_r /'oj , • 2,04 Addition -aux reflexions fur. le fluide Elaflique par M. DE Saluce . ., . . . . jp. i»6 A Lettre Lettre de M. Euler A M. DE LA Grange contenant des rcchtrch.es lur la propagation des ebranlemens dans un «w« lieu Elaflique , ... . p. I Nouvelles recherches fur la nature & la propagation du fon par M. de la Grange . . . . p. a Effai ' 1 8. SlN API altera planta eft foliis femipinnatis rotunde den- tatis hirfutis Enum. n. n. p. J 51. Eruca inodora J. B. II. p. 8 6z. Eruca lutea fylvejlris caule afpero C. B. Haec priori vulgatior Ebroduni abundc in foffis provenit: turn ad Arolam inter Aarberg, & Worben , in Valefia. Inter Laufar.nam, & les Croifettes ad viam. Bafileae prope curiam Naviculariorum ad Rheni pontem . In arenofis Wiefae , &c Rheni. Bernae etiam circa utt .Sh^o/nafcebatur , nunc deftru&a. Huic caulis hirfutus , angulofus , caeterum fulcatus , pa- rum firmiter ereftus tripedalis, ramoius & brachiatus. Fo- lia Jacobeae vulgaris fimilia, qualia Linnaeus lyrata vocat, longe petiolata , femipinnata , pinnis angulofis fenfim majo- ribus , ultima impare maxima obtufa , omnibus angulofis , & maximis paucioribufque dentibus incifis. In caule haec om- nia anguftiora funt , dentefque tanti , ut folia femipinnata fint . Tota cum nervis hirfuta funt. Calycis folia patula , duo mochce deorfum gibba , omnia fubhirfuta , decidua . Petala longo petiolo , braftea rotunda , de calyce duplo longiora fe efferunt , colore ochroleuco. Glandulae quatuor, pofitae , ut in priori planta 17. Fru&us fubhirfutus/, tetra- gonus j cornu brevi , capitato , obtufo . Siliquarum petioli ad "magnum angulum de caule recedunt , ipfae furfum re- curvae , cauli pene parallelae , obtufe tetragonae , turgidae, felcunciales. Semen oblongum.. B Eadem I o Eadem in Arve fl. alveo , inque veragrico agro , & in Valeria fere flavo flore nafcitur . Haec eft Sinapi fylveftre Genevenfe J. B. II. p. 858. in alveo Ame leftum j uti ex plantis video , quas ex loco natali CI. le Clerc ad me mifit. 19. Eruca Tanacai folio Morisoni. Pari jure, ut plerae- que Bafileenfes, & Genevenfes pro Helvetica haberi poteft, quam CI. Claret ad pedem montis S. Bemhardi in valle Augufta legerit. 20. Brajjica perfoliata poteft helveticis accenferi , quae circa Mulhufiam proveniat . 21. Cardamine foliis pinnatis pinnis laciniatis , faepe quidem apetala eft , atque folis fuis ftaminibus albis , de calyce eminentibus , florem mentitur, fed eadem tamen, in ipfa Suecia , alias petala alba calyce majora produxit ( Linn. jlor. fuec. nov. ed. p. 464.). 2i. Cardaminen trifoliam raram civem foliis hederaceis angulis in argutos denticulos exeuntibus , habuit inter fuas Cl. le Clerc. Cardamine alplna bellidis folio , glabra, quidem nuper a me in M. Enieinda le£a eft, & in fummo Pennino a Cl. Clareto. 23. Sed alia, neque a nobis difta planta, & ex M. Bal- do cum eo nomine mihi miffa eft , & lecla in M. Sur champ agri Aquilegienfis, penitus omnino diverfa. Huic fo- lia integerrima, ovata , radicalia , hi;ta 6k afpredine ica- bra . Caulis trium quatuorve unciarum , uno alterove folio ovato lanceolato ornatus , limplex , habitu omnino Turriti- dis ramofae vulgaris, fed flore toto diflert, & fruftu. Flos enim grandis , triplo ejus plantulae florem fuperat , idem- que petalodem album calycem habet , deorfum infigniter gibbum. Petala Ia£tea, ovata. Siliquas grandes latiffimas ad lineam unciales , cornu breviflimo flmplici, ereftaspraeferr, 8c cauli parallelas. Num elafticae refiliant , feque convol- vant, 1 1 vant , non refcivi . Vitletur ex loco natali efle Cardamine y. Seguier veron. p. 3.87. Nomen meretur , fi glandulas haber ,, quod nunc quidein expedire nequeo , Arabidis fo- Liis radicalibus avatis integerrimis fcabris , caule fubnudo , A Turritide minori flore grandi feparatur , latifque filiquis ,, & caule non foliofo. P A P I L I O N A C E AE. 14. A Stragalorum primum genus oportet expedire in quo _/"V ob fpecimina imperfecta , & fru£tus potiflimum defectum multa mihi , dum majus opus fcripfi , dubitario , heque abfque errore fuit. Nunc copia colle&a exemplorum , & fru&ubus maturis conquifiris , haec poflunt expediri . Removere vero oportet ab Aftragalis, primum Tragacan- tham , quae alpina. fempervirens flore purpurafcente J. R. H. , & Garidel in ic. In M. Jeman , Cheville , & inter Javerna^ , & Ovanna^ montes , a D. Rtcou primum reperta , turn a D. des Cop- pets , aliifque Radix lignofa , maxima , ramofa , multiceps . Caules pe- dales , foliofi , ramofi . Petioli foliorum in fpinulam termi- nantur , eorumque petiolorum reliquiae fuperfHtes , acumina- tae , caulem circumftant . Folia fubhirfuta , ovarii anguftio- ru , pinnarum feptem ad decern . Flores fru&ufque ad balin caulium congefti . Fru&us- hirfuti , turgidi , teretes , duri , breves. Calyx hirfutus, cylindricus, quinque longis & hir- futis dentibus. Flos longus, ftri&us, albidus. Vexillum emar- ginatum , venis faturati purpurei coloris piftum . Alae pe- tiolum habent capillarem, hamum brevem & obtuium. Ca- rina brevior , quam alae , hamis brevibus , obtufis , roftrello purpureo , mucrone perbrevi . Caeterum flos pallide cameus eft. Stamina novem connata , unum fingulare. Tula filifor- mis longa , fine paullum crafliori . Siliqua conftanter unilo- B z cula- 1 1 cularis , in ea quatuor nigra , reni/ormafa femina , aliqun bus membranulis & feptuKs interftin&a , non parallelis ad vaivas , led oblique &: traniverfim normalibus. A Majfdicnfi Tmgacantha , quam a variis amicis accepi , non videtur diflerre. Sive velis generis tueri dignitatem , five alteri alicui ge- neri adderc, certe ex noftris experiments cum Aftragalo non poteft relinqui . Si omnino alii CI. viri Tragacanthas Biloculares viderunt, erit in ipfo genere varietas loculorum. Nimis'cnim multos rru&us aperui, ut potuerim in meis iep- tum praetervidifle . 2.5. Porro aliquot ab Aftragalis plantas oportebit remo- vere , quas ignorata fabrica fruftus pro aftragalis habui . AjlraoaloicLcs five phaca adeo fimilis eft AJlragalo , ut vulgo cum ea conjuncta fuerit . Neque tamen fola filiqua differt, quam aftragali nonnulli perinde inflatam habent, & ovatam , fed praeterea partium floris proportione . Cum. enirn Afiragalu flos fere ftriftus , & vexillum praelongum efle ibleat ,■ Ajlragaloidi multo brevior , & ejufmodi eft quales in viciis, in iis certe quinque phacae fpeciebus, quas inter meas habeo , & quarum tres funt helveticae . . I. Phaca cattle procumbente foliis ovato lanceolatis . AJlragalus quidam montanus , vel onobrychis aliis J. B. II. - F- 3 3 9- Aflragalus montanus LlNN. fpec. p. 960. n. 24. Poft priora leftus ad pedem rupis glacialis Steinbey in M. Chapuife , Fouly , Orgevaux , Sur champ, Ovanna, En- Ttinda , Prapio^ , Breitlawenen , Stokhorn , Galanda , plerum- que in lapidofis deciduis . Haec planta Aftragalos inter , & Aftragaloides five phacam ambigit. Habet enim filiquam teretem , ovatam , lanceolatam , inflatam , hinc convexam , inde cava linea fulco divifam . In ea linea commiflio val- varum mediam fuperiorem partem filiquae valde breviter elevatam contingit, eique araneofis nexubus adaptaturi & ex l5. ex reeeptaculo utrinque feminales funiculi exeunt . Semina in duos ordines difpofita utrinque ad decern , compreiTa t reniformia . Adulta filiqua calvefcit , & omnino abfque ve» ftigio bilocirlaris naturae eft , unaque folia conrra&o margi- ne lanceolata fiunt , ut alia tunc planra videatur . Eos ru- men loculos non membranaceum adeo alicujus longitudinis leptum , fed contiguitas receptaculi ad mediam fuperioris convexitaris filiquae fedem elevati dividit . Caeterum flores breviter fpicati , ad angulos reftos , re£fifque minores , turn ipii , turn filiquae eriguntur : iidemque flores breviori funt vexillo, quam in Aflragalis folent & latiori, ut Viciae flo- rem penitus referat . Folia incerta figura ludunt , ovata , 8c ex ovatis lanceolata . Caules foliofi , auriculis ovato lanceo- latis , ad originem folii pofiris , fpica florali terminati . z6. II. Phaca caule procumbent e ; folds ovatis, filiquis pendulis Enum. n. 10. Afragalus alpinus folds viciae ramofus , & procumbens fo- re slomerato oblonvo albo caeruleo ScHEUCHZER itin. VII. p. 509. Afragalus alpinus minimus LlNN. fl. lapp. p. 261. T. 9. f. 1. Similibus locis , uti prior, fed aliquanto rarior . In lapi- dofis circa glaciales rupes Stelneberg , Stokhorn , Chapuife , En-einda . Cl. RamPSPEK in M. Mdrtfchen, Galanda . Vere a n. 15. differ , floribus rarioribus , minus in ea- dem fpica numerofis , petalis magis diftin£ris , vexillo ftria- to , floribus, tk filiquis pendulis, radicibus, quae priori pe- dales , huic minimis , etfi lignofae fuht . Caeterum fruftus ej,/dem narurae eft, hirfurus , niger , & unilocularis , nullo fepri veftigio , idemque in meis curvus : verum fatis maturas filiquas non vidi . Ab Aftragalis pariter , ut prior breviori flore differt . 17. III. Phaca caullbus ereclis , ramofs , folds ovatis. ■ Afragaloidcs alpina hirfuta erecla folds viciae floribus di- lute luteis TlLLI hort. Pifan, p. 19. T. 14. f. 1. Praerer M , Praeter eos momes, quos in Enum.Helv. ciravi, nafcitur etiam in M. Chapuife , a nobis lefta , in Prapio^ , in Je- man ■, Ovanna , Sur champ , aux Nombrieux . Adde defcrip- tioni , radiccm enormem , pedalem & cubitalem efle , cau- lem ereftum ad pedem , & cubitum , foliorum paria qua- tuor, quinque, fex, molba,. hirfuta,. ovata; ad eorum ori- ginem praegrandes ftipulas , ovato lanceolatas; fcapos flori- geros ex alis prodire, fpicafque ferre confertas, florum eriara retrorfum converforum & pendulorum . Calyx cylindricus , compreftus , pallens , nigris pilis hirfutus, denticulis quinque brevibus, nigro pilo totis barbatis. Flos ochroleucus, caly- ce duplo longior. Vexillum longe petiolatum plicatum, ova- le & quafi mucronatum , album , dorfo , & parte proxiraa flava : alae longe periolatae , longe hamatae , ochroleucae ,. paullo carina breviores : carina unipes , hamis retrogradis obtufis , mucrone obtufo , curvulo , flavefeente . Stamina no- vem connata , & decimum folitarium. Tuba filiformis. Sili- quae pendulae , ovatae, mucronatae, ftyliferae, inflatae, in* tus glabrae , uniloculares , feminibus reniformibus . 28. Iterum ex fruclus ignoratione mihi, & Linnaeo fpec. p. 756., & ante nos Scheuchzero accidit, ut inter Aftra- galos recenferemus Hedysarum caule recto , ramofo , foliis ovatis r Jiliquis , levijjimis , venofis . Hedyfarum alpinum (iliqua levi C. B. Earn nunc planram , multis locis , & diverfis anni tern* poribus , lepertara , urique re6Hus conftituo . Radix longa y craffa , lignofa , teres , nigra , mulriceps . Caulis ere&us y ramofus , dodrantalis r pedalis , etiam cubi- ralis . Sub foliis vaginae fqualentes , ficcae , Iongae , arifta- tae . Foba venofa , ovata , parium novem & ultra . Spicae in fcapis ex foliorum alis prodeuntibus , florefque reflexi & penduli : calycis, dentes fubhirfuti r inferiori longinimo. Flo- res Hedyfari , vexillo quam carina breviori , reflexo, plica- to , emarginato . Alae curina breviores graciles , hamo lon- 8° go retrogrado . Carina pene normalis , obtufa , omnibus pc- talis major , ex caeruleo purpurea . Fru&us arriculatus con- ftat quatuor , aut quinque , articulis ovatis , planis , nervo- fis , alatis , monofpermis per graciles ifthmos fibi conrinuaris. Sibirica planta non videtur diverfa , fru&u , flore , folio , habitu. Sola magnitudo floris noftras feparat. Nafcitur in M. Ovanna, Sur champ, Ckapuife, En^einda , Fouly , Orgevaux , Neunenen , Swkhorn , Pilato , Breitlawe- nen , Wangenalp , Nornhrieux , Schilt , momibus Switenfium. 29. Aftragali veri praerer hos, quos nunc recenfebo, in helvetia non funt reperti . Quis fit AJiragalus II. Clus. p. ccxxxiiii. , aut C. B. helveticus ignoratur , & difficile ell conje&uram facere , quemnam potuerit cum Orobo fyl- vatico purpureo verno comparare Clusius. Neque de Alrja- galo 12. 13. & 14. quidquam mihi ultra innotuit. Vulgarem procumbemem omitto , & Glaucern RivINI . Qui fequuntur , veri funt Aftragali . 30. I. Astragalus caule ereclo, ex aliis fplcifero, filiquis teretibus hirfutis Comm. Gott. 1751. cum icone . In Helvetia ; circa caftellum O&odurenfe, vetuftate diru- tum , in herbofis abunde nafcirur , ibi le£his a me an. 1 7 5 7. An hie fuerit AJiragalus pilofus LlNN. Spec. p. 148. Cicer montamim lanuginofum ereclum C. B. prodr. p. 148. Ad defcriptionem alias datam remififle liceat. 31. II. ASTRAGALUS caule ereclo , ramofo , foliis linearibus hirjutis , fpicis ereBis terminatricibus Enunu p. Ovan- na, Prapio^, Sur champ, Richard, & Chapuife . Radix nigra , lignofa r ramofa , fibrofa , reptans , multos. caules producit , eademque guftata fatna primum r demura igneum in lingua & durabilem pyrethri faporem relinquit. Caules dodrantales, pedales, duri , inferne glabri, fuperne hirfuti f 39 hirfuti , ut petioli denique tomentofi fint . Folia fature vi- rentia, pinnata, petiolo piano, pinnis diftin&is planis , de- cern , duodecimve parium , quarum primae fimplices , quae fequimtur acute & faepiffime inaequaliter trifidae funt, ul- timae (implices. Flores in umbellam, fex & duodecim etiam florum . Calyx inverfe conicus , cujus folia prima viridia hirluta , reliquis in ordinibus lutea, cum ora nigerrima, ut in cyano. Petala plana ovata, lata, obtufa, tridentata, al- ba, decern, duodecim. Squamae inter flofculos fufcae: ipfi flofculi albi, ftaminum tubus flavus. Planta tota inodora. 87. II. Achillea aromatic a foliis pinnatis , pinnis fimplici- bus punctatis , glabiis . Anthemis alpina faxatilis odorata minima perennis floribus exiguis umbellatim compa&is MiCHELI p. 59. Tanacetum alpinum odoratum C. B. ScHEUCHZER Itin. II. p. 241. T. 11. f. 3. I. VI. p. 462. C. GESNERUS in M. Brauiio ; J. BaUHINUS in montibus Rhaeticis, Scheuchzerus inPraegallienfibus, nos ex M./^- man, Fouiy , montibus fupra Bagnes, & S. Bemhardi. Veritable Genipi Medicorum circa alpes medentium . Difficile judicium eft , num a priori diverfum fit, ut CI. Viri fenferunt , num varietas , ut ego in priori opere . Accurate vero rimando haec difcrimina reperi . Radix non acris. Caules humiliores , minus fub floribus tomentofi. Fo- lia pallidius viridia , pinnis plerifque fimplicibus , pariura pauciorum , fere fex & ofto ■■, eadem pleniflima foveola- rum , hine pulpofa , & ad microfcopium reticulata . Squa- mae calycis proportione breviores , inprimis fi extremas compares , leviffime ad vitream lentem hirfutae , magis compaftae , ora potius fufca quam nigra . Flores minores . Tota planta odore grato aromatico , penerrabili , quern etiam culta rennet. Vere adeo differt. Haec planta ad pleurkides febrefque antidotus eft alpico- larum , & in rheae modum pota fudorem movet Journ helv. >758- 40 j 7 5 8- M- Sept.: calida tamen, & nocitura , quoties non fanat . Altitudo bicubitalis Achilleae Gmel. T. 83. f. 1. vix vi- detur admittere , ut noftrae eadem fit , cum praeterea CI. nofter amicus flares ampliflimos , radicem parvam faciat , nee aromatiei, grariflimi , odoris meminerit. 88. III. ACHILLEA aromatica foliis pi/matis , pinnulis acu- tis , villofis . In M. Foulj Valefiae. Multo fubtilius huic a priori eft difcrimen, cum perinde odorata fit , perinde folia habeat reticulata , & punftata , pulpofaque : alius tamen , etiamfi etiam grams , odor eft . Folia diverfa , tota hirfuta , pinnis plurium parium , duode- cim , fibi propioribus , magis aequalibus , latioribus propor- tione longitudinis , faepiflime fimplicibus, nifi in radicalibus foliis , quibus breviter bifidae pinnae funt & trifidae. Hinc totum folium longius . Juniora , quae priori glabra , huic villofa funt ; adulta , in hac varietate , pene calvefcunt , noa tamen unquam penitus hirfuties deficit . A floribus congeftis non poteft difcrimen fumi , nam etiam in 1 . & 2 . £aepe perinde congeftos vidi . 89. Haec eadem 88. tomento penitus obvoluta in altifli- mis mbntibus nafcitur, & eft Millefolium alpinum tomentofum BOCCONE T. 170. oiora- tum nanum p. 166., qui hoc ipfum vult dici Genipi j uti quidem dici meretur. Achillea foliis pinnatis lanugine totis ohductis floribus dbis umhellatis Allione plant, pedem p. 9. T. 2. In eo ftatu, etfi fummarum alpium, tamen vulgatius eft. ScHEUCHZERUS in jugis Averfanorum & Praegallienfium , & in defcenfu Furcae M. verfus Valefiam. Ibi & ego abunde le- gi : frequens etiam eft in M. Bernhardo , in montibus val- lis Bagnes . Hinterrhein CI. ScHINZ. Humi- 41 Humilius aliquanto eft. Caulis faepe curvus, cum fbliis torus albo tomento obnuptus , ut fere in Creticis ftirpibus' folet. Florum umbella compa&a, calyce hirfuto, oris fblio- rum fufcis , femiflofculis minoribus fimiliter obtufe incifis . Folia proportione longa , pinnis vicinis brevibus , trifidis , quadnfidis , foveolis balfamicis minus confpicuis , aut nihil quidquam . Non ob aetatem tomentum dejicit , nam utra- que fpecies perinde florens. & perfe£ta reperinjr . Sed ob loci natalis diverfitatem , villofior , quo altiori loco nafci- tur, cum in humilioribus villum dejieiat adulta. Separaflem omnino , nifi omnes medios inter utramque gradus poflide- rem , a perfedta glabritie ad fummam tomenti ubertatem. 90. Vereor , ut Achillea 10. a vulgari fatis diverfa fit, quam circa Branfon Valefiae abunde legi an. 1757.; con- tinues cnim hoc inter , & vulgare millefolium gradus mihi fum vifus adnotaffe . Idem de n. 7. metus eft. Achillea 1 1. feu lutea maxima copia circa Branfon in rupibus provenit. PLANIPETALAE. 91. TN hac clafle ea noftra forruna fuit, ut plufculas X addere cives ; alias , in quibus haeferamus dubii , nunc expedire poffimus. I. Lampfana caule nuio indivifo , foliis femipinnatis % pinnis retrogradis dentatis .. Leontodoides alp. glaber , eryflmi folio r radice crajfa foetida MlCHELI p. 31. T. 28. Dens Leonis minimus C. B. ex fide horti fieri . Nihil vulgatius in fylvis umbrofis- & udis montium Aqui- legienfium . Legi fuper Roche in fylva le Traverfin cis tor- rentem des males pierres , in adfcenfu M. En\einda . Mife- runt CI. Viri Seguier & Moreni. F FoKa Folia ad terram peculiar! habiru pinnata , pinnis retro- verfis , aliquot non multis dentibus incilis , faepe fuper fe invicem reduplicaris & imbricatis . Caulis aphillus , femipe- dalis . Squamae ad calycis bafim accefforiae capillares ali- quae . Verae calycis (quamae feptem , nigricantes , lanceo- latae . Flos , quam taraxacis , minor faturate flavus , petalis dentaus . Semina fufca , columnaria 4 neque fquamis diftin- cla , neque ullo modo coronata , nifi flofculo . 91. II. Lamps ana foliis ovatis clematis, caule nudo , flori- bus nmandhus Enum. hort. Gotting. Hieracium VII. Clus. Pannon. p. 649. Abunde provenit in agris feptentrionem fpeftantibus in* ter Hindelbank & Rermooss ad dextram viae , quae ducit ad oppidum Burgdorf. 93. Taraxacon 1. eft varietas primi. Quintum Enum. p. 741. mifit etiam CI. Allionius. Fo*- liis glaberrimis a 6. differt , non tamen , -ut vereor , fatis diverfum eft . Ad n. 6. omnino refero Taraxacon 7. Enum. , ut verae fpecies fuperfint t. 3. 4. 5. 8. ' 94. Hleraciis accenfere oportet. I. Hieracium foliis ovatis lanatis'. Hieracium montanum tomentofum DlLL. hort. Elth. T. 150. f. 180. Miller T. 146. Radix perennis, dura , fquamis afpera . Ex ea & caules florefcentes prodeunt , & alii , qui altero anno florebunt . Folia ad terram petiolata , ovata , & paullum lanceolata , margine integerrimo , craffa fubftantia , tota tomento albo villoia . Ad caulem unum alterumve folium (imile , acutum, feffile . Caulis aliquoties brachiatus , triflorus T quadriflorus . Calycis folia albiflimo longo tomento villofa . Flos flavus . Defcribit Linn. Cent. 1. n. 76. Legit in rupibus ad.Saillon Claret -, rum inter Charat & Saxon ad viam Sedunum ducentem . 95. II. 4J 95. II. HlERACIUM caule unifloro , foliis ad caulem ovata lanceolatis dentatis amplexicaulibus . Hieracium montanum rapijolium C. B. Prodr. p. 6j. Bafd. p. 38. C. B. in M. Wafferfall legerat , ego diu defideratam plantam in M. Luan frequentifftme legi . Aux Nambrieux rupeftri loco fupra les plans etiam nafcitur . Speciofa inter Hieracia magnirudine planta eft, radice lignofa , terete , curva , pilis longis barbata , quae funt pe- riolorum ficcatorum reliquiae : foliis ex radice numeroiis , longe petiolatis , ellipticis , lanceolatis y pedem longis , pe- tiolo foliofo : foliis vero ad caulem quatuor vel quinque ,. amplexi caulibus, auriculis obtufis, margkie dentibus longis rarirer ferrato. Figura folii ex ovata lanceolata eft, acuta, tota glabra funt, nervo folo villofo. Gaulis cubitalis, longe plerumque uniflorus , raro biflorus , craflus , lineatus , fub flore albo tomento barbatus . Flos grandiflimus , fere in to- ta claffe eminet . Calyx pilis & tomento nigro barbatus , caetera lignei colons, fegmentis latis, trium ordinum . Co* lor flavus , & numerus femiflofculorum maximus. Linnaeus non habet Hieracium 24. Gmelini T. 10. a nobis in horto Gottingenfi cultum , differt caule ramofo , multifloro. An fuerit Hieracium alpinum villofum pulmonariae foliis caulem ambeumibus CI, GaRCIN , leftum in fylvis fupra Vol' tang in: > 9 6. III. HlERACIUM foliis lanceolatis , glaucis , caule bra* chiato multifloro. Hieracium VI. montanum Clus. Pannon. p. 645. 646. Hieracium montanum angufifolium nonnihil incanum C. B. , fed noftrum non eft uniflorum , neque fcabrum Linn, fpec p- 799- In rupibus , quibus eremitae Agaunenfts cellulae fubjiciun- tur , maxima copia provenit , rum in arenofis de la grande F 2 eau : 44 eau: & O&oduri ; etiam Verona miffum a CI. Morenio. Radix perennis, lignofa, fufca, teretibus craffis fibris ca- pillata . Folia ad radicem plurima , ad caulem perpauca , glauca , longe lanceolata, acutiffima , vix fupra 8. iineas, rariflime dentata , ad caulem nulla fere nifi ftipulae . Caulis durus , ftriatus , brachiatus & ramofus , multiflorus, non ta- men in umbellam , cubitalis. Flores muko, quam in hiera- ciis pilofellae fimilibus grandiores , calyce nigro farinofo , hirfuto . Idem crediderim efTe Hieracium alpinum fcor^onerae folio Scheuchzer Enum. n. 27. 97. Ad Hieracium 10. five radice praemorfa adde , in ca- Iidioribus Helveriae non folum vifcidum , fed grate etiam odoratum nafci cum radice crafla , Iigr.ofa*, teretibus radiculis capillata. Folia ei ima petiolata , ova to lanceolata , per marginem longis dentibus , fere ut rapifolium , ferrata , ad caulem ovato lanceolata , vix dentata . Caulem hirfiitum , habet cubitalem , aliquoties brachiatum , fingulo ramo mul- tiiloro , petiolis villofis unguentatis . Calyx obfcure viridis , pilis & ipfe capitatis, globuliferis villofus. Meretur nomen Hieracii foliis ovato lanceolatis , obiter dentatis , vifcidis , caule brachiato multifloro . Linnaeus non habet; nam ejus Hieracium praemorfum a noftro differre viderur calyce non hifpido , odoris & vif- coris abfentia V. flor. fuec. p. 173. 98. Emendare etiam oportet defcriptionem Hieracii 10. five joliis ad caulem amplexicaulibus pilo/is, rarijjlme dentatis, caule multifloro , quod Hieracium montanum majus latifolium J. 13. T. II. P. 1036. Legi in pafcuis M. Jurae , in laetis pratis M. Jorogne , in adfcenfu aux Granges ad Forcla^ a Chapuife. A Griesbachiano latifolio differt omnino. Folia ovata acu- minata , ex hora pilofa , pilis de nervis omnibus , totoque *ete inferior! exeuntibus : ad caulem amplexicaulia , auricu- Us hs retrocedentibus, obtufis, dentibus ubique breviffimis: cu- bitali caule , floribus in fumma planta numerofis , multo r quam in lanfolio Griesbachiano , majoribus, calyce nigri- cante , duris & nigris pilis barbato . Non habet Linnaeus.. 99. Hieracium latifolium montanum alterum Genevcnfe folio< conyrae majoris Monfpelienfis J. B. II. p. 1026. Hieracium montanum alterum leptomacrocaulon COLUMN. Ecphraf. p. 249. ic. p. 248. habet folia, nervis exceptis, glabra , longiora , anguftiora , multo frequentius dentata , auriculis acutis ariftatis caulis amplexa ; florem quam fe- quenti grandiorem, nigris villis barbatum. Dixenm Hie- racium foliis amplexicaulibus ferratis auiitis , auriculis arifla- tis , calycibus villojis. 100. Denique Hieracium foliis ad caalem giabris ferratis lanceolatis , fupremis profunde diffeclis . Hieracium latifolium glabrum ex valle Griesbachiana J. B. T. II. p. 1023. Hieracium 21. Gmelin T. IX. omnino, ex foliis & ca- lyce nigris pilis hirto . In fylvis noftris humidis pratifque familiare , ab utroque diverfum eft. Cum proxime priori convenit foliorum nervis infignibus , foliorum crebris denticulis , auriculis acutis , fo- liis etiam magis giabris abfque pilis . Differt dentibus mul- to grandioribus , floribus exiguis , calyce nigro paullum, & multo minus quam priori barbato , dentibus folii grandio- bus, & fub caulium brachiis adeo profundis, ut folia pene laciniata fint. A penultimo glabritie, dentibus & auriculis, cauleque glaberrimo differt. 101. Expungi pofle credo Hieracium 2. 11. 15. 19. De 24. 25. 28. 30. 31. porro oportet quaerere, & de » 4. dubitari poflet , an pro varietate haberi praeftet . 102. Intybi duas fpecies hirfutas, ut diftinguerem , ela- boravi . Ergo In'TYBUS foliis omnibus ellipticis hirfutis , fer- ratis , qui Hieracium fruticofum latifolium hirfutum vulgo di- citur, 4« eitur , cumque eo nomine ab III. Dillenio ad me miflus eft , & O&oduri , 8c in via Tombcy , turn Bernae , turn in prato praecipiti optimi D. Ith fecundum oram pinaftreti Dalhol^lem provenir , is quidem fimiiis Intybi glabri eft , durior , caule firmi/limo , re£tiflimo , in fumma planta pa- niculato , caetera vix ramofo : foliis ad caulem numerofif- fimis , denfe congeftis , firmis , ficcis , hirtis , elliptico lan- ceolatis , paucis , fed magnis dentibus ferratis , fquamarum calycis lividarum ora pallente . Unirlorum reperit prope Battenberg CI. Berdot. Non habet LlNNAEUS . 103. Alter autem Inty bus foliis inferioribus ellipticis hirfu- tis ferratis , fuperioribus ovato lanceolatis , quern Hieracium fru- ticofum latifolium folio fubrotundo vocant , omnino diverfiis, Gottingae in fylvis provenit, alrior quidem planta, & bi- cubitalis , fed debilior . Folia inferiora quidem fatis fimilia habet, fed fuperiora longe diverfa, feffilia , lata, brevia, ex ovatis lanceolata : calycis fquamae etiam totae nigrae font , & flos potius grandior . Eft Hieracii Sabaudi varietas . Erinus auibufdam Matth. dicla J. B. T. II. p. 1030., & Huracii Sabaudi varietas altera ibid. Hieracium 30. GiMELII T. a 4. Receptaculum , quod nudum vocat CI. Linnaeus for. fuec, p. 274. omnino alveolatum eft, uti memini me an. 1750. CI. Missae jam oftendiffe. Inter ftirpes D. le Clerc fuit Hieracium fruticofum folio angufiffimo , lineari , incano , glabro , cum uno alterove den- te , quod nunc non memini me alias reperiiTe . Crepim , quae Hieracium de?uis leoms folio fore fuaveruben- te, in M. Wafferfall nafci fcribunr au&ores der £ osier Mer- kmirdigkeiten p. 1800. Nondum audeo inter noftrates referre. 104. Scor^onerae duae helveticae , quas dubia ex fide, necjue vifas, recenfueram, nunc abunde leclas facile conftituo. Scor^onera caule nudo , uniforo , foliis petiolatis ovato Ian* ctolatis . Scor^o- 47 Scor^onera humilis latifolia Pann. II. Clus. hilt. p. cxxxvm. Abunde provenit Rupe, Agauni, circa facellum N. Dame du Sex &c. Radix maxima , teres , anulata , corona pilorum ad exi- tum do terra ornata. Folia ad terram plurima , lohge pe- tiolata , nervofa , glabra , ex ellipticis lanceolata . ' Caulis pedalis , fimplicifiimus , praeter aliquas , ex ovatis lanceo- lata ligulas , nudus . Flos in fingulo caule unicus , grandis , calycis foliis 3. & 4. ordinum triangularibus , eo latioribus, quo interiora. Petala numerofa, paliide lutea, iineata, den- tata. Hanc non vifam habueram pro Germanica. 105. II. ScORZONERA cauLe nido unijlorOy foliis linearibus nervojis . Scorjonera humilis angujlifolia Pann. III. Clus. ibid. An Scoijorrera caule (implici unifloro foliis ex lineari lan- ceolatis Gmelin flor. Jibir. T. a. T. 1. Radix fimilis , & pariter pilis coronata : fimilis etiam caulis fimplicifiimus, 8c flos, minor tamen. Folia vero an- gufta , nervofa , linea non latiora , cauli aequalia . Flos fi- milis , fed minor , petalis pariter lineis ftriatis , quas purr pureas fuifle vidi . Semina fulcata , curva , feflili plumofo pappo ornata. Au Tombey inter Aauilegiam ck Ollon primo vere floret. A caule baft rillofo nomen fumi nequit, quum fpecies I. perinde villum habeat in fumma radicej neque pediculus nollris incrajjatur. CAROL1 48 CAROLI ALLIONII SYNOPSIS METHODICA STIRP IUM HORTI TAURINENSIS. "DOflquam Horti Taurinenjis cura ab Augufliffimo , & In- viEliffimo Rege noflro mihi commijfa fuit , muneris mei om- nino effe putavi flirpes omnes in eodem contentas diligenter recenfere , & alienis aut vagis nominibus fatas expendere , ui tyrenes ea qua decet ratione inflituere pojfern , & hortum mcgis , magifque locupletare . Hujus laboris fruclus efl haec fynopfls , in qua planiae omnes , quas hoc anno coli obfcr- va vi , enumeramur eodem ordine , quo adolefcentibus eafdem explicandas fufcepi . Nomina funt trivialia Celeb. LlNNAEl, quorum ufum opportunum exiflimavi , ut brevitati confulerem , nee anguflos commentarioli limites tranfgrederer; eo vel ma- xime quod praediclis nominibus alia ab aucloribus ujitata fa- cile reperiri poffint in libro ejufdem LlNNAEI, cui titulus fpecies plantarum . Eas porro herbas , quorum trivialia nc~ mina nondum conjlant, aut quae diftinclas fpecies cpnftituere vifae funt , feparatim recenjendas curavi . Genera , ut quif- que videt , fervanda mihi fuerunt qualia a LlNNAEO propo- nuntur , pariterque fpecies fecundum ipjius praecepta , ad propria genera referuntur . Aliquot denique minus notae Jlir- pes accurata defcriptione illuflrantur , & quaenam Pedemon- tanae hujus regionis indigenae fint , ajlerifco notatur. CLAS- CLASSIS PRIMA. PJantae flore monope- talo fimplici. I. MONOSTEMONES . Canna indica . II. DISTEMONES. A. Gymnotetraspermae. Salvia officinalis * horminum * fclarea * pratenfis. * agreltis * verbenaca verticillata * glutinofa * canarienfis ceratophilla aethiopis * afr. caerulea 49 Rofmarinus officinalis * Lycopus europaeus * Ziziphora tenuior Monarda didyma B. DlANGIAE. G Vero- Horminim pratenje niveum follis incanis Bauh. pin. 238. V. Linn, amoen. T. III. p. 399. ,..,,. Salvia oritntalis fruttjctns , joins jubrotundis , acttabulii moluccac, TouRN. cor. p. 10. Salvia creiica angufiifolia Clus. hijl. 34J. Salviac officinali fimilis , di- verfa tamen . Folia minime afpera , fubincana , & brumali tempore om- nino incana , mollia , acutiora . Verticilli decemflori & nudi . Flos minor barba magis pendula , & ad fuam originem ftriis & maculis violaceis pi- tta . Antherarum , quae luteae funt , margo obfcurus . beraina magna com- prefla fubrotunda duo tantum fere maturantur . Suavius & minus vehe- menter odorata eft . Salvia cretica Linn, alia omnino planta eile debet cum calyces diphillos ei tribuat Celeb. Auctor . Salvia villoja & vifcofa , foliis lanctolaio-ovatis , vcrfus petiolum angulatis . Exoticae originis planta , neque , quod fciam Botanicis nota . Ex duio & fere lignofo caudice erigit virgas ad fummum cubitales . Folia fimilia futu foliis falviat officinalis , fed minora , viridia , non afpera , fed cum tora planta vifcofa , & alto denfoque villo barbata . Folia prima petiolata , & fenfim deinde feflilia , verfus petiolum ampliora , & angulata . Calix ftria- tus bilabiatus . Labii fuperioris dentes tres minimi approximati aegre diftin- guendi ; inferioris ariftati aliquantulum divaricati . Flos alhus tubo corollae calycem aequante : Galea villofa tornic.ua , truncata , non falcata , Alae fubrotundae reftae . Barba concava , obverfe cordata , fubpwpurea , trian- gulaiiter emarginata . Antherae luteae extra galeam protenfae . Semina lae- via , nigra , fubtrigona oblonga . Odor tonus plantae validus , qualis fal- viat fclareae . Salvia amtricana chia Jirta . Olim hoc nomine ad me mi fit CI. Pontidejja. 5° Veronica fpicata * officinalis * alpma * ferpillifolia * beccabunga * anagallis * chamaedrys * agrellis * arvenfis * hederaefolia * Jufticia adathoda Synnga vulgaris perfica C. Fructu pulposo . Ni&anthes fambac Jafminum officinale azoricum fruticans * odoratiffimum Olea . . . • ' Phillyrea latifolia * Lignllrum vulgare * III. TRISTEMONES. A. Flore caliculato. Trichofanthes anguina Cucurbita lagenaria pepo verrucofa melopepo citrullus Cucumis colocynthis melo dudaim fativus Momordica balfamina charantia luffa cylindrica elaterium * Bryonia alba * africana Sicyos angulata. B. CaLICE DESTITUTAE Crocus fativus * Ixia chinenfis Gladiolus communis * Iris fufiana germanica * variegata graminea pfeudacorus * hermodaftylus. Valeriana dioica * phu officinalis * calcitrapae * tripteris * cornucopiae locufta * IV. 6 OUa fUvtjlris folio duro fultus incano Bauh. pin. 47*- IV. TETRASTEMONES. A. Gy.mnodispermae . i . Flore piano . Galium veram * boreale * aparine * parifienfe * . . . ' . 7 t Rubia tin&orum. * 2. Fl. infundibuliformi . Crucianella anguftifolia * Stierardia arvenfis * Afperula odorata * arvenfis * taurina * cynanchica * B. Gymnotetraspermae arvenfis rotundifolia * aquatica * Origanum majorana aegyptiacum dictamnus vulgare * Thymus vulgaris * Acinos * ferpillum * s b. Profunde fecla Lavandula fpica * multifida Glechoma hederacea * Sideritis perfoliata romana hirfuta * Marrubium vulgare * pfeudodi&amuus peregrinum 2. Galea concava I ar""ir" ■->"«-""'-o"«" * 5* lmium purpureum amplexicaule * album * I. Galea plana a. Fix fijfa Melitris meliffophillum * Mentha crifpa pulegium * cervina . . . . " G 2 Ga- Gallium album vulgart TouRN. infl. 115.* Gallium montanum latifolium ramofum ToCRV. infl. 115- * Thymus foliis cllipticis & cault kirfutis Hall, gott. J41. Lamium montanum hirfutum , folio oblongo , flore purpureo D. Ponttdirat Tilli. pij. Tota planta hirfuta, & odore forti lamii . Caules habet fpi- thamaeos , aut etiam duplo altiores . Folia ex cordato-triangula, ftatim a petiolo dentata dentibus geminatis , non mtentia , obtuf'o non acuto dente tcrminata ; & minora , quam in Lamio albo . Corollae tubus tertia circiter parte extra calycem protenditur (jaUa furre&a, pilofa, erola ; barba vcro refta defcendit. Antherae luteae , vix pilofje. Verticilli minime nudi , led involucro donati , h. e. flipuiis linearibus quinque aut feptem veiticil- lum cingentibus . 7 8 9 10 51 Galeopfis Iadanum * tetrahit * galeobdolon * Stachys filvatica * alpina * germanica * paluftris * cretica Dracocephalon canarienfe peltatum moldavica canefcens . . . . " Leonurus fibiricus cardiaca * marrubiaftrum * Phlomis tuberofa leonurus fruricofa Moluccella laevis fpinofa frutefcens * Prunella vulgaris * grandi flora laciniata * Ballota nigra * Betonica hirfuta * glabra * officinalis * Nepeta cataria * nuda ii MelilTa officinalis * calamintha * nepeta * Cilnopodium vulgare * Scutellaria fupina * galericulata * 3 . Galea nulla , feu limbs femiquinquefido . Verbena bonarienfis urticifolia com- 1 1 Dracoctphalon folds ex lanceolato-linearibus , rar'ius dentatis , fpinulofis , flo- ribus gemellis Martini . Hall. gott. 335. II Betonica foliis hirfutis , floribus purpureis amplijjimis MONT, in ZaNON. p. 46. /. 30. » 13 Cataria tenuifolia Clus. hijl. XXXIII. * 14 CaJfiJa cault quadrangulo ruber tc , truer ii fcrrato folio , fl. Caeruleo , labro alio. Tilli. pi]. Duro & repetito ramofo caule fe fe ad tricubitalem & ultra altitudinem crigit . Poftremi rami longilTime fimplices & continuo florige- li , floribus binatis. Folia petiolata . glabra, venola, cordato-ovata , acuta dentibus utrinque tribus aut quatuor (errata . Floralia elliptica , acumina- ta , integerrima, fubfeftilia . Calix de more gentis cum crifta & ora lon- gius pilola . Flos gracilis ex violaceo purpureas alarum extrema parte al- befcente . Semina quaterna , inaequalia , ex cinereo obfeura , fubtnangula , minutiflime alveolata . Univerfa plar.ta amariflima eft , & non fine prin- cipio aromatico . Denfi & fubtiles pili obfident ramos florigeros , & ex iis (lillat globulus tenuiflimae , & amai ae refinae . 5$ communis • 4. Galea nulla , feu flore unilabiato . Teucrium fcorodonia * fcordium * flavum * chamaedrys * borrys >« i« chamaepithys * polium * montanum * marum Ajuga pyramidalis * reptans * C. Monangiae. Orobanche major * ramofa * D. DlANGIAE. 1 . Corolla non labiata . Sanguiforba officinalis * Plantago major * virginica lanceolata * lagopus * coronopus * pfiy Ilium * cynops Celfia orientalis . l . Corolla labiata . a. Calyce quadrijido . Rhinanthus glaber * Melampyrum criftatum * Euphrafia officinalis * b. Calyce quinquefido . Antirrhinum cymbalaria * fpurium * triphillum purpureum monfpefTulanum * multicaule linaria * majus. * Scrophularia nodofa * aquarica * canina * Digitalis ferruginea lutea * . . . . 1J Che- 1 5 Ttucrium foliis cordatis crenat'ts pttiolatis , fp ids oblongis dtnpffimis ex Hh- cama Martini Hall. comm. Getting. 1751. 16 Ttucrium jupinum , pertnne , paluflrc , apulum , glabrum , foliis laciniatis , ft. alto D. Michcid • Tilli. pi(. cum iconc . Procumbit ramis, & folits oppo- fitis glabrum . Folia fulcata , & tnfida fegmentis lateralibus tridentatis , & medio iterum trtfido . Verticilli biflori . Calycis dentes fpinulofi . Alae ovatae duorum parium : barba cordato ovata. Floris color albus , fcdiltiae, & maculae purpureae pingunt alas primas & barbae originem. Scmma quatema afpera . 17 Digitalis alpina magna fiort Bach, pin, 344. 54 Chelone hirfuta l* Bignonia caralpa radicans . Lantana annua camara Ruellia lrrepens . Selamum orientate. c. Calyce polyphillo . Acanthus mollis aculeatus . E. Fructtj pulposo. Callicarpa americana . Ilex aquifolium * V. PENTASTEMONES. A. MONOSTYLAE . i. Gymnomonofpermae. Plumbago europaea * Bafella rubra Mirabilis Jalappa 2. Gymnotetrafpermae. a. Squamulis in fauce. Symphiturn officinale * tuberofum * Anchufa officinalis * Cynogloflkm officinale * linifolium , Lycoplis veficaria * variegata Aiperugo procumbens. b. Fauce nuda . Cerinthe maculata * Echium vulgare * italicum * Lithofpermum officinale * arvenfe * purpuro-caeruleum * Heliotropium indicum europaeum * Myofotis fcorpioides * lappula * 3 . Monangiae . a. Valvis duabus . Anagallis . . . *° si . . • • Menyanthes trifoliata * b. Valvis quinque . Samolus valerandi * Cyclamen europaeum * c. Valvis decern. Primula elatior * acaulis * vital lana auricula * Lyfimachia vulgaris " num- 18 Quimum fterile villofrflimum flamen anthera deflitutum reliquis fertilibus longius ego quoque adnotavi . 1 9 Miraiilis foius vifcidis vilhfis , tubo floris cylindrico viltofo foiiit longior* Zinn. tomm. Goti. T. V. 20 Anagallis phatnicto florc Bauh. pin. 252. * 21 Anagallis caerulco J.'crc BaLH. pin. 252. * nummular! a * 4. Diangiae . Nerium oleander Vinca major * minor * Datura ftramonium * m Hyofcyamus niger * albus pufillus Nicotiana tabacum minor paniculata Verbafcum thapfus * lychnitis * nigrum * finuatum blattaria * phaeniceum * Gratiola officinalis * 5 . Tri-aut Pentangiae Convolvulus arvenlis * fepium * panduratus tricolor 5J hederaceus ficulus • • ■ I Ipomoea quamoclit coccinea triba Phiteuma fpicata * Campanula rapunculus * erinus * perficifolia * rrachelium * glomerata * fpeculum * 6. Fruclu pulpofo. Mandragora officinarum Atropa belladonna phifalodes . Solanum pfeudocapficum dulcamara * ruberofum lycoperficon officinarum melongena indicum 3.Z Stramonium atgyptiaeum fiore pleno inius alio , foris *i»lacco TouRN. injl. 118. a 3 Convolvulus Jerpens marhimus fpicatfolius Triumf. obf. p. 91. Plures tere- tes,, yimineae radices plurimos producunt caules ad fumraum palmares procumbentes . Folia ex longo & folioib petiolo longe elliptica, acuto fi- ne , non plana , fulco medio eadem dirimente , breviffimo & fericeo villo nitentia ita tamen , ut adhuc viridia appareant . Summus cauliculus fae- pe unicum florem fuftinet, raro duos brevi pedunculo nixos , qui ftipulis duabus lineanbus cinguntur . CaJycis foliola fehcea ; & eorum duo exterio- ra majora . Fru&us calycinis foliis ex parte agglutinatur ; iifdem brevior & fericeo villo te&us . Minime igitur coniundi poteft cum convolvuh cncorum} 24 Campanula horttnfii folio & flort otlongo BaVH. pin. 94. lj Solanum guintcnft fruflu magnt injlar ctrafi Dili. tlth. 366. 5*. indicum fodomeum incanum tomentofum . Phyfalis fomnif'era alkekengi * angulata Capficum annuum . . 2? it Lonicera capri folium * periclymenum * nigra * Xylofteum * Lycium afrum Rhamnus paliurus " ziziphus catharticus * Coffea arabica. B. DlSTYLAE. Gomphrena globofa Gentiana centaurium * fpicata * afclepiadea * Cynanchum acutum ereftum Afciepias incarnata curaflavica fy riaca vincetoxicum * fruticofa tuberofa C. Tristylae. Viburnum rinus * lantana * opulus * Sambucus ebulus * nigra * laciniata racemofa * VI. HEXASTEMONES. A. MONOSTYLAE . Aloe difticha fpiralis retufa variegara 3} 1* 26 Alkckengi larbadenfc nttnum alliariat foliis Dill. tlth. p. 10. 27 Capficum fruEtuflavopyramida.it oblongo ToURN. inft. 1 5 J. a8 Capficum fiiiqua latiorc (t rotundiorc ToURN. infl, 153. 49 Capficum filiquts furrcflis oblongis ToUR'N. inft. 153. 30 Capficum fruRu cordiformi trido Hall. Gott. 116. 3 1 Aloe africana frjfdis foliis carinatis vcrrucofit Dill. thh. p. 12. 32 Aloe ajritana humilis fptnis inermibus 6" verrucofis obfita CoMM. prael.p.fy* 33 Aloe africana flort rubra /olio maculis ab uiratjtu parte albicantibus noiatt CoMM. hart. ll. p. 15. 34 M it »7 )t 3S» Agave americana Hyacinthus non lcriptus orientalis cernuus Polianthes tuberofa Convallaria majalis * verticillata * ftellata polygonatum * Ariftolochia clemaritis * rotunda * B. Tristylae. Colchicum autumnale * VII. OCTOSTEMONES. Daphne mezereum * laureola * cneorum * Diofpyros lotus. VIII. ENNEASTEMONES. Rheum rhaponrieum IX. DECASTEMONES. Cotyledon umbilicus * Oxalis acetofella * corniculata * ftrifta X. POLYSTEMONES. Mimofa fenfitiva pudica pernambuccana glauca 4* fcorpioides. * CLASSIS II. Plantae flore monope- talo flofculofo. I. ANTERIS DISJUNCTIS. Dipfacus fullonum * 34 35 3f 37 38 39 40 H ... 41 Aloe africana folio in fummitatt triangular i margaritifera flore fulviridiCoMtt. hurt. II. p. 10. Alot africana foliis glaucis margine , 6" dorfi parte fuperiori fpinofis , flor. rutro . COMM. prael. p. 75. Alot africana caulcjctns foliis fpinofis maculis ab utiaque parte albicantibus notatis CoMM. hort. II. p. 9. Aloe africana caulefcens folds glaucis brcviffmis , folicrum fummitate interna & externa nonnihil fpinofa . CoMM prael. p. 73. Aloe Juecotrina anguflifolia fpinofa flore purpurea . Comm. hort. I.p.gi. Aloe foliorum margine luteo . Acacia americana non fpinofa , foliis viciae multif?orae,floribus in fpicam triun- cialtm difpofuis , filioiia palmari tompreffa & intorla . MaNetti. vir.fior. it. \ 2. 58 41 pilofus * laciniatus * Scabiofa alpina * luccifa * fyriaca arvenfis * leucantha * tartarica * columbaria * Itellata atropurpurea Knautia orientalis Globularia vulgaris * II. ANTHERIS COALITIS. A. Capitatae. Echinops fphaerocephalus ritro * Onopordon acanthium * illyricum Cynara fcolymus Arctium perfonata * lappa * 41 * • • • Carduus lanceolarus * crifpus * ftellarus rnarianus * helenioides * eriophorus * nutans * acanthoides. * Serratula tin&oria *. arvenlis * Carthamus tinftorius * Cnicus benediftus Carlina acaulis * corymbofa * Centaurea crupina * mofchata cyanus * montana * paniculata * ragufina fcabiofa * jacea * afpera * eriophora calcitrapa * folftitialis * galaftites * lalamantica * fonchifblia * napifolia * centaurium . B. DlSCOIDEAE. i. Semine nuio . Tana- 41 Bipfacus fativus Bauh. put. 385. 42 Scabiofa foliis plants carno/is , inferioriius p'tnnat'u , ramorum intcgcrrimis linear itus GmELIN. fibir. II. p. 21 j. 43 Lappa major mencana capitulis tomemofis Bauh. pin. 298, 59 Tanacetum vulgare * 3. Sem. arijlis coronato crifpum Xeranthemum annuum * balfamita Santolina chamaecypariffus * rofmarinifolia Bidens tripartita * cernua * pilofa Cotula coronopifolia Artemifia abrotanum * frondoia bipinnata campelbris * 47 pontica abfiathium * C. Radiatae. vulgaris * I. Sem. nudo . caerulefcens a. Placenta paleacea. dracunculus Helianthus annuus Micropus fupinus * 1. Semine pappis coronato Gnaphalium dioicum * fcetidum margaritaceurn * germanicum * arenarium Sthaechas * . . . . + Chryfocoma graminifolia Eapatorium cannabinum * caelefiinum altiflimum Tuililago farfara * petafites * multiflorus Rudbeckia hirta laciniata oppofitifolia Buphthalmum grandiflorum helianthoides Siegesbekia orientalis Achillea ageratum * tomentofa * ptarmica * nana * millefolium * nobilis * Anthemis nobilis millefolia tin&oria * mantima H % arven- 44 Abfinth'tum alp'mum candidum kumile BxUH. pin. 139. * 45 Abdnihium arborcfccns Lob. ic. 75 V 46 Fil.igo faiiis unuiffimis , flo-'ibas umbellatis cylindricis Hall. Gott. 377. * 47 Bidtns folds ovmis 6" triplCfis , ctuilibus hinis irochiaus HaU.. Cctt. 383. 6o arvenfis * b. Placenta nuda .' Ofteofpermum uvedalia monilirerum Calendula ...•** Chryfanthemum leucanthe- mum * fegetum * coronarium corymbofum * Matricaria parthenium * chamomilla * recutita * Bellis perennis * 1. Sem. pappis coronato , After alpinus * novae angliae novi belgii chinenfis dumofus Inula helenium * dyfenterica * pulicaria * hirta * s« Erigeron canadenfe * Senecio hieracifolius vulgaris * incanus * jacobea * farracenica * paludofus Solidacro farracenica * o mexicana virga aurea * canadenfis fempervirens Doronicum pardalianches . 3. Sem. arijlis coronato. Tagetes patula erecla D. Planipetalae . 1. Sent, ntido. a. Placenta nuda. Lapfana communis * ftellata rhagadiolus . b. Placenta paleacea. Catanance caerulea * Cichorium intybus * endivia fpinofum Scolymus maculatus . * 2. Sem. pappis coronato. a. Placenta nuda . Leontodon taraxacum * hiipidum * Hieracium alpinum * auricula * pilofella * murorum * 48 Cahha vulgaris Bauh. pin. 175. 49 Caltha arvenfis Bauh. pin. 275. * 50 Afttr montanus hirjtaus LoBtL. it. 350. ... . . « amplexicaule * umbellatum * J* Crepis barbata foetida * , 53 • • • •* Picris echioides * hieracioides * Sonchus afper * laevis * Prenanthes muralis * Chondrilla juncea * La&uca fativa perennis. * . virofa * Scorzonera laciniata * hifpanica tingitana Tragopogon prateiife * b. Placenta fquamis dijlincta. Hypochoeris maculata * CLASSIS III. Plantae flore dipetalo. Corifpermum hiffopitolium Circaea luteriana * 61 CLASSIS IV. Plantae flore tripetalo. Cneorum tricoccon * Commelina tuberofa Tradefcantia virginian* Bromelia ananas Chamaerops humilis * Alifma plantago * CLASSIS V. Plantae flore tetrapetalo cruciformi . I. TETRASTEMONES. Epimedium alpinum * Cornus mas Sanguinea * Potamo^eton lucens * Crifpum * II. HEXASTEMONES. A. SlLICULOSAE. Myagrum pecfoliatum . Sativum * Draba verna * alpina * Lepi- Jl Hitracium mworum laclniatum minus pilofum folio anguflioreBAVH.pin. 129.* 52 Hitracium cault follofo , ramojo , foliis 6* talycc longo villa tarbalis Hall. helv. 744. * 5} Crcpii foliis glabris , fioribus minimis , cauli ramo/ijjimo Hall. Goti. 412. 6i Lepidium latifblium * B. SlLlQUOSAE iberis * fativum Cardamine pfatenfis ' Thlafpi faxatile * Siiymbrium fophia * arvenfe * tanacetifolium * alliaceum irio * campdtre * Scriftiffimum * burfa paftoris * Erysimum alliaria * Cochlearia coronopus * Cheiranthus cheiri armoracia * incanus glafti folia ' tricufpidatus officinalis * Hefoeris matronalis 4 Iberis femperflorens dentata umbellata • ■ • • amara * ' St AlyfTum incanum * Arabis thaliana * montanum * Turritis glabra * Halimifolium * hirfuta * finuatum Braffica orientalis clypeatum campeftris * Clypeola . . . s« napus ss rapa Bifcutella didyma * Sinapis arvenfis * auriculata alba * 5< ■ • « • nigra * Lunaria rediviva * Raphanus fativus 57 * • • • raphaniftrum * Bunias erucago * onen- 54 55 5« 59 Tklafpi alyjfon di&um campcflrc minus BaUH. pin. 107. Clypeola ptrtnnis incana , foliis fubroiundis , calycc deciduo , [iliculis ovato acu* lis. Habitat in fummis alpibus cottiis nova planta , cujus defcriptionem , & icomm dabo in Enumeratione ftirpium Pedemontii propediem edenda. Jondraba alyjjbides apula jpicata Col. ccphr. p. 28$. Lunaria foliis pinnatis , foliolis laciniatis Roy. Leyd. 533. Hejperis maritima Jupina exigua TouRN. tr.jl. 222. Htjptr'u txigua lutca J0U9 dtntato augujlo Bo£RH. ind. alt. 11. JO. orientalis Ifatis tin&oria * Crambe maritima hifpanica Cleome gynandra ornithopodioides vifcofum III. OCTOSTEMONES. Oenothera bonarienfis biennis * So • • . • Epilobium hirfutum * angufti folium * montanum * paluftre * Ruta graveolens * Cardiofpermum halicacabum IV. POLYSTEMONES. A. MONOSTYLAE. Euphorbia maculata pilofa * chamaefyce * peplus *. lathyris * fpinofa * dulcis * heliofcopia * verrucofa * orientalis platiphillos * cypariffias * palullrjs * neriifolia caput medufae » • . officinarum Chelidonium majus * glaucium * corniculatum hybridum Papaver rhaeas * orientale fomniferum Argemone mexicana A£taea fpicata nigra * Capparis fpinofa B. Tetrastylae. Philadelphus coronarius * C. POLYSTYLAE. Tormentilla ere£ta * Tali&rum foetidum * flavum * minus * aquilegifolium * Clematis refta * vitalba * flammula * integrifolia CLAS- 60 Onagra folds globrls , flon fudvt purpureo Hall. comm. Gott. 1751. p. 114. 61 Euphorbium humile procumbent, romis Jimplieibus , copiofis , cauU trajjijjimo tubtrojo ByRM. afr. p. 20. I. 10. 'cLASSIS VI. Plantae flore tetra-aut pentapetalo papi- lionaceo . I. TETRAPETALAE. A. Hexantherae. Fumaria bulbofa * lutea officinalis * fpicata * B. OCTANTHERAE. Poly gala vulgaris * C Decantherae. i . Uniloculares. Trifolium repens * rubens * agrarium * montanum * fquarrofum angufti folium * arvenfe * clypeatum glomeratum * melilotus corniculata melilotus officinalis * melil. caerulea * melil. italica Lotus tetragonolobus conjugata * hirfutus * corniculata * dorychnium * orinthopodioides refta * Anthyllis tetraphilla * vulneraria * barba jovis * Medicago radiata fativa * falcata * lupulina * orbicularis * fcutellata * tornata * intertexta * Ononis fpinofa * alopecuroides natrix * mitiffima vifcofa rotundifolia * Cytifus laburnum * Genifta tinftoria Phafeolus coccineus caracalla vulgaris lunatus Dolichos lablab ibja ix Cytifus miaorlbus foliis ramulis ttntUls yillofis Bauh. pin, 390. '«! foia Indigofera tin&oria Hedyfarum canadenfe Aefchynomene americana onobrychis * afpera gallo-provinciale * Amorpha fruticofa '» violaceum Crotalaria laburnifolia paniculatura Robinia pfeudoacacia * Vicia faba Coroailla emerus * narbonenfis fecuridaca * fativa varia * dumetorum * Hippocrepis unifiliquofa * benghalenfis Lupinus albus Ervum lens hirfutus tetrafpermum * Scorpiurus fubvilloia * hirfutum * 2. BilQcular.es. ervilia Aftragalus glycipliillos * Orobus tuberofus • uliginofus vernus * montanus * niger * epiglottis Lathyrus aphaca * Biferrula pelecinus * cicera Glycine apios. fativus * II. PENTAPETALAE. ringiranus * pratenfis * Glychirriza echinata latifolius * filiquofa Zeylanicus Ulex europaeus Pifum fativum Spartium junceum * maritimutn fcoparium * Cicer arietinum monofpermum Colutea arborefcens * Pforalea corylifolia aethiopica bituminofa * herbacea Cercis (lliquaftrum * Galega officinalis * Sophora alopecuroides I Caffia i) Unico e.xtmplo habet AmORPHa florem monopctalum h. t. tantMmmodo vcjullnm , alls & carina defkientibus . €6 Caffia fenria fiftula occidentalis chamaecrifta Parkinfonia aculeata foeniculum * Ligufticurn vulgare * Sium fifarum falcaria * Sifon amomum canadenfe Bupleurum falcatum * Crithmum maritimum * Althamanta cretenfis * oreofehnum * b. Petatis Inaequallbus , SmyTiiium olufatrum * Aegopodtum podagrana * Carum carvi * Sefeli annuum * Pimpinella faxifraga * Oenanthe biennis * Aethufa cynapium * Conium macuJatum * 2. Sem. gibb. & alatls a. Alls duabus . Peucedanum officinale * Angelica archangelica * fylveftris * lucida Imperatoria oftruthium * b. Alls quawor, & ultra, Laferpitium latifohum * filer * Aflrantia major * 3. Sem. plains alatls. Paftinaca filtiva » » • • Tordy- . Paftinaca fofio quafi libanetidis laiifoliat BoEKH. Ind. I. 67. CLASSIS VII. Plantae flore pentape- talo, & Gymno- difpermae . II. SEM. AD PLACENTAM COMMUNEM CON- JUNCTIS. Eryngium planum maritimum * campeftre * II. SEM. COMMUNI PLA- CENTA CARENTIBUS. A. Obscura umbella. Phillis nobla Hydrocotyle vulgaris B. Manifesta umbella. I. Sem. Glbbls Jlrlatls. a. Fetalis aequallbus , Apium petrofelinum graveolens Anethum hortenfe 64 Tordylium fyriacum maximum * Heracleum fphondylium * Ferula glauca ferulago Thapfia . . . «» 4. Sem. afperis. Caucalis grandiflora platycarpos * Sanicula europaea * 5. Sem. villojis , nee ro- Jlratis . Daucus .,„**. . . . . *. ■ b. Sem. rojlratis . Scandix odorata * peften * chaerefolium nodofa Chaerefolium fylveftre * hirfutum * CLASSIS VIII. Plantae flore pentape- talo, nee Gymno- difpermae . I. HLAMENTIS IN UNUM TUBUM CONJUNCTIS. Geranium capitatum zonale inquinans odoratiffimum alchimilloides pratenfe * robertianum * molle * M * • • • bohemicum fylvaticum * nodofum * fangui neum * malacoides * cicutarium * gruinum * myrrhifolium trifle Sida fpinofa abutilon Napaea dioica Alcea rofea Malva caroliniana rotundifolia * fylveflris * mauritiana verticillata alcea * Lavatera arborea * lufitanica trimeftris «7 I thurin- 65 Thapfia five turlith garganicum femint UtiJJlmo 13avh. hifi. III. 2. 50. 66 Daucus vulgaris Clus. hi(l. CXCflll. * 67 Daucus faiivus TOURN. in/2. 307. G8 Geranium foliii ad nervum quinquefidis , pediculis brtv'ionbus , Caule cretlo Hall, hclv. p. 366. * ft thuringiaca * Goflypium herbaceum Hibifcus fyriacus paluftris mutabilis aefculentus abelmofch Althaea officinalis * cannabina * II. FILAMENTIS BASI CO ALIUS. Citrus medica aurantiura Hypericum androfaemum * perforata * Croton tinftorium * III. FILAMENTIS OMNI- BUS LIBERIS. A. Pentastemones, i. Monojiylae . Lagoecia cuminoides Celofia criftata argentea Vitis vinifera * arborea Ribes alpinum * nigrum * groflularia * 69 Viola ticolor arvtnfs Bauh. pin, 70 Viola tricolor hortenjis Bauh. pin, 71 Limonium maritimum majus Bauh. 7* Linum arvtnft Bach. pin. 214. * rubrum Hedera helix * quinquefolia Ceanothus americanus africanus Evonymus europaeus * Viola hirta * odorata * canina * montana * •calcarata * biflora * <» • • » • . . . . »• 2. Trijlyiae. Tamarix germanica * Staphilaea pinnata * Rhus coriaria cotinus * eopallinum radicans Paffiflora foetida caerulea incarnata 3. Tetraftylae. Parnaflia paluftris * 4. Pentajlylac: Starice armeria .... 1* Linum ufitatiffimum . 7* narbo- 100. * 200. pin. 192. * narbonenfe * hirfutum Craffula coccinea perfoliata pellucida . . . . « B. Heptastemones. Aefculus hippocaftanum . C. OCTOSTEMONES . Tropaeolum minus majus. D. Decastemones. I. Monoflylae . Tribulus terreftris * Zygophyllum fabago Caefalpina fappan Melia azedarach * Guillandina moringa Di&amnus albus * 1. Dijlylae. Dianthus chinenfis armeria * barbatus plumarius * caryophillus * prolifer * Saponaria officinalis * vaccaria * ocymoides * orientalis Gypfophila repens * muralis * Saxifraga cotyledon * rotundi folia * . te&orum * granulata * 3. Trijlylae. Alfine media * Arenaria ferpilifolia * carnpeftris * Silene nutans * rubella quinquevulnera * lufitanica behen conoidea nutans Cucubalus baccifer * behen * vifcofus reflexus 69 74 Gari- 7 j CraffuU pertultcat faclt arbortfctns Dill. tkh. p. iio. 74 Siltnc vifcofa alpina foliis omnibus plants , ac prorfus glabris , pttalis tvtgu- ftis , intus candidis txtus ex viridi luttolis , profundi bifidis , divifionibus di- varicatis itntaribus , ntdariis txiantibus , ac flylis tribus longijjimis purpura- funtibus fub fait fpir-aliur convotuits . Manetti , Syicil, n. lOO^.Caules tri- cubitales, rotundi, fubhirfuti , vilcoli , rsmofi, ad rjmos nodofi . Calix gra- cilis ore acute quimjuefido , albckens , & decern ftriis nigris elevatis per- curfus. Petala cordata femiiida, coronae deoticuli acuti incumbentes . An- therae didymae virides , & iis arelcentibus ftyli longe producuntur. Sc- tnina nigra xcnifoimia afpera , & unique minimis forcoli* CAcavata. 7° Garidella nigellaftrum 4. Pentajiylae . Sedum telephium * rupelire * cepaea album * . . . . 7S Agroftemma githago . . . . ?s Ceraftium repens aquaticiim * vifcofum * ftriftum * Spergula arvenfis * 5. Decajlylae. Phytolacca americana * mexicana POLYSTEMONES. Monojiylae . Tilia europaea Portulaca oleracea pilofa 77 Ciftus albida * falvifolia * fumania *. . . heliamhemum * Peganum harmala Corchorus olitorius Primus mahaleb * armeniaca cerauYs : . domeitica fylveftris * Amygdalus fylveftris perlica communis Myrtus . . . 7» . . . . 79 Punica granatus 2. Dijiylae. Agrimonia . . li Crataegus torminalis * oxyacantha * 3. Trijlylae . Sorbus acucuparia * domeftica Refeda luteola * alba lutea * M » • • ■• Aconitum lyco£tormm * antho- 75 Sedum foliis ttmibus ternalls , caullius fimplicibus trifidis Haul, emcndat. n. 107. k>c. V. Excerptum Bernae anni 1760. T. I. p. 161. 76 Lychnis coronaria Dio/coridis fativa Bauh. pin,, & Lychnis umtellifera, mart- tana helvetica Zan. * 77 Portulaca foliis ovatis petiolatis Roy. prodr, p. 473, 78 Myrtus minor vulgaris Bach. pin. 469. * 79 Myrtus boeiica domejlica latifolia Lob. ic. p. 127. 80 Agrimonia , feu eupatortam vein urn B AUH. pin. 3 2 1 . ** U4 Agrimonia odorata Cam. oz Refeda, foliis iruegris , Jttrjbus odoralis Hall. Gott. 9$» anthora * Delphinium ajacis llaphifagria datum * »j • • • • 4. Pentajlylae. Aquilegia iylveftris Nigella damafcena fariva orientalis Mefpilus germanica Pyrus malus cydonia * communis 5. Polyjlylae. Spiraea aruncus filipendula ulmaria Caltha populago * Heileboms ni^er * viridis * Ifopyrum fumarioides Potentilla anferina * * * multifida argentca * reptans . * . • refta * Geum urbanum * rivale * Comarum paluftre Rubus idaeus * Rofa eglanteria canina * centifolia alba 7« IS CLASSIS IX. Plantaeflorehexapetalo. I. DIANTHERAE. Orchis bifolia * maculara * uftula- 83 Delphinum neSariis diphlllh , floribus folitariis , fol'us muhlparthis , foiiolis lintari acuminatis. Enum. nic.p. 200. * Folia cralTula, fulcata, viridia , ( licet interdum fubincana ) profunde trifida , fegmentis acute tnlobis . Rami terminates longiflime florigeri . Flos fingulus prodit ex ala folioli linca- ri -lanceolati in fpinulam inermem attenuati , nixus pedunculo biline . i , qui prope florcm firmatur duabus ftipulis lanceol.ito-acutis receptaculum longitudine fuperantibus . Flos caeruleus calcare furjum fpcctante . Caltar leviflime incanum duplo longius flore . Ne&arium ex duabus portionibus ; quaelibet autem fuperius alam erigit linearem bifidam fegmcntis rotundis, inform* alam fubrotundam non incifam . Inter prima duo lateralis petala , & (lamina nafcunrur duae laminae ex longis unguibus ovatae , incifae , imberbcs , pallidiores petalis , fed ea omnino referentes . Hae laminae alas inferiores calcaris ampleOuntur , & cum iis interiorem ftorem cuftodiunt. ' Antherae loteae , filamentis pallidioribus . Siliquae tres laeves , torofulae. 84 trtgaria vulgaris BaUH. pin. 316. * 85 Fragaria chiloenfis foliis maxime earnofis hirfuus DlLL. tlth. f. (45* 86 Rofa, iu.ua fimplcx Bavh. pin. 636. * ■ 7* uftulata * Ophris ovata * Serapias . . . *7 II. TRIANTHERAE. Rufcus aculeatus * hypogloffum * racemofus . III. HEXASTEMONES. MONOSTYLAE . I. Flore fruclui impofko. Narciflus poeticus pfeudonarciflus * jonquilla tazetta Amaryllis formofiflima Pancratium illiricum i. Flore fruclum cingente. Allium fativum porrum fpaerocephalum * fcorodoprafum vineale * urfinum * cepa Lilium candidura bulbiferum * martagon * Fritillaria imperialis perfica Erythronium dens cams * Tulipa gefneriana Ornithogalum pyrenaicum * pyramidale umbellatum * Anthericum ramofum * liliago * frutefcens alooides Yucca gloriofa aloifolia Berberis vulgaris * Afparagus officinalis * acutifolius * IV. ENNEASTEMONES. Laurus nobilis indica benzoin . CLASSIS X. Plantae flore polypetalo. Nymphaea alba * lutea * Caftus mammillaris triangularis tetragonus hexagonus grandifloru* peruvianus lanuginofus flagel- 87 Epipaflis foliU infformibus , floribus ptrMlis , laiella tltufo pir orns plica- to Haii. all. hth. T, IV. p. 111. ! flagelliformis opuntia * tuna cochenillifer Adonis annua * Anemone hepatica * palmata pratenfis * coronaria virginiana nemoroia * Trollius europaeus * CLASSIS XI. Plantae fiore apetalo cxceptis grami- nibus. I. FILAMENTISCOALITIS. Ricinus communis Ephedra diftachya * Thuya occidentalis Cupreflus fempervirens difticha Pinus larix * abies * Juniperus communis * II. FILAMENTIS DISTINCTIS. A. JULIFERAE. Salix fragilis * 73 babylonica Carpinus betulus * Corylus avellana * Fagus fylvatica * Platanus orientalis Piltacia trifoha B. NON JULIFERAE. i. Monantherae. Salieornia annua * Blirum capitatum 2. Triantherae. Ficus communis Polycnemum arvenfe * 3 . Tetrantherae. Urtica urens * dioica * cannabina Parietaria officinalis * Aphanes arvenfis * Elaeagnus anguftifolia * 4. Tetrantherae. Salfola kali * foda * Atriplex hortenfis laciniata * halymus * porrulacoides * haftata * Ghenopodium bonus henri- cus * vulvaria * fcoparia botrys * K ambro- 74 ambrofioides rubrum * hybridum * glaucum maritimum altiffimum falfum Amaranthus tricolor melancolicus blitum * fpinofus Beta vulgaris Cannabis fativa Humulus lupulus * Spinacia oleracea Ceratonia filiqua * Ulmus campeftris * Celtis auftralis 5 . Hexantherae. Smilax afpera * Tamus communis * Rumex patientia alpinus * crifpus * acurus * obtuuYolius * pulcher * bucephalophorus * lunaria veficaria fcutatus * acetofa * »« acetofella * 6. Oclojlemones . Polygonum biftorta * hydropiper * perficaria * orientale aviculare * fagopyrum convolvulus * tartaricum . 7. Polyantherae. Mercurialis annua * perennis * Alcalypha virginica Arum dracunculus colocafia maculatum * arifarum * Afarum europaeum * CLASSIS XII. PJantae flore apetalo. Gramina. I. DISTEMONES. Anthoxanthum odoratum * II. TRISTEMONES. A. MoNOSTYLAE. Cyperus longus * aefcu- 88 Lapaihum acttofum dioicum foliis plants cordiformiius Hall. Gott. p. iff. if cmind. n. »8. * V. Excetptunv Bcrnae pro anno 1760. p. jo. aefculentus Coix da&yloides Carex filirormis pfeudocyperus . B. DVSTYIAE. Saccharum officinarum Phalaris annua phleoides * arundinacea * Panicum americanum italicum cms galli * Daavlon J miliaceum Agroftis paradoxa Melica ciliata * nutans * Poa bulbofa * Briza minor * media * maxima * Cynofurus aegyptius Bromus fcalinus • arvenfis * Stipa pennata * Avena elatior * fativa fatua * pratenfis * Lagurus ovatus * Arundo donax 75 phragmltes * Lolium perenne * Elymus virginicus Secale cereale vi llofum Hordeum vulgare murinum * Triticum aeftivum muticum turgidum «» III. HEXASTEMONES. Juncus pilofus. * campeftris * CLASSIS XIII. PJantae floreimperfe&o, feu potius incon- fpicuo . FlLICES . Equifetum arvenle * Ofmunda regalis * ftruthiopteris fpicant *. Acroftichum feptentrionale * Afplenium fcolopendrinum * ceterach * rrichomanes * ruta 89 Triticum (pica multiplici BaUH. pin. if. 90 Ajpltnium ramojum ToVRN, in/?. 544. • ruta muraria * Polypodium vulgare * lonchitis * criftatum * / f. mas .* f. faemina * rhaeticum * Adianthum capillus veneris * . . i *' . JOHANNIS FRANCISCI CIGNA D E M O T J B U S ELECTRIC! S. EXPERIMENTUM- NUM aer fit neceffarius ad motus ele&ricos ciendos , & quantum ad eofdem motus ejus aclio conferat , quaeftio jamdudum inter Phyficos exorta eft , in qua defi- nienda Florentini Academici , Boyleus , Hauksbejus , Noletius, & alii praeftantiflimi Phylici fe fe exercuerunt, modo eleftrica corpora intra vacuum confricando , modo jam confricata vacuo includendo , modo demum intra glo- bum vacuum fila difponendo , quae ab excitata globi ele- ftricitate commoveri, ac dirigi poflent. At enim varius pro eleftricitatis majori , minorive ve- hemenda , pro vacuo plus , minufve accurato , pro corpo- rum movendorum varia mole , pro tempeftate inconftanti , experimentorum eventus quaeftioni adhuc locum reliquit , & in contrarias partes magnos Viros diftraxit , quorum alii aerem ad id , quo de agitur , necelTarium elTe affir- marunt , negarunt alii , alii etiam hos inter , oppofitas fententias conciliaturi , illam experimentorum varietatem a duplici elettricitatis , qua refinolae, qua vitreae genere re- petendam e(Te duxerunt , ita ut ilia etiam in vacuo , haec nonnifi cum acre vim fuam exerceat . QuaelVtonem demum Celeberrimus Beccaria definivit, pa- rato accuratiori vacuo, novaque excogitata methodo , qua, per verticem recipientis pneumatici tradufta catena , eleftri- citatem in vacuo commodius excitaret. In vacuo etiam ba- rometrico motus eleftricos exploravit , dum ad fuperiorem baromerri partem , cui amianti fila inclufa erant, elettricum corpus extrinfecus admovebat : his enim , aliifve tentamini- bus Vir ClariJJimus demonftravit eleftricos motus in vacuo L accu- 7S accurato penitus extingui , in rariori autem aere ita Ian- guere, ut eorundem alacritas pro ratione fubdu&i aeris im- miniiatur (a). Sic demonitrata ad motus elettricos aeris neceflitate, illud quaeri infuper poffe videbatur, id vi ne ejus coercenti, an elafticitati, an cui alii proprietati fit adfcribendum, ad cu- jus quaeftionis defhntionem aptiorem viam iniri non poffe cenfui , quam fi in aliis mediis , praeterquam in aere , & vacuo , quae a Phyficis ha&enus fola tentata fuerant , mo- tus eleftricos explorarem . Itaque inter catenae extremum oleo immerfum , & fer- reum nlum cum (bio communicans oleo itidem immerfum, globulum ferreum ex ferico filo pendulum ita collocavi , ut globulus etiam intra oleum demergeretur : dein ele&ricita- tem excitavi , ejufque vi globulum inter catenae extremum, & filum ferreum cum folo communicans in ofcillationes perinde adigi obfervavi , ac in aere contigiffet . At idem experimentum in aqua, aliifque liquidis, quae paullo minori facilitate , quam ferrum ab eleftrico fluido permeantur , tentanti , non licuit mihi per mediocrem , & confuetam ele- ftricitatis vehementiam ullos motus excitare. Ex his primo confirmari videtur in fpatio aere vacuo motus eleftricitate excitari nullos polfe j quum enim fpatium aere vacuum ele&ricum fluidum aeque tranfmittat , ac de- rerens aliud quodcunque medium , ele£rxicis motibus efficien- dis fimiliter ineptum effe debet. Evincitur deinde aeris vim in motibus ele&ricis prae- ftandis ex ejus elafticitate repetendam non eife , quum oleum ■elafticitatis expers eofdem non minus efficiat : iccirco vim aeris oranem in eo effe pofitam , quod & ele&ricum flui- dum coerceat , & demerfa in ipfum deferentia corpora com- primat j evincitur demum media alia quaecunque , quibus lm- (a) In Epiftolis ad CI. Beccarium eplft. III. §. 82. 83. 109. no. 79 immerfa corpora premantur, eleftricis motions faciendis eo aptiora effe , quo difficilius per ipfa , quam per movenda immerfa corpora, ele&ricum fluidum permeare poteft , quan- do vi fua elalVica quaquaverfum expanditut , vel etiam ex eorum uno in alterum effluit, fi inaequaliter per ipfa merit diilributum . Hinc adparet de motibus eleftricis theoriam eo toram fpe&are, ut daro fluido elaftico, & datis corporibus ipfum, deferentibus , per quae aequaliter, aut inaequaliter diftribu- tum fit , ac dato demurri medio elafticum fluidum coercen- te , a quo ea deferentia corpora utcunque premantur , in- veftigentur , ac definiantur leges motuum corporum eorun- dem , quae ex inaequali medii coercentis preffione produ- cuntur , dum fluidum elafticum , vel quaquaverfum expan- ding , vel etiam ex deferentium corporum altero in alterum effluit, ut ad aequaliratem diftribuatur : de qua quidem re praeclara nonnulla protulit CI. B^ccaria , 6k fpem facit fe plura brevi prolaturum , quae novum hoc mechanifmi ge- nus illuftrare , ac perficere poflint ( b ) . (J) L. C. §. 93., & feq. L 1 JOHAN- JOHANNIS BAPTISTAE GABER EXPER1MENT0RUM DE PUT REE ACTION E HUMORUM ANIMALIUM. SPECIMEN SECUNDUM, In quo praecipuae agitur de fed'tmemo ferl purulento , ac mcmbrana pleuritica . NUllius humoris , ut equidem arbitror , origo , 6k na- tura aeque dubia eft , & incerta , quam puris . Nam 6k cum leni foetore, aliifque quibufdam notis cum corruptis humoribus convenit , 6k tamen blanda , miti , ac fere bal- famica quadam indole ab iifdem longiflime differt , 6k craf- fide , aequabilitate, denfitate , albedine peculiarem corrupt! humoris fpeciem exhibet . Id autem vitae, 6k vi talis a6tio- nis produftum Medici , ac Chirurgi plerique conftituerunt , quod nullibi extra corpus natura , vel arte paratum hujuf- modi humorem reperiifTent. Tandem Celeberrimus Prtngle veram hujus humoris originem , 6k genefim invenit , 6k lucu- lentiflimo experimento explicavit. Animadvertit enim abfque ulla vitae aftione digeftum ferum , fedimentum deponere , quod veri puris fpeciem omnino praefefert . Hoc inventum plane dignum mihi vifum eft, in quo illuftrando, 6k quoad fieri liceret perficiendo, ftudium, diligentiamque conferrem. Quapropter experimenta multa inftitui , quae , ni fallor , inventum illud comprobant , confirmant , exornant , ejufque in hanc Pathologiae partem magnum , 6k uberrimum ufum oftendunt. Nonnulla etiam eadem occafione circa pleuriti- cam cruftam experimenta tentavi , quae omnia acutiorum Virorum judicio proponenda effe putavi . I. Sedimentum duplex a putrefcente fero deponi conftan- ter obfervavii alterum primis digeftionis diebus abfque ulla feri II leri perturbatione fecedebat, albidifllmum erat, fundo vafis adhaerens , & eo magis fpifliim erat , quo calor in dige- rendo minor adhibitus fuerat. In calore modico, ad exem- plum decern graduum rheaumuriani Thermometri , fimilli- mum erat membranae tenerae , quae in hydropicis fit , & vifcera tegit . Portio ejuldem materiel ex fero fecedentis fimilis membranae fpecie ad ejus fuperficiem etiam innata- bat . Alterum fedimentum tardius deponebatur , & feri per- turbatio ejus depofitionem praecedebat (<0 , fubcinerei ma- gis coloris a principio erat , minufque compa&um , fed pro- cedente tempore majorem denfitatem , & opacitatem acqui- rebat , & ex fubcinereo in album magis vergebat . Sedimentum primum , fi digeftionis calor paullo major effet, cum hoc paullatim ita confundebatur, ut diftingui am- plius non potter. Prius illud exiguum erat , & in vafe ad fpithamam alto vix duas , trefve lineas altitudine aequabat; alterum copiofum erat , & tewiam voluminis feri fuperabat. Prius illud , ut di£tum , intra unam , alteramve diem in ca* lore humani corporis fubfidebat, hoc, nonnifi poll quinque, aut fex dierum intervallum , aut etiam tardius . v. Eo autem citius fubfidebat , quo calor erat major ; in vafis etiam anguftioribus , coeteris paribus , citius longe fe- cedere vifum elr. , quam in amplioribus , quando in utrifque feri fuperficies oleo tegebatur . In vafis autem hermetice claufis, coeteris item paribus, paullo tardius fubfid ere vifum efi , quam in iis , in quibus feri fuperficies oleo tegebatur , & in his iterum aliquanto tardius , quam in iis , in quibus ferum nudum ad aerem patebat . 3 . Coeterum fecundum fedimentum etfi plerumque ex al- bo lubcinereum , opacum , homogeneum adpareret, & vafis infimam partem occuparet ita , ut horizontalem fuperficiem haberet , interdum tamen inprimis fi ferum ex hominibus dif- (a) CI. Pringle T. ii. trait, fur les fubftanc. ieptiq. , & anrifepti*. Exp. xlv. p. j78. * X il difcrafia aliqua laborantibus eftet edu&um , & colore aliquo, vel bilis, vel alterius humoris infe&um, non ejufmodi erat fedimentum , fed inaequale , in flocculos divifum , partim ad fundum colligebatur , partim ad fuperficiem ferebatur : idque etiam multo magis in vafis apertis contingebar calori humani corporis, aut etiam vehementiori expofitis, quando ex evaporatione di/Iipata tenuiori parte , priufquam craffior haec lecederet , ita confufe deponebatur , ut non album , fed plus , minufve nigrum , foetens , glutinofum fedimen- tum relinqueret inftar capitis mortui a feri diftillatione re- fidui (*). 4. Ex his, aut fimilibus caufis fortuitis factum fuifle cen- feo , ut aqua , quae fedimento fupernatabat , viridis fuerit oblervata a Cel. Pringle (c), qualem mihi femel , 6k bis obfervare contigit in fero nudo ex iftericis edufto , 6k calo- ri viginti-quinque graduum expofito. Sed quando ferum fanum, oleo tectum , aut hermetice claufum in calore viginti-quin- que , aut triginta-quinque digerebam , obfervabam conftan- ter aquam fupernatantem decolorem , 6k eo magis hmpi- dam , quo diutias fu?rat digefta . 5. De aere vix memorare necefle eft dum fedimentum fie- ret, 6k dun addenfaretur, copiofum femper per oleum bul- larum fpecie erupuifle , quando oleo liquor tegebatur : in vafis autem hermetice claufis etiam robuftis, tanta copia haud raro collectu n, nprimis fi vacuum fpatium, exiguum, ferum autem copiofum eflet , ut vafa ingenti cum fragore diffrin- geret . 6. Compreffioni hujufmodi ab aere faftae tribuendum cenfeo , quod in claufis hoc paft } vafis fedimentum tardius fecederet ( i ) ; ut enim motum quemlibet inteftinum , ita & putrefaclionis exordia , ex quibus ilia fedimenti feceflio profi- ( t) Vid. T. p;a«ced. p. Si. \c) L. c. proficifcitur , pro ratione compreflionis retardari , aut impe- diri , Boylei experimenta luculentifiima oftendunt . 7. Juvabit modo fedimenti hujus, & puris qualitates ex- ponere , ac comparare . i.° Pus album fere eft, opacum, fpiflum (d) -. eamdem- que efle fedimenti fpeciem mox memoravimus . z. Pus in aqua diflblvirur, & deinde fitu ipfo iterum fub- fidet ( e ) : idipfum fedimento evenire per experimenta comperi . 3.0 Pus frigore non cogitur (/*) : eamdem proprietatem fedimentum praefefert. 4.0 Pus laudabile fere femper foetet (g), fed parum,& vix fenfibiliter ( h ) : ita quando fedimentum deponitur vix foetere incipit (z) , & praeterea cum acidis nondum effer- vefcere , quinimo iifdem , & igne coagulari, turn fedimen- tum , rum fupernatantem aquam obfervavi fecus , ac in fero penitus corrupto contingat (k) . Eamdem eriam proprieta- tem puri inefle experimentis deprehendi , ut & alkoole , & acidis , & calore pene eodem , quo ferum cogeretur , quae puris proprietas , ut opinor , ad ejus ortum ex fero confirmandum plurimum facit. 5.0 Demum pus inflammabile effe dicirur (/); nee inflam- mabilibus partibus ferum deftitui ejus analyfis oftendit (m) . 8. Quod {d) CI. Quesnay de la fuppuration p. 2. 3. ex albido flavefcens CI. EschenbacH prix de 1'Academ. de Chirurg. Tom. II. p. 371. Se ) Trait, des tumeurs , & des ulceres . Tom. J. p. iq. /) Id. 1. c. ™ {S) Id. I.c. (A) CI. QuESNAY ]. C. AQUAPEKDENTE Spud ESCHENBACH I. C. p. 3-3. Ct. Grashuis in eod. lib. p. 179. (i) CI. Prinole turbatur ferum antequam foetere incipiat. I. c. p. 281. (K) Ex Malpighio 111. Haller Phyfiol. Elem. T. II. p. 132. Schvvenche tamen ferum corruptum cum l'umme acidis metallicis in maflam coire poft effervefcentiam . Haematolog. p. 134. (/) 111. Haller 1. c. p. 128. not. h. • (m) Id. I. c. p. 139. *4 8. Quod fi confideremus ea, que in vulnere contingunt, ubi reierente Boerhaavio , poitquam haemorrhagia ceflavit, liquor dilutus, rubellus, tenuis effluit («), qui tertio,quar- rove die ferius , vel ocyus in liquorem tenacem , album , pinguem , aequalem , pus abit (o). Si cogitemus earn mu- rationem non contingere , quando vel crufta fponte nata, vel emplaftro vulnus non tegitur (p), manifelto , ni fallor , conltabit , quomodo ex effuib fero pus in vulneribus reior- pta tenuiori parte relinquatur : neque dubito ex fpifTefcen- te lympha pus illud produci , et(i Vir CI. lympham in vulnere quantumvis reliftam , numquam fpifleicere conten- dat (q) , & id folum praeftare, ut emollita arteriarum ex- trema phlogifticum id dimittant , quod poftea in pus eft abiturum (r): quidquod in vulneribus etiam cum exigua in- flammatione, aut etiam difpofitionibus inflammationi oppo- fitis , tamen bona fuppuratio plerumque fit , quae vulneris fanationem adjuvat , & eicatricem citam producit (/) ? &C ex oculis infantum palpebris per aliquod tempus conglutina- tis fine ulla , five inflammationi s , five fitppuratioms nota hujufmodi materia faepe exit (*): hue accedit ratio , quam affert CI. Pringle («), quod fetacea magnam quotidie puris copiam praebendo iniigniter debilitent , quod fieri non poffet ex folo partis vitio , abfque univerfali humorum ja- £tura , & CI. De-Haen advertit ex vulneribus tamdiu tan- ta copia pus effluere , ut homines, pereant defeftu virium , cum ftagnans in extremis vafis phlogiftica materies ne cen- tefima quidem puris partem fuppeditare poife videatur , quae om- f n) De cognofc. , & curand. morb. aph. 158. n. 4. (0 ) Ibid. n. 7. (p) Cel. Svvieten* iu eum loc. T. t. p. 130. Grashuis 1. e. p. 187. (9) CI. De-Haen T. II. p. 31. ad 36. (r) Id. Ibid, a p. 37. ad 43. (/) CI. QuESNAY I. C. p. 6. 7. {t) Grashuis 1, c. p. 199. (») L. c. *! omnia ex propofita feri fariguinei in pus degeneratione (v) , facilius intelliguntur , quin ut necefle fit ad puris in vafis efformationem confugere (x), cum inprimis , ut diclum eft , in vulneribus quibufdam abfque inflammatione locali , turn abfque univerfali humorum vitio bonum pus prodire fuerit obfervatum (y ) . 9. S^dimentum porro principio dilutum , ac rarum con- tinuata digeftione craflius , denfius , & albidius evadit . Idipfum puri five vulneratae , five inflammatae partis contin- git , ut primum aquofius , & dilutius, opacum magis, den- fum , albumque fiat, prout temporis progreffu digeritur, & ad maturitatem , ut inquiunt, perducitur. 1 o. In inflammatione autem cum ferum fanguini ad- mixtum in cellulofam effundatur (^), inde intelligi pofle videtur , quare pus inflammationis magis putrefcibile fit (a). Sanguinem enim magis putrefcere, quam ferum ,& Pringlei experimenta (£) , & mea (c) demonftrarunt . 11. Coeterum ferum plus, vel magis difpofitum effe ad fedimentum deponendum demonttrant exempla furunculorum, qui uno die pus fundere incipiunt (i), turn anginarum uno die pus exfudantium (e) : quod autem pus citius efforme- tur (/), quam fedimentum fecedere foleat in calore huma- ni corporis , id tribuo turn memoratae difpofitioni , rum calori inflammationis naturali majori t turn modicae effufi feri quantitati ( 1 ) : nee igitur aufim definire , num aliquando ex M ipfis t ) p. 44. 4S- x ) CI. De-Haen I. ult. c. Et de pure Tulneris CI. Quisnay ]. c. p. 6- 7. [y ) Vid fup. not. s. . 1) Haller Elem. Phyfiol. T. I. p. 37. 38. 115.- 116. la) Quesnay 1. c. p. 15. . b ) Exp. Jan. If) Vid. T. praec. p. 80. id) De Haen T. I. p. 20. 11. (<) Ibid. p. 11. {/) In vulneribus intUmrrutis jam fecundo , ant tertio die pus invenitur CJ. QUIS.NAY 1. «. p. 19. 10, 85 jp'iis valis pus eftbrmaturh eftundi poffit (8); inde inteltli- gitur , cur pus in membrana pinguedinea plerumque ledem habeat (g) , ea nimirum in .parte, quae ob laxitatem effu- lum lerum irecipere folet ; cur diflipatio oedematofi tumoris inflammatae parti fupervenientis refolutionem faciat (A), quod nempe rcfolutio fiat, fi effufum ferum prius reforbea- tur , quam in pus abierit. ii. In liydropicis vero ut plurimum ferum parum admo dum putrefcit ( i ) , cum neutro faliurn genere eftervefcit ■{£),& l'eri incorrupt! coagulabilem indolem fervat ab aci- disc(/), igne (m), & alkoole , quod tribtierim frigidiori aegrotantium conftitutioni , aiicui refiduae effufi humoris cir- cuitidni , copiae , qua 6k in magnas cavitates effunditur , 8c eafdem replet ; quae omnia ipfius depravationem retardent {i): inde mirum non eft fi pus non efformet , fed primum tanturamodo feditnentum ( i ) defcriptum membranarum fpe- cie deponat yifcera obtegentium . Enim vero quando paullo magis putrefcit , ut ex fiti , tuifi , febre , eryfipelate , tym- panitide fignificatur, tunc utique etiam verum pus generat, ut obfervationes oftendunt ( n ) . Quand© vero parum cor- ruptum , & inodorum educitur , tunc digeftione verum fe- dimentum utique deponere obfervavi , quod oftendit mem- branas illas , quae vifcerum fuperficiem obtegunt, non a fe- cundi , fed a primi fedimenti materie ortum ducere , cum fecundi fedimenti jnateries in eodem fuperftes fit , diutur- niori digeftione demum ftparanda. 13. Mem- ( g ) Grashuis 1. c» p. 19?. !h) QuESNAY 1. c. p. 23. 24. 1) Bohn lethal, vuln. p. 149. (K) Gmelin commerc. Lit. Nor. 1745. heb. 51. apud Halier 1. c. p. 134. (/) Ex Malphigio Duverney ibid. p. i}6unot. m. ■ («) L. c. ( n ) Vid. diflert. Lndovici Salzm ann de abfceffu interno inirae maghi|udini5i quae eft cxxvi. T. IV. difput. Medic quas collegit Hailerus . . 87 • 13. Membrana autem ? quam m^rnorayimus hydr.opicurum vifccra tegens (o), calore bypocaulti digetla in liquarnen mutabatur, quod onines puris dotes exbibebat (7). Quem- admodum primum tedimentum contjnuata digettione ,,(ecui> di , & vcrc purifornus iedimenti naturam induel^at ,ut cum cdem confuuderctur (1 ); hinc facile rmhi pcrluadebam,, turn banc membranam , turn utrumque fedimentum cv ea- dem materie conititui , quae minori digeilione parcior fe- cedat, & membranae, aut primi fedimenti lpeciem induat, majori , ck diuturniori, & fecedat copioinis,ck pus referar. 14. Cunv pinguedinem, aut folum, aut praecipuum puris elementum.uonnulU effe . velint .(p) , libuit experiri quid di- gelta pinguedo praeltaret , ted eamdem rancefcere, quidem , putrefcere , in flavum vergere deprehendi , abfque eo quod aut fedimentum deponeret , aut ullo modo ad puris fimilir rudinem accederet : biuc pus ab eadem vitiari potius, quam coaliinii creduierim , & revera venerea ulcera , in quibiis pinguedo qorrupta , rancida , puri admiicetur „ ibrdida effe iblent, & malae indolis pus effundere (^) . . 15. Cruorem etiam diutillime licet vale bermeticexlaufo digellum, ffiidiorem quidem, & lubobfcurum.-evadere, num- quam vcc-q in partes lecedere, „ aut ad puris ( colorem,, alial- que .dotx;s accedero obfervavi . Quaret munis, probabilis eo-- rum fententia vita eff , qui ex cruoris globulis vitali motu attenuatis , & album colorem induenubus puris originem repetunt (Or, veraiimilius ergo languinem coeteris puris principus admixtunv , ipium magis foetidum , & dcterius redder-e , ut" de inrlammationis pure luperius notatum (10). M 2 Nee (0) Eadem phaenomena exhibet membrana tecens vrKera inflawna/i : An , x _m*Ji,c.cr'J" ' & fWS'ftf iW tumorss urde.fuppurante s.cx cad.in mitcria ? lp ) CI .Gras,iuis I. c. p. av~. 1 ..... (q) Id. 1. c. J R. Chir. §. 54. CI. Ques»ay, qui de la fiignt-e p. 41S. 4l) ; earn mutatiqnem in vaiis hermetice clauiis pariter contigiiTe deprehendi , ita ut cruita tora in fluidum abiret cuius , vel tardius prout craifior , dentiorque , aut tenuior , rariorque. erat : prout vero emolliebatur, fenfim (en- limque rubrum colorem acquirebat , quamquam adliaerens 1 rubrum, crafiamentum dUigenti/nme fuillet deterlum, ,. proin- de in liquamen abibat plus , minufve rubrum ; inde fufpi- caii coeperam revera molleculas fanguinis colore depolito in cruftae elementa abiifie . 25. At (r,) Inde intelligitur cur ex cormptione , igne induratum ferum penitus folvi negaverit CI. Petit Epift. Ii. p. ay. (a) CI. Ques»iay de, 1* faignt- edit. nov. p. 418; 419. qui cenfet ex pro- pria fanguinis fub'lantia crullam gla\reufi confici ab aufla vafoium aflio- ne , ita deihufla , ut rubrum colorem depofucrit CI. SaUVaGES fur l'tni- flammation S. 87. Dt-rUtN P. II. .p. 17. & 1;. (* ) Exp. XL11. 9* 15. At poftea albidiflimas cruft'as (c) naflus , & tene- ras , eas digeftione in limpidum , ac decolorem liquorcm olei aemulum refolvi obfervavi , quapropter verofimilius vi- fum eft mborem, quern (14) fenfim prodire obfervaveram, ex irretiris globulis fanguineis provenifle , qui poftea foluti, & cum materie raembranae propria ( d) admixti magis confpicui evaderent , & revera jam obfervaverat CI. Quesnay ( e ) interdum cruoris molleculas rot intercipi , ut . crufta rubra . fit , & cum placenta fangirinea confundatur , nee ejus craflities definiri proinde poffit, nifi novacula fcindendo ob- fervetur quoufque durities , & refiftentia perveniat. Quoniam vero globuli fanguinei etiam plures intercipi folent, & fo- Jutione manifeftari , etfi antea membrana irretiti confpicui non eflent; inde intelligitur cur in morbis , prout crufta au- getur , cruoris quantitas minui videatur (/) . 16. Ur vero ad propofitum revertamur , . ioluta crufta in oleofum liquorem abierat, & foetens erat , ut tamen aci- dis, &; igne coagulari ha&enus poffet , & quod ad rem noftram facit, quantumvis in vafe hermerice claufo digefta numquam aut fpeciem mutabat oleofi liquoris , aut fedimen- tum ullum puri fimile deponebat , fed deponebat perpau- cas particulas, quae pulverem tenuifliraum , cinereum refe- rebant , ex quo verofimile videbatur ex aliis feri partibus conflari , ac eae fint , ex quibus fedimentum conftituitur y turn etiam ejufdem materiem ab hydropicae membranae ma- terie difcrepare cum ilia digeftione non fluida, fed purifor* mis evaderet (13). 17. Quo- ,(<) Ickoautem albidiflimae erant, quod faepiflime per viginti-quatuor horas aquani mutaveram , diverfifque in vafis ablueram , aqua autem ferhper rubuit. (J) Mcmbranam obfervavi, ex qua ejufdem orrum rlhruVrari credtderim. Ete- nim crufta, quae fanguincam placentam obtegebat , crafla , dura , eidem rirmiter nexa in ambitu producebatur in mucofam , flocolentam membra- tiam , quae fcnfim emollita in ferum continuari videbatur , in quod im- merfa crat , ut coronam veluti tirca placeman conftitueret . (* ) L. c. p. 411. 411. (/) Id. ibid. p. 407. 408, 415. 416. 9* , . 1 7< Quoniam vero foluta calore iterum cogitur , inde in- telligitur , cur citius aqua calida , quam frigida folvi vifa fit (g) , quod nempe aquae calore indurara perinde , ac induratum ex calore ferum tardius colliquefcat (ii) : de coetero digeftionis calor eo citius ejufdem membranae por- tiones folvit , quo intenfior eft, quamdiu humanum calorem parum fuperat . 18. Cum humor cruftam efformaturus dum fanguis edu- citur ', fluidus , forma olei ad fuperficiem colligatur , mo- ra demum in cruftam denfandus ( h ) j explorare volui num inftar glaciei ex calore humani corporis priftinam fluidita- tem recuperaret , fed fruftra . Nam in eo calore conftituta crufta nonnifi duorum dierum intervallo foluta eft , & fo- luta foetebat , nee amplius frigore priftinam confiftentiam recuperabat : quapropter conclufi non calore liquari , fed in- gruente putredine . 29. Equidem nitro , aut nitrata aqua , ant etiam aqua pura cruftam folvi docent ( i ) : fed in aqua five pura , five nitrata vix ac ne vix quidem citius refolvi obfervavi , quam fi fola in calore digeftionis relinqueretur . Praeterea aquam folutae cruftae fupernataue vidi, ut praeterea digefti one po- tius , & putredine , quam vi aquae foluta fuiffe videatur , cum inprimis obfervaverim cruftam nitro , aut falibus aliis neutris , aut alkalicis fixis putredinem arcentibus afperfatn longe tardius folutam fuifle ; neque fie foluta , aut etiam admixtis falibus ex frigore iterum eft indurata. 30. Volatilium demum alkalinorum fpirituum actionem in hanc cruftam explorare volui , & vidi quidem cum fpi- ritu volatili falis ammoniaci calce parato in vafe claufo ca- lore viginti-quinque graduum digeftam membranam intra horam , tremulae gelatinae fpeciem induiffe , per quatuor vero horas penitus folutam fuiffe in liquorem admodum flui- dum, (g^ CI. De-Haen p. I. p. 87. {h) CI. QuiSNAY 1. C. p. 405. 406. l>) CI. Ui-tiMLH 1. c P. L p. 101. 0. 1. de vi nitri folvente* LJ> J 93 dum , homogeneum , colons nonnihil rubelli ; tunc vero Ii- quorem hunc in vas patulum effudi , in quo aliquot hora- rum fpatio , dillipato alkali iterum in gelatinam concreta eft ; interea dum ejufdem membranae frufta alia , aut fola digefta in eodem calore , aut cum nitro falibus neutris aliis, alkalicis fixis, oclava tandem die, vel etiam tardius ex integro foluta fuerunt. Membrana etiam albidiffima , quae in alkoole per menfem , & ultra fervata induruerat in co- rium , quod aqua emolliri , aut diffolvi amplius nan po- tuiflet (k) , pari facilitate foluta eft, & iterum congelata. Jam vero ea folutio ex putredine repetenda non eft , cum tarn cito ditfblvatur , quamvis affufus liquor putrefaftioni vehementer refiftat, & eodem in auras abeunte iterum con- crefcat . Notandum tamen ex alkali volatilis diffipatione fo- lutam membranam priftinam membranae duritiem non recu- perafle , fed in firmiorem tantum gelatinam concrevifle , quae novo fpiritu alkali affufo abfque digeftione confeftim folvebatur , ejus diffipatione iterum concrerura . Gelatinam etiam artificialem ex cornu cervi , volatili fpiritu falis am- moniaci folvi obfervavi , fed aegrius , quam pleuriticam membranam: aegrius adliuc, & tardius folvebatur coagula- tum ex igne ferum , & omnium tardiflime , & minus per- fe£le coagulatum albumen ovi . Pofteriores binae folutiones ipiritu diflipato cruftas pellucidas relinquebant. Ex his con- ftat verpm membranae phlogifticae menftnium efte alkali volatile , ex quo confirmacur ejufdem membranae analogia cum polypis, qui urinofo volatili fale folvi dicli flint (/). An igitur liquor membranam efformaturus indurefcit qua- rumdam partium diffipatione potius , quam frigore ? Has , aliafque conje&uras , quae circa naturam , & phoenomena hujus membranae occurrunt, proponere non licet, quamdiu experimentorum plurium comparatione confirmatae non finr. N REFLE- {h) SCHWENKE p. l66. (/) Malpighivs pofth. p. i6t. REFLEX IONS Pour servir de suite aux Memoires Sur le fluide elajlique de la Poudre a Canon PAR M. LE COMTE SALUCE. CHAPITRE I. De /' action de P air fur la Poudre : de la propagation de /' inflammation & de fon ditonnement . i . "w "XAns Ies Memoires , que j' ai donne dans no- I 1 tre premier Volume , je me fuis particulie- *■ ^ rement attache a examiner la nature du flui- de elaftique , qui fe developpe de la Poudre a Canon a 1' occafion de fon inflammation , & 1' Analife Phifico-Chi- mique que j' en ai fait , m'a donne occafion d' entrer dans des difcuflions de plufieurs phenomenes , qui partageoient les fentimens des Savants . Les objections des Celebres M. Muschembr©i-k & Bernoulli ( a ) m' ont paru les plus folides , & meriter le plus d' etre developp^es ; c' eft ce que je me flatte d' avoir fait, & je ne donnerai main- tenant a cet egard que quelques obfervations & reflexions que j' ai fait du depuis : mon principal but dans ce M6- moire etant d' expofer & de demontrer par des experien- ces nombre de verites , & de queftions , qui n' ont ete jufqu'a prefent que tres-imparfaitement traitees , & dont perfonne n' a encor donne aucune folution : telles font par exem- (. circa relat. flam, & aer. tit. 3. pag. 164. & 165. = Haukbee = Mariotte, & plufieurs autres,. . 96 Auteurs m* ont donne lieu de penfer que ce n'etait que dans la preffion qu'exerce 1' air fur la flamme qu'on en devait chercher la raifon . En effet j' ai fait voir que la poudre s' enflamme dans quelque air infecte que ce foir , & Boyle (a) nous apprend qu'une fufee continue a bru- ler fous 1' eau . La flamme de la poudre n a done befoin que <£ une prejjion qui en augment e /' intenfne en la rete~ nam au tour des grains ? C eft une verite que l'experien- ce que je vais rapporter me parait mettre hors de doute , elle a ete faite par M. le Chevalier D'Antoni pour faire voir les differences entre les quantite's de poudre, qui s'en- flamment dans le plein & dans le vuide. Quoique cette experience n' ait done pas e'te faite dans la vue que je viens de propofer , on verra cependant que 1' application en eft direfte, & qu'elle fert a etablirfolidement la Theo- rie en queftion : fans entrer dans une description etendue de la machine , il fuffit de dire que 1' effentiel coniifte en ce que le tuiau , qui contient la poudre , n' eft point vui- de d' air , tandis que , par le moien d' une veflie ou par- chemin , interceptant la communication quil a avec un grand recipient , que i' on place fur une pompe pneumati- que , on peut pomper 1' air contenu dans le recipient ou 1' y laiffer : on met enfuite la poudre en feu , ck le fluide ne peut fe faire jour qu'a travers la veffie . Or il arrive que, lorfque le recipient eft vuide d'air, il s1 enflamme beaucoup moins de poudre que lorfqu'il eft plein : en re- flechiuant fur les circonftances de cette experience nous pouvons aifement reconnaitre la verite que nous venons de propofer ; car le tuiau qui contient la poudre etant ega- lement plein d'air lorfque le recipient, auquel il tient, eft plein, ou vuide ; il eft clair , que dans le cas ou il eft vui- de la propagation du feu ceffe , parceque au moment que le j '11 (a) BOYLI leCO Clt. 97 le parchemin eft rompu par Fexplofion des premiers grains, F air naturel contenu dans le tuiau cefTe auffi de compri- mer la flamme , laquelle en fe rarefiant n' a plus aflez de chaleur pour mettre en feu les grains qui reftent. 3 . II n' eft pas moins aife de voir en rapprochant les circonftances de ces experiences , que F air ne fait point d' autre fon&ion que de comprimer la poudre , ck qu'ert s'oppofant a la libre expanfion de la flamme & du fluide, il procure une intenfite fuffifante au feu des premiers grains pour enflammer les autres, & a mefure que la pre/lion eft plus grande , la propagation du feu eft aufli plus prompte. Cette plus grande intenfite iepaiid done de la denjite que la flamme aquiert par la prejjlon. 4. Dela il eft facile de rendre raifon pourquoi en enflam- mant la poudre dans un recipient , par le moyen d'un verre ardent ou d'un fer rouge , au commencement on ne met en feu qne les grains qui font immediatement atteints par le feu , & enfuite a mefure qu'il fe developpe de fluide , la propagation du feu fe fait aux grains voifins , & cela plus ou moins promptement , fuivant que la quantite d' air de- veloppe' eft plus ou moins grande , eu egard a F efpace qu'il doit occuper . II eft vrai que ces degres d' accelera- tion ne font point afses fenfibles dans le vuide , parceque etant oblige d' emploier des petites quantites de poudre pour preVenir les accidens facheux , qui ne manqueraient pas d' arriver a F occafion de F inflammation , il ne fe de- veloppe que de tres-petites quantites de fluide : pour s' en aflurer done, & en faire une comparaifon folide avec Fair naturel, il eft n&reHaire qu'il s'en produife autant qu'il en faut pour refifter confiderablement a Fexpanfion de la flam- me de la poudre qui continue a s' enflammer, afin que la flamme d' une quantite foit fuffifante a mettre en feu celle qui la fuit, de facon que la propagation fe faira avec la meme vitefle que dans F air naturel lorfqu' il fe fera de- 9» developpe afses de fluide pour etre en equilibre avec l'air exterieur : ce qui eft en effet prouve par les experiences de Huigens , & de Muschembroek . Celles dont je vais donner le detail peuvent fervir de confirmation a ce que je viens d' avancer. Expe'rience. Je mis une fufee enflammee dans un recipient , j' en pompai 1' air , & le fluide nouvellement engendre avec beaucoup de precipitation , a chaque exhantlation r on en voiait diminuer la flamme , lorfque enfin elle parut eteinte je fis rentier un peu d'air qui la revivifiat dans 1' inftant, & elle brulait enfuite avec plus de vivacite a mefure qu'il fe developpait du nouveau fluide: je fis enfin une feconde fois le vuide , 6k je contin uai pendant quelque terns a. pom- per le peu de fluide qui pouvait encore fe produire , & la fufee fut eteinte . 5. On ne trouvera pas mauvais que je fafle obferver d' avance que je me fuis auffi fervi de 1' experience fuivan- te pour determiner la force & 1' elafticite du fluide qui fe developpe de la poudre a canon, comme on le verra dans la fuite. Expe'rience, Un tuiau de verre de la longueur de 9. pieds de Roi environ , etait recourbe de deux cotes , & place fur une planche de meme longueur perpendiculairement a 1' horizon , la partie fuperieure communiquait avec un autre miau tres- jnince , & d' un fort-petit diametre , qui etant paralelle au ' premier etait foigneufement maftique a la pompe pneuma- j tique , & lorfqu'on avait tout le vuide poflible , on inter* 1 ceptait hermetiquement la communication entre les deux tuiaux 9* tuiaux a l'endroit de la jon&ion , arm de limplifier la ma* chine, & la rendre moins fujette a fe carter: la partie in- ftrieure aufli recourbee 6k paralelle au grand tuiau , n' en etait que la continuation, 6k etait de la longueur de 30. pouces environ , elle tenait a un autre tuiau place horizon- talement , 6k d' un diametre prefque triple , lequel etait uni pour la longueur environ d'un pied, 6k portait enfuite au moins une douzaine de boules foufrlees dans le meme tuiau du diametre d' un demi pouce environ chacune , & gardant entr'elles un efpace cilindrique d' un pouce a un pouce 6k demi : par le moien d' un autre petit tuiau on pouvait faire le vuide dans cette autre partie de la machi- ne, & lorfque le mercure etait de niveau, on fcellait her- metiquemenr ce tuiau : chacune des boules contenait une egale quantite de poudre en poids , je me fervais d' une cuillere de verre, faite a peu pres comme celles , avee lefquelles on fert les pieces d' Artillerie , 6k j' evitai par ce moien 1' inconvenient de ne pas mettre chaque dole dans fa boule: je mettais enfuite des charbons ardens dans un cuiller de fer que je placais fous la premiere boule , dont la poudre s' enflammait apres quelque terns , 6k fai- fait monter le mercure a une certaine hauteur : lorfque tout etait froid, je mettais le cuiller de fer fous la fecon- de boule , & je continuais de la meme maniere pour les fuivantes. Or ii arrivait, que pendant que le mercure etait plus bas que lorfque j'avais fait le vuide dans le long tu- iau, la poudre de chaque boule ne prenait feu, que quand le charbon en feu etait deflbus; mais auffitot que cette co- lonne avait atteint a peu pres la meme hauteur le feu fe communiquait d' une boule a 1' autre , de forte que le mer- cure etait poufle a une hauteur qui n' etait pas compara- ble avec les precedentes ; 6k une fois entre autres , 011 il fe trouvait encore plufieurs boules a prendre feu , la ma- chine fut brilee de ce cote avec un bruit extraordinaire, 6k dommage des Afhftans. 6. II I0O 6. II eft inutile de reirerer ici les inclusions que nous avom deja fait; nous obferverons feulement , que dans un meme recipient , ou la difference confifte en ce qu'il foit plein , ou vuide d' air , la flamme de la poudre fe trouve comprimee, dans un cas , par un poid , qui re^ifte a fon expanflon , & augmente par-la fa deufit^ , & dans 1' autre elle peut librement fe repandre ; ce qui doit faire une grande difference dans 1' aftivite\ La propagation du feu efl done intercept e dans le vuide, par- ceaue la flamme des grains, qui font en feu, pouvant fe dilater librement , C intenfite de chaque particule enflammee ri efl pas fufffmte pour mettre en feu les grains aufquels elle touche : & ce detaut d' intenfite, qui depand du defaut de preffion n eft autre que une diminution de la denfite" de la flamme. 7. La preflion done ou rellftance &c. , de quelle nature qu'elle foit produira toujours les phenom^nes dont il eft ici queftion , favoir une facilite a 1' inflammation 6k a la communication da feu , & a mefure qu'elle fera plus gran- de jufqu'a un certain point, ces deux phenomenes feront plus prompts , le developpement du fluide plus fimultane , & le detonnement plus confiderable (a). De la les diffe- rences qui arrivent dans les effets d'une arme a feu char- gee avec la meme quantite ck qualite de poudre (&). 8. II (a) Nous avons demontre §. 4. & 5. qu'une refiftance quelconque fert a la propagation du feu, & que le fluide clallique a audi cette propri^te . C eft ce qui eft encore confirme par M. HulGENs & par M. Jean Muschembroek dans fon appendice a la phifique de M. fon frere pag. 52., 1c meme avertit de pomper le fluide a chaque projection dc poudie que 1' on fait dans un recipient vuide d' air , cut fans etite precaution il fe fait une fucccjfion quantite de fluide qui fe developpe de la poudre ell proportionelle aux quantites de la poudre decompofee; on fait de plus que le fouffre & le charbon n' en fournif- fent point : nous ibmmes done fondes a penfer que le prin- cipe aftif de ce fluide ell contenu dans le falpetre , & qu'il en ell developpe par 1' atlion des aurres fubilances , relativement a la proportion qu'il y a entr'elles; quoique je n'aie jamais doute de ce principe. J'ai cependant voulu m' en convaincre par 1' experience , & on ne trouvera pas mauvais que j' en donne ici un detail . Expe'rience. Un tuiau de barometre de la hauteur de 3 6. polices , St recoiirbe1 dans fa partie fuperieure communiquait a un fla- con (a) J'ai cru mkeflaire d' ajouter cette expreflion parceque fouvent il arrive que toute la poudre qu'on emploit ne prend pas feu , & cela particu- lierement dans les armes a feu , car les obftacles ne peuvent pas refi- fter au dela d' un certain terme , & il faut ou qu'ils cedent , ou que l'arme creve . 11 n' en eft pas de meme ici, oil le feu exteiieur echauffe uniformement tons les grains fans qu'il toil befoin que le feu fe com- munique fucceflivement , de forte qu'elle s'embrafe tome , & je fuie tres-perfuade que les effets en font plus gtands proportion gardee. 1 IX con dont Ie col etait de la longueur environ d' un pied , j'en maftiquai la jonclion avec de la cire d'Elpagne pour plus grande commodite (a); Textremite du tuiau etait de forme conique , & Y embouchure avair la meme figure, mais elle etait renverfee afin que le flacon flit toujours place de la meme rnaniere ! un tuiau de verre hermetiquement ajufte tenait a la courbure de celui du barometre , & par cette voie Ton pompait 1' air de la machine, 1' extremite infe-' rieure du barometre trempait dans une fiole de mercure , & une planche , a laquelle on adaptait une graduation mouvante, foutenait le barometre, & mettait 1' obferva- teur a T abris de tout danger ; la quantity de vuide £tait toujours la meme, favoir de p. i6. -3- environ, & pour plus grande precaution, je ne cherchai point a le pouiTer auffi loin que j' aurais pu , car il reftait a peu pres 8. li- gne d' air dans le cas ou j' avais fait monter le mercure a la hauteur fufdite , & qui eft celui oil il y avait plus de vuide: je dois de plus avertir, qu'apres avoir fait avec la meme i'tation autant d'experiences qu'il etait pofiible, & dont le terme etait fixe par la defcente du mercure jufqu'au ni- vau , je changeai la itation , & je les repetai de la me- me rnaniere fur celle-ci , il eft vrai qua mefure qu'il re- ftait plus d' air la fuite diminuait de termes : j'avais mefu- re , & choifi enfin plufieurs flacons precilement de la me- me capacite pour fubftituer en cas de befoin : je com- mencai done par bruler des quantites de poudre, qui etaient entr'elles dans le rapport des nombres naturels *;;;». j. 4. 5* &c, & le mercure etait a la hauter de z6. -f poucesj je repetai 6. fois cette experience avec la meme ftation en confervant le meme rapport entre les quantites, & je trou- vai , que les depreffions moyennes dans 1' inflammation fui- raient auffi la meme proportion, de meme que le fluide refroidi , {a) On pouvait de cette facon mcttre la poudre fans alterer les capacities, & en cas que le flacon eut fouflfert ou pouvait en fubftituer aifement un de ceux que j' avais iru-fiuc . favoir a peu pres celle des nombres ci-deflus, alant enfuite fait la ftation du mercure a 26 pouces & demi , & en- fuite a 16 j'en eus les memes refultats ; je me fuis fetvi enfuite du rapport d' 1 , z , 4 , S , &x. pour les quantites de poudre que j'emploiais , & les depreflions y repondirenr. 42. Enfin il eft tres-conftant que la force ou l'elafticite de plufieurs quantites d'une meme qualite de poudre, & les quantites de fluide permanent font proportionelles aux quan- tites de poudre emploiees , favoir u" elle eft double , tri- ple , quadruple &c. il fe deVeloppe 2,5,4 fois autant de fluide , & les effets font doubles , triples , quadruples &c. pourvu que la preflion foit la meme. 4 j Ce que nous avons vu ci-devant fert a nous faire connaitre les quantites reelles du fluide apres le developpe- ment fait & apres fa parfaite condenfation relativement aux quantites de poudre emploiee , & l'elafticite de ce meme fluide a l'occafion du developpement : or en faifant une fbusftra&ion , Ton aura la fomme de toutes les dilatations, c'eft-a-dire celle de Pair jufqu'au moment, de l'inflammation celle qu'il fouffre encore dans cette occafion , & celle du flui- de qui fe developpe , & comme i'air reffidu eft conftant , on peut determiner a peu pres fa dilatation dans le terns de 1'inflammation par la comparaifon de plufieurs refultats. En effet lorfque le fl:"rde eft refroidi , la quantite- d'air natu- rel , que Ton a laiffe dans la machine , agit toujours de mdme , puifque la quantite en eft fuppofee egale , au lieu que cette action eft differemment alteree par la prefence du feu , & je l'ai . conflderee fous differens points de viie fuivant que la quantity de poudre que je brulais dans la m£me capacite etait plus-ou moins grande ; mais la dila- tation de I'air qui reftait dans la machine etant donnee par l'obfervation , on n'a qu'a la deduire , & ce qui refte com- prend feulement la rarefaction que fouffre le fluide , & celle qu'efluient les parties de fair qui ont un attouchement im- mediat , 124 m^diat avec les parties enflammees , de forte qu'oii pour- rait fans erreur grofliere les confiderer comme faifant par- tie du rluide qui fe produit ; ou fi on veut l'apprecier on peut a mon avis pofer la dilatation totale de 1 air a celle du rluide comme 2 , 3. car il eft bon d'obferver que le fluide eft entierement confondu dans les parties enflammees de la poudre pendant qu'a Fair la comunication de la cha- leur ne fe fait que par couches ; quoique cette eftimation paraiffe tout-a-fait arbitraire , je fuis affes porte a croire qu'elle ne s'ecarte pas trop de la veritable , mais nous n'oublierons pas de dire que dans les armes a feu elle fera moindre encore, & que Ton peut meme la negliger entierement, vu la petite quantite qu'il s'en trouve eu egard a la quantite de fluide qui fe produit, & il eft meme tres- plaufible de penfer que la plus grande partie en eft chaffee par la lumiere du moment que le feu fe comunique, mais apres tout la determination n'etant pas trop grande les erreurs ne fauraient etre de coniequence. 44 Ces experiences nous fourniffent encore quelque au« tre induction ; en premier lieu que les dilatations de la meme quantite d'air qui refte dans la machine a compter du moment qu'on applique le feu jufqu'a celui oil la pou- dre s'enflamme, font toujours les memes quoicrue on varie les quantites de poudre ; la quantite de feu qu'on applique ext£* ricurement n'apporte done aucun changement a cette cir- conftance , c' eft ce qui eft affes clair moyennant que la quantite d'air foit conftante, & que 1' arrangement de la poudre foit a peu pres le meme , car s'il faut un degre de chaleur fixe pour enflammer la poudre , ce meme degre ne peut auffi dilater l'air que jufqu'a un point determin?, fauf qu'on ne faffe des grandes differences qui d^pandent pour lors de ce que nous avons deja dir §.25, d'ailleurs le feu etant vif le differences evanouiffent, & le plus ou le moins n'en fait que dans les vitefles des effets. En fecoud lieu le fluide 115 fluide a 1'occafion de rinflammation occupe un efpace a peu pies double de celui qu'il occupe erant condenie. Nous avons vu Mem. i.d p. 115. §. 12. que la denfite du fluids clans la poudre eft environ de 1128, done en doublant ce nom- bre nous 3111-01154256 pour la dilatation dans rinflammation : dilatation qui ell conforrne autant qu'on peut pretendre avec celle que Ammontons & Belidor ont affigne. 45 De la methode que je viens de propofer il eft aife de conftruire une echelle de la force du fluide de la pou- dre lorfque la predion eft conftante ; j'en expoferai mainte- nant un autre ou cette pre/lion va en augmentant, & qui n'exi- geant pas a chaque refultat un nouvel appareil me parait plus commode: j'ai donne la description de cette machine dans le Chapitre premier p. 98. §. 5. & pour Temployer avec plus de nieces a l'ufage dont il queftion j'ai ajoute une regie graduee qui pouvait fe mouvoir dans une coulifle , & qui depuis la furface fuperieure du vif argent cotoyant le long tuiau fervait a en indiquer la marche , il ne re- ftait plus que 8 a 9 lignes d'air dans les deux parties de la machine , chaque boule contenait un grain de la meil- leure poudre grainee , & j'avais foin de laifler parfaitement condenfer le fluide avant que pafter a l'inflammation de la poudre qui eta t dans la fuivante : par le nombr'e des vi- brations d'un pendule je voyais a peu pres de combien la pre/lion augmentee pouvait acroitre rinflammabilite ; nous paflerons (ous filence les autres precautions pour ne pas tomber dans des repetitions, on n'a qu'a fe rapeller tout ce que nous avons dit a l'endroit cite. 46 Les refultats de ces experiences different de ceux de l'autre parceque nous avons fupprime des conditions, & que nous en avons introduit des autres , elles s'accordent neanmoins dans celles qui font communes , en effet nous commencons par obferver que les quantit^s de fluide engendre font toujours les memes ; il n' en eft pas ainfi des variations du mercure R au 1 16 au moment de Pinflammation , car Tintenfite du feu de la poudre devenant toujours plus grande rareVie d'avantage lc fluide & l'air qui comprime , & de la compnraifon de plu- lieurs termes fucceflifs de differences fuites il refulte que la force ell a peu pres en raifon des preffions : nous voyons auffi que la poudre aquiert plus aifement les degres de cha- leur qui lui taut pour s'enflammer , car le nombre des vi- brations decroit dans une progreffion dont les differences vont toujours en augmentant , mais c' eft une confequence de ce que nous avons deja fait obferver. C H A P I T R E IV. Mithode dont je me fuis fervi pour mefurer rintenfte de la chaleur de differences quantites de poudre dans le plein , & les effets quelle peut produire : Reflexions fur les vapeurs duSouffre, de la Poudre, des Me - ches & des Chandelles allumees &c. & de la methode dont ont fait ufaue dans les experiences fur ce Jujet. 47 I jE.s fentimens des Savans femblent etre partages fur ce fujet, mais cette diverfite n' eft dans le fond qu'ap- parente , & depand de ce que l'enonce dans leur maniere d' apprecier 1' intenfite du feu de la poudre eft trop vague , car je ne faurai penfer qu'il put y avoir lieu a differentes opinions fur une chofe qui peut etre alTujettie a l'experien- ce , & je fuis tres-perfuade que la queftion propofee fous un enonce rigoureux faira difparaitre toure contradiftion : quant a moi je ne dilTimulerai point que je crois que cette intenfite' eft fujette a baucoup de modifications , 6k quelle eft plus ou moins grande: i.°Suivant que on en augmente , ou qu1 on en diminue la quantite dans le meme efpace oil Ton l' enflamme : i.° Suivant que les compofans font entr' eux dans i*7 dans un tel rapport , plutot que dans tel autre : 3 .° Enfin que 1' ordre ou 1' arrangement qu'on lui procure peut auffi y avoir quelque part ckc. & je ne doute point qu1on ne puifle l'aiigmenter a l'inflni. 48 Ce qui eft certain d' ailleurs , & que T experience nous apprend, c'eft que le fluide en fe developpant occupe un efpaee a peu pres double de celui ou il eft reduit lorfqu'il eft condenfe §. 44, done la chaleur de la poudre dans une arme a feu ne s'dcartera pas baucoup' de celled} & cette donnee eft afles exafte pour les problemes balliftiques. 49 La complication des circonftances qui concourent a rendre l'intentite du feu d'une meme dole de poudre plus ou moins active , & les moyens pour parvenir a la deter- miner au jufte, m£rrte relarivement , ont 616 cFaffiss puiffans motifs pour me conrenrer des effais dortt je fairai le rap- port & que je reconnais encore fort e^oignes de cette pre- cifion qui fervant a donner des nouveiles lumieVes fuffit quel- que fois pour bien ddvdlopper un fujet , &T quelqu' autres a former un enchainement heureux entre plufieurs , ce que je puis dire de nauvau ne faira que l'enrichir 6k fournir a quelqu'un qui ait plus de loifif de nouveiles Viies , & des applications plus completes a l'avarttage de la; focierd en leur epargnant des rerttatives inutiles ; c'eft a cet effet que j'expoferai m6me ce que j' ai tente & qui ne m' eft pas reuffi. 50 Je me fuis fervi en premier lieu du termometre dont j'ai fait mention dans le feoond Chapitre de ce Me^- moire p. 106. §. 15. mais a la troifieme cuilleree de pou- dre ( dont chacune etait de demi once , & dont la com- pofition ^tait de trois parties de falpetre une de fouffre & une de charbon le tout hume£te ) le mercure etaht bouil- lant le verre fe fondit: au lieu de projetter ainfi la poudre dans Un petit creufet j'ai prefere de fubftituer une fulee de la meme compofnion que j'ai mis dans une preffe, un ter- R 2 mome- nS momerre etait foutenu par un pied qui pouvait etre baifle ou eleve a l'aide d'une vis fans fin , arm que la boule fut toujours expofee autant que faire fe pouvait a la meme quantite de feu , mais a peine en fut il brule un tiers que le verre fut fondu ; les aiant enfuite fait conftruire ouverts ils n'eurent pas un meilleur fort: j'abandonnai done 1' ufa- ge des termometres, & je ne fus pas plus heureux en em- ployant le pyrometre , car je ne pouvais pas affujettir tel- lement les circonftances pour repondre a peu pres de leur identite. 5 1 Me voyant ainfi contraint de resetter abfolument tous les moyens connus par lefquels je pouvais me flatter d'obtenir quelque exactitude j'ai tente de trouver quelque nouvelle methode pour me procurer au moins des limites, mais e'eft ce que je n'ai pu faire non plus avec la preci- fion que j'aurais defire ; celle dont je me fuis fervi eft nean- moins afles commode 6k Ample, & peut etre, j'ofe l'efpe- rer, pourra-t-elle etre employee une autre fois avec plus de fucces. 5 z Elle confifte en ce que je mis fuccelfivement des la- mes de differens metaux fort minces & de meme poids , dans un creufet dans lequel je projettai des dofes de poudre de demi once chacune , & de la compofition deja enon- cee; j'etais obblige de mettre le feu a la premiere , & lorfqu'elle touchait a fa fin j'en projettais une autre , la- quelle etait de meme fuivie par une troifie'me & ainfi de fuite. Les refultats que j'en ai eu font les fuivans. ■ ■ Le plomb & 1'etain fe fondirent a la fin de la pre- miere dofe. Le ii9 Le zinc s'enflamma a la moirie environ de la feconde. 3-° Le cuivre jaune , & une monnoie fe fondirent & forme- rent un bouton avant la fin de la quatrieme. 4-' L'argent fur vitrifie a la fixieme proje&ion. Le cuivre rouge commence fe fondre lorfque la fixieme dofe touchait a fa fin & fut entierement fondu avant que la feptieme eut cefle de fufer. La limaille de fer parut former un amas informe a la dixieme dofe , mais le fond du creufet fut alors perce par un trou , d'ou la fla'mme fortait avec une grande impetuofite, fon diametre etait de trois lignes , & fa figure paraiffait tout-a-fait uniforme & circulaire. 5 3 Quoique le degres de chaleur ou le feu aftuel foit le principal agent dans ces experiences j'avais cependant afles de fondement pour croire,que le fouffre y contribuait auffi confiderablement, c'eft pourquoi j'ai voulu les reiterer de la meme maniere en employant un melange ou il rCen en- trait point , & j' ai en effet trouve quelque difference dans la facilite de la fufion , principalement pour la limaille de fer, !30 fer , & le cuivre car ils tardaient plus long-tems ; au con- traire quelque autre tel que la monnoie fe fondait plus vke, & l'argent etait de meme plus facilement vitrifie. 54 Je ne me contentai pas de ces deux procedes je voulus voir encor fi je pouvais obtenir les memes effets pas la fimple communication de la chaleur , & je mis pour cela les lames dans un creulet lulpendu au deffus d'un pe- tit baffin dans lequel je faifais les proje&ion du melange j on fent afl& que je fus obblige d' employer beaucoup plus de poudre , mais malgres mes loins celui de la limaille de fer ne put plus avoir lieu ; je dois cependant avertir que dans ce cas les effets font plus prompts fi on emploit un melange fans fouffre. 55 Je fis enhn une derniere tentative en mettant dans un petit pot (dont l'ouverture etait beaucoup plus petite que le ventre & la bafe ) une pate faite avec du falpetre du eharbon & un peu d'huile d'olive (a), cette compofition enflammee j'en reverberai la flamme avec un foufflet & une lame d'argent plus epaiffe encore des precddentes fut vitrifiee a la leconde dole, qui etait de meme que la pre- miere d'une demi once com me j'avais toujours fait. y6 Tout ce que je viens d?expofer fur l'iiitenfite' du feu de la poudre fert a nous faire voir qu'elle peut etre aug- mented en differentes manieres jufqu'sl Finfini, 6k nous n'ert devons etr-e nullement etonnes , car en confiderant toutes les circonftances dont cette flamflid eft toujours accomp*- gnee nous voyons diftin&ement tous les carafteres du feu le plus violent ; ert effet la vireffe ou la rapidite avec" la- quelle les parties inflammables fe convmuniquent le feu; Ik grande refinance que lui oppofent en confequence lesparties de 1'air ( a ) 11 eft a propos de faire obftrver que cette pare dolt etre expofee pw*- danr quelque terns a un feu lent , pour qu'une panic de l'huile puiflc s'tvaporer, car il y en a toujour de rerfc. Fair qui en en empechant une trop grandc dilatation fer- vent a en augmenter la deniite, le developpement fuccefllf du fluide par lequel fon mouvement eft accelere , font tous des (ignes non equivoques de l'a£Hvire qui le caratterife ; & c'eft precifement a caufe de la rapidite prodigieufe avec laquelle les parties inflammables fe detruifent que le corps ambiens ne peuvent aquerir fi aifement un fi grand degre de chaleur. <7 Voila un precis de mes recherches fur ce fujet, on pourrait allurement le rraiter plus metodiquement & Iui donner baucoup plus d'etendue ; mais les foins & le terns qu'exigent de tels eflais peuvent etre employes plus avan- tageufement par quelque Artifte ingenieux qui foit dans le cas d'en tirer parti ; car quoique la chofe ne prefente en elle-mcme au premier coup d'ceil rien d'extraordinaire, elle pourra peut-erre par cette meme raifon fournir dans le de- tail des circonftances dignes d' attention : je n' avance ceci qu'autant que me le permettent les obfervations paffa- geres que j'ai pii faire fur les fairs particuliers que j'ai ex- pofe; d'ailleurs perfonne que je fuche ne s' eft encor atta- che" jufqu'ici a faire un tel examen, & fi l'exaftitude dans le procede ne repond pas a la grandeur du fujet c'eft par- ceque en premier lieu il ne tient que par incident a ce!ui que j'ai eu en viie , & en fecond lieu pour les motifs dont j'ai rendu compte ; il me fuflit pour le prefent d'en avoir donne" le premier un eflai, & je paflerai maintenant a expo- fer les phenomenes que j'ai obferve fur quelques fortes de vapeurs qui m'ont fait douter de 1'etendue qu'on donne a la doftrine de l'abforbtion de fair. j 8 L' objet que nous allons done prendre a tache an- nonce l'interet qu'on doit avoir a le fuivre de pres : il s'agit d'une doftrine qui fert a rendre raifon de baucoup de phenorn&ies furprenans , dont la folution ferait obfeure & peut-£tre inconnue fans fon lecours , elle eft d'ailleurs gene- Hi generalement adoptee, & j'ai meme lieu de penfer qu'on y a recours avec un peu trop de facilite : I'afTertion des Sa- vans les plus diftingues , & les experiences fur lefquelles ils fe font appuyes & dont ils nous ont donne le detail paraiftent nous mettre en droit d'y puifer les explications les plus heureufes & les plus faciles , malgre tous ces avarj- tages j'ai obferve que toutes les vapeurs , auxquelles on a attribue la propriete d'abforber & de fixer 1' elafticite de Pair, n'en ibnt pas effe&ivement doiiees , & il m' a paru d'entrevoir que la methode dont on a fait ufage dans cette efpece d'annalyfe eft fujette a quelques inconveniens , de la viennent les equivoques qu'on peut avoir pris : c' eft ce qui m'a engage a dire quelque chofe fur ce fujet, me re- fer vant a le traiter a part une autre fois avec plus d'eten- due, en attendant quelques reflexions & des procedes plus circonfpefts nous mettront en etat de juger de la foi que nous devons preter a ces fortes d'experiences : je ne pre- tens pas refuter toute abforbtion , mais feulement faire voir qu' il y a des vapeurs qui pourraient fembler en etre la caufe quoiqu'elles ne le foient pas en effet. 5 9 Les procedes , que tous les Auteurs plus refpeftables ( a ) ont regulierement fuivi pour faire les experiences fur l'abforbtion de l'air , font ceux , de la combuftion , de la diftillation , de la fermentation des fubftances , ou des effer- vefccnces que produifaient leur mixtion; l'eau eft le mi- lieu qui fervait a intercepter toute communication entre l'air commun des vaifTaux, & celui de dehors ; dans celles qui fe faifaient par la combuftion & la fermentation ( b ), on placait les matieres toutes enflammees ou en fermenta- tion ( a ) HALLES , MUSCH1MBROECK , HaUKSBe'8 , &C. [t) Telles que les m^ches ou les chandclles allumees : le faffran de Mars fait avec la limaille de fer le fouffre & l'eau; le fe) volatil d'ammoniac fait avec la chaux , &c. car on fait qu'a peine ces fubllances font me- Ices il s'elevc auJitot des vapeurs, &c. 135 tion fous les recipiens , de forte que la quantite d'air ab- folu qui s'y trouvait e^ait moindre de la quantite qu' il y en aurait eu fi on les avait enflamme' par quelque moyen dans le vaifleau meme, toute communication etant 6tee , ou fi on les eut avec cette precaution difpofees a la fermentation. 60 Une autre circonftance dont )e n'ai pas encor pu m'af- furer parfait'ement , mais que j'ai afles de fondement pour ne devoir pas diflimuler, puifqu'elle peut toute feule rendre douteux les refultats des experiences , c' eft qu' il m'a paru de voir que l'air etant beaucoup rarefie peut s'infinuer dans les parties de 1'eau , de facon que bien des fois l'abforbtion ferait I'ouvrage du milieu qui doit intercepter: quoique on n' ignore pas que 1' eau peut fe charger d' air on fait aufli quelle ne peut en recevoir qu' une quantite determined , mais j'ai eu occafion d'obfetver comme je l'ai dit que cette verite peut fourFrir des reftriftions. 61 Voici l'experience qui m'a donne lieu de penfer ainfi. Experience. J'ai plongje dans un vaiflau de la hauteur de deux pieds environ un tuiau de verre de fix pieds de long , & du dia- me'tre aumoms de fix lignes auquel on avait hermetiquement ajoute un flacon , ou qui etait garni d'une boule fouffllee dans le meme verre &c qu'on avait precedement approche du feu pour en chafler une partie de l'air avec plus d'aifance; des que la machine avait aquis la temperature & que l'eau dtait montee a une ftation fixe dans le tuiau je marquais avec un fil cire le point d'elevation , & comme on ne pouvait pas approcher de la boule, meme a quelque diftance fans caufer quelque rarefaftion a l'air qui y etait contenu , & faire par confequent baifler l'eau dans le tube , je laifiais derechef repofer la machine pendant quelque terns en m'eu eloignant comme auparavant , & j'examinais enfuite fi le fil repondait avec pre'eifion au nivau de l'eau , toutes ces S pre- XJ4. precautions etant prifes j'approchais une flamme par degres de la boule , 6k auflitot qu' elle dtait iin peu echauffee & qu'elle ne rifquait plus de fe fendre je lui ai fait fubir une chaleur telle qui fit precipirer la depreflion de l'eau , la- quelle cependant n'atteignit point a Pextremite du tiriau , afin que l'air n'en fut point chafie : je m'ecartai pour lors de la machine de meme que j'avais fait auparavant 6k j'ai vu quelque tems apres l'eau s'elever dans le tube au-delTus de la marque que j'avais fait. 61 Cette experience quoique tres-fimple exige baucoup de circonfpeftions & de foin', outre ceux que nous avons deja fuggeres il eft bon d'ajouter , qu'il faut la faire dans une chambre ou les variations dans l'atmofphere ne foient pas fi fenfibles, il n'y faut pas du feu, ni qu'elle foit fort ventilee , on ne s'y arretera qu'autant qu'il eft indifpenfa- ble , il faut y laiffer le flambeau allume jufqu'a ce qu'on ait fini d'obferver ; on doit enfin avoir un barometre 6k un ter- mometre fort exa£ts pour plus grande fiirete; cependant malgre toutes ces precautions, elle ne reiiflit pas toujours , apparem- ment a caufe de la facilite de l'eau a fe mouvoir 6k que fouvent les variations peuvent fe compenfer , elle a nean- moins reiiffi vingt fois pour une ; avec tout cela je me re- ferve a faire d'ulterieures obfervations. 63 Ce que nous venons de dire fufHt pour nous con- vaincre que cette methode eft incertaine 6k meme infuffi- fante , pour faire ces fortes d'experiences , puifque elle peut aifement induire en erreur, car ne fachant pas de combien l'air a ete rarefie dans le tems qu'on a intercepte la libre com- munication entre celui qui eft enferme dans les vaiffaux 6k l'ex- terieur , ignorant la quantite qui peut s'en etre infmue dans l'eau , on ne peut dire avec fondement qu'il y ait eu d'ab- ibrbtion : quelques fubftances que j' ai foumis a un procedes plus fimple , 6k qui reduites en vapeurs , n'ont point abfor- be d'air , quoique traitees de la maniere qui a dte adopt^ jufqu' jufqu'ici , paffent generalement pour avoir une telle propriete, a fervi a me confirmer dans les foupcons que j'avais forme. 64 Je commencerai par rendre compte de la maniere dont je m'y fuis pris pour obtenir le meme effet en les affujettiffant a un procede delivre de tout equivoque , ce detail iera fuivi de celui des fubftances que j'y ai foumis, &: de ce qui en eft refulte. 65 Je mettais les fubftances qui devaient etre enflam- mees dans des flacons par le moyen d'un bout de tuiau de communication, qui etait hermetiquement attache a cote de leurs cols, & dont l'extremite etait jointe de la meme maniere a un long tuiau courbe en forme de barometre qui contenait du mercure & fervait a en faire les fon- ftions ; fuivant l'efpece de flamme qui devait s' y exciter , & le moyen que je devais employer a cet effet , je laiffais tout 1'air dans la capacite" oil j'en faifais fortir une partie, en me fervant du feu comme j'ai deja ditj l'ouverture la- t^rale par laquelle j'avais mis les fubftances etant bouchee avec de la cire d'Efpagne , j' excitais la flamme ou avec le miroir ardent comme pour le fouffre, ou avec une flam- me , je confervais enfuite ces machines en les examinant plulieurs fois le jour , & j' avais mis au meme endroit un barometre , un termometre & un flacon ferine , & portant a fon extremite un tuiau recourbe avec du vif argent ce qui faifait une meme machine & dans le fond un barofcope. 66 Comme je ne pouvais pas entreprendre un travail de longue haleine , je me fuis contente de choifir le fouf- fre , la poudre & de la meche pour voir ce qui leur ar- rivait ; j'enflammai le fouffre avec une lentille , & j'ai vu de meme qu' Olaus Borrich;us une fumee qui paffait au travers des porres du verre a l'endroit ou tombent les rayons raflembles par le foyer , mais le mercure ne fit plus aucun mouvement depuis que l'air du flacon fut refroidi ; dans cer lui ou j'avais mis deux grains de poudre j' avais environ S 1 quatre I}6 quattre pouces de mains d' air , je la mis en feu a l'aide de la flamme d'uii flambeau, & apres une demi heure en- viron aiant marque le point d'elevation , le vif argent fut immobile, jufqu'a ce qu'd arrriva des variations dans l'at- mofphere ; la meme chole eft fuccedee aux meches. 67 Je n'en donne pas d'a vantage pour le preTent faute de terns : quant a ce qui regarde les chandelles allumees , M.R le D.R Cigna notre ami & favant confrere rapportera les experiences que nous en avons fait; 11 mes devoirs me le permettent je me propofe de faire des nouvelles recher- cbes fur ce fujet , de renouveller les experiences qui fem- blent plus rigoureules , & particulierement le Chap. VI. de la Statique des Vegetaux , digne_ ouvragre du Celebre feu M.R Halles. 68 La delicatefle du fujet ne me permet pas d'ailleurs de diffimuler , que Ton ne faurait etre afles fur fes gardes pour obvier aux moindre petits inconveniens , car ils de- viennent tres-eflentiels : en effet avec quelle facilite l'air ne fe rarefie-t-il pas ? & fon elafticite augmentee fait qu'on ne peut pas s'appercevoir que la quautite abfolue dans la meme capacite eft diminuee , ces reflexions pofees on con- viendra de la facilite quon peut avoir a fe tromper. CHAPITRE V. Examen de la Poudre fans Souffre. 69 \ — >E Chapitre eft particulierement destine- a quelques reflexions fur l'ufage que Ton peut faire dans la pratique de la poudre fans foutFre. J'avais deja etabli dans mon fecond ^lemoire quelques uns des principes fur lefquels elles font ap- puyees, je penfe qu'en y joignant ce qu'on lit dans le Chap. i.a& 3/ de celuici nous pourrons etre en etat d'apprecier d'avance les effets qu'on en doit attendre , fans fe jetter aveu- '57 aveugldment dans des eflais toiijours couteux & trop irfa certains quand ils ne font pas appuyes fur la thtiorie. Je dois au refte avertir ici que l'Auteur de l'article fcux arti-- ficiels dans l'Encyclopedie eft le premier qui ait propofe d'appliquer cette. poudre a l'ufage de l'Artillerie; je l'igno* rais quand j'ecrivis mon fecond Memoire , &: je n'ai pCi en faire mention que dans une note : je fuis au refte bien dloigne de lui accorder tous les avantages que cet Auteur femble en attendre. 70 II fuit a la verite de ce que nous avons dit jufqu"a prd- fent qu'on peut avec une moindre quantite de cette poudre que de la commune dialler un projectile jufqu'a une diftance donnee., ce qui peut faire une difference afles confiderable dans la confommation de la poudre , & plus encore dans la defence , puifque toute chofes d'ailleurs egales cette ef- pece de poudre eft moins difpendieufe. Si cependant on reflechit fur la caufe de la plus grande force de cette pou- dre on verra bientot qu'il refulte de cet avantage meme des inconveniens afles confiderables. 7 1 La force de la poudre en general ne peut depandre que de la quantite du fluide qui s'endeveloppe, &de la plus grande vi telle & (imultaneite avec lequel fe fait ce develop- pemenr. Chap. i.d §'. 39. 40. On voit afles que la fuperiorite de cette poudre fur l'autre ne peut dans le cas dont il s'acit etre I'effet d'une plus grande quantite de fluide, puifque le falpetre fe trouve dans cette charge en moindre quantite que dans l'autre : elle depand done abfolument de la plus gran- de vitefle avec laquelle fe fair la propagation du feu & le deVeloppement du fluide Chap. 2.d §. 38. enforte que dans le cas d'un eftet conftant les quantites des diflerentes po'.idres doivent en quelque forte etre en raifon inverfe de cette meme vitefle. 7 1 Cela pofe le derangement dans la direction ou dans le pointement d'une piece d'Artillerie ne pouvant etre occa- flone *38 .' fione" que par l'a&ion du fluide elaftique qui fait par fon d^veloppement reculer le canon dans une Iigne differente de la direction qu'on lui avait doling, foit a caufe de Pir- regularite de la piece plus riche de metal d'un cote que de Pautre, foit par Pimperfeftion des roues, de la platte forme ou de quelque autre caufe femblable : il eft aife de voir que ces derangemens feront plus coniiderables dans le cas d'un developpement plus prompt. 73 En effet en fuppofant que Paction des deux charges, ou la vitefle qu'elles impriment au boulet foit la meme il eft evident que ft le canon ne foufTrait pas dans fon recul la reliftance du frottement, il eft evident dis-je que les deran- gemens dans la direction feraient abfolumcnt les memes : mais il n'en va pas ainfi fi nous voulons faire attention a ces refiftances , car Pexpreffion de P element de la vitelTe avec laquelle la piece eft pouflee en arriere nreft plus alors proportionel a la predion qu'exerce fur elle le fluide ela- ftique , mais a cette meme preffion diminuee d' une autre quantite qu'on peut fuppofer proportionelle a la vitefle du recul a chaque inftant : or fi dans cetre hipotefe on cher- che au moyen du calcul integral P expreflion generale de cette vitefle, en faifant", comme la nature du Probleme le requiert, que cette vitefle fut la meme quand le fluide ela- ftique cefle d'agir fur le canon, fiuTe la meme dis-je quelle que foit l'elafticite du fluide , ou ce qui revient au meme qu'on fuppofa que cette vitefle doit etre la meme fi on n'a pas egard aux refiftances, on la trouvera toujours plus petite quand l'elafticite eft moindre. (a) d'oii il eft aiftf de con- clure ( a ) Une reflexion bien fimple pourra aider i concevoir fans calcul cette vi- rite. (Fig. I. PI. I.) Quelle que foit la loi du developpement du flui- de elaftique il eft vifible que les vitefles des boulets chaftes par les deux differentes charges pourront a chaque inftant etre representees par cclic de deux corps qui defcendraient libtemcnt le long de deux cour- fces quelconques AG, AQ; 8c que puifqu'on fuppofe les deux porters egales '39 dure que le recul & par confequent Ie derangement dli, pointemcnt fera toujours plus grand pour une poudre plus violente quoique les port^es foient egales. 74 II eft Evident que ce que nous venons de dire peut» egalemcnt s'appliquer au cas ou le bouchon introduit dans le canon avcc violence fait une plus grande rehftance au flui- de, un autre inconvenient fort considerable dont nous avon* fait mention plus haut, Chap. i.' p. 101. en note c'eft le pdril de faire crever plus facilement les pieces en fe fer- vant de la poudre fans fouffre , je me contente pour cela de renvoyer a l'endroit cite. 75 Je pafle a decrire les deTaurs de cette poudre qui ne d^pandent pas comme ceux dont nous venons de parler de la force avec laquelle elle fe dev&oppe , mais plutot de la nature des principes dont elle eft compofee. Plufieurs ex- periences que j'ai fait liir cette poudre a differentes repri- ks & par des m^thodes diverfes m'ont convaincu qu'elle s'enflamme baucoup plus difficilement que la poudre com- mune, M.' le Marquis Birague dont la fagacite & furtout l'amour egales ces courbes doivent Stre tcrminees par l'horizontale BQ. II c^ encor evident que ft Ton fait abftraction du frottement, les viKiTes du " canon dans fon recul a chaque inftant feront proportionelbs a ceiledeS boulets , & par confequent encor a celles des corps qui defcenjent dans AG & A Q. Ccla pole pour trouver quels changemens le frottement peut caul'er asx vitefTcs des recti's dans ces deux cas. Im«- ginons que ce font ces corps eux-memes qui eprouvent cette refiftance uans leurs mouvement felon AG & A Q, & fuppofons ponr un mo- ment qu'ils ai'ent une vitefle egale aux points, D, E ( fuppofition qui eft vraie en effet pour le point A oil la vitefle des deux corps eft null.-) il eft clair en tirant la ct infiniment proche de C E que les refiftsn- «es qu'eprouvent ces corps erant proportionelles aux viteftes & par confequent egales en DE elles agiront plus fur le corp qui fe mcut fe- lon AQ, puifque Ee > Drf. Uonc la vitefle du corps qui ^ meut dans AQ fera toujours plus petite dans le cas du frottement , que celle qui fe meut dans AG quand tous les deux feront parvenus a ine ho- rizontale quelconque B Q ; & par confequent quand l'aition des fluides- ceftera entierement fur le canon , la vitefte du recul fera plus petite quand la charge fera plus lente a le dicompofer, meme dans le cas oh cis recuis feraient egaux en faifant abftraclion deces tefiftances, &. e'eft la a peu pres le cas que nous avons fuppofe des deux potters e»ales> 140 1' amour des fciences font affes connus a 6te prefent a plu- fieurs des efTais que j'ai fait fur cette matiere. II eft vrai qu'on pourrait en quelque forte remedier a cet inconve- nient en fe fervant d'un charbon plus leger , mais il eft facile de s'appercevoir qu'etant dans ce das neceffaire d'em- ployer une plus grande quantite de charbon pour procurer 1'enttere decompofition du falpetre , cette poudre perdrait alors beaucoup de cette force, qui fait fon unique merire. On d^duit facilement de la que la force de la poudre eft toutes chofes d'ailleurs ^gales toujours proportionelle a la plus prompte decompofition du falpetre , & par confequent a la difficulte qu'elle a de prendre feu (l>). 76 On fait combien le grainage eft neceffaire a la poudre en general pour 1' ufage de faction & celled le foutient difficilement , car quoique on ait differentes methode de la re^dre propre au grainage elles font toutes impraticables err grand ( c ). 77 En- (i) Commc le charbon n'eft compofe que par l'union d'une fubftance inflam- mable a des parties terreftres , il s'enfuit narurellement que la diffe- rence dans la qualite du charbon confide dans le rapport oil ces (ub- ftances fe trouvent combinees entr'elles : cela pofe il en doit refulter des differences dans l'inflammabilite & dans l'a&ion qu' il peut exercer fur le falpetre , d'oii il eft evident qu'il doit s'en trouver unc efpeee , telle oil ces deux proprietes foient les plus grandes poflibles ; & ce ferait celle qui fervirait avec plus de fucces dans les amies a. feu , ['ex- perience pcut I'afligner avec facilite ; d'ailleurs il n'eft pas moins aire ) Acad, des Sciences 1697- p. io1). 30)198. Sed eas bullas in plerifque vo- latilibus liquoribus ex aere non erte infra conftabit §. 20. not. 9. (•/) In Taretaelo aere liquida minus evaporare , in vacuo tuhil , aut fere nihil Phyftci plerique ante Cullen docebant. V X tyx refertum , & faturatum fit , fub claufo recipiente aeris pie- no inftitutum experimentum demonftravir. Etcnim fub hoc etiam frigus ex evaporatione fpiritus volatilis paullatim pro- ducebatur , ut immerii thermometri liquor fenfim fubfiderer, qui tamen, poftquam ad fummam depreffionem pervenerat, pedctentim ad temperaturam refiliebat : neque defe£tu vo- latilium partium thermometri liquorem refiliifie conftitit ; nam , fublato recipiente , ex reftaurata evaporatione iterum deprimebatur. Frigus vero produ&um fub eo claufo reci- piente aeris pleno , caeteris paribus, eo minus erat, minuf- ve diuturnum , quo recipientis amplitudo minor erat, adeo- ut liquida etiam maxime volatilia , ficut fpiritus volatilis falis ammoniaci cake paratus, fub angufto recipiente, ex eva- poratione fenfibiliter non refrigefcerent ; ex quo conflrmatur frigus ^llud evaporationi deberi , & demonftratur evapora-. tionem in claufo fpatio , five vacuo , five aeris pleno tunc demum ceflare , quando recipientis capacitas vaporibus re- ferta eft , & , ut ita dicam , faturata. 10. In rariori quidem aere , caeteris paribus , ut frigus multo majus eft , ita longe citius ceflat , promptiufque ther- mometri liquor ad externam temperaturam revertitur, quam in denliori, ita ut tempus, quo frigus ex evaporatione per- durat , eo majus fit , quo denfitas aeris major eft ; immo & majori proportione crefcat, quam denfitas aeris , quan- tum quidem per experimenta videre licuit ha&enus minus accurata . Cum enim in his expeii mentis fpiritu volatili falis ammoniaci uterer , cujus volatilitas , prout fubtilio- res partes avolant , minor evadit , propterea frigus non folum ex retardata ab ambientibus vaporibus evaporatio- ne , fed etiam ex defeclu volatihorum partium minueba- tur. Maxime autem confentaneum eflet ope liquoris uii- formiter evaporabilis legem earn inveftigare , ac definire , juxta quam pro varia aeris denfitate frigus minus eft , ma- gifque gifque diuturnum. Interim ex iis , quae attulimus , confici viderur, prout aer denfior eft, evaporation! magis refiftere, eamque refiftentiam, caeteris paribus, in majori proportione crefcere , quam aeris denfitatem : hinc & frigus pari rario- ne minus produci, & in dato recipiente magis diuturnum, quod tardius prodeuntes vapores , tardius etiam tanta copia colligantur , ut erupturos novos vapores cohibere poffint. 11. Quoniam vero fpatium datum five vacuum, five aere plenum , prout vaporibus refertum , fenfim novis recipiendis minus aptum efficitur, ut tandem evaporatio omnino cohi- beatur , inde intelligitur , cur humida tempeftate , humida corpora aeri expofita ex humoris evaporatione minus quam ficca tempeftate refrigerentur ( r) ; cur ex vento , qui con- tinue aerem circum corpora evaporantia renovat & evapo- ratio (f) , & frigus ex evaporatione ( t ) augeantur ; cur humida corpora, aere continue circa ipfa ex arte renovato, baud rardius tere , quam ex admoti ignis calore exficcen- tur ( u ) ; cur tandem aqua diffoluto fale faturata in vacuo fpatio non concrefcat in cryftallos ( v ) nee etiam aqua for- ris in lixivium Talis tartan immifla ( x ) . Etenim non ob defectum aeris, qui ad nitri conftitutionem requiratur, cry- ftallifationem deficere (y ) , vel ex eo demonftratur, quod mixtura aquae fortis , & falis tartari aerem non abforbet , fed magna copia producit ( { ) ; contra vero defeftu eva- porations cryftallilationem fieri non pofTe , probat experi- mentum (<•) Notante Miran , & Richman . Vid. Recher. p. 93. 86. §. 9. p. 90. §• 'S- (/) Musschem. elTai §. 96*. ( f ) Meran apud Roux exp. 1. p. 93. («) Desagulier torn. 2. p. 370. 371. (v) " Ei co, quod vapores nulli e vacuo recipiente elabi queunt. „ Bovir Exp.-r. Phyfico-Mcch. continuat. 11. art. XI. exp. 2. p. 390. x ) Idem. Temamen circa partes nitri. Se) Pott Academie de Berlin. 1752. p. 60. (q) Cimentini p. 184. Slake in trania&. phibfopb. n. 150. art. 4. exp. 7. Geofroy 1. c. p. 121. X i6o vitrioli quantitate mifcuerit , inde minor olei vitrioli quan- ritas port, finitam effervelcentiam libera fuperefle potuit, mi- noremque calorem praebere , cujus forte ideo non meminit Cl. Auftor (r). Jam vero majori pofita in vacuo, & ce- leriori evaporatione (9. 10.) phoenomena explicantur hacte- nus obfcura : cur ad exemplum aqua fortis, cui vini fpiritus admifceatur , ferrum cum ebullitione in vacuo folvat , & in- terea in aere nihil ftmile praeftet (/) ; namque vis aquae fortis in ferrum, admixto vini fpiritu,infringirur (r ) : itaque in vacuo, eodem citius diffipato, majorem in ferrum effica- ciam aqua fortis citius recuperat , dum quae in aere eft ex ipfius admixtione impeditur , quominus limilem actionem in. ferrum exerceat. Caeterum, quoniam vini fpiritus, qui, ad- 'mixta aqua forti , vix ullas bullas in vacuo emittit («), celerius tamen ibidem evanefcit ; confirmatur inde , quod fuperius jam probavimus ( 9 ) , celeriorem in vacuo evapo- rationem erumpentibus aereis bulbs tribuendam non efTe . Forte autem ex fimilibus caufis , quod nempe acida , dum vacuum paratur, attra&o ambientis humido diluantur (1 5.1 6), turn quod menftrua alia volatiles nonnullas partes amittant diverfa phoenomena aliarum etiam folutionum, quae in va- cuo, 6k aere fiunt , repetenda funt. 18. Fluida alia prae aliis majorem caloris gradum inter ebulhendum acquirere Phyfici obfervarunt , eumque nee den- fttati , nee oleofitati , nee partium tenuitati refpondere (v), fed varium efle , prout liquida plus , minufve eiTent volati- lia (y ) . Revera ft advertere lubeat , oleum olivarum ca- lorem (r) Etiam in aperto aere thermometrum primo frigefaflum iub finem non- nihil calcfi.ri obfervaverat Geofroy 1. c. p. 114. (/) Boyle Phyfico-Mech. contin. II. art. XI. exp. 13. PapiN, & Hughens tranfjft. phil. 1675. n. 119. -art. I. (<) Boyle expenmenta , & notae circa corrofibil. orig. exp. II. p. 378. 379. (u) Hapin, & Hughens I. c. (v) Boerh*ave Chem. torn. 1. p. 93. 94. 398. (y) Uesagllilr torn. 1. pag. 111. i 61 lorem lummum recipere antequam ebulliat , 6oo.° fcilicet fcalae fahrenheitianae ({), olea ftillatitia 560.0, &, difli- patis tenuioribus partibus, majorem (&), aquam in,", vini fpiritum 1 7 5 .° ( a ) , ac demum fpiritum volatilem falis ammoniaci cake paratum 1 5 o.° ( b ) ; & frigoris gradum ab iifdem fluidis inCuLLEN experimentis produ&um eodem ordine majorem fuifle ( c ) , inde confirmabitur , turn va- rium ebullientium liquidorum calorem , turn varium frigus ab iis liquidis in memoratis experimentis produ&um a va- rio fixitatis , aut volatilitatis gradu dependere ; proindeque liquida , turn demum ebullire , quando majorem caloris gra- dum acquirere non poflunt ( d ) , quando nempe evaporatio eorumdem ex aufto calore ea lege augetur , ut tantum ca- loris difllpet , quantum adjicitur. Hinc eft ut in machina papiniana , coercitis vaporibus , in indefinitum calefieri pof- fint () Ut oleum olivarum , quod forte prae omnibus liquidis copiolifTimum ai- rem continere BoylEUS teftatur ( 1. c. exp. 14. ) & tamen ex ingenti calore in vacuo non ebullit, ut diftum in nota fuperiore. (,7) De aqua aeie per ebullitionem repurgata Boyle ( ). c. exp. 43.) dj fpi- ritu vini PaPin (I. c.); de fpritu volatili falis ammoniarci Cullen (]. c. p io6.)> et(i vini (piritus parum aeris contineat (Hales 1. c. exp. 66.) ; ipiritus volatilu , turn aqua, quae ebullit nihil penitus ( Boer. 1. c. p. 17).). Praeterea aqua etiam nativa til - vol urn aeris con- t'met ( Hales 1. c. ), hinc in vacuo ebulliens mercurium in appofito (j- phone finfibiliter non deprimit ( Hughens tranfad. n. m. art. IV.); ex quibus conftat bullas, quas e vini fpiritu , & fpiritu volatili in va- cuo prodeuntes vidit CI. Cullen (9) magnam partem ex aere non luilTc , fed ex liquore ipfo vi ignis , aut caloris expanfo ( confer. MuiSCHEM. §. 987. n. 3. ) ut enim hi liquores in aere citiflime ebul- liunt ( §. praeced. ) ita verifimile eft in vacuo folo ambientis calore, nifi perfrigidum fit , ad ebullitionem adigi , quae tamdiu duret , donee collects vaponbus coerceatur ( vid. not. k. ) (r) Aquam calidam celerius in vacuo refrigerari Sgravesand §. 1511. Ga- leatius Com. Bonon. torn. 1. part. 1. p. 314. Caetens paribus rirgarn pyrometri paullo tardius contrahi fub vacuo recipiente , quam fub eo- dem aere plcno Musschimb. in Ciment. p. 137. 138. Hinc quaeftio- nem propofuit. EJfai §. 959. Pourquoi I'eau ft refrou-tlU plus vitc dans It vuidt tandu qut It fir y rtftt plus long-trns (hand ju'tn pltin air i I 64 terit , verum etiam fuperare. Enim vero cum intra fphae- ram vitream thermometri mercurialis bullam inclumTem , ut fphaerae centrum teneret, per tubulum, qui ad latus fphae- rae erigebatur eamdem acre evacuavi , dein in ebullientem aquam immiii , ut aequabiliter calefieret, tandem, mercurio ad 70.0 fcalae reaumurianae exiftente , in aquam eamdem cum aere caloris temperaturam liabentem , 1 o.° fcilicet fu- pra o immerli : mercurius ad 20.0 defcendit tempore 14' |. Eodem experimento repetito cum hoc folo difcrimine, quod aer in fphaeram admiflus fuiffet, tempus refrigerationis fuic 9' ~ circiter (/). Ex quo patet mercurium , quo thermo- metrum conficitur, fecus ac aquam tardius in vacuo, quam in aere refrigerari , turn quod magis fixus eft , turn quod in vitro thermometrico claufus , fi vel maxime volatilis ef- fet evaporare non poflet : hincque verofimile fluida etiam alia, vel fixa , ut oleum expreflum , vel etiam volatilia , dummodo vafis coercita evaporare non poffint , adinftar fo- lidorum corporum , tardius in vacuo , quam in aere frige- fa&um iri. 11. Quoniam refrigerationis ex evaporatione ratio in eo fita videtur, quod celerius liquorum volatilium calor per vapores diffipetur , quam ab ambientium corporum calore ejufdem ja£tura reparari poffit ( 8 ) : libuit inveftigare quae- nam corpora calori tranfmittendo aptiora eflent , quod non folum huic quaeftioni illuftrandae , verum etiam ipfius ca- loris theoriae perficiendae aptum videbatur. Itaque cum aequa- lia olei olivarum , alcoholis , aquae , ac mercurii volumina in pocula terrea aequalia , & fimilia infudiffem , & ad eumdem cum ambiente caloris gradum componi fiviftem , qui (/) Simile experimentum Nevtonus memorat, in quo duo thermometra pa- ria paribus cylindris vitreis cavis , altero vacuo, altero aere pleno in- cludebantur , aitque in vacuo cylindro nihilominus, ncque fere tardius thermometrum incalefcere, quam in aere pleno, fi e frigido in calidum cubiculum ambo defcrantur. Quaeft. XV11I. pod Opticam p- M*. .65 qui eo tempore io.° fupra o fcalae reaumur. erat ; ther- mometrum mercuriale ad 70. • ejus fcalae calefaftum fuccef- five in fingula haec liquida immifi , atque obfervavi tern- pus, quo a 70.0 ad to.* mercurius defcendebat, in aperto aere fuiffe 10' & 20"; in oleo olivarum fuiffe 99", vel 100"; in alcohole 44"; in aqua 25" ; in mercurio n": repetitum experimentum vix 1% aut 1" varietatem obtu- lit ( f ) . Aequae cito etiam refrigerabatur thermometrum in oleo olivarum five nudo, five tenui alcoholis ftrato ob- tefto : fuerunt adeo tempora refrigerationis in aere , oleo olivarum, alcohole, aqua, mercurio fere uti numeri 224, 10, 9 , 5 , 2. Ex quibus primo patet permeabilitatem ho- rum liquidorum a calore non effe in ratione volatilitatis , aut denlitatis eorumdem : patet deinde earn fere legem ob- tinere , ut corpora , prout magis pinguia , calori deferendo minus apta evadant , ut aqua calorem citius deferat , quam liquida inflammabilia , ut demum mercurius etiam citius aqua eumdem tranfmittat ; quae novam , eamque magni mo- menti caloris proprietatem ele&rico fluido communem pa- tefaciunt : quod nimirum corpora , prout igni eleftrico de- ferendo aptiora , eadem aptiora quoque fint deferendo calo- ri . Una ha&enus exceptio tantum fe offert , quam §. fu- periore indicavimus ; corpora nimirum in vacuo tardius ca- lorem amittere, cum elettricitatem citius difperdant. Inte- rim ex diftis intelligitur , cur lana , pili , & fimilia corpo- ribus (/) MaRtine 1. c. p. 112. 113. Corpora in aere nonnifi ocluplo tardius re- irigerari , quam in aqua , in mercurio nonnifi 2" celerius pro fingulis minutis quam in aqua ; fed Vir CI. & minus calcfecit thermometrum , & tere ufque ad ambicntis temperaturam refrigerandum reliquit • ego & ma>is calefeci , & temporis tantum rationem habui , quo mercurius ad gr. 10. fupra teniperaiuram perveniebar: nine diftrimen obtinui ma- gis pcrfpicuum ; eodsm raodo, quo diftrimen inter permeabilitatem cor- porum metallicorum , & aquae refpeftu iluidi el;£lrici , quod, quamdiu eleftricitas cxigua eft , vix percipi poteft , fatis peifpicuum fit, quaruio vehementior adiubetur. \66 ribus circumpofira eorum calorem diutius fervent ( u ) } cur funiliter circumpotitum goflipium frigus fervet ex arte pro du&um ( t ) > cur glacies citius in aqua , tardius in oleo terebinthinae, tardius adhuc in oleo olivarum , rardiffime in aere diflblvatur (_y ) : cum enim haec in glaciem non agant vi corrodente , manifeftum eft ipfam citius , tardiufve dif- folvere , prout calori commumcando plus , minufve apta funt. Sed de pulcherrimo hoc argumento fufius alias , & ex propofito erit agendum. u. Obfervavit laudatus CI. Cullen liquorem in ther- mometro fub excipulo pneumatico fufpenfo, edu£to aere, i.* aut j.° deprimi ; poftea in ipfo vacuo ad temperaturam re- ftitui ; admiflb demum aere 2.0 adhuc, aut 3.0 elevari ( ^). Hujufmodi porro phoenomenon nihil cum prioribus commu- ne habet, ut quifque facile intelligit : neque enim ulla ra- tio eft, propter quam irruens in vacuum aeris unda thermo- metrum calefaciat , intereadum lenis ejufdem motus dum fubducitur frigus inducar. Ad defcenfum quidem quod fpe- &at, jam obfervatum a CI. GalEatio liquorem in thermome- tris , fubdu&o aere , nonnihil deprimi , ejufque phoenomeni caufam banc efle opinatus eft , quod aer ex omni parte vi- tro incumbens ipfum conftringat nonnihil , qua conftri&ione fublata vitrum relaxetur , eoque fiat , ut inclufus liquor de- primatur (&). Hanc CI. Viri fententiam experimentis con- fentaneam deprehendi : perinde enim liquorem thermometri aere vacui deprimi obfervavi , quando, aperto fuperius tubo, aditus concedebatur externo aeri , ut liquorem comprime- ret , & cum aere externam vitri fuperficiem premente ad aequi- librium componeretur. Cum enim thermometri liquor in- com- ( u ) Mussch. Eflai torn. i. p. 474. (v) Fahrenheit apud Boerh. I. c. p. 88. (y) Ex BoyliO Koux 1. c. p. 29. jo. ({) Recher. p. 104. (6>) Comment. Bonon. torn. 2. part. 1. p. 318. 319. i6? . compreflibilis fit , omnis in hoc experimento obfervata de- preflio vitri dilatationi erit adfcribenda. In apertis autem hoc pafto tbermometris in vacuo recipiente conftitutis liquor non deprimebatur, quod fcilicet, fafto yacuo, preflio ex in- terna, externaque vitri parte aeque tolleretur (a). Demum Boyleus in aperto etiam tubo ad ovale vitrum cavum con- nexo aquam •; digiti deprimi obfervavit , quando inclufo fub excipulo pneumatico ovali vitro, & tubo per excipuli ver- ticem prodeunte , fubdu&oque demum aere, preflio in ova- lis vitri externam raciem minuebatur , & interea aer liquori incumbens in tubo ipfum contra internam vitri faciem pre- mere pergebat : hinc, reftituto aere, ad priorem altitudinem liquor reiiliebat ( b ). Ex quibus omnibus evincitur CI. Ga- leatium veram propositi experimenti caufam invenifle; fed cum etiam in vacuo, CI. Cullen obfervante, ad priftinum locum thermometri liquor reverteretur , id indicio eft calo- rem eo tempore nonnihil au£him fuifle; hincque faftum eft, ut, reftituto aere, tantumdem elevaretur fupra eum locum li- quor , quantum eodem educlo fubfederat. (a) In apertis thermomerris, extrado aere , liquorem nonnihil afcendere , quod aer in liquoribus ipfis delitefcens , ae'ris prelTu fublato , fe fe exerat. Ta- berranus Comment. Bonon. I. c. p. 320. ( * ) Exper. Ph> fie. Mech. exp. 39. p. 47. EJUSDEM. / [68 E J U S D E M. De caujfa exrinclionis flammae , & animalium in acre intercluforum . ; 'W N fuperiore Tomo argumenta protulimus , quibus de- r monftraremus ignem, & flammam in interclufo aere nee "^ propter erumpenres fumos, nee propter imminutam ab iifdem aeris elafticitarem fuffocari (a), quin & probabili con- jeclura du6H , ne alios quidem vapores fuftbeationis cauffam efle putavimus, fed potius quod aer a flammae calore per- vertererur. Cum vero ab animalibus vitiatus aer flammam repente extinguat , hinc utrumque phoenomenon ab eaderri caufla produci opinati fumus , quae • gradu tantummodo difcreparer : at poftquam non minus a ranis calore prope- modum deftitutis , quam a caeteris animalibus aerem per- verti obfervavimus de .conjeftura noftra dubitare coepimus , aliaque experimenta meditari , quibus propofita quaeftio ac- curatius dirimi poiTet ( b ) . Quum in hujufmodi experi- ments inftituendis verfarer eorum nonnulla-,. quae antea pro- tulimus , caftiganda efle comperi , & ex coniideratione eo- rum, quae in praecedenri diflertatione circa vapores dicta funt , his multo plus memoratis in phoenomenis tribuendum efTe cognovi : quapropter idem argumentum retraftandum fufcepi , eo quidem , ni falior , fucceflu , ut minus dubia , &: minus indennita in earn rem mihi videar prolaturus. i . Relatum eft in fuperiore tomo aerem , in quo flam- ma fpontc fuerit extin&a , ita perverti , ut immiflam aliam fubito fullbcet etiam diii poftquam fuerit vitiatus ( c ) : idipfum (a) In Commentariis p. ai. & feq. (i ) Ibid, a p. 48. ad 51. {c) Ibid. p. 36. §. 38. Reaccenfa candela in acre, in quo moxfuffocata eft, ram- dm ac antes non perdurat (Boyle nova exp. circa relat. inter aerem, . t Y & t6$ idipfum in aere ab animalium refpiratione vitiato contiu- gere ex Boyleo retulimus , qui aerem in quo animal ante quatuor horas interierat immiflb alteri animali trium minu- torum fpatio mortem atruliiTe fcribit (d). Hujufmodi Boy- lei experimentum , quo animalia in cumdem aerem fuccef- five immittuntur hunc in modum iterandum fufcepi . Carn- panam vitream fexdecim circiter librarum aquae capacem ita fuipendi , ut tres tranfverfos digitos limbo fuo in aquam. iubjefti vafis demergeretur : ad intemam , fuperioremque campanae partem trochleam aptaveram , per quam funicu- lus trajiciebatur , cujus alteri extremo exigua cavea adnexa erat , dum extremum alteram per aquam fub campanae lim- bum traduftum ita ad manus erat , ut cavea per aquam elevari poflet. Funiculus alter caveae fundo adnexus, limili- terque fub campanae limbum traduftus caveae deprimen- dae, & e recipiente per aquam educendae inferviebat: eo pa£to cavea cum inclufa avicula in aerem fub recipiens po- firum per aquam induci , aut educi poterat , quin aer mu- taretur , prohibente aqua , quae campanae limbum undique obtegebat. Rebus hunc in modum difpofitis carduelis pri- mum cavea inclufus per aquam in recipiens immiflus ell: avis primis duabus horis aerem abforpfit , ut aquam uno circiter pollice: fupra libellum elevaret ; poftea vero tardius , rardiufque hujus altitudiiiem adauxtt ; principio bene fe habuit , dein confuetas laefae refpirationis vicifii- tudines paffa eft, qui bus in fine horae quartae cum qua- drante fublata fuit. Hac edu&a carduelis alius eodem mo- do & flam, vital, animal, torn. 3. p. 168. ) fub quintuplum tempus (Hales exp. 106. p 101.) raomcnto ipfo, quo in eum aerem immittitur , ex- tinguitur ( Helmont. magnum oporttt p. 130. n. 59. Confer torn, praec. 1. c. in hot.). Acrem. per rjammam .ex vim fpiritus in vacunm trje- ftum immilTam flammam conteftim fuflfocare (.Havksbi'ii exper. phyii- comech. torn. |. art. X.), jut trayettum per tlammam carboniim (1)1- sag. torn. 11. p. 439.) . ' (d) Exper. phyflco mechan. cont. II. art. V. exp. 11. »7° do in recipiens immiflus eft , qui ftatim magna , ac frequenri refpiratione correprus duobus minutis inreriir (e). Tertius car- duelis unico minuto mortuus eft ; quartus demum paullo ultra femi-minutum vitam traxit . Pofteriores aves , quae, aere jam valde depravato , in recipiens immiffae funt vehemen- tibus convulfionibus , vomitu , fbpore occupabantur . Aqua poft primas quatuor horas (enfibiliter amplius non afcendir. Poft haec infufa exterius aqua eft , ficque aer fub cam- pana ita "condenfatus , ut aqua ad libellam reftitueretur , turn carduelis alius in recipiens immiflus : ne minutum qui- dem vixit , nee aeris elaterium amplius imminuit. Ex quibus confirmatur aerem ab animalibus ira vitiari , ut immilTa animalia alia citiflime extinguat. 1. Neque fblum flamma, & animalia in aere ab alia flamma , aut animali vitiato fuffocantur , fed ipfae quoque ftirpes , ut ex aeris interclufione paullatim languent (/") , fie citiflime intereunt , fi aer ille ab inclufis antea ftirpibns fuerit vitiatus, & cum aeris elafticitatem infringant , fimili- ter infringere deftnunt , ft aer , cum quo intercluduntur ab immifla antea ftirpe elafticitatis ja&uram jam fecerit (g}. 3. Porro diuturnitas vitae animalium in aere interclufo rum , caeteris paribus, effe folet in ratione direcla volumi- nis aeris , inverfa numeri animalium , ut CI. Veratti ob- fervavit ( h ) . Anomaliam tamen quamdam in ranis fe deprehendifle teftatur , quae five plures , five pauciores , aeque tamen cito interirent ( i ) : Idemque animadvertit ne ulla quidem difficultate refpirandi in iis anguftiis iplas labo- {<) Bulla* aliquot airis , dum traduccrctur cavea, per aquam in recipiens pene- travcrant. (/") Confer C). Hallirum in Boerh. torn. ». par. 1. pag. 89. not. 38. elem. phyf. torn. 3. p. 315. n. f. g. {g) Hales Statiq. des Vcgetaux »xp. 111. n. 7. p. 178. 179. »8o. Sh ) Com. Bon. t. 2- par. 1. i) Ibid. p. 175. »76. laborafle (£), quamquam &: aeris elafticitatem infringaut (/), & ex interclufione aeris , ut ipfe exittiraat, inftar alio* rum animalium perimantur (/»)• Equidem , ut alia praerermittam , ranas aerem vitiare , ex eo confirmari videtur , quod aerem flammae alcndae imparem non minus reddant, quam caetera animalia («); in vitiato autem aere diutius vivere non poffe , vel indc conftat , quod artificiali acre tarn cjito laedantur ( o ). 4. Cum iraque haec phoenomena quid miri , ac fingu- laris praefeferant , placuit eadem per experimenta perfequit & primum libuit experiri , quantum refpiratio ranis eflet neceffaria. De iis quidem legimus 10' in vacuo torricelliano ipfas interire (p), in boyleano autem tribus horis ita tor- pefcere , ut vitam recuperare adhuc poffint ( q ) , fex autem ( r) , aut ad fummum feptem horis (/) penitus extingui quam- quam alias, aut horis duabus extinguerentur (* ), aut ad ho- ras viginti feptem, & ultra in ipfo boyleano vacuo langui- dam vitam producerent ( u ). Verumtamen dubium efle potefl: an ranae in vacuo defe&u preffionis , an refpirationis inte- reant : idcirco quamdiu fub aquis vivere poffint exploran- dum fufcepi ; & quoniam ad aquae fuperficiem refpirandi cauffa identidem feruntur , propterea ipfas vinculis fub aquis coegi. Poft horam unam jam mortuae videbantur , ut con- cuflae hac iliac cadaverum inftar moverentur abfque ullo pro- prii motus indicio : cum vero ipfas attentius obfervarem depre- (J) P. 176. (m) p. 174. (n) Mil'cel. torn, praeced. p. 48. §. 45. (0) Boyl. phyfico mech. com. II. art. V. exp. 4. 5. 7. (/>) Florentini p. 51. col. Acad. ( 7« hinc verofimile fit candelam in majon recipiente pofitam paullo magis arfiffe , ideo & minus perdurafle : enim vero poltea conftabit abforpti aeris quantitatem flammae magni- tudini , quam proxime refpondere (30). Quod vero opi- nionem noftram confirmat illud eft , pondus amiffum five ab una , five a pluribus candelis homogeneis fere fecutum fuifle rationem capacitatis vafis , feu quantitatis aeris, cum qua intercludebantur : fimiliter Cl. Beccaria expertus eft ( ut ipfe mihi narrabat ) cum limaturam ftamni , aut plumbi in vitris hermetice claufis calcinationi fubjiceret, portionem tan- tum hmaturae ex fubje&o igne in calcem redigi potuiffe, at eo majorem , quo vacui in vafe vitreo fpatii amplitudo major erat. 13. Cum vero haftenus expofita experimenta in aere ejuf- dem denfitatis fuerint inftituta, illud praeterea dignum con- fideratione videbatur , quantum pro varia aeris denfitate fimul intercluforum animalium vita brevior, diuturniorve evaderer. Cum itaque phialam haberem vitream quinquaginta librarum aquae capacem , cujus collum cochlea cuprea munitum erat, latera autem utrimque tubulum vitreum continuum habebanr, horum alteri fyphonem vitreum hermetice adglutinandum curavi , ut ex immifli in ipfum mercurii altitudine variam aeris interclufi denfitate m cognofcerem ; alterum ad machi- nam pneumaticam aptavi : dein paflerculum in phialam im- mifi , eademque cochleae ope firmiter obturata , aerem ci- to haufi , donee mercurius in fyphone pol. 16. lin. 10. fu- pra libellam elevatus eflet : tunc commeicium inter antham , & phialam intercepi ; eo autem tempore 2' ab immiffo paflerculo erant praeterlapfa. Pafferculus principio vomuit (c) convulfiones nonnullas paflus (c) Similiter alauda in aere ad dimidium rarefaflo ter vomuit , dein meliui fe habuit , ut poll horae — mortis periculum adhuc abeflet. Boyl. nov. exp. pneum. tit. XI. exp. 4. &. in tranf. n. 63. l77 paflus eft , poftea aliquamdiu bene fe habuit. Refpira- tio ipfi primum parva erat, & frequens ( & condenfati per 5', & ultra refpirationi apti fint (A), inde etiam verofimile fit eamdem aeris quantitarem campa- na urinaroria inclufam eo diutius refpirationi infervire poire, quo profundius drmiffa campana, ex incumbentis aquae pon- dere aer in anguftius fpatium adigitur ( i ). 18. Ex his etiam eruitur rariorem aerem ob raritatem animalibus , aut flammae nocuuni non efie , fed quod cito ob hanc lpfam pervertatur , idcirco nocuum celeriter fieri: e:'imvero animalia in eo aere per aliquod tempus optime refpirant ( k ) , & refpiratio pedetentim laeditur , & eo tardius , quo recipienris amplitudo major eft, & eodem demum modo , quo in nativo aere interclufo laedi folet (13); at fi propria raritare aer noceret, aeque cito nocere deberet, quacumque pofita recipientis amplitudine : patet er- go vitium ipfius rartati non efTe adfcribendum : praeterea vero manifeftum ell tantam denfitatem aeris refpirationi fu- fte.itandae fufficere , quae apta fit preflione fua dilatandis pulmonibus ; preffio autem dlatandis pulmonibus necefTaria tanta eft, quanta requintur pulmonum vi contra&ili fuperan- dae ( nullus emra eft aer thoracicus , qui refiftentiam au- geat), adeoque preffionem 2. pol. mercurii vix iuperat (/), ex quo conficitur aerem etiam praetermodum rarum prefiione quidem fua mechanifmo refpirationis perficieaido aptum efTe. 19. Ut (A ) Nam centum poHices pro T fufficiunt Hailey philof. tranf. n. 349. De- SAGUL. lemons t. Ii. p. 2-36. 473. (/) Docet tamen Disagul. 1. c. p. 136. tempus quo aer pervertitur efTe uti ipfius volumen, quaccumque fuerit ejufdem denfitas. (*) Si excipias frequentiam majorem , quae etiam in montano acre obferva- tur. Vid. §. 13. n. d. (/) Hales 1. c. exp. m- p. 114. 115. in mortuis quidem brtitis experimen- tum inftitutum ; & iterum exp. 113. p. 116 217. applicito ad apertum canis latus fyphone , vidit in ordinaria infpiratione vix kx poliicibus , in vehementirtima dd fummum triginta poll in fyphone vini fpirimm elevatum fuilTe : tanta igitur erat vis , qua dillenius pulmo infpiratt aeris ptefltonem fuftinebat. i So 19. Ut vero eo certius cognofcerem quantam nam ae- ris raritatem animalia tolerare poffint fequens experimentum inftitui. PafTercuIum in phialam vitream immifi , cujus aper- turam flacefcente ampla vefica ar&e ad collum phialae cir- cumligata obturavi : phialam cum pafferculo alio Tub reci- piens pneumaticum poliii , aeremque exantlavi, donee mer- curius ad 1 9. pollic. altirudinem in appenfo fyphone eleva- retur (altitudo ejufdem in barometro tunc erat poll. 17.-) dein tantum aeris per epiftomium admin* , ut mercurius duobus pollicibus fubfideretj mox parem aeris quantitatem prompte iterum exantlavi , ficque alterne , & celeriter eamdem aeris menfuram & haurire , 6k reddere continuavi per horae dimidium : hoc pa&o uterque paflerculus femper verfatus eft in aere adeo raro , ut 7. ~ ad fummum 9. \ mercurii pollices fuftinere poflet, cum eo tamen difcrimine, quod paflerculus phiala inclufus eumdem femper aerem ha- beret , extra phialam fub recipiens pofitus aflidue renovatum : ille principio vomitu correptus eft ( m ) , poftea bene fe habuit , ut finita femihora integer , alacerque educeretur ; hie dyfpnoea fenfim ingravefcente y &c convulfivis demum motibus correptus , non multo poft quam eduftus eflet , interiit . zo. Ex his confirmatur aerem fub recipienre pneumatico etiam admodum rarefa&um vitae , ac refpirationi fuftentan- dae aptum efle , dummodo renovetur , indeque fit , ut ani- malia majores mutationes denfitatis tollerent, quando denfi- tas nativa interclufi aeris augetur, quam cum imminuitur (/z), inde (m) Et refpirationem minorem , frequentioremque perpetuo babuit ; vomitus rcpentinae mutationi aeris ( vid. not c. §. 13.), refpiratio frequentior ipfi aeris raritati adferibenda (vid. ib. n. d , & §. 18. n. k.) (n) Homines in campana urinatoria aerem ferunt novem vicibus denfiorem ( Mussch cjja't §. 1411.) & animalia in machina comprelToria ex aere etiam oftuplo denfiore nullum incommodum paflfa funt( ex Birch. Hal- lekUS 1. c. p. 194. not. 0. ) alauda contra in aere quadruplo tantum rariore 2' interiit (Boyle nova cxp. pneum. tit. XI. exp. 3.) i 8 i inde etiam ratio pendrt, propter quam in rariori altiflimo- rum inontium aere , & flamma aidet , & animalia optime fe habent ( o ) , in aere contra per antliam ad parem rari- tatem perdu£to ciro extinguuntur (p ) : ille Icilicet aer aper- tus eft, & fponte renovatur, hie interclufus brevi peiverti debet ; verofimile propterea eft aerem montanum interclu- fum aeque cito laethalem futurum , ac ille , qui in aequali recipiente ad parem raritatem eft perdu&us. n. Jam ft comparemus phoenomena expofita cum phoe- nomenis liquorum in claufo ("patio evaporantium iifdem ac- curate refpondere comperiemus : vidimus nimirum primo. Evaporationem in claufo fpatio paullatim imminui , ac tan- dem omnino deftnere , ut novi vapores in id fpatium erum- pere amplius non pofiint. z. Durationem autem evapora- tions , caeteris paribus , fere eiTe ut amplitudinem reci- pientium. 3. demum, ft aer rarefiat , evaporationem acce- lerari , & recipiens vaporibus multo citius repleri ; ita ut tempus , quo repletur majori in proportione imminuatur , quam denfitas aeris (Diflert. praec. §. 9. 10.) : quae qui- dem omnia etiam in flamma , & animalibus in aere in- terclufis vera efle obfervavimus ; nam &: paullatim ilia lan- guere vidimus , ac tandem extingui , & immiflam novam flam ma m , aut novum animal tunc ftatim fuffocari (1), & durationem utriufque in eadem aeris denfitate efle , uti quan- titatem aeris concluft (3. 11. n.), in diverfa hanc rationem non amplius fequi ; fed eo celerius definere , pofita aequali aeris interclufi quantitate, quo rarior aer effet , eo tardius, quo (0) Vid. HaILERum I.e. p. 189. not. r, k, p. 193. not. b, e, p. 197. not. 0, p , q. (p) Vid. not. n praeced. inde forte factum eft, ut plerique doceant aves ae- rem — leviorem ferre non poffe ; fed difcrimen hujufmodi inter aerem montanum, & aerem antlia rarefa&um jamdudum eft adnotaium. Vid. Haller. 1. c. p. 193. not. /. A a i8i quo denfior (14. 15.)- Dum vero flammam , & animalia in interclufo acre vaporibus fuffocari concludimiis , nondum aut eorum naruram licet definire, ant peculiarem modum , quo noceant; num fcilicet novis tantummodo coercitis vapo- ribus , an potius mutatis phyficis , aut mechanicis aeris qualitatibus ; fed de his deinceps nonnulla erunt addenda. n. At {i vapores flammae nocent, qui fit , ut in propo- fitis alibi experimentis aer non per candens tantummodo metallum , led & per vitrum traje&us flammam extingue- ret (7), & ex admoto extrinfecus ad vitream phialam igne conrentus aer flammae deinceps alendae ineptus evaderet (r)? Ad primum , quod fpectat experimentum , in quo, flamma intra recipiens binis verticalibus foraminibus pertu- fum conftituta , ad inferius foramen candens vitrum admo- vebatur , non prava qualitate ex vitro contra&a , fed im- petu , & unda fua aerem vitri calore rarefaftum flammam extinxifle cognovi ; aliter enim experimentum ceflit , quan- do cautum eft, ne aeris a vitro rarefacli, & mmio impetu ad flammam impulfi unda in eamdem irrueret . Ad alte- rum , quod attinet experimentum maxime dubito ne per te- nues vitri parietes (/) , aut per latentem rimulam halitus admoti extrinfecus ignis in ipfius cavum penetraverint , vel fortuita alia adfuerit erroris caufla ; quandoqaidem crafliori- bus vitris in caflum deinceps tentavi : nee diflimulatum eft a nobis in fuperiori tomo frigidis etiam animalibus corru- ptum aerem alendae flammae imparem fieri, unde de prio- ns opinionis veritate dubitare coepimus ( t ) : caeterum & Desagulierius monuit aerem per candentia metalla traje- £tum non perverci , nifi quatenus aut ipforum metallorum (a), aut (q) Tom. praec. §. 31. 34. 35. (O lb- §• J& (/) Vid. Borrichium Aft. Hafn. torn. a. pag. 137. 138. ( t) L. c. §. 4^. 46. 47. (a) Ut aer, qui a candente auricalco lapidis calaminaris halitus rccipit. lefDr.s torn. 1. p. 467. 468. i8} aut prunarum , in quas immerfa metalla flint vaporibus (v) inficitur , & Hauksbf.i experimcnta effe caftiganda : exper- tus demum fum aerem phiala inclufum per menfes in prae- calido hypocau'to fervatum nullam noxiam qualitatem con- rraxiffe. Atque haec quidem de hujufmodi experimentis : argumenta caetera, quae vaporum hypothefim nobis oppu- gnare videbantur ( x ) minoris momenti effe deinceps con- ftabit. 23. Verum fi phoenomena confideremus imminutae ab animalibus imprimis aeris elafticitatis luculenrius conftabit vapores in cauffam fuffocationis effe adducendos. Conrtat enim aeris elafticitatem a vaporibus iis infringi , qui vehe- menter adeo ad ejus particulas adhaerent, ut interpoiitione fua mutuam ipfarum vim repulfivam imminuanr (y). Hinc i.° vis elaftica aeris principio a vaporibus magis imrninui- tur , dein fenfim minus , prout aer vaporibus onuftus novis recipiendis minus aptus efficitur, ut demum r. Aere vapo- ribus jam faturato ejus elafticitas infringi amplius non pof- fit ({). Tunc vero 3. , novo aere in recipiens admiffo nova fit elafticitatis deperditio (a). Hinc 4. aer fa&itius, qui vaporibus jam faturatus prodit, in vacuum , aut aerem vaporibus jam faturatum emiffus nullam elafticitatis ja6tu- ram patitur ( b ) , quam tamen in purum aerem emiffus pati vi- (v) Ut in Hauksbei experimentis immiflb in prunas ferro , aut aere. Ibid. p. 439. (*) §• »4- *5- *«• 33- ( y ) 11a Desag. 1. c. p. 41. 43, Hales, paflim. ({) Hales exp. 106. p. 10a. (a) Et novus aer cum impuro efferve(c.ip.. Id. append, exp. 3. p. 341., & fequent. (*) Si (ubitam earn excipias , quae ex ipfius aeris geniti , aut admixtorum va- porum refrigeratione dependet. Sic aer fa&itius ex corxtu cervi in va- cuo per fpeculum caufticum combufto port horam nullam amplius pati- tur elafticitatis jacluram ( Boyle contin. II. art. VIII. exp. 1. p. 375. ) iino vero nee aer ipfe ex charta fulphurata in vacuo combufta ( Id. 1. c. exp. 1. p. 374. 375.), nee aer ex aqua forti , & nitro fixo in vacuo mixtis (Id. 1. c. art. XI. exp. 5. p. 390. ), aut ex aqua forti , & cupro (PaPin. tranf. an. 167;. n. 119.) Aa.i 184 videtur, ex eo, quod vaporibus fuis hujus elafticitatem im- minuat (c): ex quibus 5. intelligitur , cur corpora quae- dam , quae in vacuo , aut aere vaporibus jam faturato ae- rem emittunt, in aere nativo, puroque interclufa , aliquan- do videantur abforbere (d) , quod fcilicet decrementum ela- fticitatis interclufi aeris ex vaporibus majus fit ejufdem in- cremento ex novo aere adjefto : cur item 6. corpora quae- dam in aere interclufa aerem alterne gignere , & abforbere videantur, quando, harum cauflarum altera alteram alterne fuperante , elafticitas interclufi aeris alterne adaugetur , vel imminuitur ( e ) : cur tamen 7. corpora etiam , quae prin- cipio aeris interclufi elafticitatem imminuebant , poftremo adaugeant , quando interclufi aeris vaporibus jam onufti ela- fticitas ab erumpentibus novis vaporibus ita imminui am- plius non poteft , ut ejus decrementum ex hac caufla m- crementum fuperet , quod ab erumpente novo aere produ- citur (/). Z4. Et haec quidem phoenomena maxime confen- tanea funt iis , quae ab interclufis in aere animalibus producuntur. 1. Enim ab iifdem vis elaftica aeris pnnci- pio celerius, dein tardius , tardiufque imminuitur (g), ut demum i. aere iis vaporibus jam faturato ejus elafticitas imminui amplius non poflit ; tunc vero 3. novo aere ad- miflb, (c) Haies 1. c. exp. 76. p. 163. () , turn etiain ex eo , quod aeris elaterium infringant (14), quod mere aquofi halitus non praeftant ( c ) > demum ex eo, quod aqua faepe majori quantitate in aere communi adfir , quam in refpirato , quin tamen veneficam qualitatem praefeferat (d). 40. Cum vero ab allaras rationes putrido vapori fimiLis" fit is , qui animalia in interclufo aere fuffocat , ob idipfutn ex alkalino volatili fale inprimis conftare videbatur , eo vel maxime , quod CI. Laghius obfervaverit interclufa ani- malia ex hujus falis vapore , cujufmodi eft fpiritus fangui- nis humani multo celerius fublata fuifTe : placuit vero ejus etiam falis vim in flammam experiri. Itaque in interclufum aerem , qui jamdiu exhalantis fpiritus falis ammoniaci calce parati halitibus fuerat faturatus , flammam immhl totumque ftatim aerem ilium concepta flamma deflagrafle obfervavij idemque fuit eventus quando flammam immifi in interclu- fum (y) Ibid. §. i. ({) Hoc argumento utitur Helmontius I. c (a) CI. Laghi I. c. p. 81. 83. (£) Ex aqua taint oleofo volatili halitu praegnante, oleate, non acida , nee al- kaliaa , & praecipua caulTa hint vitii , quod ex refpirantium hor.unum tuiba in angufto fpatio aer contrahit Haixer el. phyf. torn. II. p. 37. 38. torn. III. p. '353- 354- (c) Hales, exp. m. p. 260. [d) Hoc argumento utijur idem Halesius p. 375. x*f film aerem halitibus tinclurae fulphuris volatilis fimiliter fit* turatum ; quoniam vero aer refpiratus flammam non raodo non concipit, verum etiam exringuit (34), inde conficitur halitus , quibus aer refpiratus foedatur , vel a falis volatilis halitibus difcrepare , vei cum iifdem alios admifceri , qui & flammam fuffocent , & ipforum inflammationem impe- diant : ex his vero infuper confirmatur quod aliis jamduduni experimentis fuerat evi&um pinguem fubftantiam ad falis volatilis conftitutionem requiri , & intelligitur , cur putri- dorum corporum vapor aliquando inflammabilis fit , alias contra alkali volatili jam diflipato, aut vapore alio cum eo- dem admixto , vel eidem fuccedente flammam extinguat (e). 41. Aer autem hujufmodi ex flamma immifla accende- batur etiam aliquot menfes , poftquam di£tis halitibus fue- rat faturatus , ut propterea vapores femel per aerem dif- perfi diutiflime eidem inhaereant , unde intelligitur quando aer flamma infeclus , aut refpiratus , aut artiflcialis id vi- tium diutiflime retineat (f). 41. Dum vero dicimus halitus , quibus interclufa in aere animalia fuflbcantur ad putridorum halituum naturam acce- dere fimul notandum innumeros alios efle , qui animalibus noceant; idque demonftrant Cel. Hauksbei, Desagulierii, Laghh experimenta , & ingens multitudo ftirpium noxios halitus emittentium, & venefica vis faftitii aeris ex tot di- veriis corporibus prodeuntis ; indeque fit ut halitus venefi- ci aliquando aere fint leviores (g), abas fere graviores (A) aliquan- («) Vid. Haller elem. phyf. torn. HI. n. k. /. if) Tom. praec. §. i8. 46. g ) Hujufmodi efle videntur halitus omnes, qui in aperto , tranquilloque aeri innocui , in interdufo admodum pernicioli funt , ut halitus animalium : hinc in nofocomiis , in quibus foetor purum gravis eft , vix tolerabilis evadit , (i prope laquear confcendas , DuHaMil I. c. p. 77. 177. (A) Tales clTe videntur halitus mephitidum quarumdam , quae aptrto aeri expofitae funt : hinc ex phiala in phialam ita transfundi polTiint , ut interpofitam flammam ia tranfttu extinguant . Sauvagcs tffett it P air §• "9- i$6 aliquando fonum intercipiant (/), alias non item (/),olen- tes demum aliquando fint , alias vix ullum odorem praefe- ferant (m ). 43. Illud nunc inquirendum, quomodo collefti flammae, aut animalium vnpores eadem in interclufo aere fuffocent : & ut primo de flamma dicamus, imminuram a vaporibus ae- ris elafticitatem in extin&ionis cauflam adduci non pofle alibi demonftravimus («): fimpliciffima vero ratio in eo fira videtur , qmd aer flammae vaporibus femel faturatus novorum vaporum, in quos per combuftionem ignis pabu- lum fuiftet refolvendum , eruptionem cohibeat , pari modo , quo in caeteris evaporationibus contingit (dill, praec. §.9.). Sane interclufae in aere flammae aeque diutuma duratio eft, five fuperiora , five inferiora recipients teneat, 6k Hon aer folum inficitur, qui ipfam ambit, aut fupra ipfam eminet, fed totus aer undequaque aequabiliter vitiatur , ut immifla nova flamma in limine fuffocetur ( 1 ) ; quod argumento eft ut dicamus non a calore (n) , fed ab halitibus qua- quaverfum diftufis vitium illud proficifci : caetera etiam phoe- nomena evaporationis in claufo vafe fupprefTae cum phoe- nomenis fulFocationis flammae in aere interclufae apprime convenire fuperitis oftendtmus (14). 44. Nee diflimilis ratio eft ob quam ftirpes in interclufo aere pereunt; nam & aeris elaterium infringunt paullatim minus, & pari paffu languefcunt , adeo ut, quando demum perierunt, immifla ejufdem generis ftirps & cito pereat , &c aeris elaterium infringere amplius non poflit ( 1. z6. ), quae fane oftendunt vapores, ex quibus aeris elaterium im- minuitur paullatim cohiberi , hinc aereae elafticitatis jaftu- ram ( i) Sauvagss !• c. §. 160. (/) Saggio delle tranf. filofof. torn. 5. p. 10. II. (m) Vid. CI. Haller 1. c. p. 113- n. / (/i) Tom. praec. §. 2. 3. 197 ram minorem fieri, & ftirpem languere, tandem vero om- nino fupprimi , hinc & elalticiratem aeris non amplius irt- fringi , & ftirpem imerire : ftirpibus enim neceflana exha- latio eft , ut novum fuccum per radices haurire pcffint, ex cujus jugi affluxu earum vita , & incrementum dependet : ex quibus facile eft inte'.ligere cur ftirpes folitariae ramos undique aequabiliter diffundant , altiores, graciliorefque fint quae in fylvis adolefcunt ( o ) ; nam folirariae ftirpes aequa- biliter undique exhalanr ; & propterea aequabilis fit nutritii laticis affluxus , 8r aequabile incrementum ; in iis vero , quae confertae in fylvis funt lateralnim ramorum evapora- tio minor eft, quod ambientium ftirpium halitibus rerertus aer eamdem cohibeat : hinc ad verticem copiofius affluens nurritius humor eafdem in altitudinem magis , quam juxta aliam 'dimeniionem expandit. 44. Obfcurius aliquanto eft , quo pa&o infettus ex in- terclufione aer animalibus perniciem afferat : illud quidetn facde eft demonftrare , perinde ac de flamma diximus (43), vapores non ideo iifdem nocere , quod aeris elafticitatem imminuant : nam in aere aliorum animalium halitibus jam infefto intereunt, etiamfiaut, apertovafe, aditus externo aeri concedatur , ut ad aequilibrium fe componat , aut adjecla aqua , ficque condenfato intra recipiens aere , ad nativam elafticitatem reftituatur (1) : mihi etiam aliquando obfervare contigit ut immifla in recipiens avicula interiret , immoto mercurio in appofito fyphone , quod indicio fuit hiatum ali- quem patuifTe , per quem aer & infinuari , & renovari etiam ex parte potuerit , quod & paullo confueto diuturnior ani- malis vita confirmavit (p), quo quidem in cafu cum non. elafti- (0 ) Haies 1. c. p. 300. \p) ^Pfi.10 etiam aliquando contigit, uf in aere interclufa animalia interirent, etfi mercurius in indice immobile perftaret (nov. exp. pneum. tit. XV. txp. 1. 1. & in tranf. n. 6j, art. i. ) , aut exterior aer admittereiur, aperto rafe ( Ibid. ). C c 198 elafticitate , fed pondere aer agerer, manifefrum ell immi- nutam a vaporibu- aeris elafticitatem in mortis cauilam ad- duci non pofle. Porro demonftravit Ccl. Hallerus anima- Ua ex perenni infpiratione ob eamdem rationem fuffocari , propterquam in interclufo aere pereunt ( q ) , id autem , vel inde confirmatur quod , caeteris paribus , infpirationem eo breviorem edant, quae rarior aer citius inficitur,eo tar- diorem, quo deniior aer eft, tardiufque pervertitur (13) , atqui tamen dum in aperto aere animalia infpirant , aeris pul- mone contenti elafticitas tanta efte debet, ut cum aeris ad- glottidem incumbentis pondere aequilibretur, atque adeo im- mutata efle debet; ergo nee animalia fpiritum retinentia , nee propterea in aere interclufa ob imminutam ipiius ela- fticitatem fufTocantur. 46. Si aer infeftus per pulmones permearet , alter eflet modus mechanicus , quo refpirationi ineptus polTet evadere; at in cuniculis , quos ejus rei experiundae caufla , in inter- clufo aere fnffocaveram , dete&a pleura, pulmonem ei undt- que contiguum obfervavi , eademque fub aquis perforata , nullas bullas aereas prodiifle vidi , manifefto argumento , ae- rem etiam refpiratione corruptum pulmonem non permea- re : ex quibus jam conftat, mechanicis quidem qualitatibus, aerem refpiratione corruptum dilatando pulmoni' aptiflimum efle , nee dubium quin machina , quae refpirationis funttio- nem imitatur (r), hanc aeque feliciter in hujufmodi aere exhibere poflit. 47. Quod fi in phyficos modo inqui ramus , quibus in- quinatus aer animalia fuffacet primo quidem occurrit immi- nuta, aut etiam fupprefla perfpiratio a fimilibus vaporibus , quibus aer jam refertus fit , ac faturatus , cum ejus elaftici- tas ab immiflis aliis animalibus infringi amplius non poflit (f ) Elem. phyf. torn. III. p. 258. 359. 160. (r) Vid. apud Haller. 1. c. p. 136. 237. i99 (24)5 & ex ca fane cauffa fieri videtur ut ho mine; , qui ex puro in infeclum acrem, etiam frigidiorem fe transfer- runt, fenfu caloris corripiantur , qui faciem imprimis inva- dit (/) : verumtamen adeo neceiTaria non videtur perfpira- tio , ut animalia, hac etiam fupprelTa, brevi adeo debeant furFocari ( 1 ) , & aliae evacuationes ejus defeftum ad tern- pus faltem poiTent compenfare , & demum in acre admo- dum denfo, in quo perfpiratio tantopere imminuitur , ani- malia commode vivunt (20). 48. Alia vero , quae fele offert phyfica caufTa eft nervofi fyftematis a deleteriis in aere congeftis vaporibus irritatio, ac perturbatio , unde bronchia , & pulmones contrahantur , & aeri expanfuro negent cedere. Hujufmodi vim fulphu- reis vaporibus Boerhaavius tribuit (r) , & CI. Sovasius mephitico cuidam vapori etiam adfcribit («), etfi odore , & fapore deftituatur (x): eo igitur verofirnilius tribui poffe videtur vaporibus, quibus refpiratus aer inficitur , quique, Cl. Laghio notante , foetent adeo, ut ftomachum moveant (y ) ; & refpirationis quidem viciftitudines , quae interclufis in aere animalibus contingunt, conje&urae favere maxime videntur : principio enim , quando aer vaporibus foedari in- cipit, refpiratio paullarim frequens, ac parva evadit, quod vix infpiratus aer moleftia fua ad expirationem ftatim fol- licitet; deinde vero, pluribus colleftis vaporibus, ex brevi, & parva in brevem , magnamque mutatur ( f ) , & in aere vaporibus jam foedato hujufmodi refpiratione animalia fta- tim afficiuntur (1), quod fignificare videtur, aere m ilium non folum moleftum efle , fed etiam bronchia vi fua irri- tante conftringere ; ita ut eidem ingrefluro magis refiftant, unde WS DuHAMEL I. C. p. 28. 29. Di morb. nervor. p. 259. k) L. c. §. 148. eaque fententia Cl. HalleRO placuit 1. c. p. 254. n. e. x ) Id. 1. c. §. 144. (y\ L. c. p. 82. 83 ({) Lag* LaGHI 1. C. p. 8l. VZRATTJ 1. C. p. 169. C c i wide anxtetas nafcatur , quam laboriofa , ac magna itifpira* tione animal fuperare conetur: quoniam vero effe£tus idem ell , live vis aeris in pulmonem irruentis imminuatur , five refiftentia pulmonis adaugeatur, inde forte faftum eft , ut imminuta aeris elaftica preflio a multis accufaretur ; aft non imminutae preflioni aeris , fed auftae pulmonis reGftentiae hanc refpiracionis Iaefionem tribuendam effe turn fuperius difla (45. 46.) fuadent, turn conflrmant Halesii, & Bov- LEI experimenta : hie enim cum aerem corruptum , in quo animal laborabat , condenfaret , nihil levatum fuifle obfervavit (z). 50. Vi- (^) Mussch. in Ciment.-p. 59. (A) Notantc Ccl. HalLe.ro 1 c. p. 108. J09. Profefto Halesius ( append, exp. 6. pag. 371.) perfocationis fenfum percepit , quando in recipiens, ex quo aeiem refpirabat, 18 pollices aquae penetraverant : recipientis veto diameter erat 9 pol. , adeoque altitudo ejus aquae fupra libellam 3. lin. circiter elTe debuit ; nine piviTio elaftica refpirati aeris tantum- dem; hoc eft 3. lin. aquae , aut — lin. rnercurii imminuta tantum erat. ( i) Vid. Encyclop. or lie. gas. ( k ) Hoc argumento Hallsius indu&us eft ut crederet , artificialem aerem neunquam noccre ob elafticitatis defectum I. e. p. 370. 371. ( /) Vid HaIxer. 1. c. pag. 113. n. h. (•n) Vacuum torricellianum aviculas— interimit (Cimentin. p. 49. 50.) ai'r ex pafta - (Boyl. conf. II. art. V. exp. 5.) turn ex uvis ad folem exficcatis ( Ibid. exp. 10.) (n) De ranis ib. exp. 7. p. 371., de cochleis exp. 6. p. 3*7- 201 50. Videtur urique refpiratus aer ea in re a mephmco difcrepare, quod convuliiones nullas producat (o) , quas tamen nullas obfervari verofimilius eft , quod pedetentim ha- iitibus aer (aturetur, ficque interclufa animalia vel iifdem paullatim affuefcant , vel paullatim debilitata , aut ftupefa- vfb minus ab iifdem afficianttir : etenim in aerem ab aliis animalibus jam infe&uin immifla animalia gravibus convul- fionibus rorqueri obfervavimus (i) , & in acre rariori , qui citius inficitur, ex convulfionibus inteciifte (13) (p), cz de- inum in nativo etiam , puroque aere interclufa animalia ex convuHionibus peniiTe vidi , quando recipiens adeo angu- ftjm erat , ut cito foedatus aer eadem promte fuffocaret {q). 51. Quum igitur nocua aeris vis ab admixtis vaporibus proveniat , minim non eft acrem corruptum direftione qua- vis agitatum , aeque tamen nocere (r), imo vero cum va- pores tenaciter plerumque aeri adhaereant (2.3. & kq.)9t inde eft ut percolatione per liquida varia aer hujufmodi ha&enus depurari non potuerit (/) : frigore potius vehe-' menti vapores cogente corrigi potuit ( t ). Equidem fi pe- culiaris vaporum natura perfpefta eflet forte , aut liquores hujufmodi reperiri poffent, qui vapores nocuos abforberenr, reti- re 0) Cl. Laghi I. c. p. 88. {P ) Qliae convulfiones non confundendae cum iis , qnibus principio animal corripiebatur ex repentina mutatione denfitatis aeris , quaeque paullo poll fedabantur. Vid. §. 13. not. c. (^) In anguilo recipiente nativo aere plc-no interdufes cuniculos intra dimi- midiam horam graviffimis convulfionibus correptos intcrii(Te vidi. Bot- leus etiam murem obfervavit in recipiente nativo acre pleno , (Vd adeo angufto, ut 14' tantum vixerit , ex convulfionibu* periiHe. cont. II. art. IV. cxp. 6. (r) Flamtna in interclufo acre extinguitur , quacumque dircflione agitetur (torn, praec. §. II.), & accenfae ptunae licet interdufus aer tapidifli- mo motu adverfus illas infuffletur ( Shaw Uftn de chym. Uc. i. txp. %■ ) & animalia (Tabor exerc. medic, p. 173.) (/) Tom. praec. §. 15. (t) lb. §. 39. Vel ipl'e fpiritus Talis ammon. calce para t us ufque adeo vola- tilis frigore artificial ex nive , & nitri fpiritu in glacicm denfatur ^Ma»- tine diff. IV. art. VI p. 111, ) i03 retiuerentque , maxime fi aer infe&us per eofdem percola- retur; aut corpora alia invenirentur , quorum (alutares ha- Iitus vel nocuos vapores ab aiire lepararent , vel cum his coalefcentes , eofdem in mediam , minimeque noxiam naru- ratri converrerent , quae quidem haftenus occulta , penituf- que incomperta eflfe videntur(w). Scd alius fuppetit aerem depurandi modus , qui , etli in ufum revocari vix poflit non parum tamen facit ad confirmandum noxiam aeris vim va- ponbus effe adferibendam. Cum enim vapores minus quam aer elaftici fint , & acre rarefafcro minus quam ipfe di- latentur , femel autem ab eodem feparati , nonnifi lente , AC tarde cum ipfo iterum permifceanrur ( Differr. praec. §. ii. 13, ) , propterea alterrn , ac repetita rarefa&ione , ac condenfatione aer maxima ex parte vaporibus expurga- tur . Et hoc quidem artificio pafierculum in eodem aere alterne , 8c repetito ad dimidiurn rarefafto , ac ad nativam denfiratem reltituto per hor. 3. 50' vivum fervavi (v), cum in aeris immoti aequali quantitate par paflferculus h. 1. 11' interiilTet. Sed de pcculianbus quibufdam hujus experi- menti adjuncts , deque aliis aerem depurandi modis accu- ratiora alias me fpero prolaturum. (u) De Halesii experiments file taitari infiitutis dubitationes noflras propo- fuimus torn, pracc. §. 46. , quae eo ftrmiotes videntur , quod vapores nocui aquofi non fint §. y). mm quod oleum tartari , aqua jam fatura- tum minotem quidem quam fal tartari , aliquetn tamen efTeflum pto- duxerit ( cxp. 116.), qui nullus effe debuiflet , fi in bumidi abforptio- nc vis corrigcns poiita eflet: fimilitet in recipiente induto tela lanea olco tartan imbuta damnum acque perduraffe vidit , ic In nudo , etli -. recipientis a tela occuparctur (cxp. 1 17. p. 231.) verum Stabforptus aer — minor fignificare videtur flammam tantumdem minorem fuifle ( §. 12. 30.) ideo in anguftiori fpatio aeque perduraffe. (v) Scilicet pafferculus inclufirs erat phiala , cujus orificium flaccida ampla ve> Gca omurabatur : phiala veto ipfa Tub recipiente pncumalico pofitaerat, quemadmodum §. 19. Hujufmodi experimentum a Boyleo dim in alium hnem fuer.it tentatum , ut fcilicet decerneret num animalia rariori aeri afluefeere poffent ( nov. exp. pn.'um. tit. XIV. & in tranf n. 63. art. 1. eodem tit.), idque fibi alias repetendum propofucrat ( ib. in poft fcripto. ) FOELICIS FELICIS VALLE TAURINENSIS FLORULA CORSICAE E D I T A A CAROLO ALLIONO. OCripfi olltn * periijfe totam Mam fuppelleclilem herbarum , *-* quas in Jnfula Corjicae legit CI. VaLLE , & fafciculum maritimarum Stirpium , quas acquifieram , ad Savonae territo- rium pertinere . Certior faclus cum juerim hafte Jlirpes etiam in Infula Corjicae circa S. Fiorenzo ab eodem fuijfe colletlas , in Botanicorum commodum eas recenfeo, additis rariorum. icons & defcriptione. Achillea foliis lanceolatis obtufis acute (erraris . Linn. fyfl. p. »iz* Balfamira minor. Dod. pempt. 295. Agrostemma glabra, foliis lineari lanceolatis, petalis emar- ginatis coronatis. Linn. fyji. p. 1038. Lychnis foliis glabris calyce duriore. Bocc. fie. 27. Alisma foliis ovatis acutis, frudlibus obtufe trigonis. Linn. fyfl- ?• 993. Plantagar aquatica. Cam. epit. 164* Allium caule planifolio umbellifero, foliis inferioribus hir- futis , ftaminibus fubulatis. Linn. fyfl. p. 977. Moly anguftifolium umbellatum. Bauh. pin. 75. Alo- ? V. Rar. ped. fpec. pag. 43. *°5 Alopecurus panicula villofa oblonga folio involuto. Linn. fyfl-r- 8?1' . ,. , . „ , Gramen alopecurum minus , fpica longiore. Bauh. pin. 4. Andryala Ger. galloprov. p. 171. Sonchus villofus luteus major, & minor. Bauh. pin. 114. Anthyllis herbacea foliis quaterno pinnatis , floribus late- ralibus. Linn. fyft. p. 11 60. Trifohum halicacabum. Cam. hort. 171. t. 47. Anthyllis fruticofa foliis pinnatis aequalibus , floribus capi- tatis. Linn. fyjl. p. 1 1 60. Barba jovis pulchre lucens. Bauh. hifl. 1. p. 88y. Antirrhinum foliis ternis ovatis. Lin. fyjl. p. 1160. Linaria triphilla minor lutea. Bauh. pin. 212. Antirrhinum foliis haftatis alternis , caulibus procumbenti- bus , corollis calcaratis. Linn. fyjl. p. 1 1 1 o. Elatine folio acuminato in bafi auriculato , flore luteo. Bauh. pin. 153. Antirrhinum procumbens ramofum , foliis alternis ovatis acuminaris integerrimis, floribus candatis axillaribus. Mifc. Taurin. torn. \. p. 8 8. Hujus brevem defcriptionem dedimus 1. c, modo iconem exhi- bemus. Tab. I. Arenaria foliis fubulatis fubtus hifpidis. Linn, fyf.p. 1033. Arum acaule , foliis cordato-oblongis , fpatha inflexa , fpa- dice incurvo. Linn. fyjl. p. 1150. Arifarum latifolium majus. Bauh. pin. 196. Asphodelus caule nudo , foliis ftriftis fubulatis ftriatis. fub- fiftulofis. Linn. fyjl. p. 982. Afphodelus minor. Cluf. hifl. \. p. 197. Aster foliis lanceolatis integerrimis carnofis glabris , ramis inaequalibus , floribus corymbofis. Linn. fyjl. p. 11 16. Tripolium majus caeruleum. Bauh. pin. 167. Astragalus caulefcens procumbens , leguminibus fubulatis recurvatis glabris. Linn. fyjl. p. 1174. D d Secu- »o6 Securidaca lutea minor corniculis recurvis . Bauh. pin. 349- Astragalus caulefcens procumbens leguminibus capitatis cordatis acuris hirfutis complicatis. Linn. fyjl. p. 1174. Altragalus hifpanicus filiqua epiglottidi fimilis flore pur- pureo major. Herm. lugdb. r. 75. « BELLIS caule fubfoliofo. Linn. Jyjl. p. 1210. Bellis leucanthemum annuum Italicum. Mich. gen. p. 34. Briza fpiculis cordatis , flofculis feptendecim. Linn. fyjl. P- 875. .... Gramen tremulum maximum . Bauh. pin. 2. Scheuch. gram. 204. Bunias filiculis ovatis laevibus ancipitibus. Linn. fyjl. p. 1136. Eruca maritima iralica, filiqua haitae cufpidi fundi. Bauh. pin. 99. Bupleurum involucris univerfalibus nullis , foliis perfoliatis. Linn. fyjl. p. 953. Perfoliata vulgatiffima arvenfis. Bauh. pin. 277. BUTOMUS. Linn. fyjl. p. 1010. Juncus floridus major. Bauh. pin. 112. Calendula feminibus radii cymbiformibus echinatis , difci bicornibus. Linn. hort. cliff. 425. Caltha arvenfis. Bauh. pin. 275. Campanula caule dichotomo , foliis feflilibus utrinque den- tatis , floralibus oppofitis. Linn. fyfl. p. 295. Rapunculus minor foliis incifis. Bauh. pin. 92. Campanula foliis radicahbus reniformibus , caulinis lineari- bus. Linn. fyfl. p. 925. Campanula minor rotundifolia vulgaris. Bauh. pin. 93. Cardamine foliis pinnatis , axillis ftoloniferis . Linn. fyfl. p. nil. Naiturtium aquaticum majus , & amarum. Bauh. 3. pin. 104. Cata- 107 Catananche fquamis calycinis inferioribus ovatis. Linn. Jyfl. p. 1 1 97. Chondrilla caerulea , cyani capitulo. Bauh. pin. 130. Centaurea calycibus fetaceo fpmofis , folks decurrentibus finuatis fpinofis. Linn. fyjl. p. 113Z. Carduus galactites. Bauh. hijl. 3. p. 54. CHRYSANTHEiMUM Chryfanthemum latifolium. Bauh. hijl. 3. p. 105. Tota planta leviter piloja ejl. Folia ample xicaulia cum auri' culis ; inferiora fpatulata , juperiora fere linearia , omnia bre- vibus , & acutis dentibus jimplicibus fecla. Squamae calycis membranaceae , ut in chryfanthemo fegetum , fed jub hirju- lae. Semiflofculi lutei longiores , & graciliores quam in chry- fanthemo fegetum, viginti circiter. Cistus arborefcens foliis linearibus feflilibus , utrinque pu- befcentibus tnnervis, alis nudis.: Linn. fyjl. p. 1077. Ciftus ladanifera monfpelienfium. Bauh. pin. 46 7. Cistus herbaceus exftipulatus , foliis oppofitis tnnerviis, ra- cemis ebra&eatis. Linn. fyfl. p. 1078. Helianthemum flore maculofo. Col. ecphr. z. p. 78. t. 77. Cistus arborefcens , foliis oblongis tomentofis incanis fefli- libus fupra enerviis. Linn. Jyfl. p. 1077. Cillus mas folio oblongo incano. Bauh. pin. 464. Cistus Chamaeciftus Iuteus torofo folio hifpanicus. Birrel. ic. 436. Cistus frutefcens foliis ovatis petiolatis utrinque hirfutis , alis nudis. Linn. Jyfl. p. 1077. Ciilus foemina folio falviae. Bauh. pin. 464. Cistus fuffruticofus ftipulatus, ereftus, foliis oblongo ovatis, acuminatis, fubtus fubincanis, minime ciliatis. V. Tab. II. Plurimum accedit ad Helianthemum vulgare flore luteo C. B. a quo diflinguitur foliis ex ovato jenfim acuminatis, nee ellipticis , oh [cure virentibus , breviffime pilofis , nuliis ciliatis. Caules duri lignoji , jubrubentcs , rotundi , fubin~ Ddd z canu »o8 cani , & aliquantulum pilojl funt in hoc cifli fpecie. Clypeola perennis filiculis bilocularibus ovatis difpermis. Linn. fyjl. p. 1130. Thlapfi narbonenfe centunculi angufto folio. Tabern. ic. 461. CNEORUM. Linn. fyjl. p. 867. Chamaelea tricoccos. Bauh pin. 462. Convolvulus foliis palmatis cordatis fericets, lobis repan- dis, pedunculis bifloris. Linn. fyjl. p. 922. Convolvulus argenteus folio althaeae. Bauh. pin. 295. Convolvulus foliis linearibus acutis , caule ramofo fubdi- chotomo, calycibus mucronatis pilofis. Linn, fyfi. p. 923. Convolvulus linariae folio. Bauh. pin. 295. Convolvulus foliis reniformibus , pedunculis unifloris. Linn. fyfi- ?• 9M- Soldanella maritima minor. Bauh. pin. 295. Coris. Linn. fyjl. p. 931. Coris caerulea maritima. Bauh. pin. 180. Cynosurus paniculae fpiculis fterilibus pendulis rernatis , floribus ariftatis. Linn. fyjl. 836. Gramen barcinonenfe panicula denfa aurea. Tournef. infl. 5*3- Cytisus floribus fubfeflilibus , pedunculatifque , foliis condu- plicatis tomentofis , caulibus fruticofis . Linn. fyfi. pag. 1 167. Trifolium argenteum, floribus luteis. Bauh. hifi. r.p. 359. Echium caule fimplici erefto, foliis caulinis lanceolatis hif- fpidis , floribus fpicatis lateralibus. Linn. fyfi. p. 916. Echium vulgare. Bauh. pin. 254. Echium calycibus fruftefcentibus diftantibus, caule procum- bente. Linn. fyjl. p. 916. Echium creticum latifolium rubrum. Bauh. pin. 154. Euphorbia umbella multifida : dichotoma , involucellis fub- cordatis : primariis triphyllis , caule arboreo. Linn. fyfi. p. 1050. Tithy- 20J Tithymalus dendroides. Cam. epic. 965. Euphorbia umbella quinquefida : trifida , dichotoraa , invo* lucellis diphyllis reniformibus , foliis amplexicaulibus, cor- datis ferratis. Linn. fyfi. p. 1049. Tithymalus characias , folio ferrato. Bauh. pin. 290. Euphorbia umbella quinquefida , trifida , bifida , involucellis ovatis , petalis integris , fol. lanceolatis fubpilofis apice ferrulatis. Linn. Jyjl. p. 1049. Tithymalus paluftris villofus mollior ere&us. Ban. rar. 41. r. 8 8 j. Euphorbia dichotoma ; fol. integerrimis femicordatis , flori- bus folitariis axillaribus , caul, procumbentibus. Linn.fyjl. p. 1 048. Peplis maritima folio obtufo. Bauh. pin. 293. Euphorbia umbella trifida : dichotoma , involucellis lanceo- latis , foliis linearibus. Linn. Jyjl. p. 1048. Tithymalus S. Efula exigua. Bauh. pin. 291. Euphorbia umbella fubquinquefida fimplici , involucellis ova- tis : primariis triphyllis, foliis oblongis integerrimis, caulc fruticofo. Linn. Jyfl. p. 1048. Tithymalus maririmus fpinofus. Bauh. pin. 291. Euphorbia umbella trifida : dichotoma , involucellis ovatis , fol. integerrimis obovatis petiolatis. Linn. fyji. p. 1048. Peplus S. Efula rotunda. Bauh. pin. 291. Euphorbia umbella fubo&ifida: bifida, involucellis fubova- tis , fol. fpathulatis patentibus camofis mucronatis margi- ne f cabris. Linn. Jyjl. p. 1050. Tithymalus myrfinites legitimus. Cluf. hijl. 2. p. 189. Euphorbia umbella quadrifida : bifida , foliis cuneiformi-li- nearibus tridentatis. V. Tab. 111. Procumbere videtur haee Euphorbiae /pedes, quae ex radi- (e alba fimplici tortuofa varios Jundit cauliculos femipalma-' res. Folia glabra habet feffilia Jublinearia in Jine ampliora , & tridentata. Umbella quadrifida. Involucri univerjdis folia. quatuor 2 IO quatuor ex cordato amplirri principio , delnde linearia apice tridentato. Umbellula bifida. InvoluceUa diphilla folds am- plioribus. Fruclus glabri. Euphorbia umbella quinquefida : dichotoma involucellis cordatis acutis , foliis lineari-lanceolatis , ramis flonferis . Linn. hift. p. 1049. Tithymalus annuus lunato flore linariae folio longiore. Mor. ox. 1 1 1. p. 3 39. Euphrasia foliis dentato-palmatis ,floribus fubcapitatis. Linn. fyft. p.itoj. Euphralia tertia latifolia pratenfis. Col. ecphr. 100. t. 202, Filago floribus feffilibus rerminalibus , foliis floralibus ma- joribus. Linn. fyjl. p. 1135. Gnaphalium rofeum hortenfe. Bauh. pin. 263. Franchenia foliis obovatis rerufis fubtus pulveratis . Linn, fyft. p. 989. Frankenia maririma quadri folia fupina , chamaefyces fo- lio , & facie. Mich. gen. 2 3 . Fumaria pericarpiis monolpermis racemofis , caule diffufo. Linn. fyft. p . 1 1 5 3 . Fumana officinarum , 8c diofcoridis. Bauh. pin. 143. Galium foliis verticillatis lineari-fetaceis , pedunculis folio longioribus , Linn. fyft. 892. Galium nigropurpureum montanum tenui folium. Col. ecphr. 1. p. 298. Caleopsis internodiis caulinis aequalibus : verricillis omni- bus remotis. Linn. fyft. p. 1100. Sideritis arvenfis angtiftifolia rubra. Bauh. pin. 233. Gentiana corollis o£fofidis , foliis perfoliatis. Linn, fyfti p. 952. Centaurium lureum perfoliatum. Bauh. pin. 278. Geranium pedunculis multifloris calycibus pentaphyllis, flo- ribus pentandris , foliis cordatis fublobatis , Linn. fyft. p. 1143. Gera- 4 i 4 Geranium folio althaeae. Bauh. pin. 3 1 8. Geranium pedunculis multifloris , calycibus pentaphyllis , floribus pentandris , foliis remans lobatis . Linn, fyfl. p. Geranium acu longiflima. Bauh. pin. 3 1 9. Globularia caule fruticofo , foliis lanceolatis tridentatis, integrifque. Linn. p. 8 88. Alypum monfpelienfium , s. Frutex cerribilis. Bauh. hifl. 1. p. 598. Globularia caule herbaceo , foliis radicalibus tridentatis . caulinis lanceolatis. Linn. fyfl. p. 888. Bellis caerulea, caule foliofo. Bauh. pin. 262. Gnaphalium foliis linearibus , caule fruticofo ramofo , co- rymbo compofito. Linn. fyft. p. 12 10. Elichryfum s. Staechas citrina anguftifolia. Bauh. pin. 264. Gnaphalium caule erefto dichotomo , floribus pyramidatis axillaribus. Linn. fp. pi. 857. Gnaphalium minimum alterum noftras ftoecliadis citrinae foliis tenuiffimis. Pluk. aim. 172. t. 298. f. 2. Gnaphalium caule fimplicifTnno foliis amplexicaulibus lan- ceolatis denticulatis, corymbo compofito terminalj. Mifc. Taurin. torn. 1. p. 95. cum defcript. Hujus iconem exhibit Tab. IV. Hippocrepis leguminibus feffilibus fblitariis . Linn. fyfl. p. 1 169. Ferrum equinum filiqua fingulari. Bauh. pin. 349. Hyoscyamus foliis petiolatis , floribus feffllibus. Linn. fyfl. p. 932. Hyofcyamus albus major. Bauh. pin. 169. Hyoseris fruftibus fubglobofis glabris , caule ramofo. Linn*. fyfl. p. 1 1 96. • Hedypnois annua. Tournef. infl. 478. Hyoseris fcapis unifloris nudis , foliis glabris lyrato-ha- ftatis angulatis. Linn. fyfl. p. 1196. Dens J.I1 Dens leonis minor foliis radians. Bauh. pin. \xy. Illecebrum floribus bra&eis nitidis obvallatis , caulibus pro cumbentibus , fol. laevibus. Linn. fyjl. p. 943. Paronychia hifpanica. Cluf. hijl. 2. 183. Inula foliis dentatis hirfutis ; radicalibus ovatis , caulinis lanceolatis amplexicaulibus , caule paucifloro. Linn. fyjl. p. ii 18. Afteris altera fpecies apula. Cot. ecphr. 1. p. 1 5 1 . t. 2 5 j. Inula foliis oblongis integris hirfutis caule pilofo corym- bofo floribus confertis. Linn. fyjl. p. 1 a 1 8'. Conyza 3. auftriaca. Cluf. hi ft. xx. Lagurus fpica ovata ariftata. Linn. fyjl. p. 878'. Gramen fpicatum tomentofura longiffimis ariftis donatunr. T. Scheuch. gram. 58. Lapsana calycibus fru&us undique patentibus , radiis fiibtK latis , foliis lanceolatis indivifis. Linn. fyft. p. 1197. Hieracium filiqua falcata. Bauh. pin. 118. Lathyrus pedunculis unifloris cirrho rerminatis , cirrhis* diphyllis : foliohs linearibus. Linn. fyft. p. 1 1 64. Lathyrus anguftiffimo folio , femine angulofo . Tournef. inft. 395. Lathyrus pedunculis unifloris , cirrhis aphyllis , ftipulis fa- gittato-cordatis. Linn. fyft. p. 1 1 64. Victa lutea, foliis convolvuli minoris. Bauh. pin. 345. Lavandula foliis lanceolato-linearibus , fpica comofa. Linn* fyft. p. 1097. Staechas brevioribus ligulis. Cluf. hift. 1. p. 344. Lavatera caule arboreo , foliis feptemangularibus tomen- tofis plicatis , pedunculis confertis unifloris axillaribus. Linn. fyft. p. 1 1 47. Mdlva arborefcens. Doi. pempt. 653. Lepidium foliis lanceolatis amplexicaulibus dentatis . Linn, fyft. p. 11 27. Draba 215 Draba umbeliata, five draba major capitulis donata. Bauh. pin. 109. Linum calycibus fubulatis , foliis lanceolatis ftri&is, mucro- , natis , raargine fcabris. Linn. fyfl. p. 968. PafTerina lobelii. Bauh. hifl. 3. p. 454. Lotus leguminibus fubquinatis , arcuatis compre/fis , cauli- bus dirFufis. Linn. fyfl. p. 1179. Lotus peculiaris filiquofa. Cam. hott. 91. t. if. Lotus capitulis apbyllis, toliis feffilibus quinatis. Linn. fyfl. p. 1179. , Dorycnium monfpelienfium. Lob. ic. 51. Lotus capitulis dimidiatis , caule ditfufo ramoiiffimo , foliis . tomentofis. Linn. fyfl. p. 11 79. Lotus liliquofa maritima lutea cytiu" facie. Barrel, ic. 1 o 3 1 . Lysimachia calycibus corollam fuperantibus , caule ere&o . ramoliffimo. Linn. fyfl. p. 919. Linum minimum ftellatum. Bauh. pin. 214. Lythrum foliis alternis linearibus , floribus hexandris. Linn. fyfl. p. 1047. Sahcaria hylTopi folio latiore. Hall. jen. 147. t. a. f. 3. Medicagd pedunculis racemolis, leguminibus cochleatis fpi- nofis, caule procumbente tomentolb. Linn. fyfl. p, 1180.: Medica marina. Cluf. hifl. p. 243. Medicagd leguminibus reniformibus , margine dentatis , fo- liis pinnatis. Linn. fyfl. p. 1180. Loto affinis filiquis hirfutis circinnatis. Bauh. pin. 333. Medica pedunculis multifloris , leguminibus cochleatis fpi- nulis hamatis , ltipulis integris. G:r. Galloprov. p. 518. Medica echinata hirfuta. Bauh. hifl. p. 386. Menyanthes foliis cordatis integerrimis , corollis ciliatis. Linn. fyfl. p. 918. Nymphaea lutea minor r flore fimbriato. Bauh. pin. 1 94. Myosotis feminibus nudis , foliis bifpidis , racemis folioiis. Linn. fyfl. p. 9,3. E e Echium 114 Echium luteum minimum. Bauh. pin. 155. Ononis pedunculis unifloris filo fubterminatis , foliis terna- tis ftipulis dentatis , Linn. fyfi. p. 1160. Anonis pufilla villofa , & vifcofa [purpurafcente flore. Tourn. infl. 408. Orchis rad. fubrotundis , galea longiffime roftrata , labello vomerem referente Hall. orch. n. 6. Orchis macrophilla. Col. ecphr. p. 311. Orchis radicibus fubrotundis labello holofericeo emarginatoj medio proceffu breviffimo Hall. orch. n. 5. Orchis fucum referens major foliis fuperioribus candidis, & purpurafcentibus. Bauh. pin. 83. Ornithopus foliis ternatis fubfefiilibus , impari maximo. Linn. fyfl. p. 11 68. Scorpioides poftulacae folio. Bauh. pin. 287. Ornithopus foliis pinnatis , leguminibus fubarcuatis , Zinn» fyfl. p. 1 1 68. Ornithopodium minus. Bauh. pin. 350. Othonna foliis pinnatifidis tomentofis , laciniis finuatis 7 caule fruticofo. Linn. fyfl. p. 1135, Jacoboea maritima. Bauh. pin. 131. Pap aver capfulis fubglobofis torofis hifpidis , caule foliofo multifloro. Linn. fyfl. p. loji. Argemone capirulo breviore. Bauh. pin. 171. Passerina foliis carnofis extus glabris , caulibus tomentofis. Lynn. fyfl. p. 1004. Thymelaea tomentofa , foliis fedi minoris. Bauh. pin. 463-. Phillyrea foliis lanceolatis inregerrimis. Lin. hort. Cliff. Phillyrea anguftifolia. Bauh. pin. 476. Pistacia foliis abrupte pinnatis : foliolis lanceolatis . Linn. fyfl. p. 119°- Lentifcus vulgaris. Bauh. pin. 399. Pistacia foliis impari-pinnatis: foliolis ovatolanceolatis. Linn. fyft. p. 1x90. Tere- Terebinthus vulgaris. Bauh. pin. 400. Plantago fol. linearibus dentatis , fcapo tereti . Linn. fyfl. p. 896. Coronopus fylveftris hirfutior. Bauh. pin. 190. Plantago caule ramofo fuftruticofo , foliis integerrimis , fpicis aphyllis. Linn. fyfl. p. 896. Pfyllium majus ere&um. Bauh. pin. 191. Plantago foliis Ianceolatis flexuofis villous , fpica cylin- drica erefta , fcapo tereti foliis longiore . Linn. fyjl. Holofteum hirfutum albicans majus. Bauh. pin. 190. Polygala floribus criftatis racemofis , cauhbus herbaceis fimplicibus procumbentibus , fol. lineari Ianceolatis. Linn. fyfl- P- "54; Polygala major. Bauh. pin. 215. Rhamnus inermis floribus divifis ftigmate triplici. Linn. fyfl. P- 937- Phylica elatior. Bauh. pin. 477. Rubia foliis fenis. Linn. fyfl. p. 895. Rubia fylveftris afpera. Bauh. pin. 33. Rumex floribus hermaphroditis : valvulis dentatis nudis,pe- dicellis planis reflexis. Linn. fyfl. p. 990. Acetofa ocymi folio, bucephalophoros. Col. ecphr. l.p. 1 j 1. t. 150. Sagittaria foliis fegittatis acutis. Linn. fyfl. p. 1170. Sagitta aquatica minor latifolia. Bauh. pin. 194. Salvia fol. fmuato-ferratis , corollis calyce anguftioribus . Linn. fyfl. p. 854. Horminum verbenacae laciniis anguftifolium. Triumf. obf. 66. t. 66. Scirpus culmo tereti nudo , fpica fubovata imbricata. Linn. fyfl. p. 867. Scirpus equifeti capitulo majore. T. Scheuch{. gram. 360. Eei Scor- n6 Scorpiurus pedunculis fubquadrifloris , lcguminlbus extfOr- ilim ipinis contertis acutis. Linn. fyjl. p. 1169. Scorpioides buplcuri folio , corniculis afperis magis in fe ^contortis, & convolutis. Morif. hi/I. 2. p. 127./ z.t. 11. / //. Scorzonera foliis linearibus dentatis acutis , caule ereclo. Linn. fyjl. p. 1 1 9 1 . Scorzonera foliis laciniatis. Tournef. injl. 477. Scrophularia foliis cordatis : fuperioribus alternis , pedun- culis axillaribus bifloris. Linn. fyfl. p. 11 13. Scrophularia peregrina. Cam. hort. 157. t. 43. Scrophularia foliis cordatis , pedunculis axillaribus folita- . riis dichotomis. Linn. fyfl. p. 1 1 1 4. Scrophularia flore luteo. Bauh. pin. 236. Sherardia foliis omnibus verricillatis , floribus terminali- bus. Linn. fyji. p. 590. Rubeola arvenfis repens caerulea. Bauh. pin. 334. Sidlritis herbacea decumbens , calycibus fpinofis : labio fuperiore indivifo. Linn. fyfl. p. 1098. Sideritis genus verricillis fpinoiis. Bauh. pin. hi fl. $.p. 428. Silene calycibus fru&iferis pendulis inflatis angulis decern fcabris. Linn. fyfl. p. 1032. Vifcago hirfuta ficula , lychnidis aquaticae facie fupina. Dill. elth. 421. t. 312. f. 404. Silene hirfuta, petalis emarginatis , flor. ereftis , fruftibus' reflcxis pedunculatis alternis. Linn. fyfl. p. 103 1. Vifcago ceraftii foliis , vafculis pendulis anglica . Dill. elth. 417. t. 309. j. 398. Sisymbrium filiquis axillaribus feflilibus fubulatis aggregatis, fol. repando-dentatis. Linu. fyfl. p. 1132. Eryfimum polyceratium s. corniculatum. Bauh. pin. 101. Smilax caule aculeato angdato , foliis dentato-aculeatis, cor- datis novemnerviis. Linn. fyfl. p. 1292. Smilax afpera fru&u rubente. Bauh. pin. 296. Son- SON'CHUS foliis omnibus integris denticulato fpinofis , rami's unifloris , femiflofculis quinquedentatis. Enum. nic. />. 85. Sonchus pedunculo nudo , folds lanceolam amplexicauli- bus indiviiis , rerrort'um argute dcntatis. Linn. fyft. pag4 1 191. ? Spartium foliis ternatis , rami's angulatis CpinoGs.Idnn.Jyft. p. 1156.^ Acacia trirolia. Biuh. pin. 392. Stachis ramis ramofifiimis , foliis lanceolatis glabris . Linn. fyft. p. 1 1 1 o. Sideritis vifcofa cretica bitumen redolens. Zan. hift. 1 3 6. Statice caule nudo paniculato , foliis fpathulatis retufis. Linn. fyft. p. 967. Limonium maritimum minus , foliis cordatis. Bauh. pin. 1 92. Tamus foliis cordatis indivifis. Linn. fyft. p. 1292. Bryonia fylveftris baccirera. Bauh. prodr. 135. Teucrium folds fubtrifcupidatis linearibus , floribus feflilibus. Linn. fyft. p. 1094. Chamaepitys mofchata foliis ferratis. Bauh. pin. 249. Thlaspi filiculis fubrotundis , foliis amplexicauhbus cordatis fubferratis. Linn. fyft. p. 11 28. Thlalpi arvenfe perfoliatum majus. Bauh. pin. 106. Tragopogon calycibus corolla brevioribus inermibus , foliis lyrato fmuatis. Linn, fyft. p. 1191. Chondrilla foliis cichorei tomentofis. Bauh. pin. 130. Tragopogon calycibus corolla radio longioribus , foliis in- tegris nudis , pedunc. fuperne incralTatis. Linn. fyft. pag, 1 1 91. Tragopogon purpuro-caeruleum , porri folio , quod Artefi vulgo. Bauh. pin. 274. Trap A. Linn. fyft. p. 898. Tribulus aquaticus. Bauh. pin. 194. Tri- n8 Trifolium fpicis fubovatis, calycibus inflatis , dorfo gibbis, caulibus proftratis. Linn. fyfl. p. 1178. Trifolium pratenfe folliculatum. Bauh. pin. 329. TrifoiIum fpicis villofis ovalibus , dentibus calycinis feta- ceis aequalibus. Linn. fyjl. p. 1177. Trifolium arvenfe humile fpicatum s. Lagopus. Bauh, pin. 328. Trifolium fpicis villofis conico-oblongis , dentibus calyci- nis fetaceis fubaequalibus , foliolis linearibus . Linn. fyft. n. 1177. . Trifolium montanum anguftiffimum fpicatum. Bauh. pin. 318. Valeriana floribus monandris , foliis pinnatifidis. Linn. fyfl. p. 860. Valeriana foliis calcitrapae. Bauh. pin. 164. Veronica racemis lateralibus , fol. ovatis rugofis dentatis feffilibus, caule debili. Gerar. p. 314. Linn. fyfl. p. 849. Chamaedrys fpuria minor rotundifolia. Bauh. pin. 149. Veronica , floribus folitariis , fol. cordatis incifis pedunculo longioribus. Linn. fyjl. p. 849. Aliine veronicae foliis , flofculis cauliculis adhaerentibus. Bauh. pin. 250. Vicia leguminibus feffilibus reflexis pilofis pentafpermis , corollae vexillis villofis. Linn. fyjl. p. 11 66. Vicia filiquis feffilibus ereftis foliis imis ovatis , fuperiori- bus Lnearibus. Hall. helv. p. 598. Vicia anguftifolia. Riv. t. 55. Urtica foliis oppofitis ovatis ferratis , amentis fruftiferis globofis. Linn. fyfl. p. 1265. Urtica urens pilulas ferens. Bauh, pin. 231. ADDI- I ADDITION A U X REFLEXIONS Sur le Fluidc Elaflique PAR M. DE SALUCE. L m'eft tombe entre les mains un livre , qui a pour titre VArtillerle raifonnee , apres que raon memoire a ete imprime , & fy ai trouve quelques propofitions, qui font entierement oppofees a ce que j'ai avance , & qui en meme-tems ne me femblent pas appuyees ni a une theorie fort-eclairee , ni a des experiences fort-exa£tes : je ne rap- porterai que les plus frappantes de celles que j'ai deja parcouru . i. La premiere (pag. 86.) porte en fubftance , qu'en parvenant a difpofer le canal de la lumiere de maniere que le feu prenne au centre de la charge , il en refulte des petites differences dans les portees ; je ne lui contefte- rai pas le fait, lorfque la charge fera proportionnee al'ar- me ; mai je dirai feulement en paflant , que comme on rdiiflrc a accelerer par la l'inflammation totale de la pou- dre , on peut auffi augmenter la charge , c'eit enfuite a 1' ex- perience a juger fi l'avantage , qui refulte ainfi d'un plus grand effort, n'eft point balance par bien d'autres inconve- niens , & entr' autres par ceux que nous avons indique {pag. 138.). z. La feconde propofition (pag. 91.) eft que l'objet des chambres , qu'on fait aux pieces de 24 ck de 16 , eft de diminuer i 'effort de la poudre fur la lumiere, ce qui eft ab- furde : car cet effort fe faifant par la diftribution unifor- me du fluide develop^ , la preflion eft egale dans tous les points : il fe ferait d'ailleurs exprime plus exa&ement dans la 120 la feconde raifon , qu'il apporte , favoir de la plus grande epaiffeur de Farme dans cet endroit , s'il avait dit , que l'effet en eft modifie. 3. La troifieme, qu'il parait deduire de l'experience (pig- 105.) ne me femble pas meriter d'etre refutee ferieufemeiuj je ne fairai que la rapporter dans Ton entier , & je prierai les Lecleurs de voir ce que j'ai dit a cet egard dans le Chap.c premier j Lon a trouvt, dit-il , que les pieces chargees fans kouchon fur la poudre portoient regulidrement plus loin , que celles quon tirait avec des bouchons refoules , favoir de fix ou huh coups fur la poudre , fuivant Vufage , & de fix fur le boulet &c. Nous oblerverons enfin , qu'il faut qu'il ait em- ploye de tres-petites quantites de poudre dans les pieces , dont il a fait ufage , & cela devient alors tres-naturel -T mais c'eft un des prejuges , dont on n'a pas encore pu fe defaire , & qui eft la fource de beaucoup de maximes equi- voques , & fouvent fauffes ; nous en avons un exemple dans la thiofie du jet des bombes , que les Auteurs modernes n'ont pas encore voulu abandonner, qnelqu' un d' entr eux s' efforcant meme de nous perfuader , qu' elle eft afses exacle , 6k que les differences , qui refultent dans la prati- que ne font d'aucune coniideration : generalement je crois r que les effais en petit dans ce qui regarde l'Artillerie font non feulement fuperflus y mais meme pernicieux y parceque nous ne connaiffons point les loix , fuivant lefquelles agiffent toutes les caufes , qui concourent dans un effet ; c'eft pour cela audi que tous les Problemes qui y ont raport fe re- duifent en parlant a la rigueur a des cas particuliers. 4. L'experience nous apprend , que de deux qualites de poudre il arrive fouvent , que dans les petites charges une a Favantage fur l'autre , & que non feulement elle ne le conferve plus dans les grandes ( a ) , mais que fa force en eft alors diminuee , & j'obferve , que c'eft celle , qui eft plus (a) Manuel de l'Artificicr. pag. 16. HI plus facile a s'enflammer , jufqu'a un certain point , qui a l'avantage dans les petites charges, 6k au contraire, que celle qui a moins d'inrlammabilite gagne dans lefervice en grand. Ne ferait-ce point , parceque dans les grandes charges le plus ou moins grand effort, depand entitlement de Tin- tenfite de la flamme dont la matiere eft fufceptible , au lieu que dans les petites charges il n'eft pas neceflaire , qu' elle foit ft grande , parceque elles font bien-tot detruites , & qu'elles font dans un moindre raport avec l'arme , pendant que le diametre de la lumiere femble en avoir un plus grand dans les petites , que dans les grandes armes ? y Je ne fais de meme pas concevoir ce qu'il pretend deduire par ce raifonnement ( pag. 141. a la fin ) : Le peu de longi/eur de Vame du canon fait aujfi que le boulet perd moins de fon mouvemcnt ," & quil eprouve une moindre refi- Jlance de la part de Pair qui soppofe a fa fortie. Cette rai- fon de la moindre refinance de la part de Vair ne me pa- rait pas conforme aux principes de phyfique, car la colon- ne d'air pefe & refifte egalement fur un cilindre, qu'il foit court ou long , puifqu' elle eft toujours en equilibre avec le refte de 1' Atmofphere. ERRATA, ET ADDENDA. Pag. 6. 1 n. 11. tranfvei fum legt ' rranfverfim 24 & ei 8. 7- Ammeniana Ammaniana 9- 9- 3- 18. calvci un calyce uiti den 1 1. J5- albidus dilute violaceus 1 z. 31- fulco 8c fulco M- 6. 18. feparat aliis fuperat alis 16. 14. autem dele autcm 18. 19. parum F ex i 19. ult. 2 11 Pag. 19. lin. ult. Ebra Ebrodunum 29. !■»■ »3- 3- *3- neutrum Jeman & 24. dele in M. neutra Alyffo M. Chetillon &c. ufqiK 33- 8. ad provenit forte fere 3 7- 39- 44- 23. 7- 17- recentiorem lutea recentiorum lutea funt dele ad caulem 45- 7- 14. ad caulem dele fynonimum CO lumnae amplexicaulibus Pag. 5 1. lin. 28. Lamium montanum&c, leg. Lamium gargani- cum fubinc. fl. purpurafc. cum labio fuperio- crenato D, Micheli apud TlLLI pif. 5*- 3- Cilnopodium leg. Clinopodium 53- 4- psyllium pfy Ilium n- 1 0. • « • • * 16 campanulatum 55- 6. triba triloba «« 18. phifalodes phyfalodes 6i. 27. • • • • • 17 Cardamine lunaria 63. 7- vifcofum vifcofa 64. 3- hirfutus hirfuta 19. fquarrofum incarnatum 65. 4- galloprovinciale caput galli 66. J7- biennis pimpinelloides 69. M- ferpilifolia ferpillifolia 70. 19. Monojlylae 1 . Monojlylae 7i- 7- Aquilegia filveftris Aquilegia filveftris* 8. Nigella damafce ia Nigella damafcena* 18. ulmaria ulmaria * 73- 1 1. Tetnmtherae Pentantheme 75- 24. fcalinus fecalinus Siirp es Stirpes praetermijfae fuis locis infereniae. 50. Veronica latifolia** Valeriana rubra * j 1. Port Thy mum Hyflbpus officinalis * Satureja Juliana * hortenfis * monrana * Ante Lamium Ocynum bafiliclim frutefcens yi. Melifla grand 1 flora * 53. Antirrhinum minus * Scrophularia vernalis * 5 4. V 'oft Ilice/n aqui 'folium Vitex agnus caftus 57. Ariftolochia piitolochia 59. Santolina annua 61. Eryfinum cheirantoides 6y. Lathyrus articulatus Robinia caragana Sium iiculum 66. Chaerefolium aromaticum 67. Malva hifpanica 68. Rhus vernix toxicodendron 70- Crataegus aria * Mefpilus cotoneafter * 71. Aquilegia alpina * 7 1 . Poll Ifopyrum Ranunculus ficaria * fceleratus * aconititolius * nivalis * bulbofus * repens * acris * arvenfls * afiaticus Pag. ai4 Pag. Pac 7»- Potentilla verna * rupeftris * fupina Potentilla folds ternatis hirfutts caule ereclo umbellijero. Hall. gott. p. 108. 7*- Geum montanum * 71- Poft Geum Drias < D^topetala * 74- Polygo num divaricatum * 75- Poft cyperum Scirpus paliiftris * 76. ] Doft rut am murariam Afplenium . . . lingua cervina fo~ His zoflae inn.ifcentibus T. 76. Polipodium cambricum 80. lin. 5. praecipuae leg. praecipue 82. 2$. erupuiffe erupiffe 2 5 . fpatium , exiguum fpatium exiguum 84. 14. quidquod quid quod 28. centefima centefimam 86. 19. tympanitide tympanite 91- 1 6. crufta in crufta quando in 92. 2 1 . ut praeterea ut propterea 144. pen. alkahci alkalicis 148. 7. baciJlo , fit bacillo fit , 162. 9- (*) (0 10. (/) <*>. 17. Vid. inf. not. g. "Vid. inf. not, q. pen. admi£ta admix ra 163. pen. refroit-elle refroUit-elle 180. 2 5 . tollerent tolerent 189. ult. elatetium elarerium «jy- 1 6. quando quomodo 29. aeri aere 198. 7. quae rarior aer quo rarior aer 205. 19. candatis candatis 210. 1. dele L E T T R^E DE M. EULER A M. DE LA GRANGE. T^\ Epuis ma dernicre lettre f ai reujjl a ramener au calcul "^"^ la propagation du Son , en fuppofant a t air toutes les trois dimensions , & quoique je ne dome pas que Vous ri y foyes parvenu plus heureufement , je ne crois pouvoir mieux temoigner mon attachement envers Kotre IUuJlre Socicte quen lui prefentant mes Recherckes fur ce mime fujet . RECHERCHES SUR LA PROPAGATION DES EBRANLEMENS DANS UNE MILIEU ELASTIQUE . EN confiderant le milieu dans 1' etat d' equilibre foit fa denfite = i , & fori elafticite balancee par le poid d' une colomne du meme fluide , dont la hauteur = h ; Je commence par confiderer un element quelconque du fluide qui dans 1' etat d' equilibre fe trouve au point Z {fig. i . ) determine* par les trois coordonnees perpendiculaires entr'elles AX = X, XY = Y ■& YZ = Z , & que par 1' agi- tation ce meme element ait ete tranfporte en £ , dont les coordonnees foient Ax = x , xy = y , yi? = {, qui feront certaines fon&ions des premieres Xy Y, Z pour un infant donne . Soit done dx = LdX -+- MdY -+- NdZ dy = PdX ■+- QdY h- RdZ d{ = SdX -+■ TdY + FdZ. Enfuite je confidere un volume infiniment petit de fluide , qui dans I'etat d' equilibre ait la figure piramidale Z£tj9 {fig- i . ) re&angulaire , qui par 1' agitation foit tranfporte en {X(izw, dont la figure fera auifi piramidale, & pofant pour 1' etat d' equilibre A du du point les coordonne'es Z X, Y, Z I x + *,r, z i X, Y+&,Z e x, r, z le volume de la piramide Z£fj9 fera as §r */3y. On aura enfuite pour l'^tat d' agitation du point les trois coordonnees {. Ax = x, xy =y, y{~ I •h . AL =x -4-L0 = LQ&XxN - I i?y X ^ 2 2 2 = - |8y (#<2 - MR). byln = I*iV(a.y-»--R>0-*- - LN ^y -h P*-h Ry) 2 2 - IxL (u 4-P*) = i Ry X xZ- I/7* X xN = I *y {LR - NPy C^ylm— LxM(%y-hQ(2)+ -ZM(iv + P* -4- QG) 2 2 - -xL (xy -+- P*) = - Q/3 X *Z - - P* X *M 2 2 2 = 1 «|3 (ZQ - MP). De-la nous tirons la folidite de notre piramide {X/t*v dans r etat d' agitation = --«(ZyS(NQ- MR ) - - *&yT (LR- NP) + - *$yV (ZQ - MP), & partant la dcnfite du milieu agite en ^ fera = i : (LQV — MPV -+■ MRS- NQS-i-NPT- LRT), & pofant n pour la hauteur de la colomne qui y balance Telafticite, nous aurons n = h : *f,!^ j, i, n d x + ^+0, {, U + A* + B& « *> jri ?-*-y» n ■*- ?? * .-a n . Ao. -4-B& -f- Cy De-la il eft clair, que confiderant les faces oppofees {city & bdfcl , les pre/lions fur celle-ci furpaffent les preffions fur Ad. celle-la de la quantite — - ; done V aire de ces faces erant (Zy , il en refulte une force fuivant la direction Ax = — - — —£ i de la meme maniere le parallelepipede fera poufle fuivant la direction xy par la force = — — ?— £ , & fui- vant la direction y j par la force = — Z? • Done la mafle 6' maiTe de ce parallelepipede etant _ -X. fi nous introduifons la hauteur g , par laquelle un corps grave tombe dans une fe- conde , en exprimant le tems ecoule t en fecondes , nous aurons pour la connoiflance du mouvement les trois equations fuivantes . Ces formules etant generates pour routes les agitations pof- fibles , je ne confidere ici que les cas oil ces agitations font quafi infiniment petites; pour cet effet je pofe x == -X"-f-_j>, y = Y -h q, & £ = Z -4- r , de forte que p , q , r font des quantity infiniment petites ; dela nous aurons dp — (Z - i ) dX h- MdY ■+■ NdZ-t dq = PdX -4- ( Q - i ) dY -+- £ + &> de /brte qu' outre les coordonnees X, Y, Z , avec le tems I i) 7 U ne rcfte dans le calcul que les lettres p , q , r, qui mar- quent le deplacement de chaque point. Car fubftituant ces valeurs, que nous venons de trouver, le raouvement caufe1 par une agitation quelconque mais fort petite, fera deter- mine1 par les trois equations fuivantes J_ tdJ±} _ tiil\ _». rill} n- (£dL} zgbK di% ' KdX>' KdXdY* KdXdz" ou bien pofant ( -£) •+■ ( -?) -*- ( t^ ) — w nous aurons dX d i dZ (— — ) = i^A ( — ), d'oii il eft aite de conclure ' i , ddu. , ddu . , , ddu. , ddu .. ,, , ., — r ( — — ) = ( ) -4- ( ) -f- ( ), d ou il faut determiner la nature de la fonftion u d<£terminee par les coordonn^es X, Y, Z, & le terns t. Dela il n' eft pas difficile de trouver une infinite" de fo- lutions particulieres, comme p = &(at ■+■ (ZX -+- yY •+■ IZ) r = 5?(«t + a+ yY -h IZ) pourvu que « = ^ igh (&& +■ yy -+- 58) ou j8, )/, & font des quantity queleonques , & q> marque une fon£tion quelconque. Done quelques valeurs qu'on prenne on aura toujours le cas d' un certain £branlem€nt , dont on pourra determiner la continuation . Mais pour notre deflein il s'agit de trouver un tel cas , ou 1' dbranlement initial aura ete renferme" dans un petit efpace , d'ou il s'eft repandu enfuite d tout fens. Soit 8 Soit done A le centre de l'agitation primitive & pofons p = Xs, q = Ys,r=Zs,8£s fera une fon£tion du rems c , & de la quantite V (XX -*- YY -h ZZ) = V qui marque la diftance du point A. Done puifque ds = dt ( — ) -+■ dV (j^) nousaurons ds = dt (-^) ■+■ fix+nr+ziz^^ & pui; (p X* ,dss .da Yl . ds . ,dr. -, + £<£>,*«« ~ eg) -m^-m^ ( — )i maintenant aiant (_)=_(_), ( — ) = — , notre premiere equation deviendra — ~ •J , dds ,. xX , ds N _ X , ds s _ v, dds. i , dds v <7?)==V Cay) -*: * [f)**^ ou^ (t?> = -£, ( -= ) -4- ( — f ) , a laquelle fe reduifent auffi les deux autres; & l'eloignement du point Z depuis le centre A fera Vs = ^ (XX -r- YY -4- ZZ) = V (pp •+- y? -t- rr) qui en marque le deplacement par rapport a 1' etat d'equili- bre , de forte que le rayon d'une couche fpherique , qui dans 1' etat d' cquilibre etoit sss Vt fera a prefent = V •4- V s .Done u* nous pofons Vs = k, ou s = — arm que u exprime le changement de cette couche , la parri- cule u fera determinee par cette equation i . ddu ^ —■ z u * .du ^ . ddu . ~zjb c 7? } W +^#)+(^]' Apres phifieurs recherches j' ai enfin trouve que cette equation ad met une refolution generale femblable au cas , oil Ton ne fuppofe a 1' air qu'une feule dimenfion . Que 9 pf marque une fon&ion quelconque de {■ , & qu'on indi- que ion differentiel de cette facon d •

'{. Cela pofe , on verra qu'on fatisrait a notre equation en fuppofant* Done pour le commencement de 1' agitation nous aurons A A cette equation u =~ I ait la meme propriete & encore celle-ci $''{, en fuppo- fant dtp i = dfQ'i, afin que non feulement la quantite a, mais auffi la vitefle ( — ) s'evanoiiifle au commencement dt par tout , excepte dans le petit efpace autour de A ou s'eft fait Pebranlement primitif. Que le caraftepe -\J/ marque des fon&ions difcontinues de la m£me nature, ck nous aurons la folution g^nerale qui fuit & pour la vitefle Dela il eft clair qu'une couche fpherique, dont le rayon s= V demeure en repos tant que la formule V»-tV (igh) B ne to ne devient afses petite , ou moindre que le ravon de la petite fpere ebranlee au commencement ; & partant T agitation primitive fera repandue a la diftance = V apres le terns t = . fecondes, d' oil il s' enfuit la meme viteffe du • (***) Son que Newton a trouve* , c'eft-a-dire plus petite que fe- lon les experiences. D'oii je conclus qu'aiant fuppofe dans ce calcul les ebranlemens infiniment petits , leur grandeur caufe une, propagation plus prompte . Enfuite ces formules nous apprennent que lorfque les di- ftances V font fort grandes, en forte que les termes divifes par V" s' evanoiiifTent a l'egard des autres divifes par V , tant les petits efpaces k, que les viteffes (y-) diminuent en raifon des diftancesj d' oil Ton peut juftement juger de 1' affoibliffement du Son par des grandes diftances. Voila mes Recherches que vous pourres inferer, MONSlEURj dans voire fecond Volume fi vous le jugis a propos , &c, I Berlin ce 1/ Janvier 1760. NOU- NOUVELLES RECHERCHES SUR LA NATURE ET LA PROPAGATION DU SON. PAR M. DE LA GRANGE. CHAPITRE PREMIER. Remarque s fur la Theorie de la propagation du Son, donnce par M. Newton. i. ^OiENT {fig- * plan, i.) E, F, G trois particules v3 d' air en repos , placees fur la droite B C a des di- ftances egales F une de 1' autre ; imaginons que ces parti- cules parviennent, dans un tems quelconquer, ens,

= les excurfions des parncules font fort petites par 1' hyp. ) E x >• — _T . Cette quantite eft la force qui fait mou- voir la partie du milieu .

z itant tefpace decrit par chacun ieux durant un terns quelconque t . Qu'on multiplie cette equation par Mdx, Mitznt une fon- ftion quelconque de x , & qu'on 1' integre en ne faifant varier que Vx; il eft clair, que ft dans cette integrate prife enforte quelle evanoiiiffe lorfque x = o , on fait x = a , on aura la fomme de toutes les valeurs particulieres de la formule ( OL ) Mdx = c ( A. ) Mdx , qui repondent a chaque point mobile du fifteme donne . Cette fomme fera ipticfA) Mdx=c fA) Mdx. «* J dx' ' Or 1' integrate / ( _I ) Mdx, ou la difference d*z ne ax *• depand que de la variable x , peut fe transformer par les regies connues en (i±) M - f (ii) x(^) dx; cette «* J dx dx derniere integrate fe change de raeme en z ( — ) — d1 M d1 - f { ( -7— ) ^* j de forte qu'on aura f ( —1 ) Afafx = (rf) ^-^Tj) *■/* (-7,->^J or puifque / ( -tt ) -M^* eft = o , lorfque at = o , ft on fuppofe que f { (-i~r) dx le foit aufll, il faudra que (-i)M— z ( -j — ) Evanoiiiffe de meme dans ce point ; mais par hi- poteTe 1' on a iei i = o , done il fuffira que V on ait ( j*- ) M = o , ou bien Af = o , lorfque x = • . Pai ia Par la notre Equation integrale deviendra f ( — I ) Mdx r,i7, „. ,dMs . , dlM : . Pofons x = a ; & puifque £ s' evanoiiit de nouveau par hi- potefe , faifons difparoitre de meme Fautre terme ( -I ) M ax par une valeur convenable de M. II ne reftera , apres cela , que la fimple equation f{dll)M Vck ' at ft ( s -+- jur), differentielle dont 1' integrate eft par les methodes connues , en ajoutant une conftante A, s -+- pr = Ae ' 'f*j fubftituant la valeur de p , on a, a caufe de l'ambiguite des fignes, les deux equations \/ck s - S- = Be —V«*. •«£ /? £tant une nouvelle conftante arbitraire. Pour determiner les valeurs de A & de B ', fuppofbns que s &c r deviennent S &c R y lorfque r = o , nous aurons R R S-i ; = A ; St S— — = = B t fubftituant ces valeurs, y ck v fk & joignant enfemble les deux Equations il nous vient s = S*e — +4rX 2 y/ c k * de meme, en retranchant Tune equation de 1' autre, on trouve r=/5x i ±1 -i-Si/ckx e 1 2 Z ces ces equations fe reduifent a la forme fuivante qui eft beaucoup plus fimple ; favoir R s = S cof. r/— ck — - -fin. tV — ck V — ek r= R cof. rV —ck -+■ RV—ck fin. tV — ch. Or s eft par fuppofition = foMdx , & r = — = /( -2 ) Mdxy ou bien , puifque -I exprirne la vitefle qui repond a 1' efpace { & au terns r , fi on denote cette vitefle par u , on a r = fuMdx. Pour avoir de meme les valeurs de ^ & de R , fuppofons que Z foit en general la valeur de £ , & K celle de u au commencement du mouvement, lorfque # = o , on aura S = fZ Mdx $c R = fVMdx^ fubfti- tuant ces valeurs on changera les equations precedentes en celles-ci flMdx = cof. rf-ck fZMdx - fin-^-f* /rMc B =— A; par confequent M = A (<•*** — «-,v/*). Changeons la conftante ^, & fuppofons la divifee par iv'-i, on aura plus fimplement M ~ A fin. xV — k. II faut maintenant faire enforte que M evanoiiifle , lor£ que x = a, d'ou Ton a A fin. oV— A = o, & prenant pour v un nombre quelconque entier pofitif , ou negarif, 14 a V — k = -— , ce qui nous apprendque v*— £peut avoir une infinite de valeurs differentes, qui rempliflent toutes ega- lement les conditions donn^es. Subftituons a prefent pour M fa valeur trouvee , & retenant pour plus de {implicit^ la quantite V — k , on aura apres avoir divife par A fl fin. x V -k dx = cof. t V - ckfZ {in. xV -kdx V—ck J futei.xV — k dx= cof. tV — ck fV&n. x V — kdx — V — citfin. t V — ckfZCm. x ^ —kdx Ces deux equations doivenr fe verifier pour toutes les valeurs qu'on peut donner aV-A, & c'eft, d'apres une telle con- dition, quil faut determiner les valeurs cherchees de { ck de u par celles de Z & V qui font fuppofees donnees. Pour cela il faut commencer par faire difparoitre au mo* iien de quelques transformations, la quantite V — k qui n'eft point renfermee dans des Jinus ou des cofinus ; ces transfor- mations ne confiftent qua prendre les integrates par parties comme nous 1' avons deja pratique plus haut ; enforte que 1' integrate qui refte fe trouve naturellement multiplied , ou divifee par V — k . Par ce moien on transformera d' abord 1'exprefTion fV 'fin. x V —k dx dans celle-ci = fin. x V — k fP^dx — y/ — k f( cof. x V — k fVdx) dx. Je remarque maintenant que la valeur de fin. xV — k devient nulle dans les deux cas de x = o, & de x = c, d' oil il fuit , que puifque les formules integrates que nous ma- nions ici , doivent etre prifes pour toute V etendue de x depuis o , jufque a a , on aura plus {implement /Tfin. x • - A: dx = - V - k f ( cof. x V- k [Kdx ) dx . Par une operation contraire on trouvera enfuite r y r / l j %• c°f- xV — k I r . dZ f Z fin. xv -kdx as — T j ( — ) J y/—i V — kJ **' cof. cof xV — k dx; & puifque Z = o , lorfque x = o, & = a , par 1' hipotefe du probleme , on aura pour notre cas fZ(m.xV-kdx = —L- /( — ) cof. xV-kdx. J v" — & J dx' Ces valeurs fubftituees, il en refulte fl(v\.x>/ — kdx = coC.t^ — ckfZfin.x V — k dx __ fr- t • - Ck j. {fFdx) C()f xy/_kdx Ju(m.xV — kdx == cof t V — ck fKCm.x V — k dx — Vcfoi.tV — ck f ( — ) cof x V — k dx. J V dx ' Avant d' aller plus loin je remarque que comme on aura occafion dans la fuite de comparer des valeurs de Z & de V avec des valeurs de { & u qui ne repondent pas aux memes x , pour ne pas fe meprendre dans ces operations , il fera utile de diftinguer par des expreflions differentes les x qui convieunent aux Z & V , d'avec ceux -qui convien- nent aux { & u ; je defignerai les premiers par la lettre X que je fubftituerai par tout dans les feconds termes des equations precedentes au lieu de x, en retenant neanmoins le dx qui ne peut caufer aucun embarras ; j' obferve de plus , que les integrates qui entrent dans ces termes fe rap- portent uniquement a la variable x ou X, ce qui fait qu'on peut mettre aum" fous le figne ces quantites fin. tV — ck, & cof t>/ — ck, qui font conftantes a Ieur egard ; j' aurai done /{fin. x V — kdx =/Zfin.^V — k x cof tV — kc dx -JLf(fVdx) cof. X V-kxCvn.tS-kcdx. fu(rn.xV-kdx = fVftti. XV - k x cof tV - k c d x. - V cf{d-^-)co(.XV-k)((m.tV-kcdx. dx Je developpe a prefent les produits des finus & cofinus par les metodes connues ; j' obtiens n fi{m- i6 /{ fin. xV —kdx s= — /Zfin. (1+ ^c)v^-U* 2 -+- — fZ{m.{X-tVc)V -kdx 2 —f(fFdx ) fin. ( Ar+ f v'c ) V -it ix H l—f(/Fdx )(m.(X-tVc)V-k Jx, fit {in. x V — k dx _ _L/rfin.(X-hf/c)V-/t^ -t- ±-[V(m.(X-tVc)V-kdx 2 * _ ^5/(^1) fin. (X-h*v/c)v'- iWx 2 d* _4- *Lf(dA)Cm.(X-tSc)V-kdx . 2 O * Ces equations font reduites maintenant a la forme necef- faire pour en tirer les valeurs de £ & de u . Void com- ment je m'y prends. Je confid^re , qu'en fubftituant pour V — k fa valeur — , Ie nombre > qui peut etre tel qu'on veut , pourvu qu'il foit entier , doit neceffairement difparoitre de 1' equa- tion , puifque elle doit etre vraie pour toutes les valeurs poffibles de v . II faut done faire enforte que la quantite V — k difparoifle elle m£me de l'equation qui la renferme ; ce qu'on ne peut obtenir dans notre cas qu'en rendant egaux tous les angles multiples de V —k dans tous les termes de Tune & de I'autre equation; mais comme on pourroit etre embarrafle dans les differentes valeurs qu'il faut donner a X , je ne retiendrai cette lettre X, que dans la feule ex- preffion fin. (X-+- 1*/ c) V —k , & je mettrai dans 1'autre expref- 1? exprefTion fin. (AT— f V c) V — k, X' au lieu de X, en d£- fignant de meme par Z' & P"' les valeurs de Z & de f qui y repondent ; ainfi j' aurai par la comparaifon des an- gles , apres avoir divife par V—k , x=iX-+-tVc=X'— tV c; & enfuite les equations Z Z' [Vdx (Vdx 1 2 2 2 >/ C Jy'C F T' v'c < - }Vdx(*->V'l 2 V d~* dx ' / ' Telles font done les valeurs de { & de u pour chaque point mobile du fifteme donne , & pour tous les inftans de leurs mouvemens ; valeurs qui ne depandent, comme on le voit , que des' quantites Z & V donnees a volontedans le commencement du mouvement. 7. Les formules qu'on vient de trouver nous menent di- re£tement a la conftruftion fuivante. Sur l'axe AB = a (.fig- 1.) j j'eleve a chaque point M la perpendiculaire MN9 egale a la valeur de Z, e'eft-a-dire a la valeur initiale de D x {qui I qui repond a P abfcifle x = AM. T en fais autant a P egard des valeurs initiales de u fur un autre axe de me- me longueur AB {fig. i. ) ; & j' obtiens par ce moien les deux courbes ANB, AQB que j'appelle courbes fon- damentales , & qui fonr les lieux geometriques des quantites Z & V. Ces courbes feront regulieres , ou irregulieres, fuivant la nature des quantites Z & V ; mais elles fe termineront toujours d' un cote & de P autre aux extremites A & B de Paxe, puifque les valeurs de Z & de /^ dans ces points font nulles par fuppofition. Je trace enfuite fur deux autres axes egaux, AB, AB (fig. 3. & 4. ) les nouvelles courbes anb, Aqb, telles , que chaque ordonne Mn de la premiere foit toujours qua- trieme proportionnelle a la foutangente MT de la courbe ANB, a Pordonnee correfpondante MN, & a la quantitd conltante V c , & que P ordo/ine M q de la feconde foit egale a Paire AQM de la courbe AQB , divifee par la meme quantite V c . Ces quatre courbes ainfi donnees, fi Pon cherche les va- leurs de £ & de u qui repondent a un- abfcifle quelconque x = AM, & a un tems quelconque t, on n' aura qua prendre de part & d'autre des points M, les points M' & 7W ^loignes par des intervalles egaux MM' & M'M = tV c, & P on aura _ MN' -4- WN H- M a, mais < m, favoir x = za — £, on aura fin. x V— k = fin. (ia~- $)\/ —k =fm.(ia\/ — k — ^V — k). Or par la valeur determined ci-deflus de V — k , zaV — £ = vtt , & paries regies connuees de la Trigonometrie, fin. (vv — i V— k ) = fin. (r — {V — k) =— fin. £V/ —k; done puifque % = za — x on aura dans ce cas fin. xv — k = fin. (ia — x) v'—k. Dela il s' enfuit i .° Que pour avoir la continuation A" "S du cote des abfcifles negatives de la courbe A"S"B" , on n' aura qu'a renverfer la meme courbe au deflbus de l'axe, enforte que le point A' demeure immobile. i.° Que pour avoir la continuation B'KS du cote des abfeifles plus gran- des que a dans la courbe A'S'B' il faudra aufli renverfer cette courbe de la meme facon que 1' autre ; mais en pre- nant ici le point B' pour fixe. Je 3* . Je dis maintenant, que la portion de courbe ^"'^eft la meme que la A'S'; ainfi que la portion B'S eft la meme que la B"S"; & que par conf^quent , au lieu des deux cour- bes S'B'S & S"A ' S, on peut fubftituer les deux autres AS'B' & AS'B", lorfque il ne s'agit que d' avoir la fomme des memes parties . Je dis enfuite que la fomme des aires formees des produits des ordonnees de P une & de Pautre courbe S'B'S & S"A'SSS par celles de la cour- be ANB fera egale a la fomme des aires qu'on pourra former de la meme fagon par les ordonnees des courbes AS'B', A'S"B", pourvu que dans les efpaces A A, BB", on prenne , pour ordonnees de la courbe ANB , celles qui conviennent aux efpaces A A & BB' avec des fignes con- traires j d'ou je deduis , que fi Pon veut continuer la cour- be meme ANB de part & d' autre de Paxe, afin qu'elle reponde immediatement a toute Petendue des courbes A SB' & A"S"B", on n'a qu'a la renverfer deflbus Paxe en AN' & BN", le point A demeurant immobile dans le premier cas , & le point B dans le fecond comme on le voit clai- rement dans la fig.- 7. II refulte done de tout ce qu'on vient de demontrer que pour avoir la valeur de P expreflion compofee fZ fin. ( X+tV. c) V-k dx -hfZ fin. ( X-tVc ) V -k dx , on n' a qu'a prendre la fomme des deux aires qui fe fbr- meront par les produits des ordonnees des courbes A SB' & A"S"B" multiplies par les ordonnees correfpondantes de la courbe N'ANBN" . La moitie de cette fomme , fi Pon fuppofe ^ = o, devra done etre egale a P aire r'ormee par les deux courbes ARB , A SB. Or puifque les ordonnees de la courbe ASB ', qui eft la meme que les deux courbes AS'B' & A'S'B", renfermenr la quantite V — k, laquelle doit s' evanouir de P equation, on ne parviendra a fe defaire de cette quantite , qu'en e'galant la valeur de { , qui multiplie chaque ordonnee de ARB , a la 31 la demifomme des valeurs de Z, qui mulriplient la meme or- donnee dans l'une & 1' autre courbe A'S'B' & A'S'B"., prenant pour ces valeurs de Z les ordonnees correfpon- dantes de la courbe N' ANBN"; on coupera done des points A & A', qui font les origines des courbes AS'B' , AS"B", deux abfeiffes = x , ou bien , a caufe de A A = A A' — tv^c, on coupera du point A , origine de la courbe generatrice ANB , deux abfeiffes x-htVc & x — tV c , & la demi- fomme des ordonnees correfpondantes dans cette courbe , fera la valeur cherchee de £. Si on fuppofe la courbe ANB aneantie, & qu'on y fub- ftitue la courbe AQB , on aura par la conftru&ion prece- deme les valeurs de la viteffe u dans le cas , oil Z = o . Mais fi 1' on veut avoir egard a la fois aux deux courbes ANB & AQB ; il faudra encore faire attention aux autres formules integrales que nous avons negligees ; & qui fe con- Aruifent de la meme facon que les precedentes avec cette feule difference qu'au lieu des courbes ANB, AQB il faut emploier les anb & AqB. On s'y prendra done a 1' egard de ces dernieres courbes d' une maniere parfaitement ana- logue a celle qu'on vient de pratiquer pour les premieres; il faudra feulement obferver, que comme les deux formules integrales, qui naiffent de chacune d'elles , ont des fignes differens , les branches AS'B' & A'S'B" devront etre &i tuees l'une au deffus &: 1' autre au deffous de 1' axe ; c' eft pourquoi la partie A'"S, qui doit fervir de continuation k la branche B'S' au lieu de fa partie A'KS, fe trouvera du meme cote de l'axe, comme auffi que la partie B'sSk 1' egard de l'autre branche AS", dont elle eft le fupplement au lieu de S'B"; d'ou il s'enfuit que les branches de continuation dans les courbes Anb & aqb fe trouveront au deffus de l'axe, comme on le voit dans la fig. 8. On prendra done dans ces courbes ainfi continuees de part & d'autre les or- donnees qui repondent aux abfeiffes x-+-t^c & x — ttfc en • 33 en comprant du point A, & leur demidifference donnera ce qu'il faut ajourer a la valeur de £ & de u . La conftrufrion que nous venons de trouver eft la meme, pour le fond , que celle qu'on a donne plus haut ; mais elle ' en eft plus generale en ce que les courbes ici fe trouvent continuees de part & d'autre par une etendue egale a 1'axe AB ; ce qui iiiffir pom refoudre tous les cas, ou tV c ne furpafle point a comme on 1' a fuppofe d' abord . Tous les aurres cas demanderont done encore une nou- velle continuation , qu'on pourroit trouver aufli en fuivant une methode analogue a celle que nous avons emploie ci- deftus , mais qu'on deduira plus aifement de la reflexion ftrivante . Je confidere d' abord le finus de Tangle (X—tVc) V — k, qui eft celui qui donne des- valeurs de X plus gran- des que a ; je trouve que ce finus ne change point en retrachant de X un multiple quelconque de 2. a; car fin. [ ( X— V c)V — h — i pa \f — h ] devient ( en fubftituant au lieu de V —k fa valeur — ) fin. [(X— tVc) V— k— uyvl. i a Or, ix etant un nombre quelconque entier , fxv le fera auffi, & par confequent par les regies connues ce finus devien- dra = fin. ( X— tV c) V — k , tel qu' il etoit d' abord . J' examine de meme le finus de 1' autre angle (X-t-rVc) >/ — k 1 d'ou naiflent les valeurs negatives de X; & je vois que cc finus demeure lememe, en ajoutant a X un mulriple quelconque de aa; Car on ttouve audi fin. [ ( X ■+■ tV c} ^ — k-hfxvv ] = fin. {X-h tVc). Ces deux propofirions prouvent done que les abfeifles X peuvent etre augmentees ou diminuees de 2a, de 4a &c. fans qu'il en reTulte aucun changement dans les formules integrates ; cT on il fuit que les ordonnees a toutes ces ab- fcifles ainfi augmentees ou diminudes feront neceflairement les memes. Done puifque nous avons ci-deflus trouve mo- ien d'etendre les courbes fondamentales jufques a l'abfcifie 2 a E d'un J4 d'un cote, & juiqu'a 1' abfcifle — a de l'autre , on pourra a prefent les etendre tant qu'on voudra , en appliquant a chaque abfciffe expnmee par ^ •+- i pa l'ordonnee qui con- vient a la fimple ablcifle { , dont la valeur eft luppofee contenue entre les limites -+• x a , & — a . II ne faudra pour cela que tranfporter fucceffivement le long de 1' axe toute la courbe qui repond a 1' abfciiTe = u, & qui eft compofee de deux branches egales , fituees 1' une au deflus & l'autre au deflbus du meme axe; d'ou il refultera une courbe continue, & de figure anguiforme, c' eft-a-dire, contenant plufieurs ventres egaux , fitues alternativement au deflus & au defTous de l'axe. Nous appellerons les courbes ainfi rormees courbes generatrices . Or fera la meme chofe a 1' egard des autres courbes formees par les tangentes, & par la quadrature des courbes fondamentates ; mais comme la portion de ces courbes , qui re- pond a FabfcitTe a a , eft compofee de deux branches ega- les , fituees F une & F autre du meme cote de 1' axe , la courbe, qui refultera de la repetition de cette partie, con- tiendra auffi plufieurs ventres egaux , mais tous places du meme cote de F axe . Voila comment par la fimple defcription r&teree des bran- ches donnees ANB, AQB , anb, Aab , on peut prolonger toutes ces courbes a F infini , & avoir par confequent des ordonnees reelles pour toutes les abfeifles exprimees par x + tv'c, Scx — tv'c, quelle que foit la valeur du terns t ; ce qui fuffit pour que la conftruftion des valeurs de £ & de u ne foit plus fujette a aucune exception . Le probleme , dont la folution nous a jufqu'a prefent occupe, eft le meme que celui qu'on refolu dans le Chap. V. des Rech. priced. ; car il eft facile de voir que les equations de F Art. XIX. , dans le cas ou le nombre des points mo- biles eft infini, peuvent fe reduire a la formule generate 3J ( — £ ) = c (—£) . Auffi la conftru&iou que nous venons v df '■ y dx* ' n de trouver s'accorde enrierement avec celle qu'on a donne dans XArt. XXXIX., & plus amplement dans VArt. XLV.; ce qui doit etre regarde comme une confirmation de la juftefle & de la bonte de nos calculs. Remarques Sur la folution precedente . 8. A~\Uoique la folution precedente foit beaucoup moins V^^ compliquee que celle qui le rrouve dans mes Rech. fur le Son ; elle 1' eft cependant encore a un point qui la rend affes difficile a fuivre . C eft pourquoi il me paroit bon de 1' eclaircir par quelques remarques , qui faflent con- noitre plus a fond la nature &: l'efprit de la methode qui nous y a conduir. Comme la queftion eft de trouver les mouvemens d'une infi- nite de points mobiles , dans la fuppofition que Ieur etat d'equi- libre ait ete derang^ d'une maniere quelconque, on ne peut pas , ainfi qu'on 1' a prouve plus haut , exprimer tous ces mouvemens par une feule formule generale; mais il faut re- garder au contraire chaque point mobile comme ifole , & en chercher le mouvement, en refolvant comme autant de problemes a la fois , qu' il y a de points mobiles dans le fifteme donne. Une telle queftion demande done, pour etre pleinement refolue, d'autres procedes que ceux de l'Analife ordinaire ; c' eft ce que M. D'Alembert a eu foin de faire remarquer au fujet des corded vibrantes , dans XArt. II. de fon Addition au Mcmoire fur la courbe que forme une corde tendue mife en vibration, imprimee parmis les Memoires de 1' Academie de Berlin pour 1' annee 1750. Dans tout autre cas , di-t-il , ( c' eft-a-dire dans tous les cas oil la courbe initiale n' aura point les conditions prelcrites par cet Au- teur i 36 teur ; le probleme ne pourra fe refoudre , au moms par ma methodc , & je ne fais meme s1 il ne furpajfera pas les forces de [ Analife connue . En effet en ne pent , ce me fern- ble , exprimer y analuiquement £ une ( maniere plus generale qiien la fuppojant une fon&ion de t & de s ; mais dans cette fuppofition on ne trouve la folution du probleme , que pour le cas , ou les different es figures de la conle vibrant e peuvent etre renfermees dans une feule & meme equation . Dans tons les autres cas il me parpit impoffible de donner a y une jorme plus gene rale. La methode, que nous avons expofe ci-deflus, eft une r£- du&ion de celle que j' ai invente pour refoudre le proble- me des vibrations d'une corde chargee d' un nombre inde- fini de petirs poids; ainii elle remplit la condition, que tous les points mobiles foient coniideres chaciin en particulier, & en meme terns elle n' eft pas fujette aux difficultes qui fe prefentent en paffant du nombre indefini des points mo- biles a un nombre reellement infini. Le fondement principal de 1' une & de P autre de ces methodes , e'eft 1' ingenieufe Analife inventee par M. D'Alem- bert pour integrer des equations differentielles d' un degre quelconque , ,& contenant un nombre quelconque de varia- bles , pourvu qu' elles ne paroiffent que fous une forme li- neaire . Auffi eft-ce une juftice qu il laut rendre a ce favant Geometre , que de reconnoitre que nous lui devons le prin- pal fecours qui nous a aide a franchir les difficultes, que lui meme femble avoir cru infurmontables a 1' Analife. A 1' egard des procedes de nos deux metodes , ils ne different d'abord entr'eux, que parce Ton a fubftitue, dans les derniers , des differentiations & des integrations au lieu ■ des fommes & des differences algebriques qui fe trouvent dans les autres ; mais comme on pourroit craindre que ces operations n' entrainaflent les inconveniens qu'on a indique" dans P Art. XV. des Rech. prec.t il me paroit utile de de- velopper 37 velopper cet objet plus en detail , en rapprochant V Ana- life que j' ai donne ci-deffus de celle du Chap. III. des me- mes Rcch. Y immagine d'abord qu'au lieu de la fimple equation ge- dl? dxz neVale ( — \ ) =c ( — i), qui appartient a tous les points mo biles , il y en ait une infinite , dont chacune reprefente le. mouvernent de chacun des points en particulier j mou- vement qui depend d'ailleurs de tous les autres, puifque la differentielle dl$ qu'on prend , en ne faifant varier que x, exprime la difference feconde des valeurs de i pour trois points confecutifs . Je multiplie done chacune de ces Equa- tions par un coeficient indetermine M, ou plutot par la quantite Mdx , en regardant M comme une variable qui peut convenir a toutes les equations en general ; & j' en prens la fomme par une integration indiquee a la maniere ordinaire . Maintenant , comme il s'agit de joindre enfemble les coe- ficiens de chaque valeur de { qui r^pond a chaque point mobile , je transforme mon equation integrate enforte que les differentielles de £ dependantes de x, s' evanoiiiffent . Les transformations, dont je fais ufage dans cette occa- fion , font celles qu'on appelle integrations par parties , & qui fe demontrent ordinaire ment par les principes du cal- cul differentiel ; mais il n' eft pas difficile de voir qu'elles ont leur fondement dans le calcul general des fommes & des differences ; d'oii il fuit qu'on n'a point a craindre d'in- troduire par-la dans notre calcul aucune loi de continuity entre les differentes valeurs de ^. Apres cela , je derermine les valeurs de 1' indeterminee M par la comparaifon des co^ficiens des termes correfpon- dans { & _ 1 ; & je trouve pour cela une equation dif- ferentielle du i degre" qui contienr, une nouvelle indetermi- nee 1* nee conftante k, & dont l'integration entraine encore dans la valeur de M deux autres conftantes arbitraires. Je deter- mine ces conftantes a etre telles, que M s'evanouiffe , lorf- que x = o , & lorfque x = a , puifque les valeurs de £ &ant nulles dans ces deux points , les M qui les multi- plient ne doivent non plus avoir des valeurs reelles ; par ice moiien on fait difparoitre de 1' equation integrate les ter- mes qui font abfolument algebriques, ck qui auroient d'ail- leurs empeche le refte des operations. Ces deux conditions laifTent encore indeterminee la valeur d'une conftante, par laquelle toute 1' expreflion de M eft multiplied ; mais cette conftante s' evanoiiit enfuite d' elle meme par la divifion . A l'egard de la conftante k , on trouve une infinite de va- leurs differentes , qui toutes lui conviennent egalement , & dont le nombre repond a celui des equations particulieres quon refout a la fois. C eft de ce nombre infini de va- leurs de k, que d^pand enfuite la determination de toutes les valeurs de ^ . Dela je paffe a Y integration aftuelle de notre equation f'ormee par 1' addition de toutes les equations particulieres. Cette integration ne regarde que la variabilite de f, & elle s'acheve felon les methodes connues du calcul integral, puifque ici la loi de continuite a lieu . Apres cela je fub- ftitue la valeur de M, & il en refulte une equation afses fimple qui renferme toutes les valeurs de £, pour chaque point mobile dans tous les inftants du mouvement, avec les valeurs particulieres des m£mes £ & des viteffes u dans le premier inftant; valeurs qu'on fuppofe donnees a volonte, & qui ne font point reglees par aucune loi de continuite . Je trouve en meme terns une formule femblable pour les viteffes u de tous les points dans un tems quelconque. Jufqu'ici cette Analife eft parfaitement d' accord avec celles du Chap, cite de mes Reck. ; mais elle en differe en- rie'rement dans la fuite, oil il s'agit de tirer les valeurs de { & de u , Comme 39 Comme U eft neceffaire que nos dernieres formules fo- ient veYifiees, quelques valeurs qu'on donne a k, parmi le nom- bre infini de celles qu'on a trouve j il eft vifible qu'il faut chaffer cette meme quantity k , a l'aide d'autant d' equations particulieVes qu'il y a de differentes fon£tions de k . C eft 3 quoi nous fommes parvenus, en emploiant differentes tranf- formations & reductions , dont on a rendu compte dans le cours de cette Analife j 6k qui me paroiffent les feules capables de remplir 1' objet propofe . La conftruclion qu'on a donne enfuite des valeurs de j & de u par le moien des courbes generatrices , & la ma- niere de continuer ces courbes a 1' infini de part & d' autre dependent d'une consideration intime fur la nature de nos formules. II eft vrai que les principes, d'ou Ton a tire cette conftruclion , pourroient paroitre trop recherche^ j mais elle n' en eft pas moins demonstrative & certaine ; ce n'a &tc que pour conferver une entiere rigueur que j' ai ete obligd d' avoir recours a de tels principes j car des que 1'on aura d^montre dans deux ou trois problemes de cette forte, que la nature des courbes generatrices eft la meme , que celle qu'on trouve en fuppofant ces courbes repreTentees par une fonftion reguliere & continue , ainii que 1' a fait M. D'Alembert dans fa folurion du probleme des vibrations des cordes , on fera afses fonde a appliquer la metode de ces fon£tions aux cas memes ou Ton voudra fuppofer qu'elles n'aient point lieu. 9. Apres tout ce que nous venons d'expliquer, il ne fera pas difficile de determiner le degre de generalite, dont notre methode eft fufceprible . On verra premierement qu'elle ne pourra re'uffir a moins que 1' indetermin^e f & fes differen- ces ne fe trouvent que fous une forme lineaire, & de plus qu'elles ne foient point melees avec la variable t; lorfque ces conditions feront obfervees, quoique les diffeVenrielles de -{ moment a un degre plus haut que le fecond , & qu'il y ait 4° ait meme un terme fans { , qui foit une fonfKon quelconque de t & de #, on pourra toujours fe fervir avec faeces des arti- fices & des transformations enfeignees ; comme on le verra dans les folutions que nous donnerons dans la (bite . Toute la difficulte ne tombera plus que fur 1' integration des equa- tions en M & en s ; equations qui fe rapportent aux me- thodes ordinaires du calcul integral. En fecond lieu le fucces de notre methode demande , qu'on puiffe faire dif- paroitre des Equations la quanrite k , qui a toujours une infinite de valeurs; cette operation renferme des difficultes plus confiderables , & je ne fuis point encore parvenu jufqu'a prefent a trouver pour cela une methode direct e & gene- rale ; cependant nous ferons voir dans la fuite , que cet objet pourra toujours etre rempli fl non exa&ement , au moins en fe fervant des approximations & des feries. Pour ce qui eft de la premiere condition qui eft abfolu- nient indifpenfable dans notre methode , il eft aile de dd- montrer qu'elle aura toujours lieu dans les mouvemens d'un fifteme quelconque d' un nombre infini de points mobiles , lorfque ces mouvemens feront fuppofes infiniment petits, com- me le font tous les mouvemens reciproques qu'on obferve dans la nature; d'ou il fuit qu'on pourra toujours les cal- culer foit exaftement, foit feulement par approximation. CHAPITRE III. De la propagation du Son. »o. T A maffe de l'air etant naturellement de trois dimen- X— i fions , il eft clair que , pour calculer la propagation du Son en toute rigueur, il faudroit refoudre les formules generales que M. Euler a donne dans fes Recherches fur la propagation des ebranlemens dans un milieu elajlique ; {Votes pag. i . ci-deffus ) Mais ces formules n' etant point du nom- bre 41 bre de celles, fur lefquelles norre methode peut avoir prife , il faut renorvcer pour le ptefent, c'eft-a-dire jufqu'a ce qu'on foit aide par de nouveaux fecours , a toute Theorie de la propagation du Son envifagee fous ce point de vue. Cepen- dant comme il eft tres-probable que les ebranlemens des partieules de Fair pour produire le Son , doivent etre infi- niment petits , ainfi que nous tacherons de le prouver dans la fuite ; on pourra s' en tenir aux formules que M. Euler a auffi donne pour ce cas ; formules qui font fans compa- raifon beaucoup plus fimples , que les premieres, & qui, par la raifon qu'on a dit plus haut ( An. 9. ), rentrent necef- fairement dans la claffe de celles qu'on peut foumettre a notre Analife . Quoique la maniere, dont M. Euler a trouve ces formu- les , foit fans contredit la plus dire&e & la plus rigoureufo qui fe puifle immaginer , cependant, puifque la fuppofition des ebranlemens infiniment petits rend le calcul incompara- blcment plus fimple , j'ai cru qu'on ne faroit point fache de le trouver ici . Soient X, ¥ , Z les coordonnees rectangles qui determi- nent la position d' une particule quelconque de fluide dans l'etat d' equilibre ; fuppofons que ces coordonnees, dans le terns *, deviennent X -h x, Y -+- y , Z -+- £ ; il ne fera pas difficile de voir que, ft les quantites x , y , \ font fup- polees infiniment petites, le parallelepipede dXdYdZ qui reprefente une particule dans 1' etat d' equilibre, pourra etre cenfe fe changer en un autre = (dX-h dx)(dY ■+■ dy) (dZ -hd{) = dXdYdZ -+- dXdYdl -+- dXdZ dy -+• dYdZdx, en negligeant les puiflances plus hautes de dx, dy , d\ . Dela il fair, qu'en nommant E 1' elafticite' naturelle de la portion infiniment petite de fluide renfermee dans le premier parallelepipede , i'elafticite de la meme por- tion 3 lorfque elle remplira le fecond , fe trouvera = c EdXdYdZ 4i EdXdYJZ ' dXdYdZ -t- dXdYd^ ■+• dXdZdy -+- dYdZax E (-^ -4- ^L -+- JL\ en negligeant ce qui fe doit ndgliger. Soit prife maintenant la difference de cette quantity i en ne faifant varier que VX, & Ton aura, E etant conftant , - E (S ■*" jlfr + &) } ib K dt* J D \K dr"' K dYdX ' V dfdZ ' ) ib V dt* ' D V dZ*' K dZdX' y dZd'T *■ J 11 eft vifible que ces trois equations s'accordent avec cc!- les de M. Euler, en pofant felon les hipotefes de cet Au- E teur k = g, —= k, 7" = i , & fubftituant p , q 6V r pour x, y & £ . ii. Po- 45 ii. An rcfte ces tormules font fondees fur V hipothefe que * Telafticite de l'air foit proportioned a fa denfue; mais il n'eft pas difficile de les etendre a telle autre hipothefe qu'on voudra. Pour embracer la queftion dans toute la generalite poffi- ble , fuppofons que 1' elafticite de 1' air foit comme une fonfction quelconque de la denfite , de forte que nommant s la denlite dans un inltant quelconque , I' elafticite corref- pondante foit exprimee par Es feront exprimees fimplement par ED ) £ ..-+-{ — tV c = p •+■ PQ, on aura { = PQ -+- tVc. Par la on pcut avoir les Iimites de l'agitation des particules dans le tems t , en tant qu'elle refulte des termes dependans de 1'exprcflion x — tV c ; car il ne faut que prendre fur la li- gne PQ, les points F & Q' tels que PP' = tVc, & FQ' t= PQ ; & la portion PQ' de la fibre fera la feule , oil cette agitation aura lieu. On trouvera de la meme maniere les Iimites de T agitation des particules, qui depand de lavaleurde x -f- t V c ; car en faifant p -4- { ■+■ tV c = p & = p-t-PQ, on a deux valeurs de {, favoir i = — tVc, & i = PQ -. tV c . On prendra done de nouveau , fur la la meme ligne prolongee du cote oppofe , deux autres points "P &v<2, tels que P"P = tV c, & PXQ = P*P - PQ c'eft-a-dire , que PyQ_ = PQi & tous les mouvemens , dont la determination dependra de la valeur de x -+- tV c feront renfermes dans ce dernier efpace *PKQ. De ce qu'on vient de demontrer il s' enfuit que la pul- Jion primitive , c' eft-a-dire 1' onde excitee par le corps fo- nores dans 1' efpace P <2 de la fibre aerienne indefinie , s' eft comme divifee en deux autres , qui dans le terns t ont ete tranfportees , 1' une a droite en P'Q' , & 1' autre a gauche en XP VQ , confervant toujours la meme etendue PQ. Pour connoitre la vitefle de la propagation de ces fuljlons fecondaires, on n'a qu'a chercher celle des points P' 8c XP, dont la pofition par rapport a P eft determined generalement par les equations f = tv/c,&{ = - tV c; puifque done ^ reprefente ici les efpaces parcourus par ces points dans le terns t , il eft evident que leur mouvement iera uniforme , & leur vitefle = V c , & que cela aura lieu quelle qu'ait ete la nature de la puljion primitive . II eft inutile de nous arreter a examiner la valeur de V c qui xk E eft -— x -=, puifque cette expreflion en fubftituant pour E — , la quantite A, ou nk qui eft: fa valeur, devient la meme que celle qu'on a trouve ailleurs ( Art. LVI. ) , & que M. Newton a deduit de fa Theorie , comme on 1' a deja remarque ci-deflus ( Art. i.). 13. Ce feroit ici le lieu de faire voir 1'appliquation de la formule generale que nous avons trouve d'apres les Prin- cipes de M. Newton dans P Art. cite; mais cette formule £tant entierement femblable a celle que M. D' Alembert a donne fur les vibrations des cordes , il eft clair qu'en ad- mettant les fonftions difcontinues , qui font indifpenfables dans la matiere , dont il s'agit ici ( Art, 4. ) , on aura la meme 49 meme conftruftion que nous avons donne dans fArt. 7., & que par confequent la Theorie de la propagation duSon, qui en refultera, ne fera point autre que celle qui vient d'etre d'ex- pliquee. Par-la on prouvera aifement ce que Ton a avance plus haut ( Art. 1 . ) , que la viteife de la propagation , felon cette Theorie eft determined par la quantite qui divife Y x dans les fonftions

compofee que d' une feule allee , & d'un retour a fon lieu d'equilibre , aprcs lequel elle demeurera immobile. 3.0 Que, fi l'on fuppofe au contraire que la puljion primitive ne con- filte que dans I' impreflion d'une certaine vitefle , les parti- cules, pendant tout le terns de leur agitation, s'ecarteront continuellement de leurs propres points d'equilibre, & elles n'y reviendront plus comme auparavant. 4.0 Quenfin, fi la pulfion primitive depand de Tune &; de 1'autre caufe, l'agi- tation des particules fera compofee de celles dont nous venons de parler; ce qui paroit etre le cas de la nature. 16. M. Euler dans une lettre du 23. Oclob. 1759. m'a fait l'honneur de me mander , que la lefture dernesRech. fur le Son lui avoit fuggere le denouvement d'une difficul- te qui s'etoit preTentee a lui depuis long-tems . Cette diifi- culte confiltoit a favoir pourquoi, les ebranlemens primitifs fe repandant d'abord narurellement de deux cotes oppofes, les ebranlemens derivatifs ne fe propagent plus que d'un feul cote, & toujours fuivant la meme direclion . La raifon de cette difference depand de la nature particuhere des ebranlemens derivatifs , qui eft: telle que leur propagation ne peut avoir lieu que d* uri feul cote . Pour s' en convaincre qu'on examine les formules des va- leurs de ^ & de u trouv^es a la fin de FArt. 6. , & fup- pofant que { & u foient les excurfions & les'viteffes don- ne"es , qu'on cherche celles qui en refultent pour un terns quelconque t' & pour une particule quelconque determinee par l'abfcifle x' '. II eft vifible qu'il n'y a pour cela que a (ubftituer ^ a la place de Z & u a la place de V\ & de- fignant par f & u les valeurs cherchees, on aura 2 -.Vc • / u : a' = . , Maintenant on fait, par ce qu'on a demontre {Art. 11.) , que les termes, dont les expofans font x — t^c, fontlesfeuls qui determinent la propagation fuivant la direction PP\ & que 1' autre la propagation fuivant PSP depend fimplement des termes qui renferment ' la quantite x-4-ty/ c; done pour connoitre la propagation des ebranlemens de 1' onde P'Q_\ il ne faudra fubitituer, au lieu de { & de k, que les feuls termes z («-«•«) fVdx (*-'^°& _ — x — ce qui donnera 2 i d x en pofant xf -*~ t' v1 c au lieu de x dans les expofans < = : — ~ J • fVdx(<'+*,y/'-'y'> - rrdx(*'-tVc-,y/^ Zi ** -t-i' Vc -»\/<:) .j/.j ) / V (x'+sVi — «v'c) 4 , .+. y{*'-svi :-l/( -Vc, ■+» y/c. dZ dx (*' + t>Vt 4 -J- — dx (,'_, v.. -»/«) dZ 77 (»' -t-tW t j 4 -'^O dZ < ~ 77 *' f v <- > V <) Dans ces formules il eft vifible que les termes, dont les expofans renferment la quantite -+■ /' V c s'evanouiflent tous d' eux memes , & qu'il ne refte que ceux ou la meme quantite fe trouve avec le figne negatif; d' ou il s' enfuit que la propagation des ebranlemens {' & u ne peut fe faire que dans le feul lens P P' . On prouveroit la meme chofe pour les ebranlemens pro- pages d' abord fuivant la direction oppofee PXP ; car en lubftituant , pour ^ & u , les feuls termes dont les expofans contiennent -t- t V1 c ; on verra que les formules refultantes ne feront compofees que de termes , ou la quantite t V c fe trouvera avec le figne -+- . 17. Nous avons fuppofe ci-deffus que la fibre aerienne e^oit infinie de l'un & de I'autre cote ; & cette hipotefe nous a donne des courbes generatrices , compofees d' une fcule branche terminee de part & d'autre , & pour ainfi dire ifolee . Mais il n' en feroit pas de m£me fi la fibre etoit elle m£me terminee des deux cotes, ou d'un {imple- ment ; car puifque la maniere de continuer les courbes fon- damentales , & derivies eft generale , & que les extremites fixes de la fibre font les points , autour defquels on doit , pour ainfi dire , faire tourner chaque branche , pour en avoir la continuation , ainfi qu'on 1' a enfeigne- ( An. 7. ) , il eft eVident que, dans le cas d'une feule extremite fixe les cour- bes generatrices feront compofees de deux branches egales, & femblablement fituees de part & d' autre du point qui conftitue cette extremite ; & que dans le cas de deux ex- tremites fixes , les courbes generatrices auront un nombre infini de branches egales & femblablement fituees autour des deux points qui conftituent les extremites donnees. Dela fi on cherche la propagation des ondes fonores par la me- thode de I'Art.ii.; on trouvera Cans beaucoup de peine que 54 que chaque onde , venant rencontrer une des extr^mi- tes fixes , devra fe reflechir, pour ainfi dire, & retourner en arriere avec la meme viteffe, & confervant la meme na- ture qu'elle avoit avant la reflexion , d'oii il refultera des echos fimples ou compofes, ainfi qu'on l'a explique . ( ( hap. II. de la Seel. II. des Rech. prec. ) . Je ne m'arreterai pas ici a demontrer plus en derail cetre Theorie des echos , non plus que les aurres proprietes du Son, qui dependent des principes que nous venons d'etablir. II ne faut que relire attentivement la Seclion citee pour voir que les propositions qu'on a demontre, en ne confiderant que des mouvemens inftantanes dans les particules c!e fair, font auffi vraies dans F hipotefe prefente des ondulations. Mais il eft un point effentiel de la Theorie du Son , dont on n' a pas encore parle jufqu'a prefent; e'eft fon in- tenfite . Or de ce que les ondes fonores ne lbuffrent aucune alteration en parcourant un elpace quelconque , comme on Fa fait voir ( An. n.), il eft fimple de conclure que F in- tenfite du Son fera conftante & independante de la diftance du corps fonore. Mais cette conclufion ne peut avoir lieu que dans F hipotefe que le Son foit oblige de fuivre une feule & meme direction, comme fi Fon fuppofoit Fair renferme dans des tuiaux, ou des conduits afses etroits , par rapport a leur longueur; ainfi, dans les acqueducs de Rome, le P. Kircher rapporte que les Sons ne recoivent point de diminution fen- fible par F elpace de 600. pies environ . II n' en eft pas de meme pour Fair fibre, dans lequel le Son fe propageant de tous cotes a la ronde , doit s1 affaiblir a mefure qu'il s'eloigne du corps fonore ; & c' eft ce que F experience journaliere apprend , & que nous allons auffi demontrer par la Theorie , en adoptant la feconde hipotefe de FArt. 1 i.y qui refte encore a examiner. $.11 $11 De la propagation du Son dans t hipotefe des ondes fphirujues. 1 8. "1T"\Ans cette hipotefe on conferve a la mafle de fair JL>/ (es trois dimenlions ; mais on fuppofe que , aiant pris un point fixe pour centre, toutes les particules qui fe trouvent dans la direction de chaque rayon fe meuvent fans fortir de cette direction , & que Ieurs mouvemens ne depandent que du terns t , & de h diitance de chacune d'elles au centre. Dela ileftclair qu'il doit fe former dans l'air des ondulations fpheriques & concentriques, dont la determina- tion foit contenue dans une feule equation , de meme que dans le cas de 1' hipotefe precedente . Cette equation peut fe trouver foit par 1' appliquation des formules generates , ainfi que l'a fait M. Eider dans fon Me moire pag. i. ci- deiiiis, ou plus {implement encore, quoique avec moins de rigueur, en confiderant le mouvement d'un fluide elaftique, renferme dans un tuiau conique ; comme on le verra plus bas . Nous nous contenterons pour le prefent d' emprunter 1' equation de M. Euler , & d' y appliquer notre methode, afin d'avoir une conitru&ion qui ne foit point aflujetie a la loi de continuite , comme l'exige la Theorie de la propagation du Son. Cette equation, en lubitituant ^pourw, Sex pom f^ fe reduit a celle-ci ( — -£) = c ( —1 ) +ic ( _i ) , qui at* ax* dx peut etre traitee de la meme maniere que celle du Proble- me I. Probleme II. f^Onfervant les mimes noms & les mimes fuppojitions du Probleme I. , avec cette feule difference a;ie les mouvemens des 5« • d*z ds7 ies particules foient Contenus dans t equation ( — - ) = c ( — ' ) d-— + ic( - ) conftruire cette mime equation . d x J Je commence par multiplier Tun & 1' autre membre par Mdx ( Metant une fonftion quelconque de x ) ; enfuite j'inti- gre en ne faifant varier que x-y j' ai , f (—1) Mdx =c f(ti)Mdx -+- u /(^i) M ce qui donnera les memes conditions a remplir par les conftantes de M, que 1' on a eu dans le Probl. I. L' equation reftante fera done /( — \ ) Mdx =c fz( -j— xdM \ . . -i r i /- r d1M zdM , ,. r- — r- ") ou il raudra luppoier — r— — = km ' xdx J ir dxx xdx Cette 57 Cette equation en Meft integrable par -les mdthodes connues ; mais en void une qui eft, fi ■ je ne me trompe , la plus fimple qu'on puiile emploier dans ce cas. Soit fuppofe M = eJ p, on aura par la fubftitution — JP + * - * = it, favoir kp>+H+dJL==l. p*dx f px r x dx Je yois que cette equation peut s'ecrire ainfi k (p -+• __ )*dx -f. d- (p -t- — ) = dx, done fi on fait p -+- _ = a , A! * A * 7i i f i» > i, t da on aura kq1dx -4- da = dx; d ou 1 on tire ax = i » — kq* & integrant par les logarithmes x s ; . ( - 1 — \ tP— f 6 - %Vk >—qVk' ou bien en paflant aux exponentielles , avec 1' addition d'une conftante C, qV k = g^L. ~* , done p = ~ -^ X r tx,k . ^ raut maintenantj pour avoir la valeur de dx M , integrer la quantite — J Or il eft vifible ^ue fi T on (ubftitue pour p fon expreffion telle qu'on vient de la trou^ ver, on a une differentielle qu'il feroit afses difficile, peut etre' impoffible de ramener a 1' integration j mais on peut femplifier beaucoup le calcul ,' en iuppofant V arbitraire C nulle ou mfinie ; dans le premier cas on a p = — — — k * — - , & dans le fecond p = ~ H — — , & combinant Vk r k* Vk r une & 1 autre valeur, p = — — • -t- On aura done k* — V k r dx f kxdx ,, , , /ts H & &: par consequents en ajoutant; une conftante A, M. =5= A (t- 1 -f-xVh)) e--%-'£*v'ki ou bien a.caufe de l' armbigui- te des fignes M.= A (~ 1 nioiqiM: ) «,-« + «v* ^ ^ (-i-.v^^c""*^'. Or ilfautque Af foit = o , lorfque x = o , d' ou fl fuit* que A -+- £ — o , 8c par confe'quent £ = — A, done- en cjiapgeant la valeur de la oonftante' Ay Af = A{ 'e"Vk- e~'yk) - AxVk ( e*Vk--h e-'*k, ou bien encode. Af— A (fin. xv'-i — xV — k cof. xv' — /t )r Telle eft la valeur de Af qu'il fallbit 'trouverj fi Ton en' prend- la. din%encej,. on> a: — « a=t-r- ^/Axfin. xv^-it', d'ofr T on. voit qu'au commencement , ou x = o , on a aufli == o , de forte que le terme — 7 — s' evanoiiit de dx l dx lujj "iqerrie, fan^ qu'if"foit befoin de fuppofer £ = o dans ce. pointijj ce , qui* nous, montre que la. valeuri de « pourra ctre icL tout ce que 1' on voudra . II faut mainrenant determiner k^ par la condition que Af devienne nul , lorfque x = a; on aura done pour oela, A (fiii. ay/l-k - aV-kcot.aV-k), ce qui donneaV^* r^ :[ JJ!j — e ' =t» tarig> aV -r^k , e'eft-a-dire que J'angle a. */-^h col. tangente. Cherchant done un; tel angle, & le nommant $ ou aura V —. k = — . Quoique il foit impqf- fjble d' expcirnen cetj angle- ajgebriquement,. on pent- nean- moius , par la feule confideration du cercle , fe convaincre }> quil n'eft pas unique & determine, mais qu'il y en a une infinite qui ont tpus la meme propriete , de forte que V— .£ aura aufli"' uhe infinite* de valeurs differentes, qui fatisferqnt toutjes egalementi On peut voir dans le Tome II. de C Introd^ a VAhalife des iqftnimens petlts de M. Elder le dernier Prob. du.Chap. XXII,, on Ton trouvera une maniere afses fimple de determiner tous ces angles par approximation. Au refte nous 59 .nous n'aurdns -pas befoi'ri dans <\a. fuite de oohnoitre leurs va- leu.s, il nous futlira de favoir que leilr-nombre eft infini. Apres .avoir a-infi determine la variable r&fyafi oh iuppo- ie , .comtne dans le Problem? I. j'^Mdx 1= J:, & qu'on pratique les memes differentiations a 1' egard de t notre derniere equation integrate, deviendra — j = c/tj,qui eft 4a meme que nous avonsfdeja intcgre dans le ProbUme^lti. On aura done ici de meme s = Scot. tV-ck -+- __£_ fin.. tV-ck r = R coC tV — ck - RV — ck fin. iv/ — cX: , & mettant a la place des quantites s, r, S, & R leurs va- Ieurs en { , w , Z , Be ^ , ' f{Mdx^eaC.W -ck.fZ Mdx 4-fc)£id : fVMdx fu Mdx = cof. f V' — c A fVMdx -V - c /t fin. ? v^— ckfZMdx. II faut maintenam fubftituer la vateur de -M, & taire les autres operations que demande riotre methode j mais com- me cette va'leur de M eft dinerenfe "de telle du Probleme I. , il eft clair que les meines precedes que nous avohs fuivi alors ne fuffiront pas a prefent ; on pourra cependant s' en fervir de nouveau avec. fucces » eh preparant par une fim- ple to-aiisformation les expreflions f^Mdx , fuMdx avec •les deux autres JZ Mdx & fVMdx de la maniere qbe voici . Subftituant la valeur de M j'ai d'abord ft fiii. xV^-k dx — v/ — k f^x cof. xV—kdxi or il eft clair que fi Ton n'avoit que le premier membre de cette expreffion, on feroit exa&emenr dans h cas du Probleme I. ; il ne s'agira done que de ramener auffi le fecond membre a la meme for- me i pour cela je change d'abord lafofmule /{xcofi xV—kdx fxfin. xV — k i r.d.TXy r / f , r '\L en i - j . — . /( — -i_) faux^-kdx, enfuite V — k v — * dx je remarque que , puifque on fuppofe que les integrates ne H i s' eten- 60 s'^tendent que depuis7 x s= o juiqu'a x = a, le terme al- gebrique qui eft de liii1 meme = cs dans le cas de x = o , 6c qui le devienr aufli dani le cas de x = a , a caufe que I s'evanoiiit par hipotefe, ce terme, dis-je, devra etre en- tierement efface , de forte que 1' on aura {implement fz x cof. x V - k dx = — — I- - f( jJJL ) fin. xV —k dx . * l V — k dx ' •Sabftituant done cette transformer dans 1' expreflion de d 7 X flMdx , elle deviendra /({ H — •— ) fin. xV —k dx . Faifant des operations femblables fur les autres expreflions integrales , & fuppolant pour plus de fimplicite d.zx< . , d.ux , nos deux Equations integrales deviendront fz' fm. xV—k dx = cof. rV — ck fZ' fin. x v^ — k dx {m.tV — ck rTT, r / i i ■+■ [V fin. x v — A: d x fu fin. xv^-i + '>/<) _ d£ ('-'V^) \ J / \ J J •4- v c . 2 Remettant a prefent au. lieu de ^, w', Z', V leurs valeurs en £, u, Z 8&V , on aura deux, equations qui determine- ront les deux variables inconnues .{ & u par les donnees Z & V pour lun terns quelconque tS \. 2 0. Les -deux formules que nous venons de trouver etant parfaitement analogues a celles du Prob. I. admettront aula" une conftru&ion femblable a celle qu'on a ddduit des courbes fondamentales & derivees dans £ Art. 7* Suppofons done ici que leVcourbes ANB ', AQB {fig. i. & i.) foient les lieux des valeurs de Z' & de V . favoir, de Z h '- — & de V dx d Vx -t- — — pour chaque abfcirTe x, ck que les autres courbes dx r anb , AqB {fig. 3. &4.) en dependent de' la maniere qu'on a dit dans I' Art. cite; on aura pour une abfeifle quelcon- .,. A ■ MM MSM que x=AM, & pour un tems quelconque t = — - — = — - — '= ~d'i* - - M'N' •+• ^N V M V" - 'Ar? * * . dx 2 2 XV.v ATO' -+- WQ • AfV - Wn U = U -+• _, — r- = i ■> -+- 1 x7 on aura; I jVfxV'= = -4/^^= >J, ( x - ,& *.jPar con%uent ( ,M«_Vc( ^ ■ ) -wy = ~ f^ (x -+■ t Vc) ix *Af* = — /^.(x-fV'f)^) done p (pCx-t-fv'c) -+- J, (x - t Vc) dx ^ \£ ( x -+- r V c ) -i- -J, / * — r »/ c ) fd.y (x -*- tV c) ^ _ J . Soit fuppofe -~^ = *'*-, "* X =

- ix . iW- i i . On peut femplifier ces expreflion^ ide la -maniere fui- vante. Au lieude >( *-!-*• 0 •+- ^(x-rr'Vg), ;e pofe (implement A (x H-.rV'c), & au lieu de V-(x< — tVc) — _y(x'—t — °JL ie fubftitue de meme la feule expreffion r (.x— t^c) ( A:& r etant de nouvelles fonclions varia^ bles differentes de

Ia/k(a-{) V-k 2=. fR fin. ( a -+- % ) \/~ k di ; & r^duifant /(£+ f^) fin. («-H{)y'_yt^ = -/(jR_^)fin. (a-{)V-* fcifle 69 fcifle x dans chaque branche a commeticer du point A fo- ient entr'elles, comme les quantities (Z) & Z'. Par -la on trouvera fans difficulte que les courbes t dont il s' agit , auront autour du point A une figure fern- blable , avec cette feule difference que pour les courbej fondamentales les deux branches infinies de part & d'autre de A feront diamerralement oppofees, favoir, Tune au deflus , I' autre au deflbus de 1' axe ; & que pour les courbes diri- vees , les branches feront Tune & 1' autre du meme cdte de 1' axe j d' oil il s' enfuit qu'aiant execute la continuation du cbte' des abfcifles pofitives a 1* infini , fuivant ce qu'on a dit ci-defliis , on n'aura plus qu'a renverfer la meme courbe au dela de A , & au deflbus , ou au deflus de 1' axe , felon quelle appartiendra aux fondamentales , ou aux derivees. 13. Par la methode qui vient d'etre expliquee , nous avons la maniere de continuer de part & d'autre a l'infini les courbes qui dependent des valeurs de Z & de V, don- nees a volonte dans le premier inftant du mouvement, fans s' embarafler que les differentes branches de ces courbes fo- ient lides entr'elles par la loi de continuity . Mais fi on vouloit fi borner a admettre cette loi , on pourroit obtenir les m£mes refultats avec beaucoup moins de peine par la (imple consideration des formules donnees a la fin de I Art. 10, Toute la difficulte fe r^duiroit a chercher la nature des fon- ftions

— tV c >fv/ c -4-"

De ces deux equations il fuffira de verifier la premiere , puifque la feconde n en. eft que la different! elle divifee par dt ; mais il fe preTente dans cette operation une difficulte ; ear les termes etant diviies les uns par x , les autres par x2, on peut etre en doute fi en faifant a part = o les nu- merateurs de x & de xx toute la formule dit'paroitra , 4 caufe que x eft deja lui meme = o . Pour lever cettq difficulte, fuppofons que x, au lieu d'etre tout-a-fait nul, foit feulement infiniment petit &==<*;& developpons chaque fonftion "

tV c -4-

- tVc r±T% tVc -*\J,- tVc = o, / c = o Equations aufquelles on fatisfera en pofant "

/c ) & 4(« -+• f^O — a \|/' (a-hrVc) = — \J, (a-iv'c) Equations qui font tout-a-fait ferablables entr'elles. — *1± Je multiplie par e " Vcdt> & j' integre j j'ai -a^(a + iVc) e • = — a/< — zf• - -^ ; il eft evi- dent qu'il faudra rejetter dans la conftruction de I' An. 20. les termes qui repondent aux abfcifies x ■+■ tV c , ces ter- mes ne pouvant ici produire aucune valeur reelle ; il n' y aura done que les termes relatifs aux abfeifles x — tVcy qui entrent dans la determination des quantites ^ & u, d'oii depend la connoiffance des mouvemens enqueftion. Aiant pris {fig. 1 1 .) fur la ligne PR le point F tel que PF = t V c , & coupe de part & d' autre les parties P' Q' , P' q egales a PQ_, & Pq; je tranfporte en q P' Q' les deux courbes qui renferment les valeurs des Z & V y telles qu'elles ont ete decrites fur le diametre q PQ; & prenant le point P' pour l'ori- 77 Torigine des abfciffes x, je trouve pour une particule quel- conque M ; / d_x VtJ \ dx ' * 2 v + HJL -d.'Z + i^)^, / dx dx dx 2 Or par les fuppofitions faites a la fin de V Art. 19., on a generalement / = z -+- — -i— , & a' = u -i ;— ; F ori- 0 l l dx dx gine des x etant au point P . Mettant done ici pour tran- sporter cette origine en P' , x -+- 1 y/c au lieu de x , & in- tegrant apres avoir multiplie par ( x ■+• t V c) dx , il vien- dra les deux equations fuivantes z (x-htScy= I Zx* -+- -tVc(fZdx-4-Zx) 2 Z z^c J J d x u(x + tVcy = - Vx* -h - tVc(fVdx-hFx) % 2 - ^f{X + t>/c)id.(Z+i-ZjL). Si on fimplifie les expreflions integrates par la methode des integrations par parties ; & qu'on ajoute les conftantes ne- ceffaires , on aura {(* -+■ tVcY=i- (*■ ■+■ xt Vc)Z -+• -tVcfZdx 2 2 - 1 t^c^ --1— { — + Xt\/c)frdx — V rvx*dx -+- -— u{x4-tVff = - (x* + xtVc)V"+ -_ tVcfVdx 7* tvcB (x1 -{- xtvc) _ (x-+- IrVc) 2 2 ax 2 Z -h— fZJx-—4. 2 J 2 L'addition des conftantes fert a rendre egal a zero le der- nier membre de chacune des equations precedences , lorf- que jc-Hrv/c = o,oux = — tV c = — P P' ; ce qui eft neceflaire , puifque, alors les premiers membres difpa- roiflent d' eux memes ; ain(i en fuppofant que les integra- tions commencent toutes au point P' ou x — o , les let- tres A , B , Z? , reprefenteront les valeurs des integrates fZdx,fVdx,fVrxldx prifes depuis P' juiqu'a ^', le- quelles font les memes que li on les prenoit de l'autre cote depuis P' jufqu'a Q'. II faut neanfmoins remarquer que dans la premiere equation Ton ne trouve point de conftante qui faffe evanoiiir le terme — ( \- xtVc) fVdx, 2 y^C 2 dans le cas de x = — t V c; c' eft une omiffion que j' ai fait expres a caufe d' un nouveau terme qu' il faut encore ajouter a la meme equation. Pour voir la raifon de ceci on n'a qu'a fe fouvenir de ce , que dans 1' expreffion des valeurs de ^ & de u, nous avons regarde , comme genera- lement nuls, tous les termes qiJl repondoient aux abfcilTes exprimees par x -+- tVc; il en eft cependant un quon ne peut pas negliger ; c' eft celui qui eft ex-prime par la for- d-Vx mule integrale / ( V ~-h ) dx = fV dx -f- V x ; car il eft evident que quoique les valeurs de V difparoilTent fur la ligne QR depuis le point Q , 1' integrale fVdx con- ferve toujours la meme valeur conftante , qu'on a defigne ci- deffus par B; dela il eft facile de conclure, qu'il taut ajou- z> ter a la valeur de / le terme , & par confequent k zy/e r la 79 x2 B la valeur de r (x-4-tVcY le terme ( \-xtVc) , 1 2 2 VC Iequel fera juftement difparoitre F autre terme — — — (— H- xtVc) [Vdx , lorfque x— — tVc,[Vdx de- venant alors = i?. Si F on examine maintenant la forme des deux equations precedentes , on verra aifement que F on peut fe pafler de 1' addition des conftantes , en donnant un autre origine aux integrates [Z dx, fVdx, fVx*dx, & les faifant com- mencer du point q en allant vers R , ainfi F on aura plus (implement ( xl -+- Xt V c) Z -H ty/cfZdx *■ 2 ( X \ t y/ C f (A-' + i.vtv'O fV dx -+• fV xzJx 2(* + tVcY (x*-±-xtVc)- \- (x-{- rtVc) Z —fZ dx -V, dx c 2 (x j. tvc? i6. II eft vifible par ces formules que { & u font tou- jours = o , lorfque la valeur de x tombe au dela des points q , 6k Q' ; d' ou il fuit que pour le terns donne t , il n'y a que la feule partie q Q' de la fibre qui foit en mouvement ; or comme le poinr du milieu P' a ete pris tel que PP' = t\/c; il eft evident que F onde aerienne q Q' avancera toujours avec une viteffe conftante & = y/c qui eft la meme que nous avons trouve plus haut dans la premiere hipothefe ( Art. 12.). On pourroit ici developper les loix parriculieres que chaque particule d' air obfervcra dans fes mouvemens , dependamment des premieres impref- fions Z & V produites par le corps fonore ; mais Iaiflant ces 8o ces difcuflions peu imporrantes en elles memes nous nous, contenterons de faire obferver en general la variation des quantires f & k, a mefure que le tems t augmente . Pour cela , comme 1' efpace PQ eft toujours tres-petit {Art. 14. ) , on peut, fans erreur fenfible, lorfque le tems t a deja une valeur considerable , negliger x par rapport a t y/ c ; ainfi il viendra xZ -+- fZdx — — f^dx *■ xtVc xV-*-fVdx- ( fi5 -h rZ)Vc 2 t V c d' ou 1'on voit qu'en general Ies valeurs de ^ & de u df- minuent dans la railon inverfe de t Vc ; ou de PP'; ce qui montre que la force ou 1' intenfite du Son , doir decroitre a tres-peu pres dans la raifon inverfe des diftances fimples, du centre de propagation . Je ne poufferai pas plus loin l'examen de ces formules, & je ne chercherai pas , non plus a deduire de la theorie expofee dans /' Art. 11. Ies lois de la reflexion qui auroit lieu dans 1' hipothefe prefente fi la mafle de l'air etoit ren- fermee dans un vafe fpherique de grandeur finie. Ces re- cherches etant de peu d'utilite je me contenterai d'en avoir pofes tous Ies principes dans la folution generate du Pro- blems precedent. CHAPI- Si CHAPITRE IV. Application de notre methode du Cliapitre II. a differentes hipothefes. 27. T Es Problemes, dont nous allons maintenant nous I i . ftcc-nper T quoique peu neceffaires pour la matiere que nous traitons , ferviront neanmoins a faire voir 1' uti- lite , & F extenfion de notre methode du Chapit. II. ; ils pourront aufli etre d' ufage dans plufieurs autxes points de k Theorie du Son . Probleme III. Conjlruire P equation Multipliant par Mdx^ & pratiquant les memes reductions , , „ , TI „, A, dzM mdM que dans le Frob. II. on aura 1 equation en m , — — — = kM ; qu'il faudra integrer. Or il eft facile de s'affurer, au moien de quelques transformations convenables , que cette equation tombe dans le cas general de Ricati , & que par confequent fon integrabilite depend de certaines conditions , qui fe reduifent ici a ce , que m foit un nom- bre pair pofnif ou negatifj mais la methode ordinaire d' in- tegration pour ces memes cas eft fi laborieufe, que je ne faurois me refoudre a la pratiquer ; d' ailleurs il ne fuffit pas de trouver une expreffion algebrique de M\ il faut de plus , qu'elle foit telle , qu'on piriffe dans la fuite du calcul chaffer aifement la quantite k a 1' aide de quelques redu- ctions ; comme on a fait dans les Problemes precedens . II m' a done fallu imaginer une autre methode , & voici comment je m'y fuis pris. I Puif- 2i Puifque Ton a trouve pour le cas " de m = o , qui eft celui du Prob. I. , M = A fin. x V — k ; & pour le cas de m = 1 dans le Prob. II. , M = ^ ( fin. x v/ — k — x \/ — k cof. x v' — k ) ; ce qui s'exprime plus {implement par M = ^f fin. x v' — k — A x L, Z- , on eft r dx afles fonde a croire que , lorfque m aura une valeur quel- conque 4 , 6 &c. V expreflion de M 'fera de la forme fui- rante M=Afa.xV- k + Bx i" dx Cxld^.fm xV-k + &c< A , B , C &c. etant des coeficiens a determiner par la fubftitution , & la comparaifon des termes . Mais pour embraffer une plus grande generalite , je fup- pofe fin. x V — k = u ; & Af = Au -+- B h C- h D - 1- &c. dx dx' dx' & je regarde les quantites A, B, C &c. comme des fon- clions variables de x; dont il faut chercher la valeur con- venable a 1' equation donnee . Je commence par prendre la differentielle de M, que je mets fous la forme fuivante dM dA JB du^ dC d*u^ dD d>u & dx dx dx dx dx dx* dx dx' •+■ A -*- B -h C -*- &c. Je trouve de meme d*M d'A dlB du dlC d*u , dlD d>u - ■ dx' dx' dx' dx dx' dx' dx' dx> a. •" # i" + "£ * &c. dx dx dx ■+■ A •+• B •+- &c. On I) On trouvera de plus par la nature de la fonftiort u , ,» a&1u nd*u s,d+u nd'u „ kM= A — -+-B - hC — -\-D — - -+- &c. dx' dx' dx* dx* Subftituant ces valeurs dans liquation — — ; k M =. ^ dx' xdx & ordonnant les termes par rapport a la variable u on aura d*A _mdA . " ' Hx7 1c77 ' du ,dlB mdB tdA mA x -+- — ( — -+- ) dx dx' xdx dx x _dzu d*C mdjC idB _ mB. d x' d x* xdx dx x d'u ,dlD mdD idC mC. -*- j-j (-— -— ■+■ -j—. ~ ) a x' ax xdx d x x -+- &c. Sec. &C. = O } d' ou 1* on tirera les equations particulieres dx\A mdA _ d x% xdx —* -. —— rdA._mA__ dx' xdx d x x d* C _ mdC idB mB. _ dx' xdx dx x i &c. &c. &c. qui font tres-aifees a refoudre; dans 1' integration de toutes ces equations , a 1' exception de la premiere , on peut n£- gliger les conftantes, qui ne ferviroient qu'a rendre les va- leurs des quantites B , C , D &c. plus compliquees fans les rendre plus generates . Ainfi f & h etant les deux cort- ftantes de la premiere quantite A on aura A = /-H hxm * • B = — fx-hx"-1- * J x-}-{tn^i)(m — i) 2 • 3 (m + 3)(w + 4) £ = &c. oil la loi de la progreflion eft afles manifefte . 28. Dans ces formules on voit elairement que fi m eft un nombre pair pofitit a commencer par z , la ferie des termes multiplies par f devient exatte & finie , tandis que 1' autre ferie qui eft toute multipliee par h , va a 1' infini j c'eft tout le contraire , lorfque m eft un nombre pair ne- gatif a commencer de — 4 , car dans ce cas la feconde ferie fe termine apres un nombre fini de termes , la pre- miere allant a 1' infini j d' ou il fuit que, puifque les quan- tises f & h font abfolument arbitraires, il n'y a qu'a taire h = o dans le premier cas , & f = o dans le fecond , & Ton aura algebriquement la valeur de M en x, en cher- chant celle des coeficiens A , B , C &c. dont le nombre eft alors limite . On pourroit, au premier afpeft, former des doutes fur I'exa&itude des formules precedentes, par la raifon qu'elles ne paroiflent pas fatisfaire au cas de m = o ; & de m = — 1 , dans lefquels on fait d' ailleurs que M a une va- leur finie. Pour lever cette difficulte , il ne faut que recournir a Pitt- tegration immediate des equations qui doivent donner les valeurs de A & de B , dans les deux cas propofes ; on trouvera pour le premier t A = f, B = o , C = o &c. & pour le fecond A = hx~ * , B = o , C = o; c' eft un inconvenient attache a toutes ces fortes de formules generates d' integration , d'etre en defaut dans certains cas, qui demandent un exament a part . On pourroit encore etre embarafle dans 1' ufage des for- mules precedentes , lorfque m ss -+z 1 » dz 3?r+t J • &c. puifque dans ces cas tous les termes de la ferie f, ou h deviennent infinis, a l'exeption feulement de quelques uns des *5 ies premiers. Mais il eft aife de fe tirer de cet embarras, fi on fail reflexion, que les conftantes / & h etant abfolu- ment arbitraires, peuvent etre fuppofees tout ce qu'on veut, ainfi il n' y a qu'a faire f ou h = o , ou = o X g" ; can ce o detruifant celui du denominateur , les termes qui etoient infinis , redeviendront finis , & fe trouveronr de nouveau multiplies par une conftante arbitraire g ; ceux au contraire qui etoient demeures finis s'evanoiiiront par cette fuppofition ; d' ou refulte la regie generale , favoir de ne eonferver que les termes qui regoivent une valeur infinie, en les degageant cependant de 1' infini qu'ils renferment . Aiant ainfi trouve la valeur de M il ne s' agit plus que de pourfuivre le calcul de la meme -maniere qu'on l'a fait dans le Prob. I.; on aura done de nouveau les deux equa- tions J\Mdx= cof. tV-ckfZMdx h- {in-t^_~ck fFMJx fuMdx= cof. tV-ckfVMdx-V-ckhn. tV-ckfZMdx; fubftituant la valeur de M = A fin. xV —k-+~ B— — '- a x -+- C — — ~ — -+• Sec. , & faifant difparoitre le dif- ferences de fin. x V — k par la methode des integrations par parties on obtiendra /{'fuu/ -kdx = cof. t V-ckfZ'bn. xV-ckdx (m..tV —ck rrr, r / i ; y/- -ck J 111. ^V T fV H A /*" fin. x V -kdx : = cof. t V- -ckfV'bn. xV- ■kdx — V -a tfin.tv'- ■ck fZ'{m.xV. -kdx j ou i I = Al ■ d-B{ dx ■+- d*-Ci dx* &c. Z' SB AZ _ d-BZ dx H- d*CZ dx" &c. u' u' = Au- d-Bu dx V'=zAF- d-BF dx 96 B u d* - Cu # + -IT - &c- *£■ _ to. dxx Enfin 1' on tirera les valeurs de z & de u par les memes procedes qu'on a fuivi dans les Prob. I. & II. Je ne m'arreterai pas ici a examiner la nature des cour- bes generatrices , & la maniere de les continuer , laquelle depend de la valeur de M; il feroit cependant aife de le faire fuivant les principes que nous avons etablis ; mais comme je ne donne ici cette iolution generate , que comme une fimple application de ma methode , il vaut mieux de la fimplier autant qu' il eft poflible , en y introduiiant les fonftions indeterminees

' (x + tv'c) - Les valeurs des A, B , C, etant les memes qu'auparavant, mais transformees par la fubftitution de m -+- 1 au lieu de — m . A 1' egard de la valeur de u elle fera ici = fin. x ^ — i il faut obferver , qu'elle peut-etre egalement cof. x v' — — ; d'oii il fuit que prenant deux quantites P, Q con- ftantes a 1' egard de x, on aura generalement u = P tin. xV 8* k k x V -+- O cof. x V — — , done fi on fait e c s = P(ACm.xV-- -+- —— BcotxV-- -*- c Vc e - C fin. x V - - -*- &c. ) c c •4- QCAcot.xV-- - ^T— B fin. x V - - -4- c v * c - CcoCxV - - - &c.) c c •n aura A ■=. fx -*• hx~ " B = - fx* - hx1-" „ r( m-h 4 ) , , m — t .__ 2.(w + j) i(w — i) »'3(>» +/)(>»+ 4) 2.3((M l)(»J 2) E = &c. ou 1' on voit que Ies coeficiens des termes de la ferie f font les memes que ceux de la ferie h dans les formules du Prob. prec. , & reciproquement ; done il fuffira d'appli- quer aux formules prefentes les memes remarques qu'on a deja fait fur les differents cas de m pofitif ou negatif. Soit divifee toute 1' equation par A, il eft evident que, puifque Ton ne doit prendre a la fois qne l'une des deux feries , felon que m eft pofitif ou negatif , les fractions -— , — &c. feront toujours = o , lorfque x = o ; foit de plus , lorfque x =s o , Z la valeur de ■£ , & V la va- A- — leur de ——■> valeurs qui pourront tres-bien etre P une & ax 1' autre des fonftions de t; on aura, en faifant d'abord -v = o dans 1' equation ainfi preparee, fZ Mdt = Q; en- fuite 8> fuite differentiant la m£me Equation, & y faifant de nou- . v' — k veau x = o il viendra [VM.it = P — — ( i -+- fx ) j d- — fx. eft une conftante qui defigne la valeur de — — ; pofant y pour abreger V au lieu de , on fubftituera f Z M dt i + p y/ c au lieu de Q , & _ fVMdt au lieu de P . Main- tenant , pour chaffer la lettre k de 1' equation , on fe fervi- ra de la methode des integrations par parties , qui a deja ete tant de fois mife en ufage ; car , puilque M == fin. t^—k.) on peut au lieu de fZ Mdt fubftituer indifferem- ment _ — - /-— cof. t V — k dt , ou— — f——(\naV—kdf. en neVligeant les termes algebriques qui doivent etre fup- pofes d' eux mernes = o j il en eft de meme de 1' expre£ fion fV Mdt- Ces operations achevees , on mettra fou* les fignes d' integration les firms & cofinus de x >/ i & on developpera a 1' ordinaire les produits de ces flnur & cofinus par les finus & cofinus correfpondens de tV_—k? on obtiendra ainfi 1' equation fl (\n.tV—kdt = Lf(AZ + *££+ £*£&c.) fin- («- -)•-*<<* 2 J v Vc dt t dt* * v Vc' -4- Lf{AZ- 4—+---&c.)fm.'t+ JL)V-kdt iJ Ve dt t dt% v Ve' + A[(AfFdt+lv+C-d21&c.)fa.(t-±)V-kdt - *f(AfFdt- ?-V+£d-L&c.)(m.(f*--)\'-kdt. Or fuivant les principes de notre methode , on egalera M let 9o le t du premier membre aux quantity t — — , & r •+- — du fecond ; d' ou Ton aura t •+■ — pour la valeur de t dans les termes multiplies par (in. (:— — ) & r — — pour la valeur de t dans les autres rermes qui fe trouvent multiplied par fin. (t •+■ — ) ; or 2 & f" etant des fon- £Uons de r , on peut les exprimer gen^ralement par A t , & r t } ou fi pour abreger davantage , on pofe Z -+- — fVdt = At & Z - _L /r en negligeant ce qui fe doit negliger. La difference de cette ex- preflion prife negativement donne l'exces de l'elafticite' d'unff tranche quelconque fur celle qui la fuit immediatement , done fi on 95 dX on multiplie cet exces par la largeur X-+- — j de la tran- ce, & qu'on divife enfuite par la mafle Xdx, on aura la force acceleratrice qui tend a faire parcourir 1' efpace 7 i done I' equation du mouvement du fluide fera —i = c ( —I at* a dX X -4- — r -+- d ■ i ) ( — "* *■ ) qui fe reduit par la fuppofition de { infiniment petit a 77 {dl? H ^ ;* Telle eft 1' equation generale ; mais jufqu'a prefent je ne connois encore que quelques cas ou elle foit conftru&ible ; ce font ceux qui peuvent etre compris dans la folution du Prob. III. ; e'eft-a-dire ou l' on a = — ; ou bien X X dx x = h xm ; ce qui donne une conoide forme par la revolu- tion d' une parabole , ou d' une hiperbole quelconque . On aura done dans cette hipothefe — i = c ( — £ -+- m — Z. ) , v dt% Kdx* d x ' ' equation integrable exa£tement toutes les fois que m fera un nombre pair pofitif, ou negatif ( Art. 28.); dans tous les autres cas la valeur de 7 fera exprimee par une fuite infinie. Soit m = i , on aura le cas du Prob. II. , & la for- mule de /' Art. i 8 . donnera d- x 7 _ ^(x+t/c) ■+■

6 a de 1' axe ; ainfi il ne feroit pas difficile de compren- dre que le fifteme des particules reprendroit toujours fa premiere pofition apres chaque intervalle de tems = — ; ye or, pour que ce cas puifTe avoir lieu, il fuffira que le coe- ficient (3, & tous ceux qui multiplient les differences im- paires de y foient nuls j c' eft-a-dire que la valeur de f foient telle , quelle ne renferme que des differences paires des fonclions T & A , ou au moins que leurs coeficiens s' evanouiffent en pofant x = a . Ces conditions ne pou- vant avoir lieu dans notre cas , on en doit conclure que les ofcillations des particules de l'air contenu dans les tu- iiaux donnes changeront continuellement, & ne reviendront jamais les m£mes , ft ce n' eft par une efpece de hazard dependant de la nature des premiers ebranlemens . Je dis par une efpece de hazard, puifque je fuppofe que ces ebran- lemens foient quelconques ; car , on pourroit d' ailleurs les iuppofer tels que le (ifteme fut toujours foumis aux lois de 1' ifochronifme ; c' eft ce qui eft connu de tous les Geo- metres ; mais nous aurons dans la fuite occafion d' exami- ner cette matiere plus a fond qu'on ne l'a encor fait. Des vibrations des conies inegalement epaijfes . 33. TL eft facile de voir que 1' equation pour le mou- JL vement des cordes tendues, qui font d'une epaif- feur variahle fera de la meme forme que celle , qu'on a donne ( Art . XII. Rech. vrec. ) , avec cette feule difference que la quanrite c devra etre regarde non plus comme con- ftante , mais comme une variable exprimee par quelque fon- ftion de x . Confervant done les memes noms , & fuppo- fant JY"une fon£hon donne de x. on aura ( —2. ) =X( _2\ K dt* J K dx*> Soit dans un cas particulier , X = hxm, ]e fais x 97 » «. = j1-', & y = ii & prenant je crois pouvoir me difpenfer de donner 1' Ana- life , par laquelle on trouve que la force acceleratrice de chaque point de la chaine eft comme la fomme des an- gles de contingence depuis le fommet , moins 1' angle de contingence multiplie par le rapport du poid total de la portion inrerieure de la chaine au petit poids dont ce point eft charge . Soit done x la longueur d' une partie quelcon- que de la chaine a commencer par le bout inferieur, Xdx la pefanteur , ou la made de la portion infiniment dx , & y T efpace parcc urn horizontalement dans le terns t , on aura 1' Equation d*v ( dt*} _(dy. __ ,'dy. _fXdx dy 99 dt> ' N dx ' X Or foit X = fxn , on aura ' — — - = , & faifant * X n -f i x — — - , y = i- il viendra b J s , d* z h r , dl 7 . , d ■ -^ s ., ( — i ) = [ ( — t- ) "4- 2 « — I X ( — — ) 1 . Equation reduite a norre formule generale , & qui aura une folution exa&e toutes les fois que 2/2—1 fera un nombre pair quelconque , c' eft-a-dire , que n = — — . Dans Ie cas oil la chaine eft d'une pefanteur uniforme , on a n = o; ainfi m fera == — 1 dans les formules des Art. 17. & T on trouvera que les deux feries , done 1' une eft route multiplied par /', & l'autre par A, reviendront precifement a la meme . Soit / la longueur de la. chaine, on aura dans le point de fufpenfion y = _L ; done, ce point etant fuppofe fi- xe , il fdudra que 7 y foit = o ; d' oil 1' on retrouvera les memes conditions entre les fonftions T (a -\- tV c) , & A (a — tV c) que dans I' Art. 31. Maintenant, puilque la chaine eft libre dans tous fes autres points , il eft vili- ble que ce feroit mal a propos , qu'on fuppoferoit y = o , lorfque x = o ; mais il faudra remplacer cette condition par celle-ci —^ = o ; car il eft naturel de penfer , que la courbure de la chaine doive s' evanoiiir a Ion extre- mite interieure, par la raifon qu'il n'y a ici aucun appui a 1' aftion des parties fuperieures . Or —¥ — — ( sz — £ — r r dx1 j! (is1 3 s _I -+- 3 7 ) ; done lorfque s eft zero , ou fimplement N z infini- I 00 infiniment petit, — ^ fe reduit a IS. , & par consequent on aura de meme ici r.== o, lorfque s = o, & Tr^c-t- A — t V c = o, comme dans /'^/?. are. Au refte ce Pro- bleme, etant abfolument analogue aux precedens, eft fufcep- tible de remarques femblables . Je me contenterai {im- plement de faire obferver, que ft on vouloit le refoudre dire£tement par notre methode generate , on parviendroit apres les operations ordinaires a cette equation en M , kM = - — , qui eft conftruftible par les me- dx d x iftlfl thodes connues dans le cas , oil X = hx ■* ; il fau- droit enfuite determiner la quantite k , avec les autres conftantes de M, par la condition que — !— — X ~- — d. £%& v M ,. MfXdx dy dM ■ -1— Xv+ My , ou bien —J—- X -f- — X dx J y X dx dx I^£X Xy -+■ MfXdx X -4^-Xy foit == o, lorfque x = a , & x = o . Or dans le premier cas y etant lui meme — o , il fuffira que M le foit auffi ; dans le fecond il eft clair que toute la quantite s' evanoiiira d' elle meme a caufe du fafteur fXdx qui multiplie tous fes termes ; cependant on fuppofera toujours M = o , arm de terminer la noire des points mobiles au bout inferieur de la chaine. S C O L I E I. 3 5 . Par les formules donne"es dans ce Chapitre , on peut reToudre le Probleme de VArt. 6 1 . de l'excellent Traite de la refiftence des fluides de M. D'Alembert, d'une maniere, peut etre plus analitique que ne l'a fait cet Auteur . Voici en quoi confifte ee Probleme ; il s' agit de trouver deux quan- I 01 titis A, & B , relies que Adx -+- /? x s dx p = qsv ; 8c quon fuppofe les valeurs u & v determines par ces equations u = ! , & v2 -+- ( i — u-t- mu) v -+- mu — u ■+• i = o il vient bu* ( ^ ) = (^i)H-(iv-tf-+-i-l-w«)( — *-i ) v dt1 ' K ds> ' v ds ' Equation qui a la meme forme , que celle du Prob. cite , & qui par confequent eft fufceptible des memes folutions . Lorfque /n = n , on a a = i , & i» = — i , ou — m\ la premiere racine rend le coeficient de. & ■ — , = m — z , & la feconde le rend = — m ; ce qui conduit aux memes conclusions que plus haut. Au refte il eft vifible que le Probleme prefent renferme dans fa generalite tout ceux , dont nous avons traite dans ce Chapitre . S C O L I E II. , ,„ . , . , d-M dM , , 36. L equation kM = m ~r etant transtormee par — « ' A fc la fubftitution de fs v*' au lieu de x devient ~± - ( 1 + *» ) Ms io3 — 1« d*A4 Ms '*m = — - , & faifant enfuite M = c^d' dy-+- i1k ^-? — y*-ds = -^ ;s l*m ; qui eft i' equation meme de Ri- cati . Les formules trouvees dans la folution du Prob. III. donnent , comme on le voit , une conftru&ion generate de certe equation ; mais il faut remarquer , que ces formules ne font encore que des cas particuliers des integrates com- pletes, qui refultent de la fuppofition de quelques conftan- tes = o ; pour les completer on joindra a la valeur deja trouvee de y , la quantite _ x ; ce qui eft facile a demontrer. C H A P I T R E V. Continuation des Recherches fur la propagation du Son . §■ I- Dc la propagation du Son , en fuppofant que les ehranlsmau des particules de /' air ne foient pas infiniment pet its . 37. /^vUelque naturelles, que paroiflent les hipothefes \^f que nous avons examine dans le Chap. III. ; elles donnent cependant la vitelTe du Son moindre que la veritable, d'environ 163. pieds par fecon- de ; comme on le peut conclure des Art. \^. & 16. ci- deffus . Cette difference eft fans doute afses confiderable , pour ne pas' etre attnbuee aux erreurs des experiences, qui fervent d'elemens a notre Theorie , comme j' etois porte a le penfer quand je donnai mes premieres Recherches fur le l 04 le Son ( Voles Art. LVII. ) . Mais quelle pourroit done en etre la caufe ? M. Euler a cru la trouver dans la fuppofi- tion des ebranlemens infmiment petits , fur laquelle on a jufqu'ici fonde les calculs de la propagation du Son ( Volts Ion Memoire , pag. i o. ci-dejfus ) . Cette conjecture eft plau- fible, mais je doute , quen l'examinant a fond on la trouve aui'li fatisfaifante , quelle le paroit d' abord . Pour en ap- precier la valeur , voici la methode que j' ai imagine . Problcmes preliminaires . Probleme IV. d* z d* z Conflruire f equation ( — - ) = c ( __ ) ■+■ y , y etant une fonclion quelconque de x & de t . 38. Je la multiplie par Mdx , je l'integre, & j' opere a l'egard des termes /( ^1 ) Mdx, & c f ( ^1 ) Mdx, comme dans le Prob. I.j je parviens ainfi a cette equation en s, = cks -+- fMydx par les memes procedes je trouve 1' integrate s -+- fjt.v = Ae'-P-h (/.e'-F fe~l'V- dt fMydx , d' ou refultent les deux equations J{Mdx = cof. t\/-ckfZMdx -+■ ^Ll^rJ^ fVMdx *Vck ck e,Vck j-e-,Vck dtfMydx — e-tV f°nt P"s Pour ex" primer les valeurs de y apres les fubftitutions de p -+- t Vc & de q — t V c au lieu de x, les termes dont il s' agit deviendront 1 f(fP'dt ■+• fQdt) fin. x V - kdx; par confequent 1' expreffion de u renfermera outre les formules 0 i trouvees to9 rrouvees a la fin de CArt. 6., encore celle-ci^ 1-± — . z COROLLAIRE. d* Z dlr 38. Done le terme y ajoute a F equation — \ = c — i produit dans les valeurs de 1 & de u une augmentation qu'on determinera ainfi . Soit integre _y (2ds •+■ muds •+- du Au ,s •+- dsT u , s , foient Pune & Pautre des differentielles completes . Faifant *ds -+• (Zdit = dq , & fubftiruant dans la feconde differenrielle les va- leurs de a. & (8 en q , on trouvera par les conditions de l'in- tegrabilite P equation fuivante , /^?v , , d2 a N . d - Au, s ., ,diq % V duds J ^ K d» J «[l» I 10 i|ui peut fe rapporter a cette forme V dt*J K dtdx' K dx*' J Quoique cette equation foit etrangere a la matiere que ■ous traitons , je crois qu'on ne fera point fache de voir comment notre methode s' y applique. Je commence ici par (iippofer -1 = u j & je decompofe par ce moien 1' equation propofee dans les deux fuivantes dz 0 du , du dz z _i = a } & -j- = b _ -+- c-i-f-yj dt . dt dx d x* Je multiplie la premiere de ces equations par Ndx, & la feconde par Mdx , je les ajoute enlemble , & j' en prens l'integrale, en faifant evanoiiir par des integrations par par- ties les differences de £ qui naiilent de la variabilite de x; j'ai /( Y il +Md4) dx = ' J dt dt nc— i irjv^i —]u)dx-i-fMydx J N dx* l L dx J J J -+- bMu ■+■ cM-1 — C 7. dx dx l Negligeant ces derniers termes algebriques qui difparoifient d' eux memes , dans la fuppofition que M foit = o au premier, & au dernier point de l'integrale, & comparant , Ar dzM 0 , ,, « i dM terme a terme , on aura kN = c — — : & A: M= N — b — dx* ' dx d' oil 1' on tire frM ■+■ bk — -c—— = o , & M = dx dx* j[emkx _j. Beak' , 7H & « etant les racines de Tequation i •+• by — cy* = o . Or M devant etre = o , lorfque x = o , & x = a , on aura B = — A ; & emk' — c"1' = o; ce qui fournira une infinite de valeurs de k ; on aura done M= e*J'-eB,,i & par confequent N=ck (m1 emh* — n* <"**). Soit maintenant /( 7V{ -t- iW«) i*= j, notre 1 1 1 norre equation deviendra — = k s ■+• fMdyx ; d'ou Ton tire en integrant & confervant les noms, que nous avons employe dans tout le cours des Recherches precedenres , f (Nf -h Mu)dx = ekt f(NZ -+- MV)dx -hck< fe~k'dtfMydx. Or la quantite N etant multiplied par un coeficient k , pour le faire difparoitre on changera les j integrates fN^dx , & fNZdx en — / (-1 )dx fNdx dZ & — f ( — ) d x/Ndx, en negligeant les autres termes qui deviennent nuls, a caufe que { & Z difparoiffent quand x = o , & = a ; fubftituant done les valeurs de M , & de fN d x , on aura /( u — cm — £- ) emkx dx — f(u— en — L ) eak" dx = d x dx f{V-cm—) e(m * + '^kdx-f(V-c n—) e^' + '^dx J dx J d* -h ekt fe~kt dtfemk* ydx - ek' fe~ kt dt fenk * y dx . Soit P la fbn&ion de p & de t qui vient de la fubfti- tution de p au lieu de mx — t dans^y, &c Q la fonction de q & de t qui viettt de la fubftitution de q a la place de nx — t dans la meme quantite y ; les deux derniers termes de la formule precedente fe changeront , felon ce qui a ete enfeigne plus haut , en ceux-ci f(fPdt)emk' dx - f(fQdt)enk*dx. Maintenant , puifque m eft fuppofe different de n , il eft clair , que les quantites exponentielles emkx , e'*', & ,.(»» + i)»i e(«» + i)i ne fauroient jamais devenir ega- les; done il faudra neceffairement decompofer l' equation en deux , afin d' en chaffer la quantite k ; par ce moien on trouvera, en retenant les expreffxons emploiees dans le Pro- bleme I. a — em 1 I 2 « _ c/2 -* = (T- cn ^) <• -T ) -H /•Orft. S' il arrivoit qne n fiit3=m, alors , la premiere de ces Equa- tions demeurant la meme, on ne feroit qu'augmenter n d'une quantite infiniment petite * ; c'eft-a-dire on fuppoferoit n = m -f- ti; tk 6tant la premiere equation de la feconde, il viendroit apres avoir divife par * dl = ,dZ d-jV-cm ll)v t j., dx dx dx cm1 J dp cm* Si « etoit infini , ce qui arrivera lorfque c = o , alors on auroit aum" cn = o , & la feconde equation deviendroit Si on veut maintenant comparer les refultars de cette folution avec ceux de M. D' Alembert , on prendra pour {V - cm -i?L) C--i), & (r-cn ?±j (*-Tl <** V /—ky x dx j ©n aura done dans 1' equation ( A ) — — — — fMy d ' 'x = __*_ / fin. x V- k ydx -4- _ , ' / cof x V - k yxdx = ( en reduifant Ie premier terme , comme on a fait dans le Prob. prec. ) — /cof. x V — k (fydx -+- xy) dx; oil il faudra pourtant obferver que l'inte'grale fy dx foit prife de maniere qurelle s'evanouirTe lorfque x =. a, r , {\n. xV — k fy d x , ,. aim que le terme JJ que nous neghgeons s' evanouiffe de meme . Suppofant done maintenant fy d x •+- xy = Y , & faifant les autres obfervations , & redu- ctions fuivant les principes etablis dans les Prob. II. & IV.., on trouvera que la valeur de f favoir de z ■+- — i— , de 1 *■ : • ax VArt. ia. , devra etre ici augmentee de la quantite — — - IfQdt-fPdt). On tirera de meme de 1' equation (B) la valeur de u ; mais on pourra s' ^pargner la peine de ce calcul, en cher- chant d' apres la valeur trouvee de / celle de — -*— = u. Ufage des ProhUmes precedent, 41. Examinons d'abord le cas d'une ligne phifique d'airj il eft facile de trouver que T equation rigoureufe du mou- d * 7 d -■ ?" vemeru des particules fera S= — c ' '-»'* x (dx-+-dr) H4 = c £-• r—. v ; car la portion de fluide qui dans Petat dx(dx \ d^) ' n d' ^quilibre occupe 1' efpace dx , apres le tems t remplira f efpace dx •+- d[, & fon elafticite fera par confequent diminu^e dans le rapport ; done la difference d'ela- 11 dx \d-^ fticite des deux particules adjacentes , s' exprimera par d • d' ' ** * d <■ X ( d x •+■ d% ) j done divifant par la made dx de la particule intermediate , on aura la force qui tend la mouvoir , done &c. Je reduit la fraction en fuite par une divifion in- dx\d^ r finie ; il me vient -^ 1 -+- _L — &c. ; V aurai done dx dx' dx' run- dz7 dlz drd*? dfd1? 0 en lubftituant — 1 = c — i — c — i — I ■+- c — ^ — 1 — &c. dt* dx* dx' dx* Or fi on fuppofe d{ infiniment petite par rapport a dx, il eft clair que le fecond membre de cette equation fe reduit au feul terme c — I , & qu'ainfi 1' equation — I = c — £— dx* .• ; T- dt1 dx" donnera une valeur de ^ qui pourra etre regardee comme exafte ; c' eft le cas que nous avons deja traite . Mais fi on fuppofe feulement f fort petite, & cependant finie 1' equation __1 s= c — i ne donnera plus qu'une valeur ap- prochee de £ ; on fubftituera done cette valeur dans les ter- mes — c — L__i .+. c -£ 1 — &c. qu'on avoit negligees, dx' dx* ^ & & » & integrant 1' equation par la methode du Prob. IV. , on aura une valeur de £ plus exafte ; on fubftituera de nouveau la valeiff de { ainfi eorrigee , & Ton en tirera une autre en- core plus exade que la precedente ; en operant ainfi de fuite , on approchera toujours de plus en plus de la vraie valeur de {. Or 1 M Or fi, pour faciliter le calcul, on introdiut les fonctions indeterminees dans notre foliation du Probleme f. , on a pour la premiere valeur de £ , £ =

J, (* - e VJft x $' (*+ tv'c) -h 4 -vL'(x - rv^c)X ) fera aufli du m£me ordre a tres peu-pres , a caufe que la fonftion \J/ (x — tV c) n'a de valeur que dans une fort petite etendue de l'axe ; mais tV c , devant £tre a peu-pres = x , recevra une valeur con/id erable ; done le t'erme (■d/) s'evanoiiira aupres du terme t Vc-^f1- (x— tVc); & la valeur de { fe reduira a\l/(x — tV c) •*• — tVc ■d/*(x-tv/c) Le premier terme \J/(x — tVc) donne , comme il eft facile de voir, & comme on Fa demontre ailkurs, la vi- teffe de la propagation = V c ; & il eft clair que cette viteffe ne peut varier a moins que la quantite >/ c ne varie de meme j fuppofons done v'c -+- a au lieu de >/ c , * etant une quantite afses petite ; on aura pour le premier terme de la valeur de { , \J/ ( x — tV c — t&), quife reduit a -J* ( x — f /c) — t«t\J/(x — tV c) •, comparant cette expreffion avec celle qu'on a trouve par notre approxima- 1 tion Vc tion , on a * = • \J/ (x — r v^c) ; mais — V c %J/ (.y— tVc) 4 = — !!x-i — - = a la viteffe propre de la particule qui rdpond a P abfciffe x ; done fi on nomme u cette vi- teffe on aura et ss _ , & par confequent la viteffe de la 4 propagation deviendra z= V c •+■ — a tres-peu-pres. Cette conclufion paroit done en quelque forte favorable a 1' hipo- rhefe des ebranlemens finis ; mais elles perdera toute fa force pour peu qu'on s' arrete a 1' examiner . Par ce qu'on vient de trouver , on a ^ = •d/ ( .v — t Vc — — ); foit a la longueur de l'onde aerienne excitee imme- diatement par le corps fonore , il eft clair que { ne com- mencera a avoir une valeur , que quand x — tV c — — fera = a ; d' ou il s' enfuit qu'au bout du terns t le Son fera parvenu jufqua la particule qui repond a 1* abfciffe x = a -t- r ( /c •+• — ),a dtant la viteffe que cette particule regoit 4 en meme terns . Or en premier lieu cette vitefle ne peut etre quinfiniment petite , puifque il feroit abfurde qu'une particule d' un fluide elaftique recut tout d' un coup une vi- teffe finie par 1' aftion des autres parties adjacentes ; en fecond lieu il eft vifible que la formule trouvee detruiroit T uniformity de la viteffe du Son, & la feroit dependre en quelque forte de la nature des ebranlemens primitifs ; ce qui eft contraire a toutes les experiences . 11 feroit, apres cela, inutile de pouifer plus loin 1' appro- ximation de la valeur de {-; car, outre qui 1 n'en refulteroit que des termes moindres que celui que nous venous d'exa- miner , l'expremon de la viteffe du Son deviendroit roujours plus Ml plus compliqoee , & par confequent moins conforme a la. veritable . 43. Paffons mainrenant a 1' hipothefe des ondulations fphe- riques ; & cherchons par le moien du Prob. V. fi le chan- gement, que la fuppoluion des ebranlemens finis caufc dans leur propagation , peut s' accorder avec les phenomenes . Par les prineipes pofes dans V Art. 30., on trouvera pour F equation rigoureufe du mouvement du fluide , x2dx £j c (.v + x?{dx + dQ x (x+iYCdx-hdj) dt* dx x'dx _ ^? h *d{ 2f dx(Hx\dtQ dx(xt^) *U+^)' d' cu 1' on tire par la voie des feries 4-1&&.+ ^x^i)- &c. dx* x* dx On aura done felon le Prob. V. y = — c ( -£- — * -+• J v dx' % -i x — -£ ) en negligeant les autres termes qui renfer- ment plus de deux dimenfions de £ j done fy dx = -LiL-ct; tkfydx + xy = F « ^_f/>£f £ Ji^ — c — -- . Mainrenant il faut fubftituer I dx dx au lieu de { , fa valeur tiree des formules du Prob. II. j pour abreger ces fubftitutions je remarque d'abord, comme il eft eVident, qu'il ne faudra emploier que les feules fon- ftions de x — tV c-> d' oil il fuit que ft on pofe d ' {X i •*• — j- = (x - iVc) * - ^ — . Je rcmarque enfuite que , lorfque x a une valeur conside- rable, on peut negliger, aupres des termes qui contiennent x feul au denominates, tous ceux qui font divifes par des puilTances d' * plus hautes que 1' unite ; par ce moien on r 1 .ya> (x — tVc) Qr aura (implement i =s — - , (x-tv'c) X /c)x »'(?- -■ *^Q. •> ? — *•* ' d'ou Ton tirera par les quadratures la valeur de/Q (x — tV c) petite quantite ce, on trouvera ici ec = — -, -ce qui changera la fon&ion

dxdr dxdz dr> drdx -*. JLi_M+t±N+-*?-N+.-ll—N)dXdrdZ drdz dz* dzdx dzdr * ^ qui renferme le mouvement de chaque point mobile du fifteme donne . On remarquera que c eft mife ici pour — — , ainfi que nous 1' avons pratique par tout ailleurs . En fuivant notre methode on prendra autant d' integrates par parties qu il en faudra pour faire difparoitre toutes les differences de x, y, % fuivant X, Y, Z ; on aura done f~ LdXdYdZ=fxd^ dXdYdZ J dX' J dX% ! Mr L dXdYdZ = tt ~ iXiYiZ + [& LJYJZ -fyiJlJXJZ I £JL LJXdYJZ = /j ±L^ dXJYiZ dXdZ J « dXdZ + fii LdYdZ -fKiLdXdY jtZMdXdYdZ=fy™dXdYdZ +f(d-L M -y d™)dXdZ /TO3I MdXdYdZ^f.J^-dXdYdZ - + /^L MdXdZ-fx^dYdZ l 4h DXdYdZ =/{ ™L dXdYdZ Q H-/(rff 122 -4- r il MdXdZ -fr dM dXdY J dZ }X dT ftl NdXdYdZ wt'fo^M- JXdYdZ 3 dZ* x dZ* -H/vil N - ziE) dXdY JK dZ 1 dZJ f JlI- NdXdYdZ =fx J^LdXdYdZ 1 dZdX J dZdX -h rif. NdXdY - fx i** dYdZ J dX f dZ f JlZ- NdXdYdZ = fy 4-— dXdYdZ ' dZdT JJ dZdY dlL- NdXdYdZ = fy jfiHL ZdT JJ dZdl ■ f& NdXdY- fy ^ dXdZ, dr -r dz Dans ces transformers il y a ,. comme on Ie voir, deux fortes . d' expreffions integrates ; les unes plus generates ren- ferment trois integrations , fuivant la variabilite des trois coordonnees X, -Y, Z, & expriment par confequent la fomme d' autant de valeurs parti culieres, qu'il y a de par- ticule^ .dans la maffe totale du fluid e ; les autres, au con- iraire , moins gdnerales ne renferment chacune que deux in- tegrations fuivant la variabilite de deux des coordonnees X , Y , 6v Z ; & ne denotent , en confequente , que la fomme d' autant de valeurs particulieres qu'il y a de par- ricules dans une feule tranche du fluide. Celies-ci pourront done etre regardees comme des conftantes a regard de la troifieme variable manquante; & l'on fera toujours le maitre de les faire evanoiiir, en donnant certaines limitations aux valeurs des quantites Z, M, & N, felon la figure de I1 efpace , dans lequel on fuppofe que la maffe de l'air eft renfermee . Ainfi , par exemple , fi cette figure eft celle L d'M d*N ■ d'M *L CKX(TX> "*? IXdY -*■ dXdZ) +y ^TY> +IY7X (ft>WZ* f. 7z~dX + IzJY^dXdrdZ- On fera maintenant *.L *M ^N dX> T dXdY **" dXdZ — kL ^A' d* M d*L dzN „ ir> + dTzx-hdYdz = kM (B) <2 x d*N 1*4 dz- ~*~ Zzsx T «/z' (/)» ({') defignent les valeurs de x i y i { > x> ■> y i & { •» lorfque t = o , on aura done (D) /[xZ + vM -+- iN] dXdYdZ =*= cof. *•-«*/[(*) Z -*-(y) Af -h ({) N]dXdYdZ -h (m-^Sckck ft oo z-*- 00 ^+ (f ) ^3 «*raraz (E) ...!.. f[x' L +/M+ ^jV] dXdYdZ = cof. rv'-c */[(*') Z -f- (/) M+ ({') #] dXdYdZ -V-ckfm.t V-ckf[ (x) Z -+- (y ) M -+- (j) N ] dZdYdZ. Voila les equations , d' oil 1' on tireroit fuivant notre me- thode les valeurs exaftes de x , y , & \ , fi T on avoit celles de Z , M , & A" , & qu'on put faire difparoitre la quantite k , ainfi qu'on P a fait dans les Prob. prec. Mais le premier de ces objets, nous prefente d'abord des difficultes infurmontables , foit qu'en effet les equations 'M (A), (■#)> (O ne foient pas lufceptibles d' integration, ibit qu'elles demandent d' autres methodes , que celles que nous connoiffons . Si on vouloit fe borner a des conftru- ftions particulieres , il feroit aife d'en trouver; mais elles ne fauroient etre d'aucune utilite" dans la recherche des loix de la propagation du Son . 46. II eft vifible , par exemple , qu'on peut fuppofer L = Je(.Px-*-ir-*-rZ)v'ki M = B e(rx-*"ix-*-,z^ki N = Ce^x-*-'r-*-rZ)Vki A, B, C, p, q, r etant des conftantes a determiner par la fubftitution & la compa- raiibn des termes ; pour cela on trouvera les trois equations A = c (Apz -j- Bpq -+• Cpr) B = C (Bq* -4- Apq -+■ Crq) C = c (Cp'- ■+■ Apr -+• Bqr), qui donnent , en poiant R pour >/ ( A1 -4- B'- -+- O ) , p = — — , q = — — , r = _ — ; mais les valeurs de L , Ry^c J R\/c R\/c M, & N n' etant que particulieres, on ne pourra s'en fer- vir , fuivant notre methode , que dans 1' hipothefe que les valeurs de x , y , & { foient renfermees dans certaincs conditions : car il eft vifible , que L , M , & N etant ex- primees par une meme fonftion 6e pX -h qY ■+■ qZ , multiplied feulement par des conftantes differentes , les va- leurs de x , y , { devTont etre les memes pour tous les points , dont la pontion eft renfermee dans la formule p X -f- q Y -4- rZ = conft , & de plus ces valeurs de- vront garder entr'elles un rapport conftant . Suppofe" que ces conditions aient lieu , on pourra pourfuivre le calcul , en fubftituant les valeurs trouvees d« Z, M, & N dans 1' Equation ( D ) , & rransfbrmanr enfuite le terme /[ A (x') -4- B (/ ) -4- C({) ] e ('*+» r+^) *kdXdYdZ en-Vkf[pAf{x') dX+qBf'y') dY -4- rC f ^)d Z] e('*-H'r-t-'z>V* JXVkdX<{rdZ = ^ f[A(x) ■+. B(y)+C({) --LjJfdx^JX-^ dXdYdZ -*--/[ A(x) -+- ^C/)-4-C({) ■+- ^-/>^ /(.0 -t- I [ ^ (*) -*■ '* O) + C({) - ~pAf(x') dX-t- qB /(/) dY ___L rC/,(r')iZ](^+','+'z-'v'<). Les quantites rnifes en forme d'expofants denotent , com- me dans le Probleme I. les valeurs qu'il faut donner aux coordonnees ; ainfi X, Yy Z etant les coordonnees qui rd- pondent a x, y> £ & (^f), (^), (Z) etant fuppo- l'ees celles qui repondent aux expreffions qui ont l'expofanf. pX -+- ^.F -+• rZ r±: ty/c , les valeurs de ces dernieres devront etre telles , que p {X) ■+■ q(Y) -+- r(Z) =pX Au refte , fi 1' on introduit dans cette folution les fon- ftions indeterminees , elle reviendra au meme , que celle que M. Euler a donne dans fon Memoire. Car on aura Ax •+- By •+• C{ = "+" ^Z^JT dY ■*" ^^T^F' "*" dXdYdZ* d*N d'N d*N dX'dZ "*" <*^Z> ■*" dXdYldZ M M + - t>ckM+ — — t*c*fcM=:M ■+■ - i*c V-fvi 2 2"34 2 V (1/ * d'L d*N „ ■ „ . <^*M ^M ) H t+cl ( dYdX~*"TYdZ} *-3"4 K dY+T dK'dX* d'M d*L d*L d'L dY'dZ* * dY>dX *" <^X» + dXdYdZ* d*N d'N d*N 7YWZ~*~ dYdZ> ~*~ dX*dYdZ ■> ' ' * * (G) iV -+- - txckN-h t*cxk*N = jV -+- - t*c ( 2 2-3-4 2 cLjL d'L _d'M 1 d*N d*N "*" dZdX^.dTdf) "*" 2 ■ 3 • 4 **" (12' ■+■ rfZMfX* <*>2V d*L Z "*" rf^ir* + ZT^LT "* ^ziX^ "+• dXdY*dz d*M d*M d*M ~*~ dZUY'*' dZdy> ■+■ dX'dYdZ ) • • • ■ (*0 Or, quelles que foient les valeurs des quantites Z, M , iV, il eft certain quelles feront des fon&ions de X, Y, Z , ce que nous denoterons aiuli Zi£? r> z) , MSXt r> z, jV(-Y-r'Z); de forte, que li Ton fuppofe que les variables X, .K, Z deviennent X ■+■ p t , K -H 7 r , Z -+- rt , les valeurs cor- refpondantes de Z, M, N s'exprimeront a notre man ere par Z ix-t-pt, r+ ,t, z -+. r.«) ^ j\f (x + pi,r+. ti, z -*. n) ^ jy (x + f.r+^.z + n) Cclapofe, on fait, que fi Z repre- fente une fonftion quelconque de la variable X , laquelle croiffe d'une quantite tres-petite pt, la valeur de Z devien- dra , en negligeant les quantites infuiiment petites au deflus . ., , , dL 1 -rf'i I du quameme ordre , Z -+- pt -jy -4- — p*i* ~Ty\ ■+■ — 7 rf' I 1 <^I f31' ZX^ "*" 2~3^ P4* ZXV donc fl on fuPPofe cIua ia fonftion Z renterme outre la variable X, les variables K, & Z qui croiffent" en meme tems des quantites tres- petites q t , n , on trouvera par un calcul afses fimple R L »3» i , d'L d'L d'L d'L d'L d'L % i d'L + 1?r ZY7Z+ rl IF0"*" m £l Cf "7T* -•" J ^ ^'1 d'L , ^'£ +4?'r T7TJZ ■+■ 6 ?* dF^dZ* T 4 ?'3 d'L d'L d'L dYdZ* ■*■ 1%PZV dX*d¥dZ +nn'r dXdY'dZ d'L d'L *? l%P1r IXdYdZ^ ' ' I*)' De cette formule je deduis les fuivantes il^ + f'.l'+l'.il+r.) j.1 T (X -t- pi, Y- ,,, Z+r.) 8 8 8 8 -J- J.Z(Jf-'">,'* » • *■**") -l_ !/;(*-/". '-*'• *■*■") 8 8 .+. JLr (Jf-,,,r+ j«,Z-r«) + 2_£{X-pttr-1 t,Z-ri) 8 8 r i , , d'L d'L d'L „ i Ill w * d*L . d*L d'L J*r d'L d*L + 6 ?rX JyuT' + '-Zz^' -Z(jr.f+«'.z+") -f. - £(.X, r-,«, Z +r«) 4 4 _,_ L £ (*,*-+,,, 2-r«) .J. Lnx,r-,t>z-r,) 4 4 , * d'L , r d*L d>L v 0 o 8 8 -7 £!*■»■'#••*- H,Z*-rt) _ 1 £(X + p,,r- ,,,2-,0 8 8 — 7J Z(^-f',l'+!')Z+':) _ 1 £{X-,,, r-H,f, £_,,) 8 8 ^.£^x-*-p',r-*- it,z+ rl) .+. L^x + f^r-^z + r,) -*- 7 £(x-e',r+1t, z-r<) + I £(X-P,, r- ,,, 2 _ ri) » 8 — - £(x-*-P'> r-+- ?', 2 -'«) _ - Z(Jf + i>«, r- j«, z_,o O O « , v ** 1 , d*L i? z 4 p r> *3* d*L d*l On formera de pareilles formules a V egard des expref- fions M(-x -*~r'> r-*- »'» z ■*"r'J, & iV^* + »'• r-f- »'» z ■*• "\ & en donnant des valeurs conyenables aux conftantes inde- terminees p, q,r on changera, par les fubftitutions , 1' equa- tion (F) en celle-ci (L) . . . . Z -H L/*c*Z -4- — - — iz> 4 4 _iZ(;fir+'v/!r,z"v/T) _i£(*. r-^-f.i-./ij 4 4 -+- 1 Z (A'_f-'y/'' r-+-'v' -7,Z + ,v/ "7^ -4- — L (-x-*-'^'> T—tV±,Z + tV -1) ' 8~ 8 'it.' 1 r(X+i^, r+./l^-i/i.) " t (X-t-tVt,Y-iV LtZ-tV -i-) "T" — J-j 6 6 *T~ J-* t 6 8 8 8 8 . ^_ L(x-tV<,r + tV ±,r-,V ±) «_ L(x-tVc,r-,V ±,z-,V i-) 8 8 8 8 8 8 8 8 8 .. 8 8 8 , I_ N(X-,V±,Y+tV ±.% Z-tV ±) . }_ N{X-,V ^tY—V' -i-^Z-tV ±7 a 8 1 i3J 8 8 __ }_tf(X-,V ±, T+tV JL^ZytV ^\ _ *_tf(X-tV l-tr-ty/ JL, E + tV ■!-). 8 8 " ' On trouvera 3e meme les transformers (Ai) & (N) des deux autres equations (G) & (//), & Ton aura ainfi, en fubftituant , la transformee entiere de la formule cof. t v' — ck f[(x)L -+- (y)M -+- ({)jV]<^ ({) f°ierit nulles dans cette equation, la Iettre k s' en ira entierement , & ne fe trouvera plus que dans les expreffions des quantites L , M, & N. Or , quoique nous ne conoiffions point la forme de ces expreffions, on pourra cependant verifier 1' equation inddpendanment de k , com- me notre methode le demande; car pour cela il ne s'agir* que de comparer enfemble les quantites qui fe trouve- ront multipliees par les fon&ions L, M, N qui auront des valeurs egales . Que (X) , (F), (Z) denotent les coordonnees qui rd- pondent a 1' expreffion generate £(X-*-p',r-+-i'.z-*-r')> on aura , felon notre hipOthefe , (X) = X-+- p t , (Y) = JT I •+- qt , (Z) = Z -+- rty X, Y, Z etant les coordon- nees , qui repondent a 1' expreffion L {implement , 6k aux quanrites x , y , ^ , (x) , (y) , (^). Suppofons done que les valeurs de (X), (Y) , (Z) foient diminuees des quantites pt, qt, rt , ( ce qui eft permis, puifque ces quantites font conftantes a l'egard des integrations indiquees dans l'equa- tion ) elles deviendront X, Y , Zj mais en meme tern* les coordonnees correfpondantes a (x), (y) , (f), & qui etoient auparavant X , Y , Z , deviendront X — p.t y Y — qt, Z — rr . De cette maniere toutes les CTuanritev exprim^es generalement par L ( x * ''• r+i'> z+!'\ j^tx + ft.y+jr.z + Mj fo{x + pt1r*-it,z-*.rt) redevien- dront *34 dront Z^X,,,'Z), Mlx>r>z\ N^x'r'z\ ou {implement Z, -M, JV; mais a leiir tour les quantites (x), (jO, ({), qui les multiphent, fe changeront en (x) (Jf— ''» y~J'»z-r'J, /y) (x-,., r-,,, z -"), (?) (x-,,, r-»«,z - i-o. Apres ces transformations on joignera enfemble tous les termes de l'equarion qui fe trou vent multiplies par Z, M, N, & on decompofera enfuite cette equation en trois portions, dont chacune devra fe verifier fepar^ment, & inde'pendam- ment des valeurs de Z, M, & N. On aura done par la (P) x = (*)<*■ r»*> i(v)(x,r-.v'f,r-.v'^)_ I (x)(x, r-.v^.z-.v^) 4 4 x,t-,V ±,z + 'V ±) _ l_ fx\{X, r + ./f, z, *«/f) - * * - - <*) 8 v ' 8 v ' TOO i-Cr) jr_,v/«,r-«/-i-,z+,v/X) i , v (x-.v/<,r-f-.v/-£-,z-H«v/ -^) 8 ^ ' x+iv/<1r-rv/-£-,z-.v/-|-) . i_ , .(x+tV^r+.V ^, z-,V ±) 8 v . x-*-iv'c,r-,v,-|-,z-».«v/-f) . l_ ,x -.(x+tVciT+tV ±.tz + tV ±i x—V±. r-«v/-t-.z_,v/.£.)_f_ i_^)(x-,v'-i-,r_ (y'), &(f) foient nulles. Suppofons maintenant que ces quantites aient une valeur , mais qu'en meme tems les (*)> 00, & ({) foient nulles j il eft clair que dans Tequation (Z>) on aura, a la place du terme cof. tV-ck f\.(x)L + (y)M h- ({)^] dXdYdZ, 1'autre terme fjn ^ v' c/t — —-p /■[(•)£ H. (y')M-t- (O^l^^Z; Or fi l'on fait attention que fin. ""-fv/-c* — /cof. f V-ckdt, il ne fera pas difficile d'appercevoir que les expreffions de Z, A/, & N qui fe trouveront en faifant difparoitre la la lettre k ne feront que les integrates de celles qu'on a trouve plus haut, prifes en regardant t feul comme varia- ble . Ainfi un terme quelconque de la transformed fera reprefentepar/[ {x')fL (*-•->'. r-*-t>, * + ") d{\dXdYdZ; or il eft vifible que P integration fuivant t , dans Pexpref- fion ffc (x + ,,x r^tuM*. „> dt i fe r^duit k tfois int^gra. nons, fuivant X, Y , Z, d' ou il s' enfuit que P integrate de [ ({) il y aura les quantites integrales f(x') dt,f(y)dty II eft maintenant facile de voir, en examinant l'equation (D) , que les deux folutions particulates , qui vienent d'etre trouvees, renferment la folution generale, tk qu'il ne faudra qu' aj outer enfemble les expreffions trouvees de x,y, £ dans les cas, ou (xy), (/), (?'), ou (x), (y) , ({) font nulles , pour avoir les expreffions completes pour le cas ou ces quantites font toutes reelles. De plus , comme 1' equation ( E ) ir eft que la differen- tielle de.T equation ( D ) prife en variant t feul, on aura tout d'un coup les valeurs de vitefles , en differentiant les for- mules qu'on vient de trouver pour les valeurs des efpaces x , y , { ; il viendra done (F) ' . *' =(*')<*• r>'> _ i [ (V) -+. rfJ_(f)i ^,r-.^f, z- .•■$■) 4 d t 4 dt J 4 ' z — «/i> ■+■ •Vc, Y -f- •£4 ,z- *^) ■+■ ■4- tVJ. * , r— 1 z — /•4> ■+■ ,r- a ,*■+- '*4> ,r- *** ,Z_ •if/xi Ws. , r+ rt/i Z — ,•*) ,}8 [ CO ivur**=j*n fj • ({) 1(X+./i-,r+.v'i,z + ,v'i) [ (?') h_ £l !_!i} ](*-»" 'V'4'-r-,-'V'T'Z-'»/T>, Les valeurs de y & de i fe trouveront de meme en fub- ftituant dans cette formule a la place de x' , (x), (*'), X, leurs correfpondantes y, (j), 00, Y, ou ^, ({), ({'), Z , & reciproquement. 48. Voila des formules tres-generales , par lefquelles, con- noiflant dans un inftant quelconque le mouvement de toutes les parties du fluide , on pourra determiner a tres-peu-pres leur mouvement dans les inftans fuivans, au moins pendant un intervalle de terns tort court. Or, fi apres ce terns on recommence le calcul, en fubftituant a la place de (x), OO' (f) » (x'.)» 00 » ({') *es valeurs trouvees de x, y , £ , x , y , ^ , on en tirera des nouvelles valeurs de x , j', { , x',/, ^ qui ferviront pour un fecond inter- valle de terns egal au premier ; & operant ainfi de fuite on pourra trouver les mouvemens du fluide par tel efpace de terns qu'on voudra ; mais il faut avoiier que cette me^ thode ne fera guere pratiquable pour un terns afses long ; car , nos formules n' etant qu' approchees , 1' inexactitude de chaque refultat influira n^cefTairement fur tous les re^ fultats fuivans , & par confequent , plus le nombre des ope- rations fera grand , plus aufli on rifquera de s' eloigner de la verite. Confe- 139 Confluences qui refultent des formulas pricedentes par rapport a la propagation du Son. 49. Imaghions d' abord qu'un corps fonore n, ebianle qu'une feule particule d' air , dont la pofition foit determi- ned par les coordonnees [-X"]»[^]»[^]» & voions comment & par quels degres cet ebranlement unique fe propagera au loin dans toute la mafle de l' air pendant un terns quelconque t fort court . II eft d' abord evident que dans les equations (P), (<2)> (■£)» C^)* (Q')» (R) »1 faudra regarder com- me nulles toutes les quantites (x) , (y), (f), (*'), (y'), ({'), qui auront un autre expofant que ([-X-], [^1» [ Z ] ) ; or foit en general 1' expofant de chacune de ces quantites exprime par (X — pt , Y — qt y Z — rt) , il fuit de ce qu'on vient de dire, que les valeurs de x, y, I , x7 , y , j feront aufli nulles pour toutes les particules , dont la pofition ne fera point determined par des coordon- nees X, Y> Z, telles que X — pt = \_X~]y Y — pi = [F], Z - qt = [Z], favoir que X — [X] H- pt, F = [ F] -+- ^ , Z s= [Z] -+- rt; Ci done on don- ne fucceflivement a p , 7 , r , toutes leurs valeurs parti- culieres conformement a nos formules , on aura autant de valeurs de X , Y , Z , qui determineront la pofition de toutes les particules de l'air qui auront quelque mouvement au bout du terns t . Suppofons p, q, r donnas, & faifons varier t ; il eft clair que les coordonnees X> Y, Z feront a une ligne droite qui paffera par le point, auquel repondent les coor- donnees [X], [Y], [Z] , & qui fera avec les lignes X , Y , Z des angles dont les cofinus feront 1 ; 7 r ■ d' ou y^ + ^+r*) • (/>* + t + 1*) V (/>' + ?* + «■•) il s'enfuit qu'en donnant a p, q, r des valeurs differentes, 5" 2 on 140 on aura aufli des droites de diffeYente pofition , mais qui s' entrecouperont toutes dans un meme point , & qu'on pourra par confequent regarder comme autant de rayons fonores , excites par 1' ^branlement donne de la particule qui eft a leur centre. Ces rayons croitront uniformement avec le terns , de forte qu'au bout d'un tems quelconque t leur longueur fera generalement exprimee par t Vc (p* -+- q* -+- r1); Ton aura done , pour la vitefle de la propagation du Son dans chacun d'eux , la formule Vc (p* •+- qz -+- r1), dont la valeur fe connoitra en fubftituant au lieu de p , q , r leurs valeurs parriculieres . Par ces fubftitutions on aura les trois quantites fuivantes, Vc (7- -+- -f ) = V ~ , Vc ( i -+- -7 "*" "7 ) = i v' f, V ' c ( 7- "*"■ T "+* "7 )' = ^Ti qui conftitueront pour ainfi dire autant d' eipeces differentes de rayons fo- nores . C eft une chofe digne de remarque que la plus grande vitefle 1 V -j- approche beaucoup de celle qu'on trouve par F experience} car Vc ^tant environ = 979 pies, & c = $58441 , on aura V — = 565 , & par confequent 2. v'-f = 1 1 30 , qui eft a tres - peu - pres le nombrje de pieds que le Son parcourt dans une feconde , felon les expe- riences moiennes . Cependant il ne paroit pas que ce refultat foit encore capable de mettre la Theorie d' ac- cord avec l' experience" fur la vitefle de la propagation du Son . Voici les raifons qui m' oblige a fufpendre mon jugement la-deflus. i° Nos formules ne font qu'approchees , & ne peuvent avoir lieu que pendant un tems afses court, apres lequel chaque particule mobile doit £tre regardee, comme un nouveau centre de rayons fonores } 20 La pofi- tion de chaque rayon n' eft pas fixe , puifque elle depand de celles des trois axes principaux, laquelle eft abfolument arbitraire ; d' oil il fuit qu'en changeant la pofition des axes, les rayons qui avoient auparavant une vitefle donnee, pourront »4» pourront prendre la place de ceux qui avoient des vitefTes diffi£rentes ; ce qui paroit renfermer une efpece de contradi- ction , puifque une meme particule de fluide pourroit en ce ca$ avoir ou ne pas aveir du mouvement . Cet inconvenient, qui vient fans doute de ce que nos formules ne renferment pas tous les termes neceflaires, fera aufli attache a routes les aufres formules qu'on trouvera par approximation; d'oii il refulte que, jufqu'a ce qu'on ait trouve des formules tout- a-fait exacles &: rigoureufes-, on ne fera pas en etat de prononcer fur le point dont il s'agit; j° Nous avons trou- ve dans les deux hypothefes du Chap. III. la vitefle du Son = V c ; & cette meme valour peut fe rrouver auffi par les formules de ce Chap, en confiderant la plus gran- de vitefle des rayons eftimee fuivant la direction de cha- cun des trois axes ; ce qui paroit mieux quadrer avec la nature particuliere de ces formules. 50. Nous n' avons encore confidere que 1' effet qui re- fulte de 1' ebranlement d'une feule particule d' air ; fiippo- fons maintenant , que tant des particules qu'on voudra foient ebranlees d'une maniere quelconque dans le premier inftant du terns t ; on trouvera , en raifonnant fur nos formules de la meme maniere qu'on a fait ci-deflus , que chacun des ebranlemens primitirs , excitera dans le fluide environnant les memes rayons fonores, que s'il etoit feul; de forte que les particules d'air qui fe trouveront dans la rencontre de plufieurs rayons auront un mouvement compofe de tous let mouvemens , qui depandront de chaque ondulation particu- liere . C'efl: ce qui nous fournit une explication complete & rigoureufe de la maniere , dont plufieurs fons diflerens peu- vent coexifter & fe repandre dans une meme ruafle d'air, fans fe nuire mutuellement les uns aux autres . Voles t Art. 63. des Rich. prec. Au refte, comme chaque particule d'air ebranlee devient elle Hi elle meme uii centre de rayons fonores, il eft eVident que Ie Son doit fe repandre ^galement en tous fensj ce qui eft auffi un des principaux phenomenes de fa propagation . J i - Quoique il ne foit pas neceffaire de connoitre la nature particuliere de chaque ebranlement , il eft cepen- dant bon de faire attention a la diiterence qui fe trouve entre le$ ebranlemens primitifs & derivatifs , par rapport a leur propagation. Suppofons pour cela qu'aianr deduit de nos formules les valeurs de x, y, ^, &c. pour un terns quel- conque defigne par (r), on les fubftitue dans les memes formules a la place de (x), (y), ({) &c. pour trou- ver les valeurs correfpondantes de x , y , { &c. pour un fecond intervalle , de tems marque par t ; & foit par exemple * [(*) -*-/(x')dt'\ a+KOJ+jl'^ + 'l-)) un terme quelconque de.la valeur de x, & *[(■*)-+• — — - 1 le terme dt J correfpondant de la valeur de x' , lefquels doivent etre ful> ftitues au lieu de (x), & de (x') dans les termes de la forme de -/"GO*} — * C (*)+/(*V< -f(*)dt- (*)] = o,&dememe [(*')- ^^ ] s= «[(*) + ^^ - £_£Q -x']so, done &c. M4 Au refte la vemarque que nous venons de faire fur les formules generates de ce Chap., eft entierement analogue a celle qu'on a deja fait fur les formules parti culie" res du' Chap. III. dans' 1' art. 16. , remarque dont nous fommes redevables a M. Euler , & qui eft d'une grande importan- ce dans la Theorie de la propagation du Son. 51. II ne nous refte plus qu'a examiner le changement qui doit arriver aux rayons fonores par la rencontre d' un obftacle quelconque, qui s' oppofe entierement, ou en par- tie au mouvement des particules contigues de l'air. Pour cela il n'y a qu'a chercher quelle devra etre la pofition d'une particule mobile quelconque, lorfque les cootdonnees X= [X] ■-+-/>*, Y = [Y] -+- qt, Z = [Zl-hrt tomberont au dela de 1' obftacle immobile. Or en examii jiant les'calculs de C Art. 47. on voit que les valeurs des X, JT, Z pour une particule quelconque mobile font les memes que celles qui conftituent les fon&ions £(x> r> z) 9 M (X> r'z'9 N (X>Y> z"> ; done tout fe reduit a examiner la nature de ces fon&ions, & a voir de quelle maniere il faudra les transformer, afin que les quantites XyYyZ ne furpaflent jamais des valeurs donnees. Imaginons done que la maffe de 1' air foit interrompue de quelque cote', & comme terminee par une efpece de parois immobile de figure donnee; il eft conftant par ce qui a ete enfeigne' dans C Art. 45. que les expreffions inr tegrales a deux feules changeantes , que nous avons traite comme nulles dans FArt. cite, devront difparoitre par elles memes , en tant qu'elles fe rapporteront a un point quelcon- que de la figure propofee. Rapellons-nous ces expreffions ne- gligees dans les calculs pnecedens , & confiderons d' abord celles qui ont le figne — ; je dis que leur fomme eft toujours evanouiflante , quelle que foit la figure a quelle il faille les rapporter . Pour le prouver ajoutons-les erifemble ; on aura RdL Or foit le rapport entre les rrois coordonnees -XT, P", Z exprime par F equation dZ = Pd X •+- QdY$ il eft aife de prouver qu'on peut ramener tous les tennes de Fexpref- fion precedente a la variabilite des feules coordonnees X , Y, en fubftituant aulieu de dZ , PdX dans le produit dYdZ , & Qi.K dans le produit dXdZ \ d' oil Ton aura la transforms /( f£ +^+ j? ) X (*/> -HyQ +{) ■dXdY qu' il faudra maintenant integrer en faifant varier A" & Y F une apres F autre . Mais *, y , f denotant les efpaces parcourus par une meme particule fuivant les di- rections des trois coordonnees -XT, Y, Z , il n' eft pas dif- ficile de voir que ^--^ i denotera Fefpace que cette jneme particule decrira fuivant une direction perpendiculaire a la furface dont F equation eft dZ = PdX -+- QdX; or ileftclair, que dans notre cas, cet efpace doit etre nul, puifque le mouvement eft entierement arrete fuivant la direction perpendiculaire a chaque point de la paroi im- mobile ; done on aura — L = 0 ; & par con- VCi + ^ + iL1; r fequent xP-+-yQ-+-^ = o, Joignant enfemble les autre* formules qui ont le figne -4-j on aura F exprefiion /( — _ ■+- H — — ) X(LdYdZ d X dT d Z ■+- MdXdZ -+- NdXdY) qui doit auffi etre = 0 , en tant qu'elle fe rapporte a chacun des points de la furface expri- mee par dZ = PdX -+- QdY . Or le fac^eur LdYdZ -+- MdXdZ -+- NdXdY fe rdduira, de la meme facon que ci-deflus, a (LP -^ MQ -+• N) dXdY, d'oii l'on tircra l'equation IP + MQ -+- N = o , qui devra avoir lieu pour tous les points de la furface propofeei & cette equa- T uon 146 tion renfermera en general les conditions que doivent avoir les valeurs de Z, M, N. (Voiis ci-dejfus art. 45.)- Suppofons maintenant , pour Amplifier les chofes , P = o & Q = o , de forte que la paroi immobile foit un plan perpendiculaire a l'axe des Zj l'equation trouvee fe redui- ra a N = o ; ou bien, fi on veut que le plan donne foit perpendiculaire a l'axe des -XT, & que fa diftance au point de 1' origine des abfciffes foit = a , on aura Z == o , X etant = a , & Y & Z etant quelconques ; ce qui s' expri- mera a notre maniere par Z(fl,r,z) = o. Or, 11 dans l'expreffion generate £(x>r>2) on fuppofe que X furpaiTe a d' une quantite infiniment petite k, de forte que X=a H- u, on aura Z (x'r> 2> = Z (a * "* r>z) = Htt* r>z> ■+■ u d-n-'r'zK , ; d.n<>r>z) . , — — - a tres-peu-pres , = w ; de meme, fi on fuppofe u negative, on aura L^a — u>r-z) = — u J.£{*>r,z) „ -. (« — «,r,2) (4 — B,r,z) — — - ; d ou je tire Z = — Z j & remertant pour u fa valeur .X" — a, £(x'r'z) = — £(»« — x,r, Z) Maintenant, comme les fon£tions M^x> r>z), N(x*r> z1 doivent avoir un certain rapport avec la fonftion Z ( x> *» z\ en vertu des equations ( A) , (i?) , (C) , il eft clair que la meme condition de Z(a> r> 2) = o fervira aufli a trou- ver les transformations qui conviennent aux fon£ticns M &C N, lorfque X eft fuppofe plus grand que a, pour y par- venir je reprens les equations mentionnees , & comparant la premiere, differentiee fuivant la variable Y & divifee par dY, a la feconde , differentiee fuivant la variable A' & divifee jv dL dM 0 , par d X , je trouve — = — ; & de meme comparant d T d X la premiere, differentiae fuivant Z, & divifee par dZ a la troilieme, differentiee fuivant X, & divifee par dX, j'ai dL dZ *47 dL dN r , , -» -_ r • Y2 s== 7j5-» polons dans ces deux equations X =. a, de forte que <*r ^r y Tz ~~~dx '* or aiant en general Z * " » r« z> =; o , on aura auffi — ' = o , L dHa>r>z) , dM(*>r>z> 0 dN('>r>z) &_ ^o;donc,,_ =o, &_ =Ci Suppofons maintenant dans les fbn&ions inderermi'nees M(x> >'> z),JV^^),I=a+a,& deVeloppons-Ies , en pouffant les feries jufqu'aux infinimens petits du fecond ordrej on aura Af<« * "• r» z> = M <•» r> z) + u—~^'' *' ** dX uz d* - Mi"' r> z) d-N(>>Y>z) u~ d*N('*r>z) -jjx- •+• — j^ ; & de meme, en prenant u negativement, M^a — u> r> z> = M<-'> r> z>>-u d— "' *"• uz dzMl'> r>z) 3" T 7T* ' & N{'-" r'Z) = N<.<>r>zi -u "^-j^ -+■ — j^-, j d ou Ton deduit , a caufe r>z) . , i. de jj^- s= o , & — — = o par hipothefe , M («-+- u,r, z) __ M(, — u, r,z) ^ fy ft {, + u,r,Z) _ ft (a — u, r z) ^ cu ^en^ re^tuant pQur u fa vaieur X— a , M C-?. r» z) = M (2« — *• r- z> Soient reprifes maintenant les formules (Z?), (£) , & fuppolant que X furpafle a d'une quantite infimment petite, on commencera par changer 1! expreffion Hx>r- 2> des ter- mes xL, x'£, ou ce qui eft la meme chol'e , des termes XHX> r> *), x'i(x,r,z) en _ 2.U«-x..r. *), Iorf.,ue T x X .a deviendra plus grand qme a, & Ton aura par confequenr ces termes transformed en — x H1* -~x* r> z\ — x' L(-ia~~ x>r>z\ fur lefquels on operera comme auparavant , pour en tirer les valeurs de x & x' . Or, puilque les coordonnees qui repondent a x & x' font les memes , que celles qui enrrent dans l'expreflion deZ, il eft clair que, fans autre operation , il fuffira de changer la valeur X de 1' abfcifle de x & x en iii-A, en rendant en meme tems ces quantites x & x' negatives. On changera de meme les expreffions JVi" lx* r> Z) , N(-X>r>z'> qui entrent dans les termes My , My', & iV{ , N{ des memes for mules (D) , (E) , en> fyj(2* — x,r,Z) fy jVl*"— "x»r> *), &parunraifonnement femblable au precedent, on trouvera que I'abfcifle X en tant qu'elle repond aux autres quantites y , y , i , {' deviendra de meme 2 a — X, mais fans que la valeur de ces quan- tites foit changee . On conclura done pour notre cas , que , Iorlque le tems t fera tel , que 1' abfcifle [X~\ •+■ pt furpaflera a, il faudra mettre a fa place 1' abfcifle za — \_X~\ — pt, 8c faire en meme tems 1'efpace x negatif , laiflant les memes les deux: coordonnees [F] -h pt, & [Z] -j- qt , & les deux au- tres efpaces y , {• Voici maintenant le changement qu'il en refultera dans les rayons fonores. Que CA {fig. 13.) reprefente 1' axe des X, qui eft le meme que celui des [-X], & qui ren- contre perpendiculairement le plan inebranlable AB; que C foit un centre de rayons fonores determine par les trois coordonnees [X], [K], [Z]; & que CD foit un de ces rayons quelconque determine par les coordonnees [ -X"] ■+• f'» [^"] •+■ ?f?[Z] -+-/■£. Suppofons maintenant que t foit augment^ en forte, que [-X] -h pt furpafle a, e'eft-a-dire que pt furpafle CA, & foit par exemple ■= CA, le point A torn bant derriere l'obftacle immobile AB ; il faudra, fuivant ceque nous venons d'enfeigner , chan- ger M9 ger la valeur de [X] -+- pt en ia — \_X~\ — pt; ce qui donnera , en fuppofant CA = <* & par confequent a = [AT] -+- *, [X] H- 1 * — pt au lieu de [.AT] -i- pt; ou bien , pofant J^^ =6 & par confequent />r = *■+-©, [X] -4- * — 6 au lieu de [ X] -+• /> r , favoir de [X] -+- * -4- 6 > d' oil 1' on voit que le point A fera tranfporte en SA, les diftances A A & A' A au plan AB etant egales de part & d' autre ; done , comme les deux autres coordonnees per- pendiculaires a l'axe CA demeurent les memes, le rayon CD fera continue du cote* CA dans la direction de la droite D E , dont Ia portion devra etre telle qu'elle fe trouve dans le plan des deux lignes CD , CA , & qu'elle fafTe de plus avec le plan BA Tangle BDE egal a 1' angle CD A. Le rayon CD fera done reflechi par le plan BA; en forte que Tangle de reflexion foit dgal a Tangle d'inci- dence , tout de meme que il arrive a un corps parfaitement elaftique . Voila done la reflexion du Son , deduite de fes vrais principes , & prouvee d'une maniere rigoureufe & exafte, ce que perfonne n' avoit encore fait. Voles ce que J ai die fur ce fujet Art. 6 1 . des Reck. prec. Au refte, fi nous n'avons confidere qu'une furface plane, ce n'a ete que pour rendre notre calcul moins embarraflanrj car il n' auroit pas ete difficile de T appliquer auffi a des furfaces courbes d' une nature quelconque ; mais , comme les rayons fonores fe muhiplient continuellement , & fe repandent en tout fens, comme on l'a fait voir {Art, 50.), il feroit afses inutile de determiner les loix de la refle- xion de chaque rayon a la rencontre d' un obftacle de fi- gure quelconque . II fuffit pour T explication des Echos , d' avoir prouve que certe reflexion doit toujours avoir lieu , lorfque Tair eft appuie fur un obftacle quelconque inebran- iable. Scolie i5o S C O L I E I. 53. II eft vifible que, dans les fbrmules (P) , (Q)» (R), (.P), (<2), (R')i on peut regarder les expreflions £X)(X + Pt,r-¥-qt,z-).r,) gcc_ comme des fonttions inde- terrnmees de X -+- pt , J^ -+- ^r , Z -t- rt ; de ibrte qu'en fubltituant pour (a), (*') , (y) , (/), ({), ({') des fon&ions de differente nature , & compofees des memes variables qui conftituent 1' expofant de chacune des quanti- tes (x), (x') &c. , on aura les valeurs de x, x1 , y &c. donnees en fon&ions indeterminees , ainfi que M. D'Alem- bert l'a pratique le premier dans la Theorie des vibrations des cordes , & ailleurs . Au refte pour demonrrer que ces valeurs de x, y , ^ fatisfont aux trois equations de V An. 10. , il faudra necef- fairement regarder t comme infiniment petit , & develop- per les fon&ions indeterminees comme on 1' a pratique a l'egard des fonftions Z, M, N {Art. 47. ci-dejfus), en negligeant tous les termes qui feront multiplies par des puiflances de t plus hautes que la quatrieme. S C O L I E II. 34. Si on vouloit fe borner a chercher les valeurs de x » y 1 l Par ^es feries ■> on y parviendroit fort aifement par les principes de C Art. 47. Car deVeloppant en fuites in- finies les expreflions cof. t V — ck, & {in. tV — ck de 1' equation (Z>), & faifant enfuite evanoiiir routes les puif- fances de k , par les transformations enfeignees dans le me- me Art. , on obtiendra une equation qui ne renfermera que les fonclions inconnues Z , M , N avec leurs differences \ or ces differences pourront toujours fe reduire aux quanti* tes finies Z , M , N par les operations connues des inte- grations grations par parties. Car, foit par exemple — tzcf(x) — dXdYdZ un terme quelconque de 1' equation (Z>), tranf- formee comme nous venons de la dire , ce terme fe re- duira , en negligeant toujours les integrates a deux feules changeantes, a — t2c f —^—2 L dXdYdZ , & genera- 2 (t yL lement il fuffira d' oter les differentiations aux quantites Z, M, iV, & de les appliquer aux quantites (x), (j), ({) ■> (*) » Cx')» ({)? Par lefquelles celles-la font multi- pliers. Cela fait, comme 1' equation ne renrermera plus que les fon&ions finies L, M, N, qui, a caufe de la quan- tite k qu'elles contiennent , ne doivent point entrer dans les valeurs de x, y, {■, on trouvera ces valeurs , en com- parant enfemble tous les termes qui feront multiplies (6- pare'ment par Z, M, N. On aura done par la y*=(y) + *(/)-*- &c. { =({) h- *(?')-+- &c ou les quantites (x), (jy), ({),(*')» C/)» ({0 devront etre regardees comme des fon6tions indeterminees des trois variables X, Y, Z, pour qu'on puiffe avoir les valeurs des differences — - — , — -^12 &c. Or dans le cas ou t dX1 ' dXdY eft fuppofe infiniment petit , ft on neglige les termes mul- tiplies par des puiflances de t plus hautes que la quatrie- me , & qu'on pratique enfuite fur les fonclions (x), (jk), &c. des reductions analogues a celles qui ont 6te pratiquees fur les fonftions Z, M, N dans le calcul de U Art. 47- > il fera aife de reduire les expreffions de x , y , ? a des fonftions de X -+- pt , Y -+- , & en general P = Dm avoit exaftement lieu dans la nature , la denfite d'une particule d'air deviendroit nulle, lorfque le poid comprimant ieroit nul , ce qui paroit renfermer quelque ef- pece de contradiction ; fi done, pour eviter un pareil in- convenient , on fuppofe que le poid comprimant foit pro- V por- portionel a quelque autre fon&ion

ioit ( en y met- tant D = i ) = i -+• ~ , & qu'en meme tems N ■> la transformee fuivante f(xt f(xL+yM+{N)dXJYdZ = jfl(jr> + dXlY ~*~ dXdZ} L + ( dY> ~*~ dYdX ~*~ dYdZ)M * (li + iiix f. -jtiy^ N^ dXdYdZ • * 1' on voit que les quantites multipliees par Z, M, JV, font les memes que celles qui compofent les feconds membres des equations differentielles propofees ; ce qui ne pourra jamais etre autrement, quelque forme que puiffent avoir ces equations ; puifque il eft clair que les nouvelles integrations par parties, dont on fait ufage ici, ne fervent qu'a defaire ce qu'on avoit fait par les premieres. On aura done , en pofant * pour une conftante quelconque , /•r / d** d'y ** n r /[(«*-+■ j-jci ■+■ -jxdY -*- Txlz) L -*- ("^ *" dY* "*" dYdZ "*" dYdX)M'i'(*l'*' dZ* + OT * ITTdY ) ^3 ^™* -f-CV* ■■*> j (xL ~h yM -+• ^N) dXdYdZ , & par confequenr, tant que * ne fera pas = — k, on fatisfera a 1' equation f{xL -+- yM -+- ^N) dXdYdZ = o, en faifant fepa- rement d*x (a) . . . . ix -+- -^ -+- d*f CO •C+'aSr"^- d'ou Ton tirera les valeurs primer generaleirent ainfi: y =A<\, («, AT, 7, Z) d'y -+- > f

J ■> {' ■> comme aufii pour (x), (j), ({) , & ( x ) , 00 » ({) des valeurs qui ne differeront de celles de x, y , { que dans la conftante arbitraire, par laquelle les fon- clions

(*, X, Y,Z, OO = i^ (<*, X, Y, Z) (f') = F% («, X, Y, Z). Maintenant il faut oblerver que comme les equations (a), (b) , (c) ne rendent 1' integrate propofee = o que tant i6i rant que ct tf eft pas = — £ , & que d' ailleurs les equa- tions (D) &c (E) de lArt. 4j. doiverit avoir lieu en gene- ral pour routes les valeurs de k , il reftera encore a veri- fier ces Equations dans le cas de k = — a. ; or fubftituant dans F equation (Z>) les valeurs trouvees ci-deflus de x , y &c. il viendra A '/[Z/ci + fyc< ) /[£«>(«, X, F, Z) h-m^C*, x, r, z)-HiV"x(«,x, r, z)]dXdYdZ; i ^ r r / Zfin. r Vc a ft ce qui donnera A = t cof. tv c& -+- . On aura de meme, par F equation (Z), B=F cof jv'cu - E V c & fin. £ \/ c <* , done x = [ E cof. f V cut. ■+- ! ] -^\ ^"» Z) y = [Z cof.rv'c* -4- ^"-'^a ]vK«, X, F, Z) V'coi { = [*«£*•« + ^'V^^xC^z, r, Z) jc' = [ Z cof. £ v7 c <* — EVc a. fin. r vV <* ]

T ^Xc/Z ■ ^Z* T dYdZ ^ dYdX~u &r d-p d'q dZ* * dZdX* dZdY — °'9 d'ou Ton tirera les valeurs de p, q, r qui etant fubftituees ci-defTus donneront des nouvelles valeurs de x , y , ^ &c. II faut remarquer que dans la transformation de la for- mule f(pL ■+■ qM-t-rN) dXdYdZ, on trouvera des integrates a deux changeantes de meme forme que celles qui refultent de la formule /( xL -hy M-+- 1 N) dXdYdZ; il faudra done les faire evanoiiir , en fuppofant aux va- leurs de p , q, r, les memes conditions qu'a celles de x , y , f j d' oil il s' enfuit que , comme les equations (f)> (?)> (r) f°nt d'ailleurs entierement femblables aux equations (a) , (b) , (c), on aura de meme p =c i6j ji x, r, z), q = a 4, c.j3, x, r, Z),r == /tf ^ ((8, X, J% Z ) , & de plus que la quantite j@ aura les memes valeurs que la lettre — k. Maintenant au lieu de fubftituer ces valeurs de p , q , r dans les equations en x , jy , { ; je multiplie ces memes equations telles qu'elles font par un coeficient indetermine H, & j' ajoute chacune d' elles avec fa correfpondante d' entre les trois autres (/>), (7), (/■) , ce qui me donne "*" ^x^r "*" dxlz "** ?x«/z ~ ° #*jv •+- (18 - H)q -+- &c. = o H* £ -J- (/3 - H) r -+- &c. = o . Soit done fait /3 — H = *-, favoir H = /3 — «, & fup- pofant pour abreger H x -+■ /> = f » Hy ■+■ q = % ■> //{ -+- r = r on aura d'ou Ton tirera comme ci-deffus p' = A

, «^ marquant une nouvelle conftante arbitraire. Or les conditions qui determinent les conftantes dep, q, r etant les memes que celles qui determinent les conftantes de x , y , f , par ce qui a ete dit ci-deffus , elles feront encore les memes pour les conftantes de />', q\ r; d'oix il s'enfuit quon aura aufli pour * les memes valeurs que pour /3, favoir les memes que celles de la quantite — k. X 2. Main- dx* T dXdZ — dY> + d'p' d~Yd~X~~ d'r' dZ> "t dZdY ~~ 164 Maintenat comme x = t- — i- , y = " ±- , z = : on aura en fubftituant , & prenant deux differentes conftan- tes arbitral res A' , ^" , ck marquant par *' , *" deux va- leurs quelconques de — k; x = j' jk = ^(«, x, r, z) -♦- ^"4(«", x, r, z) f = A'X(*\ x, r, Z) + ^"xc^, x, r, z); formules qui ferviront auffi pour les autres variables *', y\ t ■> (x) i 00 &c< en ne faifant que changer les conftan- tes A', A". Or pour trouver le rapport entre les quantites x,^,?, *',/, {, & (*), 00, (f), (f), (/), ({0 depan- dant du terns £, on remarquera qu'il y a ici deux cas, oil les equations (p)y ( (^ ) > ( {' ) •> & pofons d'abord k = — *\ il eft clair que la formule /[ L

66 &P + d*p dX* &q + *1 dr* $r -+- d*r HZ & enfuite >P -+- d'P Tx* rQ.+ d*Q_ yR + d'R A Z» dXdY ^ dXdZ r d'r d'p dYdZ^ dYdX — " *p ■ *1 p dZdX ■+" dZdY ~ A d'Q_ d'R ' dXlY "** ZX^Z ~ ° ' TTdZ "*" ZFiX-* ° K, Z) -+- [ £' cof. t Vc*" -h ~- fin. * vW]

cof. rv'coc^-H -7— — fin. tVc***, & le terme m"" du premier membre etant { St* cof t Vol* -+- -^ fin. t Vc^ ] /(Pf L + Qi* M-h Ri* N) dXdYdZ, pour identifier les deux membres , on fuppofera que f (Pt*L.-h Q?M -h Ri*N) dXdYdZ (bit =?=»,& que toutes les autres formules- exprimees "gene'ralement J (PL -+- QM -+- RN) dXdYdZ foient nulles , - k etant =?= u d*Q>* dzRlt d*p<* «.l* 0** = — v__ _t- H ^ dY> dYdZ dYdX d'ou.jj refulteru comme dans /' rffa «w' I70 Pn = A9(&, X, Y,Z); Q?= A ■$,(&, X,Y, Z) Rt*= Ax(*t*, x, r, Z. Soit mainrenant la valeur de /[ Zip ( «P , X, J% Z) -4- M 4(«fs x, r, Z) -j- #x(ccf% x, r, z)]f* j on aura pour fatisfaire a la premiere condition A D& = i , & par con- sequent A = j^ . Subftituant enfin les valeurs trouve>s de P , Q, R, dans les expreffions de x , y , ^ , & pofant pour plus de fimplicite E\ E% &c. au lieu de ~, S- &c. & F' , F\ &c. au V V" lieu de — , -r— &c. il viendra F' x =? [ £' cof. / •c *' -4- -prrv fin. t Vc*' ]

+■ &c. •+■ [ F" cof. t Vc«.m - £■• •«" fin. r •«"]

y-h&c. -4- /v&t "^ /V&<^{ H- f%$dz{ -4- /)&<£{ -4- &c. = o; Mais on comprend aiiement que St/x = J&x, &t/*x = dz$x, & ainfi des autres; de plus on trouve par la metho- de des integrations par parties fpdlx = p$x — fdpSx, fqdzl x = qdl x -dql x-hfdzqlx, frd'l x = rdzl x — drlx -4- dzr$x — fd^rlx; & ainfi d'u refte ; done P Equation precedente fe changera en celle-ci , ( A ) . . . f(n - dp -4- dzq - d*r -4- &c.) Jx + /(JV - dP -h dzQ - d>R -4- &c.) *y •+■ /(» - r-+-&C ) lx -4- (N-dP -*-dzQ-d>R-+-ckc. ) ly -+- (V — dv -+- d-% — J»p -4- &C. ) &{ = o; & enfuite 1' Equation ddterminde (C) . . (p-dq + dtr -&c.)&* -4- (f-), & enfin -^L- V b dt i • r ,j • = _, — — , cequi ie reduit, r ab , , dxV x , ■ « en polant = c, adt= , equation a une cicloide decrite fur une bafe horizontale par un cercle , dont le diameire = c. I V. Maintenant, fi le premier & le dernier point de la bra- chriftochrone font donnes , il eft clair que , les coordon- nees x , tf , { etant invariables pour ces points , leurs dif- ferences &*, &y , S{, d$x, dly &c feront nulles , & par confequent aufTi tous les termes de 1' equation (tC); la conftante c devra done etre determined en forte , que la cicloide palTe par les deux points donnes . Si le premier point eft donne , & que la brachriftochro- ne doive etre telle qu'un corps parrant de ce point arrive dans le moindre terns a un plan horizontal donne , alors XM fera '79 fera mil de lui meme , & 1' equation ( C) donnera M ' = o , favoir §x -+• — <—. Sy ■+• - — %- iz = o , equation qui devra avoir lieu feulement dans le point oil la courbe rencontre le plan ; or ce plan £tant donne de pofition , PabfciiTe x qui y repond fera donnee auffi, par confequent on aura I x = o , & le refte de 1' equation devra etre vrai quelles que foient S^v , & 8{. On aura done __ : ?— d\ •» = o , — i— = o , a = oo , £ = oo, ce qui transfor- ds y x mera la cicloide en une droite verticale . Mais fi le plan donne au lieu d'etre horizontal , etoit vertical , & perpen- diculaire a P axe des y , ou des { , on auroit alors }>y a n dx dz = o oc par conlequent = o, - — *- = o pour r ^ ds\/x ds^ x * le premier cas, & Iz = o, & par confequent = o , J as o pour le fecond ; par-la on determineroit les d S ^ X * conftantes a, & b, & Ton trouveroit que la cicloide de- vroit etre telle quelle rencontrat le plan donne a angles droits. En general fi au lieu d' un plan , on prend une furface quelconque pour terme de la brachriftocrhone , il eft clair que les Sx, ly, Iz de P equation (C) devront avoir entr'elles un rapport dependant de la nature de la furface donnee; de forte, que dz = Tdx •+• Vdy etant fuppofee P equation differentielle de cette furface, on aura &{ = It x "+■ V^y i done fubftituant cette valeur de X{ dans P equa- tion ( C ) on aura > dty/x ds^x dsy* x ds\/ x d1 ou P on tire feparement dx -\- T dz ■=. o; & dy ■+• Z % Vdi x8o Vdi = o . Equations qui font connoitre que la furface propofee doit toujours etre coupee a angles droits par la courbe cherchee . Si la brachnftochrone doit {implement etre terminee par deux furfaces donn^es de pofvtion; alors pour remplir l'equation (C) il eft neceffaire de faire feparement "M = o , & M' = o ; d'ou 1' on tire pour le premier , & le dernier point de la courbe les memes conditions qu'on a trouve dans le cas precedent pour le dernier point feulement; on en conclura done que la courbe cherchee fera celle , d'entre routes les cicloides poffibles , qui rencontrera perpendiculai- rement les deux furfaces propoiees. V. Second cas. Suppofons maintenant que la brachnfto- chrone doive etre toute couchee fur une furface donnee , dont 1' equation foit d^ = pdx -+- qdy; changeant la caratheriftique d en I, on aura done S% = pi x -+- &{ -H «■ Wf -4- X$J'{ -4- &C. & &Z = /z'&X -4- />'*'& + P (H -fL) = (P) P + Q' (H - fL) = (Q) &c. comme auffi v ■+■ v' (tf - /Z) = (0, t ■+■ t'(//-/Z)=(t),z-4-X' (H — fL) = (%) Sec., on aura en general *./2=/L(«) - d.(F) -4- ^(.7) - &c.]S* -4-/[(.V)- «/.(/>) -4- ^((2)- &C.]*y -+-/[(') - rf-C-*') -4- ) -J- (?) -4- &c. ]Sx-H [(.7)- &c] Idx -4- &C. •H C (^) - ^ * (<2) -*~ &C. ] &J -4- [ (Q) -&c] S dfy -4- &C. i95 -+■[ (*) -^•(%)-4-&C.]^-H[(jC)-&C.]^{H-&C. = o (Z>) Equation r^duite a la forme de 1' equation (A) du Prob. prec. ; done &c. X. Corollaire . Ce feroit la meme methode qifil faudroit fuivre ft la quantite Z' renfermoit une autre fonftion integrale indefinie IT = fZ", enforte que & Z' = Z'SIT -+- nix ■+■ p'iJx -h &C. , & IZ" = tl"lx -+- p"idx -+- q"Sd*X -+- &C. -+- N"$y ■+■ P'idy -+■ Q_'l.:\y -+- &c. -h»'Jf H- t' §«/r (G _/,-/r)== (p)> fC/r (£_/W) = (?)#*., on trouvera pour 1' expreffion de IfZ une formule tout- a- fait femblable a la formule (D) ci-deflus. X I I. Scholie . Les formules qui font 1' objet des deux Pro- blemes precedens , font analogues a celles que M. Euler a traitees dans le Chap. III. do fon Ouvrage fur cette matiere. Le Lecleur qui fera curieux de comparer nos folutioni avec celles que ce favant Auteur a trouvees par une me- thode differente verra qu'elles s' accordent dans les reful- tats , en aiant egard a ce qu'on a dit dans C Art. VII. ti-deffus. Au refte M. Euler n'eft pas alle plus loin, & n' a point examine* les cas oil la formule Z dependroit d'une equation differenrielle , d'un ordre plus eleve' que le premier. Le Corollaire fuivant ne laiffera plus rien a defi- rer fur ce fnjet* XIII. Corollaire. Suppofons que dans l'equation differentielle propofee il fe trouve des differences de Z da fecond or- dre } de forte qu'en differentiant par I , il vienne I d* Z H- Tl d{ -*- VIZ = nix -t- pldx -+- &c. Je com- mence par mertre la caracleriftique d avant la caracleriftique $, enfuite je multiplie toute 1' Equation par une variable in- deter- i87 determine * , & j' en prend la fomme , en affe&ant les deux membres du figne f; apres je transforme Ie pre- mier membre f(«.dl$Z -f- *T di Z ■+■ &VSZ) en * it Z ■+- ( * T - d*) IZ h-/[ «.V- d ■ ( « 7 - d*)]lZ, & luppofant oc tel que *V — d~ (*T — d2 -+- ql) = ( en differentiant , & fuppofant dx, dy conitantes ) (^)idJnc^ = (^) = (^),^ = (H) = (5l); done (fdxdy E- X (yi)-+-Jfdxdy v dy u v V(i + />' + q1) v dx J M J 1 ■^ _ 189 1 X ( — i) = o. Maintenant, comme dans v'C" + />' + q') * +**) d* M b done pris 1' integrate fdx l. x ( — *•). ou x feul varie ; il eft facile de la transformer par des integra- tions par parties , en £ tz — fd- L X S {, ce qui fe reduit,en fuppoiant les premiers & les derniers 7 donnes , a — fd ■ l. x S z , la differentielle de etant prife en variant feulement x. Soit, • (1 + />' + ?') pour abreger, - = P; on aura, en multipliant par ^y & integrant denouveau, fdyfdx - * d ° J JJ V (■ + />* + s') X ( — £ ) , ou ( ce qui eft la meme chofe ) Jfd x dy Jfdxdy (__)&£. On trouvera de meme, en n'aiant egard qu'a la variabilite de y, & pofant Q pour 1 . fdy I x(^) = OS? - fdy (d-2)$7 = * - *.(' + /}+ f) • » .' l J y Jfd x dy ( _i ) & { . Subftituant ces valeurs dans l'equation ci- deflus,elle deviendra - Jfdxdy [ ( ^) H- (^)]*f = •, laquelle devra etre vraie independenment de 5{; on aura done en general, pour tous les points de la furface cher- ,, ,dPx ,dQ. chee , ( — ) -+- ( — -^ )=o; ce qui montre que cette quan- dx dy titt Pdy - Qdx, fa voir P iy ~ *— * doit Stre une dif- ferentielle complette . Le Probleme fe reduir done a chercher p & q par ces conditions que pd x -*• q dy , & c__Z _i. — _ foient 1' une & 1' autre des differentielles exaftes. II eft d'abord clair qu'on fansfera a ces conditions en faifant p & q conftantes, ce qui donnera un plan quelcon- que pour la furface cherchee, mais ce ne (era la qu'un cas tres-particulier; car la folunon generate doit etre telle que le p^rimetre de la furface puiffe etre determine a volonte. Si la furface cherchee ne devoir etre un minimum, qu'en- tre toutes celles qui forraent des folides egaux , alors %dxdy etant 1' element du folide , il faudroit que la for- mule jf^dxdy demeurat la meme pendant que 1' autre la formule Jfdx dy >/ ( i -+- p* ■+• q* ) varie ; on auroit done a la fois les deux equations J -Jfi d x dy = o, & & -Jfdxdy V ( i -t- p* -+- q*) = o, (avoir Jfd x dyl^ = o, (kjfdx dy [ ( — ) -t- ( -~ ) ] 5 f = o . Qu'on multiplie la premiere par un coeflcient quelconque k , & qu'on 1' ajoute a la feconde , on aura Jfdxdy [k -+■ ( — ) -+• ( Jb ) ] & { d P = o , d' ou 1' on tire 1' Equation generale k -+• ( •— — ) I9I -f- ( — ^ ) = o , qui aura lieu toutes les fois que (P -\-kx) dy dy — Q d x fera une differentielle complerte. Done la queftion fera reduite a chercher/?, & q par cette condition que pdx •+• a dy etant une differentielle exafte , -L-^- 1 H k x dy en foit une auffi . L' equation de la fphere eft en general ( { — a )* -H (.J —b)* ■+■ ( x — c y = fz ; ce qui donne (y - b^> J- 4- ( X - C)dx , dr = J- —— , done 1 v [**•— kj — " — (* — '/] # — c done • {*— U — *)• — (» — O*]* y — £ S v [»* — (>' — 6 )•—(* — 01]' tdy ~ ldx -+- kxdy = (2 + k)xdy -Lydx -4- Hf — ^- , qui eft une differentielle complette fi — •+■ k = — -. r Appendice 1. Soit propofe- de trouver celui , d' entre tous les poligo- nes qui out un nombre donne de cotes donnes, dont faire eft la plus grande . La methode de ce Memoire eft auffi applicable a ces fortes de quefttonsj car foit y une or- donne'e quelconque du poligone, & x 1'abfciffe correfpon- dante, on aura pour l'element fini de l'aire, (y -+- ±-dy) dx comme il eft aife" de s'en aflurer par I' infpeftion d'une figure fort fimple; par confequent l'aire entiere fera/^y -+-^ dy) dx. Done, fuivant notre methode, $-f(y -+* t dy)dx = /[ *y dx -+- \ I dy d x ■+• {y -*- ± dy ) S dx ] = o . Or chaque I 9"i chaque cote du poligone eft en general v' (dx1 ■+■ dy*) ; , i> / , j , i ,s dxl d x -*- dyldy done on aura ff • v ( dx- -+- dyz) = — f— — ^- x ** * y {dx* j. dy*) = o , c' eft - a - dire d x Idx -+- dy Idy = o , & S dx __ _ l J L Z. ; fubftituant cette valeur de & dx dans 1'equa- tion pr^cedente , elle deviendra celle-ci f[dxly -+■ (— dx — ?—3L — — C-^L ) Idy 1 = o . Qu'on mette 2 dx l dx au lieu de & dy fon egale d ly , & qu'on faffe pour abre- eer — dx — <—¥- _Z_ = 7 , on aura la formule 5 i dx z dx x ' idly qu'il faudra integrer par parties, arm de faire difpa- roitre la difference de ly . Pour cela je remarque que dans le cas des differences finies , on a d-fly = d?ly •+- idly -+■ d?dly = idly -+- d$ (ly -+- dly) = (en denotant par I y' le terme qui fuit & y ) {^&y -+- /i- 1 9 ^ Application de la Mcthode precedente a. la folution de diffcrens Problemes de Dynamique. PAR M. DE LA GRANGE. MEuler dans une Addition a fon excellent Ouvrage • qui a pour titre Methodus maximorum &c. a de- montre ce Principe que, dans les traje&oires que des corps decrivent par des forces centrales , 1' integrate de la viteffe multiplied par 1' element de la courbe fait toujours un ma- ximum , ou un minimum . Je me propofe ici de generalifer ce meme Principe , & d' en faire voir 1' ufage pour refoudre avec facilite toutes les queftions de Dynamiques. Principe general. Soient tant de corps qu'on voudra M, M\ M" &c. qui agiffent les uns fur les autres d'une maniere quelcon- que , & qui foient , de plus, fi Ton veut, animes par des forces centrales proportionelles a des fonftions quelconques des diftances j que s,'/\ s" &c. denotent les efpaces par- courus par ces corps dans le terns t , & que u, «', u" &c. foient leurs viteffes a la fin de ce terns ; la formule Mfuds -+■ M'fu'ds -+- M"fu"ds," •+- &c. fera toujours un maxi- mum , ou un minimum . I. Problems i. Trouver le mouvement d' un corps M at- tire vers tant de centres fixes qu'on voudra par des forces P . (), R &c. exprimees par des fonclions quelconques des diltances. Sour- *97 Solution. Comme il n'y a ici qu'un feul corps M, li formule qui doit etre un maximum , ou un minimum fera (implement Mfuds; on aura done, fuivant la methode ex- pliquee dans le Memoire precedent , 1' equation J • Mfuds = o, ou, en divifant par M qui eft conftante , J -fads s=o. Or I ■ u ds = ulds-hluds; done changeant l'expreffion % • fuds en fon equivalente fi • uds , comme on l'a enfeigne ( Art. I. Mem. priced. ) on aura P equation f(u I ds -h Suds) = o. Soient p, q , r &c. les diftances du corps M aux cen- tres des forces P , Q , R &c. , on aura , comme tous les u* Geometres le favent, — = conft. — f(P dp •+■ Qdq i ■+- Rdr -+- &c.) done ul u = — I ■ f(P d p -+• Qdq -+■ /?* -+- ZQdq ■+- Qldq -f- $ Rdr •+• Rl dr -+- &c.) = (en chan- geant I dp, Idq, Idr &c. en dip, dl q , Ldly + 1Ld-ldlz). Qu'on faffe di- JK ds ds J ds w /* fparoitre dans cette expreflion les differentielles de tx , ly , 1 1 par la methode des integrations par parties , pra- tiquee dans le Mem. prec. , on aura la transformed fuivante fulds = -J(d-UJ±*lx + d-'^Xdy i d-UJixlO J J N d s d s J ds x ' ttdx * u dy . udr ^ H — lx -+■ _ J-%y -+- — i&r. ds ds "/ ds x II ne s'agit plus que d'exprimer les differences $p, I q , Ir &c. par les I x , &j/ , Sf. Pour cela on cherchera les va- leurs analitiques des lignes p , q , r <&c. rapportees aux coordonnees x , y , £, 8c en prendra leurs differentielles, en mettant & pour d. Soit fuppofe en general dp = Ld x ■+• Idy + Ki{, dq = Mdx-i-mdy-*- pdr, dr = Ndx -+- ndy-+- t d z ; il ell clair qu'on aura auffi Ip = LI X ■+• lly '-+- XS{, lq = Mix -+- mly -J- /u$£, S r = N& x -(- nl y •+- tlz . Done fi on fait pour abreger PL -f- QM -+- RN = n P/. + Qffl + iJfl BS-* P \ -*- Q fji, -+• B v = ■+- , on aura PSp-4- <2^fH-i?Sr -+-6^. = nSx-t-7gj-+- -+- x d q>z% x -+• d x d% x -+■ d % dl r jj : - — • Metrant done cette valeur dans la formule integrate fuids,. & faiiant difparoitre les differeiltielles de $\ UX'dti*. udx «, ud? + rUr)** -4- (<* -^ -+- *if)&{] = o. Maintenant fi on fuppofe , comme dans V Art. II. que le premier & le dernier point de la traje&oire font donnas , il elt clair que les & a • — ■+■ H_ = o , ou I 103 ou , en mettant y pour - , J -d-U>L-ryd2 - **y - -rh - vyd^ -+■ p»*F = °> r t r , dV Ttxldm it dm favoir , a caule de — — = — — ~-Z- = — — — , V V% Vxy* „ vdy ~d — dly — ydtp1 -+- — - — d fc

R 6'c. etoient comme des tonclions quelconques des diftan- ces p, q, r &c; cependant il eft facile de demontrer, par les principes de Dynamique, que les equations trouvdes font generates pour toutes forte* de forces acceleratrices; & Ton peut d' ailleurs s' en convaincre par cette feule raifon, que les equations dont il s' agit , ne renferment point la loi fuivant laquelle les forces P , Q , R &c. croiffent ou decroiflent, mais feulement les quantites & les directions inftantanees de ces forces , comme il eft aife de le voir en fubftituant pour II , ir & + leurs valeurs . Au refte , a examiner les folutions pr^cedentes , il eft Evident que Thipotefe. de P .= fon& p , Q = fonft. q , R = fon£t. r &c. ne fert qu'a rendre = o la formule integrate f(lPdp - dPlp, H- \Q_dq - dQlq, -4- IRdr - dRlr &c. ) . Or pour cela il fuffiroit que les quantites P , Q , R &c. euffent entr' elles un rapport tel , que Pdpl _ dPlp -+- IQdq - dQlq + iRdr - dRl r -*- &C. = o ; foient done P , Q , R &c. des fonftions quelcon- ques de p , q , r &c. , de forte que I' on ait par la diffe- rentiation dP = A dp -+- B dq •+• Cdr &c, dQ = Ddp -+- Edq -+- Fdr &c. dR = Gdp -+- Hdq -+- -4- Idr &c. ; il eft clair qu'on aura egalement IP = Alp -h Blq -i- Rlr -4- &c. IQ = Dip -+- El q •+■ Fir &c. IR = Glp + Hlq -+- llr &c. Sub- ftituant ces valeurs dans 1' equation de condition , 6k re- duifant on aura ( B — D)y.(dplq — dqlp) -+- (C — G)X (dplr - dilp) -+- (F - H)*(dqlr - drlq) = o, done B — D = o, C — G ^= o, F — H = o, favoir rffl <*/> rfr dp dr dq C*eft-a-dire que P dp -+- Qdq •+• Rdr &c. devra etre une diffe- io5 differentielle complette . Si cette condition a lieu la vn- leur de ulu fera limplement — Pip — Q% q — Rl r — &c; aurrement , il faudra encore tenir compre de 1' in- tegrate f($Pdp — dPlp -+- &c. ) pour rendre la for- mule fu d s un vrai maximum , ou minimum; mais les equa- tions qu'on trouveroit alors ne feroient plus les veritable*- equations du mouvement du corps. V I I. Remarque 2. Ce Probleme eft le feul, auquel M. Euler ait applique Ton Principe. II l'a auffi reTolu pour les deux cas , des coordonnees rectangles , & des rayons partant d' un centre fixe. Mais pour pouvoir comparer fes folutions avec les notres , il faut remarquer ; i.° Que M. Euler n'a confidere que des courbes a fimple courbure, 2.0 Qu'il n'a cherche le maximum , ou le minimum de la formule fu d s qu'eu e"gard a la variabilite de 1' ordonnee y dans le pre- mier cas , & a celle de 1' angle que nous avons nomme $ , dans le fecond ; Voies f Addition citee au commencement de ce Me moire . Au refte il eft clair que par nOtre Methode on pourra encore varier la folution de ce Probleme en plufieurs au- tres manieres , felon les diffe'rentes fortes de coordonnees qu'on choifira pour reprefenter la traje&oire cherchee . VIII. Probleme %, general. Soit un fifteme quelconque de plufieurs corps, M, M' , M" &c, qui foient follicitei par tant de forces centrales qu'on voudra , favoir M par les forces P , Q , R &c. , M' par les forces P' , Q , R! &c. M" par les forces P", Q", R" &c. , & qui agifient , de plus , les uns fur les autres par des forces quelconques d'ar- tra&ion io6 tra&ion muruelle; trouver le mouvement de chacun de ces corps . Solution. Tout fe reMuit a rendre la formule Mfuds ■+- M'fu'ds -4- M"fu"ds" -4- &c. un maximum, ou un minimum. On fera done, fuivant notre mddiode, I • Mfuds -4- I ■ M'fu' ds'-hl- M' fu"ds" -+- &c. = o . Or $ ■ Ai/« ds = (a caufe que A/ eft conftant) Ml • fuds = Mf(u$ds -4- u$ udt) , An. 1., z=. fM( ulds -h uludt) . On trouvera de meme, en fubftituant toujours dt pour — j- , ^~ &c. , *• M'fu'ds' = folds' -+■ u'lu'dt), l-M"fu"ds" = fM" (u"lds" -+- u"Zu"dt), & ainfi de fuite j on aura done l' equation (Z>) . . . /(Maids -+. Af '«'$", Q", R" &c. Soient, outre cela, f la diftance entre le corps M , & le corps Af , & /" la force , avec laquelle chaque point de T un attire chaque point de T autre , & de meme f la di- ftance entre les corps A/', Af", & P Jeur force d' attra- ction , & ainfi de fuite ; foient encore g la diftance entre le corps M' , & le corps M" , & G Ieur attra&ion , & ainfi pour tous les autres corps ; on aura par le Principe general de la confervation des forces vives, 1' equation Mu- -4- M'u* -+- M"u"* -h &c = MF'-hM'V* -4- M'V"*-*' &* - *Mf(Pip -4- Qdq -4- Rdr-h&c.) - i M' /"( Pip -4- Q'dj -H R'dr -h&c.) - i M'JX P'dp" -4- Q"df -4- R'dr' &c.) -- &c. - zMM'/Pdf- z MM /P df - &c. - i M' M' [G d g - &c. V , V\ V", &c. etant les vitefles primitives des corps M , A/', AT &c. Or 107 Or foit fuppofe P = fon£r. p , Q = fonft. q, R = fonft. r, 6c. i>'=fonft. /, <2'= fon& q &c. F= fonft./, rye. G = roncl. g- 6-c, on trouvera, par un calcul analogue a celui qu'on a fait dans le Prob. i., 1' equation diffe- rentielle (F) . . Mulu -4- M'u'lu' -4- M"ulW -4- <5r. = - M (P&/> -4- QSq -4- /Ur -4- &c.) - Af (F&// -+- Qtq -4- R'lr -4- Y-hd{dl{ d~s & de meme * ~~ <*x' *.///■_ ^ x" x" -4- + M\du14~-^x'd^)lx' + M'd-uHl XS ds' y V ds1 ds' ' di' H Jt± J // _ 91 J J I ti J/ J 9f± // ) // ltd-"** *l4' + M\d.ud*-uxdf)lx'' + M'd.l!4L-rt ds" v ds" ds' ds' &c. &c. (Mulu 4- M'u'tu! -*- W'u'lu" -+• &c.)} = o (^ 2? ' &c, il eft facile de voir que S

, t<& &c.y Sx, I x' , Ix" &c. quelle que foit 1' aftion reciproque des corps les uns fur les autres ; il eft de plus evident que toutes les differences lp, $q, If &c. qui entrent dans la valeur de Mulu -+- M'u'^u &c. feront auffi independan- tes de la difference S, Sip -+-&' &c. a la place de Sip', I ' -+- M"fx"*d" &c. expri- ment de meme les aires decrites par les proje&ions des autres corps M' , M" &c. autour du meme centre ; done la lbmme de chacune de ces aires multiplied par la matte du corps qui la decrit eft toujours proportionelle au terns. Le Le&eur, qui fera curieux de voir une demonftration de ce Theoreme tiree des Principes de Mecanique, la trou- vera dans un Memoire de M. le Chevalier d'Arcy , impri- me parmi ceux de 1' Academie Roiale des Sciences de Paris pour 1' annee 1747.; il y trouvera autti 1' ufage de ce meme Theoreme pour reibudre plufieurs queftions de Dynamique . Au refte nous remarquerons que F equation ( G ) renfer- me le Principe que Mrs. Daniel Bernoulli, & Euler ont appelte la conservation du moment du mouvement circulatoire , & qui confifte en ce que la fomme des produits de cha- que corps ( M ) par fa vitefle circulatoire ( z ) & par fa diftance au centre (x) eft conftante pendant le mouvement du fifteme . Votes les Mimoires de CAcadimie Roiale des Sciences de Berlin pour Fannie 1745., & Les Opufcules de M. Euler imprimis a Berlin en 1746. La meme equation (G) renferme autti le Principe de M. le Chevalier d' Arcy , que la fomme des produits de chaque corps ( M) par fa vitefle ( u ) , & par la perpen- dicu- 11 + diculaire menee du centre fur la dire&ion du corps (—Z.) fait toujours une quantite conftante . Voies les Memoires de t ' Academie de Paris pour les annees 1749., 1751. XIII. Remarque . II ell aife de trouver , par la methode que j'ai donne dans la Remarque de I' Art. VI, que l'equation (V) fera exafte en general toutes les fois que la formule - MCPdp + Qdq+Rdr -+-&c.)-M'{F dp' + Qdq' -t- R dr -+- &c. ) — &c. qui exprime la valeur de Mudu M' u du -+- M"u" du" -+■ &C , fera une differentielle com- plette. Dans tous les autres cas cette equation ne pourra plus fervir a trouver les conditions de la maximite, ou de la minimite de la formule integrate Mfuds ■+• M' fu ds' -+- M" fu" ds" -+• &c; mais elle fervira toujours egalement pour trouver les mouvemens des corps M , M' M" &c. , quelles que foient les forces dont ils font animes. Ainfi fans s' embarafler que la formule dont nous parlons foit reellement un maximum , ou un minimum , on pourra tou- jours emploier l'equation (V) dans quelque hipotefe de forces que ce foit. X I V. Probleme 3. Trois corps M, M\ M" s' attirent mutuellement par des forces d' attraction F, F' , G ; trouver les orbites des corps M\ M" par rapport au corps M regarde comme en repos. Solution . Les memes. noms etant conferves que dans ? Art. IX. on fera de plus, comme dans CAn.X., xf = x ■+• X,y' =j -+- V&c, & Ton aura ds = V(dxl -+- dy1-*- df) ds' = S[(dx-hdXy -h(dy-h dVy +(idrrdr d Z)idZ ]:is; I ds" = \d x i d - / cof. Q-hdyid- r' fin. J -+- r zd f J ' dt dt J dt y = ( cof. JpJl9i = _fd. Cl^xl J dt J dt _ dri d r r . dr v r(d{-hdZ)dlZ __fd d{+dZ y^z En joignant enfemble toutes ces transformers, & y ajou- tant le terme f-JL&r, on aura la valeur de funds' J dt exprimeT par la formule fuivante AT ( /-fin.

- x <*f ^ dt dt dt ' dt A prefent, pour avoir la valeur de Mulu -t- M'u'lu -h M"u"lu", on fera dans l'equation {V) de C Art. V III. toutes les quantites P, Q, R, P', Q' &c qui reprefentent des forces etrangeres = o , & 1' on aura Mu Su-t- M'u'lu -+- M"u"lu" = - MM' Flf- MM'F'lf - M'M'Glg. Or il elt facile de trouver que /= V (X1 ■+■ Yl -+- Z2) = • ( r* -+■ Z%f = • ( X'*+ Y'* -H Z'«) = • (/» -+- Z"), ^^•[(^ _ xy + (r _r)« -h (Z'-Z)»] = • [ /'* ■+- f* - 2 / r cof. ( g- d dr_ rdf _^ cqC dx f rf.^+ rMFie dt dt * dt r dt j n8 g j dz -4- dZ' Z' — Z hm„s* i d • _i — M ' Gdt = o . . 4t . s Equations qui fe r^duifent a la forme de celles de CArt. IV. en fuppofant rfin. «pJ.^-rcof.(pi.^-H £Jfin- ^' ~ »> M'Gdt dt dt g = — rdf, cof. « ) de /'^rr. P7//., & faifant, apres les reductions ordinaires, les trois coeficiens de & x, Sy , &{ chacun = o , on auroi't trois Equations, par lefquelles on pourroit determiner les valeurs de — , — ^ , — i- . Au refte ces equations re- dt dt dt * viendroient au meme que cellej de /' Art. X. en y faifant P, Q, R = o. XVI. Corollaire 1. Les equations , qu'on trouveroit par la methode du Corollaire precedent, ne renfermeroient point les forces F, F\ G, mais feulement les changeantes r, ' + (/' - y )» -*- ( f" - ^ )* ] } pour notre cas il fuffit de Eez feire 110 faire varier x , y , { feulement ; on aura done fubitituera ces valeurs dans Pexpreflion — MM'F^f — MM'F'tf - M'M"Gtg, & 1' on aura (a caufe de x* — x = X = r cof. les angles que les li- gnes f, f forment a chaque inftant avec 1' axe des x ; prenant x', y' , x", y" pour les coordonnees rectangles des autres corps M' , M" , on aura x' = x — f cof.

dsx = dx1 -+- dy*, ds'1 = dx'1 -+• dy'* = d x* •+■ dy* -+- 1/ ( fin. dy ) I

] : (f/j Mi" = [(dx ■+-/" fin. ' ) Sdy •+- /"''dx -+- fin. ) de ?Art. VIII. , & taifant faifant les transformarions , & les reductions ordinaires , oa trouvera futis = -/(rf-^Xlx -+- J.-f&xJy) d m dy-fcoC. & f ; comme il eft aife de s' en affurer par le calcul. Pour avoir maintenant la valeur de M ul 'u -+- M! u '& u -+• M"u"$u" on aura recours a 1' equation generate (V) de FArt. VIII. , laquelle donnera pour le cas prefent Mulu -+- M'u'lu' -+- M"ulu' = - M(P$p -h QSq -+- R$r) =, en faifant les memes fuppofitions que dans, I' Art. L, - M(mx •+- T&y). II n' y a plus qu'a mettre ces differentes transfbrm^es dans 1' Equation (D); or fi Ton fajt pour abreger M (d- — -t-ndt) + M' d-~ (dx +f{m.) dt ' dt ? r -+- M"d.— (dx -+-/fin. jd) = [j] ^1^_ ( cof.

']* = lq>i ainfi il ne faudra qu' ecrire , dans 1' equation (H),

. — coC.tpdfodx — (in. (pdfldy, divifee par ds; c'eft pour- quoi la valeur de la formule integrate ful ds feroit aug-« mentee 2i} mentec de f(j. C^L X lx + J- *±jgl X \y «+■ -J- ( fin.

^* - cof. (j) =7 o. () = o, («0 = o, & (/) - (/') = o; favoir, a caule que dx=o,dy'z=oi&f'=a— f, d.ti±=0,iSa-fVd* «„, & Les deux premieres equations etant integrees , donneront dd* + zd. £ = D. «* — xaf\ 2f' (a'—iaf+zp)dp Cette equation e^ant multiplied par 1 , & en« fuite integree, en regardant ', lp" &c, - P au lieu deP,P', P" &c, & toutes les autres forces Q , R , Q &e' egales a zero j on aura done Mu I u Mulu -4- M'u'lu' + M'u'lu" -4- &c. = P{Mlx -+■ Mix' -+- M"lx" + &c.) Faifant ces fubftitutions dans 1' equation ( E ) cite ci- devant , & ordonnant les termes, elle deviendra de la for- me fuivante dans laquelle on aura , apres avoir mis au lieu de — , u — - , — &c. leur valeur commune dt , u u" [v] = M[d.iy + 2 (Pir-rf.^)]-[->i^2 -£]x[M'(/><*r - d.i?L)+M"{Pdt-d- — ) x J u v <** N <*t j '« -4- M'"(Pdt - J.——) -+- £c. ] at * — * at rll^y _ y^zy.^\_M" (P dt- d -d4L) -h M!" (Pdt u x" — x x' — * dt - d ■ — ~ ) -4- &c. ] dt J rfy -x. y"-ytpjf-d.dJL L*/ J ^f *"—•*' v dt iii // h i Ay" &c. &c. & les valeurs de [ {■ ] , [{'] , [{"] &c- feront les memes que celles de [y ] , [y ] , [y" } &c. , en y mettant {im- plement {, {', {" &c. au lieu de y , y' , y" &c. On tera done fuivant notre methode Lr] = o, [/] = o, [y] = o &c. [{] = o, [f] = o, [f] = o &c. Equa- 23° Equations qui , avec celles qu'on a rrouve' plus haut , fuffi- ront pour reToudre le Probleme. XXV. Corollaire . Soient les corps M, M , M" &c. infini- menr petits , & places a des diftances ^gales. les uns des autres ; marquant par la lettre d la difference de deux coor- donnees confikutives quelconques , on aura en general ylsiz = *y. &y^jL - yrJL == & . Li . x' — x d * ' x" —x' x' — x Ax Soit chaque petit poids, dont le fil eft charge, dm\ foil de plus la fomme des valeurs de dm (Pdt — d ■ — ) pour toute la longueur du fil defignee par Tdt, & la fom- me indefinie des memes valeurs prife relativement a 1' ab- fcifle x, marquee par la lettre S de cette maniere S.dm (Pdt — d- — ) ; il eft facile de voir que les Equation*, dt (jv) = o, (j/) = o, (y"), = p &c. fe reduiront tou«. res a celle-ci generate d-^X [Tdt - Sdm (Pdt-d.^)]=zO; ax dt que de meme les equations (^) = o, (^') = o, ({ ) == o &c. fe changeront en d-^ * [Tdt -Sdm (Pdt -i-^)] = o. d* dt' J Ce feront done ces deux equations qui ferviront a deter- miner le mouvemenr du fil ; mais il y faudra encore ajouter une troifieme equation qui fe deduira de ce que chaque Ele- ment *3* ment du fil , dont I' expreflion generate eft V ( dx* -+- dj» -t- d{*) , doit demeurer conftant, pendaat que le fil varie de courbe . Cette equation (era done dV(d^dy' + dr) £ favoif *(_-) +dy (-^f) -f- dr (_/) r r. Dans le cas des ofcillations infiniment petites on a — = o , parce qu'alors chaque point du fil repond tou- jours a tres-peii-pres au me me point de 1' axe ; de plus fi on regarde le fil comme uniformement epais , & que l'ele- ment de fa courbe V(dx* •+- dyl -+- d{* ) foit denote par d s ; on aura dm = d s , & la formule integrate Sdm (Pdt - d - ^) fe reduira a SPdsdt = ( acaufe at 4e Pdt conftant) Psdt, etant la longueur de la partie du fil qui repond a rabfeifle x ; par confequent fi la longueur t6tale du fil eft / , on aura T = P I , & les deux pre- mieres equations deviendront celles-ci beaucoup plus fimples ds(d-d* +¥Pdt)-Pdtd.& * O- *) = ° a t ax a * d* (d-^I +kpdt)- Pdtd-'k-K (/ - s) = • dt d* d* la troifieme fera inutile . XXVI. Scholie . Si les fils /, f , f" &e. qui joignent les corps M , M\ M" &c. etoient extenfibles , & elaftiques , on auroit alors les equations /&/" = xlx -i-yly -4- fSf* ftf = (*' - x)X(Sx' - Ix) -h (y-^)X(5y - ly) & ainli de fuite. On trouvera de plus, en appellant Fy F' , i7" P (Mlx + M'lx' ■+■ M"Sx"-h &c) - Flf- F'lf - F"lf" - &c, comme il eft facile de s' en aflurer en appliquant le Prin- cipe de la confervation des forces vives , au cas dont il s agit ici . On mettra done dans cette expreffion de MaJa -4- M'u'lu -t- M"u"W -+- &c. au heu de If, S/\ If" &c les valeurs qu'on vient de trouver, & on la fubftituera en- fuite dans I' equation ( E ) de FAn. IX.-, ce qui donnera , apres avoir ordonne les termes , & mis dtkla. place de — , — , — &c. , une equation de cette forme /[(x)lx -4- (x')ix' -4- (x')ix" -4- &c. -4- 00*7 + 0O*y ■+• 00*/' -+- &c -+- dans laquelle (x) ^Af (J.^-^o-hC— * F-x—-^JiF')dt (x') = M'(J.^-Pdty + ('Cj^F'-x—^F'')dt (x") = M" (i- £L - /Vr) + (— j£ ?lzi^*- F")dt 2-3 3 o") = M"d , Sfe * {ylz/. F" -zlpLFnJc &c &c. & les autres expreffions (^), ( {' ) , ({") feront'les me- mos que les (y ) , (y'), (y" ) &c. , en changeant feu- lement j en j , j'' eo {' , y" en a* x- d - ^X*v - J-^ X &{) = o. dt l II s'agit maintenant de trouver la valeur de Sdmuiudt. Or il n' eft pas difficile de voir que l'equation {V) de TAn. VIII. appliquee a la queftion prefente donne Sdmulu = -Sdm(PSp-*-Ql<]-hRir-h&c.). On aura done , en multipliant par dt dont la valeur eft la meme pour tous les elemens du fil, Sd m ul ud t = — Sdm(PSp -+■ Q$ q ■+• Rl r •+- &c.)d t; ou bien , en mettant , G g 2 felon felon les fuppofirions de I' Art. 7., n&x ■+■ tt Ij ■+• ■%-%$ au lieu de Pip -h Ql q -+- A S r -+- &c. , S^/n^5w^f = -Si/w(,n^fSx-l-7^Sj-l-^./fS{). . (X) Cet:e valeur iubftituee dans 1' equation (A'), il viendra ( L ) . ; - /S ce qui donne dxSdx -+- djldj -+• d ^ & d { = o, fa voir ( en tranfpolant les deux caracleriftiques & , d ) dxd&x -+- dj'd&y -+- d{d&{ = o; d' oil 1' on tire dSx = - djd^j -4- d{dS{> & en in^ Sdlx = ?>x = rx-S djdSj. + d{dS{. rx d.n n. k d* valeur de Xx lorfque 1' integrate marquee par S eft zero , favoir la valeur du & x a la premiere extremite du fil. La fubftitution de cette valeur de & x dans 1' equation ( L ) dx changera 1' exprelfion integrate Sdm (d ■ — -+- Tldt)ix en celle-ci S d m ( d - — -+- n dt) I \ - S dm [( d ■ ~ ■+- |$6) Sf^dSy -+- lidSr)]. Or la difference l"x etant con- d* d* l J ftante , peut etre degagee du figne d' integration ; done ft Tdi exprime la valeur totale de 1' integrate Sdm ( l r F autre terme — -f--T Jr. Par ces fubftitutions on aura d* v done *}8 doncSJm[(J-^ -+- Udt) S (^d&y -f- ^ d&f )1 = *- d t v d* y d* WJ -7v*(r*-i-^:*> H.^?>v)-S(d.r -f- ii SN{) 7V* _/S[(d • Vdt dy. + dm d-ty + dmvdt)Sy + J L v Ax dt * (d .VdtAl. + dmd- il+dm + Jt)lr-\ = oi dx dt u d' oil 1' on tire pour tous les points du fil en general d - — ^— ¥- ■+■ dm (d--^- -+• v dt) = o ax dt d.FdJdi -*- dm{d.dS + Wr) = o, d * a* & ces equations , avec celle qui a ete trouvee prdc^demment ferviront pour determiner le mouvement du fil. Si on fait dans ces equations n = — i>,T = o, 4*" = o , elles reviendront au m£me que celles de VArt. XXV. , comme il eft facile de s' en affurer par un calcul fort fimple. XXX. Scholie x. Maintenant, pour fatisfaire au refte de 1'equa- tion (M) on fera encore (Sx -+- -f?Sy -t-SS&r)Tdt a .*• d vx = o, equation qui appartient uniquement au premier point du fil. Suppo- 139 Suppofons d'abord ce point abfolument fixe , il eft clair qu'on aura 5V = o, §y = o, l\ = o, ce qui rendra nurs tous les termes de 1' equation dont il :>' agit ; done les Equations trouvees a la fin de P Art. prec. luffiront dans ce cas pour refoudre le Probleme. Mais fi l'autre bout du fil eft aufli fixe , il faudra faire alots quelques changemens a ces equations . Pour cela foit reprife Pequation & x == Sx — S ( ^ d & y -+- -^ d& r ) j d x v d * • • on trouvera , en integrant par parties avec 1' addition des conftantes neceflaires, Jx = SV ^ &y — — £ tz -+- dx J dx x d> ^ d \* l v dx J dx l fignons par x , y' , z' les valeurs de x , y , { qui repon- dent a 1' extremite du fil ,. & rapportons 1' equation qu'on vient de trouver a ce point , on aura en tranfpofant d x> J d x' l d '* J d x x S(d-^X>.y + (l-^xt{J = o: P integrate S(d- -T- Y, §y -+■ d - _I x & r ) etant prife pour toute dx dx l la longueur du fil . Cette equation etant vraie pour tous les inftans du mouvement du fil , on peut la multiplier par dt , & en prendre 1' integrate relativement au terns t ; on aura done en affe&ant tous les termes du figne / A" *&-&»'«- Equation qui doit avoir lieu en meme terns que Pequation gejierale (M) en faifant $x', &/,*{', Sx* , &>, S{ 14° — o conformement a 1' hipotefe , ce qui la reduit a - /S ( d • ^ xSr + d-^ X *{ ) it = o } je multi- d x dx plie done cette equation par un coeficient indetermine k , & je 1' ajoute a 1' equation ( M) ; j'ai ( a caul'e de X x , 5>, Vi = o) fSUd- Vdt6v -himi-ty ■dimwit -i-i-d^-)(kdt)ly ' , dx dt dx -4-(d- Vd'Aj +imi-d-i + dm*dt-±-A-*i %kdt)%{\ a x dt dx l c= o ; d' oil je tire pour le mouvement du fil &.Vdt*y + tim(i.J-y + «jt)+d-d-Y xkit = o dx dt dx d^itd{_^ dm(d-d-l + *dt)+d-ii rkit = o. d .v d t dx Et la troifieme equation fera la meme que dans FArt. prec. XXXI. Scholie z. L' equation (iV) etant multipliee par un coefic;ent indetermine k , & enfuite ajoute'e a 1' equation (M) , on a en general /[(dx'Sx'-Hd/S/ ■+- d^O *5- (dVSV -+- d>*> -H dvfr{) L±iif ] _/s[(d ■ ^liz + d-^x^-t-i^j-^-t-^^^osv ' d* d* ,// ' •< + (d.KilAl -f- d-^X^-4-^/72^.^-|-i//^^)Sf]=0. d *• dx d t Les termes affeftes du double figne J ' S fourniront d' abord pour le mouvement general du fil les memes equations que dans V An. free. ; enfuite les autres termes affe&es {implement du figne / donneront 1' equation (dx'tx' *4" (dVI'x -4- d>S> ■+• dx{r{) X ?±-^=o. d' ou 1' on tire les conclusions fuivanreS . i.° Si le fil eft fixement arrets a ks deuX extremity, les differences S'x, &y, Sf, &*', &/, &{' font nulles par elles memes , & 1' equation , dont il s' agit ne fournit au- cune condition nouvelle ; c' eft le cas de I' Art. free. x.° S* il n'y a qu'une des exnemites du fil , qui foit fixe, alors on aura (implement Vx , Vy , l\ = o , ou * x' , 5y , & {' 5=* o J dans le premier cas , il reftera liquation (dx'&x' ■+■ d/&/ -4- d{'S{') ^ = o , a laquelle on ne pent fatisfaire qu'en mettant k = o j dans le fecond, 1' equation reftante fera — (dxx&x -+■ dyly L . f •+■ dY&V) - ■+• d'{S'{) —If] ■+• /•Sr (d -l*:—idt-dmX\.dt-imd-— )lx ■+■ J L ds <** (d -ili^x^-^mWf- i/ni.^)^^ -+• ds dt' J (d - J^il x ds dt L J d' ou 1' on tire pour les equations generates du mouvement du fil d-^ \ dt - dm{Udt -h <£.^) == o ds Wf d • — ,^ x ^r — dm (vdt ■+- d- -=f) = o as « * d-^i X ^r - dm (*dt -+- rf-^T) = 0, ds dt ce qui s'accorde avec ce qu'on a trouve dans CArt. XXVll. en mettant ar,&"f' = o,& — Pau lieu de n. On aura de plus 1' equation ( dx'lx' ■+■ d/*/ -*- d(l( ) ~ - •qu'on traitera qu'on a fait ci-devant 1' equation (P)t & qui donnera par confequent des conclufions femblables fur le mouvement des deux extremes du fil . J' en laifle le detail au Le&eur. XXXIV. XXXIV. M7 Problems 8. Trouver le mouvement d' un corps de fi- gure quelconque , anime par des forces quelconques. SoLirnoN. Soit nommee dm chaque particule du corps, u fa viteffe , & is 1' efpace qu'elle parcourt dans le terns it ; on aura comme dans t Art. XXIX. Simfuis pour la formule qui doit etre un maximum , ou un minimum . En fuivanr la methode expliquee dans cet Article , on parviendra de meme a V equation ( L ) -fSim[_(d-d4 4- nit)lx -H (i •%+■ Ttdt)ly ■+■ J dt dt ' 1*/ & il n'y aura plus qu'a fubftituer dans certe equation les valeurs de ix, i y , J^, & S # , & y , &{ convenables a chaque particule du corps donne. Pour trouver ces valeurs je prens dans 1' interieur du corps un point quelconque fixe , que j' appelle le centre de rotation , & dont je fuppofe que la pofition foit reprefen- tee par les coordonnees rectangles X , Y, Z ; je rapporte a ce centre chacun des autrcs points du corps par le mo- ien de trois nouvelles coordonnees p , q , r prifes dans les m£mes axes que les X, Y, Z, f ai ainii x = X -+- p , y = Y-+-q,^ — Z-+>r; par consequent ix = iX •+- ip , iy = dY -+- iq, i^ =iZ -hir, & de meme 5 x = IX ■+■ $py Sy = IX -t- ^q, S{ = IZ -+- Jr. II s' agit maintenanr de trouver les valeurs des differen- ces de p , q , r pour chaque point du corps ; pour cela il faut confiderer le mouvement du corps autour de fon cen- tre , & determiner les variations qui en refultent dans chacune des lignes p , q, r. Or il eft facile de voir que, quel que foit ce mouvement , il peut toujours etre reo-arde comme forme de trois mouvemens de rotation autour de trois axes perpendiculaires entr' eux , ck paffant par le centre 14* centre dont nous parlons ; done (i on prend pour les axes de rotation ceux des coordonne'es p , q , r ; on trouvera par un calcul tres-firnple que , tandis que le corps tourne autour de P axe des r d' un mouvement angulaire d R , la ligne p croitra de la quantite qdR, & la ligne q de- croitra de la quantite pdR ; que de meme , en nommant d Q 1' angle de rotation autour de 1' axe des q , les lignes p & r deviendront par ce mouvement p ■+■ rdQ -,r — p dQ\ & qu'enhn 1' angle de rotation autour de 1' axe des p , etant dP, il en refultera dans la ligne q un accroiffement — rdP , & dans la ligne r un decroiirement = q dP . Done en ajoutant enfemble toutes ces differentes variations des Jignes p , q, ry & exprimant les variations totales par dp, dq, dr, on aura en general dp = rdQ -4- qdR -j dq = rdP - pdR J- (Q) dr=- qdP - pdQ J & par confequent auffi, en changeant d en $ . $p = r&Q -+- ?&£ lq =r r&P - />$# On aura done par-la Ix -. fry S{ = SP - dy_ . dt ' dt d' oil 1' on tire d'Tt ^i--Tt'JrridtJrirdt^^'-d-tA dq iX -h rlQ •+■ qlR SF+ riP - pSR IZ - qSP - plQt dX dQ dR "*" 1 ~r dt dt 1 dt dr dP dR ■+■ C-7- _ p —- dt dt r dt dZ dP dt q dt -Pi2 r dt 149 d R dq — favoir , en mettant pour dq, dr., leurs valeurs , , dX , dQ , dR dPdQ dQ* = d ■ — hrd--±-hqd- — q ~^. — P -— dt dt 7 dt 7 d* r dt dPdR dR* -+■ r — - — — p — — ; dt l dt on aura de la meme maniere dt Subftituant ces valeurs dans 1' equation ( Z ) , & faifanr fortir hors du figne S les quantites dX, dY, dZ, I X, Jf, JZ, dP, dQ, dR, IP, IQ, IR, qui font les memes pour chaque point du corps , enfin ordonnant les termes par rapport a IX, $ Y, IZ, iP, $Q> §R> on aura une equation de la forme fuivante /([I]xa:+[F]jf+ [Z]$z-4-[P]&ph- [Qjsq h- [R]ZR) = o (5) dans laquelle IX] = Md-i* + SrdmX{J-^ -+- 0L1*) -H dt dt dt Q , v,, JR dPdQ. c . ^dQ*-hdR> bq d my. (d-— -J£.) — Sp dm X — - — -, 1 dt dt ' * dt -+- S Udmdt lV] = Md.d-I+ SrdmX(d.il- dpai 7 <*t r dt ' * X i^dA^ tSfdm-Sr*dm) *dQd R + Sw rdmdt dt ' dt — Sty qd m dt AY A 7 W}=:SrdmXd~—- Spdm X i - — -f- (Sr*dm -hSp*dm) V-J dt L dt Xd ■ —± -hSpqd/n X d - — -t-S arJni X i - -7- H- dt ' ' dt ' dt _ , dP1 -dR* c , , dPdQ , Q , Sprdm X — Sg r dm X — >+Spad/n r dm-Sp>dm) X i^Ji -^SUrdmdz dt r ' dt — Sty p d md t [K\ =Sqdm xd- — -Spdm X on trouvera de la meme maniere d> Sfuffi = 2 S q rdm X dP — i S pq dm X d R , d -S/Zdm = — zSq rdm X

— {Spqdmf} r 7 (*■+-/'); (t etant un angle conftant tel que B fin. * = Spqdm, au commencement de la rotation du corps; par conlequent S p r d m = B cof. (it + P); done fi on fub- ftitue ces valeurs dans les trois equations ci-deflus on aura. d P Ad- -+- Sirrdmdt — S-^qdmdt^o d t BCm. (A+P)d-d-P-+-BcoC.( cr eft a dire que le mouvement de rotation eftunifbrme; 6k les equal ions precedentes fe reduifent a Be2- cof. (« + /') =o,B cz fin. (a -»- P) =0, ce qui donne B = o ; on aura done V [ ( S ^ q d m)z ■+■ (Sp rd m)z]= o, ce qui ne peut ar- river a moins que Ton n'ait S p q d m = o , Sp r dm = o . Voila done les conditions par lefquelles on determinera la pofition de l'axe de rotation au dedans du corps. II eft clair que ces conditions font fuffifantes pour une telle determina- tion rion, puifque on fait que la pofition d'une droite qui parte par un point donne ne depend que de deux variables. Soient maintenant rdm\ _ — — o 1 dt l dt d R (S pl d 772 ■+- S q1 dm)d- — — = o dt pour le cas ou d P = o , d Q_ = o . Dans le premier cas on aura done d . _i = o c' eft a dire que la rotation fera uniforme, & de plus S q rdm= o, Sp q d m = o pour la determination de 1' axe de rotation. d R Le fecond cas donnera pareillement d ■ — = o , favoir dt la rotation uniforme , & S p rd m= o , S q rdm= o pour ia determination de fon axe. On trouvera done trois axes fixes , autour de chacun defquels le corps M pourra tourner librement &uniformement, en en cherchant dans ce corps la pofition de trois droites, qui pallent par fon centre de gravite, & qui foient relies, que S p q dm = o , S prdm = o,S q r d m = o , S p q d m = o , Sqrdm , S p r d m = o , favoir S p q d m = o, S p r dm = o Sqrdm = o; p, q, r, etant les coordonnees rectangles qui determinent la pofition de chaque jjarticule du corps par rap- port a chacune de ces droites ; d' oil il eft aife de conclure que les rrois axes de rotation dont il s' agit font neceffai- rement perpendiculaires entr' eux . Au refte , quelque foit le mouvement du corps autour de fon centre de gravite, il y aura toujours un axe inftantane de rotation, qui palfera pour ce centre, & qui fera facile a determiner des qu'on connoitra les mouvemens aVigulai- res d P , d Q , d R; (bient p , q , / les coordonnees qui repondent a chacun des point places dans 1' axe dont nous parlous ; il eft clair que , ces points devant etre immobiles pour un inftant, on doit avoir dp = r dQ -hq'dR=.o,dq' = r'dP-p'dRc=o,dr=-qdP — p d Q = o j equations dont la troifieme eft , comme on le voit , une fuite neceflaire des deux premieres j e'eft pourquoi on fera fimplement r d Q -+- q ' d R = o , / d P — p' d R = o: ce qui, en regardant p\ q% r comme variables, & dP, dQ, dR comme conftantes, donne une droite, dont la pofition eft aifee a determiner par rapport aux axes des coordonnees ^/, q\ r. Dans le premier inftant du mouvement on a, en faifant dP = o , dQ= o, d R = o dans les equations [jP] = o, [Q] = o, [JR] =o, (Sr* dm-hSg1 d m) d ■ __-4-Sp qdmxd- —i 1 ' dt ' 7 dt — S p r dm\d • — = \-STrrdmdt—S^rqdmdt = q 1 dt * (Sr* dm + Spz dm) d* —^-hSpq dm )(d- ' dt ' J dt M7 ■+- Sqrdm xd • h SUrdmdt — S^rpdmdt = o v r 7 dt ' dt d P — Sp rdm X d ■ — — -t-SUqdmdt — Srpdmdt = o r dt l ' de plus les equations rVQ -i-q'dR = o, / JP — p'dR = o erant divifees par ^ r , & enfuite differentiees donnent ( a caufe dedP = o,dQ = o,dR = o) ,,dQ ,,dR ,. dP ,, dR r d ■ —± -had- — — = o ; r d ■ — p d - — — = O ; dt 7 dt dt r dt d' oil F on tire dt r' dt' dt r1 dt1 ces valeurs fubftituees dans les equations ci-devant , on a [ ( S r* dm -f- Sfdm) ?- — Sp q dm X ^ — Spr d m] X d • —— -h St rdm dt — S^T q dm dt = o, dt ' [ - (Sr*dm -+- Sp*dm) ^- ■+• Spqdm X £ •+■ S q r d m] X <£'•. -j K SUrdmdt — S^rp dmdt = o, [ S />'' — (SfMw f Sp*dm)q' \ Sqrdm X •"" $• ty qdm — S it rdm S-irpdm — Sx\r dm 25» (Sr^dm -4- Sfdm)p' - SpqdmY q - Sprdm Xr — Sprdm X/>' — Sqrdm\q'\ (Sp'um + Sq*dm)*/ S^rqdm — Sitrdm^ S^pdm — Sllqdm Equations qui donnent le rapport des coordonnees p\ q\ r entr'elles , & par confequent la polition de 1' axe de rota- tion au commencement du mouvement. XXXVII. Corollaire 2. Si le corps n' eft pas abfolument libre , mais qu'un de fes points quelconque foit oblige de fe mouvoir fur une furface donnee ; alors , prenant ce point pour le centre de rotation , & fuppofant la furface expri- mee par 1' equation dZ = mdX-+-ndY, on ne fera que mettre, dans l'equation (i1), ml X -+- nlY pour lZt & Ton aura, au lieu des trois equations [ X~\ = o, [Y"\ = o, [Z] = o , ces deux-ci [X] -+- m [Z] = o, [ Y] ■+■ n [Z] = o -, les trois autres ne recevant aucun chan- gement . Mais fi pour fimplifaer les expreffions de [ X~\ , [Y~\ &c. , on veut que le centre de rotation foit le centre de meme de gravite du corps fuivant la Remarque de I Art. XXXV.-, alors on ne doit plus prendre X, Y , Z pour les coordonnees de la furface propofee , mais X -+- p' , Y -+- q , Z ■+- /: p, q , / etant les coordonnees qui de- terminent la pofition du point qui fe meut fur cette furface par rapport au centre de gravite ; on aura done d Z -+- d/ = m {dX ■+- dp) -+■ n (dY ■+• dq); & mettant au lieu de dp', dq', dr' leursvaleurs r'dQ-hq'dR, r'dP -p'dR, — qdP — p'dQ, & ordonnant les termes, dZ = m dX ■+- n dY-h (/ -4- nr) dP ■+■ (p' -+- m r') dQ -+- (m/ - np) dR; On trouvera par un raifonnement femblable IZ = mlX + nlY -H fq' + nr')lP -+- {p -+- mr)lQ ■+■ {mq - np')lR . done M9 done fubftituant cette valeur de I Z dans I' equation (5"), & faifant les coeficiens de differences reftantes chacun = o, on aura les cinq equations [X] + m[Z-\ = o; [Y] + n[Z] = o; [/>] -f- (y' + «r')X[Z] = o} [<2]-+- (/-*-«/) X[Z] = oj [R] -4- (mr'- np) X [Z] = o, & pour la fixieme equation on prendra celle qu'on a trouve ci-deffus, favoir dZ = m dX -+- ndY -+- (' = o , -+- p't//? , •+-/&£, IZ = q'§ P ■+• p'lQ; & ces valeurs fubftituees dans 1' equation ( 5") , on trouveroit, en faifant les coeficiens de iP, & Q , Si? chacun = o , les trois equations - r\_y\ -t- ?'[Z] + [/>] = • -■/[*] -+- ^[Z] -H [£] = o - ?'[*] -+-f'C^] ■+- [*] = o. XXXVIII. Corollaire 3. Imaginons que le corps foit pofe fur un plan , ou fur une furface quelconque , le long de laquelle il puiffe glifTer librement , en tournant fur lui m£me d'laie maniere quelconque ; foient p' , q\ r les coordonnees de la fuperficie du corps , & d r =. Mdp' •+• Nd q fon equa- tion differentielle , il eft clair } i .° Que tandis que le corps a {es divers mouvemens dXy dY , dZ , d P , dQ , dR, chaque point de fa furface parcoura les efpaces dX -+- r'dQ «+- q dR, dY -+■ r'dP - p'dRy dZ - q'dP - p'dQ; dans la direction des coordonndes Xy Y, Z, t.° Que Kkx le i6o Ie point d' artouchement erant mobile fur cette furface , parcoura de plus dans les memes directions les efpa- ces dp' , dq , dr , favoir dp', dq' , Mdp -+- N d q } d' ou il s' enluit que les efpaces entiers parcourus par le point touchant feront d X -+- r d Q -+- q'dR -+- - />'<*£ -+- r (q -h nr ) dP ■+- (p' -+■ mr') dQ H- (mtf - np')dR -+- (m - M) dp' ' -+- (n - iV)^?'- Cette equation appartiendroit en general a tous les points, dans lefquels la fuperficie du corps pourroit rencontrer la furface propofee ; mais dans notre cas , oil 1' on veut que les deux furfaces fe touchent , il faudra de plus fuppofer qu'elles aient les memes tangeantes dans leurs points de rencontre, c'eft-a-dire que m = M, n = N; done l'equa- tion trouvee fe reduira a dZ = mdX -+- ndY -+- (q' -+- nr")dP -+- (p' -4- mr')dQ -4- ( m q - np')dR. Par les memes raifonnemens on trouvera , en confiderant les differences marquees par &, IZ =mSZ-f nlY ■+■ (q' H- nr')l P ■+- (/>' ■+■ mr')SQ -+- (/»^ - np')lR. II n' y aura done plus qu'a fubftituer cette valeur de $Z dans 1' equation (S), & a egaler enfuite a zero cha- cun des coeficiens des differences $X,$Y, IP ,SQ, $R ce qui donnera les cinq equations IX] -*- w[Z] = o, [Y] -+- «[Z] = c; [/>] -t- z6i (?' -J- nr') X [Z] = o; [ <£ ] -+- (/>'-+• m r' ) X [Z] = o;[*] + W- «/><>) X [Z] = o, lefquelles etant jointes avec l'equation ci-deffus dZ = mdX ■+- ndY ■+• (q -+- nr')dP -+• &C. ferviront a determi- ner le mouvement du corps . Si on vouloit que le corps n' eut a chaque inftant qu'un mouvement autour du point touchant , c' eft- a -dire , qu'il n' eut aucun mouvement pour gliffer le long de la furface fur laquelle il fe meut ; alors il eft clair que les efpaces parcourus par le point d" attouchement fur la furface dont nous parlous, & fur celle du corps devroicnt etre exa- ftement les memes; il faudroit done que dX -+- r dQ_ -+- q'dR -H dp' = dp/; dY+r' dP-p'dR-*-dq'=dq'; dZ - q'dP - p'dR -4- dr' = d/; favoir d X -+- r'dQ -+- q'dR = o , dY -+- / d P - p' d R = O , dZ - q'dP - p'dR, & pareillement $X-+-r'SQ-hq'SR,=o, SY -+■ rlP - p'lR = o, IZ - q'lP -p'lR = o; d' oil Ton auroit pour IX, SK, %Z les memes valeurs que dans le fecond cas de CArt. XXXVII., & ces valeurs fubftiruees dans Tequation (S) donneroient par confequent aufli les memes equations pour le mouvement du corps ; mais , avec cette difference, que les coordonnees p' ', q\ r repondroient ici non plus a un point fixe, mais a un point mobile , qui change continuellemenr de place tant fur la furface du corps , que fur celle le long de laquelle le corps fe meut . XXXIX. Scholie. Les expreffions [X~\ , [F] &c. font en general [X] = Md-d— -+- %{d-d-l -+- Udt)dm dt dt {X] = Mi .^+S(^.^+ Ttdt)dm d t dt [Z] = 162 rz] = Md .i? -f- s(d-— -+- *dt)dm *■ J dt dt [P] = Sri/72 id'iZ - Sqdm * d -^ -4- u J dt * dt S (i • -3- -f- Ttdt)rdm — S ( J - ~ -f- ^ dt)gdm dt dt 1 [<2] = Srim X •* dt [ dt S (d--£ ■+■ Tidt) qdm — S(d--3.-\-itdt)pdm. dt * dt * Dans les formules de /'^/r. XXXIF. nous avons mis a Ja place de p, q, r leurs valeurs tiree de Inequation (Q)f & cette fubftitution a iatroduit les quantites Sp*dm, Sqzdm^ Si1 dm, Spqdm, Sprdm, Sqrdm qui ne peuvent etre determinees que par 1' integration des equations donnees dans £ Art. XXXV. Or, pour eviter cet embarras , il n'y aura qu'a exprimer les coordonnees p , q , r par d'autres variables, dont les unes dependent uniquement de la fituation du corps, & foient par confequent memes pour chacun de fes points , & les autres au contraire foient differentes pour tous les points du corps , & demeurent toujours les memes pendant qu'il change de fituation. Pour cela, aiant imagine deux axes perpendiculaires 1' un a 1' autre , qui paflent par le centre de rotation , 6k qui demeurent toujours fixes au dedans du corps . On remarquera , i .° Que la pofition de ces deux axes relativement a un plan fixe quelconque ne depend que de trois variables qu'on peut nommer P , Q, R; i.° Que la pofition de chaque point du corps, relativement a ces axes, depend encore de trois autres variables que j' appellerai £ ,

en faifant varier d t dt dt P, Q, P; on fubftituera enfuite toutes ces valeurs dans les expreffions ci-defTus , & 1' on integrera les termes af- feftes du figne S, en regardant £, *■ (i -- -*- +^)G]rf« 264 [<21 = SB dm X d ■— -h SEdm X d-— -+. s#i/»x i-^? -+- s [(<*-$ -4- n^o^ -*- cette equation etant generale pour une (ifteme quelconque de corpufcules dm , agites par des forces quelconque P , Q,R&c Soit D la denfite de chaque particule du fluide d m , on aura dm = D d x dy d { , & 1' equation dont il s'agit fera (<0 fS>dxdyd{D H* ■*■£- -+" Udt) x -H (d- & -h Ttdt)ly ■+■ (d ■ d-l -+■ +dt)S?-\ = o; dt dt je met l'expofant 3 au figne S, pour exprimer les trois integrations que ce figne renferme, relativement aux trois variables variables xy y , { integrations que nous aprons fouventoc- cafion dans la fuite de confiderer chacune en particulier . Mainrenant , comme Ie fluide eft: fuppofe incompreffible , il faut que le volume de chaque particule dm, lequel eft: exprime par dxdi/d{, refte toujours le meme; on aura done dy di ddx -+■ dxd zddy -h d xdy ddz =o, favoir ddx d d y . d d z , , ,. , , , — 1- -~- ■+■ i = o , ou en mettanr d d au lieu de dd dx ay d^ Adx ddy ddz ,,. d x ay d ^ v ' On aura par la meme raifon djvd{Sdx -4-dxdfSdj' -+-d^dj/^d{=o, ou bien dy d ^dl x -+- d x d { d &^ -+- dx dy dl z = o , cequi donne d $ x = — dx,( d&jv dy >+- i) & par confequent d ^ (0 . . Sdlx =Sx =S\-Sdx{dL*y-hdll)i dy d^ &'x eft: la valeur de Ix, quand 1' integrate Sd*(-/ -t- 1\ d y n^ ' eft nulle ; or , comme cette integrale doit etre prife en variant feulement x, il s' enfuit que la quantite S 'x fera conftante par rapport a x, mais variable par rapport ajv, & z , c' eft a dire que cette quantite fera une fonctipn de y, & z. Done mettant dans 1' equation (a) a la place de J x la valeur qui on vient de trouver , 1' expreffion integrale SJ dx dy dz D (d- 1- n dt) I x fe changera en celle-ci. J l dt . & S> dxdydzD(d-i^ + Rdt^l\- ^ x dt S' dx dy d z [ D (d ■ il H- nir)Sd x (ill h-1*I ) ] . ^ t d y dx. LI J'ecris i66 V ecris d' abord le premier membre transformed ainfi : d x SlAy d z Sd x D ( d ■ -—- -+- n dt ) I vx, expreffion qu' on voit "• at bien etre equivalente a la propofee, Or foit la valeur to- tale de S d x D(d- — h Ildt) exprimee par Tdt , il eft clair qu'on aura , a caufe que 5 '* eft conftant par rapport a x, SdxD(d iS-h UdOl'x^VxSdxDid-i? +Ildt) dt dt = I' x T'dti done S'AxAy d{D(d- i?.-*-ndt)rx = S* Ay AzTdtS'x. Je mets de meme le fecond nombre fous la forme fuivante: SldydrSdx[Z>(^.^l-4-\ done S'dxdjdj D(d-^-h ndt)lx = S*dydzTdtS"x - S»d*d{ Tdtly - S'dxdj Tdtl\ -+- S'dxdjdf ( dFdJ $y -+■ dfrdtSQ, done l'equation (a) deviendra {d{ " fiS'dydiTdtVx ■+- S*dxdzTdtSy -+- S'dxdjr Tdtl\) -+- fS>dxdydz ( [ ^lli -t- D (d-lft + vdt)lly d'oii Ton tire pour le mouvement de chaque particule du fluide en general d V dt n / j dy , j N — - + ZJ(i-f + Til) = o A? ** I . . . (e) dVdt n , , dz ., . f V ' d^ \, /' -. Enluite pour fatisfaire au refte de l'equation, on rera (/) S*dydzTdtVx ' -j- S'dxdj TdtVy -h S*dxdy Tdt'Vz = o. X L I. Corollaire i.- La valeur de Vdt eft Tdt — S d x D fd- — -+• Udt), 1' integrate £tant prife en variant feu- dt lement x ; on fubftituera done cette valeur dans les equa- tions (e) ; mais, pour pouvoir faire difparoitre le figne S, on prendra les differentielles de ces deux equations , en fuppo- 169 fuppofant x feul variable; ce qui donnera, en mettant pour ■— ■ • fa valeur — Z> (d • — -h JJd t) , d X dt d [D(d-^-i-ndt)-\ d[D (d'^+rdt)]'} d t dt J d y dx I . . dx dr ^ (g) d\_D{d-¥ -i-ndt)-] d[D(d--i + + dt)-]\ dt dt ! d^ ~ ~ " ~~ ' " ~dx~ -> Deux equations qui jointes a 1' equation ( b ) trouvee ci- deflus feront connoitre les valeurs de x, j', { pour un tems quelconque. XL I I. Corollaire 2. Telles font les equations, par lefquelles on peut determiner en general le mouvement d' un fluide :non elaftique follicite par des forces quelconques P , Qy R &c. qui agiffent fuivant des directions quelconques , ou bien par des forces n , it , Hk dirigees fuivant les lignes x , y , £; comme il eft aife le voir en examinant les va- leurs de ces quantites n, ir, ^r {An. I.). Pour mieux connoitre les equations dont il s' agit , ex- primons par at , (3, y les vitefles de chaque particule du fluide parallelement aux coordonnees x,y, £, c' eft-a-dire les valeurs de — , -7- » -4 , on aura en divifant par d t , dt dt dt r * Jet, j/n^, -, ^D7.) A d(Dit) i d, d, d« d, i_ <(D£)dtf>n) '(**),,(**, I , "t* ; "T" j "+* ■ dy ■ d ^ d x d x J d* dx £ + f + f = o .....;:: (0 d * dy dx. On, voir par ces equations, que les quantites cc, /3, y font neceffairement des fonftions, des variables x, y, { qui determinenr la pofition des particules a chaque inftant , & du tcms t ^coulc depuis le commencement du mouvement ; or dans 1' inftant dt , il eft clair que les variables x , y , £ deviennent x ■+• * d t , y -+• Q>dt, ^ -+- ydt; done les variations des quantites *, /3, y dans cet inftant ne feront pas feulement —dt, ~-dt, —r-dt. mais r dt ' dt dt da. , . d* ; , d« „ , d* , ——dt -+• -—*dt -+- -—Hdt -+- _ yrff, <«* ax ay dx. d(z>n) d (#■*•) ou telles que — i = — ^ -, — -. * = — - ,---, n dy dx dx. dx " & de plus la denlite D conftante , on aura , en divifant par D , 8c marquant toutes les differences par d ( ce qui eft abfolument indifferent ici ) , dl a. d* et n d* a. J* « dot. „ dx dx. d x d1 et ^ dxdy ' Jridt + d£*% + %*! + %*% Ces equations, peiivent s' abreger en fuppofant da. dR dot. dy • i ,, ■ Z = u; C = » j ce qui les reduira a dy dx d^ dx dt dx dy dx. ^ * dx dy dx dy dx. dx ' ,,. dv dv . ndV dv r"Q ; - -r- ee — -+- /3 — -+■ V — -r- dt dx dy dx. ,('• + *) + '! x 4? -^x^?-. =:o$ dB c' eft celui oil Ton aura — = conft.; c' eft- a- dire, oil J- = a — £r, & 0 = — , a. & i etant deuxconftan- $ a — bt7 dB dB tes quelconques ; car alors les termes fj. —-,»__ fe troii- veront entierement independants du terns t , ainli que tous les autres. Au refte en combinant les Equations ,u = o , p = o avec 1' equation ( i ) , on peut feparer les indeterminees a , 3 , y , & 1' on aura dx* *7* J'x dU dU — -I- — «+» — — = o dx* df d£ £& + ** + *» = 0 dx* df d^ d'y d'y d'y dx* dy* d£ X L I I I. Remarque. Quand on aura trouve par le mo'ien des Equations de £An. free. les valeurs generates de a. , @ ■> y » il faudra de plus determiner ces valeurs , en forte que ies particules contigues auxparois duvafe, dans lequel le fluide fe meut, puiffent couler le long de ce parois; foient a/, _y', {' leurs coordonnees , & d {' =sz p d x' •+■ ^^jk' l'equation qui repreTente la figure du vafe donne, en mettant, au lieu de dx, dy\ df leurs valeurs *' = o cefleroit d'etre exafte, & qu ar conftquent les vaieurs de *, j3, }/ de- pendroient de la refoluribri generale des Equations (£) II ell vrai que M. d' Alembert pretend que les equations p = o, v = o font ksieules vrai mem exa&es , pour de- terminer les loix du mouvement des fluides ; il fe fonde fur ce que le rapport des vitefles *, /3, y doit etre indepen- dant du terns t dans les particules, qui coulent le long des parois du vafe; d'ou il infere qu'il doit l'etre aufli en ge- neral dans toutes les particules du fluide ; mais cette confe- quence , {i j' ofe le dire , ne me paroit point aflez juite. En effet on peut tres bien imaginer, ce me femble, des fon- fhons de x, j, £, telles que la variable t ne difparoifle de 1' expreffion de leur rapport, que lorfque x, y, £ devien- nent x' , y , {' , & font liees par 1' equation d {' = p dxf •+■ q d y' ' . En general il me paroit certain qu'en refolvant les Equa- tions (A), (J) , par des methodes analogues a celles que j' ai expliquees dans les Richer, fur le Son imprimees ci- devant, on aura une folution applicable a tous les cas pof- fibles, & par laquelle on pourra determiner le mouvement des fluides qui fe meuvent ,dans des vafes de figure quel- conque , & qui ont recu, au commencement, des impulfions quelconques . II ne pourra y avoir de difficult^ que dans les feuls cas, ou. le fluide fe divifera en fe mouvant , & ceflera de for- mer une mafle continue; mais alors, ayant trouve par le calcul (ce qui eft toujours poflible) les endroits, ou le flui- de doit fe divifer en plufieurs portions , on confiderera en» fuite chaque portion a part, & on en determinera le mou- vement en la regardant comme une mafle lfolee . Nous avons obfervee dans I Art. prec. qu' il y a un cas, oil les equations fx = o , v — o ne font pas indifpenfa- ties dans l'hypotefe, que les rapports des vitefles <*, (Z,y foient l7$ foiertt indepandanrs du terns t. M. d' Alembert a fait aufli cette remarque dans YArt. X. de fon Mimoire cite ci-deflus; mais il trouve, par fes formules, que le cas, dont il s'agit eft celui, oil 6 =nc', au lieu que fuivant les notres, ce cas eft celui , oil 0 = — . Or cette difference vient a b t d' une legere meprife qui s' eft gliflee dans les calculs de M. d' Alembert, mais qui n'influe d'ailleurs en rien fur le relte de fes ingenieufes Recherches . Pour faire fentir la verite de ce que nous avanconsici, examinons les equations que M. d' Alembert donne dans YArt. I. du Mem. cite pour les fluides pefants , qui fe meu- vent dans un plan . Ces equations font i .° -JL = 1 , 0d(/r-BQp-AQq-qT) _ d(~QqA -QpB'-pT) 2 • — ■— •■ — — — — — — — — ^ « — — — — — £ « ^ d x 7 g eft la gravite, 9 eft une fon&ion quelconque de t com- me ci-deflus, Qq, Qp expriment les viteffes que nous arons nommees * & y, & les quantites A, B, A\ £', T font relies que d (Q q) = qTdt -+- QAdx -hBBd^; d(Qp) pTdt + QA'dx-hQB'di. La premiere de ces equations refulte de 1' incompreflibi- lite des particules du fluide , & revient par confequent au meme que 1' equation (*') ci-deflus on y faifant |3 = o. A l'egard de la feconde, l'Auteur la tire de cette confidera- tion, que les forces verticales, & orizontales perdues a cha- que inftant par les particules du fluide , doivent fe faire equilibre ; ces forces font, felon lui, g — BQp — ABq — qT, — Q q A — Qp B' — pTi ce qui donne par le loix generates de 1' equilibre des fluides , 1' equation dont nous parlons. Or je dis, que fuivant les hypotefes de M. d'Alem- bert, il taut ecrire 6* au lieu de 6 dans les expreflions des forces en queftion . Car .il eft facile de voir que ces forces M m z font 176 four en general g - ± , _ _X favoir g - -Ljl , - HM, c'eft adire g -aT - !Ll£* SJjLl , _ pT - G ^ ^ x — QB ' d{-, mais r- TdY -h VdZ. Subftituant dans Ies equations (A), (/), «, |8, ^/ au lieu — , _Z. , _L , & fuppofant d' ailleurs , pour (tmplifier le calcul , D conftant , & H£ID = lf£2 , d y u# d(Z>ri) d(Z>^ , • .. .f. , — - .' = — — — ; on trouvera , apres avoir divife le« d x. d * deux premieres par D dt , & la troifie me par ^ t (/) <*) comme on fait , le coeficient qu' auroit y dans la differentiation de — , fuppofe que « fut exprimee par une fonftion de x, y, {>r> & ainfi des au- tres expreffions femblables . Done, puifque Ies quantites «, |8, y font (hip.) des fonttions de X, Y, Z , il faudra fubftituer dans «, |8, y,ala place des variables, X, Y, Z, leurs va- leurs enx,^, f, &: diffe"rentier enfuite, en prenant x,y,i pour pour variables; oubien ce, qui revient aumeme, dirKren- tierd'abordlesquantites *, j3, y en faifant varier X, Y, Z, & fubftituer enfuite , au lieu dzdX, dY, dZ, leurs valeurs en d x, dy , d { . Des expreffions de d x , dy , d { donnees ci-deffus on tire par les regies communes de l'algebre. ,v (QF-RT)dx-h(^T-MF)dY-+-(MR-NQ)d^ SA -s— — "j7 ,„ (RS - PV)dx ■+- (LV - NS)dy + (NP - LR)d{ dr — ^ (PT- QS)dx-h(MS-LT)dy-h(LQ-MP)df dZ ^ ■ K etant mis, pour abreger, au lieu de LQV — M P V + MRS-NQS +NPT-LRT Or d * eft la difference de*, qui nait des differences d xt dy, d{, ou bien des differences d X, dY, dZ; done on aura en general d * = -j~= dX -+- dY-h — dZ; on aura de plus a caufe que dif. x , eft une differentielle com* da. dL da dM d* dN , ' PIette' Ix = 77' 7F = HT* Iz T 17 * donc dt at dt on trouvera de meme d/3=^* -H^^r-H d*dZ ^ dt d t dt dy =^ d X-h^IdY-f^ dZ. ' dt dt dt iiibftituant, au lieu de dX, dY, dZ, les valeurs trouvees ci-devant , il viendra (QF~RT)il+ (RS-Pr)dff +(PT-QS) i*L du. =■ ^ d x *7» (NT-MV) £5 ■+• (LV-NS) d-¥- -t- (MS-LT)il. at at at, - _ _dy (MR-NQ)— + (NP-LR)dJL + (LQ- MV)dJL d t d t d t , _ d{ (QV-RT) 'UL -+- (R5-PV)i2 -h (PT-QS) £? (NT-MV) dJL -h( LV-NS)iQ -+• (MS—LT)i* d t dt at (MR - NQ) dJj -h (NP - NL) Iff -+- (ZQ - JWF) n (QV-RT) dJ -+- (RS-PV) dT + (PT-QS) d-L dv- : ^— £f ■ — d* (NT-MV)dl -+(LV-NS)dT +• (MS-LT)iZ * p __ii iZdjr (MR-NQ)dS ■+■ (NP-LR) —+(LQ-MP)d-^ h- " " * if d C Done prenant , dans 1' expreflion de d *, le confident de d x, dans celie de d /3 le coeficient de dy , & dans celle de d y le coeficient de d r, on aura les valeurs de ~, ■ , — ^ 1 ' d* d; d^ & P equation (m) deviendra (QV-RT)'LL -h(RS-PF)dJ^-h(PT-QS)i^-h d t d t dt (NT- MV) d-l + (LV- NS) ^2 + (MS-LT) 13- + (MR-NQ)^+(NP-LR)^+(LQ-NP)d£ = o, ou a8o AK. ou, (ce qui eft la m£me chofe) — = o, d'oii Ton ti- rera K = conft. , favoir LQF-MPr-hMRS-NQ_S-hNPT-LRT=2H9 H etant une fon&ion de X, Y , Z , fans f , favoir la va- leur de K, lorfque t = o. A 1' egard des deux equations ( / ) , on remarquera que d - — eft la meme chofe que ; c'eft pourquoi il n'y aura qu'a differentier la valeur de d* trouvee ci-deffus, en ne faifanr varier que t , & 1' on aura dt dt* df dt% de la meme maniere on trouvera dt df dt* dt* ' dt " df dt* df On fubftituera done dans ces exprefiions , comme on a fait ci-deffus dans celles de dec, d/3, dy, les valeurs de dX, dY, dZ vn dx , dy t d { , & prenant les coefi- ciens de d y & d z dans la differentielle d — , & ceux -/ l dt de dx dans les deux differentielles d_ , d?^, on aura dt dt d-d-± d-^ d-^ d-^T les valeurs de —^ , -_!', — *f, _-^ , lefquelles dy d^_ d* d* £tant mifes a la place de ces quantitds dans les Equations (/), il nous viendra , en otanr le d^nominateur commun K les deux equations {NT afi ( NT - MV) t-k Jr (zr- NS) -™-h (MS - LT) ^= im- to ^tnm^9p^M^& (MR-NQ) d-L + (NP-LR)%M + {LQ_Mp)dl% = d t & * a t (QF-RT) ^l^(RS-.PF)±^^(PT~qS)dl^. Si on met dans ces deux equations auffi bien que dans celle qui a ete trouve precedemmenr , pour L, M, N, P, g, R, 5, T, V, leurs valeurs ^ -| ^| , -^, -2_ , -J- , — L , _J , _L , on aura trois equations gene- dr7 dZ1 dX* dr' dz' n 6 rates qui ne rentermeronr que les changeantes x, y •> \ avec leurs differences relatives a X, Y , Z , t , & par lei- quelles on pourra determiner la pofition de chaque parti- cule du fluide a chaque inftant de fon mouvement, X L V. ■ Scholi£. Les equations — - = — — — , -1 i = n dy dx d^ — i— — - , que nous avons fappofees dans rArt. XL II. pour -fimplifier les formules ( h ) , ont lieu quand routes les for- ces n, t, •+• fonftelles que leurs actions fur les particules du fluide fe detruifent mutuellement , c' eft-a-dire, que les particules du fluide anime"es par ces forces fe font £quik- bre. En efFet u* le fluide eft en repos les viteffes IT) -+- B d(^n) i on trouvera de meme d'DT\)\ rd(DTl) d(D*) ^_ „d(Z>ir) d(D+) d^ as . ax a s ax .+. A ■ i Pour *es valeurs complettes des expreflions d(DU) d(Z>ff) d (£>-+•) ,,„. , , - V J , — \ - , ■ V ■ } iubftituant ces valeurs dans d^ ax ax les equations ci-deffus elles deviendront d(Z?n) _^ B d(Z>n) \± &(Dx) A*) jd(DV) d^ "*" L d~s ~~A~7~~ — fe" ' Equations , dans lefquelles les differentielles qui dependent de chacune des variables x , y , ^ , s fe -rrouvent feparees. Je fais cette remarque relativement a un endroit de l'ex- xrellent Trau^ de la Refinance des fluides ( Art. 164.) Si la denTiie" D eft conftante , les equations — - d(Z>r) d(Z>fI) d(Z>*) j . ,. ss= — 1_ — I. — i_ i = _1_ — a deviennent, en di- flx at. dx Vifant i83 ■c , „ elf! dr dll d* . r „ c viiant par Z?, -— = — - , _— = -— , lefquelles renrer- 1 d^ ax ax. ax ment les conditions de 1' equilibre des ftuides homogenes.. Suppofons que le fluide foit cofiipofe de differentes couches, dont chacune (bit d' une denfite uniforme , & qu'on en cherche l'equation ; folent x , y , % les coordon- nees de chacune de ces couches , on aura (hypoth.} AD , AD , AD , ~ . Wdx *~ T7 d^ * 17 d * = ° • 0r les ecIuatloll& d(Z?n> •'-» d(Z?T) d(z>n) _» d (Pjo ay ax * d^ ~i'i -iax * donnent •'-> ■ —' n%D- + D™ = *A° + D**, djV dy d* d* ' d ^ d :>, d* d* fubftituant dans 1' equation ci-deflus les valeurs de , — — tirees de ceiles-ci , & ordonnant les termes il viendra d^ d D r a ^_ T j , * a s D r / d t (in,, I7(d,+ -dJ + ifd{)-f- [ (T-'T-)dy -d^- dn N , .. r-' .... (~dT """d^)dn = °» (avoir en multlPliailt n Par -5 ' dZ> /rT , , , • dr dnx . Equation qui exprimera la figure de3 chaque couche ou la denfite eft uniforme. -J f" 1 N n 2 H- 184 Si J on a — = — , - — = — — c eft-a-dire 11 les for- Ay Ax d ^ Ax ces n, t, ^r font par leur nature telles, qu'elles puifTent te-r nir en equilibre une maffe fluide homogene , alors 1' equa- tion prec(d-^f ■+- Udt) nulle. dt Soient rapportees les equations (e) a la furface pofterieure du fluide en y mettant V, \y~f \ au lieu de.x, y, j;, & dx fuppofant l'integrale SAxD{d — — \-Udt} =. o, ce qui rend V == T, on aura H^i = "D(d-^ -+- lfW 0 ! d > ^ dt * * ^i = ^(,1^ + ^^)) done d^ dt 35.—-. d> ^ dsr. l U>|^*£2[ H-'n^O d^x -l- (d- & + 'Wr)d> -w (• (dm(uludt - d-d-l xtx - d-& Xly '-d -i'xJ:) = o. tit l Or 289 Or fi aucune force n'agiffoit entre les coipufcules dm, onauroir, conformement a la formule (X) du meme Prob. S'dmutudt = S*d m (II dt I x -+- it dtly -+- Vdtl(); mais Ie fluide etant fuppoie elaftique, on doit regarder cha- que particule cornme un reirorr qui agit de rous cotes fur les particules contigues. Noramant F la force du reffort , &/ 1' efpace par lequel il tend a fe dilater, on trouvera en applicant ici la formule (K) de X Art. Kill. S1 dmul u = - S>dm(PSp ■+■ Q I q -+- 111 r ■+■ &c.) — S'FSf, ou (en mettant nix -+- k S y -+- -+ 5 j au lieu de Pip -+■ Ql [(<* • dJl -+- n'dxdydi ( ^dSx "+- J~dSJ "+■ ^ d &{); formule, qu' on peut mettre fous cette forme S'dydzSdx^-dSx -+- S'dxd? Sdy£d&y 1 ax l w dy -*■ S»dxdySdf-£d*?. O 0 Or »9° Or Sdx— d$ x fereduit, en integrant par parties, a dF d F F$ x — Sdx — I x (') ecris d x — - au lieu de d F pour Ax d * r denoter que cette differentielle doit etre prife en ne variant que x), & complettant 1' integrate , fuivant la remarque que nous avons faite a la fin de /' Art. I. du Mem. priced. dF Fix' — sF%"x - Sdx -r-Sx; on changera de meme d* Sdy^dly.enFZy' -F^y-Sdy^ly, & S d { fdl { , en F'Z {' - Tl\ - S d '( ~ I { • done S> F I f = S' d y d { (F I x - T $ sx) -h S'dxd{ (F J y - F l y ) -+■ S!d*dj ( F S { ~%Fl\) -S'dydjSd^ ~§x ~S*dxd{Sdyi*LZy d^ l - S'djKd^FS'x - S*d*d?v/'Sy - Sld*dyFS ( -+- S-dxdjrdfC^Sx + ■j-Sy -+- — .>C)} done fubftituant dans T equation («), au liea de S'-i^jf, l'expre/uon qu'on vient de trouver on aura 'enfin f(Sldy4{Ftx' ■+&dxdtF3y'' + S'dxdyFSi'- s»d.ydf^rx - s*d*d{F&> -.S'dxdy/^ {> -/s^d^c^^ fofifl* +'if Joix + fDl-iZ*- Dvdt +■ ^Zdt)iy dt ay y -+- (Dd.il -+. ,£■*** -i-l^OSf] = ° dt d^ l J equa- r a9i Equation requite a 1' &at qu'exige notre Meihode ; fup- pol'ant done les coeficiens des differences lxy I y , &{ cliaciin = oj on aura D (d k- Udt) -i — . — dt = o I v dt ■ ....(/>) & le refte de 1' equation donnera S*dyd{f"*x'+.S*dxd{F'Sy' + S*dx',on mettra au dt dt dt lieu de dot , d$ , dy leurs valeurs trouvees dans le meme Article , & marquant , pour plus de fimplicite , routes les differences par d, or trouvera , apres avoir diyife par Ddt, les trois equations —, — t- n — — — — - dx. Ddx t/AJ dF ! > v d^ Ddy | daw lefquelles il Jie faudra plus que fiibftiiuer au lieu de Fy Be de D leurs valeurs en x , ^ , ^ , t. Voici comment on trouvera -ces valeurs ; F exprime la> forqe du refTort de chaque particule du fluide , laquelle eft 0 o x ordi- d et da. /% d a dt *+• *~x ■4- *~, -+- V & dfi dy dt -+- * iz -+- -t- ? ix dt -+- dx -f- up: dy --+- r 191 ordinairement proportionelle a la denfite ; fuppolbns done , pour plus de generalite , que cette force lb it comme une fon£tion quelconque donnee de la dentite , enforte que d F r.,n JF r dD dF - dD dF = E dD ; on aura — = E — , — = E — , — dx dx dy dy dx — E — . Enfuite pour trouver D , on obfervera que la d^ mafle dm de chaque particule du fluide eft D d x dy d z^, & que cette mafle refte toujours la meme quelque mou- vement que le fluide recoive ; dont fa dirferentielle en faifant varier t , doit etre nulle ; ce qui donne d(Ddxdyd z) c dD, , , ddx — — K ts = o , favoir — -_ d x dy d z -+■ — — dt dt J l dt D dy d z -+- — -2L D dx dz -+- i D dxd y => o , ou J x dt x dt J dD ddx ddy ddz dt d t dt , dt 1 , x D dx dy d^ V d_dx ^ ddx , dx , , dt' da, Or — = d • -*- = d«t; done — T— — — ; on trou- dt dt ' dx d* dfdj dd_i vede meme JLL = ^, & JL = 1* ; de plus . dy dy dx dx ~dt exprime la variation de D dans, l'inftant dt; done U on fuppofe que D foir. reprefente" par une fon&ion quel- conque de x , y , z , / , on trouvera que la valeur com- , . , dD , , dD , dD- , dD n , plette de — dt lera -3. dt -i ttdt -+- —— (Zd.t -+• dt dt dx dy dD — - y dt ; on mettra ces valeurs dans 1' equation ei-deflus, & cnangeant les lettres d en d, & multipliant le tout par D ■ 293 D on aura dD dD ndD dD dt dx dy dz * d& d$ dy . rf* <*_y *) d(DQ) d(Dy) at dx ay dx Equation par laquelle on connoitra D , & par confe- quent F . L I. Corollaire i. Soit , fuivant 1' hypotefe ordinaire, F — Z?, par confequent E — i ; & qu'on mette les equa- tions ( r ) fous cette forme , ^ .. .F, Zit, comme dans rArt> XLlV* Pour cela on cherchera d' abord la valeur de D au moien de 1' equation ( s ) , laquelle en intro- dD duifant les lettres, tt > #, y ■> ctevrent celle-ci , — — -+- -j— H- -1- -+■ -X . Or, par les formules de f Art. citit on * " dK djy trour* i -*- $£ + k &,£ JtifyUfe w>i#qwait d& d* *ty d^ # ' r ' i> 191 dK -f- Jl- == o, d'oii Ton tire ID -h IK = confi. , fa- h voir DK=r-hi&cD=~- . Pour determiner la con- ftante A, on remarquera, qu'au commencement du mou,- vement, dx = dX, dy = d Y , i^ = ^Z; done £ = I,M;=rO,iV==0,P=0,^=I,i?=o, J>=o,7'=o,K= ijce qui donne K = ,i ; d'oii il s'enfuit que h doit etre egale a la denfite D que le fluide a au premier inftant ,de fon mouvement. Aiant trouve 1' expreflion de D il n' y aura plus qu'a la fubltituer dans les equations ( p ) ; or D etant une fon- ftion de X, Y , Z , t ; fa difterentielle , en prenant t conftant , fera representee par EdX -+■ i7 dY *+■ GdZ~, ■ r i i , dZ> dZ? dip ., r " ainh pour avoir les valeurs de — — , , -— , il faudra dx 4y d^. encore fubftituer au lieu de dX, dY , dZ leurs expref- fions en d x , d y , d ^ trouvees dans t 'Art.XLJV., ce qui donnera , en fuppofant E(QF-RT) + F(RS-PF) + G(PT~-QS) = J E(NT-MPr)-hF(L^~NS)-i-G{MS~-LT)^£ £(MR-NQ)-hF(NP-LR)+G(LQ-MP)=:C » *= ^- » -J- = ^r , -— = ^- ; & par confequetv fuivant Thyp. de mi &£**\ *I=Z*r4Z-**. ,V dx K ' dy K ' d^~~ K \ On fubftituera Hone ces valeurs dans les equations ( p ) , & Ton aura, en divifant par /} qui eft aw — - , .■d.^ + Udt + ^dt^o tit b d-dy xa6 , dy , EB , ii t b d - — l -+■ ^r d t •+- — - dt = O. dt b Si on fuppofe dans ces equations n = o, it = o, E •%• = o, — = if, elks reviennent au m£me que cel- les que M. Euler a trouve par une voie differente, pag. 6. d'deffus. LI 1 1. • Scholie . A l'^gard de l'equarion ( q ) qui refte encore a examiner, on prouvera par un raifonnement femblale a celui de L' Art. XLVI. que, fi le fluide appuie centre5 des parois fixes , les trois termes S2 dy d{ 'ir h'x -+• S2d xd i"Fly -+• S* dx dy^F§ \ font toujours = o aufli bien que les trois autres S2d y d^F lx' -h Sldx d^F iy' ■+• S2d x dyF' }> i' . Mais fi on fuppofe le fluide fibre de toutes parts , ou feulement de quelque core ; alors la quantite F devra etre nulle a la furface exterieure du fluide dans les endroirs , ou il eft fibre ; on aura done , dF pour cette furface, l'equation d F = o , fa voir — - dx •+• ax dFA AF , r j __ dy -+■ __ d ? = o ; ou , en mettant , au heu de ay d z *■ dF dF dF , , . , , , . , x -3 — » -t— , -— - leurs valeurs , tirees des equations ( v ) d* d_y d ^ ' * (^•^ + nJf)dx+(J.^+ Ttdt) dy -+- (d ■ — i -4--^t/f)d?=o, pr^cifement comme on a troll- op ve dans /'-^n. «'«? pour les fluides non elaftiques . Fautes 297 Fautes a corriger . Pag. 196., lign. 5. qui a pour titre: Met hod us maximorum &c. , lifer_ qui a pour titre : Methodus inveniendi Uneas curvas &c. Cet Ouvrage ejl le mime que celui que nous avons deja cite dans le Me moire precedent. Pag. 101. Ugne antepenultieme les memes fubftitutions , life% les memes fuppofitions. Pag. 10 j. lign. 4. multipliant par -~, changer le I en d. Pag. 104. lign. 17. un raport tel que Pdpl, metier IP dp. lign. 14. Alp -+- Blq H- Rlr, lifei Alp -4- Blq -t- Clr. Pag. 209. //g'/i. 9. & 10. de FArt. X. , changer P', P" en P; Q% (T en Q; Pv\ A" en R. Pag. 115. /ig-» penultieme Ids = o, /i/e^ Ids" = o. Pag". 216. lign. premiere ( M« $ u -+- AT & )• dans la Ugne qui fuit P equation (m) et comme on fait j efface? <*. Pag. 285. Dans les equations des Ugn. 17., 18. , 20. a« /V4 nature; la regularite du mouvement des Pianettes, & une in- finite d'autres faits femblent ne pas permettre d'en douter; mais c' eft la une verite d' experience , une des premieres fans doute de celles qui doivent fervir de fondemenr aux fciences phyfico-mathematiques , mais inutile a la Mechani- que , & d' un genre different de celles qu' il eft permis d' admettre dans cette fcience , a moins qu'on ne veuille, avec quelques Philofophes , la ranger dans la claffe des lcien- ces experimentales . M. d'Alembert femble fe rapprocher de ce fentiment au mot Force dans 1' Encyclopedic . La force d' imrtie (dit cet illuftre Ecrivain) n a lieu, comme F experience le prouve, que dans la matiere brute , c1 ejl-a-dire dans la matiere qui ri ejl pas unie a une principe intelligent: or apres un pared aveu, notre Auteur n' a fans doute pas pretendu que cette loi fut demontree meme pour les corps abftrairs qui font l'objet de la Mechanique; puifqu'alors la matiere y feroit aftreinte fans reftri&ion . La demonftration qu' il donne au com- mencement du Traite* de Dynamique tend done uniquement a etablir qu'on ne trouve dans l'idee du mouvement d'un corps aucune raifon de variability, ce que j'accorderai fans peine, quoique plufieurs Philofophes croient avoir de bon- nes raifons pour etre d'un fentiment contraire; mais il me femble que l'idee d' une viteffe conftante n'y eft pas plus comprife que celle d'une viteffe retardee. Je le repete en- core: la ligne droite , & le mouvement uniforme ne font pas plus (imples en eux mimes', que toute autre ligne, & route autre loi de mouvement : ainfi quand m&me il feroit certain que les corps ne font pas capables de fe donner le mouvement aeuxmemes, il ne s'en fuivroit pas encore qtfils fuffent incapables de retarder celui, qu'ils auroient deja, com- me un grand Geomotre l'a crti; puifque cette conclufion fup- pofe que le mouvement uniforme eft celui que les corps fui- vent d'euxmemes, &que, s'il eft variable, il en faut cher> cher la caufe dans une force aftive. II. 3°5 I I. De la compofttion des forces. DE quelle nature que foient Ies caufes du mouvement des corps, qu' on comprend fous le nom general de forces ; il eft au moins certain qu' elles n' ont par rapport a nous aucune realite , que par leurs effets , & que les mouve- mens qu' elles produifent , etant les feuls moyens que nous aions pour nous affurer de leur exiftence , c' eft dans ces mouvemens feuls que nous devbns chercher la mefure de leurs rapports . Les forces font done a notre egard toujours proportionelles a leurs effets , puifque nous entendons par cette expreffion bien moins la caufe du mouvement que le mouvement meme . Mais comment doit-on eftimer le rap- port des mouvemens de plufieurs corps differens ? On voit d' abord qu' on ne peut confiderer dans un mouvement quel- conque , que le corps en mouvement , & la viteffe , avec laquelle il fe meut : tout fe reduit done a favoir fi 1' on doit dire qu'une force eft double d'une autre, quand agif- fant toutes les deux fur une meme maffe, celle-ci lui donne- une viteffe double; ou bien fi pour cela elle doit impri- mer une viteffe egale a une maffe double . II eft evident qu'on peut indifferemment chotfk celle qu'on voudra de ces deux definitions , & j' efpere de faire voir dans 1' article fuivant qu' elles ont lieu toutes les deux en meme terns; je me con- tenterai , en attendant, d'obferver ici que ce que j'ai a dire dans cet article fur la composition de forces , fera egale- ment vrai dans 1' un & dans 1' autre cas . Lemme . Si deux forces egales dont la quantite , & les directions font exprimees par les lignes CA, CB agiffent (Jig. i. plan. 4.) fur un corps quelconque C, il eft evident <2 q que 306 que le corps ne pourra pas obeir a ces deux forces en me- me tems : car il ne peut pas fe mouvoir en meme tems felon CA, & felon CB; il prendra done une direction CM diflerente de CA 8c de CB, & la ligne CM doit neceffairement. divifer l' angle ABC en deux egalement , puifque les forces CA,CB etant egales par la fuppofition , tout ce qui tend a raprocher CM de C A tend Egalement a la raprocher de CB. Cela pofe, il eft encore evident qu'on peut imaginer une troifieme force CM, qui fafte feu!e fur le corps Clememe effet, que CA,CB conjointemenr. D' autre part la quantite de la force C M ne peut depen- dre que de la quantite de C^ ou C^, & de la valeur de Tangle ACB, & par confequent fi Ton fait CA — CB = a, C M=.^, A C B ^z qj,on aura £ = foncl. (a, -+- x d

on aura pour Tangle mC m, y = 2 -»- J"^

: CM font entre elles comme fin. B C D\. fin. E C B : fin. E C D , ou comme le finus des angles oppofees . c. Q. f. t. Corollatre . Les equations qui determinent CM, font comme on voit les memes que celles, qui expriment le rapport de la Diagonale d' un paralellogramme quelconque a fes cotes ; nous avons done demontre generalement que la force compofee de deux forces quelconques, eft toujours exprim^e quant a fa quantite, & a fa direction par la dia- gonale du paralellogramme qu' on peut faire fur les lignes qui reprefentent la direction , & la quantite des forces com- pofantes . Scholie i. La demonftration du Prob. I., dont les deux autres ne font que des Corollaires afTez fimples, eft comme on voit direfte ,' & fort courte : je n' ai pas fait difficulte d'y faire ufage des le commencement, des calculs differen- tiel , & integral ; parceque 1' expreflion de la force com- pofee de deux forces donnees , & qui forment entre elles un angle quelconque , contient toujours implicitement ces pnncipes , puifque le rapport de cette force aux compofan- tes peut-etre incommenfurable . II eft vrai que Implication de 311 de ces calculs a la fonftion indeterminee qui exprime ce raporc, fuppofe qu'elle etl affujettie a la Ioi de continuity mais il eft visible qu' on ne fauroit raifonablement en dou- ter , & que puifque les accroiffemens decette force depen- dent de celle de Tangle, ces accroiffemens ne fe font pas par fauts . Cependant, comme *je veux prevenir jufqu' aux difficultes les moins fondees, voici un autre demonstration de la meme proposition, entierement delivree de ces. cal- culs , 6k qui ne depend en aucune facon de cette fuppofition d' ailleurs fi legitime . Soit (Jig. i. plan. IV) mCM un angle, qui foit a Tan* gle droit comme i y , v etant un nombre entier quelcon- que , & foit A C M = B C M un angle multiple de m CM, & = n X mC M, & apres avoir tire les lignes C a, Ca',- Cb., Cb', telles que A Ca == a Cd = B Cb = bCb' «= mC M, qu' on fuppofe que la force compofee de deux forces = a , foit = k a pour 1' angle mC m ; = p a ou p" a pour Tangle A C B ; = p"-*"a poUr Tangle aCb, 6V: enfin que la force compofee pour Tangle d Cb' foit = p* •*•* a. , (on voit que dans ces expreffions les nombres n, n -t- i, a -+- i , n' expriment pas des puiffances de p , mais fer- vent feulement a denoter que les forces q* a , p" •*■ > &c. re- pondent aux angles 2 « x mCM, = ACB, 1 (/z -+- 1) Km CM = aCi, i (« -+■ z)xmCM = d Cb' . Puifque d CA = V C B = mCm , les deux forces a'C, AC feront equivalentes (Ay/?.) a une feule = k a 'felon aC&par la m£me raifon deux autres forces egales Be, b'c dquivaudront a une troifieme fuivant bC & = ka: or deux forces = a fuivant a C, b C donnent pour force compofee p"-4-**, done les deux = k a donneront ftp'-*-* a dans la direction MC. D'un autre cote (hip.) les deux forces AC, B C donnent p" a felon B C, & les deux autres d C, b' C agiffent comme p*-*"* a dans la meme direction : on aura done (p* -4- p"*-*)a, = k p' + 'a, fgavoir, p**2 — k pn-*-' 3»* •+- p" = o; d'ou Ton voit que les quantires p forment une fuite recurreme, dont Fechelle de relation eft k — i ; done on aura generalement p* = D x" -+- E y*, D & E erant des conftantes , ri etant ici expofant de x & y a la ma- niere ordinaire , & x & y e^ant les racines de 1' equation k h u1 — k u -+- 1 = o, ce qui donne u = — Hh v^( i), £ Ax it it* & par confequen: x = — Hv/( i ), ^ = _ — • ( — 1) on aura done en fubftituant ces valeurs , p=* D\_- + V (*!_ ,)]• -+-£[* -• (? - i)]». Z 4 24 Or foit k = x cof. <*, on fait que [co/ ct -+■ V (a?/, ee* — 1 )]" s= cof. net, -+■ V — 1 X_/w. n * & [cof.tt — v' (co/i ** — 1) j* = co/i n * — V — 1 fin. n *; done p* = (E ■+■ E) cof..n & ■+■ V — 1 x (Z> — E) \ fin. n& &, changeant les conftan- tes , p" = F cof. n'fL -+- G fin. n a . Or fi n = o , on a /s" = 2 , puifqu'alors Tangle n y. m CM devient = o; done on a 2 = F; fi 71 = 1 , />* devient par T hipotefe = k = 2 co/! «c , done 2 cq/! «c = 2 cof. a -+- D fin. «, & D = o ; done notre formule devient g^nd- ralement p" = 2 co/1 /z«t; de plus fi « = » c' eft-a-dire fi F angle n x mC M, auquel repond la force compofee p" eft e*gal a deux droits , on doit avoir p" = o , & par confe- quent 2 cof. v a = b, ce qui fait voir que v «c = — , & 4 donne fmalement a = — done p" = a?/-. — = 2 cof. 4» r J 4» 2 Voila done notre propofition demontree a la rigueur pour tous les angles commenfurables avec la demicireonference , & en faifant voir, ce qui eft tres-facile qu'onpeut toujours prendre 1' angle mCm tel que, n ck # reftant des nombres entiers, 1'angle — ne differe que d'une quantite au/fi peti- te te qu'on voudra d'un angle donne , on pourra prouver fans reftriction & avec la derniere exactitude la verite de cette propofition , par une methode trop familiere aux G^ometres & iurtout dans les Ecrits des Anciens , pour que je m'ar- rete a la developer ici . Remarque. Le Savant M. Daniel Bernoulli a Ie premier demontre ce principe en 1716. dans les Memoires de l'Aca- demie de Petersbourg, d'une maniere exacle , & fort inge- nieuie : mais la longue fuite de raifonnemens, & de theo- remes geometriques, & algebriques , par lefquels il eft obli- ge de pafler femble ne pas afTes r^pondre a la fimplicite fi defirable dans la demonftration d'un principe auffi impor- tant. Cell fans dome ce qui a engage M. d' Alembert a traiter de nouveau cette matiere dans une differtation par- ticuliere qu'on trouve parmi fes Opufcules imprimes dernie* rement . Sa demonftration deja un peu plus courte & plus fimple que celle de M. Bernoulli , exige cependant encore fept , ou huit theoremes afTes compliques : & ft , comme je n' en doute pas , la methode fyntetique que ces habiles Geometres y ont emploie , n' eft pas fufceptible d'une plus grande fimplincation ; il faudra convenir que l'analyfedont je me fuis fervi contient feule le double avantage d' abre- ger & de faciliter la folution de ce Probleme, & de nous y conduire en raeme tems d'une maniere toujours dire&e, & lumineufe . Scholie 1. Tat averti au commencement de cet Article que la demonftration que j'allois donner de la compofirion des forces etoit egalement concluante , & rigoureufe, foit qu' on eftimat les forces proportionelles aux m afTes aux quel- les elles impriment des vitefTes egales, ou qu'on voulut les eftimer par les vitefTes qu' elles feroient capables d'impriroer a une meme maffe : il iuffira pour s' en convaincre de re- R r lire 3'4 lire cette demonftration , en fubftituant au mot Force ceux de MaJJh, ou de Viteffe . En effet fi on a deux maffes = a, animees de viteffes egales {fig. i . plan, iv.) dans les directions C A , C B , & qu' on cherche la quantite &c la direction de la maiTe qui animee de la meme viteffe leur feroit equilibre, on trouve- fa (commedans le lemme) que cette direction fera MC, & que la quantite de la made fera exprimee par a foncl.

= o , & y = o quand

,.*), qu on demontrera = p fonci. x , comme dans le lemme de C Art. I. Qu' on faffe a prefent CA = AE = BD, & qu' on imagine quatre forces = p appliquees en E, D, C, Cy l'a&ion de deux premieres fur le point Cfera = p foncl. z x par l'hipotefe, & l'aftion des deux dernieres fera evidem- ment = zp-y or {hip.) les forces E & C font equivalentes a- une force p foncl. x appliquee en A; & C, D font la me- me chofe que p foncl. x agiffant en By & par confequent les forces A, B font fur Cl'effort =p (foncl. x)2: on a done 1' equation p (foncl. x)2 = z p -f- p foncl. u, qui ne fau- roit fe verifier en general a moins que foncl. x ne foit con- ftante, comme il eil aife de s'en convaincre par le calcul, & puifque quand x = o on doit avoir foncl. x = z , on aura generate ment foncl. x = foncl. z x = conjh. = z j il fuit de la qu' une force z p fait fur une verge quelconque le meme effet que deux forces p appliquees fur la mem» verge a quelles dillances que ce foit du point oil elle agit pourvu que ces diftances foient egales . rR03LE.\rE . Trouver Haclion £ tine force quelconque p appliquee en A pour mouvoir le levier E C , autour de C ( fig. 8. plancke iv. ) . Cette aftion ne peut etre exprimee que par une fonftion de p & de la dillance A C = x, j' appelle cette fonfHon £ (/>, x) & on verra comme ci-devant qu'elle fera = p £ x: qu' on 3ii qu' on fafle a preTent A D = A E = f , il eft vifible (Jemme) que deux forces = £ appliquees en E & Z> font fur la verge le meme effet que p appliquee en^: or (A//',) l'a6tion de la premiere fur C , fera £- £ (x -+- ^) , & l'attion de la feconde£ £ (x — ^): on aura done l'equation p£x = 1% (x -i- 0 -h £%(x - {), ou i £ # = £ (x -i- {)-4-£(x — {) qui doit etre vraie quelle que foit {: ii Ton fait done { infiniment petit , & qu' on de- velope la fonclion £ par les methodes connues, on trouvera (£'*> £"*» %" x &c- denotant felon l'ufage ordinaire les differences fucceffives de £ x divifees par d x) £ (x -4- r) = £ x -+- i-i h 1— 5 H l— <> H &C. ^ l s z 2-3 2-3-4 * en elle-meme eft folide & fans replique ; mais elle perd toute fa force fi on la confidere par rapport a la formule dont il s' agit j car je vais prouver dire&ement & invin- ciblement que les expreffions fin. — , fin. - — &c. fin. 1 * 4»j 4« doivent etre chaneees en — , — , &c ° 4m 4 m dans le cas de m = oo . 4 hi En remontant a 1' analife du Chap, cite , il eft aife de trouver que toures ces expreffions viennent de 1' expreffion eenerale ± i \/ e x fin. — X V - i ( Art. XXI. ) , qui 4»j eft celle du coeficient R ( ^/?. XIX. ) , i> etant un noin- bre quelconque entier depuis o jufqu'a m . Tout fe reduit done a prouver que , quand /rc == oo , i? = + 1 ^e X '-!*•- 1. 4>» Pour y parvenir je remarque d'abord que R* = e (k — i), (^rt. XIX.) ; je vois de plus que la valeur de A: depend de cette condition que Ml* = - — Z— - foit = o , Iorf- k k1 ■ k que u = m, a etant = hV/( 1 ) , & & = — a" 4 2 — / ( 1), {An. cite); e'eft-a-dire de 1' equation 4 _ 2^(1 - I) 4 ou 3*5 ou (implement [A + • ; mais ma propofi- iion n' en eft pas moins vraie pour cela . Car on voit par P Art. XXXVI. que — eft mis au lieu de p qui eft de mHt ]ui meme un nombre entier j & a l'egard de -_- > H Ht fera auffi un nombre entier y en regardant — - comme commenfurable avec — ; c' eft-a-dire en fuppofant — — — = dx . ■ — ; fuppofition qui eft evidemment permifey& qui n' ap- portera pas la moindre limitation a ma folution. 3.0 M. d'Alembert attaque auffi les calculs que j'ai fait dans le Chap. VI. pour trouver d' une maniere dire£te & generate la fomme d' une fuite infinie , telle que fin.

' - t'r' - ( t'r' - T'R' ) . ejt —— — — - — — ■+■ j d'y Qp-hTR-ztr Gy h- T'R' - 2 tY done —-*- = — - — •+- — = d tl 2 T i* Hi' ( en menant les cordes R p , K'p ) :— . Mainte- nant faifons t conjlante & = P T , & x variable ; prenons Pp = p T = dx, 6 fuppofons d X = T t , ce qui ejl evidemment permis , nous aurons i.' At = x + t + dx, A8 = X+t+idx;1: Faifant T't" = t"6" = Pp =s T t , nous aurons At" = X -+• d X — t , A 6" = x -+- i dx - t; done , menant la corde R'p", on trouvera que d2y, faifant varier que X , ejl — r o — t"u ; done — ¥- = en ne — ro — i . // faut done , pow ) & F equation -Z = _ •¥. devient identique . 2.° M. d' Alembert pretend enfuite que la courbure doit etre nulle aux extremites A & B. Car f ok (dit-il, dans le §. VIII.) PT, & PT'==AP, on a (en ne faifant . • .* dV Op -*- TR - itr IV - iL'Q' rarz«r owe t) — *- = _ C . -4- _ Y ; df 2 TV iTt1 - ro -+. Q'q' * -ro-Q'q' „ , — :—-; — » Gr no/? /)czj X1 parcequ: 1 s — l Q L =- iQ'q', (S* que IV 6" Q'L' doivent etre prifes ne* galivement par leur pefition , £• />ar la conjlruclion de M. Euler. Tt i Main- 331 d* Maintenant , en ne faifant varier que X , on aura -j-^ as — r o — 0 q , d2y r dV r , — . _L_! : done —2- ne era pas = —J- , fi la cour- £wre /z' tf/Z pas nulle en A . Ce raifonnement eft femblable a celui , auquel je viens de repondre , & fe refute par confequent de la meme ma- niere. En effet la valeur de -jL au point A n' eft pas 6 p -+. TR-itr Is -x L'Q' comme le fuppofe M. d'Alembert, mais tr+ly-xTR L'Q' -h QL 2 T t • iTC /J* =s= ;, parceque Z'Q' etanr egale , & de pofition con- traire a Q£, fuivant la conftru&ion de M. Euler & la mienne, on a Z'Q' + ZQ = o; de meme la valeur de dlL eft "-+- iy - xTR ' LQ + L'Q: = ** & dx% iTt* 7V zTc' — ro — Q a j dlY n. • d* Y non pas ._iu2 ; done -^i. eft touiours sa — — v Tt* df- ' dx% quelle que foit la courbure en A. 3.° Autre argument de M. d'Alembert pour prouver que la courbure doit etre uniforme dans chaque portion infini- ment petite de la courbe A M B . II donne a la differen- ce it deux valeurs differentes a volonte, & il trouve que dxV pour que la valeur de — Z foit toujours la meme & egale a celle de ~L , il faut que les fleches /■*, qui appartiennent a diffdrens arcs infiniment petis R r p foient toujours propor- tionelles aux quarts des portions correfpondantes TQ de l'axe j ce qui ne peut avoir lieu, que dans des arcs de courbure uniforme, comme M. d'Alembert le ddmontre fort au long dans le §. X. de fon Memoire. A 33? A cela je repondrai qu' il n'eft nullement neceflaire, pour la generalite de ma folution, que les differences dt demeu- rent indeterminees & puiffent etre fuppofees quelconques ■, comme je 1' ai deja remarque plus haut ( n. z Art. 1.) . 11 T me fuffit qu'on prenne toujours d t ■=. ' d x , ou ren fuppo- fant avec M. d' Alembert — - = i,dt = d x j car, com- me dx peut erre pris auffi petit qu'on voudra, il eft evi- dent qu'on n' en trouvera pas moins la figure de corde au bout d'un terns quelconque donne t. 4.0 M. d' Alembert appcrte de plus une raifon metaphy- fique pour faire voir en general que le mouvement de la corde ne peut etre reprefente par aucune conftruftion quand la courbure fait un faut en quelque point M de la courbe initiale. Cejl (dit-il dans le §. XL) que dans ce cas il y a proprement au point M deux rayons ofculateurs differens, quoi- que coincident quant a. la direction , dont P un appartient a la portion de courbe MR, & C autre a la portion de courbe M A. Or la force acceleratrice en chaque point de la corde etant en raifon inverfe du rayon ofculateur , lequel de deux rayonr communs au point M doit fervir a determiner la force en ce point M ? Cejl ce qu il eft impoffihle de fixer , & il /' ejl par confequent auffi de refoudre le Probleme dans ce cas-la . En ejfet Juppofons que la figure initiale de la corde foit compofee de deux differentes courbes ainfi reunies en M ; je demande quelle ejl la force acceleratrice du point M, lorfque la corde com.' mence a fe mouvoir ? La reponfe eft bien fimple ; la courbe A M B etant continue, il eft clair qu'on peut toujours prendre , ajquelque point R que ce foit , trois ordonnees confecutives , & infi- niment proches {jv , RT ', r t ; or les differences de ces trois ordonnees conftituent la valeur de dy, a laquelle la force acceleratrice du point du milieu R eft neceflairement pro- por- 3 5 4 -portionelle par la nature du Probleme, quel que foit d'ailleurs le rayon ofculateur en ce point . 5.° M. d'Alembert fait voir dans le meme §., que fi la courbure n' etoit pas nulle en B , il s enfuivroit de la construction de M. Euler , & de la mienne qu' il y auroit un faut dans le -f^ qui repond a un point quelconque Mlorfque t—PT, favoir que fa force acceleratrice pafferoit brufque- ment, & fans degres de la valeur qu'elle a en cet intrant a une autre valeur, qui differeroit de celle-la d' une quan- tite du meme ordre ; ce qui feroit contraire a la nature de la force acceleratrice. Je reponds que cet inconvenient auroit lieu en effet , fi les forces accelerairices qui agiflent fur chaque point de la corde a chaque inftant avoient une valeur finie ; mais dans notre cas ces forces font toujours infiniment petites, puifque on fuppofe dy infiniment petit, par raport a dx; par con- fequent 1' accroiflement de la force du point M fera aula" infiniment petit; ce qui n' a plus rien de choquanr. 6.° M. d' Alembert ajoute encore une nouvelle confidera- tion , pour prouver que le mouvement de la corde ne peut etre foumis a aucun calcul analitique quand la courbure eft finie en A , & B. Qu on fe reprefente ( dit-il §. XII. ) la corde au commencement de [on mouvement ; ft la courbure nefl pas nulle en B le rayon ofculateur y fera done fini; parcon- fiquent la force acceleratrice y fera auffi finie , & tendra a donner du mouvement au point B; cependant ce point etant d 2 v Jixement arretdy efl incapable de fe mouvoir ; ainft d 'un cote — '~ ejl finie lorfquc x = A B , & lorfque t = o , & de Fau- dV ire -p^ eft toujours = o au point B quelle que foit la va- leur de t La nature en ce point arrete , pour ainft dire, brufquement le calcul ; ana deux jorces accelerairices voifines, & in fini' 557 infiniment peu differ ernes ; t une au point B , P autre au point injiniment proche de celui-ld ; la feconde de ces forces produit un mouvement , la premiere n en fauroit produire , quoique pzr r equation — ^ = - \ elle paroiffe devoir en produire un , d*v lorfque — ^ h efl pas = o ; ainji la ' lot du mouvement netant pas continue pour tous les points de la courbe ne peut cue reprefentee avec exactitude par C equation dont il i. agit. A cela je reponds i." Qu' il ne me paroit nullement exaft de dire que la force scceleratrice eit finie en B, 6c tend a donner du mouvement a ce point. Car il ell facile de voir que les points A & B, par ou la corde eft atta- ched, ne font reellement follicites par aucune force accelera- rrice perpendiculaire a. 1'axe; mais (implement tires par la force de tenhon de la corde , laquelle agit prefque dans la direction meme de 1' axe , & qui doit etre detruite par 1' hypotefe du probleme. i.° Sans m' embarraffer de la va- leur , quelle qu'elle foit , du rayon olculateur en A 6c B je confidere que le zpL qui repond exa&ement a ces points eft toujours nul de lui meme, fuivant ma conftrucfion , com- me on l'a fait voir plus haut. D' ou je conclus que le cal- cul eft parfaitement d' accord avec la nature. Voila les principales obje&ions de M. d' Alembert fur la conftru&ion que M. Euler & moi avons donnee pour le mouvement des cordes vibrantes . II me paroit d' y avoir pleinement fatisfait , & d' avoir montre en meme terns que cette conftruftion a toute la generalite dont la queftion eft fufceptible . Quant aux autres difficultes que M. d' Alembert propofe dans le meme Memoire contre la Theorie de M. Euler, & qui font tirees de la confederation des fon&ions algebriques ; il eft clair qu' elles ne touchent point a ma folution ; mais fer- 336 fervent feule merit a confirmer ce que j' avois deja avance ( Art. XV. ) fur 1' infuffifance de la methode de ces deux grands Geometres , pour conduire a une Theorie exafte & complette du mouvement des cordes ibnores. Au refte, quelque generale que foit la folutioii que j' ai trouvee de cet important Probleme , je fuis bien eloigne de penfer qu elle puiffe donner le vrai mouvement de la cor- de , quand fa figure initiale eft compolee de deux , ou plufieurs lignes qui font des angles entr' elles j car il eft dlv d*v evident que P equation differentielle -J— = —^ ne fau- roit avoir lieu dans ces cas . Mais il eft certain d' autre part , & T on peut meme s' en afliirer par 1' experience , que la roideur de la corde , & 1' aftion reciproque de toutes {es parties 1' obligeront de prendre auffi-tot une figure courbe continue, a laquelle on pourra par confequent appliquer no- tre.conftruftion generale de YArt. XLV. Les vibrations qui fuivront les premiers inftants , & qui font les feules qu' il nous importe de connoitre , feront done toujours regulieres & ifochrones, 6k leur duree ne dependra en aucune ma- nure de la figure primitive, mais feulement de la tendon, de la longueur , & de la groffeur de la corde, comme on Pa demontre (drt. XLVL); ce qui fuffit pour expliquer, pour- quoi une corde frappee d'une maniere quelconque rend tou- jours le meme fon. ECLAIR- ECLAIRCISSEMENS Pour le Memoire fur les quantites imaginalres infere dans le premier Volume PAR Mr. DE FONCENEX. J' Ai donne dans le premier Volume un Ecrit , ou je traite afses au long des logarithmes des quantites ne- gatives. Cette matiere , qui avoir deja ere le fujet d'une controverfe fort-vive entre Mrs. Leibnitz & Ber- noulli, a ete favamment approfondie par le celebre Mr. Euler dans le Memoires de £ Academic Royale de P ruffe pour Fan- nee 1749. Cet habile Geometre y fait voir par une me- thode , dont j'ai tache de donner un precis dans l'ecrit dont il s'agit , que les nombre pofitifs ont non feulement un logarithme reel , mais encore une infinite d' autres qui font imaginaires & femblables a ceux qu'il trouve pour les nombres negatifs correfpondans : c' eft ainfi que ce grand Gdometre fatisfait a plufieurs objeclions tres- fortes que Mr. Bernoulli faifoit contre le fentiment de Mr. Leibnitz, & que ce dernier avoit plutot ^ludees que refolues. Cependant la plus grande preuve de Mr. Bernoulli, tiree de la quadrature de Thyperbole , etoit encore dans toute fa force: c'eft poiirquoi, quand j'entrepris de traiter cette matiere , je cms devoir chercher dans l'hyperbole meme une formule generale qui donnat tout d'un coup les logarithmes des quantites pofitives & negatives : un calcul affes fimple me la fit ddcouvrir , & elle s'eft trouvee parfaitement femblable a eelle de Mr. Euler ; mais les conclufions que j'ai tire de cette formule , & de plufieurs autres confide- rations que j'ai detaille dans mon Memoire , font un peu differentes de celles de Mr. Euler. D'abord il me paroiflbit l/it prouve 338 . prouve que les logarithmes des nombres negatifs pouvoient a la rigueur etre confidents comme reels de meme que ceux des nombre poluifs, &que par confequent la logarithmique a deux branches, l'une au-deffus, & l'autre au-deffous de l'axej mais il me fembloit que ces deux branches n'etoient pas liees par la loi de continuite, gu au mo ins que les raifons qui I'auroient put faire croire n'etoient pas convaincantes. J'jpprens qu'avant que Mr. Euler euffe publie fes recher* dies fur certe matiere , elle avoit deja ete" le fujet d' une difpute par lettres entre Mr. D'Alembert & lui. Dans les Opufcules que ce grand Geometre vient de donner au Pu- blic , on trouve un favant Memoire , dans lequel il etablit fur de nouvelles preuves, que les logarithmes des quantites negatives font reels , contre le fentiment de Mr. Euler : enfin il m'a fait l'honneur d'examiner dans une Ecrit par- ticulier la theorie que j' avois propofee dans mon Me- moire. Les reflexions de cet illuftre Matematicien ont re- veille ma curiofite fur cette matiere que des occupations d'un genre abfolument different , m'avoient empeche de fui- vre : & je foumets ici au jugement des Geometres les nou- velles confederations que la brievete du terns m' a permis de faire fur ce fujet affes delicat par lui-meme. On entend communement par logarithmes une fuite de nom- bres en progreffion arithmetique quelconque, repondant cha- cun a chacu«,a ceux d'une autre fuite de nombres qui fer- ment entr' eux une progreffion geometrique auffi quelcon- que ; mais comme on peut toujours reduire les logaritmes a etre les expofans des puiffances fucceffives d'un nombre e pris a volonte , en leur ajoutant feulement une quantite conftante , ou en changeant l'origine des x dans la courbe qui exprime le rapport des nombre a leurs log. : il eft vi- able que ce n'eft rien lever a la generalite de la defirfi- tion que nous venous de donner , que de dire (implement que x fera le log. de y quand on aura 1' equation y = e*. Et 339 Et il paroit d'ailleurs que c'eft la feule facon dont on les confidere dans le calcul. Cela pofe il eft neceffaire de bien diftinguer la queftlon Arithmetique de la queftion Geometrique : car il me paroit evident que l'origine des log. numenques ne permet pas d'en donner aucun aux nombres negatifs, pui fqu' a quelle puif- fance quon eleve le nombre e il ne fauroit refulter = — e. Je fais bien qu'en faifant que elm reprefente un nombre quelconque on trouve V e* m = -±z e™ » d'ou Ton conclud que 2 m etant le log. de eam, m doit auffi bien etre le log. de — em , que de -t- em, mais fi Ton s'en tient k la premiere ori- gine de e"", comme nous le ftippofons ici, & qu'on veuille faire attention a la theorie des quantites negatives que Mr. D'Alembert a fort-bien deVelope dans fon Ecrit fur les lo- garitmes & dans l'Encyclopedie , on verra aifement que , puifque ezm vient par la generation meme des log. de la quantite -+- e elevee a la puiffance 1 m , & non. pas de — e eleve a cette puiffance, on ne peut pas dire que — tm foit reellement la racine quarre de ein , mais feulenient que — em eleve au quarre produit une quantite egaleau me- me nombre eim: ce qui ne fuffit pas pour la question arith- me'tique , ou on s' eft contente de raporter tous les nom- bre a rindetermine pofitif -4- e. Cette theorie recevra encor un plus grand jour fi on con- fidere les logarithmes comme des nombres en progreffion arithmetique repondant a une progreffion geometrique : car apres avoir choifi , par exemple la progreffion decuple i , 10, xoo pour les nombres, 8c la progreffion naturelle o, i,i, &c. pour leurs log. ; il eft vifible que la progref- fion geometrique prolongee tant qu'on voodra ne nous fera jamais parvenir a des nombres negatifs. Envain d;roit-on que les nombre negatifs peuvent entrer en proportion avec les nombres pofitifs j car il eft evident que la proportion ne fauroit affe&er que la feule quantite , & que le figne U u x •+■ ou 340 ■+- 011 — ne lui appartient point , mais fignifie feulement la differente pofition des quantites qui en font affe£ties , comme Mr. d' Alembert lui-meme l'a remarque. Les nom- bres i , — i , — i , i ne forment done pas plus une proportion que ceux-ci — i , i , i , i , & toute la difference qu'on y voit,c'eft que dans la premiere fuite le produit des extre- mes eft egal au produit des moiens , & non pas dans la feconde, ou pour m'exprimer plus exa£tement, ces produits font egaux dans toutes les deux,mais affe&es de fignes con- traires dans la feconde, ce qui ne change rien a la quan- tite, ni par consequent a la proportionality , dans les princi- pes de Mr. d' Alembert meme. Enfin quand meme on vou- droit que le produit des extremes etant egal au produit des moiens, les quantites fbrmaflent une proportion, cela ne fer- viroit pas encore au cas prefenr, ou le premier terme de la progreffion doit etre pofitif = -j- e , & le dernier, le nombre negatif dont on cherche le log. , puifqu'il eft viii- » ble qu'alors le quarre du terme mo'ien n'eft pas meme egal au produrr des extremes. Quant a la preuve qu'on pretend deduire de ce que les deux progreffions peuvent etre quelconques, elle ne me pa» roit pas pouvoir s'appliquer ici , puifqu'il s'agit de deter- miner le log. de — 2 : les log. de 1,2,3,4, Sec. etant deja donnes , e'eft-a-dire Ja progreffion dans laquelle on doit le .trouver etant deja determinee. Ceft ainfi, par exemple, qu'on ne peut pas dire qu'a la meme ordonnee d'une pa- rabole , il reponde differentes abfeifles x, x -^ a , x -4- b &c, quoiqu'on puifle toujours les lui rapporter en prenant l'ori- gine de x a volonte. On voit done qu'a confiderer les logatithmes arithme- tiquement, & en les rapportant toujours a un nombre de- termine «,les nombres negatifs ne fauroient en avoir, & je crois devoir remarquer ici que c' eft fous ce point de vue que Mr. Leibnits , & meme Mr. Euler les avoient confideres. Telle 34* Telle etoit, dans leur premiere origine,la nature des Io- garithmes ; mais les Geometres out bien-tot cherch'e" a tran- sporter ces notions dans la Geom^trie : or Ton fait qu'en pdreil cas l'expreilion algebrique devient f'ouvent plus gene- rale qu'on ne le veut , & notre queftion fe redsit a exa- miner s'il en a etc ainfi dans la logarithmique . L'equation de cette courbe eft,comme on fait,^jc = - — i- . y Je crois d'avoir affes bien prouve dans mon Memoire que cette equation nous fait voir que la logarithmique a deux branches , & qu'elles font meme liees par leur expreflion rranfcendante , ce qui s'accorde avec le fentiment de Mrs. Bernoulli & d'Alembert ; mais les raifonnemens par lefquels le premier de ces grands Geometres pretendoit prouver l'en- tiere continuite de cette courbe, & meme les nouvelles rai- fons que le dernier y a ajoute pour fortifier ce (entiment ne me paroifTent pas entierement concluantes. En effet 1' argument tire de la quadrature de rhyperbole que Mr. Bernoulli regardoit comme demonftratif ,- 6k fur le- quel Mr. d'Alembert fe fonde aum" le plus, pourroit fervir egalement a etablir une theorie contraire : car fi on confi- dere la courbe dont l'equation eft y = — , il eft evident qu'elle ne s'etendra point du cote des x negatives, puifqu' a\orsy = : qu'on fuppofe a preTent que cette courbe faffe une revolution fur fon axe , elle formera un folide dont dx 1' element fera — ., & cette folidite fera par confequent ex- primee par I. x ; or puifque la courbe n?cxifte pas quand x eft negative , le folide n'exiftera pas non plus , & par con- fequent x negative n'a point de logarithme. Je fuis bien eloigne de vouloir conclure de la , & d'une infinite" de raifonnemens femblables , qu'on peut aifement ima- giner 34* giner , que la logarithmique n'a point de branche au-deflbus de l'axe ; mais il me femble que, puifqu'en choifuTant a vo- lonte differentes courbes generatrices pour les logarithmes , on peut en deduire des confequences dire&ement oppofees, nous ne devons pas faire beaucoup de fond fur ces fortes de raifonnemens. Cela fe raporte a ce que j'avois deja ob- ferve dans mon Memoire , que Integration change toujours un peu T equation differentielle au moins quant a fa ge- nerality. Pour s'afsurer done de la coexiftance & de 1' union des branches de la logarithmique, il eft abfolument neceffaire de s'abftenir de toute integration, & meme des quadratures qui les fuppofent toujours ; voici un raifonnement qui ne me paroit fujet a aucun inconvenient. Soit B P ( Fig. *pl. IV. ) la logarithmique, AQ_ fon axe, AD=sx, DP=y. On trouvera le raion de la deve- j_ loppe'e qui appartient au point P, P R = v ^— — tk par confe*quent CR= —^ * , C D = i -+-yz1 done fi on appelle C D = u , C R = % on trouvera 1' equation ?a = . qui a chaque valeur de C D = « 1 I — M fournir toujours deux valeurs egales , & de fignes differens pour i = CR; il fuit dela que la developee de la loga- rithmique a deux branches femblables l'une au-deffus & l'au- tre au-defibus de l'axe ; & que par confequent, non feule- ment il en eft de meme de la logamhmique , mais encore que ces deux branches forment une courbe continue. Ce raifonnement me paroit etre demonftratif, & ne Iaif- fer plus aucun doute fur la continuite des deux branches de notre courbe , c' eft done inutilement que je cherchois dans mon Ecrit a trouver une difference entre la continuite dans 343 des branches de 1' hyperbole , & celle de fes aires , puif- qu'elles font auffi bien liees les unes que les autres : il eft vifible qu'on ne peut pas dire que 1' aire qui appartient a Yx negative foitaufti negative, comme le fuppofoit le rai- fonnement de V Art. n.j je 1' avois moi meme remarque un peu auparavant , & c' eft avec raifon que M. d' Alem- bert me le contefte , mais je ne faurois convenir avec lui que cela pofe Ton ne put en tirer les confequences que j'.en ai deduit : quoiqu'il en foit cette difcuffion eft inutile ici , puifque nous convenons fur le fond de la queftion . Mais que deviendra alors la formule

ite des log. imagi- naires pour les nombres negatifs , mais pourvu qu'on s' en tienne a rexpreftion algebrique , & qu'on .n' en tire aucune conclufion avant que d'avoir transforme de nouveau la for- mule , on pourra s'en fervir fans crainte d'erreur, comme Pufa- ge continuel qu'on en a fait jufqu'ici le prouve fuffifammenr. On peut lire dans mon Memoire P origine & le de- nouement de cet efpece de paradoxe ; j'y ai remarque que ft on cherchoit une appliquee negative dans la branche fupe- rieure 344 rieure de la courbe qui appartient a 1' equation jy* = — — - qui en a evidemment deux egales , on la trouveroit ima- ginaire : il en eft precifement de meme dans notre formule

- „ pofer que des quanfites finies determinables , telles que cclles dont ,, traite Euciidc dans fa Geometrie. Stc. 6 mation de la fuite naturelle des nombres . Cette preuve fervira aufli de reponfe a la feule objection qu'on ait faite contre ma premiere diflerration. 2. de la notion elemen- taire des hgnes droites paralleles. 3. d'une propriete de la Logarithmique. 4. des afymptotes de l'hyperbole. 5. des progrefiions croiflantes infinies. 6. des progrefiions geometri- quement decroiflantes a 1' infini . Je puis m' etre trompe fur le choix des preuves inais le fentiment des Geometres que je viens de citer, m'au- torife a croire que je ne me fuis pas trompe fur le fond de la queftion, en regardant 1' impoflibilite de 1' infini aftuel dans la quantite , comme une verite fufceptible de demonftration . Cela feul fuffit pour remplir l'objet que j'ai en viie, qui n* eft point d'entrer dans des recherches difficiles de Geometrie, mais d'etablir une verite utile, ou du moins de faire naitre ;a quelque habile Geometre la penfee de l'etablir. La grace que f ofe demander aux lefteurs qui voudront bien jetter les yeux fur cet ecrit , eft de ne pas juger de la folidite de mes raifonnements fur l' expofe de chacune des preuves en particulier, ail cas qu'ils y trouvent quelque difHculte , mais d' examiner la liaifon de toutes les preuves entr'elles. Quelque effort que Ton hffe pour s' enoncer avec clarte , on ne peut empecher que les expreflions dont on eft oblige de fe fer- vir dans des matieres un peu abrtraites, ne prefentent un cote obfcur , qui rend la penfee moins intelligible , & ce n'eft qu'en tournant fes penfees & en les prefentant fous ditferentes faces qu'on parvient a les caraclerifer avec afTez de precilion pour les faire entendre comme on les congou. PRE- PREMIERE PREUVE Tiree de la formation de la fuite naturelle des nombres. J'Ai deja fait ufage de cette preuve tiree de la formation" de la fuite naturelle des nombres dans la diflertatioa que je viens de citer . La feule objection qui me foit re- venue , c' eft que n'ayant aucune id^e de l'infini abfolu nous ne faurions demontrer fi cet infini repugne ou non. Je fens la neceffite" d'ecarter avant tout cette objection, qui eft d' autant plus a craindre qu'elle eft plus vague. Je dis done que les preuves principales que j'ai emploiees dans mon eflai de demonftr. , ne portent point fur l'idee de P inflni confidere en lui meme , mais fur des rapports conftants entre quantites finies , rapports qui etant eflen- tiels a la fuite naturelle des nombres , & fubfiftant inva- riablement dans tout le cours de cette fuite, prouvent que tout nombre poffible eft necefiairement fini . C'eft ainli que Pon regarde comme demontree la pro- priete de P afymptote de pouvoir etre prolongee a l'infini fans jamais rencontrer la courbe dont elle approche conti- nuellement, de maniere (ce font les termes de M. Dalem- bert au mot Afymptote) que fa dijlance a cette courbe ne dexient jamais zero abfolu, mais peat toujour s etre trouvce plus petite qu aucune grandeur donnee, Cette propriete fe deduir non de l'idee m£me de Pin- fini , mais d' un rapport conftant entre des quantites finies, comme dans P hyperbole entre la puiflance de cette cour- be, & tous les reclangles formes par une portion de Pafym- ptote , & une droite tiree de P afymptote a P hyperbole. Or cette propriete etant eflentielle a P hyperbole, Pinva- riabilite de ce rapport fait connoitre evidemment que P hy- perbole &P afymptote peuvent etre prolongees fans fin, & que cependant elles ne peuvent jamais s'approcher defotte que que leur diftance devienne abfolument nulle .' L' obfcurite* de 1' idee de l'infini n' a jamais etc" un pretexte de dourer de la folidite d' une demonstration fbndee fur 1' invariabi- lity* connue d'un rapport qui toujours fubfiftant & toujours le meme dans le prolongement indefini de ces deux li- gnes , ne peut que donner toujours le meme refultat. Tel eft le procede que j'ai fuivi dans mon elTai fur tout pa. 13. & luiv. je vais y ajouter quelques eclairciflements 1. Soit un alTemblage quelconque de termes ou d' unites, je dis que la fuite naturelle des' nombres eft applicable a cet affemblage . 1. Et par' confequent tout nombre pofiible entre dans la fuite naturelle & en fait partie . 3. C eft une propriete eiTentielle a la fuite naturelle d'etre formee par 1' addition continuelle d' unite a unite. 4. En forte que dans la fuite naturelle tout nombre qui fuit un autre nombre, ne peut le furpafler que d'une unite . 5. Tout nombre qui a un rapport fini a un nombre fini eft neceffairement fini . 6. Sur ces principes je dis 1. que la fuite naturelle des nombres peut etre augmentee a 1' infini par 1' addition continuelle d' unites a unites, en forte que quel que foit le nombre donne , on pourra toujours trouver un nombre plus grand . Cette proposition n' a pas befoin de preuves. C eft un axiome d' Euclide ( arith. 1. 1. apud Tacq. ) Quolibet numero poteji fumi major. Je dis 2. que dans cette progreflion tous les nombres poftibles par Iefquels on con- coit que la fuite naturelle augmente a l'infini, auront tou- jours un rapport fini aux precedents, & qu'il n'eft ainfi aucun nombre pofiible qui ne foit fini . PREUVE PREUVE. COncevons la fuite naturelle elevee a un nombre quel- conque donne, il eft evident que ce nombre quel- que grand qu' on veuille 1'imaginer, fera un nombre fini, & qu' il pourra etre encore augmente . Or le nombre fuivant ne pourra furpaffer ce dernier nombre que d' une unite. Done il aura un rapport fini a un nombre fini, done ce nombre fuivant fera un nombre fini. Et comme ce rapport fubfiftera fans fin dans tout le cours de la fuite naturelle, tout nombre qu'on voudra y ajouter ( quelque augmentation qu'on fuppofe qu'elle aitdeja recue) ne fur- paflera le nombre precedent que d'une unite; ce fera done encore un nombre fini. Or il n'eft aucun nombre poflible dans la fuite naturelle, auquel ce raifonnement ne puiffe etre applique . Done tout nombre poffible eft neceflaire- ment un nombre fini; done cVc. x. Dans !a fuite- naturelle le nombre r. eft neceiTaire- ment determine a etre fini par le rapport qu'il a a l'unite qui le precede, & par le meme rapport il determine le nombre j. qui le fuit a etre fini- Ainfi le nombre i. com- me raoyen eft determine a £tre fini par fon antecedent, & il determine de meme fon consequent. Or dans la pro- greffion naturelle tous les nombres poffibles depuis 1' unite font autant de termes moyens, qui fe fuccedent & fe de- terminent toujours felon la meme lou Done l'unite deter- minant le nombre 2. a.etre fini, & celui-ci fon confecjuent 3. en vertu du meme rapport , cette: determination dcit s'etendre, autant que la progrellion ,. & par confequent tous les termes de cette fuite , ne peuvent qu' etre finis. 3. Si la fuite naturelle pouvoit s'elever a un nombre qui ne fut pas fini , il y auroit done un nombre fini poffi- ble, qui ne feroit plus fuivi d'un autre nombre fini, mais d' un nombre d' un ordre fuperieur . Or il n' eft aucun b nom- 10 nombre fini poflible , dont Ie consequent ne doive £tre fini, puifqu'il ne peut furpafler que d'une unite fon ante- cedent. Done il n' eft aucun nombre fini poflible, qui ne foit fuivi d'un autre nombre fini. Done la fuite naturelle ne pent jamais fortir du fini. Done &c. Reduifons ces raifonnements en deux mots. Tout nom- bre qui ne s' eleve que d'une unite fur un nombre fini, eft un nombre fini . Or par une propriete conftante de la fuite naturelle, on trouve qu'en continuant le cours de cette fuite a P infini, chaque nombre qu'on y ajoute, ne s' eleve que d' une unite fur le nombre fini qui le prece- de, ckcela fe trouve fans fin. Done il n' eft aucun nom- bre poflible dans la fuite naturelle qui ne foit fini. Cette marche effentielle a la progreflion des nombres , fait ainfi dans tout le cours de la fuite naturelle le meme effet que P egalite de la puiffance de 1' hyperbole, & des reftangles correfpondants fait dans le prolongement indefini de cette courbe & de fon afymptote j de maniere que comme dans ce prolongement indefini la dijlance de C afym- ptote a la courbe ne devient jamais nulle , ou ^ero abfolu , felon P expreflion de M. D'Alembert , ainfi dans le cours indefini de la fuite naturelle tout nombre qu'on ajoute aux autres nombres , ne devient jamais infini abfolu , & de meme que cette diftance peut toujours etre trouvee plus petite qu'aucune grandeur donnee fans jamais devenir zero abfolu , ainfi dans la fuite naturelle on peut toujours ajou- ter un nombre plus grand qu'aucun autre nombre donne, fans pouvoir jamais parvenir a P infini abfolu . J' ajoute que dans la quantite continue , z£ro abfolu & P infini abfolu peuvent £tre confideres comme les limites du decroiflement & de P augmentation de la grandeur , de maniere cependant que la quantite ne peut jamais at- teindre ces limites , ni coincider avec elles . La quantite continue diminue fans ceffe par la divifion de fes parties} inais 1 1 mais quoique cette divifion poffible n'ait point de bornes, & qu'elle puifle aller a l'infini, il eft pourtant impoffible que jamais elle reduife la quantite a zero abfolu . D' un autre cote la grandeur peut augmenter par une progref- fion continuelle d' un a deux, de deux a quatre, & ainfi de fuite ; mais quoique cette progreffion n' ait point de bornes, & qu'elle puifle continuer a l'infini, elle ne pourra non plus jamais Clever la grandeur a 1' infini abfolu . La marche d' une quantite finie vers zero abfolu , & vers l'infini abfolu fe trouve ainfi la meme dans des directions oppofees. Done l'impoflibilite demontree de reduire une quantite finie a zero abfolu par une progreffion quelcon- que de decroiflTement , femble prouver 1' impoffibilite de l'elever a l'infini abfolu par une progreffion oppofee d'ac- croiffement . SECONDE PREUVE Tirie des notions ilimentaires de la dominie. . SOient les deux droites paralleles (fig. i.) A B, CD, je dis que ces deux lignes peuvent etre prolongees in- definiment, de maniere pourtant qu' elles ne pourront jamais parvenir a 1' infini abfolu, ou en a&e; je dis qu'on ne pourra jamais parvenir fur ces lignes a un point quelconque , dont la diftance du point A puhTe etre fuppofee abfolu- ment infinie, & qu' une telle fuppofition renverfe les princi- pes les plus inconteftables de la Geometric i. II eft inconteftable qu'on pcut fuppofer en Geomi- trie deux lignes droites exaftement paralleles, & qui erant prolongees a 1' infini confervent toujours leurs parallelifme. r. 11 fuit de cette fuppofition qu' aucun point de la li- gne A B, a quelque diftance qu'on le fuppofe du point A ne pourra jamais coincider avec aucun point de la li- b i gne 1 1 goe C D . Car ces denx lignes devant toujours conferver leur parallelifme par la fuppofition , elles feront toujours & dans tout le cours de leur prolongement a une egale diftance 1' une de 1' autre. 3. Or je dis que de tels principes inconteftables en Geometrie font detruits par la fuppofition que les lignes AB,CD, puiflent etre prolongees jufqu' a 1' infini abfolu 011 a&uel. 4. Si ces lignes peuvent etre prolongees jufqu' a 1' infini abfolu, done il y aura dans la ligne A B , des points qu'on pourra fuppofer etre a une diftance abfolument in- finie du point A . 5. Cela etant des points C & E de la ligne C D on pourra tirer les deux droites paralleles C G , E B aux points G 8c B fuppofes a une diltance abfolument infinie du point A, de maniere, qu'on aura un parallelogramme C G B E forme de deux droites finies C E, G B, & de deux infinies C G , E B . 6. Qu'on eleve maintenant fur le cote E B la perpen- diculaire T P qui mefure la diftance des deux cot^s C G, E B oh cette diftance T P pourra etre encore diminuee, ou elle fera abfolument nulle? 7. Si la diftance TP peut etre encore diminuee, done les points G & B peuvent encore etre recules de plus en plus fur la .ligne A B; done ces points ne font pas en- core a un eloignement infini du point A. 8. Si Ton fait la diftance TP abfolument nulle, done la ligne C G doit coincider fur la ligne E B . .9. Or la ligne C G ne peut coincider avec la ligne E B 1 que celled ne coincide elle meme avec la ligne CD. Car le point u venant a tomber fur le point 2s, il faut que toute la ligne C G tombe fur la ligne C D, & cela par les axiomes memes d'Euclide. ■ 10. 15 io. Mais la ligne C G & la ligne E B venant ainfi A tomber & a coincider fur la ligne C Z>, il eft evident que les points G & B de la droite A B doivent rer.con- trer 1' autre parallele C D . Ce qui detruit la notion des paralleles etablies fur les principes les plus incontefiables de la Geometric L* expreffion dequelques Geometres qui difent que deux paralleles concourent a une diftance infinie ne contredic aucunement la demonftration que nous venons de donner. Ce n' eft la qu' une facon de s'exprimer pour dire que deux lignes qu'on fuppoferoit ne pouvoir concoutir quVi une diftance infinie pourroient etre regardees comme pa- ralleles, parceque leur inclinaifon etant inflniment petite feroit comptee pour rien. Mais cette fuppofition ne prouve pas que deux lignes puiflent etre prolongees a une diftan- ce abfolument infinie . Elle ne detruit point non plus la poffibilite geometrique de deux lignes tellement fituees Tune a l'egard de 1' autre que 1' inclinaifon foit abfolument nulle, & qui foient par consequent exaclement paralleles. Or il eft evident qu'en determinant ainfi . la notion des paralleles , il eft impoftible qu' elles concourent jamais a quelqu'eloignement que ce foit, & on peut encote le mon- trer de la maniere fuivante . Qu'on fuppofe {fig. a. ) A C, B D., tangentes aux deux extremites du diametre A B du cetcle O, & par confequent paralleles. Si l'on fuppofe en meme terns que ces deux lignes prolongees a une diftance abfolument infi- nie dans la direction A C , B D doivent enfin concourir a un point infiniment eloigne du diametre A B, il faudra fuppofer par la meme raifon qu'en les prolongeant dans la direction oppofee A E , B F, elles devront auffi con- courir de ce cote a un eloignement infini. Or les deux lignes A E , B F ne peuvent concourir du cote X fans leur fuppofer une inclinaifon infiniment petite de ce meme cote eote ; & elles ne peuvent £tre inclinees vers X qu' elles ne s'ecartent d' aurant vers Y. Mais pour concourir aufli de ce cote felon la fuppoiitton elles doivent etre inclinees Tune vers 1' autre. Done il faudroit les fuppofer en m£me tems convergentes & divergentes j ce qui repugne. TROISIEME PREUVE Tiree d? une proprieti de la' Logarithmique. SOit A x i' axe de la logarithmique (fig. 3.) d e p , A d =7= 1 , b e =-j. II eft demontre que l'axe etant afymprote a la courbe ne peut la rencontrer qu'a une di- ftance abfolument infinie, ce qui dans le langage de la plupart des Geometres veut dire qu' il ne peut jamais la rencontrer, e'eft a dire que l'axe ne peut jamais devenir abferiument infini. Proposition qui paroiflfant fufceptible de demonstration , peut confirmer de plus en plus- 1' impofti- bilite d' une fuite compofee d' un nombre de termes abfo- lument infini . Qu'on fuppofe l'axe Ax abfolument infini, & partage en un nombre acluellement infini de parties egales A b , b c Sec. done au point x place a un eloignement infini du point A, l'axe deviendra tangeiite a la logarithmique. D' autre part il eft evident que les ordonnees decroiffant dans la progreflion i.-i--T&c- I'ordonnee au point x, e'eft a dire a un eloignement infini du point A fera egale a l'unite divifee par 2. eleve a fa puiflance infinie, favoir — Cela fuppofe, pour que l'axe puiffe devenir tangente a la courbe, il faut que la fraction — qui exprime 1'ordon- nee, foit egale a zero abfolu, ou que dumoins ce foit un infiniment petit incapable de recsvoir aucun decroiflement ul- M nherieur. Car fl l'ordonnee — pouvoit encore devenir plus petite, la diftance de l'axe a la courbe pourroit encore diminuer . Ce ne feroit done pas encore le point du con- tact, comme on le fuppofe . Or Tune & 1' autre fuppofition eft impoflible. Car i. cette ordonne — loin d'etre incapable de recevoir aucun de- croiflement ulterieur, feroit encore divifible a l'infini. Qu'on concoive en eft'er dans un cercle une corde infiniment pe- tite du premier ordre egale a l'ordonnee — , il eft evident que l'abfcifle correfpondante fera un infiniment petit du fe- cond ordre, comme le demontre M. D'Alembert (art. dif- rerentiel de l'Encyclop.), d'ou il conclut que les infiniment petits du premier ordre erant une fois admis, tous les autres en derivent mfceflairemenr. On fait auffi que les Geometres pour donner une idee de ce que feroit une quantite abfolument infinie , ft elle etoit poflible, difent que e'eft une quantite qui aiant receu tous les accroifie- ments finis poffibles ne peut plus etre augmentee par des quantites finies , mais feulement par des quantites infinies* reciproquement une quantite infiniment petite fera encore fufceptible de diminution fans fin par le moyen de quan- tites infinies . De forte qu' en admettant un infiniment pe- tit du premier ordre tel que la fraction -^ il faut n^cef- fairement reconnoitre la poffibilite d' un autre rer'me - — infiniment plus petit que le premier. Done la fraction — ; pouvant encore recevoir une infinite de diminutions , ne fauroit etre confideree ni comme zero abfolu , ni comme incapable de recevoir aucun decroiffement ulterieur. i6 2. Si des points A & b du mewe axe Ax Ton eleve les perpendiculaires A D = Ad= i , b E = -j fk. ainfi de fuite , on aura une autre logarithmique, dont Pordonnee infiniment petite correfpondante an point x fera Or au point -v la logarithmique fuperieure & Pinferieure devant ' ^galement toucher leur axe commun A x, il faudroit que 1'ordonnee — , & P ordonnee — fuffent egales entr'elles, que Pune 6k P autre fuilent egales a zero abfolu, ce qui & repugne . L' ordonnee — etant plus petite que Pordon- »°° nee — celle-ci eft encore fufceptible de diminution, done la diftance exprimee par cette ordonnee pouvant encore etre diminuee, la courbe pourra etre prolongee avant que d'arriver au point du contact, ou la diftance entre l'axe & la courbe doit etre abfolument nulle . On pourra faire te meme raifonnement fur P'ordonnee — d' oil il fera aife de conclure que quelque hipotefe que P on fafle r il eft impoflible que Paxe rencontre jamais la logarithmi- que, rnais il devroit la rencontrer s'il pouvoit etre abfo- lument infini ; & il feroit infini s' il etoit eompofe d' un nombre de parties aftuellement infini . Done une fuite compofee d1 un nombre acluellement infini de termes eft impoffible, RE: REPONSE A UNE OBJECTION ET QUATRIEME PREUVE Tirie ■ des afymptotes de C hyperbole . ON m' objeaera peut etre que de tres-habiles Geome- tres convienneiu avec M. de 1'Hopital (Sea. Con. art. 108.) que les afymptotes peuvent etre regardees comme des tangentes inflnies , qui touchent les hyperboles dans leurs extremites. Ce qui femble etablir la poffibilite de 1' infini aftuel . Je repons que dans le ftile des G^ometres cette fuppo- fition ne fignifie autre chofe, finon que dans le cours in- defini de 1' hyperbole, & de l'afymptote, celle-ci approchant de plus en plus de 1' hyperbole la toucheroit enfin , fi on pouvoit parvenir au terme de ce prolongement infini, ou pour mieux dire fi ce prolongement infini pouvoit avoir un terme quelconque . Ce n'eft qu' a cette condition, qu'ils fuppofent que l'afymptote puiffe etre regardee com- me une tangente infinie qui touche V hyperbole, puifqu' ils difent que ce cas ne peut avoir lieu qu' a 1' extremite de 1' hyperbole , comme s' enonce M. de 1'Hopital. Mais en meme terns ces Geometres ne pretendent point realifer cette fuppofition, ni en etablir la poffibilite * M. de 1'Hopital s'en explique nettement art. 101. par ces mots. c Von * Pour s'en convaincre il n'y a qu'a examiner le calcol qu' on fait d'apres cette fuppofition pour trouver les afymptotes des lignes courbes . Ce calcul confiftc a chercher d'abord des formules generales pour la pofition d* toutes les tangentes de la courbe donnee. & a rejetter enfuite dans ces formules plufieuts termes , qui font regarded comme nuls par r.ip- port a d' autres termes dont la raleur devient par la fuppofition inhrn- ment plus grande : d' oil 1" on voit que ce calcul n' eft pas abfolument rigoureux , tic qu'il ne peut par confequent donner un refuitat exait , >ms qu'on ne regarde comme peu exafte la fuppofition fur laquclle ctalili , en fotte que l'erreur de l'hipottife dctruilc tout-a-tait on r cclle qu' on a commis dans le cakul iS Von voit que Niyperbole & fon afymptote itant prolongi.es s ' approchent de plus en plus, de forte qiH enfin leur diflance devient moindre qu aucune donnle ; & que cependant elles ne fe peuvent jamais rencontrer, puifqu' elles ne fe joignent que dans l'i/ifini, ou Von ne peut jamais arriver. .C'eft a dire que (i 1' hyperbole & 1' afymptote etoient prolongees jufqu' a Tinfini abfolu , elles fe toucheroient ; mais comme cette condition eft impoflible, & qu on ne peut jamais arriver a I infini, il eft de fait qu' elles ne peuvent jamais fe ren- contrer. C'eft ce que M. de la Chapelle ejcplique avec encore plus de nettete , & de precifion dans foil traite des A parler exa&ement 1' afymptote eft une droite qui s' approche continuellc- ment d' une couibc de maniere que fa diftance a la courbe puifle de- venir moindre qu' aucune grandeur donnee , fans qu'elle foit jamais zero abfolu . Or cette condition rend faufle la fuppohtion que 1' afym- ptote foit une veritable tangente ; mais on la redrefle en fuite dans le calcul , en faifant , pour ainfi dire, difparoitie le point d'atiouchement, en forte que la tangente cede d' etre tangente , & devienne feulement la limite des tangentes , favoir la limite de la courbe meme; ce qui eft conforme a la nature de 1' afymptote. II en eft ici comme dans la methode des infiniment petits, ou le calcul re- drefle aufli de lui meme les faufles hipotefes que 1* on y fait . On imagine par exemple qu' une courbe foit un poligone d' une infinite de petit cotes, dont chacun etant prolonge devienne une tangente a la courlx. Cette fuppofition eft reellement faufle ; car le petit cote pro- longe ne peut jamais etre autre chofc qu' une veritable fecante : mais P erreut eft detruite par une autre erreur qu' on introduit dans le cal- cul en y negjigant comme nulles des quantites , qui felon la fuppofi- tion ne font qu' infiniment petites . C'eft en quoi confifte , ce me fem- ble, la Metaphvfique du calcul des infiniment petits, tel que J'a donne M. Leibnitz . La methode de M. Newton eft au contraire tout a fait rigoureufe foit dans les fuppofitions , foit dans les procedes du calcul . Car il ne concoit qu'une fecante devienne tangente, que lorfque les deux points d' interfection viennent tomber 1' un fur 1' autre, & alors il rejette de fes formules toutes les quantites que cette condition rend entierement nulles . Cette methode exige ablolument qu' on regarde comme evanouiflantes , c'eft a dite comme nulles, les quantites dont on cherche les premieres , ou dernieres raifons ; & c' eft ce qui rend fourent les demonstrations tongues , & compliquees . La fuppofition des infiniment petits fert :i abreger , & a faciliter ces demonftrations : mais ce n'eft qu'apres avoir prouve en general que 1' erreur qu'elle fait naitrc eft toujours corrigee par la maniere dont on manic le calcul, qu* il eft permis de tegarder les infiniment petits comme des realites , Ot de 'les emploier comme tels dans la folution des problemes . Not* de M. DE LA GRANGE . 19 des fe&ions coniques approuve par 1'Academie Roialedej. fciences de Paris fur le temoignage de M. Caflini & D'A- lembert. Apres avoir etabli ( n. 89.) que les afymprotes de I' hyperbole prolongees a une tres-grande diftance,de- viennent (enablement tangentes a cette courbe, il ajoute „ 11 Ton obje&oit que ceci contredit le num. 46., ou „ l'on a ddmontre que les afymptotes de l'hyperbole pro- „ longees tant que Ton voudra , ne rencontreront jamais „ cette courbe , on obfervera que les afymptotes ne de- „ viennent tangentes, que dans le cas ou elles feroient „ aftuellement prolongees a 1' infini ; mais ce cas etant „ impoflible, c'eft comme ft Ton difoit qu'apres un tres- „ grand prolongement, elles approcheront ii fort d'etre „ tangentes, que leur difference des tangentes reelles fera „ infenfible, & non pas plus petite qu' aucune grandeur „ donnee. (// faut entendre qu aucune grandeur donate poffible, car il eji egalement vrai qu il n y a qu une quant it e infini- ment petite , Ji elle pouvoit exijler , qui foit plus petite qu au- cune grandeur donnee pofflble ; & que quelque petite que foit une grandeur acluellement donnee , on en peut toujour xs trouver une plus petite, qui des lors deviendra donnee, e d' exprimer les termes d' une fuite eft tres-jufte , pendant qu'il ne s' agit que de nombres finis. II eft clair que fi Ton fait une progreffion qui ait un der- nier terme = 10, le nombre des termes qui precedent, fera 10 — i =9 mais cette formule ne peut avoir lieu dans une progreffion abfolument infinie. On a vu par 1'enonc^ meme des propofitions qu'on vient de rapporter, que cette progreffion a un dernier ter- me infini, & que le nombre des termes qui precedent le dernier n' aiant pas encore receu tous les accroiffements finis poflibles, ne peut etre infini. Je dis done que dans cette hipotefe, on ne peut exprimer le nombre des ter- mes qui precedent le dernier par la formule eo — 1 . Car ou cette formule exprime un nombre infini, ou elle n'ex- prime qu'un nombre fini . Si elle exprime un nombre abfolument infini , done elle n' eft pas applicable a un nombre de termes qui n'eft que fini. Si elle n' exprime qu'un nombre fini,. done un nombre infini devient fini par la 17 la fouftra&ion d'une feule unite , cv reciproqiument un nombie fini devient infrni par l'addition d'une feule unite, ce qui repugne, Dans la progreflion finie dont le dernier terme eft 10, la formule io-i exprime reellement le nombre des ter- mes qui precedent 10, parceque 10 — 1 n' eft pas 10, mais qu'il devient 10 par l'addition de l'unit^. Done pour conferver 1' analogie , fi la formule oo — i doit ex- primer le nombre des termes qui precedent 03 , il faut que 00 — 1 tie foit pas 00 , comme 10 — 1 n'eft pas 10 , & que cette quantite 00 — 1 qui n'eft pas infinie devien- rie 00 par la feule addition de l'unite comme 10—1 de- vient 10 par l'addition de l'unite. Mais c' eft ce qui re- ptigne. Done &c. M. l'Abbe Deidie dit qu'on peut evaluer les progreflions infinies qui vont en augmentant de la meme facon que les decroiflantes, & qu'alors on trouve des valeurs infinies dont la connoiflance n'eft qu'une belle fpeculation . Mais il ne devoile pas le defaut des fuppofitions qui en rendroient les refultats contradiftoires, ni de quelle maniere on doit corriger ces fuppofitions . II ne fuit pas dela cependant qu'on doive rejetter les calculs par lefquels on parvient a determioer les rapports finis qu'ont entr'elles les fommes infinies des fuites infinies. Tel eft le calcul par lequel on trouve que la fomme d'une infinite de quarres de termes confecutifs ejl le -J- du produit du dernier quarre multiplie par leur nombre : que la fomme £ une infinite de cubes confecutifs efl le -^ du produit du der- nier cube par leur nombre &c. Ces calculs ont leur ufage , & il fuffit d' en developer la Theorie avec nettete pour s' appercevoir qu' ils ne fuppofent rien qui ne foit confor- me aux idees les plus claires, & les plus fimples que nous avons de la grandeur . 4 2 Tout i8 Tout nombre peut etre la racine de quelque puiflance que ce foit. 2 eft racine quarree de 4 & il eft audi racine cubi- que de 8 . Cent eft racine quarree de dix mille, & il eft ra- cine cubique d'un million. Plus la racine eft grande, plus aufli la puiflance fuperieure eft grande par rapport a Tin- ftrieure ; ainfi le quarree de 1. eft la ~ du cube 8 , au lieu que dix mille, quarre de cent n' eft que la ~ partie d'un million qui en eft le cube. Qu'on augmente la ra- cine , on parviendra a un nombre tel , que fon quarre- ne fera que la cent millionieme de la cent millionieme par- tie de fon cube. Et comme cette progreflion n' a aucune borne, la fraction qui exprimera le rapport du quarre au cube pourra toujours etre trouvee plus petite qu' aucune grandeur donnee quelque petite qu'elle foit. La formule pour fommer tain de quarres des termes confecutifs qu' on voudra eft celle-ci /* = _ a' ■+• — a>z 3 * — — a a' -\ a* — —a oil n fienifie le premier, & 6 3 2 6 5 V ' eo un dernier terme. Or a , & a etant de termes deter- mines la formule eft d' une exactitude rigoureufe. Quand on fait la fuite infinie, on fubftitue 00 figne de l'infini a la place du dernier terme exprime par a , & Ton a /: = — °°J -+■ — 00 6kc. & alors la formule fe reduit a f = 32 * — 00 s a caufe que tous les autres termes font confideres comme infiniment petits a l'egard de _ 00 ' . D'abord il eft clair que la formule ainfi reduite n' eft pas d' une exactitude tout a fait rigoureufe puifqu' on ne- glige des termes politifs portes par le calcul . il eft vrai que ces termes p uvent etre confiddres comme infiniment petits a 1' egard du premier , muis il ne font pas abfolu- ment 29 merit nuls , ce font des quar.rites recites & pofitives & non zero abfolu. Cela fuppofe pour conferver a ces formules toute l'exacli- tude dont elles font fufceptibles , il n' eft point necelTaire d' admettre des cubes , ou des quarres abfolument infinis reprefentes par oc» oo2. Car enfin entend-on ce que 1' on dir , quand on norr.me un dernier cube, un dernier quarre, & qu'on nomme infini ce dernier cube, ce dernier quarre, comme s' il pouvoit y avoir un dernier terme dans une progreflion , qui ne peut avoir de fin? II faut done exprimer par ce figne c© non une quantite abfolument infinie, mais une quantite indeterrninee, con- 9ue comme furpaftant en grandeur quelque quantite finie donnee que ce foit, quelque grande qu'on 1'imagine. Puis que la progreflion des nombres naturels n' a certainement point de fin, il eft vifible qu'apres avoir alligne un terme fini quelque grand qu'il foit , on pourra toujours trouvcr un terme plus grand a 1' infini, il y a done des quanti- tes indeterminees concues comme plus grandes que quel- que quantite finie qu'on puifle determiner. Maintenant qu'on exprime cette forte de quantiies par oc , qu'on en fafle le quarre oo1, & le cube oc3, cette expreflion fera connoitre que quelque petite que foit une fraction qui ex- prime le rapport d'un quarre a un cube, on pourra tou- jours trouver entre ces quarres & ces cubes indeterraines un rapport exprimable par une fraction toujours plus pe- tite a 1' infini . On voit par cette raifon pourquoi op peut, & j' ofe meme dire qu'il faut retrancher de la formule les termes qui fuivent le premier. Si oo-» & oo 2 fignifioient un der- nier cube , & un dernier quarre au dela defquels il ne put plus y avoir ni de cubes, ni de quarres, la fraclion — , = — qui exprimeroit le rapport de ce dernier quarre a ce 50 a ce dernier cube ne feroit plus fufceptible de diminution. 0:i pourroh bien ainfi negliger dans la formule les termes fuivams -~ oo z &c. parceque ce feroient des quantites in- finiment petitcs a 1' egard du premier -^ oo', cependant ccs termes n'etant pas abfoiument nuls, la formule ne fe- roit pas rigoureufernent exatte. Mais (i oe 3 & oo2 reprefentent non un dernier cube, ni un dernier quarre abfoiument infinis , fnais 'plutot une fuitc indeterminee de cubes & de quarres , qu' on peut tou- jours fuppofer en vertu de leur indefinie progreflion plus grands, qu'aucun cube, & qu'aucun quarre donnes, quel- ques grands qu'on les fuppofe , alors on verra clairement pourquoi dans la formule il faut retrancher les termes, qui fuivent le premier. Ces termes fubfillants dans la formule denotent toujours un rapport quelconque entre le quarre, & le cube, rapport expiimable par une fraction quelque petite qu' elle foit . Cette fraftion fe trouveroit ainfi fixee par la formule meme. Or °cJ & =c* exprimant une fuite de cubes, & de quarres indetermines toujours fufceptibles d' une nouvelle augmentation au dela de quelque terme qu'on puiffe imaginer, la fra&ion qui exprime leur rap- port ne peut jamais etre fixee, mais quelque petite qu'on la fuppofe, on peut toujours la prendre moindre a 1'infini. Or on ne peut mieux exprimer le cours de cette diminution poffible au dela de tout terme donne , qu' en retranchant jes termes , qui en borneroient le decroiflement fucceflif, & c'eft ce que 1' on fait en quelque forte en retran- chant de la formule ci deflus les termes qui fuivenr le premier . Ainfi Pequation de la formule reduite f*=a~ oe» ne doit pas etre regardee comme une egalite entre deux termes fixes, & permanents de part, & d'autre, tels que feroient deux termes finis, & determines, mais plutot comme la fluxion de deux termes confideres dans un cours indefini d'au- 3l d' augmentation, oil leur dilproportion peut toujours etre trouvee moindre qu'aucune quantite donnee. La notion de ce figne oo pris non pour 1'infini abfolu confidere dans un etat fixe, & permanent, mais pour une grandeur indeterminee furpalTant tout ce que 1' imagination peut embrafler, & concue comme pouvant s' etendre en« core indefiniment au dela , paroit tres-conforme a la ma- niere dont les fuites infinies fe prefentent a notre efpnr . Tachons d'en donner une idee claire, en expofant ce qui fe pafle en nous memes , lorfque nous nous attachons a confiderer une progreflion infime : nous trouverons qu' a. cet egard il en elt a peu pres des operations de 1' eiprit comme de celles des fens. Lorfque du haur d' une colline on jette les yeux fur une vafte plaine dont la viae ne peut embrafler toute 1' etendue , on n'a pas de peine a. diftinguer les premiers objets qui fe prefentent & a en reconnoitre le nombre & la fituation . Mais a mefure qu1 ils s' eloignent , on com- mence a les confondre , nous les perdons de viie , fans pouvoir difcerner quel eft le dernier dans cette confufe multiplicire , qui fe derobe a nos regards : nous cef- fons devoir, fans que rien paroifle termine , & ces objets qui nous fuient, ne nous echappent qu'en nous paroiflant s7 etendre & fe perdre a un eloignement , ou notre viie s'egare, & fe confond . C'eft a peu pres ce qui nous arrive quand nous entre- prenons de fuivre des yeux de 1' efprit une progre/fion in- finie. Nous n'avons pas de peine a diftinguer nettement les termes repreTentes par des fignes, qui nous font familiers, & dont nous appercevons tout d' un coup la liaifon , 6k les rapports. Mais auffitot que l'uiage de ces fignes com- mence a devenir trop complique; nous n' appercevons plus que d'une viie confufe cette fuite de termes ; nous les re- culons autant que nos conception^ peuvent s' etendre : & en en les confiderartt de ce lointain , nous les voyons Ce de- rober a notre viie , Cans' que nous puifiions fixer' aucuti dernier terme , qui borne la Cuite que nous envilageons } nous n' appercevons plus qu' une multiplicite de termes qui faute de fignes diltincls Ce confondent a nos yeux, & nous fentons Ceulement que rien ne peut arreter leur progreflion indefinie . . Celt done une illufion d' imaginer dans une Cuite infi- nie un dernier rerme quelconque, comme un point fixe place a un eloignement infini, dont 1'eCprit pourroit Cran- chir l'intervalle par des operations multipliers a 1' infini . Ce pretendu point fixe n'eft au contraire-qu'un point mo- bile, qui recule a meCure que 1'eCprit avance, & qui Ce trouve toujours a un egal eloignement, Cemblable a ces points lumineux que les raions du Coleil reflechis de deflus la glace d' un miroir vont tracer Cur les objets eloignes: envain celui qui tient le miroir precipiteroit Ces pas pour en approcher ! Autant qu' il avance , d' autant il les recule. Maintenant il eft bien aiCe de faire voir la contradi- ction oil Ton s1 engage en CuppoCant oo' & °o* comme le dernier cube, 6k le dernier quarre de la Cuite naturelle pouffee a 1' infini . S' ils Cont les derniers-, on ne peut done en CuppoCer des plus grands, c' eft a dire qu' il ne peut y avoir de plus, grand cube que le cube infini re- prefente par oos ni de plus grand quarres que le quarre infini repreCente par oo z. Mais fi Ton peut tirer la racine cubique du terme infini oo», on peut aulfi en tirer la racine quarree , & quand meme oos ne Ceroit pas un quarre parCait , il eft evident que la racine du quarre plus approchant , doit etre infiniment plus grande que v'oo *, done le quarre qui reCultera de la racine V oo» Cera infiniment plus grand que oe% done entre ces deux termes, ilyaura encore une infinite de quarres, par con- fe- 33 fequent la iuite naturelle pourra encore fournir une infi- nite de quarrel apres oo*. Done ce n' ell pas le dernier de cette fuite , contre la fuppofition. Voici enfln une preuve que je crois demonftrative con- tre la fuppofition de la fuite naturelle pouflee a 1' infini abfolu . Les Auteurs expriment cette fuppofition en ces termes , favoir que la fuite naturelle aiant pris tous (es accroiiTements finis poffibles devient inflate , & qu' alors fon dernier terme ell oo . Je dis que cette fuppofition renverfe des propositions inconteftables touchant les pro- greffions arirhmetiques , entre lefquelles eft la fuite natu- relle des nombres. II eft demontre- que dans une progref- fion arithmetique la fomme des extremes eft egale a la fomme des moyens . Dans la fuppofition que nous com- battons ici la fomme des extremes eft i -4- oo nommant done n un terme moyen, cette fomme fera egale a n -+■ n ■+- i , ou fi Ton veut t -+• o» = i n. Done n = — oo 2 Ce terme moyen fera done infini , mais la fuite naturelle par la fuppofition, n' eft infinie que quand elle a re$u tous fes accroiffements finis poffibles ; & elle ne peut avoir regu tous fes accroiiTements finis poffibles, quand elle n'eft encore qu' a la moitie de (on cours . Done Sec. Bornons maintenant la fuite naturelle a ce terme trouvi La fomme des extremes i -+- — fera egale a z x (x fignifiant le nouveau terme moyen) & par confequent x as — qui fera encore un terme infini trouve a la _ 4 quatrieme partie du cours de la fuite naturelle. Qu' on revienne toujours enarriere, & en remontant vers l'unite de la metne facon ; on trouvera une infinite de termes infinis pour former les termes decroifTants de la fuite na- e turelle 34 relle depuis l'infini jufqu' a 1' unite: ferie bien d fferente de celle par laquelle de 1' unite on s' eleve vers 1' infini. Ce ne fera meme qu' apres une infinite de termes , & qu' apres avoir epuife les fractions — &c. toujours en fe rapprochant de 1' unite , qu' on parviendra a la fra&ion — — i. C'eft a dire qu'en redefcendant de l'infini. ab- 00 folu par tous les degres de la fuite naturelle jufqu' a 1' unite, tous les termes fe trouveroient infinis a 1' exception de P unite feule . II me paroit que cette confideration fuffit pour faire fentir que le fini, & l'infini dans la grandeur font , pour ainfi dire, des quantites heterogenes , qu'il eft impoflible de jamais, rapprocher , en forte que de P une on puifTe pafler a P autre . SIXIEME PREUVE Tiree des progrejfions decroijfantes a /' infinl. SOit la ligne {fig. 4.) A B — 1 . Si on coupe cette ligne en deux parties egales au point C , & qu' on partage de meme la moitie CB au point D , & ainfi de fuite, on aura une progreflion geometriquement decroif- fante en raifon fousdouble , formee par la fuite des di- vifions , & fousdivifions de la ligne A B , progreflion qu' on exprime de cette forte 1 -f 7 &c. Ainfi dire que cette progreflion decroiflante peut aller a l'infini, ce n' eft dire autre chofe , fi non que la divi- (ion de la ligne A B en parties fous doubles peut aller a P infini . Mais comme une telle divifion ne peut jamais etre a&uellement effeftuee en entier, la progreflion qui en re- fuite 3J fulte ne peut non plus jamais parvenir a un dernier ter- me qui la termine. C'eft ce que Tacquet demontre rigou- reufement dans (es remarques fur la xi propofinon du 6. livre d'Euclide . Lors done que pour evaluer la fomme d'une progreflion decroifl'ante al'infini, on ecrit i . i- . -~ . ■- . . . . o ; ce n'eft pas que le vuide marque par Ies points traces entre 4- par exemple 6k zero, doive etre concu comme rempli par une fuite acluellement infinie de termes diftincls , qui fe fuc- dernier de"*toi)s\"$i"^e7a"eTdn°,"li Tfduciroity'qu' entre zero, & le terme qui le precederoit immediatement il y eut le meme rapport qui fe trouve entre le confequent -f & fon antecedent -i-. Or il eft vifiblement abfurde de fuppofer un rapport lous double entre zero , Sc une quantite poll- tive quelconque. Ainfi par u:ie progreflion decroifl'ante infinie il faut en- tendre une fuite dont le cours ne peut jamais etre borne, mais non une fuite, qui apres un cours aftuellement infini, fe trouve complette & compofee d'une infinite de termes places fucceflnement l'un apres l'autre, & ranges par or- dre depuis le premier jufqu' a zero. Ces deux idees font tres differentes, & il importe extremement de ne pas les confondre. On pourroit obje&er que le calcul qu'on emploie pour determiner la fomme d'une progreflion decroifl'ante infinie, femble fuppofer une fuite de termes diftin&s, qui aillent en diminuant jufqu'a zero. Telle eft dans le cas prefent la formule 1 — '^:t:: 1 — o: 5". ou zero eft emploie de la meme maniere que leferoit unnombre pofitif quelcon- que, s' il s' agiflbit d'une progreflion finie. On citera meme un Ge'om^tre , qui apres avoir reconnu qu'une progreflion decroifl'ante ne peut avoir aucune bor- ne, non plus que la divilibilite de la grandeur, fembl*' e » pour- fi pourtant reconnoitre la neVeffite d'affigner un dernier ter- me a la progreffion decroiffante inflnie, pour en evaluer la i'omme , en difant que comme le premier terme moirs le fecond, e(t au fecond; ainfi le premier terme moins le dernier , qui efl prcsqu' egal a ^iro eft a la fomme de ceux qui le fuivent . Mais la jufteffe de ce calcul ne depend aucunement de ces fuppofitions peu exacles. Les Geom^tres qui ont fuivi la methode rigoureufe des anciens, en ont etabli les prm- courir a un langage qui a toujours befoin d'etre ramene a la precifion. C'eft ce qu'a fait Tacquet Arith. 1. y.c. 4. Qu' on me permette de propofer en peu de mots quel- ques idees relatives a ce fujet. Quoique la ligne A B puiffe etre divifee a I'infini par une fuite de divifions en parties fousdoubles , il eft clair cependant que cette fuite de di- vifions a une limite qu'elle ne peut pafler, & cette limite eft 1' extremite meme de la ligne A B . Ce point B fera done aufli la limite de la progreffion qui refulte de cette fuite de divifions. D' ou il fuit que quand on fuppoferoit, que la ligne A B eut pu recevoir toutes fes divifions poffibles , ce pendant 1' aflemblage de cette infinite de parries ne pour- roit former que cette meme ligne A B; & les termes de la progreffion n' etant autres que ces m£mes parties qui refultent de la divifion de la ligne A B , il s' en fuit que la fomme de tous ces termes, quand on les fuppoferoit entierement developes, ne pourroient non plus former que cette meme ligne A B. L' evaluation d'une progreffion decroiffante infinie, con- fide a trouver 1' efpace , ou le chemin qu' elle devroit parcourir pour atteindre a la limite oil elle tend, & ou elle arriveroit, fi fon cours pouvoit jamais etre terminej ou ce qui revient au meme a trouver la quantite finie, qui qui par une fuite de divifions, & de fousdivifions en une raifon donnde fournit & determine a l'infini les termes de cette progreflion . Or pour trouver cette quantite par le calcul, il n' eft point du tout neceflaire de fuppofer que la progreflion ait pris a&uellement tous les termes dont elle eft fufcep- tible: il fuffit de connoitre le rapport des deux premiers termes, rapport qui deyan.t..mr»yW-ia tuite de ies ter- mes devroit aboutir, quand on pourroit la developer en- ticement. Dans une progreflion finie comme le premier terme , moins le fecond eft au fecond, ainfi le premier moins le dernier eft a la fomme de ceux qui le. fuivent. Dans une progreflion infinie il n'y a point reellement de dernier ter- me. On dira done, comme le premier terme moins le fecond eft au fecond , ainfi le premier eft a la fuite de tous ceux qui le fuivent: e'eft a dire dans l'exemple pre- cedent comme A B — C B: C B : : A B , a la fomme de tous les termes qui le fuivent . A B reprefente toute la fuite des antecedents, parceque quand on fuppoferoit cet- te fuite entierement developee , elle ne pourroit s'eten- dre au dela du point B qui lui fert de limite, & tous fes termes ne pourroient former que cette meme ligne A B dont l'etendue eft donnee . Or A B confidere comme pre- mier terme de la fuite doit avoir a la fomme de tous ceux qui le fuivent le m£me rapport qu' il y a entre A B ~-C B & C B. Ce rapport eftconnu, le premier terme eft donne; la quantite" qui refukeroit de cette fuite infinie de confequents fera done connue , fans qu' il faille fuppofer qu' elle ait jamais pu recevoir tous fes termes poflibles . La pofition d'un dernier terme quelconque quoique fup- pofe- presqu egal a ^ero, nuiroit a la juftefle du calcul. Soit -v B {fig 5.) ce dernier terme. Done AB~x£ = Ax re- reprefentera toute la fuite des termes fuivanrs. Done elle feroit bomee au point x; ce qui eft contre la nature de cette progreflion qui doit pafler le point x , & tendre a 1' infini vers la limite B . Tachons d'eclaircir les difficult^ qui peuvent refter par 1' application de cette Theorie a quelque exemple connu, telle qu' eft la folution du fameux probleme de Zenon . quaot-?e..dJ(pit Zenon, qu'Achille aille dix fois plus vite Achille ne pourra 1' atteindre : car tandis"qu' Acrniie^pak courra cette lieiie, la tortiie fera la dixieme de la fecon- de lieiie, & tandis qu'Achille fera la dixieme de la fe- conde lieiie , la tortiie fera la dixieme de cette dixieme , & ainli a 1' infini . II y a deux roanieres de refoudre cetre difficulte, l'une en tirant du rapport des vitefles des deux mobiles une equation, qui faffe connoirre le terme ou Achille doit at- teindre la tortiie . Fefant done une lieiie = i & nommant x le chemin que la tortiie aura parcouru lorfqu' Achille la rencontrera , on aura i ■+■ x pour exprimer le chemin de la tortiie, & comme Achille va dix fois plus vite , i o x exprimera le chemin parcouru en meme terns par Achille, & par confequent i o x= i -+- x , & en r^dui- fant x a= -j)- de lieiie ; ce qui fait connoitre qu' au bout d' une neuvieme delteiie, Achille atteindra la tortiie. Ce point fera par confequent la limite, ouladiftance des deux mobiles allant avec les vitefles donnees doit s' evanciiir , & ou l'un doit par confequent atteindre 1' autre. La feconde maniere confifte a determiner la fomme de la progreflion d^croiflante infinie i ~.^, pour voir le chemin que feroit la tortiie en fuppofant qu'elle parcourut 1' une apres 1'autre toutes ces dixiemes de dixieme a l'in- firu , & qu'elle feroir par confequent la limite de l'ef- pace, que toutes ces dixiemes devroient former par leur reunion 39 reunion , en fuppofant que cet efpace put £tre divife par les pas de la tortile en une infinite de parties fous de- cuples . On fait done cette proportion : comme le pre- mier terme moins le fecond, eft au fecond ; ainfi le pre- mier terme moins le dernier eft a lafomme de ceux qui le fuivent . Mais une progreffion infinie ne devant point avoir de dernier terme , &c fa distance de la limite ou elle tend pouvant diminuer au dela de quelque quantite que ce foit , quelque petite qu' on la fuppofe , on dira 1 — ~k '^i- '■ l — ° ' ou ^implement i : f . d' oi» V on tire 9 : i : : i . -J-. Ce qui redonne precifement 1' efpaee x tro- uve par la premiere methode . Cette formule nous ap- prend que comme une lieiie, moins un dixieme de lieiie, eft a un dixieme de lieiie, ainfi une lieiie eft a une por- tion de lieue, telle qu' on pourroit la divifer a 1' infini par une fuite de divifions, & de divifions en parties fous decuples} en forte quequand on pourroit developer acluel- lement toutes (es parties, & les reunir de nouveau, elles ne formeroient que cette meme portion d' efpace ou cette neuvieme de lieiie. L' artifice confifte done moins a trouver la fomme d' une progreffion par 1' addition d' une infinite de termes, qu'a trouver d' un feul coup par des rapports connus la quantite finie qui eft fufceptible d' une telle progreffion . C'eft de quoi Ton fe convaincra de plus en plus en lifant les judicieufes reflexions, que l'Abbe Deidie ajoute a la folution du probleme de Zenon. „ L' argument de M Zenon, dit-il, ne pouvoit conclure, qu' en fuppofant de „ deux chofes 1' une , ou qu'Achille devoit emploier une „ infinite de pas pour faire la premiere lieiie auquel cas „ il ne feroit jamais venu a bout de la faire; ou que les „ pa& qu' il faifoit en parcourrant le jg du dixieme, de- „ venoient encore dix fois plus petits , & ainfi de fuite, „ auquel cas il eft fur qu'il n' auroit jamais pu attein- dre ?> 40 „ dre la tortiie ...... mais comme Tune & 1' autre de „ ces fuppofirions font aufli ridicules qu' impoflibles , n' y „ aiant point d' homme qui foit oblige de faire une infi- „ nite de pas pour faire une lieiie, ni dont les pas puif- ., fent devenir de dix fois en dix fois plus petits a 1' in- „ fini , il s'en fuit que le raifonnement de Zenon n' eft „ qu'un fophifme &c. Mais me dirat-on peut-etre , vous „ fuppofes que la tortiie puifle faire -f de lieiie , ce qui ,, n' eft pas poffible, puifque pour faire ce -j il faut par- „ courir une progreflion infinie ■£ £ &c, autre fophifme „ aufli puerile que le premier. Si les pas de la tortiie al- ,, loient en diminuant a chaque — de la meme facon que „ ces ;*■ , a la bonne heure, mais comme cette fuppofi- „ tion eft chimerique , il eft tout aufli facile &c. Ainfi tant s'en faut que la determination de la fomme d'une progreflion decroiflante infinie, ou ce qui revient au meme de 1' efpace que cette progreflion devroit par- courir en la continuant a 1' infini , tant s'en faut, dis-je , que cette determination depende du developpement aftuel de tous les termes dont elle eft fufceptible , qu' au con- traire on n'y arriveroit jamais, s'il falloit y parvenir par la voye de ce developement . La Theorie des progreflions n' eft done fondee que fur des principes inconteftablement vrais, que toute grandeur eft divifible a 1' infini par une fuite quelconque de divi- sions, & de foufdivifions en parties fous multiples, que cette fuite , & la progreflion qui en reTulte pouvant con- tinuer a 1' infini, ne peut etre bornee par aucun dernier terme, que dans fon cours indefini elle avance continuel- lement vers la limite ou elle tend , fans pouvoir s' eten- die au dela, qu' en fuppofant enfin par une forte de fiftion , que tous les termes dont la progreflion eft fu- fceptible , fuflent a&uellement developed , 1' alfemblage de tous ces termes ne formeroit que la quantite meme qu'ils 41 qu* ils ontdivifee, 6k qui les a produit par la divifion de fes parties. Mais cette Theorie ne fuppofe rien qui prouve la neceffite d' admetire la poflibilire du developement a£tuel d'une infinite de termes fucceffifs , ou coexiftants places entre le premier terme de la progreflion & zero; en forte que la fuite foit compofee d'un nombre de termes a&uel- lement infini . DERNIERE PREUVE Tirie des methodes a" approximation. J' OCe meme dire qu'un probleme dont la folution dependroit de ce developement aftuel , ou de la pofition d' un terme quelconque infiniment eloigne du premier terme, 6k par confequent infiniment petit, de- viendroit par cela meme impoflible. La methode des ap- proximations a 1* infini de la racine quarree d'un nom- bre qui n' eft pas quarre parfait , en fournit un exemple ftappant , 6k fera une nouvelle preuve de L' inipoffibilite d'une fuite compofee d'un nombre de termes acluellement infini . II eft demontre, que fi un nombre n'eft pas un quarre parfait , on ne fauroit en tirer la racine exa£te en nom- bres entiers ou rompus . II eft encore demontre que par une fuite infinie de fractions, comme ^ . ^ 6kc. emplo- iees fuivant des methodes conniies , on peut approcher a 1' infini de la racine cherchee , de forte qu' en conti- nuant 1' operation , 1' on trouvera toujours une valeur fi approchante de la racine exafte , que la difference (oit moindre qu' aucune quantite donnee , quelque petite qu' elle foit . f Cela 41 Cela fuppofe fl cette fuite de fractions pouvoit arriver a l'infini abfolu,. c' eft a dire a un terme infiniment i\o[- gne du premier , & dont le denominateur fut infiniment grand , la difference entre la valour trouvee par cette ap- proximation infinie, & celle de la racine cherchee devien- droit infiniment petite, & s'evanouiroit enfin . Done Ton pourroit parvenir a la valeur exafte de la racine cher- chee . Or les Geometres demontrent que cette valeur exa£te eft reellement impoffible , il s'en fuit que route fuppofition au moyen de laquelle on y arriveroit , doit etre cenfee impoffible. Mais la fuppofition d'une fuite de fractions pouffee jufqu' a 1' infini abfolu , donncroit cette valeur . Done une telle fuppofition repugne . Et par con- sequent 1' impoffibilite abfoliie de trouver une valeur exa&e de la racine en queftion , prouve 1' impoffibilite de toute fraction dont le denominateur feroit infiniment grand . Ces reflexions me paroiffent prefenter le denouement d' un paradoxe apparent . S' agit-il de trouver une gran- deur determinee par 1'evaluation d'une progreffion de- croiffante infinie, le calcul la donne exa&ement. S' agit-il de trouver une grandeur determinee par le moyen d'une approximation infinie, le calcul ne la peut donner avec exactitude . C eft que dans le premier cas , le calcul ne fuppofe point que la progreffion puiffe jamais recevoir tous les termes dont elle eft fufceptible . Une grandeur donnee eft le premier terme de cette progreffion . Cette grandeur eft dtvifible a 1' infini par une fuite de divifions & de foufdivifions en une raifon quelconque donne'e ; & les parties qui naiffent de ces divifions font les termes de la progreffion . Cette meme grandeur rc-prefente ainfi tous les antecedents qu'elle pourroit faire eclorre par une fuite infinie de divifions. Mais il n' eft aucunement ne- ceffaire de s' embaraffer dans toute la fuite de cette pro- 43 progreflion . La grandeur donnee qui reprefente la fom- me de tous les antecedents , fait connoitre auflitot une autre grandeur determinee qui par une fuite de divifions dans la meme raifon feroit eciorre une fuite proportio- nelle de termes confequents. Le rapport qui regne dans la progreflion fait ainfi connoitre la grandeur qui repre- fenre tous les confequents par la grandeur qui reprefente tous les antecedents . Mais la determination de la valeur exa&e d'une racine cherch.ee par voye d' approximation fuppcferoit que le cours de la progreflion fut epuile , 5c dependroit de la pofition a&uelle d'un terme quelconque infiniment eloigne du premier. Or puifque la progreflio.i pouvant aller a l'inriiu fans aucune borne qui la limite, on pourra toujours avan- cer de plus en plus vers le terme cherche ; mais comme elle ne peut jamais etre entierement epuifee , 1' approxi- mation a l'infini ne peut non plus en donner la valeur exaCte . On voit ainfi que les refultars du calcul font par- faitement conformes a la nature des choles. 11 ne feroit peuretre pas impoflible de faire 1' appli- cation de ce principe a la rectification des courbes. Dans la rectification de la Cicloide, par exemple , 1' integrate qui exprime la valeur de l'arc, prefente un rapport de- termine a la corde correfpondante du cercle generateur j rapport qui fait connoitre que la demi cicloide eft dou- ble du diam£tre. Dans d' autres courbes oil 1' expreflion de 1' integrate donne un quantite dont la valeur exafte n' eft pas d' abord determinee par un rapport fini a une quantite finie , mais qu' on ne peut trouver que par le moyen des fuites infinies, la rectification devient impofli- ble . La determination exacle d'un arc de courbe ne de- pend done point de la fomme d' une infinite de differen- ces ajoutees I' une a 1' autre. La differentielle de l'arc de la courbe confideree comme cote d'un triangle infiniment pe- 44 petit , fert a faire connoitre en vertu de la reflemblance de ce petit ttiangle a un triangle donne , le rapport de pofition qui fe trouve en quelque point que ce fbit , en- tre la courbe , & une ligne donnee . De la le calcul in- tegral tire une valeur de 1' arc exprimee par ies memes fignes qui expriment les autres variables. Si 1' expreflion de cette valeur eft telle qu'elle renferme un rapport fini a une de ces variables , on a par le moyen de ce rap- port la rectification exafte de la courbe . Mais lorfque la determination de la valeur depend du developement d' une fuite infinie , & qu' on ne peut 1' avoir qu' en fup- pofant cette fuite parveniie a un dernier terme ; elle de- vient impoffible, & prouve par cela meme que dans une fuite quelconque le developement acluel ne peut jamais s'etendre autant que le developement poffible, que ce qui refte a parcourir va toujours indefiniment au dela de ce qui a pu etre aftuellement parcouru ; & qu' ainfi une fuite infinie en puiflance ne peut jamais recevoir fon en- tier complement , ni parvenir par confequent a 1' infini abfolu . On n' eluderoit point la force des preuves que je viens d' expofer en refufant le nom de nombre a un af- femblage abfolument infini d' unites . Quelque nom qu'on veuille lui donner , il eft clair que dans cet aflemblage l'efprit pourra toujours fixer a volonte un premier terme quelconque , & pafler fans interruption de 1' un a 1' autre en fuivant la progreflion naturelle , fans que rien puifle la borner . Done s' il exifte un aflemblage de termes ab- folument infini, il faudra toujours reconnoitre qu'il y a un point dans cet aflemblage ou du fini 1' on pafle a P infini. Done fi un tel paflage implique contradiction, comme on a ladie" de le faire voir, il faut conclure que tout aflemblage compnfe d'une infinite abfoliie de termes eft reellement impoffible , quelque nom qu' on lui donne ou 45 qu' on lui refufe . Done toute hipotefe qui tendroit a e^ablir une multiplicity attuellement infinie de termes, ou de parties diltin&es devra etre cenfee par cela meme im- poflible . Principe dont les confequences peuvent etre de de quelque ufage dans la Philofophie . Je dois enfin avertir que 1'impoiTibilite de l'infini acluel dans la grandeur, ou dans la quantite foit difcrete , foit continue, n'exclut aucunement 1' idee de 1'infini abfolu , en rant qu'attribut de 1' etre fans reftriclion. Les Ecrivains les plus exacls out toujours eu foin de diftinguer V in- fini metaphyfique de l'infini mathematique . M. de Fon- tenelle lui meme reconnoit que l'infini metaphifique, dont il dit que nous avons naturellement l'idee, ne peut s'ap- pliquer ni aux nombres, ni a l'etendue. C'eft de l'idee meme de cet infini confidere de la maniere la plus ab- ftraite que derive en quelque forte la puiflance que nous avons d'augmenter par la penfee la grandeur a l'in- fini, en ajoutant unite a unite; de forte qu' il efi toujours vrai de dire que 1' infini en puilTance fuppofe 1' infini en acle , ainfi que je 1' ay dit ailleurs. Mais ce feroit fortir des bomes de ce memoire, que d'entrer dans des difcuf- fions purement metaphyfiques. AL« ALGEBRA PHILOSOPHIC^ IN USUM ARTIS INVENIENDI SPECIMEN PRIMUM LUDOVICI RICHER I. TABULA CHARACTERISTICS Technico-Philofophice interpretata . C) TMpoflibile, contradiclorium , impoflibilitas , con- JL tradiftio . O Poffibile, poffibilitas, mera non contradi&io V Aliquid, res, realitas late di£ta . O Nihil , negativum , merum , negatio ftri&e difta 47 <-C affirmative, pofitive pofiriva S -4 Determinatum Determinatio '.-) negative negative <_ CD Indeterminatum r i CD pofitiie pofitiva CD-< Determinabile Detetminabilitas L q 3 negative negativa (23 In-Jeterminabile rCO pofitive CD -\ Neceflarium Neceffitas Leo negative q q Contingens Contingentia rS' pofitive pofitiva S -4 Mutabile Mutabilitas L S negative negativa S Iramutabile Iramutabilitas $. I. $. I. & (^) ImpoJJibile , contradictor ium , repugnans CI non CI vel O PoJfiUle, ejfe potejl , non implicat Impojjibilitas , contradiclio , repugnantia In abftra&o Idem in aliis Pojfibilitas , mere non contradiclio & & o Quod fpe&atur, ut effe , non effe — Quod eft non eft vel vel O §. I I. Non (--} f} obfervatione dari & conftat . Tantum O O experientia O o Hinc effe non poteft O o $. ML f) nee nee H Nihilum , negativum , merum, Hinc eft, non eft (i) confers. 4. eft , non eft . datur . « $. * Quodlibet vel Tantum {j * $. I V. non S determinatum , determinatio a non a vel viceverfa (r) vel C 0 indeterminatum, non determinatum. CI , Q affirmative , pojitive S ad Determinatum Non 0 , ^ negative , negatio late $. v. o s & c Hinc O qua eft irSum.$. C,D CD s. v I. C,C eft, eft Hinc Quod §. i. Quod 3 ,D non eft , non eft. g $. VI. (i) Q. Bulfing. in dilucid. Wolf. §. 8i. Waller Nic. hie. * la arte hac philofophandi naturali , fimpliciffimaque via univerfaliffima & inconcufTa lcientiarum humanarum fundamenta ex quotidianis, & lucidis o,bfervationibus , & experientiis dedufta , & nunquam fatis expcnfa ad minima , & irrefolubilia elementa reducuntur , & in populares velut , communefque notiores fcientifica; cognitionis primitivas , & direclriccs refolvuntur mira determinationis , & connexions finiplicitate , & f CD Indeterminabde.Q^ C , CD pojitive C 3 ad Determinabile «sum j. 4. D , CD negative $. VIII. Hinc O licet CD eft tamen CD vel CD $. IX. (3) Carpovius de Iingu.e perfe&ione ubi de effentialibus in vicaria mutandis &c. * In hac , utpote architeftonica , velut per calculum qualitarum proprio marfe inveniuntur veritates in philofophia non minus pura , quam in aJiis fcien- tiis ddplicata . Elementis particularium fcientiarum inftruftus , & arte hac inveniendi generali adjutus multa invcniet , quae ex aliorum fcriptis non fine tasdio , & temporis difpendio alias haurire vix poffet , immo omnibus adhuc ignorata deteget . Non enim folum in mathefi , & fcientiis naturalibus , fed & in extern etiam dtfciplinis novas, eafque illuftres veritates inveniendas Aiperefle fummis viris probatum , prae- fertim indefinita , confufa , incerta radicitus determinando , & conne- ctendo . Hue fpe&ant combinatoriae Leibnitii , algebrce philofophica: Hookii , de dirigendo intelleclu Lokii , medicina mentis Tschirnhaufen, Cramer de J. Confulto Inventore cum Wolf, epift. gratulat. Wolf, ethic. §. 360. $. I X. non CO necejfarium , necefiltas non CD, CDvelv" (4) CD C D vel C 0 contingent , contingentia vel C D C J o (V) vel (lad ad characUrifticee combinations praecifionem CO D §. X. COO O CO Hinc CD , CO C3»rE«>.«.s. feu O qua eft CO s C,D co §. X I. CD S mutabile S ad C D vel viceverfa CD S immutabile mutabilitas . O CD Hinc ex C D. S g immutabilitas CD (; ^ g 2 S' (4) NeceiTarium unico modo determinabile , unico modo poffibile . Unicitas determinabiliratis rationem formalem neceiTitatis conftituit, non vero immutabilitas fecundum Scholaflicos . Hinc ejus oppofitum eft impoffi- bile , & aliter fe habere non potell . Notiones utique vers , non vero primitive derinitiones . Necefliras nullam determinationem fupponit , & poflibilis ut indeterminati determinabilitatem determmat . Hinc necefla- rium eft determinate determinabile : immutabilitas vero determinatio- nem antecedentem fupponit , & an ulterius determinabile fit , nee ne definit. Extra fyftema yen nominis facile, & circulum committere , St dcrivatioacs omittcre . S* pojitive D C S vel mutabile fi ab ad i> negative C D $. X I I. o s . Hinc O qua eft . S- C53 S & 'S' arsum. J.J. ad 5. ift cit. •s §. XIII. CO s Hinc eft ' & vicevetfa &c. CO S SCIA- En perfefts analyfeos exemplum , ex quo intimius fcrutanti patebit , quo- moao cujuslibet dati principii refolutio , & reduftio fit infhtuenda fim- pliciflima connexionis via, & quomodo methodus natun cum methodo mathematicorum di£ta peifefte fociari poflit : in vera namque , naturali, & non interrupta ventatum concatenatione unum , idemque funt : fub- tiliori philofophice pcrvidendi abltrada in concretis minus attender.tes tenuitatis , inutilitanfque caufl'abuntur fpeculationum praecipue lllarum, quae neque proxime in naturalibus , neque in civilibus ufum fint habi- turas : tantum tamen abell , ut naturam, lubti'iiate fpeculationum, maxi- me etiam fubliinium artiticiorum magiftn fuperent, ut in quamplurimis ne adfrquantur quidem . Infiniti cafus funt , in quibus nondum eo pro1- greffi fuinus meditando , quo natu a praeivit , & ufus fequitur etiam civilis . Liceat ergo haec faltem fpei , &. voluptatis giatia adjungere . SCIAGRAPHIA. 53 o r-CD CD-< —CD r- CO L_ r~coi CD 1 "-co --CD L_C0 O 4 ^ss *- .— ~ i .js' o c ex fubfequentium unione primitiva, velut effentialia CD D U ,&o generahterabftrahendo,& veluti vicaria^O,& Q-) S, & CD ex refolutione to CD, analogice . O C CD,ergovel , Sverovel refolviturfimplicicombinatione CD M s CD CD O CD vicaria to ex CD fumta. Combinatio cum S; hinc O o O CD CD C C D ergo vel ex analyfi ad S vel CD D CO , non q 3 ex O S feu ex CD C D . Hinc CO CO vel CO S CD O ex S quod fupponitur, fi ad oppofitura S 2 S CO CD S; quare vel , fi S S D En ergo (73 , CD j CD vel CD , vel S; S vero vel C, vel D Combinando CD cum S enafcitur CD & vel CD, vel CD Determinando CD CD oritur CD , dein £.3 Determinatum vero fi ad oppofitum CD , S j S- C fi non S; S vel ex $ ■S D Hue Hue apprimt faciunt, (June ad §. {i.Ontol- latina annotavit PhilofopKus fum- mus Chrift. Wolmus . Conqueftus eft Leibnitius de tencbris philolophiac pnm« . conqu^runtur de lifdem vulgo tantum non omnes ; & Leibni- tius quidem jam monutt in Philofophia prima ( urpote archite&onica ) magis luce, ac certitudine opus iffe, quam in Mathematicis ; arque ideo fingulartm quandam proponendi ratwn:m neceflariam jnt.li, ai it , cuius op.- non minus , quam euclidea methodo ad calculi injlar quaeftiones refolvantur .... Sed fmgularis ilia proponendi ratio .nodus eft , quem nemo Philofi pborum luftenus tolvit, nee quomodo folvi debeat Leibni- tius innuit , n.'dum decuit . Nulli tamen dubitamus quod beneficio fu- pradiftae anah f o> , & reduflioms combinatorial nodum iftum fimplicifli- ma , & univerfaliflima ratione folverimus . De arte combinandi vetcrum multi multa dixcrunt , & eas explicate , ampliare , fupplerc tentarunt . Ingeniofi utique multum habent in fuis circulis , ciltulis , lampadibus combinatoriis , & in variis combinationum artificiis ; aft determinationem , & derivationem merito defideres turn in notionibus , turn in iignis ; hinc eorum charafteriftica notionibus confufis , & minus determinatis fuperftru&a, & (ignis non ciTentialiter derivativis , fed arbitrariis confecla , & turn pantolpphicis , turn panto- metricis principiis exintima notionum natura deductis ad combinations determinandas deftituta tanquam inutilis f'uit neglccla . Defectum con- nexionis combinationum confute agnovernnt nonnulli ; aft verae com- binatoriae universalis fundamenta ignorarunt , ideft notionum maxima univerfalium analyfim , & redu&ionem ad primitiva , & fimpliciflima . Igquigrdo in fua Pharo in hanc rem notat „ quod non advertunt com- binationum ex datis terminis poflibilium multas debere rejici tanquam inutiles in ordine ad faciendam fcientiam ; utpote quotum extrtma , neque connexionem inter fe , neque oppofitionem, neque ,aliud aecefli- tudinis genus &c. Acutiftimus recentiorum Leibnit.fundamemum quod tunc jnvenis in fua combinatoria ( edita annis 1615., & 1668.) quam perficere non potuerat^.neglexit , poftea in aftis lipfienfibus ad jnnujn 1694. indicavit , quod jam olim pervidit Ariftotele< categoriarum com- binationem innuens : tametfi enim applaufu non vulgaii eruditorum fuerit exceptus (ars combinatoria) & novas complures meditationes non pcemtendas , quibus femina art is inveniendi fparguntur , contineat; atque inter caeteras palmariam illam de analyfi cozitaiionum humanarum in alphtbctum quafi quondam ( non chronologicum , fed genealogicum J notionum prim'uivarum , judicat tamen non fatis elTo Iimatum &c. aft. erudit. lipf. ad an. 1491.; poftea vero in iifdem aclis ad annum 1694. de philolophiae primae emendatione agens haec innuit; itaque ptculiaris quaedam proponendi ratio neceftaria elk , & tanquam filum in labyrin- tho, cujas ope non minus quam euclidea methodo ad calculi injlar quaeftiones refolvantur , fervata nihiiominus clatitate , qui nee popula- nbus fermonibus quidpiam concedat . Ex his analyfim philofophicam inftituenti patebit, quaenam fit vera; algebra; philofopliicae notio , dignitas , & ufus , tanquam Kuhlmani m:thodica centralis , a qua caeterae omnes pendent , & iterum in matrem fuam fe fills refolvunt ; eft namque haec ars invenier.di quacdam univerfaliftima turn Philofophorum , turn Mathematicorum aualyfim fub fe comprehen- dens , ut merito /Etiofophia , & Philofophia prmceps , 6k architefloni- ca fit falutand* . Nihil enim aliud funt caitera: fcientias , quam jtihio- fo« 5* §. XIV. Ex antecedentibus conftat de tranfitione. O S O qua effe C, CO C,D CD & O < d, o co s CD vero < Hinc " CO s s c S autem <* five fit S D CO S s ex pnncipio o & * effe velut per fe q CO S CD, CD vero < 3 Hinc pro veritatibus CO quaerendum aliud principium ( ^LU connexionis ) rationis , conveniently , rationis Jufficientis &c. fophia chara&eri ftica vel immediate, vel mediate adplicata , quod per- fpicacioribus , & intdleftu fyftematico pnditis non eft paradoxum, licet difficillimum ; hinc tentandum mutuis auxiliis quid ferant humeri , quid ferre recufent. Qui vero de his, live ex fenlu proprio praeoccu- pato , five ex turba au&oritatum ftatuere , aut cxiftimare velit , ne id fe in tranlitu facere pofTe fperet , fed tit rem pernofcat , viam noftram paullatim tentet, fnbtilitali rerum paullatim afTuefcat , denique minus reftos , atque alte haeremes mentis habitus tempeftiva , & quad legitima mora corrigat , & turn demum ( fi placuerit ) poftquam in poteftate fua effc cccperit judicio fuo utatur . Hiice fere Verulam. .57 £V) 5 finitur in principio C) Analyfis enim veritatum & * C O S in fe velut infinita Niti ad ens, 0? omnimode S, C, CO, S ipfius principii sJiJ alpha , & omega recurratur . » $. x V. tf Ratio Caujfa , unde aliquid latiffime eft vel intelligitur. Xj Rationatum Caufatum, quod ex aliquo #„ §. XVI. funt UD connexa, ordinata Quae inter fe ut \Jf & Xj non funt frj} inconnexa , confufa * Hinc acute Leibnitius veritates CO numeris rationalibus Mathemaricornm, C' O e contra irrationalibus, furdis comparandas efie affirmabat, io quibus nifi ad fimplicem primitivam unitafem recurratur , approxima- tione licet in refpeiliva unitate velut in infinitum producta , incommen- furabilitas femper manet ; cujuslibet enim data; quantitatis, — five nu- meri unitas (implex eft menfura adajquata , non vero quaelibet alia quantitas , feu numerus loco unitatis allumtus &c. * * Quomodocumque tandem fit . Notiones hse antiquiflimis , & fcholafticis communes; dividebant enim caufiam in genere in fiendi , elTendi , & cognofcendi , & nihil ipfis erat fine (V analytica. Ex his derivandae, & determinanda; innumerx notiones pri-cipii , & principiati; prtmitivi, & d^-rivativi , originis, fundamenti, adjnncVi , depcndentis , potent:* aCtiva , & palGva; , feu iacultatis, rcceptiviutis tkc. 5* M » a UU cum ' >TJ/ contatenatio UUi U TA- Hue fpeftant qua de nexu , ordine , hatmonia , & mufica latius difla paflim apud antiquos licet indeterminate latis ptoponuntur bonum in fenfum , & ufum convertenda; apprimeenim obfervandum neceflitatem V^ in* ferri non po(Te er eo quod neceflario dari debeat aliquaiV. Aliud eft i (Jj elTe neceflarium ; aliud eft necertario concipiendam effe iT aliquaui, quae cum fit CO , vel C 0 > ex.nde ^ erit CO , vel Q /); hinc vel S, vel § TABULA, ET RATIO CHARACTERISTICS • V Ratio , Caufa. latiiTime primitiva ex U Xj Rationa my Caujatum UL> Connexa \j & $ derivativa ex ffl^ Inconnexa inveifione "^ Connexio caufarum ^y >Xj concatenate. Derlvataex Ui^ Xj Connexio caufatorum Xj 3 fui J s c co s UiJ -< < < <■ &c. U u CD J q.j S §. XVII. & Quodlibet & eft , ideft ?J Hinc Sciagraphiam generalem, & combinationes principaliores fpeciminis ergo indi- camus; caneras iifdem infiftens principiis quifquis inveniet , & non fine voluptate fimpliciflimam fcecunditatem experietur, quemadmodum ex fe- cundo fpecimine conftabit , ubi , Deo dante , algebra; philofophica: theo- riam omnem , & ejus adplicationcs tentabimus , 8t turn demum ^Y $. xvm. Omnia in mundo efle \1U , ^J* , ordinata , harmonica , & nullam dari infulam philofophicam paflirn apud Philofophos turn veteres , turn re- centiores, notione connexionis in latiflima fignificatione fumta . Nota funt Ciceronis , Sancti Auguftini , Scholafticorum verba; cum vero paflim a fcholafticis maxime in Phyficis rationes obtruderentur nihil ma- gis quam inintelligibiles ; hinc acutrflimus Cartefius dubitationem m- . troduxit ad iV feu rationes rerum intelligibili modo explicabiles intro- ducendas ; optime namque intellexerat omnia habere rationem conve- nientem, fufficientem fuo moda faltem analogice , & convenienter. Hinc „ nulla res, inquit, exiftit, de qua non poflit quaeri quaenam fit „ caufla cur exiftat; hoc enim de ipfo Deo quaeri poteft , non quod ,, indigeat ulla caufla , ut exiftat , fed quia ipfa ejus naturae immenfitas „ eft caufla propter quam (ratio) nulla caufla indigeat ad exiftendum. Hujus principii diftinclum , Si adaequatum ufum velut de novo propo- fuit , & introduxit Leibnitius Philofophus fammus ; rem poftea confe- cit in variis philofophicis fcriptis Ariftoteles Hallenfis magnus Wolff. Dolendum tamen quod eos fequuti novitatem inventionis , & demon- ftrationem nimium affeftaverint in meram logomachiam , & circulum omnia abitura ; quare perfpicaciflimus Leibnitius axiomatis inftar aflu- mendum elTe contendebat , a Clarkio licet ad demonftrationem prove catus . Non oportet enim in dijciplinabilibus principiit inquirere propttr quid ex fe ipjis enim fidtm habent , non vero tx aliis , tV ex ipjis alia demonflrantur . Ariftot. Hinc patet quid judicandum fit de novis demon- ftrationibusprincipiorum contradiibonis, & rationis fufficientis Straheleri in examin. metaph. Wolff., & in diflert. de exift. Dei, & Hagenii in commen. de method, mathem. Ex analyfi §.14. Duo dari debent, &dantur principia univerfalia cognofcendi, quibus pofitis rerum omnium intelligibilitas ponitur, iifdem fublatis tol- litur. In univerfum tamen obfervandum cautionem in adplicatione adhi- bendam ; praefertim fi turn notioncs , turn propofitiones non fatis de- tcrminentur , & determinate , ac primitive intjer fe eonneftantur Sic. BuJlEnger, in Dilucid. 6i §. XVIII. s & ^, uu Cf< Hinc CD C5 C C C <; Ergo Xj inter & nulla UD 0 3 3 CO S <£ Hinc ' CO S S . CO <; vicevetfa- Hinc S CO S C CO s CO, s Xj< < < <*'. . Idem de UiJ j &e. CO 0 CO s co» 's S. XIX. O Exiftentia?, feu a&ualitatis fignum O O ens poteft O, Quod efle exiftens- O O /K"Z £/" non Pote^ V 6x o s c CD co s u° u»: o< < < < < <: < < O i O O eft O » n repugnat O vel O , O Hinc O interne , & externe S fi eft S quoad O , exiftit CD Eft tamen CD q Quod exiftit & determinatum , & pofitivum eft 3 Involvit o , ens fi&um O Quodliber 0 qua tale eft CO < q 3 Repugnat ut 0 CD > 0 3 CO S S <; Hinc ' Hinc velut in fe CO S CD S CO < '. Quare S CO five fit fit Sj five *S * En combinationischara£teriftic«ecxemplum,cujus refolutio, & ad principaliora reduilio ex antecedcntium connexa combinatione inftituenda fimplicifii- ma, breviffimaque via. Notandum tamen innumeras plurimorum Au- ftorum definitiones , & propofitiones nihil aliud elTe , quam puram pu- tam rerum earundem fub diverfis nominibas vagam , & fteri'.em repe- litionem , quod jam magnis Viris obfervatum & authopfi pr.xfcrtim ex hac arte invenicndi probe patebit. ,J> Ratio eflentta Ci in SS O Xj Rationatum accidentia «J UL> Ordo Veritas Perfeaio . In SS O Hinc Hinc Hinc (ID Confufio Falfitas Impetfe&io. OB- OBSERVATIONS SUR LE COURS DU P6 Avec des. rccherches fur les caufes des changemens, qii il a fouffert . P A R M. CARENA L* Art & la Nature ont egalement eu part aux chan» gemens qui font arrives clans le cours du P6, je me propofe dans ce memoire de fixer la quantite ,, & l'epoque des plus confiderables d' entre eux : j' ofe m3 flatter que ces recherches, pourront paroitre interefiantes , & que les reflexions que j'aurai foin de faire fur les caufes de ces changemens, feront de quelque utilite a 1' avancement de la Geographie Phyfique . i. Polybe compare la Region arrofee par le P6 a un triangle, dont la bafe eft le rivage Adriatique , les Alpes, & les Apennins en font le deux cores . La longueur de la Chaine principale des Alpes depuis le Col de Tende, jufqu' a 1' excremite du Golphe Adriatique eft de 615 mil- Ies ; (a) celle d'une partie des Alpes , & des Apennins de- puis cette Montagne jufqu' a Sinigaglia eft de 315; la bafe enfin , favoir la longueur de la voye Romaine , qui depuis cette Ville conduifoit le long de la Mer Adriatique jufqu' i Triejle , eft de 375 milles . Elle a done 1315 milles de (j)Je fubftitue ces mcfures j cclles que donne le texte aflez fautif de Polybe au Liv. II. Dans tout le cours de ce memoire je fais ufage des anciens milles Romain? tie 7^6 toifes . de circuit. Strabon donne a cetre plaine 2100 ftades ( 161-^- milles) de longueur fur une largeur a peu pres ega- le entre Ancone , & Triefle . II deduit cette dimenfion de celle des cotes du triangle decrit par Polybe , dont elle fait la hauteur . , a. Ceft une loi aifez conftamment obfervee par la Na- ture que les Montagnes qui fe trouvent plus eloigners de la Mer font les plus elevens, & contiennent auffi la four- ce des plus grands fleuves. Celles de laSuifle, des Grifons, & du Vallais font les plus hautes de V Europe , & c' eft audi dans leur partie la plus elevee^ que le Rhone, le Rhint Cv ie. Tefm prennent leur. naifTance . La Chaine des Alpes qui de la s' etend a 1' Ell jufqu' a la Mer Adriatique, & au Sud jufqu' au Golphe de Lion., & qui va toujours en decroiflant a mefure qu' elle approche de la Mer ( a ) , ne fournit 1' origine a aucun autre fleuve, qui (bit auffi confi- derable, que ceux dont nous venons de parler, fi nous en exceptons le P6; mais il eft a remarquer que, quoique le Mont Vifo., dont il prend fa fource foit moins haut que celles, qui font plus avancees dans la meme Chaine, il l'eft cependant beaucoup plus que toutes les autr.es Monta- gnes , qui lui font voiiines (b) ; c eft done .la un cas parti- i culier {a) ScKEUCHZER ( Mtitt. julle Mgru. in lam. iv. fagg, Tranfa^. Filof.) a trouvi par d.s obfervations baromctriques exailes , que la plus granje eleya; tion du M. Adula ou de S. Gothard , & des Montaqnes voifines peut al- ler Ji (400 toifes environ de hauteur .peipendiculaire fur lc niveau da la Mer; & M. Needam a trouvc de m: m: que !e partie de M. Toured fur laquellejl apu fairs fe! obfervations en a \6i]., fans cenfideVer les hauteurs laterales qui font plus elevees ; Le Mont lferan 1181. — ; le Glacier ou le fommet ) Dipl. apud Uchil. Ital. Sacr. in Epifc. Patav. &Crem»n. 8o fe dechargeoit autrefois dans le lac $ Anguillara , ou deFi- ^aiuolo; Elien (a) decrivant la peche des anguilles, qui ie faifoit dans ce lac , nomme le fleuve Homo's (Eretenus). Or a la gauche de ce fleuve il y a °les fameux bains d' Abano : le long du Rhin & du Reno il y a aufli des fources chaudes. Le Rodaune, fleuve qui fe decharge fur la gauche de la Vijlule a trois milles de fon embouchure, & qui par la variation des dialeftes eft appelle Raddune & Red- dune , eft VHftZ&vx , dont on avoit raconri a Herodote, qu'il fe dechargeoit dans la mer feptentrionale- ( b ). II y portoit autrefois fes eaux, 6k on recueille encore en gran- de quantite l'ambre jaune, que la mer rejette fur une lan- gue de terre voifine . Apres qu' on ne trouva plus cette production pres de notre Eridan, lesGrecs,& les Romains enfuite , la tiroient des peuples de ces pais feptentrionaux (e). La Duna, fur laquelle on la chargeoit pour la tran- sporter dans le Boryflhine , oil les Grecs alloient l'ache- ter , etoit aufli appellee Rhudon ( ) Chron. Ferrar. loc. cit. ( (| Sr«Afl. lib. V. (J) 1'kocop. da B.-llo Goth. lib. I. (<■) Chron. Rav. Rer. Ital. If.) Paul. DiaC. Hift. Lang. lib. 3. c, 19. lg ) Chron. Rav. ibid. & Papyi. du fiecle VIII. i la fuite de Yljhria Dipt, du AUffci n. XV. (A) Un pi.-u au-defibus du Village de S. Nicole. Chron. Fer. ibid. Voyei la Carte. ( i ) AgkEL. loc. c. 8> Auteur font au\ ana ens rnilles Romains comme 7. a 8. - Dans les Cartes de 1' Italie , que Magin a compofees au commencement du dernier liecle, il y a environ 9. rnilles Romains anciens entre ces deux endroits ; done le P6 de Primj.ro n' avoit pas prolonge le continent dans ces deux fiecles . (a) Mais depuis ce terns la Mer femble avoir re- gagne dans cet endroit fur le continent; car dans la carte de 1' etat Eeclefiaftique des PP. Bofcovich & le Mai re on ne voir plus la prolongation formee par le Primaro & de/fi- nee dans la Carre du Magin , ni les deux isles , & les deux bancs de fable vis-a-vis de cette embouchure (yoyes la carte). Cette difcuffion fur la longueur du continent confirme la poiition de la Vdle de Spine (v. §. 11.). 25. Selon Priscien Pellegrin (/>) le village de Confan- dclo etoit appelld Caput Sandali , parce que dans cet endroit il fe feparoit de la gauche de 1' Eridan une branche nom- inee Sandalus , qui couloit vers le village, qui porte le nom deS.indalo. Le meme Aureur (c) decrit ailleurs un ancien ca- nal, appelle Fojfi Bo/ia, qui depuis Confandolo portoit tine parti e des eaux du Primaro dans le P6 di Volana a Mede- lane; \yoyes la carte) c etoit 1' ancien lit du Sandalo, qui prit ce nom d' un certein Bvfius , qui le fit nettoyer . II femble (v §. 11.) que ce fut dans le terns de 1' eruption de plutieurs Volcans le long du P6 , qu' il fe divifa en ces deux branches . On a vu que la premiere divifion du P6 fe faifoit a Codrea , dont la branche a la droite etoit 1' Eridan; 1' autre etoit appellee Sagis , felon Pline, qui nomme fon embouchure Sagis Ojlium. II dit que la Olane ^roit la pre- miere des fuivantes , que 1' art avoit creuftes . (d) V eau ayant (a) Rubeus ( Hift. Rav. lib. 5.) qui icrivoit fur la fin du xvi. fiide compte 18 rnilles entie Ravenne & 1' embouchure de Primaro; ce qui reTient au meme . (b) Cite par Alberti Defer. Ital. pag. 392. 6. (c) Rapporte par MuRatoRI Pitna tjpofc. dci dirittl Imp. c.i Efltn/i ec. \d) Lib. 111. c. XVI. 86 ayant abonde dans cette derniere , & prefque manque dans la S.igis , le nom d' OLmc hit donne a la premiere parrie de cette branche, & le nom de Sagis ne lui refta que du lieu de fa diviiion d' avec la Olane jufqu' a la Mer . Ses veftiges font marques clans la Carte de Magin avec le nom de Gorgadello , & felon Cluvier (a) quelque peu d' eau couloit encore de ion terns, c'eft k dire an commence- ment du dernier fiecie, de la Kolane pres du lieu de Ma- rofte . La Table Theodoiienne marque un lieu S.igis , dont la poiition tombe au meme endroit , oil ces deux branches fe divifoient. Polybe (b) ne fait mention d' aucune autre branche du Po que de la Padufa , (c' ell le norn qu' il donne a 1' Eridan , le long duquel s' etendoit au Sud la Padufa Palus des anciens ) , & de 1* O.ine parcequ' elles etoient de ion terns les plus coniiderables. La branche qui ie diviie a la droite de Ferrare n' exifta que depuis le com- mencement du iiecle viu. de 1' Ere vulgaire: les Ravenniens la creuferent pour fe defendre de leurs ennemis, & la nom* merent Fo[]'a, & Padus Fojjlc (c) ; aujourd'hui on 1' appelle P6 di Ferrara , ou P6 mono a caufe du peu d' eau qui y coule (wyieure & celles du Levant (<»}. Ce Port etoit fi vafte que du terns d' Auguste 250 Galeres y de- meu- (a) Sept des ftades de Procope , & des Aureurs du bai Empire , t'ont le mille. V. 1' Analyfe de V Italic de M. d' Anvill* . {l>) Les anciens , felon Vcgece I' etendoient pour les troupes jufqu' a 24. milles. (c) Procop. de bello Goth. lib. 1. () Rvb. Hift. Ray. I dis que le P6 prolongeoit le continent d'uu cdre, les fleu- ves le prolongeoient de 1' autre, & rempliflbient de limorc le long Golphe compris entre les bords du P6 ainfi pro- longed , & cette ancienne cote , le long de laquelle ils avoient leurs embouchures. Le Santerno, -qui en ell un des plus confiderables , parvint a former line langue de terrc juftju' a Y Eridartj avec lequel il conflua, en coupant en deux ce Golphe , dont la partie , qui tut enclavee dans le continent, eft le lieu le plus bas des marais entre ce fleuve, & le Reno , qui empechent les rivieres de la Legation de Bologne de fe decharger dans le lit du P6 de Primaro ele- ve de plus en plus fur ces marais par Le limon , que le fleuve depofa dans le cours de tant de fiecles. L' autre par- tie du Golphe fut aufli feparee de la Mer par le limon des branches Mejfanicus , & Paderenus, qui prolongerent le con- tinent }ufqu'a Ravenne, tandis, que de i' autre cote les isles- fur lefquelles cette Ville etoit batie y etoient jointes de la maniere qu' on a vu au §. precedent . Le Meffanicus ayant eleve fonlit, repandoit les eaux dans les marais a fa droite, qui en prirent le nom de Padufa ; Auguste le fit creufer de nouveau pour le rendre navigable jufqu' a Ravenne. Le Paderaius , dont 1' embouchure eft celle que Pline appelle Vatreni ojlium, parvint a fe joindre vers le fiecle iv. a ce canal d'Ai/GUSTE au dela de Ravenne. II s'en detacha dans la fuite une branche , qui par la nouveautee de fon cours fut appelle Padus Juveniacus : des chartres du x. fiecle en font deja mention : c' eft la partie inferieure du P6 de Pri' maro. Mais enfin les rivieres depuis le Santemo jufqu' au Mon- tone ayant rempli de limon ces marais, ne trouverent pas de reTiftence a s' ouvrir plufieurs embochures dans la Merj car la Fojfa Augujla comblee de limon n' etoit plus navi- gable des le fiecle vi. , & la voye Romaine , qui lui fer- voit de digue, etoit peu-a-peu enfevehe fbus Je fol, qu* il rehauiToit . 30. 9» 3 o. Les autres foit branches da P6 , foit canaux depuis la branche Sagis , fiirent creuftes par les Tyrrheniens , qui detournerent le gros des eaux du fleuve dans les marais d' Adria appellee Septem Maria (vqyes la carte), (a) Apres la branche VoLine il y avoir quelques embouchures, que Pline appelle O/lia plena . Le lieu de Co-di-goro prit ion ancien nom de Caput Gauii, d'une branche qui fe de'tachoit de la Volane avec le nom de Gaums fluvius ; II femble qu'elle air ete appellee anciennemenr. Neronia Fojfa (b) , car la Table Theodofienne a qusrre milles de Sacis marque Nero- ma: la pofition de Comiculani, qu'elle marque a fix milles en deca d'Ariano rombe au paiTage du Gaurus . A fix milles de Co di-goro il y a le Village de Me^o-Goro, ainfi appelle par- ceque quand on le batit, il etoit a egale diftance entre le commencement du Goro , & fon embouchure . Cette bran- che a d fort prolonge le continent, qu'elle a aujourd'hui le double de cours . S.ir la fin du xvi. fiecle le Due Al- PHONSE il. de Ferrare fit batir au rivage de la Mer la mai- fon de Plaifance appellee la Mefola: (c) aujourd'hui elle en eft eloignee de huit milles ; mais 1' eau a prefque manque dans cette branche . Le P6 d' Ariano & les branches fui- ▼antes font nouvelles. Celle que Pline appelle Carbonaria, eft la braitahe qui coule du Village de Corbola , ou les di- ftances marquees dans la Table Theodofienne portent la rnanfion ad vn. Maria; cette branche avec la Fojfa Pkiliftina, & le flevue Tartaro prolongerent beaucoup le continent, Sc y enclaverent les Isles formees par une chaine decollines, & entr' autres celle , oil eft bSti Lorto , Lauretum , qu' on trouve des le vrr. fiecle dans le nombre des lieux , qui dans les lacunes ce Vinife avoient e'ehappe a la domination des m x. Lan» ia) Pun. lib. 111. c. XVI. t) Creufee peut etre par ordre de Y Empereur Claudius NtRON qui a foo retour de la conqucte de la Grande Brctagne •' tmbarqua fur 1* P4 • V. Dion. Cass. lib. 60. & PtiK. ibid. (<} Rub, HiA. Rav. lib. vi. 91 Langobards . Pline park du c&ebre Port d' Airli , dont les Tyrrheniens , fondateurs de cetteVille, fe fervoient pour raire fur la Mer fuperieure un commerce fi grand , qu'elle en prit foil nom d1 'Atriatique, change depuis en celui AAdria- tique . Pres de cette Ville , qui vit peu-a-peu s' enlever la Mer &c le commerce, il y a vers le Sud un petit marais, ifole, (a) qui femble avoir ete ce fameux Port comble par le limon , qui en eloigna la Mer de treize milles . 31. La Foffa Philifiina, dont le nom indique une des Na- tions Pheniciennes , qui compofoient la Nation conniie par les Grecs tous le nom de Tyrfeni, fiit creufee par ce Peu- ple , pour enlever , a ce qu' il femble, aux ThelTaliens de Spine , avec 1' eau de trois anciennes branches du P6 , le commerce , & la defenfe natureile qu'ils trouvoient au mi- lieu des eaux. Ce qui leur reuiTn: & les Theflaliens furent contraints de fe retirer dans la Grece . (b) Ce canal con- duifoit 1' eau du P6 julqu' a Adria ; Priscien en decrit les veftiges depuis Cajielnuovoy oil il fe detachoit du Po, jufqu' a Cerignano , & Me^ana , (c) oil le fleuve Tartaro y meloit fes eaux pour deboucher dans la Mer (voyes la* carte) . Mais dans le terns des Romains les eaux couloient de nouveau en abbondance dans la Volana , & dans 1' Eri- dan ; foit qu' lis eulTent regie* la diftribution entre ce deux branches, & la Foffa Filifiina, a fin qu' elles fufTent toutes navigables; foit que le P6 pour avoir coule du terns des Tyrrheniens trois, ou quatre fiecles en plus grande abondance dans cette dernieVe, en eut eleve le lit, & di- ftribue de nouveau une plus grande quantite de fes eaux dans le deux premieres ; car du tems de Polybe l'embou- chure Olane formoit un Port des plus furs de la Mer Adria- tiaue , & 1' embouchure Spinetiqae du tems de Pline en for- xnqit (a) V. Curia dtl Polcjint di Rovigo del BoNlFAZIO . tfr) DloNYS H..L.C lib. 1. brRAB. lib. V. (f) \. Alberti pag. 352. b. 93 moit un d'aflez grande capacite ; I' Empereur Claude de- fcendit fur un grand navire dans 1'Adriatique par cette brau- che ; & au iv. fiecle les troupes Romaines embarqudes «t O/liglia defcendoient encore par cette branche & par la Foffa Augujla jufqu' a Ravenne (a). Depuis ie terns des Romains l'eau alia en decroiiTant dans la Foffa Philip, ina , qu'on trouve encore defignee comme le confin de plufieurs campagnes dans quelques chartres avec le nom de PeUJlina, ou Pelejlrina; & elle eefia d' y couler du Po depuis le xi i fiecle ; (es veftiges conferyent le nom de Piflrina. 32. La direction de ces branches du P6 fait voir que la partie de la plaine , ou couloient le Sagis & 1' Eridan , & qui en 6toit au commencement la plus inclinee , du terns des Tyrrhenians avoit deja ete elev£ par le limon au-deffus de cette partie , qui ell a la gauclie du cours de la pre- miere ; ce qui eft aufli prouve par la direction du cours de 1' eau dans cette fuite de canaux creufez par les Ro- main , fur lefquels, felon Pline , on navigeoit de Ravenne jufqu'a Altino; l'Itine>aire d' Amonin marquoit aux troupes Romaines cette navigation (Z>) , que Cassiodore decrit dans une lettre aux Tribuns de la marine de la Province V-enetia. Ces canaux etoient fort-importans dans ces terns antetieurs a 1' invention de la bouffole , dans lefquels on craignoit de perdre de vue les cotes : dans les mois ora- geux on navigeoit en grande furete fur ces canaux ( c ) ; il auroit ete fort dangereux de coroyer le rivage de la mer aux embouchures du P6 , a caufe du courans & des bancs de fable , qui varioient beaucoup , & qu'on ne con- noiffoit pas trop. Entre /' Eridan & hVolane (yoye^ la Carte) continuoit la Fojfa Augujla pres d'un lieu de merae nom , & [a) Tab. Theod. fegm. IV. edit. Vindob. 1753. fi) Ravtnta: Indt nav}gantur ftpttm maria Altinum ufqut. [c) Cunt vtniis Jttvie/itiOus mare futrit claujum , via votis panditur ptr amanifli- ma fluviorum (ft. Cassiod. Va[. lib. XII. ep. 14. 94 & l'eau y couloit de la Volane ; car telle etoit la dire- ction d' un rivus Baderinus ( a) . Le lit de cette branche £coit done alors plus eleve que celui de YEridan. L'eau de la Fojfa Ncronia couloit de 1' autre cote de la Volana juf- que dans la Foffa Philiflina , & la pente du fol continuott rneme au-dela de 1' Adige ; car Pline affure ,. que le P6 meloit Ces eaux avec celles de 1' Adige , du Togifonus & des deux Midozci ( b ) . Ce qui arrivoit au moyen du canal appelle Silvus longus ( c ) , qui depuis Ariano les con- duifot par Corbola dans le Tartaror & dela traverfoit X Adi- ge a Caput Aggeris ( Cavar^ere ) , & apres avoir recu le fleuve Togifonus (d), une partie de feseaux debouchant dans les Lagunes de Venife, avoit ouvert la langue de terre op- pofee & forme le Port de Brondolo (e), T autre partie con- tinuoit fon cours dans la Fojfa CLodia , a laquelle venoit fe joindre un canal , qui conduifoit une partie de 1' eau du Medoacus major (/a Brenta) , & du Medoacus minor (/") : ces eaux avoient rompu la meme langue , & forme 1' ou- verture qu'on appelle Porto di Chioggia. 33. Le limon depofe par ces branches & canaux , pro- duifit une grande inegalite d'c51evation dans le fol , donts'en- fuivirent des grands changemens dans leurs cours. Dans la partie de la plaine compnfe entre la Volane & la Fojfa Phi- lijiina, qui fe trouva par cette raifon moins elevee que le lit de ces deux branches , il s'en forma une nouvelle , qui aujourd'hui eft la plus abondante de tomes . Environ 1' an 1150. les habitans des lieu voifins de Ruina , envieux de la profperite , dont jotiiffoient les cultivateurs de fon terri- toire («) Dipl. an. 1013. in Append. Dlftfa idla. 5. Sede ptr Comttchlo. ( b ) Hit ft padus mifect , ae per hat effundnur : 1. cit. (c) Chron. Ferrar. 1. c. ( d ) Cc fleuvc , qui avoit fa fource dans le territoire de PaJoue pre! de« baini d' Aiar.o , a change de cours & de nom. (e) Pun. ibid. V. la Carte du Padouan de Magin. if) Les Padouans en ont beaucoup change le cours ; entre I'tdoue & Pitve 4i Satie , »n l'appelle Fiumifille. V. Mabih ibid. - - 9J toire tres-rertile , couperent au-dciius de cec endroit la rive gauche du Po, qui fubraergea cette campagne , & fit des grands ravages en s'ouvrant une iifue dans la mer ; enfin les Ferrarois avec bien de travail firent des digues tout le long de ton cours , &: il fe creufa (on lit. On appella cette branche la Rotta di Ficarolo {a). Des le x i v fiecle les eaux y couloient en telle abondance , qu'elles egaloient chiles des deux autres branches Volana , & Ptimaro ( b ) ; de nos tems la plus grandes partie des eaux du Po coule dans la dire branche , qu'on appelle par cette raifon le Po grande $ elle changea fonvent fes embouchures , qui produi- lirent une telle prolongation de continent , que fuivant la Carte des PP. Boscovich & le Maire, il y a aujourd'hui 1 7. milles de diftance entre Ariano & la partie la plus avancee du rivage voiftn. VAdige dans la derniere partie de fon cours, c'eft-a-dire apres s'etre dirige vers 1'Eft, re- haufle de meme be.aucoup fon lit : dela ces changemens dc lit , qu' il a fait entre la Badia de Vangadi^a & Cavarjere ( voye^ la Carte ) , & les frequentes ruptures qu' il fait a fes rives (c). Ce rehauflement de fol a empeche" la Rotta ii Ficarolo de couler dans le lit de ce fleuve , qui eft au- jourd'hui plus eleve , que la branche du Po delle Fornaci k Anconetta ; car de cet endroit on remonte a force de che- vaux le canal de Lofedo , qui eft aflez rapide ( d) ; les eaux de VAdige -coulent aufli dans le Tartaro par le canal qu'on appelle Scortico , & celle du Tartaro dans le Po par la Fojfa Polifella (e). Ces canaux , felon Priscien , furent creufes pour decharger au moyen d'une partie de 1' eau de VAdi- (a) Alierti pag. 345. b. (ij Chron. Fcrrar. 1. cif. ( c ) Cette branche qu'on appelle VAdigato eft l'ancien lit de VAdige ; qui dans plufieurs Chartres de cette Abbaye eft appelle Adefc vtclo , ou Flumtn vtelum. fj) Voyage d'Europc torn. VI. p. 781. («) Co dot obferver que ces canaux font prefque un angle droit entre lei fleuyes Adigt, Tar fro & P*. 96 YJJige celles des grands marais , qui font dans ces lieux j mais ils font fouvent enfles par les eaux de 1' Adige , du Tartaro & du Menaco de telle forte , qu' ils inondent une grande etendue de pays (a). 3 4. Toutes ces branches du P6 r & ces canaux trop mul- tiplies ont fouvent produit des grandes inondations , pour peu que les pluyes ayent ete' abondantes ; celle entr' autres qui arriva Tan 589. fit des terribles ravages (£). Le mo- yen de les empecher & d' affurer un lit plus conftant au fleuve ell de faire en forte qu' il fe divife en moins de branche qu'il foil poflible . Cela femble un paradoxe fui- vant le prejuge commun , que les eaux doivent baifler dans les fleuves a proportion de leur diramation; que, par exem- ple , fi Ton derive d'un fleuve un canal d'une eapacite egale a celle de fon lit , l'eau doive y baifler de moitie ; & au contraire que fi on fait confluer dans le lit d'un fleuve une quantite d'eau egale a celle qui y coule ordmairement,. l'eau doive s'y elever du double. Mais ceux qui jugent ainfi y n'obfervent pas que e' eft a la vitefle qu' on doit foire le plus d'attention dans le cours des fleuves , & quelle croit en raifon de la mafle des eaux qu'on y fait confluer. M. Gen- )JETE (c) a prouve en dernier lieu par des experiences exaftes,. que les eaux des fleuves ainfi divifees ne doivent baifler que de peu , 6k qu' on peut y en faire confluer une aflez grande quantite fans craindre des inondations ; car apres avoir fait couler dans un canal artificiel une quantite d'eau con- ftante , & avoir marque la hauteur qu' elle avoit, il y fit confluer dans une autre canal une quantite d'eau egale , Sc il obferva qu' elle ne s' elevoit que d' ~ ; il joignit un troifieme canal , & l'eau ne s'eleva que d' £ , & ainfi de fuite ; & au contraire ayant divife l'eau d'un canal com- muR (a) Alberti p»g. 351. b. (i) V. H.ft. Milcel. lib. XV III. ( c ) Reflexion! fur le cours des tlcures. 97 nun en deux canaux egaux , il obforva , que l'eau ne baif- foit dans ces canaux que d' £ , dans trois d1 - , dans quatre d' £, & ainli de fuite. La vicefe que les eaux d'un fleu- ve , qui etoit divife , acquierent etant reiinies , produit en- core cet autre avantage , qu'il fe fait moins de depofition de limon fur le fond du lit. M. Gf.nnete fait efperer un autre ouvrage, dans lequel il donnera entr'autres methodes celle de nettoyer aifement les lits des fleuves: il eft abfb- lument neceflaire de le faire , fi on veut leur aflurer un lit conftant dans la partie de leur cours , ou ils commen- cent a le rehaufler. 35. Quant aux autres changemens arrives au cours du P6, au-deffus de l'endroit , ou il fe divife , je n' en marquerai audi que les plus conliderables. Dans le liecle xi. il cou- loir entre Lu^ar-i & Surtiia vers S. Benedetto, ou il rece» voir le fleuve Li rone ; & la partie du cours qu' il a au- jourd'hui entre Borgoforte & S. Giacomo, etoit le lit de YO •// uric Placemia ad PUccnilnum Portum duclt. Dial, an. 879. publ. par CaMPI Surij. Eccl. di Piac. torn. I. (i) Chron. Placeat. in torn. XVI. Her, Italic, p. 561. 98 toutes fes eaux . Pres de Pavie il couloit autrefois dans cet ancien lit, qu'on appelle la Rotta , & qui contient en- core une partie de fes eaux; le Tejin y confluoit a un de- mi-mille de Pavie ; mais le P6 ayant rompu le rivage a fa droite , fit rengorger le Tejin, & inonda la campagne voifine ; enfin ayant fixd fon cours , le Tejin y tranfporta fon confluent a 4. milles a I' Eft de Pavie , & les marais fe deflecherent , & laiflerent a d^couvert 1' isle appellee Me- lano (a). Entre les confluens de la Sejia & de la Doira Bautia il a fouvent change de lit. La voye Romaine, qui s'^tendoit le long de fa rive gauche entre les Vdles de Qiiadratai & Rigomagus , Y empechoit de fe jetter fur la plaine ; mais le P6 & les eaux qui couloient au-dela de la voye ayant rehaufle le fol , & couvert cette digue , il fe detacha depuis ces tems des collines du Montferrat, rompit fa rive gauche , fe creufa des nouveaux lits & emporta les mines de Rigomagus, rebati fur la fin du fiecle vs. fous le nom de Tridinum , apres avoir contraint les abitans a tran- iporter leurs abitadons plus loin de fon bord , ou il bad- rent l'an 1 2 10. la Ville de Trin (b). Mais ces nouveaux lits ayant £te auffi rehauflez, le fleuve reprit fon cours dans les anciens ; ainfi l'an 1197. il avoit quitte fon lit vers Pala^olo , & s'etoit jette vers la colline , ou eft la Rocca delle Donne (c). II l'a fouvent change depuis ; 6k aujourd'hui entre la Doira & la Sejla il coule prefque partout divife en deux lits. L'an 16 10. quantite" de pierres ayant eboule du rocher de Venue , dont il baignoit le pie , il fut con- traint de fe jetter vers Crefcentin , ou il fe creufa le lit dans lequel il coule depuis ce tems ; car il ne fervit de rien que de lui faire une digue fans en avoir d^gage le lit ( a ) On donnoit dans le moyen age a ces fortes d'Isles le nom de Mtdianum. Murator. DilTert. XXI. V. Inc. Diffen. de Rigomago, & Hift. TriJin. lib. I. p. 14. 64- 6S> Sommarit Comm. Fontanao , t Gabiano 1745. I!) 9* lit de ces pierres: il Pemporta a la premiere inondation (a). 36. Ces changemens, comme j'ai obferve au §. 13, font produits par le pcu de pente qu'a le lit du fleuve. A Turin il n'eft eleve que de ioo. toifes fur le niveau de la mer (Z>). Or a caufe de tous fes petits detours, le plan de foil cours depuis cette Ville eft long d'environ 300. milles. La defcente de 1' eau ne feroit done que de ~ de toife pour chaque mille s'il coulat fur un plan ; mais elle eft plus grande que cette quantite vers Turin, & moindre vers l'em- bouchure ; car comme il depofe dans la partie infeneure de fon cours toujours plus de limon , il rehaufle de plus, en plus , & rend courbe cette fuperficie fur laquelle il coule ; on doit done la coniiderer comme compofee d' urt grand nombre de plans , dont la hauteur va toujours en di- minuant ; & diftribuer cette defcente & la vitefle de l'eau en raifon de leur inclinaifon ; mais deftitues d' obfervations dans d'autres parties de fon cours , on ne peut pas la deter- miner : les plus importantes feroient celles de la hauteur de fa fource, & du lieu oil fes eaux reparoifTent vers fon entree dans la plaine. En general depuis ce lieu jufqu'a la colli- ne de Turin, la vitefle qu'il a, & l'inegale reiiftance qu'il trouve dans les rives, font qu'il varie beaucoup fon lit, en les rongeant de cote & d' autre ; le long de cette col- line, la qualite des rives, & plus encore la quantite de fa vitefle, qu'on peut appeller moyenne , fait qu'il ne creufe, ni ne rehaufle pas fon lit , qui eft en ce lieu aflez con- stant. Mais en fe dirigeant enfuire vers 1'Eft, il commen- ce a le rehaufler , ce qui l'oblige fouvent a tranfporter fes eaux de cote ou d'autre des isles qu'il forme. 37. Apres m' etre etendu fur les changemens du cours du Po autant que peut permettre le plan de ce M^moire; il 2 il (a) AUtfc. per Crcfctntino 1741. {t) M. NeEDHAM a determine la hauteur de la Villc a 101- t«ifes. Olftrv. Baromtlr. I 00 il me refte a ajouter quelques obfervations fur fa fource ,' & fur quelques unes des rivieres qu'il recoit ; & je finirai par indiquer les efFets de la prolongation du continent a {'embouchure des fleuves. Le Mont Vifo , appelle par les Anciens Vefulus Mons , s'eleve fort en pointe , & eft en- roure" de tous cotez de rochers efcarpez. Quelques jeunes hommes , qui grimperent fur (on fonrmet , rapportoient a Alberti qu'il y a une petite place ( a ) . Vers le milieu de la defcente un petit lac , qui au jugement de Cluvier eft tres-agreable , & ne deborde jamais , par des conduits fouterrains donne l'origine a trois fontaines , qui au-deflbus de ce lac fortent du fein de la montagne ( b ). Celle qui fort plus bas que les autres , & vers le pied de la monta- gne , eft la plus abondante en eaux , & a ete proprement appellee Padus ( c ). Pline obferve , que Padi fons mediis diebus ccjlivis , velut interquiefcens , femper aret (d). " Elle eft „ au milieu d'un pre, proche des ruines d'un Chateau , que „ le Roi Charles VIII. avoit fait batir pour la commo- „ dire" du paflage de France en Italie „ ( e ) . Ces trois fontaines fe reiiniffent , & le fleuve fe precipite des rochers avec un tres-grand bruit , en roulant des grolfes pierres , & eft ft abondant d'eaux , qu' il pourroit faire tourner une meule ; fans avoir cependant aucun lit conitant dans ce fol pier- (a) Mais il fe meprend en difant , que fur ce fommet il y a deux fontaines; dont l'une donne la fource a la Durance & a la Doira , & l'autre plus baffe au Po. Pag. 384. b. 385. II copie trop a la lettre le texte de Strabon au liv. IV. St) Cluver. Ital. Ant. lib. I. c. 35. Plin. 1. c. Padus c gremio Vcfuli montis c ) Mela 1. II. c. 4. Cluver. ibid. (d) L. II. c. 103. ( * ) Guichenon Hift. Geneal. de la R. Maifon de Savoye. Lib. I. c. 3. Ceft le pertuis du M. Vifo , aujourd'hui combli dc pierres , qui fe deta* cherent de la cave de la montagne. Un Auteur de ce terns le decrit ainfi : " II y a un nouveau paflage bien merveilleux pour entrer au „ pays d'ltalie ; e'eft par un pertuis qu'on a fait a cote du M. fijol par „ une montagne qu'on a perce tout outre puis 14. am enca , & dure en- „viron un get d'arbaleftre. „ Jacq. SiGAUtT Totalc dejeription dti paffa- gts da Gaults tn Italic , public? par CaMVZat Melang. Hill. p. 162. tot pierreux. Enfm apres tin cours de n, milles Romains (j% dans la Vallee , done la plus grande largeur n' excede pas mi mille , a fon entree dans la plaine , il fe perd entre Re- vel & Saluces abforbe par le gravier qu' il y a porte ; de forte qu'en Ete on le pafie a pieds fees , & dans les autres faifons de l'annee il coule avec peu d'eaux (b). Pline ne s'elt pas exprime avec fon exactitude ordinaire en fuppo- fant qu'il coule par un conduit fouterrain ( c ) : Condenfque fefe cuniculo , & in Forovibicnfium agro iterum exoriens ; car on lent en paflant fur ce gravier le bruit de 1'eau dont il ell imbibe. II coule de nouveau vers la fin du territoire de Revel, peu loin de l'Abbaye de Stapharde; oil il recoit fur fa droite le torrent Bronda, & quatre milles au-deffous, un canal , qui conduit une partie des eaux de la Vraita , creufe par ordre du Marquis Mainfroy IV. de Saluces pour arrofer la campagne appellee la GerboLi, qu'il fit defricher, & enfuite il recoit cette riviere, & la Maira. Les cartes Geo- graphiques marquent un canal de navigation , qui conduit une partie des eaux de la Slum dans le P6 peu au-defius de Carignan ; il avoit ete projette dans le fiecle dernier par le celebre Marquis de Pianezza , & execute dans fa partie entre Carmagnole & le P6 (d) ; mais fa mort in- terrompit cet ouvrage , qui auroit ete fort avantageux au commerce entre Nice & Turin , fur tout depuis qu' on fait de fi grands travaux au Port de Nice. Dela jufqu' au 7a» naro , le P6 ne recoit que des torrens . La Trebia & lei rivieres fuivantes inondoient une grande etendue de la plai- ne avant que les Romains euffent fonde leur Colonie de Plaijance Tan zi8. avant l'Ere vulg. Emilius Scaurus qui fit (z la Doira Bau~ tia (b). II obferve que ce deux fleuves , quoique peu eloi- gned , font tout-a-fait differens . Le premier rend fort fer- tiles les terres qu'ilarrofe; quoiqu' il inonde, il a des guez bons & fablonneux ; on trouve dans fon lit un grand nom- bre de poifTons excellens , & on y recueille quantite d' or en des grains n* gros , qu1 il en vit un de la valeur de feize florins . „ La Doira a fa fource dans des Montagues „ couvertes de glaces eternelles: point d' or dans fon lit, „ point de poiiTons , & de guez dans le Canavez; s'il „ coule dans les champs, il les detruir , fi dans la prairies „ il en gate & briile les herbes . L' Auteur de la Chro- nique de Plaifance fait une obfervation femblable fur le ri- vieres Nura, & Trebia; & dit que le P6 rend fort fertiles les terres qu'il inonde, quoiqu'il caufe fouvent des grands dommages a fes voifins. (c) Peine obferve auffi que le P6 dans {es inondations , Agr'is quamvis torrentior , nil tamen ex rapto fibi vindicans , atque ubi liquit agros , ubertate largior. ce qu'il faut entendre de la plus grande partie de fon cours dans la plaine . Ces differens effers font produits par les terres, & les fels , ou par l'Ocre , & le fable qu'ils charient dans une partie de leur cours , & depofent dans une autre . 40. La Doira Bautia meloit anciennement fes eaux avee celles d'un Lac, qui e^oit forme par le baffin que font les col- (a) La hauteur de cette Montagne etoit done plus grande , que cclle , qui a ete obfervee a la Glaciirc (v. §. 1. Nota a), & qui feroit trop petite a 1' egard de la diftance , oil elle eft du Mont Teurnl . (b) Lib. de Bcllo Canepic. in princ. Rer. Ital. torn. xvi. (c) Flume n Nut it , quod diflat acivitate per quatuor milliaria , eft optimus Fluviut pro terris impinguandis , 6- pro pannis laborandii ; non eft enim terra its mala , fi irrigetur at aqua ifta , quod non efficiatur optima , & eft Fluviui fatis magnus . Fluminis Trevia: aqua mala eft pro terris ; nam tat facit macros. Rer. Ital. T. xvi. p. 561. 104 colli nes , qui &' elargiflent a Ivric , & fe retreciflent de nouveau a Maffe . Les Lacs de Viverone , & de Candia en font des parties, quiayant une plus grande profondite' , ne laifferent point ecouler toutes leurs eaux. La partie a la jauche de la riviere etoit plus grande que celle de la droite. Azarius, qui le decrit, affure qu'on voyoit dans le Comte de Ma^in, & pres de Viverone les murailles des Ports qu'il y avoit fur ceLac, & les anneaux de fer, auxquels on at- tachoit les bateaux. L' eau de la Duria, qui couloit dans le P6, ayant elargi le detroit de Maffe, entraina avec elle la plus grande partie des eaux du Lac . La Table Theo- d fienne en marque un confiderable a la fource de cette riviere; Ptolemee l'appelle le Lac Poenin , & dit que la Doria avoit fa fource a cote de ce Lac . (a) lis ne mar- quent pas des Lacs fi petits que celui de Ruto, duquel coule une de fes deux fources . II femble done qu' on en puifTe conclure que la Vallee de Courmajeur dans laquelle coule 1' autre fource ait ere occupee par un Lac dont les eaux fe foient de meme ecoulees. Cette table marque auffi un Lacus Cu- Jius a la fource d' une riviere fans nom , qui ne peut etre autre que la Sifia . 11 eft affez vraifemblable que le Lac , dont coule cette riviere, ait ete beaucoup plus grand ; un Auteur, qui decrit exaftement le Diocefe de Novare (b)r aflure que les Villages qui font dans le fond de la Vallee de Sejia font aflez nouveaux . Le meme Auteur decrit un autre Lac de quelques trois mi lies de long & de large , qui etoit pres de la Sejia , entre Pro. , & Grinafco , dont 1' eau a ecoule avec celle de cette riviere ; & une partie du Lac Majeur, qui a ete remplie par le limon porte par la riviere Tola. Quoique les trois grands Lacs (c) n'ayent pas ete depuis plulicurs liecles retrecis dans leur longueur par les (") Gecgr. I. ut. c. i. (.') Carol, a Bamlicapetrt , Novari*. (<) Majtur, Jc Come, df it Gurda, i©5 Jes fleuves qui les traverfent : les mefures qu' en donnent les anciens , & les modernes etant a pe\i pres egales; (a) cependant les pierres , & le fable qu'ilsy portent, & que leur courant roule bien avant dans le Lae , en rehauflent neceiTairement le fond ; ce qui fait que 1' eau s' y foutient encore a une hauteur a peu pres egale a celle qu'ils avoient il y a deux milles ans, quoique il en ecoule par les rivieres, qui en fortent T plus qu' il n' y en entre. Tant de fleuves qui prolongent le continent a leurs em- bouchures , comme j' ai prouve a 1' egard du P6 , & qui rehauflent de leur limon le fond de la Mer , tandis qu' Us la reflerrent de tous cotes, doivent contraindre fes eaux de s' elever lenfiblement, & de fubmerger les Terres qu' elles baignoient, qui deviennent toujours plus baiTes que le niveau de la Mer. Quelques Naturalifles, qui ont tache d'etablir le contraire, c'eit-a-dire , que la Mer s' eloigne toujours plus des cotes, & que les eaux fe retirant continuellement dans les cavites de la Terre , raiiTeront enfin le fond de la Mer en fee : qu' au commencement la Terre feche ne confiftoit que dans un' Isle , dont les bornes s'etendireut jufqu' a for- mer les vafles Continens,. qui font aujord'hui decouverts , ont tire cette confequence d' obfervations trop bornees . M. Linneus (£) entr' autres, la deduit de celles qu' il a faites dans le Golphe Bothnique. Ce Golphe long & etroir, dans lequel fe decharge un grand nombre de fleuves, qui y por- tent beaucoup de pierres , & de limon , deviendra toujours plus retreci ; Sc ces fleuves qui deicendent de Montagnes fort hautes , & qui apres un cours peu lon^, mais d' autatit plus rapide , dechargent leurs eaux dans la Mer, fe creufent dans plaine qu'ils parcourent des lits toujours plus profonds (c) mais o il en (a) PoLYB.apudSTRAB.lib.lv. in firo, Itin. Anton., VaGUano/* Rive dclVtrlano, PaULI JoVll Larii Lac.defcr. (J) Oijjeri. d: Fellure hibitabui in vol. 11. Amotnit. (c) Los Lacs, qai fuat ft neceflaires dans ce Pays, y font fort etendus & en grand nombre. to5 il en auroit deduit tout Ie contraire s' il eut obferve que me"- me dans la Mer Baltiqm F Isle de Rugen 6toit autrefois une partie du continent; que la Mer a beaucoup gagne fur les cotes Occidentales du Dannemark , & fur celles de la Frife; que dans les Pays-Bas 1' eau du Rhin ayant cefle de cou- ler par F embouchure du Lac FUvo la Mer y entra, & fubmergea une grande etendiie de Pays (a); &, fans cher- cher plus loin des exemples , qu' elle entra de meme par F embouchure du P6 Vergenefe , y forma un Lac , qui n' avoit encore dans le xvi fiecle que i z milles de circuit , mais qui fubmergeant de plus en plus les terres voifines , en a aujourd'hui 60.; qu'on voit le long des cotes de la Medi- terranee les ruines de plufieurs Villes au milieu de fes eaux &c. La furface de la Terre doit enfin plus perdre que ga- gner {b) ; & ft la Revelation ne nous enfeignoit pas qu'elle ne doit plus eprouver un deluge (c) , mais un embrafement (d) , on en devroit conclure que dans la fuite d' un grand nombre de fiecles elle feroit toute couverte par les eaux. (a) Occupe aujourd'hui par le Golphe appelle Zuider {it . (b) Mom cadens defiuit , & faxum transfertur de loco fuo . Lapides excavant afue, & alluviont paullatim terra confumitur, Job, xiv. 18. 19. (c) Genef. IX. v. it. ec. (d) Petr. epift. 11. v. 7. 10. 12, • 07 Fames a .coniger. Pag. i8. ligne 7 quarree , lifes quarre . Pag. 8. ligne zi. demontrent , life's demontrant . O , CD Pag. 47. linea 3. CD < - lege CD C CD O Pag. 51. //«« 6. M noia fubtiliori fupplc scumini. Pag. 53. Poft Sciagraphiam adde titulum progreffus gradua- lis combinatorius . Pag. 54. linea 15. Ifquierdo , lege Izqmerdo 57. linea 1. O , . . . . ( Oj. 6 1 . ///zi?a 1 . s ' • & \j, ud s s , / to non a curfivis litteris pingendum erat. io8 p Pag. 69. lign. 7- Are ; ; Ere 71. 16. des fleuves du fleuve [78. M- da . . . de 90. 1. les fleuves ces fleuves 91. 30. ce . . . de 92. 1 1. tous . ( fous 100. 8. place .. . plaine 101. Note 00 («) Plin. lib. II. c. 80, Imprimatur. Piselli Vic. Gen. S. Officii Taurinl Se ne permette la Stampa Galli per la Gran Cancellen'a. aLurluril- : J8H. i ' ;utta | ossioncs Phili/tina? ^J jcu Os Lia. Tartari m 'orlusAJncr H 4 30 tan ii»ii_iuiia. W fi I-"-' «'-'- Poo Tornatt Ltvtinle / vfano ff fj^Bocai deti' Ajinn J^rSfoac dell'Armn> if™--""111 n'nm— Mimprnmaanr- ;j ■¥> ■'""I ■l"11" """" — Willi MillejRomaini anciem Adige F. jo ^ ■ iiiimi .mm ^ .i.nn juuiiu miiiir 30 mini mull iiiiiii wn j n.,,., LaLirrtuiA-';,^ to ^Torto del num./ v *"*// ^ #\. 30 Phili-stina: m ^DRl _ !§f'''5f o s i i ones If i 3 -^ <£ Fornoci JLevarUe r^omthfono Se &°cc& dstt' As/no ^~S6oca> dtttA/ir, A ^j^Porto del Con ^Forum ( Gaiforum J praWff Ostium qnavacui MS teSS COUP.5 DU PCX ^M.iT arena 1761^ 1" mm " 1 ! limn wrE7mTir- III IM ' ' INIIIII llllllll 1IIIIIII "Wid Slichernat hi 'Jjrr^ ^=£Monc ^B B M I A C ft D ^7 «/« fl A C Tovrlc Mem., de Jir Je. 7-oncen C Yt'a.nckt - IX 9' t' T' f 8" p /> T J T f T B =J Ptiwzhc a/ e/0, Q. Q.' B A M M M V - . A' B' .J SS B c/7 J"' A" B' i B^- V* JburteJ dKjs.ckerch.es Jilt le. Son fUnche, Qj a a' B A 'M M M' SS B A J-9 Q. B A V feurU Mm. dcM' 2c Jaluct. Plinckt. I' / r xtfTJ 1 X O B EFC ff l>> t J j C -i 1 i_ n a — AS /» —i H F Jiur (t, Jlern.- ac dt* £uter A Z. Jh yy > -*' X x AwleJlim.dcJKJtJtlwK 9iMcfle- '* ?.. * /a- A X F XMN L, x o ^ ^ * * B £FG ff f y e/^C n a D —I H. F Li