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^- //oj,^

MISCELLANEA TAURINENSIA.

TOMUS QUARTUS.

^. n oci:3.j^

MELANGES

D E

PHILOSOPHIE ET DE MATHEMATIQUE
D E LA

SOCIETE ROYALE

D E TURIN

POUR LES ANNIES 1766— 1769.

A TURIN

■^^^""^']f 'M L'^"*rtc

DE L'IMPRiMiRIE ROYALE,

AV£C PERMISSION.

L

.W O I 2 i

TABLE

Des Memoires contenus dans ce volume.

Memoires fur la Trompe du Coujin , & fur celle du Taon &c,
communique d. M. LE CoMTE DE Sa LUCES par D. MaU*
RiCt RoFFREDI Abbe de Cafanova. . pag. i

Rechetckes fur la caufe de la decompofition du nitre ^ & du
fel marin par les intermedes terreux par M.MoviiiEr p. 47

Ad Agrojlographiam Scheuieri fupplementum Alberti Hal-
LER ^ . . . • • . P- 57

Lettre de M. MoNNET a M. LE CoMTE DE SaLUCES aW
fitjet du Minium . . . . . P- 71

Memoire fur la redifcation & purification de P Alkali vola-
til obtenu des fub fiances animales par M. MoNNET p. 75

Thcrmariim Vinadienfium Encheireticae fyntaxds fpecimen pri-
miun JoANNiS Antonii Marini . . p. %x

Memoire fur la combinaifon du mcrcure avec le tartre par
M MoNNET ., .. . . . •■ f- 9J

Lettres de D. M, RoFFREDT Abbe de Cafanova a M. LE.
CoMTE DE SaLUCES fur les nouvelles obfervations microfco~
piques de M. Needham , & jes notes Jur les recherches
de M. SpaLLanzani . . . . p. 109

JoANNis Petri Mariae Dana Defcriptio , & ufus Aga-
rici, feu Boleli pellicei . . . . p. 161

Objervations chimiquei par M. LE CoMTE DE SaLUCES p. 1 69,

Solution generale & analitique de ce Probleme. Une equation
differentielle aux differences infiniment petites , & qui admet
une foluiion generale , eiant donnee , trouver V integrals
par M. LE Marquis de Condorcet . p. i

Observations fur la Theorie des equations differ entielles par
M. LE Marquis de Condorcet .. , p. 19

Solution ctun ProhUmc d' Arlthmctlque par M. DE LA Gran-
ge P'g 41 '"^^'2. 44

Sur rifitegratlon de quelques equations dlfferentielles, dont Us
indetermlnies font Jeparees , mais dont chaque mentbre en
partlculler nefi point integrable par M. DE LA GRANGh /? 98

Rtcherckcs Mathematlques fur dl^erens fujets par M. d'AleM-
BERT f- 117

Sur la methode des variations par M. DE LA GranGE^. 16^

Recherches fur le mouvement d un corps qui ejl attire vers
deux centres fixes. Premier mimolre &c. par M. D£ la
Grange . . . . . . p. \%%

Second mimolre par le mime ■ . . . p. 2.16

Addition au premier mimolre fur le calcul Intigral par M. LE
Marquis de Condorcet . . . f- 145

De Integratlone Indejinltomll, Commentarlus ab auSore P. GlA-
NELLA ad COMITEM SaLUTIARUM mlffus . f . 2 5 3

Recherches fur le calcul Intigral aux di£irences Infinlment
f elites , & aux diffirerKes finles par Moniieur DE LA
Place . . . . . p- ^Ti lifez 173

AVIS AU LECTEUR.

Monfieur Cadet ayant reclame la decouverte de I'encre
fympaihique cuivreufe fur M. Baume , dont M. Mac-
QUER parle dans fon Memoire fur la differente diflblu-
biiite de fels neutres dans I'efprit de vin ( Melanges de
la Societe Royale Tom. III. pag. 1 3 lign. 31) la
Societe Royale ayant fjit examiner les pieces jultifica-
tives de M. Cadet a reconnu ie droit d'anciennete
qu' il a fur M. Baume, & en meme lems celui qui paroit
affurer la decouverte de ceite encre a feu M. HELLot ,
voyez la premiere, & principnlement la feconde partie
du Memoire fur I'encre fympatique pag. 245 &c. qu'il
a prefente , & qui a ete imprime dans les Volumes de
I'Academie des Sciences de Paris pour I'anne 1737.

N. B. Pour ne pas feparer les matieres la S. R. a juges
a propos de faire imprimer dans ce volume i'addition
au calcul integral de M. Ie Marquis de Condorcec du
1771 .

M E M O I R E,

Sur la trompe du Coufin & fur celle du Taon, dans

lequel on donne unc dejcription nouveUe de plufieurs

de leurs panics ; avec des remarques fur leur

ufage^ princ ip ale ment pour la fuclion\ comu-

nique a MJ le Comte De Saluces.

Par D. Maurice Roffredi

Aobe de Cafanova ordre de Clteaux.

J^es naturalifies font aujourcThui en grand nombre^ & tavantage
de cette hranche de la pkibfophie naturelle ejl (i intimiment at-
tache d i'exaSitude de leurs obfervations, quit ne doit pas it re
permis de fruftrer le public du droit quil a aux reckerches d'un
obfervateur eclaire , & dont le genie perce malgre les Joins
qu il peut prendre pour fe cacher. Taurois era faire un tort
^ la Repuhlique des leiires fi ] avois neglige de porter
r illuflre auteur de cette piece a la comuniquer , & ayant
ite trouvee digne de paroitre dans ce recueil , je me fuis em*
prejfe d" en prevenir les lecleurs.

I. JL/a trompe du Coufin ayant iii decrite par les plus
grand^i maitres dans 1' art d' obferver ces petits corps , qui
par leur fineffe derobent a nos yeux les merveilles de
leur Ikutlure, on pourroit douter li ce ne feroic pas en
pure perte que 1' on s' occuperoit a obferver de nouveau
ce meme fujet ; cependant ii 1' on fait attention aux del-
criptions de cet organe que Swammerdam, Leeuwenhoeck &
M. de R^dumur nous ont doniiees , on avouera , je penfe,
qu'elies ne nous eclaireiu pas affes , pour qu il Ibit pollible
Mifc. Taur. Tom. IV, a

r>:

t

de fe former quelque idee de C<i vraie ftrufture. On lie
convient ni du nombre des pieces qui It? compofent , ni
de la hgure pr^cife de chacune d' elies ; pourra-x-on apris
cela fe decider fur leur veritable arrangement? M. de
Reaumur non feulement nous fait 1' aveu de 1' incertitude,
oil il etoit , fur le nombre des pieces qui compofent cet
aiguillon , fur la maniere dont elles font reunies & fur
leur figure prectfe ; mais allant plus loin il nous apprend,
qu il lui paroit prefqu impojfible it diterminer avec certitude,
de voir aujji difiinSement qu il feroit a. fouhaiter , tome la,
compoftion de la. trompe du Coufin. Cela prouve afles, ce
me femble , combien les obfervaiions, que Ton a faites fur
cet objet , font imparfaites , & peut etre cela prouvet-il
aufli qu' il eil bien plus nature! que 1* on foit rebute de
{aire des nouvelles tentatives pour eclaircir ce point d'ht-
ftoire naturelle par la difficulte d' y reuffir , que detourne
par r inutilite meme de l' entreprife. Cependant la cort-
fequence que j' ai tiree de ce que je viens de dire n' a
point ete qu' il fallut defefperer de prendre une connoif-
lance un peu plus exa£le de cet organe que celle qui nous
^ ^te donr.ee par ces fameux obfervateurs; mais feulement
qu' apparement il ne devoit pas etre poffible de mieux
faire , tant que 1' on continueroit a s'en tenir , pour I'ob-
fervation , aux methodes qu' ils oni fuivies

11. Tout le monde connoit ce filet qui part du devant
de la t^te du Coufin & qui paroit a 1' ceil fe terminer
par quelque chofe d' allonge & pointu. Depuis que Ton
a cu la cuiiofite de favoir ce que c'etoit que la trompe
de cet infetle , on s' eft apper^u que ce filet n' etoit que
r^iui, qui cache & renferme les pieces qui forment, par
leur reunion , le vrai aiguillon dont il fe lert pour per-
cer les corps , qui peuvent lui fournir une nourriture con-
venahle. Swammerdam ayant obferve qu' un petit filet a
pomte fine debordoit quelques fois 1' extremite de cet etui,

J

3

en conclut que cette gaine etoit un fourreau bien com-

plet , fans fente , & perce dans fon extr^mite , & comme
il arrive fouvent a 1' etui de s' entr'ouvrir & de laifler for-
tir par une fente une partie de 1' aiguillon , au lieu de
verifier par des obfervations 1' exiftence de cette fente , U
prit le parti de fuppofer que quelque fois les aiguillons
rompent d' eux-memes leur gaine. Cetre meprife de Swam-
merdam fut relevee par Leeuwenhoeck qui obferva que
r etui avoir r^eliement une fente d' oii I' aiguillon , dans
des occafions , pouvoit fortir , mais en voulant determiner
ia poiition , il pretendit qu'elle n' eft pas dans la face fu-
perieure , mais le long d' un de ces cotes , pretention qui
a fort furpris M. de Reaumur , k qui 1' experience avoit
appris , que rien n'etoit plus aife que de voir qu'elle eil
au deffus. Ce fameux obfervateur de 1' hiftoire naturelle
des infetles a done vu & bien prouve que ce filet qui
ie prefente a nos yeux & qui n' eft que 1' etui qui ren-
ferme 1' aiguillon , eft fendu dans fa partie fuperieure, que
les bords de la fente peuvent s' ecarter 1' un de 1' autre ,
& qu' il arrive quelque fois de voir la pointe de I'aiguil-
lon s'avancer au-dela de l' extremite du fourreau. C eft
ce qui a ^te tres-bien obferve par M, de Reaumur j mais
que cet etui ne foit pas fendu dans toute fa longueur ,
qu' il foit termine par un bouton un peu allong^ , & que
ce bouton foit perce pour laiifer fortir i'aiguillon , ce font
autant de fuppofitions qu' il doit avoir puifees en partie
dans Swammerdam & en partie dans Leeuwenhoeck , fans
que r obfervation y ait eu beaucoup de part. Leeuwe-
nhoeck ayant congu cet etui comme un fourreau d' epee
qui feroit fendu d' un des cot^s qui repond au tranchant
de la lame , & n' y aiant reconnu d'autre deftination que
celle de defendre 1' aiguillon dans le terns de fon inaction,
ne s' intereffa pas beaucoup pour la forme par laquelle il
doit Anir , & s'en ecanc tenu a une legere appareace il

a 2

le fit terminer par un gros bouton allonge! Swammercfam
toujours fv)rt referv^ a lie rieii rapporter comme vrai au-
dela de ce qu' il croioit avoir bieii vu', n' a point fait ter-
miner la gaine par un bouton , & il s' eft bornd i dire ,
que r on y remarquoit quelques divifions vers fon extre-
mity , & quelques poils fur chaque c6:e de {on fommei ;
mais comme il croioit que cetce gaine ^toit un fourreau
bien complet , il lui fallut percer le bout pour en laif-
fer fortir le vrai aiguillon : on peut s'appercevoir que M.
de Reaumur fatisfait d' avoir exaftement determine la po-
{ttion de la fente , s' en eil rapporte pour le refte , aux
deux obfervateurs qui l' avoient precede, fans s'fitre occu-
pe a examiner li cet etui ell reellement termine par un
bouton perce ; ftrufture cependant qui ne paroit pas trop
6tre dans le gout des ouvrages de la nature , quoique
depuis que le memoire de M. de Reaumur a paru las
naturalilles fe foient plu a nous reprefenter I' extremue de
la trompe du Coufin , comme le bout d'an bouton , dont
r ouverture fait 1' effet d' un anneau.

III. Mes obfervations m' ont fourni des moyens non
feulement de reftifier & de completer celles qui avoient
deja ete faites fur la partie de la trompe du Coufin , la
plus fenlible & la plus ficile a etre maniee , mais celles
auffi qui regardent la Itruclure de I'aiguillon ik des pieces
les plus deliees qui le compofent. Avant cependant que
d' entrer dans les details de ces obfervations , il me faut
demander grace pour ces memes details , qui pourroient
bien paroitre pencher du cote d'une trop ennuyante p?eci(ion,
aux perfonnes fur-tout, qui nes'ctant point exercees a ob-
ferver au microfcope , & qui par cela meme ignorant le
grand dclbrdre que 1' on rencontre dans les defcriptions
d' obfervations microfcopiques , que bien des auteurs nou$
ont donnees , penfent que 1' on en a du affez des que
Ton en prefcncc au ledeur les refuiials fiidelles , fans qu'il

f

feille le conduire par tous les detours ou V obfervareur a
dii pafler; j' avoue que je fuis d'un tout autre fentiment ,
& je le luis d' autant plus, que 1' experience m' a appris
combien le progres des connoiflances humaines ell rerarde
par la methode de ne donner les precis des obfervations,
que pour ainfi dire, en tniniature. Qaeiques moments de
reflexion fur les difputes inteiminables qui (e font (Jlevees
depuis une vingtaine d' annees fur les r^fultats des obfer-
vations microlcopiques des infufions des fubftances anima-
les & vegetaies , nous porteroient peut-etre a avouer ,
que les trois quarts des auteurs qui ont figure dans cette
difpute n' auroient pas eu le courage d' embaraffer le
public avec leurs pretendues decouvertes , fi une loi facree
ieur eut defenda de les publier autrement que par des
Merits oil les fairs auroient ^ce exaftement detailles dans
toutes leurs circonftances. On ne doit pas craindre , ce
roe femble d' etre minutieux , lorfque l' on ne dit que ce
qui eft prdcifement neceffaire pour mettre un lefteur au
fair de verifier 1' obfervation & de la rep^ter dans toutes
fes circonftances.

IV. Pour obferver la trompe du Coufin telle qu'elle Cs
montre ordinairement lorfque I'infefte n'en fait point ufage,
je le (aifis avec la pincette a reflfort entre le corcelet &
le ventre , ayant T attention que les plans des bras de la
pincette foient a peupres paralleles a la face fuperieure
de la trompe : par cette polition 1' on s'affure contre les
mepriies oil 1' on pourroit lomber en croiant d' obferver
le deflus , quand ce fera peut etre 1' un des cotes qu' on
pr^fente au foyer du microfcope i je lui coupe enfuite les
ailes , les jambes , & fur-tout les antennes , afin que rien
ne puifle le trouver entre 1' objet & la lentille ou la lou-
pe , qui pour cette obfervation , doit avoir deux a trois
iignes de foyer : ft on fe place alors contre la lumiere du
jour , qui doit etre vive & eclairer I'obiet par des rayons

6

qui le traverfent , on pourra obferver que le defTus de la
trompe , a commencer a fon articulation avec la ttte juA
qu' a un tiers environ de la longueur totale , ne prefente
que des poils & des petites ecailies ; mais de-li jufqu' k
{on extremit'i on y voit le long de fon milieu une petite
ligne de couleur de inarron clair qui va fe perdre vers
r extremite de la trompe, oil Ton apper^oit une pointe
nial terminee & furmontee de quelques poils. Ce font les
memes apparences (i V on obferve le deffous de la trompe,
feulement la petite ligne n' y paroit pas auifi diftinftement
que lorfqu'on 1' obferve dans la face fuperieure ; mais on
ne r apper^oit plus fi 1' on examine la trompe par fes
c6tes. Cette obfervation nous apprend que fi la piece
qu' on a commence a examiner a une fente , elle doit fe
trouver a une de fes deux faces, favoir a la fuperieure ou a I'in-
ferieure , & non pas fur un de fes cdt^s, ainfi qu' il avoir
parii a Leeuwenhoeck.

V. Pourfuivant 1' examen de 1' exterieur de la trompe,
on peut obferver pres de fon bout un etranglement qui
fait comme une divifion entre le corps de la trompe , &
fon extremite ; fi 1' on obferve cette extremite par le def-
fiis , elle paroit ovale , & finir en pointe ; mais obfervee
des deux cotes elle prefente fur chacun d'eux un tranchant
un peu emoufle ; de plus cette petite piece vue a chaca-
ne de i'es faces la fuperieure, & I'inferieure, occupe plus
d' efpace dans le champ de la lentille de ce qu' elle n' en
prend fi on 1' obferve par les cotes , & par une confe-
quence ndceffaire elle doit avoir plus de diametre d' un
c6te a r autre , que de deffus en deffous. • La trompe du
Coufin ne fe termine done pas par un bouton , ik i'\ Ton
▼ouloit nommer bouton un corps , qui a une figure ovale
oblongue , deux tranchants des deux cores & qui a plus
de largeur que de profondeur , du moins feroit-il un bou-
ton d'une tout-autre figure que celle que Leeuwenhoeck &
M. de Reaumur nous ont donnee.

7

/•I VI. Le m^me Coufin fur lequel on a fait les obferva-
tions prec^dentes , peut encore (ervir pour celles dont je
vais parler } il faut feulement le faifir diffdremment , favoir
par la lete , de forte qu'elle foit comprimee par la pin-
'Cette de haut en bas i mais on doit s' y prendre de fa-
^on que , fon extremite oil la trompe s'articule, deborde
on peu les bras de la pincette. Pour lors fi on prefente
4a trompe , meme a Iceii nud , par un de Ces cotes , il
arrivera !e plus ordinairement d' obferver vers fon origine,
■que quelque chofe s' en elt elevea , & au moyen de la
■tn^me lentille dont on s' eft deja fervi , ii fera aife a re-
connoitre que cetie ligne qu'on avoit apper^ue tout le
long de la trompe, etoit un filet, qui a prefent eft fbrti
€n partie , laiffant a decouvert la cavite ou ii etoit loge;
ce que Ton apper^oit plus complettement en fixant I'ob-
fervaiion tout pres de I'endroit oil les bords de la fente
^e r etui retiennent encore una partie du filet dans fa ca-
vite , car on peut y remarquer une petite elevation des
tords & leur rapprochement qui oppofe une refiftance a
la fortie totale du filer. Si enfuite avec quelque pointe
<]u'on aplique vers 1' extremite de la trompe, on la force
<le plier en bas I' aiguillon , car a prefent on peut ap-
pcller de ce nom ce filet qui en eft ^leve , I'aiguillon ,
dis-je , fortira emierement de fon etui ; mais comme il ne
s' agit pas encore de 1' obferver , je le coupe pres de la
lete, & afin qu' il ne trouble pas I'obfervation de I'etui, que
je dois poufie'r plus loin , il n' y a qu' a 1' obfetver con-
tre la lumiere du jour avec la meme lentille de deux a
trcis lignes de foyer pour connoitre que fa fente s'etend
depuis I'origine de la trompe julqu' a cet etranglement dont
j'ai deja parle j mais comme a cet endroitla I'etui perd
fa tranfparence , on ne fauroit decider fi vraiment la fente
continue 4 feulement on peut s'aflurer qu'au dela de I'etran-
glement il y a une divilion , car 1' obfervation nous ap-

8

prend , que le bout de la trompe lie fe termine pas en
une pointe pcrcee , & qui fafle la foniition d'uti anueau,
comme on l' a dit dans quelques livres d' hiitoire natu-
relie; mais que I'aiguillon fe termine au moins par trois
pointes bien feparces les unes des autres : cependant je
dois remarquer que 1' on ne pourra pas toujours reu/fir
dans cctte obicrvation , fi pour la faire on fe fert de cette
efpece de Coufins , dont la trompe elt recouverte par deux
pieces oblongues & cylindriques qui reffemblent a dis an-
tennes , mais qui font appliquees aux deux cotes de I'etui
de la trompe a laquelle elles fervent comme d' un fur-
fourreau. A' la verite en faiiiffant ce Coulin par la tete,
les deux corps cylindriques s'ouvrent , & I'aiguillon peut
fortir de fon etui , comme on le fait fortir dans les Cou-
fins d'autres efpeces , mais n^anmoins I'extremue de I'etui,
peut-etre , dependemment de T habitude d' etre continuelle-
ment rederee par les pieces cylindriques » (ouvent ne s'oa-
vre pas aflez pour laiffer voir , fans d' ulteneures prepa-
rations , ces pointes que Ton obferve aii'ement dans les
efpeces differentes.

VII. 11 ell aife de comprendre qu'il ne doit pas ^tre
impofllble de fe procurer une connoiffance un peu plus
complette de la llructure de l' etui de la trompe du Cou-
fin que celle que je viens de donner : cet etui a une
feme ; il ell compofe d' une matiere pliante Sc flexible
en tout fens ; on pourroit done bien i'ouvrir entierement
ou du moins en grande partie , & nous mettre paria en
^tai de connoitre 1' arrangement de les parties , 1' eten-
due de fa fente , la dellination de I'etranglement que Ton
voit tout-pris de fon exiremite , & enfin la vraie forme 8c
Y emploi de cette meme exiremite. II ell vrai pourtant que
ce feroit un projet chimerique que celui d' entreprendre
de dillequer l' ^tui en quellion & d'en examiner les par-
ties r une apres I'autie. La derniere piece que I'on a nonv

mee

9

m6 un bouton , n' a qu'un neuvieme de ligne de longueur,

& quelqiie chofe encore moins de largeur , comment done
s' y prendre pour operer fur de tels atomes? il paroit que
Leeuwenhoeck aimoit qu'on penfa qu' il avoit I'art de dif-
feqiier la poitrine , le pied & les tefticules d' une puce .
Ce font des foibleffes qu'on paffe en vue d'un merite reel;
mais ce font des foibleffes qu' il ne doit pas etre permis
d' imiter , & le bon fens exige, a ce qui me paroit, que
Ton ne faffe pas myftere de certaines pratiques, qui
bien fouvent ne font pas plus difficiles pour 1' invention ,
que pour I'execution. Lamethode, que j'ai fuivie pour ob-
ierver Tobjet en qaeiHon , eft a peu-pres la meme que
celle dont fe font fervis les obfervateurs, qui ont employ^
le microfccpe, pour connoitre la ftrudture des vifceres dans
les plus petits infeftes : on a toujours fait ufage de quel-
qiie fluide pour en degager fucceffivement les parties , &
apprendre par la leur arrangement & leur liaifon. Si Swam-
ir.crdam dans (es furprenantes obfervations a fuivi rare-
mcnt cette methode , c' eft que pour fon travail il a vou-
lu choilir des objets, dont la nature lui permettoit d'exer-
cer ce rare talent, qu' il eut en partage pour les plus
fines preparations anatomiques.

VIII. Puifque 1' etui de la trompe du Coufin eft fendu,
fi r on en coupe une partie , & qu'on la mette dans une
goute de quelque fluide convenable , il devra s' enfuivre ,
que ce fluide penetrant dans fa cavire , on 1' ouvrira en-
tie rement , fi la fente va reellement jufqu' a fon extremite ,
ou que du moins il en ecartera les bords, de fa^on qu' il

perience m'aiant appris qu'elle a une trop grande aftion
fur les fibres delicates de cet organe j mais je me fers
d' huile d'olive , qui n' a point affez de force pour les faire
Mfc. Taur. Tom, IV, b

lO

contra6ler. Le refultat de cette preparation eft qu'en efFet
r etranglemeiit , dont j'ai deja parle , oppofe une refinan-
ce ci I'entiere ouverture de 1' etui ^ refittance que I'aftion
de r huile n'a pu furmonter ; il a done fallu trouver le
moyen d' augmenter I'aftion de ce fluide.

IX. J'ai coupe i'etui vers fon extremite , de forte que
la partie enlevee n' avoit qu'environ -^ de iigne de lon-
gueur , &C pour la faifir , car il n' eft pas toujours fi aif<i
de le faire , ayant frotie d' un peu d' huile le bout du
doigt, je I'ai fait paffer deflus le bras des petits cifeaux , oil
la loupe m' avoit appris que la piece avoit coulee , elle
quitta les cifeaux & s' attacha a la peau , d'oii il me fuc
facile de 1' enlever avec une pointe fine. Ce font des la-
mes de verre d'AIlemagne qui me fervent de porte-objer,
& c' eft fur une de cellesci , oii auparavant j'avois laiffe
tomber une goute d' huile , que j'ai place raon petit objet ,
qui quittant la pointe oil il lenoit , s' introduifit dans
r huile. Pour lors prenant par les bords la lame a
(PI. I. Fig. I.) & la tenant bien horizontalement ,
apres avoir mis fur chacune de fes extremites un
mourceau b.b. de papier mince, j'ai appliqu^ fur celle-ci
une feconde lame , me fervant de fil cire d.d. pour les
arreter & les unit ftablement 1' une contre I'autre. Par le
moyen de cette preparation , la goute d' huile fe compri-
mant perd fa fphericit^ , & en fe detalant oblige par fon
a£^ion , les parties du corps infufe a fe depioyer. Cette
facon de preparer un objet eft fouvent d'un grand avan-.
rage pour les obfervations que 1' on doit faire avec le
microfcope i mais il faut faire attention a fa nature, aBn
de choifir le papier , que Ton doit mettre entre les deux
lames , d'une epaiftcur convenable aux difterens degres de
compreflion que des differens objets peuvent exiger. ]e
dois encore remarquer, que fi la goute d' huile n , ou de
quelqu'autre fluide qu'on aura renfermee entre les lamej.

1 1

en fe r^pandant par la compreflion , va toucher au pa-
pier , la preparation ne fera plus de fervice , & il faudra
la refaire j un peu d'experience apprendra facilement com-
ment on doit s' y prendre pour qu'elle foit bien faite. Au
refte un defaut qu'on pourroit reprocher a cette methode
de preparation , e(t que d' une part la tranfparence des
objets & leur fubtilite ne permet le plus fouvent a
r obfervateur d* en voir la figure, que comme fi leurs par-
ties etoient dans un meme plan , etant fort difficile d' y
diftinguer le deflfus du delTous , les parties elevees de
celles qui ont de 1' enfoncement , & que d' autre part un
objet qui ell renferine entre des verres , ne peut plus
Atre obferve de tous fes cotes , comme il faudroit , pour
conftater la vraie pofition de ks parties. Je dois avouer
que ce defaut eft reel ; mais en 1' avouant je ferai remar-
quer qu' il fubfifte toujours , de quelque maniere que Ton
s- y prenne , lorfqu'il s'agit d'obferver des objets extre-
iQement petits , &i que ce n' eft que par la multiplication
des preparations, & par la combinaifon de leurs refultats
qu'on peut parvenir a s'afturer de la fituation reelles des
parties par rapport a leur tout.

X. Les details que je viens de donner , fuffifent , a ce qui
roe paroit , pour mettre au fait les curieux qui voudro-
ient repeter & verifier Its obfervaiions que j'ai faites fur
la trompe du Coufin ; ainfi je vais fupprimer ce qui regarde
le manuel des preparations , & je me bornerai a en don-
ner les refultats , (i ce n' eft dans les cas ou la nature des
obfervations exigera que 1' on rende compte de la route
que r on a tenue pour y parvenir. Les microfcopes dont
je me fuis fervi , font le iimple de Wilfon , le double ^
reflexion de la fa^on deCufF, & le microfcope folaire j
& le plus fouvent j' ai examine les memes pieces avec les
trois diff^rents microfcopes , mais je me fuis fervi fur-tout
du lolaire pour fixer la proportion de routes les parties de

b 2

I X

Y objet , & pour m'aflurer de la veritable figure de quel-
ques unes. Je dois prier les perfonnes qui pourroient avoir
quelque pr^jngd contre le microfcope folaire , de faire at-
tention qu'on ne connoit pas encore d' efpece de microt
cope qui n'ait (es defauts particuliers , & qu'au furplus il
pourroit fort bien arriver d* imputer a l' inftrument I'effet,
peut-ltre , des mauvaifes pratiques de ceux qui s' en fer-
vent.

XI. Les figures des planches qui appartiennent a la
trompe du Coufin , font delfinees fur la meme echelle, &
ragrandiffement de leurs diametres eft de 270 fois : la fi-
gure du n."* II. qui a un demi pied de longueur ne re-
prefente que -f de celle de la trompe entiere ; done la
long-ueur reelle etant de ~ de ligne, celle de la portion
reprefentee par la figure n." 1 1. n'aura dans la reaiite que
^ de ligne. Ce qui m' a oblige de donner cette graidcur
aux figures , eft qu'on ne fauroit bien comprendre la com-
pofition de la trompe, fifes parties ne retiennent pas dans
les figures les memes proportions qu'elles ont en nature ,
& que d'ailleurs , il y a des traits dans quelques unes de
ces pieces , qu' il etoit neceffaire d'exprimer , mais qu'on
ne pouvoit relever au jufte fans donner de la grandeur a
route la figure. Du refte comme le but de ce Memoire
n' eft pas de faire une defcription complette de la trompe
du Coufin, mais feulement de fuppleer a celles qui ont ^te
donnees par Leeuwenhoeck & M. de Reaumur , j'ai evite
de donner des figures qu'on peut trouver dans leurs ouvra-
ges, & je n'ai parle ni de i'is antennes , ni de (es barbes,
ni des ecailles qui recouvrent I'etui de (a trompe , que je
n' ai pas meme fait repr^fenter dans les figures pour ne
pas les embarrafler.

XII. Ce n' eft pas dans les teguments ext^rieurs de I'ex-
tremite de la tete du Coufin qu'il faut chercher I'origine
de I' etui de i'd trompe j mais c'eft dans fon interieur qu'

«3

on la trouve a la dlftance d'environ -f de ligne du bout

de la lete. A'' cetre diftance on y obferve vers chacun des
deux c6tes una efpece de noeud qui a la forme de la
tete d'un os de couleur de marron clair , d'oii part de
chaque cote un gros filet de la mime couleur, qui d'abord
fe courbe un peu vers I'embas , & va enfuite tout droit
jufques pres de fa fortie a 1' exterieur ; mais avant que
d'en fortir il fe releve & remonte prenant une petite
corbure , & aboutit i un nceud femblable a celui d'ou
le filet a fon origine. Ces deux filets font d'abord beau-
coup ecartes I' un de Tautre , & a commencer du noeud
le plus interieur jufqu'au fecond , ils s' avancent parallele-
ment , mais immediatement au dela du fecond noeud , &
ii leiir fortie de la fete du Coufm , ils s' inclinent l' un
vers r autre ; & apres s' etre quelque peu avancees dans
cetic direftion , ils fe raprochent tout-a-fait & fe prolon-
genr ainfi raproches tout le long de 1' etui , jufqu' a fon
etranglement , oil ils changent de forme, & par leur ex-
panfion produifent une efpece de cartilage c.c. ( F. II.)
dont la plus grande partie de 1' etranglement eft compofee.
Ce font ces deux filets qui forment les bords de la (eniQ
de r etui , & ce foat ceux-la qui, etant de nature ecailleafe,
donneni a toute la piece une certaine confiftance.

XIII. La partie membraneufe qui fait le corps de I'etui,
a des fibres tranfverfales a. a. fort vifibles au microfcope ,
pourvu qu'elle fbit d^pouillee des ecailles qui la recouvrenr,
& empechent par-la 1' obfervateur de les pouvoir apper-
cevoir ; mais il y a de la difliculie a decouvrir les fibres
longiiudinales , cellescy ^tant beaucoup plus deliees que
les tranfverfales. On peut obferver dans 1' interieur de I'ctui
deux vaiffeaux b. b. ( F. III. ) qui rampent tout le lono-
de fa membrane , mais que 1' on ne peut plus fuivre au-
dela du commencement dc fan etranglement c. c. Ces vaif-
feaux font a peu-pres du meme diametre que les fiieis qui

M

forment les bords de l' ^tui , & comme ils ont auffi la

mSme opacity , il feroit difficile de bien dillinguer les uns
des autres; & fi ce n'eioit que les premiers font tortueux, &
que ceux-ci s'avancent en ligne droite , on pourroit douter
fi ces vaiffeaux ne feroient pas des trachees , mais j' en
ai vu fortir de la liqueur , & au furplus leur fl:ru£ture ne
reffemble pas a celle que 1' on oblerve dans les trachies
des infeftes : cependant je dois avouer que je n'ai pu de-
couvrir par le microfcope , que ces vaiflfeaux ayenc des
ramifications.

XIV. La partie la plus curieufe & qui paroit meriter
le plus d' attention , eft celle qui commence a 1' etrangie-
ment de 1' etui & en forme l' extremite. Au moyen de la
preparation , done j'ai parle plus haut , on peut faire ouvrir
cette pi^ce & en degager les parties, a la verite non pas
autant qu'on le pourroit fouhaiter, par I'obftacle qui s'op-
pofe du coce de la fubftance cartilagineufe, dont une par-
tie de r etranglement eft compose ; neanmoius eile s'ouvre
affer pour nous en laifler comprendre la ftrufture, & nous
donner la facility de nous la reprefenter , comme fi elle
etoit entierement ouverte. II eft Evident par la Fig. III. ,
que fi r etranglement ou le collet cartilagineux c.c. fe prd-
lentoit parfaitement ouverl , nous le verrions furmonte
d'une efpece de membrane decoupee par quatre grandes
cchancrures , qui avec les parties faillantes & pointues d.
d. m. nous la montreroit , pour ainfi dire , comme une
main divifee en cinq doigts : que fi Ton congoit les deux
bords du collet rapprochei I'un de I'autre jufqu' a fe tou-
cher , on comprendra aifement que de chaque c6t6 les
deux pieces d. d. dans leur etat naturel doivent s' appli-
quer 1' une contre 1' autre , & meme recouvrir la piece
m. , donnant par-la 1' apparence a 1' extremite de 1' etui ,
comme d' une efpece de bouton. La figure III. reprefente
les parties de cette extremite autant ecartees qu' il m' a

«5

^t^ po/Tible de les voir , & on peut y obferver que celle

du milieu m. n' eft pas feulement plus petite & plus courte
que celles de cote , mais qu'elle eft garnie d' une efpece
d'appendices , qui pourroient bien ^tre des poils gros &
courts ranges avec fytn^trie, dont on ne peut meconnoitre
la deftination , dtant aife de compretidre qu' ils doivent fer-
vir ^ affermir la pointe de 1' aiguillon , lorfqu' il s' y ap-
puye pour pen^trer dans la chair.

XV. Je palTe maintenant a la defcription & i I'arran-
gement des pieces qui compofent 1' aiguillon proprement
dit. Pour peu que Ton obferve des Coufins avec une bonne
loupe r on ne manquera pas de voir quelques fois la
pointe fine de J'aiguillon avancee au-de-la du bout de Ton
etui i on peut alors faifir avec la pincette la tSte du Cou-
fin qu'on doit comprimer ceil centre ceil & non pas ver-
ticalement , car on obligeroit par-la 1' aiguillon a reculer.
Un obfervateur doit tou jours , autanr qu'il le pourra, con-
noitre exaftement qu' elle eft la partie de i' objet qu' il
pr^fente au foyer du microfcope , & on le faura fans equi-
voque des que Ton connoit la vraie pofuion de 1' objet
par rapport aux bras de la pincette. Pour obferver la
piece en queftion , c' eft-a-dire , le bout de I'aiguillon , je
me fers du microfcope double , monte d' une objeftive d*
environ une ligne de foyer. Le refuitat de 1' obfervation
eft , que cette pointe vue ou par le deflus ou par le def-
fous reprefente un cylindre cannele qui finit par une pointe.
( PI. 2. F. IV. ) & dont r extremite a its deux cotes gar-
nis de dentelures en forme arrondie ; mais lorfque c'eto-
ient les cotes memes que je prefentois au foyer du mi-
crofcope , les dentelures difparoiflbient , ou tout-a-fait , ou
feulement en partie , felon que le centre du foyer tomboit
plus ou moins a plomb fur le cotd dentelle , d'oii il peut
arriver , comme il arrive en effet , que la vraie forme des
dents foil alteree par leur pofirion oblique a 1' egard de

i6

I'axe de la lentille , & cette deformation fera encore plus
grande fi Ton en force le feu en approchant 1' objet plus.
qu' il ne faudroit. C eft par quelqiie caufe femblable, qu' il
peut-etre arrive aux trois obfervateurs que fai nommes an
commencement de ce memoire , d' avoir cru voir cette
dentelure en forme de fer de fleche , ou de crochet , cc
qui vraiment ne repond pas k la realite j c' eft fur les
•Ig^Jlinjui ue t. aoeiut , de la gue^e , ex des oouraons qu uH
voit cette forme de dentelure ; elte convient aufii a quel-
ques pieces de la trompe u<\ fcorpton aqrhiti^ue , & a celle
de la tique des cbiens ; mats il ell certain que les dents
de I' aiguillon du Coufiti ont une forme arroirJie. Au rcile
je dois avertir que la Figure V. qui reprefi?ite rcnft;rn!?!e
des pieces de Taiguillon, tCt dc co.-.fticjuence pour en biet|
comprendre la compcfition. 11 s' c!--;;it a prefrnt de les de--
barraffer, d'en connoitrc le no:ab;e , !a fotmi & leur ar-
rangement ; ma;s li 1' on vcat y pa; vcnir , ii ne lv.:'.r p.-s
rrop fe piefler en les rour;ncnia;.t , coinine a r£vc!vtu:e^
& fans une mdihoJc raifn.inee , quiiiiLfon fanderncnt dans
la nature meme de l' cbjot qu'on drit obftrvcr.

XVI. Si r on prend le parti ds lailTc-r Tnir^iii'lon atta-
che a la tete du Coufin & de le fretter conrre le porta-
objet avec une poime fine, on pourr;i,i! e:lvrai,cn <!(*-
gager les parties ; mais il en arrivc-ra, qu' a peine les pie-
ces feront ecartees les unes des auttes, qu'elles fe courbe-
ront , fe fronceront & fe contourncront en ditferens fens;
& par furcroit d' inconveniens, elles auront un mouvement
prefque conlinu ; que fi d'apres Leeuwenhoeck & M. de
Reaumur on le coupe pres de la tete, & qu' enfuiie on
le frotte fur le porte-objet ; alors les pieces degag^es
n'auront plus ce mouvement incommode pour 1' obfervation,.
mais elles ne retiendront pas pour cela leur forme natu-
relle , qui fcra toujours aheree par leur froncement. Pour
mieux faire fentir cette verite , je ferai remarquer que

Svam-

»7

Swammerclam , qui a obferve raiguUIon felon la premiere

m^thode , a bien pu s'aflurer par elle du jufte nombre des
pieces qui le compofent & qu' il k fixe k fix ; mais ii
ne lui a pas ete egalement poflible de nous bien inftruire
fijr leur veritable forme & arrangement ; & que par la
feconde m^thode Leeuwenoeck & M. de Reaumur , fans
avoir avance de beaucoup les connoiflances qu' on avoit
d^ja fur la forme de ces pieces , en ont abfolument man-
qu^ le nombre que le premier de ces obfervateurs n' a
porte qu' a quatre , & le fecond a cinq. Je crois done ,
dit M. de Reaumur dans fon M^moire fur les Coufins.
Tom. IV. , etre bien certain que /' aiguillon a une piece de
plus que Leeuwenoeck ne lui en a donne ; mais je ne fcai Ji
c' ejl jaute d'adrejfe que je ne fuis pas parvenu a y trouver
les fix pieces de Swammerdam , au mains ce n' a pas ete
faute de foins „ la difiiculte venoit reellement du cote de
la p'-eparation.

XVII. Avant done que de feparer les parties qui com-
pofent r aiguillon , il m' a paru convenable de debuter par
commencer a prendre quelque connoiflance generale fur
fa compofition & fon arrangement a 1' egard de 1' etui j
ainfi i' ai choifi la circonltance oil il n' en etoit pas en-
rierement (brti , & aiant porte la preparation au microf-
cope double monte d'une objedive d'une ligne de foyer;
jfe I'y ai pr^fente comme fi j'euffe voulu obferver le deC-
fous de r ^tui j mais alors j' ai fait tourner les pincettes
fort lentement fur leur axe , jufqu* a ce que j' ai commence
k d^couvrir la face de 1' aiguillon qui regarde I'ouverture
de 1' etui. Dependamment de cette pofition de I'objet par
rapport au mic-ofcope, on eft a portee de connoitre quelles
font les parties de 1' aiguillon qui doivent occuper le fond
de fon 6tui ; & puifqu'cn comprimant la tete du Cou-
fin avec les pmcettes , comme on doit le faire pour cette
obiervano.) , il eft rare qu'.il n' y ait quelques pieces qui
Mijc. Taur. Tom, IK. c

i8

s' en feparent dans une partie de leur longueur. Les ob-
fervations que l' on fera fur cette preparation pourront nous
mettre au fait fur la maniere dont nous devons nous y
prendre pour bien connoiire V organe dont il s' agit.

XVIII. La Figure II. reprdfente une portion de l' ai-
guillon qui ne tient plus a 1' etui , qu' a peine par fon
extremite g. On y voit une grande piece convexe dans
fa face fuperieure m. m. & concave dans 1' iiiferieure s. n,
dont la grolTeur diminue jufqu' a 1' extremity g. qui finit
en pointe. II y a deux pieces beaucoup plus petites r. o.
qui font forties en partie de la concavite de la grande
piece , & le vuide n. qu' elles ont laiffe fe rend fenfible
par la tranfparence de I'endroit qu'elles ont quitte. Or ces
obfervations fuffifent pour nous faire comprendre que la
grande piece ell de routes , celle qu' il ei\ le plus impor- ~
tant de bien connoitre pour parvenir a la decouvene dc
la ftrufture de I'aiguillon.

XIX. J' ai nomm^ la grande piece celle qui dans I'aiguil-
lon e(l en eifet la plus grande & la plus apparente , &
la caufe de cette denomination eft 1' embarras oii je fuis
de trouver un nom convenable a la nature & aux fon-
ftions de cette partie. Svaramerdam I'a appellee la gaine
interieure ou canule qu'il a dit etre un fourreau bien cotn-
plet y ce qui , a la verite , ne r^pond aucunement a la
nature de cette partie. Leeuvenoeck I'a nommee tant6t
[aiguillon exterieur , & tantot la feconde gaine , fur le fon-
dement que les autres pieces de 1' aiguillon font renfer-
mees dans 1' interieur de celle-cy ; mats on verra dans la
fuite , que cela ne fauroit ^tre vrai qu' en partie. Enfin
M. de Reaumur a donne a cette piece le nom de canule
&; de tuyauy £ans vouloir decider ii elle etoit fendue, ou-
bien fimplement cylindrique ; & on verra auffi que cette
denomination ne prefente pas a 1' efprit une idee qui r6-
ponde a la ftrufture de cette piece.

*9

XX. Apres done avoir fait (brtir de I'etui la piece dont

il s' agit , j'en ai coupe rextremite, de la longueur envi-
ron de Y de ligne, que j'ai place fur un verre dans une
goutte d' huiie. 11 eft eflentiel de preparer la piece en fort
petits morceaux ; fi elle 1' etoit en fon entier ou par gran-
6es parties , ce feroit par leur cot^ qu'elles fe prefeniero
ient a 1' obfervateur ; au contraire fa forme eft tres-favo-
rable pour que la piece fe prefente de face , lorfque la
partie qu'on porte dans la goutte d'huile eft extremement
petite. II refulte de I'obfervation, que dans la face qui re-
garde r ^tui , la grande piece eft entierement ouverte de-
puis fon origine a la tete du Couftn jufqu'a fort pres de
fon extremite ; mais cette ouverture differe de celle qui
regne le long de 1' ^tui ; celie-ci peut devenir plus ou
moins grande felon la difference des circonftances, & celle-
ik paroit toujours fixe & d' une figure qui ne change pointy
au moins fenfiblement. Les bords de cette ouverture font
fcutenus des deux cotes par deux filets (PI. i. Fig. V. ),
ou, fi I'onveut, par deux paquets de petits filets ecailleux,
qui en forment un gros de chaque cote, qui depuis leur
■origine s' avancent prefque parailelement 1' un a 1' autre
juiques pres de 1' extremite de I'ouveriure , oil en fe rap-
prochant par un ovale allonge , ils s' unifTent 1' un a
4' autre & voni finir a la pointe d. de la pi^ce. Chacun
Jde ces filets en a un autre a c6t^ , qui tient la meme
toute que les premiers ; &. a i'endroit h. b. oil ceux-ci
tfe rapprochent , les filets ext^rieurs changent auffi de di-
:re£tton & forment une efpece d'ovale exterieur au pre-
4nier dont le bout eft cette mSme pointe d. eii les Hlets
int^rieurs, apres leur union, font alles fe terminer. En-
tre le filet qui forme le bord de 1' ouverture , & celui
'x\\ii eft a fon c6te , on obferve une fort petite couliffe
h. b. que cependant on ne peut decouvrir qu'avec de bons
microfcopes j cette coulifie devient plus ample vers I'extre-

c z

mit^ de la pikce c. c. par 1' rfcarrement du filet inrerieur
de r exterieur. It n' tft done pas de cette ouverture com-
me de celle de 1' etui , qui depuis fon origine continue
jufqu' ct fon bout ; mais la grande piece de I'aiguillon a un
petit efpace qui n' eft point fendu, & c'elt ceiui qui eft
depuis r union des deux filets interieurs jufqu' a la pointe
d. oil les quatre filets aboutiffent. Les deux filets exte-
fieurs tiennent de cote a une lubftance lifle , luifante ,
fans fibres apparentes , qui paroit etre comme cartilagi-
neufe & qui eft pliee en goutti^re ; cette fubftance chan«
ge bient6t de nature & devient comme membraneufe , for-
mant le fond de la piece , comme fi c' etoit un cul de
fac , ample des fon engine jufqu' a -J- du total de fa lon-
gueur , mais qui diminue enfuite & n' a qu' une fort pe-
tite capacite vers 1' extremite de la piece.

XXI. Apres avoir bien examine cette preparation au
microfcope double , je 1' ai renfermee entre deux lames
pour r obferver au microfcope fimple & au folaire , &
conftater par-la de plus en plus la ftrufture de la piece
& la proportion de fes parties. II m' a conftamment re-
fulte de routes ces obfervations , que la grande piece de
r aiguillon eft compofee en deffus d' une fubftance mem-
braneufe , ou mufculeufe, qui, vers les cotes, fe change en
cartilage , & ce cartilage eiant plie tout le long en gout-
Tiere , donne une forme & une certaine confiftance k
loute la piece ; en deftbus le meme cartilage tient des
deux cotes a deux filets qui font fepares par une petite
coulilTe de deux autres filets qui forment les bords de
cette ouverture , qui fe prolonge tout le long de la pi^ce,
& qui , lorfque la trompe eft dans fon etat naturel , a
fon emplacement dans la fente de 1' ^tui.

XXII. C eft en panie autour de la grande piece &
en partie au dedans que font rangees les cinq autres , qui,
par leur reunion ayec la fixierae , forment ce compofe ,

1>

qu' on appelle 1' aiguillon. II eft tres aife de fe convaincre
que ce font fix pieces qui en font 1' enfemble ; il n' y a
pour cela qu' k debarraffer le faifceau de fon ^tui , & k
couper celui-ci , du moins en partie , avec les antennes de
1' infefte , afin que rien ne puiffe recouvrir ou embarra(^
fer les pieces de 1' aiguillon , & k plonger enfuite la tete
& r aiguillon dans une goutte, ou d'eau, ou d' huile ; car
les pieces fe d^gageront d' elles-m^mes les unes des autres,
& il ne reftera plus de doute que leur nombre ne fbit de
fix, ni plus, ni moins; feulement il faut prendre garde a
n' en pas couper quelqu'une vers I'etui, ce qu' il arrive
quelquefois , mais fans confequence pour 1' obfervation ;
puifque fi le cas eft arrive , il fera aife de s'apercevoir en
obfervant , que pour lors la piece qui manquera , fera une
des deux dentelees, car cellesci font les plus expofees a
cet accident -, & m^me on pourra toujours en obferver le
tron^on encore attache a la lete du Coufin i cependant
s' il arrivoit que Ton ne trouva pas routes les fix pieces,
parceque quelqu'une ne fe feroit pas degagee des autres ,
il n' y a pour lors qu' a renfermer la preparation entre
deux verres , de la maniere que j'ai deja dit , & tout fe
debarraffera a la fatisfaclion de 1' obfervateur.

XXIU. Des cinq pieces que je dois examiner , il y en
a deux (Fig. VI. VII.) dont la ftrufture & 1' emplace-
ment font fi decides , qu' il ne peut refter fur cela ' au-
cun doute. Ce font celles dont l' extremite eft denielee &
un peu courbee en arc , & qui ont ete vues par tous les
oblervateurs qui ont examind avec le microfcope 1' aiguil-
lon du Coufin , mais dont les delcriptions & les figures
qu' ils nous en ont donnees , ne font rien moins qu'exa-
t^es. 11 a paru a Leeuwenoeck que 1' on ne pouvoit pas
fe pafter de donner k ces pieces une certaine confiftance
pour les rendre propres a percer la peau de I'animal dont
le Coufin doit iuccer le iang ; il a done cru qu'une for-

a 1

me applatie rie pouvoit leur convenir , mais qu'elles de»
voient Stre fbrmees il peu-pres comme une lame d' epee
a trois quarts. Ce I'entiment de Leeuwenoeck a eu ap-
paremment quelque influence fur 1' obfervation de M. de
Reaumur , car far ce point il s' exprime de la tnaniere
qui fuit. Leeuwenoeck a cru voir , & fai cru de U voir dc
meme , quit y a deux piices qui font faites comme des la-
mes d' epees d trois quarts; ce font celles dont les pointes
font recourbies & qui ont des dentelures fur la convexite de
leur courbure. Mais la nature aime prefque toujours a s'op-
pofer a nos idees fyftematiques ; les pieces en queftion
Ibnt reeilement fort minces , freles &: d'une forme appla-
tie , & cependant tout ell menage de fi9on , que rien ne
leur manque pour s'aquitter fans le moindre inconvenient
de leur fonftion natureile. Elies ont leur origine a cot^
des deux filets qui forment les bords de la fente de I'etui,
& comme ceux-ci, a leur fortie de la tete, font beaucoup
^cartes I'un de I'autre , il en eft de meme des deux pie-
ces dentelees , & c'elt la la raifon pourquoi elles fortent
en partie de 1' etui , lorfque 1' on comprime la t^te ou le
corcelet de 1' infefte. Leur ftru6ture eft fort fimple ; da
cote a. a. a. qui regarde le dedans de la irompe j c' eft
un petit filet arrondi , ou bien un affemblage de petits fi-
kts qui en forment un arrondi qui va droit depuis fon
origine jufques pres de fon extremite , oil il prend une
petite courbure dont la concavite regarde 1' interieur de
la trompe : a ce filet , fuivant tonte fa longueur , tient
une membrane un peu large vers i' origine de la piece ,
& enfuite etroite , & applatie, qui, a fon extremite, eft
d^coupee par le bord & forme par-la cette efpece de
dents arrondies c. que les figures & les defcriptions des
Naturaliftes nous ont repr^ientees comme ayant la forme
de fer de fleche. Le nombre de ces dents n' eft pas le
meme dans toutes las efpeces de Coufins j j' en ai compt^

tantot dix & tantot onze fur les aiguillons des efpeces
communes ; mais il y en a quatorze dans celles des gros
Coufins que 1' on peut attraper dans les maifcns de cara-
pagne fur les vitres aux mois de Novembre & de De-
cembre. Si apres avoir prepare ces pieces dentelees dans
r huile & les avoir renfermees entre deux lames de ver-
te , on les obferve ou au microfcope folaire > ou au mi-
croicope double monte d'une bonne objeftive d' une Jigne
de foyer , on decouvrira fur leurs membranes des fibres
obliques h. b. qui fe voiit rendre au filet a. a., pres de la
partie dentelee, ces fibres diminuent continuellement d'obli-
quite par rapport au filet , & fe rapprochent toujours
i' une de 1* autre, mais pour lors on ne peut plus les di-
ftinguer ni les appercevoir. Cell par ce rapprochement des
fibres tranfverfales que la partie dentelee de cette mem-
brane prend un peu de fermete & de confirtance.

XXIV. Maintenant fi Ton fait attention a ces dents que
le faifceau des aiguillons laiiTe voir fur fes deux cdtes
( Fig. IV. ) , & fi r on rappelle toute la ftrufture de la
grande piece ( Fig. V. ) , on ne pourra plus hefiter fur la
pofiiion des deux pieces dentelees. Le filet a. a. ( Fig. VI.
VII. ) qui fait un de leurs c6tes fe loge dans la petite
coulifle b. ( Fig. V. ) que 1' on a decouvert le long des
deux c6tes de la grande piece & tout-pres de fon ouver-
ture : fi ia capacite de cette coulifle etoit toujours propor-
lion<5e k V epaifTeur du filet qui doit s' y loger , il eft evi-
dent que les pieces dentelees en dependance de la cour-
bure de leur extremite , ou refteroient immobiles , ou que
du moins dies feroient fort genees dans leurs mouvemensj
mais cet inconvenient n'exille point; la coulifle vers I'ex-
tr^mite de la piece s'ouvre & laifle un emplacement com-
mode c. aux deux aiguillons denteles pour pouvoir avoir
leur jeu fans contrainte. 11 me paroit done qu' a parler
exaclement , on ne f^auroit dire qu' a 1' egard des pieces

14

.dentel^es , la grande piece tienne lieu d' un fecond etui :

& par la m^me raifon il me paroit auffi que Ton ne doit
pas prendre trop a la lettre les expreflions de Leeuwenoeck,
lorfqu' il nous dit d' avoir tire ces deux pieces de la ca-
vite interieure du fecond etui , ce qui apparemment ne
fignifie rien autre , finon qu' il avoir degage ces deux par-
ties , qui auparavant eioient unies au failceau entier des
aiguillons.

XXV. Cependant parmi les trois pieces qui me reftent
encore cl developper , il y en a une qui eft reellement lo-
gee dans la cavite de la grande piece comme dans un
^tui ; elle a (on origine au milieu de la tete du Coufin ,
& fe trouve plac^e par fa (ituation naturelle au milieu de
cette cavite. M. de Reaumur doit I'avoir connue ; car on
ne peut entendre , que de celle-ci, ce qu' il nous dit d'avoir
entrevu dans quelques unes de fes obfervations ; jai era voir,
dit il , une piece qui fe termine par une pointe longue &
taillee comme celle £ un cure dent. Une membrane dont le
milieu elt occupe , (uivant fa longueur , par deux filets
^cailleux i. ^. (Fig. VIII.) eft ce qui entre dans fa com-
pofition } la membrane eft mince & d' une largeur qui
paroit moindre que celle de 1' ouverture de la grande
piece , & le microfcope ne nous laifle point voir k% fibres,
ni les longirudmales, ni les tranfverfales : a en juger un
peu predpitamment , on diroit que c' eft un filet arrondi
qui s' e.t'nd le long de cette membrane; mais on s'aper-
cevra de I'erreur, fi apres avoir prepare cette piece dans
une goucte d' eau ou bien d' huiie , on 1' obferve a quel-
que microfcope monte d'une forte lentille : oft verra alors
deux filets h.h. qui laiffent entre deux un creux ou petit
canal a. , qui eft de la meine capacite depuis I'origine de
la piece julques bien pres de fon extremite ; mais la les
filets s' ecartent un peu 1' un de 1' autre & laifleni voir en
c. un vuide , qui fe rend encore plus fenfjble en d. ; mais

enfuiie

fnfuite ils fe rapprochent , s' unifTent & vont former la
pointe de la piece en m. , tout cela doiine a cette extre-i
mite r apparence d' une pointe longue taillee comme celle
d'un cure dent , mais en effet fa realite eft tout autre chofe.
II m'ert arriv^ plufieurs fois de voir le long de ce petit
canal a. des bulles ou des petites colomnes de liqueur
fepjrees par des intervalles vuides ; les parties du canal oii
il y avoit de la liqueur avoient 1' apparence d'un tuyau ,
& je h'y diftinguois plus ni les deux filets, ni la cavit^
qu' il y a entre deux.

XXVI. Ayant commence a decrire dans ce Memoire
les pieces qui compofent 1' aiguillon par celle que j' ai
iiomme la grande piece , ayant pafTe enfuite a la defcri-
ption des deux qui font dentelees & logees aux bords ex-

!| t^rieurs de 1' ouverture de cette piece ; il paroit qu' il eut
I ix€ dans I'ordre de parler de celles qui ferment cette ou-
jl Verture avant que d'entrer dans les details de la piece qui
"eft log^e au dedans. Au vrai je n'ai point eu d' autres
raifons de me d^partir de I'ordre qui paroiftbit le plus na-
turel , fi ce n' eft que j' ai voulu reprefenter tout de fuite
ce que I'obfervation pouvoit nous apprendre de certain S>C
de bien conftate fur la compolition de Ja trompe du Cou-
'fin , pour me referver a parler en dernier lieu de ce qu'elle
'a de pfus embarraft^ant & de plus difficile a etre debrouille. *
'En effet les deux dernieres pieces de 1' aiguillon , qui n'eti
font pourtant qu'une meme double , (ont fort propres pour
'poufler a bout la patience d'un obfervateur; mais je n'abu-
■ferai pas de celle de mon lefteur, en detaiilant minutieu-
tfement tous les moyens dont je me fuis fervi , pour ten-
ter de furmonter ces difficultes. La fource de 1' embarras
'vient de ce qu'elles ne font qu'une membrane tres mince,
''lans aucun filet ecailleux , fans rien de cartilagineux qui
'puiffe y donner un peu de confiftance , d'oii il arrive que
tfi , pour les obferver , on les fepare du faifceau felon la
Mifc, Taur, Tom, IV. d

i6

methocle commune , elles fe prefentent au microfcope toutes
contrefaites , de forte qu' il n' eft pas poffible de deviiier
ce qu'elles font, ni en elles-memes, ni par rapport a leur
arrangement avec les autres pieces ; & fi Ton en fait la
preparation dans I'eau ou dans 1' huile, on verra bien alors
qu' elles ne font que des membranes ; mais en meme terns
il fera aife de comprendre que ces membranes doivent
avoir perdu leur forme naturelie , puifqu'on les voir d'une
largeur a peu-pres auffi grande que ceile du total du fai-
fceau ; que li Ton prend le parti de tenter 1' obfervation
en les laiflant dans leur emplacement naturel , outre plu-
fieurs autres difEcultes , il y en a toujours une infurmon-
table , qui eft , que la piece que je viens de decrire ci-det
fus, & qui eft logee dans la grande piece, ne pouvant en
fortir , fe prefente aufti bien au microfcope que les deux
qu' on voudroit examiner , d'oii , par une fuite neceflaire,
il s'enfuit que le tout eft reprefente confufement, fans qu'on
puifle demeler les objets les uns d'avec les autres. La feuie
reflburce qui refte eft , de les obferver dans les momens
que i'aftion de 1' eau ou de 1' huile les oblige a fe f^pa-
rer , & peut etre ne pourra-t on pas encore reuffir a fe
fatisfaire entierement par cette methode meme, dont I'exe-
cutioM eft d' ailleurs fort delicate. Cependant Je donnerai
la defcription de ces pieces avec la precaution de ne pas
confondre, avec des apparences douteufes, ce que j'yaivu
diftindement & fans equivoque.

XXVil. Chacune de ces pieces , qui , comme je 1' ai
deja fait obferver , font d'une meme ftrufture , a fon ori-
gine immediatement au-deffus de ceiles qui ftmt dentelees,
& par confequent elle eft placee entre I'une de ces pie-
ces ci & le bord de la grande piece. Sa fubltance eft
membraneufe & d' une telle finefle , lorfqu'elle eft bien
deployee , qu' il n'eft pas poffible d'en fuivre les bords que
i'oij. apper^oit , amli quele corps meme de la membrane,

17

qu' a la faveur des pretits replis & froncemens qu' elle
prend par intervalles (Fig. IX.) mais vers 1' extremite
de la piece quelques uns de ces replis ont une forme
conftaiue ; ce font ceux que 1' on voir aux deux bords de
cette extrdmite & qui paroiflent comme deux filets, dont
'celui d'un cote eft toujours plus long que celui de i' au-
tre , & fur ce filet plus long on decouvre avec un bon
microfcope une crenelure a dents plates & tres-fines, a. a.
que je n' ai jamais vu deborder vers l' exterieur de la
membrane j ayant toujours obferve que leurs pointes en
regardoient T interieur. Au reile il ne m' a pas ete pot
^ble de verifier fi c' eft le cote dentele qui regarde I'in-
terieur de la trompe , ou fi c'eft celui qui ne I'eft point:
il auroit fallu , pour fixer cette fituation , avoir fuivi fans
interruption un des bords de la membrane, depuis fon ori-
gine jufqu' a fon extremite, mais jamais je n'y ai pu
reuflir. Ce qu' il y a de certain , c' eft que les deux bords
de r extremite de ces pieces font affujettis 1' un a 1' autre
■par une efpece de ligament ou d'un filet s. s. qui part du
bord qui ,n' eft pas dentele, & va obliquement s' inferer
-dans celui qui. I'eft, & par-la il les emp^che de s' ecar-
ter r un de 1' autre & aflure la forme de 1' extremite de
la membrane , qui depuis le ligament jufqu' a fon bout ,
eft d' une petite pelle un peu evafee. Voila ce que ces
deux pieces nous font voir , lorfque par I'aftion d'un fluide
elles fe font etendues ; mais ce n' eft point la leur etat
naturel , comme je 1' ai deja fait remarquer ; & plufieurs
obfervations m'ont appris que ces membranes, dans leur ar-
rangement naturel , font pliflees fuivant leur longueur a
peu-pres comme le papier d' un eventail , & il m' eft ar-
rive quelques fois de les voir appliquees 1' une a cote de
r autre , de forte que 1' on auroit pu les prendre pour une
feule piece ( Fig. X. ) ft ce n' etoit que pres de leur ori-
gine elles etoient feparees , & auffi 1' etoit-elles a leur
extremite. d z

'8

XXVIIT. La ftruflure de ces deux pieces prouve rff^s
qu' eiles ne font pas deftinees a percer la peau de I'ani-
inal que le Coufin doit fuccer , ni a agir immediatement
fur elle , d'ou il paroit s' enfuivre que leur principale de-
ftination poarroic etre de fermer I'ouverture de la grande
piece. Mais quel peut-etre 1' uiage de cette denteiure que
r on oblerve fur l' un des bords de chacune de ces deux
pieces ? Ferment elles 1' ouverture de la grande piece en
s' introduifant dans fon interieur , ou bien font-elles logees
k fon exterieur ? Et pourquoi deux pieces pour former
cette ouverture ? N' y en auroit-il pas aflez d'une ? A^ la
verite, voila des queltions aux quelles je fens bien de n'eire
aucunement en etat de fatisfaire j feulemeni j'avouerai, que
je pcnche a croire que 1' emplacement des deux membra-
nes en queition n' etl pas au dedans de la grande piece ,
mais en dehors , c'etl-a-dire que leurs bords s'nppuyent fur
ceux de I'ouverture pour la fermer ; & je fuis d' autant
plus porte a le croire, qu'il ine paroit , que moyennant cet
arrangement , il ei\ plus aife de donner une explication fa-
tisfdilante du mecanifme qui opere dans le Coufin la
fuccion de 1' aliment ; car j'avouerai auffi, que je fens de
la repugnance a embraifer 1' opinion generalement re9ue
pour expliquer la maniere dont cette operation s' execute.
XXIX. On s' elt forme 1' idee de 1' aiguilion du Coufm
comme d' un aifemblage de plufieurs lames appliquees les
unes contre les autres & renfermees dans un etui , ainfi
que les lancettes & d' autres inftrumens propres a ope-
rer fur nous, font renfermes dans celui d'un Chirurgien ,
& on pretend que de cet affemblage, il en refulte une
trompe d' autant plus admirable qu'elle ell plus fmiple j
lorfque le faifceau de ces lames, dit-on , eft introduit dans
la veine , le fang s' eleve dans la longueur de ces lames
a peu-pres par le meme mecanifme qui fait monter les
liqueurs dans les tuyaux capiUaires. Qutlquts obfcrvations

que M. ae Reaumur a hues fur 1' aiguillon du Tao/tj ont
donn^ lieu d' imaginer ces fortes de trompes , ou la fuc-
cion s' execute, fans que cette operation demande ni quelqu'
organe precis deftine a cet office , ni meme un arrange-
ment fixe & determine des pieces qui compofent ces trom-
pes. Je ne f^aurois deterer a ce fentiment ; & quand me-
me il pourroit avoir lieu h i' ^gard de la trompe du Cou-
fin , on ne pourroit pas , ce me femble , en prouver la
verity par ce que 1' on obferve dans celle du Taon ; car
il me paroit tresevident, que I'organe de la fuccion dans
celle-ci eft bien plus complique que ne le fuppofe I'opi-
nion commune , qui n' a reellement d' autre appui que
quelques obfervations de M. de Reaumur , tres-exaftes a
la verite , mais dont on tire des confequences qui ne
peuvent pas en d^couler. Ce f.imeux Naturalise a prouve,
& prouve fans replique , que le I'ang de 1' animal pique
par le Taon ne pafle pas par quelque ouverture piacee
entre les levres de la partie charnue de fa trompe, mais
que le conduit, par lequel il monte dans le corps de Tin-
fe6te, doit etre place dans cet organe, qu'on appelle I'ai-
guillon : or quoique tout cela foit exatlement conforme
a la realii^ , ce n'eft pourtant pas une preuve,rique les
levres de la trompe ne foient pas un des principaux or-
ganes qui opere la fuccion, ni que parmi les pieces qui
compofent 1' aiguillon il y en ait quelqu'une fane pour
fervir de conduit , ni enfin que ce conduit foit forme par
un aflemblage quelconque de toutes les pieces , & non
pas par 1' encjdrement de quelques unes, dont I'enfemblc
tormeroit un vrai canal , a peu-pres comme on le peut
obferver dans les deux trompes ou comes du Fowmilion.
XXX. Pour verifier ce point , il eft necelTaire que j'en-
ire dans quelques details fur la ftrufture de la trom; e du
Taon. Je ne connois pas d'Auteurs qui I'ayent examinee,
ejccepi^ M. de Reaumur , qui meme , a ce qui paroit ,

31

Si entre les deux lames on met du papier plus mince, &

par confequenr, fi I'on comprime un peu plus la prdpara-
tioii , les rrach^es d s commenceront pour lors a perdre
leur forme de tiiyau complet; elles s'entrouvriront & laif-
feront voir ia dentelure ii , a , a , d' un de leurs b ords ,
& il fera aife a imaginer , que ce que Ton voit d'obfcur
vers le milieu & au long de la piece , doit ^tre la den-
telure de r autre bord. Enfin fi i' on comprime encore
d' avantage la preparation , les tracli^es Of, n (j ^ s'ouvri-
ront entierement & prefenteront k V obfervateur leur rtru-
fture tout a fait k decouvert : on voit done que chacurje
de c?s trachees e(l une membrane qui a la forme d' uii
paflement a bords dentel^s , & qui elt croifee par des fi-
lets bruns de nature ^cailleufe, dont I'un des bouts fe ter-
mine conllamment au haut de la dentelure i. i., & I'auire
au plus profond de la decoupure i. i. il ell bon cepen-
dant de remarquer que ces vailTeaux , a leur infertion dans
]a grande trachea, font compofes d' anneaux complets,
qu'on peut bien rompre a. a. ; mais que Ton ne fauroit
developper , & que leur extrdmite s. s. s. ( Fig. XI. ) qui
aboutit a la face des levres qui regarde la tete de la mouche,
parcit entierement fermee.

XXXIII. II me relte encore a faire obferver, fur la
compoiirion de cette piece , un fait qui prouve combien
nous fommes loin de pouvoir penetrer les differentes vue$
de la nature dans la ftrufture de fes organes , & combien
auffi on devroit Stre referve a en imagmer de notre cru
au ddfaut d' obfervations qui nous eclajrent fur la v^rit^
des taits. Rien de plus naturel que de penfer, que ce filet
noil acre qui borde chacune des deux levres, depuis I'echan-
crure m. (Fig. XI.) julqu' au bout inferieur a., & de
m. j jfqu' a leur extremite la plus ecartee c. doit ^tre dans
touie Ion etendue une fubllance homogene , arrangee fui-
varit un meme delTem & qui donne naiffance a touies les

trachees

i 3j

I tracWes felon un mime plan ; cependant cela n' eft pas.
Commen^ant en r. r. vers le milieu du bord circulaire ,
dont j' ai deja dit un mot ci-deftus, & defcendant jufqu'a
r extr^mite a. la grande trachee elt telle precilement que

j je viens de la decrire , c' ell-a-dire , elle eft formee com-
'me les trachees font dans les infectes, & de la maniere
qu'elle eft reprefentee en A. O. ( Fi^. XII. ) : ce font 1 5.
branches qui en partent depuis r. jufqu'en a. ( Fig. XI. )•
■Je dois dire a peu-pres les memes chofes de la portioa
qui fe trouve dans la partie (uperieure des levres entre d.
& c. ; mais cette portion de trachee ne donne que 8. ra-
meaux. Or 1' obfervation nous apprend que I'entre-deux r.
d. de ces portions a une forme differente , & que 9. ra-
meaux de trachees qui y prennent naiftance , en fortent
d' u\\Q iaqon qui eft bien diverfe de celle que 1' on ob-
ferve dant les ramifications de tout autre vaifteau connu.
Done ce filet , dans la portion r. d, , fo prefente comme
un cartilage couleur de matron clair, dont les deux par-
ties de la grande trachee r. a. & d. c. font une prolonga-
tion de ce cartilage ou vailFeau cartilagineux, car je ne
faurois decider fi c' elt T un ou 1' autre , tirant leur ori-
gine des filets x. x. ( Fig. XII. ) qui ont 1' apparence de
plantules qui portent quatre feuilles oppofees , & c'eft d'en-
ire les aiftelles des deux dernieres que fortent les trachees,
comme les boutons portent d' entre les ftipules. Ces tiges
font , comme je viens de le dire , une prolongation du
cartilage 0. B. & paroiflent ^tre de la meme nature j feu-
leraent on y voit au milieu & dans route leur longueur
une petite ligne blanche qui fo continue dans les feuilles.
11 y a encore a obferver des petites lames y.y. , echan-
crees a leur extremite , qui prenneut naiffance aux deux
cotes des tiges x. x. & qui font de la nature du cartilage
^d ou elles partent , mais dont il paroit bien difficile que
r on puifte parvenir a conuoitre 1' ul'age. Voila done des
MLfc,Taur,Tom,ir. ' e ■'

3»

Si entre les deux lames on met du papier plus mince, &

par confequenr, fi I'on comprime un peu plus la pre;)ara-
tioii , les trach^es d s commenceront pour lors a perdre
leur forme de niyau completj elles s'entrouvriront & laif-
feront voir la dentelure a , a , a , d' un de leurs bords ,
& il fera aife a imaginer , que ce que I'on voit d'obfcur
vers le milieu & au long de la piece , doit ^tre la den-
telure de r autre bord. Enfin Ci i' on comprime encore
d' avantage la preparation , les tracbdes Of, n q , s'ouvri-
ront entierement & prefenteront a 1' obfervateur leur Itru-
£ture tout a fait a decouvert : on voit done que chacuoe
de ces trachees ett una membrane qui a la forme d' un
paflement a bords dente!^s , 6c qui elt croifee par des fi-
lets bruns de nature ^cailleufe, dont i'un des bouts fe ter-
muie conllamment au haut de la dentelure i. i., & I'autre
au plus profond de la decoupure i. 2. il ell bon cepen-
dant de remarquer que ces vaiffeaux , a leur infenion dans
la grande trachea, font compofes d' anneaux complets,
qu'on peut bien rompre a. a. ; mais que Ton ne fauroit
developper , & que leur extremite s. s. s. (Fig. XI.) qui
aboutit a la face des levres qui regarde la tfite de la mouche,
parcir entierement fermee.

XXXllI. II me relle encore a faire obferver, fur la
compoiirion de cette piece , un fait qui prouve combien
nous fommes loin de pouvoir penetrer les differentes vues
de la nature dans la ftrufture de fes organes , & combien
auffi on devroit ^tre referve a en imaginer de notre cru
au defaut d' obfervations qui nous ^clairent fur la v^rit^
des fairs. Rien de plus natural que de penfer, que ce filet
noitatre qui borde chacune des deux levres, depuis I'echan-
crure m. ( Fig. XI. ) julqu' au bout inferieur a. , & de
m. j jfqu' a leur extremite la plus ecartee c. doit dtre dans
louie Ion etendue uiie fubitance homogene , arrangee fui-
vant un meme delTein 6c qui donne nailTance a routes les

trachees

3J

trachees felon un m^me plan ; cependant cela n' eft pas.
Coramengant en r. r. vers le milieu du bord circulaire ,
dont j' ai deja dit un mot ci-delTus, & defcendant jufqu'a
r extr^mite a. la grande trach^e elt telle precii'ement que
je viens de la decrire , c' e(l-a-dire , eile eft formee coni-
■ me les trachees font dans les infectes , & de la maniere
qu'elle eft reprefentee en A. O. ( Fig. XII. ) : ce font i j.
branches qui en partem dcpuis r. jufqu'en a. (Fig. XI.).
Je dois dire a peu-pres les memes chofes de la portion
qui fe trouve dans la partie fupcrieure des levres entre d.
& c. ; mais cette portion de tracliee ne donne que 8. ra-
meaux. Or 1' obfervation nous apprend que i'entre-dcux r.
d. de ces portions a une forme difterente , & que 9. ra-
meaux de trachees qui y prennent naiffance , en fortent
d' uwQ fagon qui eft bien diverfe de celle que T on ob-
ferve dant les ramifications de tout autre vaifteau connu.
Done ce filet , dans la portion r. d. , fe prefente comme
un cartilage couleur de marron clair, dont les deux par-
ties de la grande trachee r, a. & d.c. font une prolonga-»
lion de ce cartilage ou vailfeau cartilagineux, car je ne
faurois decider fi c' eft 1' un ou 1' autre , tirant leur ori-
gine des filets x. x. ( Fig. XII. ) qui ont 1' apparence de
plantules qui portent quatre feuilles oppolees , & c'eft d'en-
ire les aiflelles des deux dernieres que fortent les trachees,'
comme les boutons portent d' entre les ftipules. Ces tiges
font , comme je viens de le dire , une prolongation du
cartilage 0. B. & paroiftent etre de la meme nature; feu-
leraent on y voit au milieu & dans toute leur longueur
une petite ligne blanche qui fe continue dans les feuilles.
11 y a encore a obferver des petiies hmcs y.y. y echan-
crees a leur extremite , qui prenncut naiflance aux deux
cotes des tiges x. x. & qui font de la nature du cartilage
d'oii elles partent , mais dont il paroit bien difficile que
r on puifte parvenir a connoitre i' ufage. Voila done des
A'lifc. Taur. Tom, IF, e

34

faits bien myfl^rieux ; mals puifque la plus grande diffi-
cult^ qui fe pr^fente , vient de la nature de cette fubftance
cartilagineufe 0. B. qui ne paroit pas former un vaiffeau ;
mais qui cependant , malgr^ I'apparence contraire, pourroit
bien en former un. Jc ne poufferai pas plus loin cette et
pece de digreffion , dont je me flatte pourtant que le le-
tleur n' aura pas ete fache. Toutes ces trachdes develop-
pees ofFrent au microfcope , furtout au folaire , un fpefta-
rle fort joli ; mais je dois pourtant avertir qu' il n' eft
pas fi aife de bien preparer les levres de la mouche , de
forte que les deux grandes trachees & toutes leurs rami-
fications fe prefentent diftinftement & avec pr^cifion; il eft
furtout difficile d' avoir une bonne preparation de la par-
tie cartilagineufe & de ces filets , ou plantales qui en for-
tent ; mais (i i' on borne fa curiofite a voir (implement la
ftrufture des rameaux de ces trachees, la chofe (era d'une
facile execution ; il n' y a qu' a obliger les levres a fe
gonfler , a en cooper une petite portion fur leur face
exterieure , & la placer dans une goutte d'eau entre deux
lames de verre que i' on fermera fans 1' entremife de pa-
pier ; cette preparation ne manquera pas d' avoir fon ef-
fet, au moins tlans quelques unesdes tracliees , qui s'ouvri-
ront & offriront aux yeux de 1' obferyateur le beau fpe-
ftable dccrit cy deffiis.

XXXIV, La ftru6lure des levres que je viens de de-
tainer , fait aflez voir que c'ett I'air qui fait le principal
jeu de la trompe ; mais independamment de cela , il eft fi
evident que la trompe des mouches qui ont ces groflfes
levres charnues , eft du genre des trompes afpirantes , que
M. de Reaumur a et^ oblig^ d' avouer le fait , quoique
d' ailleurs il n' ait pas eu connoiffance des trachees qui
r operent ; on ne peut pourtant , dit-il , / impec/ier de regar-
'der la fuccion comme la principale caufe qui fait monter ta
^ ■liqueur dans la trompe i dt regarder cette trompe comme une

forte ie trompe afpirente dans laquelle la liqueur efi poujee
par la prejjion de /' air exterieur i ^uand on fait attention a.
une circonfance ^ c efl que dans certains inflans^ la portion
de la goutte fur laquelle le bout de la trompe efl appliquee ,
devient toute mouffeufe , parcequelle ft; remplit de hulles
d'air que la trompe y introdmt. „ Apres un tel aveu, il n'e(l
pas facile de deviner par quelle raifon valable ce faraeux
Naturalifte ait fait de la trompe du Taon une exception
de cette regie , & qu' il ait penfe que les levres de fa
trompe ne fervent qu'a donner un appui folide a la cou-
lifle qui foutient la partie compofee des aiguillons. S',il
y a de la difference entre la rtrufture de la trompe du
Taon & celle des autres efpeces de mouches a levres
mufculeufes , & il eft indubitable qu' il y en a » cette dif-
fi^rence ne regarde pourtant pas le fond de fon meca-
nifme, par rapport aux organes propres, pour en former
une trompe afpirante. Les deux cordons qui bordent I'in-
t^rieur & T extremite fiiperieure des deux levres de la
trompe du Taon ^ font partages, tout conime dans la trom-
pe des mouches que je viens de decrire , en trois por-
tions j celle du milieu paroit un cartilage, & les deux
extremes font des irachees j mais les filets qui enveloppent
celles ci font plus fubtils & pJus ferres I'un contre I'autre
qu' ils ne le font dans les trachees des levres de la mou-
che. La plus grande des differences qni fe prefente entre
les deux ftruftures en queftion , eft que dans le Taon les
vaiffeaux qui partem de ces cordons ne font pas formes ,
comme dans la mouche , par des membranes roulees f«i-
vant leur longueur j mais autant que Je 1' ai pu obferver,
ce font des luyaux reellement complets. Je ne puis affu-
rer Hon plus que ceux d' entre ces rameaux qui ont leur
origine dans la lame cartilagineufe , foient une prolonga-
tion de ces petites tiges que Ton a obferve dans la trom-
pe de la mouche j ce qui m' a empeche de me fatisfaire

e X

3^

fur ce point, c'efi: qu' a leur origlne, ces rameaux font frop

pres les uns cles autres , pour qu' ils fe prcfentent auffi di-
Itiiiftement qu' il le faudroit pour s'alTurer du fait. Cepen-
dant il rae paroit inconteltable que ces petites differences
dans la ftrufture des trachees des levres du Taon , par rap-
port a r organization que 1' on obferve dans celles de la
mouche commune , ne font aucunenaent de nature a faire
foupgonner que les levres de la trompe de celui-la n'ayent
d' autre deftinaiion que celle de donner un appui folide
aux aiguillons , pendant que Ton eft d' accord que dans
les autres mouches elles ne fervent pas feulement a cet
appui , mais auffi a vuider d' air le conduit par lequel
doit monter la liqueur pour entrer dans leurs corps.

XXXV. Mais quoique la ftrufture des levres de la trom-
pe du Taon paroiffe affez deciiive pour qu'on doive pla-
cer celle-ci dans le genre des trompes afpirantes ; il eft
cependant a propos d' examiner , li les . pieces qui en com-
pol'ent I'aiguillon, ne font pas fi differentes de celles qui
entrent dans la compofition de 1' aiguillon des mouches'
communes , qu' on foit oblig^ d' imaginer d' autres princi-
pes pour rendre raifon des moyens que la nature a em-
ployes pour la nourriture de l' infefte. Mais a la verite
r obfervation nous apprend que , malgre la diverfite qui
fe montre, foit dans le nombre des pieces qui compofent
I'aiguillon proprement dit de la trompe du Taon , (oit dans
leur conformation comparee a celle qui fe fait voir dans
les aiguillons des autres mouches, la nature n'agit ici que
fur un meme modele , qui n'eft varie qu'autant que I'exige
la maniere differente dont ces infeftes doivent fe nourrir.
Pour piece de comparaifon je choifis 1' aiguillon de la
mouche commune des apartements. 11 eft loge, de raeme
que celui du Taon, dans une couliffe charnue qui eft fur
la face fuperieure de la tige qui porte les levres de la
trompe , & cetie couliffe aboutit a I'echancrure m. ( Fig. XI.)

37

que les levres c d , c d laiffent entredeux. II n' eft com-
pofe que de deux pieces , dont la plus petite eft encadree
au fond de la coulifle , &: reflemble rout-a-fait a une pie-
ce analogue aba (Fig. Xlll. ) que Ton jtrouve placee de
irieme au fond d' une pareille coulifle charnue de la trom-
pe du Taon , ayant 1' une & I'autre fuivant leur longueur,
trois compartimens c , d , c , divifes par deux cordons
m n^ m n qui aboutiflent aux deux cotes de ia pointe b
de la piece , &: donnent la forme de coulifle au compar-
timent du milieu d,\eque\ d'ailleurs, ayant une petite con-
cavite , fe trouve par-la arrange en forme de conduit j la
difference la. plus remarquable qu' il y ait entre ces deux
pieces analogues eft que celle qui appartient au Taon .e&
beaucoup plus epaiflTe Sc d' une plus forte confiftance. ■
XXXVl. La feconde piece qui entre dans la compo*
fition de I'aiguillon de la mouche eft beaucoup plus grofl'e,
plus folide & plus ferme que la premiere ; elle paroit
avoir une forme cylindrique ; mais en l' obfervant par
deflbus , du cote qu'elle regarde la coulifle , on decouvte
qu'clle eft ouverte & faite en voute ; de forte que recou-
vrant la premiere piece , elle doit faire, avec celle-ci, un ca-
nal qui eft place entre la coulifle de la petite piece & la
concaviie de la grande. Cette concavite n'occupe pas plus
d' un tiers du total de la grofl!eur de la piece, ce qui fait
conjcdurer que fa partie fuperieure doit former un canal,
ou , llslon M. de Reaumur, le fu^oir de la trompe : con-
jetlure que Ton peut reellement appuyer de Toblisrvation,
en ce qu'elle nous donne plufieurs indices de 1* exiftence
d' un canal , & pas un qui puifle nous faire foupgonner
que cette partie fuperieure ne foit qu'un compole de fub-
ibnce folioe. De-la il s' enfuit que 1' aflemblage des deux
pieces de 1' aiguillon de la mouche forme deux conduits ,
doiu r un eft dans la grande piece , & 1' autre refulte de

3^ .

la capacity qui eft contenue entre la couliffe de la petite

piece & la voute de la grande piece qui la recouvre; or
il eft aife de comprendre que ces deux conduits peuvent
fe vuider d'air ; car non feulement les pieces qui les com-
pofent font encadrees dans la coulifle charnue , mais de plus
elles ont leurs bords exterieurs recouverts & furmontes par
les membranes de cette partie charnue ; d' oil il doit s'en-
fuivre que ces memes membranes feront 1' office de fou-
pape , routes les fois que par la dilatation des levres la
trompe fe vuidera d' air. A^ prefent fi Ton me demandoit,
pourquoi ces deux conduits dans la trompe de la mouche,
comme s' il n' en etoit pas affez d'un, & quelle peut-etre
leur differente deftination , on me feroit des queftions
auxquelles je ne faurois fatisfaire qu'en partie ; ces fortes
d' infe£les doivent pomper de la liqueur ; une autre li-
queur doit fortir de leur corps par la trompe pour dela-
yer les raatieres de leur nourriture & les rendre propres
a. etre pompees ; 1' air aufli doit tantot fortir du corps
des aiguillons & tantot y rentrer pour aider le. jeu de
la fuccion ; ce font-la des fontlions bien difFerentes , qui
pour leur execution , ont apparemment exige plus d' un
conduit. Tenons nous en done aux faits ; ceux-ci nous ap-
prennent que les organes qui dans la mouche commune
ont part a 1' aftion de la fuccion, font les levres de la
trompe , les deux conduits formes par V affemblage des
deux pieces de 1' aiguillon , & la coulifte charnue avec ks
bords membraneux qui afTujettilTent I'aiguillon , & font dans
les occadons un obltacle a 1' air exterieur de pouvoir s'in-
troduire entre les deux pieces qui le compofent. II s'agit
maintenant de faire voir que ces organes ne fe montrent
pas moins dans la trompe du Taon que dans celle de la
mouche comune.

XXXVII. La trompe du Taon a deux levres a fon extre-
mite , & ces levres font fournies de vaiffeaux a air touc

I

i9

comme celles de la mouche commune ; elle a aufTi une cou-
Jiffe charnue dans laquelle loge I'aiguillon , dont la piece
qui eft encadr^e dans le fond ( Fig. XIII. ) a la meme
ftrufture que la petite piece de 1' aiguillon de la mouche;
& comme dans cette trompe la partie brune & luifante
que r on voir le long de la face fuperieure de la coulit
fe , eft la grande piece de I'aiguillon qui couvre la petite,
e'en eft auffi de meme dans la trompe du Taon , mats la
ftrufture en eft pourtant differente ; (i cela n'etoit pas, ii
y a apparence que I'efpece d' infeftes qu' on appelie Taon
n' exilteroit pas, faute d'organe convenable pour fe pro-
curer la nourriture ; car elle auroit bien' les conduits pro-
pres pour la faire monter dans fon corps j mais elle man-
queroit d' inftrumens fuffifants pour la faire parvenir dans
ces conduits , k quelques petites differences pres que 1' oa
comprendra aifement par la comparaifon des figures XIIL
& XIV. Cette piece (Fig. XIV.) eft tout-4-fait fembla-
ble a cclle ( Fig. XIII. ) qui eft log^e au fond de la cou-
lifle mufculeufe , elle eft feulement beaucoup plus epaifle
& plus large que celle-ci : je ne fais pas comment il peut-
fitre arrive que M. de Reaumur ait manque cette ftru6tu»
re , qui d'ailleurs ne demande pour etre bien obfervee
qu'un microfcope des plus mediocres j il lui a paru que
cette piece eft diftinguee en quatre cannelures formees par
cinq cordons qui abouiiffent a fa pointe , & dont i'un en
occupe I'axe dans tout€ fa longueur ; mais c'eft juftement
ce cordon du milieu qui derange toute I'economie de la
piece & qui reellement n' exifte point , puifque ce miliea
j4. B. ( Fig. XIV. ) a une cavite , & non pas un cor-
don.

XXXVIII. Si ces deux pieces s' ajuftoient immediate-
ment I'une contre I'autre , il eft evident qu' il n'en reful-
teroit qu'un grand canal ou conduit fait par la rencon-
tre de leujr concavite A. B. ( Fig. XIV. ) h. d. (Fig. Xlll.)^

40

mais il y en a deux autres qui doivent Te loger entra

celles-la , & de cet emplacement depend , comme on va
le voir , la formation des deux conduits. Ces deux pihes-
ci , dit Mr. de Reaumur , font celles qui font le mieux faiies
en lancette , qui font Ics plus minces ; & elles font (i lijfes
& (Tune fubjiance (i cgale , quon n y appercoit pas la moin-
ire fibre. Cela eft aflfez conforme aux obfervations qu'on
peut faire avec le microfcope ; feulement je ferai remar-
quer que ces lames ( Fig. XV. ) , du cote fur tout de leur
courbure a , a , a , ont un petit bord membraneux b. b. b.
qui fe prolonge jufqu' a bien pres de leur pointe c , &C
qu'on decouvre dans cette membrane des fibres perpendi-
culaires a la longueur des lames qui vont s' y inferer Sc
fe perdre dans leur fubftance liffe & luifante. II dit aufli
que leur largeur eft a peu pres la meme que celle de la
piece qui elt logee dans le fond de la coulilTe , ce qui
eft vrai de la largeur de ces lames a leur origine j mais
comme dans leur prolongation elles fe retreciftent bien
moins que cette piece-la ; il s' enfuit qu' elles ont plus de
largeur , & ne peuvent s' y appliquer fans deborder des
deux cotes. Or ces deux lames minces , lifles & faites en
forme de lancette fe croifent , & s' appliquent contre les
cordons a , m , m , a ( Fig. XIII. ) de la piece d'en-bas ,
& il eft evident que de cette poiition il rel'ulte un con-
duit b. d. , dont le plat des lames ( Fig. XV. ) forme la
couverture , & puifque la grande piece ( Fig. XIV. ) re-
couvre raffemblage de celle d' en-bas & des deux lancet-
tes , & que , par confequent , (es cordons ab , a b s' ap-
puyent contre la furface fuperieure des lames, il en reful-
tera encore la formation d'un fecond conduit fait a coH"
tre-fens du premier , c'eft-a-dire , oii le plat des lames eft
en-bas , & la concavite A £ en-haut.

XXXIX. Cependant cette compolition de piece dans
r aigaillon du Taon doit neceffairement laillcr des interfti-

qes

41

CCS le long des deux c6tes de leur jointure, & on ne
fauroit placer cette rrompe entre les afpirantes , fi la ma-
chine n' eft pas pourvue d' organes propres a empecher
que r air ext^rieur ne s' introduife par ces interftices dans
le corps de la trompe ; & il eft vrai qu'on ne comprend
'pas-aufli-tot comment I'air exterieur peut-etre empeche de
penetrer entre les bords de la grande piece & ceux des
lames qui ne fauroient s' y appliquer exaftement, par I'ob-
ftacle qu' ils doivent rencontrer du cote des cordons done
cette piece eft fournie. Cette difficuhe feroit reelle fi on en
etoit reduit a expliquer la cliofe uniquement par la preC-
(ion des bords mufculeux de la couliffe charnue, ainfi que
nous I'avons fait ci-deflus en parlant de la trompe de la
mouche commune ; car il faut avouer que 1' aiguillon du
Taon n' eft pas fi fortement applique contre fa couliffe com-
ma I'eft celui de la mouche ;& de plus il eft conftant que
cet aiguillon eft pouffe au de-la de la couliffe , & meme
au-de-ia des Icvres lorfque 1' infefte perce la chair d' un
animal. Mais la ftru6lure complette de cet organe nous
fournit les moyens pour refoudre la difficulie , ou plutot
elle nous apprend qu' il n' y en a aucune. La trompe du
Taon a done encore deux pieces qui , quoiqu' exterieures
au corps de I'aiguillon , ont pourtani des foiiclions tres-
effentielles qui s' y rapportent: elles fervent a faire couler
le fang des veines que les lames a lancette ont ouvertes ;
elles affujettiffent ces memes lames a la piece fupeiieure de
r aiguillon , & enfin elles peuvent empecher I'air exterieur
de p^iietrer dans le corps de l' aiguillon , en s' y intro-
duifant par les vuides qui exifteni entre les lames & I'in-
terieur de la grande piece. M. de Reaumur, qui n'a ob-
ferve ces deux pieces qu' a la loupe , s' eft borne a nous
apprendre qu' elles font faites en gouttiere ( Fig. XVI. )
que leur emplacement tft a chacun des deux cotes de
I'aiguillon, 6.: que c' eft dans la gouttie.ede chacune de
Mijc. Taur. Tom. IF. f

41 • . ,

ces pieces que fe loge de chaque core le bord de la gran-

de piece ( Fig. XIV. ) & le bord ext^rieur de chacune
des lames ( Fig. XV. ) , ce qui eft exaftement conforme
k la v^rite ; mais d'ailleurs infufifant pour nous faire com-
prendre loit 1' elegante ftrufture de ces pieces , foit leur
vraie deftination. J' ai fait graver la figure de ces pieces
en gouttiere, telle que M.de Reaumur I'a donnee (Fig. XVI.)»
feulement je I'ai portee a la proportion de mes trois fi-
gures precedcntes , & cela pour faire comprendre que la
fimple loupe eft d'un trop foible fecours pour obferver des
objets d'une certaine petiteflfe.

XL. La figure ( XVII. ) que j' en donne fur mes pro«
pres obfervations , ne fait voir que cette portion de la
piece qui dans la figure XVI. eft marquee par a. b. b. ,
& n' eft que -j- du total de fa longueur j I'agrandifTement
dans ma figure eft de i(yo. fois fon diametre. Afin d'en
faire mieux obferver la ftrufture , je I'ai reprefentee ou*
verte , ainfi la gouttiere ne s' y voir pas ; mais on n' a
qu' a concevoir que la piece foit pliee felon fa longueur
de la h(^oa qu' elle 1' eft dans la fig. XVI. pour com-
prendre que le fond de la gouttiere eft forme par la fiib-
ftance membraneufe a. a. contenue entre les filets ou les
cordons ecailleux b. b, b. b. ( Fig. XVII. ) qui commenceni
a r origine de la piece , & difparoiflent pres de fon ex*
tremite. On voit fur un des tranchans & a 1' extremitd
de cette piece une forte denteiure c. c. c; ces dents, lorfque
]a piece eft a fa place naturelle , prefentent leurs pointes
vers r interieur de la face fupeneure de la grande piece
( Fig. XIV..) Sa face exieneure eft aufli garnie de dents; |
mais plus petites que celles qui font fur le tranchant, &
leurs pointes regardent la t^te de T infefte : les dentelu.
les du cote dm s' etendent plus loin que du cote dn}
celles-la dans 1' affemblage des pieces qui forment I'aiguiU
Ion , futmonteni la face fuperieure de la grande piece f

& celles-cl hirifTent fa face inrerieure de V extremite des
lames faites en lancette. Du c6te que la fubrtance mem-
braneufe qui forme cette piece s' applique en deflbus
centre ces lames , elle fe termine par des appendices en
forme de mammelons o. p. p. qui fprment tout le long de
fon bord , a commencer en o , pres de la pointe de la;
piece , comme une efpece de frange dont on ne fauroit
reconnoitre la deftination , qui doit etre d'afTujettir les pie-
ces dont les bords font enchaffes dans le creux de la
goutfiere. Cell apparemment pour la meme fin que cette
membrane , tout-pres du meme bord , a dans la plus gran-
de partie de fa longueur un? petite bande s. s. s. qui pa-
roit formee par des petits filets ferres & comme entaffes
les uns fur les autres. Cette frange de mammelons ne fe
trouve point au bord de la membrane qui s'applique cen-
tre la face fiiperieure de la grande piece , mais depuis m,
ou les dents finiffent ; elle fe termine par une bande fila-
menteufe a. u. femblable , mais plus large que celle qui
de r autre cote en occupe V interieur s. s. s. Voila done
nne ftrufture , qui fans d' ulterieurs eclairciffemens, fait alTez
cormoitre par elle-meme que les pieces , a qui elle ap-
partient , font deftinees a faire couler le fang des vaif>
feaux que les lancettes ont perces ; qu'elles fervent a affu-
jettir les unes aux autres les pieces qui entrent dans la
tompolition de I'aiguillon, & qu' enfin elles peuvenr, dans
les cas oil 1' interieur de la trompe fe vuide d'air , faird
fa fonftion de foupape & empecher I'air exterieur de s'in-
troduire entre les jointures des pieces.

XLI. De tout ce que je viens d'obferver fur la ftru-
fture de la trompe du Taon , on peut bien , ce me fem-
ble , en tirer la confequence qu'elle doit etre rangee dans
la claffe des trompes afpirantes , pas moins que la trompe
des mouches communes , & que m^me elle y eft am-
jnenee par un des plus jolis mecanil'mes que i' anaiomie

44

des infefles nous prefente. Au furplus la penfee de faire

paffer la nourrituie dans le corps d' un infefte par le me-
me m^canifme qui fait monter I'eau dans un tas de fa-
ble ou dans le corps d' una dponge , pent paroitre trop
finguliere pour que Ton doive s' y preter fans des preu-
ves fup^rieures.

XLII. Revenons maintenant a la trompe du Coufin &
faifons remarquer que T on s' eft un peu trop preffe lorfqu*
on a affure , qu'elle n' etoit que la trompe meme du Taon
en petit ; la comparaifon qu' on peut faire des pieces qui
compofent ces deux machines, eft plus que fuffifante pour
mettre en evidence qu'elles ne fe reifemblent en rien I'une
k I'autre, fi ce n' eft qu'on veuille y trouver de la con-
formite en ce que routes les deux ont deux pieces den-
telees qui font egalement piacees en dihors du corps de
\e\xrs trompes. Si en effet elles etoient d' une meme ftru-
fture , la queftion qui regarde le mecanifme qui fait
monter la nourriture dans le corps du Coufin , fcroit de-
cidee ; car on ne pourroit s' empecher de tomber d' ac-
cord , que c' eft par la force de la fuccion que cet effet
s' execute ; mais cette reffemblance n'exifte point, & far-
tout la trompe du Coufin n' a pas ces levres charnues qui
font dans celle du Taon & des mouches communes, I'un
des principaux organes de la fuccion ; il refte done tou«
jours a favoir quelle peut-etre la caufe de 1' effet en que-
ftion. Cependant je dois avouer que je ne me fens pas
aflez inftruit pour la refoudre decifivement , car j'ai man-
qu^ de reffources pour me procurer des connoilfances plus
completies fur la ftrufture de I' organe dont il s agit :
mais comme cette ignorance ne doit pas etre une raifon
pour nous permettre de donner 1' cliort a 1' imagination
en enfantant des prcrendues loix mecaniques que ia na-
ture defavoueroit , je me bornerai uniquement a aplanir
la difiiculte par quelqucs petites remarques, par lelijuel-

Us je finirai ce memoire , qui eft d^ja bien plus ^tendu
que je ne me 1' eiois propofe lorfque je commengai a le
comporer.

XLlil. Premierement les Naturaliftes qui pretendent que
le faifceau des aiguillons fert de conduit k la liqueur qui
monte dans le corps du Coufin par les interftices qu' il
doit y avoir entre pieces & pieces, font obliges d'accor-
der au moins que les deux pieces dentelees (PI. z. Fig.
VI. VII. ) n' entrent pour rien dans 1' elevation dont il
s' agit , puifqu'clles font placees a 1' exterieur du corps de
la trompe. On devroit bien , ce me femble , en dire autant
de la grande piece ( Fig. V. ) , car fa rtructure nous
montre qu'elle-meme forme un grand conduit, 8c non pas
que le conduit reluite de fon aflemblage avec d' autres
pieces. II n' y reftera done pour faire la prdtendue com-
binaifon que la piece pointue ( Fig. VIII. ) & les deux
membraneufes (Fig. IX. X.), mais fi Ton fait attention a
la nature de ces pieces , & I'ur-tout des deux membraneu-
fes , peut-etre ne fera-t-on pas eloigne d' accorder , qu' il
eft hors de toute vraifeniblance que par le fimple rap-
prochement de leurs furfaces refpetlives , elles fervent com-
me des tuyaux capillaires deftines k faire monter la nour-
riture dans le corps de la trompe , fans qu' il y ait befoiit
d' autre caufe pour operer cet efFet.

XLIV. Je dois remarquer en fecond lieu que la forme
de ces trois pieces de 1' aiguillon du Coufin ne paroit rien
moins que propre pour en faire des piltons afpirants ou
refoulans ; & au furplus quand meme on pourroit expli«
quer par-la 1' introduction de la liqueur dans la parrie de
la trompe qui avoiline Con bout , il refteroit tonjours a
favoir par quelle force elle pourroit en parcourir toute la
longueur , & monter dans I'lnierieur de la bouche de I'mfefte.
XLV, Mais (i cette trompe eft vraiment afpirante , com-
me oa doit le prefumer faute de preuves contraires pour

4«

lors la fucclon pourroit s' executer de deux fagons difff-

rentes , fans pourtant que 1' obfervatioti nous apprenne la-
quelle des deux reponde en effet a la realite. Car premie-
rement il fe peut que le Coufin foit fourni d'organes pro-
pres a vuider d' air le corps de fa trompe , & il eft aife
de comprendre que dans ce cas, il faut de route necefiit^
que r emplacement des deux pieces membraneufes ( Fig.
IX. X. ) foit en dehors de I'ouverture de la grande piece
( Fig. V. ) pour la fermer en s' appuyant contre ks bords
excerieurs , & empecher par-la 1' introduftion d'un nouvei
air dans la capacite interieure de la piece.

XLVI. Cependaiit il fe pourroit que le Coufin n' eut
pas d' organes deftines a vuider d' air fa trompe , 8c que
neanmoins fon jeu ne s' executa que par le moyen de la
fuccionj car on ne peut pas douter que cela n' ait lieu
dans les grands animaux , oil la force mufculaire eft le
reflbrt dont la nature fe fert pour les rendre propres k
pomper des liqueurs. On a vu que le fond de la grande
piece eft mulculeux ou membraneux j & je ne vois pas
ce qui pourroit empecher de fuppofer que cette fubftance
peut palTer de 1' etat d' affaiftement a celui d' une exten-
(lon, qui agrandiroit la capacite interieure de la piece, &
rendroit en con(equence 1' air qui y eft contenu plus rare
que r exterieur ; effet pourtant qui fuppofe toujours que
les deux pieces membraneufes ferment par le dehors I'ou-
verture de cette piece. Mais enfin , ces remarques-memes
que je viens de faire prouvent aflez que fur ce point-U
mes obfervations ne ra'ont rien appris de decide.

, R E C H E R C H E S ''

" Sur la caufe de la decompojiuon du nitre ^ du
Jel marin par les inter me des terreux.

Par M. Monnet.

J^a decompofition du Nitre & du Sel marin par les ter-
res argilleufes , n' etoit regardee par quelques chimiftes
non inltruits des affinires chimiques, tels que Lemery , que
coinme 1' effet d' une divifion mecanique de ces Sels; let
quels prefentant par le moyen de ces intermedes beaucoup
de furfaces, i'aftion du feu en detachoit avec plus de fa-
cilite leur acide. Cette idee ne pourroit paroitre guere
raifonnable a ceux qui adopterent la doftrine du grand
StaHL , qui ayant explique le premier d'une maniere claire
& precife ra6tion de I'acide vitriolique fur la bafe de ces
Sels , trouva beaucoup plus naturel & beaucoup plus confor-
me aux loix de la nature d' imaginer que ces intermedes
terreux, tels que les argiies, ne decompofoient ces Sels qu*
a raifon de T acide vitriolique qu' ils contenoient. Stahl
fit plus, il voulut demontrer ce qu' il avangoit, en difant
avoir obtenu du tartre vitriole d' un refidu d' une diftilla-
tion du Nitre avec 1' argille , & en faifant remarquer que
plus on augmentoit la dofe de I'argille , plus on avoit d'eA
prit de Nitre (0 il n'en falloit pas d' avaatage que 1' af-
fertion d'un chimifte (i celebre , pour faire adopter ce fen-
timent comme une chofe infaillible. Aufli on ne douta

( I ) Les partlfans de la divirion mecanique anroient bien pu o^jefler a Siahl que
cequ'il regardoit comme I'cffet d'une plus grande quaniiie d'acide, n'etoit
que I' effet d'une plus grande divifion qu' eprouveicnt Cts fds par i'aug-
mentatian des terres.

4^

plus des lors que la decompofition du Nitre & da Se! ma-
rin operes par les argilles , ne fe fit qu' en confequence
de r acide vitriolique. Ce fentiment eft celui qui a pre-
vala jufqu' a ces derniers terns & qui a ete confacre dans
les dilFerens ouvrages de chimie qu'on a public jufqu' a
aujoLird'hui.

Depuis que la chimie a fait qiielques progres , perfon-
ne ne s' etoit encore avife de verifier ces fairs ; & peut-
kive que les chofes euffent refte la encore long-tems , &
que je n' euffe pas moi meme entrepris de traiter cette
quellion fi un diftillateur d' eau forte , porte par le defir
de faire un plus grand profit , ne fe fut avife , d'apres ce
qu' il avoit oui dire , de retirer du tartre vitriole des refi-
dus de la diftillation de I'eau forte. Mais il eut beau lef-
fiver des tonneaux entiers de ces refidus , il n' en retira
pas la moindre partie de tartre vitriole. Ayant fu cela ,
audi bien que plufieurs autres, j'entrepris de faire une di-
ftillation de nitre bien pur avec de I'argille bien choifie , a
delTein d' en examiner plus pariiculierement que je n'avois
fait toutes les circonilances. Une partie de nitre fur trois
d' argille bien deffechecs furent employees. L' operation
ayant ete pouffee fortement, voici quel en fut le relultat.
La leffive du caput moriuum amenee par I'evaporation jufqu'a
fa fin , ne me laiffa qu' un peu de nitre qui n' avoit pu
etre decompole. Qaclque terns apres je repetai cette ex-
perience plus en grand : je fis bouillir le refidu plus long-
tems & dins une plus grande quantiii d' eau ; je fis eva-
porer toaies mes eaux jufqu' a plus de la moitie de leur
volume j alo's je voulus examiner quel effet prefenteroit
cette liqueur avec la difiolurion mercurielle, c-ir me difois-je,
s'jl y a du tartre vitriol;i il doit fe manit.iter dans cette"
occaiion , en donnant du turbith mineral. J'eus etfethve-
ment un prdcipite, qui me parut tel j mais cette liqueur

verdiiluic

4»
verdiflbit le firop violat ; ce qui me pouroit faire prefu-
mer que ce precipite n'etoit pas 1' effet de I'acide vitrio-
Jique; car comme je me (uis convaincu que le turbith
n' eft autre cliofe qu' un precipite mercuriel comme le$
autres (i) j'avois lieu de fbup^onner que ce precipite ne
fut occafionn^ par quelqu' autre chofe, peut-etre par I'al-
kali du nitre lui mdme modifie par la terre ou combine
avec elle , puifqu' il fe manifeftoit par la couleur verte
du firop violat. Je fis evaporer la liqueur & criftallifer.
J'eus , comme la premiere fois , un peu de nitre. Je crus
appercevoir quelque peu de tartre vitriole parmi ce nitre:
mais pour en etre mieux aflure , j'en fis I'effai par I'ope-
ration du foufFre. Je pris pour cela mon fel que je mis
dans un creufet, I'y ayant fait fondre, je fis detonner tout
I le nitre avec de la poudre de charbon , & j'eus le foin
d'en mettre plus qu'il n'en falloit pour cette detonnation,
Je couvris le creufet & poufTai la matiere d la fonte.
Cela fait , je leflivai ce qui etoit refte dans le creufet j
ayant filtre cette leffive , qui avoit toute I'odeur d'un foye
.de fouflfre foible , je verfai deffus un acide & j'eus auffitdt
toutes les marques qui accompagnent la precipitation du
-.fbuffre. Je fis unc pareille diftillation du fel marin , mais
,je n'eus pas la moindre marque du fel de Glauber : je re-
jnarquai feulement que la quantite de fel marin non de-
compofee etoit beaucoup plus confiderable que celle du

( 1 ) Quelque rivoltante que parolflTe cette alTertion aux chimiftes qui font accou-
tumes a confid^rer le turbiih comme une combinaifon du mercure av«c
I'acide vitriolique , ii faudra pouitant tot ou tard revenir de c« pr^juge,
en conflderant que du furbit qui a he fuffifamment lave ne donne pas
le moindre atome de fublimi avec le fel marin ; & il convient de ren-
drc jufticc i. M. Saumi , qui. fuivant ce qu'en dit le celebre auteui du
difiionaire de chimie , paroit etre le (jremier chimifte qui ait entrspris de
nout d^Tomper fur cet objet.

Mifc. Taur. Tom. IV. g

5® . .

nitre ; ce qui fait voir que le fel marin eft bien plus dit

fici'e a fe deciimpofer que le nitre.

D'apies ces expe iences, je ne pouvois dourer 3k ta vim6
d' une part que les argilles ou du moms quelques uncs ne
conrinitent un peu d' acide vitriolique, raais de I'dutre je
ne pouvois rapporter entie'ement la decompofiiion de ces
fels <k ce peu d'acide, & ce qui me piouvoit qu' il en
falloit chercher la caufe ailleurs » c' eioit de voir que le
fel marin n' eroit poin< decompole dans la m^me propor-
tion du nitre , quoique pojfle auffi fortement a la dillit-
lation , ce qui,ceme femble, ne devroit pas ^tre, <i cette
d^compofition n'etoit due qu a I'acide vicnolique, qui affure-
ment a autant de facilite de decompofer ie fel marin que
le nitre. D' un autre cot^ I'eKti^me violence du feu qu*
on eft oblige de donner pour enlever ces acides par ces
intermedes, tandis qu'avec beaucoup moins de feu on en-
leve ces acides par des intermedes qui contiennent veri-
tablement V acide vitriolique , etoit encore pour nfu)i une
autre preuve de moti fentiment , & j' y etois d' zmant
plus determine , que M- Pott dans, fa differtation fur le fel
marin expofe plufieurs decompotitions de ce (el par des
intermedes dans lefquets on ne peut pas raifonnaWement
foup^onner de I' acide vitriolique. Mais a quoi done rap-*
porter cette decompolition ; eit ce feulement k la divifion
m^canique que procurent ces intermedes a ces fels, cora-
me I'ont cru quelques uns de nos anciens chimiftes ? ou
eft ce a T union que contrafte la bafe de ces fels avec
ces intermedes? je crois 1' un & 1' autre de ces effets , &
i^ofe me flater de le oiettie id ea evidence.

J^avois M long-tems comme ayant perdu cet objet de
vue, lorC^ue M. Le Veillarjo gentklhumme ofdinadre du
Rot entreprit, pour s' inttruire fur cela, une ditHllation de
liitre avec du labion. L employa uoe pattie de uiue biea

pur & hlen fee & trois parties de fablon qui n' eft autre
chofe <\ue notre gr^s en poudre ( pour la nature. ) II eut
Ja precaution de bien laver ce fablon & de le bien faire
deflecher auparavanr. II obtint un efprit de nitre fumanr.
Ayanr enfuite leifive fon refidu & voulant filtrer cette le{-
iive , qui pr^fentoic au gout un caraftere d'alkalinit^ bien
feiifible & qui verdiffbit le firop viola t, elle fe coagula
•d' abord comme une gel^e tranfparente , qui dans rres-peu
de terns devint folide, M. Le VErtLARD furprisde ce qui
venoit de lui arriver ne manqua pas de m'en faire part
aufli bien qu' a M. Macques. comme a Ces bons amis.
Tres furpris moi meme de ce dernief effet , je remis auffi-
t6t toute« mes id^es de ce c6re-la , & j'enrrepris de faire
.piufieurs eflais a la fbis fur un fourneau de diftiHateur
d' eau forxe qu'on apelle galere. J' y fas invite par Toffre
gracieufe de M. Charlard apoticaire en charge de Mon-
ieigneur le Due d'Orl^ans , qui tiem un de ccs ateliers ,
le prdparai en coal^quence piufieurs melanges du fel ma-
rin & du fel de nitre, i .* Avec du fable de riviere ,
<jui n' eft autre chofe que des petirs fragraens de caiUous
£i de jfiiex. z.* Avec du fablon pour obteoir le produii
■fingulier de M. Le Veillard. 3.* Avec du verre^du fa-
blon , du borax &c de la litarge k partie ^gale. Mon de£-
feiii ^toit de voir par ce troiiieme precede , fi en donnarrt
^ la bafe du nitre &c du fel marin le nioyen d'entrer ea
vitrification , ce ne leroit pas un bon expedient pour d^
compofer plus aif^ment ces fels &c d'en obtenir leur acide
plus promptement. Ces melanges, qui ^toient tous d' une
demi iivre de fel fur une livre & denji d' intermede, fa-
rent mis dans des cornues propres a ces fourneaux, aux-
quelles on joignit leur recipient de meme mat ere; le tout
bien lai^, on les pouflTa a la diftillation de m^me qu'on a
coutume de faire pour I'eau forte y c'eA-k dire depuis £x

heures du matin jufqu' h pareille heure clu foir. II donne-
rent : i." Ceux du nitre, une eau forte affez bonne on
paffablement forte : i." Ceux du (el marin , un efprit de
fel a peu-pres de la m^me force , mais en bicn moindre
quantite ; ce qui n'eft point etonnant , vu que le fel marin
fe decompofe bien plus difficilement que le nitre, ainfi
que nous I'avons deja fait remarquer. 11 faut pourtant en
excepter celui qui etoit provenu du melange du verre , du
borax & de la litarge , qui etoit a peine aigrelet. Je ne
fus point furpris de cette difference, en faifant attention
que r acide marin avoit bien pu s'unir a la litarge & for-
mer avec elle un plomb come. Je crus,en effet, en avoir
■remarque dans le col de la cornue, qui s'etoit eleve par
la force du feu en forme de farine ; aufli le caput mor-
tuum de ce melange n'etoitil point demeure roiigeatre com-
me celui du nitre : il etoit blanc.

Je me propofai auflitot d' examiner ces refidus avec la
plus fcrupuleufe attention. Je commengai d'abord par celui
du nitre & du fable de riviere , qui ^toit peu dur & aife
a brifer. J' en fis la leffive avec une f q. d'eau. Cette lef-
five etoit fenfiblement alkaline & verdilloit promptement
le firop violat, & meme faifoit effervefcence avec les aci-
des: preuve manifelle de I'alkali. L' ayant evaporee , j' en
obtins par la criltallifation une once & demi de nitre &
deux onces d' alkali fixe , qui n'etoit point pur, car il etoit
gris. Je crus que cela venoit d' une portion de terre <l
laquelle il s' ^toit uni : j' avois preffenti cette terre par
des flocons qu'occadonnoit I'acide vitriolique verse dans
cette leilive. Je lailTai tomber cet alkali en deliquium^. k
deffein d' en feparer enfuite cette terre par le filtre: mais
ce tut inutilement,

■ J' examinai enfuite celui du fel marin avec le m^fiie in*
termede. II etoic beaucoup plus dur. La leiilve verdilToit

5J

fenfiblement le firop violat; cependant je n'en pus pas avoir

.un atome d'alkali mineral, j'en obtins quatre onces de fel
•marin : il ne s' en etoit done decompole que quatre onces.
Nous voici arrive au phenomene le plus int^reffant que
nous prefentent ces diftillations : c' eft 1' experience de M.
Le Veillard , c'eft-a-dire la diftillation du nitre par le
iablon. Je fis done la leffive de ce caput mortuum , qui
eroit rare , fpongieux 8e paroifToit com me une efpece de
fritte , fur- tout vers 1' endroit qui touchoit immediatement
. le fond de la cornue. Cette leflive prefentoit au gout
'"vquelques chofe de legerement alkali ; elle verdiffoit cepen-
dant tres-fen(iblement le (irop violat. Ayant voulu verfer
deffus quelques gouttes d'acide vitriolique , je fus agrea-
■ blcment furpris de voir s' y former fur le champ un coe-
gulum. En faifant attention alors a ce qui etoit arrive a
M. Le Veillard, je commengai d' entrevoir 1' analogic
qu' il y avoir entre mon refultat & le fien. II faut remar-
quer que ce coegulum ne fe faifbit bien que pendant que
la liqueur etoit chaude : 1' acide y produifoit alors une
efpece de mouvement d'efFervefcence & la liqueur fe trou-
*frbloit un peu en blanc , pendant qu'il ne produifoit pas le
rhoindre effet dans cette liqueur lorfqu'elle etoit froide. A^
,,quoi devois - je attribuer ce coegulum y h ce n' etoit a la
i>terre vitrifi.ible que 1' alkali du nitre , devenu libre par
(4' action du feu , avoir diifous; laquelle degagee par I'acide,
•'au lieu de fe precipiter comme beaucoup d'autres terres,
reftoit fufpendue dans la liqueur & repaifliflbit ainfi? Cette
conjetlure (i vraifemblable fut changee entierement en
certitude par l' Evaporation de cette leffive , qui me laifla
une maiiere tout-a-fait femblable a une gomme , laquelle
hiife dans un creufet & pouflee a la fonie, me donna un
verre blanc tres folide. Je fus a la verite fort furpris de
voir qu'une matture qui avoit ete diifoute dsns 1' eau cut

54

pu former uti v€rre folide. II paroit done Evident que le

ca^ulum qu'avoit eu M. Le Veillard venoir de c« que

fa leffive etoit tres-concentrde lorfqu* il la verfa fur le fil-

tre. Le nieme efFet me feroit arrive fansdoute , (i f euffe

arrete I' evaporation de ma leffive a ce point.

II y a lieu de croire auffi que dans routes ces circon-
ftances i' a'kali fe joint plus ou moins facilement avec les
fub;1ances qui ont fervi d* intermedes a la leparation de
ces acides, fuivant Ja diipofiiion de ces matieres. Nous
avons vu qu' on ne retire point d* alkali des refidus de la
diliillatlon du nitre 6c du fel marin par les argilles : que
devient done cet alkali s' il ne demeure pas combing avec
la terre? Nous fommes bien perfuades que la decompofition
de ces fels , fe fait d' autant plus facilement & prompte-
ment que leurs bafes trouvent plus de facilite a s'unir a
leurs intermedes. Peut-etre eft ce par cette raifon que les
argilles decompofent plus ailement ces fels que tout autre
intermede de cette efpece, joint a ieur grande tenuite.
Mais ce qu' il y a de certain , c' eft que on ne peut pas
en aitribuer I'unique caufe a cela, puifque nous avons pour
cxemple la decompofition du nitre par le fable , qui nous
a prefente 1' alkali a nud , lequel vraifemblablement n' a
pu contrafter d' union avec le fable a caufe de fon peu
de t^nuite ou bien a caufe de fon peu de di/pofition pour
$' unir a I'alkali fixe.

L'examen du refidu de la diftillation du fel marin avec
le meme intermede n' a prefente rien de different de celui
du fable , a I'exception qu'au lieu de quaire onces de fel
marin je n'en ai eu que deux onces. Ce qui fait voir qu'il
*' etoit ici decomj^ofe une plus grande quantite de fel ma-
rin. En cela il n'y a rien de furprenant en confid^rant la
plus grande t^uuite du fabloii.

• ; Le riCulii de la diftillation du nitre par le borax , Ic
verre , & la litarge ne ditferoii puere de celui du fablon;
il ^toit comme lui tr>s-dur & tres (o!ide , & comme lui
demi-vitrifi^ vers le bas , c'ell-a-dire , vers la partie qui
touchoit le fond de la cornue. Sa leffive evapciree jufqu'
^ (iccite , ne m' a laifTe qii' un peu d' alkali jaunarre , &
ne fdifant pas beaucoup d' imprellion fur la lang.ie. II j
a done apparence que prefque tout 1' alkali , bafe du
nitre , a demeure vitrifie avec les autres matieres.

Le parcil r^fidu du lei mariii ma donne trois onces de
fel non decompofe j ce qui elt tres-furprenant , attenda
que la dillillation par le fablon en avoit decompofe d'avaii-
lage , puifque j'ai dit n' en avoir retire que deux onces.
Par la je vis que c' ^toit inutilement que j'avois employe
ces differences matieres ; ce qui me fit croire que la trop
prompte vitrification etoit un obllacle a la decompofition
de ces fels, qui aglomerant trop promptement les parties
falines en fupprime pour ainfi dire les iurfaces , & empS-
che par la que leur acide en puiffe etre detache audi aife-
ment que fi les parties falines etoient libres & ifolees.
En fuivant cette idee , je me perfuadai que les interme-
des qui s'unilToient aux alkalis fans les faire entrer en fu-
(ion,etoient plus propres pour ces decompofitions que tout
autre. D' oil je crus voir une nouvelle raifon pourquoi les
terres argilleufes decompofent fi aifement ces fels, puifqu'
elles font refraftaires par elles m^mes & qu'elks portent
a une divifion extieme ces fels. D' apres cela je m' ima-
ginai que la chaux ^teinte a i'air pourroit operer avec
une forte de faciliie cette decompofiiion : j' en fis done
I'effai fur la meme galere ou j'avois fait les autres, & j'eus
la fatisfaftion de voir que la de..'o:npolition avoit ete me-
nee affez loin. J' eus par la lellive des reiidus I'dlkali com-
bine avec la chaux , ce qui formoit de la pierre a cau-
tere , qui etoit meme ire» forte.

5^

De tout ce que nous vcnons de dire , il refulte bien

clairement , a ce que je crois, qu'on ne peut attribuer la
d^compofition du nitre & du fel marin par les interme-
des terreux , k autre choCe qu' a la divifion que leur font
eprouver ces terres ; 6f que cette decompofition a d'autant
plus lieu aif^ment que 1' intermede a plus de dilpofition
pour s' unir a la bafe de ces fels fans fe fondre.

A' Paris Decembre 1767,

AD AGROSTOGRAPHIAM "

SCHEUCHZERI

Supplementum
ALBERTI HALLER.

V^um ScHEUCHZERi gramina a pofleflbre mecum cont-
municata , cum meis conferrem , reperi in ultimo potifll-
mum volumine plulculas fpecies , quae aut novae funt ,
aut certe in opere ScHhUCHZERiANO , & Linnaeano de-
fiderantur. Eas ergo vifum eft, per fuos charafteres defcri-
bere , vobi(que fodales illuftres has meas hiftorias tranfmit-
tere , ne memoria pulchrarum plantarum interear.

r. ANDROPOGON fpica fimplici locuftaram pauciilimis
ariftatis , calyce perforaro.

Gramen daclylon aegypdacum fpicis Jingidaribus villojis.
arijhatis. ap. TILLI hort. Pijan. p. 75.

Folia dura , glabra- , vaginalia , (picas continentia , ad
{efquilineam lata. Culmus gracilis teres iunceus , pedalis
aut paulo altior. Spicae numerofae , in finu folil alicuius
latentes , inde nudae , biunciales , ftriftae , acutae. Scapus.
villofus alternis fcrobiculis laevibus. Locuftae biflorae. Folia
calycina duo aequalia & pene funilia , fibi adaptata,claura>
firma , elliptica , lanceolata , glabra. In exteriore foramen
notabile fub apice adparet , qui conftanier purpureas eft.
Inter haee foliola duae glumae florales, longae , graciles,,
tenerrimae , & intra eas ftamina , tuba , & iemen. Plerae-
que locuftae , muticae , dantur tamen in quaque fpica ali-
quot florcs ariftati ex bafi glumae interioris arilta longa,
pene uncialis iuflexa prodit alter flos petiolaius , petiola
pappofo , ceterum fimalis gracilior^

Mifc, Taur. Tom. IF. Ik

5« . . •

z. LOLIUM locuftis fexloris , calyce glabro , floribus

ciliatis.

Gramen hromoiies marhimum annuum glahrum , minus ,
fpica heteromalU , locuflis gracilloribus , afperis , longiut
arijiatis. TILLI p. 176.

It Apulia liaud lontre Bana.

Radix fibrofa , culcni cabitales, folia vaginofa, quae
convolvi ament , adufque fefquilineam lata. H tec omnia
glabra. Panicula fpicata pauciflora , neque ullum ramofuin
petiolum reperi. Locullae grandes fex, & feptiflirae. Calix
floribus fimilis & maior , uniflorus , compreiTLis compli-
catus , aritlatus : arilla liueara loiiga , & triplo quam flo-
ribus longior. Flores alterne , dittantes. Fiorum gluma in-
terior brevior , acuminata , glabra.

3. FESTUCA panicula fpicata, locudis trifloris,. arifta
flore longiori.

Gramen angufltfolium gUbrum paniculatum , panicula
denjiori^ & fretjuenter arijlata , vUlofa. SCHEUCHZERI inter
plantas polthumas Itccas , nullo loco natali addito.

Culmi iuncei fefquipedales , geniculis nigris Folia ad
lineam lata. Panicula obfoieta e viridi lutefcens , contra-
fta , pene fpicata , ramofa & multiflora , pene heteromalla.
Calycis folia valde inaequalia , denfo mucrone , maius
florali aequale , pene ariitatum. Locufta biflora ; flores
graciles (ln£ti , ex fummo dorfo in ariltam duram & li-
tiearem continuati.

4. POA glabra panicula pauciflora , locuftis praelongis »
of^ifloris.

Gramen maritimum annuum minus , panicula ramofa fa*
liacea locuflis ftrigojtoribus y unciam longis. MlCHtL. Hortm
Pif. p. 7i.

Circa Terracinam , & in Infulis prope Venetias.

Radices durae , praegrandes , longae } in irao caule
rquallentes vaginae albae , nitentes, Culmus inferius genii>

. , o ... "

culatus , inflexiis , inae rectus , gracilis , iunceus , pedalis,
cubitalis. Folia glabra, lineam lata. Panicula fingularis,
fpicata , pauciflora , ad duodecim locuftas. Hae in parva
planfa magnae , cmnino unciales , oftiflorae, floribus al-
ternis. Calix inaequalis , lanceolatus , dorfo eminente , fie
glumae florales exteriores j ooinia viridia , oris albis &
glabra.

J. POA panicula patula , verricillata , locuftis teretibus
lexfloris , glumis fubobtufis.

Gramen orient ale paniculatum portulacae femine. TOUR-
NEFORT Coroll. p. 39. a MiCHELio miffum.

Aira panicula oblonga fecunda mutica imbricata , foliis
flanis. LINN. p. 95. non potelt eadem efle.

Culmus firmus tripedalis. Folia glabra in exempio ad
lineam lata. Panicula lemipedalis & ultra , re£ta , firma ,
verticillata , petiolis , patulis gracilibus. Locuftae teretes ,
fexflorae. Calycis glumae inaequales, minor fufca , maior
fufca , & ad apidem aurea , utraque ex ovato-lanceolata y
fed non argute. Similes calycinae maiori glumae florales
exteriores fufcae, ad apicem aureae , mediae acuminatae,
imbricatae. Petioli glabri.

6. POA panicula llrifta , folio calycino altero fetaceo ,
locuftis fexfloris , floralibus glumis glabiis , acute mucro-
natis.

Gramen paniculatum , nemorofum , htifolium , glahrum ,.
fanicula nutante non arijlata. MICHELI Hart. Pif. p. 75.

In locis ficcis additur vox alpinum. Ad lacum agnanum.

Caulis tripedalis , folia duas & tres lineas lata , ora
& nervo afperrimis. Panicula parum fparfa , pauciflora ,
^uam AUCTOR nutare dicit , inelegans caeterum. Locufta
dilUcha fexflora. Calicis duo folia inaequalia, alterum ftri-
ftiifime fetaceum; flofculi eiiam graciles , longi , glumae
exterioris mucrone adeo longo , ut pene pro arilla ha-
beri polTit, minori taraen quam afperae Feftucae hetero

h X

(So

mallae scheuzeri interior gluma etiara longa & mucro-

nata.

7. POA foliis iunceis,, locuftis quinquefloris , petiolis
villofis dorfali linea eminente fubafpera.

Granieii paniculatum iuncouies alpinu/n , panicuU purpit-
reo , & viridi variegata, locujlis parvis muticis. MICHEL! Aor,

Pif. p. 75.

In Brutus , prope CaftelJum ad montem in colle Cac-

ciano. Radix fibrillis craffis implexis. Caules imi vaginofi,
vaginis vetuftis in fila diffolutis , ceterum bipedales , & ul-
tra geniculis nigris. Folia gracilia.convoluta , ut iuncea vi-
deantur, Panicula quatuor unciarum , parura (parfa. Locu-
ftae quinqueflorae, Calix fubfufcus , glumis ovato lanceo-
latis , argute mucronatis , aequalibus. Flores alterni, ovato
lanceolati, nitenies, in ficca planta ex purpureo & aibo va-
rii. Petioli fubvillofi , qua nota ad Poas pratenfes acce-
dit. Dorfum glumae exterioris eminente linea noiatum, pau-
lum dentata.

8. POA foliis iunceis , panicula ftrifta , locuftis quadri-
floris , calycibus flore brevioribus.

Gramen arundinaceum alpinum radice crajjijftma , foliis
rigidis flriatis , & af peris , .panicula .fufca & non .ariflata,
WlCHELl 'hor. Pif. p. 7-5. in herbis iiccis arundinaceum le-
gimus , in horto paniculatum.

In M. nurjinis , etrufcis , & mutinenjibus.

Culmi duri, trepidales , imi longe vaginofi, quafibul-
bofi. Folia iuncea fe convolventia. Panicula ftrifta, pauci-
flora , pene heteromalia. Locuftae magnae , quadriflorae.
Calix floribus brevior , ovato lanceolatus , carinatus ,
parum inaequalis. Flores cartilaginei , hinc convexi , ia
mucronem firmulum produfti. Gluma interior cava ovato
lanceolata. Haec omnia lignei coloris , & glabra. Flores
maiores , quam graminibus scheuchzekianis heteromallis,
& toti muuci.

6t

9. POA panictila ftrifta , faliis glaucis fulcatis , locuftis
quadrifloris argute mucronatis, glaberrimis.

Gramen paniculatum , folio laticre glauco , panicula al-
bicante pens ariflata. MlCHELI hort. PiJ. p. 75.

In montibus falerniiunis , & amelpliitanis.

Culmus tripedalis, foliis fulcatis glabris , ad Kneam
latis , glaucis. Panicula parum lata , triuncialis , & qua-
driuncialis. Locuftae paleacei colons, fubcartilagineae,
ceterum quadriflorae. Calix inaequalis ovatolanceolatus,
pcne ariftatus. Foliiculi pariter -peracuti utraque gluma
acute mucronata , interiori tamen breviori. Nihil pappofi.
Ad heteromalla scheuchzeri accedit, non tamen vex-e
heteromallum.

i o. POA minima , panicula patula , locuftis quadrifloris
glaberrimis.

Gramen maritimum annuum apulum minimum , elegans ,
capillare panicula loliacea , ramofa , rigidiufcula. MlCHELI hort,
/>. 71.

In Apuliac littoribus.

Planta exigua , culmo femipedali , foliis iinam ter-
tiam iineae partem latis , panicula tamen laxa , ramis fere
coniugatis , repetito ramofis , patulis , rigidiufculis. Flores
omnium minimi. Calycis duae glumae , inaequales, acu-
minatae. Locufta difticha , floribus diftinftis , quadriflora ,
forie & pacioribus floribus. Floras cylindrici , flaventes.
Omnia glabra.

II. POA latifolia , panicula ftrifta , locuftis trifloris,ca-
iyce longioribus glaberrimis.

Gramen paniculatum iuncoides alpinum , panicula ex al-
bo virefcente & nonnihil purpurafcente , difiinSa , locujlis
maioribus muticis. MICHEL, hort. Pif. p. 75.

Radicis fibrae durae , teretes , nigrae. Catiles imi bul-
bofi tripedales. Folia ad fefcuncem lata, glabra. Panicula
ftrifta, paucjflora, Locuftae triflorae, Calycis folia Ian-

ceolata , inaequalia. Flores laxi , ftrlati , gluma exteriori
elliptica , cava , carinata , interiori aequali plana. Ima re-
tinet petiolum villofum flori.

Ill ficcis omnia paleacea , praeter aureum glumae ex-
terioris apicem.

Multo maiori flore eft , quam locuftae paniculata-
rnm poarum pratenfium.

iz. POA locuftis bifloris , calyce breviflimo , glumis ova-
tis , obtiife acuminatis.

Gramen paniculatum marhimum , gramini praten(i pani-
culato medio C. B. aliquatenus Jimile , locufiis Jlrigojioribus,.
MICHELI hort. Pif.

In 1/fria prope civitatem Infulae , loco falfb.

FafcicuU foliorum durorum femilineam latonim , ex
radice prodeuntium. Culmus rettus , firmus, pedalis , &
cubitnlis. Panrcula ramis rigentibus reftis , binatis aut ver-
ticillatis , parum ramofis. Locuftae breviter petiolatae, pe-
rcxiguae , ovatae , mucronatae. Calix breviffimus , altera
gluma ovata , obtufa , altera acuminata. Flores bini calyce
longiores , ad lineam longi , gluma exteriori ovata , acu-
minata , interiori graciliori. Haec viridia cum aliquo li-
vore & glabra.

I}. POA diantha , calycis glumis ovatis, floribus villofis.

Gramen avenaceum annuum minimum , elegantijjimum ,.
panicula contracla , & veluti fpicata , locuftis globojis , ^«r-
purafcentibus muticis. MICHELI hort. Pif. p. 74.

In Ericetis , & M. Apennina.

Omnino elegans.

Culmus vix femipedalis, folia feracea*

Panicula fpicata , uncialis.

Folia calycina bina , cava, ovata , obtufa, pallida, St
/ublivida. Inter ea folia congruentia duo flofculi aequales,.
ovati , fubhirfuti, Bavefcentes. Hiiec minima capite aciculae
non maiora.

^5

14. POA monantha , calyce ovato, cavo inaequali, flo-

re minori , fulcata.

Gramen avenaceum montanum anguPifolium , glabrum
glumis villojis , culycihus nitidis purpureis , & J f Undent ibus,
MICHEL, hort. Pif. p. 75,

III M. Morello.

Planta toia glabra , neque in gluma villi. Folia lincam
lata , praelonga , panicula ramofa , longa , rariuCcuIa. Lo-
cuftae obefae , iiitentes, nunc albae ; muticae , & uniflorae,
cererum Graminis locuflis rubris f miles , minores , glumis
calycinis compaclis, non diftichis. Ovatae funt, mucronatae,
inaequales. Flos fingularis , glumis fimilibus , altera maiori,
minori in maioris carina congruente , utraque lineata , &
fulcata , ut feraen aiicuius floris umbelliferi , ora fuprema
alba , & acuta.

15. POA unifiora calycis glumis ovato lanceolatis , fub-
lividis , femine nitente.

Gramen miliaceum Saxatile angujlifolium glabrum pi'
•renne , panicula jufca , jemine nigra jplendente. MICHEL. hort»
Ptf. p. 73.

In (axofis Montium di Calci prope Pifam.

Radicum fibrae teretes, cralTae. Culmi tripedales (Iriati.
Folia linea paulo latiora , glabra. Panicula femipedalis , la-
xiiHma , petiolis dillantibus , qui fparfi , pauciflori, ad o6to
flores gerunt. Locullae uniflorae, obefae, ovato lanceola-
tae ex paleaceo & livido variae. Flos unicus , exteriori
gluma calycina fimilis ovato lanceolata j femine nitiddfimo,
nigro , acuta , hinc convexo , inde hnea divifo.

Non muha exempla fuerunt , ut in numero floruin
error fubeffe poflit.

t6. POA monantha panicula denfa fpicata, fo'iis patulis.

Gramen fpicatum aquaticum ramofum xnnuum , glabrum
Aumifparfum , Jpica cylindruiea hravieri. M1CH£U hurt, Fiji
f, 71.

64

III. alveo , & lallcetis Ami fl.

Caulis infraftus pedalis , folia arundinacea, patula,15-
neam , & ultra lata , hiifuta. Spica uncia longior , com-
pacliffima , fubcaerulea , pene paniculata , petiolis ramofis,
Gramini aquatico geniculato fpicato fimilis , fed diverfa. ,
glumis iam eminus acutioribus. Locufta exigua , uniflora.
Calix floris magnitudine , glumis binis , ovato lanceolatis ,
hirfutis , vlridibus. FoUiculus unicus glumis duabus acumi>-
natis , cavis & iiitermedio femine fpadiceo ovato.

1J-. AvENA foliis. radicalibus gracillimis, caulinis latio*
ribus , fpica & arilHs breviffimis , locuftis quadrifloris.

Gr-amen avenaceum , foliis. inferioribus. gradlihtis ^ fupe^
T-ioribus latioribus. TOURNEF.,

In herbis ficcis. J. B,

Folia radicalia ubique gracillima , tertiam , & quar*
tarn lineae partem, lata, mollia ^ glabra , non fetacea ; folia,,
caulina ad lineam lata. Spica breviffima facie graminis glumis
variis. Caulis gracilis , pedalis & fefquipedalis. Glumae ca-
lycinae duae, muticae , ovato lanceolatae , carinatae , lataa
& obefae. Locufta brevis , lata , quadriflora. Gluma exte-
rior latior widentata , medio' dente in ariftam liriea bre-
viorem exeunte -^ interior gluma longiufcula mucronata..
H«€C ex perpaucis locuftis defcribo.

1 S'. AVENA foliis hirfutis., panicula ftrifta , locuftis trb-
floris , g'un^a inieriori bifida , arifta extenaris. floris longi-
tudine.

Gramen fpicatimt maritimum ferotiniim hirfutum minus:^
fpica brevi , niolli & Lixa , locufiis ex albo , & viridi varie-
gatis. MICHEL, hort. Pif. p. 71. adfcriplit SCHEUCHZERUS
cfle typhoides molle C. B.

Pifcis inter Liburnum , 8r Liburni<.

Tenera planta pedali minor , foliis ad' lineam latis ,.
hirfutis, panicula ftri£la , quali. Ipicata, lamofa,. fed rami»
brevibus , totis floribus te6tis , niiida ceterum &: virente,

Locuftac

Locurtae Imbricafae triflorae , exiguae. Calycis folia inae-
! qu.ilia , alterum gracile , urraque flore breviora , viridia,
i Fi'orum gluma exterior viridis apice albo trifido, cuius me-
! dia arifta flori aequaiis eft j & plerumqae inflexa. Gluma
i minor aiba , bifida.

Avenam a Bromo vix diftingui haec planta confir-
L mat.
-. 19. AVENA diantha , petiolis pappofis , gluma florali
filbhirfuta , ariftis praeiongis.

Gramen avenaceum five Avena fylvejiris , locuftis duplo
tninoribus , Jeminibus nonnihii hirfutis MlCHbL. Catal. plant,
agr. florent. accedit ad aegilopem avenaceum hifi. fiirp,
helv. Panicula laxa , & (parfa , petiolis tenuibus praeiongis,
bifloris , quadrifloris. Calycis glumae florem exceduni ma-
1 ximae, complicatae, virides, lineatae, apice albo. Flores al«
terni petiolis bafi pappofis. Gluma exterior flava , ad nu-
dum oqulum. glabra, ad lentem vitream vifa brevi villa.
; adfperfa , mucrone praelongo , tenero, bipartita. Arjfta ex
! media, prima parte flavefcente, valida, tunc geniculo fafto
reliqua parte gracilioti, (iibhirfuta , violacea. Tota arifta un-
ciae longirudinem ("uperat. Gluma interior paulo brevior ,
flava , glabra lanceolata. Gluma floris exterior tota villofa
eft , ea nota ab aegilope diifert. . :

. ao. AV£NA diantha, gluma florali exteriori apice lacera^
petiolis pappofis.

Gramen avenaceum alpinum. , minimum^ perenne , capillaceisi
foliis, caule Lnuginofo, canefcente , panicula argentea fplendente^
glumis vilhjis cum arijlis longioribus ,, tortiUbus , MICHEL.
Pif. p, 64>u:iii:. c-;jv I'l-.^i ^ :.'.u^ .-..uiji Lu.y:,.iti bn jib-j-y
In alpibus ffetrufiis , & in Brutus (upra Cafi:ciun:<{uf
Jidvntem in loco ditto il Mocco di Cami:^ia. r*,. .:. .

Accedit ad noltram avenam arundinaceam. Hifi. ftirjn

Hdvei, fed .differt foliis. Ea nequ£ lata funt , neque hrma,

^ruhdin,acea.j (i;d,radicalia & cauiina per&nguUa ^ convo

Mifc. Taur. Tom. IK i ■- .\ .\^*i

(56

luta , caulina quidem & latiufcula vagina nata. Panicula
fpicata , uncialis , in caule dodrantali. Locullae biflorae ,
in exemplo diftichae. Calycis folia argentea cum flavore
inaequalia , alterum minus , acute mucrouatum , pene ari-
ftatum : maius alterum etiam acute mucronatum. Floras al-
terni. Gluma exterior longe lanceolata , argentea, fublace-
ro apice arilla fere fex linearum, plus duplo flore longior,
initio fufca hirfuta , tunc geniculo flexa , & ultra id geni-
culum alba , debilis , & levis. Gluma interior argentea ,
pertenera , quad plumofa ; petioli pappo fericeo plumofi.
Quando ftamina fuperfunt addunt ad colorum varietatem ,
cum fature violacea fint.

1 1 . AVENA diantha , calyce flore maiori , gluma florali
villofa arirta ex bafi , elevata , bicolore.

Gramen. avenaceum maritimum annuum , minus , locufta
Jfarfa , panicuUs fparjis , argenteis , ariftis ereclis ad extre-
mitatem laiefcent'ibus. MICHEL. Aorr. Pif. p. 74.

Pijis & alibi in arenofis ad mare mediterraneum.
Radiculae albae. Culmus tripedalis, geniculis nigris. Fo-
lia ex latis vaginis lineam lata , glabra , dura. Panicula
yalde multiflora fparfa , gramini iunceo radice alba fimilis,
pedicellis penfubtiLibus- Loculta biflorae. Calycis glumae ova-
to lanceolatae , argenteae fublividae , paulura inaequales ,
fioribus maioces. Flores bini , gluma exteriori fubflava ,
villofa, apice albo tenero. Ad bafui eius glumae , arift<i
nigra , refta , flori aequalis , ex fumrao & latiore apice
emittit filum raulto fe ipfa tenuius , fenfim ad modum cla-
vae latefcens, album, iterum floris longitudine. ( Valde ac-
cedit ad iunceum radice alba , foliis vero difFert minime
iunceis.

iz. AVENA locufliis biflotis., florculi& (Iritis , breviflune

Gramen panicuLuum y arvenfi, latifoLium kirfutum ^ ■an'
nuum locuftu tenuijfimis viridibus f &- ari/iatu, M1CH£&« horh
Pif. p. 7j.

^7

In Hetruriae agris.

Culmus tripedalis ; folia glabra , ad tres llneas lata ,
ora retrorfum dufto digito afperrima. Panicula femipedalis
& ultra denfiffima & confertiflima. Flores minimi, locuftae
hiantes , biflorae. Calycis glumae duae inaequales , acute
mucronatae , altera pergracili. Flores in loculb duo , gra-
ciles , gluma exteriori educente in bidentatum apicem ari-
ftam bilinearem , debilem , incerti duftus. Haec omnia vi-
ridia cum admifto argenteo nitore. Ab herba venti longe
diiFert, quae locurtis lit unifloris.

23. BROMUS hirfutus locullis fexfloris fpicatis.

Gramen bromoides murorum , lanuginofum , erecfum, lo-
cuflis amplioribus arijlatis in panicula compacta , & propimb-
dum fpicata , & veluti alopecuroide difpojitis. MICHELI kort,
Pifan. p. 76. '^

Pifae in moeniis.

Radix exilis , fibrarum principiis incifis. Culmus CM^^
bitalis. Folia fubhirfuia, lineam lata. Summus culmus iti'
noftris flexuofus , locultis imis diftinftis , fuperne congeftis
in crafTam , & obtufam fpicam , compaftis. Caiix floribus
minor altera gluma hirfuta , mucronata , pene arirtata }
altera gracili , breviori , ftipulae fimili. Locufta uncialis '}
teres, tota hirfuta, ceterum fexflora, Gluma floralis ex-
terior hirfuta , acumine in duas fetas fifl'o , inter quas ari-
fta prodit , a fefquilinea ad tres lineas longa. Interior glu-'
ma longitudine eadem , fed gracilior , plana , mutica inter
eminentes exterioris margines adaptata.

14. BROMUS fpicatus, locuftis bifloris , calycis mucront^'
bus praelongis florum arilHs breviflimis. •'

Gramen fpicatum alpinum faxatile , crajfa. radici , [pica
triunciali , verjicolore. \flCHtLI .

Caulis degenerans in radicem , rugis annularibus infi.
gnem , longis tlbns capillatam. Culmus bipeddlis , gracilis.
Folia fefquilineam lata, glabra, ora nervoque, peiaiperis*

i 2. '-^^

63

Spica gMcHIs fuperne tamen confertior, coloribus nunc
emarcidis , Calycis duo foliola locultae aequalia , longo
mucrone , quafi ariila IcKultae biflorae. Gluma exterior
ventricofa , lineata fub bifiHo apice arillam vix (emilinea-
rem emittit. Interior gracilis ell & emarginaia , & ip(a
arillam fubinde inter duo cornicula emittens.

zj. BROMUS locailis bifloris , ariita flore breviori.

Gramen bromoides annuum minus , capill.iceo folio gld'
brum paniculd contraciiore , locujlis niLnimis arijlaiis. MICHc.L.
hort. Pif. p. 76.

In Fefulano Monte , liburni , & in infulis Kenetis.

Radix inutilis , culmi cubitalci , geniculis nigris. Fo-
lia mature emarcefcentia , ad lineam lata , glabra. Pani-
cula erefta , llrida multiflora , ex viridi fublutea. Locudae
biflorae. Calycis duo foiia valde inaequalia , alterum ma-
gnum , complicdtum , florem amplexum , dorfo breviter
dentato : minimum alterum & gracile. Folhculus habet glu-
iTiam exteriorem gracilem , pene cylindricam , apice in-'
cifam , ex incifura emittentem ariitam linea breviorem ;
altera gluma brevior etl , alba , limplex.

i6. BROMUS locuftis in fpica pauciflimis , trifloris, ca-
lyci aequalibus , glumis fjbciliatis , breviflime arillatis.

Gramen fpicatum alpinum faxaiile , crajfa radice, foliis
iunceis fpica breviffima & verficolore MICHEL, hort. Pif.

f- 7''

In M. amalphitanis & petris apenninnis.

Radix peculiaris , crafla , rugola , bah foliis & cau-
lis teneris vaginis obdufta. Folia gracilia^ iuncea. Culmas
nudus , pene cubitalis. Spica brevillima locullarum coiige-
ftarum quinque vel fex. Locuftae breves , pene ovatae ,
triflorae. Calycis foliola ovata lanceolata , inaequalia , lo-
cullae longitudine. Florum gluma exterior dorfo & late-
ribas ciliata , triiida , medio nervo in arid^m brevem ,
linea breviorem exeunce. Glumd ituerior etiam acuta, ma<
cronata*

«9

17. ARUNDO locuftis bifljris muticis , pappo ad baftn

breviflimo.

Gramen paniculatum autumnale minus , j4rundinis foleOf
& facUy panicula ex viridi nigricante. MICHEL, plant, agr.
FLorent. hort. Pifan. p. y<j.

In M. Bono.

Utique elegans planta difFert ab arundine enodi. Ra-
dicis fibrae durae , & llolones pene bulbofi. Culmi wipe-
dales. Folia patula etiam retro verfa , lineam & paulo ul-
tra lata , noil multum uiicia longiora , crebra tamen. Pa-
nicula brevis , vix biuncjalis , peiiolis flexuofis. Calix bi-
fohus , inaequalis , argenteus , flore multo brevier , utra-
que gluma ovato lanceolata , inacronata , pene ariftata.
Floras bini longe elliptici , ftritti , acute mucronari , pene
rigri , ad balin breviJiimo pappo excepti. Ita variegata
fit panicula ex albo calyce & folliculis nigris.
i8. ARyNDO monantha altero flofculo abortive.

Gramen arenarium fpicatum fpica & ima parte caulis
lanuginofa ^ fpica divifa. MICHEL. . hort. Pifan. p. 75.

In muris Urbis FLorentiae.

Culmus tripedalis , Brmus ; foliis glabris , ad lineam
latis. Panicula femipedalis , ramofa , nitida , fublufea. Ca^
lycis duae glumae inaequales , flore maiores , glabrae, &
nitidae , acute mucronatae. Floris gluma utraque flava ,
maior tota pappo fericeo per dorlum nitens , minor gla-
bra. Alter flofculus imperfeftiis.

19. ARUNDO monantha flore hirfuto, arifta longifUma.

Gramen fparteum faxaliie anguflijfimis , & longijjimis
foliis panicula flrigofiore , femine glabra , in uncialem ariflam
definente. MICHEL, hort. Pifan. p. 73.

In monte Bono prope Florentiam.

Caules imi bulbofi , ceterum firmi , teretes , trlpeda-
les. Folia radicalia glauca , paulo linea angmhora , faepe
coiivoluca , dodraaiaUa , ad caulem pt;rpauca. Pamcula fe*

70

mipedalis , ftricta , ut flores parum a caule recedant , ei-

que paralleli adfcendant. Locullae calyx biglumis , vix in-

aequalis , liiieatus , vere ariltatus. Nempe apex glumae cu-

jufque ariftam femilinearem , multo graciliorem edit. Flos

iinicus, darus , villofus , ellipticos , acuminatus, gracilis,

fimili femine faftus valde adhaereme , bafi pappofa. Ob

pauca exempla interiorem gluroam videre nequivi. Ariftae

omnes defVailae.

30. PHALARis calyce divaricato, piano, ovato , ciliato,

gluma florali interioti bidentata.

Gramen fpicatum maritimum. tomentofum , [pica cyliadri'
ca crajfiore. MICHEL.

Gramen typhinum maritimum longius fpicatum. BARRE-
1,ieR. iion. 717.

Fibriliae radicis longae , multae & graciles. Folia hir-
futa , mollia duas lineas lata. Culmi ad terrain proftratt
inde erefti , pedales , fefquidelales. Spica varia , denfa ,
cylindrica , biuncialis fpica varia locuftae patulae , unifloraej.
calycis glumae duae , ovato lanceolatae planae , aequales,,
longis pilis hirfutae , flore longioribus. Flores bini aequa-
les , exieriori gluma colorata , hie fublignea modice mu-
cronata , linea dorfali valida , quae in breviffimum dentemi
€Xii interirori alba , bifida paulo brevier..

7»

Letti-e de M.' Monnet a M.' de Saluces
au fujet du Minium,

MONSIEUR

V ous ferez peut-6tre bien aife que je vous fafle part de
I'effai que j' ai fait pour faire le Minium. Ceite prepara-
tion, qui nous eft fournie eniierement paries Hollandois ,
a toujours ete pour nous autres frangais, finon un millere,
du moins une chofe affez probldmatique. Chacun en rai-
fonnoit a fa fagon. Les uns vouloient , d' apres M. Geof-
frey , que la reuffite du Minium ne d^pendit que d' une
reverberation de la flamme qu' il falloit faire ^prouver
continuellement a la chaux de plomb. D' autres pretendo-
ient y avoir reuffi fans cela. Get objet etoir relle la long-
terns lorsqu' il reveilla de nouveau 1' attention de quei-
ques t^tes chimiques. Car quoique chez nous nous ayons
des idees de terns comme de modes , neanmoins il y en
a quelques-unes qui reviennent a la charge, furtout en
chimie } fience qui n' eft guere au dela de I'eiat d' enfan-
ce , mais que quelques-uns de nos gens a fyfteme ofent
croire fort avancee. Je m'embarquai done dans la recher-
che du procede pour faire le Minium. Gela ne pouvoit
venir plus a ptopos que dans un terns oil j' etois occupe
au cours de chimie de Vaugirard. Nous commen5ames
d'abord par faire un effai dans une Goupelle fort large ,
ou nous fimes r^verb^rer la flamme. Quand le plomb
fut reduit en chaux , bien loin de le voir paffer a I'etat
de Minium , nous vimes qu' il fe changeoit en une efpece
de litarge. Enfin , pour ne pas entrer dans un detail inu-
tile , je vous dirai que nous ne pumes en venir a bout.

7 *

Nous abandonnames cet effai , Sc nous nous mimes h en
faire un autre beriucoup plus fimple & beaucoup moins-
penible. Le void : Nous pla^omes une large coupelle fur
un fourneau dont le diametre fembloit ^tre fait expres
pour prendre juftement le for.d de ce vafe. Nous mimes^
dans cette coupelle trois livres de plomb , lequel ayant
perdu fa forme metallique, y faifbit une epaifleur d' ua
demi pouce. Nous foutinmes un feu propre feulement i
entreteiiir legerement le fond du vaifleau rouge. Nous
remuames de' tems en terns la matiere avec une fpatule
de fer. Nous vimes avec plaifir que la chaux de plambv
qui fut en. w es peu de tems jaunarre , tournoit infenfible-
-raent au rouge. Au bout de 24. heures le Minium paiut
fe fixer a un rouge affez eclatant , mais, a la verite , un
peu plus pale que celui des HoUandais. Ce fut inutile-
mem que nous tentames de lui faire prendre une plus
erande iruenfite : il reita abfolument au meme eiat.

Apres cet effai nous en times un autre ; raais ayant
vouiu augmenter le degre de chaleur ,. enforte que le
fond de la coupelle eroit tres- rouge , nous vimes que. la
chaux. de plomb, bien loin de paffer en letat de Minium>y,
fe tournoit au m^me etat que nous F avoit donne le pre-
mier effaL .11 y • a plus i du Minium deja fait , expo/e a un
degre de chaleur audclTus de celui que nous avions.era-
ploy^^ pdur.aifi. taire , le changea en tres peu de tems. en
malficot. . h\0 ^ I 1.') ori-j

11 paroit dpnc, que fi on n' a pu r^uffir a faire du Mf-
nium , cela vient de 1! illufion qu' on s'elt faite fur le de-
gr^ de chaleur qu'on a. employe trop fort & fur cette
reverberation de la. flamme dont on te fervoit fort inutilg-

ment.

•-. Pour tout dire; mon amour propre fe flattoit de recueil-
-lir le fruit de cette maniere; de faire; le Minium, lorfque
. M. Macquer , qui avoit vii repeter. plufjeurs fois ce: precede

m'ecrivu

73
m^ecrivlt que Boerhaave avoir fait la meme chofe que iroi*

Voici uii extrait de la lettre de M. Macquer fur 1' obje^
en quellion.

„ Je fuis tombe fur la chimie de Boerhaave , dans la-

„ quelle j' ai trouve un precede qui ne differe en rien du

„ votre pour faire le Minium. Ce precede eft dans le tome

„ fecond page 188. de 1' edition latine in 4.° a Paris ches

„ Cavelier 1733. je vais vous le traduire mot-amot. L'au-

„ teur, apres avoir decrit le precede pour faire la cerufe,

„ ajoute „ On voit par la avec quelle facilite le flomb perd

fa jorme metallique & fe change en. chaux. Cela arrive de

plufieurs manieres. On fait fondre du plomb bien pur dans

un vaiffeau de terre non verniffe. Ce metal fondu efl d'abord

comme du vif argent ; mais bieniot il fe forme a Jafurface

une pellicule terne qui efl une efpece de chaux. Si on enleve

cette pellicule avec un inflrumtnt de fer , la furface du plomb

redevient brillante comme auparavant j mais une nouvelle

pellicule s" y reforme auffitot , // jaut r enlever comme Id

premiere. De cette maniere tout le plomb fe convertit en

cette efpece de chaux , qui n efl pas mains malfaifante que

la cerufe. Cette chaux , ou meme la cerufe calcinee ou remuie

long- terns fur le feu , augmente de poids, & devient peu a

peu d'un rouge eclatant ; c ejl ce qu on nomme Minium.

On peut en faire auffi en calcinant de meme la mine de .

flomb.

„ A' ces dernieres paroles , ajoute M. Macquer , vous
„ devez reconnoitre exaftement votre precede pour faire
„ le Minium ; ainfi veyez ce qu' il faut que je fufl'e a ce
„ fujer.

Je ne crus pas devoir parler d'avantage de men Mi'
nium; car on n'eui pas manque, comme c'eft I'ufage, de
me trailer de plagiaire. Vous remarquerez que nous avons
des gens dent tout le merite confide a faire ces fortes de
confrontations, & a publier enfuite qu'on n'a rien fait que
Mifc. Taur, Tom, IF, k

74 . ^

copier, A^ ce fujet je ne faurois m'empecher de vous citer

un exemple frappant de la bont^ d'ame qu'on a pour ceux

qui s' avilent de faire des experiences. M. Beaume , dont

la reputation vous eft connue , en travaillant fur 1' Ether,

avoir reconnu que cette liqueur appliquee fur un corps ,

en s'evaporant, y occafionnoit un froid beaucoup plus

confiderable que routes les liqueurs evaporables connues.

II eut le malheur de publier fes experiences en meme

terns que M. de Cullen publia les fiennes en Angleterre

fur le meme fujet : auffitot on cria au plagiaire. M. I'abbe

Nollet eut beau le juftifier dans (es legons publiques j il

demeura pour conftant que M. Beaume avoit copie M.

de Cullen ; comme s' il n' etoit pas dans I'ordre de la

nature , que deux hommes (e rencontrent a avoir les mS-

mes idees & a faire la meme chofe.

Vous etes trop philofophe , Monfieur , pour n'avoir pas

pitie de ces hommes a qui cet efprit de vertige fait faire

tant d' injuftices.

Je fuis &c,

Monnet.

M E M O I R E

Sur la reBiJicaiion ^ & vurifcadon de t alkali volatil
obtenu des fubjlanccs animales.

Par M.' Monnet.

yjn fait que 1' alkali volatil , en fe degageant des fub-
fiances animales, n' ell point pur, a beaucoup pres. II Te
trouve toujours uni intiniement avec une matiere que pres-
que tous les Chimiftes ont regardee comma une huile
grofliere. C eft dequoi on ne peut pas douter en vo-
yant ces alkalis volatils ; mais ce a quoi on n' a pas fait
attention eft, que ce n' eft pas feulement cette huile qui
les rend impurs , il s' y trouve aufli une matiere fuligi-
neufe , laquelle eft intimement unie avec cette meme huile.
Cette matiere peut-etre confideree comme le refte des liens
qui tenoient 1' huile enchainee , laquelle a ete enlevee , tant
a caufe de la grande volatilite de 1' huile , que de fon adhe-
rence avec elle : elle contient une tres-grande quantite de
cette meme matiere fuligineufe , qui lui donne cette cou-
leur jaune & cette confiftance epaifle qu'on lui connoit.
C eft cette meme matiere fuligineufe , qui eft la caufe
aufli de la mauvaife odeur qu'ont ces huiles & ces alkalis
volatils. Plus on les debarraffe de cette matiere , plus on
les rend volatils & agreables. Nous montrerons par la
fuite la methode la plus prompte & la meilleure que Ton
puilTe employer pour debarrafler ces huiles de cette ma-
tiere fuligineufe.

Pour purifier les alkalis volatils & les avoir parfaitement
purs , non feulement il faut les depouiller de cette merae
m;itiere fuligineufe , mais meme il faut leur enlever jufqu'
au dernier aiome de 1' huile j ce qui eft tres-difficile, com-
me on va le voir. k 2

7^

De toas les Chimiftes qui ont tente jufqu' id la puri-
fication des alkalis volatils, aucun n' ell encore parvenu a
les obtenir abfolument purs. Les uns ont efl'aye de les
faire fublimer , apres les avoir meles avec des terres ab-
forbantes ; d'autres ont fait pafTer plufieurs fois de I'efprit
de vin deflus j mais ces moyens , les meilleurs qu' on ait
employe jufqu' a prefent , n' ont point opire une purifica-
tion parfaite , quelque grand nombre de fois qu' ils ayent
ete reiteres. Ces alkalis volatils, quoiqae tres-blancs d'abord,
jauniflbient toujours par la fuite , en merae temS qu' ils
confervoient une forte odeur d' empyreume. C eft cette
confideration qui nous determina , M. Poulietier de la Salle
& moi , de mettre en ceuvre loutes les reffources que la
chimie nous offroit pour obtenir , s' il etoit po/Tible , ces
fortes d' alkalis volatils abfolument purs & entierement
femblables a 1' alkali volatil qu' on retire du fel ammoniac.

Nous commen9ames d' abord par faire une dillillation
d' une tres-grande quantite de corne de cerf Apres en
avoir obtenu le produit , nous feparimes d'abord le mieux
qu' il nous fut poffible , T huile d'avec I'alkali volatil. Nous
ne nous amusames pas a reftifier cet alkali volatil cora-
me c' eft 1' ufage. Nous le fimes diffoudre dans fuffifante
quantite d'eau , & nous verfames deffus de I'acide vitrio-
lique jufqu' a une parfaite faturation. Nous filtrames , &
nous eumes une liqueur faline extremement foncee en
couleur. 11 refta fur le filtre beaucoup de matiere fuligi-
neufe. Nous fimes evaporer jufqu'a ficcite. U nous refta une
tnatiere faline noiratre , fentant extremement Tempyreume.
Voici les experiences que nous times fur cette matiere.

I.° Nous en primes une partie que nous triturames
avec partie egale d'alkali fixe bien pur & bien blanc.
Nous exposames ce melange dans une cucurbite de verre,
I'ayant furmontee de fon chapiteau & lute les jointures j
nous fimes fublimer, par un degrade feumodere, I'alkali

77

volatil. Par cette operation, nous 1' obtinmes afTez blanc,

mais il fentoit encore 1' empyreume. Nous vimes cepen-
dant avec plaifir, que cet alkali volatil ne jauniffoit ni ne
changeoit en veilliffant coinme fon: Its alkalis volatils pu-
rifies felon la coutume ordinaire.

2.° Une autre partie de notre matiere faline fut melee
avec deux parties de chaux eteintes a I'air. Ce melange
mis dans une cornue , fut poufle a la diltillation. 11 pafla
dans le balon un efprit volatil aifez fort , mais il etoit
un peu colore & fentoit Tempyreume,

3.° Ces deux eflais ne nous ayant pas donne 1' alkali
volatil abfolument pur , nous nous determinames a palfer
de r efprit de vin fur I'autre partie de la matiere faline
qui nous reftoit , jufqu' a ce que 1' efprit de vin ne s' y
colorat plus. Pour cela , nous mimes notre matiere dans
un matras ; ayant verfe deffus de 1' efprit de vin jufqu' a
la hauteur de deux doigts, nous le fimes bouillir au bain
de fable , puis nous le feparames pour en mettre de
nouveau. L' efprit de vin fe colora dabord fortement; mais
y en ayant mis une troifieme fois , il refta clair & blanc.
Cependant cette matiere fahne n' etoit pas blanche a beau-
coup pres. Nous ia fimes diflbudre dans de I'eau j nous fil-
trames. La liqueur qui pafla etoit tres-claire & nuUement
coloree ; d'ou nous augurames que nous avions fepare en-
tierement les parties fuligmeufes & huileufes de ce feL
Nous fimes evaporer cette liqueur. Nous obtinmes , par la
crillallifation des criftaux,de ce fel , c'eft-a-dire , du fel fe-
cret de Glauber afTez beau. Ayant evapore tout cequ'il
y avoit d'humidit^, nous primes ce fel, que nous decom-
posames avec de I'alkali , de la meme maniere que nous
venons de le dire plus haut. Nous obtinmes cette fois
un alkali volatil abfolument pur. La portion de cet alkali
qui monta en liqueur , fe crillallifa dans le flacon , en
beaux crifUux tranfjparens.

78

On voit que ce moyen d' obtenir 1' alkali volatil , qui
eil uii peu difpendieux &: penible , confifte a enlever
premierement 1' huile qui unit la matiere fuligineufe avec
i'alkali volatil. D'un autre cote , cette matiere n' etant pas
volatile par elle meme, n' a pas de difpofition pour s'ele-
ver dans la fublimation de I'alkali volatil. Cependant il eft
bon de la feparer par la diffolution & filtration de notre
matiere faline , comme nous 1' avons fait avant la fubli-
mation de r alkali volatil , autr^ment nous avons eprouvd
que I'alkali volatil n' eft point aufli beau , ni audi pur. 11
y a apparence que I' alkali volatil en enleve quelques par-
ties, ou , ce qui paroitroit affez vraifemblable^ que cette
meme matiere fuligineufe, eprouvant I'aftion du feu , fe de-
compofe & fournit de nouveau de 1' huile & de l' alkali
volatil , qui alterent la purete de celuici.

Pour parvenir a reftifier & a purifier I' huile animale,
il faut la depouiller de fon fuligineux. La plus part des
artiftes n'ont point employe d'autre moyen, pour parvenir
a reftifier leur huile & a la rendre blanche , que la di-
ftillation , qu' ils ont reiteree jufqu' a trente fois. Chacun fent
fuffifamment combien une pareille manoeuvre eft ennuyeufe
& dilpendieufe. Cependant cette maniere de purifier cette
huile , a ete regardee fans examen , comme celle que Ton
devoit fuivre neceffairement pour avoir cette huile do*
uee de routes les qualites qu' on y defire. Quelques uns
rebates de ce travail ont cherch^ a abreger cette opera-
tion , en fe fervanr des intermedes : ils ont employ^ pour
cela les terres abforbantes , mais fans fucces. Pour ne pas
entrer dans un detail inutile fur ce fujet, nous dirons qu'
il n'y a que les acides , qui, me.'es avec ces huiles em-
pyreumatiques , retiennent la matiere fuligineufe , la fixent
en lui donnant plus de confiftance , & procurent 1' huile,
des la premiere diftillation , tresclaire & tres-limpide, li
ne s' agit pour cela que de verfer goutte a goutte fur

1^

cette huile , d' un acide etendu dans de 1' eau jufqu' a ce
qu'elle ait acquis beaucoup de conhltance , la diftiller en-
Tuite a une foible chaleur , foutenir le feu toujours au
meme degre. L' huile qui montera fera tres-claire & tres-
blanche, & tres-volatile. II fe peul aufli qu'on foit obli-
ge de reftifier une autre fois cette huile , comme il m'eft
arrive de le faire plufieurs fois ; mais je puis aflurer que
par cette fcconde reftiiication , cette huile fe trouve auffi
belle qu' il eft poffible de ravoir.

Paris ce i 5 Avril 1768

THERM ARUM VINADIENSIUM '

Encheireticae fyntaxh fpecimen primum
JOANNIS AnTONII MaRINI.

XLT aliud quidem alii affecuti funt , verum totum nullus
adhuc ex prioribus. (i) Immerito autera nullus aliquis
jpforum reprehendatur , propterea quod invetiire non po-
tuerunt. Imo laudandi potius omnes , quod inveftigare co-
nati funt. Hip.

Convallis, in qua fcaturiunt ihermarum fontes, in regione
Vinadienfi ell; Vinadium, a quo diftat millia quatuor pe-
demontana Cuneenfis provincia pagus eft , Taurinenfis
nunc Dioecefis , iuxta torrentem fluram pofitus. Via pri-
mum fafis ampla per flurae vallem , mox ad radicem de-
clivis mentis olivae circumiens artla , faxofa , & inftabilis
crat } fed quae a provida clementiffimi Regis au£toritate ,
& benignitate , fuorum commodis , falutique confulturi, nunc
translata , & emendata reperitur. Semilunarem convallem
extenfionis femimilliaris formant duo aJtiflimi monies mi-
noribus aliis interfefti convallibus. Qui boream, & aqui-
lonem fpeftat vujgo efclaudas nominatur , qui vero .orien-
tem folcm , & aullrum, oliva. dicitur. Ille filvis , & pratis
virefcitj ifte fere nadus con(picitur.

•{«) Qu' * thermis VinadienfiBus fcripferunt, funti. Banholomaeus Viotti a
Cliviolo anno 1551. 2. Andreas Bacci 1571. 3. Francifcus Gallina 157a.
4. Spiritus Rainaudus 1681. J. tandem Johannes Factoaus 1747,
Mifc, Taur. lorn. iV, I

8z

II. Silvas ornant abies , larix , fraxhius , tilia , forbus , ce-
rafus , & frangula nigra. Prata luxuriant rhapontico , bi-
ftorta , orchidum , lycnidum , & liliorum fpeciebus variis i
turn hue illucque invenias rtirpium plurimarum , rario-
rumque varias , & elegantes fpecies ( i ). Reglo haec al-
peftris fundit ex fe partus ingentibus gregibus , & exiguae
bourn copiae. Rupicapra , lepus candidus , & mus alpinus
folivagus hie eft. Volucrum genus perrarum. Aft phafia-
nus , & perdix cum perpaucis aliis nidulantur. Torrens If-
ciator , qui- convallem irrigat, farione abundat. Foflilia va-
ria turn ad verticem , turn ad radicem montis oUvae fpar-
{im inveniuntur , quae inter diftingui merentur Pyrites ful-
phureae, marcaffitae , haematites , & ocra ferrea modo fpato,
modo quartzo contenta , quorum fingulares fpecies enu-
merare , & diftinguere ad me non pertinet, ceteraque non
perfequar.

III. „ Loci illius aerem fatis temperatum ferunt, praefertira
„ vere , & autumno , etiamfi vallis tota ventis a meridie
„ fere femper agitetur praecipue fereno tempore: Ita Barthol.
a Cliv. de bain. nat. virib. cap. 3.4. , quod verum : atta-
men ventorum direftio , ut folis profpeftus , variat ; hinc
mane decumanus , aufter meridie , libs vefpertino tempore
valide fufflant. Occafo verum fole placidus Favonius vix.
fpirat, Nofte hydrargirus in reaumuriano thermometro ple-
rumque flat ad gr. 7. fuper 0 , mane fudo caelo inter gr.
10. , & iz. , cumque pluit , vel caliginofum eft caelum'
inter gr. 7. , 8i 8. conftat meridie ardente fole gr. ly,.
vix afcendit haec fubdio : domi vero temperiei gradus eft
a gr. X2. ad 15. neque unquara 17. fuperat.

(1) Achillea foliis integris, odoratis, cuneiformibus , in apice dentatis flore

piarmicae. Carol. Allien, ftirp. rar. ped.
Abfyntium alpinum fpicatum foliis petiolatis biftrifidis , & abfyniium ali

pinum candidum , humile foliis caulinis pinnatis Gafp. Sau Ah.
Cardamine Caefui folio lio.

8j

IV. Ad montis radicem hue , illucque fparfa inveniuntur
paftorum ruguriola trabibus fere cilindricis incardinatis , ut
plurimum contexta, ftramento , aut ligneis tabulis tefta
ill fitu a nivium , faxorumque ruina tutiore fira , quae
tamen notabili tradlu a thermis diftant. Quare ad infirmos reci-
piendos commodiori , propinquiorique receptaculo opus erat.
Varia prifcis olim temporibus conltrutta fuere , quorum ve-
ftigia nee dum adhuc eonlpiciuntur , quia vel fubtus prae-
rupto declive monte fita a faxorum , niviumque ruiiiis
everfa , vel in humiliori eonvalle pofita a torrentis turge-
fcentis impetu divulfa fuerunr. Quae vero nunc fagaciter
aedificata domus ell ad ipforum fontium fcaturiginem fatis
ampla , commoda , ftabilifque raanet multiplicibus undique
lavacris , & laconicis munita.

V. Ad angulum eminenriflimi monris olivae meridiem
Ycrfus inclinantis , ubi convallis dilatari incipit faluberrimi
fontes fcaturiunt , quos fic enumerare , & diilinguere lu-
bet (}).

Primus , qui veteris luti cifternam format, congeries vi-
detur plurimarum fcatebrarum ex imo exilientium , luiaque
periodientium. Huic veteres luti nomen dedere vulgo U
fanghe. Caloris gradus erat a 40. ad 41. (4).

Secundus ab elatiori faxi rima profluens paflus triginta
a primo diilans fere fub facello domelHco divae Magda-
lenae dicato pofitus potionibus dumtaxat inferviens a qui-

(3) Fontium diflinfkio, eorutnque denominatio debetur eximio , follertique

viro D, Giavelli medicinae doftori ihermarum domino , & moderatori.

(4) Quae de caloris gradu tentavi cxpcrimenta , repeiita fucre annis 1763.,

1764., 1766., & 1768. in omnibus fontibiis abfque difcrimine, primo
excepto , ubi lutorum vcierum receptaculum adeft, in quo notabiiiier
variabat aquarum calor pro ut maior, aut minor frigidae aquae copia
theimalibus a Jmifccbatur ; prope thermas enim nafcentes frigidi/Timi
fontes, hue nondum quamdiu adfui, conllanter omnino fegregaii fue-
rani , quod nunc fa£lum ; uude caloris gradus eiufdem fere ad jo. ad-
fceadit.

/ X

^4

bufdam diureticus appellatur , & vulgo ta MaJdatena, C»-

loris gradum habet a 54. ad j 6.

Pone balneariam domura ad angulum eiufdem monte
ipfo connexum ex quamplarimis rimulis numerofi fparfim
exiliunt foniiculi , quorum unus , alterve arte fimul coUe-
ftus in tres diftinftos rivujlos diftinguitur.

Horum primus ordine tertius militibus lavacra praebens,
ad quorum diverforium per ligneum teftum canaletn per-
flult aqua, caloris gradu fovetur a 44. ad 46. cuique la
militare noraen impofitum eft.

Poft hunc quartus rivulus lavacra fuperiora miniftrans
temperaro gaudet caloris gradu a 19. ad 30. huic idcirco
temperati, vulgo ia temperata confentaneum videtur.

Quintus ad inferiora balnea diffluens , quo numerofa plebs |
iramergituF , & calens eft ad gr. 46. la paefana nuncupatur. "

Praeter haec, novus nuperrime rivulus ex variis, mini-
irvifque temperatarum aquarum fcatebris confeftus eft ,
quique lavacris fuperioris domus , & nobilioris recenter
aedificatae replendis infervit , qui calet a gr. 31. ad 33.,
& la nobile fontana dicitur.

Numerofi praeterea furculi nullo ufui infervientes aqua-
rum aliunde paffim fcaturiunt , quorum nonnullorum calor
cxploratus erat a gr. 15. ad 17., & le lagrime normm.n'
. tur. Quae demum lutis fovendis in fuperiori nova cifterna
. inferviunt aquae, & le polle de fangki dicuntur , eumdera
fere , ac illae lutorum veterum caloris gradum habent.

VI. Perenne aequale diametro calentes oranes gradu fuo
vario fcaturiunt thermales Vinadienfes aquae in direftione
lineae diagonalis afcendentis , fpatio paflus vix centum.
Vapores hepatis fulfurei odoris ab ilHs perfluentibus ,
aut (tagnantibus continuo manant , denfiflimi caliginofo
coelo , minus fereno ( 5 ). Color thermalium a frigidarum

( 5 ) Varjetatcs caloris giadus adnotatae referri debent ad varium coeli Ruiaa;
maior enim caloi exploratur nubilo coelg , minoi fcieno, •

aquarum colore nullo modo differt. Sapor fere nullus pri-
mum , fed qui brevi foedatur , dam calidae potantur , ab
halitu fingulari nidorofo ovis coftis induratis fimillimo.
Hydrometro probatae pondere grani unius , vel alterius
fuperant ceteras vicinas frigidiores. Taftu faponaceae per-
fentiuntur. Ex latice ipfarum fponte varia fecedunt , &
primum curfu paulifjjer declivi gelatinofa cinerei coloris
ipermatis ranarum fimillima fubftanria arenulis adhaerens fe-
gregatur , quae fub dio confiftentia tenaciori , & cralfitu-
dine aufta , colore mutato fenfim diftinguitur in corpus ,
quod vi:lgo muffa nuncupatur. Secundo , ubi ftagnant , &
praecipue in lutorum foveis terram cineream fubpinguem
deponunt. Tertio ad fontium , rivularuraque margines , &
ad faxorum contingentium latera fal quidam , feu potius
falino-formis terra ab illis in grumulos fecernitur.

VII. Calorem diu fuftinet ex fontibus hauftae , igni vero
ad ebuUitionem expofitae , non earn brevioris temporis
fpatio concipere valent , quam quo frigidae communes
aquae. Vafe vitreo ferventes receptae numerofas elaftia
aeris bullulas emittunt , ex quo fit, quod (i calentibus adhuc
ipfis praecoci vafis obturatione coerceri experiatur, vas
quandoque cum fragore difrumpatur. Argentum turn im-
merfione , turn vapore primum colore aureo tingunt , mox
violaceo , & tandem nigro. Moderata dofi epotae nullum
in plerifque fenfibilem effeftum praeftant : acuta vero in
nonnullos fpeciem quamdam temulentae hilaritatis indu-
cunt , quofdam per alvum valenter purgant , faecefque ni-
gro colore tingunt , permultis diurefim copiofam movent ,
omnibus infenfibilem perfpirationem augent, unde indufia
uliginofa apparent. Lac nullomodo coagulant , bilem in
flocculos turbant, fanguini humano extrafto , & tepenti
mixtae , eum diutius fluidum fervant, rutilioremque reddunt,
cruftam pleuriticam eraolliunt, ejufque inferius cruorofum
lomentum in liquaraenfundunt,calculorum fragmenta longa.

86

immerfione folvunr. Aptlflimae ad fapldi panis confeftlo-
nem probaiitur. Evaporatione ab iis fubfidet terreo-falina
fubltantia , quae habetur ad grana quinque ex quaque
aquae libra eiulHem ferme naturae , ac quae fponte ab illis
perfluentibus feparatur. Tranfveftae , clarae, limpidae , &
incorruptae per annos fervantur abfque fedimento , floccu-
Jis , aut pellicula. Tepefaftae poft longutn tempus nidoro-
fura halitum rurfus emittunt, faporemque foeduin,

VIII, Ab affufione fyrupi violarum recenter parati pul-
cherriraupi viridem colorem ollendunt , ab eodem vetufto
citrinus color apparet. A gallarum pulvere tarde rubicua-
dae fiunt ( 6 ). Solutio (atumi acida eas turbat colore tuico.
A folutJone mercurii fubiimati corrofivi obfcurantur , max
ptaecipitato aurantio pulvere falin'o-formi , vitri dilute ru-
bri colorem mentiuntur. Ab inlHllata folutione argenti ia-
^^iginofae fiunt , & cinereo-violaceum fedimentura depo-
nunt, Ab affulione olei tartari per deliquium in niveos
flocculos perturbantur. Quae omnia eodem, aft minus in*
tenfo raodo accidunt in iifdem tranfveftis caute (ervatis.

IX. Corpus , quod vulgo muffa dicitur , fubftantia eft
fungofo-gelatinofae texturae ( 7 ) coloris modo obfcure vi-
ridelcentis , modo cinerei , quandoque flavi , faepius , &
diutius rofei ( 8 ) dimeniionis variae , ut exten(ionis , &

.( 6') Quod negatur a Fantono. Aft expetimenti habiti ratio ex alterius relatu
falfa efTe poterat abfque iiiiuria viri cclebcrrimi , quum ipfe nunquam
thermis adtuerit. Confer, comm. eiufd. de Ther. Vinad.

( 7 ) Subllantia hacc a Botanicis regno vepetabili adfcribitur , eamque referunt
ad Clanem XXIV Cryptogainiae algarum firt. natur. Carol, lin. n. 1067.
Tremella frudificationi vix nianifeftae in corpore gelatinofo. Aft ad nul-
las praeclari auftoris fpecies fpeilare videtur , nee carafteribus infigni-
tur iremellae Thermalis clariftimi Vandelli. Coufer. Domin. Vandel.
dilfert. prima de thermis aponi.

.( 8 ) An colorum varietas a vario fruftiijcationis tempore pendet i Nuper
anno 1768. menfe augufto omnes coloris rubefcentis omwino confpi-
ciebantur, dum anno 1766. menfe lulio fere omnes fufcae , & viride-
fcenics apparebanr. Vcrum color totam intimam penetiat fubftantiam,
dum plantae vegetatio , & fruftificaiio folam fuperficiem ftcrnere vi-
detur. An a, vaiia fo/nJium vario tempore per ulia abrafione i

craflltiei undique rivulorum imae parti adherens , ab iifque
quandoque pendula. Tepens nares ferit odore pulveris pirii
accenfi ; fapor eius vix fublalliis , & naufeofus. Taftu ex-
peritur ponderofa , lubrica , nullo ixiodo glutinofa , mollis
varum , elartica , & ad difruptionem teriax. Calorem in
rivulis eundem fufcipit , quem habent aquae matrices. Vafe
claufa aqua repleto incorrupta per annos, & inodora fer-
vatur pallido colore rofeo omnimode , & iolo praedita y
quae tandem in fimbrias fponte feparatur. Muffae extra
aquam ardenti foli expofitae brevi temporis (patio corru-
ganiur , extenuantur, breviantur, & exiiccantur, colorque
varius tunc mutatur in cinereo-obfcurum nonnullis tan-
tummodo viridefcentibus fuperllitis maculis. Accenfae can-
delae admotae odorem fpargunt illi proximum , quem dat
agaricus ad efcam paratus accenfus. Flamma caeruleo-rubra
fcintillant , leviter crepitant, donee exuftae in cinerem ni-
gerrimum abeunt , qui ferri magnetici probatione contenti
martis figna praebet. Aqua communi maceratae unguinem
violaceum fupernatantem oftendunt , augentur mole , &
emolliuntur.

X. Terra, quae per therraales aquas vehitur diverfae
naturae effe reperitur. Nam 1.°, quae inter lamellas exfic-
catarum muffarum inveniiur levis , cinerea , & lubrica eft,
quae cum acidis effervefcit , ut ea , quae lutorum bafim
format. 1.° Quae ex falina fubftantia praecipiiatur fulvo
colore lintea tingit , tinfturam gallarum , & helitropii vio-
laceo colore afficit , crucibulo exulla in martis crocum
convertitur. 3.°Creta fluida ghur fimillima , vel lafti lunae
betltmitico analoga identidem ex faxi rimis delabi cernere
mihi contigit.

XI. Salino-terrae fubftantiae /pontaneam fecretionem a
thermalibus Vinadii aquis triplici pariter modo confidcrare
praeftat. Nam i." ad latera arenacea , & faxofa rivulorum
albae farinae adinftar parva copia feparatur , & tarde in

8-8

minimos acervulos excrefclt ( 9 ). ».° Circum ftagnantes
ipfas aquas in lutorum praecipue veceri cifterna ad Taxeum
marginem citrino plerumque colore praedita maiori copia
fegregatur (10). j.° ex fola aquarum vaporofa exhalatio-
ne in hypocaudis facillime , & uberrime faxorum afperis
fuperficiebus adhaerefcit ,"& in grumulos incrullatar (i i).
Sapor non omnium idem j primae enim acme l':iUus ell «
»," , & 3." praecipue falfo-aufterus , quae ad ignem vix
crepitant, nunquam difliliunt, & in vefficulas inflanturi^
contra falina prima fubrtantia, ut ea, quae per arte fa-
ftam evaporationem habetur, falfo-nuvriatica videtur , ad
ignem crepitat , & dilTilit (ii),

XIL Saiia haec nullo mode cum acidis vegetabiliuiut
efFervefcunt ; fpiritui falis , nitri , & vitrioli mixta vix fen-,
fibilem libilum edunt, Aqua communis hifce faiura , a fi-
rupo violarum in viridem intenfe herbaceum (13) protinus

( 9 ) Solus fecretionis fpontancae modus ab eiimio Fantono ex relatione co-
gnitus , cni faveie fecretioni putat „ alpinam illam regioncm per dia
frigidam , & bruinalem tempeflatein vid. ibid. fol. 8. Aft omni tcm-
peiUte , &,quolibet tempore falia & confpaifa exiflunt.

(lo) Quod nunc etiam fit in recenti lutorum fovea. Ita milii nupeirime re-
fercbat D. Giavelli.

-(n) Simillima falina fpontanea concretio ex ipfa fola aquarum evaporatione
ad latera caveraae fafta , per quam in imo fluit rivuius aquarum ther-

T. -rnalium de baptere^ recenter obfcrvata eft annis 1765., & 1766. ab
eximio PharmacopoU Campmartin. confer. Diar. Gallic, an. 1768.
menfe April.

(•12) Quod difcrimen pendere videtur ex eo, quod vapor flogifto, & acido
vitriolico fcateus difperiatur turn aquarum evaporatione , turn longa li-
xiviatione: lixivium enim primum falis fodae odorem haepatis fulptiu-
lis dabat , qui fenfim in vapores difperdcbaiur , & abcrat in fecundo ,
& tcrtio. Ita expctiebatur celeber. GettloiKal. Journal, de Medec. &c,
p.ir M. de Vanderm. totfi. X. an. J759. fol. 42.

(13) Mutatio coloris fyrapi violarum in viridem per aquas fale faturas ab om*
nibus hucufquc aquarum medicatarum analyfim experientibus , ut ab
ipfis celcbcrrimi? Hoffmanno , Valerio , & Siiav pro caraileriflico figno
alKalefcentiac content! falis habita efl. Ad nuperrirae in dubium revo-
cabatur ab illuftri M. C^eumanno , & tandem plurimis, firiniflimifque
experimcntis falfum demonnrabatur ab eximio Comite de Salus in a£l,
•ioc, reg. Tautin. lom. 3. pag, 153., & fcq.

xnu-

^9
mutatur colorem , qui paullatim , & tarde ruber evaclir.

Carta caerulea in earn immerfa', & exficcata pallidior fit
colore ad luteo-rubrum vergente. Ab infufione pulveris gal-
larum (tatim violacea fit , mox nigra. A folutione laturni
turbatur fufbo colore. A folutione mercurii fublimati cor-
rofivi rubra efficitur mercurio praecipitato fub forma au-
rantii pulveris. Ab oleo tartari per deliquium in niveos
flocculos perturbatur , quod idem evenit cum argenti fo-
lutione. Soluta falia in lixivio alkalino cum ultramarino ani-
mali vulgo bleu de prujfe hypoflafim praebent caeruleo-pal-
lidam. Sedimina omnia dant luteum colorem lintea tin-
gentem. Ab infufione huiufte fubftantiae terreo-falinae drag-
mae unius cum femifTe in fpiritu vini re£lificati unciis tri-
bus color mutatur in Iconinum , pelluciditas fpiritus noti
evanefcit, aft port ebullitionem latliginofus fit. Flamma
eiufdem in cocleari argenteo accenfa erat primum alta ,
data , & cerulea , mox in medio rubra cum fuccedente
leviflima crepitatione , & intermixta fcintillatione (14).
extinfta fponte flamma , & quod adliuc aquofum fupererat
evaporatum reliquit grana duo terrae citrini coloris , fa-
poris falfo-acerbiffimo.

XIII. Verum purus thermarum fal facillime haberi po-
tefl folutionis ope eiufdem fubftantiae terreo-falinae in aqua
communi diftillata , repetitae deinde filtrationis, evaporatio-
nis , & crirtallizationis. Ab eiufdem enim uncia una probe
exficcata in unciis ofto aquae foluta habui primo terrae
arenaceae , infipidae per decantationem fubfidentis , & fic-
Catae dragmas tres ; fecundo a filtrationibus repetitis ter-
rae impalpabilis luteae , fub aufterae linfturam gallarum
nigro colore afficieniis dragmam unani cum femiffe : tertio

fi4) Quo CTperimento ex cclcberrimi Maquer fcntentia probatur falis medit
mjior, aut minor folubilitas, Conf. ejufdcm exp. in Mifcel, Taurin,
torn. 3. pag. I. & feq.

Mijc, Taur, Tom, IK m

9©

tandem poft evaporatlonem ad cutlculam falis puriffimi ,

criftallizati , albidi , lucentis fere dragmas tres.

XIV, Enixi fales varias figuras otleiidunt, quarum duae
evideiitiores manite(tantur. Alii enim oblongi funt , ftriad,
modo truacati , modo in apice prifmatici, vel cuneformes ,
quos inter quadrangula confpiciuntur nonnulla. Saporem
fallum linguae praebent non peracutum , acidulo-amariuC-
culum , & paulifper frigefcentem , ad ignera ebulliunt , in-
flantur , leviter fcintillant , crepitant , & difiliunt ; aeri
expofiti luciditatem amittunt, farinaceo pulvere albiflimo
velantur , & tarde deliquefcunt. Cum folutione fyrupi vio-
larum intenfe viridem colorem praebent , cum tintlura gaU
larum ruffum (15). Praeterea ex renovato experiniento
femel contigit obfervare albidas efflorefcentias acinaci-
formcs pediculis fuis connexas faporis acute falfi , frigi-
diufculi , ad ignem non crepitantes , nee difilientes , va-
rum ebullientes cum inflatione in vefliculas , & levi fcin-
lillatione , quaeque cum fyrupo violarum citrinum colo*
rem praebebant.

COROLLARIUM.

Haec funt , quae ex iteratis obfervationibus , & experi-
mentis de thermarum Vinadienfium natura , qualitaubus,

&

(15) Sufpicstus eft Rainaudus de praefentia nitri, vitrioli , & aluminis in the r-
mis Vinidicnfibus : Aft cxperimenta , & rationes quas profert , ut
futiles rejecit Fantonus pag. 9, Comment. Confer. Tratiato de' Sagni
di Vinaglh di Spirit. Rain. 1681. cap. 4. trat. 1. pag. 32. Qua diverfa
quantitatc turgeant falinae huiufcc fubftantiae thermarum aquae ex- va-
riis fontibus hauftae , & qua varia terrae copia mixtae , nonijum in
fingulis expcriri etium datum eft. Verum ex nonnullis obfervationibus
conftare videiur terrae, & unguinis maiori copia fcatere calidiore,'!
prac ceteris, falis vero quantitatem fere eamdcm in omnibus adefte :
ncc reticcndum praeterea mc in criftallizatione probanda, ufum ftiific
terreo-falina fubftantia fecundae , & teniae fponianeac fecretioiiis ,^uae
maiofi cojpia, 8c facilius coiligi poieft,

. 9»

Be proprietatlbus mihi conftant. Plura adhuc ad illuftraa-
dam earum analyfim , & ad contentorum elementorura
fpecificani naturam , nexum , combinationem , & calculum
determinandum deficece reor , quae fi otium, & occafio
rurfum favet, renovate ad thermas itinere , attetuioci, fo.
lertiorique examine excerpturum me fpero.

Ex Ins tamen , quae prolata funt conie6lare licet ther-
males Vinadienfes fcatere primum flogiftico hepatis ful-
furis vapore , turn fpiritu aethereo elartico , mox fale me-
dio ex bafi alkalina marini falis , & acido vitrioli multa
terra folubili variae naturae , & praecipue argillofae , fe-
leniticae , & ocraceae martialis contaminato , nitrum fin-
gulare fpatofum folitarium fufpicari pofTe , vitriolum mar-
tialis naturae reperiri.

Hinc fufficit , quod thermales iftae hifce principiis di-
vites faluberrimos in oeconomia animali morbofa valeant
efFeftus praeftare mucidos , vifcidofque humores incidendo,
acres condiendo , & demulcendo , iblida nervofo membra-
naceo-mufculo(a blande ftimulando , abftergendo , & im-
pervios meatus referando , & fimilia.

Epotae idcirco facultatem habent ventriculum , 8c in-
teftina detergendi , eorumque fibras roborandi ; acidum
abforbendi, & immutandi ; inertes falivas acuendi , fan-
guinis circuitum incitandi ; fecretiones , excretionefque uri-
nae potiflimum , & perfpirationis infenfibilis promovendi.
Unde humorum inquilinorum dilutio , immutatio , coftio ,
& excretio.

Per temperatum balneum cutem abluunt , abftergunt ,
emolliunt ; fanguinem diluunt , ftagnanti limphae fluidita-
tem conciliant , & fudorem movent. Per hypocauilurn uni-
verfi corporis fuperficiei , & per irrigationem fingulis par-
tibus concitatiorem ofcilationem , vividioremque motum
impertiendo febrem concitant , per quam congeftorum ,
vifcidorumque humorum difgregatio , refolutio , aut fuppu-

9*.

ratio confequitur. Tandem , quod per illutationem , aut

muffarum fotum infirmis partibus comparatur levamen ab
aftione balneis , irrigationi , & vaporationi analoga pendere
videtur , quae moderatur paregorica muffarum virtute , aut
augetur lutorum firma adhaeuone.

M E M O I R E "

Sur la combinaifon du Mercitre avec le tartre.
Par M." Monnet.

IVi. Margraf nous ayant fait connoitre que le mercure
precipice de 1' acide nitreux oil il a ete diffous, etoit fu-
iceptible de fe rediflbudre dans 1' acide du vinaigre , audi
bien que plufieurs autres fubltances metalliques traitees de
m^me. II etoit tout naturel , en partant de ce point, d' exa-
miner fi la creme de tartre , le plus foible de tous les
acides , ne pourroit pas operer la meme diffolution. Cell
en cfFet de quoi j' ai eu lieu d' etre I'atisfait , tant par la
reullire de cette diffolution , que par plufieurs autres ob-
fervations que j' ai eu occaiioii de faire fur cet objet. Voila
ce que je me propofe d' expofer dans ce memoire.

Pour avoir un precipite de mercure pour faire mes
experiences , je pris fix onces de mercure que je mis a
diffoudre dans f. q. d' eau forte ; lorfqu il fut parfaite-
ment diffous , je verfai deffus autant d' alkali-fixe en idl'
quiutn qu' il en falloit pour precipiter entierement le mer-
cure. Je verfai ce precipice fur un filtre , & j' y paffai
plufieurs fois de 1' eau chaude pour l' edulcorer partaite-
ment. Je fis fecher ce piecipite , & il ne fe trouva tout
juftement que du mtoe poids du mercure que j'avois em-
ploye. Je ne fus point furpris de ne point trouver de I'aug-
mentation de poids dans ce prccipue , puifque j'avois deja
^prouve qu' il etoit bien difficile d' empecher qu' il ne reffe
toujours quelque peu de mercure diffous dans 1' eau des
lavages, a cauie de la difficulte d'attraper le veritable pome
Mi^c, Taur, Tom, IF. n

94 ,

de ne faturer juftement que Y acide qui eft uni au mer-

cure J car fi 1' on outrepaffe la dofe d'alkali, cet excedent

tiendra un peu de mercure en dinblution dans 1' eau ; de

m^me que Ti on ne met pas affez d'alkali, 1' excedent de

r acide , comme on fait , gardera une portioii de mercure.

Le dechet que j'eus , fut d'environ i. gros, que j'obtins de

mes eaux de lavages en les faifant ^vaporer.

Je ne marque ici la maniere dont j'ai fait ce precipite,
que parcequ' il eft effentiel de faire connoitre la quantity
de mercure qui s'eft unie a la creme de tartre j & com-
me on ne peut 1' evaluer que par le precipite , il eft n6-
ceffaire de montrer la quantite de precipite que f ai ob-
tenn d' une quantite donnee de mercure.

Premier procede. Je pris deux onces de creme de tar-
ire bien pulverifee que je mis dans une terrine de gres ,
qui contenoit environ trois pintes d' eau , je pbgai cette
terrine fur un bain de fable , & lorfque la cr^me de tar-
tre fut diffoutCjj'y mis une once de men precipite mercuriel
en remuant coniinuellement ; il fe fit auffitoc une petite
ebullition , qui fe foutint pendant quelque minutes avec
beaucoup de bulles qui venoient fe crever a la furface ;
prefage de la diffolution du mercure. La couleur briquee
du precipite mercuriel dilparut , & il fe fit un precipit^
blanchatre au fond du vaiffeaa , beaucoup plus confidera-
ble que le volume du precipite mercuriel que j' y avois
mis. Je filtrai alors la liqueur a travers le papier gris, &
j' ajoutai k ce precipite , qui avoit refte non diffous au
fond de la terrine , une autre once de creme de tartre j
je verfai deffus autant d'eau que la premiere fois. Je laiflai
encore le tout le meme efpace de tems , c'eft-a-dire, une
bonne heure. Cette fois je n'eus point d' ebullition. Je fil-
trai , & j'ajoutai de nouvelle eau bouillante lur ce qui etoit
refte au fond du vafe. Je repetai plufieurs fois la meme
chofe: mais il me refta encore beaucoup de ce precipite,

95

qui me 'paroiflbit infoluble. Je fis ^vaporer enfemble routes

ces eaux falines au bain de fable ; lorlque la liqueur fut
dvaporce d' un bon quart , il commenga a paroitre k la
furface des petits criitaux femblables au tartre vitriole. Je
laiflai refroidir le vaiffeau de lui m^me fur le bain de fa-
ble; ces petits criftaux s' ^tant multiplies, toute la furface
de r eau en fut couverte comme d' une pellicule. Je de-
cantai , & enlevai ce fel , qui etoit jaunatre : ayant voulu
I* expofer au foleil pour le faire f^cher plus promptemenf,
je fus fort furpris de 1' y voir devenir noiratre ; mais me
rappelant que plufieurs preparations mercurielles, telles que
le mercure fublime doux, le precipitd blanc , eprouvent le
meme changement de couleur etant expofees au foleil ; ce
fut pour moi une nouvelle confirmation de la combinaifon
du mercure avec 1' acide du tartre. Je fis auffitot une au-
tre experience qui me prouvat la meme chofe : ce fut de
frotter ce fel fur du cuivre,qui lui laifla une trace blanche:
d'ailleurs ce fel annongoit au gout quelque chofe de mer-
curielj j' achevai d' evaporer la liqueur, & il me refta un
fel qui me parut beaucoup moins mercuriel que le pre-
mier. J' examinai enfuite ce qui avoit refte fur le filtre &
dans le fond de la terrine , je trouvai que c' etoit egale-
ment une combinaifon du tartre avec le mercure. Les ex-
periences que je fis pour m'en affurer , furerit : premiere-
ment de 1' expofer au foleil , il y noircit ; fecondement
d' en expofer fur les charbons ardens, il en partit des va-
peurs qui fentoient l' huile de tartre ; troifiemement, de le
frotter lur du cuivre, qu' il blanchit encore mieux que celui
que j' avois obtenu par la cridaliifation. Son gout etoic
auffi plus neutre , c'eU-a-dire , qu' on y fentoit moins le
gout aigrelet du tartre.

Je commengai deslors a comprendre plufieurs verites
tresimportantes que je detaillerai par la fuite. Premieremenr,
que le tartre devient d' autant plus difficile a fe dilToudre

n I

9^ . .

qu' il fe combine avec une plus grande quantlte de mer-

cure. Secondemctu , que la portion de cette combinaifon
qui approche le plus de 1' exces d' acide , ell la premiere
qui fe diflbut dans i'eau. Troifiemement, qu'ileft pofiible,
en fuivant ce principe , de changer cette combinaifon par
de (imples lotions , qui en enlevant d'abord fa portion la
plus acide , laifleront en arriere le mercure avec le moins
d' acide pofiible ; & qui enfin le depouilleront totalement
de fon caraftere falin, Quatriemement, qu' il eft poffible de
remettre les chofes telles qu' elles etoient auparavant , en
rertituaiu au mercure le rartre qu' on lui a enleve.

Avant d' en venir aux preuves de ces quatre propofi-
tions , je crus qu' il convenoit de m' affurer , avant toute
chofe , de la meilleure fagon de faire cette combinaifon ,
que je n'appelerai plus, deformais, que tartre mercuriel , a
r imitation de la combinaifon du tartre avec le fcr &
avec r antimoine , a qui on a donne les noms de tartre
martial , & de tartre emetique.

Second precede. Je pris deux onces de mon precipite
mercuriel que je melai avec quatre onces de creme de
tartre. Je jettai ce melange tout a la fois dans une grande
quantite d' eau bouillantej je foutins ce melange quelque
terns fur le feu , en remuant continuellement : je filtrai &
procedai comme ci-devant j il refta beaucoup de precipit^
au fond du vaiiTeau , tout-afait femblable a celui de I'ex-
perience precedente. Le tartre mercuriel que j'obtins cette
fois-ci , ne me parut pas differer en rien de I'autre.

Je m' arr^te ici pour faire remarquer , que quoique le
vaifleau dans lequel j' avois fait cet effai n' eut pu tenir
affez d' eau pour diflbudre toute la cr^me de tartre, le
mercure ne laifla pas neanmoins d' etre entierement dit
fous : ce qui fait voir que la creme de tartre n' a pas
.bcfoin d'etre difToute pour agir fur le precipite mercuriel.
On remarque auffi la m^me chofe a 1' egard du far &

97
du cuivre ; le tartre agit fur ces metaux, & s'y unit fans
etre difTous.

Troifieme precede. Enfin, apres plufieurs effais, je trou-
vai que le meilleur precede etoit celui-ci. Prenez une once
de precipite mercuriel , triturezle avec irois onces de cre-
me de tartre , divifez ce melange en quatre parts , proje-
tez-en une fur deux pintes d' eaii bouiilante dans une ter-
rine placee au bain de fable. Des que 1' ebullition aura
paflee , c'efta-dire, apres un demi quart d' heure , filtrez ,
& verfez fur ce qui reftera au fond de la terrine autant
d' eau bouiilante que la premiere fois. Apres un moment,
filtrez comme auparavant , & mettez une autre part du
melange dans le vaiflcau ; verfez y de meme deux pintes
d'eau bouiilante , & traitez la ainfi que la premiere , &
fuccefiivement les autres de la meme maniere ; mettez
routes vos liqueurs enfemble & faites les evaporer , pour
en obtenir, par criftallifation, le tartre mercuriel. De cette
maniere, on aura cette combinaifon aufli parfaite qu' il
eft poffible de l' avoir.

Malgre cela , il reftera encore au fond de la terrine un
peu de precipite , que j' appelerois volontiers Panacea ve-
getal , par rapport a fon indilTolubilite , mais qui, je crois,
n' en feroit pas moins bonne a etre employee interieure-
menf.

Le tartre mercuriel prepare de cette derniere maniere,
a vraiment un gout mercuriel ; il noircit auffi d' avantage
au foleil, Je n'oublierai pas qu'un des principaux carafte-
res de cette matiere faline elt de verdir le lirop violat ;
c' eft- a dire , lorfqu'elle eft diffoute dans I'eau. Elle fe de-
compofe avec la plus grande facilite par 1' alkali fixe, qui
s' empare du tartre , & le mercure fe precipite en blanc :
je ferai encore cbferver, que lorfqu'on fait cette decom-
pofition au feu , ce precipite devient couleur de brique
foncee.

9^

II ne faut pas tant de cr^me de tartre k la verite pour
diffoudre une once de precipice mercuriel ; mais comme ce
fel n' eft foluble qu' autant qu' il fe trouve uni k une plus
grande quantite de cr^me de tartre , il n' eft guere pofli-
ble d' en employer moins , lorqu'on veut avoir le tartre
mercuriel par la criftallifation. Si on jugeoit a propos d'en
avoir un qui fut plus charge de mercure , deux parties
de creme de tartre contre une de mercure fuffiroit j mais
on en auroit tres-peu par la criftallillition ; il en refteroit
trop en precipite au fond du vailTeau , a moins d' emplo-
yer des quantites d' eau immenfesj c' eft ce qu'on va voir
par r expofition que je vais taire du peu de lolubilite de
cette matiere faline.

Je fis pafler fur un refidu provenant de deux parties de
cretTie de tartre & d' une de mercure , huit pintes d' eau
bouillante 1' une apres 1' autre, Ces huit pintes , evapor^es
jufqu' a ficcite , n' ont donne que 7. gros de matiere ; ce
qui ne revient qu' a foixante-trois grains pour chaque pinte;
au lieu qu'une pinte d' eau diftbut prefque deux gros de
tartre mercuriel criftallife, obtenu par le precede que je
viens de propofer : qu' elle difference.

Ce tartre mercuriel , qui avoir refte non foluble au
fond du vafe , & fur lequei j' avois fait palTer huit pintes
d'eau bouillante , fe trouvoit bien different de ce qu' il
^toit auparavant ; de blanc qu' il etoit d' abord , il fe trou-
voit noiiatre ; il paroifl'oit moins laiin au gout , & il fe
difTolvoit parfaitement , & promptement dans l' acide ni-
treux, ce qui me le fit regarder comme n'etani uni qii'
a tres-peu de tartre.

D'ou je conclus que j' avois enlevd a chaque fois que
j' y avois verfe de 1' eau , la portion de mon tartre mer-
curiel qui etoit la plus acide , & que, je 1' avois amene
au point oil Ton pouvoit le compofer avec le turbith mi-
neral. En edfet , on va voir que c' eft une propnete re-

99
marquable du mercure dans toutes les comblnaifons qu' il

contrafte avec les acides ( a I' exception de I'acide marin)

de fe depouiller de ks acides de plus en plus par les

lavages.

Pour me confirmer la-defTus , je pris quatre onces de
tartre mercuriel criftallift r^duit en poudre ; je les mis
dans une petite terrine , & je fis paffer deffus fucceffive-
/nent dix pintes d'eau bouillante , ayant eu foin de bien
decanter 1' eau a chaque fois. II me refta a la fin une poudre
grife noiratre , tout a fait femblable a celle qui avoir refte
dans la terrine dont je viens de parler. Je fis enfuite
evaporer toutes mes eaux ,• pour en obtenir ce qu' elles
conteneient de mon tartre mercuriel. La premiere criftalli-
fation que j' en obtins , fut une creme de tartre affez char-
gde de mercure ; la feconde ne fijt prefque que de la
creme de tartre pure. Ceci fuit 1' ordre general de la
criftallifation des fels. Le fel le plus difficile a fe diflbudre,
eft Ic premier a fe criftallifer. Le tartre mercuriel eft in-
comparablement plus difficile a fe diftoudre que la creme
de tartre pure j car comme je 1' ai deja fait voir le tar-
tre mercuriel eft d' autant moins foluble, qu' il eft charge
d' une plus grande quantite de mercure. En cela on
voit encore une parfaite refl'emblance entre le tartre mer-
curiel , & toutes les autres combinailbns du mercure avec
les acides. Le fublime corrofif fe diffout dans I'eau d' au-
tant plus facilement , qu' il contient une plus grande quan-
tite d' acide marin ; mais le mercure doux, & la panacee
mercurielle font infolubles, parceque ces preparations con-
tiennent trop de mercure.

Si les fels mercuriels fe depouitlent , ainfi que nous le
voyons , de leur acides par les lavages , ils ont aufli la
propriety de fe retablir , lorfqu'on leur reftitue la quan-
tite d'acide qu'on leur a enleve. Auffi fis-je pafler peu
^ peu une once de ce tartre mercuriel indiflbluble a tra-

I 00

vers le filcre , en la faifant boiiilllr fucce/fivement avec
des demi onces de cr^me de tartre & trois pintes d'eau
a chaque fois. J' einployai de cette maniere quatre onces
de creme de tartre } & le tartre mercuriel que j' en ob«
tins , me parut tout aufll charge de mercure que les au«
tres que j'avois obtenu par la criilallifation. Ce qui fait
voir que le tartre mercuriel crillallife , contient bien pea
de mercure , pendant que celui qui refte au fond du vaiffeau,
apres cette combinaifon, en eft furcharge.

D'apres ces proprietes du tartre mercuriel , je devois
etre pone naturellement a examiner , li dans la combinai-
fon du mercure avec le vinjigre j' y trouverois les me-
mes carafteres de relTemblance. £n effet , me rappellant
tout ce que 1' experience m' avoir appris la deflus , je vis
avec plailir cette analogie ; c' eft ce que je confirraai par
de nouveiles experiences. Je commensal d'abord par met-
tre deux onces de mon precipite mercuriel en diftblu-
tion avec une pinte & demi de bon vinaigre diftille dans
un matras. Je Hs chauffer ce melange a un bon feu de
fable. Le prdcipite mercuriel ne tarda pas a etre attaque,
& dans tres-peu de terns , je vis fe former a la furface
de la liqueur une pellicule criftalline tres-con(iderable j j'y
verfai une tres grande quantite d'eau chaude a deffein de
la faire diffoudre ; elle difparut effettivement ; mais il fe
forma au bout de quelque tems au fond du vafe un pre-
cipite bcaucoup plus conllderable que celui qui y etoit au-
paravant !a difparition de cette pellicule. Ce qui me don-
na lieu de croire qu' il s'etoit fait une decompofiuon de
ce fel j c'efta-dire, qu' il s'etoit fait une fiparation de la
portion la plus faline d'avec celle qui 1' etoit moins ; &c
cette derniere ne pouvant fe tenir en diffolution s' etoit
precipit^e au fond du vafe. Ainti , bien loin de le regar-
der comme un fimple precipite mercuriel qui reftoit lou-
jours indilVoluble dans cette occafion , comme je I'avois cru

avec

lOI

avec blen d' autres , je le regardai au contraire , comme
le fel mercuriel de viiiaigre avec le moins d' acide poili-
ble. C'eft de qiioi je me convainquis , en en faifant la repa-
ration par un filtre , fur lequel refta ce fel mercuriel. II
etoit jaunatre , au lieu que la pellicule criAalline , qui
avoit di{J5aru par I' addition de 1' eau , ^toit blanche. Je
pris ce precipite refte fur le filtre lorfqu' il fut fecj je le
divifai en deux parties ; j' en mis une dans une grande ter-
fine , fur laquelle je paflTai une tres-grande quantite d' eau
bouillante a differentes fois. L' eau s'etant chargee de la
partie la plus faline de ce precipite , il ne refta en arriere
qu' une poudre noiratre , que je comparai a celle qui avoit
refte apres les lavages du tartre mercuriel. Je remis I'autre
partie de mon fel mercuriel de vinaigre dans un vafe pla-
ce au bain de fable j j' y verfai a plulieurs reprifes du vi-
naigre diftille. Je parvins a en difToudre beaucoup , je dis
beaucoup , car je ne pus employer tout le vinaigre qu*
auroit ^xige fa difTohuion radicale. Apres cela je hs eva-
porer la liqueur qui avoit paffe au travers du filtre. Lorfque
j'en eus evapore plus de la moitie , j' en obtins une cri-
ftallifation en forme de feuillets talqueux jaunatre , avec
une furabondance de vinaigre } mais 1' ayant expofee ~ a
ftcher fur du papier a filtrer , ce (d y devint bieniot par-
faitement neutre.

'. On voit done ici, que tout fe prefente de meme que dans
d' autres combinaifons dii mercure avec les acides ; meme
indiflblubilit^ de ce fel a mefure qu'il contient d'avantage de
mercure ; meme tendance a fe decompofer lorfqu'on y
fait pafler de 1' eau. On voit encore que fans cette con-
noiffance , on rifque de travailler en aveugle fur cette
combinaifon. Et il ne faut pas ^tre furpris fi ceux qui one
entrepris de faire cette combinaifon, d'apres M. Margraf , ont
rencontre, en la faifant, des obllacles qui leur ont donne ce
fel fous differentes formes & fous differentes qualites. Ceft ce
Mifc. Taur. Tom, IV, o

101

qui m' engage k propofer un moyen d' avoir cette cora-
binaifon conftamment de la mSme quality. Cela ne con-
fide qu' k ne pas mettre de l' eau fur cette diflblution ,
ni avant , ni apres qu' elle eft faite , & a enlever la p^l-
licule criftaliine lorfqu'elle eft formee; car s'obftiner a la
faire diffoudre avec de I'eau, pour la faire paffer k tra-
vers le filtre , c' eft vouloir la decompofer. On doit en-
fuite ajouter du nouveau vinaigre fur ce qui refte au fond
du vaiffeau jufqu' a ce qu' on ait tout diffous ; ce qui
^xige, a la verite, une tres-grande quantite de vinaigre. Le
fel qu' on obtiendra par 1' evaporation de toutes ces dit
folutions raflemblees , differera de beaucoup de celui dont
je viens de parler , en ce qu' il contiendra plus unifor-
mement de mercure , & en ce qu' il fera plus criftallin ,
& plus blanc ; mais aufli il fera avec un exces d'acide ,
qui peut cependant s' en feparer aiftment par les papiers.
11 me convient pour completer toutes ces analogies des
difFerentes combinaifons du mercure avec les acides , de
faire voir que 1' union de 1' acide nitreux avec le mer-
cure , prefente les memes phenomenes. 11 eft bien ^tonnant
que les artiftes qui font fi familiers avec cette diflblution
depuis tant de terns n' en n'aient pas fait mention : il fem-
ble que nous foyons condamnes a ignorer perp^tuellement
ce qu' il y a de plus fimple & de plus communj cepen-
dant rien de fi aife que de s'appercevoir de cette proprie-
te dans I'union du mercure avec 1' acide nitreux. Si on
lave , foil dans I'eau chaude, foit dans I'eau froide des cri-
ftaux provenant de cette diflblution , on voir qu' ils fe
ddcompofent, ils jauniflTent ; la portion la plus acide fe dif-
fout , pendant qu* il fe precipite une poudre d' un jaune
citron, qu'on peut appeler le turbith nitreux. Mais fi au
lieu de verfer de I'eau tout fimplement fur cescriftaux,
on y verfe en m^me tems quelque gouttes d' acide ni-
treux , bien loin qu' il s' en precipite quelque chofe, tout

fe difTout au contraire avec la plus grande facilite ; & il
n'y a pas meme d' autre moyen de pouvoir diffoudre ce
fel. J'ajouterai de plus, que j' ai obtenu un beau turbith
nitreux par une maiiiere bien plus fimple ; c' eft en no-
yant dans de 1' eau chaude , une diffolution mercurielle
iaturee autant qu' il etoit poffibfe de mercure , & con-
centree par 1' evaporation.

PREMIERE EXPERIENCE.

Apres cet examen , je fis plufieurs autres experiences ,
^ deffein de combiner differemment le mercure avec I'acide
da tartre. La premiere que je fis , fut de triturer tres-
long-tems un gros de mercure avec trois gros de creme
de tartre dans un mortier de marbre. Le mercure difpa-
rut k la v^rite , mais ce n' etoit qu'une fimple divifion ;
car en ayant fait bouillir ce melange dans de l' eau , le
mercure refta au fond du- vafe , fans qu' il en parut le
moindre veftige uni a cette creme de tartre.

SECONDE EXPERIENCE.

Je fus plus heureux dans la feconde experience , ea
imaginant de decompofer le fel vegetal fait avec la cra-
ye par une difTolution mercurielle , pour unit, par la vo«
ye des doubles affinites, I'acide du tartre avec le mercu-
re. J' avois dcja eprouve que les acides purs n'agiflent que
difficilement fur les fels qui ont pour acide la creme de
tartre , ou du moins qu' its n' en degagent pas facilement
la creme de tartre, comme on devroit s'y attendre: tres-
fouvent les liqueurs reftent claires & tranlparentes lorfqu'
on fait ces melanges: ainfi j' etois curieux de voir ce qu'il
en arriveroit dans cette occafion. Un autre motif fe joi-
gnit encore a celui-la } ce fut de verifier en meme terns

0 X

104

un fait tres-inteieflant du memoire du cdldbre M. Margraf,
infere dans le XX.* volume que rAcademie Royale de Berlin
vieiit de publier. Dans ce memoire , qui a pour titre: Demon.'
ftration de la pojfibilite de tirer les fels alkalis fixes du tartre par
le moyen des acides , [ans employer taciion d'un feu vehement.
M. Margraf rapporte, qu' il a obtenu un vrai nitre en
verfant de 1' acide nirreux fur le fel vegetal fait avec U
craye. Je pouvois done efperer de voir ici d'une part
r acide du tartre s' unir au mercure , & de I'autre , I'acide
nitreux s' unir a la bafe de ce fel telle quelle fut. Jepris,
en confequence, une certaine quantite de ce fel diflbus dans
r eau ; j' y verfai peu a peu de la diflblution mercurielle ;
il s' y forma auflitot un precipite jaunatre tres-confidera-
ble. Je filtrai la liqueur ; je fis paffer de l' eau fur le pre-
cipite relte fur le filtre , & je mis a dvaporer cette li-
queur fur un bain de fable. Je ne pus en obtenir des cri-
ftaux dillinfts , ce qui m' obligea a la faire evaporer
jufqu' a ficcite.

L'ayant fait, je paffai de 1' eau chaude fur ce refidujje
filtrai de nouveau. II rella fur le filtre , un fel que je ne
pus meconnoitre pour du tartre mercuriel , aufli bien que
ce qui avoir refte fur le premier filtre. Je fis enfuite eva-
porer la liqueur , laquelle me donna un vrai nitre , mele
avec un autre nitre a bafe de craye. Ce dernier s' y de-
cela par 1' alkali fixe , qui en precipita la terre. Voila
done r experience de M. Margraf bien confirmee, en m^-
me terns que j' obtiens la combinaifon du mercure avec
r acide du tartre.

TROISIEME EXPERIENCE.

Je fus conduit par la a operer fur la cr^me de tartre
elle meme avec la diflolution mercurielle , ce qui,fuivant
moi , devoit en meme terns jetter un grand jour fur la
queftion , favoir : fi Calkali fixe exifie tout forme dans
la crime de tartre , on j' // a ete produit dans /' experieU'
ce que je viens de rapporter. Pour cet effet , je pris trois
onces de cr^me de tartre , que je fis diffoudre dans une
fuffifante quantite d' eau ; je verfai deffus peu a peu une
diflolution d' une once de mercure dans T efprit de nitre :
il s' y fit un precipite blanc tres-abondant : je filtrai apres
cela la liqueur , je la mis enfuite a evaporer , & j'en ob-
tins, en premier lieu,des criftaux qui etoient du tartre mer-
curiel , & a la fin un vrai nitre parfaitement criftallife.
Le precipit^ qui etoit reft^ fur le filtre, bien examine, fe
trouvoit etre egalement une combinaifon de 1' acide du
tartre avec le mercure.

• 11 eft bon d' obferver que le fel de nitre qu' on ob-«
tient dans cette experience garde conftamment un exces
d' acide , qu' il n' eft pas polTible de lui enlever autrement
qu' en le faturant , foil avec quelqu'alkali ou avec quelque
terre abforbante.

QUATRIEME EXPERIENCE.

Je me determinai enfuite k faire une autre experience
fur le fel de feignette , pour voir s' il y auroit quelque
difference dans les refultats. Pour cela , je pris fix gros
de fel de feignette ; les ayant fait difloudre dans une fuf-
fifante quantite d' eau , je verfai defl!us une diflbluiion de
trois gros de mercure ; j' eus un precipite tout pareil a
celui que j' avois obtenu par la deniiere experience , &
enfuite quelque criftaux de tartre raercuriel , & fur la fin
du nitre quadrangulaire.

io6

Les comblnaifons du mercure avec Tacide du tartre qui
refultent dans toutes ces experiences different de beaucoup
de celles oii je n' avois employe d' autres moyens que la
combinaifon immediate de la creme de tartre avec le pr^-
cipiti^ mercuriel. La premiere difference qui s' y trouve ,
c' eft que le tartre mercuriel qui en r^fulte eft d' une
grande blancheur , pendant qu'il eft prefque impoffible de
conferver 1' autre blanc ; il eft toujours plus ou moins gris.
La feconde , c' eft qu' il fe diflbut radicalement dans
r eau , quoique il fbit tres-difEcile k fe diffoudre, puifque
fix pintes d' eau n' en ont pu diffoudre que demi once.
Enfin une autre diff(^rence; c'eft qu' il fait une impreffion
plus vive fur la langue : il faut cependant obferver que
ce fel jaunit, lorfque ayant ete une fois diffous dans I'eau,
on en obtient des criftaux.

Les differences que m' offrit ce fel ne me furprirent
point, au contraire je m'y attendois. En envifageant dans
la creme de tartre une bafe alkaline, il eft tout a-fait
probable dans ce cas-ci , oil cette bafe a et^ enle-
vee , puisqu'elle s' eft unie a 1' acide qui tenoit le mer-
cure en diffoluiion , la combinailon mercurielle qui s' y
eft faite n' a du I' etre que par 1' acide pur de la creme
de tartre. Au lieu que dans le tartre mercuriel ordinaire
que j' ai decrit , toute la fubftance de la cr^me de tartre
fe trouve unie au mercure. D' apres cela je fus curieux
d' examiner la partie acide du tartre qui s'etoit unie dans
cette occafion-ci avec le mercure ; ce qui devoit jetter
un grand jour fur 1' analyfe du tartre.

J' ai dit ailleurs que le tartre mercuriel eft decompofe
avec la plus grande facilite par 1' alkali fixe : je refolus
de me fervir de ce moyen pour reconnoitre la nature de
r acide de la creme de tartre. Je pris pour cela des pr^-
cipites qui s' etuient formes, tant dans le tems que j'avois
decompoie le fel veg<ital & de feignette par la diffolution

107
mercurielle , que de celui que j' avois obtenu de la cr^-
me de tartre pure ; je Jes mis dans une terrine avec de
r eau bouillante que j' expo(ai fur un bain de fable chauf-
fe ; jc verfai deflus de 1' alkali fixe refous en liqueur ; la
couleur blanche difparut bient6t , & il s' y forma un
precipit^ de mercure couleur de brique foncee. Quand je
m' appercus qu' il y avoir tout autant d'alkali fixe qu' il
en falloit pour dccompofer mon fel mercuriel , je filtrai
la liqueur , & je I'evaporai. J' en obtins une efpece de
fel vegetal, que je ne pus pas faire criftallifer: il me pa-
rut tenir le milieu entre le fel vegetal ordinaire & la
terre folide de tartre. Pour acquerir quelques connoiffan*
ces de plus fur la nature de 1' acide qui conftituoit ce
fel , je r^folus de le feparer de nouveau de la bafe que
je lui avois donn^ par le moyen de 1' huile de vitriol, &
de I'enlever s' il etoit poflible par la diftillation. Je mis
en conftquence mon fel bien defleclie dans une petite
cornue de verre tubulee ; j' y lutai un petit balon , & je
verfai par la tubulure la moitie de (on poids d' huile de
vitriol delay^e dans un peu d' eau ; je poulTai le tout k
la diftillation. II monta un Flegme acidule, fentant I'odeut
defagr^able du tartre lorfqu'on le brule. Je faturai ce Fleg-
me acide avec un peu d'alkali fixe ; il devint auffitot d'une
couleur jaune verdatre. L' ayant fait evaporer dans une
petite capfule de verre j il me refta un peu de fel fi de-
fagi^able au gout, qu' il me fembloit qu' on mettoit du
tartre brule fur la langue. Voila tout ce que je puis dire
a prefent fur les parties conftituantes du tartre.

Je paffe maintenant a un autre objet , qui doit faire
une fuite neceflaire de ce memoire j c'eft la combinaifon
du mercure avec 1' acide du vinaigre. Puifque j' ai deja
parle de cette combinaifon , il eft jufte que j'expofe ici, que
le meme moyen dont je viens de parler pour unir 1' acide du
tartre avec le mercure, reuffit egalement bien pour combiner

loS

I'acide dii vinalgre avec le mercure. Pour faire cette union,
je pris fix gros de terre foliee de tartre j je les fis dif-
foudre dans beaucoup d' eau chaude , & je verfai deffus
peu a peu une diffolution de trois gros de mercure ; il
parut auiritot un precipite jaunatre ; je filtrai la liqueur, &
j'en obtins enfuite, par I'^vaporation, le plus beau fel mer-
curial qu' il foit poflible d' avoir. 11 etoir en beaux feuil-
lets talqueux tres-blanc , mais il jauniffoit dans 1' eau com-
me r autre : il refta fur la fin du nitre. Voila done an
nouveau moyen d'obtenir le fel mercuriel , qui m^riteroit
affurement la preference , fi la terre foliee n' etoit pas un
objet un peu trop difpendieux.

Dans ce procede , comme dans ceux que je viens d'ex-
pofer pour obtenir la combinaifon du mercure avec I'acide
du tartre , les dofes que je prefcris m' ont toujours paru
les plus juftes. Mais il eft neceffaire d' avoir egard a la
quantite d'acide que doit contenir la diffolution mercu-j
rielle : il faut qu' elle n' en contienne pas d' avantage que
ce qu' il faut pour tenir le mercure en diffolution, autre-
raent il y auroit de la confufionj car i'excedent de I'acide
nitreux retiendroit une portion du mercure , & par \k
en priveroit d' autani 1' acide du vinaigre ou 1' acide du
tartre.

L E T T R E S

De D. M. Roffredi Abbe de Cafinova a M: L. C D. S.
fur les nouvelles obfervations microfcopiques
de MJ Needham , 6' fes notes fur les
Recherches de Mj Spallan:^ani.

I. I ai lu , Monfieur , avec toute rattention , dont je fuis
capable , les notes , ou les remarques , que M. Nec'
dham vient de donner au public fur les decouvertes micro-
fcopiques de M. CAbbe SpaUaniani ; & puifqu'en m'envoyant
ce livre , vous m'avez charge de vous en donner moii
fentiment , je vous le dirai fans detour ; car je fais bieti
qu'un Philofophe tel que vous , ne peut trouver rien de
bon, s' il n' y appergoit la verite.

II. Vous n' ignorez pas , Monfieur , que lorfque M.
Needham mit au jour en 1750. fes decouvertes interejjan-
tes fur la compojition , & la dccompofition des corps organi-
fes , il ne s' etoit propofe que de donner un petit eflai
„ qui ne devoir etre confidere , difoit-il „ que comme une
„ legere efquifTe d'un ouvrage futur , (1) comme une
ebauche de ce qu' il fe propofoit de publier dans la fuite ,
{1) & que pour !ors il s' etoit borne a une courte ex-
pofition de fes obfervations, (3) fe refervant d' en donner
un grand nombre d' autres , qu' il avoir par devers lui,
dans C ejfai qu il efpcroit de publier dans la fuite avec plus
£ exaciitude (4). Vous connoiffez de m^me quels ont ete
les jugemens des favans fur les obfervations microfcopi-
ques qui fervoient d'appui a ks decouvertes iniereirantesi

fij Preface p. lo.
(5^ Obfciv. 145,
nj 16. p. 108.
t4j P. 240.

AJifc. Taur. Tom, IK. p

I 10

on a cru g^neralement que leur auteur s' en etoit laifTe
impofer , plus encore par une theorie imagin^e anterieure-
ment a toutes obrervations , que par des effets , propres
de leur nature, h jetter dans I'erreur un obfervateur exa6l;
ce qui devoit naturellement porter M. Ndedham a s'acquitter
de fes engagemens envers le public j d'autant plus qu' il
ne pouvoit pas manquer de materiaux pour I' entretenir ,
puifque dans une lettre de i;6i. a M. Bonnet, il V aC-
furoit „ d' avoir fouvent r^pete les m^mes experiences avec
„ le roSme fucces,, ( 5 ) & lui taifoit efperer des eclair-
ciffemens importants, & propres a donner une nouvelle
force a fes premieres obfervations fur 1' origine des ani-
malcules microfcopiques. ,, Encore , difoitil , depuis peu
„ un Profefleur de Reggio vient de m' ecrire , qu' il a
„ fait pr^ciiement les memes obfervations , auxquelles il
„ en a ajoute plufieurs antres pour confirmer mes fenti-
„ mens ladeffus. 11 va les publier en forme de lettres,&
„ vous les verrez bient6t „ Or, pendant que le public en-
core incertain de la vraie valeur de ce grand nombre
d' obfervations que M, Needham gardoit toujours par devers
lui } pendant , qu'au lieu des lettres du Profefleur de Reg-
gio, il avoit vu paroitre la diflertation du Profeff^eur de
Mod^ne , M. I'Abbe Spallanzani, qui dans fes nouvelles re- I
cherches fur les etres microfcopiques^ loin d'appuier les an-
ciennes obfervations de M. N. en avoit montr^ le foible; n
pendant que 1' on s' intereffoit de plus en plus a tout ce |
qui pouvoit fournir des lumieres pour le denouement de
ceite fameufe queftion ; enfin le fufdit M. Needham, apies 1^
avoir montre tant d' indifference pour les fouhaits du public, 9
vient de rompre fbn profond filence. II entreprend de ^
traiter de nouveau la queftion de T origine des animal-
cules microfcopiques ; il critique \&% obfervations de M.

( 5 ) Bonnet confld. Tom, II, p, 113,

II 1 1
I'Abb^ Spallanzani, & il y oppofe des raifonnemens } mais
quant a ce grand nombre d'obfervations qu' il avoit faites
depuis vingc ans , & que I'on avoir tant envie d' appren-
dre , il n' a pas encore jug^ d' en dire le mot , &: cfn
l| xiiroit qu' il penfe que les favans font afles indruits , des
qu' il favent que tout doit ^tre comme il I'avoit deja dit.

III. Mais ft j' ai ete un peu furpris de n' avoir pas

trouv^ dans 1' ouvrage en queftion , les obfervations qui

devoient naturellement y tenir la premiere place , je l' ai

^te encore plus d' y avoir rencontre rant de chofes aux-

quelles je ne m' attendois aucunement. On lavoit bien que

cet auteur avoit une efp^ce de paflion pour fa maniere

de penfer fur les matieres qui regardent la metaphyiique,

mais il n avoit pas encore donne de certaines marques

de mepris au defavantage de ceux qui , dans ces que-

Aions , (e permetrent la liberty de penfer difFeremment ,

Icomme il vient de le faire dans fon dernier ouvrage que

)' ai fous les yeux. On diroit qu' il en veut a tous ou k

prefque tous les (avans ; mais c'eft principalement contre

les philofophes du fiecle que portent fes traits les plus

per^ans. Ce ne font pas des mots echappes dans la cha-

leur de la difpute , ou des manieres equivoques de s'ex*

primer , mais ce font plutot des duretes recherchees dont

il a fait clioix , qui ne peuvent avoir d'autre but que celui

■de faire lentir aux philolbphes, que tout favant qui n'eft

^s dans i'es principes , doit , par ceia-m^me , avoir un

cfprit borne ik fort rempli de pr^juges. Je ne me ferai

pas un devoir , Monlieur , d'aller cueillir cette efpece de

■fleups. qui font difperfees dans le livre de M. Needham ,

mais je dois pourtant vous en donner quelques petits

echantillons par lefquels vous puifliez juger du refte.

IV. Si vous voulez d'abord un effal de 1' elprit qui re-
gne dans cet ouvrage , je vous prie de jetter les yeux
fur ce qu' il dit de Defcartes a la page 206, „ Defcartes

Ill

,, paroit , & pour ne pas tomber dans 1' inconvenient d'une
„ cfpece dc generation equivoque des idees , autant que
pour affermir la morale . . . il imagine \a faUe dss idees
„ innees qu' il reprefente grojfierement (bus la notion de
„ traces matorieiles dans nos cerveaux. ,, Je crois que ce
doit etre la premiere fois que i'on a range Defcartes parmi
ces gens qui donnent dans des groflieretes.

V. On Hut que 1' hypothefe des gcrmes preexiftans a
ete le fyrteme favori des plus grands philofophes du (iecle
pafle & du courant. Je veux bien que cela ne foit pas une
raifon afles forte pour nous obliger a I'admettre; mais du
moins paroit il qu'elle devroit en etre une pour nous engager
a en u(er avec de certains egards , qu'un merite fuperieur
a toujours droit d' attendre de ceux meme qui font dans
des opinions differentes. M. Needham, plus que tout autre ,
devoir faire attention a ce que je viens de dire; lui qui
veut paffer pour difciple de Leibnitz; car pour peu qu'il
ait iu de ce Philofophe , il ne devoit pas ignorer qu' il ait
toujours foutenu la preexiftence des germes comme une
partie effentielle a fon fyfteme. Or voyons comment notre
auteur s'exprime fur cette hypothefe. ,, Ceft une pure
„ defaite peu digne d'un Phyficien . . . rien moins que
„ fcientifique . . . & fi nos connoilTances en phyfique , a
„ mefure qu'elles fe generalifent , doivent fe refoudre en
„ pareilles defaites , rien n'eft plus futile qu'une philofo-
„ phie qui ne mene a rien „ ( 6 ). Mais cette hypothefe,
cette phiiofophie qui ne mene a rien, nous meneroit pour-
lant a affermir de plus en plus la demonflration du pre-
mier des principes de la religion. Cependant , feon ies
principes de M. Needham, cette maniere de raifonner efl
pitoyable , meme a 1' en croire , elle elt ridicule. Ecou-
lons-Ie „ . Pour prevenir Ies calomnies & Ies prejuge* ri-

( 6 ) P. 139. 140.

"5

„ dicutes de ceux qui , (bus le pr^texte de venger les droits
„ de la divinii^ , n' ont cherch^ qu' 4 detruire notre (y-
„ fteme fur la generation , il elt abfolument neceffaire
jj &c. „ ( 7 ).

VI. Notre auteur voudroit dans les Phiiofbphes un peu
plus de retenue lorfqu' il s'»git de rejeter des defcriptions
que les voyngeurs nous donnent , & qui paroiflent faufles.
,&■ bizarres, telle, par exemple , que celle de Guillaume
Pifon , de la fauterelle Louva Deos qui fixe {ts pieds en
terre , y prend racine & devient une plante. ( 8 ) La ma-
xime peut etre fort bonne; feulement il relte a favoir fi on
I'a fugger^e par I'amour feul de la verite j fur quoi il eft
jufte de s'eti rapporter a 1' auteur meme , qui dans cette
occafion a bien voulu nous devoiler 1' interieur de fon
coeur. ,, Je fuis d'dutant plus porte , dit-il „ a faire cette
„ rcmarque . . . que je fuis bien aife d'avoir occafion de
„ relever un defaut qui revient trop fouvent dans nos
■„ ecrivains modernes. Dum vitant Jlulti vitia in contraria
ruunt (9). Etre bien aife de relever des defauts! Cela ne
patoit pas de la bonne philofophie.

VII. Cependant je ne m'arreterai pas fur de pareils
traits , ni fur tant d' autres de meme nature , qui fe pre-
fentent, h. la verite, un peu trop fouvent dans 1' ouvrage
que )' examine , mais que Ton pourroit peut etre excufer,
en faifant attention que fon auteur y a voulu paroitre
com me un favant qui penfe avec force , & s'exprime par
conf^quent avec une franchife pleinement . philofophique.
Lifez Monfieur , & admirez le tour qu' il a donne a une
petite legon qu' il nous fait , pour nous apprendre le peu
de cas qu'un vrai Philofophe doit faire des louanges &
des expreffions obligeantes , dont on pretendroit 1' hoiiorer.

(7) P 140- M».

(8) P. 258. 259.

(9)P. i4i-

«I4

„ Si je n' etois pas parfaitement au fait du peu de valeur
„ que 1' on doit actacher aux eloges trop interefTes des
„ Philofophes modernes , doiit la foiblerfe , en ce point ,
„ egale poar le moins celle des litterateurs pedantefques du
„ feizieme liccle , & dont le public eft la dupe en tout
„ temps , je devrois rougir des louanges exceflives dont
„ je me trouve accable par M. I'Abbe Spallanzani dans tout
„ le cours de cet ouvrage. Je le connois perfonnelleinent ,
„ & je le connois comme un Philofophe integre , tres-
„ eftimable a tous egards. Je lui dois par conlequent des
„ remercimens , mais c' eft en avouant avec franchife que
„ le raauvais exemple de nos philofophes I'entraine bien
„ au dela du vrai, & que fon ftyle en fait de louanges,
„ fent trop le vice puerile du fi(^cle „ (lo). *

VIII. II ne Tied pas tnal a un vrai Philofophe d' ecrire
avec une certaine franchife; il faut pourtant avouer qu'elle
doit avoir des bornes , au-dela des quelles il n' eft pas
permis de palTer fans s' expofer a rencontrer des Philofo-
phes auffi portes a la franchife & qui fe croiroient auto-
rifes a employer des expreffions que nous avons cru nous
devoir interdire. Je fais cette remarque parcequ' il me
paroit , que, fur cet article, M. Needham a un peu excede,
& qu' il auroit du en quelque occafion moderer cette vU
vacite d' imagination , qui ne lui a pas loujours permis
d' eftimer au jufte la veritable force des coups qu'il a pr6-
tendu porter contre la plupart des Philofophes.
*- IX. Voici , Monfieur , un endroit de fon livre que
'f aurois bien voulu qu' il eut fupprime } d'autant plus que
la penile qui y eft renfermee , a fort I'air d'une pure fa-
tyre qui ne mene k rien pour le developement des ma-
iieres en queftion. „ Ceux , dit-il, qui peut-^tre ne con*
„ noiffent pas encore affei la philofophie de Leibnitz peu-

(«o)P. 139-

„ veut jetter les yeux fur les injliiutions Leihnitlennes , ou
„ pricis de la MonadoLogie. Je penfe qu' il ell impoffible
„ k celui qui aura la force d' efprit neceflaire pour faifir
^ cette metaphyfique fublime de refufer de s' y rendre.
^ Je confeillcrai en m^me temps h. celui qui ne 1' enten-
^ dra pas de s'en tenir en tout , k la foi du Charbon-
„ nier, & de ne jamais poufler fes recherches en philofo-
^ phie , en morale , ou en religion au-del^ de ee qui eft
„ palpable, & feniible. „ (ii) Voil<l > Monfteur , un d^-
Cret des plus tranchans. Ceux qui ne font pas Leibnitiens,
font voir par-la qu'ils n' entendent pas cette meraphyfiquei
car il eft impoflible k celui qui aura la force d' efprit ne*
ceffaire pour la faifir , de refufer de s' y rendre } & ceux
qui ne r entendent pas doivent fe borner k. &^en tenir, en
tout, ^ la foi du Charbonnier. Que diroit ie celi^bre Clarke,
hii, qui a la tSte des Philofophes Anglois, foutenoit conire
Leibniti de ne rien comprendre a fa doftnne des Mona-
des ? (ii) Encore cette faillie feroitelle fupportable , fi de
tios jours la metaphyfique Leibnitienne eut pris le deffus ^
au moins fi elle etoit un peu plus r^pandue parmi les fa-
vans de ce qu'elle ne 1' eft en effet : mais c' eft un fait
connu , qu' il eft fi rare de rencontrer hors de I'Allema-
gne un Philo<( phe LL-ibnitien que cela paffe pour une ef-
p^ce de phentimene. A^ s' en tenir done au Confeil que
M. Needham a bien voulu donner aux favans de I'Europe,
il feroit fort a propos qu' ils fe bornaffent deformais a la
foi du Charbonnier, fans jamais fe meler de poufler Jeurs
recherches en philofophie, en morale , ou en religion au-
deU de ce qui ell palpable & (enfible.

X. Cependant , que direi-vous, Monfieur , fi je pretends
vous Ioutenir,que malgie 1' opinion de Monfieur Needham

(lO P. «47.

(12) Recueil de lettres entre Lcibnits, 8e ClaxKc V,™ lettre de Claige.

11(5

qu' il n' y ait Je honne mitaphyjique que celle de Leihtiit^j^ ?
(ij) malgrc ces beaux mots d' etres Jimples ^ etres r'prd'
fentatifs , raifon fujffifante , harmonie preetablie dont il (e
fert ; malgre auffi le choix qu' il a fait de la fameufe
devife de Leibnitz fungar vice cods , pour en orner le
frontifpice de fon dernier ouvrage ; (i je pretends, disje,
vous foutenir que M. Needham n' eft rien moins que Lei-
bnitien ? que les principes de fa philofophie font prefque
toujours en oppofition avec ceux du Philofophe de I'Alle-
magne ? II fe pourroit bien que du premier abord vous
priffiez mon ailertion comma quelque chofe qui fentiroit
un peu le paradoxe, d'autant plus que M. iVeWA^/Tz affure
formellement d' avoir itabli fes principes metaphyjiques fur
les premiers eUmens de la. /narzere d'apres Leibnitz (14), mais
quand je ne voudrois pas me fervir d'une reponfe fort
naturelle , qui eft de dire qu' il s'agit d' un point , que
Ton ne doit pas decider par autorite , il m'en relleroit
toujours une tres-forte & tres-admiffible ; & c'eft M. Nee-
dham lui-meme qui pent me la fournir dans fon ouvrage
des obfervations microfcopiques auquel il nous renvoit
dans ce meme endroit. Lifez , Monfteur , le paffage qui
fuit , & enfuite vous me ferez I'honneur de me dire Ci
vous jugez que M. Needham ait toujours penfe d' avoir
puife fa raetaphyfique dans celle de Leibnitz. „ Ceux qui
„ n'ont pas une connoiffance exacle & dijlincle de ce que
„ Platon , Cudworih , Greu , Mallebranche, Leibniii.,Ber-
„ cklei , & Pope ont ecrit , particulierement fur cette
„ partie de la philofophie , oil les puilfances phyfiques les
„ plus elevees commencent a s' allier avec les dernieres
,, caufes metaphyfiques , diront indifferemment , felon que
„ les penfees de quelques uns de ces lavans feront alors

iij) Notes fur les Deconv. microfcop. p. 146.
14.) Nouvelles rccherches phyf, & in6t^pli. fur la nature v, p. 35.

„pr^-

"7

„ priCentes a Jeur efprit , que je n' ai fait que renouvel-

„ ler les idees de tel ou de tel Philofophe , qui n' out
^ jamais ete generalement revues , & qui font mainte-
„ tenant prefqu'obiiees. Mais . . . il n' y a pas deux de
^ ces auteurs qui s'accordent parfaitement , & la plulpart
„ d' entre eux etabliflent des principes direftement con-
„ tradi<ftoires a tout le relte. // e/i vrai que mon Jijleme
„ paroit avoir , & a en effet quelque cliofe de ceux de tous
„ ces Philofofhcs , mais cependant il en efi fort different
), .... Cette iegere reiremblance dans les idees qu' il pa-
i, roit y avoir entre eux & moi , n' eft pas plus grande
„ que celle qu' ils ont les uns avec les autres ,, (15).
- XI. C eft 1 exacte veriie qui eft peinte dans le paflage
que je viens de produire , & je n' infifterois pas d' avan-
tage fur ce point fi je ne voyois qu'en entrant li-defTus
dans quelques details propres a taire comprendre roppoiitioii
qui fe rencontre entre la metaphylique de Leibnitz , &
celle de M. Needham , je pourtai donner en meme terns
des ^clairciffemens fur les vrais principes de celui-ci ; prin-
cipes qui font detailles dans fon livre des nouvelles obfer-
rations fur la generation , la compojition & la decompofitioa
des fubjlances animales , & vegetales qu'on a imprime a
Paris en 1750., & au quel il nous renvoit toujours tant
pour ce qui regarde fa metaphylique , que pour ce qui
fe rapporte a its obfervations microfcopiques. A la verite
M. I'Abbe de Lignac a employe la cinquieme partie de fes
lettres a un Ameriquain a I'expofition , & a la refutation
des principes metaphyfiques de notre auteur ; mais il eft
aife de comprendre , des le commencement meme de fon
ouvrage que Ton ne doit pas s'attendre d' y trouver la
matiere mife dans un certain jour, car il debute par dire
^ ne vous flattez pas de comprendre le fyfteme que jc

f ij) Nouvelles obferv. microfcop. p. 260, 263.

Mifc. Taur, Tom. 1/. a

ii8

„ vais vous expofer ; je me propofe uniquement de vous
„ faire fentir qu' il eft d' une obfcurite innacceffible. „ II
dit encore dans le corps de rouvrage , „ ne cherchons
„ point a entendre M. Needham , ce (eroit entreprendre
„ r impoffible ; mais tachons de decouvrir par quels fen-
„ tiers , eu par quels egaremens il eft arrive a une phi-
„ lofophie fi extraordinaire.,, (i6) C'etoit precifement ce
qu' il falloit faire , mais c' eft ce que M. de Lignac n' a
point fair.

XII. Je commence maintenant raon examen par remar-
quer qu'ala rigueur il ne feroit pas meme neceffaire de
connoitre a fond les deux (iftemes , celui de M. Leibnitz
& celui de M. Needham pour fe convaincre de la diffe-
rence effentielle qui doit y avoir de I'un a I'autre. Des
que i'on fait que les principes fondamentaux d'un fyfte-
me difent Voui , \k ou ceux de I'autre difent precifement
le non , pOurra-t-il y avoir de doute fur I'oppofition des
fyftemes ? II faut expliquer la nature intelligibUment ; il
n' y a point de communication d'aftion entre fubjla.nce
& fubftance ; voili les deux p61es fur lefquels roule la
machine philofophique de M. Leibnitz , & il n' y aura
qu'a y ajouter 1 influence du principe de la raifon fufi-
fame ; pour y donner le branle. On peut expliquer la
nature par des inintelligibles : on doit fuppofer un influence
(TaSion de fubflance a fubftance : on peut philofopher fans
donner lieu au principe de la raifon fufijante ; ce font
les maximes de cette metaphyfique qu' il a plu a M. Nee-
dham d'appeller Leibnitienne. Mais il faut que je m' ex-
plique.

XIII. Quand on dit qu' il faut expliquer la nature in-
teUigiblement , cela fignitie , d'apres Deicanes , qu'en phi-
lofophie il n' y a pas de bons raifonnemens , (i les idees

( i6 ) Lettre XII, p. 6o>

h "9

»' que Pon combine , ne font pas claires , & dirtinftes ;
mais comme il paroit que ce prinoipe congu fous cette

[l notion renferme un fens equivoque , il faudra le develop.
per un peu mieux. II eft impofUble qu' une intelligence
finie , &: bornee puilTe fe former une idee diltintie de ce
qui a un rapport immediat a la nature d' un ^tre infini,
& fans borncs } mais il elt tres poflibie que quelque in-
telligence , quoique bornee j comprenne ou la nature, ou
les proprietes d'un €tre fini , & limit^ , tel qu'eft en ef-
■fet tout le fcnfible qui nous environne. „ La conception
des creatures „ dit M. Leibnitz „ n' eft pas la mefure du
pouvoir „ de Dieu , mais leur aptitude ou force de con-
„ cevoir , eft la mefure du pouvoir de la nature ; tout
^ ce qui elt conforme a I'ordre naturel , pouvant etre
„ con^u ou eniendu par quelque creature.,, (17) II fuit
de ia que pour expliquer intelUgiblement une propriete ,
jUne qualite de quelque fubftance , il faut les faire deriver
)de fa nature, comme des modifications explicables, c'eft-
jl-dire poilible d' etre con^ues & expliquees au moins par
quelque efprit a qui Dieu donneroit une ouverture fuffi-
iante. On pent done comprendre fous quelle efpece d'inin-
•jteiligibilite je range les principes metaphyliques de M.
Needham ; il faut feulement un exemple pour rendre la
chofe plus fenlible. II pretend qu' il y a dans la nature
des eires qu' il appelle des Agens moteurs j ils font in-
capables de fe donner du raouvement , mais ils fe meu-
veiit & font moteurs lorfqu' lis fe rencontrent dans un
certain rapport de coexiftence avec quelques fitres d' une
-nature ditlerente. Voila ce qui s' appelle chez Leibnitz.,
KCxpliquer les choles inintelligiblement : la polition d'un etre
i i'.^gard de I' autre ne change rien daas T interieur de

(i7)Nouveaux eflais fui 1' emendement faumain =3 Amftcrdam 176J.

110

chacun de ces deux etres , & il n' eft pas poffible que
Ton congoive la produdion d'un efFet Tans qu' il n'y ait
pr^alablement un changement dans 1' ^tre qui en eft la
caufe ; c' eft donner aux etres des proprietes qu'on ne
fauroit concevoir qui puifTent deriver de leur effence ,
c'eft expliquer la nature inintelltgiblement , & on a coutu-
me d' appeller un auteur ininielligible , quand il explique
les chofes inintelligiblement.

XIV. C eft en prenant le mot dans ce fens mdtaphy-
fique , que j'ai pietendu dire que la philofophie de M.
Needham heurte de front le -principe fondamental de celle
de Leibnitz qui eft , d' expliquer la natuie inintelligible-
ment , mais chez les Logicians ce mot a une autre figni-
fication , qui paroit ^tre celle que tant de critiques y ont
donnee lorfqu' ils ont accufe les livres de M. Needham
d' une obfcurite impenetrable. J' avoiie que d'entreprendre
d' examiner ici la queftion , ft ces critiques ont porte , oa
non , un jugement fans connoiftance de caufe , c' eft un
veritable hors d' oeure qui rompt 1' enchaincment de mes
remarques , mais puifque j' y ai ^te amene par la mariere
meme que je traite , vous me permettrez bien , Moniieur,
d'en dire quelque chofe que vous ne regarderez s' il vous
plait , que comme une efpece d' epifode.

XV. Ce qui fait le plus fouvent qu'un livre eft obfcur,
c'eft que (on auteur fe fert de termes dans un fens in-
determin^ , & ne prend aucun foin de s' en former , &
d' en donner des notions diftinftes. Vulgo autem fcripta
omnis generis obfcuritate laborant. dit M. WoliF, quod tef'
minis uiantur auclores non fatis explicatis , nee ipfimet ean-
dent prorfus notionem eidem termino iungant. (i8) Voila le
principe qui doit decider de cette elpece d' oblcurite lo-
gique que Ton a tant imputee aux livres de M. Needham.

( i8 ) Wolff logica p. 820.

I2f

Maintenant Monfieur je foumets a votre examen le pat
lage fuivant que je prens de fon dernier ouvrage ; a la
verity il ell un peu trop long , mais il paroit qu' il eft
carafteriftique , & il faut que je voiis le donne en fon
entier. „ A' proportion que la philofophie penetre plus
„ avant dans la conftitution de la nature , elle apper^oic
„ plus diftinftemeiit que dans 1' homme tout f^avoir pris
„ diftributivement , ou mcme coIle£tivement , ell toujours
„ relatif. La chaine de ce f9avoir , telle que nous 1 ap-
„ percevons au dedans de nous-memes , elt compofee de
„ relations diverfes dans une ligne non interrompue j
„ comme il eft toujours forme par comparaifon , il eft
„ toujours dans chaque partie alternativement pofitif, &
„ negatif. Semblable au filleme de i' univers , fon objet
„ immediat , il a commence par la non exiftence , le
„ chaos & les tenebres. Sa nature eft conforme a la con-
„ ftitution de cet univers , dont il eft le reprefentatif, &
„ r univers dans fon exigence totale eft auffi toujours re-
„ latif par rapport a la divinite , fa caufe premiere , &
„ relatif auffi dans route la gradation de fes parties ,
„ lefquelles comparees entre elies , font a leur tour , com-
„ me le fgavoir , alternativement negatives & pofitives:
„ tout dans 1' univers eft aftion & reaftion , ce qui ne
„ peut fubfifter qu'entre des etres pofitifs , Sc negatifs; la
„ lumiere meme nous eft tranfmife , comme nous I'ap-
„ prend le Chevalier Neman par des acces conftans de
„ vibrations douces .... Non feulement la matiere brute,
„ & la matiere exaltee , font 1' une k V autre negatives
„ & pofitives , fans quoi il n' y auroit ni aftion ni rea-
„ ftion , mais auffi dans 1' echelle de 1' exaltation de la
„ matiere, les diverfes parties font I'utie a I' autre nega-
„ tives , & pofitives , d' ou la vitalite fe repand dans
„ chaque portion fenfible. La regie en eft fi exafte que
„ le plus puilTant agent materiel , le pouvoir eletlrique-

I 2Z

„ meme fe dillingue dans fes diverfes portions , fes qua-
„ lites & fes quantites , en pofitif , & negatifj il ert con-
„ ftitue jufqu' a I'echelle des couleurs vifibles , de hqon
„ que les quantites graduees de la lumiere deviennent
„ r une pour 1' autre , ombre & lumiere , & font encore
„ bien au-dela de 1' obfervation, & de la portee des meil-
„ leurs inftruments optiques. Enfin 1' agent lenfitif etant au
„ vital , & Je principe intelligent etant au fenfitif dans
„ cette reciprocite de relation rautuelle , ou cette caufa-
„ lite de pofitif & de negatif ; non feulement la vitality
„ ell repandue dans la matiere organilee , mais dans les
„ chiffes intermediaires , elle eft dou^e de fenfation par
„ I'addition d'un principe immateriel , & dans 1' homme ,
„ la fenfation eft animee d' intelligence par I'addition d'un
„ agent fpirituel, „ (19) L' embarras que tous ces pojitifsf
& negaiifs cauferoient pour 1' intelligence de ce long pat
fage , ell leve en partie quelques pages apres (10) car
on peut y voir que I'auteur a voulu dire que dans la
nature ii y a partout du plus & du moins & que ce qui
commence a etre n' etoit que negatif avant qu' il com-
men^a a etre. Cela pofe , Monlieur , je voudrois bien
vous prier de me dire fi ce pojitif & negatif eft toujours
pris dans le meme (ens^ & s' il (ignifie toujours la merne
chofe alors aufli que Ton dit : V agent fenfitif etant au
vital , & le principe intelligent etant au fenjitij dans cette
caufalite de pofitif & de negatif. J' aurai occafion dans la
fuite de faiie encore quelque remarque fur ce texte, ju-
ftement par rapport a la difterente fignihcation qu' on y
donne au mot , negatif Je reprend mon fujet.

XVI. Le fecond prmcipe dont j'ai parle ci deffus , eft
qu' une influence riclle , ou tranfmiffion de quel^jue efpece ,

Nouv. Recherchcs p, 17. 17.

(19) Nouv.
( 10 ) P. 23

113

ou (jual'iti enlre des fubjlances , ejl imntelligible , & par con-

fequent inadmijfible. De-la derivent les trois fillenieb meta-
pliyfiques , le Cartefien, 1' Idealifte , & le Leibnitienj car
fi Ton rejette route a6lion ; on fera IdealiJIe; f: pour ex-
pliquer la nature on pretend que I'aftion des fubihnces
eft r^ellement inexplicable par leur. nature, mais que c'eft
Dieu-meme qui eft la caufe immediate de toute aftion ,
on fera Cartefien ; mais fi d'une part on veut qu' il ne
foit pas raifonable de fuppofer que Dieu a tout moment
donne a 1' univers un ordre , qui n' eft pas explicable par
la nature des chofes , & que d' autre part on pretende
que r aftion des fubftances foit explicable quoiqu' il n' y
ait pas entre elles une influence reelle , ou tranfmiffion de
quaiite , pour lors il me paroit evident qu' il n' y aura
plus de fifteme poflible que celui de M. Leibnitz. Dans
ces fuppofitions chaque fubftance fera aftive, mais aucune
n'agira fur I'autre , & la dependance que la nature nous
ofFre par tout de 1' aftion d'une fubftance fur 1' autre ne
fera qu' ideale , & elle le fera en ce que Dieu fera coe-
xilter ces fubftances dans un tel ordre que quoique chaque
fubftance agifle continuellement par la force qu' il lui a
donnee fans en recevoir de dehors , il paroit pourtant qu*
elle agifle par une force etrangere. Si on voudra enfuite
determiner la nature de cette force propre aux fublbnces
qui compofent le monde materiel , il paroit que Ton doit
tomber inevitablement dans le fifteme des fubftances re-
pr^fentatives d'oii I'un apres I'autre decouleront les dogmes
de la philofophie Leibnitienne , pourvu qu'entre les prin-
cipes qui doivent fervir a les prouver , on donne acces
a celui de la raifon fujffifante pris dans toute cette exten-
fion , que M, Leibnitz lui a donnee. C eft pour cette
connexion & dependence de principes qui fait , fans contredit,
1' un des plus grands merites de cette philofophie , que M.
Leibnitz, dans une lettre au pere Pes-Bojfcs lui dilbit „ tels

114

,, font mcs prliicipes qu' a peine peut-oii les feparer 1' un
„ de r autre, qu' on en connoiffe bien un , on les connoit
„ lous: qui unum bene novit omnia novic. „ (ii)

XVII. Appareminent que M. Leibniti n' avoit point le
don de prophetic, lui qui n' a pas prevu qu'un terns
viendroit oil un favant fe diroit Leibniiien fans fe croire
oblige de philofopher intelligiblement , fans jamais faire
place dans fes raifonnemens au principe de la raifon fujffi-
Jante , & fans meme douter de 1' influence reelle des fub-
itances. Et en efFet il n' ell pas neceffaire d'entrer bien-
avant dans tous les detours de la metai><iyfique de M.
Needham pour connoitre , a n'en pouvoir douter , qu'elle
pofe uniquement fur la fuppotition d'une influence reelie,
& d'une communication de qualites de fubflance a fub-
llance. S' il ne s'agiflbit done uniquement que de prouver,
que parmi les favans il doit y en avoir qui , n'etant point
Leibnitiens ne fuivent poiirtant pas le confeil de M. Nee-
dham de s'en tenir en tout a la foi du Charbonnier , je
pourrois fort bien me pafler d'approfondir d'avantage fes
opinions & de les comparer a celles de M. Leibnit:^^ mais
puifque je me fuis propole principalement de vous don-
ner , Monfieur , quelques remarques fur le fond de fa me-
taphyfique , il faut bien que je remplifle m^s engage-
raens.

XVIII. Cependant , Monfieur , il eft bon que je com-
mence par me donner au-pres de vous un peu de relief,
en vous priant de faire attention a la difliculte , & au
danger de I'entreprKe de me hazarder a donner un ordre
aux penfees metaphyfiques de M. Needham. Je puis en
cela m'appuyer fur I'autorite de M. I'Abbe Regley editeur
du dernier ouvrage de notre Philofophe , qui dans (on
difcours freliminaire. (iz) Nous doiine fur ce point Ion

( ij ) Leib. Opera Tom, II. p. 291.
(iz) P. U.

fentiment , qui eft celui qui fuit ,, M. NeeJham n'a ima-
„ gine le fifteme qu' il nous doniie qu' en fouillaiit dans
,, routes les profondeurs de la phifique, & meme de la
„ metaphyfique la plus abftraite ; c'eft peut-etre cette ine-
„ taphyfique qui effarouche , ou qui rend les avenues de
„ la chofe plus difficiles. „ II eft vrai pourtant que M.
Needham eft fur ce point-la d'une tout autre opinion : il
penche a croire que la difficulte de percer bien avant dans
la profondeur de fes penfees metaphyfiques doit venir du
trop grand eclat de la lumiere qu'elles jettent , & qui doit
faire bien du degat dans des viies faites comme les notres.
Ecoutons-le un moment „ s' il a plu a M. Clement au-
„ teur d' une certaine pretendue Annie liiieraire de fortir
„ des bornes de fon titre pour s' elancer dans les regions
„ de la philolbphie , & d' appeller metaphyfique inintelli-
„ gible ce qu' il n'entend pas , & meme alchimie metaphy'
„ Jique , par une figure inconniie aux orateurs, ce que j'ai
„ ecrit dans le temps } fa critique peut fervir a prouver
„ que ces chores jettoient une lumiere trop ecLatante &
„ trop vive qui offufquoit fa foible vue , mais elle n' ote
„ point pour cela leur prix aux yeux du vrai Philofophe
„ & du Naturalifte cclaire. Ce que les petits efprits in-
„ ventent tous les jours pour maiquer leur ignorance , ne
„ fait rien a la chofe.,, (13) Cependant cette lumiere,
malgre fon grand eclat ne devoit pas encore avoir brille
aux yeux de M. Needham dans le temps qu' il ecrivoit
fon ouvrage des obfervations microfcopiques, puifqu'on peut
y lire ce qui fuit. „ Pour le prefent je n'ai qu'une chofe
„ a faire remarquer au lefteur & une grace a iui demander,
„ qu'en confideration de I'obfcurite repandue fur le fujet
„ que j' ai peut-etre , trop temerairement entiepris d'exa-
„ miner , il ne pourra gucres me refufer .... la grace

( ij ) Notes, ou Remarques &c. p. 253. 2j$,

Alifc. faur. lorn. IV, r

1 16

„ que j' ai a lui demander eft de fufpendre fon jugement
„ fur ces reflexions jufqu' a ce qu' il !es ait liies enriere-
„ ment i peut-etre meme feroit-il befoin d' une feconde
„ lefture a caufe de la multiplicite des idees que j' ai eti
„ oblige de jetter fur le papier , en fi peu de terns , &
„ de renfermer en quelques pages , ce qui ne peut man-
quer a Us rendre obfcures. ,, (14) Pour moi je tiens que
comme il y a un art. pour bien difcerner les objets , &
que cet art eft de donner du jour a ce qui eft obfcur ,
de devoiler ce qui nous eft cache (bus des enveloppes ,
& d' ecarter les rayons malfaifans lorfqu' ils nous empe-
chent de nous fervir avantageufement de notre vue j ainfi
je penfe que le meme art peut bien encore nous aider
pour nous decider ft un objet eft reellement , ou n'eft pas
difcernable. Ceft a peu-pres ce que j' ai fait pour mettre
a ma portee cette nouvelle mita^hyfique que M. Needham
nous dit d'avoir ^tablie ; (15) maintenant il ne s' agit ,
Monfieur , que de vous donner le rd'ultat de mes re-
cherches.

XIX. L action^ & la reaBion riont /ze« qu'entre des ^tres
de diff"erens ordres , & meme oppofes , (16) voila la
propofition fondamentale fur laquelle roule route la meta-
phyfique de M. Needham ; propolition qu' il doit avoir
regard^e comme un vrai axiome , car on a beau en cher-
cher la preuve , on ne la trouve nulle part ; feulement
on s'appergoit par la fuite de ce qu'il dit dans (on ouvrage,
que raclion etant oppofee d la reaBion , il ne le peut que
les ^cres qui agiffent , & ceux qui reagiffent , ne foient
aufTi entre eux de differens ordres , & meroe oppofes.

'14) Nouv. obferv. p. 158. jjj,

25; Rcmarques a p. 160.
J 16 J Nouv. obferv. p. 329.

11?

Or cette proportion n' e(l rien moins qu' une axlome ; k
lui preter un fens favorable elle ell ^videmnient fauife ,
mais elle eit encore quelque chofe de pis (i on la prend
a la rigueur de fon exprellion. La force ou la puiiTance
d' agir , & la force ou la puiffance de reagir peuvent ^tre
dcs attributs , ou ii I' on veut , des propneres eflentielles
de quelques etres , mais Vaclion , & la reaction ne feront
jamais que des modes, des modifications, ou des accidens
de quelques etres } & tout Etudiant en philofophie fait que
de r oppoiition du mode a I'oppofition des etres modifies
la conf^quence elt nulle j mdme fans erre philofophe tout
homme connoit parfaitement bien que malgre Toppofition
qu' il y a entre CaSion d'aimer , & V aSion de hair, c'eft
pourtant toujours un feul etre , & non pas deux etres op-
pofes , qui dans le meme homme a tanrot de I'amour, &
tantot de la haine; mais je veux bien me perfuader que
celui-la n' ell pas le fens que M. Needham a voulu don*
ner a fon axiome , & que par Vaclion il a entendu par-
ler de la puiffance d'agir , i^ par la reaSion de la puif-
fance de reagir , & fon railbnnement portera fur ce prin-
cipe , que les etres dont les proprietes effentielles font op-
polees , ou d'un ordre different , doivent etre auffi oppofees,
ou d'un ordre different. Mais dans ce cas il auroit fallu proa-
ver que la puiffance d' agir ell oppofee k la puiffance de
reagir j or il ell evident que cela n'ell pas. La puiffance
d'agir ell une puiffance de faire changer d'etat a un autre
etre , & la puilTance de reagir ne dit auffi ni plus , ni
moins qu'une puiffance de faire changer d'etat a un autre
etre , & toute la difference n' eft que dans I'ordre de
fucceffion reciproque de Vaclion , & de la pajfion. V Stre
qui agit , commence par faire changer d' ^tat a un dtre
qu'on appelle pajpf & eniuite il en change lui-m^me par
r aftion de cet etre paffifj & celui-cy apres avoir change
ri' etat par l' aftion du premier , agit a fon tour fur celui-

r a

ii8

la , & en change 1' etat. Done dans I'afllon , & !a r^a£lion
r etre qui agit ei\ aclij , & eiifuite pajfif , & 1' ^tre qui
reagit ell paflif , & enluite aftif. D'ou tirerons nous done
la confequence de la neceflite d' une oppodtion de nature
entre ces deux etres ? Icy , Monfieur , je vous prie de re-
marquer la fingularite de la maniere de penfer en philo-
fophie de M. Needham : les plus grands Philofophes ont
toujours regarde comme inconcevable la poflibiliie de
raftion reciproque entre des fubltances d'une nature difFe-
rente ; & voila que felon la metaphyfique de notre Phi-
lofophe , ce n' eft qu'entre des fubltances de different or-
dre , & d' une nature oppo(ee , que 1' on peut concevoir
la poffibilite d' actions reciproques.

XX. On comprend aifement qu'un Philofophe aceoutu-
me a generalifer (ts idees, & a voir la nature en grand,
tirera un bon parti de 1' axiorne que je viens d'examinerj
aulli eft ce fur ce fondement que M. Needham eleve fon
edifice des principes metaphyfiques des premiers eletnens
de la matieie , qu' il a , nous dit-il , etablis d'apres Leib-
nitz. (17) La nature n' offre a nos regards que du mou-
vement, & de la rejifianee au mouvement , c'eft-a-dire de
r aftion , & de la reaftion ; or „ T aftion , & la rea-
„ ftion n' ont lieu qu'entre des etres de differens ordres,
„ & meme oppofes : ces agens exterieurs font par confe-
„ quent dans leur origine & de leur propre nature non
„ feulement numeriquement , mais fpeciHquement oppofes. „
(z8) Mais comme le mouvement iuppo(e un agent moteur,
& la refiftance un agent refiftant , il s'enfuivra que la
nature entiere ne fera qu'un compof^ d'agens moteurs ,
& d'agens refiftans qui „ diff^reront effentiellement les
„ uns des autres , & feront d' une nature entierement op-

( 17 J Nouvelles rccher. fur ia nature p. 3J,
( 28 ) Obferv. nouv. p. 329,

119
„ pofee. „ (19) La matiere n'eft done qu'un compole
d' agens d'une nature ("pecifiquement oppofee. „ Mais ii la
,, matiere ell effentiellement compofte , la feule maniere
„ de nous exprimer intelligiblement , & cotiformement a
„ la verite ell de la. relbudre en principes Jimples : ces
„ principes ne font pas de la matiere , parcequ' il ne font
„ pas eux-memes compofes , ils ne font pas non plus
„ etendus ni divifibles parcequ' ils n'ont point de parties,
„ (3 o) Si la fpontaneit^ , la fenfation , la penfee ne font,
„ de I'aveu meme de tous les Philofophes raifonnables,
„ qu' un refultat d' aftions fimples , pourquoi la refinance,
„ & r aftivite motrice ne le feroient elles pas auffi ?
„ Pourquoi un agent fimple feroit-il dans ccs cas un etre
„ pofliblc & non pas dans les autres. (31) La matiere eft
„ done un compole dans lequel un nombre d'agens fim-
„ pies fe combinent enfemble en unifTant leurs differentes
„ forces non feulement pour coexifter , mais pour agir
„ conjointement „ (3 1).

XXL Si Ton fait quelque reflexion fur cet enchaine-
ment de propofitions qui montrent la nature Aes elemens
de la metaphyfique de M. Needham , il eft aife de s'ap-
percevoir qu' il y a la mel^s deux genres de principes ,
dont 1' un ne depend pas de 1' autre. II n'eft pas prouve,
meme il y a apparence qu' il n' eft pas poffible que \'on
prouve , que de ce que I'aftion eft oppofee a la rea-
ftion , ou de ce que la matiere eft un compofe d' etres
de dirt'erens ordres , il doive s' enfuivre que les premiers
Clemens de la matiere foient des etres fimples &: ineten-
dus; & il n'eft pas prouve non plus que des etres fim-

,30) P. ...
J') P- ^69.
,30 P-454-

• 375.

335-

I}0

pies & inetendus ne puiflent fe combiner, ou s'linir fans
prefuppofer que ces elemens foient jurtement de deux
efpeces oppofees. II y a eu des Philoiophes qui fe font
imagine que ies corps ^toient compofes de deux fublan-
ces differentes , mais pour cela ils n'ont pas juge que
leurs elemens devoient ecre inetendus & fimples ; d'autre
part M. Leibnii^ etoit pour la fimplicite des premiers ele-
mens, mais il raifonnoit afTes confequement pour n' tii
avoir pas infere une oppofition de nature. M. Niedham
a done voulu r^unir des chofes , peut-etre un peu dilpa-
rates ,. & de cer enfemble il en ell forti une metaphy(i-
que fi finguliere , li oppofee a de certaines loix que I'oii
a coutume d'oblerver dans Ies raifonnemens , qu' il n'eft pas
furprenant quon I'ait tout-a-fait negligee.

XXII. Puifque Ies agens refiftans , & Ies agens moteurs
entrent dans la compofition de la matiere , il faut bien
favoir ce que c' ell dans ce fylteme que la refinance.
EUe eft done felon M. Niedham „ cette puiffance primitive
„ que nous appercevons (i fenfiblement dans loutes Ies
„ combinaifons maffives de la nature , la puiffance de
„ refifter dire6lement a la force motrice j la force d'Iner'
„ tie (3}). Cette definition n'ell pas trop inftrutlive ; on
nous dit que la reiiftance eft une puiffance de re/ijier,'
A^ la verite , Monfieur , notre auteur en donne une autre
que je ne dois pas oublier de vous prefenter. „ La re-
„ fillance doit etre regardee comme une force pofitive
„ fubfirtante dans de certains principes aftifs dont toute
„ I'aftivite foit cette puiffance effentielle a Leur nature qui
,^ detruife tout mouvement , lors qu ils pridominent , mais
qu ils ont furmontes lorfque ["agent moteur vient cl I'empor'
ter a fon tour „ (}4). 11 me paroit que cette efpece de
defiiution n'eft pas moins fuiguliere que la premiere ; on

[11]?.

Obfcrv. nonv. p. 175.
439.

y voir que la refinance eft une puifTance qui ou , d^truit le
mouvement, ou ne le d^truit pas. La refiftance qui d^truit
le mouvement, n'eft pas la refiftance prife en general, maii elle
en eft feulement une efpece, & ft M. Needham eut bien voulu
faire attention a la nature de la refiftance prife generalement ,
il n'auroir pas donne lieu a Aes mal-entendus qui influent
prodigieufement fur tout fon fifteme. On appelle done re-
fiftance „ ce qui contient la raifon pourquoi un changement
n ait pas lieu , quoiqu il exifie une jorce fuffifante pour le
produire. On voit par-la que la refiftance ne dit rien au-
tre qu' une puiflTance qui empeche 1' eftet d'une force , &
par confequent la refiftance au mouvement n' eft que la
puifl"ance qui empeche 1' eftet de la force motrice. Or tout
le mondo connoit que ce ne font pas feulement les com-
binaifons majfives qui empechent 1' eftet de la force mo-
trice , mais qu'aufli les forces mouvantes peuvent , quant
a leurs eff"ets s'entred^truire , ou fe modifier d'une infinite
de maniere par leurs actions reciproques , c'eft-a-dire par
r artion , & la refiftance. D' ailleurs fi les agens moteurs
peuvent donner du mouvement a la matiere , que M, Nee-
dham appelle brute, il faut bien qu'ils foient refiftansj au
moins cette illation eft-elle dans les principes de la me-
taphyfique d' apres lefquels M. Needham a etabli la fienne
„ votre ddment „ dilbii M. Leibnitz dans la feconde de
ks lettres a Harifoeker „ Votre Aliment doit etre refi-
„ ftant , puilqu' il peut poufler les atomes. „ De-la on
doit inferer que puilque le principe de refiftance convient
tigalement a ce qui a du mouvement , & a ce qui n en
a pas , la refiftance ne lauroit etre une je ne fai quelle
fubftance qui ait fon exiftence a part , comme un etre
diltingue de la fubftance motrice. Je dois aufii reraarquer
que comme les proprietes d' un etre decoulent de fa na-
ture , ^ que routes fes puifl!ances tant attives , que pafli-
ves en ibnt des proprietes , ces puiffances doivent auili,

I3X

decouler de la nature de 1' ^tre. Or 1' element rcfiflant de
M. Niedham a la puiffance paflive de recevoir du inouve-
ment , puifqu' il veut bien qu' il en recjoive en effet ; com-
ment voudrat-il done que la force de rifiilance qui fait
la nature de 1' element r^(iftant , foit le determinant & de
fa puiffance aftive par laquelle le mouvement ell decruit
& de fa puiffance paflive par laquelle le mouvement elt
re^u ?

XXIII. La force d' Inenie que M. Needham dit etre la
m6me chofe que la reliilance , l' ell en effer , pourvu que
r on entende par reliitance cette propriere commune a
tout ^tre materiel de ne jamais changer d'etat par I'attion
d'un autre etre , fans reagir fur celui-ci , mais fi 1' on
prend la reftftance dans le fens , que lui meme y a don-
ne & que je viens d' expofer , il eft manifelle que la
force d' Inertie fignifie tout autre chofe dans les fillemes
de philofophie que 1' on connoit , de ce qu' elle deiigne
dans la metaphyfique de M. Needham , qui ell , fur ce
point r antipode de la philofophie Leibnitienne. ?^/j //2em<E,
dit M. Hanovius dans la continuation du fylleme Wol->;
fien , vis inertia efl vis matrix , diverfo autem refpeclu ea-
dem efl vis acliva , & pajjiva. j vis movens , & motui rtfi-
ftens (35).

XXIV. II y a bien encore une autre difftculte a pouvoir
comprendre ce que notre Philofophe entend precifement
par reliilance , ou force d' Inertie : il faudroit favojr ce
qu' U entend par mouvement , car fa force d' Inertie eft un
etre dont toute la nature eft une puiffance de detruire le
mouvement. Perfonne ne demande 1' explication du mot
Mouvement quand il eft manifcfte qu'on le prend dans le
fens que tout le monde lui donne ; mais fi un Philofophe
pretend que la niatiere n' eft qu'uu pheaomenef il devroit

4js)Jo, I, S§. ».

en

'33

en dire autant du mouvement , & pour lors comme ,il

n' y auroit plus de tranfport r^el de la fubftance d'ua lieu
a 1' autre , ni plus d'efpace , ou de lieu diftinft des fub-
-ftances coexirtantes, il feroit dans le cas de devoir expli-
quer clairement (es fentimens , a moins qu' il n'aime pas
d' ^tre entendu. Or c' e(t un fait que M. Needham n' a
pas voulu que 1' on fache ce que c'ell que le mouvement
dans Ton (ylleme , & il nous a feulement appris : „ que
„ r idee directe de refirtance, ou d'atliviie motrice n'eft
„ guere plus a notre egard qu' une idee purement nega-
„ live de Ion alternative : qu' il paroit que tel ell I'ordre
„ aftuel de nos connoiffances , que nous ne pouvons con-
„ cevoir 1' agent refillant comme refirtant fans 1' agent
„ moteur , ni 1' agent moteur comme moteur fans le refi-
„ ftant : (j6) que tout ce qui ell pofitif dans 1' idee de
„ reiiftance , ou de mouvement , c' eft I'aftion fpecifique
„ produftrice de ces efFets : (3 7) que le mouvement, quoi-
„ que phyfiquement & dans (on otigine , foit una
„ aftion abfolue direftement oppofee a celle de refiftance,
„ n' ell i notre egard, qu' un mode relatif d'aftivite (38).
XXV. II eft done plus que probable , qu* il doit y avoir
quelque railbn un peu cach^e qui a oblige M. Needham
^ prendre ce ton myfterieux , d' autant plus que dans
toute philofophie , dans la Leibnitienne , aulli bien que
dans toute- autre, on ne neglige pas de definir & le mou-
vement., & \a force motrice. Le mouvement,, dit I'Auteur
a qui M. Needfum nous renvoye pour apprendre la phi-
lolophie Leibnitienne „ n'cft que le chaiigement fucceflif
„ de lieu : le lieu n' eft que 1' ordre des coexiftans : le
yy mouvement n' eft done dam tout corps , qu' un change-

[■\6) Nov. obferv. p, t4«.
3') K 34..

;,8)ob. p. 477,

i\iijc. 1 aur. Tom. IF,

134

„ ment, ou un nouveau rapport de co^xiftance avec les
„ autres corps.,, (59) Et h le moiivemeiit eil dans cette
philolbphie quelque chofe d' explicable , on doit bien s'at«
tendre a y voir aufli la force motrice definie. Vis matrix^
felon Wolff, confijiit in continuo comtu mutandi locum,
(40) & felon M. Hanovius : (41),, ce qu' ii y a de di-
„ (Hnft dans la force motrice ce n' eft qu' un continuel ef-
„ fort pour changer de lieu, ou de relation dans fa fitua-
„ tion. „ Jettez , Monfieur , un coup d' oeil fur les defini-
tions que je viens de rapporter , & bienrot vous faifirez
le mot de 1' enigme , & vous decouvrirez la fburce de
cet embarras d'ou M. Needham n'a pu fe tirer , qu'en ex-
pliquant le mouvement , ou plutot en nous le deguifant
fous le voile d' idees pojitives , & negatives , purement ne-
gatives , ou negatives de fan alternative. II imagine un fy-
Tleme qui ell inintelligible , fi Ton ne fait pas ce que
r auteur entend par le mouvement ; car fans cela on ne
peut comprendre ce que c' eft que I'agent moteur , &
r agent refiftant ; & d' autre part il etablit des principes
qui le mettent dans 1' impoffibilite d' en donner une defi-
nition , pas meme fimplement nominale. II eft impo/Tible
de concevoir le mouvement , & ( les definitions que Ton
en donne dans tout lyfteme de philofophie , le prouvent
aff.z ) fans prefuppoler 1' exiftence de la matiere , & de
r etendue ; mais M. Needham pretend former la matiere
& r etendue en prefuppolant le mouvement : le moyen alors
de definir le mouvement ? II a done fallu en venir a des
mots myfterieux; mais en bonne philofophie les mots ne
difent rien qu' entant qu'on leur donne un fens hxe ,
clair , & diftindj apres tout, il fera toujours vraide dire

[39) Monadologie p. iij.
I 40 ' Cofinologia §. 149.
I 41 ) Phyfica dogmat. §. 7.

«J5

que I'agent moteur efl un efre qui a de la force motr'ice ;

que la force motrice eft une force qui produit du mouve-
ment ; 6c que \s mouvement eft un changement fuccelllfde
lieu i fauf a expliquer ce changement , ou d'un tranfport
reel, ou de quelqu'autre maniere qui puille s' accommoder
au fyfteme Leibnitien.

XXVI. II faut encore nous arr^ter un moment pour
approfondir route la nature des agens motcurs, & refi-
ftans , telle que M. Niedham la leur accorde. Les agens
moteurs , malgre leur force motrice , n' ont point de
riouvement , & ne peuvent fe le communiquer 1' un a
r autre , mais ceia arrive s' ils fe trouvent en compagnie
des agens reiiftans. ,, La force reiiftante fans l' agent mo-
„ teur refte fans aftion , & 1' aftivite motrice n'a aucun
„ efFet fans la refiftance. (41) La force par laquelle ils
„ agilTent i' un fur I'autre, eft innee a chacun d'eux, mais,
„ pour qu' ils 1' exercenr , il faut un fujet convenable , &
„ par leur nature ils fcuit feuls 1' un a 1' egard de 1' autre
„ ce fujet convenable.,, (43) Comme il eft permis aux
Philofophes de donner aux fubftances telles proprietes qui
peuvent le mieux s' accorder aux lyftemes qu'ils ont ima-
gines , on pourroit fort bien paffer a M. Niedham fon
raifonnement , pourvu que 1' on ne vienne pas a 1' exa-
miner de pres : car fi 1' on y fait attention, & qu'on I'ap-
profondilTe un peu , il ne I'era pas difiicile de s'apperce-
voir que fes principes font tout-a-fait Antileibnitiens , &
de plus on aura bien de la peine a s' empecher de les
juger fort extraordinaires. Un agent moteur , c'eft adire
un etre qui par fa nature a une force motrice , n' a pas
de mouvement , & ne peut, ni en communiquer, ni en
prendre des autres agens moteurs? Cela, fans-doute, n'eft

(4O N(
{4})1'-

Nouv. obfer, p, 341,
p. 414.

'5^

pas Leibnitien , car M, Leibnitz parlant de la force mo-
trice , nous dit ,, chez moi la force eft toujours accom-
„ pagnee d' un mouvement effeftif „ (44) ik M. Wolff
explique diftinftement le rapport qui doit y avoir entre
la force , & fon effet difant. Pojlea vi ponitur actio . . .
j4pparet adeo vim ita concipi debere , ut ex ea actio fequi
intelligatur ; quam primum in agente ipfa ponitur. Itaque
quamprimum in mob Hi ponitur vis motrix , in eodem con-
cipitur actio motrix , unde pendet translatio per fpatium (45).
XXVII. Ce que je viens de citer fait aflez connoitre
fi ces principes de la metaphyfique de M. Niedham font
^tablis d' apres ceux de Leibnit^ ; voyons ^ prefent , s' ils
ne reffentent pas trop le paradoxe. On nous dit que I'afti-
vite motrice , fans la refiftance n' a aucun effet , mais
que (i 1' on veut favoir quel effet elle produit lorfqu' elle
eft oppofee a un agent contraire , on repondra, que c'eft
le mouvement: (46) de plus , on nous dit que la refiftance
eft une puiffance propre a certains principes qui par leur
nature detruifent tout mouvement , quoiqu' ils n' y par-
viennent pas toujours. (47) Je ne faurois reflechir fur
cette idee fans me rappeller un trait de M. Aymen dans
fon premier Memoire fur les maladies des bleds , oil , a
propos de la decouverte des fameufes anguilles de M.
Needham il dit „ cet auteur , d' ailleurs fi celebre , mais
„ trop amateur du merveilleux. (48) En effet les raerveil-
les font ici prodiguees & entaffees les unes fur les au-
tres ; on y voit des fubftances dont les forces n'ont point
d'effeis, que , lorsqu'eiles fe rencontrent avec d' autres fub-
ftances dont la nature eft precifement une puiffance pour
detruire ce meme effet : pour donner naiffaiice au mou«.

44) Lettrc k M. Des-Maizeaux Tom. II, p. 60.

45 1 Ontologia §. 723.

461 N6edh. oblcr. nouv. p. 343.

47) «»6- P- 439-

48 ) Mfini. de I'Acad. R. des fc. panic Strang. Tom. IV, p. J74.

M7

vement il eft d' une necemte abfolue de fuppofer un etre

qui par fa nature le detruife : 1' agent moreur , malgre
fa force motrice , ne peut avoir du mouvement , & toute-
fois il peut fe le donner, lorfqu' il ell: en oppofirion avec
un etre qui le detruit : le meme agent redltaiit qui, par-
la qu' il eft refiftant , contient dans fon eftence la raifon
pourquoi le mouvement eft detruit , contient auffi la rai-
fon pourquoi le mouvement eft produir. Si tout cela n'eft
pas un peu paradoxe , au moins avouerez vous, Monfieur ,
qu' il eft fort merveilleux , & peut-etre qu' il vous paroi-
tra aufli un peu inintelligible , foit que vous preniez ce
mot dans le fens de Leibnitz, & Ibit que vous le preniez
dans celui que les Logiciens lui donnent.

XXVI U. Du rerte il n'eft pas befoin, Monfieur , que
je vous faffe remarquer, que c&s principes de M. Needham
fuppoient une communication de fubftances a fubftances :
car r element rchftant ne pourroit jamais avoir du mou-
vement , s' il ne recevoit quelque chofe qu' il n'avoit pas
avant 1' aftion de I'agent moteur. Ce principe , comme je
I'ai deja fait obferver , eft I'antipode de la philofophie
Leibnitienne qui ne s'accommodera pas non plus de I'ex-
plication qu' il a donnee du mouvement dans les maffes
materielles , lorfqu' il a dit. „ Toutes les fois que quelque
„ quantite de ce compofe que nous appellons matiere eft
„ en mouvement, le mouvement doit etre eftim^ comme
„ parfaitement coetendu avec la matiere , car il anime
„ chaque partie „ (49). Je ne ferai pas de remarques
particulieres fur la dodlrine contenue dans ce paflage , ieu-
lement je vous prie de la comparer a celle de WoitF,que
voici. Qucefo nimirum , qua nam libi efi vis motricis idea^
quam per exienfum diffundi affirmas , dum mobile in idem
impingit ? Quam nam diffujionis ijiius ideam habes ? . . . .

(49) Neech. Nouv. obfcr, p. 449.

Adverterunt difficultates IdeaUJlte , qui nodum Gordlum non
jolventes , Jed jecantes exijlentiam rcalem corporum negarunt.
Ec Jane omni avo difficultates inextricab'des vifte funt , ijucc
eX communicalione motus emergunt , ubi eam pro transfujione

vis motricis ex una fubieSo in alterum i/Tiitginaris

Quamobrem apparet , quod i/ivitis pri/icipiis rationis ajfumx-
tur vim motricem turn demum in corpoi e nafci , quando ad
motum impellitur. (50)

XXiX. Avant que de pafTer outre il fauc que je me pro-
pofe una difficulte qui n'a vraime>it d' autre fondement ,
qu'un pur equivoque, mais qui feroit que la plus grande
partie de ce que j' ai dit n' auroit plus de fens , fi elle
eioit appuyee fur quelque chofe de reel. Voici , Mon-
fieur, de quoi il s'agir, M. I'Abbe /Je^g-Zey editeur du der-
nier ouvrage de M. Needham dans fon difcours prelimi-
naire, prelente les principes de fon auteur bien difFerem-
ment de ce que j' ai fait „ il y a „ dit-il fuivant M.
„ Needham , deux efpeces d' etre fimples , i' un eft un
„ etre mouvant , 1' auq-e un 6tre reliftant .... 11 eft
„ porte a croire que 1' etre reiiftaiu , ou , fi 1' on veut ,
„ la refirtance n' eft autre chofe , qu'une moindre acliviti
„ une efpece de negation , mais qu' il n' y a la-dedans
,, rien de pojitij proprement dit. „ (51) Mais il eft evi-
dent , que M. Regley feduit par les expreflions equivoques
& incertaines de fon auteur , n' en a pas faifi le fens
qui ne pourroit fabfifter , tel que 1' editeur a voulu nous
le prefe'iter , lans transformer le livre des Objervauons
nouvelles fur la generation en un pur galimathias. M. Nee-
dham ne dit pas , que la r^filtance n' a rien de politif ,
raais" au contraire il foutient, que „ la refiftance doit etre
„ regardee comme une force pofitive (5 1)„ de plus il nous

(50) Hor« fuccefllve Magdeburg, an, i7}o, dc notionc corporij.

(51) P xlvni.

( 5x) Nov. obfer. p. 439.

dit , que „ 1' agent rcfillani & le rr.oreur different ejfe/i'
„ tiellement 1' un de 1' autre , & font d'une nature entie-
„ rement oppofee „ (53)} or differer effentiellemeiit &
erre d' une nature entierement oppofee ne fi^nifie pas
avoir fiiDplement une moindre aftivite. Mais pardeffus tout
cela je dois remarquer, que M. Needham, de craiine que Ton
ne donnat ce mauvais tour a fa doftrine, a voulu en aver-
tir formclieiTient fes lefteurs, ,, La forte habitude „ dit-il
„ que nous avons contraftee dans les ecoles d'aflbcier les
„ deux idees de mouvement & d' aftivite de telle ma-
„ niere , que nous ne concevons aucune efpece d'a6}ivite
„ inferieure , que le plus petit degre de mouvement rend
„ difficile a concevoir la refiftance pofitive , comma une
„ puijfance aSive innie. „ (54) Tous ces pofitifs , & ne-
gatijs entades dans le texte que j' ai produit au §. XIV.
& qui ne fignifient pas toujours la meme chofe , doivent
avoir occafionne a 1' editeur cette faufle interpretation du
fens que M. Needham donne a fon principe de refiftance ;
& cela- meme prouve, que notre Philofophe n'eft pas tou-
jours affez intelligible.

XXX. Je paffe a prefent a la feconde branche du fy-
fteme de M. Needham , a fes elemens fimples & ineten-
dus , les agens reliftans , & moteurs , entant que, par leur
a6lion , & reaftion reciproque , ils forment ce compofe
fenlible que nous appellons matiere. Ici je dois , avanr
tout , remarquer la n^ceffite qu' il y a de diftinguer la
matiere & 1' etendue entant qu'elles font quelque chofe
de reel exiftant hors de nous, de la meme matiere , &
de r etendue conlideree feulement par rapport a nos idees;
fans cette attention on court nique de contondre des chofes
bien difparates , & I'pn pourroit paroitre Leibnitien, lorf-

I

53 ) Id. p. 37J.

54 ) IJ. p. 436.

140

que vraiment on eft dans des principes fort oppof^s a
ceux qui font propres a cette philofophie: je m' explique
la-deflus en peu de mots. M. Leibnitz tache d'etablir la
nature des premiers principes conftitutifs de la matiere ; il
les donne tels, qu' il n'ell plus pofUble d'expliquer par eux
r etendue & les autres qualites primaires de la matiere ,
fuppof^ que ces qualites foient en elles-mSmes conformes
aux idoes excitees en nous par leurs actions fur les orga-
nes de notre corps ; de-la il eft en droit de tirer cette
confequence , que nos idees ne nous reprefentent pas les
qualites primaires de la matiere telles qu' elles font en el-
les-memes , & qu' il ne faut pas „ cliercher une plus
„ grande r^alite dans les chofes fenfibles hors de nous ,
,, que celle de phenomenes regies:,, (55) or il eft clair
que r enonce dans la dermere proportion eft bien une
fuite du fyileme de Leibnitz , mais qu' il n' en eft pas le
principe. J'ai dvi faire cette remarque pour en inferer, que
r opinion de ceux d'entre les Pliilofophes qui ne yeulent
pas que Ton juge de la realite des qualites primaires de
la matiere par la nature des idees que nous en avons ,
ne peut pas vraiment fe bien foutenir fans fuppofer les
principes de la philofophie Leibnitiennc, mais que ce font
ces principes , & non pas cette opinion iloiee que Ton a
coiirame d' appeller la Metaphyfique de Leibnitz.

XXXI. Audi eft-il vrai , que M. Needham ne fe donne
pour Leibnitien, que parcequ' il eft d'avis que ces princi-
pes fur r elTence & la nature de la matiere font les md-
mes, que ceux de Leibnitz. Que Ton examine bien „ nous
dir-il „ ce fyileme , on lui trouvera de la conformite avec
,, Id boiuie ir.etaphy(ique , j'entends celle de Leibnitz qui
,, iraite 1' efl'ence primitive de la matiere , & la nature

( j; ) Leibaiiz Lett, T, II, p. 79.

de

i4t
„ de ces principes ; „ C56) & dans un autre endroit de
fon dernier ouvrage il appelle Con (y.leme „ les principes
„ metcipliiliques que nous avons etnblis Tjr les premiers
„ elcmens de la matiere d' apres Leibnitz.,, (57) Cell
pourquoi it feroit boii de c</mmencer par expofer les vrais
principes de la matiere dans le fylleme de Leibnitz, pour
les comparer enfuite a ceux qui font propres au lyrteme
de M. Needham ; mais Monfieur , je n' ignore pas que
vous connoiiFez alTez bien les premiers , pour que je ne
doive pas entrer dans ce detail , il me fuffira de voiis
rappeller , que la difference des etats interieurs dans cha-
que Mo.iade ou etre limple , enrant qu' il en refulte uii
rapport fixe de I'un a 1' autre , & une exigeance de coe-
xiiler lelon ce rapport , ell la veritable clet" du fydeme
Leibnitien.

XXXU. Toute-fois cettc clef n'efl: pas celle qu'il nous
faut , pour penetrer dans les myileres de celui de M.
Needham , mais il faut fe tenir ferme a ce principe que
la matiere eft compolee- de deux efpeces d' etres fimples
d' une nature fpecitiquement oppofee , dont les uns pro-
duifent le mouvement quand ils font en compagnie de
ceux qui le detruifent j de-la on aura la facilite de pouvoir
comprendre comment des etres fimples peuvem former
une etendue & comment cette etendue fera folide , mo-
bile , impenetrable, divifible. Commen^ons par l' etendue.

XXXllI. M. Needham veut que 1' etendue confide' ea
comme etendue foit- un genre qui fe divile en deux efpe-
ces : vraiment il auroit tallu definir cette etendue confi-
deree comm-i: g-e/zrs , . mais il ne I'a point fait , &"il me
femble qu' il a tort bien tait de ne pais la dtfinir , car ,
fans-doute , il n' auroit pu s' en tirer au contentement

[

56 ) N^cdh. Remarques p. 146.
57) Nouv. Reclierch. p. 35.
Mijc. Taur. Tom. IF.

I 4t

des Logiciens , qui pr^tendent que la definition c?u genre
doit ^tre applicable aux efpeccs fubordonnees ; or i^
moyen d' en trouver une applicable aux deux ef'peces
d' eteiidue , relies qu' il nous les a donn^ ? Savoir 1' eten-
duc qui ejl un pur rien , & T etendue qui eft une combi-
naifon d' etres aclijs ? Cette divifion de i' eiendue en deux
efpeces differentes merite d' etre approfondie , & il faur,
Monfieur , que je vous la prefente dans les propres ter-
mcs de l' auteiir : je fuis fort lente de croire que c' eft
de-la que 1' on doit partir pour avoir le denoiiement de
la piece methaphiiique de M. Needham. Voici done ce
„ qu' il dir. „ li y a une etendue fans folidite , que nous
„ attribuons au pur efpace , du mime genre precifement
„ que la pure etendue dans la matiere , fi nous faifons

abftraftion de la folidite. II femble qu'on confidere tou-
„ jours cette dtendue , foit d' efpace on de matiere cora-

me une vraie qualite phifique egalement pofitive dans
„ les deux cas , quoiqu'en effet i'une ne foit qu'un vuide
,, in-aclif a notre egard , un pur rien ^ & 1' autre une
„ combinaifon d' etres aSifs. „ (58) Je commencerai par
dire un mot de cette etendue qui eft quelque chofe, & je
pafferai enfuite a 1' etendue qui eft un pur rien.

XXXIV. „L'eiendue,, felon notre auteur „ coniideree
„ comme etendue n'eft rien de plus philiquementqu'une cer-
,, taine quantite determinee d'adion exterieure. „ (59) Cette
definition qui paroit d'abord dire quelque chofe , ne dit pour-
tant rien autre fi non que Vetendue conjiderie phifiquement ejl
quelque chofe qui prejuppofe Hdee de l^etenduc. Pour voir fi je
dis vrai , li n' y a qu' a oter de la definition ces deux
mots , aciion exterieure , & y niettre a leur place ce que

( 58 ) Need. nouv. obfcr. p. 457-
(59) P. 466.

»>

?)

M3
dans la metaphifique de M. Needham (ignifient ces mors,

& alors on aura la definition qui fuit : I'etendue nejl rien
de plus phijiquement quune certaine quantite de mouvement;
or il n'ell pas poffible , dans aucun fylUme que ce fi>ir,
d' expliquer ce que c' eft qu' un mouvement exterieur fans
pr^fuppoferl'idee de I'etendue} car le mouvement prefup-
pofe iiu moins la poflibilite^ d' une ligne droite qui doit
marquer la diretlion dans laquelle le mouvement eft pof-
(ible ; done on ne peut expJiqucr l' etendue par le mou-
vement fans faire comprendre que 1' on eft ablblument
hors du cas de pouvoir expliquer nos principes.

XXXV. Conliderons maintenant cette efpece d'etendue
qu'on nous dit n' etre qaun pur rien ; peutetre que nous
trouverons que ce pur rien eft la piece fondamentale du
fyfteme de M. Needham. Pour vous dire , fans detour
ma penfee , Monfieur,, il me paroit que notre Philofophe,
malgre fa refolution de faire main-baffe fur la metaphiiique
generalement regue, i^ lur la Cartefienne principalement n'en
a cependant pas eu toujours afles pour fe debarafler de cer-
tains principes qu' il avoit puifes dans les clafles j & il
en eft arrive que fon fyfteme, qui ne parle que des
etres fimples & inerendus, eft pourtant fi intimement meie
a la fuppofition d'une etendue , qui exifte independemment
Aqs etres fimples, qu' il fe trouve par-la au deffus de la
portee de 1' mtelligence humaine. M. N. nous apprend done
ici que quoique 1' etendue n' ait d' autre r^alite que celle
des aftions des eicmens fimples , il y a cependjnt une
autre etendue , c' eft a-dire celle du pur vuide ; & com-
me cela eft une contradiction de principes trop manife-
fte , il pretend d' adoucir la chofe en foutenanc que ce
vuide eft un pur rien. Ce n' eft pas feulement dans le pat
fage que j' ai produit ci-delTus §, XXXU. que 1' on voir
que M. Needliani eft pour le vuide , mais cela paroit
encore par d' autres endroirs , comme dans celui qui fuit.

144

„ Defcartes parolt , &: fait confirter 1' efTence cfe la ma-
„ tiere dans l' etendiie ; !' cfpace & le corps deviennent
„ uiie feule & meme chofe , 1' Univers dans fon abon-
„ dance languit , & route la nature perd fon aftivite
„ dans un plain univerfel, infini. „ (6o) Ce texte n'a pas
befoin de Commentaire poiir apprendie que le vuide y
eft regarde comma necelTaire au mouvement. II nous di:
ailleiirs que la sphxire qu' occupe acluellement notre flfte-
rae fe trouve d'une jtipe etendue par le moyen des agens
reliltans qui moderent I'aftivite des agens moteurs , ou
de ia force expanfive ; mais , dit-il „ li la force expan-
„ five agiflbit i'eule & librement fans eproiiver aucune
„ puiflance antagonifte , la matiere feroit reduite en un
„ inftant a fes premiers principes , & di(])erfee par con-
„ fequent fins aucune liaifon dans ime fp/iere immenfe. „
(6i) On voit ici une fpliere d'une julie etendue devenir
par 1' inaftion des agens refjftans , une fphere immenfe ,
& confequement s' aggrandir infiniment par I' addition
d'un rien c'eft-adire , d'un pur efpace vuide ^ & commer'
dans cette fphere immenfe il n' y aura plus d' action &
de reaftion , car on fiippofe qu' il n'y ait plus de refi-
nance , il n'y aura non plus de cette efpece d' etendue
qu'on nous a dit devoir etre quelque chofe & nous
aurons pourtant une etendue immenfe fans rien d'etendu.
Je dirai ici d'apres Leibnitz , qui dans fes ecrirs contra ■
Clarke a tant combattu de pareilles idecs , que „ I'etcn-
„ due doit etre 1' affeftion d' un etendu ; mais fi cct ef-
„ pace eft vuide, il lera un attribut fans fujet, une eten-
„ due d'aucun etendu . . . . Ce Cont IdolaTril>us,Ch'lme-
,, res toutes purcs , & imaginations fuperlkielles. ,, (6i)

(6? ) Nouv. obf. p. 457.

(61) Itl p. 1 I.

(62) LeibiiiiZ quatricine lettre. Tom. II, p. 119.130,

,, Tous ceux qui font pour le viilc'e fe laifTeiu plus me-.
„ ner par 1' imagination cue par la raifon. Quanr! j'etois
„ jeane gargon , je donnai auffi dans le vuide & dans
„ les ntomes; fnais la raifon me ramena. „ (63).

XXXVI. II ell neceflaire que je produife encore un
padage , qui proiive , a ce qu'i! me paroir , que la fim-
plicire des elemens inetendus de M. Needham n' eft que
dans les mors , & nullement dans les idees. S' etant pro-
pofe de prouver que les elemens fimples ou les agens qui
compofent la matiere doivent etre d'une nature oppofee ;
il pretend que fi cela n' etoit pas , „ chaque agent exe-
„ cuteroit les aftions a part dans fa pethe fphere fans
,, en ail"e6ter aucune autre (64). II me femble c^n' exicmer
fes actions veut dire agir , & agir fans affefter d' autres.
etres , (ignifie agir intericurement, & agir interieurement
c' elt changer cT ctat dans fen interieur ; done un etre fim-
ple ne peut agir dans fa petite fphere fans que fon inte-
rieur occupe cette petite (pliere ; il fera pourtant un etre
limple , & inetendu dont 1' interieur fe repandra dans una
petite fphere. La coiifequence que je tire de rout ce que
j'ai dit fur 1' etendue par rapport au fyfleme de M. Nee-
dham , eft, que li Ton congou une grande ecendue & qu'on
I'appelle un pur rien fi on y place des etres que I'on ap-
pellera fimples , mais qui doivent avoir une petite fphere
d'aftivite qui reponde a une partie de cette ecendue qui
eft un pur rien , on aura route la facilite imaginable pour
e.\pliquer 1' origine de 1' etendue , & les premiers princi-
pes de la maiiere.

XXXVII. 11 me»paroit done que je fuis un peu fonde
a dire que route la conformite qui fe trouve entre les
principes etablis par M. Niedham , &: ceux deM. Leibnit^

(63 ) Id
(04) N

Id. p. 133.

Nfcdh. Nouv. obf. )•. 329.

1 4^

ne[\ nullement dans les idees , mais dans les mots feule-
inenc. Uii exemple fuffira pour tout. „ Que I'on examine
„ bien ce (yfteme „ c' eft du fien que M. Ncedham pre-
tend parler „ on lui trouvera de la conformite avec la
„ bonne metaphifique ; j' entends celle de Leibnitz qui
„ traite 1' effence primitive de la matiere , & la nature
„ de fes principes. Selon ce Philofophe ces principes
„ (imples , & inetendus , comme caufes , font aftifs par
,, eflfence, & produifent par leur afti on ,& readion com-
„ binees les phenomenes de 1' etendue folide , du mouve-
„ ment , de la figure, & de la divifibilite. „ (65) Com-
mentons an peu ce texte felon ce Philofophe ces princi-
pes fimples , & inetendus &c. Ces principes limples , & ine-
tendus le font dans le fylteme de Leihnit^ tout-autremenc
que dans celui de M. Needliam j ils ne fuppofent pas
r idee de modvement , ils n'ont pas de petite I'phere d'afti-
vite , ils ne laiirent pas d'efpace vuide entre les deux , &
ne peuvent pas paffer a occuper une fphere immenfe apres
en avoir occupee une plus petite. Sont a3/fs par ejfence.
Mais leurs aftions n'eft pas une force motrice , & une
refillance ; elle n'eft pas exterieure, mais feulement inte-
rieure } & leur a6iivite n'eft qu'une force pour pafler de
I'un a I'autre etat reprelentatif de V univers : felon la me-
taphifique de M. Needham I'aftivite eft un effort d' un
etre limple pour en pouifer un autre ^qui de fon co'e fait
un eft^ort pour detruire Taftion du premier. Et produifent
par leur aSion ^ & readion combinces les phenomenes deCeten-
due folide , du mouvcnient &c. Pour glolfer ce texte il faut
commencer par le reftifier , car s'agiiT^nt ici ie t efjence
primitive de la matiere , & de la nature de fes principes ,
il ne doit pas etre qqeftion de phenomene. On entend
communement par phenomene un effet ler-hble dont on n'a

(65) Remarquss p. 146.

1^7
qu' unc perception confufe.; & dans ce fens fi 1* on dit

que la matiere eft un -f)henomene c'eft que 1' on fuppofe
qu'en nous, fa perception eft confufe , mais tout pheno-
mene fuppofe quelque realit^ ,■ & il s'agit d'affigner la na-
ture de ces realites , quand on fe propole d'expliquer Tef-
fence primitive d'ane chofe. Je retrancherai done du texte
ce. mot de. p/it-noniene , & je lirai {implement, & produi-
fent par leur aclion , & reaclion combinee C etendue folide ,
U mouvement &c. Ce qui reprefente un fens reellement con-
forme aux principes de M. Needham qui penfe que la
matiere eft un reiultat d' aftion , Ss. de reaftion con^ues
a fa maniere , mais nuliement conformes a la metaphifique
de M. Leibnit^ qui a precifement rejette cette idee dans
line icttre contre Viignerius; (66) & quant au mouvement
il n' eft non plus dans le lyfteme de Leibnit:^ , une fuite
d' aftion , & de reaftion , mais , pour me fervir de ks
paroles memes „ Ce qu' il y a </e reel , eft la force ou
,, la puiflance, c' eft-a-dire , ce qu' il y a dans I'etat pre-
„ fent qui porte avec lui un ohangement pour I'avenir.',,
Le refte n'en eft que phenomene, & rapport. (67) Toute
fois , quand on regarde les phenomenes du cote de nos
perceptions , il eft vrai alois , & il 1' eft dans tout fyfte-
me , qu' ils dependent de Taftion , & de la reaftion ,
c'eft-a-dire , de I'aftion des objets exterieurs fur les orga-
res de nos fens , & de la reaction de ces organes.

XXXVIIl. II faut encore que je dife deux mots de la
divilibilite de la matiere , & de fon impenetrabilire ; a.
voir d'une part les temoignages d' cftime que M. Nee-
dham a rendu au merite diftingue de Leibnitz , & d'autre
part a reflechir fur les expreffions peu mcfurees dont il
s' eft fervi pour ravaler I'opinion de la divifibilue de la

i66 ) Oper. Tom. II. p. 226.
67)'

}ouxn. des Savans op. Tom. II. p. 79.

148

niatiere on diroit que fur ce point il doit etre fort Lei-
bnitien , mais il n' ell rien moius que cela. Voici I'ar-
r^t prononce par notre auteur. ,, L' etre materiel , felon
„ le fentiment commuii qu'on pretend m^me porter jufqu' a
„ la demonltration ell non (eulement compofe d' infini-
„ raent petits , en quelque fens , par une gradation non
„ interrompiie , mais d'une infinite d'infiniment petits. Cre-
„ dat juJaus appella. Cell ici un abime oil la verite fe
„ perd , 5c s'anneantit j c' ell non feulement un myllere,
„ mais une coatradi6lion ouverte qui choque le fens com-
„ man, „ (68) Or Monfieur , de tous , ou de prefque tous
les ouvrages philofophiques de M. Leibnitz, ouvres celui qu'il
vous plaira , & je vous repond que vous y trouveres , que ce
fentiment, qui choque le fens commun , eft precifement celui de
Leibnitz 5' ni'i's pour vous epargner cette peine je rapporte-
rai ici deux ou trois paffages choilis entre un grand nora-
bre d'autres. Senteniiam nojlram de perpetua diviJibUiia'.e
probaiione deftitutam cenfet refponfio ( du Medecin Sthal )
Quail non pro ca extent Ubri pLni demonjlraiio'iibus. (69)
Contendit refponjio aciualem cuiusUbet partis fubdivifionem ejfe
fuper omnem concepiibUiiatem , quia. fciUcet conccptwn cum
imaginatione confundit (70). Cmeruin hi-vc^divifio non taa-
tum in Geometria , fed etiam in Pkyfici, locum habet . ^. .
Qui htsc non animadvertit , pjirum ajjurgit ad incredibilem'
natures, majeflaten. (71) „ Je fuis tellement pour rinfini ailuel
„ qu'au lieu d'admettre que la nature I' abhorre , comme
„ Ton dit vulgairement , je tiens qu' elle" Taiieiie par tout
„ pour rnieux marquer les perfections de fon auteur. „
(jx) Du relle s' ii penfe que par ceite doilrine on veuilLe

don-

^68) Remarques &c. p. i<;6.

(69) RcTponf. ad Sthal. oblcrv. p. 151.

( 70 ) Ih. •

iji) Aniinadv. ad Sihal. P.'iyfica p. 140.
71) Journ. 4es Savans op. Torn. II. p» 143-

'49

Jonner h entendre , qu'un corps fini , & borne con-

tienne un infini abfolu , & que cet infini puifle refulter
par I'addition de parties , ou de nombres , il a raifon dc
Ja regarder comme contradiftoire ; mais aulH n' eft ce pas
cela que 1' on pretend foulenir , lorfqu'on dit que la ma-
tiere eft compoCee d' une infinite d' infiniment petits.

XXXIX. Pour ce qui eft de i' impcnitrabiliti , M. Nie-
dham eft dans \cs principes de Leibnitz , tout comme il
r eft dans tout le rerte ; on doit done favoir que „ 1' im-
„ penetrabilite qu'on attribue communement, quoique fans
„ y avoir fait aftez de reflexion , a la matiere , ne lui
„ appartient pas , mais feulement aux etres limples , les
„ premiers principes de la matiere. (73) L'impenetrabilite
„ eft un refultat d' action , & de reaction confideree ge-
,, neralement entre des etres oppofes de quelque efpece
„ qu' ils foient. „ (74) Des gens qui voudroient faire un
peu les difficiles pourroient repondre a M. Needhara que
puifque dans ies principes les agens moteurs n' ont point
entre eux-meraes ni d'aftion , ni de reaction , & qu' il en
eft tout de meme des agens refiftans, il faudroit admettre
cetie impenetrabilite comme quelque chofe qui n' a lieu
que dans le cas de 1' oppofition de ces deux efpeces d'etres
c' eft-a-dire , pour me fervir d' une expreffion de Leibniti
comme un petit etre fubfiftant , qui peut entrer , & for
• tir comme les pigeons d' un colombier. II continue a exi
pofer fa dotttine fur 1' impenetrabilite , difant „ je fuis for
„ furpris qu'on ait toujours affocie deux idees aulli con-
„ tradiftqires , que 1' impenetrabilite & la divifibilite infi-
,, nie. (7 5),Sur cela M. Leibnitz a bien voulu le donner
la peine de lui repondre d' avance. Innuitur foliditatem
impenetrahilem cum diviJibiUtate in infinitum fiare non po£e.

[731 NCedh. Nouv. obfer. p. 45 J.
1 74) lb. p. 336.
.43) lb. p. 452.

Mijc. Taur. Tom. IK U

Sed non video quid divijihilitas facial , aut noceat , earn ds
imvenetrabilitate agitur . Sive divijibile Jit corf us , five indi-
^ifibile , aliud in fuurri locum non admittet , nifi inde exce*
iiat (76)

XL. J' en ai dit afTez , Monfieur , pour vous mettre au
fait des pieces qui peuveot fervir a reloudre la queftion ,
s' il eft plus naturel de penfer que les principes Metaphy-
fiques de M. Needham foient etablis d' apres Leibnitz,
comme il femble qu'il le penfe lui meme k pr^fent (77),
ou bien s' il paroit qu' il ait rencontre plus jufte quand
III a ^crit que ces deux fyllemes etoient fort difFerens
11' ayant entre eux qu' une legere reffemblance (78). Ce-
pendant j' ignore fi lorfqu' il a plu a M. Needham de nous
renvoyer a la Metaphyfique de Leibnitz , il a entendu par-
ler feulement de cette partie qui ne va pas au dela de la
confideration des principes conllitutifs de la matiere , ou
bien fi par deference au fentiment de fon Philofophe , qui
regardoit les parties de fa Metaphyfique comme etroite"
ment li^es 1' une a 1' autre : Qui unum bene novit , om-
nia novit , il ait voulu nous les propofer , routes egale-
ment , comme des uniques fources oil 1' on doive puifer
les elemens de ce qu' il appelie la bonne Metaphyfique. Je
ne ferois pas dans 1' incertitude fur ce point li je n' ap-
percevois dans la fa^on de s' exprimer de notre Savant un
certain propos determine de s'en rapprocher en toute occa-
fion , par 1' ^nonciation , de cette maniere de phrafes pro-
pres uniquement de la philofophie Leibnitienne ; mais d'au-
tre part il eft evident , a n' en pouvoir douter , que Top-
pofition entre les idees des deux Metaphyliciens eft cora-
plette en tout , & par tout . Je ne deciderai done rien
fur la queftion , fi M. Needham perraette , on ne permet-"

I

y6'\ Leib. Phyfica pag. 141,
77J Need. nouv. recherches Phyfic, pag, jj,
Nouv. obfciv. pag, jdj.

I

te pas k ceux qui fur certains points capitaux ne font pas
Leibnitiens , de poufler leurs recherches au dela du fend,
ble , & je me bournerai feulement k vous prouver , Mon.
fieur , qu' il devroit avoir un peu d'inieret a fe decider for
cette queftion , pour 1' affirmative.

XLI. Comme dans la Metaphyfique de notre Philofophe
„ rien n' eft plus certain que cette efpece d' axiome , ni-
^ hil ejl in intelUclu, qucd prius non fuerit in fenfu (79) ,, il
ne doit pas erre fuprenant , vii fa franchife philofophique,
I qu' U fe foit fervi d' expreflions un peu fortes pour marquer
le peu de cas qu' il fait de ceux d' entre les Philofophes
qui meconnoiffent des axiomes d' une telle evidence . „
„ Defcartes paroit „ nous dit-il „ & pour ne pas tomber
,, dans 1' inconvenient d' une efpece de generation equivo-
„ que des idees , autant que pour aflfermir la morale ....
„ il imagine la fable des idees innees qu'il reprefente grof'
„ fierement fous les notions de traces materielles dans nos
„ cerveaux (80).,, Cela,disje, n'eft pas trop furprenanr,
mais ii 1' eft pourtant un peu qu' il ait ignore que le (y-
iteme Leibnitien ne peut fe paffer de la fuppofition des
idees innees . M. Leibnitz a parle de cette queltion dans
plulieurs endroits de fes ouvrages ; il I'a merae traitee dif-
fufement dans fes Nouveaux ejfais fur C itendement humainy
mais je borne ici , Monfieur , a vous en prefenter un feul
paffage . „ Peut-on nier , qu' il y ait beaucoup d' inne en
„ notre efprit , puifque nous fommes innes a nous-memes
„ pour ainfi dire ? & qu' il y ait en nous i ^tre , unite ,
„ iubftance , duree , changemeni , aftion , perception , plai-
„ fir , & mille autres objets de nos idees intelieftuelles ?
„ Ces objets etant imm^diats , & toujours pr^fents a noire
„ entendement , puourquoi s' etonner que nous difions que
„ ces idees nous font mnees avec tout cequi en depend?

(79) Nouv. obferv. pag. 48f

ilcniarque au pag. w6,

U X

*yi ...

„ Je me fuis fervi aufll de.la comparaifon d'une pierre de

„ marbre , qui a des veines , pluiot que d' une pierre da

), marbre tout unie , ou des tablettes vuides , c' eft-a-dire

n de ce qui s' appelle tabula rafa chez les Philolophes ;

}, car fi r ame reffembloit a ces tablettes vuides , les vdri-

j, tes feroient en nous comma la figure d'Hercule elt dans

f, un marbre quand le marbre eft tout-a-fait indifferent a

„ recevoir ou cette figure , ou quelqu' autre . Mais s' il y

,, avoir des veines dans la pierre , qui marquaffent la figu-

„ re d' Hercule preferablement a d' autres figures , cette

,, pierre y feroit plus determinee , & Hercule y feroit com-

„ me inne en quelque fa^on , quoiqu' il fallut du travail

„ pour decouvrir ces veines , & pour les netoyer par la

„ poliflure en retranchant ce qui les empdche de paroitre „

(8i) on voit par ce texte que M. Leibnirz a donne dans

des groffiertes encore plus maflives de celles de Defcartes,

car vous comprenez bien , Monlieur , que des traces dans

nos cerveux font quelque chofe de plus fin que des veines

dans un marbre.

XLI. Puifque M. Needham fe tient h. fon axiome que,

nihil efl in intelle3u , quod prius non fuerit in fenfu , il eft

aife a imaginer qu' il n' eft pas dans le fyiteme de CHar-

monie priitablie ; mais de favoir quel eft precifement le fien

fur I'origine de nos idees , c' eft ce que Ton ne peut pas

dire au jufte , car il en a donne deux , 1' un contraire k

r autre . Si Ton veut s' en tenir a ce qu' il en a ecrit dans

fon ouvrage du 1750. il me femble qu' on doit dire qu'il

eft de r opinion du Dofteur Clarke qui penfoit que les

images des objets font portees par les organes des fens

dans le fenforium , oil 1' ame les apper^oit comme dans un

miroir ; mais fi 1' on s' en rapporte a ce qu' il nous a dit

dans fon dernier ouvrage, on devroit penfer qu' il eft pom

(81} AvjDt propof. p. 7.

1' influence tres-phyfique du corps fur I'ame. La il nous
a dit „ que les anions cxteiieures engendrent iiecefTatre-
,, ment des impreiTions interieures . . . qui produifent des
„ differences id^ales entre objet & objet .... diffi^rences
„ qui comme effets , & comme rapports , affe61ent 1' ame
■„ elle-meme qui dans Ton fenforium voit comme dans un
,, miroir tout ce qui fe pafle hors d'elle (8i) „; mais daits
(on nouveau livre il veuc „ que cette exaltation graduecj
;, cette a£tivite progreffive dont la matiere alt douee , prin-
■„ cipes de routes les metamorphofes phyfiques, ou chimi-
„ ques .... en agijfant fur Fame par des imprejfions fen.'
„ fibles , r excite a penfer , & iui en tournilTe la matiere ^
(85). Or il ell vrai qu' outre que ces deux fentimens ont
lete expreflement combattus par Leibnitz dans ies ecrits cen-
tre M. Clarke , lis font de plus inalliables avec- les princi-
pes Metaphyliques de notre Philofophe . Dans la premiere
de ce deux opinions, 1' ame n' appercevra rien dans fon
miroir , que ce qu' il y a , & iuivant le fyfteme de M.
Needham il ne peut y avoir que de 1' aftion & de la
reaftion , c' ell-^-dire , du mouvement , & de la refiilance
au^mouvemenr J or a la veriie ce n' eft pas cela qu'elle
voit lorfqu' elle s' appergoit de ce qui fe palfe hors d'elle.
Mais (\ r on vouloit s' en tenir au fecond fentinient , &
dire que la matiere exaltee a git fur Came par des imprefflons
fenfibles , c' eft-a-dire par le mouvement , alors on doit fe
rappeller que dans les principes de notre Metaphyficien ,
cette efpece d' a6lion ne peut avoir lieu que fur un Etre
rififlant , fur un etre qui par fa nature detruit le mouve-
ment, & par confequent I'ame devroit ^tre quelque chofe
d' analogue a la matiere brute & refiftante ; & je fuis fur
que M. Needham n' avouera pas cela: je ne m' arrete pas
lur ces expreffions d' etre reprefentatifs^ & (feffea reprefeti'

^82) Nouv. obferv. pag. 251.
(83) Remarques &c. p. 131,

M4 ,

tatifs dont il s' eft auffi Tervi quelque foK' , car il el trop
clair que ces phrafes Leibnitiennes ont dans cette Meca-
phyfique un tout autre fens.

XLIII. Pour achever mon parallele, il me relle encore
a parler du principe de la raifon fufifjnte , de celui des
indifcernables , de la loi de la continuiti , & de la n:Uure
de la reproduclion vegetable & animate ; mais pour ce qui
eft des deux premiers points ce feroit en pure perte que
je voudrois , Monfieur , vous en entref='nir , comme fi je
pretendois vous prouver que M. Needliam n'eft pas pour
I harmonic freetablie : ce font des chofes qui fautent aux
yeux , & qui n' ont pas befoin de preuves. On en peuC
dire de meme du fylleme de la reproduftion : fi 1' on n'a
pas !us tous les ouvrages de Leibnity. , au moins tout le
monde connoit-il (a Theodicee , & (ait par confeqaent qu'il
y foutient la preexiftence des germes ; mais il en parl«
encore plus precifement dans ditFerens endroits de (es au-
tres ouvrages il ne me refte done qu' a faire quelques ob-
servations Cur la loi de la continuiti.

XLIV. M. I'Abbe de Lignac a fort bien remarque I'in-
fluence qu' a fur- tout le fyfteme de M. Need ham la pre-
vention, oil il eft, pour une ceriaine e'cAeZ/c d' £tres,exa*
ftement graduee . „ 11 forme „ dit-il „ une echelle d'etres
„ dont il eft extremement preoccupe ; c' eft cette echelle
„ qui r a probablement engage dans la route obfcure qu'il
„ a fuivi ,,. (84) Cela eft encore plus fenlible dans fon
dernier livre, oii il n'eft pas polfible que Ton ne s*apper-
^oive que c' eft cette echelle qui decide de tout . Les fen- |j
timens qu'il en a, font fi compliquds & fi variables , qu'il I
n'eft pas trop facile de les bien demeler & de les pr^- ^
fenter au net fans fe jetter dans de longues recherches , ce
qui ne m' eft pas permis de faire a prefent , d'autant plus, j

IS4} Leities d im Am^iic, I. xii. pag, iig.

Monfieur que ma lettre eft ddjk affez tongue , & que me-
me fans entrer fur ce point-la dans des difcuflions de quel-
que etendue , je ne manque point de materiaux pour voue
en ecrire une feconde je ne ferai done qu'effleurer la ma-
tiere &c je me bornerai a des reraarques les plus courte*
qu' il me fera pofTible de donner.

On connoifToit dans la Philofophie-Scholaftique une lot
de la nature qui portoit , que Natura ahkcrret a faltu , loi
que M. Leibnitz a explique diltinftement par celle qu' il
appelle la loi de la continuite .

„ Rien ne fe fait tout d' un coup „ ditil „ & c' eft
„ une de mes plus grandes maximes & des plus verifiee*
„ que la nature ne fait jamais des fauts „ (85). C eft
done en confequence de cette loi , que les changemen;*
dans la nature n'arrivent pas tout d' un coup , & que rien
ne va d' un degre fenfible a 1' autre , fans, paffer par tous
les degres intermediaires poflibles : un corps qui eft en
mouvement n' a pas pafle du repos a fon plus haut degre
de vitefle, ni une eau froide n'eft pas devenue chaude tout
d' un coup , mais par une parfaite graduation . Ce n' eft
pas vraiment dans ce fens , que M. Needham a confidere
la graduation dans 1' ordre des changemens qui arrivent
dans la nature , lorfqu' il nous a tant parle d' exaltation
graduie , (T echelle complette , exaSemem graduee & variee a,
chaque pas } mais il entend parler de la toialite des fubltan-
ces , & il eft d' opinion que ces ^ires , ou confideres com-
ine fimples , ou comme compofes , forment toujours une
Echelle , felon lui , graduee.

XLVI. Voici , Monfieur , fon raifonnement pour la gra-
duation des etre fimples. „ Si la fpontaneite , lafenfatiou,
„ la penf^e ne font qu' un refultat d'aftions fimples , pour-
„ quoi la reliftance & I'aftivite motrice ne le feroieni-elles

(85) Nouvcaux effais &c. p. iv

„ pas auffi ? . . . Pourquoi I'echelle de ces dtres ne feroit-
j, elle pas complette & etendue a route efpece d' aftions,
„ aiix inferieures , aufli-bien qti' aux fuperieares ? „ (86)
Et pour ce qui ell de la compofuion qui refulte de la
combinaifon de ces etres fimples , 1' echelle (era compofee
de la fcigon qui fuit : „ a une exrremite de cette echelle
„ fera le plus haut point de 1' aftivite motrice , & a I'au-
„ tre la refiftance (on antagonize (87). Ces agens ou prin-
,, cipes contraires font combines enfemble par toute la na-
„ ture en toute proportion imaginable , pour produire des
„ diff(^rences fpecifiques entre les parties int^grantes de
5, fubftance a fubtlance , d' element a element depuis les
„ groffiers , & les plus pefans , jufqu' au plus legers , &
„ plus mobiles. Par confequent enfin toute la nature eft
5, variee , non feulement dans une echelle d' agens fimples
5, ou de premiers principes , mais auffi dans une echelle
,, de combinaifons qui relatives 1' une a l' autre , font ou
„ reiirtantes ou motrices penetrables , ou penetrantcs en
5, toute proportion imaginable , ou quantife de relillance,
5, ou d' aftivite motrice , & paflent fucceffivement d' un
„ etat a un autre : elles affimilent , ou font afllmilees , el-
„ les font attraftives ou repulfives , & produifent les fym-
„ pathies , ou les antipathies phyfiques ,, (88).

XLVII. 'Ce feul debut, Monlieur , vous fait affez com-
prendre que je ne dois pas m* enfoncer dans ce labyrin-
te , crainte de ne m' en pouvoir titer qu' avec bien de la
peine; il vaut done mieux fe mettre un peu au large.,
ians s' engager dans le fort des detours dont la piece eft
embarraffee. II me femble done qu' avant tout il feroit a
propos de lavoir , fi ce fyfterae, tel qu'il a ete combine
par M. N^edham , eft feulement imaginaire , ou bien fi on

(86) Nfiedh. obfcrv. p. 344.
343-
343-

r87) P. 341. 343.

(88) P. 342,

^ . nous

I y 7

nous I'a donne cnmme quelqiie chofe de conf^quent a des

principes furs & evidens . A^ la verite il n' elt pas trou
facile de dererrer ce principe dans les ecriis de notre Au-
teur ; il y eft pou-tant , & il faut Taller chercher a la der-
niere feuille de (on livre de 1750. , ou a la page 508,
il die , „ que Dieu , comme dit i' Ecriture , ell le Dieu
„ de r ordre , & la Plulolbphie nous apprend qu'il eft le
„ Dieu de 1' harmonie . „ De ce principe doit s'enfuivre,
qu' il y aura dans cet univers de I' ordre , & de I'liarmo-
me ; refte a favoir , fi cet ordre & cette harmonie font
precifement ce qu' il a plus a M. Needham d' y raettre
pour former cette echelle graduee qui varie a chaque pas
par des nuances les plus deiicates. Voyons fi cela eft.

XLVIII, Dieu eft le Dieu de /' ordre & de F harmonie j
done fi r etre qui fent ,& celui qui penfe font des etres
(imples , il faut aulfi que 1' etre qui detruit le mouvement,
& celui qui le produit foient des etres fimples, autrement
il n' y aura plus d' harmonie ou d' echelle complette : cette
confequence , a la verite ne me frappe pas beaucoup. D'ail-
leurs il me paroit que je ferois fort embarrafl'e a monter
par cette echelle , y ayant de trop grands fauts a faire
pour pafler d' un echelon a 1' autre , car ce qui fent , ne
me paroit pas moins eloigne de ce qui fe meat , que ce
qui produit le mouvement le doit etre de ce qui le de-
truit. Ce raifonnement , s' il etoit recevable , prouveroit
pour les Monades de Leibnitz , & le paflage feroit des
lubftances qui ont de la fen(ation , c' eft-a-dire , des per-
ceptions claires , aux fubftances qui par leur nature n'ont
que des perceptions obfcures . Cependant je ne diffimulerai
pas que M. Needham n' a pas manque de foins pour reuf-
fir a mettre tout en ordre, & rcndre fon echelle prati-
quable le plus qu' il fe pouvoit . Le premier expedient a
ite d' avoir recours a des mots , & par-la le mouvement,
jui dans la fa^on de penler commune ne differe que par la di-

Mifc. Taur, Tom. IV. x

ftion , & les degres de celeritd , eft devenu une force ex-
panjive , une exaltation graduee , & une vitalite qui pervade
tout le regne vegetal en C exaltant fans dijcontinuation i
mais comme cette reffource n'etoit pas encore tout ce qu'il
lui falloit pour perfeclioner dans toutes fes parties la gran-
de ^chelle de 1' exitlance , il a voulu y fuppleer , permet-
tez-moi , Monfieur , d' appeller les chol'es par leur nom , il
a voulu dis-je y fuppleer par une efpece de jeu de Ma-
rionettes ou , li vous voulez , par des petits tours de fin-
ges. II a done fuppofe que les animalcules microlcopiques,
les polypes , les vers de terre , & quelques autres de ces
^tres que 1' on appelle communement des animaux n' ont
aucun principe de fenfation , & ne font rien autre que des
^tres vitaux , ou des etres dans lefquels le mouvement ecant
beaucoup exalte , opere fur des organes encore delicats ,
& plus exquis que ceux que nous avons ; & en partaat
de-la il accomplit la grande echelle de /' exiflance avec la
plus grande facilite du monde. On peut done „ compren-
„ dre comment un erre {implement vital peut paruicre
„ fenfitif , Scjouer le role d' un animal dans ioa economie,
„ & meme , jufqu' a un certain point dans fa connoillan-
„ ce = La vitalite qui pervade tout le regne vegetal en
„ r exaltant fans difcontinuation , fe termine par ce moyen
,, d' une maniere fenfible , aux etres , oii la fenlatiou la
„ plus exquife , avec toutes fes counoiiTances particulieres
,, & purement fen(itives , quoique finge de la raifon julqu'a
„ un certain point , finit oil 1' entendement s' eieve & re-
„ pend fes premiers rayons ; „ (\ le Dieu de l' oidre , &
de i' harmonic eut delhne dans la protondeur de les con-
feils , & de fes decrets de faire edater l' immcniite de fa
gloire par la creation d' une echelle d' etres done la gra-
duation fat imperceptible , peut-on douter un moment
qu' elle ne dut fe irouver plutoc dans les ledliies que dans
les apparences ?

XLIX. L' opinion fur cette echelle exa<Elemcnt graduee,
telle que Ton pretend de I'etablir , vient originaireinent de U
combinaiibn de deux principes de la Philofophie de Leib-
nitz , dont r un ell la loi de continuite , & 1' autre le
fyiteme du monde meilleur qui efclud ce que Ton appellc
le vuide des formes vacuum formarum . Si 1' on regarde la
chol'e d' apres les principes de Leibnitz , elle n' eft pas tel-
le que des gens ont coutume de la reprefenter ou de la
defigurer . Dans ces principes on fuppol'e que Dieu n' a
cree l' Univers qu' en vue d' une fin generale qu' il s' eft
propofee : que le decret de Dieu regarde la totaliie des
cliofes en tant qu' elles fe rapportent a cette fin generalej
que tous les dtres (imultanes pris , foit colleftivenient , foic
diftributivement , & fucceffivement ne Ibnt compris dans
les decrets de Dieu poiitifs , ou permiffifs qu' en lunt qu'
ils fe rapportent , comme fin fubordonnees a la fin gene-
rale & direfte : que Dieu en creant 1' univers doit y avoir
mis tous les ecres , toutes les realites , & routes les perfe-
ftions , non pas po/iibles , mais compoffibles a la i\n ge-
nerale , & aux fins fubordonnees qui font I'objetdu decret
Divin . „ Je crois ,, dit Leibnitz „ qu' il y a neceffaire-
„ ment des efpeces qui n' ont jamais ee , & ne feront
„ jamais , n' etant pas compofllbles avec cette fuite des
„ creatures que Dieu a choilie , mais je crois que toutes les
chofes, que la parfaite harmonie de 1' univers pouvoit y re-
cevoir , y font (89) „ or il paroit que pour le fond , M.
Needhani foit a peu-pres dans les memes principes , mais
il eft fi occupe de la formation de fon echelle , que Ton
diroit qu' elle eft chez-lui le principe , au lieu qu' elle
o' en devroit ^tre qu' une confequence . II veut que lesani-
maux communs aycn: une ame fenfitive j cette ame eft
done dans Ton fyiteme une realite poUible : il veur que les

(89) Nouv. eflais fur 1' emend, p. 267,

vers ddtierre les po'ypos , les croiles de mer /.les^ iiiimal-
cules microlcopiques Ibient fournis d' organes encore plus
exquis que ceu< que nous avons , mais il ne veut pas
qu' ils ayent uiie principe de fenfation ; pourquoi cette rea-
lite poffible n' aura t-elle pas lieu puvfque le iujet^ en: ell:
capable ? D' ailleurs je ne consols pas trop des raoyfcns
pour allier les principes , que je viens de rapporter ^vac
ia doctrine de M. Needham , oil il dit , que. i, I'anea^flti'-
-^y fement d' an grain de fable , d' uiie tnontagne fur la
^1, terre, d'une efpece d' animaux , ou de plaotes , ouin&-
^ me d'une pianette, ne peut affefter le tout que fort 14-
^, gerement , & fans aucune cotilequence „ (90) . Eiiiin
.Monlieur , je tiens que la graduation de cette echelle pent
ibien former uii objet digne de l' attention d' un obfetva*
ttut , mais qu' il n' elV pas raifonnable d' en faire un p«|t-
s^ii^r d''<^U''l''<>B'^P^t(^ |><^u'^'^^$0tvis/' '^ nature. ;ii ,^ itJUV

-snVous trouveres apparemmeiit , Monfieur , que je tardp

bien a executer ce que vous m' aves lemoigne detirer;|l«r

r ouvrage de M. Needhnm , vous ne me demandies py

itjde^r remarques fur la Metaphyfique j. j^fpeie de vous fatis-

:faire dans une feconde lettre , & que vous approuvere<;

-allors ce que j' ai obferve dans celle-ci j m' ayaut paru.dj^-

.ijcile .de ne pas m' occup^r a.< diicuter cette MeLiapKyiiq^

gui parei,tj,faire dans 1' intention de I'Auteur, la prinpipqip

.panie -de fes'ouvrag«s. „ En attendant que je puilfe m'acq^if-

ter de ma parole aggrees les aflurances des featimeut^ 4i'

^ingues.avec lefquels .)' ai,.rho}ineur d' etrej, v,kj!: -■; siaul

d-i^i iS^.Mo"?^?''^.,^^. Caraaoya ce 43. Ddcembrp ^7^^.

^uimirovni 110. . irins^ftniq tus , innd^h^bb m:i3»ql 9(UiH

190) NCcd. nouv. leCherc. fisr la'nat. p. jj.

I

.HV ^i,\ .-usi'i .4\^

JOANNES PETRI MARIAE

DANA

Defcriptlo^ 6 ufus Agarici,/eu Bokd pelUceu

y_JviA\xm haefi utrum inter Lichenes membranaceos an in-
ter Fungos pellJceos , vel alibi reponerem parafiticam plan-
tam , de qua hie agere conftitui , quod non fatis cogiiita,
& defcripta videatur , neque earn apud Clariffimum Lm-
NAEUM defcriptam invenerim. Quamquam enim ad iplius
BoUti genus reduci patiatur ; (nifi praeftet ad Poria, vel
Solenia Clariffimi Hillii araandare ) incertae tamen foret
fpeciei. Celeber. Hallerus dubitationis figno appofito {hijlo'
riae n. 1190 eiit. 2) inter Polyporos fub nomine Agarici
coriacei fagini haematoidis Gagnebin banc fortaffe fpeciem
intelligit , quae inter Agaricos Linnaei locari ne-

3uit ; quamque aeftimandum videtur, ideo Hallerum noa
efcripfiffe accuratius, at ceteras confuevit, quod pauca de
ea ab amicis cognoverit , aut quod fpecimina imperfecta
ad ipfum addu6ta fint , quin fuis ipfe oculis in loco natali
eamdera cernere potuerit. Dofti/Dmus hie Vir ex opinions
D. Gagnebin cognomini Agarico Querno Breynii (i) ,
& Garideui (imilem efle refert. Nos vero licet Ciariffi-
oium Garioeuum (1) de noftra fpecie egifle ex iis, quae
fcribit , ciare intelligamus } non perinde tamen certo lla-
tuere poffumus fpeciem Breynii eamdem eflfe, ac nortra.
Ex defcriptione , quam fufe (ubjungimus , (at Lcile eric
utriufque diflFerentiara comparare. Alios auftores, qui refte
banc fpeciem defcripferint , aut pinxerint , non invemmus.

K

tS In Ephem. Germ. an. 4 & 5 obf. ijo defcripto.
1) Hirt. Aix. pag. 10 .

Mijc, Tour. Tom. IK

,^ Pe!Ien\ ovinam .ntc praeparj^tajn magis ve] ^h|j|ii]ijj^^^cr^-
fam , firmam , & albidam omnino ita imitatur quijaincr^pi
frullis femipalmaris vel palmaris.latitudinis , ut alteruihap
altero aegre dhlinguas , li prae(ertim margines , ubi extc-
rius ftirpi adhaerebat, & aeri libero patebat, refcindantur.
At in loco fuo natali eum- perpendenS , nempe Inter
fifluras vetulliffimarum , & marcefcentium Lancuni , quas
occupare (blet, vidi juxta earumdein . jongl'tudinem plarfe
extendi , & ab uno ad aliud ftratum veluti. propagari , ac
continuari i planum utique effe, ut Licheoes quidam, licet
alicubi multiformis revera videaiur :, nempe in fatifcente
vetufta Larice majores , minorefve relinquuntur inter abfce-
dentia ftrata fifTurae , ac intercapedines, inter quas fangoia
' JSaleti illius materia fe infmuat , accommodatque ^^^^tfr
Ii6to veluti modulo inter ea (trata j vacua ilia exaalmmi •
occupat tam plana ea majora , & ampliora, arboris fimcr-
ficiei parallela , quam alia tranfverfa a fuperficie ad L<pan.'-
trum lendentia , quae minora obfervantur. Nullas interjin
reque in externa fuperficie five limbo , ubi aeri exponitiui
neque in reliquis interioribus , ubi ligno adhacret , peltas^
laminas floriferas , aut alterius figurae flores oftendit. Li-
gno objeftae ipfius fiiperficies pellicula juxta unam faepius
direftionem tenuiffime ftriata , ceu cuticula obteguntur. Eae
ftriae nihil .a,liud fijnt nifi fibrarura lignofarum impreffiones;
propterea prout magis vel minus exllant, modo profundos
lulcos, modo elevata linearia juga producunt , quae promi-
nentiae , fi in modulo lignofo effoeto defint , levis iride ,
§c pjana ornnino efficitur fungi fuperficies , in qua etiara
per acutiffimam leniem difficile poflunt.ulli pori deprehendi.
Hinc pro majo.re vel minora craffitie , & confiftentia modo
pelliculam j.modo membranaro. , faepius albidam pellem
ad chirotecas praefertim conficiendas praeparatam imita-
tur; interdum etiam. corii magis minufve craffi , diyerfir
mode ftriati, & tiigofi craffitiem , & confiftentiaii) bjirtiner^

iid^pelil^Hi \eto vilfoTa mofirti? , conrtft'enna , & ^nadtatp
ltd' accedit , ut chiroiecae, immo &: braccae ex confutif
ipfius fungi latioribus fru'ftjs pardri queant'; quia etiam a
nbnnullis rufticis alpicolis revera p^ratas ftjiffe audiverim ,
quae a pelliceis primo afpeftu ' vix diffimiles apparebunt ,
pracfertJm iis, quarum candidus color jam fit leviter coift
quinatus. Interna hujufce fungi fubltantia fungofa vere',* &
j veluti itupea materia componitur , quae cum nulla ftibftart-
' tla melius, quam cum vulgari fomiie comparabitur; quam-
Vis ab ipfa differat , lion modo ob candidum cblorem , fed
ideo quoque, quod pro efca igni paranda fomitis vulgaris
vicei ager'e nequeat, Ligneis ftratis ex altera parte adhae-
rens, fi forte foli, aeri aperto , & pluviae diutius expofita
p^rmanferit ^ mollem , flexilemqae'firani inde naturam amit-
f It , indiirefcit , ficcaturque in fragilem , nee difficile pul-
vdrandam membranam , quae fponte fua in fragmenra di-
fcinditur. Ceterum (i in iis locis praefertim exploretul^'j
ubi in duas veluri partes renuioribus interftitiis replendis
magis accommodatas dividitur , tenuiffima, interdum pellu-
cens , molli/nma , ac morbidi/fima eft , & ibl a fe invicem
diduftis memoratis Jaminis, confpicienda praebet tenuifli-
Trta , candidiffima , ac veluti go/fipina brevia fila , quibus
i6tkm plantam componi facile conjicias. Hanc conjefturara
fi^r;m^re, & ipfum harum partium fitum patefacere vifa
■^'raaceratio diufurna in lixivio alkaline; turn ipfa com-
liuftio hujufce fuhgi prius per acidum nitrofum madefafti,
aut per acidum vitnolicum fuperaffufum denigrati , dein
toti', (iccati , ac tnflaramati. Scheleton enim a combuftione
reli6lurh regufarem quamdam ftrufluram oftendit , potiffi-
inum fi ad lentem fpefteiur. Sic namque componi appa-
ret ex Ibngiiudinalibus veluti tubis , feu fi!is majafcuhs,ad
quorum u'trinque latus diftiche difponuntur breviora quae-
dam, &' teiiuiora fila, longitudine inter fe aequaliaj ex

'quibus fimili orrfinc iitrinque dtfcedunt alia brevjffiw^/''(a|C
ininima , in fphaeriilas afperatas , Qeu totidem afpergillos',
definentia. Quid acida , quid ignis conferat ad pulcherri-
mam hanc rtrufturam producendam non video : hinc faci»
Ihis crederem ad eamdem extricandam , ac aperiendam €(t
imerpofitarum partium deftruftione potius infervire. •''

Sapor ipfius leviflime amaricans , fubllipticus eft : in ore
facile mollefcit, ut pellis ovina , & inde fimiliter extendbifr
litatem acquirit ; a faliva ramen non ex integro folvirur^
fed humeftatus pallidiim coiorein affequiiur , ac pellaeldw
evadir. '-' f^wpiionnswi; ilimik ^ fnuolui 93u!.'b , zn9Tthrlb6

Hajus fungi materiam incolae vulgo ajunt, nil aliud efle,
tiifi concretum efFoetae terebinthinae reiiduum inter vetu-
ftorum emarcefcentium laricum fiffuras a putredine , &
aetbte ipfa genitum. Verum quanto in errore-verfenmr no«
modo conjicere licet ex differentia , quae inter inflimma-
bilitatem hujus fungi , & terebinthinae intercedit , & ex
odore, quern vix ullum, aut potius alium, debilem, noriiftl-
die nominandum fpirat , turn etiam ex fapore , quo feii^
deftituitur } fed ex eo etiam,, quod propbrtione, & naium
a terebinthinae principiis abunde diverfa fint illius element^,
& praefertim id conilat ex iii j^'djuae- tffrl' reguiari fungi
ftruftura diximus. Idipfum ex utfiiifque arialyfi colligi etiam
poteft , ac intelHgi ab experimentis , quorum quaedam k
me inrtitutafubneftam non modo, ut de hucufqad altaiis
judicium facilius ferri poflit , fed etiani,' ut ad alias hujus
vires indagandas turn oeconomicas , turn medicatas adit^s
patefiat. Analyfis Chymica eft ex diligenti encheirefi accu-
rate inftituta, me rogante , a Perilluftri Domino Graf-
FioNO in militaribus cohortibiis Rei Tormentariae Sub-
centurione Chymici Regii laboratorii , & Mufaei MietaJ-
lurgici Diredore. Iiididit Clariffimus ViR parvae, mundae
retortae vitreae hujus fungi exficcati, & concili drachmas

cpjinqfue^vfcrupulos duos, graha quatuor ponderis medicinalis.

^itreo excipulo rite agglutinato , fuppofitoque s. a. igne

aoverberii afcendere vidit: i* cum pauco phlegmate oleum

clarum fubflavura , tenue , foetidulo peculiari odore imbu-

turn ad petrolei , vel fuccini, vel terebinthinae odorem ac-

cedente , vaporemque teauiiTimum , qui eodem tempore per

conclave late diffufus percipiebatur. Aufto igne empyreu-

maticum (imile oleum paullo minus clarum adhuc prole-

ftum eft. Denique ex continuata vehementis. ignis aftione

empyreumaijcum .aliud oleum craffius , lenacius y excipulo

adhaerens , dilute fufcum , fimili intenfiorique odore prae-

ditum afcendir. Oleum a fubjefto phlegmate feparatum per

infundibulum ponderis fuii drachmarum duarum, fcrupulorum

duorum & granorura undecim. Phlegma fubaciduli faporis

erat, ponderis drachmae unius, & granorum quindecim. Caput

Biortuum in fundo retortae reli6tum nigerrimum erat fquammis

j/eluti talcofis micans , (haruni vix aliquot ramenta magnes at-

trahebat ) pondere drachmae unius cum fcrupulo uno , &

^ranis fex , quod calcinatum raaximam fui ponderis par-

iiera.amilit, & colorem acquifivit albefcentem. Hoc in fuf-

,iicienti quantitate aquae ftiliatitiae elixiviatum , & filtra-

tum reliquit fupra filtrum lerreftrem ferruginei coloris raa-

<teriam, cujus adhuc portio levis magneti adhaelit. Aqua illius

iiixivii Bltrati evaporata ad ficcitatem vix uliius faltnae

:conientae materia© figna dedirj fed tenuiflimae , inodora^,

jjCandidae , abforbentis, infipidae terrae poitionem reliquit,

^pondere granorum o6tp., quae cum acidis ipiriiibus, aceti,,

-,vitrioli &e. effcrbuit. ,i x^ i). EoimyriJ ihY\(.nk .JErtsJea

•xaAA fanguinepi in quoctJmque cafu Jiftendum commen-

-dflgt»jfrequeuti(rimeque io utu.jhab^nt quidam alpicoUe Vi-

hadienfes, .3pud quos adeo antiqMus/hic ul'us eil , ut hunc

fungum etiam ipfo per ttaditionem a majoribui traulmilTo,

nomine fiagna fang,, indigitare foleant. Adhibent n^npe

vel parti , unde languis fluit , iinmediate apphcitum , vel

\66 ^ . . .- ,,

intus fufcepturti''iW'dyr<frttem (^) , & men/Ium fluxu hi'n^

quibus in cafibus , & praefertim etiam in haemorroidibiiis,

rimium fluentibus fub fpecie peiTarii , vel fuppofitorii uti-

liter applicant ; in vulneribus craffiora frurtula parti adli*-

gando Tanguinem compefcunt , quafc vulnera , fi leviofk

fuerint, citiflime fanant. Utuntur praeterea loco pellis a'^-

cerata fulHnenda , & partibus appiicanda. Familiatiffimus

autem ufus ejufdera fit ad emplaftrum de pice Burgundica

recipiendum , quo communiter utunrur adverfus dolores

quofcumque reumaticos, praefertim vero lumbares. Etiam

per fe dolentibus limiliter partibus fungus pelliceui applh

catus vaide utilis cenfetur , quod tamen fortafTe nort' 'ilw

ter praeftat , quam a cute aeris injuriam prohibendo, at'c^ui

eamdem fovendo, & perfpirationein adaugeiido. Ad Opiithat-

mianl faliva ipfa emollitum oculis applicant , quam iade

brevi difcuti obfervant.

Atque iiaec quidem erit dixiffe fatis de viribus ad ipfam

fungi {ubftantiam pertinentibus , quas indicavi potitlil, 'i^

ad alias fiat tranfitus , quas huculque ignoramus. Etenim,

ut verum fatear , Chymica produfta obtenta ex ipfo per

diftillationem multo plura videntur promittere , fi in alios

iifus vocentur. Oleum nempe illud efTentiale tam clarum,

levius , & tenuius , quam ob(curius aliud , & flavidum

odore fuo non ingrato, fed admodum penetrante , & pe-

Xroleum , •ac fpiritura fuccini , & terebinthinae aemulante,

praefertim reftificatum , non modo fupra nervos olfafto-

rios agendo, fed lupra alias quoque partes vires exerere

poffe videtur medicatas nervinas, folventes , penetrantes,

difcutientes , & cum fulphure junftum traumaticas, de hac

tamen , aliifque , quoniam experimenta , hucufque defunt ,

nihil dicam. Unice addam, quod feme! expertus fui, rheu-

(j) Teflc D. jAVEtii Medico Vinadienfi follertiflimo Academ. Monfpeffulanae
coircfpondenti,

i«7

maj^^i^ip., ex rufceptp fiigore recenter contraftum dolorem,

fdj^^,jji^ica yerperiii)4 illitione iiJius olei tenuioris fupra
r^p^i^,,3ffv6:ura, i^ntra, nptiem evanuiiTe: pulveri Nico-
tianae parva quantitare additum, praeferdm fi prius redi-
ficatum fuerit cum ofHbus calcinatis , odorem non ingra-
tum , & veluti fuccinatum ipll communicaffe , & in Ce«
phalaigia utiliter nafibus aflumtum fuifle. Idem oleum re-
£tificatum cum additis flloribus Acaciae feu Mimofae plenae
L. & Tufficienti aquae quantitare odorem empyreumaticum
|^^^^'|mittit , & citrinura colorem adquirit, & minima
quantitas iplius furiicit tribuendo odori forti, & nervis arnica
Nicotianae pulveratae, cujus ufus aliquis effe potelt ij^
fpafmodicis afFi-^clionibus. Verumtamen de hifce, aiiifque vii,
ribus huic fungo tributis aliae obfervationes ulterius inlU-^
luendae melius nos porerunt edocere, eo vel magis , quod
fufficiens quantitas ad experimenta capienda facile obtineri
polfit ex Alpibus Balneorum Vinadienliura , aiiifque vicinis,
ubl fponte pronafciiur, atque luxuria^^ mfirinfifldL-i ignui
,rnifi'jia .tuiii'>iu!i^; j,.j.i.'ujliii ^mj^' jeuitinBii Jen zsils bs
laq olqi X9 GJnaido filiiboiq B:j.m^ri3 , isajsi mmav m
zoi.ji ni n t 9i9Jiimoiq luin^biv Biulq otlntn manoijBllifiib
,muTBb msi sUiifirJIla bulli sqm'^n lnu^\Q-..^uJn^oo■f i^is
mubivfcfi :^ , biuls wnuoldo msup » auiunai iS ^ joivai
-3q i8 ,3inBii9n9q mubombe bsl ^OiSigtii ndo oul s- ba
,3intlijm3B 3bnifiuiid3i33 18 , iniooul muiiiiql on , mualoiJ
-oftE^lo aovisn Biqul obom non , muJEofliftai minalaEiq
31010X3 231JV ?«n6q 3upoi'0 26ilB Biqiit bs'l , obnsgB 2oh
Kwjijsn-: ovlol (ZBnivian 2K)6-)ib3m iuJ3biv sUoq

oiufifiuj aiudgli^l mu3 sS » »3in3iiuo1ib

_;.. .„j. , ainstriiaqxe muincup , 3up')aiB ,n3me3

di ,iul euii3qx3 isaisli boup ^mfibbs soinU .mfioib liijin

observations'"

C H I M I Q U E S
Par M.' le COMTE de SALUCES.

Sur TEns Veneris de Boyle

I.

X-<a Medecine a ete long tems efclave des rem^des chi-
miques : leur a£iivite a fouvent caufe des cures furpre-
nantes , & ces fairs extraordinaires ont tellement excit^
renthoufiafme naturel a 1' homme , principalement dans ces
fiecles d' ignorance , qu'on n' a pas eu le tems d'apperce-
voir les cruels effets , ni de r^flechir fur les fuites fune-
ftes de ces prerendues panacees. Pour le bonheur de I'hu-
manite , des Obfervateurs judicieux , des Medecins favans
& honnetes firent enfin tomber le voile d'une ignorance
ttmerite, & tenterent de retenir dans les bornes de la
prudence I'ulage jufqu'alors immodere de ces remedes,&
apres en avoir profcrit un grand nonibre,ils s'attacherent
k determiner les methodes les plus fures pour la prepara-
tion de ceux , dont ils avoient connu la bonte , & I'effi-
cacite par les effets conftans que produifoit leur admini-
firation dans certains cas.

I I.

Un des remedes qui a toujours fait le fujet de tres-

grandes contellations entre les Medecins , merae de notre

ttms eft celui que Boyle donne pour fpecifique dans le

rachitis, & qu'on connoit fous le nom 6! Ens primum

Mifc, Taur. Tom, ly, I

Veneris , ou fimplement A^ Ens Veneris. Plufieurs M^-
decins fe font Aleves centre ce remede , tant vante par
ce c^l^bre Anglais , a caufe des efFets malfaifans du cuivre
qui en rend felon eux radminiltration dangereufe; d'auires
ont adopte le nom du remede, & en om change la pi^-
paration j quelqu'un enfin a cru trancher la difficult^ en
decidant que (i le colcothar e(t tellement depouill^ de prin-
cipes metalliques , qu' il foit reduit i une terre vierge , il
n'ajoute rien k la vertu qu' a le fel armoniac par lui
menie.

III.

Le doute de Boyle fur la fublimation de quelque por-
tion du colcothar dans I'operation {a) & le parti que Bo-
herawe , Batheus, & bien d'autres MeJecins chimiltes ont
oris de fubftituer le vitriol martial a celui de cuivre, m'ont
engage a examiner un objct aufli important pour I'huma-
nxii,

I V.

L' enonce de 1* operation telle que la prefcrlt 1' Auteur
ne laiffe aucun lieu de foup9onner qu' il n'ait cru d'em-
ployer du vitriol de cuivre} voici fes propres terroes
recife igiiur hungarici , vel huius defeSu dantifcani , aut cw
iufcumque boni vitrioli venerei quantitatem arbitrariam , hanc J
eakinatam , vehementi igne ad obfcuram ufque rubedinem did'
cifica aquae calentis affujione frequente , donee aqua affufa
nullam prorfus faporis immutationem recipiat Colcothar hoc
exquijite dulcificatum , probeque exjiccatum , dUigentiJp.me cum

la) Undecimo, partitn ignavia ipfa vel fixitai colcotharis , & cupri la to
contenti , partim , qund falls armoniaci bis vel ter per fe fublimati
flores fxcquuntei faiis flavi, enti veneris pallidiori haud dfliiniles afcen-
dant , fcrupulum nobis aliquando injecii , utrum cn.-s venecis nnflrum
quicouaai cuprci vel colcotharini coniineat occ oe? Soyle exercit. de
«uL fhil. add. pan. a. §. 14. pag. jS/.

'71

fails ammoniaci optimi poniere anattco commifcedtur : mlxturae

huius in retort a vitrea , vel fummo qui per are nam excitari
potefl caloris gradu , vel aperto etiam igne , tantum quan-
tum ai fummitatem cervicis retortae exaltari potefl , fublime-
tier ; qua fublimatione peracia , e retorta diffracla ( capite
mortuo fepojito ) fublimatum omne eximatur , rurfumque exa-
Siffime commifceatur , quo particulae falis ammoniaci forfan
feorjim fublimatae colcothari denuo incorporentur : refublima
mixturam hanc per fc , ut prius in retorta vitrea : quod (i vo-
lueris liceat fecundum hoc fublimatum reiterata vice fublimare.
Quo autem procejfum integrum perfeclius intelligas ad notas
fequentes aitendas,

V.

§. 4 Primo vitriolum cupro abundans femper communi vi-
triolo anglicano praetulimus , ex quo operarios in cupri jodi'
na Detfordiae , prout ipfi ibidem locorum mihi narrarunt^ ad
augendam vitrioii quantitatem multiun ferri cupro addere per'
cepi. (b)

V I.

II eft done evident qu' il eft ici queftion de vitriol de
cuivre exempt de tout melange de ferj jl s'agit maintenant
de voir ce qu' il a fait , raalgre fes precautions.

V I I.

Pour ne pas trainer en longueuf par des reflexions qui
ne feroient plus d' aucune utilite ici, quoique ce foient cel-
les qui m'ont conduit a trouver que ce cel^bre Phificiea
quelque bonne volontd qu'il eat d'employer du meil-

(*) Boyle ercrc. de oril. phil. , fit fop. pag. jSj. & 384. voyts aiifli <^(k^
V, §. 14. pag. 234.'

'7*

leur vitriol de cuivre n' a cependant toujours fait ufage

que d'un vitriol martial , qui a la verity n'en dtoit pas
lout-i-fait exempt , nous allons determiner 1' efpece de
vitriol dont il le fervoit j il me fuffit pour cela de rap-
porter ce qu' il dit dans un autre endroit de quelqu'un
de (ts ouvrages ( c ). Medicamentum tamen illud quod alibi
ens primum veneris voco fa3um ex vallde calcinaio , beneque
edulcorato vitrioli dantifcani colcoihare y elevalumque ope Jalis
armoniaci in fubrubreum fublimatum.

VIII.

Ce texte, ainfi que bien d'autres , qu'on peut recuelllir
dans les difFerens ouvrages de cet Auteur fuffit pour nous
affurer qu'il s' eft toujours fervi du vitriol de Dantiick, &
pour decider de fa nature je me contenterai de rapporter
ce que M. Valmont de Bomare en dit dans fa mineralo-
gie pag. 304. obf (d) a I'article vitriol verd ^ void la
mani^re dont il s' exprime.

I X.

„ Comma ce vitriol ne paiticipe que du fer , il con-
ferve aifement fa couleur.

»

X.

Tout ce-ci pofe , je fuis d'autant plus port^ a croire
que Boyle a eie induit en erreur , qu'en examinani les
preuves qu' il apporte lui m6me pour decider de ia bonte,
& de la nature de Ion vitriol , je ne trouve qu'une ex-

fc] Simpliciutn medicamentoiQm uilius , & ufus S>vii> pag. C7. edit, coloa,
allob. t68&

175
p^rience tres-equlvoque , & par laquelle il ne peut tour

au plus prouver que ion vitriol cotirenoit du cuivre ; on

en jugera par le lexte meme. Si fru(ium fumas vitrioU

Dantifcani bonae notae ulliufve alter ius viirioli, in quo venus

vraedominatur^ idque fputo ,, vel aqua pura kumefaclum , culira

probe ad cotem polito, ullive alii niienti jrujlo Jerri vel chali-

bis , affrices mox ( ut antehac tradidimus , ) chalibem colore

fubruhro , colori cupri gemino, inficiet , Boyle de color, txper.

xlvii. pag. 138. ed. Genev. 1680. nous remarquerons

feuleraent en paffant que 1' experience rapporiee par M.

Boyle eft precifement la meme qui eft en ufage pour d^-

couvrir fi les vitriols de Mars tiennent du cuivre, comrae

nous le trouvons dans M. de Bumare.

X I.

II eft inutile de s'arr^ter plus long tems fur cet objet,
tout le monde fait afli^s qu' il n' y a point de vitriol dans
le commerce , qui foit exaftement pur , & pour cette rai-
(bn les maitres de 1' art fuggerent differentes operations
pour le purifier , au refte il me paroit affes prouve par
ce que nous avons cite de M. de Bomare , que le vitriol
en queftion eft un vitriol ferrugineux ou martial, & d'aiU
leuis on peut reconnoitre fenfiblement les cara6leres du vi-
triol cuivreux par la couleur des fleurs ammorTiacales, car
quelque (oin que Ton fe donne, ces fleurs feront toujours
d'une couleur verte tant qu'il reftera des parties meialli-
ques dans le vitriol qu'on aura employe , & pour lors
il eft inconteftable que ce remede devra 6:re regarde
comme un poifun , & lorfque ces fleurs ne feront pas teintes
en verd , on ne fauroit douter qu' il ne fou arrive dans ce
cas , ce que M. Baron remarque ties-judicieufemer.t dans
les notes fur Lemeri p. 399.,, f^v^ir que i'a kli voiatil du
^ felarmoniac n'agit point fur cecte chaux ( c'eit-a diie fur

»74

„ le colcothar cuivreux ) & qu'i! agit d'autant moins qu'il
ne fe rencontre aucun inierinede capable de le degager
de fon acide , c'eft pourquoi le fel armoniac fe fublime
tel qu'on l* a employe &c. , ce qui me porte k conclure,
que le favant Anglais s'eft trompe , en ce qu'il a crude
tres-bonne foi, que le vitriol de Dantzick etoit entiere-
ment cuivreux , & par-la meme preferable a celui de
Detfort en Angleterre, & qu'il a nomme Ens Veneris ^ ce
qui n'eft v^ritabiement qu'un Ens Manis; ainfi il n'y a pas de
doute qu'on doit abfolument rejetter , avec les meilleurs
Auteurs , ce remede prepare avec le cuivre ; des expe-
riences reiterees nous ayant convaincu du danger que Ton
court par I'ufage interieur de ce mineral , & de n'em-
ployer que du colcothar Martial , ou un autre fafFran
de mars bien prepare, comme cela eft affes facile, Enfin
nous finirons cet article par une queftion , dont la folu-
tion eft entierement du reflbrt de la Medecine , favoir s'il
ne feroit pas plus utile d'employer la limaille de fer ou
d'acier au lieu d'un fafFran ou du colcothar?

Sur le blanchiffage

DES S O I E S.

X I I.

V>ette preparation eft fort fimple , il ne s'agit que de
faire cuire les Soies dans une eau de favon plus ou moins
forte, fuivant la teinture qu'on fe propofe de leur donner.Si Ton
confidere neanmoins la quantity de favon qui eft necet
faire pour les mettre en etat de paffer enfuite a la tein-
ture , & fi Ton r^flechit que Yexperience a fait reconnoitre
( c'eft M. Macquer qui parle ) que les Soies dccreujeet par
k favon ont flujleurs dejauts & Jingulierement moms dc lu'

»75
yfr* que celles de la Chine quon dit titre fans favon on

coiiviendra que cet objet merite quelque attention: quoique

je n'aye pas eie a m^me de continuer les experiences que

j'avois entrepris a ce fujer, je ne lailTcrai pas ignorer cepen-

dant le reiultat des obfervations que j'ai pii faire, efperant

qu'elles ne feront pas tout-a-fait infruftueules,

XIII.

Quelque foit la nature du vernis dont la Soie eft en-
duite , ce qui ne fait pas I'objet de ces recherches, je me
permettrai feulement de faire remarquer que les acides
alter^s , meme par des matieres graffes , bien loin de lui
enlever ce vernis, le lui redonnent, lors meme qu'elles ont cte
blanchies & que fi Ton fait entrer de I'acide vitriolique dans
le bain favonneux il n'eft meme plus po/fible de les faire
repaffer au blanc : je ne dois pas non plus negliger de
faire obferver que les alkalis fixes , ne produifent pas un
grand effer, lorfqu'on les employe en bien petite dofe, oil
qu'iis enervent beaucoup les Soies, s' lis ne les decompofent
pas entierement, lorfque la leffive eft un peu plus forte?
d'ou il fuit qu' il ne feroit, peut-etre pas d'une economie ,
bien entendue que de les expofer a un pareil rifque, je n'infi-
lifterai pas davantage fur ma propofition & je me bor-
nerai encode a remarquer que les matieres abforbantes, rel-
ies que les os calcines, les yeux d'ecreviffes &c. ne font preC-
que point d'efFet fur les Soies pour les mettre en blanc.

*

XIV.

Un favon liquide ou il entroit beaucoup moins d*huile
qu'on n'en met ordinairement dans les fabriques , au rap-
port de M. Geofroi, mais autant qu' il en falloit pour
imouffer I'acrete de i'alkali fixe fans eire aiguile par la

»76

chaux a tres-bien rdpondu a mon attente, & rempli toutes
les indications que je m'etois propofees j car outre que
les Soies furent tres-bien decreufees & conferv^rent plus
de luftre qu'elles n'ont ordinairement, on voit fenfible- •
ment que je profitai beaucoup du cote de la depenfe.

X V.

Les fentimens font partages fur les Soies de la Chine,
les uns penfent qu'on les decreufe fans cependant emplo-
yer du favon ; les autres croyent qu'elles font natureiiement
blanches: dans cette incertitude j'ofai former le foup^on
que cette nation (i econome & li induftrieufe ne fit que
dans une feule operation le filage , & le degomage : 1' ex-
perience vint a I'appui de mon idee , car en me fervant
d'une eau l^gerement favonneufe je reuffis a filer quelques
cocons jaunes & verds en foie blanche du plus beau lultre,
j'obfervai meme qu' il n'eft pas neceflaire que le bouillon
foit audi chaud que I'eft ordinairement I'eau dans le bat-
fines , ce qui fait un nouvel objet d'epargne.

XVI.

II refulte de tout ce que je viens de dire ; i" Qu'en
fubftituant une matiere favonneufe au favon manufafture on
obiient un avantage confiderable du cote de la depenfe,
d'auiani plus que j'ai eprouve qu'on peui tres-bien fe fer-
vir de cendres le/fivees , & filtrees par le papier pofe fur
une piece de laine encadree, & dont on emoufle I'acrete
par une plus ou moins grande quantite d' huiie fuivant
que la leflive eft plus ou moins forte : d' oii il relulte
I'avaniage de conferver plus de luftre aux Soiesj ^° Qu'en
d^creufant les Soies a la baffine, outre qu'on gagne une opera-
UOH , le filage etant uniforme, la force du fil ne I'eft pas

moins

molns, car routes- fes parties font'egalement expofees a
I'aftion du menllrue , ce qui ne fauroit arriver en decreu-
fant les Soies par ichevaux, & d'ailleurs le dechet de
deux operations ne peat a moins d'etre beaucoup plus
conliderable que celui d'^une feule.

X V I I..

L'ufag€ d'un favon extemporane pour decreufer les
Soies a la baffine , me fit naitre 1' idee de tenter la for-
mation d'un favon folide fans le fecours du feu ; Shaw en
dit ua mot dans fes legons, & nous- voyons dans les ma-
tieres medicales qu'on en prepare pour I'ufage medecinal.
II eft d'ailleurs aifez fimple de penfer que le favon folide
n'eft qu'une combinaifon d' huile a un alkali la plus con-
centree poifible pour prendre cette forme , & que le fa-
von liquide eft cette combinaifon avec furabondance d'eau;
tout ce qui facilitera done I'evaporation de la partie acqueufe
donnera plus ou moins promptement la folution du pro-
bleme.-en fouettant comme on fait pour le beurre un me-
lange bien condiiionne d' huile , & d'alkali mineral rendu
cauftique par la chaux , on parvient a manufa6lurer du
{avon folide , on fent aflez qu'une machine mue par I'eau.
iieroit encore d'un grand avantage.

XVIIL

U ne me refte qu' a fouhaiter que ces foibles effais
puiiTent tourner a 1' utility du public.

Turin ce' 10 Dccembre 1767

Mifc. Taur. Tom. IF', «; oi

»7« . * .

De la telmure en noir

SUR LA SOIE.

X I X.

Jll y a tout lieu de croire ,, dit Monfieur Macquer que
„ dans le grand nonibre des drogues qu'on employe pour
„ le noir il y en a beaucoup d' iimtiles , ce qu' il y a
„ de plus eflentiel a oljferver fur la teinture noire , c'eit
^, qu'en general elle altere & ^nerve beaucoup les ^tof-
„ fes , en forte, que celles qui font teintes en noir font
„ toujours beaucoup plutot uiees, toutes chofes egales d'ail-
„ leurs que celles qui font teintes en d'autres couleurs i
„ c'eli principalement a I'acide vitrioliqus de la coupe-
„ rofe , lequel n'eft qu' impa'rfaitement fature par le fer
,, qu'on doit attribuer cet inconvenient : comnxe le fer
„ uni a tout autre acide , & m^me aux acides v^gdtaux
„ eft capable de produire du noir , il y a tout lieu de
,, croire qu'en fubllituant d'autres combinaifons de ce m^-
„ tal 1 la couperofe en pourroit remedier a cet incon-
„ venient.

X X.

Pour decouvrir les defaurs de cette teinture il me pa-
roit qu' il faut avant toutes chofes analifer les methodcs
legues dans les attelliers les plus recommandes, car il n'y a
pas apparence, quelqu'ait £t^ I'ignorance des Teiniuriers fur
le principe colorant dans la teinture en queftion, qu' ils ie
foyent determines a ajouter des nouvelles drogues jufqu'a
en porter le nombre fi loin, Xjue, parcequ'iis auront re-
connu r impetfeftion de leur methode plus fimple, or il eft
queftion de voir fi cette imperfection depend du nombre, de
la qualiid, ou de La maniere d!emfloyiir ces drogues.

179
XXI.

Ce n'eft que par la comparalfon entre ces m^thodes ,
& I'analyfe de chacune d'elles qu'on peut demdler leurs
defauts pour fervir enfuite de guide dans les tentatives
qu'on peut faire , en rapprochant alors plufieurs connoit
fances que nous devons aux Chimiftes modernes : je ne
rapporterai que les drogues, fans parler de leur poids qu'
autant qu' ils pourront avoir caufe ou contribue au preju-
dice de cette teinture - car on pourra toujours le trouver
dans I'excellent ouvrage de la teinture en foic par Mon-
fieur Macquer , d'oii je tire ceci j au refte je dois avertir
davance que je fuppoie que les foies ne fe trouvent pa»*
d'une mauvaife condition , car (i toutes chofes egales la
teinture noire endommage plus les etofFes que les autres
teintures j il eft evident que cet inconvenient augmentera
dautant plus que la matiere , fur laquelle on voudra I'ap-
pliquer lera moins bonne.

XXII.

Cctte reflexion ne me paroit pas fans fondement , car
je ne fache pas que les ecarlates , ni les foies teintes en
cramoifi fouffrent ce reproche , & perfonne n' ignore
aujourd' hui que c'eft avec I'eau regale qui tient de I'etain
en didolution qu'on en exalte Ir* couleur, ce qui s'appalle
compofition, on pourroit dire, il eft vrai, que dans ces cou-
leurs I'eau forte fe combine avec le tartare blanc, mais
quoique apres !a combinaifon faite on ne doive plus craindre
I'attion de I'acide fur I'etoffe comrne dans le noir, il ell:
probable qu'elle continue a fe faire fentir par la raifon
qu'en donne N4onfieur Macquer y il eft cependant naturel
de penfer que dans le terns de la combinaifon, I'acide de
I'eau regale agira fur I'etoffe, de meme que celui de vi-

a a 1.

triol dans la telnrure noire, & r'eft princlpalement a Toe-
cafion qu' il arrive ces d^compofitions, comme nous le ver-
rons , qu'on doit craindre d'enerver ou de bruler les etof-
£es , quoique je ne me dilTiraule pas, je le repete , que
Tabondance des fubftances falines donr on fait ufage pour
le noir , & qui font tres-faciles a etre decompofees foit
une raifon qui rend les ^toffes d'autant moins durables
qu'elles retiennent daas ks pores des caufes permanentes de
delhudion.

X X I I L

En rappellafit ici la combinaifon qui doit arriver de
I'acide de la compojition avec la bafe du crillal de tartre,
de maniere que i'acide vegetal fe trouve iibre, il rae paroii
qu'on peut voir d'oii vient la belle couleur de I'ecarlate
fur les laines , &i du cremoifi fur les Soies, les acides ve-
g.etaux ayant la propriete d'exalter la couleur naturelle
des teintures rouges, & principalemeni de la cochenille ;
il refteroit a examiner pourquoi en d^compofant le tartre
par d'autres acides ou par des alkalis, & enfin pourquoi
en fubltituant une autre bafe que I'etain a I'eau regale on
ne reuffiffe pas de meme ; cela merite trop d'artention
pour que je neglige de le fuivre , lorfque .je ferai affure
que M. Macquer n'en a point fait I'objet de fes recher-
ches dans la decouverte d'une couleur d'ecarlate fur les
etofFes en Soie , qu' il vieni de donner a rAcademie des
JScieacfis de Paris.

ifl

Defcripnon dcs drogues', ou de la mhhode.
de plujieurs tcimiiricrs de Paris.

XXIV.

Noix de galle ivoire pilee, du cumin, de fumac, d'ecor-
ces de grenades, de colloquinte, d'agaric, de coques de le-
vant, de Nerprun, de pfiliuns , du bois de campeche , de
la gomme arabique , d'ecume de fucre candi , de la caf-
ibnade , de litnaille de fer, du Realgar, de I'orpiraent pi-
le, de I'arfenic blanc , de couperofe verte ; de fublime cor-
rofif , de fel ammoniac , de fel gemme , de critial mineral,
de litarge d'or , d'antimoine pile, de plumbago ^ de verd
de gris, le tout dans duvinaigre felon I'art.

Meihode des Genois,
XXV-

, Noix de galle , gomme de fenegal , vitriol Romain , &
limaille dc fer dans I'eau. .( a )

( o) Cotimie Ics artifles pourroient etre bien-aife de favoir les procfid^s de
G6nes , & de Tours, je les tranfcrirai ici d'api^s M Macquer, art
dt la ieint, en Soit.

Noir de Genes pour les velours.

On fait bouillfr la Soie pendant quarre heurcs avec Ic qoart <Je fon
poids de favon blanc de Marfeille , on la lave i tend , dans une
chaudi£re de cinq-cents peimes d'eau: fatles bouillir fept livres de
galle; laifTez dtpoftr la galle, tifez I'eau d clair, & ayant jeite le marc
lemettez t'eau -de galle dans la meme chaudidre, plongez y ^ demi
une cuiller perce' k puree, dans laquelle vous meitrez fept livres
de gomme de Senegal , fept livres de vitriol Romain ou couperofe,
& icpt livres de la plus beHe limaitic dc fer. Le tain ayant diHout
ces drogues , laiffez fiteindre le feu , & fermenter ce bain pendant
huit jours ; enfuite faites-le chauffer , & quant il fera pret k boiiil-
lir,ineiU£^c Douv^au , fufpenduc dans la meme chaudidxe, la

Meihode des Tours.

XXVI.

Galle d'AIep , vitriol d'Angleterre, liraaille de kr , gora-
zne du pays.

XXVII.

En examinant ces trois precedes que nous pouvons
reduire a deux, nous devons naturellement etre frappds de
la fimplicite de I'un , & du nombre prodtgieux des dro-'
gues de Tautre ; il ne paroitra pas a la plurality que le
noir de Genes, & de Tours, fuppofe qu'on ne les nom-
ine pas , puiffe jamais etre aufli beau, ni comparable avec
celui ou il entre tant de drogues : a parler cependant avec
lincerite, ce noir li fimple, ell , &: palTe pour des plus beaux,
d'ou viendra done cette enorme difference ? En reflechiflant

meme paflbire; & ayant fait fix paquets compnrgs de la fix!tm«-
panic de la quantite de gomme , couperofe , & limaille deftinge i ce^
bain de noir, felon la quantity de Sole , i raifon d'unc livre de cha--
cun de ces ingrSdiens pour dix livres dc Soie , faites fondre dans
la pallbire cette fixienie paitie du total. Le feu e'tant 6t6 , dc ayant
fait jettet dix pintes d'eau froidc fur le bain qui doit rcfler chaud k
y pouvoir tcnir la main , faite mettre ia Soie fur des lifoirs ; plon-
gczli dans le bain , & I' y icnez pendant dix minutes ou environ.
Lifez les 6clieveaux quatie fois, apres quoi tordczlcs k la cheville
fur Id cliaudiSre.

PalTez fut le meme hafn de noitvelle Soie fans rien a)~6uter , la traite&
de metne , commence/, d'abord par la tramc , enfniie paflcz le poil,
enfin , le bain etani bcaucoup reiroidi , paflez y la chaine qu'on nc
veut teindre ordinairement qu'en gris noir,

Toute la Soie ayant paflfi dans ce ptcniier bain rechauffez-le , & y
remcttea la paflbire , avec un autre fixieine partie de gomme , vi-
triol, & limaille de fcr , quand le bain fera rafraichi, corame ci def-
fus , pafTez y la Soie coinme a« premier bain , obfetvant cette fois
ici de paffer le poil le premier, enfuite la trame, & loujours la chaine
la dernierc; faites ce manage fix fois. Tant que U Soie 6toit mouil-
lee > foa noir chacinoit y meme compai6 avec celui dc tours, p. 176

i8j

fur les qualifds des drogues , & fur la manl^re de les em-
ployer, il m'a paru d'en entrevoir la caufe.

X X V 1 I I.

II me faut remarquer en premier lieu la preference que
le teiiiturier Genois donne a la galle legere de la Roma-
gne , 6: de la Sicile, pendant qu'en France on fait ufage,
pour engaller pour le pied de noir de galle noire , & pe-
iante en trop grande quantite par rapport a la Soie; ce qui
a ete relev^ par les Genois au fujet de la teinture de
Tours , qu'on a enfuite reftifiee : or il ell naturel de
penfer que ces habiles artiftes feront egalenient atcentifs, &
Icrupuleux dans le choix des noix de galle.

AW de Tours.

Pour cent iivics de Soic, •on fait boiiillir pendant une heure vingt livrei
de norx de galle d'Alep en poudre dans fuffilante quantitg d'caux. Oa
laifle enfuiic repofcr le [jain jufqu'a cc que la galle foil pificipitfie
au fond de la cliaudi6re , d'oO on la retire. Aprts quoi on y mer
Jeux livres & demie de vitriol d'Angieierre , & douze livrcs de U-
niaille de fer , vingt livres de gomme du pays, c'eft-i-dirc, dupru-
nier cerifier Oc. qu'on met dans unc efpece de chaudron d deux
anfes , trou6 de toutes pans. On fufpend le chaudron avec des batons
dans la chaudi^re, dc mani^re qu'il n'aille pas au tond. On laifTe dtf-
foudre la gomme pendant un heure, en la remuant I6g6rement dc
■teins en terns avec un baton. Si Tlieure paflSe, H relle encore de
la gomme dans le chaudron , c'cfl une marque que le bain qui eft
de deux muids en a ptis autant qu' il taut. Si au contraire toute la
gomme eft diflbute on peut en remcttre trois ou quatre livres. On
laiflc ce chaudron continuellement fufpendu dans la chaudiere , d'ou
■on ne r6ie que pour teindre, & on le recnct enfuire. Pendant toutes
■ces prfipaxations la chaudiere doit ctre tenue chaude^ mais fans boiii^
■lir. L'engallage de la Soie le fait avec un tiers de galle d'Alep. Oi
y laifle la Soie d'abord pendant iix heures, puis pendant douae, Ic
leflc felon I'art. ibid, p. 78

t$4

XXIX.

J'obferve enfuite que les Genois n'ajoutent nen a la cfe-
co£lion , ou bain de galle , au lieu que les Francois y font
entrer le cumin, le fumac &c. : mais ert-il bien prouve que
routes ces drogues poiledent a un degres aufli eminent la
ftipticite , & la propriete de precipiter le fer comme la
noix de galle ainfi que I'a demontfe M. Lem^ry i Le fait
oe femble pas favorifer cettC' idee*

XXX.

Je voJs^ qu'^apres avoir ote le marc de la deco£lion de
la galle , & y avoir fait diffoudre la gomme , le vitriol. ,
& la limaille de fer on en ote le feu pour laifTer fermen-
ter ce bain ou pied de noir pendant huit jours, au lieu que
les Francois , calcul (ait , teignent au plus tard dans
fix jours.

XX X,I,

Apres tour en fin, je remarque' que le pied de noir 'n'eft;
ches les Genois qu'un encre fimple, pendant que dans le
.procede des Francois il arrive neceffairement des deconv
pofitions , & des recompofitions; ^tant tres-naturel de pen-
fer que la loi des affinites fera ici obfervee comme elle I'eft
affez gen^ralemenl: & par confequent il eft naturel que
I'acidfi vitriolique qui n'eft que foiblement retena par le-
fier s'en detache pour s'emparer d'un alkali fixe , d'un al-
kali volaril &c. L'acide marin exercera a fon tour fa fu-
periorite , & au defaut d'exafte faturation ,. il agira en
qualitd de corrofif fur la Soie meme, apres avoir (^) forme

du

*

f^) Comme I'icide marin a plus cTaffinitg avec I'intimoine qu'avec le fu»
bliaat conofif, il p^roit probable qu' il fe forme un hcurre d'aniimoine:

,'85

du plomb corne : quant h Tarfenic i! eft probable qu'une
partie i'en envolera,& que s'il en refte, qu'il fe combmera avec
le fer ; ce qui peuc-etre, fait noircir la leinture, & corrige
ain{i I'ali^ration que doit caufer le nombre de cc-s decom-
polirions : je crois meme de pouvoir foup^onner que cela
fe palTe ainii , car il elt conltant que les acides etant neu-
tralifes, I'encre relte detruite, il eft vrai, qu'outre a ces acides
fdtures & neutres il refteroit encore le vegetal: mais en ce cas
il arriveroit que la couieur feroit due uniquement a I'acide
vegetal , pendant que les autres drogues ne feroient qu'en
pure perte , &c au prejudice des etoffes: peut-etre encore,
que dans le terns que I'acide vitriolique chaffe le marin
de fes bales , I'arfenic s'en empare , quoique a la verite,
I'acide vitriolique fe trouvant ici combine avec une fub-
ftance metailique, il me (emble qu' il do:t etre compris dans
le cas dont parie M. Macquer dans fon dictionnaire de chi-
niie page 441 torn, z article ye/j arfenicaux.

XXXII.

De tout ce que nous venons de dire , il me paroit de
reconnoitre que le peu de fcrupule des Teinturiers dans
les proportions , ik dans le choix des drogues, a e:e I'ori-
gine des additions empiriques qu'on a fait dans ceite
teinture : mais il ne faut pas imaginer pour cela qu'on ait
ajoute ce grand nombre de drogues inutiles tout d'un coup.
C'eft ainii qu'il en arrive dans toutes les cliofes qui font
abandonnees a des fimples manoeuvres, fans qu'elles fe trou-
vent fubordonnees , & fous la diredion des perfonnes qui

qui fera de meme d^compof6, i caufe de Ja trop grande quantity de
liquide , dans Icquel il fe irouve 6tendu, & en ce cas I'acide- marin
agit en qiialiife je corrofif: quoiqu'i! en foit cependant , rantimoine
eft toujours en pure perte.

Mijc. Taur. Tom. IV, b b

i86

en remontant a des principes exa6ls , & fimples fachent
d^m^Ier les caufes , auxquelles on doit afligner les change-
mens, & les alterations qu'on n'attendoit pas, & qui fauroient
par confequent y remedier : <:*eft une marche natureile
de I'efprit humam d'avancer toujours , & il n'appartient
<^u'au philofophe de retourner fur fes pas , auffi pendant
que I'un pour reuffir, fe croit en devoir de compofer, & de
furcompofer ; I'autre reconnoit bien fouvent qu' il faut
fimplifier, & par confequent retrancher. Ceft ce qui fe
monire evidemment dans la teinture en queftion, & c'eft
ce que nous aliens prouver, maintenant par une methode
Unth^tique pour reunir les deux preaves les plus convain-
.cantes que nous fourniffe la chimie.

X X X I I L

La methode que nous avons fuivi jufqu' a pr^fent , &
la comparaifon des proced^s re^us, nous a fervi de guide
pour nous convaincre de I' inutility , & de la malfaifance
3e plufieurs drogues : par celle que je me propofe main-
tenant, je chercherai de determiner celles qui y entreront
avec avantage.

XXXIV.

Apres avoir decreufe la Sole je plongeai les ^chevaux
dans une decoftion de noix de galle Romaine , & apres
rengallagc, j'en mis un dans une terrine qui contenoit
une deco(5lion de noix de galle faite dans I'eau , & un
autre dans une decoftion faite avec le vinaigre , avee
quatre gros de gomme Arabique, je les fis bien tremper
I'un & I'autre ; ayaivt enfuite oie les lerrines de deflus le
feu , je mis une laffe de diflblulion de vitriol dans cha-
cune, favoir fur deux parties de decoftion une de dillblu-
^0, C[ui dioit de quatre gros fur deux livre^ d'eau.

Premier refultar.

XXXV.

Dans la decoftion faite avec I'eau , la couleur noire
parut a r iiillant, & il ne fe manitefta aucun changeraent
fenlible dans ceUe qui etoit faire avec le vinaigre : je
plongeai alors les deux echeveaux que j'avois retiie pour
ajouter le vitriol , mais ni I'un , ni I'autre ne furent pas
beaucoup alteres dans la couleur, ce qui me determina a
y ajouter encore une demie fade de diflblution fans neanmoins
qu' il parut de changeraent bien fenlible ; j'en ajoutai alors
une taffe , ce qui revenoit a 5 parties de vitriol fur 4 de
decotlion de noix de galle : la Soie qui etoit dans la de-
coftion faite avec I'eau parut alors beaucoup plus noire
que I'autre ; ce qui fe foutint dans les operations qui fuivi-
rent , jufqu'a ce que j'eus un beau noir fur les deux ecfieveaux;
ie fus oblige a la vente pour y reuflir de dilToudre deux
gros de nouveau vitriol dans un tiers de la premiere
^uantit^ d'eau , & apres avoir ajoute encore une tafle de
•dilTolurion je retirai les echeveaux , je le lis fecher a I'om-
bre , & au cinqtiieme jour je les remis dans leurs bains
refpeftifs que j'avois aniine, en ajoutant 5 gros de liraaille de
fer dans chacun, je les mis au feu boiiillir environ une heurej
je les retirai apres ce terns pour les faire fecher, & dans
14 heures je les repaflai fur ce bain, & les lavai a fond,
juf^ii' ^ ce qu'ils ne perdirent plus de couleur, & ils pa-
rurent alors d'un beau noir; feulement etant humides celui,
qui etoit dans la decoftion avec le vinaigre paroiilbit tirer
au rouge.

XXXVI.

II me four mainrenant remarquer qu'ayant mis deux
«Duveaux echeveaux dans ces bains a cette derniere opd'^

b b ^

i88

ration ils en fortirent tous aufli noirs , & aufli beaux que les
deux premiers , loit apres le lavage , qu' apres qu' ils
furcnt partaitement fees : d'oii il luit evidemment , que
fans multiplier les operations on teindra toujours en beau
noir toutes les fois que les ingrediens fe trouveront dans
la proportion convenable.

Deuxieme refultat.

XXXVII.

Mais paflbns a la fuite de notre examen, aux bains en
queltion que nous pouvons nommer pied de no/r, j'ajoutai
(ucceflivement du cumin du Pfilium, de i'ecorce de grena-
de ^ de la coLoquimey de V agaric ^ & comme je voulois
conferver un certain rapport , j'animai le bain avec du vi-
triol , & de la limaille , mais je ne vis pas que ces fub-
ftances en augmentafient la couleur ; le bois de campeche
feulement me parut I'avoir un peu plus foncee , mais ce
qui fit varier le tond fat ['addition lucceifive du fel am-
moniac du fublime corrofif, du fel gemme , du crillal mi-
neral , car alors le noir me paroiflbit avoir tourne tantot
au brun tres-fonce, lantot au gris : couleurs qui changeoient
encore par I'addition du realgar, de I'orpiment, de I'arfenic
blanc , de I'antimoine, du veid de gris, de la litarge &c.
& principalement d'une quantite de couperofe bleiie , &:
de limaiLe.

XXXVUL

Voici deux chofes principals que j'obfervai dans la fuite
de ce procede , p.° que , commc j'tmployai pres de 18
jours pour toutes ces additions, les bains lailT.ireni parcxire
de la moifilTure apres que j'eus ajoutes les iubitances ve-
getaiei dont j'ai parie , & en a"*' lieu que i'ailenic bianc

189

fe (butient prefqu'en entier k la furface des bains, de meme
que I'orpiment, quoique je Ics aye faits boiiilur a gros
bcuillons un tems confiderable.

XXXIX.

Je crois done ^tre fonde a conclure que les mechodes
de Toi/rs , & de Genes font infinimeiu fuperieures a celle
des autres Teinturiers qui entaffent drogues fur drogues
dans les teintures noires pour la Soie , je ne doute nu le-
ment qu' il en foit de meme pour les laines ce que je n'ai
cependant pas verifie ; au refte tant qu'on rendra la
leipture compose , on ne gagnera rien ni du core
de I3 teinture meme , ni dans la confervation des etoffes.
La bonte done des etofFes , le choix des drogues, la pie»
cifion dans leurs poids , le foin dans les operations , &
principaltment dans TadminiHradon du feu doivent etre le
fecrei d'une bonne couleur noire, (c)

X u

Ce memoire etant principalement deftine a I'avantage
des arts, & confaci^ par consequent a I'milite pubiique, je
crois qu'on ne me faura pas mauvais gre de ce que je
renrichirai de decouvertes & d'oWervations qui ont ^les
faites par d'autres , Telptit patriotique m' impole le devoir
facte de chctcher a Sire utile.

i

(f) II paroit par le prgcis analitique que i*ai donng §. XXVIII. que dans le
cahos de lant lic drcipuci Ic feul acide dont fcroii fdimfie I'ancit oil
la leiniuie noire /eroii . pcui-etre, )c vfep eta! , inais j'j' eu occdT'On
d'obferver que la teiniure qui in lefulic §. XXX)I. n'cH j.niais d'uu fi
beau noir: il n'cn eft pas de meme poar les cncres propiiment
diiet, (avoir celles doni on fe fen pour tcrirc, cai je me fuis ai1ur6
que Ic ncir le plus hi au pt ur la icmture dis CioAcs ne paioit plus
k meme quand 00 I'emploii luc le papier.

190

Sur un moyen de teindre la Sole en urt

rouge vif de cochenille &c,
X L I.

Tai fait mention ci-devant §. XXIII. de la decouvertede
Monlieur Macquer pour teindre la Sole en couleur d'ecar-
late ; je n'avois pas encore vu I'excellent memoire que ce
celebre £crivain a prefent^ k I'Acad^mie (ur ce fujer , &
eomme il renferme des principes tres-intereffants outre I'in-
vention , non feulement de cette couleur, mais encore de
plufieurs autres tirees de meme de la cochenille , je crois*
de faire un prdlent aux Savants , & en meme tcms aux
artirtes , & aux gens du monde , en rapportant le precis
de tout ce qui y ell contenu d'effentiel pour reuffir : j'en.
ferai done deux parties , dans la premiere feront contenus
les principes theoriques , dans la &conde nous donnerons
la pratique , ou les precedes.

X LI r.

L'exp^rience lui ayant fait connoitre que les fubftances
font dautant plus difpofees a fe teindre en ecarlate de co-
chenille , qu'elles participent davantage du caraftere des
matieres animales , ( ce qui eft general pour toutes
les couleurs ) , il effaya d'augmenter le caraftere ani-
mal de la Sole par des procedes analogues a ceux , dont
on fe fert pour le coton , mais fes tentatives furent in-
fruftueufes, quelques loins qu' il fe Ibit donne de varier les
dofes de la compoiition , & de fubilituer la diflblution des
autres metaux , & demis metaux blancs a celle de I'etain :
«e qui lui fit fentir que la r^ufliie dependoit de quelques
circonftances qu'on ne pouvoit decouvrir qu'en examinant
avec le plus grand foin tout ce qui fe paffe dans la tein-
ture en ecarlate : il reconniu done q^u' il en eft dd la dif-

«9»

folution d'etain Jans teau regale comme de heaucoup J'amres dif-

folutions de matieres mitaUiques , <]ui fe decomfofent qua/id
on les mile avec une grande quantite Xeau, en forte que le
metal fe precipite uni feulement avec trop peu d'acide , pour
pouvoir demeurer diffous dans la liqueur. Que dans la tein'
ture en ecarlate il ny a reellement que la chaux d'etain qui
foil uinte , car par des additions reiterees de diffolutioa
d'^tain dans I'eau regale, faite dans une deco6lion de co-
chenille il reuffit a en precipiter toute ia partie colorante
avec la terre de I'etain, de maniere que la liqueur, qui fur-
nageoit le precipite rouge , etait auffi claire que de I'eaa
pure i d'oii il fait que la laine y & les autres fuhflances qui font
jufceptibles de prendre cette couleur ne la recoivent que lecon-
dairement, cefl-a-dire, qiiautant quelles font capables de faifir^
& de retenir fonement la chaux d'etain^ deja teinte elle mime
en cette couleur.

X L I I L

Cts Veritas bien conftatees lui firent decouvrlr le mo-
yen de faire prendre a la Soie la couleur en question, en
procurant le precipite d' etain fur la Soie m^me , & no«
dans le bain de cochenille ; ce principe que notre Auteur
a decouvert k 1' occalion qu' il fe piopofa de faire pren-
dre le bleu de Pruffe aux etoffes , & dont le fucces re-
pondit avec autant d'e^egance , lui fournit ici une refolu-
tion auffi complette: car apres avoir trempe la Soie dans
la compofition , & s'etre affuri qu'elle en etoit intime-
ment penetree , &c ujiiformement mouiHee dans loutes (es
parties , apres quelques precautions qu'on trouvera dans
le precede m^me ( <^ ) , il la teignit dans un bain de co-

{ d) Tai fait une compofition ou difToiution cT ftam avec huit onees {f^tarn
de M^lac grenaillg que j'ai fart diflbudre peu d peu , & fort lente-
mcnt dans une livre d'eau regale, compof6c d'une panic d'efprii de
icl , & dc deux y^uies d'efpiu de tune: cette diflblution turn cliuc.

192

chenille, dont elle tira fortement toute la couleur avec autant
de folidit^ que I'ecarlate fur laine.

X L I V.

Tout confide done a faire incorporer dans la Soie la
terre de Tetain , de la delivrer enfuite par le lavage de la
quantite furabondante de ceite terre, qui ne feroit d'ailieurs
que peu ou point adherante , ce qui etant fait I'operation
ne fauroit manquer, en paffant la Soie dans le bain de co-
chenille, en vertu de la propriete que M. Macquer a de-
couvert dans la terre d'etain d'abforber , ou d'attirer la
fecule colorante, & de la retenir avec force en en exaltant
beaucoup la couleur par la portion d'acide quelle retient
avec elle.

De

& lirapide, & il efl ngceflairc qu'elle ait cette limpiditg pour la
reuffite de I'operation: ;e i'ai affoiblie avec deux parties d'eau pure,
quantiifi qui n'eft pas fuffifante pour (aire piecipiter Tetain d'une
pareillc- diflbluiion, quand elle a 6t6 bien taite , c'eft-^dire, avec la
Jentcur convcnable , j'ai trenipe darss cette liqueur la Soie que je
deflinois a etre teinie: en un inftant elle en a fiifi pfiiietree inti-
moment, & je I'ai rciir6e apr^s avoir reconnu qu'elle 6ioit mouillee
exaftement , & uniformfiment dans toute fcs parties; I'ayant enfuite
expiimee fortement, je I'ai lavee i plufieurs reprifes dans une grande
quantii6 d'(.au pure, aprcs quoi je I'ai fait teindre djns un bain dc
cochcnille pure , & qui n'ctoit avivg que par un (cizicme du poids de
la cnchenilie de creme dc tartre : la Soie a tir6 tortemcnr toute la
couleur de ce bain, & s'eft teinte en un rouge plcin , vif, & d'ua
fort bel oeil : cette couleur a fnutenu tous les lavages ordinaires fans
fe ternir, ni fe de charger, & a rgfifle aux meines gpreuves , &
deboiiillis que I'ecarlate fur laine: j'ai done t\t afTure dcs lots que
la methode que j'avois employee Stoii propre ^ faire prendre k la
Soie le rouge de cochenille exalte par la difTclution d'fitain; en ef-
fet ayant reiicie cette experience noinbre de foi^ , & meme en
grand elle a toujours eu le meme fuccds; j'ai conflammcnt obtenus
de^ roiiges fort beaux, bien plcins, & bien (olidcs , routes les fois
que je mtitois la difToiution d'etain fur la Soie meme, & point du
tout- daus le bain de la cochenille.

Pour

»>3

De qiielques fuhftances dont on pent

tirer de l hide.
X L V.

Nous venous de voir paroitre dans un petite ouvrage
une methode jjour fe procurer de 1' huile avec une ma-
tiere, dont on ne fait aflez generalement aucun cas, favoir
les pepins de raifin, nous ferions difjienfe de rendre compte
de cet ouvrage fi I'efprit des Societiis litterataires n'etoit
pas duige par le jufte emprefl'ement de faire du bien a
rhomrae de quelque nation qu' il puifle etre , & en reconT-
penfe je rendrai compte de ce qui a ere propofe par
M. De-Francheville dans un Memoire fur une huile du re-
gne vegetal propre a remplacer 1' haile d'olive dans toui
les Pays trop froids pour i'olivier*

Pour rfuflif k Bien faire cettc difToIution, il ne faut metrre d'abnrd'
qu* environ la douzi^mc panic de I' grain , & la laifler diflbudre
prtfqu'en enticr; enfuite continuer k ajouter le refle de I'^iain par
peiites parries, en prenanr garde que in liqueur ne s'6thaufF'e trop;
j| ne faut pas qu'clle s'fichauffe k plus de 45 ou 5od6gi6s. Lorfqu'il
ne refle plus gu^re d'fetain 4 difToudrc , il faut laifler refroidir la
diflblution totalcment , & y ainuter aprcs cela ce refle d'diain tout-
i la fois la diflblution achcvcra de fe faturer en corrodant pcu d peu
cet 6tain fans prefque sVchaufFcr , & prendra une couleur ambrfie
afTcz foncfie. Si les acides dont on s'efl fervi ne font pas bien forts
il pourra reflcr de I'ctain non dilfous , mais cela e(^ indifferent : I :
plus fur pour obienir une belle couleur e(t d'craployer certe diffolu-
tion pure, & fans I'affoiblir par de I'cau, comine je ne I'ai fait que
parceque ines acides fitoient trcs-concentri5es , il n'efi point 4 craindre
que ceite difl^'lmion , quoique pure endommage la Soye ,■ parceque
quand elle efl bien faite , les acides font fuffilamment fimnufTes , &
Qtur^s par 1' 6iain. Enfin une circonftance encore effentielle a la
rfeuffite des nous-ellcs couleurs , c'eft que la Soie aprfis avoir €t6 im-
prignfie du mordant , n'en fnit point trop d6poui!lee par un fort la-
geavec batture; il faut qu' il refle dans la Soie un peu du mordant,,
memc furabondant, qui le r^pandant enfuite dans le bain de rein-
lure lui fait prendre une nuance dc louge vif qui contxibue ixifinih
ment 4 la beautC de la couleur,

Mijc, Taur, Tom. ly'\. c c

»94

X L V I.

L'Auteur de 1' huile de peplns de raifin nous apprend
que plus le raifin dont on les tire eft de meilleure quality
plus il fourniflent de 1' huile , la premiere operation eft
celle de les feparer du marc par le lavage , & par le
crible, & de les faire bien fecher au foleil; on pratique
cette operation, d'abord apres qu'on a retire le marc du
preflbir , pour qu' il n'arrive pas aux pepins de fe gater i
on pafle enfuite a la mouture , oii il faut ufer de la pre-
caution de bien placer les meules pour que les grains fe
diftribuent plus facilement , & plus uniformement entre les
deux meules; parceque les pepins ne fe repandent pas audi
aifement que les graines de bled , ce qui fait auffi qu'on
ne doit y en mettre qu'un peu moins d'une mine de notre
Pays , & apres la premiere mouture on fait palTer la fa-
rine par le crible pour remoudre ce qui refte , il eft en-
fuite queftion de la faire cuire avec une fixieme de fon
poids d' eau dans un chaudron, & de la remuer avec une
fbatule ou ce qui vaut mieux encore avec la main, car du
moment quelle n'y peut plus foutenir on la met dans une

Enfin M. Macquer obferve que cette coiileur retiendroit loujours
un ton plus rose , & qu' il faut ufer du meme expedient que I'on
emploi pour le carthame , & quelque fois meme pmu aviver la cou-
leur de cothenille fur la laine. On commence pai donner k la Sole
une leinte de jaune tirant fur I'orange au moycn du cocou , & la
traitant enfuite comme Ion a dit ci-devant.

Les couleurs de feu, & de c^iifes demandent trois , & metre
quatre onces de cochenille par chaque livrc de Soie.

Une remarque trds intfireflanie de I'Autcur, enfin, nous infltuit de
Tavantage que I'on peut rtrtirer de la diflblution d'dtain appliqu6e fur ceite
matieie de la manifire indiqufee: canielle la tend capable de titer avec
avantage prefque toutes les couleurs extraftives , c'eft i dire , loutes
celles dont I'eau (e charge facilement fans le fecours d'aucun Als,
& auxquelles la compofrion fert de roordant k la place de I'dlun,
princrpalemcni pcur les couleurs rouges, ou qui tirent fur ic louge,
ainfi que celJes que dounent k bois d' inde , & dc brcfil.

I9J

grofle toile fous le preflbir pour en retirer I'huile comme

Toil fait pour celie de lin, & d'amandes: apres la premiere
extra£lion on reduit de nouveau en farine ce gaceau pour
la remettre une feconde fois de la meme maniere fous
le prelToir ; il eft bon d'obferver qu'il ne faut pas mettre
une trop grande quantite de farine a la fois, car on en
retire davantage d' haile d'une moindre quantite que d'une
trop grande ; d'ailleurs cette quantite doit ecre encore
determiiiee par la capacite da preffoir meme.

X L V- I I.

En voila aflez pour ce qui regarde 1' huile qu'on peut
' (e procurer des pepins de raifins: nous allons expofer main-
tenant la methode de M. Francheville pour en retirer
d'une plante aflez commune dans nos montagnes ; c'eftle
hiire jayard ou fau ainii que nous I'appellons auffi , & en
latin fagus que cet ingenieux Auteur propofe pour rem-
placer I'olivier : le fruit qui doit fournir 1' huile fe nom-
ine en .fran^ais faine , & en latin bacca , ou glans fagina.
L^ huile de faine fraiche ou been confervee, & faite avec le foin ne-
eejjaire approclie ajfe^ de F huile d'olive pour tromper des con-
noijfeurs qui nen feroient pas prevenus ; ce font la les pa-
roles de I'auteur , & comme par un prejuge populaire
quelques uns attribuent a I'ufage interieur de cette huile
la funeite propriece de faire tomber en demence, il fe fait
un devoir de nous raflurer par I'exemple de plufieurs
provinces de la France ou Ton ne fait ufage d'aucune
autre huile; telles font la Bourgogne, la Champagne, la
Picardie , & plufieurs autres.

XLVIII.
La premiere attention doit fe porter fur le choix de la
faine , en en f^parant exaflemeut la vieille , dont i'ecorce

C C X

I 9<

€it noittltre , de la nouvelle qui eft plus blonde , & plus
luifante j ce triage peut etre execute par des enfans , il
faut enfuite depouiller la faine de (on ecorce , parcequ'on
ne rifque pas alors de laiiler des amandes moifies, & par-
ceque I'ecorce en s'abreuvant d'une partie de 1' huile en
enleveroit confiderablement , & elle ne peut plus au refte
lui communiquer Ion gout, ni les impuretes qu'elle a con-
iraft^es en tombant fur la terre , c'elt enfiii encore la un
ouvrage d'enfant , on jetie enfuite la faine ainli depouillec
dans I'eau tiede pour la delivrer d'une peiieule ou mem-
brane qui I'enveloppe , & qui lui donneroit un gout
ftiptique ou acre.

X L I X.

On doit laiflfer repofer la faine dans fa coque deux ou
trois mois apres la recolte, parcequ'elle rend alons beau-
coup plus d'huile , & pour empecher qu'elle ne fe gate
on doit la loger dans un lieu qui ne foit ni froid , ni
humide i 1' ecendre fur le plancher , & la remuer fouvent.

Je ne faurols mieux faire que de rapporter en entier
le paffage de I'Auteur pour ce qui concerne la maniere
d'en titer 1' huile, & des ufages auxquels on peut emplo-
yer fon marc.

LI.

„ Enfin apres toutes ces precautions on peut efperer qu'on
^ fera une huile de faine de tres-bonne quahte, mais il refte
„ a favoir quelle eft la meilleure maniere de la faire. On
„ doit avant tout s'etre muni d'un preftoir affis dans un
„ endroit un peu chaud ( car cet ouvrage fe doit faire en
,j hiver, &C a i'abri de la fumide, ainiiquede touteaiau-

»97

„ -valfe odeur : ) il faut que ce preflbir ait une forte vis,

„ & que les fables de <Jcflus & deflbus ( ceile-ci plus
„ langue plus large , & a rebords ) foient de bois de
,, noyer ou tout au moins de cceur de chene fans aubier,
„ ^paiffes de 3 a 4 pouces bien feches , & bien polies ,
„ on doit fitre aufii a portee d'un moulin foit a meules ,
,;• foit a pilons , pour y faire concaffer ou piler la fainc
y, cela fait, on prend une quantite de cette faine propor-
„ tionnee a la longueur , & largeur des tables , on la
„ met dans un fac de groffe toiie de chanvre un peu
^ claire , mais forte , & ayaiit couche ce fac bien ferme
„ entre les deux tables , on k prefle d'abord doucement
„ de peur de crever le fac , & on re^oit 1' huile qui en
„ decoule par une ouverture pratiquee au milieu du rebord
„ de chacun des quatre cores de la table de defTous ,
„ dans autant de jates de fayance, qui font placees un
„ peu plus ba^, ceite premiere huile eft la plus fine,&
,-, il ne faut pas la meter avec la feconde , ni celle-ci
„ avec la troifieme , la feconde fe tire par une expref-
„ iion un peu plus forte que la premiere , mais moindre
^ que la troiiieme , par laquelle on tire de la faine, tout
y, ce qui peut y refter d' huile^ & il faut avoir foin apres
„ chaque exprelfion de remuer le fac , & de la retour-
„ ner dans un fens contraire a celui d'auparavant , ces
„ trois prelTurages etant fails, on vuide le fac, on le rem-
„ plit de nouveau pour le prelTer de meme, & on con-
„ tiiiue ainfi ju(qu'a ia fin.

L I L

II s'agit a prefent des ufages qu'on peut faire du marc

de la jaine , ce marc trois fois preffure en elt devenu

( chole admirable ) encore plus alimentaire que n'etoit la

Jaine dans fon piemier eiat. Car ioix frais ou humidc

198

comme il eft au fbrtir du fac , (bit mis en tourteaux , &
feche pour le conferver , il peut-etre donne aux volailles,
aux cochons , raeme aux boeufs , & aux vaches , & il
eli pour ces animaux une nourriture fain?, & agreable qui
les engraifTe merveilleufement , fans rendre leur chair, &
leur graifle molaffe , comme doit faire h faine, lorfqu'elle
contient encore fon huile. Ce n'eit pas le tout ni meme
le meilleur : car ce marc etendu fur des nappes a I'air
pour en faire evaporer 1' humidite , & enfuite porte au
moulin pour achever de le moudre & blutter , devient
une farine propre a faire du pain , comme la caflave de
I'Amerique dont on a epuife le fuc venimeux. On peut
faire, fi Ton veut , un melange de cette farine avec celle
du bled , elle n'y gatera rien , mais ce melange n'ell: pas
neceflaire , le pain de pure farine de fainc ecant d'un bon
gout , d'une belle couleur , & nullement malfaifanr. De
quel prij^ ne doit pas etre cette reffource dans des tems
de famine ? voila peut-etre quel fut le pain, dont vecurent
les premiers hommes.

L I I I.

Mais comme 1' Homme ne vit pas de pain feulement ,
ce meme marc de faine lui fournit quelque chofe encore
de plus recherche , c'eft qu'au fortir du preffoir eiant
humefte de lait mis dans des formes , & aflaifonne de
fel , il devient une elpece de fromage auffi bon que celui
qui fe lait en Bourgogne, & en Franche Comte , avec
le marc de noix dont on a exprime 1' huile , & qu'on y
mange par regal , enfin la farine du meme marc de faine
fi Ton y joint du lait , & des ceufs , donne des gateaux
que les premiers hommes ne mangeoient apparemment qu'
aux bonnes fetes j & d'ailleurs elle peut fervir auffi a faire
de i'amidon , & de la poudre a cheveux qu' ils ne con-

199

noiflbient pas vraifemblablement. Mais fi Ton peut tirer un
fi grand parti d'un fruit fauvage tel qu'eft aujourd'liui la
faine des bois: quelle fuperioriie n'auroit pas la farine de
fa puipe , & foil huile meme ; s'il etoit poflible de ren-
dre les hetres des foreft auffi franc que le font les o'.i-
viers de Provence, &c les arbres fruitiers de nos jardins?
C'eft-a-dire, qu' il faudroit trouver un h^tre deja fianc pour
pouvoir affranchir les hetres fauvages en les greffant ou
i'entant fur eux; c'eft-a-dire, qu' il faudrait trouver le fecret
de rendre franc un hetre fauvage fans en changer I'efpece,
ce fecret feroit veritablement , le grand ceuvre des arbo-
riftes, & des botanilles, car enfin s'il n'exifte point d'h^tres
francs dans la nature, comment pourroit on affranchir un
hetre fauvage, fans le marier avec un arbre franc d'un
autre efpece , qui doit n^ceffaitement changer la fienne, &
le denaturer.

Des maderes propres a remplacer le chine ^
& le bouleau dans Ian de la Tannerie.

L I V.

II m'a paru de reconnoitre des a^antages fi effentiels
dans un Memoire de Monfieur Gledufch fur I'art de la
Tannerie par rapport a I'epargne qu'on peut faire des chi-
nes, & des bouleaux, & par les faCilites qui en revien-
droieni a cet art meme de I'ufage des planies que cet
Auieur propofe pour faire le Tan que j' ai cru de
mon devoir d'en rendre compte. Monheur de Lalande
n'a pas cru pouvoir s'en dilpenfer par les memes motifs
qui ont porte auffi Monfieur Gieditlch a donner la main
aux idees de Monileur Klein, & qui aiy engagent main-
tenann

L V.

On a dit fouvent qu'il etoit k craindre de voir, enffn,
manquer les bois en Europe, dit Monfieur de Lalande , a
caufe de I'etonnante dellruttion qu'on ne ceffe d'en faire
pour les batimens, pour le chaufage, & pour les arts. II
y a deja des endroits ou il eft ft cher, qu'on ne le brule
que par poids, & par mefure; ou n'ofant Temployer a faire
des tonneaux, & des caiflTes, on prefere d'envelopper les
marchandifes dans des peaux, dans des joncsj oii Ton n'oferoit
enfin tenter retablifiement des manufaftures les plus utiles
a I'etat , parceque le feu , cet agent univerfel , & indif'
penfable , de prefque tous les arts , exige une trop grande
abondance de bois. II pourroit venir un terns , ou des .
rations meme policees retomberoient dans I'ancien etat
de pauvrete & d' ignorance par la difette du bois qui
entraine la perte des arts utiles. Jiifque-la M. de Laland&.
Ces verites de fait font bien-tot de tous les pays , tomes
les reflexions a part , on ne pourroit done trouv^'r mauvais
qu'en y portant quelque attention , je me fois determine
a groliir ce mdmoire des travaux d'autrui. On peut bien
renoncer a I'ambition d'etre un Auteur iterile pour fcntir la
douce faiisfaciion d' avoir traiifcrii avec utilite , &: pour le
biea de fa Pairie,>

Flames

lot

PIdnres, dom les feu'iUes , les Inmches^ les ftuus,

les jemences^ & ejiielque fois les racines peuvent

s' employer dans la Tannerie.

Les branches de vigne . . I rami delU viie.

PruMS fdvejiris. C. ^. Pin. 444 Pru-
tiier fauvage, epineux on prendra I'ecorce,
& le fruit avant qu' il ioit jnur . . Pruno felvatico.

Salix vulgaris alba , le faule ; on em-
ploye les branches , & les feuilles.

Salix cqprea rotundifoUa Tabernae ,\ Salcioy o Salc&,
feule aquatique^ on employe recorcej
les feuilles , & les branches.

Sorbus ducuparia. J. B. I. 61 Sorbier:
•on prendra les branches , les feuilles &
les fruits avant qu'ils foient murs . Sorbo.

Les feuilles de rofier . . Foglie di Rofaja.

Fagus Dod. Penipt. 831 hetre, foiueauj
Jes feuilles , & I'ecorce . . Faggio.

Carpinus ^ Dod. Pempt. 841 charme ;
les branches, les feuilles, I'ecorce . Carpine.

Les feuilles de chdne . . . Foglie di querela,

Les feuilles d'aune . , . Foglie ialno,

Mefpilui , le nefflier fauvage j les feuilles,
les branches, les fruits avant qu'ils foient
Jnurs . . . . . , Nefpolo falvadco,

Cornus filvejlris mas , C. B. Pin. 447
Cornouiller lauvage j les feuilles , les
branches , & les femences qui reffem-
blent a des offelets j raais elles auroient
telbin d'etre pilees . . . Corniolo, Cornia^

Mifc, Taur. Tom. IK dd

Acetofa pratenjis, C. B. Pin. 1 1 4 rofeille:
fa racine , & la femence peuvent s'em-
ployer ...... Acetofella. Ace^

tofa.

Lapathum maximum aquaticum Chabraeh\

hiftoriae 309. Grande patience aquatiquej /

les feuilles , la racine, les femences-V r ■ r> i-
^ , r ,. , /^ 1} n y Lapazio, Kombiee.

Liip.ukum jolio acuta piano, L-. d. rin. / i^ i '

"lis , Patience i la racine, les feuilles, V

les femences. . . , > J

Iris palufiris lutea,feu acorus adulter inus y

C. B. Pin. 34, flambe aquatique , la

racine . . . • • Coltellino gkiag-

giuolo.

Nymphea [utea, nenuphar, & nymphea

alba, nenuphar ou lys des etangs, C B.

Pin. 193 ; la racine feulement . . Ninfea^

Les ecorces de chataigner, de peuplier,

de noifettier pourroient egaleraent s'em-

ployer . . . . » . .La Corteccia di

Cajlagno , di

PuppOydiNoc-

ciuolo.

Plantes dont les fleurs feulement , ou les feuilles

avec les fleurs peuvent are utiles

dans la Taiuierie,

Salicaria vulgaris purpurea foliis oblon-
gis Tournefortu. InjUtuiionum 253 ; Ly-
Jimichia fpicata purpurea forte PUnio ,
Cajpari Bauliini in Pinace , pag. 246
falicaire Lifinacchia falcio.

»03

Ulmaria , Clujli hijroriae 198, Joan-

nis Bauhini III., 488, Reine des pres Ulmaria,

Filix ramofa major pinnulis obtujls non>
dentatis. C. B. Pin. fougere femelle.

Filix non ramofa dentata. C. B. Pin.
358, fougere m4le . , ,1 ^^^

Filix palujiris maxima. C. B. prodromif
150, grande fougere aquatique ofmunde,

Filix mas aculeata major , & minor
C B. Prodr. 151

Perjicaria falicis folio potamogeton an-
guflijolium dicla Rail hilt. 184, perfica-
ria acida Jungermanni. Perficaire d'eau i
elle vient dans I'eau & hors, de Teau ,
jnais fous des formes un peu diffi^rentes. Perficaria,

Biftorta major radice intorta. C. B. Pin.
191, Biltorte .... Biflorta,

Tormentilla Silveflris ^ C. B. Pin. 316,
Tormentille .... Tormentilla.

Pimpinella fangui for ha major. C B.
Pin, 160 , grande Pimprenelle fauvage
des pres . . ^ . . Pimpinella falvcf

flrella.

Cariophillata vulgaris , C. B. Pin. 311,
Benoite .... . Erba benedetta.

Cariophillata aquatica nutante flore. C. B.
Pin. 311, Beaoite aquaiique . . Benedetta aqua-

tica.

Argentina Dodonaei Pempt. 600, Po'
tentilla Joannis Bauhini II, 398 & C.
B. 311, anferina oficinarum , argentine. Bodentillcu

d d

q

104

QuincjuefoUum paluj^re ruhrum, C.B.Pln
}i6 cotnarum ///z/iiidi, quintefeuille aqua
ticjue rouge. . » . .

Qitinquefolium majus repens C. B. Pin
31^ , quintefeuille des boutiques . ^ Pentafilo

Qidnquefolium minus repens luteum , •'

C. B. Pin. 3 1 J , petite quintefeuille
fauvage. . . . .

Quinquefolium folio argenteo ,. C. B.
Pin. 3^5 , quintefeuille blanche. . ,

Horminum pratenfe foliis ferratis, C. B,
238 , Sclarea tabernae montani , Orvale. .. Schiarea.

Agrimonia , aigremoine . . Agrimonia..

Equifetum arvenfe Longioribus fetis , C.
B. Pin. 16 , Presle ou Queue de Che-
val ...... Rafperella,

Equifetum paluftre longioribus fetis , C.

B. Pin. 1 5 5 queue de chevai aquatique . Rafperella. aqua.-^

tica.
Akhimilla vulgaris , C. B. Pin. 319,
pied de lion ...... Alchimilla. Stel-

laria. Piede di
Hone,
Mufcus pulrnonarius, Jive pul'monaria off.-
cinarum Lobellii iconum , p. 148, mujcus
quernus , pulmonaire de chene ► . Polmonaria. Mo-

fcolo.
Lyfimachia lutea major , quae diofcoridis ,

C. B. Pin. 145 , lydmachie . , Lijiniachia.
Kacinium Rivini Vitis idea foliis obloa- ,

gis crenatis fruclu nigricante , C. B, Pin.

470 , auelie ou xnyrtille » ► . Mortella,.

Vactnium foliis hux'i , femper virens bac-
eis rubris , Rapp, florae Gen. p- J i , airelle
toujours verte . . . » . Mortella fempre

verde.

Rubus vulgaris feu fruciu nigra ^ C. B.
Pin. 479 , la grande ronce . . Rovo.

Fragaria vulgaris , le fraifier . Fragaria fragola-

Filipendula, J. B. II. 189 , la Filipen-
pendule . . . '. . FUipendulut

Pervinca tragi , & Tournefortii , C/e-
matis daphnoides , C. B. la Pervanche. Pervinca.

Sparganium , C. B. Pin. 115, Ruban
d'eau .^ . . . . . Fafciola,

Filago , feu impia , Dodonaei , Pempt.
66 , herbe a coton . . . Filagolo.

Gnaphalium inontanuni flore rotundiore ,
& longiore tournefortii injUtutionum 453,
11 pied de chat . . • . Gnafalio,

I Geranium fanguineum maxima flore ^ C.

B. Pin. 319, bee de grue k grande fleur . Geranio a gram

fiore.

Geranium batrachioides maximum minus
laciniatum foUo aconiti , J. B. 111., 477,
gratia Dei Germanorum , bee de grue de
monagne ..... Geranioi

PLntago , le plantain : toutes les efpe-
ces en lout bonnes . . . Piantaginc*

Hipericum oficinarum &c. C. B. Pin.
179, le Millepertuis . » , Jperieo,

Page 185 lignc 17 cLinges la citation page 478 torn. 2
article fel neutre arsenical.

SOLUTION GENERALE

ET ANALITIQUE DE CE PROBLEME ,

Une equation differemiellc mix differences infiniment

petites , & qui adniei une foluiion genirale

ham donnee trouver I integrate

Par le Marquis de CONDORCET.

^ ne application fort fimple des principes repandus dans
mon ouvrage fur le calcul integral fuffit pour refoiidre
cet important problfime , & 1' on trouve dans 1' eclaircif-
fement que j' ai donne a la fuite de l' ouvrage intitule du
probleme Aes trois corps , & dans la preface que je joins
a la colleftion de mes EfTais tout le detail de la metho-
de qu' il faut fuivre pour cela , aufli eft-il moins queftion
ici de donner une nouvelle folution de ce probleme que
de rendre par des nouvelles remarques celle que j'ai trou-
vee affez fimple & aflez commode pour etre employee
dans la pratique. Les hommes dedaignent , & peut-etre
avec raifon tout ce qui n' a pas une apparence du moins
eloignee d' utilite , & 1' analife eft elle - meme tellement
foumife a cette loi , que les fpeculations les plus elevees
y font comptees prefque pour rien des-lors qu'on ne leur
trouve aucune utilite r^elle ou convenue ; par exemple ,
il fuffit ici pour reioudre le probieme propofe d'avoir une
methode a i' aide de laquelle on parvienne furement a
avoir 1' integrale de toute equation differentielie propofee,
xnais pour ^tre utile , il faut qu'elle foit telle que pour une
equation paiticuliere on aime mieux fuivre la me:hode
generale que de chercher a s' en faire une nouvelle uni-
Mifc. Taur, Tom. IV. a

I

quemciit pour les Equations de la dafle de la propofee.
Or pour remplir ce but, il faut que la marche de la
m^thode foit iimple , & ne demande que des operations
de I'analife- ordinaire affujetties de plus, a une forte de
forme technique , en forte que pour la refoudre on n'ait
prefque aucun befoin de fes propres reflexions.

Lemme premier.

On peut regarder comme refolue une equation , lors
qu'on fait que 1' inconnue y ell egale a une fonftion d'une
forme determinee , d'un nombre de termes indefini, mais
fini , & dont les co^ficiens peuvent etre fufceptibles a la
fois de plufieurs determinations , mais toujours en nombre
fini. En effet fubllituant cette forme dans 1' equation qui
fe trouve alors etre identique , on n'a plus que des equa-
tions entre les coeficiens dont le nombre ell indefini ainfi
que celui des equations , mais dont les premieres ne con-
tiennent qu' un nombre determine de coeficiens ; & les
autres toujours en augmentant d' un nombre determine ,
lellement qu'on n'a jamais a refoudre que des equations
finies & deterrhinees , ce qui n' a aucune difficulte , or
par ce moyen on parviendra toujours a trouver oix fe
termine la fuite indefinie qui reprefente 1' inconnue ( puif-
que c'eft une fuite de 1' hipothefe ) de meme qu' k avoir
la valeur de tous les coeficiens , done &c.

^emme

fecond.

Si la forme donnee de la valeur d' une inconnue don-
nee par une equation quelconque eft trop compliquee,
8{ que je la fuppofe transformee en une fuite infinie , il
ell clair que la fublUtuant dans la propofee & determt-
pant les coeficiens , j' aurai uti terme general de la meme

3

forme que celui qui donne la redu^^ion de la forme don-
nee enfuite infinie , & duquel je tirerai imniediatement
li valeur des coertciens dans la forme donnee , & le point
oil elle s' arr^te. Cela fuit neceffiiirement de ce que I'ex-
preflion infinie d' une fon£tion finie lui eft abfolument
jdendque.

Lemme troijieme.

La forme d' une fonflion d'un.nombre quelconquede
variables etant une fonftion algebrique rationelle & entiere
divif^e par une fonftion fcmblable , trouver la forme de
la fuite infinie qui lui eft identique.

Sol. Il eft clair que cette fuite multipliee par le deno-
minateur eft ^gale au humerateur : ainfi le coeficient de
.chaque terme dans le produit eft egal au coeficient du
ineme terme dans le numerateiir ou bien a zero , XoxC-
qu' il eft trop eleve pour s' y trouver , done dans ce cas
on a egale k zero la fomme du produit de chaque coe-
^cient du denominateur par un coeficient de la fuite ; le
terme conftant du denominateur eft multiplie par le ter-
tne de la fuite dont on fait le coeficient egal a zero dans
le produit , & les autres coeficiens le font par ceux des
termes inferieurs tels que la fomme des expofans de cha-
que variable prife dans les deux produifans foit egale aux
expofans des memes variables dans le terme dont il s'agit,
done on aura , quelque foit le nombre des variables , la
valeur d' un terme quelconque par une equation lineaire
d' un nombre de termes fini determine , & egal a celui
des termes du denominateur , done (\ on fulJ^Htue une
fuite infinie a la place d' une inconnue dont la forme foit
celle de ce Lemme , on aura au bout d'un certain nom-
bre de termes une equation femblable , de laquelle on ti-
rera ailement la valeur du denominateur , & celle du nu-
Tnerateur fe deduira des premiers termes.

Lemme quatrleme.

Soit Z une fonction de x , j , { , &c. j </ x , t/ j ,
<f^, &c. J d dx ,ddy ,d d I, &c.; &c. &c. qu'elle foit
une differentielle exatte d' une fonftion d'un ordre moins
eleve , d' une unite , & que B foit cette integrale incon-
nue , il eft clair que difFerentiant d'une maniere indepen-
dante des differences qui fe trouvent dans Z &c dans B,
]' ai I d B = ^ Z , &c p Z ==i B . Le figne d' integra-
tion f fe rapportant a la cara£teri(lique d. 11 fuit deli
1.°, que cherchant a integrer SZ par partie en regardant
les ix, ^y, ^ 1 1 &c. comme des variables ordinaires ,
on aura neceffairement egale a zero I'expreflion qui refte
fous le figne / fans pouvoir etre rdduite : 2.°, que 1' ex-
preflion qui fera hors du figne fera identiquement la me-
me que tB, mais la premiere expreflion doit etre nuUe,
quelques foient les Sx, ^ y , ^{, &c. , & fans donner
aucune equation entre les variables j done on aora dans
ce cas pour que Z foit vraiment egale h d B les equa-
tions ( 5 ) de condition que M. de la Grange dans fon Effai
d' une nouvelie methode de determiner les maxima ou
minima des formules int^grales indefinies, probleme premier
page 176 du fecond volume des Memoires de la Societe
Roiale de Turin deduit de 1' equation de la page 1 7 5 , &
il faudra que ces equations foient telles que tous les ter-
mes s' en detruifent mutuellement, quant a la feconde
expreflion , on aura la fonftion ( C ) de la meme page
egale a i B , done integrant cette fonftion par rapport k
la carafteriftique J , & regardant les autres differences
comme de nouvelles variables , on aura B , done h j' ai
Z differentielle exafte , & que j' en cherche T integrale ,
je n'aurai qu' a chercher celle de la fonftion C,quicon-
fideice par rapport a la earafteriftique S eft comme une
fonftion du premier ordre , differentielle exade d'une fpn-
6lion finie.

5

r obferverai fur ce Lemme : i°, que fi j' ai d x con-

ftant j'aurai une equation de condition de moins, & c'eft
I'equation qui nait du coeficient de ^x egale a zero dans
la fonftion { B ) de la page 175: 2.", que dans ce meme
cas pour avoir le coeficient de J x dans la fonftion (C),
il faut lemarquer que j'ai , appellant ce coeficient A^ &c
le refte de la fon6Hon (C) qui fe trouve a 1' ordinaire
A, At X -h A = i B i .... & en faifant S fembla-
blable k d^ Adx -\- A' =■ dB = Z dans cette hipothe-

'L- A

fe , done A = — - — : 3°, la plus haute difference de

ax J

^ •) y ■) \ ^'^- "^ ^^ P^"' trouver dans Z que fous une
forme lineaire , parcequ'autrement elle entreroit dans le
dernier terme de 1' equation de condition de meme que
dans les autres , or ce terme etant dans cette equation
afFefte d' iin figne de differentiation d' un ordre plus eleve
que les autres, donneroit alors des differences audi plus
elevdes que celles qui s' y peuvent trouver , done rien ne
les pourroit faire dilparoitre j done 1' equation ne pourroit
€tre identique.

J' ai prefere cette methode a celle que j' ai donnee en
detail , parcequ'elle me difpenfe de repeter ici des formu-
les qu'on trouve routes conltruites dans I'ouvrage de M. de
La-Gmnge , & que fans me repeter entierement , je ne
fuppofe ici rien qui ne fe trouve dans les Memoires de
h Societe Roiale.

Lemme cinquiime.

Suppofe que j'aye une fonftion differentielle d'un ordre
quelconque egale a zero , que cette equation admette une
folution complete , & qu'aucune difference n' aye ete fup-
polee conlbnte , je puis rcgarder a volonte une de ces
differences comme conllaute , integrer en confequence , &

j' aurai une memc integrale , que fi j'avois integre la pro-
pofee fans cette fuppofition : a cela-prcs que l\ 1' integra-
tion donne clans le cas de dx conftant, des arbitraires de
la forme a x -t- ^ , a x* -H ^ x -t- c 6'c. , il faut dans la
fuppofition que tout elt variable, mettre au lieu de x une
autre variable x' qui ne fe trouve pas dans 1' equation.

Lemme fixlime.

Soit I'equation {"" -+- a{™""' -^ -b f — '- -^ c^" — » -H
g |."> — 4 .4_ ^ ^ _ . -+- p = o , je dis que toute fontlioti
rarionelle de ^, pent etre fuppofee de la forme a ^ — ' -t-
fc'^""- -4- c'^"""' -+- . . . . H- p' , les coeficiens etant
rationels , en effet il elt clair que par line (imple fubftitu-

tion, elle eft n^celfairement — •— -—,,

d z"'—^ -*- I/" z"' — '> . . .-*-p"'

Je muliiplie par une fonftion indeterminee & entiere
du meme ordre le numerateur , & le denominateur de
cette forme, & je fais la mi^me fubllitution, j'ai par cou-
fequent au denominateur une fonftion qui a un nombre
m de coeficiens , & un nombre rn — i d' inconnues a
caufe dcs coeficiens de la fonclioii indeterminee, je fuppo-
fe egaux zero tous les coeficiens du denominateur hor^
celui du terme fiuis {, & j'ai m — i equations, &c m — i
d' inconnues qui ne moment qu'au premier degre , done
je puis Lppofer le denominateur fans j , done &;c.

PROBLEME PREMIER.

Une equation differentielle etant donnee , trouver une
fondtion difierentioile qui foit la difference exafte d' ime
fontHon d'un ordre moins 61eve , & dont T integrale ega-
lee a z6ro foit la folution generale de la propofee , &
trouver aufil les folutions particulicres qui ne font pas ren-
ferna^es dans la gent^rale.

SOLUTION.

Premier ordre & premier digre.

Soit I* Adx -+- Bdy = o, 1' equation propofee , A

S>c B dtant des fonftions rationelles &. entieres. Je prends

A' dx -^ B'dy,&cc.A' Sc B' etant rationels, & tels que

dA' dW ^ A' A J , .

— — — = — ^ — , ■ & que ^ = -^ , ces deux equations

etant identiques, j'ai de la derniere, I'equation— - — == B'd -jf

■t- -=- - — . Subftituant cette valeur dans la premiere

,, , . dR' A dW n> , ^

elle devient — 5-X-;^ B d -^ =i o . Equa-

dx D dy B >■

iy

tion , d' oil par les Lemmes 1,1,3 ^^ pourra avoir la

valeur de B' qui ainfi que A' e(l une fon6tion rationelle

de jf & ^ , on aura femblablement celle de A' , & 1' on

■connoitra la fbnftion A' d x -t- B' dj qui eft une diffe-

rentielle exafte , dont 1' integrate egalee a zero ell celle

de la propolee.

Solutions particulieres.

c- y n. Adx ■*- B dy ^ ^ .,

Si ce n eft que prenant — — — — = C . C etant

^ '^ A dx ■*• B dy

une fonftion finie , la propofee a de plus la fblution par-

ticuliere C = 0 .

Second dcgre.

Soit 1% dx^ -^ Adxdy -^ B dy' i=: o A Sc B ,

^tant des fonftions rationelles de x, y, je fais A' •+■ B'l

dx -h C -^ D' I dy =: o, A', B\ C\ D' etant des
fonftioiis rationelles de x ^ y ^ & ayant

d A'-^ B z

dy

d-

C ■*- D'z

dx

c

->- D z

, j' ai r equation identique — — — :^ A

. B = o , 8c I'equation encore identique £*

•*• A ^-^ B = , j' elimine ^ , & j' ai deux equations en-
core identiques , dont j' elimine a vblonte une des quatre
A' , B' , C, D\ f ai done enfin une equation qiii doit
me donner la valeur des trois qui reftent par les Lemmes
I , z, J & celle de la quatrieme fe trouvera par une
cquarioft lineaire qu'on aura trouvee en cherchant a 1' eli-
ramer .

Solutions pankuliefes.

Si j' elimine { des equations {--i-y^{-l-^ = o,&

A' -^ B' I d X -h C -¥• D' I dy = o , & que je
divife par la fonftion egale a zero qui en refulte, la propb-
fee multipli^e par Ja fontUon , par lacjuelle il a fallu la divifer
pour reridre egal a 1' unitd le coehcient de d x'- , le quo-
tient fini donnera les folutions particulieres de la propofee.
Comme la propofee renferme deux equations differen-
tes , la folution en renferme egalement deux , & chaque
fonftion A' , B' , C ., IX a deux valeurs. Dans ce cas ,
fi on a I'equation entiere a refoudre , on prendra pour
A' J B'y C y D' une valeur qui reprefente les deux qu'elles
peuvent avoir , fans la determiner a 1' une ou a l' autre :
mais fi Ton n'a qu'une des equations a refoudre, on choi-
fira celle des deux valeurs qui repoiid a cette equation.

Dcgres

Degris fupirieurs, '

Ce que je viens de dire pour le premier & le fecond
d^gre s'applique fans difficult^ aux degres plus eleves, ainfi
pour le troilieme au lieu de A' ■+■ B' { , qu'on a pour le
fecond , on prendra A •+■ B'l -+- C'{*, & de jneme pour

le degre m , A' -^ B'^-^ C'l' ■+• I^i' -+• P'{"- — ', on

prendroic egalement une fonftion femblable au lieu de
C -4- D'l, &{"'-+- Ai'"—' -+- B i"-' -t- C^"- '...
-+■ P = o pour le degr^ /72,&{'-+-^^*-H B i -t-
C = o pour le troifieme degre.

Second ordre & premier degre.

Soit ^'',ddj -4- A r= o , dx etant conftant; & A
^tant une ton6lion de jc , j , dy , d x ^ je fuppofe que
}' aie la fonftion Addy -fr B' = o ^ enforte que 1' appel-
lant Z j' aie , Mcmoires de la Scciete Rqiale Tome fecond
pag. I 7 4- J 7 5" 176, A'' — dP -4- d^Q^ = o , & i'equation

-D,

identique -x- = >4 , j' aurai en eliminant B' , A' donn^

par une equation qui ne contiendra que A' fes differen-
ces , & des connues de laquelle , Lemmes 1,1,3, je

tirerai A' qui ell une fonftion de x , jy , — — multipliee

par dx''. A' doit avoir deux yaleurs, parccqu'il y a deux

'■^nftions du premier ordre dont la propofee ell la difle-

rentielle exafte, divilee par une fon6lion du premier ordre.

Second decrre.

Soit 4« ddy^ -*- A d dy ■+• B =: o, je prends la
fondion A ■+- B i - ddy -ir C -^ D'l = o , & les equations
•identiques N ^- DP -i- d^ ■ Q=o {*-i-y4{4-^ = o, &c
Mifc. Taur. Tom. IV. b

|0

— A — r — :iT, h 5 = o , & en ehminant

j' ai une equation qui contient trois des fonftions A\ B' ,
C' , i? , & de laquelle j' en deduis la valeur par les Leni'
mes I , 1 , 5i chacune de ces fonftions a quatre valeurs,
deux a caufe du degr^ de Y equation , & deux a caufe
qu'elle eft du fecond ordre , ce qui donne lieu a la inl-
ine reflexion que ci-deffus. Si je voulois favoir avant l' in»
tegration quelles font les deux valeurs qui appartieniient a la
meme racine de I'equation d dy^ -^ A d dy -+. ^ = o ,
je verrois qu'elles font les deux qui donnent , quelque foit
J , chacune la, meme equation d dy -+- A" H- B' i = o .

Dcgris fupefieur^.

Ce que je viens de dire s'applique fans difficulte aux degres
plua eleves.

Solutions pardeulieres.

On aura pour le premier degr^ les folutions particu-

i-« d^y ■*- A y. o y. If.

heres en prenant r^ = C> & C multiplie par

la fonftion , par laquelle ii a fallu divifer 1' equation pour
donner a ddy I'unite pour coeficient, etant egald a zero
donnera ces folutions , on les auroii pour les autres de-
gres par le moyen que j' ai explique ci - deffus pour les
Equations du fecond degre & du premier ordre , & com-
me A' & B' ont deux valeurs iud.'pendantes des valeurs
diverfes de j , C aura aura aufli deux valeurs.

Ordres fupirleurs.

On fuivra pour les ordres fuperieurs la meme metho-
de avec un egal facets , & 1' oji aura pour le troiheme

1»

ordre dddy n' ^tant qu'un premier d^gr^ , 3 fonftions
diff^enticllcs , 4 pour le 4*, & n pour le n*, & (1 le d^-
gr^ de la plus haute difference eil m on en aura m n ^
ces fonftions dtanf uiie fois donnees , il n' y aura plus de
difficulte pour trouver les (blutions particuiieres qui ne fe
trouvent pas contenues dans la folution generale. E'les fe
trouvent pour 1' ordre n , pouvoir fitre de I'ordre n — i ,'
& a caufe que la fonftion pour le m^me ordre a un
nombre n de valeurs, il y aura auffi un nombre n de ces
folutions. ^

PROBLEM E SECOND.

preparer une fon£lion d'un ordre fuperieur au premier , &
qui (bit une differentielle exafle de mani^re qu'elle puifle ^tre
prife pour tme fonftioh du premier ordre , difference exalte
d'une fonftion finie d'lm plus grand nombre de variables.

Sol. Soit la fonftion d' un ordre quelconque , & (oit
■feit dy = pd X , d^y =:idpdx=:qdx*, d^ y = d' pd X

3pd(]dx* = rdx'... ainfi de fuite , que la fonftioa
ifferentielle exacie d' une fondion de 1' ordre imm^dia-
tement inferieur foit fupporee de la forme Adx -«- BJy
»^ C dp "f- D d q -^ E dr &c. , & qu'elle foit fous cette
derniere forme la difference d' une fontiion finie de x ,
y t P 1 1 ■> f^ ^<^' ■> on siira par le Lemme ci - dejfus , & le
Problime premier de Li meihode de M. de La - Grange
Tome fecond des Memoy-es de la Societe Roiale page 17^
fcs valeurs de B ^ C , D , E &c. , Si. par le meme Lerrt'
me quatrieme appellant Z la fonttion que 1' on auri
mife fous une forme finie au moyen des fubftitutions ct-
delTus , & de la divifion par la conftante d x , on aurd
A = Z — Bp — Cq-^Dr-^Ef&c, & encore
par le Lemme- quatrieme A^ B, C, D, E &c. ne con-
riendront pas la derniere des p , q , r &c. parceque les
termes qui les contiendroient fe d^truifent mutuellement

II

dans ces fonflions d'apres 1' hipothefe aftuelle que la fon-
&\on ion une difforentielle cxafte. Dans le cas oil la fon-
ftioii Z contiendra les ^ du ProbUme premier. A, B, C,
i? , £ fi'c. contiendront des differences partielles de {,
mais on a une equation identique du degre 772 en ^ qui
donnera ces differences par des fonftions rationelles de j
des variables & de leurs differences , enforte qu'on con--
noirra toujours A , B , C , D , E &c. , 5c qu'ils ieront
de la forme du Lemme fixUrtie C , Q , i^ , T .

PROBLEME TROISIEME.

Integrer la fonftion A d x ~i- B dy -+■ Cdp •4- Ddq
-♦- E d r &c. qu'on fait dtre une differentielle exafte
d' une foriftion finie de x , jy , /? , q , r &c. les A , By
C f D , E &c. pouvant contenir une fontHon ^ donnee
par une equation identique de degre m en { , & x y y ,
p, q , r &c

Sol. 1° , je fuppofe que A, B , C, Z> , E &c. etant
rationels ne connennent pas ^, I'integrale de la propofee
ne peut-etre que I. A' -f- m I. B' -h n l. C -*- p I. D' ■+■ . . .

-+- -^ ; A\ B\ C, D\ P\ q etant des fon-

ftions rationelles & entieres des variables , & le noiiibre
des A', B ,, C , D ne pouvant etre plus grand que la
fbmme des plus hauts degres de ^ , j' , p , ^ , r dans la
propofee , done par les Lemmes i , 2 , 3 , on pourra
avoir ces fonftions dont le nombre & la forme font con-
nues. J' ai donne dans mes EJfais d' anallfe des moyens
d' abreger le travail qu'exige cette operation.

2° En fuppofint que A , B , C , D , E &c. contien-
nent ^ , la propofee ne peut avoir pour integrale que
LA' -^ B' i-^ /)'^».-. _t- /> /. A" -H jS"{ . . . .

»3

„, '*-^, -f-Bz. ...-*- r, z">-^

i_ P" -n — 1 _. ; i

H- ^ { -t- . . . . ^ — ,

mais le nombre des logaritmes eft ici indetermine , &
.cette indetermination fuffit pour jetter un rres-grand em-
barras dans cette folution. Void le moyen d' y remedier!
j' ajoute a la fonftion donnee j4 d x -t- B dy-+- C d p ■+■
D dq '^ E d r . . . . une fontlion Z' d :^ — ( Z' multi-
pliee par la valeur de J { donnee par 1' equation de ^ en
X , y , p , q t r , &c. ) & je determine Z' fonftion ratio-

nelle dexj^y,/?,^, r, &j par la condition

que la fonftion propofee mife fous cette forme ( & qui
refte la meme ) (bit une differentielle exafte d' une fon-
ftion finie de x ^ y ^ p ^ q , r,... .& {jce qui par
les Lemmes i , i , 3 me donne la valeur de Z' , & de
la valeur de Z' je tire par ce qui precede le nombre des
fonftions logaritmiques , & des lors par les Lemmes i ,
a , 3 , j' ai 1' integiale. CQFT .

PROBLEME QUATRIEME.
Integrer une equation diiFerentielle donnee.

Premier ordre.

Sol. 1.° Pour le premier ordre on a 1' integrale gene-
rale par le Probleme precedent .^ & les folutions particulie-
res par le Probleme premier'.

Second ordre.

^.° Pour le fecond on a , Probleme premief , deux diffi-
rentielles exatles qui etant nitegrees donnent deux equa-
tions du premier ordre de I'une defquelles on peut iirer

?4

-p en X , y , fubftltuant dans la feconde , on a 1' itite-

aX

grale generale de la propofee , & les folutions particulie*
res (e trouvent Probleme premier , ou bien en diiFerentiant
r integrate generale rcproduidint la propofee , & egalant
a zciO les tonclioiis , par lefquelles il a r'allii pour cela
multiplier les differences de 1' integrate.

Troijieme ordre.

3* Pour le troifieme ordre on a trois difFerentielle«
exaftes qui ^tant integrees donnent T une une valeur de

— ^ en —r- & a: , y la feconde , la valeur de —r~ en x
dx ax "^ ax

& y\ apres qu'on y a fublHtue la valeur de -— tiree de

la premiere , & la derniere devient T imegrale cherchee en

V fubftituant les valeurs de — ^ & de -^ prifes des deux

^ dx^ dx ^

premieres.

Ordrei fuperieurs.

Pour les ordres plus eleves on a , 1' ordre etant n, un
nombre n de differentielles exdttes , qui etant integrees
par les Problimes 2 & 3 , donnent 1' integrate chercliec,
& on a les Iblutions paniculieres par le Probleme premier
ou comme ci-deffus.

Remarques.

I." Soit A ix -^ B dy-*- Cd'p -H ndq -{- E d r . . . ..
une differeniielle exafte , & que Z en foit 1' integrate, ii
elt clftir que rauhipjiant cette differentielle par une fow-

ftion quelconque de Z elle eft encore one differentielle
exafle , a caule de ce qu'une fonftion d'une feule varia-
ble multipliee par fa difference eft toujours dans ce meme
cas » Voye^ It quatrieme Volume des Opujculet de M. D'Alem-
bert , oil j' ai vu cette remarque pour la premiere fois ,
cela pofe ft Z eft alg^brique au lieu d'une, dedeux,d<!
quatre , de « , mn differentielles exaftes , j' en aurai Pro-i
bleme premier , un nombre indefini } mais alors prenant
deux de ces valeurs fuperflues & convenables an mSme
I les divifant i'une par I'autre, & egalant le quotient a
une arbitraire , ■)' ai 1' int^grale de c s differentielles exa-
ftes ; ft deux valeurs de differentielles exaftes pour la mS-
me equation avoieut egalement des integrales algebriques,
on les trouvcroit par cetie methode , air.fi le travail de la
Recherche des differentielles exaftes ne peut etre pfolongd
par-la, fans que ceiui de I'int^gration ne foit diminue, &
ii Ton a foin lorfqu'on a une intdgrale algebrique de la
prendre pour 1' equation propofde , on evirera mime fbu-
vent c«t ambarras. Lorfqu'on fait qu'une equation d'un or-
dre n , ne contient qu'autant de tranfcendantes qu'une equa-
tion d' un ordre inferieur en peut contenir , on eft fur
par cette remarque de parvenir fans integration a trouver
fon integrale de cet ordre inferieur.

Soient encore ^ , j4 , A' ^ . . . . les fonftions qui au
nombre de n rendent une fonftion de I'ordre n la diffe-
rentielle exafte de fonftions differences Z , Z' , Z' . . . .
auffi au nombre de n , il eft clair que multipliant la pro-
pofee par a A -^ h A -\r c A' -+■ .... elle devient en-
core la differentielle exafte de a Z -+■ h Z-i- c C -¥ . . .
« , b , c , etant des coeficiens conftans. II fuit de-la qu'il
peut arriver que connoiffant Z ^ Z\ Z ' &c. & les ega-
lant a zero on n' en ait aucune , de laquelle on puiffe ti-
rer d'-' y , en d'-'- y . . , . dy ^ d x , y ^ & x ; ce
qui fcmble rendre inutile dans ce cas la folution donnee

i6

dans le Probl^me quatrieme , mais d'abord il fuit de I'hi-
pothefe' qu'on peut toujours tirer une pareille valeur des
equations , Z = o , Z' = o , Z" = o ike. prifes enfem-
ble , & de plus prenant a Z •+• b' Z' -+- cZ "-+•... .
= o , on aura toujours cette equation en determinant of ,
b\ c' , &c. qui n' etant donnees que par des equations
determinees & lineaires , n' introduifent aucune nouvelle
difficulte dans la Solution de ce Probleme. f^oje^ cidef-
fous La premiire des obftrvations fur la theorie des Situa-
tions differentielles ou je re fous une autre difficuUc du mime
genre.

2.° J' ai prefere la fuppofition de dx conftant a celle
de faire varier toutes les differentielles , parceque dans le
dernier cas , fi i' arbitraire ell a a;' H- i , par example , je
ne puis avoir les deux integrales du premier ordre qui
repondent a une propofee du fecbnd , (kns que x s' y trou-
ve ; I'une des deux , & Ik differentielle le cotniendroiit nc-
ceilairement , ce qui rend plus compliqu^e la Solution du
Probleme premier qui le feroit deja d' avantage , parce

qu'au lieu des fonftions de x , j , •— - , -7- , & multi-

pliees par c/ x' , il faudroit y faire entrer -r—^ &c, Voye:^

les manes obfervaiions on trouveroit de quoi fe deJommager
du premier inconvenient en remarquant qii' il n'a lieu que
quand la propofee ^ une integrale algebrique du premier
ordre , & que multipliee par une fontl:ion finie , elle de-
yient differentielle exa6te d'une fonftion finie, ce qui don-
ne le moyen de trouver toujours une des integrales fans
recourir au Probleme troilicme , ce que je viens de dire
d' une equation du fecond ordre s' appiique facilement a
celles des autres ordres qui font fufceptibles de la m^me
Remarque, & j' ai crii qu' il. feroit fuiiifant de detailler
le cas le plus fimple.

3«'

»7

3." Si j' ai line Equation diffidrentielle qui contienne

des tranfceiiHantes ou des expofans indctermines , ou &c. ,
je puis Its faire evanoiiir par des differentiations I'ucceHives ,
integrer alors i' equation qui en refulte en obfervant , ce
qui limplifie le travail, que i'equation propofe6, & qui eft
d' un ordre inferieur ell alors une des integrales.

4.° M. Fontaine a propose d' employer le meme mo-
yen pour n'avoir jamais a integrer que des fonftions fans
radicaux. Cette idee me fournit une nouvelle iriani^re
d' integrer preferable a ce que je crois dans la pratique,
en effet mettant la propofee fous une forme rationelle, &
la differentiant , j' ai : 1°, une differentielle exafte route
trouvee , & dont 1' integrale ett la propofee: ^° , j'ai par
le Probleme premier toutes les autres differentielles exa-
6tes dont je cherche les integrales , afin qu'eliminant les
differences, & celles de la propofee, j'aie 1' integrale fi-
nie , ce qui fait que j' ai dans les fonftions a determiner
autant d'equations a integrer que par la methode ci-deffus,
& autant des variables , dans le cas ou la propofee eft
cntre x &c y feulement. 3°, j'ai un nombre indefini de
differentielles exaftes, dont 1' integrale eft la propofee ega-
lee a une arbitraire , &:. qui ne peuvent qu'embaraffer la
Solution. Le grand avantage de cette metliode eft de
n* avoir a trailer que des equations lin^aires , & quoiqu'il
s'y rencontre dans la pratique quelques inconveniens parti-
culiers elle me paroit en tout la plus fimple.

Conclujion.

Je crois que les Geometres qui fe donneront la peine
de me lire avec attention , ik de fuivre cette folution ,
trouveront qu'elle contient la Solution generale que je
promets dans le litre. Je me flatte d' en avoir rendu la
marche affez - (imple , d' avoir affez indique la fource des
Mifc. Taur. Tom. IV. C

i8

principales difficultes , & le moyen d' y remedier , pour
qu'un Analifte un peu inftruit puifle 1' employer avec fae-
ces fur telles equations qu'il voudra, & refoudre ainfl avec
de la patience & quelque application les Problemes les
plus difficiles , pourvu qu'ils dependent de l' integration
d' equations differentielles aux differences abfolues & eva-
noiiiffantes. Si cette idee de mon travail eft jufte , j' ai
lieu d'efperer que la grande utilite dont il peut-etre rae
donnera quelques droits a 1' indulgence des Geometres ,
& qu'ils ne le regarderont pas comme une repetition in-
utile des principes que j'ai deja donnes, mais qui avoient
befoin pour 6tre mis en ufage d' etre prefentes fous ua
nouveau joun

Ribemont du ii Mai 1768.

I

OBSERVATION s'

Sur la Theorie des equations differendelles.
Par M. le Marquis de CONDORCET.

T

J ai donn^ dans un Mimoire precedent une methode ge-
ndrale pour integrer toutesces equations, & Ton par-
viendra par cette meihode k avoir dans tous les cas les n
Equations de I'ordre « — i , d' oil T on doit tirer I' inte-
grate finie d' une equation de 1' ordre n , mais il faut que
les differentielles exaftes qui repondent k ces equations ibient
r^ellement au nombre de n toutes difFerentes, & pour
<ela que les appellant d B ^ d B\ d B" , &c. , & ayant
•dB ^ & d B\ differentielles de deux fonftions reellement
<lifferentes , je n'aie ni d B" = mdB-^ndB', n & m

■^ant des conftantes , ni d B" = F . m B ~t- n B. m d B

•i-ndB\ ni dB" = mdB -+- F B' - d B' . . . ou reci-
proquement j ni dB' = d.F(B,B').mB-+-nB' dans
le fecond cas , B' dans Je troilieme , B , B\ dans le
quatrieme doivent etre algebriques, lorfqu'il ne fe rappelle
pas aux precedens , car tous font contenus dans ce der-
nier : pour verifier ce cas en general , fans connoitre ni
B , ni B' , ni B" , foit T la propoCie ,fai d B = A F ,
dB'= A'F.d B' = A'K; A, A , A" font connu<: ,
la condition fera done A' = F {B, B' ) . A -^ F\ {B ,
B'). A . . . . done faifant d B Sc d B' = o dA' = F,
iB, B').dA-^F. {B, B). dA... j'elimine F. (B, B),
& il ne me rerte plus que F. (^, ^') qui etant egalee a
une conftante eft une des integrales cherchees , lorfque B'

20

n'en donnera pas une nouvelle, il en fera de m^me de
F , ( B , B' ) le relle n' a plus de difficulte , & ce que je
viens de dire pour trois difFi^rentielles s'applique egalement
i un plus grand nombre , comme le but que je me pro-
pofe ici n' eft que de ne pas integrer en pure perte des
diderentielles qui rentrent les unes dans les autres , il eft
aiie de voir que je puis fuppofer qu'on connoifle B^ B., &c
alors rien n' eft fi facile que de verifier les conditions ci-
deflus , au refte on peut toujours proceder a 1' integration,
meme fans cette recherche; on trouvera en cherchant I'in-
tegrale finie quelles font les equations qui rentrent les
unes dans les autres , & on en cherchera de nouvelles.
Le calcul fera feulement plus long qu' en employant les
moyens que je viens de propofer , & qui dilpeiifent du
travail de l' integration dans le cas des integrales alg^-
briques.

I I.

Soit A d X -^ B dy une fonftion qui foit une differentielle
exafte d'une fonftion de x & dey , & que A &!. B foient ho«
mogenes , j'ai , m , etant le degre oii montent les x S>c y ,

fAdx-{-Bdy= A X ■+■ By lorfque T int^-

grale eft algebrique. Voyis les Mimoires de M. Fontaine

page 19-38 J fi r integrate eft purement logaritmique

ou en partie logaritmique , & en partie algebrique j' ai

A X ->t- B y ■=■ ot' , ni etant la fomme des dimenfions dte

chaque fonftion qui eft fous le figne logaritmique multi-

pliees par le coeficient de chaque logaritme ; j'ai done en

general , (\a d x '^ b dy multipliees par A doit etre une
_'

differentielle exafte , a x -\- h y . A' ■=■ m ^ A' ■=■ 7-

ce qui me donne le fafteur toutes les fois que m n' eft
pas zero. Si /4 & ^ contiennent une exponeniielle c^.

II

& que la dimenfion de B' foit zero , on aura encore

A X -f B y = (A dx -\- B dy. & comma c'ell

le feul cas oii I'equation diff^rentielle algebrique ellTiomogene,

on peut faire en gendral /. A (a d x -h b dy) = X

A' ( a X -t- b y ). Koyes le Memoire de M. Fontaine ibidem.
Si A 8c B contenoient B' , ik que la dimenfioa de B'

ne fut pas nulle, mais ^gale a ot' on aurait A x -h By

rr = f. A d x~i- B dyceqni peut donner B\ &

rappeller ee cas au precedent. Soit A', a d x -\- b dy ~^c d p
une differeniielle exatte tout etant algebrique ^] ax A . a x -^
by-+-cp = m , I'uppofant ot' = o ce que je peus toujours
faire fi , f , etant la parametre conihnt, je le luppofe enfuite
variable pour que la fon^Hon loit homogene j'aurai done

ax-*- to
C =. i , & lorfque Ad x -4- B dy ~t- C d p eft

une difFerentielle exacte C = — — . Voye^ M.

Fontaine ibid. , je puis done rappeller ainli une equation

non homogene a une homogene qui a \x\\e vaiiable de

plus , or une Equation homogene n' eil pas fujette a ge

que , les rangs fuperieurs d' une diff^rentielle exafte mife

fous une forme rationelie, & qu'on n' a point debaraffee

de fes fafteurs puiflent devenir nuls ; foit par exemple

pdx pdy 11 1 •

— ; — - H ~ -r- = o elle devient

x^ ■*- a p X ■*- b p^ c f- -^ e p y ■*• f p^
pdx - xdp pdy — ydp

^ , = o . Or cette

x^ -^ ap X •*- b p* c y^ -^ e p y ■+■ f p*

equation fe trouve etre du troilieme degre comme elle le
doit , & ainli d'apres cette precaution les tables que j' ai
donnees dans mon calcul integral font fuffifantes pour les

11

differentielles exaftes. II faut remarquer que' fi au lieu c?e

adx -+- bdy t= o je prends adx H- hdy dp = o qui

eft homogene , & que je cherche a 1' int^grer par la m^-
thode de M. Bernoulli , cette methode ne me donne au-
cun refultat

III.

Soit une fonftion differentielle d'un ordre fuperieur au
premier , & qu'elle foit une difference exafte d' une fon-
ftion de I'ordre inferieur , il eft clair que regardant t/t^y
comme de deux dimenlions , ^' y comme de trois &c. ,
& de mcme pour chaque variable , fi aucune difference
n' y eft fuppofee conftante , on peut la regarder comme
homogene par rapport aux differences regardees comme de
nouvelles variables ; ce qui donnera un moyen d' avoir
toujours une equation homogene , quant a ces variables,
a r aide d' une fubftitution convenable. Voyei M. Fon-
taine page 49-50, cela poie il eft clair: 1", que fi dx

a ei^ fuppofe conftant , & qu'on ait mis d.~-'^o\xx~-

& ainfi de fiiite , ou ce qui revient au meme fi les arbi»
traires ne contiennent pas la difference conftante d' une
nQuvelle variable, le degre des differences eft nul , & que
par confequent dans ce cas on n'aura par la methode ci-
deffus ni I'integrale, ni le fafteur qui rend une Equation
propofee de cet ordre une differentielle complette quand
jneme on connoitroit les elemens neceffaires pour la trai-
ler comme une equation du premier ordre , & les diffe-
rences fuperieures comme de nouvelles variables: 1°, que
fi I'integrale doit contenir une nouvelle variable, &qu'il
foit queftion d' une equation poffible , on aura neceffai-
rement V -*- a x' -*- b =0, x etant la nouvelle vatia-
Jaie , d'ou ddV = o qui eft la propofee multipliee par

fon fafteur, & connolffant ddV on aura dV algebrique
par la Remarque quatrunie page z i du Calcul integral :
3° , qu' ayant ^-4-ax-+-^=:o, j'en tire dV -\r

nd X =: o , oc — - — -- - — -— = o differen-

X Af' X

tiant la premiere, j' ai ddV = o, & differentiant la
feconde pour lilirniner b^dxdV~*-xddV-dVdx'=^Oy
X d dV = o quantite qui eft encore une differentielle exa-
fte, & de dV -i- adx = o, & xdV-Vdx-bdXy
je tire K -*- a x -¥■ b = o ce qui e{t conforme aux priti-
cipes generaux du calcul : 4° , que fi j' ai K -H a x^ •+■
^ X -H c = o , j'aurai d* K = o ,d'ou d dV -¥• i a d x^
= o, xd>F=o , d'ou xddV-dxdV-bdx^ = o,
& x^d'V = o, d'oii x^ d'V - 1 xdxdF -i- iFdx'
-+- 1 c d x^ ==■ o .

Et par la meme remarque une expreffion algebrique de
dV lorfque je connaitrai d* V ; d'ou il fuit que la pro-
polee a deux integrales algebriques , & qu' il en fera de
meme des ordres plus eleves , que fi Ton a pour inte-
grale K-»-ax-+-i=o,&^'-+-a'x-4- i>'=o,
on aura egaiement , connoiffant d dV &c d d V \, d V 8c
dV ^ &c une equation algebrique d' un ordre moindre de
deux unites, comme s'ilavoit eu dddV, en forte qu'en
general on pourra parvenir a une equation algebrique de
r ordre n — m y m defignant le degre de x' dans le pro-
duit de toutes les fonftions arbitraires multipliees entre
elles : 5°, que ce cas , qui eft le plus fimple, eft le feul
oil Ton puiffe deduire le fafteur apres avoir rendu I'equa-
tion homogene quant au degre des differences , qu' alors

on a non pas ddV, mais qu'egalant apres 1' inte-

gration dV ... .a — adx, on a par une nouvelle inte-
gration y~i-ax-¥rb= oi mais que fi on veut inte-
grer cette nouvelle equation on a une equation de la na-

I .-

14

ture de celles ou la difference eft fuppofee conftante , Sc
a laquelle cette methode de chercher les fafteurs ne s'ap-
plique plus quand-meme f^ feroit algebrique ce qui n'arrive
pas toujours ; car I' equation peut etre telle que V con-
tienne neceffairement une tranfcendarue : 6°, (i on vouloit
chercher fucceflivement les int(fgrales, il faudroit prendre
une autre route , par exemple Ibit y = o une equation
de I'ordre n rationelle qui ne contienne pas de variables,
dont la differentielle foit conftante , & dont 1' integrale
finie en peut contenir , je fuppole le fafteur algebrique
& rationel A de I'ordre n , le fafteur A' de I'ordre
n — I pour r integrale de A F^, le fafteur A' de I'ordre
n — 2 pour r integrale de Af A V, & ainfi de fuite ,
& prenant les equations de condition fans faire V = &,
( & elles font au nombre de n m — i ) pour m variables ,
& n fafteurs , je cherche a determiner tous les fafteurs ,
de maniere qu' ils fatisfdlTent a la fois" a toutes ces equa-
tious, & dela fans connoitre a priori le degre oil montent
les differences fuperieures dans chaque integrale, j'ai des
fafteurs qui s'accorderont toujours avec ceux qu' on trou-
vera a pojleriori j il ell clair que les fafteurs doivent
gtre tels que A contienne f AV , A' , f. A' f AF, Sc
ainli de fuite , a caufe des trafcendantes qui peuvent ici
entrer dans les fafteurs : 7" , tnCm que ii 1' on cherche
toutes les int^grales de I'ordre n — i , on peut lorfque
r integrale peut contenir x' . . . . prendre les fafteurs de
la forme x' A , A etant fans x' & p etant un entier ,
tnais fi on cherche a integrer fucceflivement il faut que
X entre dans A de toutes les manieres poflibles.

I V.

Soit une eqaation d'un ordre n ertre x 8c y , & que
j' are fait dx=p j d d x = q ^ d* x = r &c, dj = / ,

i* y = q\ d*y •= r &c. j' aurai fi elle eft poffibfe
Adx -f- Bdp -f- Cdq -+- Ddr &c.

-h J'dy -hB' dp -^C dq' -hD dr'Scc.

-+- P d" - ' X -t- d' X \ _

-t- i" c^" - ■ J -+- Q)' '/" y > — o.

Le coeficient de la plus haute difference de x etant i ,
celui de la plus haute diffirence de y etant connu , & A
V ivmi auffi lodque \qs B , C , D &cc. , A' B' C D' &cc.
le font devenus. Cela pofe prenant les equations de con-
dition pour que cette equation rcgardce comme contenant
un nombre z n de variables ibit poffible , j' ai i « — 2
Equations , dont in — 3 contiennent chacune 1' inconnue
& la derniere n' en contient pas de nouvelle , fubftituant
dans cette derniere les valeurs des diiferences partielles de
loutes les variables tirees des autres equations, on fera
^vanoiiir ces differences partielles , & les variables avec
■elles , k r exception de P &: P' , differentiant enfuite aux
differences partielles 1' equation lineaire entre P & P', on
parviendra a eliminer 1' un ou I'autre , & 1' on aura une
^uation A' P •+• B' = o . II eft aife de reduire en
formules indefinies pour un ordre indefini n les valeurs de
A &C B' y la rneme niethode s' applique facilement a un
I plus grand nombre de variables , mais il faut de plus qu'en
faifant d" x -+- Q^ d" y -+- Q" d" f &c. = o , cette equa-
tion foit -pofTible en ne regardant que d" ~ ^ x , d" ~ ^ y ^
I d*~'{, ike. comme variables. Si uue differentielie- eft
fuppofee conftante , on trouvera egalement A & B' , lort
, que le nombre des variables eft au deffus de deux ; con-
I noiffant P , on auroit P' , & les coehciens de d" ~ ^ x
I & d° ~ * y donnas par des formules qui contiendront P
I ou P' , & ain(i de fuite. Kcye^ M. Fontaine pag. 38, 83,
[ maintenant je remarque que la propofec pcut-etre telle
I que Ton ait feulement une integrale de 1' ordre n — i ,
Alifc. Taur. Tom. IV. d

i6

& que cette iritegrale n' en ait point de g^ndrale dans ce
cas , P ne doit avoir qu'une valeur polTible fi la difFeren-
lielle , n' a auffi qu' une valeur , done on peut avoir P =

B'

- —J , & fubftituant cette valeur dans 1' equation , dc

condition qu'os a en P' , elle doit devenir identique , ce
qui donne 1' equation de condition cherchee. Si au con-
traire la propofee a deux integrales de 1' ordre n — i ,
il ell clair que P a une infinite de valeurs d'ou il fuit
qu' on ne peut le fuppoler donne par une equation lineaire,
mais feulement par une equation differentielle m^me aux
differences partielles , done on aura pour que les 2 « — 3
equations de conditions qui contiennent des inconnues ,
s' accordent avec celle qui n' en contient pas les deux
equations ^' = o & ^' = o , qui feront ici les equa-
tions de condition , & comme lorlque le nombre des va-
riables etl plus grand que deux , A' &c £' out plulieurs
valeurs , la meme chofe doit avoir lieu pour routes ces
valeurs. Les equations de condition que donne M. Fontaine
au dela du lecond ordre ne font que pour les equations
homogenes , fur quoi voyez ci-deffus V Obfervation 111., &
pourroient etre iliufoires parce qu' il fuffit ici que A' = o

Sc B' = o ce qui peut arriver fans que -=r- , paroiffe fous

la forme — . Pourque A' = o Sc B' z= o , il fuffit que

la propofee ait deux integrales de 1' ordre n — i , & il
eft clair que fi 1' equation a une integrale complette & fi-
nie , on pourra a la fin trouver "une de ces integrales oil
la plus haute difference fe trouve debarraffee de toute
rranfcendante , cette equation une fois trouvee , on pour-
roit la traiter comme la propofee, & ainfi de fuite , &
avoir par - la les equations de condition quoique fuccefli-
vement & polterieurement a la recherche des integrales

if

fucce/fives , mais fi Ton ignore que I'equntion ait ou n'ait
pas d' inregrale finie complette , faut-il necefTairement qa'une
equation qui a deux integrales de i'ordre n — i en ait
tine de l' ordre n — : i ? eft-il fur lorique cela arrive qu'on
doive en trouver encore une a qui on puiffe appliquer la
m^thode de M. Fontaine ? tandis que cela ne fera pas
demontre les equations de condition A' & B' ne nous
apprendront rien fur 1' integrabilite des equations qui nous
exempte dans tous les cas de 1' inconvenient de fuivre a
pure pcrte le travail de 1' integration pour des equations
abfurdes : on peut encore moins regarder comme gene-
rale r equation de condition identique qu' on auroit en
fubllituant la valeur de P dans 1' equation de condition
qui contient cette inconnue , car dans ce cas connoiflant
que la propofee a une integrale complette , on peut en
trouver une , oii la plus haute difference foit engagee dans
une fonftion tranfcendante , & a laquelle on ne puiffe
plus appliquer la methode.

«■

Si Ton favoit qu'une equation admit une integrale finie
complette ou incdmplette (ans fa voir lequel des deux, on
I tireroit de 1' obfervation precedente une maniere de s' en
! dfl^rer , & de trouver en meme tems 1' integrale incom-
plette , en effet dans ce cas il ert clair que li on n' a ni
y4' = o , ni j5' =i= o , & que fubltituam la valeur de P
dans r Equation de condition oil entre P cette Equation
lie devienne pas identique , on aura cette meme equation
pour- r integrale de la propofee , & on faura de plus que
cette Equation n' a qu'une integrale finie fans arbitraire ,
re qui paroit ne pouvoir arriver a une equation entre
.deux variables , ainfi ce cas n'.nyant lieu que pour plufieurs
^variables , il taut titer 1' integrale de la comparaifon d«

i8

toutes les conditions qui Jie feront pas identiques , & cette
integrate ainfi trouvee n' aura elle - meme pour inr^grale
incomplette qu'une fonftion finie fans arbitraires. Si A &
B' ne font point zero , & que 1' equation de condition
pour P foit identique , il faut integrer la propofee a I'or-
dinaire , & fon integrate n'en pourra avoir d'autre qu'une
fonftion finie fans nouvelles arbitraires , fi j' ai -4' & B*
egaux a zero , j' aurai necefljirement dans ie cas prdfent
une integrale , oil la plus haute difference ne fera point
dans une fonftion tranfcendante ou irrationelle , & traitant
cette integrale comme la propofee , je ferois les meraes
Remarques que ci-delTas.

V I.

Si d'apres ce qu'on vient de dire N. iii , iv , & V , on
veut rappeller une equation de I' ordre n a une equation
du premier ordre, il ell clair i", qu'on aura /* par i'equa-
tion de condition en P , Q', qu'on aura de plus P' , don-
ne en P & Q' , les auires coeliciens par une des equa-
tions de conditions qui y conviennent, & le dernier A
en retranchant de V — d" x — Q''^"~'j)' l^s coeficiens
connus & multiplies par les differences correfpondantes ,
& divifant le relle par ix: i' , que (i on avoit voulu
prendre les ■ valeurs des coeliciens telles que j'ai dit n. iv.
qu'on les trouvoit d'apres la methode de M. Fontaine, il
faudroit ccmme a chaque determination on fe trouve
avoir deux equations pour chaque inconnue, que fublli-
tuant ces valeurs dans I' equation de condition , celle - ci
devint identique, & qu' ainfi on aura pour I'ordre /i, ou
% ( ;: — 2 ) inconnues a determiner par i ( « — i ) Equa-
tions aux differences partielles , excepte pour le fecond
ordre oil il y a une (eule inconnue & une feule equation,
ou bien une Icule inconnue qui doit fatislaire a a (n — i)

Equations, & a une feule pour le fecond ordre : 3», que
chaque cocficient peut-etie toujours fuppofe une fonftion
algebrique de x ^ y , Sec. , & de leur difference jufqu' a
d' — 'x, d" — ' y 1 fans d' autres irrationelles que celles
de la propofee , enforte que pour en trouver la valeur il
n'y a qu'a i'ubftituer une fonilion de cette forme dans les
(Equations convenables : 4° , que le nombre des valeurs
qui conduifent a des equations reellemenc differentes ell /i,
qu'on peut les chercher , & qu'aiors integrant toutes ces
equations on aura 1' integrale /finie fans etre oblige de
chercher les integrales fuccellives : 5", que pour s' alFurer
(i elles font reellement differentes , on prendra des mo-
yens femblables a ceux que j' ai expofes n, i , en obfer-
vant que l' equation repondant a B =■ o^ & F - B = o ,
lorfque B eft algebrique , eft ici une feule & meme equa-
tion: 6°, que ces equations etant donnees, il faudra cher-
cher le fa6teur qui les rend differentielles complettes ce
qui donne une inconnue a determiner par in — ■ i equa-
tions : 7° , que pour un nombre m d' inconnues pour re-
duire 1' equation propofee a une equation du premier or-
dre , on aura m - {n — i) — 1 equations redu6Hb!es a
m- {n — i) & m n — i pour trouver le fafteur d' ou il
fuit que cette methode demande deux operations , & deux
operations plus compliquees , au lieu d'une plus fimple
que demande celle que j' ai expofee : au refte les equa-
tions de la premiere operation peuvent dans une infinite
de ca» fe reduire a une feule.

Le cas que j'ai developpe dans V Article in reduit a
une feule les deux operations , dont on vient de parler ,
parcequ'on trouve immediatcment autant de fafteurs que
Ton a de fois dans I' integrale a x' -+- b, x' erant la nou-
velle variable , ce qui peut avoir encore lieu dans celui
de r homog^neite entre les variables , & dans d' autres
hipothei'es particulieres. La raamere de fe debarraffer des

5°.

radicaux efl: pour cette methode la meme que pour la
precedence, & quelque fois plus commode, lorfqu' il n'eft
quelHon que d' equations du premier ordre.

VII.

Une Remarque je crois nouvelle, & qui n'efl: pas dc''
placee ici c'ell qu'une equation de 1' ordre n entre x &
y peut n' ecre pas abfurde , quoique par 1' algebre ordi-
naire on ne puifle en tirer j" x -t- Q d" y -+- Z = o ,
foit que les plus hautes diffi^rences rellent necefTairement
dans des fonftions irrationelles , foit meme qu'elles reftent
dans des tranfcendantes , en effet foit une equation de
I'ordre , /z -t- i qui admette une integrate finie complet-
te , & que une de fes integrales de I'ordre n foit dans
le cas dont je viens de parler , ce qu'on fait etre poffible ,
il ell clair que cette equation de 1' ordre n a necefTaire-
ment pour integrale celle de I'equation de I'ordre /z-i- i;
& qu'ainfi fi on a une equation de I'ordre n qui ne dif-
fere de celle-la qu'en ce qu'on a determine la conftanre
arbitraire , il eft clair qu'elle aura encore la meme inte-
grale en y determinant feulement la meme conftante , fi
done on a de pareilles equations on faura par la methods
que j'ai donnee dans mon calcul integral fi elles font ab-
furdes ou non , mais par la mediode expofee ici n. iv ,
on ne pourroit s'en affurer qu' en differentiant la propo-
fee , or apres cette difFerentiation comme il ell queflion
de favoir fi elle a une integrale de 1' ordre n — i , &
qu'elle fe trouve de I'ordre « -h i , la meme methode
ne peut encore fervir par les raifons que j' ai expofees
quant a la maniere de les integrer , il faudra les diiFe-
rentier & integrer 1' equation qui en nait en determinant
I'arbitraire dans une des integrales de I'ordre n , en forte
que la propofee puifTe etre une de ces integrales.

31

Je crois que ces nouvelles Ohfervations jointes a la me-

thode que j'ai propofee clans le Memoire precedent en peu-
vent dans plufieurs cas faciliter I'ufage, du moins en eclair-
ciront elles la Theorie , & le ProbUme eft fi important
que cela fuffit pour nie faire pardonner de les avoir pla-
cees ici.

VIII.

Je me propofe de developper dans cet article un cas
du ProbUme general des maxima ou minima des formules
iniegrales indefinies , ce cas me paroit fe rapporter au
ProbUme des Tauiocbrones pris dans le fens le plus eten-
du i ainti j' appeilerai quelque fois ProbUme des Tau-
tochrones celui dont je m' occupe ici fans pourtant pre-
tendre par la rien ajouter a ce que de tres-grands Geo-
metres ont fait fur le ProbUme des Tautochrones pris
dans le fens ordinaire.

Son f I une fonftion integrate indefinie de jc jjj' , { &c.
& de leurs differences , & que fuppofant qu' il y ait une
Equation donnee entre ces variables , je cherche cette
equation d'apres 1' hipothefe que /{= /{~'~^{i^{
etant pris dans la fuppolitlon que 1' equation cherch<^e au
lieu.

Pour cela je fuppofe que x (bit devenu x -\- t x ^
ix=pyp~^tp &c. que y foit devenu j' -+- S^ &
dy = p , p' ■+- I p &c. que ^ foit devenu j •+- S { &
d ^ = p" , p -^ t p Slc.

y aurai d' apres le fecond volume des Memoires de la
Soci6te Roiale page 175, les equations (B) & (C),

La premiere feule devant donner 1' equation cherchee
Cntre les variables , & les autres fervant a determiner les
conditions paiiiculieres , 6i les limitations du ProbUme.

.la

3*

Soil maintenant T equarion (B), At x -^ Bty -H
C^ ^ . . . = o , il eft aife de voir qu' an lieu que dans
le Problime des ifoperimkrcs il faut , lorfqu' il n' y a pas
de fuppofitions etrangeres que A=o,Bz=oS>cC=o\f
il fuffic ici que A'^ x -^ B"^ y -^ ci i . . . . = o {^s
5x, ty, S{ . . . . etant lies entre eux par cette hipo
theie qu' il foient donnes par I'equation finie qui doit avoir
lieu entre les variables, (on A d x ■*• B' d y -i- C d { = o
la differentielle du premier ordre qui en nait , j'ai A 'H x
•+• B' \ y -t- C ^ { = o , d'oii fubftituant & egalant a zero
le coeficiens de ^ ^ & Sj)' qui reftent A B — B A'=o,AC
— C A' = o , & enfin A d x -+- Bdy-^Cd:( = o, fi
j'avois fait t x ■= A' hy , t x =s B' ^ i, j'aurois eu feu.

B C » > ^ B^v .

lement A -+< -— j- -H -^sr = o, aou. A -i- — ; H

A B dx ^

p J „ i

— ; — = o , ce qui revient au meme que ci-deflus , &

ax ^ . ' '

d'oii il fuit que lorfqu'on cherche la Solution la plus eten-

due du Prohleme ( c , a , d) avec la condition des S {■ ,

^ X , "B y donnes entre eux par 1' equation cherchee , ore

ne peut trouver qu'une equation entre toutes les variables.

11 femble d'abord que cette fuppofition n'eft pas legitime^

parceque A , B-' , C font finis par 1' hipotliefe, & que j'err

trouve des valeurs d'un ordre fuperieur , voici la lolutior*

de cene difficuke. Soit V = o \' equation finie , 8c

A'dx-^-B'dy-hCdi=o fd difference , que F^con-

tienne n tranfcendantes ou arbitraires , que A',B',C' en

contiennent n — i i & que je connoifle toutes les diffe-

rentielles de K jufqu' a celle qui elt algebrique ; il eft clair

qu' en fubftituant dans les A',B',C, les valeurs des tran-

fcendantes ou arbitraires qu'on tire de ces equations on

parviendra a une equation identique de 1' ordre n — i ,

ou k une de 1' ordre n qui fera la m^me que I'equatiorj

algebrique tirce de K= o , on aura done des valeurs de

/

33

A' , B\ C de Torare n — i , telles qui fi on fait A' t x -+■
i5' Sjy -•- C S ^ = o on ait une equation identique , en faifant
%x^=dxytyz=dy,tl = c/{,&des valeurs de
I'ordre n , telles qui li on fair encore Sx = </x,S^= dy ,
S ^ = ^ ^ on ait la propof^e , & c' eft ce qui arrive ici.
II fuit dela : i** , que les equations qui donnent les con-
ditions qui doivent avoir lieu entre les variables pour que
r integraie indefmie foit ou maximum , o\i minimum donnent
une folution particuliere du Probleme dont je traite j mais
qu' il faut mettre dans 1' equation {B) dx pour S x, dy
pour ^ y &c. , lorfqu'on veut avoir la Solution generals :
a", que lorfqu'une fonftion n'admet point de maximum,
parceque les equations , dont le nombre egale celui 6es
variables , ne peuvent pas fe reduire a une de moins, la
folution du Probleme aftuel ne peut-etre complette , mais
qu'on pent en avoir de particulieres ; & que dans la me-
me hipothefe , (i j' ai une equation definitive pour le ma-
ximum en x feul , une en y , une en ^ de l' ordre n , &
que les integrant il entre dans les arbitraires une fonftion
x , dont la difference foit conftante , j'aurai une equation
en X & ^ , ou X & ^ , & le Probleme fera refolu cora-
me fi les equations s' etoient reduites a une de moins } il
doit arriver cependant dans le meme cas que T equation
pour le Probleme des Tautochrones n' ait pas de folution
complete: 3°, qu' il peut arriver que le Probleme de ma-
ximis & minimis ait une folution , & que I'autre n'en ait
pas. Mais il faut entendre c^la feulement d' une folution
abfolue , car en coniiderant les folutions qu' on pourroit
avoir , en prenant entre les variables une equation inde-
pendante du Probleme , il ell aife de voir que le Pro-
Heme de maximis a reellenient une folution moins etendue :
4° , que lorfqu' il n' y a que deux variables , & les deux
equations, pour le Probleme de maximis fe reduifant a une,
la folution de celui des Tautochrones fe trouve etre abfo
Mifc. Taur. Tom. IV. e

9*

lument la mime , \ V exceprion de la determination dcs

arbitraires.

Soit r equation ( C ) pour le cas de maxima , & mi/ii-
-ma, j'ai naturellement i m . ( n — i) de quantit^s arbi-
traires , m d^fignant le nombre des variables , 8f n I'ordre
de la fonftion Z , & celui des conditions a remplir eft
« m — I , parcequ' il y en a une qui fe determine * eo
prenant une valeur determinee d' une des variables qu'on
luppofe ^tre reftee dans l' Equation (C) apres les elimi-
tiations oil conduit I'^quation {B). Dans la m^me hipothife
on a pour le Problime des Tautochrones n . ( m — i ) — i ,
conditions , & i n arbitraires. Ces feules conditions font
indifpenfables , fi on veut encore que x etant z6to , par
exemple fZ foit encore le meme quelque equation qu'on
fuppofe entre les variables , on aura pour le premier cas
n m nouvelles conditions , & n. ( m — i ) pour le fecond,
Toutes les fois que dans ces fuppofitions le nombre des
conditions furpaffe celui des arbitraires , le Problime en
general n' admet pas de folution ; au relle il faut dans
chaque cas particulier verifier les equations , parceque la
determination des arbitraires fuffit dans quelque cas pour
un plus grand nombre de conditions , & que la valeur de
ces arbitraires peut reduire les Equations entre les varia-
bles ^ n' avoir pour lieu que des points conjjgues , ce
qu'on ne pourroit regarder comme une vraie Solution,

Lorlque le Probleme pris en general n' a point de folu-
tion il faut le confide rer d' apres certaines hipothefes qui
le limitent. Ainfi dans le Probleme des maxima , on fuppo-
fera ou que les valeurs des S x , ^ y &c. t dy ,t d x &c. &c.
foient nuls , foit pour la valeur ou Ton fuppofe que f Z
commence , foit pour celie ou elle fe termine , ou biea
-on fjppofera des equations entre ces quantites pour les
memes valeurs , & aiors ce ne fera plus en general entre
toutes les valeurs de f Z qu'on cherche la plus grande.

35
raais entre celles ae toutes ces valeurs qui font aflujetties

^ certaines conditions dans celui des Tautochrones , on

pourra faire les mdmes fuppofitions avec cette difference

qui refte toujours un i x ou ^ y que ces conditions n'af-

fcftent point : i" , que ces conditions ne font pour une

valeur unique, qne pour celle des deux valeurs, entre

lefquelles on prend if Z qui refle fixe , mais que comme

Tautre ne 1' eft point , ces conditions pour cet autre

s' etendent a toutes les valeurs des variables: }*,queles

conditions de la premiere efpece limitent 1' equation fans

limiter le Probleme , & qu' il n' en ell pas ainfi des

fecondes.

Lorfqu* il refte des arbitraires dans 1' equation du Probleme
des Tautochrones , chaque determination donne une folution
egalement complette du Probleme , raais dans celui des ma-
xima chaque determination ne donne le maximum ou mi-
nimum , que pour les cas oii les variables ont entre elles
pour un nombre determine de points les conditions neceC-
iaires pour cette determination.

On peut en general dans le Probleme des maxima &
minima , fuppofer que les equations ( B ) ^tant fubftituees
dans Z , on aura 1' expreflion de fZ en une fonftion fi-
nie d'une des variables, mais dans celui des Tautochrones
lorfqu' il y a plus de deux variables , il faut de plus pour
que le Probleme foit vraiment poftible , en general qu'on
puifte avoir fZ exprimee par une fonftion finie de plu-
fieurs variables , ce qu'on peut connoitre fans integration,
en effet fans cela on a bien en general les equations ne-
ccflaires pour que fZ ait les conditions demandees , mais
on ne fait ce que peut-^tre fZ, & elle a une valeur
abiolument indiJtermin^e.

Apres avoir confidere la formule fZ , je puis confldd-
rer celle ou j' ai Z' donne par une equation differentielle
entre cette fonftion , & les variables, fur quoi je remar-

e 1

3$.

que , que 1' equation dtant du premier ordre , multipliant
par le fafteur qui la rend une ditFerentielle exafte , inte-
grant par partie pour avoir les equations de condition ,
j'ai une Equation {B) qui eft A I Z' -+- B^ x -h CI y
-4- Z? S { &c. A , B, C , D, contiennent le fafleurj cela
pofe , j'ai pour le Problime de maximis & minimis: i°,
r equation dorinee en Z , & les variables : a" , les equa-
tions ^ = o,5 = o,C=o,2? = o &c. , & (up-
pofani dans les dernieres equations 1' equation donnee ,
j'en elimine les differences partielles du fafteur , j'eliniine
enfuite ce fafteur lui meme par les methodes connues, &
j'ai un nombre d' equations egal a celui des variables pour
celui des Tautochrones , puifque les I x , I y , I i doivent
etre donnees par une Equation A I x -+■ B' ly -+- CI i
&c. = o , repondant a 1' equation cherchee A' d x -^
£' dy -h C d ^ . . . = o, j'aurai toujours pour ce Pro-
bleme I' equation donnee A=o^ScBdx-+- Cdy •+■
/? J ^ . . . = o , d' oil j' eliminerai le fafteur de Z' , &
j' aurai 1' equation cherchee entre les variables. Si I'equation
eft d'un ordre fuperieur , je cherche les memes equations
de condition pour celle du premier ordre qui y repond ,
& comme elles contiennent les fafteurs dont on auroit befoin
pour les rappeller a cet ordre, on les eliminera par I'equa-
tion qu'on a pour chaque fafteur , afin que la propose
devienne une differentielle exafte de Z' & des variables,
niais dont 1' integrale puiffe contenir des integrales indefi-
nies des fonftions de ces dernieres.

Dans le Probleme des Tautochrones , il faut que 1' equa-
tion en Z' devienne poflible apres les fubftitutions , ce qui
arrive naturellement dans celui des maxima ; je n' entrerai
dans aucun autre detail, parceque, ce que j'ai dit ci-deffus
fuffit.

Si Z' eft donne par une' equation qui contienne des dif-
fi^rences partielles de Z' , comme on peut regarder les dif-

ferences comme des fonftions finies & inconnues des va-
riables , on aura egalement d' apres ce que j' ai dit les
equations de 1' un & de 1' autre ProUime.

Si Z' eft donne par une equation aux differences finies
abfolues , j' ai pour le Problime de maxima les equations
demandees , en egalant a zero les coeliciens deJZ',S;e,
Jy , S { . . . dans r equation ( B ) , mais pour celui des
Tautochrones , je fais comme ci deffus A' d x -*- B' dy -+-
C d ^ = oy A' on A I X -^ B'l y -^ C ^ I = o , (uh-
ftituant j'ai A' , B' , C ^ Sc fuppofant les differences infi-
niment petites 1' equation A' = o , B" d x ■+• C dy •+■
D"di = o. A', B", C", D' etantceque deviennent
A ^ By C , Z> , par cette fuppofition integrant cette equa-
tion , il faut qu'elle foit telle, que mettant pour ^', 5', C,
leur valeur finie , les equations B' B — A C = o , C C —
A' D = o y A = o , fe trouvent avoir lieu.

Enfin foit Z donne par une equation en Jf ,jy, { &c,,
& Z', Z" donne par une pareille equation, & qu'on cher-
che les equations pour que Z" donne en Z' & Z" , foit
dans le cas d'un de nos Problemes , on e'iminera Z' & Z"
par les deux premieres equations, & on traitera 1' autre
comme ci-deffus, cette derniere folution qui paroit n' etre
qu'une fuite tres-fimple des precedentes donne celle des
Problemes que M. Euler a r^uni fous le tilre des Metho-
dus maximorum , & minimorum relativa , & tous ceuJC de
•ette elpece qu'on voudra fe propofer.

A'' Ribemont te ii Mai 1768^

e 3

^ EXEMPLES DES METHODES

Precedentes pour V integration,

V

J ai cherche a reunir ici dans quelques exemples d' inte-
grations particuli^res les difFerentes operations qu'exige la
methode generale d' integrer que je propofe. II y en a
plufieurs dont je n' ai point fait mention parcequ'elles
n'ont lieu que pour le troifieme ordre , & que cet ordre
demande une trop grande quantite de calculs , ou parce-
qu'on pourroit les employer pour refoudre les exemples
que )' ai propofes , & que ces exemples une fois detaill^s
pour une maniere de refoudre le Problime ne prefentent
aucune difficulte pour 1' application des autres.

Exemple premier.

Soit r equation x -4- z xy^ - z xy - a xy . dxdy

4 x^' - 1 Jf* dy*

-♦■ ijcy — ix-t-4 x^jy* - 4 xy* -+• 4 xy"- - z x^ . dy^Jx

-+- 1 xy dydx''

•+- dx' = A dy ■+• B :t=z o.

& que je cherche Ady -+- B' d' apres ces conditions
qu'elle foit la differentielle exatle d'une fonftion du pre-

mier ordre & que — = --t- en fuivant le precede du/'ro-

bleme premier je trouve A =—, —-r-, r & par

' xax' ■+■ 4 x^ydydx ■+■ 4 x'y^dy^ ^

ji! B
conftquent B'z=i — -^ — enfuite par les procedes du Problime fe-

, X-*- 1 y^x-r xy-% xy "^A^yp ■+■ 4 .v^y^p'-i xp-^xy^-ix^

conu . d p —

. X ■*• 4 x'yp -t- 4 xYp^ ^ ■*■ 4 x^yp "*• 4 *]y/'*

3)

-*- I ■+- 4Ary/^' -^■ i.\y/> - li'/x - 4>'y-*" "*- 4>''/>'a- ,

d y ; r-T—^ . d x

•^ ■* -*- 4 xyp -*- 4 A >' /"

rendant cette equation homogene comme je le propofe

Ohfervation II. & faifant difparoitre le denominateur les

variables y monteront au fixieme degre , 1' int^grale fe

trouvera done ecre une de celles des tables pour ce de-

vxi, & fera ^ ^ -^ -^ N , Sc cette

fonftion dgalee a zero doniiera une des integrales cher-
chees du premier ordre. Je cheTche enfgite la feconde

valeur de A & je irouve A' == A: x -+-jy dx'-

x-ixy-4-6jy*-J-2 x'y dydx -+- 2 x'^y — 4 x'y' -H 8 x'y^
dy^ & par la m^me methode du ProhUme fecond je trouve

la fon6lion x -+- 2 xy^ — 2 x'y — i xy dp -t- 1 -i- x xy
-+- a^* -1- 10 xyp — 2 j:^ <= 4 x'p - 4 jy^^'p -+- 4 xy^p

•4- 11 xy'p - 2 .v^p^ -4- 1 2 .x'j'*p* - 8 xyp'- -J- 16 xyy-

dy •+• I -t- p — 1 yp ~f- 1 y* dx : x ■+• y ~>i- x - xxy

-i' G y- -^ % x'y p -h z x^y — 4 x'y"^ -+- 8 x^'y^ . p' la
fuppofant homogene & multipliee par fon denominater elle
fe trouve monter au 8 degie , fon integrale eft done

parmi celles de ce degre, & eft (y -t- .v -+- xp - 2 xyp

-+- 4 xy^p - / I -+- 2 xyp -h y* -*- N' , qui etant egalee
a zero donne la feconde integrale de la propofee , & raet-
tant dans cette ieconde integrale la valeur de p prife

1*^— ===

dans h premiere elle devient ly 4- xlx -^ N - 1 ■+■ y'
•♦* iV == o integrale generale & fmie de la propofee.

4»

Exemple fecond.

Soit r equation x -^ y -^ xy -i~ x'y -+- xy^ Ix dx -+•

jt* -(- x' -4- xlx -h xylx dy = o . Je pourrois en dif-

f^rentiant faire difparoitre /x, j'aurois alors une equation du

focond ordre . La propofee en donneroit une des integra-

les , & trouvant I'autre comme ci-deflTus j' aurois celle de

la propofee ; mais puifque Ix ne contient point de difFe-

rentielles on peut employer la methode fuivante. Je cher-

che d'abord A dy -k~ B dx fonftion differentielle exafte

de X & de ^ & telle que la propofee etant A dy -^ B dx

A' A
= o -sr = R • J^ trouve Problime premier ^ en fuppofant que

be entre de meme que x Sc y dans les fonftions ratio-

nelles , A' = — ce qui me donne B' appellant

maintenant Ix = { &c dx = xd^ & fuppofant que A'dy
■+■ B'dx -f- B'dx - B"xdi eft une fon6tion differentielle

exafte de x , y , ? , ie trouve B" = & la

- „. vJz I ■*- y -*- xy -h y^z , x -^- x^ -*- z -*- xvs .

fonction — 1 — -- dx h ~dy

I -t- X -t-yz 1 -1- X -*- yz 1 -t- K ■*• yz '

qui iwnx. integree donne Ix -t- j'^ -h i -+- xy-i-N,

& par confequeni 1' iniegrale cherchee de la propofee eft

Ix •+■ yLx -j-i -4-xy-+-iV=o.
Exemple troijieme.

Soit r equation dx -f- 6 ydx -+- ^ xdx . d*y -t- j^ dy*
-4- \6 dxdy'^ -t- II dx^dy ■+■ ^ dx' = o. Con(er-
vant les m^mes denominations & fuivant les mfimes
proc^des ^ue pour les exemples preceiens je trouve

41

Arsi — ; — ; ;-cherchant une autre valeur de^'elle

4 dy^ ■♦• I a ax ay ■+• 9 //**

. dx -^ dy -^ K xdv -*- z ydy -t- 3 xdx . A ,

fe trouve 5-7- — , , . ,' '^-, — 7-, la premiere

, , I -H 6y -t- 9* <3'/!'-t-4/''-t- 6o</y-+- iop'-»- 21^-^9 Vat
valeur me donne ^^ —^ — - —

I -I- p -*- -^ xp ■+■ zyp ■^- I X ■

& la feconde eft \ ' y -^>' ^ i^ y^ey+^xdp
°fi ■+- 36/;' •+- 54/» -*- 27 y 7 r

►4- 4 /)'-*- 6 piy -4- 10 p -h zi p -h cf dx done ces deux
fonftions egalecs a zero donnent une meme equation
en X , J , p , done elles one une integrale algebrique ,
done divifant 1' une par 1' autre & egalant a A'^ le quo-
tient on aura une des integrales de la propofee done ici
dx ■*■ dy -*- <: xdy ■<- 2 i'</v -»- 3 xdx .^ „ ,

^-r-^ 7^^ '4- iV = o eft une des

z dy -*- ^ dx

integrales de la propofee : la mettant {bus la forme A dy

-4- B dx je trouve que A = 7-, , & que I'in-

' * X -^ y -^ N *

tegrale finie eft/y -+- x -+■ N -¥ %y -^ t, x-^ iV= o.
On trouve par cette methode le moyen de connoitre en gene-
ral fi deux valeurs de A repondent a la meme integrale al-
gebrique & de trouver cette integrale fans avoir a ve«
rifier aucune equation , ce qui eft beaucoup plus avanta-
geux que ce que j' avois propofe dans la remarque
N." I j on peut appliquer le precede que je viens d'em-
ployer dans cet exemple aux cas dont fai parle dans la
premiere obfervation , avec un fucces egal.

Exemple quauieme.

Soit r equation dx - i xdx - i xdy ddy -h i dx' ■*
dydx' -h X -h J dy - ^ dx — x -*- y'-dx dx'^ d'^y
**• dy^ — dxdy — ydydx, — xdydx ■+■ ydx'' -H xdfc*

— 2 dx'. z dx - dy -i- xdx ~t-ydx dy -+- dx^ -+- dydx*
■+■ xdydx^ ■+- ydydx* - ^^^' - ■>^'^>^' -•- <(k' - ^/^-^ ""
ydydx - xdydx ■+- j^x^ -+• ;if(^x^ - i </x' Jj' - x i/x^y

— 1 (^x* — ydxdy — xdydx = o .

Je prends y^W'j -+- B' fonftion difF^rentielle exafte &
fflivant pour ce cas les procedes du Probleme premier j ai

z' =z J^ X '*' /[y - 1 x df - ly dy - 4 -A^ •*" ^ -•- '^ -•■>
</a- tix dx dx'

dz

. & r integrale de A' dy h- B' fera

e^y ■*• X ■*- y •*- z

apres avoir rendu cette fonftion differentielle exafte de

X , y, p ,& {• I p ■+■ X -h y ■+■ i-x ■+■ N' = o la
feconde valeur de ^' trouvee par la meme methode fera
I ■*• dz - /> ~ z - pdz — z dz
dp dp dp

— — . — i- & la feconde jnt^grale

> nil 43

/^-+-^— iX-;)-{^iV= o; Tuant de la
premiere la valeur de /? & la fubftituant dans la feconde
en aura l' integrale finie & complette ; il eft aile de voir
qu'au lieu de ces deux integrales on pouroit avoir la fe-

conde & une trolfieme / p' -+- z ^^ -+- j* -+- x/? -*- yf

-f-jc^-t-jC- 3.r-/7-f-t- N' = o j or on ne peut
tirer la valeur de p d'aucune des deux j pour avoir done
une equation ou cela foit poffible on les ajoutera enfem-
ble en en multipliant une par m quantite conitante & on aura

I f'- -^ 2 />{ -+- {^ -I- -vp -4- ^p -+- X{ -t- _y{ •+- « If

t-^— }X— /J-^-i/nx-m/J-m{ -+- N" = o
equation d' ou on peut tirer une valeur de f en faifant
m ■=■ — \ .

Je crois que ces exemples fuffifent pour donner une
idee de la maniere d' employer la methdde generale , &
que quelques uns d' entre eux echappent aux methodes con*
nues jufqu' ici.

SOLUTION "

ly un Probleme d' Arithmitique
Par M. de la GRANGE.

J-/e Probleme que j'entreprenJs de refoucire dans ce Me-
moire eft celui-ci : Etant donnc un nombre quelconque entier
& non carre trouver un nombre entier & carre , tel que le
produit de ces deux nomhres augmente £une unite foit un
nombre carre. Ce Probleme eft un de ceux que M. Fer-
mat avoit propofes , comme une efpecc de defis , a tous
les Geometres Anglois , &: particulieremenr a M. "Wallis,
qui a ete le feul , que je fache , qui I'ait refolu, ou au
moins qui en ait public la folution ( Voyez le Chapitre
xcviii de fon Algebre & les Lettres xvii & xix de fon
Commercium Epifiolicum ) ; mais la methode de ce favant
Geometre ne coniifte que dans une efpece de tatonnement,
par lequel on n' arrive au but que d' une maniere afles
incertaine , & fans Hi voir meme fi on y arriveraj d'ailleurs
il faut demontrer furtout que la folution du Probleme eft
toujours polTible quel que foit le nombre donne, propofi-
lion qui eft generalement regardee comme vraie , mais
qui n' a pas encore ete etablie , que je fache , d'une ma-
niere folide & rigoureufe j il eft vrai que M. "Wallis a
pretendu la prouver , mais par un raifonnement que les
Mathematiciens trouveront bien peu fatisfaifant , & qui
n'eft, ce me femble , dans le fond qu'une efpece de pe-
tition de principe ( Voyez le Chap. xix. de fon Algebre).
II s'cnfuit dela que le Probleme dont il s agit n' a pas.
encore et^ refolu d'une maniere fuffifante , & qui ne
laifle rien a delirer j c' eft ce qui m' a determine a en.
Mifc. Taur. Tom. IK. f

41

faire 1' objet de mes Recherches , d' autant plus que (blu-
tion de ce Problime elt coinme la clet de tous les autres
Problemes de ce genre.

I. Soit a le nombre donne non carre , jy* le carr^
cherche & x' un autre quarre quelconque , la queftion fe
reduit ^ fatisfaire a cette equation ay'- -¥■ i = x* , en
ne prenant pour x &c y que des nombres entiers ; ainfi
il s'agit de trouver deux nombres entiers x Sc y tels
que X* — ay'- = i .

Qu'on tire la racine carree de a par approximation ,
& r on aura une fraftion d^cimale qu'on pourra changer,
par les m^thodes connues , en une fraction continue , la-
quelle ira neceffairement a I' infini, a caufe que ^a eft
une quantite irrationelle par 1' hipothefe.

Pour cela il n' y aura qu'a divifer d'abord le numera-
teur de la fraftion trouvee par Ton denominateur , enfuite
le denominateur par le rerte, & ainfi de fuite, en prati-
quant la meme operation , par laquelle on cherche la plus
grande commune mefure de deux nombres , &c nommant
^ , <i' 1 q t q"' &c, les quoiiens qui refultent de ces diife-
rentes divifions , on aura

V a = a -\ —'

-+- -77 -»- -:77 -H Sec.
q' q"

Or cette fraftion continue etant interrompue fucceffi-

vement au premier terme , au fecond , au troifieme &c.

donnera une infinite de fraftions particulieres que je de*

r . m M m' M ^ ,, •

lignerai par — > ~sr 5 —n ^ &c., auxquelles ajoutant

la ftaftion — , on aura cette fuite infinie de fraftions
o '

__!_ jw_ M^ m' M m" M" m"' M"
o' «' N' n' ^ 1^ "> IF "> "W ~^ '' IvF
qui feronr telles que

&c.

43

m = ^

M

- /

m •*' 1

N - ^'

n

m'

-4'

M -h m

n' -^"

^■ -4- /2

M

r=f

m' ^ M

N' = q"

«' -+- iV

m"

- f

M -4- m'

n" — f

N' -4- «'

M"

■= i'

m" -+. M

N" — y^

«" -4- N

&c.

&c.

Ces fortes de fraftions ont plufieurs propriet^s qui font
connues depuis long-tems des Geometres , mais que nous
croyons devoir rappeller ici^ en peu de mots , parceque
nous en ferons un grand ufage dans la fuite.

1° Les numerateurs i , nif M, m, M' &c. forment
une ferie qui va continuellement en augmentant j & il en
eft de meme des denominateurs o , « , N , n, N' &c.

2° Les fraftions — , —r » — &c. font toutes plus
n n n *

petites que la valeur de la fraftion continue d' ou elles

refultent , valeur qui dans notre cas eft v' a , mais elles

s'en approchent toujours de plus en plus. Au contraire

les fraftions — , -^ , -tt; , -Cj- &c. font toutes plus gran-

des que la meme valeur , vers laquelle elles font aufli
conftamment convergentes. Et chacune de ces fra£lions
en particulier , foit qu'elle foit plus grande ou plus petite
que y/ a approche davantage de cette quantite qiie ne fait
aucune des fraftions precedentes , ni que pourroit faire
aucune autre fraftion quelconque dont le denominateur
feroit plus petit.

3° Si on multiplie en croix toutes les fraftions voifines,
& qu on retranche les produits I'un de I'autre , on aura
dans toute i' etendue de la ferie

in— 0 m = 1
Mn — Nm = I
Mn -^ N m = 1

44

M' n' ^ N' m = I

M' n' — N'm"= 1

&c.
d' oil Ton voit que les nombres m , n , M, JV, m\ n Sec.
ne peuvent avoir d'autre divifeur commun que 1' unit^ ;
& qu'ainii les fraftions done il s'agit font toutes reduites
a leurs moindres termes.

A/T *n*

» Cela pofe , puifque V a < — ^ & >• —7- , fi on fait

M_A M-^ m' ,

v' fl = — -; — , on aura A >> o , & — 7^ — >> — - j done

J\ j\ »

-Tr<TCi r<TT-; (a caufe de M« — JV/w' == i ) i

done A <C ~ » 8c comme n > A'^, on aura a plus forte
n

raifon A <; -rj^. En fuppofant de meme v a= — j^ — =s

^^j; &c. on prouvera que A >• o ix < -rr- , A

> o & < — &c,

Pareillement , a caufe de v' « > — & •< —rr i fi on

r • / m -*~^ - „^ A/ «»

rait V a =■ on aura S >> o & — ■< -v?

» n N n

<C TT- } clone aufli , h. caufe de7V>;2,S<;-i &

Ton prouvera de la meme maniere qu'en faifant \/ a =

= • &c. on aura S>'0&<-, S ^o

n tr n

& < -4r &c.

n
Coniiderons maintenant la formule x^ — ay'-, & fub-
ftliuons fucccfllvement dans cette formule les nombres

45
M, M\ M" &c. a la place de x , & les nombres cor-

refpondans iV, N' N" &c. a la place de^ , en ncnimant

Z , Z', Z" &c. les quantites qui en refultent ; nous

aurons d'abord M'- — aN^^=^Z^ mais a =: ( — -- — )- ,

done Z = 1 M A — A* ; done puifque A > o & <

-rr^ fera auffi >>• o & <: — rr— i on aura de meme

Z' = M'- — a N''- = z M' A — A'-, & par confequent

1 M'
Z' > o & < i & r on prouvera de la meme

maniere que Z" = M"* — a N"^ > o & < „ &

M M' M"
ainfi de fuite. Mais les fraftions -rr-p , -rr- , -rrr Sec. for-

ment une fuite decroiflante & convergente vers */ « ;
done les nombres Z , Z', Z" &c. qui refultent de la ful>
ftitution de M , M\ M" &c. a la place de jc & de iV",
N\ N" Sec. a la place de y dans la formule x' — ajy%
& qui font par con/equent tous entiers , feront auffi ne-

■2.M

ceflairement tous pofitifs & moindres que -r- . Or ces

nombres Z , Z', Z" &c. font en nombre infini , parce-

que le nombre des fraftions -tt— , -rr— , ^r^ eft infini : done

puifque il n' y a qu'un nombre fini de nombres entiers
pofitifs , & moindre qu'un nombre donne , il faudra ne-
ceffairement qu'une infinite de ces nombres Z , Z', Z" ike.
foient egaux entr'eux.

Ainfi on aura par ce moyen une infinite de nombres
difFerens a fubitituer au lieu de x & de j' dans la for-
mule x' — ^y'i de maniere qu'elle elt toujours une

meme valeur pofitive, & moindre que -rrr-.

Si au lieu de fubftituer a la place de x Scde y les nombres
M, M', M" &c, & N, N\ N" &c., on y fubftituoit les nom-
bres m, m', m" &c. & n, n, n" &c. , & qu'on nommat |^ ,
j', ^" &c. les valeurs refultantes de x^ — ay^ on auroit

J = OT* — a n^ = I en mettant ( y a la place de

a ] — 2 m ^ — 5% d'oii Ton voit que { fera n^gatif ,

& qu a caufe de S <C - , on aura — z <C — -H x .

On trouvera de meme :j^' = i ml' -~ S'*, & par con-

fequent £'<:o& — {' < — 7-t- ii& aiiifi de fuite

k. r infini.

D'ou Ton conclura comme ci-deflus , qu' il y a niceC-
fairement une infinite de ces nortibres m , m', m Sec. &
n , n, n" &c. qui etant fubftitues a la place de x & de
y dans la formule x* — ay^ la rendront egale a un me-
me nombre entier negatif, & compris entre o & —
2 m

— — I
n

4 Nous denoterons en general par x , x', x", x" &c. , &
par y , y\ y'\ y'" &c. } tous les nombres qui etant fubftitues
dans la tormule x* — ay' la rendent egale a un meme
nombre quelconque entier pofitit' ou negatif, que nous
appellerons R ; enforte que Ton ait les equations x' —
ay' = R, X' — ay' = R , x"' — ay"' = R , x"'»

— ay'"'' = R &c. , dont le nombre fera infini.

J. Lemme. Le produit de ces deux quantites x* — a^*
& x' — ay'' ell ( x x' -i- ayy' )' — a ( xy ■:*~yx')'i
car (x" — ay') ( x' — ay') s= x' x'^ -h a' y' y-

— ay' a'' — a x' y' = x'x' rf- 1 a x x y y' -»- a' y' y'

— a x'y' ^ r a xy x y — ay' x'* = ( x x' ^ayy')^

— aixy' ■± yx'y.

47
D'oii r on voit que le produit de deux quantltes de

Cette forme x* — a JkN ^ dtant une quantite donnee, eft

toujours auffi de la meme forme ; & qu'ainfi le produit

d'autant des quantit^s de cette forme tju'on voudra fera

encore de la meme forme.

Done on aura ( x' — ^^y^Y i= (x'- -h ay'Y — ■
a (ixj)S (x* — ay^y = (x' H- 3 a x j' )' —
<» (.'i ^'y "+■ ^y'Y i Sc aiiifi des autres.

6 Suppofons d' abord que R 8>c a foient premiers
entr'eux, & multipliant enfemble deux quelconques des
equations de Vy^rt. 4 , on aura ( Lemme )

R- ■={x x ->t- ay yy — a{xy'-^yx'y ... {A).

De plus les memes equations donneront celle-ci :
R (y — j' ) s= X* j'% fayoir , a caufe de ;c*y* —
y'' *'* == ( xy' -¥• y x'^ ( X y — y x")

R (y —y' ) = (xy' -^yx') (xy'-^yx')... (B),

Or foit 1° R un nombre premier quelconquej il fau-
dra, en vertu de I'equation (B) , que xy' •+- y x' ou
xy — y x' foit divifible par R ; foit done xy' -+- y x'
.= ^R, & i'equation (^) deviendra i?^ = (xx'H- a J' y)»
— a q^ R^ ; d'oii I'on voit que {x x :4- ayy'y eft di-
vifible par /?% & que par conlequent x x ~*-ayy' eft
divifible par R ; done failant x x -*~ ay y = p i? , &
divifant enfuite toute i'equation par i?^ on aura
I = f * — aq^ .

7. Soit ■i.°R-=^AB^A^B etant des nombres
premiers, il faudra en vertu de I'equation (^), que
X y' -^ y x ou xy — y x' foit divilible par i? ou bien que
I'une de ces deux quantites Ibit divifible par^& i'autre par B.

Le premier cas rentre dvidemment dans celui de MArt.
precedent , & donne par confequent le meme refultat.

Dans le fecond cas on aura x y' -^ y x •= qB, q
n' etant point divifible par A; & I'equation (^) deviendra
A^ B'^ = {xx -i: ayy'y — a q^ B^ ; de forte que at *■'

4^

rh ayy fera aufli divifible par B ; done faifant x x' -iz
ayy z=i p B , Sc divifant toute 1' liquation par ^* , on
aura

^' = ;?• — af (C).

Or comme ^ n'efl: pas divifible par A , & que a ne
I'eft pas non plus ( hip. ) p ne le fera pas , de forte que
/4 , p Si. ^ feront premiers entr'eux.

Qa' on premie maintenant une autre quelconque des
equations de VArt. 4. , comme R = x"' — '^y'^' 5 &
qu'on la combine avec 1' Equation R = x' — a_y% en
operant fur ces deux equations, comme nous venons de
faire fur les equations R = x' &c - ay^ i? = x'^ — ay'"- ; on
aura des refulrats analogues aux precedens , dont on tirera
par confequent des concluiiops femblables. Ainfi il faudra
que I'une ou I'autre de ces quantites x y" -+- y x'\ x y"
— y x" foit divifible par R , ce qui fe reduit au cas de
VArt. 6.; ou bien que I'une le foit par A, I'autre par
B . Done faifant dans ce dernier cas x y" r*r y x" =s
q B y & enfuite x x" rh ayy" = p B ^ on parviendra
de meme a 1' equation

A^ — p'^ — aq" iD)

dans laquelle A , p &c q feront auffi premiers entr'eux.

Or les deux equations ( C ) &: {D) donneront ces
deux-ci

A'^ipp-^aqq'Y — aipq-^qp'y . . (£)
A'iq'' — q') = (,pq^qp') ( P q' — q P • • ; (F)'

Aiiifi , a caufe que A eft un nombre premier , il fau-
dra, en vertu de I'equation (F), que I'une ou I'autre
des quantitcs p q -+■ q p, p q — qp ^o\t divifible par y^% ou
bien que i'une & i'autre foient divifibles en mcme terns
par A\ niais alors il faudroit aufli que leur fomme z p q
{ut divifible' par ^, ce qui ne peut etre ( a caufe que
ni /J, ni q n'eft diyiiible par A) a moins que A ne

foil = 2.

Suppofons

49

Suppofons d'abord que A foit aiff^rent: de i , & Ton

aura neceflairement p q -4- a q p = s A'' , ce qui reduit
I'equation (£) a celleci: A^ = {p p i+: aqq'Y —
a s^ A*, par laquelle on voit que p p ^- aqq doit auffi
^tre divifible par A'' ■, de maniere qu'on aura/J/j' i+r a y ^'
^ r A'-, 8c par confequent en divifant toute Tequaiion par A^

I = r' — a J*

Si A etoit = 2 , alors comme q Sc q' font premiers
^ A , ils feroient tous deux impairs ; par confequent
leurs Carres feroient chacun un multiple de 8 augmente
d' une unite ; de forte que la difference de ces carres
feroit neceflairement un multiple de 8 ; on auroit done
q" — -^' = 8/72, & I'equation {F) deviendroit, a caufe
de A ^= 2, 31OT =s {p q -t- q p') {pq — ^ P ) i ^^^^
il faudroit neceffairement que I'une ou I'autre des quan-
tites p q •+■ q p , p q — q p' fut divifible par 4,c'eft-a-
dire par A'- comme dans le cas precedent.

8 Soit 3° R = ABC. Ay B , C etant des nombres
premiers; done il faudra, en vertu de I'equation {By
que I'une ou I'autre des quantites x y -^ y x\ x y

— y X foil divifible par R , ce qui rentre dans le cas
de VArt. 6 ; ou bien que I'une foit divifible par A , &
i'autre par BC. Soit done xy -+- y x = qB C, &
I'equation {^A) deviendra A^ B^ O = ( x x' -+- ayy')*

— aq^B^O; de forte qu'il faudra aufli que x x' ::*- a^y'
foit divifible par B C ; done id^\(a,nt x x -*-, a y y = p B C,
& divifant toute i'equation par B'^ C on aura A^ = p- — a q"-.

Si on combine de meme I'equation R = x^ — ay"
avec I'equation R = x'' — ay"'- {Art. 4), & que ni
I'une, ni I'autre des quantites xy''-''+- y x" , x y' — y x"
ne foit divifible par R , on parviendra par la meme me-
thode a une equation de cette forme k^ = p'- — a q'- ,
k etant Tun des fafteurs de R. Done Ci k =: A on aura
deux equations qu'on traitera comme on a fait ci-deflus
Mifc. Taur. Tom. IV. g

IP .

les Equations (C) 8c (D) Si k= B , on combinera
les equations R = x'^ — ay'^ Sc R = x''' — aj"' ,&C
{i cette combinaifon ne donne pas le cas de PArt. 6 elle
donnera necelTurement une equation de cette forme ^'* =:
p"^ — a (}"'■, k' econt I'un des trois fafleurs de R.

Done Ct k' = A on = R , on aura deux equations
analogues aux Equations (C) & (D)i mais fi A:' =sCil
faudra prendre une quatrieme equation telle que R = x'"*
— aj"^, & la combiner avec quelqu'une des pr^ceder.tes
pour avoir ou le cas de VArt. 6 , ou au moins une nou-
velle equation de cette forme k''-=p'"'- — a^"''-,k" etant
egal a y^ ou a ^ , ou a C ; ainfi quelque foit k" on
aura necelTairement deux equations analogues aux Equations
( C ) & (D) , par lelquelles on pourra refoudre le Fro-
Heme ( Art. 7 ) .

En general il eft evident, par tout ce que nous avons
demontre julqu' ici , qu'en multipliant enfemble deux quel-
conques des equations de VArt. 4 , on aura ndceffairement
ou une equation de cette forme i = f * — ay* comme
dans VArt. 6 , ou au moins une equation de cette autre
forme /;- = ^- — aq"-; k etant I'un des trois fafteurs de
R . Done fi on prend quatre des equations de VArt. 4 ,
& qu'on en forme quatre produits differens, on parvien-
dra neceflairement a 1' equation i = p^ — a^*, ou au
moins a deux equations de la forme k^ = p' — «z ^* »
A* = p"' — a y'^j qu'on traitera enfuite comme on a fait
plus haut les equations (C) & ( Z? ) .

9. Soit 4°R = ABCD,A,£,C,D ^tant des
nombres premiers , il faudra en vertu de 1' equation (B)
que I'une ou I'autre des quantites xy'-t- yx',xy' — jx'
foit divifible par R ; ou que I'une ibit divifible ieulemenc
par BCD, & I'autre par A; ou enfin que I'une le foic
feulement par C D ^ &c i'autre par A By ce qui donne
trois ca$ dilTerens.

5»

Dans le premier cas on aura d'abord, comme dans

Vy4rt. 6 , I = f* — a (j^.

Dans le fecond cas on aura , comme dans 1' ^rt. 7 ,
en mettant B C D an lieu de B ^ ^^ = p^ — a ^\

Dans le troilieme cas on fera xy' -+: j x' = qCD^
& r equation {A) deviendra A"^ B'- C D' = (x x'
•±: a y y y — a q- C' D^ ; de forte qu'on aura aufli x x'
**" "■yy = pC D; & par confequent en divifant route
r equation par C- D'^ ^ A^ B- = p' — a q^.

Qu'on prenne done cinq des equations de VArt. 4 , Sc
qu'on les multiplie enfemble deux a deux pour avoir fept
produits diiferens ( on pourroit a la verite en avoir dix ,
mais il fuffit ici d'en condderer fept ) , 1' on aura n^cef'
fairement par ce moyen ou une equation de cette for-
me I = f * — (^ 1' ■) laquelle refoud le Prohleme ; ou au
moins deux equations de cette forme A'^ = P' — ^?*»
A'^ = f* — "■ i'l ( -^ etant I'un quelconque des fa6leurs
de i? ) & le Probleme fe refoudra comme dans \'Art. 7 j
ou enhn deux equations de la forme A' B'^ = P'' — '^ ?*>
A' B^ = p'^ — aq'^ ; (A & B ^tant deux queiconques
des quatre fafteurs de R) ; & dans ce dernier cas on
prouvera aifement que les quatre quantites p , q , p' Sc f
feront premieres a A Sc B .

Or les equations A^ B'- = p'^ — a q% & A^ B^ = p*
— a q'- donnent ces deux-ci

A^ B' = {p p -^ a q qY — a {p q -^ q p'Y . . . . (G)
A^B^(q^ — f) = ipq'-^qp)(pq'-qp)...{ H),

Et il faudra , en vertu de requation (H), que 1' une
ou I'autre des quantites p q' •+■ q p ■, p q' — q p' foit di-
vifible par A'- B^ i ou que I'une le foit feulement par A
ou par 5 , & I'autre par A B^ ou par A' B , ou que
I'une & I'autre le foient par A B ; ou enfin que 1' une
le foit feulement par A^, & I'autre par B'^; ce qui don-
ne , comme Ton voir , quatre cas difFerens.

5*

Dans le premier cas on fera ^ c( -^ qf =s A'-B*^, &

I'equation {G) deviendra J^ B^ = {p f ~^_ aqq'Y —
a s^ A'* B* J done on aura aufli p p' -+- a q q = r A'' B'' ^
& divifant toute l'e.]uation par A* B*, on aura
I = r' — as'.
A regard du fecond cas il eft clair que fi les deux
tjnantites p q ■+• q p' ■, p q — qf etoient divifibles en me-
me terns par A ou par B , il taudroit que ieur Ibmme
1 p q le fuc aufli , ce qui ne peut etre ( a caufe que p &
^' font premier k A &c B ) a moins que i'on n'ait A on
B = ^ i mais alors q &c q' feroient neceffairement im-
pairs , ce qui donneroit q'- — q'- = % m; de forte que
I'equation (//") deviendroit (en fuppofant B = ^)
^imA' = (pq -^ qp) (, p q — ^ f' ) ; done , puifque
r une des deux quantites p q -h q p , p q — q p ett fup-
pofde divifible feulement par B , il faudra que I'autre le
ibit par iGA'- , & par confequent auffi par A"^ B^; ce qui
fe reduit au premier cas.

Le troifieme cas ne peut point avoir lieu du tout , a
caufe que la fomme des quantites p q -+- qp'-, pq — qp
n' erant point divifible par A B , il eft impoflible que cha-
cune de ces quantites le foit.

Refte le quatrieme cas , dans- leqiiel on ami p q r^ q p'
= s B^, s n' dtant point divilible par A ; on aura done
dans ce cas , au lieu de 1' equation ( G ) , celle-ci : A* B*
= (.P p' \^ ^ ^ ^'y — a s^ B'* ; par confequent on aura
aufli p p' r^. a q q' = r B' ; & divifant toute I'equation
par B\ on aura A"* = r'- — a s^ ;. & comme s 8c a
ne font point divifibles par A , r ne le fera pas non plusj
de forte que r &c s feront premiers a A .

Ayant 1' equation A* = r'- — a s^, il faudra encore
en avoir une autre femblable pour pouvoir refoudre le
ProbUme. Pour la trouver on continuera a multiplier
enfembie deux a deux les autres equations de I' Art. 4 ,

& il eft facile de voir par ce que nous venons de mon-
trer , que (i ces combinaifons ne donnent pas quekmes
uns des cas qui ont deja eie refolus , elles donneront ne-
cefTairement a la fin deux equations de cette forme ^* =
r' — as"-. A* = /'■ — a /% y^ etant I'un des quatre fa-
fteurs de i2 & A, J , / &: / eranc premiers a A.

En etFet puiique le nombre des equations de VArt. 4
eft infini , & que le nombre des cas qui peuvent arriver
eft limite , il ell evident que le meme cas devra arriver
une infinite de fo»s ; de forte que (i 1' on ne trouve pas
qnelques uns des cas que nous avons deja refolus, on
trouvera necefl'airemenc deux , & meme une infinite de
cas teis , que A* = r^ — a j% & A^ = r'^ — a /^ ;
mais il fuffira d'en avoir deux , pour que le Probleme foil
refoluble.

On aura done par. le moyen des deux equations dont
il s'agit

A' = {r r' -*- a s s y — a{r s -^r- s r'Y (/)

A*{s' — s'):={rs-^sr'){rs'-^sr') . . . {K).

Done il faudra , en vertu de T equation ( iT ) , que
I'une ou I'autre des quantites r s H- j r' , r s — s r' io'xt
divifible par A'* ; ou , que routes les deux fbient divifibles
■k la fois par A; mais, dans ce dernier cas, il faudra
aufli que leur iomme ^ r s foit divifible par A, ce qui
ne peut etre a moins que A ne foit = i . Or fuppofant
A ■= 1. on aura /* — j' = 8 m, ce qui reduira i'equa-
tion {^K) a x' m = (r/ -t- s r ) ( r s — sr') d'oii
Ton voit que fi I'une des quantites r s' •+■ s r , r s' — sr
eft divifible feulement par A , I'autre le fera neceffairement
par A*, & par confequent au/fi par A*.

Le cas oil r s -+- s r 8c r s — s r feroient toutes deux
divifibles par A'' ne fauroit avoir lieu , a caufe que leur
fomme X r s' ne peut jamais etre divifible par y^'j de lorte
qu' il ne reitera que le cas , ou I'une ou I'autre de ces

14

quantites fera divifible par A^ ; ainfi on aura toujours -

r s -^ s r = u A* i CQ qui reduira 1' Equation (/) a
celle-ci : A* = ( r / rh a s s' Y — a u' A', par laquelle
on voit que r r' -jh a ^ ^' ^^ra auffi divifible par A*. Fai-
fant done r r rjz <^ s s = t A'*, & divifant toute I'equa-
lion par A*, on aura

9 On voit par-la comment il faudroit s' y prendre fi le
nombre R etoit compof^ de cinq nombres premiers , ou
d'autant de nombres premiers qu'on voudroit ; & on voit
en meme terns , que pourvu que a & i? foient premiers
entr'eux , on parviendra toujours a une equation de cette
forme i = x* — ay^ qui contient la fblution du Pro-
hleme propofe ; la difficulie ne coniiftera que dans la lon-
gueur du calcul ; mais on pourra fouvent l' abreger par
les confiderations fuivantes.

1 o Si le nombre R etoit une puilTance quelconque d'un
nombre premier , il ne feroit pas neceffaire de le regar-
der comme le produit d'autant de nombre premiers qu'il
y a d'unites dans 1' expofant de la puiflance donn^e.

Car foit R=z A", A etant premier , & different de a,
je dis qu' il faudra , en vertu de 1' equation (B) , que
I'une ou I'autre des quantites xj'-r-y x', xy' — y x
foit divifible par A" ; en efFet li l' une de ces quantites
etoit divifible feulemeiit par une puiflance de A moindre
que A"^ il faudroit que I'autre fuc divifible par le com-
plement de cette puilTance ; de forte que les deux quan-
tites dont il s'agit feroient divifibles en meme terns par
A; par confequent leur fomme 2 jcjy' le feroit auilij done,
a caufe de A premier & different de 2 , il faudroit que
X ou y fur divifible par A ; mais fi x etoit divifible par
A^ il faudroit, en vertu de I'equation A" = x* — ay%
que J le fut auffi, a etant (par hipothefe) premier a ^4 j
ainfi X Sc y nQ feroient pas premiers entr'eux.

5J
Ce qui repugne k la nature de ces quantites ( yirt. i);

on prouvera de meme par 1' equation A" = x'* — ay''

que y ne fauroit etre divilible par A . Done il faudra

r^celrairement que Ton ait xy' •+- y x' = q A", ce qui

r^duira requation {A) z A^" = { x x' rt ^yy'Y —

a q^ A'", par laquelle on voir que x x^ -*- ayy fera aufH

divilible par A' ; ainfi faifant x x' •+: ayy = J> A", Sc

divifant l' equation par A", on aura fur ie champ

I = f' — ay*.

Si A etoit = 2 , alors , puifque y &: y' ne font pas
divifibles par A , ils feront neceflairement impairs ; de
forte qu'on auroir jy'* — y'- = 8^, & 1' equation (B)
deviendroit i" -*- » m = ( x y' -h y x ) ( xy' — y x );
or les quantites x y -+- y x\ x y' — y x ne peuvent
fetre divifible en meme terns par 4 , parcequ' il faudroit
que leur fomme r x y le fut auffi, & que par confequent
X ou y' fut divifible 2 , ce qui ne fe peut. Done il fau-
dra necefTairement que Tune de ces quantites foit divifible
par 2" "•" % & par confequent aufli par A" ; done &c.

On pourra abreger & fimplifier de la m^me maniere
I'analife des cas oil R lera = A" £" C. . . A ^ B , C &c.
^tant des nombres premiers.

Si Ton avoir ces trois equations R = x' — a^* » R'
x= x' — ay'\ & R" = x"^ — ay'\ & que ij & R
fuffent des nombres premiers quelconques ,&/?"= RR';
on pourroit aufli par leur moyen refoudre le ProbUnie.

Car les equations x* — ay^ = R^ & x"* — ay"*
JBs R R! donneront ces deux-ci :

B'R = (x x' -4- ayy-y -^a(xy"-^y x'T • • • (Z)
R (/' - Ry^) = {xy"+y x") {xy'—yx). . . (M)>
done , a caufe que R eft premier , il taudra , en vertu de
r Equation (M), que Tune ou I'autre des quantites x y"
-+- y x'\ x y" — y x foit divifible par R ; done fai-
fant xy' zt. y x' = ^Ri i' equation ( Z ) deviendra

5«

R'H = (xx" r^ ayfy ^af R\ d'ofi I'on volt que x x' '
■±- a y y fera aufli neceflairement divifible par i^, de forte
qj'en fjifant x x -^ (t y y" = pR, on aura en diviO.nt
par i?% R = p^ — af;&: il ne s'agira plus que de
combiner cette equation avec {'equation R' = x'^ — ay*
fuivant la methode de Vy^rt. 6.

On pnurroit trailer de la meme maniere les cas ou
Ton auroit x^ — ay' = R , x' — ay'^ = Ri x"* —"
af' = R", & x"* — ay"* = R R' R% R, K , R!'
(itant des nombres premiers , & ainfi des auires.

12 II eft bon de remarquer encore que fi les nombres
R dans les differentes equations de i'y^rt. 4 etoient de
fignes differens , pourvu qu' jls fuffent d'ailleurs egaux
enti'eux , les merhodes des Articles precidens reuffiroient
de meme j il n'y auroit d'autre difference dans les reful-
tats li non qu'au lieu d' arriver toujours a une equation
de cette forme i = x* — ay*, on arriveroit quelque fois
a une equation de cette autre forme — i = x* — «^*r
mais alors il n' y auroit qu' a elever cette derniere equa-
tion au carre , & Ton auroit {Art. j.) i = ( ;c' •+« ajy')*
— a( 1 xyY.

1 3 Au refte fi Ton avoit R z= -jr % o\i =: -^z 4, une
feule equation fuffiroit pour refoudre le Probleme.

Soit 1° -+-; 2 = x' — ay''-, on aura, en prenant les
carres, 4 = ( x' -H ay* )* — 4 a x* y""; maisajy^ = jc^ -P 2;
done 4 = 4(x^ -P i)^ — A a x* y', Sc divifant par 4 ,
J z= (x* 4^ i)* — a (xyy.

z" Soit r^ 4 =: X* — ay*, on aura, en carrant , 16
s= (x* -*- ay*)* — 4ax*y*, mais ay* = jc* -+- 4 ,
done , en fublUtuant cette valeur , & divifant toute I'equa-
tion par 4 on aura, 4 = (x* ^ ^)* — a x*y*. Cette
Equation etant multipliee par 1' equation r*- 4 = a:^ — «iJK'»
on aura (Article 5 ) , en prenant le figne -H, -^, 16 =
[ {x* -i- z)x-*-axj*}* ■— a[ {x* -f- i)y -^ x* yY^c'eA'

a dire

_ r7

a-dire 7+- 1 6 -+- x' ( «* -H a j* -t- i)- — 4 a y' (x^ ^~ i )-';
mais tzjy' = x' -H 4 ; done en fubftituanr & diviiart par 4,
on aura -+- 4 = x* ( x* -t- 3 )"■ — ay ( x* -t- i )*.

Or puKque a ell premier a i? , & que R eft ici li-n
nombre pair , a fera necefrair'ement impair j done I'equa-
tion R = x^ — ajy' ne pburra (ubfiller a moins que x
& y ne foient tons deux pairs ou impairs j mais i!s ne pea-
vent etre tous deux pairs , pnrcequ' ils font fuppofes premiers
I'un a r autre ; done ils feront neceffairement tous deux
impairs ; done x fera impair ; & par confequent x* -+- i
& x'- ~r- 3 leront tous deux pairs ; done faifant x^ '-f- i
= z q Sc x^ -f- 3 = 2/5, & divifant 1' equation prece-
dente par 4, on aura celle-ci r*^ i=(xpy — a (j ^Y;
done , lorfque R = 4 , on aura i = (x pY — a {y qYi
& lorfque iv = — 4 , on aura •— i = {x pY — <^{y qYi
d' oil , en prenant ies'carres, il viendra -t- i = (x^^*

■+■ ay'' q-Y — a(.^ xj? ?)'•,.

I 4 Nous avons fuppofe jufqu' ici que les nombres a Sc
R etoient premiers i'un a Tautre j voyons maintenant
comment il faudra s' y prendre lorfque ces nombrcs aurorit
un divifeur eommun.

Soit 6 le plus grand divifeur eommun de a & de i? ,
enforte que 17 = B b Si R = BT, b 8c T etant premiers
eiitr'eux , & 1' Equation R = x'^ — ay- deviendra QT
= x' — fiZ'j-. ( Ce que nous difons de cette equation
doit s'appliquer en general a toutes les equations de VArt. 4 )}
d'oii Ton voit qu' il faut necefiairement que le carre x*
(bit divifible par 6.

Suppofbns 1° que 6 ne foit ni carre , ni multiple d'un
carre , il eft evident que la racine x devra eire -elle me-
me divifible par 6j de forte qu'en faifant x = 6a, &
divifant toute 1' equation par 6 , on aiira T = G «* — by\
Qu'on el^ve cette equation au carre , & I'on aura : P :=
8* «" — 1 i G u'y'- ■+-h'y* = (B ,r -+- by'Y — ^H i« v)%
Mifc. Taur. Tom. IF. h

favoir 7** = ( 6 h' -+- hy'^ ) — a ( x uyY ; equation dans
laquelle a Sc T' feront premiers entr' eux.

Or dans 1' equation R = x^ — a^% R eft neceflai-
rement premier a y j autrement x* feroit divifible par la
plus grande commune mefure de ces deux quantifis, &
par confequent x 8i y ne feroient plus premiers entr'eux,
contre 1' hypotliefe ; done 7" & 6 feront auffi premiers si
y ; done dans Tequation T =B u- — by"-, T &cu feront auffi
premiers entr'eux ; autrement il faudroit que by'^ fut divifible
par leur plus grande commune mefure , ce qui ne fe peut
a caufe que b &c y font tous les deux premiers a T; done
puifque T eft premier k u Sc a y , il eft clair que 7^
iera neceffairement premier a uy; done dans 1' equation
P = ( e j^" -^ by'Y — a(zuyy Bu^ -f- by* & uy
feront premiers entr'eux j car s'iis ne i'etoient pas il fau-
droit que T fut divifible par leur commune mefure j ainfi
T & uy ne feroient plus premiers I'un a I'autre.

Done ft T eft un nombre impair , on prendra au lieu
de r equation R = x' — ay^, celle-ci P = ( 6 w^ -f- by'^y

— a {luyY; dans laquelle T~- &c a feront premiers
entr'eux, auffibien B u'- by"- & xuy.

Et fi T" eft un nombre pair , alors 6 u'- -+- by"^ fera

auffi pair , & I'on aura I'equation ( - )* = ( — Y

r

— a (uyY ; dans laquelle ( - )' & a feront premiers

Bu'-f if-
entr eux , comme auiii oc uy .

a° Suppofons maintenant que 6 ait un fatteur carre ir%
enforte que G = t' j' , y n' ^tant ni carr^ , ni multiple
d'un carre ; en ce cas I'equacion i? = x^ — ay* devien-
dra n* yT = X* — ti* y by- ; d'oii 1' on voit que le
carre x* fera neceflairement divifible par w* y , & que
par confequent fa racine x le fera par it y ; ainfi faifant

59
X t= r y u ^ on aura apres avoir divife par »' y , T =

y u'^ — by''

Done fi y c= I , c'eft a-dire fi 9 eft carre , on aura

Tequation T =z u'- — b y"- , dans laquelle T &l b feront

premiers entr'eux , auili-bien que u Sc y ; de forte qu' a

i'aiHe de cette equation , & des autres femblables , on

parviendra par les methodes de VArt. 6 & fuiv. a une

equation de cette forme i = p"" — i ^% ou bien i =

Si y n' eft pas =t i ; on elevera 1' equation T = y u*

— by- au carre, & Ton aura T^ = ( j/ a* -+- by'^y

— y b ( 1 uy Y'y & 'o" prouvera comme ci-deffus que
yb (era premier a 7"% & que y u'- -\- b y^ & uy feront
premiers entr'eux.

De Tone que fi T eft impair on aura, au lieu de I'equa-
tion R ■= x'- — ay-y celle-ci P = ( y u* -i- h y- )' -~
y b ( 1 uy )- oil T' Sc y b feront premiers entr'eux auffi-
'bien que y u"- -h b y' &c luy.

Et fi T eft pair on aiira I'equation ( — )* = ( — — )»

r

— y ^ ("J')S ou ( - )^ & yb feront premiers entr'eux

auffi-bien que — Scuy.

Done par le moyen de ces Equations , & des autres
femblables , on parviendra auffi a une equation de cette
forme i = p^ — y b f-, c' eft-a-dire ( a caufe de a =

y b Tt'' ) de cette forme-ci i = p^ — —^ q^.

Or connoiflant deux valeurs quelconques de /> & y qui
farisfaffent a I'equation i = p^ — /?% / ^tant quelcon-
que , il eft toujours poflible de trouver par ieur moyen
deux autres valeurs de /> & ^ qui fatisfaftent a la me me

6o

equation , & qui foient relies que la valeur de q fort mul-
tiple d' un nombre quelconque donre , comme nous le
verrons plus bas {Art. 21 )i done on pourra toujours de-
terminer p &c q , de m;iniere que q fpit divihble par » j

de forte qu'on aura 1 = p- — a ( - )" , comrae le Pro'

Heme le dematido.

1 5 Nous avons done demontre , avec route la rigueur
& la generaliie poflibles , qu'un nombre quelconque entier
& non Carre a erant donne » il elt toujours poffible de
trouver deux nohibres x & y tels que 1 = x* — aj' ;
& nous avons en meme lems donne les moyens de trou-
ver ces memes nombres.

Or comme le carre le cube, & en general route pa'iC-
fance d'une quantite de cette forme x* — ay" elt tou-
jours auffi de la meme forme ( Art. 5 ) , il s'enfuit qu'en
elevant I'equation i = x'- — ay^ a une puifTance quel-
conque ,''on aura une infinite d' autres equations fembla-
Wes, de forte qu'ayant trouve par les merhodes prece-
dcntes , ou par quelqu'autre me[hode que ce foit , une
feule folution du Problime , on pourra par fon moyen en
trouver d'autres a 1' infini.

Pour renfermer routes ces folations dans une formule
generale , fuppofons que p &c q Ibient les valeurs irouvees
de X & de J , enforte que Ton ait i = f ' — a q'' i en
elevant les deux membres de cet^e equation a une puif-
fance quelconque m, on aura i = (^* — ^ ^O"? equa-
ti-on quil s'agit de reduire a la forme de ceile-ci i •=. x'--ay'-.

Pour cela je remarque que p' — a q' =^ {p -^ q ^Z a)

(P — ?^'^)5 ^^ ^°"^ 9*^^ ^' °" ^^^^ (P^ — <^T)"' =
ip -^- qy" aT ■ (,p — qV ay. Of {p -H q^/ aT = p""
m(m-\) , . >/2 {m - 1^ (m-x)
o'—'aVa-i !^ P" — Q'a-i ^ ^-

m

r '?

6i

p^—iqiaVa-hSlc; done fi on f;iit

xt=f^ /'-' fa-i --y--^ p-'-^q^a*

-+- &c.

m ( m — t ) ( m - 1 )
y = rrtp--^ q ^- -^ ^L^ p^-^ ^' a'

-f- — ^^ ■ ^ p"— ' q^ a' -+- &C.

on aura (/3-4-^v^a)'" = A;-+-y>/a}& prenant le radical V a
en — , on aura de meme {p — cj V a)"* =^ x — y V a i
done {p'- — a c]')" = (x -f-jy v^ a) {x — y V a) = x^ — ay^'i
de forte que I'on aura en general jc* — ay'- = i , en
prenant pour m un nombre quelconque entier & pofitif.

Au refte les equations {p~\r qV a)" = x -^ y ^ a ^
& {p — qV a)"" = X — y V a donneront

{p ■*- qV a)"" -{p- qV 4)"

y — -^-7-^ '

expreflions qui reviennent au meme que les prece'dentes ,
mais qui ont I'avantage d'etre fous une forme finie ; ainfi
prenant fucceflivement pour m tous les nombres naturels ,
on aura une infinite de folutions du ProbUme propofe.

1 6 Les dernieres expreflions de x & de y font voir
que ces quantites forment deux fuites recurrentes , dont
r^ch,elle de relation eft ^p, — (p* — a ^* ) , ou bien
( a caufe de p^ — a q'- =■ i ) r p, — 1 j de forte qu' en
denotant par x' , x", x" &c. & y\ y" , y" &c. les va-
leurs de X & de j^ qui repondent k m ■=■ i , 1,3 &:c.
on aura les (eries fuivantes.

x = p

x" = X p"- I

6.V

x" — Ap' — ^r

x'" = Sp* — S p' -t- I

^ x^' = i6p' — 10^' -H 5p^

&c.

& en general , lorfque V expofant eft m ,

m (m— ■? ")
X = i" — ' p™ — /Tzi" — ' /?"— ' -H — !^ ^ 2"— »

" 1-3 ^ i-3-4

a" — ' p™ — « — &c.
& de meme

y = ?

y" = ( 4 p' — O f

y"= (sp' - 4p)^

&c.
& en general , lorfque I'expofant eft m ,

^=[ ^-.-'p-— -(^_x) .'"-' ;,"-.' -t- (^-rK^-4)

,»,-, p^-s. _ (>»-4) («>-5)(>"-6) ^„_,

^ a • 3

-t- &c. ] ^ .

On peut mettre encore les expreffions generales de x:
Sc de y foius une autre forme beaucoup plus fimple ; mais
il faut pour cela diftinguer les cas , oh. m eft pair ou.
impair.

Soil i" m impair, on aura
X =p

x'' = — ( 3/) — 4p'')
x^' = 5 f — xo p^ -+• 16 p^
&c.
& en general

63

ae = -+- [ /72 p p» H '— i-^ pf

^ 1-3 ^ 1.3.4.5 ^

OT (w*- i) (»»'-9) (w'-i5 )

— T p^ -4- &c. ]

13.4.56.7 '^ ■'

le figne fup^rieur etant pour le cas de m multiple de 4

plus I , & r inferieur pour celui de m multiple de 4

plus } .

Eiifuite

y ==f

y = — ^(i-t-4)/)')

&c.

& en gdn^ral

j'-tr-^C' —p-^- — rri.4 P*

_ (>»'-0(^'-9)(»«'-M) « _^ g^,^ .
1 • 3 4 • 5 6 ^ -■

ou Ton obfervera , a I'egard des fignes arabigus , la mS-
me regie que ci-deffus.

Soit 1° m pair , & Ton aura
i" = -. (I - ipO

&c.
& en general

r w' ^ /«'(w'-4) , w'(/»'~4K'»'-iO ,

jCS=-H[, p'^ ^ ipt _i p«

1' 134' 2-5. 4.5-6^

-♦- &c.]

Enfuite

y" "= ^P1

y = ^(6/— 3i;j'-4-3xp')
&c.
& en general

64

»»(w'-4") /»(w'-4) (m''-i6)

Y = .^qlmp ^ 1^/J'H ^ ^-^ ^p*

•y luj z-3' i3-4-5 '

— &c.]

A r egard de rambiguite des fignes on prendra le fi-
gne fuperieur lorfque m eft iia multiple de 4 , & 1' infe-
tieur lorfque m ell un multiple de 4 plus 1. .

De plus , puifque p* — a q"- ■= i , on pourra fubftU
tuer dans les formules precedentes i -h a q^ au lieu de.
p* , & ron aura celles-ci

1° Pour le cas de /;: impair-
x' = /^

x'" = p ( I ■+■ 4 aq-)
x""' = p (^ 1 i~ 1 1 a J* -t- I 6 a* <ji+ )
&c.
& en general

r- »;' - I ( »«' - I ) ( w' - 9 )
X = p L ' "+^ — — a q^ -4- <^^ 9^^

1 ■ 3 - 4 5 6 -^

Enfuite

y = ^

y ' = 3 ^ -i- 4 fl js

&C.

& en general

m(t»^-i) »;( w' - I ) (W - 9) , ,
y. = m q -t- a q* -+• a q?'

i-3-4-^-6-7
1° Pour le cas de m pair

X" = t -(- 2^9?

x'" = 1 -H 8 a c^- -+- 8 a"- q*

x'" = I -4- 1 8 a i/^ -H 48 a- ^* -4- 3 2 a' ^*'

^5

& en general

x: = I -+ a o' H ^ a' a^ H -^ a' fl*

2 •' 1-3 -4 ' 2-3-4-5-6 '

•4- &c.

Eiifuite

//

y = ^p^

y- =z ^ ( 49 -H 8 a ^' )

y = p (6c^ -+- ^laf -+- 31a* ^5)

Sec.

& en general

_ »»(w«-4) ot(»j^ - 4)(w' - 16)

y = P I 772 iJ H a a' H a' a*

•^ />-3 1-3 2'-3-4-5

H- &C.]

Ces dernieres expreffions de x & de ^ ont 1' avantage
de n' etre compofees que des termes tous politifs , ce qui
les rend beaucoup plus fimples & plus commodes pour le
calcul.

1 7 Nous aliens demontrer , maintenant que i\ p Sc q
font les plus petites valeurs de x S>i. y qui fatisfairent a
r equation x^ — ay' = i , routes les autres valeurs pof-
fibles de ;c & de _y feront neceffairement renfermees dans
les forraules generates des deux Articles precidens.

Pour cela nous remarquerons- d' abord que fi 1' on a
p* "— a£^* =i: I , & /* — a/- = I , & que p' >• p y
on aura aufii ^' > ^ ; car retranchant la premiere equa-
tion de la feconde, on a p- — p^ — <'■{<}'' — ?^) = o»
ou bien p"- — f' = a (^'* — q^) i done ii p''- — p- eft
politif , il faudra que p'- — q- le foit auffi ; done &c.

Suppotbns maintenant que p S<. q foient les plus petites
valeurs. de. x ^ y dans 1' equation x' — dy^..^^ . i , .&
que p & q Ibient les valeurs de x &c Aq y qui font im-
mediatement plus grandes que celles-la , enlbrte qu'il n'y
ait point de nombres plus petits que p & q , qu'on puifle
prendre poiir x &c y , autres que'p Scq ; cela pofe :
MiJc.Taur.Tom.lK i

66 .

Qu'on multiplle enfemble les deux equations p^ —> a q"
=t: I & p'* — ay'* =: I , & r on aura ( Art. 5 ) , en
prenant ieulement le figne inferieur , ( p p' — aq q Y
— a{pq' — IP'y = ' J <J'o" ^'O" voit que pp' — aqq'
fera auffi une des valeurs de jf , & p q — q p una des
valeurs de y qui fatisfont a la meme equation x* — ay''
=s I . Or je dis que p p' — aq(^ eft >• o & <: /.

Car 1° foit pp' — aqq z= ^^ on aura - X ^ — a ==

— - } mais ks equations p* — a y* = 1 & p* — a y'*

= I donnent t ^ a -^ ^-, ^ — a •*- ~ ; done ^]

X^=a»-4-a(^, H-~)-l-~i & tirant la ra-

cine carree - X -, = V[«*-+-a(4"« -r)-*- --rl

d' oil P on voir que — X ^ eft > a j de forte que ~
^ q <t ^ q

y, ~- — a fera toujours une quantite pofitivei par con-

fequent { fera auffi un nombre pofitif. a" foit pp' — a qq'

, P~1 P -. « /* - I
= p -♦- « , on aura —^ X — , — a = —7 i or ^

^ q" q

V {a •+■ -^-) } done ^ X ^ = a X ^ 5

t i

mais ^ > St done »^(<i'4---~)<*^(«-i- ~)&a

<J7
plus forte raifon <:V(a-j-- — )-t--ij done ~ " ' y

■^ fera < a; done -^ ^ X ~ — a fera neceflairement

une quantity negative ; par conf^quent « fera auffi nega-
tive } done /7/j' — aq^ "^ f •

Done il taudra par I'hipothefe que Ton ait p j/ — ag^
= p ; 8c comme (pp' — o-qnY — ^(f/ — qf'Y
= I , 8l p'- — a ^' = I , il faudra aufli que 1' on ait
ipq — qp'y = q'i 6' OU p q' — qp = rfc f • Mats

•J- = )/ {a -h -—) 8c ^- = }/ (a ■^- —■ i done a eau-

fe de / >• ^ , on aura -^ >. -£« j done p q' — q p'

fera poficif; de forte qu'il faudra fuppofer pq' — qp z=^q.
Nous aurons done ces deux equations p p' — a q c(

^ P,8c pq' — qp' = q^ 6'ou I'on tire p' = ^1^-fi"

8c q' = -r—,i c'eft-^-dire, a caufe de /j^ — a^*= i,

p' = p^ -i- a. q^ ^ q' = 1. p q ^ ou bien , ee qui revient
au meme

p' _ (/> ■*■ q^*) -*- ip - gy^ ^y

z

d' oil r on voit que les valeurs de p' 8c q font conteniies
dans ies formules generates de 1' Art. 1 5 , en y faifant

Soient enfulte' y ^" ^'^ les valeurs de a: & de j qui
font imm^diatement plus grandes que p 8c q ; enforte
qu'entre routes les valeurs poffibles de a: & de j' dans
1' equation jc' -»- ay.'' =e ^i ;,. il n' y. ait que p &■'/ qui

63

foieiu moindres que p'' & ^ , Sc q' qui foient raolndres

que q'' .

Multipliant 1' equation p"^ — a q'^ = i par f- — af
= I , Sc prenant dans cette multiplication le figne —
\.Art. 5 ) , on aura {-p p" — a q q" y — a {p f — qfY
= I ; de forte que p p" — ^qq" f^ra auffi une des va-
leurs de x , S>c p q" — qp" une des valeurs dej; & i'oa
prouvera ici par une methode femblable a la precedente
que p p' — a q q" "^ o & <C f " , & p q" — ^ P" ">" °
& .<; q j d' oil il s' enfuit que 1' on aura neceliairement
p p" — aqq" = p QU = p , & p q" — q p" = q 0\X

Or les equations p p" — ■ a q q" = p & p q" — q p"
Ks: q , donnent ( a cauie de p^ — a q- = i ) p' = a ^-
= p', S>c q"= 1 p q =si: q' ; ce qui eft contre I'liipothe-
fe } & les equations p p" — a q q" = p' , p q" — q p"
= c( donnent p" = p p '+• a q q' , q" = p q •+; qp' t
c'eft-a-dire , en mettant pour p' & q' leurs valeurs,
p" z= (/» ■*- q'^ay ■*■ {p - qy/ay

2

Ainfi les valeurs de p" & q" font encore renfermees
dans les formules de 1' Article cite. , en y faifant ot = 3 .

On prouvera par des raifonnemens iemblables que les
valeurs de at ik Aq y qui font immediatement plus gran-
des que p" &c q" , Sc que nous defignerons par p'" & q'":
feront exprimees ainfi

p'"b= (p -*■ q>^^y ■*- (p - 'i^^y

„>__ iP ^ q\/ay -(>!- qVay ..ol

■& ainfi des autres a 1' infini j jd' oii 1' on condura en"gd-.

($9

neral que les valeurs de x Sc y , dont le quantieme fera
m a commencer des premieres valeurs p 8>c ^, feront ex-
primees de la maniere fuivante

X =

2

_ (/? -t- qVaT - ip - qVaT

zVa ■

comme dans 1' j4rt. 15.

Ainfi ayant trouve les premieres valeurs p Sc q ^ on
fera afl'tire d' avoir par ces formules routes les valeurs poi-
fiblcs de X & de ^ propres a latisfaire a 1' equation
X'- — ay'- = I. , • .. ,

18 Je dis maintenant que tous les nombrfes xS>cy qui
fatisfont a 1' equation x' — ay' = i le trouverit nece{>
fairement parmi les nombres M, M , M' .See. & W,

N', N" Sec. qui forment lesYraftions —_,-—' -^-t-"8^c.

convergentes vers la raciiie de !«,' maisioujouirs .plus gran*
des que cette racine ( ^rc. i ) ; c' ell^a.*direi que.' chacun
des nombres x eft n^.certairement «gal a quelqu'oin des
termes de la ferie M,.M' , M' Sec, .&: que le nombre
correfpondant y elt egal au.terme correfponda'nt de lafe-

rie iV, N\ N" See. i, -ehfbrte que la fra6lion - feratbm

jours une de celles dont nous venons de parler. ' ...
Pour pouvoir deniontrer cette propofuion , je. commen-
cerai par prouver que fi y ed egal a un tcrme quelcoa-
que de la ferie iV, iV', N" &c. , x fera ;neceflairement
egal au terme correfpondant de la lerie M, M, M' &;c.
Car foit y = N ( on , fera le meme raifounemeut pour
tous les autres termes de la ferie iV, JV' , N" j&c.,, &:
de fa corre(pondante 'TVT, M'\ M" &c. ), enforte 'que
i' on ait x'- — aN' = .1 ; (i M. n' eft pas = .v, il fera
neceflaireiftent > x," a caufe'que ta quantite M'— aiV-

70

eft toujours > o ( Art. i ) , ainfi T on aura -^ >• —

M m

m

& ^jTT- — — > -Tf — • — , favoir , a caufe de Mn

JV « -^ JV

»

^ Nm = 1 {Art. O, j;^^ > j^-^ , ou bien

X n — N m <C I i niais par 1' equation x^ — a N' = i,
a -^ = v' (a -+- ^ ) , & par confequent ^ > \/a}.

X

on

& par \ Art. i on a — <; ^/ a ; done -v^- ~> — , done

a: /W

-^ ;>• — , done xn — N m 'p' o ; ce qui eft con-

tradiftoire.

Suppofons maintenant, que^ ne {bit egal a aiicun des
termes de la ferie o , A'^, N\ N" &c., & comme cette
ftrie commence par o & s' eteiid a 1' infini ( Art. i ) , il
eft clair que le nombre fe trouvera neceffairement entre
deux quelconques des termes voifins de la meme ferie ;
fuppofons done que ce (bit entre N 8c N' ( le railbn-
nement fera le meme pour tous les autres termes ) j en-
forte que r on ait y ';>■ N Ik y <i N' ; je confidere les

trois fraftions confeeuiives -r^ , — - , r~~ dont les num^.

rateurs iV, M, m.' , M' vont en augmentant aufli - bien

que les denominateurs N., n\ N' , & qui font de plus

convergentes vers la valeur de v^a , mais de fa^on que

la premiere & la troifieme font plus grandes que cette

valeur , & la feconde en- eft plus petite ( Art. » ) j Sc je

vais ; demontrer d' abord que y doit neceffairement ^tre

■ i-^-' ■ ■.■■ . **"

>>• n. Car, puifque on a jt* — ay* ^ i, on aura —

71
par r Art. z ) i done aufli -rr^ — a = ^ ; done cora-

me y > N t & que jR = tk > i , on aura n^cefTai-

I R ;t* Jlf*

rement — < ^, & par confequent — — a < ^,

— a ; done — ^ approchera plus de a que -j^ ( i' une &

r autre de ces deux quantity ^tant d' ailleurs plus gran-
des que a, a caufe de ** — ay^ >• o & M^ — aN''

X "^ M

> o ) i done auili — approchera plus de Va que -rj ;

mais Va fe trouve entre -t-=- & — - (Art. i); done — fe

_ Mm' M X

trouvera aum entre -vf & — r > done on aura -rrr — —

IS n' N y

^ - Af * M m' ,

> o , & — < -j^ — —yi done 1° on aura

My — 1^ X I

Mj^ — iVx > o i 1° jqj— < jv^. » ^avoir My

— Nx < p » done puifc^e My — Nx eft d' ailleufs
un nombre €ntier , il faudra neceffairement que 1' on ait

— >• 1 i & par confequent y > n.

Soit done y "^ nf Sc <i N'^i puifque Ton a par I'equa-
tion X* — ay* s=s i , — > /a , & par 1' Art. i — p-

< v'a , on aura neceffairement — >» o; deplus

y 111 *■

M'
on a par le meme Article -^ >• Vaj &: par confequent

JVf' w'^ ar w' ^w' — J"»'o
^-V>«' or-j^~= j^; , &

71

M' m' I

rrr- — — r == ■■-xi. /' ; done , a caufe de y <; iV' , on'

aura ^ >(xn — y/72')(-- ^); or je

y n ^ ' ^ ]\// ^'

dis qae x «' ^- y m' doit necefiairement etre = i ; en

effet puifque — > o , on aura d' abord x n —

^ y n

y m' > o ; done x n — y m =■ i ou = 2 , ou >>• 2;.
mais fi X /I — ' y ^ = ou > 2 , on aura pour lors

X m' M' m' ^ , ^

— — — r > 1 ( "v^ — ■ — ) j & comme v a le trouve

^nire '^,..^ —7 ( -4/t. i ) elle fe trouvera auffi neceflai-

rement entre -r^&c—;-., mais beaucoup plus pres de

m' . X X M' M' m'

-— - que de — , parceque — — -r— >» -rr; — -r— •

x^ w"

done a fe trouvera auffi entre — • & ■ — , mais plus pres
de — - que de - — ; done on aura a > a — — —?

fa voir , a caufe de ;c' — ay'^ z= \ - >>

y ;;"

«'■ . . / , »''

ou bien an- — m'- < — r.; mais y > «', done — -

- , .y ^ "^ y_

<; 1 J & a plus forte raifon a «'* — /w'^ <; i ; ce qui

ne peut etre, a- caufe que ni'- — a n^' ell toujburs ile-

ceflTairement un nombre entier negatif ( Art. 2 ) , & par

confequent an^ — m'' un nombre enrier pofitif. Done if

faudra neceffairement que 1' on cUt x n' — y m = 1 .

On aura done x n — ym ==: I'j & "comme 1' Oh ^a'''

auffi {Art. i) M' n' — N'm'=i, on aura (M' — x) /i'

, -KTi \ / /- . M—x m'. ",

— ( iV — y)m = o , favoif -7- = — -^ ; done

prenant

73
prenant un nombre quelconqiie entier ^, on aura M' — x

= m I, N' — y = n ^ ; & dela x = iW' — m' { ,

Sc y = N' — « { 5 done fublbtuant ces valeurs dans

r equation x' — ay"^ = i . on aura M "" — a N" —

x{M' m — a N' n ) I -t- ( /«'' — a n ' ) {' = i j or

Af'* — aA'^* eil un nombre pofitit , m'- — an''- eft uo

nombre negatifj {Art. 2), & je dis que M' m — a N' n

eft un nombre negatifj en efFet, comme — >/«, & —

M' m'

< v^a , on aura -rr- = v'ii -4- T , & — — = */ c — -v j

M'
& }/ fera > F , a caufe que -^ doit approcher plus de

_./
V a que — - ( Art. i ) •■, done. Af ' m' — a N' n = iV' «'

Done fi on fait M"- — a N'^ = A , M' m — a N' n'
= — B ^ m' — ari^ = — C ; A , B , C exprimeront
des nombres pofitifs, & I'on aura A -h iB^ — ^{* = '•

Soit en general A •+• i-5{ — C^* — w, enlurte que
X* — ay^ = u ; en regardant ^ comme une quantite \a-
riable qui commence par zero, & qui aucvmente a 1' in-
fini , on aura d' abord , lorique :^ = o, u = A; enfuite
u augmentera jufqu'a ce que B = C i^ apres quoi u di-
minuera continueilement , jul'qu'a devenir inhni negatif.
Done fi on donne a ^ une valeur quelconque Z , telle
que la valeur correfJDOndante de u foit politive 6c = V ,
il eft elair que routes les autres valeurs de ^ comprifes
entre o & Z , donneront pour u des valeurs politives ,
& plus grandes que la plus petite des deux quantites A
& V ^ qui repondent a^=o,&a. f = Z.

Or nous avons trouve x = iW' — m' ^ , Qi. y = N'
— n i; done 1° , comme y' <C N' , on aura £ > o .
i^Jijc. Taur. Tom. IV, k

74

2» oti a , par I'Jrt. i , M' = fm ^ M 8>c N' = fn'

-4- N , doiic X = ( / — { ) m' -H M, & jy = {q" - f )
-+- N ; done, puifque y 1> iV^j il faiidra que { <; q'";
ainfi les limites de ^ feront o & 9" , c' eit-ii dire que ^
fera comprife einre o & 9'" ; niais en faifant ^ = o on
a i/ = ^ ^= M"- — a N'- ; & en faifant ^ = q" , on
a AT = Af, y = i\^, & par confequent « = x* — ajy'
= M' — a N'- ; done en donnant a ^ des valeurs inter-
mediaires , les valeurs correfjjondantes de u , favoir de
X' — ay'' feront toutes plus grandes que la plus petite
de ces deux quantites M'- — a N' &c M'' — aN''-, mais
r une & r autre de ces quantites font neceffairement egales
ou plus grandes que 1' unite ( Art. 2 ) ; done il eft ini-
pofllble de trouver une valeur convenable de ^ qui rende
x' — flj/- = I ; ce qui eft contre T hipothefe.

Done il eft impoflible que y tombe entre N &c N' ;
& Ton prouvera de la ni^me maniere qu'il eft impoflible
qu'il tombe entre deux autres termes voifins quelconques
de la fsrie o , N, N' , N" Sec. ; done il faut neceifai-
rement que y coincide avcc quelqu'un de ces termes , &
cjue par confequent x coincide avec le tcrme correfpon-
dant de la firie i , M , M' , M" &c. , comme nous
r avons demontre ci-de(Ius.

Ainii pour trouver les valeurs de x & d^y qui fitisfont
a r equation x' — ay'' = i , il n' y aura qu'a fubftituer
fucceflivement , dans la formule x' — aj% a la place de
X, les numirateurs, & a la place de y les denominateurs

I M M'
des fraftions — , -^ , -rr- &:c. qui convergent vers la va-
leur de V a , mais qui font toutes plus grandes que
cette valeur , & 1' on pouflera cette fubftitution jufqu'a ce
qu'elle donne i pour la valeur de x^ — ay'-; ce qui arri-
vera neceffairement, en confequence de ce que nous avons
demonire jufqu'ici : mais comme il faudroit quelque fois

75
pouflfer cette fubftitution tres loin , ce qui feroit afses in-
commode , on pourra fouvent fe fervir avec avantage des
m^thodes que nous avons donnees plus baut , comme on
le verra dans les exemples fuivans.

Au rerte comme les termes des deox feries i , M ,
M' &c. , o N , N' &c. vont en augmentant , il eft clair
qu'en fubftituant lucceflivement tous ces termes dans la
formule x^ — ay'- jufqu'a ce qu'elle devienne = i , on
aura par ce moyen les plus petites vaieurs pofTibles qui
fatisfliftent au Probleme ; & ces vaieurs etant enfuite fub-
ftituees pour p &c q dans les formules des Articles 1 5 &
16, on aura alors toutes les vaieurs poflibles de ;c & de
y {Art. 17).

1 9 Soit , comme dans 1' Art. i 5 ,

_ {p ^ q^ay ^ {p - f,Va)«

z
(p -*- q\/ay - {p - qVa)"

y =

je dis que fi m eft un nombre premier x — /? , Sc y

— q a * feront toujours divifibles par m .

En efFet fi on developpe ces expreffions , on aura , a
caufe que m eft impair

3

&C. ■+■ — ^ p cT ■

2 . 3 m- 1 ' '

m\

„ , ..i(m - i) (m - x) _
y = mp™-' q H ^^ -^-^ p"-' q' a -t- &C.

m(m-i)(m-z) .... 3

1 • 3 m

P' f — « "*■ ? ^

76

^~ , ,- . m f/w-i) m{m — i y«J - i") o
Ur les coelicicns »;, , &c.

. . ,^ m (m - i) ( m - 1^ i^, , ^ .

jufqu a font neceilairement

* ^'3 m — 1

divifibles par m, lorfque w eft premier, parceque ce nom-
bre multiplie , comme i' on voit , tous les numerateurs ,
& lie multiplie aucun des denominateurs , de forte qu'il
ell impoflible qu'il s' en aille par la divifion de chaque
num jrateur par fon denominateur ; divifion qui doit d'ail-
leurs fe faire toujours exaftement , a caufe que les coe-
ficiens done il s' agit font , comme 1' on fait , des nom-
bres entiers. Done tous les termes de la valeur de a:, a
rjexception du premier p" feront neceflairement divifibles
par m , Sc tous ceux de la valeur de ^ , a 1' exception

du dernier q"" a ' le feront auffi } done x — f ^ y

— q'^ a * feront divifibles par m .

Maintenant, on fait que, lorfque m eft premier,/?" — p eft
toujours divifible par m, quel que foit p, pourvu que ce foit un
nombre entier; done x — p fera auffi divifible par m, de meme

q" — q etant divifible par m , q" a ' — q a '' le

fera auffi ; done y — q a '' fera divifible par m .

Done 1° fi a eft divifible par m, x — p&cy le feront
auffi. 2° fi a n'eft point divifible par m , comme a" — a
eft neceflfairement divifible par m, il faudra que a"""' — i,
le foit auffi ; done , a caufe que m eft premier ; il faudra
que r un ou T autre des fafteurs de a"*""' — i , favoir

-+-!,&« * — I , foit divifible par m ,

77

Soit d'abord a ' -+- i divKlble par m, &c ^a ^ -i- q
le fera aufli; done x — p iky H- q feront divifibles par m.

Soit enfuite a ^ — i divifible par m\, q a ^ — q
le fera auffi} done jf — p 8c y — ^ feront divifibles par m.
Or en multipliant eiifemble les deux equations i = p'-

— a g' , & I =: X- — <^y' ■) on a celle-ci i = x'^

— ay'' , dans laquelie x' = p x ■±: a qy , &c y' = py
HH <jx; ou bien en fubftituant pour x 6c y leurs valeurs.

_ {p ± qVa) {p -*- qVay - (p + qVa) (p - qVaT

favoir , a caufe de p- — aq' = i ,

{p ■*■ qVa)" ±'-*-{p-qy^a)''±'

y =

y =

2.

(p -h qy/a)" ± ' - ( p - qVaY ± '

1 Va

Done en premier lieu fi a " -h i eft divifible par
m , enforce que .v — p &c y ■+■ q , le foient auffi , &
qu'on prenne , dans les expreflions de x' &c de y y le fi-
gne fuperieur , on aura x =■ p x -+- o- qy ^ y' = py
-h q x , ou bien x = (x — p) P ~^ ''■ (y "+" ?)?
-^- p' — aq% & y = (x — p)q -h {y -h q)pi
done ( a eaufe de p^ — a q^ = i ) x' — i & y' feront
aulli divifibles par /n..

En feeond lieu fi a * — i eft divifible par m j
enforte que x — p S>c y — ^le foient auffi , & qu'on
prenne dans les expreffions de x' & de y' le figne infe-
rieur , on aura x' = p x — i^ ^ y ■> y' = p y — 9 ^ y
ou bien x' = (.v — p) p — a (^y — q) q -i- p'^ — aq' ,

78

&c y = (y — ^) p — ( X — p) 'J i d' oil il s' enfuit

que x' — I & y feront encore clivihbles par m .

Done en general fi r eil le rede de la divifion de

a * par m ( refte qui fie peut ^tre que o , ou rt O
& qu'on faffe

p = _

las nombres p' & q feront d' abord tels que p'- — a j'*

= I ; & de plus q fera toujours divifible par /n , &

p' — p ^ on p' — I le fera auffi , fuivant que r fera ,

ou ne fera pas nul.

20 Suppofons a prefent

__ ip' ■*- (jWj)' ■+-(/- qWaY
X _ - ,

(p' -*- (jWaY - ip' - gWa)"

2. V a

fi on developpe ces expreffions fuivant les dernieres for-
mules de 1' u4rt. 16, on verra que y eft toujours divifi-
ble par q', & que x — p oa x — 1 I'eft auffi, fuivant
que n eft pair ou impair ; or q' eft toujours divifible par
m ( Art. prec. ), done y fera toujours divifible par m , &
x — p\ on X — I le fera auffi , fuivant que n fera im-
pair ou pair, quel que foit d'ailleurs le nombre n, pourvu
qu'il foit plus grand que I' unite. "

Or foit m un nombre premier quelconque , & defi-

gnons par r le refte de la divifion de a ^ par m' (re-
lle qui fera n^ceffairement ou o , ou bien r±i i )■, fi Ton
fait dans les formulas precedantas n = m' — r' , on
prouvera comme dans 1' ^n. prec. que y fera toujours di-
vifible par rti , Si que x — p' ou x — i le fera auffi ,

79
fuivant que / fera ou ne fera pas nulj mais lorfque r' e(l

nul, n ell impair, & lorfque / eft -+- i, n eft pair; done

y fera toujours divifible par mm\ Sc x — p' ou x — i

le fera audi , fuivant que / fera , ou ne fera pas nul.

. De plus, lorfque / eft nul, a eft divifible par mf ; &

fi on developpe 1' expreffion de p' de 1' j4rt. prec. fuivant

les dernieres formules de Vy^rt, i6, on verra que p' — f,

ou p' — I fera divifible par a , fuivant que m — r fera

impair ou pair, c'eft a-dire, fuivant que r fera ou ne fera

pas nul ; d' oil , & de 1' y4rt. prec. il s' enfuit que fi , /

etant nul , r i' eft auffi ■> p — p fera divifible par mm' ,

& fi r n' eft pas nul , p' — i fera divifible par m m'.

D'oii je conclus: i° que y fera toujours divifible par m m'.
a° que, que fi les deux reftes r &c r' font nuls a la fois,
X — p I'era divifible par m m' ^ & que s' ils ne font pas
tous les deux nuls , alors x — i fera divifible par m m'.

Or X -^ y\/a = {p -ffr qWaY' — ''^ & p' rh q' ^a
=■ (p rf- q^a)"'~''i done, faifant , pour abreger ,
(m — r)lm' — / ) =Af, on aura x zh y^a ss
(p dr y v^a )^ , &: par confequent

ip ^ q^aY - ip - q^aY .
y =

oii r on remarquera que M fera toujours pair , lorfque r
& r ne feront pas nuls a la fois , & qu'au contraire M
fera pair , lorfque r = o & r' = o .

On pourra pourfuivre ces operations , & ces raifon-
nemens aufli loin qu'on voudra.

2 1 Done en geniral , etant donne un nombre quelcon-
que N impair , dont les fafteurs premiers foient m , m' y
m' Sec. j fi on nomme r ^ r\ r^' &c. les reftes des divi-

m — - I ffl' «. I m" ^^ I

fions de a * par ct, de a ' par w' de a * par

80

m" , & ainfi de fuite , & qu'on fiifTe M = (m — r )

{m — r') iri' — r") . . . . les expreflions fuivantes

fatisferont d' abord a 1' equation x* — a j* = i ; & de
plus elles feront telles que y fera toujours divifible par iV,
& que X — p , on X — i le fera auffi , fuivant que M
fera impair , ou pair.

Les memes chofes auront lieu auffi , en faifant
M=nim — r){m—r'){tri' — r")..,.
n etant un nombre quelconque entier pofitif , comme il
eft facile de ie voir par ce que nous avons enfeigne dans
les Art. prec.

Je dis de plus que fi on fait

M = I'n ( m — r) (mf — r' ) (m" — /' ) . . . .
s etant un nombre entier pofitif quelconque , la quantite
y fera divifible par z'N, & la quantite x — i le fera auffi.

Pour demontrer ceue propofition , il fuffit de faire voir
que y, &c X — i feront toujours divifibles par 2'. Or fi
on fait, pour abreger , M = x' R , on aura x rh y^a

J

= {p ± q^^y ^. Qu'on fuppofe 1° / rfc q V a •=

ip -^ q^^y '^ , on aura x r^ y Va = {p -^ q ^ay ;
d'oii X = f'* •+• aq'- , Sc y = ^ p q' i mais on a auffi
p'* — a q'^ = 1 ; done x — i = 1 ap' q. Done y ,
&L X — 1 feront divifibles par 2^'. Suppofons 1.° p" th /Va

= (f rh q'^ay \ Ton aura / -+- qVa=^{p" -+- //a)%
d' ou q' = xp"q" ; ainfi q fera divifible par 2 q"; de m^-

me, en faifant p'" ± j"Va = (f ±: ^v^a)* ^, on

trouvera

8i
trouvera que (j" fera divifible par i ^'", & ainfi de fuite.

Done (1 J = I , J &c X — I feront divifibles par 2 ,
fi s = 1 , y Sc X — I feront divifibles par z • i , fi
s = I , ces quiTntitcs feront divifibles par 2-2-2 &c. ;
done en general ^ & * — 1 feront toujours divifibles
par 2'.

Par le moyen de ces theoremes on peut refoudre le cas
de 1' j4rt. 1 4 ; car quel que foit le nombre donne , il eft
clair qu'on pourra toujours le reduire a cette forme I'iV",
iV^ etant impair; par confequent, en connoiflant deux nom-
bres p Sc q qui fatisfaflent a 1' equation i = ^ — /V*
on pourra toujours en trouver deux autres, & meme une
infinite tels que x &cy qui y fatisfaflent aufli, & dont i'un y
foit multiple d' un nombre quelconque donne j au refte
ces theoremes nous feront encore fort utiles dans la fuite.

Appliquons maintenant les meihodes prccedentes a quel-
ques exemples.

E X E M' P L E I

12 Soit propofe de trouver deux nombres x Sl y tels
que X* — I ly'- = i .

Je commence par extraire la racine carree de 1 3 en
fractions decimales ; ik je trouve , en poufl!ant 1' approxi-
mation jufqu'a neuf cara6leres , ce qu'on faira aifement a
I'aide des^grandes tables de logarithmes d'Ulacqj je trouve

J. . . 360^5195
dis-ie Vi3 = 3, 605 510 50 = .

' -' -' ' I 1 y I 10000000

Je divife le numerateur de cette traftion par fon deno-
minateur , enfuite le denominateur par le relle , & ainfi
de fuite , comme fi je voulois trouver la plus grande
commune mefure entre le numerateur & le denominateur,
& ces differentes divifions me donnent ces quotiens 3,1,
1, i,'i 6, I, I, I, ij6, I, I &c- a r aide del-
Af//c. TauT. Tom. IK. I

quels je forme, en commengant par - , les fra£lions fui-

vantes

iiii 6 I I t

* 3 4 7 I' i8^ I '9 n7 ^5<^ q
o'T' i' ^' 3 ' 5 ' 33 ' 38 ' TT" "^^ ■

ou 1' on voit que le numerateur de chaque fraftion eft
egal a la fomme du numerateur de la fra61:ion precedente
multiplie par le nombre qui eft au deffus ( ces nombres
ne font autre chofe que les quotiens dont il s' agit ecrits
de fuite, & fuivant I'ordre dans lequel on les a trouvcs),
& du numerateur de la fraftion qui eft avant celle - ci ;
& il en eft de meme des denominateursj ce qui s'accor-
de avec ce que 1' on a dit dans 1' An. i .

Je fubftitUe maiiitenant les numerateurs de ces differen-
tes fradions a la place de x , & les denominateurs cor-
refpondans a la place de j dans la formule x* ~- ay''

X

y

R

I

0

I

3

■— 4

4

3

7

3

XI

4

18

— I

119

. 33

4

137

38

— 3

x^6

71

3

&c.

&c.

&

Je remarque ici deux valeurs de x & de j , favoir ||
x = 4, y = i> &a:' = 256, y' = 71, lefquelles
donnent egalement i? = 3 ; qui eft un nombre premieri
ainfi je puis faire ufage de la methode de \'An. 6.

83

J' nurai done 0=13, R=i,x=^,j= 1,
x' = i<^6 , y s= yi ; done x j' -¥• y x' = 540 qui

efl divifible par y, de ibrte que j'aurai d'abord ^ =' - —
= iSo ; enfuite x x' ■*- ayy' = 1947 qui ell aufll di-
vifible par 3 ; d' oil je tire ^ = = 649; ainfi les

nombres cherchcs feront x = 649 , & j' == 180 ; en
elFet le carre de 649 eft 4iiioi , & celui de 180 ell
31400, lequel etant multiplie par 13 doiine 411200 j
de forte qu'on aura (649)- — 13(18-0)^ = i.

0.1 auroit pu trouver d' abord ces me.Ties valeurs de
AT & de ^ a I'aide de la fuppofition qui donne R = — 4 ,
&: qui ell par coiifequent dans le cas de la methode de
\ Art. II. Eti elTet , puifque x ■=. 3 , & jy = i , on

aura , en prenant le figne interieur , p = = 6 ,

q = = 5 j & par conlequent xp = 1 8 , j>' ^ = j ,

& (x p y -t- a {y qY = 649 , z x y p q = 180.

Au relle, en continuant la ferie des fratlions — , — &c. ,

O I

on trouvera celle-ei — , -~ &c. , d' oii 1' on aura
109 180

X y R

393 »09 — 4

649 180 I

d' ou Ton voit que les nombres 649 & 180 font les
plus petits qui fatisfaffent a I'equation propofee x' — 1 3jy*= i
{Art. 18); de forte qu'en fubllituant ces nombies a la
place de ^ &: ^ dans les formules de 1' Art. 1 6 ou 17,
on trouvtra toutes les autres valeurs poflibles de x & de
y , ainfi defignant ces valeurs par x ^ x ^ x" &c., & par
"^ ■> y •) y ^'c. J on aura

X = 649

x' = 842401

y^ =180

y = 2n<540 •

x" = 1093435849
&c.

y = 303164540

&c.

& r on pourra etre afTure qu'il n' y a pas d' autres nom-
bres plus petits que ceux-ci qui refolvent le ProbUme
{Art. 17).

E X E M P L E 2

23 Solt propofd de trouver deux nombres x dc y qui
fatisfaflent a T equation x^ — 1 9jy* = i .

La racine carree de 19 fe trouve par les grandes ta-
bles des logaritlimes , 4, 35889494 , enforte qu'on a

, 43 5889494 1, > I, • I, , * • . 1-

V19 = .-J d ou i on tire par 1 operation mdiquee

lOOOOOOOO ' ' •^

dans r Exemplc precedent , les quotiens 4 , 2 , i , 3 , i ,
2, 8, 2, I, 3, I, 2 &c. lefquels fournifient ces fra-
ftions

213 I 2 8

2 J ^ 13 48 61 170

012' 3 '11' 14 39
dont les numerateurs etant fubltitues pour x , & les dd-
nominateurs pour y dans 1' equation x^ — 1 9^^^ = R ,
on aura

X

y

i?

I

0

4

I

— 3

9

2

n

3

— 2

48

1 1

61

»4

— 3

J70

39

&c.

&C.

&c.

d'oii Ton voit que 170, & 39 font les plus petits nom-
bres qui fatisfaflent a 1' equation propofeej & par le mo-
yen de ceux-ci on pourra trouver tous les autres nom-
bres poffibles qui refolvent la queftion.

E X E M P L E 3

24 On demande deux nombres x , Sz y qui fatisfaffent

a cette equation x^ — 109JK" = ^ •

T» * J' u J / ^ 104403065

Je trouve dabord v 109 = 10, 4403065 = ;

■' 7 • J / 1 0000000

d' oil je tire le quotiens fuivans 10, i, 3, i, 2, 4, r,

6,6,2 &c. } a r aide defquels je forme ces fraftions

23124 I 6 6

I 10 21 73 94 261 II38 1399 9532

I ' 2 ' 7 ' 9 ' 25 ' 109 ' 134 ' 9'3

&c.

dont les numdrateurs etant fubftitues pour x , & les de-
nominateurs pour y dans 1' equation x' — 109J'' = i2,
j' aurai

y

ii

0

I

I

— 9

z

5

7

— I 2

9

7

^5

— 4

109

M

134

— 3

913

3

a;
I

1 o

2 I

73

94

261

1138

>399

953^

&c. &C. &C.

Ici il faudroit poufler la ferie afses loin pour trouver
les valeurs de x & de j qui donnent i? = 1 ; ainfi il
vaudra mieux fe lervir des methodes de VJrt. 6 & fuiv.

cj = — = 851515; enluite x x ■+• ay y =

86

Pour ccla j' obferve qu'il y a deux fuppofuloiis dont
r une donne /? = 3 , & 1' autre R ■=■ — 3 ; de forte
qu'a caul'e que 3 ell un nombre premier, on pourra fane
ufage de la metliode des An. 6 &: 1 1.

J' aurai done «= 109,/?= 3, :f= 1399, _y =
1 3 4 , .V = 9 5 3 1 , y = 9 I 3 ; done xy -^ y x =
2554575, qui etant divilibie par 3 , j' aurai d' abord

211^1L = 8515x5; enfuite

3

16670546 , qui etant aufli divife par 3 doiinera

i6670S46 _- .

p = = 8890181.

3

Or comme dans Ics equations -x' — ay' = i? , &

x'' — ay''- = — R ia quantite R a des lignes defe-
rens , le produit de ces deux equations fera , en prcn.int
le figne -4-, (xx'-*-ayy'y — a (, x y -t-yx'Y ^= — R^;
de forte qu'en dtvilant par A'^ on aura ^- — a^^ = — i ;
d' oil 1' on voit que les valeurs trouvees de p 6c (j ne
fatisfont pas a I' equation propofee ; mais en prenant le
carre de I'equation p- — a f ^= — i , on aura (/r -4- acj'Y
— a {t p qY = I , de lorte que les valeurs de x & de
y qui relbivent le ProhUme , Ibnt x = ^' -H a ^- , &
y = "i- p q ., favoir

1= i58o7o67i936i49,&j>'= 15140414455100
& ces valeurs font en meme terns les plus petites qui
fatisfdffent a I'equation x^ — 109J'' = ' » comme on
peut facilement s' en convaincre en pouflant la ferie des

■f^ 10
fraftions — , — &c, jufqu'a ce que 1' on en trouve une

qui fbit formee de ces memes nombres , & en calculant
Toutes les valeurs de la formule x^ — ay- qui repondent
k. ces memes fraftions.

^7

Ces exemples font luffifans pour faire connoitre I'ufage

& r efprit de nos methodes j nous ajouterons feulemeut

quelques remarques , qui pourront meriter 1' attention des

Geometres.

Remarque i "

15 En examinant les valeurs de R des deux premiers
Exemples , on voit que dans le premier les memes nom-
bres le trouvent fucceffivement avec les fignes -+- & — ,
au lieu que dans le feeond, les nombres qui ont le figne
-+- font tous dilTerens de ceux qui ont le figne — .

Pour trouver la raifon de cette difference , llippofons
en general x* — ay^ = R, & x'^ — aj- = — i? ,
ce qui eft le cas de \' Exemple i; & Ton aura x' — ay''
.= — x'' — ay- ; favoir x^ -t- x'- = a {y- ■+■ y'') i
d' oii r on voit que x' -4- x'^ doit etre divilrble par a .
Or r on fait que la fomme de deux carres n'eft divihble
que par les nombres qui font auffi la fomme de deux
Carres ; done pour que. les deux equations dont il s' agit
ayent lieu en meme terns , il faut necelTairement que le
nombre donne a foit la fomme de deux carres ; c'eft ce
qui a lieu dans 1' Exemple premier , ou a = 1 3 = 9 -+- 4 ;
au lieu que dans V Exemple feeond^ a = 19 qui n' eft
point la fomme de deux carres. Ainfi toutes les fois que
a ne fera point la fomme de deux carres, ce qui arrive,
comme 1' on fait , lorfque quelqu'un des fafteurs premiers
de a eft de cette forme 4/72. -+- 3, on pourra etre aOTure
qu'aucun nombre ne pourra etre en meme terns de la
forme x' — ay'^ , & de celle-ci ay' — x- , quels que
puiflent etre x , y ; x , Sc y' .

Mais on nie peut pas dire reciproquement que lorfque
a eft la fomme de deux carres tout nombre qui eft de la
forme de x- — ay- eft aufli de la forme de ay'- — x^i

88

au moins je n' ai pu parvenir jufcju'il prcfent a m' aflurer
en general de la verite de cette piopofition ; quoique je
r aye d' ailleurs trouvce vraie dans un grand nombre de
cas particuliers.

Au rerte il eft evident que fi — i eft de la forme de
x' — ay"" tout nombre pofitif qui fera de la meme for-
me, fera aufli de la forme de ay"' — x'- ; car foit — i
=■ f" — a q' y 6i R = x'- — ay'- , on aura , en multi-
pliant enfemble , ces deux equations , & changeant les fi-
gnes des deux membres R = a{Y p -*~ x qY — {xp -f- ayqY.
Or fi on trouve dans deux feuls cas particuliers R = x^

— ay, & — R z= x'"- — ay"- y & que R foit urt
nombre premier , alors on parviendra toujours a cette
equation — i = f ~ — « ^% comme nous 1' avons vu
dans r ExempU troijiime ; de forte qu'on en pourra con-
clure d' abord que tout nombre qui fera de la forme de
,x- — <^y^ ■) ^^'■^ ♦^"ffi ^^ ^3 forme de ay- — a;'*.

Remarque 2*^

i6 Suppofons malntenant que Ton ait 1' equation r^ —
ail!- = — 1 en prenant les carres , on aura (t' -i- a//')*

— a ( 2 t « ) = I , d' oil r on voit que V- -+• a it'- eft
une des valeurs de x qui fatisfont a 1' equation x' — ay'-
= I , & que ^tu eft la valeur correfpondante de y ;
mais nous avons demontre ( Art. 1 7 ) que toutes les va-
leurs de X Sc de jK qui fatisfont a cette equation font
.renfermees dans ces formules •

2,
{p -f- fiVay - {p - q\f aY

y = TVa — ; — '

772 etant un nombre quelconque pofiiif , &i p ^ q eiant les

plus

plus petifes valeurs qui faiisfduent a la meme. equation
X' — ay* = t ; done ii faudra que 1' on ait

f -t- au'= " ^

y t u

2

{p -^- qVaT - {p - qVaY

X V a

equations qui fe reduifent a celle-ci

( t -±1 uVaY = (p r^ ijVay.

Or je dis d'abord que m ne fauroit etre un nombre pair;

car foit m = i«, on aura (t rh uVaY =: {p -^ qy/ay%

&c extrayant la racine carree t ■+- uv^a = -*- (p -+- qVa)";.

or (p -+- qv^a)" fe reduit a cette forme p' zh q'^a. en .

fdifant ( An. 15)

{p •+- ^Vrf)' -^ (/> - ^v^y
^ ;^

{j^ qy/ay - ( /> - 7«/^)"
? =

2 V jj

done puifque t Si. u font ( A/^. ) des nombres pofuifs , &
que p &c q le font auffi , on aura t ■= p ^ u =. q -y
mais a caufe de p' — aq^ = i , on aura auffi p* — aq'-
= I ; done on auroit /- — aur ^=. \ ; ee qui e(l con-
tradicloire ; done m doit necefldirement etre un nombre
impair.

Soit done m ■= 1 n -¥• i , & 1' on aura

(r ^. uVay = (p •+: qy^^y X (f d- ^Va);
d' ou 1' on voir que p ■±: q va doit etre un carre , or
quelle que puifle Itre la racine carree de p -*~ qVa ; il
ell clair , a caufe de la quantite irrationelie v^a , qu'elle
lie peut etre que de cette forme r ■±- sVa; de forte que
r on aura p z^ q y^a =: {r -*- s v^ay = r- -+- a s- ~*Z
X r s Va ; & par confequent p = r -t- a s- , & q = irs.
Ainfi a moins que les quantites p &z q nc foient de
cette forme , il eft impoffible 'que l' equation i'- — a u'-
=a — I ait lieu ; or connoiflant .les valeurs de ces quanr

Mifc. Taur. Tom, IV, m.

90

tites 11 eft facile de verifier fi elles font de la forme dont
il s' agit ; car premierement il fliudra que q foit un nom-
bre pair ; enfuite il ell evident que r &c s nc peuvent
etre que les fofteurs de la moitie de q; de forte qu'il ne
s' agira que de chercher tous ces fafteurs , & de les fub-
flituer a la place de r & i dans I'equation r'--^as^=p.
Si on peut par ce moyen trouver deux valeurs de r
& s , alors , comrne p rh q^<^ = ('■■+* J *^a )% on aura
(f rt uVay = (r dr: ^ V^)^"", & faifant

, {r ■*- .f >/ ay -^ {r - s \/ aY

2

{r ■>- sV aT - {r - s\/ aT

■L V a
on aura (t -+- uVaY = (/■' -f- s'VaY; d'oix t-±ziiVa
= / ■*- s ^a Sc t = r\ u = r'

Or il eft facile de voir que les valeurs de / & / font
les plus petites lorfque m = i ^ auquel cas on a r = r ,
Sc s' = s ; done les plus petites valeurs de f & de a
feront t = r , &c u = s i done r &: s feront les plus
petites valeurs qui fatisfalTent a I'equation /* — aa* = — i •

USAGE

DES METHODES PRECEDENTES

Pour la refoliuion des equations du fecond digre

a deux inconnues , par des nombres

entlers.

a:

•7 ^oit ppopofee 1' tfquation

* X* -H |8 X y -+- yy"- -+- t x H- f^-+-^ =o
dans laquelle ct, (8, ^, S, «,&J^ font des nombres
donnes entiers pofiiifs, ou negatifs, & x, &^ font deux
nombres inconnus qu'il s' agit de determiner de maniere
qu'ils foient rationels 8c entiers.

Qu'on multiplie toute I' equation par 4 * , & qu'on la
mette fous cette forme
(i«x -\- dy -H S)= = ( /3 J -4- ly — A*<yy -4- fy -t- ^ = 0.

Soit pour abreger

1 A X ■+■ fiy -4- S = ii

/3" — 4ity = ^

8^ — 4«<; = c
& r equation precedente deviendra

ir = a y^ -+- ^ b y -4- c .
Cette equation etant muliipliee par a peut fe mettre
fous la forme fuivante

a w^ = ( a jy -4- /> )* -H a c — Zi*
ou bien, en faifant

ay ~i- b = t ,
b' — ac = R,
fous celle-ci

r — a K* = i? i

91

d' ou r on voit d' abord que le nombre donn^ R doit

etre de cette forme t' — a u^ pour que le ProbUine ad-
mette une folution rationcHe.

J' ai donne ailleurs la meihode de reconnoitre fi un
nombre donne ell de la forme de t' — a u' , a etant
aufli donne; & j'ai fait voir que pour qu'un nombre quel-
conque R Ibit de cette forme, il faut que chacun de les
fafteurs premiers que je defignerai par r , foit tel que

a ' — I foit divifible par r ; fi cette condition n' a
.pas lieu on peut affurer hardiment que iJ-n'ert pas de la
forme dont il s' agit , &: qu'ainli le Frobleme n'admet au-
cune folution rationelle.

28 Suppofons maintenant qu'on ait reconnu que le nom-
bre R elt en effet de la forme de r — a u'- , & qu'on
ait trouve en meme terns deux nombres P &c Q tels que
R = P'- — aQ^ 1 Pti ce cas le ProhUme fera refoluble
€n nombres , & il pourra meme 1' etre de plufieurs rnii-
nieres ; c' eil ce que. nous allons examiner,

II ell d' abord clair que puifque R ■=■ P'^ — aQ^ =■
x^ — au^, il n'y aura qu'a fuppofer t = P , & u = Q;
ce qui donnera a y -\- b = P , & 2 et ,v -t- j8j)' -+- S = (j> ,
& par confequent

a ■'' »2ct Ida'

Or je remarque 1° que les nombres P be Q peuvent
etres pris pohtivement ou negativement a voioiuej ce qui
donnera d' abord quatre foluiions diffierentes.

2° Si le nombre R ell le produit de deux, ou de plu-
fieurs nombres de la forme de P' — ^Qi" y il fei'i aufli
plufieurs fois de cette meme formej de foite qu'on pourra
trouver difFirentes valeurs de P & de Q .

En effet fi R ell le produit de deux fafteurs tels que
/* — aq', &/'- — a/-, on aura {Jn. j ) i? = (j>p' zt ^ ?!/')*

93
'— a(pq' rh Ip'Yi 3infi on pourra fuppofer P = p p'

-+- a ^ cj' , & Q ^=- ? i "♦" ^fj 0^ •^ ^^ ? ?' — "-I H >

& (2 = /?/ — ?/.

Ell general fi R eft exprime par A" B" C D' . . . . ,

^, ^, C, Z? Sec. etant des nombres de la forme de

P' — a (2% mais qui ne foient qu'uiie feule fois de cette

forme ; le nbmbre R fera ( comme je l' ai demontre ail-

leurs) de la meme forme autant de fois ni plus, ni moins

qu'il ya d'uiiites dans la moitie de ce nombre (m -+- i )

( « -+- I ) (r -H 1 ) (j- -+- I ) . . . . s' il eft pair, ou

dans la moitie de ce meme nombre augmente de 1' unite

s' il eit impair. Ainfi les quantites P &i Q auront cha-

cune autant de valeurs differentes qu'il y a d' unites dans

{tn->-i')(n-^i)(r->-i){f-^i) . .. , {m-^i)(n •■ i){r-^-i){.r-^i) ...-i-i
oudans

2 1

& chacune de ces valeurs fournira par confequent quatre
folutions du ProbUme.

19 Examinons feparement le cas , cii -a eft un nombre
pofitil: , & celui ou a elt un nombre negatif.

Soit 1" a un nombre negatif = — e, enforte que e
foit pofrtif, & la forme du nombre R fera P' -^ e Q^ i
done puifque il eft impoiTible que 1' unite foit de ceite
forme, le, nombre des fatteurs A^ B, C, D &c. {Art.
prec. ) qui font fuppof.s etre de cette forme fera neceflai-
remeni limite j done le nombre des valeurs de P &c de Q^
le (era aulfi ; par coniequent le Probleme ne pourra avoir
qu'un certain nombre de folutions rationelles , qu'il fera
aile de trouver par la methode precedt-nte ; & s' il arrive
qu'aucune de ces folutions ne donne des nombres entiers
pour les valeurs des inconniics x &: y, on en devra con-
clure que le Probleme n'admet .point de folution en entiers.

Suppofons 1° que a ion un nombre politif; dans ce cas
corame 1' unite eft loujours de la forme de P^ — ^^ ■

94

quel que foit le nombre a , il eft clair qud le nombre
des farteurs de R de la forme dont il s' agir fera infini ,
parcerru'oii pent toujours regarder le nombre R comme
multiplie pnr une puilFance quelconque de l' unite ; ainfi
o'j le Probli nc n admettra point de folution du rour , oa
bieii il en admettra neceirairement une infinite.

Pour comprendre toutes ces folutions dan^ deux formu-
les generales , foient p' & q deux nombres tels que p'*
— a q' = I , & maltipUant cette equation par 1' equa-
tion P- — aQ' = R on aura ( P p' ± a Q <j' y —
a{P q rt Qp')' = -^ » d' oil Ton voit qu'ayant trouve
deux nombres P &c Q qui latisfaflent a 1' equation P' — .
aQ' = R, on pourra mettre dans ies formules de \'y4rt. 28
Pp' •+: aQ,q a la place de P, &. P q Hh Q^p a la place
de Q ; ce qui donnera en faifant abftraftion de I'ambiguite
des lignes , a caufe que Ies nombres P Sc Q peuvent tou-
jours etre pris pofitivement ou negativement ,

Or nous avons demontre ( Art. 1 7 ) que Ci p 8c q font
Ies plus petits nombres qui fatisfaffent a i' equation p''- —
a q'- = 1 tous Ies auires nombres poflxbles font reniermes
dans ces formules

P ^

2 va

en prenant pour m tous Ies nombres naturels i, z, 3 &c.
a r infini ; done (i on fubltitiie ces valeurs de p' & q dans
Ies formules precedentes , on aura

y-

(F-^

^v^a)" -+■

X

.>Q-i3r

■^(P^^Q)Va

4a oe

aQ-HF

-(p-

- ^ Q ) V^4

95
P - Qv'a , , , i

ia

ip •+- qVa)'^
,a. {p -^ qVa)"

I -It

Done fi on met dans ces formules les differentes va-
leurs de P & Q qui naiflent des fafteurs de R qui font
de la forme de /** — a Q' , & qui font plus grands que
r unite } & qu'on fafle fucceflivement m =■ i, 2, 3 &c.,
on aura abfoiument touies les lolutions rationdles poffibles
de r equation propofee.

30 Soit pour plus de fimplicite

p -^ fiQ = q,

& r on aura

T p' -^ aOq' - (>
y = -. ^

P' p' ■*- aQ^'q' ■*■ b^ -aS^

X • •

done, a moins que les numerateurs de ces deux fra£lions
ne foient divifibies exaftement par leurs denominaieurs ,
les inconnues x&i.jy ne pourront eire des nombres eniiers,
Suppofbns

y = _

am

Si. nous aurons

y = —^ ^ y

■ Y' -^ ha - as

Or je dis que 1' on pent toujours prendre 1' expofant m ,
dans les valeurs de f & q , tel que x' & y Ibienc des
nombres entiers.

Pour cela on decompofera le nombre a. en fcs fafteurs

premiers, enforte que Ton ait et = %' in tri' m"

( m , m\ m" &c. etant des nombres premiers) enfuite on

divifera a '" par m , & on nommera le refte / , on

divifera de meme a '' , Sc on nommera le refte r' ,
& ainfi de iuite; ces reftes etant trouves, on fera m egal
a un multiple quelconque de 2'"*"' {tn — r) {m" — r")
( m'" — /")....; car, par ce que nous avons demon-
tre plus haut {Art. z i ) , il e(b clair que p' — i , & ^'
feront divifibles par 2 « ; de plus il eft facile de voir par
les formules de V Art. 16 que p — i fera auiii divifible
par a , a caufe que m eft pair ; par cpnfequent x & y
feront neceflairement des nombres entiers.

Uonc (1 les quantites ol lont des

nombres entiers , on pourra trou\'er une infinite de va-
leurs de X & de jy en nombres entiers ; or ces quantites
ne font autie chole que les valeurs de x &c 6e y qui re-
pondent a /rz = o , ce qui donne p' = i , ^' = o , &
par confequent x' = o , & j^' = o ; c'eft-a-dire les me-
mes valeurs de x & 6ey que nous avpns trouvecs d'abord
( Art. 28 ) J d' oil il s'enfbit que fi Ton trouve une feule
folution du Prohlime en nombres entiers , dans le cas de
a pofiiit , on pourra par nos formules en trouver une

infinite

97

finite d' autres en prenant pour P Sc Q les nombres qui

repondent a la folution donnee , & pour m un multiple
quelconque de i."*-' (m — r) {m" — r") {m'" ■ — r") . . . .
Au refte il eft bon de remarquer encore qu'il ne fera
pas toujours neceffaire que m foit un multiple de ce nombre
pour que x & y foient des nombres entiers ; car il eft:
vifible , par exemple , que ft P' &c Q' etoient divifibles
par (t , il fuffiroit alors que m fiut un multiple de 2 ,
c'eft-a-dire un nombre pair ; & ainft des autres cas fem-
blables.

A Berlin ce lo Septembre 1768.

Mifc. Taur. Tom. IF.

"SUR V INTEGRATION

£)e quelques equations dijfcrcnt'ielles dont les indi'

tcrmlnees font feparees , mais dont chaque

membre en particulier ri eji point

intecrrable.

o

Par M. de la GRANGE.

I La reparation des indcterminees eft regardee avec
taifoii comme un des meilleurs moyens que les Geometres
ayent imagines pour inte^rer les equations differentielles
du premier ordre. £n effet il ell clair que quand on a
iepare les indcterminees dans une equation, on peut aiors
regarder chacun de fes membres comme une differentielie
particuhere qui ne contient qu'une variable ■, de forte qu'il
n' y a plus qu'a prendre f'eparement I'integrale de I'un &
de I'autre membre, en y jjoutant une conftante arbitraire.
Dela il femble qu'on pourroit conclure que lorfque les
deux membres de 1' equation ainfi fepaiee ne font point
integrables , 1' equation elle meme ne doit pas 1' etre non
plus J c' ett ce qui elt vrai en effet dans la plus part des
equations differentielles ; mais il (e trouve neanfmoins des
cas , oil cette concluiion leroit faufle , & qui vont faire
la matiere de ce Mimoire.

2 Pour commencer par "les cas les plus fimples nous
prendrons 1' equation

£f __ ^y fjs

V {i - x") V(i-/) ^

dans laquelle tout eft fepare comme 1' on voit. II eft
d' abord evident que les deux membres de cette equation
ne font point integrables, au moins algebriqucment} cepen-
dent on lait que 1' equation en elle ineme admet une in-
rt

99

teirrale algebrique. En effet , comme — ; eft la

differentielle de 1' arc dont le Jinus eft x , de meme que
eft la differentielle de 1' arc dont le Jinus eft

, V ( I - >M

y, on aura, en prenant les arcs au lieu de leurs differen-

tielles , & ajoutant une coiiftante quelconque C,

Arc. (in. X = Arc. fin. y -^ C ;
done ft on fuppofe que C (bit aulli expriine par un arc
dont le Jinus ioit a , on aura

Arc. iin. X = Arc. (in. ^ -f- ^^rc. fin. a,
c'eft-a-dire que Tare qui rcpond au Jinus x doit etre egal
a la lomme des arcs qui repondent aux Jinus y ik a ; de
forte qu'on aura par les theoremes connus
X = y V (i — a') -+- ay/ (i — y') . . . (B)
c' eft i' integrate de l' equation propoiee , dans laquelle a
eft la conllante arbitraire.

3 J' avoiie qu'on peut trouver cette integrate fans le
{ecours des theoremes fur ]es Jiius , en integ ant chaque
membre de 1' equation (A) par les logarithmei imaginai-
res , & paflant enfuite des loganihmes aux nombres, De
cette maniere on aura

H- / [ a v^ — 1 -H »/ ( I — a^ ) ] ,
d' oil r on tire

xV — ,H-v/(i — x') z= [yV — I -f-\/(i — jy')]
X[av'— iH-»/(i —a')] =[j»/(i_a^)
H-av/(i— j^O]v^— I -+->/(i —y')V{i —a-) — ayi
& comparant la partie iinaginaire du premier membre a
la partie imaginaire du fecond , & la partie reelle avec
la reelle ; on aura comme ci-deiTus

X = yV {i — a')-^ aV {i ~ y^),
ou bien encore , ce qui revient au meme dans le fond

lOO

4 Mais fi d'un cote cette mefhode eft uii peu plus di-
refte que la precedente , de 1' autre elle a aulli T incon-
venient de dependre des quantites tranfcenJanteii en elfet
puifque 1' integrale de 1' equation propolee ell ablblument
algebrique , n' e(l-il pas naturel de penfer qu'il y ait aufli
une voie purement algebrique pour y parvenir :"

Qu'on muUiplie les deux membres de I' equation {A)
en croix , on aura

d X V ( i — y) = dj v' (^ I — x')
& integrant par parties

y(\/i — X') -^J

V X d X

-+- c

Or r equation (j4) etant multipliee par xj , & enfuite
int;.gree donne

/xy d X /* xydy

^ {l-x^) J V ( I -f)

done r equation precedente deviendra

xV {i — y-) = yV {i — X') -^ C;
equation alg,bric[ue , qui en faifant C = a revient au
meme que T equation {B) de 1' Art. z.

5 On pourroit aufTi appliquer la meme methode a I'in-
tegration de 1' equation g.nerale
f^f '^ ^ ..(C)

V{a->-liX-t-yX^) V ( « -1- /!?>' -t- ,./ )

car multipliant d'abord en croix, & prenant enfuite I'inte-
grale de chaque membre par parties on a

I 01

Or r equation (C) etant muItipUee par xy , & enfuite
iniegree donne

f x y d X r xy dy

J V (,« + /? A- -f-y^'j ~~ J V (^ « -+- ^^ -t-"77T

De plus on a par la meme ecjuatioii

& de meme

/xdy f xdx

= — V (cc-hSjc -4-y X-) /

i^X-^yX^)

y '^ -y J ^ '^^-^ ey ^yy')

Done faifant ces fubllitudons dans 1' equation ( Z? ) , &
eliagant ce qui fe detiuit on aura cette equation algebrique

x V (ot -+- ^y -+- yy') — — V {«.-*- ^ x -ir- y x' ) =i

yV {a.-^^x-^yx-)— — >/ {a -^ ^ y -^ y y') -+- C,
ou bien

( ;c -+- -^ ) / ( ct -+- /3jK -^ ? J^O =

(j-H— )v/(«-+-/3x-h}/x')-4-C

qui eft r integrale de 1' equation propo(ee. ; x !,

6 Voiladonc, comme Ton voit, uiie methode bien fimple
pour imegrer cci lortCb d'equatioiii, dont chaque membre en
particulier depend de la quadrature du cercle ou de 1' hi-
perboie ; mais il y a enviote d' autres equations plus ge-

XOl

nerales que !es precedentes qui admettent aufli des iiite-
grales alg^briques , quolque chacun de leurs membres ne
ioii en aucune fagon iiitegrable.

Ces equations lout comprifes dans la formule fuivante
____J^f

y' (a -t- i2y -h yy'-t- S'/'-t- t y* j

dont r integrale eft exprimee en general par 1' equation
A-^- B {x V j) ■+■ C {x- -\-f-) -^ Dxj-i-E (xy -hy'x)
•+• F x^'y = o .

En elfet fi on differentie cette equation on a
[B -h rCx -i- Dy -i- E (ixy -+-y^) -+- i/'xj'] dx h-
\_ B -h iCy -¥■ Dx -+- £ ('i-yx -t- x") -*- zFyx-J dy = o.

Mais en tirant de la ineme equation la valeur de x en
y, & enfuite celle de j' en x, on trouvera

1 a: ( C -t- £jK -+- Fy^ ) -t- B -h Dy ■+■ Ey' =
V[(B -H Dy-hEy'Y — 4 iA-i-By-hCy'){C^EyfFy')]
& de meme

zy(C-+-Ex-\-Fx-)~^B-¥-Dx-i-Ex- =
V[{B H- Z);c -+- Ex'-y- — 4 iA-hBx'+'Cx'XC-hEx-^Fx')^
de Ibrte qu'en taifant
A = B' — 4AC
/3= z B D — 4(AE -h B C)
y = X B E -^ D' — 4 {A F -h O -^ B E)
I = xD E — 4(BF ■+■ CE)
e = £■ — 4CF
on aura

dxV^ (oi ■+■ dy -+• yy^ -f- ^jy' -+- fjy* ) =
</jv^(* •+• ^x -4- y x"- -+- Sx' -4- «x''),
& par conlequent

djt_

V ^« -I- /J ,• •+■ >■ v' -4- <r ) ' -»- e I ■* ; '

qui eft r Equation differemielle propofee. Or comme les
coeficiens donnes et , 5 , }/ , S , 5 ne font qu'au nombre
de cinq , &: que les coeficiens inderermijiees j4 , B , C,
D , E , F font au nombre de fix , il ell clair qu'il en
reltera toujours un d' indetermine qui tiendra lieu de la
coiiltante arbitraire qui doit fe trouver dans 1' integrate.

Cette integration ell d' autant plus remarquable qu'elie
n'cll diie qu'a une efpece de hazard heureux , & qu'il ne
feroit pas meme poflible d'y arriver par les methodes con-
niies des Geometres jufqu'a prefent ( voye{ Jans les Tomes
f^I. & KII. des nouveaux Commemaires de Petersbourg plu-
fieurs excellens Memoires de M. Euler fur ce jujet ) . J' ai.
done cru que ce feroit un travail avantageux aux progres
de r analiie que de chercher une mcthode direfte pour
integrer les equations de cette efpece , 6c voici celle que
j' ai trouvee. £lle ell fondee lur le principe fuivant.

7 Quand on a une equation differemielle du premier
degre dont on ne pent trouver 1' integrale , il faut la dif-
fcrentier & examiner fi en combinant cette nouvelle equa-
tion avec la propofee , on pourroit trouver une equation
integrale du premier degre autre que I'equaiion propofee j
car alors en chafl'ant par le moyen de ces deux equations
les premieres differences, on aura une equation algebrique
qui fera 1' integrale cherchee.

Si r iniegration ne reuffit pas de cette maniere , il faut
pafler a la differentielle du troifieme degre , & chercher
fi on pourroit ainii parvenir a une nouvelle equation du
fccoiid degre } en ce cas il n' y auroit plus qu'a eliminer
les differences fecondes & troiliemes par le moyen de
r Equation propofee , & de fa differentielle. Et ainli de
fuiie.

104

8 Cela pofe je vais commencer par chercher 1' inte-

grale de 1' equation (C) de V Art. 5; pour cela je fais

d t = -, : ■> enforte que 1' on ait les deux

V I « -»" J^ •■>•• ■»- J' *' )

equations liiivantes

, d X

at =

dt =

d ^

Je inultiplie ces deux equations en croix , & je les
quarre pour les delivrer du ligne radical, ce qui me don-
ne ces deux-ci

dt' '

-j^. = ^ ^ ^y -^ yy- '

Je differentie maintenant ces equations en prenant dt
pour conltante , & divifant la premiere par dx ., & la
feconde par dy ') aurai

x d'' X _

-^-- = ^^xyx

t. d^f .

-j^^^-^yy-

Or en ajoutant ces deux equations enfemble , & faifant
X -+- y = /? , on aura 1' equation

r d' p

laquelle etant multipliee par dp., & enfuite integree donne

k etant la conftante arbitraire ; d' ou l' on tire
^ = »/(^ ^- 2^/) ■+- yp'-).

Mais

Mais -^ = ;; =

dt dt

v^ ( a -4- Rx -^ yx\) -H V ( * -4- /3 J + yy' ),
done on aura enfin

s= •[/(: -+- i/3(x h-jk) -+■ y\x -^ yyi-

9 Si au lieu d' ajouter les deux equations differentio-
differentielles on avoit. retranche I'une de I'autre on auroit
eu ( en faifant x — y = q) celle-ci

3. d'q

qui etant multipliee par d ij ^ Sc integrde enfuite donna
& par confequent

^. = «-yf

Done puifque q ■=: x •— y on aura -~- = v' ( * -f- i3 x

-+- j/x*) — v^ (* -f- ^y -+- yy'^'y de forte que I'equa-
tion integrale fera

= v'r.H-f- |8(x — yr\
H ^tant la conllante arbitraire.

10 Les integrales que nous venons de trouver ne difFe-
rent point , quant au fond , de celle de VArt. 5 , comme
il ell facile de s' en alTurer par le calcul j mais on peut
en trouver encore d'autres plus fimples , en donnant feu-
lemenc un peu plus de generalite a notre methode.

d X

En effei fi au lieu de fuppofer dt = ;; r*

on fuppofe =. = — T etant une fonftion

quelconque de x &. j' , on aura ces deux equations-ci.
Mijc. Tauf. Tom. IV, o

dt dx

dt 4y^_

J \/ ,« -+• iff ■+- >•.>-'/'

d' oil r on tire, en maltiphant en croix & quarrant,

= A -h &y -^ yy

d I'

de (brte qu'en diifeieniiant , & regardant dt corame con-

ftante , on aurs •

xTdTdx -f- iT-d'x .

= /3 -4- ^ y X

df

= |8 -+- 2 yy

at'

Equations qui etant ajoutees enfemble, en fuppolant x -i-y
»= p , donnent celle-ci

Ov foit X — J/ = ^ , & fjppofons r une fonftion de p

& ^, enforte que Ton a\t dT = Mdp -*- Ndq, on

dTdp ]V}//p' 'N dp del . dp da

aura = ^ -»- — - — ; mais — ^- — =

di' dt' dt' ' df

dx' — dy' a -t- /i \ -t- y ' «-(-/?-».)- v» 0 c -t- y p ^

d? ~ T' f^ ~ f^ '

done fubllituant ces valeurs dans 1' equation ci-deffus elle

deviendra , apres 1' avoir multipliee par T,

T' ( Mdp' -4- Td'p)

. ~ = (^ ^ yp)(T —■ Nq).

Or puifque la valeur de T eft indeterminee , on peut la
iiippoH'r telle que T — Nq = o ; c' eft-a-dire ( a caufe

que N = — — ) -T— ; — = — , ce qui donne en multi-

^ dq ' Id (] q ^ ^

pliant par </ ^ & integrant y T s=i P q ., P etant une fon-

flion quelconque de P fans q , Ainfi on aura en fuppo-
fant dPz= Pdp,M = Fq,N=P, & 1' equation
dilFcrentielie deviendra

77^ = ° '

c' eft-a-dire , en mettant p q an lieu de T, dp au lieu de

P dp, & divifant enluite par qT'y — =o,

,. d-Tdp , .

ou men — — — = o j de. lorte quon aura, en prenant

P dt7

une conftante arbitraiie quelconque G , —: — = G; d'ou

,. J dp dx ■*- dy

en mettant au lieu de — ; — = la valeur

dt dc

j; ^^ — - -+- j; — - , & faifant at-
tention que T = P q ^=i P {x — y) , on aura 1' equa-
tion finale

V ( tf -♦- /? v ^.y re^^ .^, V f u -*• 0 ^ -(• y V'') ^

— ' ■ ^= G •

X - y

C'eft-la ce me femble la forme la plus fimple a laquelle

on puifle reduire 1' integrate de 1' equation propofee (C).

1 1 Puilque la difference des deux quantitcs qui ibnt
fous le figne eft j8 ( jc — y) -+• y ( x' — y' ) , il eft clair
qu'on aura ' '■

v^(<t-+-/3x-t-)/;c') — v^(<t-+-0/-4- yy* )

_ jg ( ^ - >' ) -^ >• ( ^' - .y')

Done mettant au lieu du denominateur du fecond mem-
bre fa valeur G(x — y), & divifant enlliite le haut &
le bas de la fratlion par x — y , on aura

^i*'^(ix-i-yx') — V {A -i- (iy -i- yy')

io8

~ G •

Equation qui etain combinee avec la prdcedente donnera
celle-ci

2 Ct

laquelle etant multipliee par 2 G , & enfaiie quarree

deviendra

18' — 4 « G' -4- 2 j8 ( >- — GO (x -+- J ) -+- 2 (y^ — G*) xy

H- (^ _ G^r{x^ ^ f) = o.

La methode que nous venons d'employer dans Vyirt, i o
peut s' appliquer avec le ineme lucces a integrer 1' equa-
tion doot nous av<)ns parle plus haut ( Art. 6 ).

Soit done

^e dx

enforte que 1' on ait auffi

^l dy

& ces deux equations etant traitees comme celles de
r Art. I o deviendront d' abord

xTdTdx -4- 2 T^ d^x „ . ,

■ — — =/3 -+- X y X ->>- 35 X -+- 4fx'

xTdTdy ■*- rt^d'v „ . ,

J'ajoute enfemble ces deux dernieres equations , & je fais
comme ci-defl"us x •+• y = p , x — y s= q, &c dT =s
Mdp -4- Ndq, j' aurai en divifant par 2

T Mdp^ -*■ TNdpdtj ->- TVy __

di'

0 -^ yp -^ ~- {p\ -+- ?0 -^ -7- (/' -+- 3 f ?' )

& mettant an lieu de — — -^ fa vaieur

109

J-

^ ? -+- rpf -+- — ( 3/''? -+- 7') -^- -^ (f' ? -4- p f )

on aura apres avoir multipli^ par J, & ordonne les
termes

df'

= (/3 -4- y?){T — Nq)

4

Soit fait, comme dans 1' y^rf . 10, 7" — N g = o , &
par confequent , T = P q ^ N = P, & M= -^- — on

aura

p.,.(.p^,*p^,i =p,,(^^,^),

dt' -< ^ z

Ou bien en divifant par P q^

-!-- = \r ep.

dt^ 2 '

Cette equation etant multipliee par t.d.P devient integra-

ble , & i' integrale fera

G etant la conltanie arbitraire j de forte qu'on aura , en
tirant la racine quarree ,

dp d X •*- Jy

mais -7- = ; =

dt d t

V^ ' « -*- /? V + V r' + J> -J .4. { ar4 )
^

V '■ « -t- ^ -H >■ ' -H ^ » -t- « ■.' ")

- ;

done fubftituant cette valeur , & mettant a la place dfr
/?, Jf-Hj, & a la place de T, P^, ou bien /* (x — j),
on aura , apres avoir mulriplie par x — y ,
( Z> ) . . . . . v/ ( * -+- 18 X -+- V x' -+- S jc» -4- E :c'* ) -4-
»/(*-+• 18 j)^ -H ^j- -f- Sjy' -+• f jy-*) =s
( X — y ) y/ [ G* -+- S (^x -t- j ) -4- s ( x H- j )^ ],•
pour r integrale cherchee de 1' equation

tE\ ~ =

dy

V (a -H /Jy -*• yy'^ ■+• f y' -*• ty*)

13 Si 1' equation a integrer etoit

(f ) . . . . ■'•'

V i^« -*- l^ X -h y x^ -¥• S" X' ^. 6 ;c4 )

dy

\/ (« -K /?_y •+- yy' H* S'y> -f..jv4)

il n' y auroit qu'a changer le figne du lecond radical de
L' equarion (D ) , & L' on auroit

v^ ( <t -)- /3 X -+- T' x" -I- S x' -f- f X*) —
v/ ( et -+- jSj' -+- yy^ -i- I y^ -+• ly"*) =
(x— ^) v^ [G^-hS (x-»-jK)-»-f (x ^-JK)*].
14 La difference des deux quantites qui font fbus le
figne etant

= /3 (x —y) -+- y (x* —y') -+- J (x» — j/' ) -+- f ( x+ — J*>
on aura par i' equation ( E )

v^ ( <t -f- 18 X -4- J/ X- -+- S x' H- 5 X* ) —
V ( et -+- /3 J -4-. j/j<' -t- J j' -1- f J'"* ) =

ill

/? f X — y) -»- y(x* — >") + i'(x> y»> •+• i{x* — y* )

i X — y)V^ { i i -i- i' X -h y) -i- t{x -I-y) )
0 ■+• y[x ■+• v) •+• S" ( X' ■*• XV -»- v> ) -f- £ ( a;' -H *' v -f- x yi -f. yi )
"~" V ( G' -t- ^ ; .V -t- y ) -•- e ( X ^. _y J> )

done combinant cette equation avec celle que nous venons
de ciier, on aura

(a;-v)v/ ( G' -fr- •?(*•-♦• v) -^ tfx +v)>')

2

j7 -I- y '■*• -♦-•')-»- '^' f •*'-+■« V -*-"* 1 •+■ 6 ^ ■>;'■+■«* ,y •+"« 1' ■»- v )

rV(^G' ^ J-(x H-y) ^ i (* -*- y)')
(S^. J, ([a -f. v)-+.G(x— y;'W.<r(ia:>-+-xy ) * 2{(x> H- .x>y)

1 V/ (G' -H f (x ■+• y) ■+■ iC* ■«- j)')

d'ou en multipliant en croix, & quarrant les deux mem-
bres de cette equation il viendra

|3*-- 4«C -^ (^&y -+- 4*^ — 2/3(;)(x -+■ y)
•+■ iy' — 4*f)(^ -^ jY -+- G^ ix—jY — 2 ^l xy
— 2 y G (x* -+-J'') -+-(i}'S — 4185 — zlG) (^x -t~j) xy
-H ( 5" — 4 f G ) x^y = o ,
ou bien

j8' — 4ct(;^ (2/3}/-l- 4«S — 2/3 G) (x-+-j)^) -H
( >'* — 4 ee e — 2 7/ G H- C ) ( x' -t- jy") -+- 2 ( j^' —
4 A i — 9)t — G') xy -t- 2 (j/J — 2/3f — 5G) (x-+-j')xj
-+- (S- — 4 f (j ) x'^y^ = o i

& ceite equation I'eia ^galement 1' integrale de Tequation
(£) 8c de inequation (F) {Articles 12 & 13 j ce qui
s' accorde avec ce qu'on a demontre dans 1' Art. 6.
I } Coniiderons maiiuenant en general T equatiou

d )i dy

Ill

X etant une fonftion quelconque de x, & F une fonftion
quelconque de y . On aura d' abord les deux equations
dt dx dt '^y

T ~ V X ' T" ~ vT

d' oil r on tire

-dF~ - ^' "^7" ~ ^

& differentiant (en faifani af X = XVx, Jr=r'a?_y)

Z"- = ^

Solt x-+-y = p, X — y = q , ^ dT = Mdp -h
Ndq, on aura en ajoutant les deux equations preceden-

tes , enfemble

zT[M dp' -t; 7<:dpd(j) -^ rT'd'p ^, y,

dt' ~~

( X - T ) ///' , ^ ,
Or dpdq = d x'- — dy^ = ; done fub-

ftituaiit cette valeur on aura

zT (Mdp'-^-Td'p) „, ^, iKCX-T-)

dt' r

Maintenant , puifque x •*- y ■= p , x — y =^ q , on

P -^ <i ^ __ r - 1

derant que la variabilite de q on aura X' = — ^ — =

jidX „ ^, dT idT , , T,j '^T

—, — & r = -r- = ; — ; de plus on a M= -7-

dq dy dq ' dp

d T

N =■ -J- y done faifant ces fubftitutions dans 1' equation
pr^cedente , elle fe reduira a cette forme

aura x = ^ y ■=. — , de forte qu'eu ne confi-

dp dq

Or pour qu'on puiffe tirer de cette equation la valeur

de -^ il faut faire enfbrte qu'elle ne contienne que les

feules variables p ^ q; c'eft ce qu'on ne fauroit obtenir,
ce me femble , qu'en faifant i° T = -P Q , P etant une
fonftioii quelconque de p ik Q une fonition quelconque
de q , pour avoir en divifant par Q'

dp Q.^1 '

1** II faudra que 1' on ait

y^ = fonft. p .

Suppofons done que <p ■ p reprefente une fonftion quel-
conque de p , on aura

Q7f— ="•/->

done multipliant par Qd q ■> & integrant , en regardant
p comme conltant , on aura

X -T

— — = (ppfQ^dq -+- -v]/-/?,

•J/ p denotant une autre fonftion quelconque de p ; done
on aura

X- r = Q {<p-pfqdq -+. -^..p).
Si cette condition a lieu , alors on aura

d ( ^'^^y

dp

done en multipliant par d p y Sc integrant
Mifc. Taur. Tom. IV. p

114

G etant line conllante quelconque ; d' ou 1' on tire
-—— = V {C -^ X f(p ■ pdp);

niais — = —j^ = ^ = -^-5 done

fublHtuant cette valeur on aura

v/X -+- v^r = Q »/ ( G^ -+- 2/(p • p c/p )

c' eft r integrale de T equation propofee -^ = — ^.

1 6 Voyons a prefent quelle doit 6tre la nature des
quantites X ^ Y pour que 1' equation de condition

X- r = QifQdqX^pp -4- ^p)
ait lieu ; & fuppofons d' abord que ces quantites foient
de la forme fuivante

X=* -^dx -hyx'^ ■+■ Ix' -+- sx* ~i-Z,x^ -\- L(X* -+-&rc-
F = « -+- iSjy -+- yy H- ly ■+• sy-^~ tj'^ -+■ Ljj' -+- &c.
enforte que 1' on ait

X— r = /3(x— y) ^y(x'—y-)-^^ix' —y) -H

g ( X* —y ) -+- 2; ( x' —y' ) -^ Li { x" — y') -h Sec. ;

en failant x -hy=p, x — j z= ^ , c'eft- a dire

/>■+-? P - 1

X = -—-,y = ——

X — Y —dq^-ypq-^- -^ (3p= -f ?') ? + -| ( 4P' -H
-+- 6p q'*) q -+■ Sec.

& comme cette quantite doit etre egale, ou plutot iden-
tique avec la quantite Q {f A d q X <p • p -+- ■v]//'), dans
laquelle Q eft une fonttion de q feulement , il eft vifible
qu'il faut i° que Ton ait Q s= j , ce qui donne fQdq

I I

- q\ 1° que

r on ait

2

- ^^p" 4ip' JC/"' ^vf

(4 ^lii. H- &c.)'r = o.

^ 16 31 '

Cell-a-dirc
^ = o , q = o &c. , & par confcquent

■\iyp = /d-i- y p -I " g , (P p = -—-+- f^ .

Done if(f)pdp = I p ■+■ s p' i de forte que 1' inte-
grale de 1' equation fera dans ce cas

v^X H- »/r = ^v^(G^ -^ ip -i- sp--).
C eft le cas que nous avons deja examine ( Art. 1 1 ).

Au refte on voit par-la que les quantites X Sc Y ne
fauroient contenir d' autres puillances de x &c de j que
celles qui ne paffent point le quatrieme degre.

1 7 Suppofons maintenant en general X = <i> ■ i x , &

Y = -^ ■ ly , enlorte que 1' on ait X = $ (p -4- c; , &

Y = ■+•(/? — ^); & r equation de condition fera

<P(p-hq)^(p — q)==q(f(:)djXq)-p-i-^p)i

foient diffdrenties les deux membres de cette equation deux
fois de fuite en tail'ant varier p feuiement , on aura
<i>" (p + q) ^■^" ip -^ q) = (^{fqd q X <p'. p ^ -l". p);
foient enfuite differenties les deux membres -deux fois , en
faifant varier <j feuiement , nous aurons

*" C;> * ■?) - i-'ip - ?) = ^^Xf f

done

ii6

Cecte equation devant ^tre identique ; je fuppoferai

d' abord — ^— = — m'O (m etant un coeficient con-

ftant quelconque ) , d' ou l' oa a en integrant

Q = J Cm. (m q ■+■ oc )
A &c g, etant auHi des condantes quelconques , & par
confequent , en integrant , de nouveau ,

A

f(ldq = CoC(mq 4- *) &

QfQdq = —~Gn.i (mq -+- *);

de forte que 1' Equation precedente deviendra

^ fin. ( nz y -t- * ) X i^" • p ■+• /72^ \|/ • /7 ) —

— fin. 2(/n^-+-«t)X((p'^-/'-(-4OT*(p-p) = o,

laquelle devant etre vraie independamment d'aucune equa-
tion entre q Sl p , ii faudra que 1' on ait

-v]/" • p -+- OT^ "4/ ■ p = o , <p" ■ p -i- j\ m'' (p • p = o i
ce qui donne, en prenant des conftantes quelconques Bj

■4/ ■ p = Bfin.(mp -+- Q)

(p ■ p = CCin.(mp -i- y).
Subdituant done toutes ces valeurs dans 1' equation de
condition trouvee ci-deflus , on aura

* (p ■+■?) — ■*■ ip — ^) = ^5fin. (OT;7-f- j8)xfin. (fljy-+-«)

^» C
fin. i(OTP-4-'y)X fin. i (mq-i-ct) —

(cof. lm{p -4- ?) -t- /3 -»- «c]-cof.[OT(^— ^)-4-^-«])

-i (cof.2[/72(/'-+-5')-f y-4-«]-cof. i[/72(;j-^)h->'— «c]).

im

»'7

Done faifant pour plus de fitnplicite — = A ,

— — ^ = c , & prenant une conftante quelconque a , on

aura

^ (P ■+■ ^ ) = a -+- ^ cof. [ /« (p -+- ^ ) -+- 3 -f. ft ] H-

c coi'. i.[m(p-t-^)-t--y-i-o!.\,
"^ (.F — ^) = a-+-Z>cof. [ot(/? — ^)-+-^— «]-t-

c cof. 1 [ m(p — y) -+- y — ct];
done en mettant ix a Ja place de ^ -+- y , xj i h
place de /> — y , & n a la place de 2 /n , on aura
X=:a -h b cof. (nx -h Q -h 0.)-+- c cof 2 (/2X-t-)/-t-et)
J^ = a -»- ^ col. (;2^-+-/8 — a.) ■+■ c cof 2 (/z^ -*- y — «).
Ce font , ce me lemble , les valeurs les plus generales
que r on puifle donner aux quancites X &c y pour que

i equation — ^ = — y, foit integrable par notre methodej

& r integrale fera

\^X-t-\^r = Afiii.Cm^-h*)y^lG'-~ cof 2 (mp-^y)}

ou bien , en mettant — -^ au lieu de — , & faifant

•Z+VZ=fin. [-^^-4-*]Xv/(/^^— itcof [«(A;+y)-4-2>'] ).

18 Soit fait

cof n X -*- fin. n X y^ — 1 =«,
cof ny -+- lin. ny V — i = v,
on aura

J- I -*- U* - 1 - u* ,

col. /2 J? = , fin. n jc = V — I

2» 20

col. i/wc = — fin. 1/2X = — v' — I »

6c de meme

coi. n y = , lin. n y = v — i

I -t- i)* - I - ^•■'

> col. ■i.ny = — , lin. iwy = — v — i ,

on aura de plus

cof. /2(x -Hj') = —

inv

^ -^ 2 « II '

^ » ( A- - r ) X) -^ H

col. — = ,

2 2 Vl)« •

fin. = V — r .

2 2 V 'y //

Enfin on aura

■ du dv

dx = ■ , dy =■ ; .

Suppofons outre cela

cof. (|8 -H ct ) = ^ , cof. z (y ~t- a) = B
cof. ( 3 — et ) = £ , cof. 2 (>- — a) = E ,

on aura

cof. 2 « = ^ £ -+■ »/ ( I — ^^ ) X v^ ( I — £0
cof. 4 * = ^ £-H v/ ( I — ^^ ) X ^ ( I — £=) i

done

1 -i- BF -^V (i — 5^)xV(i — F^) =

2 [ ^ £ -t-v/ ( I — ^^ ) X ^ ( I — £^ ) ] . . . (G)
Enfuite on aura, en faifant pour abreger,

AE -^ y/l(i — v40 ( I — £0 ] = M,

^iT _ v/[( , — 5^)( , — Fn] = N,

. I H- M ^ . 1 - M

cof. « = V , lin, « = V

cof. IV = »^ , fm, ay = /

2 ' 2

^'9
done en faifant toutes ces fubftitutions dans les formales

de r Art. prec. , on aura d' abord

^ ^(i -►^fO - >^0 -'Ox(i - «') ■

A = a ■+- 0 X

c X

1 u

B( I +//♦)- V(B> - I 1X( I - «♦)

F ( I -4- ^>) - v/(E'- i)X(i -^')

2 1/

F( I + i,") - v^fF' - i) X ( I - V')
-4- c X ; ,

ou bien , en fuppofant pour plus de fimplkite ,

-4- lau' -+- b [A ■+ V {A' — i)]u' -^- c [B -h V(B'— i)]w%
y=clF—y/ if'— i)]-t-^[£ — v^(£^— i)]v
-+- 2flv' -h b [E -t- >/(£'■— i)] v' -t- c [F -^ V (P— l)]v%

X = — & J = — i de forte que 1 equation -^ = jts^

!«' 2Z;' * ^ V Jl V 1

-, . . dit dv

deviendra — = — .
Dont r integrale fera

« "J V 2

II eft clair que T equation — r-t = — =;^ eft un peu plus

generale que 1' equation (E) que nous avons appris a
integrer dans V Art. i ^ ; car dans cette derniere dqua-
tion il n' y a que cinq coeficiens indetermines , au lieu
que dans celle dont il s' agit ; il y en a fix ; je dis fix
quoique les quantites <z, b , c ., A ., B , E ^ F Ibient au
nombre de fept } car nous avons mj ci-deffus qu'il doit y
avoir entre les quatre dernieres de ces quantites un rapport
exprime par 1' equation ( G ).

I 20

1 9 Pour generalifer , s' il eft po/Tible , la methode que
je viens d'expliquer , je reprends les equations — = -— ^

-— s= — ;=: , & j*en prends les differentielles logarithmi-
ques , en regardant toujours i t comme conftante , f ai

tf. — ■^' '^'' _ JJ—i — ^r

dy ___ yy^^

/^>' xT Tdx Tdy
done

T'. dT ^ , , dT , ,

ou bien en mettant au lieu de d x^ , — y7~ •> ^ ^^ ^^^^

J';c= ~di^ — ^-^ dxdy

zdx dy "^

T' , , dlT , ,

d'- Y = r— « ' — — ; d X d y .

•^ z dy dx -^

Soit maintenant Z une fonftion quelconque de jc &
de J' , & fuppofons dZ = Pdx-+-Q dy , on aura ,
en differentiant de nouveau d'- Z = P d^ x ■+- Q_d^ y ■+-

— — dx- -H 2 — — d »dy -^ — ~ dy' ; done fubftituant au
dx dy -^ dy -^

lieu de d' x ^ d' y y d x'- & dy'^ leurs valeurs , on

^ura

d' Z

Ill

4- ( ^— ) dxdy.

dy dy dx -^

Done fi on fuppofe

^d? TdlT Q^d IT .„.

ay dy dx

&

r,"^"!^ XdF ^ T^ TdQ

on aura 1' equation

d^Z

. ."^""^
laquelle etant multipliee par i d Z , & enfuite integree

dZ^
donnera -7-; = G'- -+- zf<f)-ZdZ, & par confequenc

^ = y/(G' -h rf^-ZdZ);

. dZ Tdx-^-Qdy TVX-^Qy/r , „ .

mais -r = ^ ^ = =r-^^ — i done 1 in-

dt dt T

teerale de 1' equation —^^ = — — fera en faifant Cm • Z dZ
° ^ VX vT •'

= *.Z, Py/ X -^ (IVY=TV {G- -+- ^f<i>Z),

G* etant la conitante arbitraire.

lo Toute la difficuhe fe reduit done a determiner les
quantit^s T & Z , enforte que les equations (//) & (/)
aient lieu.

F du

Si on hit IT = u , I'equation (//) deviendra -—^ —

Mifc. Taur. Tom. IK q

H- O — - = 1 -— , d ou r on tire — = -r—, — —
^ d.v dy ' (ty if dy

.0 du . . , ^« </« ,

— X -7-5 ae lorte qu on aura du ■=■ -y-dx H — -~dy
r ax '■ ax ay •'

tdV , , J Qdy ^ du

^-pdj-'^y^ (^^ — r-\-d^-

Soit R le fafteur par leqiiel il faudroit multiplier la
difTirentielle P d x — Q(^ y pour la rendre ititegrable ,
enforte que V on ait R {P d x — Q_dy) = J ^ , &

r on aura d u = ,. . ■ d y -^ ^, ^. , ■ d r : done regar-
r dy -' Rrdx ^ '^

dant u comma una fonftion de^y, & ^, & fuppofant {

conftant, on aura du = -^r— — dyy & par confequent

en prenant 1' integrale / " ■ dy dans la fuppofition de

^ conftante ; done puifque « = / 7* fi on fait aufli -v]/ { =
l'^ {■, on aura

r dP J

r =4^ • { X e -^

•^^ • ^ denotant una fonftion quelconque de ^ .

Ayant ainfi determine la quantite T", il ne reftera plus
qu'a iatisfaire a 1' equation (/) qui peut fe r^duire a
cette forme plus fimple

2 1 Suppofons que P foit une fonftion de x feul , &
Q une fonftion de y feul ; enforte que 1' on ait Z =
fPdx -*■ fQ,dy, &i Z =fPdx -^ fqdy, ^ I'oa

J p

aura d' abord a caufe de — = o

T =^ ifPdx — jq^dy)s
enfuite T Equation (/:) ^tant multipli^e par Pdx, &c en-
fuite int^gree en regardant j comma conftante donnera ,
k caufe de P d x = d Z ^

rd 5'^'
rd ^'^

I "~r~ „ , d. Q'T . Tdx

jT d.q^Vf^:^

^<^^fT^P^^= .Q,y ' d^^-^^q"-

r equation precedente deviendra

T-x J-Q-r/^ „ 7^n

laquelle etant multipiiee par Qdy , &c integree de rechef
en regardant x comme conltanie , donnera , a caufe de

dZ = qdy,

p^xf-^ -4- Q^r/-^^ = zf<t>zdz
-+- r ■ X ■+■ A - J ,

r • X , & A •J' etant des fonftions quelconques de ;<: &
de y .

Or puifque T = -^ (f P d x — fQdy) , Ci on fup-

pofe en general S • /? = — / -—^ , on aura

i

124

/-^ = -2 •(//'i.v - fQdy) &

/-4^ = 2 . (fPJx-fQdj);

done on aura enfin pour 1' equation de condition .

(^p- X — Q:Y)'l{fPdx —fQcly) = xf<t>ZdZ

-J. r x -+- A-j • • • • .(^)-

Quoique cette equation ne foit qu'un cas particulicr
de r equation ( /t ) , elle ell cependant en quelque forte
plus generale que celle que nous avons trouvee par la
methode de 1' yirt. 1 5 .

21 Si on fait comme dans I' ^rt. 16
Jf = et -»- |3x -+- yx- -+- &x' -+- ex"^ -<- ^x' -4- i,;x*

-H e x^ -H X x' -H Sec.
Y = A -\- (ly -*- yjy' -H "^y* -+- ej* -+- ^j' -t- h^

-+- Gj' -+- Xjy' -+- &c.
on trouvera que I' on peut fatisfaire a 1' equation ( Z )
dans les cas fuivans ;

1° en faifant /* = 1 , Q = i , 2(x — .y) = 7—

if<t>- ZdZ = (a caufe de Z = x -+- y ) |8 -H 7^ Z

^— +— ,r.x = — -^-^, A-j= —

^ -i-^ i & ^ = o , q = o &c. ; c' eft le cas que
nous avons refolu dans le meme Article.

1° en faifant P = x, (2=j,2( -) =

I A** ■*" y^

— ,, rf^-ZdZ = (a caufe de Z = ) «-*"

** - J'

1

8<,Z' sAT* 2^*'''

ayZ -4- aeZ* 4- , Fxsss

1 ■ 3 >

.A . J. = -^ -4- -^ j&i8 = o,5==o,^ = o,

e=0, X=:o&C.

3» en faifant P = .v% Q = jk' , 2 ( - — -^ ) =

-7-^, i/d)- ZdZ — C^ caufe de Z = ^^^^ ) 3 jx Z
^ — y 3

-1- ^^^ HoXZ* r-;c =-^ H — ^^ , A - y =:

1 ' z 3

s,| = o , 6 = o , & ainfi des autres.

Au refte tous ces differens cas peuvent fe deduire du
premier par des fubftitutions conveiiables j c' e(t de quoi
on fe convaincra ai(ement , en mettant dans 1' Equation

—y. = — y , a;', x' &c. a la place de x, & ^», y^ &c.

a la place de y; de forte qu'a proprement parler les fup-

pofitions de P = x" , & Q = j^" , ne donnent point

d' autres cas que ceux de/*=i, & Q=:i. Mais

comme ces fuppofuions font tres - particulieres , & que

r equation ( Z ) n' eft elle meme qu'un cas ires-particulier

de r equation {k) de 1' Art. 19, ii n' eft pas impoffible

qu'on ne puiffe decouvrir encore par le moyen de cette

dx
equation d' autres cas d' integrabilitd de 1' equation

iiy . 1, • /I

= ^ ; ce qui ouvre , comme 1 on voit , un vafte

champ aux Recherches des Analiftes.
A Berlin ce 10 Septembre 1768.

RECHERCHE S'

Mathirnatiques fur differens fujets.
Par M. D'ALEMBERT.

§• '

Sur Us triangles fpheriques , formes par des arcs
de petits cercles,

I 11 y a, ce me femble, dans la Trigonometrie fphe-
rique un objet qui n' a point encore ete traite , & qui
meriteroit de 1' ^tre ; c' ell 1' analife des triangles Ipheri-
ques qui ont pour cotes des arcs de petits cercles. Ima-
ginons un pareil triangle , & tirons les cordes des trois
arcs qui le compofent ; ces cordes appartiendront aufli a
des arcs de grands cercles } & le premier pas a faire dans
la recherche dont il s' agit , eft de determiner les angles
que forment ces arcs de grands cercles avec les petits arcs
qui ont la m^me corde , & la portion de furface fpheri-
que qu'ils renferment entr' eux.

2 Soit EDAO {fig. 0 un grand cercle de la fphere ,
A E un de (es diametres , D C une corde quelconque )
le rayon oil finus total G A =i \ ^ 1' angle oii arc A O
( dont le finus ei\ £0) = a, 1' angle AB C = v , &
GL perpendicuiaire a DC. On aura GB = cof. a^
B O = fin, &) , A B = I — cof. u , K G = cof. a
fin. T , A" C == • ( I — cof. &)* hn. »* ) K B = coC a
col. T , L K i= I — cof u fin. T. Imaginons pi^fen-
lemen: perpendiculairement au plan EDAO, le grand

44

ii8 •

cerde dont le diametre eft A E , & le petit cercle dont

le diametre eft DC; leur corde commune fera evidem-

ment i B O = x (in. a , que j' appelle a. , & imaginant

la ligne BCy = BO & perpendiculaire au plan EAQOy

nous aurons un triangle Ipherique ordinaire LAO., tor-

me de trois arcs de grands cercies , lequel fera reftangle

en A. L'angle ALO\ que j' appelle /3 , aura evidemment

BO „ -KB cof. a coi". T

pour r..,..«r. ^ , & pour c.>.. j^ = -^^—-j^-^--

Tare Z CX fera = ZCj & la propriete des triangles fphe-

riques ordiiiaires donnera encore d' une autre maniere la

tang. I. A KB KG KB

valeur de cof. (i = ^^^^ = __ x ^ = ^ =

cof. 6) cof. T r, ^ ^ ^n.

, &: /?«. i8 == '-- — . Le

v^ ( I - Un. T- coh a.') V ( I - col. «," nn. t')

//'w^/i de Tangle O' = (P'^ir /a propriete des trianglzs.fpheriqucs')

iin. L yi Cm. L A KB i cof. ^

fin. i.U' ■"■ fin. LC ~ BG ^ KC ~~ v (; i - col". „' fin. ^■)

& le cofmus de 1 angle 0 = v^ (___^____)

= — ; '-^ — '-^ — - . Maintenant il ell clair que 1' arc

v^ ( I - col. «* il '. t') ^■

de grand cercle L O' eft perpendiculaire a T arc de petit

cercle qui a la memo corde O' a. = r B 0' , que 1' arc

de grand cercle 0 A co = z A O'. D' ou ii s' enfuit evt-

demment que Tangle entre Tare de grand ceicle, & Tare

de petit cercle qui a la meme corde, eft 90° — O' , &

que par confequent le Jinus de cet angle eil = cof. O'

fin. rr fin. u
V i^l - cof. a fin. a-') *

3 Quant a la furface de Tefpece de cote de melon 0'K''u
{fig- 3 6" I ) renfermee entre T arc de grand cercle 0' » ,
& T arc de petit cercle O' K' td- ., on coniiderera pour la
trouver 1" que la furface LO' K u =s L K Y, 1 H ■=

= ( I — col. a fin. v) X i 5> i" qu'on connoit par la
irigoiiomctrie fpheriqiie , I'aire du triangle ijiheiique ordi-
naire & ifofcele L O' co ; ainfi la furface 0' K' uO' =a
1 j3 ( I — cof. a fin. T ) — triangle fpherique Z O' u.

4 Soit done cc la cordo commune aux deux arcs , 1' uii
de grand , i' autre de petit cercle , p le rayon du petit

cercle , on aura i (in. u = in; cofi u = \/ { i — — ), ^ =

4
v/ ( I — cof. &)* fin. TT* ) , d'oii fin. it {c.a- d. le finus de
r angle que font entr' eux les plans des deux cercles ) =

} & 1 angle des deux arcs a pour Jinus ~ ;

4

enfin 1' aire comprife entre les deux arcs de cercle , eft
= i/3[i — *^(i — fP)] — i'aire d'un triangle fphe-
rique ifofcele dont 1' angle au fommet elt 2 j8 , & le c6t6
Z C , c. a- d., dont Tangle au fommet elt tel que le faus

de la moitie de cet angle = — , & dont le cote L C 9.

pour Jinus p . Or i'aire de ce triangle fpherique eft egale,
comme on fait, a ( 1 /3 -+- z O' — 180°) x i i & on a

p 4 4i>

4 4

Done I'aire dont il s'agit = 180° X i — 2 0' X » —

2 ^ */ (i — pp), /3 ecant Tangle dont le ^nus eil ~~ , & O'
Tangle dont \q Jinus eft ''

• (t -.—)
4

JWi/c. Taur, Tom, IF.

*5°

5 A cette occnfion , void uiie mnni^re bien fimple de

troiivcr r aire d' un triangle fpheriqiie ordinaire A B D .
Soit {^fig. 4) acheve le cercle D B D' B' D , &c les demi-
cercles DAD', BAB', dans lefquels il eft evident que
VA &c A B' font les complemens des arcs DA Sc A B
a 180° , & que DB = DB . Soit x 1' aire cherchee
A D B , Sc foient continues les arcs A B , A D , de
tnaniere qu'ils fe coupent en O ; on verra evidemment
que ABO & ADO font deux demi-cercles , & le trian-
gle ^ £> 0 = & femblable a A D' B' . Maintenant on
aura la demi-furface fpherique = DAD BD ■+■ BAB'DB
— X -+- DAB' = DAD'BD •+- BAB'DB — x -^

^ , ^ „ ^ 1 fur face ffheruvie

OAB DO — x; done ^-^ ^^ ^— = — 2 .v -h

2

r r /- 1 ' ■ , angl. D -^ angl.B-Hangl. yi_ _

lurrace fpherique X ( ;— ; ). Uoncx =

' ' 360°

fur face fphc'ri.me totale , D ■<- B -»- ^ - 180° ^ „

■'— i X ( -—, ). t)onc &c

2 360°

6 Je reviens aux triangles fphenques , compofes d' arcs
de petits cercles. 11 s' agit de determiner 1' angle que les
plans de ces arcs font entr'eux. J' ai deja nomme t Tan-
gle que fait le plan du grand cercle AO, {fig. 5) avec
le plan du petit cercle qui a p pour rayon , 6,: « := 2 fin. &i
pour corde. Soit O F un autre arc de grand cercle ,
enforte qu'on connoiffe 1' arc O' F &c I'ang'e A 0 F de
cet arc avec 1' arc A 0 . Soit 0 F la corde commune a
ce grand arc , & a un arc de petit cercle qui fafle avec
le plan du grand arc O F un angle = t , Soit 1' angle
AGC = ABC = It; le cercle Z N C perpendiculaire
au plan AQEP fera evidemment parallele au petit cer-
cle qui fait r angle t avec le pbn /i 0 E ; de meme ,
apres avoir acheve le demi cercle VFO LP , foit mene
dans ce demi-cercle GF' parallele a. 0 F, &c foit imagine
Tare de grand cercle F' N doat le plan foit parallele au

plan de V arc de petit cercle qui a pour corde OF; il
elt Evident que 1' angle LF' N (era = it\ & que I'angle
des plans des deux arcs de petit cercle, fera = a Tangle
CNF' des grands cercles paralleles a ces deux plans. Or
dans le triangle fpheiique 0' A P , reftangle en A , on
connoit 1' arc 0\A & 1' ans;le AO P , complement de
Tangle donne & connu A OF. Done on aura i° A P ,
& par con(:quent C P = A P — r , i" Tangle OP/i.
Done dans le triangle L C P reftangle en C , on aura
Tangle Z, & le cote- LP . De plus la corde O' F ^ que
j' appelle cc' , etant domiee , & T arc O' P etant connu
dans le triangle AOP reftangle en y^, il elt tres-aife de
determiner Tare /"'/*, puifque G F' {hip.) eft parallele
a O.F. On aura done F P ., & pir confequenr L F' .
Ainfi dans le triangle fpherique LF'N, on connoit i° le
cote L F' ., i" Tangle F' =. -w'. 3° I'angle L trouve ci-
dcllus. Done on connoitra Tangle LNF' ., & Ton com-
plement CNF., qui eft T angle cherclie des plans des
deux arcs de petits cercles. En voila affez pour mettre
fur la voic ceux qui deiireront achever ce caicul.

7 Au relte, il ne faut pas oublier de remarquer qu'une
rr.eme corde appartient tou jours dans la fphere a deux
arcs de petit cercle , egaux entr' eux , & dont les plans
font entr'eux un angle = i t ou 2 t'. Ceft pourquoi
fi on a les trois arcs d' un triangle fpherique forme de
petits cercles , le probleme fera evidemment fufceptible
de huit Iblutions , a caufe de la double pofition dont
cliacun des trois arcs eft fufceptible , fa corde etant
donnee.

8 Je dois obferver encore, qu'ayant determine ci-delfus
Tangle de I'arc de pe:it cercle avec Tare de grand cercle
qui ibutend la meme corde , on aura toujours T angle de
deux aics de petits cercles, puilqu'on a neceffairement la

pofition , & r angle des deux arcs de grand ccrcle qui
ont les memes cordes que ces arcs de. petit cercie.

9 Tels font les principes g^neraux de 1' analife des
triangles fpheriques qui font formes par des arcs de petits
cercles , analife , par laqueile on determine les angles de
ces arcs avec les arcs de grand cercie correfpondans ; les
angles des plans de ces arcs ; les angles des arcs de petit
cercie entr'eux ; & les angles de leurs plans ; enlin 1' aire
de ces triangles qui fe reduit evidemment a 1' aire d' un
triangle fpherique ordinaire , plus ou moins Us cotes de
melon dont j' ai donne plus haut la mefure (a).

10 Outre cette nouvelle branche qu'on pourroit ajouter
a la trigonometrie fpherique, je remarquerai encore qu'on
pourroit etendre la trigonometrie recliligne ordinaire , en
faifant entrer dans les Elemens du triangle reftiligne ( dont
trois font {uppofe connus ) la fomme de fes cores , & fa
furface. Le calcul analitique pourra quelque fois etre utile
dans la folution de ces problemes, par exemple dans celui
ou le trois cotes a,b, c font donnes , & oil Ton trouve
le cojinus de 1' angle oppofe au core c , par la formule

1 ; mais en general il fera fouvent plus fimple

d' employer la methode fynthetique ; & cette obfervation
a lieu dans la plus part des problemes oil il y a des an-
gles a cherclier , parcequ'on ne peut exprimer analiti-
quement ces angles que par leurs Jinus , & que i' expref-
fions de ces finus enferme fouvent des radicaux done la
valeur eft equivoque , a caufe du double (igne qui les
alTefte.

(a) On trouveroit de la mtme manicre I' analife des trianglec fpheriques for-
mes par des arcs dc grand &. de peiit ccrcJe.

§•

2

Sur r arc -en- ciel.

,V<

oici quelques recherches fur Carc-en-ciel, qui, par
leur (implicite , & par les remarques nouvelles qu'eiles
renferment pourront n' etre pas indignes de I'attention des
Geometres , quoique la mariere foit dJja prefque ulee.
Soil (,fig. 6) SA le rayon incident fur la goutie fplieri-
que de pluie, & y4C le- rayon refrafte, I'arc A B = rcoy
Tare A C ■= icJ ^ m le rapport de refraftion , c.a- d. du
Jinus de r angle de refraftion au Jinus de 1' angle d' inci-
dence , en palfant de 1' air dans 1' eau ; on aura m cof a
= cof. a . De plus il eft clair que CD etant le rayon
reflechi Aq A C , on aura Tangle AC D = i8o° — la'i
& comme T angle BA C = co — a , 1' angle de CD
avec A E fera = i8o° — iw' — (a — «), & Tangle
du rayon rompu D L^ avec AE^ fera i8o° — z u —
( w — &i ) •— 4» — « .

a Par la mime raifon , apres deux reflexions , T angle
du rayon rompu avec AE feroit 1 8o''-i(y'-(&)'-a)— 3ai'-(a''— w)
apres trois reflexions . . . i8o°-i6)-(&)-6)^-4(/-^ai-«)
apres quatre reflexions . . . 180°- &)-(&)'-a)-6&i'-(w'-a)
aptes n reflexions .... i 8o°-i«a)' - ( a> - i6)\

3 Puis done que les rayons emergens infiniment proches

font paralleles ainli que les rayons incidens , la dirferen-

tielle de T angle fufdit = o } done ( « -4- i ) d u' z=: da.

Or Tequation m cof a» = cof a donne doi fin. &) =imda

fin. a. Done m (n -+- i) fin. a = fin. a»' = v^ (i — m* cof a^).

D' oil Ton tire aifement Tangle a, par Tequation iin. &*

\ - mm w' («-*-! V -I
= —77 r i done col. «* = — — .

134

4 Soit — =s: p^^ nn •+■ a« = ^ ~ ', on aura fin. »

w

= ^ h -y^ ip'- — O & da cof. u = — — ; ^ , ou dot

pdp'^ k

5 Suppolani done que m varie d' une petite quantity
finie dm^ on aura dp = — — j- = — p'- dm. Tangle

a deviendra u r-- ^ — r — rrr > ou —

Ip'kd

V {p^ - i) ■ V {i -t- k- kp')'' fin. a, cof. »

— ; 8t pour trouver ce que deviendra I'an-
nn. la

gle a , on f"e fervira de la formule m col", a = cof a qui

donne — m d u lin. u -^ d m col. a = — du lin. u =■

-^mdco(n~^i) (in. w j d' oil Ton tire dw =

p dm cof. »

(» -t- I ) lin. ft,

6 Si done dm eft la difference du rapport de refraftioii
entre les rayons violets &: les rayons rouges , la largeur
de C arc -en- del apres n refraftions ( laquelie eft exprimes
par la difference des angles de /' Art. i , en fuppofant
que u Cfoille de d oo , & cc de d oo' ) fera = — i

, r p d m cof. u t p dm

(n-hi)dco -h X d u = -: ou , ou

liii. a> tang, u

i c' eft - a - dire pour le premier arc ■ en • del

in tang. « '

2 dm v' ( 4 W7' - I ) , - , id in^' (c)m'^-\) „

, pour le fecond , &

fnVi^\ — mr/i) * mV \^i — mm)

ainii de (iiite.

7 Ces tbrniules au refte font d' autant moins rigoureu-

I'es , comme il eft aife de ie voir , que fin. u eft plus

'35
petit, & par confequent que n eft plus grand. Mais i°

comme il eft rare que n foit Z> 2. , puifqu'il eft rare de

voir plus de deux arcs -en- del ^ elles feront fiiffifamment

exades pour la phyfique. i" fi on vouloit avoir des va-

leurs plus exaftes , on feroit fin. (a -+- du) — fin. o)

= — -, ou fin. fij (coCda — t ) -+- fin. du cof. u

= - ^ r ; ce qui donneroit touiours fenfiblement la me-

v{pp-iy ^ J

me valeur de ^ « que dans F An. 5 , fin. u etant fuppo-
fe ici peu conliderable. A 1' egard de 1' equation m co(! a
= cof. u , elle deviendra {^m -h dm) cof. ( w -+~ d u)
= cof. ( w' -+- d u ) , d' oil 1' on tire dm cof. a cof. da
— dm i\n. 0) fin. d a -i- m cof u cof. d u — m fin. co fin. ^w =
cof. w' cof da — fin. a Cm. da ; mettant dans cette equa-
tion au lieu de fin, da fa valeur approc'iee d a , & au

lieu de cof da fa valeur auffi approchee, i — — , on

aura dm cof » cof a -— dm d a fin. a ■+• m cof a

X — — — m da im. » = — da lin. a i

2 a

d' ou Ton tirera , en negligeant les termes tres-petits par

rapport aux autres , i d m cof a — m d a^ cof a — 1. m d a

fin. 6) = — da'' cof «' — 1. da fin. w' = — m d a' col. 6) —

« — Ida
lin. fi,, &

xm{n -\- I ) d a' fin. c, , & par confequent d a = —

(»»-^Ofin« ,,nHki' fin. «* irf'4'(in. «, i<^/w

_j_ y/ ( ; _,_ ^ 1- da' )

col. 4, ~' col.»* cof. a» m

double valeur de da' ^ de iaquelle il ne faut prendre que
celle oil le figne radical a -H .

8 Ayant trouve par les methodes precedentes Tare AB
= 1 a pour le nombre donne n , & 1' arc A C = i a ,
foit piis , a commencer du point C , cet arc AC., n tois

fur la circonference ; 8r (bit C (fig. 7) le point ou fe
terminerj [' arc C 0 C = n . A C. Enfuite Ibit tiree la
li'^ne C (y , telle que 1' angle (^ C B foit e^al a l' angle
SAR, & pris dans un fens contraire , c' eil-a-dire , de
maniere que la direftion de V arc 6" B foit dans un fens
contraire a celle de 1' arc A R; 11 eft vilible par ce qui
piece le, que C (^ fera le rayon rompu qui entre dans
r ceil , S A etant le rayon incident qui vient du foieil ,
& qui foufFre dans la goutte de pluie n reflexions avant
que de fe rompre. Ccia pofe , foit A q parallele a C Q' j
la plus fimple geometrie fait voir que 1' angle q A S =
i2o° — z SAR -+• AC. Si cet angle qAS eft < 90%
le fpeftateur de /' arc-en-ciel aura le dos tourne au foieil.
Si r iingte qAS eft entre 90 & 170 degres , le foieil
& Uarc enciel feront tous deux du meme coie par rapport
au fpeftateur. Or 1' angle 2 SA R = r u ., comme il eft
aife de le voir. Done pour que qAS foit <^ 90°, il
faut que AC foit <^ z cc — 90" ou AC ■<. A B — 90",
& pour que qAS ibit > 170° il faut que AC foit >
2 w -t- 90°, ou AB -+- 90°. Soient done pris de part
& d' autre du point B les arcs B Z & B Z' , chacun
de 90 degres ; le fpeftateur aura le dos tourne au foieil,
loutes les fois que le point C tombera hors de 1' arc
ZCZ, &c il aura le vifage tourne au foieil, toutes les
foii que le point C tombera fur cet arc, Au refte cette
fpeculation eft 'prefque uniquement de pure curiofite ,
puifqu'il eft rare qu'il y ait plus de deux arcs - en - del
vifibles.

9 L'arc AC etant vifiblement egal a z u' (w-f-i) —
jt - 360°, k cxprimant un nombre entier pofitif, il s' enfuit
que r angle q A S = 180° — iw-t- z co' (n -^ i) —
it- 360°. Cet angle qAS eft Tangle entre T axe de farc-
en-ciel , axe parallele au rayon folaire , & le cercle colore
qui repond au rapport de refra6Uon m . Si les cercles

coior^s

137

color^s extremes font tous deux tels, que qA tombe d'un

mime cbi'i de I' axe , alors on aura comme dans VArt.y
la largeur de Carc-enciel par la difference des angles qAS
repondans aux deux couleurs extremes. Si ^ ^ tombe de
de deux differens coces de I'axe, la largeur de f arc-en-
del fera encore determinee par la difference des ano'Ies
q A S , 8>c fi ces angles etoient egaux , la largeur de farc-
en-ciel feroit z= o , le cercle colore violet tombant fur le
cercle colore rouge.

I o II peut rres-bien arriver que !es angles q A S pour les
deux couleurs extremes fe trouvent de differens cores de
r axe AS. Par exemple fi pour les rayons rouges Tangle
q A S etoit peu conliderable , il pourroit tresbien arriver
qu'en prenant les valeurs de a & de a convenables aux
rayons violets, qA tombat alors de T autre cote de A S .
II pourroit arriver auffi qu'une ou plufieurs couleurs difpa-
ruffent; ce qui arriveroit fi Tangle qAS etoit = o poiT
quelqu'une dos couteurs , ou fi T on trouvoit pour deux
couleurs differentes deux angles egaux qAS places de
deux cores differens de T axe A S . Car alors le melange
de deux couleurs occafionne par la coincidence des cercles ,
formeroit une couleur unique , differente des deux primiti-
ves. Cell: meme ce qui arrivera prelque infailliblcment ,
quand le rayon q A fera de deux differens c6:es de T axe
pour les couleurs extremes. Car alors un cercle color^
couvrira prelque neceffairement un cercle d'une autre cou-
leur , & meme en couvrira un neceflairement , fi on ad-
met des nuances & des gradations d' une couleur primiti-
ve & prifinatique a la couleur fuivante. Sur quoi voyez
Je Tom. III. de nos ofujc. Mathem. p. 391 & luiv.

II Soil A T ceil du fpcdateur, qu'on fuppofe place fur

la circonference de la iQire ,S A E {fig. 8) le rayon venant du

folcil, RAP une ligne dioite qui touche la terre en A,

q A le rayon vifuei pour un des cercles colores , il eik

Mijc. Taur. Tom, IV. s

' «38
cl.iir que fi Tangle cf A E efl aigu , c'eft-a dire fi le fpe-
ftateur a le dos tou ne au foieil , & qu'on m^iie q K
perpendiculaire a. A E , le fpeftateur verra la partie du

cercle colord repondante au flnus vcrfe — ^ . Mais fi I'au-
' -^ •' q K

gle q'AE eft obtus, c'eft-a-dire fi le f]3e61:ateiir a le vifage
tourne vers le Ibleil , alors on pourra voir le cercle co-
lore tout entier , pourvu que 1' angle q A S ., qui pour
lors eft aigu , foit = ou <: R A S .

12 Si le foieil eft Ibus i' horifon , on pourra voir au
moins une petite partie de /' arc-en-ciel {fig- 9 ) , pourvu
que les rayons folaires puiffent arriver a la region des
nuages. Soit C ^ le rayon de la terre que je fuppofe a
ou I , ^ f^ = oc la plus grande hauteur des nuages , on
ceflera d' appercevoir i arc-en-ciel quand le rayon SV^ tan-
gent a la terre en O, tormera avec le rayon V A tite
a r ceil A du fpeftateur, un angle S V A =■ a 1' angle
de tarc-eii'cieL^ c'eft-a-dire a Tangle que fait avec T axe
la cercle colore exterieur , loit rouge , foit violet. Soit

CZ ^ X, on aura fm.CFZ = — ^- , & cof CVZ =

V (i ^) i fin. CVO = —^—, & cof CVO

= V' ( I — ■ ). Done le finus de Tangle connu

SVA, lequel finus j'appelle b, fera = fin. {CVO — CVZ)

— . V ( I ^ ) — V ( I )

a *- u ^ (-*■+-«)' a -i- ^ ^ {"-^uf

X' X

Or fi (t == o on a ^- = i -,&:- = v^ (i -^i)

OU cof S VA , que j' appelle jS pour abreger. Suppofant
done « tres-petit par rapport ^ a , on aura a tres-peu-pres,

en faifant — = p -♦- /3 , T equation Z> = ( i — — )

'39

ou en negligeant ce qu'on peut negliger , 0 = — ^—

— /3p H

/3 v^ ( -^ ); d'ou Ton tire a tr^s-peu-pres

p = — b v'( — ). CZ .etant conniie , on aura Tangle

j4Cy ou I' arc y4 B , & par confequent 1' angle OCA
= VCO — ACV, qui fera = a la haureur negative
L K S da foleil , c'ell-a-dire a fon abailTeraent au deflbus de

I'horifon. L'angle ^C^fera a tres-peu-pres egal a '-^

ou a peu - pres — j- , & fi on appelle t Tangle tres-petit
& connu OCF , on aura Tangle LKS = S — ~ : va-

° ah

leur qui ne fuppofe point celle de p trouvee ci deflus ,
& qui eft d' ailleurs d'une grande fimpliciie. On trouvera
ci-deiTous une folution encore plus limple de ce probieme.
I 3 Nous avons dit plus hjut que lorfque le foleil vS" eft
au deflus de T hoi i(bn , le fpeftateur de tarcen-ciel, placd
en A voyoit ( An. i i ) la partie repondanre au Jinus

verfe —jr (fig. 8) , ou au cojinus -7^ . Cette partie n' eft

pas la feu!e vifible.

Pour d. terminer la partie rofale que le (peftateur apper-
^oit de fare en-cidl , foit S AE le rayon venant du (oleil^
enfotte que P AV Cut la hauteur de cet allre, que j' ap-
pel-e h i (bit q AV l' angle de /'arc en del , que j' apptlle
^ , & qui elt connu par la ih^orie j iniaginons un pent
ceic.e qui coupe la terre , & qui p.iffe par AF, taildiit
avec le plan du grand cercie AF M un angic que j' c.p-

140

pelle ct ; fi la tangeante de ce petit cercle au point A
fait avec la corde A V un angle = q AV = (i , je dis
que r arc vilible de Carc-en-ciel fera evidemment determi-
ne par un cojinus — -^ , tel que X = Ki cof. «. 11 s'agit done

de trouver Tangle a. Or il eft d'abord evident , en menant

la perpendiculaire C L a. AV ^ que C L^=. cof A, & AL =

fin. h ; il eft de plus evident que fi on nomme x la dittance du

point L au centre <lu cercle cherclie qui fait avec le plan

AV M ^ angle « , & dont la tangente en A fait avec

. ,^ „ , . A-L. fin. h no

A V 1 angle /3 , on aura — ou = tang. /3 , oc

que C Z ou cof. h fera k x -. -. i : cof. * , d' oii 1' on tire

X tzng.h Kitang. ^ ^

cof. (t = — ; — r = . Done X = ^^— . Oi

col. 0 ti»ng- /J *^ng- /2

tane. ^ Xi ., , . . iC»* , ,

comme = — r? ; il s enfuit que K = v-. La plus

tang, a qK ^ hq '^

grande difference entre K & Ki fera evidemment lorfque

Ki = — . U arc repondant a q'i, comme finus verfe ,

fera pour lors de 6o° , & 1' arc vifible aura pour cofinus
le quart da Jinus total, c'eft a dire que la moitie de farc-
en-ciel vifible fera d' environ 75° a 76°.

i4 Lorfque le foleil S eft au deflbus de I'liorifon , on
au'-a de meme A L ■= fin. h {fig. to), h etant 1' abaif^
fement du foleil, CL = cof h, LV = (en nommant
«' la hauteur de i'atmolphere, ik i le rayon de la lerre)
»/[ (i -♦-«)' — cof /i' J = v' (lin. A^ -H isc) a tres-peu-
pres ; & fi C ifig- 1 1 ) eft le centre des deux cercles
tormes dans la terrc , & dans I' atmofjjhere par le plant
chetche , 0:1 aura C L = cof h cof <t; C A, rayon da
cercle torme a la lurtace de la terre = v ( to( A' cof m'

t- fin. A*) s= a ires peu pies cof. h cof « -*- '-

MI

parceque h eft ici fort petit ; & C V'\ rayon du cercle

tb;me a la furface de ratmofphere, = V {CD -+- Lf^"'^)
s= V ( cof. /r coC «- -f- fin. /j- -<- 2 a' ) = C u ; d' 011 G k

— v/ ( C /r — C ^0 = v^ ( i *' ) i & ^ O = • ( 2 «' )

— fin. k. Oi AG doit etre a 0 u on C A — C L : :
le yJflw total a la tangente de Tangle /3 ; done tang. /3 =

<>"• ^^' ,, , ^

T"; ? — r~; 7 — T": — > " ou col. « =

z coL h co(. « ( v^ (2«'; - fin. /:»)

■ ,- ■ ,- — ; — 7 — 7- . Ce fera le cofinus de la moitie

2 ting, o' cof. « (V 2« -fin. /&) ■'

de 1' arc vilible.

§• !

5«r /^ mouvemem dcs nccuds des fatellites.

I L/ans les Recherches qui ont etes faites jufqu'a-pre-
fent pour determiner le mouvenient des noeuds delalune,
on a fuppofe fon orbite peu diiferente d' un cercle , &
fort inclinee a 1' eclij.tique. Voici une maniere plus ge-
iterale de refoudre ce Probleme , quelque ibit 1' angle
d' inclinaifon de 1' orbite , & le rapport de fe$ axes.

1 Suivant la theone de la lune que nous avons donnee
dans nos Recherches fur le fyjleme du mande, T. i An. 29,
la ditferentielte du mouvenient des noeads de la lune ell

— ^^''- (f'-^) ^'"- C'^^-^) C0f(^'-,2Z),

S expriinant la made du foleil , B la dillance moyenne
de la ttrre au lb!ei! , ^ Tangle parcouru par la lune
( dans T ecliptique ) pendant le terns / , ^ le mouvement
du nceud pendant ce ir.eme lems , n Z celui du ib.eil ,
qu'on regarde conime a peupci unfonnc , Z ^cant ilip-
pole le inouvemeiit xnoycn de u luae.

14^

} Nfitntpnnnt foit ^ rargiiment de la latitude, cf I'anojle
de i'orhire avcc I'eclijytiqLie , y le myon de I' orbite reolle
de la lune , x celui de i' orbue projettee , on aura i° (in.

(r - s) = ^^^ — -^ i ^^ cof (r'-^) =—^i

30 coC (^' - nZ) = cof [(f - ^)_(„Z-0]

= col. (. ^' ^ ) col. ( /2 Z ^ ) -i- llll. (l i^ )

fin. ( rt Z — ^ ; i d' ou il s' ei;(ait que la differentielle du

mouvement des noeuds eft — r^ — — - X X fin.

d' a z X

i"Z-0 X I- ^ —}'

4 Or d t = a tres- peu - ores , en nommant k

le Jinus de 1' angle de projeftion initiale , rapporte a
r eciiptique , & »• la viteffe initiale de la lune , aulli dans
r eciiptique. D' oil il s' eniuit , en fuppofant pour plus de
fimplicite A = 1 , c'eft-adire Tangle de projeftion droit,

que -=^— - — = --^ . Or il ell tres-aile de voir que

^ x'dz' g^ ^

X X d ^' = y y d z cof l/ , & que la vitelTe initiale g' dans

r orbite reelle elt telle que g = g' cof. k , k etant 1' in-

clinailbn initiale de 1' orbite.

5 Done la differentielle du mouvement des noeuds fera

" b'^^^coU^ ^ *''"• ? ^ ^'"- ^"^-O^ i<^o(. J coC (nZ - Z)
H- fin. ^ col If Cm. (n Z — ^ ) ]•

6 Maintenant Ibit a la dulance moyenne de la lune k la
lerre , dans fon orbite reelle , e I'excentricite de cette orbite
cunfide.ee comme une ellipfe, :^" la fomme des angles ou
arcs circulaires infiniment petits parcourus par la lune dans
ion Oibite reelle durant le tems t ( voyez, Tom. V. de nos

M3

r 1 ON a a - c e S

opufc. math. p. 198), Oil aura y = -. , OC-^rr-

' ■' r y ' ^ ^ a - e col. z B'

»' ( r -f- r. ) „ r ]^ r , p

r= 5 { = { — y " S col. C| ( voyez l ouvr. ge

cite) ; ou a trespeu-pres ^ = ^" — ^ cof. l/ ; & au lieu
de r equation x x J ^' = j)'j' ^ ^ cof. lj qui n' elt pas ri-
goureufement vraie , nous auroiii x x d :^ ■= yyi\' col' q;
d'oii il s' enfuit qu'il taut mettre a la ngueur dans la tor-
mule de }^ Art. 5 , ^" — Z^ col! cf a la place de { , & </ ^"

— «^ ^ cof Lf a la place A& d ^. Cependant comme nous
negligeons ici les quantites tres-petites , nous conferverons
cetre formule telle qu'ellc eft.

7 Pour la Umplirier encore , nous confidererons que la
diftance initiale de la lune a la terre , qu'on prend ici
pour r unite , eft a -+- e , & que par la thjorie des tra-

^' ^' 2. I

jeaoires eliptiques ' = — — . Ceft pourquoi

cof '
fuppofaiit encore — — ■ = i , &: fubftituant , on aura

la differentielle du mouvement des noeuds = — — X

(aa-eeydz / fin. i- cof. ;: fin. (2 ;; Z- 1 ^'■) .

', ^—— ( ^ 2_: _j- fin. 7» col. u

J. 1 cof. ( 2«Z- 1() \ ,

^^ _ — 1_ j j . Q;t pourra dans cette quan-

tlte mettre ^" — Z, cof n au lieu de ^ ; ou meme (im-
plement .j^" , puifqu'on ne neghgera par cette fubftitution,
comme il eft aife de le voir , que des quantites tres-petites
de r ordre de «*.

8. Maintenant loir a — e cof. j-" ou a — e cof { =

— J & ( : — y ) : ( ) = fin- A , on aura

lU dK a' tfVfin./C __

{a-e cof. s y* /i" v (.« <i - <• <•) /t/i - f «• a a- ee

144

d K.

r— T X (a — eCm.KY. Done {Art. 7) la dif-

{aa — ee) -j- ^

ferentielle du mouvement des noeuds fera egale a -^

■in^^K(a-f(\n.K)' / 'in « cof. z fin. (i »Z - i ^ ) .

a W {aa - ce) \ z *•

9 Dans cette quantite il n' eft pas difficile de voir que

d K X (a — e <in. iiT )' fin. :j; cof { ne donnera point

d'arcs de cercle puifque cette quantite fera proportionneile

, dz(\n.zco[.z . .- _ ^ udu -a

a r? ou en railant col. 7 =w a 7 qui eLt

(4-c-col.z)' ' ^ {a-euy ^

abfolument integrable , &: ne renfermera point d' arcs de

cercle ; fans compter que cette quantite fe trouve encore

multipliee par lin. i n Z — i ^ , qui empechera encore

davantage , fi on peut parler ainfi , qu'ii ne fe trouve

d' arcs de cercle dans ces termes-la.

I o En fecond lieu fin. :^ etant = i — cof {% cof ^

a aa a ^' , ''^ '•" ^

= — & — y = » Ofi 3ura

e ey' aa — ee -^ aa - ee

fin. ?' = ^^ -^-7? > d oil il s enfuit qu on

«■ (^a- e lin.Kf

. . i}i'dK{a - e fin. A )

aura un terme de cette forme — ——, r

aV{aa-ee)

~ „ r- I Cof.(2«Z !»(•) ,

X {aa-'ce){i — fin. K^) X Cof. c^ X [ ^ ^ J i

, . J r t,if'dK cof. ^
ce qui produit un tcrrae de cette lorme —

X - — —\ . Done puifque dK eft le mouvement moyen

de la lune , comme il refulte de la theorie des pianetes ,
il s' enluit que le mouvement moyen des noeuds fera au

-^nioCtf^iaa-ee^

mouvement moyen de la lune comme — — —

eft

eft a r unite i oil Ton remarquera que a Sc v (a a — e d)
font les deux demi-axes de rdlipfe.

1 1 L' element de 1' equation principale du mouvcment

des noeuds fera ^ X (aa — ee) (i — fin. K-)

aav {aa-ee) ^ ' ^ ^

r r , cof. (mZ - 2 r") ,,>.,/• •/•, .

cof. t/ X fin. {-X ^ — ; d' ou il eft aife de

voir que cette equation fera au moyen mouvement de

la lune ( a caufe de Z = K ) a peu - pres comme —

^ >iCw.(%t;K - z^)cof.^V{aa - fe) airr\
elt a A . Quant a

V element de 1' inclinaifon , il ne differe de celui da mou-
vement des noeuds , qu'en ce qu'il contient ( ^n. i )
m cof. (n Z — ^ ) au lieu de fin. ( « Z — ^ ) , m etant ]a
tangente de 1' inclinaifon ; d' oil il eft aife de voir ' que la

, J , ■ 1 1> • V T /• 3 ''«»cof.vv^(.«^-f0
-plus grande equation de 1 inciinailon lera -—

X cof. ( 1 n ii: — 2 ^^ ).

1 1 Un favant Geometre croit que le mouvement moyen
de nceuds de la lune feroit le meme dans une ellip(e dont
la terre occupe le foyer , & dans un cercle qui auroit
pour rayon le demi-grand axe de cette ellipfe; nos calculs
donnent ces tems en railbn de V (aa — e e) a a, c'eft-
a-dire du petit axe au grand. Mais il me femble que
notre Savant fe trompe lorfqu'il conclut , de ce que les
quarres des fefteurs infiniment petits font comme les y* ,
d^ etant le meme , que les fommes des j* feroient com-
me les quarres des (efteurs totaux } car fy* d ^ n' ei\ pas
proportionnel a ifjjd^y.

13 Si r orbite , au lieu d' avoir fon foyer au point de
tendance de la force centrifuge , comme on 1' a fuppofe
dans les calculs precedens , y avoit fon centre , & que

cette orbite fut elliptique , alors aulieude^ =

Mifc.Taur.Tom. ir. ' t

I4(>

on auroit v v = — "~4- — » & I'element du mouvement

•' •' I - r* fin. z*

a'

des noeuds feroit — w g ^ [a a - c c^ ^ \ ^'"- ? ^°^ ? ^

oil le denominateur a a — ce vient de ce qu'on fuppole
que la planete part de rextremite du petit axe. Dans cette

. , dz fin. z cof. Z n , • ^

difFerentielle la quantite -— — ;-7 eft evidemment in-

* \a — c nn. z )

tegrable , comma il eft aife de le voir en mettant au lieu

de fin. ^ la valeur i — cof. :^ , & en fuppofant cof ^

= u , & I — uu = s , ce qui donnera une transfor-

m^e de la forme . Maintenant pour integrer

d 7 fin. ?' r r '■' - , i

5:-; — 5^ , on rera lin. ^ = x , — = n*, i — « x'

(x-^, fin. f)'

= «*,&«- = -, & on aura pour transformee —
dt tdt

2»V(/- 1 ) • V (.(«'- l)/-^ I ) l«*V(.f-l)-V((«*-l)/-t-l)

Soit n"- — I = — « , a caufe que rr -C i ; il eft facile

de voir que 1' inregrale renfermera un arc de cercle qui

it
. La

fera — ; — ( )/ ; r.

quantity qui eft fous le figne / eft = o quand a: = o ,

c'eft-a-dire quand r = i , & = i8o° lorfque t = -^,

& par confequent lorfque x = i , c' eft - a - dire lorfque
:f =s= £)o°. D'oii il eft aife de voir que la moiti^ de cette

147
quantlte eft = 360° lorfque { =: 360°, c' eft- ^. dire
apres une revolution entiere.

14 On a fuppofe dans les calculs precedens que Ja
diftance initiale etoit }/ (a a — e e) ; mais fi c' etoit !e
grand axe a, alors il faudroit mettre dans le ddnomina-
teur du mouvement des noeuds g' g' a a au lieu de g' g'

(a a — c e) , &C fuppofer y v = -r— ou

Ainfi dans le premier cas le coeficient conftant qui mul-
tjphe d I fera — B' g g' i^aa^rc) ' ^ ^^ quantue a integrer

x^ dx e'

■—. —, —— en fuppofant n"- = — } & dans le fecond,

v ( I ~ X X) yi-ri'xy * ' <«* '

\ S • (i'
le coeficient conftant eft — -^ -, & la quantite a in-

x' d X '*

t^grer — en fuppofant «* =

V\i - X X ){i •*- n'x'y '^^ aa-ee

1 5 De plus fi on nomine i^la force centrale a la diftance a ,
on aura dans le premier cas le quarre de la viteffe =s

g g — ¥- — : , &. a 1 extremite du grand

axe , g' g' . Or par la theorie des trajeftoires

ss —

Dans le fecond cas on trouvera de m6me g'g' s= ^

On aura de plus par la thiorie des forces centrifuges
% ' '' "t» ' ~ » etant les tems penodiques

de la planete principale & du fatellite. Ce qui donne le

m8

moyen de faire Hlfparoitre B , S, 8c F, en mettant pour

r. . , Sa T'
F fa valeur , .., .
/ li

1 6 Deia il ert aife de voir, apres avoir acheve les cal-

culs , 1° que quand le fatellite part de I'extremite du petit

axe , le noeud parcourt duraiit urie revolution un efpace

•5/' V ( aa-ee) ^ „ r 1

= — — Tj— X -—: r X 3 60° col. u, 1° que quand

le fdteilice part de 1' extremite du grand axe , le noeud

parcourt durant une revolution un elpace = — -=^ X

V (aa - ee) ^ ^ .

X — I X — ^60° col. Lf , ou ■—

a

^ /* cof. u v^ ( ii/i-rr') ■ 360° ., - ., .
yi , ou u taut remarquer que j ai

mis — 360° parceque dans ce fecond cas 1' integrale

doit etre prife negati-

*^[(' -^7) ^ — '' — 7]

«

vement , attendu que quand :vr = o , r = i j & quand

1 7 Dela il S-' enfuit que le mouvement des noeuds eft
retrograde dans les deux cas, & que le mouvement mo-
yen ell plus grand dans le premier cas que dans le fecond,
en raifon de a* a a a — e e . On voit auffi que le mou-
vement moyen des noeuds dans le fecond cas, eft le me-
me que dans ["Art. 10 cideflus , pourvu que le rapport

-=- foil le meme dans les deux cas. Or il I'eft en efFet,

car T eft le meme dans ces deux cas , & de plus les va-
leurs de t font egales ; puifque le terns de la revolution
dans une ellipfe, les forces tendantes au foyer, eft le me-

me que dans un cercle qui auroit pour aiametre le grand
axe de certe ellipfe , 6c que le terns de la revolution dans
ce dernier cercle ell le meme que dans une eliipfe qui
auroit fon diametre pour grand axe , & pour petit axe
une ligne queiconque , les forces ecant fuppofies dirigeas au
centre.

1 8 Nous avons fuppofe dans la premiere & la feconde
folution {Ant. 13 & 14) que le point de depart du fa-
teilite etoit le lieu meme du noeud. Pour avoir une folu-
tion generale qui renferme a la fois ces deux cas &c tous
les autres , fuppofons comma dans la premiere folution
que r extremite du petit axe foit le- point de depart, &
quelle foit cloignee du noead de 1' angle 18 , alors il fau-
dra mettre ^ -+- /3 au lieu de ^ dans le terme fin. ^* cof t/,
en regardant ici i comme Tangle parcouru par le fatellite
depuis le moment du depart , ce qui donne { -+- /3 au lieu
de { pour 1' argument de la latitude; & la difficulte fe re-

duira a integrer une quantue de cette forme ~~ — —i- i

a'

difficulte qui fe reduit encore a integrer une quantite de

cette forme ^7—^ X ( cof. (8^ — fm. ,8» ) -j.

(.-ifm.^^)^

fin- /?* dz r- 1 - r •
^ . Ur ayant tait les memes transformations

(i--fin.j')^

que dans CArt. 1 3 , on trouvera que 1' integrale renferme

une quantity de cette forme — - / '—

• [(! ^-)i-n 1

multipliee par i ( ^ — i ) X (cof. i3' — fin. |3' ) -t- fin./3*

(—J •+-—). Si 5 == 0 , c'etl-a-dire fi 1' extremite

du petit axe tombe fur le noead , comma on 1' a fuppofe
{Art. 13 ), on aura la formule meme de cet Article. Si
|3 = 90°, c'elt-a dire d l' extremite du grand axe tombe

fur le nceud , on aura le coeficient — — X ( )

-4- — ■+■ - = ( k caufe de(t= i — «*=i )

= I ; d'oii il eft aife de voir que le mouvement

J J J 1 • r ?/* 3(10° {aa-eey-a
des noeuds dans le premier cas lera — -=■ x ^^ r

^ 4r' V{aa-ee)\aa-eey

& dans le fecond — li- x \aa-ee) a — ^, ^^ ^

refulte , comme dans CArt free. , que le mouvement mo-
yea des noeuds dans le premier cas eft au mouvement
moyen des noeuds dans le fecond , comme aaeftaaa-ee.
1 9 On voit afl'ez parcequi a deja ete remarque ci-deflus
( Art. 6 ) , que cette folution ainfi que les precedentes ne
font qu'approchees , parcequ'on n' y a point eu d'egard a
a la double courbure de 1' orbite , ni aux forces pertur-
batrices tres-petites qui agiffenr dans 1' orbite meme , &
qui empechent les aires d'etre exaftement proportionnelles
aux tems , comme nous 1' avons fuppofe dans toutes ces
folutions. Mais il eft facile d' avoir egard a toutes ces
circonftances , en fuivant d' ailleurs la methode que nous
venons d' indiquer dans ces folutions , & dont 1' ufage eft
principal-ment de faire voir comment on pent trouver le
mouvement des noeuds , en fuppofant que 1' angle de I'or-
bite du f'atellite avec celle de la planete principale ne foit
pas tres-petit , & que 1' orbite. du fatellite ne foit pas k
peu-pres circulaire.

§• 4

Sur une diff'erentielle riduclible a des arcs
des feciions coniques.

I JJans le Tome V de mes opufcules p, 141 , j' ai
donne une methode pour fe delLvrer des quantites infinies

qui enlrent dans T integrale f-^--~^L—- ^ lorfque u

= 00 . II ne fera pas inutile de developper un peu da-
vantage cette methode , d' autant qu'il s'eft glifle dans le
calcul quelques erreurs legeres, qui a la verite ne nuifent
en rien au refultat.

Soit done ; comme on 1' a vu dans 1' endroit cite ,

„ dzVs: W {nrt -^^ fii - i^) duV u

en prenant j = - , & fuppo(ant uu -±i fu — bb =s:

(«-+- i)(k — fl), &H= , le fecond mera-

y — g

ere de 1 equation precedente fe reduit a — —!■ ~

integrale (era = o , cornme elie le doit etre , lorfque j
= 0, ou « =00, ou j = y, pourvu que/^-^^iL^

""/v(j,.^.)' v{y-q) ^°'' '*"Pl'°^^ =°' lorfque f=o,
ou J' = y . C elt ce qui a ^c^ demontre dans 1' endroit

cue.

^ z V z
% Ainfi la valeur de T ,■ ■ r , depuis r

■' \f {b 1/ -+1 f z - zz) ^ *■

= o , ou w =3 oo , jufqu'i uiie valeur arbitraire /t de w

( qui donnera { =: -j- oc y =^ ) lera egale a —

cette derniere quantite qui e{t fous le ligne /, ecant fup-
pofee = o lorfque j' = ^ , & finifTant lorlque y =

dzv z
3 Maintenant la valeur de / -rm — -^ r > depuis

' ^ ■^ {^bb -^fz - zz) ^

K = X:,ou{=-T-, ouy = -^T — - jufqu'a la valeur

bb 1^'^Q

de I qui donne V {bb "±1 f{ — {{) = o , ou u = ^,

OU y = oo , eft ^^ — ^ -H f{ -

-4- r — ; ~ — r-r» cette derniere quantite qui eft fous

■^ V {ui4'*^fu-bb) ^ ^

le figne / etant fuppofee = o quand u = k , &c fiiiiftant
quand u =. q .

Hz V' z

A Done la valeur de / ——r, repondante a

•' V {bb •±fz- zz) *

une valeur quelconque de { , eft egale a la fomme des
deux precedentes , r. a cf. a — tt, r / -r. — — ^ ,,.

xV (uu-*- fu-bb) _ day/ u . I. ,

- --— ^^ — ^ i ^- / — — -—^ — 7— , le fecond rer-

^ u ■* ^ {utt -^fu ~bb) ^

me

me commengant a >' = y , & finifTant k y = ~ ^

& les deux fuivans commen^ant a « = /t, & finiffant a

5 Soit done imaginee la courbe NDF, dont les ab-
fciffes ^tant w , (/JV. ii ) les ordonnees foient —. i

foit pris AB =: q, AE = k, AC = ^^^^ ; A P'

k— (f

s= u , A P = y ; & les quantites — f i_<^

-t- 7 -p: — yr- leront reprefentees par — aire BNNIP

V \^uii -^ f ti — hi) ) ' '

'— aire. E F M P., ou plutot — aire. BNDC — aire.
E F M' P' ; reuiarques que je mets — aire. E F M' P'

pour exprimer -^ /__^-^__ , parceqiie A P' {u)

croiilant , 1' aire E F M P diminue.

6 A Te^dici des aires BAMP, E F M' F , ou

/ — - — -— 77-r oc / —-Ti -r- ; 1 ai donae dans

Us Me moires de Berlin de 1746, Tom. 1 p. 103, la ma-
nisre de les reduire a la reditication de 1' hyperbole ,
aiiili cet article ne fait aucune difficulte.

7 Maiiitenant pour limplifier la contlruftion precedente,
foit fuppolee la conltante arbitraire k telle , qu'on ait

t-H = k, c'ett-adire A E = A C, i\ ell clair i" que
k 1/ ^

quaiid u = q = A B , le point M' tombe en N, &

r integrale complette, depuis « = 00 jufqu'a u = q, ou

depuis ^ = o julqu'a \^ (h b-*- f ^ — ^^) = o, devient

; -: — z aire. BNCD*

V (.k-(/) V q

Mtjc. Faur, Tom. FT. U

1° o'l en seneral u etant =: A P\ . mt^grale e t — -— r -—

— ^^("-^^"-'^^ - BNM'F - ^CDM'P' (or,

V u
peut mettre encore au lieu des deux derniers termes -4-

B NM' P' — r ■ B NCD). Or ." la condition 1^^—-^

k — r/
r= A: donne k = q -^ ^ {q q -^ q). i" la condition de
u = q , donne V { q q -^ f q — b b). = o , puifquc
( Art. i) u u -H j u — b b = («-f- i)(« — q) .

Done I integrale totale h -j Li--=— ! ."

— z X BNCD devient ^gale a — ^-^^^^ x BNCD,

en prenant /t = q ■4-v'(^^-+-^), oa/t = i^-{-
V''(^^-j-^a), a etant fuppoie repr.^fenter i' unite , &
telle que qa ■=■ bb ., Sc a — ^^ == H^ /, ce qui donne

— — J = -+~ f ; d' oil r on tire la valeur de a , celle
!? ' .

de a , & celle de k == q -+- ^ (q q ■+• ^^)> exprimees

r une & r autre en b ^ en f.

8 11 eft bon de remarquer que « ne fauroit etre = o,

piiifque u = o rendroit ^ = oo ^ ik V {bb -^ f i — ^^)

imaginaire ; u ne fauroit non plus etre <; q , puifqu'au-

trement V {uu ■±: f u — bb") ou \/(K-i-a)-v'(w — ^)

feroit imaginaire. A I'egard de jy, fa valeur s'etend depuis.

u = 00 qui donne y = q ^ jufqu'a u = q , qui donne

_y =s oo . On doit obferver audi que la iuppofition de

V {bb -*- fi — ii)-= o donne i = r±:- ■±'>^ {- •+■ hb),

& comme ^ ne doit jamais etre fuppofe negatif pulfqu'au-.

d z^ z
trement la difFerentielle ——r, t- : changerou de fbr-

M5

me, il s'enfuit que la vraie & feule valeur de { eft alors

-+-i--f-v/(--+-^M,& celle de k ou — = :+: -i-
"14 2 2

^ y/ (^l ^ hh); d'ou Ton tire {An.-j) q =z -^ 1~
4 i.

-^ v^(l_j.^^)a = H- - ~h^ {^ -^ bb) &l h —
4 ' i 4

q -+-V(qq-i-qa):=q~t-b = b ^ - -t-V^(- -^ bb).

1 4

9 Si r on fait , comme dans le Tome V de nos opufc.
p. 243 , u egal en general a ; & qu'on fuppofe

comme dans I endroit cue — = — , & — ~- = —

ma he

on aura , ainfi que je 1' ai fait voir 2 c/ [ v^ (/' •+• ku)

- • ( / -4- /72_y ) ] = i -^ h

*/( Ac) V (:/-+. -^ )•»/(:/-— )

pour que les deux termes du fecond membre ne foient

Ic-me „ f c -' b a . . ^ .-

point imaginaires , que — & loient pofitifs,

c elt-a-dire que -;- — - , & ^^ -+- — foient pofi-

' * be m mc ^

lifs. II faut de plus que ( ^^—r— ) X (w —) =i uu

f a

r±. fu — b b ^ d' oil r on tire — = -f- T, &

h c J ^

■— := b b i done a caufe de j' e -jr hb' s=s o, on aura

i5«,

— — ss! -h f Sc =: bb. II faudra enfin-

e e -^ ee

d y ^ y
pour que la diflferentielle ^ — foit

He la forme — — — -, & par confequent r^-

duftible a la reftificatioii de 1' hyperbole , que — foit

negatif, c' eft -a -dire que — foit negatif.

b a - b a

I o Les equations — — = -+- f & — —

'■ c c •' fCt

s= bb, donnent — =4---+-v^(~-^bb),S: —
= -t-- -t^V(--+-i^); & puifque — '- doit etre ne-
gatif, il faudra done que -+- — -p -^ — i

1 4

foit negatif. Or c' eft en effet ce qui a lieu evidemment;
car y. At &

^L^V(t^bb) JL -^ ^ (1- ^ bb)

font < I .

II Si on veut que les deux quantites radicales

foient de la raeme forme , & qu'ainfi les deux quantues
dy\ V „ duVu

dependent de la reftification de la meme hyperbole , il

M7

/. , f d I ' Q f 1 fl

taudra que - , - = H - , 'x — 7- = —

^ b c m be mc

f ^' o I y

c' ell-a-dire (a caufe de ^ = , & — = — )

b f m a'

qu'il faudra 1° que -+- — = -f- — . d' ou 1' on tire

e = -¥- a , ou b' = o . Or cetf derniere fuppofition
ne peut avoir lieu, puifqu'elle donneroit f'.= oSll=o.

^ I 1/ a ^

On aura done c = th ^ • 1° puifque — — — — ou —

■ * e ( a

-« = '*■■ f ( Art. 9 ) , on aura — b'c a — a a c =

b'ce-^aee,o\xae{a-+'e') =-— b'c(a-+-e).

Done a -t- e = o , Oa — b c = a e . Or les valeurs

/I b'

de — & de — tirees de /' An. 10 , font voir que —

he ne fauroit ctre r=i a. e . Done il ne refte que a =s
— e ; meme condition que ci deflus.

li Done les deux dilferentielles appartiendront a la

b ^

ni^me hyperbole fi on prcnd u =;= ■ — =

•^ c

d' oil I' on voir que la valeur de m en ^ ne renfermera
point d' auires coefFiciens conftans , que ceux qui depen-
dent de / & de i .

.58

1 3 Voyons pr^fentement fi les deux hyperboles peuvent

n' etre pas les memes. On a en general u = — -

C

C X A

quantite , dans laquelle on peut mettre au lieu de

=? -~-'^^~r + ^M , f

-^ — ^ fa valeur 77- [ tt 1-

V'( — -+• i ^ )]\ A regard des fa£leurs y -\ , y -^

— , ils feront egaux a jy -+- — > J -• > & on aura

a 6 ebb 2 ■- 4

a -" <( « «^^ 4 2 -^
D'ou il s'enfuit que la dlfferentielle 7 —

depend de la reftificatlon d'une hyperbole dont les demi-

axes (conjugu(5 & tranfverfe ) font th -~r [ ^ {- -^b b)
±: — ] & une ligne /) telle que p/j ^. [-+-v^( — -+-^/>)

Or r hyperbole dont la reftification donne la valeur de
d u\' u (i H >/ H

— ou -. j-r— a pour

demi-axes (conjugue & tranfverfe) i, & une quantite r,
telle que r r — b b = -}~ j r . Eiifin la valeur generale •

de J' = devant toujours etre pofitive , quelque

valeur qu'on donne a w , on verra , en faifant u = oo ,

que — — doit i^tre pofitif. Done le demi - fecond axe

de la premiere des deux hyperboles doit etre — —

{V {^ -h bb) -i~_ X ] . d' ou il eft aife de voir ,
4 1

en achevant le calcul , que les deux axes des deux hy-
perboles ont entr'eux le meme rapport , & qu'ainli les
deux hyperboles font feinblables , c'eitadire les me.xies
dans les deux cas.

14 Voici r ufage des calcals prdcedens dans un Pro-
bleme Phytico-Mithematiqae. Sjit propole de troaver le
terns de I' oicilUtion d' un peiiduie dans un arc de gran-
deur finie ; en no;nmant r le rayon , H V abfcilL qui re-
pond au commence.nent de Tare decrit, & x les abfcilfes
des portions variables de l' arc , ces abfcilFes etant prifes

V.

i6o

depuis le point le plus h.iut du cercle decrit en entier ,

on trouve que le terns dont il s* agit ell propc-tionnel a

f

V{^x — ;s)\{^^rx-xx) (S\\^rx — xx)

dx^ X t r 1 • d K y/ X

La feconde partie

fi\i i^ir - x) V (^-/?) ' ^ (S {;i.rx • 0x--i.rg xx)

depend de la reftificarion d'une elliple dont les demi axes-
font • (ir/3)&i3, & dont les abfciires priCcs ("ur le

demi-axe (3 , a compter du centre y font • ,' _ ' ' » ^

1

la valeur totale de cette partie eft X deux fois le

quart de la circonference de cette elliple . La premiere
partie , en faifant x — /3={, z r — i/3 =-+•/,

ik 2 ■ BNCD

2 r |8 — /3/3 = ^^ fera egale a — — — ^ -^

(Art. 7 cidejfus). Or i" on trouvera par les formules
precedentes appliquees au Cds preient j = /3 , & X: = fi
-t- v' ( 2 r |8 ). i" on trouvera auili pir Ks niemes calculs
precedens , & par les Mcmoires de Berlin de 1746 , que
BNCD multiplie par V (2/- — (3) elt dgal a deux tois
un arc d' hyperbole, dont le dcmi-axe tranfverfe ell 2r — 18,
le demi-axe conjague \^ {irQ — i8/3), & dont les ab-
Icilfes pnfes fur le demi - axe tranfverfe , font k & ^ ,
c'ell-adire jS -+- v' ( 2 /- 13) & /8 . D' ou il eil clair que

r int^grale cherchee eft — —j- [v/|3 -4- v^ir] -H
X 2 fois r arc d' hyperbole qu'on vient de

deligner.

,511

i6t

15 II eft aife de voir que le terns de 1' ofcillation to-
tale eft au terns de la defcente par le demi-diametre /• ,

comme le double de / ; multiplie

J V {x- 0 ) ■ V {xrx-x x) '^

par —. eft a , c' eft-a-dire , comme le double

*^ v'l/i Vipr ^ '

de / — ; eft a ; c'eft pourquoi

. J y^ {x-(S ) -V {irx-xx) vr ' ^ ^

fi on nomme T le terns de la defcente par le demi - dia-

metre r, A le quart d'ellipfe deligne ci-deffus (Arc. prec.)

& B Tare d' hyperbole defigne de meme, le terns <rune

ofcillation totale du pendule fera z= T V r multiplie par

1 A 2 1 V ir zB

16 Comme on peut avoir aifement par approximation
la valeur des arcs elliptiques & hyperboliques dont il s'agit
dans /' An. prec. , on aura facilement par approximation
le terns d' une vibration du pendule.

I' arts ce 11 Novembre 1769.

M'lfc. Taur. Tom. IF.

SUR LA METHODE""

Des variations

Par M. De LA-GRANGE.

I.

I'ai donn^ dans le fecond Volume (*) une nouvelle me-
thode pour la folution des Problemes ou il s' agit de
trouver les courbes qui jouifTent de quelque proprtete du
maximum^ ou du minimum. Cette methode qu'on peut tres'
bien appeller , d' apres M. Euler , meihoie des variations ,
avoir deja ete communiquee des 1755 a ce grand Geo-
metre qui 1' avoit jugee digne de fon attention & de (on
fuflfrage , comme il paroit par les difFirentes lettres qu'il
m'a ecrites fur ce fujet , & que je conferve encore. Dans
une de ces lettres datee du z Octobre 1759, il s' expri-
me en ces termes :

Analitica tua folutio Problematis ifoperimetrici continet , ut
video , quidquid in hac materia dejiderari potefl , & ego ma-
xime gaudeo , hoc argumentum , quod fere folus , poji primes
conatus , iraclaveram, a te potijfimum ad fummum perjeclionis
faftigium effe ereclum. Rei dignitas me excitavit , ut tuis lu-
minibus adiutus ipfe foluiionem analiiicam confcripferim ^ quam
autem celare flatui , donee ipfe tuas meditationes publici juris
fecerisy ne ullam partem glories tibi debitcc prceripiam. En ef-
fet M. Euler a donni depuis dans le Tome X. des nou-

(•) Quoiqu'on ait" mis dans le titrc du fecond Volume des Mfim. de /a
Societe Royale la date des annges , dans lefi^uclles ont Crc prefentfis les
M^moircs qui le compofent ; nous devons ccpendant faiie obferver
qu'on a omis i la fin du frontifpicc ccllc dc Tannfie 1762, dans laquellc
ce Volume a fitfi impiime & public. A'uie de M. U Comtc dc Saluccs^

i64

veaux Commentaires 6e 'Petersbourg ifrpnm^ en 1766 ,

deujw Memoires aflcz etendus fur cette xnatiere , clans let
quels apres ni' avoir fait honpeur de la met! ode dont ii
s'agit, il en explique les principes , & les ufages avec
beaiicoup de detail & de precifion (voye^ les pages 1 z &
97 du Tome cite). Apres des temoignages aufli tormels de
la part d' un Geometre tel que M. Euler , j' ai du etre
furpris du peu de jurtice que m'ont rendue d'autres Geo-
• irjetres qui fe font depuis peu occuprs du meme fujet.
M. Fontaine vient de donner dan's le Volume de 1' AcO'
demie des Sciences de Paris pour 1' annee 1767 un Me-
moire inritu'e Addition d. la methode pour la jolution des
Problemes de maximis & minimis. L'auteur debute par avan-
cer lans aucun fondement que je me fuis egare dans la
route nouvelle que f ai prife pour rH en avoir pas connu la
vraie theorie ; enfuire pour fuppler au dehiut prctendu de
ma methode , il en donne deux autres qu'il regaide com-
me nouvelles & fort fuperieures a routes les methodes
connues pour le meme objet . Je ne crois pouvoir ricn
faire de mieux pour ma julHfication que d'inviter les con-
noiflV;urs a lire 1' ouvrage meme de M. Fontaine & a ie
comparer avec le mien , & avec celui de M. Euler. On
verra , (i je ne me trompe que d<s deux metliodes de
"M. Fontaine , 1' una n' ett autre chofe que celle que M. Euler
avoir donnee dans (on excellent ouvrage intitule Meihodus
invenicndi lineas curvas &c. , & qu'il a enfuite abandoiinee
pour adopter la mienncj & que I'autre ell la meme quant
au fond que ma methode , dont elle differe feulemeiu par
la maniere vague & imparfaite dont elle elt pi efentee,

Les autres Geometres dont j' aurois aulli en quelque
figon fujet de me plaindre quoique par une railbii bien
dilferente de la piecedtnte, font les Peres Le - Seur &
Ja.quier minimes qui vieiinent de pubiier a Parme un
tres-bon Traite de calcul integral.

i6$

Ces Savants ayant eu pour objet de raflembler les prir.-
cipales meihodes relatives au calcul integral , n' oni pas
oublie la nnuvelle merhode dts variatioiii , a laquelle ils
ont ineme di:ihne un Chipitre entier du fecond Volume
de leuv ouvrage. U auroit ete naturel , & m^me equita-
ble qu'ils euflfent fait quelque mention de mon Memoire
de 1761 furtout apres en avoir tranfcrit , corame ils ont
fait , plufieurs pages entieres (voy<f^ les pages 511 & fuiv-.
du Vol. cite ., & Id page 174 & Juiv. Tom. 11. des Mem.
de Turin'); cependant je ferois bien eloigne de leur repro-
chiv cette omiflion , s' lis s' etoient contentes d' expofer la
merhode dont il s'agit , fans citer peifoiine, comme ils en
ont ule dans d' autres endroits du meme Volume ( voyer
la page 448 & fuiv. de ce Vol. & la page 179 & fuiv. du
Turn. III. des Mem. de Turin ) ; mais comine par la cita-
tion des Memoires de M. Euler donr nous avons parle
plus haut , ils paroifl'ent vouloir lui attribuer cette metho-
de , je crois pouvoir faire remarquer que j' en fais le
premier Auteur , & que je n'en partage la poireilion avec
peil'onne.

Je dois encore obferver que Mrs. Le-Seur & Jacquier
ne s'expriment pas exadement quand ils difent ( p-:g- 53c
du Tom. II. ) que M. Euler a demontre que dans les tra-
jec^oirts decrites par un nombre de corps quelconque
r integrale de la viteffe multipliee par 1' element de la
courbe eil ioujours un maximum , ou un minimum. M. Eu-
ler n' a donne fur ce fujec que ce que 1' on trouve dans
une appendice ajoutee a (on excellent Traiie fur les ilb-
perimeties, oil il tait voir que la trajeftoire qu'un corps
doit dfccme par des forces centrales quelconques elt la
m^iiie que la courbe qu'on trouveroit en fuppolant que
I'lnregiaie de la viteffe multipliee par 1' e.eincnt de la
courbe lilt un maximum , ou un minimum.

i66

L' application de ce beau theoreme a un fifteme quel-
cotique de corps , & fur tout la maniere de s' en fjrvir
pour refoudre avec la plus grande fiinplicite & generalite
tous les problemes de Diiiamique, m'ell entierement duev
& ce qui doit le prouver invinciblement , c'ell que cette
theorie depend des memes piincipes que celle des varia-
tions , & que 1' une & 1' autre ont paru dans le meme
Volume des Mimoires de Turin pour les annies 1760 &
1 76 1. Je pourrois ajouter que j' avois auifi comma^iiqae
cette decouverte a M. Euler des 17^6, & comme ce
grand Geometre a bien voulu 1' honorer alors de foa ap-
probation , je ne doute pas qu'il ne fut tres - porte , fi
F occaiion s' en prefentoit , a me rendre fur ce fujet la
meme julHce qu'il a bien voulu me rendre a 1' egard de
la methode de maximis & minimis.

II.

Quoique la methode donnee dans le Tome II. des
Memoires de Turin fuffife pour trouver la variation de
toute fonftion compofee d' un nombre quelconque de va-
riables , & contenant autant de fignes d' integration qu'on
voudra ; voici comment elle peut encore etre generalifee
& iimplifiee a queiques egards.

Soit (p la fonftion dont on propofe de trouver la va-
riation ^(p, & fuppofons que cette fonftion <p foit donnee
par une equation differentielle d'un degre quelconque en-
tre (p , & X , y, ^ &c, & les differentielles de ces varia-
bles. Denotons cette equation par <{> = o , & differen-
tiant par S on aura ^<I) = o; or comme <J> ell une fon-
&.\on donnee de <p , x , j , ^ &c, d <p , dx, dy^ d^ &c.
on dilFerentiera cette fontlion en regardant chacune des
quantites <p , x, y &c. d<p, dx^ dy &c. comme une va-
riable pariiculiere , & marquant les; differences par J on
aura

167

1<P = ptip -h ft cl(p -h p"t d' (p -^ p"'i d*<p -+- &c.
■+■ ^l X ■+- tj'ldx -+■ q"l d^ X ■+• f I d' X -^ &c.
-^ rly -*- r'l dy -*- r" I d' y -h r" I d* y H- &c.
■^ sli -^ s'ldi -h s"ld' I -^ s"l d' I -i- &c.
-t- &c. = o
oh p , p\ p" &c. q ^ q' y y" , &c. feront des fonftions
doiinecs de cp , x , y &c. d <p , d x ^ dy &c.

Maintenant il e(l affez facile de voir que td<p, fera la
meme chofe que dl<p, ld^(p la meme chofe que d^l<p^ & ainfi
des autres expreffions lemblables} d' oil il i' enfuit que 1' equa-
tion precedence pourra toujours fe mettre fous cette forme
pt (p -+- p dh (p -t- /' d^l q) -+-./?'" d' I (p -+• &c.
'+'qtx-^q'dtx-4-q"d''8x-+- q" d' i x -h &c.
-i- rly ■+- / d^y -^- r" d^ly -+- r" d' I y -ir &c.
->r s\l -^ sdll -\- s" d'll-^ s"'Vll -+- &C.
-+- &c. = o . . . . . . ( -^ )

& toute la difficulte fera maintenant reduite a titer la. va-
leur de S(p de cette meme equation.

Pour y parvenir d' une maniere generale je la multi-
plie par une indeterminee ^ , & je prends enfuite 1' inte-
grale de chaque terme , ce qui me donne

fp^i(P -^fp^dl<p -hfp' ^d'l<p-^lp" ^d'^p -4- &c,

-^ f^l^lx -^f/^dlx -+■ fq"\d'lx -h fq"\d'lx ■+- &C.

-+- fr\ly -^ fr'ldly-¥-fr'^d'ly ^ fr'^d^ly -^- &c.
-+• /. I S f ^-fs'ldli -+- fs'^d^i -+. fs"'ldni-^&c
H- &c. = d une conjij.nte.

O' en integrant par parties on aura
fp'^dtp = p'^^<p -Jdip^Up
fp'^I'ip ^p'^dlp — d{p^)^<p -h fd^(p"l)t(p
& ainfi da rellej done faifant ces fubftitutions dans 1' equa-
tion precedente , & fuppolant pour abreger
P =pl - dip^) -h d^(p"^) - d^{p"'i) -^Oc.
P' =pl - d{pi) -^ d^ip"i) -'Oc.

:i63
P" ^p"^- d{p"%) --&C.

F" = /'I — &c.

&c.
q = ql- d(^q'l) H- d^{q"l) - d' {q'D -^ &C.
q =q'C - d{q"i) -^ d^{q"'i) -&C.
q = q"^ _ d {q"i ) + &C.
Q"' = ^"^ — (S-c.

i? = r? — d{r"i^ -H <iUr"^) - c/^ (r'"^) -H fi-c.
i?' = r'P - dir"i) -H J^(/"g) — &c.
R' -- r'9 — d (/"f ) — 6-r.

R" = /"^ — e-c.

&c. /

5. = i? — ^(/n -4- d^{s'^) — d'i^'"^) -+- &c,

S' == / ^ ^ ^ ( /'I ) -^ ^^ ( s"^ ) — 6c.

S" = s'i — ^ ( s'"^ ) -+- fi-c.

on aura

•+■ P"B(p ■+■ P'd ^ <p -H P'"^^ S ^ -H &c.

H- Q' S X -4- Q V S X -H Q'r/^ S X -+■ 6-0.

•+- R'lj ■+■ R'dly -4- R"d''Sy -h &c.

-*■ 5' S { -4- 5 " </ ^ ^ -+- S"d' i I ■+• &c.

-+• &c. = a une conflante (■^)

Suppofons encore pour abreger davantage

■^ =: Pl<p -^ Q_% X -*- Rty -^ SI I -^ &c.

&

n =^ P'l(p -h P"dl (p -^ P"'d^l<p -4- fi-c.

-f- Q' S X -J- Q"<^ Sx -+- Q'"^^ Ix -h &c.
-^ Rly -^ R'dly H- R"d'ly -+■ ^-c.
H- ^y S ^ -1- J"^S { -i- S"'d' 1 1 -^ &c.

enforte

169
enforte que V equation preceu'ente devienne

n -h /'•V = d line conjlante ;

& il eft clair que cette conftante ne (era autre chofe que

la valeur de n lorfque T integrale f ^ eft nuile ; or fi on

donne a cette integrale une certaine etendue determinee ,

il eft vifible que la quantite fl recevra aufTi une valeur

determinee ; ainfi nommnnt T la valeur de fl qui repond

au commencement de 1' integrale f ■V , & A la valeur de

n qui repond a la fin de la meme integrale , on aura

r equation

A = r — /^ .

Maintenant , comme la quantite ^ eft encore a vo-
lonte , je la fuppofe telle que 1' on ait P = o dans toute
1' etendue de T integrale f ■V ; ce qui donne I'equation dif-
ferentielle

Or la valeur de ^ renfermera autant de conftantes arbi-
traires qu'il y a de termes dans cette equation moins un;
& par confequent autant qu'il y a , dans 1' expreflion de
n , de termes qui contienne S (p, & fes differences. Done
le nombre des conftantes arbitraires de ^ fera plus grand
d'une unite que celui des quantites P", P", &c.; done oa
pourra toujours prendre ces conftantes telles que Ton ait,
dans la quantite A, P' = o, P'= o &c.^ enforce que
les differences de S<p difparoiffent entierement.

Done en general fi pour plus de fimplicite on enferme
entre des crochets carres les quantites qui fe rapportent
au commencement de 1' integrale f-^ , & entre des cro-
chets ronds celles qui fe rapportent a la fin de cette m^-
me integrale , on aura
/( />. S (p ) = [ P S <p -1- P'd 5 (p ^ P"'d' J ^ + (S-c. -H
Q' S X -+- Q V I X -^ q d' Ix ~h &c. -4^
R'ly -+- R'd^j -4- R d'ly -+- &c. ■+■
Sli-hSdZi -t- S"d' 1 1 -^&c.-h &c. ]
Mifc. Taur. Tom. IV. y

170

— (Q'lx -h Q'd^x -+■ Q'"d' tx -h &c. -^

R'^j -H R'Jly -+- R'd'iy -+- &c. -+-
5' J { -H S'd^ I -H S'"d' ^ { -+- (S-c. -H &c. )

— /( Q^x ~¥- Rly -4-5S{ -+- &c.) (C)
& il fauflra que variable ^ ibit determinee enforte que Ton
ait P = o , oil bien

pt — d- p'^ -i- d'-p"^ — d' ■ f'l — &c. = o
& que de plus ( F' ) = o , ( F") = o &c.

III.

Voyons maintenant 1' ufage qu'on doit faire de ces for-
mulas dans les queftions de maxlmii & minimis, & fuppo-
foiis qu'il s' agifle de trouver la relation qui doit etre en-
tre les variables x , y, i &c. pour que la fonftion tp devienne
la. plus grande ou la plus petite. Nous obferverons d'abord
que comme cette fonftion eft fuppofee donnee par une
equation differentielle $ = o , elle renfermera neceflai-
rement un certain nombre de conftantes arbitraires, lequel
fera egal a 1' expofant de la plus haute differentielle de <p
dans r equation <t = o . De plus il faudra par la nature
du probleme que la fonftion (p renferme des expreilions
integrales indefinies , & les circonftances de la queftion
determineront I'endroit oil ces integrales devront etre fup-
pofees commencer. Suppofons que ce foit lorfque x = a ,
y = b , 7^ ■= c &c.; il eft clair que les valeurs correfpon-
dantcs de (p , & de fes differentiellcs feront des fonftions
donnees de a , b , c &c. da, d b , d c &c. & des conftan-
tes arbitraires qui entrent dans I'expreflion de (p ; de forte
que ii le nombre de ces conftantes eft |W , c' elF.-a dire , (i
. la plus haute differentielle de <p dans la valeur de (^ eft dt^<p^
alors les valeurs des quantites (p , i (p , ^" <p &c, jufqu'a
Jf* — ' cp , lorfque x = a , y = b , i = c &c. ^ I'eront
arbitraires , & pourront etre fuppofces donnees.

Cela pofe , fuppofons que la valeur de <p qui doit etre
la plus grande ou la plus petite loit celle qui repond a

171
I'cndroit oil x = l^ y = m , ^ = /2 &c., il faudra done
que la variation de cette valeur de (p (bit nulle , enforce
qu'en la delignant par la catafterilHque S, on ait dans le
meme endroit S ip = o . Ainii il n' y aura qu'a fuppofer
d.^ns la formule (C) que 1' integrale f(Q^x -+- R^y
-+- &c. ) loit prife de maniere qu'eile commence lorfque
x = a,j=b, I = c &c. & qu'elle finifle lorfque
Ar = /,j' = OT,^ = /2 &c., de forre que les quantites
qui dans cette formule f« trouvent enfermees entre des
crochers cartes foient rapportees a 1' endroit oil x = a ,
^ = ^ , ^ .= c &c. & que celles qui font enfermees en-
tre des crochets ronds foient rapportees a 1' endroit oii
x = l,j = m,:[=:n &c. j & comme la queftion
demande que dans ce fecond endroit la variation ^ (p foit
nulle , on fera" le terme ( P' I (p) z= o ; ce qui donnera
r equation cherchee pour le maximum ou minimum. Or
cette equation etant compofee de deux parties dont I'une
contient tous les termes qui font fous le figne integral, St
dont I'autre n'eil compofee que de ceux qui font hors du
figne , il faudra faire deux equations feparees de ces deux
parties , ce qui donnera

o = /•( (llx -f- Rly -4- Sli -+- ifc.) . . . ( Z> )
o = [p^^-^-P d^(p -e P d--l(p -+- &c. -H
(>^.v -J- q'dlx -+- q"d--lx H- &c. -H
Rly -f- R'dly -H R"d'iy -4- &c. -h
Sli -+. S'dli H- S'd'^ -+- &c. -H &C.1

— ( qix -t- q'dix H- q' d'lx -+- &c. -4-

R'ly -+- Rdly -H R'd'ly -+- &c. -+-
i^-S^ -t- 5"^Sj -H 5"i=^j; -+- (S-c. -+- &c.) ...(E)
L' Equation (D) donnera en general, pour routes les va-
leurs de x , j , ^ &c. dcpuis x = a^ y = h, { = c &c.
jufqu'a X T= I , y = m , ^ = n &c. ., celle-ci

Q^ X -^ Riy -^ SI I -^ &c. = o (F)

Or cette equation doit avoir lieu quelles que foient les dit-

»7*

ferences marquees par S ; done i" fi par la nature du pro-
bleme il n' y a aucune relation donnee entre les variables
X 1 y ■) { •j'c. , les differentielles S .r , Sj, ^i &c. feront
independantes I'une de I'autre , & il faudra faire les equa-
tions particulieres Q= o,i? = o,5= o &c. Mais
fi par exemple les variables x, y, { &c. devoient etre telles
que Ton eut toujours Xdx-^Ydy-\rZd^ -h^c. = o,
alors en cliangeant d en S on auroit auffi XI x -<e-'Yl y

T Z ^

"4- Z^i ■+- &c. = o , d'ou I x = - -^ ly- -Y t 1-&C.

ce qui etant fubftitue dans I'equation ( i^) donneroit celle-ci
iRX — (lY)ty -H iSX — (IZ)IZ -4- (^c. = o
de forte qu'il faudroit faire enfuite les equations particu-
lieres RX — (lY =^ o, S X — Q^Z = o &c.

En general il faudra reduire les difterentielles ^ x , "^ y^
t { &c. au plus petit nombre poffible , & egaler enfuite a
zero le coefficient de chacune de celles qui reftent, &: ces
equations jointes aux equations donnees (s' il y en a) par
la nature du probleme ferviront a trouver la relation ne-
ceflaire entre les variables x , y , { &c. pour que la fon-
6lion (p devienne la plus grande ou la plus petite.

Or il ell facile de voir que cette relation fera toujours
donnee par une ou plufieurs equations differentielles , de
forte que 1' integration y introduira neceffairement des con-
ilantes arbitraires j ainli il reftera encore a trouver la re-
lation necefTaire entre ces conftantes pour que la fonftion
o devienne un maximum ou un minimum. C efl: a quoi on
parviendra a 1' aide de T equation { E) ; en effet comme
cette equation fe rapporte a des valeurs determinees de
^ y y •> I ^^' "^ ^^ ^^^'^'^ qu'on y pourra fatisfaire par le
rnoyen des conftantes dont nous parlons. Pour cela on ob-
fervera que les differentielles i ^ <P » d'-^ (^ &c. ^ d% x .,
d^ I X &c. font les memes que celles-ci I d <p , I d^ p &c. ,
idx, I d^ X &c., comme nous T avons vu plus haut j dc

'7?
forte que fi on defigne par / la valeur de (p qui repond a
r endroit oh x = a , y = b &c. ^ & que on deligne de
memeparF, F, /" &c. A, A\ A" &c. B\ B\ B" &c.
r, C'\ C" &c. les valeurs de F , P" , P" &c. q, <2%
Q'" &c. R\ R", R" &c. S', S", S"&c. au meme endroit,
& par L, L\ L" &c. M\ M\ M" &c. N', N\ N'" &c.
les valeurs de Q', Q", Q'" &c. R\ R", R!" &c. S\ S', S'" &c.
dans I'endroit oil x = I , j = m, :j^ = n &c., on aura
cette equation determinee

Flf -^ F'ldf -^ F'ld^f -\- &c.
-+- Ala -4- A"l da -+- A"t d'a -^ &c.

~i- Bib -^ B'l db ■+■ B'l d'b -h &c.
^ Clc -+- C'l dc -h en d' c -+- &c.

— Lit -^ L"l d I — L"l d' I — &c.
^ Mlm — M'ldm — M"U-m — &c.

— mn — N'l dn — N'^'l d'n — &c. — &c.
= o {G)

Pour faire ufage de cette equation on verra d'abord s'il
y a par la nature du probleme des relations donnees en-
tre les quantites f, a , b , c &c. I, m, n &c, & leury dif-
ferentielles , & I'ubftituant ia valeur d' une ou de plufieurs
des differences de ces quantites affeftees du figne ^ , tiree
des relations donnees , on egalera a zero le coefficient de
chacune de celles qui reftent , & Ton aura autant de con-
ditions qu'il faudra pour la folution complette du probleme.

1 V.

Nous avons vu plus haut que les valeurs dc (p , d(p &c.
lorfque x = a , j = b &c, , c' eft-a-dire , les valeurs de
f, df &c. doivent etre fuppofees donnees; or fi on les
regarde comme donnees d' une maniere independante des
quantites a, b, c &c. alors il eft clair qu'on aura Sy=o,
S df = o &c.; mais on peut fuppofer que ces quantites
doivent etre des fonflions donnees de a , ^ , c &c. 3c de
leurs diiiereniielles ; en ce cas , on aura S/= k ^ a ■+'

»74

plb -f- (T^c &c. Si/= Tt'^a. -4- p^b -+- &c. & il fau-

dra lublHtuer ces valeurs dans 1' equation ( G ).

, De plus il peut arriver que la fbiitUon p qui doit etre

la plus grande ou la plus petite renferme les quantites a ,

b ■, c &c. I , m , n &c. avec leurs diiFercntielles j alors ces

quantites entrant dans 1' expreiilon de <t> , leurs variations

donneront dans la valeur de 8 (|> les termes

*Sa -+- (t i d a -+- *' S d' a ■+• &c. -H
fil b -^ ^l db -J- |8' S d- b -+• &c. -+-
yl c -+" y'l dc -+- y'l d' c -\- &c. -H &c. •+■
7\il -¥- X'i d! -h A"S d' / -t- (S-c. -+-
jw S/K -+• fM^ dm -+- (/.'"^d- m -t- &c. -f-
fSrt -H v't-dn -+- v"S^^« -H 6'c. -H (S-c.
de forte qu'il faudra ajouter ces termes au premier mem-
bre de 1' equation {A). Dela il elt facile de voir qu'il
faudra ajouter au premier merabre de 1' equation {B) les
teilnes

&c.

Par confequent il faudra ajouter tous ces termes a i'equa-
rion determinee (£) oa (G) avec des fignes contraires,
en ayant foin de prendre toutes les integrales fa. ^ , /et'^ &c.
de telle maniere qu'elles foienc nulles , loifque x = a^
y = b &c. & qu'elles foient complettes lorfque x = / ,
• y z=i m &c. Ainfi 1' equation ( G ) deviendra dans ce cas
{H) o = Fhf -t- F'ldf -^ P" ^ d'f -H &c.

^ {A'—f^l)la -+- {A"—p'c:Ua -^ (J"'—f^" ^Wa -4- &c.
^ (B—JqI lb -+- iB"—Jl^'l:Mb -+- iB"—jli"^Wb -+- &c.
^ (C — fy\,lc 4- {C —jy^)Uc H- (C— fy'^Mc -+- &c.
■+- &c.

lafif.^

■+■

Id

-h

id^

afu." ^

•+■

&c.

Ibf^^

-4-

ldb'f(^l

-+-

^d'

bjd" g

-+-

&c.

Ixfy^

-H

Id

cfy'l

-+-

^d'

-//'t

-+-

&c.

I IfX I

■+■

Id

^f-^'i

-f-

^d'

IfX^' ^

H-

&c.

tmjf/. ^

•+•

Zd>

nffA' f

-f-

Id'

mff." I

-i-

&c.

I nfv^

-*-

Zd

nj^

-+-

^d'

nfn

-+-

&c.

V.

Comme les equations difFerentielles ne renferment pas
proprement les ditferentielles ellcs memes , mais feulement
leurs rapports, il ell clair que la fonftion (p qui forme le
premier membre de 1' equation propofee <i> = o pourra
etre regardee comme une fonftion de qj, x\, y , ^ &c. de

i^ dy dz . dx dx dx n c

-J- ■> ~r ■> ~7' ^'^- ■> —J — ■ — V — » —1 — ^^' Suppo-

fdx dx dx ' dx dx dx '"^

Ions pour plus de generalite qu'on ait (^ = 'Zdx", S

, r n • J d a dj) dz

etant une tonction de m , x . y , 7 -— , — - , -— - .

■r 7 7^71 ^^7 (tx ^ dx ^

d.^ d.±

. — , — T—^ &c. & difFerentiant par ^ on aura S <t> =

dx dx '

m'Zd x"— ^l d X ■+■ dx^i "Z; mais 1' equation <I> = o
donnc S = .0 ; done S $ = d x" i "E .
Or foit

ax ^ dx

fd-^\

, dz

-+- (tJ? ^ <r'S(~)-t-<r"S V-r^j -*- ^c. -^ &c.

ux dx

•4- T ^ X .
Done multipliant par ^ </ j^", & integrant par parties en-
forte qu'il lie refte fous le figne integral que les differen-

176

tielles i X ,t <p ,^y ,^ :;^ &c. on aura une cxpreffion qui fera
identique a rexpreffion n -+- f-^ de rAn, 1 1 , enforte que les
quantites hors du figne feroiit identiques a la quantite U »
& les quantites Ibus le figne identiques a la quantite -^ ,
Confiderons feulement les quantites qui feront hors du fi-
gne , & je dis que , fi dans ces quantites on change J en
5, elles deviendront nulles d' elles memes. En effet 1° le
terme 7 ^ <p n' etant I'ufceptible d' aucune integration par
parties rellera tout entier fous le figne. a" Le terme

Tt' % -^ deviendra d'abord it' \ ~ —, — - ) , de forte

ax . \ ax dx^ /

qu'en multipliant par ^ d x", & changeant % i <p ,\ d x q\\ d"^ (p

it X on aura 1' integrale /^ tt' ^ at" f -^ ^— ^ h d oil

en integrant par parties on aura les termes hors du figne
? •n'dx'^ [-—• — — ^— - )i changeons maintenant ^ en c/,

^ \dx a x^ J °

& ces termes deviendront ^ tt' dx'" ( -—- — -j^ j = 0 li

d-^
3 ° Le terme t"^ ^- , donnera , en faifant pour plus

d ,.,.., ii(f I ,, ( iip t'<!,'Sdx\ „ , ,,

e hmplicite — - = (p , tt ( — I , d ou 1 on

tirera d' abord comme ci-devant les termes hors du figne

^ Tt"dx"' (-J- jT"^ ] , lefquels en changeant J en i

deviennent ? Tr"d x" ( — ^ r- ) = o j & ainfi de fuite.

^ \ax ax J

On fera le meme raifonnement fur les autres termes de

Ja vaieur de S 2 , & 1' on en conclura que fi on change

la carafteriftique S en la caratterjftique ordinaire i, dans

i'expreflion de n , on aura toujours fi = o . Or 1' on a en

general fi -+- / f" = a une conjianie {^Art. II.), done

lorfciue n = o on aura j -V = a une conjianie^ & de la

■4- = o ;

177
-?' = o ; mais -^ = P ^ (p •+■ Q^ x •+• Rl j -h S i ^
-+- &c. done changeant i en d on aura toujouis

P d (p -t- Qd X -+- R dy -+- 5 1/ ^ -+- (S'c. = o
Equation identique d'elle meme. Dela il elt facile de con-
clure que les equations du maximum ou du minimum reful-
tantcs de 1' equation generate (F) de CArt. iii pourront
toujours fe reduire a une de moins ; parceque fi toutes
ces equations , hors une , font fuppofees avoir lieu , celle-
ci s' enfuivra toujours neceffairement; en effec, comrae les
equations dont il s'agit doivent etre inJependantes des dif-
ferences marquees par ^ , il eft clair qu'elies devront ega-
lement avoir lieu en fuppofant que ces differences devien-
nent les memes que celles marquees par d ; mais dans ce
cas r Equation {F) qui renferrae toutes les equations par-
ticulieres pour le maximum ou pour le minimum devient
identique , comme nous venons do le demontrer , done &c.
J' avois deja prouve cette propofition en peu de mots
dans le n. via. de mon Memoire imprime dans le Tom II.j
mais la demonllration que je viens d' en donner a I'avan-
tage d'etre beaucoup plus fimple & plus gcnerale. Au refte
on voit par cette -d^monltration que le theoieme cefieroit
d'etre vrai (i la fontlion ^ n'etoit pas redu61ible a la for-
me 2 d .r™ , 2 etant une fon6lion quelconque de (p , a: ,

^ ^ d.il. d.^
„ d^ dy riz „ dx dx c MA

_y , z &c. -J- ^ -— . -— &c. — , &c. ; il eft

•^ ' ^ dx ^ dx ^ dx dx ^ dx

vrai que cela doit toujours etre par la nature meme des
Equations differentiellcs ; mais s' il s'agiflbit des differences
finies , enfbrte que les differentielles d (p ^ dx , dy &c. qui
f ntrent dans 1' equation donnee <^ ■= o duffent etre des
differences finies de ip , x ^ y &c. alors la condition dont
nous parlons ne feroir plus neceflaire, & pourroit tres-
bien ne pas avoir lieu dans la tonttion <{>. On peut voir
Jans la feconde appendice du Memoire cite un exempie du
Mifc. Taur. Tom. IF. z

"78 .

calcul qu'on peut faire dans le cas des differences finies ;

nous n' en dirons rien ici pour ne pas trop nous ecarter

de notre objeti mais peut ^tre pourrons nous y revenir

une autre fois.

V I.

Suppofons que Ton ait (p = fZ, Z ctant une fonftion

de X , y , I &c. &C de leurs differentielles ; on aura done

en differentiant ( pour faire difparoitre le figne /) Tequa-

tion Z — dq) = o> laquelle etanc comparee a I'equation

<t> = o donnera <i> = Z — dp, & dQ h ^ ^ = I Z

— ^ d <p . Soit

S Z = ^ ^ X -+- q'tdx-t-q'^d'x -f- &C.

-+- r S J -i- r'^ dy -+- r'l d- y -h &c.

-4-^B^ H-/^^{-4-j"S^"i^-+- &c.

& Ton aura pour S <!> la meme expreffion que dans J! An. li
en faifant ^ = o , f ' = — i , p" = o , p' = o &c.
Done on aura d'abord P = — d^, F == ^ , P" = o,
P" = o &c. ; done puifqu'il faut que la variable ^ I'oit
determinee par 1' equation P = o , orr auia a?^ = o ,
& de la ^ = a une con/Iante, qu'on pourra prendre egale
a r unite pour plus de limplicite ; a I'egard des equations
( P" ) = o , ( P"' ) = o &c.; 'i\ ell clair qu'elles auront
lieu d' elles memes , h caufe de P' = o &c. On mettra
done par tout i a la place de ^ , & 1' on aura pour le
maximum ou le minimum de la fonilion <p , i° I'equation
variable (F) , z° I'equation conftante (G) (Art. iii ) .
11 faut remarquer a 1' egard de cette derniere equation ,
que , comme on a P' ■= ^ = i , P ' = o &c., on aura
F' = I , P" = o , F" = o &c. , de plus , comme la
valeur de <p eft nulle lorfque 1' integrale fZ commence ,
on aura / = o , & par confequent lf=o, de forte
qu'il faudra effacer entierement dans 1' equation ( G ) tous
les termes affedes de S/, S dj &c.

179

Si on compare cette folution avec celle que iioas avons

doniiee dans le n. I. du Memoire cite, on verra qu'elles
s' accordenc parfairement entr' elles ; 1' equation variable
(F) repond a 1' equation que nous avons defigne dans
cec endroit la par (B), & l' equation conltante que
nous nommons ici (G) repond a I'equation (C) du m^-
me endroit en Faifant attention a la remarque que nous
y avons faite touchant la maniere de compietter cette
meme equation (C), & de laquelle nous avons conclu
que r exprefilon complette de cette equation etoit M' —
'M = o , oii AI' reprefente les terraes que nous avons
dedgnes dans i'equation ( (? ) par L'l I -+- L'ldl -t- &c.
& 'M les termes dellgnes par A' I a -^ A" t d a -4- &c.

V I I.
Soit enfuite <p = /Z , Z ^tant una fonftion de x, jy,
{ &c. & de leurs dii!<irentielles , &c en meme terns de la
quantite (cp) = f( Z) , (Z) etant de meme une fon-
6iion de x ^ y , { &c. & de leurs difterentielles. On aura
done en diffirentiant Z — d (p = o , &c diflferentiant en-
fuite par 5,SZ — Z d (p = o ; ov fbit

I Z = ^l X -h q I d X -4- q" i d'' X -h &c.

-^ rij -+- r'^ dy -i- r"i d^ y -+■ &c.

-^ si I ^ s'l d^ -^. s"'8 d' I ~h &c.

-+- &C. -+- TT S ( (p ) ,

& defignons , pour abreger , cette valeur de S Z par S f^
-+- IT I (ip) , enforte que I F" exprinie tous les termes af-
fectes de I X , I d X &c. , ly , I dy &c. , on aura done.
^K-+- TT I { (p) — I d p= o ; or comme (p) z= f{Z)^
on aura en differentiant d{p) = Z , & differcntiant
enfuite par S , Id ( <p ) = dl {p) = I Z ; on
fubftituera done cette valeur dans 1' Equation prccedente ,
& pour cela on la differentiera apres 1' avoir divifee par

Tt , ce qui donnera d'i {(p) -^ d • ^ — d ■ ~ =:oi

de forte qu'on aura

i8o

HZ) + d^Il) -^(-^) = 0 :;..(/)

ou S ( Z ) fera de cette forme

5 ( Z ) = {<j)^ X -t- i,]')ldx ■+■ {q")t d^ X -4- &c.

-^ {r)ly -^ {r )l dy -^ {r")ld'y -h &c.

-h ( O S { -^ {s )l d I -^ (^s" )l d' I -ir &c.

-+- fi-c.
On traitera maintenant 1' equation (7) comme nous
avons traite 1' equation S <^ = o de FArt. li ; pour cela
on la multipliera par ^, & enfuite on I'integrera par par-
ties , ce qui donnera d' alwrd

i~ -i~-^ninz)-^iv^^td<,-\

= a une conjlante ; or fi on fubftitue pour tV & S ( Z )
leurs valeurs la quantite fous le figne fera fufceptible des
memes reduftions que nous avons faites dans r Art. cite ^

6 le calcul s' achevera de la meme maniere. Nous nous
contenterons de remarquer ici que 1' on trouvera dans le

cas prefent i> = - ^(^), P' = -^ , F'= - 1,

P'" = o fi-c. , de forte que pour la determination de la
variable ^ on aura I'equation d ( — ) = o , laquelle donne

—1=^, &^=sA"+- gfjy h Si g etant deux con-

ftantes arbitraires.

Or il faut que {P") = o , c'eft-a-dire , que la valeur
de P" qui repond au point oil x = /, y =i m &c. foit

c

nulle ( Art. II ) ; done puifque P" i= — , il faudra que

la valeur de ^ foit nulle dans ce casj foit done 11 la va-
leur de /t qui repond au meme endroit , & 1' on aura h
-\- gU z= o;d'ou A = — g-n,donc g=^(/7 — fl),
ou bien , en faifant pour plus de fimplicit^ ^ g = —. i ,

i8i

^ = n — /t ; & de la P' = — I , i"' = ~ ^l^ ;

ayant ainfi trouve la valeur de ^ il n* y aura qu'a la fub-
fUtuer, & Ton trouvera pour le maximum qw le minimum
des formules analogues a celles du n.° IX. du Memoir e ie
1762 deja cite. On obfervera feulement que Ton aura ici
comme dans le cas du probleme precedent / = o , &
par conlequent t f ■=■ o ; enfuite on aura t d f ■==. ^d<p
= 5Z, en rapportant la valeur de 5 Z au point ou x
s= a,y=^b, l=c &c.; mais dans ce point on a auffi
((p) = f( Z) = o, done J ( <p ) = o ; de forte que
la valeur de ^<^/(era egale ace que devient la quantite
^% X -t~ q I d X ■+- q I d^ X -+- &c. -H
rly-^r'ldy-^ r" I d' y H- &c. -+-
si I ~y s'l d I -^ s" I d'- I '^- &c. -^ &c.
lorfque x = a,_y = i,^ = c &c.

Quant aux valeurs de Id'f, I d* f &c. il ne fera pas
neceflaire de les chercher , parcequ'elles n' entreront point
dans r Equation determinee (G).

On voit par ces deux exemples comment il faudra s' y
prendre dans des cas plus compliques , ainli nous n' en
dirons pas davantage ici. Nous nous contenterons feulement
d' obferver en general que la variable indeterminee ^ pour-
ra toujours fe determiner par 1' integration de T equation
P = o , lorfque la fonftion <f) fera donnee par una expref-
(ion formee comme on voudra des variables x , y , :[ &c.
& de leur> diiferentielles , & qui renferme de plus autant de
fignes d' integration qu'on voudra j mais lorfque la fonftion (p
ne lera donnee que par une equation diiTerentielle d' un degre
quelconque , alors 1' indeterminee ^ dependra d' une equa-
tion ditForentielle du meme degre , laquelle pourra n' etre
pas integrable ; mais cela n' apportera aucun obltacle a la
folution du probleme j car des qu'on aura trouve les equa- •
tions du maximum ou du minimum il n' y aura qu'a elimi- 1

ner la quantite ^ par le moyen de I'equatioti differentielle
P = o ;. mats il faudra enfuite avoir egard , dans rintro-
duftion des conftantes arbitraires , aux conditions (/*") = o>
(F") = o &c.

VIII.

Les principaux avantages de ma methode des variations
pour la folution des problemes de maximis & minimis con-
lillent 1° dans la fimplicite & la generalite du calcul ,
comme on peut s' en convaincre aifement , en comparant
cette methode avec celle que M. Euler a donnee dans Ton
excellent ouvrage intitule Methodus inveniendi tineas curvas &c.
& meme avec celle que M. Fontaine vient de donner
dans fon Memoire intitule Addition ^ la methode &c. deja
cite plus haut. i" En ce que ma mediode fournit des equa-
tions determinees qui fervent a refoudre les problemes
d' une maniere plus generale & plus complette qu'on ne
r avoit fait avant moi. Quoique ces equations foient une
fuiie neceflaire & naturelle de mon analife des variations,
& que leur ufage ne foit qu'une application tres-fimple
des principes de la methode generale de maximis & mini-
mis i cependant un illultre Geometre de I' Academic des
Sciences de Paris vient de donner dans le volume deja cite
pour I'annee 1767 un favant Memoire, dans lequel il pa-
roit r^voquer en doute 1' exaftitude de ces memes equa-
tions determinees, & furtout I'application que j'en ai faite
dans la folution du probleme de la plus vite defcente don-
nee dans mon Memoire deja cite du fecond volume de la
Society Royale. Pour eclaircir les difficultes de ce favant
Mathematicien, & faire mieux fentir en meme terns Tufage
de nos formules, nous allons refoudre ici le meme probleme
d'une maniere encore plus genirale , en y ajoutant des nou-
velles conlidirations , qui ne laiflTeront , (i je ne me trom-
pe, plus rien a defirer far ce fujet.

PROBLEM E.

Etant donnees (T efpke & de pojition deux courbes quel-
conques placees dans un mime plan, on demande de trouver
une troijieme ccurbe , fur laquelle un corps pcfant puiJJ'e de-
fcendre de /' une a /' autre des deux courbes donnees , dans
le plus petit terns pojfible.

Prenons une droite horizontale qui foit I'axe des abfcK-
fcs des deux courbes donnees & de la courbe cherchee ,
& une droite verticale qui foit 1' axe commun des ordon-
nees des memes courbes ; foient a , b I' abfcifTe & 1' or-
donnee de la premiere courbe donnee, c'eft-a-dire de celle
d'oii le corps doit partir , Sc I , m I'abfciffe & i'ordonnee
de r autre courbe , a laquelle le corps doit arriver ; enfin
foient Xy y I'abfciiTe & I'ordonnee de la courbe cherchee,
fur laquelle le corps doit fe /nouvoir ; nommant u la vi-
tefTe du corps , & prenant 1' unite pour la force accelera-
trice de la gravitd , on aura , comme 1' on fait ^ u d u =s
dy , & de la w = v^ 2 ( V — ^)» ^^ etant une conftante
arbitrairej pour la determiner fuppofons que dans I'endroit
oil le corps com.meiice a fe mouvoir Cw di\i y ■=■ b (b
etant une des ordonnees de la premiere courbe donnee ) ,
& que la vitefle initiale du corps foit celle qu'il auroit
acquife en tombant iibrement de la hauteur h , il faudra
done qu'en faifant y :^ b on ait u = \^ z h , ce qui don-
nera i h = z (b — k) & de la k =b — h .

Cela pofe on fait que le terns eft exprimc en general par/ — , s

^tant r arc de la courbe ; de forte qu'en comparant cette

formule a celle de r^rt. VI., on aura (p = / — , & Z

= -^, & delk, ^caufe de d s z= \^ (^d x' -^ dy'), Si
u = y/ x{y — k),

184

done q iSi o , q' := —j 1 q" =^ o &C. &

ttds lids *

dM_
udi

r = — — r , r == — - r" = o &c, i de la a caufe de
«' uds

g = 1 , on aura ( An. n )

dx _, dx

<^^-d.~,q^~.q'::r.o&.

uds ^ uds

C.

ce qui donnera 1° T Equation variable , Q^^ x -+- R^ y
r= o } & par confequent Q = o & i? = o , I'une ou
r autre de ces deux equations fervira a determiner la cour-
be de la plus vite defcente j & il ieroic inutile de les em-
ployer toutes deux a la fois , parceque Tune fuit neceflai-
rement de 1' autre a caufe qu' en changeant S en <^ on a
r equation identique Qdx •+• RJy = o {Art. V) . Pre-
nant done 1' equation ^ =^ o qui eft la pus fimple on

3 dx I, V 1, • • . ^•*'

aura — d. —r- = o; dou 1 on tire en integrant -7-
uds ° df

=.fu =/• ^ (^ - ;t) & de la dx = -BL^^y^

pour r equation de la courbe brachyilochrone , ou / eft
une conrtante arbitraire.

1° On aura I'equation conllante A'ta •+■ Bib — Ltl
— M'lm = o ou A\ B' font les valeurs de Q' , R'

c' eft-adire de —7- , — dans le premier point de la courbe,

dans lequel x = a,y = b,&cL\ M' font les valeurs
des memes quantites pour le dernier point de la courbe ,
dans lequel x = I , y ^=z m .

Mais pour donner a cette equation conllante toute I'^teir-
due dont la queftion peut ^tre fufceptible , il faudra avoir

egard

i8y

egard h la Remarque que nous avons faite dans t Art. IK,
& fa'ire varier aufli la conftante k qui entre dans la va-
leur de « , or comme <I> = Z — ^ ;p ( An. VI. ) =.

— - — (^(p , il faudra aiouter a la valeur de ^(I>

le terme T" = —r ^ ^ » ^^"'^ » ^ caufe

de ^ = I , on aura la quantite — S /t / — - a ajouter au

premier membre de I'equation precedente, laquelle devien-
dra par confequent A' I a -i- B' I b — L 1 1 — M' t m

— ikf — = o, r integrale /— 7 etant fuppofee prife

de maniere qu'elle commence au premier point de la courbe,
& qu'elle finiffe au dernier point. Or je remarque d'abord

qu'ayant deja trouve — = /, on aura Q' = /, & par

confequent A' =s L' ^= fj j'obferve enfuite qu'en prenant

r equation iJ =3 o , on a — • d ■ ~ = o , d'oii

1 on tire en integrant/—- H v ou cien / ^- R

= a. une conjiante j or en faifant commencer V integrale
/-^ au premier point de la courbe, on aura dans ce point

/ — j-= o, & R' zs: B' i &■ comrae au dernier point de

la courbe , on a R = M , il eft clair que la valeur

complette de /— i fera = 5' — M . De plus, comme

k = h — A , fi on fuppofe en general que h fbit une fon-
£Uon quelconque donnee de a & ^ telle que Ton ait dh
a= Gda -+- Hdb, on aura t k =i I b — "^k :=zlb —
Mifc. Taur. Tom. IK. a a

i86

Gia — Htb^ de forte que par toutes ces fubftitutioni
r equation precedenre deviendia
[f-{M'-B')G'\ta-*-iM'-{M'-B') H^lh

— f^l — M'l m = o,
laquelle , (a caufe que la premiere courbe dont les ordon*
nees font a & /> eft fuppofee independente de la derniere
dont les ordonnces font I Sc m) peut d'abord fe partager
en ces deux-ci
[f^{M'~B')G}^a-i-{M'-iM' - B')H]ib=:m

/ S / -4- ^' J W2 = o .
Maintenant comme les coordonnees a Sc b appartiennent
a une courbe donnee , on aura par la nature de ces cour-
ses da = edb,&<:dl = ridm, & cliangeant la cara-
fteriftique d en ^ , on aura aufli Sa = el b Sc Z I =
■■vt m ; done fubljitiiant ces valeurs dans les equations pre-
cedentes on aura "
[/_ (^M' — B')G'\e -+- M' — {^'— B')H = o

fn-+-M'=o

ou bien en reraettant pour e ol t] leurs valeurs -jr- , -^ ,

on aura
lf-(M'-B')G]da-i-lM''-(,M'-'B')H'\db:^ •

fdl -h M' d m = o .
Maintenant fi on fuppofe que la hauteur k qui repond k
la viteffe initiale foit egale a b , enforte que le corps
commence a fe mouvoir fur la brachyltochrone avec la
meme viteffe qu'il auroit acquife en defcendant depuis
r axe des abfcilTes , on aura G=oScH=i, & les
deux equations precedentes deviendront

fda-+-B'db= o , fdl -h M' dm =: o;

mais / = -^ , B = -J aa premier point de la cour-
be , & iVf' = — au dernier point de la courbe ; don«

'8r

on aura pour le premier point de la courbc d x d a -+-
dydb = o, ou bien — = — -j- , & pour le dernier

point de la courbe dxdl -+• djdm = o , ou bien — ■

= — — , ce qui fait voir que la courbe de la plus

vite defcente doit couper a angles droits les deux courbes

donnees , & cela s'accorde avec ce que nous avons trouve

dans L' Art. If^. du Mcmoire deja cire du I'econd volume.

Mais (i on veut que la viteiTe initiale foit nulla , alors

on aura A = o, & par confjquent G = o, & i/=o,

ce qui donnera les deux equations

fda -h M' db == o, fdl -4- M'dm = o,

la feconde de ces equations etant la meme que dans 'e

cas precedent , i! en refulte que la brachyllochrone doic

aufli couper ia feconde courbe a angles droits, mais quant

a la premiere courbe l' equation /i a •+■ M' d b = o ,

J da M' dl , . , d*

donnera -77- = ~ = -r-j de forte quon aura — -r

db J dm '■ dk

= ~- i ce qui fait voir que la tangente menee a la

premiere courbe par le point ou commence la brachyfto-
chrone doit etre parallele a la tangente menee a la fecon-
de courbe par le point ou la brachyrtochrone fe terminej
& c' ell ce qui s' accorde parfaitement avec le refultat de
la folution donr^ee par M. le Chevalier de Borda dans foi
Memoire imprime dans le volume de CAcademie des Scien-
ces de Paris pour 1' annee 1767.

A Berlin ce li Mai 1770.

*R E C H E R C H E S

Sur le mouvement d'un corps qui ejl attire
vers deux centres fixes.

PREMIER ME MOIRE

Ok r on fuppofe que tattracllon ejl en raifon inverfe
des Carres des dijlances.

Par M. de la GRANGE.

X-'e Probleme que je rae propofe de refoudre dans ce
Memoire T a deja ete par M. Euler , dans les Memoires
de TAcademie de Berlin pour l' annee 1760, & dans le
Tome Xdes nouveaux Commentaires de Petersbourg qui
vient de paroitre, mais pour le cas feulement oil le corps
fe meut dans un plan paffant par les deux centres des
Idrus. La folution que j'en vais donner ici eft generale
quelle que foit la courbe decrite par le corps , ^ la me-
thode fur laquelle elle eft fondee a 1' avantage de con-
duire direflement a des equations 011 les indeterminees
feront feparees d' elles memes ; fans qu' on ait befoin
pour cela des transformations , & des fubftitutions epi-
neufes que M. Euler a employees.

Comme le Probleme dont il s' agit a un rapport im-
mediat avec celui des trois corps, il ne feroit pas im-
pofiible que la methode de ce Memoire ne fut de quel-
que utilite pour la folution de ce famcux Probleme qui
fait depuis fi long-tems 1' objet des travaux des plus grands
Geometres. Cette confideration eft meme le principal mo-
tif qui me determine a publier ces recherches j je fou-

I $9

halte qu' elles puiflent mdriter au molns par Ik quelque
attention de la part de Savans.

I.

Ayant pris trois axes fixes quelconques , & perpendi-
culaires entr' eux , foient x , y , { les coordonnees reftaa«
gles de la courbe decrite par le corps & rapportee a ces axes :
& foient de meme a , b , c , les coordonnees qui deter-
minent la pofition de I'un des centres des forces par rap-
port aux memes axes , & ce , |8 , >' les coordonnees pour
i'autre centre; il eft clair que fi j'appelle u, & v les di-
ftances du corps k ces deux centres on aura
u = v' [(x - ay -i- (y - by ^ (:i - c )* ]
V = V \_(x ^y -^ (y - ay -h i:r^ yy]
deforte qu'en exprimant par j4 Sc B leurs forces attrafti-

ves k une diftance egale a 1' unite, on aura — • , & - — .

pour les forces qui agiflfent fur le corps , fuivant les rayons
vefteurs « & v ,

Ces forces etant decompofees chacune en trois autres
fuivant les direftions des coordonnees x , ^ , { ; on trou-

vera que la force totale fuivant x eft egale a — - ~ —
H r » <I"s ^3 force fuivant j^ eft egale a — — T— i

-*- — , & que la force fuivant ^ eft egale a — ^^~l2

B(2 - y) ^
"• ; . Done nommant t le tems dcoule depuis le

commencement du mouvement , & prenant d t pour con-
ftant , on aura ces trois equations

ICC

»

d'x

A{s-

■^^

p

(.V-

.)

->

dt-

-T-

«'

-{-

V'

—

o

d'y

A{<f-

b)

B

(V-

ts)

dt-

-+-

«'

-+-

V'

-^

o

1
1

d'z

A{z-

■ c^

B

(z-

y)

dt'

-+-

u'

-+-

V'

—

o

><i^)

lelquelles renferment la folution du Probl^me.

I I.

Si on muitiplie la premiere de ces equations par ' i ^x ,
la leconde par i ^ , la troilieme par i J^ , dc qu'apres
las avoir ajoutees enfemble on en prenne 1' integrale on
aura , en ajoutant la conftante 4 c ,
dx' ■*■ dy' ■^- dz^ 1. J 2 B , ^ x

— — = 4C . . . (if;

dt^ u V

equation qui renferme , comme on le voit , le principe
de la conlervation des forces vives.

Si on muitiplie de plus les memes equations par * — a,
y~b, { - c, & qu'on les ajoute enfemble on aura
{x~ a) d'x -^ ( >" - ^ ) '^y ■*■ ( •2 - <^ ) d'z

A B [ (ix~a) ix-^) H- iy -h) [y^ii^ -^ (r-c) (z^y) ] _

H h ; : — Or

» d'

Or ^ (x — a) ( x — a.) = ( x — aY -i-

. ( X - oc )- — ( a - ec )% & de ineme

{{- cY -4- ii — yY — {c- yY-, ^o"'^ ^ o" denote
par / la diftance entre les deux centres , enforte que I'on ait
/= v^[(a-«)' -+- (^-18)'-+- {c-y )',] on aura

{x-a) d'x ■<• {y- l>) dy -*- ( z~c) d'x
7?

A B (a' -<- V — D
-H H ; = 0 .

'5'

Done ajoutant cette equation, k I' equation (B), on
aura , a caufe de u'^ = ( a; — a )* -+- ( j — ^ )= -H ( { — c )%

— — — _ I — _j_ . — I = j^ e ... (C)

& 1' on trouvera de la meme manierc

y, — I >- r- ) = 4 c . . • iD)

deux equations par lelijuelles on connoitra les valeurs de
K & y Qi\ t .

III.

Je remarque maintenant que fi on multiplie Tequatioa
(C) par d . v% &: 1' equation ( Z> ) par af . w' & qu'
enfuite on les ajoute enl'emble on a une equation inie-
grable laquelle elt

— A { 3 Jm M

(p-v') rt'wX o / , d- u^

deforte qu'on aura en integrant, & en ajoutant une COH-
(lance arbitraire i Z),

1 ///

M } V -t j = 4 c ( /i* -+• V* )

•+-1/^ (^)-

De plus fi on multiplie les memes equations ( C) & (Z?)
par V' d . u- , & u'd.v^ favoir la premiere par v'd.u',
& la fcconde par u^ d .v^ , & qu'on les ajoute en/emble
on aura

i9t

W d. h' X d\ «' + w* //. V* X </'. f'

—'All V du -4- — K a . u* -4- -^^ J

V i lu J

— 5 ( 1 i^'iv + - V </ . K^ -^ ^-^ )

= 4,C d. (u' v^)

Cette Equation etant multipliee par i & enfuite ajoutee
a r equation ( £ ) multipliee par d. u'- -i- d . v* on aura

J, ^ _._ J

>— A {hu'-du -^ bd.Cav') - ifyu)

— B Ibv'dv -H W. (vu') - 2/Vv)
= z C (c/. ( i^* -+- v' y -H 4 ^. ("'i^' ) )

■+- 1 D d . ( K* -+- V* ) = O

dont r integrale eft evidemment

i;^ {d.u^ y -i- u' (d.v^y
_—

1 A (u^ -*• luv' — f' u)

— 1 j? ( v' -^- ^ V u- — f^ v)

= iC (u^ -^ v'' -^ bu'v')

-i- 1 D (u'- -^ V-) -h 1 E . : . ' {F)

E etant une conftante indeterminee.

Or, fi a ceite equation on ajoute I'equatioii (£) mul-
tipliee par 2 K V , ou qu' on T en retrsnche on aura ce?
deux-ci

{vd.ti' -t. ud.v'y
Td?

— z(A ~t- B) [(k-4-v)'— /^(m + v)]

= 2.C(u-+-v)*-t-iZ>(«-+-v)*-t-i£

&

(vd.u^ - a d.v^y

193
s= iC (u-v)* -+- iZ?(«- uY -+- i£

d' oil en tailiiiit pour plus dii (implicite

u -t- V = p

u — V = q

A - B=zN
^ on tire

\'-^^ = ^ (Cp*-*- Mp' -+- Dp^ -4- Af/'/j -+-£)

(G)... < &

& par confequent
(^) =r== =

enfuJte on aura a caufe de « v = ,

4

Jr =

V G/ ■+- /^Jry' -t- D,y' — A/ \y * E
4 '

c* eft-a-dire en mettant pour

(a valeur en g

rd^

V {^Cq* -H ^q• -. D,/" — Npq ^ E )*

i/t =

4 V ;^ Cy -+- Alp' -r- D/^* — M/ '/>-»-£)

4 V (^ C j" -^ N</' -+- Dip — A/ ' / E )
Mifc. Taur. Tom. IK. b b

194

Ainfi on a denx Equations dans lesqueMes les inddter-

minees font feparees , & qui ferviront a determiner p en ^,

& f en p &: q J c'ell-a-dire u en v , & f en « & v.

I V.

Les equations (H) & (/) que nous venons de trou-
ver out egalement lieu foit que le corps fe meuve dans
un plan fixe palTant par les deux centres des forces ,
comme M. Euler le fuppofe dans fa folution , foit qu' il
decrive une courbe quelconque k double coarbarc} mais
dans ce dernier cas , il ne fuffit pas de connoitre a cha-
que inftant les diltances du corps aux deux centres ; il
faut de plus connoitre 1' angle que le corps decrit autour
de la ligne qui joint ces m^mes centres.

Or ft on imagine que A Ql B {fig.. I.) ioient les
deux centres des forces , & que C foit le lieu du corps
enforte que Ton a\t A B = f, A C = u\ Sc B C = vi
& qu'ayant mene la perpendiculaire CZ? , on nomme CZ?,
r , AD, s , & I'angle que le corps C parcourt autoar
de A B , (p , il elt clair qu'on aura pour le petit arc
que le corps decrit dans le terns dt V dr^ ■*- d/' ■+■ rV«>*;
deforte qu'on aura </, ' -H ds' -h r*d<p'- =■ dx^ -+- dy"-
•+■ fl'{* ; & par confequent r''d<p'- = dx'- -+- dy' ■+■ df-
__ dr^ — df^.

Or en conlid^rant le triangle ABC, il eft facile de

trouver que .j= ~-^ , & r = —^ —^ --^

zf zf

d'oii

dr= '

ds = j~ , &

2 /■' udu - ( tt' - t;» + f'') { ndu - vdv )

Done t/j' -4- dr = ~ — -

'9J

"^ /' (4/V - («' - v^ ^ PY)

= ( en reduifant au meme denominateur, & efFagant ce

qui fe d^truit.)

v" {ii .u'y •*■ u' {d.v''Y - ( «• H- v" - p) d. u- d . v'

47"-«' - C ?<' - t-' -» Z'' )'
Done fubftituant ces valeurs dans 1' ifquation pr^cedenre,
& multipliant par 4/'^' - (u^ — y'- -i- f^ y on aura
( 4 r'«' - ( «■ - ^;' -t- /•' )' )' ^^»' _

4/' ~

[4/V — («^ — V' -+- /=)^] (ix» -4- dy^df)-^

v' { J . u' y — u' (d . v' y -h (u' •+■ v' — /* ) c^ . zi* c^ . v^ .

Qi'on mette ?u lieu de dx^ ■+■ dj^ -1- t/^* , de d . u*
d . v'^ , & de v' (d.v'-y -t- w* ( (/ . v* )* leurs valeurs
tiroes des Equations (i/), (£) & C-^)> ^ ^'oa aura
en divifant par ^x^
( 4/ '«•-(«'- t;' -t- /• y ) ,a^^»

4/"*4f/*

— 4 y^ ( w' -+- 3 uv- - /'« ) - 4 ^ ( v' -+- 3 v;^* -/V )

— 4 C ( «* ■+- V* -+- 6 ii^v= ) - 4 Z? ( z^' -+- V* )

— 4 £ -+- 1 ( aV -H v^ - /' ) [ ^ (3 « -+. ^1^' \

-f- i? (3 V -^- ~~ )-f-4C(w'-t-v^)-f-2Z>]

K= ( cn reduifant & 6tant ce qui fe detruit ) — 4(.Cf*
^ Df- -^ E).

Done fi on fiiit pour abreger

K* =^ — CJ^ — z)y^ — £

on aura en extrayant la racine quarree , & multipliant

1/

par ■ .

*^ 4pu'-(^a'-v' -h py*

dp ^ AfK _

«/ 47 *«'-(,«* -1;' -+-/■•)* ' ' ' " " " ^ '

19^
Suppofons maintenant comme nous avons fait ci-deffus

«-4- v=p, u -v= q , c'eft-a-dire « = ^ , &

V = — -■> & nous aurons

d^ AfK

AfK

"■ (/>*-/') if - rr

Mais on a par 1' art. in.
j^dt dp

f - f • ( C/>* -H Mp' -+- D/>' - Af/'/- -+• E)

f^ •

~ V ( C ^-^ -^ N ^' + D <?• - jN//"f -t- E )
done on aura enfiii

, _ f^l ^

•P {p'' - p) V I^C p* -*- Mp' ■*■ dp^- Mpp-*-E)

IM. r I )

ce qui donnera (p en p , & q , c'eft-a dire en u & v .

Ainfi la folution du Probleme ell reduite maintenant a
1' integration de trois equations differentielles dans iesquel-
les les indetermidees font toutes feparees.

Au refte 1' equation (K) donne ~ = — -77-, ou bien

dt = } ce qui montre que le corps decrir au-

tour de la ligne B A , c' eft-a-dire dans un plan perpen-
dicMlaire a cette ligne des aires propornonelles au .terns.

»97
V.

A r egard des conftantes C , D ^ £ , elles font entie-

rement arbitraires , & ne dependent que de 1' etat initial

du corps. Pour les determiner fuppofons que quand

du du „

f = o on ait w = ^ , V = /i , -J- = m , — ;- = n , oc

— = f , & Jes equations ( 5 ) , ( £ ) &

a/
(F) donneront

^A' (m' H- n^) _ ^ (^» -h 3^A^ —/'§•)

— B {h^ -^ j/ig^ -yvo =

C (^^ -f- A* H- 6^^AO -+- -O (5* -i- A") -H £}

d' oil r on tire

C= - — — — ~

E = g'A- ( m' -4- /j^ ) — g^A ( g^ -4- AO /;?«

& comme iC^ = — Cf* - D f' - E on aura
^' ='^ [4/-^*- is' -A^ -+-/^r]

»9§

Si au lieu de la vitefTe i oa veur intro^uire la viteflfe
que le corps a pour tourner autour de la ligne des centres ,
on nommera cetre viteffe / , & i' ^^uadon {,K) donnera

d'ou r on aura

done

4/"
4g'/>^ (w' -V aM - 4g(' jg' -*• />' - P'i mn

ainfi ii n' y aura qu' a fubiHtuer cette valeur dans celles
des quantites C, Z? , £, que nous avons trouveas plus
haur.

V I.

La folution du Probleme efl: done reJuite a 1' integra-
tion des trois ecjuations {H) (/) & {L). Or comnie
les indeterminses font I'eparees dans ces equations , il eft
clair qu' il n' y aura qu' a integrer chaque membre comme
une ditferentielle particuliere qui ne contieiu qu'une va-
riable j mais en examinant ces diflfereniielles on reconnoi-
tra bientdt , qu' elles dependent en general de la rectifi-
cation des fe6tions coniques & peut-etre aulli de la qua-
drature de quelque courbe du troilieme ordre j deiorte
qu' il eft impoifible d' arriver par ce moyen a des equa-
tions integrales & finies. Cependant ii on fuppofe B , ou
>4 = o , ce qui rend iV = -+- M , li ell certain que
le Probleme ne dcpendra que de la quadrature du cercle,
ou de 1' hyperbole ; car alors on aura le cas d' un corps
qui le meuc en vertu d' une leule force, tendajice vers un
centre.

{M)

(N)

199

Comme le ddveloppement de ce cas renferme des dif-
cufljons delicates dont I'analyfe pourra tirer quelque fruit ,
je crois devoir i' examiner un peu en det^iL

V 1 I.

Suppofons d'abord B = o Sc \es equations du Probi6-
me deviendront , en meitant A k hi place de A/& de iV",
t

^ ^i .

V {Cf ■*■ Aq' -*- Df -Apq-*- E) *

it = t±

4V {Cp* -*■ Ap' -^- Dp^ - App -H E)

• £^

4 V {Cq* •*■ Aq' -^ Df - Apq h- £ )

, ^ fZJp

(/'*-/')*'( Cp* -f Ap' ■*- Dp^ - App -^ E)

£Ej!i ( 0 )

(?' -/*) ^ i^'l' ^ Aq' + Dq'-A pq->-Ey '

Or fi on reprend 1' equation (C) de I'Art. 11. & qu'on
y fuppofe ^ = o on aura

!<//*« ^ '

laquelle ^tant multipliee par J . u^ 6c enfuite integree ,
donne en ajoutant la conftante H

(^) _ _ ifjJl' — 2^« = 4C«» "H H

d' oh r on tire

Or i^- = ^ = li±. J^) done met.

100

tant au lieu de'-r- & ~- leurs valeurs tirees des equa-

dt at

/•I P "*" f P ~ 1
tions (G) on aura , a caufe de a = v =

& de M = iV = ^,

= v^ iCp* -f Jp' -+- z>/j^ - Afy -H- £)

-»- v^ (Cj+ -+- ^5' -+- £)^* - ^/^^ H- £).
C e(t I'integrale de 1' equation (Af), dans laquelle H^
eft une nouvelle conibinte.

De plus r equatio'i ( /* ) donnera

'^^ = V {H * i^«+ 4 '■•«•) * . • ' ^^^

de forte qu'on aura t en u par les Togarithmes ou par les
arcs circulaires j & cette valeur de t donnera , ( en metr

taut ^-^^ a la place de u ) T integrale du feccnd mem-

bre de 1' equation {N) .

VIII.

Pour trouver maintenant V integrale de requation ( 0 )
je rep rends l' equation {K) &i. faifant

— ~^T~ = '

Or en retfanchant I' equation (O) de 1' equation (C)
& mettant i fs au lieu de u' — v* -f- y * on a , a caafe

de ^ == o , ^ * -^ = o

Soit J = «{ , & I'on aura

_ -*- = o •

^9f
Mais 1 equation (/') donne — -r- =^€■4'—^

& r equation (Q) donne — — — = H -h x Au~\- /^C u^ ,

deforce qu' on aura -7- = — — - — — ; done fubfti-

tuant cette valeur dans 1' equation precedeiite elle devien-
, ... 1 dzdn -H ud'z Hz , ,,

dra cellc-ci --; — —j- = o Jaquelle etain

multipliee par z k'<^{ & enfuite integree donne

u*<iz' r J' > p . /a'/ Jz

(T) /Tf* =L d ou 1 on tire - = -— — : — — — ;

^ ^ dt' ^ «• \/ (Lh- Hz*)

mais a caufe de j = wr , on a </© = - — ; ;

J . Kdz

dont on aura dm = — ; r— t-tt r-. •

Pour mettre cette equation fous une forme plus fimpte

je fais { =r ce qui roe donne £//=, — ■ — TT-rt

^ I -f.r* ' ^ ^ ' (V' I H- r')

& par confequent

''^ = /vT^-^rcTTHP ' : ; . Ct^)

d' oil il eft aife de trouver la valeur de ^ en r ; apres
quoi il n' y aura plus qu' a fubftituer pour r (k valeur

«' - t/* -f. /"'

tir^e de I' Equation — — = s

■>-f

r = —-. — 7~-—r-7^—^ TTTr: > & faifant enfuite

u

— /'■*•'? „ _ z' - ?

V = — , ce qui donnera

1

Afi/c. Tottr, Tom, IV, c c

lot

r = v/ [ (/-'-V^) U'-Dl ' °" """^'^ ^' int^grale Cher-
cliee de T equation ( 0 ) .

IX.

Nous avons vu que la conftante H eft entlerement ar-
bitraire j mais il n' en ell pas de meme de la conltante
Z; en efFet fi on reprend I' equation (T), & qu' on y
fubftitue pour u & pour j leurs valeurs en /» , & y , les-

quelles font u = , r = -ttt^ =^— :- on aura en

multipliant par i6/*

C eft^-dire

Mais 1 dpdq = {dp -^ dqY — <//>* - Jj* = 4 </ii* -
<^* — dq^ i done on aura
(/>' - y') ( (/>'-/••) Jf - (?• -D ^/^M

^ 4 (/'• -D if -f) ^^
■*" ^^7^

ilH_(^-_ri*= .6rz

c t n- 1-1 '''^ ^"5*' '^'7'

Subftituons maintenant au lieu de -y- , -— , -— • leurs va-

dt* ' di' ' tit*

leurs refultantes des equations (Q) & ((?) c' eft- a- dire

~. s=3 ; , ou men a caufe de « s=

dt^ — (/ - fY

df_ ^ ,6 ( Cf ^ Aq' f u?'- ^A; -*• ^) g^ „oy5

aurons 1' equation -^— — ^ C (P^ ~/* ) C^?"* "*" -^?' "•" -^J* —
Apq -h E) — (f -/') iCp^ -4- ^p' -+- Z?/'^ —
Af'p-^E)}+ i6 (f'-f) (?^-/^) ((TT^Ty

laquelle fe reduit , en effa^ant ce qui fe detruit , a celle-ci
C/* -4- Z>/^ -t- £ — /^ // = /» X ;

Or nous avons fuppofe plus haut (Art. /^. ) X» =
— C/* - £> p - E i done on aura - K' - p H =

J* L oc par confequent Z = — -p.- •

Cette valeur de L itant fubftituee dans I'equation (^)

on aura Jf ^ , j^, _ ^[ j^ _ j^.^.., ou bien en divifant

le haut , & le bas de la fraftion par K

plus de fimplicite

cc 1

•£04 •

que F OQ ait r .== ^ v i ^ ^ -. ~ j , on aura

d (p = .—rr- — -. — ^— , & par confequer,t (p == arc. fin. f •+-G
Q etant uiie coultante ariitraite.

X.

On auroit pu aufli tirer 1' intdgrale de l' equation ( M)
de r equation (T)} car en extrayant la racine quarree

on aura %^ == v^ {L -^ Hf ) ; mais { = ^. "^ \ &

done fubftituant cette valeur & mettant enfuite a la place
des quantites -r- t ^ ~J- '^^rs valeurs tirees des equa-
tions (G) on aura

-+- i6 (f -/^) v^ (C>^ ^ Jp' -+- Dp^-Aj'p-^E)

= (p^ _ ^^) v^ (z ^ W^O °" ^'°" ^' ^""'
viendra que L =^ C f* -^ D f' -+■ £ — /' ^•

Si I'on compare cette equation a I'equation {S) trou-
vee ci-deffus on yerra qu'ellcs s'.accordent partaiteijient ,
ce qui peut i'ervir a confirmer la bonte de nos calculs.

X I.

Suppofant toujours B = o enforte que Torbite du corps
foit ( comme 1' on fait ) une feftion conique dont 1' un
des foyers tombe dans le centre A, on pourra placer
r autre centre B partout ou Ton voudra. Prenons ce ceni-
tre dans le point d' oii Ton fuppofe que le corps eft parti,

10^

& Ton aura dans les formules de V Jrt. V. S s= o^ h
js= o , & ^ = /» & par conr^c(ueQ.t

f = i" - 4

4 i

ou bien a caufe de i* = 4,C -+- —tt

J) ,= — zCf^ — ^f
M = Cf* -^ Af*

Done on aura en fubftituant
Cf* -{- Ap' -^ Dp' — ^/*/J -+- £ =
Cp* ^ Af — -L CfY — Afp' — Af'p ^ Cf* -^ Af*
= Cip' - py -^ A {p' -/') {p - f)

^ (i> -/)* [ cip-^fy -^ A ij,^f)-\

& de metne

Cf-^Af-+-Df — Afq-4-E =

kq-fy V C {q ^ fy -^ A {q -^ f) ^

Delorte que les equations (Af) ,&( iV") de Y Art. VII.
^eviendront

d^ ^

{p-nvi:{p^fr^A^p^f) ~iq-n^€{q^fr-*.A{q^f)

A{p-n^c^^fy^A{p^f) " 4(?-/)v ci^q^rr^Aiq^n

multiplions la premiere par - — & ajoutons-la k la

4
feconde on aura

A(.p-f) ^ c {p -^ fy + A ip-^f)

(f - P) dq

4 (J -/) /c(? -^ fy -^ A iq-^f)

io6
c'eft4-dire

(P +/) Jp

dt = — =zirz:.i= ==:

aV C {p ■+■ jY -+■ A ip-^f)

iq -^ f) dp

"~ 4 y/ C {q -^ fy -*- A {q -^ f)

done fi on fait pour plus de fimplicite
p -^ f u ■*- V -*• f

p -*- f u - V -*- f

1 1

on aura

rdr ids

dt =

V^Cr'^-i-zAr V^^Cs^-i-xAs
Or lorfque r = o on a ( hyp. ) v = o done r = j j
ainfi il ne faudra point de conltante dans 1' integration ,

pourvu que les integrates des deux formules p . ■ j

& ,- ^ . foient prifes de la meme maniere.

V ^C s'-*- r As ^

Cette expreffion du terns t eft remarquable en ce qu'

elle ne contient qu'une feule conftante C dependante de

la nature de la feftion conique } au lieu que les expret

(ions ordinaires en coniiennent neceffairement deux. Pour

voir ce que c' eft que cette conftante C il n' y a qu' a

confiderer 1' equation ( T ) de CArt. VII. dans laquelle ,

u etant le rayon vefteur, ii eft clair que les apfides de 1' or-

bite feront aux points oii -j- = o c'eft-a-dire on H •+■

X A u -+- ^C u* = o ; d' oil il s' enfuit que fi on nom-
ine u y & u' les valeurs de u tirees de cette Equation on
aura «' -+- «" pour le grand axe , & u — u" pour I'-ex-

107
centrlcit^ j mais fans refoudre I' Equation on fait que —

—pi = u' -+- u" y done fi on nomme a le grand axe de

I'orbiie on aura = a, & par confequent C =

— — , deforte que 1' on aura

it y/Tl = -J±^ - _i^

a a

Done fi ^ C eft une portion quelconque de la fe£lion
conique decrit« par le corps auiour du foyer A , le terns
employe a parcourir I'arc B C fera donne par la fomme
des deux rayons vefteurs A B Sc AC, par la corde B C
& par le grand axe de la feftion ; car faiiam A B =/,
AC s= u^ on aura B C =s v, done

_ jiB •*■ AC -*■ BC

AB ■*■ AC - BC

& le ttms cherche fera exprimd par
frJr_ fsds

V~r - r* yTs - J*

xy/ A

Au refte ce theoreme a d^ja et^ d^montre fintetique-
ment par M. Lambert dans Ton traite fur les orbites des
cometes.

"K 'I 1.

Comme la difficulc<i de T integration des equations (i^^ ,
( /) & (Z) qui renferraent la ibiution du probleme ge-
neral ne vieiit que des radicaux y/{Cp'* -+- M p^ -+• D p''
— Mfp -i-E)tk\/ iCq*-h Nq' -^Df~ Nf'q -+- £ )t
fuppolbns que les conftantes C , D , &c E ddpendantes de
r impulfioii primitive du corps Ibienc telles que les quaii-
tites Cp* -h Mp' -h Dp^ — M^f'p -h E &c Cq* -h
N q^ -+■ D q^ — ^P^ "*" -^ contiennent chacune ua
fafteur quarre ; & il eft clair que les radicaux dont il s'agit
le r^duiront a cette forme
if-*) y/ {Cp^ -h &p -i- y) &!.
(q-K) y^ iCq'^ -h HP -+- y)

deibrte que les equations du Probleme ne dependront plus
que de la quadrature du cercle , ou de 1' hyperbole.

Pour cela je fais f — « = x , & je fubltitue dans la
quantite C p* -4- M p^ -¥• D p^ — ^Pp -i- E x -+- a
au lieu de p , j'ai en ordonnant les termes par rapport a x
Cx* -i- {4C* -+- M) x> ■+■ (6W-¥- 3 M«-hZ))x'
-+- (4C*' -+- 3 Ma.' -+- iZ?«e — M/*) X -+- C**
-+- Af «' ■+• D «.' — Mp OS, ■+- E .

Or afin que cette quantite contiemie le fafteur x'' il
faut neceffairement que les deux derniers termes evanouif-
fent i ainfi on aura les deux equations
fl^\ r C«* H- Met' -+- Z) ec' - Mf' A -H £ = o

^'^ ^ " • \4<:*' -+- 3M*' -+- 2Z>cc - Mp = o

par le moyen defquelles on determinera tant la quantite
« , que la relation qui doit avoir lieu entre les conftantes
€, D, E.

De cette maniere la quantite dont il s'agit deviendra
X' (Cx' -f- ( 4C* -H M) X ■+- 6Ca=-+- 3 M<t-t-Z)),
ou bien en remettant pour x,p-et(p-Ay (Cp"- -*-
(iCoc-i-M)p-h3C(4*-+-aMct -H D) ; deforte
qu' on aura /3 =

IOC)

Oa rrouvcra de la mdme maniere les deux equations en \
CM -+- NX' -^ D\' - Nf'X -i- E = o\ ,^.
4 X^ H- 3 NX' -+■ zDx - Np = o f- ' ''^^■'

& enfuiie
fi=iCX-i-N,8if=jCX'-h %NX -¥• D.

XIII.

En faifant /? - « = a» , Sf fuppofant que les deux equa-
tions ( V ) aient lieu en mSme terns- on aura

it ,

V {C p* -*- Mp' -*■ Dp^ - Mpp ■*• E)

_^x

~ *-v^CCAr'-+- {ji^Cc,-*- M) X ^ 6 C«'^. 3Ai«+ D)
fuppofons » infiniment petit & le fecond nombre de cette

equation devlendra — . , . ^ j-^ -ftt dont 1' in-

I X

teerale eft , ,' „ ■ -ri kt /^i X^rant une con-

° y/ {6C » -t. -i Ma -hD ) X

ftante indeterminee.

Or fi on fait ( ce qui eft permis ) j^= o , & qu'on

fuppofe aufli X = o , la quantite — devieadra — c' eft-a-

Are indeterminee } d'oii il s'enfuit qu'en faifant p ■= «.

la valeur de/ . , „ t^z --pr— — -rrn ft reftera

indeterminee, & qu' ainfi 1' Equation (//) aura toujours
heu quelle que foit d' ailleurs la valeur de q ,

Done lorfque les conftantes C , D , E font telles que
les deux Equations (^) aient lieu en meme terns, on
pourra fuppofer ;> = <t , & les deux autres equations du
probl^me feront

MtfcTauuTom. IF. dd

dt —

( «' - f^) ^^

4 V

CCj'*

N </■ -K D 7* -

) dq

-*-

£)

(r-

«*) (?'-

-/'•)^(C^V^N(?' *

Dy»

-w/V-*-

E)

Or puifque p = u -+- v , il eft vifible que la courbe
decri:e par le corps fera une ellipfe /nobile autour de
fon grand axe , & dont les foyers tomberont dans l^s
deux centres des forces.

On prouvera de la m6me maniere que fi les equa-
tions ( W.) oru lieu , & qu'on fefle ^ = X 1' equation
H aura lieu quelle que foit la v.aleur de /) , & .que ks
deux autres equations du problerae deviendront

. (r -A') dp

4 V ( Cp* ■+- Mp' ■*-Dp'' - Mpp -+- E )

. fj<if'-yndp

*""(/'- X* ) ( p' -r ) ^ ( Cy H- M;>' -♦- Dp^ - Mpp + E ) '
Et comme ^ = « — v on voit que la courbe ne fera
autre chofe qu'une hyperbole mobile autour de fbn axe,
& ayant fes deux foyers dans les centres memes d^s
forces,

X I V.

Si I'un des centres 6ts force* s' elolgnoit a I' infini ,
slors la force tendente a ce centre infiniment diftant de-
viendroit uniforme , & agiroit fuivant des lignejs parallel-
les} ainfi Too auroit le cas d'un corps attir^ vers un cen-
tre fixe par une force reciproquement proportjonelle aux
quarres des diftances , & pouffe en meme terns par une
force de valeur & de direftion cpnftantes.

Pour appliquer nos formules a ce cas il eil vifible qu'il
n'y a qu' a faire / = o© ; & enfuite v = oo fi c'eft
le centre B qui s' eloigne a 1' infini , ou bien u s= o»
fi c' etoit le centre A qui fut infiniment diftant.

5oit done y* = 00 Sf v =^ 00 , &: foit ^- la differ
rence de ces deux quantites enforte que v = / — ^5
il' ert clair qu'eii fuppofant q»e vi {pg. j. )■ foit 1(* cen-
fre- des forces >^, AB la Mgnr fiiivanc Jaquelle agiffentf
les forces conftantes , & para4elles ^, C le Ueu du corps-
dans im inftant quelconque , Sc C JSf uhe perpendiculaire
abaiflee du point C fur la ligne ^ J? , on aura ^ t = m,
& /4 D = { » defofte que ie? equations en k & v devront
ie changer en d' autres equations en m & ^ 1

Soit j4 =^ ^'t•g^ & B =^-2 ]8 A* eriforte que 1 « , & 2 /?
folent les forces qui agiffent fur lecotps au commence-
ment de fon mcnivement , la premiere de ces forces dtant
dirigde vers Ie centre y^', £<: la feconde parallellement a
la ligne A B ; les conftantes C; D^ , 8c E d^terminees'
dans PArt. V. deviendront

4

^ Hh (h^ - f - p)

E = g^h'' (m' -h 7z' ) — g' A ( g' -4- A* ) rtin'

4

Or puifque A eft la valeur de v au premfer inftafif , ft
on fuppofe que Z foit alors la valeur de { , on aura h
s= f —' Z f & les expreflions precedentes dev'iendrent en
ordonnant les ternies par rapport a /,
C==y -*- y'f

B = s-*. I' f -+. r f'

oil r on aura

ddi

1 1.1

^ == — g ^mn —

(g* ■*■ Z*)'?

-4- ^^ ( m^ -+- «0 Z\

e'- = i^Z (g^ — Z») - gmn {g-- -4- 3 Z^ )

— z ^M '"' -H «* ) Z .

/' r=^«(^. -+-„') ^ igmnZ - -^"(5'' - 3 Z»)

-4- («5-H- /3Z) (^^' — Z^).

— ^/;2/i — Z (i' — X4^g) r^.0 (g^ — -iZ').

^ — *g ^ } /3Z.

4

* De plus fi on fair

JVf == lit -+- ix'f ■+• fi' f'

A' = y -h // -H vY'

on aura ^

^ = 1 «e g* -+- 2 jS Z'

/«' =» — 4 13 Z

ft" = 1/3

v' = 4 ^ Z
v" = — 1 i8

-"'

.^v

Maintenant puifque p =z u -+-.«;& y aec -« -r. v ^tm
aura /j- = /h-«— ^,&^ = ---/-+-w-f- ^; fbit
done u-f-^ = Q, &« — ^ z= P enfoite que /> es:
f -i" P 8>c q = — f~^Q.} on aura apres routes les fub-
ftitutions C/j* -»- M p' -i- D p'^ — Mf'-p •+• E 7= f^
iy' -t- e'') -h f* {y -^ I' ^ f^^-H( 4 J'' •*-»](*">/')

/

IIJ

-H /' [ V -I- f'" -^ ( 4 y + 2 fi' -+- 1 S" ) P -+- ( 6 /
M- J ^" ) Z'' ] H- /* [ S H- e" -4- 2 ( iU -t- S' ) /> -+.
(6y -+- 3^' -f. r) P' -4- (4/ -+- I"' ) P'^-^f{B
-+■ zl P -^ ( 3 ^ -4- 5' ) P* -+- ( 4 T' -+- iw' ) P' -+- /
P* ) ■+■ e -h i P' -^ fxP' -h y P^.

Or y ^ i' — o, y -^ r -H E^^ = o.,
4y'-^iit*" =r o, 5' H- /" =0,
4 T' H- 1 ft' -f- z 5" = o , 6 >»' -+- 3 ft" = o
^ -+- «" = g' (to' -4- n*) — 2gOT/2 Z — i^ (^*— 2')

.ft-+-S'=^TO/:^i'ZH-2<t^(^ — Z)-+- /3 (g^— Z»).
6 y -4- 3 ft' -+- S" = i* — 4 ( * ^ -^ » /3 Z ) , 4 }/'
-I- ft" = — 2/3
&C.

Done puifque les coeficiens des termes afteft^s de /',
de /■♦ , & de f' font nuls , & que ceux des termes af-
fcEies de /* ne le font pas, il s'enluit, a caufe de /
:^: 00 , que ces derniers termes font les feuls qui doivent
fitre confervas ; deforre qu' on aura
C/J-* -♦- Mp' -^- Dp^ — Mf^p -4- £ = /* [(4y
^ fx.") P^ ^ ( 6y -H 3 ft' -»- r ) P* -H 2 ( f* H^ r)

/> -*. 5 -+- £" 3 .

De mdme en changeant p en q Sc M en N, & par
•onfequent P en Q , f en — / & ft en v , ft' en / , ft"
en »' on adra

C 5* -4- A^^' ^ i? f — iV/» y -♦- £ = f' [ ( 4 y
H- v" ) Q' -+- ( 6 y -I- 3 / H- r ) Q* H- 2 ( » -T- S')
Q -f- ^' -H «'].

Done fi on fait pour abreger ?^ = i* — 4 (^g- + /8 Z)
Xf = gmn H- i^ Z -*- i ti, g (g — Z)-+-5(^* — Z^)
B = g' (m' H- „-) -_ rgmnZ — i' (g' — Z' )
/>= i' - 4 (<5' - 5&Z)

0-= ^rn/z -^ i*Z -♦- lao' (g' - Z) -+- /3 (g^-J Z^
on aura
»^ {Cp* -I- M;^ H- £>/>» — Mf*j> -♦-£)=:

/• (— ilip* -H 2;/)' -4- 14^-+- 6)-, 8c
fy (_- 6i8<2' -H p<2' -^ i<r<2 -+- 6)

& r'equatioa ( fl^) de /'y4rf. iii. deviendra-
dT __^

^^.^ ^ _.

y C- 6/? Q' * ^^+ l(rQ.+ f).

Eiifuite on aura

ou bien
at =:

Enfio pour avoir la transformee de 1' equation (/ )^ on-
remarquera que — A^* = a ce que devient la quantity

C-f ♦ -4- Mp* -+--£>/>* Mf^p •+• E lorfque p ==-[,

deforte qu' a caufe de p= f-h P il n'y aura qu'afaire
P=o dans la quantite (— i /3i" -H ^ P' -»- 2 VF -+- 6 )
f* pour avoir la- valeur de — K'^ laquelle fera par con-
ftquent s= 6/,* ; mettant dcrtic /• — 0 au lieu de iC
&' fai&nt les autres fubftitutions on aura
,, dPW -9^ ^

*^ ~" ^FV C-i/3P'*<P'-*- i,P + 0
^Q \^ - g

XV.

Ce m^moire a ^re compose ett 17^7 , avant la publi-
cation du Tome XI des nouveaux Commentaires de Pe-
tersbourg.. }' ai trouve depuis dan$ ce Tome des nouvelle»

115

rechercKes de M. Euler fur le Probl^me que nous venons
de tiaiter dans lefquelles ce favant refout auifi le cas oil
r orbite du corps ieroit k double courbure , ce qu' il n'avoic
point fait dans Ces premieres recherches fur cette matiere.
Au refte le lefteur peut comparer notre folution avec celle
qu' on trouve dans le Tome cit^ , & juger laquelle des
.deux - efl la plus dkefte & la plus Hoiple .

R E C H E R C H E S

Sur le mouvement d'un corps qui ejl atari
vers deux centres fixes.

SECOND M E M O 1 R E

Ok [on applique la methode precedent e a. different^
hypothefes d" attraclion.

Par M. de la GRANGE.

JNl ous avons fuppofe dans le M^moire precedent que le
corps etoit attire par des forces reciproquement propor-
tionelles aux quarres des diftances ; & nous avons trouve
que dans cette hypothefe les equations du mouvement du
corps etoient integrables. Nous aliens maintenant exami-
ner en general s' il n' y auroit point d' autres hypothefes
d' attra£tion ou l' integration reuffiroit auffi j c' elt une re-
cherche qui peut , je crois , n' etre pas Ains utilite foit
dans le calcul integral , foit dans la mechanique.

I.

Soient x^y^ { les coordonnees reftangles de I' orbite
du corps , p fa diftance a 1' un des centres , & /* la force
d'atraftion de ce centre , q la dillance du corps a I'autre
centre , & Q la force d' attraftion de ce fecond centre ; ■
enfin foient a , b , c les coordonnees qui d^terminent la
pofition du centre des forces P, & *-, /3, y les coor-
donnees qui repondent au centre des forces Q » '^^ ^ura ,
en prenant 1' Element du terns dt pour conftant , les trois
equations fuiyantes d^x

p

'

1

(>-

p

V

■+•

(y

- 0) Q.
1

=

(^

-o

V

-+-

(^

- y^ Q

_

117

d'y

77 '

dt' p q

dans lefquelles

p = V [ ( X - "a )^ -+- (jK - M' -+- ( f - O* ]

y = • [(X - «)^ -+- (J - /3r -*- ({ - yys

II.

Suppofons que P foifune fon6tion de /? , & Q une foa-

ftion de y , & Ics equations precedeiites domieionc d'abord

cette integrale

dx^ -f- /sV* -t- dz* y -^ . ^ ^ , . >v

— ^ -^ rfPJp -i- ifQd^ = o . . (^)

Enfuite nommant /" la diftance entre les deux centres ,
enforte que/ = v^[(a-«)» .+. (^l, - Qy -^ (c- yY ]
on trouvera , par un raifoniiement femb able a ceiui de
/'y^/f. II. du Mem. prec. , ces deux equations en p^q^&ti

ifP dp -H ifQd>j= o ,

xfPdp ■+■ i/Qi^ = o.

Ou bien , fi I'on tait pour plus de fimplicitep* =/*x ,

J* = pj, — =Xy -^^ = F ( il ne faut pas confon-

dre les quaniites x , &^ que nous employons ici avec
rcelles que nous avons deja employees dans i' art. prec. )
on aura ces deux ci

L~^* -^ ^^ -+■ — ~ ^/^-^^ '^f^'^y = °'

Mifc, Taur, Tom, IK. e e

dy

^Pp

r q

d-Y

(P'^

f-n y

xdr

-^q_q

+■ — —

%t>

dans lefquelles X eft une fonftion de a: , & K une fo«.
ftion de y .

Ainfi la folutlon du Probleme depend raaintenant de T ia-
t^gration de ces deux equations.

III.

Pour rendre nos recherches plus g^nerales , propofons-
nous les Equations

•4- M = o, — -~ -+- AT = o, Af, & iV etant

I // /* ' i // /*

des fonftions de x , jy j & voyons quelles font ks condi-

lions de l' integrabilite de ces equations.

Nous fuppoferons que ces deux equations ^tant multi-

pliees r une & 1' autre par des quantites convenables , &

enfuite ajoutees enfemble forment une equation integrable.

Cette fuppofition eft peut-etre la feule qui convienne a la

nature des equations propoiees , & elle eH d'ailleurs la plus

naturelle , & en meme terns la plus generale qu'on puiffe

faire. Or comme les deux membres M , &c N font des

quantites finies , il eft vifible que les multiplicateurs ne fau-

roient etre que des quantites differentielles du premier or-

dre . Prenons done md x -t- n dy, & /* d x -t~v dy pour

les multiplicateurs dont il s' agit , m, n , [a, &c v etant

des fonftions de x , y &c nous aurons 1' equation

m d X d' X -f- ndyd^x -*- fj.dxd'y ■+■ ndyd'y
-— _

•+■ (mM ■+■ f/.N) dx -4- («Af-4- 1 N) dy ■= a
laquelle ne fauroit etre integrable a raoins que les deux
parties ( favoir celle qui contient des differences fecondes,
& celle qui ne contient que des differences premieres) ne
foient integrables chacune en particulier.

Or il n' eft pas difficile de voir que 1' integrale de la
premiere ne peut-^tre que de cette forme

219

.__:£ ±. , A ^ B ^ C, ^tant cles fonttions

1 at
de X , & J' > cfonc comparant la differentielle de la quan-
tite Adx'^ ■+• Bdxdy -+- C^^' qui eft xAixd^y-^-

d A
£(dyd'X'+'dxd'y)-t'iCdyd'y-^ -j- d x' -h

f dA d^\ . . / dB dC\ . ^ J

■j— dy\ avec la quantite m d x d' x •+• ndyd'-x -♦-

fidx d'- y •+• r dy d* y , on aura , % A = m ., B = n
dA dC dA dB

dx ay dy ax

dB JC

~ f- -r— SSZ O .

ay a M .

Les equations -7— = o , & -7— =9 o donnent d'abord
* d X d y

A = fonft - j^ , & C = fonft • x ; enfuite les equations

dA dB ^ dB dC . d'A

1- -7- = o,& -; K-— =0 donnent — — =s

»>» d X d y d X dy*

•J— i dVou il eft ais^ de conclure que ks quantites A,

& C ne peuvent ^tre que de la forme fuivante A = a

'i-iy-+-cy^,C=:g-hkx-hcx',(i,l)yef^ &

i etant des conftantes .

XA ■ ., . . dA dB J dB

Maintenani 1 equation -— -1- — = o donnnera -r-

^ d y d X d »

fir — i »- 2 <• jyd'oii en integrant , ^ = — ( i H- 2 c_/) ■*

Hr fonft. y ; inais 1' autre equation -j^ H -— = o

ionnera de m^nie j5 = -- (/t-+- xc x)y '^ fonS. jfy

deforte qu'on aura

B = K — h X — hy — *<^*J'»

JC ^taut une conftante arbitraire.

110

Aynnt decermin<f ainfi les quantifes y^,'5, & C, on
aura pour les muItipHcareurs des equations propofees , les
deux quaiuues z A d x ■+• Bdy^ & Bix -+- zCdy\
Sc il ne reilera plus qu' a rendre integrable la formule
(zJM -*- B N) dx -4- (B M-hx CN) d y -, car a.\oTSy
en nommant Z i' integrale de cette formule, on aura I' equa-
tion du premier ordre

~ H- Z = a une con ft.

■ O^ pour qu'une quantire telle C[\xt { x A M -\- B N) dx
-t- {B M -+• 1 CN) dy foit une differentielle exatte , il
faut , comme 1' on fait , que 1' on ait

i : — -- = ; , c eft reqna-

tion de condition qui doit avoir lieu pour qqe les Equations

propofees admettent une integrale du premier ordre.

• Puifque (i^M -+- ^iV) dx^ {BM -^ xCN)

A7

dy — d {, on aura x A M -*- B N = ^'^-^ ^"♦"
zCN ==-r- S^ P3f confequent

d X dy

M = 4AC-B''

dZ dZ

1 A B -j-

dy dx

N == 4 ^ C - B* '

oil r on pourra prendre pour Z une fon£lion quelconque

de X , &i y .

Si on fait encore a ^ C — B' ^ D %c Z =^ D'V
( V etant une fonftion quelconque de\y , & jy ) on aura

Ill

Or , a caufe de -r— = o , — — = o -7- = 7— , Cx

d>i dy dx dy

dB dC dD f A ^^ j>

-J- = — — — , on trouvera —— = z I x ^4 — 1- is

dy dx dx \ dx

dA\ dD / ^ dA n <f(^\ J

—~ J — = 2 I2C h B — I; done on aura

dy J dy \ dy dx J

^=^{^^l^-^'^^x -^ -d^J

-^ -. ( ^^dA .dV p dV\

Ainfi routes les fois que les quamites M , &c N pour-

d' x

ront fe ramener a cette forme , les equations — H-M^=o,

d* V

& — ;■ -f- iV = o, auront pour integrate

Jdx' ^ Bdxdy ->- Cdf T^.Tjr . A .

-+-/?* ^ = a une conftante .

r dt^

A' I'egard de la qunntite D on trouvera, en fubftituant

les valeurs de y^ , ^ , C & elFogant ce qui (e detruit ,

D = A^g — K'^ -*- (4a h -+■ 1 bK) X -hi^bg —

(^x b h -+- 4c K) X y .

I V.

Pour appUquer la methode de 1' art. prec. aux Equations
( 5 ) il ell vUible qu' il ne faut que faire

M= xX-h L(x -^ y—i)r -^ fXdx-^fYdy

Nz=yY-^^-{x'^y — i )X-^ fXdx -h frdy^

ce qui donnera

dZ =[xAx -h -5(x-t-y— i)} Xdx

XXX

H- [ By -*- /4 (x '^ y — i)} F d x

►♦-[zCj-H- ~ B (x -i' y — ^)^ Y dy

^[5x-+-C(x-4-y— O] Xdy

^ {fXdx -+-frdy ) [ (i^ -H B) dx 4- {tC -(- B) dyj

quantite qui devra done etre integrable par elle-m^me.
Suppolons que la quantite {xA-^ B) dx-i- {xC -h B) dy

foit elle-meme une difFerentielle exafte dom 1' integrale

foit E , &c faifant

df^ = \_xAx-h-B (x -i-y — t) ^ £} Xdx.

-♦• [ ^y -t- -^ (x -^ y — O] y^dx

^[xCy -h ~B (x -+- y -- x) — E] Ydy

-+-[^a:-H C(.-c-t-y— . i)] Xdy ^
on aura dZ — d- {EfXdx -»- E/rdy) -t- df^i
deforte qu' il ne s' agira plus que de rendre la quantite
d V une difFerentielle complette.

Or pour que la quantite {x A-^ B") dx -Je- (^xC-iir B) dy
foit une difFerentielle exafte , il faudra que 1' on ait dans
les valeurs de Ay B y C ^ c = (>,& A.=s ^, moyen-r
nant quoi on aura
A=a->rhy^C-=g-^hXy^
B= K — b (x ■+■ y)i d'ou.

E=:i-^ixa-¥-K)x-+-{xg-i'K)y

— ~ {x — yYy i etant une conftante arbitraire*

De cette maniere la quantite d V deviendra
/^ - ■K , ^ K^xi\ ^ ,

^— — (X -+- j) — ^gy ^—) Xdx-^

la {x-^ y) ^ {b — K) y — c^ Ydx -^

/h — K ^ . K^xi\

I , (^x -i- y) — X ax — \ Y dy -t-'

is\^-^y) -ib^ K) X -'g;] Xdy

1»J

laquelle ^tant fuppof^e une differentielle complette, enforce
que V foit une quantite algebrique , on aura l' integrale
Adx* -»- B J xdy ■*• C dy"- r , r v , r-^r , ^

Tie "*" ^ (/^^* -^ fYiy)

•4- f =s a une conftante . , . . (C).

V.

Je remarque d'abord qu'en falfant a = o, 5^= o&i=iC,
la quantite dV devient = — (^f Xdx-frfYdy)

deforte qu'on aura V = — {fXdx-^fYdy).

Or on a dans ee cas -^ s= i j , C = b x ^ B =s B

( I — X — y) & £ = i -+■ b (x -*-y — ~ (x-^yYj »

done /ubftituant ces valeurs dans I'dquation (C) on aura
en otant ce qui fe detruit , & divilant par b
ydx^ ■+- xdy^ -»- (-«_- A- - j;) dxdy

(2?)

etant une conftante quejconque .

f

X

V L

Cette intdgrale a lieu en general quelles que foient les
valeurs de X^ & de Y \ ainfi en donnant a ces quantites
des valeurs particulieres , on doit pouvoir encore trouver
d' autres integrales.

En efFet comme il ne s' agit que de rendre la quantity
d V une differentielle exafte , on n' aura qu' a fatisfaire a
r equation fuivaate.

214

d- {{a - l> -<- K^ y - a-\ Y __

Hy ~

/ b ~ K \ ^ dX

d.[{g-b^Vi^ :c - g^X

. . . • ( A ;

a X
en prenant pour X uiie fonftion de x , & pour Y utie
foodion de J' .

Or fi on fait difparoitre dans cette equation les termes
qui renferment x, & _/ en fuppofdnt a = o,.&^ = o
on auraj apres avoir divife par b — K
:X, .__, d- jYy) _ ^ __ d- (Xx)

1 dy 1 dx *
c' ell-a-dire

X. d{Xx) Y d (Fy)

2 dx z dy

equation qui ne fauroit fubfifter a moins ^ue chaque mem-
bre ne foit egal a une quantite conltante .

Soit done, en prenant une conitante quelconque «,

X d {Xx^ Y d- (Y y)

X dx -* ' i dy ' ^

multipliant 'la premiere de ces equations par V xdx, la
feconde par ^ y dy & les integrant on aura

Y y>/ y — •>.'*.y^ y ^ y y -^
d' ou 1' on tire

X = 2 * -4- ,

x\ X

Y ^x^-^ ^

* , /3 , y etant des conilantes quelconques .
Dans ce cas on aura done, a cauie dea=o&^ = o

dV

Ill

dont I'integrale eft

Ainft mettant cette quaniite au Ifeu de P^ dans 1' equa-
tion ( C ) on aura une nouvelle iiuegrale } deforte que les
deux equations difFerentielles du fecond ordre { B )
fe trouveront maintenant reduites a deux autres du pre-
mier feulement .

Puifque X == -,r =c-^,x=^&v=: J(/^rr.

IV. ) on aura dans le cas prefent

>f*

VII.

Pour trouver encore d' autres cas d' integrabilite fup-'
pofons
X = * -4- |8 X -♦- yx^ Sc

r = 5 + f J. .+. j;^,

fubrtituant ces valeurs dans 1' equation de condition (^)
& fajfant pour plus de fimplicite b — iC = A , on aura

Mifc. Taur. Tom. IF. ( i

ii6

-+-J(a — h) — fa-+-i [f(a — f^) —" ^Kly

ce qui donne

ct Z^-^— .2 5J-4-J(a — /:) — ea =

^ (^ — za^ -h ci (g — h) — Hg ,

^ (- — ^S) — Ba=i(iig — lO — zyg,

s (7 — 2.aj — ^g=xs(_a — k') — 2.Z,a,

>- (- — ^g ) = 3^ (5- ~ '^)>

^^ = sr-

d' oil r on tire

tfr=^=Z— ,^ = ;/,£ = 3,&5==<«, ou bien

2 — A — 4/3^ — ea=o

^^— A — n sa — (6 g ■= o

par oil Ton pourra determiner a ^ g^ & h.

Ainfi r integration aura lieu encore dans les d6ux cas
fuivants . > ^i '

i,-: i." Lorfque ^a=«^4-|8x-4-yxS& Zs=:jc-l-

j3y •+- yy* ■» ce qui ^rnie -P'C* *f> -4- -7- -h ~ &

ai7

Qt=«^4-^-».L|:,,e, ^,& y ^tant des coefi-

ciens quelconques.

i.° Lorfque X — a -+-|3x, & K = J-t-fj, c'eft-

a-dire P = «p -♦- ^, Q = S ^ >+- ^ *,^, J,&f

6tant aufli des coeficiens quelconques .

VI II.

Confiderons plus particulierement le cas de Tv^rr. P^I.y

dans lequel P ;= i *;? -+- ^, & Q i= i « ^ -+• —^ ;

& nous remarquerons d' abord que les deux parties aee/>,
& z ct ^ des forces P , & Q tendentes vers les deux cen-
tres donnees , peuvent fe reduire a une force unique di-
rig^e vers le point du milieu de la ligne qui joint les
deux centres , & egale a 4 * r , r etant la diftance du
corps a ce m^me point. De cette maniere le corps fera
attire vers trois centres fixes ranges en ligne droiie , Sc
a egale diftance 1' un de 1' autre ; & la force d'attraftion
du centre du milieu fera proportionelle a la diftance, &
celle des deux extremes fera reciproquement proportionel-
le au quarre de la diftance .

Or fi r on prend les deux centres extremes pour les
foyers d' une feftion conique , enforte que le troifieme
centre tombe dans le centre meme de la feftion , il eft
dair que cette courbe pourra dtre decrite en vertu de

chacune des trois forces 4 <t r , —- , 8c ^ en particu-

lier ; mais nous allons voir qu' elle peut 1' etre auffi par
I'aftion combinee de deux quelconques de ces forces , &
meme par les trois forces agiftantes a la fois } ce qui me
paroii bien digne de i' attention des geometres .

ii8

I X.

on aura

J ecant une conftante arbitraire .

Ainfi r equation ( Z? ) deviendra
y ^x' -*■ X dy^ ■+•(! — •*— y) dx dy

w7 — ■*■

'— — • • • t • ,• • • \-^ )

Pour avoir maintenant l' autre equation integrale , il ne
s' agira que de faire dans V equation ( C ) les fubftitutions
indiqudes dans CJrt. VL , & comme les quantites b , K,
&c i font encore indeterminees , on pourra faire , pour
une plus grande fimplicite , Kt=i b = o,zi--t-K=:Of

c' eft-a-dire i ~ — — , moyennant quoi on aura

— -_ "(^ -yy _

— ? ( ^ J — ^ ) » -^ = o » ^ = ° »

^ I M ' I'" 4) ^ ^v T

B =^ I , E = — — & I'equation (C) deviendra

d X dy 1 (x -f- y) — i

i d V 2

12. . $■^ « ( * - y y

,)_.ll_-2 _,(.._ i).

>' ( ^J' "" T?~ ) '^ ^ ""® conftante J ou bien en pre-;

ri9
rant une conftante quelconque ^ Sc reduiCint

— — J- -\- — (jx* -+- I y* -+- loxy — XX — ly)

— /3 (3 v^x + ^ ) - ,y (3 Vy^'L^^

— S(x -+-JK) --J = o (G)

Et fi on multiplie cette equation par \ — x ~ y &
qu' enfuite on la retranche de 1' equation (jF), on aura
celle-ci

— 1/3 (xv/jf -4- 3^v'x — v'x)

— 1 ? (/ ^^J' ■+- -^ xy/ y -^ y/ y)

— 7 ( *^' -*- y -+- 6xjk) — f (^ ■4- j)

-^ — = o . . . . .. .. ., ( H)

n etant = f — ^.

Ainfi tout fe reduit maintenant a integrer ces deux equa-
tions , ou au moins a en feparer les indeterminees •

Pour cela je remarque que fi on multiplie 1' equation
{G) par -±1 /^V xy , & qu'on I'ajoute enfuite a I'equa-
tion (^H) multipliee par x on aura celle-ci

{Vydx±}/xdyy

J? '*'

ec 1{V x -t y/ yY — {V X ^V yy^ —

4(/3 -b y) [(•x rh y/yY — (v'x d: v^jk)] —
I {V X rh V yY ^ Z, (^y/ X ^- V yY -^ n =0.
Deforte que ft Ton fait

«

= V^ X -4- v^^ = ^^-^, &

230

ce qui donne Vydx •+■ >/ xiy = '^ x y {— — ^*— ^)

d s , 6c \/ y d X — \^ X dy z= du, on aura

( en tirant la racine quarree ) les deux equations fuivan-

tes dans lesquelles ft = 4(18 •+■ y) & » = 4(/3->'),
r j> _ «» ^ ^ f

^ j-^ = y/ („-aj-+-r i^-Hu^'H-(S -f-et)i*-<tJ*)

2 (rf / ^ ^ ' '

d'ou il elt aife de tirer

d s

(/)

V ()j_^j -J- ^ ^= -HjUi^ -+- (^ -+- *) i-* — rtj")

J u

V ( ^ - ^i^ _(- ^ u= -H vu^ -(- ( S -h rt) a"* - (t w" )

& enfuite

j/t _

2 y/ ()j - vw' -+- ^ «' -f- yw» -+- (5 -+■ *) u* - * tt* )
equations oil les indeterminees font routes feparees .

X r.

L* Equation (/) etant integree donnera s en a, & par
confequent p en (j ; enfuite 1' equation (H) donnera fen
s, &c u , c'eft-a-dire /? , & ^ ; ainfi on aura p, & ^ en
t , ce qui fervira a connoitre «i chaque intiant la position

W

i3»
du corps par rapport a la ligne des centres ; mais la po-

fition du corps dans l' e(|)ace abfolu ne fera pas determi-
nee pour cela j car comme le corps peut tourner autour
de cette ligne , il faut favoir de plus T angle qu' il par-
court dans un tems quelconque.

Nommons done cec angle (p , & Ibient p &c <r \es
deux coordonnees redlangles qui detcrmineiit la pofitioa
du corps par rapport a la ligne des centres ( p elt la di-
ftance du corps a cette ligne , &: it eft la partie de cette
meme ligne interceptce entre le perpendiculaire ^ , 8i le
centre des forces P ) enforte que Ton ait

il eft facile de voir que Ton aura pour le quarre de I'ef-
pace abfolu parcouru par le corps dans un inrtant quel-
conque d p'- ~i- d (T^ -h p^ d <{)^ = (en employant les trois coor-
donnees reftangles at , j' , { de I'^rf. ii. ) d x'^ -+■ dy -+- d ("
= ( en vertu de 1' equation A )

- ^di^ (fFdp-^fqd^) = -p(fXdx-^frdj)diU

deforte qu'on aura

^ ^^ fXdx ■*■ fY dy ___ df^ ■*■ d g-'

df ~ J / Jdi' '

,, , , . y dx*-*- X dy''-(x-*-y - i) dxdy
mais da" -^ d<r^ = f'- <- ~— — /

= ( en vertu de 1' equation D )

done fubftituant ces valeurs on aura

'it" Ap* Ap* * dt ip' ^ '

par confequent p* d(p =i ^ — , ce qui montre

2^1

que le corps decrit autour de la ligne des centres des
aires proportionelles au terns ;

Maintenant puifque — = j^x - (x - y •+■ i)'==

(_iVx-+-x— y-+-i) (r}/x-x-hy— i) s=e
( art. IK ) {s ■+• U-+- s u -^ I ) {s •+• u — s u — i) = —

^u-^'>) ( _j_ i_ ^ .

/! - «' V /* - I «' - I / '

Mais on a par i' art. X.

d t d s-

■w

<i<p. ■r=:

V^(^-

- jW i -+- ^ i' -t- /A J

'-H(5-i-«)i*-

-*.')

d

u

»/(•?-

-vu -4-^V -+- y tt'

-t- (S -+- *) w* -

' Qonc-,

^(K-

+■ »j ) </ J

(.'-

0 V (i»-iW*H-<^

'-+-/Xi'-+-(S-+-*)i*-(«J«)

V^(^-4-

»J ) J ?^

— TT m

Ainfi on connoitra (p en j & z^ c'eft-a-diie en p Sc q:

A- r egard des conibntes »? , ^ & ^ elles dependent du
xnouvement initial du corps , & on pourra les determiner
fi I'on veut au mnyen des equations ( G) , ( H) ySc { L).

Si I'on avoir ^ -+- 0=0, c'eft adire J^ c= — . 0 ,
alors d <p feroit = o , & par confequent le corps fe
mouvroit dans un plan fixe paffant par les centres des
forces.

Au refte ft Ton fait * == o , on verra que les for-
, mules precedentes s' accordent avec celles qui ont ete
trouvees dans le Memoire precedent.

XII.

^3J
X I I.

Suppofons J = <z H- -vj/, a etant uiie coiiftante , & \J/
une variable , & la quantite

fe changera en celled

dans laquelle

A = tj — /za-f-^a--4-//a'-4-(S-4-«j)a* — a a*

£ := — iJ. -+■ z Z, a -+- 3 jLia^-+-4(S-+-ct)a' — 6cca'

C = £^-4-}jua-t-6(S-+-*)a* — ijica"*

&c.

Done le premier membre de 1' equation (/) fe chaa-
gera en

^4

V ( ^ -H E 4 -K C 4' + D 4' w- E 4^ -+- f 4.= + G 4' ) '
expreflion qu'i , en failant A = o , & ^ = o devient
celle-ci

^^4 .

4 v' ( C H- D 4 -+- E 4' -K F 4' -H G4* ) '

Suppofons "4/ infiniment petit , & Ton aura — — ^ dent

r integrale eft — — l^ -K etant une conftante qiielconque j

done fi on fait K = o S< -^ = o la valeur de 1' in-
tegrale du premier membre de I'equation (/) demeurera
indeterminee , deforte que 1' equation aura lieu indepen-
damment de la quantite u ; d'oii il s' enfuit que 1' equa-
tion s i= a latisfait au Probleme pourvu que les deux
equations j4 c= o , Si B = o ayent lieu a la fois , &
que la quantite C n' evanouiffe pas en meme terns.
:.. L' equation s :=■ a donne p •+■ q := af, ce qui mon-
tre que la courbe ddcrite par le eorps fera une ellipfe
ayant fes deux foyers dans les deux eentres des forces
Mifc.Taur.Tom. IV. g g

i34

/* , & Q , & tournaiit autour de Con grand axe , a moins.

que Ton n' ait ^ -♦- jj c= o auquel cas le corps fe meut

dans un plan fixe.

En faifant de meme
L = *) — vb -+■ Z^b' -+• vb' -h (^i -h A)b^ — Ab*
M = — * -+■ ^Z,b■-^^ 3»^* -4- 4{i -h &) b' — bccb^
iV = Z; -e 3 V ^ -+- 6 (^ -+- « ) i* -- I 5 * z.*
& fuppofant que les quantites L , &c M foyent nulles a.
la fois fans que N le foic , on trouvera que 1' equation
u = b ^ c'ell-a-dire p •— q ■= b f fatisfait au Probleme,
deforte que la courbe pourra etre auffi une hyperbole
ayant fes foyers dans les memes centres des forces.

Ainfi en reuniflant les deux cas on en conclura que
le corps peut toujours decrire une feftion conique pouc-
vu qu' il re^oiue une impuifion convenable.

XIII.

■Si on fait de plus \j/ i= a' -+- -vj/', a' etant une con-
ftante & •v]/' une variable , & qu'on fubftitue cette valeur
dans la quantite C -*- D ■<^ -f-£\J/^ >+-/-vj/» H-G-vj/*
elle fe changera en celle-ci
J' -t- 5' -4,' -t- C -4,'^ -t- D' -4.'' -h E' ^^''' , oil
^' = C -4- Z> a' -+- £ a'^ jF a' -+- G a'*
B' = D-^^Ea~^-■i Fa' -+- /^ G a'
&C.

& la transformee — —-^ -_ , =^- -pr — ;

du premier membre de I' equation (/) devieiadra

^_£

( 4' -V 4^ ) • ( ^' -H B' 4' -4- C'4" -+- 1>'4" + E 4'") *

foit maintenant ^' = o , & ^' = 0 & la differentielle

fe changera en

^4'

(44' f 4') V{C' ■*■ D'4' -h £'4")

^35

qui ne depend plus que de la quadrature du cercle ou de

r hyperbole . On trouvera de la m^me maniere les con-
ditions qui reduiront 1' autre membre de 1' equation ( / )
a la quadrature des feftions coniqnes.

Ainfi on pourra toujours dans ces cas conftruire Torbite

que le mobile decrira en vertu des trois forces 4 « r , — ;-,

yP

XIV.

Mais outre les cas dont nous venons de parler , il eft
Evident que 1' equation ( /) doit aufli etre integrable quand
deux quelconques de ces trois forces evanouiffent ; par-
cequ'alors on a le cas d'un corps attire vers un feul cen-
tre fixe par une force proportionelle a la diftance ,.ou re-
ciproquement proportionelle au quarre de la diftance.

Les cas ou la force 4 * r eft nulle ayant deja ete exa-
mines fort au long dans le Memoire prec. , je me^ bor-

• eP
nerai ici a examiner ceux , oii les deux autres forces -r—

f

yP

& - — difparoiffent a la fois enforte que le mobile ne foit

affujetti qu' 3 la feule force 4 ec r proportionelle a la di-
ftance.

Soil done j8 = o , & y= o , on aura auffi /t* = o
& » = o ( art. X.) &C les equations ( /) & (K) de-
viendront
ds

>^ ( ») -i- ^ j" -H ( ^ -+■ « ) J* — * 5*

■'" . . (JV)

V ( 1) -f- ^ «* -+- ( 5 H- «C ) «♦ — * tt* )

236

(O) . - . ir =

s* d s

1 v^ ( 1} -1- ^ r -H ( S -+- cc) i'' — (C i«)

"" 1 v^ ( t) -H ^ a' -H (S -+- ct) //^ — ct£t«)

Or (1 on reprend les equations primitives ( B) Sc qu'on
y fubftitue 2 * au lieu de ^X", & de 7" ( crt. IX. ) on
aura

^ — H 5 ay -t-3 ctx — A — ^=0
ou bien en prennant la fomme & la difference , & faifant

c^)--- < ^,

1 d i^

H- 1 rf ^

C 2 ^/*

d' ou il eft aife de tirer

,^^ ] -^ = h- AcoC 4tV<i-+-BC\n. 4cV «,

CQ) • ' - < ^ 4«

[_^ = C coC 1 t v^ « •+• Z) fin. 1 r v/ «
A J jff , C, Z> etant des conftantes arbitraircs ; & ces
deux equations feront neceffairement les inregrales des equa-
tions (A'') & (0); il faudra feulement faire enforte que
les deux conftantes ti , &iZ. s'accordent avec les conftantes
A t B ^ C , D ; ce qui eft facile j car on n' aura qu' a
effacer dans les equations (G) S>C (^H) les termes affe-
ftes des quantites /3 , & y , & y fubftituer enl'uite au

lieu de * , y , — & -r- leurs valeurs tirees des equa-

tions ( Q ) en y faifant , pour plus de fimplicite , r == o;
on aura par ce raoyen deux equations par lesquelles on

137
pourra determiner deux quelconques des connantes A ,
^, C, Z>; & lei deux autrcs demeureront arbitraires.

On pourroit encore, fi on vouloit , trouver I'integrale
de r equation (iV) d'une maniere plus fimple , que voici.
La feconde des Equations ( P ) etant multipliee par <^ ^ &

integrce donne — — - -j- et ^* = //, (decant une conftante

arbitraire), d'oii Ton tire —- ^- =2V^(/f— ct^^); or ^

, u H s ■>>■ s du . ^

= * — J == " -f j done =zv(« — *-k'j');

niais on a par les equations (iV) & (0)

</ J _ 1 */ (\ -4- ^ i^ -H ( ^ -+- et ) i* — « ^«)

^^ J^ __ -

done fubftituant cette valeur oti'aura

— - — ; ^C*? -*- "Cs" '^ i% ->r a)s^ — ctJ*)-+-

-_L_ • ( >,' ^ ^ „' -1- ( J -t- *)«♦ — ({// )

X V,

Nous avons fuppofe dans lHAn. IV. que la quantite
(^x A -^ B) d X ~t- (iC-H ^) t/j etoit une difFeren-
tielle compleiie ; & nous avons reduit par ce moyen la
differentielle d Z, a la differentielle d V dont nous avons
enfuite cherche les conditions de T integrabilite. Confide-
rons maintenant la quantite dZ elle-m^me, &: voyons
quelles (ont les valeurs les plus generales de jf & de K
qui peuvent la rendre une djfferemielle exafte.

Pour cela on aura fulvant le theoreme general, I'^quation
^f dA I , . dB B\

^-^[Bj-hAix-hy— i)-\-i-

ifXdx^/rdy) (-^^—) =
^^f dC -i , . dB B\

^. . dB dA ^ dB dC ^ .

Mais -r-= — -7-,,&--r- = — -7-( -^rr. iii. ) j-
<^;«- dy dy dx ^ ' '

done r equation precedenre deviendra

^ , dA 1 , . dC B ^.

%X{x {x-^-y—i)- C) —

* ^ dy z -^ dx 2

-. ^ dC 1 dA B

— [Bx'+'C (x-4-y— i)] H-
dx

d Y

Subftituons pour A ^ B , 8c C leurs valeurs a H- ^ j* •+•
& nous aurons

139
- — [ 1 X (h -f- r cy) — (x H-y — i) (A-t-icx)

— K -t- b X -^ hy ~'r % c X y — x g — x h x — zcx']
•~- ~- \.'^y (^+i c x)'^(^x-^y — I ) {h-^-xcy)

— K -^ h x -^ hy -4- 2 c X y — z a — z by — z cj)^* ]

die

-r- [x (A" -Z'X-Ay-icA;y)-l-{*-t-^-i) {g-Jfhx-^cx^y\

dY
~^-j- \y(^K-bx — hy--xcxy')'Jf{x-ie-y— \'){a~^by-^cy'-)'\

-4- ^(fXdx-^fYdy) ib-h~^xc (jK-x)] =0
ou bien , en ordonnant les termes & effacant ce qui fe
detruit .

[ztx— (x— i) (A -i- zcx)— X— z^ -i- (b—ih) x— zcx*^] —

dX

— ^ [ Kx — bx^ -^ {x— I ) (g -hhx -i-cx'') } -+-

3 fXdx {b — h — icx) —

(zAy — (y— i) (i-+-zr)')-i(C-2a-i-(A— 2^)^—29^)-?*-

dY

-^ [Ky-hy'^iy-i) (a-^by^cy^)} ^

3 /l^/^' (^-A -H zcy) -H

jkC^cXx-^ ^(^,^.cx0 4-^cyX/x)-

dY

x(,bcYy-'L. (^a^cy^)^bcfYiy) = o

Or a caufe que X doit ^tre une fonftion de x' fenl,
& Y une fonftion de y feul , il eft facile de voir que
cette equation ne fauroit avoir lieu a moins que Ton n'ai

I.° 6c Xx — — ( g _t- ex* ) -+- 6cfXdx = * -+- |8x ,

dY
i.'icYy--^ {a'*-cy^)'^6cfYdy = y-^^y

24°

3." - — (h — K -+• (3^ — 3^ H-ic)x — 4ca;'-h

3 /X/a; ( i — /i — 1 cx ) = 5 -t- T'X .

4.° -i— ( i - iC -H ( 3 A - 3 ^ -H 2 c )jy - 4 cy' ) -i-

— (a ^ (b-K -g)y -^-(c-^ k-b)y-cy) -^

3 /Tij' ( A - i - 1 9' ) s= J -t- «y , ct , (8 , >/ , & S etant
des conftantes quelconques ,

Ainfi il faudra que les quantites X Sc Y folent telles
qu'elles fatisfaflent a ces quatre equations a la fois ; au^
trement les equations (B) ne feront point integrabies , aa
moins par notre methode .

Si on fait a = 0,^= o, c = o, c£=o,|S:=o-,
y = o , & qu' on fuppofe m t= h — k , &c n=b — h
les quattie equations de condition fe reduiront a ces deux-ci

= — ( m -4- 3 n x) ~i — r— (mx-r-nx^) ~h t n f X dx t=i Sc
z ^ ax '

3 r ^ dY ^ ^

-^^nfYdy^t

par lefquelles on pourra determiner X Si Y.

Si on fait dans ces dernieres equations wz = o , ra := o,
& S = o , on aura le cas de l'y4rt. V. qui eft inde-
pendant des valeurs de X & de Kj & fi on fait feule-
ment « e= o on aura celui de H An, VI. , d' oil 1' on
voit que ce dernier cas n' eft qu' un cas particulier des
valeurs de X & de 1^ que fournira 1' integration des equa-
tions precedentes } mais nous ne poufferons pas plus, loin
nos recherclies fur ce fujet ,

XVI.

141

XVI.

Au refte quelles que foient les valeurs de X &c de Y,
r equation {D) donnera toujours ( en faifant f = o )
cette integrale patticuliere i -f- V x -+- Vy = o, les
radicaux pouvant etre pi is en -+- ou en — .

Pour le faire voir je luppofe jf-t-^ = «,x — y

= w ce qui donne x = ^ Sc y = , &

I'equation dont il s' agit deviendra apr^s les fubftituiions

a « — 4,' — I

(fXdx^frcly)=^.

1

Or </:i* -i- ( 1 a — I ) Ju^ — 1 a duda =i ( Ju — adoo)*
— (&)*— ZM-H i) </(u* } done fi on fait z u — «' — i
s= ?^ on aura

>-j; h V{fXdx -hjYdy = f equation a laquelle

fatisfait evidemment V ^= o dans le cas de fc=oj ainfi
on aura cette integrale particuliere aw — &>*— i =o
c' ell-idire 2(x-f-j) — (x— j')--i= o; or
je dis que cette equation eft la meme que celle - ci
I -t- V X H~ ^y = o } c' eft de quoi on peut fe con-
viiincre aif^ment en faifant difparoitre les radicaux par la
methode ordinaire } ou bien il fuffira de remarquer que
1 - i {x ^ y) -^- {x - yY ^ { i -^ y/x -^Vy)
( I - y/x ^ Vy) {i ^ Vx ~ y/y) ( i -"^x- Vy)^
comme on peut s'sn aflurer aifement par la multiplica-
tion aftuelle.

** (7*

Maintenant puifque x := ^^ & j'== ^, , il eft clair

que r integrale dont il s' agit donnera f •*- p ~^ ^ = oj
ce qui elt le cas oii le corps fe meut dans la meme li-
Mifc.Taur.Tom.lv. hh

Z4>

gne droite qui pafTe par les centres des forces ; ainfi
cette inregrale ne nous apprend riea de nou/eau rouchant
le mouvemenc du corps.

XVII.

Nous terminerons ce Memoire par une remarque qu'
il eft bon de ne pas omettre. Le Probl^me du mouve-
ment d' un corps attire vers deux centres fixes ne peut
s' appliquer a la lune , entant qu'elle eft attiree k la fois
vers la terre & vers le foleil , qu' en fuppofant que cec
aftre foit en repos par rapport a la terre ; mais comme
la force qui alteie le mouvement de la lune autour de
la terre ne vient que de la difference qu' il y a entre
r attraftion du foleil fur la lune , & fon aitraftion fur la
terre ; il ne fuffira pas de regarder le corps comme at-
tire vers les deux centres fixes par des forces rccipro-
quement proportionelles aux quarres des diftances; il fau-
dra de plus y ajouter une troifieme force dirigee paral-
lelement a la ligne qui joint les deux centres , & dont
la quaniite pourra etre fuppofee conftante ; cette force
reprefentera celle que le foleil exerce fur la terre , Sc
qui doit etre tranfportee a la lune en fens contraire j or

Ix on nomme cette force — ^, /"etant la diftance des deux

/
centres , & qu'on la decompofe en deux autres dirigees

vers ces memes centres , il eft facile de voir qu'elles fe-

ront exprim^es par i n p , & — z n. g ; deforte que les

forces totales P , 6c Q feront P t= i ei p '+- — ^ — &
O == — 1 « ? -t- ^ i ce qui donnera A s= i« h : —

143
Telle crt done 1' hyporhefe qu' il faudroit . adopter pour
que la foluiion du Probleme dont il s' agit donnit le
mouvemeiit de la lune autour de la terre regardee com-
me en repos, & abftraftion faite du mouvement du loleil ;
mais en fublHtuant les valeurs prececienres de X, & de
y dans les equa:ions de condition de i'y4rc. XK. on verra
d' abord qu' il ell impoffible de Citisfaire a ces quatre
equations a la fois , a moins que de fuppofer les coefi-
ciens a, i, c, &c. tels que chaqu'un de leurs termes
s' ^vanouiffe en particulier , ce qui ell le cas de CArt. V. ,
d'oii il s' enfuit qu' on n'aura dans ce cas qu' una feule
integrale , & qu' ainfi le Probleme ne pourra pas meme
fe reduire aux premieres differences.

V/

ADDITION AU PREMIER MEMOIRe'^'

Sur le calcul integral
Par M. le Marquis de CONDORCET.

JL/ans le Probleme oii je me propofai de trouver une
differentielle exafle qui eut lieu en meme terns que la
propolee , j' ai fuppole que cette differentielle etoit ra-
lioneile , ou ne contenoit pas d' autres radicaux que la
propofee mife fbus une forme lineaire : cette fuppofition
n' ell pas exafte, & je vais corriger ma folution en con-
fequence. Je ne parlerai que du cas ou la propofee mife
fous une forme lineaire eft rationelle , parceque \'on peut
toujours tout reduire a ce cas , & que les memes refle-
xions s' appliquent aux autres fans aucune difficulte.

I. D'abord on remarquera qu' il ne peut pas y avoir dans
ce fafteur de radical qui ait pour expofant un nombre
rompu, & qui devienne une fonftion interfcendante, parceque
en fuppofant qu' il y en ait un lel, il faut neceffairement
qu'apres 1' integration , il foit multiplie par une conftante
arbitraire , done alors V integrale ne peut conienir de lo-
garithmes; en effet fi elle en contenait, il faudrait ou qu'ils
fuffent multiplies par cette interfcendante , ou qu' il y
cut deux arbitraires dans 1' integrale , ce qui ne peut arri-
ver. Or fi 1' intdgrale ne contient pas de logarithmes , mais
feulement ce radical interfcendant , repaffaut des nombres
aux logarithmes, on aura une integrale & par confequent
une differentielle exafte fans ce radical, done enfin on
pourra trouver un fafteur qui ne le contienne pas.

II fuit de cette remarque qu'appellant en general le fa-
fteur A on pourra mettre dans 1' equation de condition ,
ou dans les equations de condition , au lieu des different
Mife. Taur. Tom, IV, i i

1^6

ces ciniercs ou partielles de j4 , leurs valeurs tirdes de
r equation a ~\- b A -y- c A"- -t- e A* . . . = o , ou a ,
I y c , e , font des fonftions rationelles & entieres des va-
riables , & il faudra qu' enfuite ces Equations de condi-
tion deviennent nulles , en y mettant a la place de la puif-
fance m du fafteur A fa vaieur tiree de 1' Equation hy-
poth^tique ci-deffus du d6^r6 m .

Si on fuppofe que ce degiew eft inddfini , onle fera
fucceffivement 1,1,3,4 &c. en fuppofant que les a ,
by c , e , Sec. font audi des degres i , i , 3,4 &c. & on
parviendra enfin a une equation qui fatisfera a celles du
tafteur , & on connoitra m & les fonftions a , /» , c , e &c.
II. L' equation propofee ne contenant pas le radical qui
entre dans le fadeur , il s' enfuit, que fi ce radical a plu-
fieurs valeurs , chacune de ces valeurs rendra egalement la
propofee une difFerentielle exafte, & par confequent que
r expreffion du fafteur ainli trouvee, donnera autani de
folutions de la propofee qu'elle aura de valeurs reel-
lement differentes. Ce qui peut abreger beaucoup la fo-
lution des Problemes fuivans. Mais d'abord on conclura
de ce que je viens de dire.

i.° Que pour le premier ordre , comme on ne doit
avoir qu'une feule integrate, il fera permis de faire I'equa-
tion hypothetique en A de la forme A'"p -t- a t= o .
m ^tant un nombre rationel.

2.° Que pour le fecond ordre , comme on ne doit
avoir que deux integrates , il fera permis de faire a -+- f ^^
-f- q A = o .

3.° Que pour le troifieme, comme il n'y a que trois
integralts, il lera permis de iaire a^t-pA^-t-qA*'*'
^ r ^' " = o .

Er ainh de fuite*
On pourraic obferver ici, qu^au lieu des formes ci-def-
•fus, ilferait plus general de .prendre pour le iroillerae ordre

& les fup^rieurs des formes a -^^ p J" • a'-t- p' A" &c.

parceque ces formes, quoique aparrenant a des equations
plus elevees, ne donnent ccpendant pour A qu'uii mSme
.nombre de valeurs, Mais ces formes me paraiffent appar-
tenir au cas ou A"" etant donne par une equation du de-
gre m -h m &c. ces vi -+- jri' valeurs fe reduiraient \ deux,
& ou ces deux fafteurs rendraient la propofce de la for-
me d^'V ^ (['""y; en eflfet fi 1' equation en A contient
des racines egales , on aura en la differentiant le coefficient
de dA egal en meme tems a zero , & donnant A par
une equation d' un degre moindre ; or puifque cette nou-
velle equation fatisfait aux equations de condition , il eft
clair , ou que toute Ces racines y fatisfont , ou qu'elle a un
divifeur rationel: le premier cas eft impoffible, ou retom-
be dans celui que j' examine , & donne une equation d'uii
degr^ moins eleve ; dans le fecond en faifant fur le quo-
tient le meme raifonnement que fur I'equation fuppofee, &
ainfi de fuite, on trouvera toujours que la forme, qui don-
ne a y^ autant de valeurs que la propofee a d' integrales,
a toute la generalite fuffifante.

III. On voit par ce que je viens de dire, que fi d'un cote
la recherche des fafteurs eit plus difficile, d'un autre on
peut par une feule operation trouver a la fois un nombre
de fafteurs egal a 1' expofant de 1' ordre de la propofee.
Les Problemes pour lesquels j'ai expofe des methodes dans
la fuite du Memoire fe refblvent de meme que fi le fa-
fteur etait rationel, & cette plus grande complication du
fafteur n' y ajoute aucune difficulte particuliere. Nous ob-
ferverons feulement que , lorfqu'on aura trouve un nombre
de fafteurs difFerens , I'ordre de I'equation etant n , fi Ton
veut n' avoir a integrer par les quadratures que des fon-
ftions rationelles, on prendra autant de fafteurs qu' il y
€n a qui contiennent des radicaux donnes par des equa-
tions differentes , on fera difparaitre les radicaux , & re-

i i %

148

gardant la propofee mife fous une forme rationelle Comme
une equation dii premier ordre, ce qui eft toujours per-
mis , alors on difFcrentiera. On aura done une equation du
fecond ordre a integrer, on en connoitra un des fatleurs,
par confoquent 1' autre facteur ne contiendra d'autres ra-
dicaux que celui d'une equation du premier ordre, & me-,
me n' en contiendra point du tout , parceque 1' integrale
d' une fonftion ne peut pas contenir d' autres radicaux
que fa differentielle exafte .

Exemple de la mhhode expliquee cl-deffus.

Soit r equation du premier ordre
4X^dy — ixyJy — ixydx ■+• xy'^dx •+■ xy'dy — ly^dx — x'-dx
— ■ x^'dy -H 3 xydx -+- xydy — ly^dx = o .

Si je la mets fous la forme Bdy -+- Cdx = o & que

, . ,. ^ . - . dAB dAC „ .„ ^

multipliant par A je luppole — — = — - — , &^'"=^.

Q etant une fonftion rationelle, je trouverai que je puis fup-

I

pofer m = 2&Q= x'y* — x^y^ — xx^y"^ -+- A^^y^ — zx^y* —

^xy -i- x^-i--}xy--xy & en extraiant la racine ^ :^

\^x — y ■ xy- — x' -+• xy maintenant on reduira la
differentielle ainfi trouvee aux fraftions rationelles en fai-
fant X— y = i^S>cy=:x — ("ScV integrant on trou-

vera que Tlntegrale en eft /x — {^ — {— /x— ^*-i-^ —
— -*• N ; d' ou on voit que T integrale de la propofee eft

ly — v^x — y — ^y-t-^ X —y — ^ ~ -^ -+■ N = 0 .

149

IV. On pourralt auffi employer la mdthode des feries
pour trouver le fa£leur A , les loix de ces feries feraient
fuppofees de la forme qu'elles doivent avoir pour reprefen-
ter les racines d' une Equation algebrique , & on trouve-
rait les moyens de rcndre cette forme comparable avec
celle que donnent les equations de condition pour la loi
d' une ferie qui reprefenterait A .

V. La raifon , qui m'avoit porte a regarder comme ra-
tlonel le facleur de toute equation rationelle , venoit de ce
que le radical qui pouvait s' y trouver me paraiffait de-
voir avoir un co^ficient arbitraire ; mais on voir par
I'exemple ci-deffus que quoique dans la differentielle exa6le

le coefficient de \^x — y foit arbitraire , il ne peut etre
fuppofe tel dans 1' integrate , parceque parmi les quantites

rationelles fe trouve le quarre de '^ x — y dont le coeffi-
cient n' eft pas arbitraire , & voila ce qui diftingue les
radicaux algebriques des interfcendants dans la queltion qui
nous occupe ici.

Quoique la fuppofition que j'ai faite ci-deflus me parailTe ge-
nerate ; cependant conime elle depend de la theorie des equa-
tions determinees, theorie qui n'eft pas encore fuffifamment
eclaircie au defl'us du quatrieme degre, it faudra peut-etre pour
plus de generalite au lieu de fuppofer I'equation au fafteur du
degre n m pour I'ordre n & ne contenant que des puiflances m.

la luppofer du degre & ne

contenant que des puiflances /w ; /? eft ici le plus petit di-
vifeur de /z -+- i autre que 1' unite. 11 y a cependant
tout lieu de croire que la nouvelle etcndue que je pro-
pofe ici de doiiner a cette folution eft faperflue parcequ'
une quantite qui n' eft fufceptible que de n valeurs ne

a 5©

differeralt de la premiere forme indlqude ci-defTus , que
parcequ' il y aurait a ces n valeurs des coefficlens irra-
tionals, que I'ereftion a la puiffance m ne pourrait faire
difparaitre ; mais 1' equation qui les fait difparaitre etant
homogene entre la racine & fa valeur affeftee de ces coef-
ficiens la forme de la racine refte la meme que ci-deffUs
dans le cas prefent oil ces coefficiens font arbitraires.

Ribemont du yo Avril 1771

DE INTEGRATIONE INDEFINlTINOMIl! '

i««^ uum hie commentarius ah aucfore P. Gianella foe. J^fu
Mathejeos projejfore in Coll. Braid. Mediolani ad cl. Comi'
tern Salutiarum mijfus fuijjec ah an, 1769. men/, fehr. ut
ipfum R. SociETATi offerret , quumque fociorum ad id dele'
Sorum fuffragiis juijfct prohatus , qui & auBoris ingenium ,
& in arduis , intricatifque computationihus expediendis faga-
citatem commendarunt , SOCIETAS huic Uhro inferendum ejfe
decrevit.

JL ropofito difFcrentiali x~' dx X", in quo cum expo-
nens r ell politivus, fii X = fx" -+■ g x"' -i- h x"" -+-...,
cum vero e(t negativus, (\x X = f -\- g x" -i- h x"' -t- . . . -,
quaerentur i.° conditiones , quibus affefti effe debent ex-
poncntes r, m, m\ /n" . . . , ut x—' dx X' poffit inte-
grari : deinde fi in exponentibus repertae conditiones non
Contineantur, quaeretur methodus obtinendi feriem , in
qua exponentes extra fignum , ut aiunt , perpetuo ad uni-
tatem accedant , quaeque ita ubicumque abrumpi poflit >
ut noti fint termini nondum integrati , qui iint addendi.
Hinc cura poni poflit y dx = x-' dx AT", tive y.
::?= X — "■ X" , (i fuerint repertae conditiones ad integran-
dum x — 'dx X", habebutitur quoque conditiones , qui-
bus exponeutes praediii efle debent, ut curvae , quas
exhvbet aequatio y =?= x — '' X" y poflint quadrari.

I.

Ponatur ergo /a: ± ' dx X" = Jx''X^-^ ' -+- fVdxX" (Mj,
ubi quantitas conllans /4 , variabilis V , exponens u , de-
bent in decurfu determinari : turn fumantur differentiae ,
quae dividantur per d x ^ Si. multiplicentur , vel dividaix-
AUJc. Taur. Tom. IV, k k

tur per X" prout exponens n fuerit vel negatlviis , vel
politivus : habebitur.

a jf
In hac aequatione pofito n -+- i = n', & fubrtituto
valore Indefiiiirinomii X, & eius differentia divifa per
dx, cum exponens r elt pofitivus , haSebitur.

x'z=:Aufx" ■*- " — '-hAugx"' -*■" — ■ -^-Aukx"' •*■ ' — '-+■...-+- r

Amn'fx'" -*•'•-' -^Amn'gx"'-^"— '-fAm'nhx'""-'-'-'-^ ...
Sit modo exponentium m, nz' rra" ... maximus m, &
fiat m -h u — I = r, unde u — i =f ^ — m, u =r-+- i — /??,
fiat praeterea A u f ~i- Am n f= i , unde

Aug H- Am n g — \ ^.

° (r-*-i-w-t-n'w)/

^wA -+■ Am n'h =-

[^r ■*- \ — m ■+■ ti m )f

hinc F = — !: — x"' -t"-—" _ ) —

[r-t- i-m-i-n'm)f (r-t-i-m+n m) j

Cum vero exponens r eft negativus , erit

X— '=Aufx'' — '-h Augx'-*- " — '-+■ Aukx'"' •*•" — '-*-.. -hV

Amngx"-*-"— '-^ Am' n'hx'*' ■*■'' — '-^....

Quare exponentium m , m' , m' . . . fappolito m minimo ,

& polite u — I =/■, Auj= I , eodem modo habetur

^= r-^T?' & i^ = - ^T"";:^-^ ^"-'
( ' -'^)/ (I-')/

, , >* -*- ^"^ • • •

( '-'')/^

Subftitutis vero in M valonbus inventis pro A^Y^ «,
habebitur in i," cafu.

fx' dx X' = ; ^— -x"*" " A''-*-' -^

■' \r -*' I — in -^ n m ) f

m > -t- r — m

* */x A' — /. .. in 1° cafu

X d X X' — / — -—

m' — r

X dx X-

Goneraliter autcm fafto in i." cafu

I — m -t- n m 1= a i — /n = ^

I— — «i-+-/z/n=a m — m = q

1— OT-+-rt/ra=a m — m = (]

In z." I == a I = y

1 -i- n m s= a m = ^

\ -i- n m z=. a m = ^

• ••«• «••

habebitur ,

/, i . j.x-=^--i — .. -'■*■• a:- - -f^<^^

>: - ^xX"— /'t^ ^.x dxX"^

^%-^)h~ ''-^'- • • ; • </^)

Hinc patet terminos affeftos figno / futures in aequatione
a uumero t , li termini in d<ito raultiuomio fuerini t -t* i .

kk:

156

I I.

Sit iam X = /x" -+- g , vel X = / -4- g x* ^ fit
fcilicet X binomium , hinc N frit

fx- dxX''=j--^-yX- X'^^ -/ - '/,

X ~ dx X". Quod fi in iV" loco dr r fubftituatur

-+- r -4- ijS & tota aecraatio iV multiplicetur = -%,

habebitur — /-- -> * rfArA" =

Quod fi eadem inltituatur operatic pro tgrmino affe-
Oo figno /, qui poftrerao habitus eft , & eadem rurfus
repetatur pro novo termino , qui haberetur nondum inte-
gratus , habebitur feries.

fx- ix X" = — r> X- X"^' - ,^ .r,^ .^

i't.r'^-a)f{'tr'*-q' ■+-a')f{;t.r'*-iq' -t-a)

-4- r ^- J -f. i J'

X - X"-*-' — &c.

terminus porro j*'"""' erit

appofito figno negaiivo terminis pajibus, reliquis figno
poutivo.

Quod fi alicubi fit feri« abrumpenda , addatur / P

± ' -t- » J'
( Hh r-H (j — I ) /-H a ) g x d x X* vocando — P

coefficientem termini antecedentis s'''"' integrati. In-
tegrabitur vero omnino propofitum binomium differentialc,
nee quidquam addendum erit (eriei abruptae poft termi-
num s , (i fuerit -hr-t-(j — i)^'-+-a't=o, fci-
licet cum exponens r elt pofitivus r = s m — i >& —
r = — I — s m — n m y cum r eft negativus.

Identidem vero contingit denominatoris faftorem aliquem
fieri = o , cum icilicet -^z r -^ (s — i ) q' -4-a=o.
At turn feries ufque ad eum terminum continuetur , quem
fi tranfilieris , incidas in huiufmodi faftorem : abruptae
vero adde ut fupra fP (^t. r -i- (s — i ) <j -*- a )

gx d X X". Quod fi r fuerit pofitivus & ± r -+-

s ij' Z> — I , turn circa hunc terminum operandum eo-
dem omnino modo , ac quando ab initio exponens r eft
negativus. Habebitur vero integratio, fi fuerit r = — t
— n m .

III.

Hinc vero aperitur methodus inveniendl conditiones,ut
indefinitinomium ipfum integretur. Sit A'^ ut in fine arti-
culi I. Ex terminis vero , qui in N afficiuntur figno /,
unus tantum fuperfit , reliquis evanefcentibus, fafto nempe
numeratore = o , tum circa fuperftitem terminum eadem
recurrent omnino , quae ariiculo antecedenti difta funt
de Binomii integratione. Cum autem ex terminis afFeftis
figno f poffit fuperefle primus, vel fecundus, vel teriius &c.
ideo datum multinomium tot modis poterit integrari,quot
unitates continentur in t .

Sit e. c. X trinomium , hinc t r=r i , duobiis ergo
modis integrari poterit , in quorum qaoque cojdltioncs
duae repciientur.

Primus fi lit -^- r -i- a' = o , &r -+- r -f- (j — i ) ^"-h a"= o

Secundus fi lit -v- r -+- a" = o, & -+- r -^ (s — i).j' ^.a = o

Sit X quatlriiiomiuni, liinc & r := }, & tub /S modis.

integrari poterit, in quorum quoqae rr s fjnt conHuioies.

Primus -i- r -»- a'u= o, -^ r-f-a"=o, -^+-/- h(s-\)j"'-i-a"= o

Secundus -•"r-t-a'=o,-'-r-(-a "=o,-«-r-i-(i-i)^''-i-a"-;^ o

Tertius -'-/■-t-a"=o, -^-r-i- a"=o, -*- r -+- (j- 1 )y'-j- a'= o

Et fi X fuerit quinqiuRomium, vel fextiii'imium eoJein

prorfi.is mode licebit conduiones repeiire. Hinc i.i mul-

tinomio modi illud integrandi eruiit numero c i Si, nu-

mero pariter t erunt con jitionei , quae in qjoque modo

reperiuntur. SubiHtutis vero pro a', a", a", . . , & ^', ^'\ q'\ .

eorum v.'iloribus ex artic. 1. , p.ojt r taer'n vel pofitivus,

vel negativus , non omnes modi aeque apri reperientur ,

fed unus prae alio eligendas erir, prout fuerint exponentes

r , m , m, m" .... inter fe couiparati. Meihodi applica-

tionem non perlequor : fufficiat praeftitifTe quod primo

loco propofitum fuerat.

I V.

Sin exponentes repertis careant condirionibus , ad ha-
bendain , quae lecundo loco quaerenda propofita fuerat
feries , ita erit operandum.

Refumpta aequatione N , in ea , ut in artic. II. pro
binomiis , loco -*- r fubftituatur H^ r -t- / , & tota da-

catur in — ~ r> = — -^ ( rh '' -H a)g, pofito

= y^. Obtinebitur autem hoc pa6lo valor

(*'■'*-'«)/

pro terminc — /—■ -^. x d x X". Eodem mor

M9

J* I !• ' • • A "*" r -^ a'' ) h
do qunerantur valores pro reliquis fermims '^J—=

X- dxX' ^j)-" ;'x- dxX'-f...

•^ {-^r ■*■ a ) f ■'

Quod cum peratium tuerit , habebitur.

-+-fJX-hr~>-^'~ha)gx~ dxX"
^ fAX-±r-^q'-^a')hx~ dxX*

^fAX±r^q^ayx- dxX'

1+1

—fA±r*ytx dxX'= — -i^-^- X - X

^fB(-±r-+-f-i-a')gx- dxX'

It''

'^fB{-±r-^q"^a")hx- dxX'

-f-r-f-j-'-^-o'"

't-fBi-±r-hf-ha")ix- dxX"

-+-/C(Hrr-H^"'-*-a"Oi*~ dxX''

In his valoribus pofitus eft coefficiens — - — ^-~-:=A'

i6o

A{±r-*'^')b ___ J(±r-*-4"')i _.

Eadem rurfus operatio in his terminis inftituatur , qui
habiti funt affefli figiio /, & politis

^' ( rt r -+- / -H a" ) A -H i? ( --h r -t- /' H- a') ^ = .5',
^ ( :+- r -H ^' -H a " ) i -H C ( -*- r -+- ^"' -+- a' ) g" = C,
&cB {-^r-^q -h a" ) i -t- C (rt r -H /" -H a") A = r ,
obtioebitur

"♦"/•-t-Jj'

-f-r-t-jj'-f-}'/

— //4"(±:r-*-x9'-*-a'0/lx- ^xX"

—fA'Xztr-^iq'-^a"') i X- dxX' ■

-f.r-l-lf'-l-}'''

^fB'X-^r-^-q'-^-f-^a") hx- dxX'

—fB'X±r-hq'-t-q"-h2") ix±'-^f'-*-i"-*-i"'

-f

fC'x- dxX" = -~-^-;j-—- x~ X'*'

—fC"(:±r-^j'-hq'"-i-a') g x' dx X'

—JC"{:±r-\'q'-^q"'-^a")h x" dxX''

—fCX-±r-i'q'-hq'''-h2'")ix~ dxX'

— /Z?(-+-rH-z/'-4.a")Ax-
fe X dxX''=- ■ — x~ *'«-«-.

—J£.{:±r-t-q -+-y -j-a )i X dxX*

^~y • • • •

fc{±r-^q'''-i-a'yx-^^''''dxX'==^^^^^fj!::^ ±'h.,+.,v,

—/fCdrr^-if '-»-/") i x-'^*'"' dxX"
~~l/ • • . .
Inqulbus pofitum fuit — LltL^-^^^g ^/ ^^ o„

•~ — Ti

{±r->-ig"',.a)f

Operatic rurfus eadera circa novos terminos nondum
integrates inftitui pollet , led haec ad ea , quae le-
Mifc. Taur. Tom. IV. 11

26l

quuiitur , intelligenda , fufficiuur. Nunc vero oftendam ,
quo pafto lex generalis pro ferie eruatur , & pritno
quidem oftendam legem generalem exponentium , &
numeri terminorum in quoque feriei tcrmino, fecundo
legem coeflicientium.

Moneo autem terminum Ax~ X" "*" ' habitum ex aequa-

tione A^mihi eflTe terminum primum feriei quaeGtae, terminos
{A'x± ' + » * 5' -t- ^x± '-»-?-'-«''-,- Cx^'-i-^-^i" ^. ...) X" ■*• '
habitos ex prima operatione , mihi effe terminum fecun-
dum feriei quaefitae , & terminos habitos ex focunda ope-
ratione ( y4"x±'-*-'-^ =''-+- ^"x±^-^?-*-?'-^'' -H (7"x±'-^»-^''*»'"
_f. Z^xi'"^'"*"''" -+- Ex±'-*-i-*-i"-*-^"' -+■ i^^•±'■■+■'■^ *«'"-»-... )JSr""^'
effe tertium , atque ita deinceps.

V.

Quoad primum igitur , cum exponentes termini fecundi
habiti fint fubllituendo loco r in termino , qui iam inte-
gratus habetur in TV, exponentes terminorum , qui in N
nondum integrati, nempe rb /" -+- ^' , -+- r -+- q", 7+- r H- ^", . . ,
& cum exponentes terrii termini habiti fint pariter in eo-
dera aequationis N termino fubftituendo loco -+- r expo-
qentes -4- r -4- z q' , zh r -i- q' •+• q" , -±: r -i- q' -h q"\
-^ r -»- 2 / , rh r -f- / -+- q"\ -J- r -H 2 q'", fcili-
cet exponentes terminorum qui' habiti funt nondum inte-
grati in fecundo , & cum , perinde , ut in his feriei ter-
minis , habeantur exponentes pro rehquis ; patet & tot in
fecundo feriei termmo diverfos exponentes haberi , quot
in aequationis A^ terminis nondum integratis habentur fim-
plices exponentes diverfi q', q", q". . , & tot pro tertio
diverfos exponentes obtineri , quot poffibiles diverfae com-
bioationes binanorum ex adduione limplicium exponentium
o', q, q"'. . . , & in quarto quot horum ipforum (impli-
Cium exponentium diverfae combinationes ternariorum &c.

r , ^ I II III IV V VI

2 i

J«3
Hinc generalirer ad habendum & exponentes , & lui-

merum rerminoruin pro termino feriei j -h i , fiant cm-
nes poflibiles combinationes s."'°""" ex additione fim-
plicium expoiientium y', y', ^'" addito ubique -*- r -r- y .
Ut autem facilius inaotefcai s."'"'""" omnium mi-
merus , fit adiecta tabella numerorum , quos |x)lygonos
vocant, in qua pro quoque termino lex generalis e(t, ut
ille aequetur & numero proxime antecedenti , & numero
proxime fuperiori.

Numeri Roma-
ni, qui tabeliae fu-

perl'cripti reparian- . .. x. 3. 4. 5;

tur , numerum indi- t =^ "i /»i: 3' 6: 10: 15:

cant terminorum fe- . i: 4: 10: 20; 35: 56

riei quaelitae : nu- j . ^- 5- 'j: 3j: 70: 126

meri vero per co- \. ' j

lumnam a latere adfcripti valorem indicant numeri t .
Hinc fi e. c. r = 4 , iumenda erit quarta hnea , & pri-
mus terminus feriei unicum dumtaxat contmebit terminum,
fecundus 4 = t, lertius 10 , quartus 20 , quintus 35 &c.
Quod ii alicubi lit abrumpenda fenes e. c. poil termi-
num s«''°""° • ad habendum & exponentes , & nume-
rum terminorum , qui adhuc aiFc£li funt figno /, quae-
rantur , iic conibinationes ipfae , & namerus s."'*""" addito
ubique •±z r .

V 1.
Quaerenda nunc coefficientium lex. Infpicienti terminos
,iam iniegratos in articulo IV, haec eruuntur.

I. Quotieicumque factor aliquis , veJ divifor coefficien-
tium continet a , fattor ille , v^l divilor muhiplicacur per
/ primum coefficientem alfumpii multinomii , qjotiefciun-
que vero continet vel a\ vel a", vel a'''.., multiphca-
lur per coefficientem fecundum , tertium affumpti muitino-
mii , videlicet per g , A , i , . .

II2

164

%. CoefRciens quifque cuiufque termini s''™' leriei
habet divilores numero j, fadores vero numero s — i.

V Noiinulli coefficientes pluribus coiUlant partibus, qua-
rum quaeque numero fecum aequalibus faftonbus , & divi-
foribus componitur.

4. Ex fartoribus qui maximus, ille nempe , qui plures
exponenres continet , immediate peiidet ab exponeute ter-
mini , cuius eft coefficiens ; a maximo autem is pendet ,
qui ex reliquis maior ell , & ex hoc rurfus qui ex refi-
duis maior , atque ita deinceps. Divifbres vero ita a fa-
ftoribus pendent , ut his datis dentur & ilii. Qaibus om-
nibus rite perfpeftis en qua ratione ddto exponente ter-
mini alicuius , eius coefficientem repcrio.

Sit exponens -•- r -4- ^ -4- / -+- ^"'. Deleto ^ , loco
vel ^', vel q" fubftituatur vel a, vel a". Cum hoc du-
plici modo poffit fieri , duo faftores maximi habebuntur ,
adeoque hinc iam duas partes habebit coefHciens , fcilicet
•:^ r -+- ^' -H a'" , -+- r -t- q'" -+- a'.

2. In utroque faftore maximo deleatur & a"\ & a\ &
loco refidui ^', ^"' fubilituendo a, a", exurgent duo fa-
ftores fecundarii r*r r -+- a', -+- r -f- a", qui per maxi-
mum ilium , a quo oriuntur , faftorem , & per corret
pondentem aflumpti multinomii coefficientem multiplicati
dabunt (:^ r -+- y' -t- a") i (r^ r -i~ a) g, (-*- r -h q" -H d)g
( -+- r -+- a" ) i . Cum vero in fecundariis fa£loribus non
amplius q vel q" reperiatur , nullus alius erit addendus
faftor.

3. Quifque fa£tor dividatur per faftorem ipfum , in
quo loco vel a', a'", fubllituta fuerit quantitas a , turn
totus exortus coefficiens dividatur per exponentem ipfum,
in quo loco q fubftituta pariter fuerit a : appolito demum
cuilibet divifori /, habebitur coefficiens

(±

z65

•+-<•

)/

pro termino cuius expoiiens eft r»- r -+- ^ -+- ^' -+- ^'''

Sit exponens -+- r -H ^ -+- ^' -+- i ^" , liinc fattores
maximi erunt duo , quibus & fubfcripto divifore , & du-
Q.\s in correfpondentes'/, g , h , i , habetur
( ± >■ •+- (f -H fj'" •+- a'" )i i± r ■+■ % (/" ■*■ a' )g

{±r-*-q' -i-q" -^-a) f"* {± r ■*■ l f -^ a) f

Fafta vero in horum primo fubftitiitione , ut fupra ,
cum haec duplici modo poffit fieri , duo erunt pro illo
faftore maxiino faftores lecundarii , quorum quifque per
eum ipfum muhiplicatur. Unico vero modo pocerit in fe-
cundo fubltitutio fieri. Hinc totus coefficimus eric

(±r-4-^'-f.^ "'-(-,74"') ;
{+r+q'-*q"'-^a)f ^

s

r-^q"'-^a')g (±r-+-4'") ;

K.[_-±r^q:-+a)f{±^a)f

n

{±r'+-g'-*-iq "'+a')f

i±r-^iq"'-^a') g (±r-^q"'-*-a"')i i±r-^a"') i
i±r-hij"+a) f (±r^q"-^a'")f (± r^a)f

Sit exponens generalis -^ r -\r q -^ (iq -^~ y q'-i" i q"-^...
in quo j8 , }/ , S.. lunt quicumque nuraeri integi;

1 . Ex exponente delete q , loco unius ex reliquis q .
5", ci''. . . , iubllituatur vel a\ vel a" , vel a". Cam hoc
nunc triplici modo polfit fieri , totidem enim hie luppoliti
exponentes q, q\ q" , tres pariter erunt factores , quos
fupra maximos vocavi , quibus fi fiibfcribantur correfpon-
dentes divifores, & omnes per corref[jondentem cotffivien-
tem /, ^, A, I multiplicentur , habcbitur
(±r-t- C^-i) q'-^y q" -*-^ q'" ■+-•••+- 4' ) g

(^r-t- t^-l) q'-i-y Ci'y^i q"''*-..-*-4i) f

^Q

z6(

*

\--Pq'

-1-

(,.

07"

'+-'f /"-I-.

..-•-y

)h

r-*-(iq'
r-^(^q'

0?"

-1- ''" if

-,•+-4

. -!" a"

)f

')■'

Ts- n'" .+-...+■ zi ^ r ^

= R

:= 5

2. Ex faftoribus Q , i? , 5" deleto a', a", a'", loco unius
ex reliquis q\ q'\ q". . fubllituatur vel a', vel d\ vel a"',
quod quidem triplici rurfus modo hie potell obtineri. Subfcri-
ptis vero diviloribus, & appofitis correfpcndentibusy', ^, A, i . .
Q dabit

( ± r ^- ( /? _ I ) ^' -^ (y- i)q"^f g"' -f- . . -f- 4" ) f>
(^± r-i- (/<?- 1)1?'-^ {? - i)q" '+'^ q'" ■+-..■+■ a) f
(±r-^ ((S-i)q''^>q"'^ {^ - 1 ) q'" -*- . .-^ a'") i ^

fimiliter fupponatur ab R haberi i?' -4- R" -f- i2"',&ab
6", 5' -1- S" -4- 5'".

3. Eadem operatic, quae modo circa Q, R, S infti-
tuta fuir, repetatur circa Q', Q", Q", R\ R\ R\ S', S", 5",
& fupponarur

Q praebere fatlores Q^ -4- Q^' -t- Q^"

Q" Qi^ ■+■ Qt^'-h Qf^"

Q" Qi^ -4- $' -^ §''

i2' vero faBores A^ -»- i?^' -h i?^"

/2" . ief' -»- i?'*' H- Ri^"

R" R' H- i?"' -+- R'"

& demutn .y praebere S'^ -+■ ^''' -+■ S*^'

S" Si* -J- ^>' -+- >"

4. Rurfus eadem operatio inftituatur circa omnes de
novo nunc habitos terminos , rum rurfus circa eos , qui
ultimo habiti fuiflent , fi inftituta operatio fuilTet , idque
donee continua unitatum fubtra^lione a numeris j8 , y,l.

(±r-

& ifti exhauriantur , & nil fuperfit aliud quam y^ —

167

{±r-^a')h ( ± r -+- a'" ) i

*)f'

Quod quidem cum non fine labore plerumque peranum
fuerit , ad habendum quaefitum coefficieniem repertae quan-
titates erunt difponendae , ut in tabula lequenri

r X < S'

>

( It r -t- /? (7' -»- >■ j" ■+■ ^ q'" -+..,.-+- a)f

168

Atque haec lex eft coefficientiiam pro quoque feriei ter-
niino. Sia abrumpenda effet I'eries ipia , ad inveniendos ter-
minorum , qui nondum fiint integrati, coefficienres, perinde
omnino operandum erit. Haec tamen duo advertenda : i.
euindem effe coefficientem termini , cuius exponens eft
tH/--+-y-+-|8^'-+->'^"-i-^ q" -H . . , & termini ,
cuius exponens lit th r -f- |8 "7' -+- v 4' ~*~ ^ 4" "'"•••

1. omittendum efle diviforem .— —, — ~ — jr-;;, — -,

qui omnes coefficientis ipfius partes multiplicat.

Hoc unum fupereft obfervandum , quod fcilicet coeffi-
cieiues termini s'*""" in (erie afficiendi funt figno ne-
gativo fi s lit numerus par , & negativo fi j fit numerus
impar. Quod eiiam intelligendum de eo termino , qui ad-
dendus eft cum feries ipfa abrumpitur.

VII.

At fi in propofito indefinitomio fit ot' = m :+- i ,
m" =■ m -*- ^ &c. , fi nempe pofito m aequali cuicum-
que numero , reliqui exponentes m\ m" . . . progredian-
lur in ratione arithmetica , cuius differentia fit uniras ,
turn nee ternarii , nee quaternarii ita crefcent , nee adeo
implicata coefficientium erit lex, licet ipfi coefficientes ad-
modum multiplices evadant. In hoc cafu igitur.

I. N erit

-/.. ..

1^9
1. Numeri terminorum pro quoque ferlei termino in

hac rat ione arithmetica i : t : x t — i : 'i t — 1:4*

— } &c. progrediuntur ita ut in termino s.*'*"' feriei

termini fmt ( s — 1) t — (s — i).

3 . Ad habendos vero coefiicientes pro quoque feriei ter-
mino en quale compendium ex iis , quae ha£^enus di6la
funt , exurgit.

Difponantur , ut in adiefta tabella plures quantitates per
columnas , in quarum prima unica quantitas reperiatur , in
fecunda fmt numero t , in tenia 2 t — i , atque ita deinceps
in raiione fupradifta A — A -h A' — A" ■+■ A" —
arithmetica : columnis •— £ -i- B' — B" -+- B'" —
vero paribus praepo- ^ C -i- C — C" -+- C" —
natur fignum negati- D -*• D — D" -+■ D" —

vum , reliquis polili- . H- £ — £' ^ £" —

vum. . -^ F — F -hP' —

Sit autem una ea- . •4- G — C -+- G" —

demque omnium cu- . — H ~h H' -—

iufcumque columnae . — / ^ /' —

terminorum lex, ut . — L -^ L —

& denotante^ termi- , ^ Q _

num primum, fecun* :

dum , tertium Sec. *

in quacumque columna , terminus , qui in columna
s/'"* obtinet locum p aequetur terminis , qui in colum-
na antecedente obtinent locum p , p — 1 1 p — 2,...,
p — t -+- I muitiplicatis per certum faftorem Z .
Sit vero Z eiufmodi , ut cum multiplicat termmum p

in columna antecedenti fit -^ — iLl-iZjJJ. — l—^^^Z'

(±r-». (/»*/- 1) J' -<)/'

cum multiphcat termmum p — i fit \^ —JF=Z

Mifc, Tour. Tom. IK, m m

17°

cum multiplicatterminum p-i fit^- — -i ■=Z"'8cc

retinendo femper emndem denaminatorem , & in iiume-
latore apponendo fucceflive { p -¥' s — 3 ) / -+• a ,
{p -\r s — 4) f H- a'rip -h s — y ) ^' -H «'",
(p -h S - 6)q' -h «% &C.

His ita pofitis ad habendam feriem ipfam quaeiitam ,
quifque cuiufque columnae terminus multiplicetur per

X A""**', prima columna ita multi-

pli-cata dabit primiira t-erminum feriei , fecunda fecun-
du-m &c. , quod (i alicubi fit feries abrumpenda multipli-
cetur terminus quifque (equentis columnae per

±-''-+" (/ -♦•'—»)»
f{rtr-f-(p-^s^x)q-i-a)fx d x X'

Ancequam finem fecio , non abs re erit obfervare om*
nia , quae in hoc artie. Vll. difta funt , trinomiis quo-
q«e, in^ quibus exponentes fint utcumque^ communia efle.
Qiiare ad habendam. feriem difpolitis per columnas quami-
iwibus pfogrediemibus ixi progreflione numerum naturalium
I. z. 3^. 4. &c. , &• praepofito , ut fupra , figno ,
haec fit lex cuiufque A — A -^ A" — A" ■+- . .
columnae terminorum , — B -*- B' — ^" -H . .

ut nempe quifque , qui -i- C — C -+- . .

in columna obtinet lo- — D. -h . .

cum p , fit aequalis &
termino, qui m columna antecedenti obtinet locum p

multiphcato per -—, —^ ^-!^ — -^ ^

Sf tetmino,. qui in eadein columna antecedenti obtinet

1 * ;■■■ 1- (±r-^ (s-p)ti''h(p-i)(j"->-a")/l>
lacumr-B — t roultipliCJWo per — ; \ ■;- 7 — ' „ : , i. .tii

■ Turn ad h»bendam feriem , cuiufque columnae terminu*

raultipljcetur per * * X*~ ' .

*7»

Quod fi alicubi fit feries abrumpenda, (equens columna

±''-*-{' — f)f-*-(j' — Of"
multiplicetur perJ(->-r-i~(s—p)q'-ha)fx JxX".

Inventa ergo, quae duo ab initio propofita fuerant ,
quaeque forrafle ad illuftrandam earn calculi integralis par-
tem , quae de difFerentiis primis agit , & de fra6:ionibus
rationahbus , nonnihil conducere videantur.

RECHERCHE s'"

Sur le calcul integral aux differences injmiment
petites, 6 aux differences finies.

Par M.' De la PLACE.
I.

JL armi le grand nombre d' equations differentielles que
Ton rencontre dans la relblution des problemes oil il s'agit
d' appliquer le calcul a la nature , les plus ordinaires , &
les plus remarquables font comprifes fous la forme gen^-
rale.

•^ dx dx' dx' dx

X 1 H ^ H\ H" &c. etant des fonftions quelconques de
la variable, ;c , dont la difference eft fuppofee conltante.
II feroit done tres-important d' avoir une methode gen^-
rale de les relbudre , & il n' y a aucun doute que le me-
canique , & plus particulierement encor rallronomie phi-
fique n'en retiraffent de grands avantages.

M." d'Alembert, &: Euler ont refolu depuis long-temps le
cas oil Ton a H, H\ H" &cc. conltantsj le premier , par
fa belle methode des coefficiens indetermines qui eft fu-
rement une des plus ingenieufes , & des plus fecondes de
I'analyfe , le fecond , par une confiderarion tres-ftne, &
qui eft du plus grand ufage dans le calcul integral. Dans
le troifieme volume de ces mdmoires , on trouve de proton-
des recherches de M. de la Grange , dans lefqueiles ce grand
Geom^tre integre le cas ou Ton a , H = A [x-^h)

U' z= A' ix-^hy
H' = A\x-f-hy
&c.
Mifc. Tom. IV. n n

174

A , A &c. » & A , ^tant de$ conftantes. II fait voir de

plus que cette equation

X^ y-^H^-t ^H. ^ -♦- &c.

eft gendralement integrable dans les memes cas que celle-ci

,, d V „ </*v
o = y -+- H—--k'H.~- -+- &c.

"^ <^;r dx^

Ce beau thdoreme dont M. d'Alembert a donne dans
le meme volume une demonftration fort fimple , eft xxn
pas tres important vers la refolution generale de ce genre
d'equations. M. Bezout avoit fait depuis long temps fur
ces equations des remarques analogues qu' il a depuis don-
nees dans le quatrieme volume de fon cours de math^-
tnatiques.

Voici prefentement une methode qui m'a conduit non
feulement a la demonllration de ce theoreme, mais de
plus a trouver (ur le champ 1' integrale de la premiere de
ces Equations lorfqu'on a celle de la feconde. Cette me-
thode ne fe borne pas d' ailleurs aux differences infini-
inent petites , on verra , ci-apres quelle s'applique ^gale-
ment bien aux differences finies.

Remarque,

Par integrale particuliere d'une equation diffdrentielle
entre x^ ^ y ■, on peut entendre, ou une fonftion de,
* , qui fubdituee pour , y , dans cette equation en faffe
evanouir tous les termes ou bien une pareille fonftion de,
*• , qui de plus foit comprife dans I' integrale generale de
cette Equation en determinant d'une certaine maniere les
conllantes arbitraires que T imegration y introduit ; car
M. Euler a fait voir que la premiere de ces deux pro-
pfietes^eut tres bien fubfiller lans la feconde, Celt dans
le premier fens que je prendrai d'or en avant 1' integraie
particuliere d'une equation differentielie.

I I. t75

PROBLEME I.

Soit propofd d' intdgrer 1' equation difF^rentielle

•^ dx dx* dx" ^ '

Xt H, H' &c. etant des fonftions quelconques de , x ,
^ , d X eunt iuppof^ conlhnt.

Solution.

Soit , a j^ -^y = r , ( 5 ) , « , fi- r, etant des fonaions

de , *• ; cette equation differentiee fucceflivement devienc
dJy / ^ • \ ^y ^T

'^■zr\ -^ \ 1 — »- ' ) ■:r- — I-'

dx' \ dx / a X dx

t d » \ ddy dd" Jy
-+- I 1 • -. — -+- -r— • —. — ^^2=

dJT

d'y f X d - \ ddy

" * JP "*" V ~d7 "^ ^ ) ' dl? '" dx- dx ~ dx

d*y f^du \ d' y 3 dd *

I d d f ddy d'» dy

7^ "^ 77'' dx
_d>T
~ dx'
id'y /4'«'» \ *i' y Gddt </>j) j^d't

fi,d<» \ ti'9 - .

'^ 77^-^\77'^ ^ )' 77^^ inr ' Z7'"^-Z7.

dry d**> dy d*T

71? 77* ' dx 7x*

ddu d-^y

^t ■ »

-t- &C. . .

d»

d'

d'-'y
>■ > at

n

dy
dx

- I

• a — z

dx

I

1 •

d-'-^T

■ « •

• ■*" d

A* "

//y-

dx* dx'

je multiplie la premiere de ces equations par , «' , la fe-
conde par «", la troifieme par , «'", &c. , & je les ajoute
avec requation ( 5 ) , ce qui donne

n n 2

s: y -t- -7— • ( ft) -4- « -+- « 3 •- « • T^ -*" <^ • 3-;

•/ (/jf \ ax dx^ dx*

I -H -7— ( ft) » -f- ft)

-^~ fii'"' • ) -+* — — I ft) » -f" ft)" •+" ifi) • — ■

(

■ \ a" -, H 4 ft) "^ • — - . . H ft)"-' • -r-

ft) ft) -+■ ft) -4- 3 ft) • -7— -+• 6 ft) • - — ■ ■+• 1 o ft) • -7-; . ,
' dx d X ax'

B — I ■ » — 2 ,_;

^J w

•)

I . z ^/at"-

I

' ft) ft)"-' -»- ft)""* H ft)"-'-- — ■ -

— )-t-^— ^ • ( ft)ft)'-*-+-ft)"-' H- — - • ft)"-' •:7- )

' / dx"-' \ 1 dx/

dx

d" y

H ± . u a"-' . (C)

dx" ^ ^

en comparant cette equation avec 1' equation ( /^ ) , on
aura i" celle ci .

Y rr^ . dT ..d'T „_, ^-r

Jl = i -J- a) • -; f- ft) • -7-: -4- ft) ' • —7-: —

2" les fuivantes.

.1*1

u a

= H"-«

,"-' =^ wo-i

ft)ft)"~*

H-

fti"—

i

I

»-2
I

. ft)— .

CD ft)"~

-!-&)' '

ft)"—* •

:= H

0—1

&c.

d'oii

•on

C'' H

lu.a

les fuivantes

J*)"- ' 1

=

H-

d"

« AT

//• «-I »-2 <///#

„., ''^

«"— » = I I ^- -— - J

t \ 1 dxj

_ n-\ da _ H"~' \ n-\ n-x ddu H'-*

r I -f- 1 . 1 — — . — — —

'■ I dx ■* •' / 1 ■ I dx^ *>•

&C.

partaiit

« =- ( I -+- -T-)-( ( I -«- V)[— r-&c-] )

— &C.~

«" = ^^ &c.

a

Si I'on fubftiiue ces valeurs dans T equation

& dans celle-ci

dT

X=T-i-u' • —— • -+- &c. on formera les deux fuivantes

dx

- &c.

(^)

«7«

^ . ■

r

ax J » ^ . fix ^ tut ^ dx

■ • « • » • • t • \ C ^

"*" dx"-' ' ~~i

III.

Les ei[uations ( Z? ) & ( £ ) font d'un degr^ inf^rieur h
la propofee , ainfi 1' equation ( /^ ) peut toujours s'abbaiffer
a deux autres d'un degre moindre d'une unite. II n' eft
pas meme neceffaire de refoudre generalement ces
equations , il fuffit de irouver dans l' equation (,D) an
nombre , « , de valeurs particulieres pour , a, qui fatistalTenC
a cette equation differentieiie

Soient , /3 , j3' , j3'' &c. , ces valeurs ou ces int^gra-
les particulieres , on les fubltituera fucceffivemeni dans
r equation ( £ ) , & Ton en formera par ce moyen un
nombre , n , d'equations dont il fuffira de trouver une in-
t^grale particuliere pour chacune; car (8, |8, S' &c ,
itant les valeurs particulieres de, «; foient 7" , T, 7*' &c.,
les valeurs particulieres & correfpondanies de , 7^, on aura
le nombre , n , d' equations fuivantes ,

pourtant I'lnt^grale complette de I'equation (^)i fera

^ </ ^ /■''■*' \

y = c ^C -^ f -J- . e J

H- &c.

- r ''" r —\

0 etant le nombre dont le logariihme hiperbolique » eft

I V.

Si r on fubftitue dans I' equation ( £ ) , (3 , au lieu dc,
A, elle deviendra

Y ^ ^dT H- , Ida /H" _ \

'T /H" \

dx'

d-'T H"

dx"-' fi

Si I'oti {oppoCs que T =:= Z , fo'it V integrale complette
de cette equation, Z, alors renfermera un nombie , /;— r ,
de coiiitantes arbitraires , partant 1' integrale complette de
I'equatioii (A) fera

(c^f^./-)

puifque cette integrale renfernae un nombre, n, de con-
itances aibitraires.

-■ ? J \

' , V.

Si dans 1' equation (j4),X=i o , on peut fuppofef
alors dans I'expreffion ( oi ) de , ^ , de I'art. 111. , /"ess o,
y = o , 7"' = o &c. , & Ton aura

^d X ^ dx I- d X

y = C e~^~T •+- C e " ^~F . , . . -^ C"— ' • e ~J f^'
& (i I'on fuppofe que daus 1' equation

d'-'T H"

>

Ton ait pour integrale complette

T = A.R-h A R -h A- R' . . . . . -^- A"-' ■ R"-^-
A , A\ A' etant des conftantes aibitraires , & i? , R
R' Sec. etant des integrales particulieres de I'equaiion pre-
cedence , I'expreffion ( I? ) de , \y , de I'art. precedent
donne

^ dx dx dx

y =■ Ce '~ J T' ^e ~J.~T. rAB. . . J.~r

f-j-dxc

'¥■ «

i8i

" J ~T .A'R' dx J 'J'
^ e . / e

-+■ &c.

. d X ~ dx

+ . •/ 7 ^

en comparant cette expreflion de, j', avec celled

^dx ^d x ^d x dA

^ ~S '"■' H' , ""•' i(J" "■' ij'-'

jy=Ce ^ -J- C tf -K: e '^ . . -H C'-" c '^

on formera les equations fuivanies

-la^Ar ~ d X ^d X

c y— ;5 — • e = C e

. d X -d X fd X

« / J — ■ e =^ C c.

&c.

d'oii Ton aura

AR =^ C
A- R' = C"

P dx
- dx

/?•'

. d x

fuppofons maintenant que I'on faclie integrer I'equation (A)
en y fdifant JT = o , &• foient , C u ^ C u , C u" &c.
les valeurs particulieres de j', qui fatisfont a cette Equa-
tion , enforte que ion integrale complette foit
Mifc, Taur. Tom. IV. o O

I8^

y = Cu ■\- C u -^ C ii' '. : : -+- C-' u'-^
*en la comparani avec cclle-ci

-d X ^d X ^d X ^dx

y=Ce '^■^Ce ^ -4- C" « . .-i-C"-' c '^

on aura

^ dx r ^ " Q

~ ^ ~ , . , - / -^ Sec.
C u =■ C e ^C u = C e

d'ou I'on conclura

_ udx ., u'dx _„ u" dx „

/^« tf « d u

ces valeurs de /3 , fl' , |3" &c. fatisferont confequemment
pour , a , dans T equarion ( Z? ) , & I'on en conclura ,
y^ i? , A' R , A" R" &c. , & par confequent fi Ton fgair
integrer i' Equation

•^ dx dx* dx*

on conncitra i° un nombre , « , de valeurs qui fatisfont
pour, CO, dans i' equation (D), i" un nombre, n— i,
de valeurs particulieres pour, T, dans 1' equauon
^ dT / H' „ \

/j"'-'T U'-

dx"-' H

& partant on faura 1' integrer complettement

V I.
Maintenant fi Ton fgait integrer 1' equation

o = y ^ H -f- ^ Br- . —

183

en fuppofant , Z , fon integrale complette , on aura par
I'art. IV.

^d X .(i X

y = e ^C-4.f—^e )

done la difficulte d' integrer Tequation

X = J.-4- u'-f H-i^"- .tl

•^ dx dK-

lorfque Ton fgait integrer

(^,v • • •

fe reduit a integrer celle-ci

(A)

^ .

du ddgre , ra - i , & que Ton fgait integrer , lorfqu'on
fuppofc Jf=o, on fera pareillement , & par la meme
methode dependre la refolution de celle-ci d'une autre du
degre , ra - i , & ainfi de fuite jufque a ce qu'on par-
vienne a une equation du degre , n- n ^ ou purement al-
gebrique } d'oii il refulte que T equation

X^y^R^ - H- . ^

•^ dx d:^

eft ini^grable dans ies m^mes cas que celle-ci

TT dy -rr , d"y

•^ dx dx"

ce qui eft le beau theoreme de M. de la Grange.

Si Ton ne connoifToit qu'un nombre , n - i , de valeurs
particulieres pour , y , dans cette derniere Equation , ou
ce qui revient au mdme de valeur particuliere pour , « ,
dans I'equation ( i? ) , 1' integration n'auroit pas plus de

o o z

I §4

difficult^ , parceque au lieu de parvenlr k une equation
purement alg^brique , on parviendroit a une Equation du
premier degre de cette forme

x= 5^ <2^

^ ax
equation que Ton f^ait refoudre gen^ralement , X, & Q ,
^tant des fonftions de x •

V I I.

La methode precedente ne nous fournit pas feulement
la demonrtration du iheoreme de M. de la Grange , elle
nous conduit encore a trouver tout de fuite I'expreffion
de , y , dans 1' equation

X=y^H^ ..... ^H'-.^,^^

lorfqu'on f^ait refoudre celle-ci

o =y -i-H"^ ^ H"-^ ■ p.

car foient , comme precedemment , « , w', «", &c, , les va-

leurs paniculieres de , ^ , dans cette meme equation , en

forte que fon integrale complette foit

y =^ C u •\- C u -^ C" u . . . . -+- C"— ' • u"—"-

i'integralc complette de 1' equation {A) fera par les art.

precedents

Z, etant 1' integrale complette de , T, dans I'equation (A).

Si Von nomme , k, r/, k" , &c. les valeurs particulieres
de , T dans cette equation (A) en y fuppofant, Jl = o,
on aura pareiilement

_ / L au \

= «(^-/Tr)

on formera de mSme

. = ;(c-«)

u u

u u '

Sec.
jufques a ce qu'enfin on parvienne a cette equation , Z""'

= X • Cherchons maintenant les valeurs de , a, w , «, Sec.

^ d X

or on a par I'art. v. i? = w = — - — c (en

fubftituant au lieu de , j8 , & j8' leurs valeurs , ) = «'
//rtV/' , — u'du—udu' ...

— — , ou , «, = • pareiUement

-; u" du - u du"
" = ^~u

-, H'"du-udu'"

du
on formera de meme

— u' d u — udu'
u = ^r

—^ u" d u — ud u"
u =

du

Sec.

"T"

u'

du-

udu'

du

=

u" dlt -~u

d^"

u

Sec.

du

i8(^

cela pofe en fubflltuaut , on aura

C-f[ -—— ' [ C - /[ -=-^r- [ C —J^r^

"" « « u u

I I 1

u i u ^X d u .

IC" -/[ -z-^ [ C- -/^r-^]>(Z)

II II

u u It u

On peut donner a cette expreffion une forme plus fimple,
en coiifiderant que

udu u'du—udu' , f "' \ 11

=:; = — <f { - ) } pareiUement

u n uu \ * /

u u \ u /

la formule (Z) deviendra confequemment

y = «[C+/[^(^) . [C'-4-/[^(y) • ic" ..

I I

IS «

(u \ X d u 1

I -^ 1(1

U U U

& r on aura
i

^%7

a"

(41) = .. (_-!:_)

(i)=.r.(^tLy

&c.
Si Ton ne connoiflbit qu'un nombre , « - i , de valeure
particuheres pour , y , dans 1' equation

o =^ ^ /^^ . . . . ^ ^"-'. "^

ou ce qui revient au meme un nombre , « — i , de va-
leurs pour, a , dans I'^quation ( Z? ) , alors on parvitadroit,-
comme on peut s' en affurer par 1 art. pr^cWent a I'equa-
tion fuivante.

utfx udx

au moyen de laquelle on aura facilement , Z"~'% & I'on
aura

•«

1

udx

H

1

du

tS8

I I

uda r _, , . r u d u

^ = „[c-/(-^.[C. ;.....-/

rl H

I i

U U

I
[C-^-/_iii> , . : (X)

I r

c: c
u u

Remarque.

Nous obferverons id que fi Ton connoit un nombre ,
n — I , de valeurs particulieres pour , w , dans I'equation
( Z? ) , on r^aura 1' integrer complettement; car au moyen
de ces valeurs on aura par les art. precedentcs T integrale
complette de celle-ci ,

«=y^^^ H-^—. %

•^ dx dx"

Suppofons que cette integrale complette de , y , foit

com me ci-defTus,

y = C u -^. Cu -4- C" — ■ • W- — '

& que la valeur complette de , 6> , foit y; y y renfer-

mera. confequemment un nombre , n — i , de conftantes ar-

, . . . d V

bitrairesj mais nous aurons y y— -i-ysss o partant

y = Ae -^ & cette expreffion fera 1' integrale com-^

plette de , ^y , puiCqu'elle renferme un nombre , « , de
conilantes arbitraires ; done

a89

Ae

-/-

'' = Cm -4- Cu . . . -H C" — ■

d'oii

I'

on

-(

con dura
C

tt

u

du

111

c
-^ c •

du'
57

d t^-

Q dx

exprefllon qui renferme , ri - i , conftantes arbiiraires

VIII.

Repreiinons maihtenant la formule

fli{~) ■ [C"--/Jfi(A)

I

11

I

fi Ton divife par , w , & que Ton differentie on aura
.(i)=.(-f).[C*/.(|-)[C- . .. .

I

■+-/i:''(4) iC-^^fX-i^l:)

I

e

u

I

p p

190

en divifant par </ ( - j , & diff^rentlant encor on aura

en continuant d'operer ainfi , on parviendra a une Equa-
tion dilFerentielle de cette forme

C— ' ■^fXd(±^^yy-^y^

I

c
u

y , y' &c. , Etant des fonftions de u , «', u" &c. , & de

leurs differences on formera, 5., par I'art. vii. , & pour

u
cela nous avons confidere dans cet art. les valeurs de,a,
u &C , dans cet ordre , « , w', u", u" .... u"—' ; mais
{\ au lieu de donner a , u' , le fecond rang , on 1' eut
mis au premier, & « au lecond dans I'ordre fuivant, a',

u , u", u" w"~', alors on feroit parvenu ^ cette

equation

(ID

I y-j -^^ <*M H » y ' ^^- ^'^"^ ^* 'J"®

191

deviennent, ^ , y, &c. lors qu'on y change, m, en«',

& r^ciproquement , u\ en , u ;

or fi Ton fuppofe, X=o^ les deux equations (i)&(i)

deviennent

. . . , -h y

dv

aV-

partant,).^-4->.'^ . . .

d'-'t 1-

5^"- • :;^ = l2:l -^^

fi—ty

dx"''

(})

Equation qui doit ^tre identique, car fans cela, comme pna
y = Cu -i- C'u . . . . -»- C«-' • :/«— '
I'int^grale de I'equation (3), quoiqu'eile (oil de Tordre ,
« — I , renfermeroi': un nombre , « , de conftantes arbi-
traires , ce qui eft abfurde. On aura done en comparant
les Equations (1) & (i)

(-) (-)

C-'-^fXd ) I ( = C"-' -H /XJ ) r ( • partant

«4

-

on aura ,

1

'"

c:

2^

u

ain(i rexpreffion , ^ , reftera la

meme , foit qu'on y change ou non , «', en « , & m , en «'.
On prouvera de la meine mani^re qu'elle reftera conitam-
ment la m^me , (bit que Ton y ch nge , u", en , u , Sc
«', en u'i m", en u, & «', en w", &c. , & qu'en general,

I

K
U

en formant , ^ , on peut fans changer fa valeur donner

p px

1^1

k ^ u ., u , u" &C;, tel o'dre que Ton voudra , pourvu
que I'on confidere , w"—' , cointne la derniere de ces
quantites.

(-)

Soit maintenant d ^ \ ( = , Z"""' ; foit , Z"""* , ce

0)

d X

que devient , Z"~"' , lorfqu'on y change, w"— ' , en,u"--^,
& , u'"~^ , en , u" — ' j on aura par la meme m^thode qui
nous a fait parveair a T equation (i) ,

C-^^rXZ-^dx^yy + y^... ^ y-^ • -^

y,y, y &c. etant ce que deviennent, ^, y &c. lorfqu'on

y change , u"~^ , en «"""' , & reciproquement ; on aura
de meme en traitant fucceifivemenc , u"~"' , «"~* , &c. ,
comme Ips dernieres des quantites , w , «', &c.

&c.

en difpofant routes ces equations dans Tordre fuivant ,

C-^^ff-^Xdx^yy^y^ -^ y- • ^

C«-*^/^— X^x=2^-*-2'^ .... -^.y-^ d^

I 1 I

2.93
& les ajoutant enfemble apres avoir multlplie la premiere
par , w"~' , la feconde par , w°~' , & ainfi de luiie , on
aura une equation de cette forme

-t-u (C-hf{ XJx)
-i-u'iC'-hJC Xdx)

Si Ton fuppofe, Jf=:o, on aura

X^-t-X' ^... -+-V- • ^-LL=.Cu-i-Cu-+.C'u"...
•^ ax ^x" '

-*- C'~' a"~'

mais -on afy:=Cu-+'c'u . . . . -+■ c'~' u"~' • done

•^ "^ dx ^y-'

equation qui doit etre identique , car fans cela , quoiqu'
elie ioit de I'ordre , « — i , ion integrale renfermeroit un
nombre n , de» conltantes arbitraires , ce qui elt abfurde,
on aura done

y — uiC-hfZXdx)
■^u {C'-f-fZ.' Xdx)

H- u—' ( e— -ffi"-' Xdx)
de la refiilte ceite regie fort limple pour avoir 1' integrale
complette de i' equation

X^y-^H^ ^H''±.., . +^- . pL

•^ dx dx^ dx^

lorfqu'on l^ait integrer ceile ci

dy ddj) d''f

•^ ax dx* dx"

(on y = Cu -^ C li -^ C u" . . , . -i- C"— u'"^
r integrale de cette derniere , & que Ton fall'e

194

_ u' d ih- u du! — u' du' ~ u d 1/ = a^ d u -^ u d^

— du du dli

- u" du - u du" -, u" d u - ud H"

u

du d u

_ u'"du - udu"

&c.

&c.

U = — &C'

du

& que Ton parvien ne a former ainfi , j. foit alors i

u

I _i_ J = Z" "" • fi dans r expreflion de , Z* — ' , oa

change , k" — ' , en a" -■ * , & r eciproquement , on for-
mera, Z"~'i fi dans la m^me expreflion de,Z''~',on
change w" — ' , en u" — ', & reciproquement on formera,
Z" — ' &c. , & ainfi de fiiite, je dis que I'integrale com-
plette de 1' equation

X x= y ^ H^ . . . -H /f"-' . ^ {A)
•^ dx dx* ^

kray = u (C = fZXdx) ,

-+■ u{C' -h fZ' Xdx)

• •••««

IX.

Si I'on fuppofe maintenant dans I' Equation ( ^ ) , // ,
H' H" &c. conftants , on voir facilemenc que pour avoir
un nombre , n , de valeurs particulieres qui fatisfaflent
pour , a , dans 1' equation ( i? ) il fuffit de fuppofer , u ,
conftant , &: alors cette equation fe changera dans celle-ci
„ H' H" H- U"-'

en refolvant cette derniere equation on aura un nombre,
n , de valeurs pour , w , au moyen defquelles on inie^rera
facilemenc 1' equation ( ^ ) . Appliquons a ce cas la regie
donn^e dans I'ari. preced.

Soient pour cela, — — — — — — — &c. les racines de

. P P P

I'equation

ri -H' o - 1 udx

os=:ft> — /!•+- &c, , on aura /8 = = — r— partant

• p du '^

«t= c/", «' = «'''', u = ^"* &c. d'oii Ton formera.

&c.
partant Z"""' = — ^— -^ —

^ ^p-p-') ■ ^p'-p"') ■ ip'-r^') • • ' (/■-'-/'- - '"-'*

d' ou Ton conclurra

^^6
__^ __ - p' p' -p" />'"•

^ = u^'r{p^-'^~\p--P)'- p"^^"'
_ p ■ p' ■ p" p"

•^ ip' - p) ip" -/') -

.11: (j_ r—^

• • (/»'"' -p) \ ■' f" J

p ■ p ■ p p

•—' ft" / Xdx \

ip — P') iP" —P')
-+- &c.

fuppofons encor dans l' equation (/^), H =i A x ^ H'
= A' X' 1 H" = A" x^ &:c. il eft facile d'apper^evoir qu' en
fuppolant dans I'equation (Z?),ai = mx, on fatisfera
a cette equation , & Ton aura en divifant par , x ,

A'

O =771 A -^ ( I -4-/7z)- ■ ( I -*-/«)• (l-J-1/72).

m

A." A'"

-H(i ~t- m) (i -+-2ot) ( I -^ \m) ' — - — &c.

tJ^m ^ ^ ■" ' »»'

en refolvant cetre equation , on aura un nombre , n , de

valeurs pour, m, Sc par confequent un nombre, /2^d'in-

tegrales particuiieres de I'equation ( D ). Ce cas eft aflez

connu pour nous diipenfer d'entrer. dans aucun detail a fon

egard. Cette merhode d' integrer l^s equations de la forme

X=y ^H ^-^H''-^^ . . . . -4- ^- ^

•^ dx dx^ ax"

en cherchant un nombre «, ou n— i , d'integrales par-
ticuiieres de r equation ( i? ) embraffe done tous les cas
connus ou 1' integration a reuffi jufqu' a prefent , & ii
n'eft pas douieux que Ton ne puilFe par fon moyen en de-
couvrir de nouveaux , & de beaucoup plus etendus.

X.

X.

Si Ton fuppofe que I' equation ( ^ ) ne monte qu' au
fecond degre , 1' equation {D) deviendra

o = dx • (B' — H a ■+■ au) ~¥- H' da (o)
dont il fufRra de trouver une feule integrale particuliere,
pour integrer I'equation

•^ dx dx^

car foit , (3 , cette integrale en la fubllituant dans I'equa-
tion ( £ ) , on aura ,

X = T -^-r~ • -T- • d'ou Ton conclura

ax P

done on aura par I'art. iv.

^d X ^yPdx — dx- -fidx \

f\ au lieu de connoitre une valeur de , u , on connoiflbit
une valeur particuliere de , y , dans I'equation

foit , y = y4' u 1 cette valeur , on aura eo s=: (3 , =

— — — , & Ton integrera comme , ci-deffus,
a u

X = y^H^^H''^^
•^ ax dx*

de la , & de la remarque que nous avons faite art. vil.

refultent les deux theoremes (uivanis.

q q

19*3

L'dquation , o=aix(H' — H a -t- a u) -^r H' d a (o) ^
eft complettement integrable , lorfque Ton en connoit une
iniegrale particuliere,

L'equation de Riccati fera done integrable toutefois que
I'on en connoitra une integrale particuliere , puilque cette
^quaiion eft comprife dans la precedente , &: plus gene-
ralement encore ['equation

o = dx (,P -+- Qj -+- Ryy) -^ Sdy
P , Q , R , S , etant des fonftions quelconques de , x ,
eft integrable , lorfque I'on connoit une feule vaieur par-
ticuliere qui latisfaffepour , y, dans cette equation} car
en divifant par , R, on aura

o = ^ d X -h r- J d X -hjydx -4- ^ dy

pour ramener cette equation k la formule (o) je le mul-

P . . P

tiplie par , — , & je fais , ~dx = difCe qui donne

. o = ^di-+--ydi-+-yydi-^^dy

p

P , Q, R, devenant alors des fonftions de • |; • foit r-

= H', 8c ~ = — H , on aura,

o = d I (R — Hy ■+■ y y ) •+• H' dy i
equation qui eft la meme que I' equation (o) .

L'dquation •X=y-i-H4^^H'- ^^^ (7)

eft integrable tautefois que //^= wH — — ( \ •+• —-) •

Si nous fuppofons , u =■ {m -k- n x -^ f x'- . . . -k- h x^ )* y
r equation

-+- Q (i -+-^ (ot -H «x ... -H hx' )»— • \n -H apx ... -+- hrx'—^y\

199

ell iiitegrable quelque foit Q . On peut done au moyen
du tlieoreme precedent , irouver dans une infinite de cas
r integrale de I'equation (7) quelque foit • Q • favoir
en donnant a a , une infinite de valeurs.

X I.

L' equation (D) deviendra pour le troifieme ordre

do / H' xd<o H"\

^ ax -^ \ » ^ dx ' ti» I

af.v* a

dont il fuffit de trouver deux integralesparticulieres, pour
avoir 1' integrate complette de celle-ci

•^ dx dx^ dx'

il feroit facile de trouver ainfi une infinite d'equations du
troifieme ordre , & des ordres fuperieurs integrables , &
de former ainfi pour chaque ordre de differentielles , une
clafle d'equations tres-generales , & integrables, raais je rae
cohtente d'en avoir donne la methode.

X I I.

'Application de la methode prccedente au calcul
integral aux differences Jinies.

V^oique le calcul integral aux differences finies foit le

foiidement de toute la theorie des fuites , cependant

cette branche interellante de I'analyfe eft encore bien loin

du point de perfeftion oil Ton a pone les autres. Monfieur

Euler a donue h la verlte dans fes inftitutions plufieurs
inochodes tres-belles, & tres-ingenieufes pour integrer utie
fonftion differcntielle aux diiFerences finies & a une feule
variable , mais 1' integration des equations difFerentielles eft
une partie abfolument neuve , (i Ton en excepte un ou
deux cas qui reiiferment la theorie des fuites recurrentes ,
& rexceilent eflai que M. le Marquis de Condorcet a
donne fur cette matiere dans fon calcul integral (*) . Je
me fuis done ici propofe de I'approfonglir , en y appli-
quant la methode dont j'ai fait ufage , ci-deffus pour les
differences infiniment petites j elie m'a conduit a trouver le
terme general d'une claffe de fuites fort etendue , & dont
les feries conniies ue font que des cas particuliers , ainfi
qu' k plufieurs autres remarques qui m'ont paru iinportan-
tes a faire voir , par ex: , que le beau theoreme de
M. de la Grange fuivant lequel 1' equatioij

"^ ax dx^

X^ H, H' etani des fonftions quelconques' de , j; , eft
integrable dans les memes cas que celleci

•^ dx dx"

a egalement lieu pour les differences finies , & a deter-
miner d'une maniere fort fimple I'integrale de la premiere
^ de ces equations , lorfque Ton connoit 1' integrale de la
feconde.

( * ) Lorfque j'gcrivois ce-ci au inois du mars T771 il n'avoit paru rien dc
plus fur cette matifire ; dcpuis ce terns j'ai eu occafion dc voir un fort
beau mfimoire de M. le Marquis de Condorcet fur les difFOrences /inies
qui paroitra dans le volume des mgmoires de I'AcadC-mie des fciences
de France, pour I'annfie 1770 mais les recherches dc cet illuftre Geo-
in6ttc ii'ont rien de commun avcc les micnnes. Si ce n'cft qu' il ob-
ferve parcillement que le ili6or6inc de Mi de la Grange a figaleinent
lieu pour les differences finies.

301
XIII.

Pour nous former iine idee precife des equations dif-
ferentiolles aux ditferences finies , concevons una fuite

y -^y" -^y" -+-j"

formee fuivant une loi telle que Ton ait conftamment
X' = M'j'-+- V' '• ^ -y' -T-p'-A'y'-... M- S' A" -y' (A)
X' , M' , K* Sec. etant des fon6hons queiconques de I'in-
dice , X , dont la difference elt fuppofee conrtanre & egale
a I , & la carafteriilique A ■ delignant a la maniere de
M. Euler la difference finie d'une quantite. L' equation
precedente fera une equation differentieile aux differences
fitiies qui peut generalement reprel'enter les equations de
cette efpece ou la variable y', & fes differences font fous
une forme lineaire.

Quoique Ton puiffe aifement former d'autres equations
differentielles dans lefquelics par ex. y' & fes differences
feroient multipliees par elles memes , ou les unes par les
autres , cependant celles qui font comprifes dans I'equa-
tion (A) font les feules qu'il folt veritablement interel-
fant de bien conncitre, parcequ'elles feules peuvent fervir
dans la theorie des fuites ; ainfi nous nous atcacherons a les
examiner avec loin.

XIV.

Plufieurs principes du calcul integral aux differences in-
finiment petites , ont egalement lieu pour les differences
finies , ainfi toutte fon6hon de x, par ex. qui I'atiifera
pour j' , dans I'equation (A) & qui renfermera un nom-
bre /J , de conftantes arbiirairgs , en fera I'integrale cora-
plette. Ce principe qui ett de plus grand ufage duns le
calcul integral aux differences infiniment petites , n'ell pas
d'un ufage moins etendu , dans le calcul aux differences
finies.

'301

par int^grale particullere d'une equation differentielle ,
j'entends comme precedemmeiit route fonClion de x, qui
fubiHtuee pour j", dans cette equation en fafle evanouir
tous les termes.

J'avertirai ici que pour la commodite du calcul je fup-
poferai que i/, '//, "H &c. expriment des quantites dif-
ferenres , & qui peuvent n'avoir aucun rapport entr'elles ,
au lieu que celle-ci, H , H' , //" &c. ^xpriment comme
a I'ordinaire ce que devient , H ., lorfque 1' indice au-
gmente fucceffivement de i , i , 3 , &c. , & les fuivan-
tes , H^ , H.^ , H^^^ , &c. expriment ce que devient cette
meme quantite , H , lorfque 1' indice diminue fucceifive-
inent de i , 2,3 &c. cela pofe.

X V.

Comme on a

A^ y* = r''"'"" — iJK*'*'' "^ y*

A' y* = y*-'-'" — }y*'*'" -+- 37'"*"' — y"
&c.
on peut metre 1' equation {A) fous cette forme
X'= y- (M' — N' ~i- P' — &c.
-+- jy'-*-' (N' — z P" -+■ dec.)
-4- &c

• ••••• 4

on peut conlequemment lui donner cette forme

X''=y''-+- H" -y'-^' -^'H" -y'-*-'' ^"H" -y'^'"- ....

-+- "— ' H' y'-*"' {B)

& cette equation reprelente gencralement route equation

liniiaire aux differences finies. L'equation ,

X' = y" ■+• H' J)'"*'' • ell du premier ordre j celle-ci

X' = y' -h H" ■ y'-*-' -+- 'H' y'^-^"

3 0J

eft du fecond ordre , & ainfi dc fuite . Nous allons pre-

feniemenr refoudre les problemes fuivants.

XVI.

PROBLEME II.

Soit propofd d' integrer 1' Equation du premier ordre
X' = y' -+• H" y'-*-'

Solution.
Je mets cette equation fous cette forme ,

- ^ H- i?', &, ^ = Z' . & I'on aura, gmmoD.

^'-t- = R' y' -^ Z'
Equation qu' il faut integrer ; or elle donne
y = Ry -h Z
y"=Ry'-^Z'
en fubftituant dans cette feconde equation , au lieu de yy\
fa valeur tiree de la premiere , on aura
y" = R' Ry -i- R' Z .
-i- Z'
done, y" = R" R'y' -+- R"Z'

■^ Z"
en fubftituant toujours au lieu de , y \, (a valeur, on aura
y" = R" ■ R'Ry ■+■ R R' • Z

■+-R'Z'
-f-Z'
& y''=R"'-R"-R'y'-h K" R'Z'

-f- R" • Z"

-4- Z'".

304
pourtant

y =.R"' ■ R" -R'-Ry-h R" ■ R' . R! Z

-H K" ■ R' Z
-4- R" Z'
-t-Z'"
•n aura pareillement

y' = R^ . R" ' R' -R-Ry-h R"' . R" R" R Z

-*-R' . R" . R' Z'
-J- R" ■ R"' Z"
■^R^Z"
-i-Z'"
& generalement
y\^ R"-' . R'-^. Rx-K R-—*... Ry -H R'—^. R'-\.. RZ

-+- R"-' . R"-'- ...-hR'Z'
H- R'-' . R'-\ . . -+- R"Z"

ou en fuppofant , y = A

y = R.R.R'...R-(A^l^^...^:^^_)

donc.y =RR-R"...R—- (^ + S- jj^g-)

le carafteriftique , "E , defignant 1' integrale aux differences
fillies. Pour plus de fimpliciie , je marquerai par, y i2'~',
le produit R ■ R. . . . i?'— ■ . Ce qui donne ,

y' z= y ■ R'—' (A-i-'E- j d'oii r on conclura

en fublHtuant au lieu de , Z' , & R'—' , leurs valeurs

fi , H* , eft conftani , & egal a on aura

XVII.

XVII.
PROBLEM E III.

Solt propofe d'integrcr Fequation differentio-differentielle

Solution.

Je fuppofe que Ton ait, u' y"-^^ -^ y* =. T' (C)

& Ton formera les equations fuivantes

^I-»-M y*-f-lU _|_ y*-f-ll __ 7"»-+-ll
^»-»-lH y»-(-4 ^_ y»-t-J J-— y»-»-J

• • • • •

je multiplie la premiere de ces equations par , 'j8 , la

feconde par, "/3, ia troirieme par, "/3, &c. , & je les

ajoute avec I'equation ( C ) ce que donne

T' -+■ '/3 • r«*' -+- '73 • 7^-^-" H- "'/3 • P-^'-' . . ; . .

H- "-'j8p-^"— = j)^* -H («• -t- 'i8) j"-^' -+- ('/3 <y'-+-"-4-"/3)7-*-"

^ ( '/3 w^-^" -f- ."/3 ) jy'-^' -+- ( "'/3 ft)'-^'" -+- '"'/a )y-^* ....

-+-("—' /3 a'-^'— ' )^*'*-"

en comparant cette equation avec 1' equation (B) , on

aura

x° X* = r* -+■ 'i3 • T'-^' = "|8 • p-^" . . -4- "— /3 • r*-*-"— '

z" Les fuivantes .

'/3 • 6)'-^' -h "a = '//■'
"/3«'-^' -h'/3 = "i/'

— |8 • w*-*-"— ' = "— ' H'

Mifc.Taur,Tom,lV. c t

3o6

d'oii Ton conclura

'|8 = //' — a'

'73 = 'H" — H' ffl'-*-' + w* • w*+'

"'|3 = ' .fir — H' • a'-^* -t- '/f ' 6)'*" • w*-*-' - w* • «*-^' ■ 0)"+'

&c.

• «•••••• • •

le figne , -+- , ayant Jieu fi , « , eft impair , & le figne , J
— , fi il eft pair} on aura done pour refoudre le proble-
me , les deux equations fuivantes.
X' = P-4-P+' (i/^ — «') -^ T"^" CH' — Hco'-*-^

-h «' • a'-*-' ) H- &c •+- P*"— ; -lli? ( D)

H' 'H' "H'

a)

ai -r-

XVIII.'

Les equations ( ZJ ) & ( £ ) font d'un d^gre inferieur a
la propofee , & 1' equation ( i? ) eft de la meme forme;
or il n'eft pas n^ceflaire de refoudre generaiement ces
equations , il fuffit de connoitre un nombre , tj , de va-
ieurs qui fatisfaffe pour , a' , dans I'equation ( £ ) , car
en fubftituant ces valeurs dans I'equation ( i) ) , on en
formera un nombre , n , d'equations dont il fuffira de trou-
ver pour chacune une integrale particuliere. Soient v^', V*,
'V* &c. les valeurs particulieres de , «* , & L*, 'Z*, "L* dec.
les valeurs correfpondantes de , T' , on aura

V y-^' ■+■ y = L'

3 07

&c.
& r integrale complette de I'^quation (B) fera

I

pulfque cette integrate renferme un nombre , n , de con-
Itaines aibitraires

X I X.

Je fuppofe que X= o , & 1' integrale complette de
r^quation

o =y' -e- H' -y'-*-' -+- 'H' y"^"- -+-'—//■'. ^»+'— -

fera

, _ ^^^ 'A '-'A

^ ~ vT-v'-')"*" V (-V'— ) "*" v(-"-V— )

prefentement fi Ton fubftitue dans I'equation ( D ) , v^' ,
au lieu de , a' , & que Ton {iippofe enfuite que 1' inte-
grale complette de cette nouveile equation que j'appelle
( Z^ ) , foit lorfqu'on fuppofe , X' = o ^

T' — CR'-^'C'R'-^'CR' ^'-^ c-'- R'

ii ell aile de voir que puifque Ton a , v^*^"*"' -f- jy' = jT*

r integrale con:pletie de I'equation

o=iy'-^H'y'-^' ^»— /f'^»+'^

r r »

(_ v/*— / . . . . . . A

eti comparant cette derniere integrale avec la prccedente ,

^ = v(-

on aura

&C.

done iJ' = V \ V (- V— )/ '-^' = V \ V (-'V— )/

&c.
done {i Ton fcait refoudre I'equation ( 5 ) en y fuppofant
JC'=o, on faura refoudre I'equation ( Z>' ) en y tuppo-
fant pareillement X" t= o . Soient alors ^ u , 'u , "u , &c.
les valeurs particulieres de , jy* , dans 1' equation ( ^ ) ,
enforte que fon integrale complette foit

on aura , u = ;; , & I' integrale de I'equation

y ( - v'—^ )

(D) en y fuppofant , X* = o fera

r' = Cwy (^)-t-'^«v(-^-+-"CKy (-^

3°?
maintenant fi Ton fqak integrer I'dquation ( Z)' ) en y lup-

pofant X' y quelconque on faura pareillement integrer

dans la mdme fuppofition I'equation (B) . Car foit alors

Z' , r intcgrale complette de , T" , dans I'equation (D)

on aura pour 1' integrale complette de , j'* , dans I'equa-

lion (B)

y= ^(_^-.) • [^-2.(Z'v(-v"-)]

puifque cette integrale renferme un nombre , n , de con-
llantes drbitraires , done la difficulte d' integrer

X' ^y -H 'H'y'-*-' ... . -t- "—■ H'y'-^" •
lorfqu'on fcait integrer celle-ci

o = Y'-i- '//*_/*-*•' .... ^"-^ H'y^"
fe leduit a integrer I'equation

X' = T''^ T'->-' {H'-V")

-4- &C.

qui eft du degre , « - i , & que Ton f^ait refoudre en y
fuppofant X' ■= o ; on fera pareillement dependre la re-
folution de celle-ci , de la refolution d'une equation du
degre , « — 2 , & ainfi de fuite ; d'oii il refulte que I'equa-
tion

X* =y' -f- H'y'-*-' .... -+-•-' H'y'-*-"
eft int^grable dans les m^mes cas que celle-ci

o = y" ^ H' y'-*-' .... -t-"-' B'y"-^''
ce qui eft le beau theoreme que M. de la Grange a trouve
pour les differences infiniment petites, & que la methode
precedente nous donne ainfi moyen d'etendre aux diiFe-
rences finies.

X X.

Cette methode nous conduit encore plus loin , favoir i
trouver tout de fuite rexprelfion generale de, y'. Car, Z',
etant 1' integrale complette de T' dans I'equation (Z)'),
foient comme ci-deffus , w, 'u , "u &c. las valeurs paiti-
culieres de , j'"' , dans I'equation ( ^ ) lorfqu'oa fuppole

X' =5 o ^ caufe de — — = // , on aura y" =. u

f ^ — S • — ) • pour r integrale complette dc I'equa-
tion (JS) , X' , etant quelconque. Si Ton nomme u, '«, "u Sic.
les valeurs particulieres de , 7"*, dans I'equation ( D' )
lorfqu'on y fuppole X' = o, on aura de la meme maniere

z.= i;(-^-x.f)

en aura femblableraent

&c.

jufque a ce qu'enBn on parvienne a cette equation alg^<
brique

-' Z = X'
on aura done en fubftituant .

r=„(^-z(^(■^-[(^("^-x(^

.t;..;

1 1

(

-2

4.(-^-2 4^)V(X,

il hut prefentement determiner , w, u Sec. or on a par
I'arr. xviii.

u ss u A (-j , 'u;s=u/\- (-—) » "ur=-u /\ f-^ &C.
on aura de meme

u=zu A r^^ 'u — K A (-=^),'^ = « A ^^) . &c.
& la formule ( jST ) deviendra

(o)

fi Ton ne connoiflibit qu'un nombre , n - i , de valeurs
particulieres dans I'equation , o = j^* -t- H'y"'*'' -4- &c.

; II

r integration n'aurolt pas plus de clifTicuIte ; car au lieu de
parvenir comme precedemmeiit a Tequation algebrique, n- i
r* = ^*, on pnrviendroit a une equation de cette forme,
X' = "— * Z' ■+■ S' • "-'■ Z"-*-' ■ Equation que i'on fgaic
integrer par le feconde probleme.

Si au lieu de favoir relbudre I'equation, o =j* ~i- H*
y*-i-» -+. Sec. , on connoiflbit un nombre , n , ou , n — i ^
de valeurs pour, a", dans I'equation (£), les formules

precedentes ferviroient egalement , (Jar on a , « =

V (-»/'-')

u zss

VC-V'-)

&C.

XXI.

On peut encore fimplifier la formula ( o ) , en la met-
tant fous cette forme.
y''=y4u-h'A'u-i- "A "u ...... -H "— y^ "-' «

^..(.(i).z(.(i)......f--)

(«r)

le figne , -+- , ayant lieu , fi , « , eft pair , & le figne , — ,"
fi il eft impair: or concevons d'abord que T equation dif-
ferentielle ( ^ ) ne foit que de fecond ordre , & nous
aurons

or

' ""~ *"" *— ^— ~""

u

done

done

3«3

mais on a,« =:«A( — l=w- — - — u. en multi-

\ u / tt

.. It - a' /, «' \

pliant par , — on aura u • -rr "=■ ~ (" • t-t— ")'

partant fi Ton fait, ii = 'Z 6c que Ton appelle , Z , ce

que devient , u , lorfqu'on y change , 'w , en k , & «
en 'u y_ on aura

j'obferverai cependant qu'en integrant differemment, on auroit
une valeur de y* , qui paroitroit differente , mais dent il
eft facile de reconnoitre 1' identity avec la precedente.
Car on aura.

\ \ » y u / « u «»

Mifc.Taur.Tom.IK fs

3M

d'ou Ton conclura facilemenf.

or il eft aife de voir que cette expreflton de •jy*-eft la
meme que la piecedente, c'eft-a-dire , que Ton a

A U - U

ou ce qui revienc au mieme que ^ = TtTj ou que

^-+-2

z ■" Z

— u

— A(— ^1 = — A (-— l.ou enfin que , t-

= H 7— • ce qui eft vifible.

Si Ton fuppofe prdfentement que I'^quation ( 5 ) foit
du troifieme ordre, on aura.

-^— .-=r=A I— I ;p,«. X'"' '«

«^ « V " / . ^ __^ A • _ . Tir-

pa„a„..C.(^).[A(|-).|)=:i.|l'

3»5

S -. ^3- -+- S- ■ ( -:r-- )

« u \ « " * /

done

en obfervant le m^me precede , on aura la valeur de y%
en fuppofant I'equation differenlielle ( 5 ) de tel ordre que
I'on voudra»

X X I L

Mais void une methode fort fimple pour conclure cette
valeur de • j-* • reprenons pour cela la formula

H ■
I

l"A — rc A {-} . [o- ^ — s

I

e
u

en differentiant , on aura

f s X

3i6

d'oii Ton conclura en divifant par, A f - J & differentiant

A

v « / V A / '« ^ r " ^

i-J

Sec.

on aura done en continuant de differentier ainfi.

'-'A — 2 • ^ = }/'• j' -+- y .y-*-'

"-I y* . yX-t-n—t

5^*, 'y' Sec. etant des fonftions de a , 'j/ , "« &c.

Si au lieu de u , on eut confidere , 'u , comme la pre-
miere des valeurs de y', de I'equation (B ) lorlqu'oii y
fuppofe X" = o , &c u , comme la feconde on auroit eu.

1""">';

■y

X-+.II — J

I

, Sv \y,*\ Sec. etant ce que deviennent , ^ y' Sec.

lorrqu'on y fuppofe , a , & rdciproquement: or fi I'on fup-
pofe X" = G , on aura

«-'^ = j.« J* -+- y ^«-*- . .

• • ■+- "-'\

Y" • y'^'-'

'— ^= J,' y-+-

Vj

J t , . .

-+-

"—'y'

y'*"-'

on aura done

y y y y

n— ?. « «-f-«— I __

y

y'

3'7

J''

equation qui doit etre identique, car fi elle ne I'eroit pas,
alors cette equation etant difFerentielle de I'ordre , n — i ,
auroit cependant pour integrale complette ,

y = j4 u -*- "— 'y^ • "— 'w

qui renferme , n , conftantes arbitraires , ce qui eft ab-
lurde • il faut done que

4

partant que , ^ , =

ainfi Texpreffion , jL reftera

tou jours la meme , foit qu'on y change, u, en, 'u & 'u,
& 'w en « • jl feroit facile d'etablir de la meme ma«

niere que fi dans, j. , on change, u, en "« , & "«, ea

u
ity ou , 'u , en "u , & "u en 'u , ou , '"u , en 'w , & '«,
en '"w, 8i:c. , & generalement , *w , en 'w, & '« , en *w,

A , & i , etant moindre que , ra— i, I'expreflion , ^ , reftera

u
toujours la meme , & qu'ainfi , quelque ordre que Ton donne

aux valeurs, u , 'u &c. pour former, ^ , cette expreffion reftera

conftamment la m^me , pourvu que , " — 'w , foit toujours
coiilideree comme la derniere de ces valeurs.

3i8

•-

Soit maiiitenant , j, = "— '{ , & concevons qu'apres
u
avoir traite , "~'« , comme la derniere des valeurs u , 'a,
"u SiC. on regarde , ""*« , comme cette derniere , foit ,.
""'{ , ce que devient , "— ' j , lorfqu'on y change, "— '« ,.
en "~'u , & reciproquement on aura

^^'Scc, etant ce que devient, )/*, &c., lorfqu'on y change^

"~'w , eu ""-u , &: reciproquement je donne a , "-^A, le •
figne , — , car la formule (o) donne, en y fuppofant X' = o^
y' = Au — 'A'ti . . . . -^ "—'A ■ "-'u -+- "—'A ■ "—'te-
le figne , -+-, ayant lieu fi , /z , elt impair, & le figne „
-r- , li il eft pair, on aura de meme.

& pinii de fuite ; en difpofent toute ces equations dans-
Tordre iLivant ,

—'A — Z • ^ = y" J' . . . . -t- '<-yy'+'—^ (4)

— "— '^ — i:-^ ~y'y' • ^ • • ■<- "~V • j-^"— ' (10)

— '^ — S^=yjy' .... H^"-^'.^**"— (7)
■±.A—'LX^ — Yj' ^"—y^.y--^'—^ (15)

& les ajoutant enlcmble apres avoir multiplie la premiere
par "^'w , la feconde par " — "-u , &c. , & la derniere par
B, on aura une equation de cette forme

3»^

ce qui donne en y fuppofant , X' = o ,

X'y ...-+- —■x'jy-'-*-"-' =:Au — 'J'u...:^ '—'A- —'a

niais on a dans cette m^me luppolition

y' = Au — 'A'u-¥'"A"u -t- "--'A ""'« . partanc

y" =z y^* y' -f^ " — >y«-+-« — •

or cette equation doit etre identique, autrement quoiqu'elle
foit de I'ordre , n — i , comme on a

y' =^ Au -h "—'A • "—'a

fon integrale renfermeroit un nombre , n , de conftantes
arbitraires , ce qui eft abfurde , on aura done pour I' in-
tegrale complette de I'equation {B ) , en changeant de
{igne , comme cela eil ^errais ies conftantes arbitrairej
negatives

« • t^ • "if* • • • •

le figne , h- , ayant Jieu fi , « , eft impair , & le figne ,
— , fi il elt pair ; reprenons maintenant Ies equations (4) ,
(1®) » (7) » ('5)i eiles donneni

— >^ — Z • -~- = y-h'Ti .-,v -♦. — y—' .y

3" ^^ ^_^

^' I

c

multipliant la premiere de ces equations par , *~'u , la
feconde par , "—^u , & ainfi de fuite , on aura en les
ajoutant une equation de cette forme

J:jr'2—^ — )

-+- &c.
on aura done en fuppofant , X' = o
X* y*— ' . . . . -f- '—'X' ■y"*"'~^ = y4 u — 'A'u-\~ Scc. done

x« • y—' .... -4- "-'^• • jK"^"~' = y' •

equation qui doit etre identique • partant on aura, en
changeaiit de figne les conftantes negatives
/ X'-'\

+ '« (-^ ± 2 ■ -X-)

-+- &c.
on trouvera pareillement

H- &C.

& ainfi de fuite , jufque a ce qu'on parvienne a cette
derniere expreffion inclulivement

3i»

& toutes ces ejcprefllons de , y' , doivent 6tre les m^mes,

cumnie nous avons remarque ci-dolTus que cel^ avoit lieu
pour les equations du fecoiid ordrej en comparant enfem-
ble ces expreflions , on formera les equations fmvantes
« 'u "u " — '«

z^

'z,

/

• • <

'

" '«,

M

'u

" — 'rv

-+-

'■z«

. -+-

= o

««

"-'z„

•

•

•

•

•

•

•

u

_

-+- —

•u

"~~ •

. -t- -

"— 'a

XXIII.

Reprenons maintenant 1' equation {E) , laquelle eft

H' 'H' ' H'

t= I — — -(- — . . .

. • « . A)

fuppofons

(£)

^«+ii

H' = C . (p'

'H' = 'C ' <p' ■ <p*+»

'•^- = "C ■ p' ■ <p'-^' • <p'
&c.
€ y'Cj "C &c. etant des conftantes quelconques , 8c <p' ^
une fonftion quelconque de , x , aiors I'equation
X' • = y' -^ C ■ <p' ■ y'^' -H r • (p* • (p'*' ^'*"

-*- "c • (J)' • (p'-^' • (p-^" • y-*-'" -+- &c

-*- «— 'C V (p' (p'-^"— J'"*-" (f)

fera integrable j car fi Ton fuppofe dans requation (£) ,

•)' c= a • (p" , a , etant conllant , elle deviendra

C C "C "— c
0=i — 1 — t- -.... -^ -rr-

Mifc, Taur, Tom, IV, 1 1

$11

d'ou I'on aura un nombre, «, de valeurs pour, a, &par
confequent pour , «* , a caufe 6e u' = a • ^*
on peut mettre la formule {F) fous cette forme
II — 2/" -,«-*-" — ' " — if* v*"*"" — *

J,.-*-. — h. ^ Z H&C.

X'

& par confequent fous celle-ci qui eft plus fimple

y' = A ■ <p' ■ y'" -4- '.^ • <p* • ^'— • f^'-

-+. "^ . ^' . (p'— • (p'— ' • y*—* -h &c

^ X' (H)
cette formule dont on peut trouver le terme general par
les art. preced. eft beaucoup plus etendue qu'aucune de
celles que les geometres ont examinees jufques ici ; car
fi , (p* , = I , ce qui en eft le cas le plus limple , alors
elle fe change en celle-ci.

y' = A y'-' -h 'A ■ y"" ■+■ "A y'-'^' ... ■+■ X'
ce qui eft, comme I'oa fait, rexpreffion generale des
fuites tecurrentes. .

XXIV.

Parmi le nombre infini de feries que nous offre la for-
mule (i/), nous choifirons en premier lieu celles, dans
lefauelles on a (p* = x , & nous confidererons les fenes
form^es fuivant cette loi

y» sss y^ . y-^ -h 'A • X ' x^i y'-* '+' ,^'

en y fuppofant d'abord , X" = ojon verra dan« la fuue
que les recherches que nous allons faire fur cette tormuie
s'etendent faciiement au cas, oil Too aurou 9% e^al a une
£bi;£lion quelconque de • jf •

3*1

examinons prdfentement cette equation lorfqu*elle ne monte
qu'au fecond ordre , elle devient alors

y' ^=^ Ax ■ y*~^ -^r ' A • X ' x~\ • y'—^
pour donner un exemple d'une ferie form^e fuivant cette
loi , fuppofons yi=i,6''y^=3, & Ton aura , y'

s= I X • y' — ' H- 3 X • X— I • y' — " , d'oii Ton formera
la fuite , I, 4, 42, 480, 7310,131040, Sec. cherchons
maintenant la valeur de , j' , dans I'equation difFerencieile

y' = A X • y*~~^ -k- 'Ax • x—i • y""^^ • je la met*
ibus cette forme

o = ^' -+- — y'-^' — —^ — •

A • x-t-i 'A- x-Hi • x-+-i

en la comparant avec I'equation (J?) du probleme • 1 1 j
on aura ,

X' = o, i/' = "^ , 'H' =s= ~ '

'A- xH-i 'A-

& I'equation (£) donnera ^

— A
o = 1 — —

'A- x-hi • «' 'A x-hi ■ x-fz
je fuppofe a' = — -— — _ , & I'on aura , o = —7-^ — — - o a

'A =A a-ha"^ • partant a = — r -^ ~^ ^ A ^- -^ A'^
ibient cxprimees par, — p ^ Sc — 'p ces deux valeursde,
« ; on aura done par ce qui precede ,j^=i-x.j.,,
X (B p' -i- £ . B'),

c'elt le terme geneial de cette nouvelle efpece de fuite ^
lorlque I'equaiiun di^erentielk ne. pa^Te pas le fecond
ordre. 1 1 2.

5**

Pour determiner B , Sc 'B , if faut luppofer que les

deux premiers termes de la fuite font donnes j foientM,

& 'M, ces deux termes, & Ton aura

M ^ Bp -h 'B'p

'M — 'Bp' -H I'B'p'

done B = r—TT- '■> ^ — ^—n k ' partant

Xp {p--p) I'p {'p - p) ^

/'M-iM>\ 'M-iMp ,^.

y* = I . z . 3 . . . ;<: • I — --— ) • P" H- -r-r, k ■ P' (^)

y * \^p{p-p)/ ^ ^P^P-V) .

fi Ton avoit p = 'p , c'ett-a-dire, fi les deux raciues de
r equation '^4 = ^ a -+- a% etoient egales , on feroit
•'p p=: p M- t/ r , d'ou Ton conclura facilement

pour appliquer les formules precedentes a un exemple ,
foit comme ci-defTus j4= i^'A = i,on aura ^ =— i ->- i,
done P = — i,&'p=— 3- fuppofons que les deux
premiers termes de la ferie foient i , & 4 , enforte que

M= I &c 'M = 4' on aura done B = 'B^=~

A 4

partant la formule (K) donnera y' = i • i • 3

X ■ — ( 3* rh I ) > le %ne , •+■ , ayaat lieu fi , x , eft

4
impair , & le figne , — , fi il eft pair. Si Ton veut avoir

par ex. le cinquieme terme de la lerie , on aura ,

jy«= 1. a . 3 -45 (3'-H 1)== 73 10 comme pre-

c^demmeiit.

XXV.

. Snppofons prefentement que Ton ait a refbudre I'equa-
tion differentielle du troifieme ordre •

y'sss^x y''^ -h'Ax ■ Jf-i -y^ -4- "yix

X-l

3M

x-z ■ _)'*-' je la mets (bus cette forme

o = y* -+- _'. • y*-^^ "^ >*"•■"

"A ■ X-l "A ■ X-+-1 • x-hx

-r^'"

"y^ • X-+-I • X-+-2 •X-+-3

€11 comparant avec I'equation (J?) du probleme • 1 1 • on aura »
Z« =o, /f' = 1^ , '//^ == ^

"y^ • X -+- I "y^ • a: -^- 1 • X H- a

"^^ r=

I

"A ■ X -*- I -x-Hi •*■+-}

& I'equation ( £ ) donnera

'A
0=1—

"yi • a: •+- 1 ■ fill' "^ •>;-+- 1 . X -4- i 6)*- «*■*-'
I

,«-t-« . /-..»-»•"

"A • X -^ 1 • X -^ i • X -^ I u' • fo*"*"' • ay

je fuppofe «' = =i:=r ) & I'on aura ,

a • X -H I

o =^ "A — 'A a -i- A a" -^ a* foient , — Py — 'Pf—"Pt

les trois valeurs de , a , & Ton aura

jy* = I • z • 3 . . . X {Bp' -^ 'B ■ y -^"B ■ "f)

foient Af , 'Af , "Af, les trois premiers termes de la ferie,

on aura pour determiner le conllante By 'B "Bf les irois

Equations

M c= Bp -i-'B'p -i- "B"p
'M

— ii- = Bp' -H B y -+. "By

-^^ = Bp' •+■ B y -^ "B'y

XXVI.

Dela noos pouvons nous Clever a des confiderations plus
generales , car fi I'oa examine attentivement le proc^de
de I'art. preced. , il eft facile de voir cpie fi i'on a gene-
ralement

y^^A'X • jy*— ' -^'A • X • X— I ^*— " -+- &c.

H- ""~'y4 X X — n-^i • y'-^ on aura

y='=iz-i....x{ B p* ~h 'B 'p' ,

-+- "-'B ■ "-'p') . . . . . (>')

— p , — 'p t — "p &c. etant les racitxes de , a , dans
r equation

o = '—'A - "—^A a ■+■ '—'A a' ....-*- A a"—' -H a'
le figne , -t- , ayant lieu fi , « , eft impair , & le figne »
— , fi il eft pair , or fi AJ , '7W , "Af , &c. font les pre-
miers termes de la ferie , on aura pour determiner les
conftantes , B , 'B y "B &c. le nombre, n, d'equaiions
fuivantes

M= Bp -t-'B'p -^-''By . . . . -^ —'5 • '-'p

'M

— il- =:Bp'^'B y -4- "B y . . . . -^ '-'B ■ "Y

"M

—^^^^Bp' -^'B'p'^"B'y .... -h-'^.-y

^5

^Bp^-^'B 'p' -h "B Y ..,-+■ —'5 • '-y

f 1 3 .

pour refbudre ces equations on peut fe fervir des raethodes
ordinaires d'e'imination , mais en voici une qui meparoit
plus commode & plus fimple.

Je multipJie la premiere equation par , •"'/> , & je la
retranche de la feconde, je multiplie pareiiiement la feconde
par , '~'p , & je la reiraache de la troiiieoK , & ainli

J»7

de fuire , ce qui produit les equations fuivantes
'M

(>-"-■/') ...•-+- -'^ •- 'P ("-* P — — '/')

<— >^f — •— '.'Vf

= . «-'r = ^ • P— ' (p — '-'p) . . .

I • 1

je multiplie encore la premiere de ces Equations par *~*f,
& je la retranche de la feconde , je multiplie femblable-
meni la feconde par ' — 'p , & je la retranche de la troi-
iieme , & ainfi de fuite , ce qui donne

"M -'M
(•— 'p -e "— ^p) -f. M ' "— .'P • "— 'p

== Bp ■ (p - "-^p) . (p - «-'p) .

"'M "M , '-^ _, ,_

li 3 4 I i-3 • *

= Bp' (p — "->) . (p — — p)

-+■ 'B'p^ Cp — '"f) • Cp — ""/')

_^ ^,^ . :w.^ (_,^ — — 'P) • ("-'/' — — 'f)

&c.
en operant fur ces derni^res equations comme fur les pre«
cedentes , on aura

"/ M "M

1 •

1 •
'M

3 4

I

a 3

-h

1- 1

ii-^P

-»-

"-•f)

3i8

— M • '*~'/J • ""y • "^'z? = B p {p — "^'p) •

{p - "-'p) ■ {p — "~'f)

•+• Sec.

d'ou il eft aife de voir que fi Ton nomme, /", la fomme

de tomes les racines , 'p , "p, &c. a ['exception de p,

ky la fomme de leur produits deux a deux,

/, la fomme de leur produits trois a trois,

^, la fomme de leur produits quatre a quatre

&c.

y, la fomme de toutes les racines p , "p j &c. a

i'exception de '/? ,

'A , la fomme de leurs produits deux a deux

&c.

'/, la fomme de toutes les racines , p ^ 'f » "^f » el

I'exception de "p

&c. . '

on aura ,

1 . 1 • 3 ....«- /^ ■(/?->) (/- -"p) ip-"'py ■ &i.

, »-«M-«'/""-»M-+-« »^ 'h '•-*M-n- n-i n^ 'I "-'^M-*- &c,

&c.

-. • , "—^M-nf'-^M^n n-i h''-iM-&e. „
foit pour abreger, =iy

= N

I ■ 2 .... »

&c.
on aura done

_ r N ^,

V.«- &c.

(«)

3*9

les quantites /, A , I , q, peuvent fe determiner fort aile-
ment do la maniere fuivante.

Soit reprife I'equation de cet art.
.o = a"-^A- a"—' — 'A ■ a"—^ ■+■ "A ■ a"~» . . . ► dh ""'^
je le divife par a -+- /? ce qui donne
o = a"— -+- a"—' {A — p)

— a"—' C^ -^ Ap ~ pp)

H- or-* C'A -^ '^p -^ Ap' — p*y

— &G.

d'oii il eft facile de conclure
/= A - p,
h = — i A -*• Ap — pp)
I := "A -¥• 'Af ■+- Ap^ — /)'

&c.
'f=.A-^'p

'h = — i'A -i- A'p — yy

&c.

XXVII.

Si Ton avoit p = 'p on auroit N = 'Ni foit alors
> = p -f d p , $c ^^-:jj.^~y-^= Q, on aura

-r; , '^ „ ., = 'Nq H- 'Ndp . -^ or il eft

(.P-P) ip- P)^'- ^ dp

fuci!e devoir par la formation de JV, &c'N, que N=^'N'

►+■ — ; dp^ partant N = N j— dp, done

dp '^ ^ ^dp ^'

'N / NQ Nd Q _ QdN\

i'p-"p)Vp-"p) &(■" ^ \ ^p "^ '^p ^~y'

&

i'p-"P) CP-'-'P) &c. '^ ^\ dp "^ ^/. ^;,

4- ( jc — I ) • — j • />*~' partant a caufe de

Mifc. Tour. Tom. 1V» • u u

3^0

p — 'f = — • dp , &c 'p — p := dp , on aura

<^y> dp

( x-i . R -^ p jjy en fuppofant /?—-§=
on aura done

J^=i

-|^-r-;(— ^-'^')1

,_. > («)

fi de plus on avoit dans cette demiere formule p = "p,
on y feroit encor "p = p •+• d p ^ & ainfi de fuite it
feroit fuperflu de nous arrecer davantage a cts differents cas.

XXVIII.

Si I'on confidere avec attention le proced^ des art. pre-
cedents , on doit appercevoir qu' il nous donne le terme
general des fuites formees {uivant cette equation
y' = A ' (p' • y'—' -♦- 'A ' (p' ' q,"-* • j*— '
-+- "A • <f>' (p'—' • (p'—" y*— » -+. &c.
car le tout fubfiftant com me dans ces art. avec cette
ieule difference que Ton doit faire ici

JV= °~'^ — nf ■ "-W -H &c.

jp- . <p-

'N

_ "-'M -. n'f

M

&c.

&c.

^ ■ <p

33«

les formules a , 8c m deviendront

i'p-p) Vf-"p)- ^c- ^ I

L-+- &c. J

l-H &C. J

^:?^ y-. ' 1^ ('?>

fi ^* = I , les fuites precedentes fe changent enfuites re-
currentes , & Ton aura ainfi d'une maniere tres-dire6te, le
terme g^ii^ral des fuiies recurrentes: de Ik refulte ce thco
r^me

fi Ton nomme 7"* , le terme general d'une fuite recur-
rente telle que

y' = A -y'-^ -4- 'A-y^^' -t- "^j'-' . . . -t- ""'^ • j*
le terme general d'une fuire telle que Ton ait
y' = A (^^ ■ y'-^ -h -A . <p' ' ,p*— y— . .

-+- °— '^ ■ <p' <p*-*-'— " • y'

& dans laquelle les n premiers termes qui font arbitraires,
fbyent les memes que dans la precedente , fera
y' = ^''+' . <p»-«-' . . . , <j)- p .
c'eft ce dont il ell facile de s'aflurer d'ailleurs ; car fi Ton
fubllitue cette vateur de y' , dans Tequation
y' = A (p" • y"—' .... -+- "— 'y^ • (p' . . . (p*-^-»— " •^»— "
on aura
9"-^' . . . . (p'T' = A ■ (p"-*-' . . . ^' P— . . . .

-+- "—• y^ • (p"-^' (f," ' 7^— »,

ou T' ^AT'-' ..■..-+■ "-^AT"-"
or cette derniere equation a lieu , puifque T' , eft le tei*-
me general de la fuite recurrente formee par I'equatioa
, y' =s A J'— . . . . H- "~'^ J""

UU 1

13*

XXIX.

Nous avons fuppofe jufque ici dans la formule (H)
de I'art. xxn. X* = o • 6c cela dtoit indifJDenfable avjnt
que de I'lniegrer, en fuppofant X' quelconque, nous aliens
pr^fentement examiner cette tormule dans cette hypothefe,
or fi dans 1' equation

y* = A ■ 0'' ■ y'—' ...-+- *—'^ • <p* . . . (p*--"+' y—" -4- X%
ou fuppofe X* = o , on aura comme on I'a vu prece-
demment

y' = 9' ■ <()" . . . tfr" • (B p'-^'B'p' . . . -4- "''B "— JJ' )
jd'oii Ton formera par les art. xvni. & fuivants

u = <p ■ (p" . . . ^* /)*

'a = ^' • ^" . . . (p* 'p*

U ^= (p • (p . ^ . (p^ • p

formons prefentement les expreffions de "~'j;, "— "^ &c.
pour les fubllituer dans la formule (n) de I'an. xxi.,
on aura

«= ^ • <p ^ '^^ — — j • p

u = (p ■ ^ ....$*• \~^~i ' P

U = <p • (p
partant

W.0=,w'....-(^)(^-y

&c.

&c.

& ainfi de fuite , on aura done

c=.'-."...,-,-c^)C-fOC-?)-(^)

'f = ,-.,'... . ,— ■ ■/ . (^) (>i> ) &c.

d*ou Ton conclura en fublliiuant ces valeurs dans la for-
inule (n)

' /

rizL.\ tlz2,\ Sec. ^ "^ <f<P'^-..rJ

&c.

XXX.

Si /=> ; on fera 'p=p -4- dp. foit iV= P ■ P- " ' ' 'f

on aura done

— N' / y* \
y = f <p>"...(p-.n'. (A-^-T. J

(Ar^:^^ , ,\

\ (p . . . . p'{p-*-dp) /

-+- &c.

3M ^

ce qui donne touies reJu6tlons faites

y = <p'. 9"... <p%r i (IL nffi\('A -^ r ?-— Y

^

&c.

fi de plus on a /J = "/> , on fera dans cette derni^re ex-
prellion "p c= p •+• d p , & ainfi de fuite ; il iuffit de
fuppofer (p* = I , pour avoir le terme gen(^ral des luites

rdcurrentes.

X X X L

Nous allons prefentement examiner quelques autres cas,
dans Itfquels I'equation propofee ( ^ ) eft integrable. Mais ■
nous (uppofons qu'elle ne monre qu'au fecond ordre.

- H' 'H'
L'equation ( E) devient alors 0 = 1 — i- ^,—

dont il fuffic de trouver una integrate particuliere i routes

'H'
fois done que i'on aura H' r= a* -t- — — — ,

l'equation X" =y' -^ H' y'-*" -i-'H' y'-^ kvdi xnxigxdhh.

L'equation X' —y' ->^lt^-^ —;^^:r)y'^' -*" 'H'y'-*"' ,

eft integrable co" , & 'H' ., ^tant des fonftions quelcon-

ques de x •

(i u" , eft conftant , & egal a • « • , l'equation

('H'\
m-i ) y"^'^ -»- '^ • y"*"" fera inte-
grable. Le cas des fuites rdcurrentes eft compris dans
, Gelui->ci ; car ft Ton veut integrer

* X' = y' -+- J y'-*" -*• 'A • ^**", on fera 'H' — A

'H'
m -i- -T- =r'A •
m

3U
ce qui donne deux valeurs pour m , & par confequent

pour • w* • en donnant a <u* d'autres valeurs , on aura

d' autres equations int^grable , on voir que cette raethode

s'^tend pareillement aux equations diffiirentielles de tou5

les ordres , mais il feroic inutile d'entrer dans un plus grand

detail a cet egard.

XXXII.

Je ne quitterai point cette matiere fans indlquer un
ufage remarquable du calcul integral aux differences finies
dans la formation des fuites: quelques exemples le feront
mieux connoitre que tout ce que Ton pourroit dire..
Sou X le finus d'un angle ^ , & ^ fon cojinus , on a ge-
neralement
fin. n i=:y- fin. (n — i) ^ — fin. (n — i) i • done

fin. ^ = jf

fin. z ^ = 2 xy

fin. 3 £ = 4 x^- — X

fin. 4^=8 xy' — 4xy
• fin. 5 {= 1 6 xy* — 8 xy^ -4- x
&c.
il eft facile de trouver , cela pofe , i'expreffion generale
de fin. /i{; il eft aife de remarquer. i" que les expreC-
fions precedentes font le produit de x par une fonftion
rationelle , & entiere de y , z' que dans cette fonftion
le plus haut expofant de y , eft moindre d'une unite que
le nombre qui multiplie Tangle • { • 3" que les expo-
fants de y, diminuent fuivant une progreffion arytm^ti-
que , dont • 1 • eft la difference , & que ces expofanrs
font toujours pofitifs , il eft facile de voir que cela doit
avoir lieu pour le Jinus d'un multiple quelconque de • ^ j
rexpreffion de fin. n^, aura done la forme fmvante %.
fin. /j{ = a: (^ • y*—' h- B -y"—' hh C-y"' h- D -y'-' -t- &c.)

il fdut prefentement determiner les coefficients, Ay By
C, D, &c. on a

fin. /2 — 1 . ^ = X {A, j"— • -+- B, y"—* ■+• C^ y"—^

-t- D, y'—* -4- &c. ) & • fin- « -<- I • f = Jf C^'-y
-4- ^' . y"—^ -H C . y'-^ -4- Z>' • j)^«— « -+- &c. )

= ijy • fin. n ^ — fin. n — i • ^ = jc -\

r % A y" -^ X B ' jy"^ -^ -L C ■ y"—* \
<, -^ -lD • jK"-" -H &c. — ^, jy"-^ — ^ .jy"—- » r

on aura done en comparant.

x" A' =i^ A • done par le probleme • 1 1 •, -^ = i" • ^ • ,
(i/, etant une conftante ), or n etanr, i, .4 = i , done

/f = - , partant • A = i""'

xo B' = iB — Ay on B'^s^rB— z"-^ , d'oii

- 2"

Ton aura en integrant , B = z"— ' S

— 2"—' 2 • I • = — 2"""' ( n -+- i/) } comme y ne
peut avoir d'expofant negatif , dans I'expreffion de fin. n {■,
il fdui que B , Ibic zero , lorfque n = i • partant
^ = —2"-' («— i).

3"C' = ic— ^, = 2c-t- 2"— ♦. («~3)- done -C =s 2"— »

on determinera /f par cetre condition cpje C fbit zero ,
lerique «= 4 • doiic H = 6 • partant

c= 2— . "-' ■ "-'

I • 2
i* •^ jy ^= xJ> — C^ • d^oii Ton eonclura fecUenMflt:

i> ;=- 2--r. .-4 »-5-»-6 ^^^

337

done • fin. « 7 = x'^i"~' • y""' — — • i"— ' v"~

»-7 . n—A

»-4 »-? w-g

^ z"-7 y— :' -t-&:C.

I ■ 2 ■ 3 -^

foit encore • ^ = ang. fin. x • en differentiant , on aura
-^ = prefentement on veut avoir I'expreflion ge-

nerale de • j-ji dx etant fuppofe conftanr.
Soit y =- , on aura

dx {^\-xx')X.

d df 1 at' -»- I

dx'' (\-xx\l.

d'y 6 ;t' ■+- 9' ,

d7' ~~ ii-xx)l

d*y i4;if*-i- 71 A^-f-9

d X' {i-xx)-t.

pour peu que Ton confidere avec attention ces expreflions

d y d' y
de — , — &c. il eft aife d'appercevoir que i'expreflion

g^n^rale de • -r- • doit avoir la forme fuivante
Mifc. Taur. Tom. IK, x x

d' y yfy -^P • x"-'^ ■+- Cx"—* -•- D - *"-« ■+- F • *"-« -t- cS'^-.

J^ (i-;>rAr )»-+- L

partant

d"-*- • y A' *"-•-' -^ B' *■"-'■+- C x'-i-t-D'- x"-' ■+■ P *«-7 -I- cJ'f.

en difterentiant --— on aura
dx"

dx"-*-^ ^ ^

H- (i/2-Hi) C- x"-' -H &C.
— n ^ H- « y4 -+- (/2-l) ^
— (n-i) B — (/i-4) C

( I — X X )"-^ f

on aura en comparant ces deux exprefllons de, ^_^^ ,

& integrant convenablement les valeurs de z^, 5 , C , Z? &c.
& Ton trouvera aptes avoir fait ie calcul comme pre-
cedemment

-4

, , , . i-i'in— i-dx"

a""' _y • d X = d" • ang. fin. x • = -

(i - xx)"--^

\

* 1-2

i-i «-i»-i»-3»-4

I-J.J »-!•»— z» — 6

r"— 7

1 • 4 ■ 6 I • z • 3 . . . 6

^-t- &c.

cette m^thode , comme Ton voit , eft celle des iirlefermi-
nees, avec cette difference que les coeficiens indetermines
au lieu d'etre conftants , font ici variable*, & donnes par
autanc d'equation aux differences finies.

X X X 1 1 1.

Application de la meihode pricedente
aux differences partlellcs.

\_o\xt int^grer I'equation aux differences partielles — ^

= — • on obfervera que — — d x -^ ~ d t = </ y, d'ou
at ^ ax at -"

il eft facile de conclure , dy = —- (dt -+• adx) par-

tant y = (p (t ■+■ a x) • (p , fervant a defigner une fonftion
quelconque • cela pofe.

P R O B L E M E II.

On propofe d' integrer I'equation differentielle

a , a" &c. , etant des conftantes quelconques, & X^ une
fon6tion quelconque de - x •

Solut

ion.

Sony = ^ -h w , ^ , etant une fonftion de x feule j I'equa-
tion {A) donna

dx' dx- tfA-"— ». d t

X X a

34°

je fais X-=--j^ • partant , on aura

d'u , d" u ,, efH
o = -; J- a • -. T-T -»- a. • —. — — -+• &C. (A)

foit , — = « -J- > ^ etant conftant. Si Ton differentie
' dx d t

cette equation en faifant varier i°, x ■, i** f, on aura les

deux fuivantes

d d u d da

dx^ dxdt

d du d d u

dxdt de'

fi Ton differentie pareillemeni ces deux equations en faifant
varxer i' x , 2" t , on aura les trois fuivantes
d> « d' u

77' " dx^ dt
d'u d'u

a

d x^ d t d X d C

d'u d'u

as

dxdt' dt'

en differentiant ainfi fucceffivement , on trouvera

d"u d'u

dl? " ' dx"—' dt

d' u d" u

U

dx''-"^dt dx^-^^dt'

d'u d'u

03

dx-di"—' dt"

fi Ton multiplie la feconde de ces equations par a , la
croifieme par a" , la quatrieme par a" &c. , & qu'on
les ajoute enfemble avec la premiere , on aura

d" u d" u d" u

dx" ^ dx"-'di ^ ' dx'^-'-df

d'u d'u

^i • ' dx-df—y d t'

J4«

en comparant cette Equation avec I'^quation (A) , on
forraera les fuivantes

0)' '— a = a

a — a> a = a

II' I ' fn

a — u a = a

fi>— — ft) «"-' == o'-'
— a a"-' = a"
d'oii I'on conclura ,

a = a — a

II II I t X

a = a — a w-J-a*

III III II . ' 2 . «

a =a -— a Oi -^ a. u -\- u*

(y"-' s= a"-" -h tt"-" a -+- a"-'" «» . . . -H ««-•
partant, on aura

o = a" -+- o' • «'— -K a • w""* . . . ^ a»
.foient /» , /, ^" les valeurs de a , dans cette equation ,
on aura done les Equations fuivantes ,

d u d u

'dli~^ ' 11
du ^ du

77= P 77
&c.
partant 1' integrale complette de I'equation {A') fera
« = (p (^t-t-p x) ■+. ^' (t-^ p' x) ■+• <p" (^t -t- p" x)
, . . . -»-(p— ' (t •+-;>"— x)

je dois obferver que M. D'Alembert a integre cette meme
Equation d'une maniere tres-elegante , dans le quaineme
volume de les opufcules : auffi ne I'ais-je int^gree ici que
pour faire voir comment ma methode s'appiique au calr
cul des differences partielles.

54*

x:x X I V.

Void prefentement plufieurs theoremes fur le calcul
integral , qui n'ont point encore ere , que je fache , remar-
ques par aucun geometre , & qui m'ont paru ^tre de
quelque utilite dans I'analyfe infinitefimale.

Soit AI d X = o une equation difFerentielle de I'ordre n,
M etant une fonftion finie , & homogene de x , j , Si
de leurs differences premieres , fecondes ... & n."'".
Je fuppofe d'ailleurs cette fonftion telle que Ton y puiffe
faire a volonte , d x , ou , dy , conftant , ou variable.
Soit maintenant, dj =pdx, d p =^ q d x , d q =■ r d x^
d r = f d X &c. M. Euier a fait voir dans fes inftitu-
tions de calcul differentiel , que , M , fera dans ce cas
line fonftion de x , j , p , ^, r, s , Sec. or il eft clair
que, p, eft de dimeniion nulle ; g , de la dimenfion ,
-— I , r , de la dimenfion — z Sec. puifque done , M,
eft une fonftion homogene , en nommant , A , fa dimen-
iion, on aura

JW=x* • fonft. (-, f , qx,rx%fx* &c.j • partant

e =z (on6i. {-, p , qx, rx% fx' Sec. j {A)

« o dx du . J

je fais prefentement, — = a, & — = — , ce qui donne
-J- = u-ht^p- enfuite, y =. _^_ , & ^x =^ ^-

t • di u-i-t') ,. ^ . d(l

i\u-¥t) i= ^ • differentiant , Oft aura, -y-^

^ dj—^^y-l = r partant . x^ = tdj^—-^-—)

xdx du

34}

= — • — • je Jiomme cette quaiitite • y • pour abreger •

difFerentiant de nouveau I'equation precedente , on aura

eir dy rr , x

• partant , j x» = ay • -r—

fubftituant au lieu de , — , /» , q x , r x* &c. ces valeurs

dans r^quation {A) elle deviendra

- „ / d{u-*-i) ft d(u-^-t)\

o t= fontt.f « , K -H t , r • — :; , t ■ a [ ]

i du \ du /

du

.('^tO)«,..

(B)

du

du

laquelle equation ne renferme plus que des differences de
Tordre • n — i •

On peut done ainfi abaifler une equation homogene
de I'ordre , « , a une autre de I'ordre • n — i •

II peut arriver que I'equation abaiflee a une autre
d'un ordre inferieur refte encore homogene , en ce cas on
la traitera de nouveau, comme la precedente.

Pour en donner un exemple , foit

o^dx (j^A'±~^ A . X- g),^^

etant conftant elle fe changera dans la fuivante
o-=zy-^Ap-i-A'q', d'ou Ton conclura

o = u-^A(u-i-t)-*-A •

d u

equation homogene , & du premier d^gre.

344

Generalemetit requafion homog^ne M<lx = o, abbaif-
ftfe a Line autre d\in ordre inferieur reilera encore homo-
g^ne , fi M efl homogene par raport k, x , & a (es
differences , & qu'elle le foit de plus par raport a , _y ,
& les differences. Car il ell vifible que dans ceite fup-
pofirlon requation ( ^ ) eft homogene.

Si dans I'equation , M dx = o , la dimenfion de ;c, &
de fes differences, moins la dimenfion de j' , & de fes
differences fait pour chaque terme una quantite conllante,

on rendra cette equation homogene en faifant x = —•

Soit come precedeminent I'equation, Mdx = o, de
I'ordre ^ n , M , etant une fon6Bon finie , & homogene
de X , y y & de leur difference premieres , fecondes ....
&C n."" , dans laquelle on puifle faire a volonte , d x ^
ou dy, conltant, ou variable. Je fuppofe de plus que
cette fonftion foit homogene par raport k j ^ & a les
differences , enforte que pour chaque terme le nombre
des dimenfions de cette variable , & de fes differences ,
foit le m^me ; je le nomme • h • cela pol^. Soit , dy
e= p d X , dp = q d X , d q =s r d X &C. M , fera fon-
ftion dex,j',f,^,/-,J &c. ^ &c p ^ q , r , s &c.
feront de la dimenlion • i • par raport k ■ y : je fais,

~ = tv = P, done — ^ z=: tdx • enfuite -~ = g
Jx '^ ' y dx ^

dt tdy f dt \ , da

dx

= y

• 345

I

& en fubftituant au lieu de p^q,r,8cc. ces valeurs dans
M , on aura

dx

Sec

s

partant
o

fona. fx, t, ^,d. (J^ &c.|

equation qui ne renferme plus que des differences de
I'ordre • n — i •

Mifc. Taur, Tern, IF.

yj

ERRATA

Pour les Memoires de Monfieur MONNET.
Page ligne

5» ^

(pour la nature;

z//e{ (_c eit-a-aire cjuaru

5 3 M»»

8,13

ccegulum

coagulum

ibid, derniere

matture

matiere

54 1

coegulum

coagulum

ibid. J

arr^te

pouffe

ibid. I f y

16

k leurs

aux

55 6

&

qui

ibid. 7

faifant

faifoit

ibid. 9

a

eft

ibid. 17

agloraefant

aglomerant

ERRATA CORRIGE

Jn fpecimine Thermarum V^inadienjium.
JoANNis Antonii MARINI.

|).8i§.3l.
85

86
88

1 1 conftat meridie. lege
1 1 alcendit haec fubdio

: coiiftat. Meridie
afcendit. Haec fub dio

1 3 rivularumque
i 6 furtine:

rivulorumque
fulhnent

ij acuta

aufta

t 4 vitn

I I falfo-nuvriatica

z (i 1) difperiatur

1(13) fyrapi

5 M. Creumanno
).i falfo-acerbiflimo

vim

falfo-muriatica

difpertiatur

fyrupi

M. Neumanno

Xalfo-acerbiifioii

ERRATA

Pour la Memoire de Monfieur de la GRANGE

Sur la folution tCun ProbUme (T Aritmeiique.

Page ligne

47 14 ajoutes — j'* *' i

48 II R = X' &c — ay'^ lifei R = x^ — ay' Sc

49 1 -*~a ^ p' life^ ~*^ 1 P

J 5 17 divifible z lije:^ diviiible par x

58 14 apres la quantite {1 u yY mettei ""^ virgule

6j 6 & 7 au lieu de 49 & 69 Ufei 4^ & 6q

ibid. I o au lieu de wj ( ot' — 4) &c, lijei m (m' - 4 Sec.

ibid. 16 au lieu de /* — ^ life<^ q'^ — ^»

/'— 17 ,.- *— I
66 16 on aura — ^ ///cf ^ —

q ^ ^ q
68 14 p' = aq'=p',Sc lifeip"=:p^~h af=zp' 8c

70

3 (^^'- ^) J^^'/^C W

Nm -' ^ N«

I

I

1 ; —

71 i i? = /72 >> I /j/"^£ i? = OU Z>

71 13 a caufedejc*-ay*= i - &c life^ x^ - ay'- . , -

74 1 & 4 au lieu de (^" — f) &c. , & de & ^''

lifei {q" _ j) &, & /"

86 11 au lieu de i = &c. life:^ x = &c.
95 3 au lieu de (p -h qv'a)" lifei (^p - q V a)"

104 16 au lieu Ae(i-t-yy life^ (i-i-xyy

107 I au lieu de P life^ p
ibid. 5 au lieu de p q li/e^ P q

ibid. ib.au lieu de T, dp life^ T, d P

1 08 9 avant la methode mettei 1 x

109 16 par xdP lifei par xdp

Page ligne

jio 24 au lieu de Tequation (E) life? (D)

114 10 (fqj^ X^-p&cc.) lifei {fQd^K<i>-Scc.)
ibid. 1 1 (5f '*-*-i op^^') <j &c. life^ (5/74-+-1 o/?"^'-t-^'*)y &c.
ibid. 14 Q_{fAdq X<p-&LC.)lijei(l{f(^dqt<p-^C.)

115 1 iS — yp &c. /«/c{ ^ -^ yp &c.
ibid. 19,12,25, 26 au lieu de X mettei X

116 I au lieu de X X

,zo 6 jp ^^{ —

121 1 '^-jq ^'/^{ '^"j^

122 a la fin au lieu de 21 mettei $. 20

ibid. lig. derniere &i.Z=:fPdx &c. lifei i =/P i x &c.

PI. II.

^y IV. [||;

VII. M

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