualsivoglia dei valori in- teri che sono > o, e non > m ; osservando però, che da esso viene sempre rappresentato quel numero , il quale nel primo termine esistente nella prima linea della Equazione (XXIII) sottraesi nell'esponente della x dal numero m. Pongasi ad esempio una Curva , nella Equazione della quale sia a=ia, e sia re = 5; e vogliansi determinare i nu- meri 2/", a/" , a/" dei rami, che in essa avvicinansi ai rami delle tre iperbole v'=:Mx—^, v'=Mx—', w—Ma;"" riferite al medesimo assintoto j = L' :r. Avendosi in questo caso k=zi, j»=:a, k = !,/>'= i,k =2j p"= I, ed avendosi •?-=:2,, ^-^^ "r - = 4- , onde risulta — t- • il nostro Problema ammetterà in corrispondenza soluzione ( prec. 3.°), e trova- ti quindi i valori dei quoti j , j~-)^i paragono a norma dei ( n.' 73, 74.) fra di loro. Siccome risulta ^ = 5, ^-=4, pel (a.° n.° 78.) dirò, che /può acquistare uno qualunque dei valori o, i, 2,, 3. Avvertasi, che lo scioglimento del Pro- blema , che pel (prec. 3.") abbiamo concluso possibile, per avere osservato essere — |- < — ^^, si sarebbe asserito pos- sibile egualmente dall' osservazione , che si ha -^ > -r j» Del Sic. Paolo Ruffini SaS giacché come si è veduto nel (3.° n.*' 78.) l'uno di questi rapporti trae sebo l' altro. Diasi ad /l'ultimo dei valori suoij cioè il valore 3 : poiché da ciò ottienesi "~"~ = -^ = 2,^ a'-=a—f ( A;-4-/>) = ia— 9=3, ed -p— r = ^= i 7; risulte- rà f'=o. Ritenuto /" =: 3, sia /' =* i ; avendosi quindi n-fk-fk, _ j_ a^ _ I jjj.^ essere /"=o. Si attribui- sca ad / il valor a , derivando da ciò -"T - = 3 , ~ — -, = 3, si avrà/'=3 ( a.° n.° 74. ) ed/" = o ( i.° n.° 75. ). Dati infine ad f i valori 1,0, giacché ne viene in corrisponden- n — fk , a' / I n — fk e a' ^ j • za —é— = 4 5 ; r =4—5 — é — = 5 1 7 r = o , ed in a- mendue i casi si ha . " ;• > "T^ ; diremo, che il Problema non ammette rispettivamente soluzione; ossia posto, che la nostra Curva abbia due , oppur nessun ramo iperbolico della specie v' = 'M.x~'^, non può accadere , che ne abbia immedia- tamente dopo alcuno della specie v' z=.Mx~^ . Ritenuto a=ia, sia re^6. Anche in questo caso trove- remo, che /^può ottenere uno qualsivoglia dei valori o, i, 2, 3. Avendosi poscia Il-fL=6-f,^, = '^ = 6 -/- ^ , od essendo perciò j^^ , < "'7-' , qualunque valor positivo diasi ad f, la soluzion del Problema è fin ad ora possibile sotto tutti e tre i valori i, a, 3; e quando si faccia /^=o ne vie- ne /'= 6^ ed f"=c. Si faccia y= 1 ; poiché quindi si ha ^~^ ■ = 5 , ed jf^TT = 4 ~" ? il numero /' potrà ricevere uno qualsivoglia dei valori o, i, a, 3, 4- Risultando in seguito "~^ ,~ ' =-—^5 r^ — 'I = -2^^^^, vedremo agevolmente, che *a a k^-*-p 3 » o •) dipendentemente dai valori o, i, 2, di /'j il numero/" non può ottenere valore alcuno , che dipendentemente da /' = 3 3^6 Affezioni delle CunvE Algf.israiche ec. si ha /" = I , e dipendentemente da /' = 4 risulta f"=zo. In egual modo poti-emo determinare quali siano i valori di y, e di /", allorché ad / attrihuiscansi gli altri due valori 2 5 3 . Fra tutti i casi dell' esempio ora supposto non ve ne hanno che due^ ne' quali ciascuno dei numeri y, /',/" otten- ga un valore >c, e tali sono quelli, ne'quali, posto a = ia, ed re = 6, risulta i .° /= i , /'=3,/"= i ; 2.°/=ìì, /'= r, /"= I . Nel primo poi di questi due casi 1 valori di M p^i (3.° n.° 73, ^.", 5.°, n.° 74. ) dipenderanno rispettivametite dalle tre Equazioni G -t- G' M = o, G' -+- G" M -t- G'" M^ -+- G'" M3= o, G"' M = o, dove G , G' ,G", G'", G'" , G"' sono i coef- ficienti dei termini Gx^^-'S Gx""-'"/ , G"a.'"-9j % G"'x"'—y '; G"'x"'-7y 4, G'''a;'"-V ^ constitueiiti i primi termini nella (XXIII) II delle linee prima, seconda , terza , quarta , quinta , e settima. I valori di M nel caso secondo verranno somministrati dalle Equazioni G -H G' M -4- G"M^ = 0 , G"M=o,G"'-i- G"'M=o, i coefficienti delle quali sono quelli dei termini Gz"*"'* , Q'^m_io^ _^ Q."^.ra_8^ a Q'^'x'^—iy 3 , G^x"'—^y ^ , che dovrauno esser primi nelle linee prima, seconda, terza, quarta, e sesta. 76. Vogliasi la Curva dell' Equazione (III) priva affatto di rami iperbolici aventi per assintoti la retta / = L'i, e do- tata relativamente allo stesso diametro / = L'r, di a/H-a/'-f- af"-i- ec. -t- a/W rami parabolici avvicinantisi ai rami di f -h /'-¥•/" -ì-ec. -+-/(') Parabole , delle quali le prime /siano della specie v' =sMx , le seconde/' della specie t;' = Mx- ', le €. k terze/" della specie v'=ì\x ^j ec, e le ultime /W della spe- eie t;'^Mx- e ; avendosi ^ esponente minimo, -y- esponen- te massimo, e gradatamente -r- < ^ < f- < ec. < 4— . Del Sic. Paolo Ruffini «j^? L'esponente poi i coefficienti della (III) , e i diversi valori di M si considerano quivi, come consideraronsi nei { n.' 78, 74.) e si domandano i valori dei numeri y,/', f" , ec. y^W , ed i valori dei rispettivi coefficienti M. Rinnovando i discorsi medesimi , che si sono fatti nei ( n.' 78, 74- ) 5 troveremo agevolmente, che la soluzione del presente Problema è simile affatto a quella dei Problemi pro- posti nei cit.' ( n/ 73 , 74. ) con questa sola differenza, che siccome i valori di /? in questo luogo sono -f" » f" ' f" ' 6<^- » mentre colà erano — ^ , — f- , — f- , ec. devesi nelle quan- tità e formole colà determinate porre — p in vece di p . Per- VI • i'i< " n^k n—fk—f'k, tanto paragonerò le successive quantità -^9 ■ ^ - > j^ 3 ec. ; rispettivamente con le altre t -, a' _ a-fik-p) a" _ a-f(k-p)-/(k,-p') a^') _ k.-p' ~~ k,-p' ' k^-p" ~ ^ ^^' k^-pi') c~f(k-p)-f\k,-p-)-ec-p-'Uk^_^-pi^'ì) ^ n k-Zp^^, ; e diro essere / = - , ^, _ n-fk ^ ^„ _ n-fk^r^c, ^ ^^f^c) _ n-fk-f'k,-ec.-fm,_, k , k^ k^ allorché troverò in corrispondenza ~ = r^ , "'~/ •= r^—r n-fk-f'k, a" ^ n-fk-f'k,-ec-f')k^_^ ^(c) —kT- = ^11:7^ ^' kl = -1;=^ ' ^«"^« nei ( i." n.° 78; 1.°, 2.°, 5.°, 6.° n.° 74.) verificandosi qui ancora quanto si è detto nel ( i.°n.''75.), cioè che, quan- do si ha /= -^ ^ ^r^ , deve poi essere /' = o , /" ^ o , ec. /(')■= o, quando non avendosi /= -^ = i.^~ 'isulta poi /' = —-^— = -u"_ .' 5 deve divenire zero ciascuno degli /", ec. /("") e così di seguito . Che se vedrò non succedere le indicate 3a8 Affezioni delle Curve Algebraiohe ec. uguaglianze, se vedrò non essere -^ = t—'ì dirò, come nel (2." n.° 73, i.", 3.% ec. n.o 74.) dover risultare ^^ < ^, e ciò essendo dirò, che /può ottenere uno qualunque dei valori o, I, a, ec. , estendendo questa serie fino inclusivamente all'intero prossimamente minore del numero 7^— . Mentre, ' k—p restando r^— < ^ risulti eziandio , "' -y < ^=^ dirò, che ad y può attribuirsi uno qualsivoglia dei valori o, i, a, ec. fino inclusivamente all' intero prossimamente minore del quoto ■■ ^ ,- . In egual modo la posizione di j-^ — r, < - .~-^ -' unita alle altre due di -^ < -2=^ , e di ^-^ < ^ farà sì, che f" potrà acquistare uno qualsivoglia dei valori o, i,a, 3, ec, limite dei quali è 1' intero prossimamente < , _ „ ; e cosi di seguito . I valori infine de' coefficienti M deduconsi qui an- cora da Equazioni in M simili alle determinate nei (n.* 73, 74- )j rapporto però alle quali deve aversi la riflessione, che siccome in questo caso si ha («n fé) (e") (e) (e'") (e) (/) {e) — r =^p^r — T z=2,p,r — r =3jo, ec.r — r =:^(n.°73.) — r =p\r — r z^.^p^r — r z=iZp\ec.r — r =f'p {n.° 74.) ec. nelle potenze della x, i coefficienti delle quali deggiono di- ventare coefficienti delle Equazioni in M, e che abbiamo già determinate nei citati ( n.' 73, 74. ), i numeri p, p', />", p'", ec. debbono cangiarsi nei — /?, — p\ — p" , — /?'", ec. Otter- remo per esempio i coefficienti G , GW , G('*) . ec. GW ( n." 73. ) dell'Equazione, che somministra gli / valori di M nelle Parabole della prima delle supposte specie 3 cioè della Del Sic. Paolo Ruffini o'2() £ k t)' = Mx , cangiando negli esponenti della x indicati nel (S.^n.^yS.)/? in — />, e prendendo nelle linee prima , {k-+-i)esima, {2.k-^i)esima, ec. {fk'¥-i)esÌTna della (XXIII) i coefficienti del- le potenze della x, che ne derivano, ossia prendendo nelle accennate linee i coefficienti delle potenze x'"~'* , a;"'"^'''*'^) , 77. Poiché negli esponenti di quelle potenze della x nel- la (XXIII), che somministrano i coefficienti G, G(*), ec. per le Equazioni in M i numeri p , p' , p" , ec. /?(*) si deggiono non già sottrarre, come nei ( 3." n.° 78; 4-° ec. n.° 74. ) , ma sommare con il numero a ( n." 76. ) ; potrebbe accadere, che ne risultassero dei valori troppo grandi , e per opporci a questo inconveniente bisognerà trovare il limite de' valori medesimi, limite, il quale vedremo determinarcene un al- tro dei valori f •, f , f" i ec. /(''), oltre quelli che sonosi stabiliti nel ( n.° prec* ) . Prescindendo per brevità dalle podestà intermedie, le podestà della :ir principali , che si so- no considerate nei ( n.' 78, 74, 76.), hanno per quanto si è detto nei numeri medesimi , nel caso nostro gli esponenti m—a , m— ( a-^-fp ) , m—{ a-¥-fp->rf' p' ) , m—{ a-ir-fp-\-fp->rf"p" ) , ec. m—(a-^fp-^-fp-^f"p"-\-ec. h-/(c)^(c)j. ^^ \^ natura degli esponenti stessi esige, che le quantità, le quali si sottrag- gono da m , siano non > m . Dunque dovendo essere ciascu- na delle o, a-^fp, a-^fp-^fp\ a-^fp-^-fp-\-f"p', ec. a-hfp-^f'p'-hf"p"-+-ec. -¥■/(') p('=) non > 772 ; ne verrà in cor- rispondenza/non > ~^,f' non > .^-(^-^/-p) ^ f non > y, jcc./ non>- . Se poi ac- cadesse, che qualcuno di questi/,/',/", ec. uguagliasse la frazione corrispondente , come se t'osse per esempio /" = m—{a-i-fp-t-f'p') ,, . , . , , . ,,, -n , allora 1 valori ulteriori, nell esempio nostro /",/'", ec./ diverrebbero tutti zero. 33o Affezioni delle Curve Algebraiche ec. Vogliasi per esempio nella (III) « = 5, a = 'ò, e vogliasi, che le Curve ad essa assintotiche corrispoadeiitemente allo 1 stesso diametro yzzsUx siano le tre Parabole v'=Mx •> I a v' ■='h\x ,u— M;i; . Avendosi in questo caso/7=i, /; = 3j js'ssi, h =: 2, , p" = HyJi =3; ed avendosi ^ := y = i -1 » T^ = _ =: j — , sarà /■-= I . Inoltre poiché risulta "~-^ • = k—p ^ a. " •' ' T= ^, ed -^ = ^^^ = f =1 , dirò essere/' = ,. ed/"=o. Che se fosse re = 6; ottenendosi allora -^ = y=a, resterà /= i ; per essere ^~' - = — , ne verrà /' = o ; ed a- vendosi inhne ^ ^ ^ ' = y = i , ed p— n = — = i , si ri- caverà / " = I . 78. Corrispondentemente al medesimo asslntoto rettilineo, e diametro rispettivamente j = L'a: sia la Curva dell'Equazione (III), supposta come nei ( n/ 73 , 74, 76. ), fornita dei 2,/"-+- a/' _(- a/"-t- ec. -t-a/'(*) rami iperbolici nel ( n.° 74- ) j *^^ abbia inoltre a/(*-^')-)-ay(*-+-=')-l-2/(*-^3)_^ec.-H a/(*-*-'^) rami parabolici /-^i) p(*-^a) ^(^-^3) delle specie 7;' = M« ***' , «' = M^ **** ,t;'=M:«; **^ , k, ec. 'y' = Mx '^ ponendosi siccome nei citati ( n.' 74 > 76. ) (XLVIII) gradatamente — f- < — ^ < — f- < ec. < — -f-, < -| (fc^a) (6^3) (5-»-c) *4.4-a *ì-h!? '^Wc < ec. < -| . . Domandasi il valore di Del Sic. Paolo Ruffini 33 i tutti I numeri f. f\ f", ec. /(*) , /(*^') , /(^-^^), ec. /(*-*-^) e quello di tutti i coefficienti M . Dt^termino da prima come nel (n.°74.) i valori/,/',/" ec./ ; poscia trovate le due quantità n—fk—f'k —f'k — ec. f (k -*- p ) , divido quella per k , questa per k —p paragono, e proseguendo il discorso, ed il calcolo pienamen- te come nel ( n.° 76. ) si otterranno gli altri valori / , f '*'" , f '^ ec. / '^'^ .Cosi i valori de'coefficienti M si determi- neranno rapporto alle prime /-h/-+-/" -f-ec. -f-/ Equazio- ni come nel ( n.° y4- )? ^ riguardo alle altre / -+-/ -t-/ -1- ec. -t-/ come nel (n.°7D.). 79. I .° 1 valori di ^, che succedono immediatamente a quegli esponenti nelle Equazioni delle Iperbole ( n.' 74. 78. ) possono essere zero; e così possono essere zero quei valori di /?j che precedono immediatamente gli esponenti delle E- quazioni delle Parabole (n.'76,78.): perciò potrà essere nel (n.° 74-)7? =J9 =ec.= o, nel (n.°76. )/?:=/»' = ec. = Oj e nel ( n. 70. ) p =: p = ec. = o , ovvero (JH-i) (Ì-+-3) Jf =p =: ec. = o . a.° Pel (n.°7i.) l'esponente massimo -j- (n.°76.), -^ e A-t-C (n.°78.) nelle Equa/ioni appartenenti alle Parabole assintotiche proviene sempre dall'uguaglianza nella Serie (XLI) del termine m — n-^n^ con uno, 0 più dei termini, che lo precedono . Che se la Curva data sia priva di rami parabolici , e ne contenga degli iperbolici ; allora rimarrà determinato nella maniera ora accen- (*) nata l'esponente massimo — -|- (n.''74.) oppure lo zero (preci.*). b Tomo XVIII. V V 33a Affezioni delle Curve Algebraiche ce. 3." Dai ( II/ 73 , 74» 76 , 78, 19 , ao. ) apparisce aversi f =/*. , J""=fl - n , e'f *'*'"' =fk ^fk ^fk , .0. 6 ,(i) (i-t-i) &-4-I ec. = //t-4-/'>t^-+-/"\-t-ec.-H/ A^-+-/ 'a e =ijk-Jt-fk-hfk-^QC.-^f k =/i (prec.a. ) ed aversi r=a,r ^jk-^-d.r =^fk-\-f'k -^a^T ^=:fk-^f'k -^fk -^a:", gc, 1 I A («•'■' '=fk-^f'k -^-f'k -^ec.-irf fir^a ,r(^ ^ ' ' z=fk-i-fk -ir-fk -i-ec. -i- f k^-hf k, ■+- a , ec. ,^*^ =:fk-^fk -\-fk -t-ec.-t-/^ A; = /i . ~ 1 a •' i-*-c Se mai mancassero i rami parabolici , e il massimo valore di P ( n.° 69. ) fosse — ìT' ( "•" 74- )» o\\ov2l avremo b *■' =/l = r =:fk-¥-fk •+•/ k -t-ec.-t-/ «. I - a ' i j e se mancando I rami iperbolici le Parabole della specie v'=Mx (n.°76.) fossero quelle del massimo esponente; in tal caso avrebbesi AO K A • ^ -^ ." ^ .'" ^ ». ^ (/-^/-f./"*ec.-f./*^ 4. Avendosi er > r > r > ec.>r''* , e rapporto alle paraboliche r' < (n.'76,78.). In tutti questi valori poi si osservi dover es- sere r* > e, r* > e, r > e" , ec. e i' ultimo soltanto ^(/■^/'+/''-Hec.V^'*''^)^^r/+/'^/'.^ec.-H/f*-»-'^)); e ciò perchè , mén- tre si ha quest'ultimo necessariamente =n ( prec' a.°, 3.°) deve poi essere A " non = o , e ciascuno degli altri coeffi- Olenti A , A , A , ec. = o ( n.' 27 , 09. ; . 5.° Poiché si ha a'=a—f(k=izp),a" = a' — f'{k±p'), a'"=a"-f"ik±p"),a'"=a"'-f"'{k±f'),ec.{n.'YÌ,7^,7^-) prendendosi , laddove si trova il segno doppio, il segno su- periore quando si tratta d' Iperbole , e 1' inferiore , allorché trattasi di Parabole , e poiché nelle Parabole, avendosi /?>Oj e ^ < I , risulta k>p, k >p, k^>p" , k^>p"' , ec; ne segue, che tanto relativamente alle Iperbole, quanto riguardo alle Parabole do- vrà essere a> a'> a" > a"'> ec, e l'ultimo di questi valo- ri sarà lo zero ( 1° a°, 3°, n.° 76, n." 76. ) . (b-t-c) _ ... 6.° Acciocché ^ sia realmente il massimo degli es- ponenti supposti nel ( n." 78. ) , per quanto si è detto nei ( prec.' i.°, n." 74, 76 , 78. ) dovrà risultare (XLIX) 334 Affezioni delle Curve Algebraighe ec. costituendosi da questi quoti il valore di f , Ho posto in k rt/? il doppio segno , affin di comprendere tanto il caso, nel quale si vuole, che l'esponente ultimo apparten- ga, come nei ( n.' 78, 76. ) ad una Parabola, quanto il caso, nel quale tale esponente si volesse appartenere ad un'Iperbo- la , appartenendo allora a tante Iperbole anche tutti gli espo- nenti , che lo precedono ( n.° 1^. prec. i .° ) • L' uguaglianza poi (XLIX), è chiaro, che seco porta le uguaglianze col nu- mero re, che sonosi esposte nel ( prec. 3.° ) , e viceversa. La condizione finalmente, che -^ sia l'esponente massimo, produce una limitazione nei valori dei numeri f, f f", ec. , come apparisce dal doversi verificare 1' Equazione (XLIX) , e dal dovere in essa i due membri esser numeri interi . Posto a cagion d'esempio a = a.2,, «=a3, vogliasi, che corrispondentemente allo stesso assintoto, e diametro /=L':*:, la Curva data abbia 2,f-t- of' rami iperbolici delle specie a^ I v' = Mx , u':=M^ , e a/" rami parabolici della spe- eie i>' = M* ^ ; e si domandano i valori de' numeri /,/',/"', a ponendo, che ?;' = Mx^ sia la Curva assintotica del massi- mo esponente . Poiché sihaA=3, — p •=■ — % \ k =2, — /'' = — i; h =5,/> =a; «=:a3, « = 2a; e pero -j- = — = 7 — , rj— = -^ = 4 -r 5 pel (a." n.° 73. ) potrà / uguagliare uno dei numeri o, i, a, 3, 4- Risulta -é—=- ., r ,= -r— — r = — g-— , ed è evidentemente per ciascuno dei valori di / ^-^~>- Del Sic. Paolo Ruffini 335 ^- ; dunque potrà /' pel ( 3.° n.° 74. ) ottenere uno dei valori interi, e positivi, che sono < ^^i— . Finalmente a- vendosi "-^^=±:|^', _f:L ( n.» 78. ) = a-f(k-^p)-nk^:*±) a = ■"'~/~ > e dovendo per l'ipotesi essere z;'=Ma;^ la Cur- va asslntotica dell' esponente massimo dovrà aversi ' Y~'^-' = '-^=¥^ ( prec. 6.° ) =/" ( 5.° n.° 74 , n.» 76. ) . Ora da questa E(|uazione ritraesi /' = -i^"-^ , e deve /' avere un valore int< ro e positivo; dunque dei cinque valori o, i, a, 3, 4, non potrà / ottenere che il solo 2, , perchè è per questo solo , che /' acquista un valore intero e positivo, cioè il valore i . Fatto poi /= 2 , /' =: I , siccome risulta ^ ~ [ ■ = ^ = 3 , '"" 3 = "3" = ^ -» '^''"^ aversi /" = 3 ; ed essere realmente ^ l' esponente massimo , come si è supposto . Frattanto si osservi di quanto questa condizione, che sia -r. 1' esponente massimo limita i valori di/, e di/': i cinque valori o, i, a, 3,4 di / si sono per tal condizione ridotti al solo a, e i di- I •! •• -i aa— 5/' ... - versi, che u limite — ^ — ci somministrava per /' sonosi ri- dotti al solo r . 7.° Supponghlamo , che in questo esempio vogliasi per /prendere un altro dei suoi valori diverso dal 2, per esem- pio I , ed un altro qualunque siasi, purché opportuno per /' ; e sicrnme in questa ipotesi non può più verificarsi l' E- quazione ^ = ^ e perciò non può più essere v' = Mx^ la Curva assintotica del massimo esponente (prec. 336 Affezioni delle Curve Algeeraiche ec. 6.° ). Supponghiamo, che tal Curva del massimo esponente 1 Pi 5 A3 sìa dopo della v' = Mx , \a v = Mx > e vogliasi determi- nare r esponente-^ , ed i numeri f, /", /'" . Non avendosi a3-3/— a/' aa-S/— 3/' , . , . ,. g — - = j — ^, dovrà la prima di queste quantità essere maggiore della seconda ( n.' 74, 78. ), ed essere questa se- conda non -< o . Sostituiti pertanto quelli tra i precedenti valori di /, e di f, che fanno verificare tali condizioni, po- tranno essere valori di /" tutti gì' interi positivi , che sono < — — 3 - ( 5.° n." 74 , 76 , 78. ). Finalmente volendosi — 1' esponente massimo , ed essendo l'i ~ h ' h -P'" h-p'" aa-5/-3/'-3/" , a3-3/-a/'-5/" aa-5/-3/'-3/" = — *3 -p'"^ ' "^ ^^"^ r^ = k^' — » e per „'" i^!^f^f—-if' , -,„ a3— 3/"— ar— 5/"" conseguenza |- = ^3_3)-_;y,_y» , ed / = V^-^ ; on- de dal conoscimento dei numeri/,/', /" otterremo l'espo- nente richiesto £— , ed il chiesto numero /'". Prendasi /= I ; dovendo quindi essere/' <-^^^^ = 5 |. , potrebbe perciò/' avere uno dei valori o, i, a, ec. 5; ma esser deve ancora ^ — — > 5 — — , ossia a cagione di /= I, ?£=£ > I7=¥; ^ jg ^yj gj j.;j.3y^ f< ^ ^ 1.^ inoltre P ipotesi di/':=5, producendo ''^~ ' = -|- , fa sì che risulti /"=o. Dunque volendosi, che tra le nostre Curve assinto- tiche esista attualmente eziandio quella della Equazione v'=Mx , onde non sia/" = o, vedesi che /' non potrà ave- 3' Del Sic. Paolo Ruffini SSj re che uno dei due valori 3 , 4- Ova corrispondentemente a nuesti si ha ^7-3/' _ '7-9 — 2. - , '7"^! = UZll^ — i ^ questi SI na -^ 3 ^3^ 3 — 3 — ^3 Dunque nella supposizione di /' = 4 avendosi /" = i , e nel- r altra di /' = 3 avendosi f"= i , a; ( prescindasi dal vaio- re di/" = o ) dalla successiva sostituzione quando si pone v"' 5 /= I , /':=4»/' = ^ ■» otterremo '—— = — , quando si pò- ne y= i,/' =3, /":=!, otterremo -p ^ -^ , e quando si pone /■= I ,/' = 3 , /" = a, otterremo -^ = —, risultando , • I J y-"' a3-3/-a/'-5/" poi nel primo e nel secondo caso / := ^ = i,e nel terzo /""^a. Pertanto, allorché si attribuisce ad/ il va- lore 1 , non potrà alle supposte z»' = Mr , u' = Ma; j "5" i;' = Ma; succedere nel caso nostro immediatamente, come Curva assintotica del massimo esponente , che una delle tre 1 4_ j_ Parabole -o' =M.x ',u'=M:c ^ ,v' = ì^x " , ed /,/',/",/'" avranno in corrispondenza i valori ora esposti. Così trovere- mo , che quando si suppone f= 3 , dopo le tre Curve sup- poste quella dell'esponente massimo è la Parabola v' = 'M.x , avendosi in corrispondenza /== 3,/*= f , f ' = i , /' ' = 1 . Non considero gli altri due valori o, 4 ^^f' p'^i^hè 1' ipo- tesi di f=so porterebbe la mancanza della Curva assintotica a "3" v' z=zMx , e l'altra di y= 4 produoenJo /'=:o, porterebbe I la deficienza dell' altra Curva v = Mx Quanto si è detto nel!' esempio presente, si dice, ed 338 Affeeioni delle Curve Alcebraiche ce. egualmente si pratica in qualunque altro caso somigliante . Supposto, che date in generale le Curve assintotiche aventi gli esponenti (XLVIII) ( n.° 78. ) si trovi., che come nell'e- sempio precedente sotto certi valori dei numeri f,f', f", ec. non si verifichi 1' Equazione (XLIX) : non essendo più in que« (i-i-c) X sto caso la Curva dell' Equazione v' = M:ir '*'" V assintoti- ca dell'esponente massimo; supponghiamo, che tale sia una P susseguente, che porrò espressa dall'Equazione v'=Mx ■*"<^"^' > (b-t-C-t-i) (i-*-c) dove l'esponente £■ sia > ^ -,6 sia da determi- '^b-t-C-i-I "b-t-c narsi opportunamente . Per simile determinazione , e la ri- spettiva dei numeri/,/',/", ec. /f*"*-''-^'), eseguisco prima i soliti paragoni e calcoli; giunto quindi ad ottenere i due ri- sultati (XLIX), osservo dover in questo caso essere il primo di essi maggiore del secondo, e dover essere (b) (i-4-1) (J-t-a) (b-^-c) n-jk-fk-^ec.^f k -f k -f k — ec— / k I b J-f-i ^-Ka i-l-c ■ T, ~ Ì-4-C-+-I th\ (b) (J-f-i) (J-Hi) (i-l-a) (J-i-a) (i-*-c) (b-ha] ••*-p )-f (k -p )-f (h -p )-ec.-/ (k -p b-^-i b-i-a, b-¥-c (b-t-c-*-i) h —p b-t-c-^i Ora da quest' ultima Equazione ritraggo V altra (b) (b) (i-4-i) (J-f-i) (J-t-a) (J-t-a) (b-i-c) (i-f-c) ^;,^-.-.--^ n— a->-/>-t-/'p'-^-ec.-4-/ p —f p — / p —ec.—f p = (b) (b-t-i) (Ì-+-2) (b-i-c) „-fk-f'k-ec.-f k -f k -f k -ec.-/ k I b i-Hi i-4-a J-f-c ed in essa il secondo membro è pienamente noto , perche i b-^-c numeri/,/', ec. / suppongonsi già tutti determinati^ e le Del Sic. Paolo Ruffini SSg (J-HC) quantità n , a , p ^ k^ p', k^ ,ec.p , k suppongonsi tutte b-t-c date ( n." 78.). Dunque verrà così facilmente determinato il (b-t-c-t-i ) valor in quistione dell'esponente -£ , costituendosi da i-t-c-t-i questo nella (L) il primo membro. 8." Osservando il numeratore ed il denominatore del se- condo membro della Equazione (L) , ed osservando insieme i numeratori, e i denominatori delle frazioni (XLVIII), è fa- cile riconoscere l'andamento dell' in Jicato secondo membro; onde in qualunque caso potremo tostamente, e con molta fa- (J-*-C-+-l) cilità ottenere il valore dell' esponente massimo -^ t-+-C-+-I (i-*-c) (jH-c-f-i) n-/k-f'k - ec. -/ k Avendosi poi/ = '-j- — ( n/ 78 ^ 74, i-f-C-»-! 76,785)5 dalla (L) apparisce, che dovrà essere divisibile e- (t-t-C-+-l) sattamente per/ non solamente il denominatore, ma ancora il numeratore del secondo membro della (L) ; e da ciò (J-HC-HI) si ricava, che nell' ottenere il valore di -^ , ottienesi (i-t-c-t-i) ancora il valore di/ . Imperocché avuti ì due numeri n — a-h/p-^f'p'-+-ec., a—fk — f'k— ec. , o trovansi questi pri- mi tra loro, o si trovano composti; nel primo di questi casi sarà / = I 5 nel secondo / uguaglierà il loro mas- simo comun divisore. Nell'esempio del ( prec. 7.°) poiché, mentre si fa /= i, /' = 4, /" = t , risulta i-f-i/-»-/'— i/"=5, a3 — Sf—af — 5/"=:7 , e 5 , 7 sono primi fra loro , ne viene /"= I ; e quando ponesi /== i ,/'=3, /"=a , poiché diven- ta i-+-2/-+/'_2/"— a, 23— 3/_2/'_5/"=4, e a, 4 sono fra Tomo XVJJI. X X 34o Affezioni delle Curve Alcebraichb ec. loro composti col massimo divisor comune a , ne segue es- sere/'"= a. 80. I." Supponghiamo, che a norma del ( i." n.** 79.) esistano valori di ^ uguali allo zero , e sia per esempio nel (J-i-i) (4^a) (t-t-3) ( n.° 78 ) /? zzzp z= p = ec. = o ; avremo in questo caso il numero h supposto nel ( n." ag. ) uguale ad (4-4-1) (Jn-a) (J-k3) / k -4-/ k -\-f k -+- ec., e tale sarà il grado *-»-i i-t-a i-»-3 dell'Equazione in M nel citato ( n.° ag. ) ritrovata. a.° La determinazione dei valori diy, che corrispondono al caso di /?:=o, è più semplice della necessaria ad eseguirsi in corrispondenza agli altri valori di ^. Difatti volendosi il pre- (ÌH-I) cedente valore f , dovrei in generale paragonare fra loro n-fk-fk _/•* -ec.-/*) k, <*-^'> i due fratti '-^ -*, — f -j— ( n.° 78. ) i-t-I ^ (J-H.) ma essendo/? =0, vedesi, che basterà paragonare fra loro i numeratori delle esposte due frazioni , e dirò f = a , se si trovano essi uguali; e se trovansi disuguali, do- vendo qui ancora essere il primo maggior del secono, e ciascuno degli altri a , ec- a^ , ec. non < o . Per la stessa supposizione dì a; = co , riducendosi la j = Nx -+- ec. ( 5.° n." ag. ) alla y = N;r , so- stituisco questo valore nella (LI), ed essa ci somministrerà la serie di esponenti m — ( /i-H^-M-a ) , m — ( /i-t-^H-a')-Hj', m — ( A-t-^-»-a")-i- ay , ec. ^^ II. ('\ /; («'\ ' II. \ m — (A-4-/i-t-a )-\-ey ,ec.m—[h-^n-ira )-Hey,ec.m — (A-t-^)-H /y,ec.m — (^-t-zn-t-a )-f-e"j', ec. a y. S.° Dal paragone fra loro degli esponenti (LII) instituito giusta il solito metodo della nota al ( n.° 69.) si ricaveranno tutti y Y i valori di y nella/ = No; , ossia nella u' = Nx ( 5.° n.° 29 j n.* a, 47- ) 5 come nel (69) si determinarono i valori di ^ 6 nella v' = Mx . Qui ancora i valori di y rimarranno determi- nati secondo l'ordine della loro grandezza ( i ." n." 70. ); e per essere y<|3, e /? = o saranno tutti negativi. 81. Tra i valori di y uno sempre ne esiste proveniente dall'uguaglianza del termine m — (A-H|U) -+- Z'y con uno o più dei precedenti della Serie (LII) ; e questo valore sarà il mas- simo . La somiglianza di questo Teorema con quello del (n.°7i.) Del Sic. Paolo Ruffini H^ fa si , che simile ancora ne è la dimostrazione . Presi difatti (<) i termini m — { h -h (i -h a ) -^- e y , m — (h-hii)-\-l'y, m — (^h-h(i-^a )-4-e''7, e dal paragone del primo con gU (e) (e)_ (e") altri due ottenuti per y i due valori — ^, — ■" „ " — j os- servo, che il primo di essi è sempre minore del secondo: ed in realtà o si vuole a ■< a , o non si vuol tale ; se si ha (e") (e) (e) (e) (e") «x • a — a j ed essendo Z' — e-c, a >05 sarà ancora -£L_ > f: — ^ , e però Z — a e —a (e) (e) (e") (*"> (*> _-^< «• ~" : che se si vuole a non < a ; allora risul- i —e ^ e"— e (e) (e") _(«")_«'«) • , (e) tando — ° ^„_"^ =-,r,_, ■- non < o, ed essendo — ^ Z', ed a non ' a— a a— a' ' 9 . la (LI) per cagione di :>; = co si cangerà nella *«^ Ja -f- ec.H-I, j: / =o; y collocato in essa N;i; in vece di j , otterremo per N 1' Equa- (e') e' (e") e" (e'") e'" ,J (g) zinne L-t-I. N -hI, N -♦- L N -t-ec.^-L 'N =o; e da tutto questo , come nel (n.° 7-3.) si troverà dover essere (g) e' = k' , e = 2,1', e ' = 3A;' , ec. e = g^'; (e') .e") (e'") ,s o- — a =q,a—a -rs 2q , a — a =3^,ec.a — a '=gq. I . Ciò posto , volendosi in primo luogo il valore di g , 346 Affezioni delle Curve Algebraiche ec. paragono fra loro i due quoti —, ~ , e se li trovo eguali , io dico dover essere g = p; = | . Difatti questa uguaglianza produce V = ^=:-^ ^—ry=a,m-^{h^ii)-^Vy^m—{h-^y,-\-a)% ma m— {h-h(^i'^a) è il primo dei termini (LIV) ; dunque nel- la Serie stessa esister deve ancora m — ( /i-t-fi)-*-/'y , poiché nella (LI) si ha il coefficiente G non = o ( 5.° n.° 2,9. ) ; ed esso m — (/j-+-fi)-J-Z'y sarà inoltre identico con l'ultimo dei (LIV) ; imperciocché se ciò non si volesse , dovrebbe essere <^> , . e > Z' , e però gk > Z' , il che non può essere . Avendosi (g) U^ ) perciò e == r, a = o , ne verrà gk' :=/', a — g^ = o , e quindi g = -j^ = -. Che se si trovano i quoti -^ j ■— disuguali fra loro , ri- fletto qui ancora dover essere "p > "T j perchè se si avesse al contrario _- < -^ , ne verrebbe — "fi > — "p" j ^^ questo — y- provenendo dall' uguaglianza »2 — {h-h^-^a)=m — {h-ì- }i)-^- l'y costituirebbe un valore di y ( n." prec. ). Dun- que il minimo degli esponenti (LUI) non sarebbe più — ;^ , ma bensì — -jt, il che é contro la supposizione . La disugua- glianza poi tra j^i , ed — producendo l' altra fra m — {h-h^)-*-l'Y 3 Del Sic. Paolo Ruffini 3^y ed m—{A-+-(« -+-«'* ^ )-»-e^^V; fa si, che risulta a^* ^ > o (4.' n." 80. )• Dunque avendosi ancora a — gq "> o , e però o <; — ^ potranno in questo secondo caso essere valori di g tutti gì' interi positivi , che sono < ~ . I valori dei coefficienti N , che corrispondono all' espo- nente p- 5 verranno somministrati evidentemente dalla pre- cedente Equazione in N , ossia dalla (k'ì k' (ak') 2i' (g.i') §k' 1,-1-1, N -+- I. N -f-ec,-f-Ir N =0, (k') (aA') (sk') nella quale I, , li , I. , ec. I, non sono che i coefficien- ti nella Equazione (XXVI) dei termini x m—(h-t-p.-t-a—q) k' m—{h-t-n-t-a—2g) nk m—lh-t-n-^a'—gg) gk' X y >x , y ,^c.x y ' a.° Per la determinazione in secondo luogo del numero r 1 1 1 • i'~~gk' a — gq g , paragono ira loro le due quantità ~J~ ~^ 5 e se trovo essere queste uguali, diro aversi g '^^'~§~'=^~J~ j che se risultano disuguali , dovrà allora aversi - jf- > ~-3^ , ed i va- lori di g' potranno essere tutti gì' interi positivi < — ^ . I va- lori poi di N nella corrispondente Equazione u\ = Na; *'i dipenderanno dall' Equazione (gk') (gk'-^k\) V, (gk'-^^k\) ai', (gk'-,-g'k\) g'k\ I, -4-1, N -Hi, N -HCC.-l-Ii N =0 (gfc') rgAVi',) fgA'-Haft',) (s^'-^ih!,) dove I, j I, ,1, j ec. I, sono i coefficienti Tomo XVIII. Yy 348 Affezioni delle Curve Algebraiche ec. nella (XXVI) dei termini^ y ,x y a a n—(h-k-y^a.—gq—i.(i') ^*'-i-2fc' w— (A-H^-Ho— ^j'— g-'j') g< '-t-g'A', X y ' > Qc. X y Il valore del numero g" si otterrà dal paragone fra loro delle quantità ~^.,~^ ' , "■~^1~^ ^ ^ avvertendo che g" sarà a ' Uguale a ciascuna di esse^ quando sono esse tra loro uguali; e che potrà g" uguagliare ciascuno dei numeri interi e posi- tivi, che sono < -"~^^7^^- , allorché sia questa quantità mi- nore dell' altra ~^ ~^ ' ■ •> giacché non ne può mai essere a maggiore . \J Equazione poi (gi'-H.^'A'.) (g^-^^'f -hA' ) V (gk'^s'V ^ik') ai' I, -4-1, ' ^ N M-I. * N ^ H- ec. -^- (gh'^g-M^ ^g"k'^) g"k'^ h N =0, i coefficienti della quale non sono nella (XXVI) che i coeffi- m—ih-i-llH-ar-gq—g'q') gk'-i-g'k'^ cienti dei termini x J j m—{h-*'ti^a—gq—S'q'—q") gk'-i-g'k' ^ -i-k'^ m—{h-t-ii-t-a'—gq — g'q'—aq")X X y^ ,x gk'^gik'^H-nk'^ m^(h^lj^a-gq-g'q'-g"q") gk'-^g'k\ ■*- g"k'^ y 5 ec. X y a a "" k' somministrerà i valori di N nella Equazione u't = Nx ^ Così in progresso ; e la dimostrazione di queste opera- zioni deducesi agevolmente da quanto si è detto nel (n.'^74-)? e nel ( preced. 1.° ) . 83. I .° Allorché risulta g= -p- = y , ovvero g' = -^^f— Del Sic. Paolo Ruffini 349 = ?=££, ovvero ."^^'s^'-^'^' = «.ZiZzil' ovvero ec, dovran- n o K' a ' 1 no necessariamente i diversi numeratori essere divisibili esat- tamente pei rispettivi denominatori ; e ciò perchè , come si è osservato nei ( i .° ti.° 78, a," n." 74- ) 5 ' numeri k' , q ; k' ^ q' ; k , q" ; ec. deggiono essere infine rispettivamente primi tra loro , e in conseguenza di questo non possono le esposte eguaglianze verificarsi ^ quando non succeda l'indicata esatta divisibilità . a.° Qui ancora , come nel ( i.° n.° 75. ), quando ha luo- go una delle sovraesposte uguaglianze ( prec. i .° ) , e quindi la rispettiva unica determinazione del numero g; i valori dei g successivi sono tutti zero . 3.° Ancora nel Problema del (n.°prec.) si possono ese- guire riflessioni , e dedur conseguenze simili a quelle dei (2,.°, 3.°j 4-°5 5-° n-° 75- ) • Perciò se si vegga per esempio es- V a, sere -%< <. ~ { i-° n.° prec); diremo non essere già l'Iperbola f della Equazione «', = Nx *' quella di esponente minimo , a ma tale essere 1' Iperbola della u\ = Nx ^' ; e volendosi il valore di g che riguarda quest' ultima , troveremo essere ^= ^7 = ; = .. 4.° Nel modo medesimo, con cui nel ( n.° prec. ) sonosi determinati i numeri g,g', g", ec. delle Iperbole assintotiche , _i _ll £1 delle specie u\ = Nx *',«', = N:c *'>,«'. = N;ir ^a ec. potremo determinare i numeri delle Iperbole assintotiche delle specie u'^^^x *" , u'^^ìiix ^" , z/^=Nx ^"^ ec. corrispondenti all' assintoto rettilineo j = L> -h M" ; così si troveranno i numeri delle diverse Iperbole assintotiche che 3So Affezioni delle Curve Algebraiche ce. corrispondono all' assintoto / = L'x ■+■ M'" ; e così in pro- gresso , determinandosi sempre in simil maniera i valori dei rispettivi coefficienti N. 5,° Dai ( n,' 65j8o, 8i , 8a. ) apparisce dover essere gk"-t- g'k''^ -+■ g'T^ -H ec. -f- g''\\,= r gk"''^g'k'\^g"k'\-+- ec. -»- /'''5^"'^„= i'"* ec. distinguendo fra loro le frazioni -| , che corrispondono ai di- versi coefficienti M ', M", M'", ec, col sovrapporre alla k tan- ti apici , quanti sono gli esistenti sopra i rispettivi valori di M . 6.° Le soluzioni de' Problemi dei ( n/ 78, 74, 76, 78 , 8a,) servono a rendere più completa ed esatta la soluzione del Problema del ( n.° 58.). 35 1 CAPO HI." Della forma , che aver deve un' Equazione Algebraica, acciocché la Curva, che ne viene rappresentata sia fornita di rami iperbolici e parabolici di determi- nate specie , ed in un numero per ciascuna specie determinato. 84. i.° l--'ai ( n/ 74j 76.) sappiamo essere a =a-f{k±p)-f{k^p')-f[J<±:p")-^c.^f {k ±p ), la, h prendendosi i segni superiori , quando si tratti di Iperbole assin- totìche, gi' inferiori 5 quando trattisi di Parabole; ma abbiamo ancora r =e H- « j dunque r t< ri< Àl>) <*) eliminando a , otterremo a = r — e (h) (b) f[k±.p)-^f'{k±p')^f"{\±p")^^C.-^f {k±p ). I a b Il minimo valore , che può acquistare r (/"-+-/"-^-/"-^ec./*^ sappiamo essere e : pertanto attribuendo a quel numero quest' ultimo valore quel, che ne viene per a, cioè (b) {b) a:=f{k±.p)-^f\k :±p')-^f\k ±:p')-\-ec.-¥-f (k ±:p ) sarà il mi- la b nimo, che sotto dati valori dei numeri fjf',f", ec, k, k , k , ce. /?, p'f p\ ec. possa ricevere. (b) (/-+-/'-^-/"-<-ec.-H/ ) Siccome poi deve essere e z=fk-\-f'k -Jff'k -+- ec. 35a Affezioni delle Curve Algebraiche ec. (i) •+-/ /ci(ii-° 74-) 5 6 questa somma non può risultare > n ( n.' 19, 2,0. ); quindi ne segue, che la supposizione di (J-^i) (,/-+-/'-»-/"*ec.H-/(*)j (y^y.v/"H-ec.-4-/^ a =0 producendo r = e ? fa (i) SÌ , che dehha essere e =n{n.° 69. ), e però, che quest' ultima conseguenza procede dall' ipotesi di essere a di valor minimo. a.° Potrebbero giusta il ( i .° n." 79.) dei valori di /9 ri- sultare zero, e corrispondentemente a questi ritenute le de- nominazioni, supposizioni^ e considerazioni dei ( n.' 80, 81, 82, ) avendosi « = « -^g^-^g'g'-^g"^"-^^^-~^S ^ i^^ (g g-^g'-t-g"-*-ec.-t-g'^''\ valor minimo di a si otterrà^ ponendo a =0, (e) (e) e sarà esso perciò a = g^-f-g'^'-+-g''^''-t-ec.-4-g q . Questa i- potasi poi di a = o ha luogo sempre in cor- rispondenza deiriperbola assintotica m' = N:c '^ del massimo esponente, e l'accennato valore è sempre zero in corrispon- denza al termine nella (LI), che moltiplica /^' ( n.' 8a, 81, 3.° n." 80. ). 85. Tra le Equazioni delle Curve , le quali sono dotate (*) . di a/^-a/''-^-2/'"-Hec .H-ay rami approssimantisi rispettivamen- te ai rami delle Iperbole supposte nsl ( n." 74. ) , vogliasi determinare 1' esponente di quelle , che sono del grado mi- nimo. Del Sic. Paolo Ruffini 353 Pel ( 3." n." 79.) nel caso nostro esser deve /• = 0) e =n: dunque avremo in corrispondenza W (A) a=f{k-^-p)-^f'(k-^p)-^f"{k^-hp")-i-ec.-^-f {k^-^p )(i.°n.°prec.). (LV) Ora qualunque siasi l'Equazione (III) ( n.° i.) rappresentan- te una Curva algebraica, e qualunque per conseguenza la sua trasformata (XXIII) , il minimo valore che può ottenere 1' e- sponente m è evidentemente il numero a , e d' altronde és- (i) sendoe non>W7- = a ( n.' 78 , 74. ) , ed r >r > r >ec.>r ( 4'° "•" 79- ) ■> può benissimo supporsi nel tempo medesimo r = e , ed Tn-=a. Dunque essendo il precedente valore (LV) il mi- nimo valore, che può ricevere a { 1° n.° 84. ) col dare ad m questo valore , otterremo il minimo valore richiesto. Tra le Curve , le quali corrispondentemente allo stesso assintoto rettilineo y='Llx sono fornite di sei rami approssi- mantisi ai rami delle tre Iperbole ?;'^ = M'a;~^, v"'-=iM'x~^, v''^:=M"x~^ , di altri quattro rami approssimantisi ai rami delle 7;'^ =M'"a-~-% v"" -zziWx—^ e di due rami avvicinantisi ai ra- mi della v'^ =:M""^~', dimandasi l'esponente di quelle del grado più piccolo . Poiché in questo caso si ha -1- = — , / — ^' S;— T'/ —^^k„—k^ ~ J->f ='' risponderò, che l'esponente richiesto sarà 3(a-+-3)-4-a(a-<-i)-Hi (3->-i)=a5. 86. Cercasi la soluzione del Problema proposto nel ( n.° prec. ), mentre si voglia, che le Curve siano fornite di 354 Affezioni delle Curve Algecraiche ec. 2/H-a/"'-t-2/'"-4-ec.-i-2/'W rami avvicinantisi rispettivamente ai rami delle Parabole supposte nel ( n.° 76.). Poiché ancora in questo caso il valor minimo che può ottenere m ,è a ^ ed il valor minimo di a è f {k—p)-¥-f\k —p) -¥-f"{k —p")-^ec.-+-fi%k —pi')) ( i.° n.° 84. ); può a prima vista sembrare , che la soluzione del Problema presente de- ducasi , come quella del precedente , da questo valore di a. Ma si rifletta , che quivi mentre si ha , come di sopra r =a , ed e non >• m , dovendo poi essere r <^r •< r a ed =.fk->rfk -^f"k -t- ec. -h/ k {3.°n.°7g.), ma la massima potenza, che si può contenere della 7 nella stessa (XXIII), esprimesi con la y ™. Dunque at- (c) tribuendo ad in l'esposto valore //;-t^'^ -+-/"/; -t-ec.-f-/ k ot- terremo così il minimo valore , che può avere m , e però il minimo grado a cui può ascendere 1 Equazione (XXIII), e quin- di la (III) , onde soddisfare alle condizioni proposte dal Proble- ma , e però avremo risolto il Problema medesimo. Volendosi determinare l'esponente nelle Curve di grado. Del' Sic. Paolo Ruffini 355 minimo, le quali corrispondentemente allo stesso diametro y=.Ux godono di quattro rami delle due Parabole t>'*=M':tr, 'z;'='=:M":c, di 8 rami avvicinantisi ai rami delle quattro para- tole i;'3 = M"';«;% v'^z^Wx'', v^=zWx^, v'^^W'x'^, e di a rami avvicinantisi ai rami della u'^=:M'";c'^; giacché si ha in questo esempio ^ =^,^ =:|-,^ = -ied /=a , /'=i, y"= I , risponderò j che 1' esponente domandato è s=a. a-i- 4 • 3 -f- 1 . 5 = ai . 87. Debbano le Curve in qulstione contenere a/Va/'-t-a/"" -»-ec.-4-a/ rami iperbolici, ed insieme a/ -1-2/ -i-ec.-i-a/ rami parabolici siccome nel ( n.° 78.), essendo tutti questi. jìumerì f,f',f" y ec. dati; si chiede l'esponente di quelle tra le indicate Curve, che sono di grado minimo. Determino i valori delle due quantità. (*) (*) (*-t-l) '(^») /TVT\ 13 l Ì-4-I (J-Ha) (i-«-a) (J-4-c) (J-*-c) / (* —P )-+-ec.-4-/ (^ — /? )^ fk-i-f'k -^-f'k-i-ec.-hf k -hf k -i-ec.-f-/ A ^ (LVJI) osservo quale dei due sia maggiore , ed il maggiore costitui- rà l'esponente domandato. Difatti cominciamo dall' osservare , che rapporto ai rami iperbolici si ha (J) (h) (j^i) a=f{k+p)+f{k-i-p')+f"{k-^-p")-i-ec.-^-f {k-^p )H-a 13 b (n.° 74. I." n.° 84. ), e riguardo ai parabolici deducesl fa- cilmente dai (n,' 76., i.° n.° 84. ) essere in generale (i^i) (Jh-,) (i^x) (i^a) (5^2) (*^c) (i+c)^ (Jh-c-*-.) « =/ (^ -j» )+/ (^ -j9 )-t-ec.-H/ (/t -o )a Ora essendo dati tutti i numeri f , k ^ p -^ f\ k ^ p-. Tomo XVIII. Z z 356 Affezioni delle Curve Algebraichk ec. f'\k,p";cc.-jf yk ,p i affin di ottenere il valor minimo, che può avere a, basterà nella prima delle espres- sioni ora esposte attribuire ad a il suo valor minimo ; ma questo valor minimo di a si ottiene dall' espressione se- conda col porre in essa il valore più piccolo, che può rice- vere a che è lo zero , giacché esser deve r =e =»(n«73,4.«n»79.). Dunque , ciò eseguito, il valore più pìccolo, che nel caso presente può ottenere a sarà il precedente (LVI). Ciò posto, osserviamo, che nella Equ/izioue (XXIII) , la quale suppon- ghiamo dedotta, col porre ^ = L'* -H >', (n.^ay.), da quella che contiene il chiesto esponente minimo, che chiamo m, esi- stono necessariamente nella prima linea orizzontale la poten- ti X , e nella linea c'/"*7 •*•"■♦• «e- •*-/ ) sima la potenza e(/-t-/'-»./"*ec.*/***^ ,...,, ^ • r j 1 y" , e di più I esponente m indicando il grado della Equazione non può essere minore né di a , né di ^f'^f'^i -+-ec.-+-/ ) _ Dunque la seconda di queste espres- sioni uguagliando il risultato (LVIl) ( 3." n.° 79.) e il risul- tato (LVI) essendo il valor minimo che pnò ricevere a; ne segue, che l'esponente m acquisterà il valor più piccolo, dì cui sia capace, ogni qualvolta gli si attribuisca il più grande dei due precedenti valori (LVI) , (LVII) . Siano per esempio tre Iperbole assintotiche della specie ©'* = Mx""^ , e due della specie i;'=Ma:~', e siano due Pa- rabole assintotiche della specie r'* = M:c , tre della specie «;'^ = Mx', ed una della specie t;'^ = Mx" ; e cercandosi rela- tivamente alla medesima retta / = L'x, presa rispt-ttivaiiiente come assiutoto rettilineo , e come diametro, Tespoiiente del- Del Sic. Paolo Ruffini 35^ Ja rispettiva Curva del grado minimo , dirò , che siccome in quest' esempio risulta il valore (LVI) = 3.5-»-2.a-+-2.i -4- S.a-H i.i =28 , e 1' altro (LVII)= 3.3 -i-a.i -»- a.i -h3.5 -HI.3 = 3i , avremo T espo- nente richiesto = 3i . Se le Curve assintotiche fossero quat- tro della specie v''^ = Mx~^j tre della specie iy'* = M.»""' , e due della specie v'^ = Mx; avendosi allora (LVI) = 4.7 -I- 3.3 -f. 2 a = 41 , (LVII) = 4.4 -f- 3.a -+- 2.3 = a8 , il valore di m domandato sarà il primo 4"^ • 88. 1 ." M< rita rifl( ssione il valore ritrovato per m nel (n.° 86.), e l'altro (LVII) del ( n.° prec. ) , allorché risulta > (LVI) ; perchè in questi due casi ottiensi la soluzione dei rispettivi Problemi indipendentemente dai numeratori p, p' , j>" , ec; onde qualunque essi siansi , il grado minimo delle Equazioni j o Curve in quistione è in tali casi sempre il me- desimo . a." Le formolo trovate per la soluzione dei Problemi dei precedenti ( n.* 85,86, 87. ) ci mostreranno facilmente, se una Curva data può dipendentemente dal suo grado, e cor- rispondentemente ad uno stesso assintoto o diametro j = L':»; contenere rami approssimantisi ai rami di date Iperbole o Pa- rabole . Così dirò, che una Curva del 4-° g'ado non può con lo stesso assintoto j = L'^ avere quattro rami avvicinantisi ai rami delle due Iperbole 1;'* = M'o;"', v"^ = M"x~', perchè si ha aCa-f-i) = 6 > 4 ( n." 85. ) . 3." In conseguenza del ( n.° 71. ), delle supposizioni fatte nei ( n^' 85 , 86, 87. ) , e dell' esposto nel ( 3." n.° 79. ) appa- risce , che in tutti e tre i Problemi dei citati ( n.' 85, 86, 87.) esiste sempre nella corrispondente Equazione (XXIII) il ter- (n) m—n n mine A « jTi » e che risulta m=in tanto nel ( n." 86. ) , quanto nel (n.°87.), mentre ottienesi il valore (LVII)>(LVI) , quando poi nello stesso ( n.° 87.) si ha (LVII) non > (LVI), e nel ( n.°85. ) risulta 77» = a =»-t-j5? -♦-/'/>'-»-/"/'" -+" «e. 358 Affezioni delle Curve Algbbraiche ec. 4." Se mai si vuole , che esistano valori di /? uguali allo zero ; avremo anche allora la soluzione dei nostri Problemi ( n.' 85 , 86 ,87. ) col porre semplicemente lo zero in luogo di quei/7, che essendo zero, rendono /?=o .Se per esempio si voglia (b) (b-i) {b-2.) nel ( n.° 85. ) , che sia/? =0,/; t=zo , p =o,il va- lore (LV) diverrà (*-3) (^-3) (5-a) (i-i) (5) a-f[k-irp)-\-f\k,-Jr-p')-^ec.-irf {k -hp )-f-/ k -h-f k -\-f k S— 3 *— a b—i b e questo servirà nella ipotesi presente allo scioglimento del Problema ivi proposto . 89. Sia nella Equazione (VII) (n.°4-) •' valore L' ripe- tuto n! volte , 1' altro L" sia replicato le volte ri' , il terzo ' L'" le volte /i'" , ec. , e fra tutte le Curve, le quali, corris- pondentemente a ciascuna delle rette j = L'x , j= L"a;, /=:L"j;, ec. considerate come assintoti o diametri, sono for- nite di rami iperbolici o parabolici simili ai supposti nei(n.' 74 5 76, 78.), di cui le specie e il numero sian dati, do- mandansi come nei ( n.' 85, 86, 87,), quelle, l'Equazioni delle quali sono del grado minimo . I .° Vogliasi , che i rami, de' quali sono dotate le Curve in quistione , siano, come nei (n.' 76,86.) tutti parabolici: in questa ipotesi io dico, che il minimo grado richiesto viene determinato dal numero ri -¥• ri' ->r- ni" -\~ ec. Infatti relativa- mente alla prima retta y = L'x abbiamo le Parabole delle specie v' = Mx , v' = Mx , v = Mx ^ , ec. v' = Mx , e della pri- ma specie ne abbiamo un numero/", della seconda un nume- (c) ro /' , un numero /" della terza, ec. , ed un numero f dell' ultima (n.'76, 86.)^ e quindi chiamate i , fji , fx" , ec. (k-i) k (jb le radici della Equazione ^ = i , chiamate i , ^', , ^",, ec. fXt le radici della ^ = i, e così i, (i , ft" » ec. , (j. Del Sic. Paolo Ruffini SSg le radici della ft , ec, deducasi agevolmente pel (n.° j8.), che sono tanti valori della y reali in parte , ed in parte immaginarii , ossia tante radici o reali od immaginarie di ciascuna delle E- quazioni, che esprimono le Curve richieste , *>itte le Serie £ f Ux-h-Mx^'-i-cc.^ L'x-h(i'Mx -hec, L'x-i-{i"M.' SL pL k k Vx-¥-lli.x *-4-ec.,L';c-t-fi' M.C '-Hec.,L';»;-f-^" M. C Pi , k k Ux-\-M.x ^-hec.,L'x-*-ft' Mx *-Hec.,L'^-»-^"M^ a a ec. (e) (e) k k L*;«;-4-M;c "-^^c.^x-^-il ìAx '^-t-ec.,L'^-l-|tt' M. e 'e nelle quali il coefficiente M delle k serie della prima linea orizzontale dere successivamente ricevere ciascuno degli f (f) valori M', M", M'", ec. M ; il coefficiente M delle k, serie dflla linea seconda deve ricevere f successivi valori deter- minati; un numero y" di valori determinati deve in egual modo ottenere il coefficiente M nelle k serie della linea ter- (e) za , e cosi in progresso fino ad ottenersene un numero f dal coefficiente M nelle k serie dell' ultima linea . Dunque e ' (e) attribuen'= M^ ;e rispettivamente al diametro 7 :=L"a; ab- biansl nelle Curve stesse a rami della specie z>" = Ma; , e 6 della specie 7j"=M:c'^ : Avendosi in quest'esempio p ■= i y A = 3, /= 3 ;/?'=!, A; =a, f'=!i.; />"=a. A; =3, f"=!i, rapporto alla y = h'x;e rapporto alla y='L"x avendosi ^;=a, ^ =: 5 j f= I , /•'= 3 , /; = 4 , /'== 3 ; il minimo grado diman- dato sarà =3. 3-t-a. a-i-3. a-i-5. i-+-4. 3 = 36. Osservisi che esser deve in questo caso re'=3. 3-i-a. a-f-3. a=i9, re" =5. iH-4- 3=17 { i.° n.° 79. ), e però L' sarà radice della (VII) le volte 19 = »', ed L" ne sarà radice le volte i7=:re". a.° Siano i rami delle Curve richieste o tutti iperbolici Dkl Sic. Paolo Rupfini 36 1 dome nei ( n.* 74, 85.), od iperbolici in parte, e in parte parabolici come nei ( n.' 78, 87.). Faccio in questi casi pri- ma la somma ra'-t-re"-<-re"'-t-ec.; trovo poscia i minimi valo- ri di o ( i.° n." 84- ), denominando a, il minimo rapporto alla y = L':r, a il minimo riguardo alla y:=h"x, a il mi- nìmo relativamente alla y = L"'Xj ec; paragono i risultati n'-hn"-hn"'-i-ec. a , a , a , ec. fra di loro; e quello che I a 3 riscontro maggiore, dirò essere il minimo grado dimandato. In realtà dimostrandosi qui ancora, siccome nel ( prec. i .° ), che dalle Equazioni cercate si contengono ra' -f-/i"-»- »"'-+- ec. valori 3 reali in parte ed in parte immaginarli della y; ne se- gue, che ancora quivi, ogniqualvolta risulti re' -t-/i"-+-/i"'-H ec. maggiore di ciascuna delle quantità a , a , a , ec. , dovrà questa somma costituire il minimo grado richiesto. Ma po- tendo essa somma divenire non maggiore di uno o di più d-ei valori a , a , a , ec. se mai ciò accada ^ preso in allora il I a 3 più grande tra questi valori, e supposto tale essere a , os- servo, che risultando a >»', le Equazioni domandate, avu- to puramente riguardo ai rami iperbolici e parabolici che spet- tano alla retta / = L'x, non possono essere di un grado mi- nore di « (85, 87.); ma posto, che a esprima un simil grado , essendo questo numero a non minore di ciascuno de- gli a , a . ec. n' •+- n' •+- n'" -i- ec . , possiam sempre soddisfa- re, per quanto appartiene agli esponenti delle x ,7 alle con- dizioni ( n.* 74, 76, 78, 85, 86, 87.), che esige l'esisten- za degli altri rami iperbolici e parabolici , che riguardano le altre rette / = L''x, y = L'"x, ec Dunque ogniqualvolta sia a maggiore di tutti gli altri valori sovraccennati , verrà da questo a determinato il minimo grado , che chiedesi dal Pro- blema. 36a Affezioni delle Curve Algebraiche ec. Vogliasi per esempio , che le Curve richieste abbiano re- _ £ lativamente alla jK=L'a; due rami della specie v' = Mx s I quattro della specie v' = Mx , e due della specie I a v' =:Mx ; corrispondentemente alla retta 7 = L"^ che ab- _5_ biano sei rami della specie v"=:Mx , e quattro delle specie __ 3_ v" = Mx , e rispettivamente alla retta y = L"'x, che abbia- I no quattro rami della specie v"'=z Mx , due della specie v"'=^Mx i due della specie v"'=Mx , e due della spe- a eie v"'^=Mx . Polche in questo caso ottienesi »'= I. a-+-a. a-H I. 3=9 , o = i. 5-Ha. 3 -t- i. 4= iS, 72."= 3. a-4-a. a=:io, a =3. 7-f-a. 5 = 31, n"'=2,. 3-f-r. a-+-i. 3=11, o=a. /^-hi. i-»-i. i.= io. n' -*- n" -+• n'" =:: 3o. e tra questi il valore a = 3i è il più grande; dirò che tra le Curve, che sono dotate degli esposti rami , quelle del gra- do minimo sono espresse da' Equazioni del grado Siesimo.In quest'esempio la L' sarà radice dell'Equazione (VII) 9 volte, la L" le volte io, ed 11 volte la L'". 90. i.° Se supporremo j che i valori di L siano tutti rea- li, venendo, come di sopra il primo L' ripetuto n' volte, il secondo L" le volte n" , e così di seguito, e 1' ultimo, che dirò L , le volte n ; e se di più supporremo , che il Pro- Del Sic. Paolo Ruffini 363 blema del ( n." prec. ) debba risolversi relativamente a tut- te le rette 7 = L':t , j = L"a: , 7 = L"'x 5 ec. j = L x, consi- derate, siccome nel ( n.° prec. ) quali assintoti^ o diametri delie proposte Curve assintotiche: allora avendosi necessaria- mente n' -h n" -i- ?i"' -^ ec . -¥■ n uguale all'esponente della (VII) e però della (III), verrà sempre il minimo grado richiesto de- terminato dalla somma n' -t-n" -hn'" -ì-ec.-t-n . a." Se poi tra i valori di L ne esistono degl* immagina- rli oppure se non vuole tenersi conto di tutti i valori me- desimi benché reali; allora il grado minimo verrà a determi- narsi come nel ( n.° prec. ) , 3.° Ne! Problema del ( n.° prec. ) comprendesi ezIaHdIo il caso 5 nel quale sì voglia ^ che esistano valori di /? ugua- li allo zero, come apparisce dal ( i ." n.° 79.)- 91. Ritenute rapporto ai valori di ^ = 0 le supposizioni, e le determinazioni dei ( n.' 29, 80. ) , fra tutte le Curve, le quali oltre dei rami simili ai considerati nel ( n.° 89. ) sono dotate in corrispondenza al valore /? = o, ed all' assintoto (e) y^L'x-^-M' dei ag-f-2g'-Hag"-t-ec.-f-ag , rami iperbolici (e) del (n.° 84.), ove i numeri g,g', g", ec. g siano determi- nati; e così relativamente agli altri assintoti y = h'x-i-M", y=L'x-i-M"',ec. y=L"x-i-M\, y=L"x-+.M"„ ec. y = L"'x-hM's.,y = L"'x-\-M"^, ec.,ec. sono fornite di altri ra- mi simili ai precedenti di un numero dato ; chiedonsi quel- le , le cui Equazioni sono del minimo grado. Consideriamo in primo luogo i ag-f-ag'-t- ag"-4-ec. -Hag rami appartenenti all' assintoto y = L'x-hM' ( n." 84. ), ed osserviamo, che essendo m — (A-i-^-t-a) pel (4.° n.° 80.) r esponente del primo termine della prima linea orizzontale della (XXVI) ( n.° 29.) necessariamenffe esistente^ non potrà giammai essere m, avendosi a>a >a >ec.>a (n.°82.), può benissimo senza contradizlone supporsi a :=o, ed m=h-i-^-i-a. Dunque supposto A-l-^-f-g^-+-gY-t-g"^' -+- ec.-t-g '/ =o / questo numero o esprimerà il grado mimmo, a cui possono ascendere le Equazioni esprimenti le Curve, che corrispondentemente all' assintoto j =:L'j:-4- M sono dotate dei supposti 2g-+-2g'-Hag"-4-ec.-i-ag rami iperbolici. Nel modo medesimo si determinano i gradi minimi , a' quali possono ascendere le Equazioni delle Curve medesime in conseguenza di essere esse fornite di altri rami iperbolici simili ai precedenti corrispondentemente agli altri assiiitoti j = L';»;-hM",7 = L'a;-f-M'", ec.,7= L"j;-hM', ,y=Vx^W\ , ec. r=L"'a;-»-M' , ec; e denominati Zi , b„, b , ec. simili era- -' a a 3 4 di, per determinare in fine il grado richiesto dal Problema pa- raffono fra loro tutti i numeri a , « , «, ^ ec. n-{-n"-^n"-k-GC. *' I a 3 ( n.°8Q. ), b , b , ^, , b , ec. ; ed il più grande di questi scio- ^ -^ j a 3 4 glierà evidentemente il quesito. Siano per esempio la quantità L' ripetuta nella (VII) la volte, la L" le volte 3o , e la L"' le volte a, onde si abbia n ■=■ la, rt"=:3oj «"' = a. Relativamente alla/ = L'x vogliansi a le Curve fornite di 6 rami iperbolici della specie v'=Mx , Del Sic. Paolo Ruffini 365 e di a rami della specie w' = M:r . Rapporto alla7=:L"x supposto costantemente /? = o, onde risulti h = n"='òo , vo- gliasi ^ che si abbiano per M i tre valori M', , M", , M'", repli- cati il primo i5 volte, 7 il secondo, ed 8 il terzo , onde sia r z=. ì5 , l" = Y , l'" = 8 ( I .° n.° 80. ) j e che corrispondentemen- te all' assintoto/=:L";i;-HM', siano le Curve dotate di quattro 6_ rami della specie m" =N x , di due rami della specie m" =N,^ Il j I e di due della specie u" =N x '■> corrispondentemente al- l'assintoto /=L"j;-+-M', esistano quattro rami della specie 3 _ _i^ """ 5 "" a u" =N X , e due della u" =N x , e corrispondentemen- te all'assintoto ^ = L"^-t-M"', quattro ne esistano della spe- __1 3 eie m" =N X . Finalmente vogliansi esse Curve fornite ri- guardo alla retta y=U"x di due rami parabolici della spe- eie «'"=: M^a; . In questa ipotesi risultandoci a^=3x5-f- 1X4=195 Z»=3o-(-2X6-4-iXa-f-iXi=45 ^ = 3o -f- a X 3 -t- I X I = 37 , ^»^=3o-t.ax4 = 38, a = i.i = r, ra' -H /i"-H /i"'= I a -+- 3o -4- a = 44 > e tra questi valori essendo i =45 il valore piìi grande j es- so costituirà il grado minimo domandato. 92. Domandasi , quale debba essere in generale la forma 366 Affezioni delle Curve Algebraiche ec, delle Equazioni, le quali rappresentano quelle Curve algebri- che, che, relativamente alla medesima retta y = Ux conside- rata come assintoto, sono fornite di ay-na/'-f-a/ '-i-ec.-i-a/ rami iperbolici , essendo già date attualmente e gradatamen- te ^ come nel ( n.° 74- ), le Iperbole, alle quali i supposti ra- mi deggiono avvicinarsi. Nel {n.° prec. ) come pure nei susseguenti (n.'94.95.), nei quali si propongono due Problemi simili a questo, dare- mo semplicemente per maggiore chiarezza le operazioni pra- tiche, riserbandoci a darne la dimostrazione nel ( n.° 97); e ritenute perciò le solite denominazioni e supposizioni ( n." 74. ), comincio dal determinare il minimo valore, che può ottenere la quantità a ( 1°. n.° 84. ) e Io denomino m'. Formo quindi la serie (/) e = o, e = A;, e"=ai', c"'=3A;,ec.e =fk, rW=u=w', r^''^=m!-p, r^''" '=?«'- a/, r^^'"' =^'-3/,, ec. r'^' ^ ni - fp , (t) (f^i) (f-t-a) (/h-3) (/-+-/') e =fk,e =fk-hkr,e =fk-ho.kr, e =fk-h^k, , ec. e =fk-hfk„ r<^^) =m'-fp, /^^'"'^=m'-fp-p\ ^'^'^ ^ =m'-fp-^p',y'"'^=m'-Jp-^p', ec /-= >=m--fp-fp. (f-h-f) (/■+/'-^l) (/■-+-/'-t-3) e =fh^f'k, , e z=fk-i-fk^-^k , e =fk-^f'k -f- a^ , ec. ^ r a (LVII) /^^^^'l=m'--fp-fp\M'^^'^'^=rnWp-fp~p\r^'^^^"'^=^^ ec. y'^^'*'^' ^=m'-/p~/'p'--fY, ce. Del Sig. Paolo Ruffini 867 r^ ' =m-fp-f'p'-fy-ec.-f p -p , fi-i) (A-i) (i-J) W ^(/■*-/'-^/"*ec.-K/ ■^^)^^_fp_f^*_fY^^c.-f p -ap ,ec. (J) (4) (i) ^/-^/'-^-r-^-ec.*/ ) ^rn'-fp^f'p'-f'p'—tc.-f p ; conside- ro i valori così ottenuti delle e, e'j e", e", ec. come esponenti (e) (e') (e") (e"') successivi della 7j ; sottratti i valori delle r ,r,r ,r , ec. dall'esponente generico m, considero i risultati m — r , TO — r , m — r , m — r , ec, come esponenti rispettiva- mente della x; ed espressi con la lettera G i coefficienti, formo i seguenti termini , (fr) , . * W , , . afc (3J:) , , ,3* I I ^(A^3A..)^^_^^,_^^_3^^^ ^^^3^_^^^^ J/A-^/iO^^^.^^,,.^^.^^, ,, /^^/fc. 368 Affezioni delle Cukve Algebraiche ec. ifk^fk-i-k) fk^fk ^k [fk-*-fk -*-tik) , , t « < M, rt. ,n u Q ' ^ ^rn-(m'-fp-fp'-p")' ' i a q^ , "■ ^"i-{,m-fp-f' p'--^y")^fll^fk ^^^k ^ _^ ec.G • - '^'n- (-'-//'-/>•-/"/') /, • " , (LVIII) ec. osservando, che a cagione di essere re = e-' ■' ^ •' >=jK-h fk -^f'k -t-ec.-f-/*'^, ( 3.° n." 79. ) ed m'=f{p^k)-^f\p'^k )^f'\f^k )-Hec. -^/\p'^ -^k )■> ( n.° 85.), l'ultimo dei termini (LVIII) esser deve b («) m—n n = k X y^ (3.°n.°75.) m—m' ^^"i m—(m'—p) k , In seguito tra i termini Gx , O x y^ inter- pongo gli altri Gx y^, G"x y^, ec. G x /, ' (^) m-(TO'-D) i ^(^^^ m-(m'-ap) afe . ^ tra i termini G x y , G x y interpongo I < gli altri G a; y , G a: j^ ec.G ;c y^ ■ 5 . ^(/t) m-im'-fp) f^ , e così proseguo fino al termine G x y -, avvertendo , che chiamato G a;'"" / uno qualsivoglia dei termini in- terposti, l'esponente i esprime uno dei numeri interi, che Del Sic. Paolo Ruffini 869 esistono tra gli 0 , A, 2A; , ec. fk, e t esprime il numero in- tero prossimamente maggiore dì i e ài m' — ' "r • Poscia tra r ultimo termine della prima delie righe (LVIII) e i termini tutti della seconda interpongo, come precedentemente tanti termini, che esprimo in generale per G ^ X ■> dove i riceva successivamente tutti i valori fk-t~ì, fk-^-2 , ec. fk-i-{k — I ) , fk-{-{k H-i )» /^-+-(^ -^-a)? ec. fk-^-{2.k — 1), fk-i-{2,k -hi),fk-h{2k -j-a), ec.fk-i-{Sk —i),fk-h{U H-i) ec. fino ad /k-+-(f'k — i), e dove t esprime l'intero prossimamente maggiore di i', e di im'—fp)—{i—fk) p. Nella stessa guisa tra l'ultimo termine della riga seconda e quei tutti della riga terza r . . .... (i") «-*^'"^ i" faccio r interpolazione di tanti termini della forma G x y in cui i" riceve successivamente i valori fk^fk -^i,fk-ir-fk -+-2,ec.//t-t-/'^ -^{k —\),fk-¥-f'k M^^-^i) fk-^f'k -^-{k -Ha),ec./t-+-/'/t -^{2.k—\)Jk-+-f'k-^{o.k^\),ec. (i") fino ad fk-+-f'k -\-{f"k — 1) , ed il valore di t è l' intero pros- simamente maggiore di i'', e di {m'^fp—f'p) — {i"—fk—f'k )|- . e cosi proseguo, interpolando nella maniera medesima ai ter- mini tutti (LVIII) quei termini tutti che mancano nella serie naturale delle potenze della /,. Finalmente poiché pel ( 3.° n.°7g.) abhiamo //t-H/"A; -4-/"A; -f-ec.-^/ ^ =ra , costruisco i . . (i-t-i) m — («-+-:) re-t-i (n-t-a) m— (n-4-a) «-«-a termini k x y ^ A. x y , ec. fino al \ X ■ (m) m termine a y l- 5 I I 1 3^0 Affezioni dellk Curve Alcebraiche ec. Ciò fatto, scrivo un' E([uazione ^ la quale contenga come la (XXIII), le successive potenze j" ,j ,/'' ,j^ ^ec.y'-y I I I I I ec. ji'" in tante linee orizzontali; colloco in tali linee ^ co- me primi termini moltiplicanti le accennate podestà della 7, tutti i ritrovati di sopra Gx'^-""\G'x'^-'\ G"x"'-'" ,G"'x"'-'"\ ec. Gx'^-^"''-^\G^^-^'^x"'-*""^'\ ec. a^™> , aggiungo a questi in ciascuna riga tanti termini moltiplican- ti essi pure le corrispondenti potenze della /, , le quali con- tengano tutte le altre potenze della ^r,, che decrescono grada- 1 li • !• m—m' m—t' m—t" tamente dalle indicate x , x , x , ec. nno alla x ; e il risultato totale, che ne viene, uguagliato allo zero costi- tuirà un' Equazione, dalla quale, sostituito h'x — y invece della 7, , si otterrà la forma domandata delle Equazioni for- nite dei supposti rami iperbolici . Vogliasi per esempio la forma generale delle Equazioni di quelle Curve, le quali hanno sei rami avvicinantisi ai rami delle Iperbole v'^=M'x-\v'^=M"x-^,v'^ = M"'x-\ altri due rami approssimantisi ai rami della v'=M'x~', ed altri quattro avvicinantisi ai rami delle v'^=:M'x~', v'^=M"x~' , avendosi nella (VII) il valore L' ripetuto 7i = i3 volte. Seguendo le regole generali di sopra stabilite, e posto p=.^, A = a,/=3 •■>p=i , k==.i ,f'=i ;/— I5 k=L%J"—^ trovo immediatamente ( i.° n.° 84.) w' =± ( a -H 3 ) 3-H (i-t-i)iH-(i-f-3)2, = 2,5, e=:o,e=2,,e=4»c=o = e , (e) («') C«") , ,„. ^ . f. r =^a=im' = 2.^ , r = aa ;, r = 19 , r ' = 16 = r'* ' , e" =: IO , e" = i3 = e , f-' '=14., r^ ' = \S = r Del Sic. Paolo Ruffini 871 Formati in conseguenza i termini col fare giusta le regole stabilite , che t\ t'" , t^ esprimano gì' interi prossimamente maggiori dei rispettivi valori aS — -^, 25 — J 3 -t- -l" j , a5 — / 6 -+- — j , e degli altri i , 3, 5, e però che siano uguali ai tre numeri a4 , ai , i8; interpongo ai precedenti termini della prima linea i tre Q'^m-Hj, , G"'x'"—"y,^, Cx"— 'Vi^ • Tra il termine ultimo della prima linea e quello della seconda non ha luogo alcuna interpolazione . Per interporre poi i dovuti termini della li- nea secondategli altri tutti della terza, determino i nume- ri i"'' , ?'*, £*', f*" in modo che siano interi prossimamente maggiori de' numeri 8jg, ii, lajC degli altri i5 — (8 — 7 } y j iS — (9 — 7)^ , i5 — (ii_7)y , i5 — (ia-7 ) | , e però che uguaglino i numeri i5, i5, i^, 1^; e tali termini sa- ranno G*'"'a;'"-'5j,8, G'^:r'"-'57,9 , G^':c'"-'Vi" 5 G^''^"*— ^y,'^. Formati infine i termini A^'"x'"~'^/i'4, A'^'':c'"—'^/,'^, ec.aH/j^j e cangiato Qx<« i„ ^a-^ Stabilisco r Equazione Tomo XVIIJ. B b b 372, Affezioni delle Curve Alcebraiche ec m— a5 TO— a6 m— 27 \ \ G ;«; -+- H X -I-I X -f-ec.-t-V/ -f- ro— a4 m^aS m — a6 G' a; -h H' a; -»- 1' a: -H ec m— aa r?t— a3 m— 24 G"x H-H"x -»-r a; -t-ec m— ai nt— aa m— a3 G";c -t-H":c -I-I'" a; -h ec m— 19 ra— ao m— ai G'"« -t-H'"^ -4-r :t; -4-ec m— 18 »»— 19 w— ao G";» H-H"* -Hi" X -neo m— 16 m— 17 TO— 18 G^'x -i-Wx -+-P' X -t-ec m— i5 m— 16 m— 17 G'"'j; -f-H""* -^-r'x -t-ec m— 15 m— 16 m— 17 • ec. G""'x -t-H'""a; -f-T'-^ rn— 15 m— 16 ra— 17 G'"a; -+-H"x -t-r* X -t-ec m— 14 m— 15 m— 16 G'x -t-H'x -Hi' « -Hec m— 14 m— 15 •ec. G'x -H W'X -Hi"' X m— 14 TO—iS m— 16 G^"« -hH"'x -Hr"a: -Hec m— 13 m— 14 m— 15 A""x -HB='"'a; -h €"":«; m— 14 m— 15 A""* -H W"x -H ec. m— 15 m— 16 A'"* -hB'-x -neo. ec. (m) m, .)r. .)/." •)/.^ •)7.^ •)/.^ )/.« • )/.' ■)v," )r." -HCC.)/i . . . )/.'^ . . . )/.'^ \ = O m— 16 ,a_ i3. Del Sic. Paolo Ruffini S^S e coHocato in questa / —L'x in vece della 7. , avremo infi- ne l'Equazione domandata. q3. I ." Il valore più piccolo, che può ottenere T espo- nente m, è m', neir apposto esempio aS. Potrà poi esso m avere ciascuno degli altri valori m'-t- i , m'-i-a, m'-t-3, ec. nell'esempio a6, 37, 38, ec. a." I coefficienti M', M", M'", ec. nelle Equazioni delle Iperbole assintotiche sono radici nel caso generale delle E- guazioni ec. ^(/■^^/a^/"*^M.ec.H-/*-'Vj_J (/W^-^/"*,-«c-h/ '^ii_,*^5)^A:j H-G * M =0, e nell* esempio delle G -4- G" M* -+- G" M4 -+- G^W = o ^ G'"-»-G'"M = o, G"" -+- G' M'-t- G^" M^ = o . Quindi segue, che se sono dati attualmente i valori M' , M", M'" , ec; allora col fare le loro somme, le somme dei loro prodotti a due a due, dei prodotti a tre a tre, ec. otterremo i valori dei coefficienti G, G , G , ec. Che se gli accen- nati M'j M", M", ec. si volessero determinare dipendentemen- te da certe condizioni date: allora converrebbe col mezzo di tali condizioni ottenere prima le Equazioni (LIX) ; e quindi la soluzione loro somministrerebbe i valori degli esposti M', M", M"', ec. In questo secondo caso potendo i valori di M risultare imtnaginarii ; mancheranno in simile circostanza ^74 Affezioni delle Curve Algkbraiche ec. i rami supposti , ed esisteranno in loro vece a distanze infi- nite punti conjugati (3.°, 4-° n-° 6o, ) . 3." Tolti i coefficienti indicati con le lettere G, e i due (n) (m) A , a necessariamente diversi dallo zero ( 3." n." 75. ) gli altri tutti della E(juazione richiesta potranno avere un valo- re reale qualunque , compreso lo zero, e sempre rimarrà sciol- to il Problema del ( n.° prec. ) . 94- Si cerca la forma delle Equazioni esprimenti quelle Curve j le quali contengono af-^2f'-i-3.f"-i-ec.-+-2.f rami pa- rabolici approssimantisi a tante Parabole quali sono quelle del ( n° 76.) riferite tutte allo stesso diametro y='L'x. Determino in primo luogo il valore minimo del numero a, il quale pel { i .° n." 84.) sarà in questo caso {k—p)f^[k -p)f-h{k _/')/"^-ec.^-(^ -p')/'\ e lo denomi- no ni: determino quindi i valori delle quantità e, e , e , e , ec. r , r , r , r , ec. corrispondenti alle (LVII) , avvertendo , che mentre gli esponenti e, e' , e" , e" , ec. sono qui pienamente gli stessi , che gli esposti (LVII) , tali poi ^ , . . . . («) (e') («") (e'") non sono le rispettive quantità r , r , r , r , ec. giac- ché quivi i numeri/;, a/?, 3/7, ec. invece di sottraersi , si deggiono sommare con to', e si ottengono così i valori («) i.e') (e") (e'") r z=zm' , r = m -\-p , r :=m'-f- a/? , r = w' -+- 3/; , ec. / /-*" /■4-1 /+.a (e ) ^ (e ) (e ) r ^=m'-^fp, r :=zm'-\-fp-k-p\r =m' -ny^^-j-a;?', ec. (e ) r r=zm'-^fp-^f'p", ec. ec. Ciò fatto, e ritenuto essere m V esponente generale delle Equazioni richieste , formo i ter- . . -, (m—m') (k) Tn—(m.'-*-p) k ^(at) m— (m'-i-ap) at .... mini G^ , G a: 7. , G a; 7, ec. simili ai (LVIIIJ; interpongo, come nel ( n.*" ga. ), i termini , che Del Sic. Paolo Ruffini ^'7^ (i) m-t^^ i ^m '' sorgono dalle formole Q x y G'x"* 7 G II ec. , osservando , che qui i numeri i, i', i" , i"' , ec. nanno lo . .^ , , , , ,-,•('' ('') ('"> <'"'> stesso signilicato, che nel (n.° 92. )j e gli altri t ,f ,£ ,t , ec. esprimono gl'interi, che sono in corrispondenza prossi- mamente maggiori dei valori i, i' , i" , j'" , ec. e degli altri {m'-hfp-^f'p'-^f'y)^{i'"-f'k-r'k—fk^-^, ec. Formati inhne qni ancora 1 termini A x y , A x / » (rt-t-a) OT— («-(-a) n-t-a (m) m ' . , ,^- • ^ A a; J 3 ec. a y , costruisco con tutti \ ter- mini così stabiliti, e con gli altri, che contengono tutte ri- spettivamente le potenze inferiori della x^ siccome nel cit." ( n.° ga. ) , un'Equazione, e questa sarà la richiesta espri- mente tutte le Curve , le quali contengono i supposti rami parabolici . Cercasi per esemplo l'Equazione di quelle Curve, le qua- li contengono due rami parabolici approssimantisi ai rami del- la t;'^=M'x, ed altri quattro approssimantisi ai rami delle 1)^ ■=. M' x'^ , v'^ = Wx'^. Poiché in questo esempio si ha m' =f{k^p) -h/' {k —p' ) = I X H- 2. X I = 3 , ne verrà «=0, e=k=!ì=e^\ e"=fk-\-k =2^3=B , é"=:fk-i-f'k=2-h6=:8, W (e') (/) (e") r =m'=S,r =n2'-f-ji?=3-f-i=4=r ,r =:m'-hfp-i-p'=4-^2.=z6y r =m'-h/p-h-f'p'=8, e avremo perciò i termini ni— 3 m—4 a ^ m— 6 5 _. „, m—& 8 . ,,, m— 8 8 Gx , G"x ^y^ , Cx y^ , C" x J, = A"" x y^ . Onde fare in seguito le dovute interpolazioni , pongo i terrai- (i) (i') (i) m—t • (i') 771— t j' ^ ni generali G x y , G x y 1 ^ poiché supposto il I 076 Affezioni delle Curve Algebraiche ce. primo numero i=i , ed il secondo i' successivamente = 3,4? 6,7, trovasi con le regole stabilite in corrispondenza (0 (i') t =4,t =5,6,7, ^5 ^ termini da interporsl saranno m— 4 m— 5 3 m— 6 4 m—i 6 m— 8 7 Cx /^ , G"'x y , C'-x / , C'x 7 , 0""^ 7 . Finalmente avendosi n-=fk-^f'k, =2,-i-aX3=8 , e però risnl- (n-i-i) TO— (ra-t-i) n-»-! m— 9 9 (n-*-a) ni— (n-t-a) n-t-a tando A. X y ■=. A''x / > A a; y = 7»— 10 10 A*a; y , ec. 1' Equazione cercata sarà la Gx m— 3 H X m—^ Ix m— 5 m— 4 tì'x m— 5 r* m— 6 m— 6 t- ec. ) ■ hec. )/, ìrCC.fyt" I- ec. )/,' ( m— 6 ^^ m — 7 m — 8 \ , G^x -f-H-'a; -i-l^'x -hec.Jy,^ ( G-/-' + H-'/"' +1"":.'"-" -Hec.)j.7. ( A'""*'»-8-t- B'""a;'""' H-G'""a;"~"' -H ec.)/.^ ■ A'*:c ^ H-B"^ -4-ec. y/,9 -f- (m— 10 \ A'x H-ec. /7,'°-+- (C'x (g"x'"-'+h"^'"-'h-i"^ G'"a: -t-H"'a; ^Vx ^ ec. (ct) m a y Del Sic. Paolo Ruffini 'Ò'J'j mentre in essa si sostituisca / — iJx in vece di y • Le stesse Equazioni relative ai coefficienti M'j ec. e le riflessioni stesse j che si sono fatte nel (n.°93.) hanno luogo qui ancora, g5. Richiedesi, quali debbano essere le Equazioni di quel- le Curve, le quali relativamente alla stessa retta y=h'Xf (}) sono fornite di a/^-a/'-»-2/"-(-ec.-+-2/" rami iperbolici , e di (t-»-i) (Ì-+-3) (*-t-3) (&-t-c) 3/ -+-2/ -4-2/ -f-ec. -+-a/ rami parabolici simili agli esposti nel { n.° 78 ) . Denominato al solito m' il minimo valore di a determi- nato come nel ( n." 87.), trovo in primo luogo, operando giusta il ( n.° 92.) gli esponenti (LVII) , e poscia i termini (LVIII) . Ottenuti così i valori » a h .(«^•^ -^ ^ ^^rri-^fp-fp-ry-^c.-f p (n.»9a.), e denominato il primo di questi H, il secondo w", truovo giusta il (n.° 94.) i termini che succedono agii accennati (LVIII), e compreso 1' ultimo di essi , tali saranno i seguenti (H) m-m H ^^>^^) m-{^m."^p )H-<-*6^, (H-H2Ì. ) m-(^"+ai, ^w (H-^3tj_^P m-.{m"-^3p ) H-h3A^_^^ (H+/ k, ) m-{,m"^f p X ^ X y ,ec,iG X H-f/ k, y. » ' X y . (LX) 378 Affezioni delle Curve Algebraiche ec. ^ X y ec. * ,„ j*"**'), ^*-*-^) (*-»■») (*-«-») (*•<-») (S-t-fi) (i-«.a) ^ a; Fra tutti i termini fin qui trovati faccio le interpolazioni do- vute ( n.' ga, 94')» operando rapporto ai termini da inter- porsi ai termini primi come nel ( n.° ga.)e rapporto a quel- li, che si deggiono interporre ai secondi ^ ponendo, giusta il ( n.° g4')> che nei termini i-Hi .b-t-1 (5-t-i) G771— C (i ) (i ) i (« ) ^_.(i ) i G a;™""* j , G x ^ y , ec. il numero (i-t-i) ì esprima uno dei numeri H-Hi, H-»-3, ec. H-i-^ —I , H-t-A; , H-»-A; -+-r , Hh-^ -t-a, ec. H-+-aA — i,H-i-2A -4-i,H-»-aA; -t-a, ec. H-h3^ — i » (*-t-i) (*-»-aì H-i-3^ -f-i , ec. H-t-/" A; — I , il numero i rappre- (i-Hl) (J-Hl) (J-+-1) senti uno dei H-t-/ /; -t-i, H-t-/ /; -t-a, ec. H-f/ A; -t-A; — i l-i-i h-*-\ b-hi J-t-a (J-t- ) (S-t-i) (S-«-i) H-l-/ ^ -t-A; -+- I, H-j-/ A -hA -»-a, ec. H-»-/ k -t-a^ — i, i-*-i b-i-a, b-t-t J-t-a i-Hi i-t-a (b-i-i) (b-*-i) (b-*-i) (i-na) H-^^ k -4-a& -+-IjH-+-/ a -t-a^ -t-a, ec.H-t-/ /; -h/ A — i. è-t-i J-»-a ^-Hi i-4-a b-t-i t-t-a il numero i esprima uno dei valori Del SiG. Paolo Ruffini 379 H-t-/ /;-+-/ k -hi, H-f-/ k -hf k -H3, ec. (i^i) (A-f-2) (i-t-i) (*-t-a) H-f-/ ^ -+-/ A -^-^ — I, H-t-/ A -h/ ^ -1-/; -»-i,ec.ec. b-t-i i-Ha J-»-3 J-»-i fcH-a i-t-3 (i-Hi) (i-+-a) (i-f-3) H-+-/ A -+-/ /; -h/ k —I ; e così in progresso: i-4-1 i-Ha i-1-3 t-t-i i-+-a J-f-3 . e ponendo, che ai numeri t , t , t '' , ec. si attri- buiscono rispettiva/Dente i valori prossimamente maggiori de- (b-Ti) (J-t-a) (ì-h3) (i-t-i) (J-^J) gli i j j , i ec, e dei ni"-h{i — H) -j- , b-i-i (ÌH_,) (h-fi) (J-t-a) (J-f-i^ (J-1-2) (6-t-i) (i-Hi) (i-+-a) (i-pa) (/«"+/ p )-H(i -H-/ A ) -^ , (/«"-h/ /. H-/ / )-< J-i-i i-t-a (Ah.3) (Jn-a) (4-f-3) C-t-S) (i _H— / k —f k ) -Er , ec. L'ultimo dei i-+-a h-*-ì *i-<-3 termini (LX) pel { 3." n.^ 79. ) si ridurrà evidentemente al- («) m—n n (n— J) m— (n-t-i) n-HT 1' A :c j . Quindi formati in fine i termini A X X 9 (n-«-a) m— (re-i-a) n-+-a (n-t-3) m— ;«-f-3) n-t-S (m) m A X y , A X y ec. a y , costrui- I -^ I I geo siccome nei citati ( n.' 92, g4- ) con tutti questi termi- ni insieme e gli altri , che corrispondentemente "a ciascuna podestà della y contengono tutte le potenze inferiori della X un' Equazione ; e questa , collocato / — h'x in véce della / sarà la richiesta. Siano per esempio u' = M'j;— ", v' = M"x~^, v' = M'x~^, v'=M"x~', le iperbole, v'^=M'x , v"^=M'x le parabole, alle quali si vuole , che accostinsi i rami di una Curva -, e se ne cerca l'Equazione generica. Essendo in questo caso —p= — n, b o-t-i 6-4-c f=i,f =a,/ =1,/ =1, Tomo XVIII. C e e 38o I /* ' .>iV---V '•='1 Affezioni delle Cukvf. Ac.geuraichb pc. e pero fk-hf /c,-h/ k -+•/ A, = ? fl. i-»-2. i-j-r. ó-t-i. 2.z=n , f(k-^-p)-i-j (k-^p ) -4- ■^ b ' / (A — /> )-¥-f [k —p )=a. 3-1-2,. a-+-i.a-+- 1.1 = 1 3, pei ( 3.° 11.° 79, n° 87. ) avremo «=9 , 772'= i3 ^ e quindi » pel ( n.° 92. ) tf=o, e'=i, .?"=a, e"'=3, e'"=4=A, «"=7, e'"=9=ra ; fé) , («') '«") (e"') „ (''") „ (e") „ (e"') f =13,/- =:ii,r =9, r =0, r ■=i^=:tn , r =0, r =g=« . Si otterranno perciò i termini m— 13 ni— II m — 9 a m — 8 3 w— 7 4 G:c , O'x y^, G"x y^ , G"x y , G'"x / , m— 8 7 ?7i— 9 9 G""* j , hl'x y ; e tra i primi cinque di questi termini non ha luogo alcuna interpolazione; tra il quinto ed il sesto , per essere to"=7 , (i-t-i) H=4 ^ ^t = 4- , 8Ì dovranno interporre i due termini m— 8 5 m— 8 4 G'u; y , G*"';»; 7 , e tra il sesto e V ottavo ossia V ulti- ^h->,-c^ mo avendosi -^t = — j si dovrà interporre il termi m — 9 8 "i-t-c ne m— IO ic G^''^: y , Per conseguenza, aggiunti i termini A'* / , (m) TO ec. a y , si otterrà nella seguente l'Equazione domandata, m — 8 771—9 * I 771-11 77» — 13 m— 14 (G;r -t-Hx -+-ec.)-+-(G'ar -+-H':c -Hec.)/ -t-{G"a; -t-H";c -4-ec.)/ -¥■ m— 8 m— 9 S 771-7 771—8 4 771-8 771-9 ^ (G"'a; -4-H"'a: -Hec.)j -t-(G"';c -l-H'";»; -l-ec.)/ -H(G''.r -t-tr^t; -f-ec.)/^ 771 8 771^^ 6 771—8 771 — 9 7 (G"';»; -hH'x -+-ec.)y^-4-( G""^ H-H"'x -f-ec.)7^-+-(G'"":c 771 — 9 771 — IO 9 771 — IO IO (tTI) 771 (A"x -»-B"x -+-ec./) -(-(A'o; -t-ec.)/ -4-ec.H-a / =o. 771 — O 771— IO 8 -+. H*^"'^ )y^ Del Sic. Paolo Ruffini 38l nientre in essa in vece di / si ponga / — h'x . 96. I .° I valori dei coe-fficienti M nelle Iperbole verran- no generalmente compresi nelle Equazioni (LIX) { a." n." g3. ); e i valori dei coefficienti delle Parabole si comprenderan- no dalle (H) (H-t-*, ) k, (H-Hat,_ ) a.lc. (H-h/ k,^) f It, (A-t-i) (i-»-i) h-t-i (H-+-/ k. ) (H-t-/ kr^ H-i, ) k. (H-t-/ ^,,^,-^'^^b^ri^ ^"^i-+-a G ■*"-+-& **^M*'^VG ■^' M (i^i) (i-i-a) (6-i-a) ec. (B-fi) (i-t-a) (Zl-t-c— i) (H-+-/ A, -1-/ A:, ^ -t-ec.-+- /■ t .1. ì t r«-+-i) (5-(-a) (J-t-c— 1) tr M -t-ec.-H dove è facile a vedersi, che si applicano quelle riflessioni medesime, che abbiamo esposte nei ( a.° 3.° n.° gS.), 2.° Supponghiamo , che a norma di quanto si è detto nel (£-4-1) (*-t-a) ( i." n.° 79.) si abbia nel ( n.° 78. ) /» =o,p =0, ec. p =0, e posto b-^c=r.> supponghiamo, che le Equazioni "^k " ~~k k v'=Mx '■-*■■ , v'=Mx '-^'» , ec. vr=Mx ''•*■■' esprimano le Parabole riferite al diametro y='L'x, alle quali si avvicinano (r-*-i) (r-t-2) (t-*-s) rispettivamente 2/ , 2/ , ec. 2/ rami della Curva sup- 38a Affezioni delle Curve Alcfbraiche ec. posta. Volendosi in questa ipotesi la soluzione del ProbleniH del ( 11.° 95.), non dovremo che eseguire il metodo esposto in tal numero , avvertendo però nei termini (LX) e nei va-, Ì-+-I J-4-a J-i-3 ior'ìt , t ^t , ec. del citato ( n.'gS. ) di porre lo (J-Kl) (Ì-*-2) (i-t-3) (J-c) zero invece dei p , p , /? , ec. p onde la x ne- gl' indicati termini (LX) , e nei suoi interposti avrà sempre in questo caso 1' esponente m — m". Cambiando poi nei citati (LX) e negl'interposti le lettere è, e rispettivamente nelle r^ s ; e collocando in vece della H la lettera H* esprimente li valore H-h/" k ■+-/ k -+-ec ■+-/ k , otterremo COSÌ da quelli i termini , che nelle Equazioni richieste di- pendono dai rami approssimantisi ai rami delle Parabole «>' = Ma; '■■*-' , v'-=Mx """^^ , ec. ora supposte. 3.° Per la determinazione dei valori dei coefficienti M nelle (J-i-i) (i-+-a) (J-4-3) (i-t-c) Equazioni, nelle quali si ha j» =/? =/> :=ec.=:/? =0, ^' avvertasi , che si otterranno bensì gli stessi termini delle E- quazioni (LXI) ; ma a cagione di essere »-t-i i-4-a S-(-3 J-f-c valori tutti =0, non potranno gì' indicati termini che formare un'Equazione sola corrispondente alla determinata nel ( n.° ag. ) . Dalle medesime (LXI) poi si avranno iu tante Equazio- Jr-t-l) ni distinte i valori di M coefficienti nelle v' = M;c ^-^^ , 'r-»-a) k «j'=Ma; '^-*-* , ec. mentre si cangino in esse le è , e , H nel- le r, j, H'. 97. Affin di conoscere la ragione, per cui i metodi es- Del Sic. Paolo Ruffini 383 posti nei precedenti (n' 9a,ec. 95, ) sommiiiistraiio la soluzio- ne dei Problemi ivi accennati; osserviamo, che supposto es- sere la (III) (n.°i.) l'Equazione richiesta, per essa risolti si avranno tali Problemi , ogniqualvolta , ottenuta col porre y = h'x-^y (n.°a,) la (XXIII) {n.''2.-j.), siasi in quest'ul- tima Equazione soddisfatto alle condizioni seguenti: i." che ponendo in essa (XXIII) :i: =oo, vi rimangano solamente quei termini , i quali col porre x = Mx j e /? successivamente -p -p- _p" p(^^^) /^) . . . = — ' T~ » " ^ ®^* T7 > ^^' ~T , somministrino suc- cessivamente tante Equazioni in M contenenti opportunamen- te tutti i valori di essa M, che esistono nelle Equazioni del- le Iperbole , e delle Parabole date: 2,.° che queste Equazio- ni in M siano tante, quanti sono gli esponenti p p' '< i^-*''^) — T' — k » — fc~ ®^* ^ ' ® '* prima di esse corrispondente ' a 6-t-c all'esponente primo — | contenga i soli valori di M delle prirae/ __P £ p^ Equazioni u'=M';c '',v'=M"x * , ec. ,u' = M'^a; *,e nei diversi suoi termini contenga della incognita M soltanto le po- » A ai U fk lenze M ,M , M , M , ec: M ( n.°ai. ); 1' Equazione seconda corrispondente all'esponente ^ contenga sola- I niente tutti gli f valori di M delle Equazioni __ £. _ pL ji P' v'= Mx ''', v' = Wx ^',v' = M'x *■ ec. t;' = M^^^x ^| e in essa 1' incognita M ascenda soltanto alle podestà , che vengono indicate dai numeri e , k , a,k , 3/t ec. fk e I t t I ' cosi di seguito : 3.° finalmente , che dovendo essere n l n." i5.) ^jk-^fk^ -f-/"/t^-+- ec.H-/""^/t^^^ (3.°n.° 79.) abbiasi A^"' 384 Affezioni delle Curve Algebraiche ec. diverso dallo zero (n.°ii7.), ed essendo m' il valor minimo, che, poste le condizioni dei Problemi, può ricevere il nume- ro a ( n.' ga, 94, gS. ), nella prima linea orizzontale della (XXIII) non esista alcun termine , che preceda G* (n-"?' •) • Ora col metodo da noi praticato ( n.' ga , ec. gS. ) ab- biamo prima determinati nelle linee (LVIII) tanti termini , nei quali gli esponenti della x , e quelli della/ formano tante serie aritmetiche, delle quali quelle che provengono dagli espo- nenti della Vj hanno per primi termini rispettivamente i numeri (*-+-i) (J-Hi) (4-t-a) H -+-/ A^ , H -+-/ k, H-/ k^ , ec. (b-fl) (ÌH-2) (i-4-c— i) H H-/ k^ -h/ k, H-ec.-t-/ k, ( n.' ga , gS.), e per differenze ì numeri k, k , A , ec. k , k , ec. k ; e le serie provenienti dagli esponenti della x hanno per termini primi le quantità m—m' , m—{m'—fp) , m—{m—f/f—f'p), Tn—{m'—fp—f'p'—f"jj'), (b) (b. ^ -: ec.,7?z — {^'—fp—fp'—f'[p" — ec. — / p )=m — ot"( n.'ga, gS.), m—{m''-hf p ) , m—{m"-i-f p -t-/ p ) , ec. (i-Hi) (i-t-i) (*-f-2) (*-+-a) (b-i-c—i) (3-*-c— i) m—{m"-+-f p -ì-f p -4- ec. -H- / p ) , e {b) (*.+-!) (i-f-a) per differenze i numeri y?, /»',/?",/?"', ec./> , — p , — p , (5-f-c) ec. — p . Inoltre per costruzione si ha -t ''^j A^ '^S ''A "i-t-i *3-+-a (i-(-c) a/-H2/'H-2/' H-ecH-s/" ,2/" -4-2/' -Hec.-t-a/' rami ; e cosi proseguo fino alla determinazione dei primi soli termini di quella Equazione j che dovrebbe somministrar quelle Curve, le quali contengono relativi alla /=L x gì' indicati P P P p p (b) (5-»-l) («H-2) (*-Hc) a/'-t-2/' -H2/" -f-ec.H-a/ , a/ -+-2/ -Hec.-+-2/' rami . Neil' eseguire queste operazioni , per maggiore chiarez- za e distinzione , suppongo successivamente y=.Ux-^y ( n.* 1/)-^') (p) a. ec), y=z'L" x-Ji-y' , y=iiJ" x-¥-y'' , ec. 7 = L x-^y , e suppongo con la <^ ( a:, / )=o rappresentarsi l'Equazione, che è risultata a principio, quella cioè, che esprime con Je X ^ y , le Curve , le quali sono dotate dei rami , che si sono Tomo XVIIL D d d 388 Affezioni delle Corvè Algebraiche ce. supposti corrispondenti alla yzzzUx, Equazione, nella quale Supporrò la potenza / con il coefficiente i, perchè se lo avesse diverso, potrò sempre dividere per esso tutta l'Equa- zione. Ciò fatto, poiché si ha L'x-H/ =U'x-{-y' =L"'x-+-y' =: ec.=l}-'*"^x-i-y^^\ e però y^—(L"—L')x-i-y=z{L"'^L')x-hy' = ec.={L — L')x-^Y^ , colloco nella (p {x, y ) = o in luogo della/ successivamente i valori (L" — L'Jr-!-/' ,{L"'-hL')x—y' , ec. (L — L')x-hy , e denomino <^' (a:, j' )=o, (^" (jit^j" )=:o, ec. ^ { X, y )=o le sucessive Equazioni, che ne risulta- no . I primi termini a sinistra di queste è facile a vedersi , che, se fossero rispettivamente quelli, che sonosi determinati di sopra ; e se i coefficienti loro facessero verificare le corri- spondenti Equazioni in M simili alle (LIX) ( a." n.° g3. ), (LXI) ( i.° n.° 96.); allora il Problema sarebbe risolto. Dun- que acciocché questo succeda, uguaglio allo zero nelle stes- se (p' ( x, 7' ) = o, (p" ( x,y" ) =c, ec. (p (x ,y )=o il coefficiente di ciascuno dei termini, che precedono gli accen- nati primi a sinistra ; formo con i coefficienti delle stesse fp {x,y )=o,^'(x,7' )=o, ec. le dovute Equazioni in M (LIX) , (LXI) ; e ottenute così tante Equazioni , deter- mino col loro mezzo altrettanti dei coefficienti della i^( a;,7 ) = o ; ne sostituisco i valori nella stessa -t-P')r' -*• I 1 ' I ^ t ' ' l ({loa^ -h6GX VSG'-a j;eV(6I"'a%3r"a^-*- G") /-H (3N''a^-4-I>-f.N"(y*-H (( I oa^ V4G'«'a^-(-G"')/-i-(4I'"a^-4-r>-<-N"' )/'^ V ((Sa-HG^-t-r")/ V ) . corrispondente alla (p' {x, y' ) = o, e collocato a x-¥-y" '^^ vece della y , un' altra Equazione si otterrà corrispondente alia (p" {xjy" ) = o perfettamente simile alla (LXIII), cam- biandosi semplicemente le a , /' nelle a , y" . Ma i pri- mi termini alla sinistra attualmente esistenti nella (p" {x,y' )=o deggìono essere della forma O x , G' x y' * (^" x y' *, ec. I t f X I Dunque nella (LXIII) dovrà aversi a Vg'"» VG"'a ^=0, l">a Vl"'a Vg"» *-»-Ga =oj e così dall* altra Equazione simile alla (LXIII) e corrispon- dente alla si pongano nello stesso modo uguagliati allo zero , e toltane la x , nella linea (LXVIII). Così si scrivano nella (LXIX)^ levatane la or, tutti i termi- ni, i quali nella (LXII) contengono le a:,jK a due dimen- sioni di meno della massima, nel caso nostro alla 8.", e così di seguito . Ciò fatto , si sostituisca nelle Equazioni (LXVII) , (LXVIII), (LXIX), ec. in luogo della y la quantità a -+- -^ » il che potremo eseguire assai facilmente, e sollecitamente con i metodi già nati dalla Teorica delle Equazioni ( Ruffini Teoria generale delle Equazioni n.° 80., Soc." Ital.'^ Voi. XVI. Mem. intorno ad un nuovo metodo di estrarre le radici nu- meriche n." IO. ); e scritti i risultati che ne vengono sotto ciascuna delle Equazioni (LXVI) ^ (LXVII), ec. , si sommino insieme j come si osserva in (LXIII) , primieramente tutti 'quelli tra i risultati, i quali occupano le prime linee; poscia si uniscano quelli delle linee seconde , e la somma loro si moltiplichi per y' \ fatto in seguito 1' aggregato dei risultati delle terze linee, si moltiplichi esso per 7'* ; e così in pro- gresso. Uguagliata infine allo zero la somma totale delle quan- tità, le quali per tal modo sonosi determinate, e cambiata nel caso nostro la a nelle a , a , avremo cosi le trasformate richieste / = o Del Sic. Paolo Ruffini y,^-^G'y^-hG"'y,^ =o ( a5 ^ G" a4 -+- G'" a^ ) x^-i ( Sa* -f- 4 G'" «3 -+- 3 G'" a^ ) ;*;4 ^ ( ioa' ^- 6 G'" a"-*- 3 G'" a ) x^^ (loa» -H 4 G'" a -»- G"' ) .x'' -i- ( Sa -H G" ) X -h 1 IV y 4H_l"y 3^Q'y »_^Qy —^ ( r"a4 -»- r"a3 ^ G"a" ^- G'a ) x^ -»- (4r"a3 H- 31 V -j-aG"a -¥■ G' ) x^ ^ (ór^a^-H Sr'a -H G" ) ;c"-H (4i'"a -t- r ) X -t- ( N'" a3 ^- I" a» ^ l'a ) x^ ( 3N"'a^-»-2ra -4- I' ) x» 4. ( 3N'" a -H I" ) a; -H N'" ]\-"j»^N>-t-G=o I I ( N" a^ -I- N' a -+. G ) X» + (2N"a -+-N') » H- N" py. -f- 1 = o ( P'a -+- I ) .t; ^- P' N 393 (LXVII) CLXVIII) = o (LXIX) = o = o = 0 394 Affezioni delle Curve Algedraicme ec. loo. Corrispondentemente alle successive rette y = L'a;, /=L"a- , ec. ( n." g8. ) supponghiamo , che si verifichino le ipotesi fatte nel (a." n." 96.), cosicché si abbia p *"*"*'=: o , p =o,ec./? =0,;? =0,/? =o,ec./j =0^ ec. e posto Z'-)-c=r, F-f-c'=r', ec. vogliasi, che le Curve richie- ste siano fornite in primo luogo relativamente alla y=\Jx di a/-Ha/'-4-a/"-t-ec.-Ha/^*Vami iperbolici , e di a/'*'*-Ha/'*''^ -+- ,('--»-3) (r-f-5; 27 -:-ec.-{-3/ parabolici ( a.° n.° 96.); corrispondente- mente alla ^ = L" a; di a/-i-a/' -j-ar' -t-ec.-f-a/^^^rami iper- holici, e di a/^^'"*"^-f.2/^^'*'*^H.ec.H-a/^'''*"'^ parabolici, ec. ; e ritenute le supposizioni del ( 5.° n." 83. ), vogliasi inoltre, che le Curve suddette debbano relativamente all' assintoto T ' TI/TI (*-*-l) (i-t-2) (A-t-c) . . y=^ux'\-m. contenere ag -f-ag -*-ec.-Hag rami iper- bolici simili a quelli del ( n.° 8a.); altri ne debbano conte- nere relativamente agli assintoti j = L'a;-HM", j=L'^-i-M"', ec. come nel ( 4.° n.° 83.); altri parimenti simili corrispon- dentemente agli assintoti y=L"^-t-M' , y=L"a;-4-M" , ec. , e così di seguito. Per isciogliere questo Problema , determino primieramente , come nel (n.'gS.) l'Equazione tra le x,yi esprimente le Curve, che sono dotate dei primi fra gli esposti rami assintotici , e che denomino qui ancora ^ (a;, j)=:o, osservando in ciò fare, che il grado minimo di tale Equazione dipende nel caso pre- sente dal ( n.*" 91.), e che per essere /? =0,/? =0, ec. deggiono aversi le riflessioni dei ( 2.°, S.*" n.** 96.). Sup- pongo quindi y =M'-»-y =M"-t-y = M'" -j-y" = ec. = I a a a M' -^y =:M"-t-y =ec.=ec. e chiamo ^' (^, y )=o. Del Sic. Paolo Ruffini SgS ip" (.r,y ) = o, ec.^ eo. le Equazioni, che per le successive I li sostituzioni nella rp { ar , /, ) = o si ottengono. Ciò fatto cerco i primi termini di quella Equazione, la quale rappresenta le Curve, che relativamente all' assintota . {l-^-l} (i-^-a) (i-f-3) {b-^-cy y=L x-hm contengono i ag -^-^g -+-^g -Hec.-»-ag ,. . , (*-t-i) (*-^2) , (Ì-+-3J ossia, posto per semplicità g =7» g =^7? S == 7 j ec. g =y , 1 ay-i-ay H-ay -t-ec.-t-aj' rami iperbolici voluti dal Problema , e che suppongo avvicinarsi alle iperbo- le del ( n.° 8a. ) A questo fine preso, come nel (n.^gi.), il valor minimo di a, od uno degli altri a questo maggiore, avendo però in questo secondo caso la riflessione esposta nei ( a." n." 97, 3.° n." 99. ), faccio nel citato ( n.** 8a. ) h-hfi-i- a^=.m , formo poscia per lo stesso ( n.** 8a. ) come nel ( n.° ga. ) le serie «=0, e'=>t', e"=a^', e"'=3yt', ec. 6^''=^^, m , m — q , w — ao , ??z — 'Òq , ec. m — yq ; III'*!-' i'-* > (y) ,, Ir-»-») ,, ,, (y-^a) ,, ,, ^r-nO ,, ,,, e =yA, e =:yA;-4-A; , e =7^ -+-aA; , ec. e =zy/(,-hyk , ^ — 7?» ^ — 7^ — ?' ^ — 7? — ^? > ^^' ^ — 7? — y^'i ec. e siccome queste risultano perfettamente simili alle (LVII) , proseguo lo stesso calcolo del citato ( n." ga. ) , e si otterran- no in tal modo gì' indicati primi termini. Cerco ed ottengo nella medesima guisa i termini primi di ciascuna di quel- le Equazioni, le quali rappresentano le Curve, che corri- spondentemente agli assintoti y = 'L'x-i-M", y=Ux-+-M"' ec. y=L";i;-HM' , y=L"x-t-M" , ec. ec. sono fornite dei rami iper- II bolici , che abbiam detto volersi essi pur dal Problema. Do- po tutto questo, seguitando ad operare come nel citato ( n.° 98.), uguaglio allo zero nelle ip' {x , y )=o, rp" { x,y'):=o , Tomo XVIIL E e e Sgfi Affezioni delle Curve Algebraiche ec. ^"'{x,y'J=o, ec. f^ {x,yj )=o, t//"^ {x , yJ'*"^) = o, ec. i coefficienti di tutti quei termini, che precedono queli li, che si è supposto ora di ritrovare siccome primi ; dal- le uguaglianze, che quindi risultano, determino altrettanti coefficienti della t// (x,/ )=o, li sostituisco in essa, e po- sto finalmente j — h'x invece della / , vedesì , che si otterrà nella Equazione f { x ^ y )=o , ( n.° 98. ) , che finalmente ne deriva , la domandata. Potrà ognuno da se medesimo propor- sene degli esempi. r- v TiJ .397 L' EQUILIBRIO DE' CIELI CONFORMATI A FOGGIA DI MEZZABOTTE O DI CULLA ì ,v,.. E SOLITI USARSI NELLA COSTRUZIONE DEI PONTI GALLERIE DELLE LOGGIE DELLE NAVATE O CELLE DEI TEMPLI E DELLE BASILICHE DiSCORso DI Pietro Ferroni Ricevuto il dì 5. Gennajo 1818. L Innanzi assai che i principj teorici della Statica espo* sti , e dimostrati si fossero dai Mateiyiatici, non mancarono d'elevarsi Portici insigni, non architravati come i più anti- chi, ma arcati^ ed eziandio Volte o Cieli di varia specie dall' arditezza degli Architetti . Presero questi per avventura il modello, come di molte altre Arti più manuali e più ov- vie , dai lavori degli Animali , che per naturale istinto si scavano in tondo più o meno rozzi i Cieli delle lor tane , e dei loro nidi ; in conferma di che dovettero aver presto sot- ±' occhio 1' esperimento facile del mezzuovo posato sulla sua base, e della mezza scorza comunque sottile del fusto d'un Albero segata pe 'I lungo , e messa a giacere col concavo per di sotto , che soii valevoli a reggere, soprapposti al colmo o alla schiena loro , considerevoli , e qualche volta incredi- bili pesi. Non furono già le Dottrine astruse d'Archimede, che sotto l'Imperio d' Augusto guidassero gli Edificatori del Panteone , né a' tempi di Giustiniano quei della Cupola di S. Sofia ; né i Saraceni , né i Goti durante 1' Età volgarmen- te chiamata de' Barbari sino dal DXLI. in Italia, né poscia i Teutoni andaroa dietro alle Leggi dell' Equilibrio quana' 3o8 L' Equilibrio de* Cieli ec. eressero, i primi specialmente in Granata, in Toledo, in Si- viglia, gli altri a Strasburgo, a Rheims , ad Anversa, ad Yorck , a Londra, a Westrainster , a Vienna d'Austria, a Ravenna, a Chiaravalle, a Monza, a Pavia quei grandissimi traforati Edifizj , anche senza le stringhe, biasimate a ragion dal Vignola , sostenuti sui fianchi, Edificj di gusto orienta- le, che per lo piìi mal si dicono Gotici, e maraviglian tut- tora, perchè appariscono come in aria sospesi , e retti solo mercè della loro sveltezza, ma quantunque alla vista leggie- ri sono in sostanza saldissimi . Risorte le Lettere , e tornato ad un tempo stesso il buon gusto delle Belle-Arti , ricavato- si dallo studio degli avanzi dei Monumenti antichi della Gre- cia e di Roma, non fu tampoco l'intima conoscenza del con- trabbilanciarsi delle forze e delle resistenze de' cunei compo- nenti gli Archi , e dei lor Piè-diritti o sostegni , che sugge- risse nel Secolo XIV. (MCCCLV), la straordinariamente ma- gnifica Loggia de' Priori all' Orcagna, o al Brunelleschi e Ghiberti la Cupola di 8" Maria del Fiore, arditissima sovr' ogni altra , e ciò eh' è di maggior maraviglia , lavorata di giro in giro senza centina od armatura ; né l' Ammannati in Secol più colto, cioè nel MDLX. o in quel torno, si propo- se a mio credere o ebbe tutt' agio di trar partito dagli Ele- menti della Meccanica per ideare ed erger poscia sull' Arno dentro Firenze il bel Ponte della SS. Trinità, meritamente estimato in virtù della sua nuova forma e vaghezza dagli in- telligenti amatori dello stile purgato in sì fatti particolari d' Opere pubbliche e suntuose . Egli è però vero che sebbe- ne il Brunelleschi , e dopo di lui Michelangiolo , che imma- ginò la Cupola Vaticana, non sapessero che la sacca della Curva catenaria o più o meno tesa o più o meno nei suoi punti gravata rappresentasse sempre per eccellenza I' anda- mento della figura di tutti i Cieli ben bilanciati nelle lor parti, perchè il primo a guardarla dal solo lato geometrico fu quindi il Linceo Fiorentino , come il primo a cavarne pro- fitto, e predicarla dicevole all'effetto d' impostare le Volte, Del Sio. Pietro Ferroni 899 dopo (li Giacomo Bernoulli, che la propose, par certo che fosse Io Scozzese David Gregory nel MDGXCVII.j nulladime- no quei quattro prestantissimi Artisti Toscani , dei quali ho testé dato cenno, o fosse impulso della sagacità lor naturale, o fosse frutto tenuto segreto di qualche loro speciale espe- rienza, o il caso sol lo portasse, s' avvicinaron moltissimo a quella Linea nel profilo delle precitate Rotonde, e del Pon- te sunnominato; diversi in ciò dall'Orcagna , il quale veduta in patria la Chiesa antica dei SS. Apostoli , che Carlo Magno fondò circa all'anno DCCGV., nella fabbrica delia Loggia della Signoria j e del Portico e ricco Tabernacolo d'Orsanmichele , unicamente pago di restituire nel Secolo XIV.° all' Architet- tura { esclusi i Gotici come avean già adoperato prima di lui il Cambio o Lapo, Arnolfo , ed alcuni degli anteriori Artisti Greci e Pisani in Italia ) gli Archi semicircolari o Romani allor disusati, fuorché nel!' Ordin Toscano , o Rustico che dir si debba , delle Porte Urbane , ed altri Edificj Pretorj , For- tilizi ® Castelli di sirail fatta , praticò nel restante degli or- namenti una graziosa mischianza del gentil modo e del gra- ve, insomma del Greco ^ del Latino, del Gotico, e del Mo- resco . E più del Brunelleschi alla Catenaria, senza conoscer- la , e forse immaginata altra Centina , s' accostò il Buonar- roti : perocché questi segnò talmente, e svelti i nervi, gli ossami, le coste della carcassa, ossiano i costoloni della sua Cupola , che nel sodo di essa a sentimento del Poleni vi si riscontra quasi compresa, mentre quegli all'opposto segui- tando presso a poco l'alzata della Carv a Oviforme la tempe- rò quinci col sestacuto (en tiers point , quarto acuto, come lo appella il Vasari , inversione Tedesca ricavata dal tetto o fastigio delle Case Alemanne a capanna in misura di trian- golo equilatero ), ed accortosi della debolezza nei fianchi l'ag- gravò perché non s' aprisse spingendo al didentro, col con- trappeso del Cupolino o della Lanterna, molto più ampia e ponderosa di quelle dei Greci e Pisani Artefici dopo del M. a S. Marco di Venezia, a S. Antonio, e S. Giustina di Pa- \, 4-0O L' Equilibrio de' Cieli ec. dova , e di cui 1' Antichità non ha esempio, poiché aperto in cima il Cielo del Panteone , già Tempio di Giove Ultore, chiuse affatto 1' altre Rotonde , ed al più sormontate da un fiore, da una pina, da un globo da un'urna, da una pirami- de o guglia od altrettale ornamento , come i Templi diastili d'Apollo e di Diana, i Sepolcri d'Adriano e di Teodorico, i Duomi di Pisa e di Siena , il S. Giovanni di Monza ; Lan- terna , che non osò Bramante imitare né a Città-dj-Castello nel Duomo, né a S. Pietro in Montorio dei PP. Riformati di Roma, e solamente imitata dipoi, ma in circostanze diverse, e forse fuor di proposito da Michelangiolo , se pur avesse a- busato , come parecchi tra i moderni Architetti , della Caia- naria semplice surrogandola alla composta. L' Ammannati-, phe avea bisogno pe 'I nuovo Ponte d'una Catenaria non tan- to svelta, ed anzi piuttosto assai scema, e sdrajata verso il suo colmo ; disegnò Parabolica incirca la centina , capovol- tando il vertice di ciascheduna delle due metà, e posandole a squadra sulle impostature a fin di sveltire , e render pili aperti i fianchi , e troncando le due compagne raezzecentino con ottusissimo sestacuto bastardo allo sfogo o rigoglio. Ave- va egli forse nel corso dei giovanili suoi studj potuto qual- che fiata osservare che attaccatasi lenta una corda o catena pe' suoi estremi a due punti , più corta oh' ess' era , e men che faceva sacca , più sembianza tenea d' un segmento di Parabola Apolloniana; lo che non molto dipoi a vantaggio della Balistica sperimentò Galileo, il quale ben cauto ( e r ho notato in altr* Opera ) non la disse mai coincidente, siccome non scrisse tampoco che un Arco di Cerchio fosse assolutamente la Linea oligocrona o brachìstocrona . Eranvi dunque, per così dire, latenti nella mente dei bravi Artisti , ed in particolar modo Italiani ( tra i quali Bramante nel misto di Greco e di Gotico della Certosa di Pavia, Giu- lio Romano e Jacomo Barozzi da Vignola in S. Petronio di Bologna , Pellegrini e Bassi nella Facciata del Duomo di Mi- lano , Tempio che par mìracol dell' Arte , cominciato nel Del Sic. Pietro Ferroni!^ ^of' MCCCLXXXVI. sotto il Governo del Duca Gian Galeazzo Visconti, e l'ultimo nella Chiesa di S. Lorenzo) i semi del- la Dottrina del mutuo equilibrio concernenti il congegna-» mento e la disposizione di più parti staccate, onde compor- ne o questo o quel Cielo , a mezzabotte , a schifo , a crocie- ra , a vela, a emisfero, e ben dovevano sentire che tanto il concavo quanto il convesso degli Archi andavan soggetti alla medesima legge. Sì fatto equilibrio bisognava in prima con- siderarlo fuori del caso di collegare i pezzi distinti, che for- mavano il Cielo, con cemento, con perni, o spranghe di ferro o di rame impiombate; perchè allora avrebbe voluto dire lo stesso che caricare i Piè-diritti d' un pezzo solo più o meno incavato a scodella in guisa della rammentata Roton-^ da del Re Teodorico presso al littorale di Classe. Così costu- marono in antico i Romani, a pari dei muri di smalto get- tati dentro casse amovibili, di fabbricar di getto sulle lor for- me in convesso, preparate di correnti, di tavole, di stoje o cannici, le Volte dei Bagni, delle Cloache massime, delle Conserve delle fontane, de'Sotterranei , e dei Sepolcri e Tem- pietti de' Penati o dei Lari: le quali Volte ( replicate ogo^i- giorno nei Casini di delizia, nei Coffee- houses , nelle Peremo- le, e nelle piccole èpecuXe [speculatoria) o Vedette dei Par- chi, Giardini, e Pometi moderni ) o per le commessure de* pezzi tenute ferme ed a stretta in forza dì quelle leghe me- talliche, o per convertirsi dopo d'aver fatto presa il cemen- to in un sol ppzzo di smalto, simigliante in sostanza a un massello di naturai breccia comunque enorme , ed in qualun- que concavità figurato, gravitavano a piombo senza scompor- si , e perciò senza spingere lateralmente ( laddove a differen- za degli Architravi sempre spingono gli Archi ), su i Muri, Pilastri , o Colonne rendute valevoli a sostenerle . Spogliata la considerazione dell' equilibrio di questi estranj soccorsi , impraticabili nelle grandissime Volte , o dato ancora che fossero praticabili, incerti sempre nel loro favorevol succes- so , restava sol luogo a generalizzare la Catenaria, la qua-, 4^* L Equilibrio de' Cieli ec. le ( a malgrado d' esser le rette e le porzioni de' circoli ìe sole Jinee adoprate in tutti i membri o modini d' Architettu- ra, e persino nel disegnar le Volute^ onde dar loro garbo, gra- zia, e semplicità secondo le regole di Palladio, di Jones, e d'altri valentuomini, che studiaron l'Antico, e più sensati non si lasciarono illudere da Francesco Borromini , da Fer- dinando Fuga, e da corruttori consimili del bello stile ) era l'unico semplicissimo Tipo datoci dalla Natura affine d' avere i Cieli, che nel supposto della costante Gravità Terrestre si reggessero senz'altro sussidio di per se stessi, anche caricati in sul dorso di rinfianchi , di pedate , di lastrichi , e del ri- manente corredo di siffatti Edifizj . Apparisce dai MSS. ine- diti del Torricelli che questo Geometra perspicacissimo, sor- preso nel MDCXLIV. dall'improvvisa caduta; mentr'era an- cor sulle centine, del Ponte nuovo di Pisa d' «n arco solo, disegnato e diretto da Alessandro Bartolotti ( in memoria del quale Architetto, ed avvenimento ei compose un elegante, e bizzarro Epigramma tetrastico , ch'esiste in un Codice del- la Biblioteca Magliabechiana ) , si rammentasse della specula- zione del Galileo suo Maestro per applicare agli Archi de' Ponti in preferimento d' ogni altra Curva la Catenaria come Linea di spontaneo equilibrio, chiamata poco dipoi dal Viviani di lui Condiscepolo la Catenuzza, quando si pose a penetrar- ne più addentro l' indole ed il carattere proprio in congiun- tura delle mosse e degli squarci notevoli accaduti nelle due Cupole Fiorentina e Romana, l'ultima delle quali, dopo aver fatto lungamente temere la sua rovina, sotto il Pontificato di Benedetto XIV.* fu incatenata da Luigi Vanvitelli , e la pri- ma risicò d* esserlo parimente , regnando il Granduca Cosimo HI.", da Carlo Fontana, e si spese non poco nei preparativi delle catene , per cingerla verso il mezzo della sua altezza ove pareva sfiancarsi, fino alla nostra età conservate qual argomento di non mai spento timore . Ma quel passaggiero divisamento nell' animo del Viviani non giunse a tanto dì portarlo a occuparsi della ricerca d' altre innumerevoli Caie- Del Sic. Pietro Ferroni 4°^ narie diversamente caricate nei rispettivi lor punti , le quali men semplici Catenarie veramente piìx delle prime si Gonfan- no alla |)ratica di costruire Archi e Volte o per un motivo o per r altro non mai ugualmente aggravate in tutta la loro lunghezza o contorno; di niodochè;, quantunque egli avesse, come Direttore delle Opere puhbliche del Granducato, un campo larghissimo per coltivare , e quinci ridurre a regole certe questa speciale applicazion della Statica , che all' Arte Edificatoria appartiene , ed ha i suoi fondamentali principi nella Macchina Funiculariu, nientedimeno e ntW Enimma Geometrico ch'esso propose l'anno MDCXCI. e nell' atto di disvelarlo I' anno consecutivo mediante il divulgato Libret- to, Formazione e Misura di tutti i C{eli, si contentò unica- mente d'insegnar la maniera di farne al tornio i Modelli, di ben condurne e intrecciarne le corrispondenti ossature, e di palesare la dimensione dèlia superficie di ciaschedun de'VI. Cie- li, prossima al vero di IV., esatta de' II. rimanenti, ma la stessa appuntino, che avevano innanzi a lui già trovata Pap- po d'Alessandria ove parla delle Spirali Sferiche, Gregorio di S. Vincenzo, Robervallio, Pascal, De Angelis , ed altri contemporanei, che scrissero intorno aW Unghie Cilindriche, se pure riguardo a questo sino dal MDCXLVI., come affer- ma , non gli avess' ei prevenuti . Ora accadutomi non di rado di dover progettare e diri- gere per commissione del Principe nuovi Ponti a comodo del- le Vie Regie , e Volte aperte od impiantate sotterra a buo- nificamento di Laghi e Paludi in Toscana , mi sono sempre partito nel delineare le Curve interiori ed esteriori di queste Fabbriche dalla Catenaria generalmente considerata, cioè con qualunque distribuzione di carico in sul convesso o di terra- pieno o dì smalto o di muramento alla rinfusa o di strati e fi- lari di pietre concie o mattoni o finalmente anche d' acqua, trattandosi di Ponti-Canali, e di Botti o Chiaviche sotto gli Alvei de' Fiumi . Intendo dire di quella universal Catenaria^ che per quant* io sappia ha la stessa data della brevissima Tomo XVJIJ. Fff AcA L'Equilibrio oe' Cieli ec. Dissertazione o Memoria inserita nei Miscellanei deWa K. Ak. cademia di Berlino da Gianbatista agnato d'Alessio Clairaut avanti delia metà del Secolo scorso , ed intendo eziandio di tener costante la Forza di gravità , è le direzioni sue paral- lele , come presso a poco addivien sulla Terra, escludendo, perchè inopportuna pei nostri Cieli, qualunquesiasi altra ipo- tesi e legge di Forze variabili, e tendenti ad uno o piìx pun- ti o fuochi centrali . All' effetto d' una maggior sicurezza e stabilità ho in prima supposto che le commessure e faccio lavorate delle pietre in mutuo contatto riuscissero talmente liscie che a fin di smuoverle non vi fosse bisogno di vincere nessun attrito^ ed ho tolto loro qualunque legame di calce, ferro, od altro, perchè mediante il soffregamento non valu- tato, e la mancata forza di coesione maggiormente si stesse a vantaggio nella fermezza dell'equilibrio, e nell' integrità della Volta . A tali avvertenze affidai il Ponte eseguito sull' Arbia alle Taverne nella Via Lauretana o della Valdichiana Sanese, l'altro del Fiume Pesa nella Strada Romana ( sul punto della sua esecuzione da chi n'ebbe 1' incarico un pò* disfounato ), quei sustituti ai Ponti antichi di legno nella Via Grossetana, il Ponte di Signa più volte ideato rialzarsi, ed i proposti dipoi per la Strada della Romagna passandosi da Prerailcore , per la Strada di Sansepolcro e d' Ancona in Valditevere lungo il Cerfone , per la Strada del Pontassiere seguitando le falde del Monte di Valombrosa sino a Rignano o all'Incisa lungarno a scanso del Poggio di S. Donato o dell' Apparita , e per la Strada di Rifiglio o del Casentino in com- pimento di quella già fatta sul dorso d' un ramo degli Apcn- nini ossia del Giogo della Connona. Né dissimile appoggio ebbero i Profili segnati per le Volte sotto la Zambia di Cal- ci e sotto il Fosso navigabile di Ripafratta onde inoltrare . appiè del Monte Pisano o della Verrucoia 1' acque del Lago di Sesto o di Bientina , e condurle a far capo alla Marina ..tra le foci dell' Arno e del Serr.hio; per la Mina sotto la Mucchia nel Cortonese affine d'aprire il passo alle ridondau- Del Sic. Pietro Ferro ni 4*^5 ti acque del TrasimeiioNdal Boiclieito sino a Monteccliio ; e ptir la centina della Tromba lunga un Miglio ed un terzo del Traforo o Condotto sotterraneo apertosi dentro del sodo d'una Collina colla mira benefica , e col felice fine otte.nutosi di smaltire dopo d' un antiquato abbandono tutte 1' acque sta- gnanti nel Pian del Lago o di Santa Colomba, distante quat- tro Miglia incirca da Siena, correggervi l'inclemenza dell'a- ria, e restituirlo all'aratro. Mi nacque allora il pensiere d' illuminare i Disegnatori di tutte queste Opere arcate , o Concamerazioni che debbon esse chiamarsi in vocabolo tecnico, e per far ciò proponeva- nii I .'* di ridurle insieme pe 'I solo riguardo dell' equilibrio ad un caso unico, chiarissimo, e semplicissimo; a.° di sce- verare nell' esame statico di quest' unico caso tutto il super- fluo dell'apparecchio o geometrico od analitico , che gli Scrit- tori su tale argomento, e massimamente sino dal MDCCXII. i Francesi Delahire, Parent , Couplet, Belidor , Bossut , ec. con pochi altri Italiani giudicarono proprio di porre in esse- re non tanto per 1' intelligenza della materia, quanto ancora per giugnere a dimostrare con tutto il rigore i Rudimenti di tal Dottrina; 3.° finalmente di ristringere o riconcentrare la Pratica intera di tutti i Cieli, di qualunque condizione, figu- ra , grossezza , corda , rigoglio essi fossero , in una sola Rego- la classica, e quando nell' applicarla alla specialità di questo o quel Cielo o la difficultà intrinseca della Formula o lo sta- to attuai dell' Analisi non comportasse d' utilmente servirse- ne in atto pratico, di sustituirvi i modi grafici per lume e scorta agli Artisti , cui 1' approssimazione più giova mentre sia ben diretta, ed ha sempre luogo altresì nel passaggio dal- l'astratto al concreto, posto ancora che l'Algebra sommini- strasse espressioni d'assoluto, appurato, ed esattamente cal- colabil valore , Il discorso, che meco stesso io faceva in eseguimento del primo Articolo ( talquale ebbi poi agio di comunicarlo ad un dotto Ufficiale del Corpo del Genio, stato allievo del- :j.o6 Ij' Equilibrio de* Cieli ec. la Scuola Politecnica di Parigi, che mi soggiunse alcuni sug- gerimenti suoi sagacissimi ) consisteva sommariamente nel con- siderare tutte le Volte per quanto s' aspetti al loro equili- brio come se si trattasse d' un Arco solo isolato , e posante sopra due punti fissi . Ed in vero , un Cielo andante a rnez- zabotte od a culla rovescia ( Voùte en berceau ) o come altri dicono a pergolato, sia sottile a par d'una Volterrana, sia di mediocre grandezza come una Volta reale, o composto di cunei tronchi grandi o grandissimi ( voussoirs ) come nei Pon- ti, o abbia o non abbia il concavo d' una foggia ( intrados ) e il convesso [extrados) , cioè 'i suo dorso d'un* altra, e il cui rigoglio , sfogo , od altezza contata dall' impostatura (coussinet) sino al di sotto della chiave o serraglio agguagli (ordinaire ) , superi [surhaussée), o non aggiunga ( surbaisseé) la metà della corda o della retta orizzontale frapposte alle sue impostature, ognuno (dico) di questi Cieli è il coacer- vato o complesso d* Archi scempi , tutti uguali in fra loro , eollefifati al più per mezzo di qualche morsa a scanso della scioltezza dei materiali, che così addentellati e ammorsati servono a far del totale una massa , un* opera sola senza di- stinzione o distacco continuo di parti , non altramente che l'ordito e la trama serrandosi insieme, ed accavalciandosi con- tribuiscono alla formazion della tela. Quello, che ho dianzi asserito di tutto il Cielo a mezzabotte sciogliendolo in Archi vai parimente dei Cieli composti di quattro delle sue uguali porzioni tra lor combinate, le quali compongono in simetria la Volta a schifo ( scaphìformis ) o a del di carrozza, e l'altra a crociera o a lunette, non meno che vale ancora dei Cie- li in rotondo Ossian Cupole d'ogni maniera (Foùtes en Dòme), Emisferica, Emielbissoidèa,ec., e delle loro parti simetriche o euritmiche, come la Volta a vela ordinaria, e la bizzarìa della Fiorentina , di cui menossi cotanto rumore per tutta Italia e Oltramonti in sul punto del nascimento dell' Analisi degl' Infiniti . Conciossiachè cominciando dalle Rotonde per- fette , che sono Solidi di rivoluzione , vuoti al di dentro , a Del Sic. Pietro Ferroni 4*^7 se assai vaste, una incastrata nell'altra pe '1 maggior garbo alla vista di sotto e di sopra , onde cosi raddoppiate le Vol- te, siccom'è della Fiorentina, della Romana , e di quella di San Paolo di Londra , compiuta colla direzione o soprainten- denza di Wren, dian luogo nel vano intermedio alle scale, ai corridoj , e ad altri comodi e accessi interni sino alla cima , io concepia facilmente che Cielo sì fatto era un composto o tessuto dell' Arco generatore ripetuto o moltiplicato a guisa di fascio , di carcassa , o di rosa , che partendosi dal cornuti apice della Cupola termini a questo o quello degli innume- revoli punti della periferia della base . Quindi è che uno spicchio o mezzo fuso, più o men sottile eh' e' sia, della Vol- ta di questa Cupola, largo quanto la testa d'uno de* tronchi di cunei posata sopra la base, che van digradando con pro- porzion decrescente sino alla cima, ben equilibrato eh' ei fos- se come un Arco di mezza Catenaria di pesi disuguali gra- vata nei differenti punti del suo perimetro, determinerebbe eziandio l'equilibrio dell' intera Rotonda. E parimente da un Arco di Catenaria consimile dipenderebbe la determinazio- ne dell'equilibrio de' Costoloni Ossian Archi principali o mae- stri d'una Rotonda imperfetta, la cui Pianta fosse, in cam- bio d' un Circolo, altra Curva rientrante simetrica , o Poligo* no regolare o simetrico ; perocché ogni giro od anello di cu- nei troncati, chiuso eh' e' sia ( massimamente se lavorato o posto a stretta con tutta sollecitudine ) si bilancia di per se stesso in virtìi dell' opposizion delle forze o della sollecitazion contrastata d' ognuna delle sue parti per la discesa , e mol- to più quando i pej^zi, che compongono il Costolone, stien saldi e fermi, spicchio per spicchio, dall'imo al sommo mercè, d'ella Catenaria sopi'indicata . Siccome poi la Statica insegna ( ed è ciò altronde evidente di sua natura ) che anco una porzio- ne o segmento qualunque siasi di Catenaria o diritta o rovescia Sta in equilibrio a par dell'intera, ne consegue che i Cieli, o sien parte d' un Cielo solo o più parti di più Cieli tenute a contrasto, dipendono per sostenersi dall' istesso Principio, 4^o L' Equilibrio de' Cieli ec. cioè dalla Curva d'equilibrio degli archi semplici, © delle gabbie o carcasse , per così dire, di tali archi o diritti o zoppi costrutte . Furono le Volte a vela tolte dall'Emisfero; e le Cupole a più spicchi o niezzifusi , terminati da Costolo- ni alzatisi sopra i vertici degli angoli d' un Poligono , f'uron ideate giusta il mio parere dagli Architetti non tanto a scan- so dei peducci o mensoloni , i quali reggono sempre in falso il Ciel sovrapposto , quanto a cagione che su Pianta circola- re ( e pegoio se ovata ) mal riescono i scompartimenti e gli ornati d' intercoloiij , d'Archi, di Porte, Finestre, Nicchie, Cappelle , e tutt' altro che sia dispiacevole all'occhio suhito- chè non secondi la linea retta , e non riposi o almeno non mostri di riposar saldamente su i suoi sostegni , o stipiti o pilastri o colonne, non sdrajato , non supino, non fuor di piombo; di che ce ne porge un esempio palpabile la Tribu- na rotonda della Chiesa dell'Annunziata di Firenze col con- centrico Coro interno viceversa poligono , sebben s' asserisca esser una delle Opere esimie disegnate , a testimonianza di parecchi Cronisti , da Leon Batista Alberti, Architetto filo- sofo, in confronto di Pietro Berrettini da Cortona , e di Gian Lorenzo Bernini meritissimi per altri titoli, e Scrittore egre- gio in materia di belle-Arti .Ma lasciando da parte quest'ul- tima riflessione meramente accessoria mi sembra frattanto ab- bastanza provato quell'Articolo, che in primo luogo m' era venuto in mente di dimostrare, ed è che la Statica di tutti I Cieli ha il fondamento medesimo „ unico , nitidissimo , e semplicissimo „ del Cielo a mezzabotte ^ il quale perciò ne contiene in totalità la Dottrina; che il Cielo stesso a mezza- botte dipende pe '1 proprio equilibrio da quello del solo suo Arco o Taglio o Profilo generatore ; e che quest' ultimo equi- librio finalmente s' ottiene disegnando il detto generatore in Linea catenaria più o meno composta secondo la diversità delle circostanze da introdursi com' elementi particolari nel- FEquazion generale di quella Curva -r^ = S^{s)ds, equipol- DiiL SiG. Pietro ì'ekkoìsi ^og lente a dy = |/;sF(-r)rfj)^— e ' Equazione , clic si sapeva sino dall' Anno MDCCXLIII. perchè inserita ( a pag. 270 — 2 ) nel VII." Tomo Miscellanea BeroUnensia ad incrementum Scien- tiarum ; Equazione, che in se comprende come caso specia- le la Catenaria semplice Cdx=sdy, ovvero dy=Cdx: ^x"" — C^^ dipendente per la sua costruzione dai Logaritmi ossia dalla rettificazione della Parabola ApoUoniana; Equazione conosciu- ta per tale sino dal MDCXCI , e per la cui ricerca Bossut nel MDCCLXX— LXXIV. e LXXVI. ha dovuto faticare più assai all' effetto di derivarla dall' altra Equazione G ^ = r (raggio osculatore fijd'x—dxdy ) tledotta dalla generalissima sua ( data pure sotto diversa forma e cotanto avanti da Clairaut seniore ) y-r = r(p{s) . Nella qual Funzione

P^r rispetto ad u di secondo grado; la cui costruzione geometrica , o grafica che debba dirsi, apparisce chiarissima dalla 3/ Figura, che ha il pregio d' una maggiore semplicità in confronto di quella da Couplet già assegnata pe '1 solo caso del circolar Profilo interiore ( in- trados ) della Volta proposta ad esempio d' applicazione di siffatta Teoria. Sembrò paradossa a taluni, che giudicarono Ai^ L' EquilIurio de' Cteli ec. perciò vacillante^ questa Dottrina, quando s'accorsero che la Volta pe '1 miglior garbo sorgendo a squadra dalla sua im- postatura , 1' ultima delle giunture normali posante sul Piè- dìritto , e determinante la lunghezza della faccia inferiore dell'estremo massimo cuneo troncato dopo il primo e minimo del serraglio , riuscisse infinita o fosse assintoto della Curva este- riore { extrados ), che non dissimile alla Concoide, alla Ver- siera, e ad altre Linee di questa fatta avrebbe un flesso-con- trario di qua e di là dalla chiave o dal proprio vertice , e di convessa volgerebbesi in concava . Forse ( aggiungevano ) fu questo il motivo naturalmente sentito , se non dedotto dai Principj della Meccanica , per cui gli Architetti Romani fog- giar solevano sempre in antico gli Archi dei loro Ponti in porzioni di Cerchio o Archi scemi ( bombès ) , che nascesse- ro ad angolo acuto sulle lor Pile o Pigne com' altri dicono, dei quali infra i vetusti bellissimo , e sovr' ogni credere a- dorno di bassi rilievi , di statue , e d' architettoniche digni- tose modinature ammirasi ancora il Ponte d'Augusto o Tibe- rio sulla Marecchia, non molto discosto dalla sua foce o dal Porto di Rimini , e nei Secoli di mezzo s'annovera con par- ticolar distinzione il Ponte Vecchio di Firenze, saldissimo e amplissimo, che dopo dell'escrescenza terribile d' Arno so- pravvenuta nel MCCCXXXIII. disegnò Taddeo Caddi . Vero è però che agli amatori del bello stile in Architettura , av- vezzi persino ad alzare il Semicerchio colla giunta di tanto di piè-diritto quanto importi dovendolo veder da basso , il non restarne coperto nella visuale il nascimento dell' Arco a causa deW aggetto della sottoposta cornice, dispiaccion sem- pre moltissimo questi angoli minori del retto, simiglianti a quelli dei tarsi delle palpebre { augive , ogive da aug occhio in Tedesco ) ; sì come parimente rincrescono Archi in oppo- sto senso , cioè porzioni maggiori del Semicerchio , usate dai Mauri , e nascenti ad angolo ottuso , per causa di quell' in- grato garetto (Jaret), che poco sopra l'impostatura riesce , è fa manifesto che il garbo j la maestà , ed il riposo dello Del Sic. Pietro Ferroxi 4' 5 sguardo finamente disccrnitore s' ottengcn solo nell' angol di mezzo tra gl'innumerevoli acuti ed ottusi. Né doveva a ra- gione niun Geometra o Artista consumato maravigliarsi di quel qualsisia paradosso . Imperciocché primamente ogni Ca- tenaria semplice , o in qualunque modo composta e lunga essa sia , impiantasi sempre ad angoli acuti sulla sua base , e vi vorrebbe nella seconda supposizione un peso infinito ( o impossibile ) alle sue estremità perchè si convertissero in ret- ti. Oltre a ciò potea ben prevedersi quest'incontro dell' 7;^^- nito anche senza bisogno d' interrogare 1' Analisi . Dovevano pure tutti quei cunei [voussoirs), supposti coni' erano infini- tamente sottili, agire è reagire gli uni contro degli altri col- la lor gravità respettiva, onde disporsi nello stato dell'equi- librio. Or chi non vede che V assoluta ed intera gravità del serraglio, perchè unico verticale, agisce contro dei suoi vi- cini ^ e che questi cunei, a proporzione che si discostan da quello , agiscono e reagiscono colla loro gravità relativa sem- pre meno efficace più che s' approssimano all' impostatura dell'Arco ossia all'ultimo cuneo, il qual giacendo orizzonta- le , mentre tutti gli altri son più o meno declivi , nulla op- pone di sforzo , e anzi resta inoperoso cosi , e meramente passivo? Siccome dunque in questo sistema particolar d' Equi- librio colla maggior progressiva lunghezza de' cunei compen- sasi gradatamente 1' azion della gravità , che dal vertice in giù dell'Arco^ scemando il declivio, si fa sempre minore; dove questa riesce poi nulla , in qual maniera potrebbe mai compensarsi eccettocché con una lunghezza in^/ziVa.^ L' Alge- bra secondo il suo proprio linguaggio non poteva altramente mostrare questa impossibilità d' equilibrio fuorché risponden- do o coW imaginario , che non v' avea luogo, o col simbolo dell' Infinito; e frattanto dava a conoscere che una Volta di simil sorte doveva piantarsi , a scanso dell' Infinito , sulla ci- ina tagliata in iscorcio, a sghembo o schiaccio (en biais) del suo Piè-diritto, talquale si vede segnato nella i .'^ Figura. . Segue dal precedente discorso che , inteso sempre di ra- 4'6 L'Equilibrio de' Cieli ec. gionare ,'deir equilibrio d' assestamento spontaneo, e vale a dire di pezzi sciolti ed a stretta l' uno all' altro , all' effetto che i cunei troncati ( voussoìrs ) infinitamente sottili dovesse- ro essere in lutti i punti d' egual lunghezza, e che la Cur- va esteriore ( extrados ) riuscisse parallela all' interiore ( m- trados ) , stando al significato del parallelismo generale con- templatosi per la prima volta mediante V Evolute da Leibnitz, farebbe di mestiere che la seconda fosse non altra che la Catenaria semplice Bernoulliana . Una conseguenza più estesa ^ sì è quella che dato il Profilo del concavo della Volta po- trebbesi moderare in due differenti maniere la lunghezza trop- po crescente , ed in ultimo esorbitante dei cunei nel loro pro- cedere dalla cima verso le due impostature , cioè , o collo sce- gliere materiali ( sien marmi, sien pietre , mattoni, ec. ) di diversa specifica gravità, purché non fosse tale la differenza che i più ponderosi troppo premendo i men gravi e meno compatti di grana gli schiacciassero o disfacessero , ma si te- nesse questa tra certi limiti insegnatici come i più acconci e i più comodi dalla Pratica, o con introdurre per altro nuo- vo elemento o indeterminata nella ricerca dell'Equazione lo- cale del convesso esteriore l'inclinazione o l'angolo,, per ris- petto alla verticale, delle commettiture o conventi òé' cunei; il qual angolo , quando questi conventi ponevansi normali alla Curva interna, aveva ^, ovvero una Funzione determi- nata di X , come sua tangente . Maneggiando perciò or 1' uno or r altro di quei due nuovi elementi , ridotti o considerati riguardo al Calcolo in qualità di Funzioni d'una delle varia- bili della data Curva interiore , e coi soliti volgari metodi dell' Analisi facendo simultaneamente variare gì' istessi ele- menti , ma rinserrandoli tra i confini più praticabili , e final- mente determinando quelle Funzioni all' uopo preciso di ri- cavarne la natura e l' indole della Curva esteriore , che com- pete allo stato ed alle condizioni dell'equilibrio, togliereb- besi allora quella impossibilità pratica divisata pocanzi di pò- Dll SiG. Pjetro Ferkoni ifiy ter conseguire dentro ai limiti de\ finito la risoluzlon generale del Quesito propostosi . Né a toglier di mezzo quell' infinito importuno varrebbe il ricorrere o al compenso di lasciare sca- bre, e non come innanzi liscie o brunite, le faccie dei cunei ^ onde confidare nel loro vicendevole soffregamento , o all'altro di renderli insiem collegati e coerenti per via di cemento laddove erano in prima supposti scorrevoli e liberi nel sollecitamento della loro discesa: perocché e V attrito procedente dalla scabro- sità delle fascie e la forza mutua di coesione, di cui terrò in appresso proposito , non sono né posson esser mai tali da sta- re a competenza coli' infinito . Egli é poi puro esercizio di Calcolo algebrico, qualora più piaccia, il riferire anche la Curva esteriore [extrados] come l' interiore (o Tm^ra^/o^) alle comuni coordinate normali x, /, affin di dedurne cosi 1' E- quazione^, conoscerne il grado alla maniera ordinaria, e faci- litarne la costruzione o numerica o grafica per via di punti o continua, a seconda dei casi speciali, che fossero mai per appresentarsi al discernimento ed all' esigenza dell'Architetto, o alla severa disamina dell'Analista. Posta, a causa d' esem- pio, vedendola di sotto in su, semicircolare una 31ezzabot' te., la Curva dorsale (Fig." 3." ) avrebbe per simbolo 1' Equa- zion di quart' ordine facilissima a rintracciarsi ( contate le ascisse dal centro) a;"H-7' = ( r -t- m )* = r* h- a ( ar-na) (^— ?—) in virtù della Formula antecedente trovata per «, e dell'a- dequata determinazione della costante C pel caso di a; = o , cui corrisponde Xa positiva e la negativa ordinata zt(r-(-a) ( essendo a la lunghezza della chiave ) , senza notar 1' altre due / = o , che nulla han da far-e colla Quistione, ma indi- cano un punto doppio , ed un nodo o galano ( Àf^^viaxoi; ) , che riunisce i rami o le branche di questa Linea del quarto o Curva del terzo grado , giusta la regola dei Matematici . Omesse piuttosto tutte le speculazioni analitiche estranie af- fatto alla Statica , e tenuta ferma la medesima ipotesi della Mezzaòotte perfetta , reale o Romana , dalia parte di sotto , 4i8 L' Equilibrio de' Cieli ec. contemplisi in quella vece come , equilibrata che sia median- te i cunei, che la compongono e si terminano al suo conves- so, proceda la gradazione deWe pressioni, che sostien ciascu- no dei punti del concavo dal serraglio sino alle impostature. La Formula generale della pressione era -^-^ ; e nella circo- stanza prescelta del Semìcircolo si fa semplicissima perchè r è costante, e C ( trattandosi di proporzionalità ) si può espri- mere per r" ; laonde diventa ,^ ; . Di qui si ricava che nel serraglio la pressione è come r ; giunta all' ottante , ar ; al fin del quadrante , ~ ; e vale a dire raddoppiata sol la pres- sione dalla testa ai reni, e poi rapidissimamente cresciuta si- no aW infinito dai reni a' suoi piedi . Da ciò n'è nata la spie- gazione comune del perchè queste Volte per lo piìi si squar- cino, fendansi o pelino , e qualche fiata minaccin rovina su i reni tra il terzo ed il mezzo , ove la forza premente con una specie di salto s' aumenta ; e di qui Delahire prese per avventura motivo di fondare su tal principio , specialmente adottato per gli Archi Gotici, la sua generale ma difettosa Teoria delle Volte . Del rimanente ponendo che dati siano i due Profili con- cavo e convesso d' un Arco, e che le commettiture [joints) dei sottilissimi pezzi, che lo compongono, debban esser nor- mali air interno Profilo , l' equilibrio potrà ottenersi col tro- vare la legge di variazione delle gravità specifiche dei singoli pezzi o cunei da impiegare a tal fine mediante la solita Ca- tenaria di Clairaut seniore , fondamento unico di tutta que- sta Dottrina . E difatto applicandone al caso presente la sua Equazione ^(p{s).ds = C j- , il cui primo membro esprime il j)eso dell' Arco contato dal colmo, peso composto della Som- ma dei prodotti d' ogni archetto ds per l' altezza della res- petti va commettitura^ o normale frapposta alle due date Cur- Del Sic. Pietro Ferroni 4'9 ve riferite ai medesimi assi ( prodotti o elementi da espri- mersi con una Funzione data ¥{x) ) e per la gravità specìfi- ca o altra Funzione incognita J{x), conseguirassi S F{x) .f(x),dx = C j- = C (p\x) ; cosicché differenziando si avrà ¥{x).f{x).dx = C e nelle Loggie o Peristilj delle Basiliche , e che i Francesi appellar sogliono (Fig.^ó") Plates-bandes assai me- glio degli Artisti Italiani, che con aperta fallacia hanno co- stume di nominar le Volte-piane, e Archi-piani. Qui eli' è virtù tutta della direzione ad un punto solo di ciascheduna delle commessure de' cunei tronchi se si regge quest' Archi- trave più presto che Arco, o l'intero So/^ì^^o , che n' è com- posto, e formato di pezzi diversi, e accostati di fianco 1' un r altro , il cui profilo interior' è una Linea retta , come l'e- steriore, che gli è parallelo. La tang.d prende in questo ca- so la forma di -^ , e manifesta che tutti i tagli de' cunei , i protratti, che fossero, anderebbono a ferire un sol punto co- ' me virtuale lor centro, il qual centro o punto di riunione è \ stile dei Pratici , copiatori dal fatto studio sugli Esemplari , " che s' hanno nelle Sagrestie del Duomo di Firenze, disegna- te da Arnolfo di Lapo , ed altrove , il collocarlo nel vertice d' «n Triangolo equilatero, il cui lato pareggi la corda o il Dei. Sic. Pietro Fekroni 4^^ disteso o il profilo di tutto il Soffitto , incastrato a stretta tra i due Piè-diritti , che sian Valevoli a reggere alla sua spinta. Ma perchè questa Pratica degli Architetti non riesca poi difettosa, dee ben attendersi che la perpendicolare ele- vata dal termin piìx basso della commessura estrema alla com- messura medesima non incontri la verticale condotta pel cen- tro di gravità del mezzo Soffitto fuor della sua linea esterio- re ( extrados ) , e che G non di troppo s^ approssimi ai limiti C', C" , definiti di sopra , a scanso di portar tutto Io sforzo verso la punta d'un angolo del cuneo troncato, la quale non avesse consistenza bastevol per resistere a tale spinta, che in questo caso è fortissima sovr' ogni altra j senza pericolo di frattura . Un Problema utilissimo alla negletta Dottrina delle arma- ture può ancora sciogliersi coli' ajuto delle cose premesse . Cercasi in questo con qual gradazione i cunei d' una Volta appoggiati o posati sulla sottoposta centina di legname la pre- mano nei varj punti avanti che resti serrata a forza colla sua chiave . È sollecitato alla scesa dalla gravità sua relativa ogni cuneo, ed alia salita per lo contrario da quella dei cunei , che viavia gli vengono soprapposti. Lo sforzo per la discesa, se a causa d'esempio la Yoìtsi a /nezzabotte sia semicircolare, (r—x)dx è rappresentato da ,^^^_^., e lo sforzo opposto o retrogrado da / , d'onde risulta che fin dove x = —, cioè dal col- mo dell'Arco sino al restante dell' intera Circonferenza, da un lato e dall' altro scema sempre la pressione de' cunei sul- V armatura , nel punto estremo del restante s'annulla, e da li in poi pe' rimanenti So" non esercitan quelli nessuna pres- sione , e non aggravano perciò niente la centina. In quanto appartiensi alla resistenza dei Piè-diritti , la cui massa debba opporsi in contrasto alla spinta laterale in- dispensabil dell' Arco , non diversamente da quella dei Ter- rapieni ( Remblàis , Remparts , etc. ), qualunque esso siasi. 424 L'Equilibrio de' Cieli ec. il calcolarla con espiession matematica è assai ovvia ricerca, perchè dipende dalla volgare Teoria de' Momenti nel Vette inflesso o angolare dalla 7.* Figura rappresentato . Contutto- ciò non par cosi facile il determinarla fisicamente a causa del vario modo, con cui si piegano, si sfaldano, si scompongo- no in somma, e romponsi i Solidi di specie diversa o lavora- ti d'un pezzo solo, vale a dir di massello , o composti di pez- zi o rocchi legati con calce , malta ec. ( mortier ), accapez- zati j colle lor faccie e commessure bene squadrate colio scar- pello , o piuttosto messi in essere alla rinfusa ( en moellon ) sì come lo sono la massima parte dei Pilastri o Pile o Mez- zepile ( Coulées ) delle Volte dei Ponti . All' effetto dunque di star sempre a vantaggio sulla grossezza da darsi ai Pie' diritti.) dei quali è sempre data nelle circostanze speciali r altezza j non conviene partir dall'ipotesi che l'asse virtua- le di rotazione del Piè-diritto , casochè desso cedesse alla spinta , fosse all' estremo taglio o spigolo della sua pianta , eh' è sempre di piccola consistenza , ma bensì poco indentro a motivo di non menomare di troppo il suo braccio di Leva. A quel punto indentro dell'area della base mirar dee la tan- gente della Curva o Profilo interiore dell'Arco, come quella, che secondo 1' indole e proprietà della general Catenaria è la direzione della resultante di tutte le Forze , le quali solle- citano la metà dell' Ai-co , che agisce contro del Piè-diritto . Decomposta perciò questa resultante nella Forza verticale, e iiell' orizzontale , il momento dell' ultima , la cui leva è tut- ta l'altezza del Piè-diritto, dee contrabbilanciare i momenti riuniti della prima , che ha per leva la distanza dell'estremo interno del profilo della base dall' asse di rotazione, e della Forza di gravità del Piè-diritto , cumulata nel suo centro d"" inerzia, il cui braccio di leva è la lontananza di quel cen- tro dall' asse prenominato . Deduoesi dall' Equazione tra gli additati momenti la grossezza (epaisseur) da darsi al Piè-di- ritto per l'equilibrio ; grossezza da crescersi in pratica discre- tamente per porsi al coperto d'ogni pericolo, e per non ri- Del Sic. Pietro Ferroni 4^5 correre ad imbrigliare le Fabl)riche più suntuose e magnifi- che colle catene, sempre ingrate alla vista, ed indicatrici scoperte di debolezza , e vacillamento , e d' .un ardire insul- tante, ed intempestivo dell'Architetto. Sappiamo che la For- za dell'Arco col suo sopraccarico è somministrata dall' Equa- zion generale F (a:)n -f- F'(x)n' = ( CO -f- C H' ) ,^ , e si ridu- ce a S(p{x)dx da integrarsi dentro ai suoi confini, particola- ri a ogni caso; e può di qui conseguire un metodo anche più breve di determinar la grossezza medesima dei Piè-dirit- ti . Gonciossiachè il momento della Forza orizzontale costan- te , che dal sommo della chiave dell' Arco agisce contro del Piè-diritto t ed ha per leva la distanza dall'imo della sua ba- se, dee stare in bilancia coi due momenti insieme del Peso del Semiarco avente per leva la distanza del punto di proje- zione del suo centro di gravità sulla base del Piè-diritto dal- l'aj^e virtuale di rotazione, e della Massa, come sopra, del Piè-diritto virtualmente mossa intorno all' asse medesimo . Conducono le due maniere all' istesso unico resultamento, perchè la costante espressa nella seconda era implicita nella prima , non meno che il peso dell' Arco , e si dispiegavan mediante la risoluzione della Forza unica in dirittura della tangente; laonde vicendevolmente i due modi, in apparenza diversi l'uno dall'altro, si servono di riprova o conferma. Avanti di lasciar questo argomento gioverà dare un cen- no d' un secondo Paradosso , che incontrasi nel considerare lo stato d' equilibrio delle Volte posta l' ipotesi del sofFrega- mento in^ni^o, che apparisce altrettanto fuor di natura quan- to la supposizione diametralmente contraria del soffregamen» to nullo o della liscezza assoluta preternaturale delle super- ficie dei Corpi , sino ad ora adottata . La consuetudine per una parte ornai rendutasi familiare di non attender punto al soffregamento nei Problemi ordinar] di Statica, e il sapersi da tutti per altra parte che l' Infinito è fuori affatto d' ogni misura e rapporto col materiale dell' Universo fan credere 4ai6 L* Equilibrio de' Cieli ec. immantinente che la nuova ipotesi sarebbe per essere meno ammissibile della prima ^ e per portare a piìi inconvenienti. Contuttociò il contrario n' avviene imperocché , mentre dal nulla sonosi ricavati resultamenti di costruzione impossìbile , vale a dire infiniti , dall' infinito s' ottengono viceversa di coitvuz\one possibile , perchè finiti. Io non m' appiglio per questo al partito di Couplet ( MDCCXXIX-XXX. ) col sup- porre, com'egli fece, gratuitamente ed eziandio falsamente, poiché senza niun fondamento saldo, sopra il quale s' ap- poggi la sua nuova Dottrina , che la Volta cioè scelta in e- sempio a punto/ermo nella Figura 8." difatto sempre rompa- si o tenda almeno a dividersi in quattro parti eguali ( Dela- Lire avea detto in tre, e lo seguita Belidor nella Science des Tngeniers ) , che per la scabrosità injinita deWe faccie delle rotture non possan mai scorrere o sdrucciolare l'una sull'al- tra . Allora per impedire il movimento di rotazione di quelle parti , onde la tendenza alla rottura non abbia effetto , Cou- plet medesimo riduce il Problema a rintracciar la grossezza da darsi alla Volta, che in sequela del dì lui calcolo si con- seguisce mediante lo scioglimento d' un' Equazione di 3,° grado 3 ove tra le quantità cognite ha luogo la lunghezza dell' Ottante oltre a quella del Raggio . Falsamente ( io diceva ) 1' Autor Francese si determinò a tal ipotesi , essendo certo che prima del supposto, e segnato movimento angolare, per- chè dipoi avesse luogo , dovrebbero frangersi o smussarsi i cunei ( voussoirs ) verso le ottuse lor punte ; il che non ac- cadendo, secondo lui j porta all' assurdo della tacitamente supposta coesion delle parti infinite. Guardandosi nulladime- ro sott' altro aspetto la cosa, quest'assurdo potrebbe di leg- gieri evitarsi ferma sempre l' ipotesi dell' infinito soffregamen- to , posta la quale ognun vede che non importa altrimenti ricorrere alle precedenti Equazioni , che abbracciano le due condizioni àeW Equilìbrio . E difatti ( Fig." 9." ) basta sola- mente a tal uopo che la resultante della gravezza di qualun- que delle porzioni dell' Arco, noverandole dalla chiave verso Del Sic. Pietro Ferroni 4^7 le impostature, trovi il suo appoggio stabile sul fianco del cuneo tra il suo profilo interno, ed esterno j appoggio peròj, che non fosse troppo vicino ^ per la ragione esposta di sopra, né all'uno né all' altro estremo del cuneo.) ma situato tra certi limiti , per cui tornerebbe dicevole che si distribuissero i loro punti sui perimetri di due Curve respettivamente pa- rallele a ciascun dei profili dell' Arco , Quando aveva luogo la condizione dell' equilibrio i due limiti dipendevano dalla costante C ; ma nel caso presente fa di mestieri risolvere il seguente Problema di Statica — ,, Dati i due Profili d' un „ Arco, interiore cioè ed esteriore {intrados et extrados) de- „ terminare la grossezza del Piè-diritto percbè la Forza del- ,, l'Arco, e la Resistenza del Piè-diritto medesimo si con- „ trabbilancino esattamente tra loro ,, — . Cosi i due limiti diventeranno più estesi, e nell'applicazione loro alla Pratica s' amplierà l'uno per la sicurezza della stabilità della Fabbri- ca, « l'altro si terrà più ristretto pe '1 risparmio de' mate- riali soperchj nel muramento del Piè-diritto . Non intendo qui favellare di quelle Volte, la cui base non corrisponda alla pianta od icnografia delle sue fondamenta , come sarebbe il Cerchio e l'Ottagono sopra un Quadrato, o altrettali assai più bizzarre e Borrorninesche , rette per aria sopra i peducci o le mensole , o dove i contrafforti non sieno con tanto accorgi- mento disposti quanto Epino lodava negli Atti delT Accade- mia di Berlino del MDGCLV. essere stato quello del Buonar- roti relativamente al Tamburo, ed all' Attico della gran Cu- pola Vaticana . Nel caso , eh' io imprendo adesso a conside- rare suppongonsi andantemente i tagli de' cunei normali alla Curva interiore. Ora, la distanza òaW asse o dalla verticale, che partasi dalla chiave, del centro di gravità della porzio- ne dell' Arco , non meno che il Peso della porzione medesi- ma , a forma dei Dati , riduconsi sempre in Funzioni di x , e perciò ancora il momento sarà espresso mediante ¥{x) de- terminata dall' Equazione delle due Curve i-eferite alle stesse perpendicolari coordinate x, y; al qual momento debb' esse- Tomo XVHI. I i i ia8 Ij' Equilibrio de' Cieli ec. re uguale quello della Forza orizzontale costante applicata al colmo dell'Arco; laonde ancor questa rappreseiiterassi varia- bile all' uopo per mezzo di irx — z j-^ ) -t-'— , ossia e = ; dove i due valori di C, C si trat- dy a^x — zj^ terebbero come limiti ( massimo , o minimo ) nella maniera spiegata di sopra , e le medesime Formule adatterebbonsi al primo strato del Piè-diritto o ultimo della Volta, e ( muta- tis mutandis ) ai consecutivi strati sino alla base . Il modo bensì più comune di costruire nelle ordinarie Fabbriche i Piè-diritti consistendo nel lor muramento ( ma- ^onnerie) aWa. rinfusa, cioè senza ninna regolarità, e raflPorza- to unicamente di quando in quando per mezzo di leghe di Del Sic. Pietro Ferroni 4^^ piètra o addentellature, onde presso a poco formarne con queste morse come un solo massello di sassi e calce , a gui- sa di grosso smalto o di breccia manipolata, è ora mestiere considerarli sotto cotal più semplice aspetto, e supporli d'un composto omogeneo in tutte le loro parti •■, perchè 1' eccezio- ni, e circostanze fisiche accidentali, che vi potessero essere, ed ancor molte e assai varie , o sarebbe impossibile assoget- tarle al Calcolo, o questo riuscirebbe sì complicato da non cavarne profitto nel doverlo poi convenevolmente, aggiusta- tamente, e con adeguato vantaggio applicare alla Pratica. Ho dunque rappresentato nella Fig." 1 1 ." il caso d'un Parallele- pipedo rettangolo costruito nel modo esposto pocanzi, e fer- mato sulla sua pianta , la quale oltre al Peso della di lui pro- pria massa soffra eziandio la yE're5j/one procedente da una For- za verticale , che pigi in sul mezzo della sua testa , e che una Forza orizzontale lo solleciti a rovesciarsi . In ultima a- nalisi questo nei suoi termini più generali è il Problema da sciogliersi per restar sicuri che non vacillino, non si fenda- no, non si squammino o non rovinino i sostegni ( qualunque nome essi s'jabbiano ) , su cui posano, ed a cui sono congiun- te , e raccomandate le Volte , le Cupole , ed ogni sorte di Loggie foggiate ad archi , le quali massimamente parlando d' Opere pubbliche , esigerebbe 1' universal salvezza che , ol- tre all'ordine dell' Architettura esteriore, ed alla scelta ap- propiata degli Ornamenti caratteristici , dipendessero sempre dalla censura d' un' Accademia , o d'una illuminata Magistra- tura perpetua Edilizia . Propongo per ©ra alcuni Principj co- me un piccolo Saggio delle considerazioni da aversi su que- sto argomento difficile della Statica applicato all'Arte di fab- bricare ; e nel proporli agli Analisti, ed ai Fisici sono il pri- mo a dover confessare che mancano di quella chiarezza , semplicità, sviluppamento , e perfezione, che sarebbe di me- stieri che avessero per farne uso col maggior frutto ;. a tal che s' assomigliano in somma a quei fondamenti non tanto stabili quanto pe '1 ben della Pratica sarebbe d'uopo che fos- Tomo XVIIL K k k i|.36' L' Equilibrio de' Cieli ec. serOj su i quali appoggiar si suole comunemente la tuttora contrastata Dottrina della Resistenza dei Solidi , rapporto a cui con molta ragione direbbesi dal Poeta ....... nasce a guisa di rampollo „ A pie del vero il dubbio „ . Sollecitato il più basso elemento del Solido dalla Forza, orizzontale a disporsi alla rotazione attorno ad un punto in- terno , e far quivi nascere una rottura , tutti i punti della porzione, che staccandosi salga, resteranno più o meno tesi proporzionalmente alla distanza dal centro ossia punto fermo, e viceversa più o meno compressi , e nella proporzione me- desima tutti i punti dell'altra rimanente porzione, che com- primendosi scenda . Dipende la situazione del punto fermo o centro del moto dalla composizione o tessitura particolare del Solido, e dalia resistenza specifica, che questa tessitura op- ponesse alla tensione , ed alla compression respettiva dei com- ponenti il Solido divisato . Rispetto al Legno elastico omoge- neo , per causa d'esempio , vuoisi avvertire che il centro sa- rebbe nel mezzo, perchè ciascuna sua parte o fibra presso a poco è capace d' opporre la medesima resistenza alla dilata- zione , e alla compressione in ragion della Forza , che tenda a produrle ; né la rottura potrebbe mai farsi col punto fer- mo in sull'orlo della base del Solido eccettochè nel caso che le sue fibre fossero affatto rigide ( roìdes ) , cioè senz' alcuna molla o elasticità; lo che ( senza dire in particolare della Pie- tra elastica del Brasile , e del Marmo flessibile della Villa Borghese o Pinciana ) giusta l' esperienze di Mariotte, e Mu- schenbroeck nemmen si verifica in generale della grana Mar- morea o delle particelle esilissime di tutte le Pietre . Quando s' arrivasse a conoscere il posto preciso del punto fermo se- gnerebbesi presto anche la linea della virtuale rottura , e si determinerebbe la più piccola Forza orizzontale ^ che potesse produrla , mediante le relazioni d'egualità nello stato d' equi- librio , I ." tra le Forze e le Resistenze, a." tra i loro Mo- menti nell' istante avanti della rottura , che acconciamente Del Sic. Pietro Ferroni 4^7 dìrehhes'i virtuale . Queste Equazioni consegulrebbonsi decom- ponendo le distensioni, e le compressioni (di qualunque direzio- ne si vogliano ) iti verticali , ed orizzontali; perocché la somma delle prime dovrebbe esser nulla ( coniatasi ancora, se piaccia, la Gravezza del Solido, e la Forza esteriore, che ne premes- se la testa); la somma delle seconde uguale alla Forza oriz- zontale, ed uguali i Momenti si dell' une come dell' altre. Ma nel caso, che or si contempla, d'una Massa incapace di distensione, e di compressione , com' io diceva, la rottura. non potrebbe aver luogo salvochè in una certa linea, per rispetto a cui si verificasse che la Forza di coesione insiem con qu<'Ila dell' attrito non potesse resistere alla pressione e- sercitata sull'imo o base del Piè-diritto . Fa dunque raestieri» all' effètto d' impedire qualunque distacco o disgregamento di parti nel sodo del Piè-diritto o Pilastro, non meno che ris- petto alle commessure de'' cunei tronchi dell'Arco, che tanto i punti Situati mila base del Piè-diritto , su cui cada la re- sultante delle Forze sollecitanti , quanto quelli delle commes- sure o conventi dei cunei ( voussoirs ) quali e' si sieno , rie- scano tali che nella linea la più sfavorevole , ov' essi oppon- gono la resistenza, questa , cioè la coesione e V attrito insie- me, almeno equivalga alla resultante predetta. E posto ciò, diventa il Problema 1' istesso appunto dell' altro , nel quale s'investigasse V equilibrio tra una massa di terra pesante, ed il muro o cortina di rivestimento o rincalzametito , che la sostenga , mentre ancor già la risoluzione dipenderebbe dal porre il limite superiore o in eccesso per 1' equilibrio , e l'in- feriore o in difetto pe 'I rivestimento avvertito-. N'ho segna- to 1' abbozzo lineare di facile intelligenza nella Figura 12,.", relativamente alla quale , chiamando F la pressione sopra CO, p il peso di COE , COE', ec, CO costante a, e d l'angolo variabile COE , ec. , la pressione totale sopra il rivestimento a scarpa OE (era ?aZi/J ) verrebbe ad essei-e ^ Sen.0-l-FCos.^, r attrito sarebbe -^ ^" "*" — — , e le due Equazioni di condì- 4.38 L' Equilibrio de* Cieli ec. zione per V equilibrio , appellando colla sigla / la coesione qual ch'ella sia delle parti. PCos.0 = FSen.0— £^2IL£±!££ì:* —fi- FSen.g=/;Cos.0+^'^"-';^''^°"'-t-gg^ . Dalla seconda deducesi F = ^^ -H /^ -^- ^^ -t-g^^^^^ , che n dà il maximum della pressione nella cui formala V angolo d resta incognita ancora. Dunque simbolicamente Scritta (p{d) la formala istessa , se pongasi ^|^ = co, s'avrà una nuova ag- giunta Equazione del minimum di F, mercè dei quali due li- miti, eliminata la variabile d ^ ne proverranno il valore di Q e quello di a, così che se la pressione relativa ai voussoirs sia espressa mediante una Funzione data di x, si risolverà parimente riguardo a questi la proposta Quistione ; ben inten- dendo che il parallelo dei due Problemi non resta rotto o infermato perchè la pressione agisce nell'uno in senso contra- rio dell* altro. Vuoisi avvertire però che col fine di guidare gli Artisti nella fabbricazione stabile delle volte non è semplificata, ed alla portata comune quanto bisognerebbe che fosse ne' suoi ultimi resultamenti la precedente Teorica , e che tornerebbe più presto in acconcio appigliarsi al partito d'offrire alla vi- sta degli Architetti una Serie o Famiglia di Curve adattabili ad ogni caso speciale pratico d'Arco odi Cielo da costruirsi, e ben disegnate per loro norma; Famiglia, i cui rami proce- denti da un medesimo stipite, come i rampolli diretti o col- laterali degli Alberi genealogici, riconoscessero per propria ori- gine o generazione parziale ciascuno dei Dati o delle Misure particolari, da considerarsi dietro lo stile degli Algebristi co- me altrettanti Parametri nel passaggio dall' Equazion genera- le all'Equazione applicata a questo o quel caso individuale, o come altrettante Scale di variazione . Un saggio di questo Del Sic. Pietro FERRONt 4-^9 Sistema grafico di Linee curve della stessa Famiglia, benché di varia grandezza e fisonomia , senza mancare a tutto il cor- redo del Calcolo, lo riserbo al termine del mio Discorso., ed ora colla sola veduta di preparar l'animo dei Leggitori al più facile intendimento di come si possa render presente all'oc- chio il proceder d'ognuna, e il complesso di tutto quell'im- menso fascio di Curve contenute nell'Equazione generale., via- via congenite, e pertinenti alla Prosapia medesima, mi pro- pongo d'accennare in succinto la maniera di delinear quelle, che solamente si riferiscono ai Piè-dìritti . Il perchè , a causa d'esempio , ritornando al modo approssimativo e ipotetico di trattare questa materia impiegato dal Delahire , e seguitato dal Belidor nei luoghi di già citati , comincerò dal ridurre l'espressioni Analitiche dell' ^^ui/iT'no , che abbracciano tut- ti i Dati primitivi , ed indispensabili di sì fatta ricerca , a quantità dipendenti dai centri-di-gravità, difficile ad indagarsi, dei cunei tronchi e loro scambievoli unioni componenti la Volta. Supposero i due Francesi Geometri che ogni Cielo a mez- zabotte propendesse a rompersi sempre dall' una e dall' altra banda presso ai 4^.° dal colmo; così che, posto ciò come cer- to per esperienza, sarebbe la stessa cosa che immaginare la parte superior della Volta simile ad un gran cuneo incastra- to tra le due rimanenti parti laterali della medesima , il qua- le tendesse a sfiancarle, e rovesciarle legate insieme coi Piè- dirìtti. Ma ciò sia pur vero, come sembra almeno manifestar- lo il punto del maximum della pressione testé notato, qual si rinviene mediante — ^^ = 0, che da a; = — ^ nel caso preln- dicato del Semicerchio. Non perciò addiverrebbe l'istesso uè Io potrebbe ogni volta che si facesse scema la Yohn [surbais' 5^e) , poiché lo dimostra l'assurdo, al quale anderebbesi in- contro collo scemar sempre il rigoglio, sino al segno che giun- ti alle così dette Volte -piane ( Fig.'' 6." ) bisognerebbe pur dire che la pressione s' esercitasse dalla sola sua parte AMwa sopra M/«, e che MwiB rimanente nuli' altro fosse che uu* 44o L' Equilibrio de* Cieli ec. appendice oziosa connessa a tenuta col Piè-dirìtto , la qua] conseguenza del primo assunto a Belidor comparve sì strana, che sebben devoto al medesimo per tutti i casi possibili de- gli Archi semprepiù scemi fece qui saltuaria un'eccezione alla regola per V Arco-piano ( piate- bande ), e disse chiaro che tutta la sua metà AJ&ba preme B^, e spinge contr'esso sen- za parlare altrimenti di rottura intermedia. Quindi è che, se mai luogo vi fosse ad accettar per facilità, e con qualche fi- ducia il divisamento di Delahire , ragion vorrebbe che questa Dottrina in generale approssimativa si ristringesse alla Mez~ zahotte perfetta , ed alle Volte vicinissime a questa . Scriven- dosi allora A( Fig." iS." ) pe '1 peso o area pesante DGFC , k per r altezza del Piè-diritto , x per la sua grossezza ( epais- seur) ed essendo Q il centro di gravità di BCFE, R la prò- jezione verticale di esso , il Principio solito della Leva addita tosto qual sia TEquazion necessaria per lo stato dell' Equilibrio, vale a dire A . PO = v- A . RP , ovvero , ponendo g per R5j,y per OP — B'V, e L il punto di mezzo o centro di gra- vità di CF , Af—Ax=z -^ -»- A.X — kg . Sifatta Equazione che coincide appuntino colla stampata da Belidor nell'Opera teorico- pratica , di cui innanzi io parlava, nuli' altro ha dì fastidioso preparativo se non che la ricerca della posizione del punto Q centro di gravità della zona od armilla segnato nel- la Figura: ma questa posizione somministrandola le note For- mule centrobariche per mezzo del raggio r del sottarco , del- la data grossezza a della MezzaZ'o^fe , e di II rapporto costan- te d' ogni Circonferenza circolare al proprio Diametro, ed inol- tre dal Calcolo derivandosi * nr — y h- A = — a(a-t-2r) Del Sic. Pietro Ferroni 44 ' (3r*-<-3ar-»-a' \ ^ fl-+-ar / cioè la ridotta - / o ,654r'-H3 ,48aar-t- 1 ,7700' \ _^ /^ /"*~5 — \ i,4i4(a-V2r) / ' proviene dopo le debite sustituzioni la dimandata grossezza SP ossia BZ del Piè-Jm7^o t=— o, ySSaf-^i^ì -H H- r/o, 61 6a^ /^ VH-(o,3987-^-f- 1 ,933ar-+-o,932a^)-^-<-o,785a(a-t-2r) ond' essere capace di sostenere 1' urto o la spinta sorda del- l'Arco ; la qual grossezza, se minor si facesse, darebbe a co- noscere il grado delia tensione latente d'una catena opposta lungo la corda per reggerlo, in armonia col suo tuono quan- do venisse percossa. Applicabile ella è questa foggia di risguardar V Equilibrio a molte supposizioni particolari dì Mezzebotti senza discostar- si dal metodo di Deiahire assunto in esempio: gioverà, a mio parere, per l'esercizio degli Artisti , e pe'l comodo della Pra- tica trasceglierne quelle poche, che seguono^ come d'uso più frequente nel fabbricare. I.° Sia la Mezzabotte coperta con un ripieno in piano (Fig.''i4'") andante orizzontale, quali sono difatto \ pavimenti àieWe Ca- mere in sulle Volte, e le carreggiate dei Ponti quando non abbiano necessità d' aver montate o pedate . Se A rappresenti l'area ponderosa CDGW, e e rappresenti BV, dovrà farsi la grossezza del Piè-diritto *= — ^ iti/ ^ -4-l^)aA, ovve- ro *=- ^.^±^ ^y/l^:^ _o, a9a <'''-^^'''^^-^'':!±£:!l-t-(fl-t-r)- 44^ L' Equilibbio de' Cieli ec. denotando h l' altezza contata dalla linea orizzontai superio- re , ed a la solita lunghezza DG della chiave, fermo stante tutto il resto che sopra. (Flg.* iS.") II.* Abbiasi ora la Volta coperta, come suol dirsi, a frontespìzio o a capanna: l'Equazione generale esposta di sopra darà tosto il valore di x se in luogo di aA sustituiscasi a*-»-aar-i-o , b^dr^ (essendo a==.QAF grossezza della Volta mi- surata a' suoi reni ) , ed in luogo di /-i-g si surroghi , ,, , ,,, , H n , tenuti termi gli altri segni e lettere rappresentative , e ridotta alla sua massima possibile semplicità la derivante espressione Analitica. (Fig.^ió.") IH." Se poi il Piè-dìrìtto sia spinto da più Volte o Ar- chi ad un tempo o cospiranti o in contrasto l' un 1' altro, non dee che ripetersi la stessa Formula dietro ai dati di cia- scun Arco a mezzabotte perfetta , tanto quanto importa il numero delle Volte . Tutto allora dipende dall' agguagliare la somma dei momenti delle pressioni di ciascun Arco nel pun- to di 45.° ( o in quel torno ), che spingono per una banda, ai momenti di quelle Forze riunite , le quali spingono per 1' opposta . Ma fa di mestieri osservare oltre a ciò che i pic- coli Archi s' incastran sovente nei loro estremi , e vi muoio- no facendo parte integrante del sodo del Pìè-diritto , di tal maniera che , quando voglia starsi a tutto rigore, la porzio- ne dell' Arco IFE, a causa d' esempio, che addenta o morde nel suo lato destro il Pìè-diritto ABCD, bramando contarla piuttosto nella massa di questo , rimarrebbe la sola parte EGHI da essere calcolata in conto dell' Arco . Belidor con tutta franchezza omette questa porzione EGHI come se difat- to non esistesse, quantunque la consuetudine invalsa di tali incastri presso a poco porti a tagliare colla linea o spigolo lE per metà V area dell' ottante annulare EFHG ; ma inve- ce d'ometterla mi par meglio contar due volte IFE, si per Del Sig. Pietro Ferroni 44^ causa di star sempre a vantaggio nella certezza dell' equìli' ^r/o , sì ancora per non disturbare la simmetria della i^or/wj^/a Algebrica, che considerati gli Archi piccoli a par dei gran- di riduce il Problema d' un complesso di più Archi al sem- plicissimo caso d'un solo. Ed il vero nell' Equazion generale Dotisi colla lettera M il numeratore del termine innanzi al ra- dicale quadratico, e colla N l'altro situato dentro del radi- cale, il denominatore del qual termine è h talmentechè Te- spressione diventi a:= — r —1/ tj — ^ T "*" ^ ^^" ***"* * Dati di ciascuna delle singole Mezzebotti situate da un lato stesso del Piè-diritto /, r', r"', ec. «'» a", a", ec, H , K\ h"\ ec. e viceversa quelli delle Blezzebotti dal lato contrario 'r,'r,"'r, ec. 'a, "a, '"«, ec. '/t, '/j, '"h, ec. secondo il novero delle Vol- te. Facilissimo egli è il concepire che indicandosi col mede- simo mezzo degli apici posti a destra e a sinistra le separa- te espressioni particolari M, N pertinenti ai singoli respetti- vi Archi del sistema proposto , la dimensione della grossezza cercata del Piè-diritto riesca (M'-t-M"-+-M"'ec.— 'M— "M— '"M ec. X .) _f_ , /( )' ,_N'-t-N"-4-N"'ec.-'N-"N-"'Nec. , , \ h ove ho lasciate vuote le due caselle, che ognun sa riempire di per se stesso comunque poco addestrato ed esercitato nel Calcolo, bastandomi che manifesto apparisca come quest'ultima espressione mantenga siffatta forma , ed abbia una cognazione strettissima colle tre precedenti , come l' ultima stessa con- tenga in ventre le altre , e come finalmente in sostanza , sal- vo il Calcolo più raen prolisso, tutti questi Problemi più o meno spogliati o vestiti di circostanze o accidenti si riduca- no a un solo, e sempre la loro risoluzione abbia in mira d'as- sicurarsi di un avvantaggiato Equilibrio. IV.° Oltre ad uno o più Archi , le cui spinte congiurino o si contrarino, o ignudi che siano o in questa o in quella guisa ammantati , s' aggiunga loro di più un Terrapieno. Le gravità specifiche del muro (maconnerie) , e della terra {massìf Tomo XVII J. L 1 1 ^^^ L' Equilibkio dk* Cieli ec. de terre ), secondo la varia specie, e composizion d'amen- due, sien denotate dai numeri II, nr, cioè da r ^ -^ , che sarà l'unico coefficiente da introdursi di uuovo per la giunta Analitica qualificativa della spinta della terra a confronto di quella del muro. Nota 1' altezza h del terrapieno, nota la scarpa ( talud), in cui dispongasi il terrapieno medesimo con- forme alla sua special qualità e compressione , e nota ezian- dio la tangente t della metà dell'angolo del profilo della scar- pa sua propria colla veiticale, si sa d'altronde che ^ jrh^t^ è il momento della sua spinta . Dunque in tutti i casi pre- messi I ." per la Mezzabotte nuda M=o, 785a(a-4-2r) , N = (o,3g8/* -(- i^gSSarH- o, 982»^ )fl^; 3.° per quella con coperta piana M = o , 5 ( a -t- ar )% N = o , 292, ( a^ -!- 3aV -f- ^ar"" -*- o.r'^) a; 3° per la medesima a capanna o a remenato in angolo retto M=a='-«-ar-t-o,646r% N=o,707aV-4-i , 1 64ar''-Ho,207r^-i-o,47 1 ^; senza bisogno di dire che nell'unione di più Archi o Volte, che cospirino o si contrastino agendo insieme sul Piè-dìritto posti per r, a. A, quei valori , che s' appartengono alle di- mensioni di ciascheduna j subentrano alle M, e N della /or- mula le M', M', ec, N', N", ec. , 'M , "M , ec, 'N, "N,ec additivi i primi valori , e sottrattivi ì secondi . A coronare col mezzo di ben delineate Figure la sposi- zione premessa, non tanto semplice veramente e compiuta quanto alla volgar Pratica si converrebbe, testé proponeva- mi d'invitare in sussidio ed utile dei Fabbricanti il modo, che tengono gli Algebristi in circostanze consimili o di Re- gole difficultose nell' applicarle , o d' Equazioni tra molte va- riabili indipendenti, comprese però quaiit' ai loro valori in- cogniti fra certi determinati confini. Ogni Equazione così ri- Del Sic. Pietro Ferroni 44^ solufa graficamente lia il suo Disegno particolare , il suo Mo- dello corrispondente all' indole j al carattere, alla speciali- tà insomma della medesima, ed è sempre oltracciò accom- pagnata dalla sua Scala di proporzione . La Geometria facil- mente si presta mediante una Linea a disegnare qualunque individuale Equazione tra due variabili; con una Superficie riesce a comporre il Tipo d' un' Equazione fra tre variabili; ed associandovi la Meccanica rappresenta per mezzo degli attributi del Moto quella di quattro variabili, e cosi discor- rendo d'un maggior numero di queste coli' introdurre la con- siderazione d' altre qualità fisiche dei Corpi riunite alla lo- ro estensione o località nello spazio . Ma più latamente un' Equazion risoluta qual ch'essa siasi y=zY{a ,b,c ^ec) , dove e, è, e, ec. indipendenti tra loro fossero tali da potere ricevere ciascheduna innumerevoli valori , ma che non oltrepassassero certi limiti in più od in meno, dipinger ehbesì per mezzo d'una Famiglia di Linee col far variare a parte or questa or quel- la delle variabili contenute nel secondo membro dell' Equa- zione , e risguardando frattanto tutte le altre come parame- tri. I salti o gradi delle variazioni , perchè la dipintura riu- scisse più che possibil sia consimile al vero in ogni caso pra- tico particolare j farebbe mestieri che si assumessero propor- zionati alle respettive limitate grandezze di quelle variabili. Nella Figura 17.", a causa d'esempio, denotando a il raggio d^ una Mezzabotte , b la grossezza , se si facesse variare il primo da I a ao metri per la gradazione di o , 5 in o , 5 , la variazione della seconda dovrebbe procedere tra o, 5 e i,5 metri con passi di decimetro in decimetro come vuol 1' indo- le della Volta ; e cosi segnatasi AB per limite massimo rap- presentanti i ao metri e divisa in ^o parti eguali , ed AG posta a squadra di un metro, e divisa in io le Curve di re- lazione con questi Dati delineate soddisfarebbero ad ogni ca- so come V. gr. se al raggio di nove metri corrispondesse la grossezza di 7 decìmetri, PM sarebbe la /, e mM. la Curva o Luogo geometrico o, per cosi dire^ il Ritratto dell'Equazione. 44^ L' Equilibrio de* Cieli ec. Qualora però si dovessero far variare ad un tempo me- desimo più dei divisati /^arame^n, questa variazion simulta- nea romperebbe la continuità del Disegno, recherebbe im- barazzo e fastidio, s' intreccierebbero, si confonderebbero, e cotanto mostruosamente disformerebbonsi i segni tracciati o per lo meno indistinte cotanto appari rebbon le Lìnee, che non sarebbe valevole in così gran moltitudine e affollamento a ben sceverarle nemraanco un occhio linceo. Pur tuttavia non man- ca rimedio a tale disorbitanza onde non dover rinunziare al co- modo insigne ( massimamente rispetto alla Pratica delle Arti ) della costruzione grafica delle Equazioni , e soprattutto di quelle, che l'Analisi stessa non ha saputo sino ad ora risol- vere. Fo intanto riflettere che in Dipinture siffatte i rotti.) le potenze^ ed altre espressioni delle grandezze son sempre nu- meri, e perciò si costruiscono lineari perchè riportate alle Scale di proporzione: aggiungo che i radicali [numeri anch'es- si ) possono fiacilmente scansarsi considerandoli a parte me- diante la traccia, di segno, o tratteggio d'un' altra Curva, qual sarebbe la Parabola universale y"'^x, avendosi allora yz=n/(p( a, ù , e , ec. ) cosicché l'Equazione proposta si trafor- merebbe in x:=(p { a , b , e , e.c.) : e voglio avvertire eziandio che del numero m di radici delV unità tutte 1' altre fuor d'una non trovali mai luogo uè considerazion nella Pratica. Prenda- si dunque della ridotta y = F {a,b, c,ec. ) per ascissa a, e restino l'altre numeriche Unee parametri . Tornerà sempre bene prescegliere per ascissa quella, nella di cui espressione la maggior potenza sia la minore rapporto all' altre ; poiché così la Curva tracciata riesce d'or^/m più basso; eccettuato il caso, da valutarsi moltissimo in Pratica, che talun dei parametri avesse più estesi i suoi limiti , e variar dovesse per gradi più stretti in confronto degli altri, perchè allora sarebbe utile as- sai preferirlo onde diminuire il numero delle Curve da dise- gnarsi. Sien dunque a V ascissa prescelta coli' avvedutezza in- dicata, b il i^ parametro variabile considerato, e d il valor Del Sic. Pietro Ferroni ^Àn dato particolare a G, per ora costante , e segnatamente il più piccolo de' due suoi lìmiti: dipingasi il tratto del tronco di Curva 7 = F ( a:, è, e, ec. ) compreso tra i noti estremi dia; e tanti di questi tratti si segnino quanti valori diversi deb- ba ricevere h o per quanti gradi deggia progressivamente sa- lire da un estremo all' altro suo lìmite; ed ecco una Famiglia di Curve della medesima origine , composta d' altrettanti In- dividui quanti sono i gradi enunciati . Ora colla Figura 18" sulle due Scale normali di variazioni di a , e di b e col para- metro mìnimo e' generata la detta Famiglia , i valori innume- revoli di/ non avranno legge determinata salendo o scendendo di Curva in Curva M, M, M, M, ec. BG sarà il massimo va- lore di y, BC il minimo; laonde, se di G'C o D' D si faccia altra Scala di variazione di modo che ogni valore di y v.sr. PM , cada in E punto della divisione, allora mediante la ter- za Scala di variazione di e disegnerebbesi un'altra Razza di tronchi di Curve N, N, ec. composta di tanti Individui quan- te sono le parti eguali della nuova Scala di y, ed in queste Curve troverebbonsi i valori P' N' di y corrispondenti ai va- lori di a, b, e, tutte tre grandezze variabili dentro ai res- pettivi lìmiti convenuti. E difatti si voglia rintracciare gm- ficamente ed in piano ( poiché fuor del piano potrebb' es- serne Tipo una Superficie ) il valore speciale numerico di y=F(a',i>, c',ec.), il va\ot massimo della quale è B'F: presa a nella Scala di a, conducasi V ordinata a! w della Curva, che si parte da b' nella Scala di b; il punto m col Compasso trasportisi in n espresso il valore di e' nella Scala di e menisi nella Curva tjN l'altra ordinata e' n' , che risolve il Quesito. Ognun vede il procedimento , che sarebbe d' uopo seguire se s' aggiungesse una quarta o più altre variabili all'Equazione j = F(a, b,c, d^ec.) considerate in prima come costanti e consisterebbe in una più estesa concatenazione di parecchie' successive generazioni di quelle imparentate Prosapie di Curve, le quali meglio si scorgono disegnate alla foggia degli Archi- tetti che meditate, non diversamente da ciò , a che Degna, 448 L' Equilibrio de' Cieli ce. Lagrange , ed altri Analisti perspicacissimi non han potuto a itieno di non ricorrere pel rischiaramento d' alcune delle pro- prietà generali dell'Equazioni, alla risoluzion delle quali ( e nominatamente di quelle nello stato attuale dell' Algebra ir- resolubili ) non disconverrebbe ,a mio senso, adattare il Com- passo nel modo , che adesso vo qui di passaggio accennando . 'E.W h fonna universale d'ogni Equazione, ove i coeffi- cienti che abbracciano tutti i Dati a, b, e , ce. d'un Problema qualunque proposto a risolversi , o sono numerici o numeri- camente colle debite Scale rappresentabili nell' applicazione loro alle Arti ^ e non han segno assoluto , ma dipendente dal- le circostanze particolari , che or positivo lo vogliono j or «e- gativo del tutto, ora diverso nelle lor parti, j'n_f-Pj"'->_t-Qy"'— a-t-Rj"»— 3_^ -)-T=o ; la quale, se si separino generalmente le parti di segno con- trario in ciascheduno dei coefficienti , diventa _p'y«7-._Qy7n_a_R'ym-3_ __X" j Rendesi dunque necessario trovare un valore deW incognita y { reale positivo , e ristretto sempre tra limiti conosciuti mer- cè dell' indole particolare della Quistione , come trattandosi V. gr. della grossezza (epaisseur) d'un Piè-diritto, sarebbero — e I - metri l e più stretti ancora ) ) col tracciare due tron- chi di Curve del Genere Parabolico, usate prima di tutti ad altro fine da Newton nel suo Calcolo Differenziale, e ripor- tarli alla limitata ascissa AB, cioè ( Fig." ig.") CD, e CD', la prima Curva rappresentante graficamente V Equazione in- deteniìinata. 2=7'"-i-P>'"-'-+-Q'7'"-^-t-R>'"-^-4- -hT'. e r altra z'= p'y'"-'-f-Q'y"'-^-i-R"7"'-3-4- -1-T". Dove questi due Luoghi Geometrici intersecherannosi in M, ivi daranno a conoscere per mezzo àeW ordinata comune MP re- ferita alla scala medesima delle a, b, e , ec. il cercato vaio. Del Sic. Pxhtro Feruoni 449 re di AP , cioè y sull' asse delle ascisse , il qual valore , fer- ino sempre stante 1' istesso modo di costruzione , respettiva- meiite otterrassi per ogni specialità dei valori innumerevoli , di (lualumiue maniera tra lor combinati, a', è', e, co. e", è" e", ec. che dar si volessero alle costanti. Trasporterò in conseguenza sì fatto metodo all'Equazione segnata di sopra ^ die concerne la grossezza del Piè-diritto , onde resistere validamente, e un poco più del bisogno, allo sforzo della Volta, che vi s'imposti, mettendo ot, « , /? , <7, in vece dei numeri coefficienti , che per ogni caso restano ntWai formula del secondo membro sempre i medesimi j e va- le a dire alla Primamente come unità prendasi A, e si costruisca frat- tanto la parte razionale di /, cioè ma^-^2.mar , ponendo a per ascissa variabile di o, i in o, i da — sino ai — ■> Q perciò divisa in i5 parti eguali conforme al detto di sopra, e contando r ^er parametro . Nasce cosi per qualunque va- lor costante di r una Linea di Genere Parabolico {Fi g." s.c-") , e quinci un Sistema di tante di queste Linee BM,BM', ec. riportate al comun asse BA delle a^ci^^e , quant' è il nnm^ro dei venti valori , che consecutivamente si diano di — in - a a da I sino a re al parametro r fatto variare di Curva in Cur- va . E disegnate in tal modo per via di punti più o men ser- rati , e quanto piaccia tra loro vicine quelle Parabole , è ma- nifesto che notando il valore di a sulla sua scala in x, e l'altro di r sulla propria fra i limiti stabiliti in P, V ordina- ta XY , postasi col Compasso sulla scala proporzionale , farà conoscere ma{a-^^r) in numero razionale . Adoperando con ordine inverso, vale a dire prendendo prima r variabile, ed a parametro, alla Famiglia delle Parabole subentrerebbe la cotanto più agevole descrizione d' un Sistema di Linee rette; 45o L' Equilibrio de' Cieli ec. e il colpo d'occhio dell'Analista debb* esser sì 'pronto e spedito da sapere scegliere incontanente per ogni caso particolare la più semplice costruzione . Questa semplificazione importante è mo- strata in disegno dalla Figura ai.", dove AB asse delle ascis' se rappresenta r in ao parti eguali diviso, AC" scala dei qua- drati di a, che procede di — in — , disegualmente divisa in 100» Too ^ Too' loò» ^^' •^^"*^''° ^' *^^^ ^^^ limiti estremi so- praccitati , e le rette CM , C'M', C"M", ec. sono talmente se- gnate che le tangenti dei loro angoli con AB vengano ad es- ^®^® lò" ' ì^ ' I^ ' ^^' sino a 3, ultimo termine loro; cosicché per AX ed AC misurate sulle due scale troverassi col mez- 20 AeW ordinata XY, che vada a ferire la corrispondente Ret- ta intermedia C'M', il valor ricercato. Manca adesso di dire il riguardo da aversi al valore dì h supposto sin qui = i, ma ancor esso in sostanza variabile . Aggiungasi dunque la terza scala AD al secondo Disegno^ che giova anteporre per- chè di costruzione più semplice rimpetto al primo, come far si dee in casi simili, e dividasi quella in ao parti eguali, che si succedano di — in — da i sino a io inclusive; e se vogliasi ora assegnare compiutamente la lìnea simboleggiante la solita Formula ^ — y~ '" correspettività anche della terza variabile h, nuli' altro occorre di più ad eccezion del tra- sporto di XY in AO , e della traccia della retta OD , peroc- ché r ordinata i(L (se, v. gr.. A, sia 4 5 ^ così sarebbe de- gli altri valori ) adempirà la ricerca . Nella costruita jwcanzi semplicissima Forwu/« avrebbe tut- ta ragion chi dicesse risolverla in numeri sarebbe per avven- tura più breve , e più agevol partito a paragone di quello di costruirla per mezzo di lìnee . Ma non varrebbe l'istesso dis- corso se si pretendesse applicarlo alla considerazione di For- mule intrigatissime , che pur vonebbonsi saper risolvere co- Del Sic. Pietro Ferroni 4^1 modamente mediante un Cartone delineato con tutta esattez- za , col porsi in tal modo a profitto delle Arti , ed alla por- tata di tutti gli Artisti , cui non rincresca di maneggiare le Seste. Ognuno poi vede senza bisogno dell' altrui scorta la maniera analoga da seguitarsi per ottenere parimente grafiche e misure dei termini rimanenti -j-^ (quadrato del già costruito ), -^ 1 — - — , e finalmente ma[a-i-a.r) , eh' è il medesimo conseguito in principio, ma scevro del divisore; i quali tre termini stanno dentro del segno radicale quadrati- co , o per r effetto di costruirli conducono a dover disegna- re ^ presa a per variabile, un Sistema di Z/«ee di a." e di i.° grado . Vano sarebbe diffondersi più latamente col cumulare altri esempj, i quali non ripeterebbero insomma se non cbe le grafiche operazioni medesime modificate dalle circostanze particolari dei diversi Problemi da sciogliersi nella Statica delle Volte, o altrettali , che in altre parti delle Facoltà Ma- tematiche , e delle loro congiunte Discipline severe giovasse rendere maneggevoli in pratica , meno intellettuali che tec- niche, esposte più che al giudizio della mente alla destrezza dell'esercizio dell' occhio j ed a portata di tutti coloro, i quali abbiano nitide le prime idee della traduzione dell'Alge- bra letterata in Algebra figurata . Basti dunque per tutte il Disegno-campione ( /' Epure ) , che ho messo in essere con molta pena nella aa." Figura a compimento del Problema assunto in esempio, il quale s'aggira sulla ricerca della groS' sezza del Piè-diritto , seguendo però 1' imperfetta Teorica , cui si appigliarono i Geometri precitati Francesi col fine sem- pre lodevole di facilitarne i resultamenti . SPIEGAZIONE Le tre coppie di Famiglie di Curve contrassegnate dal- le lettere X, Y, Z, imitatrici fedéli del procedimento De Curva in Curvam immaginato da Leibnitz,e fonte primario del Tomo XVIIL M m m 45a L' Equilibrio de' Cieli ec. Calcolo Differenziale, e Integrale, e di quel delle Variazio- ni ( Voi. V. pag." i3i. {a) {b) e i54. ) , si riportano ai tre casi diversi delle Volte o dei Cieli conformati a mezzabotte , sic- come è scritto di fronte . In ciascnna di queste Famiglie o Sistemi di Curve quel- la, eh' è a dritta di chi lo guarda , e della scala dei raggi , dà in linee rette il valor grafico del termine primo o razionale della Formula; laddove l'altro a man manca somministra, parimente grafico, il termine intermedio dei tre contenuti den- tro del radicale, cioè il termine unico, eh' è di composizio- ne affatto diversa dal razionale indicato . Sta sopra a quelle Famiglie di Curve la scala delle al- tezze dei Piè-diritti , destinata alla riduzione dei valori gra- ficì ottenuti dapprima in linee rette ordinate , e quinci ridot- ti a proporzione della varia misura effettiva delle altezze asse- gnatesi. La Parabola ApoUoniana AVS' , che corona a destra i Sistemi di tutte le Curve predette, le quali sono visibilmen- te del Genere Parabolico di vario grado, serve unicamente ali uopo di conseguir grafico anch' esso il termine irrazionale della medesima Formula, cui si riferisce la costruzione pre- sente geometrica, e torno a dir somministra la radice quadra del complesso o coacervato dei tre termini, che son racchiu- si dentro il segno della radice . Finalmente in aggiunta si scorge chiaro a sinistra, ed in cima a tutto questo Disegno Campione ( o Matrice, o Piat- taforma, quale appunto l'appellerebbero i Fabbricatori d' 0- rologj , e di Strumenti architettonici , geodetici , ed astrono- mici d' ogni maniera ) un ultimo Fascetto di Curve, parabo- liche anch'esse, dedicate al ritrovamento della forza di spin- ta dei Terrapieni onde contrabbilanciarh validamente per mezzo di Muri, che gli vestano o foderino, a tenore delle altezze loro diverse, della loro scarpa o sdrajo parimente di- verso , e delle varie gravità specifiche di materiali impiegati, e pili o meno compressi di terra, e di muro . A proposito Del Sic. Pietro Ferroni ^53 del qual manipolo o fascette di Curve non è da lasciarsi sot- to silenzio oh' ei tiene il posto della Figura delineata di già da Frony nella sua Memoria, che versa intorno a questo stes- so argo(nento, alla cui delineazione egli era stato condotto dalla Teoria antecedente , da esso lui renduta più semplice per- chè in vece di Curve avea disegnati Poligoni. Né in maniera molto dissimile mi son dilungato alcun poco ancor io in certi particolari della costruzione immediata suggeritami dalla pun- tual Dottrina premessa , come a causa d' esempio , sempre col- la veduta di raccorciare o rendere più sensibile o più paten- te il Disegno, s'è in esso tracciata la Parabola AVS', non quale volevala la sua Equazion semplicissima 7^ = a:, ma piut- tosto V identica di questa foggia j = io 1/ ^ compensando il decuplo dell' ordinata col centesimo dell' ascissa. Non sarà ora discaro un corto accenno o un saggio bre- vissimo del modo d' usare di questo Disegno-Campione deli- neato colia maggior diligenza possibile, e dedotto dai già spiegati Principi teorici, si come altri disegnar si potrebbe- ro coir accuratezza medesima a lume, scorta, e favor degli Artisti per tutto il restante dei più composti e difficili casi di Statica , che oflVe sovente negli Edificj di vario carattere l'Architettura Civile, e non tanto di rado eziandio l'Archi- tettura Idraulica, e Militare. Deesi per altro andar molto cauti relativamente al Disegno di si fatte Matrici nel divi- dere , suddividere, e ben distribuire tutto il loro lineare tes- suto, ad effetto che si dispongano ^ si contino, e si riscon- trino dalla parte opposta dell' a^^e, cioè in direzione contra- ria riguardo al punto A' origine delle ascisse, quelle rette, le quali deggiano denotare i valori negativi, come, a causa d'e- sempio, verificherebbesi del termine negativo della Formula, che comprende anco la spinta d' un Terrapieno, ossia di 3jP , e della costruzione Geometrica di quei valori , che rappresentino le spinte d' uno o più Archi o Volte in con- 4-54 L' Equilibrio de' Cieu ec. trasto ^ o che agiscano 1' une rispetto all'altre in verso con- trario sul Piè-diritto comune, che le sostenga . Ecco il concreto del caso, che servir dee d'ammaestra- mento, e di guida per tutti gli altri possibili „ Experièntia^, se giamai la pruovi ,, „ eh' esser suol fonte ai rivi di nostre arti „ ( Dante , II." del Paradiso terz. 3a ) , onde saper condursi neir esercizio di passeggiar colla Riga , colla Squadra , e col Compasso alla mano sopra il Disegno accurato dei già de- scritti Sistemi di Linee ; il qual uso familiarissimo agli Archi- tetti , che giusta il dettato del Buonarroti aver dovrebbero sempre le Seste negli occhi , ben inteso una volta sul seguen- te unico Esempio , non può mai mancare in chi abbia anche mediocre discernimento d'essergli norma generalmente negli altri casi, perocché in tutti è difatto l' istesso. Propongasi di ricercare per l'effetto àeW Equilibrio qual debba essere la grossezza { epaisseur ) del sodo à' un Pie-dirit- to nella congiuntura d'un Avco a punto/ermo ovver semicir- colare concentrico, tanto interno ( intrados ) che esterno ( ejc- trados ) quando il raggio del primo sia di 3. metri , la grossezza. dell'Arco o l'archivolto di i,e sia di 4- l'altezza del Pie-diritto. r." Nel Sistema notato X, che si referisce precisamente alla qualificazione e puntualità del caso proposto, dal punto 4. della Scala dei raggi tirisi V ordinata MM' , che vada a finire da amendue le bande alla divisione i delle due Scale delle grossezze; si riporti a squadra in NN', e conducansi le rette AN a destra , AN', a sinistra. a.° L' ordinata QH corrispondente al punto 4- della Sca- la delle altezze trasportisi da A in R, e di qui in BP' sul perìmetro della Parabola conica , e poscia suW asse da P' in P"; quinci V ordinata sinistra HQ" si stenda dal punto P" al pun- to P" seguitando la dirittura dell' asse medesimo. 3.° In ultimo adattisi sulV asse delle ordinate V ordinata estrema P'" S' così trasferita in AS: sarà RS il valor doman- dato della grossezza del Pie-diritto , che mediante la Scalai Del Sic. Pietro Ferronì 4^5 destra , segnata a basso di questo Sistema particolare X , fa- rà conoscere il valor medesimo in numeri come addiviene de- gli ordinar] Disegni d' Architettura , e di Agrimensura. 4.° Che se poi vi fosse aggiunta la ^/^/«M pe 'I verso con- trario d' un Terrapieno ( Massif de terre ) rivestito di Muro nella sua faccia esteriore , e il rapporto ^ fosse quello delle gravità specifiche della terra, e del muro, e di 40'*' l'angolo della scarpa { talud ) naturale, competente alla qualità della terra di fresco rimossa, e lasciatasi in sua propria balìa, e fi- nalménte r altezza del Piè-dirìtto fosse come sopra di 4 we- tri^ allora dal punto 4 di questa Scala alzerebbesi V ordina- ta LK , che andasse a colpir nella Curva, la quale ferisce il punto 7 della Scala delle specifiche gravità; il punto K re- cherebbesi in F a distanza eguale da AE ; sulla Scala degli angoli da C punto fermo, ove CG=i, notato il punto di divisione 4o , si tirerebbe a questo la retta Gì e ad essa da F la parallela FÉ; indi CE (perchè negativa) porterebbesi da F" in T ; da T eleverebbesi 1' ordinata TV della Parabola d'Apollonio; e quella traslatata in AU farebbe conoscere RUj grossezza ( epaisseur[ in (questo caso speciale del Piè-diritto cercata. CONCLUSIONE. Tutto dunque riepilogando il transunto delle principali spie- gate Dottrine, ed Operazioni concernenti alla Statica delle varie forme de' Cieli, e segnatamente a quella sua parte, che insegna a farli star fermi con sicurezza su i loro appog- gi ^ ed è piii importante d'ogni altra in materia dei più sun- tuosi Edifìcj , ne deriva apertissima la conseguenza che , o si consideri la non certa appieno Teoria delle Volte divul^-a- ta dal Delahire, o si ponga mente alla posteriore piìi rigoro- sa dedotta dalle proprietà della Catenaria determinatasi in ge- nerale dal seniore Clairaut, amendue sieno frutto, ed imme- diatamente procedano da un Teorema semplicissimo ed ovvio 4^6 L' Equilibrio de* Cieli ec. del Galileo (MDCXXXVIII) , e quel che fa più maraviglia, provato col mezzo delle velocità virtuali dietro alle traccie di già segnatene da Aristotele, ose si voglia del Fiammingo Simone Stevino (MDLXXXV) rispetto alla Gravità relativa sopra un Piano declive , e oltracciò dimostrato dall' ultimo per mezzo d' una Catena perpetua imbracata in sulla punta del- l'atìgolo acuto d'un Triangolo ortogonio, libera o sciolta nel resto, comunque lentamente tesa, e faciente sacca più o me- no aperta in figura d'Arco di Ponte inverso , o come volgar- mente si dice a basto rovescio, Q Possono a tal proposito consultarsi il Dialogo III. ossia la Terza Giornata del primo dei Matematici testé nominati , il cui titolo ed argomento si è quello dell' Altra Nuova Scien- za , cioè dei Movimenti locali , allo Scholium che segue do- po del Corollario Il.^del Teorema o Proposizione II.'',ech'è posto in bocca del bravo Salviati,la Meccanica e Idrostatica del secondo traile sue Opere di Spartostatica , Ponderaria, Gypómnemata Mathematica nelle tre loro Stampe o Edizioni in Fiammingo, in Latino, ed in antico Franzese (MDGV — VIII — XXXIV) , come ancora l' Istoria delle Matematiche di Montuola nel Tomo II.° Parte IV. Libro III.° §. i.pag." i8o. An. VII. della Parigina notabilmente accresciuta Ristampa. M'intravvenne d'imbattermi presso a poco con pari for- tuna in una doppia non avvertita , e direi quasi naturai de- duzione consimile. i.° AUor quando il Triangolo equilatero ^ antiquato e no- tissimo sin dalla nascita delle cose Geometriche j riunitosi al- V armonia Pitagorica dei rapporti numerici , mi condusse per mano (MDCCGIX) a dirittamente svelare qual fosse la vera Curva degli Archi del terzo Ponte ammirabile di Firenze. a.° Dopoché verso il MDCCXCII. in rileggendo la picco- la bensì di volume, ma piena di bei ritrovati e d'ingegno , Epistola di Dettonville ( Biagio Pascal ) a Cristiano Ugenio intorno alla rettificazione di tutte in genere le Cicloidi ( Di- mension des Lignes courbes de toutes les Roulettes ) scritta a^r. . -^// . /j,„ XI '/// f ^^^r / '^.'- /^,.A. y^r,/ .4„„ Xiy//, :t.i!±{_±^^;_Ar/// y,,. ^ , - .'(^c /y^ J(rmc,y, fK'. /C/,„,„/,;„ ''. ■'''''"' '■^..AT///,,. '"/ /". \ \ _, s "/9- \ \ \ \ \ \" \ ■■%(# Wfi0^il$W0 -aiss^^'. /?/■///-'■'///■ /'V . /f///fyfu///ir. .A, ..Wt,/. . ^/,i . M///. /i'.4-'7 ■ ■/. C T P X xoi/rr. c'ii\a)i.Ani con-ikni-iuche ^^^^^^J^^^/?<- e/,//r ,/,r..i.ir^JÌ!. VCll.TK COl'RRTE IX l'I.WO olllZZONTAl.K ./^,r. ///. /^/y/>->/^/' fi/, /f^ Del Sic. Pietro Feruoni 4-''7 nel MDCLVITI. o in quel torno ^ e ripubblicata nel Volume V.» della Raccolta dì tutte l'Opere ( ediz.« dell'Haya MDGGLXX) , da un egregio Teorema, che vi si trova , e risguarda la Som- ma di tutte le innumerevoli rette, che da #in punto eccen- trico vanno a ferire V intera circonferenza d'un Circolo , mi venne fatto dedurne tutta quella parte sublime del Calcolo Integrale dipendente dagli Jrchi delle tre antiche Coniche Curve; e ciò mi riusci d'ottenere con tanta chiarezza, sem- plicità, e connessione che m'è stato di non poca maraviglia il vedere come Carlo Bossut si nella sua Cronica delle Mate- matiche Discipline, sì nella Vita minutissimamente circostan- ziata di Pascal, e recentemente da lui prodotta alla pubblica luce (vedasi, la Bibliotheque UniverselleT . IV. colle stampe di Ginevra del MDCGCXVII. ) non abbia creduto suo debito letterario di darne qualche contezza, almen lieve, in augu- mento di giusto encomio di cotanto grand' Uomo , che si di- stinse , e si segnalò nobilmente nella lunga lista dei Dotti d'ogni maniera, i quali illustrarono in Francia il SEGOLO DI LUIGI DECIMOQUARTO. 458 SOPRA LA DIPENDENZA TRA I DIFFERENZIALI DELLE FUNZIONI E GLI INTEGRALI DEFINITI MEMORIA Di Giuliano Frullani P. PROF. DELLE MATEMATICHE SUPERIORI NELL' UNIVERSITÀ DI PISA Ricevuta li 4- Febbrajo 18(8. freseutata Dal Socio Sic. Professor Pietro Paoli E BIVEDUTA DAL SIC. PRESIDENTE RUFFINI H, .0 esposti altrove alcuni nuovi e generali Teoremi sopra la maniera di ridurre i differenziali delle funzioni a dipende- re da integrali presi tra certi limiti; ritornando inseguito so- pra queste idee medesime mi si sono affacciate alla mente va- rie riflessioni , che mi sono sembrate poter riescire ai Geome- tri di qualche interesse. Le ho pertanto destinate ad essere il soggetto di questa Memoria. E per facilitarne ai miei let- tori l'intelligenza credo opportuno il cominciare con una suc- cinta esposizione di quei Teoremi medesimi , tanto più che ad alcuni di questi darò in tale occasione una generalità an- che maggiore . I. Sia primieramente proposto di ridurre in una serie or- dinata per i coseni degli archi moltiplici di

-^A /cos. np. cos. hip. d|/— » atfn/^i 3^1/^ n,f\/^ fé z=a-^a e -\-a e -\-a e -(-ec...-t-a e -+-ec. I a 3 n e sostituendo nella stessa funzione fx in luogo di x la q^uan> tità e , avremo anche Del Sic. Giuliano Frollani 4^i — ^^ ~.,fH/ZIl _a,jij/1I7 —3^1/^ — niJ4/~"' fé z=a-\-a e -ha e -ha e -hec....-ha e I a 3 " Aggiungendo queste due Equazioni , ed osservando che e -4-e =aco8.A^ otterremo ^ /HTl ' — (^n/— I •i^ ^^^ :=a-ha co3.(6-ha cos.a<0-f-«^cos.3(0-+-ec. ...-+- a I ^ a ^ 3 '^ a COS. «(35-+- ec. n Moltiplicando ora per cos. n(p. d^ da ambe le parti, ed integrando quindi tra i limiti <^ = o, y) Ed avremo anche ^/=F(e-^'^-',j). S = -i/'-^' ^^ = -J f\- e , y)-*-T{e -'] d(p .... ove k= al numero delle variabili, e dove le integrazioni devono estendersi da (p=^=d= =0 sino a (p:=tp=d=...=7r, pur- ché dopo le differenziazioni facciasi a;=:/=M^....=o . E dal- le cose precedenti facilmente apparirà ancora che quando una delle quantità n, m, p, ec. sarà =c, converrà dividere il secondo membro per a; se due di esse saranno =0, dovre- mo dividere per a*; e generalmente se r di quelle quantità mancheranno, dovrà il secondo membro esser diviso per a*. Del Sic. Giuliano Frullami 4^5 4. Consideriamo attualmente le due serie infinite z = A -t-A a; -+- A a;"-!- A,x^ -»-ec...-i- A a;"-t- ec. . lai n z'=a-i-ax-¥'ax'^-+-ax^-\- ec. . . .-4- a x"-i-ec. I a 3 n e proponghiamoci di trovar la somma della serie A a -t- A a -t- A a -+- A^ «^ •+• ec. . . . -4- A a -i- ec. iiaa 33 n n chiamando m , m' quello che diviene z facendovi successiva- mente a; = e ,a; = e \e chiamando inoltre A, i' quello che diviene 2' in virtù delle stesse sostituzioni, le due serie proposte si trasformeranno facilmente nelle due seguenti (i) ■"'^"' z=A-4-A cos.(p-^-A cos.2(^-hA cos. 3^-+- ec •••-(- A^cos./i^-t-ec. (3) —^ — =a-ha cos.(p-{-a cos.2,(p-^a cos.3^-+-ec...-Ha cos.n<^-f-ec. Moltiplicando adesso la prima di queste per {k-¥-k' )d

x'"] -^- [^ ~]= Fx.f— indicando col segno [ax'"j tutti ì termini che contengono potenze positive di a; , e col segno [^-^] quelli che con- tengono le potenze negative. Se ora in questa Equazione fa- ^V'— I — air/— 1 remo successivamente x = e , x = e , otterremo a cagione della nota relazione e ^ =zcos.(p:±:sen.(p\/ — i , i due resultati seguenti: Aa-hA a -i-A a -+-ec -i-[a{co5.m(p-^[/—isen.m(p)] II a, ^ •^[(ì {cos.m(p—i/—ì sen. m(p)]=Fe .fé > Aa-^A fl -t-A « H-ec -h[ a( cos.wi^ — j/— i sen.Tw^ )] II a a — 7il/— I „ «/Si/— I -4-[^(cos.;ra^-1-l/— i.sen.m(^)j = Fe ./e , ed aggiungendo queste due Equazioni ^ avremo a(A/7,-t-A a-t-A o -»-ec.)-+-2( acos.m<^)-f- a ( /?cos.)72(^)= ^ . > 1 Or Del Sic. Giuliano Frullani 4^j7 Per fare sparire i termini clie comprendono la quantità cos.mip basterà moltiplicare da ambe le parti per d'p , ed integrare tra i limiti (p = o , (p = 7i, avremo quindi , dividendo per a;r. Aa-4-A «H-A a -¥- A «,-4- ec. = Il a a 3 3 ^/[ Fé je -H t e je \ d(p Così presso a poco dimostrò Parceval questo Teorema ana- litico. La formula che noi abbiamo trovata nell'articolo 4- (R) -^ / lu-i-u') (k-hk') d(ó — Aa=zAa-hA a-nA a -l-A, a^-+- ec. \ I zn J ^ '> '' II aas3 vi si riduce per altro assai facilmente. Rammentandoci infat- ti del significato che nel citato articolo hanno le quantità M, «', A, A', troveremo che nel prodotto (ii-^u) [k-^k') la som- ma dei termini uk, uk' è rappresentata come segue: uk^u'k'={k^A y~' ^k /^"^"-^-ec.) I a \a-^a e -ha e -+- ec. ) 1 a -t-(A-t-Ae -f-Ae -f-ec.) ^ I a la-^a e -\- a e -+-ec.) I a eseguite le moltiplicazioni , un termine qualunque sarà espres- so dalla formula Aule -he ) m n cioè dalla sua equivalente aA a cos.{m-ì- n)(5 m n ed il solo termine indipendente da cos.(p sarà aAa. Moltipli- Tomo XVIII. 0 o o 468 Sopra la dipendenza tua i differknziali ec. cando duiKjue per d(p la quantità uk-^u'k\ e la sua equiva- lente qui sopra assegnata , è chiaro che estendendo gli inte- grali da (p=zo sino a (p = 7i, noi avremo solamente -^ I [uk-^ u'k' ) d

t- a b . d d ' vi saranno poi tutti i termini dati dal primo termine della riduzione (V), ove p — q ■=: 8 , e ciò indipendentemente dal segno, ed esclusi i casi di p=o, o di q = o , essendo questi già considerati ; e tutti questi termini gli rappresenteremo col segno -lab ^ p ? essendo "2 a b ]a somma di tutti i termini della forma a b PI /» 7' ove dall' un termine all'altro la quantità^ — q è costante ed = § indipendentemente dal seguo. 470 Sopra la dipendenza tra i differenziali ec. E finalmente vi saranno anco tutti i termini dati dal se- condo termine della riduzione (V) , ove p^q sia =^, e que- sti tutti presi insieme gli chiameremo i 2' « Z» H a h indicando la somma dei termini della forma a b , ove P ? _ _ p q in ognuno di essi /'-H(7 = ^. Riunendo queste tre distinte specie di termini vedremo che il coefficiente di cos.^i^ nel secondo membro della Equa- zione (S) sarà ab -ha b-i- —"Za b -i- — 2' a b . d S 2 V 1 ^ PI Ma questo stesso coefficiente sarà dato nel primo membro del- la stessa Equazione (S) dalla formula integrando tra i limiti (p = o, (p = 7t, come abbiamo già di- mostrato nell' articolo i. Quindi eguagliando questi due coef- ficienti , si avrà ~ I ( M -H Zi' ) ( A -t- A' ) COS.dfp. d

'a b n. J S o p q indicando col segno S'a b la somma dei termini della for- P 1 ma a b , ove p-\-q-=zÒ , e denotando col segno 2a b la se- p q . . . " P ^ . rie infinita dei termini, ove fatta astrazione dal segno, si ha p — qz=§ , escludendo per altro in ambedue queste formule il caso di p=o , o di q=o. E se vorremo più semplicemente la espressione precedente, potremo dargli la forma (H) ^f{u-i-u'){k-hk')cos.d(p.d(p—ra b =2a b , Del Sic. Giuliano Frullani 4?^ ove adesso nei segni 2'« b ,'Za b sono compresi i casi di />=o, p q P g ediy=o.Il nostro problema è pertanto completamente risoluto. Il Teorema del numero 4- è compreso in questa soluzio- ne, e ne discende supponendo y? — q = d = o. In questo caso non si può sodisfare alia condizione p-i-q=zd=o se non che supponendo j?=o , q=o. Quindi il segno "L'a b esprimerà sem- plicemente il solo termine aa^, ed il segno 2a b rappresen- terà la serie 2.1 ab ->i- a h -Ha b -\- a b -t-ec.) I I a a 3 3 poiché nelle due formule 1,'a b , So. b se vi è il termine P 9 p g a b vi è ancora 1' altro ahi sostituendo ora questi valori m n n m nella Equazione (H) troveremo , dividendo per a -^ I {u-¥-u')(k-\-k')cl(ò—ab-=.ab-\-a b -i-a b n-c 6„-t-ec. come già nel numero 4- trovammo. 8. Passiamo ora a vedere come il Teorema del numero 4- reso nel precedente articolo più generale , possa estendersi al caso di più variabili. Proponghiamoci pertanto di trovar la somma della serie a b -\-a b -j-a b -\-a b -\-a b H-a b -f-ec. 0,0 o,o 1,0 1,0 0,1 0,1 a,o a,o i,i i,i o,a o,a formata dalla addizione dei prodotti dei termini corrisponden- ti nelle due serie conosciute z ■=.a -\-à y-^a x-i-a y^-{-a xy-\-a x^-^tc. x,y 0,0 1,0 o,i a,o t,i o,a z' -=0 ~hb y-¥-h x-hb y^-^b xy-ì-b x^-i- ec. x,jr 0,0 1,0 0,1 a,o 1,1 o,a ove sarà ro,n I 3.3...TO.i.a.3...7i \ dy"'.dx"' f b = i / '^^""'-'-- i in,n i.a.3...m.i.a.3... Ti y dj''2.,dx''. f 47* Sopra la dipendenza tra i differenziali ec. facendo x-=^o, y = o dopo le difFerenziazioni. ^ Ciò posto , tacciamo prima y=e , quindi y=e e chiamando P, P' quello che diviene z per tali sostituzio- ni ; e Q , Q' quello parimente che diviene z , noi avremo facilmente p ■ ni =a -\-a cos.-ip-ha x-+-a cos.2.w-+-a xcos.ìp-ha ar^'-t-ec. => 0,0 1,0 ' 0,1 3,0 i>i c^a ^"*'- =b -¥-b COS. tp-i-b x-+-b cos. 2,ìp-i-b xcos. ip-^-b x^-h-ec. a 0,0 1,0 ' 0,1 a,o 1,1 o^a Parimente in queste equazioni facendo successivamente .d 0,0 ^ a / 'S.cos.méd(f).dìh a a =-^ -^-^ — - m,o ^ a / 2c08 nijl dé.dib o,« ^ a / 2. cos .mtp -CCS. n(fi.d(p dij/ m,n ^^ quindi, sostituendo, la nostra trasformata diverrà a .fHÌJléÈ.^a h ^a b ^a b -^a b -^ 4^^ 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 ijO 0,1 0,1 a b -^ a b -^ a b -¥- ec. 2,0 2,0 1,1 1,1 c,a o,a -4-a b -\-a b -4-a b -+-a. b^ •+■ ec. 0,0 0,0 1,0 1,0 a,o 2,0 3,0 3,0 -+-« b -h-a b -^a b -\-a ^b -t- ec. 0,0 0,0 0,1 0,1 o,a o,a 0,3 0,3 (U) 474 Sopra la dipendenza tra i differenziali ec. Le due ultime file di questo secondo membro possono agevol- mente conoscersi , riprendendo le serie proposte z =a -ha y-i-a x-i-a y'^-i-a xy -\~ a x^-\-gc. x,y 0,0 1,0 0,1 a,o i,i 0,2, z =b -hZ» y-^b x-hb y'^ -h b xy-¥-b ^"^ -t- ec. x,y 0,0 i,o 0,1 a,o 1,1 0^2 Se infatti faremo ^=0 in queste espressioni , si troverà z =fl ~t-a y -h a y'^ -^ a r^-f-ec. o,j 0;0 1,0 a,o 3,0 z' ^=.h -k-b y-\-b y*-t-è, y^-+-ec. o,y 0,0 1,0 a,o 3,0 alle quali potremo applicare il Teorema del numero 4- per- chè dipendono da una sola variabile , e dedurne la somma /x della serie 11= a b -\- a b •+- a h -^-a b H-cc. 0,0 0,0 1 ,0 1,0 a,o a,o 3,0 3,0 similmente dalle stesse serie proposte , facendovi y=o , facil- mente vedremo che con lo stesso Teorema del numero 4 si otterrà la somma ^' della serie u'=a b •+- a b -\- a h -\- a b ,-t-ec. 0,0 0,0 0,1 0,1 o,a e, a . c,3 0,3 sostituendo dunque questi valori nella Equazione (U) avremo a -j •' r — — (^"<~f* "l"^ ^ )^= a b -\-a b ~i-a b 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 1,0 0,1 0,1 H-o b -+-a b -\- a b H- ec. a,o 2,0 1,1 1,1 0,2 c,a La quale Equazione risolve il problema proposto. È inu- tile l'avvertire che lo stesso metodo serve ad estendere que- sto Teorema al caso in cui le serie proposte dipendessero da un numero di variabili maggiore di due. Abbiamo veduto nell' articolo 4 come , date le due serie ordinate per le potenze ascendenti della variabile x il) z = a-i- a x -i-a x''-+- a,x^-t-ax^-¥-ec. 1 » 3 4 Del Sic. Giuliano Fhullani 4?^ ^ ' I a 3 4 è sempre possibile di ottenere la somma della serie che na- sce dalla addizione dei prodotti ab , a b , a b , a b^, ec. ' I I a :2 3 3 ogni volta che siano conosciute z, z'. Questo Teorema è uti- le quando vogliasi ottenere sotto forma finita 1' integrale di una Equazione a differenze parziali , che sia espresso in una serie infinita , ed in una serie tale che si possa decomporre in altre due di cui sia nota la somma, e che moltiplicate ter- mine per termine la riproducano j appunto nella maniera con cui la serie ab -i-a b -^ a b -¥• a b -^ ec. II uà 3 3 dipende dalle serie (i), (a). Ma può spesso succedere che la serie proposta non possa decomporsi in altre due conosciute, e che per altro si possa risolvere in un numero maggiore di due. Date pertanto le serie in un numero qualunque • ec. ec. - ec. conviene esaminare se sia possibile di ritrovar la somma del- la serie. abc....-ì-a b e ....-t-a b e . . . .-t- -t-^)|/— 7 . , . —{(p-t-k)\/^ , . j r» T) f • e "^ , quindi e ; avremo , cliiamando R, R i re- sultati , ed aggiungendoli -^"^'^ =a-t-a cos.(<^-+-A;)-i--^-)-«-co5./7(^-fr) —cos./;^. cos./7;t. sarà ancora, sostituendo Rj-B/-4-ir-+-R;^ = a _l_ a COS. (^. cos.^ -H a COS. ai^. cos. a/; 4 I a ^ -4- a cos. 3^. COS. 3^ -t- ec. Ottenuto questo resultato , riprendiamo le altre due serie hn') z = b-hbx-ir-bx^-^bx^-hbx^-hQc: ^ ' 1204 Im") z"= c-^c x -h ^x'^-hcx^ -{-cx^^-Qc. Nella sene [m) tacciasi x=e , e quindi x=e ; ag- giungendo i resultati, e facendo questa somma =H, si avrà — ^b -\-b cos.tS ■+• b cos.2(^ -H h cos.3i^ -h ec. a \ ' a. ^ i, ' J Del Sic. Giuliano Frullami 4? 7 Parimente nella serie (w") ponghiamo x=e , e quindi x=e , e si aggiunga ; facendo il resultato di questa ad- dizione =H', si avrà — = c-t-c cos.k-+-c cos.aA -t-c„cos.3^H-ec. Ed avremo dalle cose precedenti (i) b ■=. — lYi.co%.s(p.d purché si estendano le integrazioni da ^ = o a (psrzTt, È noto adesso che si ha tra i limiti stabiliti 3t J I dtfi I '*-ncos.

')cos.(^-(p"— /^)cos.2^ i-t-«c s.d) (A) -H {p^ — /?'3 ) cos.3

= -r^ si h. /e'^t/-'-^/-^-' _ !__ ; quindi per questo caso particolare la Equazione (M) diverrà . — l — ■ = a -f- a cos.^ -\- a cos.2.(5 -4- a cos.3(^ i-*-/!cos.ip I ' a 3 ' H- ec -^- a cos.m(5 -4- ec. Scordandoci adesso che i coefficienti a , o , a , a , ec. ap- partengono anche allo sviluppo della funzione — ^-^ per le potenze di x, ma considerandoli come unicamente dipen- denti dalla evoluzione della formula — — per i coseni i-*-ncos.^ » dei multipli di ^ , è chiaro che essi potranno avere due va- lori differenti j perchè in due diversi modi può svolgersi la stessa funzione '- — - nella forma richiesta. l-t-7lCC6.i^ Tomo XVIII. , Q(i^ 484 Sopra la dipendenza tra i differenziali ec. Una di queste evoluzioni sarà data dal supporre tra i limiti (p=o, (p = it a — ^ l\fe -H/e \ co%. m(p. d(p ■=. — /-^ Z. ed avremo così come vedemmo la serie (B) 1 = ■■ ' r [r — a/?cos.(^-Ha/?*cos.iii^ — a^'co8.3(^-Hec.] (B) Otterremo l' altra evoluzione sviluppando per le potenze di ^~^ la funzione ^ — — , o la sua equivalente , e cambiando quindi (p in — (ji ed ag- giungendo ; e dopo questa operazione caderemo sopra la se* rie ( A ) = J==.[(;9_y)cos.<^ — (/>*—/*) co 8. a(^ (A) i-^-ncoi.tp i/i „ -+-(/?' — y ) cos.3i^ — ec. ] . Ma il coefficiente di e nello sviluppo della funzione ^M-' è lo stesso manifestamente che il coeffi- ciente di x" nello sviluppo di — r-^^ '■> quindi è chiaro che i coefficienti dei diversi coseni nella serie (A) equivarranno ai coefficienti delle potenze corrispondenti nello sviluppo del- la formula — ■ °^ ■ ■ . Per altro il Teorema del numero i. esige che il coeffi- ciente di x"^ sia dato dalla formula — /le -4- e cos.mip. d(p = — / —i- i-- . il J *- ' ^ J l-t-nr.os

') COS. <^ — (/?"—/" )cos.a^ -H {p^ — p^ ) cos.3(^ — ec. ] - = ■ [ I — 2,pC0S.(p-^2p'^C0S.2.(p — 2,p^C0S.Sip-heC. ] \") l-*-ncos.

-p' i-*-pé''*' ' i-t-pe ■'■►'- J Parimente la serie p'cos.(p — p'^cos.acp •+-p'^cos.S(p — j9'4cos.4'^ -*- ec. sarà espressa dalla formula ^"t^'^'^ „ ' l-t-3J> COS. coa 4 p'^-i-p' coi.

integrando tra i limiti (p=o, » ed il primo termine A sarà dato dalla Equazione A ]C J I— I dt^ -COS.i^ integrando per tutto tra i limiti (p=o , (p=:7t. Abbiamo ora, integrando indefinitamente JL /'_£É_=_ J.i±£2!^H-cost.ec. e prendendo quest'integrale tra i limiti assegnati e sostituen- dolo poi nel valore di A , noi avremo A = — . Ne concluderemo quindi che la funzione — - — —non può ^ 1 — cos.tp >■ svolgersi in una tal serie ordinata per i coseni multipli di (^ in modo che il di lei residuo soddisfaccia alla proposta con- dizione . Con tutto ciò abbiamo , applicando alla funzione — il metodo del numero i8. — = — 2(cos.^-+-2Cos.a(^-<-3cos.3(^-i-4cos.4<^-i-ec.) Facendo infatti x=e , la funzione proposta diverrà -^ — , la quale, svolta per le potenze di a;, diviene — ^ — = — 2.(x-h2.x'^-^Sx^-^4x^-i-ec. ) ed in questa variando a; in —, ed aggiungendo, e risostituen- do poi in luogo di X il suo valore e , ricadererao sopra lo sviluppo qui sopra indicato. 3.X / Del Sic. Giuliano Frullanì 49 5 2i0. Se dunque sarà ora proposta una funzione qualunque yà;, la quale svolta in serie per le potenze di x ci dia •' 1 a 3 m, X se in luogo di x porremo e , quindi e , noi avremo aggiungendo /g -^f^ z=za-\- a COS.© -f- a cos. a® a I ' a (m) ■nC'") -»-ec. ..-Ha cos.m(p-t-P -t-P , — . e e Moltiplicando adesso da ambe le parti per cos.Tn(p.d(^ , ed integrando quindi tra i limiti i. fu' coi.sf. d(p = b^. Del Sic. Giuliano Frullani 499 Sembrerebbe in questa maniera il nostro problema risoluto, ammessa che sia nella serie (2) la condizione / (m) K COS. w^ d(p = o che deve aver luogo qualunque numero intero sia m e dove denota nella serie medesima il residuo che succede al ter- si mine qualsivoglia b cos. m-aj;) / ciò è — / e cos . x(p . d(p = h a'^l integrando tra i limiti 0 = 0, (^ = ;r I [ I — — — ^— I I — ^M-^— — ^— -^^v mJLm eC a(a-(-2x) a,4.(a-+-ajr)(4-+-ax> 5o6 Sopra la dipendenza tra i differenziali ec. Il valore di p qui sopra assegnato non è per altro com- pleto , dovendo per esserlo , contenere due costanti arbitra- rie, perchè è dedotto da una Equazione differenziale del se- cond' ordine; ma un poco di attenzione basterà per assicurar- ci che 1' integrale particolare trovato è per il nostro oggetto sufficiente. Se infatti considereremo la funzione e svolgen- dola in serie per le potenze di a troveremo 3 _a 3—3 X —X '"^°^'

cos.3(p-i-ec...-^b cos.X(^-f-ec. e sarà integrando tra i limiti (p:=o , (p =7t b = — 1 e COS. xip. clip . Noi abbiamo adesso , integrando per parti •- fe''^cos.x^.dp = J^ e"^ -^fe^^s^n.xp.df. Ed abbiamo ancora fe'^sen.xpdp = - '^f- e"^ ^ ± fe^'^cos.xp.dp. Quindi otterremo^ sostituendo, fe^^cos xp.dp^'-^ e"^-H Jcos.a-^. e"^- %fe"^cos. xp. df onde facilmente si avrà /a , , , arseti. r^i ^'P , acos..T<^ '"fi e cos.xp.dp= —r — r- e n — j- e Se prenderemo quest'integrale tra i limiti p-=o , p = 7i , sì avrà nel caso di x pari y /^ COS. xp.dp = ;^ ( e'''' - I ) e se :t; è dispari e cos.xp.dp = ^^^,—,ye -^ i j . Sarà dunque ancora , essendo x pari b = jc x^H-a Del Sic. Giuliano FfiULLANi 5i5 e se X impari aa (e^'^-t-i) nel caso poi di x=:o, essendo nella serie e =b-^-b cos.(p-^b cos.2.(p-i-b cos.3 e che si ap- plica ai casi particolari, osservando che y =y , e quindi o,t a,t y z= y j ed in generale y =y essendo s numero CjO a,o — ^jO a—sfi intero positivo, ed anche zero. a. Per fare alcuna delle più semplici applicazioni di que- sta formola integrale , suppongo primieramente che si abbia a = a,y z=i n , y =:o, esi cerclii y , locchè secondo x,(> 2—1,0 a,i le viste dell'Autore riduce il problema al caso di due urne, la prima delle quali avanti ogni estrazione contiene n biglietti bianchi , e la seconda nel caso stesso ne contiene n neri , e trattasi di determinare il numero dei biglietti neri , che pro- babilmente rimarranno nella seconda urna dopo la prima ope- razione prescritta nell' enunciato generale , che chiamerò quind' innanzi j!7er/72z^tóziorae; comprendendo sotto questo no- me il complesso dell' estrazione contemporanea di un dei bi- glietti da ciascuna delle due urne ora supposte , e del reci- proco loro traslocamento nelle medesime . Quindi il risultato di questa prima applicazione dà >-.,. = ( '-0''^ = ''~^' cioè dopo una permutazione eseguita sulle supposte due ur- 42.0 Nuove Considerazioni ec. ne^ si ha il numero non probabile ma certo in questo caso, come è evidente , di n—\ biglietti neri nella seconda urna . 3. Passando ad altre applicazioni nella stessa supposizione di due sole urne contenenti prima di ogni permutazione n bi- glietti rispettivamente bianchi e neri, si otterrà cercando i bi- glietti neri probabilmente residui nella seconda urna dopo due permutazioni. E dopo tre permutazioni si avrà pure a cagione di («— i )^=:(re— a )^-H3/i -- 3. In generale dopo t permutazioni , e nella supposizione sempre di due sole urne , si vede facilmente, che la formu- la suddetta diviene J-n ( ^i"—iY-t-t{t-i)(n--iY-^ \ z=—n i "'-*-'"-'')' \ a y n' f a y n' f a cagione di 2.{n — iy-i-t{t — i){n — i)'—^=«'-t-(«— a)' come sì di- mostra per lo svTluppo del binomio Neutoniano . Quindi fatto 1Z-=m , si ridurrà pure quest' ultima formola ad - re ( i -hm^ ). 4- Tanto questa formola generale quanto le altre trova- te ne' precedenti numeri a, 3. sono identiche a quelle che ot- tenne (i) il già citato Daniele Bernoulli limitandosi alla conside- razione del problema nel caso di due sole urne. Conviene pe- rò avvertire che la probabilità qui considerata relativamente ai biglietti neri fu da Bernoulli riferita a biglietti o schedo- le bianche, ed è ben facile a vedersi che I' una e l'altra di queste due probabilità dev'essere la stessa, poiché la condi- zione dei biglietti dell'una specie corrisponde perfettamente alla condizione dei biglietti o schedole dell'altra. Pertanto il (i) Dan. Bernoulli. Mem. citata pag. 4- e seg. Del Sic. Mauchese Luigi Ranconi 4^' Malfatti affermò d'ignorare con quale raziocinio fosse quegli pervenuto a ritrovarle^ e giudicò che egli avesse confuso que- sto problema con un altro assolutamente diverso in cui trat- tasi di determinare la ragione dei componenti di un misto di acqua, e di vino derivato dal permutamento reciproco e successivo di eguali misure dei due liquidi contenuti in due botti di eguale capacità, supposte da prima ripiene rispet- tivamente r una di acqua , e 1' altra di vino Di fatti potè pure il Malfatti sciogliendo questo nuovo problema ricavare quelle stesse formole , che pel suo venivano dal BernouUi stesso assegnate. Dando perciò luogo a nuove riflessioni, ri- guardò come erronea la soluzione del Bernoulli, e ve ne so- stituì una propria di cui si pallerà in seguito . Intanto può notarsi come independentemente dal problema delle botti si possano trovare le formole di Bernoulli e con un raziocinio analogo a quello adoperato da Lagrange. 5. Sieno due urne A, B la prima delle quali contenga n palle bianche , e la seconda n palle nere , giacché si possono sostituire le palle ai supposti biglietti. Se cercasi qual sarà il numero delle palle nere nell' urna B dopo una permutazione, si vede subito che queste debbono essere n — i di numero per B, e conseguentemente i per A. Facendo una seconda per- mutazione alle n — i palle nere già esistenti in B se ne ag- giungeranno probabilmente —, e se ne leveranno probabil- mente ^^ , cosicché dopo la seconda permutazione saranno probabilmente in B palle nere n \ n I n come nel precedente n." 3. Ragionando allo stesso modo si vedrà pure che per es- sere rimaste probabilmente nell'urna B dopo la seconda per- mutazione palle nere ~'^ - h- i , esse dopo la terza sarau- 4aa Nuove Considerazioni ec. 110 accresciute di "'"^""'jl"""'"" | poiché in A sono proba- bilmente rimaste palle nere n — l ("-Of^^-a) _^ i ) 1 , e dimi- nuite di -^ — ' "~^ ■+• — , cosicché il numero probabile di pal- le nere , che saranno in B dopo la terza permutazione ver- rà espresso da I _i_ ri^—ln—i)in—2)—n / („— i)(n— g) i \ (ra~i){ra— a)' n— a formola identica alla corrispondènte ricavata dalle soluzioni di Lagrange , e di BernouUi: ( Veggansi li prec* n ' 3 , 4- ) E similmente procedendo si trovarebbero delle altre formole esprimenti ciascuna il numero probabile di palle nere che sono in B rispettivamente dopo la quarta, la quinta ec. per- mutazione , l'ormole , le quali combinano perfettamente con quelle, che per gli stessi casi somministrano i metodi di que- sti Geometri. 6. Fin qui per altro non ho fatto che adoperare i razio- cini , ed i metodi di que' due Sorami Uomini per mostrarli uniformi , non già perchè non mi sembrino assolutamente fallaci , ed erronei. Quindi adottando in parte le riflessioni del mentovato Malfatti , osservo che la ricerca del numero probabile di una data specie di palle secondo il modo di es- primersi di BernouUi, e di Lagrange non offre alcuna idea precisa, e che possa concordare coi principj stabiliti del cal- colo delle probabilità. Inoltre i risultati che si ottengono dal-^ le particolari applicazioni della formola generale di Bernoul- li — re ( I -(- 7?z ) identica a quella di Lagrange nell' ipotesi di due sole urne, possano essere numeri fratti, locché suc- t cede ogni qualvolta ninno de' fattori re , i -+- w è divisibile per a. Supposto per esempio n-=/^, t = o,, viene espresso il numero probabile delle palle nere nell'urna B dopo la secon- da permutazione da -r = — , che essendo appunto numero • Del Sic. Marchese Luigi Rancori 5a3 frazionarlo , non si comprende come possa corrispondere a quello delle palle, o biglietti per sua natura intero. Che se anche per l'indicato numero probabile volesse intendersi un rapporto di quantità, secondo la maniera generalmente adot- tata nel calcolare le probabilità, cioè il rapporto tra le com- binazioni favorevoli a fir entrare in un' urna una palla nera alla totalità di quelle che sono possibili , si urterebbe nell'al- tro assurdo di avere (juesto rapporto, che deve, come si sa, essere sempre minore dell' unità , espresso da una frazione impropria j e perciò maggiore dell'unità stessa. Giova ezian- dio r osservare che il discorso con cui il Lagrange , e come sembra anche il Bernoulli stabilirono le loro formole porta ali* addizione delle probabilità semplici anziché alla loro moltipli- cazione, siccome prescrivono le regole della probabilità com- posta seguite, e sostenute dall' Ugenio, da Giacomo Bernoul- li , da d' Alembert, da Lacroix , da Laplace, e da quanti altri hanno trattato del calcolo delle probabilità. 7. Abbandonando però queste considerazioni intorno ad un metodo di cui il rispetto dovuto a que' due lumi grandis- simi delle Scienze matematiche non può nascondere il para- logismo, conviene riguardare in altro aspetto il proposto pro- blema. Osservò il Malfatti che se in una delle due urne fin qui considerate si hanno n—p palle bianche e p nere , ese- guita una permutazione non possono aversi nell' urna stessa cbe palle bianche n — p — i, ovvero n — /?, ovvero n— ^-+-1 , vale a dire che il numero o stato delle palle bianche o nere contenute in ciascuna delle due urne , deve per una nuova permutazione o rimanere lo stesso, od aumentarsi o decresce- re di un' unità. Si determinano quindi facilmente ed in ge- nerale i numeri delle combinazioni favorevoli a ciascuno dei tre eventi suddetti j ed ecco quanto si ottiene: l'omo XVIII. X X X Sa4 Nuove Considekazionicc. Eventi derivanti dallo stato n—p di palle bianche in una delle due urne , i fjuali possono aver luogo dopo una permu- tazione , coi rispettivi numeri delle combinazioni favorevoli che li possono produrre scritti al di sotto STATO PRIMITIVO n—p {n—pY Ciò permesso trattasi d' indagare quale sia il numero del- le combinazioni favorevoli ad un dato evento o stato di pal- le bianche o nere in una delle due urne dopo un dato nu- mero di permutazioni. Ottenuto il numero ricercato si avrà anche la probabilità di quell'evento, dividendolo per il nu- mero totale delle combinazioni sempre espresso da «*', posto che t denoti il numero delle permutazioni. Di fatto in ciascu- na permutazione le n palle di una delle urne possono com- binarsi colle n palle dell'altra il che da «^ combinazioni. Ma le combinazioni date da una permutazione si legano pure con tutte quelle che appartengono alle successive permutazioni di numero t , dunque il loro numero totale sarà tz^'. 8. Cominciasi pertanto collo stesso Malfatti a determina- re le combinazioni favorevoli ad aversi nell'urna, che chiamo A, palle bianche per esempio n — a dopo una permutazione, nell' ipotesi che lo stato primitivo , cioè quello che precede •i;. iWV"'.'i. Del SiG. Marchese Luigi Rangoni 5a5 ogni permutazione riguardo alle due urne sia nell' urna A di n — I palle bianche ed i nera , e viceversa nell' urna B. Posto /?=! , si vede subito che il numero delle combi- nazioni favorevoli, e corrispondenti all'evento n — a è {n — 1)% e la probabilità di esso è ^"~— . Così per le probabilità de_ gli eventi n — i , «, si trovano le due espressioni ^^7' > ^ • Quindi le probabilità dei tre eventi, che soli possono aver luogo dopo la prima permutazione , stanno fra loro come i nu- meri delle combinazioni che rispettivamente li producono . Prima di procedere ad altra ricerca è opportuno il riflettere^ che se lo stato n—j? non può per una permutazione passare che ad uno dei tre altri n—p — i , n—p, «— /?-Hi , viceversa non può essere preceduto che da uno de' tre stati medesimi, altrimenti j come è facile a vedersi , si sarebbe aumentato o diminuito rispetto allo stato precedente per più di un' uni- tà , locchè si è veduto non poter accadere (n.° 7.) 9. Passando ora a determinare le combinazioni favorevo- li allo stato n — a come risultato della seconda permutazione, è facile Io scorgere , che esse saranno la somma delle com- binazioni che dalla prima permutazione alla seconda possono produrre i passaggi dagli stati n — 3, n — a , n — i allo stato n — a rispettivamente moltiplicate per le combinazioni, per le quali i detti stati si ottengono immediatamente dopo la pri- ma permutazione. Però in questo caso non essendo possibile lo stato n — 3 come risultato della prima permutazione, per- chè lo stato primitivo si è supposto n — i , bisognerà esclude- . re il prodotto corrispondente. Quindi pel preced. n.° 7. la to- talità delle combinazioni favorevoli allo stato n — a dopo la seconda permutazione sarà 4-{n — i)'^('i — a)-l-a(/t — 1)^5 ^^^ divisa per n^ darà la probabilità dell'evento stesso. Cercando ora le combinazioni favorevoli ai due stati n — i, n — 3 nelle stesse condizioni, si otterranno ragionando nel me- desimo modo le prime espresse da 8(ra — i)M-/'i^, e le altre da («_i)-(«_a)\ 5a6 Nuove Considerazioni ec. Se di più si cerchino le combinazioni favorevoli allo sta- to n dopo la seconda permutazione , osservando che questo non può essere in verun caso preceduto che dagli stati «-i-i, n, n — I , uno dei quali solamente può aver luogo nella pre- sente ipotesi , cioè lo stato n — i , si troverà il nutnero di quel- le espresso da a(/i — i). Poiché si sono ottenute tutte le combinazioni rispettiva- mente favorevoli agli eventi «, n — i, n — a, n — 3 risultanti dalla seconda permutazione , è opportuno il riflettere che questi sono i soli possibili dopo due permutazioni , giacché da un canto é sempre impossibile per la natura del problema uno stato maggiore di « , e dall' altro non si avrà mai dopo due permutazioni uno stato minore di n — 3, non potendo da una permutazione all'altra le palle di una delle due specie decrescere che di un' unità. Ciò posto é chiaro, che se si sommano tutte le combinazioni appartenenti ai detti quattro stati nascerà l'equazione identica ne' suoi membri 4(n— I )»(«_2)-i-2(ra— 1 )3-t-8(«— I )»-hre='-f.(«— , )^(„_a)'-t-a(«— i )=«^ come può verificarsi. IO. Riesce pure adesso ppr le cose dette facile il trova- re il numero delle combinazioni favorevoli allo stato n — a do- po tre permutazioni. Di fatto riflettendo (n.°8.) che questo non può essere preceduto che da uno dei tre stati n — i , n — a, n— 3, che sono tutti possibili come risultati della secon- da permutazione , basterà per ottenere il numero richiesto gommare le combinazioni favorevoli e corrispondenti ai detti tre stati dopo la seconda permutazione moltiplicate per qu-^l- Je che producono i rispettivi passaggi di essi allo stato n-rS. dalla seconda permutazione alla terza. Secondo questa regola si avrà quindi il numero ricercato espresso da {8(ra— i)»-t-n^)(ra— i)»-f-(4(«— 1)»(«— 2)-Ha(/z— .)')(4(«-a))-H9(/z-i)1/z— a)'= 8(rt— 1 )4h_„»(«_ , )^^_ , 6(a— I )^(ra_a)*-+-8(«— i f{n—'x)-^i)[n— i )\n—iY formola , che differisce da quella che ritrovò (i) il Malfatti (() V Malfatti Mem. citata % a4- i^* Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 527 sciogliendo lo stesso problema pel termine C){n — 1)^(« — a)^ da lui omesso per non avere tenuto conto dell' evento re— 3 con- tingibile dopo la seconda permutazione. Per avere poi il numero delle combinazioni favorevoli allo stato od evento « — i dopo tre permutazioni, farà d'uopo gommare insieme le combinazioni favorevoli, e corrispondenti ai tre stati re — i_,re,re — a dopo la seconda permutazione, giac- ché questi sono i soli , che pel caso in quistione possono aver luogo dopo tale permutazione, moltiplicati rispettivamente per le combinazioni che danno i passaggi di essi stati allo stato re — I che si ottiene immediatamente dopo la terza permutazio- ne . Quindi si ha pel numero ricercato"!' espressione (8(re— I ) Vre») i{n— i ) ■+-2(re— i )re"-4-(a(re— i )3-+-4(re— a) (re— i )»)4 = =24(re— I )'-»- 1 6(re— 2)(re— i )»-H-4re»(re— i ) . Ragionando nell'istesso modo sì troverà il numero delle combinazioni favorevoli all'evento re — 3 dopo tre ptrmutazioni espresso da (re — i)''(re — 2)'6(re — 3)-+-(2(re— i)^-l-4(re — 2)(re— i)"*) X {n—2.y=6{n—3){n— i )^(«_a)»-t-4(re— a)3(re— i )»-i-2(re— i f(n—'2)'. E cosi il numero delle combinazioni favorevoli all' even- to re— 4 sarà =(re— i)^(re— 2)^(re— 3)'. Finalmente pel numero delle combinazioni favorevoli al- l'evento re si otterrà l'espressione 8(re — i)^-+-re*. E poi facile a vedersi come essendo re — i Io stato primi- tivo delie palle bianche in una delle due urne, non possono dopo la terza permutazione aver luogo che questi soli cinque eventi re — 2, re — i,re — 3, re — 4'"' ^ dopo la quarta permuta- zione oltre ì detti cinque eventi può aversi anche l'altro re — 5; e dopo la quinta oltre i sei precedenti può verificarsi anche l'evento re — 6, e così di seguito. Del resto chiarq apparisce il modo col quale si possono determinare le combinazioni fa- vorevoli a ciascuno di tali eventi dopo un numero qualunque di permutazioni , la quale ricerca può rendersi ne' diversi ca- si particolari men laboriosa col far uso delli tabella del n 7. più oltre continuata , ed ha poi luogo solamente risp'^tto al- lo stato re— /? generalmente considerato, qualora tra esso e lo ) Sa8 Nuove Considerazioni ec. «tato primitivo non siavi una differenza maggiore del nume- ro delle permutazioni. II. Affine di meglio conoscere la natura del problema, e tentarne quella più generale soluzione di cui possa essere capace ;, è opportuno il considerarlo in altro aspetto e vede- re se per avventura il calcolo delle differenze finite , che è pure la chiave adatta a svelare molta parte della dottrina del- le probabilità, possa guidare anche in cjuesto caso al bramato discoprimento. Perciò nell' ipotesi già divisata delle due urne contenenti ciascuna n palle suppongo che le palle nere ^ e le bianche si trovino da prima, cioè avanti ogni permutazione comunque frammiste, così che però essendo x palle bianche neir una di esse urne sieno n — x le nere, e inversamente nel- r altra. Gol solo principio che lo stato x dopo la prima per- mutazione, e qualunque stato successivo dopo una unova per- mutazione non può che o rimanere invariato , o crescere , o decrescere di una unità j si formerà la tavola seguente nella quale x indica lo stato primitivo , e le ^, x-^i , ar-f-a, a;-4-3, ec. X — I, X — a, x — 3^ ec. che si trovano disposte nelle linee orizzontali sotto ad x sono tutti gli eventi possibili dopo qua- lunque permutazione, il cui ordine progressivo segnato rispe- tivamente da (i) , (2), (3), (4)"--(^) è lo stesso che quello del- le linee orizzontali anzidette (i) a;-Hi, a;, x — i. (a) a;-t-a, x-+-i, x, x — i, x — a. (3) . . . a:-H3, xH-a, x->n\, x, x — i, x — a, x — 3. (4) . ^-1-4j x-hS, x-^2, ar-+-i, X, ar— I, x—2, x — 3, x—^. (t) x-^t, x-\-t — i....a:-i-a, x-^i, x, x—i, x—^^.-^x — ?-Hi,a; — t» la. Col mezzo di questa tavola si vede facilmente come si generi ciascuno de' notati eventi nelle varie permutazioni, riflettendo che per la prima di esse non si possono ottenere r Del Sic. Marchese Luigi Rangoni Sag che gli eventi x-i-i, x,x—i della linea orizzontale (i): e sic- come da x-^i considerato come esistente dopo la prima per- mutazione possono solamente nascere per effetto della seconda i tre eventi x-f-a, x-h-i , x, e da x nella stessa ipotesi i tre x-i-i , X, X — I, e così da x — i i tre x, x — i, x — 2,, e d'altron- de fra questi nuovi eventi se ne trovano di eguali , perciò la totalità dei diversi per la seconda permutazione si ridurrà ai cinque notati nella linea orizzontale (a). Ripetendo poi anche su questi le stesse osservazioni in ordine ai risultamenti pos- sibili della terza, quarta ec. ^""' permutazione^ sempre meglio si renderà palese la legge con cui procedono le serie d'even- ti che corrispondono ad ogni permutazione . E qui è da no- tarsi che qualora il numero t di permutazioni sia maggiore di n — x, mancheranno nella parte crescente della serie {t) con- tata da X verso sinistra i termini x-^t j x-ht — i , x-^t — 2 , ec. fino ad x-i-t — -/esclusivamente, supposto j=t — (« — x), giac- che ninno degli stati compresi nella detta serie può mai es- sere maggiore di n. Inoltre non potendo alcuno dei termini della parte decrescente della serie medesima discendere oltre lo zero , altrimenti vi avrebbero stati negativi non ammessi dalla natura del problema , si arresterà essa al termine x — £•+■/' inclusivo j supposto y'=t — x. i3. Giova ora osservare per le cose da dirsi in appresso come le funzioni che possono esprimere il numero delle com- binazioni rispettivamente favorevoli ai diversi eventi possibi- li dopo qualunque permutazione non sono sempre simili , va- le a dire costituite allo stesso modo , poiché gli eventi di cia- scuna delle linee orizzontali dopo la prima nella tavola del n.° II. nascono diversamente in rapporto ai risultati della per- mutazione precedente. Così a cagion d'esempio l' evento :»;-i-a che ha luogo dopo la seconda permutazione non può essere preceduto che dall'evento .r-i-i risultante dalla prima, lad- dove nelle stesse circostanze x -+- i deriva da x-i-ì , e da x'; ed X da x ,x — i, x-^i, e cosi pure x — i deriva da x, x — i, ex — 2, deriva solamente da x — i. S3o Nuove Considerazioni ec. Non fece alcun cenno il Geometra Laplace di questa dls- simiglianza di funzioni quando nei trattare (i) dello stesso problema stabili un' equazione j la quale si riduce facilmente alla seguente (A) z —[x^\Yz -f-2a:(«— a;)z -f-(«_a;-H i ^2 cambiando qui soltanto la significazione di z ,z ec. per x,t x-*-\,t ' rappresentare le combinazioni favorevoli rispettivamente allo stato Xf x-^i, ec. dopo t permutazioni , mentre il Geometra Francese si servi di que' segni per indicare le probabilità cor- rispondenti. i4- L'equazione (A), prescindendo dal discorso con cui fu ottenuta l'accennata del Laplace , si stabilisce col seguen- te facile raziocinio. L'evento x dopo t permutazioni non può essere preceduto cbe dai trearn-i, x,x — i dopo la {t—ì)'"'"* permutazione. Dunque se z indichi il numero delle combi- nazioni favorevoli all' evento x dopo t permutazioni , si inten- de facilmente ciò che significheranno le funzioni z , z , s , le quali essendo rispettivamente e per or- dine moltiplicate pel numero delle combinazioni j che da una permutazione qualunque alla seguente producono i passaggi degli stati a:-)-r, x, x — i allo stato ar, e riunite poscia in som- ma daranno pure un'altra espressione della totalità delle com- binazioni favorevoli allo stato x dopo t permutazioni. Si avrà quindi l'equazione ....z ={a:-t-i)''z -^2,x{n—x)z -+-(«— a;-l-i)'z «,t ^ ' X^t,t—l ^ ' X,t—1 ^ X—l ,t—l dalla quale nasce l'equazione (A) facendo solamente crescere la t di un'unità. i5. La precedente formola (B) ritenuta senza alcuna mo- dificazione, e riguardando- la lettera z come segno di una (i) V. Théorie Ànaljrtique deg probabilités - seconde édition. pag. a87,e seg. (B) Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 53 i funzione generica , cioè tale che al variare degli stati e del numero delle permutazioni possa ricevere valori non riduci- bili ad una sola espressione generale, qualora venga applica- ta al caso di uno stato primitivo qualunque x , somministra una nuova prova della dissimiglianza delle funzioni per le quali è data l'equazione stessa. Fa d'uopo perciò premette- re che in tal caso l'espressione z equivale necessariamente ad I , giacché indicandosi con essa il numero delle combina- zioni favorevoli allo stato x dopo zero permutazioni , rappre- senta la medesima pur' anche la totalità delle combinazioni che appartengono a zero permutazioni. Ma queste pel n.° 7. a. e , . . , sono» =1. Dunque sarà z =1. La quale equazione si può 1,0 anche ottenere , osservando , che siccome stante l'ipotesi fat- ta la probabilità dell' evento x perviene al grado di certezza e percfò prende il valore 1 ^ così ( n.° 7.) si avrà z =zi ,Ti =1, Ciò posto si ponga nella formola (B)f=i: si avrà z = 2ar ( n — X ) z =2.x{ n — x ) poiché supposto essere x lo stato primitivo, deve nella stessa formola (B) necessariamente annullarsi ciascuna delle funzio- ni 2 , s j e quindi anche ciascuno dei termini di cui esse sono fattori. Per avere poi le espressioni corrispondenti a z , e ^ ' ' 2--l-I,I a z , sostituiscasi nella (B) successivamente x-t-i, e x — i ar— 1,1 invece di ar : si avranno le due equazioni z =:(x-t-a)^z -^-2,{x-^-i){n—x—i)z ■+-{n—xfz x-¥-ì,t ^ ' .r-f-a,<— I x-f-i,(— I x,t—x Z :=x'^z -^2.(x—l)(n — X-hl)z -¥-{n—X-i-2)^Z x—iit x,t—i ^ '^ ' x—t,t—i x—a,t—i nelle quali ponendo t=i , e tralasciando anche qui i termi- ni , che debbono svanire nella supposizione di x stato primi- tivo , si ha Tomo XVIII. y y y Sia Nuove Considerazioni ec. z =(« — x^z = (n — x)' 2 = X''Z X — 1,1 x,o Per z , z , z , si sono adunque ritrovate col ar,i x-«-i,i 1—1,1 ' mezzo dell' equazione (B) tre espressioni affatto identiche a quelle che somministrerebbe la regola del n.° 7; ed è ben facile a comprendersi , che la cosa doveva appunto riuscire così, poiché nello stabilire l'equazione (B) si sono impiegati raziocini dipendenti da quella regola. Pertanto considerando questi valori di z , z , z , osservo che se essi fossero ' x,i c-«-i,i r— 1,1 funzioni simili, ponendo x-ir-\ in vece di x nell'equazione z =ax(/i — x) dovrebbesi avere per z V espressione {n — a;)" 5 loco he non ha luogo: e cosi pure ponendo x — i in vece di x nell' equazione stessa , si dovrebbe per z ot- X—l,I tenere l'espressione ^^ , che nemmeno si verifica. Ne conse- gue non potersi , anche qualora l' integrazione dell* equazio- ne (B) non isfuggisse ai metodi conosciuti , ricavare da essa un' espressione generale atta a somministrare tutti i valori ri- chiesti dal problema, poiché supposta pure la negata simi- glianza delle funzioni , se si trovasse in generale z =^, de- notando per "^ la ricercata formola data per x , t , sì avreb- be pure z ='*I'^' cioè ad un'altra espressione dedotta da "^ col porre in essa ^=1. Dovrebbe perciò ''I''' essere identica col valore di z ottenuto nel modo testé dichiarato , e dovreb- be nel tempo stesso per V ipotesi somministrare i valori di z , z solo che in essa venisse rispettivamente sosti- X-t-l,l 1—1,1 tuito x-\-i , X — I in vece dì x, locché si vede essère assurdo. 16. Malgrado però le sovraesposte difficoltà si possono non ostante dall' equazione (B) per via di successive sostitu- zioni ricavare dopo una, due, tre, ec. permutazioni quelle stesse formolo, che si ottennero già nei precedenti n ' 8. 9. IO. Suppongasi pertanto lo stato primitivo x=n — 1 , e s' in- Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 533 cominci tosto dal determinare le espressioni che danno le com- binazioni favorevoli agli eventi n — r, n, n — a, che sono i soli che possano aver luogo dopo una permutazione. Metten- do n — I in vece di x nelle equazioni del prec. n.° i5. che somministrano i valori d'i z , z , ar : si avrà z =z =2.(n — i) x,t n— 1,1 Z =Z = I *-+-!, 1 n,i z =z = (n — I )*. jc— 1,1 n—»,i dove z , z ^ z secondo il significato foro attribuì- 7J— t,i n,i «— a,i to al n." i3. rappresentano le combinazioni che dopo una permutazione conducono rispettivamente gli eventi n — i , n, n — a. Si vede ora che tali risultati sono identici a quelli del n.° 8. locchè doveva verificarsi, siccome fu precedentemente avvertito. 17. Per dedurre poi dalla formola (B) le combinazioni fa- vorevoli agli eventi n, n — i, n — a, n — 3 dopo la seconda permutazione , i quali possono unicamente aver luogo , stan- te 1' ipotesi fatta dello stato primitivo n — i dopo tale per- mutazione, pongo in essa (B) ^ = a, ed x successivamente z=.n, n — I, n — a, n — 3; omettendo i termini che di necessi- tà debbono svanire si avranno le equazioni z =i='z 7!,a n— 1,1 Z ^TV^.Z -t-2(« — \)z -Ha*.z n— I ,« n,i n — 1,1 n— a,i Z =(a — lYz -+-4('* — 2,)z n— a,a n— 1,1 ' n— a,i Z , =(n— 2)''Z n— 3ja n— a,i ovvero anche, sostituendo per z ^ z ^ z ì valori n^iji Hji ra— a,i trovati nel prec. n.° i6. z =a(«— i) n,a 534 Nuove Considerazioni ec. Z =2(tt— i)3-h4(«— 2)(«— l)* risultati, che sono appunto conformi a quelli del n." g. 18. Nello stesso modo ponendo nell'equazione (B) f =3 , ed X successivamente = «,, n — i, n — a^ n — 3, n — 4^ '^ com- binazioni , che dopo la terza permutazione producono rispet- tivamente ciascuno di questi cinque eventi , i quali possono soltanto aver luogo dopo tale permutazione e sempre nella supposizione di n — i stato primitivo j si ricaveranno dalle e- quazioni z J=Ji'^z -»-2(ra — ì)z -^2..^z n—i,i n,a, n—1,3. n— a,a z =={n — lYz -ir-A{n — a)z -h3.''z , n—3.,i 7z— 1,2 rt— i,a n—0,3. 2 oMf^—^Y^ -t-6{«— 3)z , n—i,i n— 2,3 ' 71—3,2 z ={n-3rz . n— 4,-> 72—3:2 ove sostituendo per z , z , z , z i valori tro- 71-1,2 7j,a 71— a, 2 n — 3,a vati nel prec. n.° 17. risulteranno le seguenti espressioni, che sono le stesse che si ebbero al n." io z _ =24{n—if-ì-ì6{n—2,){n-'ìY-i-4n^ («— i) z^_^ g=8(/z-- 1 )44-a5(/i-a)-(«— i )^-+-8(«— a)(«— iY-hn\n— 1 Y z^_^ ^=z6{n—3){n— i )^(«_a)»-f-4(«— a)3(re— i )»-H2(re— a)=»(;z— i f V4,3=(''-^)"('^-^^'("-0^ Dopo ciò è quasi superfluo 1* avvertire, che 1' esposto metodo vale per trovare eziandio le combinazioni favorevoli a qualunque evento in ogni supposizione del numero delle palle,, e di quello delle permutazioni. Del SiG. Marchese Luigi Rangoni 535 19. Vi ha però un altro modo per determinare i valori di z in qualunque supposizione di xQ di t^ il quale si de- Xyt duce dal successivo sviluppo delie funzioni z , z , z , che entrano nell' equazione (B) , e di quante altre da esse si ottengono coli' andamento che viene più sotto di- chiarato. In tanto per brevità facciasi (:i;-Hi)^=M , 2.x{n—x)=N , («— ,r-t-i)^=P XX ^ l'equazione (B) diverrà (C) ...z =M z -f-N z -hV z jr,t X x-t-i,t—i X x,t—i X X — 1,<— I dove posto x-i-o in vece di a: , e t — d in vece ò\ t , espri- mendosi con o un numero intero qualunque positivo , o ne- gativo , ed anche zero, e con 0 o lo zero , ovvero un nu- mero intero positivo , ma però non > ? ; si avrà (D) . . . s =M z ^ -1-N s ^ -t-P s . ^ formola dalla quale facilmente si deducono gli sviluppi delle accennate funzioni nei diversi casi , secondo i particolari va- lori che si attribuiscono ad o , e a 0. ao. Col mezzo della (D) si trovino pertanto i valori di z , z , z , e si sostituiscano nella (C): si X-t-l,t—t X,t—l X—I,t—I ' otterrà (E) . . . z =M M z -+-M (N -f-N )z -t-(M P -hW ■+■? M ^ x,t X x-^-1 x-»-a,t— 2 X ar-^-i x a:-»-i,t— a x x-*-i x x - -+-P (N H-N )z -t-P P z X X X—l X—ljt—3, X X—1 . ^ x— I *— a X— 3 X— a,f— 4 x— a x— 3 x— a^t— 4 -t-T'-'P Z x-3 X— 4,t— 4 ai. Si vede dall' andamento dell' operazione con cui dal- la (C) si derivano le altre tre equazioni (E) , (F) , (G) , cbe in queste si aumenta successivamente il numero dei termini della prima secondo la legge dei numeri dispari, che pure deve osservarsi ne' susseguenti sviluppi , giacché per ognuno di essi s'introducono sempre due nuove funzioni di x et, nelle quali tanto la differenza positiva che la negativa di x si accresce di un'unità. Si scorge egualmente come in cia- scuno degli sviluppi già dati si formino i coefficienti dell' e- quazione , che ne nasce dipendentemente da quelli dell'altra che appartiene silo sviluppo immediatamente precedente , e dalle funzioni esplicite di x secondo una legge costante. Per ', conseguenza rappresentando con Vj V, V, V"'....Y 'V ' Del Sic. Marchese Luigi Ranconi , SSy 'V^ rispettivamente e per ordine i coefficienti del primo, se- condo , terzo ec. termine della funzione z sviluppata fino a t — 5-t-i , l'equazione che esprimerà generalmente la stessa z ma sviluppata fino a t — s sarà manifestamente (H) ...,z r=VM z H-(VN -i-V'M )z X,t .r-HJ— I x-^S,t—S jr-f-J— t i-t-J— i X- s'in- ferisce dalla legge manifesta con cui procede il coefficiente di un tal termine nelle successive equazioni dipendentemen- te dall'operazione per cui si ottiene, che esso per un'altra equazione sviluppata generalmente sino a t — s sarà M M M M , M M , così che supposto x Io X x-t-J x-t-a x-t-3 x-i-s — 3 x-t-s — I stato primitivo , e ponendo nella formola (H) x — s in vece di s, e t=s , si avrà pel numero delle combinazioni favorevoli all'evento x — s dopo s permutazioni l'espressione generale IK) . . . z =M M M M , M M X—S,S X — S X — i-4-I x—s-*-a X — J-t-3 X — a X — I Parimenti si vede ,che essendo rispettivamente P , P P X x—t P P P ,P P P P , il coefficiente dell'ultimo X x—i jr— 3 X X — I X — a x — 3 termine in ciascuna delle suddette equnzioni, il corrispondente neir equazione sviluppata sino a f — ^saràPP P P , X X — I X — 2. x—3 P P . Ponendo poi nella (H) x-f-5 in vece di s, X — S-t-2, X^S-i-1 e t=s , si avrà, nella stessa ipotesi di x stato primitivo, pel numero delle combinazioni favorevoli all' evento x-\-s dopo s permutazioni 1' altra formola generale d) . . .z =P P P P , P P * ' nc-t-J,* x-*-s x-*-s — I x-*-s~3, .T-f-i— 3 i-Ka x-t-i a4- Passando ora ad indagare la legge con cui procedona i coefficienti del secondo , e del penultimo termine in ciascuna delle anzidette equazioni, considero i due VN -t-V'M . x-t-s—i x-i-s—a V<*~')P -»-V^*)N della (H) per determinarli in un mo- do analogo a quello con cui si sono ottenuti nel prec.n.°a3. i coefficienti dei due termini estremi della medesima equazio- ne , e quindi anche per avere altre due formole generali^ di cui l' una dia le combinazioni che conducono l'evento x — s-i-i dopo s permutazioni , e l'altra quelle che dopo lo stesso nu- mero di permutazioni conducono 1' evento x-i-s — i . Osservo Tomo XVIIL Z z z S4o Nuove Considerakioni ec. perciò, che il coefficiente di tal termine nella (E) sviluppa- ta sino a t — a è M (N -4-N ) , nella (F) sviluppata sino a t—% si trova = M M (N -+-N -»-N ) , ed il corrispon- X i-Hi x-f-a x-Hi X dente nella (G) sviluppata sino a t — i%\ trova =:M M M X ^ X ar-t-i ar-Ha (N „-l-N -4-N -+-N ) , dopo di avere sostituito nei coef- .r-«-3 i-i-a 3^-l-I x ficienti di queste due ultime equazioni per S , S', T , T', i valori loro assegnati nel n.°ac. Di qui si scorge manifesta- mente, che il coefficiente VN -t- V M del secon- j-t-i— I x-t-j— a do termine dell'equazione (H) sviluppata sino a t — s saia M M M ....M M (N -+-N -+-N -h... X x-*-i x-»-a x-t-j— 3 x-*-!— a jH-i— 1 x-Hj— a x-»-^— 3 -4-N -hN ) . Mettendo poi in essa (H) x — J-Hi in vece di x e fatto t-=s 5 nell' ipotesi anche qui di x stato primitivo si avrà generalmente (L) . . . 3 =M M M ....M M (N -+-N *— J-t-i,< ar— j-*-i a:— j-*-2 x— j-i-3 ss— a x— i^ x x— i -<-N -i- -t-N -f-N ) . X— a X— i-+-a X— J-+- 1 Similmente si vede , che essendo P (N -t-N ) il coef- X^ X X— I ficiente del penultimo termine nell'equazione (E),eP P v^ (N -t-N -4-N ) , P P P (N -+-N -»-N -t-N ) i X X— I .r — a X x—i x— i x x— i x— a x— 3 ' corrispondenti nella (F), e nella (G), il coefficiente V 'P x—s-*-a -t-V N del penultimo termine dell' equazione (H) sarà P P P ....P P (N -4-N -hN -»-....-t-N X X— I X— a *— j-4-3 X— i-t-a^ x x— i x— a x— i-»-a -4-N ) . Posto frattanto in essa (H) x-\-s — i in vece di x X— i-t-l ^ e t^s si otterrà quest' altra formola generale (M) . . . s =P P P ... .P P (N X-+-J— lyS X -4-^—1 x-4-f— a x-«-j— 3 x-t-a x-*-i x-t-s—t -+-N -»-N ,-+- H-N M-N ). X-Hf— a x-f-j— 3 X-+-I x' Del Sic. Mabchese Luigi Rangoni 54 1 a5. Nello stesso modo osservando la legge dei coefficien- ti del terzo , e dell' antepenultimo termine in ciascuna del- le equazioni (F) , (G) ec. dopo di avere in essi sostituito per S, S', S", S'", S'% T, T', T", T'% T", T"', i valori loro asse- gnati nel preced. n.° ao si trova facilmente pel coefficiente VP -hV'N -hV'M del terzo termine dell' equa- x-*-s—\ i-f-j— a i-t-j— 3 zinne (H) sviluppata sino a t — s 1' espressione M M M ... M M FM P -hM P -^-^, . , P_^5 ->t- -H ■M -3 X-^-S—3. H-..-+-N' X-4-J — 3 X-t-J— 2 x-*-s- )-H-N -a (N - r-nr x-i-a N (N ,H-., ..H-N ar-i-j— 3 1 i-4-a X x-t-i .r-»-a T-»-i— 4 r-»-i -M P H-N' -f-N* -+-N" X-^S — 3 X-^S — I X X-V-1 (-N ìN -4-N -+-N ,-4— -^-N 3 -N ,h-....-hN ,-»-N -a^ "^ ^-N )-f.ec.-f-N (N ,-^N ) H-N N 1, e pel coefficiente dell' antepenultimo termine V P ,"^ V^*~'^N -t-V^^^M dell'equazione stessa si trova l'es- X— ^-4-a xs-¥-i pressione P P P P P FM P -+-M P M-M P X x—i r— a x—s-t-^ x—s-t-3\^ x x-t-i x—i x x— a "^—'^ a -M P H-M P -kN -»-N -t-N ^ x—s-t-a x—s-*-3 x—s-^j X — s-i-a, x x—i * ^ .-<-N ,-hN -hN (N -f-N -*-N , X— iw-i x— j-t-a X X — I X— a x— 3 N -i-N )-i-N (N -f-N -H....-FN ,H-N ) X— i-Ha x—s-*-a, X— I x— a »— 3 x— i-f-3 x— i-i-a' ,.-i-N (N ,-t-.'...'M-N .,-frN )-t-ec.-»-N (N x—z ar— 3 ar— i-»'3 x— i-»-a' x— j-4-4 x— i-i-3 -f-N )-hN ni. X— 5-Ha X— j-»-3 X— J-t-a J Ponendo poi nella (H) x — j-f-a in vece di * , e i=s , sus- sistendo sempre 1' ipotesi di x stato primitivo , si avrà pel numero delle combinazioni favorevoli all'evento a;— iH-2 dopo s permutazioBi la formola generale 54a Nuove Considerazioni ec. (N) z =M M M M M ar— j-+-a^j x — i-i-a x— f-«-3 x— ^-1-4 ar— a af— i FM P H-M P ,-i-M P -4-.... |_ X— j-t-i a:— j-i-a x— i-t-a x— i-+-3 *— f-f-3 x— j-»-4 -hM P -hM P -»-N^ -f-N"* ,-t-N" -H.... X— I X X x-4-1 X— f-»-a X— i-*-3 X— i-1-4 -hn' -+-n'-i-n (n ,-t-N -h;n -t-.... X— I x X— j-f-a X— f-+-3 X— j-f-4 X— J-»-5 -4-N -t-N )-hN ,(N -4-N ,-+-.. ..h-N -1-N ) X— 1 X X— i^3 X— j-t-4 X— j-t-5 X — I x' ^N (N ^-4-....-+-N -+-N )-Hec.-4-N (N -f-N ) x — Ì-+-4 X— i-«-5 X— I X X— a X— I X -<-N N 1 . X— I xj E così pure ritenuto nella stessa equazione (H) f = j , e posto x-f-5 — a, in vece di x si avrà pel numero delie combi- nazioni favorevoli all'evento x -^ s — a dopo s permutazioni quest' altra formola generale /0)...z =P P ,P ....P P FM P \ I X-4-J— 3^ x-f-j— a x-»-i— 3 x-i-j— 4 xH-a x-«-i|_ r-t-j— a x-»-j— r -t-M P -hM P -1-....H-M P -hM P x-i-i— 3 «-«-J— a X-+-Ì— 4 X-+-J— 3 * x-f-i X— I r VN* -hN' ,-hN" -H....H-N" -hN^ x-i-j — a x-(-j — 3 x-t-J— 4 x-^-\ X -hN (N -)- N -f- N -h -i-N -i-N ) x-(-j— a x-t-j— 3 x-i-5— 4 x-t-j— 5 x-Hi « -f-N ,(N ^H-N ,-+-.. ..-hN -4-N)-i-N JN x-i-i— 3 x-t-f— 4 x-t-j— 5 x-f-i X «-HJ— 4 *-+-i— >> -+-.... -+-N M-N )-Hec.-HN (N -i-N )-t-N NI. x-t-i X x-f-a x-t-i X x-Hi xj 26. Quantunque si potesse portare più innanzi questa analisi trovando oltre le (K) , (I) , (L) , (M) , (N), (O) nuove for- mole generali corrispondenti ad altri termini della (H) equi- distanti dal termine medio , è d' uopo per6 confessare che ciò esigerebbe una soverchia operosità di calcolo per cui queste formole riuscirebbero assai complicate e prolisse. Da esse inol- ' tre difficilmente si ricaverebbe una legge comune a tutti i termini dell' equazione (H) indefinitamente sviluppata , e I' e- spressione generale che per avventura potesse comprenderli, dedotta anche da una non bene manifesta induzione sarebbe Del Sic. Marchese Luigi Uangoki 543 pur essa di troppo intralciata ed estesa. Mi basta perciò di avere considerato il problema in tutta la sua generalità, e di avere mostrato come allo sviluppo delia formola (B) non isfug- ga alcuno dei casi possibili notati nella tavola del n." ii. 27. Rimane ora a mostrarsi come per facilitare il ritro- vamento del numero delle combinazioni richiesto ne' diver- si casi particolari secondo il metodo fin qui spiegato , giova dedurre il termine per cui viene stabilito il numero cercato corrispondentemente ad un dato sviluppo, dai termini del- l' equazione ottenuta per lo sviluppo immediatamente prece- dente , locchè si fa chiaro col seguente esempio. Vogliasi il terzo termine che nascerebbe dalla (H) qualora fosse svilup- pata sino a t — s — I. Senza compiere intieramente tale svilup- po di (H) si vede in primo luogo che il detto termine dovrà contenere la funzione z con un coefficiente , che X-*-S—l,t — s—\ si determina tenendo conto soltanto di quelli che negli svi- luppi parziali di z , z , z secondo l'e- ' •■ ' x-t-s,t — s x-t-s — t,t—s X-*-s—a,t — i quazione (D) moltiplicano z . La somma di tali coef- ^ ^ '■ X-*-S—I,t—S—l ficienti rispettivamente e per ordine moltiplicati per quelli de» tre primi termini dell' equazione (H) sarà il coefficiente che si cercava . Ciò che si è detto riguardo al ritrovamento del terzo termine dell' equazione (H) sviluppata sino a t — s — i , mostra pure la regola per ottenere egualmente il quarto^ quin- to ec. di qua però dal penultimo . E poi evidente che la regola stessa si estende a qualunque sviluppo della (H) in relazione allo sviluppo immediatamente successivo. Sarà ezian- dio facile il convincersi, che il primo termine e l'ultimo di qualunque equazione risultante da uno degli sviluppi della (H) rispettivamente derivano da un solo de' termini dell' e- quazione data dallo sviluppo precedente , siccome il secondo ed il penultimo di quella nascono rispettivamente da due so- li termini di questa. Ciascuno poi de' rimanenti termini del- la prima nasce da tre della seconda , 1' uno de' quali trovasi ^44 Nuove Considerazioni ec. nella stessa sede rispettiva riguardo al primo termine, e gli altri due occupano le sedi più prossime retrocedendo verso questo stesso primo termine. a8. Per estendere, e viemmaggiormente far conoscere l'uso del metodo testé esposto, è opportuno di considerare un altro problema del tutto analogo al fin qui trattato ed al- quanto più semplice, comecché presenti le stesse difficoltà che non furono avvertite da Laplace , a cui pure piacque di tradurlo in simboli non diversi da quelli ai quali sottomise r altro. Suppongasi perciò una sola urna che contenga la to- talità di n palle in parte bianche e in parte nere, dalla qua- le per una operazione ripetuta si estragga una palla a sorte sostituendovi costantemente una nera. Si cerca il numero del- le combinazioni favorevoli ad un qualunque stato possibile di palle bianche nell' urna . Si denoti per x lo stato primitivo delle palle bianche nell'urna, e conseguentemente per n — x quello delle nere. È evidente, che allo stato a;, eseguita la prescritta estrazione e la successiva sostituzione, le quali en- trambe comprenderò in seguito sotto il solo nome di trasmu- tamento , non può succedere che uno degli stati x , x — •! . Il primo ha luogo, come è abbastanza chiaro, quando si estrae dal- l' urna una palla nera, ed il secondo quando se ne estrae una bianca. E poi anche evidente, che il numero delle palle bian- che nei successivi trasmutamenti può bensì scemare , quan- tunque solo di un' unità per ciascuno di essi , ed anche tal- volta rimanere il medesimo, ma non può crescere giammai. All'incontro il numero n — x delle palle nere può esso pure rimanere lo stesso dall'uno all'altro degli indicati trasmuta- menti , o crescere di un' unità , ma non può scemarsi . Con queste osservazioni si costruisce facilmente la serie seguente di palle bianche, o nere, che ponno succedersi da un tras- mutamento qualunque all' altro contiguo fino al r."" partendo dai supposti stati primitivi : Del Sic. Makchese Luigj Rangoni ^^^ X stato primitivo di palle bianche, n—x stato primitivo di palle nere X, X — I (') • • " — ^*^ — *"*"^ X, x—\, a:— a (a) . . re— r , n— .r-i- 1 , «— a;-Ha ar,;c— I, ar^a, x— 3 . . . . (3) . . n—x,n—x-i-i,n—x-i-!i,n — X-i-^ ar, a;— K^x— a, x—r ... (/■) . . ra— ;r, «— :r-+- 1 , n—x-i-a. , . . ag. Anche nelle condizioni del presente problema se si esprimano collo stesso segno di funzione i numeri delie com- binazioni rispettivamente favorevoli agli stati di palle bianche o nere dopo un qualunque numero di trasmutamenti , s' incon- trerà 1' inconveniente che confonde insieme funzioni dissimi- li nel senso indicato ai precedenti n.' i3. iS.Acagion d'e- sempio, poiché dopo il trasmutamento (i) gli stati x, x — i delle palle bianche nascono diversamente da x, portando l'uno la conservazione dello stato primitivo, e l'altro il decresci- mento del medesimo per un' unità , ne viene che le funzio- ni esprimenti le rispettive combinazioni favorevoli che essi hanno sono dissimili. Lo stesso può dirsi riguardo agli stati, che possono esistere dopo il trasmutamento (a), giacché T uno di essi cioè x non può nascere che da x supposto esistere do- po il trasroutamento (i), ed x — i può nascere da a: , ovvero da x — 1 , e lo stato x — a non può nascere che da x — i . Si ve- de poi come un tale discorso può estendersi generalmente a tutte le combinazioni relative ad ogni evento sia di palle bian- che quanto di nere , che possa verificarsi dopo qualunque al- tro numero di trasmutamenti. 3o. Frattanto per istabilire un'equazione, che esprima le condizioni del problema s'indichi con z il numero del- le combinazioni favorevoli allo stato qualunque x di palle bian- che nell'urna dopo r trasmutamenti. Non potendo ^ anche per le cose dette , lo stato x aver luogo dopo il trasmutamento r*""" se non qualora sia preceduto da uno degli stati x, x-i-i risultanti dal trasmutamento (r — i)™ , se si rappresentino per 546 Nuove Considerazioni ec. ^ , z le combinazioni che ad essi corrispondono . x,r—i x-(-i,r— I ' queste rispettivamente moltiplicate per quelle che apparten- gono ai passaggi dagli stati x, x-^i allo stato x, e ridotte in somma equivaranno a z , cioè si avrà l'equazione (A') . . . .z ={x-\-i)z -^.{n—x)z , ossia facendo crescere la r di un' unità z =(x-+-i)2 -f-(« — x)z , x,r-*-i ' x-*-i,T ^ ' a,r la quale diviene identica all'altra ritrovata (i) da Laplace, rivolgendo le funzioni da lui usate per esprimere le probabi- lità degli eventi a significare i rispettivi numeri delle combi- nazioni favorevoli ai medesimi. Volendo poi le combinazioni favorevoli ad aversi re — x palle nere dopo r trasnmtamenti , facendo uso di analoghi ra- ziocinii si trovarebbe 1' equazione (B') . . . .z =ln — x)z -^-(x-+-i)z n—x,r n—x,r—-t n—x—i,r—i 3i. Ponendo per brevità nell'equazione (A') ar-f-i=Q , re — a; = R , si avrà (C) . . . . z =Q z -4-R z , X,T X X-*-T,T—l X x,r—j la quale può svilupparsi in un modo simile a quello che fu indicato al n." 20. relativamente all'altro problema ^ varian- do in essa opportunamente la x , e ì& r per avere i valori òì z ,z ,z ,2 ,2 ,z,z x-t-ì,T—i xj~i a-*-2,,T—2, x-t-1 ,T — a x,r— a x-t-ó,r — 6 x-t-ù,,r — à ec. 2 , ec. z , ec. da sostituirsi nell'equazione (C) x-t-4,r— 4 ar-H5,r— 5 ^ ^ e in quelle che successivamente da essa derivano. Per tal mo- do si otterranno le seguenti equazioni , sviluppando la fun- ; xione z sino ad r — 5 onde meglio si vegga la legge con cui procedono i coefficienti dei termini di ognuna delle me- desime : (i) V. Theo. Analyt. des probabilités ed. cit. pag. 284' 1 Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 547 (D^..^ =Q 0 z -t-Q/R-f-R \z -f-R*z (E')...z =Q Q Q z , ,H-QQ m -hR -f-R \z -f-Q/R%R'' -4-RR W ^^-^ z , x\ i XH-i X x-t-j/ x-4-i,r— 3 X x,r—3 (F')...z ~QQ Q Q ,z , .-^Q Q Q ^R -t-R - ' ' x,r ^ K-*-i «-Ha 3;-f-3 x-^^,t—4 x «-hi 3:H-a\ a; x-t-i -4-Q Q /r''-+-R'' -hR"" -4-R (R h-R WR r \ z X xH-i\ X x-t-1 x-i-a, x\ x-t-i x-i-y x-t-i x-t-zf x-t-s,r— 4 -f-Q (K -ì-R ■+-R R ^R -hR \\z -f-R^* ^ (G')...« =Q Q Q Q ,Q ,2 , , -t-Q Q Q Q ,CB- -^R -»-R. -hR ,-1-R )2 ^ ^ X x-t-j «-Ha x-i-i\ X ar-Hi «-Ha af-H3 «-h4/ «-H4,r— 5 ^-Q Q Q TrVr'' -hR'' -hR'' -hR /R h-R h-R \ "^a^x-Hi «-H2L X x-Hi I-Fa jc-hS x\ a:-Hi «-Ha «-h3/ -+-R /R -i-R \-+-R R Iz «-HiV «-Ha x-h37 x-Ha «.h3J «-H3,r— 5 -hQ Q ri^ -+-R -*-I^ -*-I^ R ^R -t-R ^ X «-HiL i a?-Hi «-Ha x x-t-i\ X «H-i/ H-R (R''^-R^_ -t-R /R -hR WR R \> a-Ha\ « «-Hi a:^ a;^-i x-f-a/ ar-»-i «-Ha/J x-na,?— 5 -4-Q FR^r"* -4-R R /rVr* -t-R R \-l2 ^.R^ z «L « «-HI X «-Hi\ « x-Hi X «-HI/J af-Hi^r— 5 X «,r— 5 3a. L' andamento dell' operazione per cui si otteno-ono dalla (A') le forraole (D') , (E'), (F') , (C) fa scorgere che" ne' successivi sviluppi si aumenta sempre di un solo termine il secondo membro di ognuna delle medesime in corrisponden- za al numero degli eventi che appartengono ad ogni trasrau- Tomo XriII. A a a a 548 Nuove Considerazioni ec. fa mento secondo la tavola del n.° 2,8. È inoltre da osservar- si che il primo termine di ciascuna delle anzidette equazio- ni ha per coefficiente il prodotto di tante funzioni Q -iQ , x-*-i Q ec. per ordine incominciando da Q quante sono le u- nità sottratte da r; che il coefficiente del secondo termine ha per uno de' suoi fattori il prodotto delle funzioni Q ■,0 , Q ec. esclusa 1' ultima che trovasi nel coefficiente del pri- mo termine, e per altro fattore la somma di tutte le fun- zioni R , R , R ec. sino a quella inclusivamente in cui r aumento di x è minore di un' unità del numero sottrat- to da r; che il coefficiente del terzo termine è composto di due fattori, l'uno dei quali è Io stesso prodotto delle fun- zioni Q , O , Q ec. esclusa 1' ultima che entra nel X ar-Hi x-i-a coefficiente dei termine precedente , e l' altro fattore è la somma dei prodotti di due dimensioni che possono formarsi coli' adoperare le funzioni K , K , R ec. fino a quella esclusivamente che è l' ultima nel coefficiente del termine precedente, tanto moltiplicandole per se medesime, che fra loro . Tutti i coefficienti degli altri termini che vengono do- po si riducono sempre al prodotto di due fattori , ne' quali progressivaniente si adempie la stessa legge di diminuzione nel numero delle funzioni 0,0 ,0 ec. R , R , X ar-i-1 x-t-a x x-t-i R ec. che entrano a comporli, e si aumenta sempre di un'unità l' egual dimensione di tutti i prodotti che possono farsi colle stesse R , R , R ec. Questa regola ne inse- gna , che volendosi in generale il coefficiente del termine psimo jgij' equazione (A') sviluppata sino ad r — J, si avrà l'uno de' fattori espresso da Q , Q , Q . . . Q , dove p X JC-4-I X-(-2 XH-S~p non può mai essere per la natura degli anzidetti sviluppi >■ 5. Per avere poi 1' altro fattore in cui entrano le funzioni R , D^L Sip. Marchese Luigi Ranooni 549 R , R ec. si rifletta, che mentre il primo termine di x-*-i x-4-a Ognuna delle prec. equazioni (D') ;, (E') , (F') , (G') non contie- ne alcuna di esse funzioni , il coefficiente del secondo ne contiene un numero eguale alle unità sottratte da r, il qual numero va poi sempre scemando di un' unità ne' successivi termini. Adunque il termine/?."'"'' dell'equazione sviluppata $ino ad r — s ne ponterrà un numero ^ — p-i-2.; cioè le fun- zioni stesse saranno R , R , R ,. . . R , le qua- X x-^i x-t-s. x-*-s—p-*-i li però si dovranno moltiplicare per se medesime , e fra lo- ro , per ottenere tutti i possibili prodotti di p — i dimensio- ni . Sarà cosi determinata un" espressione generale , la quale servirà a dare il valore di z in qualunque supposizione di x,r a;, e di r. Indicando infatti per X la somma di tutti i prodotti di p — I dimensioni che costituisce questo secondo fattore del g^^ coefficiente del termine /;,"""', siffatto termine verrà pertanto rappresentato da Q O O ...O .X.z .E *^ X ^,-+-1 ^a:-+-2 ^x-t-s-^p x-^-s—p-*-i , r—s supponendo x-i-s — /'-l- i lo stato primitivo, ed r = s, dal- l' equazione che somministra lo sviluppo di z protratto si- x^r lìo Si t — ^ si ricaverà 1' altra z =Q Q Q . . .Q .X, x,s X i-f-i jr-wa x-*-s—p ciacche, stante la fatta ipotesi , z diviene = i , e ' X-¥-S—p-i-l,0 svanisce manifestamente ciascuno degli altri termini di quel- r equazione . 33. Venendo ora a considerare l'equazione (B') , si fa ma- nifesto che essa esprime le stesse condizioni della (A') , e può riguardarsi come identica alla medesima ^ giacché le combi- nazioni che danno x palle bianche dopo r trasmutamenti e- spresse da z sono evidentemente le stesse di quelle , che dan- x,r no n — X palle nere dopo lo stesso numero r di trasmutamen- ti e sono indicate da z . Giova ciò non pertanto col mez- n — X,r zo degli sviluppi di questa equazione (B') conformi ai prati- (H) y^^k [r- r^+A' (7- 7*-»-A" (/- (K')...z =. y>r 55o Nuove Consideu azioni ec. cati sulla (A') dedurre qualche altra osservazione intorno al coefficienti dei diversi termini, che conduca a facilitare l'ap- plicazione dell' una e dell' altra ai casi particolari . Si faccia quindi nella (B') n — x=y ; si avrà z =yz -+-(«—7-1-1)3 Per ahhreviare poi i risultati che si ottengono sviluppan- do r equazione (H') fino ad r — 6 , si premettono le seguenti posizioni n — y-i-i=T = A, A -+- (r-2)= B , B -H iy-S)= G, C -4- (r-4)=D, D-h(/-S)=E = A', A'-HB(7-a) =B', B'-+-G(/-3)=G',G'-i-D(/-4)=D' = A^ A"-HB'(7-2) = B",B"-f-C'(7-3)=G" =A"', A"'-i-B"(7-a)=B"' =A'". Nasceranno cosi le altre equazioni =y^z M-AT z H-T T z y,T—3. y jr—i^r—2. y j— I j— a,r— a ,-i-A'T z „-hBT T z -t-T T T z y—^ ^— a y— 3,r— 3 y,r J/— 3 / j— i,r— 3 y y—i ^_a,r— S y (L')...z =y^z -+-A"T ^ -+-B'T T z -hCT T T 2 , j,r y,r—4 y ^— i,r— 4 y j-— r >— a r— 4 / :y— i :y— a y— 3,r— 4 -t-T T T T z y y_I y—3. 7—3 y— 4,r— 4 =7^2 -hA"'T z -hB"T T z -hG'T T T z , , j^jr— 5 JK y— i,r— 5 j y— I y— 3,r— 5 y j— i y— a >•— o^r— 5 T T T z ,-hT T T T T z , , / — I y— a y—3 y— 4,»"— 5 y y — i y — a y—3 j— 4 r— 5,r— 5 (M')... -kDT y {N')...z H-D'T T y j =7«z H-A'^T z ^-f-B"'T T z h-G'T T T z , ^ 7,r— 6 y y— i,r— 6 y y— i y— a,r— 6 _y y— l /—a J'— o,r— o T T z ^ ^-t-ET T T T T z , , — I y — a y—t> y—^i'T — « y y — i y — 2 y — ci j— 4 ^ — o^r— 6 -hT T T T T T z . y y— I y — a jK— 3 /^4 y— 5 y— 6,r— 6 34. Dalla considerazione del primo termine in ciascuna di queste equazioni è facile a rilevarsi , che per un qualun- que sviluppo protratto fino ad r — s il coefficiente del primo termine è 7*. Quello poi del secondo oltre il fattore T con- (•S — 3) 5—1 (j — 3) tiene anche l altro A =7 -t- A (7 — i ) , osservato r ordine degli apici di A secondo le posizioni del preceden- Del Sic. Marchese Luigi Rangoni 55 i te n." 33. E qui è da avvertirsi che quando ^=2, A = A rappresenta l'unità, la quale appunto è l'altro fattore che oltre a T compone il coefficiente del secondo termine y nella (H'). Colle opportune sostituzioni del valore di A in A', di quello di A' in A", di quello di A" in A'", e di quello di A"' in A'" si troverà A'=7 (7-t-(7— i))-H [y—if A"=r-(7-4-(7-i))H-7 (j-i)--4- (7-1)3 a'''=7^(7-h( 7— • ) )-^f{y— ' )'-t-7'(7— I )^-hr(r— i )Mr— ' )^ i così che in generale per lo sviluppo protratto fino ad r ~ ^ si avrà (0)...A —y (7-h(7_i))4.7 (7_i)»-4-7 (7—1)3^7 (y_i) ^.ec. • ^ _ -+-7(7—1)' V(7—i)'"'. Non è fuor di proposito l' aggiungere che le posizioni del prec.n.°33. in relazione al coefficiente del secondo termine in ciascuna delle equazioni (K'),(r) , (L') ec. maneggiate conve- nientemente in altro modo somministrano pure le seguenti equazioni A =27 — I A'=37"— 37-t-r A"=47^— 67^-t-47— I A"'=57'^ — 107^-4-107=* — 57-4-1 A'"=67^— 1574-4-207^—1 57^-+-67—i , nelle quali osservando 1' andamento dei termini de* loro se- condi membri s' inferisce , che generalmente sarà (F) . . . A^^"'U/~ - ffinl^ /-Vi[f=lHfi:£)y-' __ :(s-i){s-i\s-%) ^-4 ^(^-i) ^3T4 ■/ -^ec.:^^^7 -:^7=pi, ove i segni superiori valgono quando s è numero pari , e gli inlenon quando s è dispari. In tal modo si è trovata per A 552, Nuove Consideraz io ni ec. un' altra espressione più semplice , che deve però immanca- bilmente essere identica all' altra (0') , e che si riduce mani- festamente ad y^ — (j — i)'. • 35. L' ispezione dei coefficienti de' terzi termini nelle equazioni (K') , (!') ec. fa vedere che ciascuno di essi ha sem- pre per uno de' fattori il prodotto T T , e per altro in generale 1 espressione B ■=A -f-B (/ — a) ( n.° 33. ), (—3) ove pure conviene notare che quando $■=.% dev'essere B ^o, e B =A =1. Ora sostituendo nelle posizioni dello stes- so n.° 33. a B;, B', B" i loro valori dati per A ^ A'j e A", si otterranno le equazioni B'= A '-HA(7-a)-H(7— a )» B"=A"-i-A'(j— a)-f-A(/— a)*-H(/— a)5 B"'=A"'-HA"(j-a)-HA'(r-2)'-<-A(j-a)3-H(7-a)4. Adunque in generale per lo sviluppo protratto sino ad r — s sì avrà (Q')...B^^-'W<^-VA<^-^\,_.)^-A^^-'\7-a)^-^-A<^-'\r— )^-^«c, H-A(7— a) -(-(/— 2) , la quale formola si potrà esprimere soltanto per //ponendo jn vece di A , A , A , ec. i loro valori in j, che si ricavano dalla (P') ridotta, facendo all'uopo variare la s. Il coefficiente poi del quarto termine in ciascuno dei suddetti sviluppi , come in qualunque altro che potesse suc- cessivamente eseguirsi^ contiene sempre il fattore T T T j e generalmente per lo sviluppo fino ad r — s ha inoltre 1' al- tro C =B H-C (jv — 3) secondo le posizioni del citato n." 33. Eliminando dalle medesime le C , C in modo analo- go al già praticato sulle B, B', B" si avrà C'=B'-t-B{j-3)-+- (7-3)" r C"=B"-t-B'(7-3) .+.B(7-3)^-t-(7-3)^ e quindi .; .j m uI/uììj >«»i ìj* .aì»ìj«»«ì» */ << t)l;uiii/_ I JObl' Si gV Marchése Luigi Rangoni 553 ove ponendo per B , B , B ec. le espressioni in 7, che si possono dedurre dalla forinola (Q'), si avrà pur' anche G data soltanto per /. 36. Passando agli altri coefficienti si vede , che ciascuno di essi conterrà due fattori , uno dei quali è il prodotto del- le funzioni T , T , T ec. il cui numero gradatamente si accresce di un' unità dal secondo termine al terzo, dal terzo al quarto ;, dal quarto al quinto, e cosi successivamente, e r altro vien dato dall' analogo nel coefficiente del termine che precede , e quindi sempre retrocedendo potrà esprimer- si per una funzione della sola /. Il coefficiente però dell' ul- timo termine dell'equazione comunque sviluppata fino ad r — s rimane sempre determinato per se medesimo in relazione ad y, contenendo soltanto il fattore T T T T ....T y y—i y — a y — o y — s-^\ moltiplicato per l'unità. Questa operazione, che guida a ri- trovare le combinazioni favorevoli ad ogni stato di palle ne-p re neir urna dopo un qualunque numero di trasmutamenti , nel modo stesso che fu indicato al n.° 32. rispetto alle bian- che, potrebbe forse abbreviarsi dando luogo, in pioposito del- le serie in cui sono disposti i suindicati coefficienti , a nuove considerazioni, le quali si omettono perchè condurrebbero il presente scritto a soverchia prolissità. Il ritrovamento di tali coefficienti può eziandio qualche volta facilitarsi , comincian- do dal determinarli in ogni equazione dagli ultimi termini retrocedendo verso il primo, locchè sempre giova pe' coeffi- cienti che rimangono di qua dal termine , o dai termini di mezzo , i quali altrimenti dovrebbero determinarsi con più lunga operazione partendo dal primo termine. Il metodo fin qui spiegato , che sarebbe desiderabile di poter ridurre almeno per molti casi a maggiore semplicità, si ravvisa però facilmente tale da potersi applicare con uti- 554 Nuove Considerazioni ec. lità a quelle equazioni alle differenze, che contenendo funzio- ni simili non sono integrabili coi metodi conosciuti , non me- no che a quelle , le quali appunto come le già considerate contengono funzioni dissimili , e non sono perciò trattabili coi processi del calcolo delle differenze finite. Fine della Parte Matematica del T° XVIII.