5 //^2 A MEMORIE DELLA SOCIETÀ ITALIANA DELLE SCIENZE RESIDENTE IN MODENA TOMO XVIII FASCICOLO PRIMO DELLE MEMORIE DI MATEMATICA ni INDICE DELLE COSE CONTENUTE NEL PRIMO FASCICOLO DEL TOMO XVIII. c _ ontinuazlone della Memoria intitolata = Indagini per assoggettare a calcolo i movimenti del Barome- tro ec. , del Sig. ABBATE PIETRO COSSALI Pag. i. Sopra la forza con la quale 1' Acqua di una gran Va- sca prismatica sgorgando da una piccola luce spin- ge innanzi la colonna acquea contenuta in una can- na cilindrica ec. , del Sig. AB. GIUSEPPE AVAN- ZINI ^9- Soluzione generale di un problema di probabilità, del Sig. GIOVANNI PLANA 3i. Lettera al Sig. ANTONIO GAGNOLI, del Sig. ABBA- TE PIETRO COSSALI 4^- Intorno al metodo generale proposto dal Sig. HOÉNE WRONSKI onde risolvere le equazioni di tutti i gra- di, del Sig. PAOLO RUFFINI 56. Della classificazione delle Curve Algebraiche a sempli- ce curvatura , Opuscolo DELLO STESSO 69. Del giro di un numero qualunque di cose assoggetta- te a continue permutazioni dipendenti da Leggi uni- formi, del Sig. CONTE GIOVANNI PARADISI i43. Sul nuovo Torno immaginato dal Sig. CARLO PAREA , Memoria del Sig. ANTONIO BORDONI ao5. MEMORIE D I MATEMATICA CONTINUAZIONE DELLA MEMORIA DEL Signor Abbate Cossali INTITOLATA INDAGINI PER ASSOGGETTARE A CALCOLO I MOVIMENTI DEL BAROMETRO ec. (*) Ricevuta li 27. Gennajo iCi5. ARTICOLO IV. Dipendenza dei movimenti del Barometro dalla Elettricità e primieramente dall' ArLificlalc 1° Oono quanto altre mai vistose e dilettevoli le esperien- ze su di un barometro, al quale comunicata venga la elettri- cità di una macchina . Isolato un barometro con un cordon- cino di seta , se una persona parimente tra il barometro ed il conduttore della macchina isolata tocchi il conduttore elet- trizzato con una mano, ed avvicini alla sommità del barome- tro l'indice dell'altra, splenderà tra la punta dell'indice, e Ja sommità del barometro una scintilla, e lo spazio voto della Tomo XV in. A C) Vedasi il T." XV. delle presenti Memorie parte Mat. pag. i. a Indagini per assoggettare a calcolo ec. canna dalla superficie del mercurio balenerà tutto di una luce di colore tra violetto, e porporino, ma tanto a confronto del- la scintilla meno viva, quanto per più ampio spazio distesa, loccliè richiede nel luojiO la ost unta . Lo stesso spettacolo di luce nella vota superiore parte del barometro si ha, se dal conduttore della macchina tirato sia un filo di ferro, la cui estremità s' immerga nel mercurio del serbatojo del barome- tro . Ma più magnifico e sorprendente rendesi lo spettacolo, se si prenda nna canna pollici 80 lunga, di a in 3 linee di vano, e nulla importa che sia uinforme . Si pieghi con un arco della corda di un piede a forma di porta, e delle due colonne se ne costruiscano due congiunti barometri a fiaschet- ta . S' isoli con un cordoncino di seta aggruppato al punto su- premo dell' arco questa porta a barometriche colonne; nella fiaschetta di un de' barometri cada e nel mercurio s'immer- ga un filo di ferro partente dal conduttore elettrico, e nel- la fiaschetta dell' altro introducasi e nel mercurio s' insinui un altro filo di ferro, che sulla estremità sporgente al di fuo- ri porti una piccola palla di metallo . Elettrizzato il condut- tore, e con esso il primo barometro, la elettricità tragittan- do dalla sotnmità di una colonna mercuriale alla sommità del- l'altra illuminerà l'arco, e cagionerà all'occhio una grata am- mirazione, dandogli a vedere l'arco tutto insieme splenilen- te per la somma velocità del tragitto, similmente che un arco ignito si vede movendo velocemente in giro una verga con bragia alla cima . L' invenzione del vaghissimo esperimento è di Cavendisch ; ma conservò egli semplici, e ritte le gambe della porta facendone due barometri Torricelliani . Riescendo però incomodo e pericoloso il maneggio loro, io li cangiai in due barometri a fiaschetta nell'Accademia di fisiche espe- rienze sin dall'anno 1782 da me istituita, e per anni 4 <^oii- tinuata in mia patria . a.° Ma questi vaghi spettacoli non sono quelli che for- mano qui il nostro interesse . Quello che importa sapere si è , se e di quanto la elettricità della macchina comunicata al Del Sic. Abbate Cossali 3 mercnrio del harom«Mro cangi l'altezza barometrica. Di que- sta ricerca occupati si sono Comus, Gliangeux, Marat, e do- po loro Landriani e Moscati. 3." Cooius si valse di due artificj per ottenere che le più piccole variazioni , ricevendo una sensibile grandezza , non isfu'' 'fissero all'ocdiio . L'artificio di Morland fu il primo; l'ai- tro lu un ingegnoso artificio suo. E per dare alle sue espe- rienze maggiore autorità le fece innanzi al Sig. Duca di Char- tres, ed ai Signori Delort , Rovelle, d'Arcet, e Rozier da esso deputati per verificare i fatti ed attestarli , Stimo be- ne di trascrivere quali nei volumetti XIII, e XIV degli Opu- scoli interessanti raccolti e stampati in Milano si trovano in Italiano tradotte le descrizioni dello stesso Comus , e per- dio da un canto sono succinte, e dall'altro ciò assicurerà la giustizia delle mie riflessioni. „ Molti filosofi , così ivi, han- no protrato ad elettrizzare il barometro , e non. ìianno in lui osservato ninna variazione durante la elettricità . Io ho ripe- tuto queste sperienze , ed ho trovato durante la elettricità una ascensione notabile nel mercurio. Siccome la variazione di due pollici , e mezzo (* ) non forma nel barometro uno spazio as- sai considerabile, io ne ho fatto costruire uno secondo V in- venzione del Cav. Morland . Questo baromptro è COmpOStO di due tubi , che formano un angolo di novantadue gradi e mez- zo ; uno è perpendicolare , e l' altro cui scorre il mercurio nel- le sue variazioni è inclinato di due pollici , e mezzo all' oriz- zonte; la sua lunghezza per due pollici e mezzo di varia- sione è di tre piedi, il che per ogni linea ne dà quattordici . Io isolo questo barometro alla distanza di 6 piedi dal con- duttore ; lascio cadere nel vasetto pieno di mercurio un filo d'ottone attaccato al conduttore ; dopo dodici giri il mercurio ascende di un quarto di linea , qualche volta di un terzo, ed ancìie di una metà . Si ferma in questa elevazione per dieci (*) Cnfj fi 'eggp nella edizione Mi- lanese , ma io stimerei che si dovesse piuttosto leggere due linee e mezzo . 4 Indagini per assoggettare a CAtcor.o ec. o dodici ore e non. ricade che lentissimamente . Io ho fatto questa esperienza pili volte , e mi sorto servito di uno stro- mento perfetto di paragone . IL risultato è stato sempre lo stesso . Per assicurarmi se questa ascensione pro^^enga dalla dila- tazione del mercurio^ o dalla pressione sopra di lui del fluido circostante, o dalla spezie dì ondulazione che il fluido elettri- co eccita sulla superficie del vasetto che contiene il mercurio , fo attualmente costruire una sorte di barometro che mi in- dicherà se VI ha accrescimento di volume. ,, Ne segue la de- scrizione nel volumetto XIV. „ Questo stromento serve di ba- rometro, e di termometro insieme: eccone la costruzione. AB è un tubo ripiegato come ne' barometri ordinar] . Questo tubo è composto di varj altri di diversi diametri saldati gli uni sugli altri . ylC è di linee i i di diametro e di 17 pollici dì lunghezza; CD è di 5 linee di diametro e di un piede di lunghezza; DE di io lìnee di diametro e 5 pollici di lunghez- za ; EF dì 5 linee di diametro e di 1 3 pollici di lunghezza, ripiegato in B ; FG è di linee 1 i di diametro e 17 pollici di lunghezza . Questo stromento contiene 3 libbre di mercu- rio, e però nella rarefazione e condensazione si hanno segni sensibili nei tubi AC , FG , il cui pìccolo rliurnet ro dà una linea per grado secondo la divisione dì Reaumur . Io ho elet- trizzato questo stromento , ed ho osservato \ dì lìnea di ascen- sione nell'alto , ed altrettanto nel basso, e qualche volta anche più . Per meglio giudicare dell'accrescimento io tengo lo stro- mento orizzontale , ed osservo la divisione che il mercurio se- gna nel tubo FG un po' sopra di F. Dopo di averlo elettriz- zato lo stendo ugualmente , e vedo l' accrescimento nella to- talità del mercurio per lo spazio maggiore che occupa . Io V ho trovato sovente dì una linea . Ho unito sulla medesi- ma tavola un piccolo termometro HI il quale m' indica la rarefazione e condensazione , che può avvenire al mercurio durante V operazione per cangiamn^to del caldo nelV atmos- fera . „ Del Sic. Abbate Cossali 5 4. Sin qui Comus . Permesse mi sieno alcune riflessioni; e la i" sia sulla descrizione del baiometio inclinato secondo r artificio di Morland . L'angolo di 92 gradi fra i due tulli, Hno perpendicolare, l'altro inclinato, non bene concorda con la inclinazione ai secondo attiii)uita rispetto all'orizzonte, die si esprime yjer il rapporto della sua verticale salita dì polli- ci 2 ^ alla sua lunghezza di 3 piedi . Questo rapporto viene ad essere quello di 5: 72, cioè, dinotando per (p l'angolo di essa inclinazione, sen.(p = — , log. sen. «^ = log. 5 — 105.72,= 8,8416375, che è il logaritmo del seno di 3°. .58. ai" pros- simamente; onde aggiungendo 90° si trova per l'angolo fra i due tubi perpendicolare ed inclinato la grandezza di 90°. 58'. 21", non £Ìà di 92° soltanto. Un po' peggio si è se in luogo dell'esatto rapporto di 5:72 tra la verticale salita, e la lun- ghezza del tubo inclinato si ])renda a comodo de' numeri il rajiporto di 1 : ì^; poicliè fatto sen.(p=—:, risulta log. sen. (^ =: 8, 8538720, e quindi ^ = 4*'. 5'. ^G" prossimamente, e per- ciò l'angolo fra i due tubi g4". 5'. 4^"; la inclinazione di 92,"^ fra i due tubi, e conseguentemente di a° gradi dell' obl>liquo con r orizzonte porterelilie meno della ragione di I : 28 tra la verticale sua salita e la sua lunghezza, poiché iog.sen.2° = 8, 5428192 , e quindi sen. 2° = o , 084899 ^ njol- to più , avrebbe la velocità «che aveva in P, più la velocità -Jrdt . 3." Che per non esser libera ha '\xip la velocità u-^ du{ osser.* 4-° ) '•> 4.° Che la velocità «-t-~ dt potrà supporsi composta di u-^dìi, che la molecola P ha alla fine del tempetto dt\ e di un'altra, per esempio, W; 5.° Che la W dovrà estinguersi^ altrimenti alla fine del tempetto dt la molecola P in luogo della velocità u-\-du, ne avrebbe un'altra maggiore, che è contro l'ipotesi; 6.° che essendo u ■+■ -~ 6?^ = z^ -t- (Ìm -t-W , sarà W, (cioè la velocità che si estingue ) eguale aà u ■+- ^ dt — u — da = ^ dt — du ; 7.** Che per la stessa ragione in ciascun' altra molecola della QPr si estinguerà ^-yf dt — du; che è quanto dire , che in tutte le molecole di QPr ci sarà una velocità ~ dt — du di sola tendenza . Resta ora a vedere che questa velocità ^^ dt — du sa- rà all' ingiù, siccome lo è la velocità u . È manifesto che a tal uopo basterà dimostrare, che ^-yrdt di è maggiore di da ^ dt^ è eguale a ^^, essendo dt=.—. Ora io dico che ^^j dt è maggiore di duj perchè ^-^ è maggiore di 2.J, SopralaForza ec. da , ossia percliè gdj è maggiore di udu . Chiamata W la velocità, che acquisterebbe un grave cadendo dall'altezza y, sarà gdx=WdW ; ora WdW è maggiore di udu, perchè la velocità M in Q è minore della velocità W dovuta all'altezza y . Cile in Q la velocità ti sia minore della velocità dovuta all' altezza Qk , è certo , imperciocché in Q la velocità u è zero, o piccolissima ( osserva 4-" )• Similmente nel punto r la velocità u è minore della velocità dovuta all' altezza del livello AB sopra r; per la ragione che ìj r la velocità u è eguale alla velocità dell' acqua della canna ( osserv.* i ." ) , e la velocità dell'acqua della canna è minore della velocità do- vuta all' altezza del livello AB sopra ed, poiché quella sa- rebbe e ( 5. r . ) , e la velocità dell'acqua nella canna è v, che si suppone minore di e. Ora se in Q ed in r, udu è mi- nore di WdW, ossia di gdy , è evidente, che dovrà esserlo tanto più in ciascun altro punto P . S- 3.» Ju che consìsta la forza motrice dell' acqua nella canna È palese 1 ." che per la velocità effettiva u della mole- cola P, e di ciascun' altra del filo QPr non potrà nascere for- za alcuna sopra la molecola anteriore, poiché anche la mo- lecola contigua anteriore discende con velocità u eguale a quel- la , con la quale è inseguita dalla molecola posteriore . 2,.° Che per la velocità virtuale ^ dt — du della molecola P, e di ciascun' altra del filo QPr dovrà nascere sopra la particel- la contigua anteriore una pressione, e che questa pressione sarà eguale alla forza capace di produrre la suddetta veloci- tà virtuale, cioè eguale a ^-jr 77 • Da ciò rendesi manife- >-> al at Sto, che la forza con la quale l' acqua della vasca spingerà innanzi 1' acqua della canna alla fine del tempo t, consisterà Del Sic. Ab. Giuseppe Aav.anzini a3 nella pressione che, per cagione delle forze ^i dì ^' ^^^^^ le molecole del gorgo, 1' acqua della vasca farà in ed sopra r acqua della canna . S- 4-° Formo /a della forza motrice quando il moto dell' acqua della canna è uniforme . Consistendo la forza motrice dell'acqua della canna nel- la pressione in ed cagionata dalla somma delle pressioni ^~ — j^ di tutte le molecole del gorgo ( §. precedente ) , per tro- vare l'espressione della forza medesima, basterà trovar l'es- pressione della somma delle suddette pressioni. A tal uopo si osserverà che, essendo^ — -^ la pressio- ne della molecola P, sarà (^ — ~ \ di ■= gdy — ~ di = gdy — udul essendo dt = — Ila pressione in /? delle molecole di Fp = dl; e C'-^figdj — z^^;^ ) la pressione in P delle moleco- le di tutta la QP = / . Per farne la integrazione convien riflettere, che comun- que la u dipenda , e dalla posizione della molecola P , cioè dalla 7, e dal tempo t, per la ragione che nel principio del tempo t, in cui tutta l' acqua della vasca e della canna è in quiete (5. i."), anche la velocità u della molecola P de- ve esser zero, e crescere aumentandosi il tempo, e la j tut- tavia nel nostro caso, in cui G'-\-f{gdy — udii) esprime la pressione delle molecole di tutto il filo QP alla fine del tem- po t, l'integrale di udu dovrassi prendere relativamente alla sola variabile y. In oltre la du , essendo costante la veloci- tà V dell' acqua nella canna, non varierà se non pel variare della posizione della molecola P, cioè della j. Si avrà dunque Oi| Sopra la F o r z a ec. .,2 C" -h gy — — pei- la pressione in P di tutte le molecole del- la QP. Per trovar la costante C si osserverà eh' essa deve de- terminarsi con la condizione, che nel principio dell' integra- le , cioè in Q , la pressione deve essere eguale al peso della colonna Q/i' del filo fluido sopra incombente, la quale per es- sere stagnante ( §. a.*" osserv.* 4-" ) '' fluido del filo medesi- mo, sarà gh, supposta g la gravità assoluta d' ogni molecola dell'acqua, ed h l'altezza QK. Perciò la pressione in P del fluido QP sarà = gh -h gy . Onde ottenere la pressio- ne in r del filo intero QPr, basterà nella espressione gh-\- gy — — sostituire in luogo di y l'altezza di a6 sopra r, la qua- le altezza chiameremo h' , ed in luogo di u la velocità v che ha l'acqua in r ( §. 2..° osserv.* i •" ) i quindi per la pressione in r del filo QPr si avrà g[h-^ìi) — -- ; la quale (osservando, che h-i-h' è l'altezza del livello AB sopra r, e quest'altez- za = -- j si cambia in quest'altra |^^ — ^ I . Con Io stesso ragionamento si trova essere ( — — ) la pres- sione di ciascun altro filo ST^ ; talmente che la pressione di tutti i fili del gorgo sarà, ( supposta a la sezione de, d la densità del fluido ) , ad r ~" 1 ; siccome con altro metodo ho trovato nell'enunziato mio scritto (5- i.°) • Formala della Forza motrice quando il moto dell' acqua nella canna è accelerato . Anche nel caso del mota accelerato dell' acqua nella canna la C^ •+■ f {gdy — udu) { §. 4-° ) esprimerà la pressio- ne in P di tutto il fluido QP ; ma è da avvertire che il suo Del Sic. An. Giuseppe Avanzini ao integrale non sarà, come nel caso del moto uniforme, C-ì-gjr — — , per la ragione che esso integrale si dovrà bensì pren- dere, come nel caso suddetto, relativamente alla sola varia- bile 7, ma la u nel caso del moto accelerato non sarà una funzione della sola/, ma sì bene della y e della velocità dell'acqua della canna, e del tempo. Per dimostrarlo sia STs la linea percorsa da un'altra mo- lecola S vicinissima alla molecola Q. E facile a conoscere i ." che il moto del fluido pel cannellino QPr^TS potrà suppor- si lineare; 2.° che chiamate x, a le sezioni PT , rs del can- nellino medesimo; ii, v le velocità del fluido nelle dette se- . av 7 adv avdx -i j a'vdv zioni , SI avrà u=- — ; e au=: —; ed uau= — z — j— := -T- ._ — a'^v^.-f-, ( sostituendo nei termine - - , X ut X "^ V ^ — -7: in iuotro di v, poiché essendo u = — ; e ut = — , os- X • di " ' ^ a u ai j. . X di \ Sia M= -77-, V diventa -77 . 77 ! di I- . X di -3-, V diventa — -7- dt u • dt Nel caso adunque del moto accelerato dell'acqua per la canna, la C -^/{gày — udii ) si cambia in C H- / I gdy — ^ .— -H " '" -^ '" j , la quale integrata relativamente alle sole varia- bili / , ar , per le ragioni dette di sopra, porgerà C' -t- gy — ~^ I " - per la pressione in P del filo QP, Per conoscere la costante C si osserverà : che , chiamato N ciò che diventa / — in Q, la costante dovrà determinar- si con la condizione, che la pressione in Q, dove ha princi- pio r integrale, cioè quando j = o; / — = N; x eguale alla sezione QS , che supporremo A, dovrà essere eguale al peso del filo KQ,cioè=g/i, ( 5.4-") 5 perciò la costante sarà egua- , 7 adii -.-r fl*7j-' le a g« -+- ^ JN H- -— - ; per conseguenza Tomo XVIIL D a6 SopralaForza ec. Sy—-drJ-^—^x^ -^■^«-+--^7^-+-^ la pressione di QP m P . E supposto M ciò che diventa /-- in r , per conoscere la pressione in r di tutto il filo QPr basterà , siccome è manifesto, sostituire, nella foraiola della pressione di QP, A' in luogo di j; /-Vi luogo di M in / — , a in luogo di j;, e per la pressione in r di tutto il filo QP/- si avrà gh' - ^M-^ n- g/^ -h ^^N-t- ^ imperciocché g( A-i-A') = — (54'°)> ®^ ^ P'^ò considerarsi ze- ro in confronto di — ^ , per la raaiione che la sezione A nella quale la velocità è zero (§. a. osserv/4-'^ ) deve essere gran- dissima in confronto delia sezione a dove la velocità è finita . Con lo stesso ragionamento si troverà |^-^-^i -H^(N — M) per la pressione di ciascun altro filo, di modo die per la pressione di tutti i fili del gorgo sopra cd = a, si avrà Per determinare N, ed M osserveremo che, per 1' espe- rienze di celebri Idraulici , quando il fluido sgorga da un va- so cilindrico inesausto per una luce piccolissima in confronto dell'ampiezza del vaso, l'altezza dt*l gorgo è piccolissima. Potremo adunque suppone le linee QPr, STs ( Fig.i.) pros- simamente rette . Inoltre essendo STj vicinissima a QPr, il cannellino QP/-5TS potrà supporsi un cono retto troncato QrsS ( Fig. 3. ), le di cui basi QS, rs sieno eguali alle sezioni QS, rs ( Fig. I.), e i lati rettilinei Qr j S^ (Fig* 3. ) eguali alle linee QTr, ST5 (Fig. I.). Ciò posto sia 0 (Fig. 3. ) l'apice del cono, ed YO il suo Del Sic. Ab. Giuseppe Avanzini ay asse ; YX = /; la sezione PT = .r, come sopra, sarà OX :XT = Or:YS, ossia OY - XY : XT = OY : YS; perciò XT = (21^ ^YS __Yg(OT— 0 chiamato 7t il rapporto del diametro alla circonfe- renza, 1' area circolare della sezione PT, ossia x, sa^rà x.XT » perciò x=7cnS — -qy^ , e per conseguenzay --=;^Ys^J ^qy^^P =7W (ófc^)' '^"'"'^' ^=W (óy)' ( ""perciocché in^Y / è eguale a zero), ed M = ~r (-oy=Te) ^ ed M -N =;^ {wShYrh .-7m-.e{^ -- ..YS^ = A, perciò M_N = OY.Ye OY.Y'e /ut -vr \ «/OY.yA . A(Qy-Ye) = -A^' Pe»- conseguenza a ( M - N ) = ^^-j^^ j , ma a è piccolissima relativamente ad A ; perciò -^ si potrà considerare eguale a zero. La pressione adunque in ed, ossia la forza motrice, nel caso del moto accelerato d^^. /. Q Y S -,-o o ,D< Ol SOLUZIONE GENERALE DI UN PROBLEMA DI PROBABILITÀ' Del Signor Giovanni Plana Ricevuta li 17. Luglio 181 5. 'opo la altrettanto felice che importante scoperta del principio dei minimi quadrati, il celebre Geometra Signor Conte Laplace ha cercato per via di un' analisi molto inge- gnosa r espressione analitica dell' error medio da temersi so- pra i risultati niedii di un grandissimo numero di osservazio- ni ottenuti mediante 1' applicazione del predetto principio . Rinvenne egli tosto, che questa espressione conteneva un rapporto, del quale è impossibile di calcolarne il valore a prio~ ri a meno che non si voglia aver per nota la legge di facili- tà di ciascbedun' errore, ed ognun sa, che una tale ipotesi è affatto inammissibile nelle principali quistioni di Astrono- mia e di Fisica, nelle quali si suole far uso di questo meto- do . Fortunatamente questo medesimo rapporto ricomparisce nella soluzione di un altro problema, il quale dà un mezzo facile di determinarlo, se non esattamente, almeno con som- ma probabilità, ed ecco in qual modo. Cercando la probabilità che si ha perchè la somma dei quadrati degli errori di un gran numero di osservazioni sia eguale ad una quantità data , il Signor Laplace osservò , che questa probabilità acquista il massimo del suo valore, quando la quantità data diventa eguale al prodotto del rap- porto di cui si tratta per un numero per altra via noto; egli, in forza di questa conseguenza , conchiuse che si po- teva supporre quest' ultima quantità eguale alla somma dei quadrati degli errori , q^uale si otteneva mediante la sostitu- zione dei risultati medii nelle equazioni di condizione, d'on- de si ricava con tutta facilità il rapporto cercato . Noi riassumiamo in questa memoria l'analisi del Signor 33 Soluzione Generale ec. Laplace per far vedere, che essa si addatta ad una qualun- qne funzione degli errori. E considerando particolarmente il caso in cui questa funzione viene espressa per una potenza intera e positiva degli errori, presi tutti positivamente, ne ricaveremo un teorema degno di attenzione per la sua sem- plicità, il quale comprende siccome un caso particolare, quel- lo trovato dal Signor Laplace . a. Alla soluzione del problema , che abbiamo principal- mente in vista , noi faremo precedere alcuni risultati , dei quali se uè vedrà V uso in seguito . È dimostrato in varie opere, che assumendo x = — co, e x = -^oo per limiti dell'integrazione si ha, dx.c =\/' Jt , ove e rappresenta la base dei Logaritmi Iperbolici , e /t la lunghezza della semi-periferia del circolo che ha 1' unità per rac^o^io . Di là ne deriva, che dentro gli stessi limiti si ha. "• —x'—stax „ — dx.c = e. i/Tt f' qualunque sia il valore di a reale od imaginario . Lifatti svol- gendo c , noi abbiamo, — X'— aax /^ , — x' / zar' s.ax^ \ dx.c =J dx.c y^—^ax^-^—j^^-irec.j: Ma egli è provato ( V. Exercices de Caiani Integrai de Le- eendre) che, integrando dall'infinito negativo fino all' infini- to positivo si hanno le equazioni ai-4-i — :r» dx.x .c =o / /ai — X2, 1.3.5.7 2J— I /■— dx.x .C = -, .j/^ per qualunque valore intero e positivo di / ; dunque si avrà, /— X»— aaJ / — / aa , aa i-i , ag i ?_£-4-eC. dx.c ==V^-\^-^^s.-2.-^TlM' =■' TImJZ' ^' ossia V . ira, Del Sic. Giovanni Plana 33 se noi facciamo a = /5 . i/— i , questa forinola ci dà y f —X^—2.gx [/—I — S" , ■ dx . C =iC \/ 71 Avrei potuto stabilire immediatamente questa equazione facendo osservare, che a X . C /> — i" — 3.ax a^ /* d X . c = e .1 a ma sotto questa forma il risultato dell'integrazione cessa d'es- sere evidente per i valori immaginarli di a stante che gU stes- si limiti diventano immaginarli. Per questo motivo ho creduto dover preferire la prima dimostrazione abbenchè più lunga . Dai precedenti risultati ne emergono i due seguenti , i fjuali hanno luogo integrando da :r = — co fino ad x = -t-oo ; / 2i — x^ — 3.ax dx . X .e ■ii2J±i;' . c'V^. (i +TÌ~«"*S^ •-*+ 'Sifif • -' -^ -■ 2i-t-i — x" — aa.T dx.x . C -«^ -l/ ^^V"^ 7X3-^^ ^7^34:5 •^'^ -*-!.. .3.4.5 6,7. 3. Ecco presentemente il problema generale , che si trat- ta di risolvere . Sia , mi a a «, ^ " \^ X =(B.;i;°-^B^x- ' H-B^.a: ^ -^^^x 3_h . . . -I-B,^.t "I . si domanda una serie convergente per determinare il coeffi- ciente di una data potenza di x delio svolgimento di X'" sup- posto m numero intero positivo , e grandissimo . Il termine generale , tanto dei coefficienti B quanto degli esponenti a può essere una qualunque funzione dell'indice ì. Si suppone soltanto, che tale sii la funzione relativa ai coefficienti , che abbia la proprietà di decrescere mentre crescono i valori di ì. La quantità cercata essendo per sua natura indipendente da x^ egli è permesso di fare x z=. e , e per conseguenza. Tomo XVIII. E 6 34 Soluzione Generale ec. Ciò posto, chiamiamo x'' la potenza di x, di cui si do- manda il coefficiente; egli è chiaro, che si avrà questo coef- ficiente prendendo il termine indipendente da ct, che si tro- va nello svolgimento della funzione Y = c . X'» . Sia Q questo termine: mediante il cambiamento delle funzioni esponenziali in funzioni circolari, il valore di Y di- venterà della foima , Q-hS. A^ cos.io'-HjX — r. S. Aj sen./ff, e per conseguenza si avrà integrando da ct = — :t fino a CT = -f-:7:. 0 1 -.-r"^ mlog.X . , ra, se si osserva, che X = e , ne seguirà «^n rj — /)nl/~i-f-m log. X Svolgendo log.X secondo le potenze di ar si ottiene una se- rie della forma , log .X=log .F-f-(a?7H-a';T^-Ha"sT5_t-ec .)j/— i — •/?CT*-H/?'cf'^-i-/?"CT^-Hec . dunque, fatto u-:=.mzs , si avrà ' . I au .e"- -■ pm - - - ... ..- ... -- ." "^ ossia , ■/'«- " ' - "^ [,^(o„3^e,.„s^ec.)/^-H(5.„4+5..«-^ec. supponendo - -^ u^-h—. .«5-Hec.)|/— I -4-— jM4-^_ y6_,_e(., n» »»♦ /' m' 77s^ Del Sic. Giovanni Plana 35 I limiti di u sono — tuti e-hmn; ma stante la grandezza di m si può senza errore sensibile integrare da «= — co fino ad «=-*-co: I termini componenti il valore dì 2,7imQ si potranno in con- seguenza integrare mediante le formole generali poste^iel N.° a. Per eseguire questa integrazione facciamo u=zzi/ -g-,si avrà omettendo la parte moltiplicata per j/—!, la quale deve ne- cessariamente svanire per essere Q quantità reale , e ^ quan- tità reale positiva , siccome dimostreremo in seguito . Il ri- sultato di questa integrazione darà una serie, che procede secondo le potenze negative di m, la quale sarà per conse- guenza tanto più convergente quanto più grande sarà il nume- ro m : ma in quasi tutti i casi si possono trascurare le quantità divise per my/m, ed allora si ha, ed integrando da z = — co fino a z = -Hco, Q^-^L^.c"""^^ (I). Cerchiamo presentemente ì valori delle due costanti a e /?, che entrano in questa formola . Svolgendo il valore di X secondo le potenze di ct si trova. X = B^S.B -t-CTi/-^.S.B^ — ^.SB. fl.^-Hec, ove la caratteristica S deve essere estesa a tutti i valori di i da i= I fino ad i ■=. n . Facciamo per maggior semplicità, F = B-hS.B ;F'=S.Bfl ; F"=S.B.fl.^; ec. i i i » » avremo. log.X = log. F -t- log. 1 i-i-u]/ — I . p e svolgendo , 36 Soluzione. Genera LE ec. log.X=.log.F-i-./-, . J_^' . (|^-P)>ec. Questa equazione ci dà , F' FF"-F" (II) 4- Applichiamo le forinole trovate al caso in cui si ha. X t essendo un numero intero positivo, e (^ {— | una qualunque funzione di x, la quale decresce a misura che aumenta x. Basterà di fare successivamente a; = o, i, a, 3 ?i per avere tutti i valori di B ed a .Sia — =.r', — =Aa;' , avremo, F = B-h fi. S.Ax'{ 2T-f- I )fdx. X (p{x') ; e siccome i limiti dell' integrazione sono x' = o, x' =z ì , se noi dimostriamo che x fdx'f{x')'>{2.T-hi)/dx'.x' hi"^ , facendo 38 Soluzione Generale ec. vedere, che si ha — — > A'*, ossia h > A'p/aT-t-i . A quest' og- getto rimettiamo in vece di h e di h' i loro valori, si avrà, fdx(p ( x' ) > j/^iT-i- 1 . fdx .X (p[x). Per mettere questa ineguaglianza fuori di duhbio basta pro- vare che , ,t— I X fdx'(p{x') > ^/ar-t-i . fdx'.x' (^{x') : Infatti differenziando e dividendo da ambe le parti per x si trova , T fdx'(p ( x' ) > (i/2T-i- 1 — I ) x'(p ( x' ) ; di qui mediante una nuova differenziazione si deduce /[/ar-l-i — T— I \ (p[x)-¥- (|/irH-i —i\x' ^^< o, 1 • l'I • I ' -.w /" ' '^ ^(^ ) ^ risultato incontestabile , giacche t-¥- i >i/i7-i-i , e x -^j^,. e dividendo questi limiti per 77? , la medesima formola (a) da- rà la probabilità , che il valore medio di p si troverà com- preso fra i limiti -^=- j 1/ ra h [/r, :i'! Del Sic. Giovanni Plana 4' ove a rappresenta il massimo errore possibile. Supposti inva- riabili questi limiti, il valore di q crescerà con quello di m, e per conseguenza il valore dato dalla forinola (a) sarà sein- pie più prossimo alla certezza. Supposto inoltre, che ±^_h una frazione piccolissima, si potrà, moltiplicando le osserva- zioni, ottenere quel grado di probabilità che si desidera , e ^ ^'' sarà prossimamente il valore medio di p . h Chiamando adunque S.e^" la somma dei quadrati degli er- rori di un grandissimo numero di osservazoni egli è molta probabile , che questa somma sarà prossimamente eguale ad —7—, onde stabilita l'equazione — ; =5 . e^ li se ne ricaverà il valore di ~JJ7W(FJ~ ma' senza conoscere la forma di "^^(.1:') . Tale è il modo con cui il Signor Laplace ha determinato il rapporto di questi due in tegrali definiti . Conosciuta questa c[uantità non v' ha più dif- ficoltà veruna per trovare il valore dell' error medio , sicco- me si vede neir opera precitata ( pag. SaS-Sag ) . 8. Le formole dianzi esposte danno con tanta facilità la soluzione del problema che ha per oggetto la ricerca della vita media della specie umana, che io non posso astenermi dall' aggiunger qui una si bella applicazione del calcolo del- le probabilità . In primo luogo egli è necessario di chiaramente spiega- re ciò che noi intendiamo per vita media . Ad un tal fine , chiamiamo ri la massima età a cui 1' uomo può arrivare ; x una qualunque altra età compresa fra zero , ed n; e fp {— 1 una funzione di x, la quale rappresenta la probabilità che ha un fanciullo appena nato per vivere fino all' età espressa Tomo XVIII. F 4a Soluzione Generale ec. per .r. Ciò posto , la somma di tutte le età possibili molti- plicate per la probabilità corrispondente , ossia la quantità S.^K^I— j sarà quella die noi cliiameremo vita media . Se si osserva, clie il prodotto ^«^(^l è quella sola porzione della vita x a cui si ha diritto nascendo, ne verrà in conse- guenza , che la somma di tutte queste porzioni costituisce r età che si può accordare ad un fanciullo appena nato, vo- lendo seguire le leggi della probabilità . Supponiamo i numeri x ed n divisi in un grandissimo numero di parti, e facciamo ~= x' , — = dx'; si avrà inte- grando da x' = o fino ad ;c' = i Sx.'pl—\^=ifi'fx'dx'.(p{x'). Vediamo ora in qual modo si può trovare il valore di questa quantità senza supporre nota la funzione (^{x') . La probabilità, che la somma totale delle vite di un grandissimo numero m di fanciulli sia eguale ad una data quantità p si ottiene calcolando il coefficiente di x^, die na- sce dallo svolgimento del polinomio Basterà adunque di supporre t -^ i nelle formole del N.° 6. per farne l'applicazione al caso di cui si tratta. Di qui ne risulta, che se noi facciamo , K=/dx'(p{x), K'=fx'dx'(p{x'), K"=fx'^dx''p{x') KK"— K" avremo y T ■ f &dq.c "" .... (a) per espressione della probabilità, che la somma delle vite di m fanciulli saia compresa fra i limiti qn\/in , — — ■+■ qn^m . Del Sic. Giovanni Plana 4^ Dividendo questi due limiti per m^ la medesima formola {a) dà le probabilità che la somma intera delle vite divisa per m sarà compresa fra i limiti nV qn ^ _. 1^. K I/m ' K [/m ' Chiamando a la massima età espressa in anni si potrà ora sostituire a in luogo di n in questi limiti, i quali diventeranno \/'m [/m osservando che raK= i , giusta quanto è stato detto nel N." 6. Presentemente, se noi supponiamo a q un valore di medio- cre grandezza , ne seguirà che la probabilità data dalla for- mola (a) ( la quale deve essere integrata da ^ = o fino^ = ^, ) sarà vicinissima alla certezza, e che -^ non cesserà di rap- presentare una frazione piccolissima stante la grandezza sup- posta del numero m : dunque chiamando T la somma osser- vata delle vite divisa per m, si potrà, senza grave errore, supporre T=a"K', ossia, T := a^fx dx'(p (x') = vita media . Tanto più sarà esatto questo modo di determinare la vita media quanto più sarà grande il numero de' fanciulli, de' qua- li si sarà osservata i' epoca delia nascita e della morte . Ma chi volesse avere una più precisa idea sull'errore da temer- si in più o in meno in questa determinazione^ potrà acqui- starla agevolmente, riducendo in numeri la seguente formo- la del Signor Laplace, nella quale H rappresenta la somma dei quadrati delle vite divisa per m . {V. Théorie Analytique de Probabilìtés pag. ^\ i ) . 44 Soluzione Generale ec. Nota sopra V integrazione di un" Equazione differenziale data da Euler Enler , nel Tomo secondo del suo Calcolo Integrale ( pag. 4S8 ) asserisce che la formola , a:. COS. 9 / • /-. ^ \ y=A..e .cos.(xsm.a-j-i; ) , soddisfa, siccome valore particolare, all'equazione dy d'^y d^y d^ y ^ ~y ~^ 17 "^ dx^ -^ dx' "^ I^ di ordine infinito Il seguente calcolo proverà, parmi, die questo teorema non può sussistere . Infatti , differenziando il supposto valore di /, e facendo per maggior semplicità, jy = sen(x-.sin. (?-!-§) , q = cos.(x.s\iì.6-i-^) si ottiene , dy . xcos.^ — = A .e .(q.cos.d—p.s'in.d); d'y A XC0S.9 ^^» =A .e .{qcos.^d — 2.p%'\n.d.co%.d — qsìn.^d):, d^r . l'cos.fl 2p-=A .e .{qcos.d — 3/;.cos.*0.sin.a — 35'cos.0.sin.*^-i-/'sin. 0); ^"y i;cos.^ ,- / \ ^i =A . e ■ iq.cos."d—np.cos."-'d.s'm.d—-~^qcos."-^d.Sìn.''e^ n.(n — i)(n — 2) „ ^n • ^.n ■t- j^3"-/^cos."— ^0.sin.^(9H- Ora da queste equazioni facilmente se ne deduce che, dy d^ rfV d^y ^ ~^ d^ ~^ dx^ ~^ dxi ■+" dl^ rcos.^ = A . e .y(n-cos.0-i-cos.20-i-cos.30 .... -i-cos. co^ ) rcos & — A. e ./?(sin.^-Hsin.a0 -+- sin. 30 . . . . -f- sin.oo 6 ): Dkl Sic. Giovanni Plana 4'^ Ma egli è dimostrato nell' Introduzione all'Analisi d'' Euler , che si lia, COS.^-t-COS.20-4-COS.30 .... ■+• cos .oz d = — ^, sin. 0-H sin. 20 -(-sin. 3^ .... -t- sin.co 0 = ^ . cot. ^ 0 , dunque si avrà, ^ 2-C09. — . e p^ TCOi.fì . e 2, .1 cos.(xsin.0-H|) — cot.^0.'5Ìn.(rsin.O-+-^) 1 [cos.(i'sin.^-f-l) — COS. rsin 6-i-t, — ^ 1 1— cus.» J ' osservando che cot. ' d ^ '■ — r. Presentemente è. chiaro, che il secondo membro della precedente equazione non può diventar zero per qualsivoglia valore dato alle due costanti t ■> d , siccome vorrebbe Euler ^ giusta f|uanto soggiunge nelle ultime linee della pag. 4'^^- Vuoisi osservare, che facendo 6 eguale ad un multiplo del- l' intera periferia del circolo, la medesima espressione pren- de la forma •% , e che nel caso attuale non è punto eguale a zero il suo valore . D.-*l resto non è diffìcile dì dimostrare a priori l'impos- sibilità di soddisfare all'equazione di cui si tratta per via di un'espressione esponenziale. Ad un tal fine, osservisi, che posto, /=e'"'', si ha per determinare la costante m l'equazione e = I -)- /?z H- w"* -H /«^ . . . . -H in" , cui non può soddisfare verun valore finito di m né reale, né immaginario, stante che il secondo membro di essa non è al~ tra cosa che io svolgimento della frazione I I — m Supposte giuste queste mie riflessioni converrà tirarne la conseguenza , che non può aversi per vera l' integrale del-' r equazione che Euler dà alla pag. 460. del dianzi citato Libro . 46 LETTERA AL SIGNOR ANTONIO GAGNOLI Del Sic. Abbate Pietro Cossali Ricevuta li 19. Febbrajo i8i5. J? ra i tentativi fatti sulle prime osservazioni del Pianeta Olbers per determinarne 1' orbita, uno ne vidi nel quale, per ritrovare la latitudine eliocentrica, senza sapersi la di- stanza dal Sole j si assumeva ad ipotetico principio, che i movimenti retrogradi de' Pianeti superiori tra se vicini intor- no alle opposizioni siano in ragione inversa delle distanze dal Sole. In ciò leggere mi si destò nell'animo voglia di sa- pere quanto un tal principio fosse concorde alla verità, o quanto da essa si discostasse, e cercai se una formola gene- rale vi era dei piccoli movimenti geocentrici de' Pianeti con- siderate, come sono, le loro orbite elittiche . Trovai, che il Frisi, dopo aver data nel Capo V della sua Cosmografia Prob. VI 5 la formola del piccolo moto angolare geocentrico nell' orbita circolare, procede nel Prob. X ad insegnare la corre- zione da farsi ai luoghi delle stazioni determinati per 1' or- bita circolare, onde aver qtielli nella vera orbita eliltica, ma ivi si arresta lasciando desiderare la generica formola dei mo- vimenti geocentrici nelle elittiche orbite reali. In buon pun» lo Hii risovvenne della diretta soluzione che voi il primo, come scrive eziandio il Lalande n. iigo. della sua Astrono- mia, avete data del problema, di assegnare nelle orbite elit- tiche i luosiii delle stazioni , e non ebbi che a scorrere il vostro calcolo per accorgermi , che, camminando sulle vostre traccie, scioglier si poteva quest' altro universale delle geo- centriche apparenze . Prohlsma. Determinare in una oibita elittica a qualun- que dato tempo il piccolo movimento geocentrico? Del Sic. Abbate Pietro Cossali 4? Risoluzione . Conservate tutte le denominazioni da voi usate elle sono S . . . . Angolo di commutazione T . . . . Angolo di elongazione R . . . . Distanza dal Sole alla Terra r . . . . Distanza dal Sole al luogo del Pianeta nell'Eclittica V . ... Longitudine vera del Sole g . . . . Longitudine Geocentrica del Pianeta «'.... Longitudine Eliocentrica di lui V . . . . Anomalia vera del Sole u . . . . Anomalia vera del Pianeta M .... il moto medio del Sole in un istante m .... il moto medio del Pianeta nell' istante stesso I .... il semiasse maggiore dell' orbita terrestre B .... il semiasse minore di essa E .... I' eccentricità della medesima a .... il semiasse maggiore dell'orbita del Pianeta b .... il semiasse minore della stessa e . . . . r eccentricità r' .... il raggio vettore del Pianeta l .... 1' inclinazione della sua orbita L .... la sua latitudine Eliocentrica P .... il tempo periodico della terra . il tempo periodico del Pianeta. Servendomi con voi delle due formole di trigonometria ret- S tilinea i." cot.T = R r sen.S r sen.S — cot.S che si deduce da tang.T= j^^^'^JI^'^^'g . Invertendo si porrà questa for- mola per i", e la i* per a." sen.^T = r* spn.*S R"-(-r"— arRcos.S Delle due contenenti i paragoni delle longitudini i.» T=g — V a.« S= i8o° — (zi' — V) 48 Lettera al Sic. Antonio Gagnoli Delle quattro della teoria del moto elittico mah E delle tre di Trigonometria sferica 1/ (^du)= du-£^ intendendo per (du) il moto du ri- dotto all' Ecclittica a." /•'"cos.^L = r^ o ,; 7 mo.esen.Hcos.L m.fi^i sen.'Lcnt.nr^.lat. 1/ r Io non mi diparto da voi, se non che nel computare il pic- colo moto in Longitudine geocentrica f/g , che voi avendo per oggetto le stazioni avete posto =0. Pigliando pertanto di capo il calcolo con prendere il dilferenziale dell'equazione 1/ di Trig. rettil. ho come, voi. /-V) <^T rsen.S^R— Rsen.S,/r / rKoos.S \ >/S ^" ' ' ' ' sen.'T /■''sen.'S \ ^ ' / sen.^'S ' Ma prendendo i differenziali delle due equazioni conte- nenenti 1 paragoni delle longitudini T = g — V, S = 180° — (li' — V'),i quali differenziali sono dT = (lg — d\', t/S = — du ■+• dY' con fare le sostituzioni in (A), tenendo conto di dg ,ìn vece di supporlo zero, ne viene ir,^ f/ff-t-rfV rsen.gt/R— Rson.S(/r /rRcos.S \ dV —da' ^ > ' ' ' ieu.'M 7''sen.'S \^ r^ / sen.'S Ed in luogo di sen.^T sostituendo il sno valore esibito dalla 2." delle formole di Triii. lettil. e facendo le convenienti riduzioni trovo /p, 7 (R"— rRco8.S),A^^— rr(/R—R,/r)sen .5— (rRcos.S— r')lità nega- tiva che prende il cos.T in — , laddove se già fra i due ter- mini si ponga per il caso — , dalia sottrazione di uu negativo ne risulterà contro intenzione -+- , vale dire addizion dei due termini . E quanto poi ai Pianeti infi^riori nei due quadran- ti intorno alla congiunzione inferiore osservo , che diventa ottuso l'angolo al pianeta P, G perciò negativo cos.P, onde di nuovo nasce nel numerator della formola la sottracion dai due termini, e si apre luogo al valor negativo di dg , ossia al moto retrogrado nei convenienti siti . È bene raccogliere sotto uno sguardo le variazioni de- gli angoli S, P, T e conseguentemente di cos.S , cos.P, cos.T. L'angolo S è ottuso, ed in conseguenza cos.S negativo pei due quadranti intorno alla congiunzione superiore di un Pia- neta qualunque. All'opposto è acuto, ed il suo coseno po- sitivo pei due quadranti intorno alla congiunzione di sotto di un Pianeta inferiore od intorno all' opposizione di un Pia- neta superiore. ' ' ' ' * Del Sic. Abbate Pirtro Cossali 53 L'angolo P è acuto, e cos. P positivo pei due quadranti intorno alla congiunzione superiore di un qualunque Piane- ta, e pei due intorno alla opposizione di un Pianeta superio- re; ma sì fa ottuso, ed il suo coseno negativo^ pei due qua- dranti intorno alia congiunzione di sotto di un Pianeta infe- riore. L'angolo T è sempre acuto, e cos.T sempre perciò po- sitivo per un Pianeta inferiore ; ma per un superiore non è così rhe nei quadranti intorno alla congiunzione, divenendo l'angolo ottuso, ed il suo coseno negativo nei due intorno alia opposizione . Giusta la prima regola, contemplando un Pianeta supe- riore nei due punti contraij di congiunzione e di opposi- zione , facciasi pel i .° caso cos.S = — i, pel a.° cos.S = 1 ; e si Sfagni per -jy il moto suo diretto nel i .° caso, per — m" ^^ moto retrogrado nel caso a.°; suppongasi inol- tre la inclinazione / si piccola, che possasi computare cos./=: i : I ' 1 -»-— 7- '~rz dall' equazione (C) si ricava dg : — dg : : ^_|^'^ : -^_^ : : j^' ■• j^~' . Similmente considerando un Pianeta inferiore nei punti delle due congiunzioni di sopra e di sotto, si trova I I der-. — ds:: —^ • _ZF • • l^'^-^t . i^a-t Si deducono le medesime proporzioni della formola (H) con fare rispetto ad un Pianeta superiore. Pel caso della congiunzione cos:S= — i , cos.P = i,cos.T= i Pel caso della opposizione cos.S = i, cos.P= i , cos.T = — i. Rispetto ad un Pianeta inferiore. Per la congiunzione di sopra cos.S =— i, cos.P=i, cos. T= i . Per la congiunzione di sotto cos.S = i , cos.P = — i, cos.T = i. Il Frisi tira le stesse proporzioni dalla sua formola (L) , 54 Lettera al Sic. Antonio Gagnoli ma intanto riescegli di ciò fare, in quanto che un secondo errore distrugge l'effetto dell' error primo, prendendo cos.P = cos.T = [ ogni qualvolta il Sole, la Terra, il Pianeta si tro- vano nella Diedesima linea, ciim Sole Terra ac Planetis ad eamdem llneam rectam <'/e/a^/j j/^ cos.SPT=:cos.STP= i, son le sue parole nel coroll. Ili, quando realmente ciò vale uni- camente nel caso di trovarsi il Pianeta nella congiunzione superiore, non già pel caso di essere nella congiunzione in- feriore o nella opposizione . Se proseguendo a supporre l'orbita circolare, e nulla la inclinazione si faccia nella formola (G) dg = o, che è quan- to supporre il Pianeta stazionario, risulterà 1 — acos.S -<- 17^ (« — cos.S) = o e quindi per formola deter- minante i luoghi delle stazioni (K) cos.S=-5S . Se si ami di avere espressi i luoghi stessi delle stazioni per tang.l = — s, si troverà «sen.S. = -^-^-tt = >- -, ed I — «cos.S = — -7 : onde tang.T = —77 :. Il Frisi nel Prob. VII dà tang.T =: i-^-^. ; ma il doppio segno Zfi è inutile nel numeratore , avendo già ./![_^. due va- lori pel doppio valore positivo e negativo del denominatore . Del resto fa di subito maraviglia come esso Frisi con la sua falsa formola di dg arrivi alla vera formola dei luoghi delle stazioni . Ma cessa presto la maraviglia osservando il secon- do errore che egli commette a distruggirnento del primo, con tirare dalla sua formola (L) pel caso di dgr=.o, ^ cos.P = cos.T, quando tirar ne dovrebbe ^cos.P = ztcos:T . Tanto dunque è vero, che il giugner a delle verità non Del Sic. Abbate Pietro Cossali 55 è sempre prova della esatta rettitudine del cammino, e del- la verità delle proposizioni intermedie, potendo accadere che siasi uscito di sentiero, e poi ritornato su di esso, e parlan- do fuor d' immagine , che con secondo errore siasi riparato al primo. Laonde si manifesta la necessità di star attento su d'ogni passo, e ben esaminare se sia giusto, o no . 56 INTORNO AL METODO GENERALE PROPOSTO DAL SIC. HOÉNÉ WRONSKI ONDE RISOLVERE LE EQUAZIONI DI TUTTI I GRADI M E M O R I A DEL Signor Paolo Ruffini Ricevuta li ao. Marzo 1816. I I Oh. Sig. Hoèné Wronski in un suo Opuscolo portante il titolo Résolutìon generale des Equatìons de tous les dégras de- dicato alia Polonia, e stampato in Parigi nel 18 la espone un metodo , col mezzo del quale asserisce ottenersi la solu- zione di tutte le Equazioni algebriche determinate, qualun- que ne sia il grado . Il pensiere di fare cosa grata ai Geome- tri, comunicando loro lo scioglimento completo di un Problema così famoso ha fatto sì, che Egli non ha esposti nel suo O- puscolo che i risultati indeterminati e generali e la traccia del suo metodo, riserbandosi a renderne pubblica in seguito la Teorica. Le regole pratiche e i calcoli, che in esso pro- pone, sono indicati con chiarezza , e si possono agevolmente eseguire rapporto alle Equazioni di ii.° e di 3." grado; ma relativamente alle Equazioni di grado più alto, e special- mente a quelle che superano il grado quarto , sono essi a cagione della loro lunghezza e complicazione , e a cagione della grandezza dei coefficienti per riescire laboriosissimi , e capaci di stancare qualunque più paziente Calcolatore . Ciò non ostante se dall'esecuzione dell'enorme lavoro realmente si ottenesse infine lo scioglimento delle Equazioni generiche di 5.°, di 6.°, ec. grado, potremmo anche affrontare la som- ma fatica, sicuri di trovarne finalmente un compenso nel vedere per noi determinate quelle radici , che per tanto Del Sic. Paolo Rutfini Sy tempo hanno inutilmente cercate i più grammi Geometri. Ma r impossibilità già esattamente dimostrata di risolvere le E- quazioni generiche di grado superiore al 4-° rendendoci cer- ti , che qualunque metodo perciò immaginato è erroneo e qualunque fatica inutile ; potremmo con ragione tralasciar dì eseguire l'immenso calcolo del Sig.Wronski, e potremmo e- ziandio dispensarci con pieno diritto dall' effettuare alcun discorso, che ne dimostri la fallacia, allorquando alle Equa- zioni si voglia applicare di grado non inferiore al 5." Ciò non ostante , siccome tale erroneità può agevolmente dimo- strarsi con raziocinii assai semplici, e siccome per questa può la dimostrazione della menzionata impossibilità ricevere maggior lustro, ci accingiamo ad esporla. I. Propostasi dall'Illustre Autore l'Equazione algebrica generale • (I) o = A ■+- A X -^- A x'^-h- A x^ ■+■ ec. -+- A x"' , e I 2 3 m di cui chiama x x , x , ec. x le radici, e nella quale sur>- I a 3 m ,^^ ' ' pone per semplicità maggiore il e efficiente A =o, e l'al- m — I tro A =1, indica il metodo, onde determinare dipenden- temente da certe supposizioni un' altra Equazione di grado in— I esimo , cioè la (II) c=Yo^Y 1-4-Y |--HYJ3_t_ec.-t-Y ?— »h-Y ?—' I a 3 m — 2 m—i , i coefficienti Y , Y , Y Y . ec. Y o I a 3 m — I della quale dimostra essere, come sono difatti, funzioni ra- zionali dei coefficienti A , A , A , A , ec. A , e denomina o I a 3 m 2 , ? , I , ? ec. I le sue radici : chiamate in sesuito o I a S m — I o P •> p •> p^- PC. p \e m radici della Equazione z"" — i =o, in modo che sia p =cos.^-t-|/ — I Xsen.^—, e ^ esprima la circonferenza del circolo avente il raggio i , conclude infine dover essere Tomo XVIIL H / (IH) 8 Intorno al Metodo Generale ec. m Tn m rn AT =p p/^ -I-/9 »|/| -H/> Vs-t-®<^- -+-/=> '""'/^ ♦ 1 1 l'i' a'i'3 '^i ^ m— I m OT m. TO a A'a I '2. aa3 a "^ m— i m 7n 7t^ m ec. m /TI ' ra I 7» 2, ' TO '^ 3 ' ?;i wi— I a. Per riconoscere se questa conclusione sia giusta, e quindi se gli esposti nel ( n." prec. ) possano essere i veri valori della x nella Equazione data (I); comincio dal riflet- tere, che in conseguenza della ipotesi fatta dall'Autore nel ( n.° prec. ) deve essere p ■=. p " , rappresentandosi con la n un numero intero qualunque. Difatti, posto ^t = i , dalla n = COS.— -1-|/ — I sen.^ abbiamo p =cos.— -f-i/ — isen— . e posto ^ =z n , abbiamo p r=cos.— -l-|// — isen.— ;ma dalle proprietà delle quantità circolari si sa essere (cos. —-Hi/' — I sen.— I :^ cos . — -f-i/ — iXsen.— , Dunque ec. Suppongasi successivamente re=i, 2,3, ec. m ; risul- tando da ciò p crr /) , p ■= n '^ , p z= n ^, ec, p = p '"= i ; 'i 'l'i 'i '3 'i m ' \ ne segue, che come ìe p , p , p , ec. p tutte rappresen- tano le m radici della z'" — i=o, cosi le radici medesime verranno rappresentate dalle p , p^ , p^ , ec. p "* = i , os- III I sia posto per semplicità p invece della p , dalle p, p"", p^ , p^, ec. ,/)'"= I. m Si faccia |/^ = M, e si sostituisca nelle precedenti Equa- zioni (III) ; cangiatesi esse perciò nelle 3 m — I ar =07/ -H p M H-p K, -f-ec.-»-p « , I ' t ' s. ^ m— I Del Sic. Paolo Ruffini Sg X ' a =zp' I ■H-/3^«3-f-« ^3^ = />' I ec. X m =: u 1 a -f- w^ -+ ec.-+-p^(."'—')u m—i ec. -t- u , m — I si moltiplichi la prima di loro per p"— ' , la seconda per /?"■—*, la terza per p"~^, ec. e la penultima per p\ si som- mino insieme le Equazioni, che ne risultano unitamente al- l'ultima X =z^ -^-u -+-11 -i-ec.u- , e ne verrà evidente- mente -m— 3 -t-X m—j m ' mu =p™— 'o; -Hp"~^x -+- p"' "^, -f- ec. -4- p:i: i ' 1 ' a ' 3 ' : e però (IV) I = -^Ip'^"\-^ P'"~'\ ^ P"""^, ^ "" • ■^P'^rr^. ■^''S ^ m \ Determinato cosi qual funzione delle x ^ x -, x_^, ec. x I a 3 "1 sia la I , veggiamo, quanti valori diversi può essa ^ , che per semplicità dirò ^ , acquistare per tutte le permutazioni fra le X , X , x^^ ec. X . 1 2. 3 m 3. Cominciamo perciò dal portare nella funzione /,"»—• X -f- p"'~'^x -¥• p"'~^x^ -i-ec.-i- px •+-X ' l'ai ' m — I m la radice esistente nell'ultimo termine al termine primo, quel- la del termine primo nel secondo, quella del secondo nel terzo, e cosi di seguito; e ottenuto per tal modo il risultato p'"~'x ■+- p"'~^x -t- p'"—^x ■+- ec. -¥- px ->i- X , m I 2. m—2. m—i io dico che le potenze mesìme di queste due funzioni sono uguali fra loro . Supposto difatti chiamarsi la prima di esse ^ ^ e la se- conda t ; è chiaro risultare pt r=.t e quindi p^t"^ = t"^ \, ma a cagione di p'"= i si ha p^t^ ^ t^ . Dunque sarà an- ' ' a ,a Cora f^ = ^^ . I a 6o Intorno al Metodo Generale ec. 4. Replicando successivamente quanto si può la permu- tazione supposta nel { n.° prec. ) avremo evidentemente dalla funzione ivi indicata gli m seguenti risultati pm- 'X I H- p- 3, ■+■ pm- -Ir^-H-ec. -+- px m— -^X , ■I m pm- 'X m, -+- p,n I •+- pm ~^x -+-ec 2, •4- px -f-X -2 m — I pr.- 'X m — I H- pm— 'X -+- m pm-3j^ H-eC -H/J. m — A m — a ec. /)— 3. -H pm -^-3 ■+■ pm ~^x -4-ec 4 .-1- P'm -^^' i quali denomino rispettivamente t . t , f , ec. t . Ciò fat- * 1 3 3 m to col ripetere quel medesimo discorso, mediante il quale nel ( n." prec. ) si è provato essere f" =t'^ , si dimostrerà I 2, ancora essere t'" =:t"' , f" z=t'"- ,ec.t'^ = t"^ . Dunque 2334 "^ — I "^ le potenze mesime di tutte le m funzioni ora determinate so- no uguali fra loro . 5. Eseguendo nella funzione (IV) tutte le possil)i!i per- mutazioni fra le a: , .r , x , ec. x , i risultati clie se ne ot- I a 3 m tengono, sappiamo essere di mimerò ì .'j, .?>... [m — i)ni. Ma in tonsegnenza della permutazione supposta nel (n. 3) dalla stes- sa funzione si ottengono m risultati uguali fra loro ( n. 4 )■> e tale uguaglianza succede qualunque sia il valore partico- lare dellt^ X , X , X ■, ec. x . Dunque tutti gli accennati I a 3 m i.2.3...(//z — i)m risultati dovendo perciò essere tra loro uguali ad m ad w , i valori die dalla funzione (IV) provengono dif- ferenti fra loro sotto tutte le possibili permutazioni non po- tranno tutt' al pili che essere in numero di = i.2,.3...(m—i). • 6. Aggiungo, che i risultati, i quali sotto tutte le per- mutazioni fra le 07 , x , x ec. x , provenendo dalla fun- I a 3 m '■ zione (IV), divengono disuguali fra di loro, sono necessaria- mente di numero 1 .2.3...(/« — i). Del Sic. Paolo Ruffini 6i Difattl , lasciata nella funzione (IV) la x costantemente neir ultimo luogo , supposto quindi p"'-'x^ -4- p"'~-x^ -h p^'—^x^ _f_ ec. -H o.r =X , onde si abbia | =~^ { X -h- x ) , e '^ (m— r) m m supposto che eseguita tra alcune o tutte le ni — i radici x , 0.- , X , ec. :r una qiialclie permutazione, la X diveu- ga X , vogliasi, se è possibile, che si abbia ^^(X -^x ) =. — —(^ X -^- X )"= 5. Per la supposizione ora fatta , e per 1' al- tra di «"* = !( n.°2) avendosi tanto ~ (X-i-x )'"■ , quanto — ;r ( X -Hx )'" = « , sarà valore della u sì la quantità — ( X -H :c ) , come 1' altra — ( X -i-x ) 1 ma per la neces- saria disuguaglianza fra tutti i valori p , p^ , />^, ec. p'"~', e per la generalità della Equazione data (I) ( n.° i ) , e quindi per la indeterminazione delle x , x , x , ec. la X è necessa- I a 3 riamente disuguale dalla X e però la - — ( X -+- :r ) disuguale dalla — ( X -i-x ): dunque queste due quantità non potran- no che essere due radici dell'Equazione «'^ = | disuguali fra di loro. Ora, chiamate ii , 7i tali due radici , osservo che per la natura delle radici dell' unità , il valore u deriva sem- pre dall' altro it mentre venga questo secondo moltiplicato per una radice mesima dell' unità presa opportunamente , e diversa dall' unità medesima : dunque, chiamata ft simile ra- dice, dovrà essere u z=u.u e però — (X -¥-x ) :=— (X-l-:»; ); a '^ I r TO \ I to' ™^ to' ma quest' ultima Equazione deve verificarsi, qualunque sian- 6i 1 valori delie x ^ x , r,, ec, perchè l'Equazione data (I) I a 3 ' "■ è generica : dunque dovendo verificar i indipendentemente 6i Intorno al Metodo Generale ec. dai valori medesimi, dovranno in essa i termini omogenei e- gungliarsi fra loro, e avremo però or = ^x , e quindi i = ^i ma ciò è impossibile , percliè n è valore necessariamente di- verso dall'unità: dunque sarà ancora impossibile, che si ab- bia ~(X -i- X ) = -^(X -+-X ) , e però che la | noti cambi 7»^ to' m^ I m' ^ sempre di valore sotto qualunque permutazione si voglia esegui- re tra \ex,x,x,ec. X . Ora queste radici sono di I a 3 m—t ' numero m — i, e tutte le permutazioni fra m — i quantità sono di numero 1.2. 3.. .{m — i). Dunque la | sotto le varie permutazioni tra \e x , x , x , ec. acquisterà necessariamen- *^ 1 a 3 te i.2,.3...(/« — i) valori disuguali fra loro; ma pel dimostra- to nel (n.°prec.) non ne può acquistare un numero maggio- re . Dunque ec. 7. Suppongasi i .2,3. ..{m — 1) = ^, e si chiamino | , | , ^ ec. ? tutti gli C valori della ^ , clie pel { n.° prec. ) sono neces- sariamente fra loio disuguali . Sapendosi da' principj noti nel- la Teorica delle Equazioni, potersi sempre trovare un' Equa- zione , le cui radici siano le precedenti | ,| , | , ec. | , e i ' I a 3 f coefficienti della quale siano tante funzioni razionali dei coef- ficienti A , A , A , ec. della data (I), supponghiamo determi- nata attualmente simile Equazione , e tale sia la (V) o = T -f. T|H-Tf-+-T/-i-ec.-+-?^ o I a 3 8. L'Equazione (V) ora trovata non può avere alcun fat- tore, i coefficienti del quale siano tutti funzioni razionali de* coefficienti A , A , A , ec. della (I) . Ola ^ ' Concedasi per un momento 1' esistenza di questo fattore, e supposto rappresentarsi pel polinomio (VI) R -t- R 5 H^ R f -4- ec. -H 1% '01 a osservo che dovrà essere l'esponente r<^, e chiamate | , I ^ , I , ec. I quelle tra le radici della (V) , che in esso si Del Sic. Paolo Ruffini 63 contengono, ciascuno de' coefficienti R^, R^, R^ , ec. tlovrà essere funzione delle medesime , onde espresso per R^|^ uno qualunque de' termini del fattore (VI) , porrò in generale R =/"(!,?, I , ec. I ). Ciò posto, si prenda uno degli t, fc -' ^ I a 3 r valori delia! (n.°prec.) che sono differenti dai precedenti I , ? , I , eo. ! , il che può sempre farsi essendo /■ 3 , il valore (IV) non può essere giammai radice dell' Equazione (II) . ;'i-^l. ..,,. Nella ipotesi ora fatta di 77v > 3 risultando ^>w — i ( n.* 7 ), non potrà 1' Equazione (II) essere identica con la (V) . Aggiungo non potere neppur essere , che il secondo membro di quella sia divisore esatto del secondo membro di questa , né che questi due secondi membri abbiano un esatto comun divisore funzione della %: perché se o 1' uno 0 r altro di tali casi avesse luogo; allora, essendo i coeffi- cienti della (II) funzioni razionali dei coefficienti della (I)(n.° 1 ) , il secondo membro della (V) avrebbe un fattore esatto, Del Sic. Paolo Ruffini 65 ì coefficienti del quale sarebbero funzioni razionali de' coeffi- cienti della (I), il che non può essere (n.°prec.). Dunque il valore (IV) essendo radice della (V) ( n.° 7 ) , non potrà es- ser tale della (II); perchè se lo fosse, ì secondi membri di queste due Equazioni sarebbero amendue divisibili esattamen- te almeno per | — |, il che è contro ciò, che si è dimo- strato presentemente . ^ 10. Suppongasi m numero primo. In questo caso le fun- zioni 1,1,5, ec. i, (u.° I ) non essendo che tanti ri- i a 3 m—\ sultati , i quali proven»ono dal valore (IV) per tante permu- tazioni fra le a; , j; , x^ ec. ( n.° a ), saranno altrettante ra- dici della (V); e ninna per conseguenza di esse pel dimostra- to nei ( n.° prtc. ) pntià nilla ulteriore ipotesi di to>3 esse- re radice della Equazione (II) , 11. Sia m numero composto. In questa supposizione non tutte le funzioni | , | , | , ec. provengono dal solo valore (IV) in conseguenza di semplici permutazioni fra le:»- . .r .x , <^c. Abbiasi per esempio w = 4 • Essendo in qn-^sta ipotesi /5^ = l/ — I? p^ = — i, /'3 = ~l/ — ' 5 P , = I ? "e verrà pel ( u." a ). ^=~,\—^ l/— I— a: -4-ri/— i-4-x) , ^3 = 4T ( - ^ y - ' - ^, + ^ 1/ - ^ -^- ^4) ^ e di questi risultati essendo il primo | identico col (IV) mentre si faccia w = 4, il terzo | proviene bensì da esso (IV) per la senqdice permutazione delle x ^x fra di loro; ma il risultato secondo | è una funzione affatto diversa dalla Tomo XVIII. I k4 66 Intorno al Metodo Generale ec. I , e quindi non può derivarne per una sempli»"^ permu- tazione , In questa supposizione di w = 4 "è la | , né la | po- tranno pel ( n.° prec. ) essere radici della Equazione (II). Avu- to però riguardo semplicemente al grado di essa (II), ed al non poter avere il suo secondo metnbro alcun fattore comune col secondo membro della (V) ( n.^q), potrebbe essere radice di essa (II) il valore | , perchè questo non può essere radice della (V), e di più per tutte le permutazioni fra \e x , x , x , x 1334 non può acquistare che tre valori fra loro diversi, cioè i tre (^"^) 4^(--^\^-" -^3^^/' 4VH.^^-^"3'^-'4) ' 4Ì H4^^ -^3-^^,)' Nel caso poi in cui ^ fosse radice della Equazione (II) di- venuta nel presente caso di grado terzo, il che né asserisco né nego, non avendone effettuato il calcolo; le radici di essa (II) sarebbero necessariamente le tre funzioni (Vili) ora de- terminate . la. L'esposto metodo del Sig. Wronski potrà essere at- to, come lo è realmente alla soluzione delle Equazioni di se- condo, e di terzo grado, perchè in amendue questi casi ri- sulta t, = /n — I , e la Equazione (II) diviene ideiitica con la (V). Nella ipotesi di w = 4 potrebbe la (II) pel ( n.° prec. ) avere per radici le tre funzioni (VIII), e se ciò fosse, I' in- dicato metodo somministrerebbe eziandio la soluzione delle Equazioni di 4-° g'^do; ma si avverta, che, se ciò accadesse, chiamate coli' illustre Autore 2 , | , | , ( n.° i ) le tre ra- 13 0 dici di essa (li), e però le tre funzioni (VIII) (n.°prec.), i valori delle x , x , x ^ x non uguaglierebbero già le funzio- 1 a 3 4 ni di esse | ^ | , |, , che propone il Sig. Wronscki ( n.° i ), I a 3 ma si avrebbe ' ' ■ ' • 4 4 4^^ .■: ■■ Del Sic. Paolo Ruffini 6'^ 4 4 4^ a 4 4 ^.. a 4 4 4 i3. Nella ipotesi di w > 4 '' rrietodo proposto dal Sig. Wronski , onde sciogliere le Equazioni generali, è fallace . Quanto quivi asserisco era pruovato pienamente in con- seguenza della impossibilità già dimostrata di risolvere le E- quazioni generiche di grado superiore al 4-" • ciò non ostan- te potremo riconoscerne ancora la verità in conseguenza di quanto si è detto nei ( n.' prec' ). Di latti sia in primo luo- go m numero primo > 4 ? 'a funzione (IV), onde aversi la soluzione della (J) , dovrebbe in questo caso essere necessa- riamente radice della (II) ( n.' i ,a ), ma ciò pel (n.°9) non può essere. Dunque nel caso di to>-4? ^ numero primo, il metodo presente è erroneo . Restando w>'4, sia esso nume- ro composto; pel cit." ( n.° 9 ) non potrà neppure in questo caso la funzione (IV) essere, come vorrebbe l'Autore, radi- ce della Equazione (II); pure potrebbe essa (II) contenere siccome radici i valori di un'altra funzione, i quali, come si è osservato relativamente alle Equazioni di 4-° gi'ado ( n." prec.) avessero solamente m — i valori ; ora il numero com- posto più piccolo maggiore del 4 è il 6: dun(|ue se avesse mai luogo la nostra considerazione, il minimo grado della Equazione (II) sarebbe il 5°., ma simile Equazione di 5.° grado pel già detto non si può risolvere . Dunque ancora nel caso di m > 4i f^ numero composto, il metodo presente è incapace di somministrare la soluzione della data Equazio- ne (I) . La fallacia finalmente di questo metodo deducesi ancora dal Teoren;a , che un'Equazione generale di grado m, essen- do TO>45 se si vuole abbassare ad un'altra, che sia di un 68 Intorno At Metodo Generale ec. grado minore di un numero /?, essendo p un numero primo non > m\ essa non potrà giaininai abbassarsi, che ad un' Equazione di i .° , oppure di a.° grado: Teorema dimostrato da me da prima nel caso particolare di ^ = 5, e dimostrato in seguito generalmente dal Cb. Sig. A. L. Couchy ( Journ. de VÉcol. Polytech. Cahier 17. ) '.' :> ■ i 69 DELLA CLASSIFICAZIONE DELLE CURVE ALGEBRAICHE A SEMPLICE CURVATURA OPUSCOLO Del Signor Paolo Ruffini Ricevuto li 1/^. Settembre 1816. I sommi Geometri Eulero, e Cramer nel determinare con- temporaneamente, e senzachè l'uno notizia avesse del lavo- ro dell'altro, la Teorica generale delle Curve algebraiche a semplice curvatura, vollero amendue stabilirne una classifica- zione . I principj, su de' quali Eglino perciò si appoggiarono, furono per entrambi i medesimi , ma non le medesime ne sono state per entrambi le deduzioni. Mentre Eulero stabili- sce sedici generi di Curve algebraiche semplici di terzo or- dine {Iritrod. in Analys. Infinit.Cap. ().° ), e cento quaran- tasei incirca d'ordine 4-" { Cap. 1 1 .° ) ; Cramer determina di quelle quattordici generi ( Introd. à l'Anal. des Lign. courb. 5. iS5. ) e rapporto a queste asserisce ( 5- i57. ) sembrare, che sarebbe cosa infinita il volere col dettaglio medesimo, che ha servito per le Curve dell' ordine terzo, enumerarne tutti i generi . Questa discrepanza di risultati sembrandomi meritare la riflession de' Geometri, ho preso ad esame un si- mile argomento, e se non m' inganno altamente, lusingomi di avere non solo determinato, da che 1' accennato dispare- re proceda , ma di avere inoltre con la determinazione di alcune proprietà rettificato il metodo di classificazione in gui- sa , che potremo applicare esso metodo alle Curve algebrai- che di un grado qualunque, sicuri che non sarà giammai per accadere né una falsa addizione, né un' erronea trascu- ranza di Curve . 70 Della Classificazione delle Curve ec. Dovendo servir di base a questa classificazione la varia natura dei Rami , che nelle Curve algebraiclie scorrono al- l'infinito, e le diverse afFezioni , dell-e quali esse Curve so- no a distanza infinita dotate ; e alla determinazione di tali proprietà e affezioni servendo alcune proprietà importantissi- me delie serie , nelle quali sviluppansi le Equazioni indeter- minate , ho diviso tutto il lavoro in tre Memorie ; e nella prima di queste esporrò le proprietà ora indicate delle serie; le affezioni delle Curve a distanza infinita formeranno il sog- getto delia Memoria 2.*: e dalla Memoria terza infine dedot- ta pienamente dalie due precedenti apprenderemo, come e- seguirsi possa la propostaci classifi( azione delle Curve, ve- dendone r attuale applicazione alle Curve di 3.°, ed a quel- le di grado 4-° Alcune Proprietà generali delle Serie, nelle quali si sviluppano i valori di y, che dipendono da iin^ Equazione algebraica indeterminata a due variabili. MEMORI A I. JL^ata un'Equazione algebraica indeterminata a due va- riabili, che rappresenterò in generale per la f{x,y)=-Of suppongasi, che nel suo primo membro non si contengano fattori i quali siano funzioni razionali delle ar, 7, giacché se questi vi fossero, con le note regole si potrebbero sempre eliminare, e la serie, nella quale sviluppasi il valore di y espresso per x , sia in generale . ^ Ck ^ (I) / = L.r"-f- Mx H- Na; -+-VX -Jr-Qx -¥■ ^x -;- ec ; supposto poi, ctie /', 7", 7'", ec. esprimano i diversi valori, che aver deve la y , divenga la (I) in corrispondenza (") Del Sic. Paolo R .UFFINI 71 r' — ^ l/ -+- M X -+-N X -t- P è" X -hQ' -t- R' r -H ec y" ■■~~ L"/ f M' /■ -hN' -t- P' X '-H-Q' , e' X -+- R -t-ec V'^J r j-'ii (III) M )- /"■=L"'u; -+-M'"a; -(-N'V -+-P"'x -l-Q"'x -+-R" or -+-ec. ec. Suppongliiamo inoltre la (I) serie discendente, onde sì abbia a>^>j/>^>£>C>ec. e posta l' Equazione /( a;,/) =0 di grado m , riducasi alla forma 'ax"'-{-bx"'—'-^cx"'~^-^ex"'~^-^gx"'—^-¥- ec. -+- tx"^ -(- vx 'a'x""—' -H b'x"'—''-¥- cx""—^-^ ex"'—^-\- ec .-\-t'x-^ v )/ -H [a'x'^-^-i- b"x"'-^-^ c"x'"—^ -H ec . -H t" ) y"" -l- ' a'" x"'—'^ -^ h'" x"'—'^ ->r- t.c.)y'^ -¥• y^x^'-^-t-ec. jj-^ -H ec. -I- (aC""— •) X -+- M'"— Ojjy'"— I -(- a. Nella (I) gli esponenti a, /?, y, ^, ec. sono sempre numeri razionali, ed i coefficienti L, M, N, P, ec. quanti- tà algebraiche . Potendo nella (III) i primi termini ax^^ bx'"~' , ec; a'x"^~^y , b'x'^—^y, ec; ax'^—'' 7», b"x"'—'^y'^, ec. ; ec. mancare; suppongliiamo , che i primi termini, i quali attualmente sus- sistono alla sinistra nelle righe rispettivamente prima, secon- da , terza, ec, (n-^\)esìma ^ {n-i-i)esinia , {n"-+-i)esima ec , della (III) siano in generale i seguenti (IV) hx , hx y,h X j%ec.,/i a; y,h x y •> An") m-q""-"^ n" fi x y •> ec Ora si attribuisca alla x un valore infinito : la (I) diverrà perciò / = La; , e la (III) si cangerà nella hx m — q A'a -? ,„ rn-q" y ■+■ h X j» ec. (n') m-j^"^n' (n") m-q^"^ (n" An) m—q n n X y i =0 y ec. 7^ Della Classificazione delle Curve ec. e posto in questa hx in luogo di j, avremo IV\ 7 '""'? 7 IT '"-'-«—?' 7„T * m-t-2a—q" ji"), " m-t-na—q " \ * / hx -H/i Lx -hh L X -»- ec . -4- /i L :c (n') n' m-¥-n'a—q («") n" TO-»-/i"a— y -hAL^t -4-/t La? -+-PC.=:0. Ma per essere x infinita, anche in quest' ultima Eifuazione deggiono conservarsi solamente quei ti^rmini , nei quali 1' es- ponente della X è massimo, e inoltre di tali termini , clie sono dotati di esponente massimo , esister ne deggiono nella (V) più di uno; perchè altrimenti, se si volesse per esempio il so- , lo esponente m-^-na — q maggmre degli altri tutti ; scompa- rendo allora per la natura dell' infinito nella (V/ tutti gli al- («) • • • • 1 I T^") T " m-t-na — g tri temimi rapporto al solo h h x , essa (V) diver- (n) i") r " m-t-na—q i i • • i • , t-. reboe h h x = o , e avrebhesi quindi un Equazio- ne assurda , poiché per la ipotesi la a; è di valore infinito , . ed i coefficienti h , L sono diversi dallo zero . Dunque dovendo nella (V) contenersi più termini , che siano t'orniti sulla ardi esponente massimo, supporremo tali essere i termini (n) n ni-(-n«— 3 An') n m-t-n'ot—q ,(""),"" rn-t-!i"a—q h L. X , h L X , h L x , («) ec: ma questa supposizione che tanto l'esponente m-^na — q , («') ., „ <"■'"> quanto l'altro wH-n a — q , quanto il terzo m-^-na — q » sia massimo, porta necessariamente, che si ahbia m-^na—q =im-\-na — q z=zm.-k-n a — q =eo., e a cagione di a; = co porta , che 1' Equazione (V) divenga (n) (A L-t-7t L -+- A L -i-ec.):c =o, ossia h h -^-h L -*-/i L-+-ec. = o. Dunque per essere i numeri m, n, q ,n,q , n ,q , ec, h ,h 5 A , ec. tutti razionah, come apparisce dalla Del Sic. Paolo Ruffini 73 E([Uazionp (IH), e dai termini (IV), e per essere nelle ottenute Equazioni in o , e < w . o I 7 ("' T " m-i-na—q supposto ora, che h L x rappresenti uno qua- lunque di questi termini intermedj , attiibuiscasi ad a un valore ■< i, intendendo compresi tra i valori <| i anche tutti .... (n) 1 negativi; poiché da ciò risulta na — q < o , ne verrà l'es- (n) . , ^ ponente m-\-na — q <,in\ ma risulta ancora ma •< m . Dun- que allorché si voglia a > i , la Equazione (V^I) a cagione di a: = co diverrà flt"'=:o dunque essendo questa un' Ecjuizio- ne assurda , non potrà il valore di a nella serie (T) essere -< i. Si dia in secondo luogo nella (VI) ad a un valore > i . Doven- do essere -L non •< i , e pero nel caso presente a — JL non n n > a — I , a cagione di ?j < w , si avrà ^ I i , la (VI) diverrà « L x =0; e per conseguenza, risultando nuovamente un'Equazione as- surda, concluderemo non poter neppure essere a>i. Facciasi finalmente a= i. In questa ipotesi, o si vuole che in uno qualsivoglia dei termini intermedj della (VI) , per esempio Del Sic. Paolo Ruffini. 7-5 , (n) n m^na—q .,,.(") , . (") nello A -L x si abbia q =«, oppure che sia ^ > n; nel primo di questi casi risultando m -\- na — q ■=. m , (") e nel secondo m ->r- n a — q ■ , . , . ec. h =a , ec. ( n.' 1,2,); divenendo in essa tutti 1 termini moltipllcati per x"^ , con la divisione per questa quantità otter- remo 1' Equazione a-j-a L-+-a L-ha L^-f-ec.-f- ^ ■> RC. è numero intero, e che i valori di M sono de- terminabili dipendentemente dai corrispoi\denti di L per tan- te Equazioni di primo grado; in egual modo per tante Eipaa- zioni di primo grado si determinano i valori di N dai rispet- tivi di L, e di M, e così di seguito. Essendo m il grado dell' Equazione (III) rapporto alla /, non più di m deggiono essere quelle funzioni della x , che esprimono i diversi valori della y medesima . Ma per 1' ipotesi fatta, e pel ( n.° 5 ) le serie (II) esprimenti gli ancennati va- lori della y sono di numero ni. Dunque ciascuna di esse do- vrà , ( prescindendo dalla variazione della x ) avere un solo valore. Ciò posto, vogliasi, che per esempio nella prima y' e = L'xH- M't -f- ec. uno qualunque degli esponenti, per esem- pio 1' esponente /?' , il quale pel ( n.° a ) deve già essere Del Sic. Paolo Ruffini 77 numero razionale , sia fratto, e sia = -^ , ove />, r siano nu- , /- , \ P meri primi fra loro , ed r > i . Ora il termine Mx '' =z M' [/x perla natura dei radicali ha r valori diversi : dunque altrettan- ti, indipendentemente dalla A\, ne dovrà avere ancora la serie £_ L'.iH-M'o: "■ -f- ec. ; ma come abbiamo poc'anzi osservato, ciò" non può essere . Dunque non potrà neppure essere , cbe al- cuno degli esponenti a, /5, y, ec. sia numero rotto. Pel discorso eseguito nel (n.^a) sappiamo potersi sem- pre ottenere tante Equazioni algebraiche , col mezzo delle quali da quelli di L possono sempre ottenersi i corrisponden- ti valori di M . Ora se una qualsivoglia di queste Ecjuazio- ni , quella per esempio, per cui da L' deducesi il valore M', si voglia rapporto all' incognita M di grado r, essendo r >■ i , di numero r risultando i valori di M', anche la serie h'x •+• M'x -(- ec. avrà indipendentemente dalln x, un numero r di valori ; ma ciò nuovamente non può essere . Dunque neppu- re potrà essere, che i valori di M non possano venir determi- nati dai rispettivi di L con tante Equazioni di grado primo . A norma deli' enunciato del Teorema lo stesso in cenai mo- do si dimostra dei valori di N, di quelli di P, ec. 7. In conseguenza di quanto si è dimostrato sin qui , vedesi che nel caso nostro potrà sempre la (I) ridursi alla riji) y= L.r-H M.i-°-4- Nx"' Px—'' -f-Q.c— ^ ■+■ Rx" 4 -h ec. , e le (II) alle y = L'x-+-]Vr ^N' x-'-h?' x-^-hQ'x-^-hKx-^-i-ec, ^) /"= L"x -1- M" -t- N" a:— -H P" x-^-+- Q" x-^ -+- R"x-^ -+- ec. , y"=L"'x-h M"'-H N"'x-' -+. F"x-^-i- Q"'x-^-^R"'x-^ H- ec. , ec. (m) (m) (m) (m) (m) (m) ^ (m) dove poi si pongano uguali allo zero i coefficienti di quei termini , che nei casi particolari potessero mancare . 78 Della Classificazione delle Curve ec. Potrebbe forse qualcuno muovere quivi una difficoltà, dicendo^ come mai può uno qualsivoglia dei coefficienti M, N, ec. farsi zero, se la dimostrazione del ( n.° 2 ) esige, che ciascuno di essi sia diverso dallo zero ? Per rispondere a que- sta difficoltà , fissiamo 1' attenzione sopra uno di tali coeffi- cienti, per esempio sopra M, e osserviamo, che questo M .nella serie (Vili) non esprime già in generale la stessa cosa, che esprime nelle considerazioni del citato ( n.° a ) . Colà il termine Mx si considera necessariamente esistente , per- chè si considera essere quello, che attualmente succede al primo \iX , qualunque ne sia il valore del rispettivo espo- nente /?; quivi ÌAx° è il termine, che contiene la potestà jc" . Ora se in un dato caso particolare questa x° esiste realmen- te nella serie, allora avremo benissimo M^° = Mx , e quin- di /? = o, ed M esprimerà in amendue i casi la cosa mede- sima; ma se nel caso particolare supposto che l'indicata x° manchi, e la potenza, che attualmente succede al termine La; sia per esempio la a;~" ; allora avremo il termine Vx~'^ 0 = Mj; , e però/3 = — a, e il coefficiente M del cit.°(n.°a) Uguaglierà nella (Vili) il coefficiente P. 8. Supponghiamo di rappresentare con le espressioni 2L, (m) 2M, 2N, ec. le somme L'-H L"-+-L"'-H ec.-4-L , M'-hM" -+- M"'-f-ec.-+-M^'"\ N'-HN"-hN"'-t-ec.-t-N^'"\ ec. ; con le es- pressioni 2L , 2M , SN , ec. le somme di tutti i prodotti a a a a due a due, ossia dì tutti gli ambi fra le L', L";, L'", ec. L ; fra le M', M", M'", ec. M^"'^ fra le N', N", N'", ec. , N^'"^ ; ec. con le altre 2L , 2M , 2N„ , ec. le somme di tutti i 3 3 3 ' prodotti a tre a tre^ ossia di tutti i terni fra le lettere me- desime; e così di seguito. Supponghiamo inoltre di esprime- re con la 2L M la somma di tutti i prodotti, che nascono Del Sic. Paoi,o Ruffini ec. 79 moltiplicando M' '« 'r "p ' ' N ' P -I-M 'N ■'p" r -4- ff M ■"n"'?"' -l-ec. ■+■ e in generale m""'''n'""''p'"''', l"m>n''p',...kl""m"'n"'p"'...+l"VV"'p"''...+l'"'"m"""n<"'"p'"", 8o Della Classificazione delle Cukve ec. ci serviremo rispettivamente delle espressioni aL"P^aM^N^P^aL"MVP^.. 9. Dalla maniera di scrivere, che si è stabilita nel ( n." prec .) è facile a dedursi , dover essere 2LM = M' ( 2L - L' ) -f- M" ( 2L-L" ) -H ec . -H M^'"' ( 2L -L^'"' ) , e però 2LM = 2M X 2L — (tLM ; 2L^M=M'(2L^— L'(2L — L'))-t-M"(2L — L"(2L — L" ))-i-ec. e quindi 2LM = 2MX2L — aLM X '^L -¥■ ah M ; 2L M = M'( SL — L'(2L — L'(2L— L' )))-+- M" (2L — L"(2L — 002, 3 a L"(2L-L")))-Hec.H-M'"^(2L3-L'"\2L-L*>L-L^"'^))), e per conseguenza 2LM=2MX2L — ctLMx^L -h aL^M X 2L — jL^M ; 3 3 a in generale 2L M=z:M'(2L — L'(2L — L'(2L — L'(2L — LY2L n n n—i ri— 3 n— 3 rt— 4 — L'(2L— L'))))) )-Hec. e per conseguenza 2L M = 2M X 2L — ctLM X 2L -h aL'MX 2L n n n—i n — a — (tL^Mx^L ,-+-(tL*Mx2L — ec.:4r(rL"~'Mx2L n "-3 n-4 rtffL M, prendendosi il segno superiore quando n è pari , l' inferiore , quando n è dispari . Così si ritrova . - - 2L N = 2NXSL — (7LNX2L -+- (tL^'NxSL — ec. n n n — i n — a rir o-l"~''n X 2L Iti o-l"n ; 2M N=2NX2M — (7MNX2M -+-aM"Nx2M — ec. P p p—^ p— a =;zaM^'Nx2Mzt(TM^N; •- ■ ' ec. Del Sic. Paolo PvUffini 8l Aven a^"'' a'"*^ a^'"^ / ec. Dunque i precedenti risultati, e queste ultime funzioni in X, esprimendo valori delle medesime quantità 2/ , 2 j , 2v 2/ , ec, si uguaglieranno rispettivamente fra loro, e para- gonando per esempio i due valori di 2x •> avremo x^2L -+-x2LM-h2(LNh-M )-hx— 2(LP-hMN)-hx-^2(LQh-MP-hN )■+■ ;«;-3« LR-+-MQ-4-NP)-4-ec. = _2 x^ ^ L^x ^ L^—. ec, e sono di numero w — a ; nella quinta 1 • . ("i-4) Je incognite g ? ecg sono di numero m — 3; e cosi in pro- gresso; e di più nella linea terza si ha l'Equazione 2N= o senza alcun' incognita; nella riga quarta abbiamo senza ve- run' incognita le due Equazioni 2P = o, 2 ( LP-f- MN ) = c , nella riga quinta esistono senza incognita alcuna le tre 2Q = o, 2(LQ-|-MP-hN )=o, I:(L Q-f-LMP-)-M N) = o; nella linea sesta a, le quattro 2R = o, 2(LR-t-MQ -i- NP ) = o, 2(L R-i-LMQ -t- M P-j-MN ) =o, 2(L R-4-L MQ-i-LM P-f-L N -hM N ) = o , e cosi di seguito . Dunque mentre siano già dati gli m valori di L, e gli m di M; degli m valori di N non potrà darsene ad arbitrio che un numero m — i ; così dati già questi, de- gli m di P non se ne potrà assegnare arbitrariamente, che un numero m — a: degli m di Q che un numero m — 3, de- gli m di R che nn numero m — 4» ^^-'ì mentre siano già stati assegnati i precedenti ; e il valore nel caso nostro ri- manente di N, i due che rimangono di P, i tre di Q , i quattro di R, ec. sono necessariamente determinati dulie E- quazioni poc' anzi esposte , aventi nel secondo membro lo zero . i3. Per quanto si è detto nel fine del(n.°prec) il nu- mero dei valori di L, di M , di N , dì P , ec, che possono darsi ad arbitrio, viene determinato dalla somma m -H w -H [m — i)-i-{m — aj-t-ec. -+- 3 -+-a-H i = — -^m = , ma Del Sic. Paolo Rdffini 87 di numero "ìIUl^ll sono ancora tutti i coefficienti della (III) essendosi posto il primo a =1 . Dunque l'attuale assegna- mento degli accennati valori di L , di M , di N , ec. deter- minando tutti gli Zii^±21 coefficienti della (III) , determina pienamente 1' Equazione medesima . Sia nella serie (Vili) V il coefficiente del termine [m-^\)es'imo, cioè, del termine V^ . Allorché siano stati già dati i valori tutti dei coefficienti, che precedono V; questo V per quanto si è ora detto, non può avere, che un valor solo assegnabile arbitrariamente, e i coefficienti ulteriori U, Z, — m — (m-»-i) ec. dei termini Wx , Zx , ec. non hanno valore alcu- no arbitrario, essendo essi tutti pienamente dipendenti dai valori dei coefficienti, che precedono, e da certi particolari rapporti fra di loro, rapporti i quali sono costanti in tutte le Equaziotii dello stesso grado . i4- Potendo nelle serie (IX) alcuni, o tutti i valori N', N", ec. P', P", ec. essere zero ( n.° 7 ); io dico, che se ciò accada , dovranno aver luogo le seguenti importantissime pro- prietà . 1° Il numero dei valori attualmente esistenti di N , se si vuole diverso dallo zero, dovrà essere > i . > a . 3.° Mentre siano zero tutti i valori di N, e tutti quel- li di P; i valori di Q o mancheranno anch'essi affatto, o sa- ranno in un numero > 3 . 4.° Allorché i valori di N, di P, e di Q siano tutti ze- ro ; o saranno zero anche tutti i valori di R,o il numero loro supererà il 4- 5." Cosi in progresso ; onde se Tj: esprima un termi- mine qualunque della (Vili) diverso dai due primi La-, M, 88 Della Classificazione delle Curve ec. e se i valori tutti di tutti i coefficienti N, P, Q, ec. S pre- cedenti T siano zero; o mancheranno eziandio tutti i valori di questo T , o il numero loro sarà > n . I. Cominciam dal supporre N" = o , N"' = o , ec. N = o < In questa ipotesi risulterà 2N = N', ina dalle (XI) ( n°. io) si ha 2N =o ; dunque venendo nel caso nostro ad essere an- cora N' = o , rimane dimostrato quanto nel ( prec. i .° ) ab- biamo asserito . II. Siano tutti i valori di N zero, e sia P"' = c, P'"=:o , ec. P =o. Avendosi perciò 2MN = c , e dalle (XI) ( n.° io ) avendosi 2P = o, 2 (LPh-MN) = o ; quest'ultima Equazione diverrà 2LP = o, e pel (n.^g) otterremo 2LP = 2P X 2L — aLP = — (rLP = c; ma la 2P = c in questo caso equivalente alla P'-f-P"=:o ci somministra P" = — P', onde si ha o-LP = L'P' -f-L"P",( n.° 8 ) = P'(L' — L")=c. Dunque per la disugua- glianza già esistente fra tutti i valori L', L", ec. L (n.^ó) dovrà essere P'=:o, ed essendo perciò anche P" = — P' = o; verrà così dimostrata la proposizione del (prec.a.°). III. Uguaglinsi allo zero tutti i valori di N, tutti quel- li di P, e sia Q'"=:o, Q*'=o, ec. Q =0. In questa sup- posizione divenendo 2MP=o, 2N = 0, 2LMP=o, 2M N=c, le prime tre Equazioni della linea quinta nelle (XI) si can- geranno nelle 2Q = o , 2LQ = o , 2L Q =: e , e però pel ( n.° 9 ) avreino 2Q = c, 2LQ = — = o L'^r-^ec.-HL^-^^-'^o, ec. L'^'t +ec.H-L^"^"-'T^''^ = o , con eliminare 1 ricaveremo 1 (L — L )-Hec.-(-i (L — L )=o, 1 (L — L )-i-ec.-Hl (L — L ) = o. J. (L — L )-(-ec.-(-i (L — L) = o, ec. 1 (L — L j-t-ec.-Hl (L — L j = o, ossia, posto L — L =:A,, L — L =A,ec.,L — L =A , otterremo AT' + ec.-+-A^"-'V"-'^=o, AT'(L'-^l'" V ec . + a'"-'^ T^"-' ( L ^""'^ -^l'"' ) = c , AT(L -1-LL -+-L )-i-ec.-+-A 1 (L -t-L L -+-L )=, (XIII) AT(L -hL L h-LL -t-L )-i-ec.-+-A T (L -t-L L +! («— Il («}a -f"3 - - L L -i-L ) = o , ec . , AT(L' -hL L -hL L -+-ec.-4-LL -hL )-t-ec.-(- , . ("— i)m("~')/T {n—r',ri~2. in—i)n~3 (ni (n—i)n—A (n)a (n— ")t (")"— 3 ^ (n)ra— a A I (L -i-L L -i-L L -i-ec.-t-L L -hL )=:J, frt — i) (n—i) . (n— i) , Si elimini il termine A T , e si fiircia L' — L =B, L — L ="5 ec. L — Ìj =li ; ne verrà A'BT-Hec.-f-A B 'T =o, Del Sic. Paolo Ruffini gr ALT(L-+-L )_i_ec.-+-A B T (L -f-L ) -h (A'B'T' -.- ec . + a'"-^^B '-V-'W = e , A'B'T'(L'VL'L^"-'VL^"-'^Vec.-HA^'^^^B^"-^>T^"-V^"-'>^ (n— a) (n— i) (n— 1)2 -hL L -hL )-f- (A'BT'(L'-hL<"-' Vec.-f-A'"-^'B^"-^^T^''-^\L^"-^^ ^l}"-') ) l"^ + (A'B'T'-+-ec.-f-A B r )L ' = o , ec. A'B'T'(L' -+-L X ' -+- L' L ' -nec.-i-L )-4-ec.-i- . ("— 3)„("— ^)m'"~^^/T («—'>)«— 3 j (.n—o.)n—4 ('2— i) (n— 2)^1— 5 fn— 1)2 A B 1 (Li -*-Ii Ij -ì-Ìj Ij -¥- ec.-f-L ) -f- . . n— 4 .n — 5, (n — i) 'n— i)n — A . (n— 2)_(« — ai r^j— 3) (A'BT(L' Vl' L Vec.-HL ^)-f.ec.^-A B T ^ (n— a)n— 4 (n— 2)0— 5 {n~i) („_,;„— 4 («) (L H-L L H-ec.-i-L ))L -h (ABT(L -t-ec.-HL )_i_ec.-i-A B T (L -t-ec.-f- („_i)„_5 (n)2 („_a> f„_2) („_a) («)«_3 L ))L -t-ec.-f-(A Bl'-t-ec.-+- A B T )L =o, ossia, tolte tutte quelle parti j chea cagione delle Equazio- nij che precedono, sono zto, avremo . (n — 2 _'n — 2) (n — 2) A'BT-i-ec.-4-A B 't ^=o, A'B'T(L'h-L ')-Hec.^A' B 't (L -hL ^)=o, (n— 1) '11 — 1)3, 'n — 2 (ra— 3 „'fi — 2) In — 2)2 (XIV) A'BT(L'"^LL Vl )-+-ec.-HA B T (L ' («—2) (n— i) (n— ija H- L L -t-L ) = o , ec. -+-ec. , n — 3 .n — 4, f^" — i) .'J — 5 ^/j — i')a (n — l'I?: — 3\ A'BT'(L' -»-L' X -hL' L ^-er.-t-L ^ -' .(n— 2)_,(ra— a) («— 2\ («— 2)/j— 3 (n— 3)re— 4 (7j— i) (?;— 2)n— 5 («— 1)3 A B 1 (1j -hLi L -t-L L (n— 1)«— 3 -+-ec.-4-L J=o. Ora queste ultime Equazioni (XIV) sono perfettamente simi- li alle precedenti (XIII) . Dunque eliminando il termine qa, Della Classificazione delle Curve ec. .(«-3) (rr-2) fn-a) («-^) „, „ ,("-3) , ABI , supponendo L — L =:L.,L — Li =ti , („_3) („_:i) („_3) , r tf- ..„ ec, L — L =G , ed eseguendo dei calcoh anatto somiglianti a quelli, per mezzo dei quali dalie (XIII) souosi ottenute le Etjuazioui (XIV) ^ ci risulteranno le altre A'B'CT-Hec.H- a"'-^^B^"-^'g^"-'^T^"-'^= o, (XV) A'B'G'T'(L'-HL^''-^Vec.-^A"-'^B^"-^^C^''-^^"-^L^''-^>-HL^"-"^)=o. ec. ABGT(L -hL L -i-L L -t-ec.-f-L ) -4- ec. ■+- . (n-3)„(«-3,^(n-3) (^-3) («-3)«-4 (n-3;«-5 (/j-a) („_3}„-6^ («-a) A b L. 1 (L -H-L L -i-JL L -t- {n— 2)n— 4 ec. -f- L ) = 0 . Gol proseguire avanti nella maniera medesima, e col suppor- (n— 5) {«—4) (t— 3) (re— 4) re L'-U =D', ec. L ^ — L =D , dalle (XV) si otterranno le (n— 4) (n—A) (n—à) tn—i) (n—d) A'B'C'D'T'-+-ec.-HA^ B ^G ^D' ^'T ^=o, ec. . .n— 5 .1—6, (re— 3) _ (n— 3)re — 5 , (XVI) A'B'C'DT(L' -4-L' L '-+-ec.-HL^ ) ^_ ec. -h (a-3jre-5 ec.-i-L ) = o. Neil' ottenere successivamente le Equazioni (XII), (XIII), ec.,(XVI) vedesi, che tanto il numero delle Equazioni, come ("). quello delle quantità T',T",ec. T in esse contenute vanno con- tinuamente diminuendosi di uno, risultando sempre le Equa- zioni ulteriori simili alle precedenti, ma dalle (XII) appari- soe , che le T', T", ec. T , sono tante precisamente , quan- te sono esse Equazioni (XII) . Dunque proseguendo il solito calcolo finché si può , e supposto in fine L' — L'" = O' , L" — L"' = G",ed L'— L"=:H', in ultimo risulterà A'B'C'D' . . . G'H'T'=o : ma ninno dei valori A', B', G', ec. H' pel (n'^G) può essere zero; dunque dovrà essere tale T' . Ora Del Sic. Paolo Ruffini 98 retrocptlendo nelle ottenute Equazioni, e tenendo conto soltanto di quelle delle prime linee, dall'Equazione A'B'G'D' . . . G'H'T'=o si passa all' altra A' B' C D' G' T' -+- A" B" G" D" G"r = o, poscia alla terza A'B'G'D' .... T' -+- A"B"G"D" ... .T" -hA"'B"'G"'D"' . . . . T'" = o , e cosi di seguito fino alle prime A'T'-)-A"T"-HA'"T"'-t-ec.-t-A''"~'^ T^'""'^ = o, T'-4-T"H-T"'H-ec. -f- t"~ -+-T" =0. Dunque in conseguenza di tutte queste Equazioni , e della ipotesi fatta nei ( n.° 6 ) dovrà essere T' = o , T" = o , T'" = e , ec. t'"~'^ = o , T "' = 0 ; e però il prestante Teorema risulta vero in tutta la generalità , come è stato accennato nel ( prec. 5." ) . C A P O 1 1 1." Del caso, nel quale alcune, 0 tutte le radici della Equazione (VII) sono uguali fra loro. i5. Si contengano nella (VII) n radici = L', essendone tutte le altre disuguali. In questa ipotesi io dico, che cor- rispondentemente a questo valore L' la serie (I) dovrà , pre- scindendo dalla variazione della x, avere n valori diversi, né piùj né meno . Per dimostrare questo Teorema, suppongasi, che gli ac- cennati valori della (I) corrispondenti ad L' siano di nume- ro r qualunque siasi per essere il valore di questo r, e tali siano i seguenti 6 V L'x -f- M x ' -4- N X '-f-ec. I L'x-hM X ^'-i-N /*-Hec. a L'j;-+-M ar'^jH-N ar^3-+-ec., ti O ec. (r) (r) 94 Della Classificazione delle Curve ec. sottratta ciascuna di queste serie dalla / , si moltiplicfùno i risultati y — Ux — ìli X — ec, y—Li'x — Mx — ec. y—h'x — Mx — ec. ec. y — LtX — M X — ec •^ (r) fra di loro, e con gli altri tutti è" y — U'x — Wx — ec, j_L"':c — M'"/" — ec, ec ^ (m) ,,(ro) 6'^^ ' ., ^ , / — L X — M X — ec; avremo quindi un prodotto , il quale a cagione di essere m il numero totale delle esposte serie, e di aversi pei ( n.'3, i ) a= I >/?>y>- ec. , sarà evidentemente j"»— (x2L-»-ec.)/'"-'4-(x»2L H- ec.)/"-^— (a^HL -f-ec )y'^-^^ ec dove 2L , 2L , 2L , ec esprimono la somma semplice, a 3 la somma degli anìbi, dei terni, ec delle quantità L" , L'" , ec. L , e della L' ripetuta in esse somme le volte r . Ora r ottenuto prodotto esser deve identico col primo membro della Equazione (III) diviso per a . Dnnque dal paragone dei termini omologhi avendosi SL = t^, — , 2L = — r— — , 2L == — — — — , ec 2L =rt: . col prendere il segno -+- od il — secondochè 772 è numero pari o dispari; ne segue, che tutti i valori di L, i quali si contengono ne' precedenti ri- sultatij che abbiamo moltiplicati insieme, sono precisamente tutte le radici della Equazione (VII), ma tra queste ultime Del Sic. Paolo Ruffini gS il vnlore L' pfr ipotesi si contiene le volte n, e tra i pri- mi iti volte r. Dunque risultando r=:n; ne viene che ec. 16. Mentre pongasi n=i, per quanto si è dimostrato nel (n."prec.) risultando uno solo il valore della serie (I) , che corrisponde al solo valore L' ; ne segue , che il Teore- ma del ( n." 6 ) rapporto a questo L' è vero ancora nel ca- so , in cui due o più degli altri valori L" , L'" , ec. fossero uguali fra loro . 17. Sia nel ( n.° i5 ) «> i , e siano L'jc-t-M :i: '-H N a;'''-Hec., I r (XVII) L'x -+■ M -/V N a: '"' -4- ec. , L'a;-i-M, /^-4-N, /^-t-ec. , ■ ec. L';c-hM a; (")-<- N /(")-+- ec. {n) (n) ì rispettivi n valori della serie (I). Ciò posto, Cominciam dal supporre /?=— ( n.° a ) ove p , n siano numeri primi fra loro . Dovendo essere /? < a , ed a := i Il I ( n,° I , 3 ), ne verrà p'>n , e chiamate i , ;r', ;t", ec. nr le n radici della Equazione ;r = i , per le proprietà delle radici dell' unità saranno valori della (I) anche tutti i seguenti 1- h'x -ì-M a;" -»-ec. , 'P - L'z -t- M jc x"' H-ec, "p ^ L'x -+• M JT x" -k-ec. . 1 ec. L'x-h-ì/f^jc x" -i-ec. 96 Della Classificazione delle Cukve ec. Ma questi sono di numero ra, e tutti fra loro diversi ; per- chè essendo /?, re primi tra loro; vengono somministrate tut- te le mesinie radici dell'unità tanto dalle supposte i, 7i\ 7i'\ (n — i)

n , perchè se lo fosse la L'ar -H P_ M. x^ -t-cc. avendo un numero k di valori tra loro diversi, I la serie (I) corrispondentemente al valore L' avrebbe un nu- mero di valori diversi >• n, il che è contro del ( n.° i5 ) . Posto pertanto k non > « , e chiamate i , ^', ^", (x'" , ec. fi le k radici della Equazione ^ =1 , saranno valori det- la nostra serie tutti i k risultati p L'x -4- M I ^k -+- ec. » 2. x'" -1- ec » "n P. Vx-i-fi^M x^ -+- ec. j (XVIII) L'x -1- ^ ^M ic * -+- ec . , '-y^ •! ■ Del Sic. Paolo Ruffini 97 P '"p T ec. P_ Lx-4-^ M -+-ec.. Dunque in un numero k delle serie (XVII) gli esponenti /? ,/?,/?, ec. saranno nella ipotesi presente uguali fra lo- ro, ed =-7- , e i rispettivi coefficienti M , M ,ec. altro non K * I ii saranno, che i valori M ,/t M ,u" M , /^''^M , ec.it M , I I I I I ' ossia per essere p, k numeri primi fra loro, e come si è os- servato sul fine del ( n.° prec. ), altro non saranno, che i valori M «'M ,u."M. , w"'M , ec. /t M . Supposto perciò 1 1 j I I ' tali essere le k prime ; nelle serie ulteriori 6 , La;-f- M x ^*-^') -1- ec, (XIX) L':«r -H M ^^^ :c '^-^^J -f- ec. , ec. JJx-^M ac^"'-+-ec., (n) gli esponenti B 8 , ec. ed i coefficienti M , M ' f' l ^(k^J) (k-t-2.) (k-t-if (i--f-a) ec. potranno essere diversi dai precedf'nti. 19. Essendo le quantità M , a'M , u'M. , ii"M , ec. I 1 ' I 1 '^— i) k fi M , radici di un' Equazione della forma M — H = o (n.°prec.) e per quanto si è detto nella dimostrazione del (n.°a) dovendo M essere funzione algebralca di L' ; sarà funzione algehraica di L' anche il coefficiente H . Ora questo H è chia- ro, che può corrispondentemente ad L' avere un solo , e può Tomo XVIII. N ^8 Della Classificazione delle Curve ec. avere più valori. Supposto pertanto in generale , ^'he ne ab- bia un luiniero i , né più né tneno, e che tali siano i valo- ri PI , H 1 H , ec. H , poiché in questa supposizione dal- lo stesso valore L' risultano similmente tutte le i Equazioni M — H =o , M*— H =o, M*— H =o, ec. M — H =o, I a (i) potranno nel termine M x * in vece di M collocarsi le ra- I I dici tutte di tutte queste Equazioni , ed essendo perciò valo- ri della nostra serie corrispondenti ad L' tutti i risultati Z * P. k ,P. k h'x-^x '^i/H -+-ec. ,L'a:-H^'x*l/H -i-ec., 'Lx-^ ^'x^ ^/ìi H-ec.,ec. IL k P '^ Z k (XX) Vx-^x'^ ^n -t-ec. , L'x-hLix''i/"ii ■+- ec, L'x-i-}t'x >" i/U -+-ec.,ec. ^ ■ ;f. ,u '^ ^ ■'- ;-■■ / I- k ' ' F_k JP, k L'x-^x *i/H -1-ec., L'.c-i- ^'j;^^H -+-ec., L'or-t-^^'x^^/H -i-ec.,ec. O ó O ec. P^k P__k P.k L'x-+-x*i/H .H-ec, L';r-H ^i'.r ^ l/H -+-ec.jL':i:H-^"x- ^ j/H .H-ec.,ec. saranno tutti questi ik risultati compresi tra gli n (XVII) . ao. Dovrà essere il precedente numero ìk non >- « , e se sia ik-=in, allora tutti i risultati (XVII) si uguaglieranno a questi (XX) . Che se si abbia i k " -t- ec. p-t p^ -Ir- IL 1 X ^ -H-ec, e col porre in quest'ultima Equazione in luogo di fx successivamente i suoi valori i , fi, ^ , ec. ^ ( n." 18 ) , è chiaro , che si avranno tutti i k valori di 7, che corrispondono al solo valore L' ripetuto nelle (XVIII) le vol- te yt, ed ai /; valori di M, che si contengono nella M*— H =0 ( n.° 19 ) . a3. Finora abbiamo considerati i numeri /?, k primi tra loro (n.° 18), supponghiaraoli ora tra loro composti . In questa Del Sic. Paolo Ruffini lor ipotesi le potenze i , ju , ^tt" , ec. fi^ ""'^ , quantunque siano di numero /; , pure per le proprietà già note delle ra- dici dell'unità non possono essere tutte tra di loro differen- ti, ma fra loro si uguagliano ad un certo numero, che è di- visore esatto di A , e che chiamerò g, ponendo A=gA,/':=gr, ed i numeri h, r primi fra loro . Quindi non potendo tali potenze, per l'uguaglianza fra loro a g, a g, somniinistraro k che h valori tra loro diversi , e però che h radici delia (.l =i ; p 4- ne segue, che il termine ^ M x "^ col sostituire successiva- (;t— i) niente i , p.\ {.i", ec. (.i in vece di ^ , non potrà ancor esso acquistare, che un numero A di valori differenti tra loro . Denominati ij p', p", ec. p gli h valori disuguali, che ottengonsi dalla ^ per 1' accennata sostituzione de' va- Jori I , |U , ^ , ec. ^ ; saranno questi i , p , p , ec. p anch' essi tante radici dell' unità, le radici tutte dell' Equa- zione p = I ; gli /i valori tra loro diversi , che provengono /» ^ r — da ^ M X * a cagione di aversi |-=:-^j saranno gli M x^ , r r r p' M x^, p"^ M x'^ec. p ' Mx'', ossia per essere r, k primi fra loro, e ponendo dì nuovo-^ invece dir , saranno gli _P.PL A_,, P. Mx'' ,p'M x'', p"M xk ^ eco M x ^; ed i coefficienti M , I I I I I p'M p'M. ec. p M venendo compresi tutti in un' Equa- zione M — H =o; questa, e non già l'altra M — H =o del ( n.° 19), quella sarà, che dee risultare per M nella V loa Della Classificazione delle Curve ec. presente supposizione. Cercando però attualmente col calcolo il valore M , potrebbe accadere , che si ottenesse non già la M — H = o , bensì la M — H =o; ma se questo accadesse converrebbe avere la riflessione, che non tutte le radici di que- ifc sta M — H = o servono ali' intento , ma servono solamente quelle, le quali sono radici ancora della M — H =o. I Snpponghiamo, che, come nelle (XVIII), si abbiano k se- rie , le quali comincino tutte per L' , e che in esse il se- condo termine a cagione di essere p^ k tra loro composti , non abbia che gli h precedenti valori M a: * , p'M x ^ , p"M x k » ec. /9 M .r*, replicandosi nelle indicate serie ciascuno di questi le volte g. Ora io dico, che quantunque accadano le ac- cennate uguaglianze tra i primi, e tra i secondi termini, pure le supposte k serie dovranno essere tutte disuguali fra loro . Difatti dall'Equazione (VII) (n.''4) sappiamo, che i valori di L uguali , o disuguali fra loro sono di numero w, e che ad ogni valore di L corrisponde uno di /. Ora ripetendosi nel- le (XVIII) L' le volte k, vengono ad impiegarvisi k valori di L, quantunque uguali tra loro : dunque dovranno in corris- pondenza risultare k valori di 7; ma i valori di / deggiono essere tutti fra lor disuguali , perchè , se ve ne avessero de- gli uguali, allora la/(ar,7) avrebbe fattore razionale con- tro del { n.° I ) . Dunque a questi k valori di y tra loro di- versi uguagliandosi le k corrispondenti serie , ne viene, che anche queste serie saranno fra di lor disuguali . Dalla sola ispezione poi della (XXI) è facile a riconoscersi , come tale disuguaglianza possa attualmente accadere : succedendo al l p-i PZl _ £=12 termine fi M x '' gli altri ^ N x * , ^^ ^P x ^" , ec. Del Sic. Paolo Roffini io3 osservo, che, siccome nei loro esponenti 5^ , ^^ , ^-r- , ec. i numeratori decrescono secondo la serie naturale dei nume- ri , tanti ne potranno esistere , ne' quali il numeratore sarà primo col denominatore /t , e supposto essere ^^unodique- p—t p—t i — sti , il termine corrispondente (i T, x * per la solita so- stltuzione de' valori i , {i\ ^", ec. ft ( n." i8 ) invece di h acquisterà un numero k di valori tutti fra loro diversi, e in conseguenza di questa diversità diverranno fra lor disu- guali ancora tutte le k serie corrispondenti. k ai- Pongasi nella (XXI) nuovamente i/H in vece di M , I I e si pongano successivamente i valori i, ^' , ^" , ec. in ve- ce di ^i , avremo cosi le serie £ k PTLL Eri y = L'a;-Hx* i/H h-N a; ^ -f-P x ^ -t-ec, III -ir- * „ I i— — n 1 t -f- ec. y'=L'x-H^'^a;*i/H-H^i''^ 'N^x ^ -t-^''^ ''p X * X. k P — ' P — ^ I li ec. ed in queste apparisce, che quando k è numero dispari, e primo con/?j la prima è reale, le altre tutte immaginarie . P k Che se A è pari, tra esse esistono le due L'x-i-x^i/ìl -h P-'k ec.,h'x—x * i/H -t-ec, le quali nel caso di H > o sono I I amendue reali, mentre sia x > o , e immaginarie, allorché aro. Esse finalmente, allorché si abbia A;>a, io4 Della Classificazione delle Curve ec. saranno sempre immaginarie, prendasi la x positiva o npga- tiva , e le altre tra le esposte serie, che rimangono, oltre £ k E k le due h'x-\-x''' i/H -t-ec, h'x — x '^i/H -+-ec. saranno tut- I I te di valore immaginario. Nelle considerazioni avvenire porremo , clie nella -^ i nu- meri jP , k possano essere primi, e non primi fra loro. aS. Esista nella Equazione H H-eH -+-ec.-Hg = o (n.°ai) un numero l di radici = H , essendo / >• i . I Nella precedente serie L z -i- M z -t-N z ' -t- ec . (n .aa) dovendo la parte M 2^-+- N z '-»- ec. corrispondentemente al I I solo valore M avere l valori diversi ; vedesi, che quanto si I è detto nei precedenti ( n' I7,ec.a4) dell'esponente/? del coefficiente M e della serie h'x -i-M x •+- ec. dipendente- I I ' mente dal valore L' ripetuto nelle serie le volte «, dir si deve egualmente quivi dell'esponente ky del coefficiente N , e della serie M z -H N s ' -H ec. dipendentemente dal va- I I lore M ripetuto le volte /. Quindi potrà ognuno da se me- desimo determinare quale sia per essere la natura dell'espo- nente ky , del coefficiente N , e quali, e quanti i valori ' I I della serie M s -4- N s ' -(- ec. Da queste determinazioni finalmente riconosceremo quale sia V andamento della serie L'x -H M a- ' -f- N ^ ' -H ec. , e in qual modo essa si divida. II 2,6. Poiché, essondo l'Equazione data (III) di grado m non avente fattori razionali (n.° i ), esistono necessariamen- te m valori di / diffijrenti fra loro, e però ?n serie (II) tra di loro diverse , ne segue , che quantunque esistano dei Del Sic. Paolo Ruffini io5 valori tra loro uguali di L, di M, di N,ec.;pure, proceden- do avanti nelle serie, si arriverà certamente ad un coefficien- te, per esempio al coefficiente T, corrispondentemente a cia- scun valore del quale la serie non avrà più , che un solo valore, e dopo del quale i successivi coefficienti si determi- neranno dai precedenti con tante Equazioni tutte di primo grado . Supposta una delle serie (XXII) per esempio la prima £ k :=/, ed elevata alla potenza /;e5iwa la/ — L'a; = :r l/H -t-ec, k p otterremo (y — Ux) =H a; h- ec. Q.'j. Per semplicità di scrivere in vece del coefficienti M , N P , ec. riponghiamo gli altri M,N,P, ec. e iuve- I II I IO a ce degli esponenti /? , y , ec. gli altri ^ ^ y , ec; e ritenu- to che sia /? = -^-, io dico, che il numeratore p di questa frazione ha per limite superiore k — i, cioè che non può mai essere > A; — i ; e rapporto al limite inferiore dico, che quando si abhia A; = n(n.'i5, 18) non può essere /?< — [m — k),, e quando sìa k -Hec. )7.*-+- ec. (A^"— )x-f-B^'"— ))/.'"— -t- «('")/.'" . Ora potendo qui ancora, come si è riflettuto pel ( n." a ) ri- guardo alla (III), mancare i primi termini a sinistra, che so- no attualmente scritti, supporremo in generale, che i primi termini attualmente esistenti siano i seguenti Gx'"-% Cx""—-'/,, C'^"—"'/.», ec. G^^—^^'V." » ec. G (A) &(%'"-'• j,S ec. aM j*^, . (i_.) (*— ) /.'— , 6 y Tanto nella Equazione /, = ÌAx -+-Nx -»- ec. ( n.°a ), come nella (XXIII) si faccia x infinita . Dalla prima di esse aven- dosi perciò y^ = Mx , con la sostituzione nella seconda ot- terremo 'X GM;c H-G M x -j-ec.-nG M x i — r> -t-eo ec. G M X H-G M. X ■ ec. ■a M X =0, e raccolti in questa tutti gli esponenti, ne avremo la serie (XXIV) nt- (e) m — r'-ì-^, m — r"-H2/?, ec. m — r -l-e/?, ec (A- -H(A — l)/?, W — 7- ■ m — r -i-[/c—i)ii, m—r -f-X/?, ec, m^ . Per essere x = co, come nel (n.°2), si dimostra, die due per lo meno di questi esponenti (XXIV) deggiono essere u- guali fra loro, e maggiori di tutti gli altri, e che da simile uguaglianza deducesi il valore di ^ . Ma nella supposizione presente il valore di /? deve avere il denominatore k; dun- que r indicata uguaglianza non potrà accadere tra i primi k Del Sic. Paolo Ruffini 107 (e) esponenti m — r, m — r'-H/?, m — r"-Ha/? ec. m — r -+- e/? , ff^ j\ ec. m — r -(- (^ — i )^; poiché essendo i coefficienti di ^ formati dalla serie de' numeri naturali o, i, a, 3, ec. con- frontando fra loro questi esponenti, il denominatore più gran- de si avrebbe dal paragone del primo m — r con 1' ultimo (k i) . (k — i) m — r -f-(/t — I )^ ; ed un tal paragone ci dà j? = '' — _ -^ ove il denominatore è ^ — 33L' a Li -f-ec.-i-a L =A, si ha A =:-rr} A =-77, A =; ^*=- A = in-^)dL ' A = — ^5r— ' e per «'Ssere L' radi- ce n volte della Equazione (VII) ( n." i5), dalla sostituzione di L' invece di L , risultano bensì necessariatneate zero tut- te le quantità A, A', A", A"' , ec. A , ma 1' ultima A è necessarianu'iite dallo zero diversa ; dunque nel rr\so pre- sente volendosi n = A , diverrà necessariamente diversa dallo io8 Della Classificazione dells Curve ec. (it) . . zero la quantità A , ossia il coefRciente nella (XXIII) del (fc) m—k primo termine A x , ma mentre A, come si è dimostra» to presentemente, è il valor minimo, che ha r ; il valor massimo che può acquistare r dalla (XXIII) apparisce essere m . Dunque allorché si pone A = re, e si pone che il valore (k) di p provenga da r — r, il valore più piccolo di esso p sa- rà k — m =z — {m — k). Si ponga k n , perchè questo pel ( n." 18 ) non può essere . a." Uno qualsivoglia degli esponenti (XXIV) , che dirò (e) (e") m — r -+-e'/9, un altro ne uguagli, che dirò m — r -+-e"/3, (e") 'e') ponendosi e-K.t', e il risultato '' „ ~1 che ne viene per e — e /?, si voglia = ^ . Poiché i minimi valori delle espressioni T , r sono rispettivamente e, e", come apparisce dalla (XXIII), pongasi r =:é-^a\r =e"-+-a"-, e poiché per essere — — =: .e. deve il denominatore e" — e risulta- fi — e k re multiplo di k si faccia e" — e = gk . Ottenendosi da ciò e"-e'-(a'-a") gk-(a'—a") a ^^ J l- • Uì p= r, ; — == — !-r ', rifletto dover essere divisibile esattamente per g eziandio a — a" , e fatto quindi a — (ì'-=git 0 gk — ei k — i avremo p = - — r-^- = — =— . ^ gk k Ciò posto, sia primieramente e >o. Dovendo perciò es- sere r intero e non < i , ne verrà è -i- k non < i -<- ^ •, ma Del Sic. Paolo Ruffini 109 8Ì ha c>o, qualunque siansi 1 due esponenti m — r -4-ep, m — r (e") (e') -H e"/9 supposti, il valor minimo del numeratore r — r sa- rà I -1- yt — w = — ( w — ( A:-+- I )). Ma nella ipotesi di e'>o, dalla (XXIII) apparisce, che qualunque supposizione si fac- cia, non può giammai dal paragone degli accennati due espo- nenti ottenersi /?=: ■^, quando non sia k <. m . Dunque il mas- simo valore di k essendo m — i ; ne segue, che avremo sem- pre m — ( A-+- 1) non I . Se sia g = I ; questo caso riducesi a quello del (preci"). Che se abbiasi g >• r ; allora avendosi ig non >■ m , ne verrà ì, nel caso di k-=-n, è — [m — A), e nel caso di k quan- do si ha ^ = n ; e — l"'~^"^'-l , quando si ha A; < « , sono i limiti di tutti i valori , che può acquistare la frazione -^ = ^j Ilo Della Classificazione delle Curve ec. tutti perciò i valori , che al variare delle r, /, r'\ ec. r si pos- sono ottenere per /? saranno ^' , '^ , ■—. , ec. fino a — ^~ "^I: , quando si abbia k <^n., e fino a — ~r~ ' fidando si abbia k ■= n . Per conseguenza sotto le varie supposizioni di A = I , a, 3, ec. m si otterranno, quando è k <, n , i se- guenti rispettivi risultati . k-= i; ^ = o, — I, — a, — 3,ec. — (m — 3), — {m — j), k = .; ^ = 4-, e, -A_,, ec._(:^), -(i^) . q /> ai I a Im — 51 lm—^\ « — -5; P— 3 5 -3-5 o, — y, — 3 ,— i,ec.— ^-j-^, —y-j-^, ec. , _ n re — a n — 3 n — 4 "^ — '^ — '^ 'w — " ' " il, — I ' n — I ' n — I ' ' n — i n — i Quando poi si voglia k = n; allora corrispondentemente alle supposizioni di k = n = 1, a, 3, 4> ^^- 'w? si avranno le stes- se precedenti serie, le quali però differiranno per gli ultimi termini j i quali in quest'ultimo caso saranno rispettìvamen- , , \ Im — a\ im — 3) (m — 4'* te — ( OT ~ i ) , — ( -^1 ' 3— * 4-^ ; ec . o . ag. Suppongbiamo, che il numero n del ( n.° i5 ) sìa i >> I, che corrispondentemente al valore L', ed al termine h'x i uno dei valori , che può avere /? nel successivo termine Mx , sia lo zero , che i rispettivi valori di M siano di numero h , e che tra questi h valori ne esista un numero l, ciascuno dei quali sia=M. Inconseguenza di tali supposizioni allorquan- do si ponga negli esponenti (XXIV) ( n.° a^ ) Io zero in luo- go di ^ , dovendo fra essi risultarne alcuni uguali fra loro , e maggiori di tutti gli altri , supponghiamo in generale { scom- parsi già essendo dai (XXIV) i termini, che contengono ^ ) che tali Siano m — r , m — r ,m — r ,ec. Avendosi quindi Del Sic. Paolo Ruffini iti («) (e') («") . • 1. . ,• . m — r =m — r = m — r = ec. maggiori di tutti gli al- , (') (e) («") . . tri esponenti, ne verrà r = r = r = ec. , e questi mi- nori di tutti gli altri valori , che esprimiamo con la r . Inol- tre corrispondentemente ad un solo valore di /?, cioè a quello di /3 = o, dovendo esistere h valori di M , e que- sti per conseguenza dovendo essere somministrati contem- poraneamente , dovrà per M risultare una sola Equazione di grado h . Dunque per la ipotesi di x = oo divenendo la (XXIII) in fine ( G^" M -h G-^"'^m"' -hG^'"^M'"-^ec.) x"'-'^'^^ o ( n.^a^), ossia g'^''mV g'*^M^ -hG^* 'm^ -f-ec.r=o, dove sì ha e < e' < e" ■< ec. r ultimo termine di quest' ultima Equa- e-i-A . (e-i-h) e-\-h zione dovrà contenere M , ed essere perciò G M ; poiché col dividere tutto per M si otterrà appunto 1' Equa- zione G^^^h-G^^'^M^'-Vg^''^M*"-^ -h ec. -h G^^*'' m'= o di grado h . Ciò posto, siccome l'ultimo termine di quest' ultima (c-t-A) e-t-h Equazione proviene da G M , non potrà esso derivare , che dalla linea della (XXIII), che è moltiplicata perj, ; ma fra i termini, che esistono entro le parentesi d«ll' indicata linea, niuno ve n'ha, il cui esponente sopra della x sia > m — {e-i- h ). Dunque il minimo valore , clie può nell esponente m — r ottenere r essendo e-hh, ne segue, che il valore più piccolo, che può acquistare r =r =r =rec. = r , sarà e-+-/j,edi questo e-+-h sarà maggiore qualunque altro dei valori , che esprimiamo con la lettera r . In conseguen- za di tutto ciò diremo, che o r\ 1 '^■*-'''^ X <^> -1 • • t i I. (Quando r rappresentar , il minimo valore, che può esso avere, è A, e i valori degli r, r, r", ec. sono tut- .. ,. .... - , ie-t-h) (i-f-A) ti uguali, o maggiori di h; quando r rappresentar , (XXV) (e-vA) = r" ' = ec. =: A , Ila Della CtASSiFrcAziONE delle Curve ec. •t • • I 1 (i-*-^) Il mimmo valore, che può avere r , è i-f-A, e i valori degli r, r', r", ec. ne sono uguali, o più grandi; allorché con r esprimes! r , a -4- A e il valore più piccolo , che può avere r , ed r^ r\ r" , ec. ne sono tutti uguali o maggiori; e cosi di seguito. a.° Il caso pertanto, nel quale r, /, r", /" , ec. hanno il valore più piccolo di tutti, quello si è, nel quale r (h) , , (e) (e') {e") rappresenta r =A, e ponendo r = la (XXIII) diverrà in corrispondenza ( G x'"-''-h I x"'-(''-*-') -H ec. -H Va; -H ii ) -f (G'a;'"-*-»-ra;'"-(^')-(-ec.-H V)/, ■+■ (G"x'"-''H-I"x'«-(^')-H ec.)/.» -+- ec. ( G^''^x"'-^-h 1^%'^-i'-^') ■+■ ec . )/*, ec. 3.° Il caso accennato nel (prec.a.°) ha luogo bensì, quando si abbia n ( n.° iB ) = h; perchè allora , risultando A =A , ed essendo il valore A diverso dallo zero ( n.° 2.7), nella (XXIII) sussiste il termine A x ; quindi nella = o ,W .W (XXV) si ha G =A attualmente esistente, e però essendo (A) r = A , potrà essere = h ancora ciascuno dei numeri r, r, r", ec. . Ma se si abbia n "^^ h ; allura il minimo valore di ciascuno dei numeri medesimi non potrà più essere A, ma ne sarà maggiore. Difatti nella precedente Equazione in M, e quindi nell'esponente m — r osi vuole che sia e = o, op- (h) pure e >■ o ; nel primo di questi casi osservo che t?i — r non è che l' esponente sopra la x delprimo a sinistra dei termini, che moltiplicano y , ; ma a cagione di n "^ h , es- sendo A =3;o ( n.° 27 ) si ha eziandio nella (XXV) G =0. Del Sic. Paolo Ruffini Ij3 Dunque il minimo valore , che potrà in questa ipotesi ave- re r , sarà A -hi: ma per quanto si è detto di sopra niu- no degli altri nunoeri r, r', r\ ec. può avere valore più pic- colo del valore nel caso presente di t : dunque quando si pone h <. n , ed e=^c, il valore più piccolo, che può ac- quistare ciascuno dei numeri /• , /, r", ec. non è già k, ma bensì A -H I . Vogliasi , che sia e > o : abbiamo già accenna- to dì sopra, che il minimo valore, che può avere r ' è e-i-h, e che questo r e uguale o minore di ciascuno de- gli r, /, /•' , ec. Dunque ancora quando sia e >- o , risulta , che mentre n supera A, il valore più piccolo, che possono avere i numeri r,r',r", ec. non è già h, ma ne è ma^triore . L'Equazione (XXV), per quanto si è già detto, suppo- ne il caso di n z= h ; ma potrà ancora servire all'altro di n'>h, bastando perciò supporre in essa ciascuno dei coeffi- cienti G, G', G", ec. G =o, e tener conto dei successivi I, r, r, ec. l^^^ oppure L', L", L'", ec. l"'\ ec. 4.° È facile dal ( n.° i5) il riconoscere, che parlandosi quivi dei valori di M , che procedono da L', deve essere h non > ra; e non potendo aversi A = o (n.° 27 ), non potrà neppure risultare giammai A -H e> «, qualunque vogliasi che sia il valore di e . 5.° Si supponga ne^n.^a) N/-f-Px -h ec. =7 , e glac- che nel caso presente abbiamo Mx =M, e quindi/ =M-f-7 j col sostituire nella (XXV), otterremo la trasformata Tomo XVIIL p (XXVI) 1 14 Della Classificazione delle Curve ec. (G'.a-^-^-Hr.^c"—*— -(-ec.-H V, )/ -h (G",x'"-''-t-r, :r'«-^'-f-ec.)j=' ■+- ( ec. Uo G M , e sa- ( G.('')x'"-''-t-l/*);c'"-^— -t-ec. )/* a ec. (m) m O /a nella quale sarà G =G-+-G'M-hG"M"-4- ec. I ra l^ — jTj, tr = -— - , Lr = L, ec, e collocando m vece di M il valore M', risulterà G =o, G' =o, G" =0, III ec, G =0, G non = o, giaccliè M' è per la ipotesi radice l volte della Equazione G =0. 3o. I ." Ritenute le supposizioni del (n.°prec.), e sup- posto nel termine N^ T esponente y = -|f, si cercano i li- miti del numeratore q ^ come nel ( n.° 27 ) sonosi determina- ti i limiti del numeratore p della ^ . Essendo nel caso pre- sente /S = o ( n ." prec . ) , dovendo pel ( n .° i ) essere y < |3 » ed essere q numero intero ( n.°a ), il valore più grande, che potrà ottenere ^, è chiaro, che sarà — i . Per determi- nare in seguito il valore più piccolo^ si faccia j;:= 00 , si so- stituisca nella (XXVI) tanto in luogo di M il valore M' quan- to N«c invece di ^ , e denominiamo m — r, m — r -»- y , in — r" -K-ay, ec. gli esponenti dei termini, che rimangono per la ipotesi di a; infinita dalla Equazione (XXVI): eseguen- do poscia su di questi esponenti un discorso simile a quello del cit.° ( n.° 2,7 ), comincisi dall' uguagliare il primo m — r Del Sic. Paolo Ruffini ir. 5 {Ir') . ^ '■ con l'esponente m — r -k-k'j . Avendosi quindi j'=-^-p — i, siccome il valor massimo, che può ottenere r è /« , ed il mimmo, che può attribuirsi ad r , quando si ha n ■= n , è A, e quando A< ra , è A -I- i ( a.°, 3." n.'' prec. ) ; ne se- gue, che in questa prima supposizione il valore più piccolo, che può avere il numeratore q, nel caso di h = n, è h — m=. — [m — h) e nel caso di h<,n, è — {m — (/ì-hi)). Uguagliando in seguito fra di loro due qualsivogliono d«- gli accennati esponenti , che dirò in gnerale m — r -H ey, (e") m — r -He"y, ove sia e">e', si ponga, che il valore, il quale perciò risulta di y = — — „_ , ' — sia = -^ . Doven- do in conseguenza di ciò essere e — e,edr — r equimul- tipli di ^', e di 9, è dovendo di più sì r , che r essere non li minore, nel caso d'i h = n ^ dì h , e nel caso di A ■< /z , di (e') A-1- I ( a.'',3.°n.° prec. ) , suppongasi e" — e=gk',r =h-^a, r = h -+- a , oppure r =h-^i-i-a,r = h -i- i -^~ a (e") (e') secondochè si ha A=:, ovvero < «, ed /• — r = — {a — a"} = — gì j, e avremo y = — "^ = — F"^^"^ * ^"^^ ^^ *' abbia gf=i; questo caso riducesi pienamente a quello, che si è considerato poc'anzi; tralasciato esso adunque, abbiasi g>i. In questa ipotesi osservo, che, essendo — {?n — h) nel caso di h =^ n , e — {m — (A-4-i)) nel caso di h ;j perchè im- possibile (4-°n-° prec), stabiliremo, che i valori tutti, die può ricevere la frazione -^ , nel caso di A = « sono "^ , -rr 3 (m — /;) , 1- r ^ I * — p-, ec. p— , e nel caso di /i — i ; allora diremo , che la -rr non può avere valore alcuno : per- chè iu tale supposizione il valor minimo di -^ diverrebbe maggiore del massimo, il quale è — -^ : il che è un' assurdo. 6.° Supponghiamo n^m, e nel caso di h<^n sia h=zm — 1, ponendo h = m nella ipotesi di h = n. In amendue queste supposizioni il valor minimo di ^, risultando = -^ , avrà luogo l'assurdo del ( prec. 5° ) . Ma per riconoscere quale sia in questi due casi 1' Equazione (XXIII) ossia la (XXV), a cui la (XXIII) si è ridotta ( i.°, a**, n.'' 29 ), osservo , che la mas- sima potenza della x nella citata (XXV) nella seconda delle . . . „ , m — h m — m o n • supposizioni latte ex = x =x=i,e nella prima r?t— (A-4-l) TO— (TO— I-t-l) o _ ^ ,,, 1 ex =. X =. X ■=, \ .Dunque si nel! una, che neir altra delle ipotesi la (XXV) , e però la (XXIII) si ridur- rà alla M -»- Vj -H TJK * -H Sy ^ -t- ec. -f- a "" j"* = o ; ma II I iif> Della Classificazione delle Curve ec. essendo questa Equazione priva della x affatto ;, rton può rap- presentare alcuna curva : dunque non deve sorprendere , se il termine N.i risulta di valore assurdo , poiché la supposi- zione di a>/?>-j'>-^>»ec.(n.'' i°) stabilisce , che la data y"( X , / ) = o esprima realmente una curva . La trovata «■+• V/ (m) m, -H TV ^-t-ec. -4- a y = o esprime un sistema di tante rette I I parallele fra loro, quanti sono in essa i fattori reali . 3i. Pongasi p = k — i : essendo ^— i il massimo valo- re, che può ricevere/? ( n.° 27), questa supposizione di p=k — I non toglierà punto alla generalità; perchè si può sempre considerare, che esistano tutti i termini da quello di esponente massimo in avanti, dando lo zero per coeffi- ciente a' quei termini, che nei casi particolari possono man- k-t care . Ora dal termine generale Tx * apparisce , cìie quan- k—t do a ^ si danno ì valori o, A, a^ , 3A, \k , ec. , dalla x '^ risultano tutte le potenze intere a; , x°^ a;~', x~^ , x~^ y ec. e quando allo stesso t si danno i valori intermedj agli accen- nati ; allora risultano tutte le potenze fratte, che aventi nel- r esponente il denominatore k esistono tra le intere x , x° , a;""' ,0,""^, ;c"~^ , ec. ; inoltre di queste podestà fratte tante ne esistono tra ar, ed a;°, quante ne sono tra a;°, ed x~" , quan- te tra .c~', ed a;~*, e così di seguito ; e finalmente riesce più conveniente, e più comodo servirsi delle lettere L, M, N, P, ec. affine di rappresentare i coefficienti delle potenze intie- re *• , .r°, x~', .a;"*, ec. : dunque servendoci delle L , L ,L I a > ec. L , per esprimere i coefficienti dei termini interme- dj tra .r , ed a°, delle M , M , M , ec. M per esprime- re i coefficienti dei termini esistenti tra x°, eJ x~'^ , delle N , N , N , ec. N pei coefficienti dei termini fra x~^ ed 1 % 3' {k—ù^ ac~^, e così in progresso, ridurremo la serie (XXI) (n.^aa) alla Del Sic. Paolo Ruffini 119 k— -^ t— 2 — fc—'ì — - y=L'r-t-/i V X '^ -+-U L' x * -f-fi L' a; *^ H-cc.-i-|UL' jc * _t- '^ ' * "^ (A-i) M'-f-u~M' a:" '=-+.u~''m' x~'^-+-/i~M' :ir *-f-ec.-4-^~'^~''M' x~ T^ a^ — I £t N', X * -t- Fx -^-^i F X * -^(i Fx " H-^ F^x ^ -(3i-i) ec. -4-,u P , .a: a 3^-1 ec. e a cagione di essere fi = i , avendosi fi =ft ==^ = — (ai-+-i) — t3A-t-i) k—i- —a — (i-i-a) — aA;-i-3) — l3-t-t-a) fc— 3 —3 — (A-4-3) — (at-t-3) — (3A:-4-3) fi =ec.y fi =fl=fl =fl =fl = ec. ridurremo la serie medesima alla 7 = ( L'x -+- M' -H N'x-' -1- P'x-^ -+- Q':c-3 -H ec . ) -t- /■-i fi^ ' X '' iu^-^U'^x-'-^ìi^'^x-^-^F x-^-^ec.\ -^ (XXVII) V a a a a — / ^k-z^ k (L'^^-M'^x-'-f-N'^ar-'-t-P'^x-^-t-ec.) -H ec. fix'^lL' -f-M' x-'-f-N', x-^-hF, x-^-^ec). \ (fc-i) (*-i) (k-i) (k-j) I (k—i) Si denominino X, X', X", X", ec. X le funzioni della lio Della Classificazione delle Curve ec. X , che nella (XXVII) moltiplicano le successive potenze i,^^~', ^''~*j ,a*~^, ec. , e sostituendo avremo y = X^ ^^-' X'-h ^^-^X"-^ fi^-^X'" -i-ec.-^- ^iX^^~'\ Collocati finalmente in vece di ^ i suoi valori , e chianiatt (k) ..... . y •> y" ' y"'ì y'^^ ^^- y * rispettivi valori di /, ne verrà y = X -H X' -H X" -»- X" ' -H ec . -+- x"'~'\ 7=X-i-^ X-+-^ X-+-(i X -hec.-^fiX , y"'=X-hu" X'-h^" X"-t-ii" X"'-Hec.-+-^"X \ j"'=X -f- ^"•'^"'X'-t- fi'"*"'x"-+- ^'"^~^X"' -f.ec.-f- (^"•X^'~'\ ec. (k) ^ {k-i) t-i (k-i) k-i (k-i) k-3 „ (k-i)(k-~i y =X-t-ft X-f-|U X H-/Z X -f-ec.-Hft X , Sia per esempio /; = a , risultando due soli i valori di fi cioè I, e (X -^ — \, le precedenti (XXVIII) diverranno y = X', 7"= X-i-X' essendo poi jj X = L'x -H M' -t- N'a;— -H P'.c-»-+- Q'x-3 -+- ec . X'=:c^ VL' -+-M' a:— -H N' a,— »-f-P' a;-^ -t- ec. \ Il I I / Vagliasi per secondo esempio A = 3; per ft avremo i tre valori I , /i' = ~"^~^ > fi" ===^^J^^ e quindi dalle (XXVIII) si ricaverà y' = X-t-X'H-X" - ' ■ ^ y"=X-f-^'»X'-4-^'X" / =A-f-fi''A-i-^ X, avendosi poi X = L'x -H M' -H N'^-'-H P'^-^-H Q'x-3 -f- ec. , X'= ar'^VL' -*- M' x-^ -4-N' :«;-= -h P' x-^-\- ec. \ II I I / X"= a; 3 (l' -f- M' o:-- h- N' a:-»-<- P' a;-^ _h ec. Y . a a- a a f. Del Sic. Paolo Ruffiot lai CAPO IIL Altre Proprietà dei coefficienti delle Equazioni (II). Sa. La dimostrazione del teorema del (n.*i4) esige che i valori L',L", ec. L siano tutti fra loro disuguali : cerchia- mo ora di determinare cosa accada , allorché i' accennata totale disuguaglianza non ha luogo . I. Ripreso perciò sotto considerazione il caso generale , cioè il { S.°n.° 14 )» np' quale si pongono zero tutti i valori dei coefficienti N, P, Q, ec. S , e si fissa l'attenzione sopra i valori del coefficiente T nel termine Tx , cominciamo a supporre L'=L , essendo da questo L , e fra loro disu- (n—i) guali tutti gli altri valori L" , L" , ec. L . Ottenendosi ancora in questo caso ST = o, 2LT=o, 2L T= e, ec. 2L T^ o, come nel ( V. n.° li ) ricaveremo le Equazio- ni (XIII) ; ma per la supposizione fatta avendosi L' — L = A'=o, dalle citate (XIII) svaniscono tutti i termini, che contengono T' e rimangono tutti gli altri; di più esse Equazioni (XIII) sono di numero n — i , e scomparso essendo il valore T', gli altri T", T", ec. T , che soli vi rimarrehbero nella supposizione fat- ta nel cit.» (V.n."i4) di T<"*'^ = o, T^"*'^ = o, ec. t''"^ = o, sarebbero di numero n — a , onde il numero delle Equazio- ni medesime supererebbe di uno il numero dei valori della T contenutivi. Dunque, supposto in questo caso, che i va- lori di essa T uguali allo zero siano T ,T , ec. T , affinchè nelle (XIII) contengasi ancora T , e così dopo la scomparsa di T' , siano ivi di numero n — i tanto le E- quazioni quanto i valori di T; col proseguire avanti sulle (XIII) Tomo XVIII. Q laa Della Classificazione delle Curve ec. il discorso medesimo del cit° ( V. n.° 14.) , troveremo in egiial maniera dover essere T"=:o, T"' = o, ec. T =0, T =0, e dall' Equazione 2T =: o, risultare in fine T -H T = o . Dunque nella supposizione fatta , che siano sólamente uguali fra loro i due valori L' , L , i valo- ri di T corrispondenti ai valori L" , L", ec, o dovranno man- care affatto, o dovranno essere di un numero che sia >-iz — i; ] valori poi 1 , 1 corrispondenti ad L := L , potranno sussistere, ma sussistendo, nel caso nel quale mancano tutti gli altri valori T'", T'% ec, dovrà essere T^"^ = — T'. II. Abhiasi L' = L" = l}"\ e tutti gli altri valori L'", L\ ecne siano disuguali, e siano disuguali fra loro . Poiché presen- temente si ha nel ( V. n." 4) A' = L'- L^" = 0, A"=L"— L^"^; svaniranno tosto nelle (XIII) tutti i termini , che contengo- no T' e tutti quelli, che contengono T" ; ma se si volessero sussistenti, come nel cit.(V.n.° 14 ) soltanto i valori T', T", ecT , allora in esse (XIII), che sono di numero ti — i,restereb- hero solo n — 3 valori di T, cioè T", T'", ec. T ; dunque volen- do, che ancora nel caso presente nelle (XIII) tanti siano i valori attualmente esistenti di T, quante sono le Equazioni, supporrò 1 ^ • 1 • rr("-^3) («-+-4) ^('«) ^ , . zero solamente i valori 1 ,1 , ec. 1 . Ora anche in questa ipotesi il discorso del (V. n." 14) ci dimostra in conse- guenza delle stesse (XIII), che deggiono essere zero ezian- dio tutti i valori T"',T% ec. T^"~'\ T^'^'^'^T^'''^^^ e inoltre ottienesi in fine ST = T' -f- T" -1- T^"^ = o. Dunque nella sup- posizione presente o i valori di T , che corrispondono ai va- lori tra loro diversi di L sono in un numero >■ « — i , op- pure mancano affatto, e in quest' ultimo caso corrisponden- temente ai valori tra loro uguali L', L", L si ha T = — ( T'-hT"). . . Del Sic. Paolo Ruffini laS IH. In generale supponghiamo L' = L" = L" = ec. = L= L , ponendo poi da questi e fra loro disuguali tutti gli altri valori di L. Risultando perciò nel(V. n.° i4)A'::=o, A"=o, A"'=o, ec. A =o; dalle Equazioni (XIII) svani- ranno tosto tutti i valori T', T", T'", ec. T , e supposto , ... . f. r • l'I- m^""*"i''^') che da principio non si lessero tatti zero, che i vaion T , 1 j 1 , ec. 1 , nelle (XIIl) stesse si conterran- . ,. , . ^(P-*-') (p-t-z) _(p-t-3) (n— I) (n-t-i) (ra-t-3) no tutti gli altri T^^^ , T ^ , T ^ , ec. T , T , T , (n-*-p) . ec. T , 1 quali sono di numero n — i — p •+• p = re — i ; ma altrettante sono le Equazioni (XIII); dunque dal solito raziocinio del ( V. n.° 14 ) ritraendosi T =0, T =0, T =o,ec. T ' = o,T =o,T =o,ec., T =0, concluderemo, che, se, nella supposizione fatta sussister deggiono dei valori di T corrispondenti ai valori di L disuguali, essi deggiono essere in un numero >• re — i , altrimenti che mancheranno tutti, e mancando, si avrà poi corrispondentemente ad L' = L" = L"' = ec. = L^ =:L l'E- quazione T' -)- T" -i- T"' -+- ec.-+-T^^'-+. t'"^ = o . IV. Finalmente con tutta la generalità si supponga L' = L"=L' = ec. = L^^\ *-• =ij =L =ec. = L , 0^?-*-i) {p-*-q-\-o.) (;-(-y-*-3) (p^q-*-r) L ^ij =L. =ec. = L , ec. e si supponga, che tutti 1 valori L , L ; L , ec. (p-t-g-i-r-*-ec.) . i- r 1 t x • * • Li , ec. Siano disuguali Ira loro . In questa ipotesi si faccia T'-HT"-HT"'H-ec.-f-T^^^ = Z^^^ 1 -4-1 -Hi -i-ec.-t-l =^ » (XXIX) ia4 Della. Classificazione delle Curve ec. ec. risultandone, come n«*l { n.° i4)? 2T = Z^^' -f- Z'^**^ H- Z'^*'*^^ -t- ec . ^ T^^^*^*^^- V ec-, 2LT=-(L^^z'^'-HL^^"-^*'^z'^"^*Vec.-^L'^'*^*^^-^T^^"^*^"Vec. 2LT=L^^^Z^^Vl^^*^Z^^^^-+-L 'p-^^-\'^^-'' ^ ec. + (»-Ho-»-r-*-ec .) rTi(/'-*-?-*-''-H ec .) L 1 -f- ec. , 2L^T = -(L3 Z H-L^ 2 -^^3 Z -t-ec.-H , (/)-+-^-*-r-+-ec.)rj,(;?-t-J-t-r-t-ec.) ^ 1 -H ec. ) , ec. 2L T=±(L ^^' Z^^'+ l'^-^-'^Z^^^Vl^^*^*^^ ^(;m-?-) -4- ec. (re— i) ^ (n—i) (n—i) (n— i) Z (/)H-y-t-r-Hec.) (/M-;-»-r-+-ec.) -4- L 1 -t-ec. ); se si vorrà , che in questo caso le quantità Z , Z , (jM-q^r) ^/'(-t-'y-*-r-i-ec.) . L , ec. 1 ec. , elle si contengono nelle pre- cedenti Equazioni (XXIX) , siano di numero n , essendosi già posti uguali allo z«ro gli ulteriori valori di T ; con un discorso perfettamente uguale a quello del ( V. n." i4 ) appli- cato quivi sulle (XXIX) come fu là applicato sulle (XII), tro- veremo in egual modo risultare Z =o, Z =o, Z =0? (/TM-j-t-r-t-ec.) ec. 1 = o, ec; e per conseguenza supposto , 1 , ^(P) Jp-*-'ì) rj'^P-^ì-^'') . j. , ■ I . che le Z , A , Z , ec. siano di numero h ; poiché I valori 1 , ec. risultano di un numero n — « , di- remo, che, poste le precedenti uguaglianze tra i valori di L, gli altri valori di L, che sono disuguali fra loro e dagli accennati^ se sussistono , deggiono essere di un numero >« — h; e mancando essi , si avranno poi le h Equazioni Del Sic. Paolo Ruffini '2,^ T -f- T' -f- r" -I- ec . -1- T^^^ = o , T '^^■^'U T^^*"'^ -4- t'^"'*'' H- ec . -H T ^*'^^' = o , ' ec. 33. SI cercano i valori delle 2/ , 2/ , 2 v , 2/ , ec. ; allorché , restando a costantemente = i , abbiamo uno , o più dei valori di /? fratti . Prima di risolvere questo Problema , converrà che espon- ghiamo alcune proprietà delle radici dell' unità, che sono state da me esposte in una Memoria presentata al R.G. Isti- tuto delle Scienze Lettere ed Arti. i.° Date le due espressioni 2^t . , 2,1* , la prima delle \i } quali rappresenta la somma di tutti i prodotti ad i ad i del- k le k radici dell' Equazione ^ = i ( n." i8 ), e la seconda la somma di tutte le [>otenze lesime siano esse positive, o nega- tive , o z^ro delle radici medesime, sap|)iamo , che quando il numero z, il quale non può essere né negativo, né "> k, sia ^A;; deve essere sempre 2/i . =o , e quando i = A;, de- ve essere 2/^ =/lì' fx' ^"' . . . . (i = it: i , prendendosi il {k) segno superiore , o 1' inferiore , secondocliè k è dispari , o pari . Sappiamo inoltre, che, quando il numero l non é mul- tiplo di ky allora risulta 2^ = e, e quando / ne è multiplo, allora ottienesi 2^ = k. a." Supposto, che le 2^''|i*, 2^"^^% ^^fi-^fi^ft^^uS ec. es- primano le combinazioni per via di moltiplicazione a due a due, a tre a tre, a quattro a quattro, ec. di tutte le potenze aesime, besime, cesime, eesime , ec. delle radici della Equa- k zione ^ = I , dalla Teorica delle Equazioni sappiamo dover essere ? ia6 Della Classificazione delle Curve ec. ec. Dunque j posto ciascuno degli esponenti «^ &, e, e, ec.< ^ , è facile a vedersi pei ( prec. i.") che risulterà 2/i> V = 22^"-^*-*-' 2^>V>'= — ^ .32^''-^*->-«-^« , e in generale che , supposto r il immero degli esponenti e, Z», e, e,/ec. risulterà l^i^^i^li'^'^if ... = ±:i.a.3.4 (r— i) 2(ti<^-'-*-^«-*-''-^/-^ • prendendosi il segno -t-quando rè dispari, il segno — , quando r è pari. Potendo poi la somma a-\-b-^c-^e-¥-f -V- ec. essere multipla di A , e non esserlo ; quindi otterremo in fine nel secondo degli esposti casi ^jj." ^'' f.l'^ ^^ ^if =0, e nel primo I,^''^^{j,''}i'(i^ . . .=:d= I .a . 3 .4 •• •('■— 0^ ( P**^". I.' ) . 3.° Allorché si voglia a=:b,e gli altri numeri c,e^f, ec. si vogliano diversi; dovendo, come si sa dalla Teorica delle Equazioni , il valore di 2^^ (x'^i'^f . . . uguagliare quello, che si è già trovato > diviso per 2; ne se- gue, che dovrà essere f^Vd^'^^^- • • = o , oppure 'St^^'^yL^jx^^J . . =± ' °' •••''"~'. ^ secondochè 2,a-¥-c-^-e -+-/■+■ ec. non è, od e multiplo di k. Così, mentre abbiasi a-=.b ■= e, oppure a-= h ■=. e ■=. e^ ec. , vedremo , che , restando sempre ciascuna delle somme 2 , che risultano, =0, ogniqualvolta Ja somma degli esponenti non sia multipla di k ; ogniqual- volta poi tal somma d'esponenti sia molteplice di A, si avrà 2ftfi/iz fi'^ y __t, i.a.3../r-0t > Del Sic. Paolo Ruffini laj' f _. I.3.3...(r— i)t e cosi di seguito . 4." Poiché si ha |a^*"*"°=^^*X ft* =^"5 apparisce , che, se- si ha l'espressione 2,11* ^''",tt''"'. .., nella quale sia /i'=g'/t-(-a K' = ^'k-^b, K"=.q"k-^c^ ec, sarà ancora 2^*'^f*"^*"' = 2^«°^*^* . . . ; e quindi apparisce, che la supposizione degl esponenti a^ b , e , ec. non >• A comprende ancora tutti gì altri casi, ne' quali tali esponenti si possono supporre >•/; 5.° Ritenuto ciascuno dei precedenti numeri è , e, e, f, ec. •< ^ , e fra loro disuguali , sia il primo a ^ k . Non po- tremo in questo caso porre tostamente il termine 2|U''2|ti*^''^''^A..=o, giacché non si ha 2^i''^2^*=o (preci. °). Avendosi però 2^* = A, 2|U*^''ft*^^ . . . = =;:i .a. 3.. .(r— 2)2^*-^-*-'-^/-* (prec' i .°, a.""), ne verrà 2^*^VW • . . = =t I .a . 3 .'4 . . . ( r — I ) 2|U*-^*-+-<^-<-«-^/-' r;i I .a . 3 . . .(r — a ) X;2|U*'^'''*'*"*"-^"^ • • • , e per conseguenza, se non è la somma è-Hc-f-e -t-/-i- ec. multipla di A, sarà anco- ra in questa ipotesi I,^''ii^fi'^^^f . . . = 0, e se l'accennata som- ma è multipla di k risulterà 2^VV>V- • •=:i=( I .2 .3 .4. . .(r— I )k—i .a.3 ...(r— a)A») = zt(i .2.3.4 • • •('•— I ~k)k) . In questa supposizione se abbiasi inoltre b = e , oppure b = c = e , ec. ovvéro b = c, e =/, ec, pel ( prec 3.° ) ri- sulterà in corrispondenza 2fi*^^VV^ . . . = = ±:-^X i.2.3.4...(/-— a)(7-~i— A)A;, b ,f = =t^X i.a.3.4...(/-_a) (r— I— ^)A, ec 2^*^ff fifi • • • = = =^dX i.a.3.4...(r-a)(r_i-^)A ec. ia8 Della Classificazione delle Curve ec. 6." Per semplicità di scrivere denominiamo dr F^*^) il va- lore della li^i''^}M ^'^if .. .trovato nel ( prec. 5." ) ; e posto a=b=k; e, e,f, ec.--^- . . ==tèX 1 .2.3.4... ('•—3) {r—2—k) {r—\—k)k . Se qui ancora si avesse c=e, oppure c = e=.f, ec; sì otterrebbe il valore delle espressioni 2fi]^ Jìiit'^^ • • -5 2/i^ (.ifi^ . . . ec, dividendo il trovato valore :±z - y. I .a.3.4---('' — 3)(r — a — A)(r — 1 — k) k rispetti- vamente per a , per a . 3 , ec 7.0 Supposto i X i.a.3.4...(r— 3) (r— a— A) (r— i— A;)^=F (0, vogliasi a = b = c = k; e,/,ec. V* •••— pc.),ed essendo 2^V>V ... = 2^iV'^V •'• ( prec. 4.'' ) = 2^f ft'iU-^...,eon un discorso perfettamente u- guale a quello del { prec. 6.° ) vedremo risultarci 2^7^ V'^/ . . . = rt ^(r— I _^) F^('-')i dunque , collocato Del Sic. Paolo Ruffini 129 nel precedente valore di F (') il numero r — i in vece dell' altro r, onde ottenere il valore di F (''"'), ne verrà, 2^^^VV . • .= ±^3X I .a. 3 .4... (/•-4) (r-3-/l) [r-^-k) [r-i-k)k. Questo valore poi dovrà pel (prec. 3.") dividersi per a, per 2.3 ec, se mai si voglia ancora e =/^, e =f^ g , ec. 8.° Con maniere affatto uguali a quelle de' ( prec' 6°, 7.° ) troveremo dover essere 2^I^V--- = =t ^^Xi.a.3.4...(r-5) {r-^-k) {r-3-~k) {r-^-k) X {r—l—k)k , ^mm^ ^^...= ±:^^3^X i.a.3.4...(r— 6)(r— 5— ^)....(r— I— ^)yC'; e in generale, allorché il numero degli esponenti a, b , e, ec. che uguagliano k, è q, il valore della somma S sarà -IIÌ77 X ' •^•3- ('-(^-^-O ) {r-g-k) {r-{q-i)-k) (r- (^-a) (XXX) — k)...{r — I — k)k . g.° Conviene quivi riflettere primieramente che se si vuole g'>r — 2; dovrà essere g=r, affinchè la somma 2 risulti uguale al trovato valore (XXX) . Di fatti se si volesse g =r — i, allora la somma degli r esponenti a-f-Z» -t-c-l-e-H/-(- ... non potrebbe più essere multipla dì k , e quindi per ciò, che si è detto più volte, si avrebbe S = o, e non già S = (XXX). io.° In secondo luogo i fattori i , a, 3, ^, ec. r — (q-i-o,), r — ((/-i-i), r — q, r — {q — i), r — {q — 2) ec. nel numeratore del risultato (XXX) deggiono pel modo , con cui sonosi formati ( prec' a.°, 5.° ec. ) essere tutti positivi, cominciare dallo i , e progredire secondo la serie dei numeri naturali fino al nu- mero r — I . Quindi se mai si vuole per esempio q^r — 3, oppure q z= r — 2, converrà cominciare rispettivamente dai termini r — (//H-a), r — (q-^y), perchè son essi, che nelle sup- posizioni fatte divengono = 1 . Che se si volesse q = r^ Tomo XVIII. R r3o Della Classificazione delle Curve ec' allora non diventando = i c!ie r — [q — i), devonsl trascurare tutti gli anteriori, cominciare dal termine (r — [q — i) — k) , e progiedire innanzi. Sia per esempio r-='j , qz=iZ, ne verrà i: = -t-j^3X x.a.3.(4— ^)(5— A:)(6— A;)A. Sia r=6~q, avremo ^ = - n^o (f-^) (^-^) (3-^0 (4-^) i^-k) k . In generale nel caso di ^=/-, il precedente valore (XXX) diverrà z±z I ^ i a r )'■> '"^ numeratore di que- sta frazione è = =t: k{k—\) {k—2) (A— 3) . . . {k—{r—i )), pren- dendosi il segno -+- , quando r è dispari, il — , quando r è pari . Dunque sostituendo otterremo 2^^^^^ . . /" ^K^-o(^-.)(^-3)...(^-rr-0) ^ Che se si voglia rziz^; allora nel caso die ancora q sia r=r, da quest'ultima formola apparisce,^ che il valore della no- stra somma ^ diviene = i ; nel caso poi ài q = m; a -He c' = m, ovvero = 2/?z 5 2,a"-t-b" = m, ovvero ^ a/rc , e però m — b",o 2.m — b" divisibile esattamente per a ; a'" -l- è'" -H e'" ~i- e" = m , oppure ^=2,m , oppure 3/« ; così ciascuna delle somme aa'"-+- /''"H- e", aa"-»- ab", Sa"' -^-b^'^i/n, ovvero = am, oppure = Sm , e quindi nel primo di questi tre casi Del Sic. Paolo Ruffini i33 m — { b'^-^- e'" ) , o 2/» _ (^.'"-H e" ) , o Zm — ( ^,''' -^ e'" ) , e nel secondo m — ai", o aw — ai", o 3/n — ai" deggiono es- sere rispettivamente divisibili per a; e nel caso terzo do- vranno essere divisibili corrispondentemente per 3 i valori (-) (-) m — i"', o a/ra — i"', o "òm — i"' . Infine i termini , x(7),(f).(f) ,(:)x(-4)x(f)x(ì) . J73 ' ^ .z .à esisteranno soltanto, allorquando sia m divisibile in corrispondenza esattamente per a , per 3 , per 4 • Così in progresso . Sia per esempio w = ^ , ne verrà ^y== 4 X3 _ 8X ( X'X"' -t- ^' \ -4- 8 ( ^' -h- ^—^ \ , 2j^ = X4 — 4X- / X'X'" -»- ^' ) -t- 8X ( ^" -+- ^^ ) „ ^ / X"'X'X"' . X"X"" X'* \ -^4( -^73- -^ -rrr -^ .-34 j ec. Sia in secondo luogo m = 5, otterremo perciò sj = 5X, 2 7_^ = I oX»— 5 ( X' X'"-!- X"X"' ) , 2^3 = ioX3-i5X(X'X'''-+-X"X"') -f. IO /L^^_^L_^_^ X"'X' _^ X'"'X" \ 27^ = 5X4_,5x'(X'X'"-4-X"X"')-H2oX (^^ -+- ^' -t X""X''' X'-'X'' \ i34 Della Classificazione delle Curve ec. X"»x"'» . X'^X" X'^X'» X"'»X' X'-'X'"' 3 /X"X'" DO I a . a ' a.3 ' a.3 ^^ 3.3 ^ 0~ / ' ec. 2.° Sia A 3 a a -+- 2U -4-2U(ec.-t-2Z)-+-ec.-i-2Z)-4-2V,-4-2V (2U-I- ec. -f-2Z)-i-2V(2U -t- 2U ( ec. H- 2Z ) -Hec.H-2Z ) -h (XXXIV) a a 2U-f-2U {ec.4-2Z)-f-2U (ec.H-2Z )-f-ec.-H2Z , 2/ =2Y^-H2Yj2V-t-2U-Hec.-f-5:Z)4-2Y (sV H-sV(sU-Hec.H-2Z) 443 ' a a ^ ' -f-2U -+-SU(ec.-H2Z)-+-ec.-+-5:Z )-<-sY{2V -f- a ^ ' a 3 2V(sU-+-ec.-H2Z)-i-sV(aU-t-sU(ec.-+-2Z)-4-ec.-H2Z)-H 2Uj-+.2:U_^(ec.-i-2Z)-Hec.-t-sU(ec.-4-sZ ) h- ec. -f- sZ^)-f- 2V^-4-2V^(sU-i-ec. -4-2Z)-»-sV (sU -i-2U( ec.-H SZ) H-ec. -t- 2Z )-f-2V(2U H-2U (ec.-f.2Z)H-2U(ec.-»-2Z )-4-ec. -f-2Z J-H 2U-(-2U(ec.H-2Z)-t-2U (ec.-4-2Z)^.2U{ec.-HSZJ-Hec.-t- 4 •' a a 0 4 ec. t36. Della Classificazione delle Curve ec. Ottenute cosi le formole (XXXI), (XXXIII), (XXXIV); si sosti- tuiscano finalmente in luogo delle X , X' , X", ec. i suoi va- lori esistenti nella (XXVII) (n.°3i ), in luogo delle Z', Z", Z", ec. i rispettivi valori (XXXII), e così di seguito, e per tal modo otterremo in tutti i casi la soluzione del proposto Pro- blema ( n.° 33) . 35. Paragonando i valori delle 2y , 2y , ec. ottenuti la nel ( n." prec. ) con i valori — ( — x ■+- - | . ((m-»-2) , (m— a) (m— 2) \ z^-ì-^ X -+■ J. 1, ec. delle Stesse Sr , 2 r , ec. Jm) ^,m) ^im) /' ^ i ■" 2.' ( n.° IO ) , ricaveremo qui pure, come si è fatto nel cit.*^ (n.°io), tante Equazioni tra i coefficienti delle varie potestà della x nel- le precedenti funzioni Y, V, U , ec. Z ed i coefficienti delle podestà medesime nella (III) (n."i ); e facendo in seguito su di queste Equazioni delle riflessioni, come si è praticato nei ( n.' II., 14 ), ritrarremo quanto nel seguente ( n." 36 ). Siccome poi tanto nelle Z, quanto nelle Y, nelle V,ec. i coefficienti delle varie potenze della x vengono espresse con le medesime lettere L, M, N, ec. , e siccome dovremo in- dicare le somme delle combinazioni fra i coefficienti delle Z separatamente dalle combinazioni medesime fra i coefficienti delle Yj V, U, ec; per maggiore semplicità e chiarezza por- remo j che per indicare le accennate somme delle co-mbina- zloni fra i soli coefficienti delle Z si faccia uso del segno 2 , cosicché S N esprime la somma di tutti i coefficien- ti N"j N'";, ec, che esistono nei valori (XXVII) ( n.° 34 ), os- (2) sia nelle Z, e 2 LP esprime la somma di tutti i prodotti fra i coefficienti L, ed i P delle Z, ossia delle (XXVIl) ;, e così degli altri casi . 36. Ricerchiamo ora di determinare le conseguenze, che abbiamo accennate ne! ( n." prec.) in generale^ e Del Sic. Paolo Rurpisr 187 i." SI nl)hia k =..m , ossia succeda il primo dei casi del (ti." 34). Risultando 2j = wX,ed essendo nel tempo stesso (m — I) ((m — i) Jm — 1) \ , ne verrà L' = — _f , (m) ' ma ' w = , e tutti gli altri coefficienti N', P', Q'^ ec. , che dovrebbero esistere nella X (n.° 3 1 ), saranno zero ; onde nel- (m — i) .(to— i) la ipotesi Ol\. k-=.m avremo X = ^ t ^ , . mar 2l° Nella ipotesi medesima, nella quale si vuole , che il primo esponente fratto, che nella serie (1) esiste sulla x, ab- bia per denominatore m , dovrà tale esponente essere /? nel termine Mx , e non potrà esso avere , che uno dei valori m — I m — 2 ^— ?, ec. — . Difatti abbiamo già a := i [n.° "i), eà es- sendo k= m , e però = « ( n.' 18, i5 ), l'esponente /7 pel ( n." a8 ) dovrà avere soltanto uno dei valori ^TlL llZl ec. « ' OTTO — , ~=o. Ora aggiungo non potere nel caso presente essere j9=o; perchè se lo fosse, il primo esponente realmente fratto non sarebbe più /5, ma y =-^ (n.°3o) , ed allora dovendo per la ipo- tesi essere k'=zm, ne verrebbe to=«=A = /=A;' (n.'iig. So), e quindi pei ( 3.°, 4-° n.''3o), il più piccolo valore di ysareb- be lo zeroj ma ciò non può essere, perchè il valore di y non può essere > —, essendo già /? = -^ . Dunque risul- tando assurdo il valore di y corrispondente a /5=o ( 5.° n." 33 ); ne segue, che non potrà neppure essere /3= — =0, e quindi Tomo XVIII. S i38 Della Classificazione delle Curve ec. che /? non può ottenere che uno dei citati valori '^^ , , ec. — . m m Dunque , mentre si vuole k = m , uno per lo meno dei coefficienti L' , L' , L' , ec. L' , nella (XXVII) dovrà es- I a 3 (k—i) ^ ' sere diverso dallo zero; e sfe mai nella (I) si volesse /? non > e, dovrà essere necessariamente k ■<^Tn . 3.° Supposto k<,m, vogliasi, che abbia luogo il a.° dei casi del (n.°34), e che debba essere -j-< — i . Poiché nel va- 4 lore di j, che corrisponde a /? = -^ , la ■ differenza co- stante, con cui vanno decrescendo i successivi esponenti del- la a:, come apparisce dal valore di j, che è esposto nel ( n." 3i . ) , è * ; ne segue , che dovendo essere -^ < — i , il valore piìi grande, che potrà acquistai'e questo esponente ^, sarà — I ^T =-^ — a. Dunque nella (XXVII) dovran- no essere zero tutti i coefficienti L' , L' , L' , ec. L' , M' , M' , M' ec. M' , ed il coefficiente N' . Ora dalla I a 3 (t — I) Equazione Sj=^X-t-2 Z(a.°n.'' Sa) apparisce, che il coefficiente della potenza x in generale è j^N'-t- £ N, e nel caso presen- (Z) te^ per essere N' = o, diventa S 'N, e dall* Equazione 2/ = ({m — i) ,(m— 1)\ ^ r-+- - -I ( n.° 35) ritraesi, come nel (1) ( n.° IO ), dover essere l'esposto coefficiente , e però 2 N =o. Dunque applicando quivi il discorso del (I.n." i^" , ritroveremo Del Sic. Paolo RuFFim i3g qui pure , che i valori di N nelle Z diversi dallo zero , se mai esistono, deggiono essere per lo meno due : questa proprietà per altro esige , che sia ^ < — i ; perchè , altri- (Z) menti, non dovendo essere N'=o, non si avrebbe pìià 2 N=o, (Z) ma bensì AN'-+-S N = o . 4-*' Pebba essere -f- < — a. Il valor più grande per quan-^ to si è detto nel ( prec. 3°), che nel caso presente può ri- cevere ^, essendo — a ^= ~ ■■ — 3; ne viene, che nella (XXVII) deggiono risultare zero tutti i coefficienti L' , I U . L' , ec.L' , M' , M' , M' ec. M' , , N', N' , N' , N' ec. N', , P'. Ora abbiamo 2Y = ytX , 2Y = *i^=^ X» — k (2X^"^X^*V X^~^Xy~^ ) ( I." n.° 34) : dunque per esse- re zero tutti gli accennati coefficienti , e per la natura dello quantità X, X', X", ec. ( n.° 3i ), la massima potenza negati- —3 va della x, che entra nella 2Y sarà ìa x , e la massima negativa, che entra nella 2Y , e nel prodotto 2 Y2Z sarà la x^'y ma pel(a.°n.°34) »» ha 2/ = 2Y-+-2Z, 2/ =r2Y 2Y-f-2Z-4-2Z^; dunque se nel valore della 2/ si vuole , che entrino le por- tenze x~' , a:~* , e nella 2/ la x~' , queste non potranno — a essere somministrate , che dalle 2Z, 2Z , e somministrata a _i (Z) —a (Z) per conseguenza pei (n.' IO, 3a) nei termini « 2 N,ic 2 P, — 1 (Z) X 2 (LP-+-MN): ma per essere queste potenze negative, e per ilo Della Classificazione delle Curve ec. ( 11." 35 ), come nel (cit.n.° io), si trova dover ^,m) I essere 2^^N = o, S^^V = o, s'^'( LP -+- MN ) = o. Dunque se mai si voglia, che tutti i valori di N nelle (XXXII) siano zero; nel modo medesimo del (a.* II. n." i4 ) troveremo, che i valori di P nelle stesse (XXXII) o saranno di un numero maggiore del due , o non ne esisterà alcuno. Che se non fosse -?-< — aj allora potendo sussistere uno, o più dei sovra esposti coeffi- cienti della (XXVII), il precedente discorso non avrà più luo- go, e quindi non si verificherà il Teorema ora esposto. 5.° Si richiegga "r- < — 3 . Il valore più grande, che può in questo caso ottenere -|-, essendo — 3 —■= ~ — 4» saranno nella (XXVII) zero tutti i coefficienti L' ^ L'^, L'^ , ec. L\ , M' , M' , M' ec. M' . N', N' , N' , N' , (k—i) I a 3 (ic—i) I a . a ,, ec. N' , P', P' ,P' ,P' , ec.P' ,Q'. Dunque la massi- (k—i) I a 3 («—I) ma potenza negativa della x, che esiste nella SY sarà la X , la massima negativa della :c, che si contiene nelle 2Y^ , 2Y2Z, sarà la x"^, e la massima negativa della stessa x nelle 2Y , SY SZ , 2Y2Z sarà la ar ; e per conseguenza le potenze • ^ 9 'P ' "''^- "' "^''^ ■''' '1. ■;■?••' •• X , X , X nel valore della 2/, le a; , x nel valore della 2/ , e la X-' nel valore della 2r , dalle (XXXIII) apparisce, che nel nostro caso non possono essere somministrate , che dalle 2Z,2Z , 2Z , e quindi, che i termini, nei quali esse si Del Sic. Paolo Ruffini i4i contengono, pei ( n} 3a, io ) non possono essere , ohe i seguenti ar"'s^^^N,x~''2^^*P, x~^^^^Q_ nel valore della 2/, x~'2^^\lP-hMN), a^'^^s'^^LQ-t-MP-f-NJ nel valore della S/^, X '^ (L Q-+-LMP-hM^N) nel valore della 2/ ; ma essendo queste potenze negative ; a cagione dei valori delle 2/, 2/ , 2/ , che si sono accennati nei ( n/ io, Sa ), trovasi dover esser ciascuno dei loro coefficienti =o. Dunque allorché si supponga, che nelle (XXXII) ciascuno dei valori di N, e ciascuno dei valori di P sia zero; risultandoci le tre Equa- zioni 2 Q = o, 2 LQ = o 2 LQ=o, con un discorso perfettamente uguale a quello del ( III. n.° i4 ) vedremo che i valori di Q appartenenti alle Z ^ se non sono tutti zero, deggiono essere necessariamente più di tre . Peraltro come nei ( prec.' 3.°, 4-° ) si vedrà ^ che questa Proposizione non potrà più asserirsi in generale , allorché non sia ^ "^ — ^ • 6.° Nella supposizione, che sia j- ~k~i^^- ed alle serie rispettive quanto si è ivi detto relativamente alla -^ » ed alla serie corrispondente. (■ . i V ^1.: V o n * i43 DEL GIRO DI UN NUMERO QUALUNQUE DI COSE ASSOGGETTATE A CONTINUE PERMUTAZIONI DIPENDENTI DA LEGGI UNIFORMI MEMORIA Del Sic. Conte Giovanni Paradisi Ricevuta li a8 Ottobre 1816. Oebbene solo frutto della presente ricerca sia quello di ap- pagare la curiosità, mi sono non di meno risoluto di pub- blicarla , perchè serve a svelare alcune proprietà delle per- mutazioni, che nessuno, per quanto io ne so, ha preso per anche ad esaminare , e perchè nella materia delle scienze non v' è trovato alcuno cosi sterile in apparenza , che col crescersi del tempo e delle cognizioni non possa divenire avvantaggioso e fecondo . ARTICOLO I. Dell' ordine primitivo delle leggi d' alterazione , del modo più semplice di rappresentare le condizioni di questo genere di Problemi. e I. Il Problema del quale intendo di occuparmi si è il Sfinente . Sieno molte cose A, B, C, D, E, ec. disposte in un ordine qualunque conosciuto. Quest'ordine si alteri con una legge di permutazione qualunque una prima volta. E la nuova disposizione, che acquisteranno si alteri una seconda volta, ma colla stessa legge di prima . Indi si replichi la stessa altera- zione una terza, una quarta, una quinta volta ec. sulle varie i44 Del Gino DI UN numero qualunque di cose ec. disposizioni che le prefate cose andranno via via acquistando, e sempre mai con quella legge medesima di permutazione ; ed anzi una tale operazione si ripeta indefinitamente. Io mi propongo di far conoscere il giro di ciascuna, e di tutte quel- le cose , continuato quanto si vorrà . a. Affine che le idee acquistino tutta la chiarezza, e la precisione possibile, occupiamoci di stabilire un modo facile di esprimere quell' ordine , che si vorrà supporre che le co- se abbiano da principio ^ e che d'ora innanzi chiameremo ordine primitivo , Rappresentiamo dunque co' numeri roma- ni IjIIjIIIjIV, ec. la serie de' posti ne' quali le cose do- vranno tiovarsi collocate . Poscia di contro ai medesimi (Tav." I." ) notiamo le cose secondo quella disposizione, che vorre- mo loro attribuire da principio . Per tal modo noi formere- mo una doppia colonna di numeri e di lettere che ci darà una idea esattissima della collocazione delle cose da principio . Per esempio la colonna O ci esprimerà che da principio la cosa A debbe stare in primo posto , la 6 in secondo, la C in terzo , la D in quarto , la E in quinto : e la colonna O' ci indicherà che da principio C debb' essere in 1°, A in II , E in III", D in IV°,e B in V posto . Fermiamo dunque nella mente che quelle colonne O, 0', sono ciò che in avve- nire chiameremo ordine primitivo delle cose A, B, G, D, E, ec, e che ordine primitivo non vuol dir altro che la distri- buzione de' posti che si vorrà assegnare alle cose prima che s' incomincino a far girare . Ghiaraeremo poi 1' ordine O in cui le lettere si succedono secondo la regola dell' alfabeto , ordine primitivo naturale , per distinguerlo da qualunque altro O', ove una cosi fatta circostanza non ha luogo . 3. Rivolgiamoci addesso ad indagare anche il modo di esprimere quella Legge, che debbe proporsi in ogni problema per regolare la prima , e tutte le altre alterazioni che occorrerà di fare successivamente nella distribuzione delle cose , e che noi chiameremo in avvenire Legge d' alterazione . Ora egli è manifesto , che si avrà una idea adeguata della medesima , Del Sic. Conte Giovanni Paradisi i^Ó se si saprà quale sia stato ii cangiamento di posto che avran- no subito le cose dopo la prima alterazione . Imperciocché supponendosi per ora che la legge di alterazione rimanghi sempre la medesima , conosciuta che sia una volta , per a- dempiila nelle successive alterazioni , non si avrà che a re- plicarne l'effetto similmente nelle successive distribuzioni di cose che andranno nascendo . Così se 1' ordine primitivo era O, e se dopo la prima alterazione ne è risultato 1' ordine espresso dalla colonna P ( Tav." 2." ) questa colonna indi- cherà la legge d' alterazione da seguirsi per produrre tutte le diverse distribuzioni delle cose che si terran dietro im- mediatamente r una all' altra . Imperciocché considerando attentamente la prefata colonna P, ne inferiremo che la Leg- ge di alterazione è generalmente tale . I. \ III. --,, I II. La cosa che pri- / I. Che venga f l III. ma era situata \ V. IV. nel luogo 1 II. V. j IV. nel luogo E conosciuto questo vedremo che la distribuzione che risul- terà per una seconda alterazione sarà quella indicata dalla colonna Q, e che la colonna R indicherà la distribuzione che nascerà dopo la terza alterazione ec. Cosicché ricorrendo sem- pre alla Legge P troveremo il modo di formare egualmente tutte le altre colonne . L'esempio che ci siamo proposti or ora, essendo sem- plicissimo, anche i meno esperti troveranno poca difficoltà a continuare le colonne R. S. ec. quanto sarà loro in grado . Ma s'avrebbe a superare grandi impicci, e fastidi se una si fatta operazione dovesse eseguirsi sopra un gran numero di cose, con leggi d'alterazioni complicate, e per molte colonne. Tomo XVIII. T ìi\G Del Giro ni un numero qualunque di cose ec. Per la qual cosa affine che nessuno se ne sfornenti cre- diamo a proposito di avvertire che più abbasso troveremo' un modo spedito e facile di comporre di più maniere tutte le colonne delle successive alterazioni , senza pericolo di com- mettere errori , ove si adopri una mediocre attenzione . 4. Premesse queste convenzioni se ci verranno dunque presentate le due Tav. 3." e 4-" conosceremo a dirittura , che desse esprimono entrambe i dati necessarj per formarne due problemi distinti, e che O, e P sono V ordine primitivo e la legge d' alterazione de! primo; essendo O', e P' 1' ordine primitivo e la legge d'alterazione del secondo. Ma se ci faremo nel proposto caso ad esaminare più at- tentamente le leggi di alterazione P, P', confrontandole in- sieme troveremo che entrambe sotto differente aspetto con- tengono le medesime condizioni importando tanto 1' una che r altra SI. \ 3." II. venga la cosa / 5.° III. che avanti > 4-° IV. era nel luogo V a.° V. ) i° Entrambi questi problemi hanno adunque comune la stessa legge di alterazione . Il giro quindi delle cose A , B, C^ D^ E, della Tav." i .* sarà perfettamente simile a quello delle cose D, C, A^E, B, della Tav. a. <* Tutta la differenza fra l'un pro- blema e l'altro consisterà in questo, che i giri che nel pri- mo appartengono alle cose A, B, C, D, E, nel secondo ap- parterranno rispettivamente alle cose D, G,, A, E, B . Ma la natura della presente ricerca nella quale ci pro- poniamo unicamente di tener dietro al giro delle cose non Ila, generalmente parlando, bisogno di por mente alla qua- lità delle cose stesse, che nelle successive alterazioni si van- no movendo . Imperciocché , purché la cosa che è per esempio Dr.L Sic. Conte Giovanni Paradisi 1^7 in primo luogo faccia sempre un tal giro , nulla fa che sia dessa piuttosto la A , che la B j o qualunque altra . Ora se ci è lecito di prescindere dalla qualità delle co- se , l'uno e r altro problema essendo assoggettati alla stessa legge P, ovvero P', non saranno per noi che un solo^ e me- desimo quesito , e la regola che troveremo per isciogliere uno di essi sarà la medesima che dovrà adoperarsi per iscio- gliere il secondo . Se ci verrà dunque proposto il problema della Tav.''4-'* noi potremo cangiarlo in quello della Tav. i ." , che atteso r ordine naturale, in cui sono collocate le lettere A, B, C, D, E, neir ordine primitivo viene rappresentato più semplicemente . E in generale comprenderemo eziandio , che ogni qualvolta ci verrà proposto un ordine primitivo in culle lettere non siano disposte secondo l'ordine alfabetico, noi saremo liberi di rimettervele purché abbiamo 1' avver- tenza di fare contemporaneamente nella legge d' alterazione quel cangiamento che sarà necessario perchè esprima pel nuovo ordine primitivo quelle stesse condizioni che il pro- blema aveva prefinito riguardo all' ordine primitivo proposto da principio . 5. Questa trasformazione nell' ordine primitivo non ha in se stessa alcuna difficoltà fuori di quella che può nascere talora da una soverchia quantità di lettere, la quale ov'ab- bia luogo, può facilmente produrre della confusione e facili- tar la strada agli errori. Onde allontanarne il pericolo è del nostro istituto di mostrare in questo luogo una regola facile e piana di eseguirla. Sia l'esempio della Tav-^S.^^ e vogliasi applicare la legge P ad un ordine naturale, senza che si al- terino le sue condizioni. Tra le colonne O , e P si scriveranno nell' ordine dato, cioè nel naturale, tante lettere minuscole a, b, e, d, e, ec. quante sono le grandi D, G, A, E, B ec. cui si pongono di contro; indi si stabiliranno le equazioni D = a, G=b, K-:=c ec. come si vede nella Tavola 5'* , e finalmente di contro la t4B Del Giro di un numero qualunque or cose ec. C, E, D ec. della colonna P posti i loro valori ricavati (!al- le equazioni precedenti si otterranno due colonne di lettere minuscole, che indicheranno la nuova legge che si cerca c- quivalente alla prima proposta, la quale potrà ridursi di nuo- vo , se piaccia in lettere majuscole come si vede eseguito nella Tav.'' G." Ognuno si accorgerà facilmente , che se sì trattasse di applicare una legge qualunque secondo un cert' ordine, ad un altr' ordine diverso, ancorché non naturale, il metodo in- dicato testé sarebhe egualmente buono . 6. Conformemente a questi principii ci sarà dunque le- cito di qui innanzi di supporre che tutti gli ordini primitivi ci vengano assegnati di tal maniera, che la cosa A sia sempre nel posto I , la B nel II , la C nel III ec. Conciossiacliè o tali saranno effettivamente i posti attribuiti a quelle cose nel problema; ose non lo sono potremo sempre ricondurve- le facendo quella mutazione nella legge di alterazione, che abbiamo mostrata di sopra . Di tal maniera le proposizioni dei problemi si ridurranno ad essere più semplici ed uniformi. Anzi perchè potendo noi prescindere dalla qualità delle cose, nulla e* interessa pii\ , che di conoscerne il numero, ommetteremo d' ora innanzi di contrassegnarle colle lettere A, B, C, ec, ma ci serviremo invece, per notarle dello stesso numero del posto che occupano nell'ordine primitivo, che scriveremo con cifre arabiche . Neil' ordine naturale i numeri r, a, 3, ec. vorranno dunque dire la cosa che oc- cupa il posto I, quella che occupa il II , quella che occupa il III, qualunque esse si siano e senza neppur curarci di co- noscerle . E per questo modo ci procureremo l'avvantaggio di avere a nostra disposizione un numero indefinito di segni atti a denotar le cose, che ci gioverà moltissimo massime in que* problemi più complicati ove le lettere dell' alfabeto sa- rebbero riuscite troppo scarse per denominare una grandissi- ma quantità di cose . 7. Per l'avvenire adunque la esposizione di un problema Del Sic. Conte Giovanni Paradisi i^n si farà da noi con due colonne O, e P ( Tav." 7." ): in- dicando colla prima V ordine primitivo , e coli' altra la leg- ge di alterazione . Ma per le cose convenute sin qui 1' ordi- ne primitivo O sarà composto di due colonne verticali una /? di numeri romani, l'altra e di cifre, nelle quali i numeri dello stesso valore in entrambi i caratteri si corrisponderanno sempre orizzontalmente . Ma cosi facendo noi ci obbligherem- mo ad un raddoppiamento di scrittura , che si potrà rispar- miare, purché si sottintenda che il numero del posto abbia sempre da essere lo stesso che quello che nella colonna e indica la cosa . Attenendoci dunque ad una tal regola l'espo- sizione del problema che si contiene nella Tav.** 7." si can- gerà in quella contenuta dalla Tav." 8."* col risparmio de' nu- meri romani della colonna /? . Né vi sarà pericolo che per simile compendio scemi punto la precisione della proposizio- ne . Imperciocché data la Tavola 8.* si saprà subito che eoa quella si propone di determinare il giro di una serie di cin- que cose, le quali disposte prima ne' posti indicati dal loro numero j si debbono traslocare tante volte quante si vuole con questa legge di alterazione che ogni volta \ i." ) ^-^ venga i a.° la cosa che , 1 4-° nel S 3." prima era > 2.° posto \ , 4-° "®^ posto 1 5.° 1 ' 5.0 j i.° In questa guisa i numeri romani non abbisognando più per indicare i posti ci diverranno utilissimi per denotare i nu- meri della colonna, le quali tavolta possono moltiplicarsi in maniera, che mancherebbero i segni per distinguerle, ove lossimo costretti a prevalersi delle lettere . Solamente potrebbe addivenire che incontrandosi una cifra , non si sapesse più distinguere se per essa venisse tSo Del Giro Di un numero qualunque di cose ec. indicato un posto, ovvero una cosa . Per distruggere quest'e- (juivoco troviamo opportuno di convenire che d' ora in avan- ti ogni cifra si scriva al modo solito, quando rappresenta il numero di una cosa ; ma quando poi rappresenta il numero di un posto debba circondarsi con due parentesi . Secondo questo patto la cifra 5 vorrà dire la. cosa quinta e (5) si do- vrà \e.ggf.re posto quinto. Così avremo l'avvantaggio di evi- tare spesso la soverchia repetizione dei vocaboli cosa e posto. Quello che diciamo delle cifre dovrà pure intendersi delle lettere, quando ce ne avremo a valere invece dello cifre per rendere più generali i nostri ragionamenti. Cosi dun(Jue b vorrà dire la cosa ^"""^ ed (a) il posto a*"'"". In tale accordo i numeri della colonna 0 egualmente che quelli delle P,Q,R,S, (Tav/g.") rappresentano le diverse cose. Ma per un privi- legio speciale i numeri della 0 nel medesimo tempo rappre- sentano anche i posti che le cose occupano in tutte le co- lonne . Così p. e. il n.° 4- della O mostra che la cosa 4-''^ ^ in essa nel quarto posto, ma indica eziandio che anche tut- te le cose 5 , i , 3 , a , collocate nella stessa fila orizzontale occujiano il quarto posto delle colonne P,Q,R,S, rispetti- vamente . I numeri dunque della colonna O prestano un doppio ufficio : e siccome il più ripetuto dei due si è quello di di- stinguere i posti, noi preferiremo di scriverli colla distinzione addottata chiudendoli cioè tra parentesi . Servendo a tutte le convenzioni proposte in questo paragrafo la Tav-'^g." sarà dunque da riformarsi e da scriversi come si vede eseguito nella Tav ."io." 8. Ma se 1' ordine primitivo a cui viene applicata la legge d'alterazione non fosse naturale, siccome accade nel problema accennato dalla Tav." 1 1 ." , non sarebbe allora più vero che ogni cifra della colonna e esprimesse contempora- neamente e il numero del posto, e quello della cosa che tiene occupato . In questo caso ed in tutti i somiglianti non può dunque aver più luogo il modo compendioso di annun- ciare ì problemi, che abbiamo adottato per gli altri casi ove Del Sic. Conte Giovanni Paradisi iSr la leg^e viene applicata ad un ordine primitivo naturale. Per conseguenza se mai avverrà, che non ci sia lecito di eseguire la trasformazione del 5- 5., noi dovremo lasciar stare le convenzio- ni del paragrafo presente, ritornare alla maniera primordiale di scrivere , formando dell'ordine primitivo due colonne, unap di posti , e l'altra e di cose , come si vede nella Tav." 1 1 ."^ nella quale le cifre tra parentesi indicheranno solamente i posti . 9. Ove dunque nessun impedimento ci ritenga dal por- re in opera le regole convenute, avremo sempre in pronto un modo semplicissimo di esporre per iscritto la posizione di un qualunque pri^blema del genere che trattiamo. E noi pre- feriremo nel decorso di queste ricerche di esporre ogni pro- blema dicendo semplicemente : sia il Problema indicato dal- la Tavola . . . ., anziché di perderci ad ispiegarne ad una ad una le condizioni colle parole. Avvegnaché, non si può generalmente parlando spiegare una legge di alterazione sen- za nominare ad uno ad uno tutti i posti e tutte le cose del- le quali si cerca il giro : onde se ve ne sia molto numero il discorso può divenire prolisso e complicato da stancare qua- lunque pazienza. È ben vero per altro che fra le tante leggi dì alterazione che si possono proporre per una certa serie di cose, se ne incontrano talora delle regolari, che possono, anche parlando, descriversi brevemente . Tale sarebbe per mò d' esempio il problema della Tav.* la.* la cui legge d' alterazione potreb- be enunciarsi cosi . Che tutte le cose poste nei luoghi dispari abbiano a discen- dere ne' pari immediatamente inferiori: e che tutte le cose poste ne' luoghi pari abbiano ad ascendere nei dispari immediata- mente superiori . E tale sarebbe pur l'altro problema della Tav.* iS."* di cui si spiegherebbe la legge d' alterazione brevemente cosi Che tutte le cose abbiano a discendere nel posto immedia- tamente inferiore portandosi poi l'ultima cosa in primo posto. la entrambi questi problemi , qualunque sia per essere i5a Del Giro di un nCmero qualùnque di cose ec. il numero delle cose la legge d' alterazione si potrà sempre esprimere cogli stessi vocaboli speditamente . Ma queste leg- gi regolari sono pochissime sempre mai a fronte di tutte quell'altre bizzarrissinie , e lontane da ogni regola, che per un dato numero di cose potranno immaginarsi . Laonde es- sendoci proposti di considerare il problema in tutta la sua generalità, varrà assai meglio che ne cerchiamo la risoluzio- ne per questi casi bizzarri ed indipendenti da ogni regola , anzi che per quegli altri , le cui leggi d'alterazioni sono sem- plici ed uniformi . Così facendo le nostre risoluzioni potran- no di leggieri accomodarsi ai casi più faq)li, laddove dalia risoluzione di questi ultimi nessun frutto si ricaverebbe poi per que' primi più difficili e complicati . IO. Del resto col precedente discorso non si vuol già contendere , che non si potesse con certe cautele riuscire ad esprimere 1' andamento di una qualunque legge d' alterazio- ne col mezzo di formolo algebraiche . Anzi ne' casi partico- lari si potrebbe ciascuna volta trovare il modo di assegnare certe funzioni aritmetiche, che, sviluppate con una data nor- ma , producessero quella stessa serie di cifre che compones- se la legge di alterazione prescritta in quella circostanza . Ma vi vuol poco ad accorgersi che e nelle formole algebrai- che, e nelle accennate funzioni, i termini e le cifre andreb- bero crescendo in proporzione delle cose che si prendessero a contemplare nei diversi problemi , e che quindi le formole dell'uno e dell'altro genere diverrebbero il più spesso prolisse e complicate a segno da non potersene valere che con grande difficoltà . Né per altra parte si potrebbe sperare col loro mezzo di sciogliere il problema che ci siam proposti, più spe- ditamente e più generalmente che co' metodi che siamo per esporre . Ogni studio dunque che spendessimo per rintraccia- re le formole accenate riuscirebbe di poco o di nessun pro- fitto, e qnindi giudichiamo spediente cosa di procedere in- nanzi senza occuparcene di più . Dbl Sic. Conte Giovanni Paradisi i53 ARTICOLO IL Proprietà generale delle leggi di alterazione. II. Accordatici sul modo di stabilire la posizione di un qualunque problema , per fare un passo che ci accosti a ri- solverlo , prendiamo ad esame 1' indole che aver debbono le leggi tutte di alterazione , che immaginar si possano . In ge- nerale data una serie di cose i, a, 3, ^, . . . e disposte se- condo r ordine naturale dei numeri , una legge qualunque d' alterazione non è altro che una nuova disposizione che s'induce a que' numeri medesimi rappresentanti le cose, ov- vero , ciò che vale lo stesso , una permutazione che si fa nell'ordine di que' numeri. Tante sono dunque le leggi di alterazione che si possono immaginare per le cose i , a , 3 , .... e quante sono le permutazioni differenti dalla dispo- sizione I , a, 3, . . . .e, che si potranno indurre nelle me- desime . Ma tutte le possibili permutazioni di un numero e di cose ascendono alla quantità i X2,X3x4''-Xc. Dun- que tutte le permutazioni differenti dal primo ordine che avevan le cose , ossia tutte le leggi d'alterazione immaginabili per esse sono di numero c{c — i)(c — a)...3.a.i — i. la. Fingiamo adesso che ci venga proposto un ordine primitivo 0 , che per la chiarezza di ciò che siamo per di- re torneremo questa volta a scrivere in due colonne, nna p di posti e r altra e di cose^ le quali intenderemo che siano fi- nite di numero . Poscia fra le tante leggi di alterazione che possono immaginarsi scegliamone una P per 1' applicazione successiva ed ordinata della quale nasca, comprendendovi l'ordine primitivo ancora, una serie di colonne, che indi- cheremo questa volta non coi numeri romani ma colie lette- re e, Pj Q, R, S, T ( Tav." ì^.'^ ) ; e finalmente supponiamo che dopo la colonna Tj si tórni ad ottenere una delle co- lonne già ottenute, p. e. la Q . Tomo XVIIJ. V iS4 Del Giro di un numero qualunque m cose ec. In questo caso si sarà ottenuta dunque la Q di due ma- niere . Una volta alterando la colonna P, ed un'altra la T colla stessa legge P. Ma Q è la medesima in entrambi i ca- si ed è pur la medesima la legge : dunque convien conclu- dere che la colonna T è identica colla P , e che la nostra serie non è già c^ P , Q , R , S , T ( Tav.'^ i^." ) ma bensì e, P, Q, R, S, P, Q ( Tav.- i5.» ) . Ma similmente si è ottenuto P, alterando la prima vol- ta e : e poi si ottiene dopo alterando S colla stessa legge; dunque sono le stesse anche le colonne e ed S , e la nostra se- rie non è neppure e, P, Q, R, S, P, Q, come l'abbiam sup- posta (Tav." 15.") masibbene e, P, Q, R, e, P, Q, (Tav." ló.'^ ) . È poi manifesto che se questa serie si vorrà continuare ulteriormente, mantenendo sempre la stessa legge, dall'ulti- ma colonna Q dovrà nascerne un' altra volta la colonna R , e dalla R di nuovo la e, indi di nuovo la P , la Q , la R, ec. Cosicché seguitando s' abbia a rinnovare sempre il perio- do delle prime colonne e, P, Q, R, e ciò quante volte ci piacerà . E non vi può essere poi difficoltà a concepire che questo discorso si potrà sempre applicare egualmente a qua- lunque altro caso, nel quale siccome in questo una qualche volta si rinnovi una delle colonne . Rimane dunc[ue generalmente dimostrato che non può darsi nessuna legge d' alterazione che faccia rinnovare una qualunque colonna , senza che faccia rinnovare egualmente anche tutte le altre, producendo una serie indefinita delle medesime , composta di periodi di colonne tutti perfettamen- te eguali tra loro ed egualmente disposti . Ora le colonne e, P, Q, Pt, S, T, ec. non sono altro che altrettante permutazioni che s'inducono nelle cose con- tenute nella colonna e, le quali sono per la supposizione fi- nite di numero . Dunque debbono esser finite anche le per- mutazioni che se ne possono fare . Dunque se in un dato problema qualunque si trovino prima le colonne e, P, Q,R, S,T e si prosegua a cercarne delle altre indefinitamente, sarà Del Sic. Conte Giovanni Paradisi i55 indispensabile che una qualche volta si ricada in una delle già trovate, e ciò sarà vero qualunque sia la legge d' alte- razione , che sarà stata proposta . Dunque il ricadérsi in una colonna eguale ad una delle già trovate, non è l'effetto di una legge di alterazione par- ticolare, come avevamo supposto da principio, ma sibbene una proprietà inerente ad ogni legge di alterazione qualun- que . Per conseguenza sotto qualsivoglia legge d' alterazione la serie delle colonne che si otterrà , sarà sempre il comples- so di tanti periodi di colonne tutte eguali , ed egualmente disposte , 1' une rispetto all' altre, i quali si succederanno senza interruzione un dopo l'altro indefinitamente. i3.Il Teorema che ci è riuscito di scnoprire varrà mol- tissimo ad abbreviar la strada che ne rimane per venir a termine della nostra ricerca . Conciossiachè proposto essen- doci di determinare il giro che debbe accadere nelle cose e per una qualunque quantità di alterazioni eseguite secondo una data legge P ; ed essendoci già renduti sicuri che I' or- dine delle colonne e, P,Q,R,S, T ec. dopo un certo nu- mero delle medesime si rinnova di necessità sempre identi- camente a se medesimo, e ciò indefinitamente ^ apparisce a dirittura, che noi avremo conseguito il nostro scopo^ se sa- rem giunti a definire soltanto il giro delle cose , che dovrà succedere nel primo di tutti i periodi prefati . Avvegnaché quando lo avremo conosciuto, per iscorgerne il proseguimen- to ulteriore non avremo più che a replicarlo di mano in ma- no due 5 tre , e quante volte farà di mestieri per esaurire quel numero di alterazioni, che ci sarà stato prefinito nella proposizion del problema . i56 Del Ciro di un numero qualunque di cose ec. ARTICOLO III. Del modo dì determinare il giro delle cose ne'varj problemi , e dì risolvere alcuni quesiti analoghi allo stesso. i4- Poiché dunque tutta l'importanza maggiore consiste neir arrivar a conoscere il giro che fanno le cose nel primo ])eriodo delle colonne, dopo che si sono dipartite dalla O, sino a che vi siano ritornate , occupiamoci senza indugio di considerarlo . E se le cose saranno scarse di numero non ci si faran contro grandi difficoltà . Proposti difatti l'ordine primitivo O, e la legge P(che per amor di chiarezza scriveremo ancora secondo il primo metodo ) si giugnerà facilmente in questo caso particolare a veder che le colonne, che resultano per effetto di essa deh- bono appunto essere le P, Q, R, S, O, quali sono descrit- te nella Tav." 17.", e che riavutasi la O tornerà sempre a re- plicarsi il loro periodo nello stesso ordine della prima vol- ta j per quanto piacerà di continuare nelle alterazioni . Ma Io studio che si sarà posto a formar le prefate colonne in un esempio così semplice ci farà accorti che molto sarebbe il pericolo di errare, e grave la fatica da superarsi, se non si trovasse un metodo più spediente per determinarle, massime in que' casi ove la quantità delle cose fosse considerevole . Affine pertanto di avviarci a ritrovarle riprendiamo sot- t' occhio lo stesso ordine O, e la stessa legge P, e cerchia- mo , come si possano trovare tutti i posti che la cosa i . oc- cuperà nelle colonne P, Q, R, S, V, ( Tav." 18." ) deducen- doli immediatamente dalla legge P, e senza bisogno di tra- scrivere come sopra le diverse colonne . E quanto al posto che la cosa i. avrà nella colonna P, essendo già data la stessa perchè serva di legge , non vi sarà da far altro che da leggervi che la i . debba occuparvi il posto II , notandolo Del Sic. Conte Giovanni Paradisi 1^7 come il primo che dovrà tenere subito dopo che si sarà par* tita da O. Ma dove andrà poi nella seguente colonna Q ? Per rispondere osserviamo che quando la i . sta per pas- sare iu Q essa già si ritrova nel posto II . Sarà dunque ne- cessario che essa ottenga in Q quel posto , che per la data legge la cosa a. debbe acquistare in una alterazione . Ma la a. per la legge P debbe passare in IV. La i. dovrà dunque nella colonna Q ottenere il posto IV. Collo stesso discorso concluderemo che essendo la cosa I. nel posto IV. quando sta per passare in R, essa dovrà ot- tenervi il posto che la 4- ottiene in una alterazione cioè il V., e che nella colonna S debbe guadagnare quel posto che in un'alterazione guadagna la cosa 5 , cioè il III, e finalmen- te che nella T la i . tornerà al posto che aveva in O cioè al I. Cosicché il giro totale della cosa i. dopo che si sarà partita dalla O sarà stato necessariamente pei posti II , IV , V, III, I, giro che si rinnoverà poi sempre coli' ordine me- desimo in appresso indefinitamente . E non v' è alcun dub- bio, che se le cose state fossero assai dippiù, non avessimo trovato nello stesso modo il giro di una qualunque delle co- se assegnate nel problema . i5. Ma il discorso che abbiamo dovuto fare sarebbe an- ch' esso soverchiamente prolisso se dovessimo ripeterlo ogni volta . Ma per fortuna saremo sempre in grado di compen- diarlo moltissimo, riducendolo ad operazione. Per veder co- me ciò si faccia scriviamo (Tav." 19.*) la stessa posizione di problema che nel §. precedente , non più come abbiamo fat- to, ma secondo il convenuto del §. 7. Ciò fatto per conosce* re il giro della cosa i. si operi come segue : (4) m C 11 Primo Secondo Terzo Quarto Quinto 81 trovi in P la cosa I. a. 4. 5. 3. e SI noti posto (5) (3) (0 che in 0 gli sta di contro i58 Del Gino di un numero qualunque di cose ec. Di questa maniera facilissima che s' imparerà a colpo d'occhio troveremo i numeri (a), (4), (5), (3), (i),che come si vede sono gli stessi per ogni riguardo di valore e di col- locazione che gii altri II, IV, V, III, I, che sopra abbiam veduto indicare i posti che successivamente occuperà la co- sa I. nelle colonne P, Q, R, S, ec. L' operazione ridotta a questo grado di semplicità e di uniformità potrà adesso applicarsi senza studio, e quasi sen- za pericolo di errore anche ad un numero grande di cose. E se ora col metodo insegnato vorremo cercare per lo stesso problema che abbiam per le mani il giro ancora del- l'altre cose a, 3, 4» 5^ formeremo facilmente la Tav." ao." che descrive tutti questi giri . i6. Eccoci dunque pervenuti a conoscere il giro che nel problema propostoci fanno tutte le cose nel primo periodo delle colonne . Ma la tavola che ce Io rappresenta varrà e- ziandio ad insegnarci un* altra proprietà interessantissima di questo genere di permutazioni, e si è quella che trovato il giro di una delie cose può sempre da questo inferirsene a dirittura quello di tutte le altre senza bisogno di replicare per ciascuna cosa V operazione insegnata precedentemente . E in realtà si ponga mente che il giro della a si è (4)» (5), (3), (i), (a), e che quest'ordine di cifre resulta dalla fi- la A , purché s' incomincino in essa a scrivere immediata- mente i numeri dopo il (a), e si torni a capo sino a che si arrivi al (a) inclusive : e similmente si osservi che essendo (i), (a)j (4), (5), (3), il giro della 3 ; questo giro medesimo può ricavarsi dalla fila A scrivendo per ordine le cose che si succedono dopo il (3) sino che si arrivi tornando da capo al (3) inclusive ; e lo stesso si verifichi parimente del giro del- l' altre cose che rimangono . E fatto questo se ne concluda la maniera di derivare dalla sola fila A tutte le altre file B, C, D, E ec. Si osservi dippiù che non è già necessario per determi- nare tutti questi giri di cose, di ricorrere esclusivamente alla Del Sic. Conte Giovanni Paradisi iSq fila A, ma che qualunque altra B, C, D, ec. che si abbia^ presterà egualmente il comodo istesso . Cosi p. e. dalla G potrà ricavarsi il giro della i , scrivendo le cifre (a), (4), (5), (3), (i),che dopo r(i) si succedono, tornando a capo al so- lito, e dalla fila E si ricaverà il giro della cosa 4- scrivendo le cifre (5)^ (3), (i), (a), (4), colla regola medesima. 17. La Tav." ao." del §. i4- ponendoci sottocchio tutto in una volta il giro, che far debbono le cose, c'insegna che nessuna di esse può tornare al posto d' ond' era partita, sen- za prima avere occupati ad uno ad uno tutti quanti i posti dell' altre cose , che si muovono contemporaneamente con essa : e siccome la prefata tavola è il resultamento del razio- cinio che abbiam fatto al §• '4-5 il quale, mutati i numeri, può sempre addattarsi a qualunque altra circostanza di cose e di leggi d'alterazione, possiamo con franchezza inferirne che ciò che dicevamo debbe universalmente accadere in tut- ti i problemi . Ma perchè 1' aver dovuto noi prevalerci di un esempio particolare e determinato per iscoprire analiticamente la ve- rità dei 5§' i4- ® '^' potrebbe aver lasciato nelle menti più scrupolose qualche sospetto sulla loro generalità :, non ci pa- re fuor di proposito di far vedere adesso, che si arriva alla stessa conclusione anche per la via della sintesi . 18. Cominciamo pertanto dal dimostrare il seguente Teo- rema che forma il cardine di tutto il resto . Se una legge d' alterazione produce 1' effetto che una cosa h vada una volta nel posto di un' altra / , essa debbe produrre anche quello che la cosa / vada una qualche volta nel posto della h . E vaglia il vero: perciò che abbiam dimostrato al 5- 12. dovendo quandoché sia ricadérsi nell'ordine primitivo, non si può a meno che la cosa h dal posto (/) non ritorni una qualche volta al primo {h) d' ond' era partita . Ma la legge d'alterazione che produce quest' effetto per la cosa k quando 6Ì trova in (/) debbe egualmente produrlo su tutte le cose. lóo Del Giro di tjn numero qualunque di cose ec. quali si siano , che si troveranno successivamente in (/). Dun- que debbe produrlo prima di tutto sulla medesima Z, e por- tarla quindi ad occupare il posto (A), come ci proponevam di provare . È poi cosa manifesta che se occorreranno p. e. A alte- razioni perchè la h da (/) ritorni al suo posto, questo me- desimo numero sarà quello che occorrerà anche per portare la / nel posto (/<) . Da questo principio discendono naturalmente le seguen- ti conseguenze . Sia una legge tale d' alterazione che faccia che la cosa h debba successivamente e per ordine occupare i posti delle cose a, b, c,cl,f, ec. e ritornarsene poi a quel- lo (A) d' ond' era partita. Per quello che abbiamo provato or ora, sarà dunque indispensabile che viceversa anche ciascuna delle cose a, i, e, d, /, ec. vadano la loro volta continuando- si le alterazioni, ad occupare il posto della h . Ma per la supposizione dal posto {h) una cosa debbe pas- sare successivamente e per ordine in tutti i posti {a),[b),[c)^ {ci), (f) ec. delle altre. Non si potrà dunque a meno, che o- gnuna delle cose prefate non occupi successivamente i posti di tutte le altre , che circolano seco contemporaneamente , come avevamo diggià concluso sopra al 5- ^7- 19. Quindi si deduce ancora senza difficoltà che essendo conosciuto il giro {a),{b),(c),{d),{f) . . . (A) della cosa h si po- trà sempre da questo inferire il giro di tutte le altre cose a, b, e, d, f, ec. senza bisogno di aver a ricorrere alla leg- ge di alterazione per rintracciarlo . Ed effettivamente se dal prefato giro [a), {b), (e), (d), (/) .... (A) ricercheremo quale sarà quello della a, vedrassi ben tosto che dovrà essere lo stesso che fa la cosa k quan- do si parte dal luogo di a cioè (b), {d), {/) . . . {/i), {a): e se vorremo il giro della b troveremo che debba esser quello che fa la h partendosi da {b) ; cioè ( « si dividerà N quanto si può per n onde averne il resto r. Indi conta- ti come sopra r termini nella serie del giro per ordine e Del Sic. Conte Giovanni Paradisi i63 cominciando subito dopo a, 1' r'"" di questi indicherà il posto che la a occuperà nella colonna N""* dopo un numero N di alterazioni . 24- Dall' esserci messi in istato di ricavar sempre dalla legge data di alterazione il giro di una cosa qualunque, risulta pure un secondo avvantaggio, quello cioè di poter sempre per una data cosa assegnar la colonna ov' essa sarà per ottenere un posto determinato . Sia dato l'ordine 0 e la legge I ( Tav." 2,3* ) , e doman- disi dr sapere in quali colonne, ovvero dopo quante altera- zioni le cose 6 e 4 occuperanno il posto (5) . Trovisi il gi- ro df'lla 6 che sarà (2), (3), (5), (i), (4), (6), ( 5- i5 ), e poiché il (5) forma il terzo termine, contando subito dopo la 6 per ordi- ne e tornando da capo, se ne concluda che la 6 verrà nel po- sto (5) nella III colonna, ossia dopo tre alterazioni. Similmente dal giro della 6 trovato quello della 4 do- ver essere (6), (a), (3), (5), (i), (4), ( §• i iiJ* • j. -^ben.-5 — I 2 — Si indicherà quello di una cosa pei tre po- sti («), (b), (e), colla ^Sen.^ ^iltcos.^-h^^^-"-' Cos. anm -+- ""^ 'T quello di una cosa pei quattro posti (a), (b), (e), (/"). E in generale il giro di una cosa per una quantità m di posti (a), (b) , (e) {m) sì indicherà sempre con una espressione della forma A.Sen.^ -f- B.Cos.^ H-C.Sen.4!!f 4-D.Cos.^'-H ni m m m > E.Sen. — -+-F.C0S.— -4-G.Sen.i^^ .... -H V da prò- m. m m *■ lungarsi sino ad un numero m di termini, affinchè si abbia un numero w di coefficienti compresovi I' ultimo V, che si determineranno come si fa quelli dei termini generali e del- le somme delle serie a differenze costanti . E questi coefficienti dovranno sempre essere di numero m senza speranza di diminuzione . Conciossiacbè I' assoluta indipendenza dei numeri (a), (/') , (e), {d) ec. che indicano i posti , la quale esclude qualunque regola di dedurli 1' uno dall'altro, esige che ciascun d' essi introduca nella formola Del Sic. Conte Giovanni Paradisi 17^ un termine che addatti ([uella a se stfrsso perchè possa rap- jjiesentarlo independentameiite dagii altri; ciò che colla dot- trina delle serie può dimostrarsi facilissimamente. Dovendo dunque , generalmente parlando , moltiplicarsi i termini di queste formole siccome quelli dei giri che rappre- sentano , noi concederemo bensì ch'elleno possano recar gio- vamento ne' casi, ove accada che per qualche circostanza particolare riescasi a compendiarle, il che può avvenire sol- tanto quando i posti (a) (b) si rendano dependenti l'uno dal- l'altro; ma non sapremo vedere die frutto rendei ci potes- sero ora che ci occupiamo a considerare 1' indole comune a questo genere di problemi in tutta la generalità . Per la qual cosa senza intertenerci più lungamente su quest' argomento noi passeremo ad altro . ARTICOLO V. Distinzione delle leggi di alterazione in semplici , e composte. Applicazione de' metodi precedenti alle leggi composte. 33. Quantunque le leggi di alterazione sulle quali ab- biam versato finora non siano state assoggettate a veruna condizione comune , pure se si ripiglieranno sott' occhio si scorgerà che s'incontrano tutte in una proprietà; in questa cioè , che tutte quante le cose contenute nell' ordine primi- tivo fanno il giro di tutti quanti i posti . Ma poco basta per accorgersi che moltissime altre se ne possono immaginare che non abbiano una somigliante proprietà . P. e. dall'ordine O e dalla legge I (Tav.* 3o ) ricavan- do il giro della cosa i troveremo che debb' essere (5) , (6) , (3)- (')' ( S- '4 ) • Ricercando poi i giri della 2, , e della 4 si troverà che il primo è (2), ed il secondo (4) . In questo caso dunque le cose i, 3, 5, 6, godono di un giro comu- ne, mentre le cose 2 , e 4- stanno ferme al loro posto. Altro esempio . Dall' ordine primitivo 0 e dalla legge I i'j'4 Del Giro di un numero qualunque di cose ec. (Tav-^Si) si ricerchi il giro della i che sarà (3), (5), (7), (i), e quello della 2, che sarà (4), (6), (a). In questo caso gira- no dunque insieme le cose i, 3, 5, 7; e indipendentemen- te da esse girano insieme le cose, a, 4? 6. Terzo esempio . Dall'ordine O, e dalla legge I ( Tav^Sa.") si ricaveranno i seguenti giri Giro delia i. pei posti (7), (i). Giro della a. pei posti (6), (11), (3), (a). Giro della 4- P«=i posti (9)^ (8), (4). Giro della 5. pei posti (ra), (5) . Giro della io. pei posti (io). Per questa legge di alterazione girano dunque insiemQ Primo le cose 1,7. Secondo le cose a, 3, 6, 11 . Terzo le cose 4 5 8, 9. Quarto le cose 5 , la . E quinto finalmente la cosa io. sta ferma. A malgrado dunque della somma irregolarità e bizzarrìa delle leggi di alterazione, gli esempii precedenti ci danno a ve- dere ch'elleno possono riferirsi a due classi ben distinte fra loro. La prima si è di quelle leggi di alterazioni^ le quali formano un solo sistema di tutte le cose contenute nelP or- dine primitivo facendole circolare insieme una dipendente- mente dall' altra . Noi chiameremo d'ora innanzi queste leg- gi . Leggi semplici d' alterazione . L' altra classe sarà di quelle leggi che formano delle cose contenute nell' ordine primitivo diversi sistemi , facen- dole circolare in ciascuno di essi le une dipendentemente dall' altre, ma senza che il giro delle cose di un sistema ab- bia nulla che fare col giro delle cose degli altri . Verranno esse chiamate da noi col nome di Leggi composte di altera^ zione . Ed è manifesto che in questa seconda classe dovran- no comprendersi eziandio que' casi ove siano delle cose che non cambino posto, considerando che ciascuna di esse forni- »ca un sistema particolare di una unica cosa. Del Sig. Conte Giovanni Paradisi 17.5 34. Relativamente a! giro prodotto dalle leggi delia pri- ma classe , noi abljiam fatto conoscere tutti i metodi neces- sarii per isciogliere ogni quesito che far si possa onde rin- tracciarne r indole e le proprietà, sicché ci sembra che non resti quasi nissuna cosa da desiderarsi su quest' argomento . Ma dopo che le cognizioni ac(] instate in questa materia ci hanno finalmente permesso di stabilire fra le leggi di altera- zione la precedente distinzione, fa ora mestieri per condurre a fine il nostro proposito, che insegniamo adesso ad applicare que'metodi medesimi anche alle leggi composte, il che non solo debb' esser sempre possibile , ma debbe anzi sempre potersi fa- cilmente, come si può prevedere dal non essere in sostanza una legge composta altra cosa che l'aggregato di più leggi semplici . 35. E prima di tutto, per ciò che si appartiene alla o- perazione , colla quale si trova il giro di una cosa qualun- que, data che sia legge di alterazione, ci accorgeremo a di- rittura , che essa non debbe soffrire verun cangiamento nel caso eziandio di una legge composta. Noi ne abbiamo V espe- rienza negli esempii del §. 33. Ma ove se ne richiegga una prova derivata dai principii, noi ci riporteremo al raziocinio dei 5S- '5' ® 16. dal quale abbiam ricavato tutto il proces- so dell' operazione . Ivi si osserverà come d' esso non si fon- di né punto né poco sulla supposizione, che la cose contenu- te nell' ordine primitivo abbiano tutte quante da dipendere nel loro giro le une dalle altre : ma supposto che di dette cose alcune abbiano la prefata dipendenza, esso sì arresta alla considerazione soltanto di queste , prescindendo dalle al- tre . E quel raziocinio dunque, e la operazione che ne con- seguita , debbono di necessità convenire a ciascun sistema particolare che venga formato dalle leggi composte . 36. Non ci arresteremo dunque su questo proposito più di quello che basti per additare un metodo semplicissimo da tenersi per ricercare i giri di tutte le cose quando sian mol- te, affine di non ommetterne alcuna. E lo dichiareremo più speditamente valendoci di un esempio . 1^6 Del Giro di un nubiero qualunque di cose ec. Si richiegga il giro di tutte le cose dell'ordine 0 secon- do la legge I ( Tav." 33/ ) , S' incominci dal trovare il giro della cosa i , che sarà quello che si vede notato nella Tavola . Tutti i numeri del medesimo si notino in O coli' asterisco * . Si prosegua ora cercando il giro della prima cosa non anche notata in O che sarà la a. Desso sarà quello che si è indicato nella tavola : e i numeri che contiene si contrasse- gnino in O coi due asterischi ** . Si trovi similmente il giro della 8 che adesso sarà la prima delle cose non anche notate in O . Il suo giro è quel- lo della tavola ; e s' intendano tolti i suoi numeri da O con- trassegnandoli coi tre asterischi ** . Finalmente si cerchi il giro della i3 che in O rimane non contrassegnata , e si tolga da O la cifra del suo giro cioè la (i3) contrassegnandola con ** . E dopo questo non rima- nendo più cifra in O che non sia contrassegnata, ne conclu- deremo che tutte sono state considerate, e sarem certi di avere senza shaglio trovato il giro di tutte le cose . E ne avremo, ove ci occorra ^ una nuova sicurezza, se contando i numeri che compongono tutti i giri li troveremo essere in punto altrettanti quante sono le cose . 37. In secondo luogo la dimostrazione del 5- ^9- essen- do generalissima , debb' applicarsi anch' essa senza riguardo alle leggi composte . Sarà dunque vero di ciascuno de' varii sistemi ch'essi formano, ciò che lo era per un sistema unico, vale a dire , che in ognun d' essi trovato il giro di una co- sa , si potrà da questo inferirne il giro di tutte le altre del medesimo sistema sempre colla regola del §. 16. Quindi ritornando all'esempio precedente del giro dell' i , the è (3). (7), (9), (i i), (4), (6), (i), concluderemo quello della 3 dover essere (7), (9), (i 1), (4), (6), (i), (3), e quello della 7 dover essere (9}, (11), (4)-, (6), (i), (3), (7)., e similmente operando troveremo la tavola 35." dei giri tutti delle cose assegnate dall' ordine O Tav." 34." seconda la legge I . Dei. Sig. Conte GiovxNNr Paradisi 1^7 38. Ma se per le leggi composte lia luogo sempre il 5. 10., debbono per esse derivarne egualmente le conseguenze e i comodi che ne resultavano per le semplici . Se dunque dato il problema precedente, sarà questione di sapere quale sarà il posto che una cosa p. e. la g occuperà dopo un cer- to numero di alterazioni p. e. dopo 34, cercheremo prima di tutto il suo giro da quello della i che si troverà essi^rH (il), (4), (6), (iM3), (7), (9), ( Tav." 3i ) . E trovatolo di 7 ter- mini concluderemo che di VII. sarà pure il periodo delle co- lonne . Ciò fatto divideremo il numero dato delle alterazioni 34 per 7 , onde averne il resto 6 . Conteremo poi nel dato giro 6 termini , cioè quanti ne restano dopo il g, tornando a «apo, e numerando da sinistra a destra: e veduto che il (7) si è il posto a cui va il g dopo 6 alterazioni, concluderemo che la cosa 9 dopo 34 alterazioni , ossia nella XXXIV." colonna occuperà il posto (7) . Questo metodo come ognun vede è sempre il medesimo che quello dei §§. ao, ai^ aa . 3g. Ed in quest'altra classe di leggi servirà egualmente la regola del §.a4 . Quando viceversa si tratti di sapere in qua- li colonne la cosa g p. e. sarà per occupare un dato posto V. g. il (3), conformandoci a quello, non avremo che ad os- servare dal suo giro (ti), (4), (6), (i);, (3), (7),(g) che detto posto essendo distante 5 termini da g , dovrà venire occupa- to da essa dopo 5 alterazioni j ossia che la g andrà ad occu- pare la prima volta il (5) nella colonna V.*, e ne concludere- mo poi che la 9 conseguila detto posto in tutte le colonne indicate dal numero 7/1 -)- 5 . Ma se si fosse invece domandato della stessa cosa g , in qnal colonna essa occuperà il posto (5), oppur il posto (8), siccome né il (5) né il posto (8) si trovano nel suo giro (11), (4)' (6)5 (')' (3)5 (7)5 (g), si sarebbe dovuto rispondere, che in nessuna . Ora questo caso che avviene qui, non può succede- re giammai quando le leggi sono della prima classe, nei qua- li il giro di tutte le cose contiene sempre tutti quanti i po- sti . In quelle prime leggi non vi ha dunque posto ove una Tomo XVIII. Z i^f) Del Giro di un numero qxJalVUQUe di cose ec. cosa non debba andar la sua volta . Nelle leggi composte per r opposito vi Ila dei posti ove certe cose non arrivano mai; questa differenza meritava di essere avvertita . 40. Ma ciò cbe vi ha di più interessante, si è che ad- dattandosi anche alle leggi composte tutte le precedenti ve- rità, ne conseguita necessariamente che debbe loro apparte- nere non meno quel metodo di ricavare dal giro di alcuna delle cose la serie tutta delle file orizzontali che formano le colonne delle alterazioni, metodo che ai §5- 2,7, a8. ab- biam dimostrato dover essere generalmente esatto, anche ove i numeri indici de* posti non fossero consecutivi , dacché ivi per dinotarli ci siamo prevalsi di lettere in cambio di cifre. Gioverà nondimeno che ne facciamo la esperienza, non già per riportarne una maggior sicurezza, ma per farci carico di alcune particolarità di questi casi composti , le quali fa di mestieri conoscere a compimento della presente teorica . Prendiamo per amor di chiarezza il problema indicato dalla Tav." 36." Onde applicarvi il metodo del 5- 2,7. per tro- vare le file orizzontali che compongono le colonne: dal giro (4), (3), (a), (1) della 1, e dall' altro (7), (6), (a), della a si for- nii la tavola di tutti i giri, che si vede nella parte A della Tav." 36. Da questi giri poi si ricaveranno la fila 3, 5, 4j> i da scriversi in O a destra dell' (i), la fila 6, 7, a da scri- versi contro il (a), la fila 5 , 4? 1 5 3 da scriversi contro il (3), e così via discorrendo successivamente sinché siano esau- riti tutti i giri , e rimanga compita la Tav.*^ 37. delle alte- razioni . Ora se porteremo la nostra attenzione sulla medesima , ci apparirà a dirittura che nessuna delle cose i , 3 3 4 5 ^ si trova mai nelle file (a)% (6)", e (7)", e che nessuna delle cose a, 6, 7, si trova mai nelle file (i)'», (3)% (4)" e (5)'^. Né maraviglia : conciossiachè non incontrandosi nel giro delle pri- me cose giammai i posti (a), (6), (7), ciò sarà segno che des- se per le condizioni del problema non potranno occuparli giammai . E per egual ragione nessuna delle cose a , 6 , 7 Del Sic. Conte Giovanni Paradisi 179 potrà trovarsi giammai nei posti ( i), (3), (4)5 (5), i quali ri- mangono esclusi dal loro giro. Il sistema dunque delle cose i , 3 , 4? 5 non potrà pro- durre altre file orizzontali che quelle che sono di contro ai posti (i), (3), (4), (5) nella parte B della Tav. Sj, e l' altro si- stema delle cose 2,6,7 "*^" potrà produrre altre file che quelle che sono di contro ai posti (2,), (6), (7) nella parte G della Tav. suddetta , e dall'unione di dette file ne risulterà poi la tavola descritta sotto la lettera A. Se ora si considerino individualmente le parti B e G che contengono le file orizzontali del sistema i, 3, 4» ^ la prima, e del sistema 2, 6, 7 la seconda, si troverà che in B 1' ordine primitivo si ripristina quando la cosa i torna nella colonna IV. al posto che aveva in O: e parimenti nel- la seconda parte C si vedrà riprodotto 1' ordine primitivo quando la a nella colonna III. va ad occupare il posto già tenuto da principio in O . E se congiungendo addesso que- ste file col porle di contro ai posti convenienti se ne forme- rà la tavola A, indi si pareggieranno le colonne riempiendo i vuoti delle file (2)", (6)'', (7)" colle lettere che si rinnova- no come si vede in B, si troverà in c|uest^ ultima tavola che quantunque la i sia tornata nella colonna IV. al posto che aveva in O, non per questo in essa colonna si ripristina 1' ordine primitivo interamente, come accadeva sempre quan- do prendevamo a trattare delle leggi semplici di alterazione. 41. Qualche cosa di somigliante a ciò che abhiamo or ora osservato avviene eziandio, quando si vogliono nelle leg- gi composte assegnare le colonne verticali deducendole im^ mediatamente dai giri delle cose dei diversi sistemi colla re- gola del 5- 3o. Imperciocché se stando al problema preceden- te, dal giro (4), (5), (3), (i), vorremo ricavare p. e. la colon- na III. noi non ne otterremo che la parte A della Tav." SS." E se vorremo egualmente dedurre la medesima colonna dal giro (7), (6), (a) dell'altro sistema, noi non ne ricaveremo che r altra parte B della tavola medesima . Sicché per avere la loo Del Giro di un numero qualunque ni cose ec. colonna III. intera come si cerca, bisognerà comporta di en- tranihe le sue parti A, e B come si vede eseguito in C . E questo metodo sarà quello che seguiremo qualora ci occorre- rà di trovare le colonne verticali deducendole dai o-ni dei diversi sistemi; vale a dire die troveremo le singole parti della cercata colonna, che appartengono a ciascun sistema, e di tutte queste comporremo poi la colonna intera, e ciò a dirittura in pratica, e senza bisogno di formare tutte le ta- vole A, B, C, che qui si sono prodotte unicamente per chia- rezza . In questa guisa potremo formare le colonne tutte del primo periodo, dalle quali se ne inferiranno poi facilmente tutte r altre che talora si vorranno conoscere . 42. Anche per questa strada dunque si troverà ciò che abbiam veduto dover accadere nella line del 5- 4^- l'npercioc- chè volendosi p. e. la colonna IV. se ne dovrà cercare la parte che nasce dal giro (4), (5), (3), (i), la quale sarà quella che abbiamo notato nella parte A della Tav/Sg"; se ne dovrà indicare la parte che nasce dal giio (7), (6), (2) che sarà la descritta in B della stessa tavola; e queste due parti con- giunte insieme formeranno la colonna cercata, che sarà tale come si vede in C. Ora ponendo mente alla medesima, si vedrà che sebbene siasi repristinato in essa l'ordine primitivo del pri- mo sistema, non si è poi repristinato contemporaneamente anche quello del secondo. D'onde avrassi a concludere come sopra , che nelle leggi composte non sempre avviene che si repristlni l'ordine, quando alcuna delle cose torna ad occupare quello stesso posto che da principio occupava in O, come accade sempre nelle alterazioni prodotte da leggi semplici . >'! $ . ;;uitc;jh'>.a lIo i„i' '.Ai Del Sin. Cokte Giovanni Paradisi ì8l ARTICOLO VI. Mallo di determinare per le leggi semplici, e composte il numero delle alterazioni ^ o vogliam dire delle colonne, necessario perchè si rinnovi V ordine primitivo . Aggiunta alla regola conciti si formano le colonne verticali da ser- vire, quando il periodo delle alterazioni sia soverchia- mente lungo . 43. La proprietà che siamo riusciti a conoscere per due vie nel finire dell' articolo precedente, fa nascere una curio- sità, che di certo è la più interessante che risvegliar si pos- sa in questa materia , ed al soddisfacimento di cui noi diri- gevamo già sin da principio in modo più speciale gli studii tutti della presente Memoria . Si è già dimostrato al 5. ra. che posto un ordine pri- mitivo O di una quantità finita di cose, ed una legge d'al- terazione qualunque P per cui nascano da O successivamen- te le colonne C, P, Q, R, S, ec. ( Tav.* ló.'') non si può a meno, continuando le alterazioni , che una qualche volta non si torni a riprodurre la stessa prima colonna O, da cui rico- minci poi il medesimo periodo di colonne C, P, Q, R, S ec. ottenutosi da principio . Si tratta dunque addesso di trovare, rome dati l'ordine primitivo e la legoje d'alterazione, si pos- sa in ogni problema determinare a dirittura il numero d' al- terazioni , o quello delle colonne, che saranno necessarie per lare che 1' ordine primitivo torni a rinnovarsi . Un sì fatto problema , che affrontato di primo incontro affaccerebbe delle difficoltà, si renderà facile e piano per noi addesso che abbiam scrutinata intimamente l' indole propria de' giri che seguir debbono le cose . 44- E facendoci prima di tutto a considerare i proble- mi dependenti da leggi semplici di alterazione supponiamo un tal ordine O , ed una tal legge I. (Tav.''4^-'' P^i'te A.) che i8a I)el giro di un numero qualu?ique di cose ec. se ne ricavi per la cosa a il giro [h), (g), (/), [d], (r), [b), (a). Colia regola del J- IQ- noi saremo sempre in grado di ricava- re i giri di tutte le altre cose e di formarne la tabella clie si vede sotto la lettera B : e trattandosi di leggi semplici sa- premo che ciascuno di que' giri si fa per tanti posti né più né meno, quante sono le cose (§. i8. ) Laonde ciascuna cosa per compiere il proprio giro avrà un egual numero di posti da percorrere : e siccome tutte cominciano il proprio giro contemporaneamente , dovranno pure contemporaneamente terminarlo : e lo termineranno dopo un numero di alterazio- ni o di colonne eguale a quello dei posti , o delle cose . Ma dalla ispezione dei giri della Tav." 87/ parte B, ap- parisce che ciascuna cosa al terminare del proprio giro si trova al posto che da prima occupava nell' ordine O . Dun- que ciascuna cosa tornerà al posto di prima dopo il prefato numero d' alterazioni . Dunque finalmente nei problemi de- pendenti da leggi semplici di alterazione, avverrà sempre che si rinnovi l'ordine primitivo dopo un numero di altera- zioni, o di colonne eguale a quello dei posti , o delle cose assegnate. Qualora adunque ci venga addomandato in quan- te alterazioni sarà per rinnovarsi l'ordine primitivo di n co- se considerate in un problema , il primo passo da muoversi sarà quello di assicurarci , se la legge di alterazione sia della prima classe , ovvero della seconda . Renduti certi che dessa sia delle semplici, diverrà allora soperchio ed inutile del tut- to che ci perdiamo ad esplorarne 1' indole particolare : poi- ché qualunque siasi questa per essere, noi dovremo sempre affermare che il numero cercato sarà quello stesso n delle cose , o dei posti . Ma se per 1' opposito si scuoprisse clie la legge sta])ili- ta appartiene alla classe delle composte, in quel caso per dare una precisa risposta ci converrà di por mente alle con- s4derazioni che slamo per intraprendere. 45. I sistemi particolari delle leggi composte egualmen- te che gli unici delle semplici , hanno tutti le proprietà Del Sic. Conte Giovanni Paradisi i83 descritte al §. 17, e quindi può ai medesimi tutti applicarci sempre il raziocinio del 5- precedente . Se avremo dunque una legge composta di più sistemi l' uno p. e. di ni, V altro di ra , ed un terzo di/>cose ec. potremo con sicurezza affer- mare , che r ordine primitivo del primo sistema si ristabili- rà dopo m, quello del secondo dopo n, e quello del terzo dopo p alterazioni, o colonne . Ovvero per essere più chiari, se descriveremo il giro delie cose tutte del problema come siam soliti con una serie di colonne O , I , II , III M"" .... N'"* .... P™* ( supposto /? > re > TO ) , saremo sicuri, che nella colonna M"" si conterrà ristabilito l'ordine primitivo del primo sistema : che nella colonna N""* si con- terrà restabilito quello del secondo sistema; e che finalmente, quello del terzo si conterrà ristabilito nella colonna P""*, e così va discorrendo se vi fossero dell'altre colonne e degli altri sistemi . Ci è già caduto sott' occhio un esempio di tutto ciò nel 5- ^^• Ora se i numeri to, re, p ec. siano tutti disuguali fra loro, è manifesto che nessuno dei prefati sistemi potrà la prima volta repristinare il proprio ordine primitivo nella stes- sa colonna, ove lo ristabilirà qualcuno degli altri . Ma nella continuazione indefinita delle alterazioni i pre- fati sistemi non ristabiliscono già il loro ordine una volta sola ; ma sappiam anzi che ciascun d' essi debbe indispensa- bilmente rinnovarlo , ogni volta che sia compiuto un nume- ro d' alterazioni multiplo di quello delle cose che lo com- pongono . Generalmente dunque , se propostoci un problema qual- sivoglia appartenente ad una legge composta, da cui prendano origine diversi sistemi di /re , di re , di /», di ^ ec. cose , verremo addimandati di determinare in quali colonne, o dopo quante alterazioni si ristabilirà l'ordine primitivo generale, afferme- remo che di certo dovrà rinnovarsi dopo un numero mnpqr . . ., perchè questo prodotto è appunto multiplo di tutti quanti i numeri m,n,p,q,r.... che esprimono le quantità delle i84 Df-l Giro di un numero qualunque di cose ec. rose dei diversi sistemi ; e soggiuoneremo di più , che tale ristabilimento si dovrà poi sempre ripetere , compiuti tutti qua' numeri di alterazioni che saranno multipli del medesi- mo prodotto m , n . p ^ q , r ec. Se il quesito cadesse sopra 1' esempio del 5- 4"- '^ ^^^' ^e del quale forma due sistemi uno di tre, l'altro di quat tro cose, noi risponderemo che in esso l'ordine primitivo debhe ristabilirsi dopo la ed in generale dopo la X « altera- zioni. E che ciò avvenga di fatti, potrà ognuno convincerse- ne seguitando a formar le colonne della Tavola 41 •" sino alla la" inclusive . 46. Ma se la questione sarà di sapere quel numero di alterazioni che occorre per ristabilire 1' ordine primitivo la prima volta ;, non sarem già sempre sicuri di rispondere esat- tamente proferendo il citato prodotto mnpqr . . . ec. dei nu- meri delle cose dei diversi sistemi : conciossiacchè possono darsi talora dei numeri multipli di tutti gli altri m., n,p,p, r, i quali siano nondimeno minori del prodotto mnpqr . . . Ed è poi evidente per se stesso che alla domanda così ristretta, risponde soltanto il più picciolo dei nun>eri suddetti . Per essere quindi a portata di risolvere questa specie di quistioni proposte in simil guisa, che è la più comune di ferie, non basta solamente che si sappia rinvenire un mul- tiplo di tutti i numeri m , n , p , q , r . . . ,mA conviene al- tresì che di tutti que' multipli si sappia assegnare il più pic- colo . E qualora i numeri «2, « , /? , q -, r siano tutti primi fra loro, è già noto abbastanza che il picciolissimo fra i multipli di tutti que' numeri si è appunto lo stesso prodot- to mnpqr .... Ma quando non siano primi , l' aritmetica ci mostra una via di trovarlo, che ci piace qui di ricordare . 47. Si sciolga allora ogni fattore del prodotto mnpqr ne' suoi fattori semplici : dal loro complesso se ne cant;eliino tanti che nessun d' essi si trovi replicato. Il prodotto che si otterrà di tal maniera sarà il ricercato .,>ki^ivt-i /.is'»nn mio Sia p.e. m = a^y,n=.^'}'de,p—ayd}i, q = ^Y^liv , r=:ydv Del SiG. Conte Giovanni Paradisi i85 dal complesso di tutti questi fattori aSy^yJs , ay^fi^y^^vydv , toltene le quantità che si replicano , si otterrà il prodotta a^ydeixv , che sarà appunto il numero che si vuole . Ma se i fattori de' numeri m, n, p, q, r . ... si trovino elevati a potenze; allora di un medesimo fattore si conser- verà la potenza più alta una volta sola, e si cancelleranno tutte le eguali e le inferiori . Sia m = a='/?^7^ n — aV^'^f»; p-=d'^^^y'' ; q^=^^e^d'^^'^ ; r = a^y^d'*. Ponendo in pratica que- sta regola il prodotto ^a^»y3^3y4^»£2^4^3^2^5£2^j^>^4j,5^4 gi ridurrà a divenire saranno i S 4385 per V resti V < la / ^ B j3 indica che ogni "S 3 Dunque / C , .. /s P^st» appartie- / 5 ' V, la citra l ne alla cosa in- V D A dicatadaln.°che ^ 7 g 15 lo precede di \ ^ nel sistema termini Se pertanto si troveranno con questo metodo le cose da por- si contro ciascun posto della colonna O, e si scriveranno sot- to l'indice 4385.""" formeremo delle medesime. quella parte ) * Col siste- f C della colonna # ** • J.V che è segnata > ^« cogli asteris- 1 E chi 1 *A igo Del Giro di un numero qualunque di cose ec. ARTICOLO VII. Applicazione de' metodi precedenti alla risoluzione de' quesiti dependenti da più leggi di alterazione, che agiscano alternativamente, 54. Abbiansl addesso due leggi diverse O .1', ed 0 .1" { Tav." 45." parte A ) e queste si adoperino di maniera , che dà O si ricavi la colonna I colla prima, e dalla colonna I la II colla seconda legge . Indi di nuovo dalla II si ricavi la terza III colla legge O . I', e dalla III la IV colla legge O . I"; e cosi alternativamente si continui a ricavare le colonne di- spari dalle pari colla legge O.I', e le pari dalle dispari colla legge O.I", finché si ricada nell'ordine primitivo ( parte B ), come accade ora nella colonna XII . Se ci verrà domandato di risolvere anche questo problema in tutte quelle medesime questioni da noi già determinate nei problemi assoggettati ad una sola legge, ci riprometteremo di riuscirvi colla scorta de- gli stessi metodi, purché ci si permetta di aggiungere ad essi le regole che siamo per esporre nell'articolo presente . 55. La prima e più interessante proprietà di questo ge- nere di problemi e da cui parte ogni via di risolverli si è la seguente. Se invece di applicare all'ordine O della parte B la legge O .1' per averne la colonna I, e poi la legge O I" al- la colonna I per averne la II, si fosse applicata a dirittura la legge O.I" ( parte A ) allo stesso ordine O ( parte B ) , si sa- rebbe senza dubbio ottenuta la medesima colonna II di pri- ma. Produce dunque il medesimo effetto 1' applicare ad una colonna qualunque la legge O.I"' oppure applicarvi la legge O .r per ottenerne una colonna intermedia, da cui ricavarne poi un'altra colla legge O.I". In entrambi questi casi le co- lonne alle quali si arriva sono perfettamente identiche. Da questa verità debbe poi necessariamente risultarne que- st' altra, cioè che se ottenutasi la colonna II vi si seguiterà Del Sic. Conte Giovanni Paradisi 191 ad applicare la pielata legge 0.1" dovranno consecutivamen- te ottenersi le colonne IV, VI, Vili, ec. ossia tutte le colon- ne d'indice pari, che si ottenevano prima per effetto delle due leggi O .r, O .1", come di fatto si vede succedere nella parte C della tavola. In tutte quelle circostanze adunque, nelle quali ci sarà bastante di avere le colonne pari, non avremo a prevalerci delle leggi O.I', ed O.I",se non quanto occorre per formar la colonna II della parte B. Ottenutasi questa e formata della medesima coli' applicarla all'ordine O la nuova legge 0.1'"^ questa sola basterà poi per trovare tutte le altre colonne d'in- dice pari. 56. Si manifesta quindi la strada da seguirsi per arriva- re a scuoprire il numero di alterazioni necessarie in questa specie di problemi per ricadere nell'ordine primitivo. Imper- ciocché colla norma dei 5§- 44- ^ 4^- -questo numero potrà sempre rinvenirsi per la legge O . I" applicata ad O ( parte B ) . Ma la tavola delle alterazioni conveniente al problema proposto debbe contenere un numero di colonne doppio del numero delle colonne pari . Dunque il numero delle altera- zioni cercato, si troverà raddopiando il numero "delle altera- zioni che si sarà trovato necessario per repristinare l'ordine, supposto che agisca la sola legge 0 .1". Questa legge O.I'" poi non è altra cosa che l'applicazione della colonna ottenu- ta, dopo che si sono fatte agire una volta le leggi di altera- zione assegnate nel problema all' ordine O . Esempio. Date le leggi 0 . I' ed O . I" ( Tav.'^ 46." parte A ) da applicarsi alternativamente all' ordine O ed alle colonne che via via nasceranno ( p.' B ) sì cerca il numero di altera- zioni necessarie perchè si repristini l' ordine primitivo . Per risolvere questo problema si applichi ad O ( p.* B ) la legge O . I' e se ne ricavi la colonna I , che sarà la stes- sa che r, ed a questa si applichi la legge O . I", e se ne ri- cavi la colonna II. Ciò fatto dall'ordine Oj e dalla colonna II si formi la legge 0 . II ( p.' C ) . iga Del Giro di un numero qualunque di cose ec. Da questa legge O . II si ricavino i giri delle cose de- scritti nella p.* D , e dai medesimi colla regola dei 5S- 44* e 46» si potrà determinar sempre il numero delle alterazio- ni , che occorrono perchè si repristini 1' ordine O nel pro- blema dipendente dalla sola legge O . I'", e dovrà questo es- sere 3 X ^ X 1=6. Ora il numero delle colonne necessarie per questa leggersi sa dover essere la metà di quello neces- sario per le due leggi , come sopra si è detto . Dunque rad- doppiando il 6 , si troverà il 12 che sarà quel n.° che si cer- cava pel problema delle due leggi combinate . Nella pratica , potendosi ricavare i giri descritti in D immediatamente dalla colonna II applicata ad O , e conside- rata come legge, si può risparmiare di scrivere la parte G della tavola, che abbiamo qui notato per amor di chiarezza. 57. Se le leggi fossero tre O.I', O.I", O .1'" ( Tav." 47. parte A), se ne formerebbero facilmente le tre colonne I, II, III, ( p.'B ) , e compostane la legge O . III, ( p." G ) se ne ri- caverebbero i giri D . Dai giri poi co' metodi insegnati non si durerebbe fa- tica a riconoscere, che il numero cercato per la legge O.III, debbe essere 4 • Laonde ragionando come sopra se ne inferi- rebbe che per repristinare 1' ordine primitivo, quando si fan- no operare alternativamente tutte tre le leggi, detto numero debb' essere 4 X 3 =: la . E senza perderci di più stabiliremo anzi generalmente che se le leggi proposte per un certo problema saranno N , la risoluzione del quesito proposto da principio si otterrà nel modo seguente . Primo. Colle leggi proposte applicate per ordine alla co- lonna O e a quelle che nasceranno , si formeranno le prime N colonne. Secondo. Dell' ordine O , e della N composta una nuo- va legge O . N si cercherà per questa il numero di alterazio- ni necessario a repristinar 1' ordine O. Terzo. Supposto che questo numero $1 trovi essere M se Del Sic. Conte Gtovanni Paradisi 19.3 ne inferirà finalmente, che il n.° cercato pel problema in cui agiscono alternativamente le date leggi N viene sempre espres- so dal prodotto NM. 58. L'operazione colla quale negli esempii del ^. prece- dente abbiamo applicata la prima legge alla O per ottener- ne la colonna I: la seconda legge alla I per averne la II: la terza alla II per ottenerne la terza III, e così via via fiiiciiè ci erano leggi, diverrà necessaria spessissimo ne' problemi che intraprendiamo a trattare. Per contenerla adunque in poche parole, noi la chiameremo d' ora innanzi sviluppo delle leggi o semplicemente sviluppo. E la legge che abbiamo formata coli' applicazione dell'ul- tima colonna all' ordine primitivo O, si chiamerà in appres- so legge resultante od anche solo resultante. 59. Date due leggi O . I', O . I" ( Tav." 48. p.' A ) se si troverà la resultante O . II ( p.^B)^ col mezzo della stessa si potranno ottener sempre tutte le colonne d' indice pari ( p.* C ). Ma si vede egualmente che se aggiunta allo sviluppo B la colonna III formeremo di essa ^ e dell'ordine primitivo non naturale O. I una nuova resultante 0. I. III.j, si potrà col mez- zo di questa trovar anche tutte le colonne d' indice dispari (p.* D ), cosicché intromettendo poi quest'ultime alle prime se ne otterrà tutta intera la tavola delle alterazioni (p.*E) . Per tal modo un problema assoggettato a due leggi al- ternative si potrà sempre col mezzo di resultanti dividere in altri due problemi , ciascuno de' quali dipenda da una sola leg- ge costante. E ciò che si è detto nel caso di due leorgi si estendejà facilmente ad un altro numero maggiore. Imperciocché aven- dosi le quattro leggi 0. I', O. I', O. I"', O. I'", (Tav.49 p.'' A ) se si eseguirà lo sviluppo, e aggiunte al medesimo poi le colonne V, VI^ VII (p.'B.) se ne formeranno le quattro re- sultanti O.IV; 0. I.V;O.II. VI;O.III. VII ( p.' C, D, E, F, ) e dalla prima si ricaveranno tutte le colonne che hanno 1' in- dice della forma 4 « ( p- G ), dalla seconda quelle che liatino Tomo XVIII. B b rg4 DeI' Giro di un numero qualunque di cose ec. l'indice della forma ^ n -¥- i (p.'H), dalla terza quelle il cui indice ha la forma 4 ^ -t- 2 (p/L), e finalmente dalla quar- ta legge le colonne che corrispondono ad un indice della for- ma 4 " -<~ 3 (p.'° M) nelle quali forme si contiene appunto il complesso di tutte le colonne possibili. E potendola discorrere allo stesso modo se le leggi fos- sero ancor di più, arriveremo a concludere generalmente, che un problema assoggettato ad un numero qualunque di leggi N che agir debbano alternativamente una dopo l'altra, può sempre dividersi in un numero N di problemi dipendenti cia- scuno da una sola legge costante, e che questo si ottiene col mezzo delle risultanti da ritrovarsi conformemente a quello che si è insegnato. 60. Secondo dunque che la tavola delle alterazioni si fa- rà nascere dalla successiva applicazione delle leggi assegnate, oppure dalle resultanti composte col loro mezzo, gli indici del- le colonne verranno rappresentati da numeri maggiori, o mi- nori. Imperciocché si vede facilmente che le colotme che ri- cavate nel primo modo erano la V, la IX, la XIII, ec. diver- ranno la I, la II, la III ec.se si dedurranno dalla resultante O. I. V, e similmente che la VI, la X, la XIV, ec. della pri- ma specie diverranno la I^ la II, la III, deducendole dalla re- sultante 0. II. V, e così dicasi delle altre. Apparisce adunque che i numeri degli indici sono diver- si secondo le diverse maniere di ricavar le colonne. Affine di distinguerli quando faccia mestieri , noi chiameremo assoluti gli indici della prima specie, e relativi quei della seconda. Considerando dunque una colonna p. e. la XXVII, diremo che XXVII è il suo indice assoluto, e che il VI è il suo indi- ce relativo, perchè la prefata colonna è la XXVII in ordine, quando venga ricavata dalla successiva applicazione delle leg- gi assegnate ed è poi soltanto la VI , quando venga deriva- ta dalla legge resultante O. III. VII. 61. Procediamo ora a rintracciare il metodo per cono- scere il giro di una cosa, quando il problema è assoggettato Del Sic. Conte Giovanni Paradisi if)5 a più leggi alternative, e per dichiararlo, vagliamoci di un esempio. Siano le quattro leggi descritte nella ( Tav.''49- p'* A ) e si domandi quale sarà per riuscire il giro dell' I. Le ope- razioni necessarie per ritrovarlo sono le seguenti ( Tav.'* 5o. ) . Primo. Siccome in tutti questi giri le stesse cifre si ri- petono più volte, per non estendere né di troppo, né di po- co il giro che si cerca, gioverà di conoscere avanti il nume- ro dei termini che debbono comporlo sinché si torni a rin- novare, il qual numero, come si sa, è eguale a quello delie colonne del primo periodo . Eseguito dunque lo sviluppo B, e ricavatane la resultante O. IV. (p.'^C), da questa colla scor- ta dei 55- 56. 57. si arriverà prima di ogni altra cosa a conosce- re che il n.° dei termini del giro debb' essere = 6 X 4 = ^4- Secondo. Dalle leggi assegnate (p.'* A ) si ricaveranno i giri delle cose tutte, sinché in ciascuna di esse rimangano e- sauriti tutti i posti dell' ordine O , e questi si scriveranno come si vede in D distintamente: cioè sotto E quei giri che nascono dalla legge O.I', sotto F quelli che nascono dalla legge O.I", sotto G quelli che nascono dalla legge O.I", e finalmente sotto H quelli che nascono dalla legge O.I". Terzo . Si cercherà a destra in E il posto che viene su- bito dojjo (i) che é (6) : in F quello che vien subito dopo (6) che è (5): in G quello che vien subito dopo (5) che è (3); in H quello che vien subito dopo (3) che é (4) ? e de' nume- ri trovati (6), (5), (3), (4), si formerà il primo gruppo del gi- ro, che si scriverà in L . Similmente si cercherà indi in E il posto prossimo al (4), che è (3) : in F il prossimo al (3) che è (4) : in G il pros- simo al (4) che é (2) : in H il prossimo al (4) che è (5); e si aggiungerà colle cifre trovate al primo gruppo sotto L il secondo (3), (4), (2), (5). E proseguendo questa semplicissima operazione si conti- nuerà tanto che se ne ottengano sei gruppi di posti, forman- do la serie L di a^. termini , la quale descriverà il giro cer- cato , sin là dove comincia poi a replicarsi . H)C) Del Giro di u^ numero qualunque di cose ec. Noi abbiamo trattato costà un problema di quattro leg- gi . Ma se si fosse avuto per le mani un problema di N leg- gi, si sarebbe proceduto nella stessa maniera con queste so- le differenze: i ." che lo sviluppo B sarebbe stato di N co- lonne: 2." che i giri delle cose sarebbero stati di N catego- rie , cosicché rimanessero espressi tutti quelli che nascono da ogni legge in una categoria particolare: 3.° che i gruppi della serie L si sarebbero composti ciascuno di N termini . 6a. Anche in questi problemi assoggettati a più leggi si può dal giro di una cosa ritrovare il giro di tutte le altre the circolano con essa . La difficoltà consiste, essendo ordi- nariamente nel giro di una cosa ripetuta più volte la cifra di cui si tratta, di trovare il luogo nel quale sarà da fi-ssar- si la origine del giro; difficoltà che verrà tolta di mezzo da una semplice considerazione . Sia dato lo stesso giro L del- l'esempio precedente ( Tav." 5i. ) Egli è manifesto che il primo passo che fa ciascuna delle cose , si è sempre per effetto della prima legge O . I' . Se dunque dato il giro L della i si vorrà sapere quello del- la 2, , bisognerà cercare la a in quel punto del giro in cui sta per agire sulla medesima la legge O.I'. Chi pigliasse p. e. a cominciare il suo giro nel gruppo a." , e ponesse per primo posto da occuparsi da essa il (5) errerebbe di certo ; conciossiachè la a passa ivi in (5) per effetto della legge O .1'". Se si considererà similmente la cifra a nel B.° e nel 6.° gruppo, si troverà che dessa passa nei posti consecutivi sem- pre per opera di leggi diverse da O.I', e si vedrà che ope- ra sopra di essa la legge O.I' solamente quando passa dal- l' ultimo luogo del gruppo 3.° al primo del 4-*' Ora ciò che si è detto della cifra a conviene a qualun- que altra. Allorché dunque dal giro L di una cosa vorrà ri- cavarsi quello di un' altra qualunque che circoli seco, dovrà cercarsi quando detta cosa sia per passare da un gruppo al- l' altro consecutivo; poiché solo in quel punto agisce sopra di Dei. Sic. Conte Giovanni Paradisi 197 essa la I^gge 0.1' il che vale Io stesso che dire, che biso- gnerà trovare ove detta cosa occupi l'ultimo posto di un grup- po, e cominciare a notar il suo giro dal gruppo che segue im- mediatamente , continuando a scrivere tutti gii altri gruppi per ordine, e ritornando a capo sintanto che rimangano no- tati tutti quanti sono, formando così una serie di posti che esprimerà il giro cercato. Di tal maniera arriveremo a cono- scere che il giro della a si è M, che quello della 4 si è N, e così j>ure si potranno determinare tutti i rimanenti. Abbiamo addottala la precedente spiegazione, siccome la più opportuna per dare una idea dell' indole di questi giri . Del resto colla osservazione che ogni giro di qualsivoglia co- sa debbe terminar sempre colla cifra che rappresenta la mede- sima, saremmo più presto arrivati alla medesima conseguenza. 63. Da queste osservazioni derivano naturalmente que- ste altre. Poiché la serie che esprime il giro di una cosa, debbe servire ad esprimere ancora gli altri giri delle cose che cir- colano seco, converrà che la stessa sia composta di tal ma- uiirra che ognuna delle cose che circolano insieme, si trovino una volta sola nell'ultimo luogo di alcuno de' gruppi che ne costituiscono le parti . Occorre dunque che i prefati gruppi siano tanti né più né meno quante sono le cose che appar- tengono ad uno stesso giro. Dacché nasce la conseguenza ge- nerale, che se le leggi assegnate saranno di numero m e se si saprà che le cose che entrano in un dato giro sono di nu- mero n, il numero de' posti che ciascuna di esse dovrà per- «■orrere prima di ricominciare il giro da capo sarà indubita- tamente ;n re . E se si tratterà poi di determinare quali sia- no le cose che circolano insieme dal giro dato di una delle medesime ; queste si troveranno tutte notando le cifre che stanno nell' ultimo luogo di ciascun gruppo del giro. 64- Dal §. 62. si riconosce ancora che ogni cosa termi- na il suo giro quando é arrivata nell'ultimo posto di un qual- che gruppo, per la ragione appunto che da quel luogo debbe necessariamente ricominciarlo di nuovo. Ora questo essendo. lyS Del Giro di un numero qualunque di cose ec. noi potremo nel ricercare il giro di una cosa dispensarci dalla brilla di riconoscere il numero delle colonne che formano il periodo, come avevamo prescritto al 5- 6i ., affine di non por- re né più né meno termini della serie de' posti che forma- no il giro che si ricerca . E basterà soltanto che poniam niente di sospenderla , subito che la cosa di cui si trat- ta , si troverà la prima volta nel luogo estremo di qualche gruppo , sicuri che così il giro rimarrà perfettamente com- piuto . 65. Dal giro delle cose ne' problemi assoggettati a più leggi non si possono ricavare immediatamente le file orizzon- tali per costruire la tavola delle alterazioni . In questi casi per ottenerle, varrà la regola seguente che applicheremo all' e- sempio dei §5. precedenti { Tav." Su. ). Primo. Eseguito lo sviluppo B, si aggiungano al mede- simo tante colonne meno una quante sono le leggi, cioè nel caso nostro tre colonne. Secondo. Di queste si formino gli ordini 0.1^0.11,0.111 non naturali, e si compongano successivamente le risultanti E, F , G , applicando all' ordine, O ed a quegli altri per leggi le colonne V, VI, VII, e questi si scrivano in E, F, G, presso la prima risultante O. IV. che sta sotto D. ón 'ìu _, Terzo. Dalle resultanti si trovino tutti i giri H, L, M, N, che nascono di ciascuna ( 5S- ^^- ^^' )• Quarto. Dal giro H si determini quale sarà il numero delle colonne, o delle alterazioni necessarie per repristinar 1' ordine O, e nel caso presente si troverà detto numero es- sere = 6 X 4 = ^4- ( S- ^7- ) Quinto. Si scrivano i posti dell' ordine O verticalmente ed i 2,4. indici delle colonne come si vede in V. Sesto. Premesse queste operazioni si potrà scrivere qua- lunque fila si vorrà, tenendo le norme qui appresso. Prenda- si per fissar le idee, a descrivere la fila (4). Primo. Dal giro H si ottenga la serie conveniente per la sua <]uarta fila. Sarà la stessa i, 3, 6^ fi, 5» 4. Del Src. Conte Giovanni Paradisi 199 Secondo. Si ottengano queste medesime serie per gli ai- tri giri. Queste si troveranno. Pel giro H. 47 '5 3, 6, a, 5. Pel giro L. I, 3, 6, a, 5, 4- Pel giro M. 4) I5 3, 6, a, 5. {$. 29.) Terzo . I termini della serie prima si scrivano in V per ordine sotto gl'indici IV, Vili, XII., e sotto tutti gli altri del- la forma ^n. Quelli della seconda sotto gli indici V, IX, XIII, e tut- ti gli altri della forma J^ n ■+■ i . Quelli della terza sotto gli indici VI, X, ?^IV, e tutti gli altri della forma /^ n -i- 2.. Quelli finalmente della quarta si scrivano sotto gli indi- ci VII, XIj XV, e sotto tutti gli altri della forma ^n-+-S. Quarto. Nella distribuzione delle tre ultime serie avan- zerà in ciascheduna sempre una cifra che si ommetterà di scri- vere, perchè apparterrebbe alle colonne ulteriori XXV, XXVI, XXVII. I tre primi posti poi della fila che rimangon vuoti^ si riempiranno colle cifre che ad essa convengono tolte dallo sviluppo B. Un tale esempio lascia abbastanza vedere come dovrem- mo co(nportarci, se il problema fosse assoggettato ad un nu- mero qualunque di leggi maggiore, o minore. Siccome abbiam praticato in molte occasioni , farem presente anche qui che nella pratica si possono affrettare ed abbreviare di molto le operazioni , che qui siamo stati obbligati di porre per diste- so, affinchè distinguendole nelle sue parti, ne facessimo me- glio compiendere la ragione. 65. Le quattro operazioni colle quali abbiamo incomin- ciato la risoluzione del problema precedente, si rendono ne- cessarie in moltissimi altri casi. Affine pertanto di poterci dis- pensare dal descriverle ad una ad una quando dovremo far- ne uso, le comprenderemo in avvenire tutte sotto la deno- minazione di preparamenti , sicché viceversa quando e' im- batteremo in questo vocabolo , si dovrà sapere da noi che aoo Del Ciro di un numeko qualunque di cose ec. per esso viene indicato tutto il complesso di quelle quattro operazioni. 66. Più semplice e spedita d'assai riesce la risoluzione dell'ultimo problema che ci rimane da esaminare per dar com- pimento alla presente teorica, quello cioè per cui date le leg- gi di alterazione si cerca di determinare una colonna, ovve- ro una alterazione di un indice qualunque. Per trattar la cosa generalmente, prendiamo a considera- re un problema assoggettato ad M leggi che agiscano alter- nativamente, e compiuti i preparamenti del 5- 65. proponia- moci di determinare la sua colonna K""*. Ecco con quali mez- zi potremo riuscirvi. Primo. Avanti tutto sarà da ricercarsi quale sarà la re- sultante da cui può derivare la prefata colonna K, e per co- noscerlo basterà rintracciare quale delle forme MN, MN -i- i, MN -H 2,, MN -H 3 ec. abbia il n.° K. Imperciocché se ha la prima, la colonna K dipenderà dalla resultante O.M, se ha la seconda dipenderà dalla resultante O.I .( M -t- I ): dipende- rà dalla resultante O.II . ( M -H II ) se ha la terza, e cosi sì discorra del resto. Secondo. Se il n." K è minore del numero della colon- na del primo periodo, che supporremo P, la colonna K si tro- verà fra quelle del primo periodo col metodo del 5- Sa. Ma se K>P, sarà da cercarsi in a° luogo, a qual colonna del pri- mo periodo debba esser identica la colonna K , e ciò si otter- rà dividendo K per P, onde trovarne il resto R, che sarà sem- pre r indice assoluto della colonna del primo periodo che è identica colla K. Terzo. Tutto ciò eseguito^, rimarrà da sapersi quale sia l'in- dice relativo ( §. 6o ) della resultante determinata da priniù- pio, da cui deriva la K. E per iscoprirlo, converrà mettere R.'" sotto quella delle forme Mn, M« -+- i, Mn-+- a. Ma ■+■ 3 ec. che potrà appartenergli ( la quale sarà necessariamente la stes- se che aveva il n." K ): e trovatala, in ogni caso il numero n sarà sempre quello dell'indice relativo che si ricerca. Del Sic. Conte Giovanni Paradisi aor Quarto. Per tal modo il problema sarà ridotto alla ricer- ca della colonna /z."*" che deriva dalla resultante determinata da principio; ricerca che si compirà facilmente colle regole dei 5S- So, 3j, e colle osservazioni del §. 60. Applichiamo questi precetti ad un caso pratico. Sia l'e- sempio solito della tav."^ 5c. soggetto alle quattro leggi A, e compiuti i preparamenti B, coli' aggiunta di tre colonne ( §. S9. ) , e ricercate le leggi , e i giri D, E, F, G, H, L, M, N , (Tav.'^S^) cerchisi la colonna ic43.* Sarà in questo caso K= 1043, M=:4, P = a4. Primo. Poiché io43 = a6o y, ^ -h S , si vede ben tosto che la colonna che cerchiamo debbe derivarsi dalla quarta resultante O. III. VII descritta sotto G. Secondo. Essendo io43>a4, eseguita la divisione del p.° pel secondo numero, si troverà io43 = 43 X 24-1- 1 1 . Per la qual cosa XI sarà 1' indice della colonna del p." periodo identica colla cercata . Terzo. Avendosi poi 11 = 4 X a •+• 3 , sarà II 1' indice relativo della colonna che si dovrà derivare dalla legge G , onde ottenerne la cercata . Quarto. Ricavando dalla legge G la colonna II troveremo ch'essa riesce quella che si trova descritta in V. La colonna 1043. che si cercava sarà dunque la medesima che si legge in V. sotto l'indice II. 62. Stimiamo opportuno di aggiungere per comodo dei curiosi di queste ricerche le risoluzioni di varii problemi, ad ottener le quali sarà mestieri di porre in opera tutti i pre- cetti spiegati nel decorso della presente Memoria. Sia pertanto un mazzo di ^c carte disposte per ordine cosi che la 1" stia in cima di tutte e 1' ultima 40" tocchi la tavola . Queste si alterino alternativamente per ordine colle seguenti quattro leggi . Prima legge. Pongasi sulla tavolala i ." carta ìndi sopra la ^o": poi sopra la seconda a" e indi la Sg"; poi sopra la 3" ed indi la 38", e cosi sino al fine. Tomo XVIII. C e aoa Del Giro di un numero qualunque di cose ec. Secoriiia legge . Si pongano sulla tavola le i" , 2." e indi sopra Iti 4^"; poi sopra la 3" , 4-" e •'"^' sopra la 39"; poi sopra le S*" G" e indi sopra la 38'*; e così sino al tìtie . Terza leggf'. Si pongano sulla tavola le i*, 2", 3." e poi sopra la 4^'^: poi sopra le 4'% 5"^. 6", ed indi la ^q"^ ; poi so- pra le 7* 8* 9'', ed indi sopra la 38"; e così sino al fine . Quarta legge . Si pongano suila tavola le i", a", 3", 4" e poi la 40''; poi sopra le 5", ó"^, 7", 8"^, e indi sopra la 39"; poi sopra le 9", io", i 1", la", indi sopra la 38." e cosi sino alla line. Si domanda per un tal problema. Primo il numero di alterazioni necessario per restituire r ordine primitivo ? Risposta. Il numero cercato sarà 293a. (§ 56.) Secondo. Si domanda di determinare il giro della carta 1* sino a che si cominci di nuovo ? Risposta il giro dell' i" cercato sarà (40). (SS).'" (ag). ( 5). (3a). (i4)."° M- (i3). (16). (i8).3° (18). (19). (4)-(-^6).4° (ai). (i5). (12). m)/ (io). (29). (17). (i6).6^ (20). (17). ( 8). (3o).7'' ( a). (39). (87). m/^ ( 3). (38). (35). (a3).9° (11). (a8). (i5). (19).-° (16). (aa). ( 3). (37).-" (a5). (io), (aa). ( 9).-° (3o). ( 4). (34). (ao).'3° (i5). (a3). ( 5). (34).'4° (,3). (a5). - (9). (a8).-5' ( 4). (37). (33). (i7).'«J (.9). ('8). (6). (33).'7'' (9). (3o). (19). (i3).'8° (a4). (la). (18). (iS).'?" (aa). (i4). (i4). (^0-'°' ('4)- H)- ( 7)- (30-*'° ( 0- (4o). (39)- (35)." (17)- M- ( a). (39).^^' (33). ( i). (S- 61.). Terzo. Si dimanda di ricavare dal giro della i" quello della i5 ? . - Del SiG. Conte Giovanni Parabisi ao3 Risposta . Il giro della i5. sarà (la). H).'' (,o). (^9). (17). (.6).- (ac). (,7). ( 8). (3o)/ ( 2). (39). (37). (ag)/ ( 3). (38). e.c. ( S- 60 . Quarto determinare quali siano le cose che circolano in- sieme nel giro trovato del secondo problema ? Risposta . Le cose I, 4? 5, IO, la, i3, 14, i5, 17, 18, ig, ao, 22, a3, a4, a5, 28, 29, 3o, 37, 38, 39, 40. ( 5- 63 ) . Quinto . Determinare una delle file orizzontali p. e. la (i) , sino a che essa torni nel primo posto? Risposta . La fila cercata sarà la seguente 21, 34, 29, 20; ai, 16, 14, 4^5 ^'» ^3, 12, a4 ; 21, 3, 3o, 24; ai, 6, io, 12 21, II, a5, 18; 21, a5, 23, 87 21, 9, 37, 3o; ai, a, 4, 25 ; 21, 8, 28, IO ; ai, 16, 17, 38 ; ai, 6, 19, ag; ai, 35, I . . . ai, Sa, IO, a3; ai, a6, a4, 4^ ai, 36, 38, aa ; ai, 34, Sg, 28: 21, 33, 29, 39; 21, 3, i5, 17 ai, 9, i3, i5; ai, 11, 5, 19: (S- 65). Sesto . Determinare quale riuscirà la colonna , ovvero la alterazione 63'ji.""'? Risposta. La colonna cercata sarà la seguente. 37. 19. 40. a6. 5. 27. a3. 33. i3. 38. i4- 3o. a8. 25. 4. 8. 16. Sg. ag. 34. 35. i5. 36. a. 32. 18. 9- ai. 3. a4. 7- 6. IO. aa. la. 3i. ao. X. 17 11. ( S- 66 ) ao4 Del Giro di un numero qualunque di cose ec. Noi non prolungheremo più oltre questa Memoria che ci è cresciuta sotto la penna molto al di là di quello che ci proponevamo da principio, e quasi a nostro malgrado. Ma confessiamo che non avremmo saputo contenerla entro limi- ti più ristretti , senza lasciare la presente teorica incomple- ta in qualche sua parte, formando un lavoro imperfetto , e per un picciol risparmio di pena gettando tutto il resto del- la fatica, quando s'avvicinava presso al suo termine. D^l ri- manente le regole che abbiamo esposte possono bastare non solo pei casi che abbiam trattato, ma per moltissimi altri eziandio più difficili e più complicati . Resterebbe ora ohe ne mostrassimo alcune applicazioni curiose, ma in altro tem- po potranno le medesime offerirci il soggetto di un nuovo la- voro . i .'U' .M: r e .1 .1 nitij<:lJlt ■■■ i!i" \ rò .? ^ ., ; .VI ■l't . t' '. , -;. i. , . '' — .o .0.'; ìy ■ * 1 i* ^ .fi .J^ O .'h .t ;^ .>;^ .>S , <> ;.: - . (-" •■ .f.'i . a .' ' . * , . 1 ' - . 1 i. .;1 . ' ( .i.; .0 ,'• |.. ' '< . 1 v .se .'5 1 . 1." 0' I. c. II. A. III. E. !V. D. V. B. Vili. ptig. ao4- T AV O I. A. II. B. III. C. IV D. V. E. 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V 5. 4- 3. pei posti > h Giro 1 a della ; > ^ e cosa \ ) " 1 f TAVOLA .^g^ 0 P (•)• 3. (2). 1. (3). 5. (4)- 2. (5). 4- (2). (4). (5). (3). (,). TAVOLA .23,'^ 0. I. (i). 5. (2). C. 2. (4)- I . (5). 3. (6). 4- Tav. IV. " Blemorie di Matematica . Società Italiana delle Scienze T. XFIII. pag. ao4. TAVOLA i6. ;'cPQRGP QRC I. I II. 2 III. 3 IV. 4 V. 5 #-«(-* TAVOLA 20.' Ciro I 2. pei della > 3. po- rosa t 4. sti (2). (4). (5). (3). (') (4). (5). (3). (i). (^) (-)• (^)- (4)- (3). {■'^ì (5). (3). (,). (2). (4) (3). (,). (2). (4). V-ì ■«■**■* * * . A . B . C . D . E TAVOLA 17 a 0 P Q R S 0 I I. 3. 5. 4- 2. I. II 2. I. 3. 5. 4- 2. III 3. 5. 4- 2. I. 3. IV 4. 2. j. 3. 5. 4- V 5. 4- a. I. 3. 5. TAVOLA 18." 0 P Q R S T V I I. 3. II 2. I. . III 3. 5. . . IV 4. 2. . • V 5. 4- . • TAVOLA 21." ^ h V [a), {b). (e), (d). (/). (h). Giro i a pei 1 {b). (e), (d). {fi. (k). [a). della ; > * 1 po- l (e), {d). (/•). Ih), (a), {b). 1 c 1 {d}. (/). {h). la), ib). (e). cosa ' ) ' Stl \ {fi- (h). («)• (*)• (e)- ('^)- f / ih), [a), ib). (e), [d). (/). G. Giro pei della 7 i cosa ( posti TAVOLA 22." 0. I. (■). 5. (2). 6. (3). 2. (4). I. (5). 3. (6). 4- TAVOLA .9." 0 P (,). 3. (2). I. (3). 5. (4). 2. (5). 4. (4). (5). (3). (. TAVOLA 23," 0. I. (')• 5. (2). C. ( -") 2. (4)- I. (^). 3. (6). 4- . — — 1 emorie di Matematica . Società Italiana TAVOLA aS." 1 B - 0. L IL IIL IV. V. vi.ii. HI. IV. V. vi. (a). b. g. d. f. e. a. [b). g. d. f. e. a. *.'». e. f. d. b. [e]. a. b. g. d. f. e. e. f. d. b. s- [d). f. e. a. b. g. d. f. d. b. g. a. (/■)• e. a. b. g. d. /• b. g. a. e. /• (s)- d. f. e. a. b. e- d. b. g. a. g. a. e. f. e. d. is) TAVOLA a8° 30.'' I. TAVOLA 3i." 1 0. l. IL III. IV. V. VI. 0. I. (a). * * * * * b 3. (')• (b). (e). # ♦ * ♦ * „ * ♦ * * * ^ 2. 6. (.1. (3). 0. 1 . {d). * * * * * f 4- (4)- 2. (fi- * * * * * d. I . (5). 3. is)- (h). * * * * * fi. * * * * * T 5. (6). Iti- 4- 5. ! Tav. V. Memorie di Matematica . Società Italiana delle Scienze T. XVIII. pag. 204. Giro della cosa TAVOLA 24." b. e. pei posti ) .). (4). (( .(7).(9).{.i).(4).(6).(i). I. d). (,4). (5). (.2). (^). II. 14. Giro della 2 1 ■ . . >('o). (14). (5). pei posti j (.2). (2). 5). (8). 4. 3. Giro della 8 ) [(i5). (8) pei posti ) 5). i5. 7- a. Giro della i3) pei posti ) ' 9- 5. i3. IO. 8. 1 Tav. F." Memorie di Matematica. Società Italiana delle Scienze T. XVIII. pag. 204. TAVOLJ* . 32". 0. I. (>)• 7. (2)- 3, (?)• 1 1. (4)- 8. (5) 12. (6). 2. (:)• I. (8). 9- (9)- 4- l.c). 10. 6. (.2). 5. TAVOLA 33." 0. I. * (.). 6. Giro della i ^ ** (2). 12: [(3). (7). (9). (1,). (4). (6). (,). pei poftì ) * (3). I. * (4)- II. Giro della 2 1 ** (5). 14. [(.0). (14). (5). (.2). (2). pei posll ) * (6). * (7)- 4- 3. Giro della 8 ) . . [('5). (8) pei posti ) A (8). i5. * (9)- * (IO). 7- 3. Giro della i3) pei posti J * («■)• 9- ** l'al- 5. ti ('3). i3. * ('41- IO. A (.5). 8. TAVOLA 34." 0. L 1 (■)• (2). 6. 12. Giro della i ) [(3)-(7)-(9)-{'>)-(4)(6)-(')- pei posti ) (3). (4). I. 1 1. Giro della 2 J [(.0). (,4). (5). (12). (.). pei posti ) (5). (6). 14. 4- Giro della 8 ) [(i5). (8). pei posti ) (8). 3. iS. Giro della i3) pei posti ) (9)- 7- (IO). 3. (..). 9- (12). 5. (.3). i3. (M)- IO. («5). 8. Memorie di M- F^g- ^^4- ).(.i).(4).(6).(i) |.(4).(6).(.). (3) j).(7)-(9).('0-(4) l).(9).(i.).(4).(6) ^).(6).(,).(3).(7) i).(i).(3).(7).(9) ).(3). (7).(9)(") (5). (,:.). (a). (,o). (i4). (5). («^). (M- ('O)- (i4). (5). (i;.). (a), (io). (i4). TAVOLA 37." A I. 5. I. 4- 11. HI. i • 4- 3. I . 6. II. 4- 3. II. 2. 6. D n III. III. II. 3. 2. I. 5. 3. 6. 7- IV. 3. 4. 5. IV. 3. 4' 5. IV Tav. vi: Memorie di Matematica. Società Italiana delle Scienze T. XVIII. pog. 2o4-- Giro delle TAVOLA 30." Giro delle Giro della cosa Giro delle \ IO. 14. 8. i5. i3. (9).(.i).(4).(6).(i) (M).(4).(6).(.). (3) (3).(7)-(9)-(")- (4) (7).(9).(i.).(4).(6) (4).(6).(i).(3).(7). (6).(i).(3).(7).(9) sti 1(4).(6). (i).(3). (7). (9)(") pei (,o). (H)-(5). (.3). (3). (.3). (2). (10). (.4). (5). pò- ^ (i4)- (5). (12). (2). (IO). U). (io). (14). (5). (12). sti 1(5). (.2). (2). (io). (14). pe pò sti al po- sto ' \ (i5). (8). ( (8). (iS)- 1 ) (i3). T AVOLA 36." 0. I. A (')• 3. Giro V- pei ' (4). (5). (3). (.). (2). 7- ]' (7). (6). (a). (3). 5. {'■ (,). (4). (5). (3). (4)- I. delle )*■ pò- \ (5). (3). (i). (4). (5). 4- [ ^' (3). (,). (4). (5). (6). 2. 1 ''' (2). (7). (6). (7)- 6. cose )" sti (6). (2)- (7). TAVOLA 37." 0. I. II. III. IV. (')• 3. 5. 4- I. [A- 6. 7- a. (3). 5. 4. I. 3. (4)- I. 3. 5. 4. (5). 4- I. 3. 5. (6). 7- 2. 6. (?)• 2. 6. 1' TAVOLA 37." A 0 I. II. III. IV. (■)• 3. 5. 4- i. (2). 6. 7- 2. (3). 5. 4- i. 3. (4). 1. 3. a . 4- (5). 4- 1. 3. 5. (6). 2. b. (7). 2. 6. 7- 1 0. 1. II. m. IV. (■)• 3. 5. 4- 1. (2). (3). 5. 4- I . 3. (4)- I. 3. 5. 4- (5). 4- I. 3. 5. (6). (7)- G 1 0. I. II. III. (')■ (2)- 6. "' 2. (3). (4). (5). (6). n. 2. 6. (7)- 2. 6. 7. D 0. I. II. II. IV. (>)• 4- 5. 3. I . (2)- 6. 7- 2. 6. (3). 5. 4- I. 3. (4)- 1 . 3. 5. 4- (5). 4- I . 3. 5. (6). 7- 2. 6. 7. (7)- 2. 6. 7. 2. Memorie di Mat eìnatica. Società Italia TAVOLA Sg.-'LA 40." A [. li. 0. l. II. III. IV. 0. I. (0- ♦ * * I. (i). * (2). * * * (2). * », (3). fi- * * 3. (3). * ;;, (4)- ♦ * * 4. (4)- * ^. (5). (ó). * * 5. (5). * * * (6). * f- tr 7' i (?)■ # * * (?)• * ■• C • 1 0. I. II. III. (/). (^). (e). (Z*). (")• (,). * * * is)- • 3. 5. 4- I. 3. 5. 4- I. 3. 5. 4- (5)4. I. 3. s. 4- I. 3. 5. 4- I. 3. 5. (6) 7- 2. 6. 7- 2. 6. 7- 2. 6. 7- 2. 6. (7) ^- 6. 7- 2. 6. 7- 2. 6. 7- 2. 6. 7- TAVOLA 42." A 0. I. 0. I. 0. I. 0. I (■) 21. (II). 26. (21). 3i. (3i) 36. (^) 20. (12). i5. (22). IO. (32) 5. (5) 23. (.3). 27. (23). 32 (33) 37. (4) 19. (>4). '4- (H)- 9- (34) 4- (5) 23. (i5). 28. (25). 33. (35) 38. (6) 18. (iC). i3. (26). 8. (36) 3. (7) 24. (-7)- 29. (^7)- 34. (37) 39. (8) 17- (.8). 12. (28). 7- (38) 2. (9) 25. (•9)- 3o. (29). 35. (39) 40. (>o) i5. (20). II. (3o). B 6. (40) i. pei \ (40). (39). (37). (33). (25). ( 9 ). (24). ( 7 ) . (28) 27 [(i5).(,2).(,8).(6).(3o).(i9).(4).(34).(2i) postij(.3).(i6).(io).(22).(3).(36).(3,).(2,).(i) giro della giro della giro 2 ^9'! (38).(35).(29).(,7).(8).(26).(.i>.(20).(2) posti ) D pei ) 5 3 [ (32). (23). (5). posti ) E dellaV 14 cosa al postoi ,4). Incontro secondo la regola del § 36. Somma dei posti a7-*-9-i-3-(-i = 40. TAVOLA 43." 0 I. 0. A 0. I. I. 0. I. (') 09 (..). 9. (21) 19. (3.) =■!• (^) 34 (.2). 6. (22) 20. (32) 29. (3) 40 (.3). I. (23) 16. (33) 3i. (4). 35 (•4)- 10. (24) IT- (34) 33. (5). 3 (iS). li. (25) 21. (35) 32. (6). 5 (.6). 4. (26) 22. (36) 30. (7)- 4 ('7)- i3. (27) 23. (37) 28. (8). 2 (18). i5. (28) 24. (38) 36. (9)- 7 (-9)- 12. (29) 26. (39) 37. (ic) 8. (20). 18. (3o) 25. B (40) 38. giro V pei ) della 7 [ (.3). (17). (24). (»8). (37) • (39) (li). cosa posti ) C giro della ì ^ pei 10 ì" ). (,o). (14). (.6). (23 • (27) cosa posti ) (3 ). (33). (34). (2). D giro della 1, pei 1 1 \ (5) . (6). (12). (19). (21). (25). cosa S posti ) (3o) . (36). (38). (40). (3). E giro della \ 4 pei 12 !'" (9). (11). (i5). (18). (20). cosa posti (22) (26). (29). (32). (35). (4)- Incontra F secondo la regola del §. 36. somma dei posti 7 -f- 1 0 -*- 1 1 -+- 1 2 = 40. TAVOLA 45.'' 6.0 0. I.' 0. I." 0. I.'". (.). 4. (.). a. (•)• 3. (2). 3. (2). 5. (2). 6. (3). 5. (3). I. (3). 4. (4). .. (4). 3. (4). 5. (5). 6. (5). 6. (5). a. (5). 2. (6). 4. (6). I. II. 0. II. B I. II. III. IV . V- VI. VII. VIII. IX X. XI. X 4- 3. 5. 4. 2. 5. 6. 2. I. 6. 3. I 3. 6. 4. I. 5. 3. a. 4- 6. 5. I- 2 5. I. 4. 2. 5. 5. 3. 2. 6. 4- 2. I. 6. 5. 6. I. 3. 2. I. 3. 4. 6. 3 4 6. 2. I. 6. 3. I. 4. 3. 5. 4- 2. 5. a. I. 6. 3. 0. II. I. IV. 4. 3. G 5. II. X 4. 2. . XII. 5. 6. VI. VI l'I- 4- (2). 3. (3). 5. (4). ,. (5). ^. (6). 6. M- (3). (2) Tav. IX." Memorie di Matematica. Società Italiana delle Scienze T. 1 XVIII. pag. 204. n -il 1 TAVOLA 44.". A 0. 4385. 0. 438^. 0. 4385. 0.4385. TAVOLA 45." 1 TAVOLA 46.0 C 0. II. 0. A L'". XII. A 0. r. 0. I". B !.■ 0. I." 0. 0. I. n. ♦ (,). 23. ti (")• 4 «* (="'• ^^^ .* (2). 23. A ('»)• 30 ì; (22). 15. A (3). '9- ♦ ('3>- ^1- ** '^■^'- "■ Jì (4). 29. ** (14)- 33. * (24). I. .)- (36). (38). (40)- E IS4'^AM'v''<^)-'->-"^'; cosa) rosti ) (25). (26). (29). (32) - ♦* (3i) .0. Il (32) 22. .. (33) .4. »» (34) 16. ;; (35) 26. .* (36) 5. * (37) 17. *, (38) 6. * (39) 24. A (40) 12. (37). (39). (.). (23). (^)- (21). |25). (3). (18). (20). (35). (4). 0. I. (■)• (2). (3). (4)- (5). (C). II. Ili 4. (.). a. (I). 3. (2). 5. (2). 5. (3). I. (3). .. (4). 3. (4). 6. (5). 6. (5). 2. (6). 4- (6)- B 3. d. 4- 5. a. I. IX. X. XI. (!) 3. (.). 2. (2) 4. (2). I. (3) 6. (3). 4- (4) 5. (4). 6. (5) a. (5). 5. (6) I. (6). 3. l Giro J I. della > 2. cosa ; 6. (.). 3. 4- (2). 4- 3. (3). e. 5. (4). 5. .. (5). a. a. (6). I. 6. D (')• 4. (2). 3. (3). 5. (4). .. (5). 2. (6). 6. (>)• (3). (2). IV. V- VI. VII. vili pei \ (4). pò- > (5). sti ) (6). ('). 4- (.). 3. (3). 5. (4). .. (5). 6. (<•)• a. 3. 5. 6. 4- 4. 2. 5. 3. 2. 1. I. 6. 0. 4. 2. 5. 6. a. 1. 5. 3. a. 4. 5. 6. 2. I. 6. 2. 4. 6. 5. I. 6. 3. I. 4- 3. 3. I. 4- 3. 5. G 1. 6. 6. 5. 3. I. 2. 3. 5. 4. 4. a. X. XII. 3. I. 4- 6. 2. 5. I. 2. 3. 4- 5. 6. II. IV. VI. Vili. (>) (2) (3) (4) (5) (6) 3. 4. 5. 2. 6. 1. 3. 4- 4. 5. a. 6. 5. a. 6. )• 2. 6. 1. 3. I. 3. 4. 5. 6. I. 5. a. I. 3. 3. 4. 4. 5. a. 6. -' '■.ematica. Società Italiana delle Scienze T. TAVOLA 43." B r. 0. I". 0. I. II. III. (.). 5. (2). 6. (3). 4. (4)- ^■ (5). 3. (6). I. (2). 3. (3). 4. (4). 5. (5). 6. (6). ,. 6. I. 1. 5. 5. 3. 3. 4. 4. 2. 2. 6. D T. VI. O. I. III. V. 1. 2. 3. 4. 5. d. P e (.). 2. ,. (2). 3. 5. (3). 4. 3. (4). 5. 4. (5). 6. 2. (6). I. 6. 6. 4. 5. 3. I. 2. I. II. III. IV. V. VI. (l). 2. 6. ,, (2). 3. I. 5. (3). 4. 5. 3. 2. 6. 1. 6. 4. 3. 4. 5. 3. o. r (j)- 5. (2). 4. (3). 6. (4). 3. (5), 2. (6). I. ^I. VII. I. 5. j. 3. 4- 6. 2. F 0. nL~vii'. P e (l). 2. 5. (2). 4 I. (3). I. 3. (4). 5. 4. (5). 3. 6. (6). ò. 2. H (.XIII.XVII.XXI. H- I. 3. 6. 2. • 5. ■+• I . 3. 6- 2. 5. I. 3. 6. 2. 5. 4- I . 3. Tav. .V." TAVOLA 47.'^ 0. r. 0. I". O. I" 0. (2). (3). (4)- (5). (h). 2. B 1. II. 4- 3. 5. I . 6. (2). 5. (3). (4). (5). (6). (')• 2. (2). 3. (3). 4- (■+)• 5. (5). 6. (6). I. c III. O. III. (3). (4)- (5). (b). 3. 6. 6. 4. 4. 5. 5. 2. 2. 1. I. 3. (3). (4)- (5). (6). '(5). (3). (6). pei pò- > Memorie dì Matematica. Società Italiana delle Scienze T, XVIII. pag. ao4. TAV OLA 43." A B 0. r. 0. I". 0. I. II. III. (,). 2. (.). 5. (■)• 2. 6. I. (2). 3. (2). 6 (^)- 3. I. 5. (3). 4. (3). 4 (3). 4- 5. 3. (4). 5. (4). 2. (4)- 5. 3. 4. (5). 6. (5). 3. (5). 6. 4. 2. (6). I. (6). I. (6). I. 2. 6. 0. G 0. D II. IV. VI. I. III. V. (>) 6. 2. i. P (■)• e 2. I. 6. (^) I. 6. 2. (2). 3. 5. 4. (3) 5. 4. 3. (3). 4. 3. 5. (4) 3. 5. 4. (4)- 5. 4. 3. (S). 4. 3. 5. (5). 6. 2. I. (6). 2. I. 6. 0. I. Il . E IV. (6). V. I. 6. 2. VI. [II. (i). 2. 6. I. 2 6. I. (2). 3. I . 5. 6 4- 2. (3). 4. 5. 3. 4- 5. 3. (4). 5. 3. 4- s. 3. 4- (5). 6. 4- 2. 3 I. 5. (6). I. 2. 6. I 2. 6. TAVOLA 40." 0. r 0. i". o. I". o. r". II). 2. (2). 3. (3). 4. (4). 5. (5). 6. (6). ,. (3) (4) (5| (6) S. I. 3. 6. 4- (.). 3. (2). 4- (3). 5. (4). 6. (5). I. (6). 2. (2). (3). (4). 5. 4- 6. 3. (5). 2. (6). I. B O. I. U. III. IV. V. VI. VII. (>) (2) (3) (4) (5) (6) C oTìv^ 2. 3. 4- 5. 6. 3. 6. 2. 4- I . 5. 2. 4- I. 5. 3. 6. 3. 5. 6. I. 4. 2. 5. 6. 1. 4- 2. 3. 6. 2. 5. I. 3. 4- 5. I. 3. 4- 6. D E O.ÌL VL F 0. iTl^VII. (■)• (2). (3). 6. (41. .. (5). 4. (6). 2. P e (,). 2. 5. (2). 3. 6. (3). 4. i. (4). 5. 4. (5). 6. 2. (b). .. 3. G P " (.). 3. 6. (2). 6. 2. (3). 2. 5. (4)- 4- '. (5). I. 3. (0). 5. 4. |I|. 2. 5 (2). 4 I {31. 1. 3 (4). 5. 4. (5). 3. 6 (6). 6. 2 H o.iv.vm.xii.xvi.xx.xxiv. 0. i. v.ix.xiii.xvii.xxi. (<)■ 3. (2). 5. (3). 6. (4). I. (5). 4. (6). 2. 5. 6. 3. 4- L 5. 3. 4- 2. 6. 4- 6. I. 5. 2. 3. (1). 2. 5. (2). 3. 6. (3). 4. .. (4). 5. 4. (5). 6. 2. (6). I. 3. 4- 'X • 3. 5. 6. M I. 5. 6- 3. 5. 2. 3. 4- O. II. VLX.XIV.XVIII XXU. O III.Vfl.XI.XV.XIX.XXIIT /> e II). 3. (2). 6. (3). 2. (4). 4- (5). .. (6). 5. 4. I. 6. 2. 2. 5. .5. 4. I. 3. 3. 6. 5. 4- 4. r. 5. 6. (.). 2. 5. 4. (.). 4. 1.3. (3). 1. 3. 6. (4). 5. 4. I. (5). 3. 6. 2. (6^ 6. 3. s. 6. 2. 2. 5. 3. 6. 5. 4- 4. 1. 6. 5. 4- 2. 3. \tica. Società Italiana delle Scienze T. TAVOLA 5.." L Giro della i. 0. I.'^ 3 4 l.o 2.0 3.0 5 (5). (3). (4) (3). (4). (a). (5). (4). (5). (4). , 4.° 5." 6." ^ (3). (,). (6) (5). (2). (6). (3). (2). (i). (5). ^j yjj_ (1). 5 (^). 4 (3). 6 (4). 3 (5). 2 (6). , M Giro della 2. (3). (.). (6). (3). (a). (6). (3). (2). (>). (5)^ ^ (5). (3). (4). (3). (4). (2). (5). (4). (6). (4) N Giro della 4, I. 3. 4- 6. z. (4). {2). (5) (4). (6). (4). (2). (.). (3). (i).[; ^JJi^;^- (2). (6). (3) (2). (.). (5). (.). (6). (5). (3). P e ■ («;• 2. 5 . (2). 4. I (. (3). I. 3 ' !• (4)- 5. 4 (S). 3. 6 (6). 0. 2 6. (2)3. (6)1. j VI. )6. (1)3. (5)1. f. VII. 6. (5)3. (3),. seffue Tal'. XI." Blemorie di Matennitica. Società Italiana delle Scienze T. XVIII pag. 2o4- TAVOLA So." O. o. I." o. I.'" o. (3J. (4)- (5). (6). 0. (3|. (4V (5). (6). 3. 4- 5. 6. I. 2. 3. 4- 5. 6. (^)- (3). (4)- (5). (C). B II. 3. 6. 2. 4- I. 2. 5. I . 3. 6. 4- III. 2. 4- I. 5. 3. 6. (3). (4)- (5). (6). IV. 3. 5. 6. E Legge 0. 1' D Gì™ ) Fi , (6). (5). (4) della ( I , pò- i |S). (a). (!) G Legge 0. I'" Giro \ i pei . (5). (3). (li). Giro della Fo- cosa ) 2 sti ) (6). (4). (2) 3. 4- 5. 6. I. (2). (3), (-ti- (5). (6). O. (■)■ (3). (4)- (5). IV. 3. 5. 6. 1. 4- (6). 2. Legge 0 1" P*'');3,.(4).(6A I pò- > ,,i)(5).N.(.)- H Legge O. I'" P" )(6).(3).(4). pò sti (2).(5).(.). Ciro cercato della i. (6)- (5). (3). (4). (3). (4). (2). (5). (>). 13). (i). (r,). {% (2). (6). (3). 3° (4)- (6)- (4)- (^)- 6° (2). (.). (5). (3). 1 ^ TAVOLA 5i.« 3.» L Giro della i. 2.» (6). (5). (3) (4) (3). (4). (2). (5). (4). (5). (4)- (2) 4-° 5.0 6.» (')• (3). (i). (6) (5). (2). (6). (3). (2). (.). (5). (.) (')• (3). (1). (6). M Giro della 2. • (')• (5)- (i) (5). (2). (6). (3). (2) (6). (5). (3). (4)- (3). (4). (2). (5). (4) (6). (4)- (2) (3). (4)- (2)- N Giro della 4. (3), (.). (6). (5) (4). (6). (4). (2). (.). (5). (2). (6). (3) (2). (i). (5). (.)■ (6). 15). (3). (4). TAVOLA 52." A O. O. I." O. I. ■ 0. I.'" (■)• (2). (3|. (4)- (5). (0). 2. 3. 4- 5. 6. (2). (3). (41- (5). (ó). B (2). (3). (4)- (5). (0). (>)• 5- (2). :+. (3). 6. (4). 3. (5). 2. (6). .. 0. I. n. III. IV. V. VI. VII. (2). (3). (4)- (5|. (6). 5. 6. 3. 6. 2. 4- I. 5. 4- I . 5. 3. 6. 3. 5. 6. I . 4- 2. C 5. 6. I . 4- 6. 2. 5. ) . 3. 4- 5. I. 3. 4- 6. 2. D 0. IV. O. I. V. 0. II. VI. 0. III. Vii. (>) (3) (4) (5) (6) P e 3. (1). 2. 5. 5. (2). 3. 6. 6. (3). 4. I. I. (4). 5. 4. 6. 2. I. 3. p e p (,|. 3. 6. (lì. (2). 0. 2. (2). (3|. 2. 5. (3). (4l- 4- '• (4)- (5). i. 3. (5) (6). 5. 4. (b) 2. 4- I . 5. 3. 0. Giro delb cosa H. Legge O. IV. (4). (5). (2). (6). (3. (.). L. Legge O. I. V. (3)4. (4)5. (.)2. (5)ó. (2)3. (6)1. M. Legge 0. II. VI. pei ) pò- (4)4. (6)5. (3)2. (2)6. (.)3. (5)1. N. Legge 0. III. VII. pò- (2)4. (4)5- (x)2- (<')ó- (5)3. (3)1. sti S di Matematica. Società Italiana del TAVOLA 53." i". O. I.' 0. I." 0. I. l'i- (2). (3). (4). (5). (ó). 3. 4. 5. 6. (2). 5. (3). ,. (4) (5). (6). 3. 6. 4- (I). 3 (2). 4 (3). 5 (4)- (5). (6). 0. I. II. Ili IV. V. (')• 2. 3. 2. 3. 5 (2). 3. 6. 4- 5. 6 (3). 4- a. I. 6. I (4)- 5. 4- 5. 1- 4 (5). 6. I. 3. 4- (6j. I. 5. E 6. 2. 3 c D F 0. IV. 0. I. V. 0. II. VI. VI. 3. 5. 6, I. 4- 2. (2). (3). (4)- (5). (6). Giro] della cosa ' Giro^ della^ I cosa ) Giro) dellaV I cosa ) Giro) della? I cosa ; (2). (3). (4)- (5). (6). pei po- sti pei po- sti pei pò- I sti pei po- sti e P '^ 2. 5. (i). 3. 6. 3. 6. (2). 6. 2. 4. 1. (3). 2. 5. 5. 4. (4). 4. I. 6. 2. (5). I. 3. I. 3. (6). 5. 4. H. Legge 0. IV. 1 . (4). (5). (2). (6). (3). (. L. Legge 0. I. V. I . (3)4. (4)5. (1)2. (5)6. ( M. Legge 0. II. VlJ (4)4. (6)5. (3)2. (2)6. N. Legge 0. III. V, (a)4. (4)5. {.)2. (6)6. ( Tav. XI r." Memorie ^i Matematica. Società Italiana delle Scienze T. XVIII. pag. 2o4- Segue la Tav. Sa." P File corrispondenti al posto 4. Q. secondo il giro H. B. secondo il giro L I, 3, 6, 2. S, 4, S. secondo il giro M. I, 3, 6, a, 5, 4. 4, I, 3. 6, 2, 5, T. secondo il giro N. 4) O 3, 6, 2, 5. I. II. III. IV. V. VI. VII. vili. IX. X, XI. XII. 5. 4- ^- '• 4- '■ 4- 3- !■ 3- '■ ^■ XIII. XIV. -YV. XVI. XVII. XVIU. XIX.XX.XXI.XXII. XXIII. XXIV. 3. 6. 3, 2. 6. 2. 6. 5. 2. ^. 2. 4- TAVOLA 53." 0. I.' A 0. I." 0. I. 0. i.'° (1). 2. (1). 2. (.). 3. (1). 5. (a). 3. (2). 5. (a). 4. (=^1- 4- (3). 4. (3). I. (3). j. (3). 6. (4). 5. (4). 3. (4). 6. (4). 3. (5). 6. (5). 6. (5). I. (5). a. (ó). 1. (ó). 4. (6). a. B (6). I. 0. I. II. III. IV, V. VI. VII. l'I- a. 3. 2. 3. 5. 6. 5. 1 la). 3. 6. 4. 5. 6. 2. 1 . (3). 4. a. i. 6. I. 5. 3. (4). 5. 4. 5. I. 4- I. 4. (5). 6. I. 3. 4. a. 3. 6. (6J. I. 5. 6. a. 3. c 4. a. D E F G 0. III. VII. 0. IV. 0. I. V. 0. li. VI. p e p e P e (■)• i- (i). 2. S. (I). 3. 6. (.). 2. 5. (a). 5. (2). 3. 6. (2). 6. a. (2). 4. 1. (3). 6. (3). 4. I. (3). a. 5. (3). I. 3. (4). X. (4). 5. 4. (4). 4. I. (4). 5. 4. (5). 4. (S). 6. 2. (5). I. 3. (5). 3. 6. (6). a. (6). I. 3. (5). 5. 4. H. Legge 0. IV. (6). 6. a. Giro) pei ) della[ I pò- [ (4). (5). (2). (6). (3). (■)• cosa ) Stl ) L. Legge 0. I. V. Giro) pei ) dellaS I pò- (3)4. (4)5. (1)2. (5)6. (2)3. (1)6. cosa ) stl ) M. Legge 0. II. VL || Giro) pei) 1 della> I pò- [ (4)4. (6)5. (3)2. (a)6. (1)3. (5)1. cosa ) 8ti ) N. Legge 0. III. VII. || Giro) pei ) della[ I po-V(a)4. (4)5. (i)a. (6)6. (5)3. (S).. cosa ) sti ) 1 Segue la Tav. 53". V. XI." a. 5. 4. 3. 6. ao5 SUL NUOVO TORNO IMMAGINATO DAL SIGNOR CARLO PAREA Ispettore Generale e Direttore dei Lavori DEL CANALE DI PAVIA MEMORIA DI ANTONIO BORDONI CIA Professore nella Scuola Militare di Pavia Ricevuta il dì i6. Marzo 1817. O immaginino due cilindri i quali abbiano gli assi paralleli e ad uno di essi unito perpendicolarmente un manubrio, che prolungato passi per 1' asse del cilindro medesimo; ed alla estremità di questo manubrio più lontana dal cilindro stesso si supponga legata una fune, la quale in parte sia tesa nel- lo spazio ed in parte avvolta all' altro cilindro , a cui trovi- si fissato r altro capo di essa . Supposto che i due cilindri possano rotare intorno ai rispettivi assi,, facendo rotare il secondo pel verso onde ad esso si avvolga maggiormente la fune, si obbligherà evidentemente a rotare anche il primo cioè quello fornito del manubrio. Ora mentre accade questa rotazione, 1' angolo compreso dal manubrio e dalla fune unita ad esso aumenta continuamente sino al punto di risultare eguale a due retti; dimodoché, se quest' angolo nel principio è maggiore di un retto, si man- tiene sempre ottuso, e se è acuto in un istante solo egua- glia un retto . Per tanto, in qualunque istante del tempo in ac6 Sul Nuovo Torno immaginato ec. cui dura la rotazione, eccettuato l'unico anzidetto, la forza prodotta dalla tensione della fune legata al manubrio sarà decomponibile in due, 1' una perpendicolare al manubrio e l'altra diretta a seconda del medesimo. Il moto di rotazione del secondo cilindro , cioè quel mo- to che si desidera produrre coli' ordigno immaginato, è pro- dotto interamente dalla prima di queste due componenti; giacché l'altra, passando per I' asse del primo cilindro, e- sercita su di esso la semplice pressione , la (|uale aumenta la difficoltà che è d' uopo vincere per produrre questo movi- mento , e nel medesimo tempo tende a rompere 1' ordigno stesso . Ora alla Superficie cilindrica ordinaria a cui si avvolge la fune si supponga sostituita una superficie cilindrica qua- lunque , la quale abbia però la retta generatrice e quella intorno alla quale essa rota, parallela all'asse del cilindro for- nito del maiMibrio : egli è facile a concepirsi che la legge , secondo la quale varietà l'angolo compreso dalla fune e dal manubrio mentre succede la rotazione , cambierà col variare la superficie medesima . Il Signor Ispettore suddetto mi propose il quesito : tro- vare quella superficie cilindrica alla quale debba avvolgersi la fune, perchè si mantenga essa per tutto il tempo della rotazione perpendicolare al manubrio a cui è legata, vale a dire , affinchè la tensione o forza prodotta da essa sia tutta impiegata utilmente a produrre la rotazione desiderata . In questa breve Memoria io espongo le equazioni della linea esprimente la curvatura della superficie dimandata, cioè le equazioni della intersezione fatta alla superficie stessa da un piano perpendicolare alla sua retta generatrice, ed alcu- ne altre singolari proprietà della linea medesima . L' utilità della quistione, il metodo che uso per trattarla, e le singo- larità analitiche che s' incontrano nello sviluppo di essa, mi lusingano che questo tenue lavoro potrà essere aggradito dai lettori . / Del Sig. Antonio Bordoni aoy a. Sia A ( Fig. I ) il punto dove il piano del manuhrin e della fune sega la retta attorno cui rota la superficie cilin- drica dimandata, ed L quello ove è segato dal medesimo piano r asse del cilindro a cui è annestato il manubrio . Così, ad un dato istante del tempo in cui dura la rota- zione, la sezione fatta dal medesimo piano alla superficie di- mandata sia espressa dalla curva CDE , il manubrio dalla ret- ta IL , e la fune dalla linea IDE composta della parte retti- linea ID toccante la curva CDE in D, e della parte curvili- nea DE avvolta alla curva medesima CDE , La conoscenza della curva CDE la quale esprime la cur- vatura della superficie dimandata^ forma lo scopo principale che si ha di mira nella presente indagine . Continuando la rotazione della superficie cilindrica a cui sì avvolge la fune, ossia rotando la linea CDE da C verso E intorno al punto A, la linea medesima CDE passi alla po- sizione FGE , il manubrio alla HL, e la fune alla HGE: per le proprietà della curva dimandata gli angoli DIL, GHL deb- bono essere retti, le rette ID^ HG toccanti le linee CDE , FGE, e le lunghezze ID-f-DS, HG-4-GE eguali fra loro, cioè eguali tutte a quella della fune . Le linee LH , HG , FGE unite invariabilmente rotino attorno al punto A in modo, che la FGE ritorni sulla CDE; ed in questa posizione la retta GH cada nella MP toccante la linea CDE, e la HL nella MN : il punto N termine del- la MN sarà evidentemente nella periferia circolare QNL a- vente il centro in A ed il raggio eguale alla distanza di A da L. Essendo MP=:HG, sarà MPDE = ID -4- DE, ossia MP-4- PD = ID; e però i punti M , I apparterranno ad una mede- sima evolvente della linea CDE. Similmente per essere retti gli angoli NMP, LID, le linee rette MN, IL, le quali hanno ao8 Sul Nuovo Torno immaginato ec. i termini N, L nella medesima periferia circolare QNL , ca dono nelle toccanti la evolvente anzidetta nei punti M ed I . Adunque la curvatura o linea dimandata ha una evol- vente, di cui sono costanti ed eguali alla lunghezza del ma- nubrio quelle porzioni delle sue toccanti, le quali sono in- tercette fra i punti di contatto e la periferia circolare aven- te il raggio eguale alla distanza degli assi di rotazione delle due superficie cilindriche^ ed il centro nel punto attorno cui deve rotare la medesima curva dimandata . Questa proprietà della linea dimandata è quella sulla qua- le mi appoggierò per determinare la sua equazione . '-iii/TlJ « O • ì La linea TMS ( Fig. a ) esprima la evolvente suddetta della linea dimandata, ed AP , PM esprimano le coordinate del suo punto M riferito agli assi Ax, Aj rettangolari e con- dotti pel punto A intorno al quale rota la linea dimandata • la retta MN porzione dèlia toccante in M la linea TMS sia eguale al manubrio; e sarà N un punto della periferia QNL avente il centro in A ed il raggio eguale alia distanza dei due assi di rotazione delle due superficie cilindriche . Si conducano NR perpendicolari ed MV parallela alla Ax ; e pongasi AN=R, MN = r, R^—r^ = n\ AP=x, PM=7, TM = i, e La sola ispezione della figura dà AR = AP -H MV , ed RN = PM -l- VN i e però si avrà AR = x-+-^^ ed RN=7-+-^. j., /.ni v:,iir /j Ma debb' essere AR" -1- RN^ = aN'' ossia eguale ad R^» ; adunque l'equazione della evolvente in quistione sarà ec. ,'vero Dkl SiG. Antonio Bordoni acg X' -H /' -t- ar — -r^ = Zi* . r' T'y' . per essere jf^ ■+• -pr = '^ • L' equazione qui trovata o la sua equivalente , s.x-t-s.yy' somministra immediatamente s = a — r log.rt:( x^-hy"— W^ ) , cioè r arco espresso per le coordinate: a rappresenta 1' arbi- traria introdotta dalla integrazione eseguita . Ponendo 7 = (^ cos. o, ed x = cp sen.cj , cioè prendendo per coordinate della curva il raggio vettore AM = 95 , e r angolo /AM = 05 compreso da esso raggio e dall' asse A/ , si ha x" -i-y^ = (^% X -+- yy' = (p(p' , ed .s'=l/[v(^'sen .oH-^cj'cos .o)^-4-((^'cos .o—(po'$e n .o)^]=^((^' '-)-(^^o'» ) per essere (p'coa.o — tposeB,o=y', e ^'sen.o-)-(^o'cos.o=i j- l=i : valori che riducono l'equazione differenziale del paragrafo an- tecedente alla ossia alla seguente _^ r _ ^'^/[a(R'H-r"7Ì--^-'->24] nella quale le variabili sono separate , Sostituendo in quest' ultima equazione R* -f- r* H- 11 in luogo di (p^^, e nella risultante ponendo aRr cos.^ invece del- la u. Il e ft esprimendo due nuove variabili, si ottiene :±: et eguale al trinomio j , r fi' n» fi' Tomo XVIII. D d a IO Sul Nuovo Tobno immaginato ec. i cui termini sono facilmente integrabili colle regole a tutti note . 5. Si ponga tang. — ^ eguale ad una nuova variabile 6 {*) (5 i54), e però I-/9» , ufi' 003.^ = ,-:^, e {i=^-:^^i rà r e SI avrà l equazione i-*-0^ (R-4-r)'H-(R— r)"^' R-4-r— (R— rJS^» ' la quale ha ambedue ì membri per sé stessi integrabili. Quest'equazione integrata somministra, nel caso di r = Rj, rto = Are. tang. 6 — 0 H- A , nel caso di r > R -« = Arc.tang.^_i^+^Arc.tang.0^^-HB, ed in quello di r < R ±o = Are. tang. j^^^^^^_^g.- — log. g:^^3^^H-C, ovvero H=o = Are. tang. j^^^^^j,,^^^, --log.^^3^3; -hC: A, B, e C esprimono le arbitrarie introdotte dalle tre inte- grazioni eseguite. -'— " \ - '; '1 - ' .^ Così le posizioni .^ , •• ,,'!f, . 0*=R*-+-r"-t-M_, 2Rrcos./Lf=M, e tang. \ {i=:d, ovvero cos.^ ^^~j' fatte superiormente danno , pel primo caso .,(.-.:, ; (p = 2.r --i/ { 1 -^6^) , e per gli altri due ^ = /(R»-t-r^-HaRri=p). ■ (*) I paragrafi citati in questa maniera si riferiscono al compendio del Calcolo su- blime del Cav. Brunacci . Del Sic. Antonto Bordoni aii Sostituendo questi valori delle (p ed o nelle equazioni yz=(pvos.o, x-= (pSPti.o , si avrebbero le coordinate rettan- gole x^y esj)iesse colla 6; e ponendo questi valori delle X, y nelle notissime espressioni (5- 83 ) delle coordinate ret- tangole della evoluta formate colle quantità ^ •> y ' \dd) ' [joj ' \dr) ' \dO-) > si otterrebbero queste ultime coordinate anch' esse espresse colla 6, e però anche l'equazione della medesima evoluta o curva dimandata mediante 1' opportuna eliminazione della 6 medesima . Io non faccio queste successive sostituzioni, perchè esse danno dei risultamenti complicatissimi ; e passo in vece ad altre considerazioni, le quali in modo veramente inaspettato somministrano un' equazione differenziale della linea diman- data facilmente integrabile . La curva dimandata sì riferisca anch' essa agli assi Ax , A/(Fig. a); e siano t , ed « le sue coordinate rettangole corrispondenti alle x , / della sua evolvente considerata su- periormente . La teorica delle evolute delle linee piane da' (§.05) e però fra le coordinate della curva dimandata e le corrisponden- ti della suddetta sua evolvente sussisteranno le tre equazioni, t — X — ,, , u — y ~^ y! ì Quindi eliminando da esse le variabili ;»r, 7 non che le quan- tità y' -, y" , otterrassi un'equazione differenziale della curva richiesta . aia Sul Nuovo Torno immaginato ec. La prima di queste tre equazioni sominiaistra ossia ( X -4- yy' -t- r/ ) ^ ^ = r ( xv' — y) y" . In questa e nella seconda si ponga in vece deli'/" il suo vn- lore s'^ : { u — y) desunto dalia terza, e si otterranno le due { X -+- yy' -h- rs' ) s { u — y) = r {ry — / ) , t •+- uy' — X — yy ■= o : alle tre equazioni anzidette equivalgono le tre seguenti ( .r -t- yy'-i-rs' ) s' [u — y) = r( xy — y ) ■> t -^uy' = X -^ yy' . Sostituendo nella prima e seconda di queste ultime e- quazioni in luogo della x il suo valore t -^ uy' — yy cavato dalla terza, si hanno le due j» H- ( ^ H_„y _ y-y )^ -H ar -^^ = re», e {t-^uy)s'{u—y) = r{ty'-u), ovvero7 = MH- 7, ( |=gr ji dalle quali eliminando la / , si ottiene U-^-r . ^1 -4-1 if -+- 4 7 r) t-t-ny' %r — 1^- = n^ ossia \tH-uy I \t-*-u) I Ma dalia teorica delle evolute (§.96) si hay^ 7, e però . . I tu' ut' , I iiu'-t-tt' j t -^uy = —^, — , u — ty= —^j— , ed Quindi ponendo nell'ultima equazione trovata in luogo di y, t -\- uy' , u — ty, s', questi loro valori, essa si ridurrà, posto t/(^'^-HM'=') = CT', alla seguente '■= ''>'■, ìv'AJbn. i; ■«-f-arzT yu'—ut'^ yu—ut' f Del Sic. Antonio Bordoni ai 3 la quale, non contenendo le coordinate della evolvente, es- primerà un' equazione differenziale della curva dimandata . Per integrare quest'equazione, si faccia m = i/^cos.|, e t:=ip sen.^, cioè si prendano per variabili le coordinate po- lari della linea dimandata, vale a dire il raggio vettore ip e r angolo I compreso da esso raggio e dall' asse delle ordina- te z^ ; e si avrà *=»->-«» = i/y% tt'-^-uu =ipip', ct' = |/(i/;'^h-j//=|''), e tu' — ut'={ili'cos.È, — iji^'sen |)^sen.| — ((/;'sen.|-f-i//^'cos.^)t//cos.| , ossia tu'— ut' = — ip""^' : e conseguentemente l'equazione da integrarsi si ridurrà alla Ponendo in quest' ultima equazione in vece di ip'^ il suo valore ct^—ì^^I^ j^j^ j^jj^ relazione ©'=■=)/;'= -+-1/^"^'=' , essa si riduce alla ^»— 2r ^ -t- r^ ^, — r^ = n% ossia equazione che gode della proprietà di essere decomponibile nelle due seguenti le quali sono facilmente integrabili . Incomincio dalla prima, che posta sotto la forma (^-R)=r>^-^, ossia(t/.-R)' = r^H-r-^., dà im- mediatamente -I- ^' — '•V'' • equazione nella quale le variabili sono separate . 2.1 A. Sul Nuovo Torno iMMAcrNATo ec. Ponendo ora ìp — R = rz , esprimendo z una nuova va- riabile, si ha ^j^zR-^rz, i/[{4>-RY-r-] = ri/{z^^- i ) , f = rz\ e conseguentemente r = (R-.-rc)l/(z^-i) • In quest'ultima facendo \/{z'^—i) eguale alla z meno un' altra nuova variabile a, cioè ponendo (/(z^" — i)=z— a, il che dà - = T H i)' ^' = "4?-«'' ^ ^/(-'^ -0 = "^ ' si dedurrà -^- i< —^'^' ■ — ^ ~~ » 2R _ r equazione facilmente integrabile coi metodi ordinar] . Le due posizioni tp — R = rs, [/(z'' — ì)^=.z — a, testé fatte, danno .... . '/' = R-^-T(«-^f )' per tanto all' equazione differenziale soddisfaranno le relazioni seguenti ^ ' ...-jj!,', ' "''ri ,f •-' or -^- — a -*- I r Sostituendo questi valori delle variabili tfi, ^ neli' equa- zione che si vuole integrare cioè ■ìp — Ttf, — R = o si trova, che è dessa soddisfatta da queste saranno adunque le coordinate della linea dimandata espresse ambedue colla indeterminata a. Del SiG. Antonio Bordoni ai5 8. Onde eseguire l'integrazione da cui dipende attualmen- te rangole ^ è bene distinguere partitamente i tre casi, di r eguale , di r maggiore , e di r minore di R . PRIMO CASO. — -^ ; e l«-t-l)^ ' però sarà ?=D ^ . SECONDO CASO P«i' essere ;;.^^R„Vr = (ra^Kj'-R^^r^ ■> se SI porrà qui /■* — R^ = 77z% ed ar-\-K eguale a /l nuova variabile, ne verrà ar"» 3,TdX . y | = E-i- — Arc.tang. — , e però sarà 5 = E -t- ,-77-;-^ Are. tang. TERZO CASO Facendo anche in questo Aa-4-R = >^, e ritenendo R^ — r* = /i^, si ha urda 2.TdX \ ra"-i-iRa-i-r — X^—rn^ ' ® P®"^^ jj r / dX dX \ . ,. /l— ra |=:FH- i-log.:- ^, Sarà adunque 2i6 Sul Nuovo Torno immaginato ec. Le arbitrarie introdotte dalle integrazioni eseguite sono indicate dalle D, E, ed F. Nel primo di questi tre casi si ha i^ = ^1 a-i- i J e ne- gli altri due sempre i^ = R-H^(a-t--^J, ovvero -(//=£^a^H-a j-a-^ ij . Quindi le coordinate dalla linea dimandata espresse colla in- determinata a, ossia le sue equazioni fra le coordinate po- lari e la a medesima saranno . Nel caso di 7-=r;R , Nel caso di r > R ^ = R^-^(aH--:),|=E-H^;.^^Arcaang.^-t K^y: e nel terzo caso, cioè di /• ■< R le seguenti ■•■ ^ = R-Hf(a + -l), | = F-t--^log.±A±:^). Eliminando da ciascuna di queste tre coppie di equazio- ni 1' indeterminata a, si otterranno le equazioni della mede- sima linea fra le sole loro coordinate polari i/', e |. ''' '" \ 0 f, :: j: :: t Passo ora a considerare l'equazione ' ">'>'• risultante dal secondo fattore dell'equazione differenziale del- la linea dimandata, come si è veduto al paragrafo settimo. Po- nendo in questa — t}/ in luogo di ip, si ottiene la seguente la quale è visibilmente identica con quella già sopra integrata Del Sic. Antonio Bordoni 217 e proveniente dal primo fattore della medesima equazio- ne differenziale or ora enunciata. Quindi le linee espresse dalla prima di queste equazioni saranno eguali a quelle rap- presentate dall' altra ; purché si ritengano reali o possibili i raggi vettori negativi. In virtù di questa singolarità mi limiterò alla considera- zione delle linee espresse dalla equazione differenziale ^ - ^ ^1' - ^ = ^ ' o piuttosto dai suoi integrali. Anzi, siccome nella pratica la r è generalmente minore della R, mi ristringerò a considera- re le sole linee rappresentate dagli integrali t/' = R-H— (a-H-ì, | = F-H-l|og.r!z(''^̱=lV ì quali corrispondono appunto al caso di r •< R, come si è ve- duto nel paragrafo antecedente. IO. Un accurato esame delle equazioni della linea dimanda- ta potrebbe bastare a far conoscere immediatamente la linea medesima; ma poiché avremo bisogno di sapere in qua! mo- do questa linea dovrà svilupparsi per produrre la sua evol- vente, che si è considerata superiormente, così io stimo d' in- cominciare da un breve esame sopra l'equazione di questa; tan- to più che dalla conoscenza della evolvente, si può anche preve- dere a un di presso in che debba consistere la linea dimandata . Richiamo per ciò l'equazione <^ = j/'| R^'-t-r^-j-iRr ^^^1 del paragrafo quinto, la quale per essere Quest' espressione di ^^ c'insegna, che i valori di

^ esprimendo una nuova indeterminata , verran- no le medesime espresse così Queste equazioni in cui 1' angolo o cresce col crescere della indeterminata d, potranno con vantaggio preferirsi alle due antecedenti , quando vorrà costruirsi la linea per punti . Porrò fine all'esame dell'equazione della involvente, e pas- serò a parlare della sua evoluta, cioè della curva dimandata. ì- Del Sic. Antonio Bohdoni aai 1 1 . L' equazione ^=:R-i--^ 1'^"*"'^)' rinvenuta al paragrafo nono, somministra y-^ì = ^1 i ^J , (2) —i"'^ ponendo /gì = o , si avrà i _ ^ =o dal che a = dz i , e però /'^J = dbr, e ìp =Rzizr . Quindi sarà R H- r il minimo ed R — r il massimo valore di 'Z' ( §• ^7 ) ; ciò che è singolare per essere il minimo R -i- r maggiore del massimo R — r. Questa singolarità ci previene, che gli infiniti valori dei raggi vettori della curva dimandata formano almeno due se- rie affatto distinte 1' una dall' altra : appunto come si vedrà ai paragrafi dodicesimo e quattordicesimo. Determinando nell'altra ecruazione 5=F-l-— log- — -R-rr del citato paragrafo la costante F per modo, che l'angolo | sia zero, quando a:= i, si ha F = -^locr R-(-r-i-« ossia — ; e pero sarà l = -log. ^^-:p;::7^j^;^^:^^:;:^j, l = — 'og ,^ : — 5 5 o meglio t »■ I . < ■ (R-f-r — n)a (R-)-r-f-«)a-t-R-t-r — n ,0 - ■ (R-f-r— n)a-»-R-t-r-+-re ' giacché neir equazione ifj — r -^ — R = o vi entra il solo differenziale dell'angolo^. Siccome tutti i valori di a compresi fra , ed — ^ rendono negativa la quantità -^ — -^ — g — -^—^ « e tutti gli altri la rendono positiva; così la linea sarà com- posta di due parti, 1' una delle quali avrà per equazioni aia Sul Nuovo Torno immaginato ec. " a\ "/ n *> (B.-t-r—n)a-^R-i-r-*-n ' e r altra jTi r/ i\*' r • (R-»-r-*-77)«-i-T(-t-r — n (^=:R-H ( «H ),? = — lOE.- 5 ; n • la. Se nell'espressione R-H — la-H— |, e nella — loff.-B 3 , o nella sua equivalente n " ^R-+-r— n)M-t-K.-t-r-t-rt • -log.P'^'^" ^^^ 1 n '^ |_R-f-r— /j (R— «;a-(-rJ si pongano in vece di a dei numeri maggiori dell' unità , si ottengono altrettanti valori per le coordinate rp, |, i quali sono positivi e crescono co! crescere i numeri sostituiti; e fi- nalmente, ponendo a eguale all' infinito, si ha tp eguale an- ch'esso all'infinito, e ? = -^ R-t-r-«-;r La curva ha adunque un ramo, che si allontana continua- mente dalla origine delle coordinate e dall'asse delle w, e la cui tangente NN ( Fig. 4 ) nel punto corrispondente al raggio. vettore eguale all' infinito fa coli' asse delle medesime ordi- nate u l'angolo eguale ad log. -2 . ^■ n * R-t-r—n ' Chiamo/? la perpendicolare tirata dall'origine delle coor- dinate alla toccante la curva nel punto a cui corrispondono le coordinate t/', |. Essendo in generale /? = ^''. —,, e nel ca- so presente - •■■.,(■., .. .i ' . in questo medesimo caso sarà Del Sic. Aisitonio Bonrdoni aa.l a I «/--R per essere a -f- — ^a ■ - — . La prima di queste espressioni della p significa , che ai valori anzidetti di a corrispondono dei valori per/;, i quali diminuiscono continuamente, aumentando a, e che l'ultimo di essi , cioè quello che corrisponde ad a ed anche a xp in- finito eguaglia la r. Da ciò deriva, che il ramo suddetto della curva in qui- stione , volge costantemente all' asse delle u la concavità ^ e che la distanza fra 1' origine delle coordinate alla toccante NN, ossia assintota del ramo stesso, è eguale ad r. Nelle medesime espressioni delle coordinate i//, ^ facen- do a = m, si ha U' = K-I-— IWH I, e 5 = — log.!-5 e ; ' a. \ jji I ^ n ° (R-t-r— /;,m-*-K-l-r-t-;ì ' e ponendo a = -^ , si ottiene ' m V' = Rh ( Hwl, e § = log. -5 : i3 ; cioè si hanno per ip due valori identicamente eguali , e per I due valori pure eguali in grandezza ma di segui dissimili . Questa proprietà manifesta che l'asse delle ordinate u è an- che un asse del presente ramo della curva in quistione, e la retta N N' distante dall'origine A di r, e facente coli' asse me- desimo l'angolo eguale a l02. è un' altra assintota del medesimo. Si concluda per tanto che la curva medesima ha un ra- mo . .C B C . ., il quale si assomiglia in certo modo a quel- lo di una Iperhola conica. aa4 Sul Nuovo Torno immaginato ec. i3. Essendo ir' = -W i -+- ^ j , come si è veduto qui sopra, ossia d tf ■= - l d a -\ — ^1, si avrà, integrando H esprimendo una costante arbitraria. Supposto che V arco ct incominci al punto B a cui corri- sponde il minimo raggio vettore e però a :^ i , si ha e =.— t a i-hH, cioè H = o. Quindi sarà ??:=— (a — — ). 2. \ a f ■ Le equazioni ?p=Il-t-— la-t-' 1, CT=— (a — — I danno i// -+- ct = R -H ra ^ ossia a = i'*'^~ • e ponendo questa valore di a nella seconda di esse equazioni o nella — = a sua equivalente, si ottiene a«r i//-f-w — R T T T l|/-t-ST R ■,•••'. equazione dalla quale si desume IT = l/[( ,// _ R)" _ r^ 1, o 1// = R -4- /( ST^ -H z-^). Vale a dire l'arco espresso pel raggio vettore corrispondente ,, e reciprocamente questo espresso per l'arco. Così eliminando Va dalle due equazioni TS •=■— \ a \ , t = - looj. \- '- si avrà un'equazione fra ct, e ?, mediante la quale agevolmente si potrà avere una di queste quantità rappresentata per Taltia . Del Sic. Antonio Bordoni 12.5 Eguagliando a zero il valore di ip, si ha 1' ecjuazione a"* -H a a -+- I =0, la quale dà a = ~^~" . r ' r Sostituendo nelle epressioni delle ip , ^ in vece di a la quantità ±"I^' , e facendo le rispettive riduzioni, si ottiene ^,—. m!m-t-n) ^ t __ _^ J^^. (m-t-2f;)(R-t-r-H«) T B.-t-n-i-m ' ;ì O" m(K-(-r— h) ' cioè per ip un valore negativo, e per § un valore positivo, ammesso che m esprima un numero positivo. Evidentemente poi ad a = — corrisponde ip = ij e § = - log. ij— — , e ad a= , ih = o , e ^ =± —. Per trovare il punto di questo ramo, a cui corrispondo- no le coordinate mim-i-n) r . (m-l-2«)(R-l-r-t-n) R-t-«-t-m ' n *>' 7n(R-l-r— h) esposte sopra, si farà ( Fig. 4- ) I' angolo 11 kn eguale ad — log. — — - — nel prolungamento AM del suo lato A« si prenderà la parte AM eguale ad ^^^'^ , ed M sarà il pun- to dimandato. L' espressione 7^ della p , cioè della perpendicolare ti- rata dall' origine delle coordinate alla toccante la curva nel punto corrispondente alle ip , ^, in questo caso equivale alla seguente r. AM AM-4-R • quantità che risulta eguale ad r facendo il raggio AM infini- to, e che dimiimisce continuamente col diminuire il raggio me- desimo; e finalmente si annulla coU'annullarsi del raggio stesso. Tomo XVIII. F f aa6 Sul Nuovo Torno immaginato ec. Da queste proprietà delle coordinate ip , ^ e della per- pendicolare p , deriva che un ramo della curva in quistione ha una estremità ad una distanza infinita dalla origine A, alla quale corrisponde una toccante ossia una retta assintota comu- ne con quella dell'altro ramo BG . . ; che essa curva gira at- torno air origine delle coordinate ; die non ha veruu punto singolare per tutto questo tratto ; e che dopo un numero in- finito di giri passa per l'origine stessa. Vale a dire, che è essa una spirale della figura della . .OMfl . . A(Fig.4). Sostituendo „■ ~^ — in liiotro di a nelle medesime espres- .sioni delle coordinate ip, |, si ottiene ; m(m-i-n) ^ r , (ar;-f-m)(R-»-r-t->;) r — K-i-n-^m ' e '' — n °' TO(R-4-r-«) * Paragonando questi valori con quelli trovati sopra corrispon- denti ad a = ±^?±!li si vede, che essi differiscono da quel- li pel solo segno di |; adunque ai valori di a negativi e mi- nori in grandezza di -^ , ossia di ^— corrisponde una spi- rale . . O'MV . . A eguale perfettamente a quella di cui si è parlato poc'anzi.- i"*' • .1. ...... : •• .- ^-•\)n ■''■ -(it:ii l- l5. > :V'--.K.r Qualunque sia il ramo della curva rappresentata dalle e- quazioni in quistione si ha sempre, come si è veduto al pa- ragrafi} tredicesimo. ,. . 7II;.;, ,., i,.»"»;'! ..Jn e però, ammesso pel ramo che ora sì considera, che il prin- cipio dell'arco stesso si trovi all'origine delle coordinate , ossia che esso arco incominci quandoa= — , si avrà ' '■ o = !-( _ Sl^H- j-i- W H, cioè H = n: Del Sic. Antonio Bordoni 227 valore che rende tj = — l a ] -^ n. 2. \ a / Quindi la porzione di questo ramo intercetta fra l'origine del- le coordinate ed il punto a cui corrisponde 1' attuale raggio vettore ip sarà eguale ad ^ \ a } Cliiatnando y la somma di quest'ultima porzione congiun- ta colla n si avrà l'equazione y= — ( — — « ) 5 la quale combinata colla ìp ■= K -¥■ -|a-f-— j somministra anch'essa, come si è trovato per 1' altro ramo al paragrafo tredicesimo, /=/[(^_R)^_r^],of = R + /(/=-Hr^),cioè / = ^/[ ( AM-+- R)^— r ], e — AM= R -H /(/^ -H r^). Similmente, eliminando l'a dalle equazioni r Z. ( JL __ /y I ? '' I fr (R-'-''-+-"l«-t-R-'-'' — 1 J ~ ^ \ a «^''5— -'"e- (K-+-r-«)«H-R-t-r-»-« ' si Otterrà un'equazione colla quale si avrà una delle quanti- tà /, I formata coli' altra. 16. Facendo per le equazioni i/^=:R-4-— |a-HÌ), t T_ . n— R— >-— (R-t-r-H»)a ^ n °* n-t-R-t-r-i-(R-4-r— n)a quanto si è fatto qui sopra per le altre due , si verrà a concludere , che la linea rappresentata da esse è la spirale ars A . . r'ars . .A (Fig.5) , la quale ha il raggio vettore massi- mo Aa eguale ad R — r ; che è composta dei duR rami ars . . A, ar' . . A perfettamente eguali fra loro , i quali dopo un infinito numero di giri senza nessuna singolarità termina- no nella origine delle coordinate. Quest'ultima spirale insieme alle due (Fig. 4) A . .a'M'O' ..,A . .aMO . . 228 Sul Nuovo Torno immaginato ec. costituiscono evidentemente una sola e medesima linea (Fig.4e5) . . OMa . . A . . rars . . A . . a'MO' . . . 17- Supposto per questo ramo, che l'arco zr abbia il principio in a a cui corrisponde a = — 1,1' equazione ct= — 1 a — - JH-H, la quale sussiste qualunque sia il ramo della linea rappresen- tata dalla differenziale somministra o= — ( — i-t-i)-t-H, cioè H = o ; quindi pel ramo medesimo sarà Sostituendo in questa espressione di ct in luogo di a il 77 — R • • • « suo valore che annulla il raggio vettore, si ottiene sr = «. Adunque la lunghezza dell' intero arco ais . . A è eguale ad n = [/{ R^ — f""): il che è singolare. Cosi eliminando 1' a dalle equazioni si ottiene come al paragrafo tredicesimo CT = /[(^_R)^-r^],ec. . ,' :v' ' . .i! ; ^ ■ ■''■" - ' ■ ' Sviluppando la spirale ars . . A ( Fig. 5 ) incominciando al punto a, essa descrive col termine a medesimo 1' altra spira- le bcd . . A ( Fig. 3. ) e sviluppata per intero eguaglierà, per ciò che si è veduto poc'anzi, la n cioè il raggio del cerchio mas. E continuando lo sviluppo nella linea A . . a'MO' . . ( Fig. 4) Del Sic. Antonio Bordoni aag come una sola e medesima colla ars . . A già sviluppata , os. sia la spirale A..a'M'0'.. incominciando in A , e suppo- sta unita al termine mobile di essa una retta eguale al- la « := |/( K^ — r^ ) , ci produrrà la porzione della spirale . . C'B ( Fig. 3. ) che è intercetta fra il circolo mns ed il suo punto di flesso. Così sviluppando la parte BC . . ( Fig. 4 ) del ramo . . C'BG . . incominciando in B, produrrassi l' altra par- te della medesima spirale .. C'B ( Fig. 3 ), cioè quella sua par- te intercetta fra il flesso anzidetto e B regresso. Similmente, con uno sviluppo analogo delle altre parti ar . . A { Fig. 5 ), A . . aMO . . , BG . . ( Fig. 4) si produrranno le porzioni bcd . . , . . DCB { Fig. 3 ) della evolvente in quistione. 19. Malgrado sia fuori d' ogni dubbio, che le curve indica- te (Fig. 4. e 5) da . . C'BC OMa . . A , A . . r'ars . . A , O'a'M' . . A siano quelle che si dimandarono, cioè quelle, una cui evolvente è dotata della proprietà di avere costantemen- te eguali ad r le porzioni delle sue toccanti intercette fra i punti di contatto e la periferia circolare avente il centro in A ed il raggio eguale ad R , non ostante io credo che non dispiacerà, se si farà vedere che cosiffatta proprietà è un' im- mediata conseguenza delle loro equazioni finite trovate sopra; ed incomincio dal ramo . . C BC . . ( Fig. 6 ). La retta MV sia toccante la curva BMC in M ed egua- le alla lunghezza dell'arco BM ; e la VT sia perpendicolare alla stessa VM ed esiuale alla r lunghezza del manubrio : il ])unto T dovrà essere nella periferia circolare xy , che ha il centro in A ed il raggio eguale alla R distanza degli assi at- torno cui rotano il manubrio e la superficie cilindrica alla quale si avvolge la fune . Tirisi mVn parallela alla ABm; e sì ponga A? = u, PM = ^, AM = )/y, PAM = |, MV = ct correlativamente a quello che si è fatto al paragrafo settimo- ^■JO Sul Nuovo Torno immaginato ec. Essendo AQ = AP—mY—Yn = AP— VM cos.mVM— VT sen .wVM , QT = FM — wM -t- nT = PM— VM sen./ra VMh-VTcos.wVM , ed AT''=AQVQT\ si avrà '^ ì:> AT^ = („_^^;_,^,)^(,_^i:^,^y, ossia AT' = ^^ -+- CT* -+- r^ - 'j' ( cr-//' -H r^r ) . Ma le equazioni di questo ramo, trovate al paragrafo undi- cesimo, danno j come si è veduto ai paragrafi dodicesimo e tredicesimo , n' = j^, a'=:-^(i-f--^), e jr= -l(a_-l);eperòsarà ^ (.rp'^ .^.r) = -[r H- i- (a h- ±)] (a -H ^)= R.(a+ -^)^ i{a ^ ^J . Quindi si avrà AT = R . Vale a dire il punto T si troverà nella periferia xy, che ha il centro in A ed il raggio eguale alla R ; appunto come si è detto . Per la spirale OMa . . A ( Fig. 7 ), sia condotta la toc- cante MV eguale alla lunghezza dell' arco Ma . . A aumenta- ta della n, la VT perpendicolare alla medesima toccante ed eguale alla r; e sieno congiunte le rette AM , AT. La figura VMAT dà ÀT'=VTVvmVam'— 2VT.VMc0s.TVM— aVM.MAcos.VMA H- aVT.MA cos.( TVM-t-VMA) j e però sarà - ,.• ;. < , - AT' = r^-i-/'-^f^-^^f4j^-2r4>'^^, per essere l'angolo MVT retto, cos. VMA = V 5 Del Sic. Antonio Bordoni a3i COS. ( TVM-+- YMA ) = — sen . VMA = — '^ ; ed AM = — y// . Ma ponendo nel polinomio in luogo delle quantità f, tp, rp', tf', |' i rispettivi loro va- lori trovati sopra, esso polinomio si riduce ad R"*; adunque sarà AT = R , come precedentemente . In un modo affatto simile a quello seguito pel ramo C'BC ( Fig. 6 ) si dimostra , che si verifica una analoga pro- prietà anche per la spirale A . . r'ars . . A ( Fig. 5 ) . 2,0. n L' equazione rp — r ^, — R=:o dà r = (,/;-R)f , cioè pei due ramiCBC, A . .r'ars . .A ( Fig. 5, e 6 ) somministra r = ( AM — R ) AM -^ , e pel ramo OMa . . A ( Fig. 7 ) in vece r = ( AM -4- R ) AM -^ ; e però essendo AM — r , eguale al seno dell' angolo VMAj i tre punti M ^ T , ed A saranno in una stessa retta . Queste proprietà veramente singolari si potevano dedurre anche dal- le equazioni trovate ai paragrafi tredicesimo e quindicesimo. ai. Ora sia A ( Fig. 8 ) il punto intorno al quale deve ro- tare la linea . . CMB , le cui coordinate | = MAB, ^ = MA sono quelle somministrate dalle equazioni . -n ri I \ e »■ I (R-t-r-*-7j)a-4-R-(-r— re i!' = Rh 1 an — |,£=— log .7= { — 5 — — • , aoa, Sul Nuovo Torno immaginato ec. dando ad a dei valori positivi; ed L rappresenti il punto at- torno al quale deve rotare il manubrio VL, al cui termine V è legata la fune CMV, avente la parte VM toccante la cur- va in M ed eguale in lunghezza alla lunghezza dell'arco BM, e l'altra parte CM avvolta alla curva medesima . .CMB, e fis- sata al punto C della curva stessa. Facendo rotare la linea.. CMB insieme al suo asse ABm attorno al punto A, in modo che diminuisca l'angolo MA«, si aumenterà la porzione MG della fune avvolta alla curva ed il manubrio VL roterà attorno ni punto L; dimodoché, quando sarà annullato l'angolo | = MAB, il manubrio cadrà nella ret- ta hr ed i punti B e V troveransi ambedue in r. Conducajisi la LD perpendicolare alla MA, e la AT per- pendicolare al prolungamento VT della toccante MV; e si avrà AT = .-H^=^,esen.DLV=sen.VMA=f:=:^=^^ a come si è veduto ai paragrafi dodicesimo e ventesimo. Se nel principio della rotazione l'assintota del ramo BMC, cioè la retta NN sarà parallela alla AL, ossia sarà l'angolo VLD indicherà la rotazione del manubrio LV cor- rispondente a quella dell'asse ABm , che è espressa dall'an- golo eguale ad j:iog.^-ii:±i-^iog. TI. O R-+.r — ;i il >^ 'n\> R-+-r-f-?z r ] (R-t-r-(-n) o sen. ?« ) =: 7z=, che è r equazione fra le coordinate polari della stessa evol- vente. Ora per avere l'equazione della curva dimandata fa d' uopo eliminare le quantità x, j, y', y" dalle tre equazioni x'^y^-+- ^- [{x-i-yy ) COS. m-i-{y — xy') sen. w] =«^, t = x—y -,u = y ^ -,, Farò questa eliminazione, seguendo l'ordine medesimo^ che ho seguito al paragrafo sesto onde eseguire la consimile operazione. Dalla prima di queste equazioni si deduce {^x-i-yy'-i-rs' cos. m)s'^=r[{x -i-yy')sen.7n-{-{x' ' — y) tos. m]y"; e ponendo in questa e nella seconda in vece dì y" il suo va- lore cavato dalla terza^ si traggono due equazioni col mezzo delle quali e della stessa prima , eliminando altresì la a; , si ottengono le due r TI u—ty' \ Y ■=■ u T sen. m h — fi — —, 1 cos. w, ■' s s \ t-*-uy f ' [t-i-y'{u—y)Y-i-y^-^Y[{t-^iiy')cos.m-+-{ys"'—ty'—uy^)sen.m]=n,''. Sostituendo nella seconda di queste ultime equazioni in luogo dell'/ il suo valore desunto dalla prima, e nella risul- tante cambiando Vy' nel suo valore , , si ha la seguente t'-i-u^^-2.m'( *.'±!ù\cos. m-i-r^ I *-^^^^ Vcos."w=R^— r^cos.'w, \tu'—uVf \tu'—ut'f ' che è r equazione fra le coordinate rettangole t ed u della curva dimandata. Da questa per ultimo, ponendovi t = rp sen. | , ed u ■='ip COS. I, si dedurrà Tomo XVIII. H h 2,^2l Sul Nuovo Torno immaginato ec. ip'- — -^f V- COS. m ■+■ r' -^—^ COS.'' w = R* — r* cos.^ m-, la quale equivale alla ('/^ — ^ ^ C0S.7?Z j — R^ = o per essere i//^ = vs^ — i/'^ |'^. Quindi la curva dimandata sarà rappresentata dalle e- quazioni seguenti il — r -£_. COS. m — R =o, ili ip — r 4w- COS. TO -1- R = o: anzi dalla sola prima di queste, se si ammette ciò che si è ammesso al paragrafo nono. Paragonando fra loro le equazioni rp — 7- -p- COS. m — R=o, ip — r -^5 R = o, è facile it comprendere , che tutto ciò che si è detto e de- sunto rispetto alla seconda, può estendersi anche alla prima, purché si cambi la r in r cos. /?z. Se dal punto intorno al quale rota il manubrio, si tire- rà la perpendicolare al prolungamento della fune, si costitui- rà un triangolo rettangolo invariabile per tutto il tenqio in eui dura la rotazione, avendo esso per ipotenusa il manubrio e per uno degli angoli acuti 1' m suddetto ; e però la fune applicata al manubrio e facente con esso l'angolo eguale ad un retto più m, si potrà supporre applicata perpendicolarmente alla perpendicolare medesima. Quindi tutto ciò che si è det- to dal paragrafo secondo sina al vigesimoquarto, si estenderà al caso di cui si tratta; purché si ponga in vece di ria lun- ghezza della stessa perpendicolare cioè il prodotto r cos. m: appunto come si è trovato altrimenti alla fine del paragra- fo antecedeate. rV/f£^/yf r/ . /ff//f'///f//74'rt . C'^ra/. Xw.W /II. /,'m/. u^. \_/,rr.\IJI. . ru,,,. X . //.. XrCffa/ . y^m . X VJJ/. J'-W