HARVARD UNIVERSITY. LIBRARY OF THE MUSEUM OF COMPARATIVE ZOÖLOGY. 193 ö - Soplendu. 2,7901 May 26, 1702, u u bhähäy$yEyTF eg nennen | DELETE LELELTEZEZTELECTELCTTELTEZEESTELETETELTETETETTECETFTETTIZTTETZTTELCTETITETETTEEETTTEZTEIZEIZEIE EEEELEREISFEREIE er In zz - B \ mw. k ; s 4 "NOZzEZ=EZEZezezezemEzEmemezeezeZemememezem er em em ezemeoe 2; h B & 3 = er = - [ep] ars © 3 Er 5 e ®) - 7 V =) [ = = aB > | $ ri E IN ® Fa I = = 6 5 Mes) = = 3 =) US aus dem Jahre 1900. Mitteilungen Naturforschenden Gesellschaft Mama men > MEER MET Bien ana ak ME THIEL dr Zu ni EA EAEI FNETNE EEE EEE SET Me TEE Mn ENTER ln 3ER "Tin m 7 NL AMU . smirnneriu nal Tuben aD. ÜMCHEE SUnAne ame) Mm m Are TER > mt Tl LEE Tee ut Be A BE EEE "EEE en EEE ale nv; | Verlag von K. J. WYSS er Bern. BIBLIOGRAPHIE Schweizerischen Landeskunde. + Unter Mitwirkung der hohen Bundesbehörden, eidgen. und kant. Amtsstellen und zahlreicher Gelehrter herausgegeben von der Centralkommission für schweizerische äldoskunde SEE Inu deutscher und französischer Ausgabe. 9 Bis jetzt erschienen : Fascikel Ia: Bibliographische Vorarbeiten der landeskundlichen Litteratur und Kataloge der Bibliotheken der Schweiz. Zusammengestellt von Prof. Dr. J.H. Graf. Bern 1894. 69 Seiten 8°. Preis Fr. 1. — Faseikel I b, enthaltend: Bibliographie der @Gesellschaftsschriften, Zeitungen und Kalender der Schweiz, von Prof. J. L. Brand- stetter in Luzern. 380 Seiten. Preis Fr. 3..— Fascikel IIa: Lundesvermessung und Karten der Schweiz, ihrer Land- striche und. Kantone. Herausgegeben vom eidgen. topographischen Bureau. Redigirt von Prof. Dr. J. H. Graf. Bern 1892. 193 Seiten 8°. Preis Fr. 3. — Fascikel IIb: Aarten kleinerer Gebiete der Schweiz. Herausgegeben vom eidg. topograph. Bureau. KRedigirt von Prof. Dr. J.H. Graf, Bern 1892. 164 Seiten 8°. Preis Fr. 3. — Fascikel IIc: Stadt- und Ortschaftspläne, Reliefs und Panoramen der Schweiz. Herausgegeben vom eidg. topograph. Bureau. Redigirt von Prof. Dr. J. H. Graf. Bern 1893. 173 Seiten 8°. Preis Fr. 3. — Fascikel II d, enthaltend: G@eneralregister, Ergänzungen und Nachträge zu den Fascikeln II a—c (Landesvermessung, Kataloge der Karten- sammlungen, Karten, Reliefs und Panoramen). Im Auftrage des eidgen. topograph. Büreaus redigirt von Prof. Dr. J. H. Graf. 220 Seiten 8°, Preis Fr. 3. Fascikel III: Landes- und KReisebeschreibungen. Ein Beitrag zur Bibliographie der schweizer. Reiselitteratur, 1479—1890. Zusammen- gestellt von A. Wäber, Bern. 462 Seiten 8°. Preis Fr. 4. — Fascikel IV3: Balneologie und Climatotherapie. Versuch einer schweiz. Bibliographie der Litteratur auf den Gebieten des Badewesens, der Heilquellen, der elimaterischen Kurorte u. s. w. Von B. Reber in Genf. 130 Seiten 8°. Preis Fr. 2.— Fascikel IV6: Die Fauna der italienischen Schweiz. Redigirt von Prof. Dr. A. Lentiechia. Como 1894. 19 Seiten 8°, Preis 50 Ots. Fascikel IV6: Fauna helvetica: Heft 2: Seenfauna. Zusammen- gestellt von Prof. D.F.Zschokke. Bern 1897. 30 Seiten. 60 Cts. Fascikel IV6: Fauna helvetica. Heft 3: Säugethiere. Zusammen- gestellt vonDr.H. Fischer-Sigwart. Bern 1900. 119 Seiten. Fr.2.— Fascikel IV6: Fauna helvetica. ’ Heft 4: Vögel. Zusammengestellt von Prof.Dr. Theophil Studer. Bern 1895. 57 Seiten 8°. Preis Fr.1.— (Fortsetzung auf Seite 3 des Umschlags.) Mitteilungen der Naturiorschenden Gesellschaft in Bern aus dem Jahre 1900. Nr. 1478-1499. Redaktion: J. H. GRAF. Jahresbericht über die Thätigkeit der bernischen Naturforschenden Gesellschaft in der Zeit vom 1. Mai 1899 bis 11. Mai 1900. Hochgeehrte Herren! Im abgelaufenen Vereinsjahr hielt unsere Gesellschaft die normale Zahl von 12 Sitzungen ab, 6 davon im Saale des Hotels Storchen, 3 im geologischen Institut, je eine im physiologischen und zoologischen Institut und eine in Thun. An diesen Sitzungen beteiligten sich mit Vorträgen, kleineren Mitteilungen oder Demonstrationen die folgenden 16.Herren: Herr Baltzer 2 Vorträge, 2 Demonstrationen; » Benteli 1 Vortrag; » Brückner 1 » » Dutoit 1 » » Göldi 2 Vorträge; » Gruner 1 Demonstration; » Jenner 2 Demonstrationen; » Heffter 1 Vortrag; » R.Huber 1 » » Kaufmann 1 Demonstration; » Kissling 1 Vortrag; » Kostanecki 1 Demonstration; » Kronecker 1 Vortrag; » Steck 2 Demonstrationen; » Studer 2 Vorträge, 3 Demonstrationen; » Tschirch 1 Vortrag, 1 Demonstration. Von diesen Mitteilungen entfallen auf Zoologie 12, auf Mineralogie, Geologie 5, Botanik 3, Physik, Astronomie 3, Chemie 2, Geographie 2, Physiologie 1. Eine auswärtige Sitzung wurde am 25. Juni unter zahlreicher Be- teiligung im Saale des Hotels «Freier Hof» in Thun abgehalten. Herr Dr. Ris daselbst hatte in dankenswerter Weise die Vorbereitungen über- nommen. In der Sitzung sprach Herr Benteli: «Über die Niveau- schwankungen der schweizerischen Seen, mit besonderer Berücksichtigung a. der Jura-Seen», und Herr R. Huber: «Über das Wesen der Telegraphie ohne Draht.» Nachmittags erfolgte die gemeinsame Besichtigung der kantonalen Gewerbe- und Industrie-Ausstellung in Thun. Die Mitgliederzahl hat sich im Berichtsjahre nicht wesentlich ge- ändert. Ausgetreten sind zwei Mitglieder, durch den Tod verloren wir zwei Mitglieder. Eingetreten sind 3 neue Mitglieder. Für das Vereinsjahr 1900/1901 wurde zum Präsidenten gewählt Herr Prof. Dr. Ed. Brückner, zum Vizepräsidenten Herr Dr. E. Kissling. Der Präsident: v. Kostanecki. Sitzungs-Berichte. 944. Sitzung vom 20. Januar 1900. Abends 8 Uhr im Storchen. Vorsitzender: Hr. St. v. Kostanecki. Anwesend: 18 Mitglieder und Gäste. Demonstrationsabend: Hr. A. Baltzer demonstriert ein geologisches Profil durch die Schänzli- moräne. Hr. A. Baltzer weist eine Reihe Mineralien vor. Hr. Th. Steck legt die älteste und die neueste monographische Arbeit über Hydrachniden (Wassermilben) vor. Die erstere hat den be- kannten Naturforscher Otto Friedrich Müller zum Verfasser und behandelt die Wassermilben Dänemarks in für damalige Verhältnisse (das Werk erschien im Jahre 1781) musterhafter Weise. Die neueste, soeben zum Abschluss gekommene Monographie von Dr. Rich. Piersig umfasst unter dem Titel: Deutschlands Hy- drachniden, nicht nur die in Deutschland, sondern auch sämtliche bisher in der Schweiz aufgefundenen Arten. Zum ersten Male werden auch die Entwicklungsstadien, soweit dieselben bisher bekannt sind, bei der Beschreibung der Arten berücksichtigt. Das 500 Quartseiten starke und von 5l zum Teil colorierten Tafeln begleitete Werk wird noch lange zum Ausgangspunkte für alle weiteren systematischen und faunistischen Forschungen über diese Tiergruppe dienen müssen. Hr. Th. Studer demonstriert eine Anzahl älterer und neuerer Hunde- schädel. Hr. P. Gruner legt eine Arbeit von Lowell über den Planeten Merkur, eine Abhandlung Villigers über die Venus und den photographischen Atlas von Scheiner vor. Hr. St. v. Kostanecki demonstriert eine Anzahl gelber Farbstoffe, Chrysin und Tecto-Chrysin, die er künstlich darstellen konnte. 945. Sitzung vom 27. Januar 1900. Abends 8 Uhr im geologischen Institut. Vorsitzender: Hr. St. v. Kostanecki. Anwesend: 25 Mitglieder und Gäste. 4 2. 3. Hr. A. Baltzer spricht über «Altes und Neues von der Insel Rügen». Hr. A. Baltzer spricht über «Eiszeiten und Schreibkreide». Hr. Th. Steck referiert über eine Arbeit von Hrn. Volz, betreffend die Turbellarien in der Gegend von Aarberg. en 946. Sitzung vom 10. Februar 1900. Abends 8 Uhr im zoologischen Institut. Vorsitzender: Hr. St. v. Kostanecki. Anwesend: 20 Mitglieder und Gäste. 1. Hr. Th. Studer spricht über «die Fauna der Hawai-Inseln>. 947. Sitzung vom 24. Februar 1900. Abends 8 Uhr im geologischen Institut. Vorsitzender: Hr. St. v. Kostanecki. Anwesend: 32 Mitglieder und Gäste. 1. Hr. Ed. Brückner spricht über «neuere Probleme der Gletscher- forschung. » 948. Sitzung vom 10. März 1900. Abends 8 Uhr im Storchen. Vorsitzeuder: Hr. St. v. Kostanecki. Anwesend : 24 Mitglieder und Gäste. l. Hr. A. Heffter spricht über «die Peyote, ein Berauschungsmittel der mexikanischen Indianer». 2. Hr. A. v. Jeuner macht eine Mitteilung über die «Staare». 949. Sitzung vom 28. April 1900. Abends 8 Uhr im Storchen. Vorsitzender: Hr. St. v. Kostanecki. Anwesend: 22 Mitglieder und Gäste. 1. Für das Vereinsjahr 1900/1901 werden gewählt: Hr. Prof. Dr. Ed. Brückner zum Präsidenten, Hr. Dr. E. Kissling zum Vize-Präsidenten. 2. Hr. E. Kissling spricht über «Bergbau und Molassekohlen in der westlichen Schweiz». 3. Hr. E. Dutoit spricht füber den «Vegetationscharakter des Val de Cogne». 950. Sitzung vom 12. Mai 1900. Vorsitzender: Hr. Ed. Brückner. Anwesend: 20 Mitglieder und Gäste. 1. Der abtretende Präsident, Hr. Prof. v. Kostanecki, verliest den Jahres- bericht pro 1899/1900. 2. Herr A. Guillebeau teilt mit, dass Hr. Karl Vaerst in seinem Labora- torium über die Fleckniere der Kälber folgendes festgestellt hat: Die Fleckniere kommt in Bern bei 3,5° der gemästeten, etwa 6—8 Wochen alten Kälbern vor. In kurzer Zeit können daher eine grössere Zahl dieser Nieren gesammelt werden. Die Erscheinung besteht in dem Auftreten von kleinsten, bis nussgrossen, weissen Knoten in der Rindensubstanz der Niere. Es. können nur wenige aber auch einige hundert Knoten vorhanden sein, ja die Flecken sind eventuell so zahl- reich, dass das normale Gewebe nur in Form dünner Schichten die weissen Herde umsäumt. Letztere wölben sich entweder über die Umgebung vor, oder ihr freies Ende bildet eine kleine Vertiefung. Das Mark erscheint dem unbewaffneten Auge als unbeteiligt, mikroskopisch aber konstatiert man auch hier das Vorkommen dünner, weisser Streifen. Die Konsistenz der Knoten ist dieselbe wie diejenige des übrigen Nierengewebes. Die wenigen Schriftsteller, die sich mit diesen Flecken beschäftigt haben, bezeichnen den Zustand als multiple Sarkome, als pyämische Metastasen, — VI — als fibroplastische Nephritis, alles Benennungen, die sehr wenig be- gründet sind. Die Herde bestehen aus einer Grundsubstanz und aus eingelagerten Drüsenbestandteilen, letztere in bald geringerer, bald grösserer Zahl. Die Grundsubstanz ist ein rundzelliges Granulationsgewebe, das sich in älteren Herden zu Spindelzellengewebe differenziert und in dem die Binde- gewebsfibrillen immer zahlreicher und in demselben Masse die Kerne seltener werden. Sehr bemerkenswert sind die Drüsenbestandteile, die bald in kleinerer, bald in grösserer Zahl in den Knoten enthalten sind. Es können eventuell alle Abschnitte der Kanälchen angetroffen werden. Vielfach enden die- selben peripher mit einer spitzen, soliden Sprosse, die dem Gebiet der gewundenen Hornkanälchen angehört, etwas seltener demjenigen der Schleifenschenkel. Die Sprossen zeichnen sich durch grosse Breite aus. Sie bestehen aus einem Mantel randständiger, gut zu Epithelien differen- zierter Zellen und aus einem centralen Cylinder kleiner, mehrkerniger Randzellen, die wie ein Keil die Sprossen vortreiben. Eine Membrana propria ist da oder fehlt. In der Nähe der Sprossen ist das Grundgewebe ebenfalls sehr zellenreich. Die Glomeruli sind bald in gewöhnlicher Zahl vorhanden, bald selten oder ganz fehlend. Sie treten dem Beobachter entweder als Haufen von Granulationsgewebe entgegen, der durch einen Spalt von der Umgebung scharf abgegrenzt ist, oder die Gefässe sind deutlich sichtbar. Sobald das Harnkanälchen mit dem Glomerulus versehen ist, verschwindet sein zellenreicher Markeylinder, das Röhrchen, das noch gestreckt ist, wird vorübergehend eng und die Zellen werden noch nicht, wie in den fertig gebildeten Röhrchen, durch Pikrinsäure gelb gefärbt, sondern sie zeigen die Farbenreaktionen der Protoplasmas von Leukocythen. Der Übergang der embryonalen in die definitive Beschaffenheit vollzieht sich zuerst im Labyrinth. Die Markstrahlen sind länger durch den Gehalt an Blastem ausgezeichnet. Da die Fleckniere mit keiner Störung der Gesundheit in Ver- bindung zu bringen ist und bei erwachsenen Rindern konstant fehlt, so darf man annehmen, dass im Verlaufe von wenig Wochen die Knoten spurlos in dem übrigen Nierengewebe aufgehen. Auf Grund dieses Befundes nötigt sich der Schluss auf, dass die weissen Knoten der Fleckniere des Kalbes aus Nierenblastem bestehen, in dem eine fortgesetzte Anbildung von Drüsenelementen stattfindet. Dieses Blastem, das in der Regel nur dem frühen embryonalen Leben angehört, überdauert beim Kalbe das intrauterine Leben um einige Wochen. Es liegt somit hier ein leicht zugängliches, bis jetzt ganz un- beachtetes Material für das Studium der Entwicklung des Metanephros vor. 3. Hr. Ed. Brückner spricht über «Imhofs Arbeit über die Waldgrenze in der Schweiz». 951. Sitzung vom 26. Mai 1900. Vorsitzender: Hr. Ed. Brückner. Anwesend: 24 Mitglieder und Gäste. 1. Hr. Ed. Fischer referiert über die neueren Untersuchungen betreffend die Befruchtung der Gymnospermen, speziell die Entdeckung der Spermatozoiden bei Ginkgo und Cycas durch Hirase und Ikeno. 2) [47 2 SAL Hr. Ed. Fischer weist Exemplare von Morchella rimosipes DC. vor, die von Herrn Lehrer Bangerter in der Nähe von Utzenstorf ge- sammelt worden waren, und erläutert die Unterschiede dieser Art gegenüber M. esculenta und M. conica. Hr. P. Gruner macht eine Mitteilung über die bevorstehende Sonnen- finsternis und über einen eigenartigen, von ihn beobachteten Sonnen, ring. Am 23. Mai, 6'/ Uhr morgens, sah der Referent auf einer schön ausgebildeten Cirruswolke, die nahe am Zenith stand, einen in den schönsten Regenbogenfarben erglänzenden Bogen, dessen Öffnung auf 10—20°, dessen Länge auf '/s eines ganzen Kreisumfanges, ge- schätzt wurde; das Centrum schien nicht weit vom Zenithe zu sein, doch etwas gegen Osten, also gegen die aufgehende Sonne hin ver- schoben. — Nach etwa 3 Minuten löste sich die Cirruswolke auf und mit ihr der Bogen. Der Himmel war nun fast wolkenlos, nur noch im Osten, nahe der Sonne, in etwa 20° Distanz rechts von derselben- zeigten sich während einer Viertelstunde Spuren eines gewöhnlichen Sonnenringes (rot innen gegen die Sonne, violett aussen); nachher lösten sich auch diese Cirri auf. — Am selben Tage fand ein gründ- licher Witterungswechsel statt. 952. Sitzung vom 24. Juni 1900. In Spiez. Hr. Ringwald, Betriebsleiter des Elektrizitätswerkes an der Kander spricht über «elektrische Kraftgewinnung und Kraftübertragung». Hr. Ringwald leitet die Besichtigung der elektrischen und hydrau- lischen Anlagen an der Kander. 953. Sitzung vom 27. Oktober 1900. Abends 8 Uhr im pharmaceutischen Institut. Vorsitzender: Hr. Ed. Brückner. Anwesend: 28 Mitglieder und Gäste. ı Hr. A. Tschirch spricht über «die Entwicklung der Chinologie im 19. Jahrhundert». 954. Sitzung vom 10. November 1900. Abends 8 Uhr im Storchen. Vorsitzender: Hr. Ed. Brückner. Anwesend: 60 Mitglieder und Gäste. 1 Hr. C. Marti, Sekundarlehrer in Nidau, spricht über «die Gesetze des Wetters». 955. Sitzung vom 24. November 1900. Abends 8 Uhr im geologischen Institut. Vorsitzender: Hr. Ed. Brückner. Anwesend: 26 Mitglieder und Gäste. T. Demonstrationsabend: Hr. Ed. Fischer weist der Gesellschaft die Bearbeitung der Pilze aus dem grossen von Engler und Prantl in Verbindung mit zahlreichen Mitarbeitern herausgegebenen Sammelwerke «die natürlichen Pflanzen- familien» vor und knüpft daran einige Bemerkungen über den Plan dieses Werkes und seine Bedeutung für die Pflanzensystematik. a Derselbe legt ferner das zweite Heft der von der Kommission für die Kryptogamenfiora der Schweiz herausgegebenen Beiträge zur Krypto- gamenflora der Schweiz vor. Es enthält dasselbe die Bearbeitung der schweizerischen Farne und Hydropteriden von Dr. H. Christ. 2. Hr. Th. Steck berichtet über seine in Begleitung des Hrn. Paul Born- Moser aus Herzogenbuchsee und auf Kosten des Hrn. Georg Meyer-Dareis in Wohlen (Aargau) im Juli 1900 ausgeführte entomologische Sammel- reise in die grajischen Alpen und legt einen grossen Teil der bei diesem Anlasse gemachten Ausbeute an Käfern vor. 3. Hr. A. Baltzer führt verschiedene Serien von Projektionsbildern vor. 956. Sitzung vom 8. Dezember I908. Abends 8 Uhr im zoologischen Institut. Vorsitzender. Hr. E. Kissling. Anwesend: 22 Mitglieder und Gäste. 1. Hr. J. Schapiro spricht über «Fortschritt und Rückschritt in bio- logischer Bedeutung». 2. Hr. Th. Studer weist eine Anzahl neuer Präparate vor. Verzeichnis der Mitglieder der Bernischen Naturforschenden Gesellschaft. (Am 31. Dezember 1900.) Die mit # bezeichneten Mitglieder wurden im Jahre 1900 neu aufgenommen. Vorstand. Prof. Dr. Ed. Brückner, Präsident. Dr. E. Kissling, Vice-Präsident. B. Studer, jun., Apotheker, Kassier seit 1875. Prof. Dr. J. H. Graf, Redaktor der Mitteilungen seit 1883. Dr. Th. Steck, Oberbibliothekar und Geschäftsführer des Lesezirkels. DEP. Gruner, Sekretär seit -1898. Mitglieder. Allemann, J., Arzt, Zweisimmen . L Anderegg, Ernst, Dr. phil. und Gymnasiallehrer, Bern . Andreae, Philipp, Apotheker, Bern : . Badertscher, Dr. A., Sekundarlehrer, Bern . . Balmer, Dr. Hans, Bern Baltzer., Dr. A.. Professor der Miner alogie und Geologie, Bern : nn Dr. Gottl., Lehrer des Freien Gymnasiums, Bern Benoit, Dr. jur, Ga, Bern 2 Benteli, A., Rektor und Dozent, Bern . Benteli, A., _ Buchdrucker, Bern . : Berdez, H., Professor an der Thierarzneischule, Bern . Brückner, Dr. Ed,, Prof. der Geographie, Bern . Brunner, C., Dr. phil., Hofrath, re 6, Wien . Büchi, Fr., Optiker, Bern ; : Dr. phil., Prosektor . Büren, Eug., allie von Salis, Sachwalter, Bern e N Dr., eidgenössischer Oberforstinspektor, Bern . Conrad, Dr. Fr., Arzt in Bern : .. Dick, Dr. Rud,, "Arzt in Bern . Droz, Arnold, Kantonsschullehrer in Pruntrut 1898 1891 1883 1888 1886 1884 1876 1872 1869 1891 1879 1888 1846 1874 1895 1877 1875 1872 1876 1890 Te SER TE . Dubois, Dr. med., Arzt, Privatdocent, Bern . Dumont, Dr. med. F., Arzt, Privatdocent, Bern . Dutoit, Dr. med., Arzt in Bern ? . Egues, Jules, Dr. med., Corgemont 5. Engelmann, Dr., Apotheker in Basel . Farner, Dr. A., Apotheker v. Fellenberg, Dr. phil. E., Bereingenieur, Bern . Fischer, Dr. phil. Ed., Professor der Botanik, Bern Ruscher, Dr. 'L:., Honorar-Professor, Bern e . v. Freudenreich, Dr. E., Bern . Friedheim, Dr. "Prof, Bern 3 . Geering, Ernst, Dr. ned., Reconvillier B . de Giacomi, T. Dr. med., Arzt und Privatdocent, Bern . Girard, Prof. Dr. med., Arzt in Bern . Gosset, Philipp, Ingenieur, Wabern bei Bern 3 . Graf, Dr. J. H., Professor der Mathematik, Bern . Gressly, Alb., Oberst, Maschinen-Ingenieur, Bern Sarımm, I. Pr äparator, Bern N Ä Gruner, Dr. Paul, Gymnasiallehrer und Docent, Bern. . Gruillebeau, Professor Dr, Bern Haar, O., Droguist, Bern . . Haas, Dr. med., Sieismund, Arzt in Muri bei Bern } *Häni, Rud., Dr. med., Arzt in Köniz. ‚Hear: tmann, Dr.phil., Mathemat. a. Eisenbahndepar tement, Bern . Heffter, Dr. A. W.A., Prof. der med. Chemie u. Pharmakologie . Held, Leon, Chef des eidgen. topograph. Bureaus, Bern . Huber, Dr. G., Professor der Mathematik, Bern . Huber, Rud., Dr. phil., Gymnasiallehrer, Bern . Hug, Otto, Dr. phil., Bern - ; . 5 . *Hugi, E., Dr. phil., Assistent am geolog. m Bern 3 Jadassohn, Dr. Prof., Bern . j h E . Jenner, E., Entomoloe, hist. Museum, Bern : Jonguiöre, Dr. med. Georg, Arzt in Bern . Käch, P., Sekundarlehrer in Bern i 3 : Kaufmann, Alfr., Dr. phil. und Gymnasiallehrer, Bern . Kesselring, H., Lehrer an der Sekundarschule in Bern . Kissling, Dr. E., Sekundarlehrer und Privatdocent. Bern . Kobi, Dr., Rektor der Kantonsschule Pruntrut . Kocher, Dr., Professor der Chirurgie, Bern . Koller, G., Ingenieur, Bern : . von Kostanecki, Dr., Professor der Chemie, Bern . König, Emil, Dr. phil., Gymnasiallehrer, Bern = Körber; H,; Buchhändler in Bern Kraft, "Alex, Besitzer des Bernerhofs, Bern . Krebs, A., Seminarlehrer in Bern : . Kronecker, Dr. H., Professor der Physiologie, Bern . Kummer, Dr. med. J., Arzt in Bern . Kürsteiner, Dr. med., Bern . 8 . La Nieca, Dr. med. R., Arzt in Bern . Lanz, Dr. Em,, Arztin Biel »Leist, DrK.; Lehrer au der Sekundarschule in Bern — XI — . Lerch, M., Professor Dr. in Freiburg . v. Lerber, "A, Dr. med., Arzt in Laupen . Lindt, Dr. med., W. jun., Arzt und Dozent in Bern. + 098 Rentier in Münsingen ; . Lüscher, E., Dr. med. in Bern . & . Lütschg, 2 gewesener Waisenvater in Bern . ? Marckwald, Dr. Max, Frankfurt a. M. . Marti, Christian, Sekundarlehrer in Nidau ; . Marti, Lehrer an der Neuen Mädchenschule in Bern . Moser, Dr. phil. Ch., Privatdocent in Bern . Müller, Emil, Apotheker in Bern . Müller, Professor Dr., P., in Bern " Müller, Max, Dr. med. in Bern . - & 2 . v. Mutach, Alfred, von Riedburg, Bern . . . Mützenberg, Dr. med. Ernst, Spiez Ä Nanny, Dr. Wilhelm, Arzt in Bern . Nicolet, L., Pharmacien, St. Imier . Pfister, J. H. Mechaniker in Bern Pflüger, Dr. Professor in Bern . . Pulver, E., Apotheker in Interlaken . s Pulver, G., Vorsteher in Hindelbank . ; Renfer, H., Dr. Prof. an der Handelsakademie i in St. Gallen sRis;ZE.,; Lehrer der Physik am städtischen Gymnasium E *Rothen, A,, Sekundarlehrer, Bern . . Rothenbach, "Alfr ed, Alt-Gasdirektor in Bern a Rothenbühler, Dr. 'Sekundarlehrer in Bern e . Rubeli, Dr. O., Professor an der Thierarzneischule, Bern E . Sahli, "Professor Dr... DB, Bem : . *Sauter, Dr.J)., Ingenieur, Bern h Schaffer, Dr, Kantonschemiker und Docent, Bern . *Schapiro, Dr. J., Bern . Schlachter, Dr., Gymnasiallehrer, Bern . . Schmid, Dr. W. Oberst, Oberinstruktor der Artillerie, Bern . Schürch, Otto, Dr. phil., Zahnarzt, Langnau : . Schütz, "Assistent des Kantonschemikers, Bern . Sidler, Dr., Honorar-Professor, Bern „oe Speyr, Dr. Prof., Direktor der Waldau . Stäger, Rob., Dr. med, Bern . Steck, Th., Dr. phil., Conservatoram Naturhist. Museun Bern . Steiger, Hans, Oberstlieutenant, Bern : ; \ . St00ss, Professor Dr. med. Max, Arzt in Bern : Strasser, Dr. Hans, Professor der Anatomie, Bern . Strelin, "Alexander, "Dr. med., Arzt, Bern . .. Streun, G., Dr-, Lehrer auf der Rütti . Studer, Bernhard, sen., Bern . i £ . Studer, Bernhard, Apotheker, Bern‘). ; . Studer, Dr. Theophil, Professor der Zoologie, Bern . . Studer, Wilhelm, Apotheker in Bern. ; . Tambor, J., Dr. "phil., Docent, Laboratorium, Bern - Tanner, G. 'H., Apotheker in Bern - 2 : - . Tavel, Professor Dr. E., Bern . E - E - s 1898 1898 1888 1894 1895 1872 1889 1889 1892 1884 1882 1888 1893 1865 1885 1890 1892 1871 1839 1890 1891 1898 1869 1900 1872 1896 1892 1875 1900 1878 1900 1884 1891 1898 1896 1856 1898 1898 1878 1897 1883 1872 1898 1898 1844 1871 1868 1877 1894 1882 1892 Pa" en id, u) Da ou 2 ZU 22 Zen — Xi — . Thiessing, Dr., Redaktor, Bern . v. Tscharner, Dr. phil. EB: Oberst, Bern . v. Tscharner-de Lessert, Oberst, Bern 3 . Tschirch, Dr. A., Professor der Pharmakognosie in Bern E E Valentin. Professor Dr. med. Ad.. Arzt in Bern . Vögeli, H., Dr. ıned., Thun . Volz, Wilhelm, Apotheker in Bern . Wäber-Lindt, A., Bern £ : : h 5 . Walthard, Max, Dr. med. P.-D., Arzt in Bern. . Wanzenried, Sekundarlehrer in Grosshöchstetten . vo. Wattenwyl-v. Wattenwyl, Jean, Oberst, Bern . Wilhelmi, A., Dr. Thierarzt, Bern Wollensack, Heinrich, Dr. med., Giessbach . Wüthrich, Dr. phil. E., Direktor der Molkereischule Rütti . Wyss, Dr. G., Buchdrucker in Bern . . Wyttenbach-v. Fischer, Dr., Arzt in Bern .- . Zeller, R., Dr. phil., Geolog, Bern - 140. Zumstein, Dr. med,, J. J., in Marburg Im Jahre 1900 ausgetreten: Cherbuliez, Mülhausen. 2 Orelier, Dr., Lehrer am Technikum, Biel Eugenberi ger, J., Dr. phil., Versicherungsbeamter Flach, Arthur, "Dr. med., Bern . j : Humbel, Rud., "Thierarzt, Nieder- -Bipp Lochbrunner, Th., Uhrmacher, Bern Michailoff, S. Dr. ,‚ meteorologische Oentralstation Sotia Sahli, Dr. W., Bern ; Zwicky, Lehrer am städtischen Gymnasium, Bern Im Jahre 1900 gestorben: Hasler, Dr. phil. G., Direktor der Telegraphenwerkstätte, Bern Rothenbach, Rn am Lehrerseminar in Küssnacht Schwab, Dr. med. 8. .„ bern - Ziegler, Dr. med., A., eidgenössischer Oberfeldarzt, Bern. 1867 1874 1878 1890 1872 1898 1887 1864 1894 1867 1877 1898 1898 1892 1887 1872 1893 1885 1561 1896 1892 1898 1598 1896 1598 1898 1356 1861 1871 1885 1859 SOYÄ9UN Po D- — — —— — XV — Korrespondierende Mitglieder: Flesch, Dr. M., Arzt in Frankfurt ; Gasser, Dr. E.. Professor der Anatomie in Marburg . Graf, Lehrer in St. Gallen . . Grützner, Dr. A., Professor in Tübingen . Hiepe, Dr. Wilhe Im, in Birmingham . Imfeld, Xaver , Topograph in Hottingen . Krebs, Gymnasiallehrer in Winterthur i Landolf, Dr., in Chili . Lang, Dr. a2 Professor in Zürich . Leonhard, Dr., Veterinär in Frankfurt ; Lichtheim, Professor in Königsberg ‚ : Metzdorf, Dr., Prof. der Vet.-Schule in Proskan, "Sehlesien. srPolnt, "DT. Ed., Professor der Geographie in St. Petersburg . Regelsperger, Gust., Dr., rue la Boe6tie 85, Paris Wälchli, Dr. med. D. % Buenos ai Wild, Dr. Professor, in Zürich Rechnung der bernischen naturlorschenden Gesellschaft pro. 1899, Einnahmen: Der Kassier: B. Studer-Steinhäuslin. Genehmigt in der Sitzung vom 27. Oktober 1900. An Jahresbeiträgen Fr. 1208. — An Eintrittsgeldern » 15.— An Zinsen 3 ; » 97.55 Aktiv-Saldo letzter Rechnung » 287.90 Fr. 1608.45 Ausgaben: Mitteilungen Fr. 658.30 Bibliothek » 249.65 Sitzungen ER RD, Lesezirkel »,2160:75 Verschiedenes » 97.75 Fr. 1283.80 Bilanz: Einnahmen 3 Fr. 1608.45 Ausgaben : : 3 .21283:80 Aktiv-Saldo Fr. 324.65 BReservefonds: Ist im Jahre 1899 unverändert geblieben mit Fr. 1800.— Vermögensetat: Das Vermögen der bernischen naturforschenden Gesellschaft besteht auf 31. Dezember 1899 in dem Reservefonds wieoben Fr. 1800.— Dem Aktiv-Saldo pro 1899 » 824.65 Auf 31. Dezember 1899 beträgt das Vermögen .. Er. 2124.65 Auf 31. Dezember 1898 betrug dasselbe ...». 2087.90 "Es ergiebt sich demnach eine Vermehrung um Er22r96.75 BEE TE H. Renfer. Die Definitionen der Bernoullischen Funktion und Untersuchung der Frage, welche von denselben für die Theorie die zutreffendste ist. [Historisch-kritisch beleuchtet.] Einleitung. Die Vorgeschichte des hier zu behandelnden Gegenstandes ist ziemlich rasch erschöpft. was schon aus der spärlichen Litteratur über diese Funktion hervorgehen dürfte, sind es doch äusserst wenige Autoren, die sich mit einer speziellen Untersuchung der Bernoullischen Funktion befreundet haben.!) Weit grösser ist die Anzahl der Schriften über die Bernoullischen Zahlen, auf deren Theorie sich diejenige der Bernoullischen Funktion aufbaut.?) Die vorliegende Arbeit setzt die Kenntnis der Theorie der Bernoullischen Zahlen) voraus, wenigstens in Bezug auf ihre wichtigsten Eigenschaften und Beziehungen und die gebräuchlichsten Rekursionsformeln. Wo es nölig ist, wird jeweilen auf die betreffende Litleratur verwiesen. Eingeführt in die algebraische Analysis wurde die Bernoullische Funktion von Professor Dr. J. L. Raabe in Zürich durch seine Arbeit «Die Jakob Bernoullische Funktion», die im Jahre 1848 im Verlage von Orell, Füssli & Cie. in Zürich erschien. Raabe gelangte gestützt auf Reihensummierungen und mit Hülfe der Bernoullischen Summen- formel auf diese Funktion; gemäss letzterer Beziehung benannte er dieselbe nach dem grossen Basler Mathematiker Jakob Bernoulli.*) Als Beleg diene der Anfang des Vorworles der oben erwähnten Schrift: Bern. Milteil. 1900. No. 1478. a «Bei der Summation der ohne Ende fortlaufenden Reihe a. Bra, et I ER 1 p" q „et I (par + Da + De ereeen: -- (p+p)" a, 2er Opa x ap Ha", ereeeen- + (2p-+p)” a, Be Ze! +" BP HR Fr + @p+p)" a, —+- in inf. an der äussersten Grenze ihrer Konvergenz, wobei ın eine ganze und positive Zahl, Null mitbegriffen , vorstelll und a, 4, Ay...... a, endliche Konstanten sind, wird man auf einen Ausdruck geführt, der die von Jakob Bernoulli eingeführten, nach ihm benannten Zahlen impliziert, und welcher zur Summierung der Reihe mit dem allgemeinen Gliede r”, wo r alle ganzen Zahlenwerte von 1 aufwärts gezählt an- nehmen kann, von ihm benutzt worden ist. Diesen Ausdruck, in seiner Allgemeinheit, nenne ich die «Jakob Bernoullische Funktion» oder kürzer die «Bernoullische Funktion», und bezeichne solche, gleich wie die Bernoullischen Zahlen, die sie enthält, durch B,, B,, Dasan ze re dargestellt zu werden pflegen, durch B(z), falls z die allgemeine Grösse oder Varijabele dieser Funklion ist.» Im Jahre 1851 erschien eine zweite Abhandlung Raabes über denselben Gegenstand, betitelt «Zurückführung einiger Summen und bestimmten Integrale auf die Jakob Bernoullische Funktion.» °) Durch diese Arbeit wird seine frühere Schrift bedeutend erweitert und ergänzt. Nach Raabe hat sich dann auch Dr. 0. Schlömilch. Professor an der polytechnischen Schule zu Dresden, einlässlich mit dieser Funktion beschäftigt. Seine im Jahre 1856 in der Zeitschrift für Mathematik und Physik, Band I, Seite 193 u. ff. veröffentlichte Abhandlung «Ueber die Bernoullische Funktion und deren Gebrauch bei der Entwicklung halbkonvergenter Reihen» stellt die Bernoullische Funktion elegant als Nullwert von Differentialquotienten dar. Diese Darstellung ist sehr interessant; die Ausdrücke für die Spezialwerte der verschieden hohen Derivierten sind ziemlich einfach anzusehen, doch sind die Operationen, I welche damit auszuführen sind, wie wir sehen werden, oft schwierig und erfordern viel Zeit. Die Schlömilchsche Definition stimmt nicht mit derjenigen von Raabe überein; doch ist die Beziehung zwischen beiden sehr einfach aufzustellen, was wir in einem spätern Abschnitt dieser Arbeit darstellen werden. Etwas erweitert findet sich die vorhin erwäbnte Abhandlung auch in Schlömilchs «Compendium der höhern Analysis.» Braunschweig 1866, Seite 207 u. ff. des II. Bandes. Wie aus den hinterlassenen Manuskripten von Professor Dr.L.Schläfli in Bern hervorgeht, hat sich auch dieser eingehend mit der Bernoullischen Funktion beschäftigt. Seine Definition stimmt mit den beiden vorher erwähnten nicht überein; er kommt, allerdings auf ganz anderem Wege, zu einer den frühern aber nahe verwandten Funktion, nämlich als Zu- sammenhang mit den Koeffizienten einer Binomialentwicklung. Das Interessante seiner Definition ist, dass dieselbe aus der gleichen Fundamentalbeziehung herstammt, wie die Definitionsgleichung der Bernoullischen Zahlen. Immerhin lässt sich seine Definition mit den beiden vorhergehenden in einfache Beziehungen bringen. Schliesslich hat sich in den letzten Jahren noch der englische Mathematiker Dr. J. W. L. Glaisher sehr eingehend mit dieser Funktion befasst. Von demselben existieren zwei in englischen mathematischen Zeitschriften erschienene Abhandlungen über diesen Gegenstand. Nach- dem derselbe in seiner ersten Arbeit «On the Bernoullian Function, »*) die allgemeine Theorie der Bernoullischen Funktion ausführlich ent- wickelt hatte, gab er in seiner zweiten Schrift «On the definite Inte- grals connected with the Bernoullian Function») meist Integral- darstellungen der Bernoullischen Funktion, wie es ja schon der Titel sagt; es finden sich jedoch auf Seite 21 einzelne Spezialwerte dieser Funktion, so dass die letzigenannte Schrift zu den vorliegenden Unter- suchungen ebenfalls herbeigezogen werden musste. Es handelt sich nun darum, nachzuweisen, welche dieser ver- schiedenen Definitionen von Raabe, Schlömilch, Schläfli und Glaisher, und letzterer hat selbst wieder von einander abweichende aufgestellt, für die Theorie die zutreffendste ist. Um diese Frage entscheiden zu können, müssen wir uns vorerst mit den einzelnen Definilionen ver- traut machen. Wir betrachten daher der Reihe nach die verschiedenen Definitionen, möglichst erschöpfend und mit Weglassung alles Neben- sächlichen. Gestützt auf diese Betrachtungen treffen wir dann unsere Folgerungen und den Entscheid der Frage. Die einzelnen Abschnitte A re gliedern sich im Wesentlichen gleichartig, nur lassen sich bei der einen Definition diese Eigenschaften, bei der andern jene leichter aus der Grundgleichung ableiten. Im ganzen soll der historische Gang möglichst innegehalten werden. Endlich sei der Vollständigkeit halber noch bemerkt, dass sich bei einzelnen Arbeiten über die Bernoullischen Zahlen hie und da einige Bemerkungen über die Bernoullische Funktion finden. Am Schlusse dieser Arbeit findet sich deshalb ein Verzeichnis sämtlicher benutzter Quellen und Werke. Die dieser Arbeit beigefügten Tabellen und Kurven wurden selbst berechnet und dargestellt. I. Die Bernoullische Funktion nach J. Raabe. $ 1. Herleitung der Definition. Wie schon in der Einleitung erwähnt, gelangt Raabe auf diese Funktion bei der Entwicklung N in eine Potenzreihe unter Anwendung des binomischen Satzes. Der-Weg der Herleitung ver- mitlelst Summation von Differenzreihen ist so ausgedehnt, dass hier auf eine Wiedergabe desselben verzichtet werden muss, da dies den Rahmen der vorliegenden Arbeit weit überschreiten würde, umfasst die Ableitung dieser Definition in Raabes erster Schrift ja nicht weniger als dreizehn Druckseiten, zudem ist die Herleitung ziemlich einfach und bietet durchaus keine Schwierigkeiten.°) Raabe definiert darin m+1 I r Z 1 m 1 m m—1 1 m m—3 B(z) = 2 Keen En i (2) m-1 > 2 ()R 4 1%) = 1 (m m—5 au = e rn a6) als die «Bernoullische Funktion.» Aus dem Grunde, dass der Funklionsexponent m nicht in der ganzen Allgemeinheit einer absoluten Variabelen auftritt, hat Raabe denselben in der Bezeichnung der Bernoullischen Funktion unbeachtet gelassen. Da sich eine Verschiedenheit der Bernoullischen Funktion mit geradem und ungeradem Exponenten ergibt, so bezeichnet er die Bernoullische Funktion mit geradem Exponenten 2m durch B’’(z) und diejenige mit ungeradem Exponenten (2 m-+-1) durch B’(z), wobei m = ganz und positiv, weshalb sich folgende zwei Definilions- gleichungen ergeben any 2m 2m a El #3 a 2m ar en 3 „2m—3 no 2: +4 )B: ES mer 2 ER nn Ami) 2 ea 2 m-H1 B’ mM Bet A ar 2 2m-+-2 2 2 1 : 2m-+1 Re eher! £ ag ) EEE ar gem 1) N Aus diesen beiden Hauptgleichungen ist ersichtlich, dass nach Raabe auf der rechten Seite kein von der Variabelen freier Term vorkommen darf, eine Bestimmung, welche, wie wir sehen werden, die so definierte Bernoullische Funktion zu wenig allgemein macht. Bedeutend rascher gelangt Raabe in seiner zweiten Arbeit zu der nämlichen Definitionsgleichung. Ausgangspunkt dieser Herleitung ist die bekannte Beziehung k=00 5 9 sinKx = — et Dieser Ausdruck wird mehrmals nacheinander mit dx multipliziert und zwischen den Grenzen 0 und x integriert; so entstehen successive die Bernoullischen Funktionen mit den Exponenten 2, 3, 4,....... nämlich x? ir 1 coskx RE > Kart und sei noch abkürzend, wie gebräuchlich, bezeichnet N 1 1 1 1 1 FE = =. 1018... S., = gets nn! a k=0o 2 N cosk ar ED ki] KR k=009 . x sinKkx 37) u BE —— Keil gar Er ga a 2m—1 “, e 2m—3 a (2@m-+1)! (2m)! 2 (Am—1)! ı(2m— 3)! k=009 m—1 x> 2 N sink x a7 2 (=) Sam-2 ETI = 2 (1) Som x-2 Go >= k° m+t (@) 2m-+2 2m+l1 2m 2m—2 X X X _ I. eg 2,295, — 29,0 oe (2m-+2)! z 2m-1)! > (2m)! De (2m—2)! 31 k=00 T m m-? GoSKX +2(—1)" ee 9! a 1) Ba Soma tr 2 1) = Kar (2) Beide gelten für alle Werte von x—=0 bis x=2zn; m darf gehen 10.1 Da Be REN : eine Ausnahme bildet nur m—0; denn für diesen Wert bleiben die Grenzwerte x—=0 und x = 2;r ausgeschlossen. Berücksichtigen wir, dass Zee PD (2 m)! (2)” Dom’ (2m)! (2 I es (2m FD! und multiplizieren wir («) mit 2m? gr) und (2) mit so werden Bee x\2mtı 2(— 1) ml Sy ans = Te (2 2)’ >m+1 —: Kart 2m-+1 59 1 ‘3m x 2m—1 a om ke et ı Jele) a gm kan) m Be)‘ 2(—1)" ann! Yan eyes fx \adtl ee Fr —- war 2m--2 2 1/23} a a _y |, (2) be ra Bor ih 7 2m-+2 Batr' In diesen beiden letzten Gleichungen ersetzt Raabe ns durch x und führt die Beziehungen (2) und (3) ein; dann werden a es) a er; N sin2kax ° Beer onen (4) ( ) (2a) h — a K=009 2-1)" cos2ksrx GURr l 4 Te — 9) ! — B (x) rt (2m-+1)! > gan 2m-+-2 B 41‘ (5) Durch obige Substitution hat sich aber das Gültigkeitsgebiet verkleinert; die Beziehungen (4) und (5) gellen nur noch für O — (2m-+-1)z° ı /2m-+1 E Fo € Lens ann a ei! RE A al b22 2m ann 1 ee 2 2m 1 ( m 2m—i 1. alas; 1 BZ 1 2m 2m—3 ee i 2m NER B.z BuEN Pre T 4 ar 3 ) 3% 3, + 2m Be Bnt | 00) n IE ayB (zZ) —=(2m-+1)B’’(z). (7) ee a a - Be ea Em 2. Für die gerade Bernoullische Funktion bedienen wir uns der Formel (3); es wird 0 2m 2m— 1 2m m-—-i Fre Bean ne )»en-n7 2 2 | 1 er 2 3) 2m a Da Ai A ii sr Foaee eE 3m—2 \2m-3 Bu RE are 2m ar 2m 2m—1 B, En a 1 ee —=2m Fe 7 —. 1 2 B, ı /?m—1 en Ye 2m—1 a -—( 3 JB: I -- (—1 ab Br 0 [2 mr SE iD a5 @)=2m.’B@)-+ (— (8) Es tritt hier eine Komplikation durch Hinzutritt einer Bernoullischen Zahl auf. Noch einfacher ergeben sich dieselben Formeln aus (4) und (5), wie ersichtlich ist aus k=09 0) 2(—1)” (2 m-H1)! sin 2ksrz a, >w- , mr? Ba 2 (2 e) kl " k=0o9 ER on or > sin 2k 722 Pr Barcnı 0) a7 B’(z) = (2m-+1) B’’(z). (7) Analog wird k=09 Op ee >23 SR cos 2kırz ÖX Sr (2, Be Ku = 1 ke Tl Dın Auen N cos 2ksrz 2)" re Ziehen wir die Formeln (5) und (6) in Betracht, so wird dieses zu Wan. BHN"" B,, (8) 29 St ae B. Die wiederholten Differentialquotienten. Da Raabe den Exponenten der Funktion nicht, oder nur un- genügend andeutet, so lassen sich die wiederholten Ableitungen nicht direkt durch die Bernoullische Funktion, wohl aber durch trigono- metrische Summenformeln darstellen; wäre bei dem Funktionszeichen der Exponent berücksichtigt worden, so könnten die Derivierten mit Leichtigkeit angegeben werden. Durch successives Differenzieren der Beziehungen (4) und (5) gelangen wir zu folgenden einfachen Gleichungen, wenn man symbolisch selzt B,.—= (2r)” Ableitung von B k—=o0 Be a) (Om) N cos2ksrz RS 2r—1 >zi (ar ur Kam art2 9) =i| kZeos a I ame! > cos2k zz BRD — \ Ir 3 a Far (10) £ Boerse Beck: I C. Einfache Integralformeln. Aus den Gleichungen (7) und (8) resultieren durch Multiplikation mit dz und Integration zwischen den Grenzen O0 und z B’(2) B’’(z)d: ir Aı=—— und (11) V Aa Bra) Se DB, 4 n > J ren H 2m > 0 Führen wir dieselben Operationen an den Formeln (4) und (5) aus, so erhalten wir zwei weitere Inlegralformeln einfachster Art, wenn als obere Grenze z—=1 en wird; denn es werden 1 2(—1)”t"(2m)! vroa= ( en D% em Jmrerenu ö 1 2(—1)" 1 [vou- 2er: N FEB [non (277) ze . Bern. Mitteil. 1900. No. 1479. BR 1 1 Nun ist | sin2neza = | kos2K..20: = 0, somit 1 ; ul ee vou=0 (13) und LO (14) 0) 0 $ 3. Die Bernoullische Funktion mit inversem und mit negativem Argument. Raabe widmet diesen beiden Betrachtungen nur wenig Aufmerksam- keit; doch sind die Grundformeln schon bei ihm wie folgt hergeleitet. Er erhöht in Formel (25) seiner so langen Ableitung der Definitions- formel°), d. h., in \m m—1 m m m—1 m—l1 (14a) —ma —a +( ”) (14a) —a la, ’m MO Pe AA Ten v +( 5 Re. — 0 ın—1, m um die Einheit und beachtet die bekannten Ergebnisse (26) und (29) seiner Schrift und die Definitionsgleichung der Bernoullischen Funktion, wonach h—1 1. &yı=0; a, —(—1) B,, wobei h geht von 1 bis ©, so resultiert die Gleichheit B(1-4+2) — B(z)=2z". (15) Ersetzen wir in der ursprünglichen Formel (1) z durch (—z), so wird ——// were 1! m 1 m m— Me ne, +7 (1a 1 m m—3 1 ())%-2 Ewa. m Sb 1 m 1 m 20 — a PL ya RR (Br: -H— RE B(z) + (-1)"B() = —2". (16) Spezialisieren wir diese letzte Beziehung auf die gerade und ungerade Bernoullische Funktion, so erhalten wir Bar BG) 2° mi Ber)=B@)tzrt. (16) Addieren wir die Formeln (15) und (16), so erkennen wir, dass B(1+2) +" BE) —=0. (17) Aus der letzten Gleichung ergeben sich zwei Beziehungen, die uns über die geraden und ungeraden Bernoullischen Funktionen nähern Aufschluss geben. Je nachdem m gerade oder ungerade, wird, wenn wir vorher z durch (—z) ersetzen, B(1—z) 4-(—1)" B(z) —=0. (173) B’(1—z) = — B’(z); B’(1—z) == B’(z). (dep) Für z=0 folgt aus (15) B(l)=B(0), und da laut Definitionsgleichung B(0) —=0, so wird BO) BD) 0. (17°) 1 Ist der Exponent gerade und ae so entsteht nach (17®) fe 1 B’’ Ar &: 5 (+ und dies kann nur Null sein; somit ist en 1 Bon) = =0. (179) Es sind dies alles Resultate, die uns bei der Diskussion der Bernoullischen Funktion gute Dienste leisten werden. Später !®) leitet Raabe dieselben Eigenschaften aus unsern Formeln (4) und (5) ab. Er ersetzt in (4) z durch (l—z); dann wird k=009 B’d—)— 2 ie m)! >= sin 2k ze. (1—7)) (2 PA Has — Karl Da aber sin2kK zz (1—z)—=— sin 2k zz, so wird k=0o9 2a 73 Ban > a also 22 il B’(1--2)= —B’().') (17®) Desgleichen wird k=oo Bi) + I De 2 -IemH)1Y c082krr(1—z) m-+2 Da (2 3 Ser gut Da cos2kzr(1—z) — c0s2karz, folgt k=00 = bi _2C-N’e@mHi)! > cos2Kyrz B’(i—z BZ See Re ( Ve mtg B (2 ze zer] yo ze Bu Ten) By, somit B’(1—z) = B‘(z).'!) (17®) Dass die Funktion B(z) bei der Annahme eines ganzen, positiven Exponenten m die Summe der m‘ Potenzen aller Zahlen 1 bis (z—1) darstellt, kann nun gestützt auf die schon gefundenen Beziehungen leicht gezeigt werden. Zum ersten Mal sind solche Reihensummierungen von Jakob Bernoulli allgemein gelöst worden, der in seinem für die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung so wichtigen Werke «ars conjectandi» 1713 mit Hülfe der von ihm eingeführten Bernoullischen Zahlen, von denen er die 5 ersten berechnet '?), solche Summierungen vornimmt. Vor ihm haben verschiedene Mathematiker wohl spezielle Potenzreihen summiert; der Engländer Wallis summierte die vierten, fünften und sechsten Potenzen'?); auch Faulhaber führte in seiner «academia algebrae» 1631 solche Operationen aus'*); aber Jakob Bernoulli'°) gebührt das Verdienst, diese Aufgabe allgemein gelöst zu haben. Ganz einfach lässt sich diese Aufgabe durch Anwendung der Bernoullischen Funktion ausführen. Wir gehen von Formel (15) aus, erhöhen successive das Argument z je um die Einheit und erhalten, wenn wir schliesslich alle diese Gleichungen addieren und z um k Einheiten fortschreitet, Bk42)=B@) +2" +49" + @4+0" ++ (k-1429". (18) Daraus geht für z=0 die gewünschte Summationsformel von Jakob Bernoulli hervor, nämlich erh = B(k)=1"+2" 43” ers + (k—1)". (182) Eine weitere wichlige Formel ergibt sich aus (17®). Ersetzen wir —1 darin z der Reihe nach durch — — _ ern. s 2 ‚ addieren dann alle diese Gleichungen und dividieren, da jedes Glied doppelt auftritt, durch 2, so folgt für die gerade Bernoullische Funktion (a (run) : R 4 2 Setzen wir weiter für z wieder successive die Werte ee ET an in (18) ein, so wird für die gerade Bernoullische Funktion 1 ) 1 1 2m N 2m 1 \ 2; = AA eh, Ze: — ee.) le, ri 1 2m -H Aber SL che +(K-144) > 2 Ber ii 9 ) Go 2m ( 2 2m [ 9 IE Br(K+ 2) aan, + er u , D) 2m Sen B) 3 3 2m 3 2m / B) 2m [#3 ru ——_ = Re Be Tal ee) ee) n n a BRRET a ww Ferse. ea) Addieren wir alle diese Gleichungen, so liefert die erste Kolonne der rechlen Seite gemäss («) Null; sämtliche übrigen Potenzen mit TEE Eee 2m 2m dem Exponenten (2m), also von 2) bis zu (x—2 lassen 1 sich gestützt auf (18°) darstellen durch am B (nk); deshalb wird 1048” (K +) 48° (K 4) — m B’(nk). (19) Raabe weist dann nach, dass diese Formel gilt für k = beliebig rational gebrochen und positiv, dann für alle irrationalen positiven Werte von k, schliesslich zeigt er, dass dieselbe auch für negative reelle Werte von k die Gültigkeit nicht verliert. 1?) Um den entsprechenden Satz für die ungerade Bernoullische Funktion zu erhalten, verfährt er wie folgt: Ausgehend von (7), wird B' ()= Sr ws Er ersetzt darin z durch (% + = summiert beidseitig von k=0 bis k=n-—-1 und erhält unter Anwendung von (19) k=n—1 k=n—1 >17 (z- ent) Svr(z eo B’’(nz). Nach a ist aber auch B’, (nz) = (2m+1) B’’(nz), daher k=n—1 [ k I 9,0)= Ir A | I) et n Wird beidseitig mit dz multipliziert und in Beziehung auf z integriert, so folgt k=n—1 art B’(nz) -3 B’ (2+ = —+M, (£) wo M als Integrationskonstante von z unabhängig ist. Um diese zu bestimmen, setzen wir z=0, dann wird k=n—1 Ze 15 pe Durch Vergleichung zweier für dasselbe bestimmte Integral ge- _ fundener Ausdrücke, erhält Raabe dann JO Setzt er die erhaltenen Werte in die vorhin erhaltene Formel (2) ein, So wird Er nur Butı: 1 ey 2 ER n=1 Bl let) tler) ni et : — NZ) — = N m-+1 (2 m-t-2) pearl m-+1j, (20) eine Formel, die gleich wie (19) für sämtliche reelle Werte von z und für ganze und positive Werte von n identisch Bestand hat. Diese letzten zwei Beziehungen zeigen, wie schon Raabe andeutet, eine gewisse Ahnlichkeit mit dem Gauss’schen Fundamentalsatz in der _ Theorie der Gamma-Funktion 28 | r(att).rla 4 =, BR a) / ; ee i —=/IXna).n Aare nur finden sich hier alles Produkte, während bei der Bernoullischen i Funktion Summen auftreten. '») Es wäre wahrscheinlich sehr interessant, - sämtliche Analogien beider Funktionen herauszusuchen; doch würde uns das zu weit von unserem Thema wegleiten. $ 4. Diskussion der Bernoullischen Funktion. Raabe diskutiert seine aufgestellten Definitionsformeln in keiner einer Arbeiten; doch müssen wir auf diese Frage auch bei dieser Definition eintreten, damit wir später mit den andern vergleichen _ können. Wir kommen am besten zum Ziel, wenn wir bei den Bernoullischen Funktionen mit niedrigen Exponenten anfangen und allmählich zu denjenigen mit höhern fortschreiten. Setzt man für m der Reihe nach 0, 1, 2, ae ‚ so erhalten die acht ersten Bernoullischen Funktionen folgende Werte: Bo(z) = Z Bı (z) = = 2 (z—1) Me. Ba= tr Ir +? Ba=+r- Int gr une het hend air ierte ter Bir Iris rt Für uns sind diejenigen Werte am wichtigsten, für welche z innerhalb des Intervalles O0 und 1 liegt; für z ausserhalb nehmen die Funktionen rasch grosse Werte an; auch können diese Werte aus den innerhalb dieses Intervalles liegenden berechnet werden. Die Tabelle I am Schlusse dieser Arbeit gibt die Werte der sechs ersten Bernoullischen Funktionen für verschiedene z von — 3 bis +4. 1. Bo(z) = z. Diese Funktion stellt somit eine Gerade dar. die | durch den Ursprung der Zahlenebene geht und den Winkel der Koordinatenaxen halbiert, indem sie durch den ersten und dritten Quadranten läuft. 1 1 3 j 3 27 BZ) z. Am meisten interessieren uns die, Ragdıe e 2 2 Maximal- und Minimalwerte der Funktion. Nach der bekannten Regel aus der Theorie der Maxima und Minima entwickelter Funktionen er- halten wir hier ein Minimum für lg Es ist leicht einzusehen das von z=0 bs z = 2; diese Funktion fortwährend abnimmt und f : j 1 1 a negativ bleibt; der kleinste Wert muss somit n(4)=+ sein. \ Von z= bis z=1 beginnt die Funktion fortwährend grösser zu werden, um für z—=1 den Nullwert zu erreichen, von wo an die ler, = Funktion weiter zunimmt. Der Anblick der Gleichung sagt uns über- haupt sofort, dass diese Funktion eine Parabel darstellt, die durch den Ursprung geht. 1a: Kr 1 Dr & Se lee + 4 Wir erhalten ein Minimum für 1 Res h £ r 1 mr N — > E= 75 3 und ein Maximum für A er r v3; zudem wird n R 1 diese Funktion für z=—- zu 0; daher folgt: Zwischen z=(0 bis a, ist diese Funktion stets posiliv und weist ein Maximum auf bei z= ol 1 re — 3; im Intervall von z= 2 6 bis z=1 ist dieselbe negativ mit dem berechneten Minimum bei 1 We AH EN, I u ie 3. Wie wir später sehen werden, stellt diese Gleichung eine Parabel höherer Ordnung dar. I, 132 7%, 4. B=-—2-- — 2°? -+—z°. Die Rechnung ergibt zwei 4 2 4 Minima, bei z=0 und z=1 und ein Maximum bei z—= 5- Diese 6 Funktion ist im ganzen Zwischenraum von 0 bis f positiv und besitzt eine Maximalstelle für = nm wofür Ba os — — wird. Es stellt dieselbe wieder eine Parabel höherer Ordnung dar; diese geht durch den Nullpunkt, der aber kein Doppelpunkt ist; gleichwohl ist die Abszissenaxe Doppeltangente; sie berührt in z=0 und z=1. Bei der Diskussion der höhern Bernoullischen Funktionen können wir nicht mehr analog verfahren, da wir auf Gleichungen vierten und noch höhern Grades gelangen; wir begnügen uns hier mit der graphischen Darstellung der zwei folgenden, höhern Bernoullischen Funktionen. Bei einer später zu untersuchenden Definition der Ber- noullischen Funktion werden wir einen ausreichenden Weg der Dis- kussion der höhern Bernoullischen Funktionen kennen lernen. °°) $5. Entwicklung der Bernoullischen Funktion in trig. Reihen. Schon bei der Ableitung der Definitionsgleichung gelangle Raabe zu Reihen, welche die Bernoullischen Funktionen darstellen, ebenso Bern. Mitteil. 1900. 1480. EI en. bei der Herleitung der Differentialquotienten. Wir verweisen hier nur auf die diesbezüglichen Formeln (4), (5), (9) und (10). Dieselben zeigen viel Ähnlichkeit mit den Reihenentwicklungen der übrigen Definitionen der Bernoullischen Funktion. $ 6. Die Bernoullische Funktion als bestimmtes Integral. Es handelt sich nicht darum, eine erschöpfende Darstellung aller Integrale der Bernoullischen Funktion zu geben; wir wählen nur die zum Vergleich mit den andern Definitionen wichtigen. Durch Multiplikation mit cos2rsrzdz, resp. sin 2rsrz2dz und Integration zwischen den Grenzen O0 und 1 entstehen aus den Formeln (9) und (10) unter der Voraussetzung, dass r und k ganze Zahlen seien, die vier leicht herzuleitenden Formeln.?!) 1 BR 008 az #dz—=0. (21) $ 1 m—l —1 2 1 Iwrw Sm2 Dre 2.7 — En Sun ), (22) . (2zer) N |» (z)sin21,22d2=.0. (23) Ö 1 / m el 19 |» (DCOS2EZZd2 ur z (24) dene). v Multiplizieren wir (4) mit B”(z)dz und integrieren zwischen 0 und 1, so folgt, da die Doppelsumme durch die verschwindenden Integrale zur einfachen Summe wird, k=09 1 l 3 4 (2 m)! We el [vau=} en fens=] [sutorazan ) Ö ! Der Wert des Integrales rechis ist —-, somit k=o9 1 „ 2(2m)!? N 1 2 (2m)!? B T dz 5 Se Ne S nt" j) nz .) Tezen — Kr (27) +2 4m-+2 Wird S durch Bernoullische Zahlen ausgedrückt, so resultiert 4m-+2 a aus T(2m-+1) IE (2) Se Deren (4m--2) Bonyı = (0) Ebenso wird aus (5) 2 En T(2m-+2) LE IT nen)... Auf mt 0) B 2 m-+1 1 (26) + 2m+-2 | Mit Zuziehung der Gammafunktion gelangt Raabe zu einer An- zahl bestimmter Integrale, welche durch die Bernoullische Funktion dargestellt werden Können. ., .. Z(2m-41 Be SR, Bekanntlich ist er — [ ekuy2m du. Setzen wir diesen Wert in Formel (4) ein, so wird k—=c9 1 2 1 RS —ku .: 2m 5 een) Par > emmossin2 Krez us. du. 0 k=il es Et sin? zz Da aber > e""sin?krz = — — ‚ so wird ee —2cos2srz oo 2m m-H1 2m-+1 u —]) 27 0 na ee em Balz) 220) ee" — 200597727 2sin2 cz Ö Ebenso wird oO — 2 1 (cos? zz —e "Ju" 1 oma du ee Or) u BZ ee "— 20082772 2 2 1 } 2m-+2 Se ae ns 23% Om} 27 ur Durch partielle Integration findet Raabe eine weilere Anzahl von bestimmten Integralen, ausgedrückt durch Bernoullische Zahlen oder Funktionen. Ebenso erhält er noch andere kompliziertere Formeln, wenn er die Summenformeln oder andere zweckmässig gewählte, mit den Bernoullischen Funktionen in Beziehung stehende Ausdrücke in Partialbrüche zerlegi. Alle diese Beziehungen erfordern aber eine ziemlich umständliche Herleitung.??) (28) ll. Die Bernoullische Funktion nach. 0. Schlömilch. S 7. Herleitung der Definition. Ausgangspunkt ist die Summalion der uns schon bekannten Potenzreihe enge = 3’4+ AP errcencee + (k—1). Das Problem bietet uns keine Schwierigkeiten, wenn die Fälle für ee ae Ve successive behandelt werden, d. h., wenn man jeden Fall auf den vorhergehenden zurückführt; eine all- gemeine Formel ist dagegen auf diese Weise nicht zu finden, wohl aber durch Differentialrechnung. Obige Reihe entsteht durch p-malige Differentialion einer andern Reihe, so dass ist an = en ae Be ERLSR, + (k—1)’ = | or a E e — Um die Differentiation auszuführen, zerlegen wir die rechte Seile kx—1 X e in zwei Faktoren — Nez =e(x).w(x); dann wird nach der e — 2 |) Regel der Differentialion von Produkten 2° (0 0) = 0 + ()FOWTO r- b) PO («) Zur Berechnung der Werte (0), o'(0), e"(0),...».. benutzen wir die O G S 2 7 ’ bekannte Formel über Bernoullische Zahlen **) BEN A 1 2° B, 9tB s SB; eo TRsR, ee w — ır Bz 2 Fr ‚6 2 ar =1- 5% or a NT en Daraus erhalten wir für x=0 folgendes Wertesystem: | , 2 5 FA) 5b, ©.2.(0) = 0. o''''(0)=— Ba. Br 0 a B>. = 0. FROM" "Bm. (8) Zur Bestimmung von (0), W(O),.2.... dient kx e —l Bass ER Se es Kr 5] X ayX Ag — EUER. Für ’(0) verschwinden alle Ableitungen, die x enthalten, und pPrl ur 0) == - ® Setzen wir die Werte (3) und (y) in Formel («) ein, so folgt gestützt auf eine leicht einzusehende kleine Veränderung Pr De gP ar ur R: (k—1)? mi Pt! > Eu k? 2 -: 1% B kr DNS - pH 2 2 - N 1 p A 1 p "p—5 ne (5)B;x a (As a Während die linke Seite nur Sinn hat für K als ganzen, positiven Wert, grösser als 1, kann die rechte Seite verallgemeinert werden; wir erhalten dann einen Ausdruck, der eine ganze, rationale Funktion darstelll. Um aber nicht Funktionen (p-+1)“" Grades betrachten zu müssen, und um der höchsten Potenz von K oder z, wie allgemein üblich, den Koeffizienten 1 zu verschaffen, ersetzt Schlömilch p durch (n-—1), multipliziert mit m und definiert unter Vernachlässigung der linken Seite n n o(z,n)=z" — e ehe (3) Bis e Baz’ n a pP Be — NE Er (1) als die «Bernoullische Funktion n‘” Ordnung.» Die Herleitung dieser Fundamentalbeziehung verlangt, dass rechter Hand kein von z freier Term vorkommen darf; es ist dies eine Eigen- schaft, welche die Allgemeinheit dieser Definition wesentlich ein- schränkt. ?°) NO Durch Vergleich erhalten wir folgende Definitionsformeln, welche die Bernoullischen Funktionen als Nullwerle von Differentialquotienten darstellen oz, 0) Ba —— Dis = = (2) e —1i1 x—0 = 871 x—=0 : Ausgehend von diesen beiden Hauptgleichungen hat Schlömilch die verschiedenen Eigenschaften der Bernoullischen Funktion genauer untersucht. Diese Definition stimmt nicht ganz mit derjenigen von Raabe überein.”’) Die Resultate, zu denen Schlömilch gelangt, ent- sprechen denjenigen, die Raabe gefunden. Schlömilch ist der erste, welcher gezeigt hat, dass die Bernoullischen Funktionen Differential- quotienten sind; dass sich dadurch die Darstellung hübscher gestaltet, ist nicht zu bezweifeln; nur ist das ÖOperieren damit hie und da ziemlich umständlich. $ 8. Die Derivierten der Bernoullischen Funktion. A. Die einfachen Differentialquotienten. Um die Eigenschaften der Ableitungen von o(z, n) zu erfahren, ZX neh \ —u differenzieren wir die gebrochene Funktion (m—1)-mal nach —4 x und einmal nach z und erinnern uns, dass die Reihenfolge der Operationen beliebig ist; demnach wird DD Ne “ tet —1 3 er — uf: "—1 e—1 u te } EI Dies liefert für x—= 0 unter Berücksichtigung der Definitionsgleich- p(z,n Fe FEN + (0). Trennen wir die gerade und die ungerade Bernoullische Funktion, so folgt unter Anwendung früherer Beziehungen ungen (2) D, 0 5, 9 %2m) =2ım. p(z, 2m—1) und (3) Be BET Diese beiden Formeln entsprechen ganz denjenigen von Raabe. In- folge der etwas andern Definitionsgleichung zeigt hier die Ableitung der ungeraden Bernoullischen Funktion den Zusatz einer Bernoullischen Zahl, während bei Raabe die gerade. B. Die wiederholten Differentialguotienten. Schlömilch gibt dieselben nicht; doch sind sie durch successive Differentiation einfach zu finden; es resultieren, ausgehend von (3) und (4), folgende Formeln - o(z, 2m) = (2A)! (5, eo. 2m 24). D ee .. o(z,2m)=(24-H1)! (a ‚\ o(z,2m —27—1). - Da = (AA) N Jemamtı—en (5) nn): E a | 12, 2m 24) HB Die wiederholten Ableitungen der Bernoullischen Funktion sind wieder Bernoullische Funktionen; nur treten hier noch Faktoren und Ber- noullische Zahlen dazu, welche die Darstellung etwas komplizieren. C, Einfache Integralformen. Multiplizieren wir die Formeln (3) und (4) mit dz und inte- grieren zwischen den Grenzen O0 und z, so erhalten wir 27 2 ei ma, m>1 und (6) £ p(z, 2m-H1 5 Ie@emar— a2) + (—1) Bun 2. 1) Die Integrale der Bernoullischen Funktion, nach Schlömilch definiert, sind wieder gleiche Funktionen, dividiert durch eine bestimmte Zahl; für die gerade Funktion tritt noch ein Produkt einer Bernoullischen Zahl mit einer Variabelen auf, das je nach dem Exponenten m ent- weder addiert oder subtrahiert wird. re 1 3 Für die obere Grenze a; erhalten wir unter Anwendung der im folgenden $ 9 zu beweisenden Formeln =, Er m 2m RE [een 1| y% und n m ie m fr (z, 2m) dz= (—1)” = B;% [B] $ 9. Die Funktion mit inversem Argument. ZX Wir ersetzen in : die Grösse z durch 1—z; dann geht e —— durch leichte Umwandlung dieses über in 1 — ee und es wird e — (1—z)x —ZxX I =. 1 E SE IE z Be x—=0 Ersetzen wir x durch —£, so wird (1—z)x zE e . —1 .e '—1 a — (—1)"D, Ser | = e—1l Ren 5 e° = Somit folgt nach Definitionsgleichung po(1—z, n)—=(—1)'9(, n). (8) Daraus ist ersichtlich, dass die Bernoullische Funktion für U: bis z=1 in entgegengesetzter Reihenfolge dieselben Werte annimmt, , 1 i Re welche sie von z=0 bis Ar hatte und zwar mit dem nämlichen oder mit entgegengesetziem Vorzeichen, je nachdem die Funktion von gerader oder ungerader Ordnung ist, was die Diskussion erleichtert. Für die gerade Funktion folgt aus (8) und der Definitions- gleichung (1) für x—= 0, dass o(1,2m) = g(0,2m) =. (9) Für die ungerade Funktion wird für z= 0 und z = 7° wie leicht ein- zusehen ist, £ —I DT e(l,2m+1)=e 1 nt) — (0, 2m-H1) —=0. (10) Wir suchen nun einen Wert für & - 2m) Dazu ersetzen wir in ar. 1 der Definitionsformel (2) n durch 2m und z durch 5; dann wird X 1 X 2m ea —] 2m 3” (4 2m)=0 45 = on nn z e —1|, 2 — = Reel N) Es ist identisch gleich Rs 1 2 Di = x ei a en A ER), 25, 7 e—1 2 e?--1 e?—1 Durch 2m-malige Differentiation nach x und Multiplikation mit 2 erhalten wir für x—= 0 unter Berücksichtigung von e”"”(0) = (—1)" Bn die Formel op = m) — (—1)" en. 2m—1 2 Bz (11) Diese Berechnungen der geraden und ungeraden Bernoullischen Funktion für verschiedene Argumente sind nur Spezialfälle eines all- gemeinen Satzes, den Schlömilch wie folgt erhält. Er setzt in der f e 5 1 Definitionsgleichung (2) für das Argument z der Reihe nach z, (: zu +) | k—1 | z+ — \.......,[2-+ Fee addiert die so erhaltenen Aus- } N r arg: drücke, nimmt 9 (x)—= —— aus der Klammer und erhält die Summe e —1 n x 2x 3x k—l)x Ss—D e( hettek ek +...... te # )=r]eol ZU Durch Summation der geometrischen Reihe in der Klammer folgt u. | el = ei! Sl) | ey und durch leichte Veränderung, wenn schliesslich x==kF, wird 1 n = ra | | 1 | m sS—=— ——- D+8— ki ——1}o (0). se et 5 SR Bern. Mitteil. 1900. No. 1481. Für n = gerade= 2 m wird em) +e([r+ 2m) + renee Holt 2m) 1 Er k2m—1 Ip(kz, 2m) + (—1)”(k"—1)Bn|. (12) Für n = ungerade = (2 m + 1) folgt 1 5 k-1 \ o(z,2m+1) + (z + %’ 2m) + ......-+9 (: + 20H) 1 Wir sehen hier wieder die Zweispurigkeit der geraden und ungeraden Bernoullischen Funktion. ! it £ 2 Setzen wir z=0 und k=- so finden wir aus dieser all- a | gemeinen Formel für Ir 2m), also für die gerade Bernoullische Funktion, den schon früher gefundenen Wert (11). Ebenso lassen sich Ausdrücke finden für es! ) ee ) 1 (2m). (4m und (42m) Für die ungerade Funktion kommen wir auf diese Weise zu keinen Spezialwerten. $ 10. Die Funktion mit negativem Argument. Um diese Funktion zu untersuchen, berechnet Schlömilch vorerst o(z-+1,n). Nach Definitionsgleichung (2) wird durch Subtraktion f (z—-1)x Ir „2X o(z-+1,n) — p(zn)—=D, x ee , | e —] Be —p l X IE ee D. [x e — nz, ii | zZ en € Xu eat) —elan) + nz, (14) Durch Anwendung von (8) entsteht daraus 2 (—1,n)—= N o(z,n)+n 9: . (15) Es sind dies zwei wichtige Formeln; (14) dient dazu, aus einer Bernoullischen Funktion eine neue Bernoullische Funktion gleichen Grades, aber mit einem um die Einheit erhöhten Argument zu be- IR) rechnen; (15) wird gebraucht zur Verwandlung einer Bernoullischen Funktion mit negativem Argument in eine solche mit positivem. Mit Hülfe von (14) findet Schlömilch eine Beziehung zur Darstellung der Werte der Bernoullischen Funktion auch ausserhalb des Inter- valles von 0 bis 1. Lässt man nämlich z der Reihe nach die Werte z+1, 2-42, 243, :---- ‚(z2+k—1) annehmen, wo K = positiv und ganz, und addiert dann die so erhaltenen Gleichungen, so wird e@+k,.n)=el,n) Anl + a4 a4" er au. @4K-1)"). (16) Geben wir hierin dem K einen beliebigen ganzzahligen Wert, so können wir auch höhere Werte der Bernoullischen Funktion, ganze und gebrochene, berechnen, da z nicht ganzzahlig zu sein braucht und wir ja die Bernoullische Funktion im Intervall von O0 bis 1 genau kennen. Diese Formel wird uns die zur graphischen Darstellung der einzelnen Funktionen nötigen Werte liefern, wenn wir nicht vorziehen, solche direkt aus den Definitionsformeln zu berechnen. Schlömilch verwandelt eine Bernoullische Funktion mit negatıvem Argument noch durch folgende einfache Formel, die er erhält, indem er in (8) für z den Wert ( + ) setzt, in eine Funktion mit positivem Ei. Hl ) 1 Argument 0) (> —.2, ı) —(—-1)o = + Z, u): (17) die in einigen Fällen gute Dienste leistet. Aus dieser Formel ist auch ER St ersichtlich, dass & (> +7, ı) eine gerade oder ungerade Funktion ist, je nachdem n einen geraden oder ungeraden Wert hat. Daraus | SE ist auch e(4- ı) als Maximal- oder Minimalwert erkennbar. Einzelne spezielle Werte, die Schlömilch nicht oder auf ganz andere Weise herleitet, findet J. Worpitzky gestützt auf Schlömilchs Definition wie folgt:?°) 1. Berechnung von & > .) 1 —; dann wird Wir ersetzen in (2) z durch = E r a Me Rh | > ı) —2D, I? (3) |= — De (X), gan-1 28 En 2m Weil‘ .D: 10 &,=0 und D eK), in. so wird für 1. # n =ungerade—= (2m+1) 9 ie 2) —M und für 1 ee n— gerade —=2m o m) =) IB B„. (18) 1 2. Berechnung von @ ( 72 .) nr N : e2 eı —1 ei —1l Es ist identisch — a = wo.Ww—=2x, und e —1 e —1i e —1 somit wird nach Definition (2) EDER) Nach (17) ist | - EN rer Y. n—-serale. = EM. | “3 | 0 und für 3 lH = n = ungerade = (2m+1). 1 SE © oem 1 ) ==, 2m-+1 en Ebenso ist identisch | | RG | 1 men | (@) 3 |" a a | ei+1 = 2 541 Be Es sind DS, e Se: | — vol a rg eat — mm —— M L | Es D ), - a \ 2 | PN ——— dd -S BE >] atinsr nl en ) & | er h 2.901 2 Substituieren wir diese letzten drei Werte in («), so resultiert füirn—=2m 1 1 ee | © > 2 n) —w = 2m) gm (19) u Setzen wir in dieser interessanten Beziehung zwischen den 1 ie 1 Bernoullischen Funktionen mit Argument — und — für & (den) 2 4 den früher gefundenen Wert, so erhalten wir # ( = on) = er (20) $ 11. Diskussion dieser Definition. Wir könnten natürlich bei dieser Diskussion gleich verfahren wie bei Raabe. Schlömilch geht aber ganz anders vor, und wir wollen uns deshalb an seine Darstellungsweise halten. Setzen wir für n der Reihe nach 1, 2, 3,...... ‚ so nehmen die acht ersten Bernoullischen Funktionen folgende Werte an: ir En 7 (2,2) = 2 —2 —=ı(1—1). 3 1 1 el, 22 =), (4) o(z,4)=2:—-2:? 4° =2z’(e—1)*. Beh I De olZ,5)— 2 5er a o (z, 6) — 2°— 37° +. - ; 2a: 7 I SBE TE 1 DUlzEs IN er 2,6 DE ee ; o(z,7) Z 0 ran alar % 14 , 7 Ze r REN EEE 22, p(z,8) = 2°—4z 2 Piel: 87 Schlömilch beginnt seine Diskussion mit dem einfachsten Fall, für n—2 und führt sie mittelst den Differentialformeln (3) und (4) weiter. Die erste Funktion & (z,1)—z stellt wieder eine Winkelhalbierende durch den Ursprung und den ersten und dritten Quadranten dar. Hin- sichtlich der zweiten Funktion @ (z, 2)—z (z—1) erhellt unmittelbar, | 1 3 dass sie von z=0 bis z= 5 ARegativ bleibt und fortwährend ab- Be. 1 33:58 a nimmt; der Wert & = >) SHE ist ihr absolutes Minimum inner- halb dieses Intervalles. Ba... se KR Nach (4) wird age z,3)=e(z,2)-+B,. Die rechte Seite ist anfangs für z= 0 positiv. nimmt dann kontinuierlich ab und 1 —; woraus folgt, dass es 1 alt für z= —d egativen Wert — erhält für z 5 en negativen Wer 12 RR 5 zwischen z— 0 und ER aber auch nur einen Wert gibt, für welchen der Ausdruck verschwindet. Diesem Verhalten von o'(z,3) gemäss, steigt anfangs #(z, 3), erreicht zwischen z—0 und a ein Maximum und fällt dann wieder. Jenes Steigen fängt an mit 9 (0,3)—0; das nachherige Fallen hört auf mit o (ae ;) — de die Funktion o(z, 3) bleibt also positiv während des Intervalles von Ft 0 bis 3 dazwischen liegt ein Maximum. ö Formel (3) gibt - an y(z,4)—=o(z,3), und da nach dem Vorigen die rechte Seite, mithin auch o’(z,4) positiv ist, so findet bei o(z,4) ein fortwährendes Wachstum statt; dieses beginnt mit g(0,4)— 0; mithin ist @(z, 4) positiv und zunehmend. r 1 ) AR ; In Gleichung a (z, 5) = o (z, 4) — Ba ist die rechte Seite anfangs für z— (0 negativ, wird aber immer grösser und erreicht für pr ihren grössten Wert| 1 — 58 Be, welcher positiv ist. Aus diesemVerhalten von o’(z,5) folgt, dass 9(z,5) erst ab- und nachher wieder zunimmt. Die Abnahme fängt mit 9 (0,z2)—0 an; die Zunahme hört mil @ + ;) auf; somit bleibt 9 (z, 5) negativ von z—0 bis z — und besitzt innerhalb dieses Intervalles ein Minimum. Weil ferner = = o(z, 6) = p(z,5) und die rechte: Seile, also auch o’(z, 6) immer negativ ist, so nimmt 9(z, 6) immer ab, mit 9(0,6)—0 anfangend; somit ist 9(z, 6) negativ und abnehmend. Wir überblicken augenscheinlich den Fortgang dieser Schlüsse, deren Gesamtergebnis sich graphisch darstellen lässt, wenn man z als Abszisse und o(z, n) als zugehörige rechtwinklige Ordinate konstruiert; a dann werden im Intervall von O0 bis 1 die Funktionen gerader Ord- nung charakterisiert durch Best vennen 2,#0,,.10) 14. Jar: ‚(4k—2), BES Sweunen; 74,%8,.x19..108 .,°. 0%; ‚(4k) und die Funktionen ungerader Ordnung durch Fig. 3. Fig. 4. - EEE z N: f I ı N Ben : x 2 REN Bierssswennen 3, 1.511.219... ‚(4k—1), Ber Anwennene— 15,9, 18, 17, ,......,(4k-4 1). Auf eine genauere graphische Darstellung der verschiedenen Bernoullischen Funktionen werden wir im letzten Abschnitt eintreten. ??) $ 12. Verwandlung der Bernoullischen Funktion in trig. Reihen. Mit Hülfe der Schlömilchschen Definition als Differentialquotient lässt sich diese Funktion in eine nach cosinus oder sinus der Vielfachen eines Bogens fortschreitende Reihe entwickeln. Aus der Theorie der Fourierschen Reihen und Integrale ist bekannt 1 Er 2 707 wi, (7) = zoR ee. a, cos n -H a, COS or + a, C08 mr + HET, (00, daher 120." 0 [fer 1 20) - [ker || x—0 0 ee ld | k x | x? 77°k2 he 2m)! Diese Formel wird für k= gerade a, see ( ar (k re)" » k—= ungerade a, —. Demnach wird die gesuchte Reihenentwicklung m m— !{cos2 zz TctL an zeeer mar e (72). RE: 4 cos 6 7C 2 =e ee per TE j (21) für. 0 Sz<1. Auf ganz analoge Weise finden wir einen Ausdruck für die ungerade Bernoullische Funktion, so dass ist i m. (2m—1)! (sin27z sin& sr z olz, 2m 1) (4) 2 Be | 92m— = 5) g2m-1 2x 2! see | (22) 6 für 01. Schlömilch findet diese Formel (22) durch Differentiation der reihe (21). Beide Formeln erinnern uns an die Raabeschen Definitions- formeln (4) und (5), von denen ja Raabe die meisten Eigenschaften seiner Bernoullischen Funktion herleitet. Diese Reihen lassen darauf schliessen, dass die Bernoullische Funktion in enger Beziehung zu den Kreisfunktionen steht, was auch - J. Worpitzky in einer Studie über «Bernoullische und Eulersche Zahlen» beweist.?”) | kiaia, SE Er zeigt, dass der Spezialwert einer geraden Ableitung der Eotangente eines Argumentes, multipliziert mit dem Argument selbst, sich durch eine Bernoullische Zahl wie folgt ausdrücken lässt 2m | : \ TER 2m D, (Keolgx| , 2 Bir Ebenso lässt sich der Nullwert der geraden Ableitungen der trig. Tangente durch eine Bernoullische Zahl oder durch eine Bernoullische Funktion vom Argument z ausdrücken, so dass ist 2m | | ı (2 —1) D N — 9°" ——_ —_ Baar z | = = m Schliesslich ist auch der Nullwert der geraden Ableitung der Sekante durch eine Bernoullische Funktion darstellbar, indem wird 9 [ gem+2 R D, |secx me m Ace 2u+ı) $ 13. Die Bernoullische Funktion in bestimmten Integralen. Ausser den einfachen Integralwerten in $ 8 dieses Abschniltes gibt Schlömilch weder in seinem Compendium, noch in der erwähnten Abhandlung in Band I der Zeitschrift für Mathematik und Physik andere Integralausdrücke mit Bernoullischen Funktionen, abgesehen von der Bernoullischen Funktion, welche der Restausdruck bei der Summierung der allgemeinen Differenzenreihe enthält, und dem Rest- gliede der Maclaurinschen Summenformel, das unter dem Integral- zeichen ebenfalls eine Bernoullische Funktion aufweist.°°) Auch bei Worpitzky finden sich keine Integralformeln der Bernoullischen Funktion, doch lassen sich den Raabeschen Formen entsprechende Ausdrücke mit Leichtigkeit aufstellen. Ill. Die Bernoullische Funktion nach L. Schläfli. $ 14. Herleitung der Definition. Schläfli geht aus von der Summe Sn= ei 1” + + a 4m E PER nee + (x—1)"; gibt er dem m die Werte 0, 1, 2,...... ‚m, so erhält er (m-+-1) SUMMEN. S05.515-82; =... ... ‚ Sm- Diese multiplizieren wir der Reihe Bern. Mitteil. 1900. No. 1482. LIEBT 1 2 mn y nach mit y° Wen e folgt So y? = 1.19. 0 ma en -E 1 > y 2y 3y N 1 ar, Vo a SE BERNER EM Te er Se I Up Be En [sr], ml =. mil IE m! äh m! ur zu m! —— a. — = {2.200 .. Addieren wir die senkrecht untereinanderstehenden Kolonnen, so er- halten wir, wenn bis ins Unendliche ausgedehnt wird, m=00 er e > Im a it .t+e u Or m—0 = e—1 Wir denken uns die Gleichung mit y multipliziert und dann zerrissen; so erhalten wir eine Beziehung, aus welcher wir die Bernoullischen Zahlen ebenso leicht herleiten können wie die Bernoul- lische Funktion. Wir definieren daher m=oo SEN ye’’ y (A) m! oe m=0) als die Fundamentalgleichung der Bernoullischen Zahlen und Bernoul- lischen Funktionen. Der erste Bruch für sich betrachtet führt auf die Bernoullische Funktion, während der zweite auf die Bernoullischen Zahlen leitet. Wir nehmen deshalb an, es sei n=090 xy =D ımyy° ma ©) ——) il n definieren x(0, x) = Konstante = 1 und y(n, x) als nt Bernoullische Funktion. Die Koeffizienten der Potenzen von y sind also die Ber- noullischen Funktionen, und wir wollen für die n® Bernoullische Funktion x(n,x) einen Ausdruck suchen. Es wird Re Je zei eg ee G ı C ay or... G V je: © iele. siehe X ae See: un =F =F IF Ar j 5 x 2y2 ya vr 1 ++ + FR a en Der allgemeine Term, welcher y” liefert, lautet Koeffizi za = oellizient von y =|Yy u Fa A=00 ird yo’ S en Daher wır Ge == an! Ye: Diese Gleichung stellt denselben Wert dar wie Beziehung (2); durch Vergleichung beider folgt als Wert für x(n,x) \=00 in n—/ n 2—1 n—) er C4X TIER, x > C,X Id m Fat any! Bei der letzten a ist ersichtlich, wie auch schon früher, dass infolge der Fakultät im Nenner A nur bis A=n gehen darf. Aus der Theorie der Bernoullischen Zahlen ist bekannt, dass bei Entwicklung von = 1 folgende Koeffizienten c, auftreten: e’— 1 i—1 B, 1; ERSTE CI; 2, = (1) en! daher wird, wenn wir noch für A den Wert (2A) setzen, n =r west >> B} BT an, ae or Ber near)!“ Da aber Re NL (a so definieren wir die «n% (24)! (n—2A)! 22,7. Bernoullische Funktion» durch n I x E I) a __D n-1 ur! ) n—2) |, x(n, y-- x 5x > 1) kei B,x | (3) i=1 i Wir können die obere Grenze in der Summe weglassen, wenn =. wir bedenken, dass für A -=- der Ausdruck 2 —= 1, ebenst EN & a ER SET a n x'—1 wird und für ein grösseres A zufolge von N —=(, wenn u positiv, die Summe stets zu Null wird; die Reihe bricht also von selbst ab. Der Hauptunterschied dieser Definition gegenüber den beiden ersten ist der, dass auf der rechten Seite auch Terme mit x°, also solche, die x gar nicht mehr enthalten, vorkommen dürfen, was diese Definition I viel allgemeiner macht. Auch der vorgesetzte Faktor = leistet gute Dienste, da er das Konvergenzgebiet der Funktion vergrössert.°?) Die kürzere Schreibweise durch Einführung der Summenformel könnte bei den übrigen Definitionen auch angewendet werden. $ 15. Die Derivierten dieser Funktion. : A. Einfache Differentialquotienten. Wir wollen vorerst die gerade und ungerade Bernoullische Funktion trennen. Ist n gerade, so wird für 1.n—= gerade — 2m: 2 ae. a en ar x(2m, x) — 2m)! | 2mx Be Fe 9 | = 2 m—2) — Se (>) B, 2m—2A)x E = Ä | EP el | en se 2m—i 2m? @m—1)! | Bu zu —m—1 s ; | Zen 2m 1 Se ee | - 22 m,x)= y(2m—1, x). >| & na — ungerade = u Dann ist N) = | et" — (em) x wo Fee (nen 4 - | [) Ep 4(2 m-H1, x) = x(2 Mm, X). Wir haben beide Funktionen getrennt betrachtet wegen der obern Grenze; wir hätlen aber ebenso gut direkt von (3) ausgehen können und dann erhalten Ö ö x x(n, X) a u; x). (4) Die Ableitung einer Bernoullischen Funktion wird gefunden, indem man den Exponenten um die Einheit vermindert. B. Die wiederholten Differentialquotienten. Gestützt auf (4) werden D? x(n, x) = Dy(n—1,x) = y(n—2, x). D’y(n,x)= x(n—3, x). Diy(im,x)== xin—4, x). (5) Die wiederholte Ableitung einer Bernoullischen Funktion wird gefunden. indem man den Exponenten um die Zahl, welche die Anzahl der Ableitungen angibt, vermindert. Wir finden hier den ersten grossen Vorteil dieser Funktion gegenüber den zwei frühern Definitionen; es trelen keine Bernoul- lischen Zahlen zu den Ableitungen; die Definition ist demnach all- gemeiner und liefert einfachere Resultate. C., Einfache Integralformen. Da die Differentialformeln sich einfacher gestalten, so {hun dies auch die Integralformeln. Auch hier können wir vom allgemeinen Fall ausgehen und es resultiert ; [za-1,00 - zu,» . 0 WER 1 es Bm « (2m)! +(2m-+-1, 0) = 0, so entstehen die beiden ee ren x)dx =x(2m,x) + (--1)” CD und (6) Da, wie wir später sehen werden, 4(2m, 0) = Fir: und ‚Iren. x)dx = y(2m-41, x). (775 0 Durch Integration wird somit der Exponent um die Einheit erhöht. Das bestimmte Integral zwischen den Grenzen OÖ und x einer Bernoul- lischen Funktion ist wieder eine Bernoullische Funktion mit um die Einheit erhöhtem Exponenten und —- einer Bernoullischen Zahl für die ungerade Bernoullische Funktion. Wir haben hier insofern eine Vereinfachung, als das Argument bei der Bernoullischen Zahl fehlt, das bei Raabe und Schlömilch noch hinzutritt. 1 Für die obere Grenze x = 5 wird nach (7) 1 | zem ar zent 1.# = 0 4 und nach (6) 1 15 9 a ne Ye Ba > y( m1,n)da = | DIS 9 -H(— En $ 1 Selzen wir für (om =) den später zu beweisenden Wert?) ein, . & n z x m Bi 2 et so wird | »2@m—1,x)dx—=(—1) (2m)! ; m : 0 $ 16. Die Bernoullische Funktion mit inversem Argument. Ersetzen wir in (2) den Wert x durch (1—x), so wird Nn=00 y et x)y Se nn x(n, 1—x)y,d.h., er ne Ba EI Zell Un Zn ET ae h Bear Y(a,1-x)=|y] in - en El Nun wird : a EN n=o9 u 2 yre: 7% nt e a R 2 a f 2, 40, ne) Bene, ee x(n,x)—y) a x(n,x)y \ 1) ’ { n=0 n=0 somit ist x, 1—-x)=(—1)' y(n,x). (8) Daraus folgt für x 0 unter Anwendung der Definilionsgleichung (3), wenn n == gerade = 2m Bun x(2m, 0)=y(2m, 1)= (—1)” " FETTE (9) # 1 ] N —— ? ===) 2) & ® = —. dagegen für n = ungerade = (2m-+-1), wenn x auch 5 »(2m-1,0) = (lamHı 5 ) — 72m 1551) = 0 dh (10) alle Bernoullischen Funktionen ungerader Ordnung verschwinden für die Argumente 0. En und 1. 1 Wir fragen uns nun, was wird aus „(> m, ) Um diesen \ Der; Wert ausmitteln zu können, müssen wir vorerst über die Verviel- fachung des Argumentes aufgeklärt sein. £ 1 Wir denken uns die y-Funktionen z(n.x), (m1-+ 7.) ER ‘ k—1 4 (" x+ TR ) RREHLE, X (m x aufgefasst als Koeffizienten von y” in den dazu gehörenden Entwicklungen; dann addieren wir diese; die Summe T wird, wenn wir dieselbe als geometrische Pro- gression summieren, en Be = T=- 25 ee we er so e! 2% A ex —1 eE —] Ver N ei se er 29 + elas)E He lm, )=Irlin = Ä a | xy (2 en ü Bs ist. aber I — A —. > x(n, ka) = | ve) er N yYl= ei x(n, ka). Daraus ergibt sich 2 x (0, x) +ulns+£) tat) — 1 + tal ri am) als wichtige Formel, die über jede Vervielfachung des Argumentes bricht die Reihe links von selbst ke Auskunft gibt. Infolge von - - ab. Die beiden entsprechenden Formeln der frühern zwei Definitionen lieferten stets zwei getrennte Werte, je nachdem die Bernoullische Funktion gerade oder ungerade war. Wir ersehen auch daraus, dass die so definierte Bernoullische Funktion die allgemeinere ist; zudem ist diese Herleitung vorliegender Formel wesentlich einfacher als bei Raabe und Schlömilch. Aus derselben lassen sich verschiedene Spezialwerte berechnen. I. Verdopplung des Argumente. k=2. 1 1 AEziun H 3) a E x(n,2x). Ersetzen wir in (8) die Grösse x durch (x + a und setzen diesen Wert in die letzte Formel ein, so wird n 1 T xn,x) + (—1) x (" 7-.)> ee a a (@) Ist darin == 0 und n — ungerade — (2m-1-1), so wird X (: m--1, =! 0; dagegen wird für #2 —=() und n— gerade = 2m, wenn für x (2m, 0) der bekannte Wert gesetzt wird, Eee | B, (2m; )= I” aim am! - (12) II. Verdreifachung des Argumentes. K==3. zu talnt+4) +u(n, +7) = a x(n,3x). (2) Unter Anwendung von (8) wird für x—=0 DIET We »(n, DEw U et) «(m = x (n, 0); n = ungerade liefert die identische Gleichung 0 —= 0; dagegen ist für n = gerade. wenn für y(2m,0) der gefundene Wert gesetzt wird, 1 le B | se E ER «(2m 5) Se u (2m)! en Aus Gleichung («) resultiert für x = = und n=2m (2m. 2), (2m, -) +2(2m 4) (7) Einen Wert für (2m. 4) erhalten wir, wenn wir in (3) für X og und n==2m setzen; es ist dann Z 1 f % 1 1 1 (m 4) 4 2(em 3) r2len di) air alent) = der früher gefundene Wert (12) Daraus folgt, wenn für (2m 9 gesetzt wird, 1 mi ee He a) Be re a en 9 Setzen wir die gefundenen Formeln (13) und (14) in (y) ein, a n 2 so ist, was zwar einfacher aus Formel (8) für x eg und n=2m hervorgeht, 2 ie Ba x(2m 3 )= —1) a Em)i” (15) Wir hätten schon dort die zwei Sätze aufstellen können: 1. Jede zwei geraden Bernoullischen Funktionen, deren Argumente sich zu 1 ergänzen, sind nach absolutem Wert und nach Vor- zeichen einander gleich. 2. Jede zwei ungeraden Bernoullischen Funktionen, deren Argu- mente sich zu 1 ergänzen, sind wohl dem Vorzeichen nach entgegengesetzt, dem absoluten Werte nach aber gleich. Bern. Mitteil. 1900. No. 1483. Fe III. Vierfaches Argument. K—= 4. 1 ii Y 3 za +r(mstg \hafostg)talastg) , / n \ 1 = gt (a, 4x). Für x = 0 wird unter Anwendung von Formel (8) und Einsetzen der f Werte für (2m, 0) und y (2m, 4) für die gerade Bernoullische Funktion 1 3‘ We B,, | (2m. 4)= 2(2m 3 )= 1) ge Ta (16) P4 : h) 1 Auf ähnliche Weise lassen sich (2m. 2) :(2u.4)- RT - / 1 ; - 2 .( m, = und andere y-Funktionen berechnen; die Ausdrücke werden aber ziemlich kompliziert. $ 17. Die Bernoullische Funktion mit negativem Argument. Wir können auf zwei getrennten Wegen das Verhalten der Ber- noullischen Funktion mit negativem Argument untersuchen. Vorerst gehen wir von der Definitionsformel (3) aus, müssen aber dabei die geraden und ungeraden Funktionen getrennt betrachten. 1. Die gerade Bernoullische Funktion. Wir ersetzen in (8) n durch 2m und x durch (— x); dann wird / 1 j 2m 2m 2m—1 (2m, — x) Omji x ER, Am N 1 [2m 2m | ae 1 (4 B,x | el 9 m wu Durch Addition und Subtraktion desselben Ausdruckes (em und passendes Zusammennehmen wird 2m—1l x x(2m, —x) = x(2m,X) From 6 2. Die ungerade Bernoullische Funktion. Durch analoges Ver- fahren wird 1 | aan le ET a. ee. 5 Dais Ur 2 ai a a Be EEE Er RERER en m 1 (2m-1 2m+i—22 en je )» er . +2 ( En) | ., Em-F1)x°” Hier addieren und subtrahieren wiı Emti)i ; nun ist BR ga em Er) y2m 17%) Om)!’ Eine allgemeine Formel für die Bernoullische Funktion mit negativem Argument finden wir aus folgender Betrachtung: Ersetzen wir in Formel (2) den Wert x durch (1-}-x), so ist re ; Kurz > 20,140 1 S— (a) n—0 Ge d49)y xy Be xy y e xy = N ae ee ED ru x) y et a > n—=0) Durch Reihenentwicklung von e*? folgt (1-+x)y ee ER 1 y I WE a ry. (2) ee — ne = 1 el ID ar Vergleichen wir die Koeffizienten von y” der Gleichungen ‘(«) und (9), so erhalten wir n—1 x in I4)= or FrON. (17) Ersetzen wir darin x durch (—x), so wird unter Berücksichtigung von (8) ß n—1 107 .X: AU I 17x{n, %) (18) Diese Formel geht für n—= 2m und n—=(2m--1) in die eingangs dieses Paragraphen hergeleitelen über. Sie dient zur Berechnung der Ber- noullischen Funktion mit negativem Argument. Auch hier zeigt sich wieder die Vereinfachung, da Raabe und Schlömilch je zwei ent- sprechende Formeln nötig haben. Um die y-Funktion auch ausserhalb des Intervalles O bis 1 zu untersuchen, dient eine Formel, welche wir erhalten, indem wir in (17) für (x-+-1) der Reihe nach setzen (x+t); (xH2) ,..... ‚(x-£k) und sämtliche so entstandenen Gleichungen addieren; es wird dann ae A y(n,k+x) = y(n,x) + ———— = ni Ba, + (22 Herreecce +1) (19) Eine weitere Formel zur Untersuchung der Bernoullischen Funktion mit negativem Argument, die uns gute Dienste zur numerischen Aus- rechnung und Kontrolle der Werte leistet, finden wir, wenn wir in (8) für x den Wert (x 2 setzen; dieselbe geht dann über in 1 ) N [ 1 ee en = zen] n Fe NT N (4 )-Hzln 4 ) (20) Diese Formel charakterisiert uns den Punkt x = als Maximal- oder Minimalstelle. $ 18. Diskussion dieser Definition. Setzen wir in der Definitionsformel (3) der Reihe nach für n die: Werte 1;.2, 3,:%. 24% ‚ so nehmen die acht ersten Funktionen dieser Definition folgende Werte an, die nacheinander diskutiert werden sollen: Se y(l,\)=X 5" 2 X 1 y(2, x) ., 7 9 . 12 ye x? N 3 EN ware ra y\ >) 4 =] 1 4 x? ‚2 1 4 R net IR ek 26%) 94 gen 720 7% Y“ go X 5 — 1 PER Sehe 3 3 x 1? 1 en, £ Zur ’ 2.16,%) 720 TE TT: 100! an - x! x6 x? x? N) = og Tao + 1aao — 820 F 50820 oT 4 Bee x° ! x BEE. Sa 410320 10080 "8640 17280 RR ar 60480 1.209600 = er Wir gelangen hier zu ähnlichen Resultaten wie früher; da aber auf der rechten Seite auch Terme vorkommen dürfen, die von der Variabelen befreit sind, so ist leicht ersichtlich, dass nur die ungeraden Bernoullischen Funktionen für die Wertex=0 undx=1 erfüllt sind; das Glied der geraden Bernoullischen Funktion, das die Veränderliche nicht enthält, gibt für das Argument O0 und 1 sofort den Wert der ganzen Funktion an. 1 EEE x(l,x)=x — > stellt eine Gerade dar, die aber für diese Definition nicht mehr durch den Ursprung geht. +(2,x) ist die Gleichung einer Parabel; die Funktion besitzt ein Minimum bei x = ae vom Werte 2 3) Le eu2 au 710: x(3,x) besitzt im Intervall 0 bis 1 sowohl ein Maximum als SSR 1 ein Minimum, und zwar liegt ersteres bei x = N das letztere 1 z Ä dagegen bei eo: v3; zudem ist y (3. >) — 0); diese Kurve, analylisch gesprochen, ist eine Art Parabel höhern Grades. : Die Funktion y (4, x) besitzt bei x— ar ein Maximum vom Werte 7 Ben 760° zudem ergeben sich zwei Minima beix=0(0 undx=1, s dass (4,0) = y(4,1) = — 2 720° Was x%(5,x) anbetrifft, so ist diese Funktion als ungerade Ber- noullische Funktion erfüllt für x=0, x - > und »x.—= 1; sie> weist ein Maximum auf zwischen 2 und 1, wie auch ein Minimum zwischen 1} 0 und 5: i. Alle diese höhern Bernoullischen Funktionen stellen Parabeln höherer Ordnung dar. Wir erhalten somit folgende Bilder des Verlaufes der Bernoul- lischen Funktion zwischen den Grenzen 0 und 1; im wesentlichen stimmen sie mit den bei Schlömilch dargestellten überein. Figur 1. ' Ay i % 4 Figur 2. Die Funktionen sind charakterisiert durch °*) Figur I van 26 TR (4k—2), RE EN TED DER ES AN, ET IT RN ZEN (dk, sd rat BE ‚(4k-H1). Figur 3. Figur 4. 4 ’ 0) 14 f $ 19. Entwicklung der Bernoullischen Funktion in Reihen. Wir könnten hier analog verfahren wie Schlömilch®®); zudem würden wir noch viel rascher ans Ziel kommen, da das Integral, welches bei dieser Herleitung auszuwerten ist, leicht dargestellt werden kann.°®) Schläfli geht aber ganz auf seine Art und Weise vor; er untersucht vorerst, was wird aus n=009 & a a? a" = a" ee ie n—1 E 3 N: Multiplizieren wir mit x , so wird n=09 } Nie3) \ RE u ax She. = n=]1 il Laut Theorie der Gammafunktion gilt für ein beliebiges a die T(1—a) T'(b) 2: 37 Zend erg ee et. Beziehung‘) J (ja dr 218ind 7 Tb_arl) ' substituieren wir für a den Wert (1—n) und setzen b=1, so wird EN RITA, 1 1 n—1 ———————|x dx. B n 2isinn =. = (3) er Diese Formel gibt uns ein Mittel an die Hand, obige Summe durch ein bestimmtes Integral auszudrücken. Ist t die Integrationsvariabele, so wird nach (#) ur 1 ]: fe a ( 1) fer di. (@«—/4) — 2isin (@—A) sc 2isin@zsu , Die Summe geht dann über in =0O09 ax? y 4 ati 3: | A 1 e za - %-« 2isine ) 9) EEE [“ ee = 2isinasr, er >: se Der gefährliche Punkt des Integrales ist 1=—.x; für diesen wird der Nenner zu Null, so dass der Wert des Integrales oo ist, wir müssen daher die Schlinge um (— x) gehen lassen, diesen. Pol also ausschliessen, und wir betrachten A=009 Sax _ & [v xdte (1) ar ı-a 2isinem , L(t+x) 2 21 :x%0 Dieses Integral ist aber kein Schlingenintegral mehr; denn es nimmt nach einem ganzen Umlauf seinen ursprünglichen Wert an. Wir dürfen dann auch später, ohne den Wert des Integrales zu verändern, eine additive Konstante beifügen, welche wir so auswählen, dass sie für unsere Zwecke passt. u R- ER Durch Substitution von (* — e**" wird 2i ee ar“ Br at“ Pet 2irrae mes, > Disin a z7r per na enye Size er | a n=00 1 r2 Log 1 4 Ge ee ee i „38 Zire al a )e ca) .°") n= lee n 1 Log t .) RAR | L Se 4: Somit is [«"] Dir (" Sr —E 9 (2i 7x) Deshalb wird, wenn wir die Gleichungen («) und (7) berücksichtigen, )—= 009 = 2 { ei) | Logt s Sr ia zn a Br ? Logs N rl a0 ) a (" Ar )) ar” © wobei die zugefügle Konstante den Wert hat er Me .( Luer) xdt mer Die) Wula) « Wir wollen nun darnach trachten, x auf die Peripherie des Einheits- kreises zu bringen; zu diesem Zweck müssen wir uns aber zuerst über Logt und Log (—x) ins Klare setzen; vor dem Nullpunkt wollen wir uns hüten, weil in demselben eine starke Transcendenz vorbanden ist. Log (—x) = — ir (—o) +2irzz 0; Q@—=Konstante. o—=0, So- bald (—x) auf der Peripherie des Einheitskreises liegt. Wenn ee, wird Lgt=— is +2irg. y = Bogen von 0 bis 1; wenn L=x, soll = © werden. Dann sind we 1 Log t 1 B Log x L == — — I); 0 = —— —=. (de rn ae; (+ 2; 10 DE EHE © = Konstlanle ir di See 2irdp. Selzen wir diese Werte ein, so wird aus (d) A=09 2 rg x (2i ze) Be u — no) Zum DI > armer. EIER Der Klammerausdruck unter dem Integralzeichen wird dann in dem Momente zu Null, sobald 9 = € ; somit ist 2irrO Zi X e 5 j=—Nß n: Be er a ’ ee as Ne A EB an ne er sin (2-9) sr; X Na ! Br \t-Hicolg (P— 9) r). Substituieren wir diese Werte ins Integral (e), so erhalten wir Ss ea bi, ae m EAU 9) —x(n, I z | al ar rede, =.) ER u ENTE ® r irre x S r Er Setzen wir jetzt x = € = a so bewegt sich die Variabele auf dem Einheitskreis von 0 bis 1, und es wird nn \ı > ein) [kon au Dir neuer: (1) il Wegen i” sollten wir die Fälle für n— gerade oder n— ungerade trennen; um dies zu vermeiden, ziehen wir vor, beide Seiten mit 7E al —in — ® .. a (—i) =e ° zu multiplizieren; dann wird (u) zu = ;(2m10-T e 2 il — (9 7x) u x(n,2)—x(n, 9) 14 HHetse- 02 \ag (21) Diese Formel gilt auch für 0—=g, da dieselbe dafür nicht unstetig wird. Wegen der Cotangente lässt sich anfangs leicht glauben, das Integral werde unstetig; doch ist ja im Nenner der Cotangente der Sinus, der sich aufden Bogen (a — ®) reduzieren lässt. Dadie y-Funktionen algebraische Funktionen n‘“® Grades sind, so geht die Klammer in tiefster Annäherung über in (0 — 9°); somit verhält sich das Integral Bern. Mitteil. 1900. No. 1484. ER je } na 9" 3 1 wie u; ein solcher Ausdruck ist aber endlich und daher auch 0 —9 das Gesamlinlegral für 9 == ©. Herausheben der Komponenten. In obiger Formel (21) sind sowohl reelle als imaginäre Bestand- teile enthalten. Wir wollen nach dem Moivreschen Grundsatz der Trennung des Reellen vom Imaginären die einzelnen Komponenten herausnehmen, da wir zerlegen können ) ee) = > cos (ro) 2 Je! Sy > sin (230- =) (e) u: n7T x (27190-—- 3: il A. Die reelle Komponente. Dieselbe wird 1—=09 n7ı x 608 2iı9 — —— ER I a ( — ) a = Iso Ö \ ga % (N, 9 d p- () il Dieses Integral muss ausgemittelt werden. Wir wissen, dass durch Integration der Grad einer Bernoullischen Funktion um die Einheit steigt; somit wird für n gerade oder ungerade 1 1 \ »Mm,g)do = n-+1,9) | = 0; denn die ungeraden Bernoullischen Funktionen verschwinden für die Argumente O0 und 1 und die geraden weisen denselben Wert auf, der hier das eine Mal mit negalivem Vorzeichen genommen werden muss. Es zeigt sich nur die Ausnahme für n—0; doch müssen wir diesen Fall ausschliessen, da sonst links alle Nenner zur Einheit werden. Ferner ist y(n,®) in Bezug auf @ als Konstante zu betrachten, 1 also "rn rae— in 9); daher wird (») (=) ER RE = 09 n 70 2° 008 (21720 — ä ) 2,9) — 7 r (22) (2 ze) nn A Dies ist wieder eine weit allgemeinere Formel als die ent- sprechende der frühern Definitionen; aus derselben erhalten wir leicht die den frühern gleichwertigen Beziehungen; die einzige Bedingung EL <-0<1., Die Formel konvergiert ganz unzweideutig fürn=2, 3, 4,.....; für n—1 müssen wir die Konvergenzfrage noch genauer prüfen; es wird für n=1 — oo TE ==e3) N cos (2ie 5 ) NN sin247z0 Pe A Zr 7 ne] ll 1 —eu zu. (1, )—=—ı (« —— n) Der höchste Wert von sin2Az® kann nur 1 sein; dann nähert sich ' die Summe der Reihe der Stammbrüche, welche divergent ist. Die Folge davon ist, dass die Werte 9—=0 und 01 ausgeschlossen werden müssen. Ist n nahe bei Null, so schreitet der Zähler fort nach 278, 4x9, 679,.:.... Die Summe dieser Ausdrücke wird aber & gross; die Konvergenz erscheint daher sehr verdächtig; aber für 270 = y ist ss es NT sind & N sin Ay Ba area A m Aılı 2 2 i=1 i=1 ’ Wir setzen Ay —=u; dann dürfen wir ein sehr kleines ıv als du betrachten, so dass ist ES sin u IC ) S a ee au Ze u 2 2 il u = A durchläuft die Wertereihe u, u, uf2 ,..... ‚d.h., wenn ı'/ klein genug gewählt, so geht « von 0 bis ©; somit wird die Summe UZOO [02 NT sinu ' sin u l 7C Or — = om u f 3 EN 2 ui {) Also ist der Ausdruck konvergent, da wir hier einen endlichen Wert erhalten. Wir kehren wieder zu unsrer reellen Komponente (22) zurück und wollen die Fälle n — gerade =2m und n — ungerade = (2m--1) (rennen. Für n— 2m wird cos (2A zz 9 — m x) = (—1)" 08 247c8, also eo 5 cos2Aır0 a ae > ee eng 3) Dies ist eine den Raabeschen Definitionsformeln entsprechende Be- ziehung; nur fehlt hier wieder der lästige Zusatz der Bernoullischen Zahl. Setzen wir darin 9—=0 und berücksichtigen den Wert für (2m, 0), so wird Eee) A ige ° 1 2m” Bn SE — Bm — P 5 2 — A n 2 (2m)! Ei Da y(2m,0)=y(2m, 1), so würden wir die nämliche Formel erhalten nr a: Für n—= (2m-H 1) wird cos (dire = nm) — (—1)” sin 2% 729; dies in (22) gesetzt, gibl es sin 2 Arno m—1 il 2m > u en a)" y(2m+1,6). (25) Jl Für @ =, >” 1 resultiert daraus die identische Gleichung 0—0; dieselbe entsteht ebenfalls, wenn wir (23) nach © ableiten. Differenzieren wir (25) nach ©, so entsteht wieder Formel (23); alles dies sind Kontrollen der Richtigkeit. Spezialfälle dieser ungeraden Bernoullischen Funktion sind lösbar und sehr zu vereinfachen, wenn ein Mittel gefunden würde, um die ungerade Bernoullische Funktion durch Bernoullische Zahlen oder durch geeignete bestimmte Integrale auszudrücken; doch stösst man gerade bei letzterer Aufgabe auf die Summierung von komplizierten Aus- drücken. So wird z. B. für 9 T aus Formel (25) es)ln en sin A—- 2 1 Par (Fr ir = any y (? m--1, = )—=1 a A ee = 1 TE sin A Z- 1 | 1 Es wird > er — gm t end en li 009 dt ) —HAnden == — 5. — H, g: > ea er omit H — TE te 1 one, 2 ne 26 Te ee Ähnliche Formeln könnten wir für 9 — DI ab- Tun Near leiten; jedesmal kommen wir auf Funktionen, die den Bernoullischen Funktionen nahe verwandt sein müssen, da sie ganz ähnlichen Summen- formeln genügen. °°) B. Die imaginäre Komponente. Zurückgreifend auf Formel (21) und (eo) wird, wie leicht einzu- 1—09 IT sin (2ine — > sehen ist, > BERR za =] er —, (2%) lan - u, 0)} colg ar (p-— 6) de. (27) 0) Es ist dies wieder eine ganz allgemeine, sämtliche Fälle einschliessende Formel. Für n=1 wird, da sin (2206 — = = — (0821729, es ' > zn TE [ Izd, 9) — y(1,9) colg ze (p— 9) dp. 2-1 , 5 Nach längern Umwandlungen, wobei als Integrationskonstante Log 2 genommen ist, wird, wenn © als Konstante weggelassen, also bei veränderlem =, 1—09 NN cos247rr 0 > I — Log (2sin 7 9,). a—1 Es ist auch, wenn ( — 9)=g, gesetzl, da die Grenzen (— ©) und 1—09 ; sin (2 An — 7) (1— 9) werden, > u in \=1 BE ee 1-0 nal: n — (27) N h yalır $, + 9) —y(n, ©) \eotg TE Q, dp, 8 Das Integral rechts bezeichnen wir mit S; es lässt sich zerlegen in 1-0 S — a,e.4 6) y.(n, 6) cotg rg, de, +0 3a fi (a, 0—9,) 7 .(n, 9) } colg 7E B, do, Ö wenn im zweiten Integral zudem noch &, durch (— g,) ersetzt wird. Wir können nun partiell integrieren, indem wir setzen 1 ier ep, do, = = Log (2sin 77 9,). Die finiten Teile der partiellen Integration aus beiden obigen Integralen der Summe S werden, wie wir uns durch Ausführung der Integration überzeugen können, zu Null; es bleiben nur die infiniten Teile, und es wird es E S sin (2179 > Bund + n —1 4 ) 1 2 ne 7c) 2 Fioge sin z 9,)x(n—1,9—9,)do, Ö 1 n 1-0 : (2) Er [18 (2sinzg,) „n—1,o,-4 0) do.. 0) Da fürn—=(2m +1) der Wert sin E are ) > 2 — 05 (2 Az 9—-mar) = — (—1)" 005247709, so wird 2 eo N (—1)”T 6052477 0 a: Penn! 4; il (@) 2 j | — 272) # [res (2 sin = 9,) (2m, 09—9,) dp, i 2 1-0 Tan [is (2sin 7.9,)y (am, g,-+9)dp,. 0 Für = 0 verschwindet das erste Integral, und es ist 1-9 a 1 / m 2m : Ri Ol c mn — (—1) (2) Log (2sinszzg)x (2m, y)dy, (28) 1 Ö wenn wieder & als Integrationsvariabele gewählt wird. Mit Hülfe dieser Definition als Reihenentwicklung lässt sich die Raabesche Restformel ableiten; dann können wir den Zusammenhang derselben mit der Riemannschen Reihe nachweisen; diese Beziehungen sprechen deutlich für die Allgemeinheit dieser Definition. Alles hier auszuführen, würde aber den Rahmen vorliegender Arbeit wesentlich überschreiten. *°) $ 20. Integrale mit Bernoullischen Funktionen. Schläfli selbst gibt in seinen Vorlesungen keine Integraldarstel- lungen der Bernoullischen Funktion. Dieselben gestalten sich aber wesentlich einfacher als die entsprechenden der frühern Definitionen. Dieser $ liesse sich beliebig weit ausdehnen; es taucht eine grosse Mannigfaltigkeit an Integralen der Bernoullischen Funktion auf. Wir geben hier nur die zum Vergleich wichtigen. Gute Hülfe bei all diesen Darstellungen liefern uns die Formeln (23) und (25). A. Einfache Integrale. 1. Für die gerade Bernoullische Funktion. Es interessieren uns einige Spezialfälle der Formel (7); setzen . Er 1 1 wir darin für die obere Grenze der Reihe nach = € und re so 1 3 [ | wird vorerst [ van. Kax—— Sy er R, wobei (29) & (277) E 1 1 1 Ri ei PELZE FE „ut ER paul . 1=009 1 t + .....: ES ge, Die Funktion R, lässt sich unter Anwendung der Formel m+1 | di RE a—l a Se ng Oax dx & K' 2a) | > D) Re Ey RR aus der Theorie der Gammafunktion *') in ein bestimmtes Integral verwandeln, so dass wird 1 Zn [ Bu er} 0 1 ne 5 =, m— ya at —2x x ren, va — a v3 f ne EL (30) N (272) T(2m-1). 1—e u Analog ist [ren See wobei (31) te) . ’ (627 ya 2m-+1? 1 1: il N, Hr 1 Selen ei; ws en A=689 I U C- Dim er — 2, ne ar] (2)—1) Durch Anwendung derselben Formel («) wird H a, mtl ee fe ie d—=5r7@ le cofx IX 15 1 = ‚2m also = 2m, JuUx= [ = = u R . (2) 71702 ml). e-te \m—1 ogm Re u IN X i 2% (ar) Tam+1),) Cofx 22 Entsprechend folgt 1 6 Ben! Er E (em; xpde—= SI G, wobei (33) 2m+1 2m-+-1? 0 2 4 1 1 1 PER -1 al gl) nam Be Wie früher durch Integrale er wird N „ 2e we —X 2x e ee Nee re | dx, somit + Ten, ne. Ben. 3 (2m,x)da = am Saft Mae je dx. (34) 2. Für die ungerade Bernau Funktion. Hier vereinfachen sich die Werte bedeutend, da wir alle durch Bernoullische Zahlen ausdrücken können. Gestützt auf (6) werden, Le 0 j : £ 1 1 wenn wir wieder der Reihe nach für die obere Grenze Be und 1 a: ze und für die untere Grenze stets O0 setzen, folgende Formeln auf einfache Weise, durch Einsetzen der von früher her bekannten Formeln (9), (13), (16) und (14), entstehen 1 en be ee ee 35 ,@m—1,x)dx= IE sm (am)i (85) 0] L 4m-1 ı 92m—1 7 | | = 9° m— Er ned DB, e ie (am—1,x)dx = (-1) gim-ı (2m)! en) Ö 1 Tel T [reu-ı »)dx=(—1) > 0) B. Integrale mit trig. Funktionen. Nehmen wir r als positive ganze Zahl an, so wird nach (25) 1 Irem+1,v0n 2rsexdx 0 A NN 9 IS sin2Asex Ze > ea ER N Me RT ge 1 da aber [rinzias .c0os2rzexdx—=0 für alle Werle von A, so folgt « 1) 1 rent,» CODE RAR (0. (38) : 0 Bern. Mitteil. 1900. No. 1485. Eee Da wir auf die Auswertung eines analogen Integrales kommen, wenn wir die gerade Bernoullische Funktion mit sin 2rzzxdx kombi- nieren, so wird, was auch direkt hätte gezeigt werden können, 1 Iren. vonsrani=o. (39) 0 Wir verbinden nun gleicharlige Bernoullische Funktionen und trig. Funktionen; es wird 1 [em x) cos®rsexdx Le % 3 = (—1)"7 2 coSaArıx u — - 7 COSArzER (2 zu)” m 4% A 0 il 1 Der Ausdruck [ cos2 7er AX.cos2rzexdx verschwindet für alle Werte U x 0 des ganzzahligen /, mit Ausnahme von A=[r; dafür wird ; 1 cos®?2rzxdx—= —- u 2 Von der Summation unter dem Integralzeichen bleibt somit nur 1 1 « —— ; daher wird 2 r m 1 (a x(2m,x)cos2rzxdx— —— (40) x (27r) Die entsprechenden Erläuterungen gelten auch für die ungerade Bernoullische Funktion verbunden mit sin2rszxdx; also ”„ en ) x(2m-H1,x) sin2rzxdx = eg 0 Daraus ergibt sich der Satz: Die Integrale einer Bernoullischen Funktion verbunden mit einer ungleichartigen trig. Funktion werden zu Null, verbunden mit einer gleichartigen nehmen sie einen bestimmten Wert an. Wir könnten auch Integrale mit den trigonometrischen Funktionen im Nenner untersuchen; doch würden uns diese Untersuchungen zu weit vom eigentlichen Thema wegführen. Ben SR SA a u ha ei er C. Integrale von Produkten der y-Funktion. Wir gehen wieder von den Formeln (23) und (25) aus und unterscheiden: 1. Beide Bernoullischen Funktionen seien gerade. Dann wird n | x(2m,x)2(2n,x)dx Ö m—1 \n— FE RR, = il) = ir = \ NS N er hex Ey 2r)" (270) N Bekanntlich sind 1 A! DE 7m = 1 RE 1 il cos 2Anxdx—=—; cos 2inxk—; cos" 2Azxdx— — « ee | 0) 0 0 Somit resultieren, da die Doppelsumme verschwindet, wenn wir für > X Dar: ; u tan — Sym42n den Wert in Bernoullischen Zahlen setzen, die drei Formeln 1 ; m-+n DS R x(2m,x)x(2n,x)dx = un) “= (2m-2n)! 0 = z 3 1 (—1)" > Bra 0 ü Fi Ban Een! at T | [re m,x)x(2n,x)dx = 0) 1 1 | i + R - Also folgt Iroa=: [#0 — A [rosas (45) | Ö Ö Ö wobei F(x)=yx(2m,x)x(2n,x) ist. Lassen wir m=n werden, so verändert sich (43) nicht, nur f dass dann F(x) = |2(2m, x) r wird, während die Formeln (42) über- - gehen in ar 2a Me PETER DE ah r & B> Fizem, x)} Bra 0 4 n 2 ERS n 9) [ == —e = » : E3 4 FE Pe BEN Bam f X (2 nm, x) j) Iıx= 4 (4m)! 2. Beide Funktionen seien ungerade. Es wird 1 [ x2m-H1,x)y(2n—1,x)dx Ö =0o009 HT N)T2 (SQ NS sin?2hrex Mae on Es sind bekanntlich 1 1 £ 1 z ERTHRE 1 sin’2Arxd—=—; | sin’2inıdıx—-—; sint2lraxdı— 0 0 0 109 RT 1 PM WERE FE Do 9n19 „| 5 m-+2n-+2 2m--2n-+2 en Bernoullischen Zahlen gesetzt wird, da die übrigen Integrale der Doppel- summe zu Null werden, 1 B (9 Key mn m4nH k x(2m--1,x)y(2n-+1,x)dx=(—1) Omten-Lojl (0) Deshalb resultieren, wenn für der Wert in 1 2 4 m-+n 1 Bun n | rent, venta / 2 Korea] Re « 0 1 2 Be] Bon ' x @m-+1,x) 2 @nH1,9)da=(1)"" — an ö 4 (2m-+2n-2)! Es wird also auch hier die Beziehung gelten 1 1 1 cv IE Feona=2 ina=4[ ana wobei (46) 0 0 0 GX)=yl2m-+1,x)y(2n+1, x). IN Lassen wir wieder m==n werden, so erfährt die Beziehung (46) keine Anderung, nur dass =lye m-+1, x) r wird; die Formeln (45) gehen dann über in 1 f RT Bom+ı an (z(2m+1, x) "ax = Ä 4m-2)! . (4m--2) er ' 2 1 Bom+1 izemtun; dx. (47) 2 4m-H-2)! N (4m-+2) er r 9 1 I) I et 1 Boni Be am Eon: 3. Eine Bernoullische Funktion sei gerade, die andere un- gerade. Dann wird 1 ii x(2m-H1,x)x% (2m, x)dx 0 \—=oO)I—0o 4: en 1 f > X sin 2 ATEX.COSQAıcX u (2 m: Se )° n & — u PELZEFEN i 1 Weil ir sin2Azex.cos2Aszexdx—=(, so wird 0 4 | x@m-+1,x)y(2m,x)dx==0. (48) Ö Wir erkennen daraus den Satz: Die Integrale eines Produktes zweier Bernoullischen Funktionen nehmen einen bestimmten durch Bernoullische Zahlen ausdrückbaren Wert an, wenn die beiden Bernoullischen Funktionen gleichartig, ver- schwinden aber, wenn dieselben ungleichartig sind. Die Integraldarstellingen lassen sich noch beliebig weit aus- dehnen; doch müssen uns diese Betrachlungen genügen. EEE IV. Die Definitionen nach J. W. L. Glaisher. Nachdem Dr. Glaisher schon in einer frühern Bekanntmachung «On series and products involving prime numbers only»**) auf die Bernoullische Funktion gekommen ist, widmet er derselben eine eingehende Besprechung in der gleichen englischen Zeitschrift, be- titell «On the Bernoullian Funetion».*) In dieser 168 Seiten um- fassenden Abhandlung gibt dieser berühmte englische Mathematiker eine grosse Menge von Formeln; ja er begnügt sich auch nicht mit einer einzigen Definition, sondern führt deren mehrere an. Wir (reien hier nur auf diejenige Definition näher ein, die uns für die all- gemeinste und bequemste erscheint, ohne dabei die übrigen zu ver- nachlässigen, da wir alle aus der zu besprechenden Definition leicht herstellen können, weil sie durch einfache algebraische Beziehungen verbunden sind. Eine weitere Arbeit «On the definite integrals connected with the Bernoullian Function»**) von demselben Verfasser gibt uns eine beträchtliche Anzahl von bestimmien Integralen mit Bernoullischen Funktionen. Die Formel, die Glaisher einer eingehenden Betrachtung unter- zieht, lautet anfänglich n £ _ _2 Bo F u a Sr (n—1) (n—2) (n—3) ar sn B, Ke> a en (1) $ 21. Herleitung der Definitionsgleichung. Wie schon Raabe, so geht auch Glaisher aus von der bekannten Beziehung für O .) Durch Multiplikation mit dx und Integration zwischen O0 und x wird 1—cos27rx , 1—cos4sex „ 1—cos 67er X X zer 270 877 H 18 7£ EI u Be; multiplizieren wir mit (— 27z) und zerreissen dann, so folgt, weil 1 1 : Ist r re a TE 1 u DE a a zu Er cosAzrx , cos6rwx [x N 1 cos2zX + 52 -H = rer =2n°) R =). Durch wiederholte Integration und Multiplikation mit (—2,r) entstehen nacheinander sin&zex sin6zex ee] sın 2 —— + — ___-..... — : Beh mn 2. a ee ee = | —_ DER ER | a em: cost zz X COS67EX Dr A aan cos2 7rx—+ a ee a l Sg Br | EEE Rn ı B, —1 — 2 F re sin&,zx sin67ex sin 270 X AR gen E gauhı ee as: Do m n-+1 ) he En) B.n4ı(). 8) Darin bedeuten B„(x) die Klammerausdrücke der obern Formeln; es sind dies die «Bernoullischen Funktionen». Die beiden Formeln (2) und (3), wie auch die frühern, sind rationale und integrierbare Funk- tionen von x. Der erste Term von (2) ist von der (2n)'® Ordnung; der letzte Term der Bernoullischen Funktion in (2) ist vom 2ten Grade in x; der erste Term der Bernoullischen Funktion in (3) ist vom (2n-}-1)'® Grade, während der letzte in Bezug auf x linear ist. Also ist nach dieser Definition B„(x) eine Funktion von x, die keinen von x freien Ausdruck enthalten darf. Der Ausdruck, der von x unabhängig ist in den obigen Entwicklungen, stellt stets den Wert der Reihe 1 + S ann ‚ ausgedrückt in Bernoul- 2 / lischen Zahlen, dar. Diese Definition der Bernoullischen Funktion stimmt nun ganz mit derjenigen von Raabe überein, wie auch Glaisher bei seinen ersten Untersuchungen über diese Funktion die Raabesche Definition benutzt hat, und es ist Ban WB) und 2, )=BÄ). Glaisher führt dann die Untersuchung über diese B„(x)-Funktion in ausführlicher Weise durch, wobei er Raabe in vielem wesentlich ergänzt. Er berührt anfangs ganz kurz die Funktion mit inversem Argument, dann die einfachen Ableitungen und gibt die Spezialwerte für x=0 und x—=1. Sodann leitet er Reihenentwicklungen ab, in welchen die Bernoullischen Funktionen als Koeffizienten auftreten. Alles dies sind Eigenschaften, die mit der Raabeschen Auffassung übereinstimmen und bei denjenigen von Schlömilch und Schläfli zu entsprechenden Resultaten führen. Glaisher erwähnt auch, dass die Bernoullischen Funktionen ax e —1 N s die Koeffizienten der Entwicklung ——— darstellen und leitet mil e — Hülfe dieser Auffassung einige Eigenschaften her. Hernach gibt er ähn- liche Beziehungen von aufeinanderfolgenden Bernoullischen Funktionen dieser Definition, entsprechend den Darstellungen bei den früher be- trachteten Definitionen, und erwähnt auch die Funktion mit negalivem Argument. *°) Uns interessiert diese B„(x)-Funktion weniger, weil sie mit der- jenigen von Raabe übereinstimmt und weil dieselbe zu wenig allgemein ist, da auf der rechten Seite die Reihe mit dem Gliede in x? oder x abschliesst. Auch Glaisher sah sich gezwungen, zur Vereinfachung der Koeffizienten der Entwicklung nach B„(x)-Funklionen ee 22 >| - B,\ e —e | Ya)" B, +10 7| BR für die Klammerausdrücke einfachere Funktionen einzuführen, und er (hut dies, indem er selzt | n—1 B, A,,(X) —=B,,®) u) On’ Ayn+ı (8) > B, 141 (x). (n>0). Er selbst sagt, dass diese neue Funktion A,(x) als analytische Funktion praktischer sei, da sie weniger komplizierte und systematischere Resul- tate liefere. Da jetzt bei der geraden Bernoullischen Funktion durch diese Setzung auch ein von x freier Term vorkommen darf, so steht diese Funktion in enger Beziehung zu derjenigen von Schläfli.‘®) ne rn u a % 0 0 u ad a an. Br Ra Nach obigen Erläulerungen werden somit 1 2n 1 2n— an a2 SEEN mg enk. )» X 5 r SH U EB, es, un ae | 1 5 2n+1 Sek De n-+1 a ‚on 2n—1 An) = 2n-+1 [5 9 ( n +1)x + 9 x a 2n—3 ı n 2n--1 -( N B,x Sesor Or CHR (—1) ( on Bus} / Die Reihen brechen von selbst ab; beide lassen sich in die all- gemeinere Formel für ein beliebiges n zusammenziehen A (x) — 1 Bor n B Se - B ee | (4 ri 2% > 1 4) 2 ei Die Reihe geht so weit, dass rechts keine negativen Koeffizienten 5 2 n Dr” auftreien dürfen; der letzte Term enthält hr ı oder ® je nach- dem n ungerade oder gerade ist. Diese Definition wollen wir nun eingehender betrachten. , jens _— [86] $ 22. Die Derivierten dieser Definition. A. Die einfachen Differentialquotienten. Wir gehen von der Definitionsformel (4) aus und differenzieren dieselbe nach x: dann wird / ) 2 z nl 1 r n—2 n—4 > n—3 MX = 1) ie 9 Js == | 4 5% — — onanees 0 are 2) ae): (5) Diese Formel geht für n—=2m und n—=(2m-FH1) in die ent- sprechenden Spezialformeln für die geraden und ungeraden Bernoul- lischen Funktionen der Definitionen von Raabe und Schlömilch über. Hier sind die zwei Spezialfälle in eine Formel zusammengefasst; nur steht noch ein Faktor vor der Bernoullischen Funktion, der bei der Schläflischen Definition fehlt. Schon dies ist ein Grund, dass die Definition von Schläfli den Vorzug verdient, da die einfachen Ableitungen der y-Funktionen wieder reine y-Funktionen liefern. Bern. Mitteil. 1900. No. 1486, B. Die wiederholten Ableitungen. Solche finden sich bei Glaisher nirgends; dieselben sind jedoch leicht zu erhalten; doch tritt stets ein komplizierender Faktor hinzu; ö Oxf ) . n DAWQ=A ) 1.70. (6) Schläflis Definition ist also auch in dieser Hinsicht einfacher, da dieselbe auch hier keinen vorgesetzten Faktor zeigt. 5 : 2 s 1. wie leicht herzuleiten, wird, wenn symbolisch D = C. Einfache Integralformeln. Multiplizieren wir (5) mit dx und integrieren zwischen 0 und x, x An x x so wird ERS dx =) nta)>, | ; « 0 durch Trennung der geraden von der ungeraden Bernoullischen Z 1 £ Funktion folgen PR. (KR a A, ® und (7) © P 1 n Bn iR Ar | OR E O u ae Sn (8) 0 wenn die später zu beweisenden Spezialwerte für Agn+ı(0)—= 0 und n B, - 1 Al) =(—1) z, eingesetzt werden. *”) Aus obigen 2 Formeln ergeben sich für die obere Grenze x—1 1 1 ERST > [war=0 (69) v 0 Für die obere Grenze x — En werden unter Berücksichtigung von ®’) 1 | F Asn = —— (ae —. om und Asn+ı (4) =: 1 anno; Pin ı(x)dx 0 0 Se 1 Er! Sta Auch diese Formeln (7), (8) und (10) zeigen einen vorgeselzien Faktor, der bei den entsprechenden Formeln von Schläflı wegfällt. (10) ei; ee $ 23. Die A,(x)-Funktion mit inversem Argument. Glaisher tritt auf diese Funktion nicht näher ein; er gibt nur die Hauptformel, ohne auf ihre Herleitung einzugehen. ®) Wir ge- langen jedoch auf einfache Weise zu diesen Beziehungen, wenn wir ausgehen von den später herzuleitenden Reihenentwicklungen (23) und (24).*”) Ersetzen wir in (24) x durch (1—x), so wird unter An- wendung von sin 2 4 72. (1—-x) = — sin2As7cx E sind szrx , sin6zcx | em SIna EX + PELEEI | ganti -} Eat ante | g2m Anti 1 1 & TU —= (1) — Aanyı (1 —X) und durch Vergleichung dieser Formel mit (24) Asnyı (x) = — Aonrtli %). («) Setzen wir in (25) für x den Wert (1—x), so erhalten wir unter Berücksichtigung von cos 2A ze (1—x) = 608 2A r x genau wieder dieselbe Formel (23), also Asn(X) == Aan(1—x). (P) Diese zwei letzten Formeln («) und (2) lassen sich zusammenziehen zu der allgemeinern Formel Ad) = ANA). (11) Aus dieser Formel ergeben sich unter Berücksichtigung der Definitionsgleichung (4) mit Leichtigkeit Dee in) 2n 1 Aan+1(0) = Asn-+ı — AnH(l)>0. (13) Vervielfachung des Argumentes. Die Herleitung der Formeln dafür ist hier bedeutend umständ- licher als bei Schlömilch und Schläfli, da Glaisher zuerst eine Reihen- entwicklung suchen muss, in welcher die Bernoullischen Funktionen als Koeffizienten auftreten; von diesem Momente an ist das Verfahren analog dem bei Schläfli. Er geht aus von der bekannten, für O als Koeffi- zienten auftreten”); auf die weitern von Glaisher eingeführten De- finitionen werden wir später noch zu sprechen kommen. °?) Im Verlaufe seiner Arbeit führt dann Glaisher noch eine Menge, den Eulerschen Zahlen ähnliche Zahlen J, I, H, P, Q, B und T ein, die in Beziehungen stehen mit algebraischen Reihenentwicklungen. °*) Er widmet den Untersuchungen dieser Zahlen und Entwicklungen grosse Aufmerksamkeit; ihm gebührt das Verdienst, diese zuerst ein- geführt zu haben; doch können alle diese Operalionen auch an der Schläflischen Definition ausgeführt werden; die entstehenden Formeln werden ebenso einfach, ja in vielen Fällen sogar bedeutend einfacher. $ 24. Die Funktion mit negativem Argument. Glaisher gibt diese Funktion weder so elegant, noch so einfach wie Schläfli; die An(x)-Funktion findet sich überhaupt nicht mit nega- tivem Argument; dagegen ist die Bn(x)-Funktion für x=(— x) kurz erwähnt. Er geht aus von den Entwicklungen nach Bernoullischen Funk- tionen, d. h., den Formeln (y) und (d) des vorigen $, die mit ent- u u Y Be RER sprechender Abänderung auch für die B„(x)-Funktion gelten; addieren wir beide, so folgt nach zweckmässiger Umgestaltung der linken Seite rt) + HEN (20) e—1 Es ist dies eine neue Entwicklung nach Bernoullischen Funktionen; aber auch hierin sind die Bernoullischen Funktionen nicht reine Koeffi- zienten der zugehörigen Entwicklung; diese Formel zeigt deutlich den Zusammenhang dieser Funktion mit der Definition von Schlömilch, der gerade den n-fachen Wert der (n—1)® Ableitung einer solchen Entwicklung als n‘° Bernoullische Funktion @(z, n) definiert. Gestützt auf obige Beziehung (20) kommt jetzt Glaisher auf die Funktion mit negativem Argument; er multipliziert dieselbe mit e”"* und erhält Be ME = | a3 | ' E= e1 iS [xtaB,() +5, B,) rz73Wr .o... j Durch Entwicklung von e gleichung wird — Bu X) =Bn(X) —(n—1) x Bu-1 (X) + “ 9 x? By 51%) — ++ DB) HR Dies setzt er symbolisch gleich °°) —B (= (E32) BB), (21) wobei E ein Operationsfaktor ist, definiert durch EB (x)=Brı1[&); "“ und nachherige Koeffizientenver-« es resultiert dann 1) Bd49)= (EA) BR. (22) Weitere Bernoullische Funktionen mit negativem Argument finden sich keine mehr; diese symbolische Darstellung ist Keineswegs bequem zum Operieren; hier ist entschieden jede andere und besonders die Schläflische Definition vorzuziehen. $ 25. Diskussion dieser Funktion. Der einzige Unterschied dieser A„(x)-Funktion, der dieselbe äusserlich nur unwesentlich von der Definition von Schläfli unter- 1 scheidet, ist der, dass Schläfli den Faktor a vor der Klammer der rechten Seite der Gleichung der nt Bernoullischen Funktion hat, a während Glaisher nur = Bei der graphischen Darstellung ist dann 1 augenscheinlich, dass der Faktor — = das Konvergenzgebiet der Funktion um so mehr erweitert, je höher der Grad der Bernoullischen Funktion steigt, und dass schon deshalb die Definition von Schläfli vorzuziehen ist. Die acht ersten Bernoullischen Funktionen dieser Definition nehmen folgende Werte an: UNS. Non? eo: er anne, = en 2X an te er a urn Wir erkennen daraus, dass die zwei ersten Bernoullischen Funktionen dieser Definition genau mit denjenigen gleich hoher Ord- nung bei Schläfli übereinstimmen; die Funktion Aa(x) besitzt also 1 1 $ ebenfalls ein Minimum bei x = vom Werte mise Die Gleichung für Az(x) weist analog y(3,x) zwischen O und 1 sowohl ein Minimum als ein Maximum auf. Beide liegen bei gleichem Werte von x wie für die y (3,x)-Funktion; doch wird hier der Wert der Funktion gerade 2!-mal so gross wie bei y(3,x). Entsprechend könnten wir weiterfahren; wir finden, dass die Stellen der Maximal- und Minimalwerte nicht ändern, dass aber die zugehörigen Funktionswerte für diese Definition bedeutend grösser werden, je höher der Grad der Funktion ist; die Funktion nimmt rasch sehr grosse Werte an.°*) Die Figuren zu $ 18 gelten auch für diese Definition. Bern. Mitteil. 1900. No. 1487. ee ER $ 26. Verwandlung dieser Definition in trigonometr. Reihen. Schon bei der Herleitung der Definitionsgleichung ist Glaisher zu {rigonomeltrischen Reihen als Werte für Bernoullische Funktionen gelangt; wir brauchen nur für die B„n(x)-Funktion in den Formeln (2) und (3) die allgemeinere A„(x)-Definition einzusetzen; dann resultieren na-ı (2n—1)! | cos& sc x As (X) = (—1) c0s27.xX + rar: Ben a CoS6 7EX a er ee . (23) Fu „+ (2n)l j 2 : sin& sex A2n+ı(X) = (—1) on ut | sin 2 s7cxX + en sin 6 sc X | = 32 n-+1 le ? (2 4) Wir wären auch zu denselben Resultaten gelangt, wenn wir uns auf die Theorie der Fourierschen Reihen und Integrale gestützt und für die Funktion f(x) die Bernoullische Funktion A„(x} eingeführt hätten; wie schon bei Schläfli, so gelangen wir auch hier rascher ans Ziel als Schlömilch, weil das entstehende Integral leichter zu lösen ist. $ 27. Integrale mit A,(x)-Funktionen. Während Glaisher in seinen zwei ersten, diesen Gegenstand be- handelnden Schriften gar keine Integrale mit Bernoullischen Funktionen gibt, behandelt er die Integraldarstellungen dieser Funktion sehr ein- gehend in seiner dritten, bereits erwähnten Schrift «On the definile integrals connected with the Bernoullian function.» Er geht darin von den Summenformeln des Sinus und Cosinus aus”) und leitet auf analoge Weise, wie die Untersuchungen von $ 20 des vorhergehenden Abschnittes zeigen, seine Integrale her. Trotz des Unterschiedes beider Definitionen bleibt ja die Art des Herleitens dieselbe; wir wollen deshalb hier nicht noch einmal dieselben Ab- leitungen vornehmen, sondern begnügen uns mit der Angabe der er- haltenen Resultate; ein Vergleich der entsprechenden Formeln, die stets sehr ähnlich aussehen, zeigt jedoch, dass diejenigen der Definition von Schläfli noch etwas einfacher aussehen, vorausgesetzt, dass sie in der Form nicht ganz übereinstimmen. en Ta A. Einfache’ Integrale. 1. Mit der ungeraden Bernoullischen Funktion. Gestützt auf = | werden für die Spezialwerte der obern Grenze = SE und = r — - B, 5 fi ı&)dx=(— 1) — ——- So (25) 3 SaeEe| B 7, Im X .E— ed ee EN, 26 (2n of MRS 7, (26) 0 = er , „4 2°” —2 Bu e- | f 2n— X X = (— = . . 2% (@n JE ae A u 3 e7) N) = 5 6 * 622 9 n 9° N B„ en) naar 1) ee 40128) 6° +4n (0) Hier kompliziert also der vor dem Integral stehende Faktor (2n—1). 2. Mit der geraden Bernoullischen Funktion. Gestülzt auf Formel (7) werden, wenn wir zur Abkürzung die von Glaisher ein- geführten Zahlen wählen, °°) 2n Rwax=0 (29) Ö Ei 9 3 Eh n-+1 l « 2n| Aunk)dx—=(—1) Sr (30) Ü L 4 BG 2n want yantı (31) % K dx n—+1 Jn 39 u) X —— (mm 1) ga ze ( 2) Ei B. Integrale mit trig. Funktionen. Durch analoges Verfahren wie in $ 20® werden : ; n+1 (2 n)! Annı(&)sn2rzexdk—=(—1) " ———— (33) . (2 rze) n+1 eu a 1 [ran COST zEeX URN. (34) Ö : sr rs cos2raxdık—=(—1) EN a: . (35) (2r z7r) (0) 1 [Ruwsnerrran=o (36) Auch hier bedeutet r eine posilive ganze Zahl; die Formeln (33) und (35) weisen wieder einen Faktor mehr auf, als die entsprechenden der Schläflischen Definition, C. Integrale von Produkten. Gestützt auf die Multiplikation der Summenformeln (23) und (24) werden durch nachherige Integration - ein 2m)! (2n)! ur ad (2m--2n-2)! 1) 1 a a OR ee! IS Asn (x) dx = ( 1) (2 m--2 n) Batn: (38) 0 / { | an Asn(X) dx [16 Asn+ı(X) dx 0 (39) $ Ö Für n=m werden die zwei erstern Formeln 1 5 2 [ Anl)’ ax— (amt). m dm # (An+2)ı Ö - Ehen ine I Ne: (4n)! ne = Ö RER: E 1 1:3 Wir könnten auch hier wieder als obere Grenze 23 und FE wählen, worauf diese Integrale den 2! (4!) Teil der obigen Integrale (37) und (38) oder (40) und (41) ausmachen würden. Ein Vergleich mit den Formeln bei Schläflis Definition zeigt, dass die Formeln der y(n,x)-Funktion wieder einfachere Gestalt aufweisen. Auch diese Integralbetrachtungen könnten natürlich beliebig weit ausgedehnt werden.°”) en. $ 28. Andere Definitionen von Glaisher. Da Glaisher im Laufe seiner Untersuchungen zu Entwicklungen n 1 kommt, welche nach fortschreitenden Funktionen [0-2 An E .) \ , laufen, so führt er auch diese Funktion als eigene Definition ein, n 1 indem er setzt Aal) N, OA, Er .) Er führt dann die Betrachtung ‘dieser A’„(x)-Funktion entsprechend derjenigen der A„(x)-Funktion durch und gelangt auch zu ganz ent- sprechenden Resultaten, ohne aber neue Gesichtspunkte aufzudecken. Vorteile bietet diese Funktion keine, da keine der Formeln eine wesentliche Änderung erfahren. °°) In derselben Arbeit führt Glaisher noch zwei weitere Definitionen der Bernoullischen Funktion ein, die in sehr engem Zusammenhang mit den früher erwähnten Definitionen stehen, da er setzt YO) MAHLN) und U,(x)=nA',(). Diese beiden schmiegen sich jeweilen eng an die An(X)- resp. A’„(x)- Funktion an. 3 2 1 Trotzdem jetzt die Definitionsformeln den allgemeinen Nenner —- der rechten Seite nicht mehr besitzen, werden die daraus abge- leiteten Formeln nicht einfacher; nach GI Kisher sollen sie sich besser zur symbolischen Darstellung eignen als seine früher erwähnten De- finitionen. Während Glaishers B„(x)-Funktion mit der Raabeschen Definition übereinstimmt, stimmt seine V, (x)-Funktion mit der Schlö- milchschen @ (x, n)-Funktion überein. Die Untersuchung dieser beiden Funktionen geht ähnlich vor sich, wie die Betrachtung seiner erstern Definitionen; doch wird dabei die symbolische Darstellungsweise an- gewandt, wo sie überhaupt anzuwenden ist. °') Endlich führt derselbe Mathematiker noch zwei weitere Definitionen der Bernoullischen Funktion ein, die mit der An(x)- resp. A’„(x)- Funktion verbunden sind durch de Beziehungen 1 al HR), (‘ +4) und in X) A, +4) Auch hier erfolgen die allerdings nur kurzen Betrachtungen darüber in entsprechender Weise wie bei den erstern Definitionen. °*) V. Folgerungen. $ 29. Zusammenhang der verschiedenen Definitionen. Wir geben vorerst eine Übersicht der Definitionen, die wir ein- lässlich betrachtet haben; alle übrigen können ja aus denselben her- geleitet werden; deshalb führen wir dieselben auch hei den Ver- gleichungen der einzelnen Funktionen nicht an. Es waren Zn} 2n ’9n a x 1 2n 4 Dan er ee} u Wr ee A Er °n area 1: 2n ae S ‚2n+2 13% 1 ’2n 1 & N on 1 3 B’(&) = x wi age = as B ne —- B „2n—2 2n+2. 2 2 1 1 4 3 2 1) ( 2n1\, 2 B= EEE -H on EN B;Xa (2) Die Reihen brechen ab mit dem Glied in x? oder x, je nachdem n eine ungerade oder eine gerade Zahl ist. n ee, BX here. (3) 6 Hier bricht die Reihe ab mit dem Gliede in x? oder x, je nach- dem n gerade oder ungerade ist. 1a) = I — en © ,) B; | (4) ı=1 n Die Reihe bricht von selbst ab infolge von e ,) x. 1 nl n—1 2n—2 Bd) = ZH gp Bi8 — — —3 Fur m 1) en (n )B,x TE (5) Die Reihe schliesst mit dem Gliede in x? oder x für ein gerades oder ungerades n. at ES CR 1 na 1 .n—1 = n—2 2) n—4 N ER en BR -(} B,x 4 (6) Der Exponent von x darf nie negativ werden. Die einzelnen Definitionen können wir in zwei Gruppen. teilen; die eine Gruppe enthält die Definition von Raabe, diejenige von Schlö- milch und die erste von Glaisher, also die Funktionen B(x), &(x,n) und B„(x). Es sind dies alles Funktionen, bei welchen kein von x freier Term vorkommen darf. Die zweite Gruppe enthält die Funk- tionen, welche einen selbständigen, von x freien Ausdruck aufweisen ; es sind dies alle übrigen, also die Funktionen von Glaisher und von Schläfli, nämlich An(x), A’n(x), \n(X), Un(x) und y(n, x). Sämtliche Funktionen stehen mit denjenigen der gleichen Gruppe in engem Zusammenhang; etwas komplizierter sind die Beziehungen der Definitionen der einen Gruppe zu denjenigen der andern Gruppe; wir erhalten folgende Beziehungen, welche den Zusammenhang der einzelnen Definitionen veranschaulichen: 1. Gruppe: rege, 2m+1) ‚1. 2&,2m-R2) £ 20 2m41 ee Dr (M Bag) B, 1418); B(g)>= B, m 8)- (8) o(X,n)=nB.($). (9) II. Gruppe: 1 S e 2 Se NE, - x(n, x) ee An (x); AnX) = (n—1)! y(n, x). (10) III. Gruppen gegenseitig: B()=(2n-+1)! y(2n+2,x) + (—1)"F" Aaunın, (11) 2 > “ 2n+-2 B’(x)= (2n)! y(2n-H1,x). (12) B’(x)= Ay ny2 Gr Ms (0); Bi A, 41 (8% (13) PX, 2n) = (Zn)! (en, +1" Bn; 2&,2n+1)=(2n-+1)! y(2n-1, x). (14) 2(x,2n)=2nA,, (x)-+H(—1)"B,; P&,2n+1)=(2n-+1)A,,,,8- (15) Aus den obigen Beziehungen lassen sich die Werte für die übrigen Formeln durch einfache algebraische Umwandlung finden. er pe Gestülzt auf die Tabellen I—IV (Seite 92—95), wo die Werte der für unsere Betrachtungen wichtigsten Definitionen für die einzelnen Argumente zusammengestellt sind, können wir obige Beziehungen auf ihre Richtigkeit prüfen. $ 30. Vergleichung der einzelnen Definitionen. A. Betreffs ihrer Herleitung. Die Herleitungen der einzelnen Definitionen der Bernoullischen Funktion sind sehr verschieden. Überblicken wir alle, so erkennen wir bald, dass die einfachste und eleganteste Herleitung der Definitions- gleichung von Schläfli stammt, der ohne alle Umwege zu derselben gelangt. Zudem steht dieselbe mit der Fundamentalgleichung der Bernoullischen Zahlen in innigem Zusammenhang; dies bietet uns daher den Vorteil, dass wir aus einer Grundgleichung sowohl die Bernoullischen Funktionen, als auch die Bernoullischen Zahlen ohne grosse Schwierigkeit herleiten können; diese Gleichung nennen wir die «Fundamentalgleichung der Bernoullischen Funktionen. und der Bernoullischen Zahlen» ; dieselbe lautet m-+i1 > a Sr Ve TR 16) m! Bet eur m) der erste Bruch rechts führt auf die Bernoullischen Funktionen, der zweite dagegen auf die Bernoullischen Zahlen. Keine der übrigen Definitionen zeigt diesen Zusammenhang; bei all denselben braucht es grösserer Umwandlungen und längerer Rech- bis wir auf die gewünschte Definitionsgleichung gelangen. °°) nungen, B. Betreffs der Derivierten. Stellen wir die einfachen Ableitungen der verschiedenen De- finitionen zusammen, so ergibt sich, dass die Ableitungen der Funktionen nach Raabe und nach Schlömilch eine unerwünschte Komplikation durch den Hinzutritt einer Bernoullischen Zahl für die ungerade Ber- noullische Funktion zeigen. Die Definition nach Glaisher weist zwar nur eine Formel auf; dagegen tritt vor die Ableitung noch ein Faktor, während bei der Schläflischen Definition die Derivierte einer Bernoul- lischen Funktion wieder eine reine Bernoullische Funktion ist; letztere Definition ist somit die bequemste. Was die mehrfachen Ableitungen anbetrifft, so lassen sich die- jenigen der haabeschen Definition nicht darstellen, weil dort der duale. DOES a el ee a ae in ne ee er en 7 FU 1: Exponent nur ungenügend angedeutet wird im Funktionssymbol. Ein Vergleich der übrigen zeigt, dass bei der Schlömilchschen Definition verschiedene Formeln nötig sind zur Darstellung der geraden oder ungeraden wiederholten Ableitungen der geraden oder ungeraden Ber- noullischen Funktion. Bei Glaishers Definition fallen die unbequemen Bernoullischen Zahlen weg; ebenso ist zur Darstellung all der Ab- leitungen nur noch eine Formel nötig; doch zeigt dieselbe zwei vor- geseizie komplizierende Faktoren. Schläflis Definition ist auch hier die einfachste, da die wiederholten Ableitungen derselben stets reine Bernoullische Funktionen sind. °*) C. In Bezug auf die Integraldarstellungen. Das von den Derivierten Gesagte gilt ebenfalls von den ein- fachsten Integralen, da dieselben ja nur Umkehrungsfunktionen ersterer sind. Auch die übrigen Integraldarstellungen sprechen betreffs ihrer Einfachheit zu gunsten der Definition von Schläfli, da selbst die ent- sprechenden Formeln der Definition von Glaisher meist einen vorge- selzien Faktor mehr enthalten. °°) D. In Bezug auf die Funktion mit inversem Argument. Die Formeln dafür lauten bei allen Definitionen gleich; ihre Herleitungen sind aber sehr verschieden. Raabe geht zur Ableitung seiner obigen Formel ziemlich weit auf seine einleitenden Untersuch- ungen zurück; Glaisher stützt sich auf die Definitionssummenformeln des Sinus und Cosinus und stellt die beiden gefundenen Formeln zu einer allgemeinern zusammen. Sehr elegant und kurz sind die Her- leitungen von Schlömilch und von Schläfli, wobei Schläfli mit Vorteil die Koeffizientenvergleichung verwendet. °°) E. Betreffs der Funktion mit negativem Argument. Es geben auch hierin alle Funktionen ziemlich ähnliche Werte, mit Ausnahme der symbolischen Darstellungsweise von Glaisher. Der Nenner im zweiten Term des Ausdruckes für die y(n, —x)-Funktion ist keine wesentliche Erschwerung, da die andern Definitionen, mit Ausnahme derjenigen von Raabe, auch einen vorgesetzien Faktor aufweisen. ©”) F. Betrefis andrer Formeln. Wir haben bei den Definitionen von Raabe und Schlömilch mehr als bei den beiden andern näher betrachteten Funktionen die gerade und die ungerade Bernoullische Funktion trennen müssen; die Definitionen ' Bern. Mitteil. 1900. No. 1488. TER ARG u SEN von Glaisher und von Schläfli sind daher allgemeiner gehalten, und es ist das dem Umstande zuzuschreiben, dass die beiden ersten -Definitionen kein von der Variabelen freies Glied enthalten dürfen; dies ist auch der Grund, dass bei den Differentialquotienten und Integral- darstellungen dieser Funktionen die lästigen Zusatzglieder mit den Bernoullischen Zahlen auftreten. Die Forıneln, welche eine Summe von aufeinanderfolgenden Bernoullischen Funktionen darstellen, ent- scheiden wieder zu Gunsten der Funktionen von Glaisher und von Schläfli, da dieselben nur je eine Formel aufweisen, während die üb- rigen auch hierbei einen Unterschied zwischen geraden und ungeraden Bernoullischen Funktionen machen müssen. Die entsprechenden Formeln dieser Summe bei Glaisher und bei Schläfli sind ganz von gleicher Form; schon ihre Herleitung ist ziemlich ähnlich, da beide durch Koeffizientenvergleichung aus Entwicklungen nach Bernoullischen Funktionen zum Ziele gelangen. Glaisher zeigte im Laufe seiner Unter- suchungen, also nicht etwa als Ausgangspunkt derselben, dass die An (x)-Funktionen sich geben lassen als er in a BEL (n—1)! Por Er kommt zu dieser Thatsache, wie wir gesehen, auf ziemlich um- ständliche Art und Weise, ausgehend von einer Formel, die selbst eine sehr komplizierte Herleitung aufweist; zudem ist seine Bernoullische Funktion kein reiner Koeffizient der Potenz von a, da stets im Nenner eine Fakultät sein muss. Schläfli aber geht direkt von dieser Ent- wicklung aus, indem er definiert xy e y(n,x) = nt Bernoullische Funktion = |y'| in y TE e —— Diese Entwicklung bildet also seinen Ausgangspunkt, auf welchen sich alle Untersuchungen stützen; daher gestaltet sich seine Theorie der Bernoullischen Funktion viel einheitlicher und ist derjenigen von Glaisher überlegen. °°) G. Betreffs Entwicklung in Reihen. Alle Definitionen lassen sich leicht als trigonometrische Reihen darstellen und zwar die geraden Bernoullischen Funktionen als Cosinus- reihen und die ungeraden als Sinusreihen. Raabe und Glaisher gelangen durch fortgesetzte Differentiation 1 68 1 der bekannten Reihe für z 1 je x woraus successive die ein- (? ) Bee 2 zelnen Bernoullischen Funktionen entstehen, zu ihren diesbezüglichen Di elme 7) Resultaten. Elegant leitet Schlömilch, wie gesehen, seine Reihen her, ge- stützt auf die Fourierschen Reihen und Integrale. Genau auf die- ‚selbe Weise würden wir auch bei den übrigen drei Definitionen zum Ziele gelangen, das Ziel würde zudem noch eher erreicht, da die aufgestellten Integralformeln das zu lösende Integral, welches die Koeffi- zienten der Fourierschen Entwicklung darstellt, mit geringer Mühe auswerten. °°) Höchst interessant und wichtig ist die Herleitung dieser Formeln nach Schläfli, der gestützt auf die Theorie der Eulerschen Integrale und der Gammafunktion eine Reihenentwicklung so transformiert, bis er schliesslich zu den entsprechenden Beziehungen gelangt. Seine Resultate bieten den grossen Vorteil, dass sie nur Spezialwerte sind einer von ihm selbst aufgestellten Hauptformel n Jil A 1 n 374 : 2 =(2r) f | za, 2) — x(n, Dies |1-Hicoig(g -o)r| de. (17) Ö : Durch Trennung der reellen von der imaginären Komponente erhält er die beiden ganz allgemeinen Formeln 3 cos Se —=09 > sin ® Y Der 1 — (2)" R |z(n, e) — z(n, 6)} eotg x (e—6) de. (19) Ö a x)" x(n, ©) und (18) n7t Aus Formel (18) resultieren dann die wichtigen trigono- melrischen Summenformeln A=009 m— 2 N 7 76082 ICX 2m, x)= (— 1 ; = i yal ) ) 2m a yE m und (20) 1=009 2 2 sinQArcex m—1 .@m+1,x)= (—1) 6272 aa > ar £ (21) il Bei dieser Definition haben wir, wie sonst bei keiner andern, ursprünglich alle diese Reihenentwicklungen in derselben Formel ver- einigt, was sehr zu Gunsten dieser Definition spricht. Wir haben auch schon erwähnt, dass mit Hülfe dieser Funktion als Reihenentwicklung Schlätli die Raabesche Restformel herleitet und ebenso den Zusammenhang derselben mit der Riemannschen Reihe nachweist; es sind dies Beziehungen, welche die Allgemeinheit der Schläflischen Definition trefflich beleuchten. °°) H. Betreffs Entwicklungen nach Bernoullischen Funktionen. Entwicklungen, in welchen die Bernoullischen Funktionen als Koeffizienten auftreten, lassen sich aus jeder Definition herleiten; aber nur bei Schläfli sind die Bernoullischen Funktionen reine Koeffizienten solcher Entwicklungen; auch hier liefert diese Definilion die ein- fachsten Formeln. ”®) $ 31. Diskussion der „Bernoullischen Funktion.‘ Unsere früher hergeleiteten Reihenentwicklungen der Bernoul- lischen Funktion haben gezeigt, dass dieselben nur gültig sind für 0“ schen x = und x=1 dagegen positive; in kurzer Entfernung ausserhalb dieses Intervalles finden sich nochmals zwei Schnittpunkte mit der Abscissenaxe, worauf auch diese Kurven absolut gleichwertig ins Unendliche laufen. Es interessiert uns nun zu wissen, wie sich die Kurven im Un- endlichen verhalten; denn dass dort die zwei Äste der einzelnen Funktionskurven zusammenhangen, ist bekannt, da ja die Parabeln unikursale oder rationale Kurven sind und sich alle Punkte derselben darstellen lassen durch algebraische Funktionen eines variabelen Parameters. Wir greifen, da alle Funktionen höhern Grades der verschiedenen Definitionen analoge Form haben, diejenigen von Schläfli heraus und untersuchen vorerst A. Die ungerade Bernoullische Funktion. Wir wählen dazu 3» ag x X vH. x) Sg ee We Eu Pe d 5 9)=y= 5 st 720 u, 6x? — 15x? + 10x? — x — 720y=0. Die Schnitte dieser Kurve mit der unendlich fernen Geraden erhalten wir, wenn wir ‘die Gleichung mit z homogen machen durch die f ’ Formeln x = — und = und dann z=(0 setzen; diese Formeln vorerst eingesetzt, gibt, wenn zugleich mit z? multipliziert wird, 6x’? — 15x’tz + 10x ?2?— x’ 2? — 720y’2?=0; diese Gleichung wird für z=0 zu @’=0(, d.h, { \ £ | \ B 1 N - e ß EITOTN EVER WER VOEETINNWRNTR DEN N E N ae die Kurve schneidet die unendlich ferne Gerade in der Richtung der positiven Ordinatenaxe in fünf zusammenfallenden Punkten. Zur nähern Untersuchung dieser zusammenfallenden Punkte im Unendlichen transformieren wir die unendlich ferne Gerade, welche wir parallel der Abscissenaxe annehmen können, ins Endliche, indem wir sie auf die Abscissenaxe projizieren; dazu dienen die Formeln =7. F ae und Le also a und = —_. y Y Fury co wird yY =0, d.h., die unendlich ferne Gerade wird auf die Abscissenaxe projiziert und letztere ins Unendliche. Durch die angedeutete Substitution entsteht, wenn mit y’? multipli- ziert wird, 6x’5 — 15x’ty’ +10x?y?— xy’ y°— 720y*=0. (e) Dies ist die Gleichung der transformierten Kurve; in dieser entspricht der Nullpunkt dem unendlich fernen Punkt der Ordinatenaxe der ur- sprünglichen Kurve. Die Gleichung beginnt erst mit Gliedern vierten Grades; also ist der neue Nullpunkt 0’ ein vierfacher Punkt; die Tangenten in dem- selben erhalten wir durch Nullsetzen der Glieder niedrigsten Grades, also durch y’*=0, was uns sagt, dass alle vier Tangenten des vier- fachen Punktes mit der Abscissenaxe zusammenfallen. Für y’ = 0 wird x®—=0, d.h., die Abseissenaxe schneidet die Kurve im vierfachen Punkte O0’ in fünf zusammenfallenden Punkten. Zur nähern Untersuchung der Kurve in der Nähe dieses vier- fachen Punktes geben wir dem x’ kleine Werte. a) x’ = positiv= 0,01. Die Gleichung («) geht dann über in 6.0,01° — 15 0,01*y’ + 10. 0,01°y’?— 0,01 y— 720y'!=0; da y’ selbst klein ist, so können wir infolge der vierten und fünften Potenz, in denen das kleine x’ vorkommt, die beiden ersten Glieder vernachlässigen; dann folgt, wenn durch y’? dividiert wird, 0,00001 = 720,01 y’?; y =+ nn Tor d. h., zu einem positiven kleinen x’ gehören zwei reelle absolut gleich- wertige, ein positives und ein negalives y’. Geben wir dem x’ grössere positive Werte, so steigt der absolute Wert der y’ ziemlich rasch. b) x’ = negativ = — 0,01. Für diesen Wert wird aus («) unter Vernachlässigung der beiden ersten Glieder und durch Division durch y’? ts ”: Ag 0,00001 719,99 y’? = — 0,00001; y = a nlE Dies ergibt sich auch aus andern negaliven Werten für x’, somit folgt, dass auf der negativen Seite der Ordinatenaxe keine Kurvenpunkte liegen. Der neue Nullpunkt erscheint daher als ein vierfacher Punkt von der Art, dass die Kurve in ihm eine Spitze bildet, und die Abscissenaxe ist Rückkehrtangente in demselben mit fünffachem Berührungspunkt. Dasselbe gilt für den unendlich fernen Punkt der Ordinatenaxe der ursprünglichen Kurve; derselbe ist ein vierfacher Punkt der Parabel, in welchem alle vier Tangenten mit der unendlich fernen Geraden zusammenfallen; wir können den Punkt als Rückkehrpunkt zweiter Ordnung bezeichnen. Da wir diese Ausführungen auch auf die Bernoullischen Funktionen höhern Grades ausdehnen können, bei welchen die vielfachen Punkte nur in höherem Grade der Vielfachheit auftreten, so ergibt sich der Satz: Die ungeraden Bernoullischen Funktionen höhern, (2m--1)'* Grades, analytisch interpretiert, stellen Parabeln höhern Grades dar; bei denselben ist der unendlich ferne Punkt in der Richtung der posi- tiven Ordinatenaxe ein 2m-facher Punkt, in welchem alle 2m Tan- genten mit der unendlich fernen Geraden zusammenfallen. Die Kurve bildet in ihm eine Spitze und die unendlich ferne Gerade ist Rückkehr- tangente mit (2m-H-1)-fachem Berührungspunkt; der Punkt ist ein Rückkehrspunkt von der Ordnung m. — jmaginär. Lg + Rückkehrto ng. B. Die gerade Bernoullische Funktion. Etwas anders gestaltet sich der Verlauf dieser Funktion im Unendlichen. Zur Untersuchung wählen wir ‚4 ‚8 2 EN at an 30 xt — 60x? +30x?— 720y—1=0. Die Schnittpunkte mit der unendlich fernen Geraden werden gestützt auf die homogene Gleichung 30x’ — 60x’3z + 30x’"?z2? — 720y' 2° —z’=(, fürz2.— 0 »*=0;::d.hz, die unendlich ferne Gerade wird von der Kurve in vier zusammen- fallenden Punkten geschnitten in der Richtung der positiven Ordinatena:e. Projizieren wir die unendlich ferne Gerade wieder durch die age frühere Substitution auf die Abseissenaxe ins Endliche, so folgt, wenn mit y’* multipliziert wird, 30x’* — 60x’?y’-+30x’?y'?— y’ — 720y°?=0. (2) Dies ist die Gleichung der transformierlen Kurve; da sie erst mit Gliedern dritten Grades beginnt, so ist der neue Nullpunkt 0’ ein dreifacher Punkt; die Tangenten in demselben erhalten wir aus y’®—0, d. h., alle drei Tangenten fallen in der Abseissenaxe zusammen, und diese berührt die Kurve in vier zusammenfallenden Punkten; also ist auch der unendlich ferne Punkt der Ordinatenaxe ein dreifacher Punkt der Kurve, dessen drei Tangenten mit der unendlich fernen Geraden zusammenfallen. Zur noch genauern Untersuchung dieser Kurve in der Nähe des dreifachen Punktes transformieren wir die Gleichung () wie folgt: 30x’?(w’—y’)=y’(y-720). yy A 720) ee 30 u re 1726 u Er |, ray ee Er), | Die Quadratwurzel En, nur für y’ =0 selbst zu a Geben wir jetzt dem y’ kleine Werte, so wird für . 4 positn) — 0,1. Us layer? 1-1 {014078} — (0,440; I, = 0,341. Ebenso würde ein en y’ zwei verschiedene reelle Werte liefern. Somit gehören zu einem positiven y’ zwei verschiedene reelle Werte von x’, wovon stets der eine positiv, der andere negativ ist. b) y’ = negativ und klein. In diesem Falle wird die Quadrat- wurzel sieis imaginär und somit auch der Wert für x’; daraus folgt, dass die Kurve ganz oberhalb der Abscissenaxe liegt und von der Ordinatenaxe nicht symmetrisch geteilt wird. Der dreifache Punkt unter- scheidet sich also nicht wesentlich von einem gewöhnlichen Kurvenpunkt, nur ist die Krümmung der Kurve in der Nähe desselben eine schwächere. Bern. Mitteil. 1900. No. 1489. NEN ig. sk Da diese Untersuchungen auch ausgedehnt werden können auf die geraden Bernoullischen Funktionen mit höhern Exponenten, so ergibt sich der Satz: Die geraden Bernoullischen Funktionen höhern, 2m Grades stellen ebenfalls Parabeln höhern, 2m! Grades dar; bei denselben ist der unendlich ferne Punkt in der Richtung der Ordinatenaxe ein (2m-—-1)-facher Punkt, in welchem alle (2m—1) Tangenten mit der unendlich fernen Geraden zusammenfallen, welche die Kurve in 2m zusammenfallenden Punkten berührt. Die Kurve liegt ganz auf der einen Seite der unendlich fernen Geraden, und der (2m—1)-fache Punkt unterscheidet sich nicht wesentlich von einem gewöhnlichen Kurvenpunkt, nur ist die Krümmung in der Nähe desselben eine schwächere. Da diese Untersuchungen für alle Definitionen analog durchgeführt werden können und auch entsprechende Resultate liefern, so sind wir über den Verlauf aller Bernoullischen Funktionen im Endlichen wie im Unendlichen genügend aufgeklärt. Die Tabellen V—VIII zeigen nun deutlich, dass das Gültigkeits- gebiet der einzelnen Definitionen ein ziemlich verschieden grosses ist; am kleinsten ist das Konvergenzgebiet der Schlömilchschen Definition; das beste Gebiet liegt hier zwischen —1 und +2; ausserhalb des- selben nimmt die Funktion sehr rasch grosse Werte an. Etwas, aber nur wenig grösser ist das Konvergenzgebiet der Definitionen von Raabe und von Glaisher, was aus den Tabellen V und VII ersichtlich ist. Die Parabeln der Definition von Schläfli sind diejenigen, welche sich der Abscissenaxe am weitesten, sowohl nach der positiven wie nach der negativen Seite hin anschmiegen und zwar um so mehr, je grösser der Grad der Funktion ist; so erstreckt sich das beste Gebiet für n—=6 schon zwischen —3 und 4-4; bei den noch höhern Bernoul- lischen Funktionen wird dieses Gebiet bedeutend vergrössert. Es ist dies ein weiterer Vorzug der Definition von Schläfli, wieder bewirkt durch die Fakultät im Nenner. $ 32. Entscheidung. Gestützt auf all unsere frühern Betrachtungen, gelangen wir zu folgendem Resultat: 4; SE Galle Die Definition der Bernoullischen Funktion nach L. Schläfli ist die für die Theorie zutreffendste, weil P. 2. 3. 4. ihr Konvergenzgebiet sich am weitesten ausdehnt, alle Formeln einfachere Gestalt annehmen, dieselbe die allgemeinste ist und die ganze Theorie sich einheitlicher aufbaut, infolge der trejf- lich gewählten Grundbeziehung zwischen den Bernoullischen Zahlen und Funktionen und der Anwenduny des Prinzipes der Koeffizientenvergleichung. Sn 0000000081 000000'928 00000088 000000°T 9128830 BEFEZOO 2208000 — 000000°0 820 F00°0 — ET8 2000 — 8207000 — 0000000 2208000 — SEerE£z0‘0 YIZEET0 000000'T 00000088 000 000923 0000000081 000000°F48 00000086 000000°L7T 000000°T 6831880 009390'0 2260000 000.000°0 £88 7000 0000000 £88F00'0 000.000°0 226.000°0 008 390°0 68T — 0000001 — 0000007 — 00000086 — 000 000 FE — 000 000‘00T 000. 000'98 000 000°6 000000°T F9908F0 cz90FT0 FIr7200 000 000°0 684,800°0 C29T00 68,800'0 000000°0 FIrr200 cz90FF0 ?9908r°0 000 000°T 0000006 000.000'98 000 000'00T 00000008 000 000°FT 000. 000°8 000 000°1 c389FrcCo 0000820 218200 000000°0 29700 000 0000 79 °7T0'0 0000000 021 820°0 0000830 c389FT‘0 000 0001 0000008 — 0000007 — 000000°08 — 000.000°0T 0000009 000. 000°€ 0000007 0839890 0008280 08398T0 0000000 0828600 — 000 8310 — 082 8600 — 000000°0 0°398T'0 000 828°0 0839090 000000°T 000000'€ 000.000°9 000000°01 I PI9ABL 000000'8 0000007 000000'8 000.000°% 000082°T 000008°T 0000897 T 0000007 000 082°0 000008°0 0000830 000000°0 0000930 — 000008°0 — 0000820 — 000000°T — 0000008 — 0000008 — 0000007 — KMHMRMM nen u u u u u rn nr (x). :Sqgeuy p QPeu vonragsa 93 000000008 | "II PIPA®eL (u ‘Z)0 :yofrwoly>s O DEU UONTUZOA 000000'0084 0000000227 000.000°06 000.000°03 000000°€ go =ı 000.000'989T 000000°06F 000000°FFL 000000'F 000000'31 000000°F 7 =ı 000000'861 00000088 000 000'9€ 000 000°ET 000 0009 000000°8 2. =2 000000'9 000000°C 000 000° 000000°E 0000003 0000003 A 8C9 66€°T CFF909T 9092511 cz90F9°T 00g21E°T 000082°T N Cz90FT'0 | 008318°0 008398°0 0000820 000082'0 000 008°T le TIESTOO — gssF000 — 909 1,60°0 gleFgzo 0093180 000085 7 Y —=a 000.000°0 000. 000'0 000000°0 000000'0 000.000°0 000000°T 1 0,1700 — FIrr20'0 HET TEO'O 0189500 — 0082870 — 000082°0 a 2189500 — 0000000 0082900 000.000°0 0000830 — 000 008°0 fı =ı 0,17200 — FIr7200 — 9E17E0°0 c189F0°0 0082870 — 0000830 „ =ı 0000000 000000°0 000.000°0 000.000°0 0000000 000000°0 De ITEesI00 — E88 F00 0 909,600 greFEs0 — 00T 3TE°0 000 0830 — ——2 Cz90FT‘o o0gzIEeo — 008292°0 0000820 — 0000820 0000080 — f, ——a SCI 66E°T CHF909T — 9093511 gz90F9T — 009318 0000820 — Y——2 0000009 0000004 — 000000°F 000000 — 000000°% 000000°T — 1 ee 000 000'86T 00000008 — 000 000'9€ 000 000°°T— 000 0009 0000005 — al 000. 000'969T 000.000°06F — 000000 FFL 000000 7# — 0000001 0000008 — g—- 2 000 0000084 000 000°01,1— 000.000‘00F 000.000'06 — 000.000 °0% 000.000 F — yo—a 9—=u c—Uu z=u su z=Uu DU "Sıy 94 998 gE8°0L 8E0008° 8800,80 998800°0 226 100'0 83000°0 800000°0 8E0.000°0 1000000 — 8E0000°0 — 7000000 — EE000U°0 800000°0 833000°0 2261000 9988000 8E0 2,20 EE0008°5 998 EE8°0L 000082 FL EEEESOF EEE802'0 299 1800 2888100 #09300°0 170000°0 000.000°0 £08000°0 000.000°0 2080000 000.000'0 170000'0 ?09300°0 2888100 299 1700 EEE802'0 gEEESOF 00008, FL 813C99'9T IT9866‘G SFr 80g°T 8130910 888020°0 6708200 089200°0 688 T00'0 — 920000°0 STE T00°0 9200000 688 1000 — 089300°0 670 320°0 8880200 8139970 SLHEOgT 1T9866°G 818099‘9T "IEN OIT9qAeL 000 000°CT 000.000‘, 000 008° 000 004°0 serE120 0008310 E90 680'0 0000000 ET8200°0 000 000°0 ET8200°0 0000000 £90680°0 00082T0 ger E120 000008°0 000008 000 000°, 000000'ST EEEESOOT EEE880'9 EEEESOE EEEESO'T ESCHE, gsggscHo EST6E20 EEE ES0'O 2150100 — 299 1700 — 9770700 — SEEESOO ESTHEZO ggescer‘o EST 6820 gEggsoT EEEESO'E EEE 880°9 EEEESO'OT 000008 000008°E 000 008° 000008°T 000087 000 000°T 0000820 000008°0 0000830 000000°0 0000820 — 0000080 — 000. 082°0 — 000. 000°T — 0000837 — 000 008°T — 000 008°3 — 0000088 — 000 008°F — (ZU) :IgeIy>S "I YDeu UONTUYOG „“ | | | | X 2x X X M KH 4 ri K MH H H gi } u u u ia TabelleV, Definition nach J. Raabe. ee m nn nn, _0,004 -0,008 0,004 Or On m mn Tabelle VI. Definition nach Schlömilch. 0,063 %o 0,098 2 SS 0,05 „ O—n 0,035 .o— DICHE PRSERP BRRSPT Lu) —0,047 — 0,024 Tabelle VII. —0,00004 + 0,00003 —0,000001 _0,00003 -0,000001 Tabelle VIII. Definition nach W. Glaisher. Ay) N A,i) Ay 0 + 0,0005 0,007 + 0,0005 u — 0,008 „8,001 r = i ze y f \ / \ 20,21 „/ F * Ic I Non N / x SS m And Mor! +0,001 + 0,004 Jg ö Omanaa-ümcumsl — 0,00008 + 0,004 | 1 + 0,001 _0.008 _0,00006 .. 95 896 800‘008T 896 &00'92% 896 E00'88 896 800°T CHaLEs0 9072200 976. 000°0 896 8000 0900000 — 8968000 — 0900000 — 896 800°0 9760000 9052200 CHe LEO 896 &00°T 896 E00'E8 896 800'92% 896 £00°008T 000000'FG8 000 000'86 000 000°21 000000°1 688 18E‘0 008 890°0 2260000 — 0000000 888 7000 000.000°0 ees7000 — 0000000 2L6000°0 00.00 — 686 leE0 000000 — 000000°.T — 000000°86 — 000000778 — 299 166'66 199 16608 888 080°6 199 1660 TEESEHO 266 2810 180910°0 EE8800°0 9750000 26&200°0 975.000°0 888800°0 1809700 62 cET0 188 8°F°0 199 166°0 8E8 080°6 299 166'98 199 16666 000000°08 000000°7L 000.000°G 000000°T g1897E°0 000830 GeT8L0'0 0000000 e9TT00 — 000.000°0 29 ET0°0 000000°0 Ge18100 — 0000420 — al8977‘0 — 0000001 — 0000009 — 000 000° FT — 00000008 — EEE E80'0T EEE E80'9 BEE ES0'E EEE E8B0°T ESC6E2'0 EEESCHO E3G682°0 SER ESO'O 9ITFOTO'O-- 999 [500 — IIFOTOO — SEE E80°0 EITHE80 SEESTCHO EITHELO GE8ESOT SEEE80'E EEE880'9 ER ES0'0T FT RE ET SON > 2 000008°F go =X 0000048 7 =X 000 004° Ken 000004°T ©. X 009 095° T Yo =NX 000000°T Ü —=X 0000810 Ha =X 0000080 Tr =x 0000920 HM —=N 0000000 “, =NX 000090 — Ye =NX 0000040 — A) ni 0000920 — se a 000000°T— ll en 0000985 T — 4), — N 00000 T— 'I-=X 0000048 — sr —=X 0000078 — eo —=X 0000097 — 7-=X (=): a g («OUSTEL I "IL "AA ’L UDEBU UONTUHOC Anmerkungen. ges” Während der Drucklegung vorliegender Arbeit erschien in den «Mit- teilungen» der naturforschenden Gesellschaft in Bern 1900, von J. H. Graf heraus- gegeben, und mit Noten versehen, ein Brief L. Schläflis an einen Freund, betitelt «Praktische Integration.» Derselbe wurde veranlasst durch Fragen des Freundes über die Richtigkeit verschiedener Resultate von J. L. Raabes Differential- und Inte- gralrechnung, Band I, 1839. In dieser Abhandlung gibt Schläfli Beziehungen, die sehr grosse Ähnlichkeit zeigen mit seinen später aufgestellten Relationen der Bernoullischen Funktionen. Stammt dieser Brief wirklich aus dem Jahre 1840, was nach den vorliegenden Untersuchungen von J. H. Graf als bewiesen anzu- nehmen ist, so ist Schläfi, zwar ohne den Namen der Funktion zu nennen, schon vor J. Raabe auf diese Funktion gekommen. Es ist dies ein weiterer Beweis für Sehläflis schöpferische Thätigkeit. Folgende wenige Thalsachen sollen einige Ähnlichkeiten hervorheben: a) Die auf Seite 7 (89) der «Mitteilungen» der naturforschenden Gesell- schaft in Bern 1900 gegebenen Koeffizienten 6], 69, Czı - +++ stimmen genau überein mit denjenigen bei der Herleitung der Definition der Bernoullischen Zahlen. b) Die von Schläfli in der angeführten Arbeit, Seite 10 (92) angewandte Formel für c,, Ist nicht identisch mit der später von ihm gebrauchten. Daher werden die B-Werte nicht gleich den eigentlichen Bernoul- lischen Zahlen. (Vergleiche Tabelle auf Seite 10 (92) dieses Briefes.) Trotzdem tritt eine unverkennbare Ähnlichkeit der Beziehungen hier und später bei der Bernoullischen Funktion ein; vergleiche in diesem bereits erwähnten Briefe 1. Formel (e), Seite 11 (98) und B”(z) von Raabe, 2% >» zwischen (e) u. (), » 1103) » B=kz)» » 3. » (N), » 11 (93) » ’B (z) » » , welehe bis auf die jedem Gliede vorgesetzten Nenner übereinstimmen. ec) Formel (I) ist analog gebaut wie unsere Formel (Il) (25); nur zeigt sie eine Fakultät im Nenner; letztere hat Schläfli später durch zweck- mässige Wahl der Definitionsgleichung wegzuschaffen gewusst. Formel (m) gleicht unserer Formel III (23), zeigt aber eine unliebsame Zuthat durch ein Summenglied. ; d) Formel (y) entspricht unserer Formel III (24); sie liefert auch die) selben Werte, trotzdem darin die B-Zahlen andere Werte haben. z 4 e) Auch die unterste Formel auf Seite 13 (95) dieses Schläflischen Briefes, : h i 1 welche Beziehungen seiner @-Funktionen für die Argumente 0, und Fr 3 1 gibt, entspricht ganz unserer spätern Formel III (10). EEE ERDE WERE EEE TER Natürlich sind durch diese wenigen Aufzählungen die Analogien beider “noch lange nicht erschöpft. 1) Vergleiche das Verzeichnis der benutzten Litteratur am Schlusse der Arbeit. ?) Siehe Saalschütz «Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Sekantenkoeffizienten und ihre wichtigsten Anwendung en,» wo sich auf den Seiten 204—207 ein grösseres Litteraturverzeichnis befindet. 3) Zum Studium sehr zu empfehlen ist die schon in Anmerkung 2 an- geführte Arbeit von L. Saalschütz. Siehe Litteraturverzeichnis ! *) Jakob Bernoulli (1654—1705) gab in seinem epochemachenden Werke über die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ars conjectandi, Mutmassungskunst als Erweiterung der gemeinen ars ecomputandi oder Rechnungskunst, nicht nur eine | beinahe vollständige Theorie der Kombinatorik und der figurierten Zahlen, sondern fand auch die nach ihm benannten Zahlen, die bekanntlich in der Reihen- und Interpolationsrechnung von Wichtigkeit sind, und auf welche sich die Theorie der Bernoullischen Funktion stützt. 5) Siehe Journal für reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von A. L. Crelle, Band 42. Seite 348—376. 6) Quarterly Journal of pure and applied Mathematies, Vol. XXIX, page. 1. 7) Messenger of Mathematics, Vol. XXVI, No. 10—12 und Vol. XXVII, No. 2—8. 5) Vergleiche J. Raabe «Die Jakob Bernoullische Funktion», Seite 1—16. 9) Seite 13 der eingangs erwähnten Schrift: J. Raabe «die Jakob Bernoul- lische Funktion.» 10) Vergleiche Raabes zweite diesbezügliche Arbeit. Journal von Crelle. Band 42. R 11) Es sind dies die beiden schon früher gefundenen Formeln (17). 12) Seite 97 u. ff. und Saalschütz «Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen». Anmerkung 1, Seite 7 und 8. 13) Vergleiche Wallis «Opera mathematica.» Oxon. 1695 und «Arithmetica infinitorum.» 14) Siehe A. G. Kästner «Geschichte der Mathematik,» Band 3, Seite 111 u. ff. 15) Vergleiche «Ars conjectandi.» Basilea 1713. Seite 97 u. ff 16) Ist Formel 18°, nur identisch anders geschrieben. 17) Vergleiche ve erste Arbeit über diesen Gegenstand, Seite 17--23. 18) Wo Bı (z) = in (2). 19) Raabe spricht sich im Vorwort seiner ersten auf die Bernoullische Funktion bezüglichen Schrift folgendermassen darüber aus: «Die Eigenschaften dieser Funktion B(z) sind Analogien zu denen der Legendreschen Funktion 7z), die das Eulersche Integral zweiter Art vorstellt. Beinahe alle Eigentümlichkeiten die bei dieser 7’z) durch Produkte angedeutet sind, sprechen sich bei jener B(z) durch Summen aus: so dass gestützt auf eine in der niedern Algebra üb- liche Terminologie, wo von einer arithmetischen und geometrischen Progression die Rede ist, auch die hier einzuführende Funktion B (z) eine arithmetische, und Bern. Mitteil. 1900. No. 1490. a das Eulersche Integral T(z) eine geometrische Funktion von z genannt werden dürfte». 20) Siehe auch Tabelle V am Schlusse dieser Arbeit. 21) Raabe gibt diese vier Formeln, ohne auf ihre Herleitung näher einzu- | treten, in seiner zweiten, diesen Gegenstand behandelnden Schrift in Crelles | - Journal, Band 42, Seite 352. 22) Zum genauern Studium verweisen wir wieder auf Raabes Arbeit im 42. Band von Crelles Journal, Seiten 359—362. dp ax? 24) Siehe Compendium der höhern Analysis von 0. Schlömilch, Teil I Seite 277 und Teil II, Seite 208. 25) Siehe auch $$ 29 und 30 vorliegender Arbeit. 2) Vergleiche J. Worpitzky «Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen». Journal von Crelle, Band 94, Seite 203 u. ff. 27) Vergleiche $ 31 vorliegender Arbeit, sowie Tabelle VI. 23) Hierin bedeutet wie gebräuchlich D’ — 1 2») Über die Ausmittlung von f e*?coskrrzdz, die ziemlich umständlich « bewerkstelligt wird, siehe Schlömilch «Comp. der Analysis», Band I, Seite 361, s 78. IL. 2») Siehe Journal von Ürelle, Band 94, Seite 220. Formeln 52. 30) Vergleiche Zeitschrift für Mathematik und Physik. Band I, Seite 202 und Comp. der Analysis von ©. Schlömilch, Band H, Seite 218 u. ff. 3) Wir bezeichnen in Zukunft Koeffizient stets durch BR 2. B.[y”] — Koeffizient von y”. 2) Vergleiche $.31 und Tabellen V—VII. 33) Siehe $ 16, Formel (12). 34) Vergleiche auch Tabelle VII am Schlusse dieser Arbeit. »5) Vergleiche $ 12. 36) Siehe $ 20, Formeln (40) und (41). 37) Vergleiche Dr. J. H. Graf: «Einleitung in die Theorie der Gamma- funktion und der Eulerschen Integrale», Seite 30, Formel (36), wie auch bei andern Autoren. #8) Nach Definitionsgleichung (2). #9) Vergleiche auch $ 20, Formeln (29), (31) und (33). 40) Wir verweisen auf die darüber bekannten Arbeiten: «Über Bernoullische Zahlen und Funktionen», Vorlesungen an der Berner Hochschule von Dr. J. H. Graf. S. 8. 1898 und «Über eine Verallgemeinerung der Bernoullischen Funktionen und ihren Zusammenhang mit der verallgemeinerten Riemannschen Reihe» von Dr. Alfred Jonquiere. Stockholm 1891. Bihang till K. Svenska Vet.-Acad. Hand- lingar. Band 16. Afd. 1. No. 6. 41) Siehe Dr. J. H. Graf «Einleitung in die Theorie der Gammafunktion», Seite 49, 3. Zeile, wie auch bei andern Autoren. Ye #2) Siehe «Quarterly Journal of pure and applied mathemalics». Vol. XXVIIT, pag. 1—174. #3) Siehe gleiche Zeitschrift, Vol. XXIX, pag. 1—168. #4) Vergleiche «Messenger of mathematics», Vol. XXVI, pag. 152—182 und Vol. XXVII, pag. 20—98. #5) Vergleiche darüber «Quarterly Journal», Vol. XXVII, pag. 4--18. 46) Über ihren Zusammenhang siehe $ 29, Formel (10). #7) Siehe $ 23, Formeln (12), (13) und (16). 4) Vergleiche «Quarterly Journal». Band XXVIII, $ 18, pag. 11. #9) Siehe $ 26, Formeln (23) und (24). 0) Siehe Schlömilch «Gompendium der Analysis». Seite 140, Formel 27, und Seite 141, Formel 32. Diese gehen dureh Substitution von A=a und x — z (1—2x) in unsere Formeln über. >’) Vergleiche den mehrfach erwähnten Band des «Quarterly Journal», pag. 7—18, wie auch an andern Stellen. >?) Ebendort, pag. 26 —83. 53) Siehe $ 28. 52) «Quarterly Journal», Band XXIX, $$ 58, 75, 85, 88, 109, 115, 119, 123, 132, 134, 143 und 146. 55) Vergleiche «Quarterly Journal», Band XXIX, $ 18. 55) Vergleiche Tabellen IV und VII. 7) Siehe Formeln (23) und (24) von $ 26. »3) Vergleiche «Quarterly Journal», $$ 47, 58 und 75 und «Messenger of mathematics», $ 73. >) Siehe «Messenger of mathematics», Bände XXVI und XXVI. 6°) Siehe «Quarterly Journal», $$ 174—216. 61) Vergleiche «Quarterly Journal», $$ 217—311. 62) Siehe «Messenger of mathematics», $$ 99—102 und $ 108. 63) Vergleiche vorliegende Arbeit, $$ 1, 7, 14 und 21. 64) Siehe diese Arbeit $$ 2, 8, 15 und 22. 65) Vergleiche vorliegende Arbeit, $$ 6, 13, 20 und 27. 66) Siehe diese Arbeit, $$ 3, 9, 16 und 23. 67) Vergleiche unsere $$ 3, 10, 17 und 24. 68) Siehe Schlömilch «Comp. der Analysis», Band II, Seite 129, wo für £=nx und x<1 diese Reihe erhältlich ist. 6°) Vergleiche Anmerkung #0). ”°) Siehe auch Rogel «Die Entwicklung nach Bernoullischen Funktionen» in den Sitzungsberichten der königlich-böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftlicbe Klasse. Prag 1896. 1) Vergleiche unsere $$ 5, 12, 19 und 26. 2) Siehe $ 3, Formel 18, $ 10, Formel 16 und $ 17, Formel 19. ”®) Vergleiche Tabelle VII. Dr. v. Fellenberg, Dr. Kissling, Dr. Schardt. (Eingereicht im Februar 1900.) Lötschberg- und Wildstrubeltunnel. Geologische Expertise. An die Baudirektion des Kantons Bern. Geehrter Herr Regierungsrat! Ende August haben Sie den unterzeichneten Experten folgende Aufgaben gestellt: «1. Begutachtung derjenigen geologischen Verhältnisse des zu durchfahrenden Gebirges, welche für den Arbeits- und Zeitaufwand beim Tunnelbau und für den späteren Unterhalt beim Betriebe wich- tig sind, wie: Die Art der zu durchbohrenden Gesteine, ihre Lager- ung und die mutmassliche Ausdehnung ihres Vorkommens; ihre Härte und Zähigkeit, Standfestigkeit und Verwitterbarkeit, der Gebirgsdruck und der Wasserzudrang etc. Die Ergebnisse der geologischen Aufnahmen werden in die Karte 1: 50,000 eingetragen und für jede der beiden vorgeschlagenen Varianten des Lötschbergtunnels in einem geologischen Profil im Massstab 1: 25,000 dargestellt und mit Probestücken (Handstücken) der vorkom- menden Gesteinsarten belegt. Die erforderlichen Karten und Terrainprofile werden den Ex- perten von der Baudirektion zur Verfügung gestellt. 2. Geologische Begutachtung einer allfälligen Verschiebung der noch nicht. endgültig bestimmten Tunnelaxe innerhalb eines Streifens von "/»—1 Kilometer Breite rechts und links von der vorläufig an-: genommenen Axe. 3. Begutachtung der in der geologischen Beschaffenheit des Ge- birges begründeten Vor- und Nachteile des Lötschbergtunnels im Ver-. gleich mit einem Wildstrubeltunnel in der Richtung Oberried-Inden oder Oberried-Siders.» Nach einer gemeinsamen Sitzung in Bern, in welcher die all- gemeinen Zielpunkte der Expertise besprochen worden, begaben sich die Herren Kissling und Schardt sofort- an die Aufnahmsarbeilen im Lötschberg- und Wildstrubelgebiet. Me ER NG — 1011 — Die Begehungen fanden nach folgendem Itinerar statt: 1. Gasterenklus und Gasterenthal. Contakt des Granilts mit den Se- dimenten gegenüber dem Brandhubel und am Gabelbach. . Gemmiweg. . Fisistock. . Lötschpass bis Kummenalp. . Sattellegi — in den Simmeln — Felsen unter dem Hockenhorn — auf den Platten — Lötschpass — Kaufmannskumme — Kummenalp nach Kippel. - 6. Unteres Lötschthal-Gampel. 7. Gampel-Hohtenn-Meiggen (zum Teil mit v. Fellenberg). 8. Meiggen-Faldumalp-Restialp-Kummenalp-Oberferden — Stierstutz- Kippel. 9, Von Kippel an gemeinsame Begehung des untern Lötschthals mit v. Fellenberg. 10. Gampel-Inden-Varon-Miege-La Prily. 11. La Prily — Plaine morte — Fluh-See-Siebenbrunnen-Lenk. 12. Lenk - Ammertenpass - Engstligenalp -Engstligengrat -Schwarzgrätli- Schwarenbach. 13. Schwarenbach-Üschinenthal-Allmen-Kandersteg. 14. Gasterenboden-Schwarzbach. 15. Öschinen-See-Birre-Mitholz. 16. Kandersteg-Frutigen (Kissling); Kandersteg-Gemmi-Leuk (Schardt). Die auf den vorgenannten Routen gemachten Beobachtungen wur- den in die Karte 1: 50,000 eingetragen und überall, wo es nötig schien, charakteristische Gesteinshandstücke geschlagen. Eine Sammlung derselben aus dem Lölschberggebiet, 47 Num- mern umfassend, legen wir unserem Berichte bei. I. Allgemeine und topographische Verhältnisse. Die zu begutachtenden Tunnelprojekte durch den Lötschberg und den Wildstrubel durchschneiden beide das Aarmassiv in seinem west- lichen Ende. Aufgebaut aus einem centralen, langelliptischen Kern von Urgestein, dem sogenannten Protogin oder Bankgranit (schieferigen Granit), an welchen sich auf der Südseite eine Reihe steilgestellter Zonen von Gneiss und kKrystallinischen Schiefern, auf der Nordseite ebenfalls eine Gmneisszone anschliesst, wird das Aarmassiv auf der Nordseite von den Ketten der Kalkalpen bedeckt und umsäumt — 12 — während auf der Südseite diese Kalkdecke eine sehr beschränkte Ausdehnung hat. Beide zur Untersuchung vorliegenden Tunnelprofile berühren den centralen Teil des Aarmassives nicht mehr sondern das Lötschbergprofil schneidet nur durch die krystallinische Schieferhülle des Protoginskerns auf der Südseite des Lötschenpasses, während es auf der Nordseite die Kalkketite, die dem Gentralmassiv vor- und angelagert ist, durchquert. Hingegen durchschneidet der Lötschberg- tunnel einen auf der Nordseite der Alpen durchaus isoliert stehenden Gesteinskomplex, nämlich das Massiv des Gasterengranites. Dieser Gasterengranit bildet das Grundgestein‘ im West-Ende des Aar- massives und trägt den Charakter einer abgerundeten Kuppe, bedeckt von den Sedimenten des Verrucanos, der Trias und der sekundären Ablagerungen der Jura- und der Kreidezeit. Auf der. Südseite des Lötschenpasses sind die steilgestellten krystallinischen Schiefer (Phyllite) dem Granitkern angelagert und bedecken denselben schalenförmig. Wie sich nun der Gasterengranit zum Protoginkern des Aarmassivs verhält, welcher etwas südlich des Lötschenpasses, erst im Jjollithal, unter dem Mantel krystallinischer Schiefer auftritt, ist nicht bekannt, denn nirgends ist der Kontakt von Gasterengranit und Protogin auf- geschlossen. Auffallend ist das Auftreten des Gasterengranitmassives im äussersten Nordwesten des Aarmassivs und nördlich von der Central- axe desselben. Auf der Nordseite des Gasterenthales, welches als tief eingesägtes Erosionsthal die dem Granit aufgelagerten, mächtigen Kalkmassen der nördlichen Kalkkeite bis auf den Granitkern bloss- gelegt hat,. lehnen sich intensiv gefaltete Kalk- und Kalkschieferschichten verschiedenen Alters an. Topographisch gestaltet sich das Trac& des kürzeren Lötschbergtunnels folgendermassen: Von der flachen Thalsohle hinter Kandersteg erheben sich gegen Süden die steilen Kalkwände der Fisistöcke und der Altels-Balmhorn- Gruppe, zwischen denen der Gasterenbach sich durch die tiefeinge- sägte Klus einen Weg ins offenere Gelände von Kandersteg (einen alten Seeboden) durchbrochen hat. In steilen Felswänden erhebt sich über der Tunnelaxe der Fisischafberg, gegen das Gasterenthal in senk- rechten Felsen abfallend. Es folgt südöstlich über der Tunnelaxe der Gasterenboden, eine flache Thalsohle, von dem im Schuttland oft seinen Lauf wechselnden Gasterenbach durchflossen. Der Grund besteht aus Alluvionen des Gasterenbaches (Sand und Kiesbänke). Von der Südseite strömen eine ganze Reihe Wildbäche in den Gasterenbach und bilden | | E h 2 | u un — 103 — durch häufiges Austreten vielfach einen sumpfigen und sandigen Thal- grund. Auf der Südseite von Gasteren folgt nun das mächtige, in hohen senkrechten Kalkwänden zum Gasterenthal abstürzende Massiv der Altels-Balmhorngruppe, unter welchem sich die Tunnelaxe durch- zieht. Genau über der Tunnelaxe liegt in hohem Bergkessel die von nackten Felsen -umgebene Schafalp Wildelsigen, aus welcher in jähem Sturz in tiefer Klamm der Wildelsigenbach ins Gasterenthal abstürzt. Südlich des Balmhornmassives ändert sich die Konfiguration des Terrains vollständig, und auch das Gestein. Statt hoher Kalk- wände, schmaler Felsleisten, tLiefeingesägter Rinnen und Hohlkehlen, an deren Fuss sich steile Trümmerfelder hinziehen, stossen wir am eigentlichen Lötschenpass auf eine breite flache Mulde, auf welcher der flache Lötschengletscher ruht, dessen Absturz nach dem Gasterenthale in einer kurzen Zunge abbricht, südlich eingebettet in abgerundete Felshöcker, die sich allmählich gegen das Hockenhorn hinanziehen, dessen Gipfel einem auf breitem Felsgestell aufgesetzten steilen Kegel gleicht. Wir sind inmitten dieser abgerundeten Formen, dieser durch Eiswirkung polierten, geglätteten und gerundeten Felsen plötzlich aus dem Kalkgebirge in das Granitgebirge geraten, welches hier auf dem Lötschpass und an den Westabhängen des Hockenhorns bedeckt wird von einer dünnen Schicht von Quarzsandstein (Arkose), Konglomeraten und halb krystallinen Gesteinen, die dem Perm oder Verrucano zu- gerechnet werden. Südlich der gewaltigen Gruppe des Altels-Balmhornmassives, welches ein ausgezeichnetes Beispiel des sog. pultförmigen Aufbaues liefert, - indem wie bei Doldenhorn und Blümlisalp die Nordseite in schiefgeneigter, gleichmässig abfallender Fläche erscheint, während die Südseite in lerrassenförmig abgestuften, senkrechten Wänden zum Tschingelgletscher und Gasterenthal abstürzt und ein Seitenprofil das genaue Bild eines Pultes darstellt, folgen die so merkwürdigen Südwest-Nordost streichenden kurzen Ketten zwischen Fluhalp und Ferdenthal, zwischen Ferden- und Restithal und zwischen letzterem und Faldumthal, mit den zwischen den fingerförmig ausgestreckten Ausläufern der krystallinen Schiefer des Gentralmassivs eingeklemmten und intensiv gefalteten Kalkbergen des Resti- und Faldum-Rothorns. Die Tunnelaxe streicht östlich dieser drei parallelen Ketten durch und verbleibt vermutlich beim Austritt aus dem Granitkern des Lötsch- passes in dem sich am letzteren anschmiegenden Mantel von kry- = I — stallinen Schiefern und Gneissen. Wird nun die Tunnelmündung auf der Südseite etwas weiter nördlich oder südlich angenommen, So befindet sich dieselbe notgedrungenerweise in einem Durchbruchs- oder Querthal. Von Ferden an hat nämlich die Lonza die mächtige Schiefer- und Gneisszone durchbrochen und schluchtartig gestaltet sich das untere Lötschenthal, mit steilen, schutterfülllen Wänden, ge- walligen Lawinenzügen, Schuttkegeln und nur wenige, offene, flache Thalerweiterungen bietend, wiebei Mitthal, Haselleh und Schlegmalte. Namentlich die Ostseite des Gebirges ist stark zerklüftet und von zahlreichen Runsen durchzogen, an deren Fuss rächtige Schuttkegel und alte Bergsturzfelder Zeugnis ablegen von früher stattgefündenen, bedeutenden Oberflächenveränderungen. Das tiefere Lötschbergprojekt hat ähnliche topographische Ver- hältnisse aufzuweisen. Der Tunnel bei 1038 auf Schlossweide an- gesetzt, würde sich unter dem halbkreisförmigen Thalriegel hinziehen, über welchen in mehrfachen Windungen sich die Landstrasse den Bühlstutz hinaufwindet, dann unter dem flachen Thalboden von Kander- steg hindurch. Südlich des Oeschinenbaches würde die Tunnelaxe sich hinziehen unter den beiden kühnen Felspyramiden der Fisistöcke, 2680 m. Letztere fallen sehr rasch in senkrechten, von schmalen Bändern durchzogenen Wänden zum Gasterenboden ab, und die Tunnel- axe würde unter der Thalsohle durchstreichen, da wo dieselbe ober- flächlich am schmalsten ist (nordöstlich vom sogenannten Brandhubel), südlich des Gasterenthales unter der östlichen Basis der hohen Kalk- wände des Wildelsiggrates, um unterhalb der Gfällalp in den eigent- lichen Lötschberg einzutreten und etwas östlich von der projektierten kürzeren Tunnelaxe bis Kilometer 26 zu verbleiben, wo beide Tunnel- axen einander schneiden. Die Oberflächenverhältnisse der beiden Tunnelprojekte bleiben hier annähernd dieselben. Das längere Pro- jekt "zieht sich etwas östlich unter dem Ausläufer des Hockenhorns hin, verbleibt aber in demselben Gestein wie das kürzere Projekt und ebenso sind die südlich sich an den Lötschpass anschliessenden Gesteine, und ist die oberflächliche Gestaltung bei beiden Projekten wesentlich dieselbe, ja die ungünstigen Terrainverhältnisse des unteren Lötschenthales dürften sich beim längeren Projekt in noch ungünsti- gerer Weise geltend machen. Das in Vergleich zum Lötschbergtunnel und seinen zwei Va- rianten gezogene Projekt einer Durchbohrung des Wildstrubels, F 5 3 E En SE ee a un dl a air = 05 wobei wir nur das kürzere Projekt eines Tunnels vom Thalboden der Simme bei Oberhaus südöstlich vom Dorfe Oberried bis oberhalb Miege auf dem Plateau von Randogne-Mollins (Nordportal bei 1090, Südportal 1019) in Betracht ziehen, bietet in seiner gesamten Anlage eine grössere Einfachheit der topographischen Verhältnisse dar, als das erstgenannte Projekt des Lötschbergtunnels. Die Tunnelaxe durchschneidet die Kalkalpen zwischen Bern und Wallis. Das kry- stallinische Centralmassiv ist unter die mächtigen Kalk- und Schiefer- massen der Wildstrubel-Wildhornkette iu die Tiefe gesunken. Die Topographie dieses zu durchbohrenden Massivs ist ungefähr folgende: Aus dem flachen Thalboden von Oberried südlich von Lenk erhebt sich ein Felsenriegel, durch welchen die Simme sich in malerischen Sirudeln eine enge Kluft hindurchgesägt hat. Es ist dies der Rätzli- berg mit dem Laubhorn. Letzteres stellt eine sogenannte Klippe dar, indem ältere Kalkbildungen wurzellos auf den tertiären Abla- gerungen des Flyschs aufgesetzt sind. Südlich der flachen, quellen- durchrieselten Mulde der Rätzlibergalp erhebt sich gleich einer Riesenmauer das gewaltige Felsgestell des Wildstrubels mit dem hoch- herabhängenden Rätzligletscher. Senkrechte Felsen, unterbrochen durch schmale Bänder, türmen sich stufenlos zum breiten Firnrevier des Rätzligleischers und der Plaine-Morte. Jenseits der Plaine- Morte ragen einzelne untergeordnete Gipfel) aus dem breiten Firnrevier her- vor, so das Todthorn, der Mont Bonvin und der Autannazgrat und senken sich ohne bedeutende felsige Unterbrechungen zu den weiten, sonnigen Alpen von Colombire, Aprily und der Varneralp, um nur die bedeutendsten zu nennen. Es ist der Südabhang des Wildstrubel- massivs ein weit ausgedehntes, von einzelnen Felsausläufern durch- zogenes Alpenland, an welches sich südwärts "das von Dörfern über- säte Hügelgelände von Siders-Montana anschliesst. In seinem ganzen Habitus erscheint der Wildstrubel als ein gewaltiges, nordwärts steil abfallendes kastellartiges Bollwerk, dessen breiter Gletschergipfel ca. 5 Kilometer Durchmesser hat. Am Fusse dieses Bollwerks treten zahlreiche Quellen zu Tage, die berühmten Siebenbrunnen, und zahlreiche Bäche stürzen in Kaskaden über die hohen Felswände zu Thal, so der Trübbach, Fluhbach, Laubbach u. a. Auf der sanft geneigten Südseite sammeln sich die Schmelzwasser der Plaine-Morte zu grösseren, in tiefeingesehniltenen Schluchten fliessenden Bächen, so der Bach von Colombire, La Zesse mit zahlreichen Zuflüssen, Bern. Mitteil. 1900. No. 1491. — 106 — La Posa bei Aprily vom Autannazgrat herkommend und andere. Sehr günstig liegen beim Wildstrubelprojekt die beiden Mundlöcher, das nördliche auf dem von der Simme durchströmten Thalboden von Oberried, das südliche an den freien sanften Abhängen des Plateaus Randogne-Mollins, in der Nähe der in Siders in die Rhone fliessenden Sinieze. II. Allgemeine geologische Übersicht. Das zwischen Wildstrubel und Hockenhorn gelegene Gebiet der Berner Hochalpen zeichnet sich durch eine der merkwürdigsten Er- scheinungen aus. Die Sedimentärgebilde, welche zwischen der Lenk und Siders noch das ganze Gebirge bis in die Lliefsten Teile zusam- ımensetzen, weichen vom Gemmipass an nach Nordwesten und Süd- osten auseinander, indem immer liefere Schichten zu Tage treten, bis dass auf der Linie Feschel-Gasteren das krystallinische Grund- gebirge sichtbar wird, dessen Oberfläche bald bis über 3000 m Meeres- höhe ansteigt. Der durch das Auflauchen des krystallinen Grundgebirges auf- gerissene Sedimentmantel teilt sich in zwei sehr ungleiche Streifen. Der südliche nimmt eine ganz untergeordneie Lage am Nordabhang des Rhonethales ein: bei Gampel schon unterbrochen, steigt die süd- liche Sedimentdecke noch einmal am Fusse des Centralmassivs auf und setzt zuletzt am Baltschiederthal vollständig ab. Der nördliche Sedimentstreifen ist viel bedeutender. Obschon derselbe sichtlich nach Norden gedrängt erscheint und im Vergleich mit der Breite des Wildstrubelgebirges beträchtlich reduziert ist, so finden wir in demselben alle tektonischen Elemente wieder, welche die Wildstrubelgruppe aufbauen. Die Zone von Kalkketieu, welche zwischen Adelboden und Haslithal dem Aarmassiv entlang streichen oder an dessen Fuss angelehnt sind, entspricht also vollständig dem kulminierenden Teil der Wildstrubelgruppe. Wenn auch topographisch anders orientiert und weniger hoch, so ist sie doch die geologische Fortsetzung dieses Gebirgsleiles. Deshalb treffen wir auch in den beiden vorgeschlagenen Traces für den Durchstich der Berneralpen ganz verschiedene geologische Verhältnisse, wenn auch beide scheinbar.dieselbe Gebirgskelte durch- queren. | ee TE ERTEILT TE EEE ON ERDE MEN TERBREEETNET EP FREE UR EA ZAEEIEEOZHESDEZ ER GN! — 107 — Bevor wir zur Besprechung der für die Bohrung wichtigen geo- logischen und petrographischen Verhältnisse schreiten, wird es sich lohnen, die tektonischen Verhältnisse, d. h. den Gebirgsbau und die Schichtenlage etwas eingehender ins Auge zu fassen. Zu diesem Zwecke müssen wir vor allem die verschiedenen Formationsglieder kennen lernen, welche am Aufbau des Gebirges teilnehmen: A. Stratigraphische Übersicht. Quartär. Gebirgsschutt. Überall lehnen sich am Fusse der Felsabstürze, den Thälern und Kummen entlang, Schutthalden und Schuttkegel an. Letztere sind besonders da am schönsten ausge- bildet, wo Rıunsen das felsige Gehänge angeschnitten haben. Bergsturz-Ablagerungen, von grösseren, plötzlichen Fels- stürzen herrührend, sind um Kandersteg mehrere vorhanden. Der Öschinensee verdankt seine Entstehung einer Abdämmung des oberen Teiles des Öschinenthales durch einen gewaltigen Bergsturz, dessen Abrissnische unterhalb vom Biberggletscher deutlich sichtbar ist. Ein anderer, noch viel bedeutenderer Bergsturz, vom N.-E.-Ab- hang des Fisistockes herrührend, hat seine Schuttmassen bis über das Blau-Seeli hinaus geschleudert. Diese Schutimassen, welche die Hügel bei Bühl und die Anhäufungen bei Schlossweide bilden, sollen zur Entstehung der über 160 m hohen Thalstufe von Kandersteg Ver- anlassung gegeben haben. Wegen der Wichtigkeit dieser Schuttab- lagerung für das tiefere Lötschbergtunnelprojekt soll deren Beschaffen- heit und Entstehung weiter unten noch besonders beschrieben und erörterl werden. Fluss- und Bachaufschüttungen sind in allen breiteren Thälern häufig und sehr ausgebreitet. So besteht der Boden des unteren Gasterenthales aus Bachschuttanhäufungen. Der Boden von Kandersteg besteht zum Teil aus Flussalluvium der Kander; anderer- seits hat der Öschinenbach einen etwas flachen Schuttkegel in den Thalboden vorgeschoben. Der zum Teil sumpfige Thalgrund bei Eggen- schwand und zwischen Bühl und Kandersteg mag teilweise auch als ein ausgefülltes Seebecken betrachtet werden. Ältere Alluvialbildungen und Gletscher-Ablagerungen können kaum unterschieden werden. Hingegen sind Moränen aus der “ — 108 — Rückzugsperiode der Gletscher auf dem Thalboden von Kander- steg selbst, bei Eggenschwand, sichtbar. Die Thalstufe von Bühlstutz ist mit den Moränen, welche offenbar von dem früheren Öschinen- Gletscher herrühren, in sehr wahrscheinlichem Zusammenhange. Auch diese Frage soll weiter unten noch speziell behandelt werden. Tertiär. Die jüngste Tertiärbildung ist der Flysch, bestehend aus thonigen, oft fein sandigen, glimmerführenden Schiefern und Mer- geln mit Sandstein-Zwischenlagerungen. Achter Flysch ist bei Kander- steg nur untergeordnet vorhanden. In der Gegend von der Lenk, am Fusse des Laubhorns über Siebenbrunnen tritt hingegen Flysch in typischer Entwicklung und bedeutender Mächtigkeit auf. Bei Kandersteg ist an Stelle von schieferigem Flysch eine mäch- tige Sandsteinformation vorhanden, welche vielleicht auch die Num- mulitenkalke zum Teil vertritt. Es sind hellgraue, gelbliche bis weisse, bald rot, bald grünlichgefärbte, quarzitische Sandsteine, hie und da mit ähnlich gefärbten Mergeln abwechselnd. Oberflächlich sind diese Sandsteine oft braun angewitlert. Sie enthalten spärliche Nummuliten. Zur Unterscheidung von eigentlichen Flyschsandsteinen nennen wir diese Sandsteine Nummulitensandsteine. Die bedeutende Widerstandsfähigkeit dieser Formation hat zur Folge. dass wir diese Sandsteinlager in mächtigen Felswänden an- treffen. So besteht der ganze Nordabsturz des Fisistockes, sowie dessen Gipfelpartie aus Nummulitensandstein. Die eigentliche Nummulitenformation besteht aus bankigen und schiefrigen Kalken, welche oft erfüllt sind von unzähligen Nummuliten (Siebenbrunnen oberhalb Lenk), oft sich aber auch als fast ganz steril erweisen (Fuss des Gällihorns). Eine besondere Ausbildung des eocänen Kalkes ist der sogenannte Lithothamnienkalk: ein dichter, hellgrauer, ganz von fossilen Organis- men erfüllter Kalkstein, welcher Felswände von 20—30 Meter Höhe bildet und leicht mit Schrattenkalk (Urgon) verwechselt werden könnte. (Im Stein bei der Lenk, Winteregg auf der Gemmi, Schnittboden, Eggenschwand). Kreideformation. Gault und Aptien. Finden sich in unbe- deutender Mächtigkeit in der Umgebung des Wildstrubelgipfels, am Ammertenhorn und am Gletscherhorn. Es sind Sandsteine und schief- rige Mergel. Für die Tunnelprojekte ohne Bedeutung, da diese For- mationen wahrscheinlich nicht angetroffen werden. Urgonien. Schrattenkalk. Grauer bis weisser, oft aber auch dunkler, dichter Kalk. Gewöhnlich ein einziges 80 bis 150 m mäch- tiges Lager bildend, welches von weitem als Felsgesims beobachtet und verfolgt werden kann, wodurch dieses Gestein sowohl durch seine Farbe, als auch in der Topographie, dank seiner unbedeutenden Ver- witterung aufs deutlichste hervortritt. Am Fisistock, in dem Fels- graben zwischen den beiden Gipfeln, fanden wir eine Kalkschicht erfüllt mit Gasteropoden, Requienien und Radiolites, welche für das Alter des hellen Kalkes unter den Sandstein-Schichten der Gipfel- partie bezeichnend sind. Hauterivien, Mittleres Neocom, dunkle, graue, oft quarzige und sandige, braun anwitternde Kalke mit eingelagerten Mergeln. Gewöhnlich Durchschnitte ‘von Seeigeln (Toxaster) aufweisend. 150 bis 200 m mächtig, stellenweise mehr. Valangien, Unteres Neocom. Kalke und dunkle Mergel (Ber- rıasschiefer). Wenig Fossilien enthaltend. (Cidaris pretiosa bei Schwarenbach) Mächtigkeit 100—120 m. Durch Zusammenfaltung scheint die Mächligkeit des Neocoms oft sehr bedeutend, während durch Streckung und Auswalzung dieselbe bis auf weniges reduziert sein kann. Juraformation, Malm oder oberer Jura bildet vorerst eine 100—120 m mächtige Kalkwand, sogenannter Hochgebirgskalk, unter welchem sich platlige bis schieferige graue Kalke vorfinden. Letztere entsprechen der Oxfordstufe, 50—100 m. Dogger oder - Mittlerer Jura; dunkle spätige Kalke, oft als Eisenoolith ausgebildet oder auch dunkle, schieferige Kalke, vom oberen Lias schwer zu unter- scheiden, 100—150 m. Lias oder Unterer Jura, bildet drei Abteilungen. Eine obere, schieferige Abteilung entspricht dem oberen Lias. Die mittlere be- steht aus einer mächtigen Breccienschicht, viel Belemniten ent- - haltend. Diese Breceie besteht aus Quarz- und Dolomit-Körnern, welch letztere besonders auf der ausgewitterten Oberfläche durch ihre gelbliche Färbung deutlich hervortreten. Echinodermentrümmer schei- nen stellenweise ebenfalls beigemengt. An der Abdachung des Balm- horns gegen den Lötschengletscher zu hat diese Schicht eine ganz bedeutende Mächtigkeit, durch Auffaltung bis fast zu 500 m 'gestei- _ gert. Zwischen Leukerbad und Inden beobachtet man eine rätselhafte Formation aus grauen und grünlichen quarzitischen Sandsteinen — 10 — bestehend, welche eine ausserordentliche Mächligkeit haben. Sie hangen offenbar mit den mittleren Liasbreccien des Torrenthorn, die- selben wie am Balmhorn, zusammen. Es sind ebenfalls Belemniten darin gefunden worden. Der Übergang in Breccien mit Dolomittrüm- mern ist an Ort und Stelle zu beobachten. Der untere Lias ist durch schieferige, oft auch brecciöse Kalke vertreten. 50—100 m, wenn nicht aufgefaltet oder gestreckt. Trias. Besteht aus drei Lagen, welche im allgemeinen eine ganz unbedeutende Mächtigkeit aufweisen, aber ausserordentlich kon- stante und sehr ausgeprägte Eigenschaften haben. Zu oberst sind glänzende dunkle, oft grünliche oder rote Schiefer, sogen. Quartenschiefer. Dann folgt typischer Rötidolomit, oft in Rauch- wacke umgewandelt. Zu unterst liegt graue oder bunte, rötliche oder grünliche Arkose, sandsteinartig, ja oft conglomeratisch. Dieses Gestein ist gewöhnlich unter dem Namen Verrucano beschrieben und dem Permien zugerechnet worden. Der Farbenwechsel dieses Sandsteins hängt mit der Herkunft seiner Bestandteile zusammen. Über dem roten Gasteren-Granit ist die Arkose rötlich, über dem grünen Granit ist deren Farbe grünlich, oder beide Töne wechseln ab. Auf der Westabdachung des Lötschberges, wo viel Sericitschiefer liegen, ist die Arkose vorherrschend grau-sandig. Zu den sedimentären Ablagerungen, möglicherweise zur Kohlen- formation kann noch gerechnet werden ein schwarzer Schiefer, welcher im Lötschenthale unterhalb der Faldumalp bei Goltschenried ansteht. Er ist zwischen Sericitschiefern eingeschaltet, enthält Graphit- einlagerungen in Nesterform, was auch wohl für Kohlenformation spre- chen mag. Dieses ist das älteste sichere Sediment des untersuchten Gebietes. Sichere Vertreter des Carbon, oder einer noch älteren Abteilung des Palaeozoicums haben wir nicht konstatieren können, obschon die Serieitschiefer möglicherweise metamorphe Sedimente sind. Grundgebirg. Zu dieser Abteilung rechnen wir alle krystal- linen Schiefer, Gneisse, Chloritschiefer, Amphibolschiefer, Amphibolite, Grünsteine, Serpentine und Giltsteine, welche in unzähligen Wechsellagerungen gleich Sedimenten beiderseits des Gneiss- granites oder Protogins auftreten. Die Glimmerschiefer sind ent- weder gewöhnliche Muscovitschiefer, oder graue Sericitschiefer, oft chloritisch und dann grünlich gefärbt. Wir haben letztere, ie re ET ae en Ge ji mit den Amphibolgesteinen und Serpenlinen zusammengefasst, unter derselben Bezeichnung als grüne Schiefer in den Profilen ein- getragen. Alle diese Gesteine, sowie der schöne Gasteren-Granit mit seinen Porphyrgängen, sind von Dr. v. Fellenberg aufs ein- gehendste beschrieben worden. (Geologische Beschreibung des west- lichen Teiles des Aarmassivs; Beiträge zur geologischen Karte der Schweiz. XXi. Liefer. I. 1893.) Es soll im speziell technischen Teile dieses Gutachtens noch besonders von diesen verschiedenen Gesteins- arten die Rede sein. Es ist noch hervorzuheben, dass sowohl die Serieitschiefer und Gneisse, sowie die grünen Schiefer häufig von Mikrogranit- und Aplitgängen (sog. Eurit) durchsetzt sind. Diese sehr quarzreichen hellen Ganggesteine sind oft 5—30 m mächtig. Zwischen Restithal und Meiggen durchsetzen unzählige solcher Gänge die Serieilgneisse und Schiefer in sehr steiler Lage, teils konkordant mit dem Fallen der Schiefer, teils mehr oder weniger schief. Bezüglich der Porphyrgänge, welche im Gasterengranit auf- treten, kann noch hervorgehoben werden, dass dieselben auf der Süd- seite des Granilzuges viel häufiger auftreten als auf der Nordseite desseiben, soweit derselbe nämlich abgedeckt und sichtbar ist. Am Südabhang des Grales unterhalb Hockenhorn, zwischen Sattelegi und dem Lötschenpass (in den «Simmeln» und «Auf den Platten») sind Wechsellagerungen von Granitporphyr und körnigem Granit deutlich sichtbar. Dabei zeigt sich eine so deutliche Einwirkung der Druck- metamorphose, dass der Porphyr dicht schiefrig und der Granit arkoseähnlich körnig wird. Zwischen «Auf den Platten» und dem Lötschenpass is dies so sehr der Fall, dass man nie sicher ist, ob das Gestein Arkose, also sedimentär ist, oder ob es zum Granit gehört. Die Unterscheidung ist um so schwieriger ohne Zuhilfenahme des Mikroskops und Dünnschliffes, da die Arkose ebenfalls aus Granit- trümmern zusammengesetzt ist und bei Druckmetamorphose mikro- skopisch wenigstens ganz dieselbe Zusammensetzung und Struktur aufweisen muss wie gepresster Gasterengranit. Das einzige Kriterium ist eben die Wechsellagerung von dichten und körnigen Gesteinen, was bei der echten Triasarkose gewöhnlich nicht vorkommt, aber wohl vorkommen könnte. Letztere hat gewöhnlich nur 5-10 m Mächtigkeit und besteht meist nur aus einer einzigen Lage oder aus zwei durch dunkle Schiefer getrennten Lagen von Sandstein. — Hr — — 1 — B. Tektonische Übersicht. Der bezeichnende Charaklerzug des Gebirgsbaues zwischen Wild- strubel und Lötschenpass ist, abgesehen von dem Hervortreten des krystallinen Centralmassivs, dass die Sedimentdecke sowohl am Wild- strubel, wo sie noch ganz ist, als auch zwischen Gasterenthal und Engstligenthal, wo sie nach Norden zurückgedrängt und vom Central- massiv abgerutscht ist, eine einzige grosse liegende Falte auf- weist, deren hängender Flügel sowohl als der Stirnrand eine ganze Reihe kleiner Falten als fast regelmässig ausgebildete Mulden und Ge- wölbe zeigt. Es ist dies wahrscheinlich dieselbe grosse liegende Falte, welche von den Glarneralpen her über die Unterwaldner-Alpen sich hinüberzieht, sich in der Faulhorngruppe wiederfindet, über Dündenhorn, Lohner und Wildhorn weiter streicht bis in die Waadtländer Alpen (Dents de Morcles), und sogar jenseits der Rhone die ganz ansehnliche Faltendecke der Dents du Midi-Tours Salieres umfasst. Vielleicht ist ein Teil der Savoyer Alpenkette noch in das Bereich dieser merkwürdigen else Deu Erscheinung hineinzuziehen. Wenn wir die Sachlage in der Wildstrubelgruppe schematisch. darstellen wollen, so wird sich das Bild etwa folgendermassen aus- nehmen: (Siehe Fig. 1 nebenstehender Tafel.) Die mehr als 12 Kilometer lange Falte beweist also, dass zwischen Bhonethal und Lenk die Sedimentdecke nicht .nur doppelt, sondern. stellenweise sogar dreifach ist; ursprünglich muss. dieselhe. auf der ganzen Breite einfach gewesen sein. Rechnet man noch die Auf-; faltungen des hängenden und des mittleren Flügels dazu, so darf man wohl annehmen, dass eine Schichtendecke von nahezu 40 Kilometer Breite durch diese gewaltige Faltung auf kaum 13 Kilometer redu- ziert wurde. Merkwürdig ist die gewölbeartige Auffaltung oder Aufbauchung,, infolge welcher das Eocän der eingeklemmten liegenden Mulde bei. Colombire, Nousey, Trubeln etc. wieder zum Vorschein kommt; es ist; dieselbe Tertiärmulde, welche bei Siebenbrunnen unter der Kalkan des Ammertenhornes untertaucht. Diese Aufbauchung der dreifachen. Sedimentdecke kann man .als eine Andeutung des auftauchenden Gent- ralmassivs ansehen. Der Vergleich obiger Skizze mit dem folgen- Has .2E “ Be... ir | 000007 : I um OxpapuagTud xop Sunuyapsuy ayorFunadsın res SUpaL PWIuog Jawuniouy er 3doqd nuvıg KOJO1yoS auswjsKuy uogıug Aaypg ! unrangıy u Be a ne Ber . - 1aouuanoon Er Fe ag uapoqjapy Se ee en ee ee I. a DE ah Se Porz usuıyasen a ee rat ee Sure, een 8a23 sooe er SER neun eg woy1]]89 Jauyo]. See yaoısısıa HLne woyuapjog "IN "II 'STa 1adaıds- -s8Jaoy jeyjauoyy addııy woygne] BG yaasynd a Jaydsjeld Woysauyag es 12qnaJsplIM urmuog IM = ’ *r -Sır > TW = b, Eu BE ER EN eien A an u en — 113 — den Bild zeigt dieses Verhältnis aufs deutlichste. Es geht daraus noch die weitere Erkenntnis hervor, dass nämlich durch das Auftauchen des Centralmassivs diese dreifache Faltendecke thatsächlich auf der steilen Nordabdachung gegen den freien Raum zu abgerutscht ist; das beweist die Zickzackfaltung am Fisistock und am Gällihorn etc. Siehe Fig. 2 auf nebenstehender Tafel.) r Diese synthetischen Skizzen, welche in vereinfachter Form ve an der Oberfläche sichtbaren Verhältnisse unterirdisch in Verbindung bringen, erlauben, die Tunnelprofile durch den Wildstrubel und durch den Lötschberg trotz ihrer grossen Verschiedenheit zu vergleiche‘. Uber dem Hockenhorn, welches jetzt dieselbe topographische Lage hat wie der Wildstrubel, muss früher, vor der Erhebung des Central- massivs, dieselbe liegende Falte gelegen haben, wie auf dem Wild- : strubel. Dieselbe ist aber nach Norden abgerutscht und sie liegt nun, allerdings durch Erosion sehr reduziert, in zusammengeknittertem Zustande am Fusse des Centralmassivs. Die frühere Ausdehnung und Lage der schleifenförmigen Falte wird durch die punktierten Linien angedeutet. Kin Zusammenhang, welcher durch die zwischen Granit und Schiefern eingeklemmten Sedimente am Hockenhorn thatsächlich bewiesen ist. Dass der angedeutete Zusammenhang wirklich der richtige ist, wird ausserdem durch den Verlauf des Tertiärs oberhalb Siders be- wiesen. Die bei Colombire anstehenden eocänen Sandsteine streichen südlich des Mont-Bonvin und des Mont-T ubang vorüber und sind auf den Weiden von No usey schön abgedeckt; sie setzen ‘ über Varneralp und Trubeln bis an die Winteregg oberhalb - Kandersteg fort, genau parallel der Einsattelung des Gemmipasses, Hier ist deren Zusammenhang mit denselben Sandsteinen des Nassen- boden und Schwarzen Tschuggen und mit der Decke an der Nord- - seite und im Gipfelgebiet des Fisistockes offenbar. Dass diese eocänen - Sandsteine sich dann am Ostabhange des Öschinenthales hinziehen, ist bekannt, Das schöne liegende Gewölbe des Dündenhorn liegt auf einer Eocänmulde, Diese scheint sich dann gegen den Hochthürlipass - hinzuziehen. Sie muss notgedrungen mit dem Eocän von Mürren und der Scheidegg in Zusammenhang gebracht werden. Wie leicht be- - greiflich, ist das Gestein aber nicht fortgesetzt anstehend zu sehen, _ weil es von älteren Sedimenten eingeschlossen sein kann, oder wenn - anstehend, oftmals von Eis und Schnee bedeckt. Bern. Mitteil. 1900. No. 1492. a iR — 1141 — Diese kurze Übersicht, welche mit Detailbeschreibungen unserer Aufnahmen belegt werden könnte, mag für den gegenwärtigen Zweck genügen. Der Vergleich obiger Skizzen mit der Karte und den Detail- profilen giebt mehr Aufklärung und Belehrung als ein ganzer Band Beschreibung. Es bleibt nur noch ein besonderer Punkt zur Besprechung übrig, n.mlich C. Das Schuttgebiet von Kandersteg. Indem das tiefere Tunnelprojekt durch den Lötschberg gerade diese Schuttausfüllung zu durchstechen hätte und zwar auf eine Strecke von fast 2'/ Kilometern, SO ist es angezeigt, die Natur und Beschaffen- heit dieser mächtigen Schuttablagerung näher zu besprechen. Oben erwähnten wir schon, dass die Hügel von Bühl und von Schlossweid bei Mittholz unterhalb Bühlstutz mit Blockanhäufungen bedeckt sind, welche, der Natur des Gesteins nach zu schliessen, un- zweifelhaft einem Bergsturz zuzuschreiben sind, welcher sich vom Nordostabhang des Fisistockes ablösend bis Kandergrund hinunter- rollte, also fast 8 Kilometer von der Abrissstelle entfernt. Diese Thatsache steht fest. Darauf wurde verschiedenerseils die Ansicht be- gründet, die ganze Trümmeranhäufung am Bühlstutz, welcher die Thal- stufe des mehr als 160 m höher gelegenen Kanderstegbodens bildet, sei gerade durch diesen Bergsiurz entstanden. Vor allem steht sicher, dass diese Thalstufe von Bühlstutz kein Felsriegel, sondern eine wirkliche Schuttanhäufung ist. Daraus geht des weiteren hervor, dass zur Zeit, als diese Schuttablagerung noch nicht da war, das tiefere Kanderthal von Mittholz aufwärts mit gleich- förmigem Gefälle sich bis an den Eingang zur Klus und des Öschinen- ihales ausdehnte. An Stelle des jetzigen flachen Thalgrundes von Kandersteg lag früher ein viel tiefer eingeschnitienes Thal. Ziehen wir noch den Umstand in Betracht, dass schon bei Mittholz und Schlossweide eine bedeutende Schuttausfüllung auf dem Thalgrunde liegt, so dürfen wir wohl annehmen, dass die Höhe der Schultan- häufung am Bühlstutz nicht weniger als 200 m über den Felsgrund des Thaleinschnittes sich erhebt. Bei Kandersteg mag die Schutl- aufhäufung wohl noch 150 m betragen und bei Eggenschwand eiwa 100 m. Wäre nun die Thalstufe von Bühlstutz eine Schuttablagerung, vom erwähnten Bergsturz vom Fisistock herrührend, so müsste der- — 15 — selbe ursprünglich eine eigentliche Abdämmung des oberen Kanderthales erzeugt haben. Ungefähr so wie jetzt noch der Öschinensee, müsste nach dem Sturz das Thalstück oberhalb der Sperre sich mit Wasser gefüllt haben. In diesem Falle wäre der flache Thalgrund von Kander- steg als ausgelülltes Seebecken zu denken. Unsere Aufnahmen haben aber dargethan, dass ein Teil des Kanderstegergrundes von Moränen bedeckt ist, besonders bei Eggen- schwand. Diese Moränenhügel hängen aufs deutlichste mit der be- deutenden Schuttanhäufung zusammen, welche den Hügel «Auf der Höhe» genannt, bilde. Wir haben ausserdem festgestellt, dass das Bergsturzmaterial von Bühl bis Schlossweide nur oberflächlich liegt, und dass darunter sich überall dieselbe hauptsächlich aus Jura- und Kreidegeschieben bestehende Moräne sich vorfindet. Aus diesen Beobachtungen gehen zwei Thatsachen hervor: 1. dass der Bühlstutz aus Moräne besteht und dass 2. der Berg- sturz vom Fisistock erst nachträglich auf die Moräne geslürzt ist. Das Fehlen von Sandsteintrümmern zwischen dem Abrissgebiet und dem Bühl, wo die ersten Sandsteinblöcke vom Fisistock sich zeigen, mag vielleicht dem Umstand zuzuschreiben sein, dass der Sturz stlaltfand, als der Gletscher, durch welchen die Moräne entstand, noch vorhanden war und das Schuttmaterial auf dem Gletscher ins Thal herunterrollte, was auch das ausgedehnte Zerstreuungsgebiet erklärt. Der Gletscher muss unbedingt aus dem Öschinenthal herausge- flossen sein, das beweist das Schuttmaterial, dem Trümmer von Ga- sterengranit durchaus fehlen; auch die Form der Moränenhügel zwischen Eggenschwand und Bühl zeigt eine so deulliche bogenförmige Anordnung, dass deren Natur als Stirnmoränen eines früheren Öschinen- gleischers nicht verkannt werden kann. Warum der Öschinengletscher noch bis Kandersteg vorstossen konnte, während der Gasterengleischer sich schon in sein oberes Thal zurückgezogen hatte, mag seine Erklärung in dem hochgelegenen, sehr ausgedehnten Firngebiet und dem sehr steilen Gefälle des Öschinengletschers finden. Es darf somit angenommen werden, dass die Thalausfüllung von Kandersteg, den oberflächlichen Teil ausgenommen, vollständig aus Moräne besteht und zwar im tieferen Teil aus Grund- moräne, im oberen und am nördlichen Thalrand aus Stirnmoräne. Mit diesem Umstande hängt auch die Erscheinung zusammen, dass — 116 — beidseitig vom Thalboden bedeutende Quellen aus denNeocomkalken besonders aber aus den. tertiären Sandsteinen entspringen. Wäre die Ausfüllung Bergsturz, so würden die Quellen nicht zu Tage treten, sondern unterirdisch abfliessen und wahrscheinlich erst bei der Schloss- weide oder an irgend einer Stelle des Thalriegels am Bühlstutz aus- treten. Moräne, besonders Grundmoräne ist aber meist wasserdichtes Material, wodurch das seitlich von den Thalgehängen ausfliessende Quellwasser gestaut wird und zwischen Gletscherschutt und Fels auf- steigend bis an die Oberfläche dringen muss. Dieser Umstand soll noch bei Besprechung der Wasserverhältnisse des tieferen Lötschberg- tunnels in Erwägung gezogen werden. III. Spezielle geologische Beschreibung der Tunnelprofile. A. Lötschberg. I. Der kürzere Tunnel 12,9 km. Der kürzere Tunnel {rifft, abgesehen von einer unbedeutenden kleinen Schutthalde beim Nordportal, überall gewachsenen, anstehen- den Fels. Nach der Natur desselben ergeben sich für das Trac& ohne weiteres 3 Sektionen: a) Nördliche Sektion — im Kalk; b) Mittlere Sektion — im Gasterengranit; c) Südliche Sektion — in den kKrystallinen Schiefern. a. Nördliche Sektion. Die nördliche Sektion begreift die Tunnelstrecke unter dem Fisi- stock, dem Gasterenthal und seinem nördlichen Thalhang, bis zum Kontakt mit dem Granitstock, umfasst also das Stück vom nördlichen Tunnelportal auf dem rechten Kanderufer bis zu Km 23 circa. Die Sektion ist fast ausschliesslich im Kalkmantel angelegt. Da dessen Schichten, wie aus den Ausführungen des vorigen Kapitels her- vorgeht, in mehrere Falten geworfen sind, so wird es kaum möglich sein, die genaue Begrenzung der einzelnen Schichten in der Tiefe herauszufinden. Doch haben wir genügend Anhaltspunkte, um über die Natur der kalkigen Sedimente, soweit sie für den Tunnelbau in Betracht kommen, Aufschluss geben zu können. Der Tunnel tritt hinter dem Hotel Bären ein in dunkle, spälige oberflächlich braun anwitternde Kalke, die dem Urgon angehören Lötschberg - Tunnels Schlossweide 393 - — Kander u Kander Kander Eggenschwand (Kandersteg) Fislalp Strasse Frutigen-Kandersteg Bühl = & = 2 3 = [ra Oeschinenbach Kandersteg ne9 Gasternthal Fisistock 2947 Mittelst Bächli Kander 1} © s = = ! | Fislalp 1866 - Fisistöoke S EB = Doldenhorn Mn Fol Gasternthal Lötschengletscher Wildelsigen (Balmhorngl.) Doldenhorn Klein 8474 Gross 8847 Tunnellänge 12,9 km. Lötschenpass Ferden- -Bach Leitibach 2695 Pape z & 3 BERN ı ' ı WALLIS Hockenhorn 3287 Dornbach Faldumbach Ferdenbach Lonza Lötschenthal Dornbach Faldumbach Be Gletscher FE Gebirgsschutt; Bergsturz EB Alluvium Moränen EEE Rummulitenkalk und Schiefer Fe Gault und Aptien = Urgonien ES Hauterivien a] Valangien (Berrias) EB] Hochgebirgskalk, oberer Malm ES Oxford Schiefer, unterer Malm = Fiysch, schieferige Thone u. Mergel ummulitensandstein, quarzitisch Neocomien } Jura Lötschenthal Dogger Oberer Lias (Schiefer) Mittlerer Lias (Breccie) Unterer Lias (Schiefer) Graue, oft bunte Schiefer Dolomit und Rauchwacke Arkose-Sandstein Schwarzer Thonschiefer Sericit-Glimmerschiefer Massstab 1 : 50000 Trias Grüne Schiefer, Amphibolit, Serpentin, Topfstein er] Gasteren Granit, mit Porphyrgängen =] Aplitgänge im Gneiss und Glimmerschiefer kan? KUNSTANSTALT ma A mÜNMERLY n FRET BERE. — 117 — mögen und bis Km 20 ungefähr anhalten. (No. 1—4 der Gesteinshand- stücke.) Die Schichten fallen in dicken Bänken schwach N. W. und sind durchsetzt von einer fast senkrecht stehenden Klüftung. Dann folgen ähnliche Kalke, dem Neocom angehörend, und bei Km 20.6 schwarze, thonige, sehr stark gefaltete und leicht verwitter- bare Schiefer (No. 5). Unter dem Gasterenboden stehen die ober- und mitteljurassischen Schichten an (No. 6—10). Die Haupimasse derselben gehört wohl zum Hochgebirgskalk, einem dunkeln, bald dickbankigen, bald dünngeschichteten, hellklingenden Kalk von splittrigem Bruch. Das Gestein ist im allgemeinen fest und von geringer Verwitterbarkeit. Von Km 22 an ungefähr folgen die Liasschichten: Echino- dermenbreccien, massige, spätige, körnige Kalksteine mit Quarz- körnern und eingebetteten Dolomitbrocken (No. 11 und 12) und dunkel- graue, glänzende, dünnschiefrige, leicht verwitterbare Thonschiefer von nicht sehr bedeutender Mächtigkeit (No. 13 und 14). Der unterste Teil derselben könnte vielleicht den sonst buntgefärbten Triasschiefern angehören. Gegen den Granitkontakt zu bei Km 23 circa trifft der Tunnel auf den Rötidolomit, einen dichten dolomitischen Kalk in massigen Bänken von bläulichschwärzer bis rosenroter Farbe mit der bekannten gelben Verwitterungsrinde und von splittrigem Bruch (No. 15 und 16). Am Kontakt selber erscheint die Arkose (No. 17 und 18), körniger Trümmersandstein aus Quarz- und Feldspatkörnern bestehend, klein- oder grobkörnig, von weisslichgrauer oder grünlicher Farbe und in dicken Bänken. Mächtigkeit 6 m. (Auf dem Profil der Deut- lichkeit halber zu mächtig angegeben, wie auch der Rötidolomit und die sog. Triasschiefer.) Die sämtlichen, vom Südfuss des Fisistockes an auftretenden Schichten fallen mit circa 25° N. W. In Bezug auf die Bohrung ist diese nördliche Sektion natür- licherweise die leichteste. Der Bohrfortschritt in den Kalkschichten wird ungefähr demjenigen entsprechen, wie er im gewöhnlichen Alpenkalkstein erreicht wird. (Am Gotthard im Dolomit 11—13 m pro Tag.) Grösser wird er sein in den Neocom- und Liasschiefern, geringer in der harten Arkosebank. Die Sprengwirkung in den kompakten Kalkbänken ist bekannter- 4 I Pe . = IRRE ; i { massen eine sehr grosse, wird aber sehr stark beeinträchtigt durch die wenig geneigte Schichtenlage. Wenn auch grössere Partien der Tunnelröhre in festen Kalk fallen, so wird doch aus später zu erörternden Gründen eine Aus- mauerung der ganzen Sektion notwendig sein. Gebirgsdruck könnte sich unliebsam bemerkbar machen in den Liasschiefern bei Km 22.5. Die Länge dieser Sektion beträgt circa 3,8 Km. — 118 — b. Mittlere Sektion. Sie umfasst diejenige Tunnelstrecke, in welcher der Granitstock von Gasteren durchbohrt wird. Der Gasterengranit ist der einzige ächte Granit der Berneralpen, ein körniges Gemenge von weissem Örthoklasfeldspath, grünlichem Plagioklasfeldspath, schwarzem oder tombakbraunem, stets in 6seitigen Blättichen ausgebildetem Glimmer und gleichmässig verteillem Quarz. An Stelle des grünlichen Plagioklasfeldspathes tritt hin und wieder ein pfirsichblütrot gefärbter. Dieser rote Gasterengranit (No. 21) erscheint aber nur in untergeordneten Parlien, nesterweise im ge- wöhnlichen Granit. Die Struktur des Granits ist eine durchaus richtungslose, massige. Nach dem Korn ergeben sich eine Menge von Varietäten. No. 19 z.B. grobkörnige Varietät mit vorwaltend grünem Feldspath (grüner Gasterengranit), No. 20 mittelkörnige Varietät mit vorwaltend weissem Feldspath (weisser Gasterengranit). Ein steilgestelltes Kluftsystem sondert die Granitmasse in Bänke von /’.—1'/s m Dicke. Schon auf der Nordseite des Granitlmassivs ist der Grundgranit durchsetzt von vereinzelten Porphyrgängen (No. 22 und 22*). Die- selben häufen sich nach dem Südende des Massivs zu in einer Weise, dass der Porphyr das vorherrschende Gestein wird. In Bezug auf Bohrarbeit wird diese mittlere Sektion die schwierigste sein. Der Gasterengranit könnte hinsichtlich des Widerstandes, den er dem Bohrer entgegensetzt, etwa verglichen werden mit dem Gneiss- Anmerkung. Nach den uns vorliegenden Profilen des kürzeren Tunnels würde die zu erstellende Ausweichsstation in die Nähe des Granitkontaktes zu liegen kommen. Wir machen hier aufmerksam auf die teilweise schlechte Be- schaffenheit der Liasgesteine und die voraussichtlich beträchtlichen Wasser- infiltrationen an jener Stelle. EN ge ee — 119 — granit der Schöllenen; eher ist er noch zäher, wird aber bessere Sprengresultate ergeben. Zur Vergleichung könnten nachstehende Bohrresultate beigezogen werden: Gneissgranit 4m pro Stunde 2,5 m täglich. Fortschritt im Richtstollen Im Gneissgranit des Gotthard: 6 Maschinen „ 4,4 nl ch} „ 2,8 m „ „ ” „ (System 5 m i 3..0m $ Er „ „ $) ” >} 9 ı Ferroux) „ 4,6 m „ „ 3 m „ DR} br} ”„ Im zähen Antigoriogneiss des Simplon: 4m täglich im Richtstollen (Brandt’sche Bohrmaschine). Dagegen werden die ausserordentlich harten Porphyrgänge die Fortschritte in der Bohrung eher ungünstig beeinflussen, wenn auch die Sprengwirkung eine sehr gule sein wird. Für den regelmässigen Fortgang der Arbeiten sodann ist die sehr gleichmässige Beschaffenheit des Gesteins von grossem Vorteil. Trotz des vorzüglichen Gesleinsmaterials in dieser Sektion glauben wir doch eine Ausmauerung befürworten zu sollen, haupt- sächlich im Hinblick auf die grossen Überhöhungen (1100-1640 m). Spannungen im Gestein, und die sind ohne Zweifel auch im Granitkern vorhanden, lösen sich mit der Zeit aus. Auch in ganz kompaktem Fels bilden sich dann Spaltfugen, was seine Zerbröckelung zur Folge hat und eine nachträgliche Auskleidung der Tunnelröhre doch not- wendig macht. Daher wird z. B. der Simplontunnel vollständig aus- gemauerl, obschon der Tunnel auf der Südseite im Antigoriogneiss liegt, der an Festigkeit unserem Gasterengranit nur wenig nachgeben dürfte. Übrigens wird gerade der Gasterengranit ein ausgezeichnetes Konstruktionsmaterial liefern. Zwar kann das im Tunnel gesprengte Gestein zu Bauzwecken nicht oder nur in geringem Masse verwendet werden, weil die Sprengung vollständige Zertimmerung im Gefolge hat. Dagegen finden sich im Hintergrund des Gasterenthales genügend Stellen, wo der Granit mit Leichtigkeit gebrochen werden kann. Hier soll auch auf den bequemen Abbau der harten, eocänen Sandsteine des Fisistocks hingewiesen sein. Auf der Nordseite wird der Tunnel auf den Granit stossen unge- - fähr bei Km 23. Die Grenze zwischen Sedimentdecke und Grund- gebirge ist jedoch kaum genau zu bestimmen, da die nächste sichtbare Kontaktstelle bereits 1 Km von der Tunnelaxe entfernt liegt. Immer- 1 — 120 — hin sind die Anhaltspunkte doch der Art, dass der Fehler nicht mehr als 200 m betragen sollte. Schwieriger dagegen ist die Bestimmung der Südgrenze des Granitstockes. Jedenfalls liegt sie zwischen Km 28 und 29. Nehmen wir 28.7, so erhalten wir als Länge der mitlleren Sektion 5.6 Km c. Südliche Sektion. Die südliche Sektion beginnt bei Km 28.7 circa, wo der Tunnel in die Zone der krystallinen Schiefer eintritt und darin verbleibt bis zu seiner Ausmündung ins Lötschthal. Die Zone der krystallinen Schiefer ist ausgezeichnet durch die Mannigfaltigkeit ihrer Gesteine: Sericitische Gneisse und Schiefer Glimmerschiefer, grüne Schiefer mit Einlagerungen von Topfstein und Amphiboliten. Im südlichen Teil der Sektion erscheinen dann granitische und aplitische Gänge, die in grosser Zahl die Schiefer durchziehen. Eine petrographische Beschreibung der einzelnen Ge- steine ist im Hinblick auf rein technische Fragen überflüssig. Besser als jede Beschreibung giebt unsere Handstücksammlung No. 23—42 Auskunft. Der beständige Wechsel im Aussehen und in der Verteilung der verschiedenen Gesteine macht es unmöglich, für jedes einzelne der- selben Ausdehnung und Lage in der Tunnelaxe festzustellen. Das hat übrigens gar keine grosse Bedeutung, weil die ganze Zone in technischer Beziehung doch eine mehr einheitliche darstellt. Doch konnten die Zonen der grünen Schiefer mit Amphibolit- und Topfstein- einlagerungen ungefähr festgestellt werden. Die ganze Zone der Krystallinen Schiefer streicht nördlich nach dem Hintergrund des Lötschthales; die Tunnelaxe steht also so ziem- lich senkrecht zur Streichrichtung. Während die Schichten oben an den Gräten flacher liegen, nimmt ihr Fallwinkel nach der Tiefe mehr und mehr zu, bis sie nahezu die Verticale erreichen. (Lonzabrücke 80°, Schlucht des Ferden- bachs 90°.) Diese steile Schichtstellung ist für den Tunnelbau von grossem Vorteil. Der Schichtverband ist dabei ein fester und es sind so weniger starke Gewölbe notwendig, als bei mehr flacher Lagerung. Bezüglich der Mauerung verweisen wir auf das für die mittlere Sektion gesagte. —- 21 — i | Was die Bohrung anbetrifft, so kann diese Sektion in Vergleich gebracht werden mit dem Stück des Gotthardtunnels unter dem Ur- | serenthal, also mit den Gesteinen der Urserenmulde. | Zu den weichsten Gesteinen gehören die Glimmerschiefer, die Sericit- und die grünen Schiefer. (Vergl. No. 118, 81, 18, 12 Serie N. der Gotthardhandstücke, mit den nachstehend zusammengestellten Bohrfortschritten): - No. 118 Glimmerschiefer 8,98 m pro Stunde 4,49 m tägl. Fortschritt im Richtstollen No. 12Seriecitschiefer 8,93m „ 9» 5,20 m „ + ? = (6 Maschinen System Ferroux.) Geringere Bohrresultate werden sich von Km 32 an ergeben infolge | der dort auftretenden granitischen und aplitischen Gänge. Die zähesten Gesteine der ganzen Sektion sind ohne Zweifel die | Amphibolite. Linsen- oder streifenförmige Amphiboliteinlagerungen von geringer Mächtigkeit sind zu erwarten zwischen Km 30 und 30.5 (Handstücke 28 und 33); grüne Schiefer zwischen Km 29.5 und 30. Die Länge dieser Sektion mag 3,5—9,8 km betragen. EM. Der längere Tunnel 18:5 Km. Für den längeren Tunnel ergeben sich insofern einige Abweich- ungen, als derselbe auf der Nordseite 168 m tiefer ins Gebirge ein- tritt, wodurch die Länge der Sektionen eine andere wird. Zugleich schneidet er eine Anzahl Gebirgsglieder, die der kürzere nicht mehr berührt. Sonst sind die Verhältnisse, soweit sie den anstehenden Fels - betreffen, dieselben. Als neu kommt hinzu die in Schuttausfüllung zu erstellende Strecke Mitholz-Kandersteg. Wir erhalten also für den längeren Lötschbergtunnel folgende Gliederung: 1. Das Schuttgebiet von Kandersteg; 2. Die nördliche Sektion — im Kalk; 3. Die mittlere Sektion — im Granit; 4. Die südliche Sektion — in den krystall. Schiefern. EEEEEEEEZLTZLREELEEEUEBE TREE EDEL LEER TED 1. Das Schuttgebiet von Kandersteg. Vom Nordportal bis zu Km 13.4 circa. Über die Thalausfüllung _ von Kandersteg ist im vorigen Kapitel eingehend berichtet worden.') !) Da es für den Tunnelbau ziemlich gleichgültig sein kann, ob man die Schuttmassen am Bühlstutz als Moränen- oder als Bergsturzmaterial betrachtet, weil die beiden hier in technischer Beziehung keine grossen Verschiedenheiten zeigen, so verzichtet der eine Experte, der von der Bergsturznatur der ganzen Ablagerung überzeugt ist (Sturz vom Fisistock), auf eine ausführliche Begründung ‚seines Standpunktes. Bern. Mitteil. 1900. No. 1493. Berg, 2 Sei es Moräne oder sei es Bergsturz, so viel ist sicher, dass man es ; in diesem ersten Stück unter allen Umständen mit Schuttgebirge zu {hun haben wird, in welchem regelmässige mechanische Bohrung aus- geschlossen ist, und dass das Tunnelstück unter der Thalsohle von Kandersteg zu den schwierigsten gehört. 2. Die nördliche Sektion. e Von Km. 13.4 bis Km 17 eirca trifft man mit einer einzigen Aus- nahme die nämlichen Gesteine an, wie im vorigen Projekt. Vor dem Urgonkalk nämlich, bei Km 13.4, steht möglicherweise Eocän an und zwar ein sehr harter Sandstein. 3. Die mittlere Sektion. 7 Km lang, bis Km 24 circa, muss im Gasterengranit gebohrt werden. 4. Die südliche Sektion. 5'/. Km, in den krystallinen Schiefern, die im vorigen Kapitel bereits besprochen wurden. Hinzuzufügen sind: Bei Km 28 eine Zone grüner Schiefer mit einem Topfsteinlager. Gegen das Südportal hin bei Km 29.1 eine Amphibolitzone, die vom «roten Berg» auf das rechte Lonzaufer hinüber streicht und einen Bleiglanzgang enthält, der wahrscheinlich durch den Tunnel ange- schnitten wird. B. Wildstrubel-Tunnel. Die beiden Wildstrubeltunnels erreichen das Grundgebirge und die ältesten am Lötschberg vorkommenden Sedimente der Trias nicht mehr. Die zu durchbohrenden Schichten setzen sich ausschliesslich zusammen aus Kalken, Schiefern und Sandsteinen. Was für ein Betrag freilich auf jede dieser Gesteinsarten fällt, lässt sich nicht zum voraus bestimmen; für das Innere des Wildstrubelklotzes sind wir auf die Hypothese angewiesen. Sicher ist nur, dass der Tunnel auf der Nordseite auf die dunkeln thonigen, mit 30° Süd fallenden Flyschschiefer trifft, in welchen die Kalkklippe des Laubhorns steckt; auf der Südseite vorerst auf schwarze Schiefer und Sandsteine des Lias, dann auf die Kalkbänke des oberen und mittleren Jura. Möglicherweise wird man auf der grössten Tunnel- strecke eocäne Gesteine, Flysch, anbohren. Die Bohrung in den durchweg weicheren Gesteinen, die auf grosse Strecken im.grossen und ganzen dieselbe Beschaffenheit haben, wird eine leichte sein. Dagegen wird die Sprengwirkung durch die mehr flache Schichtenlage ungünstig beeinflusst. Geologische Profile Glacier de la Plaine Morte Colombire Räziigletscher PR L nn, VE A EEE er a nr 2 2 Wildstrubel-Tunnels Be Räzliberg > | Gletscherhorn a 2948 Siders Massstab 1 : 50.000 a m Behr EB =S EN 3 E 7 & = Oberried e (Lenk) = Richtung: Oberried-Siders. Oberried Ammertengletscher Wildstrubelgletscher _ (le) o | 5 = | 5 Er | = = 3 3 | 3 r ® er 2.8 | E 2 oa = [71 e 1 NS J = z E a = Y - BERN WALLIS S E EI 3 E 8 3 3 { „e = I 71 \ ! Ammertenhorn Leuk Richtung: Oberried-Leuk. | | — 123 — Ausdrücklich soll hervorgehoben werden, dass der Gebirgsdruck im Innern des Wildstrubelmassivs ein enormer sein muss, und falls dort wirklich die weichen Flyschgesteine anstehen, die stärksten Ge- wölbekonstruktionen notwendig werden. IV. Wasser- Verhältnisse. Lötschbersg. 1. Kürzerer Tunnel. 12.9 Km. Die Wechsellagerung wasserdichter und wasserdurchlässiger Schich- ten wird besonders in der Sektion a zu mehreren Wasserzuflüssen Veranlassung geben. Nahe beim Nordeingang wird der eine oder andere der Wassersträinge der am Thalrand von Kandersieg ent- springenden Quellen durchschnitten werden. Das Wasser wird aus dem dunklen Urgonkalk heraustreten und bei der Bohrung wenig hinderlich sein, indem dasselbe meist seitlich oder in der Tunnel- sohle zufliessen wird und ausgenommen beim Eintritt in die Neocom- kalke (Km 20) wenig Wasserzufluss von oben zu befürchten ist. Von Kn 20—21 durch die oft schiefrigen Hauterivien- und Valangienschichten wird beständiger, aber schwacher und mit dem Fortschritt abnehmender Zufluss von oben stattfinden. Beim Eintritt in den rissigen Hochgebirgskalk, ungefähr bei km 21, sind bedeu- tende Wasserzuflüsse von oben zu befürchten, entsprechend dem Vor- handensein von starken Quellen, welche am nördlichen Thalrand des Gasterenbodens in 1360 m Meereshöhe austreten, ungefähr unterhalb der Stelle, wo der Hochgebirgskalk den Thalboden durchquert. Das Anschneiden des letzteren, nämlich des Kalkes, wird sehr wahrschein- lich dieses Quellenbassin anzapfen und die ganze Wassermenge nach und nach, im schlimmsten Falle auf einmal, zum Abfluss in den Tunnel bringen. Dabei wird der anfängliche Zufluss bedeutend grösser sein, indem sich der Wasserspiegel senken muss, bis das Reservoir voll- ständig entleert ist. Da es sich um eine sichtbare Wassermenge von ungefähr 200 SL handelt, wahrscheinlich aber viel mehr Wasser durch den Alluvialboden ausfliesst, so muss man sich auf ein anfänglich sehr bedeutendes Wasservolumen gefasst machen, 3—400 SL, im Frühjahr und Sommer mehr, als im Winter. Später mag die Wassermenge auf 250 SL herabsinken. Es ist wiederum möglich, dass durch sehr — 124 — günstige Verhältnisse nur ein kleiner Teil des Wassers abgezapft wird. Obige Ziffern beziehen sich auf den Fall, dass das ganze Quellenbassin angeschnitten wird. Die Unterführung unter den Gasterenboden hat, trotz der gerin- gen Überlagerung, nicht zu befürchten, auf Trümmergestein zu stossen. Die Auffüllung beträgt höchstens 60— 70m. Der Tunnel wird also sicher noch von mindestens 100 m Felsgestein überhöht sein. Wasserzufluss ist auf der Nordseite, im Hochgebirgskalk zu befürchten. Im Dogger, sowie im obern und untern Lias wird häufiges, aber schwaches Wasser- träufeln stattfinden. Nur im kompakten mittleren Lias werden be- deutende Wasserzuflüsse zu erwarten sein. Sektion b. Es ist kaum wahrscheinlich, dass der Eintritt in das Gasterengranitmassiv mit bedeutendem Wasserzufluss zusammen- fallen wird. Der Granit ist, obschon zerklüftet, nur oberfläclich als Wasser durchlässiges Gestein zu bezeichnen. Die unbedeutende Lös- lichkeit seiner Substanz verhindert tiefgehende Erweiterungen der Klüfte; somit dringen Tagewasser gewöhnlich nur wenig tief in Granit- gestein ein. Da die Überhöhung des Tunnels im abgedeckten Teil des Granitmassivs 1200—1400 m beträgt, so ist der Wasserzufluss bis in solche Tiefe fast vollständig ausgeschlossen. Sektion c. Die steilstehenden krystallinen Schiefer werden, dank ihrer Parallelabsonderung, welche die Wasserführung sehr er- leichtert, zuerst sehr schwachen Wassermengen tropfenweisen Zutritt gestatten. Die Menge dieses Sickerwassers wird mit abnehmender Überhöhung des Gebirgs zunehmen und besonders in der Nähe des Südportals in den sehr zerklüfteten Aplit- und Mikrogranitgängen kleinere Quellen bilden. Grössere Quellen werden in der Strecke e keine zu erwarten sein. 2. Langer Tunnel. Hier ist besonders die Unterfahrung der Schuttauffüllung des Thalbodens von Kandersteg von grosser Bedeutung. Es ist erstens beständiger Zufluss von Tagewasser zu befürchten, im Falle, dass das Schuttmaterial aus grossen Blöcken (Bergsturz oder Blockmoräne) be- steht. Bei lehmig-sandiger oder kiesig-sandiger Grundmoräne wäre dies weniger der Fall. Die Thatsache, dass auf beiden Seiten des Thalbodens, zwischen Kandersteg und Eggenschwand, bedeutende Quellen entspringen, mindestens 500 SL, deutet mit Sicherheit darauf- ie u d ZU — 125 —- hin, dass an der Randzone der Schuttmasse, vor dem Eintritt in das feste Gestein (Km 13.3—13.4), der rechtsseitige Quellenstrang abge- schnitten wird. Da derselbe der ergiebigste ist, so mag die Wasser- menge auf mindestens 300SL angesetzt werden; am Anfang bis zur Entleerung des Bassins natürlich viel mehr. Sektion 2 wird sich verhalten ganz wie beim kurzen Tunnel- trac6. Bei Km 14.6 bedeutende Wassermenge aus dem Malm. Von Km 15 bis 17 wenige Zuflüsse oder nur ganz schwaches Schweissen des Gesteins. Die Sektion 3 wird sich hier wegen der nur schwachen Über- höhung (430 m) durch den Gasterengranit unterhalb Brandhubel etwas anders verhalten, als der entsprechende Teil des kürzeren Projekts. Bei Km 18 wird möglicherweise Tagewasser durch Spalten eindringen. Die Sickerwasser werden aber mit der Überhöhung abnehmen und erst in den krystallinen Schiefern, Sektion 4, wieder etwas zu- nehmen, um dann mit der allmähligen Abdachung von Km 17 an sich mehr und mehr zu vermehren, ohne aber ein bedeutendes Volumen zu erreichen. Wildstrubel. Die sehr ähnlichen Verhältnisse beider Tunnelprojekte erlauben uns, dieselben zusammen zu besprechen. Die Strecke von Km 0—6 wird im allgemeinen nur diffuse, tropfenweise Sickerwässer aufweisen, besonders im Norden beim Durchfahren der steilstehenden Flysch- schiefer. Nur beim Durchstich der Laubhornklippe, insofern dieselbe bis auf das Tunnelniveau herabreicht, wird ein grösseres Wasser- volumen zu erwarten sein. Der südliche Tunnelteil in den Kreide- und Juraschichten wird bei Km 6.5 und besonders bei Km 8—8.5 bedeutende Wassermengen antreffen; beim Trac& Oberried-Leuk mehr, als beim Trac& Oberried-Siders. Bei ersterem werden höchstens die Liassandsteine in der Nähe des Südportals Wasserzuflüsse gestatlen;- bei letzterem die Malmkalke bei Km 11.5. V. Temperatur-Verhältnisse. Die Schwierigkeiten, die sich der Temperaturbestimmung für einen Punkt innerhalb eines Gebirgsstockes entgegenstellen, sind be- kannt. Die Gesteinswärme hängt nicht nur ab von der vertikalen — 124 — Tiefe, resp. der kürzesten Entfernung zur Oberfläche; sie wird viel- mehr bedingt durch das Gesamtrelief der überlagernden Gebirgsmasse und im einzelnen manigfach beeinflusst durch die Natur des Gesteins, seine Struktur, Wasserführung u. Ss. w. i Aus dem Grunde ist es auch unmöglich, für die Temperaturbe- rechnungen exakte Formeln aufzustellen, um so weniger, als wir über die Temperatur der Bodenoberfläche in verschiedenen Höhen relativ spärliche Beobachtungen besitzen. Trotzdem wurden für die einzelnen Projekte die von Stapf auf- gestellten Formeln in Anwendung gebracht: I. T=1--0,020679h (h=vertikale Überhöhung) (n — kürzester Abstand zur Oberfläche) I. T=t--0,02159 n (t = Bodentemperatur) Da die nach obigen Formeln erhaltenen Resultate aber bis auf —+ 5° unsicher sein können, so schien es wünschenswert, auch die von Heim angewandte Methode des Vergleichens mit einem bekannten Temperaturprofil (Gotthard) zu benutzen, eine Methode, die erlaubt Temperaturen bis auf + 2° richtig zu schätzen. Die leiztere Art der Vorausbestimmung diente zur Herstellung der Temperaturprofile; doch werden wir vergleichsweise die nach Stapf erhaltenen Werte ebenfalls beisetzen. A. Der Temperaturverlauf im Lötschberg. Das Lötschberggebiet weist in seinem äussern Relief manche Ähnlichkeit mit dem Gotthardgebiet auf: ähnliche Gipfelhöhen, Ein- schneiden eines tiefen, bereits im Streichen verlaufenden Thales in den Gebirgskörper mit fast gleicher Thalsohlenhöhe u. s. w. Aus dem Grunde ist ein Zunehmen der Erdwärme analog dem- jenigen des Gotthards sehr wahrscheinlich. Für das höhere kürzere Lötschbergprojekt tritt dann als günstiger Umstand noch hinzu, dass die Tunnelaxe bei 100 m höher liegt als am Gotthard. Im übrigen ergeben sich die für dieses Projekt voraussichtlich zu erwartenden Temperaturen aus folgender Tabelle: Längenprofile mit dem voraussichtlichen Verlauf der Geoisothermen. . is „27 | ‚dtunneS . = Gonhar” __— se ae „ „2000 1000 Lötschberg-Tunnel |. 1:.50000 soo 20 21 22 23 24 25 26 = 28 29 30 3 32 E77 3000 asoL Iasoo 209, (2000 189, 1500 ı00) a° on Lötschberg-Tunnel II. 125000 12 ” 1 5 1. 17 8 1] 20 2ı 22 23 24 25 26 27 28 29 PD 350, de rt | Be = 304 Da En ze DS Fi > } ! = , S 3000 268 5 . = | 5“ IN 24 Ra, z Pi E32 12500 a, Br 109 & | = $ | Br Ex | Pe 23 | - 3 12000 s50L ... 2° > | rg PT + \ 2% urn 1500 mo ,f Da 1 ’ en f De n \ zo, S soo Wildstrubel-Tunnel (Oberried-Leuk), 1250000 GRAN NUNSTANSTALT MakAUMWENG/ arm. map" 0 1 2 3 13 5 6 7 E] 9 5 U = r Berechnet nach durch Vergleichung. Km 1% 1. ee Fr TE en ee wen Nord-Portal 2,52 1.32 1.59 20 1.52 1.32 14° 21 Sk 195» 152 29 10° 10° 15,4° 23 18° 408 188 24 25,50 25,80 250 25 34° 30° 29.59 26 28° 28° 29° >97 300 30,50 990 283 291. 299 28° 29 25° 2 26° 30 2935 220 23 3l 18° 182 18° 32 182 13% 14° Süd-Portal 8° a 8° Wir werden daher kaum fehlgehen, wenn wir die Maximal- ‚temperatur bei 30° annehmen, und eine Vergleichung ergiebt, dass man beim Bau des kürzern Lötschbergtunnels mit ähnlichen Wärme- verhältnissen zu rechnen haben wird, wie es am Gotthard der Fall war. Dasselbe gilt in noch höherem Masse auch für das tiefere Lötsch- bergprojekt. Doch wird hier die Maximaltemperatur der orographi- ‚schen Verhältnisse wegen eine etwas höhere sein, 31° jedoch Kaum übersteigen und überdies nur auf eine kurze Strecke. Die zu erwar- tenden Temperaturen sind folgende: i Berechnet nach Durch Vergleichung. u Km N. I. milk mm nn u Nord-Portal 8 8° 8 12 10,9° 10,92 11° 4 13 119 119 129 | 14 14,5 13 16° 15 26° 23° 23° 16 30° 30° 28° ! 17 21? 20,5° 22° 18 14° 132 172 — 123 — Berechnet nach durch Vergleichung. Km I: I. a —————————— 19 21° 19° 1.289090 20 22° »3° 26° 21 292 26° 29° 22 36° 35° 512 23 30° 30° 30,5° 24 25° 25° Da 25 24° a 24° 26 2» DA 20° 27 19° 12 172 28 138 12° 15% 29 10° 10,5° 14° Süd-Portal 8° B% 8° B. Der Temperaturverlauf im Wildstrubel. Das Wildstrubelgebiet stellt eine einzige klotzige, wenig ge- gliederte Masse dar, mit mauerartig aus den Thälern emporstarrenden Abstürzen, gekrönt von einem breiten Plateau, aus dem nur wenige höhere Spitzen hervorragen. u In einem Gebirgsstock mit derartigen Reliefformen wird natürlicher- weise der Verlauf der Geoisothermen ein wesentlich anderer sein, als | am Gotthard resp. Lötschberg und für die Tunnelprojekte sind be- deutend höhere Temperaturen vorauszusehen. Während am Lötsch-” berg die grösste Vertikaldistanz für den tieferen Tunnel 1700 m, für den höheren 1644 m beträgt und zwar nur auf einer ganz kurzen“ Strecke, wird sie im Projekt Oberried-Leuk z. B. 1950 m und überschreitet dort die Maximalüberhöhung des Lötschberges auf einer” Länge von mehr als 4 Km. So erhalten wir denn im Leukertunnel höhere Temperaturen als 35° auf einer Strecke von 5 Km und für die’ innersten 3 Km steigt die Wärme sogar auf 37—88° (siehe die folgende Zusammenstellung). — 129 — Berechnet nach Durch Vergleichung. Km. J: I. Nord-Portal 60 m 0 1 11° 14° 0 2 292 #72 20° 3 30° 28° 292 4 3 36° 302 5 40° 40° 38° 6 36° 38° 37° 7 3:70 38° 38° 8 39 38° 370 9 33° 33) 35) 10 alr 322 31° 11 27° 23° 24 12 re Te 16° 2 N On 122 16° Süd-Portal 8° 8° 8 Etwas günstiger als das vorige Projekt stellt sich der Tunnel Oberried-Siders. Immerhin erhalten wir auch dort Tempera- {nren von über 30° auf einer Länge von 4,5 Km; 35° zwischen Km 5 und 7. Aus den vorhergehenden Ausführungen ergiebt sich, soweit die Wärmeverhältnisse in Betracht kommen, dass die Lötschberg- projekte den Wildstrubelprojekten weit überlegen sind. Die beiden Lötschbergprojekte stellen sich so ziemlich in gleiche Linie. Eine Verschiebung der Tunnelaxe im Lötschberggebiet innerhalb der beiden Trac&linien wird an diesem Verhältnisse wenig ändern. VI. Geologische Begutachtung einer allfälligen Verschiebung der noch nicht bestimmten Tunnelaxe durch den Lötschberg innerhalb eines Streifens von '/)—1 Km Breite rechts und links von der vorläufig angenommenen Axe. Eine Verschiebung der kürzeren Tunnelaxe nach Westen halten wir entschieden für unvorteilhaft. Erstens hätte sie eine Un- terfahrung des Gasterenbodens unter ganz schiefem Winkel zur Folge, wodurch jene Strecke verlängert, die Überhöhung des Tunnels aber Bern. Mitteil. 1900. No. 1494. — 130° — auf kaum 150 m reduziert und die Mächtigkeit des Felsbodens über dem Tunnel kaum mehr als 50 m betragen würde. Dabei ist neben der Zunahme des Tagewassers zu befürchten, ja sicher anzunehmen, dass die ganze Wassermenge der Quellen am Nordrand des Gasteren- bodens abgeleitet werde. Sodann käme der Tunnel noch näher als es jetzt der Fall ist, in die Nähe der gewaltigen Kalkmasse des Balmhorns - Ferdenrot- horns, wodurch die Temperaturverhältnisse sich bedeutend ungünstliger gestalten müssten. Eine Verschiebung der Axe gegen Osten zu könnte nur den Vorteil hahen, dass der Wasserzudrang von der Nordseite des Gasteren- thales ein weniger grosser würde. Bezüglich der Temperatur bleiben sich die Verhältnisse so ziemlich gleich. Dagegen wird der Tunnel länger und zwar hauptsächlich die mittlere Granitsektion b. Wir betrachten daher das eingezeichnele kürzere Trace vom geologischen Gesichtspunkt aus als das richtige. - Bei einer Verschiebung der längeren Tunnelaxe kann es sich nur um eine solche in der Richtung nach Osten handeln, d.h. Ver- legung des nördlichen Tunneleingangs in das Felsgestell der Birre durch eine gekrümmte Einfahrt. Eine derartige Verlegung hätte den Vorteil, dass der Tunnel dem schwierigen Teilstück unter dem Kander- stegboden ausweichen könnte. VII. Vergleichung der verschiedenen Tunnelprojekte. Nach eingehender Vergleichung vom geologischen Standpunkt aus kommen wir zu folgenden Schlüssen: Lötschbergtunnel. Vorteile desselben: 1. Einheitlichkeit und gleichmässige Beschaffenheit der Gesteine auf lange Strecken, hauptsächlich im Gasterengranit. | 2. Allgemein steile Stellung der krystallinen Schiefer und ihr Streichen senkrecht zur Tunnelaxe. 3. Verhältnismässig geringe Temperatur, auch beim tiefen Trace. 4. Gutes Baumaterial, sowohl auf der Nord- als auf der Südseite. Aus dem einzigen Vorteil des langen Trac&s, seiner tiefen Lage, erwachsen folgende Nachteile: 1. Bedeutende Länge. — 131 — 3. Schwieriger Tunnelbau in der ersten Sektion auf der Nord- seite, welcher höchstens durch eine bogenförmige Tunnel- einfahrt mit Verlegung der gradlinigen Tunnelaxe gegen Osten umgangen werden könnte. Wildstrubeltunnel. Vorteile: 1. Leichte Nord- und Südzufahrt. Dieser Vorteil ist besonders den Lötschberg-Projekten gegenüber hervorzuheben, indem hier auf der Südseite der Tunnel in ein von Lawinen und Bergsturz viel bedrohtes Seitenthal ausmündet. 2. Leichtere Bohrung in ziemlich gleichmässig beschaffenem Gestein. 3. Einfachere Wasserverhältnisse. Nachteile: 1. Starker Gebirgsdruck. Daher Notwendigkeit einer durch- gehend sehr starken Ausmauerung. 2. Hohe Temperaturen auf lange Strecken. 3. Geringe Sprengwirkung in den flachliegenden Schichten. 4. Schwer zu beschaffendes, gutes Baumaterial auf der Südseite. Nach rein geologischen Rücksichten kommen wir dazu, dem kür- zeren Lötschbergprojekt den Vorzug vor den andern Tunnelprojekten zu geben. Bern, den 17. Februar 1900. Die Experten : v. Fellenberg. Kissling. Schardt. Theophil Studer. Ueber Hunde aus den Crannoges von Irland. Der Vortragende hatte schon früher Gelegenheit, in den reichen prähistorischen Sammlungen des irischen Nationalmuseums in Dublin die Reste von Hunden zu untersuchen, welche zum Teil in den Kultur- ablagerungen der prähistorischen Seenwohnungen gefunden worden waren. Seither sind ihm durch die Güle des Direktors der Samm- lungen, Herrn Dr. Scharff, eine Anzahl vorzüglicher Gypsabgüsse jener Hundeschädel mitgeteilt worden, welche erlauben, eine genaue Vergleichung derselben mit den in unserer Sammlung befindlichen prähbistorischen und recenten Hundeschädeln anzustellen. Zunächst liegen drei Abgüsse von Schädeln aus dem Grannoge von Dunshaughlin, County of Meath, vor. Zwei grosse Schädel gehören, nach Etiquette, der berühmten Rasse des irischen Wolfshundes, Irish Wulfsdog. Der eine hat eine Basilarlänge von 210, der andere von 217 mm. Der Schädel ist im allgemeinen schmal, der Gesichtsteil nicht scharf abgesetzt, nach vorn sich verjüngend, die Cristae parie- tales bei beiden sehr hoch, der Hinlerhaupthöcker stark nach hinten ausgezogen, die Parietlalgegend wenig gewölbt, so dass der Schädel fast dachförmig von der Parietalcrista nach der Ohrgegend abfällt. Der Gesichtsteil ist vor dem Jochbogenansatz noch breit, vor dem foram. infraorbitale verjüngt er sich stark und verschmälert sich nach vorn bis zur Schnauzenspitze. Im Profil ist die Gegend der Nasen- wurzel nicht eingesenkt, der Schädel fällt von der Stirnhöhe sanft und gleichmässig nach der Spitze der langen Nasenbeine ab; nur bei dem grösseren Exemplar zeigt sich eine Einsenkung in der Mitte der Nasenbeine. Bei demselben ist auch die Schnauze vorn stumpfer und breiter, der ganze Schädel etwas plumper als beim anderen. Die Stirn ist breit, bei dem grösseren in der Medianlinie stark vertieft, weniger bei dem kleineren Exemplar. Im allgemeinen, bei dem einen bis ins Detail, stimmen die BEN — 13 — Schädel mit dem des irischen Wolfshundes im brit. Museum in London überein, ebenso mit einem Wolfshundschädel unseres Museums aus der Zucht des Herrn Walker in St. Moritz. Nach dem letzteren Exemplar darf man sagen, dass die alte Rasse sich in der Walkerschen Zucht noch gut erhalten hat. Von den älteren Schriftstellern, die sich mit dem irischen Wolfs- hund befassen, wird derselbe stets in seinem Habitus mit einem kräftigen Windhund verglichen und namentlich auf seine Verwandt- schaft mit dem Scotsch Deerhound hingewiesen.') Schädel von solchen, welche mir aus den Zuchten von Herrn Staub in Zürich vorliegen, bestätigen auch die nahe Verwandtschaft beider Formen, nur zeigt der Scotsch Deerhound, ein gracileres Gepräge. Die Schnauze ist länger und schmaler, die Jochbogen sind weniger ausgelegt, die Crista sagitialis ist niedriger und die Parietalgegend mehr gewölbt. Beide Formen sind vereinigt in dem Canis Leineri aus dem Pfahlbau von Bodman am Ueberlingersee, welcher der jüngeren Stein- zeit der Pfahlbauten angehört.?) Hier zeigt der Schnauzenteil des Schädels und das Verhältnis der Jochbogen ganz den Bau des Wolfs- hundes, während der Hirnschädel mit seiner schwächeren Scheitelcrista und der gut gewölbten Parietalregion den Typus des Deerhounds wiederholt. Wir dürfen also diesen grossen Rassen, die im Altertum und bis ins Mittelalter als kräftige Jagdhunde eine grosse Rolle spielen, einen milteleuropäischen Ursprung zuweisen. Namentlich bei den keltischen Völkerschaften scheinen sie nach Ueberlieferung der Alten und nach Funden von bildlichen und plastischen Darstellungen in den römisch-gallischen Ueberresten eine grosse Rolle gespielt zu haben.?) Der dritte Schädel, mit 167 mm Basilarlänge, zeigt einen von dem vorigen sehr verschiedenen Habitus. Er gehörte einem mittel- grossen Hunde an, eiwa von der Grösse eines kräfligen Spitzers. 1) S. Graham, The irish Wolfhound by Capt. Graham, Rednock, Durzley 1879 und Walker, Der irische Wolfshund. Schweiz. Hundestammbuch. Bd. VI, 1896, p. 64. 2) S. Studer, Zwei grosse Hunderassen aus der Steinzeit der Pfahlbauten. Schweiz. Hundestammbuch V, 1893, und Beiträge zur Geschichte unserer Hunde- rassen. Naturwissenschaftliche Wochenschrift XII, 1897, Nr. 28. 3) $S. Studer Th., Die Hunde der gallischen Helvetier. Blätter für Kynologie. Il. Jahrg., Nr. 17, Zürich, August 1886, und Beiträge zur Kenntnis unserer Hunderassen etc. a a Ang ne Sy c .., 7 r — 131 — Der Schnauzenteil ist stumpf und wenig verlängert und setzt sich an der Nasenwurzel durch eine Einsenkung von dem schön gewölbten Hirnschädel ab, auf dem eine mässig starke Crista parietalis entwickelt ist. Die Jochbogen sind stark ausgelegt. Der Gaumen ist breit, namentlich in der Gegend des Reisszahnes. Mit einem Worte, der Schädel gehört zu dem Typus des Pfahlbautenspitzes, Canis f. palu- stris, und zwar stimmt er überein mit den kräftigen grösseren Formen desselben, wie sie in der jüngeren Steinzeit gezüchtet wurden. Aehn- liche Schädel liegen schon aus dem Pfahlbau von Lattrigen am Bieler- see und aus den römischen Ruinen von Baden im Aargau vor. Ein vierter Schädel eines mittelgrossen Hundes stammt aus dem Lough Gur in Limerick. Auch dieser zeigt die Spuren hohen Alters. Er ist braun gefärbt, wie die Schädel aus Torfmooren. Dieser Schädel stimmt in Grösse und Form am ıneisten mit dem Canis f. inter- medius Woldrich') aus der Bronzezeit überein, namentlich in dem Verhältnis des Hirnschädels zum Gesichtschädel, nur erscheint der Hirnschädel breiter und besser gewölbt, die Crista parietalis niedriger und die Schnauze etwas spitzer. Im Uebrigen steht er auch den Jagdhundformen, namentlich den Laufhunden, sehr nahe, so besonders dem helvetischen Laufhunde. Ich hatte schon an andern Orten her- vorgehoben?), dass der C. intermedius der Bronzezeit in seinem Schädel die Charaktere der Jagdhunde zeige, und dass sich ihm der - helvetische Jagdhund von La Tene und der bernische Laufhund nahe anschliessen, andrerseits zeigt er Beziehungen zum Schäferhund der Bronzezeit, dem Canis f. matris optimae Jeitteles. Die Untersuchung der Hundereste aus prähistorischen Ablager- ungen Irlands zeigt uns hiemit, dass dort die gleichen Urrassen der Hunde wie in Mitteleuropa vorkamen. Canis palustris, C. Leineri, G. intermedius bilden die Grundformen, aus denen sich die späteren Rassen entwickelt haben. Soweit wir demnach in Mittel- und Nord- Europa, von Irland bis zum Ladogasee, die prähistorischen Hunde- formen kennen, lassen sich bis jetzt überall dieselben Urformen wieder erkennen, die schon in den schweizerischen und süddeutschen Pfahl- bauten während der Stein- und Bronzezeit vorkamen. ‘) Woldrich, Ueber einen neuen Haushund der Bronzezeit. Mitteilungen der anthropol. Gesellsch. in Wien. VII. Bd., Mai 1877, 8.61. ?) Studer, Th., Hunde der gallischen Helvetier und Beiträge zur Kenntnis der Hunderassen. A. Droz-Farny. Sur un th&eoreme de Steiner. Etude geom6trique et developpements. Le journal de math&matiques belge, Mathesis, proposait en 1894, sous la signature de l’&minent geomeire E. Lemoine, la question 937: Soit un triangle ABC, et soient Aı Bı Cı les symetriques de l’orthocentre H, par rapport aux milieux des hauteurs;; ABU, les symetriques des pieds H, H» H. des hauteurs par rapport aux milieux M., M,, M. des cötes BC, AG, AB. 1° II y a une ellipse qui passe par les six points A, B, 0, A’ BC. 9° Elle est normale aux hauteurs en Aı Bı Ci. 30 Elle est tangente aux cötes en A B’ (!. 4° Elle a pour centre, le centre O du cercle circonserit. 5° La somme de ses demi-axes &gale le rayon R du cercle cir- conscrit. 6° Elle a pour &quation: >X. Va —oQ 7° Si le cercle ABC et l’ellipse sont fixes, il y a une infinite de triangles ABC. En 1895, j’ai donne dans Mathesis, page 258, une solution completement synthetique de la question. En 18396, jai publie en outre dans le Journal de Mathematiques speciales de Mr. de Long- champs p. 229 —233 une solution geometrique de la question 501, proposee par Mr. le commandant E. Barisien et contenant quelques proprietes nouvelles de la figure. Monsieur Barisien avait rencontr& cette figure dans ses belles recherches sur les cercles de Chasles, ces cercles concentriques ä une ellipse et de rayons respectifs at-b ei a—b et qui jouissent de si nombreuses proprietes. Les diverses proprietes retrouvees par MM. Lemoine et Barisien, avaient &t& &ludiees autrefois par le grand g&ometre bernois Steiner, qui les avait publiees dans le journal de Borchardt, volume 55, pages 356 —378, sous le titre: Vermischte Sätze und Aufgaben. Voir — 136 — ses &uvres r&unies, tome Il, pages 671 et suivantes. De nombreuses proprietes nouvelles de celte figure onl Ele Enoncees sans demonstra- tions par Mr. Böklen dans le Journal de Hoffmann. Nous les rencontrerons dans la 2m® partie de notre e&lude. Lire aussi la si intöressante ätude historique de la question dans Mathesis, annse 1898, page 61, due au savant g&ometre Mr. Brocard (Colonel du genie a Bar-le-Duec). Soient done dans un triangle ABC, A’, B’, C’ les symetriques des pieds des hauteurs H, H) H. par rapport aux milieux M, M, M. des cötes BC, CA, AB et Aı Bı Cı les symetriques de l’orthocentre H par rapport aux milieux des hauteurs. On demontre aisement que les droites AA’, BB’, CC’ se cou- pent en un point Q, reciproque de l’orthocentre. Il existe donc une conique qui touche les cötes de ABC en A’ B’ C. Une proposition connue (M&moire sur les transversales r&ciproques, Annales de Ecole Normale, 1866) due ä Mr. de Longchamps prouve que cette conique est lenveloppe des transversales reciproques de celles qui tournent autour du point H. (Voir note I). Le centre de cetle courbe, d’apres un cas particulier d’un thöoreme de Newton, sur le lieu des centres des coniques ayant quatre tangenles communes, est ä l’interseclion des droites joignant M., Mp, M. aux milieux N,, N», N. des droites AA’, BB’, CC’; ces droites &tant paralleles aux hauteurs AH,, BH», CH., le centre de la conique E coincide avec le centre O du cercle ABC. (Voir 3 aulres d&ömonstrations dans la note I). Comme OM,. = = — . la droite A’O passe par Aı et A’O=0A:; done E passe par Aı Bı Cı et les tangentes en ces points sont paralleles aux tangentes menees en A’ B’ (@’, autrement dit: Les hauteurs du triangle ABC sont normales a la conique E. Les perpendiculaires elevees en A’, B’, C’ sur les cöl&s se coupent en un point N, symätrique de l’orthocentre par rapport ä 0. Ce point est &videmment l’orthocentre du triangle anticompl&mentaire de ABC; done: Les hauteurs dw triangle anticomplementaire sont aussi normales a la conique E. Menons par OÖ et par Aı des paralläles a BC; la premiere ren- contre E en S et la seconde AG en P. On voil facilemenit que les — 137 — segments A’C et Aı P determines par la tangenle AG sur les tan- gentes paralleles Aı P et A’C sont loujours de meme sens; donc: E est une ellipse. Ensuite d’apres un th&eor&me connu 05 = A’C. AıP. Mais si l’on mene par H une parallele a AG qui rencontre BC en D, l’egalitö AAı — HH, entraine AıP = H,D, d’oü 9 14 en 2 OS = A’ C.Aı P = BH;. H.D = HH, Donc les demi-diametres de E paralleles aux cötes de ABC sont egaux aux segments inferieurs HH,, HH,, HH. des hauteurs. Nous connaissons mainlenant deux demi-diamelres conjugues, OA’ et OS. Pour appliquer la construction de Chasles, nous &levons en A’ sur BC la perpendieculaire xA’y, de maniere quexA’=Ay —= HH,, et que O et x soient de part et d’aulre de BC, on aura: 0x = a+b; 0y = a—b et les axes de E sont diriges suivant les bissectrices de l’angle xOy. Comme BH, = A’C, A’x = HH,, on voit que x apparlient ä la cir- conference ABC, done R=atb En outre20y — ON’ (ab). — OH HN — 2 (a—b). Si, entre le rayon d’une circonference et les axes d’une ellipse de m&me centre, on a la relation R= a+b, on peut inscrire ä la circonference une infinit& de triangles qui sont en me&me temps cir- conscrits ä l’ellipse et celle-ci est normale aux hauteurs de chacun des triangles. Cette proposition est rendue presque &vidente par ce qui pr&cede; on l’etablit par un calcul facile, en prenant pour axes de coordonndes, les axes de l’ellipse et en considerant d’abord un triangle isoscele dont les sommets ont pour coordonnees (a4-b; O0) et (—a; + \/(a+b)? —a? ), puis en appliquant le th&or&me de Poncelet. Ges triangles jouissent des proprietes suivantes: 1° L’orthocentre decrit une circonference de centre OÖ et de rayon (a—b); le centre de gravit& decrit une eirconference de centre OÖ a—b ; S i ei de rayon 7a ie centre du cercle d Euler decrit une circon- —b ference de centre O ei de rayon —. Bern. Mitteil. 1900. No. 149. 0% 9 je») © 3 © 4 59 6° _ 188 — Le cerele d’Euler reste constamment tangent aux deux cercles deerits sur les axes de E, ce qui est &vident puisque = 3 (ROH) et b — 5 ROM On sait que dans tout triangle on a: o—R (1—8 cosA. cos B. cos(.) ei DR = gp AB Apo ere) De la: Dans chaque triangle ABC on a: a. b; cos A, cos B. cos: GC = 3 (af Dans chaque triangle ABG on &: EP E R > AB. 4,03 ah Cha) De la aisement comme AB = 2R sin A. ana es Pas! a—.0 Fam) 2 ab Dos A re; = Ben 23 ab RER (a+b)” Dans chaque triangle ABC, le produit des segments superieurs des hauteurs est constant et &gal a: AH. BH, CH —= 8 R? cosA. cosB. cosC = 4 ab (a+b) Dans chaque triangle ABG, des hauteurs est constant et egal &: HH.. HH;. HH. = 8 R3 cos? A cos? B. cos? C Da ie. — a+b En reprösentant par X, dans le triangle ABC, on a: ab (a+b) Ia produit des segments inferieurs z les coordonnees normales de OÖ — 139 — 2 2 2=2°+b?-+ ab | 9% Le produit des distances du centre O A l’un des cöles de ABC et A la droite joignant les points milieux des 2 autres cöles est constant el egal ä: b a R? cosA. cosB. cos(C = 5. 10° Le produit des distances du centre OÖ aux cötes du Lriangle compl&mentaire de ABC est constant et egal ä: abe abela- bier al b® Bu: 2 4 (a-Hb) 11° Le produit des diamötres de l’ellipse, paralleles aux cötes de ABC est constant ei egal ä 2 p2 I ah lIx° partie. Des formules connues: a=becosC + c cos B b=acosG-+66osA e=acosB-+b cos A, on deduit en eEliminant les cötes: — 1 cos G cos B osC— 1csA|l—=0 cos BeosA — 1 d’ou la formule bien connue aussi: D co? A+co®B-+ coo®8C-+2cos A osBcosC=1 Portons AC’ = BH., AB’ = CH, ; on sait qu’il existe une ellipse E tangente aux Lrois cöl&s aux conjugu6s isolomiques des pieds des hauteurs et dont le centre est O. (figure D). A est donc le pole de B’C’ et par consäquent AO bisecte B’C’. Theoreme: Soient A’B’C’ les conjugu6s isotlomiques des pieds des hauteurs et « £ n les points milieux des droites B’C’, A’C’, A’B’, les trois droites Aa, B?, Cn se coupent au centre 0 du cercle eirconscrit au triangle ABC. Caleul de Aa: On a AC’ = BH, a cos B AB = CH =a cos C done BC = a2c0o® B+ 2 cos? C — 2 a®cos A cos Bcos C —4R? sin? A [cos B+ cos? C— 2 cos A cosB cos] Or: AU AB” = 2 Da + 2A done: 2 Aa —2R? sin? Afcos? B-H cos? C-H+2 cosAcosBcosC] —= 2 R’ sin A (d’apres formule I) Aa = R sin? A 0&« = R cos? A Cherchons sur la droite OA, les points x el y tels que O soit le milieu de x y et que x et y divisent A« harmoniquement. On aura: 0x? =0y? = 0a. 0A = R? cos? A Ox = DE-=iR cos’ A Done z@y = AH Theoreme: Le diametre de la conique E dirige suivant OA est 6gal au segment superieur AH de la hauleur AH,. Triangle orthique d’un triangle ABC. Le triangle orthique H, H) H. est inscrit au cercle d’Euler de ABC. Le liew du centre Os dw cercle eirconscerit a4 ce triangle est donc : a—b ., une circenference de centre O et de rayon at L’orthocentre H du triangle ABC est le centre du cercle inscrit au triangle orthique, done: Le lieu du centre H du cercle inscrit est une circonference de centre O et de rayon (a—b) Le rayon du cercle circonserit ä Ha H) H. reste constant R a--b . : Ne -: ; il est facile de demontrer que le rayon r’ du cercle inscrit & H; H» H. reste aussi constant. En effet: a = a cos A;b’ =becosB; d’ = c cost. donce2p=SacsA = 2Rsin AcosA=Rrsin2A 2p =4RsinAsinBsinG 2 surface du triangle orthique = 2 S’ = a’ b’ sin 2C 2S’—=abcosA cos Bsin 2 C — R?sin 2A sin2Bsin2CG — 141 — F = 2 Rs As Bon - „S; On a done: Baal ee Ne Si d’un point P, on mene les quatre normales possibles A une ellipse, on sait d’apres un th&eor&me de Joachimsthal que Lrois des pieds des normales et le point diamätralement oppos& sur l’ellipse au quatrieme pied sont quatre points d’une m&me circonference. Cette remarque nous permettra de construire les qualriemes normales des points N et H ä l’ellipse. Soit done un triangle ABC inserit dans le cercle de rayon R = a+b et circonscrit a lellipse E [figure 2] OH fait avec un des axes de E un certain angle 9. Construisons la symetrique de OH par rapport aux axes de E et soit Q son point d’intersection avec le cercle. Comme 00 = ab et OH = a—b et comme l’angle QOH est divise en parties egales par les axes de E, on sait d’apres Chasles, que HQ est normale ä l’ellipse en son point milieu P et que PH =PQ = le demi-diametre conjugue & OP. La perpendiculaire abaissee de O sur la tangente en P est gale en representant par « l'angle de OP avec son diametre conjugue A OP sin « et par consequent d’apres un theor&me bien connu d’Apol- lonius en repr6ösentant la distance de OÖ ä la tangente par d on a: dom —-EOPSHR "sin ar ab. Supposons une seconde ellipse Y inscrile dans le triangle ABG ei admetlant pour foyers O et H. Son centre sera le centre Os du cercle des neuf points du triangle. Soit R le symetrique de H par rapport a BC. OR sera le grand axe de l’ellipse > et coupera BC au point de contact. Mais d’apr&s un th&or&me connu de geometrie, les ‚symetriques de l’orthocentre d’un triangle par rapport ä ses cöles apparliennent ä la circonference circonscrite au triangle, donc OR le grand axe de l’ellipse X est egal ä atb. On a done pour cette ellipse 2a” = a+b 2’ = OH = a—b 2b’ — 2 Vab On sait que les pieds des perpendiculaires abaissees des foyers d’une ellipse sur les tangentes sont sur le cercle principal de l’ellipse — 142 — et que le produit des deux perpendiculaires abaiss&ees des foyers sur une tangente quelconque est &gal au carr@ du demi pelit axe. Comme d’apr&s une relation pre&cedente d. HP = ab — b” il en resulte que la tangente ä E au point P est aussi tangente a2 d’oü le th&oreme &nonce& par Mr. Böklen [Dr. O. Böklen, Oberstudien- rath & Stoutgart] Theoreme: Les deux ellipsess E et Z ont 4 tangentes communes, les 3 cötes du triangle ABC et une quatrieme tangente dont le point de contact avec E est le pied P de la 4"”* nor- male de H ü lellipse. Comme H et N sont symetriques par rapport & O, le point diametralement oppose de P sur E est le pied de la 4” normale de N ü E. Le point P est un des points d’intersection du cercle d’Euler de ABC avec lellipse E. Transformons l’ensemble des deux ellipses E et ® ainsi que le cercle principal de 8, ou cercle d’Euler de ABC, par polaires reci- proques, par rapport & une circonference de centre O et de rayong = \/ab. (voir figures 3’ et 3’) L’ellipse E d’axes AAı — 2a et BBı = 2b se transforme sui- vant une ellipse &gale E’ tournee autour de O de 90°. L’ellipse X de foyers O et H de grand axe CGı = ab [0C=a et 0OCı = b puisque OH = a—b] se transforme suivant un cercle 3’ deerit sur C’Cı’ comme diamötre; O0’ = b et 0CG1’ = a, le cercle principal de X tourn& de 180°. Enfin le cercle principal S se {rans- forme suivant une conique S’ de foyer O @gale ä la conique 3 tournee de 180° autour de ©. Les deux coniques E’ et S’ ainsi obtenues, ayant la m&me posi- tion relative que les coniques E et 8, il en resulte qu’aux points d’intersection de E et S correspondent .4 tangentes communes des coniques E’ et S’ dont trois forment un triangle inscrit dans une circonference de centre O et de rayon (a+-b). En revenant & la figure primitive on a le theoreme suivant de Mr. Böklen. Theoreme: Le cercle prineipal de la conique Z ou le cercle d’Euler du triangle ABC coupe Vellipse E en 4 points: un de ces points P est le pied de la 4”° normale abaissee de H sur E. Les trois autres points Az Bz Ca forment un triangle cir- — 13 — \ conscrit da une circonference fire de centre O0 et de rayon aD ”" @+) Les triangles variables H, H) H. et Az B2 Ce sont inscrits dans un : 5 a-+-b meme cercle variable, mais de rayon constant R = a et ont un i . ab rayon de cercle inscrit constant r = ; a--b Ges triangles jouissent- de nombreuses proprietes provenant de linvariance de R et r. Ces proprietes seront demontrees en note ä la fin du travail. Demonstration analytique d’un dernier th6or&me de Mr. Böklen. Soient de nouveau l’ellipse E, le point H, HP la 4”° normale A E; HP &tant egal au demi-diametre conjugu& A OP; « £tant l’angle ex- centrique de P, OH est &gal a (a—b) et forme un angle « avec le grand-axe de E. Le cercle d’Euler de ABC de centre Os, point milieu de OH passe ainsi que nous l’avons vu par P et le pied de la perpendicu- laire abaiss6ee de O sur la tangente en Pä E. [fig. 4] D’apres un theoreme de Laguerre, on peut considerer ce cercle comme un cercle de Joachimsthal et par consäquent les normales a la conique E, aux points As, Ba, Ca sont concourantes en un point Q, situe sur la normale au point p, diame&tralement oppose a P sur E. Si d’un point Q quelconque, pris sur la normale fixe au point p (x’ y’) de l’ellipse E, on abaisse les trois aulres normales ä E, leurs pieds sont sur une circonference qui passe aussi-par le point diame- tral P dep (coordonnses —x’—y’) d’apres le th&or&me de Joachimsthal. Ceile circonference passe aussi par le pied N de la perpendi- culaire abaissee du centre O de l’ellipse sur la tangente au point P (the&or&me de Laguerre). Si le point de concours Q des normales se deplace sur la normale en p, le lieu du centre du cercle de Joachims- thal est une droite, la perpendiculaire a NP en son point milieu. Le cercle d’Euler passant par P et N est donc bien un cercle de Joachimsthal. Le symetrique du centre O de l’ellipse par rapport au centre du cercle J (ici H) et le sym&trique Q’ du point Q de concours des normales par rapport & O0 sont &videmment sur la normale en P. — 14 — Mais on peut demontrer que ces deux points sont isolomiques sur cette droite par rapport aux axes. En effet soient x’, y’ les coordonnees de p et «, ß celles du point Q; l’equation du cercle de Joachimsthal sous la forme que lui a donn&e Mr. de Longchamps sera: Fr 4 a we 2 b2 ß a2 a au=2-+ ee Srg* On aura pour les coordonnees de son centre. = } 1 > RT b?@\ _ b2ßx ee EL TIEEH uy’ Ass day On a donc pour les coordonnees du point H: ER Or RE Les points Q, Q’ H sont done sur une hyperbole &quilalere de centre O et dont les asymptotes coincident avec les axes de E. On a donc bien HL = Q’M. Done PEL- PM = PH + PO. Or comme PH = b’ on sait que PL — = et PM -—h’ b I a ! I ! II en resulte PQ’ = y. PH. Le lieu du point Q’ est donc une ellipse coaxiale A la proposee; il en sera de meme pour le lieu du point Q. Voici d’ailleurs son &qualion: Les coordonnees du point P sont: — x’ =ac08g; — y'-=bsin o b?ß x’ a2ay nous avons trouve pour HYx = ß —;y = . a2 y bh? x Mais on sail aussi que: — 15 — x = (a-b) cos yet Y= — (a-.b) sin p t b?#ac0s o Done: (a—b) cos 9 = ano 22 absin FR b?a cos o ou SIND, — ERLER cos - = ; gb) ? b (a—b) et pour le lieu du point O l'ellipse 52 ß2 b? x in a? (a—b)“ 7 (@-b)? g2 1° Note relative a un problöme de Steiner. Une conique est inscrite dans un triangle ABC. Soient A’, B’, C’ les points de contact sur les cöles BC, AC, AB. Determiner le centre M de la conique. lre solution (fig. 5). On sait que dans loute conique A centre, le produit sur deux tangentes paralleles, des segments determines par une langente variable quelconque est &gal au carr& du demi-diametre de la conique, parallele aux langentes fixes. Menons ä notre conique, une tangente parall&le a BC, qui coupe AB et AC respeclivement en ß et y et dont le point de contact soit a. On a d’apres le theoreme cite: l EIBEEA BE FG Me coupe BC en A’; on aura: aß: A"B=ay: A’C II BER RG AB A’B RC De ces deux egalites on deduit: 7, - = 7, 8 NEE A’B Il en rösulte que les points A’ et A’’ sont isotomiques sur BC. Le point milieu A, de A’A’’ est done aussi le point milieu de BC. Bern. Mitteil. 1900. No. 1496. BAG et u WR — 146 — Soit Die point milieu de AA’. La droite DA, parallele a AA’’ divisera done aussi «A’ en parlies &gales. Or «A’ est un diameire de la conique. Le centre M. point milieu de «A’ est donc silue sur DA.. Theoreme : Une conique est tangente aux trois cöles d’un triangle ABC. aux points A’, B’, €’. Soient A, B, C, les points milieux des cötes. Les trois droites qui joignent les points mi- lieux des droites AA’, BB’, CC’ respectivemeni aux points As Bo, Co. se coupent au centre M de la conique. IIme solution (m&me figure). Le pöle de la droite AA, doit se trouver sur le rayon conjugue de AA, par rapport ä AB et AC; or A, etant le milieu de BC, ce rayon sera parallele ä BC. II doit aussi se trouver sur la polaire B’ de A par rapport ä la conique. Le point L, oü ces deux droites se croisent sera le pöle cherche. A’ L sera donc la polaire de A,. Soit N le second point d’intersection de A’ L avec la conique, par cons&- quent, le point de contact de la deuxiöme langente menee de Av A cette courbe. Les 4 points A’ (AA,, A’ L), N et L sont harmoni- ques; comme AL est parallele a A’ A’’, il en r&sulte que AA =A An Le diametre passant par Ao, doit diviser en parties @gales la po- laire A’ N de ce point; il est par consequent parallele a AAN divise donc aussi AA’ en parties ögales en D; d’oü le th&oreme. IIIme solution (fig. 6). D’apres la methode de Schroeter. On sait que les paires de tangentes paralleles ä une conique donnde, determinent sur une langente fixe, une serie involulive. Le ee a ee ee point de contact sur cette derniere est le centre de l’involution. La r&ciproque de cette proposition est exacle. Soit M le centre cherche; menons !es droites symelriques de AC et AB par rapport au point M. Ges droites sont tangentes a la% conique et si elles rencontrent BC respeclivement en y el ß, les paires de points B ß et C y determinent sur la tangente BC l’invo- lution produite par les paires de tangentes paralleles. Cette involution est donc parfaitement determinee. Projetons centralement, du sommet A sur la parallele bı, cı, a BC, (b, milieu de AC) cette involution: On obtient ainsi les deux paires de points ©, yı, et bı, ßı,. Ai, &lant le point milieu de Ay et les deux — 141 0 — ‚droites AC et y e elant paralleles, on a &videmment pour A, comme milieu de BC: M ?ı, parallöle de A, cı, et M yı, parallele de A, bı,; s interseclion de MA. avec bı, cı, shi SA, SvC Done--— —, — — 57 sM s pı ou: sb. sß, = SG. syı s est done le point central de l’involulion sur la droite b, c, et comme elle est parallele a BC, la projeclion centrale de s sur BC sera aussi le point central de l’involution sur BC, c’est-a-dire le point de contact de celte droite avec la conique. La droite qui joint le point milieu de AAı au point milieu de BC passe donc bien par le centre M de la conique. Note seconde (fig. 7). Une transversale tourne autour d’un point fixe P et coupe les ceöles d’un triangle ABC, BC en A’, AC en B’, et AB en C’. Soient sur Je cöt& BC, A’’ le point isotomique de A’; sur AC, B’’ l’isoto- mique de B’ et sur AB, C’’ lisotomique de C’. A’ B’ @’ est une ligne droite, la transversale r&eciproque de A’ B’ C’ (nomenclature de Mr. de Longchamps; demonstralion e@vi- dente par application du (h&or&me de Menelaüs). Quelle est l’enveloppe de A’’ B’’ C’’, lorsque A’ B’ C’ tourne autour du point P.? B et C, A’ et A’” sont les couples d’une involution ponctuelle dont les points doubles sont A,, le point milieu de BG et le point infini sur BC. De meme A et B, C’ et C’’ sont les couples d’une in- volution centrale dont les points doubles sont C, et le point de AB. Or les ponctuelles A’ et C’ sont perspeclives; il en resulte que les ponctuelles A’’ et C’’ sont homographiques el par consequent la droite A’’ C’’ enveloppe une conique tangente aux trois cötes du triangle. Comme il est facile de le voir, le point « isotomique sur BC, du point d’intersection de ceite droite avec PA sera le point de contact de BC avec son enveloppe. Aa et AP e&tant conjuguees iso- tomiques, il en resulle que Aa, BP, Gy se croisent en un m&me point, le pomt de Gergonne de la conique, point r&ciproque de P. Il est facile de trouver le centre de la conique enveloppee. On pourrait utiliser le th&or&me de la note precedente. D’apres ce — 148 — thöoreme, le centre M se trouve sur la droite A, D qui joint les points milieux de BC et Ac. Soit G le centre de gravit& du triangle ABC; PG coupe A,D en M. Les triangles MGA, et GAP e&tant semblables on a GR =,2 GM. M est donc un point fixe de la droite GP, donc les trois {rans- versales telles que Ao D passent par ce point qui sera le centre de la conique. M est le compl&mentaire de P qui est le r&ciproque du point de Gergonne de la conique. Si par ex: on fait tourner une transversale aulour de Vortho- centre du triangle, les transversales r&ciproques enveloppent une conique, tangente aux trois cölös du Lriangle, aux points isotomiques des pieds des hauteurs et dont le centre coincide avec le centre du cercle eirconscrit. Note troisieme. Dans celte derniere note, nous d&velopperons quelques formules, dont chacune d’elles fournirait un theor&me commun aux triangles variables H, H»H et Az Be Ca Dans tout triangle on a: co A-+ cooB-+ cos C = 144 sin sin A B C r=pi 9. BZ. 5 Bee. 2 2 a RU CBrerT ee Re 4 cos A cos B cos C 2 2 2 T ae Daraus donc ass 4 sin —- sinZ- sinZ- et par consequent: Formule 1: cs A+cosB+csCt=1-+ n. Donc dans chaeun des triangles variables Ha Hv He et Ar Ba (2 la somme des cosinus de leurs angles reste toujours constanle. Dans ce qui suit, nous ne ferons plus que citer la formule. — 149 — SIE Comme 1+cosA= 2 cos? —- G cos? = + cos + cos? Z- =]: + cos A + cos B+ sc Formule 2: > 005 —2 +7 A enB LE A Sm Bu. Zi 2 — 2 sin? + sin 5 +- sin Re > (1—cos For ) > A zo. 2 COS 9 Ei © r Formule 3: > sin Ka T AETEN ; ER 2er B Ne: Formule 4: sin "0% sin —— sin Z- m abe 4RS S ee Ze 2p 2p p done: Formule 5: ar -2Rr 2p La perpendiculaire abaissee du centre O du cercle circonserit a pour valeur X = R cos A, N Formule 6: Ux=R- r (formule de Carnot) 3 cos A adgAtbegB+tcegCt= 3 2Rsin Re: sin A Formule 7: ZactgA=2 (R-r) Soit H l’orthocentre; on sait que AH = 2x Formule 8 AH+BH+CH = 2 x-hy+z)=2(R-+r) 1 1 il a b C p h | h’ | h’’ 28 | 2 | 28 S 1 1 1 1 Formule 9: Te an + nr Formule 10: + r'" + r'""=4R-+r — 150 ° — Formule 11: =: -H rn ı -r —— u a comme consequence d’une formule d’Euler 2 2 or AOROTT Sn: 19 ee — 3 R? +2 R (r’ _n De .. 7%) —3R®+2R(ARH Nr) Bormule 122° 0 or or Zum re P— Comme AJ = — 2 2 2 Be 2 A ut ro N re a2 be? RE SR 4-88 d.M.QU=-Tabe= p? Formule 13: MA. BB. J=ARr’. p—a a N 370006. HN — c08 5 A 6055 cos 3 abc 1 ER I 1 JA STBELLATNER 2. c0SZz 008 z C0S w|Q Formule 14: W. VW’. '"=16R. ı Be rn Formule 15: + VJ”” = 16 R? wert 16R Ges formules derivent immediatement des formules connues AH. BE = 4R, le rayon de la circonference cir- eonscrite au triangle J’ J’’ J’’’ e&tant egal A 2 R. On trouve ais6ment aussi J’ J’"=4A4R c0s5 7? + 7? - WE —48R2—16R?[cos? 3 + cos’ S+ cos’ 5 Je a Tr do Be Formule 16: 777 —39R®-18SKr Formule 17: VI”? + 72” Porrentruy ce 1” Aoüt 1900, Figure 1. Figure 3a. Figure 3b. 9) Figure 4. L Bern. Mitteil. 1900. No. 1497. u a 2° RS RW a 67 BZ ET ee Pe a are Hr re ER EZ eg A ee > 5 ö — De er ee Are a “ er = ’ win - EL Figure 6. > Jd. H. Graf. Notizen zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften in der Schweiz. No. 56. L’Auteur a page 12 cite lexperience de Fahrenheit sur leau bouillante savoir quelle depend pour son degre de chaleur du poids de l’atmosphere et il estime ä peu pres le point necessaire A fixer du barometre au terme de 27 ponces 9 lignes mesure du Paris, coe je lai fixe car je crois que ces 27 pouces 9 lignes equivalent A 30 pouces Anglois. Mr. le Monnier') se donne ici ä connoitre pour le traducteur, puisquil cite au bas dans la note une experience par lui deja raport&e dans un autre livre Anglois par lui traduit et ou est son nom. ce livre conlient la table de Mr. Newton relative a son therm® , lauteur est un professeur de Cambridge, je passe a present au second chap. pag. 51 ou il est parl& de deux iherm® de Florence d’un grand et d’un petit et suppos& le terme de la glace ou neige fondante au grand au 20° degr&e et au petit a 13'/» et ensuite le terme superieur du soleil ou visceres d’animaux A 80 au grand et 40 au petit et l’on conclut dela que les observations faites avec des (herm® de Florence reguliers et bien construits peuvent servir. Mais en lisant les actes de l’academie de Florence intilule Tentamina etc. on y voit que la regularit& de la construction de ces instruments dependoit de l’habilit& du souffleur qui savoit souffler disent ils une boule proporlionelle pour sa contenance ä la capacite du luiau, eroiez vous cela possible Mr. je n’en crois rien, d’ailleurs si vous remplissez le (herm® avec de l’esprit de vin teint avec de la cochenille qui fait la boule orangee ou Leint avec de l’orcanette qui 1) Le Monnier, Pierre Charles, Prof. der Physik am College de France, Astronom der Marine, 1756 Theilnehmer an der lappländischen Gradmessung, geb. 23. Nov. 1715 in Paris, +2. April 1799 in Heril. — 156 — la fait noire, le (herm® d’orcanette montera beaucoup plus haut au soleil que non pas l’autre, la forme encore de la hboule peut pro- curer ä cet egard beaucoup de difference de meme que le bois ou le iherm® se trouve enchasse, ainsy ces iherm“. reglez au soleil ne seront pas d’accord entr’eux A l’ombre, et qui peut repondre d’ailleurs que ces experiences des visceres soient egales a celles du soleil, si elles n’ont pas et& faites avec les memes instrumens. Ainsy jai neglig& dans mes observalions la relation des No. 2 et 3 de ces deux therm® de Florence pareillement le No. 4 de Paris; pour le 5 je l’ai raport& en correspondance sur plusieurs therm‘° pareillement le 6 d’Amontons!) et il sera bien raporte si ce qu'il dit est vray que la marche de lJair est egale & celle de lesprit de vin. le No. 7 est la meme chose que le No. 6, le No. 9 que jai raport& est A peu pres la meme que 10. Jai raport& ainsy dans plusieurs le No. 11 que jai rectifi& d’apres d’autres observations, jai ainsy raport& No. 12 sur mes planches gravees, No. 13 sur plusieurs therm°® No. 14 que jai bien rectifi& et No. 15 je l’ai abandonne. Or en tout cela Monsieur il ya beaucoup d’erreur car les iherm“‘ de Mr. de Reaumur n’ont pas la meme -marche que les autres dans les degrez de froid, ceux de Mercure s’accorderont avec ceux d’esprit de vin en deux therm“ savoir a l’eau bouillante entierement plongez, et au therme de l’eau dans la glace, et differentieront beaucoup dans les termes intermediaires et bien d’avantage encore dans les grandes degrez de froid. Le thermo- metre de Mr. Newton a une marche qui approche celle de Mercure, mais qui en differe cependant sensiblement, et pour ce qui est de celui de Mrs. Amontons ei Poleni?) ... je ne pus pas poursuivre A Bale mes experiences sur les {herm® A air tels que je les ai fait d’abord, je ne saurois rien dire de positif sur leur marche si ce n’est que je m’en suis raporte au 1”, je suis bien etonne qu’aiant donne A Mr. le Monnier un excellent parallele de mercure et d’esprit de vin, cheminant jusqu’a l’eau bouill® et jusqu’aux plus grands froids et encore un therm® d’esprit de vin sur ma planche gravee, il ait fait abstraction dans les notes de cette difference si capitale des marches dont je me suis si souvent entretenu avec lui car il n’en sauroit pretexter cause 1) d’Amontons Guillaume, geb. 31. VIII. 1663 zu Paris, 7 11. X. 1705 in Paris, Mitglied der Akademie der Wissenschaften. 2) Poleni Giovanni, geb. 23. VII. 1683 in Venedig, 7 14. XI. 1761 in Padua. Marchese, Prof. der Astronomie, der Philosophie und Mathematik zu Padua. Pr BR — 157 — d’ignorance aiant de moi non seulement ce parallele mais encore ma planche gravee ou sont ces {herm“ de Newton, Delisle, Fahrenheit et Reaumur en correspondance avec le mien. Or ces correspondances toutes differentes de celles de la table de Docteur Martine et justifiees par mon parallele et par mon imprim& de 1741 dont je lui ai aussy remis un exemplaire, renversent tolalement le sisieme de cetle table de facon que je suis grandement etonn& qu'il avance dans sa preface a la page 10 parlant de cette table ces paroles suivantes: Cette table de camparaison est la plus exacte qu'on ait faite jusqwiei (1751) c'est le jugement qu'en porte Mr. de Mairan!) qui la verificee avee les thermometres de Mr. de Reaumur, Amontons, Hawksbee?) et Fahrenheit, et tout le monde sait de quel poids est une pareille decision. Gette meme table peut tenir lieu d’un Thermometre universel, dont la pluspart des Physiciens ont reconnu les avantages sans avoir cherche a les procurer. Je suis port&e a croire en lisant cela, que j’ai quelque ami A Paris qui s’entend avec Mr. le Monnier pour le refuter et pour atla- quer de cette facon Mrs. de Reaumur et de Mairan ei ce pourroit bien etre un ou deux Peres charlreux nos amis communs; si cela est on aura soin sans doute A Paris de faire parvenir la brochure a la personne & la quelle on a adress& le livre sur lequel je fais ces remar- ques, le tems eclaircira celte conjecture. Jai encore oubli& de vous raporter une remarque sur la matiere precedente. C'est que le Docteur Martine?) ne supposoit pas plonger dans l’eau bouillante tous les therm“ de la table pour les comparer, et quoique aucun ne lait fait avant moi, il le faut cependant ainsy supposer et pour cet effet ajouter l’excez, afin de pouvoir faire les comparaisons, car si vous ne supposez pas plong6e toute la liqueur du therm desprit de vin dans l’eau bouillante, il manquera dans ce terme pres de dix de mes degrez de moins qui en valent environ 16 de Fahrenheit, au lieu qu’en ne plongeant pas non plus de meme Fahrenheit cela ne faira qu'un excez de deux, et c’est pourquoi jai !) Mairan, Jean Jacques d’Ortous de, geb. 26. XI. 1678 in Böziers, +1771 20. Il. zu Paris, Sekretär der Akademie der Wissenschaften zu Paris. ?) Hawksbee, Francis, 1713 gestorben, Mitglied der Royal Society. ”) Martine, ein schottländischer Schiffsarzt, promovirte in St. Andrews, geb. 1702, 71743, schrieb «Essai sur la construction et la comparaison des thermometres» und andere Arbeiten über die Wärme. — 158 — suppos& l’eau bouill® a Fahrenheit ä 214 et averli que le zero de Mr de Lisle repondoit A 97 degrez 7'/s de mon therm®. Or jai tenu compte de loules ces correclions qu’il faut necessairement faire pour avoir la correspondance juste, autrement cela n’est pas possible. Personne avant moi ne s’est avise de graduer les (herm°® de 5 en 5 avec des soies sur les lulaux, de les tenir entierement plongez dans l’eau lorsqu’on les eprouve de 5 en 5 degrez jusqu’a l’eau bouill® et de faire faire une machine de fer blanc qui pivote et tourne dans ’eau avec les therm® et d’avoir une multitude de petits lampions pour donner sous cette machine le degr& de feu convenable, c'est pourtant ce qu'il faloit faire afin de reconnoitre les diverses marches des liqueurs, pour pouvoir marquer leur comparaison et c'est ce que jai fait non sans beaucoup de peine el beaucoup de travail jusqu’au point de fixer les minutes, secondes et tierces de degrez derniere- ment. Je passe A la dissertation sur l’echauffement et le refroidissement des corps, et comme jai presque rien travaill& sur celte maliere, car j’apelle ne rien travailler lorsqu’on ne fait pas toutes les experiences qu'il faut faire pour bien approfondir un sujet cela fait que je ne vous dirai pas la dessus des choses bien curieuses, n’y interessantes. Mr. le Professeur Bernoulli ım’a souvent sollicit6 A Bale d’y travailler mais j’ai toujours renvoi6 parceque je voulois voir auparavant comment il fait les (herm® A air, qui regagnoient si vite leur equilibre & un demi degr6& prös et que tardoient ensuile plusieurs heures avant que d’acquerir ce dernier point d’equilibre lorsqu’ils avoient passö une nuit au dehors de la chambre. Mr. Martine a raison de refuter Mr. Boerhave el nombre d’autres sur le prineipe que les corps emploient & s’echauffer et a se reffroidir, des tems proportionels a leurs densitez et la reflexion quil propose la dessus art. 18 pag. 95 de la presomtion de Yesprit humain a prononcer trop rapidement sur semblable ‘hose, n’est cerlainement pas un exemple des plus frapans de cette presomtion, car jen pourrois eiter un nombre excessif de plus forls dans des memoires meme d’Academie. Le proced& A tenir pour faire les experiences convenables & cet egard sur la matiere des liquides est de regler les therm°° comme je lai dit avec des soies de 5 en 5 degrez sur le verre et les suspendre en plein air eloignez les uns des autres dans une chambre fermee il faut que leurs boules et leurs Luiaux soient egaux en capacit6, mais pour faire des pareils (hermometres, il faul avoir comme moi un { 7 4 r 2 E sag, Te 5 [K4 Fr u er — 159 — magazin de 600 boules de toutes grosseurs et dont la capacite soit exaclement reconnüe, de meme que des luiaux d’un calibre egal. Or tout cela exige un lems tres long, et des allentions (res grandes, pour former ce magazin, et qui que ce soit a Paris n’y A Bale n’a voulu la dessus m’imiter, ainsy il ne faut pas etre surpris du retardement des progrez des decouverles, car elles exigent beaucoup de peine, et le Docteur Martine en convient lui meme ä pag. 113, lorsqu’il dit que cette doctrine de l’echauffement et du refroidissement des corps pour- roit eire poussee beaucoup plus loins, et quil en laissoit le soin a ceux qui seroient en situation pour cela. Or il est certain quici je ne le suis pas, puisque j’y suis loge comme un chien, et de plus dans un souterrain (res mal sain, ou je suis (res souvent attaquee par des oppressions de poitrine, ou je n’ai dailleurs pas la libert& de pouvoir me plaindre. Je passe au chapitre suivant qui traite des differens degrez de chaleur des corps. Cette matiere il faut l’avouer est de la derniere utilil® pour la medecine, mais tant que vous ne supposerez que la matiere ignee pour determiner l’action de la chaleur et l’action du froid comme le fait ici Mr. Martine et tant d’autres. Vous vous egarerez elrangement car | vous batirez un edifice en lair pour ainsy dire, que vous ne pourrez plus elever solidement ensuite. En general on ne peut guere compler sur les observations faites jusqu’a present avec les therm‘® de Mr. de Reaumur ainsy qu'il est demontre dans ma reponse & l’Ab& Nolet, dont je vous prie Mr. de m’envoier ici une copie, que je prie de faire faire par un copiste et Mr. Louvis de le paier, car j’omets ici de parler de bien d’autres articles, puisqu’on trouve l’eclaircissement dans celle reponse. Je dis done Monsieur quil me paroit vraisemblable que la matiere ignee est de 3 especes, savoir la bleüe, la jaune et la rouge puisqu’on la peut separer au moien d’un prisme, et qu’etant une fois separee elle passe A Lravers un autre prisme d’un chalumeau el en conservant sa nature, et qu’il me paroit aussy vraisemblable que la matiere du froid est de 3 especes, savoir la premiere qui forme le froid commun depuis le plus grand chaud qu’il tempere jusqu’au terme de l’eau dans la glace, la seconde qui est plus grossiere et qui sert a former la glace, et la 3° a produire dans le nord ces froids excessifs. Quant a ce que le froid soit une maliere c’est ce qui se peut prouver mais ä l’egard des 3 malieres que je vous propose ici ce n’est qu’une — 160 — hypothöse. Je crois encore que le createur a pourvu la Terre de la quantit6 suffisante de l’une et de l’autre de ces deux genres de matieres et que leur parfait equilibre est ce qui constitue le Tempere universel de Globe de la Terre a form& de la figure de.ce globe que vous avez de moi, ou vous voiez qu’on doit rencontrer A environ 100 pieds sous terre, par tout ou il n’y a pas des fermentations chaudes ou froides le terme moien fixe et invariable de la temperature du climat plus chaud dans les pais chauds et plus froid dans les pais froids, et que dans les climats temperez en egard ä l’elevalion du terrain au dessus de la mer et ä l’elevation du pole et ä la nature du terroir et A son exposition, vous devez rencontrer ä ceite profondeur le temper& uni- versel, ei ce meme terme partout ailleurs en s’approfondissant davan- tage ä mesure qu’on s’approche des climats chauds et des climats froids et cela partout ou il n’y a pas de fermentations chaudes ou froides, jusqu’au centre de la terre, dont j’exclus le pretendu feu central par des raisonemens et par des experiences quiln’y a pas lieu de raporter iei parceque Mr. Martine ne le suppose pas. Je ne le suivrai pas dans ses recherches sur les chaleurs celestes et planetaires par qu’elles me paroissent trop au dessus de la sphere de mon genie pour y pouvoir atleindre, et je me contenterai de dire A cet egard qua supra nos nihil ad nos et par raport ä tout ce qulil dit sur la chaleur des divers animaux je le trouve (res curieux, mais n’aiant fait la dessus des experiences je ne puis dire autre chose qu’amen et quant ä ce qu’il dit des liqueurs qui se gelent, jıavance ici que j’avois fait ä Paris deux therm° d’excellent vin de palme de Canarie divisez de 5 en 5 par des soies, et que je les ai lenu plusieurs fois ä Paris dans des congelations forcees avec diverses sortes de sels, que ce non plus ultra de leur condensation etoit dix degrez sous le Tempere et qu’ils aqueroient ce lerme ä environ 20 degrez de froid, qu’elant poussez ensuite jusqu'a 29 degrez '/« de froid de ma graduation dans la congelation force du sel marin et y etant restez au moins deux heures, ils n’ont pas branl& et n’ont point gel6: d’on je conclus qu’ils etoient bien eloignez de geler, car l’eau qui gele a cela de propre qu’elle se condense jusqu’au non plus ultra dans le terme de froid de l’eau dans la glace: Ensuite elle s’enfle considerablement avant que de se reffroidir jusqua 14 degrez comme cela s’observe au (herm d’eau color6e et d’abord que la glace s’y forme ce qui s’execute coe une elincelle qui allume du bois bien sec Loul — 161 — le froid qui avoit fait enfler l’eau la quitte et se rend A la cir- conference ou il forme la glace, et celui du therme® d’eau part aussy et va joindre cette glace, d’ou je conclus qu’il faut que tout liquide qui deit geler commence ä s’enfler pr&alablement et que longtems auparavant il cesse A se condenser uniformement. Or le vin de Ganarie etoit arrive au non plus ultra de sa condensation longlems auparavant et cependant ne s’est point enfl& et n’a point gel&, donc l’esprit de vin pur ne sauroit gel& ä 100 degrez de froid, car l’eau a cela de propre que depuis l’eau bouillante jusqu’au .50° degrez au dessous ou environ, elle se condense toujours uniformement et suit exactement le therm?® d’esprit de vin, ensuite elle commence ä resister ä la condensation A mesure toujours davantage qu’elle approche du non plus ultra: depuis le tempere jusqu’a l’eau dans la glace sa condensation, n’est gueres que de deux degrez, son renflement ensuite en fort considerable, donc l’esprit de vin pour geler doit cesser de se condenser uniformement aumoins soixante au qualre vingt degrez au dessous de ce commence- ment et resister ensuite encore longtems apres avant que de s’enfler et de geler par consequent. Or jai eprouv& qu’il se condensait loujours ‚uniformement avec le mercure jusqu’au 30° degr& de froid; il est vray que pour l’eclaircissement de cette question il faudroit pousser plus loin l’experience, mais on n’oppose a mon sentiment que de fausses experiences, ainsy japelle a des verilables et je croirois gager ä coup sur en gageant que qui que ce soit ne fera geler l’esprit de vin carachteris&e comme je l’ai dit. Ce qui fait geler sont des petits dards de froid qui percent et qui enchainent des globules de leau et ces globules ont des germes qui s’altirent les uns et les autres et bien plus fortement lorsqu’ils sont crevez de facon qu’ils se font ainsy tout crever successivement coe une trainee de poudre et il paroil que ces dards de froid ont une {res grande analogie avec ces germes et peut etre meme en tout coe un elui form& par la nature s’ils ne sont pas ces germes. Il faut donc de l’eau pour former de la glace et la ou iln’y a point d’eau le fluide n’en est pas susceptible et peut etre qu’il n’y en a point dans le bon vin de palme, je ne vois point d’ailleurs d’apparence qu'il y en ait dans l’esprit de vin pur qui enflame la poudre et nonobstance tout ce que dit Mr. Geoffroy'‘) sur le compte de son Aether qu'il entrait de l’esprit 1) @eoffroy Etienne Francois, genannt der Ältere, geb. 13. II. 1672 in Paris, + 6.1.1731 in Paris, Professor der Pharmacie und Medizin am College de France. Bern. Mitteil. 1900. No. 1498. — 12 — de vin, coe si ce qu’il en separe etoit de l’eau, il n’y auroit pour eclaireir ce fait qu’ä prendre de l’aelher ei y remettre la prelendue quantile d’eau extraite et voir s’il allumeroit alors la poudre. je gage quil ne l’allumera point. Donc ce n’est pas de l’eau qu’il aura lir& de l’esprit de vin pur qui enflame la poudre. Je ne dirai rien sur l’arlicle qui suit A l’egard des melaux si ce n’est que j’ai vue melhode laquelle je crois vous avoir communiquee pour en faire des thermometres elle est du moins dans un memoire qu’a de moi le Docteur Zelmater. Et pour ce qui concerne le lerme du mercure bouillant il y a une erreur de pres de 70 degrez dans les observalions de Mr. Muschembrock el Fahrenheit ä cel egard, mais n’alant pas ici ces papiers je n’en dirai pas davantage sur ce sujet. je passe au Chap® suivant sur la generation de la chaleur des animaux. — Cette maliere est plutost du ressort de Mrs. les Docteurs en Medeeine que d’un homme tel que moi, ainsy je me bornerai par dire ä cet egard que je conviens avec Mr. Martine que la chaleur ani- male est produite par le frotement des globules du sang dans les vaisseaux capillaires mais qu’il me paroilt que ce n’est pas la cause primitifve de la quelle il sagit pour cette chaleur et qu’il faut l’attribuer aux contractions forles et frequentes du cur, et ces contractions a des fermentalions ou effervescences qui se font dans l’estomach. Gepen- dant je raisonne A peu pres de cela coe un aveugle sur les couleurs et je m’apercois que plus je m’approche de la fin du livre et moins je me trouve en etat d’en pouvoir raisonner. C’est pourquoi je me tairai enlierement sur le resle et finis ces remarques par les assurances qu’on ne peut etire plus parfaitement que j’ai ’honneur de me dire Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur Micheli du Crest. A Monsieur Baviere l’ain& ä Basle. pag. 5. Reponse au Memoire intitul&: «Maniere de construire une Echelle de Barometre etc.» L’auleur de ce memoire me paroit penser {res juste lors qu’il prefere ainsy qu’il le fait d’entree le barometre simple ä tous les autres, mais on estime qu’il y a lieu d’ajouter A cela qu’il en faut fixer le calibre interieur a une mesure certaine et commode atlendu que le mercure se Lient plus haut et de plusieures lignes dans un Luiau d’une — 198 — ‚ligne et demi que dans un tujau de demi ligne, d’ou il suit qu’il faut determiner ce calibre A une ligne et demi attendu qu’au dessus il est incommode pour le transport. 2° il faut supposer encore le tuiau d’un calibre egal et par- faitement lisse interieurement pour sa perfection que le mercure dont on le remplira sera parfailement purifi6, le tuiau avant tout, purg& de toute humidite, et ensuite purge d’air sur le feu, lorsqu’on y aura mis un pied de mercure puis deux pieds, puis ce qu’il faudra pour l’achever. 3° Yon estime qu’il faut en diviser la graduation par pieds, pouces et lignes de Paris, attendu que c’est la mesure la plus uni- versellement recüe et que d’abord qu’on estime devoir s’exprimer en francais pour se faire entendre plus commodement des diverses nations qui habitent le nord, il s’ensuit par la meme raison que l’on doit adoptier les poids et les mesures de la capitale de la meme langue. 4° au lieu de meltre au dessus de la boule inferieure du tuiau une vis ainsy qu’il est dit ä la fin du memoire, il me paroit plus convenable de placer celte vis sous le coude inferieur du barometre el meme sous une espece de genou en forme d’arc mobile pour sou- tenir ce coude en le faisant ainsy hausser ou baisser avec ceite vis. 5° Quoiqu’on puisse tres bien connoitre la question de l’air en fesant mouvoir l’@chelle mobile dont le dessein se trouve ä la fin du memoire puisque l’on defalgue ou l’on ajoute ainsy A la colonne de mercure du barometre l’excez que le chaud ou le froid lui procurent de cote ou d’autre cela neantmoins se peut aussy excuter au moien d’une table, mais peut etre moins commodement, c’est pourquoi pour alder A cette ingenieuse invention j’estime devoir ajouter. 6° Qu’il me paroit quil n’y a aucun fonds & faire sur les experiences ces raporl&es au Memoire de l’academie de Mrs. Amontons et de Reaumur ä moins qu’on ne les ait verifi6es soimeme avec soin, avec peine et avec sagacit6, car j’y en trouve quantit& d’erreurs. On ‚ne sauroit faire une experience plus exacte que celle que j’ai faite ä Paris pour connoitre la condensation du mercure depuis le terme de l’eau bouillante le barometre susdit ä 27 pouces 9 lignes, et tout le mercure plong& dans l’eau bouillante, car j’ai reiler& deux anndes apres la meme experience dans le meme instrument et elle s’est trouvde enlierement conforme & la precedente au lieu que dans quantit& d’autres instrumens ou j’ai fait la meme experience j’ai trouv6 qu’elle varioit suivant la grandeur de la surface de la boule par raport — 14 — ä sa conlenance quoique toujours le meme dans le meme instrument, qu’ainsy mon temper& tel qu'il est sur mes (hermom® ä mon dit instrument compose de dix mille grains de mercure et divis& par -10 mille degrez se trouvoit toujours A 137 degrez '/2, dans les tems qu’aux autres qui avoient la boule beaucoup plus petite et divisez de meme ce terme de condensation etoit ä !’un a 135 a l’autre a 134, a lautre ä 133 suivant que la boule diminue en capacile. Or il est -aise de trouver mon dit temper6, en y ajoutant le nombre de degrez -qui se trouvent au ihermometre de Mr. Delisle depuis le terme de l’eau dans la glace jusques audit terme. Nota bene que mon dit thermometre de Mr. de lisle est coe je le suppose avec une boule de dix mille grains de mercure poids de Paris et celui de Fahrenheit de meme et que j’ai baisse le terme de l’eau bouillante ä l’un et ä l’autre en vertu des raisons raportees dans mon imprime, ce qui fail que sur votre planche le temper& de Mr. de Lisle n’est qu’a 135. 7° Ce terme du temper& etant le terme mitoien du chaud et du froid de toute la Terre, est le veritable terme ou l’on doit fixer ‘le terme moien de la hausse ou de la baisse du mercure du barometre par le chaud ou froid, car l’objection qu’on peut faire que le terme du 13° degr& du therm® de Mr. de Reaumur est plus maniable, n’est pas une objection, puisqu’il n’est pas necessaire de porter la main aux instrumens pour les observer et qu’au conlraire en ce cas il ne faut point les manier du tout et les ternir meme dans de l’eau tempere&e, ‘dans un lieu tempere, pour les pouvoir alors observer si l’on veut bien exactement; il y a donc lieu suivant mon avis, de fonder le cal- cul de l’echelle sur le terme du tempere, et d’en diviser la hausse ou baisse, dessus ou dessous, suivant un ihermoietre de mercure qu’on divisera en autant de degrez qu’on voudra depuis le Tempere au dessus et depuis le Temper& au dessous en placeant zero au dit Tempere et deposant linstrument ä& cot& du barometre comme il est marque au memoire. 8° Car si l’on vouloit se servir pour un tel effet d’un bon thermometre d’esprit de vin pur (puisque celui de Mr. de Reaumur ne vaut rien pour les degrez de froid) on auroit alors une marche toute differente, qu’on pourroit cependant combiner avec celle du mercure du barometre pour la faire rencontrer dans les excez de chaud et de froid, mais cela causeroit alors assez d’embarras et de peine — ibbr.. —= pour faire exaclement les divisions c'est pourquoi je prefere ad hoc les Thermometres de Mercure. Voila Monsieur ce que j’ai crü devoir vous dire en vous ren- voiant le memoire ci joint, vous m’obligerez fort d’ailleurs de m’expli- quer si c’est sur le pied de Roy de Paris que sont fondees les obser- vations barometriques de Berlin, car si c’etoit sur le pied de Roy il se lrouveroit que le terme moien de ce barometre seroit ä 28 pouces 4 lignes et '/ el par consequence encore bien plus haut au bord de la mer, d’oü il s’ensuivroit que sous l’Equaleur il y auroit alors une assez grande difference avec les observations du Perou, pour accuser les observateurs de negligence soit dans l’observalion soit dans la comparaison qu’ils ont faite de leurs instrumens. Gar ils ont trouve que le terme moien du barometre y eloit au bord de la mer a peu pres ä 28 pouces et suppos& encore que par Lout ailleurs il etoit de meme. Or c’est ce que j’aurois grande envie de bien s’avoir car si l’observatlion du barometre est juste a 28 pouces je tiens la terre spherique et non pas applatie du col& des poles, puisque la pesanteur de l’air y seroit egale parlout, el par consequent, ce me semble, les lieux d’observation egalement eloignez du centre de la Terre. Or si les lieux d’observalion au bord de la mer sont egalement eloignez ou distans du centre de la Terre, soil sous l’equateur soit sous le cercle polaire, il s’ensuit clairement de la que la Terre est parfaitement spherique. II ne s’agit done ici que de justifier ma consequence precedante de la pesanteur de l’air et je le fais en supposant que l’extremite perpendiculaire de toute la hauteur de l’athmosphere de l'air est egale- ment haute sous le cerele polaire que sous l’equateur, A meme degre de chaleur ou de froid, cette difference devroit exhausser par le chaud la meme colonne plus sous l’equateur qu’au cercle polaire, mais qu’apparemment il y fait par tout dans le haut de cet Athmosphere egalement froid et ainsy la colonne d’air doil suivre exactement la meme curvit& dans sa superficie que les eaux de mers dans la leur. Je n’ignore pas qu’on m’objectera contre celle experience celle du pendule qui prouve, dit on, que la pesanleur n’est pas la meme sous le cercele polaire que sous l’Equateur et quelle est moindre sous l’equateur, mais l’experience du barometre me paroil la contrequarrer vigoureusement. Ainsy c’est du moins un procez fort litigieux qu’une telle affaire car l’academie des sciences de Paris paroit persister dans — 166 — la sphericit& ainsy qu’il est clair A la page 193 de la connoissance des tems oü elle determine la mesure des degrez de l’altitude et cela prouve assez que l’experience du Pendule, non plus que les diverses mensurations du Perou, de Tornea et de France ne l’ont pas convain- cüe et par conseg® que cet argument du barometre est d’un bien grand poids. Je desirerois au sur plus Monsieur d’avoir un caleul de mille en mille toises de distance jusques A 100 mille toises de Paris qui determinera la difference d’une tangente de niveau sur la mer savoir de combien de pieds s’abaisse au dessous la courbe spherique du niveau naturel ä 1000 toises puis A 2000, puis A 3000 et successive- ment jusqu’a 100,000. Mr. Picard a fait ce calenl dans un pelit Lraite qu’il a fait du nivellement, d’autres l’auront fait sans doule de meme, ainsy je vous serais oblig& Mr. de la peine de cette copie. J’attends votre planche et calculs de correction avec impatience je m’imagine que vous enverrez le tout avec les 4 cartes demandees, je prie par celle-ci Mr. Louvis de vous rembourser ä cet egard. J’ai ’honneur d’etre tres parfaitement Monsieur votre (res humble et {res obeissent serviteur Micheli du Crest. Au chateau d’Arbourg le 24 Oct. 1753. Au chateau d’Arbonrg A Monsieur Huber le fils a Bale le 7 nov® 1758. Monsieur J’accepte avec bien du plaisir l’honneur de votre correspondance et par conseg® je vai repondre ä tous les articles de votre lettre du 3 de ce mois, mais comme vous n’y dites rien sur le terme du Temper& par moi propose, comme le point fixe dont il m’a paru con- venable que vous parliez pour commencer votre calcul dessus et dessous, le 1° de dilatation, le 2° de condensation, c’est pourquoi jai crü devoir tous faire faire ici ouftre ce que je puis avoir dit quelques nouvelles reflexions sur ce sujet. En choisissant par vous Monsieur le point de 3 degrez au dessus comme plus approchant de la chaleur de la main, une autre dira que la meme raison doit plutot produire 4, et une autre 5 et une autre 6 et ainsy peut etre encore au dela, au lieu que le tempere elant ou du moins devant etre le milieu commun du chaud et du froid de RO toute la Terre c’est la l’unique point appuie de quelque raison que l’on puisse choisir pour accorder tout le Monde sur ce point de commencement. Reste done A savoir si le temper& que j’ai determine du Globe de la Terre sur mon thermometre se trouve le vrai et exacte tempere or pour cela je ne puis dire autre chose si ce n’est qu’il en approche fort et que si javois eu les mains libres pour ecrire, il y a longtems que j’aurois recu de Lion des eclaireissement suffisans pour ce sujet, car il faut savoir qu’il y a eu de la cabale et ä Paris et ä Lion contre cette et c’est la raison pour laquelle on a marqu& dans la connoissance des tems imprime& depuis 1744 que la temperature moienne de Caves de l’observatoire repondoit ä 45 degrez de l’ancien therm® de l’obser- vatoire, au lieu de 48 qu’on avoit accus6 ci devant, et la cause de cela vient de la jalousie que l’ab& Nolet avoit concüe contre la repu- tation de mon ihermometre que plusieurs imitent & Paris qui la fait decrier la Temparature d’une niche de ces memes caves que javois indiquee pour la regle du Temper6 et qui etoit la meme que celle qui avoit il y a peut etre environ 60 ans servi de regle ä Mr. de la Hire pour regler le Temper& de cet ancien thermomeire. Il est vrai qu’aiant eprouv& moi meme le Tempere de cette niche en 1742 avec cet ancien Thermometre, j’y trouvai cetie temperature de 47 degrez au lieu de 48, quelle etoit du tems de Mr. de la Hyre, mais la raison de cela vient evidemment de ce que ce thermomelre avoit depos& depuis le 82° degrez au dessus, Jjusqu’a ce 47 au dessous, la valeur de ce degr& en couleur le long des parois du tujau, or un degr6 de ce Ihermometre ne fait qu’a peu pres la valeur d’un demi du mien, et cela a el& fait dans lintervalle, et l’ont voit dans celte partie de tuiau tout Lrouble, et d’ailleurs l’esprit de vin n’a plus de couleur. Par consequent voila deja un degr& demontre& de malice par celte relicement, les deux autres le sont par la moienne prise entre les differences de temperature de certaines parties des caves, que je suppose bien varier de l’une et l’autre au moins de 4 degrez et plus de ce ihermometre dans de certaines branches qui s’etendent assez loin dans la campagne et qui sont exposes a des eaux qui y lombent et en hyver par conseq® y amenent du froid. Or auparavani on n’avoil point parl& de moienne et on n’avoit lacitement considere que la niche surditte pour les experiences de Mr. de la Hire. Or Mr. de la Hire les y avoit toujeurs faites et moi consequemment a la meme place, — 168 ° — cependant en 1741 j’avois {res bien observ6 que les autres branches de ces caves varioient fort en temperature quoique la niche en question ne branlat pas ou du moins que sa variation fut presqu’insensible et je n’avois pas pris la peine de desabuser Mr. de Reaumur de la fausse eroiance oü il etoit de meme que bien d’autres sur l’egalil6 de Temperature des susd°® caves mais apparemment qu’en 1744 J’Abe Nolet apprit de quelqu’un les observations et crut devoir les reilerez puis en faire grand bruit dans un memoire academique a cel egard alin de decrier ces caves ei m’allaquer en suite dans son livre 4 tome experiences de Physique ä quoi j’ai repondu convenablement. Et quant ä Lion j’ai soupconne les memes difficulles mais beau- coup plus faciles A surmonter d’ailleurs infiniment plus süres pour regler le tempere dont il s’agit bien au juste parceque le climat de Lion est un climat parfaitement moien par sa situation A tous egards. Ainsy si vous souhaitez de vous en eclaircir il faudroit consulter le Pere Beraud Jesuite sur cet article, il est depositaire de mon therm® et de ceux de l’academie des beaux arts, garde de l’observaloire elc., et personne ne peut etre mieux en etat que lui de juger si mon Temper& est un peu {rop haut ou un peu trop bas. Voila Monsieur ce que j’ai cru devoir ajouter en eclaireissement sur le terme du Tempere. Je vous serois bien oblige de me communiquer vos reflexions sur les consequences que jai tir& forte A la hate de la supposition que le terme moien du barometre sous l’equateur au niveau de la mer et a Stockolm au meme niveau fut egal dans l’un et dans l’autre et ä 28 pouces du pied de Roy je vois cetle supposilion d’ailleurs assez confirmee parceque vous marquez les experiences du barometre de Berlin faites suivant la mesure du pied du Rhin et par consequent leur terme moien se rencontrer eire a 27 pouces 5 lignes du pied de Roy. A l’egard de la table du niveau de Mr. Picart je vous serois bien oblige Monsieur si vous vouliez bien m’en faire une copie manuscrite et me l’envojer avec l’addition du caleul pour 5000 toises, puis pour 10 mille, 20 mille, 30 mille, 40 mille, 50 mille, 60 mille, 70 mille, 80 mille, 90 mille et puis pour 100 mille et que vous vouliez bien Mr. prendre la peine de faire les susd® calculs. C’est afin de pouvoir Juger des hauleurs des eaux du Deluge lorsque les sommets des mon- lagnes eloignes A une cerlaine distance commencerent a paroitre A ’arche de No&, suivant la relation de Moyse. Br — 169 — Quant a ce qui concerne les diverses questions que vous me faites Mr. sur ma table de correspondance qu’a de moi Mr. Baviere je n’y saurois bien repondre sans avoir la dite table n’en aiant pas de double avec moi et ne comprenant pas bien d’ailleurs votre facon de caleuler m’etant fait pour mes calculs ma maniere parliculiere et n’entendant l’algebre de sorte que lorsqu’il m’a falu sortir de ma d® maniere pour en trouver une autre qui convient au calcul dont je desirois la correction, je n’ai pas pü la trouver et voila pourquoi jai marquer ci devant a Mr. Baviere ma correspondance des (herm‘® de mercure de Delisle et de Fahrenheit n'est pas aussy exactement cal- cul&e qu’elle devrait etre, je la puis bien faire exacle en comptant par les degrez par ex° de Fahrenheit 54 qui repond au zero de mon therm® d’esprit de vin et 739—45’—36’’ qui repond ä 10 du meme ei 924—-49’—36’’ qui repond A 20 et 102 qui repond ä 25, mais non pas de la facon qu’elle est marqu&e sur ma planche. Ou le 54 degr& de Fahrenheit repond bien A zero de mon thermometre d’esprit de vin mais ou je ne suis pas sur que le 60 reponde ä 2 degr. 59 dud® thermom® le 70 ä 8 degrez, 3 cve je l’ai marque sur la d® planche et je vous avoüe Monsieur mon insuffi- sance pour corriger cela en vertu de votre principe, ma regle de progression de division du (hermometre de mercure pour l’accorder parfaitement dans sa marche avec mon (hermometre d’esprit de vin, ainsy qu’on peut le voir dans la parallele des deux (hermom*® lequel jai donnee ä votre bibliotheque, et bonne pour cela, mais n’est pas susceptible de renversement comme si je voulois par exemple faire marcher l’esprit de vin encore formite du mercure et le diviser pour un tel effet de dix en dix sur le thermometre de mercure. Ainsy je sais bien en verltu de ma d® regle a combien dix degrez de chaud de mon therm® d’esprit de vin sur le temper& repondent a celui de Mercure egalement divise, s’avoir 12 degrez 24 minutes, de sorte qu’ecrivant dix ä la place des 12 deg. 24 et 5 au dessous, soit a 6% 16 sur le tempere soit ä 6 deg. 8 de distance au dessous de dix, le Therm® de Mercure suit exactement alors le therm® d’esprit de vin. Mais si je voulois diviser mon therm® d’esprit de vin de facon qu'il s’accordat de 10 en 10 du therm® de mercure et de cing en eing c’est ce dont je n’ai pas pü jusqu’a present Lrouver la clef, par deffaut de savoir qu’elle doit etre en ce cas Ja progression. Ainsy Bern. Mitteil. 1900. No. 1499. — 10 — ne le pouvant pas trouver de cette facon de l’un ä l’autre, je n’ai pas pu parvenir ä (rouver jusqu’a present la proportion dont il s’agit par raport A Delisle ei a Fahrenheit dans le nombre que j’ai eiter quoique je les trouve bien de distance en distance intermediaire et meme par tous les degrez de mon Liherm® de mercure egalement divisez. J’estime donc que la chose n’est pas si aisee qu’il semble d’abord a pouvoir trouver; toutefois Mr. je m’en raporte A vos recherches. Quant A la faute que je puis avoir faite A la table susmentionee par Varticle de Pondicheri je la corrigeräi. La ol jai marqu& A ce que je crois Mr. sur cette planche, mon thermometre de Mercure. mon thermometre d’huile de lin, c'est que je les y suppose peut etre egalement divisez, s’ils sont egalement divisez la ponetuation depuis les points 5 et 10 de mon double echelle demontre le degr&e qu’ils doivent alors accuser pour se rencontrer avec mon thermometre d’esprit de vin, suivant ce que vous me failes ’honneur de me dire Monsieur, ınais comme je ne crois pas que je les aie ainsy divisez, j’estime en ce cas que ce n’est qu’aux nombres el aux divisions qu’il faul avoir egard pour juger de la concordance. Quoi qu’il en soit s’il y ade la faute ou de l’equivoque je la corrigerai, si non jeexpliquerai et rendrai raison de la chose quand je verrai la planche. Peut etre Monsieur que quand vous aurez examine a votre bibliotheque le parallele susmenlione, vous trouverez vous meme l’explication de cette enigme. Je vous prie au surplus de faire ces souvenir Mr. Baviere au sujet des eclaircissemens que je lui ai demandez touchant le cours de la comete de 1680 et d’agreer ici les assurances de la (res parfaite con- sideration avec la quelle j’ai ’honneur de me dire MönSieilt 5.2....55 VOLLE, LTOS N 57. Reliefs der Schweiz: R. Wolf erwähnt in seiner «Ge- schichte der Vermessungen» S. 141 einen Leonard Gaudin, Topographe et membre de la Societ& des beaux arts A Gene@ve, der ca. ums Jahr 1820 Reliefs anfertigte. Er soll 1822 in einem eigenen Gebäude im Päquis in Genf ein 24 auf 19 Fuss haltendes, fast die ganze Schweiz umfassen- des Relief zur Ansicht ausgestellt haben, das 1835 um 3600 Fr. an die Sammlung bei den Invaliden in Paris abgetreten wurde. Durch Hrn. Wäber-Lindt ist mir kürzlich ein französischer Prospekt in die — 171 — Hände gekommen, der zeigt, dass L. Gaudin die Relieffabrikation im grossen Style betrieb, indem er darin 7 Reliefs in grossem, 5 Reliefs in kleinem Massstab dem Publikum zum Ankauf anbot. Nr. 1. Relief, in welchem der Genfersee die Milte einnimmt und das sich von Chambery nach dem Ufer des Neuenburgersees und vom St. Bernhard bis zum Jura erstreckte. grosses Modell 52 auf 48 Zoll Preis 720 Fr. kleines » DA 30 » 144 » Nr. 2. Relief der neuen Simplonstrasse grosses Modell 27 auf 23 Zoll Preis 144 Fr. kleines » 1255» 1017» » 60 » Nr. 3. Relief des St. Gotthard, wo sich das Hospiz, die Quellen des Rheins und alle bemerkenswertesten Berge und Gletscher be- finden grosses Modell 22 auf 17 Zoll Preis 144 Fr. kleines » en » 49:5, Nr. 4. Relief des Montblane und der angrenzenden Aiguilles, des Thales von Chamounix von Servoz bis zum Col de Balme grosses Modell 24 auf 19 Zoll. Preis 192 Fr. kleines » 12 » 8lha» » 72» Nr. 5. Ein Relief von Siders bis zum Rhonegletscher und den Gletschern von Grindwald (!), Lauterbrunnen, Jungfrau, das Schreck- horn, die Seen von Thun und Brientz, kurz die centrale Alpenkette Modell 27 auf 18 Zoll Preis 240 Fr. Nr. 6. Die ganze Gegend von Nr. 1 vermehrt um die centrale Alpenkette, d. h. das Oberland, Grindwald (!), die Jungfrau, die grossen Aletschgletscher(!), den Simplonübergang, die Gemmi, die kleine und grosse Scheideck, das Lauterbrunnenthal, die Seen von Thun und Brientz bis Meringen (!). den Grimsel, den Brunich (!), die Furka, Sant-Golthard, Teufelsbrücke, Alcorf(!), der Langensee, Domo-Dossola, Kanton Schwitz, Zug, Luzern bis Zürich und andere Details, bei denen es viel zu lang ginge, sie hier zu beschreiben, in 4 Stücken, wegen der Bequemlichkeit des Transportes grosses Modell 72 auf 62 Zoll Preis 1450 Fr. kleines OR a N BA SEIEN ÄNER. Nr. 7. Das Basrelief, die Katastrophe des Bagnethales im — 12 — Wallis mit allen Details dieses lraurigen Ereignisses vom 16. Juni 1818 vom Autor an Ort 10 Tage nachher gezeichnet Modell 52 auf 10 Zoll Preis 120 Fr. Das letzte erwähnte Relief betrifft den Gletschersturz am Gi6troz- gletscher mit seinen verheerenden Wirkungen. L. Gaudin muss die Herstellung von Reliefs sehr intensiv be- trieben haben, er verwahrt sich am Schluss gegen die Nachahmungen seiner Produkte, wie sie in Paris, London und Genf auf den Markt gebracht werden. Deshalb Lragen alle seine Erzeugnisse eine bestimmte Marke. Die Genauigkeit seiner geographischen Namenschreibung lässt zu wünschen übrig. Da Wolf in Genf selbst nichts über diese Reliefs von Gaudin erfahren konnte und seine Nachrichten von Kapitän Penel in Paris hatte, so ist der im obigen skizzierle fliegende Zeddel vom grössten Werte. Er gehört der schweizerischen Landesbibliothek in Bern. 58. Im Besitze von Hr. Professer Dr. Lotmar in Bern befindet sich ein interessantes Instrumentchen. Dasselbe besteht inwendig aus einem Compass mit Sonnenuhr, wobei der gespannte Faden fehlt. Es kommen drei befestigte Kreisteilungen vor. 1) Die äusserste: Die Monate des Jahres. 2) Die zweitäusserste enthält eine Dreiteilung für jeden Monat z. B. Mai 10. 20. ak. Juni 10. 20. 30. 3) Die innerste hat zwei Einteilungen. Juli }: II. August Hl. IV. Septemb. V. V. Oktober VII. VII. Novemb. IX. er Dezemb. XI. XI. Januar l; JE; Februar II. IV. März V. VI. April vn. VII. Mai IX. X. Juni XI: Xu. ea Ferner finden sich inwendig zwei bewegliche Scheiben und zwar eine grössere Scheibe mit der Einteilung 1—30, also die Monats- einleilung. Die kleinere Scheibe dient zur Darstellung der Mondsphasen im Monat. Die äussere Seite des Instruments enthält oben eine soge- nannte Polar-Sonnenuhr, die untere Seite, wo ein Zeiger fehlt, weist vorerst eine quadratische Platte mit folgenden Zahlen: b 7 27,49 6 37... 11 9.:10 0%%.10 9 0 8 1 2 3 4 5 6 7 8 BER TORTCHERD 18 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 0 0 OZBND auf. Die ersten zwei Reihen enthalten die Stunden des Tages 1—12, die folgenden 5 die Tage des Monats und alles bildet 7 Reihen, ent- sprechend der Zahl der Tage der Woche. Um alles herum geht der Kranz der Monatsnamen Januar bis Dezember, dann folgt hier herum eine zweite Einteilung in 10 20 30 oder 31 und endlich noch eine Gradeinteilung ohne Zahlen. Die Verwendung des Instruments ist nur zum Teil ersichtlich, in einigem uns noch absolut dunkel. — Tre Inhalts-Verzeichnis. Baltzer A., Prof. Dr., Demonstration eines geologischen Profils durch die Schänzli-Moräne i Vorweisung von Mineralien Altes und Neues von der Insel Rügen Eiszeiten und Schreibkreide Brückner E., Prof. Dr., Neuere Probleme der Gletscherforschung Die Arbeit Imhofs «Über die Waldgrenze in der Schweiz» s E h Droz-Farny A., Pro a re, Sur un theoreme de Steiner (mit Tafeln) Dutoit E., Dr. med. und Docent, Vegetationscharakter des Val de Cogne v. Fellenberg F., Dr., Kissling E., Dr. und Schardt, nr Lötschberg- und Wildstrubeltunnel. Geologische Ex- pertise (mit drei Profilen) : : ; Fischer E., Prof. Dr., Über die neuern Untersuchungen betreftend die Be- fruchtung der Gymnospermen : Vorweisung von Morchella rimosipes D. 0. Über die Bearbeitung der Pilze im grossen Sammel- werk «Die natürlichen Pflanzenfamilien» von Engel und Prantl und der Beiträge zur Kryptogamen- flora der Schweiz . i . : Graf J. H.,:Prof. Dr;; Notizen zur Geschichte der Mathematik und der Natur- wissenschaften in der Schweiz Gruner P., Dr., Gymnasiallehrer und Docent, - Doc astronomischer Arbeiten Über die bevorstehende Sonnenfinsternis und einen beobachteten Sonnenring Guillebeau A., Prof. Dr., Über die Fleckniere der Kälber Heffter A., Prof. Dr., Die Peyote, ein Berauschungsmittel der mexikanischen Indianer z : i . Seite der Sitzungs- berichte di 174 Ft 2 LE F Verlag von K. J. WYSS in Bern. (Fortsetzung von Seite 2 des Umschlags.) scikel IV6: Fauna helvetica. Heft 5: Reptilien und‘ÄAmphibien. Zusammengestellt von Dr. H. Fischer. 39 Seiten 8°. Preis Fr. 1.— scikel IV6: Fauna helvetica, Heft 50: Fische. Zusammengestellt won Dr. H.Fischer-Sigewart. Bern 1900. 99 Seiten. Preis Fr. 1.50 Fascikel IV6: Fauna helvetica. Heft 6: Mollusken. Zusammen- gestellt von Prof. Dr. Th. Studer, Dr. G. Amstein und Dr. A. Brot. Preis 60 Cts. Fascikel IV6: Fauna helwetica. Heft 9: Urustacea. Von Dr. J. - Heuscher etc. 35 Seiten 8°. Preis Fr. 1.— Fascikel V4: Heraldik und Genealogie. Bearbeitet von Jean Grellet "und Maurice Tripet. Bern 1895. 68 Seiten 8°. Preis Fr. 1.50. 1 Fascikel V6 27€: Architektur, Plastık, Malerei, Zusammengestellt von - Dr. B. Haendeke. Bern 1892. 100 Seiten 8°, Preis Fr. 2.— BB ascikel V6e: Leibesübungen. Turnen, ‘Fechten, Reiten, Wassersport 4 ‚etc. Zusammengestellt von Alois Landtwing. 165 Seiten 8°. E Preis Fr. 3.— ascikel V9ab: Landwirthschaft. Zusammengestellt v. Prof.F. Ander- R ‚esg u. Dr. E.Anderege. Bern 1893. Heft 1—3. 258 8. 8° a Fr. 3.— id. Pak! „—.60 4 id. 3. UK „ 2.— Fascikel V9e: KForstwesen. Jagd und Fischerei. Forstwesen. Zu- - sammengestellt durch das eidgen. Oberforstinspektorat. Bern 1894, 2.160 Seiten 8°. Preis Fr. 2.— Fascikel V9c: Forstwesen, Jagd und Fischerei. Jagd. Zusammen- gestellt durch das eidgen. Oberforstinspektorat. 77 Seiten 8°. a Preis Fr. 1.50 Fascikel V9c: Forstwesen, Jagd und Fischerei. Fischerei. Zu- - sammengestellt durch das eidgen. Oberforstinspektorat. Bern 1898, 65 Seiten: 8%, Preis Fr. 1.50 Fascikel V9d: Schutzbauten. Zusammengestellt durch das eidgen. - Oberforstinspektorat. Bern 1895. 136 Seiten 8°. Preis Fr. 2. Fascikel V9g3: Mass und Gewicht. Bearbeitet von F. Ris, Direktor der eidgen. Eichstätte. Bern 1894. 36 Seiten 8%. Preis Fr. 1.— Fascikel V9g,: Post- und Telegraphenwesen. - Postiwesen. Zusammengestellt von der Schweizer. Oberpost-Direktion. Telegraphenwesen. Zusammengestellt von E. Abrezol, Inspektor ‘der Central-Telegraphenverwaltung, Bern 1895, 113 Seiten 8. 4 Preis Fr. 2.— Fascikel V 9ge: Bankwesen, Handelsstatistik, Versicherungswesen. Zusammengestellt von W. Speiser, Basel, Dr. Geering und Dr. © ‘J. J. Kummer. Bern 1893. 207 Seiten 8°. Preis Fr. 3.— ascikel V9j: Alkohol und Alkoholismus. Zusammengestellt von Otto Lauterburg, Pfarrer in Neueneeg, E. W.Milliet. Direktor der eidgen. Alkoholverwaltung, und Antony Rochat, Pfarrer in © Satigny. Bern 1895. 183 Seiten 8°, Preis Fr. 2.— Fascikel V10e,: Die christkatholische Litteratur der Schweiz. Zu- 3 sammengestellt v. Dr. F.Lauchert. Bern 1893. 32 Seiten 3°. 60 Cts. Fascikel V1De«; Bibliographie der erangelisch-reformirten Kirche in der Schweiz. Heft 1: Die deutschen Kantone. Zusammen- gestellt von Dr. G. Finsler. ... Preis Fr. 2.— Fascikel V10e: Die katholisch-theologische und kirchliche Litteratur des Bisthums Basel vom Jahre 1750 bis zum Jahre 1893. Zusammen- Bestellt von Pfr. Ludwig R. Schmidlin in Biberist. Heft 1 und 2 A Er. 3.— n ewz Te BE Wen UT“ wbVE ad STE er ad nr EEE En a2 Ta NE ET EEE TE FR ÄESD en RR ug En N Zu Seen SE RE r ; Da NarY \ ED NE DEREN SEAL NE, \ Verlag von K. J. WYSS in Bern. Graf, J. H., Prof.. Dr. Einleitung in die Theorie der Gamm funktion und der Euler’schen Integrale. Fr. 2. — — Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften in bernischen Landen vom Wiederaufblühen der Wissen- schaften bis in die neuere Zeit. Heft 1-3. Fr. 7. & — — Leben und Wirken des Physikers und Geodäten Jacqu Barthelmy Micheli du Crest aus Genf, Staatsgefangener des alten Bern 1746—1766. Mit Porträt Micheli’s, einer Ansicht seines Gefängnisses in Aarburg uns = Facsimile seines Panorama der Alpen Fr. 3.— — — Das Leben und Wirken des Physikers und Astronomen Joh. Jac. Huber aus Basel, 1733--1798: Mit dem‘ Bildnisse Huber’s und einer Tafel, seine freie Uhr-4 hemmung darstellend _. . Fr. 1.— — — Professor Dr. Rudolf Wolf, 1816--1893 » 1.9 — — Professor Ludwig Schläfi, 1814—1895 . » 1.20° — — Der Briefwechsel zwischen Jakob Steiner und Ludwig Schläfli : BE Is wi Be — — Die Esxhumierung Jakob Steiner’ s und Einweihung des Grabdenkmals Ludwig Schläfli’s anlässlich des 100. j Geburtstages Steiner’s. Mit 2 Lichtdrucken Fr. 1. — — — Der Mathematiker Jakob Steiner von Utzenstorf. Ein Lebensbild und zugleich eine Würdigung seiner Leistungen . . . Fr..1. 50% — Wann beginnt das XX . Jahrhundert? Vortrag. Fr. —.50% Graf J. H., Prof. Dr. und Gubler Ed., Dr. Einleitung in die Theorie der Bessel’schen Funktion 2 Hefte: Die Bessel’schen Funktionen erster und zwei- LETZALeN ;; i : .a Fr. 4.— Huber, 6., Prof. Dr. Sternschnuppen, "Feuerkugeln, Meteo ite und Meteorschwärme . „Fr Ir — — Forschungen auf dem Gebiete der Spektr alanalyse —. 80 ° — — Die kleinen Planeten des Asteroidenringes . — 608 Kissling, Dr., E. Die versteinerten Tier- und Pflanzenreste in. der Umgebung von Bern. Exkursionsbüchlein für Studierende . .. Fr. 4. —® Baumberger, E. Ueber die geolog gischen Verhältnisse am linken Ufer des Bielersees 3 ; .. Fr. 2.8 Baltzer, A., Prof. Vom Rande der Wüste. Populärer Vortrag, " gehalten im November 1894 in der Bern. Naturforsch. Gesellschaft. Mit drei Lichtdrucktafeln. . Fr. 1. 50. Fischer, Prof., L., Zweiter Nachtrag z. Verzeichnis der Gefäss- pflanzen des Berner- -Oberlandes, mit Ber ücksichtigung der Standortsverhältnisse, der horiz zontalen und ver- tikalen Verbreitung . .. Fr. Durch jede Buchhandlung zu beziehen. INN EN 7‘ L e“ RR, h