EN PPT eu CN OPEN NN SP SO amener meme sx e RE " de 2 à à - à x Ce APS 2, NN UT TE US id <' Ta 36 AE y ARRET 3 ju 4 , * . PR " “1 . d ; | “ : , | . | | u L « | | | g ' L ‘ ï | x | Ê * « | ME L \ « LR OU Lu "+ à | | LA (1 LC LAE LER - LU rs \ | ? ; | 0 Ls À | ) ; | ‘ ë Al £ \ ‘ 0 | | + \ f. ; ; | LA ‘ ï | | * à | » | | | DE s 2P + LÉ | | pa à | | | . « Le * . x ‘ . | | | - : | : è | | | : 3 à À * … ï | | L | . SM PE at y Led FA À 24 vité . DA: (db é a. NY PAT, ! MÉMOIRES DE L'ACADÈMIE IMPÉRIALE DESSCIENCES DE S. PÉTERSBOURG. Tome V. AVEC L'HISTOIRE DE L'ACADÉMIE POUR L'ANNEE 1812. S' PÉTERSBOURG, DE L’IMPRIMÉRIE DE L'ACADEMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES Sr Publié par ordre de l’Académie, et avec l'obligation d'envoyer, où il convient, le nombre d’exemplaires fixé par la loi. N. Fufs Secrétaire perpétuel, 39 ys-5 90 AA t Ü MÉMOIRES DE L'ACADÉEMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. Section des sciences mathématiques. Page L. Eulkeri. De divisoribus numerorum in forma mxx-+"yy contentorum 3 Ejusdem. De fractionibus continuis Wallisii ‘ : 24 Ejusdem. Methodus succincta summas serierum infinitarum per formulas differentiales investigandi : ; : 45 Ejusdem. De seriebus memorabilibus quibus sinus et côsinus angulorum multiplorum exprimere licet : 3 . 57 Ejusdem. Investigatio quadrilateri, in quo singulorum angulorum siaus datam inter se teneant ratiomem ë . ° 78 Ejusdem. Geometrica et Sphaerica quaedan J , 06 N. Fufs. Disquisitionés novae de sericbus per cosinus angulorum multi- plorum progredientibus . ‘ +: 115 F. T. Schubert, De l’usage du micromètre annulaire : -, 348 N. Fufs. Solutio problematis calculum integralem spectantis . 177 Littrow. Sur une nouvelle methode de déterminer les hauteurs observées IL. Section des sciences physiques. C. P. Thunberg. Hemipterorum maxillosorum genera illustrata plurimis- que novis speciebus ditata ae descripta ; : 211 L. Bojani. De foetus çanini velamentis, inprimis de ipsius membrana allantoide, observatio anatomica , iconibus illustrata . 302 Tiesii, Cheirostemon Platanoides Humboldti ob mirabilem interioris co- Ejusdem. rollae structuram denuo pictum et descriprum * ‘ 321 De cancris Camtschaticis, oniscis, entomostracis et cancellis ma- rinis microscopicis noctilucentibus, çum appendice de acaris et ricinis Camtschaticis ë : : 331 Page De skeleto manimonteo Sibirico ad, maris glacialis littora anno Ejusdem. 1807 effosso, cui pracmissae Elephantini generis specierum di- stinctiones Ê . . . . + 406 C. F. Ledebour. Decades sex plantaram novarum in Imperio Rossico indigenarum . - ° ' j 514 Tilesii. Additamentum ad Cheirostemon : : L" 579 III. Sectidn des sciences politiques. H. Storch. Théorie du Loyer : : k ° 585 C. Th. Herrmann. Résultats tirés des Tableaux métriques, depuis 1796 jusqu’en 1809, relevès sur ceux qui confessent la Réligion greque en Russie . . Lie | 610 Ejusdem. Données statistiques sur la chasse en Russie , ; 628 H. Storch. De la monnaie de cuivre, et particulièrement de celle de Russie. Section I. A = . . 650 C. Th. Herrmann. Données statistiques sur le commerce de l'Intérieur de la Russie, qui s’est fait par eau en 1813 . 7 002 Ejusdem. - Tableau général qui indique la part que chaque branche de l’industrie nationale a eue dans le commerce qui s’est fait par eau en 1813 : . . . . 719 "0909002000 TABLE DES MATIÈRES. Histoire de l’Académie Impériale des Sciences. r Année 1812. Page I. Changemens arrivés dans l’Académie : 1. Membres décédés : “ à : 3 2. Nouvelles réceptions . . ° 7 3. Election d’un nouveau membre du Comité à É 8 4 Gratifications, décorations et avancemens civils : ibid. 5. Distinctions littéraires . . . e 9 Il. Présens faits à l’Académie : 1. Pour la Bibliothèque ; . : : 9 2. Pour le Cabinet de curiosités . . . 16 3. Pour le Cabinet de médailles . : . 17 4. Pour le Cabinet de minéraux À Fe . ibid. III. Mémoires et autres ouvrages manuscrits présentés à l'Académie . . APPRIS TNN SAE. 18 * IV. Page Observations, expériences et notices intéressantes, fai- tes et communiquées à l’Académie ; . . 22 Rapports présentés par des Académiciens chargés de commissions particulières . ° Ce TRE Voyages scientifiques faits par ordre de l’Académie 29 Ouvrages publiés par l'Académie . . . . äbid, 200000=$E=—000008 HISTOIRE DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE © DES SCIENCES. ANNÉE 18102. RS SNS . | r Histoire de 1812. ! COURTES 4 - PAT ni <= ; : =- # . si + = 1 L , L : ‘ 4 ps è pre À ) £ J : ' A | + … - à # . : / a - Ur - É à = . NA + l "cz r + * Gore , ‘ e M ] L 2 » \ | CE * . 227 rs | " | | Tr. à + | ee y É ESP ‘ À à : Ju f , w rs 8 > + , a « À Tr. à g | ue « “ LL 1 Fr 4 - " É + À ns L. LL HISTOIRE DE L’'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES. ANNEE 1812, I. CHANGEMENS ARRIVÉS DANS L'ACADEMIE. 1. Membres décédés. a) Académiciens extraordinaires. Mr. Basile Viscovatoff, Lieutenant Colonel, Académi- cien extraordinaire pour les Mathématiques, Professeur de de l’Institut des Ingénieurs des voyes de communication. Décédé le 8 Octobre dans la 34" année de son âge. b) Membres honoraires de l'Intérieur. Mr. Etienne Roumovsky, Cortes d'Etat actuel, ci-de- vant Académicien effectif, et dans la suite Vice-Président de l'Académie, Membre du Directoire suprème des Ecoles de l'Empire, Curateur de l'Université IMPÉRIALE de Kazan et des écoles de son arrondissement, Membre de l’Acadé- 1 * 4 mie IMPÉRIALE Russe, de l’Académie Royale des Scien- ces de Stockholm et de plusieurs autres Sociétés savan- tes, Chevalier de l’ordre de St Vladimir du 3° degré de classe, mourüt le 7 Juillet et de Ste. Anne de la 2 1812, dans la 80€ année de son âge, d’un coup d’Apople- xie, Ce savant, un des plus celébres de la nation Russe, fit ses premières études dans le Séminaire du Couvent de St. Alexandre Nevski.. En 1748 il fut reçu au nombre des Etudians de l'Académie IMPÉRIALE des Sciences, où il profita particulièrement des leçons du célèbre Physicien Richmann. Après la mort de ce Professeur, devenu en 1753 la victime de ses expériences electriques sur la foudre, Roumovsky fut nommé Adjoint de l’Académie, et envoyé en 1754 à Berlin, pour y achêyer ses études sous les yeux du:premier Mathématicien de son tems, Fillustre Leonard Euler. Après un sejour de deux ans, passés sous la tutéle et dans la maison de son illustre maître, l Académie le rappella et lui conféra l'emploi d'enseigner les Mathéma- tiques à ses Etudians, ce qui donna à Mr. Roumovsky l'oc- casion de composer le premier livre elémentaire de Géo- métrie qui à été écrit en langue Russe. — En 1760 FAcadémie le nomma son Astronome, à la place de Gri- schow, mort cette année, et l’année suivante elle l’envoya à Selenginsk pour y observer le passage de Venus de- — 5 vant le soleil, phénomène que huit ans plus tard il fut charge d'observer une seconde fois à Kola: Après son retour de la première expédition il fut avancé au grade ae Professeur extraordinaire d'Astronomie ; et aprés son re- tour de-Kola l’Académie le nomma Académicien ordinaire. Outre un grand nombre d'observations astronomiques et de mémoires d'Astronomie théorétique répandus parmi ceux de l'Académie , la collection de ses ouvrages renferme aussi plusieurs problèmes d'Analyse et de Géométrie résolus par notre habile Mathématicien. Ce fut lui qui, pendant trente années consécutives, a calculé et rédigé le Calendrier de St. Pétersbourg, et pendant une période presqu’aussi lon- gue il avoit dirigé le Département géographique de l’Aca- demie. II dirigea aussi pendant plasieures années les étu- des des Elèves du corps des Cadets grecs, et dans les dernières années de sa vie il participa aux travaux du Dé- partement de la Marine, en qualité de membre du Comité savant de ce Département. Dans ses heures de loisir il traduisit en Russe des ouvrages utiles, tels que les lettres d'Euler à une Princesse d'Allemagne, les Annales de Ta- cite, et d’autres. Depuis 1800 jusqu'à 1803 il fit, par suite d’un ordre Suprème, les fonctions de Vice - Pré- ‘’sident de l’Académie, et en 1803 il fut nommé très- gracieusement Curateur /de l'Université IMPÉRIALE de 6 == Kazan. Dans cette dernière place il a travaillé sans re. lache à l’organisation des écoles de son arrondissement, aussi bien qu'à celle de l'Université même, avec un zèle et une activité qui sont bien rares dans un àge si avan- cé, et qui n'ont cessé qu'avec le dernier soufle de sa vie. C'est à une constitution vigoureuse et à un genre de vie sobre et très reglé qu'il a dû le précieux avantage de jouir jusqu'à l’âge de presque quatre-vingt ans de toutes ses facultés physiques et intellectuelles et de conserver l'usage de toute sa tête et de tous ses sens. S. A. I. ME. le Prince George de Holstein - Olden- bourg. Ce Membre AUGUSTE fut reçu le 20 Août 1810 et décéda à Twer, d’une fièvre putride, le 15 Décembre 1812 dans la 29"° année de son âge. c) Membres honoraires externes: Mr. Chrétien Gottlob Ileyne, Professeur en l'Université de Güttingue, Conseiller intime de Justice de S. M. Bri- tannique etc. Ce savant célèbre fut reçu Membre hono- raire externe de l’Académie le 15 Mars 1805 et mourût “ LAN e 2 ! a Güttingue le 14 Juillet dans la 83"° année de son àge. Mr. George Simon Klügel, Professeur de Mathémati- ques et de Physique à l’Université de Halle; mort à Halle FACE 5 le 4 Août, âgé de 74 ans. Le défunt fut reçu membre honoraire le 20 Juillet 1794. d) Correspondans de l'Intérieur: Mr. Serge Kotelnikoff, Conseiller de Collège, Inspec- teur de l’Imprimerie du Corps de Cadets de Ia Marine, Chevalier de l’ordre de St. Vladimir du 4° Eee Le défunt fut reçu le 19 Mars 1800. 2. Nouvelles réceptions: a) Au nombre des Academiciens extraordinaires: Mr. lAdjoint George Henry Langsdorff, pour la Zoo- logie, le 1 Avril. Mr. l'Adjoint Alexandre Schlegelmilch, pour la Miné- ralôgie, le 1 Avril. Mr. lAdjoint Constantin Kirchhoff, pour la Chymie, le 1 Avril. b) Au nombre des Correspondans de l'Intérieur: Mr. Charles Etter, Minéralogiste du Directoire su- prème des Ecoles de lEmpire; reçu le 7 Octobre. c) Au nombre des Correspondans externes: Mr. François Triesnecker, Directeur de } Observatoire Impérial de Vienne ; reçu le 5 Fevrier. g a 3. Election d’un membre du Comite d'Administration. Le 12 Août. Mr. l’Académicien Severguine fut élu membre du Comité pour deux an, à la place de S. E. Mr. l'Académicien Fufs. 4. Gratifications, Décorations et. avancemens civils. Le 12 Janvier. Mr. l’'Académicien extraordinaire /Zerr- mann fut avancé au rang de Conseiller de Collège et gratifié par SA MAJESTÉ IMPÉRIALE d’une bague de brillans. | Le 29 Janvier. Mr. l'Académicien extraordinaire Sme- lovsky fut avancé au rang de Conseiller de Collège. Le 29 Janvier. Mr. l’Adjoint Xirchhoff fut gratifié d’une pension viagére de cinq mille Roubles par an et décoré de l’ordre de Ste. Anne de la 2% classe. Le 5 Fevrier. Mr. l’Académicien extraordinaire Sché- rer fut avancé au rang de Conseiller de Collège, avee une anciennité de trois ans. Le 11 Mars. L’Archiviste de la Conférence Mr. le Conseiller de Cour Kohrtz reçut, à la suite d’une repré- sentation du Comité d'Administration, faite à S.E. Mgr. le Ministre, la croix de St. Vladimir du 4" degré. me —_—_——— 9 Le 3 Juin. L’Elève de l'Académie pour les Mathcé- matiques, Mr. Edouard Collins, fut avancé par la Confc- rence au grade d’'Elève de la 1° classe; avec l’augmen- tation d’appointemens fixée par le réglement. Le 12 Août. Mr. l’'Académicien extraordinaire //err- mann fut très gracieusement décoré de l’ordre de St, Vla- dimir du 47° degré. Le 16 Septembre. Mr. le Conseïller de Cour et Che- valier Langsdorff notifñia à la Conférence que SA MAJE- STÉ L'EMPEREUR a daigné le nommer Consul général au Bresil, +5. Distinctions littéraires: Mr. l’Académicien extraordinaire Schérer fut reçu mem- bre honoraire de l'Université IMPÉRIALE de Kharkoff ét de la société de Physique générale de la Véteravie à Hanau. Mrs. les Académiciens Ozeretshovsky , _ Fufs ét Storch furent reçus au nombre des membres honoraires de l'Uni- versité IMPÉRIALE de Kharkoff. IE PRÉSENS FAITS À L’'ACADÉMIE. 1. Pour la Bibliothèque: De la part du Conseil Impérial des Mines à Paris: Journal des Mines, ou Récueil de Mémoires sur Pexploitation . . n Histoire de 1812. 2 10 des mines et sur les sciences et les arts qui s’y rapportent. Les cahiers Nr. 177 et 178. Bvo. > De la part de l'Académie IMPÉRIALE Russe: Juke, AH KPYTb CAOBECHOCIHIH ApeBHEH MH HOBON, counneHie Jarapna, nepesegenHoe 41eHamn Funerarorckoï Pocciñc«o Akagemin, Macme 1-4 C. IL B. 8vo, De la part de la Société des amis scrutateurs de la nature à Berlin: Der Gesellschaft naturforschender Freunde zu Berlin Magazin für die neuesten Entdeckungen in der gesammten Naturkun- de, Vten Jahrg. 3tes und 4tes Quartal. Berlin 1811. 4to. De la part de la Sociéte IMPÉRIALE des Natura- listes à Moscou: Mémoires de la Société IMP'RIALE des Naturalistes de Mos- cou. Tome 3me, Moscou 1812. 4to, De la part de l’Académie Royale des Sciences de Berlin: Statuten der kôniglichen Akademie der Wissenschaften zu Ber- lin. Berlin 1812. 8vo. De la part de la Société Américaine à Phila- delphie: Transactions of the American philosophical Society held at Philadelphia. Volume VI. 1809. 410. 13 fi De la part de l'Université IMPÉRIALE de Dorpat: Praelectiones semestres in Universitate litterarum (Caesarea, der Dorpati constituta est, a Kal. Febr. anni 1812 haben- ae. Fol. | De la part du Département du Ministère de l'In- struction publique: 1°) Hauepmanie Tep6osbaenis, counnenie lammepepa; cz nb- MeuKkaro A3biKa mepesenr Tabôr Maarruue. C. I]. B. 1805. 8vo. 2) O csoñcmsb mn AbNCMBIAXL 3ACKINPHYECKOÏ CHABI BO Bpa- udeGHoOï Haykb; C» aHraiñCKkaro A3BIKa nepeseaz T. Mansrnus. GC. F6. (18:14. De la part de l'Université IMPÉRIALE d'Âbo: 10) Dissertatio theologica, doctrinam Christi de morali homi- mis ad. virtutem habitu, breviter delineatura; Auct. Henr. Snellmann et Axelio Gabr. Sjüstrôm. Aboae 1812. 2) De p'ësi orphica, specimen academicum ; Auct. Roberto Tengstrüm. Abvae 1812. © 8°) Dissertatio chemico -technologica de tenacitate argillae ; Auct. Henrico Broman. Aboäe 1812. 4°) Dissertatio theologica de usu rationis in religione cognos- cenda et dijudicanda; Auct. Gabrielo Hirn. Aboae 1812. 5°) Specimen academicum, doctrinae Christi de providentia divina primas lineas exhibens; Auct. Erico Melartin. Aboae 1812. 6°) Dissertatio de dono linguarum in ecclesia primitiva ; Auct. Johanne Florin. Aboae 1812. 7°) Plausus et vota; Auct. Joh. Fred. Wallenio. Aboae 1809. 8) Index praelectionum in Academia IMPERIALI Aboënsi, a die 1 Octobris a. 1812 ad idem tempus anni sequentis. 9°) Oratio habita in Univeysitate Aboënsi a Gustavo Gadolin, _Theol. Prof. 1812. | De la part de Mr. l’Académicien Storch: Rufsland unter Alexander dem Ersten. XVI. und XVII Liefe- rung. &vo. o * _—— 19 De la part de Mr. le Conseiller privé Hermb- städt à Berlin: Anleitung zur praktisch-ôconomischen Fabrikation des Zuk- kers und eines brauchbaren Syrups aus den Runkelrüben; von S. F, Hermbstädt. Berlin 1811, &vo, De la part du Directeur général des Domai- nes du. Grand - Duc de.,EKrancfort , Mr. Leonhard: Taschenbuch für die gesammte Mineralogie ; von C. €. Leon- hard. 4er und 5ter Jahrg. Frankfurt am Mayn.: 18:10 und 1811, &8vo. È De la part de Mr. le Baron de Paykull: Monographia Histeroïdum; Auct. Gustavo de Paykull. Upsa- liae 1811, 8vo. | De la part de Mr. l’Académicien extraordinaire Schérer: Kurze Darstellung der chemischen Untersuchungen der Gasar- ten. Entworfen von Dr. A. N. Scherer. Berlin 1808. 8vo. De la part de Mr. le Professeur Giese à Kharkoff: Lehrbuch der Pharmazie, zum Gebrauch ôffentlicher Vorlesun- gen, u. s. w.; entworfen von Ferdinand Giese, 4rer Theil. Leipzig 1811. 8vo. De la part de Mr. le Professeur Morgenstern à Dorpat: Morgensterns Auszüge aus den Tagebüchern und Papieren ei- nes Reisenden. Italien. asten Bandes otes Stück. Florenz. Dorpat 1811. 8vo. De la part äe Mr. le Comte Szechenyi: Appendix ad catalogum numorum Hungariae et Transilvaniae Instituti nationalis Szechenyiani. Pesthini 1810. 8vo. De la part de Mr. le Conseiller d’Etat actuel d’Ouvaroff: Essai sur les mystères d’Eleusis. St. Pétersbourg 1819. 8vo. De la part de Mr. le Professeur Vater à Kô6- nigsberg: 1°) Mithridates, oder allgemeine Sprachkunde mit dem Vater Unser als Sprachprobe in beynahe fünf hundert Sprachen und Mundarten; von Joh. Christoph Adelung, Hofrath und Oberbibliothekar in Dresden. Fortgesetzt von Johann Seve- rin Vater. 3trn Theils ste Abtheïlung. Berlin 1812. 8vo. 2°) Altrussische Geschichte nach Nestor; von Joseph Müller, Professor in Braunschweig. Berlin 1812. 8vo, 3°) Heldengesang vom Zuge gegen die Polowzer des Fürsten vom Sewerischen Nowgorod Igor Swätoslawitsch, geschrie- ben in altrussischer Sprache gegen das Knde des zwülften Jahrhunderts. In die deutsche Sprache übertragen von Jo- seph Müller. Prag 1811. 16me, De la part de Mr. Bôückmann, Professeur à Carls- ruhe : | 1°) Versuch über die Erwärmung verschiedener Kôrper durch die Sonnenstrahlen; von Dr. C. W. Bôckmann. Eine von der kônigl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Güttingen ge- krônte Preisfchrift. Karlsruhe 8114 8vo, 2) Versuch über die Wärmeleitung verschiedener Kürper; von Dr. C. W. Bôückmann. Eine von der holländ. Gesellschaft zu Rotterdam gekrünte Preisfchrift. Karlsruhe 1812. 8vo, 14 © De la part de Mr. l’Acadeémicien extraordinaire Langsdorff: 1°) Bemerkungen auf einer Reise um die Welt in den Jahren 1803 bis 1807: von G. H. von Langsdorf. Erster Band mit 28 Kupfern. Frankfurt am Mayn 1819. 4to. 2°) Observaçoes sobre o amelhoramento dos Hospitaes em ge- ral, dedicados ao illmo e excellmo Senor Luis Pinto de Souza Coutinho etc. por Jorge Henrique Langsdorff. Lisboa 1800. 410. De la part de Mr. le Professeur Huth à Dorpat: Rede und Vorlesung über den grofsen Kometen von 1811. Dorpat 1812. 8vo. De la part de Mr. le Chevalier Thunberg à Up- sala : Dissertatio botanica de Cinchona. Upsaliae 1819. gro. De la part de Mr. le Professeur Kern à Vienne: 1°) Annalen der medicinischen Klinik an der hohen Schule zu Wien; herausgegeben von Vinzenz Kern etc. ater Band. Wien 180g. 8vo, 2) Avis aux Chirurgiens, pour les engager à introduire une méthode plus simple dans le pansement des blessés ; par V. Kern etc. Vienne 1809. 8vo. De la, paït de Mr. le ‘Professeur Dreifsign a Kharkoff: Handwôrterbuch der med ui he Klinik; oten Bandes oter Theil. Erfurt 1810. 8vo. De la part de Mr. le Minéralogiste Etter: 1) L’Architettura generale di Vitruvio, ridotta in compendio dal Sig. Perrault dell’ Academia delle scienze di Parigi e tradotta dal Francese in italiano con note per Giacomo Trombara. © 9e) Parallelo dell’ Architettura antica e moderna, opera del Sige. Rolando Freart, tradotta dal francese. 3°) Saggio sopra l’Architettura del Algarotti. 4) Oeuvres du Philosophe Chinois nommé Memcius ou Meng - tsé. De la part des Auteurs et Editeurs: Kôünigsberger Archiv für Naturwissenschaft und Mathematik ; herausgegeben von Vater und Bessel. Kônigsb. 1811. &8vo, Onucanie HOBOÏ MAUWIMHBI AAA IMMCHEHIA MOHEME, H306pbmeu- noùï MH. Hesbaomcknmr, C. Il. B. 1811. 4ro. Die Phosphoreszenz der Kôrper u.s.w. von Placidus Heïnrich etc. ot Abhandlung. Nürnberg 1812. 4to, Die fünf Sonnenbilder, beobachtet und beschrieben von Dr. Lamberti. Dorpat. Plantes recueillies pendant le voyage des Russes autour du monde, expédition dirigée par Mr. de Krusenstern, publiées par G. Langsdorff et Fischer. Tubingue 1810. gr. ol. Mineralogische Studien, von Leonhard und Selb. Erster Theïil. Nürnberg 1812. 8vo, Observationes in diaetam parcam vulgo Svältkur ; Auct. C. P. Schultz. Upsaliae 1812. 4r0. ca Utkast till Foreläsninger far begynnare i Chirurgien. à Häftat. Upsala 1812. 8vo. Hauaxeusia ocHoBania Ecmecmsernoï Wcmopin pacmbnii, n3aa8us1a Msauomz Asury6ckumr. ace I. Mocxsa 1811. 8v0, 16 Le ——— o. Pour le Cabinet de Curiosités! De la part du Cabinet de SA MAJESTÉ IMPÉRIALE: Divers ossemens qu’on a trouvés dans le district de Kolivan sur le rivage de l'Obi, parmi lesquels 11 y a: 1) Un crane d’Eléphant de deux archines de longueur et du poids de 9 poudes :9 livres. a) Un crane de Bufle, des cornes, des vertèbres, des dents, des côtes etc. De la part de Mr. l Apothicaire Herold: Une tortue (Testudo rotunda) prise vivante dans un des lacs des environs de Pargola. De la part de Mr. le Minéralogiste Etter: Deux coquilles, savoir une spondule et une oreille de mer. De la part de Mr. le Chevalier Thunberg à Up- sa la : Une éollection de plantes sèches bien conservées et en grande partie méridionales. De la part de la Régence médicinale de Smo- lensk : Deux cranes humains, pour la collection de cranes formée au Musée. De la part de l’Empailleur Philippof à Astra- khan: Vingt-un oïseaux empaillés. 3. Pour le Cabinet de Médailles: De la part de Mr: Etter, Minéralogiste du Di- rectoire suprème des écoles de l'Empire: Une collection de cent monnaies Romaines en cuivre. 4. Pour le Cabinet de Mineralogie: De la part de Mr. le Conseiller de Cour Müller: à Irkoutsk: Quelques échantillons de l’étain découverts près de la forte- resse Tchuidanskaïa, dans le district de Nertschinsk, tant du minérai que du métal mème. De la part de Mr. le Dr. Waradi à Gorodek en Gallicie: Quelques échantillons d’un fossile trouvé sur les bords de la rivière Saan. Ce fossile n’ést que de l'argile ordinaire ren- fermant des fragmens de bois dont la surface porte quelques indices de bleu de Prusse natif (Prussiate de fer). De la part de Mr. Etter: 1°) Un morceau de plomb rouge de Catherinenbourg, avec des cristaux de quartz, et un autre de plomb vert dans du kneïfs. 2) Une pierre de Labrador. 3°) Un chalumeau de la façon de Black, avec quelques peti- tes améliorations de Mr. Etter. 4) Un morceau de chaux carbonatée bituminifère globu- leuse. 5°) Un morceau d’asbeste flexible. Histoire de 1812. 3 18 ébcEl _ 6) Un morceau de cristal de roche enfumé traversé de schôrl noir prismatique. 7°) Un fragment de fer micacé dans un chlorite schisteux. Les Nr 5, G et 7 sont de la Nouvelle Finlande. 8) Un morceau de bois agatisé de Kamtchatka. 9 Une hache d’agathe trouvée en 1810 à Pessetz en Podolie. 10°) Trente neuf pièces de minéraux des Etats unis de FA- mérique septentrionale. De la part de Mr. l’ Acadeémicien Zakharoff: Un morceau de Ja pierre d’étain mêlée de quartz et de mica, trouvée dans la Steppe Oginskaya à 300 verstes de Nertchinsk. RE MÉMOIRES ET AUTRES OUVRAGES MANU- SCRITS, PRÉSENTÉS À L'ACADÉMIE. Reise von Irkutzk nach Nertschinsk in den Mon:ten August und September 1811; par Mr. Muller. Ucber die Wohnsitze der Jemen. Ein Reitrag zur Geschichte Neu -Finlands. Zweite Abtheilung ; par Mr. Lehrberg. Ueber Lavaoisier’s Salpeter-Reinigungs-Methode im Grofsen; par Mr. Nassé. Des différentes méthodes de prélever les fraix de monnayage, et de leurs effets sur les prix des marchandises. Première Sec- tion; par Mr. Storch. Verzeichnifs der im Jahr 1807 auf einer Reise von Ochotzk nach Irkutzk beobachteten Pflanzen, als ein Beytrag zur nähern Kenntmifs der Geographie derselben; par Mr. Langsdorff. Geognostische Uebersicht des nordüstlichen Theils der Araxeni- schén Gebirgskette ; par Mr. Schlegelmilch. e 19 Ueber die Bereitung des Zuckers aus Stärke; par Mr. Kirchhoff. Toxasauie, Kak» Bapams 8% C. [emepôyprb mesapnnsoïñ Kaei m3» O6pb3KOBL CHIPOÏ KOHH PA3HATO CKOIMA, H KAKOÏ NOMpPE* Gen z1a cero 3as042 co Bchmu npunnagqaexnocmamu; par Mr. Ozeretskovski. Des méthodes différentes de prélever les fraix de monnayage et de leurs effets sur les prix des marchandises. Seconde Section; par Mr. Storch. Prnuckxa W32 aHamoOmMnuecKoï H Pusiororngeckoï dacmm Ecme- cinseunoï Vcmopin uyepenoroxHbiXR CPOÏCINMBEHHBIXE Cuuu- ain; couuaenie [oau. Flpoaoaxenie; par Mr. Sevastianoff. O Kamennoñ nopoab Hasbigaemoi Cojaanur; par Mr. Severguine. 0 BHHOKVPEHIN, HAN O PASHbIXB CPEACIHIBAXBE THAUE BHHO; par Mr. Zakharoff. Solutio problematis calculum integralem spectantis; par Mr. Fufs. Ueber einen neu entdeckten leichten Salzäther, nebst Versuchen über die Natur des rauchenden Wesens der gemeinen Salz- säure ; par Mr. Nassé. llpnioxenie Oeopin aan6oaumxR M HANMEHLIINXBE BEAMYNHL Kb reomempuuseckume Bonpocame,; par Mr. Gourieff. Tria problemataex methodo tangentium inversa, soluta ab Acade- miae IMPERIALIS scientiarum Alumno Eduardo Collins. Deux problèmes sur l’intégration de deux équations différentio - différentielles, résolus par Edouard Collins, Elève de lAca- démie. BHanucra MEMEOPOAOTHYECKHXD paGmoneniñ, Ab\aHHBIXR 8% C. Ilemep6yprb npn Hmuuepamopcxoï Akxagemiu Haykz 82 1811 roay; par Mr. Petroff. Onucanie n nso6paxenie AsOïneïñ, CpOCIMNXCA Mexay Coboio nepeaelo uacimiio mbaa; par Mr. Zagorsky. Hauaavsbis ochosania Ccparaumeasnoh Anamomin Baymendaxa, « 3 + 00 rh | na Pocciñckit A3BIKb NPeAOKEHHLIA Ch APÜMbIAHIAMH 11 AONOA- uenismu; par Mr Sevastianoff. Ipomoea Krusensternii, nova species descripta a C. F, Ledebour. Descriptiones plantarum rariorum horti IMPERIALIS Academiae scientiarum Petropolitanae, iconibus illustratae; par Mr. Smé- lovski. Msaoxenie cnoco6a T. Iponn onpeabanme jasraenie 3emau w WiOACIIOUMY CInbnr KaMeHHBIXE O4bxar; par Mr. Viscovatoff. Bagaua DpHHAAAeKANAA Kb POAY H3ONEPHMEUWPMIECKHXE ,; Pb- ureHHa# no cuocoGy saamennmaro À Diaepa Hunepimopcroï Akaaeuin Hayxkz socnnmannukom»s 9ayapaome Koïainncom». Die Metalloïden sind wahrscheinlich zusammengesetzte Substan- zen; par Mr. Schérer. Vergleichende Versuche über das Verhalten der stinkenden und der geruchlosen Salzsaure zum Golde, Silber und Zann; par Mr. Nassé. Beweïs dafs der Anfang des Russischen Reiïchs nicht erst im Jahr 862 künne gesetzt, sondern in das Jahr 852 müsse vorge- rükt werden ; par Mr. Krug Erste Fortsetzung und Beschreibung von Japanischen Fischen; par Mr. Tilesius. Hbkomopñia naGmoaenis 1 onBmbi Hag2 bochopour Ab1aHHkle 40 1801 eue roga; par Mr. Petroff. Sur la répartition du nombre total des habitans de la Russie, Seconde Partie. Répartition selon les réligions, selon les états et selon les droits particuliers ; par Mr. Herrmann. Histoire de l'Académie IMPÉRIALE des sciences. Année 1811; par Mr. Fufs. Descriptionum et iconum piscium Camtschaticorum continuatio tertia, tentamen Monographiae generis Agoni Blochiani com- plectens; par Mr. Tilesius. Ueber die Ssumen und ihre Verwandte im Nordwesten Euro- pas; par Mr. Lehrberg. 21 Versuch und Beobachtnngen über das Verhalten schleimigter Pflanzenftoffe zum Zucker - Productions - Vermiügen, und über die Natur des durch Kunst produzirten Zuckerstoffs; par Mr. Nassé. Beyträge zur Naturgeschichte ciniger Arten des Tetrao - Ge- schlechts ; par Mr. Langsdorff. Geognostische Ansicht des Terekthals ; par Mr. Schlegclmilch. Uceber die Reinigung der Getraïide - Stärke; par Mr. Kirchhoff. O Eamouckoï coan; par S. E. Mr. Ozeretskovsky. Duarum curvarum transcendentium earumque proprietatum inve- stigatio; par Mr. Collins. Brandenbourg. Auaromuxo - Dusionornueckas anccepmauia © raasb n spbaim uesosbueckom; par Mr. Weilansky. O Bankax®r; par l’'Elève Mr. Vladislavleff, Onncanie MAIHBBI AAA CBEPAEHIA HPAMBIXB ABPB; par Mr. Za- kharoff. Oëx onpeabienim noroxeHiA TPAMBIXR ANHIH B2» HeOnpejbrex- uom% npocmpancmsb; par Mr. Gourieff. | Ueber eine alte Novgorodisch - Gotländische Urkunde und den in derselben genannten Borchramus; par Mr. Lehrberg. Methodi naturalis plantarum Ordo II. Capsulares; par Mr. Smé- lovsky. Hemipterorum maxillosorum genera illustrata plurimisque novis speciebus ditata ac descripta ; par Mr. Thunberg. Sur une nouvelle méthode de déterminer les hauteurs observées près du méridien; par Mr. Littrow. nm ——_—_— [e) Le De plus l’Académie a recu régulicrement , dans le courant de l'année, les observations météorologiques faites o et les extraits de celles. a Nicolayeff et Cathrinenbourg de KiefF. IV. OBSERVATIONS, EXPÉRIENCES ET NOTICES INTÉRESSANTES, FAITES ET COMMUNI- QUÉES À L'ACADÉÈNMIE. 1. Mr. le Conseiller de Cour Muller, Correspondant à lrkoutzk, a communiqué la nouvelle importante: que le Taïcha des Khorintses, Khaltsan Mardayelf, a découvert prés de la forteresse Tchuidanskaïa, dans le district de Nertschinsk, une mine d’étain si riche que 40 livres de minérai, pris au hazard, ont donné 13 livres d’étain pur, et il en a envoyé des échantillons, tant du minérai que du métal. 2. Mr. l'Académicien extraordinaire Schérer a présenté l'analyse chimique de la pierre meétéorique de Poltava. Le résultat en est que cette pierre contient sur cent parties: Da fer métallique é - 10,00, Du nikel métallique - 1,20, Terre silicicuse - = 52,00; Oxyde de fer - - 13,40, Ferre argilleuse - - 1,60, Terre talqueuse - - 9,60, Soufre - = = 4,25, Perte, terre calcaire et manganèse 2,95, total 100,00. 3. Mr. le Conseiller de Collège Lokhtine, Correspon- dant de l'Académie , ayant eu l'occasion de s'assurer que les distances de quelques villes de la ligne du Caucase aux deux capitales, telles que Le Calendrier les assigne, sont de beaucoup trop grandes, il communique à l’Acadenie la vraie distance des villes de Georgievsk, Alexandrof, Stavropol, Mosdok et Kisliar aux deux capitales et à la ville du Gouvernement. 4. S.E. Mr. de Nartof, Président de la Société éco- nomique , communiqua une notice qui à été reçue d'Ir- koutzk, concernant un lac nommé bbaoe O3epo et si- tué dans le district de Nertchinsk, remarquable par la quantité de soude que les habitans des environs retirent en été du fond du lac, et en hyver des glaçons de la surface, et dont ils se servent comme du savon. Les che- vaux, qui passent quelquefois ce lac à la nage, pour se soustraire aux poursuites de ceux qui veulent les ramener _ du paturage , perdent la corne aux pieds et meurent. en peu de tems. 5. Mr. l’Académicien extraordinaire Kirchhoff envoya le résultat de son analyse chimique des deux espèces de poudre envoyées à l’Académie par le Comité savant d’Ar- tillerie pour être examinées. Sur cent parties Mr. Xirch- hoff a trouvé les parties constituantes que voici: Dans la premiére composition : Salpètre - 60, Soufre - 20, Charbon : - 15, Fer métallique 2, Perte . re RS 100. Dans la seconde composition : Salpètre - 53, Soufre - 20, Antimoine - 6, Fer métallique 1, Bitume - 16, Perte - 4, 100. —— 05 6. Mr. l’'Académicien extraordinaire Tilesius fit part a la Conférence d’une nouvelle découverte faite tout ré- cemment par un Savant Danois, nommé Jacobsen. Elle consiste dans un organe, inconnu jusqu'ici, dont tous les mammifères, l'homme excepté, sont doués, et au moyen duquel ils sont en état de distinguer les plantes véni- meuses et de s'en abstenir. Mr. Tilesius avait déjà soup- çonné l'existence d’un pareil organe, dans son opinion émise sur les mémoires de concours pour la question de l'Académie concernant les moyens de reconnaître les plan- tes vénimeuses. 7. Mr. l’Académicien extraordinaire Petroff fit voir à la Conférence deux flacons, contenant, depuis 14 ans, du phosphore, l’un dans de l’eau ordinaire, l’autre dans de l'eau dégagée de l'air. Dans le premier flacon le phos- phore était décoloré et oxydé, dans le second il n'avait subi aucun changement. » Mr. l’'Académicien Bode à Berlin communiqua ses ob- servations de la comète, découverte le 1 Août à Paris par Mr. Bouvard, dans la constellation du Lynx, et douée d'une photosphére trés vive et d’une queue de 1: degrés. Hutoire de 1812. 4 26 u——_— |] WV: RAPPORTS PRÉSENTÉS PAR DES ACADÉ- WICIENS CHARGÉS DE COMMISSIONS PARTICULIÈRES. 1. Mr. l’Académicien Gourieff, en reportant trois mémoires de Mr. Collins: 1°) Tria problemata methodo in- versa tangentium soluta; 2°) Deux problèmes sur l’intégra- tion de deux équations différentio - différentielles ; 3°) 3a- AGTQ TPUHAAICHAWAA KB POAY H3ONEPHMCMPUTECKUXE, PB- aueunaa 770 crocoûy 3Hamenumaeo À. Düsepa, Arazenin Hayxs Bocrumannuxoms D. Koïinucoms , qu’il avoit été chargé d'examiner, déclara que ces mémoires prouvent les pro- grès rapides et remarquables que cet Elève a faits, sous la direction de son Académicien, dans l'étude de la haute Géométrie et de la haute Analyse, et qu'il est digne, par létendue et la solidité de ses connaissances, de Favancement que le Réglement accorde aux Elèves de l’Académie aprés trois ans de service. D’après ce témoignage favorable, rendu à l’Elève Collins par Mr. Gourieff et par les autres Académiciens de la Section des sciences mathématiques, la Conférence résolut 4’ avancer le dit Collins au grade d’Elève de la 1 classe, avec 27 7 l'augmentation du traitement fixée par le Réglement aca- démique. 2. Mr. l’'Académicien extraordinaire Petroff rapporta d'avoir examiné, conformément à la résolution de la Con- férence du 27 Mai, tant les paratonnéres que les puits élargis , où aboutissent les extrémités des conducteurs de la foudre, aux magazins à poudre d'Okhta, et d’avoir trouvé ceux - là dans le meilleur état possible et ceux-ci faits exactement d’après les instructions données par l’A- cadémie à l'Expédition d’Artillerie, à la suite d’un rap- port présenté par Mr. Petroff l'année passée, 3. Mr. l’Académicien Severguine présenta et lut le rapport qui lui avait été demandé le 10 Juin au su- jet de la vente du cabinet ci- devant Khvostoff, propo- sce par S.E. MS. le Ministre. La substance en est: que pour tirer tout l'avantage possible des diverses collec- tions de minéraux dont l'Académie a fait l'acquisition à différentes époques favorables, on en a formé six cabinets, dont chacun à un but particulier, savoir: 1°) un cabinet systématique de minéraux Russes; 2°) un dito de miné- raux exotiques; 3°) un cabinet rangé selon le système de Hay; 4°) un cabinet pour les caractères externes; 5°) 4 * o8 = un cabinet pour la Géognosie et 6°) un cabinet de Mi- néralogie géographique. Mr. Severguine est d'avis qu'on ne saurait vendre la collection achetée de Khvostoff sans dépareiller ces divers cabinets et sans manquer les buts que l’Académie a eus en vue lors de ce nouvel arrange- ment de ses doublettes et triplettes, que d’ailleurs ce qui semble être doublette selon le catalogue, ne l'est pas dans le fait, et qu'une intuition exacte découvre à l'oeil du connaisseur des différences instructives dans la couleur, l'éclat, la transparence etc., et que par conséquent on doit désirer de conserver les minéraux du cabinet de Khvostoff disséminés dans tous les cabinets mentionnés. 4. Mr. l’Académicien Schubert reporta les deux chro- nomètres d'_AÆrnold, Nr. 55 et 67, transmis à l’Académie par le Département de l’Amirauté, dont il avait été char- gé d'examiner la marche à l'Observatoire, et il présenta son rapport, dont Ja substance est: que la marche de ces instrumens n'est pas aussi régulière qu'on est en droit de l'attendre de deux montres marines d’un travail aussi ex- quis, que ces chronomètres, qui semblent n'avoir pas été en trop bonnes mains, ont besoin d’être réparés par quelque horloger habile, et qu'il est prêt à en réitérer l'examen à l'Observatoire, au cas que le Département jugeût à = 29 propos de les renvoyer à l’Académie, apres les avoir fait raccommoder. "5h VOYAGES SCIENTIFIQUES FAITS PAR ORDRE DE L'ACADÉMIE. Mr. l’'Académicien extraordinaire isnievshi continua cette année ses voyages astronomiques et envoya la conti- nuation du journal de ses observations, contenant celles qu'il a faites à Astrakhan, Tenatskoy, Kisliar, Mozdok, Yeorgiefsk, Stavropol, Egorlitzkoy, Nowo-Tcherkask, Ka- mychin, Saratof, Perm, Alapayevsk, Verkhotourie, Bogo- lovskaïa, Catherinenbourg, Solikamsk, Viatka, Kotelnitch, = Tcheboksar, Kouzmodemiansk, Glasof, Nolinsk, Malmych, Tchistopolie, Bougoulma, Yelabougue, Sarapoul et Kazan. VII. OUVRAGES PUBLIÉS PAR L'ACADÉMIE. 1) Yuospnmensseis Hscabaosanis Hmnepamopckoï Canxrm- nemep6yprekoï Akagemin Hayr?. Tom III. C. Il. B. 1612. 4to. 2) Ilymemecmsie Axkagemnka H. OsepeuxoBckaro no o3epamy . Aazoxckomy , Onexckomy mn BoKpyre Hasmenx. Bimoprimz mucneniemz. C. I]. B. 1812. 8vo. 30 = 3°) Caosapr xnmndecriñ, conepxamiñ 82 ce0b Geopito w npak- musy Xumin 4 np. Tpyaamun Axagemuxa B. Ceseprana Uacms III. C. I. B. 1812. Bvo. 4) Texmonornuecki KypHaaz, usaasaemBä Hmnepamopckotw AKkagemierë0 Hayk». Toma IX. Uacms I. IL II. IV. C, I. B. 1812. 8vo. "ut SECTION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES. Mémoires dé l' Acad. T, V. : + LC + : * ne < Û Or + 4 >” * “ / 2 mi FU 2 Ls + \ £. _ L - 4 L - L ‘ - _ £ r 4 : J be < L] , : * à - | CRAIET . = L D! + rie : \ cie t =, A rl + L : LA ver _ , - L > de # » > ; f é Fr . . » Fa pal - ’ d Æ » ni Î £ ré 10e 4 rép EN hi: ne 2 DE DIVISORIBUS NUMERORUM IN FORMA mxx+uyy CONTENTORUM. AUCTORE LE UC L'E HO. Conventui exhibuit die 21 Mai 1776. HSE H: perpetuo assumimus binos numeros x et y inter se esse primos, atque notum est, numeros in tali forma con- tentos nunquam per omnes numeros primos dividi posse, sed semper pro qualibet forma certos numeros primos ex- cludi, quorum multitudo quasi est semissis omnium plane numerorum primorum. Îta demonstratum est numeros in hac forma contentes xx + yy per alios numeros primos dividi non posse, nisi qui sint formae 4N + 1, ideoque omnes mumeros primos formae AN-.— 1 penitus excludi. f. 2. KEodem modo demonstratum est numeros in hac forma contentos 2xx+.yy alios divisores primos non ad- mittere, nisi qui contineantur in alterutra harum formarum: 8N + 1 vel 8N + 3, ita ut reliqui numeri primi in for- 1 * 4 mis 8SN+5 et 8N +7 contincantur. Simili modo omnes divisores primi numerorum formae 3xx—+-yy sunt vel for- ma 12N+1 vel 12N+ 7; reliqui vero, qui sunt vel for- mae 12N+5 vel 12 N + 11, nunquam divisores existere possunt; unde patet omnes divisores comprehendi in for- ma 6N + 1, exclusos vero in forma 6N + 5. f. 3. Haud absimili modo res comparata est pro ge- nerali forma mxx+nyy, cujus omnes divisores primi con- tinentur in certis hujusmodi formulis: 4mnN+a; amnN+86, 4mn N+y etc, ubi a, 8, 7, etc. sunt certi numeri quovis casu facile determinandi, exclust au- tem numeri continentur in totidem aliis formulis amnN—a; gmnN — 86; 4mnN — y etc. id quod sequenti modo commode exprimi potest, ut pro forma generali mxx+nyYy forma divisorum statuatur AmnN +a, 8, y, d, €, etc., forma autem numerorum exclusorum 4mn N — a, —6, — "y, — 0, —e, etc. . 4. Hic primo pro quolibet casu numerorum m et n evidens est numeros «, &, y, à etc. primos esse debere respectu numeri 4mn, quia aliter numeri primi prodire non possent. Deinde etiam facile intelligere licet inter numeros «, 8, y, semper contineri unitatem, atque etiam omnes numeros quadratos ad 4mn primos. Practerea vero in ordine horum numerorum «, 8, y, d, etc. semper 5 etiam occurrunt omnes potestates singulorum, tum vero etiam omnia producta ex binis vel ternis, veluti 46, «8, quatenus sçilicet numerum 4mn non superant,. Denique etiam notasse juvabit, quovis casu istos numeros &, €, Ÿ, d, etc. tantfim a producto mn pendere, ita ut hae duae formae generales mxx+nyy et mxx+nwyy, easdem divisorum formas habeant, si modo fuerit mn — mn. f. 5. Haud abs re fore arbitror sequentem tabulam subjunxisse, quae pro simplicioribus numeris mn. ostendat formas divisorum primorum : Valores | producti| Forma divisorunr >» Ts 9: 6 24N+ LUCE 7 RE. AE 9, 11,.15,,23;25: 10 40N +1, 7: 9,11,13, 19,23, 37. ai PAAN +523, 55) 0515,:23495; 07.317, 37à 23) 52N+r, 7, 9,1, 15,17,19;.25;.20:.31:.47, 49. 14|56N+1, 3, 5, 9,13,15, 19,23,25,27,.30, 45. - 15 |60N+:,17, 19, 23, 31, 47, 49, 53. | 6 $. 6. In his scilicet formis omnes numeri, qui divi- sores esse possunt cujuslibet numeri in forma mxx+nyy contenti, divisione per 4mn facta, infra limitem 4mn re- ducuntur. Quodsi autem velimus numeros negativos. admit- tere, tum omnes isti numeri adeo infra 2mn redigi pote- runt , hocque modo omnes plane numeri ad 4mn primi et minores quam 2mn occurrent, vel signo + vel signo — affecti; et quoniam complementa horum numerornm ad gmn praebent numeros exclusos, tantum opus est in illis formis signa permutare , ut obtineantur omnes numeri ex- clusi, qui nunquam esse possunt divisores cujusquam nu- meri formae MXx +nYyy. f. 7. Quodsi hoc modo divisores istius formae mxx+nyy disponamus, ut omnes plane numeri ad 2mn primi, eoque minores, occurrant, egregiae proprictates in iis deprehen- dentur, si cuique horum numerorum suum complementum ad 2mn subscribamus; hocque modo superior ordo tantum usque ad mn procedet, dum majores ab mn usque ad omn illis subscribentur. Pro varia autem numeri mn in- dole patebit bina .complementa sibi subscripta sive pari- bus affici signis, sive -contrariis ; paribus scilicet gaude- bunt signis casibus, quibus est vel mn — 4i+ 1, vel mn'= 4i+ 2, reliquis vero binis casibus, quibus vel 4 mn=4it+3, vel mn = A4Ai+4, bina illa complementa eontrariis signis afficientur. f. 7. Hoc igitur modo superiores formulas pro divi- soribus numerorum in forma Mmxx<+nyy contentorum re- praesentemus, atque adeo ulterius. continuemus : mn|\ Forma divisorum AN +: N Lu —+ 3 ioN re M TAliGN en — 7 + 5 "5[20N — 1, + gi UE + 9 + T "6l24N + 1, + 5 L'THNSS rES peteT Ale sNe LIT 15 HD RESTE 9 1 32 N' AE + LEA EN 7 — 15 — 18 +, + 9 Forma divisorum 36N—+ 1,+ 5,— 7 + 17, +13, —11 HD Ce + 19, —17, +13, +11 F 44N-+H+ 1, + BTE D tot 9 —21,—19,—17, +15, —13 148N+ 1,— SN ee — 23, +10, —17, +13 52N+ 1,— 3,— 5,+ 7, + 0,+11 +05, —23,—21,+10,+17,+ 415 SON 1,+ 3,+ 5,+ 0,—11,+ 13. +27, +05,+03,4+10, —117, + 15 60N+ 1,— PTT é — 29,+-23,+10,+17 GAN—+H 1, —-3,+ 5,— 1, +0, — 11414, — 145 — 31, +209,—27, +29, —23,+01,— 10; + 17 17168N+ 41,+ 3, — 5,+ 7,+ 9,+11,+413,—13 -+33,-+31,-—20,+217,-+05, +09 01-40 18172N+ 1,— 5,— 7,+11,—13,+ 17 + 35, —31, —29, +25, — 23, +19 mn! Forma divisorum 19! ZON+ 1,— 3,+ 5,+ 7,+ 0,+11,;-13,—-15,+17 —37,+35,—-33,-31,-28,—07,+25,+923,-01 20. SON+ 1,+ ea 0;—11,—13,;—17,—19 —30,—37,—33,—31,+20,+27,+23,+01 SAN+ 1,+ 5,+11,;—13,;+17;+19 +41,+37,;+31,—-20,+925,+023 —| 22| 88N+ 1,— 3,— 5,— 7,+ 0+13,+15,—17;+10,+21 +43,—41,—39,—-37,+35,+31,+20,—27,+25,+93 23| o2N+ ne: eu 5,— 7;+ 0,—11,+13,—-15,—17,—-19,—21 —AÀ5,—143,+41,4+309,—37,+35,—-33,+31,+20,+27,+25 24! OON+ 1,+ 5,+ 7,;+11,;—13,—17,—-19,—-23 | —417;—-43,—41,;-37,+35;+31,+20,+25 MibdoNe: 4 3,110 61-1017 an 251028 +49, —47;—43,;+41,;-39,+37;+33,—31,+29,—27. f. 9. Quodsi haec exempla rite contemplemur, îin+ signia theoremata ex ils colligere poterimus, quae eo ma- gis omnem attentionem merebuntur, quod principia, unde demonstratio petenda videtur, plerumque prorsus sunt etiamnunc incognita , ita ut ista consideratio amplissimum campum nobis aperiat naturam numerorum profundius per- scrutandi. Mémoires de l Acad. T. P. 2 10 Theorema I. f. 10. Denotante p numerum quemcunque ad 2mn primum, si fuerit 4mna+p divisor cujuspiam numeri in forma mxx+nyy contenti, tum, omnes numeri primi, in formula 4mnz<+-p contenti, certe erunt divisores formae nostrae propositae; contra vero omnes plane numeri hujus formac 4mn% — p ex classe divisorum penitus exclu- dentur. Theorema II. {. 11. Denotante p numerum ad 2mn primum, si fuerit 4mna+p numerus primus, neque ullius numeri im forma mxxr<+nyy contenti divisor, tum omnes plane nu- meri in forma 4mnz<+p contenti, sive sint primi sive compositi, ex classe divisorum excludentür; contra vero omnes numeri primi formae Amnz— p certe erunt diviso= res Cujuspiam numeri in forma mxx<+nyy contenti. Theorema III. f. 12. Denotante p numerum ad 2mn primum, si fuerit numerus 2 mna — p divisor formae propositae mxx+nyy, tum omnes numeri primi, in forma 4mnz—p contenti, certe erunt divisores formae propositae ; contra vero omnes plane numeri in forma 4mn%—-p contenti \ ex classe divisorum excludentur. HT le HR Theorema IV. $. 123. Denotante p numerum ad 2mn primum, si fuerit 4amna—p numerus primus, neque ullius numeri in forma mxx—+nyy contenti divisor, tum omnes plane numeri in forma 4mnz— p contenti, sive sint primi sive compasiti, ex classe divisorum excludentur ; contra vero omnes nu- meri primi formae 4mnz—
mn, nihil aliud requiritur, nisi ut lit. terae y ordine omnes valores ab 1 usque ad imn tribuan- tur, numerorumque resultantium omnes divisores primi mi- nores quam mn et ab m et n diversi notentur , quando- quidem his signum + erit praefigendum. he | $. 25. His igitur numeris signatis reliquis nümeris primis usque ad mn alterum signum — dari oportebit, 16 quo facto numeris compositis in eadem serie superiori oc- currentibus sua debita signa , ex ratione multiplicationis, praefigantur, f. 26. Postquam autem hoc modo superior numero- rum series fuerit expedita, pro serie inferiori, quae conti- net complementa superiorum numerorum ad 2mn, vel ea- dem signa, vel diversa, sunt praefigenda ; prius scilicet quando numerus mn fuerit vel formae 4i+1 vel 4i+e, posterius vero quando ejus forma fuerit vel 4i vel 4i—1, hocque modo tota formula pro divisoribus erit completa. Exemplum I. $. 27. Sumatur mn —24, qui cum sit numerus for- mae 4i, inferiori seriei signa contraria sunt danda. Jam numeri ad 2mn primi, minoresque quam 24, sunt 1.5. 7. N1-:29007:.10: 29; qui omnes sunt etiam primi, unde in fotmula 24+yy ipsi y ordine tribuantur valores 1. 2, 3. etc. usque ad 12, sicque orietur progressio numerorum secundum numeros impares 1. 3. 5. 7. etc. crescentium, quorum singulorum notentur divisores primi minores quam 24, ternario excluso, quod commodissime sequenti mo- do fiet : Divisores SUR CL ET A ME Hinc ïigitur patet solos numeros primos 1, 5, 7, 11, signo +- esse afficiendos, reliquos vero signo —; unde, se- fem complementorum subscribendo, formula pro divisori- bus erit : DEN + 7, + 5, + 4,11, — 13, — 17, — 19, — 23 443 — 41, —31"+.35, + 31; + 39, + 2$ Exemplum Il. f. 28. Sit mn — 26, qui numerus cum sit * for- mae 4i<+-2, series inferior eadem habere debet signa quae superior. Jam formula 26+yy, tribuendo ipsi ÿ valores 1, 2, 3, usque ad 13, nobis pracbebit diviso- Mémoires de l'Acad. T. V. 3 13 res primos minores quam 26, excluso 13, uti sequens cal- culus ostendit : 26 Divisores x Numeri primi, qui hic signum + recipiunt, sunt 1, 3, 5, 7 17,-reliquis vero 11, 19, 23, signum — est 3 2 praefigendum ; compositis autem numeris dentur signa ex ratione multiplicationis orta, unde formula pro divisoribus sequenti modo formabitur : IO4N — 1, + 3, + 5, + 7, + 0, — 713 16, #17, — 19, Hat, — 29 +0 HS 49 + 475 HT 453 7 43 — 413 + 373 + 353 — 339 + 30 — 29, + 27% 19 ; Exemplum II. ; . 29. Sumatur mn = 27, et cum hic numerus sit formae 4i—1, complementa infra scribenda signis con- trariis affici debebunt. Quodsi jam formulam 27 + yy evolvamus, divisores primi minores quam 27, ternario ex- cluso, signo + afficiendi reperientur 1, 7, i3, 19, undere- liqui primi, signum — sumendi, erunt 5, 11, 17, 23, quam obrem formula generalis pro divisoribus erit : : RON + 13, — 5, + D — 1139 H 13, — 17, FH 19y — 23, FH 2$ 7 59h 49; — 47 Eh 435 — 41 Hi 3-3 — 29 Exemplum IV. | f. 30. Sumatur mn—28, et cum hic numerus ‘sit formae Ai, complementa infra scribenda signis contra- ris affici debebunt. Quodsi nunc formulam 28+yy evol- vamus, divisores primi, minores quam 28, septenarlo ex- cluso,. signo + afficiendi erunt 1, 11, 23, reliqui vero pri- mi, signo — afficiendi, erunt 3.54 19,1/7:10 ::quare “Or mula generalis pro divisoribus erit : TION + 1, — 3, — OS + 9 +113 — 13, 15; — 173 — 19, + 23, 25, — 27 — 55, + 533 À 511 — 47 — 45 43 — 41 + 39 HF 375 — 33 — 31, + 29. Exemplum V. f. 31. Sumatur mn = 30, et cum hic numerus sit formae 4i-+ 0, numeri infra scribendi signis iisdem quibus superiores affici debebunt. Jam numeri ad omn primi minoresque quam 30, signo + afficiendi, sunt 1, 11, 3* £20 13, 17, 23, 20, reliqui vero numeri primi, signo — affecti, sunt 7, 19; quare formula generalis pro divisoribus erit: BON + 2 — 7, Hi, 13 1m — 19, + 23, + 29 où 59 — 53: +" 49, + 47 + 43 — 41, + 3 HF 35 Exemplum VI $. 32. Sumamus mn — 50, et cum hic numerus sit formae 4i +2, complementa infra scribenda signis äsdem affici debebunt. Jam formula 50 + yy praebet se- quentes divisores primos, minores quam 50, excepto 5, qui signo + sunt afficiendi a, 3, 11, 17, 19, 41, 43; reliqui vero primi, Signo — afficiendi, sunt 9, 13) 29, 00, A1 37, 47, quare formula gencralis pro divisoribus erit: Goo 1,4 3 — + QT 7 O2 15223 #27, — 20 — 315 #33 —375— 39, +43 43; —37, +49 99 9 793-9189 — 874-8381, — 79) —77+ 713; — 713 — 69, +67,—63,—61, +59; +5 TS 3 $ Exemplum VII. f. 33. Sumamus denique mn — 60, et cum hic nu- merus sit formae 4i, complementa infra scribenda signis contrariis affici debebunt. Quodsi jam formulam 60 +yy evolvamus, divisores primi, minores quam 60, exceptis 3 et 5, signo + afficiendi reperientur 3, 17, 19, 23, 31, 47; 53; unde reliqui primi, signum — sumendi, erunt 7, 11, 13, 29, 37, 41, 43, 59; quare forma generalis pra divisoribus ‘erit : SON+H 1 7 si 194 1 29: #29—29,+31;—37;—41,—49, +47 49:53:59 ID I19 109 807,107, — 101 — 0974-91, —89, +83, +19 TT 7 761; 61 a 21 ADDITAMENTUM ad dissertationem de divisoribus numerorum in forma mxX—+nyy contentorum. Haud abs re erit singularem observationem hic sub- jungere circa postremas partes cujusque formulae divisorum, quippe quas in genere assignare licet, si modo sex casus a se invicem distinguantur. Observatio I. Si fuerit mn —A4i, tum in formula pro divisoribus data in serie superiore ultimus terminus semper erit — (4i—1), ejasque complementum ad 8i, ipsi subscriben- dum, erit +(4i+1), quandoquidem habere debet signum contrarium. Cum enim sit mn = Ai, erit mn+1=4i+1, qui numerus, quia est primus ad mn, certe habere debet signum +, ideoque. ejus complementum, supra scriben- dum, signum contrarium —. Observatio IL. Si fuerit mn — 4i+2, quo casu comrlementa ïisdem gaudent signis, erit mn + 1 — 4i—+ 3, qui numerus cum sit primus ad mn, habere debet signum +, ejus ergo com- plementum, supra scribendum, pariter signum habebit +. E 22 Observatio ll. Si fuerit mn — 8i+1, quo casu bina complementa . . . . . ï 6 aequalibus gaudent signis, in serie superlore ultimus ter- minus erit 81—1, ejusque complementum = 8i+ 3, qui- bus ambobus signum — praefñgi debet, sicque hoc casu termini ultimi erunt : — (81 — 1) ÉTAT Quin etiam hoc casu terminos penultimos assignare licet. Cam enim sit mn +4—8i+ 5, huic numero signum +, ideoque etiam ejus complemento 8 i — 3 idem signum prae- figendum erit; unde patet his casibus, quibus mn=8i+1, binos ultimos terminos esse : ; | LB AN See) + (Gi+s5) — (8i+ 3). Observatio IV. Si fuerit mn = 8i+ 3, ultimus terminus in superiori serie erit 811, ejusque complementum, contrario signo notandum, 8i+ 5..Quia autem superior numerus quadratum esse potest, is signum + habere debet, ideoque complemen- tum signum —;, penultimi vero numeri erunt 8i— 1, 8i+7, quorum inferior, quia est mn +4 = 8i<+ 7, Sig- ‘num + recipit, ideoque superior contrarium —; unde pro casibus, quibus est mn = 8i+ 3, bini ultimi erunt: "23r — (8i— +) + (8i+a1) + (8i+ 7) — (8i+5). Observatio V. Si fuerit mn = 8i+ 5, ultimae formae divisorum erunt 8i+3, 81+7, atque paribus signis afficientur, quod deprehenditur esse +; penultimi autem termini erunt 8i+1, 8i+9, quorum inferior quia est = mn + 4, habebit signum +, ideoque etiam supra scriptus. Consequenter ca- sibus, quibus est mn = 8i+5, in formula divisorum bini ultimi termini erunt : + (8i+1) + (8i+3) + (8i+9) + (8i+ 7). Observatio VI. Si fuerit mn — 8i+ 7, in formula divisorum ultimi termini sunt 8i+5 et 8i+9, quorum inferior certe sig- num + habere debet, quiaæ quadrata complecti potest, su- perior vero signum —; penultimi vero termini sunt 8i+3 et 8i+ 11, quorum inferior, utpote = mn<+ 4, certe ha- bet signum —-, ideoque superior signum —. Quamobrem casibus, quibus est mn — 8i+ 7, in formula pro divisori- bus inventa bini ultimi termini erunt : — (8i+ 3) — (8i+5) + (8i+ 11) + (8i+ 9). 6900000 000068 Sn 54 DE FRACTIONIBUSCONTINUIS. WALLISITL AUCTORE L. EULER 0. Conventui exhibuit die 7 Februarii 1780. 2 $: t. Postquam Brounkerus memorabilem suam frac- tionem continuam pro quadratura circuli invenisset, eam- . que sine demonstratione cum /allisio communicasset, hic plurimum studii in eo collocavit, ut fontem, ex quo Brounkerus hanc insignem formulam hausisset, detegeret. Axbitratus autem est, eum usum fuisse egregiis illis for- mulis, quas ipse in opere suo: Ærithmetica infinitorum, erucrat. Quin etiam inde, per calcules non parum ab- strusos, non solum Brounheri fractionem continuam, sed in- super innumerabiles alias similes elicuit, quae utique, per- inde ac Brounkeri expressio , dignae sunt judicandae , ut oblivioni eripiantur. $. 2. Quae autem ex Wallisii Arithmetica infini- torum, diu ante inventam Analysin infinitorum in lu- cem edita, huc pertinent, ea more nunc quidem recepto ita repraëesentari possunt, ut, formulis integralibus a ter- 05 mino æ—O usque ad æ— 1 extensis, sequentes quadra- turae exhibeantur : xox a — 1, Vi— xx PTT re 2 249 Pre lo ET à xÿox DANEU O 2 AE TASSE ve 3.5 fa: Digg s Ÿ 14 RÉDIR EN A US Aro rte "2 ge 676 Le Pire Eat nl EVENT x9 9x —— 2:4:.6.8 ___ 2.2.4.4.6.6.8.8 12 es PT gsm 09 206. 4: 400 26.7 84 04 : ete: f. 3. Istas formulas in tertia columna ita adornavi, ut denominatores interpolationem manifesto admittant; sic- que tantum superest, ut etiam numeratores ita transfor- mentur, ut pariter interpolationem patiantur, id quod fet, si talis series, secundum legem uniformem progrediens, sci- licet A, B, C, D, E, F, etc. investigetur, ut sit: MI. 1300 CDS 3.851 DR —yHA4s etc: id quod est id ipsum, in quo /Vallisius summam ingenii sagacitatem manifestavit, quam autem investigationem dein- ceps multo generalius, et calculo longe faciliori, sum ex- pediturus. f. 4. Hac autem serie literarum A, B, C, D, etc. iventa totum negotium penitus erit confectum, Cum enim sit, uti sequens tabula declarat : Mémoires de P Acad. T, P, 4 RE Re rss éisdoéttehratt f PDA NUE, ep ARS iæz PNEU Er 20:97 f 290 — BODE -. 1 at CDE PRE SR TESTS IE LR 1-/279, 400 à AI C ARE BCDEFG EMA ABCDEFG Vi—zrz 2.:3:4:5.6.7 A 1.2.3-4.5.6.7 ? etc. interpolatio nobis suppeditat sequentes quadraturas : ax 1 —— — 7 . i Vor — xx A d xxdx. SR A B [ == er A ral OR je MAN ERR Vrssrr a CR 1137 at Matt ABCDEF —_xe NAS LD etc. T 6. 5. Cum nunc sit je _?* _—T, denotante * pe- Vri— xx La ripheriam circuli, cujus diameter = 1, cujus loco brevita- tis gratia scribamus g==; omnes literarum A, B, C, D, etc. valores per hanc quantitatem qg sequenti modo ex- primentur : A — — — 0,636620 LR B —\q = 15570396 Ja ie C = 2 — °,546470 | 091 D — 2 1e, 0,987813 = er ur 3,534292 à 3180 E RL — 4,5271074 a F —;5q= 5,522331 Re iris 27 f. 6. Hic tertiam adjunxi columnam, quae valores numericos harum litterarum exhibet, quo clarius appareat, quemadmodum isti numeri secundum legem uniformem in- crescant, quod non evenisset, si loco q valorem falsum accepissem. His expositis methodum multo faciliorem tra- dam, qua pro singulis his literis fractiones continuae re- periri possunt, atque eadem opera hanc investigationem multo generaliorem instituam, dum sequens problema sum resoluturus : Problema. Invenire seriem literarum À, B, C, D, etc. uniformi lege procedentem , ita ut sit AB=f; BC—=(f+a}; CD=—(f+2a}; etc. Solutio: . 7. Hinc statim patet, qualis fanctio fuerit A ip- sius f: talem esse debere B functionem ipsius f + a, tum vero C ipsius f+2a, D ipsius f+ 3a et ita porro. Hac lege observata, si statuamus A—=f—1a+"*;, poni debebit B—f+1a + 3°: ubi literae A’ et B’/ eandem inter se rationém tenere debent, ita ut ex A’ oriatur B’, si loco f scribatur f+a. Cum igitur fractionibus, subla- tis, sit 2A—0f—a++ et 2B—cf+a+5, harum formularum productum ipsi 4ff est aequandum, unde ori- tur haec aequatio a fractionibus liberata : 4 * 28 aaA/B — A’s(of—a)-—B's(2f+ a) —ss—o. Sumamus igitur sad, ut aëquatio, per aa divisa, sit A’B— A’(of— a) —B'(2f+ a) = aa, quae commode per factores repraesentari poterit jta : (A — 2f—0a)(B—02f+0)=4f f. 8. Quia nnnc, si ambae literae A’ et B’ essent aequales, ex parte sinistra foret A’ — B°—4f, legem su- pra allatam sequentes, statuamus A = 4f — a+ # et B'—4f+2a+;;, quibus substitutis ultima aequatio in- duet hanc formam : Gf—3a+(2f+3a+r) =4f Facta igitur evolutione et sublatis fractionibus orietur se- quens aequatio : gaaA”B”— A”s’(2f—3a) —B’s (2f+3a)—ss = 0. Sumatur ergo hic s —oaa, ut habeatur ista : AB” — A” (of — 3a) — B”(2f + 3a) —=9aa, quae iterum per factores hoc modo repraesentari potest : oo (A '—of—30)(B—2f+30 —=4f $. 9. Cum nunc iterum medius valor inter A” et B” sit 4f, statuamus porro A=Af—oa+é, et B'—=4f+eoa+s, et facta substitutione emerget ista aequatio : (@f—5a+%)(ef+5a+)=4f Facta igitur evolutione, sublatisque fractionibus, erit 29 05 aaÀ”B”"—A" s’(o f-5 a)=B/s"(0f+ 5 a)—= s'Ÿ= & 0: Statuatur s/=25aa, et ista aequatio hanc induet formam : A‘*B” A” (of— 5a) — BB" (2 FER 5a) = 25aa, quae per factores hoc modo repraesentari potest : (A/—0f— 5a)(B/—2f+5a) =4f. f. 10. Statuatur denuo ut ante A—4f—0a# et B”/—=4f+0ûà+ 4 , fietque facta substitutione Gf—1a+)(Cf+ a+) =4f, qua aequatione evoluta et in ordinem redacta obtinetur AÙB"— A" (of — 7a) —B"(2f+ 74) = 49aa, ubi scilicet posuimus s//=49aa; tum vero per factores erit AV of 10) (Bof + 10) —4f. Unde perspicuum est quomodo hae operationes sint ulte- s AIV rius continuandae. $. 11. Ilis igitur colligendis, ob s — aa, s —9aa, /// 90, —A9aa, etc. pro 2ÂÀ adipiscemur se- quentem fractionem continuanm : = 9 ———_—hetents 2A—2 FTP en oes 4f—20+ 2508 4f—2a—+4gaa 4f —2a+ etc. ubi si loco f ordine scribamus f+a, f+2a, f+3a, etc. similes fractiones continuae prodibunt, pro 2B, 2C, 2 D, etc. quae ita se habebunt : 30 ad 2B = 2/ficte a rs 4f+2a+a2saa 4f+2a<+a4gaa 4f+2a+etc. : 8 1 a 2C A 2 f + L, Se ET peer map E 4f+6a<+2çsaa 4f+6a+49aa 4] + 6 a +. etc. aa e D — 0 f + 5a + PTT 4f+ 1o4a—+2çaa af + 10a + 4944 af + 104 + efc. etc. . 12. Quod si jam hic ponamus f— 1 et a —1, prodibit ipse casus a allisio tractatus, unde fractiones continuae a Wallisio inventae, cum suis valoribus per qua- draturam circuli expressis , erunt séquentes : FRACTIONES CONTINUAE WALLISIANAE, 1 2ÂA—I+— 2 +25 2 + 49 ES Le CIC RE 0 LI 2B=3+— 6 +- 25 6 —+- 49 6e = 2 q 22 ae L 2C0=5+:— 1e + 25 10 —+- 49 # 16 31 1 2D=7+ 14 + 9 1: + 14 + 25 14 + 49 1 + etc. = ESA : dE = SUUE 18 —+- 49 128 256 nr 94 97 quarum prima est ipsa fractio continua a Brounhero in- venta. f. 13. Neutiquam autem vero simile est, Brounkherum per tantas ambages ad suam formulam pervenisse;, equidem credo potius, illam_ex consideratione hujus seriei notissi- mac: 1—1+I—+%+}—etc.—T, quae vulgo Leibni- tio tribui solet, multo autem ante a Jacobo Gregorio erat eruta, a quo Brounherus eam nosse poterat, derivasse, quippe quod per operationes satis faciles et obvias fieri potuit sequentem in modum : Posito erit 3 EL RUN ISA eue PRE Sri —zx A rt time i he 9 Se Ux (DE. SANS JU” ya ME TTE | 1 $ 25Y L'AR PEES sm E 2 _— 2? _— rit, de ] B=;—7Y 55 9 ip 9 Tue — 1 Sin er = 495 _— —*-; Verso seen =1 Has: 32 Quodsi jam hiç loco +, FE L etc. valores modo inventi substituantur, ultro se offert ipsa fräctio continua Broun- keri, siquidem hinc sequitur fore « PAR 2 À zen sait; ‘ é, ex Et - + 2 + 25 2 + 39 2 + efc. 2 f. 14. Quod autem ad nostram problematis solutio- nem generalem attinet, etiam singularum fractionum con- tinuarum valores per certas quadraturas exprimere licet, id quod in sequente problemate ostendamus : Problem a. Proposita serie A, B, C, D, etc. secundum legem uni-: formem procedente, ita ut sit AB=—f, BC=—(f+-a}; CD = (f+2a}; etc. singularum harum litterarum. valores, primo quidem per producta continua, tum vero per formulas integrales expréssas investigare. S < olutio. 2 2 f. 15. Cum igitur sit À = Æ B- TE, CSS; etc. his valoribus contintio Sbyiintis reperietur A — — (SH 20) (f+ 40) (f + 6a)? (etc. TT G+Y(F- (+ 3a)° {fs a) (ete. - ? ! à in infinitum. Cum autem hoc modo nullus determinatus valor oriatur, quoniam, ubicunque abrumpitar, vel in nu- meratoribus vel in denominatoribus factor redundat, hoc L 33 incommodum tolletur, si factores simplices sequenti modo disponamus : Arf, Ua). _ Gæ+2a)(f+4a) (f+4a)(f+6a) & +a)(f+a)* (F3a)(f+3a)" (f+5sa)( sa)" Sic enim membra continuo propius ad unitatem accedent etc: et in inûnitum ipsi unitati aequabuntur, sicque ista ex- pressio utique determinatum valorem habebit. f. 16. Quo autem ostendamus quomodo ejus valo- rem ad formulas integrales reduci oporteat, in subsidium vocemus hoc lemma : Integralibus ab x =o ad x — 1 extensis erit : m 1 x x MER m+ktn mEkon m+k+an NRC m0 Small Sr ESne m+zn MA FC Le: m—+k+an mn A4n pure LE STE Quo jam hoc lemma ad nostrum casum accomodemus, quo- niam in nostris membris singuli factores incrementum capiunt — 24, statui debet ñ = 2a; tum vero sumto m—f et À—= a habebimus : aÎT lo __f+a fhsa f+sa RCE Vian du f.: JANTES ON TI TRUUNAT PER quae expressio, inversa, praebet priores singulorum mem- biorum factores. Pro posterioribus. sumamus m = £ + 4, manente À — «a, hocque facto erit : Ne — f+2 4 f+4a f+6a [ x® 9x Va — x28 frs fa ftse LU 2 E ser Mémoires de l'Acad, T. V. 5 34 f. 17. Evidens nunc est, posteriorem .formulam per priorem divisam ipsum nostrum productum continuum ex- hibere, quo pacto ambo integralia infinitesima se mutuo ‘tollunt , consequenter habemus : ST —1 3. ei FE : —. Simili modo protinus PRE pe 1 ps 'èx PTE PLV Les e0 B7 ViZzxa ? PR ds a LL Eten V1—x24 Vi—x28 etc: At vero haec investigatio adhuc generalior reddi potest, quemadmodum sequens problema docebit. Problema generalius. Invenire seriem uniformi lege procedentem À, B, C, D, etc. ita ub sit AB—=Ÿ+c; BC—(f+ajpes CD=(f+ ca} +c; DE —=(f+3a)+c; | ubi in singulis productis litera f quantitate a augeatur. Solutio prior per fractiones continuas. f. 18. Hic itcrum evidens est, qualis A fuerit func- tio ipsius f, talem esse debere B functionem ipsius f+ a; C ipsius f+ ca; D ipsius f+3a et ita porro Cum igitur sit AB—f+c, si A et B essent acquales, omisso c foret A — B—#f. Quanto igitur A minor accipitur quam f, tanto B debet esse major, unde posito A —f—x erit B —f+ 2x. Quoniam ‘autem B ex A nascitur, si : A 35 loco f scribatur f+-a, etiam esse debet B=f+a—x, unde concludimus fore x=1a; sicque partes principales pro A ét. B erunt A —f—Za et B—/f+1a, sive 2A—c0f. a et 2B—2/f+a, ideoque pro sequentibus 2C = 2f+ 34; 2D—2°f+5a; 2E = 2f + Ja; etc. $. 19. His valoribus principalibus inventis ponamus revera esse 2A—o0f—a+; 2B—2f+at+;. At pro s mox idoneus valor emerget. Hinc igitur erit: 4AB=—4f—-aa+(2f+a)+5(2f-a)+ = 4f-+4c, quae aequatio, sublatis fractionibus, hanc induet formam: A°B’ (aa + 4c) — A’s(2f— a) — B's(2f+ a) — ss = 0. Sumamus jam $s aa 4c, eritque facta divisione: A°B'— A’(of— a) —B(2f+a)—=aa+a4c, quae aequatio ita per factores repraesentetur : (A — 2 fa) (B—2f + a )=A4f + ac. f. 20. Nunc simili modo ut ante ratiocinando intelligi- tur, si À” et B° fuerint aequales, membrum sinistrum fore A’A’ — 4f A” — 0, ideoque A’ —B’—4f. Quia autem B°” orni debet ex A”, si loco f scribatur f+ a, evidens est partes principalés fore A — 4f—0a et B—=4f+2a. nn SE ee pures CA Revera igitur ponamus esse An 4f — 24 + 5% et = 4f+2a+;, unde, si hi valores substituantur, aequatio praecedens, per factores exhibita, hanc induet forma : Le à 36 Cf—3a+ 5 (2f+3a+i) = 4f +4, quae, facta evolutione, ad IStam TR de TE Rp (499 aa)+},(2f+30)+ É(2f—30)+ = aff haecque sublatis fractionibus ie in banc: : A’B”’(oaa+4c)—A”"s (2f—-3a)—B’s (2f+3a)—ss =. Sumto igitur s — gaa + 4c, et facta divisione, oritur haec aequatio : ATB" — A” (of—3a)—B” (2f+3a) —oaa+4e;, quae per factores repraesentari potest hoc modo : # (A7 — 0f— 3a)}(B7 — 2f+3a) =4f+ac. f. 21. Quia haec aequatio similis est praecedenti, iterumque pro casu A”-=B” prodiret 4f, statuatur ulte- rius A 4f— ca + Feb B = 4 éme La unde postrema aequatio per factores foret : AN AE Se (Gate = AfLue. At facta evolutione sublatisque fractionibus prodit : AB" (25aa+4c) —A"s"(2f- 5a)—B*s”(2f4-5a)—s"s”=a. Sumendo igitur s” = 25aa+4c et dividendo per s” fiet: AB” — A” (of—5a)—B”(2f+5a)—c5aa+4c, sive per. productum : (AT —2f— 5a)(B"—2f+5a) =4f+ 4e f. 20. Stattrapür ulterius A7 = 4f— ca + + et B7 = 4f + Sa + Le > et superior acquatio per productum, substitutis his valoribus , erit : 3 (G@f—o+)(2f+ 104) —=4f+ ac, uae, iisdem operationibus repetitis, sumtoque s/”= 40 aa q 1 9 aa+ 4c ad sequentem reducitur : IV plv IV IV L A B —A (2f—1a)—B (2f+ a) — 49aa+ 40, sive in factoribus erit : IV IV (AU —2f—7a)(B —2f+1a)=4f+a4c. Ex quibus jam abunde liquet, quomodo calculum ulterius prosequi oporteat. f. 23. His igitur valoribus successive substitutis ob . (QE = S— aa<+A4c; = gaa + 4c; s° — 95aa + Ac; s®” — 49aa + 4c; etc. pro À obtinebimus sequentem fractionem continuam : — 0 f— aan RE: Fa NUE ETES 4f—2a+ 25 aa + 4c 4f—2a+ 49 aa + 4c 4/— 2a + etc. Simili modo hinc erit: aa 4c 4f+2a+oaat 3e 4f+28—+osua+ 4e 4f+28+ 49aa + 4c Ed Eee 2B—2f+a+ LES aa—+a4e DC SF SUR ET porte 4f+6a + 2saa—+4cC 4f—+ 64 + 4944 + 3e 4f+6a—E ete aa ac 0 = 0 f + ES PRE LS ONE PNR EE 5 4 Esro +5a- PT STE TUE PTE ES af + id0a + 25a4 + 4c etc af 104 40d af 4e D « Aj—+ ca efe, 33 Solutio altera per producta continua. (. 04. Cum sit AB=f+c; BC—(f+a?+c; = (f+2a)f + c; DE=(f+ 3a)} +c; etc. erit: Fe (+ c)((f+2a) He) ((f + 4a} +e)((f+6a) He)(etc. RUE (+ a) +e)(f+3a) +ce)((f+ sa)? + c) (etes, 0° At vero in hac expressione, ubicunque sistas, vel in numeratoribus vel in denominatoribus factor redundabit. Quod quo clarius appareat, subsistamus primo in littera F, eritque : he (f+2a} +ec 1 AG y * G—+sa Fc (+ 4aÿ + ce QT ° Quando autem in sequente littera G subsistimus fiet: A — rafE SE (f+2a)} +ec (f+ aa) +e G +af+e * (f+sa}+e * (f+sa}+e $. 25. Quod si ergo istae binae expressiones in in- finitum continuentur et in se invicem ducantur, ultimus factor literalis, qui hic est ee manifesto unitati aequabi- tur. Quia vero hoc casu numerus factorum in numeratore unitate redundat, ejus factorem primum in fronte seorsim scribamus, atque productum sequenti modo exprimetur: A=(f+ c). He) +28) ce) : (Ha) + e)(( + 40) +c) “(FH +) (+ a Ro) (+3) Fc)(f+3a) Fc) ubi jam infinitesimi factores unitati aequabuntur, sicque etc. ista expressio uniformi lege procedit. Hic autem duos casus distingui conveniet , prouti c fuerit numerus vel negativus vel positivus. 39 Casus 1, quo c—— bb. br f. 26. Priore casu quilibet factor in duos resolvi se patietur. Statuamus igitur primo © —— bb, quo casu fractio continua sequenti modo exhiberi potest: q 1 +2 — 2b 2A—2/f—a+ ANR 4f—2a+ (sa + 2b)(sa— 28) 4f—24a+ (a+ 2b)(1a— 26) L 4f— 2a<+ etc. atque loco expressionis per factores continuos nunc habe- bimus ‘sequentem pro simplici litera A, scilicet : ON E-10) rnb) 2470): Prob) (hs ab) “Fi "(f+a+b)(f+a—b)" (f+3a+b)(f+3a—b)° in cujus expressionis quolibet membro summa factorum ete: numeratoris aequatur summae factorum denominatoris ; ob quam proprietatem hi factores pèr formulam integralem exprimi poterunt. f. 27. Constat enim, si haec formula integralis: SEINE : +; ASE Presse ab æ —O usque ad x — 1 extendatur, valorem reduci ad sequens productum infinitum : m Mm—+n M-H2n me ombre meer FRE L : La x Ta Tr. Quo igitur hanc formam ad nostram expressionem accomo- demus, quia singuli factores in sequenti membro quañti- tate 2a augentur, sumi debet n—2a; tum vero posito 40 m—f+b et À —a reperietur fore: fJ+ta+b f+3a+b f+sa+b f x®° 9x Sy, f+b ‘f+ra+b'f+4a+b VG=x28) — quae expressio inversa priores factores cujusque membri continet. Pro posterioribus autem, manente n=2@, sümatux m—f+a—b et k—4«, quo facto prodibit hacc aequatio: f+ca-b f+qa—b f+6a—b _x® dx. ef reine f+a—6" jF3a—b * f+5sa—0 * vs NE Vi—x2a Si igitur haec aequatio per DUT RS dividatur, pos- tremi factores integriles se mutuo destruent, prodibitque productum infinitum, in valore À occurrens, per duas for- mulas integrales expressum, ita ut sit: . fa b=1 SE xf+B—a 3% AZ) LE à JS. Vi—x?0 V 1 x29 $. 28. Quo haec exemplo illustremus, sumamus f—2, a — 1, b—1,.ut habeamus hos valores: AB—3, BC—8, CD =15, DE — 24,etc. hocque casu nostra fractio con- tinua evadit : 2A = 3—— 6 —+- 21 6 + 45 Le LE à 6 <+- etc. At per productum continuum erit : RENAN ver, dE Le a ..4 43:16 6.8 g'. 10 Tum vero per formulas integrales habebitur : A BE ss . R PAROLE . Vi — xx Vi— a A1 Constat autem pro nostris terminis integrationis, ab x=0 us- ax xxdox. Tr ue ad tx —1, esse = 'tet T, unde q Fe Vi—xx W; Vrsx | 4° 4 colligitur À — *, id quod cum ipso producto Wallisiano, = ( 2.2 4140.66 £ : — , — . — ,., etc. egre2ie conv - 12 MIE etc greg nvenit Casus 2, quo c — + bb. T ——— QUOTE 2 f. 29. Evolvamus nunc quoque alterum casum c=+bb, pro quo fractio continua hanc formam induit : PES aa + 4bb 2A—2f—-a+ 4f—2a+oaa+ 3bb 4f—2a+3saat+abb M ETENTTE TUE 4f—2a+ etc. At vero productum continuum, ex praecedente forma, loco b scribendo by —-1, ita imaginarie expressum se prodit: ={FSby 41). (F+BV—1)(f+2a — DV — 1) (fe +bV—-1)(f+4a-bv—1) É LE. (Ha +bV—1)(f Fa bi) * (fa + bV—1)(f+3a—bV—1) Evidens autem est in eadem expressione (. 26. allata etiam loco b scribi potuisse — by — 1, unde prodiisset: = by jee (f—bV- 1)(f +20 + BV —1) (f+2a—bV—1)(f+40+bV—3) À #, HV 1) Go) * Ge) ser) ER igitur harum duarum expressionum fit reale, erit enim A=(f+ bb) CRGERE (CH 2a)2+Bb)((f + 48) + bb) ne fa) +6)((f + a) +08) * (+ 3a) + b)((J +3) +68) quae expressio congruit cum superiore, f. 25. inventa. $f. 30. At vero etiam expressio per formulas integra- les evadit imaginaria. Si enim in formulis (. 27. loco b scribatur by — 1, orietur sequens expressio: xf+a—i1—bV—13, x —1HbV— 13% =(f-bV —-1) f—— rage ANA | à set NME Mémoires de l' Acad. T. , 6 42 Verum mutato. imaginariorum signo erit EE NA hrs dar Du SF LA re Vi x28 NT —H26 ubi nullum est dubium, quin in utraque expressione ima- 3 ginaria se mutuo destruant, etiamsi nulla pateat methodus banc mutuam imaginariorum destructionem actu evolvere. $. 31. Verum si hae ambae expressiones in se mu- tuo ducantur, tum ista destructio haud difficulter ostendi poterit. Cum enim productum sit ef a—i—0v —:13% FÉES Vi—-x24 1——x24 F4 A 1 MER T EE A=(f+b) — RÉROPEAT TE ST IGN mr JR demonstrari potest tam in numeratore quam in denomina- tore imaginaria seorsim se destruere, quod quidem pro de- nominatore ostendisse sufliciet, cum numerator inde oriatur, ‘scribendo f + a loco f. f. 32. Quo demonstratio succinctior reddatur, pona- mus brevitatis gratia > —OV, quo facto denomina- ‘tor nostrae expressionis, imaginariis affectae, erit VÉendéml e ŒUL TU" AR Jan statuatur. factortim summa — f(x ES 2 p, differentia — f(x° FT ART NON de ‘aätque notum est productum propositum fore 43 ae, : us TN 2V =, Monstrabo igitur tam pp quam gq ad quantitates reales reduci posse. d f. 33. Hunc in finem loco x in potestatibus imagi- nariis scribamus e*, ut fiat pets 41 en ape, fe NT Lie ME) ay: Cum igitur noverimus esse GEL LE ere ONE AE 2 cos. O et | Pa te al en sin D. posito brevitatis gratia blx = © fiet p=2/fav cos. ® et g—2ey—1/f0V sin. ®, unde sponte fluit denominator pp ae = (f2V cos.) + (f2V sin.Ÿ}, expressio quae manifesto est realis. L f. 34. Hinc facile colligitur valor numeratoris, quip- pe qui erit | fa" aV cos.@} + (fa OV. sin. D}, ita ut expressio nostra, imaginariis turbata, pro A? sequenti modo realiter repraesentetur : pers (Jx4 à V cos. PY + (Jx 9 V sin. .p}? À? — (Æ + bb) | (JOVcos.P} Ja sin.P} ? LL | f— existente 9 V = -%* et D — bix. VY 2qa 1 — 6 *? 44 . 35. In analysi autem adhuc desideratur methodus per integrationem tractandi rouge formulas : f— 1 3xcos.blx TL 'Oxsin.blx geste à [E | V —x24 Pret Interim tamen si denominator abesset, utraque formula re- vera integrari posset, id quod sequenti modo ostendisse operae pretium erit. . 36. Praestari enim hoc poterit ope reductionis notissimae /POQ—=PQ—/QIP. Si scilicet pro formula priore sumatur P —cos.blx et 2Q— x" D, fiet fx" 0x cos.blx Er. cos. blx + + fa dx sin.blz. Pro altera vero, sumto P = sin.blx et RO "dx, erit Æ£ 4.1 xf Lt [2° "dx sin.blx —*> sin.blx — = fx "dx cos.blx. Hinc porro colligitur substituendo Nine fz D cos. ble =; rs (Jos blx + bsin.blx); I — | PT or tin. 0 — et (f sin. blx — b cos.blx). “At vero, accedente denominatore, nibil aliud intelligitur, nisi integrale ad genus quantitatum maxime transcenden- tium, adhuc ignotum, revolvi. —#290000 002007@—= A5 MERE O0: D. Ti:SN JSNMAGNC'T N° C T A SUMMAS SERIERUMINFINITARUM PER FORMULAS DIFFERENTIALES INVESTIGANDI. AUCTORE LP HONL: EX RO. CR RE RE LE SRE à E LUTSNN £ f. 1. KEtsi hoc argumentum jam saepius pertractavi, tamen pleraque, quae ad summas commode exprimendas spectant, per varios libros sunt dispersa, atque etiam per ambages eruta; quamobrem hic succinctam methodum sum traditurus, cujus ope serlei cujuscunque summa facili cal- culo, sine ambagibus, per formam simplicissimam indagari poterit. f. 2. Sit igitur X functio quaecunque ipsius æ, et X’, X”, X°”, etc. inde oriantur, si loco x successive scri- batur +1, x+2, x +3, etc. Hinc ergo literae illae KR Xe" X Métc. mibi designabunt terminos cujusque seriei indicibus x, æ+ 1, +2, x+ 3, eic. responden- tes. His positis duos casus serierum infinitarum sum con- templaturus, quorum priore termini omnes eodem signo - afflecti progrediuntur, ita ut series summanda sit : 46 X + X° + X7.+ X7hetc. à Altero vero casu iidem termini signis alternantibus proce- dant, ita ut series summanda sit X—X’+X”— XX” + etc. Hos igitur duos casus seorsim evolvam. Casus I Summatio serlei infinitae S:= X. EX EE X TERRE RM PRE. f. 3. Denotet S° summam ejusdem seriei primo ter- mino truncatae, ita ut sit S = X°-E X” —E X/” L etc. et cum S sit certa fanctio ipsius x, quam hic potissimum ipvestigamus, erit S’ similis functio ipsius x+ 1. Evi- dens ergo est, fore S—S"—X. Quare cum sit SO — S + 0S + 1005 Fête. ubi denominatores, potestates elémenti dx continentes, nt brevitati consulam , praetermitto, siquidem quasi sponte subintelligäntur, hinc nostra aequatio induet hanc formam: 0 = X + 0S + 1008 +198 + Lo+S etc. f. 4. Quodsi ergo ista series valde convergat, pro- pemodum erit 2S=—X, ideoque S——/X0x, quod integrale per constantem ita est determinandum ; ut sumto x infinite magno evanescat, p'opterea quod termini infimi- tesimi pro nihilo haberi possunt, quia aliàs series ‘ipsa nullam haberet summam finitam. ‘Cognita propemodëæm 17 sumina, pro vera summa statuamus S = — [X0x — aX — BOX — YOOX — etc. eritque hinc | 2S—=— X — a0oX — BOIX — YOOX — etc. Quod si jam pro singulis differentialibus ipsius S va- lores inde oriundi substituantur, pervenietur ad sequen- tem aequationem : RE ex BOX VOX SUN — etc.] —X— 1 — lu — 18 — y —etc. — ! — la — If —etc. ;—=o A ee — 54 — etc. So ELC. et jam coëfficientes incogniti a, fi, y, etc. ex sequentibus aequalitalibus definiri debent: HE O; BP+iaHi=0; V+iB+la+l—o,; etc pod bb a — NC; Ÿ—0;4eI. f. 5. Hoc autem modo inventio literarum «x, fB, y, etc. nimis foret operosa, neque tamen ulla lex perspiceretur, qua ulterius progrediantur ; quamobrem modo prorsus sin- gulari in valores istarum literarum inquiram. Considerabo. scilicet seriem ordinariam, secundum eosdem coëfficientes procedentem, quae sit V —'1+ 47 + 22 y 2 + d2t +etc. atque evidens est, si hujus seriei summa V ad formam finitam perduci queat; tum, si eadem secundum potestates 48 ipsius 4 evolvatur, eandem seriem necessarlo provenire de- bere, quo pacto valores litterarum «, f, y, d, etc. sponte innotescent. $. 6. Ex relationibus igitur, quae inter litteras @, B; y; 9, etc. intercedunt, supra f. 4. allatis, sequentes operationes instituantur : V=i+az+ fe + 2 + 07 + 625 + etc. 13 V= +1 +ia + 16 +1y+HId + etc:, 222V— —,+it ue HR APV= — —) + EL F£Eat+aifpfHetc. HÉV—= — — — ES ee etc. = IN = 0) MT, — —— “F3 TT etc. etc. Hoc scilicet modo omnes termini, praeter primum, ad nihi- lum sunt redacti; eritque ergo V(1+i2z Hier + Le + Lt LL m + etc.) — 1: $. 7. Cum igitur sit — 1-+2+17%+12%+ Imt+etc. . À: . F erit EC =) = 1, ideoque V—-— 1 >; quae expressio quo facilius LATE in seriem converti ir ponamus z=2t, ut sit V=——, ideoque V-+t=t.— a . Nunc statua- e — Ÿ, « PER 2t tur FT -—=u, ‘fietque V = bars Cum igitur sit e — 1 A ENST t . . n . +. U—-; -—.,, hinc exponentialibus evolutis erit — HEIN HE tt Horn ph ete: DH ES + 550 1 - sdgutl +" etc. ? 49 - ubi in numeratore solae potestates pares, in denominatore vero solae potestates impares occurrunt. Patet autem, sumto t quam minimo, fieri u——, minos per potestates t, L?, t*, elc. esse progressuros. sequentes vero ter- La : Brent ts F of _u+1 f. 3. Cum La posuerimns u="—, erte =, ;, d: ideoque 2t=1=—. Hinc ergo differentiando erit dt=—-""—, F) unde NS NES rs SG +uu—1=0O. Quia autem novimus, primam terminum seriei, qua 4 exprimitur, esse — et se- quentium potestatum exponentes binario crescere, statuatur: . u—-+oAt—0oBf+oCt—oDt + etc. fiatque substitutio sequenti modo : 2 +oA—6G6Btt+10Ci— 14 Dt+1B8Eû— etc: uu—+=+4A—4B + 4C — 4D + 4E —etc. +4AA— 8AB+ 8AC— 8AD +etc. + 4BB— 8BC+etc. Ar) 10! ubi termini primi se sponte destruunpt, reliqui vero se- quentes praebent determinationes : 6A = 1 ergo À —2 IE, 10B —4AA ee B=SANEE, 14C = 3AB Jin CSRIAPSS, 18D—3AC+4BB... D—2(2AC+BB)—=;Xx; Mémoires de Acad. T., F. 7 30 22 E—8(AD-+BC), ergo E =£2(2AD+2BC)= Etc: 93555 $. 9. Häe -ergo lLitterae A, B, C; D, etc. prorsus eaedem sunt, quibus olim ad stimmas Potestatum- recipro- carum exprimendas sum usus, siquidem inveni esse: 1+I+HI+EL+ZL + eic. — A7, Ne + th + etc. — B rt, Lo as Mritbamaietn, Cr a Î quos valores usque ad potestatem trigesimam quartam per calculos valde operosos sum exsecutus. | $. 10. Cum igitur sumserimus : u— +0 At— 0 Bt + 2 C5 — etc. ob V—tu—t ent V—i-t+0At—0Btt+0Ct—0oDtf+etc. ubi nil aliud superest, nisi ut loco £ an 1z, unde prodit or. z A2z% _Bz+ Dz38 V FE NE 8 etc. Cum igitur habuerimus V=iaz+fz +7yz + etc. collatione ïinstituta reperiemus a ==}; B—IA; y=0o; D— be 0d, 4—2C; 1-2 dipete $. 11. Inventis jam valoribus harum litterarum sum- ma sericl propositae S— X + X° + X7 + X/7 —H etc. 51 sequenti modo exprimetur : | S——fX0x+iX—1AOX +IBPX—1LCYSX + :k DOX — JE E0°X + etc. ubi integrale /XOx ita capi debet, ut posito x = eva- nescat;, unde patet, si constans adjicienda debeat esse in- finita, etiam ipsam seriei summam fore infinitam. $. 12. Consideremus exemplum, quo X—-;, ita ut hujus seriei summa sit quaerenda: RCE LEE CHENE DAS Hic igitur erit /KOx——,}—;%—, quae forma ut eva- nescat posito L—œ, necesse est ut exponens % sit uni- tate major. Alioquin enim, si esset n—1 vel n <1, samma serlei certe foret infinite magna. Porro vero erit ie n : 7 boue n(n+1)(n+a),. AE n.…..(n+4). 7 D, dure PERS hinc D rer op AXE RS ES ME etc. quibus valoribus substitutis summa En A erit : 1 1 A n B n(n+1)(n+2) (n+4) S—-— Dar td tot ri 4 . mm +3 + LEE etc. quae series eo magis converget, quo major accipietur nu- merus x, praeterquam quod literae A, B, C, etc. progres- sionem valde convergentem constituunt. . Le Es si Fe ab unitate incipiendo hi ter- UNE MR SH en M BN En Acta colligantur, éorumque sumima Pnébn À, ejusdem seriei in infinitum continuatae suinma erit AS. Hoc modo olim summas talium serierum infinitarum pro singulis exponentis n va- 7 à 52 loribus 2, 3, 4, 5, etc. ad plures figuras decimales com- putavi, sumto scilicet x —10, quo pacto çalculus satis expedite absolvi poterat. Casus 2. Summatio serlei infinitae | S — XL MU NA FOUR X ET RS f. 14. Quod si igitur mdex æ unitate augcatur, ha- bebimus S/ — X/ —- X” + X/ - X/",.+ etc. Addatur haec acquatio ad praecedentem, prodibitque aequatio finita S+S"—X. Quare per formulas differentiales habebimus: X= 28 + 98S+1008S +108 +ÆXOotS + etc. unde neglectis differentialibus erit S—£X, qui ergo erit primus terminus seriei quam quacrimus. Statuamus igitur LS —IX + aX + BOX + ySX + etc. et facta substitutione fiet : 2S—=X+2aoX+92fB00X+2y0X + 2001X + etc. ST : + & + HO + etc. 1908 — — . JE + }@. + if . Heic. 153 — de ue, Æ LI : - 209 — + + læœ ‘Hetc. I 34Q — 7285) Le by à É A OS = + & + etc. etc. à f quae expressio tota soli X est aequanda. {. 15. Singulis igitur columnis verticalibus ad nihi- lum redactis orient sequentes aequalitates : 53 f Z — . I — - I , — - 2a+Ei—O; 26 +a+i—=0; 2Y +B+la+L—o; MY E E L— nn: 20+V+iB+iat+éi—O0; etc. unde priores saltem lterae has recipiunt determinationes : — . —— - — I. — . : a EME O0Ev= ZX, 0 — 0, etc. $. 16. Quo autem hos valores facilius investigemus, consideremus hanc seriem : Vi <+az + 6z + y% + etc. cujus scilicet sammam V quaeri oporteat. Inde ergo se- quentes derivemus series : | 2V—1+0az+2B2z+0ym+o00m+0er + etc. Vi +13 + azz + Ba + V2 + 02 +etc. IV — EN ER EEE Se vEyiE etc. IV 3 — Le er ur. I I EVZ — LS + ia\+ 16 etc. IN 78" — at En de L IE à VZ == + £ + bHetc. etc. Harum igitur serierum summa, ob aequalitates ante allatas, fiet — 1, sicque habebimus istam aequationem : V(+Hz+ir+iIS + La + etc.) — 1. Quare cum sit < - jra 2 VE se e —1+z+17+1z% + etc. . . LA re . 3 Li erit manifesto V (1 +e)—i1, sive V—=—, unde fit — ps Vi 1—+e . 17. Ponatur igitar ut ante = —uwu, ut sit LU atur ig PR V7 Het 2V—1—u, sitque iterum z—2t, ita ut u— So e +e 54 Ve t + 213—+ t5 acrotl + etc. r 142 7 ere D PET etc Unde patet seriei, valorem 1psius w exprimentis, primum terminum fore facta evolutione erit u= t, sequentes vero per potestates impares ipsius { progredi. ot 41e À = à t 2 $. 18. Cam igitur sit u———", erit e’ HE, id- F1 Sert u ,> unde differentiando fit Dr LES ita ut eoque 2t—l 7 roas + uu — 1 — O0, quae est ipsa aequatio Pro casu priore inventa. Neque tamen propterea pro w eadem series prove- nit. Quoniam enim hic primus seriei terminus debet esse —t, fingenda est hujusmodi series: u—t— AE + DE — CE + Di — Et! + etc. fierique debebit facta substitutione: GER Sr —1—3Utt+ 5 Bts TC +09 DE — 11 Et° + etc. uu— + 1 —2% +o® —2o€ ‘+ 9 D" etc. + % —2YH+ 29H61 etc. + D —etc. —1—=—1 atque hinc sequentes oriuntur determinationes : SE Ml ideoque A1, D D—2A ideoque B—2A—2£,. 1E = 2% + % hinc C2 ape, 9D=2E+2AD ergo D—=;C+IAD—.S., etc. etc. 55 $f. 19. Cam igitur sit V—I—1u, si loco t iesti- tuamus €, pro V hanc reperiemus seriem: iii LUN —IDr + rCr—L Dr + etc. Quare cum posuerimus V=Ii+az+fz + 7yz+0ut etc. hinc colligimus valores literarum «, f, y, à, etc. qui ergo ÉTÉ O0; y ES LMNS 10 — oO; e——£{Ÿ; 2=0; n1—=;%€; Ô—0; etc. consequenter summa quae- sita erit : —IX—NX+ENPX + IBPEX + x 2 256 EIX— etc. f. 20. Comparemus nunc istos coëfficientes cum iis quos in casu praecedente pro similibus differentialibus su- B . . A . mus adepti, qui erant =, =, = étc. atque egregiam re- lationem inter utrosque deprehendemus, uti ex hoc sche- mate videre licet : DONNE SE OMAN le ges rs 3 X EE — 15 EN 1°, » X "Mr 63. = ons: 7 X Be More DUO EN TE 0° X — : = M 1084109179 14 ete, etc. 56 $. 21. Per eosdem igitur numeros notissimos A, B, C, D, etc. etiam hoc casu summa quaesita sequenti modo commode exprimetur : S—iIX—(02—1)4.0X +(20—1) 5. DX — (261) 2. PX 2 2 32 + (25— 1). 07X — (210— 1) +. PX + etc. quam seriem quousque lubuerit continuare licet. =m$ 009000700000 8 @—— : 57 DE SERIEBUS MEMORABILIBUS QUIBUS SINUS ET COSINUS ANGULORAM MULTIPLORUM EXPRIMERE LICET. AUCTORE LEP: EDR RrO;: — Conventui exhibuit die 13 Mart. 1780. $. 1. Series, quas hic sum expositurus, non tam ob usum in multiplicatione angulorum, quam ob eximia cal- culi artificia, quae me ad eas perduxerunt, imprimis autem propter egregiam simplicitatem legis, qua earum termini progrediuntur, omni attentione dignae videntur. Ad eas autem commodius investigandas utor characteribus, quibus coëfficientes potestatum binomialium designare soleo. Ita si x fuerit exponens potestatis, hi characteres sequentes ha- beant significationes : Dr ONE NO ER); ec 1 1.2 LOTS sicque In genere eril: (©) = x(x—1)(x—:)(x—3)(x—4). ne (æ— nr), " Ma UMa 4 2 EC. n _. - _ . 2. Proposito nunc angulo quocunque @, pro ejus multiplo quocunque x tales series, secundum , memoratos characteres procedentes, indagabo, quae tam cosintim quam , Mémoires de lAcad. T. Y. 8 58 sinum hujus anguli multipli exprimant. Ac primo qui- dem pro cosinu istam fingo seriem: cash 1 FAT (BE (C)C HP) etc quac semper abrumpitur, quoties x denotat numerum inte- grum positivum,; reliquis autem casibus in infinitum ex- curritt Ad has autem literas A, B, C, D, etc. investi-" gandas loco x successive assumo valores 1, 2, 3, 4, etc., ubi quidem valores cos.®, cos.2@, cos. 3%, cos. 4@, etc. tanquam cognitos specto. $. 3. Facta igitur hac evolutione sequentes valores pro Literis A, B, C, D, etc. reperientur: Si | erit x—1| cos.P—1+ A, ergo À — cos. — fi, x—2/\cos.20—1+2A+B, ergo B—cos.2@— 2 cos.D+1, ble age 1+3A+3 B+C}, ergo C = cos. 30 —3cos.2 O4 3cos. Dr, x—=4\cos.4P —1+4A+6B+4C+C+D, ergo D = cos. 4 — 4 cos. 30 +6 cos. 2 P—4cos.D+1, x—5|cos.59—1+5A+10B+10C+5D+E, ergo H==GCos. 5D—5 cos. 40 + 10 cos. 80—10 cos. 20 + 5 cos. —1 etc. | etc. $. 4 Hinc ergo in genere, pro casu x —n, si litera coëfficienti (<) jungenda fuerit N, sequitur fore: | 59 N=cos.ND—(#)cos (n-1)p+(T)cos.(n-2)D-()cos.(n-3)D +-etc. Nunc igitur praecipuum negotium huc redit, ut istius ex- pressionis indefinitae valor ad- formulam finitam reducatur, id quod fit, si illius seriei summam, quae est N, elicueri- mus. Quanquam autem plures jam hujusmodi series, se- cundum cosinus procedentes, sunt summatae, tamen metho- di, quibus auctores, ad eas investigandas, sunt usi, vix, ac ne vix quidem, ad hunc casum accommodari posse viden- tur. Singularem igitur methodum hic proponam, quae me ad hunc scopum perduxit. | f. 5. Considero scilicet has binas formulas imagina- rias: p—cos.D+y —1sin.Ÿ et q—cos. D —y — 1 sin.®, ex quibus constat fore p + q” — 2cos.n®, ideoque cos.n®—1(p" + q"). Similique modo erit cos.(n — 1) —=1(p" +); etita porro,quibus valoribus substitutis, et-potestatibus literarum p et q seorsim positis, facta multiplicatione per 2, habebimus: RE ve Rs 2 LAC NS HOT + Or ete. Hic autem _evidens est superloris serlei summam esse (p — 1)", inferioris vero (q — 1)", ita ut jam futurum sit 2N = (p—1) + qi), quas formulas ergo ulterius prosequi oportet, & + 60 $. 6. Cum igitur sit p — cos. O + Y — 1 sin.®, erit p— 1 — Cus.® — 1 + y — 1sin ®@. Jam statuamus D=eu, et cum sit cos. P=1—2sin.u et sin. P=2 sin.w cos. a, habebimus p—1—2 sin.w (Ÿ— 1 cos.w — sin.w) quae ex- pressio reducitur ad hanc: p—1=92V — 1 sin. (cos.w + y — 1 sin.w). Simili autém modo reperietur qQ—1——27V — 1 5in.0(cos.&— y — 1 sin.u), Ex his igitur formulis conficietur (p— 1) =2" (y — 1)" sin.w" (cos. nw y — 1 sin.nuw), (q—1) =2"(—V —1)" sin.w" (cos. nw—y— 1 sin. nu), quarum ergo formularum summa praebet valorem ipsius 2N, quem quaerimus. $. 7. Potestates autem fnagitanortn y —1 et — y — 1 modo fiunt +1, modo —1, modo imagina- riae + —1, prout exponens » fuerit numerus vel for- mae 4i, vel 4i+1, vel 4i+4+ 2, vel 4i+43, quando+ quidem constat esse: Qt = +1; (Vi =+41, PAPE VLE ,. y Dai Dee RE MONS D Cons Mount SANS Ert À (y — jy" PAL VER (RESTES ER Ve f. 8. Hac observatione praemissa tribuamus nunc suc- cessive exponenti x valores 1, 2, 3, 4, etc. quo pacto N 61 denotabit successive lLiteras À, B, C, D, etc. quarum ergo valores sequenti modo per angulum & = 1® expressos reperiemus. Sit igitur primo n —1, erit: Ü gA—0y—1 sin. (co$.w+y — 1 sin.u) — 2 —15sin.w (cos. &—y — 1 sin.w), qui ergo valor redacitur ad hanc formam : 2 À —— 4 sin.w sin.w , ideoque À —— 2 sin.w sin.w. $. 9. Sumto autem n—2 fiet 2 B—=— 4sin.w? (cos. 2w+y — 1 sin. 2«) — 4 sin.w? (cos. 2w—y — 1 sin. 2«), unde colligitur B=— 4sin. uw? COS. 2 &. f. 10. Sit n=3, eritque 2C—=—8y—15sin.u(cos. 3w+-y — 1 sin. 34) + 8 — 1 sin.u (cos. URL: sin. 34), ex quo fit C = 8 sin.uÿ sin. 3 w. $. 11. Sumatur n — 4, atque nanciscemur 2 D — 16sin.wt (cos. 4w+y — 1 sin. 4) + 16sin.w* (cos. Aw— y — 1 sin. 4u), hincque oritur D = 16 sin.u* cos. 4u. f. 12. Sumto porro n—=5, fit D 2 = 32 y — 1sin.w’ (cos. 5w+y — 1 sin. sa) — 39 y —1sin.u (cos 5w—7y —1sin.5w), ergo colligendo prodit E—— 32sin.u sin. 5w 62 f. 13. Pro casu n — 6 invenitur 2 F —— 64sin.uf (cos. 6w+-y — 1 sin. 6 w) — 64sin.uf (cos. 6w—y — 1 sin. 6w), sive F = — 64sin.uf cos. 6 w, f. 14. Statuatur porro n — 7, eritque 2G—=— 128 —1sin.w7 (cos. Tw+y — 1 sin. qu) + 128 V —1 sin.w? (cos. Tw—y — 1 sin. 7u); ideoque G = + 128 sin.w7 sin. 70. $. 15. Denique posito n — 8 prodit 2H —=+ 256 sin.u8 (cos. 8w—+ y — 1 sin. 8 w) + 256 sin.u$ (cos. 8w— y — 1 sin. 8), hincque G = + 256 sin. u cos. 8w. f. 16. Istos igitur valores, per periodos quadriparti- tas progredientes, in sequentibus duabus columnis junctim repraesentemus : A ——2 sin.w sin. & | F = — 26 sin.wf cos.6 w B = — 2?sin.w° cos.2w | G = + 27 sin.w? sin.7 @ C = + 23 sin.w sin. 30 | H = + 2% sin.uf cos.8 w w D — + 2#sin.uwt cos.4Aw | | — — 2° sin.w° sin.9 E = — 05 sin.” sin. 5w | K = — 2!°sin.w°cos. 10w etc. consequenter valor formulae propositae , scilicet cos. æ@, sive cos. 2xw, per sequentem serilem satis Çoncinnam ex- primetur : 63 1—9 (*)sin.w sin. :w— 4 (Ÿ)sin.wcos. 2 w + 8 (°)sin.aÿsin. 34 16 (+) sin.wt cos. 4 — 32 (*}sin.wsin. 5w— 64 ()sin. uf cos. 6 +128(©) sin.w? sin. 7w+-256 (©) sin. uf cos. 8 Esvele: — etc. Cos.2X 9 — f. 17. Antequam hanc formulam maxime generalem ad casus particulares aceommodemus, observationem prorsus singularem,eamque maximi momenti, in medium attulisse operae pretium est, inde petitam, quod per evolutionem communem sit cos.xD—1—1x@+x xD — x$ PS + etc. ubi tantum potestates pares ipsius æ occurrunt;, quam ob rem necesse est, ut in nostra serie inventa, facta evolutio- ne characterum ©, omnes termini, potestatibus imparibus ipsius x affecti, seorsim se mutuo destruant;, quare etiam omnes.termini inde resultantes’isola litera x affecti junc- timque sumti nihilo aequari debebunt, unde istos terminos ex singulis characteribus oriundos hic exponamus: (5) dat + æ|(?) dat —1x(%) dat +1æx|() dat —1x ©): +20 (f). . —Exl(f) ..+ixl(). : az ere Sal). +Ex| (À) . 8 SEX 12 été.n) ANretc. etc. $. 18. Colligamus igitur omnes istos terminos, ac di- videndo per x perveniemus ad sequentem serie maxime memorabilem : 64 6 = — 2sinwsin.w+}.2?sin.u? cos.2u+1. 07sin.u sin. 3w —1.2#sinmtcos. Ju—+.25sin.wfsin-5w+4.26sin.uécos.6w+etc. unde duas series inter se aequales deducimus, quae sunt 2 sin.wsin.w—2.0%sin.usin. 3w +1.927sin.usin. 5 w—etc. —}.2*sin.w?cos.2w—E. 24sin.wtcos.{w+-+.26sin.ufcos 6w—etc. Hinc ergo pulcherrimum theorema condi potest : Theorem a. Denotante w angulum quemcunque duae sequentes series : où 3 I EX. 4 . 6, t—3 sin.w?cos.2w —? sin.wtcos.4w +? sin.u$cos.Ow— etc. semper erunt inter se aequales, sive erit s =t. RE: à : . LE 7e : s==2 sin.w sin.w —2 sin.u? sin. 36 +2? sin.w’ sin.5w— etc. Demonstratio. $. 19. Hic ubique loco 2sin.w scribamus litteram b, ut sit: — — — re Pons fat PUR LE etc. te — Mess Hernte Pere etc, quarum serierum summas investigemus, nullo habito. re- spectu ad relationem, quae inter litteras b et w interce- dit, quam ob rem nihil impediet, quo minus littera b tan- quam constans spectetur, utriusque autem summa inventa loco b restituemus valorem assumtum 2sin.w, atque vide- bimus hoc casu revera futurum esse t = 5. l 65 $. 20. Incipiamus igitur a série priore, de qua 6b- servemus, sumto angulo &—O fore etiam s —0, atque differentiata hac serie reperiemus fore: SE bcos.w— b? cos. 3w+ b° cos. 5 u—b7cos. 7 w + etc. quae multiplicetur per 1-+ 2bb cos. 2u + b+, atque ob 2 cos. 2uwCos.nuw—cos.(n+2)u+cos.(n—2)u, obtinebimus sequentem aequationem : (2 —+- 2 bb cos. 2 w + b4) Z bcos.w—bicos.3w + bicos.5w— b'cos. 7u+ bcos.ow—ett. + bicos.3w — bicos. 5w+ b’cos. 7w — bcos.ow+etc. +b’cos.w —bfcos.w +b’cos.3w— b?cos.5w—etc. +bÿcos.w —b'cos.3u+b’cos.5u— etc. quibus terminis collectis nanciscemur = (1+ 2bb cos.2w + b+) —b cos.u+b? cos.w—=b(1+bb) cos.u, b (1 + 8b) dw èos.w 1—+-2bb cos. 2w + b4° sicque erit 0S — $. 21. Simili modo tractemus alteram seriem, de qua notasse juvabit, sumto w—O fore t—171(1+bb), cum sit 8? b+ 56 ps Enter RSS —— etc. Facta jam differentiatione prodibit D — bb sin. 2 + btsin. {uw — bésin. 6w +- ete, Hic jam iterum utrinque multiplicetur per 1+ 2 bb cos.w+b® et calculus ita adornetur: Mémoires de l'Acad. T, PV. 9 66 hr ie see sin.2w + bisin.4w — bésin.6w + bisin.8w — etc. des au UT — bisin.4w + bésin.6w — bfsin.8w + etc. aw + bésin.2w — bisin.4w + etc. + — bisin.20 + bisin.4w — etc. dw unde collectis membris nascitur haec aequatio : at cs 6 (1 + 2bb cos. au + btf——bbsin.2w, bb Aw sin.20 gonsequenter erit ot x 586 cr 20 104 N f. 22. Inventis his duabus formulis differentialibus, . utriusque integrationem investigemus , ac pro priore qui- dem, ob du cos.w — 0.sin.w, habebimus : ds — b(1+bb)9.sinw TT 1 + 2bb cos. 2w + b4 ? quae, expressio, ob cos.2w= 1 —2 sin.uw?, transformatur in hanc: à ra b (1 + bb) 9. sin.w D CEE TN ES PTTETE L à 2e f Quia vero constat esse / ES A à stro autem casu sit f = 1 + bb et g — 2b et = = US invenitur hoc integrale: 1—+-bb+2bsin.w 1 bb— 20 sin.w ? quae formula casu w — 0 evanescit, ideoque constantis SEEN additione non indiget. k f. 23. Pro altera formula, ob —dusin.2w —19. cos. 2w habebimus dt —+- pere, ubi numerator aequatur: quartae parti differentialis denominatoris, unde integrale erit &—17(1+ 2bbcos.2w<+b4). Necesse autem est ut posito w=o fiatt —}/(1+bb), atque commode hic evenit 67 ut isto casu idem valor prodeat, sicque adjectione constan- tis non est opus. Notasse autem hic juvabit esse etiam: t—=11(1+0bb+ 2bsin w) +?1(1+ bb — 2bsin.u). {. 24. His jam integralibus inventis, ob s—11(1+ bb — 2bsin.w) — +1 (1+ bb — 2bsin.u), erit eorum differentia: t—s—11(1+0bb— 2b sin.u). At vero pro casu nostri theorematis est b — 2 sin.w, que valore substituto prodit t—s—1l1—Oo, quae est de- monstratio nostri theorematis. EÉxemplum 1. f. 25. Contemplemur nunc ‘etiam nonnullos casus particulares, ac primo quidem, si sumeremus w — 180 omnes plane termini in nihilum abirent, Quamobrem in- cipiamus a casu & — 90° — ©; ubi ergo erit: Sin. & == 1; COS.2U——1; COS. Au—+1; COS. 6 ——1; etc. sin. 3u—=—1; Sin. 5w—+1; Sin. 74——1; Sin. Qu—+ 1; etc. quamobrem series pro cos.xr inventa erit: x x x cos.xr —1—92(%)+4(F)—8(5)+16(*)—32 (©) + etc. quae series manifesto nascitur ex evolutione potestatis (1—0) — — 1”, cujus valores sunt alternatim +1 et — 1 ‘ id quod egregie convenit cum formula cos, xr, siquidem ipsi x tUuibuantur numeri integri. © 63 f. 26. Hoc autem casu binae illae series, quas inter se aequales esse f. 18. invenimus, erunt: 2+1.07+1.05+7.927-+etc. ——7?.2°—2.04—7,.06—etc, Cum autem haec series maxime sit divergens, nullum con- sensum apertum cum veritate expectare licet, quod qui- dem maxime paradoxon videtur, at vero novimus utique dari ejusmodi series divergentes omnes terminos positivos habentes, quarum summa tamen non solum sit nulla sed adeo negativa. Ceterum veritas in superiori theoremate jam solidissime est demonstrata. Exemplum 2. Æ PE TE . . 1% FAT £. 27. Sumatur nunc w=60=T, erit 2sin.w=b=y3, ob sin.w — "2. Tum vero erit: ï TE les Tone EL : sin. 3w—0O; sin. 5w———"; sin. Ju=+—<;, sin.Qu—O; etc. tOs.2w——1; cos. Au——1}; cos. 6w— 1; cos.8w=—1;, etc. Hinc ergo sequentem nanciscimur seriem : cos. = —1 — À (+3 +83 ée )+2(C)— (2) + (© — ft (©) + etc. Illae autem binae series pro $ et t inventae hoc .casù erunt : ONE LE A0 SUPER i fe. ne en 2 Et 1 etc. sive 3 4 6 9 10 25 —3 5 7 et 11 wi 5 17 + 5 +etce 6 = 27 9 EEE RLANRENE, DL Li Î t— 2.2 2.4 1.6 2.8 2.10 1.12 CAT RER 2 3 4 5 6 _— 1 3 3 DE Men de let D À el) AE SF 56 è etc. quae ergo duae series certe sunt aequales, etiamsi hoc ab- surdum videri queat, cujus rei causa in eo est quaeren- da, quod hae series sunt divergentes. Exemplum 3. f. 28 Sumatur w — 45° — T, eritque sin. © = —- . . —— — 4 » q L —— ya ideoque b—7y2. Porro vero notetur esse: . FLTR' k: Q xt ES Q PE 1 æ Q TS Li F- (] sin. 3u—;;; Sin. 5ù——:7; Sin Tu=—7; sin. Qu —.;; etc. COS.2W— 0; COS.Au—— 1; COs.ôw — O ; cos.8w=+1; etc. unde series nostra principalis erit: it ER x zx x x + = cos. —1—(5)+2()—-4()+4(6)—-8()+16()—etc. Haec autem seriem adhuc est divergens. Illae autem duae series set t, quas aequales esse ostendimus, ita se habebunt: à M QE 8 16 un, 227 5e 08 S— 1 3 AIT 7 M3 9 IT +8 + etc. val Ed 64 ___. 256 1024, 4096 1 TR 8 ni 2: n'a 20 ai it sivé LE : 4 he M - Ven + 2 + DURS D De — S— 1 3 5 7 es IT 13 etc. 2 3 4 7 nn 4 +4 2 + #4 = 4 + 4 — 3 t— ; 8 12 16 25 24 25 etc, ubi nihil absoni occurrit. Exemplum 4. . . 8 Liste = Es TA f. 29. Sit denique w == 30° — +, unde ob sin.w—1 ul erit b— 1, qui ergo casus ad series convergentes perdu- cet. Est vero 10 sin. 3u—1; sin. 5w —1; sin. Ju=—}{; sin.QOw=— 1; sin. 1 {u——2 cos.au—1; cos.Au=--2; cos.6u=—1; cos. Bu=— 1; COS.100—+E Hinc ergo nostra series erit: cos té 1(E) (5) (0) 41) —1È (6) 40) 10) + O1 10) + ete. quae expressio commode in ternas sequentes series decom- ponitur : | LG H+OLOQ+O +0 +R cos. + —1(Ë)+ (9 HO ++) + etc) HO ++ É ++ Rec) | Binae autem series $ et t hoc casu erunt: no 2 7e 2.11 13 L I 1 t=> 2 6 2.8 2.30 12 2.14 etc. 9 Le hancque seriem, cujus summa est — O0, hoc modo in tres series relolvere licet : T ri 7 10 = etc. —— PSS x PE L) SRE RE EEE — 1 C svt. (4 Tr etc.) Pas ] DERERLR Re. EE 2 (Z Eu a - te etc.) J $. 30 KEodem plane modo quo supra seriem pre cos 2xw investigavimus, etiam series pro sinu ejusdem an- guli multipli eruitur sequenti modo. Fingatur, ut supra, haec series : 71 nn ts 10 0e æ sin. xP = (+) À + ()B + F)C + ete. uae semper abrumpitur, quoties æ denotat numerum inte- grum positivum. Evolvendo autem, ut jam supra fecimus, literae A, B, C, etc: ità reperientur expressae, ut facile se : x e 1 L pateat characteri (>) respondere seriem : 0. : à Ne «ea n . N — sin.n® — (=)sin (n—1)® + (<)sin.n—2)D — etc. postremo membro existente —+ sin. O @. ANNEE NA. EM One $. 31. Cum jam'sit sin AD—%—<, erit n nl n—1 n n—2 #4 n PREPARED 1) SNL n n\ 1—1I ñn\ _n—2 t2 nf. —q +) —-()q "+etc.=-(q_—1) At vero ex superioribus manifestum est fore - P— 1 = 2 sin. w y — 1 (cos. w + y — 1 sin. «) q — 1=—2 sin. w ÿ — 1 (cos. w — ÿ — 1 sin. w) ideoque | | 2NY—1—( 2sin.wy—1)" (cos.nw+y—1sin.nu) — (— 0 sin.w y — 1)" (cos.nw — y —1sin.nuw) ubi notandum, pro quatuor formis, quas littera n habere potest , fore : Si n—aAi, N — (2 sin. uw) sin. nw; nid, Ne) ©@S nn); .. n=4i+2, N——(2 sin.) sin. nv; ..n—=4i+3, N——(2 sin.) cos. nu. . 32. Qucd si igitur successive litterae n tribuan- tur valores 1, 2, 3, 4, etc. erit 72 À — 2 sin.g COS. w EZ= 25sin.u cos. 5 o B ——02" sin.u? sin. 2 & | F ——2fsin.uf sin. 6 & e- C —— 02? sin.w cos. 3 w | G ——27 sin.w? cos. 7 w D —+21 sin. ut sin. 4u | H —+2f sin. uf sin. 8 w À etc. consequenter series quaesita pro sinu, restituto loco @ va- lore 2w, ita se habebit + 9 (£)sinw cou — 4 (f)sin.uf sin. 2u\ te 8 (5) sin.u’ cos. 3w +- 16()sin.ut sin. 4u sin. 2x0— D | + 32 ()sin.w’ cos.5w— 64(%)sin.uf sin. 6 wi Ke 128 (©) sin.w? cos. 7 + 256 (5)sin.uf sin. 8 w etc, etc, ==# 000000000000 =“ 73 ENVWEST4G AT LO:OMA DR LATERI IN QUO SINGULORUM ANGULORUM SINUS DATAM INTER SE TENEANT RATIONEM ; UBI ARTIFICIA PRORSUS SINGULARIA IN ANALYSI DIOPHANTEA OCCURRUNT. AUCTORE É: L'ON EE: RIO: ———— Conventui exhibita die 1 Maii 1780. f. 1. Sint p, q,r,s, anguli quadrilateri quaesiti, quo- rum sinus eandem inter se teneant rationem quam isti nu- meri dati: a, b, c, d. Jam quia summa horum quatuor angulorum aequatur quatuor rectis, inde statim deducimus has tres aequationes : I sin. (p+q) + sin. (r+s)=o, IL. sin. (p+r) + sin.(q +s) =o, 1. sin. (p+s) + sin.(q+r) =o, quarum quidem quaelibet binas reliquas in se complecti- tur; interim tamen plurimum juvabit, omnes tres conside- rasse, cum inde solutio multo simplicior et elegantior de- rivari queat. f. 2. Nuanc istorum angulorum tam sinus quam cosi- nus scquenti modo designemus : Mémoires de P Acad, T. , 10 74 sin. P— AT; cos. p=Vi — darx = À, sin. q —bx; cos.q —V 1—bbrx—B, sin.r —ct; cos.r—Vi—ccxr—=C, sin. $ —dX; €0s, s— Vi — ddxx — DE et jam totum negotium eo redit, ut quantitas x rite de- terminetur. Hinc igitur erit sin. (p+q) = axB+bxrA, sin. (rs) = cxD+drC, unde prima aequatio statim induet hanc formam : aB + bA + eD + dE = 0. Hinc quidem secundum praecepta Algebrae formulae radi- cales A, B, C, D, quadrata continuo sumendo, successive elimimari possent; verum hoc modo non solum ad ae- quationem maxime complicatam perveniretur, sed etiam signa harum formularam radicalium nullo: amplius modo innotescerent, quo ipso tota solutio nimis prodirét ambigua et incerta. Quamobrem longe aliam viam sum initurus, qua istud incommodum penitus evitabitur, simulque solu- tio satis concinna et elegans eruetur. f. 3. Ternae ergo aequationes initio memoratae, istis denominationibus adhibitis , sequentes nobis suppeditabunt aequationes : 75 L aB+bA+cD+dC—=o;, I. bC+cB+dA+aD—=o, IH. dB+bD+cA<+aC=o, unde jam facile intelligitur, rationes inter binas litera- rum majuscularum definiri posse, quod commodissime fit per hanc combinationem generalem : AUX IL up Æ lire, f. 4. Ut ergo hinc litera D extirpetur, fieri debet AcHuma—+yÿb—o. At vero litera C elidetur, sumendo Ad+mb+va—o. Harum jam duarum aequationum si posterior, per b multiplicata, a priore, in a ducta, aufferatur, ut litera y extirpetur, prodibit ista aequatio : : A(ac—bd)+um(aa— bb) —0o, unde erit : = Er Et quia hic tantum ratio in computum venit, sumamus À —aa—bb et m—=bd—ac, quibus valoribus in altera postremarum aequationum sub- stitutis prodit y = bc — ad. f. 5. Surrogemus nunc istos valores in aequatione assumta Î AH II HI. y—o, et quoniam ambae lLi- terae C et D ex calculo expélluntur, litera A jam facto- rem habebit Ab+umd+vc, qui induit hanc formam: —bD+b(aa+cc+ dd) —2acd. At vero litera B factorem habebit Aa + mc—+yd, sive &—a(bb+cc+ dd) + 2bcd. 10 * 16 Hinc igitur istam deduicimus fâtionem : À ___a3—a(bb+cc+dd)+2bced 1 RCE B3—b(aa—+cc+dd)+2acd L atque ex hac forma facile concluditur fore simili modo a3— a(bb+cc+dd)+2:bcd c3— c(aa—+ bb+ dd)+2abd ? a3—a(bb+cc+dd)+-2bcd d3—d(aa+bb—+cc)+2abe A > 0|> $. 6. His formulis inventis ponamus brev. gr. a—a&—a(bb+cc+dd)+2bcd, B—=b—b(aa+cc+dd)+z2acd, Y=—c(aa+bb+dd) +oeabd, 8 —d—d(aa+bb+cc) +o2abce, da ut sit + =5 =); =; unde intelligimus no- strorum angulorum cosinus, A, B, C, D eandem inter se venere rationem quam habent isti numeri æ, fB, y, Ô, qui ex numeris datis à, b, c, d, facile formantur. Ex quo ma- nifestum est, si ratio cosinuum singulorum angulorum p, q, Tr, 5, loco sinuum esset praescripta , hac methodo etiam non difiiculter solutionem inveniri posse. $. 7. Quoniam igitur cosinus angulorum proportiona- les sunt literis «, (3, y, 0, statuamus cos.p—«ay, cos.q =fBy, cos.r—Yyy, cos.s —Ôy; sicque totum negotium jam eo est reductum, ut valores binarum literarum incognitarum æ et ÿ investigari debeat, ad quod has duas formulas in subsidium vocasse suffciet : 71 L'aaxx+aayyÿ —=1; IT. bbxx+fBByy=:1, quarum differentia : (aa— bb) xx + (aa — Bf)yy = 0, nos perduceret ad relationem inter x et Y: at vero po- tius inde investigemus seorsim tam xx quam ÿYy. Primo igitur ab aequatione posteriore, ducta in «a, prior, ducta in GB, subtrahaiur, et obtinebimus hanc aequationem : (aabb — BBaa) xx = BB — aa. Contra autem, prior per bb, posterior vero per aa multi- plicata, dat (axbb— GBBaa) yÿy = bb — aa. f. 3. Incipiamus ab hac postrema aequatione, quae per factores ita repraesentetur : + (ab + Ba) (ab — Ba) yy = (6 + a) (b— 0), et jam, substitutis pro &« et f3 valoribus supra datis, erit ab + Ba = 2cd(aa+-bb) — 2ab(cc+dd), sive ab+fBa— 2(ac—bd)(ad— bc). Porro vero erit «ab + Ba — 2 (ab— cd) (aa — bb), consequenter FY — 3tac —Dd)(be—ad)(ab —cd)° f. 9. Pro altera aequatione L qua xx determinatur, modo vidimus factorem membri ejus sinistri esse aa bb— (6 aa = 4 (bb — aa) (bc — ad) (ac —bd)(ab—cd). At vero pro membro dextro fB— «x habebimus primo B+a—(b—+a)(bb— 2ab-+ aa—cc+2cd— dd) —(b+a)[(b—a)—(c—d)]=(b+a)(b—a+c—d)(b-a-c+d). 78 Deinde vero erit B—a—(b—a)(bb+oab+aa)—cc—2cd— dd) —(b—a)[(b+a)—(c+d)]—=(b—a)(b+a+c+d)(b+a—c—d). Quia nunc productum horum factorum membro sinistro aequatur, utrinque per bb—aa dividendo obtinebimus __(b+ake+d)(b+a—c—d)(b—a+c—d)(b—a—c+d) fort 4(ad—bc)(ac—bd)(ab— cd) "] hocque modo nostrum problema penitus est solutum, ejus- que solutio ita se habet: Problem a. Si in quadrilatero sinus angulorum inter se teneant ean- dem rationem , ut numeri dati a, b, c, d, ipsos an- gulos invenire. Solutio. $. 10. Sint p, q, r, s, angul quaesiti, ponanturque eorum sinus et cosinus : Sin p =AL CODE AT, sing bT ;\eos 1m ==t6y, STE CT:: COS. MAY 0, S = dT y. cos. s'=10M primo pro sinibus invenimus esse PT sub —cdtue bdj@e ad) ubi singulos factores ita ordinavimus, ut cum ordine lite- rarum conveniant, scilicet, si horum numerorum maximus sit a et minimus d, in numeratore tres priores factores 79 manifesto sunt positivi, quare, quo etiam quartus sit posi- tivus, requiritur ut quoque sit (b+c) > (a+-d). Simili modo in denominatore bini factores priores manifesto sunt posi- tivi, unde etiam necesse est ut pro tertio sit bc majus quam «ad. f. 11. Pro cosinibus invenimus, eodem literarum or- dine observato , esse sont j ma l OS ET ee PL CN) Care Ne Praeterea vero invenimus. aa —a(bb+cc+