J^- ^/oj^ , /„.

MISCELLANEA TAURINENSIA

T O M U S V.

MELANGES

D E

PHILOSOPHIE ET DE MATHEMATIQUE

D E LA

SOCIETE ROYALE

D E TURIN

Pour les Annees 1770- 1773.

A TURIN

DE L' IMPRIMERIE ROYALE.

AVEC PERMISSION.

SIRE

'a Socle te RoyaU de Turin ofe paroitre au^
JourdhuL avec d' autant plus de confiance aux picds
du tr6ne de Voire Majcfti, qii en vous offrant le
fruit de fes travaux, elle peia s applaudir de vous

prcfcmer votre propfe ouvrage. C efl au :^le eclalre
de V. M. pour le progres des connoijfances dlgnes
de I homme & vraiment utiles a /' humanite. , que
ccne Socictc doit fa naiffance ; les graces dont elle
fut houoree par le Roi votre Pere de glorieufe
memoir e , /' emprejjemem que tant d' homme s illur-
(Ires des nations etr anger es ont temoigne de pren-
dre part a. fes travaux, de l enriclur de leurs pro-
ducllons & de s" ajfocier a la glotre , que la faveur
d un Prince^ pijle appreciateur des fciences & des
arts , fait rejaillir fur ceux qui les cultivent. Les
fages , les favans de toute /' Europe , qui ont ew
le bonheur de Fous approcher , ne nous reproche-
ront pas ici le langage impofieur de la fatterie.
II doit nous cue per mis , Si RE , de nous en
rapportcr a lew temoignage ^ & il efl auffi hen-
reux que confolant pour nous de trouver, dans leurs
clogcs, des intcrpretes nonfufpecls de nos femimcns..
Combicn de fois les avons-nous entendus r clever avec
complaifance, non feulement cct accucil gracieux ,
ail la grandeur ne parott que pour rcndre T affa-
bilite plus touchante , mats encore ces entretiens
fuivis , Oil ils ont etc eionnes de pouvoir deploy it
tout leur genie en raifonnant avec un Prince, egw.

iement en hat de profiter dz leiirs tumiires ^ & de
leur en communiquer. Le trone n a run change, a
vos difpojitlons , // n a fait que laijjer a vos venus
le moyen de paroitre ce qii elles etoient, & ajoutef
a la volontc de faire le hien^ le pouvoir de le faire.
plus ejfficacement & avec plus £ etendue. La provi-
dence a voulu Jignaler les commencemens de votre.
Regne par un bienfait inejlimable, en accordant le
Jalut de vos peuples au premier ufage que vous
ave^fait du pouvoir fupreme qu elle venoit de vous
conficr. Nous n ofons entreprendre de peindre les
traits fublimes de fagejje & de bienfaifance , qui
out paru dans ces momens dicijifs: ils font graves
dans tous les coeurs^ & ils eclatem dans tomes les
occafons par ces tranfports d allegrejfe & de recon-
noiffance , que la prefence d un bon Prince infpire ,
^ qu il efi f aise de difinguer de ces mouvemens
forces , qui partem de tenvie de plaire , ou de la
crainte d offenfer. E intiret general de la fociete
humaine tie pent que porter nos confreres etrangers
a joindre leiirs veux aux notres pour la gloire &
la profperite d un Souverain qui ne refpire que le
biett de t humanite. Regne^j SiRE, pour le bonheur
de yos peuples , pour jouir de leur amour , pour

te tr'ioniphe de la Religion & de la venu , pour-
affurer au merite & aux vrais talens la protcclion
qii Us attcndcnt de V. AI. La Societi Royale td*
chera de la meriter par fon ardeur a remplir les
oh jets de fa dejlinatwn, heureufe^ Ji par I ajjiduiti-
de fes recherches , elle parvient a ouvr'cr quelque
noitvelle vue d utilite , qui puijje fournir a V. M,
de nouveaux moyens d exercer fa bienfaifance envers
les humains.

Nous ayons /' hojuieur d itre ayec le plus profond
rcfpcB

S ZM. JE

De V. m:

Lit trei-liuml'hc , irh-oielffimu , trh-fidellei
Jtrviteurs 6" Jiijets les AJfocies de voire
/iccditiiie Rayale des Sciences.

TABLE

Des Memoires contenus dans ce Volume.
Dans la claffe Philofophique.

De r Ordre , far le P. Gervil Barnabite pag. i.

Examen Phyjico-chimique Jur la couleur des fleurs ,
& dz quelques autres fubflances vegetates , par

• A// LE CoMTE MoUROUX . . - pag. 1. 1.

Caroli Allioni. Auclarium ad fynopjim methodic am

Jlirpium Horti Reg. Taurinenjis - - pag. 5 j .

JoHANNis Francisci Cigna. De eUclricitate pag. 97.

JoHANNis Francisci Cigna. De refpiratione pag. 109%-

JoHANNis Petri Marim Dana. De folano melano-

cerafo H. R Taur. - - _ _ pag. 161.

Second memoirs fur la different^ dijfoltibilite desfels
neutres dans Z' efprit de via , contenant des obferva-
tions partici/lieres fur plujieurs de ces fels , par
Ms Maquer ----- pag. 1 3 7.

Rejlexions fur un ejfai de chimie comparee , par

M/ LE CoMTE DE SaLUCE - . - pag. I 9 1,

Dans la claffe Mathematique.

Memoire fur differentes queflions d! analyfe , par

MJ LE Marquis de Condorcet - - pag. i ,

Addidon , ou Memoire fur les folutions particulieres
des equations differentielles , par Mj le Marquis

DE. CONDORQET pag. 1 2,

Memolre fur la determination des foncllons arhhraires
dans les integrales de quelques equations aux dif-
ferences partidUs , par M.' MoNGE . . pag. 1 6.

Second Memoire fur le calcuL integral de quelques

equations aux differences partielles par M.'MoNGE pag. 79.

Sur la figure des colonnes , par M: DE la Grange pag. 1 1 j ,

Memoire fur C utilite de la methoie de prendre le
milieu enire le refultat de plujieurs objervations ,
•dans lequel on. examine les avantages de cette
methode par le calcul des prohabilites , & oil l^ on
refoud differens problimes relatifs a cette matiere ,
par Mj de LA Grange - • - pag. 167,

Theoreme pour fervir de fuite au memoire fur diffe- ^

rentesu qefiions d' analyfe , par MS LE Mar<iuis

DE CONDORCET _ . - - - pag'13 5«

Nouvelles recherckes fur les equations determinees ,
pour fervir de fuite , & de developpement au me-
moire fur le mime oh jet, dija. injere dans ce vo-
lume , par M: LE Marquis de Condorcet pag.iji.

Imprimatur*

Johannes Dominicus Piselli Ord. Freed. S. T. M.
Vic. gen. S. Officii Taurini,

Se ne per met te la fiampa

Galli per S. E. il Sig. Conte Caissotti di S. Vittoria
Gran Cancelliere.

DE L'ORDRE

Par le P. GERDIL Barnabite.

i-'' homme a la faculte de comparer fes idees , & de de-
couvrir par ce moyen les rapports qui font entr'elles , oa
entre les objets qu'elies reprefentent. Cert en quoi coniille
la connoiflance du vrai. En comparant deux angles droits,
i'appergois que ces deux angles font ^gaux , & ce rap-
port d'egalite eft une verite.

C'eft par cette meme faculte de comparer les objers ,
& d'en decouvrir les rapports que 1' homme s'eleve a I'in-
telligence de I'ordre, de la beaute , & de la perfeftion.

Lorfqu'en comparant deux objets Tefprit appergoit un
rapport quelconque entr'eux , c'eft connoitre fimplement
une verite , ainfi qu'on vient de le dire. Si la medaille ^,
& la medaille B, que j'ai fous les yeux, font egales entr*
elles , en connoiflant ce rapport d'egalite , je connois fim-
plement une vciite , & rien de plus.

Lorfqu'en comparant les rapports de liaifon , que pla-
fieurs objets ont entr'eux, je decouvre un rapport commun
qui exige, qu' ils foient lies , ou places d'une telle maniere,
plutot que de toute autre , tout arrangement ainfi deter-
mine par un rapport commun me donne 1' idee de I'ordre.
Je vois une fuite de medailles imperiales fur une table.
Cefar eft le premier , Augufte le fecond. Le rapport de
Celar a Augufte comme a fon fucceffeur immediat, exige
que Tibere foit place apres Augufte , & ainfi de fuite. Ce
rapport de fucceffion immediate eft amfi le principe de-
terminant qui fixe la place de chaque medaille , & four-
nit la raifon pourquoi elle eft placee en tel endroit, plutot
qu'en tout autre. Or un arrangement oii tous les termes
font places, en vertu d'un principe qui determine la pofi-
tion de chacun , c'eft ce qui conftitue 1' idee de I'ordre.
Mifc. Taur. Tom, V. a

z

Ainfi I'ordre cfl foiide en nature auffi bien que le vrat.
Us refultent I'un & I'autre des rapports des chol'es. Un
fimple rapport e(t une verite ; un rapport qui amene un
autre rapport forme I'ordre, & la connoiffance de I'ordre
n'eft, pour ainli dire , dans 1' homme, qu'une extenfion de
r intelligence du vrai.

11 y a cette difference entre la connoiffance du vrai ,
& la connoiffance de 1' ordre , que la premiere ( en tant
qu'elle fe borne au fimpie rapport , independemment de
i' importance , ou de 1' excellence de I'objet) eft fuivie
d'un fimpie afte d'affirmation , par lequel je me dis a
moi-meme , que la chofe eft telle que je 1' apper^ois .
Quand j'apperrois I'egalite de deux angles droits , je me
dis a moi-meme , que deux angles droits font egaux ,
j'affirme cette egalite , & voila tout. Mais la connoiffance
de I'ordre eft de plus fuivie d'un fentiment d'approbation,
par lequel je me dis a moi-meme, non feulemente que la
chofe eft comme elle ell, mais de plus qu'elle eft comme
elle doit etre. Ce fentiment d'approbation eft toujours
fuivi d'un mouvcment de complaifance , puifqu' il n'eft
pas poffible de ne pas fe complaire en ce qu'on approuve.

II y a done une forte de diftinftion a faire entre la com-
plaifance qui accompagne la connoiffance du vrai , (confidere
comme fimpie rapport , & abftraftion faite de la qualite de
i'objet) & celle qui accompagne la connoiffance de I'ordre. La
connoiffance du vrai eft fuivie d'un fentiment de complaifance,
& de fatisfaftion , parceque 1' intelligence tend au vrai ,
comme a fon objet , qu'elle fait effort pour le trouver,
&c que la ceffation de cct effort , lorl'qu'elle parvient a
le decouvrir , repand dans I'arae cette douce fatisfadion
que la nature a menagce dans le paffage du defir a la
poffeffion. Mais la vue de I'ordre excite de plus la com-
plaifance qui accompagne neceffairement I'approbation j
c'cft-a-dire cet aCte de i'ame , par lequel on le dit qu'une
chol'e eft telle , qu'elle doit etre.

5

L'ordre facilite les progres de 1' intelligence , & de la

raifon. Ce n'eft qu'en fuivaiit le rapport , & la liaifon des
idees que I'efprit paiFe d'une verite connue a une verite
qui ne 1' etoit pas. L'efprit faifit , & retient avec plus de
facilite les objets oix il apper^oit un certain ordre ; il
les diftingue , & les compare plus aifement : cette liaifon
les reprefente comme formant un feul tout , & par ce
moyen 1' homme fe rend capable d'embrafler un plus grand
nombre d'objets par une feule vue de l'efprit , en quoi
confifte principalement la perfeftion de 1' intelligence.

L' homme ne peut non plus rien executer, qu'en vertu
d'un certain ordre , par lequel il difpofe les moyens d'une
maniere convenable a la fin qu'il fe propofe. La raifon a ,
pour ainfi dire, une double fonftion dans 1' homme, elle nous
a et^ donnee pour developper les progres de 1' intelligence, &
appliquer 1' intelligence a Taftion , & c'eft toujours l'ordre qui
la dirige fous ce double rapport , en forte qu'on pourroit dire
en un certain fens, que comme le vrai eft I'objet de 1' in-
telligence, ainfi l'ordre eft proprement I'objet de la raifon.
Ratio ejl facuhas ordinairix. C'eft ainfi que quelques an-
ciens out defini la raifon, & fous ce point de vue on
pourroit dire que le propre de la raifon eft de fuivre l'or-
dre convenable des idees pour mettre un ordre convena-
ble dans I'aftion.

Tout ordre, ou arrangement prefente une fuite d' idees,
ou de termes determines par un rapport commun. Ce rap-
port fe trouve i° dans les fuites mathematiques indefinies,
telles que la progreflion des nombres naturels , ou des
nombres impairs &c.

Si je compare les deux termes i & i, & que j'envifage'
de combien le (econd terme excede le premier , ce rap-
port de difference me fait voir qu'apres i je dois placer
le 3 , & ainfi de fuite.

a >

4

Si en comparant ccs deux termcs j'envlfage le rapport
geometrique de I'un a I'auire, c'elt-a-dire que le fecond
conrient deux fois le premier, la continuation de ce rap-
port m'avertit , qu'apres le 2. je dois placer le 4 , enfuite
le 8 , & ainfi de fuite.

Ces furies font fansdoute ordonnees , mais, comma elles
font indehnies , Tefprit ne peut jamais faifir la totalite des
termes dont elles font fufceptibles j il ne fauroit jamais en
embraffer tout I'enfemble d'une feule vue , & dela vient
que cet ordre, pour ainfi dire, indetermin^, ne fauroit le
fatisfaire pleinement.

z° Pour determiner I'ordre qui refulte des fimples rap-
ports de quantite, il faut conduire la fuite jufqu'a uncer-
tain point , & enfuite , par des rapports reciproques ou
retrogrades la ramener de I'autre cote au meme terms
dont on etoit parti.

Soit une fuite de termes A. B. C, dont une raifon
quelconque determine I'exces de B. fur A., & de C. fur
B. Cette fuite continuant a croitre iroit a 1' infini ; &
jamais 1' elprit ne pourroit en embraffer la totalite.

Mais fi Ton la continue de I'autre cote par une fuite de
rapports inveifes , on aura les termes D. y &c E. qui re-,
pondront exaftement aux termes A. ^ &c B. la fuite fera
ainfi terminee j I'efprit en faifira la totalite , & la corref-
pondance des termes ^., & E. , B., &/?. , relativement
au terme du milieu , prelentera une raifon claire , & de-
terminante de leur polition , en quoi confifte 1' idee de
I'ordre. Voila pourquoi la correlpondance des termes ,
d'oii nait la fymm^trie plait naturellement a i'efprit. Et
c'eft auffi la raifon de cetie regie generale , que lorfqu' il

ill I I I I I

A. B. C. A. B. C. D. E.

y a deux parties femblables , & une diflemblable , il faut
placer la diffemblable au milieu ; regie puifee dans la na-
ture meme qui nous en ofFre des modeles , furtout dans
la conforrhation des animaux.

Tout affemblage de moyens propres a produire un ef-
fet convenablement au but que Ton fe propofe, forme un
tout ordonne ; dans cette forte d'affemblages I'ordre refulte
du rapport des moyens a la fin ; & c'ell meme cette efpece
d'ordre qui. nous atfefte le plus vivement.

En ce genre I'ordre le plus parfait eft celui qui refulte
d'une combinaifon de moyens propres a produire I'effet de-
fire le plus facilement , le plus furement , & le plus plei'
nement qu' il foit poffible.

La facilite doit faire pieferer I'ordre, par lequel on arrive au
meme but avec le moins d'appareil , & de complication
de termes , & d' inftruments ; & la furete m^me du fuc-
ces depend en grande partie de la fimplicite des moyens.

Soil une machine compofee de dix pieces pour pro-
duire un effet qui peut etre produit avec une machine
de trois pieces , telle que Zabaglia les favoit imaginer : je
dis que cette premiere machine muhiplie les termes , fans
multiplier les moyens: elle multiplie les termes, puifqu'elle
en renferme un plus grand nombre j elle ne multiplie pas
les moyens , puilque les trois pieces jlans I'autre machine
font autant d'efFet que les dix pieces de celle-ci.

Comparez le fyfteme de Ptolomee avec 1' hypothefe de
Copernic. 11 s'agit d'expliquer le cours apparent des Aftres.
Les fimples rapports de vitefle, & de diltance fufiifent dans
le fylteme de Copernic pour fatisfaire a routes les appa-
rences; dans le fyfteme de Ptolomee il a fallu imaginer
des cieux particuliers pour le mouvement propre de cha-
que planete , un premier mobile pour leur imprimer un
mouvement commun en fens contraire, des Epicycles pour
expliquer les ftations , & les retrogradations. La machine

eft beaucoup plus compofee, & n'explique rien de plus :
elle explique meme moins : car dans ce fyfteme il n' eft
pas poHible d'expliquer, comment Mars eft quelques fois plus
proche de la terre, que le foleil ; ni comment Venus , &
Mercure fe trouvent en oppofition avec le foleil , ayant
la terre entre-deux.

Oil voit par cet exemple comment il arrive de multi-
plier les termes , fans multiplier les moyens. Ce defaut de
fimplicite vient toujours d'un defaut de lumieres. Si une
feule idee intermediaire fuffit pour Her deux idees extre-
mes , I'efprit qui apper^oit la liaifon des deux extremes
par le moyen de cette feule idee intermediaire ne rejet-
tera pas la lumiere qui vient le frapper , pour chercher
cette liaifon par des detours qui en rendroient la connoif-
fance plus penible , & moins claire. L'efprit ne prend
cette peine que pour fuppleer a cette idee moyenne qui
lui epargneroit tous ces embarras , 8c le conduiroit plus
direflement au but qu' il fe propofe. Je pourrois ^claircir
cette penfee par 1' exemple des differentes demonftrations
que differents Auteurs ont donnees de certaines propofitions
de geometric , dont les uns vont dire6lement au but paj:
une , ou deux idees moyennes adroitement menagees ,
& les autres n' y parviennent que par de longs circuits
qui rendent la demonftration moins claire , & plus fatiguante.

L'ordre le plus avantageux eft done celui qui renferme
le maximum des moyens avec ie minimum des termes.
Ceft par le moyen d'un tel ordre qu'on obtiendra la fin
qu'on fe propofe le plus facilement, le plus furement ^ &
le plus pleinement qu'il eft pofTible. Un tel ordre eft le
plus conforme a 1' intelligence la plus eclairee dont la
perfeftion conlifte a faifir les rapports qui lient le plus
immediatement ley differentes idees. II a done en foi une
raifon de preference fur tout autre ordre , & il eft en con-
sequence l'ordre le plus parfait en ce genre.

7

L'ordre qui r^fulte de I'arrangement , ou de la combi-
naifon des moyens relatifs a une fin donnee, peut encore
fe combiner avec l'ordre de iymmetrie dont nous avons
parle ci-deflus.

Dans route combinaifbn de moyens il y a une piece
qu'on peut regarder comme la principale, & dont I'aftion
doit regler le jeu de routes les autres ; ou, pour envilager
la chofe d'une vue plus generate, il y a dans route com-
binaifon de moyens , comme un centre oil tous les ef-
forts de routes les difl'erentes pieces vont fe reunir. Les
moyens , ou termes peuvent done etre rellement difpofes
relativement a ce point , que leur poficion forme une cor-
refpondance de fym metric, relle qu'on la decouvre dans
un arrangement oil la pofition de deux termes fembla-
bles eft determinee par leur correfpondance avec le terme
diflemblable qui eft entre-deux.

Dans une fuiie ordonnee indefinie les termes s'eioignent
de plus en plus les uns des autres ; mais l'ordre qui re-
fulte de Tarrangement d'un certain nombre de moyens re-
lativement a une fin donnee exige que les termes fe rap-
prochent pour agir de concert. La meilleure maniere de
les rapprocher etant bien connue determineroir peut-etre
une correfpondance de fymmetrie dans la pofition des ter-
mes qui , en qualite de moyens , doivent concourir le plus
avanrageufement a la fin donnee. Du moins nous en voyons
des raodeles dans I'organilation des plantes, & des ani-
maux.

Cette correfpondance de fymmetrie, en liant les parties
par des rapports plus marques, en forme un tout plus re-
gulier , j'oferois prelque dire, plus identique, & dont I'efprit
faifit I'enfemble avec plus de facilite. Peut-etre , eft ce la
le tondement du Rythme poeiique, & de la cadence ora-
toire. La penfee la mieux concue eft celle qui prefente
avec plus de force , & de clane i'enfemble des idees qui

8

la compofenr. II faut done qu' il y ait le plus parfait ac-
cord poffible einre ces idees ; & cet accord marque par
les expreffions qui doivent frapper I'oreille formera un
nombre , un rytlime, une confonance , d'ou refult^ra I'har-
monie.

On ne doit pas ^ire furpris de remarquer une fi grande
diverfite de jugements dans i'application que font les hom-
ines de r idee de I'ordre aux difFerents objets qui fe pre-
fenferit a leur confideration. Cette diverfite vient de plu-
fieurs caufes i° Du defaut de connoiflance. Prefentez le
rouage de la machine la plus ingenieufe a un fauvage igno-
rant , il ne verra qu'un amas confus de pieces dans un
affemblage qui fera I'admiration d'un artifte. C'efl: que le
fauvage , ne connoiffant pas la • raifon determinante de la
pofition des pieces qui compofe.nt la machine , elles ne
reveillent aucune idee d'ordre dans fon elj^rit. Une oreille
grolTiere eft peu rouchee de la mufique la plus harmo-
nieufe. Le fenforium faute de delicateffe , ou d' habitude
ne diftingue point aflfez les tons qui fe fuccedent , & ne
peut par confequent faifir le rapport qui les reunit pour
en former un accord.

1° Dela fuit que fi le nombre des pieces qui entrent
dans un accord quelconque eft trop grand , 1' efprit , ou
I'ceil peu exerce ne faifira pas tout d'un coup tous les
rapports de ces difFerentes pieces} cet affemblage paroitra
done confus , jufqu' a ce que I'efprit ayant acquis peu a
peu la connoiffance de ces differents rapports parvienne
enfin au point d'en faifir I'enfemble & de le reprefenter d'ua
feul coup d'ceil I'ordre qui regne dans tout I'aflemblage.

}" Dans les chofes qui font fufceptibles de differents
arrangements il y a fansdoute un ordre preferable a tout
autre ordre. Cell toujours le plus fimple , & celui nean-
moins , qui fuppofe le plus d' intelligence. Une bibliothe-
que prefente des livres arranges fuivant une certaine me-

ihode

"9

thode. Cet arrangement applaud! par les uns fera blame par

un homme plus intelligent qui aura en vue un ordre plus
convenable. Ce n'eil pas que la premiere difpofition foit
blamable comme abfolument mauvaife en elle-meme ; car
tout homme conviendra qu'elle eft toujours preferable k
un tas confus de livres qui feroient amonceles au hazard
I'un fur I'autre. Ce blame n'eft done que relatif , c'eft-a-
dire qu'on blame Tarrangement aftuel d'une bibliotheque
en tant qu'exclufif d'un ordre plus convenable qu'on auroit
pu lui donner. Et par un abus commun du langage on
donne le nom de mauvais a ce qui n'eft reellement que
moins bon.

L'ordre eft le fondement du beau ; mais le beau dans
fa fignification ordinaire ajoute a 1' idee d'un ordre quel-
conque , celle d'une perfeftioa , & d'un agrement parti-
cuiier qui donne un plaifir mele de furpri(e , & d'admi-
ration. Dela vient qu' il eft difficile de fixer dans I'^chelle
de l'ordre le d^gre ou doit commencer la denomination
du heau. Ce degre devant etre celui cii la regularite de
i'objet commence a exciter un mouvement de plaifir
mele d'une forte d'admi ration , il eft aife de fentir , que
ce degre doit ^tre different relativement aux differents de-
gres d' intelligence , aux differentes difpofitions , & meme
aux diiFerentes habitudes de ceux qui en font afFeftes.
L' idee du beau eft une idee complexe du genre de celles
que Loke appelle des modes mixtes , qui renferme une
idee de rdgularite dans I'objet , & une idee de plaifir , &
d'adrairation caufee par la vue , ou la perception de cet
objet.

La denomination du beau dans le langage vulgaire fera
done fujette aux m^mes abus , & aux memes inconvenients
que routes les autres denominations des modes mixtes j
abus fur lefqueis Loke infifte beaucoup dans fon ElTai (ur
I'entendement humain. Si un objet paroit revetu d'une
MifcTaur. Tom. V. b

to

qualite brlllante qui caufe de la furprife & du plaifir ,
on le nommera beau, quoique toute la regularity de I'ordre
ne s' y rencontre pas. Au contraire, it a la regularite d'un
objet fe trouve jointe une qualite qui blefle , & qui ^touf-
fe le fentiment de plailir que la feule regularite leroit
capable de r^veiller , cette regularite feule ne fuffira pas
pour qu'on lui donne le litre de beau.

La variete du langage , & des opinions au fujet du
beau , ne prouve done point qii' il n' y ait rien de
reel dans I'idee du beau, & qu* elle ne foit qu'un efFet
capricieux , un phanrome du prejug^ , & de I'^ducatio)!; il
ell conftant qu' il y a un ordre relultant du rapport des
chofes , & par confequent fonde en nature : que I'ordre
eft un objet de 1' intelligence , & de la raifon : que Tor-
dre connu eft propre a exciter un fentiment d' approba-
tion , & de complaifance : que dans les differents ordres ,
ou arrangements qui refulteiit de diff^rentes combinaifons ,
il y en a de plus parfaits les nns que les autres: que
dans cette echelle de I'ordre il y a un degrd oil I'ordre
connu excite un fentiment de plaifir mei^ de furprife.
Si. d'admiration : que ce degre doit ^tre different relative-
ment aux dilTerentes difpofitions de ceux qui en font af-
fettes. Ces principes fuffifent pour determiner ce qu' il y
a de ret'l , & de conftant dans la denomination du beau,
& pour demeler en meme terns le caufes des differentes
applications que I'on en fait aux differents objets.

I I

EXAMEN PHYSICO=CHIMIQUE

Sur la coulcur des fleurs , S' de quelques
autres fubjlances vegctales.

Par M.' le Comte Mouroux.

PREMIERE PARTI E.

^i I'etude de la nature a augmente le nombre des con-
noiffances humaines , fi elle a diffipe une foule d'erreurs,
& dechire le voile de la prefomption , & de 1' ignorance ,
nous en devons la principale obligation aux progres , que
les Mathematiques ont fait dans notre fiecle : la precifion,
& I'ordre qu'elles infpirent ayant paiTe dans les autres
fciences naturelles , elles ont tait naitre cet efprit metho-
dique par lequel on examine un Phenomene , un fait
d'une maniere fimple , & naturelle , & 1' analife qui en
refulte eft toujours claire , & conftamme^r enchainee
aux loix invariables de la mechanique , & de la phifique:
ainfi nos obfervations combinees deviennent une fource
prefque inepuifable de principes vrais , & feconds.

La cliimie qu'on peut regarder aujourd'hui comme une
des branches les mieux cultivees de la phifique y a lepan-
du un grand jour , & la facilite , qu'elle donne a decom-
pofer les corps , & a les recomporer nous fournit jour-
nellement des applications utiles pour les arts, & metiers,
& nous ne negligerons pas d'obferver qu'on aruve par
fon moyen a imiter parfaitement bien des produftions
naturelles , telles que le cinnabre , les fafrans , le verd-de gris,
le loufFr« , les fels , les ochres , les chaux metalliques , &
nombre d'autres , qu'on pourroit apporter pour preuve ,
& qui nous demontrent que la nature , quoique tres-fou-

b 1

tl

vent impenetrable a nos yeux , agit cependant toujours
d'une maniere finiple , & par des loix univerfelles.

Cela pofe ne doit-on pas croire autant de fimplicite ,
& de generalite dans les loix, fuivant lefquelles fe fait la
vegetation, & fe produifent les couleurs dans les fleurs,
& dans les fruits ? Piufieurs Auteurs ce ebres nous ont
enfeigne par quelle mecanique s'operoit raccroiflVment des
plantts , & ont cherche a developper d'une maniere fifte-
matique leur generation j Ce n' eft qu'en paffant, & d'une
maniere affez imparfaite , que quelqu'un d'entr'eux a parle
des couleurs des vegetaux , & quoique cet objet ne pa-
roifle que de fimple curiofite , j'efpere neanmoins , que
mes recherches pourront reunir I'agreable a I'unle } Cell
du moins le but , que je me propofe.

On ne doit pas s'attendre a un ordre bien rigoureux
dans une matiere fi vafte , & je ne donnerai mes obfer-
vations , que dans I'ordre , ou pour ainfi dire elles font
nees , &. c'eft a la confideration attentive , que je fis fur^
la vivacite de la couleur d'une fleur , que je me determi-
nai k en chercher la caufe , de meme qu' a m'affurer, fi
ces couleurs font inherentes ou accidentelles.

Les Botaniftes s'accordent a donner le nom de fleur a
cette panie de la plante , qui fe diftingue ordinairement
des autres par des couleurs particulieres , & qui eft defti-
nee a garder les organes de la generation ; tel eft le fen-
timent de Vaillant , Ray , Juffieu , Tournefort , & enfin
de la plus grande partie des Botaniftes , mais ils ne font
pas alles plus loin dans leur recherches fur ce qui a rap-
port a la couleur.

Geofroi entre un peu plus en matiere , & pretend que
les huiles efleniielles des plantes pendant qu'elles fon ren-
fermees dans les fleurs peuvent leur procurer differens
melanges par cette variete de couleurs , qu'elles poffedent ;

'5

( I ) il appuye enfu'ite fon fentiment fur ce qu'une feule ,
& meme huile , favoir celle du Thim combinee avec
differens melanges d'efprits acides , volatils , urineux &c.,
lui a donn^ routes les nuances des couleurs depuis le blanc
jufqu'au noir ; mais la renoncule , le cianum , ou bleuet ,
la gonfrena globofa , qui ne contiennent cerrainement pas
d' huile eflentielle , & auxquelles on ne fauroit rien defirer
pour r eclat , & la vivacite de la couleur paroiflent faire
une grande exception a la generalite de ce fentiment.

Le ceiebre Halles fut le premier a eclairer la partie de
la philique qui regarde la vegetation , mais occupe furtout a
demontrer , que I'air eft neceffaire pour raccroiffement
des plantes , & a en mefurer la force en repetant les expe-
riences du c^lebre Boyle , il n'a pas examine la partie ,
qui concerne la couleur des fleurs: il dit cependant (i)
au chapitre feptieme de fa ftatique. „ Comme le gout
„ exquis des fruits , & I'odeur agr^able des fleurs viennent
„ des principes aeriens fubtilifds , il eft aflez narurel de
„ penfer que les belles couleurs de ces memes fleurs doi-
„ vent auili etre attribuees a la meme caufe j car on fgait
„ d'ailleurs , que le terrein fee favorife plus le jeu , &
„ contribue plus a la variete de leurs couleurs , que les
,', terreins humides , d'oii elles tireroient plus de nouriture
„ aqueufe j mais je demande p.° que Ton m'explique quels
font ces principes aeriens fubtilifes , en fecond lieu que
r on me donne raifon des fleurs tresbien colorees qui
croifTent dans I'eau 9 il dit enfuite que les plantes meri-
dionales contiennent une plus grande partie de principes
fubtils aromatiaues que les feptentnonales , parceque celles-la
tirent fansdoute plus de rofee , que celles-ci , chofe,
qu' il ne prouve non plus qiie la premiere.

[\]

Mimoires de I'Accad^mie des Sciences de Paris an. 1707.
Halles flaiiijuc dc Vggfitaux cap. 7 p, lyy ,

L' illuftre Duhamel ( j ) qui par Ces travaux a beaucoup
r^pandu de lumiere fur le mecanifme de la vegetation n'a
non plus que les autres recherche la caufe de la variete ,
& des nuances des couleurs des fleurs j il en a d^ailleurs
obferve tres-attentivement la ftrufture ; il parle k la verite
des plantes moins colorees , & malades, que Ton nomme
etiolees , dont je parlerai plus bas.

Becher ( 4 ) & Sthal ( 5 ) onr penfe , que la couleur
verte des plantes fut produite par le fer , puifque Ton f9ait,
que des cendres des plantes Ton a retire du fer , comme
Lemery I'a demontre. ( 6 ) Becher a meme penfe , que
le verd etoit la devife du regne vegetal , ou la carafteri-
ftique , comme il la demande ; car quoique cette couleur dif-
paroiffe pendant la deffication , & la combuftion des vege-
taux , elle ne laiffe cependant pas de reparoitre apres la
vitrification, & c'eft pour cette raifoa , que le verre ve-
getal pour le nommer felon Becher n'eft pas beaucoup
propre a etre employe lorfqu' il e(t tout pur tenant beau-
coup du verdatre , outre qu' il fe decompoferoit fort aife-
ment , contenant une trop grande quantite d'aikali deli-
quefcent. Ces illultres Auteurs cependant ne font pas entres
dans le detail de la culture des fleurs.

L' immortel Henchel , que j'aurai iieu de citer avec ad-
miration, par fes illultres decouvertes fur I'analogie du re-
gne vegetal avec le mineral , s'ell cependant laiile entrai-
ner a douter par rapport a la couleur verte des plantes ,
il me paroit qu' il etoit plutot porte a I'attribaer au cuivre,
voici ks termes. ( 7 ) „ Ne pourroit-on point a la viie

r 3 ) Phifique des atbres.

( 4 ) Pliifica fubterranea.

( 5 ) Sihaiii fundamenta. chymiae dogm.nicorationalis ^c. Tom. II,

(6) Mfimoires de rAccademic des Sciences de Paris au i3novcmbrc 1706

p. 411 .

(7) Henchel flora faturni fans chap. 11 p. 214,

'5

„ de ce verd , qui eft fixe au feu inferer, que cette cou-
„ leur tire fon origine d'un mixte mineral, & que le
„ cuivre a de i'aftinite avec le regne vegetal ? ( 8 ).

Au refte la maniere vague , dont il s'exprime , fait

laffez connoitre qu' il n'eft pas bien decide , car il admet

d'avoir retire lui meme du fer des cendresdes vegetaux,

& il avoiie , que perfonne n'eft jamais parvenue a en

retirer da cuivre.

II ne paroit guere plus decide fur la nature de ces cou-
leurs , favoir fi elles font accidentelles , ou fixes , & inhi-
renres. Voici ce qu' il en dit en des endroits differens
pag. 2 1 4. chap. 1 1 .„ II eft conftant ■ que des couieurs
„ fixes de certe nature ne font point accidentelles, com-
„ me celles qui font produites par la reflexion, & refra-
„ ftion , mais elles font fi reelles, & fi effentielles, qu'el-
„ les conftituent , ou du moins contribuent a conftituer
„ les corps.

„ Les couieurs dit-il , (pag. 2 5 6 chap. 15) des corps na-
„ turels out une proprie.e , que nous ne pouvons venir
„ a bout de connoitre par le moyen de nos yeux, il faut
„ done que cette qualite foit quelque chofe de bien par-
„ ticulier , puifque eile fait I'objet le plus effentiel de
„ nos fens ; en efFet il faut qu'il y ait reellement des
„ caufes , &c des circonftances bien delicates , qui faffent
„ que certaines fleurs ont differentes couieurs , que la cou-
„ leur ordinaire de quelques autres change , & qu'elle peut
„ m^me etre changee artificiellement.

„ Qu'on me dife maintenant , que la couleur eft un
„ caraftere elTentiel dans les plantes , puifque ce caratlere

(8) Nous obferverons cependant, que cet argument n'eft pas exclufif , car
le vitriol ruaitial , dout la couleur eft venc n'eft ccpendauc autre
chofe , que le iglujiai de la combinailon dc I'acidc vitrioliquc avec
Icfer.

i6

„ eft fujet k tant de variations. Mais quand il feroit fixe,
„ qu'on m'apprenne quelle en eft la fource , quels moyens
„ nous avons pour la decouvrir ; en un mot les couleurs
„ feront produites fans que nous fachions comment elles
,, varient , & fe perdent ; comment pouvons nous com-
„ pter fur elles , comment pouvons nous comparer la
„ couleur fugitive de la celidoine avec la couleur fixe de
„ I'or?

Apres avoir ainfi expoft ce qui a ete dit , & fait par
ces illuftres Savans fur les fleurs , & fur leurs cou-
leurs , & apres avoir donne la definition generalement
adoptee fur ce qu'ils entendent par fleur, nous aliens paf-
fer a une confideration preliminaire , qui depend de I'Ana-
life chimique, qui en a eie faite.

L'Analife des vegetaux felon Halles fe reduit k cinq
principes , qui font

Le fouffre ,

Le fel volatil ,

L'eau ,

La terre ,

Et I'air.

Dans cette Analife tous les Clemens de la nature font
en jeu , de fa^on , que ceci ne nous eclaire pas beau-
coup ; je trouve plus fenfe ce qu'en dit M. Rouelle , favoir ,

Que la partie colorante verte des plantes eft d'une na-
ture telineufe, puifque elle ne fe lailTe extraire que par
1' efprit de vin , mais , que la partie colorante de leurs
fleurs eft extraSo refineufe etant egalement foluble dans
l'eau, & dans I'efpnt de vinj il elt vrai cependant que
ce dernier les altere a raifon de I'acide qui entre dans fa
combinaifon j il y a d'autres parties colorantes qui ne font
folnbles , que dans l'eau, & qui par coifequent font pu-
rement extraftives , telle eft la panic coiorante de la terra
meiica , ou de la racine de curcuma j 1' art. de la

teinture

»7
telnture confide a enlever cette partie colorante au moyen

d'uii acicle , ou d' un alkali , & de le precipiter enfuite
avec un alkali , ou un acide j il a reconnu neuf princi-
pes dans les v^getaux , que je laifferai de decrire , parce-
que il avouoit lui meme qu'on pouvoit encore en recon-
noitre d'autres.

La plus part de ceux , qui ont examine les vegetaux fe
font contentes de parler des huiles effentielles , des (els,
comme des principes plus connus; il eft certain cependanr,
que Ton reconnoit dans les plantes difFerens mixtes de me-
me que dans les fleurs. Nous en avons un exemple dans
la fleur du grand foleil , appellee corona folis , qui fournit
une grande quantite de nitre outre une partie d'aikali fixe;
Ton retire du vin le fel de tartre ; de certaines plantes ,
& fleurs un alkali volatil comme dans les cruciferes , I'on
retire des efprits de certaines autres ; Ton a retire du fer
des cendres de quantity de plantes , & fiirtout du chene ;
du genet Ton en a retire de 1' etain , & fi nous en cro-
yons les Chinois Ton a retire du mercure du pourpier
lauvage. (9)

Enfin ces principes ne font pas encore bien analifes ,
car Ton parvient a reconnoitre differens principes felon la
maniere qu'on traite les vegetaux que Ton analife , com-
me il eft aife de le voir dans les cendres des plantes ob-
tenues , ou a I'air libre, ou a la fa^on de Takenius, dont
les unes nous donnent un alkali fixe deliquefcent , & les
autres des fels fixes.

L'on doit cependant remarquer, que le principe colorant
a beaucoup d'aflinit^ avec les fels; I'expeiience que fit
Boherave nous le demontre , puifque ayant fait bouiliir

( 9 ) Lettres gdifianies rScueil 12 lettre iJu Perc Dentrecolles p. 457, & fuivan-
Mifc, Taur. Tom. V. c

i8

une branche de romarin vingt fois, & plus, il ne lui refta
plus aucuiie couieur , & ayant enfuite bruie cette meme
branche , il n'en retira plus aucun fel.

Je fis la meme experience fur differentes fleurs, qui
apres avoir bouilli quantite de fois , ne refterent plus au-
cunement coloiees , & je n' obtins aucun fel de leurs
cendres.

Nous avons une autre preuve de raffinite de la partie
colorante avec les fels dans la methode ,' dont on fe fert
pour retirer la laque des vegetaux, qui fe fait au moyen
d'une forte lefiive de fel de potafle , & de chaux , & par
ce moyen la couieur des fleurs ett entierement enlevee
par les fels.

Si I'dir eft neceffaire pour I'accroiflement des plantes ,
il I'cft de meme pour les fleurs , puifque Ton voit, que
lorfqu'on expofe des fleurs fraiches fous la pompe pneu-
matique elles fe fanent , & perdent en partie leurs cou-
leurs naturelles ; Boile la croit auffi. neceflaire pour deve-
lopper la couieur.

Quant a la terre nous favons qu'elle contribue autant
a la vegetation que I'eau, qui attenuant les fels, & les
parties les plus lubtiles de la terre font portees dans les
vailTeaux capiliaires des plantes par Taction de I'air, &
que la terre qui elt plus ou moins chargee de fels con-
tribue a i'accroifllment de la plante plus ou moins rapide.

Le Phlcgiftique eft fu'ement une des parties les plus
effentielles des plantes, & il I'eft de m^me des fubftances
metalliques. Henchel en fait une de fes plus fortes preuves
pour I'analogie qu' il a demontree entre les vegetaux , &
les mineraux J cjue ft dans' le r^gne mineral il donne le
dernier degre de perfcftion ( i o ) aux terres metalliques ,
pourquoi ne donneroit-il pas la perfeftion aufli aux plantes,

(lo) Henchel f?ora faturnifans pag. i^6.

.19
& aux fleurs. Baume eft d'apres Stahl (*) de fentiment, que le

phlogirtique (bit le principe des odeurs, & des couleurs. (i i)
M. Pott ne fait aucune diftinftioti dans fa lithogeognofie
entre Ic phlogiftique , & la couleur , bien fouvent il les
prend pour fynonimcs , comme parlant fur la terre gypfeufe,
il dit qu'elie contient aufli un peu de phlogilHque , ou
principe colorant ( 1 1 ) , quelque fois il la nomme matiere
fulfureufe , ou colorante , beaucoup volatile.

M. le Comte Saluces penfe de meme que le phlogiftique eft
abfolument neceffaire pour developper la couleur des parties
qui la contiennent , comme il le prouve par un grand
nombre d'exper'^nces qu' il a fait a ce fujet.

Si M. Pott nous a enfeigne une maniere fure d' anali-
fer les corps les plus durs , tels que les metaux , & les
pierres par le moyen d'un feu violent , qui en les decompo-
fant nous en montre les principes ; il eft chofe tres-fure
que Von ne doit non plus s' ecarter de cette methode pour
parvenir a connoitre les vrais principes dans les fleurs ; c'eft
a I'aide -de ce menftrue , que je fuis venu a bout de re-
connoitre le principe qui conftitue la couleur ; perfonne
je crois avant moi ne s' eft fervi de cette methode pour
les fleurs, comme il eft aife de voir dans la i' partie (13).
Je commencerai en attendant par rapporter un nombre
d' obfervations , qui me laiflbient foup^onner que la lumiere
put contribuer k la couleur des fleurs.

(*) OEdipus Chym. pag. 97 & fuiv.

fijj Manuel dc chimie pag. 47.

I II) Lithogeognofie torn, i p. 66.

(J3) Lc tncme M. Poit ne croyoit pas, que ces couleurs v6ggta!es fufTent
dans le cas de foutenir un feu violent , car dans I'anajife , qu' il fait de la
terre colorfie qt'e on apelle de Scuttgelb il dit qu'elie n'eft point
minfirale & qu'elie n'eft qu'une compofition artificiellc , c'cfti dire,
une efpC'ce d'argille que I'on colore avec la dficoftion dc re'coice de
bouleau , ou des feuilles de liliicul &c. „ I'exaraen dc ces couleurs par
„ le feu nous fait voir ce que je viens de dire , car en les caltinaiic
,, on leur fait perdre cette couleur , qui eft vggeialc. ( Liiliogeognofie
Tom. II. pag. 68.)

C 2

OBSERVATIONS.

Oi Ton confidere les fleurs a callce, lorsqu'elles font pra-
tes a eclore , ordinairement Ton n' y voir du premier mo-
ment que du blanc , elles commencent a prendre de Ja
couleur lorfqu'elles s'ouvrent jufqu'a ceque ecloles a leur point
de perfeftion , elles aquierent le plus grand degre de cou-
leur , cependant les perales qui font immediatenient cou-
verts par le calice rellent prefque entierement fans cou-
leur pendant le terns qu' ils font couverts , fur tout fi le
calice eft d' une texture forte , comme on a lieu plus par-
ticulierement d'obferver dans les ceillets i c' en eft de me-
me prefque de toutes les autres efjieces de fleurs, qui
n'ont point de calice , les parties qui font a I'abri de la
lumiere font les dernieres a fe colorer , & ne prennent
que trevpeu de couleur (i elles ne patviennent a la voir.

I I

Si Ton examine la plus grande partie des fleurs colorees,
qui onr quantiie de petales ( celles qu'on nomme doubles)
quoique dans leur point de perfeftion , ou de vivacite de
couleur , on trouve en enlevant les petales les uns apres
les autres , que ceux qui font tout-a-fait couverts font
toujours d'une nuance plus tendre.

Ill

L'onguis , ou la partie qui eft immediatement attach^e
au calice eft tout a- fait blanche, ou un peu verdatre ,
cette difference fe montre evidemment dans I'artichaut, &
fi I'on remarque quelque couleur plus fonc^e a la bafe du

11

petale , elle eft ordinairement due aux neSaires , dont les
glandes feparent uiie humeur fioguliere , qui probublement
a re^u fa concoftion ailleurs ; on peut de m^me obferver
les differentes nuances dans le verd , felon que les parties
font plus ou moins couvertes ; la plus grande partie des
feuilles des arbres , des arbuftes , des piaiites , & des her-
bes nous niontrent kur face expofee au foleil d' une cou-
leur plus foncde , que le revers , qui eft: au contraire d'un
verd plus tendre , (14) & on obferve alfez gendralement
aufti , que les piantes , dont les feuilles ont une feule face
tomenteufe, ou blanchacre, cette face ed prefque toujours
r inteneure , ou la moins e;^ofee aux rayons du foleil.

i V

II en eft de meme de la plus grande partie des fruits,
car la partie qui eft couverte refte prefque fans couleur ,
& au contraire celle qui ne I'eft pas, eft merveilleufement
coloree ; fi ces fruits jouilTent au furplus de la vue imme-
diate du foleil , la face expofee au midi eft fureraent plus
coloree que celle au Nord , qui ne I'eft prefque point ,
ce qu' il eft tres-aife de voir dans prefque tous le fruits ,
& plus particuliereraent dans les peches.

J'obferve enfuite , que fi on coupe tous les noyaux des
fruits , les amandes , les pignols , la noix , la noifette ,
tous les pepins des poires , des porames , & des autres

( 14 ) Cette difPdrence de couleur dans les revers des feuilles ne s'apperfoit
pas encore toujours dans le mois d'avril, mais elle commence i
itre fenfihlc k la fin de mai , loifque le foleil commence i avoir
plus de force, & cette dilFfirence s'obfcrve encore plus tarddans les
ttjontagncs.

21

fruits on !es trouve blancs de meme que les graines da
melons , de courges , de concombres , qui donnent des
emulfions tres-blanches. Enfin les femences , & les grai-
nes dans la partie interieure fe manifeftent blanches, com-
me le bled , I'orge , le riz en fournifTent encore una
preuve : & comme Ton a toute la raifon de croire , que
dans cette partie blanche des femences toute la plante y
foit en petit pour fe former enfuite, & devenir une plante
complette , ne pourroit-on pas foupgonner avec raifon qu'ori-
ginairement la couleur blanche eft propre a I'embrion, on
a I'enfance de routes ces plantes , & que fi elles aquierent
avec le tems d'autres couleurs , cela eft du a d'autres cau-
(ts exterieures , que je tacherai d' ^claircir , & que je me
permets en attendant d'attribuer aux rayons du foleil ; en
continuant ici ces reflexions, j'obferve , que la partie in-
terne des plantes eft affez generalement plus blanche, que
ne le font les parties exterieures.

V I

Les parties de la peau de quantity d'animaux , qui font
les plus couvertes , comme fous le ventre, dans les entrecuif^
(es font d'une couleur moins foncee, que fur le dos ,
quelque fois m^me blanches , comme on obferve dans
quantite de vaches noires , dans prefque toute la famille
des cerfs , des dains , des chevres fauvages , dans les ca-
rters , les renards , & dans les petits gris &c. 11 en eft de
meme des oifeaux , comme dans I'Airon , la Bertavelle ,
r Hirondelle , la Pie , les Tourterelles &c., le plumet fous
le- ventre eft toujours mouis colore, que celui du dos, &
bien fouvent blanc.

La plus part des poiffbns ofFrent un pareil exemple ,
comme Ton peut voir dans le ton , le Ipada , le hareng ,
le merlan &c. , & dans la plus grande partie des rayes ,

dans les poiiTons de mer , de meme que dans la truite ,
dans le brochet , & dans quantiie d'autres poiflbns d' eau
douce.

L'on voir a peu-pres la mcme chofe dans la vipdre ,
dans quelques Terpens, & dans les lezards.

L'exHmen des coquillages fur-tout de ceux de la mer
des Indes nous offrent un fait femblabie.

La pariie interne des coquilles a valves font prefque
toujours d'un blanc emaille, comma il eft aife de le voir
dans les huitres , dans les petoncles , dans les couteaux, &
dans ks pinnes &c.

V I I

Le celeri , la chicoree , le chardon nous prefentent un
fait fingulier , ces plantes vertes de leur nature , fi on leur
defend la lumiere en les couvrant avec la terre devien-
nent blanches , & Ton a donne differentes explications de
ce phenomene. Noliet ( 1 5 ) & Schaw (16) pretendent ,
que c'elt la privation de I'air, qui ote le verd a ces plan-
tes enterrees. La laitue , & le choux nous montrent la
m^me chofe, les feuiiles les plus centrales font ordinaire-
ment blanches , & Ton voit par nuance du centre a la
furface la couleur verte s'augmenter petit a petit j meme
fi Ton obferve avec attention, ce font les pointes des feuii-
les qui coramencent a prendre de la couleur.

VIM.

L'obfervation des plantes, que Ton nomme etiolees pa-
roit appuyer ces reflexions. Ces plantes font attaquees d'une

{:ij

Le?ons de phyfique tcm. 5 pag. 441 ,
Schaw. lc(ons de chimie.

*4 _

maladie finguliere, qui reffemble beaucoup a cel!e que

dans les hommes on nomme rachitis, felon Du-Hamel les

branches de ces plantes s' allongent , la tige eft petite , &

fans proportion, les feuilles petites, au liea de la couleur

verte , elles font plutot jaunatres. Si c'eft un arbre fruitier,

qui eft attaque de cette maladie , il porte les fruits a la ,

verite, mais fort petits prefque point colores, qui ne par-

viennent jamais a maturite, faute de quelque chofe necef*

faire k fon accroiffementj Ton obferve des plantes de cette

nature dans des petites cours entourees de batimens fort

hauts , & fur tout fi les dites plantes fe trouvent expofees

au Nord. L'on obferve la m^me chofe dans les herbes ,

qui croiflent fous quelque pierre, ou tuile trespeu elevees,,

ou dans les terres trespeu expoftes au fbleil. ^,

On a porte pour raifon de ce phenom^ne emre autres
Du-Hamel (17) que la refpiration de I'air etant genee ,
la plante ne peut avoir toute fa nourriture , faute du mou-
vement que I'air y donne.

Je penfe qu'on pourroit aufli en attribuer en parrie la
raifon a ce que le foleil ne la vidte jamais , & dela il
eft clair , comment la couleur des differentes plantes varie
felon le climat , & en preuve de cela il fuffit de voir ,
que les plus celebres Botaniftes conviennent avec M. Liu-
neus que par des obfervations fuivies faites fur les lieux
on parvient a diftinguer par le port , & la couleur, p. ex.
les plantes du Cap de bonne efperance , & des autres pa js
m^ridionaux des autres plantes Europdenes j d'oii il fuic
que le fentiment de ces Botaniftes, qui penfent , qu'il n'y
ait pas dans la nature une telle multiplicice de veritables
efpeces de plantes , que Ton s' imagineroit d'abord , n' eft
point fans appui, fi on rtflechit feulement a la variete des

cou-

( 17 ) Duhamcl phiCquc des aibres.

couleurs, dont une grande partie eft due a la varietd du
dim at , & a I'endroit plus ou moins exofe au foleil , &
que pour cette raifon la meme plante , par exemple, de
laitue devient rouge cultivee en plein jour en Sicile , & qu'elle
perd fa couleur etant cultivee dans nos jardins , de meme
que plufieurs autres efpeces de plantes , qui par ces feules
variations deviennent meconnoiffables aux Botaniftes plus
^claires.

Malgre toute la variete qui s'offre dans les couleurs des
plantes relativement aux differens climats , on ne laiffe
cependant pas d'obferver une certaine conftance dans ces
couleurs , & par la on congoit , que ce n'eft pas fans rai-
fon, que le celebre M. Adanfon a etabli fon n'euvieme
fifteme des plantes fonde fur les couleurs.

Cette difference de couleurs relativement au climat, n' a
pas lieu feulement dans le regne vegetal ; nous la voyons
de meme dans le regne animal , puifque dans les pays oil
il fait extremment froid, comrae en Mofcovie, en Pologne,
les ours , les loups , & les renards , qui en hiver font blancs,
font rouges en ete , de meme que les lievres, qui dans
nos hautes montagnes font colorez en ete, font blancs en
hiver, Monfieur de Buffbn obferve que les oifeaux qui out
les plus vives couleurs dans leur plumage viennent dans
-les pays chauds. ( 1 8 ) Nous voyons cette diff'erence aufli ,
dans quelques poiffons, entre autres, au rapport de Ronde-
let ( 19) , la Mendola, & le Picarel, qui en hiver font
ilancs , en ete deviennent noirs, ou plutot bigares.

IX

Quant aux horn mes, nous obfervons en general, que tous
les negres , les olivatres, les bafanes, les cuivreux fe irou-

( 18 ) HiAoiic naturclle des Oifeaux difcoiirs prfiliminaire p. « edit, in 4.
(19) Hifloire emigre des Poiflbns pag. 34.64 134.

Mijc. Taur. Tom. K, d

i6 _ '^

vent dans les pays chauds, que jamais I'on en a trouve
dans les pays froids, meme nous favons que les Negres
depayfts, & dans les climats froids blanchiiTent dans quel-
ques annees, & les Europdens bruniflent dans leurs climats
chauds , mais je me contenterai de rapporter encore ici
une obfervation qui tient toujours a ra6\ion du foleil, &
de la lumiere fans entrer a difcuter les opinions des Sa-
vans fur ce qui fait la couieur des Negres , & c'eft que
ces homraes ont la plante des pieds auffi blanche, que les
Europeens. ( lo )

Toutes ces obfervations combinees me portoient toujours
plus a croire , que la lumiere du foleil infliie beaucoup
fur les couleurs des corps naturels, & particulierement des
vegetaux , des fleurs , des fruits, & meme des aniraaux ;
je cherchai par confequent de m'en affurer par des expe-
riences.

Or le foleil peut agir de deux manieres differentes en
fuppofant les couleurs attaches a ce principe. i." comme
fait le feu fur les couleurs de la porcelaine , qui ne font
que tres-Iaides quand on les peint , mais qui a-quierent le
plus grand eclat lorfque le feu vitrifiant ces matieres en
developpe la couieur ; de meme le foleil developpant les
principes analogues dans les fleurs , les reduiroit a cette
beaut^ , qui fait Tornement de nos jardins.
• 1° De voir s'il agit {implement comme lumiere en in-
troduifant dans les parties des fleurs des principes colorants
felon la difpoftion des memes plantes a reflechir certaines
parties de la lumiere plutot que des autres , & rapportant
cela aux afiinites des parties de la lumiere avec les par-
ties des corps en queltion , effet femblable a celui que la

( 20 ) Vojez I'Abbe Manet Hifloite de I'AfFriqiie Franfoifc, & I'appendix des
M6moircs de I'Academic RoyaJe de Pruffe Tom^ U, art, Vlll. p. ij.

^7
lumiere opere fur le phofphore de Bologne ( n ) , fur lequel
Ton f^ait que le feu n' y a aucune aftion.

U ne fera pas au refte inutile d'obferver d'avance, que
par I'analife on decouvre, que les fleurs contiennent route
forte de fels , & de parties terreftres; c'eft a ces deux prin-
cipes que je m'arrete en tant que generaux , & je laif-
ferai a part les autres que Ton ne peut pas regarder com-
oie colorants ; mais venons aux experiences.

Experience premiere.

J'ai pris une forte tige de violier rouge , qui etolt plus
foncee dans quelques endroits , & qui avoit des petites taches
auffi de rouge fonce , & lorfqu'elle eut a peine forme les
petits boutons, j'ai mis le pot dans un endroit tres-obfcur
d'une chambre que j'avois preparee pour cela ; j'ai eu foin
de laiffer prendre de I'air pendant la nuit a la plante, &
je ne I'ai arrofee qu'une fois, le terrein s'etant maintenu
affez frais ; cette plante a beaucoup tarde a donner des
fleurs , & je n'ai obferve loriqu'elle eft eciofe prefque au-
cune couleur dans les petales, c'eft-a-dire, elle ne montroit
qu'une couleur entre jaune , & verd , cependant on y di-
ftinguoit les taches , quoique elles ne fufTent pas autant
foncees que dans celles qui vegetoient en plein jour. J'ai
cependant remarque , que la plante avoit beaucoup fouf-
fert , & que le feuilles etoient fanees , jaunatres , & qu'il
en tomboit quelqu'une, que m^me de cinq ou fix pointes
boutonees il n'y en eut , que deux qui fulfent eclofes , la
plante raourut dans quelques jours.

D'autres plantes que j'avois aufli mis dans I'obfcurir^ ,
tnais qui ecoient d'une tige un peu plus foible moururent

( II ) Cammtntarla Bononiemta torn, i p. 20 Bartholomai Btccari, De quamflU'
rimis phosforit nunc primum dcieSit,

d z

a8

fans me lalffer lieu de rien obferver ; j'al vu , que par
cette methode Ton pouvoit audi foupgoniier la raifon des
plantes etiolees, ou malades , faute d'une libre refpiration de
i'air, & j'ai eu recours a I'experience fuivante.

Experience feconde.

Entre plufieurs plantes des memes fleurs de I'experience
precedente expofees en plein air j'ai choifi une tige aflez
forte, qui avoit deja les boutons, mais avant qu'ils s'ouvrif^
fent j'ai couvert la pointe boutonnee d' une cloche de
terra vernifee pour lui oter la vue du foleil , la tige , &
les feuilles jouiffoient cependant de toute la Jumiere, & la
refpiration de la plante n'etoit prefque point genee; j'ai ob-
ferve lorfque la fleur a eie eclofe, que les petales n'etoient
que tres-peu colores fur les bords, & un peu taches
en rouge, comme j'ai eu lieu d'obferver dans I'experience
precedente J la plante n'en mourut pas.

Experience troijieme.

J'ai choifi une plante de violier cramoifi fonce , qui
a donne quantite de fleurs ; je les ai routes coupees ,
& il en reftoit feulement 637 boutons parfaitement fer-
\ mes, & tout-afait verds , j' etois fur de cette fa^on de la
couleur des fleurs , j'ai ferme cette plante dans une caifTe
de bois couverte de toile ciree pour oter entierement la
lumiere, j'ai pratique en divers endroits de la caifle des
trous y pour y faire circuler Fair : la plante me donna
dans dix ou douze jours des fleurs qui etoient pales toutK
a-fait dans les petales du centre, mais dans I'exterieur elles
Etoient de couleur de rofe fort tendre , & Ton obfervoit
la meme chofe dans tous les boutons qui etoient ^clos }
la tige , & les feuilles vinrent d'un verd plus tendre aulli.

J'ai tourne eiifuite mes viies fur un fait que tout le
moiide rapporte , & que la plus part des Auteurs ( ii )
debitent, favoir , que la vapeur du (buffre ore enciere-
ment la couleur aux fleurs ; j'ai voulu examiner la raifon
de ce pheuomene, que j'ai trouve faux en partie, comme
il eft aife de ie voir par les experiences fuivantes.

Experience quatrieme.

Ayant mis du foufFre dans un creufet , que j'ai couvert
d' un cone de papier, qui portoit a la pointe quattre ou
cinq tiges de hyacintes bleues , & ayant allume le fouffre ,
apres deux minutes ces fleurs devinrent tout-a- fait blanches,
& depourvues de couleur , mais les ayant de nouveau ex-
pofees a la vapeur du fouffre , dix ou douze minutes
apres les ayant regardees , j'ai reconnu quelques taches
rouges fur la pointe des petales ; je les ai lailTe encore un
bon quart d' heure & les petales prirent une couleur rouge
dans tout le contour de la largeur d'une ligne , & meme
plus dans quelque endroit. J'ai obferve precifement le meme
phenomene dans les fleurs nommees primula veris^ & hya-
cintus mofchatus , qui font d' un bleu de Roi tres-fonce j
elles devinrent blanches dans les premiers momens , en-
fuite les extremites fe colorerent d' un beau rouge , com-
me dans les hyacintes que j'ai d^crit.

Les violettes m' offrirent le meme refultat , ainfi que les
fleurs de bleuette , de veronique , 1' iris filveftris &c., en
deux mots toutes les fleurs bleues , & violettes que j'ai
experimentees me donnerent ie meme refultat.

( 12 ) Henchel , Nollet , Schaw.

5®

Experience cinquieme.

J'ai expofe de meme k la vapeur du foufFre pendant plus
d'une heure de terns des violiers , des narciffes , & des ro-
fes jaunes , des levions des fleurs de genet & de farfara
fans que leurs couleurs ayent foufert la moindre alteration,
& je fuis bien aife de pouvoir affurer les curieux qu'on
peut conferver par ce moyen la couleuf aux fleurs jaunes
quoique deffechees par I'acide fulfureux autant de tems
que Ton voudra & avec la m^me vivacite qu'elles peuvent
avoir au moment qu'on les detache de la plante : on me
pardonnera j'efpere cette tranfition en faveur de la nou-
veaute (z3) .

Experience Jixieme.

La vapeur du fbuffre fit difparoitre dans peu de tems
la couleur rouge des fleurs dont je m'etois fervi , telles que
les rofes , les tulippes , les pavots , les fleurs de paflion ,
les violiers , les ceillets , &c. mais elles reprirent apres
quelque tems leur couleur naturelle , j'ofe meme dire avec
plus de vivacite vers I'extremite , ou la pointe des petales
de la largeur a peu-pres de quatre ou cinq lignes com-
me s'll leur etoit arrive une elpece de concentration des
molecules colorantes vers cette pariie. II eft bon de re-
marquer ici , qu'ayant eflaye deux ou trois pointes de
violiers rouges de cette plante qui avoit vegete a I'obfcur
( experience troifieme ) qui etoient ^ peine colorees d'un rou-
ge tendre , cependant apres avoir ete quelque tems a la
vapeur du fouffre , la pointe des petales fe colora d'un
rouge audi vif , que celui des autres fleurs , qui avoient
vegete en plein jour.

(j?) Tranfaftions philofophiqucs.

3^

Experience fepdeme.

Ayant expof^ quantite d'efp^ces de feuilles vertes , des
tiges , des branches , difFif rentes herbes a la vapeur du fouf-
fre de la meme fagon que dans les experiences preceden-
tes , la couleur ne changea jamais , elle s'eft affoiblie quel-
que peu dans quelques unes, qui cependani refterent vi«
fiblement vertes.

Experience huiiieme.

Toute efpece de fleurs blanches de differentes qualites,
que j'ai expofe a la vapeur du foufFre , ne changerent au-
cunement , & Ton n'y pouvoit meme appercevoir le moin-
dre changemenr.

Par ce que je viens d'obferver , je conclus que le fouffre
n'agit fur les couleurs des vegetaux que , comme font les
autres acides mineraux , c'eft-a-dire changeant en rouge
le bleu , & le violet des vegetaux , alterant un peu la
couleur rouge , & n'attaquant pas ni la jaune , ni la verte.

Je dois enfin remarquer qu'en lailTant expofees a i' air
libre ces fleurs apres leur avoir fait fubir cette tranfmu-
tation , apres quelque terns Ton reconnoit de nouveau
quelque trace de la couleur primitive. Un fait digne d'ob-
fervation c'elt qu'ayant effaye fur quantite de plantes odo-
riferantes les memes experiences , la couleur etoit enievee
dans les premiers moments , mais Ton en fentoit tres-di-
ftinftement I'odeur : de fa^on que Ton pent conclure, que
le principe odoriferant n'elt pas attache au colorant , qui
doit avoir un autre principe tout particulier ; Ton peut
tres-aifement s'en convaincre en faifant des epreuves fur
les hyacintes , les violettes , & les rofes &c. , & toutes les
plantes qui ont une odeur aigiie , de meme que fur les
fleurs blanches , car quoiquc cclies-ci ne changent point

3»

leur couleur naturelle , Ton fent tres-dlftin£temeiit I'odeur

de la fleur.

L'enfemble des experiences me confirmoit toujours plus
dans i'opinion que j'avois formee , i° que I'air eft d'une
neceffite abfoliie a la vegetation :

2° que le foleil contribiie au developpement des cou*
leurs (*) .

3° Que les fleurs contiennent des parties fixes qui don-
nent les couleurs , ce qui paroit encore confirme par I'aftion
de Tacide fulfureux ( pag. 29 & fuiv. ) i & qu'on ne doit
par les regarder comme un iimple accident du tiflu , qui
produife une reflexion determinee de la lumiere.

4° Que tout bien confidere la queftion de 1' inherence
des couleurs peut etre regardee comme indiferente & fu-
fceptible d'arguments pour & contre , fuivant la maniere
de I'envifager : or nous allons continuer notre examen fous
le point de viie ci-devant (coroUaire 3 ) & nous attacherons
a decouvrir principalement la nature des parties colorantes
des fleurs.

(*) Je crois qu'on pourroit adopter ici les id6es de M. Romberg fut la lu-
miere, qu'il regardoit comme le feul principe afkif de tous les mixtes,
& qu'il appelloit foufre principe. Voyes Him, de I'Acad, des fcien.
pour i'an. 1705. pag. 89. & fuiv.

SECONDE PARTIE ^*

i^es obfervations & les experiences dont je viens de ten-
dre compte , m'ayant rafTure fur les doutes qui s'elevoient
de toute part contre les idees que je m'etois faites fur la
cauie produftrice des couleurs , fur la nature de cette caufe,
& fur les moyens dont fe fert la nature pour les develop-
per. Je me propofai d'enrichir autant qu'il feroit en mon
pouvoir ceite partie de la vegetation du plus grand nom-
bre de faits : apres ravoir envifagee fous un point de viie
botanique & phyfique je crus ne pouvoir rien faire de
mieux que de i'examiner d'une maniere plus intime par
les fecours de la Chimie.

Quelques perfonnes aux quelies je communiquai mon
projet ne crurent pas devoir m'y encourager , & je n'ai
pas trouve de motifs bien engageants dans les Auteurs
que j'ai coiifulte : il etoit quelHon de tenter fi les couleurs
des fleurs loutiendroient a la violence du feu de vitrifi-
cation & fi elles feroient propres a peindre le \erre. M.'
Pott Auteur de la Lithogeognoiie dit formellemsnt en plu-
lieurs endroits que les couleurs vegetales ne fupportent pas
le feu de vitrification. M.' Schaw afliire la meme chofe,
ainfi que le Baron d'Holbach dans fes notes fur Neri , &
M/ de Montami enfin , qui dit en plufieurs endroits de
fon excellent traite de la peinture en Email que Ton doit
rejetter toute forte de couleurs animates , & vegetales com-
xne incapables de fervir , ne me donnoient pas comme Ton
voir de grands encouragemens.

Je communiquai mes idees a mon Ami M.' le Comte
de Saluces a qui ces matieres n'etoient pas neuves , &
j'eus autant de plaifir alors de voir dans fon livre de me-
moires que je m'etois rencontr^ avec lui , de ce que j'en
ai maintenant de lui en faire honeur ; Nous traitames
quelque terns cet objet , & uoe argument qui nous parut
Mifc. Taur. Tom. V. e

34

toujours decifif eft celui que , les verres dont le fondant eft
un fel alkali vegetal, font toujours verds ou verdatres,
pendant qu'ils font jaunes avec le piomb , pourpre avec Tor,
bleuatres avec le cuivre &:c. , ainfi que Tont remarque
plufieurs celebres Chimiftes.

Or {i les vegetaux dont on retire le fel alkali pour
I'ufage des verreries apres avoir foufert toutes les opera-
rations qui font neceffaires pour etre reduits en fel &
apres avoir efluye le deg'e de feu qui eft neceflfaire pour
mettre en fufion les maneres vitrifiables , & pour s'y com-
biner dans I'etat de vitrification , portent neantmoins cette
teinte aux verres , pour quoi les fleurs , les racines &c. ne
fourniroient elles pas jufqu'a un certain point leur cou-
leur naturelle aux verres dans lefqueis on les auroit em-
ployees apres avoir ete reduites en fel ?

Nous ne favions pas voir de difference entre les parties
d'une meme plante pour etre fondes a penfer que les unes
fuflent compofees de parties plus fixes que les autres : la
delicateffe des couleurs ne nous autorifoit pas non plus a
une telle fuppofition ; de maniere que le doute nous pa-
roiftbit affes fonde pour ne pas balancer plus long tems
a tenter I'experience , & je m'y d^terminai d'autant plus
volontiers qu'ayant repete un grand nombre des experien-
ces , dont M' Henckel fe fert pour prouver la grande al-
liance qu'il y a entre le regne vegetal , & mineral je me
trouvois aufli convaincu que lui des principes qui font con-
tenus dans fon excellent ouvrage du Flora faturnifans.

La neceflite d'un feu violent , & continue m'engagea
3 profiter de celui des fourneaux de la verrerie Royale ,
nos eflais ayant manque dans le fourneau a vent du
laboratoire de Monfieur le Comte de Saluces : J'aurois
fouhaite de reuflir un verre purement vegetal pour etre
a couvert de tout foup^on , ce qui eft de la plus
grande difficulte car non feuleraent on n'y parvient que

.55

par un feu tres-vioIent,mais ce verre tombe aifement en
deliquefcence.

Pour remedier a cet inconvenient on acoutume de le
meler avec quelque matiere vitrifiable pour avoir un corps
d'une plus grande durete , cependant malgre cette combi-
naifon ce verre eit toujours verdatre tenant a la matiere
vegetale dont il a ete compofe , c'ell-a-dire aux cendres
de Kali, ou d'autres plantes j de (:\qon que dans les fa-
briques Ton ell dans I'ufage d' y joindre un peu de Ma-
gnefia , ou Manganefe qui a la propriete d'eclaircir le
verre , & de lui oter la couleur verdatre , ce qui i'a fait
nommer par quelqu'un le favon du verre. Voyes I'ouvrage
de M. Montatni.

La fumee qui s'eleve des fleurs que Ton brule pour
les reduire en cendre ert fi dilUnftement coloree de la cou-
leur de ces memes fleurs que je commen9ai a douter
du fucces : je continuai cependant la preparation des cen-
dres d'une grande quantite de fleurs de toute efyece fans
oublier celles qui font parfaitement blanches , 6c dont le
refultat m' intereflToit beaucoup, perfuade qu'elles ne four-
niroient aucune couleur au verre : J'en preparai auffi a la
maniere de Tackenius dans I'efperance de retenir une plus
grande quantite de parties colorantes , mais elles n'en fu-
rent pas plus chargees apres la calcination qui etoit ab-
folument n^ceflaire pour en chafler toute i'humidiie , aind
je preferai de me fervir de la methode de les bruler en
plein air ; d'autant plus que j'aper^us par quelques ef-
fais que Thumidite qui fe deployoit avoit terni les verres
que je eflayois , & je ne venois pas meme a mon bur de
reconnoitre diltinftement la couleur que j'avois obtenue
des diff^rentes cendres des fleurs.

J'ai commence par la couleur rouge , enfuite par les
autres couleurs principals , & enfln par les fleurs blan-
ches , j'ai change dans la premiere experience les propor-

e %

3^ . .

tions , ce qui m'a fervi de regie pour les autres, & afin

que I'on put voir d'un fimple coup d'ceil les. reluitats ,
que j'ai obtenu. J'ai range en forme de tables ces expe-
riences ou je fairai pourtant les remarques neceflaires.
II eft bon cepeiidant de remarquer , que dans la compo-
fition de mes verres je ne me (uis fervi d'autre matiere
vitrifiable que de la poudre de Callioux {flex corneus )
ou du criftal de roche } que pour aider la fufion , je ii'ai
employe que du fel de taitre bien depur^,ayant banni
le barax & les autres fondans , comme foup9onne4 avec
raifon de contenir des parties colorantes. Que pour oier
tout foup^on de couleur etrangere, j'ai eflaye le fimple cail-
lou & le criftal de roche avec le fel de lartre qui me
donnerent tous deux un aflez beau verre tranfparent , &
point du tout colore , dont je me fuis fervi quelque fois
auffi pour unir aux fubftances vegetales calcinees. Dans les
tables j'ai toujours mafque caillou , quoique je me fois
fervi indiftinftement ou d'une matiere ou de i'autre. Les
effais ont ete faits dans des petits creufets au fourneau de
•verreiie.

TABLE PREMIERE.

37

TSi

Meiasges.

Proportion. \Resultats.

iOULEUR. ReMARQUES.

\FUursdi Pavots
Scl de Tartre.

■Tteurs de Pavots

Laillou

Scl de Tarire.

FUurs dePavoti

Sel de Tartre.

\

Une panic.
Une partie.

Deux parties
Deux parties,
Une partie.

Fleurs de

Mauve .
Caillou .
Sel de Tarire.

Fleurs de Gla
I dieul . .
Caillou .
Sel de Tartre.

Fleurs de Genet,

Caillou

Sel de Tartre,

Fleurs blanches, Une partie.
'\ Caillou . . Une partie.
vSel de Tartre. Une partie.

Unt partie.
Une partie.
Une partie.

Une partie.
Une partie.
Une par tie.

Une partU,
Unt partie.
Une partie.

Une panic,
Une partie,
Une partie.

Mafe.
Friable,

Un Verre.

Un Verre.

Subflance
Vureufe.

Un Ferrt.

Cendrie,

Pourpre,

Rouge.

Un Verre.

Un Verre,

Rouge , &
vwletie.

Bleu tendre

Jautte.

Point

color^.

on ton recon I
noijjou quel I
ques points rou-
ges, I

Lafurface du ver
re itoit un peu
verddtre avec I
des tdches rouges

Plus beau que
le pricident.

De la couleur de
la jleur.

Qui rejfembloit
d r aigue-ma
rine.

Duntlesbordsdu
Creufet itoient.
un peu coloris
en rouge. *

Qui avoit I'aiil
verddtrt com-
me le verre or-
dinaire.

•E3a

( • ) La couleur rouge , qui fe deceloit dans toutes les corapofitions avcc le
genet , me dctermina ^ fuivie un-travail furceiie planie.qui adonnSdcs
• jdfultats cuiieux , coninie on pouira vou dans un autre mdmoire.

3^ . .

Je laifTe juger du plaifir , que j'ai eu clu fucces de ces

experiences , qui me confirmoient dans mon idee, puifque

chaque fleur coloree a donne dans la vitrification (a.

couleur naturelle fort diftin6tement , & les blanches n'ea

donnerent point.

J'ai cherche enfuite a examiner fi j'aurois regu les me-
mes refultats des autres fubftances vegetales colorees. J'ai
examine la racine de Garance (i conniie par fa teinture,
la Beterave qui eft fi coloree , Sc la Guefde doiit on fe
fert pour la teinture bleiie. J'ai enfuite fait des experien-f
ces fur des graines colorees , & fur la fubftance farineufe
des femences. Le Solanum fut le fruit, ou plutot la graine
que j'ai examinee ; c'ell un vegetal du Brefil fort colore
en pourpre , que M. le Dofteur Dana Profeffeur de Bo-
tanique a fait vegeter dans notre climat , & lui a fourni
des favantes obfervations fur la teinture (14).

Le refultat eft digne d'artention , car ce Solanum co-
lora le verre beaucoup plus , proportion gardee que les
cendres des fleurs.

Les fubftances farineufes donnerent des couleurs apro-
chantes du blanc emaille ; il m'a paru meme d'entre-"
voir que les fruits , & les graines donnent plus de cou«
leur , enfuite les fleurs, apres celle-ci les racines, & les
lemences tres-peu.

(24} Je dois de meme fairc honneur k M. le Do£leur Dana qui fe fit un
vrai plaifir de me donner ce fruit avec les preparations qu' il en
avoit faiies en m'inftruifanc des cxpstiences qu'il avoit cntreprifes
& de leur rgfultats.

TABLE S E C 0 N D E.

39

=^^

Melasges.

Proportion.

Resultats.

COULEUR.

Remarques.

^Garance.

Caillou.

Sel de Tartre.

4 panes.
4 parties,
} parties.

Un Verre.

Verd obfcur.

Avec des petite s^
tdches rouges.

Betterave.
Verre pulverifi.

Une partie.
Une partie.

Un Verre.

Violet.

Pas teaucoup
clair.

Ifatis fativa.

Caillou.

Sel de Tartre.

4 parlies,
4 parties.
} parties.

Un Verre.

D' un verd
obfcur.

Couleur de la
plante. (♦)

Solarium.

Caillou.

Sel de Tartre.

4 parties.
i parties.
2. parties.

Un Verre.

Pourpre
joncL

Plus colori que
celui desfleurs.

Farine,
Caillou.
Sel de Tartre,

4 parties.
4 parties.
z parlies.

Subjlance
vitreufe.

Blanchatre.

Aprochant <i
/' imail.

Rit.

Caillou.

Sel de Tartre.

4 parties.
4 parties.
4 parties.

SutJIance
vitreufe.

Plus blan.
che.

Au(fi imailUe,

Feves.

.Caillou.

Sel de Tartre.

1

t

4 parties,
4 parties.
I parties.

Subjlance
vitreufe.

Un peu ver-
ddtre.

Aufji emaillie.
U

( • ) Cctte plante que les Fran9ois nomment pafitl^ ou gutfle , & nos aniftes
yaud donne une leintuvc blcije , mais c'eft par la chsux \\ve, 2c 1' alun
qu' on r obtienr.

40

La folbleffe des teintes. colorees de la couleur de la
fleur , qui paflbit dans mes verres m' avoit fait foupgonner
que par l' incineration & la calcination il fe fit une gran-
de perte de la matiere colorante, attendu la grande eva-
poration qu' elle fouffroit , &c je voyois d' ailleurs clairement
que les chaux des fleurs contenoient beaucoup d' autres
parties non colorantes j pour y remedier j'ai tente de me
fervir des fucs concrets , & j'ai edaie celui de Pavots
extrait avec 1' efprit devin , qui a la verite avoit retenu
d'avantage la matiere colorante , mais I'umidite qui fe de-
veloppoit rendant mes verres ternes je fus contraint d'aban-
donner cette methode.

Je me decidai alors de feparer ces principes par des
lixiviations repetees pour m'affurer de ce qu'il refulteroit
de ces fucs concentrees tk enfuite calcines: car ainfi que
je I'ai remarque pag. i8. les fleurs reftoient entierement
depourvues de couleur apres une forte decoftion & d' ail-
leurs j'avois ^prouve que le Marc du genet & du Sola-
num. que j'avois retire d'une leffive reiteree ne donnoit
plus la moindre teinture aux verres. Je ne diflimulerai pas
ici le plaiiir que me fit la lectre de M.' le Comte de Sa-
luces du 1 8. avril 1770., ou il traite cet objet, & celle
du premier maj qui contient des experiences & des obfer-
vations fur la racine de garance ; je me fais un devoir de
rapporter ces articles qu'on trouvera dans la note fuivante.

EXTRAIT DES ARTICLES DES LETTRES.
DE M. LE COMTE DE SALUCES.

D'aitleurs , mon cher Comie , it n' y a dans In fleurs que quetques parties qui
jolent diflineis !i les colo^er , 6" dont on peut faire ufage pour peiri'
dre le vcrre. I'oici mon prociJi pour Its feparer d' avec les parties
abfolument non colorantes. Faiies la decoliion de idles fleurs qu'il
vous plaira Jufqu .i ce que les petales ou Its feuilles foient entiere-
mem dicolories , cvaporiis en leniement /' umidiic , & apres la def-^
ficcation^ calcine:^ le fuc , 6" vous aures la partie colorante : calcines
enfuite les feuilles ou le marc de voire fuc, 6" vous n'ohtienitis aucune
coultur: (t qui prouve que la panic colorante i'efl coinbinit avec la

41
II me reftoit a voir fi les fels extraits des fleurs auroient,
pour ainfi dire , ramafle toute la partie coloraine , & fi
j'aurois colore davantage , & avec plus de vivacite les
verres, ce qui ell en effet arrive avec les fels des fleurs
de Pavot , de Genet , & de Garence qui donnerent des
verres tres-colorcs chacun de la couleur de la fleur, com-
me on peut le voir dans la table troifieme.

Les experiences fur les verres ayant parfaitement repon-
du a mon attente , je voulus eflayer encore fi ces cou-
leurs vegetales etoient a portee de colorer les chaux me-
talliques} j'ai pris du minium, avec lequel j'ai fait le me-
lange avec les differentes cendres des fleurs , comme oa
peut voir dans la table quatrieme.

pariie fal'tne. Efl (t mainliitdnt le plilogi/lique 6U iei parties mitalliqut!
qui lionnent la eouUur} Ou tfl ce de VaHion du premitr Jkr cellei-cl
^u'on L'Mitnt} Paflbns maimenani au fccond extraic . . , Vom fca-
vis que 111 viirificaiion avec les cendres de racine de garance vous a
manqui , ce qui fuivant mes prineipes me parol ffoit extraordinaire , j'en
at done chercke In raifon 6" le moyen de faire puffer cetie couleur dans
les virtts. J'ai imagiri que par un feu vif O ouvert tcl qu'il le faut
fOui la calcination, la pariie col&rantc, qui doit avoir felon moi un: gran-
tie ofiii:e jvec le phlogiftique , iioit prefque toute entevee ; car vous fa-
vii que ceite racine atjnde en huile 6" en parlies volaiilts, Je commencai
do' c pa; rniler une partie de fel de tartre fur deux de poudre de ga-
rance. Vous connoijfes la coul;ur naturelle de cette poudre qui efl cou-
l w de feutlle rnorte , immedi dtement elle prit une couleur roirge pref.
e^ue cremoji 6" manifefla une odeur tres-vive de champhre. Je Jus fort
fu'p'ti de ccs deux effi'ts &• ayant mis le tout dans un alembic de verre
au bam de j-ible , je commencai la difl illation par un feu doux qui je
poujTiii par di^ e a la derniee violence, 6" jufqit'a ce qu'il ne p^Jfoit
plus ricn dans It recipieni. J'obiints par cette diflillation deux liqueurs,
doni la prem ere tfl jaune , (/ la feconde efl une huile empireumatique
\i liable, n'ayani pus encore pit eximiner la premiere , le Caput mortuum
i oil une fubjlance gri^iii charboneufe , mais Sune couleur ctptu pres
£0 ■•i:e le bleu dc P'ujje ires-fonci. C'efl cette ftcule que f'ai combine
avcc la moil e dc pondre de marbre , & fai obtenu un Vtrrc colore rou-
ge jaunalrc , lics-btau &■ tres-lranjparcnt.

Mifc. Taur. Tom. V.

4»

TABLE TROISIEME.

Melanges.

Proportion.

Resultats.

COULEUR.

•^

Remarques.

Sue it Pavoti.
Vem pulvenfd.

Genet lejfive.

Caillou.

ISel de Tartre.

Svlantim UJpve

faillou.

Sel de Tartre.

Sel de Pavots.

Sel de Pavots.

Verrepuhcrifd.

Sel de jleur de
Genet

Cadlou.

Une partie.
Une partie.

Une partie.
Une partie.
Une partie.

Une partie.
Une partie,
Une partie.

Une partie.

Une partie.
Une partie.

\Sel de Gurance.
\Caitlou.

'm

Une partie,
Une partli.

Un Ferre.

Un Vtrre.

Un Verre.

Une majlfe.

Un Verre.

Subflance
vitreufe.

Une partie.
Une partie.

Subflance
vitreufe.

Rouge

I

Dont rkumlilti
I' avolc beau-
coup nolrcl.

Verd foncd.

Fort verd.

Rouge,

Rouge.

Jaunedorie.

Comme celul des
houtellles de
Bourgogne,

I
Oil cependant il

yavoltunfoup-i

gon de rouge}

Qui aprhs quel-
ques jours torn-
ba en deli-
quium.

Dont la coiilcur
pa [fa lecouver-
tie du creufet.

Telnte en
rouge.

Un veu colored
en rouge Jur:
le bords , 6'
imallUe.

Un peu imallUi:

( * ) La volatiliifi (in (i grande que le bas du creufet fut anffi colorC' en
dehors malgifi fa (jiande epaifTeur mcmc dans h coulcur lougc la
VAlatilite m'a pacu plus fenfible.

TABLE qUATRIEME.

43

I Melanges.

Proportion.

Resultats.

COULEUR.

Remarquls.

FUiirs de Pavots
MiDiuai.

I7ne partie.
Une partie.

Fleurs it Iris.
.Minium.

Fleurs de Genet.
iMinium.

Fleurs blanches.
Minium.

Sue de Pavots.
Minium.

Sel de Pavots.
Minium.

J/ne partie.
Une partie.

Une partie.
Une partie.

Une partie,
Une partie.

Map.

Le plotnb fut
en partie
revivifii.

Une maffe
friable.

Majfe
jnable.

Une partie.
Deux parties.

Une partie.
Une partie.

Sel de Genet.
Minium.

Une partie.
Une partie.

Efpice de
iitliarge.

Subjlance
viireufe.

Subflance
viireufe.

Rouge,

Avec des
points
bleus.

D'un tris-
beau jaune

Grisdtre.

Calorie en
rouge a la
furface.

Oiileplorhbetoit
riduit en litharge.

La couleur fe.
foutint a un
plus grand feu.\

Qui d. un plus
grand feu devint
un verre jaune.

Aprochant du
petit verd.

Dont I'humiditi
avoii terni
I'effai.

Un peu CO Qui fe foutint
lorie en \ dun plus grand
feu.

Jaune dorc.

Les bords du
creufet itoient
rouges t & I
imailUs.

a

( • ) L'on voit que les rfifultats de ces experiences fur les chaus mfitalliques
font tr^s-conformes aux pr6c6dents; que fi les matieres n'ont pas 6i6
routes ifiduites en verre c'eft faute du feu violent qui il y auroit
fallu pour Ic verre de plomb , & d'ailicurs le phlogiftique en levivifie
toujouis quelque peu>

44

L'on apper^olt tres-aifement d'apres ces experiences que

les fels contiennent la plus grande partie des principes co-
lorants des fleurs , & des autres parties des vegetaux a
tel point , que avec les fels extraits des fleurs je fuis venu
a bout de peindre de la porcelaine , de la fayance & de
r email , & que aufli en fe donnant du foin 1' on peut
colorer du criilal , &c imiter de cette fa^on les pierres
fines.

Je finirai ces details par Texamen que je fis fur le bois
petrifie , fubftance jadis appartenante au xegne vegetal ,
( qui eft rangee a prefent par les Naiurdliftes dans le mi-
neral ) pour obferver (i elle contenoit quelques devi(es
de fon premier etat : I'ayant dont agrege avec du lei tar-
tre j'ai obtenu un verre tres-beau prefque tranfparenc cou-
leur d'agathe, ou Ton ne reconnoiflbit pas la moindre tra-
ce de verd. (4)

Tel eft le precis des experiences que j'ai fait fur les
fleurs, & ks autres parties colorees -de vegetaux (5),

( 4 ) II n'en eft pas dc metne des os foflTles , qui ne perdent jamais de leur
nature, & ne peuvent etre jamais rangtz dans le rcgne mineral,
puifque on obiient au grand teu par icur diftillation une huile em-
pircumatique , & un fcl volatil , & le caput mariuum inele avec U
fritte donne un verre blanc & opaque, caraft^rcs diftinitifs du
rcgne animal, comme jaurai lieu d'oblervcr dans la fuiie. VoycE
M. Carl. danS fon traite du Lapis Lydius ojjlum fojfilium.

{ 5 ) J'ai icntfe plufieurs experiences pour pouvoii ranger cellcs-ci dans un
ccnain ordre , j'ai tach6 avec loutc la bri6vc[6 de n'omettre aucune
■ciiconftance intSrcffante au fujet , comme au/Ti de rapporter avec
toute J' impariialii6 les reluliats , ce que Ton eft dans le cas de v6ri-
iier, en refaifant les expfiriences. Je dois avveriir pourceux qui vou-
' dront fe donncr la peine de les luivic, qu'il faut avoir un aiien-

tion toute particulidre dans I'adininiflration du feu, puifque ancndu
la volatility de la matiere colorante , telle ccndre , ou tcl fel , qui,
apres un tcl terns de t'cu vous donnera une belle coulcur, fi vous
le laifRz quclque heure davantagc la couleur s'afFoiblit, ce qui arrive
au/Ii aux coulcurs mdtalliques de la porcellaine , & de I'fimail. Jc ne
faurois indiquer des r(Sgles pi(5cifes, c'eft la pratique qui doit ficlai-
xer la delfus. J'aurois a la vCait6 pii lendie plus beaux les vcricsdes
efldis, en changeaot les melanges & Jes proportions j cependanc

45
Si il me paroit demontre que la matiere colorante dans

les fleurs, comme dans les autres parties des veg^taux eft una

matiere folide & inherente , & qui, par confequent n'ell

pas fujette (i aifement a changer.

Nous ne connoiffons , que les fubftances metalliques
capables de teindre le verre , n'y auroit-il pas lieu de croire
que ce font au/Ii des parties metalliques qui produifent la
couleur dans les fleurs, & dans les autres parties dss
vegetaux ? Que ces parties etant extremement divifibles
& fblubles dans I'eau par le moyen des fels , font dans
Je cas d' ^tre introduites dans les vaiffeaux capillaires des
piantes , & des fleurs, & qu'a I'aide du phlogiftique leur
couleur en el\ developpee , ne devant pas au refte con-
fondre le phlogiftique , &c la matiere colorante , comme
a tail M. Pott , puifque ce font deux matieres bien dif-
ferentes a men avis , I'une pour parler le langage des An-
ciens etant la matiere , & I'auire la forme.

Ce puifl!ant reflfort de la nature , cet agent general qui
k trouve dans tons les corps , pourroit tres bien etre le
fluide eleftrique ; j'ai ete charme de trouver dans le der-
nier ouvrage du celebre M. Francklin un fentiment
tres conforme (6)„ Je fuis porte, dii-il, a croire que le
„ feu fluide, de meme que I'air fluide eft attire par les

comme je portoisau refle mon attention furies rfifultats de la couleur,
que les (ubflances veggtaics in'autoient donn6 dans la vitrification ,
i'ai cru pouvoir m'cn difpcnfcr d'autant plus, que comin? j'-i dit ,
j'ai banni toutcs les maiiercs, qui fitoicnt foupfoan^es de contenic
des parties colorantes.
(6) I hare been rather inclined to think that the fluid //-f as well as the
fluid air, is aiira£led by plants in their growth and becomes con/o-
lidated with the other materials of which they are formed And in.iKCS
a great part of their fubilance : That when ih' y come to be dige-
fled and to fuffer m the vefTcIs a Kind of fermentation part of the
fire as well as part of the air recovers its fluid aftive flate again and
difFufes iifelf in the body digeflingand leparating it. ExfT^jimenis and
obfervations on Ele^ticity and Benjamia fiancKliu London '769'
Letire i6 page 346.

a6

„ vegetaux , & qu' il s'unit, & fait corps avecles autres
„ matieres , dont ils font formes , & doiit il fait des lors
., la principale partie. „ II n'eft pas difficile d'appercevoir
que a I'aide de ce feu les vegetaux re^oivent un principe
vital , & le developpement de la couleur ; (7) il feroit a
delirer que 1' illulbe M. Francklin voulut par (es fa-
vantes obfervations examiner cette partie qui lui fourni-
roit une carriere lumineufe a parcourir.

De ce que nous voyons que la chaine etroite, qui lie
le regne vegetal au mineral, lie encore plus etroitement i'ani-
mal au vegetal, ne peut-on pas foup^onner que cette chaine
s'etend aufli de raiiimal au mineral ? de lorte que ce que
j'ai dit plus haut , ne foit pas fans probabilite , favoir qu'il
n' y a qu'une meme caufe produftrice des couleurs dans
les trois regnes , puifque par quelques effais , que j'ai fait
fur des fubltances animales , j'ai obtenu les memes reful-
tats que dans les vegetales.

Je me contenterai de rapporter I'experience que je fis
fur le fang , la fubllance animale la plus coloree , & la
plus belle : les fentimens de ceux qui ont traite de (k
couleur font partages , quelqu'un a cru de devoir I'attri-
buer au fouffre , qui y elt contenu j quelqu'autre aux fels;
au mercure fubtil, felon Paracelfe. Haller quoique il

(?) II me paroit que ce n'eft pas fans probabilite que on afuppoft le flui-
de eleftrique, comine le moteur de la partie colorante; nous en vo-
yons une preuvc datis la revivification , & vitrification des cliaux m€-
lalliques ( « ), coinme auffi dans les tachcs circulaires colorges, lorfque
Ton fail partci la coiumoiion elcftriquc i travers des feuilles de dif-
ftrent in^taux places entre deux lames de verre pnli. (i)

L' experience de M. Prieftley femble le prouver d'avantage , car
Qyant fait paiTer I'expiofion dletlrique fur la furface de 1' huilc de
vitriol , il vii une couleur fort rouge i la furface de I' huilc qui etoit
furement due au fer: hiftoire de 1' eieftticitS Tom. 3 pag. 390.

{a") Beccaria eletiricifmo anificialc §. 738, e fuiv.
t) Experiences, & obfervations fur reie£tricite' faites ^ Philadelphie pat
Seniaiuia FraiiKlin Tom. 2 pag. 53 , &. fuiv.

47

ait adopte dans les premiers ouvrages le fentlment de
Boherave fon maitre , c'ell-a-dire , que la couleur du
(ang etoit produite par la denfite des globules. Dans les
derniers il a propofe une opinion tout-a-fait vraifemblable,
c'eft-a-dire , que la couleur rouge etoit due aux particules
terrugineufes contenues dans le fang (8) , appuyant ion
opinion fur les experiences de Geofroi de Lemeri & furtout
fur celles du favant Menghini , & des Academiciens de
Bologne , (9) , qui ont trouve que prefque toute la par-
tie rouge du fang apres avoir ete torrefiee au feu, etoit
attirable par I'aimant , & avoir toutes les proprietes du
fer.

En effet ayant calcind du fang , fen ai obtenu une
chaux coloree en rouge comme du iiiffran de mars , laquelle
a ete attiree en partie par I'aimant, ce qui ne me laiffoit
plus aucun doute I'ur I'exillence du fer (lo), ayant done
mele parties egales de cette cliaux avec du verre pulverife
dans un creufet au feu de verrerie , la raatiere fut re-
duite en verre , dont la furface etoit blanche comme i'eft
ordinairement le verre fait avec des parties animales , mais
ayant cafie le creufet le verre etoit extremement rouge
en dedans, meme la couleur rouge palTa le creufet par (a
grande volatilite a peu-pres de la meme fagon , que j'ai
obferve dans I'expenence cinquieme fur Je fel de Pavot
Table III.

/ 8 ) Eltmcmorum phlfiolopat,

^ 9 ) Commentaria Bonomentia Tom. II. pag, i. ViMentii Men^ini differtatio dt
ferrcarum particularum fedt in fanguinc pag. 244.

(10) Le Medecins acou'.ument de doniier des pifiparations de fer dans les
maladies, ou la panic colorantc du fang fe diminiie, comme dans
les pales couJeurs dans queiques efpiccs de cachexies , dans les hi-
dropifies &c. Mais il ne foiu pas d'accord fur la prgparaiign ^ la-
quelle ils doivent donner la prgffirence , il me paroit que le fer du
fang caicing feroit, peut-ctre, plus analogue , & plus facile k reprea-
vkc fa torme , je laiiTc aux Mgdcciiis k decider Au cet aiiicle.

4?

L'on voir par cette experience qu' il y a un fcul prin-
cipe colorant clans les trois regnes. Le verre que j' ai
obtenu du Tang, celui que j'ai obtenu du lb! de pavots,
& celui que Von obiienc par les fafrans de mars font trois
rouges des trois regnes differents , & (i celui fait avec
le fang , eft tres-analogue a celui du fafran de mars par
le fer que Ton y a reconnu (i i) , ne pourroit on pas prc-
fumer que celui qui a ete compofe avec les pavots doive
fa couleur a quelque partie metallique auffi ? Et comme
j'ai reconnu une grande volatilite dans le principe colo-
rant du fang, quoique d'aileurs il foit inconteftable que
ce principe ell mecallique, on ne doit pas etre furpris
de la meme volatilite dans les couleurs vegetales, & cette
volatilite ne m'empeche pas de les croire metalliques.

Qaelques autres effais fur des fubftances animales me
donnerent des refultats conformes aux precedentes dont je
me referve a traiter plus pariiculierement.

Les metaux donnent la teinture au verre en differentes
couleurs , dont chaque metal lui donne la fienne particu-
liere ; Tor donne au verre la couleur pourpre , I'argent ,
la jaune , le cuivre une couleur bleuatre , le fer lui donne
un verd fonce , le regule d'antimoine donne la jaune ,

retain

|ii) La couleur rouge du grenat du jafpe rouge du porpliire, de la terre
rouge d'Angleterre , que i'on demande beaut6, & quamit6 d'autres
fubrtances du regne mingral , dans lefquelles on reconnoit tres-di-
flinfteinenr le fer, & 4 qui Ton doit ia couleur rouge paroit en
fouriiir une autre prcuvc.

^Ji) Je nc ilouie pas, que les belles couleurs du plumage de certains oifcaux
vieiinent du muinc principe. M. De Buffon obferve trds-bien, que
ks pays chauds fourniflent une plus grande varifiiS dc couleurs. (c)
11 me paroit d'y entrevoir la mcme raifon , que dans les plantes ;
une plus grande chaleur developpe davantage les principes colorants,
qui font itietall'ques dans tous les regnes. C'cft le fujet du prix de
I'Acad^inic de Berlin propof6 pour I'annge 1772 que d' ficlaircir la'
raifon de la couleur du plumage des oifeaux , & dont je fuis bien
curieux de favoir la rfifolution.

(c) Bullbn hiftoire des oifeaux Torn, I. difc. prelim, p. aa.

49

retain & le zinc leur donne une couleur laiteufe, les dit-
ferentes terres colorent le verre , & par la couleur qu'elles
donnent , nous coniioiffons les parties metalliques qui font
contenues dans ces terres.

Si nous examinons les pierres colorees , Ton a grande
raifon de croire qu'elles doivent leurs couleurs au meme
principe , c'ell-a-dire aux parties merailiques , tel elt le
fentiment du celebre Chevalier Linne (13) , & de

{ 1} ) „ Quartzum enira, & fpatum , dum in nietaUa habitant colnrata rc-
„ pcrimur, color autem eoriim cum rubigine feu ocra ipCus me-
„ talli femper concidit ocra enim feiri, quae aut brunca, aut luiea,
„ aui rubra eft , lapides iifdein tingic coloiibus. Ocra cupri quae ab
„ accido fit viridis , ab alKali cyana aut viridi , aut violaceo lapidef
„ tingit colore. Hae ocrae , quoniatn volgares funt , ita etiam hi
„ colores lapidum vulgariffimi.

Le ineme Linn6 dit dans un autre endroit, omnis fere color in Re-
fito lapideo a metalUs fuam ducit originem , hine Boherav/ius ( d ) , gtm-
mae inquit pellucidae tjuidem , fed eximio nitenies colore videniur maie-
Tiem habere ceteris fimilem , jed pigmenium meialliam in primis aut (f
alium fixmm , & fijfilc in ipfa naliviiaie , quam iniime permixtum , uni-
tumque ilia quippe evincil colorum Jimiliiudo , aique artificiofa. gemmarum
tonfedio.

„ Ferrutn dat vitriolum vitride , fed ocrain luteatn , quae urtione
„ rubra evadit , & hinc rubinus ruber, (e)

„ Cuprum dat vitrioJum caeruleum , led ocram vividem ab acido,
„ ut in fraaragdo, ocram caeruleam ab alKaii fixo , ut in Zaffiro,
„ Cyanam ab alKalr volatili , ut in Beryllo.

,, Plumbum dat vitiioJum album, fed ocram albido flavaia , ut i*.
„ topatio.

„ BLsmutum dat ocrain rubicundam , ut in hiacynto, ergo vidi-
„ mus colorem criftallorum dependere ab ocra ipfius metalli figu-
„ ram autem a falibus. Linnei ammenitates Accademicae Martini
„ Kaller de criflallorum generatioae p. 471 Tom. V,
tJ ) Boherave chem. i , 54.

\t) Quant aux Rubis, Libavius a cru qu'on devoit en attribuer fa cou-
leur k I'or nous favons que I'on en trruve dans iej mines d'or , ou
bien tout pr^s, & fur cette particularite' il a dit que Ton pouvoit
trds-bien imiter la couleur du Rubis, en melant avec le criftal une
icintare d'or rgduilc en liqueur ou en huile pr la diflblution,
Voyez Libavius. Lib. » chap. 35.

II fe peut trSs-bien que la vapeur de I'or pgngtrant ces pierres
criftallines , puiffe Jeur donner cette couleur comrac 1' experience
nous le fait voir, flans les pierres artificielles , comme il y a plus,
de probability que le grenat , le jafpe, rgmatite, la cornaline doivenc
leurs couleurs an vapeurs Uu fcr ; dont on connoit i'exiflcnce.
Mijc, Taur, Tom, K, g

JO

M. De Rom^ Deslile (14), il n'eft pas difficile de coti-
cevoir de la maniere , que les fpaths les quarts , les cri-
ftaux , & les pierres fe colorent par les vapeurs metalli-
ques, fi Ton examine la maniere dont fe forment les me-
taux , auxquels les fpaths , & les quarts fervent de ma-
trice , Ton peut conluiter a ce fuier un favant memoire
de M. Eller dans les mdmoires de I'Academie de Pruffe
an. MDCGLui. Tom. ix. pag. 3.

Cependant comme le fer eft plus generalement repandu
dans la nature foit dans le regne mineral , ou Ton ne
fauroit trouver que tres-peu de corps qui n'en contien-
nentpas; ainfi que nous les voyons dans les pierres, les
marbres , les terres , les argilles &c. , foit dans le re-
gne vegetal & animal , ou on le reconnoit tres-diftin-
ftement dans quantite de plantes , & d'animaux (15), il
pourroit bien etre la fource de toutes les autres couleurs
vegetales ; que fi on lui a deja attribue la verte du regne
vegetal en gros , il ne feroii pas mal a propos de lui at-

(14) Le fentiment de M. Rom6 Deslile dans fon trait6 de la CriHallogra-
phie eft trfis-contorme a celui du Chevalier Linn6 fur la raifon de
la couleur dans les criftaux , 6l dans les pierres prgcieufes due aux
fubftances mfitalliques. „ Tous ces criftaux colorgs ( dit-il p. 184)
„ fe ferment pour ('ordinaire dans les mines, & doivent Icurs cou-
„ leurs 4 des Emanations mStalliques , qui s'y incorporent dans Ic
„ temp qu' ils font encore fluides , ou qui s'attachent a leur furface,
„ lorfque ces criftaux ont pris trop de confiftance pour s'en laifler
„ pen6trer.

A I' figard de la couleur des pierres prCcieufes ( ditil pag. 196. )
,, La plus part des N.uuraliftes I'ont attribiifi comme celle des cri-
„ ftaux aux vapeurs mgialiques, qui ciiculent dans les mines, ou au
„ melange de quelquc diftblution des fubftances minSrales , mais ces
„ Auteurs ont gt6 peu d'accord I'efpfice de mfital qui coloroit telle,
„ ou telle pierrc.

II rappoite cnfuite le paflage de Chevalier Linng que je viens
de citer.
EfTai de Criftallographie par M. De-Rpm6 Deslile k Paris 1772.

^ij) L'on pourra confulter les Commcntaires des Savants Acadfimiciens
de B(.logne pour voir des experiences trds-curieufes fur le fer retirg
des pUiites , & des aniinaox Coutni, Sonon, Torn. U. pars I, p, 109.

5»

tribuer les autres aufll, puifque nous favons, que, outre la

grande facilite qu' il a d'etre attaque par tous les men-
ilrues , ce qui prouve fa grande divilibilite , nous voyons
qii' a I'aide de differentes operations Ton parvient a en
tirer toutes les couleurs , ainfi que M. le Comte de Sa-
luces le prouve dans un ouvrage qu' il prepare fur ce
fujet.

11 me paroit d'entrevoir que la nature toujours fimple
dans fes operations a etabli un meme principe colorant
dans les trois regnes , au moyen de cette admirable chaine
qui en lie toutes les parties ; que ce principe ell m^talli-
que ; que dans le regne vegetal ces parties reduites en
forme (avoneufe font introduites dans les (i6) plantes , &
y decelent leur couleurj que dans le corps mineraux, enfin
elle eft apponee par les vapeurs voiatiles.

Que la caufe de fon developpement n'en eft qu'une
feule auffi , c'eft-a dire, le phlogiftique.

Cette partie de la phifique merite affez d'etre appro-
fondie , & nous ofFre un champ vafte pour augmenter le
nombre de nos connoiftances.

J' efpere que la nouveaute du fujet fera acueillir fa-
vorablement ce memoire , & je me referve a faire des plus
amples obfervations , pour raettre la maiiere dans fon plus
grand jour.

( i6 ) C'eft encore \k la penfge de M. le Comte de Saluces , favoir que la nutri-
tion fe fait dans les plantes par inturfufception, & que le fuc n6-
cefTairement doit prendre cette nature au moyen d:"s fc-ls , & de
I'cau pour pafler dans tous les plus petits vailfeaux , & y etre dlAlL*
bugs dans toutes les parties de la plante iaus les endommagei.

CAROL I AL LI ONI I

AUCTARIUM
AD SYNOPSIM METHODICAM STIRPIUM

HORTI REG. TAURINENSIS.

JL^xhibet hoc opufculum enumerationem plantarurtiy
quihus Hortus Regius Taurinenjis aucius ejl ab annO'
1762, quo prodiit Mifcellaneorum Taurinenfiam
I Tomus alter. Ut autem in hjoc auclario commode Ty-
\ rones, & Botamci Jlirpes, quas addidi, reperire pof-
Jint, paucls omnino muiaiis eamdem meihodlcamdif-
I pcjitiontm fervavi, jimiliterque fpccies ad Linnaena
I genera tenaciier reiuli. Nominibus quoque trivialibus-
ufus fum CI. LinNaEI, fed illae Jilrpes, quas LlN-
NAEUS non habei, indicantur nomimbus^ quae a Cl.
VirU JaCQUIN, &: Crantz mumatus fum, am ipfe
ajfignavi, fi nullum adhuc haberent. Opponunum porro
judicavL huic auclario iterurn infcrere Jlirpes quafdam
in fynopfi jam recenftas, quae nullum tunc temporis
triviale nomen habebant. Quae minus notae aut novae
funt , brevi defcripnone iia defniuntur, ut faltem certo'
fiunc internofci pofjint ; alio auiem loco , ^ copiojius,
& icone illujlrabuntur.

I

Mifc. Taur, Tom. JT.. li:

CLASSIS PRIMA.

Plantae flore monopetalo
fimpllci.

I. MONOSTEMONESv

Boerhavia erefta. L.

difFiifa. L.
Najas major * (i)

minor * (i)

II. DISTEMONES.

A. GVMNOSPERMAE^

Salvia indica, l.
hifpanica. L.
dilermas. L. (3)
ferotina. L. (4)
haemarodes. l.
aurea. l.

acetabulofa. l. (j)
pomifera. L.
pinnata. L.
fylveftris. L.
fyriaca. l. (6)
aegyptiaca. l.
lyrata. l.

clandelhna. L. * (7)
ceratophylloidts. i..

n

(i) Fluvialis latifolla fructu minus obtufo monofpermo Mich. gen. v. m'

T. 6 f. 1.
(i) F.tivialis minor foUis angufliffimis denticulatis , deorfum rejlexis,fruc!u

acuta tenuiori monojpermo Mich. gen. p. n T. S f. }.
(}) Haec eft falvia vtllofa , & vifcoja foltis lanceolatoovatis verfus pe~

ttolum angulatis Mtjc. Taur. Tom. If. p. 49 , quam CI. ARr

DuiNi notani tecit fpec. I. p. 9 T. I. Huius autem CI. Viri

liber anno 175 <> cditus ad aianus noftras tunc nondum ve-

nerat.
(4) Haec eft falvia Americana Chia dicla Mffc. Taur. Tom. II. p. 49

etiam ab AB-oriNi defcripta fpec. I. p. 10 T. 1.
(j) Salvia or. foUis jubrotundis acetabults moluceae Tourn. cot. pag. jo

& Mfc. Taur. p. 49i

(6) Syriaca L. non difFert ab Aegyptiaca L. mantifs. p. 16 n. jtf, fed

Arduini fynonioion fub Synaca politum in fyli. p. 6^ n. 18
pertinet ad falviam df.rmui L.

(7) Clandejiinam falviae verbenacae varietatetn eflTe puto, cum eain ia

horto Taurioenli cultacn non modo floras ex purpureis cae-
luleos, fed oninino ampliores, ^uaks \u yerbenaca QiLCUUvatf.
piotuiiHe vidcrim.

li j:

56 . .

nivea. (8^

caefia. (9)
Ziziphora capitata. 1.
Verbena Carolina. L.

mexicana. L.

indica. l.

Curaffavica. L.

nodiflora. I,.

jamaicends. L.

orubica. l.

fupina. L.
Monarda punftata. L.

clinopodia. L.

fillulofa. L.

B. MONANGIAE.

Amethyftea caerulea. L.
Pinguicula vulgaris, jl. *
Utncularia vulgaris. L. *

C. DiANGIAE.

Veronica longifolia. L, *
fpuria L.
fcutellata. l. *
aphylla. l. *
belhdioides. L. *
peregrina. l.
Virgiiiica. L.
fruticulofa. L. *

proftrata. L. *
lanfolia. L. *

D. Fructv pulposo.

Jafminum humile. l.
Phillyrea anguftifolia. L. *
media, x. *

III. TRISTEMONES.

A. Hypocarpiae.
Momia fontana. l. *

B. Epicarpiae.

I. Flore calyculato.
Melothria pendula. l.
Cucumis anguria. L.

prophetarutn. L.

chate. L.
Momordica operculata. L.
Bryonia laciniofa. L.

1. Calyce deflitutae.
Crocus vernus. *
Jris Xiphium. L.

florentina. L.

foetidiffima. x,.

tuberofa. x.

fibirica. L.
Valeriana fibirica. L.

^8) Hoc trWiali nomine indicatur Jah'ia cret'ua angujlifolia CLUS. hifi.

34 J cuius foHa bruniaii pracfcrcim icmpoic alba onioioo , &:

nivea evadunt.
0J Hurminum Jubroiundo folio fi. eaejio hijpanicitm Baubxl. ic. zoo.

57
veficaria. L. * Gallium mollugo. l. *

coronata. L. * uliginofum, L. *

celtica. L. * rubrum. l. *

dentata. L. * fpurium. L. *

rubra l. * filvaticum. L. * (n)

anguftitblia * (lo) paluftre. l. *

iaxatile. * (ii)

IV. TETRASTEMONES. lucidum. * (13)

A. Gymnodispermae. >> ^'

1. Flore piano.

(10) Valeriana rubra angujlifolii Bauh. pin. itfj nullo niodo pro va-
tietate Valerianae latifoliae marinae haberi porert. Sic etiani fpe-
cie inter fe drfFerunt vejicaria , coronata , Rentata.

'{\i) Eft Galium montanum latijoltum ramofum Tourn. infl. iij &
Mifc. Taur. p. 5 1 Galium autem artjiatum L. , €f Galium beri-
cum TuRRA diar. ital. 1J64, p. 11^ tortafTe referri debent ad
Galium filvaticum L. Certe ad hoc pertinet Rubia laevis limfolia
jloribus alhis mantis virginis Bocc. mus. p. 83 t. 75. uti pro-
bat icon a BoccoNE data , & locus oatalis. In collibus enira
Taurinenfibus abundat Galium filvaticum , 8c ex Etruria acca-
pta fpecimina Ruhiae levis Imijoliae ad idem Galium fpedlant.

(i i) Galium joins fents ellipticis, petiolis brevilJimis unijloris Hall. Iiift.
n. 718, & Galium jaxatile fupinum molltvre folio lussi. Acad.
fcien, Paris 1714 ad noftrum Galium pertinent; num eamdeoi
ftirpem inteliigat CI. Linnaeus , dubitari poteft.

!(l3) Galium caule herbaceo,foUis fenis fubulaiis incurvts , fruclibus nigrit
rugofis oblongis mcurvis. Hoc eft Galium foliis fents rigidis ob-
fcure viremitus, jloribus purpurafcentibus e fummo caule prodeun-
tibus enum. nic. p. 4 Nitide , & iplendide tota planta viret.
Folia femiteretia margine revoluto fcabriufculo, fed fcabritie vix
ta(5tu percipienda. Primum fena, deiade 5 aut. 4 folia funt.
Ad radicem valde ramofutn eft , fed rami eriguntur foepius
limplices, panicula fl<4ruc] tertninati. Flores, quos in hoito olim
dedit lubrubentes , nunc albos praebet.

(14) Galium caule fubhgnofo , folus fenis longe ellipticis, rigidis, ferrat»
Mculeatis, fudikus ovatis laevtbus alhefctnttbus. la vineis Saurgii

5* . .

tenuifolium. * (15)

Yalantia muralis. L. *

hifpida. l.

aparioe. L. *

cruciata. l. *

articu'ata. l.

glabra, l. *
a. Fl. infunduliformL
Criicianella Jatitolia. *
Spermacoce tenuior. t.

B. Gymnotetraspermae.

I. Galea plana,
a. Parum fixa.
Mentha vindis. l. *'

gentilis. t.

fylveltris. L. *

piperita, l.

exigua. l. *
Origanum ereticum. e»

onites, t.
Thymus malHchinus. L.

cephaloros. L.

alpinus. L. *

patavinus. L.

piperella. l. *

pannonicus. * {16)
Hyflbpus nepetoides. L.

lophaiuus. L.
i__ Jatureja capitata. L.

nafcitur elegans haec Galii fpecies rore gl'auco obduifta, quo
deterfu lucide viret, non tamen obfcuro atque intenfo virore..
Caules obfcure tetragoDi. Folia longe elliptica , in fine am-
pliora , Sc alba notabili fpina pracdita. Rami ?d angulum le-
d:uui ex caule folent difcedere , evidenter articulatis interoodiis.
Panicula rainos, & caulera teruiinat extremis pedunculis faepe
tnfljris uoo abortiente ; femina prae reliquis liuius generis
magna fordide albefcentia glabra , fed ex magna maturttate
lugas contrahunt. Non eft Galium glaucum L. , cuius folia 11-
nearia funt limgiora , non patcntia, non (errato aculeata , ut
omittatn in Glauco ramos potius tercninari uiiibella floiuin ,.
quain panicula.

(15) Galium herbaceuin procumbens diffufe ramofum, folits fenis lineari-
tus nioUibus , frtt'Bibus nigris rugofis fubiolundis. Galium foliii
fenis rtgidis diflufc rambrum floribus aSis e jummo cauU pro-
dewuibus enum. nic. p. 5 Folia radiatim uiicjue exilant , fed ri-
gida non funt, mollia , Sc flexilia , nitida , fed non fplcnden-
tia linearia, leviter ferruiata cum fpinula , ad ramos faepe
o6tona. Caules acute quadranguli diffufe ramoli , lingulis ra-
mis pauicula fl-aium terminatis. Pedunculi biflori^

ik6] Thymus foliis elUgticis hufuiis Hall. lujl. i}6^

b. Profunde feSa.
Lavandula llaechas. L. *
Syderitis mvontana. l. *

fyriaca. L.

canarienfis. L.

hyflbpitolia. L. *

cretica. L.
Marrubium alyffon. l. *

candidi/Iimun). L.

crifpum. L.
1. Galea concava.
Lamium garganicum. L. *

maculatum. l. *

laevigatum. l. *
Stachys maritima. L.

re£ta. L. *

annua. L. *
Dracocephalon peregrinum.L.

('7)
Tuyfchiana. l. *

virginicum. L.

thymifura. L.

Leonurus tartaricus. l.

fibincus. L.
Phlomis herba venti. L.

niilolii. L.

nepetella l.
Prunella hyffopifolia. l. *
Cleonia luticanica. L.
Prafium majus. l.
Balloca alba. l.

fuaveolens, l.
Betonica alpina. (i8)

danica. (19)
Nepeta nepetella. L. * (lo)

jtalica. L.

tuberofa. l.

violacea. t.

hirfuca. L.

Janata, j.
Meliffa cretica. L.
Horminum virginicum. L.

pyrenaicum. t. *
Scutellaria peregrina. l. (ii)

lateriflora, l,

alpina. h. *

(17) Dracocephalon folils e.x lanceolato linearlbus , rarius dentatls fp'tnu-

lofis fioribus gemellu Martini, Hail. gott. p. }}j,& Mfc. Taur,
p. SI.

(18) Betonica foliis evatis rotunde crenatis , fpica ovata compaBa Hall.

htlt. n. 16 j Betonica foliis hirfutis floritus purpureis ampUJiJimis
Zanon hip. J). ^6 t. JO, 6" Mijc. Taur. p. ji.

•,(19) Bttoiiica maior danica PabJc thef. 6ij.

(io) tatarta tenuifolia Clxts. hiji. xx\iii , & Mlfc. Taur. p. 51.

(11) Lajjida caule quadrangulo rubente teucrti ferrato folio Jl. £acruU»
labro alio Tilu j>is , & Mijt. Taur. f. j i.

6o

3. Galea nulla feu fiore.

unilabiato.

Teucrium campanulatum. l.

hircanicum. l. (13)
iva. L. *
fruticans. L, *
lucidum. L. *
Ajuga orientalis. L..

C MoNANGIAE»

Browalia elata. l.
Scoparia dulcis. L.
Capraria graholoides, l. (14)
Tozzia alpina. L. *
Hebenllretia dentata. L.

D. DiANGIAE..

V. Corolla non labiatcu.
Fiaiuago media, l.
alpina. L. *
indica. l.

*.

maririma. l.

albicans, l. *

lufitanica. l.

■ ferpentina. L. * (25)

Cufcuta europaea.

2. Corolla labiata.

a. Calyce quadrifido.
Euphralia odontites, l, *

lutea. L. *

b. Calyce quinquefido,
Pedicularis tuberofa. l. *

tlammea. l. *
palulbis. L. *
hirfuta. l. *
coraofa. L. *
rortrato fpicata.c. *

Antirrhinum orontium. L.
alpinum.. l. *
arvenfe. L. *
beilidifolium. l. *
fupinum. l. *
aegyptiacum. L.

(26)

(22) Teucrium fupinum palitflre apuliim glabrum foUis laciniatis ft. alhv,
D. Micheiu TiLLl pif. Mifc. Taur. Tom. Jl. p. 5J.

(-2-^) Teucrium foliis cordatis crenatis petwktts , fpicis oblongis denfffimis.

.n.v 1 . tx Hircania Martini Uaix. comm. Gotiing. i-j ^■l^ & Mifc. Taur.
Tom. II. p. j}.

{24) Haec eft Lmdernia a me defctipta Mifc. Taur. Tom. HI. p. 178,
cjuam a Caprariae genere diffdrre demonftravi.

(25) Planiago gramineo folio maior Tourn. infi. iij , quae raihi vi»

detur ab alpina, coronopo. , aliifque diftingueoda.

(26) Celeb. LiWNAEUs noftram , quae clt rojirato fpicata CI. Cranzji,

retert ad incarnatam in fpecicbus plantaruin y fed. notae huic
ulbucae nofti&e adainuQiui iioa leipuadeut.

geni-

geniftifoltum. l. * (27)

elatine. L. *
Scrophularia lucida. L. *

Tambucifolia. L.

fcorodonia. L, *

frutefcens. L.

peregrina. I.. *

auriculata. l.
Digitalis purpurea. L.

obfcura. L.

canarienfis. L.

grandiflora * (18)

parviflora * (19)
Gratiola officinalis, l. *
Erinus alpinus. L. *
Chelone glabra. L.
Martynia annua. L.
Bignonia capreolata. L,
Lantana aculeata. L.
Ruellia clandertina. u

V. PENTASTEMONES.

A. MONOSTYLE.

I. Gymnomonofpermae:

<5i

Sefamuin indicum. L.
Plumbago zeylanica. L.
Bafella alba. l.
Mirabilis longiflora. L. (30)
dichoroma. l.
2. Gymnotetrafpermae,

a. S^uamulis in fauce,
Anchuld fempervirens. L.

unduiata. l.

anguftifolia. L. *
Borago officinalis, t.

indica. l.

africana. l.
C^noglolTum cheirifolium. £.

apenninum. l.

virginicum. L.

b. Fauce nuda.
Pulmonaria officinalis. L. *

anguftifolia. l. *
Cerinthe major, l. *
Onofma echioides. l. *
EchiuHi creticum. L. *

violaceum. l.
Heliotropium peruvianum. L»
Myofotis nana * (}i)'

(17) Gcnijlifoltum ab antirrhino linaria vere diffeirre non puto^
418) Digitalis lutea magna jlore Bauh. pin. 244.

(19) Digitalis jlore minore jublutto angulhoTe folio. Bwa, hijl. 11. p. 814*
Hae duae Hirpes revera inter fe ditFerunt , ita ut duas di«

fiinttas fpecies coodituant, ficuti \QOiG monet in hijioria plan-

tarum Celeb. Halleb..
•{id) Mirabilis foliis vtfcidis villous, tubo fioris cylindrico villofo folds Ion*

giore ZiNN. comm. gotting. Tom. 1^. , & Mifc. Taur.p. ,4.
(31) Echium fcorpicidts alpinum nanum fupmum Bocc. mus. pag. 145P

T. 107.

Mifc. Tour. Tom, V.. %

6i

3. Monangiae.

Vinca rofea t.

a. Valvis duabus.

Datura metel l.

Anagallis latifolia. L.

faftuofa L. (35)

Menyanthes nymphoides. L. *

ferox L.

b. Valvis quinque.

Hyofcyamus aureus L.

Soldanella alpiiia. l. *

Nicoiiana ruftica l.

Androface maxima. L.

glutinofa L.

laftea. L. *

fruticofa L.

Diapenfia helvetica L. * (j i)

Verbafcum arfturus l.

Aretia alpina l. *

thapfoides l. *

punftata. * (n)

Ipomea pes tigridis L.

Azalea procumbens L. *

tamnifolia t.

Hottonia paluilris l. *

violacea l.

Cortufa matthioli L. *

bona nox l.

Coris monfpelienfis l. *

lacunofa l.

c. Valvis decern.

tuberofa l.

Primula farinofa t. *

curaflavica. (36)

hirfuta. * (34)

Evolvulus alfinoides l.

Lyfimachia ephemeron l.

linifolius l.

linum ftellatum L. *

J. Tri-aut Pentangiae.

tiemorum L. *

Convolvulus lineatus l. (37)

4. Diangiae.

cantabrica L. * •

Spieelia anthelmia L.

fcammonia l.

(ji) Diaptnjia helvetica L. cum Androface la3ea omnino ad Aretiae

genus pertiaent.
(33) Aretia foliis crajjis rugojts gramineis , fcapis muhifloris Wkll. hifi.

n. 61^ t. 17.
(34.) Primula foUis ciliatis dentatis , fcapo paucifloro Hall. hifl. n. 61 j.
(jj) Stramonium aegyptiacurnfiore plena tntus albo forii violaeeo ToURHEr.

in ft. /». I 1 8 Mifc. Taur. Tom. II. p. 55.
(36) Convolvulus fcammonii folio fubroiundo Aore albo umione nigra cil

rajfavicus HtRM. par. bat, cat. p. 6.
^37) Convolvulus ferpens maritimus fpicaefolim TBSVttf. obf. p. 91 ,

Mijc. Taur. £> ;j.

umbellatus L.

fbldanella L.

cneorum L.

purpureus L.

batatas L.

pes caprae L.

carolinus L.

jalapa l.
Lobelia cardinalis L.

fiphilitica L.

inflata l.

urens L.
Jafione montana L. *
Phyteuma hemifphaerica L. *

orbicularis L. *

pauciflora L. *

fcheuchreri. * (38)
Campanula perfoliata l.

hybrida L. *

rapunculoides l.*
rotunditolia L. *
medium l. * (39)
cervicaria l. *
pyramidalis l.
elatines l. *
cenifia l. *
alpeftris. * (40)
rhomboidalis L. *
petraea l. (41)
barbata L. *

Trachelium caeruleum l.

Polemonium caeruleum. L.
6. Fruclu pulpofo.

Atropa zanoni. (41)

Nolana proftrata l.

Solanum mammofum t.
verbafcifoliura L.
fan6lura L.

63

(3 8) Rapuneulus foliis imis lortge petiolatis cauUnis lineariias integris ;
bracleis lincanbus duatui imts longijjims Hall. hill, n, 68i ,
fed ad haDC Rapunculi fpeciem con pettioet Rapuntulus alpi-
nus cacrultus angujio raro fuiinde diniato folio Michelii Hon,
Ptf. , & Florent. p. 40 , £■ Feudinandi Bassii Comm. Bonon.
Tom. IK p. i%<) t. I /. 2.

(39) Campanula hortenjis folio , & Jlore oblongo Bavh. pin. 94 Mifc.

Taur. />. 55 olim a CI. Linnaeo cum barbata coniuodla.

(40) Campanula foliis hifpidis , caulc unijloro. Spec. p. Z t. & f. z .

Hanc pro variutate barbatae habet CI. Haller.
1(41) Campanulae glomcratae JD/ignis varietas videtur. Ex M. Baldo m
Hortum TauriDeDfem illata planta viva, &c culta glomeratac
oninino fimilis evafit.

(41) Solanum fpinis carens, mtlongcnae facie, fruclu rotundo Zanon. hift.

T. 15! Calyx, flos , & fruiftus , qui eft poinum biloculaie,
iubent, ad mandragorac genus plaatam banc levocaie*

i 7-

^4

panlculatiim t,
carolinenfe L.
radicans l.

virginianum L.

aethiopicum l.

fufcatum L.

guineenfe L.

diphyllum L.

trilobatum L.

melanocerafum. (43)

inianum L.

caplicoides. (44)
Phyfalis pruinofa l. (45)

vifcola L;
Capficum frutefcens L.

baccatum l.
Lonicera caerulea l. *

pyrenaica L. *

alpigena l. *
Lycium barbarum l.
Rhamnus frangula l. *

alaternus L. *

alpinus l. *
Sideroxylon fpinofum L.

B. Distylae.
Gentiana lutea l. *

cruciata l.

punOiata L.

pneumonanthe :

acaulis l. *

verna l. *

bavarica l. *
Swertia perennis L.
Stapelia variegata L.

*

(43) Solanum guineenfe friiUu magna inflar cerafi DlLL. elth. ^G. Haec

folani fpecies in vulgare nigrum . cultura numquanV abit ab
eo diftindla. Dixi melanocerafum, ut guineenfe nomen triviale
alteri rtirpi aflignatum lervarem.

(44) Solanum caule acukato fruticofo , joliis pilofis , ovatis finuato lobatis,

pedunculis unifloris. Elegantis huius folani , cuius nullam apud
Auclores mentionem video, fcraina ad me uiifiTa hoc anno fua-
runt a CI. Guatteri Parmenfi bot. Prcf. fub nomine folani
capfcoidis ex h. Patavino. Tota planta fpinofa eft caule, foliis,
ramis, petiolis, peduoculis , & calyce. Caules rotundi ramofi
faepe longis tenuibui'cjus pilis inlUu(5ti. Folia lucide virent &C
iuniora unditjue pilofa , fubtus aculeata ; lupra ad coftan) unam
alteramciue fpinulam habent. Fk,s albus patens, non tamen rota-
tus, magnus, pendulus, quern fecjuitur magaus fruClus laevis
cioceus ; e caule infra folium unus aut alter pedunculus nafci
folet.
44j) Alkekengi barbadenfe nanum alliariae foliis Dill. «Zf A. p. 10,^
MjJc Tour. p. j6.

hirfuta L.
Cynanchum monfpeliacum L.

aphyllum L.
Afclepias nigra L.

nivea L.

VI. HEXASTEMONES.

Aloe carinata (46)

Verucofofpinofa (47)

fuccotrina. (48)

maculata. (49)

glauca. (50)

margaritifera L. (5 1)
Hyacinthus mufcari.

comofus L. *

ferotinus L.

botiyoides L. *
Aiphodelus luteus L.

fillulofus L.

ramoius L. *

^5

Convallaria bifolia L. *

Dracaena draco L.
Ariftolochia longa.

VII. OCTOSTEMONES.

Daphne gnidium L. *
Diofpyros virginiana L.
Vaccinium oxycoccos L.

myrtillus L. *

vitis idaea L.

uliginofum L.

VIII. ENNEASTEMONES

Rheum compa£lum L.

IX. DECASTEMONES.

Cotyledon orbiculata t.
Jatropha goffypifolia L.

curcas L.
Adoxa mofchatellina L. *

*
*

(4(5) ^loe Jfricana feffilis foliis carinatis verrucous Dill. ehh. p. i©.

(47) ^loe Ajricana humtlis, Jpmis mermibuSi & verrucojis ol>(ita Coaim.

prae/. p. 77.

(48) Aloe fuccctrina angujlifoita jl. purpurea Comfn. hort. 1, p. 91.
(451) '4ioe Ajncana cakjuns joins Jpinofis , maculis ab utraque parte

albicantibus notatts Coirni]. hort. 11 p. 9.
(50) jitoe Afrtcana joins glaucis margine , & dorji pane fuperiore fpi-

nojis jl. Tuhro Couini. prael. p. 7).
(ji) Aloe -l\ncana jolio in jummkate triangulari margaritifera flora

jubvirtJi Conim. hort. 11 p. .0.

Pio varietatibus aliaruin aloes fpeciebus habef CI. Linnaeus,

fed mihi videntur conllanti foliorum tornia , habiai atque ciiarn

flonbus diftiniflae fpecies , quas ia Horto Gottingenfi diftinxit

CI. Haller.

66

Anacardium occidentale L.
Arbutus unedo L. *

uva urf) L. *

alpina L. *

X. POLYSTEMONES.

Mimofa plena L.

afperata L.

calta L.

nilotica L.

arborea L.
Poterium fanguiforba L. *

hybridum L.

fpmofum L.
Styrax officinale L. *

CL4SSIS II.

Plantae flore monopetalo
flofculofo.

I.ANTHERIS DiSJUNCTIS

Dipfdcus fativus.
Scabiofa cretica L.

ucranica L. (51)

tranfylvanica L. *

prolitera L.

gramuntia L.

afiicana L.

filvatica L. *

palaelbna L.

marilandica. (5 })
Globularia cordifoiia L. *

alypum l. *

nudicaulis L. *
Cephalanthus occidentalis L,

(ji) Scabiofa folils planis carnojli, inferior Ibus pinnatis, ramorum integer-
Tunis Uncaribus Gmsl. lib. 11. p. iij , 6> Mifc. Taur. p. )S.

(53) Hue nomine ex Anglia primum, deinde etiam ab amico optimo
lull. Marsilli Bot. Prof. Patavino miffa fcabiofa eft diffufe ra-
iDofa limilis ucranicae , fed ab ea vere differens. Humilior eft
foliaijue habet omnia pinnata. Flores uniformes vix inaequales
fegnicntis eredtis , quinquefidi , brcviores calyce flotis , qui
petiolatus eft in quioque ariftas rigidas rubentes florem fupe-
rantes divifus. Calix frudui-.iniuiediate impofitus menibranaceus
planus J dentatus , & denfibus looge aiiftatis. Eft ne fcabiofa
divancata Ci. Jacquin io horto Vindobonenfi ? Decernera non
licet cum fpleniiidum hoc opus nondum poflideam. Noftrae fe-
minibus respondent feiaina ab hoc lUuftri viro fub hoc no-
mine accepta, quae in horto fata noa germia^runt.

Parthenlum hyfterophorus L.
Ambrofia trifida L.

elatior L.

maritima L. *

peruviana. (^4)
Xanthium ftrumarium L. *

II. ANTHERIS COALITIS.

A. Capitatae.

Sphaeranthus indicus L.
Onopordon arabicum L.

acaulon l.
Cynara liumilis L.

cardunculus-L.
Arftium carduehs L.
Carduus fyriacus L.

palultris L. *

tuberofus L. *

tataricus L. *

cafabonae l.

ferratuloides l. *

acau'Is L. *

defloratus l. *
pyrenaicus L. *
erifithales j. *
5errarula glauca l.
coronata l. *

centauroides L.

babylonica L.
Carthamus lanarus L. *
Atraftylis cancellata l. *
Cnicus cernuus l.

oleraceus l. *
Carlina acanthifolia. *

^ lanata l. *
Centaurea glaftifolia l.

orientalis l.

phrygia l. *

argentea l.

ficula L.

^lendens l. *

alpina l. *

nigra L. *

67

(5 5)

(j4) Ambropa caule perenni fruticofo , folus fubtus tomenrofs b'lp'in-
natis , pinnulis pinnatifiJis , exterionbus majoribus. Jjqi dcceca
abhinc annis io h. T. vivit fragraDtiffima haec Ambrofiae
fpecies , cujus femina Ambrojiae peruvianae nomiDe traofiiiilit
CI. Bernardus lufliaeus.

(jj) Carlina acaulis foliis tomentofis femipinnatis , plicatis , pinnis femi
bilobis pungentibus. In alpibus valdeolium frequcns eft liaec
Carlinae fpecies Acaulis uniflora, magoum habei s florem, cu-
ius lucidae fquamae albae fuot. Folia onopordi. Ejus int^gratn
^defciiptionein dabo in Enucc. Hirpium I'edeaiooiii. Necju 1 ctTe
pyrcnatca l., cui CI. Au6l:oi caulem ciibuit multifloium, atque
folia decuiientia.

6i

fempervirens L. *
rhapoiitica L. *
cineraria L.
conifera L. *
amara L. *
beneditta L.
uniflura L. *
lippi L.
pullata L.
triumfetti (56):
tingitana L.

B. DiSCOlDEAE.

t'

I. Semine nudo.
Carpefium cernuum L. *
Tanacetura crichmitolium L,
Cotula grandis L.

turbinata L>

aurea L.
Artemifia arborefcens L.* (5 7)

annua L.

rupellris L. *

glacialis L. *

cnthmifoiia L.

valleliaca * (jS)

• . lobelii * (59)
Filago germanica L. *

leontopodium L, *
2. Semine pappis coronato.
Gnaphalium lyivancutn L. *

onentale L.

undulatum L.

luteo-atbum l. *

obtuiifolioin L.

uliginolum L. *

fupinum L. *

alpinurn L. *
Chryfocoma linofyris L. *

coma aurea^ L.

cernua L,
Eupatorium Chinenfe L,
Conyza fquarrofa L. *

laxatilis L. *

rupeltris L,
Bacchans ivaefolia L.
Tuililago alpma L. *

fiigida L. *

alba L. *
3. Sem. arijiis coronato,
Ageiaium ahiliimum L.

(j6) Cyanus alpinus maior folds incljis Triumf. oif. p. 16. A Centaur ta
montana differt non uiodo t'oliis conllanter protunde pinnatiri-
dis; veruni etiaui ciliis fquauiaruin albis , quae nigra in mori'
tana fuat.

^^7^ Af^jinthium arborefcens Lob. ic. 75 J , & Mifc. Taur. p. 58.

(j8) Anemifia folits tomentofis muitifidis , Jloribus ereciis ionge ,fpicatis
pent fej^ibui Hall, hifl, n. ii8.

Jj>) Abrotanum odoratum humUc denfe fruticofum LoB» it. 7^9;

cony-

conyzoides L,
Xeranthemum annuum L. *
Bidens bullata L. * (60)
Spilanthus oleraceus t.
Aihanafia annual..

crithmifolia L.

C. Radiatae.

1, Sent. nudo.
a. Placenta paUacea.
Helianthus tuberofus L.

divaricatus L.
Buphthalmum aquaticum L.
Ipinofum L, *
maritimum L. *

($9

. falicifolium L. *
Silphium perfoliaium L.

akernifolium. (61)
Siegeibeckia occidentalis L.
Achillea magna L. *

macrophylla L.

erba rotta. * (6i)

atrata. *

liguftica. * (63).
Anthemis cota L.

cotula L. *

valentina L.
Anacyclus valenrinus L. *"'

creticus L.
b. Placenta nuda.-

{60) Bidens foliis ovatis , & tr'ipteris, caulibus kirds- brachlatis Hall, gott.-
p. 38}., & Mifc. Taur. p. 59.

{61) Silphium foliis alternis, ovatis , finuatodentatis,fubtus afperis , radica-
titus longi(pme petiolatis. Altitudine fua , & florendi forma ad
perfoliatum accedit , fed pluribus differt , quod ad frudificas-
tionem fimile. Seniiflofculos habet aureos bidentatos, & ca-
lycem floiis ex fquauiis triiim ordinmn omni ex parte appref-
fis, cum in perfoliato duorum ordinum fint, & in fummo fo-
lutae, & reflexae. Caulis in akernifolto teres glaber : femina
radii in alternifoUo duabus ariAis iDlhu(fba.

{61) Achillea foliis cuneiformibus , integris odoratis , in apice dtntotis fpec-
pedem. Tom. 11. f. 4.

{6}) Achillea foliis pinnatis , pinnis acute pinnato dentatis , planis , gla*
bris. Id maritimis Ligutiae provenit perennis haec achilleae fpe-
cies. Caules funt fublignofi, cubitales, foliofi , & ratnofi, (triati,
glabri aut fubhirfuti. Folia caulina , & maiora pinnata pinnulis
aequaliter cum nerve confluentlbus ; ramea fiaipliciter pinna-
to dentata . dentibus plerumque floiplicibus , qui in caulinij
maioribus faepe dentem unum acceffotium habeat. Flores ia
extremis ramis umbellati albi. Semiflofculi aibi tridentati coir
dati. Odore veliementi Atlidlae agerati donatux.
Mifc, Taur. Tom. F,. Jtu

70

Milleria quliiqiieflora L^
Othonna cheirifoHa L.
Polymnia uvedalia L.
Calendula pluvialis L.

hybrida L,
Chryfanthemum alpinum t. *

millefoliatum l.

italicum L. (64)
1. Sem. pappis coronaio.
After amcllus l. *

tenellus L.

acris L. *

divaiicatus L.

annuus L.

radefcanti L.
Inula crithmifolia L. *

falicina L. *

montana L, * (65)

bifrons L. *

oculus chrilH L. *
Erigeron bonarienfe L.

acre L. *

phyladelphicum L.

ficulum L.

alpinum l. *

vifcofum L. *

foetidum.

Seneclo aegj^ptius L,

doria L.

vifcofus L. *

doronicum L. *

elegans l.

fylvaticus L. *

lividus L,

byzantinus L.

(iculus. (66)
Solidago uniflora. * (67)

flexuofa L.

alpina L. *
Arnica montana L. *

fcorpioides L. *

clufii. * (68)
Doronicum bellidaJlrum L. *

3. Sem, arijlis coronato.
Ar6lotis triftis L.
Zinnia multiflora L.

pauciflora L.
Verbefina alata l.

pfeudoacmella L.

acmella l.

nodiflora L.
Coreopfis leucanthema L.

bid ens L. '^^

tripteris L.

((J4) Chryfanthemum haiicum LiNN, Jill. nat. n. \o , & Ckryfanihemum
achdleae n. ii UGnm , iJc eaindem ftirpem conftituunt.

(65) AJler montanus lurfiuus Lob. ic. 350, & Mifc. Tuur. p. Co.

(66) lacobea (icula chryfanthemi fade Bocc. rar. p. 66.

{6-} Solidago foliis tome/itofs ovatis , iS" femipinnatis Hall, hif, n. 70.
(68) Arnica joliis ovatis altcrnis integernmis Hall, hfi. n. pi.

7«

laticeolata L. paludofum L. *

-. „ villofum L. *

D. Planipetalae. • u j * /^ \

cerinthoidcs. (69)

I. Sem. nudo. glaucum * (70)

a. PLicenta. nuda. Uaticifolium * (71)
Lapfana zacintlia L. * taraxaci l. *

b. Placenta paleacea. inrybaceum. * (71)
Scolymus hifpanicus L. * Crcpis libirica L.

z.Sem.pap.autariJliscoronato, alpina L. *

a. PLicenta iiuda. rubra L.

Leoiuodon hirtum L. * biennis L, *

Hieracium aurantiacum L. * pulchra L, *

dubiuiii L. * diofcoridis L. *

kvilmi L. auftriaca L. * (73)

fabaudum L. * Hycferis hedypnois L.

((jp) Vere difFert a Hieracio vlllofo I. cui caeteroquin fimile eft. Fo-
lioruin Superior iupeificies glabra, &c io ambitu taotum pilofa
Calyx fere calyculatus, ex fquan is linearibus aciitis in apice
conipofitus, nigris brcvibus deDdfque pilis hir tus , non habens
viljum rericcuiii , uti Hieracium villofum l.

(70) Hieracium joins lanceolatis glaucis , cauU brachiato multijloro Hall.

em. II D. 9(J. A fequenti omuino eft diftinguendum, folia loQ-
gidime elliptica acuto fine, glauca, obiter denticulata, ambitu,
& cofta pilofa. Calyx ovatus, ex fcjuamis multorum ordinuca
deofe appreflis, viridibus , in ambitu tomento albicaotibus: fe*
mina aliquantuin incurva, oblonga, ftriata, coronata pappo fim-
plici fclTiii.

(71) A porrifolio L. , & glauco feparandum. Porrifold iconem. Si

defijf'ptioneDi dedit CI. Iacqiun. StaticifoHum folia habet re-
mote , et obiter denticulata, concava , fere linearia , nunquatn
pik'.fa. Rami , & pedunculi fatis fLjuamofi. Calyx calyculatus ad
ba(im , lc]uamis parvis fere capillaribcs. Calyx verus e unico
ordioe fquamarum viridium dorfo obfcurius vixente.

(71) Flieracium fotiis cblongis , afperis , lanceolatis, dentatis, calyce hir^
futiffmo Hall. hijl. n. 41.

(7j) 4/' Hieracium Pyrenaicum L. /?. 7- •5",

*
*

7»

radiata L.

cretica L. *

fcabra L.

lucida L.
Sonchus paluftris l.

tenerrimus L. "*

alpinus l,

arvenliis L.

floridanus L.
Prenanthes purpurea L, *

altiffima jl.
Laftuca canadenfis L.

fcariola L. *

faligna JL. *

augurtana, * (74)
Scorzonera picroides L. *

graminifolia L.
Tragopogon picroides L,

porrifolium L. *

crocifoliuoi L. *

dalechampii l. *

lanatum L.
Geropogon glabrum L. *

hirlutum t. *
b. Placenta fquamis diftincla.
Seriola aedineniis L. *
Hypochaeris radicata L. *
Catananche luiea L.

c. Placenta villofa.
Andryala integrifolia L. *
{inuata L.
lanata l. *

CLASSIS III.

Plantae flore dipetalo.

-Circaea alpina L. *
Callitriche verna L. *

autumnalis l. *
Mufa paradiftaca L.

CLASSIS IV.

Plantae flore tripetalo.

Commelina erefta l.

comnnunis L.
Phoenix datlylifera L.
Hydrocharis morfus ranae. l.*'
Stratiotes abides L.
Alifma parnaffifolia L. *

ranunculoides L. *
Sagittaria fdgittifolia L. *
Triglochin paluftre L.
Empetrum nigrum L.

*
*

((74) Latluca foliis intcgr'is , dentatis , acute hamatis , cofla laevi. Nafci-
tur in valle Augujlae praetoriae. Nifi fuerlt Lacluca longo , &
valde anguflo folio Bauh. hifl. ii. p. 999. 6ive Lacluca folio
oblongo , acuto Bauh. pin. 1 15. non memoratur, /«</ Bauinorum
iicvis defciiptio, Ss. icon ojuaino non refpoadent.

I

CLASSIS V.

Plantae flore tetrapetalo
cruciformi.

I. TETRASTEMONES.

Ptelca vifcofa l.

trifoliata l.
Cornus luccica L.
Potamogeton compreffum L.*

gramineum l, *

perfoliatum L. *

denfum L. *
Trapa natans l. *
Oldenlandia corymbofa.
Ludwigia alternifolia h.

II. HEXASTEMONES.

A. SiLICULOSAE.

Draba aizoides t. *

*
*
*

pyrenaica l. *

hirta L, * (75)

muralis L. * (76)
Lunaria annua l.
Myagrum orientale l,

paniculatum L.

perenne l.

rugofum L.

faxatile l.
Vella frutefcens L.

annua l.
Iberis rotundifolia L. *

faxatilis l. *

pinnata L. *

cretica L,

garexiana * (77)
Alyffum ufriculatum l.

gemonenfe L.

alpeftre L. * (78)

campeftre l. *

argenteum * (79)
Clypeola maritima L. *

73

(7j) Ad banc ftirpem referendae funt Dreba aujlriaca i.., Jlcllata, k-
cana L. , & Oed. ic. 141. Folia enim pro locorum varietate
modo iDtegerrinia funt, hirfuta, ant tomentofa ; alias autem
ampliora , pene glabra , & dentata.

(76) Myagroides fubrotundis ferratis foliis , fi. albo Barrel, ic. %i6.

(77) Ibtns perennis foliis lincaribus , obtufis , inlegerrimis.

(78) Clypeola perennis incand , foliis fubrotundis, calyce deciduo , filiculis

ovato acutts Mfc. Taur. p. 61. jj.

(79) •^(x//""' argenteo folio , fiofculis luteis , Zan. hip. p. i6. Differt

ab ^lyfjo montano , cui proximuin eft , caule annuo raniofo,
habitu ramofo ere<fto , foliis fupra viridibus , petalis ovatis
Don inciiis, frudu fubiotuudo piano sob eraarginato, feoiino

7*

Peltaria alliacea l. *

Cochlearia druba L. *
Lepidium ruderale L. *

virginicum L.

alpinum L. *

perfoliatum L.

petraeum L. *
. ipinofum a. (8o)

cardamines L.
Thlafpi perfoliatum L. *

montanum L. *

alpellre L, *
B.fcutella auriculata L. *

didyma L. *
Anaftatica hierochuntica L.
Bunias cakile L. *

aegyptiaca L.

balearica L.

B. SlLIQUOSAE.

Ifatis kruanica u

Ricotia aegyptiaca L. (8i)
Dentaria pentapliyllos L. *

bulbifera L. *
Sinapis laevigata L. *

pubefcens h,

erucoides L.

brafficata L.

juiicea L.

pyrenaica L, *

incana L.

orientalis.
Brailica erucaftrum L. *

eruca L. *

alpina L. *
Arabis 'alpina L. *

pendula L.

turrita L. *

canadeniis L.

bellidifolia L. *

caerulea. * (82,)

fcabra. * (S3)

margiaato mcmbrana phaenicea , piano. j4lp(j{re autem humilius
argenteo eft, & dccumbit, attjue perenne clt cauliculis pluri-
tnis (iiiiplicibus , habet folia aiagis lotunda , filiquam ovato
acutam drabae inftar , aIi<^uantuQi tLimentcui , ftimina nou mar-
ginata.

(So) Ellue Lepidium didymum L. ?

(8i) Lunar'ta folds pinnaiis, folioUs laclniatis , ROT. Leid. )}., tt Mifc,
Taur, II. p. (ji. n. 57.

(8i) Leucojum join oblongis , dmtatis , fpica nutante Hall. hill. 445.
Tuni bacc, cuai bellidit'olia ad Arabis genus nou videntur per-
tiueie.

(8j) Arabis muhicauUs folds radicalibus , fcabris , dentatis , dentibus ci-
iiatis. Hall. hi^. n. 4jj.

Cardamine impatlens L. *

parviflora L. *

refedifolia L. *

afarifolia L. *

amara L. *

bellidifolia L. *
Hefperis africana L.

triftis L.
Cheirantus feneftralis 1.

chius L.

annuus L.

(inuatus L. *

alpinus L. *

75

filveftris c.
triftis L

? *

(84)

Eryfimum officinale L. *

barbarea L. *

repandum L.
Sifymbrium polyceratium L.

tenuifoliiim L. *

fylvertre L. *

onentale L.

pyrenaicum L.

monenfe L. *

palujlre L. *

terrepre L.

murale L. *
.barbareae L.

locfelii L.
Cleome dodecandra L.

violacea l.

pentaphylla L.

arabica L.

gigantea L.
Glediiia triacanthos

mermis L.

L.

III. OCTOSTEMONES.

Oenothera parviflora L.

fruticofa L.

piimila L.
Gaura biennis L.
Ruta chdiepenfis L.
Moerhingia mufcofa L. *

(84) Cheiranthus caule ramofo , diffiifo , foliis Unearibus actttls ,
Jinnaio dematis , pnalis lincanbus crifpis. Totaplanta afpe-
riufcula eft cinereo incana, & caulibus ranioiis fere de-
cunibit. Folia fuot concava duobus , aut tribus dentiiim pa-
ribus pincaca , Sc liuuata, ramea uno alterove dente ootantur,
demuai intsgerriina. Rami in longo racemo flirigeri floribus
alterais feffihbus. Calyx tubulolus connivens duobus tolii)lis
ball gibbis. Petala linearia apice emarginata fulphurco viridia
per autateni Juride putpurafceutia venofa venis fufcis , margi-
ne cril'pOj denriculato. 6iliqua rotunda, torofula , praelonga
apice craflTiori, ftigmatis dividone rancum lignata. Eft ne verc
Cheiranthus trijiti l. iigd noftor oodu non trillem , fed gratum
odorem exhalat, qui accedit ad Gerauii triftis fragraatiam.

7-6

Sapiiid'us faponaria L..
Elatine alfinailrum. *
Myriophylium verticillatumL.*
fpicatum L. *

IV. POLYSTEMONES.

A. MONOSTYLAE.

Euphorbia peplis L. *'

deuclroides L. *

characias L. *

pithyufa l. *

exigua l. *

paralias L. *

epithymoides L.

portlandica L.

linifolia. (85)
Papaver cambficum L.

argemene l. *

B. POLYSTYLAE.

Tormentilla reptans L.
Thaliftrum cornuti L.

{implex L. *
Glematis viiicella l.

CLASSIS VI.

Plantae flore tetra-aut

pentapetalo papi-

lionaceo.

r. TETRAPETALAE.

A. Hexantherae.,
Fuinaria veficaria l.

B. OCTANTHERAE.

Polygala chamaebuxus L. *

C» Decantherae.

I. Unilocular es:
Trifoliuni incariiatum l. *
melil. credca l.
melitotus indica l. *
melitotus minima. (86)
refupinatum L. *
alpeltre L. *
fubterraneum l. *
aJpinum L. *
fragiferum l. *
ftellatum l. *
ochroleucum L. *'
apulum. (87)

(8j) Tithymalus lini folio maior Italicus Barrel, ic. 8zi.

(86) Melitotus minima, recla Itaea , filiquis crajjis , curtis in capitulam-

congejlis , femine foenugraeci MoR. ox. n. f. 17./ 9.

(87) Trifolium annuum apulum rotundifoliun glairum , foliis alia ma-

cula notaiis,fi. purpurafunu, calycc yejicario Tilia Pis. ■ tab. ^^.

faxacile

Eixatife. (88)
Lotus j.;Cobaeus L.

crericus L.

arabicus l,

peregiinus L. *

angultiflimus L,

maritimus L.

filiquofus'L. *
Arachis hypogaea L.
Anthyllis monrana L.

cytifoides L.
Medicago marina L.

circinata L.

laciniata l.

arborea L.

tmiricata L. *
Ononis fruticofa. L.

miriuriflima L. *
cheileri L. *
crifpa L.
foetens* (89)
columnae * (90)
vifcofa L.
alpina * (91)

Cytifus. feffilifolius L. *
cajan L. .
hiifutus L. *
argenteus l. *
nigricans L, *
fupinus L. *
auitriacus L.

Genifla canarienfis L.
germanica L, *
candicans l. *

11

(88), Trifolium faxatiU hirfutijjlmum Bauh. prodr. 143. Ex radice caules
plures ramoli procuuibeotcs triuai , aut quatuor unciarum lon-
giiuJioe . Foliorum vaginae ftriatae amplexicaules caudatae.
Foliola ex ovatis cxiriata , emarginata, nervofa , deaticolata
fubtus fubincana. Capicula Horum axillaria , & termioalia ,
laxa ; calyces molli , & deufo tomento tedi, Don ioflati, dentibus
redlis , oon rcfl:xis. Nafcitur in fuuimis alpibus Tarantallae.

(8^) Snort's fpinis carens purpurea Bauh. 'pm. jij. Anoms non fpincfu
Clus. Conftamer ineruiis, ramis, & calyce praefertitn muitum
villi Us. Folia moilia , fubtiliter piiofa. Ramos fpica florum ter-
minat. Flores gcmini pciiolati; fi udtus calyce brevior fairfutiflU-
mus. Vexillutji ri.fljxuui teie planum, carina angulo obtufo in-
flexa . In ononid-j vulgari ftipulae looge minorcs, hamatae;
frudus minus liirfutus calyce- longior , carina floris ad anguluiB
redtum irfl.xa. Flores folitarii.

(90) Onons luua ■(ilvcjlns minima CoL. ecphr. i. p. J04.

(<)i) Ononis glabra inermis^ vagtnis foUorum criftatis, pedunculii longjji-
mis unifier IS J pa- p'd T. JC, j, 3.
Mifc. iaur. Tom. V, \.

fagittalis. L. *

fibirica. (91)

hypericifolia L. *

radiata l. *
Phafeolus maximus L.

radiatus L.

farinofus l.
Dolichos biflorus L.

lignofus L.

unguiculatus L.

minimus L.
•Hedyfarum coronarium L. *

caput galli L. *

maculatum L.

junceum L.

alpinum L. * (93)

canefcens l.

hirtura l.

gangeticum l.
^icia pififormis l. *

onobrichioides L. *

lathyroides L. *

hybrida L.

biennis L.

fepiu

m L.

cracca l.

bith)'

nica L.

Ervum monanthos L.

Orobus pyrenalcus L *
Laihyrus angulatus L. *

hiifutus L. *

fylveftris L. *

tuberofus L. *

fetifolius L. *

odoratus l,

annuus x.

palullris L.

heterophillus L. *
Pifum ochrus L, *

arvenfe l. *
Colutea frutefcens l.

perennans j.
Indigofera pforaioides L.

glabra L.
Erythrina crifta galli. L.

corallodendrum L.
Abrus precatorius L.
AFlchinomene lesban. »J„
Crotalaria retufa L.

verrucola l.

incana l.

juncea L.

albn L
Clitoria ternatea L.
Coronilla cretica l.

argeniea l.

(91) Indicatur in CataJ. plantarutn liorti Turicenfis. Videtur difFerre a
Genitla tmcloria t. caule percnni , trutii.ofo , 5. aut etiani lex
pedum altitudinecn habeote.

(9.;) Hedyfarum alpinum , & otfcurum t. unam j eatndemciue plactam
cunftituunt.

L.

*

glauca L.

juncea L.

minima L. *

valenrina L.
Oinithopus fcorpioi-les L. *

compreffus L. *

perpufillus L.
Hippocrepis comofa

multifiliquofa L.
Lupinus varius L.

luteus L.
Scorpiurus vermiculata L. *

muricata L.*
Phaca alpina L. *

aultralis L. *
2 . BilocuUres.
Aftragalus fulcatus t.

campertris L. *

tragacaiiiha L. * (94)

monfpeflulanus L. *

boeticiis L.

hamofus L. *

galegiformis L.

cicer L. *

felameus L.-

onobrichis L. *
microphy'Ius L. *
contortuplicatus L,
alpinus L. *
depreffus L. *

II. PENTAPETALAE.

Sparrium fpinofum L. *
Plbralea pinnata l.

glandulofa L.

paleftiiia B. (95)
Cercis canadenfis l,
Anagyris foetida L. *
CaJlid obtulifolia l,

manlandica L.

tora L.

niftitans L.

emarginata t.

ligultnna L.

planililiqua L.
Poinciana puicherrirna L.

79

(94) Trapacantham, quae ad maris litus nafcitur, eamdcm cum a/jswtf
plantain efle CI. viri afticcnant. Nolleni ab his fummis viris
diirentire , cuai ood liceat illius cum nollrare part'cdta fpeci-
cimina comparare ; reperio folia mariumx fciicca cffe , noa
hi.futa, minora, & fubrotuoda.

X95) Njvaiii banc pforaUae rpccierii debeo praeltanii , & amicillimo-
viro FiRDiNANDo Bassio , cjul eaui in Commentarus Bononuri'
fil/us dcfwiiplit.

1 X

8o

CLASSIS VII.

Plantae flore pentapetalo,
& Gymnodifpermae.

A. SEM. AD PLACENTAM
COMMUNEM CON-

JUNCTiS.

Eryngium amethyftiiuim L. *
alpinum L.*

B. Manifesta umbella.

I. Scm. gibbu-flriads.

a. Pdialis aequj-libus.
Phellandrium muteliina i.. *

aquaticum L. *
Bunium bulbocadanum l. *
Ligufticum peregrinum l. *

nocliflorum * C96)

ferulaceum * (97)
Sium nodiflorum L. *

latifolium L. *
Sifon ammi L.

fegetum L.

amomum L. *
Cicura virofa L.
Aneihum pufillum. (98)
Cuminiim cyminum L.
Selinum filveitre L. *

paluflre L. *

carvifolia L. *

moiinieri x,.
Bupleurum odontites L. '

rotundifolium L. *

ranunculoides L. *

itellafum l. *

fruticofura L.

(^6) Angelica alpina ad nodos florida Tourn. infl. jij,
(97) Ligujlicum alpinum ptrennt ferulae foUo , jlonbus albis Segu. Veron.
11. p. 41. Nodracn flirpem accurate r^fert icon. c). Seouierii,
atcjue confentit defcriptio. Involucrum autem univerfale habere
negat cl. Seguier.., fed cum facile caduca fint, verifiaiile eft
illud praeftantem hunc Virum idcirco non adnotafle . Habet
auteui involucrum univerfale , &c partlculare. Frudlus tribus
iCoftis acutis, femialatis in dorfo percuiritur. Z./^«/'//6«/n Seguieru
citatum ad Selinum carvifoliam fuam retert cl. Linnaeus ,
fed huius Selini nomine aliam a ftirpe Seguilkii celeb.
LiNNAEUM intelligere probant ca pauca, quae ad indicandam
ftirpem afferuntur.
.{^t) Simile ett. Anetho graveolenti, fed palmaris altitudiois , & pufiUum, i
an mera varietas .= Video cotnmemoraxi in catalogo plar.tarum
honi Turicenjis.

ii

gerardi. * (99)
Athamanta cervaria L. *

xneum L. *

fibirica L.
b. Fetalis inaequalibus,
Carum Bunius L. *
Sefeli annuum L. *

ammoides L.

datum t. *

pumilum L. *

hippomarathrum L.

pimpinelloides L. *

motuanum *

pratenfe c. *

faxifragum L. *
Pimpinella peregrina L.

anifum l.
Oenanthe crocata L. *

prolifera L,

globulola L.
Ecliiiiophora fpinofa L. *
Conium atricanum L.

rieens L.

A ■ ■ *

Ammi majus L.

copncum l.

Coriandrum fativum L.
tefticulatum L. *
aquilegifolium. (100)
2. Scm. gibb. & alatis.

a. Alls duabus.
Angelica atropurpurea L.

b. Alis quatuor , & ultra,
Laferpitium fimplex L. *

gallicum L. *

mutellinoides c. *
Aftrantia minor l. *

J. Scm. planis alatis.
Paltinaca lucida l, (ioi)
Tordylium anthrifcus L. *
. officinale l. *

nodofum L. *

larifoiium L. *
Heracleum fibiricum l.
Ferula communis l. *

nodiflora L. *
Thaplta viHofa l.

garganica L. (102)
4. Sem. afperis.

(99) Bupleurum involucris , & involacelUs pentaphyllis acutis , foliolis Ji-

neari fubulatis Geb.. galloprov. p. ij. t. 9.

(100) Ligujticum aluTum Lolrelu Dalech. hijl.y^^. Diverliflicna plaota

ed a Liguflico aujlriaco , cuius fynonimum babetur a cl.

LiNNAEo Sy(i. nat. p. 11 1. Huius iconem , & defcriptionem

dabo in cnum. liirp. pedem.
(toi) Paflinaca folio quajl Ubanotidis latifoUae BoEKH. ind. i. 6-j., &

Mifc. Taur. p. 6y.
(lOii) Thapfia, five twbuh garganicum femine UtiJJimo , Bauh. hijl. UL

1. JO. J & Mifc. Tata. p. 6ji

St

Caucalls leptophylla l. *

daucoides L. *

latifolia L. *

maritinia (103)
5 . Sem. villofis, nee roftratis^
Daucus gingidium L. *

vi(naga L.

muricatus L.

niauritanicus L. *

gumnifer. (104)
Bubon rigidius L.

macedonicum L.
b. Sem. r off r mis.
Scandix anthriicus L. *

aullralis L. *
Chaerophyllum temulum l. *

coloiatum L.

bulbofum L.

CLASSIS VIII.

Plantae flore pentapetalo,
nee Gymnodifpermae.

l.FILAMENTIS IN UNUM
TUBUM CONJUNCTIS.

Waliheria mdica I,.

amencana L>
Hermannia hylTopifolia L.
Melochia pyrarnidata. L.

corchanfolia L.
Geranium vitifolium L.

carolinianum L.

macroihiium L.

ciconium L. *

althaeoides L. *

papilionaceum L.

phaeum L. *

columbinum L. *

groffalarioides L.

peltatum L.

acetofum L.

molcliatum L. *

rotundifolium L. *

hybridum L.

coriandrifolium L.

maritimum L.

difleftum L. * (loj)

fibiricum u
Slda erifpa l.

criltata L.

rhombitolia L.

occidentalis L.

periplocifolia L.

alnifolia L.

(loj)" Caucalis involucro univerfali diphillo , partialibus pentaphillis Geb..

galloprov. p. 2^7. f. 10.
(404) Paucus manttmus lucidus, gummiftr TouR-N. injl. }o2. Pajfinaca
' tenuifolia , lucida , gummi wanans , Bocc. muf. l. p. iO. f. 20.

(10 <) Geranium foliis ad nervum qutnquefidts, pedicuUs trtvioribus , laulc

crtclo , HaU.. helo. p. j6<5. , & Mijc, Taur. p. 67.

indica L.

afiatic^ L.

umbellata L.

americana L.

triquetra L.
Malachra capitata L.
Napaea hermaphrodita L.
A cea ficifolia L.
Mdlva capends L«

peruviana L.

americana L.

coromandeliana L.

parviflora L.

mofchata L. *

sherardiana L.

aegyptiaca l.

crilpa L.

limenfis L.
Lavatera triloba. L. *

Sj

micans L.

olbia L *

cretica u
Goffipium hirfutum t.

barbadenfe L.

arboreum L.
Urena lobata L.
Pentapetes phienicea L.
Hibifcus mofcheutos L.

labdaiiffa L.

manioih i.

trionum L.

cannabinus L.

ficulneus L.

pentacarpos L,

malvavifcus L.

fpinifex L.

laevis. (106)

autumoalis. (107)

(ic6) Hihifcus glater , foliis trilobis haflatis , fruclu cylindrko calyte.
brcvwri, feminibus hirfutis. Radix perenais , ex i]u« caulcs hcr-
bacsi purpurafcentcs humanae altitudinis , floies (iogulares
ex funimis aiis (oWotum hitifco fyriaco Hiniles, pcdunculi petio-
lis aliquaotum longiores. Caiyx exterior ex ij., au( 14. folio-

lis, interior inflatus campanulatus ad — quinquefidus. Fxucftut

quinquelocularis polyfpercnus.
^107) Hibifcus caule herbaceo foliis ovatohajlatis , afperis , calyet inttriori
tubuUto , fruclus apice reclo. Similis ell hibijco palul.n , fed al-
tius aflfurgit , & aucuoiao floret, diftort foliis non lacvibus ,
neque fiibius molli tomento albicantibus; potius horizonialibus,
quaai dcflsxis . Cal^ floris interior in palujiri. campanulatus,
bafi ventjiico^s, & fl s roTcus unguibus albis. In ui>llrr flus
albus , uDguibus purpureis , fubdaotiae Erniae , oervofac. Fiu>
4tus ia palujhi fubtotuadus , tubeiofiis , apice iuiui to , & pit-

84
II. FfLAMENTiS BASI
COALITIS.

Hypericum quadrangulum i.*

hirfuturn l. *

humifiifiim L. *

coris L. *

crifpum l. *

tomentofum L. *

montanum l. *

hircinum L.

pulcrum L. *

nummularium l. *
'elegantiffimum c. *
Croton argenteum L.

III. FILAMENTIS OMNI-
BUS LIBERIS.

A. Tetrastemones.

Melianthus major L.
minor l.

B. Pentastemones.

1 . Monoflylae.
Ribes uva cnfpa L.
j^yenia pufilla L.
Viola arborefcens L. *

arvenfis * (io8)
Ruppii * (toy)
pinnata * (t i.o)
cenifia L. *
Impatiens balfamina L.
noli tangere L. *.

2. Trijlylae.
Polycarpon tetraphillum t. *
Ttlephiura imperaci L. *
Andrachne lelephioides L.
Corrigiola liitoralis L.
Turnera ulmifolia L
Tamarix gallica L. *
Clutia pulchella L. *

Rhus toxicodendron L.

cato. Neutram ex his duabus hibifci fpeciebus apud Audores
reperire licuit. Primus virginci, alter palujlns nomine miffus el\.
(ic8) yiola buolor arvenfis Bauh. pin. 200. , & Mifc. Taur. p. 63.
Hdoc a tricolor! fejungendam putavi, atcjue eamdom etiam
nuac opinionem teoeo , diftindlamque propofuit celebsr.
Halllrus iiift. p!. n. 569.

(109) VwUi caule ereBo mulnfloro , foliis ovato-lunccolatis ferratis Hall.

hili. 561.

(110) K/o/rf pinnata , quae quotatrnis femina perficit ia horto Tauri-

neoli, in)perfe(Sla plerumque pctala hibct; femcl autem , atque
icerum flirem pcrfecilum monllravit , qui re(pondct defcriptioni,
quain dcdic ia hift. plautaium dodbfUiuus Haixeb..

glabra

glabra L.

laevigatum L.
Pafliflora minima.
3. Pentajlylae.
Statice limonium L. * (m)

iinuata L.

(peciofa L.

cordata L. *
Linum tenuifolium L. *

caiharticura l. *

maritimum L. *

alpinum L. *

perenne L.

narbonenfe L. *

gallicum L. *
Sibbaldia procumbens L. *
Crafl'ula letragona L.

cultrata L.

obvallata L.

portulacaria L. (112)

8j

B. Hexastemones.

Frankenia pulverulenta L.

C. OCTOSTEMONES.

Acer campeftre L. *

pfeudo-platanus L. *

D. Decastemones.

I . Monojlylae.
Pyrola rotundifolia L. *

uniflora L. *

minor L. *

fecunda L. *
Rhododendrum ferrugin. L. *
Tribulus ciftoides L.
Zygophyllum fulvum L.
Melia fempervirens (113)
Guilandina bonduc L.
Fagonia cretica L.

1 . Dijlylae,
Dianthus carthufianorura L. *

(ill) Limonium maritimum majus Bauh. pin. i^i. & Mifc. Taurin,
p. 6g.

(ill) Crajfula portufacae facie arborefcens DiLL> elth. p. 120. /. 110.
& Mifc. laur. p. (Jjj.

(llj) Aitdarach fempervirens, & florens Tournef. infl. 6i6. babet
pro varietate /4^eJarach CI. Linnaeus. Obfervo in A^edarach
pionas feo)per oppofitas, folia lucida efTe acutius, & minus
profunde dentata , tirmioris fubllantiae , frudus roiundos ; in
Jempervirenci pionas nou fibi ex advecfo rcfpondere, magnis
dentibus ita profunde fedas efle, ut etiam lobatae videantur,
taceniuni fruduum triplo, Sc ^uadiuplo longioieiu eSi ; fiu-
dus ovatos.

Mifc. Taur. Tom, K* nj

Stellaris L. *

cuneifolia L,

*

hypnoides L.
androfacea L

*
*

•

caefia L. *

multiflora. *

(im)

purpurea. *
oppoliti folia
biflora. * (i

(it!)
L. *

16)

96

glaucus L. *

fuperbus L. *

alpinus L. *

vireineus L. *

monlpeliacus L.
Saponaria lutea L. *
Gypfophila perfoliata L.
Saxifraga afpera L. *

autumnalis L. *

cefpitofa L. *

(114) Saxifraga foliorum ora cartllagineay caulc triplicato ramofo , peta-

lis immacukt'is , Hall. hifi. n. 977.

(115) Saxifraga caule reptante , joins qnadnfariam imbricaiis acutii gla-

(■ris ; an faxifraga alpina aicoides jl. purpurafctme Tourn. infl.
(i t(j) Saxifraga folits imbricatis , ovatis , caulibus reptantibus, bijloiis ,
Hall. hift. n. 981. Hae tres faxifragae oppofitifolia, purpurea ,
& biflora , aflSaes maxitne funt , diveifas autetn tres I'pecies
conltituunt. Oppofitifolta , quae refpondet faxifagae alpinae ,
ericoidi jl. ceruleo , tolia habet glabra ciliata, ovata, laxe iin-
bricata, in cauliculis confertiora; petala ovata, lioeata, caeru-
lea , aut purpuroviolacea , ftaniinibus fere longitudine petalo-
rum. Ea , quam voco purpuream folia habet denfe imbricata
in ramis decun.bentibus , & ia cauliculis florigeris diflita ,
fed glabra, apice acuto, & reflexo , caules quadrjfloros , aut
triflotos fere nudos, ftylis , & ftaminibus purpurafcentibus pe-
tala longitudine fuperantibus, atque haec eft fortafle varietas
a CI. LiNNAEO in flora lapponica metnorata; petala vivide
rubra funt , non lineata , ex ovatis longe acuta , patentia.
Biflora autetn , quam defctipfit C). Haller. , & cui refp-^ndet
icon Oederi tab. 34. vifcofa eft; habet folia non ci'iata ,
fed villofa, in fummis cauliculis potius alterna, quam oppofita,
acumine non ri-flcxo. Flos rofeus , petalis ovatis , acutis , (la-
mina tubis multo breviora , quae in oppofitifolia petalis fub-
aequalia funt, in purpurea peialis longiora. Oppofitifolia folet
habere caules unifloros ; biflora duos plerumque in fummis
cauliculis fubfefliles flores , purpurea tres, aut quatuor umbel'
latos longe pedunculatos pofTidct. Has omnes faxifragae Ipgr
cies cum aliis exhibebo icons in Enum. flirp, Ptdemortui.

mufcoides. * (117)
3 . TriJiyUe.

Arenaria trinervia L. *
tenuifolia L. *
ciliata L. *
teiraquetra L. *
biflora L, * (118)
maritima. * (119)
ianceolata. * (1*0)
obtufa. * (ixi)
flaccida. * (1 2.2)

Clierleria fedoides L. *

D.ypis fpinofd L.

Stellaria nemorum L. *
graminea L. *

Silene peiidala L.

mufcipula L. *
armeria L. *
fruticofa L.
gigantea L.
nodiflora L. *
antirrhina L.
nofturna L. *
vallefia l. *
cretica L.
virginica L.
faxifraga L. *
acaulis L. *
bupleuroides L..
viridiflora L.
polyphylla L.

87

(117) Saxlfraga foliis mnUibus , ellipticis , fubhirfutis , cauU pauci flora y
Hall. A;//, n. <>%$.

(iiS) -lijine cauU reclo, proflrato, foliis ovatis , Hall. hift. n. 877.

{119) Maritima a campejlri dirtinftam fpecicm conftituit. Maritima.
eerie decandra, campejlris peotandria. Flos in maritima major
ex petalis ovatis, putpureisj per aetatem albidis, & diu per-
fidcDtibus, fruiSlus in cornu produdtus inultum extra calycem.
Semiaa leucophaea margine psliucido aiidba. In campel^ri fru-
€tus vix calyce major , femina anguiata , obfcura fine ullo
margine , ut alia oiDittaai difcrimina.

{lio) Arenaria Joins , & calycibus lanceolatis , trinerviis. Apud auftores
rei herbariae defcriptam non reperi. Radix perennis cefpitofa.
Cauliculi ex ramis procumbentibus eriguntur digitales , folia
oppolita, eredo patentia glabra raro fubhirfuta, 6ima , acute
6ne. Calyx ex fuliolis Hniilibus , fed concavis , flos patens
albus, calyce paulo major, petalis integerrimis. Stamina decem>
antheris purpurafceotibus.

(ill) Atjme foliis linearibus obtufis , calycihus vifcidis. Hall. A//?. 8<J}.

(iJii) Alfine caule flacudo dichotemo , foUis Uneartbus acuiis , HalIi.
hijl. 864.

m I

88

niceenfis * (113)

portends L.

paradoxa L. (114)

porrigens L, (125^
Cucubalus otites L. *

tartaricus l.

cutholicus L.
4. Pentaflylae.
Coriaria myrtifolia.
Sedum ftellatum. l.

acre l. *

dafiphyllum. L. *

teflexum. L. *

anacampferos. L. *

fexangulare. l. * (126)
Agroftemma caeli rofa. l. *

coronaria. l. *

L.

*

flos jovis. L. *

githago, L. *
Lychnis chalcedonica. l.

flos cuculi. L. *

dioica. L. *

alpina. l. *
Ceraftium perfoliatum. l.

dichotommum. l.

manticum. l. *

alpinum. L. *

arvenfe. l. *

vulgatum L. *
Forskohlea aegyptiaca. L.

5 . Decajlylae.
Phytolacca icofandra. L.

E. POLYSTEMONES.

(113) Silene villofa , & vifcofa , foliis linear iius obtujis , petalis fem'i-

fidis , fruUibus ovatis , calycibus decemflriaus. In agro Ni-
ceenfi nafcitur haec filene , quae ab audoribus praetervifa
niihi videtur. Caules infirmi vix eredti. Folia linearia crafliu-
fcula fulcata , caulis de more gentis in pedunculos dichotome
finditur. Calyces decemfttiati ftriis viridibus , non icflati tubu-
lofi , petala feroifida coronata fquamis fubrotundis extus pal-
lida flavo purpurafcentiajintus albida, & per diem intus convo-
luta, ungues pallide lutefcentes. Antherae didymae luteovirides.
Styli trescum ftigmatibus hirfutis.tota planta villofa, & vifcofa eft.

(114) Siknc vifcofa alpina, folds omnibus plants, ac prorfus glabris ,

pi talis anguflis, intus candidis , extus ex viridi luteolis projundt
bifdis , dtvifionibus divaricatis linear ibus, neclariis exjiantibus , ac
tribus longiffimis purpurafcentibus fub folo fpiraliter convolutis ,
Manetti fpicil. n, 1005 , 6- Mifc. Taur. p. 6cj.

(i2j) Hanc Gypfophilae chalepenfis , nomine jamdudum mifit CI.
GovAN , led omnino ad gypfophilae genus pertinet.

(ti<J) Sedum joliis terttibus ternatis , caulibus Jimplicibus trifidis HaLL.
tnum. n. 107, & Mifc, Taur. p, 70,

I. Monojlylae.
Portulaca anacampferos. L.

racemofa. l.

fruticofa. L.
Ciftus lauritblia. L. *

incanus. L. *

monfpelienfis. L. *

ledifolius, L. *

guttatus. L. *

ferpillitblius. Li *

apenninus. L.

tuberaria. L. *

thymifolius. L. *
^ polifolius. L. *

aegyptiacus. L.

laevipes. l. *

falicifolius. L. *

ladaniterus. L.

rofens. * (117)

arabicus. L.

pilofus, L. *
Triumfletta lappula. l.

femitriloba. l.
Corchorus aettuans. l.

Caplularis l.

89
Prunus laurocerafus. L.

padus L. *

pumila L. /-

avium l. *

Canadenfis. l.
Amygdalus pumila. l.
Piidium pyriferum L.

2. Dljlylae.
Agrimonia repens. L.
Crataegus azarolus. L.

3. Trijlylae.

Refeda odorata. l. (ii8)

phyteuma. L. *

undata, L.
Aconitum napellus. L. *

Cammarum. l. *
Delphinium peregrimim. l. *

grandiflorum. l.
Paeonia officinalis. L. *

4. Pentajlylae.
Aquilegia canadenfis. L.

alpina. L. *
Nigella arvenfis. l. *
Mefpylus pyracantha. l. *

(117) Hcliantathemum folio ampliori , fl. rofeo Shirard. Phil. Tranf.
n. 383. Hall. gott. p. 114.

(ii8) Refeda foliis integris , Jloriius odoratis. Hall. gott. 93 , &
Mifc. Taur. p. 70.

(129) Delphinium neSaris dipkillis , Jloritus folitariis, foliis multipartilis ,
foUolis lineariacuminatis, enum. nic. p. 200, & Mifc. Taur,
p. 81. A peregrino olim feparavi eo, quod tnonophylla oedlaria
peregrino tribuiflfet CI. Linnaeus. Sed noftrum eft verc pere»
grinum CI. LiNNAEi, ut pci litsias etiaia ceitioiem mc fecit.

90

chamaemefpilus. l. *
amelanchier. L. *
cotoneafter. L. *
5. Polyjtylae.

Spiraea opulifolia. L.

Helleborus hyemalis. L. *
foetidus. L. *

Potentilla alba. L. *
gratidiflora. L. *
caulefcens. L. *
aurea. L. *
opaca. L. *
penfylvanica. L.
valderia. L, *
intermedia. L. *
norvegica. L. (ijo)

Geum reptans. L. *
virginianum. L.

Fragaria fterilis. L. *

Rubus fruticofus. L. *
faxatilis. L. *

Rofa pendulina. L. *
lutea. (131)

CLASSIS IX.

Plantae flore hexapetalo.
I. DIANTHERAE.

Orchis militaris. L. *

mafcula. L. *

coriophora. L. *

latifolia. L. *

abortiva. L. *
Satyrium nigrum. L. *

hircinum. l. *

viride. L. *
Ophrys (piralis. L. *

minima. L. *

Alpina. L. *
Serapias latifolia. L. *

grandiflora. L. *

lingua. L. *

longifolia. L. * (132)

II. TRIANTHERAE.

SiTyrinchium bermudiana. L.
Ixia corymbofa. L.

buibifera. L.

crocata. L.
Wachendorfia thyrfiflora. L.

|ijo) Tottntilla follii tematts , kirfutis, caul* rtdo, umiellifero , Hali.

gott. p. 108, & Mifc. Taur. p. 114.
(iji) Rofa lutea fimplex. Ba.uh. pio. 6)6.
i\)i) EpipaUis fol is enfiformibus , lahello obtufo , per oras plicato, Hali.

tcl, ktlv. t. ly. f. Ill, 6" Mifc. Tnur. p. 71.

III. HEXASTEMONES.

MONOSTYLAE.

1 . Flore fruclui impojito.
Hemerocallis flava. l.

fulva. L.
Amaryllis lutea. L.

belladonna. L.

atamafca. l.

farnienfis. L.
Pancratium maritimum. L.
Leucojum vernum. L. *

2. Flore frudum cingente.
Alium fillulofum. l.

Schoenoprafum. L. *
fenefcens. L. *

oleraceum. L.
viftorialis. L.

magicum.

^H paniculatum. L. *
^B chamaemelys. L.
^P pallens. L. *

Fritillaria meleagris. L. *
Uvularia amplexifolia. L.
Tulipa gallica. L. *
Ornuhogalum luteum. L.
Anthericum annuum. L.
calyculatum. l. *
afphodeioides. L.
ferotinura. L. *
liliallrum. L. *
Veratrum album.
Aibuca major. L,

L *

9«

Medeola afparagoides. L.
Peplis portula. L. *

IV. POLYSTEMONES.

Lythrum falicaria. L, *
hyflbpifolia. L. *

CLASSIS X.

Plantae flore polypetalo.'

Caftus curaflavicus. L.

repandus. L.

ficus indica. L.

melocaftus. L.
Mefembryanthemum loreumL,

cryllallinum. L.

fplendens. L.

acinaciforme. L.

nodiflorum. h.

noftiflorum. l.

calamiforme. L.

deltoides, L.

barbatum. L.

uncinatum. l.

forficatum. L.

ringens. L.

tonuofum. l.
Sempervivum arboreum. L,

teftorura. l. *

arachnoideum. L. *

montanum. L. *
Adonis autumnalis. L.

aeftivalis. L. *
Anemone pulfatilla. l, *

92

ranuticuloides. l. *

alpina. l.

baldenfis. L. *

fulphurea. L. * (135)

halleri, * (134)

narciffiflora. L. *
Atragene alpina. L. * (135)
Butomus umbellatus. l. *

CLASSIS XL

Plantae flore apetalo
exceptis graminibus.

I.FIL AMENTIS CO ALIUS.

Thuja orientalis. l.
Pinus fylveftris. L, *

pinea. L.

picea. L. *

cembra. l. *
Juniperus fabina. L, *

oxycedrus. l. *
Taxus baccata. h. *

ir. FILAMENTIS
DISTlNCTiS.

A. JULIFERAE.

Salix caprea. l. *

reticulata, l. *

herbacea. L. *

retufa. l. *
Betula alba. l. *
Populus balfamifera. L.
Quercus coccifera. l. *

ilex. L. *

B. NoN JULIFERAE.

1. Monantherae.
Hippuris vulgaris. L. *
Blitum virgatum. L. *

2. Dianiherae.
Fra"xinus excellior. L. *

3. Triantherae.
Phillamhus niruri. L.
Ortegia dichotoma. * (136)
Axyris hybrida. L.

(1J3) Anemone tubis caudath , involucris multifidis foliis hirfuiis , pin-

netis y pinnii acute lobatis Hall. hifl. n. 1147.
(IJ4) Anemone tuhis cauJacis , involucris multifidis, foliis hirfutis , pin-

natis , pinnis talis lobatis Hall. htfl. 1148.
(ijj) Id editis alpium humilis , nee fcaodit. In hoito culta trium ,

& (]uatuor pedum altitudinem fcandendo acquifivit. Nod igitui

difFert Atragene clematides C.
(ijtf) Ortegia dichotoma Mifc. Taur. torn. III. p. j6. Num Ortegia

dichotoma noflra /it Hifpanica l. ftatuere nondum fcio, collata

etiam defcriptione , c|uam Cel. Linmaeus dedit in poflrema

r^rllem. aat. editioue pag. 74.

Minuartia

M-nuartia campeftris.

indica.

Mollugo verticillata. L.

f]cula. (138)

Oiyns alba. L. *

lanata. l.

4. Teirantlierae.

Herniaria hirfuta. L.

Ilnardia pn.ultiis. L. *

A triplex rofea. l.

Hippophae rhamnoicles. L. *

fibirica. l.

Mynca cerifera. L.

Chenopodium ariftatiim. i.

Urtica dodartii. L.

viride. L. *

pilulifera. L. *

urbicum. l. *

nivea, L.

polyfpermum. L.

*

balearica. L.

album. L. *

divaricata. L.

auguftanum. * (

■39)

Alchimilla vulgaris. L. *

Amaranthus hybridus.

L.

alpina. L. *

caudatus. L.

jeritaphyllea. L. *

hypochondriacus.

L.

lllecebrum paronychia. L. *

graecizans. L.

achyranta. l.

albus. L. *

Camphorofma monfpeliaca.L*

languineus. L.

Rivina humilis. L.

polygonoides. L.

Buxus ("empervirens. L. *

viridis. l.

5. Pentantherae.

Beta cycla. L. *

Salfola fruticofa. L. *

maritima. L. *

muricata. L. (157)

Govana domingerifis.

L.

Thefium linophyllum. L. *

Pharnaceum cerviana.

L.

alpinum. L. *

6. Hexantherae.

Achyranihes lappacea. L.

Smilax l^lfaparilla. L.

*

93

(137) Baffia Aegyptiaca , Mifc. Taur. torn. III, p. ly^.

(ij8} Sicutam indicae varictateui putet CI. Limnalus ; fed oiihi di-

(liiidae fpecies videntur.
('39) Chenopodium folits juhulatii fericeis , florum glomeruUs gt minis ,

Haller.. hiR. n. i)7;.
Mijc. Taur. Tom. V. n

9^

Rumex aegyptius. l

fanguiiieus. L.

aquaticus. l.

rofeus. L.

luxurians. l.

digynus. L. *

fpinofus. L.

arifolius.

(140)

7. OSoftemones.
Chryfofplenium alternifolium,

L. *
Polygonum penfylvanicum. l.
maritimum. L. *
viviparum. L. *
virginianum L.
ftriftum. * (141)

alp

inum.

(14O

Stellera pafferina. L. *
Rhodiola rofea L. *
Trianthema portulacaftrum.L.

8. Decajlemones.
Nyflfa aquatica. l.
Datifca cannabina. L.
Scleranthus annuns. L. *
perennis. l. *

5. Poly anther a€.

Ceratophyllum demerfum. l,*
Theligonum cynocrambe. i.*
Mercurialis tomentofa. L.
Dalechampia fcandens. L.
Tetragonia fruticofa. L.
Aizoon canarienfe L.

hifpanicum. L,
Glinus lotoides. L,

CLASSIS XII.

Plantae flore apetalo
Gramina.

II. TR[STEMONES.

A. MONOSTYLAE.

Nardus ftrifta. l. *
Cenchrus racemofus. L. *

echinatus. l. *
Lygeum (partum. L.
Zea mays. L.
Coix lacryma job. L. *
Cyperus flavefcens. L. *

fulcus. L. *

roiuiidus. L.

(140) Lapaihum acetofum , fexu d'ljliaclum , foliis plants , cordiformltusA

Hall. gott. p. 16 , & emend, i, n. 18,6" Mifc. Taur. p. 74.I
Hijioriae autem CI. Halleri n. 1)98.

(141) Polygonum folus ovato lanceolatis , glabris , fpica firigofa , vagjnis

ctltatis , Hali . hiji. n. i J 5 5 .
(141) Polygonum caule ereUo , foliis ovato lanceolatis , fubhirfKtis , fpici^
paniciilatis , Hall. hiJi, n. ij<>4>

¥

papyrus, L.

glomeratus. L. *

fpadiceo viridis. (143)
Scirpus acicularis. L. *

michelianus. L. *

triqueter. L. *

fylvaticus. L. *

holofchaenus. L. *

lacullris. L. *

maritimus. l. *

mucronatus. L. *
Eriophorum po'yltachion. l.*

varginatum. l. *
Schoeiius marifcus. l. *

nigricans. L. *

albus. L. *

compreffus. L. *
Carex dioica. l. *

muricata l. *

remota. l. *

leporina. l. *

velicaria L. *

flava. L. *

globularis. L. *

atrata. L. *
Typha angullifolia. l. *

latifolia. L. *
Sparganium erectum. l. *

B. DiSTYLAE.

9J

Phalaris oryzoides. L, *

paradoxa. l. *

utriculata. u. *
Panicum coloratum. L.

capillare. L,

hirtellum. L.*
Phleum arenarium. L. *

pratenfe. l. *

alpinum. L. *
Alopecurus monfpelienfis. l. *
Milium paradoxum. L. *

effufum. L. *
Agroftis verticiilata. L, *

ftolonifera. L. *

indica. L.

miliacea. L. *

interrupta L. *
Aira caerulea. l. *
Melica aliiffima L.
Poa alpina. l. *

Gerardi. * (144)
Briza eragrollis. L. *
Daftylis glomerata. L. *
Cynofurus aureus. L. *

indicus L,

echinatus L. *

coracan. L.

(143) Cyperus parvus panicula conglob., fpicis comprejjis fpadicto viriditus

Segu. Jupp. p. 6i.

(144) Poapanicula ertcla , fpiculis tr'jloris glabris, coroUis acuminatis,

calycc diplo longioribus GfcA. gailoprov- p. j)i.

96

Feftuca amethyftina. L. *

ovina. L *
Bromiis mollis. L. *

fquarroCus. L. *
Stipa capillata. L. *

juncea. L. *
Arundo calamagrortis. L. *
Elymus (ibiricus. L.

canadenfis. L.
Hordeum zeocriton. L.

dilHchon. L.
Triticum hybernum. L.

polonicum. h.

repens. L. *

junceum L. *
AEgilops ovata. L. *
Andiopogon hirtum. L. *
Hulcus lanatus L. *

forghum. L.

faccharatus. L.

fpicatus L.
Tripfacum hermaphroditum.L.

daftyioides. L.

III. HEXASTMONES.

Oryza fativa. L.
Juncus articulatus. L. *

bufonius. l. *

tnfidus. L. *

effuliis. L. *

acutus. L. "^
bulbofus, L. *
niveus. L. *
comprefTus. j.
Acorus calamus, l. *

CLASSIS XIII.

Plantae flore imperfefto ,
feu potius inconfpicuo.

Marfilea quadrifolia. L. *

natans. L. *
Marchantia polymorphia. L. *
Lycopodium annotinum. L. *

complanatum. L. *
Equifetum paluftre. L. *

flaviatile. L, *
Ophiogloffbm vulgatum. L. *
Ofmunda lunaria. L. *
AcrolHcum maraivhae. L. *

thelypteris. L. *
Pteris creiica. L. (145)
Afplenium adiantum nigrum.

L. *
Polypodium fontaniim. L. *

phegopteris. L. *

regium. L. *
Pteris cretica. L.

(14;) Lingua cervina foliis cojlae innafamibus , Toujln. infi. J44.

REFLE-

JOHANNIS FRANCISCI CIGNa''

DE ELECTRICITATE.

v^uum muneris mei ratio jam longius a general! phy.
fica me avocet , & temporis mei partem anatome ,
partem aegrorum cura Cibi vindicet , conltitui fiibfeci-
vis horis ex adverfariis meis ea depromere, quorum per-
ficiendorum jam pauca fpes fupereffet,

ARTICULUS PRIMUS.

£)e Symmeriana eleclricltate.

Menfe aprili anni 1770 quum domum CI. Marchionis
Berset conveniflent Equites Lovera , & Debutet , ut
experimentis elettricis operam darent , ab eorum uno
obfervatum eft phialam , quae oneraia fuerat , poftquam ,
communicatione oppofitarum fuperficierum per arcum de-
ferentem inftituta , peniius deonerata ellet , mora , &
quiete paucorum minutorum novam fuccutiendi vim reci-
pere , quae fi rurfus , inftituta oppofitarum facierum com-
municatione , deleretur , nova iterum poft aliquod tempus
prodiret ita tamen , ut fuccufliones , quae ex fucceilive
genita eleftricitate producerentur , pedetentim minores ef^
fent , ac tandem quocumque temporis iniervallo nuliae am-
plius haberi poflent.

Quum id mihi phaenomenum a CI. Viris humaniter nar-
raretur , principio paradoxum , ac vix credibile vifum eft,
Mijc. Taur. Tom. V, 9

quill potius aut prima vice imperfcfte deoiieratam phia-
1am tuiffe , aut alium errorem admiffum fufpicabar.

Quum vero & phaenomeiii veritatem propria obferva-
tione perfpeftam habuiflem , & ejus cauflam animo verfa-
rem , demum intellexi experimentum hoc maximam ana-
logiam praefeferre cum alio a me alia occafione propofito,
quod nempe (i biiia vitra in unum junfta , & inllar fim«
plicis vitri armata onerarentur , turn, inftituta oppofitarum
facierum communicatione , induCtum onus tolleretur , etfi
exinde quamdiu junfta vitra perllabant, eledilricitatis reliduae
indicia nulla praeberent , fi tamen ab invicem divelleren-
tur , valde eleftrica fe oftenderent. (i)

Inde vero colligebam eleftricitatum , quae in armata
vitra congeruntur , partem aliam liberam ad vitrorum fu-
perficiem efle , eamque effe, quae, indu6ta communi-
catione ad aequilibrium fe componens fuccutiat j partem j
aliam earum eleClricitatum altius in vitri poros pervadere,
banc nonnifi lente five a vitri , five ab aliorum coercen-
tium poris fe expedire , ideo fuccutiendo ineptam efTe , j
nee quamdiu vitra junfta perftant ullum fui indicium exhi-
bere , quod oppofitae eleftricitates oppofitis vitris inhae-
rentes fe invicem retineant, cohibeantque. Disjunftis vitris,
fublataque earum eleftricitatum in fe invicem aftione, utram-
que pedetentim , ac tarde fe expedire , fie figna eleftrica
producere , & diuturnam eorum vitrorum turn ad fe in-
vicem , turn ad alia corpora adhaefionem efficere. (i)

Itaque concludebam in novo hoc experimento eodem fere
modo rem fe habere. Eledricitatum fcilicet, quae in phia-
1am congerebantur , partem eam , quae ad ipfius phialae
fuperficies libera erat, iududa communicatione, feadaequi-

(j) Mifcel. torn. Ill §. it,

(2) lb. §. 69, 70.

99

libriuni componere , ac (uccutere ; earn vero, quae alrius
in vitri poros pcnerraverat , quaeque eorum relillentia ir-
retita erat , noniiih lente prodire , prodeuntem in armatu-
ras paullatim colligi , colleftam novae fuccuflioni efficieii-
dae aptam elTe.

Ut igitur experimentum iftud ex noftra liypothefi de
Symmenana eleftricitate in vitri poris delitefcente feliciter
explicatur , lie vicifliin ab eodem novum argumeiitum ad
earn hypothefim fulciendam videtur accedere.

Enim vero calore vitrorum Symmerianam eleftricitatem
augeri obfervavi , idque turn tribuebam humori , quern vi
caloris expelli arbitrabar ; (3) poftquarn vero cognovi ex
propriis , & ex variis Anglorum experimentis vitra calore
deferentia fieri (4), inde etiam meam illam hypothefim con-
firmari deprehendi. Nam prout vitra majori calore magis
meabilia fiunt , neceffe eft induftam eleftricitatem facilius,
altiufque in ipforum poros pervadere , quae quum, frigefa-
ftis vitris , pari facilitate ab ipfis erumpere amplius non
poffit , pedetentim prodiens vehementiora Symmerianae ele-
ftricitatis phaenomena exhibebir.

Viciffim quo calidiora funt vitra , dum onerantur , eo
ineptiora fuccutiendo evadunt , ut ex Frankliniano expe-
rimento de phialis ebulliente aqua plenis. (5) Enim vero
ea eletlricitas , quae in vitri ex calore meabilis poros ir-
repfit , iis poftea irretita fimul ac femei erumpere non
poterit , ac fuccutiendo inepta erit. Quum igitur calor Sym-
merianam eleftricitatem augeat , Franklinianam minuat ,
inde utriufque difcrimen confirmatur.

Immo vero cenferem vitrum, inferiori armatura con-
flanter cum folo communicante , ex fuperioris lU^erficiei

K

L. c. §. 97 in not.
,, Vid. Pryestlfy hirtoire de rdeftriciig III p. 134,

J) Yld, l'RY£STUV I. C. II p. 430, III p. 307.

o

lOO

fri6Vione ielcftricum faftum , atque adeo fola Symmeriana
eleftricitate imbutum , & fuccutiendo ineptum, (6) impofita
tamen fuperiori faciei , quae fricata fuit , armatura , poll
aliquod tempus fuccutiendo aptum fieri ob Symmerianam
eleftricitatem paullatim explicatam , & in armaturis colle-
ftam.

Exiftimo etiam fecundam , tertiam &c. fuccuffionem eo
majores futuras,quo vitrum calidius fuir, quum oneraretur,quo
majus onus accepit , quo diutius id fervavit , quum eae
omnes conditiones majorem in vitri fubftantiam eleftrici
fluidi quantitatem adigant.

Quod vero ab Anglis , ut dicebam , demonftratum eft,
vitrum ex calore igni eleftrico meabile fieri etiam ante-
quam eorum experimenta comperca haberem, parum difli-
mili experimento cognoveram. Scilicet onerati vitri faciem
inferiorem altera manu tangebam, fuperiorem extremo uno
vitri tenuis quinque tranfverfos digitos longi , cujus extre-
mum alteram oppofita manu apprehendebam : fi tubus fri-
gefaClus effet , nee iftum ullum excipiebam, nee deonera-
batur vitrum; fi igne candefaftus elfet, ipfumque uno extre-
ino forcipe prehenfum extremo altero ad armaturam vitri
fuperiorem admoverem , iftum experiebar , quo vitrum
ipfum omnino deonerabatur.

lllud fimiliter ex proprio experimento cognoveram ,
quod poftea a CI. Prvestleyo oblervatum effe comperi ;
Iigna quamdiu ex igne admodum calent deferentia effe .
(7) Nam cilindrum ligneum recens excalefaftum fruitra
fricabam , quamdiu calorem fervabat j nee enim ullam ex
eo afFriilu eleftricitatem recipiebat , maximam vero ex fri-
tlu acquirebat , poftquam fufceptum calorem amiiiffet.

(6) Vid, Mifcel. torn. Ill §. 71.

(7) Prtestiet III p. a3J.

ARTICULUS SECUNDUs/"'

De experimemis eleclricis in poculo
metallico injlitmis.

Experimenta quaedam narrat Pryestleyus iii poculo
ftanneo eleftrico unius menfurae (^une pinie) capaci a fe
inltituta ex Franklini monicu , per quae compererit fila ,
nut globos ex fubere intra id vas eletlricum demifTa ex
ipdus eleftricitate nee commoveri , nee (e invicem repel-
lere , inde edufta eleftricitatein aliquam , fed exiguam
ortendere, eo tamen majorem , quo remotius a fundo la-
tera vafis contigiflent. (8) Phialam vero , cujus exterior
armatura poculi fundo incumberet, uncus manu homints
folo infidentis detineretur , ex congeiia in poculum ele-
ftricitate non onerari , aut minimum onus recipere. (9)
Ex quibus concludit attraftionem poculi eleftrici attra6lioni
fphaerae cavae fimilem effe , nee corpora eleftricitatem ex
una parte recipere pofle , ni(i in partem aliam ipfara
emittere queant. (10)

Ad horum phaenomenorum caufTam perfequendam ,
mihi aptiflima machinula vifa eft , quae ex metallico filo
ad utrumque extremum acuminato , & ad contrarias par-
tes flexo , tum fupra apicem metallicum librato conficitur,
(11) quaeque vi fluidi eleftrici per acuminatos apices
erumpentis eadem ratione in gyrum agitur , qua Segneri
molendinum ab erumpente aqua circumvolvitur. (iz) Hujus
itaque eleftrici molendini motus ad fundum vafis metallici

(81 III p. 461, h6i.

19) lb- P- 462, 46J.

1 10) lb. 463, 464.

fin Vid. Pryestl. I. c. II p. 455 , 436.

(11) Vid mem. de I'Acad. de Berlin tom. X p. rtj & (eg.

lOl

explorare adgreffus fum. Ufus veio Cam vafe metallico peram*
plo , caldario fcilicet aheiio aliquot pedes alto , totidem-
que amplo. Htfce experimentis humaniter interfuit , immo
ipforum aliqua at;: excogiiavit , aut perfecit Vir ingenio-
fus , & in mechanica verfatiffimus Eques Debutet, quae
hujufmodi funr.

Expeiimentum prlmiim.

Machinuiam ad fundum aheni conftitui , ut cum ipfo
communicaret ; ahenum vero undique infulatum erat. Ele-
ftricitatem ope fili metallici a catena ad ahenum , vel ad
machinuiam duxi. Nulla ind^ machinulae rotatio , quod
videbatur convenire cum fententia eorum , qui affirmant
corpora ad metallici vafis fundum nuUam eleftricitatem
recipere : hinc enim proclive eft concludere machinuiam
eleftricara non fieri , nee propterea in gyrum agi poflfe.

Experimentum fecundum.

Quum veto dubltarem , machinuiam eleftricam quidem
fieri , fed ideo non moveri , quod fluidum eleftricum ab
ejus acuminatis extremis in latera aheni aeque eleftrici
ferri non poflet , proindeque quiefcere non quidem ele-
ftrici fluidi defeftu , fed quod hoc ipfum fluidum intra
eamdem omnino llagnaret , coronam ex charta inaurata
confeci diametro unius pedis , aut ultra, eamque circa rao-
lendinum ita conftitui , ut molendinum ejus centrum oc«
cuparet. Corona haec nee cum molendino, nee cum aheno
comraunicabat , fed per filum metaUicum in hominem folo
infidentem eleftricitatem , fi quam reciperet , ■ difperdere
poterat. Rebus ita conftitutis , & eleftricitate ad ahe-
num impulfa molendinum pernicifllme in gyrum ageba*

'°5

tur. (13) Oportuit ergo molendinum a fundo aheni ele-
ttricitatem recipere , quum ex eadem per acuta extrema in
ambientem metallicam coronam emifTa in gyrum ageretur.
Falfum igitur corpora ad fundum vafis metallici nullam
eletlricitatem recipere , fed poiius dicendum , eorum ele-
ftricitatem ab aequali laterum ipfius vafis eleftricitate ita
reprimi , ut motum nullum habeat , ficque fuae praefentiae
indicia nulla praebear.

Quod fi edufta corpora vix ullam eleclricitatem often-
dunt, id indicio eft ea corpora, dum educerentur , acquifi-
tarn eleclricitatem amififfe verofimiliter ex eo, quod lege
a Cantono , & AEpino detefta (14) , fundus, &c latera
vafis in ea corpora jam ab ipfis disjunfta contrariam ele-
ftricitatem inducere nitantur, proindeque receptam eju(-
dem nominis eleftiicitatem ab iifdem expellere.

Experimentum terdum.

Machinulam ad fundum aheni fupra poculum vitreum
parum altum infulavi , ut fie parum ab ejus fundo abefTct.
Ahenum item infjlatum erat. Eleftricitatem ad machinulam
deduxi , quin ahenum ullam reciperet. A recepta electri-
citate in gyrum afta eft , paullatim vero ejus celeritas
imminuta eft , ut tandem omnino quiefceret : tum per ad*
motum digitum ab aheno fcintillam eduxi , inde molendi-
num prirtinum motum , priftinamque velocitatem recepit ,
quae paullatim languens , nova ab aheno edu£ta fcintilla ,
reftaurata eft , & ita deinceps.

Ex quo apparet, ex eledricitate machinulam ad fundum
aheni in gyrum agi , dum per acuminata extrema in aheni

fij^ Experimentum hoc propofuit Eques DzButzt,
(X4) Vid. Priest. I. c. Il p. 18, & feq.

I04

Jatera machinula fe exonerat: prout latera aheni ex con-
gei}a eleftricitate magis reliltunt fluido ab iis extremis
advenienti , & ejus fluidi fluxum , & machinulae celerita-
tem retardari ; demum fluido aeque denfo in aheni parie-
tibus exfiftente ac in ipfa machinula jam nullum ejus flu-
xum a machinula ad ahenum fieri poffe , ficque machinu*
lam qaiefcere nifi , edufta per admotum digitum aheni
electricitate , novae eleftricitati a machinula excipiendae
ipfura ahe;ium iterum aptum evadat,

Experimemum quartum.

Machinula , ut prius ad fundura aheni infulata eft , ut
tamen ex ipfa ad manum hominis folo infidentis filum
deduceretur. Ahenum item infulatum eft. Eleftricitas autem
ad ipfum ahenum dedufta. Continuo molendinum in gy-
rum aftum elt eadem velocitate , eademque direftione
ac prius , five eleftricitas ad ahenum deduda pofitiva eflfet,
five negativa.

Uc igitur in priori cafa ex. eleftricitate ab acuminatis
extremis machinulae in aheni latera effluente machinula in
gyrum agebatur , ita in poftremo hoc ab eleftricitate ex
aheni lateribus in acuminata machinulae extrema adve-
niente haec ipfa machinula movebatur. Ex quo confirma-
lur differentiam inter eleftricitatem machinulae , & late-
rum ahem, aut ambientium corporum earn efle , quae flu-
xum eleftrici fluidi ab ipfa, aut in ipfam efiiciat, ficque
eamdem in motum agar.

Confirmatur item , quod alio experimento jam conftite-
rat, (i j) contrarium motum fluidi modo erumpentis, modo f
fubeuntis per extrema machinulae eamdem tamen direclio-
rem ipfi machinulae impertiri.

<i5) Pryest. 1. c. II p 4}I> 4}S» HI p. 137, 138, 140.

lOJ

ARTICULUS TERTIUS

De AEpini expenmentis , in quo a'erea lamina
eleSlrico vapore oneratur.

Elegans AEpini experimentum de aerea lamina oneranda
in hunc modum inftitui.

Tabulas ligneas binas amplitudinis pedum % — charta

inaurata cooperui , alteram alteri fuperpofui fitu parallelo,
ut faciebus inauratis fibi mutuo obverterentur. Inaurata
charta fuperioris tabulae ab inferiore ejus facie in fupe-
riorem producebatur , quo commodius eleflricitatem a
globo advenientem recipere pofTet, Tabulis hifce interpo-
fui fruftula vitrorum diverfae crafStiei, ita ut inauratae fa-
cies modo ii lineis , modo 19, modo 36 didarent. Ad
minimam earn 1 1 lin. dillantiam onerabantur armatu-
rae , vel fi mavis lamella aerea ipfis interpofita, modo
tempeftas valde ficca effet , indeque fuccuffio & i6tus fatis
validus habebatur. Si tempeltas minus ficca, minufque op-
portuna experimento effet tabulae ad 19 lin. diftantiam
conftituendae erant , ut onerari poffent , iftumque prae-
bere , qui minor etiam , quam in praecedente diftantia
percipiebatur. Si demum tabulae ad 3 6 lin. diftantiam col-
locarentur , armatura quidem inferioris tabulae contra-
riam fuperiori eleftricitatem recipiebat , ut , infulata infe-
riori ea tabula , facile deprehendebatur , fed ita exigua utriuf-
que armaturae eleftricitas erai , ut fenfibilem iftum non
praeberet.

Quando lamella aerea onerabatur, conftanter obfervavi,
quod ab AEpino jam fuerat animadverfum , eleftricitatem
armaturae fuperioris cum globo communicautis veljemen-
Mifc, Taur. Tom. V, p

io6

liorem fuifle contraria eleftricitate oppofitae armaturae

communicantis cum folo;

Quando vero tabula inferior infulata erat, ejufque com-
municatio cum folo per admotam manum perficiebaiur pott
induftum onus auferendam, tunc alterno tabularum contaftu
obfervabam fcintillas ab ipiis eliciendas celeriter decrefcere.
Scilicet attaftu fuperioris armaturae non folum exceflum
ipfius eleftricitatis fupra eleftricitatem inferioris armaturae
auferebam , fed multo etiam plus, ita ut ejus eleftricitas
eleftricitate inferioris armaturae multo minor evaderet. Vi-
ciifim quum inferiorem armaturam tangebam , non folum
ejus ele£tricitatem eleftricitati fuperioris aequabam , fed
multo minorem etiam efficiebam , ut fie duobus, tribufve
alternis hujufmodi atta6tibu$ totam penitus eleflricitatent
exftinguerera.

Et haec quidem inaequalitas eleftricitatum etiam ir
onerato vitro deprehenditur. Notum enim eft corpus ej
file ferico pendulum inter binas armaiuras vitri onerati
& infulati tamdiu ofcillare , donee eleftricitas penitus ex-
ftinfta fit. Verumtamen fi inter oppofitas eleftricitates abfo-^
luta aequalitas requireretur , nunquam eo modo vitrum
exonerari poflet : nam ubi ad earn aequalitarem perven-
tum effet, pendulum quiefceret , nee ex una armatura
ele£lricitatem haurire poffet , nifi eodem tempore par
quantitas eleftricitatis ex oppofita armatura educeretur.

Quae omnia ab AEpino feliciter explicantur. (i6) Enim-
vero determinata quantitas eleftricitaiis intra datara arma-
turam feorfim fpe6tatam colligi poteft } fed hujufmodi ele-
ftricitas exigua eft, fi comparetur cum ilia, quam eadem
armatura recipit , quando oppofitae armaturae contraria
ele6lricitate attrahitur , ac retinetur , quae tamen attradio

(16) Vid. Prtut. II p. 90.

107
eo minor eft , quo oppofita armatura contrario modo
eleftrica magis remota eft , craffiorique coercente corpora
ab eadem feparatur. Jam vero quando lamella aeiea one-
ratur , oppofitae armaturae ad ingentem , ut vidimus , di-
itantiam collocari debent , ne oppofitae eleftricitates per
ipfum aerem fponte permifceantur. Hinc modica eft con-
trariarum ele^lricitatum in fe invicem aftio , perinde ac
in crafliori vitro contingit ; propterea , ut eleftridtates in
armaturas tanta quantitate congeri poffint , quae mediocri
iftui fufficiat , necefle eft amplitudinem earum augere ,
unde eleftricitas , qaam fingulae per fe recipere poffuni ,
major evadit , & fenfibilem acquirit proportionem ad earn,
quae ex eleftricitatis contranae in oppofita armatura re-
fidentis a6lione allicitur.

Hinc mirum non eft priori eleftricitate ( quam per fe,
& feorlim fjjeftatae fingulae armaturae recipere, & emit-
tere poftunt ) ex una armatura per atta£lum fublata , fen-
fibilem inter eleftricitates oppofitas differentiam nafci , &
ex alterno hujufmodi contattu cito omnem eleftricitatem
exftingui. Hinc eiiam intelligitur , cur homo , ut advertit
AEpinus , qui hujufmodi aeream laminam inlula'tus deone-
rat , eleftricus reperiatur eadem eleilricitate , quam fupe-
rior armatura poHldebat , in quam adveniens ele6lricitas
congefta eft.

.Porro quaefitum eft, num fuccutiens eleftricitas in ar-
maturis relideret , an in coercente corpore , quod arma-
turis interjicitur. Argumenta alibi adduxi , ex quibus con-
fici videtur revera in armaturis pofitam efle. (17) His
alia addidit Priestleyus , quae eamdem opinionem
confirmant. (18) Quum veto maximum argumenturo, quo

f 17^ L. C. Tom. Ill 5. 75 & feq.

L. C, III a p, 434 ad 440,

io8 _ ■

contraria opinio fulcitur , ex Frankliniano experimento '
defumatur de vitro onerato , cujus armaturae fi certa lege
auferantur , mutenturque , fuccuffio nihilo minor habetur.
Hinc peropporiuiium fore exiftimavi ad hanc quaertionem
dirimendam , fi e converfo iifdem manentibus armaturis,
mutataque interjefta iifdem coercente lamina, fuccuffio ha-
beri poffet ; quumque id in lamella aerea commodiffime
fieri poffe praeviderem , in eum maxima finem elegans
AEpini experimentum , ut fuperius expofui , iterandum fu-

fcepi. ...

Itaque aeream laminam , ut prius , inter oppofitas arma-
turas oneravi; dein omnem apparatum ex uno in aliud cu-
biculum tranftuli : qua translatione , & motu omnis aer
armaturis interjeftus mutari debuitj & tamen nihil inde fuc-
cutiendi vim debilitatam effe obfervavi. Unde videtar con-
firmari fuccuiientes eleftricitates , in armaturis praefertim,
polltas effe.

Equidem in animo habebam oleum phiala tenui , lata-
que includere , cujus oppofitae planae , ac latae facies de-
ferentes eflent , reliquae partes coercentes , oleum fie in-
clufum onerare , poltea vas leniter agitate exploraturus ,
num fie eleftrica fuccutiendi vis deleretur. Verumtamen
quum oleum fluidum , ae divifibile, perinde ac aer, fit,pro-
pterea & ingens craffities, & maxima amplitudo in olei
lamella fimiliter ac in aerea requireretur , ut fenfibile onus
reciperet : hinc nonnifi vafis peramplis ad hoc ipfum pa-
ratis tale experimentum perfici poffet (19).

Taurini die 13 julii 1773.

(19) Prtcstletus abfque fucceflu olei tamiaam oneiare tentavit I, c. Ill
p. »4S.

JOHANNIS FRANCISCI CIGNA°'

DE RESPIRA T'f^O N E.

Kyuum olim caujfam invejligarem cur flamma in
imerclufo aire deficiat , & intereat rei affinitati
adduclus fum , ui caujfam quoque inquirerern , cur
animalia ah imerclufo acre JimiLiter enecemur. Quo
factum ejl, ut in v arias quaejliones incur rerem ad
refpiTadonem pertinentes , & varia eiiam ad eas fol-
vendas inirem experimental quae omnia eo ordine
expofui , quo fe mihi primum obtulerunt. Quum ea-
dem recoleremy ax: retraciarem, exiflirrmvi equidem,
fi in meliorem ordinem digererem, & cum aliorum
CI. Virorum experimemis conjungerem, & cornpara-
rem , magnum inde praefdium erui poffe ad multas
& di£icdiimas , de hac re quaefiones elucidandas.
His iiaque mihi incumhendum confiitui, neque ve-
rebar ^ ne cuipiam fonaffe viderer in argurrunto pa-
rum anatomico , aique adeo a mimere meo alieno
verfarif de refpiratione agens, quum non mode nema
illorum , qui univerfum anatomes ambiium complexi.
funt , principem banc aclionem humani corporis prae~
terire pciucrit , fe,d & maximi hujus aetatis anato-
mici WiNSLOVius, Ferrenius, Hallerus ipfam

I lO

ex propojito, & peculiaribus quldem opufculls perfe-
qutijint ; quum FantONUS cathedrae nojirae anatomicae
ornamentum & decus non foliirn in dijjenationibus
anatomicis eleganter^ & ingeniofe ^ ut cetera ^ id per-
il aclaverit , fed peculiarem etiam lihrum pollicitus Jity
in quo multa ex iis problematibus , quae nunc ego
adgredior y Jibi folvenda propofuerat. (*) Si vir exi-
mius pro ea , qua excellebat , ingenii acie , 6^ uber-
tate doclrinae^ quod promifer at perfect jfetj per exiguus
fane meis difquifitionibus locus reliclus effet , quem-
admodum ex iis , quae in differtationibus anatomicis
interfperfit ^ quae quidem mihi faepe erunt laudanda,
conjeciare licet. Hi vero qualefcumque conatus nifi
praejlabunt, ut lucubratioties tanti viri minus dejide-
remus ., at f ahem meam in perutili Jludio diligentiam
Jignijicabunt. Meliora fortaffe , certioraque fuiffem
allaturus^ fi vana, quae in hanc rem mihi tentanda
propofueram » experimenta exfequi potuijfem , fed aliis
aliifque curis difracius ufque adeo dijiuli., dum Regi'J.
Sccietas quintum hoc volumen prope editura ej^et.
Quare occafonem captare conflitui meditationes has ,
quoad fieri poiuit emendatas^ evulgandi, accuratiora
impoferum^ & ex propriis experimemis , & ex do-
Borum virorum animadverfonibus allaturus.

("*) Anatomia corpoiis humani p« 35r«

Ill
CAP.!.

De Problemate HaRVEJANO , & de caujfa

inchoandae refpirationis,

I v/lim problema do£lis viris Harveus propofuit , qui
„ fiat , ut foetus in lucem editus , & membranis inte-
„ gris opertus , & etiamnum in aqua Tua manens aliquot
„ horas citra fufFocationis- periculum fuperftes fit , idem ta-
„ men fecundinis exutus , li femel aerem intra pulmonem
„ attraxerit , poftea ne momentum quidera temporis abfque
„ ea durare poffit , fed confeftim moriatur; fimiliter, quum
„ in feftione caefarea foetus horis complufcuHs po(t matris
„ obitum eximitur , vitalis taraen reperitur , fimulac vero
„ eo femel gavifus fuerit , etiam in eafdem feamdinas re-
„ pofitus , illico ob hujus carentiam fuffocetur. (a)

II Ex eo tempore plerique anatomici ejus probfematis
folutionem adgrefli funt. Et quidem alii infantes a matre
divulfos reipiratione carere non pofle docoerunt , quod
ejus fanguinem acre imbutum non amplius accipiant, ficque
reipiratione egeant , qua fanguini neceffariam aeris quanti-
tateni haurire poffint. {b) Cenfuerunt alii indu£lam (pirandi
necefiitatem mutationi in pulmonibus fa^e tribuendam
efTe , qui prius denfi , aqua graviores , ex lefpiratione te-

(fl) Certum ejl per nDJlra , 6" per magnorum dudum virorum exptrimenta foetus
auper ex utero matris txcifos , inqui amnio reliClos midiis in atjuit vi.
vere, neque perirt , niji eo tempore , quo aliaquia treditile fiurit tent-
rum animal aliunde periturum , pojl ali^uat nempe koras , out aluro dt-
mun die CI. HallER el. phyf. Ill p. }I4. f^eritas faSi at Harveo pro-
pofiti confirmatur fcQionibus caeftrtis , 6i memorabili exemplo fandeiwiel
dc milite , qui uttrum cum foetu c gravUa txclufom ad iribuitum detutit,
uti folutis membranis vivus puer lu£em vidih fiUkCERUS dc cat. hum.
lib. II cap. f p. 499.

(*) BoKELLus de inci. atiim. prop, cxviij.

mel inchoata varlores leviorefque evadant ; ea nempe ex
mutarioiie fieri, ut jam fanguinem copioi'us admittant, qui
per ipfos trajici abfque refjairatione non poffit. Propterea
ex ejus (anguinis congeftione animalia fufFocari , quum pri-
mum fpirandi facultas iifdem adimitur. ( c) Sunt qui obli-
quitatem ovalis foraminis duftufque arteriofi in fufFocatio-
nis cauflam adduxerunt, (d) aut a refpiratione dilatata pul-
monalium arteriarum orificia. (e) Sunt qui earn fufFocatio-
nem tribuerunt occlufioni ovalis foraminis , duftufque arte-
riofi , propter quam , praetermiffo pulmone , fanguis circu-
lum obire amplius non poffit. (/) Sunt demum qui velint
foetum in utero ab aeris preffione non affici , nee eidem
fiiftinendae vires ejus fufficere , nifi refpirando elafticura
aerem hauriat , qui exteriori aeri contranitatur : hinc, nifi
refpiret , ab externa preffione fiiflFocari. (g)

III Ad primum quod fpeftat non video , cur foetus a
matre fejunftus , & intra amnion reli£tus refpiratione ca-
rere poffit ; pofteaquam aperto amnio femel refpiravit ,
amplius non poffit. Neque enim credibile eft membranas
a matre feparatas fanguinem aere imbutum foetui fuppedi-
lare : fimiliter foetus caefarei , qui vivi educuntur , hu-
mores novo aere imbutos a matre jam moriua , atque adeo
non refpirante excipere non potuerunt. Addit Bernoul-
Lius , fi ex hac caufTa raorerentur, quibus fpirandi facultas
adimitur, tardius faltem effe interiiuros. (A) Demum Pit-
Caknius obfervat, catulum , obftrufto ore, & fublata re-

(c) Truston de refpir. uAi diatriba a p. 104 ad 107. . j

id) Idem I. c. p. 107 , 108. I

(f) Vide apud Hallerum I c. p. 315, 316.

{/) DioNis Anaiom. de I' hom. p. 44J: Qui homines quofdam ftrangulationis
vim elufifTe putat , quod vias foetus adliuc apertas fanguis repetere
potuerit. Eadem eft opinio Bernoulli in difputatione , quae exdat
in colleft. Haueriana p. 638.

(rt Berserus I. c. p. 499,

(Aj L, c, p, 615 , 6*6.

Ipira-

I'}

^ii^tione , haud minus perlre , licet per tranfufionem fan-
guinem interim commuter com alterius atiimalis libere fpt-
Mntis fanguine, ficque fanguinem adcipiat aere divitem (/)•
y^ IV Ad alterum refpondet Celeber. Hallerus haud ita
fiibito , nee ex paucis refpirationibus recens nati pulmo-
nem mutari ; quin imo etiam poll plufculas refpirationes
avium pulnOonem ne quidem natare. (/:) Quoniam ivero
mora in variori acre 'paullatim pulmones iteriim denfiores
evadunt(/), haud impoffibile effet , aSre paullatim ad ma-
jorem raritatem perdufto , ac interim per partes renovato
(771), p«-iftinam pulmoni' denfitatem reftttuere , atque adeo
animalia a fpirandi neceffitate liberare ', fi ab ea fola cauff*
haec neceffitas penderet.

f Obliquitas duftus arteriofi , & ovatis foraminis , obfervante
Daoustene ( /I ), a refpiratione non mutatur, augeturve , nee
propterea in cauiTara afFerri poteft , cur femel coepta re-
fpiratio ejufdem perennandae neceflitatem inducat.
*'^'V . Dilatatio arteriaruni pulmonalinm aitgebit quidem
f|5irandi neceffitatem , feu eamdem urgentiorem efficiet ;
fed quum ea mutatio a paucis refpirationibus exfpe6tanda
non fit, idcirco primae iliius neceiiitatis , quae poll pau-
cas refpiratioiie* nafcitur , cauiTa efle nequit.

Nee etiam phoenomeni explicario peii poteft a claufo
foramine ovah , duftuque arteriofo , quae nonnifi progreflu
temporis , diuturniorique re/piratione demum clauduniur (0).

(j) De cauffrs diverf. itiolis §. 19. h\ etiam expeitmentum a Duverneyo
rcfertur. Oeuvres anatom. II p. 82.
J) L. C. p. 314.

/) GuiDEUs tranf. philof. n. r»i Musschemb. in Florent. p. 51, 51 rot. a.
m) Vid. Mifc. Taur. II p. i8d.
n) In difput. , quae exftat in colfeft. Hailer. p. 689.

0) BerGERUS dC natur. hum. p, 498. QuinJo nunc refpir.ivit animal, non
quidem cominuo aut dudus aritriofur cl'uditur , am foramen ovale HAtr
LER. 1. c p. 315. Coafer. eumdem op. niin. ). p. 440.
Mijc, Taur. Tom. V. 4

114

Poftremo ex pielHone .^eris , ac neceflitate elaftici flui-
di in fanguuie refpirandi necellitas deducenda non eit,quum
& in utero ac membranis comprehenfus foetus mediatam
quidem , Ted minime dubiam aeris preflionem patiatur, &
foetus humores jam elallico aere referti fint, ut alibi con-
itabit (/>). !

VI At vero longe probabilior Harvejani problematis;
folutio fe offerl ex oblletricantium conftami obiervatione
petita, qui tradunt, in partu foeium interfici, queries funi-
culus umbilicalis ante caput ita propendet , ut inter ipfum,
& uteri oltium comprimatur prius, quam infan? , exerio
capite , & auram captare , & relpirare poiuerit ( ^ ) , ea
nimirum ex obfervatione coUigitur ex intercepto placentani
inter & foetum vel in ipfo utero commercio , intantem
interfici , fi interim refpirare non poflit. Hinc BoHNius
exiftimat foetus , qups vuigo mulierculae ex funiculo circa
collum circumvoluto inter pariendum ftrangulari fibi per*
luadent, non quidem ex ftrangulatione lufFocari, fed pQtius
ex nimia circumdufti funiculi tenfione , aut preffione , ex
qua cum placenta commercium intercipiatur : fiquidem re-
fpiratione haftenus impune caruerint, & etiam nunc carere
poflint , commercio cum placenta , quamdiu refpirandi fa-
cultas non datur , (ine vitae dUpendio non poffint ( r ).

VII Equidem nonnulii opinati funt , fublato cum pla-
centa commercio , refpirationem tantopere neceflariam eva-
dere ex eo, quod foetus , qui fanguinem matris aere refer-

(/») Vid. infra cap. III.

( ^ ) RoEDERER art. obft. p. 99, 198, 296, 306;, 307 . Funiculus etiam a per
ftore aut pelvi contra uteri oftium compreffus , iniercepto fatigUinis
citculo , foetum interficit ( ib. p. nz). Eadem ob/eivacio a Mervo
propofiu fuerat ( Mem. de I'Acad. T. X ) , & a Mauriceaux
( Malad. des fern. cap. xxxvi) Monro ( eflais d'edimb, II p. t^)
Hebensreit ( puthol. funic, urabil, §. 10,)

f r ) Infantic. p. 358 .

«'5

turn exclpere nequit , nifi refpirando aerem hauriat , quo
iplius humores imbui pofllnt , ex penuria aeris in eifdem
humoribus moriatur (s). At earn alii opinionem gravif-
fimis difficultatibus prerai fuperius obfervavimus. Quare
longe verofimilior hujus phoenomeni explicatio videtur ,
quam tradidit DAOUSTtNC ex mechanica necelfitate dedu-
ftum \, fcilicet ligatis arteriis umbilicalibus majorem reft-
ftentiam opponi fanguini in inferiorem aortam influent! ,
qui prius libera in placentam efFundebatur : hinc fangui-
nem in aorta inferiori congeftum refiftere fanguini per du-
Aum arteriofum advenienti , qui propterea majori nifu in
pulmonales ramos irruat. Similiter ligatam venam umbili-
calem efHcere, ut copia , &c impetus fanguinis in dextram
auriculam advenientis minor fit , qui propterea facilius
coerceri poflit ab aufta jam copia fanguinis per pulmo-
nales venas in finillram auriculam influentis ; ex utraque
vero cauiTa impetum & copiam fanguinis ad pulmonem
tantopere augeri , ut ablque refpiratione tranfmitti non
poffit : hinc ex fanguine in pulmonibus cohibito, ac con-
gello infantem luffocari , nifi per refpirationem explicatQ
pulmone ipfius trajeftus adjuvetur liberiorque reddatur ( t ).
VllI Sic etiam ob hgatas artenas umbilicales opple-
lioni pulmonum , & capitis, recens natos infantes obnoxios
effe olim Covperus adnotavit ( « ), & ex eadem porro
cauffa fanguis inferioris aortae arterias pelvis pedumque di-

[■]

Mert I. c. Mauriceaux I. c.

In difp. quae habetur in colleft. Haiier p. 688 . Inuriiurot , qui ante
pulmonum txpanfionem ttiam nativuati proximi oppriffa vet Jlrangulata
vafa umiilictUia hattnt , quum tx altera pane, qua venam, iniercepio ejus
flumtne , ventriculi cordis anterioris vacuiias , ex altera autem parte,
qua arterias , opprejjls tarum canalihus , plenitudo ventriculi cordis po-
jlerioris , ac dephiio e]us impedita , hinc fuHlanea mors necejfaria co/l-
ftquatur. HebENSTREIT I. C. § 9.

'(tt) In append, ad anaioiu. hum. Corp. c. ^9.

q »

I' 116

latat (x) y unde inferiores arms injignuer augentur {y).

Ex venae autem umbilicalis ligatura iclerum recens oato-
-fum proficifci fufpicatur Q. Morgagnus ( ^ ). An verb
•ex eadem etiam cauda lac in mammis recens natorutm,

ex aufto fcilicet fanguinis impetu in mammarias arterias.?

IX Quemadmodum vero ligato funiculo augetur im-
petus fanguinis ad pulmones , lie vici/lim per refpiratiooem
liberiori. parata via fanguini in pulmonem advenienti:, ejus '•
impetus a funiculo avertitur. Hinc eft, ut funiculi ligaiu-
ram licet tutiorem , rninimeque omittendam , baud tamen
neceflariam e(Te CI. viri contenderent (a), quod nempfi

"-ifanguis multo minori impetu ad ipfura pellatur, poftquam
,jper refpirationem explicaio puJmone , in hunc copioiius
liberiufque decorquetur.

X Ex quibus jam fu'virur problema Harvejanum, cur
nempe infans, ubi I'emel refpirando aerem hauferit , eo-
dem deinceps carere non poffit, ( I ) fcilicet per refpira-
tionem fanguis a funiculo avertitur (IX)} defeftu vero
fanguinis , & aeris contaftu turn funiculus , turn placenta

^refrigerantur : & immeabilia fiunt {b). Hinc nee fanguis

fx) Haller pr. lin. §. 913 , 948.
y ) lb. §. 952.
( ^ ) De cauf. , & fedib. ep. xlviij §.60. '

(a J Primus banc obfervationem propofuit CI. Fantonos, (anan corp.
hum, p. 161 ), quae multo magis in brutis obtinet, quatn in homi-
ne. Confer Cel. Hallerum cI. phyf. viij p. i p. 441 , & fc-,
(i) Pulcherrimac funt , & ad rem noftram apprime faciunt Roedereri
obfervationes , quibu-s conftat , extrafto foetu, nee compreffo funi-
culo, calnrem primum , dein piilfum in hoc exftingui, in locis pri-
mum ab umbilico magis diflltis , inde pedetentim in propioribus ;
idque intra pauca minuta contingere , fi placenta edu£la , & fngida
aijri expofita fit, paullo tardiiis, fi foetu.s, funiculus, & placepia intra
fcpidum demerganiur, vel fi placenta ad uterum adhuc adhaerear .
Ex quibuR concludit pioculdubio pulfus in funt , quum natus tfl infans,
Ceffat propter novam partim circulailonu in infnnie a rifpiratione ratio-
nem , pariim propter cxurni airis , a tjuo funis iifficitur, coruaflum. .Vid.
Auft. icon, liter, hum. tali, vj p. 2-» , 18 . CanJiius umtilicaliius rr-
frigeratis , fanguis , tjuem continent , ommm mox vitpl"inem Je"on''
con^ilafcii BoHNlVS I. .

funiculi viam , quam ob inchoatam refpirationem deferuit,
repetere poterit , nee propterea intans refpiratione dein-
jceps carere ( VII ).

XI Hinc eft, ut per refpirationem recens natus novam
alacritatem acquirat (c): fie enim fanguini aegrius , ac
tardius per refiftentem funiculi , ac placentae viam circa-
meunti nova ac liberior paratur, unde expeditior per uni-
verfum corpus ipfius circuitus evadit. Hmc etiam ratio
eruitur , cur debilis infans , quamdiu non refpiravit citius
reficiaiur , fi funiculus non fuerit deligatus , & cur cauti
obrtetricantes non prius vinciant , quum coeperit refpirare
((/), ne videlicet per ligaturam nova fanguini debiliter
moio refillentia opponatur , ex qua debilis circuli vires
ita opprimaniur , ut metuendum lit , ne penitus fatifcant

XII Quum , intercepto per funiculum circuitu, foetus
neceffario pereat , nifi refpiret ( VI ) ; hinc perperam non-
nuUi ex nodis in tuniculis foetuum quorumdam repertis
eos noniiifi per os nutriri potuide concludunt (e). Eifi
enim per os nutriri aliis argumentis fatis fuerit eviftum
if); ex ea tamen obfervatione fententia haec nequit con-

.firmari : nam fi nodi ejufmodi fuiffent , ut fanguinis tra-
ijtfftum per funiculum impedirent , non folum nutrimentum
fuftuliffent , fed & fuppreffo fanguinis circuitu (^ VII ) toe-
turn enecalTent {§)>

( f.) Solus inter caiulos caefareos robur demonftravit , qui refpiraverat
( Haller el. phyf. Ill p. 318) nova alacritas animalis pofl capnum
aerem ( ib. viii p. II p. i6x) fi ovum ferpentis frangatur, quum ex-
cluConi proximus eft, ferpens apparec in fpirain contortus , & im-
inoius , fed portquum bis terve ore hiaverit , aeremque haufeiit ,vi-
vidos motus habec. Aer repenie machinam in motum cict. Duver-
NEY I. c. p. 573.

(J'\ RoEDERER el. art. obft. p. 167, Hebenstreit I. c. §. 10.

it) Petit M6in.de I'Acad. an. 1718 Heister comp. anat. p. 316.

(fS Vid. Hallerum phyf. el. viij p. I p. 201 & feq.

(f;) Haec obfervaiio Monroi cA. EiVais d'EoiMBOVRG II p. 196.

ii8

XIII Ex propofito igitur phoenomeno ( VI , VII ) cor»-
ftar, magnam partem fanguinis in foetu reSius ad umbiUcales
arterias duci , & a pulmone onus averti ( /: ) i 3C propterea
placenram tamquam diverticulum fanguinis confiderari pofle,
dum pulmo ex aeris defeftu nequeat diiatari ( i >, Etfi
enim in oviparis defit , hinc diverfa in ipfis oeconomia
admittenda videatur ( A: ). Attenta tamen obfervatio demon-
ftrat aliquid analogiim ipfis reperiri , quod eidem officio
inferviat, Revera Nehedamius refert in ovo etiam tunicas
injigniter crajfefcere , & fpeciatim in ovo anferino albuminis
tenuioris lunicam , fub finem incubationis exiguas quafdam
carneas papulas Jibi interfperfas ubique ojiendere iis fere fi-
miles , quae in equa occurrunt ( / )• Eae igitur tunicae , & .
vafa per eas diltributa in ipfis etiam oviparis detorquere \
fanguinem a pulmone poterunt , & vicariam placentae vU
viparorum operam praertare , quod confirmatur elegantiti
fimis perfpicaciffimi Halleri obfervationibus , qui nempej
vidit in pullo incubato turn demum pulmonem, & dextrut
ventriculum evolvi , qaum membrana umbilicalis , & rami
arteriofi per ipfam diftributi , immutabili ovi longitudine
terminati , minus extenfiles evaferunt , & magis refiftunc^
fanguini per inferiorem aortam advenienti : ex hac enim
refiftentia fieri cenfet Vir fapientiflimus , ut dextra auricula
juxta derivationis leges in dextrum ventriculum facilius
fe exoneret , quam in finillram auricalam } propterea &
ipfiim auriculam dextram & ventriculum dextrum , & pul-
monalem arteriam evolvi ac diiatari , majoremque fangui-
nis quantitatem ad pulmonem pelli ( m ).

' k) Haller pr. lin. §. 924

Needham. de fornii foetu in Bribl. Makget i p. s;3.
k) Id. ib.

Idem p. 545.

Formation <b c<r«r 11 p, 100, lOl, 102.

;U

XIV An non igitur quantltas fanguinis ad pulmonem
appellentis ienfim au6^a , tandem tanta erit, ut non neque
libere ablque refpiratione tranfmitti amplius poflit? An non
quum primum ex hac cauflfa gravari incipiet pulmo , an-
xietatem aliquam puilus experieiur , primofquc refpirandi
ftimulos percipiet ? An non adeo turn demum incipiet
reipirare , quum ab umbilicali membrana repulfus Tanguis ,
majorique copia ad pulmonem delatus, quam ut commode
traiil'mitti poilit anxietatis fenlUm excitare in eodem inci-
piet ?

XV Haec aut his fimilia in homine etiam & vivapa-
ris locum habere obfervatio fuadet : nam in his etiam ,
progrediente gellatione , placentae ad foetum proportio
minuitur ( /2 ) , & magna pars foraminis ovalis obcuratur,
ut folus , tranfverfim ovahs , obliquus aditus liber fit , qui

ii) mature foetu — venae Cavae vix fuperet ( o ) , ex qui-

bus cauflls ventriculus cordis dexter juxta derivationis le-
ges explicatur (/»), licque quantitas fanguinis, & impe-
tus in pulmones gradatim augetur. Quapropter non inve-
rofimile ert, turn demum foetum ad refpirandum follicitari ,
quum tanta quantitas fanguinis ad pulmonem affluit, ut
aegrius tardiufque per ipfura tranfmittatur,

X^I Hinc aliquod robur ad illorum opinionem vide-
tur accedere , qui foetum refpirandi defiderio ad exitum
excitari docuerunt ( ^ ). Quoniam eaim in utero refjiirare

(n) AsTRUC. Art. (Taccoucher p. 210.

(o) Hauer pr. tin. §. 9*2 , aut ad fummum — el. phyf, vAj p. lip. r^,

10
Id. pr. lin. §. 911.

FABRiciusab Aquapendente. Vid. Harveum de partu p. 338 Pechlinus
cap. xij, BoHNius circ. anat. progyra. Ill B£RGeru5 I. c. lib. II cap.
Ill p. 492, DieMerbroek. anat. lib. i cap. XXX\' p. 314 Liev-
TAUD el. pliyf, p. 196.

Hi

nequit , quum primum majori copia fangu'mis per com-
prefTos pulmones difficilius trafmittendi gravari incipiet ,
anxius , inquietufque evadet , primofque m paritura pa-
riendi ftimulos excitabit , quae caulTa partus a natura pe-
tita (XV) videtur confirmari obfervatione infantum, qui
mortua jam matre fponte prodierunt ( r ): neque ris diffi-
cultatibus obnoxia eft , quibus ceterae , quae folent pio-
poni ( J ) , quamquam non diffirear , caulTas etiam alias
turn in ipfo foetu , turn praefertim in matre ( f ) ad hanc
aftionem excitandam concurrere.

XVII Ex quibus jam conftat , quae nam fit primae
refpirationis cauflfa. Nempe maturus foetus , qui vel in ipfo
uiero jam moleftia aliqua ex copiofius ruente in pulmo-
nes fanguine affici incoeperit ( XV ) , quum primum pro-
dierit , & fcfpirandi facultatem adeptus fuerit , ob idipfum
refpirabit , ut liberiori fafto fanguinis per pulmones cir-
cuitu , quum moleftiam avertat , qui porro ftimulus in ne-
ceflitatem conveftetur, quum ex ipfa refpiratione , aut fri-
gore , aut vinculo , fublato cum placenta commercio ( X ),
tanta quantitas fanguinis ad pulmonem urgebitur , ut nili
o OK .' : trii'h fn;;j refisi-

( /• ) Hakvzvs I. c. p. 345 Haller el. phyf. viij P. I p. 410.

{s) Uti moles pondufvc tdetus , alimenti defeftus. Vide Harveum }. c.

■' p. 346 Hiji. naturtl Tom. IV p. 119, & feq. DlEMEEBROEKIVS, qui

infancem prodire contendit ex eo quod, ejus calore fenfim au£to,
tandem refpirationis refrigeria opus habeat , haec addit „ ilium autem
., ealoris incrtmtntum atqut coniinfit in parvo foetu , qui falls diu in
,, utero haept , quam in magna , aique hinc cujuslibet maturi foetus fivt
J, magni , jivi parvi eadem efl caujfa majoris catcitralionis , &• partus,
I c. p. 314.
., . Neque vero opponi poteft foetum aerem defiderare non pofle,

>i .'I '» cujus nullam habeat nntionem ( de BufFon. I. c. 124.) nam fufiictt
eumdem, gravato pulmone, inquietuiii effe , ut uiatrera motibus.fui^
ad pattern ftimulet, idemque caecus appetites, naium inf^ntem ad
refpirandum incitabit , qui ad furgendum papillam invitat , aliafjue
magis compofitas afliones edendas , quarum nee cffeftum novit , nee
inftromcnta.

(() Ut menftiuae evacuatioiiis molimina Dc Bvffon I, c.

reipirare pergat, eumdem fuffocarl necefie fa (VII): jure
igitur affirmarunt Viri CI. ob eamdem cauflam perennare
refpirationera , ob quam femel inchoavit (u); jure etiam
ftatuerunt caufTam banc talem effe oportere , ut non for-
luito , fed conftanrer , ac neceflario animalia ad earn
aftionem edendam impelleret (x ).

XVIII An igitur ob dolores , quos in partu , & pod
ipfum ex novi eiementi injuriis infans patitur ad quiritan-
dum, atque adeo ad refrjirandum impellitur (y)? At pul-
lus intra ovum pipit nulla exteriori moleftia atfeftus , &
animalia eriam muta aerem captant ( { ) , & hujufinodi
caufTa tumultuariae mufculoruro contraftioni porius , quam
ordinato refpirationis motui excitando apta effet i unde CI.
Fantonus exiitimare ie ajebat ob voluptatem potius, quam
ob dolorem animal recens natum ad refpirandum impelli
(ii). An ob liberaros a preffione nervos diaphragmaticos
animal primum refpirat ( ^ )? At in avibus, quibus nullum
diaphragma , refpiratio baud minus certum exordium habet
( c ). An ob nilum ad emittendas feces refpiratio incipit
dd)? At eae feces in avibus nuilius fere moment! funt (e),
eafque vel intra uterum deponere potell foetus, & reaple
deponit (,f), ut proptere^ meconii excretio pro eifeft u po-

a) Fanton. I.e. p. 351 Martin effais d'EdimS. i p. toi.

x^ Soli tiium cafui quadruptJum ^ avium^ut viiam comniiture noUm ^ ut motui
•litem temert ex fenfu incommodi fiflo .... Opontt aulcm tjufmoii'r
caujfain invtnire , quae nequt late pattat aC ferarum fpiritalia Ijtcla..
Hall£R el. plivT. Mi p. 317.
y^ BoRELLUs prop. CXVII . Truston 1. c. p. 115, \i6,
I ) Hailer I. c p. 316
a) L. c. p. 35c, 351.

t) Martin I. c. p. 20J: alii, que; recenfct C). Halurus /. c. p. 317:1. 6.
c) Uii adnotat Hallerus Ioc. ult. cit.
d\ Truston J. c. p. 117.
tS Haller I. c p. 316.

./ ) Mihi quidem non raro contlf;lt fece< in liquore cmnii contemns , in viniri-
culumque reforptas invenue. J^EEOHAM I. C. p. 553. Siinii;a obfcivaViC

CI. Hallerus I. c. p. 318.
Mljc. i^ur. Tom. V E

I ^^

tius quam pro caufla refpirationis habenda fit. An aSr pon-
dere fuo in nuper nati pulmonem defcendens ipfum ad re-
fpirandum follicitat ( ^ ) ? An potius irritatis naribus , exci-
lataque fternutatione eumdem refpirare <:ogit (h)i At
nuper natum animal non reffirat ,fi langueat,, etiamfi w lan-
guor ponderis necejfarium effcBum rnorari non pojjit (i),fae-
piffimeque non (tet-nutat ( /t ), aut certe a Iternutatione re-
i'piratio exordium non ducit.

An demiim motus , quo animal cibum quaerit , is eft ,
quo vekui infcius primum aerem hauriat ? At motus quo
cibum quaerimus , aut deglutimus, a motu refpirationis valde
differ! (/), deinde puUus rtatim ac exclufus eft cibum non
quaerit ( /w ), nee infans praefeitim abortivus ( « ) , quum
tamen a nativitate ftatim loleat reipirare ( o ). Poltremo
pullus longo ante exclufionem tempore roftrum aperit , &
claudit , qiiafi cibum quaerens , quum nonnifi poftremis die-
bus & refpiret , & pipiat (f ).

XIX Cauffa igiiur refpirationis eft mutatio fenfim nata
in placenta , & corde foetus progreflu geftationis , multo-
que magis fublatum cum placenta commercium , ex quo
tanta quantitas fanguinis in pulmonem urgetur , ut abfque

(/;J Bernoullios I, c. p. 625 6i6. Pitcarnius I. c. §.15.

(A) L'j4na!om. d'HEISTER II p. 115.

? i ) Haller 1. c. p. 317

( k) OEconom. animal par M. SlGAUD II p. 40.

( / ) Dtglaliri abfque rcfpirauone adet male negaiur, ut cum refpirationt Jcglu'

tiri niqueat. Hallir el. phyf. VlII p. I p. 201, 102.
( m ) Aliquaindiu nutritur vitelli colliquamento. Haller form, du coeur p. 158.'
Pulli ovi coriictm ea pane percuiiunt , qua rtfpirationc opus habent , hoc

agentes potius a refpirationt , quam a cibi ir.dlgeniia coadi, quum, flalim

ac e cortice excluji funt , refpirem; fine cibo autem biduo , diuiiufque con-

fiflant. Fabricius ab Aquapen. 1. c.
( n ) Majfae vegeiatili Jimilis continuo fomno indulget , vagitum non edit, ciiurn

non appetit. RoEDERBR. el. art. obft. §. aoj.
( 0 ) Statim refpirat vel ante feptimum menfem natus. Pitcarniu<; 1, c. §. 10.
\ p) Jam bora 190 aperto roftro cibum quaerit ( Haller for. du coeur U

p 50) quum nonnifi hora 451 primuui pipiat (ib. p. 53 J

.■•1

«1J

refpiratione per ipfum nequeat tranfmitti, ( XVII ) Propter-
ea canalis arteriofus , auc foramen ovale , utcumque aper-
tum ( y ) neque fanguinem a pulmone avenere poterit ,
neque animal a fpirandi neceflitate immunem reddere. Et
quidem eae viae fuperftites necera a ftrangulatione non
praecavent (r ) , & foramen ovale etiam Ji ampUjfimum num-
quam tanien plenum otiuni pulmonis faceret , quum venae cavae

fanguinem — fere minuat ( j ) , & eaedem viae in am-

phibiis quibufdam fie diftis , & in aquaticis quibufdam avi-
bu5 , etfi perpetuo apertae maneant. , fuffocationem tamen
ab intercepta earumdem refpiratione non impediunt ( t ).
XX Qui autem putarunt ab earum viarum obllruftione
folummodo fpirandi neceffiiatem afferri , quum viderent ia
nuper natis eas vias baud ita fubito claudi , propierea du-
bitarunt de veritate phaenomeni ab Harveo propofiti (1),
nee ira fubito fieri crediderunt , ul infans tacultatem amit-
teret , per quam haftenus acre carere impune potuerat (w);.
quum tamen , ut diximus, commercium cum placenta ob
inchoatam ferael refpirationem interceptum illi facultati au-

(?) Quale '"ud a CI. Morgagni obfervatiiin in infante quindecirn dierurrr,
in quo valvulam dicit penilus defuifle ( I. c. ep. XLVIII §. 63 ) &
Cmile LiEUTAUDii {cjfai anat. p. 326) & dcmuin illud Albini in
anu decrepita , quod cum corde increverat , & per actaiem augcri
perexerat ( anat. Acad. lib. I c. IX p. 34,

( r ) In noflris , 6" aliorum cxperimentis aperiuin in homine , inque animali id
foramen mortem ab aquis minime moralum efl , neque necem a ftrangulj..
tione, aut a fufocatione fequentem averili Hailer. el. p'lyf. Ill p. 252;
flmilia iterum ib. VIII p. II p. 159. Inutilis foret levit ilte hiatui
tanto fanguini tranfmiuenJo. BARTHOLIN, anat. p. 410.

(s") Haller I. ul. cit. p. 14.

K'\ Id. ib. HI p. 270, & in Boerh. not. 14 ad §. 691.

(•) Boerhaave in prael. ad §. ^91 inflit. ad verbum mu/amr. Centra DiE-
MERBROEKius DC in anijiio quidcin conienium eouinum pullum, vel
ad horae femiquadrantem extra uterum vivere afiirniat , & errori.s
Hakvcvm redarguic (I. c. lib. I cap. XXXV p. 31;). Verofiniiliter
uli.-i eventus frigoti tiibucndus, cui fecuaJinae extra uteium fuerunc
upoliue.

r z.

114

ferendae par (it ( X ). Alii putarunt per eas vias utcumqae
apertas languiiiem moveri amplius non polFe ; cur autem
moveri non poffer, cauffam quaefiverunt in eanim viarum
obliquitate ( x ), Alii demum eas vias fufficere cenluerunc
futioeationi praecavendae (j>');imo impedito earum coalitu
per trequentem receiis natorum in tepidam fubmerlionem
vera amphibia effici potle Iperarunt ( { )} quod tamen &
me olira frullra in recens naiis telibus tentaffe memini ,
3i rieri non polle propoiua ratio ( VI VII ) pieniilime
evincir.

XXI Equidem eae viae foerui peculiares , li apertae
maneant , quum oneris pariem a pulmone avertanc , etfi
plenum ipfius oltium tacere nequeunt ( XlX )j efficient ta-
men , ut animaiia pauUo diutius refpiratione carere pof-
(int , quam cetera , in quibus eae viae jam tuerint coaii-
tae ( a ) } ex quo apparet , cur recens iiaia animaiia, fi in-

(x) Quairitur quae fit caujfi , cur intcrcepto infantis in lucem idiii fpiritu ,
itlius fangu'u , elfi per piilmones moveri nequeai , per aniiquas tamen illas
vias traofirt non conetur : hoc en'im fi fierel, viJeiur per aiiquod faliem
tongius temporis fpatium non mcriiurum, Thruston J. c. p. loi. Vide
fupra 2,3.

(j/) Auftotes I'upra citati §. a, not. /" turn Muschembroikius , qui felcs
recens n.itos in vacuo inflari, profterni, voineie, fed non moii con-
tcndit (In Florent. p. 56, col. Acad.) & alibi. Fda , inquit , etiam
odo Jifius poll nativiiaitn non moriumur in vacuo, nee alia quihus fo-
ramen in coide ovale, turn canalis in puimonitus arterjofus patel. Incrod.
ad Pliilof. nar. §. 2166.

(5;) An confuciudine fieri pcjjit , ut fanf^uis antiquas femilas rrpelal , mihi nondum
compertum efl , quair.vis illud fieri , led rarilTime poffe urinatorcs , &
animaiia quaedam alia non contcninendo proifu"; argunicntn fint.
Thruston \. c. p. 110. Fieii pofTe, & inde amphibia paiari. Boer-
HAAVE loco ultimo citato , & CI. De Buffon , qui cxperiineatum
inflituit hift. natur. IV , p. 176.

(a) Niiper nata animaiia difficilius flrangulari , Bohnius infant, p. 355,
Quum ligata fuiffct afpera arteria , port 10 minuia aiirc opus habe-
bant (cK BiRCHJ Hallerus el. pliyf. Ill, p. 316, not. /) aut poft
24 demum hoias (ex Senac. ib. p. 314, n. /) quod incredibile vi-
dctur , nifi fyncope , aut alia fortuita cauffa acceflerit. Feles rcccns
natae 7 minutis in vacuo pereunt. Bovle ex p. pneutn. tit, IV,
jk de iclat. iaiei aisrem , & flatn, vital, animal, exp. VI,

firmiilima fuerint, ad horas aliquot refpiratiouem ncn mo-
liancur (b)i quum enim neceffitas rdpirationis ex vi , ik
impetu circumeuntis fanguinis dependeat , aique ob idipl'uin
fubmerfi , lyncoptici , convulli homines ad temp us inter-
dum fatis longum refpiraiione carere poflint, quin enecentur
(c), eo potiori latioae hoc privilegio eos gaudere necefie
elt , quibus ob nondum obibudas memoratas vias minus-
urgens necellitas relpirationis incumbit. ( ^ )

( A ) Qu jni/o infans langutt aliquo ne^ut minima ttmport aifque rtfpirtllont ptr-
Jurat. Haller el. phyf. Ill , pag. 225 , 317.

(c) Coiiter Hallirum I. c. p. 266. Diemerbroek I. c. lib. II cap. XIII.

\d) Hue fpcdare videniur nirtoriae a Bohnio propofitae de recens natiu

puellis , quae quum fub terrain fepultae fuiflenr , viventes inde pro-

tra£lae fuerunt , etfi carum altera per feptcm horas delituilTei ( I.e.

P- 3^5' 35^) adveriit fiquidem ipfe Bohnius infirmum aliquando

cxcluJi parium , uc omni fc'ifu , rnotu , ac rifpiralione per aliquot mo-

menia , feu notahile icmpus dtfliiui viJeaiur , inde qiiaj! fyncopii^aniein

vitam in apricum poni. ( lb. p. 352 ). Et pauilo pert. Simile quid his

fieri concipiendum, quod in hiflericae , & hypochondriacae fujfocaiianie

nonnullis fpeciekus , 6" animi dcliquio contingere otfervarr.us in his ni-

mirum affeOiius infpiraiionem aeris evidenter inie'poUri per notahile lempus

fine vitjc cum morie comrrutaiione (p. 354, 355) Hue fpcitare quoque

videtur fimilis hiftoria a Boerhaavio relata ( pracl. I. c.), nifi quod

in hac relictus funiculus cum kcundini.s , & cum infante fepultus aj

eius vitam fervandam confpirarc potuerit.

Hallerus catellum recens natum , qui tatnen refpiraverat per diraidiam

horatn in tepida vixifle vidit , ( fut la refp. exp. 113 ) & acimalia

recens naia diutius vim vacui ferre advertit, (el. phyf.III, pag. 314'"?

eadeinque eft obfervatio Duvernet (I. c. II, p. 89 J expeiiment'a

etiam Buffon. ( vid. fupra n. X ) ad diuturniorem tantum refpira-

tionis fufpenfionem pertinent, nee aliter videniur inierpretanda ex-

periincnta Muschembroekii fuperius jiot. V. memorata.

1 16

CAP. II I.

In quo nam pojita Jit neceffiias , '

in quo uiilitas refpiradonis.

XXII Aerem refpiratum non allam ob cauflam refpi-
rationi ineptum evadere oftendi , nifi ob noxios ad-
mixtos vapores, qui & animalibus infenfi fint, & flam-
mam fufFocent, & odore foetido fe prodant. Nam eam-
dem aeris quantitatem multo diutius refpirationi infervire
per experimenta comperi , fi condenfetur , quam^ fi in
majus rpatium fuerit expanfa , quod apprime refpondet va-
porum indoli , qui multo tardius per denliorem aerem
expanduntur , eumque propterea tardius ita inquinare pof-
funt , ut refpirationi ineptum reddant ( e ).

XXIII Et(i autem vapores , qui refpiratum aerem in-
ficiunt , ipfius elafticitatem imminuant ; banc tamen ela-
fticitatis jafturam noxiorum ipfius efFeftuum cauffam baud
effe demonftravi , quum & exigua fit , & in condenfato ,
iriterclufoque acre animalia moriantur quo tempore inter-
clufi aeris preffio atmofphaerae pondere multo adhuc major
exfiftit , & in aperto etiara aere , ubi non elafticitate, fed
pondere aeris pulmones diftenduntur, vapores exitiales fint
(/). Addere poffumus vapores alios , qui multo magis
elafticitatem aeris infringunt , minus tamen effe perni-
ciofos.

XXIV Itaque ex confideratis phaenomenis animalium
in interclufo aere exltinftorum , verofimile cenfui vi irritante

(«) Mifcel. torn. 11, p. 199, §. n, 24.

„ Aer non renovatus perpetuo evadit lethalis non ob calorem, vel rare-
„ faftionem , denfitatemve , fed ob aliam occultam cauflam, BotR..
„ inft. §. 203.
(/■) I" C. §. 44. 49.

1*7
eum aerem nocere , propter quam broncma , forte
ctiam pulmones convellantur, & ingrefiuro aeri refilknt; eo-
dem nimirum nocere mode, quo Boerhaavius, & Sau-
AGius mephitidis aut accenli fulphuris vapores fuffocare
exillimarunt (g).

■ XXV Et (i vero pulmones fenfu , & irritabilitate ca-
rere videantur, id de externa tantum iplbrum fuperficie
verum efle probabile eft , quum interna vivido fenfu in-
ftrufta fit, pari modo , quo externa cordis, & inteftino-
rum fuperhcies parum fentif, interna exquifitiflimo fenfu
pollet (h) , &c revera fulphuris accenfi vapores , aliique,
qui fuffocationem afFerunt , fi per infpirationem haurian-
tur, abfque damno in peftoris cavum immittuntur ( i ), quo
folo experimento probatur inter fenfum externae inter-
naeque pulmonum faciei maximum difcrimen interce-
dere (h).

XXVI Haftenus quidem fibrae verae carneae in ipfo
pulmone demonftraiae non funt ; certura tamen eft fibras
mufculares ab ipfa deorfum cartilagine cricoidea defcen-
dentes , & infra divilionem bronchiorum deduftas in pul-
mone evanefcere ( / ); motus vero pulmonis in ranis aliifque
frigidis animalibus , qui etiam aperto thorace perfeverar,
abfque hujufmodi mufculari ftruftura explicari non poteft,
cujus vi intrufus in pulmonem aer a pulmone ipfo poffit
expelli ( m).

XXVII lis autem mufcularibus fibris refolutis pulmo-
num aftionem laedi , aut tolli innuunt experimenta in brutis

(.0 L. c. §. 48.

f A ) Haller. el. phyf. I p. 489.
i i ) Langrish experiences fur les betes.

( A ) De fenfu internae membranae trachaeae , quae ipfa in pulmonem pro-
pagari videtur. Confer Hallerum el. phyf 111 , p. 148.

i</) Haller. pr. lin. cd. ul. §. 138 el. phyf. 111. p. 147.
m) Confer MAiPieH in pofth, p, 8, MoRttAeni adverf, anat, V 29.
p. 159.

viventibus inftituta dum Ilgato nervo recurrente refpiratio
laeditur , & rariffima fit , quamquam ab eo nervo nihil
ad feptum veniat ( /j ) , & refpiratio fimiliter laeditur li-
gatis nervis oftavi paris ( o ), a quibus maxima ex parte
dependet (f); eaque propterea laello fibrarum pulmona-
lium paralyli videtur ufcribenda (<]): fimiliter refolutis pro-
pter cerebri morbum pulmonuni fibris natum afthma tri-

buunt MORGAGNUS (r), & WlLLISIUS (s).

XXVI 1 1 Contra a fpafmodica earum fibrarum contra-
ftione id afthma oriri videtur , quod convulfivum dicitur,
quodque fubito invadit , & dimittit fine phlegmatis excre-
lione , frequentefque habet recurfus (t ) , quod confirma-
tur eorum obfervatione , qui fi retrorfum caput moverent
ftatim anheli fiebant j quod nimirum feri acris colluvies ,
quae deinceps cerebrum diffecando inventa eft , dum ca-
put reclinarent, verfus nervorum pulmonalium originem re-
lapfa illos vehementius urgeret (u). Ex conftriftis etiam
convulfifque pulmonum fibris dyfpnoeam repetit Rydle-
yus , quae diu hominem vexavit, qui in cellam vinariam,
ubi cerevifia fermentabat , imprudenter intraverat , quique
fme tufli diu ita manfit anhelofus , ac fi omnia , ut aje-

bat,

(n) Haher in BoER. IV p. 6i n. y , & ibid. p. lOO , not. 17.

(0) Idem rnitab. p. 215 exp. 182 , & p. 226 exp. 185.
tp) Idem irritab. p. 231 exp. 193, Earth, anat. p. 423, 425.

1^) Nam ii nervi pulraoni profpiciunt , non diaphragmati , ceterifve refpi-
rationis mufcuiis. Duverney pofth. II, p. 41. Aiiimalia feftis nervis
cardiacis pereunt , quia pulmonum nervis, qui eadem vagina inclu-
duniur fimul detruncatis , eorum inflammatorius tumor invadit.
Chirac, de mot. cord;,"! fpecira. analyt. a p. 105 ad 109.

tr) De fcdibus epifl. XV, §. 6, 7.

(1) Ex tali caufTa Wiiiisius modo convulfiones repetit, modo paralyfes ,

& hanim alterutras modo in ipfis pulmonum intimis fibris, modo
in diauhragmate ftatuit , aliifque mufcuiis refpirationi iofcrvientibus ,

MORGAG. ), C. §. 5.

(() De GoRTER fyftema pras. §. 33i.HALii (?atiquedes anim;iux exp. XII»
§. 17, p. 75.

(«) MORGAftNl I. C. §. ^ ,\>i. .(l-

I

119
bat , intra peftus coar6larentur (x): propterea verofimile
eft pulmonalem etiam vaporem , quo interclufus aer in-
quinatur, iimilem bronchiorum convulfionem inducere , &
animalia in eo pofita ex convulfivo afthmate interire.

XXIX Ex tali autem vi irritante refpirati aeris (III)
etiam deducitur , cur animalia diu fpiritum cohibere noa

.poflint : nempe eadem cauffa, quae efficit , ut animalia in
interclufo aere intereant, efficit etiam , ut ab aere per diu-
tumiorem infpirationem retento fuffocentur (y ). Hinc erga
neceffitas alterni infpirationis , & exfpirationis motus , ut
aer vaporibus inquinatus expellatur , & novo aeri per fub-
fequentem infpirationem hauriendo locum cedat ({).

XXX Rem mirifice confirmat Hookianum ingeniofif-
fimum experimentum , in quo aperto pe6lore, perforatifque
pulmonibus , duplici folle per trachaeam aer in pulmones
jugiter ita immittitur, ut, dum per pulmonis vulnera aer ela-
bilur , novus continue impulfus fuccedat , ficque , & pul-
monem in perpetua difteniione fervet, & defe£turam ani-
malis vitam diutiflime fuftineat ( a ).

XXXI Equidem fuerunt , qui contenderent , non tffe
necefTarium in eo experimento , ut pulmo perforetur , aut
laltem perforati pulmonis nullam meniionem habuerunt ( ^ )i

fx) Obferv de aflhmate p. 139, 140,
y) Haller cI. pliyf. Ill, p. 258, 159. Ubi calculo infticuto deraonflrar,
rantum iniercluC aeris intra datum tempus vitiari , quantum eo tem-
pore per repetitas infpiiaiiones hauflum fuir.

(I'S DUVERNEY I. e. p. 84.

(a) Vid. Boer, praelec. I p. 451, §. 203 ad vetbum reciproce , & IV p. 1
p. 32 ad vcrbura Hookii Stewensom efTais d'Eilimbourg VI p. 472»
473 per integram horain animalis vitam in eo c.tperimento fufleiv.
tan. Hallerus el. phyf. Ill p. 248 ad duas, & piures. Baguviuj , qui
fimilc experimentum inftituit dc fibra motrice p 294.

(i) Perlbrati pulmonis non meminit Rydleyus ( obf. de allli. p. 141 ) ubi
Hookii experimentum repetiit, nee Baguvius, fed is per inter-
vaila acrcm immifit, nee pulmones in perpetua diflenfione fcrvavit
( de fibra motrice app. p. 294 ): ncc Muschembroekius ; indequc
faftum videtui , ut obfervaverit experimentum non lacccdeic, nifi
foliis per aliquot rtciprocaiiontt moveaiur,

Mifc. faur. Tom. K S

i3«»

quae tameii omnino eft neceflaria , i\ dtiltiils animafis

vita per novum aerem admiflum fuerit fuftentanda , fecus
aut per vices pulmonem inflare , am aerem alterne
in pulmonem immittere , alterne ab ipfo haurire , opor-
tebit, nee propterea pulmo conftanter inflatus fervabitur,
quo tamen inprimis ingeniofiffimum hoc experimentura
videtur fpeftare . Hanc ipfam animadverfionem BoE-
RHAAVius propofuit , quod nempe HooKius , fi diuiius
experimenrum protrahere vellet , cogeretur fodicare pul-
monem , ut , veteri acre expulfo , novum recentemque in
e)us locum impelleret ( c ).

XXXII Quod fi in eum tantum finem experimentum
inftituatur , ut pulfo ex pulmone fanguine in cor , fopitus
cordis motus exfufcitetur in ftrangulatis fufFocaiifve animali-
bus, vehemens per os aeris infufflatio fufficiens erit , quum
femei flifflaminatus cordis motus Iponte deinceps perennet,
& refjpirationis organa integra fint , ficque exfuCeitatum
motum fervare queunt (d), fecus ac in HooKii experi-
mento, in quo aperto peftore refpiratio haberi amplius
no'n poteft , cui ut fuppleatur, & vita fiiftentetur non
tantum diftendi pulmo debet, fed renovato affidue acre
repleri : unde omnino neceffarium eft, ut veteri foedatoque
aeri per fodicatum pulmonem effugium concedatur, ex quo
novo aeri in ipfum continue immittendo aditus patefiat.

XXXIII Igitur exfpiratio non 'propterea eft neceftaria,
quod fanguis per pulmonem conftanter inflatum tranfmitii

( c ) L. c. & DirvERNEflrus II , p. 84 , Stewehson I. c, Lovervs de corde
p. 162, 163.

J d) Quo lenfu interpretatus fuifTe videtur Hoom experimeBtum Thrwsto-
Nus , qui ipfum comparat cum cxperimento Croon , quo fuffocatum
pullum gallinaceum , immiflb per trachaeanj aire , fufcitavit, & cum
alio Nehedamii , qui flangulatum canem immiflb per du£tiUB iho-
wcicum flacu xevocavit. ( Outrua p. 77 ) .

noil poffit (e) J lit multi cenfuerunt , fed ut foedato aeri,
ac irritand novus , blandufque fuccedar. Hinc quemadmo-
dumi in hoc experimento animal , perpetuo inflato pulmo-
ne , vivit , ex eo quod aer novus affidue immittatur , fie
viciflim in interclufo , nee renovato acre perit , quamvis
infpirationis , & exfpirationis motus alternet. Hinc , ceteris
paribus , refpiratio tardior celeriorve eft prout aer denfior
rariorve, citius , tardiufve pulmonali vapore inquinatur, &
in animalibus , qui interclufum, propriifque vaporibus jam
ifiquinatum aerem refpirant , celerrima evadit.

XXXIV Quum vero in pulmone fanguis plurimum
evaporet, inde colligi potell ibidem eumdem refrigerari.
Equidem in hac quaefti'one parum adeo confentiunt phy-
liologorum celeberrimi, ut in fententias oppido contrarias
abeant. Alii nimirum cum Galeno munus fanguinem refri-
gerandi pulmoni uibuunt (/). Alii contra in pulmone fan-
guinem calefieri affirmant (g) r utrique vero ab eadent
obfervatione difcedunt : animalia omnia calida duplici cor-
dis ventriculo , & puimonibus inftrufta effe y fecus vero:
frigida aut carere puimonibus y ant tales habere , qai
nonnifi partem fanguinis e corde ejefti excipiant , atque
tranfmittant. Hinc qui refrigerari in pulmone fanguinem
exiltimant , iis tantum animalibus pulmonem datum efffr
conllituunt , quorum fanguis ob calorem, quo afficirur, re-

{ » J Ob cauffis varias apud varibs auftores Borellum ( prop. CXIX ) Sau-
AGiUM ( efFets de I'air p. 44, & feq. ) & Boirhaave (inft. §. 619)..
At ex hoc ipfo experimento detnonllrat Hallerus , per pulmonem
cpnftantcr inflaium /anguinem commode tranfmitti (ci. phyf. Ill,
p. 255 ) turn ex argumeniis aliis ( ib. pag. 257. 2S8).

(/) Refrigerationem pro praecipuo fcopo refpirationis tiabuit Hambebgerus
(Haller in BoERH. I, p. 433, not. ?) & alii multi ( apud euradem

cl. phyf. Ill, a p. 34a, ad 344) turn Daoustenc ( difp. p. 681
6 41 ) HuxHAM ( ptoleg. de acre p. IV ) Nehkdam ( in biblioih.
Manget. I. p. 561$).
(1) Au£loies citandi oota feq,

& X

frigerio egens eft ( A ). Qui contra calefieri opinantur, ideo
animalia calida effe decent , quod fanguis , dum per ipfo-
rum pulmones trajicitur , plurimum calefiat , eaque pro-
pterea frigefcere, quorum fanguis aut omnino non , aut
ex parte tantum pulmonis vires experitur ( i )} hancque opi-
nionem confirmant ex alia neque inceria } in pulmone
maximum fieri attritum fanguinis ad vafa, ex quo maxiraus
in eodem calor excitetur (k).

XXXV Verumramen atiritus in pulmone non quidem
major , fed minor potius , quam in ceteris partibus : ne-
que enim attritus aut copiae tantum , aut velocitati fan-
guinis refpondet ( / ) , fed omnino pendet a refiftentia viae,
per quam movetur , & ab exceffu celeritatis majpri ijii-
norive fanguinis a lergo urgentis fupra praecedentem lan-
guinem , unde adverfus vaforum latera pofterioris fangui-
nis vis refleftatur. Verum in animalibus, quamdiu refpirant,
via per pulmonem omnino libera eft, & brevisj &;-,inir
nimae funt refiftentiae ( m ). Hinc vis ventriculi cordis",
dextri fanguinem per pulmonem pellentis multo minor a
natura conftituta eft , quam iiniftri ( « ) } ex quo confici-

{ h) BoERHAAVK ( in prael. ad §. loo , 7 ad verbum calor. I , p. 437. )
( BuFFON hid. natur. IV. p. 129 8cc. )

( J ) Plcrique auftores citati nota t.

(/I) Ex Halesio in ranae pulmone celeritatem fanguinis 43 majorem
effe, quain in teliquo corpore, hinc niajoiem atiritum, & maiorem
calorein gigni ( Scwenke (Hematol. p. is). Attriium,& flaidilaien\
msjorem in pulmone ponit Boerhaave ( infl. §. soo , 7 , & 206 ,
208,) (& in prael. hie ): Winslow ( de peftor. §. 154) Daoustenc
( difp. p. 547 ) MuscHEMB. ( difp. p. 612 ) Keiluus ( de fecrct.
p. 60, 61 ).

(/) Sauvages fur I'infiam. §. 82.

( m ) Ex eo ipio , quod obfervantc Halesio fanguinis vclocitas in xanae pulmone
43 major fit, ingeniofe conclufit CI. Hallerus, minorcm ibi refiften-
liam adcffe, quum ab eadem unici cordis vi quaqujveifus fanguis
pellatur. In Boerh. 1 , nor. r. ad §, CCXV.

(1) Winslow de peftore §. ji.

I?;

tur exiguum in pulmone attritum haberi ( o ). Hue accedit
pulmonem vifcus fuapte natura molle, cedens, fpongiofum
efl'e , ik pulmonalera arteriam ceteris molliorem , ac pro-
pterea minima aptam calori ex attritu excitando (p).

XXXVI Rurfus obfervat Lowerus in HooKU faltem
experiraento , in quo conftanter pulmo inflatus perftat (IX),
minimum in ipfo attritum haberi , quum interim animal
aeque caleat ( y ) ;ij&- in' pullo progreflu incubationis ca-
lorem ex interna caufla naici animadvenit Stewensonus,
licet nulla adhuc fit refpiratio (r); & demum adnotat
CI. Hallerus pulmone obilrut^o , ulcerofo , pene deleto,
morbofum tamen calorem prodire (s).

XXXVII Contra jefrigerari in pulmone fanguinem vel
ipfe perpetuus frigidk aeris , ac fere immediatus , &: qui-
dem per amplam pulmonis Cuperrtciem ad fanguinem at-
ta£lus , fuadere videtur , ex quo plurimum caloris in eum
aerem diffundi debet, ac diffipari (r), & Halesius
quidem quantum inde caloris languini decedat , fubduftis

(o) Ab aere impetum fieri in piilmonem, aut fanguinem in eodemcom-
minui negat Bernoulli ( difp. p. 6ai ) Lowirus ( de corde p. i6y ).
Attriiym in pulmone non elTe naajorem. Haller. (el. phyf. Ill a
p. 435 a<1 238 ) & paium tribuendum elTe aeris preflioni ( ib. p.
358 n. /■ , /) nee calorem in eodem generari ( ib. p. 360).

(/>) Contra majortm in pulmont attritum nupcr CI. GuENET differiationtm fcri-
p/ii , in ,^ua (f parvitatem vifctris , 6" paucitatem va forum, 6" minut
Ipatium.ptrcurfum, 6- molliorem pulmonis arteriam confiderat . Haller
in addend, t. VIII el. phyf. p. 162.

( j) De coiiio (j). 163 ) eadem eft obfervatio Stewensoni (eflais d'Edim-
bourg ,VI, p. 471 , 47J , & feq. ) .

( r ) Siquidem pallina ova deferere poteft per lempus , quod refrigerandis

['.]

ovis fufficcret , nifi iniernam caloris cauflam haberent ( I. c.

Pr. lin. §. 278, edir. ul. el. phyf. II, p. 58, .311, 318.

Aliqua j>ars caloris tranfit inaerera. Haller. in Boer. n. 9. ad §200,

i>.P' 433 1 & prim, lin, § 278, calorem fanguiuiscx lupprefla refpi-

laiione mu femiborua i 17} augerj,

«34 .

calculis inveftigavit (u). At non ea tantum ex cauffa re-
frigeratur in pulmoiie ("anguis , quod, frigidum aerem con*
tingat , fed ex eo nraxime , quod plurimum. exhalet ; a
qua exhalatione vel in ipfo vacuo corpora vehementer re»
trigerari a CI. Culllnlo nuper eft demonftratum ( x ).

XXXVIII Hinc provide natura videtur utramque uti-
litatem & refrigerii , & exhalationi* pulmoni tnbuiffe ::
nam quo calor major eft , eo plures etiam progigni de*.
bent partes per exhalationem elitninandae. Ex quo inteUI
ligitur cur refpiratio, ceteris paribus, eo celenor fit, quo!
calor fanguinis major eft (j) ^ Si item eo celerior , quO'
magis calor aeris ad languinis caiorem appropinquat (().

XXXIX Inde vero phoenomenon almd commode ex-
plicari poffe videtur; quod a Douglassio eft oWervatum:;
lani nimirum honvinis caiorem eumdem propemodum re-
inanere, quicumque fuerit calor ambientis aeris , aut bai-
nei, in quod homo fuerit demerfus (a ) , quod fane vi-

(u) HAEMAtTAT exjJ XIII a p. 8i ad SS.CalcuIum hunc parvi facit Senac;
( du coeur II , p. 256 ) : de hoc etiam Haller. el. phyf. Ill ,
p. 346.

(«) Vid. Mifcel. 11, p. 143, & feq. Inde caloris deperdiiio multo major
Halesii aeftimaiione.

iy) Quum calefcimus , magnas, & frequentes refpirationes edimus ; contra
quum frigore vexamur , Jentas , & parvas : ergo refpiratio non ad
calefaciendam fanguinem , fed ad eumdem reftigerandum data eft .
Stewenson ( eflais d' Edimbourg VI , p. 479 ) In ardentibus fcbribus
cum rubore faciei , refpiratione frequenti , pulfu picno , & frequcnti,
aperta feaeftra, frigidiorique aere reipirato , rubor minuebatur^ pulfus
minus plenus, refpiratio minus frequens evadebat, etfi ftragula cadem
perflarent , ( id. ib.). Similia apud Nehesam , ( in bibioth. Mang, I,
p. 566).

(l) Si aer frigidus, refpiratio fenfibiiis, ac fere fufpenfa , contra fi ambiens
calidus , refpiratio fortior erit , ac frequentior. PotssONERiUS (traitfr
des fifivres dc s. Domingwe p. 15 , Sigaud. 11 , p. 61 , 61 . Similia
Stewenson cffais d'^Edimb. VI, p. 310, Diemerbroek lib. II, c. 23 ,
p. 416.

|-«) Effai lur la generation de la chaleur dans les animaux, qui liber ex
Anglico converfus , & adjc>aus verfioni. DilTert. Martini p. 253 , &
feq. Eiut obfervatio nuper con/irmata eft a fi&AVKiO. MoV4Commen,
AcaJ, Petiop. torn, XtU, p. 4M, 4B)t ■■ «'"' viiw.;:;

I

'5 5

detur repugnare notiflimis calefaftioni^ , ac refrigerauonis

legibus. Nam quum intrinfeca cauffa rin iiomine , aliifque
animalibus affidue calorenl gignat, eo plus caloris in ipfo
accumulari oporceret , quo minus is calor per vlcina cor-
pora diffipatur ; quum vero eo minus diffipari debeat, quo
ambientium calor major eft , & animalis calori proximior,
major propterea eiiam effe deberet caloris ex interna
'CauiTa nati retentique accumulatio.

XL DouGLASsius quidem earn animalis caloris con-
Aantiam tribuit mutationi , quam ex calore fubeunt va(a
capillaria , quae inde dilatata laxataque minori cum attritu
fanguinem tranfmittant , unde minor calor producatur ( i» ),
fed multo fimplicior ex refpirarione ejus phoenomeni ex-
plicatio deducitur , quum, quo calidior fanguis eft, eo cita-
tior fiat relpiratio , hinc & plus fanguinis per pulmonem
trajici debeat , & eodem tempore plus frigidi aeris in
pulmones attrahatur. citius expellendus , & plures exhala-
tiones ex fanguine erumpant ( c ) , quibus eo raagis re-
frigeretur ( IX ) , ut fie eadera neceffitas mechanica , quae
magis citato fanguinis motu citatiorem refpirationis motum
efficit , ut is fanguis ea majori celeritate per pulmonem
iranfraitti poflit , efficiat eiiam fecundario , ut idem fanguis
plus caloris difperdat , ficque aequabilem fere fanguinis
calorem fervet. Similis in hoc fanguis mihi effe videtur
cbullienti aquae , quae qiiocumque addito calore , ultenuj
calefieri nequit , <lummodo evaporate pofiit : nam prout
major calor additur au6la proportionaliter exhalatio parero
ejus quantitatem diflipat : fie pro ut i^nguiuis calor auge-

T.]

' L.' c. p. 271 , & feq.

Minimc dubium videtur aerem per rerpiraiionem renovatum evapo-
rationem faoguinis promovere , non fecus ac renovatus per vcntuin
majorem efficit evaporationem liquoruin , qui eidem exponuniur,
& rn HooKii quidem exp«rimento lefpiiadoflis vices gerit artificiaiit
vemus per pulmonem tiajeftus, vapoiem^ue pulmonaiem abripieas.

iy6

tur , & calor ipfe , & citatlor refpirario ( XVII ) copio-
fiorem exhalationem producer ; quare proportionaliter major
fieri debet caloris deperditio , & propemodum uniformis
fanguinis calor fervari ( XVII ).

XLI Illud vero propofltam fenfentiam refellere vi-
detur , quod (anguis venofus arteriofo calidior per
carta experimenta non fueric demonftratus , quod tamen
effet neceflarium , ut conrtaret , arteriofum fanguinem ,a
pulmone refluum concept! caloris partem in eo vifcere de-
pofuifle (</). At, fi quod difcrimen caloris inter arterio-
fum venofumque fanguinem ell , illud eft , quod ex uno
tantura fanguinis per pulmonem trajeftu proficifcitur, quum
ad fingulas circuitiones fanguis per pulmonem agatur. Jam
vero tempus , quod in unoquovis per pulmonem trajeftu
fanguis infumit, exiguum eli(e), exiguamque afferre po-
teft caloris jafturam ( XVI ), Nihil mirum igitur adeo
parum inter fe confentire experimenta, quibus, viri Clarif"
fimi eamdem inveftigarunt (f). Perfpicuum nimirum eft
quodcumque aut in celeritate fanguinis, dura educeretur, aut
in materie , figura, calore vaforum , quibus excipiebatur ,
aut in promtitudine therraoroetrorum, quae adhibebantur (g),

difcri-

(</) Hailer in BoERH. not. ? ad §. joo inflir. 1, p. 433 , & in prim, lin.

§. 182 , & el. phyf. Ill , p. 346.
(<) Ex calculo CI. Haileri qnaelibct unda fanguinis 12 pulfuiim imer-

vallam in pulmone trajiciendo abfoivit. In Boer. not. g ad §. 2.08 ,

1' P- 457-

(/) Sanguinem venae jugularis calidiorem invenit St^vensonus fanguine
carotidis, fed differentia nimia fuit, ut in eo experimcniofc ertorem
adraidfTe auftor dubitet. Effais d'Edimb. VI , p. 454 . Calidiorem etiam
invenit David, in difp. quae praemium Acad, de Rouen obiinuit,
p. 98, frigidiorem contra duobus tribufve gradibu.s invenit Schwencke
nemtol. p. 3«, 31, &Arbuthnot do aerc p. 60. Quum CI. Sioaud
expcrimenium bis coram idoneis tcftibus cocpilTet fe nullum difcii-
men inveniffe affirmavir. Oecononi. animal. I, p. 313.

(s) Notum eft quam tarde ihernionictra in primis paullo majora uliimos
caloris gradus excipiant , quum jam calorcm aaibicniis medii caloii
pcoxlmum acquiGverunc.

difcrimen experimento turbando fufFeciffe , & alium
aliumque exitum producendo (A). Et(i vero paucos tan-
mm caloris gradus (ingulis per pulmonem circuitionibus
fanguis amittar , quum ramen pluncs in hora univerfa fan-
guinis mafia earn viam relegar, id vel fatis efle poterit
ejus fervori temperando, eidemque intra certos limites con-
tinendo ( XIX ): fic intra certos limites contineretur calor
penduli ex calidiori medio in frigidius olcillantis , etfi di-
fcrimen ex quovis itu vel reditu produ£iuai parum feniile
cflet. Profefto videretur natura temere pulmonem calidis
praefertim animalibus conceliiffe (XIII), ft ad calorem
moderandum nihil pulmo conterret.

XLIl lllud- eiiam propoiitae opinioni adverfari videtur
( i ) , quod animaiia vivere poffint in aere ipforum fan-
guuie calidiori (k). Ut animaiia in eum aerem translata
aequalem primum ipfi calorera concipiant neceiTe eft, quern
admoduQi cetera inanimata corpora in eum immerra,mox
«X conunuata aiiione cauffae nativum in ipfis calorem
producentis novo calore curaulabuntur ^ quo ambientis ca-
lorem fuperabunt ; quum vero ambientis calor jam con-
fueto major , & animalibus incommodus fit , fi mterim no-
vam banc calons acceflionem , quam ex interna cauffa a£-
fidue accipiunt, difperdere per relpirationeoi non poflint (/),

(A) In pulmone fangvinU calorem fcrvari Boehh, inft. §. soo, 7, nfc ca-
Icfi'-ri, nee refrigerari Bernoulli dilp. p. 642: eademque eft opinio
CI. PeissoNERii,& SiGAVD. ( oeconom, animal. II, p. 59, 60.

(>) BEacERus de natura huniana , p. ^4.

(£} Calor ordinarius in tepidariis Rufllcls eft 106- Farcrneith. , maximus

1x6 ( Eraun. I. c. p. 431) CI. RiGHMANNUs tameo calorem 1:5
ftrre poiiiii (ib. ) quod une miruin, quum canes ex calore 115
perierint ( ib. p. 432).
(/) DeinoaftrBium a Cullenio eft, evaporationem , qualis per pul-
monem fit, non fnium aptam eflb ciiius lefrigerandis coiprribus ,
vcrum ciiam per ipf.im ad calnrem minorcm , qium fit ambicniis
calor evaporantia corpora peiduci pone.

ALJc. Laur. Tom. /, t

confcquens eft , ut ex nimio congefto calore in vitae dl-
fcrimen adducatur (m). Si igitur refpiratio utilis femper eft
ad aequabilem fanguinis calorem fervandum ( XIX ) , hie
maxime videtur neceflaria ad praecavendum, ne calor jam
maximus , & funefto proximus adaugeatur, necemque ani-
malibus inferar. Hinc in eo calore animalia vehementips
frequentiufque refpirant , ut eo efficacius imminens peri-
cuium avertant ( XVII ).

i I XLIII Ex haftenus diftis jam iicet definite, in quo
^neceffitas refpitadonis , in quo ipfius utilitas fit coUocanda
{n). Nempe,neceflitas refpirationis in eo ponenda eft,
quod in exfpiratione quidem compreffus pulmo fanguinem
Tion. tranfmittat , in diuiurna autem inrpiratione aer non
renovatus, vaporibufque onuftus, convulitonem in pulmond
exciter, unde fimiliter tranfinittendo fanguini ineptus eva-
dat ( 111 ). Neque multum ab hac neceflitate utilitas re«
/pirationis videtur diftare , neque alium finem natura in
condendo pulmone fibi propofuiffe, nifi ut irritaritem mo*
leftumque vaporem , qui ad exfpirationem nos cogit , ex*
pelleret , & conveniens inde fanguini refrigerium afFerret
( XIII , & feq. )

XLIV Et utrique quidem utilitati confiiluifle videtur
in conftruendo calidorum animalium pulmone: in his enim
quum ob majorem attritum , caloremque exhalatio major
requireretur & refrigerium ; idcirco omnem fanguinem
per pulmonem trajici voluit. In frigidis veto animalibus
ob idipfum partem tantum fanguinis ad pulmonem videtur

( m ) Ex feri coagulaiione , fanguinis corruptione &c. "*

(n) i, Sed a neceffitate refpirationis diiFert ipfius utilitas: illam natura vi-
„ taflet pulmone , aut nullo fafto , aut tali, qualis in foetu eft. Hal-
„ LER pr. iin. §. 176. Comjjendiofa natura unicum cordis finutn
„ cffecifTet, quum ad generalem circulationem nil conferat proelum
„ pulmonicum. Fanton. edit i , p, 341. Similia Borellus part. II,
prop. 3 , p. 240, fiERNpujLU di(p. §. 4i p. 631.

dilhibuiffe , quod altera refpirationis utilitas, nempe refri-
gerium , in ipfis locum non haberet ; altera autem , feu
exhalatio minus urgefet , quam in caiidis , tieque adeo
conllans , aut copio(a requireretur.

r XLV Ef tamen in his ipfis animalibus exhalationi natu-
ram proipexifTe cooftat, eomque imprimis ufiim eorum pulmo-
ni iribuiffe (o). Et revera ranas fub aquis ligatas interire
obfervavi , & five (ub aquis , five in interclufo corrupto-
que acre rc/pirare , & magno labore aquam , vel corru-
ptam aerem haurire , & licet primum in interclufb a«re,
ipfo adhuc integro , nonnifi per intervalta ad fuperficiem
aquae afcendant refpirandi cauiTa , fub finem , acre jam
foedato , magno nifu conftanter ad aquae fiiperfieiem fe
fuftinere , ut ibi frequenti , ac laboriofae refptrationi in-
eumbiftit , iifdem nimirum (ymptomatibus afiici , quibus
ealida animalia in (imilibus adjun^is vexantur , ac tandem
iflterire ; durationem vero vitae earumdero interclufi aeris
quantitati refpondere (/)•

XLVI Jam vero quum in his animalibus , etiam in*
tercepta per pulmonem via Sanguinis circulus perfeverare
queat , evidens eft talem anxietatem , &c refpirandi cona-
turn, & laboriofam refpirationem in interclufo acre, ac
natam inde fulfocationem non aliunde nifi ex fublata re-
<pirationis utilitate efle repetendam , adeoque fuppreflbs
vapores ab acre jam ipfis faturato {q) eos effe , qui pul-
monemi veUieent ( /" ), eamqUe r<efpirandi neceffitatem indu-

(«••) Opkiioniertj Emii, ^'pmaftiiM timte puhnonewrtfe eontendebat, rcfutat

Thruston Diaiiiba p. i4», Malpighius J. c. p. lo.
t-p) Mifcel. TauriH. H, §. ii.
{•q j Rcfpiratom aerem eliiialem effe , quod perfisiratione putmonali jaw

faroraius ipfam fupprimat, FRJOfKUNUS (trans, phttef. an. 1766,

F. journal tncyclop. ejus anni 1 5 novcmbris ) .
(>r )' Aefcm a ranarum refpiratione flmiliter inoumari , ae a rcrpiiafione ca.

)id('n(mt aniftiitium , vel ex co confirmaiur , qucd is acr fljaiaiam

iimiliter cxfliuguat. Mifc. I , p. 48.

t X

I40

cunt (/), forte etiam reliquum fanguinem inquinent, iifdem-
que tandem interitum inferant.

XLVII BoERHAAWius cenfuit ad eruendam utilitatem
relpirationis plurimum lucis afFerre poffe confiderationetn
animalism in aere interclulbrum ( t ), fed in his mors non
lam fublatae ref{5iraiionis utilitati , quanj impeditae necef-
fariae fanguinis tranfmiffioni tribuenda eft. Quare (peravit
CI. Hallerus ex animalibus , quibus viae foetus apertae
perftant, ejus quaellionis folutionem potius effe exfpeftan-
dam (tt): fed amphibia animalia, de quibus agimus, mi-j
norem adhuc habeni refpirandi neceffitatem , quum fanguis
per ipforum pulmonem tranfmitii non debeat , propterea
aptilfjina folvendo problemati mihi videntur , & propofitae
fententiae confumandae.

XLVIII Et hunc quidem praecipuum pulmonis ufura
effe , ut perfpirationi inferviat, jam oHm Galenus docue-
rat ( jf ) : ejus tamen opinionem recentiores plerique defer
ruerunt, quod hujufmodi haUtum mere aqueum eife -arbi-
trarentur (y ). Verumtamen non mere aqueum effe oltendunt
perfpirati per cutem humoris acrimonia , & morbi ex co

(/) Quumranae etiam aperto peftore refpirare pergant, curiofum effet in
corrupio acre pulmonis motum in ipfis obleivare.

( / ) „ Interim aer praeter modo difta aliquid lefpiranti praeflat ; nam noa
„ renovatus perpetuo evadit leihalis non ob calorem , vcl rarefa-
„ Aionem , denlitatemve , fed ob aliam occultam cauflam. Inflic.

§• 103-
( « ) „ Si foramen ovale ampliier in adulto homine , ut videtur pofle , non-

„ nunquam pateret , diligens annotatio hujufmodi fabiicae pofTet

„ aliquid forte lucis ad puhnonum utilitatem accendere. £1. phyf. VIII,

p. II, p. 14.
(*) De ufu partium lib. VI, cap. i6. Ignis & animalium refpeftu hunc

efle aeris ufum , ut cxhalantes partes excipiat. Morgan. ( effnis

d'Edimb. IV , p. 595). Vide confentientes auftores apud Hallerui^

(el. phyf. Ill, p. 355 , n. a).
(_>') Bo£RH. infiit. §. 201, & in praeledt. hie ad veibam ful/ginis I , p, 448,

& iterum m prael. ad §. 203 ad veibum renovatus I , p. 4j i ,

BoREuus prop, 97, p. aSi.

MI

repercuflb , & fimilitudo ejufdem cum urina , & odor, per
quern canes dominum facile diftinguunt ( ^ ) , & morbi,
qui ex hominibus in angurtum fpatium itipatis nafcuntur
(a), & refpirati aeris indoles animalia fufFocans, ac flam-
mam exftingens, & foetor ipfius aeris a Laghio obferva-
tus (b). Neque exiguam efTe ejus halitus pulmonalis quan-
titatem ex Halesii experimento conftat , quo aequalis pro-
pemoduro cutaneae perfpirationi ftatuitur (c). Ex his eruitur
in pulmone non alkalefcentiam produci , ut Helmontius
exiftimaverat {d), fed alkalefcentes putridas partes calore,
& attritu in fanguine genitas per pulmones exhalare, ideo
alkalefcentiae indicia in eodem potiora haberi. £t animalia
frigida, quibus attriius minor eft , minorque peripirationis
pulmonalis neceffitas , aliquamdiu refpiratione carere poffe
( XXIV ), & infefta abfque pulmone per trachaeas in uni-
verfum corpus difperias eamdem perfpirationem , eamdera-
que utilitacem confequi {e), ac demum ftirpes , abfque ullo

'!

JHAtLER. el. phyf. II, p. 37, 58 ,111, p. 3, 3J4 ab fad a.
Halur. el. phyf. I. c, & pr. lin. §. 290, 267.
■t) Vid. Mifcel. II, p. 199.

Vid. effais d' Edimb. II, p. 495.

Helmont Bias humanum §. 45, p. 180. Confer Boerh. inflic. § iri ,)
& in prael. hie ad verbutn volatile I , p. 460
(«) Dc his Perrault eflais III, p. 278, 279, Duverney pofth. p. 83,
86, Lyonnet oflervaz. alia teologia dcgl' infetti del signor Lesser
1, p. 105, 106, io8, II, p. 73. Per eas trachaeas aerem recipere,
& cmiitere ex dilatationc , & conftriaione corporis akerna , qua
aliquot gaiident Perrault ( I. c. p. 178 ), turn ex eo quod oleo in-
unftae percant , obflrirdlis fcilicet ftigmatibus ( ib. p, 277 ). Pleraquc
infrifba aquaiica frcquenier ad aquae superficiem feruntur, & caudarn
emiuunt, ut rcfpirent ; fi aqua cooperiaiur, fundum petont , & pc-
ixunt ( Lyonnet I. c. p. 105 ).' De modo vero , quo aerem per ■
trachaeas exfugant , dein expellant, conjedturas propofuir Fantonos
( edit. II, p. '^40) . Jam vero quuin vacuum mulia infefta impune feranr,
hirudo ( Boyle phyf. pneum tit. 17 , e.xp. 2, p. 456) papiliones
• ( ib. tit, 19, exp. 6 ), vermes fpontc in lafte nati, ( id. phyfico mech.
com. II, not. X, exp. to), infe^^a hexapoda, quae liliorum floribus
Dutriuniur ( MusscH, in Florent. p. 48 , 49 ) , fcarabacus, impennis,
tardipes (id. inttod. §. ii66). Quum eiiaiu ab iaieidufo ai;ie ooa laedao'

hujufmodi machinamento ( f) , per amplam foliorum fuperfi-
f iem banc ip(am exhalationein emittere , quae propcerea
eo fenfu non mal^ cum exhaiance fuperiicie pu'monum
fuerit comparata , quod vicariam his ipfis utiliiatem
afFerat {g). ^

\

•A

tur (Basin, apud Haller. in Boerh. IV, p. 90, nor. ■tg fub fin.l
contra olea inun£ta pereant , peifpicuutn eil non tain defeftu aeris
perire , quam ex coerciio intra corpus infenlb humore, qui per &h
gmata exhalare debuiflbt : nam ea exhalatio oleo cc'crcectir, in vacuo
liberior evadit , fpatiutn autem vacuum , aut etiam aere plenum licci
cxiguuni nonnifi rardifTirae ejihalante parvorum aninialculorum va>
pore iia repleri poterit , ut novum erupturum vaporem coerceat.
Quod fi quaedam infeAa in vacuo moriuntur, id tribuendum videtut
cau/Tae a Lyoneto propoHiae , ea neinpe ab interoo hutnorum aexc
exitum non invcniente , fublaia externi aeris ptefllone fuflcicari i. c. i
p. 105 ; fed ut eo revertamur, unde difcc/iimus , chryfallldes faltem
aliquas non refpirare, quaraquaro trachaeis inftruftae fiat, Lyomnexus
demonArat ( I. c. p. loi, 101) Sccenfct Aigmata in iis apcna iiifer-
vire taatummodo ad excedentis homoris evaporationem (ib. p. 10^); quoji
pro ceno haberi poAet.fi conAarct has ctiam chryfailides oleo inun-
£las perire , quemadmodum de chryfallidibus generaiim docuii Reav*
MURius (bift. des inCeCt. I, p. 401),
Ex quibus illud Trui potPe videtur etiam quando infe£ta refpirant ,
trachaeas eidem ufvii. inferyire , fedalieuiam \a eifdem aeris admiC-
fionem , & expulfionem copiofiori evaporationi favere , qualis ex-f
fpe£tari debet ab animali magis vivido, quara fit cliryfatlis.
-(/) Eafd^m effe iiflulas , quae devehant fuccum nutritium , & neteva
^ BoREL. epift. ad Malfigh. in poAh. p. 1; ) qualis eA ctiam con-
fcAura CI. EhiHAMEL ( phyfiquc des aibres 1, p. 43, 173) qtit
cenfet ofiicium , quod a Malfighio trachaeis Airpium , fic di£lis ,
tiibuitur , fola analogia inniti , nee fatis demooAratum effe ( ib.
p. 44): idemquc adnotat a'erem non folum per ea vafa, fed etiam
per vafa Airpium propria , feu lymphatica facile iranfmitti ( ib.
p. 77 ) , & exiAimat ipfnm aerem Airpes fubire fucco nutritio
admixtum , interdum per folia, copiofifTime veto per radices ( ib.

. ^ P- '73. '77)-
if) Grew. Ditvernet II, p. 89, Hales Aatique des veget. paflim. Kric cA , ut
in Papini experimento Airps pereat , fi Integra vacuo includatur ;
diutifTime vivat, dummodo folia extra vacuum recipiens in liberum
acrtm emergant ( Duhamel. I. c. p. 169, 170.^ Hinc eriam eA ,
ut non in vacuo folum , fed etiam iti^ interclulo aere Airpes pereant.
(Confer Boyle experimema phyflco-mech. cont. II, Mt;scH. introd.
§. 1I7IJ, mucor tainen in inierclufo aere vivat, nifi vafa , quibus
includiiui: , admodum fine auguA^ (com. Bonon, Jll , p. 41 , 43).

XLIX Alia proculdubio palmonum^ Be relplrationis
utilitas vox eft , quae exfpirati aeris aftione abfplvitur ( /i)i
Haud tamen videtur natura banc finem aut folum , aut
primario (ibi propofuifle in pulmone efformando. Nam &
pulmo quails frigidis animalibus datus eft, voci efformandae
fufFeciffet (i) ; & animalia funt pulmone inftrufta , quae
tamen vocem nullam edunt ( ^ ) , & infeftorum trachaeae
pulmonis vices gerentes , voci tamen non inferviunt (XXVII).
Demum frigida animalia , quae unico cordis ventriculo in-
ftrufta funt , refpiratione carere diuiiffime poflent , ft nul-
lam aliam praeter vocem , & natatum a pulmone utilita-
tem acciperent ( XXV ).

L Alias fecundarias , eafque manifeftas relpirationis uti-
litates , fuftum , olfa6lum , excreatum, fternutationem, ofci-
tationem confulto omittiinus , de quibus conferri m^rentur,
quae luculentiffime a CI. Viris tradita habentur ( / ). Una
tantum reftat in controverfia poHta refpirationis utilitas ,
aeris fcilicet elaftici in fanguinem ingreftus , quam tanti
fecerunt recentiores nonnulli , ut in hunc imprimis finem
conditum efle exiftimarent : ex tatt eriim a^ris cum' fan^
guine mifcela fanguinis fluiditacem, ( to ), colotem (n) ca«

fcilicet in fpatk) claiifo, five vacuo, five aSte p|eno foliorum pcrfpi-
ratio cohibctur , ubi femel illud fpatium exhalante vapore fuerit
xefenum , nifi ftirps admodum exigua fit , quemadmodum mucor ,
quae nonnifi tardifiiihe ibcerclufum fpatiunrfuis'fizhalaftionibas replere
pofTit , uti de infeftis difluin not v praeccd. Confer Mifc.II, §.44,
p. 196. •" • . ,

Ih) Vocis modulationi', & olfa£h]i Neheoam. p. ^66^'iii- 1,'Bibiior.

(j| Vox buffonis clara, & dulcis. Perrawlt. (1. c. p. 13^.)

( A ) Camaleon , tefiudo. Perrault. ( I. c. ). Teftudo animal abfolute mutum
BOMAR. diftion. V, p. 467.

(/) G)nfer Hallerum el. pnyC III.

( m ) Thruston. I. c. p. 62 , 63 , aliique permuiti, quos Hallerus reccnfet
el. phyr. Ill , p. 331 , 331 a not, d ad k,

( n ) LoTi&vs t Lv/iJivs , aiii.

«44

lorem (o) imo & progreflivum (;>), inteftinum motum,
& vitam ipfam pendere nullatenus dubiiarunt , aliis ita ad-
verfantibus , ut vel ipfius aeris elaftici in (anguine prae-
fentiara omnino inficiarentur ( y ). De qua quidem quae-
ftione non prius licet differere, quam de aere liquorum ge-
neratim nonnuila a phyftcis petita attulerimus.

C A P. Ill

De aere liquidorum^ in fpecie de aere fanguinis.

LI Aer in liquidis plerifque continetur (/■), ita divi-
fus , ut bullarum (pecie confpici non poffit. Sublato aere
externo ab ipforura poris erumpit , bullafque conOiruic (j),
ejus quanritas in liquidis variis definita hoc pa6toeft(/):
ac praeterea obfervatum liquida, e quibus haultus aer eft,
cumdem iierum forbere , principio celerius ,dein tardius («),

{«) Maipi Ml , I. c. p. i8. Fanton edit. II, p. J43. Duvernet II, p. 478,

& 507 , 509.
yPl Mert mem. dell' Acad. 1700, p. 221, 223.
(9) BoFRH. in prael. §. CCI, p. 443. I ad vcrbum ofellUtient,

\

Boyle phyfico mech. ab exp. lo ad 2^ p. 43 , & feq.
t) BoTLE i. c. MusCHEMB. Introd. §. 1162.

) BoTLE 1. C. CXp. 24, fiOCRHAAWE ch. I p. 273 , MuSCHEMB. I. C. §.

ai6;. la aqua Halesius pofuit — vol. ( itatiquc des v£g£iauz

54

append). Noletius — ( M£m. dc FAcad. 1743 p. 215 ). Forte di-

•JO
verfiras in exp. a diverfitate caloris.
( « ) In aqujm nnnnifi decern hrris penctrat ( Muschembroek d'fp. §. » )
Quum Mariotte nonnifi 20 diebus penetrare in aqiiam docuifli't ,
NoLLETius autiiTi 6 ditbiis (I. c. ), concludii du Tour id cofiHaits
noil elfe , hii p-nl-re a quaniiute aquae, & ab amphcudine (uper-
ficie per qimn .ie- in'reditur ( Mdiii. pr€fent6c 11 p. 448). Cun-
fer NoLLETiuM I -fnri X exp 10, Musch. introd § 1478. Hauk-

SBEE II p. 4T9. ijEMAREST ib. p. 4O7, £0CRHA>kWE ( ch. 1 p. 273,
Maikan dt La glace p. 191.

'4y

ac demtrm ipfo faturari , ut nullum recipere amplius
poffint (x). Edutlo aere liquidorum volumen non minui-
fur (y), nee eodem in liquida fubeunte horum volumen
augetur ( ^ ). Augetur autem inrerea dum erumpir adeo,ut
liquida tunc temporis fpecifice leviora fi-anr ( a ) : etfi vero
liquida aere faturara Tint, baud minus incomprelfibilia funt,
quam ilia, quae aerem nullum continent (i), aer hie
non folum fublata externa preffione e liquidis prodit , fed
etiam calore(c), aut igne eietlrico ( W ), aut congelatione
( tf ), aur percolatione (/) , aut ex alto delapfia (^).
" LII Ex quibus perfpicuum eft aerem fola gravitate aut
clafticitate fua liquidorum poros fubire, donee uniformiter
per ipfa fuerit diftributum (h). Hinc i*" prout fenfim in
poros fubeuus aer denfior fit ejufdem fubeuntis celeritas
imminuitur , donee tandem denfitas , & elafticitas recepti
in poros aiiris denlitati , & preffioni ambientis aequalis
evaferit , quando liquida jam nullum amplius aerem ad--i
mittunt , eoque faturata dicuntur. i° Aer hujufmodi quo-
tiiam in jx)ros liquidorum incompreffibilium recipitur , in-

('« ) Auftores ino.v cit. , Boerha.awe praclec. ad § CCI p. 441 ad veibuin

<taj}ice.

ly) Hales I. c exp 1 n 7 p. 337, 338.

^) Mairan 1. c. p. i}8, MuscH. introd. § 2165.

' a ) BoYLc I. c. cxp. 25 , MuscM I. c. § 1165.

'i) Eller Acad, de Berlin 1750 p. 69,70, 71.

cS Mairan I.C.P.185.B0ERHAAWE ch. 1 p. 274exp. 6MusscH.imrod. § i45Ji.

d) P. Bei-caria el artif. § 400 let. VI, §. i88.

e ) Mairan I. c. a p. 287 ad 290.

'f) Du-TooR I. c p. 492, 493.

f J ) MuscHEMB. intiod. § 1477.

,'fi) Paries ac'i'i inflar ipongiae aqua repleri ( Muschembroek irurod. II,
") 1480) acreni ai)uac poros fubirc , uti vioi fpiritus eofdcm fubit
Mairan I. c. p. 13^). 'ola sravitaie liquorum poros fubire ( Du-
TouR I. c. p. 477), rum Veijel ex eo in primis , quod agititione
is aer cxcuii nequeat , quum rtvi'ra aquae pori ob asitationcm I. cum
quidein mutent , led nee coaiftaxi , nee delcri poffint (Mem, pre-

Tc

femees II , p. 88 ) .
Mijc. Taur. Tom. F. u

I 46

compreflibilis efle debet: nam comprimi nequit, quin pori,
quibus continecur, coarftentur, atque adeo quin liquidum
ipfum comprimatur. 3° Et {imiliter liquidorum volumen
tpGs adjet'tum augere nequit , quum in interlHtia partium
tantummodo recipiatur. 4° Quoniam vero in liquidorum
poros aer hie nonnifi lente penetrat ^ necelTe ell refiften-
tiam pati ab angutha pororum , quos fubit. 5° Ean;ideni,
refillentiam , quani patitur aer exterior, ut poros pervadar,
pati debet aer poris inclufus , quando ab lifdem erumpere
nititur. 6* fiinc dufli praevalente vi fua erumpit , angu-
ftia pororum impeditus , liquida expander in majus volu-
men, undas , & bullas in iifdem excitabit. 7° Id vero fit,
quotiefcumque elafticitas aeris in poris contenti major fiet
preffione ambientis. 8" Fiet autem major , h aut transla-
tione rariorem aerem , vel anthlia ambientis preflio imrai-
nuatur , aut interni aeris elailicitas vel per calorem , vel
per ignein ele6iricum adaugeatur ; aut demum fi conge-
latione conftriftis liquorum poris aer condenfetur ( i ). Con-
tra ( IX ) aer in liquidorum poros irruet , fi ejus prelSo
elafticitatem inclufi aeris fuperet , quod fiet translations in
denfiorem aerem , ambientis condenfatione , liquorum re-'
frigeratione , eorumdem congelatorum folutione,

■ .'Jrjv bfi

(i) Aerem in aquae poris comentum per congeUtionem claflicitate-m recupe-
rare contendit Halesius (I. ol. c. e,xp. 2, n. 7) & Dbmarmt (in '
notis ad Hauksbeiom II, p. 400, 401): eJafticum jam fuiffe ; fi^ui-
dem frigus aeiis volumen, & elafticitatem non auget , fed minijit:
( MuscHEMBROEK introd. § 1477 ) perinde expelli , ut vini fpiritus ,
& falia aqua foiuta ab eadem congelafcente extrudiintur , Mairan
( 1. c. a p. 287 ad 290) .

Quum vis refxaftiva glaciei vi aquae refraftiva paullo minor (}t
( De ia Hire mfim. de I'Acad. 1693, p. 252, Mairan I. c. p. 299,'
300 ), atque adeo denfitas minor ; rairum eft aerem , cujus volumen
ex glacial! frigore contrahi debuit , ejus tamen poiis contineri am-
plius non poflfc , imo ab iifdem expelli , nifi aut niutaiam figuram
pororum , a\it extraneum corpus aerem pellens incufemus , quae
tatneo haftcnus nullKs certis argtimentls dctnonilxai^ func.

147
LIII Ex his facile refelluntur, quae adverfus elaftict-
tatem aeris in liquidis contenti afferuntur. Ajunt enim
aerem liquidis conrentum elafticum noii effe. i° Quod
comprimi non poflit ( k ). i° Quod ipfius volumen majus
fit volumine liquorum, a quibus recipirur (/). 3" Quod
e liquoribus erumpens ipforum volumen augeat (m).
4" Quod non Hatira e liquidis prodire incipiat , ac aer
ambiens rarefieri incipit , fed ingens rarefaftio praecedere
debeat , priufquam erumpat (n). Ex his nempe omnibus
eoncluduiit aerem In liquidis in minima elementa ita di-
vifum efle , ut elafticitatem non exerceat (0), aut eadem
prorfus dellirujtur (p). Recuperare vero eiafticitatem ,
quotiefcumque aut ambientis rarefaftione , aut calore,aut
igne eleftrico , aut congelatione in majores bullas fuerit
colleftus.

LIV Harum, inquam , fimiliumque objeftionum folutio
ex praecedentibus perfpicua eft. Nam 1" aer quantumvis
e'ompreflibilis , liquidis, quorum poiis continetur, comprefli-
bilitat€m nequit impertiri ( II ). Falfunj verq eft volu?--
men aeris in liquidis contenti horum volumine niajus effe,
fi ad ambientis aeris denfitatem redigatur (q). Etii enim
Mariotte ex aqua aeris volumen fe eduxiffe tradat
ipfius volumine 8 , aut 10 vicibus majus } erroris ta-
mefi iontero Halesivs. invenjt y. quj xex, oieo aquae' ci/^

ciocv ti: a

fky Aufbores cit. ad not. k.

(l) BoERHAAWE ch. 1, p. 279, a«t>, exp. idK.AfAiRXit i: ci li; i3¥,exMA.

RiOTTE oraaes.
lit) Eller i. c. ,:■ -o l^

'J CLLEK I. C. ,. •■■J •-(111 ., J ■ ■

>' Bosrh*awe I. e. p. 477 corolf VI ToBficJWtdfitTi mercurioin haromerro
ad IS pol, ex aqua nnodum prodire. Non prodre nifi exienio acre
ad dimidium raretafto (id. prael. § CCI ad verbum thflua, ) fubfi-
deote mercurio ad tres, vel quatuor pol, MoscJiembroek ( intioi
§ 1477 )

f aj Boermaawe prael. 1 c.

(p ) Id. I c. & ch. I . p. a«d , a8u

Cj j Vid. fupra noc J..

U IL

■J 4S

cumpofito in eo experlmer.to magna ex parte aerem ilium
prodiiffe adnotavit ( r ). Cur vero liquorum volumen erum-
pendo adaugear, fuperius indtcavimus ( II ) , quia nempe
dum propria elafticrtate dilatatur, pororum angullia impe-
ditur, quominus €a velocitate effugiat , qua nititur expand!
(f ). Ex quo intelligitur cur bullarum fpecie aer non erum-
pat, nifi poftquam ambiens admodum fuerit rarefaftum :
nam fi elafticitas interni aeris externi prefEonem paruni
fuperet , per pororum meatus erumpens paullatim aer
aequilibriura quiete reftituet (r), tum vero, ut dicebam,'
ipfius eruptio tumultuaria demum , & violenra erit , &
bullas , undafque excitabit , quum exceflus elafticitatis in-
terni aeris fiipra preffionem externi tantus erit , ut per
anguftias pororum ea velocitate erumpere nequeat , quara
elafticitatis differentia poftularet.

LV Aer igitur in liquidorum poris divifus utique in
minimas partes eft, fed ita ut elafticitatem exerceat^
nam phaenomena ejus aeris f>roprietatibus elaftici fluid!
apprime confentanea eflfe oftendimus (II). Nee obftat.y
quod obfervant, in liquorum poris hunc aerem quiefcere:
non enim quiefcit ex eo , quod elafticitare careat , fed "
quia nifus ejus elafticus ab aequali ambientis preffione c<>"

(/•) L. ult. c. exp. s, n. VI, p. 335, 336. Mariotte experimentutn a
BoERHAAwio narratur ch. I, p. 279, exp. 10.

!s) Vifcidiiate liquorum itnpeditur, Muschemb. introd. § 2162.
t ) Revera , quando vas aquam coniinens , & obturatum repente in vacuo
aperitur, longe copiofiores bullae erunipunt, quam quum,aqua inapef- ,
to vafe intra cxcipuium pneumaticum conftjtuta , paullatim vacuuni /
paratur; praefenim fi cxcipuium amplum fit , ut non nifi taidiusex-
hautiri poflit. BoYtE exp. phyfico-niech. exp. 28, p. 64,-65.

•Quod .fi igitur taidifiime aer ,edocatur , interpofiia mora inter
fingulas .cxanthlationes , vcrofimile eft a'ercm e liquoribus latenter
& abfque.bullis .pofle exhauriri ; quemadmodum latenter & abfque
bullis in cos ixrepflt. JHinc veio concludi poteft etiam ex translatU
liquoribus in rariorem aerem, tum ex au£to per tempeftatem calore
aerem ab ipfis clam prodire, licet ex defeftii bullarum contratiutB )
flatuai MusCHEMBROEKius Introd. § 1477. \ ^)

'4'

hibetur. Nee £tiam admrtti poteft , quod addant, calore ,
igne eleftrico , congelatione, partes , quae prius elafticae
non erant, elalticitatem recuperare, quamdiu haec taiita non
funr, ut elementa ipfa liquorum tranfmutare poffint. Etfi
vero ab harUm cauiTarum vehementia fixae corporum par-
tes in aerera elafticum convert! queant ; nihil tamen
fimile ab ambientis aeris exanthlatione licet exfpeftare ,
quae nihil aliud praellat nifi , ui aeifi e poris liquorum
eri^pcuro refiilemiam loUat , qui certe , ea tantum fublata,
elarticorum corporum more non expanderetur , bullafque
■efformaret , (i illic elafticirate orbatus delitefcerer.

LVI Enimvero phaenomena aeris fixi corporum a phae-
nomenis aeris elaftici haftenus expofitis longiffime abfunt ,
-Ut enim i" acr elafticus , nulla indu6la in partes liquo-
rum elementares mutatione , elici poteil, & iterum admitti
(I, II): contra aer fixus excuti nequit , nifi per putredi-
nem, fermentatioaem (z^ ), effervefcentiara (*), vehemen-
tioris ignis vim (jy) corporum compages deftruatur , &
elementa ipforum pervertantur : nee propterea : 2° aer hoc
pafto expulfus corpora a quibus educitur , ^onte fua ite-
rum fubii , unde aeram metamorphohm ekmentorum cor-
poris in aerem elalUcum fieri concluferunt ( j^ ). 3" Aer'
hie pluries fiiperat volumen corporum , a quibus educitur
(a). Hinc nullatenus elaltica forma in ipfis praeexftitiite

■( B J BoYiE exp. phyfico-mech. coiu. II , paflim.

1x1 Statique des veger. cap. VI ab exp. 83 ad 1^04,

C y 1 lb. ab exp. 49 ad 79. • ,]

\i) AerciD anihlia e liquorum poris eduftum dallicum fuifTe , Sc zd en rutfi\ )
compofiiionem non peninere, fecus ac ilium, qui fixus eft ,, nee nifi
chymicis artificiis educiliK (Dia. de chym. I,, p. 59). Simiiia Mac
BRJDE (effdis p. 359 in not.) & Halesius , qui hoc addit adutiiuf-
que ai:ris ciifcrimen oftcndendum aerem actefaflum citius taidinft'c
clafticitatcm amitterc (I. c. append, exp. 2, n. VlII); jaauram vero
pondcris, quam tairarus, aliaque corpora per diftiilationem patiuncur
iribuit converfioni corumdem in aerem elafticum ( 1. c. p. 341 ).

{4) BoYiE, Hales, Macbridk 1. e. ,. ;.

'5° •

cenfendus eft : nam denfitatem , & proprerea elafticltatem

tantam habuiflet, ut eidem coercendae nee ambientis pref-

fio, nee corporum firmitas paria efTe poflent (i). 4° A'ec

ille artifieiaiis plerumque venenatus , flammaeque , $c ani-

Pialibus infenfus eft, uiide aliqui verum aerem efle perne-

garunt ( c ) , qui tamen aerem liquorum poris contineri

concedunt (d), forte quod ejus naturam a communis aeris

indole baud fimiliter abludentem obfervaverint : quae omnia

rantam inter priorem ilium liquidorum aerem , & hunc

arte faftum ponunt differentiam , ut wel iple Halesius , qui^

tantam in aere fixo corporum expiorando , ac illuftrando

diligentiam adhlbuit , aerem vere eiafticum liquorum , 8c.

inprimis aquae poris contineri affirmet , & diffidentium ar-j;

gumenta refellat ( e ).

LVII Ut vero de ceteris iiquoribus diximus , de fangui-'

ne etiam dicendum , ipfum aerem continere , qui fublato-

externo aere bullarum fpecie erumpat (/) , & a faoguine;

ultra faturationem recipi non poffit (^)^ Hic etiam a^i'

dum erumpit fanguinis volumen adauget (A), adeo ut ar-'

teria , & vena , quae aqua graviores ipfius fundlitn peturif,','

fdfto vacuo, jam rumidiores , leviorefque innatent ( i ). Neque

quod aerem contineat (anguis ideo compreflibilis evadit (k)^

i' ,. ^

i) HxtEs 1. c. exp. af, p. 189.
■ MusCHEMB. in Florent. p. 17 , 3?. r > >

Id. cffai de phyfiq. § 884, 885. \ ./y

. , L. c. exp. I, n. VI, VII a p. 335 ad 338. ' .)

/) MuscHEMB. difp. p. 575 introd. § 2165, Bergerus de nat. hum. p. 45}.

BoYiEus, dcs agulicrs. cou f. de phyf. II , p. 457-
f) BockHaaVE praelec. ad § CCI ad verbum abford.
h) Goagulum cruorofum in vacuo intumefcit. Muschembroek. difp. p. 575.
j) MosCHEMBROiK: difp. § 14 introduc. § 2165. auagius efFets dc I'air
6 71, MoRGAGNi de fedibus, & cauflis moib. V, p. 18, p. 41.
vifcera, quae aquae (unduni petunt in vacuo iniumefcuni , &, inna.
tant. MuiCHEMB. difp. § 5. ;n , 1

( *) SauaGius J. c, § 71 , & cl. phyf. §' 138;

I

I

Demum coagulatione aer ad concrefcentis fanguinis fuper-
ficiem bullarum hexagonarum fpecie expellitur (/).

LVIIl De hoc aere quaeftio eiiam fit, utrum elafticus,
& communi fimilis , an fixus , & elafticitate deftitutus cen-
feri debeat. lllud ex haftenus diftis conftare fatis videtur
aerem in pori? fanguinis contentum ab iilo , qui in cete-
rorum liquorum poris continetur nequaquam difcrepare (m).
Hinc eft , ut qui aerern ceterorum liquorum inelafticura
dicunt , hanc quoque fanguinis elafticitatem denegent(rt):
viciflim , qui nobifcum liquorum aerem elafticum efle opinan-
tur, elafticum quoque aerem in fanguine nobifcum :;dmittant
(o).Nec propterea neceftarium puto diucius immorari in ex-
pendendis difficulfatibus , quae adverfus elafticitatem aeris
in fanguine contenti atferri folent iis prorfus fimiles , quas
§111, IV expendimus ; quod nempe, quum fanguis incom-
preffilis fit, ejus aer ela(ticitate carere debeat , quod quum
nonnifi , fublato externo aere , expandatur , prius inelafti-
cus effe debuerit , quod demum inelafticus fit , quum fan-
guis frigore parum adeo conftringatur. Enim vero aer in
pori^ Sanguinis tontentus nee ipfum compreilibilem., nee fri-

^ /) Idem el. phyf. § i^o, Littrivs Tngm. de I' Acad. 1714, p. jji.

i(/n) Idem affirraaDt BoERHAjtvE ( iiift. § 210), Hallerus (el. pnyf. Ill,'
P- 337, 339). Savagius (el. phyl. § 133, 137, 138), Muschem.
BROEKrus ( introd. § 1481 ).

in) SoERHAAVE ch. I , p. 181 , alii , quos memorat Bzkgeaus , qui aeris
qiumdain lenuiorem, mtdjae naturae, non tlaflicam , quam ipfi jaiis
txpontre non qutunt portioneio fanguini cotntnifceii contendunc. De
n.itur. hum. p> 40.
(.0) Vulijaiem aerem in fanguine contineii Savagius el. pbyf. §133, 137,
& MuscHEMBROEKius , qui ait : „ Aer , qui cum chylo tranfit in
„ fanguinem , eiuldtni eft naiurae, ac aer, qui iofpiratur . . . nam
cJarticiini gravfm fe prohat in duftu thoracico ( difp. p. 581 ). Ela-
flicuin qiicque aerem fanguinis faciunt Ferrein ( difp. p. 559 ), Du-
VERNEY ( pofth. II , p. 83 , 84), Macbkide , qui contrariam Boer-
MAAvn opinionem impugnat ( 1. c. a p. 66 ad 102), Bergerus ( I.
c. p. 43 ). Fantohus (difl"en. anat. p. 143 ), Halesius, qui ab aere
<Iaftico fluida animalium promoveri cootendic (1. c. p. 266), & ex
piimis BoREjivs (prop. CXII, CXIII).

gcxre magis- denCabileiiv eiiicere debet , nee fuas proprieta--
tes uHo modo fanguini poteil inipeitiri. Similiterque aer
(an^iiinis prellioue atmolphaerae cohibitus non prius fe ex-
pander , quam ea preffio fuerit fiiblata. Confer, (bpra §. III.
LIX lllud utique ex (anguinis incompreflibilitate erui
poteft, aerem per ejus porosdifperfum (/>) neutiquam vero
in bullas diftinftum ( ^r ). Nam hujufmodi bullae extria po-'
ros fanguinis politae id utique efficeren-t , utpote compreP-
fibiles , ut commune ex iplis , & ex fanguine eonflaium
volumen minui poflet , unde fanguis compreffibiiis videre-
tur. Quod fi aereae bullae in- (anguine non adfunt , inde-
poteft intelligi, cur aer in fanguine contentus non noceat f,
licet bullae aereae in fanguine genitae (r)j aut in vafiil

inje*

Si

Qt>) „ AertMn elaftieum in intimis irfterfititiis huthorum omiiiutn cum fan--
„ guine circulantium coniineri , & quidem ipfum ita- divifum , ut^
„ non facile aliquot partes invicem colleaas pofllJear ( MusChemb,>.
„ difp. p. 591 ), dilTolutuin in aqua , & in ea tainquam fal aliquis-
, colliquefceniem ( Hailer I. c. p. 366, 367). Siniilia Sauagii/si
el. phyf. § 144), MoRGAGNi (I. c. V. § 18, p. 4' ). Bokelius .
^ prop. CXIII ), Fantonus ( I. c. p. 345 ). Atnplam pultnonibus fu-
perficiem datam efTe , ut aer per minimas partes fanguini faciliu*.
admi ceretur ( Duveeneit 1. c 11 , p. 87 , 506).

(9) Quales bullas adiinnit Meryus ( Mem. de I'Acad. 1707 ).

f r) „ Si vero contingat aiiquot partes aeris in fanguine combinari, morbi
„ periculofi, & mors oboiicntur ( Muschemb. difp. 593). Aer ipfc.
,, loluius , ac liber inter fanguinis partes inteijeftiis harum mctuife'
., opponit ( MoRGAGNi I. ul. c). Moiibus liquidorum obflat , ut vide-
,, mus liquores in vafa fyphorre injefto<i, iniercepio acre , validum
„ obiicem, ac fere infuperabiUin invenire (Fanton 1. c): vidctut
„ aer cor diflendendo ejus inotum impedire , ficque mortem jnferre'
( MORGAGNI I. c. V. § 23 ).

Aeris vero bullae in cadaveribus obfervatac vel cum manifefla pu-
tredine ( Morgasni V. § 19, 30, XXXI, § 23 ), vel abfque ulia -
alicuius m<^menti atliun£la putrcdine (Hailer in Boerh. n. i ad § CCI). .
Port haemorragias ( Littre Mem. de I'Acad. 1771 p. 331, Ferkein
difp. p. 5J9 ). Port vulnera ( Halier pr lin. § 280 , & ul. ). Poft
repcntinam mnrtem cor acre plenum ( Ruyschius epiH. probl. XVI',
p. 9 ). Ex atrophia venae aeris plenac ( Lieutaud prficif. p. 401 )..
Confer MoRGAGNi Lc. V. § 17 , 19, 10 , »4, 25.

injeflae (s), quaeque poris (anguinis aere jam faturati ex-
cipi amplius non poHTunt , utique laedant.

LX An vero aer fanguinis per pulmonem advenit? an
is ell primarius refpirationis finis ( f ) ? Quantitas aeris,

• quae ad fanguinis faturationem requintur , cum chylo vi-
•.detur advenire : nam chylus ex alinicntis , & potuientis fit

aere refertis ( u). Hmc aerem elalHcura in vacuo emittir,
eademque phaenomena praebet , quae a fanguine exhiberi

• obfervavimus ( x). Quare [quum fanguis aere femel foturdtus
nullum (y) recipere amplius poffit (IX), perfpicuum ei%
aerem nullum per pulmonem in fanguinem advenire, nifi
caufla aliqua occurrat , quae aequilibrium inter externum
aerem , &: aerem in fanguine contentum valeat perturbare.
Rem confirmant aquatica animalia ( { ) , & foetus ipli in
amnio conteati (a), qui humores aere .elaftico haud mi-

afil) Dc effeftibus aeris in venas atiimalis iniefti confer Helvetium ( \f5nT,

o, • dc I'Acad. 1718 p. 132), Morgagnum , qui ab iiiimiiro aere fan-

guinem negat coagulari , & animalia alia prae aliis ab eodem iaedr
affirmat (I. c. V. § 21, 21), Bergerum , qui pedc'.cniim imminiinr
aerem ( I. c. p. 40 ) ; turn Pringlium , qui pauca copia funeflum non
enb oblervat , licet pulfum inteimittentcm reddat ( maladies des ar-
, ni6es II p. 295 ).

.^«) Ut fentit BoRELLUs (1. c. prop. CXIII), Loverus (de cord. p. 158),
Fantonus ( I. c. p. 342, 343 ), RuYSCHius ( ep'ft. probl. XV! ),
Duverney (I. c. p. 83, 84), Ferrew ( difp. p. 559).

(a) Ita VliscHEBROEK ( di/p. 580), Nehedam ( i. c. p. 562), Macbrioe
( I. c. p. 103), Senac (du cneur II p. 121 ). Non didVntt Meryls
aerem , qi;i aj faogunis faturationem rejuiritur, cum cKjilo advenire

'_, ( M6m. de i' Acad. 1707 p. X57, 158, 165) Sauagius ( effcts de

., I'air § 76 ).

Jt,x) In chylo pcrinde ac in veDis, & fanguine demonftrari Morgagkx (1.
c. V. § 21 ), MusCH. ( difp. p. 173 ), ex ductu thoracico, icilicet
duohus vincuiis iniercepto, & in \acuo tumcnte.

{_)>)• Ita Boerhaave ( pracl. § CCI ad verbnm abjorii), Halleri's ( cl.
,; ,j , phyf. HI p. 3-37), & ipfe Meryus ( M6m. di; i'Acad. I. ul. c ).

^ti)' FLORENTiNi (p. <;4. 55 col. Acad.). Hauiubee ( cxp. phyfico rrcch. tf
. ,. p. 429), Boyle f experiraenta phyfico-pneuui.. tit. VII )^ OuvERNEt

. .' ,„.C P- v^' 504).

t«) MuscH. difp. p. ^70.

Mijc. Tuur. Tonu V X

M4

nui iifibufcS habent , licet Ifla pulmonibas carearit, hi yerb

nuikim reiiuratioiiem exeiceaiVr,

LXl Quod li aequrlibrium imer externum interniuntqae
aferem pervertatur , tunc equidem videtur per pulmonem
CommodiiHme poiie r^parari ( 6 ). Nam aer vapori pul-
monali admixtus earn viam facile penetrac (c), & per
eumdem majores eiiam aeris bullae intcrdum immittuntur
(d), &c banc iplam viam effluvia odorifeia , & venena
faepiflime legunt («), & demum per ampiillimam fuper- '

(.*) Vel ipfe MuscHEMBROEKius adiiiittit"( introd. § ar68), Ircei in primis

fcripns copiofe probare conatus cffct , viam aeii in faiiguinem per
pulmonem denepatam efTe ( difp. cap. Ifl toto ).

(fie') „ Aetem in (anguuiem venire , nemo, piito, nepar, fed diflblutiim in
aqua & l.c.( Haller el pliyf. Ill P-336, 337). Sunt qui ncgant inje-
£lum in trachaeam a?iem fubire venam pulmonalem, ai fi aertm in
tenuia iniejlina intrudant , nil quoquc laflea vaja fubiic noiabunt , inttrcm
chylus (ppioje tadem fitb'intral , qucm a'ert prorfus d'llitui nemo aj^rma*
veric , Fanton I. c. p. 242, 243. Ita plerique aufintes cit. fuperius
ad not. y. . . , .

(</) Eifi experimentum non fucceiJlt Harveo { in proem, ad eicerc. I de
mot. cord. p. 21); nee Nehedamio (I. c. p. 565 ) : iVec Bchnio
(circ. anat. p. 69 ): ncc ButtiNGERO ( com. a6V. Petr. Ill p. 24o1:acc
Halesio ( haemallar. exp. XI n. VI): nee Muschemsroekio ( difp.
p. 610): nee DuvERNEYO (I. c. II p. 82 , 83), qui abfque adhibita
vi id ricri non pofle fiifpicamur. Succe/Iit laineu SwaMerdamio

(dc refp. feft. 3 cap. 1, § 4^ ttflibu'; cxperimenti Stivio ( di(p.
VII, § 86), Stemonio ( epilt. ad BARtHOL IV ep. 55 ), Borri-
CHio , qui nil unquam diuuptum app.iiutne affirmai ( I. c. ep. 76 ),•

Succcffit etiani Meryo (Mem. de I'Acad. 1707 p. 164). Ferreinio
(difp. p. 549), LiEUTAUDio ( cl. pliyfic. p. 89), & Hallero, qui
aeiem lent vi , fed contirmaia tianlmiiti ex propiio expcr memo docet
(in BOERH. n. i ad § CCI ) , & Morgagno , ijiti , inflaio pulmone ,
Ttpititis praeftrtim y & diutiui in earn piodudis, nee tamcn vioUntis ia.
fpiialionitus pulmoiialis vtnae iruncum vidii jpumtfo humore tcompUri
( I. c. V. ■§ 22); cx quibus erui pofTe vidctur, etfi aijris bullae fi?.
cundum naiuram in fanguinem per pulmones non adveniant , quum
nullae rrvcra in eodem infint (IX). patulas tamen vias efle , pcrquas
non difficile pcfTint impelli.
( t ) Odor fpiritu.<v iherebinihinac , qui obfervante Hombercio urinas inficit
apua Mert ( Mfim. de I'Acad. 1707 p. 166, 167), & miafroara
contagiola m fanguinem tranfmiffa f Bernovili difp. p. 6(4^ Sava.
«iu$ (I. c. § 140) , DuvERN£T ( 1. c. p. 87 ), LiEVTAVD Cel.phyf.
p. 90).

Mi

ficiem in pulmone nudus fere fanguis aerem contingit (f),

Idque so magis verodmile ^ quod cutis > quae altera via
vifa eft emittendo , admittendoque aeri apta ( ^ ) , longe
tamen durior pulmone, denfiorque fit, & minoribus exha-
lantibus vafis inftrufta ; hinc animalia in vacuo inflata per-
^ant , nee detumefcuru ( obfervante Meryo ) njfi aerem
per< OS emittant {h).

r.'LXll Si itaque aer externus interne rarioc fiat, inter-,
BUS vi fua elaftica fe expandens animalia inflabit , eadem-
que fymptomata inferet, quae ab immilTo in veiwy acre
producuiuur ( IX ) ; quae tamen omnia acre ipTo raox per
pulmones prodeunte , & ad aequilibrium fe componente
ftvanefceni ( i ). Itno veto fi ilia externi aeris rarefcemia
paullatim oboriatur , ut fenfim aer per pulraones erumpere
poflit (IV), fenfim etiara aequilibrium reparabitur , quia
ulla animalium inflation uUumve incommodura nalcatur {k).
Coatra li aer externus deniior fiat, preflione fua in pulmo-
nalem fanguinem peneuabit donee per omnes corporis hu-
iDor.es aequabilem denfitaiem fuerit adeptus. c.,;;

LXllI Parum difiimili ratione coniingit , "ut il vacuum,
aliquod in humano corpore nafeatur , in illud aer per
exhalantia vafa fe diftundat , quo fpe6tat aer in luxati ar-
ms- cavum colleflus , & ejus reduftioni refillens ( / ) , aut

1 . . .■

(yj)oMjitLFR pr. (in. .^ 175^-Se, non videre quid otftet airi , quominut venas
adeo mannas fubtat , id in BoERH. not. / ad § CCI.-

(.;•)?» Pofo.'i cutaneos aerem a4[nittete, 8c einittcre , qoirm pulmones ei mu-
neri non fuflicianc, RuY.iicHius epift. prob. XVI p. 9. In > mnes cor-

pori.<i caviiates viam aijri per cutein patere. Keil. (tent. p. 193^,

BouiLLET hift. de I* Acad. 1743 p. Sk
f A) M6ni. de t' Acad. J79? p. 221.
f iiV Mi(fc. Taur ll, p. 1?^ § 13.
\k) Iflcommod* in Academicis aUiflimosPeruvianos monies confcendentibiis

ex labofC' itintris-: nam quando equo vefti confcendcbant , eadem

viiabant, obfervante Sa.uagio ( effcts de I' air 68).
(/) Hallgr e4. pbyf.UI, p. 329 , not. «, *, x.,.y.

X 1

viciillm fi in cava corporis effufus aer comprimatur , &
addenfetur , per reforbentia vala paullatim peneiret , & in
humorum rndfTam fe diffundat. i^tque hue reterri poteft
aer per pe6l:ons vulnera , aut paracentehm admiffus , &
per occlufionem peftoris reliftus , qui licet principio dy-
Ipnoeam inferat , cito tamen incommodus efle definit ( wi ),
hue quoque emphyfematum refolutio fpe£lare videtur {n)^
quae phaenomena aeris reforptioni potius , quum deftructo
iplius elateri adfcribenda effe vel ex eo conllat, quod Ha-
X.£SIL'S obfervaverit aerem numquam ex toto elalticitatem
amittere ( o ).

LXIV An vero praeterea admittenda eft circulatio
quaedam aeris , & renovatio , ut in pulnione receptus aer
per cutem exhalet (f) , aut abfoiuto circulo per pulmo-
nem ipfum iterum expellatur ( y ) ? An inde deducenda
diverfnas. coloris artenofum inter fanguinem , & venoium?
Equidem omnes hutriores exerementuii acre ad f'aturaiio-
nem refcrti funt ( r ) , fed languinis mofla reparatur a
novo chylo , novo acre faturato ( X ) i nee propt^rea

fm) Haxes 1. e. p. »Tj, 114, Haher I. c. p. 140 241.

(n) „ In eHipliyfemate fiquiitem flatus difpellitur, necefleeft, utvelcuteitt
,, inveniai perviam . quam dicunt aeri nrn cfle pcrmeabilem , vel
,, refoibeatur in canales noflros ( H>iiLER. n. m ad § CCl Soer-

HAAV. ).

{«) Statique des v€git. p. 263, 164, 165. Vid. Mifcel. II, p. i8j,.

§ *S'

(f>) Quae vetus fcnteniia Mery eft. Hift. Acad. reg. 1. 4 , fe&. a, cap. j,
n. II, 13, non repiignaie Sauagio 1 c. § i3<;.

(?) Q^^c nova fcnteniia Merv Mfein. de I' Acad 1700, 1707.

{r) Per omnia organa extexiora ai-rem prodire , & etiam humores per cu. 1
• tein eiumpentcs, impliciias habere aeris particulas , indcque cfle,'
ut animalibus in interclulo acre mortuis , mercuiii aitrtudo in baro-
nietro iterum a»igcatur. Fantonus I.e. 344, 345. Aerem fuperfluum
per vias uriiue, & perrpuatioOils ejici. MaC^rioi I. c. p, 104,

uUa neceflitas aen's per pulmonem admittendi (j) ut j,i-
ftura repareiuf , quae per excreriones contingit. Quod
vero fpi'ftat )"ed colorem fanguinis arterioii , venofique , ii
dUcrimen iatis certum, & cciiftans' til , nbn inverofimile
videtur ab evaporanone fanguinis , quae in pulmone fit,
effe dedncendum. Etfi enim alibi experimenta protuii fua-
dentta colorem fanguinis ab aere muiari ( / ) , erfi eorura
ventatem deinceps conftanti fucceffu comprobatam vidi }
<juum tamen aniinadverterem conditiones, propter quas aer
admirtitur , aut arcetur , evaporationi eiiain aut favere ,
non obilare , in -earn opinionem dedu6tus fum , ut aut
tarn praefeiuiae aut contaftui aeris , quam evaporatjo-
ni eos effeftus tribuendos fufpicarer ; quae tamen hypo-
thefis non prius poteft admitti , quam experimentis explo-
rata fuerit , ac comprobata.

■•LXV Aer vero danguini admixtus quid boni praeftat ?
An ad fanguinis fluiditatem fervandam conducit ( w ) ? An
inde fit , ut cum aere qualTatus fanguis numquam concre-
fcat (x)l Verumtamen flaiditas fanguinis per agitjrionem
produda a fero ell, quod nunquam concrefcit , rubris glo-

(j) Hoc ipfum rattocinium prnponit Ipfe MertuJ, quando quaeflio lantum
fit tie aere , qui ad fanguinis Ijiurationem requiriiur ( Mfim di- I* Ac.
1707, p. 157, 158 , 165): nam eius hypoihefis de circulatione e is
verlaiur ciica aerem adunatum, air en majjt, qucm f<inguini uUia fa-
turationcm inefle, & in pulmone renovare ccnfct ( ib. p. i6i, 164,
•65 )• ;i ;. . ,., .■.

Lt) Mifc. Taur. i , p. 68 , & feq." ,/_,ij .,, ,, , .,.-,. ;

*) . Thrusto* (I. c. p. 6t, 63). QuatentJS. fangmni fupperfitat tcBuius ele-
•idiil iniJiifntuin. Malpig«i (I. c. p. 18). Eamdcm leotcntiain fcquu'nuf
plafcs alii, quos meniorat CI. Hallerus ( cl. yhyfic. Ill, p. j)i ,
331) ; ncgat tamen Borelius ( prop. CXIV .
^*) Sanguis quaiTatus nee coire amplius potefl , ncc infulam faceie ( De
Haen Bofoc. praa. pan. IV, cap. VI, § 3). Similia Mcschembroe-
Kius ( difp. p. 554). AuRiviLiius (di(p. 175, not. m). I^aoustene
( ilifp. p. 547 ). Sanguis emijfus vafis fun in lihcrriitio ..e < , tti.im
conquajfatus cum aere tlaflieo , proiinui obfervatur COaguUli iO.tRRAAVS

it prael, g CCI ad vetbum efsUlationt ),

158

bu!is infe^o , quum pars gelatinofa , quiie alias riibros glo*
bulos f.cum in placentam abripit, agitatione in ferum di-
miitat , & fola concrefceiis membranam Ruyfchianarri' di-
ftam efFormet (y). Quamvis igitur ferum cruore tinttum
falfam cruoris non eoncrefcentis fpeciem referac , certutn
tamen eft agitatum cum acre fanguinem coagulari, Vicii^.
fim fanguis animaiium in vacuo' exftinftorum acre licec fpob
liatus , fluidus reperitar ( ^ ). Deraum in calore animalij
fervatus fanguis , quamvis quiefcat , diutiffime fluidus per.
flat (a), ex quo conficitur fluidiiatem fanguinis non ah
agitatione, nee ab adinixto aere , fed a calore effe repe-
tendnm ? . • , ■ ■ ■ :- ' .

LXVl Aer eiiam ianguiiti admixtus parum nihilv!<» act
fanguinis ofcillationem, motunaque inieftinum videtur •c©n.«
ferre ( ^ ) , faltem quamdiu cum externo aere aequilibra--
tus in ejufdera meatibos quiefcit. Enim veto fuperius con-
ftitic in pbris.:Uquoru)iii incompr.effibilium contemum aeroni',
comprimi non poffe , cum am^jlitudo aut figura pororiim^
nequeat mutari (11, IV. ). Aer vero non comprefTus) necr
etiam refiliet, nullumque proptereamotum fanguinis partibusj.

' imprimere poterir.

LXVII Quam nam igirur demum utilitatem aer fan-
guinis atfert ? ;Praeci^ijani e35n,:,pffe Cienfep,;,ut ,^equljib|■iuIp;^
cum externo aere conftituac ,[ >iiicqu>e impediat quominus'

vafa ab ^jijs pt'^ffioae didaTitwr^j^,^,-)^;Praeterea;j<9^; exha-

(y) CI. Gaber. Mifcel. Taur. Ill, § ij, .14.

ll) BoRELLi prop. CXX. . .^ .

{•0} ScHwENCHE hemacol. p. 90. SbnaC <Ju cceur U, p. 124. In calere hu*
niani corporis (iinguis per dimidiatn horam nullam mutaiionein fubi-
,bat. Ellcr Acad, de Berlin 17^1 col. CI. Paul. II, p. 390.

{*) Uii ccnfet Malpighius (I. c. p. i8 ). Duverney II, p. 478, & J07^
509 , & alii multi. ;

(•c) SJmillier Bzrgerus (I. c p. 41). Sauagius ( I. c. § 74). Mwschem.
( introd. § 1170). Senac ( I. c. H, p. n8). Macbride ( I. ci p. 95,
& feq ). „ Et fane nifi res fie fe haberct, huius, in quonoltra funt
„ corpora , aiiris circutnundiciue prementis vis urgendo vafa moium
M fanguinis fu/Saminaret, Mokgacni J. c, V, § 18.

'^9

land admiftus videtur efficere , ut vifcera ac membranae

iupra fe invicem moveri poffiiu perinde ac fi , ulla ex-
terna preflione opprimer«ntur (d)i atque hue incommo-
da retero , quae ab aufta fubito exteuni aeris preiTione
natcuntur , non prius ceflatura , quam. aer humorum uiii-
formetn denlitatem acquifiverit ( e ) , unde animal non fo-
lum aptus fit attnofphaerae ponderi ferendo, fed ejus etiam
decuplurft faci'le fudinet (/). Inde etiam intelligitur cur
animalia in rariorem aerem repente translata , inflentur ,
convellanturque j quae tamen iyinptomaia aut nulla fint ,
■^ ea mutatio paullatim fiat, aut etiam paullo pod: fedeti-
tixr , quum afer humorum aeque rarus evaferit ( XII )•

LXVill Aer itaque humorum animalium quamdiu
-<e)urdem cum "exterhd denfitatis eft, cum eodem in ae-
<)uilibno elt, lit iiamorti per fua vafa aeqae libere movean-
tur, ac flnovek-^htur in vacuo fpatio j fimiliterque mem-
branae , & vife^ra fupra fe invicem facile glifcunt : at fi
minoris extus <ienfitatis repente evadit vafa intumefcunt ,
membranae fecedunt , ik divellunmr , fi majoris exprimun-
tuT va(a , intertor^s partt^ ad le mutu3 apprimuntur.

LXiX Ex quibuS exp^rimentum Halesu explicatur,
•tjiii nemp* deprehendit aniraalis in vacuo erte^ti pulmo-
iies , qui aibi repenri fdieant , rubros adparere, ffanima-
lis ipfius thorax variis irtcifionibus apertum fuerit priuC-
quam vacuo committeretur ; tum experimentum alterum ,
in quo feiis tranverfim fub diaphragmate feftae diaphragma

^} Pan* tnaxime fltjtilfs, ut aMtrmeh , rentrrctrtus refiftunr ponderi ai^
mofphaerae ob inclufum aerem ( Saua6ius I. c. §141 ). Sitre «erc in-
tefno elirftico cava corporis elidereniur ( Sekac ). al. c. Km. 1, c,
p. 191).

C* ) Qaalia incommoda- gravilTima ex nimis celer i campan^e erioaion'ae de—
fcenfu orianiur. Desaguliers cours de phyflque II , p> 4<f9. Saua>
' ' ~ '«ius I. c. a § 43 ad 46, Mvstfa, mtroti, § M70.

(/) Dhaguueks 1, c. .

i6o

in vacuo deprimi obl'ervavLt ( g ). Patet: nimlrum aerera
rore thoracico contentum in vacuo fe expandere debere
pulmonem inter ^ & diaphragma , eademque ab itivicen*
divellere, non fecus, ac Icleroticae laminae abaere humori-
bus contento ia vacuo dlvelluntur (A), aut .inarmorea
plana fibi adhaerentia in vacuo feparantur ab elatere aeris
oleo inhaerentis, quo inunguntur (r). Itaque expanden^,
fe ser pulmones iia comprimet , fanguinemque ita ab iifr
dem expriinet , ui , raortuo animali , exfar.gues ^ albique
appareant ; quod non. cootinget ^ fi aperto prius peftore
aer ille libere exhauriri pofiit. Eadem vero caufla ,. quae
p)jImones coroprimir, diaphragma etiam in oppofuam parr
tem detrudir^

. LXX Enimvero baud verofimile videtur , d^iaphragma.
dippelli ab aere in pulmone relUtante , ac fe expandent^,,
quum aer ille libere per glottidem prodire poiTit ^ bine.
pu!mo in vacuo non intumefcat, aut dirtrahatuc, fed coq^;
tra denfior fiai ( ^t ) , unde potius locunv cedere diaphrar-
gmati deberet , ut. altius in peftus alTurgeret. Quemadmor
dum igitur in fanguine. fecundum naturarn rvuilae infune,-
aeris bullae (IX) ,itsi nee in eavo pe£loris (/), Sc
quemadmodum ex fanguine bullae erurapunt , fi in vacuo
fpatio ronitituatur (VII); iic etiara videntur ex vapore
perfpirante peftoris poffe prodire, & memorata phaeno-

mena.

(g) Haemast. exp. Xn, n. lo.

" ' ' MUSCHEMIROEK difpUI. p. 587.

Boyle experiin. phyfico-mech. cont. I, e3tp. p, 1, p. 303, PuRCHO*

Tius inftit. Philof. 11 , p. 329.
(.*) Ut aquae fuodum petat, modo animalia in vacuo lente enecentur, aue

aliquamdiu port nioriem in vacuo relinquantur ( Verati com. Bon.

T. 11, P. I, p. 338, 339), 8c aet paullaiim admiitaiur ( Mujchem*

•ROEK. introd. §12167.
(/) Experimento a viris CI. Lieberkunio , & Halli&o iiiilKuto. V. Hxiua

dc lefpir, part, II, § 39, pare. III, § 1$. ^uKiO*.ia\i (\)

mena producere. Proinde verofimile eft ab aperro in vacuo
peftoris cavo aerem erupturum non fecus ac ab arteria ,
aut vena in eodem vacuo pertufa cernitur prodire.

LXXl Quamquam vero aerem internum cum externo

aere ad aequilibrium componi in pulmone inprimis exi-

ftimem (XI, XII), ejufque aequilibrii fervati aut refti-

tuti maximam efle utilitatem (XVII), baud tamen cen-

(eo hunc fuifle praecipuum pulmonis finem. Nam primo

rariffime aut numquam natura tantam producit in pon-

dere armo(pberae mutationem , quae ipfius aequilibrium

cum interno aere infigniter valeat perturbare i dein etfi

tentius , reparari tamea per alimenta id aequilibrium po-

tuiflet (X), & pulmo quails in frigidis, aut infeftorum

tracheae ei promtius reftituenda fufFeciffent : imo vero in

pifcibus , qui mutationi eXternae prefllonis maxims funt

obnoxii , alia proculdubio ratione rellituitur. Quare cum

pulmo humano fimilis nonnifi calidis animalibus datus fue-

rit , concludendura videtur exhalationem , & inde confe-

<}uens refrigerium , quibus calida animalia maxime egent^

primarium effe reipirationis ufura. Vid. cap. praec.

■^ 5ri"ialiii\ ii

u

Mifc. Taw. Tom. V» y

JOANNIS PETRI MARIAE i

D ANA

£)e Solano melanocerafo H- R' Taw:

•A

C/uamqoam Celeberr. Linnaeus in eximioopere, quo Plaw--
^^ TARUM SPECIES complefti nititur, Solanum Guineenfe
-bis nominaverit , & ante ipfum CI. Dillenius , ac BoE-
•RHAAVius plantam, de qua hic agitur, cognoverint; omnes
tamen ipfius defcriptionem paucis complexi de viribus , &
"Jiroprietatibus ejufdem nullam omnino mentionem fecerunti
nee alium Auftorem invenire datum eft, qui ipfius ufus
Tnemoriae mandaverit. Non inutile propterea duxi , paucis
additis ad defcriptionem pertinencibus , in ejufdem propricr
tares , & ufus minima vulgares inquirere , ut demum in-
telligatur quomodo hucufque aut neglefla , aut fufpefka
planta fuas late pandat utilitates.

<3uod in Guinea fponte nafcatur Boerhaavius {Ind.alt,
part. II. p. LXVIII n.' XVIII) appellavit Solanum Gul-
neenfe fruclu magna infiar Ceraji nigerrimo umbellato^ eodem-
que nomine DiLLtNius vocavit (^Elt/tam. p. ^^^6) &ciconem
dedit(Tab.CCLXXIf^ fig. 354) Boianicus {vecus fupra laudatus
{implici guineenjis Solani nomine (i) plantae fpeciem intellexit
a noftra modo difta , five a Dillenu , & Boerhavii
planta omnino diverfam, perennem, foliis laurinis. Hanc pro
varietate fui Solani nigri pofuit , quam guineenfem vocat,
& fie nomine tenus ab aliis varietatibus diftinguit in Spec,
plant, (pag. z66). Hinc in Syjlemaiis naturae edit. 11 refor-
mata nullum aliud peculiare nomen triviale ipfi dedit. Quo-
niam vero per quindecim , & ultra annos in noHro Horto j|

. A .W^j't .■'"••^'l .j'.:U.

botanico excultum inermes fpinas , quibus fpecie " fans di-
ftinguitur , nunquam dimifirj fed conftanter ab omnibus So-
lani fpeciebus turn acinorum fiicco purpuro-colorato , turn
datura , aliifque notis diverliflimum fe fe ollendiffe vidi ;
ideo pro diltinfta plane fpecie luberi , & nominari poffe
nullus dubito. Proptereaque triviali nomine melanocerafi
optime diltingui puto cum CI. Viro Carolo Allionio
BoT. Prof., quod netupe apte nomen hoc exprimat fru^tuum,
£b{i baccarum hujus Solani fimtlitudinem , quae cum nigris
Cerafi fruftibus iniercedit : quemadmodum idipfura immor-
talis BofcRHAAVii , & ocolatiffimi DiLLENli defcriptiva
nooiina lignificare voluerunt Sub iK)mine Solani /winamen-
fis olim in Horto R. Taurinenfi excultam oilendebat primus
Praeceptcr meus Vitalianus Donati , an; quod hoc
nomine ad ipfura femina milTa fuertnc c* vel quod Surina-
jDum pro pacria revera quoque agnofcat ? nefcio. Praeter
hos. , eoique, qui notiones tnde hauierunt^ vix alium inve-
liies ,. qui de eodem fcripferii;

, PUnta. eft glabra, bicubitalis fer€,caule angulofo, ramofo,
ipinis ad angulos & ramos non pungentibu$ feu inermibus.
Folia 5"o/- officinalis^ feu ni^ri L. ampliora , angulata, lan-
ceolata , obtu(a , alterna. Floras parvi ex bad virefcente
^zalbidi , ad limbum leviter purpuro'violacei , antheris fu-
fcis. Baccae (phaericae , cerafiformes , imraaturae virides,
per maturitatem atrae ,. magnitudine nucis avellanae , vel
£ru6his ceraii mediocris-, lucentes , in racemos fubumbella-
tos difpofitae, niiidae , viridi pulpa , & parvis , multis air
bidis , compreflis orbicularis feminibus faetae , lucco pur-
puro-violaceum colorem €X fe praebenie praeditae. Sliccus
•doris pouus viooii e(i , quam graveoleatis , &: narcutiti.

Jl) Spti, pi. ti. c pag. ti% ; 6" lyft. rut. td. li rtfaf. Bag. 17}.
J*J M«lcel. Tjur. vol. V in auftw- ad H. R. Taur.. Eodcroquc referente,
' rf> 6cah\ teftipofe tn Hotto jam esculta fcerat ha c fptcies.

1 64

uti a rdiquis plantae partibus exhalat, per fermentationem
'praeisrfim' vinolum odorcm emittit.

f^' 'Tota planta contufa , & retortae indita pondere libra-
jum trium unciarum decern & drachmae unius , atque
lummo ignis gradu calciiiata caput mortuum reliquic in
fundo retortae pondere unciae unius drachmaTum quinque
'^ granorum triginta , coloris atri, faporis fubfalfi ; quod
intra fornacem calcinatum in crucibulo mediam fui ponr
<deris partem fere adhuc amilit , & cinerem reliquit albido)-
rubentem , ex quo per lixiviationem eduftum ell fai alkali
tixum pondere drachmarum trium , & granorum duorum.
Si a combuftis Solani coloratis acinis obtenia cinereo-fali-
na materies , vel lal inde elixiviatum fimul in vitrum abiire
cogatur cum filice » Vel alia excolore vitrefcibili fubftantia,
-vitro ipfi colorem purpureum communicare I'uis experimen-
tis detexit ingenio noii minus , quam fanguine clarus
D. Comes Mgrozzi (i), qui, ut in non paucis alits
plantarum cineribus , ita in hoc principia colorantia, fixa
veluti , in igne manere expertus contendit , colorem fuum,
dum in vitrum tranfeunt , rurfus oftenliira. Baccae, earum«
rumque fuccus fimilia fere per analyhm praebent princi-
pia chymica ac tota planta, hcst falis fixi paulo minorem
quantitatem largiantur , & aliqua in odore primae per <ie-
itillationem prodeuntis aquae differentia iiuercedat. - ■■ ji
Experimenta in maiuro fruftu , aut ejus fucco recenter
exprello pleruraque tentata iiuelliguntur, nih contrarium at
feratur. Fru6tus obtinui ex planta turn in Horto Taurinenfi
Regio Botanico exculta , turn etiam ex aliis locis collinis,
aut fubmontanis , vel campellribus fatis agri Pedemontani ,
in quibus omnibus fub dio maturum fruftum praebuit, &
fua , utut annua radice hyemahs frigoris rigorem aliquando

(2) Examen phyficochimique fur la couleur des fleurs , & de quelques au^
ucs Jubilances veg6taic5. Mifctl, S«(, Reg. Tauu vel, V, tub, ».

toUefavit quando ferius fata intra annum flores non dede-
lat. Difficile propterea non erit magnam jpfius quaatita-
icm, & ad opus quodcumque pro lubitu neceffariam quet-
annis latione obtinere.

Cum fyrupo fucci exprelfi ab cjufdem Solani acinis ma-
turitati proxixnis nonnuUa experimerua inftitui ad aquarum
quarumdam mineralium examen praefertim commoda, &
neceffaria ; quae nimirum fimiles produnt fignificationes ,
<)uales fere a (yrupo florum vioiarum obfervari folent.
Item cum noftro fyrupo , & cum fimili fuccefTu aliqua
lentavi ex muhis illis experimentis , quorum feriem oUm
(}) profecutus eft Illuftrilfimus Comes De Saljuce, in quo
acquifitae pro multiplici fcientia laudes, & honores generis
antiquitaii pares^ & indito fcientiarum , ac artium amoti
debiti fimul refulgent. '>.

\ Colorum varietas, ■& pulchriiudo, quiexhac planta ob-
tinentur, & extrahuntur primam hucufque flbi confidera-
lionem nierentur ob ufus , quos in piiloria non minus ,
quam tin£loria arte poilicentur. Et fane fuccus a maturis ,
vel fubmaturis & coloratis baccis expreffus purpuro-viola-
cei coloris pulcherrimi ell , & ad ufus piftorios fupra
^hartam opportune adhibitus per. k optime cedit, fuumque
colorem cum pauco etiara alumine & gummi diutiffime
fulHnet. Idem fuccus brevi ad flccitatem Mariae Balneo ,
aut aliter , antequam corruptionis notas fibi reliftus prae-
beat, evaporatus extraclum largitur, quod fimilem colo-
rem fervat , & , ubi opus, prodit cum pauca aqua diiu-
tum. Neque mutationes facile fentit hie color , quas traftu
temporis hujufmodi pifturae fponte pleraeque fubeuot: fal-
tem fupra chanam a decern , 6c ultra annis piftae plantae,
quae hunc coiorem receperunt , hucufique inimutatae fer-
yantur j dum non pauci alii plantarum colorati fucci his ,
quas fola dies afi'ert , mutatiombus facile deturparuur. Quo-

(3) In Mifccllan. Taux, Vol. Ill p, 153.

t66

niam vero vividiortm , & magis'purpurafcentem colorem
hujus Solani baccae recentes praebeiit , quam ad corruptio-
nem tendentes, noil incongruum erit adnotare eafdem per
totum fere annum in acre aperto fervari poffe, licec tan«
dem flaccidae fiant , aut (iccefcant in acre nimis ficco. Ser-
vandi modus multiplex ell: fie vel cum ramorum, quibus
valde adhaerent, fummitatibus in loco frigidiufculo fufpen*
duntur ; vel in liquore oleofo , aut appropriate alio, ex. cai,
fpiritu vini , auc aqua aluminofa immerfae detinentur loco
frigido , ut tu^emes , & fatis ad \xiam accommodatae bac-
cae ferventur : ob denfam nimirum cutem , qua teguntur,
fie propriam diu , quam etiam habent maturae , duritierrt
fervant. Optiroam aliam folanacei hujus Coloris fervandi
methodum earn effe probabis , quae communis fere fucco
Solani eft cum aliis coloratis quibufdam liquoribus , qui fibi
re!i6li fub forma fluida mutarentur, uti eft color carthami
tintlorii &c, : futntintur nempe ftamina cannabis carptae ^
mundatae , & ad optima fila ducenda paratae ; maceran-
tur aliquantifper in aqua ; dein probe lota , & exficcata
ia purum, vel praeparatum plantae fuccum immerguntur j.
mox brevi exficcftta fine expreffione , in aere aperto , &
calido , loco claufo, tuto , ac ficco fervantur ad ufum.
Tmcturam , qua onufta fuerit cannabis, filaque ejus, fim-
plici immerfione deinde , quolibet dato tempore , immuta-
Mm facile reftiruent aquae , ex qua fere decolor eximi
poterit ) & color aquae communicatus ad fetam , ubi opus,
tingendam , aliofque ufus pi^lorios traduci poterit. Chartae
emporeticae ad fimiles etiam ufus fucco imbutae inferviunr,
aliaque.

Dixi fpiritu vini quoque rubram tinfturam elici ex bac-
cis integris , earumve cortife. Haec tamen tinftura longe
intenfior , & plane purpurea ex iifdem difruptis obtinetur,
quae non , quemadmodum fuccus , fcrmentationi vinofae $
& mox putrefaction! fubjacet , fed fub hac forma colo-

Wiues particulas poteft diutius confervare. Pars igiturprin-
cJpiorura cobrantium reiinofam indolem praeftfert, quam-
vis fuccus ipfe in concreto naturaliter exulens totus in
.aqua pura folvi poffit. Idipfum confirinatur experiinentis ,
quibus conftat purum fuccum abfqae aluminis Tubudio fuum
ferae colorera vividura probe communicare; quod colori-
bus fimpliciter gummofo-extra6livis vix convenit , faltem
his minus proprium cenfetur terte Clariflimo MACQUtRO.
(4) Sperandum propterea videtur ob earn caufam , quod
refinofo etiam principio vis inhaereat tinftoria , perfeftio-
res , & Iblidiores adbuc has > aliafque reddi pofle tincluras
ex continuata horura , aliorumque cum hoc Solano inlli-
tuendorum experimentorum ferie.

Non omnia nunc recenfebo experimenta a me fafta fu-
pra Solani hujus melanocerafi plantam, & praefertim fupra
iucci^m baccarum ejus recentem , vel ad extrafti formam
per evaporationera redaftum , ut ipfius indolem detegerem.
Aliqua tantum attingam, quoniam naturam, & proprietates
reipiciunt ftirpis , a nemine , quod fciam , ante hanc diem
accurate perpenfas. Sic recenter expreffus purpureus Solani
melanocerafi luccus ab aceti fpiritu , & ab iplb aceto plus
minufve purpuro-grifeum colorem induit ; a fucco limonum
dilute & pallide rubentem.; a ftillatitiis fpiriiibus acidis fa-
jis marini , & nitri in aqua dilutis plus minus intenfe rubrum,
cpccineumque j ab oleo vitrioli fimiliter foluto vividiffimum
■ciniwbarinum , qui fibi diutiuj reIi(£lus.Mj lutefcentem ver-
eit ^ & deraum flocculos in fluido inuatantes fenfim prodit.
Chhi plumlnis iblBtipne idem f«f ous d^t laete. caeruleum
eolofcra variae int^nfitatis pro varja utriufque ad diluen-
-WH) ^qyana proporiione , qui inemoratis pifturis commode
jnfervif. Vitnolum martis obfcure caeruleum, at mutabilem

44) Patfm ta £je dtOaonario chymka anoDyao; & in egtegio operc I'an.
4t 1* tamiune. tn fiiy.

i68

reddit. Alkalini fates , calx , & aqua calcis ad viridem cH-
verlimode difponunt , ac imniutanr. Attamen , i\ ad telas
pingendas adhibearur, praellat, e.vperientia teile, cam calce
mifcerff, quam cum lalibus, quorum aftione fortaffe nimia,.
linrea debiliora reddi poffent, & fucci pars in flocculos
per iiquidum dirperfos cogi : lie viridis optimus color viJi
praetio habebitur.

Qaod fi maturefcentes eaedem baccae contuse , fermerj-
fationem vinofam p^ffae putrefaflioiiem. fponte fticcedeiuetn
fjlHiieatit, & expreflus inde foetens (6) liquor lente ad ignem
evaporet , obfcurum extrattutn habebirur , cujiis colorem
umbraticum appellare poiTemus , ob I'uam ad corporum um-
bras praeftjrtim fupra chartam pingendas utiliratem. Hie
color prae caeteris optimus eft ad ficcefcentes plantarum
partes ^ praecipue ad earumdem caules , & non paucas ra-
dices perfefte imitandas, quin muiationibus facile fubiiciaa-
tUir pitturae exinde elaboratae.

Yerutn.

{6) Hiinc foetorem tandem port fex, & ultra menfes fervstus, Scadfoleni'
expofitus in vitrca amplaphiala obturaculo chartaceo te£la , fere ami-
fit, & in liquamen abiit, quod dccantatum conrpiciendam in vafisfundo-
reli^jiiit materiain grumoft concretam , nee cryflallizaram, in aqua
fonti"; nullatenus, & ex parte tantum in fpiritu vini foldbilem, aqaa
/pecifice feviorem, indeque fupernatantem , terrae fullonicae , faponf,
vel fineaidi exteriori facie fimilem , at peculiaris naturae fubinflpr-
Aivn , naufeam nioventem , parumper ingrate odoratain , exalbe/cen-
tc pallido colore praeditam. Haec inflammata oleum nigrum extus
emifit, quod lactam, nee fcintillanrem flammam diu aluit fine iff-
gtato odoie: pauci poll combuflisnem teliili cineres cum oleo vi-
irioli efFerbiicrunt alkalinae fuae naturae indicio; an calcareae , vel
falinac ? hucufque non fum experrus. £x diftis interim fere patet con-
cretionem banc novum cfTe alkalino oleofum , & fingulare ariis pro-
duftum, cujus naturana, & ufus haftenus omnino ignoramus, lic^
^uafdam faponis , alias refinae propiieiatcs ipfum oflender<it.

16^
Verum de virtutlbus (7) medicis , quas hucufque non fum
expertus , nihil addens jam alias ad fetam tingendam a me
probatas^ exponam (8). Quod, ut brevi fiat, aliqua tan-
tum ex multis experimentis eiigam , quae inter privates
parietes primum feci ann. 176^^ 1770: turn deinde repetii,
& fum profecutus ann. 1771, 1771 in Regio Tinfturae
laboratorio, ut fpeciali in banc rem juffui AUGUSTISSI-
MI, ET INVICTISSIMI REGIS parerem , GUI colorum
hoc Solano obtentorum fpecimina quaedam non difplicue-
runt; QUIQUE ideo Perilluftrem D^ Comitem d'Aglie ab
Alladio ad Tintloriae , aliarumque artium culturam promo-
vendam I'peciatim , & ex hereditaria veluti propeniione
addiftum publicae utilitatis caufa experimentis repetendis
praeeffe voluit. Theoriam horum , aliorumque experimen-
torum alio fonafle tempore una cum aliis adhuc infti--
tuendis prodam..

I

Sapone Maffilienfi venali dealbata feta , mox indita ^m-
flici tepentique baccarum Solani melanoceraji jucco colorem
induit ex purpureo ad violaceum tendentem , vulgo nobis
diftum (Tlfabella chiaro , qui repetitis lotionibus , & im-
meriionibus non magis evanuit , nee atiae rautationi fubje-

(7) Si ex indole pleraruraque coogenerum, & praefertim ex afRnitate cum

Solano vulgaii nigro ofTicinarum de Solani mdanocerafi, viribus me-
dicis aliqiiid per analogiatn conjcftare liceret, & odor, fapor, analy-
fis confulerentur ,. pro ufu inurno infidas , & de vi-neno fufpeftas
proiiniis fore hucufque fufpic^rcr pro cxierno autein ufu fortaffe
non fpernenda? refolvcnies , difcutientes anodynas intfTe in foliis ,
caulibus , & Hnribus : aique lenientcs , detergentefque aJverfiis car-
cinomaia icifanabilia in fruftuum fucco recenii , & depurate repeiiri
pofTe non obflupefcerein.

(8) Ex antccedentiuin confideratione ad appncatinnem principiorum coloran-

tium fupra fetam deveniri poffe putavi. Nee fpem fefellit cvenius,
uti etiam ipfo lindlorum lato fuper hanc tin£luram judjcio jam fau»
conftat.

Mijc. Taur, Tom. V z

'7° .

ftus fuit , quam foleat longo labore , & longe majori tem-

poris , ac aua difpeiidio paratus color Lichenis Rocellae L.

Italis oricello , aliique diverfi generis , ex. gr. Canhami ,

Luteolae &c. Intenlior ad violaceum ufque fiet fetae color,

fi poll repetiram .in idem tepens balneum immeilionem

ipla exficcari linatur , quem vocaut Lilla violante.

I I

Baccae integrae cum fucco earumdem exprejfo coSlae, &
deinde expreffae balneum praebuere , in quod ad ebullino-
nem ufque calefaSum demerfa fimilis feta colorem vividifll-
mum pod opportunas lotiones acquifivit grifeofubpurpura-
fcentem , quem tinftores apud nos vocant gris de prince ,
Hie variae intenfitatis fuit pro varia liquoris tingentis ad
fetam , vel additam aquam proportione , & pro vario tem-
pore ebullitionis. Hos colores a nulla alia planta adeo fa-
cile obtineri norunt tin8:ores.

I I i

Sic jam tinftis fetis (n. I, II), vel ipfi balneo addita"
leris quantitas fucci limonum colorem dat pallide fubpur-
pureum , ut in vulgaris Colchici floribus inert , qui nobis
audit color di frejdolina chiaro. Vividus utique per fe hie
etiam eit, at ex laeviffima Carthami florum tindura ad ro-
feum dilutiilimum mox accedet.

I V

Eadem ( n. I, II ) tinfta feta intenfiorera florum Colchici
colorem adipifcetur ex levi acidi vitriolici in multo liqui-
do diluti, & probe mixti additione. At rigiditas inde aliqua
fetae infertur, unde forta0e fufpedus eile pofTet hujus tin<
Aurae ufus.

171

Succus a Solano expreflus , & fpiritui vini vulgari jun-
£lus , five tinclura fpir'nuofa ex baccis dealbatae , & ficca-
tae fetae colorein djbit purpura- ruhentem ^ veluti vinofum j
qui minus intenfus erit , fi ante iramerfionem feta non
fuerit probe ficcata. Si huic balneo fucci limonum parva
quantitas addatur, feta immerfa colorem acquiret levifiime
purpureum. Sed in hifce tribus cafibus fetae color pecu-
liariter lucens ^ & nitidior erit, quod a fpiritu vini fortaffe
provenit colorantia refinofa elementa intimius penetrante ,
folvente , & intra fetam inducente. Etenim infuper iidera
quoque colores difficilius (6) mutabiles in ipfa feta obfervantur.

V I

Ex variorum alkalinorum additione mutationes tales bal-
neo communicatae funt , ut minus facile applicandos , ik
minus optabiles colores feta deinde immerfa obtinuerir.

VII

Exceptione tamen omnino digna funt bina produfta al-
kalinae indolis , quae a Spartio fcopario Lin. eduxit PeriU
luftris Comes Morozzi , mihique obtulit experiunda ; fci-
Jicet fal alkali fixum ex corabufta Spartii fcoparii planta
eduftum per cineris ejufdem elixiviationem ; & fpiritus
olcofus alkalinus volatilis , empyreumatico-foetidiffimus per
dilbllationem A. B. obtentus. Etenim five cum fimplici So-
lani fucco ^ five cum addito alumine , aliifve , pro varia

.{9) Immutabiles fere colores fetae nemo haftenus indidit , licet demur
varii eorum mutabilitaiis gmdus , plus inioufve facile induccndi ,
&im aeii, & Soli leta diuiius exponitur.

»7» , . .

ingredientiuin applicatione , & proportions, ea produ6la

communicant immer(ae fetae varios colores maxime niti-
dos , & vivaces , grifeos , argenteos, atque caerulefcentes.
Si loco Talis Spartii modo laudad fal altud alkali fixum
ex. gr. tartari adhibeatur, memorad colores nullatenus fe(e
produnt: unde etiam eruirur notabile horum fixorum fa-
lium , noviimque difcrimen ; utlibet in pluribus aliis pro-<
prietatibus inter fe- vere Gonveniant.

V 1 I I.

Solani fuccus in aqua leviter nitrata fblutus grlfeum puU
chrum caeteris intenfiorem fetae colorem communicat.

IX

Seta fapone minima dealbata , feu cruda , turn etiam-
alumine nullatenus penetrata hujus tinfturas , feu princi-
pia colorantia baccarum Solani per fe fatis facile , & me-
lius recipit , & firmius tenet , quam fapone , & alumine
praeparata. Immo, fi faponem adhibitum nimia copia alkar
lini falis ingrediatur , praeftabit femel fetam intra aquam li-
monum fucco leviter acidulatam immergere , turn ex aqua:
fontis faepius eluere , ut deinde purpureus color melius ^
nee ad caeruleum inclinans fetae communicetur per Solani
fuccum tingendae.

X

Praeter hucufque diftos colores alii enati funt ex quo-
rumdam tinfturae ingredientium connubio, medii veluti, &
quales ab alterutro ingredientium obdneri non poffunt. In-
ter hos futt fupra fetam color nuccus variae intenlitads ad
rubicundum vergensj murinus, gnfeus margaritaceus claius,
caerulans , caffe tolti, vel magis clari, & lubefcentis, &c.
de quibus nihil addo , quia aeque folidi ac optimi magi«
facile , aut ininori fumptu aliter parari polTunt^

SECOND M^MOIRE""

Sur la diffcrente dlffolubillte dc fels neutres dans

L'efpnt de vin , (^i^ contenant des ohfervanons

paniculierei fur plufieurs de ces fels.

Par M/ MAQUER.

iiuoique I'objet que j'aie eu principalement en viie dans
ce travail , ait ete de reconnoitre Taftion de I'efprit
de vin fur les fels neutres, c'eft-a dire fur les coinpofes
qui refultent de Tunion d'un acide qiSelconque avec une
fubilance de quelque nature qu'elle foit , j'ai fenti cepen-
dant , en continuant ces recherches, qu' il etoit necerfaire
de les erendre encore plus loin, & de determiner, autanc
que cela feroit poflible , la maniere dont I'efprit de vin
agit fur les fubltances menies , dont I'union peut former
des fels neutres.

Les phenomenes de combinaXons 7'ue pretente ce dilToivant
avec les acides vitriolique , nitreux 6i marin, etant deja bien
connus par les travaux d' un grand nombre de Cnimiftes
tres eclaires , j'ai cru qu'il etoit inutile de reveoir fur cet-
te matiere qui paroit eclaircie autant qu'elle peut I'^rre.
Mais il n'en elt pas de mema de ceux que 1' elprit ardent
peut offrir avec les fubltances fufceptibles de s' unit aux
acides , & principalement avec les matieres falines alkali-
nes. J'ai penle par cette raifon qu' il etoit a propos de
faire quelques experiences fur ces dernieres , avarit d'aller

(i) Le premier Me'raoire fe trouve dans Ic HI Vol.

MlJc, Taur. Tom. V. a a

^74

plus loin ; il auroit meme , Hiiis-doute , ete mieiix de s'eti

occuper d'abord ; mais dans des recherches coinme celles-ci

qui n'ont pour but que de bien conllater des fdit;. effen-

tiels a connoitre , & de raffembler . des miteriaux qui

pourront etre employes par la fuite avec fucces, il eft

toujours terns de fouiller dans la carriere & d'en extraire

les maiieres premieres. Je reviendrai done, pour ainli dire

ici, fur mes pas ; je commencerai par I'examen des pheno-

menes qu'offre I'efprit de vin avec les alkalis fixes , vǤgetal

& mineral , avec I'aikali volatil , enfuite avant que de trailer

des fels neutres tartareux ou rartres folubles, dont il s'agira

principaleraent dans ce fecond niemoire , je reconnoitrai

la maniere dont (e comporte Tacide tartareux pur avec

Tefprit de vin , & Qifin je le terminerai par deux epreu-

ves fur I'arlenic cc le lei neutre arfenical , qui feront ici

des efpeces de hors d'ceuvre , mais qui doivent cependant

entrer quelque part dans un travail de la nature de celui-ci.

Alkali fixe du tanre,

J'ai pris de I'aikali fixe du tartre , tres-blanc , tres-fec,
purifie avec tout le foin poffible par les dilTolutions , fil-
trations , & deiiccation parfaite j j'ai fait bouillir defl'us
dans un matras , du meme efprit de vin qui m'avoit fervi
pour les experiences de mon premier memoire.

Au premier contaft de Te/jsrit de vin , I'aikali a com-
mence par fe pelotter , & enfuite a forme par I'ebullition,
une Ibrte de liqueur epaifle blanche & trouble qui occu-
poit le fond du matras. Cette elpece de liquefaction du
lei alkali clt due, comme Ton fait , a une petite portion
de flegme dont I'eljjrit de vin le mieux reftifie n'eft jamais
entierement exempt , quand il I'a ete par la (imple diftil-
lation , fans aucun intermede , tel que Tell celui dont je
Die lets. Je dois faire obferver audi que dans I'expe-.

»7J
rience dont je parle la quantity de I'efprit de via etoit

trois fois plus gratide que celle de I'alkali.

Apres rebullition , j'ai decanre I'efprit de vin encore
tres-chaud , puis je I'ai filire par le papier gris quoi qu'il
fut fort clair ; il a paiTe tres-limpide.

Quelques gouttes de cet efprit de vin mifes fur une
glace fe font evaporees en- affez peu de terns a fair iibre,
& y ont laifle des criftaux figures en lames d'epee; quel-
ques uns de ces criltaux etoient folitaires ; mais la plus
part etoient croifes deux a deux I'un fur i'autre , avec
cette fingularite , que I'un beaucoup moins long que I'autre
coupoit ce dernier a angles droits vers une de fes extre-
mites de maniere qu' ils reprefentoient enfemble une croix,
ou encore mieux une de ces epees a I'antique dont la
poignee & la garde forment une croix.

J'ai fait evaporer a une chaleur douce de bain de fable
cet efprit de vin qui avoit bouilli fur I'alkali fixe du tar-
tre , a mefure que la liqueur s'evaporoit , elle contratitoit
une couleur d'abord jaune , puis roul'satre & une faveur
acre alkaline.

Lors qu'elle a ere evaporee aux trois quarts , j'en ai
mis une portion dans une capfule de verre , pour la lail-
fer achever de s'evaporer a la feule chaleur de i'air; il s'eft
forme dans celle-ci des criltaux d'une forme route diffe-
rente : c' etoient des pyramides quadrangulaires fort baffes,
dont les'elemens etoient des quarres reguliers , pofes les
uns fur les autres , & decroiflans depuis la bafe, jufqu'au
fommet ; on diltinguait tres-bien au microfcope la fepara-
tion de ces elemens quarres qui formoient comma des
efpeces d'efcaliers , ou de gradins fur chaque face de la
pyramide.

Une demi oiKe du meme efprit de vin qui avoit bouilli
fur I'alkali du tartre , evaporee tout de fuite jufqu' a fic-
cite au bain de fable a une chaleur aflez forte , dans une

a a 2.

i-]6

petite tafle ou capfule de porcelalne , a laifTe deux grains
d'uiie matiere roufle , foncee , dans laquelle il n' y avoit
aucune criftallifation. Cette matiere avoit une faveur acre
alkaline , verdiffoit fortement le fyrop violat , & avoit les
carafteres d'un .compofe huileux , favonneux alkalin ; elle
fe diflblvoit egalement bien dans I'eau , ou dans I'efprit
de vin.

La flamme d'une autre demi once du meme efprit de
vin , ne differoit point fenfiblement de celle de I'efprit de
vin pur , il eft refte dans ia capfule qui avoit fervi a cette
deflagration un enduit d'une matiere loute femblable a
celle que je viens de decrire.

Une circonftance remarquable de I'expeiience dont je
viens de rendre compte , c'eft que I'efpece de difl'olution
aqueufe de I'alkali fur leque! j'avois fait bouillir I'efprit
de vin , s'eft coagulee route entiere par le feul refroidif-
fcmenr, en une mafie blanche, filine , criftallifee , mais
en crillaux infiniment petits , conftjs , entaffes , & dont je
n'ai pu dererniiner d'abord la forme a caufe de leur pe-
titeffe &: probablemeni auffi a caufe de leur irregularite
& de leur confufion.

L'ayant rediflbus dans de I'eau & laiffe criftallifer dans
une c.ipfule de verre , j'ai obtenu une crirtaliifation en
belies ramifications compofees d'aiguillcs ou de filamens
longs ;■ mais qui par cela meme ne me prefentant point
de criftaux folitaires , ne m'en lailToit point dilHnguer la
vraie torme ; il y avoit cependant dans dps intervalles de
ces ramifications quelques crillaux folitaires tres-petits,
bien reguliers , & formant des tianches de pri(mes exa-
gonaux ou Acs folides abfoiument femblables a des car-
reaux de chambre.

On fait pour I'ufage de la medecine une preparation
nonimee tcinturc dz Jcl dc tartre Sc qui conlille a verfer
fur de I'alkali fixe de tartre , bien calcine Sc encore tout

^77
cliaud , de I' efprit de vin rfcftifie , & a lalfler ce melange

en digeftion dans un raatras au bain de fable pendant plu-
fieurs jours , ou jufqu' a ce que l' efprit de vin ait acquis
une couleur jaune fonc^e.

Le refultat de cette preparation devant avoir beaucoup
de rapport avec celui de l' experience dont je viens de
rendre compte , j' ai voulu comparer 1' un a 1' autre.

J' avois environ dix ou douze onces de cette teinture
de fel de tarrre extremement foncee en couleur , & qui
etoit dans mon laboratoire depuis plus de vingt ans duns
une bouteille bouchee d'un fimple bouchon de liege.

J' ai trouve en I'examinant que cette liqueur avoit perdu
une partie de fa couleur , quoi qu' elle en confervat en-
core beaucoup , & qu' il s' etoit forme au fond un depot
partie liquide , partie folide d' une intenfite de couleur
beaucoup plus grande.

Cette liqueur verdiflbit le (yrop violat , avoit une fa-
veur melee de la fpiritueufe, & de 1' alkaline. Sa flamme
ne differoit point fenfiblement de celle de l' efprit de vin
pur. En ayant fait evaporer une portion dans une caplule
de verre a 1' air libre , apres que la liqueur a ete eva-
poree a peu pres au trois quarts , j' ai obferve qu' elle pa-
loiiToit un melange de deux liqueurs tres diiferentes , &
tres dillinftes ; l' une fans couleur comme de I' eau , &c
Y autre d' un jaune fonce ; cette derniere nageoit dans la
premiere en forme de gouttes ou de globules exaftement
femblablcs a ceux d' une huile jaune qui auroit ^te me ee
avec de 1' eau par la fecouflfe. Apres I'evaporation totale,
a une chaleur douce de bain de fable , elle a lailfe dans
la capfule un enduit d' un jaune brun , crillalife confufe-
ment , mais formant cependant tres fenfiblement diis la-
mes en quarres longs.

Au fond de la bouteille qui contenoit cette ancienne
teinture de fel de tartre j il y avoit, comme je I'ai dir,

^78 ^

un depot dont utie partie efolt fliii-ie , & formoit environ
deux gros d' une liqueur tranfparente , mais d' un jaune
fort brun.

J' ai fepare cette liqueur par I'entonnoir; elle ne s' eft
point diflbute dans de nouvel efprit de vin que j' ai verfe
deflus j fa faveur etoit acre , trcs alkaline , & nullement
Ipiritueufe : par 1' evaporation a 1' air libre elle s' eft epai(-
lie , & a forme diffefentes criftailifations ; elle s' eft dif-
(bute entierement dans l' eau ; 1' acide marin affoibli , s'y
eft mele avec effervefcence , & en a fepare des floccons
bruns.

Cette liqueur etoit , comme je I'ai dit , au fond de la
bouteille melee d' une certaine quantite de matiere folide
de meme couleur ; cette derniere examinee feparemenc
avoil une confiftance gelatineufe , elle ne s'eft laifte diC-
foudre , ni par 1' eau , ni par 1' efprit de vin , ni par les
alkalis , ni par les acides.

Toute la bouteille etoit enduite interieurement d' une
pellicule , prefque femblable pour le coup d' ceil aux in-
cruftations que fait I'eau de chaux , & a refifte a tous les
diftblvans , & a tous les frottemens que j' ai pu employer
pour r enlever.

Enfin pour terminer ce qui concerne cette ancienne
teinture de fel de tartre , j'en ai pris une demi once de
tres claire , & bien feparee des ditferens depots dont je
viens de parler, & 1' ayant fait evaporer au bain de fa-
ble jufqu' a ficcite dans une capfule de porcelaine , elle y
a laifle dix grains d' un refidu de couleur de caramel , ou
fucre k demi brule ; ce relidu ^toit alkalin , favonneux ,
tres deliquefcent , & d' une odeur forte que je ne puis
comparer a aucune odeur connue.

Ces effets de 1' efprit de vin fur 1' alkali fixe vegetal
prouvent bien manifeftement qu' il en pent diflbudre , fur-
lout avec le temps une quantite affez fenlible j mais il eft

179
eflentiel de remarquer que Cctte diffoliition n' eft point en-

ticiement fcmblable a celle des fels neutres dansl'eau, ou
m^me dans l' efprit de vin , car dans ces dernieres ni le
diflolvant ni le fel diffous ne re^oivent d' alteration fenli-
ble j ce doiu on peut s' affurer en les examinant apres les
avoir fepares l' un de 1' autre , au lieu que dans celle de
r alkali iixe par 1' efprit de vin , il paroit que ces deux
fublhnces s'alterent & fe decompofent en partie , Sc reci-
proquement.

L' etat de 1' alkali fixe qui a ete diffous dans 1' efprit
de vin , &: qui en a ete enfuite fepare , foit par 1' evapo-
ration de ce diffolvant, comme dans la premiere expe-
rience , foit par depot , 6z avec le temps , comme dans
mon ancienne teinture de fel de tartre , prouve qu' il eft
charge d' une matiere huileufe qu' il a extraite de 1' efprit
de vin , ou qu' il a formee en agiffant fur les principes
de ce compose , & d' une autre part, le depot folide ge-
latineux , ainfi que 1' enduit terreux de la bouteille , qui
proviennent fans doute de 1' alkali , indiquent que cette ma-
tiere faline , eft aufU en partie decompofee par 1' a6l:ion de
r efprit de vin j mais je n' entreprends point pour le pre-
lent de determiner exactement en quoi confillent ces alte-
rations , & quelles en font les caufes , par ce qu' il fau-
drolt pour ceia une nombreufe fuite d' experiences d' un
genre tout different de celles dont il s' agit dans ce me-
moire, & qui me detourneroit de mon objet , au quel je
reviens en examinant fuivant mon plan d' autres raaiieres
falines.

i8o

Alkali marin.

L' efprit de vin > apres avoir bouilli fur ce fel bieii det
feche , & apres avoir ete filtre , a brule avec une flamme
qui ne differoit pas bien fenfiblement de celle de 1' efprit
de vin pur , il avoir une faveur un peu falee ; foumis a
r evaporation au bain de fable , lorfqu' il a ete diminue a
peu pres des trois quarts , il avoit une couieur rouflatre ,
& une faveur un peu falee , une partie de cette liqueur
reduite , & evaporee a I' air libre fur une glace , y a laiffe
des criftaux cubiques bien reguliers.

La demi once de cet el'prit de vin evaporee jufqu' a.
ficcite , dans une capfule de porcelaine , a laiffe deux grains
d' une matiere faline , rouffutre d' une faveur de fel marin.

On voit par cette experience que 1' alkali mineral fe
comporte avec 1' efprit de vin de meme que 1' alkali ve-
getal j il s' en diflbut la meme quantite ^^. La couieur rouf-
(atre de celui qui a ete dilTous indique qu' il agit auffi fur
la partie huileufe , de 1' efprit de vin ou fur les principes
de ce compofe qui font propres a former une combinaiibn
huileufe , de la meme maniere que le fait 1' alkali fixe
vegetal.

Alkali volant du fel ammoniac.

Je me fuis fervi pour reconnoitre la diffolubilite de cette
matiere faline dans 1' efprit de vin, del' alkali volatil con-
cret qui avoit ete degage du fel ammoniac par I'intermede
de r alkali fixe vegetal , j'ai laiffe evaporer a 1' air libre fur
une glace une portion de 1' efprit de vin bien filtre que
j' avois fait bouillir dans un matras fur cet alkali volatil y
il s'eft forme par cette evaporation une crilbllifation affez
abondante dans la quelle je n' ai pu dirtinguer meme a
r aide d' une forte loupe aucun criftal folitaire ou ifole

d' une

d' line forme reguliere ; mais T enfemble de cette crillal-
lifation reprefentoit tout ce qu' on peut imaginer de plus
beau & de mieux defline en ramifications , arborifations ,
tiges tres agreablement courbees ^ & garnies de larges
feuillages. Mais par le refroidifTement du refle de la li-
queur dans une fiole bouchee , il s' eft forme une quan-
tite affez conliderable de criftaux fepares , & non groupes,
figures comme des tranches de colonnes prifmatiques a fix
coies , fans y comprendre les faces fuperieure & inferieure,
qui ^toient les deux grandes faces de chaque criftaU ces
faces etojent par cofjfequent des exagones ; mais il n' y
en avoit qu' un petit nombre qui fuflent reguliers: dans la
plus part il y avoit un , deux , ou trois cotes plus petits
que les autres.

Voila , comme on voit deux criftallifations bien diffe-
rentes 1' une de l' autre d' une meme matiere faline , dif^
ibute dans la meme liqueur , mais la premiere s'eft faite
par r evaporation fur une furface plane , & la feconde
par le refroidiftement dans un vaiffeau Ipherique , &: 9' a
ete fans doute de ces feules differences qu' a dependu la
forme fi defferente de ces deux criftallifations ; ces effets
font tres ordinaires dans la criftallifaiion ; ils prouvent com-
bien il relte d' obfervations a faire fur les phenomenes de
cette operation importante.

Je crois qu' on peut conclure de ce que je viens
d' expofer , que le vraie forme des criftaux de 1' alkali
volatil concret eft celle que j'ai obtenue par le refroidif-
fement fans evaporation , & je prefume que ce moyea
eft le feul d' obtenir des criftaux folitaires , & reguliers de
cette matiere faline.

L' alkali volatil etant aumoins aufli evaporable que I'efprit

de vm , je ne pouvois me fervir de 1' evaporation pour

determiner combien l' eljjrit de vin pouvoit en dilToudre a

I'aide de la clialeur de 1' ebullition comme je 1' ai pratique

JWi/c. Taur. Tom. V. b b

pour tous les autres felsj & la diftillation ctant une ve-
ritable evaporation dans les vaiffeaux clos , ce dernier
moyen ne paroiflbit guere plus propre que le premier a
remplir mon objet ; )' ai voulu voir neanmoins (i a I' aide
d' une chaleur bien menagee dans les vaiffeaux clos , on
ne pourroit point parvenir a faire la feparation que j' avois
en vue ; f ai done mis dans une cornue de verre de mon
efprit de vin encore chaud &: fature d' alkali volatil par
r ebullition , &: apres y avoir lute un recipient tres exa-
ftement, j' ai procede a la diftillation a une chaleur des
plus foibles du bain de (able. I! a pafle d' abord de I'al-
kali volatil qui s' eft criftallife en belles ramifications fur
les parois du recipient ; mais prefque en meme temps , il
eft monte audi de 1' efprit de vin encore tres charge d'al-
kali volatil , & la diftillation ayant ete ceffee apres que
les trois quarts de la liqueur ont ete paffe dans le reci-
pient , le quart reftant dans la cornue s' eft trouve , a en
juger par fon odeur , tout auffi charge d' alkali volatil qu' il
r etoit avant cette operation , & j' en ai conclu qu' il fal-
loit avoir recours a un autre moyen pour determiner la
quantite d' alkali volatil que 1' efprit de vin peut diflbudre
a r aide de l' ebullition.

Pour y parvenir j' ai mis dans une fiole un gros d' al-
kali volatil concret ; j' ai fait bouillir deffus , la tiole etant
bouchee , une once de mon efprit de vin j enfuite je I'ai
decante tout chaud , & apres avoir laifl"e bien egouter la
fiole , & le fel qu' elle contenoit , j' ai trouve qu' elle ne
contenoit plus qu' un demi gros de fel, d' ou j'ai conclu
que la demi once d' efprit de vin avoit diffbus , a l' aide
de r ebullition , 1 8 grains ou £ d' alkali volatil concret.

J' ai obferve dans cette experience que, malgre la prompti-
tude avec la quelle j' avois decante I'elprit de vin , charge
d' alkali volatil, le peu qui en etoit refte adherent au col,
& aux parois du macras , y avoit forme , avant qu' il put-

^tre parfaitement egoute , des criftallifations , partie en ai-
guilles entre croifees , partie en criftaux exagonaux lem-
blables k ceux qui ont ete clecrits cideflus,

Les phenomenes de criilaMiration par refroidiffement &
par evaporation que 1' alkali volatil m' avoic prefentes avec
r efprit de vin , m' ont paru meriter que je verifiaffe s'lls
feroient les memes avec I'eau , j' ai done fait diffoudre , a
r aide de la chaleur beaucoup d' alkali volatil dans de I'eau
pure, & ayant bien bouche la fiole dans la quelle cette
diflblution s' etoit faite , je 1' ai laiffe refroidir a 1' air , le
termometre de Reaumur etant alors a i 3 degres au deflus
de zero ; il s' elt forme par le refroidiflement une grande
quantity de criilaux foiitaires en partie a la furface , mais
en plus grande quantite au fond de la liqueur ; ces cri-
ftaux avoient exaftement la meme forme ^xagonale que
ceux qui s' etoient formes par refroidiffement dans 1' efprit
de vin ; il n' y avoit point d' aiguilles ni de ramifications
aux parois de la bouteiile.

Apres que cette liqueur a eu depofe ces criftaux par
refroidiftement , )' en ai mis une portion fur une glace
plane , pour la faire criftallifer par evaporation j il s' y efc
forme encore quelques criliaux femblables aux precedens ;
mais la plus grande partie de la criftallifation s' eft faite
en belles ramifications branchues ; il eft a remarquer qu*
elles etoient toutes formees par des lignes droites , faifant
dilferens angles les unes avec les autres , & fans aucune
de ces belles courbures , dont j' ai parle plus haut j il y
avoit parmi ces criftaux un aftez grand nombre d' aiguil-
les prifmatiques quadrangulaires.

Je ferai remarquer de plus qu' ayant voulu faire criftal-
lifer de meme par evaporation une diiTolution d' alkali vo-
latil dans r efprit de vin , la quelle avoit depofe depuis
huit jours tout ce qu'elle pouvoit former de criftaux par le
refroidiffement , elle n' a forme par 1' evaporation fur la

bb 1

1S4

glace plane aucune efpece de ramifications, mais feulement
une grande quantiie de criftaux tres petits & informes ,
comme des grains de fablon , ce qui me fait prefumer que
r alkali volatil ne peut fe criftallifer en ramifications , &
furtout prendre des formes courbes agreables que lors qu'
il n' eft ecendu que par une petite quantite de diflblvant
fpiritueux , ou peut-etre m^me fimplement aqueux , mais
ces phenomenes de criftallifation m'eloignant de mon objst
principal , je me hate d' y revenir par 1' examen de la
diffolubilite de differens fels neutres dans 1' efprit de via ,
& je commence par plufi^eurs tartres folubles.

Tarire Joluble , ou fel vegetal.

Ce fel refulte , comme on fait de la faturation de la
creme de tartre par 1' alkali fixe du tartre , ou vegetal.

L'efprit de vin ayant bouilli fur ce fel bien defleche , puis
ayant ete filtre tout chaud a fourni par 1' evaporation jufqu
a (iccite dans une capfule de porcelaine une matiere faline
jauiiatre , a raifon de deux grains , ou —, par demi once.

La flamme de cet efprit de vin etoit un peu decre-
pitante , ce qui n' arrive point a celle de 1' elprit de vin
pur.

Ce diflblvant charge de ce fel a fourni par 1' evapora-
tion fpontanee , dans une capfule de verre , des criftaux en
piramides quadrangulaires , dont quelques unes ecoient tron-
quees par la pointe: plufieurs de ces crillaux etoient foli-
taires , & tres reguliers , 1' eau chargee de ce meme fel a
donne par 1' evaporation a I'airlibre, dans une capfule de
verre , des criftaux , dont quelques uns etoient folitaires , &
formes en pri(mes a quatre cotes pointus par les deux
bouts : ceux qui etoient groupes ecoient joints en grand
nombre tous par un de leurs bouts , & formoient des af-
femblages en rond tout heriffes. La couleur jaune du fel

»85
vegetal fepar^ de 1' eCpnt de vin par 1' Evaporation a fic-
cite femble indiquer que ce fel revolt quelque alteration
par fa diffolution dans 1' efprit de vin , & par Ca delicca-
tion , & ce qui confirme ce foupgon , c' eft que le fel
fur le quel 1' efprit de vin avoit bouilli , rediflbus dans
r eau n' a fait qu' une diffolution trouble.

Sel de Saionene.

L' efjjrit de vin n' a point diffous une quantity appre-
ciable de ce fel bien deffeche a 1' air , & la flamme de
celui qui avoit bouilli deffus ne differoit point de celle de
i' efprit de vin pur. Mais ayant voulu repeter cette expe-
rience en me fervant de fel de faignette non deffeche ,
criftallife , & contenant par confequent fon eau de cri-
ftallifation , cela m' a donne lieu d' obferver un eflFet qui
me paroit fingulier , & que je ne dois pas paffer fous (i-
lence ; c'eft que au degre de chaleur neceffaire pour faire
bouillir r efprit de vin , le quel , comme 1' on fait n' eft
pas bien confiderable , ce fel s' eft liquefie fous 1' efprit de
vin , & a forme une liqueur fiuide , & tranfjjarente com-
me de r eau ; cette liqueur occupoit le fond du matras :
clle s' eft coagulee par le refroidiffement en une maffe fa-
Jine folide , & d' une feule piece.

Cet effet prouve la grande faciliie qu' a le fel de fai-
gnette a i'i liquefier a I'aide de fon eau de criftallifation;
mais il en refulte auffi que 1' efprit de vin ne peut lui en-
lever cette meme eau, quoiqu' il la perde par la feule
aftion de 1' air. En feroit-il de meme de tous les autres
fels? C eft ce qui n' eft pas a prefumer j il y a lieu de
croire au contraire qu'on trouvera a cet egard une gran-
de diverfue dans les diff"erens fels neutres j mais c' eft aulli
ce qu' on ne pourra connoitre que par une nouvelle fuice
d' experiences dependantes de celles que j' ai commem"Ees,
& qui merite bien d' etre entreprife.

i8(5

Tartre foluble par la chaux.

Ce fel etoit en tres beaux & gros criftatix tranfJDarens;
traite avec 1' efprit de vin comme le precedent , fans de-
ficcation preliminaire , il s' eft comporte de meme , mais
il ne m' a pas prefente le phenomene de la liquefaftioii
fous i' efprit de vin.

Tartre foluble ammomacal,

y ai verfe une diffolution d' alkali volatil concret fur de
la creme de tartre reduite en poudre fine , & mife dans
un matras ; il s' eft excite a froid une effervefcence aflez
confiderable , une grande partie de la creme de tartre a
ete diffoute , & la diffolution a ete achevee a 1' aide de
la chaleur moderee du bain de fable , avec une legere
effervefcence} j' ai ajoute a deflein un peu d' exces d'aU
kali volatil , puis ayant filtre la liqueur toute chaude , e!le
a pafle tres tranfparente , d' un beau jaune fonce , & d'uiie
faveur de fel vegetal,

Cette liqueur evaporee a l' air libre fur une glace a
forme une criftallifation compofee d' aiguilles en lames lon-
gues , & tronquees , partant d' un centre , ou d' uii pedi-
cule commun , & reprefentant par ieur divergence une
efpece d' eveniail.

Une autre portion de la meme liqueur evaporee au bain
de fable jufqu' a pellicule dans une capfule de verre a donne
par le refroidiffement deux fortes de criftaux , fort diffe-
rens , pour la forme ; les uns etoient de petits criftaux
allonges , renfles par le milieu , & fe terminant en lon-
gues pointes par chaque bout, comme des tufeaux j les
autres qui fe font formes les derniers , & a ce que je crois
autant par evaporation que par rehoidiffement , etoient de
gros prilines a quaere, cinq , & fix cotes. Quoiqu' ils fuffent

'87
folitaires , ils paroifToient de meme efpece que ceux qui
s' etoient aflembles en eveinail fur la glace. Le refte de
la liqueur evaporee dans une caplule a une chaleur douce
de bain de fable, mais juCqu'a forte pellicule a donne par
le refroidiffement & par 1' evaporation , qui continuoit en-
core , les memes crillallifations en eventai! ; mais les ra-
yons au lieu d' etre des lames , comme ceux qui s' etoient
formes fur la glace, etoient des prifmes comme ceux dont
il a etc parlc plus haut a caufe de la profor.deur du vafe
dans le quel cette derniere crirtallifation s'etoit faite: comme
ces criftaux n' etoient pas tous d' une egale longueur , ils
reprefentoienc allez bien une gloire rayonnante pareille a
-celles que font les peintres , & les fculpteurs.

Le tartre foluble ammoniacal etant de nature a fe de-
compofer par une chaleur fort peu confiderable , je n' ai
ofe le porter a la plus grande liccite, dans la crainte de
r alterer j mais apres lui avoir enleve toute humidite fur-
abondante le plus qu' il a ete poffible par une deficcation
bien menagee, je l' ai fait bouiUir dans F efprit de vin ,
comme les precedens.

Cet efprit de vin filtre a bruld comme 1' efprit de vin
pur i fa flamme ctoit feulement accompagnee de quelques
petites tulgurations rouges. En en faifant evaporer une demi
once dans la capfule de porcelaine , j' ai remarque qu' il
r^pandoit une odeur plus fuave que celle de i' efprit de
vin ordmaire , & cette demi once, apres Ion entiere eva-
poration a laifle un enduit d' un jaune brun pefant un grain
& demi. Ce i efidu ne fe diffolvoit pas dans 1' eau , &
n' etoit par confequent ni une matiere faline, ni une ma-
tiere Hivonneufe , il s' eft tres bien rediffous dans de nouvcl
efprit de vin. Je crois qu'on ne peut le regarder que comme
une portion d' huile qui fe fepare, foit de la creme de
tartre, (bit de 1' aikali volatil , foit enfin de I'un &: de
1- auice Iqis qu' on les combine : c' etoit probablement a

i83

cette partie hulleufe qu' etoit diie Li couleur jaune de ma
diflblution de tartre foliible ammoniacal dont j'ai fait men-
tion en commen^ant cat article.

Avant de le finir je ne dois pas oublier de faire men-
tion d' un petit depot falin (ingulier en petits grains irre-
guliers , & memcs comme ceux du fablon le plus fin, qui
s' eft fepare par le refroidifferaent de ma diflbiution de tar-
ire foluble ammoniacal ; j' en avois trop pen pour en faire
un exaraen exatt j je me fuis contenie de m' affurer que
cette matiere craquoit fous la dent , qu' elle n' avoit point
de faveur bicn fenfible , ni prefque de difiblubilite dans I'eau,
& enfin que 1' acide vitriolique , non plus que 1' alkali
fixe , ne lui ont occafionne aucun changement fenfible .
Cette matiere provenoit fans doute de la creme de tartre,
& merite d' etre examinee avec plus de detail , car la
creme de tartre elle meme n' eft pas encore bien connue,
M. Margraf , & M. Rouelle ont prouve par des experien-
ces decifives qu' elle contenoit de l' alkali fixe vegetal tout
forme , & c' eft affurement une connoiflance efTentielle done
nous fommes redevables aces celebres. chymiftes ^ mais cen
alkali n' eft point libre dans la creme de tartre j il y eft
certainement combine avec quelqu' autre fiibftance , peut-
etre meme avec plufieurs qui ne peuvent etre bien coi>
nues que par de nouvelles recherches.

Tartre foluble antimonlc , oil Tartre cmetique*

Ce fel que j' ai employs^ criftallife , &: bien fee s' eft:
comporte avec I'efprit de vin comme le tartre foluble par
la chaux ; il n' a occafionne aucun changement a fa flam-
me J une demi once de I'efprit de vin qui avoit bouilli.
deftlis n' a laifte apres fon entiere evaporation dans la ca-
pfule de porcelaine qu' une tache aflez legere d' un enduic
de couleur de maron , de nature huileufe , & que 1' can

ne

I S9
ne diflblv'oit polnr. J' ai cependant remarque que les pa-
tois de U bouteille dans la quelle avoit ere filtre 1' efprit
de vin tout chaud apres avoir bouilli fur le tartre eme-
lique etoient garnis dans quclques endroits de criftaux longs
plus fins que des clieveux , implantes diverfement par une
de leurs extremices les uns fur les autres ; mais ces criftaux
etoient fi fins, &: en fi petite quantite que j' eftime qu'iis
ne pouvoient guere peler en tout qu' un quarantieme , ou
meme un cinquancieme de grain.

Arfenic.

En verfant 1' efprit de vin a froid fur de 1' arfenic blanc,
criltallin , & en poudre fine j' ai obferve que cette liqueur
le mouilloit bien plus facilement que 1' eau ne le mouille}
ellc en a diflbus a 1' aide de 1' ebullition ^^ de fon poids
ou -^ ; le refidu de T evaporation etoit verdatre ; la flamme
de r efprit de vin charge d' arfenic ne m' a paru avoir
rien de particuher.

Sel neuire ai finical.

Ce fel , que j' ai fait connoitre dans les memoires de
r academie des fciences de Paris annee 1746 , s' eft difl'ous
dans 1' efprit de vin bouillant dans la proportion de trois
grains par once. La flamme de I'elprit de vin tenant ce
fel en diflblution m' a prefente une fingularite, qui me pa-
roit meritcr beaucoup d' attention , favoir que , iians diffe-
rer effentiellement de celie de 1' efprit de vin pur , elle
etoit bordee depuis le bas jufqu' en haut d' une autre flam-
me , moins lumineufe , & tres fenfiblemeni verte.

On fait que le fel fedatif, qui colore aufli en verd la
flamme de T efprit de vin , a quelques proprietes commu-
nes avec r arfenic , telles que la vitrefcibilite , le pouvoir
Mifc. Taur, Tom, V. c c

I 90

de decompofer le nitre Sec. la clrconftance done que je
viens d' expofer femble montrer encore une nouvd'e con-
formite entre ces deux fubftances. Je n' ofe cependant la
donner ici comme entierement conftatee , parceque , quoi-
que j'aie tout lieu de croire que 1' arfenic ainli que le lii-
ire que j' avois employes pour faire le fel neutre arfenical,
dont je me fuis fcrvi , etoient purs , & exempts du me-
lange de cuivre ; cependant comme il y avoir ties long-
temps que j' avois fait ce fel , je crois qu' il eit a propos
avant de prononcer affirmativement fur ce fait de le veri-
fier en compofant de nouveau fel neutre arfenical avec
toutes les precautions neceiTaires pour m' affurer qu' il ne
contiendra aucune parcelie de cuivre , & je n' aurois pas
manque de le faire des a prefent fi le peu de temps qui
in,e reftoit pour achever ce memoire , me l' eut permis,

A Paris ce 4 juin 1773.

REFLEXIONS '"

SUR UN ESSAI DE CHIMIE COMPAREE
Par M.' le COMTE de SALUCES.

V^e feroit paroitre debuter par un paradoxe que d'ofer
avancer que tout eft grand dans la nature & que tout y
peut paroitre d'une petitefle inconcevable ; tant qu'on s'ar-
rete , en effet a. examiner la face d'un objet , ou cet objet
meme de tous les cotes, fans aucun rapport avec d'autrcs ,
on ne pourra le former aucane grande idee ; mais lorfque
en faifiirant les relations qui .peuvent lier le plus petit objet,
ou le fait pax lui meme le plus comun a d'autres , d'ou il
refulte un alTemblage de verites , cet enchainement ne peut
^ moins de reveilier des idees ecendues & lumiiieules i
dont I'utiliie fera enfuite plus ou moins fenfible fuivaiu
I'etendue de ccs memes raports.

Le premier pas qui fe prefente dans la marche naturelle
de Tefprit humain eft celui de comparer les objets entre
eux } (j I'on s'en tient toujours aux cara£teres feniibles , qui
fervent a diftinguer ces objets entr'eux, il doit neceflairement
en refulter une monotonie qui relferre nos connoilTances j (i
au contraire on fe permet un plus grand nombre de com-
binaifons , on parviendra non feulement a repandre plus
de lumieres pour la conduite , & pour le bien de 1' hom-
me , mais ce qui interefle bien plus encore, on parvien-
dra a fimplifier les methodes & a approcher par-la toujours
plus des routes que tient la nature.

Si un Chimirte ne f^ait que ion art , fi un Naturalifte
u'etudie ^ue la fienne , h le Botanifte & le Phificien n'ap-

c c z

t<5%

pliquent chacun qu'ala leur, on n'auraqu'un Erudit , ou
un Artifte plus ou moins r^avanr, & il ne reviendra que des
avantages bien peu intereffants pour chacune de ces par-
ties , conliderees en tant que fciences j c'eft done du con-
cours des lumieres que routes les branches de la Philofo-
phie naturelle peuvent fournir , & fe preter qu'on doit at-
lendre des decouvertes utiles aux fciences , & a la Societc:
mais en attendant le Genie qui fache s'elever d'un vol rap-
de&faifir le fil des verites eparfes,dont on eft contraiint
de former tant de fciences a part , nous chercherons a en
rapprocher quelques unes qui dependent de la Chimie,&:
qui en meme terns tirent des fecours de quelqu'autre par-
tie de la Philofophie , ou qui en empruntent a leur tour .

I

Les corps font ou fluides ou folides , fous<:esdeux de-
nominations on peut a la verite ranger tous les corps de
cetUnivers, mais elles ne fuffifeiu pas pour nous eclairer
d'une maniere vraiment Pliilofopliique.

I I

Les corps font ou vegetaux , ou animaux , ou enfin foffi-
les & mineraux, mais c'eft encore la une notion bien vague.
Diftinguer tous les corps des trois regnes & noter ceux qui
font ou fluides ou folides, n'eft pas dire encore aflfez; faire
le denombrement de leurs apparences exteiieures & de leur
tiflu int«rne feroit un pas un peu plus avance , ft ces ap-
parences & ces tiflus font conftans. Ajouter les proprietes
extrinfeques & intrinfeques de ces memes corps feroit
toujours avancer chemin; feparer enfin les parties de ces
corps par le feu ou par les menftrues , les recompofer &
les faire reparoitre dans leur premier etat eft encore un

»9J

tresgrand pas vers la perfeftion ; mais avec tout ceci,
la comparaifon des pioduits des parties ainfi feparees par
la m^me voye , dans les differents etats oil ces corps peu-
vent fe trouver me paroit offrir un point de viie trop
intereflant , pour que le Chimirte Phyficien puifle negli-
ger d'y apporter la curiofite la plus inftruftive , & toute
I'exaftitude dont il eft capable.

I I I

Ce point de viie je I'avoiie eft tres-vafte & I'executioti
en paroitra fans doute tres-difficile : mais (i Ton reflechit
au grand nombre de materiaux que I'on a fous la main,
on verra que les obrtacles ne feront pas infurnionrables ;
nous allons done commencer par un petit eflai qui pourra
fervir a mieux developper mes idees , & a en faire naitre
a d'autres peut-etre de plus g^nerales & de plus lumi-
neufes.

IV

Uanalyfe etant la voye par laquelle on parvient a de-
compofer les corps, & a en feparer les parties d'une
maniere diftirtie , il me paroit que c'eft elle principale-
ment qui peut nous fournir les donnees pour la re(olu-
tion de cet important probleme , je dis important parce-
qu'il me paroit tel , & je ne crois rien ditc qui doive
allarmer I'homme le plus delicat , car c'eft une verite
aujourd'hui afles gen^ralement reconnue que I'analife eft la
clef des decouvertes (d'ailleurs je fuis bien aife d'etre torce
par la nature du fujet a dire bien des chofes qui ont eie
dites de long-tems ) : mais la definition du terme analyfe
ne fournit aucune notion pofitive & precife ; la diftinftion
d'analife par le feu en chimie ou d'analyfe par les menftrues
eft generaie mais encore trop vague, la feparation des par-

194

ties des corps par tel moyen que ce folt eft le but qu'on
doit fe propofer & doit faire I'objcc de nos recherclies (").

V

II ell de parties qui conftituent efTentiellement utr corps
determine &: cellesci iie peuvent etre que tout-a-fait
fimples , au moins par raport a nous, & elFentielles a tel
corps, de maniere que fans elles le corps cefferoit d'etre
tel, c'elVa dire de tel genre, & de telle efpece: d'autres
au contraire fans fixer necelTairement la nature du corps
fe trouvent combinees , unies &c. a ces. memes parties :
elles font meme quelque fois abfolument etrangeres , mais
elles peuvent caufer dans certaia cas quelque modification
a ce corps, (i)

V I

II eft done tres-neceflaire de chercher a decouvrir & a
diftinguer autant qu' il eft pofllble les parties efteiitielles

(•) II paroitra du premier coup d'oeil qu'll y a ici un abus d'iJees fur le
terine d' analyle , mais la reflexion ji flifieia nion laconifine.

(i) Pour rcndre ma penfee plus clairenicnt it fuffit de confidtirer, par cxem-
plc, qu'il doit ni-cefraireniein fe trouver dcs panics aqueufcs, ou pout
jc dire plus fimplement de I'cau dans un certain raport determine
dans toutes les fubftances falines , fans quoi ces fels cefTeroient d'etre
tcis qu'ils font, pendant qu'ils en tiennent ,une plus grande quantity
dans Icur criftallifation , qu'on peut tifi'-bien leur oter , fans qu'ils chan-
gent de nature ; toute la modification fe rgduifant alors a leur figu-
re ; d'ou il fuit qu'une partic de I'eau elt eiTcnticllc commc nous
I'avons dit dans un raport d^terming k une telle cfpfice de fcis, pen-
dant que I'autre partie n'eft qu'accidentelle quant a la naiure , & ne
peut etre regard^'e tout au plus que comme une partie intfigranie:
nous allons raporter encore une excmple pour rcndre la chole plus
fenfible. Monfieur Baum6 nous dit dans Ion manuel de Cliimie
pag. 329 §. 3, que le fel marin a bale terreufe quoique difficile k
criftallifcr, crirtalife niSanmoins avec celui qui eft a bafe d'alkali mi-
neral & qu'il eft meme caufe qu'on ohticnt des criflaux cubiques
infinimcnt plus gros que lorfque le fel marin ed trh-pur -. voila
done un exemple qu'il fe trouve quelque fois dans les corps des
parties abfolument dtrangfres qui peuvent cependant y caufer dans
ccitaias ca$ des modifications.

195
d'un corps , de celles qui ne font qu'accidentelles & in-
differcntes pour ainfi dire a la nature de c% corps , & qui
ne contribuent tout au plus qu'a lui faire prendre une
forme conllaiite : mais ce pas que le raifonnement porte a
faire, ell fans contredit de la plus grande difficuitej aufli
n'oferais-je pas me flater d'y reuflir toujours, mais pour
i'amour de la verite on me paflera ies reflexions que je
foumets au jugement des maitres de I'art.

V I I.

Les circonftances qui contribuent a alierer un corps de
meme efpece ou nature, font celles qu'on ne doit jamais
iiegliger , & peut-etre qu'elies font les plus propres a nous
developper bien des myfteres; mais nous y reviendrons ,
& nous propoferons en attendant queiques reflexions pre-
liminaires fur les carafteres gcneraux qui afferent 6c
quoa decouvre dans les corps.

VIII.

II faudra commencer par un des trois regnes, Sc apres
avoir choili le genre & 1' efpece conrtderer ce qui arrive
a ce corps par le meme moyen dans- les dilTerents etats
ou Ton le foumet a Tanalyfe; remarquer apres ce qu'il a
de commun , & les differences fimples ou compofees qu'on
y obferve ; raprocher enfuite ces verites des opinions ou
des idees qu'on a dans la Chimie fur ces memes objets ,
& retlifier ainfi & enrichir cette fcience par le plus grand
detail poflible de verites utiles. Venons au fait.

I X.

Je commencerai done par les vegctaux, & je me con-
tenierai en premier lieu d'examiner une gcncraliie, Les

I 9(3

plantes font ou faines ou putrefides ; je prends les extr^mesj
comme les plrfs propres a inarquer les differences ; les
etats intermediaires devant participer des deux en raifon
de leur proximite d'un des extremes. Nous allons done
former une table des produits que nous fouroit une meme
plante dans ces deux etats par la di/lillation , rincineration
& la lixiviation : cette methode me paroiffant la plus pre-
cife & la plus propre a rapprocher les objets pour en
rendre plus fenlibles les differences, & les changemens.

Table des rifultats qiion obtient des Plantes faineSj

% putrejiies par la dijlillation , I'incineranon ,

6? la lixiviation.

PLANTES.

Saines Putrefiees

Par la dijlillation.

_, , . J contenant da

^ Pl^'^g"^^ '^"^'"i fel volatii.

v_

2 Huile noire empireumatique . . etiam

3 Acide °'^

4 Huile legere ° ' I

* Beaucoup d'air ° ' I

) Charbon ou caput mortuum * . . etiam V »m i- y^i^^j

* qui par rincineration & la lixiviation
donne de I*

6 Alkali fixe o

7 Terre infipide etiam (a)

(a) Pour ne pas lepetcr le produit ;c ijie fers de cette abbreviation.

'97
X

Les produits communs font n." i & z dans la didilla-
tion & meme le 5 fi Ton veut, & dans rincineraiion &
la lixiviation le n.** 7 .

X I

Lcs particuliers aux plantes faines font les n.° 3 , 4 & *
dans la diftillation , & le n.° 6 par 1' incineration, & la
lixiviation: produits qu'on n' obtieiu pas dans les planres
putrefiees.

X I I

Les particuliers enfin aux plantes putrefiees , & qu'on
ne rencontre pas dans les autres font I'alkili volatil : mais
cette fubftance n' exifte pas toute formee dans les plan-
tes faines de cette claffe , elle eft done vraiment 1' ouvra-
ge de la putrcfaftion ; or n'eft il pas naturel de penfer
cju'elle eft le refultat des produits qui manquent , favoir
des n."' 3, 4, & 6.

1 Voyons maintenant les idees que Ton a fur I'alkali
volatil, elles font ou theoriques, ou tirees des faits.

2 naikali volatil dit M. Macquer Elem. de Chim. Theor.
p. 130 ejl compofe cTune certaine quantiti d'acidc combine ^
6' engage dans mine portion de la terre du mixte dont on
le tire , & £une ajfes grande quantite de matiere grajfe ou
huileufe &c.

3 11 n'eft pas neceflaire de faire remarquer la conformite
qui fe trouve entre ces idees, & ce que nous donne I'ex-
perience, nous allons palTer maintenant aux differens tours
de main que nous propofent pluiieurs Auteurs des plus
claffiques pour volatilifer les alkali fixes , ce qui dans le
fond eft la meme chofe que dire de faire des alkali> vo-
iatils} ce feroit difputer fur des mots que de ne pas en-
vifager d'une maniere generale les expreffions , rendre vo-
latils , changer en fels volatils , volatilifer &c. tout bien con-
iid^ii c'eil toujours ajouter la propriete carafteriftique de

Mifc, Taur. Tom, F. d d

198

le-erete a un corps qui tie I'avoit pas , & qui au con-
traire avoir celle d'etre fixe , ainfi nous pourfuivrons notre
exaraen.

4 Wan-Helmoi>t dit qu' en faifant dig^rer le fel de ca-
ndle avec fon huile pendant 3 mois en obtieni un alkali
volatil par la dirtillation.

5 Starckei pretend qu'en imbibant le fel de tartre de
huile de Therebentine, on rend ce fel volatil par la di-
geftion.

6 Ludovic affure que le fel de tartre imbibe de fon
huile empireumatique fe fublime en fel volatil a une cha-
leur mediocre.

7 Stahl nous apprend que ce fel devient volatil en le
combinant aux hudes etherees.

8 Nous obferverons cependant encore une circoftance ,
tres importante , a men avis , fur ce fujct , favoir que pour
furmonter la difficult^ que les alkalis out a s'unir aux hui-
les dirtillees on les combine auparavant avec le vinaigre.

9 L'on recomande enfin la combinaifon des fels fixes
avec le vinaigre diftilie le tout uni avec un elprit urineux
pour en titer un alkali volatiL

10 Si nous refiechifTons maintenant fur Aous ees precedes
nous voyons qu' il fe rencontre dans tous la combinaifon
des memes principes que nous fournit la comparaifon des
analyfes, & qui eft ij bien enoncee par I'llluftre Monfieur
Macquer.

XIII
Toute la fineffe de I'artitte confifte a fournir le princi-
pe qui manque : ce qui ne pourroit pas a la verite Stre
determine avec precifion , pour le raport entre ces memes
principes , mais qui peut tres-bien etre aper^u & fenti par
un homme de I'art.

XIV
En effet nous voyons que dans le procede §. 9 ce n'eft
pas une matiere auiii chargee de phlogiltique que le Cont

199
fes Inilles &c. qu'on prefcric , mais bieti plu-tot an acide

plus developpe, & cela parceque les fels fixes contiennent

plus de phlogiftique que le fel de tartre , ou tout aurre

fel parfaiiement alkaliie.

X V

En efFet s'il n'arrivoit pas ce que dit Monfieur Macquer
d'apres Stahl , que les fermentations devant etre regardees
comme des acheminemens a la putrefaftion , les acides
recoivent alors la plus grande alteration qu' ils puiflent
eprouver fans cefTer d'etre fels , & que cette metamor-
phofe de I'acide confilte en ce qu' il s'unit a une portion
de I'huile , & de la terre fubtilifee du mixte , pour former
I'alkali volatil , nous devrions retirer des fels volatils de
tous les favons , ce qui n'arrive cependant pas dans les
favons ordinaires , ainfi qu'on s'en aflure par la dillillation,

XVI

Le tartre regenere , ou pour parler plus exaftement la
terre foliee de tartre femble venir a I'appuy de ce fenti-
ment ; tout le monde f^ait que c'eft un fubiUnce volatile
favonneufe ( fi or: ne veut pas lui accorder le nom de fa-
von ) qui refulte de la combinaifon du vinaigre diftilie
avec Talkali-fixe , & perfonne n' ignore aufli que cet acide
vegetal contient encore une grande quantite de matiere
huileufe , d'ou il refulte une combinaifon de ces principes ,
dont elle tire la propriete de fa volatilitc , Sc c'eft ce qui
prouve d' autant mieux I'opiiiion que nous venons d'ex-
pofer , favoir que I'alkali volatil ell le refultat de I'union
qui fe fait de i'acide dans un raport determine avec une
terre fubtiliiee & des maticres graffcs j & quoique nos ta-
bles puiflent fervir de demonftration nous allons raporter
le fentiment du celebre Boherave a I'article du tartre re-
genere p. 149 Elcm. Chem. Veneiiis 1759 ap. Scb. Colcii
dubitavi faepe omnibus his confideratis jedulo , an non hie
ejfct fal tartar i volatilis reddiius Helmomianus &c. Quoiief-
♦ •• d d 2.

100

cuwqtie vcro mm'ia cura falem hunc folvere dcpurare , colare ,'
infpiJJ'are , calcinare , Jic in allium convertere , quis conatur ,
ioties deprehendet , abire in auras , perdique : unde quidem
volatilicatem fic natam difcit , coeterum oleum perdic , &
operam.

XVII

Puifque nous voyons que les plantcs faines donnent par
la dirtillation des priiicipes que Ton ne trouve plus , au
moins fepares, dans ces memes plantes putrefiees , & que
celles-ci fourniffent un produit qu' on n' obtient pas des
premieres , ce qui fait un argument afles folide pour ju-
ger que ces principes fe font metamorphofes en fe combi-
nant par le mouvement de putrefaftion : (i) il me paroit
tres-convenable de rapprocher ici quelques objets qui fem-
blent lies par le meme refultat ; nous verrons done ce
qui refulte de TAnalyfe des plantes Inines qui fourniflent
beaucoup d'alkali. volatil , & nous paiTerons enfuite a faire
la comparai(on des produits que Ton obtient des matieres
animates qui font celles principalement qui en fourniffent
une plus grande quantite.

Cette inaniere de trailer la Chimie me paroit afles
me;hodique , & propre a donner des idees generales, elle
me femble au relte avoir les memes avantages que Tana-
tomie comparee a fur la fimple anaioraie.

(i) On ne fcroit pas trop fond^ il me paroit 4 fuppofcr qu'on ne trouve
plus d'acide dans les planres putrefiees parcenu'on voulut croire qu' il
fe tut diiFipfi dans le tems de la fermentation puiridc ; il fatidroit
alors rcndie compte de I'huile , & de I'al.ali fixe audi: d'ailleurs il
fe piiSfcnte une difficult^ k mon avis infurinoniable, favoir, fi on
nc vcut pas que I'acide , I'huile, & ralKali fixe fe ioicnt cotnbingi
& iiietan\orphof6s en alKali volatil, il faut convenir au moins de
la pteexillancc de cet alKali vol.iiil , car d'on pourroit il vcnii ? mals
r' il cxifte tout forme pourquoi ne fe difilpctoit-il pas aii/Ji dans le
tems du mouvement de putrcfa(5lion , puiique fa volatiliiL- ell biea
fupfiiiciirc a ccllc des acidcs ? ces fuppofitions font C\ d^nufies de
probabiliit^ qu'il efl inutile de s'y aiteiei plus long-tempi:.

aoi

Table dfS refusals quon ohilent des plantes pmre-
Jiees qui Tie donnoient point dalkdi volatil dans
riiat fain & de celles qui en fournijfenc naiurel-
lement fans paffer a cet etat par les mimes ope-
rations que Les precede ntes.

PLANTES.

Putreliees .... Semcnce de fynapi
Par la diflUlation.

1 Phlegme contenant du fel volatil . etiam

2 Huile noire epaiffe & fetide . . . etiam

^, , . j contenant un peu

% Charbon •< , , r i

' ^ \ de phojphore.

4 Sel volatil concret ...... etiam

5 ... o ... huili; legere,

6 . . , o beaucoup d'air.

XVIII

11 eft vifible combien ces fubllances d'une nature tota-
lement differente peuvent i'e rapprocher du moment que
par quelque operation on les amene au point de fournir
les memes produits & nous obferverons que les deux qu'on
trouve n.° 5 & 6 dans la femence de fynapi & qui ne
font pUis dans les vegetaux putrefies quoiqu'ils exillalTent
dans I'etat lain, difparoiflent preciCement par le mouve-
ment de fermentation , d'aiileurs les acides ne paroilTent
ni dans Tune, ni dans I'autre de ces fubttances, ce qui ell
tres-interelTant pour Tobjet en queltionj U elt pourtant vrai
que le phofphore concourt a prouver qu' il s'y trouvoii de

i'acide: mais c'eft precisement ce qui fert a confirmer que
I'alkali volatil ell I'ouvrage ou de la fermentation putride
ou du feu , qui en detruifant les liens , & I'adherance en-
tre les parties du mixte rapproche tellement I'acide des
parties huileufes & lerreftres , qu'il en vienc un nouveau
produit.

Cette theorie qui, je le repete, eft celle que Monfieur
Maquer nous doiine dans ies ouvrages , fe trouve encore
confirmee par les analyfes des matieres animales : nous al-
iens nous en occuper mainienant d'une maniere egalement
concife , c'ert-a-dire en n'en rapportant que les refuhais.
en generaL

i03
^able dcs refuhats quon obtient des vegetaux dans leur

dijprens eiats , ou felon Icur nature particuUere ^ & des

niaiieres animates ; par La dijiillation, l' incineration y & la

lixiviaiion.

PAR LA DISTILLATION.

AIATIERES VEGETALES. MATIERES ANIMALES.

\aines . . . putrtfiies . . , analogues aux .... fang, de boeuf . . chair de boeuf

animates
I Pblegme etiam, contenant du

felvolacil , . etiam etiam etianz

I Hulle noireN

epailTe &/../•...

•^ . ( ettam, v joetide . . ettam ettam etiam

empireu- \ ■^

matique /

I Acide . . . . o .^ . . . . o o o . .

f Huilelcgcre^ . o . 1 . . . . etiam etiam etiam

B . . . . etiam etiam etiam

5 beaucoup d'air . o .1 .... etiam ....... o o . .

J Charbon . . etiam ffel yolaiil etiam etiam etiam

\ Le chaiboD traite par riiicineiation,& lixiviatioo,

7 Alkali fijce . . o . J . . . . o . . un feu de . . ,o o . . un

* phofphore peu de fit

mar in,

X I X

Cette table comparative fait voir i" que de toutes les
fubftances dont on peut retirer de I'alkali volatil foit na-
turellement foit en faifant effuyer quelque alteration au
mixte on ne fauroit jamais obtenir ni de I'acide ni de i'al-
kali-fixe.

Z04

X X

2° Que les matieies qui ont befoin de !a fermentation
putride pour fournir i'alkali volatil ne dcnnent plus cer-
tains produits qu'on obtient cependant des matieres oii il
n'eft pas neceflaire d' excirer la putrefaftion pour avoir
I'alkali volatil, & ces produits font principalement I'huile
legere ou tenue & I'air ; perfonne ne s'etonnera de cette
difference en reflechiffant fur les effets de la putrefaftion :
quand a I'air il ell fenfible qu' il doit s'echapper dans ce
mouvement de defunion entre les parties des mixtes, &
quand a 1' huile legere il n'eft pas hors de probabilite
qu'elle foit neceflaire pour metamorphofer I'acide en alkali
volatil dans les fubftances ou cette matiere faline n'eft pas
le produit ou de I'elaboration de la nature ou des altera-
tions qui dependent du feu des artiftes.

X X I

Cette verite eft d'autant plus inconteftable que dans les
fubftances animales memes , qui font celles qui abondent le
plus en alkali volatil , il y a des parties dont on n'en tire
pas un atome ; telles font les graifles , & au contraire
elles donnent une grande quantite d'acide : d'ailleurs ce
qu'il y a de plus remarquable c'eft que les memes parties,
donnent des differences fi fenfibles fuivant qu'elles ont fou-
fert , ou non la fermentation putride ; nous allons rappro-
cher encore cet objet d'une maniere plus generate dans la
table fuivante.

TaSie

I

'^able des rifuhats quon ohaent , i° de tomes Ics fub fiances
I qui fourmjfent naiurellement de I' Alkali volatile 2* dc celles
qui nen donnent quau moyen de la putrefaciion; 3' ^(e celles
' qui en donnent dans les deux itats.

PAR LA DISTILLATION, L" INCINERATION, ET LA LIXIVIATION.

M A T I E R E S

V^itaUs

Anlmaks

'1

I K

Saines : Putrefiees,

* ,

ui nc fournif- B

— 'V
C I

Saines Putrcficjs

, ,J

ent pas de I'Al- Qui

kali volatil. fourniffcnt toutes de

Flcgoie . . . « . . etiam,fel* , , . ctia.m,ftl* ,
* vektil * volatil

D

r Aiicaii
. etiam .

J

etiam etiam * .

* &f(Xti<ie
. o o . .

volatil

. . , etiam , fricddi
par du fdvo'
latil concret.

, . . etiam & foiide.

o . . . . etiam
o . . . . eiiam

oV vo

ALKALI
"■OLATIL
( CONCRET,

')

Huile empi. } . . . etiam etiam • . . . etiam

teuDiatique

Acide .

Huile Icg^re . . . . un peu

Beaucoup d'air . . . moias o . .

A'kali fixe par~»

r incineration ^ . . . o tris peu

&lalixiviaiion_;'

M.B. Je crois inutile de parler des rcfidus aprcs toutes les operations , & je
reniarquerai feulement que (A) n'a de comua avec (B, D) que les
D.°4,5 (C,E) avec les n." i, i; 8c que la difference entre (13, D) &
(C,E) coofifte dans les n." 4, 5; ce qui depend de ce que les unes ont
foutFsrt la fermentation putriJe , & les autrcs font dans 1' etac fain. Ea
effct r (E) donne du fil volatil avant rejevation du flegme, d' ou il
me parole d' etre toujours plus en droit de conclure que I'alkali volatil
ne peut ctre que le produit de n.° 5, 4, & 6 qui, ou ne fe montrent
point fcparcmcnt , ou qui dlfparoiHeDt dans les maticres dont on pcut
tirer ce fel.

Mifc. Taur. Tom. V, ee

lo6

XXII

Le fujet que je vlens de trailer Tert a nous montrer qu' il
en elldeceux, dont il n'eft pas necellaire de favoir d'avan-
ce le refultat principal , tel que celui qu'on peut maintenant
etablir avec plus de confiance , Tavoir que I'alkaii volatil
conrte d'un acide combine avec une pame de ce qui de-
viendroit alka!i-fixe par 1' incineration , & une partie de
la Tubrtance inflammable : car cette fubftance faline n'exi-
ftani pas toute formee dans des vegetaux fains , dont on
la retire cependant par la putrefaftion , ce n'eft qu'au pre-
judice de I'acide , de la matiere inflammable , & de I'alka-
li-fixe qu'on peut fe la procurer j ce qui me paroit de-
montre.

XXIII
Nous allons faire maintenant une application du meme
principe de comparaifon , qui pourra pour ainfi dire nous
tournir un moyen pour verifier des maximes qui auroient
ete etablies fur des faits , & je me flute que cette methode
ne fera pas jugee tout-a-fait inutile. Je prendrai pour exem-
p!e un principe aflfez connu , favoir que trois parties de
rouge combinees avec trois de bleu & deux de jaune four-
niflent une couleur noire dans la peiniure en email ; & il
eft queftion de voir fi ce principe eft de meme applicable
a la teinture ; c'eft ce que nous allons examiner , en fup-
pofant d'avance le fait.

■rous^e

Le noir eft le refultat d\i [jaune

bleu

rrouo-i

I

-\

)»de ces deux .
1

. orange

::^ de ces deux .
yde ces deux .

. . vioUt

. . vcrd

107
XXIV

L' infpeftion de cette table prefente d'abord 1' idee des
foludons du probleme: car fi la maxime eft (j) vraye, on
pourra former du noir , i" en combinant trois fubftances
iimples dont Tune foit rouge I'autre jaune & la troifieme
bleue, moyenant qu'on obierve les proportions qui font pre*
icrittes , & c'eft la la premiere folution.

XXV

\° On fera du noir en mettant une couleur orangie
avec du bleu. La troifieme Iblution nous viendra de la
combinaifon du verd avec le rouge. La quatrieme fera
celle du violet avec le jaune. Une cinquieme enfin naitra
de raflemblage de I'orange du violet & du verd. Je me
bornerai a une de ces Solutions pour ne pas furcharger
cet effai de details minutieux. Voict done comment j'ai
fait du noir fur ces principes : j'ai m^Ie a une diffolution
de vitriol bleu une quantite a peu-pres egale de deco-
ftion de noix de galle ; le melange prit d'abord une
couleur rouge orange} j'y ajoutai de la diffolution de cui-
vre faite par I'efprit volatil, & la liqueur devint peu-a-peu
d'un noir tresfonce.

XXVI

Tout le monde fait qu'on ne peut pas former de I'encre
avec le vitriol de cuivre & la noix de galle; I'experience
m'avoit enfeigne qu'en mettant de I'acide dans la decoftion
de noix de galle on obtenoit un rouge orange ; il ne
s'agiffoit done que d'y developper le bleu fuivant le i** ca-
non de notre analyfe ; ce qui ayant ete fait par le moyen
de I'dlkdli volatil , il en eft effe^tivement refulte du noir

(^3) La maxirr.e eft rename dans ce cas, mais fe parle comme fi elle gtoit
encore probl6tnatique , parcequ' il s'agit de I'appliquei ^ une nout
vcllc tranche de la phyfique.

^ e 1

(4)} fi j'en avois eu le terns, fauroi's de m^me effaye les
autres combinaifons , mais en attendant je ferai obferver
qu' il ert tres-aife de reconnoitre auffi dans les encres com-
munes la combinaifon de ces trois couleurs ; car le bleu
lui vient du fer , & I'acide dans la decoction de noix de
galle change la couleur jaune en rouge orang^ , oii le rouge
cependant domire , lorfque I'acide y eft en affei grande
quantite i ce qui ell tres-conforme a la proportion pie-
fcrite.

XXVII

Avant de finir cet elTai je rendrai compte encore d'une
methode par laquelle il me femble qu'on peut parvenir a
porter quelque perfeftion dans les arts , & meme a les
enrichir de quelques nouvelles branches. Je rapporterai
pour plus de brit^veie la fuite de mes idees fur un objet ,
ce qui fervira a faire mieux fentir ma penfee,

Perfonne n' ignore que I'acide vitriolique a plus d'affi-
nite avec le fer qu'avec le cuivre , ce qui a donne lieu
a la pretendue tranfmutation du fer en cuivre en le plon-

(4) Ce me'moite 6toit d^ia Tnus la preffe lorfque je fis cette experience
avec de )i teintuie d' irji^n , me'Se avcc celle d bois dubrt-fil, &
de celle de paftel ou gaude ; en r-bfervant i pcu-pies les mStnes pro-
portions j'ai fait line teiniure noire, cu qui paroit du nioins telle
i t'ceil en Texaminant foic ^ la (nrfacc dans un verre , foit dans un
flajon, apres I'avoir fetendue dans beaucoup d'eau. On objeftcra, pcut-
eire, que de h combinaifon de ces irois couleurs en teinture il ne
fauroit r^fulter un veritable noir fur les 6toftcs ; mais on me per-
mcitra d'obferver qu' il fe paffe une tiCs grande difffiience dans la
teinture appliquSe aux ctoffes ; que paimi les gtoffcs raemes il arri-
ve dcs differences confidSra'^les dans I'oeil , que prend une meme
teinture 4 caofe du tifTu , du grain, & de d'ffferentes autres peiites
circonftances qui caufent des grandes modifications, & par confS-
qucnt dcs variCngs bien fenfibles C'ef> pour cette raifon aufTi que
la mcilleure encre pour I'^crituie n' tfl d'aucun ulage pour _ la
finiurc des gtofFes. Cela ticjit 4 un prmcipc trnp connu dcs piiy-
ficietis, 8c dont les donnces nianquent ordinairement 4 I'aitifte
meme le plus intelligent. J'ai tait dc meme une teinture noire avec
du t'inlct & des jaunes; mais je dois remurquer que dans routes ces
couleurs ou eft oblige d'auginentcr la proportion du bleu,

2C9

geant dans des eaux thermales cuivreufes qui fe trouvent
en Allemagne. La propriete du cuivre de reprendre fa for-
me metallique dans cette operation , & en m^me terns
I'art de Damafquiner setant prefentees k mon efprit, j'ay
imagine qu'on pourroit tres-bien tirer quelque parti de la
theorie des affinites pour cre^r un nouvei art , fi on ne
veut pas le regarder, feulement, comme une nouvelle bran-
che ajoutee h I'art de damafquiner.

Dans le cas particulier du fer , & du cuivre , il fuffit de
plonger dans de la cire de graveur la piece de fer done on
decouvrira enfuite par le deflein les parties qui doivent pa-
roitre en cuivre , on paflera apres la piece ainfi prepaiee
dans une diffolution de vitriol de cuivre , & meme on I'y
retiendra autant de temps qu' il en faut , pour que 1' acide
vitriolique , dilTolvant une plus grande quantite de fer ,
puifie etre remplace par une couche plus forte de parties
cuivreul'es , far lefquelles il faudra avoir la precaution de
paffer le burin , d'ou il refultera plus d'eclat , & une plus
grande folidire dans le damafquinage en queftion,

Mais pour prendre la chofe plus gineralement encore ,
il fuffira de remplir les conditions fuivantes , favoir : que
le m^tal de la piece qu'on deitine a etre damafquinee ait
une plus grande affinite avec le menftrue , que n'en a celui
qui y eft en diffolution , & qui eft deftine au damafquinage.
Une autre condition feroit celle que le precipite reparut
fous fa forme merallique , mais j'ai lieu de croire qu'on
pourroit y fuppleer en foulpoudrant route la piece de char-
bon ou de quelque autre matiere inflammable qui put
revivifier cette chaux par fon phlogiftique en la paffant fur
k feu , s'll le faut.

Cette idee, quelque imparfaite qu'elle foit, pourroit bien
un jour ^tre leftifiee & etre portee plus loin par le fecours
de la dottrine des aflinites compolees. J'elpere d'etre conir

pris par les gens de I'art j & ce fera une nouvelle obli-
gation que nous aurons aux lumieres que 1' llluftre Mon-
lieur Macquer a r^pandu fur cette parde fi controverfe, fi
abliraite, & fi intereflaiire de la chymie.

2 I I

CORRECTIONS POUR LAPARTIEPHILOSOPHIQUE
Dans Ic ircmolre do M/ le CoMTE MoUROUX.

I

F.,utes,

Corrige^.

Pag. 17 /.1 3. que on fraite

dont on traite

19./. 1 6. il elt cho(e

c' ell une chofe

14/. 19. ne la vifite

ne les vifite

zjV. I. exofd

expofe

/. 3 que pour

que par

1.1%. extremment froid

extremement froid

comme en Mofco-

comme en Mofco-

vie , en Pologne

vie,& en Pologne

27./. 15. eclofes,

eclofes }

3o./.i J. a 1' obfcur

dans r obfcurite

48./. 17. particulierement

particulierement ( i 2

JVofe(ij) 49./.11. nietallium

metallicum

/.I X. Bxmni

fixum

/.1 5. vivide

viride

/.1 5. urtione

uftione

/. 17. vividem

viridem

Note{i/^) 50./. 14. d'accord I'efpece

d'acord fur I'efpece

/. 1 6. de Chevalier Linne

du Chevalier Linn^

Note{i(>) J I./. 1. inturfufception

intuffulception

In Caroli Allionii au£lario ftirpium horti

Regii Taurinen

fis.

Errata.

Corrigc,

Pag.

55. 1.11. moluceae moluccae

58. /.X9. rambruni ramofum

61. I. I. fefamum indicum transferenJum Cub RucWii

69. /, 4. Siegerbtkia Siegesbeckia

/. 6. macrophylla 1
71. /.31. e
Mifc. Taur. Tom. V.

macrophylld 1 * "
ex

f f

211

Errata.

Corrtge.

P'^g- 73.

I. 7. Sue. ira

Svecica

74-

1 16 du)ym;m

bonaiienfe

76.

l.ij. Argcinene

Argemone

/.I ^.14 meliioius

melilotus

I.Z4. melrotus

melilotus

79-

/. 2. juncea L

juiicea L *

/. 4. valeiitina h

valeiitina L *

84.

l.i I . pulcrum

pulchrum

89.

l.i6, treiiantathemum

fl^lianthemuin

91.

1.1.1. chamaemeliis

chamaemelii

9^-

Confute numeros 13 3.1 34.

94.

/.17. dilliadr^uru

diftinftum

96.

polymorpiiia

poiymorpha

In diiTertatlonem JoHANNis Francisci Cigna

de refpiranone , ob auftoris tunc graviter

aegrotantjs abfentiam multa irrepferunt

raenda , quae flc corrigenda.

Pag. 111. I. I. varicres lege

rariores

i I J. /. 8. variori

l.iy DaUSTENE
1 1 4. l.pen. puth. funic

rariori
DAOUSTENC

paihol. funic.

115./. 5. alii

/. 6. dedu£lum

deduftam

116. /.3}. tepiduin

1 17. / 1 3. circuli
/.JO. portquura

118./. 7. Attenta

/. 8. analogum ipfis
/.i(3. ipfum auriculam

tepidam
corculi
pollquarn
; attenta

analogum in ipGs
ipfam auriculam

119./. 1. non neque
/. 10. vivaparis

non aeque
vivipans

/

Corrls:e.
earn mbleftiam

Errata.
Pag, no, I. ly. quum moleftiam
/. 15. retngena
ib. ilium auiem
/.3 3. ad jjatrem ftimulet
/.3 5. ad iurgendum
111. Li6. qaae neque
114. /.1 3. oltium

/.29.30. Totus textus curfivo charatlere eratex-
pnmendus

memorata

refrigerio

illud autem

ad partum ftimulet

ad fugendara

quae aeque

otium

125

l.ulc,

I, J.

nota V
(111)

«3 0. /. 18. queunt

131./. 9. in animalibus , qui

1 3 2. I. 6. neque incerta

/. 23. not. b

433. ultima linea hujus paginae in principium fequentis
notae transferenda

nota y memorata

(XXIV) Citationes
nempeomnesnume-
rorum hujus & fe-
quentis capitis men-
dofae funr, quod or-
do numerorum, qui
in (ingulis capitibus
ab unitate incipere
debuifletjContinuata
ferie produftus (it a
principio ad Hnem.

queant

in animalibus , quae

aeque incerta

not. f

134. /. 3 1. refpiratio lenfibilis
13 5. /.2i. ea majori
137. /. 1 5. Ut animalia

/. 19. Rigmannus
141./, ). Exitingues

refpiratio infenfibilis
eo majori
At animalia
Richmannus
Exitinguens

114

Errata.
Pag. 1^1, 1,10. condiium effe

/.30. camaleon
144, /.19. fuperficia

/.48. imo & progreffivum
(p) inteilinum morum

i4<5.

147.

149.

150.

151.

154.

156./.

157./,

M9

12. fit

15. rariorem aerem
.9. (IX)
ult. not. d
11. aeream
3 I. Avagius
9. hanc quoque

7. eumdem majores

8. potius quum
10.11. aut favere non ob-

ftare
1 1. 1 i.aut tarn praefentiae

24. aer en maffe •

25. renovare cenfet
pen. obfervatur coagulati

2. ac {1 uila

3. opprimerentur

Corrige,
pulmonem condicuoi

effe
chamaeleo
fuperficiei
inteilinum motum

imo & progrefli-

vum (p)
fiet
in rariorem aerem

9-°
not. 1

veram

Savagius

huic quoque

eamdera mnjores

potius quam

aut favere, aut obfta-

re

non tarn praefentiae

air en maffe

renovari cenfet.

abfervatur coagulari

ac (i nulla

apprimerentur

Ad D. Dana. Z)e folano melanocerafo.

170. omne omnes

171. not. 1. pertinet ad paginam praecedentem
not. 2. Mifcel. Taur. &c. legenda port verba

Bot. Prof.
ijj. L 1, Pod alias ad , . , adde Serviceura opus vulgo

di6lum

i1 ^ J

M E M O I R E

Sur difflrentes quejllons d' Analyfe.
Par M. le Marquis de CONDORCET.

ARTICLE I

Reflexions fur la forme des racines des iijuations determineeSf
la reditcllon & la folution de ccs equations.

V-^ardan & fes difciples ont refolu les equations des 3.',
& 4.* degres. Les Algebriiles qui leur ont fuccede , ont
perfe8;ionne leurs lolutions , en developant la forme & la
nature des racines. Us ont donne une Theorie profonde
fur la formation des equations des tous les degres & fur
les racines imaginaires j mais malgre les travaux de tant
des grands Geometres , 1' equation du 5 .* degre eft encore
a refoudre , & a refilte a leurs efforts. M. Euler qui
s'eft exerce avec tant de fucces fur toutes les qucftions
de r Analyfe , s'eft occupe de celle-ci , & y a rapelle
r attention des Geometres qui paroiftbient I'avoir tournee
fur d'autres objets. M. Bezout , M, Waring , M. le Che-
valier de Marguerie , M. de la Grange , M, de Vander-
monde ont donne fur cette matiere des recherches inte-
reffantes & tres-propres a jetter une nouvelle iurniere fur
cette theorie fondamentale de 1' Analyfe. Cell a la lefture
de leurs ouvrages que je dois les reflexions fuivantes qui
peut-eire ne feront pas abfolument inutiles a. ceux qui fe
propoferoient de fuivre la m^me carriere.

Mifc, Taur, Tom, V. a

I

La folution d'une equation du 3.* degre , fe reduit a
une equation du fecond , celle du quatneme a une equa-
tion du fixieme , immediatement reductible au troifieme,
M. Be/.out a prouve que 1' e juation du,cinquieme fe re-
duifoit a une du 14."" niais le rabaiflement de ceile-ci a
des equations du 4.', du i' , & du i.' ne fe prefente
pas immediatement ; il faut de longs calculs pour y par-
venir , & c'eft le principal obftacle qui a retarde jufqu'ici
la folution de ces equations.

I I

Les racines d'une equation doivent etre des fonStions
algebriques & entieres des coefficiens de cette equation ,
& li le degre eft n en general , elles ne peuvent conte-

n

nir de radicaux d' un degre plus eleve que y/'. Suppofbns

done que nous ayons une Equation du degre ;z , oil Ip
fecond terme manque , & faifons

n n n

x^-Va •^Vb' -^VcT;

le nombre de ces radicaux etant n^ — i , il eft clair que
{\ je fais difparoitre les radicaux de cette equation hypo-
thctujue , & qu'enfuite je mette au lieu de x" fa valeur
tiree de la propofee , il me reftera une fontlion oil x ne
montera qu' a la « — %." puiftance ; ce qui me donnera
n — I equations pour determiner les n — i quantites A^
B, C, &c. On voit que les conditions de cette opera-
lion font que 1' equation propofee & 1' equation hypothe-
tique aient lieu en meme temps & pour toutes les racines.
On voit aufli que pour faire dilparoitre les radicaux de

3

n It

r equation x = VT -4- v'b", &c. on en aura une oii x

montera au degre /z""", & c' eft ce qui doit arriver ,
puifqu' a caufe des n racines de I'equation y" — i = o ,

a n

chaque V^f ou \^B~, &c. a n valeurs qui peuvent etre

combinees avec les n valeurs de chaque autre , & que les
tadicaux font au nombre de n — i..

I I I.

L' equation en j4 ne pouvant contenir de radicaux , ni
du degre n , ni des degres fuperieurs , fera neceffairement
du degre . . . . m . n — i./z^i./z — 3...1} m etant
la produit des nombres plus petits que n ; & comme la
quantite que nous appellons A , repond a une quantity
qui , en fuivant la mechode de Tfchirnaus eft donnee par
une equation du degre n — i./z — i./z — 3...1. L'equa-
tion en ^ fera reducible a. une equation du degre
n — i./z — ^ . n — 3...1} en forte que fi on avoir
m = m. p. q . . . on auroit , en refolvant fucceffivement
des Equations des degres m' , p\ q ^ ou m' p' ^ ni q &c.
ni p q &c. (fi ces produits font moindres que « ) on
auroit, du-je, une equation definitive du degre n. — i .
n — » . . . . 1 . Toutts les fois que « > 3 , cette equa-
tion monte done a un degre plus eleve que n\ & c' eft
ce qui a rendu fi difficile la folution des equations des
degres fuperieurs.

On voit deja que pour refoudre I'equation produite par

n n

I'equation hypothetique . . . x = v^IT -4- ^~Bi &c. il y a deux

moyens a employer; 1.° la rdduftion de cette equation j
i* une nouvelle equation hypothetique. Suppolons d'abord
que r equation en jf' du « — 1 , « — x .. . \ degre , ne loir

a X

4

fufceptlble d' aucune reduftlon ; il eft clair que fi on la

J . 2 . J . . . B — l

trait^ comme la propofi^e , qu'on fafle x c= \/ a

I . 2 . J . . . n— I

-+- v^ ]^ -+-...- le nombre des radicaux etant

n — 1 - n — i . . . . z • I — I , on aura une equation pour
A'. Mais comnje les racines de I'equatioti en x' ne doivent

/I — 1

pas conteoir dg radicaux plus gleves que v^ , on voit que

I'equation en A' , montera ou lera reducible a un d^gre
qui n'aura point de divifeurs premiers plus grands que n — z.
En repetant la meme operation , 6c reduifant loujours ces
equations autant qu'elles peuvent I'etre, on en aura une
d'un degre qui n'aura point de divifeurs premiers plus
grands que n — 3 & ainfi de fuite jufqu' a une equation
rationnelle^

I V

Ces fuppofitions pour les equations hypothetlques , font
fans douic trop compliquees j ainfi il faudra , au lieu

n — I n. — 1

de pela , faire feuletnent x' == V"!?" *+- v''s'~. . , -+- Q' , le

nombre des A' , B' ^tant n — x ; & on examinera fi
1' Equation en A' , ou en Q' devient, apres etre reduite ,
d'un degre qui n'ait pas de divifeurs premiers plus grands
que n — 2. Si cela a lieu, on verra fi en faifant dans

n —I

cette equation reduite dont 1' inconnue eft x'' ; x" = y/'ZT'

n — 2

■+• V~B^. ...-+- Q" , le nombre des radicaux etant /^ — 3,

& ainfi de fuite on aura fucceffivement des Equations dont
le degre n'ait que des fac^eurs premiers plus petits que n — j,
72 — 4 &c. , & ainli de luite. Nous obierverons encore que

5

fi requation rd^luite en x" eft d'un degre produit par des

fafteurs premiers plus petits que n — • , & que quelqu'un
de ces fafteurs foit r^pete plus d'une fbis & foit en meme
temps fafteur de n — i , il faudra effayer auffi une equa-
tion hypoilietjque

n n"

x"=V^ = V^"fi^ . . i t/,: '. -f- Q"

oil n' eft ce fafteur , & oii le nombre des A" &c. eft « — i^

Pour favoir fi une Equation eft fufceptible de reduftion,
on prendra reus les divifeurs , rant fimples , que compo-
fes de r expofant du degre de 1' equation ; & foit m un
de ces divileurs , mm le degre de I'equ tion 8c x V in-
connue , ou chercliera h on ne peut pas avoir.
x" -4- ax'"—' -^- bx"'-^'' ....-+■ p = o ,
les a , b , Sec. erant donnes par des equations du degre m'.

D' abord on eflayera les divifeurs fimples , & enfuite on
verra fi on a des divifeurs compofes qui reulliflent fans
qu'aucun divifeur fimple ait reuili. U fera queftion de r^-
foudre d'abord I'equaiion m ; or dans ce cas quand meme
m"^ n , il eft clair que m eft le produiPdes divileurs premiers
plus petiis que n; que I'equation x" -+- ax"*"' . . . -+- p = o,
ne peut avoir dans fa racine de radicaux auffi ele^es que
n , & qu'ainii on la refoivera en prenant des equations
hypothetiques comme ci-deflus.

II eft inutile d'avertir que Ton n'a pas befoin d'avoir
refolu I'equation en 772 ou m' pour favoir fi la propofee
du degr^ m m' eft redudible ou non.

V I

On peut regarder la mediode ci-deffus comme genera-
te i en etTet jl ell certain que la racine d'une equaiion du

6

degre n ne peut contenir , fous le radical n , que des fon-
ftions de radicaux moins elevees : or quelles que foient
ces fon£lions , il ell clair que les Equations hypothetiques
ci defTus ferviront a faire difparoitre a chaque fois le ra-
dical fous qui tous les autres fe trouvent , & ainfi de fuite,
jufqu' a ce qu'on ait une equation qui ait uu divifeur ra-
tionnel. Ain{i Ton voit que la methode employee pour re-
foudre les 3.*, 4.' degre, peut s'etendre aux degres fupe-
rieurs , & que la difficulte qui nait de I'elevation de
I'equation oil conduit Thypothefe pour la forme des raci-
nes , ne tient qu' a I'enorme complication des calculs qu'
exige alors la ibluiion du probleme ; mais qu'on parvien-
dra toujours a la (olution cherchee en employant fucceffi-
vement les reduttions , & les Equations hypothetiques ^
quand il n'y a plus de redutiions poffibles.

V I I

Les equations que produifent les differenres hypothefes-.
qu'on peut faire pour avoir les racines d'une propofee ,,
ne peuvent contenir dans leurs racines que les memes ra-
dicaux , mais combines differemment avec des coeiliciens
num^riques , qui feriSiit en general les racines d'equations
y" — I = o , jk"* — A = o , A ^tant un nombre , m <C riy
ou d'equations produites par la multiplication de celles ci.
On pourra done abreger confiderablement le calcul , en ne
cherchant , foic pour la r^duftion des equations , foit pour
les refultats ou conduifent les equations hypoiheciques que
des fonftions rationnelles , par raport aux coefficiens in-
determiiies de la propofee , fans s'embaraffer des coefficiens
numeriques. Si on joint a cela une remarque qu'on doit a
M. le Chevalier de Mirguerie , que fi on a une equa-
tion x» ^- a x" •"•-+■ ^' x" -'.... -4- ^'' = o , les racines
feront dtis fonftions homogenes & du degre 1 de ces-

r

coefficiens; & que par ce moyen on fache par le feul de-
gre de chaque equation de quels termes de ces coefficiens
chacun des liens peut-^tre compofe : 1' examen des equa-
tions qu'on cherche a reduire , ou pour lefquels on clier-
che des equations hypoiheiiques , en deviendra bien moins
Jong,

VIII

J'ai dit ci-deflus que les coefficiens numeriques depen-
droient d'equations j'" — 1=0 , j/" — A^= o, ou de leurs
combinaifons ; mais quand cela n'auroit pas lieu en gene-
ral , la recherche de ces coefficiens n'auroic aucune diffi-
culie analytique. En efFet , fi I'on connoit une fois les fon-
ftions des coefficiens indetermines d'une equation du de-
gre n qui entrent dans la racine , ainfi que routes les equa-
tions qui ont fervi a determiner ces fonftions j comme les
nonibres inconnus rellent conltans , quelles que foient les
racines , il y aura toujours moyen de les avoir par^la me-
thode des coefficiens indetermines.

ARTICLE II

Demonjlradon d'un Theoreme de M. de la Grange ( memoires
de r Academic de Berlin , tome 14.' )

^oit I'equation

y — x-Jr(p x = o ;
^x defignant une fonftion quelconquc de x, & que je-
cherche une valeur de -vl/ x , autre tonftion de x Qi\ J i
j'aurai par le theoreme de M. d'Alembert ,

■^x^^y^—q> x-^-^-j-: (p x^ + &c.

8

par le m^me th^oreme

done faifant (p x = (p j -h B , B =■ — — (p jy -+- C , &

ainfi de fuite : j'ai en ordonnant par raport aux puiflan-
ces de <py &c de fes differences ,

a X s= m y -* \ --— - -+- &€.

^ ^ *^ xay 2.3. dy^

^x- <P y- zd<Py x d' <t) y n

2 2 2.3.^7 2.3.4^))-

(px^ <p )<» 3 <s^ (p >■» 6 d"- (p yi p

— -i 1 7--+- 7— <^c.

4,3 2.3 2.j.4/«y 2,3.4.5.^^'

fublHtuant done ces valeurs dans celle de -^ x ^ ou aura ,

en ordonnant par raport aux puiffances de -vj/j, &: (p y

& de leurs differences ,

d-\y mv-d^4v <Py^ di-ly ^

^x^A^y-^^py-jj-^r^-^^J.^'^^^-jJ- &c.

d(py d-ly z.d.cp v^ d-4 y
^^ dy dy z . -^ dy d y^

d- <p j' dA-y

X .T,dy^ dy

& reduifant

d-iy dmy^d-lv d-<py^ d-ly .

^x^^y^<py-^-i- ^ -*■ jj &c.

%dy _ 2.3 dy-

formule dont U loi eil facile a faiiir.

AR-

ARTICLE in.

Sur line equation aux differences finies.

Ooit ^=z A F X -Ji- ay -f- B F x ■+- h y -h C F" x -+- cy
'+■ D F" X -r- e y &c. I'int^grale d'une equation aux diffe-
rences partielles oii les F dedgnent des fonftions arbi-
traires & oil A, B , C, D, &c. font des fonftions de j,
Je fuppofe que lorfque ^=j\yz=:f': que lorfque { =^,
y=zg'; que lorfque ^ = h,y = /ii que lorfque { = /,
y = 1' , & ainfi de fiiue. On aura done pour determiner
les fontlions , les equations^

/- AFx'^af - B F x-^yf- C F' x-^cf - D P"JT7f ± df- = o

h-A'Fx-^uh'-B'Fx-i-ih' -C'F'x-t-ch'-D'P"x->-ek'±&:=o

g-A"¥x-^ag'-'B"fx-i-l>g' -C"F" x-^Cg'-D"F"x^eg-±&=.o

l-A"Fx-^*r-B"'V'x-*'bl'-C"' F"x-^aD"'F"' x-*-e/'±&:=:o

& ainfi de fuite ; les A A' & BB' Sec. etant ce que de-
viennent les coefficiens en y , lorfque y ell ^gal a. /', ou

Mdintenant pour avoir chaque fon£lion arbitraire , on
mettra dans routes les equations , hors la premiere , au
lieu dex,x-+-p,x-i-<j,x-hr, Sec. , & on deter-
minerap, y, r par la condition que af' = p-i-ah'= q
-k- ii g = r •+• a l\ & ainfi de fuite. Par ce moyen , C\ le
nombre des fonftions ell n , on aura apres avoir elimine
F, n — I equations qui contiendront chacune deux fon-
£lions de la forme F x , F x ■+■ P pour la premiere equa-
tion , Fx, F X -h P' pour' la fecoiid.' , F x' , F x -+- P"
pour la tKJilieme , 6c ainli de fuite avec deux fonftions F' ,
deux fonitions F" , &c. Je prends les deux premieres
equations , 6c fai , tn ir.eiiant dans la premiere .v -i- P' au
Mifc. Tour. Tom. V. h

lieu de X , & dans la feconde x ->- P su lieu de x , quatre
equations qui coiitiennent P x , Fx-4-P, I' x -t- P\ Fx
^ p .^ P' ,, done je puis eliminer F x : j'aurai mainte-
nant n — x equations qui contiendront ch^cune F"x , &
quatre fonftions I'emblables de x , plus quatre conftantes
ditlerentes , & de nseme F"'x -i- Q 8i quatre autres fon-
ftions femblables de x , plus quatre conltantes differentes}
On eiiminera F" par une methode femblable , & aind de
fuite i en effet quelque loit le nombre des fonclions F" .,
pourvu qu'on ait deux equatiotis , on parviendra loujours
a eliminer , parce que lorfqu'on aura chaile une de ces
fonftions F" x -t- Q; par exemple , on n'aura qu'a met-
tre X -+-Q_ au lieu de x dans i'equation d'oii on a chaf-
fe F" X -^ Q , on aura une equation contenant F" x -i- Q^
P" X -i- Q^ Q, F" X -^ Q -+- Q^, Sec. , & mettant dans
celle-ci pour F" x -i-Q(a. valeur tiree d'une des deux pro-
polees , on aura une equation en F" x -^ Q^ , F" x -+■ Q ' ,
pn x-t-Q'^q', P ,v -T- z (2' , /■" X -4- 1 <2" , &c. done
on aura deux equations qui ne contiendront plus F" x -i- Q^j
oa chaflera de meme F'^ x -h Q , & F" x -t- i q , &c ainfl
de fuite. Cela pole , foit une equation definitive de la for-
me J,Fx-i'£,Fx-t-A'~t-CFx-hA''-^D,Fx-^^'''
au nombre de ot , & qu'on faiTe Fx = N^e^' , on aura
i'equation.

. r> /"A I _ /"An „ /Aiij ~

& il ell clair que Ton aura Fx egal a une ferie d'autant
de termes en Ne^' , que f peut avoir de valeurs.

Examinant cette Equation , on voit que (i les A font
tous commenfurables entr'eux , I'equation eft comme celles
aux differences finies ordinaires } mais fi les A ne font pas
commenfurables, alors on obfervera i.° que ii ot eft le
nombre des fonftions , il pourra arriver que / ait m — i
yaleurs reelles. En effet , fuppofant a fm-~i valeurs reel-

1 1

les h volonte , & fubftitirant , on aura les ^ , B, C, &c.

en fi ou peut de meme avoir f= -^fV^^ rant de fois

que contient d' unires. En effet , en mettant les

imaginaires fous la forme a -i- b v^ — i , la premiere fuppo-
fition donney^ -*-B v^~r= ojla feconde J — B V — i = o;
ce qui ne fait que deux conditions yd Sc B = o. comme
c'ert reellement ef qui entre dans requation ci-deflus , C
etant la valeur de e^ , on aura d'autres valeurs de f en
aufli grand nombre que ef — C=o a de racines , c'eft-
a-dire , un nombre inhni, Mais il ne fuit p;is de la qu'il
y air ici un nombre infini de termes correipondans a cha-
que valeur de e^. En effet , la fuite de routes ces valeurs
^'e /, ell f,f-hy, f-h y\ f-^y", &c. y , y y , &c.
^tant des quantites telles que £>• = eJ-' . . . . = i j mais
dans le cas de I'equation prelente , en mettant ces valeurs
pour/, ou auroit A , ■+■ B tA e?^ -t- C i/^' e>^« , (S-c. = o ,
equation qui dtit avoir lieu en meme temps que y^,
-i- B J^ +■ C tf^^ &c. ce qui demande que ey^ -+■ e>^*
foient egaux a I'unite. Or quoique £>• = i , quelque valeurs
de y qu'on eut prife, cependant lorfque A, Ai ne font
pas des nombres entiers, y=o e(l la feule des valeurs
de y , pour laquelle ey^ Ibit egal a I'umte ; or , ici , les
quantites A , A' etant incommenfurables entr'elles , on voit
que y = o ell la feule valeur qui convienne au probleme.

xa

ADDIxfoN AU MEMOIRE

Sur les folutions particulieres des equations
dlff'erenuelles.

Par M. le Marquis de CONDORCET.

XVloEuIer a remarque le premier qu'il y avoit des equa-
tions qui fatisfaifaicnt a une equation differentielle fans
cependant etre comprifes dans fon integrale generale. Void
quelques reflexions iiir la caufe de ce paradoxe , c'eft ainfi
que M. EuLer 1' a apelle.

1 Soit AdZ-+-BZ'"=o une equation differentielle,
il eft clair que Z = o y fatisfera , mais I'equation fous
cette forme eft egale a la differentielle exafte de 1' inte-
grale multipliee par un fafteur , done il pent arriver que
Z = o fatisfaffe a la propofee fans fatisfaire a la diffe-
rentielle exafte de fon integrale , il fuffit pour cela qu'el-
le fatisfaffe au facleur , & que Z y foit a une puiffance
pofitive plus grande que la plus petite puiffance de Z dans
le denominateur de la differentielle exafte.

2 Une equation integrale ecant fuppofee Q-f-C=&
ou C eft une conftante arbitraire les equations , qui ren-
dent Q = o , ou Q = 00 fatisfont egalement a Q -+- C= o
les unes repondant a I' hypothefe de C= o & les autres
a celle de C = — oo done pour que la foluTion 2 = o
fatisfaffe a la propofee fans fatisfaire a 1' integrale , il faut
que non feulement elle multiplie le fafteur fans fatisfaire
a la differentielle exade , mais qu'elle ne puiffe pas rendre
I'iniegrale infinie.

Z"

3 Soit— le fafteur , r integrale fera S AFZ-" dZ

^B Z"^" & elle eft egale ^ SAVZ-^dZ prife en

1 5

regardant Z fealement come variable plus au terme in-
dependant de Z il faudra done ici que 5^^ ?^Z~" i/Z pri-
i'e par rapport a Z ne foit point infini lorfque Z = o done
( come M. Euler I'a enfeigne dans le chapitre de fon cal-
cul integral ou il traite de ces foiutions particulieres )
il faut que n foit entre o & I'unite , mais il faut aufli que
B Z"^" ait un terme fans Z fans quoi Z fe trouveroit a
tons les termes de 1' integrale , ce qui elt centre I'hypo-
thefe done m = n done m eft entre zero & 1' unite.

4 Done fi on a une equation differentielle d'un ordrc
quelconque elle ne pourra avoir des foiutions particulieres
non comprifes dans 1' integrale , a moins qu'elle ne renfer-

me des radicaux v^ Z , & que ces radicaux ne s' y trouvent

pas multiplies a tous les termes par des puiflances de Zr
& les radicaux qui feront dans le cas Sc qui refolveront
la propofee doneront les foiutions particulieres.

5 Soit I'equation A d Z -hB i{x-hCdjZ"' = o a la-
quelle Z = o fatisfait & que cette Equation n'ait pas d'in-
tegrale generale, il eft clair que routes les fois que m n' eft
pas entre zero & I'unite Z = o fatisfait a I'equation de
condition connue pour 1' integrabilite de ces equations , &
que lorfque m eft entre zero & I'unite Z = o n' y fa-
tisfait pas J done on pourra avoir dans ce cas pour foiu-
tions particulieres de la propofee non feulement requation
de condition , mais encore les quantites qui fe trouveror.t
dans la propofee fous le figne radical avec la meme con-
dition que ci-deffus , Sc il fera facile d'appliquei- le meme
raifonement aux equations de tous les ordres pour lefquel-
les j'ai donne les equations de condition.

6 M. Euler a remarque dans les memoires de Peterf^
bourg oil il recherche la courbe que decrit un point at-
tire par deux centres fixes que ces foiutions particulieres

non comprifes dans requatlon gin^rale ne pouvaient Stre
emploiees a la folution des prob'eTies. Aiiifi lorfque I'on a
fa par des fubftitutions ou autrement qu'une certa'me equation
fatisfait a une equation difFerentielle , il faut avant de I'em-
ployer , examiner fi elle n'ett pas dans le cas de nos folu-
tions particulieres (C • a d) , fi la foiiftion egalee a zero
dans cette equation ne fe trouve pas dans la propofee fous
le figne radical avec la condition ci-deffus.

7 La caufe de ce nouveau paradoxe remarque encore
par M. Euler fe peut decouvnr en examinant la maniere
dont pour chaqae problentie on parvient a une equation
differentielle ; en effet on verra qu'elles font formees par
la comparaifon des valeurs fuccelRves des j , des x, & en
forte que (i au lieu de j^ -H dy on mettait y , & x au
lieu de x -^ d x elles doivent demeurer ideniiques , or il

eft aife de voir que fi dans AdZ~^VZBz:^AZ -f-^Z
— A Z -¥■ V~zB on met Z au lieu de Z ->n d Z elle ne
devient pas identique.

8 On voir que dans le cas de ^ i Z -H 5 Z = o la
meme fubftitution ne rend pas la propofee identique, audi
Z = o n'eft pas meme dans ce cas une veritable folution
de la propofee , elle ne peut T^tre que dans le cas par-
licalier oii elle fe trouve etre la ra^me que ce que devient
alors la folution generale. En effet foit une equation
ay-^hx^ — ^ c^ = o , a etant arbitraire, on ne peut pas
dire que I'equation x = C foit une folution de cette equa-
tion , puifqu'il y a une infinite de cas ou elle ne relbut

pas , & Il on avoit eu 1 equation = o on n au-

rait pas pu dire que x = b refout le probleme qui a con*
du t a cette equation par ce qu'il y a u le infinite de cas
du probleme qu'elle ne peut leioudre. Aind les lolutions
coattawes dans I'integrale tefolvent non pas le probleme

a

»5

propofe, mais quelques cas de ce probl^me , & les autres

fblutions de 1' equation differentielle non contenues dans
rintegrale n'en refolvent aucun.

lo Dans le cas des equations abfurdes on trouvera que
fi ( ces equations etant entre x , y Si { ) on cherche
les valeurs de i repondant a. y = X ^ ^eft une fonftion
de X. Les folutions de la propofee contenues dans I'equa-
tion de condition deviendront en y mettant Xpour j)^ des
folutions contenues dans 1' integrale de I'equation en ^ 6c
X. Au lieu que celles qui ne ieront pas contenues dans
I'equation de condition ne donneront pas non plus de fo-
lutions contenues dans 1' integrale de I'equation en ^ & ,v.

Je ne me fuis point etendu fur ce fujet par ce que je
f^ai que M, de la Place de TAcademie des Sciences de
Paris en a tait Fobjet d'un travail confiderable , Ion ouvra-
ge qu'il a eu la bonte de me communiquer en manufcrit,
il y a plus d'un an , fera imprime dans les meraoires de
r Academic des Sciences de Paris pour Tannee 1773.

M fe M O I R E

Sur la determination des fonclions arbitraires

dans les integrales de quelques equations

aux differences panielles.

Par M/ Monge.

Li' integrale d'une Aquation aux differences ordinaires doit,
comme on fait , renfermer , pour etre complete , autant
de coftantes arbitraires que le degre de la differentielle
contenoit d'unites avant 1' integration , & ces conftantes
doivent etre telles que 1' integrale fatisfafle a autant de
conditions particulieies , qui font ordinairement que pour
certaines valeurs donnees de x , certaines fonftions de x
deviennent egales a des quantites donnees ; & en fuppofant
la perfection de 1' analyfe , la determination de ces con-
ftantes n'ed foumife a aucune difficuite. De meme I'lnte-
grale complete d'une equation aux differences partielles
renferme autant de fonftions arbitraires des variables de-
terminees que le degre de la differentielle contenoit d'uni-
tes , & ces fondlions doivent etre de telle forme que I'ln-
tegrale fatisfaffe a un meme nombre de conditions parti-
culieres , qui font toujours qua , pour certaines equations
donnees entre x &i y ^ I'lntegrale fe transforme en d'autres
equations donnees entre x ik ^.

Par exemple , { etant une quantite fonftion de x &
de J' , S le caratlere de fa diffrentieile en ne fi'fant va-
rier que x S>C d ceiui de fa differentielle par raport a y,

I'integrale { = (p {ax — y ) de ['equation -; — f- a — — = o,

appartient a autant de furfaces courbes diltiu^es , oc dans

cha-

'7
chacune des quelles on aura egalement - — t- a — — = o ,

que (p , peut avoir de formes differentes , & fi I'on veut
avoir Tequation de celle de ces furfaces qui pafle par une
courbe a double courbure donnee , il faut determifier quel-
le forme doit avoir la fonftion cp pour qu'en fefaut j/ = A . x,
on ait J' = \|/ • AT : ces deux dernieres equations etant celles
des projeftioiis de la courbe donnee fur deux des plans
aux quels eft rapportee I'equation de la furface.

Pareillement ^ = (p ( a x -y ) -+- x (p' ( a x ~y ) , inte-

, , fiz ra^dz d'ddz n i, ,

erale de — — ^ h ■ — - — H = 0 eft 1 equation

^ dx^ dxdy dy^ ^

d'autant de furfaces differentes qu' il y a d'unites dans le
nombre des combinaifons deux a deux dont font fufceptibles
toutes les formes que peuvent avoir les fonftions ^ (& (p'; &
Ton ne peut indiquer une de ces furfaces qu'en affignant , par
exemple , deux courbes a double courbure par lefquelles
elle doive paffer : ou plus generalement , qu'en donnant
deux conditions diftinftes aux quelles il faille que I'equa-
tion fatisfafle en meme terns. II en eft de meme des equa-
tions qui contiennent un plus grand nombre de fonftions
arbitraires.

De plus il arrive fouvent , furtout lorfque les fonfiions
arbitraires font affeftees de fafteurs , que la determination
des formes des fonftions introduife dans I'integrale des con-
ftantes arbitraires que Ton ne peut determiner qu'en con-
noiffant les valeurs de { qui correfpondent a des valeurs
donnees de x & de ^ , ou , ce qui revient au meme , qu'
en affignant dans I'efpace un meme nombre de points par
lefquels la furface doive paffer. Jufqu'ici j'ai fuppo(e que
les conditions , aux quelles devoit fatisfaire 1' integrate ,
^toient de nature a etre exprimees analytiquement , mais
fi ces conditions etoient que la furface dut pailer par des
courbes difcontinues ou tracees au hazard , les formes des
iWi/c. Taur. Tom. V. c

t8

fonftlons ne feroient plus analytiques & feroient par con-
fequent inaflignables neantmoins , comme je I'ai fait voir
dans un memoire precedent, I'lntdgraie n'en feroit pas
moins conftruftible.

Ainfi lors qu'on a integre une equation en differences
partielles , I'integrale qui donne en quantites finies la va-
ieur de { , eft vague , par ce qu'elle renterme des fon-
ftions aux quelles on peut donner toutes fortes de for-
mes , analytiques ou difcontinues , il faut done determiner
quelles doivent etre les formes chacune en particulier ,
pour que I'integrale rempJiffe les conditions particulieres
de la quertion , lorfque ces conditions font analytiques ,
ou conftruue Tintegrale lors qu'elles font difcontinues.

Cette operation ell generalement fujette a des grandes
difficulres , dont les celebres geometres MM. D'Alembert,
Eu'.er, & La-Grange n'ont encore leve qu'un tres-petit
nombre. Je ne crois pas meme que nous foions bientot
en etat de les lever toutes ; neantmoins , perfuade que
dans les matieres nouvelles les moindres progrez ne font
pas a negliger , & qu'une idee fterile entre les mains d'ua
homme ordinaire peut devenir tres-profitable entre celles
d'un habile geometre , je vais faire part a I'Academie du
refuliai de mes recherches fur cet objet ; trop heureux fi
ce memoire pouvoit etre 1' occaJGon de quelques decouver-
les utiles dans I'analyfe ou dans la geometric.

1.° Quelque foit la condition a laquelle doive fatisfaire
une imegraie , je donne toujours la valeur deierminee de
^ lorfqu'eile ne contient ciu'une feule foiitl:ion arburaire,
ou j'en donne la conitruftion iorlque la condition n'elt
pas analytique. z." S'll y a plus d'une fonftion dans I'equa-
tion , je ne les determine & ne les conlhuis que dans cer-
tains cas , c'ett-a-dire , que pour certaines conditions , qui
font ccpendant aifci etendues , & que I'on pt ur (uppoler
continues ou diiconiinues. Aiuli chaque probieme dans le

19

memoire a d'abord une folutlon analytlque , & un6 cori-

ftru6Hon appliquable aux fonftions dKcontinues , & par ce
que cette conftruftion eft independante de la folution pre-
cedente , j'en deduis une feconde folution analytique , qui
donne toujours le meme refultat que la premiere , par con-
fequent chaque probleme eft une nouvelle preuve de la
poffibilite de conftruire les fondions arbitraires difcontinues.
Pour donner plus de generalite aux foiutions , je fuppo-
fe la perfection de I'analyfe , c'eft-a-dire qu'etant donnee
une equation quelconque en x Sc j on puiffe toujours en
tirer la valeur de jc en j' , ou celle de jy' en x , ou pour
mieux dire , que quelque foit la forme connue de la fon-
ftion \|/ , on puiffe toujours tirer la valeur de x en y de
I'equation -^ x =y ^ & que les fonftions arbitraires ne
foient envelopees fous aucun figne d'integration.

PROBLEMEI

Trouver quelle doit ^tre la forme de la fonftion (p dans
Teqaation ^ = <p ^, pour qu'en fefant jy = A • x on ait
^ = 4^ . j: J y etant une quantite quelconque donnee en x
5c J f & les formes des fonftions A & -4^ etant connues.
N.B. J'ai deja donne la folution de ce probleme dans un
memoire qui a precede cclui-ci , mais pour fuivre un cer-
tain ordre , je fuis oblige de le remetre ici , ou i'enonce
eft d'aillcurs plus general.

Solution,

Soit mife dans F" la valeur de j = A x, & foit V la
fonftion de x que donne cette fubftitution , il eft evident
que Ton aura par la condition de la queftion 4^ • x = (p y'.
Soit fait maintenant V = 11 , d'ou Ton tirera la valeur de
X en «, que je reprefente par/- m, & foit mife cette

c z

valeur dans 4^ • *• = <p J^' , on aura SP" • (/• u) = <p u. Or'
on connoit les formes dea fonftions •^ ^ f y on connoirra
par confeqiient celle de la fondion <p . Done ^ r= >^ (fF")
fera I'equation demandee. C. Q. F. T.

Exemple.

Soit propofe de trouver la forme de la fonftion ^, pour
qu'en fefant ^ = to jf , dans I'equation {- =<p (x' -t-j^^ ) ,

on ait f = — .

^ a

II eft clair que fi Ton met a la place de y dans cette

equation fa valeur m jc, elle deviendra — = (p ( :«* -t- /w* x* ) ,
puis qu'alors la valeur de i doit etre = — . Soit fait maiu'

tenant x* -»- /ra* x' = k , ce qui donne x^ = , &

foit fubftituee cette valeur de x dans la derniere equation,

on aura ;— = « k , ce qui fera connoitre la for-

(^m^->- i)a ^ ' ^

me de la fonftion (p ; d'oii il fuit que I'equation qui (a-

tisfera a la queftion (era ? = — - .

^ "^ (w' -(- I ) <*

En efFet fi Ton met a la place de j dans cette equa-

X*

tion fa valeur ot * , on irouve :^ = ~ ,

Remarque I.

L'equation f ss= ^ (*'-+■ jy^ eft celle de toutes les
furfaces des revolutions , I'origine des coordonnees reftan-

x' •*- y^

eulaires etant dans i' axe , ainli r = — - eft I'^qua-

2,1

tlon de la Turface qu*engendreroit la courbe dont les pro-

jeftions ont pour equation { = — Scy = m x^en tournant

autour d'un axe parallele aux ^ & mene par Torigine &
parce que cette courbe eft une parabole dont le plan palTe

par I'axe, il s'enfuit que I'equation 7 = -^^ ^eft celle

de la furface d'un paraboloide. J'ai choifi cet exemple par-
ceque la furface en eft connue , Sc que les operations en
font fimples.

Remarque II

L' operation precedente fuppofe que les fonftions A & 'f-
font analytiques , c'eft-a-dire foumifes a la loi de conti-
nuite , mais fijy=A-x&{= "f"-x reprefentoient
les equations des courbes difcontinues & tracees au hazard,
la forme de la fonftion <p feroit inaffignable , on pourroit
neantmoins la conllruire , comrae on va le voir , ou ,
ce qui revient au m^me , conlf ruire la valeur , que donne
alors pour j I'equation ^ = <p y ^ x dc y etant donnes
a volonte.

Conflruction.

Soient CAD le plan des jc & j' , que pour la commo- pianchc
dit^ je fuppoferai toujours horifontal dans la fuite , B A C ^ ,
celui des x & { , s m S la courbe a double courbure ,
difcontinue , ou tracee au hazard & dont les projections
r q R & s m S ont pour fytnboles d'equations y = /^ ■ x
& ^■=-^ x ; foient enfin A P & P Q ks deux coordon-
nees x &c y pnfes a volonte , pour lefquelles il s'agit de
trouver la verticale QAf={. Cela pofe par le point Q
on conftruira fur le plan horifontal la courbe 7"<2^dont

it

I'equation eft Vssb , b etant une indetermlnee telle que
la courbe paffe par le point Q ; elle coupera la courbe
r q R en un point q par lequei on eievera la verticale q m,
qu'on prolongera juiqu' a ce qu'elle rencontre quelque part
la courbe s m S en un point m, on fera QM=: q m ^Sc
le point M fera dans la furface demandee. Car fi dans
I'equation ^z=<pK on fait V=b, on a ^ = conft.
c'elt-a-dire que routes les verticales elevees par les points
de la courbe T Q^q doivent rencontrer la furface a la
meme hauteur ; mais cette conftante doit etre telle que
pour le point q Ton ait :^=. q m , done on doit avoir
qMz=qm. C.Q.F.T & D.

Si par la courbe T Q^q on imagine une furface cylin-
drique verticale , elle coupera la furface a conftruire ( fup-
polee pour un inftant conllruite ) en une courbe Af/7z,
qui fera horifontale, qui paflera par le point demande M
& dont la projeftion verticale fera une droite horifonta-
le M m • Done ayant abaifle q p perpendiculaire aux Xy
& eleve la verticale p m , le point m , ou elle coupera
la courbe s m' S' , fera la projeftion verticale du point m,
& i'horifontale m M la projeftion de la courbe M m ; par
confequent (\ Ton eleve la verticale P M', le point M'
fera celle du point M, & Ton aura PM = QM. Cette
methode eft plus commode , par ce qu'elle n'exige pas
qu'on dieve la verticale q m dans I'efpace.

Cette conftruftion eft generale , mais dans un grand
nombre de cas il peut etre plus (imple de lui fubftituer
un mouvement continu en voici des exemples.

I." Si Ton a V = ax — y, on engendrera la furface
en fefant glifTer une droite horifontale parallelement a elle
meme , fur la courbe s m S , par ce que dans ce cas 1^
la ligne T Qq ^ pour quelque point Q que ce foit , eft
une droite qui fait un angle conftant avec I'axe A P,

i." Si Ton a y^x^-^-y* , la furface fe forme par la
revolution de la courbe s mS au tour de la verticale A B
prife pour axe, car alors la courbe T'Q^ pour quelque
point Q que ce foit , ert la circonftrence d'un cercle dont
le centre eft au point A ; c'eft ce que j'ai deja demoa-
tr^ dans le memoire precedent,

AUTRE SOLUTION DU MEME PROBLEME

Tirce de la conJlruSion pre ce dent e.

Ooient A P ■= x' & P Q^=y ^ il eft Evident que la que-
ftion conlifte a trouver une valeur de ^ en x' & y' qui
fatisfafle aux conditions. Pour cela foit fait V= b , SiC foit
determinee la conftante b de telle maniere qu'en fefant
dans cetre equation x = x' , on ait^=^'j foit elimi-
nee y des deux equations V ■=b 8>c y = A • x , cc qui
donnera une valeur de x en :^ , y' & conltantes j foit
mife cette valeur a fa place dans la quantite "f" • x foit
enfin K ce qu'elle devient alors , 1 = K fera i'equation
demandee.

Exemple.

Pour faire voir I'accord de ces deux folution* , je vais
appliquer celle-ci au m^me exemple qu-; la precedente ,

ou Ton a V= x'-+-y% ^- x = m x & -^ • x c= — .

II eft evident qu'afin que dans I'equation x*-»-j'* = ^,

on illy =y en felant x = x\ Too doit avoir b = x'^ •+■ yS

foit done eliminee J' des deux equations x* H-^* = x'^ -*-y*

Sc y = m X , on aura x* -+- /«' x' = x'^ ■+■ y'"- , gu

■*■'* ""^ y ' ... . **

X* = ^— foit mife cette valeur a fi place dans — .

i4

Ton aura — r — - — » & par confdquent pour Equation de-

mandee r = —7 rr .

•• a{i •+■ »» )

qui eft la meme que celle que nous avons deja trouvee. -

PROBLEME II

Determiner la forme que doit avoir la fonftion <p, pour
qu'en fefant dans I'equation :[ = M-h N (pK y = ^ • x y
on ait { = -^ • X } les quantites M , N Sc ^etant donnees
d' une maniere quelconque en x 8c y.

Solution

Soient M' , N' & y les fonftions de x que Ton a en
fubftituant a la place de j fa valeur A • x dans les quan-
tites My N &c V; il eft evident que Von aura par la
condition -V • x =i M' ■+• N' (pV^. Soit fait a6l:uellement
y =zuy d' oil Ton tirera la valeur de x en u, & foit
X =fu cette valeur , qui raife a fa place dans I'equation
precedente donnera

•4^ ■ (/■ K ) = M" -4- iV'> w ,
les quantites M" & N" etant ce que deviennent M & N'
en y metiant /• « a la place de ;c on aura par confequent
•*• ■{f-u)-M"

<P" = -j^,

Or on connoit les formes des fonftions -^ Sc f, & la
maniere dont M" & N" font compofees de u , done on
connoitra la forme de la fonftion (p. C. Q. F. T.

Exemple

Soit propofe de determiner la nature de la fonftion <p ,
pour que I'equation j s=; _y" a;" «+■ x'' _y' <p {ax —y )

don

donne ^=sh x' en fe(arit y =:c x.

Soic mife a la place de y fa valeur ex, & I'equadon
deviendra b x' = c" x"^" -+- c' x'"^' (p ( a x - c x )

foil fait maintenant ax — c x = u , ce qui doniie x = ,

& foit fubftituee cette valeur de x , on aura

.- =€" { — ) -+- cM — )' <pu

(4-0* v-* (J y"-'/

d ou 1 on tirera (p i: = — ( — j — "^ V "T" )

done I'equation qui fatisfera a la queftion fera

En efFet , fi dans cette equation Ton fait y := c x , on
trouve ^ = b x''.

Ell fuppofant la perfection de I'analyfe , cette operation
fera toujours praticable , lorfque les fonctions A & •f' fe-
toiit analytiques , mais fiy = A ■ x ^ 1 = ^ x reprefentent
les equations des courbes difcontinues , la fonclion (p u'aura
pas de valeur analytique . 11 fera ueantmoins poflible de
conltruire la furface doiu I'equation eft { = M -+- A' tp F,
de telle maniere qu'elle palTe par la courbe difcontinue
dont les lymboles d'equations font y=/\-x3<^ = '^-x.

Conflruclion.

La queftion (e reduit atrouver I'ordonnea i qui re-Plandie
pond a un X & un y donnes a volonte. Pour cela foient pn; n
CA D ie plan horifontal des x &c y , BA C le plan des
X ik. I , s m S \di courbe difcontinue par laquelle doit paf-
fer la furface , & dont les projections r q R & s m S oni
pour fymboles d'equations, la premiere j= A • x & la
feconde {■ = \|/ • X enfin ibient A P S>i P Q_ Its coordon-
nees pour lefcjuelles il s'agic de conftruire la verticale
Mifc. Taur. Tom. K, d

i6

Q M= {. Cela pofe foit decrite fur le plan horifontal la
couibe TQq, dont I'equation eft V=hy la conftante b
devant etre telle que la courbe paflfe par le point Q , ou
qu'en fel'ant x = A P on ait y = P Q : cette courbe ren-
contrera r q R en un point ^ , par lequel on elevera la
verticale ^ m , qu'on prolongera jufqu' a la courbe smS;
on menera cj p parallele aux y , & on elevera la verti-
cale p m' , qu'on prolongera jufqu'a la courbe s m' S qu'elle
Tcncontrera en un point m , &c Ton aura qm=pm'.
On conrtruira fur le plan vertical 5 ^4 C la courbe K Mm
dont I'equation e(\. :( z=: M' -i^ N' d , M' &c N' etant les
fonftions de x que donne la fubftitution dans M & iV^de
la valeur de y prife dans I'equation V = b , & |8 etant
une conftante telle que la courbe pafle par le point m .
Enfin on elevera la verticale P M' , on fera QM' =P M\
& le point M fera dans la furface demandee.

Car fi dans I'equation :^ z= M -4- N (p K on met a la
place de y fa valeur prife dans V =. b , on aura i = M
H- iV' |3 , equation de la projeftion verticale K M m de
r interfeftion Mm de la furface demandee par une furface
cylindrique verticale qui auroit pour bafe la courbe 7" Q ^;
& dans laquelle la conftante /B doit etre telle que cette
projeftion pafte par le point m' a fin que pour le point p
i'on ait :^=apm' = qm, & que la furface demandee paffe
par confequent par le point m,

Dans certains cas particuliers cette conftruflion fe fim-

plifie beaucoupj par exemple, d la propofee eft ^=>: (p [ -j,

on engendrera la furface e» fefant glifler une droite fur
la courbe a double courbure donnee , & dont I'extremite
foit fixee a I'origine des coordonnees , car I'equation

- = /» eft celle d' une droite qui pafle par le point A^

quelque foit la conftante ^ , & en fubftituant la valeur

. '7
de y pnTe dans cette equation , on a {• = x (p ^ , qui elt

encore celle d'une droite qui paffe par le meme point
quelque foit <p • b. Ain(i I'^quatlon ^ = x <p f — left cel-
le d'une furface conique a bafe quelconque ; mais dont
le fommet eft determine a 1' origine.

AUTRE SOLUTION DU PROBLEME 11.

Tiree de la conjlruciion.

JUa queftion fera refolue , fi en fefant A P ■= x\ &
P Q^^=y' ^ on trouve une valeur de ^ enx' & y qui
fatisfaffe aux conditions. Pour cela foit fait V= b , & foit
determine b de telle maniere qu'en fefant x = x on ait
y =y. Soit tiree de cette equation la valeur dey en x, x'
& y , pour la mettre dans les quantites M &c ^N &c Co-
ient M' & N' ce qu'elles deviennent par cette fubltitution;
foit dliminee y de deux equations F'= b & j' = A • x ,
ce qui donnera une valeur de x Qn x Sl y, que Ton
mettra a fa place dans -vl/ • x , & foit K ce que devienc
cette fonction ; cela fait , fi dans I'equation M' -+• iV" i8 =: {
on determine (8 de telle maniere que pour cette meme
valeur de x on ait i" = ^ , & qu'enfuite oh mette par
tout x a la place de x , on aura I'equation demandee.

Je ne demontre pas ce procede , par ce qu'il n'eft que
I'application de I'analyfe a la conftruiilion precedente ,ou
je fuppofe alors que les fonftions A & 'i' foient analyti-
ques.

II pourroit arriver que la propofee fut de cette for-
me, F ■ 1 = M~^ N (j>V , F erant le caraftere d'une fon-
ftion conniie , mais cette equation ne feroit pas plus dif-
ficile a determiner que la precedente , car en meccant par
tout a la place de y fa valeur prife dans j' s= A x, on

d X

i8

aura F (^ ■ x) = M' -h N" <p V\ ow^' x — M -^ IST <p F",
d' oil Ton tirera la nature de la fonftion (p comme je i'ai
fait dans la premiere folution. Aiiifi par ce prob'.eme on
eft en etat de determiner toute equation qui ne contien-
dra qu'une fonftion arbitraire.

CONSTRUCTION DU MEME PROBLEME.

Dans le cas ou toutes Us quandtcs M , N & V
feroi-ent elles mimes difcontinues.

Xjes quantites M, N &c V etant fonftions des deux va-
riables AT & j^, ne peuvent etre reprefentees que par les
ordonnees verticales de trois furfaces courbes donnees ou
conftru6lib!es , & par ce qu'elies font fuppoiees difconti-
nues J Ton doit avoir , avant de conftruire la furface de-
Tnandee , trois autres furfaces difcontinues , foit donnees
au hazard , foit conltruites par quelques merhodes telles
que celles que j'ai d^ja donnees , & dont les fymboles
d'equations foient

^^=. M pour la premiere.

:^r=N pour la feconde.
^l=zV pour la troifieme.
On elevera par le point donne Q , pour lequel on cher-
1 che I'ordonnee de la furface a conftruire , une verticale
FIG. II que Ton prolongera jufqu'a ce qu'elle rencontre la furfa-
ce, dont le fymbole d'equation eit i=V ^ en un point
par lequel on menera un plan horizontal , qui coupera cet-
le furface en une courbe dont la projeftion horifontale
fera la courbe difcontin^ T Q^q ^ on aura pour Equation
V ■= b • cette courbe etant conltruite , on imaginera une
furface cylmdrique verticale , dont elle foit la bafe , & qui
coupera les deux autres furfaces donnees en deux courbes
dont les projeftions verticales feront les courbes difconti*

nues HNG Sc hng, & auront pour fymboles d'equa-
tions la premiere i = N' & la feconde { = M' ; les quan-
tites M' &c N' reprefentant ce que deviendroient M &
N a Ton pouvoit analytiquement y mettre pour y fa va-
leur prife dans I'equatiori difcontinue f^= b ■ or Tequation
de la courbe K M ni ert comme je I'ai dcja dit

^ = 7W' -+- #' /3
on aura done P iW' = /* /z -H P iVX |S • mais la conftanre
j8 doit etre telle que la courbe pafTe par le point rti , ou
que pour rabcille Af I'oh ait pm=pg~\-pG\(i., ce

qui donne jQ = j~^ , done fi Ton condruit rexpreffion

P n-h -;= '

pG

on aura Tordonnee P M' =z Q M . C Q. F. F.

PROBLEME III

Determiner les formes que doivent avoir les deux (on-
ttions <p & (p', pour que I'equation ^ = tp K -+■ x <f)' F fa-
lisfaffe aux deux conditions fuivanres, i° qu'en fefant j' = A • x
on ait^ 1 = -]^ ■ X , %" qu'en fefnnt j = ^' ■ x , on ait
J = ■^'' • X , la quantite t^ eiant une fonftion donnee en
X & J' , 8* les formes des fonttions A , A' , -i^ ,-^' etant
connues.

Solution,

Solent V la fon£tion de x que Ton obtient en met-
-tant a la place de y dans f^ fa premiere valeur = A ■ x,
& V" la fonftion de x que Ton obtient en y mettant fa
feconde valeur A' x , il ell clair que Von aura par les
conditions les deux equations fuivantes.

(A)

3^

(A) ^ ■x = pr''^x(p' F'

(B) ^■.x = (p V" -+- ;c (p' V".
Soit fait V z=u ^ & de cette equation foit tiree la va-
leur de x en w , que je fuppofe reprefentee par /• « , &
que Ton mettra a la place de x dans I'equation (A) 1' on
aura (C ) -^ • (/• u) = if u -+• fu • <p' u.

Soit fait de meme jT" = v , & foit /' . v la valeur de
X prife dans cette equation , en la mettant dans I'equa-
tion (B) r on aura

(D) •q-'(/'-v) = (pv-f-/r^- ^'v
on tirera de la premiere (pu='¥(f-u) — f u ■ <p' u ^
mettant a la place de cp cette forme dans 1' equation (D) ,
Ton aura

■^' (f .v)=z-^ (/• V ) — /. v.<p'v+-f'v'<p'v
& par confequent

J V f ■ V

or on connoit les formes des fonftions 'J' , -f-' , / & /' ,
done on connoitra i" celle de la fonSk'ion (p . Subllituant
aftuellement a la place de (p dans I'equation (C), la for-
me que Ton vienc de irouver , Ton aura

^u = ^if-u) fr-,-:ZfZ

•u bien reduifant

ft* —fu
done on connoitra i° la forme de la fonflion ,p , & par
confequent I'equation demandee fera

^— f'V — fV^ "

C. Q. F. T.

Exemple:

Solt propofe de determiner les fon61:Ions arbltraires (p
& (p' dans I'equation

l = <p{ax —^ ) -H x<p'{ax — y)
dp telle maniere i" qu'en fefant ^ = /» x on ait ^ =:^ x%
1° qu'en fefanc ^ = c x H- A , on ait ^ = « x* H- /2 .

On mettra a la place de y fes deux valeurs b x Sc
c X -h k , &c I'on aura les deux equations fuivantes
g x"- = q) { a X — bx')~hx<p'(ax — ^.v)
W2x*-+-/2 = (p (a X — ex — h) -i- x <p' (^a X — c x — h)

on fera ax — b x = u , ce qui donnera x i= — ; , & la

premiere equation deviendra

g u' u ,

-I = »p2^ -4- — 7 (p K,

(*-*)' — '^~ a-b

d ou 1 on iirera m us= 7— r « w.

On fera de mSme a ;e — ex — A = v , ce qui donne-
ra x = , & la feconde equation deviendra

m

( J -+- n s= (D V -♦- 9) V . bubltituant a la

place de la tbnftion (p fa forme que Ton vient de trouver,

a — ej (<* - ^ ) a-b ^ a-c

on aura
m

m
d'oii Ton tirera <P' v =

a — e a—b

mettant enfin cette forme dans la valeur de (p a , & re*
duifant on trouvera

3*

^ u =

M — c {_a-l>y a-b\a-c ) a-b

u

a — c a-b

I'equation qui fatisfaic a la queltion fera done

h-t-nx-y /nx-y'V' m(iix-y) /h-t-ax-y\^ n'ax-y) mx/'k-t-ax-y\' /nx-yS^

a-c "SVlTi/ a-b V a-c )~ a-b"*" \ a - c / '^ '*•* ^VITi/

t """" h-^ax"y ax"y

il eft en effet facile de voir que ceite equation remplit
les deux conditions.

On pourroit reduire confiderablement cette valeur de r,
mais elle ne paroitroit pas etre de la forme (p (ax — j).
•Ir X <p' (a X — y ).

Remarque.

L'equation {• = (p ( a x — j ) -+• x (p (a x — j) , integra-

le de \- 1 a — — ; 1- a^ - — = o elt celle de la

a x^ ax ay dy'^

furface engendree par le mouvement d'une droite qui gtif-
feroit fur les deux courbes a double cou:bure dont les
equations font j=A-x&{ = -^'-x pour 1' une
jy = A' • X, {■ = •4'' • ;c & pour I'autre, de maiiiere que cette
droite fut toujours dans des plans verticaux , paralleles , &
dont l'equation generale feroit a x — y = /3 , i3 etant une
conl^ante pour chaque plan , mais variable d'un plan a
I'autre. Car en fefant ax — j)/ = conftante dans l'equa-
tion , elle devient i = A -¥-B x ^ qui eft a une droite ,
& dans laquelle les conftantes A ik B doivent etre telles
que cette droite foit appuiee fur les deux courbes a double
courbure donnees a fin que la furface , en palfant par les
deux cQurbes , fatisfaiTe aux conditions.

35
U feroit facile de tirer dela la conftruftion. de 1' equa-
tion :j^ = (p(ax — y)-\-x<p'(ax — j), meme en llip-
pofant les fonftions A, A', i' , & 4"' difcontinues , mais
comme ce n'ell qu'un cas particiilier du probleme fuivant,
je ne m' y' arreterai pas d'avantage.

PROBLEME IV.

Determiner les formes des fonftions (p , & <p' , pour que
dans I'equation

^ = M<pV-i-N(p'F-+-K
Ton ait i ° ^ = 4^ • x en fefant y = A- x ^ i" ^ = ^'x
en fefant y = A' x. Les quantites M , N , K &i. ^ erant
donnees d'une maniere quelconque en x & _/ , & les fon-
ftions A , A' , "f" 6i ■ir' ecant aufli connues.

Solution.

Soient M' , N' , K' Sc V les fonftions de x que de-
viennent correfpondamment les quantites M , N ^ K Sc V
en y" mettant pour y fa premiere valeur A • x. Soient
de meme M" , N" , K" & V" ce qu'elles deviennent ea
y mettant la feconde valeur dsyA-x, il elt evident que
I'on aura les deux equations fuivantes.

{A) -^ ■ x = M' (p F' ^ N' <!)' F' ■+- K'
& (B) ■^'x = M" <p F" -+. N" (p F" -4- K"
Soit fait F' = u ^ &c Ibit x=fu la valeur de x que don-
ne cette equation , foit fait de meme F" = v & foit
x = j' V la valeur de x que Ton en tire ; on fubltituera
la premiere de ces valeurs dans {A) & la feconde dans
(5) , & I'on aura

■^ if ■ u) = M' <p u -^ N' <p' u -^. K
& -4"' (/' . v) = M" «) V -H iV" <p' V -+- A'"
les quantites M\ N' &: K" etant les fondtions de u , que
Mifc, Taur, Tom, F. e

34 . ,

donne la fubilitution de f- u a la place de x dans M' ,

N' 8c K', de meme M'\ N'' & K'' etant les fonaions
de V que Ton trouve en mettant f'v a la place de x
dans M", A''" & A^". Ces deux equations fe traiteront
comme les equations (C) & (Z?) du probleme precedent,
c'eft-a-dire qu'on en ^liminera une des fonftions arbitrai-
res , pour connoitre la forme de I'autre & reciproquement,
ce qui n'eft fujet a aucune difficulte.

Remarque.

On ne parvient par cette methode a trouver les for-
mes des deux fonflions independantes cp & <p' , que par ce
qu'elles font compofees de la meme quancite /^i autrement
elle leroit infufifante.

Cerollaire.

II fuit dela que de quelque nombre d'arbitraires que
foit compofee I'equation

il fera toujours poffible de determiner les fonftions cp , <p'
<p"' , pour qu'en fefant

1° y = A • X onait^ = -^-x

1° y = A' • X on ait ^ = -4^' - x

^° J = A" ■ X on ait ^ = 4^" • a:
&c. &c.

le nombre de ces conditions etant egal a celui des arbi-
traires , car en exprlmant les conditions on a
i" ^ ■ X = K' -i- r <pF' -t- M' qi F' -^ N' <p"r- ■ ■ &c.
x" ^^'■x= K" H- L" <p V" -H M" <p' F"-hN' <p" V" . . &c.
3 » •4"" . X = K" -hL"'<p V"' •+ M'" <p' V" -^ N'" (p' ' V" .-&€.

&c. &c.

fefant dans la premiere V =:u , dans la feconde V" zsv ^

, 35

dans la troifieme V" *=a... .&c. on aura autant d'equa-

tions

^ (f. u) t= K' -h V (p u -h AT <p' u -*- N' <i>" u ' ■ ■ &c.

^'(f • v) = A'''-+- r'q)v-i-Ar <p'v-h N"'<p" V ■ • &c.

<i'"(f" .c) = K'''^.r'(pu^JVrq)'co-+-N'"<p"co- ■ • &c.
&c. &c.

qu'il y a d'arbitraires dans !a propofee , par confequent il
lera facile de les eliminer routes , pour ies connoitre cha-
cime en particulier , cogime je Tai taic dans le probleme
precedent. «

Conjlruclion.

II s'agit de trouver pour un x & un jy donne a vo-
lonte I'ordonnee verticale { de la furface done Fequation
eft i = Mq)V-{-N<p'V^ les fonclions ip 8c <p' etant rel-
ies que cette furface palfe par deux courbes a doable cour-
bure donnees , continues ou difcontinues & qui aient pour
fymboles d'equations la premiere jy = A>x&{' = ''f'x, &
la feconde j = A' • a.- & {^ = •4^' • a;

Pour cela foient , comme dans les figures precedentes ,pianchc
C ^ Z> le plan horifontal des x & y , B A C celui des I
X & ^ , s m S une des courbes a double courbure par lef- ki'
quelles doir pafTer la furface , 8c dont les projetlions r <^ R
Sz s ni S' ont pour fymboles d'equations la premiere
jy = A • x & la feconde |- = •^^ • .v. Soit de meme u NU
la feconde courbe.a double courbure donnee , & done les
projeftions vTK Si. unU' ont des equations reprefentees
par jK = A' • X & i^=-V- X. Enfin foient A P Sc P Q
les X &c y donnees a volonte , pour lefquelles il s'agit de
conrtruire I'ordonnee verticale QAf=:^. Cela pofe , par
le point donne Q on conftruira la courbe T Q(j qui ait
pour equation V=b, I'indeterminee h devant etre telle
que cette courbe paffe par le point Q , elle rencontrera

e 1

les deux courbes r q R Si vTP^ en deux points q Sc T ,
par lelquels on abbaidera fur I'axe y4 C les perpendicu-
laires q i]' & Tt, ce qui donnera les points q' Si t par
lefqueis on elevera les verticales q' m' Sc t n , qu'on pro-
longera julqu' a ce qu'elles rencontrent , la premiere , ia
courbe s m S' en un point m , &c , la feconde, lacouibe
u n U' en un point n. Cela fait on conllruira fur le plan
vertical B AC \2^ courbe n M' m qui a pour equation
^ = iW' oc ^N' (i-hK\ les qu^ntites M\ N' & K'
etant ce que deviennent correfpondamment A/, N &l K ta
y" mettant pour j^ fa valeur prife dans I'equation /^= /> ,
de plus oc & j3 etant des conllantes qu'on determinera de
telle maniere que la courbe n M' m palle par les points
determines n & ?n' ; eniin on eievera la verticale P M' ,
on fera QM=P M' , & le point M fera dans la furfa-
ce demandee.

En efFet, foient elevees les verticales q m Sc T N , il
eft evident par conftruftjon , que Ton aura qm = q'm' ^
& TN=tn; foit imaginee par la courbe TQq une fur-
face cylindnque verticale, dont I'equation (eia neceffaire-
ment V =-b , elle coupera la furface k conftruire dans
une courbe NMm qui paflera par le point cherche M
& par les deux points iV" & ot. La projeftion verticale de
cette interfeftion paffera par conlequent par les points n &c
m' , &c on aura fon equation on fefant V=-b dans la pro-
pofee. Cette equation fera done |- = M' k. -h N' d -+- K'j
dans laquelle il eft evident que les conftantes k & /3 doi-
vent etre determirees de maniere que cette projection
pafte par les deux points n & m . Or. les deux courbes
NMm; & n M' m' pour la meme abfcifle AP oni les
ordonn^es P M&L P M egales , done en tefant QM = PM'f
le point M eft dans la furface demandee.

37

Corollaire.

On cnnftruira de la meme manlere I'equation ^ ■= K
•^-L (j; y -i- M (p' K ■+• N (p'y . . . &c. quelque nombre de
fon61:ions arbitraires qu'elle renferme , pourvu que Ton ait
uti pareil nombre de courbes donnees, continues ou difcon-
tinues, par lefquelles la furface foit obligee de paffer. II
arrivera feulement que I'equation

:^ = K'-i-L' « -i-M'UN'y &c.

qui appartient a la courbe n M' m' , contiendra un pareil
nombre de conftantes indeterminees , mais on aura un me-
me nombre de points tels que n , m . . . . Sec. par leCquels
devra paffer cette courbe , & qui ferviront a determiner
ces conllantes.

AUTRE SOLUTION DU PROBLEME IV

Tiree de la conjlruclion.

Solent y4 P = x' , & PQ=y', il eft evident que laPiandie
(juellion confifte a trouver la valeur de { en x' & y qui ^\q
iatistait aux conditions. Pour cela on feraF'=ii, & Ton HI
determinera b de telle maniere qu'en fefant x = x' on ait
y=yi on prendra dans cette equation la valeur de ^
en X , x' & ^' , on la mettra a fa place dans les quanti-
tes M, N &c K, &c foient M' , N' &z K' les tonftions
en X , jc' & ^' que donne cette fubltitution. On ehminera
y des deux equations ^=^&^ = A'jc, ce qui donnera
une premiere valeur de x en x' & y' que Ton mettra a
fa place dans ■^I' • x , & foit P ce que devient cette quan-
tite. On eliminera de meme y des deux equations V = b
&j' = A'-x, ce qui "donnera une feconde valeur de x
en x' en x &c y' , que Ton mettra a la place dans ^ x,
& foit P ce que devient cette quantite. Cela fait , fi

^8

dans requation

on deternnne les conftantes « & /S de telle maniere i"
que , pour la premiere valeur que Ton vient de trouver
pour X , on ait {• = /', i° que pour la feconde valeur ,
on ait i=zP' , & qu'enfuite on mette at' a la place de «■,
on aura Tequation demandee.

Cette Iblution n'etant implement que I'application de
I'analyfe a la conltruftion precedente , il eft inutile de la
demontrer. On remarquera feulement qu'elle ne peut avoir
lieu qu'en fuppofant les fonftions A , A' , -^ & 4^' anaiy-
tiques & continues.

L'application de ces deux folutions a un meme exem-
ple produiroit le meme refultat.

CoroUaire.

On determineroit facilement par cette methode , com-
me par la premiere les fonftions arbitraires dans 1' equa-
tion 1= K-hL<p F-+- M(f)'F-h N(p"F- ■ ■ &c. , il ar-
riveroit feulement que I'equation :[i= K' -h L k -h M' 0
~i- N' y • • • • &c. Contiendroit autant des conftantes inde-
terminees que la propofee renfermeroit de fon^Hons arbi-
traires , mais auffi Ton auroit un meme nombre de condi-
tions pour les determiner , par ce qu'on trouveroit autant
de valeurs particulieres de x qui mifes a fa place devroient
donner la premiere ^ = P , la feconde { = P' , la iroiiie-
me i = P" &c.

PROBLEME V

Determiner la forme que doit avoir chaeune des fon-
ftions <?&{.(()' dans Tequation j- = (p V -^ (p' IV , pour
^u'en fefant i" F = a, on ait ^ = p-x, 2" qu'en fefant

39

y = A • X on ait :^ = -^ • x. Les quantites VSiJV etaiu

donn^es d'une maniere quelconque en x & jx & les fon-
t^ions i^, A s5>: ■^ etant de formes connues,

11 faut remarquer que la premiere condition n'a pas
route la generaliie dont elle feroit fufceptible , par ce qu*
elle renferme la quantite determinee V.

»
Solution.

Soit W' la fonftion de x que I'on obtient en mettant
dans ff^ pour y fa valeur prife dans I'equation V = a ,
il eft clair que Ton aura par la premiere condition

F ■ X = (^ a-+- (p W
& par confequent ip' W = F • x — (pa.. Soit fait W'=2u.,
pour en tirer une valeur de x en z^ , que je reprefente
par f • u ^ on aura en fubftituant cette valeur

q) u = F { f ■ u) —^ (p a.
Mettant cette forme a fa place dans la propofee , elle de-
viendra ^ =:(pV -\r F {j . J-F) — <p a mais par ce que (pa
eft une conftante , la quantite <pV^ — (pa eft une certame
fonftion de V ditferente de (pV ., & que je deligne par
(p' K f on aura done

l = ,p'K^-F{fJF)
Equation dans laquelle il n'y a plus qu'une fon£lion arbi-
traire, puifque Ton connoit les formes des fonftions F Sc f.
Or il refte encore la feconde condition que Ton n'a pas
encore emploiee , done elle rentrera dans le cas du pro-
bleme II & fe traitera de la m^me maniere.

Remarque.

Quoique dans les conditions (qui font que I'on ait i*

I = F ■ X en fefant y = a , i." ^ = ^ . x en feiant

jrs=i^.x) les fonftions /", A & -f" puifTent ecre quel-

conques , 1! efl: neantmoins neceflaire , pour que la que-
ftioii ne renferme pas de coiitradiftion , qu'elles aient en-
tr'elles un certain rapport. En efFet les equations y = ^ • x
& ^ = 4^ . X appartiennent a une courbe a double cour-
bure determinee par laquelle doit paffer la furface courbe
qui a pour equation la propofee , de meme K = a Sc
l-=F.x font les equations d'une autre courbe a double
courbure par laquelle doit aufli paffer la meme furface.
Or , comme il fera facile de la reconnoitre dans la con-
ftruftion fuivante , ces deux courbes doivent fe couper fur
Ja furface , done leurs projeii^ions doivent audi fe couper,
done pour I'ordonnee x qui repond au point d'interfeftion
de leurs projections horifontales , ou doit avoir audi un
point d' interfeftion dans les projeftions verticales , ce qui
peut s'expliquer analytiquement de cette maniere les fon-
ftions jF, A & ■f' doivent etre telles qu'en eliminant y
des deux equations V ■=■ a ^ y •:=■ bi. . x ^ pour avoir une
valeur de x en con(tantes , & en fubltituant cette valeur
dans les fondtions F . x ^ -^ . x ^ on ait deux quantites
egales.

Exemple.

Soit propofe de determiner les formes des fonflions ar-
bitraires (p &l cp , pour que dans I'equation i=-<p {bx —y)
-t- (p' ( X H-j)^ ) on ait i° :^ = y/jix en fefant^A: — JK==^>
a° 1=^ K x en fefant y = n -{- q x.

( D'apres ia reraarque precedente les conftantes A, a^
K ^ n S>i. q^ qui entrent dans les exprellijns des conditions

a, remplir, doivent etre telles que Vomit Kz= Jr A ?'

car fi Ton egale les deux valeurs de y on aura b x — a,
= /2 -+- J a: , ce qui donne x = -r — & mettant cette va-
leur

41

leur dans les quantit^s >/ A « & iC x , qui doivent alors

6tre ^gales, on aura y A^i — - = K. ,__ » d'oii Ton

tirera

^=l^4H)

L'equation h x — y = a donne y = hx — <z , mettant
cette valeur a la place de y dans la propofee , on aura
VJTx = <p a-f-(p' (_x -i- b X — a). Oil (p' ( X -i- b X —• a)
= v'a X — <pci' Soit fait X -i- b X — a = u , ce qui don-
ne x = -7 , & foit mife cette valeur de x a fa pla-

^ ■+- I '

ce dans la valeur de la fon£lion (p' , & 1' on aura

9* u := ]/ -^ -7 — 'Pa, ce qui fera connoitre la

forme de la fonftion <P' , que Ton fubftituera dans la pro-
pofee , & Ton aura i = (p (b x — y ) -+• y A " ," — <p a
ou bien fefant (p{b x • — y ) — <pa = <p^ (b x -y) Ton aura

Equation dans laquelle il ne fe trouve plus que la fonftion
arbitraire <p > & que Ton traitera comme celle du pro-
biame II.

Pour cela , on fubftituera ky fa valeur prife dans l'equa-
tion y = n-\-qXy & Ton aura

K X ss: (p'' (b X -~ n — ^ *)-4-l/

A

b—x

que Ton transformera en fefant b x — n — dxs=v,
Mi[c. Taur. Tom. V. f

4»

o\i X =i -, & I on aura

l>-q

oil il fera facile de reconnoitre la forme de la fon£l!on
(p* , & d'ou Ton conclurra que requation demandee , eft

1 ^— (/ ' ^ yijrr K /j*i I

En effet fi Ton fait dans cette equation y = n -4^ ij x ,
on trouve ^ = K x , & fi I'on fait b x — y = a, on
trouve I = ^ A x , par ce que comme je 1' ai fait remar-

quer plus haut , Ton doit avoir K= y A -

I "^ a

Conflmcllon.

La queftion confifte , comme dans les conftruftions pre-
cedentes a trouver pour deux coordonnees x , & ^ don-
nees a volonte I'ordonnee verticale ^ de la furface courbe
qui xi pour equation :^ = <pV •+• ^ JV^ , quand meme les
deux courbes a double courbure par lefquelles doit pafler
cette furface , & dont les projeftions ont pour fymboles
d'equations , 1' une V = a&c i = F • x , I'autre ^ = A . x
& ^ = •>}/•, X , feroient difcontinues & tracees au hazard
dans I'efpace.
Pianche Pour cela , foient C A D \q plan horifbntal des x &^,
FIg'iV ^ -^^ ^^'"^ des X &c I , M m' &^ s m S les deux cour-
bes a double courbure par lefquelles doit pafler la furface,
foient r q R S)L s m" tri" les projeftions horifontale & ver-
ticale de la premiere , & dont les fymboles d'equations
font V=a pour I'une & :^ = F.x pour I'autre j foient
de meme Q^ q' & Y M" m" les projeftions horifontale &

43
verticale ae la feconde , & dont les equations font repre-

fent^es par j = A . x pour I'une , & par ^ = -^ . x pour
I'autre. II ell evident que li par le point ^' interfeftion
des deux courbes Q' q' Sc r R on 6\eve Ja verticale q m,
elle rencontrera dans le meme point m les deux courbes
s m' S & Mm, par ce qu'etant fur la meme furface , ces
deux courbes doivent avoir un point commun correfpon-
dant au point d'interfeftion de leurs projections ; d'oii il
fuit que li Ton mene ^' K' parallele aux y , & que Ton
eleve la verticale K' m , cette droite rencontrera les deux
courbes Sm"m"' & F M" m" dans le meme point m'\
& que Ton aura K' m" ■= q' m . Enfin foient A P = x,
P Q =^y , de maniere qu'il faille conftruire la verticale
Q Af qui paffe par le point Q , le point M etant dans la
furface.

Cela pofe , on conftruira fur le plan horifontal la cour-
be Q ^ dont I'equation eftF'= oe, oe etant une conftante
telle que la courbe paffe par le point Q , cette courbe
coupera r q R quelque part en un point q , par lequel on
menera q K perpendiculaire aux x , on elevera la vertica*
le K m'\ qu'on prolongera jufqu'a ce qu'elle coupe la
courbe S m" m"' en un point m", on prendra dans I'equa-
tion V = K la valeur de y que Ton fubltituera dans ^,
pour avoir une fontlion de x que je reprefente par JV ,
on fera la meme chofe pour I'equation F" = a , & foit
W la nouvelle fonftion de x trouvee ; on fera enfuite
W^ = « , ce qui donnera une valeur de x en k , que je
reprefente par f.u, la forme de la fontlion / etant con-
nue. On portera de A en X une droite egale a / ^' ,
AP etant =x, & on elevera la verticale X Y qu'on
lerminera a la courbe M" m" : on regardera pour un indant
A K comme =: x , & Ton fera dans cette hypotbefe
AG=f. W , on elevera la verticale GN , enfin on fe-
xa <2 -W= XY-^Km" ^GN ,^\t point M fera dans

44

la fuiface demandee. ( La quantity K m" — G N t'k tou-
jours la m^me pour routes les verdcales menees par les
points de la courbe Q^, c'eft a-dire qu'elle eft conftante
tant que «c ne varie point ) .

Demonjlration.

Soil fuppofee pour un inftant la furface conftruite , &
foit imaginee par la courbe Q q una furface cylindrique
verticale, qui coupe la furface fuivant une courbe Mm^
dont M"' rri" foit la projeftion verticale , il eft evident
1° que cette projection doit pafler par le point m" , puif-
que Tinterfeftion pafle elle nieme par le point m , & que
le point m"' eft la projeftion verticale du point ot ; I'que
I'on aura I'equation de la courbe M"' rri" en mettant dans
la propofee ^ = (p ^ -+- <p' /i^ a la place de y fa valeur
prife dans ^= « , Equation de la ("urface cylindrique ver-
ticale. Cette equation fera done j' = ^ -+- (p' W , la con-
ftante arbitraire A devani etre telle que la courbe M" m'"
pafle par le point determine m" . Mais ft Ton fait aufli
pafler par la courbe Q' q' une furface cylindrique vertica-
le , dont I'equation fera neceflfairement V'=a, elle cou-
pera la furface a conftruire fuivant la courbe M' m' , dont
la projeftion verticale eft Y M" rri' , & Ton aura I'equation
de cette projection , en mettant de mime dans la propofee
:^ = (pV -^ <p' W f a la place de y fa valeur prife dans
V = a. Cette equation fera par conlequent i = a ->t~<p' W^y
or la courbe Y M" m' eft donnee , & fon equation eft
aufli ^-^ F ' X ^ done on aura F x = a-h <p W^ , & par
confequent <p' IV^ =F x — a. Soit fait aftuellement W^-=u^
d'ou Ton lirera la valeur de j: en w qui fera xz=.f • u ,
& foit fubftituee cette valeur de x dans la derniere equa-
tion , elle deviendra <p' u r= F {f ■ u) — a , ce qui fera con-
noitre la forme de la fonftion <p' , & d'oii il fera facile

45

de conclure que I'dquation de la courbe M'" m" doit dtre
1 = /4 — a ■+■ F (f- W ). Mais puifque I'equation de la
courbe V M" m" eA ^ = F ■ x , il fuit que fi Ton porte
de ^ en X une quaniite egale a /. IV , ce qui n'eft fu-
jet k aucune difficulte , la verticale ^JT fera = /(/. ^').
Quant a la conftante j4 — a , que pour abbreger je re-
prefente par h , elle doit etre telle que pour le point K
on ait ^ = K ni" . Soit pour un inftant regarde ^4 K com-
me = X , foit fait dans cette hypothefe AG^=f.lf^\
& Toit elevee la verticale CrJV, il eft evident que Ton
aura ^ ou ^ m" = h -\- G N , done on aura k=: K m"
^GN, & par confequent P M" = Xr-^K m" — GN:
or QM = FM'% done... Sec. C Q. F. D.

Remarque I.

Pour fimplifier la conftruftion , j'ai fait quelques opera-
tions analytiques , mais elles ne s' executent pas fur les
fonftions /" A & 4^ , done les formes peuvent etre foumi-
k% ou non a la loi de eontinuite . Je n'ai opere que fur
les quantites V & W que j'ai fuppofees analytiques. II
pourroit neantmoins arriver que ces grandeurs fuflfent dif-
continues , &: ne puflent etre reprefentees chacune que par
I'ordonnee d'une I'urface courbe donnee au hazard dans
r efpaee , ou conllru6tible par une methode quelconque ,
alors la conitruftion precedente feroit imparfaite , puifque
les operations preferites nepourroient pas s'executer ana-
lytiquement , mais il feroit poffible de les conftruire elles
memes.

Tout etant dans la figure ? , comme dans la figure 4 ,
u s agit premierement de conltruire les courbes {^q oi. n
Q' / dont les equations difcontinues ont pour fymboles Fl»-'.V•
^ = oc & V ■=■ a. Pour cela , je fuppofe donnee dans
I'efpace la furface courbe dont I'equation eft reprefentee

-a6

par ^ = ?^, & on la coupera par deux plans horifontaux
dirtans du plan CAD, I'un de la quainite oe & i'autre
de a , les projeftions horifontales des feftions que forme-
ront ces deux plans feront les courbes demandees Q (^ &
Q' q , car ces deux courbes feront telles que Ton aura pour
Tune :^ oa K = K & pour I'aurre ^c=a. On conftruira
done ces deux projeftions. ( Cette operation n'eft fujette
a aucune difficulte , car fi la furface eft donnee quoiqu'au
hazard , pour un x , & un ^ quelconque , on doit etre
en etat de trouver la coordonnee y correfpondante , &
par confequent pour rabfcilTe A P & la verticale ^ = oc
ou ^ = a, de trouver I'ordonnee P Q on P Q^. Si cette
furface n'eft pas tout a fait donnee au hazard , mais qu'
elle foit conftruflible par una methode analogue a celles
que j'ai deja donnees , & obligee de paffer par quelques
courbes difcontinues , comme j'ai fait voir qu'on pourroit,
pour un X Sc un j donnes a volonte trouver la verticale
^ correfpondante , il fera poflible de meme de conftruire
I'ordonnee y , etant donnees a volonte les abfcilTes x & ^,
en renverfant la figure, & regardant le plan B A C com-
me horifontal. De plus la quantite a eft donnee , il n'y a
que r indeterminee oc que Ton doit faire telle que la cour-
hQ Q^q paffe par le point donne Q ; mais il eft facile de
reniplir cette condition , en elevant par le point donne Q
une verticale indefinie , qui rencontrera la furface difcon-
tinue en un point par lequel on fera pafler un plan hori-
fontal , done la feftion doit donner la courbe Q^q ■> car
ce plan etant horifontal, donne i° i ou V= conftante.
2° cette conftante eft telle que Q^q paffe par le point Q,
puifque le plan coupant , & par confequent fa feftion
paffe par le point oix la verticale indefinie Q M rencon-
tre la furface donnee . Que I'on fuppofe auffi donnee
au hazard , ou conftruite la furface difcontinue dont I'equa-
lion eft reprefentee par ^ = ^, & foit menee par la

47
courbe Q c} une furface cylindrique verticale , elle coupe-

ra la feconde furface dans une courbe done la projeftion
E HL fur le plan vertical aura une equation reprefentee
par ^=W^\ puifque Ton a fp^' en mettant dans ff^ a
la place de y fa valeur prife dans y = k , & que
y= oz eft Tequation de la furface cylindrique. Soit de
meme menee par la courbe Q' ^' une feconde furface cy-
lindrique verticale , elle coupera la feconde furface difcon-
tinue & doanee dans une courbe dont la projeftion ver-
ticale e h I aura pour fymbole dVquation ^ = fp^'' , puifque
I'equation de cette feconde furface cylindrique elt repre-
fentee par K= a j foient done conftruites les deux courbes
E H L & eA/, il eft evident i° que pour telx = ^jP
qu'on voudra, on zmx^ P H=W' & Ph = JV', la
courbe e k I ayant lieu pour toute I'etendue de la furface
a conftruire , & la couibe EHL ne pouvant etre em-
ployee que pour les points de la courbe q Q_\ "^^ q'JS fi
on prend une abfcifle quelcoiique j4 I , &c que Ton mene
I'ordonnee horifontale IT, Ion aura ITs=f.(Al)f
car on trouve la fonftion f en fefant ff^' = u , & en ti-
rant de cette equation la valeur de x =/. u , done fi
Ton a IT = X , & par confequent A I = 7^, on aura
AI = u & IT= f. u. Done ft par le point H on me-
ne r horifontale HO, & que par le point 0 on mene
la verticale XV, on aura A X=f {O X) =f{P H)
■s=:f.lV\ On trouvera de m^me A G en menant par le
point k I'horifontale kg, & en abaiffant la verticale o^ G,
les points X 8c G etant trouves , le refte s'achevera com-
ine dans la conllrudton piecedente.

4«

Remarque II

Planehe

II Si la courbe m" Af'* ^ difcontinue & tracee au hazard
g^V ^'O'^ fubitement interrompue en G , la verticale XV fe-
roit ( je n'ofe pas dire iraaginaire , par ce que cela fup-
poferoit peut-etre une expreffion analytique ) mais impof'
fible , & par confequent la furface a conllruire n'auroit
aucun point qui repondit au point Q. Si la m^me cour-
be T Y M" etoit fubitement interrompue en G' , la verti-
cale G N feroit de meme impoliible , & par confequent
toutes les ordonnees { menees par les points de la courbe
Q q feroient aufli impoffibles , parceque , comme je I'ai
deja dii la verticale XY n'appartient qu'au point Q &
que K m" — GN appartient a toute I'etendue de la cour-
be ^ ^.

D'apres tout ce qui a ete dit precedemment , il ne fe-
roit pas difficile de conftruire fur le plan horifontal le
contour de la projeftion de tout ce que la furface a con-
ftruire a de reel ou de poffible , on eviteroit par-la un
grand nombre d'operations inutiles , mais tant de quanti-
tes peuvent devenir imaginaires ou impoffibles , que leur
enumeration nous meneroit ici irop loin.

AUTRE SOLUTION DU PROBLEME V

Tirie dt la conjlruilion.

^oient x' & y les coordonnees pour lefquelles il s'agit
de trouver 1' expreffion de la verticale ^, onfera^=oc ,
oc etant une conllante qu'on determinera de telle maniere
qu'en fefant x =■ x' , on ait j=y. On eliminera j des
deux equations V z= <k 6c y = ^ . x ce qui donnera
une valeur de x en x ^ y' & conftante que je reprefen-
le par X. On prendra la valeur de y dans ^ = « ,

qu'on

49
qu'on fubftituera dans W ^ pour avoir une fonflion de

jc , x Sc y que je reprdfente par fF"'. On fera la meme
chofe pour y=a, & Ton aura une fonftion de x, fans
x' ni y, que j'exprime par ff^ . On fera W^ = u ^ ce
qui donnera une valour de x en k que je defigne par
fu , & la forme de la fonftion f fera connue. On com-
^oiersi f . IV' , & enfuite F (/^'), ce qui eft facile,
puifque la fonftion F eft donnee dans les conditions ; en-
fin on compo(era F (f.X) en mettant dans F (f. l^')
X a la. place de x , & I'equation de la furface deman-
dee fera

, ^ = F(ffr')-h<i'.X—F(fX')
apres avoir mis partout x' a la place de x.

Cette operation etant demontree par la conftruftion pre-
cedence , je ne m'y arreterai pas d'avantage , mais pour
faire voir I'accord des deux folutions, je vais appliquer cel-
le-ci au meme exemple que la precedente.

Exemple.

Solt propofe de trouver les formes des fonftions p &c <p ^
pour que dans I'equation ^ = (p (/> x — y) -t- <P (.x -^ y)
on ait 1 ° ^ = V Ax en fefant b x — y=.a^ i" i = K x
en fefant y = n -^ q x.

II eft evident qu'afin que dans I'equation b x — y = cc
i'on ait J = y en fefant x z= x' , Ton doit avoir
K = b x' — y' . Soit done ^limine y des deux equations
y = n -h q X & b X — y = b x' — y' , ce qui donnera

■ = X. Soit enfuite prife la valeur de y

n — y

dans bx — y = b x' — y' , pour la mettre a {a place
dans x -+-j , & Ton aura fF' = x -+■ b x — b x' — y'. On
prendra de meme la valeur de y dans b x — y = u , qu*
Mifc. Taur. Torn, V. g

'5°

on mettra dansx-4-y , & I'on aura IV^'^^x-^hX'-'asriu,

ce qui donnera

on aura par confequent
flV = —

^ -+- 1

& F(^fJV')—\/ .^JUVl^mlj^-L par ce que
F .xr=.^ A.x raettant X a la place de x , on trouvera

ou bien en reduifant

done raettant x' a la place de x , requation demandee fera

qui eft la meme que celle que Ton a deja trouvee en
appliquant la premiere fblution au meme exemple

La premiere iblution peut paroitre plus fimple , mais
elle n'.i pas comme celle-ci I'avantage de doiiner direde-
ment la valeur de ^ en ;c & j , fans avoir recours aux
folutions des problemes pr^cedens.

; 5»

PROBLEME VI

Determiner les fonftions arbitraires dans 1' equation
^:=K-hL<fF-t-Mq)'ff, oil les quantites K, L, M,
V S>c W Ibnt donnees en x &c y , de telle maniere i"
qu'en fcfant V=a, Ton ait ^ = i^-x, z° qu'en fefant
y ■= C^ • X on ait ^ = \l/ • x.

Solution.

Soit prife dans Tequation ^=iz la valeur de y que
Ton mettra a fa place dans les quantites K , L , M, V
& If^, & foient K' y L\ M' , V & JV les fonaions •
de X que donne cette fubltitution , on aura par la premiere
condition F-x=^K'-^L'<pci-+- M cp' l^' ,
equation dans laquelle la quantite (pan' etant plus qu'une
conrtante indeterminee il fera facile de reconnoitre la for-
me de la fonftion <p' , qui fera

^ M'

Soit fait aftuellement I-f^' = u , d'oii Ton tirera la valeur
de X en u , que je reprefente par f-u^dc I'equation pre-
cedente fe cransformera en celle-ci

Fi fu)— k— i(pa

tn
Les quantites k , I , m etant les fonftions connues de u
que donne la fubftitution de cette valeur de x dans K' , II
& M'. Soit mis W k la place de u dans les quantites
k , I &c m , &c foient k' , /' & m' les fonftions de If que
Ton obtiendra , il eft evident qu'en fubftituant a la fon-
ftion <p' fa forme que Ton vient de trouver , la propofde
fe traniformera en celle-ci

1 = K -^-LcpV-^M {—-^ — - — ; ■^—)

qui ne contient plus qu'une fonftion arbitraire <p , 8c qui
rentre par confcquent dans le cas du probl^me II.

5* . . . , .

II eft vrai qu'il reftera encore la conftatite inci^terminee

(p a , mais lorfque Ton aura la valeur de ^ fans fonftions
arbitraires , il fera facile de la determiner. II faut fimple-
ment remarquer que les conditions de la quelHon ne fuf-
fifent pas pour cela , car en fefant 1' operation , on s'ap-
per9oit aiftment que quelque foit la quantite (p a, la. va-
leur de {■ fatisfait egalement aux deux conditions , & par
confequent , que I'equation finale appartient egalement a
une infinite de furfaces courbes diftinftes , dont les equa-
tions font de la forme de la propofee , & qui paflent rou-
tes par les courbes a double courbure donnees. Ainfi pour
determiner celle de ces furfaces dont on cherche I'equa-
tion , comme il ne reile plus d'indeterminee que la quan-
tite (p a , il faut affigner de plus dans l' efpace un point
par lequel elle doive palTer , & determiner <p a de telle
maniere que cette condition foit remplie. C'eft-a dire que
la conftante (p a doit etre telle qu'en mettant dans I'equa-
tion trouvee de la furface , a la place de x & dejy,deux
conftantes donnees, la valeur de ^ devienne egale a une
autre conftante aufti donnee. Tout cela deviendra plus-
fenfible par un exempie.

Exemple.

Soit propofe de determiner les fonftions arbitraires (p &
f ' dans r equation

de fagon i" qu'en fefant b x — j = a , I'on ait ^ = V'b x ,
2* qu'en fefant y=scx on ait i = p ~^- <j x ; ou Ton ob-

fervera que Ton doit avoir » = \f jB ~ — ,— , afin

qu'en egalant les deux valeurs donnees de j' , ce qui don-
ne b X — a-=c X ^ on ait y/'B~x = p -^ ^ x fuivant la re-
marque qui fuit le probleme precedent.

En mettant dans la propofee a la place de y fa valeur
prife dans hx — y ■=■ a ^ elle deviendra
v/^~= (^x — a) (pa -J- ( ^ X — a )* (p' ( x-t-^x — a)
d'oii , tefant x-t-^x — a = u ^ & reduifant Ton tirera

1/ » C'^'-^-i)' C^-t-") ^ -+- I

(/>i/ — a)* bu~a

fubftituant cette forme a la place de la fonftion <p' dans la
propofee , Ton aura

Equation qui ne contient plus que la fonftion arbitraire (p.
Soit atl:uellemeut mife a la place de y fa valeur prife
dans y =zc X I'on aura par la feconde condition

p+.x=cx,p(i>x-cx)-Hc'xVB(itO:(f^fil^O)//(t::l?

^ ^ ^"^ ' M {bx{l-^c)-ay hx^i+cya^

d'oii fefant b x — c x = v , Ton nrera , redu6tion faue

fubftiruant enfin cette forme dans la derniere valeur de ^,
on irouvera pour equation demandee

\<^^--^) ' y {_Khx-y)[^l^cya[_b-c)y

l'^:^ cy{b-^i){bx-y)<fa \ /'j<[EIlIJ—~'llJ.

I b{bx-y\i^c)-a{b-c) ^ y ^ ^/,l^^y)^ay

{—. .y' ( ^ t O 'P ^

blx+-y)-a
qui fatisfait aux conditions quelque valeur que Ton donne
a la contlanie indeterminee (p a , puifque fon facteur

54

,1 ^ / '( ^ ^ — j") y \ J •

y (i -+- I ) ( 777 r ,, . - y—^ — ^^ — ) aevient = o,

foit qu'on fade h x — y = a , (on qu'on fafle y = c x ;
done cette conllante ne depend pas des conditions j done
la queftion eft indeterminee , dc ne peut fe particulariier
qu'en donnant une valeur de ^ qui reponde a des valeurs
donnees pour x & pour y , c'elt-a-dire, qu'en affignant dans
I'efpace un point pour lequel doive pafler la furface. Soient
done n , T & w les trois coordonnees de ce point , il
faudra donner a <p a une valeur telle qu'en fefant x = 11
8^ y z= TT , Ton ait ^ = a . Ce qui n'ell plus fujet a aucu*
ne difficulte , & ce que je ne fairois pas ici parceque
les expreffions font trop diffufes.

Conjlruclion.

Conftruire I'equation i = K-^L<pV-^M(p'W, de
telle maniere que la furface courbe , a laquelle elle appar-
tient , pafle par deux courbes donnees , continues ou difcon-
tinues , qui aient pour fymboles d'equations , la premiere
K= a , {■ = Z' • X , la itconAey = A -'x ^ i'='¥ • x ^ Sc
que cette furface pafle encore par un point donne dans
I'efpace , & au quel repondent les coordonnees fl , t
Si. u.
Pianche Soient , de meme que dans la fig. 4 , C A D \q plan
FIG. horifontal des jc 5c y , C u4 B ceiui des x & {■ , M' /«'
^^ &c s m S les courbes a double courbure donnees par lef.
quelles doit paffer la furface , & dont les projeftions
Q' y' , M'm' , r q R S>c s m" m!" ont correfpondamment pour
lymboles d'equ.itions V = a , i ■= F ■ x ^ y = A- a:
& ^ = S' . X. Soit fjL le point par lequel doit de plus pafler
la luiface , & dont les projeftions t & (/!" font donnees,
ou , ce qui revient au meme , pour le quel on connoit
les coordonnes A 11= U, U. ti = tt & irjw=«. Soit

55
enfin Q le point pris a volonte fur le plan des x & jy ,

pour le quel il s' agit de conftruire 1' ordonnee Q M de la

furface. Cela pofe , on conltruira la courbe tttt dont I'equa-

tioneft/^= «, la conilante k etant telle que cette courbe

paflTe par le point n , & on la prolongera jufqu' a ce qu'elle

coupe quelque part la courbe r q R en un point t' , par

le quel on menera ir' k perpendiculaire a 1' axe AC, &

on elevera la verticale fc y.", qu' on prolongera jufqu' a la

rencontre de la courbe s m m" , On prendra dans ^= «

la valeur de j' qu' on fubftituera dans les quantiies iC , Z, M

& IV , qui par-la deviendront des fonftions de x, que

je fuppofe reprefentees par K, II, M' & JV ; on prendra

de meme dans K = a la valeur de y que 1' on mettra a

fa place dans les memes quantites , & foient K\ L\ AP & Jf

les nouvelles fonilions de x que donne cette fubftitution.

On tera IF"' == u ,&cV on en tirera une valeur de x en u

que j' exprime par f-u, & que 1' on mettra a la place de

X dans K\ V Sc M' qui par la deviendront des fonftions

de u , que je deiigne ,refpe6livement par h ,1 Sc m . Cela

fait , les fonftions k , I 6c m etant connues , on les com-

pofera en fV , c'ell-a-dire , que 1' on y metira par tout

JV a la place de ;^ , & elles deviendront de nouvelles

fondions de x que j' indique par k\ I' & rn. On coullruira

M'
la quantite K' -h —7 (F ■ {flV' ) — k!) par la valeur

de x = ^/t ( fig. 6 ) , & on la rctranchera de la droite

k yil' pour avoir une difference que je reprefente par R.

On conlhuira la meme quantite pour la valeur de * = ^^ fl

& on la retranchera de la droite H (ji!" = n fjt. , pour avoir

une feconde dilFerence r . Soit A ce que devient L lorf-

que X e[\=i A k , & A. lorlque Ton a x =^ fl, foit auffi Q.

M I'
ce que devient — ;- lorfque xs^-=i A k, 8c a lo.fque

X ell= A n , ii foit defigne par a le raport lAlir _ dar-s

X n A «

lequel toutes les quantites font conpues & conftruftlbles.
On conftruira la couibe ^ ^ dont I'^quatioii ell F'=oc ',
•c ' etant tel que cette courbe palTe par le point ^, &
on la piolongera jufqu'a ce quelle rencontre rqR en un
point q, par lequel on abbaiffera qK perpendiculaire k
i'axe J4 C , & on elevera la verticale K m" • On prendra
dans V-= oc ' la valeur de y qu'on mettra dans K, Z,
M Scff^ , ce qui donnera des fonftions de x que je indi-
que par K" , Z" , M" & fp^'\ on compofera enW" les
fonftions /t , / &: /w , en y mettant W' a la place de u^
& elles deviendront de nouvelles fonftions de x que je
defigne par F, /' & m". On conftruira la quantite

K" -+- ^' {F{fJV")—h" — al") pour une valeur de

X = A K (^^g. 6) on la retranchera de la droite K ni"
& foit R la difference ; enfin on conftruira

K"-^ ~L" -^~ {F{fW') —k' — a I")

pour la valeur de x == A P , A' e^ant ce que devient Z"
en fefant x^=- A K , & Ton aura la verticale Q_ M de-
mandee.

Demonjlration.

Soit imaginee par la courbe Q q une furface cylindrl-
que verticale , qui coupera la furface a conftruire ( pour
un inftant fuppofee conftruite ) en une courbe Mm, qui
paffera neceffairement par le point demande M; foit ele-
vee par le point q la verticale q m qui rencontrera la
courbe smS quelque part en un points, par lequel doit
aulli paffer I'inrerfeftion Mm; cela fait il eft evident que
la courbe M" m" projeftion verticale de Mm doit palfer
par le point ///" , & que Ton aura fon equation en x & f ,
en mettant dans celle de la furface , la valeur de j prife

dans

57

dans I'equation de la furface cylindnquei or I'equation de

cetre derniere furface eft y=oz', done celle de la pro-
jeilion verticale de I'interfeftion fera

^ = K' -^L' A-^ M" (p' IV"
la conftaiue A n'etant pas abfolue , mais une certaine fon-
ftion de A P & de /* Q , conftante pour tous les points
de la courbe Q 17 , mais variable dependamment de oc ' , &
devant etre telle que la courbe M'" rd" pafle par le point
determine /tz"'. Soit de meme coupee la furface a conftruire
par une furface cylindrique verticale qui auroit Q' q pour
bafe, il eft clair que I'interfeftion fera la courbe donnee
M' m ^ projetee verticalement en M" ni' ; & I'on aura de
mime I'equation de cette projetlion en mettant dans la
propolee a la place de jy fa valeur prife dans ^= a, qui
appartient k la furface cylindrique, on aura done pour la
courbe M'' rn'

Mais par les conditions , on a auffi pour la meme courbe
^=: F ■ X , done on aura

& en fefant W^ ■= u ^ d'ou Ton tire x=fu, on aura

f- {fu) — k — la . ^ . . . r

<p u = , ee qui rait eonnoitre la ror-

m '

me de la fonftion (p' , qui mife a fd place dans I'equa-
tion de la courbe M"' m" la transforme en celle-ci

M''

l = K"^L" A-^ -^ iF.if-JV")-k:'-l'a-) qui ne

contient plus de fonftions arbitraires , mais (implement les
deux conllantes indeterminees A Sc a, dont la premiere
eft une conftante relative , fonftion de « ' , comme je I'ai
deja dit , & don: I'autre eft une conftante abfolue , fon-
ftion de a , & qui doit etre determinee de telle maniere
que la furface pafTe par le point donne fi. Sou enhn
imaginee une troifieme furface cylindrique verticale , & qui
Mifc. Taur. Tom. V, h

5^

ait 11 It' pour bafe , elle coupera la furface a conftrulre

dans une courbe /w fx , qui paflera evidemment par le point
donne ja , & dont la projeftion verticale paffera par les
deux points determines ^"' & fx". En fefant le meme
raifonnement que pour la courbe M'" m" , on trouvera
que I'equation de celle-ci doit etre

M'

1^= K' -^ L A -^ ~ (FiffF') — h' — an

ou la quantity a eft la meme que precedemment , mais

oil A' eft une conftante indeterminee , fon6tion de oc ;

ces deux conftantes devant etre teiles que la courbe paffe

par les deux points determines jj."' & ix". 11 faut done

qu'en conftruifant d'abord pour une valeur de x = A k

cette valeur de f , on trouve :^=z k fji." , & enfuite pour

une valeur de ;t: = ^ O ou trouve ^ = 11 fi"\ Done ft

M'
Von conftruit K' -i (i^(//F') — /t') pour le point FI,

on aura r = \A' — aa^ de meme fi Ton conftruit la
meme quantite pour le point X: , on aura i? = A y^' — a f2,
d'oii Ton tirera les valeurs Aq A' & de a , on aura done
r h~ R \

* — Ka — hv '

Ainfi dans I'equation de la courbe M" m" , il ne refte
plus d'indeterminee que A , or elle doit etre telle que pour
le point K on ait { = iC m" , done ft i'on conftruit pour
ce point la quantite

K" -^ ^{F{f1V'') — U' — al")

R'
'oti aura-iJ' = ^ A' & par confequent A=-^, d'oii il

ftiit que I'equation determinee de la courbe M"' m" eft

Done en conftrulfant cette valeur de { pour le point P,
on doit avoir la verticale P M"' = (^M. C. Q. F. D.

Remarque.

1° Je n'ai pas donn^ les conftruflions particalieres des
differeates fonftions de x que j'employe , parcequ'elles
m'auroient rendu trop diffus , & qu'il n' y a aucun geo-
metre qui ne fbit en etat de les trouver.

2° J'ai fuppofe les differences quantites K , Z, M, V $cW
analytiques, mais c'etoit pour fimplifier la defcription des
operations , car il feroit polfible de conltruire la propo-
fee , quand m^me aucune de ces quantites ne feroit ana-
lytique , & qu'elles ne pourroient etre reprefentees que
par les ordonnees de furfaces courbes difcontinues &: don-
ndes , foit executees au hazard , fbit conftruclibles par
quelque meihode analogue aux precedentes. Si je n'entre
pas-ici dans ce detail , c'efl: que la figure devient trop
compliquee , & que d'ailleurs j'ai donne dans le probleme
precedent un exemple de la maniere dont il faudroit s' y
prendre.

AUTRE SOLUTION DU MEME PROBLEME

Tiree de fa conflruclion,

^oient x' & y les coordonnees pour lefquelles il s'agit
de trouver rexpreffioa de la verticale ^ ; on fera K = k ,
«e ^tant lel qu'en fefant x = l\ on ait jy = a- ^ on eli-
minera y des deux equations ^=« &c y ■=^ x , ce
qui donnera une valeur de x en conftantes que je repre-
fente par ^ . On mettra dans les quantites K , Z , M
S)i IV \di valeur de y prife dans V= k ^ & elles devien-
dront K', Z' , M' & PF". On y mettra de nieme la va-

h a

6e

leur de y prlfe dans y=:a:, & I'on aura des nouvelles
fonftions de x que j'exprime par K^ , L\ M\ &i W\
on fera ff^^=u , & Ton en tirera une valeur de x en z/,
defignee par /k, & que Ton naettra a fa place dans les
quantites K\ V , & TW" , qui par la deviendront des fon-
ftions connues de u que je reprefente correfpondamment
par k , I , & m. On mettra dans ces dernieres quanti-
tes TV a la place de ?/ , & Ton aura des nouvelles fon-
ftions de x que j'indique par /:',/' & m , & dans I'equatiora

M'
^ = K'-hAL'-^-^ {F{fJV' ) — k'^al')

Ton determinera les deux conftantes A &i a Aq telle ma-
niere i° qu'en fefant x=^Y\ on ait ^ = « , 2° qu'en fe-
fant a: = ^ , on ait ^ = -4^ • ^ .

On mettra partout dans les quantites K' ^ Z' , M',W\
k\ ! , m &c ^, x k la place de FI , & y a la place
de T , & foient K' , Z", M" , ^T" , k" , r , /tz" & ^' ce
que deviendront refpeftivement ces quantites. On mettra
?' a la place de x dans la quantite

K" ^ ~{F( (TV' )—k" — a I" )

on la retranchera de -4^ ^' , & foit R la difference , foit

aulfi A ce que devient L" en tefant x = ^', & I'equaiion de-

mandee fera

7? M '

l=K"+^ L' -4- 9; iF^fW" )-k"-a r )
apres avoir mis partout x' a la place de x.

APPHpATION DE CETTE SECONDE SOLUTION

All mane excmple que la premiers.

JL/ans cet example ona^ = o, L=yiM = y'-^
y =.b X — y, JV=zx-¥-y, & par confequent oc = /> n — t,

d'oii Ton tire ^ = • . prenant la valeur de y dans

6t

I X — y = bn — w, & la fubftituant on aura

L'=b{x-n)-<-'^ I-'s=l>x-a fuz=

on rrou- , ,, ^ , , & pat b u — a

iW'=(^(Ar-nh'^)' veradc M = (^v-^)* ccnft- /^^if—l
inctnc quent b -^ \

r'=,v(^-+-iWn+T /F'-=s^(^-Hi)-<« , C"* *\

, bxib-^-i^ — b'n-^b.r — a

b -*• I

, fbx{b-*-i ) — b^-n-*-b T — aY

M'
ainfi I'equation i=K'-hJL'-^ (F(fPr') — k — at)

deviendra

z^A{bx-a)'^{bx-ay — /^;.(^^i)Zr^n^^^_^y

oil les conftantes A Sc a doivent etre telles que Ton ait
en meme terns les deux equations fuivances

^/b-n-b. sV^^^b^T^ry ^r=:)—b^i~)

ce qui donnera par confoquent la valeur de a.

6i

On trouvera aufifi

L"=b(x -x' ) -^y I" = ^^(^-^o-^'^'-^v-^

^^ I

reduftion faite

jF'=xib-^i)-bx'-*-y ^'= i^

^_ .^^y^)_

"*" p [^b x-y) C I -^ c)-a{b-c) X {b-c)
Par confequent I'equation

,^ ^K" -+- f £"-4- ^ ( F (ffrn -k"-a I" ) , oil I'

a K" =o & k" = o deviendra en fefant x = x'

j{b-c-)y' qy cy'ibx'-y')(b-c) ]/ BC^-^O (^ -^ZTc )

c{bx--y') c (T(^y-/ )(!-+- c)-a(^b-c)y

on

1 — < ac)!'{bx'-y'){b+-i) f \^B{b -^ i )' {a-^x' -^-f )

-t-

b {bx'-y' ){i'i-c)-a{b-() {b {x' -^ y' ) — a^

ay'^ ( ^ -+- I )
b {x'-*-y')-a

Equation qui eft la meme que Ton de'jk trouvee dans I'ap-
plication que Ton a faite de la premiere folution au mS-
me exemple , & qui en metiant pour a fa valeur tirde
des deux equations (C) & ( /? ) , fera celle de la furfa-
ee deniandee.

J'ai deja remarque que ce qui facilite la folurion de ce
probleme , c'elt cette particularite qui entre dans les con-
ditions, qu'en fefanr V=a, on ait :i^ =: F ■ x , la quan-
tite P^ n'etant pas quelconque , mais etant prile dans la
propofee ; or les deux fontlions arbitraires (pV^ $c <p' IV
n'ont rien a cet egard qui les carafterife j done on refol-
veroit de la meme maniere la propofee , fi une des con-
ditions eroit qu'en fefant TV z= a on due avoir ^ = i^-x,
I'autre condition etant d'ailleurs generale.

II y a encore d'autres conditions particulieres pour Icf-
quelles ce prob'eme fe refout facilement j le problems
fiiivant en ell un exemple.

PROBLEME VII

Determiner les fonclibns arbitraires dans T equation
7=K-i-L(pV-f-M<p'fV, de telle maniere i" qu'en
tefant Z = o I'on ait i = F . x , i° qu'en fefant j = A • x,
on ait ^ = -^ . X ; les quantites X , Z , M , K Si. ^ erant
donnees en x & ^ , & les quantites F x , A-x & 4^ x
etant des fonftions quelconques & donndes de x .

Solution.

Son prife la valeur de y dans I'equation Z = o , pour

la roettre a fa place dans les quantites^, M, V & /F,

& foient K\ M' , V & W ce qu'elles deviennent par

cette fubrtitution , il eft clair que par la premiere condi-

Fx -K'

tion Ton aura F ■ x = K' -h M' m }F' . ou m'W'=

M'

Soit fait J'P''' = u , ce qui donne une valeur de x en a

' que je reprefente par fu , & foit fub;lituee cette valeur

dans la derniere equation , on la transformera en celle-ci

F(f- a)~k , g , , r n- J

<p u^=:. f k oc m etant les fonctions de u que

64

Ton obtient en mettant dans K' & M a la place de x

(a valeur /• u. Soient k & m les fonftions en a: & _y

que i'on a en mettant TV a la place de u dans ^ &;7z,

F ( f- W^) — k'
& Ton aura (p' ^= -; j done la propofee fe

transformera en

^- = is: 4- z <p r-4- ^ ( i^ (//T) — yt' )

dans laquelle il n' y a plus qu'une fonftion arbitraire , que
Ton determinera comme dans les problemes precedens.
Pour cela, foient K\ L\ M\ V\ JV\ 'k & W ce
que deviennent les quantites A" , Z, iW, V, W^k' &[.ni
en mettant pour y fa valeur A • x j par la feconde con-
dition , la derniere equation deviendra

■^ . X- K' - ^ {F {fW^)-'k )
d'oix Ton tirera <p F'^:= .

Soit fait K' = V , foit x=f'v la valeur de x que don-
ne cette equation , & foient K , V , M'\ W^^ , k & 'V
ce que deviennent les quantires K\ L\ M\ fF'\ ^k & W ,
en mettant /' v a la place de x , & la derniere equation
(e transformera en celle-ci

■q^(f'v) — K''^^ iFCffT' ) — ''k )

qui fera connoitre la forme de la fonftion <p ■ v . Soit
done mis V k h place de v dans le fecond membre de
cette equation , & foient K"' , Z" , M''' , fV\ "' /t' & ''W ce
qu'en deviennent tous les termes par cette fubiUtution , ■
ii eft evident que I'equation demandee fera

D'apres

65

L. in m

C. Q. F. T.

D'apres tout ce qu'on a vu jufqu'ici , la conllruttion de
ce probleine n'a rien qui doive arreter. De plus , il eft
facile d'appercevoir que ce probleme fe refolveroit de la
meme maniere , li la premiere condition etoit , qu'en fe-
fant M= o on due avoir :j^= F x.

PROBLEME VIII.

Determiner quelles doivent etre les formes des fonftions
arbitraires (p , ip' , (p" • • • &c. dans I'equation
l = H-*'K<pr-^L(p' JF-^ M<f>" fr-+- N<p'" JV--- &c.

pour qu'en fefant i°W=za, Ton ait ^:=F-x,
2<» y = A • X, . . . . ^^=^ • X
3° ^ = A' • X . . . . :[= y • X
4? ^ = A" X . . . . ^ = •>^" X
&c. &c.

le nombre des conditions erant egal a celui des fonftions
arbitraires, les quantites H, K , L , M , N,F tk JF etant
donnees en x & j , & les fondions i^, A , A', A" • • • &c. ,
•4'" , •4'' , V' . . . &c. etant de formes connues.

Solution.

Soit prife dans W= a la valeur de y que Ton raettra
h fa place dans les quantites H^ K , L,M, N...ScF,
& foient H\K' ,L' ,M' ,N ... & F' les fonftions de x
que donne cette fubltitution , on aura par la premiere con-
dition

F . X = H' -^ K' cF' -^ L y4 -h M' B -h N' C . . . &c.
Equation dans laquelle les conllantes ^ , -5 , C . . . &c.
Mifc. Taur. Tom, V, i

66

font des conftantes indeterminees & qui donne

F « — H'—U ^ — M'B — -N'C...&c.

<pV' — Y' '

Soit fait aftuellement F=m, & foit tiree de cette Equa-
tion la valeur de x en k que je reprefente par f-u, foit
mife cette valeur dans H' , K\ L , M\ N' . , . &cc. &c
foient A, h ^ /, wz, n. . . &c. les fonftions de u que de-
viennent refpeftivement ces quantites , I'equation preceden-
te fe transformera en celle-ci

F{f-u)-h-al ,-Bm-Cn &c.

<? " = -^

Dans laquelle on connoitra la forme de la fonftion (p ,
qui , mife a fa place dans la propofee , la rendra , de la
meme forme que celle du probleme IV, & par confequent
traitable par la meme methode.

Quant aux indeterminees A , B , C . . . &c. qui reftent
apres I'operation , elles indiquent que les conditions du
probleme , contenues dans I'enonce , ne fuffifent pas pour
determiner la furface a laquelle appartient I'equation , mais
qu'il faut encore donner outre cela autant de points dans
I'efpace par lefquels doive pafler cette furface , qu'il y a
des quantites arbitraires, fontiions dc TF", dans la propofee.

Cette folution eft trop (imple par elle meme pour avoir
befoin d'etre eclaircie par un exemple.

Remarque.

Quoique les fonftions i^, A , A' , A", . . • --f- -f-' ^f-" . . . &c.
puiffent etre de formes quelconques , il faut neantmoins ,
pour qu'il n'y ait point de conllru6tion dans les condi-
tions , que ,

X etant la valeur de x que Ton a en Eliminant y de«
deux equations W= a & j = A . jc ,

I

X' celle que I'on a en dliminant y des equations

W= a & ^ = A' AT ,
X' Ce!!e que Ton a en eliminant y des equations

^=a & jy = A^'at

Ton ait F X ^ "if X,

F- X'^-^'X' ,

F- X"= -^"X"
&c- &c.

Ceci eft analogue k la remarque du piobleme V , & pa*
roitra d'ailleurs evident par la conftruftion fuivance

Conjiruciion,

Conftruire I'equation ^^H-^ K (pF-h Lp'lF-h M([>"TF
•+• N (p" . . . &c. De telle maniere que la furface a laquel-
le elle ap'partient pafte par autaiit de courbes a double
courbures donnees , continues ou difcontinues , qu'il y a de
fonftions arbitraires dans I'equation , les fymboles d'equa-
tions de ces courbes etant

pour la premiere W^=:a Sc :[ = F ■ x
pour la feconde y =A-x& {^ = ^-x
pour la troifieme y = A' • x & ^=-^' ■ x
pour la quairieme y = ^' x & { = "4^" jf

&c. &c.

& que cette furface pafle encore par autant de points
donnes dans I'efpace , qu'il y a de fonflions de fF dans
la propofee , en forte que 11 , t & w foient les coordon-
nees du premier de ces points IT , t' & 5^ celles du fe-
cond , n" , t' & a" celles du troifieme & ainfi de fuite.
Pour fimplifier la defcription des operations , i°)'aifup-
pofe dans la figure que le nombre des fonftions arbitraires
& par conftquent celui des courbes a double courbure
donnees , ne fiit pas plus grand que quatre , mais il fera

i 1

68

facile d'appercevoir que , quelque grand que pfit etre ce
nombre , les operations , pour Stre plus longues , n'en fe-
roient pas plus difficiles . 2.° je regarderai comme analyri-
ques toutes les quanrites H ,K , L ,M , N , • ■ • ■ V & IV,
quoique la propofee fut ccnftruftible , dans le cas meme
oil toutes les quantites feroient difcontinues , & ne pouf-
roient fe reprefenter que par les ordonnees verticales des
furfaccs couibes difcontinues , foit execurees au h-izard ,
foit donrtruites comme celles des problenies precedens. Si
je ne conllruis pas !e prob'eme dans cette generalite , c'ell
que la figure deviendroit d'une enorme complication , &
que d'ailkurs j'ai donne dans le probleme V un exemp!e de la
maniere dont on doit operer fur ces quantites. Je fuppoferai
done feulement les fonClions F, A, A", a" • • • '^ "4^' '4^" • • • &c.
Planche ^i^*^0"^'"ues.

IV Enfin , pour abbreger je vais donner la conftru6lion
yjj" telle qu'elle n'ait pas befoin de demon'lration. Soi'ent CA D
le plan horifontal des x & jy , & BAC celui desx&f,
que jw,"' M'^' m' foit la courbe dont les projeftions ont
pour fymboles d'equations Jf^=a, :^ = F • x , & foient
K^' Q'" ^''■' . iV^'' ^/Y"" n'' ces projettions. Soient fj.^'^ iji. y! jw"]!*''

la courbe dont les projections K" K K' K" K"' &
iV"' N N' N" N"' ont leurs equations rcprefentees par
j = A.xSc i = -^-x: ^ir M^H' M" S\C"' celle

dont les projeaions Q" Q Ql Q." Q" ^^"'SYSA^' 3V"^"'

ont pour equations y z= a' • x 8c :( = '^' • x, m" m m ni ni"
celle dont les projeflions 4' <1^ 'l' 4" ^ n'^' -n n n" n"' ont
pour e [uation j' = a" x & ^ = •+•" a: • • • • & ainfi de
fuite. 11 eft evident, puifque toutes ces courbes font fur
la meme furface , qu'au point K'^' I'ordonnee verticale de
la courbe ^'"^5^/^''/72" & celie de la courbe f*'" /x jw' /a" n*"

69

doivent ^tre egales : que de meme au point Q'" , celle de
la premiere courbe & celie de la courbe ^^'"' ^f ^J^ '

^^" ^" doivent etre egales : qu'au point q^ celle de la

meme courbe & celle de /w"" m m v{ m'" doivent etre ega-
les — •• & ainfi de fuiie. Cell le fujet de la remarque
precedente.

Soient £, /", G--- &c, les points donnes par lef-

quels doit pafler la furface , & dont le nombre eft egal
a celui des arbicraires , fonftions de JV ^ contenues dans
la propofee , de maniere que Ton ait

A F = n A P' = n' A P" = n"

P'q = Tr P" Q" = 7r' P'" Q^'^-k"

Soient £' , F, G • • • • t!^c. leurs projedlions verticales .
Enfin foient AP & /* Q les deux coordonnees x ^ y
donnees a volonte , pour lelquelles il s'agit de conftruire
la venicale QAI={. Cela pcfe , on conftruira la courbe
K Qq qui ait pour equation ?F== « , «. etant tel que
cette courbe pafle par le point determine <2 ; cette cour-
be coupera les proj_'cl;ions horifontales des courbes donnees
en des points K Q<] ■ ■ ■ &c. par lefquels on abbaiiTera des
perpendiculaires fui I'axe AC qui le rencontre ront en des
points p , v , u • • ■ &c. par lefquels on elevera des ver-
ticales p N, -n ^t uu • • ' &c. J qu'on terminera aux pro-
jections verticales des courbes correfpondantes. Soient ima-
ginees par les points K Q^q • • • &c. des verticales terminees
^ux courbes a double courbure correfpondantes , il eft clair
que Ton auta p N=-Kn, it ^y=Q_ J/^, a n^=q m • ■ ■ &c.

Que Ton imagine une furface cylindrique verticale qui ait
la courbe K Q^q • ■ • pour bafe , elle coupera la furtace a

70

conftruire , & fuppofee pour un inftant conftruite , en une

courbe fj, ^'j^rn , qui paffera evidemment par le point de'

mand^ M, & de la projeftion verticale de laquelle oh
aura requation en mettant a la place de y dans la pro-
pofee , fa valeur prife dans JV-— ck. ^ qui appartient a cet-
te furface cylindrique. Soit N ^/y n ceite projeftion verti-
cale , & H\K\L\M\^r--- F' les fonftions de x
que Ton obtient en mettant dans H,K,L, M.)N---Scy
la valeur de j dont on vient de parler , il eft clair que
I'equation de la courbe N ^y n fera

(A) Z—W-^K'<pV'-^r<p- X -»-M>"oc -HiN^VV ■■■&€.
qui ne contient plus qu'une fonftion arbitraire pV, puif-
que les quantites p « , (p'oc , (p"' « . . . font des conftart-
tes indeterminees , & qui doivent etre telles que la courbe
N ^/yn paffe par les points determines N^^/Y", n . . . &c.

II faut (implement remarquer que ces indeterminees ne font
conltantes que pour toutes les verticales Q M qui paffent
par la courbe K Q^q , pour laquelle on a « = conltante ,
mais qu'elles feroient variables dans le paffdge de ces ver-
ticales a d'autres pour lefquelles la quantite oc feroit dif-
ferente. Ce ne font a proprement parler que des conftan-
tes relatives.

Or la fonftion <p V^ doit etre de telle forme que C\ la
courbe K Q^q etoit la meme que K" Q" q"' , e'eit-a dire
que (i Ton avoit fait « = a , on eut
P ■ x=i z = K -t- K (pV' -*- L <p' K -^7W"<p"oe -t-N'fy'K ■■'■&(.
Soient done H' , K\ L' , M' ,N' . . .F' Les nouvelles fon-
ftions de x que Ton trouve en mettant a la place de <x
dans H\K\, Z', M\ N\ . . F\ ou ce qui revient au
m^me en mettant dans H ,K jZ yM , N. . .F k la place

7«

de y fa. valeur prife dans I'equation ^= a . on aura
F ■ x=H' -i-K- (pT' -h-L' (p' a-*- M' <p' a ■*- N' (p'" d • ... &(.

, „ . ,^ F.x-H'-I.'(p'd-M'<p"a--N'(p-"a- -.&£.
d ou 1 on tirera <p K e= j^,

Equation dans laquelle les quantites (p' a , <p" a ^ <p"' a . . . &c.
font des conllantes abfolues , puifque a eft une conftante
donnde par les conditions.

Soil fait aftuellement V^ = u , & foit x=f-u la va-
leur de X que donne cette Equation , on fubftituera cette
valeur dans les quantites F . x ^ H' , L\ M' , iV' . . . . K' ^
qui deviendroiit des fonftions connues de u , que je re-
prelente correfpondamment par F {f . u),k^l,m,n...k

. „ F{fu)~h-l<P'A-m<p"a-n (p'" a
& I on aura <p u=i r

D'oii il fuit qu'aux conftantes pres <p' a, (p" a , <p"' a . .. &c.
qui rellent indeterminees , la forme de la fonclion cp fera
connue. On la fubllituera a fa place dans I'equation (A) ,
& Ton aura la valeur de ^ en x , c'eft-a-dire I'equation de
la courbe N ^'' n lans fonftions arbitraires. Pour cela foit

mis V a la place de u dans les quantites h^ h ^l ^m ^n . .. &c,

& foient reprefentees par A' , 1C , t , m\ n . . . &c. les

nouvelles fonftions de x que donne cette operation on

_.. F (fV ) - "A - V (p' a-m' <p" a-ti <p"' a
aura <p K =

d'oii il fuit que I'equation (A ) deviendra

(B) {=^"-l-f {F ifV')- 'k-'l<p'a- m' <p" a'-n<p'"a. .. &c.)

-t- Z' (p' oc -+-M' (p" K -*- N^ <p" oc . . . . &c. oil les fonftions
indeterminees de a font des conrtantes abfolues qui de-
pendent de la pofition des points doiines E , F ,G . . . . &c.
& oil les fonchons indeterminees de oc dependent de la
pofuion des points N ^y «... &c. Or ces derniers points

7»

font toujours les memes tant que « ne varie point , c'eft-

a-dire tant que le pie de I'ordonnee Q M k trouve fur

la meme courbe K Q^q ; mais il changent de pofition

lorfque « varie , quoique d'gilleurs ils doivent toujours fe

trouver correfpondamment fur les courbes N'" N N' N" N'" . . .

^r" SV ^' 5\'" ^"' • . • ^'' n n n" n'" . . .

Cette valeur de ^ ne peut fe conltruire que Ton n'ait
au paravant conllruit toutes les indeterminees <p' a , <p" a ,
<p"' a , . . <p oc , (p" oc , <p" oc . . . &c. , en commeiigant par
les fon6lions de a ,

Pour cela , foit conftruite la courbe K' Qq dont I'equa-
tion eA ^=oc', oc'etant tel que cette courbe palTe
par le point donne Q' , ou qu'en fefant x = n , on ait
y = T ; & par les points K\Q^ , q , . . &c. ou elle coupe
les projeftions honfontaies des courbes donnees, foient
menees des perpendiculaires a I'axe AC, qui le rencon-
treront en des points p\ tt' , a\ .. , par lefqueb foient ele-
vees les verticales p' N' , n' ^/y" , ^'/z' , . . . qu'on terminera

aux projections verticales correfpondantes cnN',^Y", n ... &c.

Soient auffi elevees par les points K' , Q , q' . . . des ver-
ticales qu'on terminera en y,' , ^^^ ' , m . . . aux courbes

a double courbure correfpondantes. Cela fait , que Ton
imagine par la courbe K' Q^ q . . . une furface cyliudrique
verticale , elle coupera la furface a contlruire , fuppofee
pour un inftant conftruite , en une courbe fx ^'\^' m' , qui

paffera par le point donne E , & dont la projection ver-
ticale N^^y'n paffera par les points determines iV',^|/*' «'...,

en meme tems que par le point E' , projedion verticale

da

7 ^

du point £. Or , puifque cette courbe eft dcterminee par
les memes proccdes que la courbe N ^yn , & qu'elle

n'en differe que parceque Ton a fait W= « ' au lieu de
W^= K , on aura fon equation en mettant partout dans
I'equatioii (B) « ' a la place de « . Soient done
H' , K' , r , M'' ,N\.. .V' , ^'k , 7^ , ■ V , ni' ,n\.. &c.
ce que deviennent les fonftions de x

H\K\L\M\N\.. F\ 'k,'h,'l,m\ n\ . . &c. en y
mettant « ' a la place de oc , & I'equation de la projeftioa

N SY ^' ^^'■^

(C) ^ = fl" ^-f- -|^ ( /" (/r^O - /^"-^" a? <^-r^i^ <p''a-;z>'" a.)

-f- Z^' (p' 0= ' -t- Af^^ (p" oc ' -+- iV'\p"' oc ' . . . (S'c. oil les conftan-
tes , fonftions indeterminees de a font les memes que dans
Tequdtlon iJB) , mais ou les fonftions de oc ' doivent etre telles-
que la courbe A'"', j5^j/*',/z'pafre par les points iVj^jy , ;z'.. .6-c.

Soit done conftruite la quantite W-^ ^ ( F (/F" ) - '"A)

pour une valeur de A:==n = -(^P, & foit retranchee de
P £' ( = ^ ) la droite dont cette quantite eft I'expreffion,
pour avoir un premier refte , que je reprefente par Ry
il eft clair que I'on aura I'equation fuivante

(Z?) i? = -^ ( — 7 <p' a — rri-' <p" a — /z" <^" a....&c.))

-t- r>' 0= ' H- M'' <p" oc ' -^- iV" <f>"' ^' ...&c.

X etant fait =11 = A P.

K'
Soit conftruite la meme quantite H" -+- -:^ (F^fV^ ) - /O

pour la valeur de x =: j4 p' , & qu'on la retranche de
f N' pour avoir un fecond refte R' , on aura une fecon-
de equation.

Mifc, Taur, Tom, V. k.

(£) R'=:~ ( — t (pa — m^' <p" a — ri^ <p"' a - - -- &c.)

^ Z>' « ' -1- M'' (p" cc ' H- N'' (p"' cc ' • • . &c.
X etant fait = A p'
On conftruira la meme quantite pour la valeur de
xi= A Tt' , & on la retranchera de tt' ^'", ce qui don-

nera un troifieme refte R' & par confequent une troifieme
equation

(iT) iJ" — ^ ( — t q>'a — nr <p' a — n'' <p'" a . ..&c.)

•*-r<p' cc ' -»- M" <P" =>= ' -4- A7" <P"' « ' . . . £.c.
X etant fait = A ir'
On conftruira la meme quantite pour la valeur Aqx = Au\
on la retranchera de la verticale a n' , ce qui donnera
un quatrieme refte R" , & par confequent une quatrieme
equation.

(G) R" = -^ ( — r^ <P' a — //z'' (p" a — «'' (p'" a . . . 6'C. )

-*. Z>' « ' -H M' <p" oc '-f- iV^' <P"' « ' . . . (S-c.
X etant fait = A a
En continuant ainfi de fuite , jufqu'a ce qu'on ait opere
pour tous les points N\^Y\ n' ...&c. dont le nombre

eft egal a celui des fon£tions arbitraires (p , <p" , <p"' . . . &c.,
on aura autant d'equations & une de plus qu'il y a d'in-
determinees fonftions de k ' dans I'equation (C) ; on les
eliminera , & il reftera par confequent une premiere equa-
tion en <p a , tp" a , <p"' a . . . &c conftantes.

11 faut bien remarquer que les feconds membres des equa-
tions (D) , (£■) , (F) , (G) . . . &c. ne font pas les me-
mes quoi qu'il foient exprimes par les memes carafteres,
il font tous des conftantes differentes , & on trouve le pre-
mier, en donnant a A- la valeur A P , Iq lecond, en fefant

75
x=iAp...&c. J'ai ete oblige d'employer ici les memes

carafteres pour des quantices differences , pour ne pas trop

en multiplier la variete.

On conilruira la courbe K'' Q" q" , dont I'equation eft

JV-=i '^" 1 oe " ^tant tel que cette courbe paffe par le

point donne Q" , ou qu'en fefant at = IT on ait y = 7r',

par les points K' , Q" , q" . . . &c. par lefquels elle cou-

pera les projeftions horifontales des courbes donnees , on

abbaiffera des perpendiculaires a I'axe A C , qui le rencon-

treront aux points p" it" u" . . . &c. par lefquels on elevera

les veriicales p' N" , it'' SV" •> ^" "■"••' <^c. qui decermi-

neront les points N'\ ^/Y" n . . . &c. On imaginera par

la courbe K" Q" q" une autre furface cylindrique verticale
qui coupera la furface a conftruire dans une autre courbe
fjt," M" m" , qui paflera par le point donne F, & dont la
projeftion verticale N" ^/y"n" paffera neceffairement par

les points N" , jJV > ^' • > • <S'c. ainfi que par le point F .

On fera pour cette courbe les memes operations que I'on

a faites <ur la courbe N' ,^/y, «' , & I'on trouvera un

meme nombre d'equations analogues aux equations (D) ,
(£) , {F) , (G) ... en(p' a, q," a , (p"' a . . . q,' « " , ^" ^ ",
(p'" <K " ; on eliminera les fonftions de«", & Ton aura une
feconde equation en <p.' a', <p" a , <p" a . . . Sc conftantes.

On conilruira la courbe K" , Q'" q" dont I'equation eft
Tf^= ce "' , oc '" etant tel que cette courbe palTe par le
point donne Q'" , & Ton fera pour elle les memes ope-
rations que celles que Ton a faites jiour les courbes K' Q q
& K" QT q" , & Ton parviendra a une troilieme equa-
ti on en <p' a , <p" a , <p" a . . . &C conltantes.

7« . , ...

En continuant ainfi de fuite , on trouvera entre les quan-

tites (p' a , (p" a , (f)'" fl . ■. . •S'c. autant d'^quations qu'il y a
de points donnes Q' ,Q" , Q"' . . . &c. , c'eft a-dire qu'il y a
de fon6l:ions arbitraires de fF" dans la propofee , ou qu'il
y a d'ilideterminees fon6lions de a dans requation (B ) .
On pourra done trouver la valeur de chacune d'elles en
particulier , & les conftruire routes. Ainfi dans I'equation
(£) il ne reilera plus a determiner que les fonftions in-
determinees de k .

Or on a deja vu que ces conftantes doivent etre telles
que la courbe N^yn^ a laquelle appartient cette equa-
tion , paffe par les points determines N^ ^jy, n . . . &c.

Soit done conftruite la quantity

H'-~{F ifr )-h'-t(p'a^ m' cp" a-^n' q)"' a... &c.)

pour la valeur de x =z A p ^ & apres avoir mis a la pla-
ce de (p' a , (p" a , (p" a . . . &c. leurs vaieurs que Ton vient
d'enfeigner a trouver. Soit retranchee la droite dont elle
eft I'expreffion de la verticale p N ., ce qui donnera un
premier refte que j'exprime par r , & Ton aura
r — r(p cc -t- M' (p" oc ■+• i\^' <p"' 0= ...&c.,
X etant fait = A p .
On conftruira la meme quantite pour une valeur de
X = A TT , on la retranchera de la verticale t ^y, ce qui

donnera un fecond refte r' , & Ton aura une feconde
equation

r' = L<p <K ■+■ M' <f)" cc -H iV>'" oc ... &c.
X etant fait = A ir .
On conftruira la meme<[uantite pour la valeur de x = A tS,
on la retranchera de la verticale u n , ce qui donnera un
troifieme refte r". & Ton aura une troifieme equation

77

X 6tant fait = A at .
En continuant ainfi de fuite , on parviendra a avoir
autant d'equations en (p <k , (p" k , ip'" « • . . &c. Sc con-
ftantes qu'U y a de points determines iV", SV > « • • • par

lefquels doit paffer la courbe N ^^V'' ? c'eft-a-dire, autant

qu'il y a de fonftions indeterminees de k dans I'equation
(^B) . II fera done poffible de trouver la valeur de cha-
cune d'elles en particulier , tk les conftruire ; on pourra
par confequent conttruire Teqaacion (iff), c'eft-a-dire lit
courbe N ^y n .

Enfin cette courbe etant conftruite , on elevera par Ic
point P la verticale P M' qu'on terminera a la courbe
N ^ n , on fera Q M = PM , & le point M fera dans

la furface demandee. C. Q. F. T. & D.

On me reprochera peutetre d'employer du calcul dans
une conftruftion , fur tout apres avoir avance qu'elle fe-
roit pofTible, qunnd meme il n'y auroit dans la propofee
aucun fafteur analytique , mais j'ai ete oblige d'avoir re-
xiours a ce moyen pour abreger des details qui auroient
confiderablement allonge la defcription des operations ,
d'ailleurs le nombre des courbes qu'il eut fallu faire entrer
dans la figure pour fuppleer au calcul , I'eut tellement com-
pliqut^e qu'il eut ete difficile de s"y reconnoitre. Neant-moins
toutes les operations analytiques ne tombent que fur les
quantites que j'ai fuppofe analytiques au comm-encement de
la conllruftion. De plus une droite , dont rexpreffion n'ell
pas analytique , etant conftruite , on peut en mefurer
I'etendue a I'aide d'une echelle , & la faire entrer dans le

78

calcul. J'avoue que ce moyen eft peu g^ometrique & Inu-
fitd dans les conftruftions , & que ce probleme ne peut-
pas etre conftruit plus elegamment que par la methode que
j'ai expofee dans la remarque qui fuit la conftruftion du
probleme V.

Je pourrois donner ici , comme dans les problemes pre-
cedens une feconde folution atialytique , independante de
la premiere , & tiree de la conftruction , mais , apres tout
ce qui precede , elle ell trop facile pour que je m'y are-
te d'avantage.

SECOND MEMOIRE "

Sur k cakul integral de quelques equations
aux differences panielles.

Par M.' Monge.

JLndependamment de 1' utilite du calctil integral des equations
aux differences partielles pour la determination du mouve-
ment des fluides & des vibrations des corps elaftiques, cet-
te efpece de calcul eft encore neceffaire a la folution d'un
grand nombre d'autres beaux problemes , & particuliere-
ment de ceux qui ont pour objet de trouver unc furface
courbe qui jouiiTe d'un maximum ou d'un minimum. Si i'oa
fe propoie , par exemple , de trouver en trois coordonnees
I'equarion de la furface courbe qu'il fauc donner aux ailes
d'un moulin a vent , pour que , mues par 1' impulfion du
vent , & parvenues a i' uniformite de mouvement , elles
aient la plus grande viteiTe poffible, on parvient a une
equation aux differences partielles qu' il faut integrer
afin d'avoir la relation demandee entre les trois coordon-
nees. U en eft de meme pour I'equation de la furface de
moindre rcfiftance ; car les folutions que Ton a donnees
jufqu'a prefent du foiide de moindre reliftance font im-
parfaites , & ne peuvent etre d'ailleurs d'aucune utilire
pour la conftruftion des vaiffeaux. On a.toujours , en ef-
fet , fuppofe I ° que ce foiide etoit un foiide de revo-
lution , 1.° qu'il etoit eniierement fubmerge par le fluide
refiilant , hypotheles qui ne peuvent pas avoir lieu dans
la pratique. Pour que Ton put retirer quelqu'avantage
de la folution de ce probleme , voici comme il faudroit
Tenonce.

8o

Etant donnees la mahrejfe couple d\in valjfeau , ou fa.
coupe en travers dans Cendroit ou il efl le plus o^ros , &
fa coupe horifontale par le plan de la furface de Heau ,
trouver parmi toutes les fur faces courbes qui peuvent paffer
par ces deux courbes donnees , continues ou difcoatinues , celle
qui , mile par C action du vent fur les voiles , & parvenue a
runiformite de mouvement , ait la plus grande viteffe unifor-
me. Mais ce probleme depend de riniegradon d'une equa-
tion aux differences partielles , tres compliquee , & que
jufqu'a piefent j'ai vainement effaye de trailer.

II faut cependant ^tre de bonne foi , & convenir que
les folutions des deux problemes precedens ne font pas
de toute I'utilite dont elles paroiltent a I'infpeftion. Eti
efFet la nature de la furface de I'aile d'un moulin a vent,
depend de la viteffe du vent que je fuppofe uniforme &
de la refillance qu'apportent le frottement des menfes &
des autres parties de la machine au mouvement de I'ar-
bre , or ces quantites font fujettes a dts variations qu'il
n'eft pas pofllble de foumettre au calcul ; d'oii il fuit que
la furface qui donneroit le maximum de vitetTe uniforme
pour une certaine virefTe abfolue du vent , ne le donne-
roit plus pour une vitefle un peu moindre ou plus gran-
de . De meme la nature de la furface de moindre refi-
ftance eft afflijetie a la viteffe du vent, a la direftion
du mouvement du vaiffeau , a la nature de fa coupe ho-
rifontale par le plan de la furface de I'eau &c. or la vi-
teffe du vent ne peut pas etre fuppofee conftante , du
moins pendant un terns confiderable , les ofcillations du
vaiffeau apportent des changemens inevitables & tres
prompts dans la coupe horifontale ; les inegalites de viteffe
du vent , la maniere variable dont il agit fur les voiles fu-
jettes a differens mouvements , quand menie elles auroient
toujours la meme pofition par rapport au vaiffeau , era-
pechent que Ton puiffe regarder la direction de fon mouve-
ment

8i
ment CQmme conftante ; d'oii il faut conclure que la fur-
face qui fatisferoit au maximum de viteffe uniforme pour
un inltant , n'y fatisferoit plus dans I'inftant fuivant , ou
du moins que cette furface ne pourroit etre la meme que
pendant un terns peu-coniiderable.

Si ces coniiderations font capables de nous confoler de
rimpoffibilite ou nous fbmmes pour ainfi dire de refoudre
completement de pareils problemes , elles ne doivent neant-
moins pas nous empecher de faire lous nos efforts pour
vaincre les obttacles , qui fe prefentent ; d'ailleurs comme
ces obftacles ne confiftent que dans des difficultes d'ana-
lyfe , on peut en les furmontant fe frayer une route a la
folution de prob!emes plus utiles.

Dans un memoire que j'ai deja eu I'lionneur de prefen-
ter a rAcademie fur le calcul integral des equations aux
differentielles partielles , j'ai donne la maniere de trouver
comment la quantite ^ doil etre fonftion Aq x Sc dt y
pour latisfaire a cette equation

^^m dx"'-'dj dx"-'dy dx'^'dy

i etant la caracleriftique d'une differentielle prife en ne
fefant varier que x , & ^ celle d'une differentielle prife
en ne felant varier que y ; lescoefficiens A , B,C . . . &c.
etant conftants , & le fecond membre K etant compofe
par voie d'addition ou de foultraftion , d'un nombre quel-
conque de quantites de ces formes y" F • x ^ x"" F ■ y ou
plus generalement de ces formes^" <p (a x—y) , x" (p' {ax-y) .
Je vais aftuellement int^grer en quantites finies quelques
Equations de la m^me forme , en fuppofant que les fa-
fteurs A ^ B , C . . . &c. foient certaines fonftions de x &_/,
& particulierement celle-ci

dx" -^dx^-'dy - -^ dx-^'dy^

Mifc, Taur. Tom. V. I

8t

K etant compofe de la fomme ou de la difF^renpe d'un

nombre quelconque de quantites idles que

y, (i) , «- + (^) .

Pour fuivre uti certain ordre , & oppofer avec plus de
clarte le detail des operations , je vais commencer par des
equations moins gen^rales , c'e(t-a-dire oil I'expofant m lera
determine.

PROBLEME I.

Integrer ou reduire a un ordre moindre d'une unite
I'equation

dx' -^ dx'dy -^ dxdy^ -^ dy'

Solution.

Soit fait x'- — ^-f-xxy ^ -t- y* — - = V . & foit dif-

dx^ -^ dxdy -^ dy^ '

ferentiee cette equation par rapport a x , & par rapport

a JK , ce qui donnera

,8*7 ,^-. SSc/r ^dd7 1^7 Idz

X —-^^d K — xxy - — - — y^ : - x x 1 -^T -r"

dx^ dxdy dy- d x dy

•^ dy'- dx' -^ dxdy dx dy

on multipliera la premiere de ces equations par ^ — la fe-

conde par -^ & Ton fubftituera a la place de ;t' —^&de
dy ^ dx'

d'z

jy* -r7 ^^"''^ valeurs , ce qui donnera

W . lidz ,^ddz lt{ Id

dx dx'-dy -^ dxdy . dx' •' dxdyi

lldz Iddz

i

. ^ df)

83

dx^dy dxdy''

JK l^dz Iddz Idr

^V dV

ou bien en reduifant x -j \'y -r- ■=■ % V ^ equation

ax ay

dont I'intdgrale donnera colle de la propofee.

Pour incegrer cecte derniere equation , fuppofbns que
la quantice K (bit telle que Ton ait dV =-f d x -^ qdy:
on aura f x -^ c^y = -l V , & par confequent

dV=p dx-\ ^ — i — dy

^ y y -^

que Ton peut mettre fous cette torme

dV py fydx — xdy\ rdy

dV z dy
or les deux termes -=;r & — etant des differentielles

logarithmiques , &: I'autre terme-^f-^^ ) etant

o - y \ y J

multiple det^.— , cette equation ne peutetre integrable
que ce terme ne foit la differentielle logarithmique de quel-
que fonttion de — j foit reprefente cette fonftion par

^ I ~ ) ) on aura done

Log. F= log. (p T- j -+- 2 log. J* ou K=jK* (p ( - j

on neglige ici la conftante par ce que le cara^lere arbi-
traire (p la comporte.

Done i'integrale de la ptopofee fera

84

dx dxdy ■ dy'- \yJ

C. Q. F. T.

PROBlImE II

Integrer , ou reduire a une equation difFerentielle du
premier ordre I'equation

,SS7 Sflfj- , Jdx

iy d^

Solution

X* Hi -*- X X y - — 1- +_K^ — i =j'' (p ( — )
dx^ dxdy dy'- \y/

Soit fait X -7--*-y 7~ = ^» equation que Ton differen-
tiera par rapport k x , Sc par rapport ky , pour avoir

dx dy

Scy^J^^dF-x'^-p-d^
•^ dy dy ^

on raultipliera la premiere de ces equations par -^ la fe«

conde par — , & Ton fubftituera dans la propofee , a la

place dex^— -i^ & de y^— — ^ leurs valeurs , ce qui doninera,
*^ dx"- dy^ ' ^

toute reduftion faite , la transformee

IV dV „ ,^(x\

X h y — =-V -+- y* "P ( - )

dx -^ dy ^ \y)

Pour integrer cette equation , foit V telle que Ton ait
^f^asptix + ^c/j ,on aura/j x-i- ^^s*/^-i-^'>p T-j

8?

& par confequent

dV = p d X -i • -4-_y ^J'<p(-) — p X ■ — , que 1' on

peiit mettre fous cette forme dy=py ( ■; -\

ou —^, =;, ( ) ^dy<p y .

Soit aCliiellement <j)' le coefficient de la difFerentielle de
<p , de maniere que a etant une variable quelconque , on
ail d (p u ■=(()' a d u. Cela pofe , on remarquera que le pre-
mier membre de la derniere equation eft la differentieile

complete de — , de plus que le terme dy ^ ( — )

eft = <7.(jV^^- C-)<j)- = <^^ (Y))

(x\ / y d X -^ X d 'y\
-) { -^ j d'ou il fuit que cette equation

peut fe tranfcrire ainfi

or le fecond membre de cette equation ne peut-etre une
differentieile complete , que fon premier terme ne foil la

differentieile d'une fonftion de - ; done fi Ton reprefente

cette nouvelle fonftion par le caraclere ^ , I'integrale de
la transformee fera

done on aura pour int^grale de la propofee

'j~'-y^y-y^{S)-^y^''lS)'

C. Q. F. T.

S6

PROBLEME III.

Iritegrer I'equation x ~ ^-y ~ = y^(^^^-i.y-^(^Z^

Solut

ion.

on aura
ou

Soit, comme dans les problemes precedens d:(s=pdx
qd y , ce qui donne

di=pdx^-^(^-^ dy^y<p[j^dy-^dy
ry dx-xdy -^ , f x\ . f x\ ,

Mais on a ^ (^^)^^=^ (^ ^ (-;) )-^^( f)(^-^^2:)
Done en fubllituanr ces valeurs on aura

Or les deux derniers termes de cette equation font des
differentielles completes , & le premier terme du fecond

^— ^ — ^J ne peiu 6tre

la differentielle quq d'une fonftion de — ; done fi i'bn re-

prefente cette fonftion par F , I'integrale de la propofee
(era

l^F{'^-^y^{y)-^\r<p{j) CQ.F.T.

'7

Corollaire.

II fuit des folutions de ces trois problemes , que I'l nte--
grale fiiiie de Tequation dii troifieme degre

dx' -^ dxUy * -^ dxdy' "^ dy'

le divifeur 2 de la fon£lion (p difparoit ici , par ce que
cette fon£lioii elt arbitraire , an lieu que dans leproble-
me precedent elle etoic determinee & donnee par i'e non-
ce de la quedion.

La methode que je viens d'employer pour avoir I'in-
tegrale finiede cette equation du troilieme degre, s'ap-
plique avec le meme fucces aux equations de meme for-
me 5 & des degres I'uperieurs.

P R O B L E M E IV.

Integrer ou reduire a un ordre raoindre d'une uniti
I'equation generale

^.n+^.^^ylllli^m.-x-y^^-J ...&c.=:o
dx" '^ dx'^'dy ' "^ dx'^-'dy^

Solution.

Soit fait , comme dans le probleme premier. .

gm- I'^'-d? , ,n>.z l'"-'ddz . ^.

:x"^' >+(»»- 1 >™-=y T-^{m-\)— xT^^f-- 7- ...&c.^=iVy

Soit differentiee cette equation par rapport ax, & par
rapport a y , pour avoir les valeurs iuivantes

88

X-'l"'{ .xlV . \ ^, S"-' J r

— — -=f —, ( m — 1 ) x"^^ y i—

dx-" i dx ^ -^ dx-^'dj

1- ( m-t ) (mzL) x-^y»i^^ &c.

im^i -r S""' d 7

\- {m- 1 ) x"^" - On- 1 ) (m~i)x"-'-Y —

'/ dx"^' ^ ^^ -^dx^-'dy

-(^-0(— )('^0^""y|^^

' ^ ^ J ^ ' -^ dx""-'dy''
&

<?''" / ^JK ofx'^'a?/ -^ dx'^^dy'-

^ ^ dx'^--dy ^ '\ z J ■' rt'A"-3^y^

On fubftituera ces deux valeurs dans la propofee , ou ce
qui revient au meme , on ajoutera enfemble les feconds
membres de ces deux egalites , & on ajoutera a leur fom-
me les auires termes de la propofee , qui font

. . .~. ^ pll +„ (-) ,-^y. plir .... J,.

•^ dx"'-'dy ^ ^ ^ -^ dx'^-'-dy'-

Cela fait , on remarquera dans cette fomme deux efpeces
de fuites , les unes contiennent des differentielles de ^ du
degre /tz , & les autres des diflferentielles de i du degre
m—i. Or la fomme de toutes les premieres fe reduit a
zero j en effet la fomme des coefficiens du terme

"'^'y dJ^^^y eft = "^ - ("^-0 - » = o
cellede.->^^£;^|ieft=^(^)-(,.-0(^)-(--0=o

& ainfi de fuite pour les autres termes du meme ordre ,
quant aux autres fuites , il eft facile de les reduire , en
remarquant i° que tous les termes font multiplies par

(m — i) i" qu'en les divifant par (jn — i) , le coefficient du
terme x"—^—, — i- eft = — i

celui du terme x'^^y—. r- eft = - (m — i) — i = - (m—i)

ff-iJdz

celui du terme x'^^y^- 7— eft

= -(^) ('^3) - <==-^) = - ('"-0 (^')

& en continuant ainfi de fuite , on trouvera que tous les
coefficiens font les memes , que ceux des termes correfpon-
dans de la valeur de V ^ multiplies par — {m — i) , d'ou
il fuit que la transformee fera

sV dV , ,r-

d X -^ dy
Or en integrant cette equation comme celle du proble-

me premier, on trouve F^«=j'^' ^f - j , done I'integrale

premiere de la propofee fera jc»»"» J^ +(«-i>'»-2y ^ '^

-I- ( m-i ) ( — ) a:'»-5j'» -^ ... &c.'=: y"-' <p ( - I

^ ' ^ - J -^ dx'^-idy^ -^ ^ \y)

Equation qui eft de la meme forme que la propofee ,
except^ que le fecond membre au lieu d' eire 5= o

C Q. F. T.

PROBLEME V.

Integrer ou reduire a un ordre raoindre d'une unite
r^quation

Afi/c. TauT* Tom» V* <»

dx" '^dx"-'Jj ^ ' '' -^ dx-^'dy

Solution,
On fera , comme dans le prob'eme precedent.

& en operant de la meme maniere on transformera la
propofee en celle ci

Soit aftaellement J^' telle que Ton 2\i dV'=pdx-^qdy^

on aura px-t-qy = F"( n — i) -^ y" <p [-\ 'iiL par conle-

quent

^r'=/£/x-t-(/2-i)r'^-Hy-(p {€\dy — ^dy ou

bieny^F'-(n-i) V'dy^py^i^^l ) +y ^ (^) ^j.
cela pofe, on rendra le premier membre ditierentielle comple-
te en le raultipliant par - ou , ce qui eft la meme chofe , par

r"-* , ., 1 • I y""' dV -(n-i)V' y"--dy
—7 r, car alors il deviendra ; — ■: ou

d \~;;z[ji ainfi en divifant auffi le fecond membre par jy",

©n

^"'■^ "^ (^3 ^Py''" (j^^-^ -t- <p (0i J } ou par

91
ce que Ton a ,p ^^) ^y=dj y ^ (^^^^ y ^' ^f^

( j , la transformee deviendra d ( — ^~- J

tion dont I'integrale eft -^z=-^f -}-+'y<p[~), en multi-
pliant parjK"'' , V =y''-' ^ (-) ■+•7" <P ( -)• Done 1' in-
tegrate de la propofee fera

■ dx"-' ^ ^dx-'-'dy ^ ^*^ -^ dx'^^dy

C. Q. F. T.

Corollaire I.

Si le fecond membre de la propofee , au lieu d'etre
y" (p ( — J etoit x" ^ ( — ) I'integrale fe trouveroit de la me-

me maniere, car on a x> 0) =j^-. 1^^( p) = :>'"/• ( j)

done il fuffiroit de changer dans I'integrale precedente la
fondion donnee <p en une autre qui leroit Ion produit

a:"

par — .

Corollaire 11.

Si dans la propofee du probl^me precedent on fait
n = m — I , on aura 1' inidgraie du probleme IV , done
r equation

m X

9*

eft I'iniegrale feconde de Tequation du problems IV.

PROBLEME VI.

Int^grer ou reduire a un ordre moindre d'une unite
I'equation

Soit fait ;c*-fe -^ (/t-i ) X*- r ^^^ • . • (S-c. = F" &
Ton aura la transformee

done I'integrale, par la methode du probleme precedent ,
fe trouve

done I'integrale de la propofee fera

-^■' SS - c^-0 -*-'^ £^ • • • ^- -^^- ^ ( ^ )

C Q. F. T.

Cbrollaire,

La propof^e etant 1' integrale feconde de Tequation g^-
n^rale du probleme IV dans laquelle on a fait kz=m~-i. ,
il i'uit que I'iiuegrale troiiieme de cette equation fera

X^i H (;;j_3)A'^4y g-C. c= V™-' f^ ( - )

Le divifeur i de la fonftion <p eft compris dans cette
fonftion qui eft ici arbirraire, au lieu que dans le pro-
bleme precedent elle eft deierminee & donnee dans i'enonce.

Condujion

En continuant ces operations , il eft facile de recori'
noitre que I'equation generale

x'" \- m x'^^ • • • &c = o a pour inteerale finie

les fonftions f ^ f\ f • • • F ^ -^^ & (p etant arbiiraires &
independantes les unes des autres & leur nombre etant :^;7z.
Jufque ici j'ai (uppofe que le fecond membre de la pro-
pofee generale fut = o , mais on pent encore I'integrer
meme en quantites finies , lorfqu'il eft compofee d'une
certaine maniere de x & de ^ comme on va le voir dans
les problemes fiiivans.

9-4.

P R O B L E M E VII.

Int^grer en qu^ntit^s finies I'equatioti generale

X" -- -H ;72;^'*-' y- . ■ ■ &c.=Y<p[ ~] -k- Y' -^ ( - J

les quantites F & F' etant des fon6lions quelconques &
donnees de j , &c les fonftions <p & ^^ etant aufli don-
nees.

Solution

I

On integrera d'abord une fois cette equation , comma
celles dts problemes precedens ; pour cela on fera

;,-. L_l ^_ (^rn—i) x'^-^y V^ (5-0. = ^

dx"'-' ^ -^ dx"'--iiy

ce qui donnera pour transformee

& par confequent , en fefant dV=^pdx-^qdy
px + qy=:im-i)V^Y <p(^^^Y'^{^-^

ouydF-im.Ordy=:py(^±^^yYdy<p(^-^

-+- Y' dy "^ ( ~) on divifera tout par y" , pour rendre

le premier membre differentielle complete , ce qui don-

f \ d X — X dv \

ym-i dY-im -i)V y^-^dy ,_^ f y d X — x dy

^/2(m-i)

Ydy fx\ Y'dy , /x\ , ^ .

-^ <P ( - 1 H — — "t" I - 1 cela ran, on remarquera que

Ton a

95

p' dtant la coefficient de la difFerentielle de <p . on a de

m^me

— jjj^j d'oii il fuit qu'en fefant pour abreger

Pf"" - <P ( J)/ ^ - ^' (^)/^=^' ^'^^^''''°" P""^-
cedente fe peut-mettre fous cette forme

•4- ^/(•^ ( — ) / — ^) done I'integrale ne peut-etre que

^~~ \^) \y}J y" \y)j y""

Done I'integrale premiere de la propolee f'era

H-J^'"-'<P 0)/"^+r-'^(^)/^ dans laquelle

la fonftion F ell arbitraire , les autres fon6lions <p ^ -^
etant donnees dans I'enonce.

II

Cette integrale eft precifement de la meme forme que
la propofee , d'oii il luit qu'on I'integrera de la meme
maniere , & Ton aura pour integrale feconde

- — . -«- (/n-2) x-^'y J ••■&€. = y'^r ( - ]

dx"^- ^ ' -^ dx-^-idy -^ \yl

jc"*-'

9^

III

On integrera encore cetre equation de la meme ma-
niere , & Ton trouvera pour integrale troili^me

oil Ton remarquera que la fonftion F devioit etre divifee
par 2 , mais comme cette fonttion ell arbitraire , de me-
me que F & F" , elle comporte route forte de coefficiens
conftans.

IV

II eft facile aftuellement de conclure par analogic que
I'integrale finie de la propofee eft

.=yG)-//(-;)*^-/"(;) ■•->"' ^■■(;)

'^^VyjJ ~r^' C. Q. F. T.

PROBLEME VIII.

Integrer en quantites finies I'tiquation generale

les quantites X 8c X' etant des fonftions donnees de x.

Solution.

On fera la m^me transformation que dans le problS-
me precedent , & Ton aura

97

cela fait an lieu d'eliminer q , on eliminera p , ce qui
donnera , (en mettaiu fa valeur Ad.ns dV=p d x -^ qd y)

-t- J%r li X 4^ (-} on divifera tout par x" pour rendre ie

premier membre , differentielle complete , & Ton aura
xC-"-') d V-{m—\')V>."^^ dx -r/y" / ydx-xdy\ Xdx f x\

X'dx , /x\ Xdx /x\ ,/ /^\ r^dx-

■»■(;)- o" ^' ^ ( J) =■'(» (^)/ X^-)

=<*(j)/^0-*(J)(^--)/"-f"

confequent , en reprefentant * par A' la quantite
dente deviendra c/ ( j = A" f ^^ — x ^x y ^

tegrale ne peut-etre que-;^ = i^f-j -+"^1"')/ — ^
-4- S' ( — J / — ^, done I'integrale premiere de la propofee
ferax'^'-; 1- (ot-Ox"^* y • > • (S-c. = x"-' i^l - )

, / x\ rxdx , /atn rx'dx .. .

■4- x"^' <P ( ~ ) / "^ "+■ ^°'' ^ ( ~ ) / — ^ • ^^'^ ^^"^

integrale elt de la meme forme que la propofee , on I'in--
tegrera par conl^quent de la meme maniere , & en coa-
Mifc, Taur. Tom. V. n

9^

tinuant aitifi de fuite , on parviendra a 1' integrale finie

qui eit

{^r~

C. Q. F. T.

Thiorime

Le caraftere JJ^ reprefentant une formule en difFeren-
tielles partielles , fi I'equation W =■ G a pour integrale
finie & complete { = g ■, & que i'equation W ■=■ K ait
pour integrale finie & complete ^ = yt , je dis que ['equa-
tion W=^G-^ K aura pour integrale finie &: complete.
l^g-i-k.

Dcmonflration

Soit A le fymbole des operations qu'il faut faire fur
£ pour avoir TV ^ de maniere que Ton ait f\ • i=.W
on aura auffi A • k = K , 8c A . g = G . foic ^ == w
I'integrale de I'equation Wz=G -^ K , on aura de me-
me A.a) = G-H-Ar& par confequent A.« = A . ^-4- A/r,
ou , ce qui revient au meme a==g~^h. Done genera-
lement parlant de ce que Ton a Aw = A(^-+-^) on
ne peutpas en conclure que Ton ait u=. g -\- k ^ mais
feulement (c = g -^ k plus une arbirraire , mais comma on
fuppofe completes hs integrates l=g Sc:^ = k les quan-
tites g &c k contiennent deja les arbitraires , d'ou il fuit
que le theor^rae ell venu a la rigueur.

P R O B L E M E IX.

Integrer en quantites finies i'equatioii generale

(-+-X'^"(^-) ....S-c.

Les quantites ¥ ^ V , Y'' etant des fonftions quelcon-
ques de ^ i X, X' , X" .des fonftions quelconques rle x,
le nombre des termes du fecond membra ecant quelcon-
que , & les fonctions donnees (p , (p', ip" . . . . '^', 4^' , 4'". . .
etant independantes.

Solution

On pourroit refoudre ce probleme particulierement com-
me les precedents , mais il ell plus fimple d'employer le
principe ddmontre dans le theoreme . Ainfi I'integrale de-
mandee doit etre

r/(-;)^./(^Ky'(;)..-.-r(^j

^<;y"^-*"6)/

— . . . &C^

n z

lOO *

Mais I'on a x' f (~\ rrs^y^/r- j lors que la fonftion /
eft arbitraire , done I'integrale fera

C =

^„ , :: w ™ ^^ji^i: _ ^ ^-.^

Remarque,

J'ai fait voir dans le memoire qui a pour objet la d^
termination des fonftions arbitraires dans les integrales des
equations aux difFerentielles partielles qu'il eft toujours pof-
fible de determiner les fonftions dans una equation de
cette forme i'=K-^L<f>V~i-M<p'V-^Nq)"V... &c.
pour que ceite equation fatisfafle a autant des conditions
particuiieres qu'elle renferme de fonftions , lors que ces
condiiions font de nature a etre exprimees par une Equa-
tion } ou de conftruire la valeur de i" , lorfque ces con-
ditions ne font pas foumifes a la loi de continuite ; done
il fera toujours poffible de conftruire I'equation differen-
tielle du dernier problerae , ou fon integrale , quand me-
me la furface courbe a laquelle elle appartient , (eroit d'ail-
leurs obligee de pafler par un nombre m de courbes a
double courbure , difcontinues , ou tracees au hazard dans
i'efpace , mais donnees.

lOI

Pour abr^ger , je fuppoferai toujours dans la fuite que
Ton ait

rr^ X"' H m . .V^'y ■+-»».( Z_) .v"^Hi* .. .&(.

dx"' •' dx'^^dy V i -' dx"^-dy^

_. ^""-'2 , ^ i'"^-di , ^/■m-i\ S'^^ddr ^

j^m-x ^ ^ •' dx'^'-dy A i ; ■^ dx""idy-

V'^x-"-' 1^^ '■ &c. & ainfi de fuite;

D'ou il fuit , comme on I'a vu dans le probleme IV ,
que Ton aura

W=x- Hy-i (m — \)V

d X -^ dy

d X ^ dy ^
J.., s- V" dV" ^ ^ __„

&c &c.

PROBLEME X.

Intdgrer , ou reduire a un ordre moindre d' une unite
I'equation

IV-^AV-^BV -^CV'-^DV" . . . . &c.^K.
Les coefficiens A ^ B , C ^ D . . . &c. etant conftans , &
]e fecond membre K etant de meme forme que celui de
I'equation du probleme precedent.

10%

Solution.

Soit mife a la place de JV fa valeur donnee" ci-deffus,
& la propofee deviendra

ax ay

Cela pose , quoique le nombre des coefHciens j4 , By
C , D ■ ■ ■ &c. puiffe etre =m, & que la quaniiie ^
puiile fe trouver fans differentielles dans la propofee ,
neant-moins je fuppoferai que le nombre de ces coefficiens
foit quelconqiie Sc reprefente par n . & Ton transformera
la prop(fee en fefant

J^^aF' -^-bF"-^c V" . . . &c. = u
Le nombre des coefficiens conftans & indetermines a , h,
c • • • &c. etant = n — i c'ell a-dire les plus hautes dif-
ferentielles de I qui fe trouvent dans les valeurs de K
& de a» eian: le meme ordre la derniere equation donne
F= u^-aVkV" — c V" ■•■&€.

X = X — ax - — — bx ex — — • • • O'c,

dx d x d X d X d X

^ dV du dV , dV" dV'"

^y—y-ay---by——-cy~ &c.

dy dy dy dy dy

lubftituant ces valeurs dans la propofee elle deviendra

X f- y -; h CO ( A — (m — i) )

ax -^ a V

&C' )

ou, ce qui revient au m^me

(S-c. )

Mettant a la place de x- hv— — - (m-i) V fa vale ur

'^ dx ^ dy ^

SV" d V"
V , h \a place de x \ry — (jn-})y' fa valeur V\

la transformee deviendra

d X -^ dy ^ ^

^ a ^

&c.

ou bien en reduifant

* -. (^- -^ ^X'-K-^- 3 + V ) ^'" • • • ^■^ = ^

Or il faut remarquer que le terme

ne difFere de la valeur de « que par les coefficiens j

104

de plus on peut donner aux indeterminees a , b , c ., , &c,
des valeurs telles que ces coefficiens foieot egaux , c'ell-
a-dire que Ton ait

A — 1-4- = a

a

A /- , c-C N , - c-C

- { A-l H T- ) = w ou A — z -f- —r- = a

c * -D * -D

- (A-~-i H = c ou A — 3 -H = a

&c &c.

Car le nombre des indeterminees eft le meme que celut
des coefficiens , done la transforraee peut fe reduire a

;if — -+- y — ^. -4- (A — On — i) — a ) w = iC
ax -^ ay ^ -'

Mais, par ce qui precede , I'integrale de cette equation elt

La quantite K' fe trouvant comme dans le probleme pre*
cedent , done Tintegrale de la propofee eft

oil les coefficiens a , ^ , c . . . &c. ne dependent que de la
fo;ution d'une equation algebrique du degre m.

C. Q. F. T.

Exemple
Soit m-=ix ^ de maniere que la propofee fe reduife W

;« — ^- -h 1 xy — »- y

0»

105

r 3 J Z o r \i c •

on aura &» = x f- y 1- a r i 'i^ li l on rait enco • e,

pour fimplifier K = o , on aura pour integrale x - —

^y — — i- a 1 = y'—^-*-' F (-J . aftuellement pour de-
terminer la conllante a qui le trouve feule dans ce cas
la , on fe fervira de la premiere eqaation entre les inde-
terminees , qui parceque I'on a b = o devient

A — I ■= a , d'ou Ton tire

a

a = i

d'oii il fuit que rinte3;rale demandee eiT:

dx^ dy^ z ='y 1 ^^-y)

Remarque I.

Peut-etre fe trouverat on embaraffe par I'ambiguite des
fignes , & demanderat on fi Tequarion differentielle de cet
exemple a deux integrales premieres ; raais il faut obfer-
ver que ces deux integrales font identiques. On s'en con-
vaincra facilement en les integrant ou toutes deux fepa-
rement , ou conjointement , en conlervant le double figne
car alors on remarquera que I'lnte'grale en quandtes finies
eft unique. En effet on fait que I'lntegrale de I'equation

g^nerale x il -^yil^mi^yF^j^ eft l=y-"'f- (^
-f- y'- FI - ) ou , ( lorfque la fontliion F eft arbitraire,

comma dans ce cas ci ) £ := J'"" f ( ~ ) "+'j"^ { ". ) ' "^""^
Mifc, Taur. Tom. V. o

io6

I'integrale finie de Teqiiation que fai prife pour exemple fe.ra

oil I'on voit que chaque expofant de y eft une des ra-
cines de I'equation a'-t- (^4 — i) a -^ B = o
Done fi Ton reprelente par P' 8c F ces deux racines ,
I'lntefjrale finie lera

ou

blenj=j,"/(^)+^''f(j,)

Or ces deux equations font identiques ; done &c.

II eft facile de s'aflurer de I'exaftitude de cette inte*-
grale , par la differentiation , car on aura , en ne confer-
vant que ies carafteres f Sc F pour abbreger,

Ax~=^A yP^'-f ■ -+- Ay"" - F
dx ^ y" y

A y it=-Ay^tf ^ A Py^f- Ay^'^j P V^ F y^' F
IX'iiaz p ^ r/ P ^ rt' , n p"^ rt P'^ V p/ ■* 77/'

-^^P'y^ -P

ddz _^} p X f,

T

X

: i'-Py' - f'^y'yJ"-r P^y'f - Py'-r
r 5= i-^-y" jf'-Py'f^y" ; F-Py"^y F' -^y" f^ P"

P"- yP' F-P' yP - P-^y^- -F - P'y^' F

J J y J y J

B I — B y\f -^ B y^' F
ajoutant enlemble routes ces quantites , on trouvera

«»7

Quantite qui, parceque les fonftions f 6c FCont indepea-
daiitcs , ne peut dpvenir =0, que chacun des coefficiens

P' -h {A~i) P -h B & F--^{A-i)P' -^ B
ne foit ::= o & par confequent que les expofans P & P'
ne foient les racines inegales de I'equation commune
/*' -+- {A-i) P -*- B . Je dis que les racines F Sc P' doivent

etre inegales, parcequ'autrement I'integrale ^ =j'^/ T - J

•+■ y^ F( - ) fe reduiroit a { ■=.y^ f | - J & ne feront plus

completus , puis qu'elles ne renfermerout plus qu'une fon-
ftion arbitraire.

Remarque II.

\

L'integrale du probleme precedenx etant

ij" fuit qu'elle eft de meme forme que la propofee, que
par confequent on I'integrera de la meme manieie , &
^ue'fon intdgrale fera encore de meme forme c'eft-a-dire

v.-^ar\u v^"-.. &c. = y^j^^^^ypf (f) ^K"

Lfs expofans P, & P' devant fe trouver en fondion de
a, h, c- • • &c. d'ou il eft facile de conclure que l'in-
tegrale finie de la propofee doit etre de cette forme

r=/^ (^)^-/" ^( j)-^^'v(^)-y '^( J)- ■ • '^--M

les expofants /* , P , P' , F" •••&€. etant conftans Sc

0 i

xo8

dependans des cocfficiens A , B , C • • > &r. &: le terth'fe
M dependant du iecond membra K , de maniere que li
Ton a /C = o , on aura aufTi M==o. 11 s'agit a61uelle-
ment de trouver ce terme M & les expofansP, /", P' • ■ ■ &c.
or ces expo(ans P , P' • ■ • &c. font independans de iC ,
ainii pour les trouver plus fimplement , je fuppoferai iir=o,
je cliercherai enfuke la forme du terme M. '

P R O B L E M E XI. ^ s.rt

Integrer en quantitis finies I'equation W-^AV-^BV
■JfCV'-^DV" ■•■&c.= o

Solution.

On vier.t de voir que Tintegrale demandee eft de la
forme ^^y^<p {^ ^y"' ^ (p -^y''f0'- • • &c.

II ne s'agit done plus que de differ«ncier cette equation
pour irouver le rapport des expol'a.ns P, P' ■ • • &c. aux
coefficiens A , B , C ■ • • &c, mais i'operation n'etant pas
praticable Ibus cette generaJiie , je vais prendjje. des cas
particu'iers.

On a deja vu que dans le cas de m si"^ ^''fi Ton fait'

I =y' <p (p -^y"-^ (p' °" ^ JV^AV^Bz=y\{0

(P^ -+- (^_,) p ^B )-+-y •^I' (-) ( P^ H- {A~i) P'-^^ B)

quantite qui ne peut devenir «= o , que les expofans P
Be P' ne foient les racines de I'equation P--^{A—^)P~^-B=o
on trouvera de la meme maniere pour le cas de m= y

qu'en fefant j=j^ <p (p^j,.?'^' (f)-^jP"/(i) Ton ne
peut avoir W-^AV-^BV'-irCZs=o que les expo-

109
fens tie foientles raclncs de Tequatlon P> ^ P'- ( j4~(^i^:) )

Si Ton a w = 4 , on trouvera qu'en fefant ^ =^^ (p (S\

y

■+-J''' + (p -^J^"/(p -^ J''"^(p °" "e peut avoir

fF-i-AF.^-BF'^CF"'i-DZ=o que les expofans

ne foient les racines in^gales de

P-'-t-P' '"^-(3-+-i-t-i))-t-P'(5-(i-H.)^-H3(z-t-i) ~:

V>. -t- 2. • I J

^P^C-B~h 2 • i^- 3 • i^)>-4-Z>=o

Dans le cas de ;« = 5 , on trouvera que les cinq e^■po-
fans doivent etre les racines de I'equanon

-Hi • I -*

I w-2 I f'^-4{+i., O^H-3.^^ ^+ £=0

-3(1 i) ) '->-4 3 !■ •'
En continuant ainfi de fuite , on trouvera faciiement la
loi fuivant iaauelle fe forme cette equation , & Ton re-
connoitra qu'elle ert toujours de la forme fuivante
pm P"^'(^-o,).,P'^-(B-x'A+(i)*P'^>{C-«"B^li'J-y)
-+■ P"-* (D- <=^'"C-hBi' B-y'J-h^) ■ ■• &c. = o
dans laquelle les quanciies « , oc ' , « " , k "' . . . &c. ,
/3 , 18' , /3', /3" • ■ . &c. y,y', y'.y" ■ ■ ■ &c. I ,1' • ■ ■ &c.
ibiit des nombres dont voici la formation.

1° Si i'on retranche le premier des termes dont eft
compofe « on aura « ' , de meme fi Ton retranche le
premier terme de « ' on aura o^ " 6c ainfi de fuite. La
m6me chufe a lieu pour tous les autres nombres repre-
fentes par le meme carafteej ain't en retranchaiu le
premier terme dont ell compole j8 on a |3' , de meme

110

on forme Q'' en effd^ant le premier terme tie ff^ il en
eft "^e meme pour la (uite dts nombres y , y' y y' . . . &c..

5 • S' . . . &c. de maniere que tous ces nombres feront con-
nus fi on connoit les premiers de cliaque luite , c'elt-a dire

« , S , V , S . . . &c.

2" II ell ai(e de voir que k e(l == (//z — i) -h Qn — z)
-4- {m — 5) ■+■ {m — 4) . . . o

qut /3 "it=(/?z-i) "X '-^(?;^— 1) « ''-^{m—}) « 'V(/n-4) =« "'...6'c.
qu»= ^ eit=(w-i)|8'-f-(/72-i)|8"-(-(:n-}) i3"'-+-(/K-4)0'". . . &c^
qu^ 8 eft ={m^i)y'-\-{m.~i)y" -^-{171-1')^" -h(m-^)y"". . , &c.

Il eft peutene plus (imple de dire que « eft = (m— 1)
^ (^ — i) ^.. (ot — 3) -H (;;z — 4) . . . &c. , que (3 eft la fom-
me des produits de ces quantites prifes 2 a 1 , y la fom-
me de leurs produits prifes trois a trois , . . &c. De me-
me que oc ' eft = {m — 2)-H(/?2 — j) -^-("^ — a)^{"'' — 5) • • • ^''^'
que i3' eft la fomme des produits de ces quantites prifes
2 a 1 , y' la fomme de leuis pro-luits prifes 3 a 5 . . . &'c.
Pareillement que oc " eft= (/«—})-+-(/« — 4)-}-(/72— 5) ...,&c.
que Q,'' eft egai a la fomme des produits de ces quancifes
prifes 2 a 2 , )/ " la fomme de leurs produits prifes 3 a 3 ... &c.

6 ainft de luite.

Done il fera poffible de former I'equation du degre m
dont les racines doivent donner les expofans de y dans>
I'integrale ge lerale de la proposee ; or on a vu qu'il n'y
avoit plus rien d'indetermiiie dans I'lutegiale que ces ex-
pofans , done en fuppofant la perteftion de I'algebre , on
aura toujours I'integrale Hnie de I'equation

C. Q. F. T.
W-^ A V-^ B V -+- cr-t- D V" ...&c. = o

Remarque

Les expofans P , P ^ P" ... &c. doivent etre les raci-
nes megales de I'equation que nous veuons de trouver ,

Ill

parcequ'autrement le nombre des fonftlons arbitraires
de rintegrale devieiidroit moindre que }e degre de la dif-
ferentielle de la propofee , & que cette inteti rale ne (emit
plus complete. En effet h Ton fuppofe P=:P' I'equation

l'=y^<P {y)-^y^-^{-^ ^e ^^duit a iz=yf<p(^^ qui

n'efl: que I'lntegrale incomplete d'une equation en difFe-
rentielles partielles du fecond degre. Or il peut arnver
que I'equation qui donne les valeurs des expolans ait tou-
tes ces racines egales , done il peut arriver des cas oil la
merhode precedcnte ne donne pas I'intt^grale complete de
la propolee. Le probleme fuivant remedie a cet incon«
venient.

PROBLEME XIL

Completer I'integrale de I'equation W -\- AV -^ B V
H- C V" -^ DV' ... &c. = o lorfque les expolans P ,
P' i F' . . . &c. font egaux.

Solution.

On integrera d'abord une fois la propofee , & d'apres
lout ce qui precede , il eft clair que Ton aura pour in«
tegrale premiere ik complete

/>-_H. ., ^' -^- ^ K" ■+- c K'" . . . &c. z=iy^ (p (-)

De plus en fefant ( comme dans le prob!eme X ) V'-ha'V"

■*-b-F"..

nie fuivance

b' K " . . . &c. = u on mettra cette integraie Ibus la for-

dans laqueile la quaiitue H eft une conftante fonftion de
A , £ , C . . . &c. Gi nous avons vu que I'inte Jtdle ue

Hi.

cetie"equation eft

Pone puifque les expofans P , P', P"...&c., par hypo-
thefe , font egaux , il fauc que I'on ait P = — H , d'ou
il fuit que la transformee doit etre

Pour integrer cette equation foit d co=- p d x -¥• q d y , ce
qui donne p x -^ qy ~ P u =JK^ (p ("} > on aura dcii:::=pdx

H i^ y -^ y''~' (i y (p \- ) '^JK o^^ '^ien

ydu-Pudy=py'^ ~ — J> -hjW j $ {^

on rendra le premier membre differentielle complete en
divifant tout par y^"*"^ & I'on metira apres I'operation
r equation precedente fous cette forme

y''cico-Pa3y^-'dy i-pfj'^x-xdy\ x^

- — yf-—=py<c~J^-j"^y ^yKy)

dans laquelle le premier membre eft =: d— . Mais le der-
nier terme - vp (-) eft

done cette equation fe reduit a

4j^)=(.r--ioE.j,-(;))S^'-^}-4iog.^»(;-)j

dont I'lntegrale ne peut etre que

oy-^ = ^ (J) + log- y <P (j)

oa

OU ffl = / -^^ ^ J j -4-^' log. J (J, (^ j .

dans laquelle les expofans de y font egaux k la verite ,
mjis fans que les deux fonftions arbitraires fe re-|ui(ent ,
le fecon^ etant multiplie par log. y . Ainfi I'integrale
deuxieme dans I'hypothefe des racines egales eft

On transformera cette equation , comma la precedence
en ceileci

& Ton trouvera de la mSme maniere que les expofans
etant dgaux , Ton doit avoir H' ■ssi — P d'oii il fuit qu'eil
fefint d u := p d X -i- (J dy y on aura de mSme que pre-
cedemment

ydci-Pudy=py ^J^^f^y ^y^dy^ (^

En divifant par ^^"•"' , on rendra le premier membre dif-
ferentielle complete , & Ton aura

ou parceque

u v/j H;)='C-^" » (;))- -:% M'-^%(j)

on aura

MifcTaur.TonuV. p

114

tjont I'integrale ne peutetre que

fi,>-'^ F ( 0 -H log. j4 ^^^ -+- I ( \og.yY <P ( p) ou bien

multipliant par y^ , & negligeant le coefficient *- a caiife

que la fonttion (p e(t arbitraire , on aura pour integrale
Iroineme & complete de la propofee

V"u^a"V"'^b"V"'- • ■ ^c.c=y ir(j)-Hy log.j.>f-(j)

-^y(log.j)'<p(j)

On fera la meme operation fur cette troifieme inte-
grale • • • &c. d'oii Ton conclurra que I'intes^rale complete
de la propofee , lorlque les expofants P , P' , P"--- &c,
font egaux , eft

-^-y Clog.7)'(p(^y •• &c.

C. Q. F. T.

Corollaire

Si les racines P , P' , P" ...&c- dont le nombre eft
= m n'etoient pas toutes egales mais qu'il n'y en eut qu'yn
certain nombre = m- n ^ on intggreroit d'aboid la prO'
pqfee un nombre de fois =^ « , & Ton auroit fon inte-
grale a*"' complete} enfuite en I'integreroit {m-r-n) fois
connue dans le probleme precedent , & fon integrale finie
& complete feroit par confequent

»M

f =1 + J.'' . log. yF(^^) +y'( log. J y F ( j)

Le nombre des termes de la feconde fuite etant {m-n-i)
& (i-+-«) itant celui des termes de la premiere.

PROBLEME XIII.

Integrer en quantites finies I'equation g^nerale
J^^AV^-BV-hCr-^D V" •'■&c.^K, le fe-
coiid membre K dtant compofe par voie d'addition &
foullradion d'un nombre quelconque de quandtes de ces

formes Y <p {~\^X'V{-\Y^X font correfpondam-

ment des fonctions quelconques donnees la premiere de
y & la feconde de x.

Solution.

Suppofons d'abord que le fecond rtiembre K contienne
feulement Y <p ( - ) , on raettra la propofee fous cette for-
me x-;^ -^ Y ~ = P u-}^ Y 0\~]; P etant une des raci-
dx -^ dy ^ \y}

nes de I'equauon qui donneroit Icb expofans de j' dans I'iff-
tegralfe de la propolee , fi Ton avoit iST «= o . Or irous
avons vu ( probl. VII. ) que I'integrale de cette transfor-

me. eft.**y/'(^)^y<p0)y*-^, done 1' in-

tegrak preimete fera

n6

on transtormera de meme celleci en

P' etant la feconde racine de I'eqaation qui donne les
expofans Sc Ton aura en integrant

En integrant encore une fois on i ouvera

^ p-'^ ^^\ Cf y'"''y ff y^'^'y C^'^y \\

"^^ ^ VyjJ i.y^'^J 1 ^^- / y~^' }f

d'oii Ton conclurra que K ecant = F cp ( - ) , I'integra-

le finie de la propofee feroit

^_Lvi"-m/'*^/ rfy'"''^y rfy'Jyf<i''^y

La feconde fuice qui ell ici indefinie a caufe de I'expo-
fant inderermine m , doit etre pouflee jufqu'a ce qu'on ait
empoye toutes les racines /* , P' , P" . . . &c. c'elt a dire
que pour avoir fon expreffion finie il faut integrer un nom-
bre de fois = m.

Si le terme K au lieu d'etre = Y <p {-) ^toit

s=: y <p' ( "- j , on auroit dans I'integrale qui donne la
valeur de { une feconde fuite de meme forme j done quel-

»'7
que nombre des quantites de cette forme V (p ( ~j que

K rer fertnp , I'integrale de la propofee , en Verru du
Tl'cor^me d^inonne ci-devant, fera compofee i." de la

premiere fuite y'' f [-) -i- y^ F ( -) ••• &c. plus d'au-

tant de fuites de m^mes formes que la feconde , mais oil
il faudra mettre fucceffivement F , 1^' , Y" . . . &c. pour
y &C <p , <P' , (p" • • • &c. pour (p.

Acluellement fuppofont que le fecond membre K ne

renferme que X "^ {~) i on mettra la propofee fous cette

forme x j^ -4- y —- = Qu-h X^- ( -j , Q etant une con-

ftante done je Lrai voir la nature, & par la methode du
probleme VIII on trouvera que cette equation a pour
integrate.

ou parceque I'on a ,ef (^)=,e.^ f(:)=jef Q

la fontlion F etant arbitraire on aura pour integrate
u = j^ F (~j -+• x^ ^ (~)f Q^^ • Mais par le Theore-

me le termejy^ -^ { ~ ) *^°'' ^'""^ '^ meme que fi Ton avoit

en K=Oy & dans ce cas la on auroit Q = P^ racine
de I'equation que Ton a trouvee dans le probleme XI .
done on aura pour integrate premiere

On I'integrera de nouveau , 6c P' etant la feconde ra-
cine de I'equation qui donneroit les expofans de y fi Ton
avoit K = o , on trouvera par la meme methode pour
iniegrale feconde

en continuant ainii de fuire , on trouveia pojr integrale huie

yJ \.p~^ J \7p^ J 'x^ffff ••• f

Mais par tout ce qui precede , il elt taciie de reconnoitre
que fi le fecond membre K etoit compofe d'un certain

nombre de quantites de cette forme X •^' ( - ] I'integrale

de la propof^e feroit compofee i" de la fuite d'arbitraires

yP f ^-"^ ^yP p ^-^ . . . &c. 1° d'autant de Tuites com-

me la feconde , qu'il y.auroit de quantites X ^^ (-J

-4- X' "i'' (-}, en obfervant qu'on auroit fucceffivement

X , X' , X" • • • &c. pour X &: 4^ , •4'' , ■>^"' • • • &c. pour 4" .
Done en joignant ( en vertu du Theoreme ) les deuS
parties de la folution on trouvera pour integrale generale
& finie de la propofee

jplus a autant de termes comme le dernief qu'Il y a

de quantites de la forme T <f> (~^ ^ en obfervant de

,mettre fucceffivement Y\ ¥",¥'", ..&c.&i(p'<p"<p'\..&c.

x'

ti9

yPlub -JL autant de termes comme le pfecedent qu'il y a

jdans K de quantites de la forme J^-^- (-) , en ob-
fervant d'employer focceffivement X', X", X'" . . . &c.

C. Q. F. T.

Remarque I.

II importe peu dans quel ordre on emploie les racines
P, P' , P".., &c. pour former les termes determines de
cette Equation , on aura toujours le mdme refultat pourvu
qu'on les emploie toutes ; car on fait quefiAf, iV, Z . .
font des fonttions de x , Ton aura
f{Mdxf{NdxfLdx))=f{Ndxf{MdxfLdx))
=f(NdxfiLdxfMdx)) = ... &c.

Remarque II.

J'ai fuppofe dans I'integrale precedente que toutes les
racines P , P' , P" . . . ^c. etoient inegales , mais dans le
cas oil elles feroient toutes egales , il ert facile de voir,
(^Probl. XII.) que Ton auroit pour mtegrale fiiue & complete

U'F{l^^f Log- J i=" (p -^y' C Log. J r F" (p
^)H-^^(Log.^)'F"Q

)-y.(P{.../{?/{^7<»>»...>

(^ &c.

L &c,

car (\ le fecond membre K ne renfermoit que des termes
de la forme J^(p^-J, il ell evident que la fuite des ar-
bitraircs feroit

y F i^^-y' Log. J i^' (p ^y^ ^Log.yTF' (p . . . &c.
De meme, {i K ne contenoit que des termes de la for-
me X'f"(-) la fuite des arbitraires feroit

x" FQ)^xn.xFXp+x'' ( log. xy F" (p . . . &c.

Or il eft evident que ces deux fuites fe reduifent a la me-
me. On a deja vu (Probl. V. Coroll. I. ) , que Ton pouroit
fubftituer y'' a jc^ , il ne refte done plus qu'a faire voir
qu'on peut fubllituer 1. j^ a 1. a: c'eil-a-dire que I'on a

yn.xFC-^=yn.jF'(^^, y\\.yyF' (p =y\\.xyF"{'^
Mais Ton ^y'lxFl-^=y\\.x^\.y-\y-)FQ=.yn.yF(;^
'*-y^\.(^~) F' ^-^ & (parceque la fonftion F eft arbi-
traire)=yi.j.F(p+^''/'(p

De meme on a ( 1. x )' F" (-) = (1.^+1. x-1. j'yF'(-) =

^{ly ^ l-y F" (^)=: UyY F'^l)
-h z l.jy / - i^'(-) -4- (•-)'-^'(y) • Done en ajoutant en-
femble ce« -deux valeurs, on aura F (-) -^X, x F (-)

+ (.i'yF'0=

n')

III

X

' ^(^)+l.Ji^'(p

*

■Fiy)^.\.yF\A^O-yrF'{i\

y/ " vy>

^ou bien cdnfondant les fonftions arbitraires ) =. F (-^

•^ ]. y F' (^-^ -+• (lyY F" (-V II en ferolt de meme

pour un plus grand nombre de termes , done &:c.

Ceci n'avoit pas befoin d'une demonftration particuliere ,

c'etoit uiie fuite immediate du Theoreme.

Corollaire I.

Si les raciiies P , P\ P" . . . &c. fe furpaflent toutes
les unes les autres de I'unitd , c'eft-a-dire que Ton ait
P = P' -H I J P' = P" -^ I ■ ■ ■ &c. , les termes determi-
nes de I'integrale generale deviendront

Or fi Ton a A= o , B ^= o , C = o • ■ • 6'c. I'equatioil
du probleme XI a non feulement les racines en progref-
fion arithmetique dont la difference eft i , mais on a en-
core P = m — I , done alors les termes derermines de
I'integrale feront

<p (-)J -jr-^<P (y)l -yr--- ^■'- -*-^(-)i -^

+ "*■(-) / •• &c,

Mifc. Taiir. Tom. V'. q

"Xdx'^

Ce qui revient an cas da probUtne IX , & donne le m^
me refultat que Von a deja trouve.

Corollaire 11.

L'lnt^grale g^nerale du probleme precedent eft de la
forme i = K -^ L <p u -t- M<p' u -^ N (p" u ■ - • &c. Or j'ai
fait voir dans le memoire qui a pour objet la determi-
nation des fonftions arbitraires , qu'il eft toujours poffible
de determiner les fonftions de cette equation , de maniere
qu' elle fatisfaffe a antant de conditions particulieres , ana-
logiques ou non , qu'il y a de fonftions arbitraires , done
il lera toujours poffible de conrtruire la furface courbe
qui auroit pour equation

W-^AV^BV ■^CV"-hDV"'..-&c. = K
quand meme les courbes a double courbure donnees , par
lefquelles on feroit oblige de la faire pafler & dont le
nombre eft = /;z , feroient difcontinues , & donnees au ha-
zard dans I'efpace,

SUR LA FIGURE DES COLONNES
Par M. de la GRANGE.

r vyn a coutume de donner aux coloniies la figure d'uir
conoide qui ait fa plus graiide largeur vers le tiers de fa
hauteur , & qui aillc de la en diminuant vers les deux
extremites J d' oil rdfulte ce qu'on appelle vulgairement le
renflcmcnt & !a diminution des colonnes; mais perfoiine
que je fache n' a encore donne une raifon fatisfailante de
cette pratique } car je ne crois pas qu' on puifl'e regarder
comme telle celle que la pluspart des Auieurs , qui ont
ccrit fur cette matiere , apportent , & qui confilVe dans la
resemblance qu' ils pretendent qu' une colonne doit avoir
avec le corps humain. II me parcit au contraire qu' il
feroit bien plus naturel de faire les colonnes plus minces
en haut qu' en bas , & cela a 1' imitation des troncs d' ar-
bres qu' on a du neceflairement employer dans les premiers
batimens ; c' eft ainfi que les anciens Architeftes en ont
ufe, comme on le voit par les ouvrages antiques qui font
relies a Home , dans Icfquels la plus grande partie des
colonnes commencent a avoir leur diminution des le basj
mais comme Vitruve qui eft devenu le legislateur des Ar-
chitecles modernes ,• pr(^fcrit formellement le renjlenient des
colonnes en difant qu' il faut ajouter quelque chofe a leur
milieu (liv. in chap. 2) quoique par la perte qu'on a
faite des figures qui etoient jointes a. fon ouvrage , on
ignore la methode dont il s' y prenoit pour tracer la li-
gne du contour des colonnes , 1' ufage de renfler les co-
lonnes au milieu , & de les diminuer aux deux extremiies
eft devenu general , & on ne varie plus que fur la courbe
qui doit former le renflement & la diminution.

Palladio propofe pour cela un moyen mecanique qui
eonfilte a plier tant foit peu une reg'e de bois j Vi^nole

2 ^

114

(donne deux efp^ces de conftrufllons g^ometriques par lef-
quellcs on peut decrire le profil d' une coionne par plu-
fieurs points j enfin M. Biondel a imagine de faire i'ervir
^ ce deffein 1' inftrument de Nicomede , en forte que le
profil de la coionne ait la figure d' une concoide. 11 fe»
roit tres-aife d' iiiventer plufieurs autres moyens pour rem-
plir le ir.eme objet , car tant qu' il n' y a d' autres don-
n^es que 1' epaifleur de la coionne aux deux extremites,
& au point du plus grand renflement , il eft clair que le
probleme eft tres indetermine , puifqu' il nc s' agit que de
faire pafler une ligne courbe & concave vers 1' axe par
trois points donnes. Mais n' y auroitil pas dans la na-
ture meme de la chofe quelque principe qui put fervir a
determiner la queftion ? Parmi ceux qui fervent de fon-
dement a I'architefture il n' y en a qu'un feul qui ait
des regies fixes &c invariables , &: par confequent fufce-
ptibles de calcul 5 c' eft la folidite; il faut clone examiner
{i on peut deduire de cette confideration les conditions
neceflaires pour la determination & la folution du pro-
bleme dont-il s' agit j c' eft 1' objet du Memoire qu' on va

lire .

z Comme les colonnes font toujours deftinees a fup-
porter des charges plus ou moms conliderables, luivant les
circonftances oil on les emploie , il eft evident que fi une
coionne eft trop chargee , elle commencera a fe courber
un peu du coie oil la matiere fera moins de refiftance,
apres quoi elle fe caftera faute d'elafticite, furtout ii c'eil
une coionne de pierre , ou de briques ; or il n' eft pas
dilHcile de comprendre que la courbure iiiivant laquelle
la coionne le pliera iera differente fuivant la figure meme
de la coionne j de Ibrte qu' a hauteurs , & a maffes ega-
les la force d' une coionne pourra etre plus ou moins
grande faivant la nature de la courbe qui en fornura ie
profil. Alnli c' eft uii probleme de nuxiinis & minimis d»

determiner la courbc qui , par fa rotation amour de ion
axe , formera une colonne capable dj fupporter !a plus
grande charge pofllble , la hauteur & la malie de la co-
lonne etant doniiees ; c' ell la , ce mc (emble , le veritable
point de vue , fous le quel on doit envifager la quelUou
du renflcme'it, & de la diminution des colonnes.

3 Quoique la theorie de la force des colonnes entant
qu' elle depend de leur figure ait deja fait le fujet d' uii
tres beau Memoire que M. Eulera donne dans le volume
de r Academic de Berlin pour i' annee 1757; cependant
comme le point de vue fous lefquel cet illuftre Auteur a
difcute cette matiere eft different de celui dans lequel nous
nous propofons de hi traiter , nous croyons faire quelque
pilaifir aux Geomexres en leur communiquant les recher-
ches que nous avons faites fur un fujet, qui intereffe ega-
lement la Mccanique & IMnalyfe.

4 Soit A M B ( fig. I ) une colonne dreffee vertica-
leineat en ^ , & chargee a T autre extremire B par uii
poids qui 1' oblige !l le courber infiniment peu , enforte
qu' elle prenne la figure A N B. Suppofons d' abord que
cette colonne foit d' une figure cilindrique , & que F foil
la force ablolue qu' elle a dans chaque point pour refilter
a etre p'.iee, & qui fera par confequent la nieme par tour,
fuivant la loi generale des corps elalliques , cette force
croitra en raifon de 1' angle de courbure ; de forte que
dans 1' etat A N B , l<x torce de la colonne a un pouit

quelconque N fera proportionelle a - , en defignan: par p

le rayon ofculateur de la courbe A N B. D' un autre

c6;e , (\ on nomine P le poids comprimant a 1' extreinite

B , il eft facile de voir que le moment de ce poids par

rapport au point N (era exprirae par P \ M N; de

forte que la condition de 1' equilibre donnera d'abdrd

X
cette equation P X M iV = - d'oii on pourra connoitre

ti6

tant la nature de la courbe A N B , que 'la valeur
de P.

5 Nommons pour cela les abfclffes A M = x, & les'
ordonnees M N ^=- y ; & comme on fuppofe que la
courbure de la colonne foit partout infiniment petite , on
aura y infiniment petit par rapport h. x ^ dy infiniment
petit par rapport ^. dx; de forte que 1' element de la

eourbe d s =^ V [Jix'^-dy '\ fera a tres peu pres & fans

erreur fenfible = d x . Or on fait qu' en prenant d x

As

conftant on a f = r > done on aura dans notre caS'

» - iix dy

p = i— J par confequent 1' equation a la courbe A N B

■^ K dy , K dy

fera P y ^=. - r, c' eft a dire P y -\r = Ot

dx d X

II faudra done integrer d' abord cette equation , enfuite

faire en forte que 1' expreffion de y foit nulle aux deux

points A , 8>c B , c' elVa-dire lorfque x = o , &c lorfque

X = A B hauteur de la colonne. Or 1' integration eft

facile , a caufe que P &c K font des quantites conftantes,

/p
- •+- ^ ) f S< g

ctant des conftantes arbitraires ; done fi on nomme a la
hauteur donnee de la colonne , il faudra que 1' on ait f

fin o- = 0, & f fn. (l/jf + g^ ) = 0 ; done puifqu' on

ne peut pas faire / = o , ce qui donneroit y = o , il
faudra faire d' abord g = o, 6c enfuite il faudra encore

que I'on ait Jin. ( a y --^ cz=: o ; & par confequent que;
a 1/7. =='« ''■f ^ etaiit r angle de j8o°, &c m un nombre

»»7
quclconqae entier ; ^ ok F on tire P = — ^ Tequa-

tion ft la courbe A N B devienJra par la y = f fn.
(— — — ) , ou la conilante / demeure arbitraire, & ex-
prime la plus grande valeur de y.

6 Si on fait m ■=. \ ^ on aura y ■=■ f {\n , d' ou

r on voit que la courbe A N B nc coupe 1' axe qu' aux
deux extremites -^ , & ^ i & le poids requis pour don-

c

_ jr

ner a la colonne cette courbure fera — -. Si m := i ,

a
on aura y = fjin. , & la courbe coupera 1' axe

au point ou x = - , c' eft a dire au point du milieu C,

enforte que la colonne prendra la figure i ; mais il fau-

dra pour cela que le poids /* foit = --~^— , c'eft-^-dire

a
quadruple du precedent. Si on faifoit m = 3 , on auroit

y ■= f Jin. , de forte que la courbe couperoit I'axe

2 a

aux points oil x = — , & x = — &: feroit femblable
k la figure 3 , or pour que la colonne foit pliee de cette

inaniere il faudra que le poids P foit = ^ — , c' eft-

a-dire neuf fois plus grand que le premier ; & ainfi de
fuite.

ii8

7 Malntenant pulique le plus petit polds qui foit erf

etat de faire plier la colonne eft — ^ — , il femblequ'on

en peut conclure que tout poids qui fera moindre que
celutci ne fera abfolument aucun eiFet, & qu' ainfi on

doit regarder la quantite comme la vraie mefure de

la force de la colonne cylindrique A B. C eft par cd
principe que M.' Euler a determine dans le Memoirs
cite la force de plufieurs fortes de colonnes tant cylindri-
ques que paraboloidiques , & ce fera aufli fur le merae
principe que nous fonderons nos recherches fur la figure
qu' on doit donner aux colonnes pour qu' elles aient la
plus grande force poffible ; mais avant d' en ftire ufage
il eft bon d' examiner ce qui doit arriver lorfque le poids

fera un peu different de — ^ — ; pour cela il faut deter-
miner rigoureufement la nature de la courbe A N B fans
negliger Ja petite differ'.^nce qu' il y a entre 1' element de
Tare d s , &c celui de 1' abfciffe d x.

K

8 Qu' on fubrtitue done dans l' equation P y =: - de

d s^
V art. 4 a la place de p fa valeur rigoureufe - , , &

K (ix dy
r on aura celle-ci P y -^ ^T' — ^^ ° laquelle etant multi-

pliee par dy&c enfuite integree donne Py' - — ; = a une

° — - as

conftante. Pour determiner cette conftante foit / la plus

grande valeur de y , & comme on doit avoir au point

du

119

du maximum d y = o , 8c pair confequent d s = d x y

on aura pour la valeur de la quantite ^y_ - ~z — dans

ce point , — — • - K y qui fera done la conftante cherchee.

Ainfi r equation deviendra - (K-v )=K(i - — );

tnais d X = f^j^ - dy » ^onc - ( K -y) = K

( I - V '^^ •• Jy J ) ou bien en faiflint — ^ = d , -
\ ds J a s ^ 1.

('y 1 y) = iS: ( I - v/( I _ /) ^ d' oil r on tire
caufe de fl'j = — , ij = , ; '■

Ka(/-;)-i-ov)')

On inte2;rera done cette equation en forte que y foic
= 0 lorfque j = o , enfuite on fuppofera aufli y = o
lorfque s ■=. a-., Qa cette derniere condition fervira a de-
terminer la valeur de P, ■

8. Puifque la plus grande valeur de y eft /*, on pent
fuppofer j)^ ■= f Jl?i, (p , Si fubllituanc cette valeur dans

Tequation prec^dente, elle deviendra d'j=: ; r-, •

par laquelle on dsterminera la valeur de (p en j ; 6<: comme
on veut que J' foit nul lorfque j = o , & lorfque j = a il
faudra que (p foit = o lorfque j = o , & que (p ^= m ir
lolque s =■ a. Lorfque m = i la couibe n' .lura qu'un
fcul ventre comme dans la iiti. i ; en taifant m = l elle
aura deux ventres comme dans la fig. 2 ; Si ainli de fuite.
fvlijc. Taur. Tom. K, r

no

9' Si / eft une quantite infiiiiment petite, on a a tres

d (p <P . .

peu pres ds = —7 — , & integrant s = —jt d'oii faifaiit

J = a , & (p = w2 T , on a le meme relultat que ci-
delTus arr. 5. Mais (1 / n' eft pas une quantite infiiii-
ment petite , alors 1' equation de 1' art. prec. n' eft point
fufceptible d' une integrale. exa£le , car la differentielle

//P /f-^Bs p\ depend en general de la reftification des

feftions coniques. Mais en employant les feries on aura

/ i » 244 ) S 6

" '^ I Pf COS. (p -^P f COS. (p J.')Pf COS.(f) \

ds=-^p\ H- 4- -+ -+a,,j

^\ z. 4 K 2. 4. 16 ^ 1.4.6. 64K
Or les difFerentielles ccj. (p' </<p, crij. $" ^ (p &c.: font toutes

integrables , comme V on fait, & pour les integrer il n'y
a qu' a changer les puiftances cos. (p en des cofinus
d' angles multiples de (p par les formules connues ,

z
cos, <p = COS. 1 (p -+- I ,

, 4. 3.

cos. (p = COS. 4 (p -t- 4 COS. 1

1. 2.

A ^ , ^- ') 6. <;. 4

* co^. 6 (p -H 6 co^. 4 (p H coj. 2 (p H-

COS. (p= 2 1.23

&c.

Mais comme par 1' integration tous les cofinus deviennent

dts fiiius , il ell clair qu' en faiiant <p ==. m ir tous ces

termes evanouironr d'eux memes j c' eft pourquoi il fuffira

» 3 I

pour notre objet de confiderer les termes tous conflantes

des valeurs de cos. (p*, cos. tp' &:c.: & de les fiibftituer a la
place de ces memes valeurs dans 1' equation ci-delTjs j ce
qui la rciduira a celled :

qui etanc integree , donnera apres y avoir fait j = a ,

& (p :^ 7/2 ^ ^

K^ 4(8/2:) 4.16 (J zK") 4.i6.j(J(i28X)

par ou r on pourra determiner la valeur de / pour cha-
que valeur donnee de P & de a.

1 o. On voit d' abord par 1' equation prdcedente que

tant que / n' eft pas nul a eft neceffairement > i/f i

& par confequent P >• "^ ^ ^ j d' ou il s enfuit que la

a
colonne ne peut ^tre courbee que par une charge plus

grande que ^'^'•^. En effet (\ on met 1' equation ci-deffus

a '

fous cette forme.

m irY K 4,{%K) 4.i6(3iK') 4. 16.36 (ii8 A'>)
& qu' on regarde la valeur de y* comme 1' inconnue
qu' il s' agit de determiner , il eft clair que puifque les
quantites P Sc K font politives de leur propre nature ,
la quantite /' n' anra que des valeurs negatives, ou ima-

•' , P

ginaires taut que 1 - — L/ -i^ >• o , que cette quantite

r 2

aura une valeur nuUe lorfque i - U ^= o, toutes

les autres etant negatives ou imaginaires ; qu' enfin la
quantite /* aura toujours une feule valeur pofitive lorfque

I - — J 7%. <; c. Done 1° la quantite / fera toujours

imaginaire lorfque i - y ^ > o , c' eft - a - dire

P <; z° la quantite /aura toujours deux valeurs

reelles & egales , mais 1' une pofitive & 1' autre negative,
lorfque i - ' — ^^ <C o, fgavoir P >• — ^ — ; Sc
n aura point d' autres valeurs reelles, D' oil il s' enfuit
que tant que P fera <C — » ^a colonne ne pourra pas
etre courb^e j que tant que P fera renfermee entre les

limltes & 1 , la colonne fera courbee , mais en

ne formant qu' un feul ventre; que tant que P fera en»
tre les limites & ?J1 , la colonne fera necef-

fairement courbee & pourra former ou un feul ventre ,
ou deux ; & ainli de iuite.

II. Nous avons done deraontre tres-rigoureufement que

la quantite ^ eft la limite des ppids que la colonne

a*

peut fupporter fans fe plier j & comme cette quantite
eft egale a la valeur que doit avoir la force P lorfque
f eft nulie , ou ce qui revjent au meme infiniment peti-
te , il s' enfuit qu' on peut la trouver direftement en fuppofant
ti'abord J infiniment petite dans ['equation de la courbe, com-
me on r a fait dans 1' art. 5 , & faiiant enforte que 1' integrate
de cette equation fatisfaffe aux deux conditions de ^ = 0

'35

lorfque j = o Sc s = a, ou bien lorfque x = o Sc

X = a, parceque dans le cas de j infiniment petite ,
1' arc s fe coiifond fenfiblemenc avec 1' abfcifle x . C' eft
de cette maniere qu' on pourra determiner la limite dont
il s' agit pour les colonnes qui ne feront pas d' une epaif-
feur uniforme & dont 1' equation feroit abfolument in-
traitable par les methodes connues fans la fuppofition de
J infiniment petite.

I z. En effet , fi on fuppofe que la colonne ne foit pas
cylindrique, mais quelle ait la forme d' un conoide formd
par la rotation d' une courbe quelconque autour de fon
axe, lequel fera par confequent auffi 1' axe de la colonne,
& qu' on nomme ^ 1' ordonnee de cette courbe qui re-
pond a une abfcilfe quelconque x , enforte qu' on ait
une equation entre { & x , qui ferve a determiner ^ en x;
il eft clair que i ^ fera le diametre de la grpfleur de
la colonne a la hauteur x depuis la bafe , & il n' eft pas
moins evident que la force abfolue avec laquelle la co-
lonne refiftera dans cet endroit a etre courbee fera d' au-
tant plus grande que la quantity i { fera plus grande i
de maniere que cette force pourra etre regardee comme
une fonftion de ^ & per confequent auffi comme une
fonftion de x , que nous defignerons en general dans la
fuite par X. Ainfi il n' y aura qu' a mettre {implement
Xi la place de ^ dans I'eouation de 1' art. 5 , & 1' on aura

P y _^. _^L — o

par r equation de la courbe fuivant laquelle la colonne
fera pliee par le poids P dont on la fappofe chargee, en
fuppofant que cette courbe foit infiniment peu ditferente
de la Ugne droite.

1}. Or puifque dans le cas ou X ^toit une quantite
coiiftante K on a trouve en general pour la valeur dey

cette expreffion j = f Jin.(x ^> _j., ^ j , fuppofon's

maintenant y == ^ fin. (p , ^, & (p etant des fonftions
iiiconnues de x, Sc 1' on aura en difierentiant dy = fin.
^ J ^ -+- ? COS. <p d (p, d'y = Jin. <p d'^ ■+• 2 cos. (p d(p
^p _i.. ^ COS. (p d'(p ~ ^ Jin. <p d (p'j done fubftituant ces
valeurs dans i' equation de 1' arr. prec. on aura

Comme nous avons introduit deux variables indetermi-
nees ^ & <p, nous pouvons faire difparoine dans cette
equation les Jin. & cos. de (p , en la partageant en ces
deux-ci

i. d <p d"^ 5 J' $

la feconde etant multipliee par ^ i/ x , & enfuite integr^e
^Vj ^ d p It rdx

donne -; — = A , d' ou Ton tire -r~ = f^ 3c m = k ;7t
d X d X ^- ^ ' K i

h etant bae conftante arbitraire. Subftituant cette vaieur

dans la premiere equation elle deviendra

par laquelie il taudra determiner la variable^; enfuite de

quoi on aura y = ^fin. f h I fi J .

Soit pour plus de fimplicite ^* = A ^^ , on aura en fub-
ftituant cette vaieur dans T equation en ^ celle-ci :

rdx

& la vaieur de y fera y = y/{liii). Jin, I ^ .

135

14 On remarquera d' abord a 1' egard de cette ex-

preflion de y qu' elle contient deux conftantes arbitraires,
r une c' eft la conftante h qui ne fe trouve point dans
r equation en ii ; 1' autre c' eft celle qui eft virtuellemenc

/dx
— , c' eft pourquoi il lufEra

d'y fubftituer une valeur quelconque de u qui fatisfafte
a I' equation en u fans s'embarafTer ft eile eft une inte-
grale complette de cette equation ou non.

Un autre avantage de la meme expreffion de jy' , c' eft
qu' elle eft tres-commode pour la determination du poids P.,
car luivant les conditions du probleme il faut , i ." que y
foit = o lorlque ar = o , condition qu' on remplira en

prenant I' integrate de / — enforte qu' elle ^vanouifte lorf-.

que X = o . 2. ^ 11 faut ^ue y foit audi = o lorfque
X =. a; &L pour remplir cette condition il faudra que

la valeur de 1' integrale / — > qui repond a. x =: a foit

es: m v ; car alors yT/z. / — fera nul . Or corame la

quantite u ne doit point contenir de conftantes arbitrai-
res , il eft vifible que cette derniere condition donnera
une Equation entre les quantites P Sc a , par laquelle
on pourra determiner P.

Quant au nombre eniier m qui demeure indetermine ,
il eft clair , par ce qu' on a vu plus haut, qu' il iera tou-
jours egal au nombre des ventres que la colonne for-
mera en fe courbant par la preflion du poids P j done
pour avoir la limite des 'fardeaux que la colonne pourra
fupporter fans fe courber d' une maniere quelconque , il
faudra toujours prendre pour m le nombre entier qui
renJra la valeur de P la plus petite ; (k cette valeur
fera ia limite cherchee.

15. L' hypothefe la plus fimple qu' on puiffe faire fur
la figure des colonnes lorfqu' elles ne doivent pas etre
cylindriques , eft de les fuppofer formees par la rotation
d' une feftion conique autour de fon axe ; or 1' equation
generale d' une feftion conique oii les abfcifles font pri-
les dans 1' axe , eft comme 1' on fait :^^ = tt -i- B x -^ y x%
X etant les abfciffes , & ^ les ordonnees ; 8c a , Q , y etant
des conftantes arbitraires ; ainfi nous adopterons d' abord
cette equation entre les variables { & ;v , & nous cher-
cherons quelle eft la valeur de P qui en refultera; mais
pour cela il faut encore etabiir la loi qui doit avoir lieu
entre les rayons ^ & la force X avec laquelle la colon*
ne refifte a fe courber ( art. i 2 ).

16. II paroit que la theorie & 1' experience s'accor-
dent afses a faire X proportionelle a :(*; comme on peut
le voir par les ouvrages oii cette matiere eft traitee ;
ainfi nous fuppoferons en general X = K :[* i ce qui
donnera dans le cas de I'art. prec. X= K (a -+-^ •^-+-JK ^^Yi
ce qui etant fubftitue dans 1' equation en u de Tart. 13

_ f l.ud^ II — du'^ . \

on aura 4 P u^-hK (*-4- (3 x~t-y x^y I —- )- 4 1= o

equation a laquelle on peut fatisfaire en faifant u = g

{a -^ (i X -^ y x^) =g l'- ; car on aura — — =

4^'^(et-l-|8:v-H)^x^)-^* (^a -¥• ^ y x) '■
= ^^ ( 4 ec y - /3' ) ; de forte qu' apres les lublhtu-
tions on aura 4 P g'' -+- ^ ( g^* (4 <« ? ~ /3") - 4 ) = o-
d' oil r on tire i

^ = VG ■+- * 5^ -f )•

Cette valeur de u n' eft , comme 1' on volt , qu' une inte-
grale particuliere j mais elle fuftit pour notre objet , comme
on r a fait voir plus haut (art. 14).

Main-

^37

17 Maintenant on aura f — = I — -^

Ju J g (a-^ (ix -*- y x')i

d X

done fi on nomme A I'inteerale de x

° A -i- ^ X ^ y x^

dx .

c' eft-a-clire de — ^ prife enforte qu' elle foit nulle lorf-

que ;f = 0 & complette lorfque .r = a , on aura —

pour la valeur de I - repondante k x = a ; on fera

done (art, 14) ~ = m tt ; 8c on tlrera de la

==(^--.,.--)x

Telle ell done la valeur du poids P qui pourra faire plier la
colonne iafinimeiit peu , & comme cette valeur augmente k
mefure que le nombre m e(t plus grand , on fera m = i , pour
avoir la limite des poids qui pourront etre fupportes par
la colonne fans qu' elle foit fujette a fe courber en aucune
maniere ; ainli la force de la colonne I'era d' autant plus
grande que la valeur de P fera plus grande ; d' ou Ton
voit que la force augmentera a mefure que la quantite

— - « y croitra , & que la quantite A decroitra ;
4

ainfi ce fera une queftion de maximis & minimis de de-
terminer les valeuis des conftantes*, |3, }/ pour que la for-
ce P ibit la plus grande i mais comme cette force doit
neceflairement augmentcr a mefure que les dimenhons de
la colonne augmentent , on ne peut chercher qu' un maxi-
mum relatit a la mafl'e de la colonne , en fuppofant fa
hauteur donnee ; c' eft fous ce point de vue que nous
allons envifager la queftion.

Mifc.Taur. Tom, V.

i}8

1 8 Pour commencer par les cas les plus fimples nous

fuppoferons d' abord , que 1' on ait ^ ~ a y = <? , auquel

cas 1' equation du profil de la colonne deviendra {* c=s
(v^et -+- X ^yYi & tirant la racine carree { = VA-^xVy,
qui eft a une ligne droite ; enforte que dans ce cas la fi-
gure de la colonne fera celle d' un cone tronque ; faifons
pour plus de commodite , v'et = i" , \^y = c , & par
confequent (i = i b c ; on aura done ^ = i> -h c x

& I' integrate de -^ prife de maniere qu' elle foit nulle

lorfque x = o, fera ' ( ~ ~ T J ' ^""'^ faifant x = a

I / 1 I \ ^ a

on aura A = ( -, ~ T J "^ 777 > =^ TT' '

en faifant b' = b -+- ca ; oil 1' on remarquera que b eft
le rayon de la bafe inferieure de la colonne , &: b' ce-
lui de la bafe fuperieure ; ainfi on aura dans ce cas

Maintenant pour avoir la folidite de la colonne on
remarquera que l' aire du cercle dont le rayon eft ^,
etant exprimee par t {* , il n' y aura qu' a prendre l' in-
tegrate de T{^ix, depuis x = o jufqu' a x = o,

laquelle fera — ( (b -t- c a)L b^ j , c' efta-dire (a caufe

de b -h ca = b' Si c = tjl±\ L^ (h^ _H /./,' -+. i' ») .

Ainfi le rapport du poids que la coionne eft en etat de
fupporter au carre du poids meme de la colonne fera

exprime par — _^ / y — aTyT ^'^^ntue qui ne depend

que du rapport des rayons b &c b' des deux bafes j en

139
1/
efFet faifant ^ z= r^ la quantite precedente deviendra

a K r- ci K

<?♦ ( I -+- r -t- r» )» *»■* ( n-r-t--; )»

Ceite quantite fera done la plus grande lorfque la va-

leur de i H- r -4- - fera la plus petite , ce qui aura lieu,

en faifant d r — — = o , ou blen i — — ■ = o favoir

r = I , & par conf^quent b = b'. D' oii 1' on doit
conclure que la force d' une colonne de figure conique ,
relativement a fa folidite , fera toujours la plus grande
lorfque les deux bafes feront egales , c' eft-a-dire lorfque
la colonne fera cylindrique- Ainft pour cette confideraiion
les colonnes cylindriques doivent etre preferables aux co-
niques-

19 Nommons en general s la folidite de la colonne,
qui ell egale a 1' intigrale de tt {' i x prife de maniere
qu' elle fuit nul!e lorfque x = o , Sc complette lorfque

a: :^ a , & le rapport de P a 5-, c' eft-a-dire la valeur

p
de ^^ pourra etre regardee comme exprimant la force re-
lative d' une colonne ; cette force fera done , pour les
colonnes coniques , oil les diametres des bafes font entr'

elles comme r a i , = — ■ rr, , & pour les co-

lonnes cylindriques = — ; ce qui fert a determiner la

valeur de la conftante K ; c' eft pourquoi fi on fait
K = a'* F , \a conllante F exprimera la force relative
d' une colonne cylindrique de meme hauteur,

ao Suppofons maintenant y = o , ce qui donnera
{* = * -t- /3 X qui eft I' equation d' une parabole , T in-

dx dx I

tegrale de "^ = — -— r — fera en general "T /. (<t+/3-0 ;

I40

d' oil en completaiit & faifant x = a on aura A =

I /. (. ^^J) . done ^ = ( j- ^Z^) ^'^-

Maiiitenant pour avoir s on integrera la formule Trfdx^^
r (*-t~/3x) dx, & completant 1' integrale comme on

r a enfeigne plus haut on aura j = t (« -h — ) a i done

Faifons — = r , & mettons Fa* a la place de K , on
aura pour la force relative de la colonne parabolique

rexpreffion|=7lt7)^ y (t^^-^/TcTTo)'^^^'"'

celle de la colonne cylindrique de meme hauteur,

1 1 Cherchons le maxwium de cette expreflion , & la
differentiation donnera cette equation tranicendente en r

^•' ('iLlL-^ /. (H-r) ^liJ-lUll^i d'oiiilfau.

dra tirer r. Pour y parvenir je fais /.(t -4-/) = t ; &
par confequent r = e' - i i j' aural en ("ubltituant

4^^'

Je r^duis en ferle les quantites exponentielles , ce qui

me donne e - e = r -h ■+• -H&c.

— a. 3 2. 3. 4. J

de forte que I'equation deviendra

( 1. 3 ~ 4 Tt'J

O -H --H ' -i- Sec. = O

1.3.4.} i. 3--7

141
Cette equation donne d' abord f =: <? , enfuite ^:ant di-
viiee par ;' elle devient

t*

Sec.

1-3 47' I. 3.4-5 i- 3- • • 7

laquelle , a caufe de t > 3 , aura tous les termes po-
fitits , enforte que comnie elle ne concient que des puif-
(ances paires de f , elle ne pourra avoir aucune racine
r^elle, puilque i* ne (auroit avoir aucune valeur reelle po-
fitive. Ai.id t = o fera la feule racine reelle de I' equa-
tion done il s'agit, par confequent la valeur cherchee de r

fera aulli = o j ce qui donnera — = o & par confe-

quent /3 = o c'ella-dire la colonne cylindrique. Faifons

p
done r =z o dans l' expreflion de — , ou plutoc r infini-

ment petit & elle fe rdduira k F i or fi on donnoit a
r une toute auire valeur, comme ii on faifoit r= «, on

P f

trouveroit - ==: — ^ valeur moindre que la precedentcj ce

qui prouve que le cas de r = o eft celui du maximum ;
d' oil il taut conclure que la force eft toujours plus gran-
de dans its colonnes cylindriques que dans les paraboli-
ques .

11 Confiderons prefentement 1' equation generale
^ = </.-h(ix~^yx^ laquelle reprefente une ieftion
conique quelconque rapportee a I' ua des axes, & faifant
j3=iZ)j^,ct = cj^, on pourra la mettre fous cette
forme {^ = y ( (x -+-/>)*-+- c — i* ) laquelle, li c — b-
eft une quantite negative , reprekntera une hyperbole rap-
portie a (un grand axe lorfque y eft polltive , & une
ellipfe Ijrfque y eft negative ; mais fi c - />* eft une
quantise poiitive , y deura etre pofitive & I'equdnon iera
a une hypjrbole rapportee a Ion axe conjugi enicrte que
ia col(^iiiie, au lieiiu'ecre rentlee , fe trouvera dmimu'ie au

14^

milieu. C eft pourquol il fuffira d' examiner le premier
cas oil c - i)* :^ - r* , en forte que 1' on ait £* = y
( (x -4- />)* - r* ) ; & nous remarquerons d' abord ici
que puifque la hauteur de la colonne eft = a , il faut ,
pour que la courbe qui repond a la portion d' axe a foit
toute reelle , que 1' on ait i° , fi j^ >■ o , /> = o k > r
( r & fuppofee une quantite potitive ) i° (i y <; o ,
•^b<Cr,&i.a-^b<:ir; {-j^ b denotant la valeur
de b prife pofitivement) -

^ , ., dx ^* d*

Cela pole on aura -" = 7~~1 ^ -- 7 ,TT~\

dont r intdgrale prife enforte qa elie evaiiouilfe lorfque

X t=i o fera /. ( r — /\ —. ) ; done faifa

xyr \x-i-v^-r b-r I

I ( a*-b -r y^ h ^ r \

jc = a , on aura A = /. | -. — X ~, )

' % y r \a-i- b ' r y^ b- r / ;

de la a caufe de ^ - a y ^ y' (b^- c) = y' r- ,

4

r expreffion P deviendra ( article 17 ) F = y^ r*
J I -f / a + b-r y b^r \ \k

13 II ne refte plus qu' a trouver la valeur de S par
I'integration de la formule 1: 7^ i x=zi{ y ( {x-^b) *-r') dx^

laquelle donne 1' integrale n y {[IJ1}ALzJL " r* x\
x=. -g y X {t^ -r- X b -\- h"- — r^ Ji de forte qu' ea
faifant a: = a , on aura 5"= v y a { ~. ~t- a b •+• b'^ -/■* J »

r. — r-\\. .^ Kr^

done enfin-H = ] ^ -+- ^- ( — /{ — ) f a*

14?
Faifons encore h'=pa^rs=qa^&c mettons F a Ja

place de -7- 011 aura

P

{- -^ p -^ p' - f )

'expreffioa qui peut fe iimphlier encore en fuppofatits
p -i- p^ - f = t ce qui la reduira a celle-ci :

qui ne contient que deux indeterminees t &c (j .

f
14. Puifque ^ = -, il eft clair que la quantite q

devra toujours etre pofitivej voyons done d'abord qu'elle
fera la valeur de q qui rendra 1' expreffion precedente
au maximum. Pour cela il fuffit de rendre un maximum

la quantite ^- | -: -^ — - — 3 — - j ; dont la differentielle

\i - l)

logarithmique etant egale a zero donnera 1' equation

d' ou il faudra lirer le valeur de q .
Faifons pour cela /. [ ) ^^ T Aowz —

/ - q
S>c q = t , r equation precedente deviendra

= c^ ,

144

L -}- 4. r = 1 — = 1 ( e " - I J ; done re-

duifatit r exponentielle e -^ en ferie on aura I' equation
7^-4- I ~ ^-7- ) ? » -4- — ^ z* -+- &c. = o

laquelle donne d' abord ^ = o, & a caufe que tons fes
termes font pofitifs ne fauroit avoir aucune racine reelle
plus grande que zero. Mais nous aliens prouver que cetie
equation ne peut avoir non plus de racine reelle negati-
ve. Pour cela je reprends la forme

{» 27
—I- ■» r r^z /> <-

111'

e —J

Ui I

= I - « - -„

& ie fais ? = — , i' aurai celle-ci:- ^

II eft vifible qu' en faifant k = 0, les deux membres de
cette equation deviennent nuls a la fois , & par confe-
quent egaux entr' eux j mais a mefure que « augmente,
le premier membre augmente aulli , 8c le fecond diniinuej
done il fera impoffible que 1' equation puilTe jamais avoir
lieu lant que u fera > o j pour prouver que le fecond
membre diminue a mefure que u augmente il n' y aqu'a

prendre fa differentielle , laquelle eft - ^ i - , j d u \

or comme e eft >» i il eft vifible que e ' fera toujours

aufli > 1 tant que // > o dont i — -^ fera toujours

un nombre pofitif, par confequent la differentielle dont il
s' agit fera toujours negative j done &e.

25. Nous venons done de demontrer qu' il n' y a qu'une

feule valeur reelle de ^ ou de /. qui puifle rendre

la formule propcfee un maximum ou un minimum ; cette

valeur eft /. s= o , d' ou 1' on tire —

f - q _ t- q

& de

^4J
& de la y =» 0, Qu' on fafle done dans V expreffion de

— y <j = 0 , ou feulement infiiiiment petit , elle deviendra,

9

a cauie de /. ( — ) = = —2. a tres - peu

\ f-i J 1-7 *

ores , - = -^ : pour voir maiiitenant h cette va-

leur eft uii maximum ou un minimum ^ qa'on faffe par

exemple q z= t on aura / = / « = cc ; de for-

to que rexpreffion de — fe reduira a celle-ci — r-, qui

eft evidemment plus petite que la precedente,a caufe de tt>i.

Quant aux valeurs imaginaires de i, c' eft-a-dire de

/, , il eft clair qu' elles doivent ^cre rejetees, parce-

t - q P . .

qu' elles rendroient toute la valeur de -^ imaginaire , il

n' y a que le feul cas ou { feroit de la forme fji. W'" i,

P

dans lequel — auroit neanmoiiis une valeur reelle ; or

ce

t-t- (J

cas aura lieu quand = - i , c' efta-dire lorfque

/t -^ CI —

,—2 — = I - \ =. r \'- I

& rexpreffion de — deviendra _ laquelle

-(i + 0'

eft, a la veritc, toute reelle ; mais comme elle eft en meme
terns negative , ce qui eft ablurde , on voit que le cas
dont-il s' agu doit etre egalement rejete.
Mifc. Tuur. Tom, V. t

14^

. P . .

26. Le maximum de la quantlte -^ aura done lieu unl-

quement lorfque ^ = 0 , ce qui donne r = o, & par
confdquenc £» = ^ ( ^ -+- M* poi^'" 1' equation de la
ccube , ce qui rentre dans le cas de 1' art. 18, ou la
colonne etoit fuppofee conique ; d' ou il s' enfuit que la
figure conique dans les colonnes ell preferable a la figu-
re renflee qui proviendroit de la revolution d'une feclion
conique autour de fon axe. Mais li on veut que la co-
lonne ait la plus grande force poffible , il faudra lui don-
ner la figure cylindrique , comme nous 1* avons demon-
tre plus haut (art. cite).

17. Je n' examinerai pas ici quelle eft la force des
colonnes qui font formees par d' autres courbes que des
feftions coniques ; parceque d' un cote l' equation en u
de r art. 1 3 eft rarement integrable , & que de 1' autre
la confideration de plufieurs cas parriculiers ne pourroit
jamais conduire a une conclufion vraiment generale . Je
vais tacher plutot de refoudre la quellion propoiee d' une
maniere direfte & generale, en cherchant immediatement
la courbe qui, par (a rotation autour de fon axe, piodui-
ra une colonne qui ait la plus grande force poillble ;
probleme d' un genre affes neuf , & dont la folution de-
mande des artifices particuliers qui pourront nieme etre uti-
les dans d' autres occafions.

28. Voici en quoi coniifte ce probleme exprime analy-
tiquement : il / agit de trouver une equation entre les or-

donnees z & les abfcijfes x , telle que la quantite z^ folt la

plus grande qu il efi pojjihle ^ s etant egale a C integrate
V f i'- dx prife depuis x = 0 , jufqu d x ^= Oy & P etant
une conjlante qui doit etre determinee par cette condition ,

— prife enforte qu! die foit nulla lorfque

M7

X = <? , devlenne = w lorfque x ^ a, en fuppofant u

donnee par I' equation differentielle

une

j^ P U--+- X f J- ■ - 4 J — o ou X eft

foncllon donnee de i que nous avons fuppofee plus haul

On voit que ce qui rend lurtout le probleme difficile,
c' eft que la quantite u n' eft pas donnee en P, & en ^,
en termes finis ; niais fuppolons pour un moment que ce
foit une fondion connue de {, & de /* , enforie que
du = Md^ -+- NdP, en faifant auiFi P variable , dans
ce cas voici comment on pourra s' y prendre.

P

Puifque rrj doit etre un maximum on aura d' abord

en differentiant & employant la carafleriftique ^ ,
— -f- — ^ — = o j Or puiique / — = a une quan-
tite donnee t laquelle eft independante de P , on aura

_f ^ == c> , & mcttant pour

5« fa valeur Ml i -^ NIP, f ^^ ] '^ "" -t-

CNIP dx ■ n ' 'a

I ^ 0 ; mais P eraiit une conltante par

rapport a x , on pourra mettre fa differentielle IP hors

du figne d' integration , ce qui donnera 1' equation

/■jVf S zd X ^ n rNdx ,, . „

/ i ~h I P I = 0 d ou 1 on tire

(•Ml {dx

I P = — '-i__J'-! ces integrates etant prifes depuis

/

Nd

X =i 0 y jufqu' a X = a.

t a

Quant a la valeur de S j , puifque s := it j i^ d x ;

on aura Sj = 2 it I ^l idx ; done fubftituant ces va-

leurs de SP, & de i s dans 1' equation ci-deffus , on

fMlidx

.. . rtidx J — ——

aura celle-ci: ir n — i— —

/

Ndx

— JL qui peut etre re-

gardee comme une conftante , & nous aurons 1' equation

f fll—JLS\ lidx = o, laquelle donne LL— _^= o.

Or comme u ei\ fuppofee une fonftion de { & de con-
ftantes , que M ell par confequent audi une fonftion
de { & de conftantes , & que 5 & i? font auili des
conltantes , il s'enfuit que cette equation donnera {= a
une conrtante ; mais il faut que cette valeur de ^ fatis-
faffe aufli a 1' equation en u ; or comme u eft (liyp.)
une fonftion de { & P on aura auffi u = k une con-
Itante ; done T equation dont nous parlons deviendra
j^ P u^ — j^ X =^ 0 , on 4 P u^ - X == 0 ; laquelle
pourra toujours fe verifier lorfque X fera une fontlion
de {■ , comme nous T avons fuppole.

Au refte comme cette folution eft fondee fur 1' hypo-
thefe particuliere de u egal a une fonflion de { , il s' en
faut beaucoup qu' on puiile la regarder comme exafle &c
complette ; aufli n' eft elle ici que comme une introdu-
dion a la foluiion generale que nous allons donner dans
les articles fuivans.

29. Nous aurons d' abord comme cideflus les deux

SP ^^s rdxlu „ .

Equations — — = ^j / = " > & de

149
plus nous aurons auffi 1' Equation ^ s = z v I -i I i d x;

& il ne reftera plus qu' a trouver une equation entre
IP, i u , Sc S {. Pour cela je reprends I' equation en //,
& pour la rendre plus traitable , je la ramene a fa pre-
miere forme , en failant z/ = r ^ , ce qui la reduit a celie-

c\ P t -h X ( — ; - —J- j = o laquelle eft moins-

chargee de differentielles que celle en u ; maintenant je
la dilFerentie en affeftant les differentielles de la caradte-
rirtique S & faifant varier a la fois t , P & { , j' aurai

mais puifque X eft fuppofee une fonftion de ^ on aura
d X = X d I, & par conf^quent audi IX = X't^-,
de plus on a par les principes de la methode des varia-
tions, expofee dans les tomes II, &cW,td-t r= d'- '^ t ;

— P t
done fubftituant ces valeurs & mettant de plus — a la

. . d' t I , .

place de -—-; - — p, on aura cette equation

PS, H- ,SP - Zi£li_H-Z f^^'-^Uo
c' elVa dire

r - '#)

It ^X —^ -4- r S P -

dx' X

Je multipUe maintenant cette equation par a d x, tt, etant une
nouvelle mdeterminee, & je Tiniegre en faifant difparoitre,
par des integrations partielles , les differences de 5 f, j' aurai

dx , dx

-t-SP I i*d X - P I -^ - — L d X =-d une conftante.

*5°
Je fuppofe ce qui eft perrais que la quantite a foit telle

que r on ait

I P - ^ — ) A -^ ^; = — , ( H etant une

conftante quelconque ) & 1' equation precedente deviendra

h I 1 -~ — -+-S PI t Ad X

J ti dx dx J

— P J — -^ — ^ dx i=^ a. une conft., oii je remarque

qu a caule de r* = u^ on aura / = j -^ — j

Done fi on etend 1' integration de 1' equation precedente
depuis X = o ^ jufqu' a x ;= a , on aura la valeur de

r integrale / -— — ~ laquelle devra etre nulle par les

conditions du probleme.

Pour cela je nomme B la valeur fotale de 1' integrale
ft A d X prife depuis x = o jufqu' a ^ = a , enfuite je

nomme fl & 4^ les valeurs des termes — ^ — .-- - ■—^, — - S t

a X dx

pour le point oii x = o , & pour celui ou x = a ;
j aurai done a caule de / — ^ = / — =^,

I'equation H-^-^BlP-P H-^^ilS d x —o
d' oil r on tire d' abord

1^ = ijzLB ^ -i Ti^lii d X

P B F B J X

r integrale f — f — i etant aufli fuppofee prife de-
puis X = o jufqu' a. X = a .

Done fi on fublHtue cette valeur de S P, ainfi que celle

de S 5" dans 1' equation — - = o

^ I' s

Ml

on aura celle-cl

li B B J X S J ^ ^

ou bien , a caufe que les quantites B Sc S font conftan-
tes par rapport a x, piiifqu' elles expriment des integrales
determinees ou x elt fuppofee = a ,

izji+ rc..^-.±iL)t^dx^o

B P J \ BX S J ^

On aura done d'abord pour tous les points de la courbe

i» , • • A >r ■ t oL X' 4 Tf ?

I ecTuation indennie — — — i- = o

^ B X S

» (I X J- ^ * X' 4 Tt B
c elt-a dire =^— = .1 j

enfuite on aura I' Equation determinee N = M laqueile
ne fe rapporte qu' aux points extremes de la courbe oil
X = 0 &:. X = a.

30. Ainfi pour avoir ['equation de la courbe cherchee
il n' y aura qu' a eliminer les deux indeterminees f & *,

a r aide de ces trois equations

t uX' 4 Tt B

X

P^^x(p.-l\^o

& comme X eft fuppolee une fonclion connue de { , on
aura une equation finale , entre les ordonnees { , & les
abiciifes x .

II ell bon de remarquer que fi on fait a = H r ^ la
conltante H difparoicra de la feconde equation, & que la

premiere etant divifee par H deviendra — = ^■, ..- »

de forte que, comme H eft une conftante arbitraire , la

■ . AT B

quaniite - — aura une valeur conftante queiconque in-
dependante de ^, & de 5".

151

De cette maniere on aura done , en prenant une con-
ftante arbitraire C, les trois equations fuivanres

P t -^ X i j—^ "■ "i ) = ^ » ^""^ renferment la folution

du probleme propofe, pris dans toute fa generalite.

31. Si on chaffe r & f , il viendra une equation en |^ & jk
du quatrieme ordre , qui fera peut-etre bien difficile a in-
tegrer ; mais je remarque que ^ = a une conftante fera
fureraent une integrate particuliere de cette equation j car
fuppofant :^ conftante , X&L X' qui fent des fonftions de ^,
feront aufli conftantes , de forte que fi on fuppofe aulii
r & t conftantes en meme terns, les equations cideffus
deviendront
rtX' ^ rP--i X\ I n X

dont les deux d^rnieres donneront d' abord

4 . t 1

< + = //x r = -^~~: rp = "" 4 _ 3 J enfuite la pre-

x'

miere donnera - ^ ,- v-" = C ; d' ou 1' on tirera la

z I Xv p X

valeur de ^ laquelle, a caufe de la conftante arbitraire C,
pourra etre une conftante quelconque.

32. Cette valeur de ^ donne evidemment un cylindre
pour la figure de la colonne ; mais, comme ce n' eft qu'
une valeur particuliere , elle ne peut etre cenfee refoudre le
probleme que dans certaines circonftances. En effet, comme
1' equation en j doit etre du quatrieme ordre , ainfi que
nous r avons remarque ci-defTus , elle renfermera necefl'ai-
rement , etant integree, quatre conftantes arbitraires , en-
forte qu' on pourra faire paffer la courbe par quatre

points

points quelconques donnas , ou par deux points , & par
deux tengentes, ou &c-: Si on veut que la courbe de la
colonne qui doit avoir la plus grande force pOilible pafle
par quatre points egalement eloignes de Taxej dans ce
cas on fera aflure qu' il n' y aura qu' une ligne droite
qui refolve le probl^me , enlbrte que la colonne devra
6tre neceirairement cylindrique ; la meme chofe aura lieu,
par exemple , fi les deux bafes de la colonne doivent etre
egales entr' elles , & que de plus les tengentes de la cour-
be aux deux exiremites doivent etre paralleles a I' axe }
& ainfi du refte.

En general , routes les fois que les quatre conditiotrs
donnees feront lelles, qu' elles pourront quadrer avec une
ligne droite parallele a I'axe, cette ligne fera furement
celle du maximum ; mais dans tous les autres cas le pro-
pleme ne pourra fe refoudre que par 1' integration com-
pleite de 1' equation differentielle en ^ & x.

33. Si on veut que la colonne foit a peu-pres cylin-
drique , ce qui eft le cas le plus ordinaire , on pourra
refoudre le probleme d' une maniere approchee que voici.

Puifque lorfque i eft conftaiue on a aufli r , &c t con-
ftantes, il eft vifible que fi { varie peu , r , &:'f varie-
font peu auffi.

Suppofons done
J = Z (I + ?^), r = ;? (i -t-p), r = r (1-4-6),
Z, Ry T etant des conftantes finies , & ^ , p , 6 des va-
riables trespetitesr & fubftituant ces valeurs on pourra
negliger les produits de deux , ou de plulieurs dimeniions
de t, , p , 6 , etiforte que Ton aura des equations ou les
variables ne fe trouverom que fous une forme lineaire ,
& qui feront par confequent integrables par les methodes
connues.

Mais avant de faire ces fubftitutions on remarquera ,
que comme X eft 'fuppolee une fonftion donnee de { ,
jMlfc. Taur. Tom, V. u

'54

j-y- ATP

fi on fait 1± = X, & ^ = X", lesquamltesX&X

deviendront a tres-peu pres X-\-X' Zt^y X' -+- X" Z ^ ,

c- eft-a-dire X ( ' * ^) X (' + ^ ) e„

fuppofant que 1' on ait mis Z a la place de ^ dans X, X\ X'.
enforte que ces quantites feront maintenant conftantes.
De cette maniere les equations de 1' art. 30 deviendront

Or fi les quantites p , 9 & J^ etoient nulles on auroit

d' oil r on tire X = P T\ R — ■- 7;^ J done fup-
pofant ( ce qui e(l permis ) que ces equations aient lieu,
les equations precedentes deviendront

e ^- r^ ^ - £Z1 ^-..36 = .,

ZX' ZX'

oubien, en failant pour plus de fimplicite =M, i -+- .

Z X"

= iV, on aura ces trois equations-ci :

X'

»55

de r integration defquelles depend maintenant la folutioa
du probl^me.

34. Pour int^grer ces equations je fuppofe

Z^ = A fin. {^e -^ K -^ j

et , |8 , >' , e & 6) etant des conftantes indeterminees j Je
fubllitue ces valeurs, & je divife enfuite tous les termes

par fin. {s-+-x — - j ; j' ai les trois equations fuivantes
- M * {a -{- i) " y {a - i)-4-<r|3 = o,

-|8(w-4)-iVfet = oj

la derniere donne a == — ——'- i- , ce qui etant rul>

M ^

ftitue dans les deux premieres, on aura

^ / N {CO - ^)\

/3(<r-4- (w-H j) («-4)) ->' («-i)=^C7i
la premiere donnera (ur le champ

& fubftituant enfuite cette valeiir dans 1* autre equation,
on aura apres avoir divil'e tous les termes par /3 ,

r + (0)-+- 3) (ft,-4) + (aj- O fi -+- — ^-) = '^

u z

c' eft-a-dire en redulfant

(M -h N) u" - 5 N u-\- 4 N- y M ==0

equation d' oil T on tirera deux valeurs de a , lefquelles

feront toujours neceffairement reelles, a caufe que

(^ N)' -r 4 {M-hN) i^N ~ jM) =

9 A^^-4- 12 MN -H z8 M' = (3 iV-h ^M)'^^^itM'■i

& ces valeurs feront

_ 5 N-*r-_ v^ ( ( 5 iV -+- 2 M) ^ -4- M MO
i (Af ■+ iV)

Comme la quantite /3 a difparu de 1' equation en « , il
s' enfuit qu' 611e refte indeterminee , de forte qu' on pour-
ra la prendre a volonte j mais on peut, fi 1' on veut, pren-
dre * a volonte au lieu de /3 , ce qui fera plus commode,
parceque c' elt proprement la quantite ^ que 1' on cher-
che ; alors les quantites /S , & }^ devront dtre determinees

ainfi /3 = - , y = { iv -+" 1 A i

10-4 \ a - 4 /

Quant a la conltante s , comme elie a auffi difparu des
equations , elle fera pareillement arbitraire.

Or puifque la quantite a a deux valeurs, fi on defigne
ces valeurs par co Sc u , & qu' on prenne deux autres
conftantes arbitraires a. & e\ on aura pour la vaieur com-
pleite de ^ 1' expreffion

& les valeurs correfpondantes de 6 & p feront

f = y /«• (f -+" ^ ^) -^ y h- ( ^' ■+• ^77 ) '

jS' & y etant les valeurs de (i Sc y qui refulteiit era
mettant « & &>' a la place de </. &l co.

35. Je remarque maintenant que lorfque ^ eft egal a
une conftanie , ce qui elt le cas des colonnes cylindnques,

on a (art. ii.) P = , a etant la hauteur c!e la

a'
colonne, t etant 1' angle de 180.°; ainfi dans notre cas ok
I :=z Z -\- Z J^, on aura, aux quaniites tres-petites pres ,

P = — - — , puifque X etant conftante eft la meme

quantite qu' on avoit defignee par K ( art. x 2. ) } or on

a (art. 33.) Z >= PT^i done X = ''' ^^* , d' oii

T '• ■=■ — , & par confequent r*s= — . i done fi on
fubftitue cette valeur on aura

^ = * >• (f -«- —7—; ■^- * A V ~^~ J '

* , ot , f , i etant quatre conftantes arbitraires qu' on
pourra determiner , enforte que la courbe cherch^e , dont
les abfcifles font x & les ordonnees font t = Z (i -+• ^)
paffe par quatre points donnes, ou par deux points &
deux tangentes , ou &c. comme on 1' a dit plus haut
(art. 32.)

A r egard des valeurs de 6j & a elles ne dependront
que de la nature de la fonftion X de Zj car en faifant

= ^' TTTTT = M', oi\ aura

JT </ Z ' dXJZ

— 5 (i ■^^f-M') -^-v^(f? -r--? M-3 MO'-H 24 MQ

2 ^^i 1- 2 y^i ~ M )
, _ 5 f I -4- M - M' ) - v/((3 -4- 5 M- 3 Af y ->- ^4 M^)

2 (i -+- 2 M-M)

S' il arrive que u foit negatif , alors le radical Vu de-

viendra imaginaire ; & le terme ce Jin. ( « -*- ^-^^ — " )

deviendra ( en jy mettant tV - i a la place de f & 2 * /- i
k celle de * ) de cette forme

^J8

il en fera de meme du terme a /in. ( « •+- - ^ '^ j fi

a/ devient negatif.

Si X eft fuppofe proportionel a une puiflance quelcon-

que de ^, ou Z, enforte que X = K Z" y on aura

M = n y M = n -r- 1 ; done

5 -f->^(9H-(r«-t-7w')
ft) = — ~ . i. ,

2 + n '

to ■ — ■ i

2 + n

Et fuppofant « = 4, comme on 1' a fait plus haut, on
aura u = 1 , a = -' ~ ; par confequent 1' equation de
la courbe contiendra dans ce cas des finus & des expo-
nentielles.

36. Pour ce qui regarde les conftantes «, a, f, f', le
moyen le plus limple pour les determiner eft de fuppofer

que les valeurs de ^, & —3 foient donnees aux deux ex-

d X

tremites de la colonne oii x := 0 , Sc oh x = a. Pour
cela fuppofons done que lorfque x = 0 on ait ^ = fy

— i? = y , & que lorfque a: = a on ait ^ = /?' —3 = 7%

enforte que Z (i -h p) Z (i -i- p' ) foient les rayons
des deux bafes de la colonne, 1' inf(6rieure & la fuperieure,
& que Z f, Z q' foient les tangentes de 1' inclination
du profil de la colonne avec 1' axe , a 1' extremite infe-
rieure & a T extremite fuperieure i on aura ( art. prec. )
p = et Jin. f -+- et fin. i ,

q = C * <^°^- f -+- K COS. f ) ,

p' = A Jin. ( f -+- TT v^ 6)) -+- oc Jin. (/ •+• tt /uj ) ,

f' = ( It COS. (f -+- TT \/ w) -t' «' COS. ( f' -J- 71- /OJ) ) }

'^9

d' ou r on pourra tlrer les valeurs de « , «' , e , / ; en

effet les deux premieres donneront celles-ci

a q

p COS. IT ^ u -+• — TTT fin. T v^a =

« Jin, ( f -t- TT »/&)') -H a Jin. (e -*- ir \^d ) ,

a q

— p /in. It y/d -H -j-r cos. ir Vci ^

<c COS. (f -f- w »/&) ) ■+• « coj. (e' -«- T /ffl),
lefquelles etant corabinees avec les deux dernieres don-
neront

^ A COS.

\^ ^ It — - — J A M ^^ T( — -^ — J

a q

t= p' - p COS. T >/a - 7~r fin. ft v^d,

— XV. Jin. ( 5 -H ff 1 .J\.Jin. I ir I

a q' a q

s= l/T -i- p fin. ir Vu - — TTT <^<^^' ^ ^*»
d' ou en faifant , pour abr^ger ,

a q a q

P ■=. p fin. ic v^u •+■ — :> ", COS. V Vcio -f- yr I

a q
Q = p COS. T )/u -+■ 77^/«. TT >^U -/,

on tire

tang. {^s = ^ ) = ^,

& de merae en faifant

P s=z v Jin. 71 va -+■ — -7— coi. w V'u -*- 7— ,

Q = P COS. It Voi -^ ,~ fin. It Vu- Pi

i6o

on aura fa«o-,

37. Ainfi les conftantes «, ?, «, 5* auront des valeuris
d^terminees fi les quantites p, ^, /;', ^' font routes don-
nees , de forte qu' il ne reftera plus rien d' indetermine
dans I' equation de la courbe cherchee } mais fi quelques
unes de ces dernieres quantites ne font pas donnees , alors
quelques unes des conftantes * , ? , « , / relleront inde-
lerminees , &: ce fera une nouvelle queftion de maximis
& minimis de determiner ces conftantes, enforte que la
force de la colonne foit la plus grande qu'il eft poffible.
Or r equation de la courbe etant donnee il eft clair qu'ii
n' y aura qu' a chercher 1' expreffion de la force , & la
rendre enfuite un maximum , en fuppofant que les conftan-
tes indeterminees foient variables , ainft que nous 1' avons
fait plus haut , lorfque nous avons pris une feftion conique
pour la courbe de la colonne ; naais la methode que nous
avons employe pour refoudre le probleme en general of^
fre un moyen plus fimple de parvenir au merae but.

38. Pour cela il n' y a qu' a fe rappeller que 1' equa-
tion , qui renferraoit les conditions da maximum^ contenoit
deux parties, 1' une affeftee du figne f, qui a fervi a
determiner en general 1' equation de la courbe , 1' autre
hors du figne /, qui ne fe rapportoit qu'aux deux points
extremes de la courbe , & dont nous n'avons jufqu' a pre-
fent fait aucun ufage.

Cette derniere partie de T^quation dont il s'agit (art.i9.)

eft , QU n eft la valeur de la quantite — ^ — - 0 t

B P ^ dx dx

pour le premier point o\x x =■- o , &c -^ la valeur de la
lyeme quantite pour le dernier point ok x ■= a ; ainli'

comme

i6i

comtne on a egale fepar^ment a z^ro la premiere partie
aife6lee du figne /, il faut paieillement egaler a zero la

"4^ -. n

partie algdbrique , ce qui donnera 1' equation de-

terminee ■i'- - U = o . Pour faire ufage de cette equa-
tion on remarquera que les variations Z t Sc 1 t,

d X

ou bien — t — , qu' elle contient , ne regardent que les

valeurs extremes de t , & — , lefquelles dependent uni-'

quement des qiiatre conftantes arbitraires que 1' expre/Iion
generate de t doit renfermer , & qui font les memes qui
entreni dans 1' exprefllon de t,; d' ou il s' enfuit, que pour

avoir les valeurs en queftion de S ? &: de 5 — il fau-

dra faire varier ces memes conftantes dans les exprelTions

de t & de — , ou feulement celles, d'entr' elles , qui fe-

ront demeurees indeterminees ; Ton aura par ce moyen
les conditions neceffaires pour la determination de toutes
les conltantes indeterminees.

39. Pour appliquer ceci au cas de I'art, 33., on fub-

ftiiuera d'abord dans rexprelTion X aI -^ — S t, Hr =

' ax ax

HR ( I -H /> ) a la place de * , A: ( i -4- A/ ^ ) a la

place deA", & ^(1 -+-G)^ la place de 6, & negli-

geant les termes, ou les qaantites tres-petites ^ , p, 6, lefquelles

tormeroient enfemble deux ou plufieurs dimenlions, on aura

celle-ci: H X RT I. ~^, ou HXRT eft une quantity

conftante.

Or l' expreflion g^nerale de 0 eft (art. 34. , & 35.), en
y fubiHtuant les valeurs de /3 , |3' & T^, celle-ci :
Mifc. Taur, Tom. K. x

J 6%

L 4-0' ' 4-0.' J

d' Oil r on tire

J0 Mt J ct Va COS. (s -+- ) aVucos.\j-4- ) I

— = "S ^ a ■' •+" a ^ r

ax a I ■ '■ y

"■*V^ 4-4. 4-ft' J

Done i.° faifant x = o, on aura

<^ 6 M TT /ct V CCC05. B d V^^y COS. s\

I ~h J,

ax a\4-a) 4 - a ■/

& differentiant par ^ en faifant varier a la fois ec , s, ot,/,
on aura pour le premier point de la courbe

S. T = — X — ( coj' so a.- A fin. eoe)
ax a ' * 4 s.

. M

-/\ — ; ( COS. e t A — A fn. i t f')»

4-41

cette quantite multipliee par H X RT fera la valeur de FT.

a,° Faifant x = a , on aura
£6_ Mn (a Vwcos. (f -f- t Vco) a y/ci COS. ( f -»- T V'a )V

d X a \ 4-41 4-4; /

done differentiant par J , en faifant varier egalement
rt, f, et, f , on aura pour le dernier point de la courbe

8.^ =^X~ (cos.(,-hirVa>)lA-AjIn.(e + Wc^)h)

dx a 4-a

-+- — . p{ ;- {cos. (f-t- T Vui) % A -A Jin. (f -t- T \/a)) Sf*),

1 y \ 4 - 4>'

& cette quantite multipliee de meme par H X RT fera
la valeur de ■•V.

40. Ainfi r equation 4^ - n = o donnera en ordon-
nam les termes

( COS. ( £ -+- T Va ) — COS. s) t A

' ' v..

— {fin. ( e -+- ^ V^6) ) - fin. f ) * ^ £

4 - •

V,

4 <u

163

(cos. (e' •+- T v'a) - coj. e') I <t,'

(Ji/2. (f' -4- T >/&)') -fin. s ) aSf'sso.
4 141

d' oil 1' on deduira les conclufions faivantes.

i.° Si les valeurs des quatre coiillantes a., «, f , f font
donn^es comme dans le cas de 1' art. 36., ou, en gene-
ral , lorfque la courbe doit fatistaire a quatre conditions
donnees , leis differences 5 ct , Id, t b , i e feront niilles
d' elles memes , & 1' equation, dont il s' agit , fe trouvera
identique.

z.° S' il n' y avoit que les quantites et , & a,' de don-
nees , alors S ec , & I oi ieroient nulles , & il faudroit fai-
re ^vanouir feparement les termes affeftes des differences
indeterminees S 6 , 1 1 , ce qui donneroit ces deux equa-
tions

Jin. (b -^ Tt V u) - fin. e ■= o
Jin. ( f -4- X Vu) fin. «' = 0 ,

lefquelles fetviroient a determiner les angles 5 , 6c / » on
auroit done dans ce cas

fin. ir y^u It v^a
tang, e = J. = cot. . ,

I — COS. TT VCC 2

fin. TT y/ u 71 ^ a>
tang. I = -1 . = cot. y

1 — COS. It V cJ 1

J, . ^ Tt Va ■ T v^ffl
a ou B = 90. — , f = 90 — .

Si c' etoient les quantites b & b qui tuffent donnees ,
alors les termes affstles de 8f, & Se evanouiroient, Sc
il faudroit enluite taire difparoitre ceux qui font affvCtes
de See, & 'Bet; mais comme ces termes ne rentcrment
pomt les quantites indeterminees * , « , mais feulement
les donnees f , f' , il s' eniuit qu' li ell irapoilibie de les
faire evanouir en general, ce qui ell une marque qu'ii

X z

1^4

n' y a point de maximum par rapport aux conftantes et, ee

en particuUer.

3.° S' il n' y avoir de donne que les deux bafes de la

colonne , alors les valeurs de p , & p' feroient donnees

( art. 36.); on prendroit done les deux equations de cet

article

p = A Jin. e -^ of fin. b ,

p' == a Jin. ( f -H T y^u) -+- ec Jia. ( f' -4- tt V^d) ^

& les ditterentiant par S , en failJnt p , p' conftantes, &

«t , et, f, e' variables on auroit ces deux-ci :

yT/z. s^ A -i- «. COS. e^ e -{-Jin. £ ^ « -+- ot coj. / § s' = o ,

y?/Z. (5 -t- T */&)) ^ OC -+- * COS. (l-t-TT V^Cii) & f -+-y?«. (f -H TT /&') S d

•+■ d COS. (e -t- IT v'a) S j = o ,

a. r aide desquelles on pourra determiner deux des qua*
tre differentielles indeterminees ^oc, Id, Sf , le par les
deux autres, Cherchons S*, & Is; pour cela on re-
tranchera les equations precedentes 1' une de 1' autre apres
avoir multiplie i.° la premiere par cos. (e -+• t »/a) , &
la feconde par cos. t , 2." la premiere par Jin. (s ~t~ Tf ^cS)
& la feconde par fin. e ; on aura
; Jin. e X COS. (f H- tt Va) —Jin. (e -+- t /a) X cos. s ^ ,

Jin. It V'u
, cos. i X cos, (g -4- T V'oi) — COS. U -t- T ^cS) X co^. 5 / ^ /

•4- . ^ . — ■■ , 1.. 1 « 5 f ,

yi/z. It v'o)

J yT/j. f ^yF/?. (f -f- TT v^ffl) — y?/2. (e ■+■ r y/ci) fin. s ^

Jin. Tt Va

COS. t X Jin. (e •+- t v^u) — cos. («' ■+■ tt Vu) Jin. e , -, ,_
"■ . ; 1 oc 0 5J

On fubftituera done ces valeurs dans 1' equation gene-
rale , & on t^era enluite egaux a zero , feparement , les deux
membres affeftees de S « , & 5 / ; ce qui donnera ces
dfcux equations.

^<i

:6j

4 - al

4 - *

4 - *

(coi.

(a'H-

tan^.

It ^iS)

'""tj*

2

(/«.

(e'-h

ra/jo-.

Tt Va

11 v'w ) - COS. f') -4-

(Jin. (e -i- IT v'co) ■+-Jin. e) == o,

Tt V ci ) - Jin. s) ■+■

( COS. (e -¥• IT ^u -t- COS. s) = o ,
4 - » " a _ . , ,

qui ferviront a determiner les qaantit^s a. & f.

En effet , la premiere ne contenanc que la quantite / ,
donnera la vaieur de cette quantite ; enfuite il faudra de-
terminer rt par la feconde equation , laquelle donnera « = o i
ainfi la vaieur de J^ fe reduira a celle-ci

„ r f XT[>/ a>\

^ = * /«• \^ -+- -7- )

oil les conftantes et , & 5, devront fe determiner par les

deux conditions

p = A Jin. s ^ p = A Jin. ( £ •+• tt V^w) ,

d' oil r on tire

p fin. It ^'ca
tang, e = '—J. _ ,

p—p COS. 77- V a

*^(f '*- i f/ COJ. TT >/&)-+- p*)

K 1 J

yi/J. TT >^ CO

& r on remarquera que 1' on peut prendre IndifFeremment
pour CO r une quelconque des deux racines de 1' equation
en u; de forte que la folution fera double.

4.° Enfin , s'il n' y avoir rien de donne, & qu' on cher-
chac ablblument , entre toutes les courbes poHibles , celle qui
forrnera une colonne de la plus grande force , relativcment
a fa hauteur & a fa malTe, comme nous I'avons fuppofe
dans nos calculs, il faudroit alors dans 1' equation ci-delTus
egaler feparement k zero les membres atlettes des diffe-
reniielles indeterrainees J*, Sf, S«, 5 / j ce qui don-

i6(S

neroit ces quatre equations

COS. ( e -4- 7 \/ii) ) - COS. f = 0 ,

(y?/2. ( e -+- T V^ffl ) - y7;7. £ ) « = 0 ,
COJ, ( 5 -h ^ V^fi)) - COS. £ = o ,

(y^/z. ( J -H T v^aj ) - y?«. i ) A = 0 J

comme la premiere ne contient que 1' angle e , elle ne
pourra fervir qu' a determiner cette quantite ; enfuite de
quoi on ne pourra verifier la feconde qu' en faifant * = o;
de meme la troifieme donnera la valeur de f , & la qua-
trieme donnera necelTairement « = o j

On aura done dans ce cas <« = o , & « = o , & par
confequent Z^ = o.,&ciz=Z (i -+-2!|)=Z;
c' elt-a dire { egale a une contlante , ce qui donne un
cylindre pour la figure de la colonne. D' ou 1' on doit
conclure que la figure cylindrique ell celle qui donne le
maximum maximorum de la force*

ME MOIRE

Sur r utilite de la methode de prendre le milieu

entre les refultats' de plujieiirs obfervations:,

dans Icquel on examine les avaniages de

cetie meihode par le calcul des probabiluesy

& oil r on rejoud differens problemes

relatifs a cette mature.

Par M. de la GRANGE.

V^uand on a plufieurs obfervations d' un meme pheno-
mene dont les refultats ne font pas tout a fait d' ac-
cord , on eft fur que ces obfervations font routes , ou au
moins en partie , peu exaftes , de quelque fource que 1' er-
reur puifTe provenir; alors on a coutume de prendre le
milieu entre tous les refultats , parceque de cette maniere
les dilferentes erreurs fe repartiffani egalement dans rou-
tes les obfervations , 1' erreur qui peut fe trouver dans le
refultat moyen , devient aufli moyenne entre routes les
erreurs. Or quoique tout le monde reconnoiffe 1' utilite
de cette pratique pour diminuer , autant qu' il eft polfible,
r incertitude qui nait de 1' imperfeftion des inftrumens
& des erreurs inevitables des obfervations , j' ai cru , ce-
pendant , qu' il feroit bon d' examiner & d' apprecier par
le calcul les avantages qu' on peut efperer de retirer d'une
femblable methode ; c' eft I' objet que je me fuis propofe
dans ce memoire. Je commencerai par fuppoter que les
erreurs qui peuvent fe gliiTer dans chaque obfervation
foient donnees , &: qu' on connoifie auffi le nombre des
cas qui peuvent donner ces erreurs , c' eft a-dire , la faci-
lite de chaque erreur ; je fuppoferai enfuite que 1' on

i6S

connoifTe feulcment les limites entre lefquelles toutes les
erreurs pofTibles doivent etre renfermees avec la loi de
leur facilite , & je chercherai dans 1' une & dans 1' autre
de ces hypothefes , quelle eft la probabilite que 1' erreur
du refultat moyen foit nulle , ou egale a une quantite
donnee , ou feulement comprife entre des limites donnees.
Je fairai voir, en meme terns, comment on peut determi-
ner , a pojiericri , la loi meme de la facilite des erreurs, &
quelle eft la probabilite que dans cette determination on
ne fe trompera pas d' une quantite donnee. D' ou je de-
duirai des regies afles fimples pour la correction des in-
ftrumens par des verifications reiterees.

Au refte , je fuivrai dans toutes ces recherche? la regie
ordinaire du calcul des probabiliies , fuivant laquelle on
eftime la probabilite d' un evenement par le nombre des
cas favorables, divife par le nombre de tous les cas poffi-
bles. La difficulte ne confifte que dans I'enumdration de
ces cas , mais cette enumeration demande fouvent des cal-
culs afles compliques, & dont on ne peut venir a bout
que par des artifices particuliers ; c' eft ce qui a lieu fur
tout dans la matiere que je vais trailer.

Problime I.

I. On fuppofe que dans chaque obfervation on peut fe
tromper d' une unit^, tant en plusqti'en moins , mais que
le nombre des cas qui peuvent donner un refultat exaft
eft au nombre des cas qui peuvent donner une erreur
d' une unite comme a: rb; on demande quelle eft la
probabilite d' avoir un refultat exaft en prenant le milieu
entre les refultats particuliers d' un nombre n d' obferva-
tions .

Puifque W y z a cas qui donnent zero d' erreur , 8c ih
cas qui donnent -i- i , & — i , c' eft-a-dire b cas qui

donnent

I 69

donnent -H i , & i cas qui donnent - i d'erreur, il elt
clair par les regies ordinaires des probabilites que la pro-
babilite que 1' erreur foit nulie dans chaque obfervation

particuliere fera exprimea par -; voyons done quelle

■-h 11

fera la probibilite que I' erreur foit auOi nulie en prenant

le milieu entre n obfervations. II eft facile de voir que

cette queftion fe reduit k celle-ci : „ ayant n des dont cha-

cun au a faces marquees d' un zero , b faces marquees

d' une unite politive , & b faces marquees d' une unite

negative , enforte que le nombre total des faces foit

a-Hi*, trouver la probibilite qu' il y a d' amener

z^ro en jettant tous ces des au hazard. Or on fait

par la the trie des combinaifons que fi on eleve le trino-

me a-i- b ( X -t- a:"' ) a la puilTance n , le coefficient du

terme abiblu c' elt a-dire ou la puifTance de x fera zero,

d^notera le nombre des cas ou des hazards, ou la lomme

des points marques par tous les des fera egale a zero :

done nommant ee coefficient A, on aura, a caufe que le

nombre de routes les combinaifons pofiibles ell (a -h i ^)",

A

on aura, dis ie, , , — pour la probabilite cherchee.

' ' {d -■- xhy ^ ^

Tout fe reduit done a trouver le coefficient y^; or c'efl:
a quoi on peut parvenir de pluileurs manieres differences.

I.* Si on developpe la puiffance (a -f- 6 ( x -H a." ) )"
fuivant le theoreme de nevvton on aura, comme 1' on fair,

«"-»- n a-' t (x -t- X- ) -+- "AHJlll a "'' b' (x -h x"')' -+■ &C.

or il eft facile devoir que les puiffances impaires de x-l-x"'
ne renferment aucun terme fans x , & que dans les puif-
fances paires il y a toujours ua terme fans x , qui ell
celui du milieu, dans lequel les expofans de x, & x"
font les memes ,

Mifc. Tour. Tom. V' X

170

ainfi le terme. fans x de ( ;c -+- x"')'fera i

4- 3
celui de ( x -t- x" ' ) "* ^era

I. z

6. 5.4

celui de ( x -+- x"') * ^^•'^

I. z. 3

& ainfi des autres ; done on aura en general
^ = a" -+- -. a"-' b' -f.

I I. z

4.3 «(«-iH«-i)(»-3)

a "--^ ^ ♦ -4-

i.z I. a. 3. 4

1.1.3 1.2.3.4 . 5.6

c' ell-a-dire

^ 1.1

z . 3 . 1 . 3

a." U ell viiible que le trinome a •+• b (x-4-x"')

peut fe decompofer en ces deux binomes * -4- ^ x ,

ct -,... (8 V " ' ; ce qui donne par la comparaifon des termes

«^-f-/3^ =:a, & ct|8 = ^i d'ouron are * ±-./3 = v^<JTT^

& de la

v'(4 -»- 1 ^ ) •+■ v'C^ - 1 ^ )
« =

IS _ __

Cela pofe on aura done {a -^ b {x -i- x""^))'
= (*-t-/3x)" X (*-J--f)" =

(." + ^^^ -.. l^t-h "-^L^ -^ &e. )
d' ou il eft facile de conclure qu' on aur^

\ I , 1 . J /

Corollaire I,

1. Soit a ■^ h ^ c' eft a-dire qu' il y ait un nombre egal
de cas qui donnent o , ou -+- i , ou - i d' erreur ; la
probabilite d' avoir ua refultat exaft dans chaque obferva-

tion particuliere lera , = — . ; & cel'e d' avoir

un refaltat ex 4ft , en prenant le trrme moyen entre les
refulats de /z obfervations, lera fuivant la premiere formule,

(en divifant le haut & le b;is de la fraftion ; r— par a")

_._ / ^ . »(»- !)(;»- iK"- 3) . <« -!)••..(»- 5") . ^^

1 -H « {n-\) H 1 HCxC.

i.i . \ . 1 I. I. 3. I. z. 3

_ -

Done en faifant fucceffivement n = i , i , 3 , &c, on aura

n probab.

I
X

3

I
X

3

7 - '

5 17

>9
4 87

' 143

6 ...... ^^

&c. ^ t On

17*

On voit par cette table que la proba^i'i-^ que 1' errcur

fbit nulle diminue a mefure que roii prend un plus grand
rombre d' obfervations , de lone que li on vou'oit efti-
mer r avantage qu' il peut y avoir a prendre le miliea
entre plufieurs oblervations , par I' f xces de la probabilite
que 1' erreur foit nulle dans ie refultat moyen , fur celle
que r erreur foit auffi nulle dans chaque re(ultat particu-
lier , on trouveroit dans le cas dont il s' agit ici que I'avan-
tage (eroit toujours negatif, c' ell a dire qu'il fe change-
rcit en defavantage, lequel iroit meme en augmentant plus il
y auroit d' obfervaiions j d' oil il iemble qu' on pourroit con-
clure , que dans ce cas ihvaudroit mieux s' en tenir a une
obfervation unique, que de prendre le milieu entre plu-
fieurs obfervations i mais il y a une conlideranon effen-
tielle a faire fur_^x:ette matiere , de laqueile il refulte qu'il
eft toujours plus avantageux dans la pratique de multiplier
des oblervations autant que 1' on peut , c' ell ce que nous
difcaterons plus bas.

CoroUaire II,

J. Soit maintenant a t=i r b ^ enforte que le nombre
des cas qui donnent un refultat exaft foit egal au nom-
bre de ceux qui peuvent donner une erreur de -♦- i ,
ou — I j dans ce cas il vaudra mieux fe fervir de la fe-
conde formule ; car on aura a = v^b , Q =Vb , de forte
qu' a caufe de a -+- x b := 4 b, on aura , en divifant le

haut & le bas de la fraftion , -—^ par b",

—

pour la probabilite que 1' erreur foit nulle en prenant le
miueu entre n oblervations.

»73

Done faifant fuccefllvement n = i , i , 3 &c. on aura

Its i^fultats luivans

a prob.

I
I —

I

3
" "F

> 7?

35
^ TTs

&c.

oil 1' on voir que la probability diminue a mefiire que m
augmente comme dans le cas du coroliaire ptec.

Corollaire III.

4. Solt & = 1 a de maniere que le nombre des cat

qui peuvent donner una erreur d' une unite rant en plus

qu'en moins foit double de celui oii I' on auroit un reful-

tat exatt , on aura ici pour la probabilite que 1' erreur

fbit nulle en prenant le milieu entre n obfervations

i6n(n-i){n'iyn-i) %6n'n-\) (»-5)

1-J-4«(/1-i)h i —-A ^^ — ^-t-&C.

. ^ • '- ^ 1 • T. ■ 3

i"

Done faiiant luccellivenient n = i , 2 , } , on aura
a prob.

I
1 .•..., —

J

1 -^

I

' T

4 • ^

&e.

174

Ainfi pour z obfervatlons T avantage fera de — - — = »-♦

pour trois il fera — =; 0 ; pour quatre egal k

— - — = — ; &c. d' ou il paroit que le plus grand

avantage a lieu en prenant le milieu entre deux obferva-
tions feulement.

Remarque J.

5' Pour facillter davantage la folution du probleme pre-
cedent, il ell bon de chercher la loi que fuivent les ter-
,.jnes de la ("erie qui reprefentent les probabilites qui repon-
dent a I , i , 3 &c. obfervations ; or li on prend la fra-

ftion 7-7 r^ & qu' on la developpe en

I - z ( ^ +- /> (x • A-' ) ) '^^

ferie fuivant les puiflances de a; , on aura comme 1' on

fait I -H { (a -f- i (x -+- X-') )-^i^ {a-^b (x-ha;-))'-*- &c.

de forte que dans cette ferie le coefficient de i" fera la

puiflance n-""' de a -^ b {x -\- x"') ; done fi on nomme,

A' i A" ^ A"' &c. les valeurs de A qui repondent

a /2 = I , 1,3 &c. , c' e(l-a-dire , lestermes I'lns x des puiP

fances a->e-b {x ->>~ x"') , (a ■+■ b (x -+- x~^) )* &c. il ell clair

que la feiie i -h A' i -^ A" i'- ■+■ A'" {' -h &c.fera egale a la

fomme des termes fans x de la fraftion r —

developpee fuivant les puiflances de x, & de x"' j de

forte que fx on reprefente par Z -^ Z' (x-+-_j

«+• Z" Tx* H ^ ) -t- &c. la ferie qui refuite du deve-

loppement de cette fraftion fuivant les puiflfances de x ,
& de - , ( car il eft facile de voir que la ferie dont-i]
s' agit doit avoir neceffairement cette forme ) on aura

'75
Z = 1 -*- -<4' { -4- y^" {' -+- &c. ; ainfi connoiflant la fon-
ftion Z il n' y aura pius qu' a la require en f'ene fuivant
les puilFances de ^ pour avoir les quantiies -•5?, ^'', y5?'"&c.
Pour cela je reduis d'abord le trinome i — a ^ — b ^ {x~t-x~^)
en(p-ijx){p — q x~^ ) ce qui me donne ^* -+- ^' ;= i -a^",
& p q = b ^ ; enluite je reduis Ja traftion

I /? /? .

en «

& je trouve oc = — ^ , /3 = — ^ }

I/* -jf* p"- -q*
mamtenant = — h i- -+- -+- &c.

p-qx p p'- pi

& de meme = r -< ~ -+- — - — -+- &c.

p-qx-' p p- X pi x"-

done on aura Z = * ^ ii- , Z = ^ , Z" r= '^-C

Done Z =

!/'-/'* Z-^-!?^ P'-q' (p- q)ip q)

mais puifque f' -H y' = i - a ^ , & ^ ^ = b l-, on uara
P -+■ q = V^ I - az'*'±^z, p - q = V I ^z-xbz;
done ip-+-q) {p-q) = V^i-azy -A,b- z' ; douc enfifi

Z =

s= I -+- ^' ^ -t- ^^ ^^= -f. A-' (» -t- &c.
deCorte que 1' on aura par les forinules connues
A = a
^„ -^ a A' -^4 i5- - a'-

2

A" = ^ a A' -^i{i,h- -a^ ) ^'

&c.

ty4

Denotons par F, P'\ F" Sec. les probablHt^s que

r erreur foit nulla en prenant le milieu entre 1,2,3 &c,

ji' A"
obfervations , & 1' on aura P' = ; , P" = . 7-—

P' = ^^i- &c. ; d' ou y^' = (<z ^ 2 h) P',

A' = (a H- 2 by P" , A" = (a -H 2 i)» P" &c. done
fubitituant ces valeurs dans les formules precedentes , &

faifant pour plus de fimplicite — t= r, on aura P = —

2 (i-t-r)

3(1 -^r)
p.T^ 7T""--i(r-x)r"
4(1--^)

5 (I -^r)

Jiemarque IJ.

6. SI on fait r = i on aura le cas du corol. 2 , ou

« = 2 ^ , & r on trouvera

&c.

P' — ' P" * ' ^ P" '

• 3

5

J. — , J — , / —

2 2.4 2

& en general

_ I . 3 . J .... 1 « - I

• 4

6

4.6**.. 2X7
De la on voit que la probabilite diminue toujours a me-
fure que n augmente , ce que nous avons deja obferve
dans le corollaire cite ; de forte qu' en prenant « = c«
la probabilite deviendra iiifiniment pente , ou nulle j en
effet par la quadrature du cercle de Wdllis on a (t etant
Tare de i8o.* degres)

Jp

'77

7 I . } . 3 . J . 5 . 7 . . .

c' eft-a-dirc , en prenant « = «

Tf % . X i. ■ A . 6 , 6 •ifftiff

2 I. J.}. 5. 5. 7... i»— i . i«-i . i«-i-i

done multipliant par z n -t- i , Sc tirant la racine carr^e

on aura

. /zn-*-t \ I . 4 . 6 . . . . iM

y \ 1 / 1.3.5... ^"~^

done lorfque n = » on aura •

y n v
11 ell: boil de remarquer que puifque nous avons trouv^
dans le coroll. cite pour la probabilite F" V expreflion

on aura , en comparant cette e.xpreflion avec la precedente,
r equation

&C,

- &c.
V. i • 3 /

1.3.3.... i»-i

= i"

1.^.3 »

Jaquelle €tl d' autant plus remarquable qu' elle nc paroit
pas ai£^e a demontrer a priori.

Remarque III.
7. Par les formules de !a Remarque i"* on aura en general
i>« = (^»-i) F-'-^-C^-O (r-i)P-
n (r -t- 1 )

pn-t-i __ ^ / ^ £

JVIZ/c. jfar/r. To/tz. J^.

oil les expofans n -- 1 , « - i , n &c* Ai P fle denotent
pas des puidances , mais feulement le qaamieme du rang.
Or (i n eft un nombre afiez grand , il ell clair que les

fractions , ■"■■ - •- , &e. teront a tres-peu

» W-f- I » -I- 1 '

pres = 2 ; & que les fractions —

' «-+-i' »-t-a

feront auffi a tres-peu pres = i j de forte qu' on .aura
dans cette hypothefe

D» i <

r -+- I

r ■*- 1
Sec.

d' ou r on voir que les quantites P", P"-*-* &c. ferment
une fuite recurrante dont le denominateur de 'a frat^ion

generatrice feroit x* ; ainfi on aura en

° r -I- I /■ -*- I

general

V 1 (i •+- 0 /

\ 1 {1 -t- r) /

& pour determiner les coefficiens A , Sc B , on fuppofera
que les termes P", & P""*"' foient connus, ce qui donnera
P' z= A -*- B , Sc

P"+- _ ^ Jll_ LL

2(1 H-r)
i_x/(4,i_3)

B

2 ( I H- r)

d'ou

_ 2 {i +r) F"-*-' -(t -</(4 7-^-3)) P«

2t/(4r'-3)
(1 -*-v'(4>* - 3 )) P" - 2 (i -^-r) ?»■»="»

~ 1 v(4r'-3)

179
d'od

Vi 2 v^(4 '•'- 3) / \ 2(i "*-r) ""y

/P" 1 (i -f-r) ?"-»-' -P" \ / I - v'( 4 ; J - 3 )Y

"*" V"! z V^(4 r' -1) / V ^(i -Hr) /

& cette formule fera d'autaiu plus exafte qu' on prendra
le nombre n plus grand.

Aind apres avoir calcule les termes P* & /*"-+-' foit
par les formules de 1' art. i , foit par celles de la Re-
marque I.*" , on pourra trouver, a tres-peu pres , tous les
termes Cuivans par la formule precedence.

Au relte il elt facile de voir par cetce formule que la
probabilite fera nulle a 1' infinij c'eft-adire, lorfque j = * ;
en eft'et il eft clair que quel que foit r, pourvu que ce foit un

nombre pohtit , les quantites — '■ ; — ^ leront tou-

' ^ 2 (i -•-/•)

jours <C I ; car fuppofons, s'il eft poiTible -^ — -i.'t!__Zli ^ ^

on aura done 4 r* - 2 -+: 2 ^{_\ r* -3)

> 4 (i ■+• 2 r -+- /•*) favoir

* »/(4'-*-3) > 3-^4^} &

4/'*— 3 > i6r'-+-24/--4-9 favoir

o> 12 r*-*- 24/ -+- 12, ce qui ne (e peut; done en

cr 1 • . /l •+• V'(4 ^^ - »)\'

iailant ^ = 00 les quantites ( 7 ~ ) , &

T- _^ ■- ) deviendront nulles j & par confiquent

P"*^ auffi.

'Schalie.

8, Soit /) le refultat que chaque obfervation devrort
donner fi eile etoit exatle , puifque on fuppofe que Ton
puilfe fe tromper d'une unite tant en plus qu'en moins,
on aura dans chaque obfervation un de ces trois reiultats

i8o

p, p- t , & /) -t- I ; Jonc (i on a deux obfervations, &
qu on prenne le milieu enire leurs rdfuttats, c'ert-a-rlire, la
demi fbmme de ces r^ful[ats,on aura un de ces cinq re-

fultats ^P-, llZA, il±l, llZl, tl±l, favoir

1 I

p,/)-— ,^H i p "- 'jP-*"'} ainfi, dans ce cas,

r erreur pourra etre i , ou — tant en plus qu^ en moins;
on verra de meme , qu' en prenant le milieu entre trois
obfervations, 1' erreur pourra etre , i , ou — , ou — tant

en plus qu' en moins , & ainfi de fuite. Ainfi quoique la
probabilite que 1' erreur foil nuUe puiffe etre plus petite
lorfqu' on prend le refultat moyen de plufieurs obferva-
lions , que lorfque on prend le refultat de chaque obfer-
vation en particulierj cependant fi on cherche la proba-
bilite que r efreur ne furpafle pas — , ou — Sec. on trou-

vera que cette probabilite fera plus grande dans le pre-
mier cas que dans le fecond ; en efFet , dans le premier
cas il n' y a d' iiutres cas favorables que ceux oil 1' er-
reur eft ab(oIument nulle ; mais dans le fecond , les cas
favorables font non feulement ceux ou 1' erreur eft nulle ,

mais auffi ceux oii 1' erreur eft — , ou — Sec. ; & c'eft

par cette confideration qu' il eft toujours plus avantageux
de prendre le milieu entre les refultats de plufieurs obfer-
vations , que de s' en tenir au refultat de chaque obiervation
en particulier. Nous allons examiner la queftion fous ce
point de vue dans le probleme fuivant.

i8i

ProhUntc II.

9. Les m^mes chofes etant fuppofees que dans le pro-
blfime precedent trouver la probabilite qu' en prenant le
milieu entre les refultats de n obfervations , i' erreur ne

furpaffera pas la fraftion — , m etant < « •

En prenant le milieu entre les refultats de« obfervations, il

eft clair que I'erreur peut etre,ou o, ou ::*-— , ou H — ^ , ou -+-~

&c. jufqu'a r*- — favolr± i; ainfi la probabilite que I'erreur ne
foit pas plus grande que :+: — , fera la fomme des pro-
babilites que 1' erreur fera nulle , ou H — , ou H- - &c.
jufqu' a r"^ — . Voyons done d' abord quelle eft la proba-
bilite que r erreur fera -+- — .
* ~ n

En ramenant cette queftion aux des, comme nous Tavons
pratique dans le probl. i., il eft clair qu'elle fe reduit
k chercher la probabilite d' amener -+- ju , ou ~ (j. points
avec n des, dent chacun ait a faces marquees zero, /» faces
marquees -+- 1 , & Z' faces marquees - i. Pour cela il
n' y a qu' a eiever le rnnome a -h i ( x -t- .x"' ) a la
puifTance /z , & le coeificient de ,\f denotera le nonibre
des cas oil la fomme des points de tous les des fera ^,
de meme que celui de jc"'* denotera le nombre des cas
oil la fomme des points fera - (/.; ainii la fomme de ces
deux coefficiens divifee par ( a -+• z />)", qui eft le nom-
bre de tous les cas , donnera la probabilite chercliee.

i8i

Or on a (a-+'h(x-i-x''^))''=a'-i-na"'^b

plus

(x -h X-' ) '^ = x^ -i- X-' -i- 1

(x •+- x"' ) ' = x' -+- x"* -+- 3 (x -t- x"')

(x -+- x"' ) ■* = x^ -+- X"* -H 4 (x- H- A"0 -r ^ —

(x -t- X-') s = x' -+- X-' -+- 5 (x' -4- x-«) -+- — (x -+- X-)

& ainfi de fuite ;

Done i\ on fuppofe (a -+- ^ (x -+- x"'))" = -^ -^ B (x-+-x"0
-H C (x»-i-x-') -H Z) (x'+x-») -4- &c.
on aura

I z

4 • 3 ^ » (» - i) (« - O (» - 3) ^„., ^, _^

1jj_i^. "^"- '^ ^"-;J a"- i«-H Sec.

I.Z.3 1.3.4.5.6

I 2.3

5.4 » (»- i) (a>-i) C«-3) ("-4) ,,5

•+- • • " '■

1.1 2.3.4.5

i I i • 3 •'■-'4

_^ ^ • 5 « (» - I) • • • • (» - 5 ) ^„_« V^

1.1.3 1.2....0

& ainfi de fuite.

Done fi on appelle M le terme de la firie /i , ^,
C &c. done le quamicme fera |W -+- i , il eft fa;-;le de

18}

voir qu on aura

M = — ^ > tf ^ a"-!^ bf^

1.2. fi

^ ^ ^^^ »(«-!) .(«-,.- I) ^,_^.,^^^,

1.2 i.z....f*-*-4

-+- &:c.

Or ce terme Meft le coefficient des puiflances xf^ & x'^'j

2 M

de forte qu' on aura jr^ pour la probabilite que I'er-

reur foit ■±- — . Ainfi la probability que 1' erreur ne fur-

paffera pas -+- — fera reprefentee par la ferie
A -f- X B -^' X C ■*• z D -t- &e. •^- ^ M

(T ■+- 2 ^y

Pour faciliter la recherche des valeurs de j4, B, C &cc.
il eft bon de faire voir comment ces quantites dependent
les unes des autres i pour cela on reprendra 1' equation
(a -4- ^ (x -+- ;*-))"= A -¥• B (x -+- X-)
-•(- C (x" -+- x-^) -H Z> (x» -H- X-') -*- &c.
& prenant les difFerentielles logarithmiques on aura apres

avoir divife par — •

&c.

a-*- l> (a- -t- Ar->) A -H jB (.V ■+■*-') >+■ C (*»H- ;tf-» J -»- ^<r
done multipliant en croix , il viendra

nbA (x-x-')~hnbB(x^ ~x-') ~t- n b C (x> --'-x-f-A"')
-hnb D (x-* - X"* - X* -+- x"0 -+- &C. =
aB (x - x") -t- i <^ C (x» - X"') -r- J a Z? (x» - x"') -+- &C,
■+-bB (x* - x"0 -I- 2 /. C (x' - X-' -t- X - X-')
-+- 3 Z' Z? (x-f - X-* -H X' - X-') -+- Sic.

i84

de forte qu' en comparant les termes on aura

nb (^-C") = a B -t- 1 b C

nb (,B-D) = 1 aC-\-b {B -^ I D)

nb (^C-E) = 3 uD-^b (zC-+-4£)

&c.

d' ou en iaifant pour plus de fimpliciie - := ^, on aura
r — » -^ - ^ ^

D =

( » - I ) B - 1 K C

« •+- 3

» -»- 4
&C.

Ainfi en connoiflant les deux premiers termes A , Sc 3
on pourra trouver fucceilivement lous les autres.

Corolldirc .

10. Suppofons, comme dans 1' art. 2 , a t= J , enforte que
1' on alt K = I , &i faifant fucceliivement n = i , i , j &c.
& a = I , ce qui eft permis , on trouvera les valeurs
fuivantes

a A B C D E F G &c

I I

I

0

0

0

0

0

1 3

2

I

0

0

0

0

3 7

6

3

I

0

0

0

4 19

16

10

4

I

0

0

5 5'

45

30

M

5

I

0

6 14 1

I?. 6

90

50

21

6

J

&c.

Dc la on

formera

la tab

e fui

vante

de

3 p

robabiliti^s

"Valeurs

,85

Valeurs du

Probabiiites que 1' erreur ne furpaflera pas

norabre n

les fra6lions

des oblerv.

_t- O _f- I , _+_ 1

n n

I

I

3

1

3

7^
9

• • •

• • •

• * *

• *

3

2
17

1?
17

17

• • •

• • •

• • •

4

>9

81

51

8^1

7J
81

79
81

• • •

• • •

5

5»

141

201

131

141

« « •

143

*43

143

^43

^43

6

141

3 93 '

573

673

7M

1-^1

719

719

719

7^9

729

7^9

&c.

On voir par cette table, qu'en prenant le milieu entre
•deux obfervations , la probabilite que i' erreur foic nulle

■fera i^ = ~ , & celle que 1' erreur ne furpaflera pas —
93 ' ' 1

tant en plus qii' en moins fera ~ ; or dans chaque obfer-

.vation particuli^re, il y a — de probability que 1' erreur

Xera o , & comme ( hyp. ) 1' erreur ne peut ^tre que o
Mifc, Taur. Tom, V, a. a-

a6

ou -+- I , il eft clair que la protabilite que f erreur ne
furpaffera pas — fera dc merae — ^ ainfi quoiqae la pro-

babilite que 1' erreur fera nulle foit la iDerne , foit qu' on
prcnne Ic refultat m-©yeH ^iitre deux obfervat+ons , ou
qu' on prenne ie refultat particulier d' une obfervatioii
unique , cependant la probability que l' erreur ne furpaf-
fera pas — fera plus grande dans le premier cas que dans

71
Ie fecond , ces deux probabilites etant comme — : — jc'efl-

a-dire , dans la raifon de. 7 : 3 .

De meme en prenant le milieu entre trois oBfervations

on aura — pour la probabilite que 1' erreur fera nulle ,

— pour la probabilite que I'erreur ne fera pas >- rh — , & —

pour celle que I'erreur ne fera pas !>■':■*- — jmaisdans
chaque obfervation particuliere la probabilite que 1' erreur
foit nulle eft — , 6c celle que 1' erreur ne furpafTe pas —

ou — eft de meme — parceque (Iiyp.) I'erreur ne pout etre

que nulle , ou --h i » done la probabilite que 1' erreur foit
nulle fera, a la verite, plus grande dans le refultat parti-
culier d'une x)bfervatioa unique que dans le relultat mo-
yen de trois obfervations , & cela dans la railbn de" 9 : j;
mais, en revanche, la probabilite que 1' erreur, ne furpaffera

pas •±: — fera plus grande dans le fecond cas que dans

Ie premier en raifon de 19:9, Sc celle que 1' erreur ne

furpaffera pas -J- — le fera encore davaptagCj cette pro-

187

babilite etant , dans le fecond cas , plus grande qre dans le
premier en raifon de 25:9.

Voila done en quoi confide principalemenr 1' avantage
qu' il y a a prendre le milieu entre les refultats de plu-
fieurs obfervations. Pour rendre la chofe encor pins fenfi-
ble nous aliens recliercher les probabilir^s que I'crreurne

furpaflera pas la fraftion — en fuppofant fucce/Tivement

n = 12, 3, &c. c' eftadire, pour une obfefvation uni-
que , pour deux , pour trois &c. , & nous aurons
n I z 3 4 5 6 &c.

prob. I L l^ V ^-21 'JI &c.

ou bien en reduifant au meme denorainareur 729.
rt I 2 3 4 5 6 &c.

nrnh ^^^^ 5^7 5^ 639 605 673

proD. — , — , — , — , — , — , Cxc,
729 719' 729 729 719 729

On voit par la que la probjbilite que 1' erreur ne fur-

paffera pas — va en augmentant a mefure que 1' on

prend un plus grand nombre d' obfervations , mais avec cetre
difference , que la probabilite eft plus grande pour deux
obfervations que pour trois , pour quatre que pour cinq,
& en general pour un nombre pair quelconque que pour le
nombre impair qui !e fuit immediatement ; de forte que dans
I'hypothefe dont il s'agit, il eft plus avantageux de ne prendre
le milieu qu' entre un nombre quelconque pair d'obfervations.

Remarque /•
II. Nous avons vu dans 1' art. 5. que fi on developpe
la fraftion

!. . en une fdrie de cette forme

I - { ^a -^ b {x^^-Yj

£ -+• Z (x ^l^\ -^ Z' (x'-i- l^^ -^ &:c.

aa 1

i88

Z , Z' , Z" &c. etant des fon£tions de j ; ort aura

& ar^fi de fuite, /?, & ? etant telles q\ie/>* -t- ^' = i - <z {

&^^ = Z)^, cequiclonnep^-^^-==v/(i - z a ^ -t- (a*-4^0{*>

p , ,. ^ r -a?--v/(i - 2<i {-+-(a*-4^) {')

& de la i- = i- J

V ^ " I

de forte qu' en faifant pour plus dc fimplicite

^ = v'Ci - 2 a j; -h (a^ - 4 i' )(' )

on aura

z=i,2'=^-^^"^

Z" = C ~[l~ -) p ^ '" s^'^^'^

Or fi on developpe cette quantite en une ferie de puif-
fances lationelles & entieres de ^, on verra aifement par
ce que nous avons dit plus haut , que le coefficient d' une
puilTjnce quelconque, commS .^'', denotera le nombre des
cas ou la fomme des erreurs de n obfervations pourra
^tre -+- jw , ou - /ic , de forte que le double de ce coeffi-
cient exprimera le nombre de tous les cas oil 1' erreur

xnoyenne fera rh - • De la il eft facile de conclure que

la quantite

2 £> |- \ 2

_

etant regardee comme une fonflion de ^ & developpee
fuivant les puiffances de cette variable , donnera une lerie

-i'

IS9

de telle nature que le coefficleiit d* une puiiTance quelcon.
que i" exprimera juftement le nombre de cas oil 1' erreuc

moyenne pourra ^tre renfermee dans ces limites - ^, -+- ^ j

ft n

de forte que ce coefficient etant divife par le nombre total
de cas (a -t- 1 1')" on aura la valeur de la probabilite que

r erreur moyenne ne furpaffera pas la fraftion ^ foit en

ft

plus ou en moins. Or la quantite dont il s' agit n' ^tant
autre chofe qu' une ferie geometrique , elle peut fe mettre
(bus cette forme plus fimple

- ^ {-K Y*'

2 I? I /_

Alnfi toute la difficult^ confiftera h redulre cette mSme
quantite en ferie i-'.fiiiie qui procede fuivant les puiflances
de {. Pour en venir plus facilement a bout, on la fup-
pofera = a une indetermin^e j , & 1' on aura une equa-
tion entre y , & ^ , qu' on pourra , par des differentia-
tions, delivrer, tant de la puiflance ju -+- i, que de I' ir-
rationality de t, i par ce moyen on aura une equation
differentielle du fecond degre entre ^ , & ^ ; & il n' y
aura plus qu' a fuppofer y = 1 •+■ A ^ -^- B i* ■+• &c.
& determiner les coefficiens y4, B &c. par la comparai-
fon des termes.

Au refte comme ce calcul eft un peu long nous nous
contentons de l' indiquer ici , pour mettre fur la vole ceux
qui voudront poulfer cette theorie plus loin.

<90

Scholie.

11. Nous avons fuppofe dans les deux problemes pr^r.
c^dens qli' il y avoir un nombre egal de cas pour avoir
une erreur pofitive , & pour en avoir une negative ; (t
cela n' etoit pas ainii , & que le nombre des cas qui don-
neroient o , -(- i , & - i d' erreur fuffent a , ^ , & c ^
alors on pourroit refoudre les problemes avec la meme
fecilite en coniiderant le rrinome a •+• b x ~i- c x~\ a la
place de a -i- b (x -f' x~') pour avoir le nombre des cas
oil r on auroit une erreur moyenne donnee ; & prenant
enfuite (a -r- b -i- c )" pour avoir le nombre total des cas
k la place de (a-i- z b)" ; on pourroit meme, fans faire
un nouveau calcul, adapter a ce cas-ci les formules que

nous avons deia trouveesj car fi dans le trinorae a -*- b it -+— .

on met x y~ a la place dex^ildeviendra a->r'^b cix -+--)»

ainfi il n' y aura qu' a merrre dans le trinome

a -^b [x -\- - \ des problemes precedeas V b c a la.

place de b , 5c enfuite jc A^ a la place de x ; du

refte nous allons Jraiter ee cas d' une maniere beaucoup
plus generale dans le probleme fuivanc.

Probleme III.

.13. Suppofant que chaque obfervation fok fiijette a une
erreur d' une unite en moins-, 6c a une erreur de r unites
en plus , & que le nombre des cas qui peuvent donner
o, — I , -H r d' erreur foit refpeftivement a , Zi, c, on de-
mnnde qu'eile elt la probabilite cjue 1' erreur moyenne de
plufieurs obfervations fera renfermee dans des limites donnees.

Soit n le notrbre des obfervations doni on veut prendre
le n>ilieu , on formera la puiffance n"" du trinome

tf -h — ■+■ c x\ 8c \e coefficient d' une puiffance quel-

X

conque xi^ denotera le nombre des cas oil la fomme des
erreurs fera fx , & par coiilequent , oii 1' erreur moyenne

fera ". Conliderons done la quantite fan '"*^*'jj

laquelle le reduit a ^ -^-^ , & 1 on aura,

comme 1' on fait, (^!.-*. x (a ■+- c x'))" =

h" -H Ji />"-' X (a -+-"cx') -+- " - ^"-^v»(a•^-cx')»-+-&c.

d' oil il ell facile de voir que le coefficient d' uiie puif-
fance quelconque x^ fera
n (n — I ) n - s -h 1

b"-'

i • 3 s

n {n ~ \) . . . n- s -\- r s

. b"-'^' a

f- r

1 . 3 . . . . ^ - r I

1.3...J— 2r I. 2

-^ Sec.

cette ferie ^tant continuee jufqu' a. ce que 1' on parvienne
a des termes neguits , done ce coefficient fera celui de la

puiffance x''" dans la quantite (a-\ 1- c x' j ; done

fi on d^figne en ge^.eral par (fx) le coefficient de la puif-
fance xi^ de cette derniere quantiie , on aura

Ox) = " ^"-'^ '-^ . h-l^ af**-

2.3 . . . fji. -^ n
n ( n — I ) r — u ,

a . 3 . . . jw -+- n—r — i

'9*

H- &C.

oil il faudra toujours omettre les terraes qui contiendroieiit
des puiffances negatives de a, ou b.

Done , puifque pour n obfervations la fomme de tous les
cas ell (a ■+• 6 -H c)", on aura pour la probabiliie que I'eE-

reur moyenne ioit ^ la quantite -. — ■:^^~ — r^ i & de

la la probdbilite que 1' erreur moyenne fera renfermee en-

tre cts limites -—,-+- — fera exprimee par la ferie

(_p -t- i) ■+• &:c. -4- (- I ) H- (o)-4-( I )•+-&€. -f-(jr-. i)

(a-l-i'-i-c)"

ProbUme IV.

14. Suppofant tout, comme dans le problerae precedent,
•on demande quelle eft I' erreur moyenne pour laquelie la
probabilite eft la plus grande.

Nous avons vu que la probabilite que I' erreur moyenne

foit ^ eft = z r— , (a) etant le coefficient da

(b N" . .

a. H ' -^ c x'\ ; ainfi il

ne s' agit que de favoir quel ell le terme de la puiflan-
ce «'"" de rt -H — t- c jc' qui aura le plus grand coeffi-
cient } pour cela il eft clair qu' il n' y a qu' a cbercher
le plus grand terme du trinome a -+- ^ -+- c eleve a la
puiffance n; car fuppofant que ce terme foit i:a* b^ cy , a,,^, y
etant les expofans de a, i*, c dont la fomme doit ecre
egale a «, & t le coefficient de ce terme, il n'y aura

qu' a mettre - ^ la place de i , & c x' a la place de c ,
&. V on aura x a" i> ^^ c > x'^'*"'> pour le terme cherchd
de la puiflance rt"" du trinome a -t- - ■+• ex'; ainfi

X

r y .. ff
on fera - |8 -H r y = jw, & t* on aura pour 1' er-

reur moyenne done la probabilite fera la plus grande.

Or, par les regies des combinailbns, on fait que le coef-
ficient T du lerme t a* b^ c> , doit etre
iiX> 3 ••• 1%

I . Z . 3...a.I.2.}...^.I.2.3....y

denotoris ce terme par M enforce que 1' on ait

I . t . X n * * b (i cy -,

_ M

I . 2 . 3....ee.i'2.3....|(j.i.2.3....^

& il faudra qu' en faifanc vaiier les expofans « , jS, y^Ia

valeur de M dirainue ; faifons done varier a d' une unite,

enforte que « devienne * -+- i , & comme ce -+- ;8 -^y= n^

il faudra que |3, ou y diminue en meme terns d' une uniiej

or il eft fdcile de voir que fi dans la valeur de M on

jnet <L -J- I pour « , & |8 - i pour /3 , cette valeur de-

viendra _iL Y f^, done _A_ Y ^ < M

& par confequent Y-^ < i j

« -f- I"'* £>

reciproqueraent, fi on augmente |8 d' une unit^, Sc qii' on

iiimtnue * auili d' une unite, on irouvera la condition

« \/b

<3-H I

V— <C I i ainfi il faudra que Ton ait en meme

tcms < - & - > - , Or c' eft ce qui aura

13-H I 6 a b

heu fi g= -i

itf(/ir. Taur. Tom,K b h

194

On trouvera de la meme maniere s_ = - j deforrequ'ea

prenant un coefficient indetermine p , on aura dans le cas-
du maximum a. = p a , ^=pb,'y=pc; mais

a -t- A -4- v t= nj done p = ; ; done enfiti

' < a -*- If -i- e

n a n " ^ n c

A

■^ ^= tttt:' y =

., n a n If n e . ,

Si les quantites — — ■ , ; — ■ , ; — ■ lont des

^ a ■^ b ■*' c a ■+• V -i- ( a--*- b-^e

nom

bres entiers , on aura exaftement oe =

tt ■

/3 = : • , V = ; — ' com me nous venons de le

a-*- b ■^- c ' a-*- b ■■*- c

trouver ; mais fi ces quantites ne font pas des nombres
entiers , alors il faudra prendre pour a y (i , y les nom-
bres entiers qui en ferontles plusprochesj on peut pren-
dre cependant , pour plus de fimplicite, ces memes quantites
pour les valeurs de et , jS, j/, car 1' erreur , s'il y en a,
ne pourra jamais etr^ que tres petite j de cette maiiiere
nous aurons pour l' erreur moyenne qui a la plus grande

probabilite T expreffion ^^~ - as ~^ — .

CoroUaire.

•15. De la il s^enfuit qu' on peut foujours regarder la

quantite r—— comme 1' erreur du refultat moyen, &

qu' ainfi on peut prendre la meme quantite pour la cor-
reftion de ce refultat.

Lorfque r = i , & c r=r ^ , comme dafis 1' hypothefe
du prob. I , la correftion du refultat moyen devient nulle;
elle le feroit aulii ii Ton avoit b =. re; mais dans touS

* I9J

les autres cas elle fera d' autant plus grande que r c dif-
ferera davantage de b.

Problcme V.

1 6. On fuppofe que chaque obfervation foit fjjette St
des erreurs quelconques donnees , & qu'on coniioille eii
m^me terns le nombre des cas, ou chaque erreur peut
'avoir lieu \ on de^mande la correftion qu' il faudra faire
au refultat moyen- de plufieurs obfervations.

Soient p 1 <] 1 r , s &c. les en-eurs auxquelles chaque
obfervation elt fujette, &c a^ b , c , d &c. les cas qui
peuvent donner ces erreurs , favoir a le nombre des cas
qui donnerqient 1' erreur p , ^ le nombre des cas qui don-
neroient 1' erreur q , & ainli des autres ; il ell clair , par
ce que nous avons demontre dans les problemes prccedens,
que fi On eleve le polinome a x*" -+- i» x< ■+- c x'' -*- Sic.
a la puiffance n , & qu' on denote par M le coefficient

de la puiffance x^*. on aura z 7- -^t, — ri pour la

^ • ■* (a-¥-b ^c -^ &:c.) '^

jjrobabilite que 1' erreur du refultat moyen de n obferva-

;iions foit - . Or on fait par la tlieorie des combinaifons
n '

que le coefficient M fera de cette forme

I .1. 3.4 n a" bl^ cy

oil les expofans et , & t y Sic. doivent etre tels que
rt -4- (8 -+- >' -+- &c. = /:,&«/'^-i8^-^-}//•-^- &c. = «
De plus, il ell facile de demontrer , par une methode lem-
blable a celle du probleme pi ecedent , que le coefficient M
iera le plus grand lotfque on aura
» a

_ n b

■+- &c.

a ■*• b ■+ c
n c

■*- &c.

^0

t(f6

d' ou il s' eniiitt , que 1* erreur moyenne , poar laquelle la

probabilite fera la plus grande , fera exprimee par " =s

a •*• l> •*• e >+• &(.

Ainfi cette quantite reprefentera la correftion qu'ilfaudra

faire au refuliat moyeii de plufieurs obfervations.

Corollaire I.

17. Si on regarde les quantites a, b^ c Sec. comme des
poids appliques a une droite indefinie , a des diftances
Morales a p , q , r Sec. d' un point fixe pris dans cette droi-
te , Sc qu' on cherche le centre de gravite de ces poids,
la diftance de ce centre au point fixe fera la corretlion
qu' il faudra faire au reililtat moyen de plufieurs obferva-
tions j cela fuit evidemment de la formule que nous avon*
trouvee plus haut pour la valeur de cette correction.

Corollaire II,

18. Done, fi on fuppofe que chaque cbfervation foif
fujette a toutes les erreurs poffibles, qui peuvent ^tre com-
prifes entre des liraites donnees , & qu' on connoifle la
courbe de la faciliie des erreurs , dans laquelle les abfcit
{ss ecant fuppolees reprelenter les erreurs , les ordonnees
r^prefentent les facilites de ces erreurs , il n' y aura qu' k
chercher le centre de graviie de I'aire totale de cette
courbe, & 1' abfcilTe repondante a ce centre exprimera la
correction du refultat moyen. De la on voit que fi la
courbe, dont il s'agit, eft egale , eft femblable de cote &
d' autre de l' ordonnee qui pafle par 1' origine des abfcif-
fcs, enforte que cette ordonnee foit un diametre de la
courbe dont il s' agit , alors la correftion fera nulle , le
centre de gravite tombant neceffairement dans le diametre.

»97
Ce cas a lien routes les fois que les erreurs peuvent etre
egalement pofitives & negatives.

ProbUme VI.

19. Je fuppofe qu'on ait vetifie un inftrument quelcon-
que, & qu' ayant reitere plufieurs fois la meme verifica-
tion on ait trouve diff'erentes erreurs , dont chacuiie fe
irouve repetee un certain norabre de fois; on demande
quelle eft I'erreur qu' il faudra prendre pour la correftion
de r inftrument.

Soient p , q, r &c. les erreurs trouv^es , & foient
« , 18 , >/ &c. les nombres qui marquent combien de fois
chaque erreur s' eft trouvee repetee en faifant n verifica-
tions ; fuppofons que le iiombre 6es cas qui peuvent
donner I'erreur p , ou y , ou r &:c. fbit deligne refpe-
ftivement par a y b , c &c. ; qu' on eleve le poliuome
ax'^-^-bx^-i-cx''-^ &ic. a la puiffance n , & foit
N (a x'')" (b X ^)^ (c X'') y . . . . un terme quel-
conque de ce polinome , le coefficient N a " b ^ cy . . . .
de la puiffance /7ce-+-^i8-+-r^-+- &c. de x divife
par (a -H i -+- c -+- &c. )' denotera la probability que
les erreurs p , q^ r &c. fe trouvent combinees enfemble,
de maniere que p foit repete ee fois, q j8 fois, r y fois,
& ainfi des autres. Ainfi cette probabilite fera la plus
grande dans la combinaifon oil la valeur de N a' b '^ c> ...&c.
tera la plus grande ;

.. 1.1.3 t'

raais on 3. N. =

,i'.3 •••*• I . 1 • 3 . . , fi . I .a . 3 ...7. ..
comme nous I'avons deja vu dans le probleme prccedentj
done , par le meme probleme , la plus grande valeur de
N a' b ^ c y . . . aura lieu lorfque
tj a

18 =
y =

a

-♦-

b

-f-
w

c

b

-f-

&c.

a

••(-

b

c

t

-t-

ire

•*• ( -¥■ crc.

198

equations par lefquelles on pourra determiner les incon-

nues a^ b , c Sec. ; & l' on aura, en faifant a -+-i -t- c -1- &c.

-^ * A = IJ^ c = - ^ &c.

Or nous avons demontre dans le probleme cite , que la
correftion qu il faut faire au refultat moyen d' uii nombre
. . , a p ■*- i n -*- c r ■*■ &r.

quelconque d'obfervations eft expnmee par ^ ^ ^ _^ ^ ^ ^^^

done , mettant dans cette expreffion les valeurs de a , ^, c &c.
que nous venons de trouver , la cocreftioa, dentil s' agit,
deviendra

*p-t-|8^-+'>'r-+- &c. •

■n

c" eft-a-dire , egale a 1' erreur moyenne entre toutes les er-
.reurs particulieres que les n verifications ont donnees.

Harollaire.

10. Si on vouloit tenir compte auffi , au moins d' une
maniere approchee , des erreurs intermediaires auxquelles
r inftrument pourroit etre lujet , il n' y auroit qu' a pren-
dre , dans une ligne droite indefinie , des abfciffes propor-
lionelles aux erreurs trouvees p, q, r &c. comme dans
r arc J 7., & y ayant applique des ordonnees proportio-
nelles aux quantites a, b , c &c. on feroit paffer par les
extremiies p , q , r &:c. une ligne parabolique ; on cher-
cheroit enluite le centre de gravite de 1' aire de toute la
courbe , & la perpendiculaire , abaillee de ce centre fur
r axe , y couperoit une abfcifle qui feroit la correftioa
de r initrument.

On voit par la comment on peut connoitre apofleriori
la lot de la facilite de chacune des erreurs auxquelles uq"
initrument peut-ecre fujet.

Remarque- I.
11. On a trouve ci-deffus cjue la plus- grande proba-

blliie a lieu lorrque a = — , b = — , c = — l. &c.

n n n

de forte que les valeurs de a , by c &c. font les phis pro-
bables qu' on puiiTe fuppoier ^ li on vouloit (avoir de plus
quelle eft la probabilite que ces memes valeurs ne s' ecar-

teront pas de la verite d' une quantite quelconque ::*^ ■ — »

n

il n' y auroit qu' a mettre dans 1' exprt^on generale de

N a" b S c y . . , .
la probabilite ;; (prob. prec. ) au lieu d^

a,i>yC Sec. les quantites _i , — : ^ , —l — .^l&c.

n n n

& faifant fucceffivement x,y,{Scc. =-»- i,-+- 1,-+-} &c. -*-r,
enforte,cependant,que Ton au toujours x -<-y-»-{-+- &c.=o,
a caufe que a -+- ^ -+• c -+- &c. = j&ec-Hj8-*-y-»- &c. = n
(hyp.) on aura autant de probabilites particulieres , dont
la lomme fera la probabilite cherchee.

Soit P la probabilite que 1' on ait a = — , ^ = _ ,

c i= —^ Sec. mettant ces valeurs dans T expreffion pre-
c^denie on aura

P ^ .Lii^iii^ V __il Y g^ X...

n" y\ 1.2. 3...«/X 1.2.3.../2

Soit de plus Q la probabilite que 1' on ait a = —^ — —y

b ^ — ^ :2_L. ^c. on aura la valeur de Q en met-

n ^

tant ces valeurs dans la meme expreffion , & il eft facile
de voir qu' on aura

e=M-m-*m--^y-

200

Done , fi on fait en g6ieral

'' = (-:)'0-iro*^)--

& que fv denote la fomme de routes les valeurs parti-
culieres de » , en faifant varier x , jy , ^ &c, depuis o
jufqu' a •+- /■ , & ayanc foin que 1' on ait toujours
AT "4- ^ -+■ ^ -t- &c. = o , la probabilite cherchee fera
egale a P fv .

Comme il n' eft pas facile de trouver 1' integrale /v,
furtout lorfqu' il Jj a plus de deux variables , on pourra
fe contenter de I' avoir d' une maniere approchee ; pour
cela il n' y aura qu' a prendre une valeur moyenne de v
& la multiplier par le nombre de toutes les valeurs par-
ticiilieres de c qui doivent entrer dans Fintegrale fv^ & la
difficulte ne confiftera qu' a trouver ce nombre. Or fi on
deiigne par m le nombre des quantites ot , |3, T' &c. il
ell fdciie de concevoir que le nombre , dont-il s' agit , ne
fera autre choie que le coefficient de u* , c'eft-sl-dire , le
terme tout connu de la ferie qui repiefente la puiflance
772 du polinome «/"■-+-«"'■+'. -t- &c. -4- ?/"' -t- i -+- k -H &c.
-!-«'■"'-+-«'. Qu' on denote ce terme par T, & Ton
aura , comme nous le demontrerons plus bas

(m r -*- i) {m r -^■ i) (w >- •+- 3) (w r -«-/»- 1)

I . 1 . 3......WJ-1

((OT-i)r) {{m-x)r-i-i) {(m-i)r-'-i) . ( (w-z) r-t-/w-i)

— m

1 . z . 1 . . . m ■- I

fn{m-i) ((w-4y-0 ((>«-4)0 ((ot-4>-^0 (.(»»-4y-^^-3)

1 I . Z.3 m - I

— &c.

en continuant cette ferie, feulement jufqu' ace que quelqu'
un des fadeurs m r -h i ^ (m — 1) r ^ (m — 4)r— 1 &C.
devienne negatif.

J^onc

20I

Done, fi i^eft la valeur raoyenne de V , on aura, pour
•la valeur approch^e de fv , la quantite T W; & la pro-
:babilite cherchee fera a peu pres egale k P T fV

Si , au lieu de prendre pour ff^ la valeur moyenne de K^

on prend la plus petite , il elt clair que T W fera ne-

ceffairement moindre que la veritable valeur de f v ■■, &

;par conlequent la probabilue cherchee fera necefl'airtment

plus grande que P T W ; ainfi on pourra parier avec

avantage P T W contre i -^ P T W qu' en failant

a it b ^ c To f

— =-,— =l--,,_ = L &c. on ne le trompera pas
s n s n s n

d' une quantite plus grande que — taiu en plusqu'enmoins.

Remarque IJ.

■ti. Suppofons que /2 foit un nombre tres-grand , & que,
:par confdcjuent , les nombres * , /3 , ^ &c. dont la fomme
ell = n foient auffi tres grands ; pour trouver dans ce
cas les valeurs deP&de^on remarquera i.° que lorfque
X ell un tres-grand nombre on a, a tres peu pres,

/ I -+- Z 1 -+- / 3 -+- &C. -t-i«= — I 1! ~i-{u -\ j I u — u

jt etant le rapport de la peripheric du cercle au rayonj
d' oil il fuit que 1' on auia

/I 2 . 3 U I I ,

«" 2 2 '

& par confequent

1 . 2 . 3 . . . ^ v^(t u)

done , a caufe de a -*- Q 'i- y -+■ &e. = n, on. aura
.■M:fc, Taur. Tom.V- .^.jC

1." Si on prend le logaritlime deVon aura

mais /(i -+--) = -- — -J -^ &c.

done , a caufe de x -H y -+- { H- &c. = o,.
on aura , a tres peu pres ,

ir=- ^ ("C -+- -Tl H- l! ^ &cA
a \« /J J- /

& de la .

Soit maiinenant x = ^ y/n ^ y ^=-V '^ h {• = ^v'« &c, y
Sctr=A,'^ = B,Z := C&cc. on aura ? -t- •>!'-+- r -+- &c. = o-
6>c A -h B -i- C -\- &c. = I J doncy
P = ^ &

Or , comme 1' increment oil la difference des quantites
X , y,l &G. eft = I , la difference des variables ^, 4', ^ &c,

^era = -r- & , par confequent , infiniment petite ; de forte'

que , fi on appelle cette difference d 6 , on aura

r =

Done

e

'^ ABC

)

//r/

- 1
A .

^

. c. . .

^

Done, fi OT inteiTre la diff^rentielle

.Ki"-r-r-^o

m — I fois , en mettant d' abord a la place de "C fa vi-
leur - >f- _ J^ - &c. & faifant varier eiifjite fuccpfTive-
ment les variables •f' , "C, &:c. de la meme dilferentielle
f/6, & qn' on complette 1' integrale , enforce que les va-
leurs de ^ , -^k , ^ &c. s' etendent depuis - ^ jufqu' a p
(en faifant r = ^ •« ) on aura, ea nomruant cette in-
tegrale iJ, la quantity
R

pour la probabiiite que les valeurs de <z , i , c &c. feront

exaftes ^ ^ — pres.

Soil par exemple m = 2 , enforte que 1' on n' alt trouve
que deux erreurs differentes, dont l' une ait ete reperee *
fois , & r autre /3 fois dans un nombre tres-grand n de
verifications de I'lnltrument j en ce cas il n'y aura qu'une
feule integration a faire, & la differentiel'e a integrer fera,
.en mettant - ^ a la place de ^, & faifant d^ = </ x,

dx

ilaquelle n' eft integ able par aucune des methodes connues,
.a mouis qu' on ne reduife en ierie la quantite exponen-

tielle ~ {~j '^' "r ) ^'' ^^ ^^"® maniere on aura
la difTerenticiie

d ^

(. -iC^^^-^-^Ll^^&c.)

A--B

jen faifant, pour abr^ger, K = j^i

ge 1

i©4

de forte

que

r integrale

era

SP- - — —

_^ A'^4^'

K*

4.7

-*-

&c.

J

» • 5

i • 3

•7

Done

R = 1

('

_ Kp^ ^ K

'f'

,, ,

iT'^

T

i

2

• ;

i . 3 .

7

&c

)

Done ——. — 'T~d\ exprimera la probability que les va-
leurs de a , & b foient renfermees antra ces li mites
s (a ^ ^^\ Sa s (b ■± ^ ) , C eft-a-dire, que
les facilites des erreurs qui fe font trouvees repetees « ,
& (8 fois, lefquelles font proportionelles a ■—,& — , ne
s' ecartent pas des quantites j4, Sc B donnees par les
obfervations , d' une quantite plus grande que -t< .

Si on fait,. pour plus de fimplicite , p c= /x y/ A B ^ on
aura , a caufe At A -^ B = 1 , K = ^— - , & la pro-
babilite , dont il s' agit , fera exprimee de cette maniere

VT \ i. 3 2.4. J 2.4.<r.7 /

Donc.fi onfuppofe/a= i.on aura la ferie i i &c.

2.3 2.4.5

dont la fomme eft k tres-peupres o, 855624; de forte

que la probabilite eherchee fera-^ = o, 682688

a peu pres.

Ainfi on pourra , dans ce cas , parier avee avantage que,
en fuppofdnt les facilites des erreurs re(peftivement ega-
les a y^ & .5 , on ne fe trompera pas de la quantity

f* I / f j qui , i caufe de n tres-grand , eft neceffai-

rement infiniraent petite.

"5
1! feroit beaucoup plus difficile de trowvef la valeur

Ae R fi les variables ^,"4^,^ &c. etoient pitts de deux,

furtout a caufe que I' integration doit etre telle , qu' elle

n' embraffe que les valeurs de ces memes variables qui

font comprifes entre les limites - p & -H p ; mais on

pourra , dans ces cas , fe fervir de 1' approximation que

nous avons donn^e dans 1' art. pr^c.

Pour cela on remarquera , que puifque nous avons fait

r = p v^n, & que n eft fuppofe fort grand , le nombre r

devra etre fort grand aufli ; de forte qu' on aura , a tres-

peupres ,

T = ( m"-^ - m (m-ty-^

I . z . 3 . . . m- I \

-h — ^^ (/72-4)"' ' - &:c.)

en continuant cette ftrie jufqu' a ce que quelqu' un des
nombres m — i , m-~ 4 Sec. devienne negatif ; done on aura

& il n' y aura plus qu' a multiplier cette quaniite par ^,
c' eft-a-dire, par la valeur mc)yenne , ou , fi 1' on veut , par
la plus petite valeur de f^. Or , comme on a

^= I .

il eft clair que la plus petite valeur de F" fera celle ou

la quantity > -f- -__ -(- 2 -H &c. fera la plus grande;

& il eft facile de voir que cela arrivera en prenant
g = p -^ =-f,^c=o Sec. a caufe de ^ -+- S^ -+- (^ = 0,
8c fuppolant que A, Sc B foient les plus petites de toutes

les quantites A,B,CScc. ainfi on aura^=-

Kh^^y

266

Done, failant, pour nbreger ,

m ~m(m-2) -t- ^C^"') (//:- 4) - &C.

M= '—

on aura la quantite

M ' '

ii-r X

laquelle fera neceffairement moindre que la proba'bilite
cherchee ; de (orre qu' en nommant H cette quantite , on
pourra toujours parier avec avantage H centre i — H
qu' en fuppofant les facihtes des erreurs egales, refjjetlive-
ment a. A , B , C &c. on ne fe trompera pas de la quati-

tite tres petite -^ .
*■ \ n

Lemme I.

^3. Soit X unfe fonftion rationelle & fans divlfeur
de X, on demande le coefficient de la puiffance xt* dans

]a ferie refultante du developpement de la fraftion — ..

On a, comme 1' on fait,

I 1 n X «(«■+• Ojc*
= — -t- — — -+■ : -f- oic.

I . z . 3 ....»-- I
done , fi on ordonne la quantite X par rapport aux puif-
fances de jc , en commen^ant par la plus haute , de miniere
que i'on ait en general X = Ax'' -t-jS ;*«•"» -t-Cx"-^ -*- &C.

& qu'on mnlriplie cetfe {erie par celle qui exprime la

valeur de ; r— , il eft facile de voir que le terme

(* - x)" ^

qui contiendra la puiflance xf* fera

- — ■ ■ — — xf*

I.X.3 ff — I

de forte que le coefficient cherche fera reprefent^ par la lerie

i.a.^...»-i,, 2.3...W,- 3.4...w-i-i„

Ia2>3 •••••»— I

Denotons par X' la forame de tous les termes de la va-
Jeur de Xoii les puiflances de x ne font pas plus hautes quex'*,
enforte que Ton ait X' ^= M x f* •+• N xl*-*-f Fxf*-*~t- dcc.^
&: divifant par xf"*"' on aura

X' iW N P „

Z-TT = — -J- —-+■-- -H &C.

done , differentiant n - i fois , & faifant enfuite x = a,
on aura

\ i^-*-' / T.l. 3 ..«- 1

ax"-' a " «""•-'

le figne fuperieur etant pour le cas oil n ell impair, 8c
r inferieur pour celui ou n eft pair.

Done , le coefficient cherche de la puiflance x f fera

1 ■> 1-1 • / * \ xC--*"^ I

egal a ce que devient la quantite ^ '

I . Z.3 ...rt — I {^ixY
lorfqu' on y fait x = a .

io8

Remarque.

14. Si on divife la quantite Xpar xf*"*-', & qu'on en re-

jette enfuite tous les termes oii il y aura des puifl'ances pofi-

X'

tives de X, il eft vifible qu'on aura la valeur de — ~tt-

■done , a la place de la quantite -ST' on peut prendre la quan-
tite meme X, en ayant foin de rejater les termes dont
nous venons de parler ; de cette maniere on aura , pour
r expreflion du coefficient cherche de x'', la quantite

• I ^, 1 en rejettant dans cette quantite , avant , ou

i.i.3...«-i(-<^^)""'

apres les differentiations, tomes les puiffances pofitives dex,

& faifant enfuite x == a.

Co roll dire I.

15. Suppofons qu' on demande le coefficient de x" dans

Ja ferie x" ■+■ x"^ -t- a:"* -i-x° -+■ x* -ir x* -+- x^

elevee a la puiffance n.

Suivant les regies ordinaires de la fommation des pro-
greliions geometriques on trouve que la fomme de cette
le.ie ell reprefen^ee par

x-' (i-x"*/^-^')

•de forte que la puiffance n""' de la m^me ferie fera^gale k

(i - *)« *

Compardnt aonc cette formule avec celle du probleme
precedent , on aura
X = x-"« i^i-x'-*-/^-*-'^ )" =

■* • J

■done

109
done, divifant par xf*-*-^ & faifant pour abreger n ct -h {j,=-s,
ct -H |3 -J- I = /! on aura

^ -(t-(-i) — (T-i-i-p)-H-li^— i-^ X— ()r-+-i-"ip)

- " ^"-'^ ^^"-^) y-^^ "^ ' - 3 ''^ -4- &C.
& par conftqueni en diiferentiant n — i fois ,

- /Z (t -+- I — p) (tT -4- 2 — /)) (t -4- « — I — p)x ^ "^ r/

'+' -. :(T-t-i-ip)(T-J-i-2/3; {ir+n~i-ip) X ^ '^'

- &c-

On rejettera done de cette ferie les termes oii les ex-
pofans de x fe trouveront pofitifs , c' ell-a-dire, que ii j- ell
le iiombre entier , qui eft egal ou immediatemeut plus,

grand que , on continuera la ferie leulement jufqu'

au terme j'"*; ou bien il fuffira de la continuer jufqu' a
ce que quelqu'un des premiers fatleurs t -+- i , » -i- i -/j &c.
devienne negatif ; enfuite on fera x = i & on divifera
le tout par i , i . 3 ....«; on aura ain(i la valeur du
coefficient cherche , la quelle fera par confequent

((''■-+-0 (t-Hz) (t -Jr n- \)

1 .z . 3....K- I \

- /2 (t -+- : - p) (t -4- 1 - p) (t -h rt - I -f)

i — ^^- — - (ir -H I - 1 p) (s- -4- 2 - ip) (t -+- « - I - 1 p)

- -^ ~- ^(t-H I -3p) (t -H 2 -3 p) (t4-,7- 1-3^)

2.5

•^ &c. ^

De la on tire la folution du probleme fuivanr.
Mij'c. Taur. Tom. V. dd

2 10

Prohleme VII.

i6. Oil a plufieurs obfervations dans chacune defquelles
on fuppofe qu'on ait pu fe tromper egalement d' une

quelconque de ces quantites -«, -'^j- ^1°^ '?»» ^i

on demande quelle ell la probabilite que 1' erreur du re-

fultat moyen de n obfervations fera - , ou qu'elle fera ren-
fermce entre ces hmites - - & — .

n n

Pour trouver la probabilite que le refultat moyen

foit tf , il faut chercher le coefficient de la puiflance x^
n

du polinome x" -+- x^* -t- jT'-J- x" -fr- x' -t- x'-h x^

eleve a la puiflTance n , & divifer enfuite ce cotfficient

par la valeur du m^me polinome eleve a la puiflance «,

qui repond a x = i ; c' ell-a dire , par (* -t- (3 -H i )»

c' eft ce qui fuit evidemment de ce que nous avons de-

montre dans les prob. pr^c.

Done, par le corollaire precedent, on trouvera que la

probabilite cherchee fera, en taifant »=/2it-J-fji,p=«-^-j8-f-i,

: ( (tt -4- i) (t -t- J.) (t -H/z- i)

- « (t -+- I - p) (t -H 1 - p) (t -f- « - I - f)

^1\n~\) ^^_^ ^ ^ ^^ ^^ _^ 2-a/j)....(3--f-/2-i-ip)

~ &C.^

en continuant cette ferie jufqu' a ce que quelqu' un des
fafteurs tt -t- i , t ■+• i — p &c. devienne negatif.

Telle ell I'exprellion generale de la probabilite que

r erreur moyenne de n obfervations foir s= -;ainfipour

avoir la probability que 1' erreur foit contenue entre les

21 I

limltes — & — il n' jt aura qu* a faire varier jit dans

la quantite precedence , & prendre la Ibmme de rou-
tes les quantites particulieres qui repondronc a

A* = -/'» -ij- I ,o ,1 ,2. ....9.

Or , puifque la quantite /j. n entre que dans la valeur
de T, il n'y aura done que cette quantite de variable; de forte
que la difficulte fe reduira a fommer des fuites dont le termc

general fera de cette forme (i-Hi) (s-hi) (s-i-}) (s-hk)

Pour ceia , fbit la fbmme de cette ferie reprefentee par

u (i-+-i) (JH-i) is-*-k)

u etant une fonftion inconnue de j , & mettant s— i a
la place de j , & u' a la place de w , on aura

U S (i -+- I ) ( J-H 2) (s -+• K — l)

quantite , qui etant retranchee de la precedente , on aura
la difference

(U (s-hK) ~u's) (^-+-1) (S'i-i).i (s-^K-i)

mais il faut que cette difference foit egale au terme ge-
neral de la ferie dont on cherche la fomme , done on
aura 1' equation
u (s •*- K) — us = s -h JC

k laquelle on faiisfera en faifant u = — ; de (br-

te que la fomme generale de la ferie dont le terme ge-
neral eft (s -+■ i) (s -i- 1) (^s -h K) fera reprefentee

(s ■*- 1) (s -*■ z) (.f->-K) (/-hK-»-i)

P" irr-i

& par confequent la fomme de tous les terpies compris

entre ces deux-ci

(^H-O (y_^i) (s'-i-K) & (/'-+-1) (/-H2) (/'-+-/<:)

fera egale a

s"(s"-hi) (s'-h^) (s"-hK)^(s-i-i) is'-+-i) (s'i-K-hi)

K -^ I

Ill

Appllquant done ceci a la formule trouvee plus haut ,
on aura pour la probabilite que 1' erreur moyenne tombe

entre — & — 1' expreflion fuivante , dans laquelle j' ai fait
n n

pour abieger n a. - p = t Si. n a-\- q'=:y ,

' (y (y-+-i)....(y-l-/t-i)-(S-*-0(^-'-0--(5-+-«)

I . 2. . 3 . . . « ^" V

-/2(()/-p)(y-p+i) (}/-p+n-i)-(^-p+i)(S-/!-i-a).... (S-(3+/2))

- &c. \

Cette ferie doit etre continuee jufqu' a ce que quelqii'
un des fafteuis y - /? , y ~ ^ (> &c. devienne negatif; &
quant aux aui/es fatieurs S - p -+- i , ^ - i /> -+- i &c. (i
quelqu' un d' entr' eux fe trouve negatif, alors il faudra
augmenter le nombre IS d' autant d'uni,.e qu' il faudra pour
le rendre pohtifj cela fuit ^videmment de ce que la ferie,
done la precedente eft la (omme, ne doit etre coniinuee
que jufqu' a ce que quelqu' un des premiers fafteurs
ir-i-i-p, 7-t-i-ip &c. devienne negatif, comma nous
i' avons vu dans I'ari. prec.

'CorolL

aire.

-ly. Suppofons que les nombres «, & 3 deviennent
infinis , aufli bien que p (k q , mais de ta^on qu' ils aient

. /? p q

entr' eux des rapports finis; & foit — = /, - = r, -= j,

er.fone que Pon ait j6 = «/, ;?=*r,5' = eci, I , r ^ s
etani des nombres fims ; dans ce CdS on aura
p=ct-t-|S = (i-+-/)ct, i = nit-p = {n-r)et.
y = no. -t- q = {n -+- s) a. ; de foite qu' eh fuhftiruant ces
valeurs dans la tormule precedenie , ik negligCdnt ce qu'on

113
doit negliger a caufe de «:=«•, on aura celle-ci ou/srri-t-/,

1,1.}.... nf" \ ■' z ■'

^{n-rY-^n {n-r-f)'- "-^^ (n-r-ify -4- &c. ^

chacune de ces deux feries devant etre continuee feulement
^ufqu'a ce que quelqu'une des quantites n-^s—f, n-*-s—ifS>cc.
&c n — r — y , n — r — 1 f &c. devienne negative.

Le cas de ce coroliaire a lieu lorfqu' on fuppofe que
chaque ob(ervation ei\ egalement fujette a routes les erreurs
poffibles comprifes entre des limites donnee* ; car fi on prend
la plus gran-'le erreur negative pour 1' unue , & qu' on
dcMigne la plus graiide erreur politive par / , la foimule
precedente denoiera la probabilue que 1' erreur du reful-
tat moyen de n obfervacion loic renfermee eiitie ces deux

limites -—&-+-—.
n n

Au relle nous donnerons plus bas une methode beau-

coup plus fimple pour relbudre ces fortes de quellions.

ProhUme Vlll.
1%. Suppofant que les erreurs qu'on peut commettre dans
chaque obiervation (oient- u,...— i,- i,o, i , i....«, & que le
•nombre des cas qui repondent a chacune de ces erreurs

fcit refpeftivement proportionel ai,a,3 rt-+-i, 3,1,1.

on demande quelle elt la piobabilite que 1' erreur du re-
■fultat moyen de m obfervations foit comprife entre les li-
mites — & — .
m m

Commen^ons par chercher la probabilite que I'erreur

f*
moyenne (oit = — ; cette probabilite fera egale au

coefficient de la puilfance xf* du polinome

2 14

eleve a la puiffanca m , ce coefficient etaiit enfuite dlvife
par la valeur du meme polinome eleve a la puiffance n ,
qui repond ^ x = i
Or on a i -f-zjc-h (a-+- 1 )x*-+-....ix**'"'-4-x:*«=( i -+-x-f-.....-v;'»)*

j } done le polinome dont-il s' agit fera egal

I , & par corifequent la puiffance n de ce

polinome fera reprefentee par

(i - xy^

Cette formule etant comparee a celle de 1' art. 23., on
aura n ^ % m, nti=/na},Scot.-i-Q-i-i = u -*- i i

d' oil r on tire n = z m , ci =—=:-, Sc & =^ - i

n 1 1

done ( prob. prec. ) la probabilite cherchee fera

((» -t- 1) (tt -+- 2) (t -t- 2 m- i)

— 2m(T-t-i— p)(t-+-2— f) (jr-f^m — I— ^

•*-zm{im-i)

{tt -h I - 2 p) (:r -+- 2 - 2 p) (t •+- 2 to- I- 2f)

— &c.)

en fuppofant 7r = TO6>-4-jM, &p = a-+-i & continuant
la ferie jufqu' a ce que quelqu' un des fafteurs » -I- i - (?,
a- -+- 1 — 2 /) Sec. devienne negatif.

De la on trouvera, comme dans le probl. preced. , que la
probability que 1' erreur moyenne fe trouve entre les limi-

tes — ' & — fera exprimee par

7ZI3I^"(^^^'^ ' )....()/-4-iTO- 1 )-(S-+- 1 )(S-+-2).... (l-him)

+ ^^*—^((>-»p)(>+I-4/>).,..(>-«-»'»'X-2f)H'''-'-«'*/>)(^"*^"*/')".(^'*" >'»-*/'))

2

— &c. \

i'5
y etant = m « -4- y , & J s= /n <u - p. a 1' ^gard de'

la continuatioa de ces deux feries il faudra fiiivre les re-
gies prelcrites plus haur (art. 14.)

Corollaire.

ji. Suppofons mainteiiant que les nombres a ;> , &: j

deviennent infinis, mais enforte que Ton ait -= r, -= * ,

^ « ft) '

r y &c s ^tant des nombres finis , & la formule precedente

deviendia ( art. 1 j. )

(iOTW)*"»- im (i («-i) w)"* H ^ w-i ; ^^ (^m-%)-*-sy*'-&c.

I. 2.3. ...2m. 1^"

(iw-r)^" - i»» (i (w-i)-r)-'"-f- i ^(i(»»-z) - r)^"- ^*.

i.

1.2.3 iW. i*"

ces deux feries etant continuees jufqu' a ce que quelqu'une
des quaniiies qui font elevees a la puiflance z n devienne
negative.

Cette formu'e exprimera done la probabilite que 1' er*
reur moyenne de n obfervations foit comprife entre les

limites — & — , dans 1' hypothefe que chaque obferva-

tion fbu fujette k toutes les erreurs poffibles contenues
entre ces deux limites — i & -+- i , & que la facility
de chaque erreur foit proportionelle a la difference qu'ily
a entre cette erreur & la plus grande erreur polTible dans
le meme lens; cette hypothele elt plus conforme k la na-
ture que celle de Tart. 17.; la courbe des erreurs (art. lo.)
fcroit ici un triangle ifocele quelconque.

1 16

Scholie.

31. En general on pourra trouver, a I'aide du Icmme
precedent, la probabilite que T erreur moyenne foit egale
a une quantite donnee daii^ 1' hypothefe que les erreurs,
auxquelles chaque obfervation eft fujette , forment une pro-
greflion arithmetique ; & que les tacilites de ces erreurs
formenr une progreffion algebriq^ue quelconque , dont les
differences d' un ordre quelconque devienneiU nulles ;
car foit

j4x-'-^ B x'"-*-^ ■+■ Px""" -i'(2x''-^Rx' -^...-h-FxH

le polinome dont les expofaiis de x reprefentent les erreurs,
& les coefficiens , les facilitei de ces erreurs ; qa' on de-
note par A y^ , A--y4 &c. les differences premieres , fecon-'
des &c. de la ferie A , B , C Sec, enforte que
A . ^ =B -A, d^.^A = C-zB-^-A,&i.c., & qu' on
denote de meme par A.K, A.'V les differences de la ferie
y ^ X ,, Y &c. fuppolee continuee au dela de F^ on aura,
comme 1' on fait , pour la valeur du polinome pr.opofee,
la ferie

X

"«

I H X \- &C. I

\ 1 - X {1 - x)- J

Or, fi la ferie ^ , 5 , C &c. F, X &c. eft telle que
fes differences d' un ordre quelconque m par exemple de-
viennent nulles, on aura A-™ y^ = 0 , & A-" F =-o &
routes les differences ult^rieures feront aufli zero } de forte
que r expreffion precedente deviendra finie quand meme
le polinome propofe contiendroit un nombre inhni de ler-
ines } de plus cette expreffion pourra fe reduire a ceite

forme -; rr", "S, etant une fonftion rationelle & en-

(1 - xr

tiere de x } de forte qu' en elevant cette quantity a une

puiffance quelconque , on aura toujours une expreffion qui

fera dans le cas de celle du lemme.

Lemmt

117
Zemme II.

33. On demande le coefficient de la puiflTance xf* dans
la f^rie qui relultera du developpemeiit de la fraction

; : — ; — r- , X etant , comme dans le lemme I. une (on-

ftion raiionelle & fans divifeur , de x.

On fait que la fraction — — — — peut fe decompo-

fer en differentes fraftions telles que celles-ci

A A' A' „ y^«-'

&c.

{a-xY (-a-jv)""-' {a-x')'"-'- ' a-x

B B' B" „ B"-

{i>-x)' {i-x)"-' C^-a)"-* i - X

les coeriiciens A^ A\ A" &:c. etant egaux a ce que

deviennent les quantites — »

^ (^ - xY *

— ^—— , — ^— ! — &:c. lorfque x = a, & les

— ax % a x^

coefficiens B ^ B' , B" &c. etant egaux a ce que de-
viennent les quantites

d

, ' {a- xY {." - ^y

{* - xY — ^^ ■ — > — ^^ — ^^'

- d X 1. dx-

lorfque x = ^ . Done la fradion propofee fe changera

dans ces deux fuites de fractions

AX A'X ^

H- -+- OCC. H-

[jt-xY {a-xY~^

BX B-X _

Mais par le lemme premier le coefficient de la puif-
fance x(^ dans la ferte refultante d' une fraclion telle
M-ifc. Taur. Tom. V. e c

A'-

-X

a

- X

X

• f-

l> -

■ X

ii8

^"^ TTTT)^ P^"* * expnmer par
J.""-'/ X \

; — :^ 1 en y faifant apres les

difFerentiations , x = ai

Done, en general , la fra£iioii —^^ — donnera pour

ie coefficient de xi^ la quantite

{i>-xY ■V/' \x(i-^i )

1.2.3 ... J i^— d X )' ' ^ I . i . 3 . . . w — J — I {—dx)'* '"'
ou il idut taue a; = a. Done, puifque a'""'. ^ j; =^ </""ȣ

-^(m- \)dy d'^^i -v- i i^ ^^V (^"■•{-H&c. -+-{</"-'j',

il eft facile de voir que Jes fraftions

(4 - x)" (*J - a:)""-' ' a - X *

prjfes routes enfemble , donneront pour le coefficient dexf*
la quantite

V-v^-^- ^^-*)» /

I . 2 . 3 . . . /72- I (-</ac;"^»
^ etant fait = «.

De na^me les fraftions

BX B'X „ B-' X

&c.

donneront pour le coefficient de xf* la quantite
d."-'/ X \

Va:'*-*^' {a-x)" )

I . 2 . J .... /2 - I (- </ x) •"'

;; ^taiit tdit = ^.

^'9

Done , eti r^unifTant ces deux qu.intites , on aura pour

le coefficient de ar" dans la ferie refultante de la tra6hoa

"7 TiTT"/. TT 1' expreffioB

d."

\xl^-*-t{l'-xY J , ^

. (x = a)

1 . 1 . J . . . /7J - 1 (— c/ ;c)""'

-H U"- (^--)" j ( X =: O

i.i.3...«— I (-ix )*"'

X
en ayant Coin de rejecter dans la valeur de loutes

les puiffatices pofitives de x.

Corollalre.
34. II eft facile de conclure de la que fi on develop-
poic en ferie la frat^ion

X

i^a-x)" {h-xY {e-x)P.T..

on auroit pour le coefficient de x** V expreffion fuivante

dr^' ( X \

U^H-. {^b-xY{(-xy....) ^^ _ ^^

dr' ( X \

^ \xl^^^ {a-xy ^c-x)pj^ (X = b)

I.Z.3....W-1 (-</a)""'

dr'f x_ ^

^ v^^' (^-Ar)" c^-A^)' rr y . __ ^j

1 . 2 . 3 .../'- I (-d'^r)/^'
-*- &C.

X

en ne prenant dans la valeur de que les puiSaa-

ces negatives de x , & rejettant toutes les pofitives.

e e X

tio

Remarque.

3 c. Par le moyen du lemme pr^ce-^ent on pourra done
dfftei miner aifemenr la prr.bdbilire que 1' erreur nioyenne,
relultante de tant d' obie vaiions qu' on voudra,foit nulle
ou egale cl une quaiime donnee , loifque le polinome
(art. 31. )

j4 x-'-i-B A-*-^' H- P X-' -+- Q A* -+- i? *'. . . -»- f^xlf

forme une lerie recurrente quelconLjue ; car alors la fom-
me de cette ferie pourra s'exprimer, cooime i' on Idit ,
par une fraftion rationelle , telle que

(a-x)^ {h-xy Q:-x)P ....

"H. etant une fonftion rationelle & fans divifeur , de x ;
de Ibrte qu' en eievant cette quaonte k une puiffance queU
conque, on aura toujours une expreffioti qui pourra fe
rapporter h celles du lemme cideirus.

Au relte rhypothefe la plus conf-orme a la nature eft
celle oil Ton (uppoie que chaque oblervation foit fujeite
a toutes les erreurs comprifes entre des limites donnees ,
nforte que le iiombre de toutes les erreurs pollibles (bit
iiifini, comme dans Jes art, ay. & 31.; or pour trouver
en ce cas la probability que i' erreur moyenne d'un.
nombre quelconque d' obfervanons ioit aulii renfermee en-
tre des limites donne.s, il n' eit pas necelTaire de confi-
derer n' abord an noaibre fini d' erreurs, & de fuppofer
eniuite que ce nombre dtvicnne iniini , comme mius I'avons
orntiqu^ dars les art. cites } raais on peut y parvenir di-
reciemerjt par une raidiode beaucoup plus limple & plus
generaie , i.;qu.Mle ell fbiidee lur le knime lui'Aint. •

e

211

Lemme III.

36, Si ^ denote une fontlion quelconque de x telle
que ■— foit une quantum conftante , on aura

/, , , ( y ^_ ^'y

- Sec. -*- ^ ,, ^ ^ ) -+- confl.

c" ell ce qui elt aile a verifier par la differentiation.

CoroUaire I.

37. Si on fair J/- = x" ■, m etant un nombre entler &
poliiit", on aura done

»/(/»- 0 ;»"»-» „ m {m- \\ {m- \\ . . ,x . \ \

-*- cony?,

Qa' on prenne I' integrale / x" a' d x enforte qu'elle

foit nulle lorfque ,v = o , & I'on aura

/. /*" zw *"■" • „

x''u' d X = a' ( -- - —-— - -+• &C.
\'a {lay

I.2.3....W I. !';.../»

Or , <i on iuppofe que a iuit une fraftion moindre que
r unite , enforte que ~ foit ua nombre plus grand que
r unite, & qu' on fa lie x = 00, 11 elt facile de voir que
/—J fera une quaniite infinie d'un ordre infiniment plus
grand que x " , & qu' aucime puilFance fuiie de x ;

/

/

Ill

done -^ — r7 , ou bien a' x" fera nulla , & , a plus forte

raifon aufli , routes les autres quantites a* x"*"*, a' x"*"* &c.
feront nulles , de forte qu'on aura dans ces cas

/

<f X =

D' ou je conclus, que la quantite ■. ~ eft egale a lln-

tegrale de x**"' a" i x prife depuis x = o jufqu' k x = oo ^
& divifee par 1.2.3...W2-1; pourvu que a foil
un nombre pofitif moindre que T unite.

Si a etoit un nombre pofitif, plus grand que 1' unitd , U

n' y auroit qu' a mettre — a la place de x dans la for-

mule precedente, & 1* on en concluroit que k quantt-

te"rj feroit egale a T integrale de — - — piife de

meme depuis x = o jufqu' ^ x = 00 , & divifee par
I .X.3 . . . m — ijon voit par la comment on peut

reduire les puiffances quelconques de — en des furies in-

fintes qui proc^dent fuivant les puiffances de a.

Corollaire II.

3 8. Done , fi r on a une fonftion quelconque rationelle
& fans divifeur de a telle que
A = P ar ^ Q^ af" -*- Raf'- ■+■ &C.
& qu' on demande le coefficient de la puiffance a '"* dans

la fonftion -77— i il "' Y a^ra 'i^' a mettre , k la place

{la)""

de — — , la fomme des valeurs de depuis x = o

{la)" ' «" "^

jufqu' a X = 00 , divifee par i . i . 3 . . . m - i (corol.prec.),
&: ralTemblant touts les termes oil a fe trouvera eKve a
la puiffance donnee , on aura pour le coefficient de cette
puiirance la ferie

"^ ax

laquelle ne devra etre continuee que jufqu' a ce qje quelqu'
un des termes x -^ i , x — i &c. devieiine n^gatif} &: com-
me ce coefficient ne depend point de la vaieur de a , il
ell clair que la formule que nous venons de ttouver aura
toujours lieu , loit que a foit plus grand ou moindre que
y unite.

A
Si au lieu de la fonftion — on avoit celle - ci :

—- ; comme / a - * = / ~, il faudroit fubrtituer a

la place de — — - la fomme des valeurs de -

depuis X = 0 jdlqu' a jf = 00 , divLfee par i . i . 3 . /72 — i ,

& Ton auroit pour le coefficient de a*""' la ferie

P <•««*"-■ -t- Q e'i"-) (x-\y^' •+- Rf«(»-» {x- 2.") ■ ^f. ,
- ■"= d X

Enfin, fi on avoit la tondion
A^

on decompoferoit d' abord , par les m^thodes connues , la
^a£hon

7- ; • en celles-ci

a a-* ^n/A-fi)" —

F F ., F —
-f- -f- &C. -4-

V--0' (/4-0— /---

G G' « G«-'

■+■

&c.

■^ CJ^:^» ■*■ ^^- -»■ TT^

enfuite multi'pliant chacune de ces fra6lton$ par A, on
auroit autanr de fonftions de a , dans lesquelles on pour-
roit trouver le coefficient de la puiffance a * par la for-
mule ci-deffus.

Remarque.

39. Par le moyen du lemme precedent on peut trou-
ver r integrale de I y a." d x lorfque y =^ X e"*',

X etant une fonclion rationelle & fans divifeur de x ,
telle que fa differentielle d' un ordre quelconque foit con-
ftante ; car pour cela il n' y aura qu' a mettre dans la
formule du lemme, X a la place <ie y & ae-" a la
place de a ; moyennant quoi on aura

/X a' __ a* / X dX ^

e "» eax \ I a -~A dx (/<«-*)»

-+- -, ;, &C. ) -H confix

Et on irouvera de meme Tintegrale dey a' d x , lorfque
y fera eompofee de differentes foii6tions de m6me efpece

que — .

D' oil il s' enfuit que V on pourra auffi trouver 1' inte-
grate de y a' d X lorfque y fera de cette forme X cof. tt,x,
ou X Jin. u X , o\i eompofee de plufieurs fonftions d' une
forme lemblable j car il n' y aura qu' a mettre a la place
des ^nus & cofinus les expreffions exponentielles imagt-
naires qui leur font eqaix alentes, &c le calcul acheve on
remettra a la place de ces expreffions , \q% fmus ou cofinus
qui y repondent.

Ce font la les feuls cas ou la formule y a* d x foit in-
tegrate , au moins par les methodes connues . jufqu' ici ;
dans tous les autres cas 1' integration ne peut s' executer
que par approximation.

Prohlimt

»»5

Probliine X.

40. On fuppofe que chaque obfervation foit fujctte i
toutes les erreurs poJfibles compnfes entre ces deux limi-
tes /J & - y , & que la facilite de cliaque erreur , x
c'elta-dire, le nombre des cas oil elle peut avoir lieu , di-
vifc par le nombre total des cas , foit reprelentee par une
fonftion quelconque de x defignee par y; on demande la
probabilite que 1' erreur moyenne de n obfervatioHS foit
comprile entre les limites r, & — j.

On commencera d' abord par f hercher la probabilite
que r erreur moyenne foit ^ , & cette probabilite etant
reprefentee par une fonftion de ^, il n' y aura qu' a en
prendre 1' integrale depuis { = r jufqu' a ^ = s ; ce (era
la probabilite cherchee.

Maiiuenant pour avoir la probabilite que V erreur mo-
yenne de n obfervations foit ^ , il faudra confiderer le po-
lynome qui elt reprefente par 1' integrale de ^ a' dx^
en fuppolant cette integrale prife de maniere qu' elle
s' etende depuis x r= p jufqu' a. x = — ^ , 1' on elevera
ce polynome a la puiflance /z , & 1' on cherchera le coef-
ficient de puiffance ^ de a, par les regies donnees dans
les coroll. du lemme prec. ; ce coefficient , qui fera une
fonftion de j exprimera la probabilite que 1' erreur mo-
yenne foit ^, comme il eft facile de le voir.d'apres ce
qui a ete demontre plus haur.

Exemple I.

4t. Suppofons d' abord que j' foit une quantite con-
ftante = K, enlbrte que toutes les erreurs foient egale-

ment probables , & 1' integrale de y a' d x fera - — ,

de forte qu' en prenant cette integrale depuis x = p
jufqu' a X = — <j , on aura pour la valeur complette

— Jlf — i; qu'on ^!e/e done cette quantite a la puit

I a

Mifc. Taur- Tom. V. ff

126

fance n, & T on aura une quantity de la forme . . . ,<
oil ( faifant ^ «+- ^ = t )

Done par le coroll. x du lemme ( art. 38,) le coefE-
cient de puiflance a'""' (era.

^'' _ ("^e-.-^ (x-f) «-'-+. ^^^ (x-z:)""'
-I \ 1

I .z .3

.»— I

« (« - 0 (« - 1)

(x- 3 0'"' -«- &c- )

ix

en ayant foin de -ne contifluer la ferie que jufqu' a ce
qu' on parvienne a des termes x-mt qui (oient negatifs.
Faifant done/? /z - X =={• , c'ell-adire, x = pn-i on aura
la probabilite que 1' erreur moyenne de n obfervations (bit {.
On incegrera maintenant la forraule precedence en y fai-
fant varier x , & on prendra 1' integrale, enforte qu' elle
foit nulla lorfque x=/'/2— r, & complette lorfque x^pn-^s;
on aura de cette maniere la quantity

K" /

{ (p a -Jr sY ~ n{p n -i- s -t) "

%-. 1 . I . . . . n \ '

» (b- l) \„ o

2, ^

— (p n-r)" -¥■ n.{p n-r-t)"

_ tS:LZl±^pn-r-.iy -4.&C. )

laquelle exprimera la probabilite que 1' erreur moyenne
de n obfervations foit contenue entre les limites r & — j;
au rerte cette formule revient a la meme que cellede I'art. 17.

Exempie II.
41. On fuppofe que la quantite y foit = K (/>'— x*),
& que les deux limites des erreurs foient p Si ~ p , il
fdudra int^grer la differentielle if a' (/t^-x*) c/ j: , & pren-
dre i' integrale enforte qu' elle s'etende depuis x = '^ p

jufqu''^ X = /?, Or y puifque la feconde diffirentielle de
^' — a;' e(l coiillante , on aura par le lemme cette integrate

laquelle ^tant completee, comme on vient de le dire , don-
nera
% K p (dP -*- a-P) a K (aP-a-P) _

On elevera done cette quantite k la puiflance n, & Torf
aura

{i Kp)" (dP -^a-P)" (iKY/i"-' (aP -t-a-f)"-" (aP-t-a-f)

» (»- I ) (i K)"/?"-* (^'' -t- tf-^)«-» {aP - a^py

— 6cc.

on devcloppera Ics puilTances de a'-i-aT & decf-a"'',
& Ton cherchera enfuite par les regies de 1' art. 38. le
coefficient de la puiffance a K Pour faciliter ces operations,
nous fuppoferons

(aP -fa-n" = aP"-*- P a'"""'' -h Q aP'-^P -+■ See.
{af H-- a"0""' (a''~a-P) = a"/- -H F a''P-'P -h Q a"''"'*? -+- &C.
la'' ■+■ a'O "-' (aP - a^ )' = a=v 4, p" aT'P -t- Q a''P-'r -+- &c.
&c.

& r on trouvera , pour le cx>efficient de la puiflance /7p-.x,
la ferie

i.i.3--i''~i\ /

-n^^^— f X" -H P (x-ipy -h Q (x-4P)^» -+- &c. )ju
1.1.3... i"\. \~ i ' J

1 1 I.}...2n4-l \ * v. < J

— &c.

On tera done £ = « ^ - x , c'eft a-dire , * = « ^ - ^, &: on
integrera de inaniere que I'lUK^g rale foir nulle lorlque { =:r,

if -

ii8

& complette lorfque js=-j, e' eft-a-dire , nulle qunnd
X = n p — r , & complette quand x = n p -i- s , on aura
la qu?ntite

i^ — - ((np^sy-hP ((«-i)p+i)" -f- Q ((/z-4)p-+-j)'"-»- &C.
*.2.3...in\ ^ '

I.J.3...in^.i\ I >- •

- (w/5-r)"-^'-P'.((A--i);;-/-)"+'-Q'((«-4)f-'-)""*"~&C- )

i i.i.3...in-H\

laquelie exprimera la probabilite que T erreur moyenne
de H obfervations foit comprife entre les limites r,&.— jj ;
au refte il faudra toujours fe fouvenir que les feries prd-
cedentes ne doivent erre continuees que jufqu' a ce que
■quelques unes des quanrit^s qui fpnt elevees aux puiflan-
ces 1 /2 , 2 /J -t- I &c. deviennent negatives.

Remarque.
43. L' hypothefe du dernier exemple paroit la plus fim-
ple & la plus naturelle qu' on puilTe imuginer ; 11 eft vrai
que celle du probleme 8. paroit encore plus iimple, puifqu'on
y fuppofe que la facilite des erreurs x S>c ~ x foit repre-
fentee par p " x , p etant la plus grande valeur poifible
de jc , c' elt-a-dire , la limite des erreurs tant poiinves que
negatives ; mais ceite hypothefe a 1' inconvenient que la
loi de continuite n' y elt pas obiervee en paffant des er-
reurs politives , aux negatives ; c'ell pourquoi , fi on vou-
loit y appliquer la methode du prob. prec. , il faudroit en
fajidnt J = K {p - x) prendre d' abord 1' integrale de

ii9
fy a' d X depuis x = o jufqu' a * = /» , laquelle feroit

\Uay ~ Ta J
enfuite , en faifant x negatif, & confervant la meme valeur
dej/ , il faudroit prendre de meme 1' inregrale 6e fyoT'dx
depuis X = o jufqu' a x = /J , laquelle (eroit (en ne fai-
fant que mettre — a la place de a dans I' expreffion pre-
cedence )

& la fomme de ces deux integrales particulieres feroit
r iniegrale complette Aq fya'dx depuis x = p jufqu' a
X = — p dans 1' liypothefe dont il s'agitj on aura done

la quantite K ( j-— J , ou bien K ( —^ .' j

qu' il faudra elever a la puiflance n, & fur laquelle on
pourra enfuite operer, comme dans I'exemple I.; on pourra
meme , fcins faire un nouveau calcul, apphquer ici les tor-
mules de cet exemple en y mettant 2 « a la place de «,

- a la place de /» , & de y, & par confequent /> a la

place de f = p -4- ^ J de cette maniere on aura fur le
champ r expreffion de la probabilite que 1' erreur moyen-
ne de n obfervations foit renfermee entre les limites r, &— f,
laquelle iera
A" /

((p«-(-j)"-i rt((/z- i)p-+-0"

-« ^^ — ({n ~ 1) p -+- s)" — &C.

^ (pn-ry^ini{n-i)p-r)"

— ^ ^ {{n-z)p- r)" -H &c. j

ce qui s' accorde avec la formule de i'art. 31,

Prohleme 11.

44. Suppofant que chaque obfervation foit fujette a rou-
tes les erreurs polfibles comprifcs entre les limites^ & - ^,
(^ etant Tare de 90 degres) & que la facilite de chaque
erreur x foit proponionelle a cof. x\ on deraaade la pro-
babilite que i' erreur moyenne de n obfervations fera ren-
fermee entre les limites r & — ^.

On aura done ici y ■== K cof. ar, & il s'agira d'abord
d* Inr^grer la differentielle K a' cof. x d Xy done I'ini-

tegrale , (en mectant _ _a la place deco/jf)

fe trouvera par Part. 39.

Kg" / r-V -- f. •-.vV^'- \

z \la-i-V-i la-V~\ /

c' ert-a dire , en repaflant des exponeatiels imaginaires aux
Jinus Sc cofinus ,

cette integrale doit maintenant etre prifr enforre qu' elle
s' etende depuis x ■=■ — f>, auquel cas cof. x = o ^ fin.
X = I jufqu' a X = p, oil cof. x = 0 & fin. x = i ;. ainfi
r on aura pour 1' integrale complette

K {af -t- a-P)
{/ay ->- I

Qu' on eleve done cette quantite' a la pui fiance «, & fat«
fant pour abreger

__^
on aura la quantite — - dans laqueile il s' aglra

jTiaintenant de cherchcr le coefficient de la puiffance at.
Pour cela il faudra (art. 38.) decompofcr la frat^ion

-—-7-— — c'elt-a-dire, ;-; — r-77 — ; — r-" en ces fra-

£tions fimples

F F' F"

{U-^-V-l)* (/^-t-v'-i)"-' (/-J-t-V-l)-* ^ ^^^'

G G' G"

H 1 H L, Rtq

{ia-V-i)" (/rf-v/- !)«•■« {/a-v -I )"■■'■

■& r oa aura par les methodes cx)nnues (art. 35.)

f= I p=, 1 F"~- "("-O p..

(-zV-i)*' (_iV_i)»-»-i' i^-n/.i^.+i ^^*

luultipliaat enfuite par A cliacune de ces fractions , on
trouvera par la meihode de I'art. jS., que le coefficient
de la puiliance a'"'"'' fcia expum6 de cette maniere

1 .1 . 3 ,..»-z \ '

H -—- ((F ' e -V- ^ G " e'V-.) X -'

-^ "^""*) (ir"e-(^-v)v--.^g"^u>if)w-.) (x-4/))"-*-H&c. ^

-t- &c.

Or on a e±'*^-' = cof. x-*-y - i fin. x , & ainfi des
autres ; done I'ublHiuant ces valeurs, & taifant pour abreger

G-^F=f, G-F=^,G'-+-F'=f',G'-F' = -^

J V_l' J V_I

C" -^ F" =f" y G''-i^"= -? — Sec, oil les quantites

2J1

/» S ■> f ^ S' ^'■' 'f^ront neceflairement reelles , la for-
mule precedente devieiidra

K" dx f , r f r \

• ( ( / co\. X ->c- s, (in. x) X ""'

i.z. 5 .. w-i V

-4- n (fcof. (x-xp) -^gfin. (x - x p)) (x - i p)"'^

-t — r-~- {fcof. (X'^fp) ^gfin.{x-A,p)) (jc-4p)'-'-t-&cJ

-»- "— ( ( f cof. X -h ^ ' /irt. x) X"-'

-t- « (/' ^of (x-ip) -+- 5-'//j. (x -zp)) {x-->. ;;)*■»
-+-—7— (/'<^''/' (^-4F) -+-g'y'«-(jf-4/')(jf-4/')''."'-H&C. \

-i ^^ ( Cf" cof. X-+- 8:" fin. x) x "-»

-H /z (/" cof ix-2 p)-hg "fin. {x - 2 p)) (x -2 j?)»-»
^,"±lll(f" cofix-4 p)-^-g"M ix-4p) (.x-4pr>-^8cc. )

-»- &c.

oil il faudra continuec les diiFerentes feries jufqu'a ce que
les quantites x, x - x p , x - 4 p &c. ou leurs expofans
deviennent negatifs j cette quarftiti exprtmera done la pro-
babilite que 1' erreur moyenae de n obfervations foit^ tz-xj
par confequent il n' y aura plus qu' a 1' integrer de ma-
niere que I' mtegrale foit nuUe lorfque x = pn— r,8c
compleite lorfque x = p n -+• s pour avoir 1' expreffion cher-
ch^e de la probabilite que I'erreur moyenne loit renfermee
entre les limites donnees r 8>c — s ; mais comme cette in-
tegration, eft facile par les mecliodes connues , nous n' en-
trerons pas dans un plus grand detail la-deflusj & nous
termmerons mSme ici nos recherches, par lefquelles on doit
voir qu' il ne relte plus de diffi'culte dans la folution des
queftions qu on peut propofef fur ce fujet.

THEO-

T H E O R i: M E

Pour fervir de fuiie aa mimoire fuT dijfirentes

quejiions d Analyfe.

Par M. le Marquis de CONDORCET.

Ooient les 3 equations V = 0 , V = 0, V" = oj
V^ v., V" etant functions de :t, j,^, li je mets ces
equdticns fuus la forme x=.A-^^^y=^B-^<p^
{ = C -H (p" , oil (p, (p, <p' contienent d' une tagon quel-
conque les trois variables x ^ y ^ z^ j' aurai + x , y ,

I ^ -^ A, B , C -4- it (p -+- l.t <P'

iA. id A»

(^Jf y?, ell une autre dAr 1 idd<ir ,

lonchonquelconque ''^ ^ xdAdB ^

^i^''t.<p'<p-+^

. <<■

4^

?>'

• • •

<i^»

z?

<3u D, D' , D'' font ce que devient le terme (1) en y
mettant pour ^ , (p , ?i', ou (p", £, £' £" ce que devient
le terme (3) en y mettdnt pear 4^, (p , ^', ou (p"i iU. le
AJj/c. 7a«r. To^ti. V, g §

terme (m) fe trouvera en prenant ■4^(/4-4-A/^,5-+-A5,(r-l-AO
par le iheoreme dc- M. d' Alembert , en nittiaiu pour

A/^,A5,AC(p-+-(p(^>-+-(p('^-+-(p^*^ -t-(p("-^)..®'-Kp'('>-^-(p^')

-+- ©'('■-), <p"-h <p"(^) -+- (p"('^. . . -^^'^'-'l (p^"' (p'C^ cp' W} defi-
gnant en general le terme (m) de la ferie ea ■}• oil pour
•"f- on auroit mis <p, cp' ou <p", &: en prenant dans ce que
devient aiors -^A-^-AJ, B-^AB,C-+-AC, le rerme
oil ^ & ^k montent au degre n , les fonftions (p^"^ <p'W (p"W
etant regard^es comme du degre m; on aura done la va-
leur de chaque terme de la ferie qui reprefente 4^x,jk, f,
par une fonftion finie des termes precedents.

Si cette forme ne paroit pas ailei fimple , on peut y
fublhtuer celle-ci ,

^x^z=-¥A,BC-h'S cp + -f£_ -4-_M^/^Ji!L_:

"■" (p 2dS z.j.dAdB

. H-:!^:).

d^

(p' Jv4

<P' a<iC

<P" i.dB'"
,,d-i- »\

»35

oil V eft une quantity telle que

^>< <p Ta ''^ (p Tb dB~''

; — -- «(Ty -^J OC ^'/a I, dB <t ' o. ■ r

- ^ ^^ ,> _^^- ^, __^ , Ck ainfi

de luite, Ces termes fuffileni pour voir la maniere dont il
faut s' y prendre pour trouver les autres & continuer la
ferie. On voit que la methode eft generate pour un nom-
bre quelconque de variables. Le theoreme ie demontrera
toujours avec la meme facilite , Sc de la meme maniere
que j' ai demontre celui de M. De la Grange pour une
feule variable. II elt inutile de s' etendre ici fur 1' ulage
qu' on en peut faire dans tous les probi^mes dependans
4es eliminations & des feries.

g g

NOUVELLES RECHERCHES

Sur les equations determinees ^ pour ferv'ir dc fuite

& de developpement au rnemoire fur le meme

objet , deja inferc dans ce volume*

JLe but que je me propofe ici eft de prouver. i.'Qaefi'
une equation determinee de T otdre n elt refoluble par une-
formule generale , c'eft-a-dire, fi fa racine eft fufceptible
d' une expreflion finie ; il n' y a , pour la rrouver , d'autre
difficulte que celle de la longueur des calculs. x.° D' indi-
quer la marche d' une methode generale , par Faquelle on
parviendroit dans ce cas a trouver la racine, & d' exa-
miner les tnoyens de faciliter cette methode que 1' analy-
fe peut fournir. 3." D' indiquer comment on pourroit s'al'
furer fi une telle equation ell ou n' eft pas poffible.

ARTICLE I.

De la forme generale des foncllons radicates^ du degri

oil moment les equations qui fervent a les determiner^

& de la recherche des coe^ciens de ces equations^

d' ou r on deduit la preuve du premier

objet dc ce rnemoire.

1.S,

'oit la forme \f A ^ elle a n valeurs : ces n valeurs
font y^A multiplie lucceflivement par les n racines de
r equation y' — i ; &c fi on fait x ■= ^ A f on aura
x" - A = Q.

II. Soit X = ^A -H ^B -+- yC &c. ces quantites
etant au nombre de m , comme chacune peut etre mul-
tipliee par chacune de n racines dejy" — 1 = 0, x pourra
avoir n" valeurs , & par confequent fera doune par une equa-
tion du degre n".

1^7
TIT, 11 efl aife de voir que cette Equation ne peut con-
tenir que les termes

X , X — n , X — in, ixC.
cn effet ce fonr les feuls qni puiirent conienir lies rermes
rationiicls A, B, C, &c. A\ B^ , C\ AB , AC, &c.
IV. Chaque A , B , € , &:c. devaiu enirer d' une ma-

niere fcmblable dans les coefficiens, le coefficient dc x "^n.
(era do la forme

A -+' B ■+■ C x/7}

celui de x"" — zn fera

B-

-^AB -^ AC -\- BC , bcc. q' i

C£lui de x" —I n fera

^ » -4- ^ > _H C j>"

H- A' B -J- A'C -+- B' A -f- B'C 8ic. q"
■i- A B C Sec. r"; & ainfi de fiiire.

V. Pour trouver p, on obfervera que y'A a pour coe&
ficiens routes les racines de 1' equation y' — i y repetees
un nombre n"^' de fois chacune, ou bien les racines de

r equation jy" - 1 = o; done le coefficient de (v'A)*
©u le coefficient de A lera la fbmme des produits de

toutes les racines de J'equaron y' - i = o , priles
« a ra , c' ell-a-dire , au coefficient de y '—n , dans y"— i
^leve a la puillance n""^ , ou a - (/.""')•

VI. Pour trouver p\ on cbleivera que par la meme
raifon ce terme doit etre egal au coefficient de y'—zit

dans y" - i egal a i ; p' fera egal a

i & ainli de fuue.

• \

»3«

VII. Pour avoir ^', on obfervera que le coefficient

de X " — 2 n eft egal a la fomme des produirs des raci-
nes prifes i. n a in; que dans chacun de . ces produits
on aura pour coefficient de -^ ^ la fomme d' un nombre

ri"-'

de produits des racines de ^*" — i prifes x n k m

X n

egal au coefficient de P" Q" dans P -+- Q ; mais le
coefficient total de A B doit conienir tons les produits

/z"^'

des racines de ^'' - i , i n k i n , d'une maniere fem-
blable ; done , puifqu' il contient un nombre de ces pro-
duits egal au nombre qu' il y en a de difFerens , multi-

20

plie par le coefficient de P" Q" dans P ~i- Q , il fera
egal a la forame des produits des racines de 1' equation

«"-'

jy" - I , prifes 2/2 a 2 « , multipliees par le coefficient

m

de P' Q" dans P -+■ Q .

VIII. De meme g" fera egal a '- '- ;

■' " 1.2.5

3/2

muhipliant le coefficient de P" Q" dans P -+- Q , Sc r"
au meme terme multiplie par le coefficient de P" Q' R'

dans P-f-Q-t-/? , & ainfi de fuite ; en forte que le coef-
iicient de x''—np fera

1.2-3 P ^

^- p,AP-^ B

•^' I A' B' c y

1J9

np

jp , ctant le coefficient de /'•'-" Q" dans P -h Q , &c

I le coefficient de F'" Q'" R" dans i? -j- Q -+- i? ,
tt-f-f-+-j =F'

IX. Suppofons maintenant que au lieu de x = v^/4
-h v-S ~i- v^ ^c.y au nombre dc m, (qui ne variei.t
que felon les coefficiens de C^, yB Sec. qui font les
racincs de j" — i = o, ) nous avons auffi ies y^ , B .,€, &c.
qui varient & qui deviennent fufceptibles de p combi-
nailbns differentes, 1' equation en x deviendra du degre
p . if. bupi^ofons les differentes combinaifons de A^ B, (T, &c.
independatitt's les unes des autres, nous aurons 1' equation
en X ega'e au produit de p equations du degre n" fem-
blables entr' clles , & donn^es par ce qui precede.

X. Son done a:" = ^ , /z" = ^ , nous aurons p equations
j» ^- PQ,r' -H (li'!-^ -J- R^n ....

{« -+- P'ff-" ■+■ <;>■{«•' -t- R'l^' &:c.
Done le coefficient de i""' fera P -H P' -t- P'\ &c.

celui de |»'-^ fera Q "+- <2' -+" <2" -^ ^^' -+" ^-P" • • • •
& ainfi de fuite.

XI. Maintenant foit ^ le degre de 1' equation y^, ^, C Sec.
r le nombre des A , B,C, &c. differens qui entrent dans
chaque racine ( voyez le n.* fuivant ) p fera egal ^

— '■ '-' '-LL : maintenant il eft aife de voir que

I . 1 r.

P ■+• F -h P" &c. doit {article precedent) etre egal a

n'*"', puifque j' appelle r ici ce qui etoit m ( ankles pre-

cedens). Multipliant — '- ' ' ' ' fommes de r

' I . 1 r

A , B . C , &c. done cette fomme contiendra —

termes A ., By C, dec. done, puifque chaque terme j en-
tre d' une nianieve lemblable , divilknt par s , on aura

P -+• if...'.. = rT^ . X (lefecona

• ■"■■ "^ •?• • I .... r — I t^tmb on<h

terme de 1' equation tn A).

XII. Enfuite Q -+. e ■+- (2" = z^-— '•'^''•'••^'';?!!
^ ^ ^ i.i.3....r-i ^'

( fomme des quarres des racines de 1' equation en A )
^_ 1 ~ — , multipliant le coefficient de P" Qf.

/. /— I . r — 1,

dans P -t-Q i jnultipliant une quantite egale a — ^^ ~

produits deux a deux de ^^ , ^ , C, pris entre r de ces

/ . f - I . .f - a . . . .
quantites ; done ce nombre lera •

— ^ ~ ■ produits deux k deux, 'mais le nombre total

^ - '> .'

eft '^ ' '^ ~ & tousdoiventy entrer femblablement: done

ce -terme fera ^eal a -^^ — 1_LJ_l: x (letroifieme

° I ..... r — 1.

terme de I'equation en A ); enfuite pour avoir JPP'-i- FP"....
je remarquerai que ( le nombre des P etant p , celui de

ces produits -^-^-^ ) chacun contiendra /i""'-^ termes

en At B , C , &c. que dans !a ferie des P . A fera re-
pute {., ~ ' • ^ " ^ • • ' ' /z'--' fcis J ou /i'"'. A un nombre

J— ,1 . / - 2 . . . ^^.^ ^^^ J, appelle p' fois , done dans
•1 . i . . . r — 4

PP' -+■ PP" &CC. A' fe trouvera repete tEzLn'--'-'- fois^
done ce -terme contiendra ^!1j1jl4 " ' '"' (^o'"r"e des
qaarris de _-^' ) plus

241

termes ou les prodults font cle A^ J?, C, &c, diffe'reiisj
done divifant ce terme par -^ & appellant le quo-
tient Af , on aura pour la valeur de ce terme My. (le
troifieme terme de 1' equation en ^4 ) .

XIII. Connoiffant dorft 1' equation en ^ , on aura par
ce moyen les coefficiens de I' equation en x par la do-
ftrine des combmailbns , pourvu qu' on ait la maniere de
trouver les fonftions femblables de toutes les racines de
r Equation en A.

XIV. Cela pofe , je fuppofe que j' aie

* = v^-+-v5

au nombre de_p ; que A foil de !a forme

au nombre de p\ j' aurai s = n "" ; V equation en A - F
fe formera comme ci-defTus, & par confequent 1' equation

€n X qui fera du degre '■ LU— x n^ .

* " 1.2 ,p

XV. Si on fuppofe que les A\ B', Sec. font de la forme
au nombre de p", on aura A par une Equation du degre

B' ''" . n'f" —I .... - . „' o r-

— nP f oc par conlequent x par

une equation du degre

ti '^ . n 1^ —■ I . -r n . n — i . . , . , ,
n . , nf-i.,..

3

/^^

i.i.3 p

& ainfi de fuite pour des formes plus compliquees.

XVI. Nous nous bornerons maintenant a conclure de
cette Theorie ; i ." que 1' on doit toujours fuppofer que
j> <C que le degre de 1' equation en A , p' <Z que le
-degre de 1' equation en A'^ p" <C que le degre de i'e:|ua-
lion en A'\ & ainli de fuite. Autrement le nombre des
M.J c. Tour, Tom, K, h li

1^1

Jl , £, C, ^tant plus grand qu' il ne peut ^tre , il fau-
dioit qu' ils fufTent repetes pluiieiirs fois ; ce qui eft coii-
tre r hypothefe. i.'* Qu' on n' a fuppofe pour V equation
en .V que des racines oii les A, B, C, &c. fuflent ii^r
ferens dans chacune j il auroit ete facile d' y faire entrer
les racines oil ils font les memes' mais cela etoit inutile,
parceque les racines oil ils feroient les memes formeroient
des feries de racines

a vB -^ v''^ ■+■ y'C , Sec.
oil le nombre des radicaux ell moindre, & qui donne-
roient par confequent des racines rationnelles en x, d'uii
degre moindre que celui de la ferie lotale des valeurs
de X ; done 1' equation en x feroit divifee par celles la ,
& le quoaent feroic i' equation trouvee ci-deffus. 3.° Si on
fait p' = n" ''" f on aura ^ par une equation du degre
n' '"' i & ft p = ;z' '■' , on aura x par une equation du
degre /z-". Si on fait p = n" '" - r 5c p == n '' - n"'%
on aura A par une equation da degre n" ^ /z'^', &: x
par une equation du degre ii^ n^ n P" &c. &c. Sec.

XVII. Cela pofe , imaginons que 1' une des formes ci-
delTus qui contient 2 , 3 radicaux faccefTifs , reprefente la
racine de 1' equation du degre n , comme ( articles pre-
cedens ) le degre oix e'.le monte eft toujours multiple de n;
foit n w ce degre , on aura u equations du degre n , qui
par leur rniiliiplication doivent produire la popofee.
, XVlil. Sjppofons d' abord que Ton ait 1' equation
x' ■+• a x"-' -H b' x"-' -+- c' x"-^ ....-+- A" , & que
^ r on ait 1' equation du degre x"' , dont (art. preced.) les
coelficiens loient donnes en P , P', P" . . .. A,„ /tz, B,,, /tz,
le nombre des P etant /n, & /w -+• i le pombre des ra-
dicaux fucceffits ; il eft ail'e de voir que fi x eft une 'ion-
ftion du degre i homogene SKa,b,c....h, P fera
une fondion rationnelle & eniiere du degre n; P' une

... . MJ

da 6egr6 nn; P" da degre nn n\ & A.. ^ du degr^
n n n' . . .. n"'", & que les coefRciens de ces fonflimis
pourront dcre rationnels. Prenant done l' equation hypo-
th^tique du degre n u formee par cette hypoihefe , pre-
nanr una aurre equation hypothetique du degre n u — ;^ ;
muhipliant celle-ci par la propofce , & comparant terme
S terme , on aura , fi on a pris pour n , n\ n\ &c. des
valeurs convenables , on aura , dis-j? , les cotfiiciens ration-
nels des differens termes qui entrant dans P, P\ P". . . . A„„ »
: par des equations numeriques , & le probleme fera refolu.
Or comme on peut prendre n , n , n" a. volont^ , & en
aufli grand nombre qu' on veut , il e(l clair que routes

• les fois qu' une equation aura une racme de cette forme,
'On la trouvera par cette methodej done pour prouver que
! cette methode ell generale pour routes les equations , dont

les racines ont une forme finie, il relle a prouver feule-
ment que routes les fonftions algibriques & fihies peuvent
ctre repiefeniees par cette forme generale.

XIX. Je fuppoie d' abord que la fraftion fbit reduite a
un feul de:iominateur rationnel , ce qui eft toujours pofll-
ble en general , & que l' on fafle abitraftion de ce deno-

• niinateur J je remarque i." que les formes

i~A -+- "y'B -e XQ. &<^-

•ibnt reJuftibles a la forme prec<Jdente, en les ecrlvant

nn n . . , . n n n

y~^~. •*- y/'B^- • • • • ^'^' *!"" ^" formes P y'^ font
les m^mes que v^P" A. 2." Cela pofe , fuppofons une for-
me ou il y ait deux radicaux fucceffifs; il ell clair qu'eile
fera ( les radicaux lupeneurs & inferieurs eianr reJuiis ai^
meme degre, comme je viens de le dire) il eft clair,
dis-je, qu'eile fera de la forme

V^ ^%B ^ "vc ^'" ""'""'^ '^

a

-*- \^A' -t- yj -f vc^ (^" nombre r)

hk 1

a44

(Si un nombre quelconque de termes ae cette forme).

Dans ce cas il ell: aife de voir que fuppofant que r eft le

plus grand des r , r , ■/''y See. on peut mettre le terme A'

& tous les termes fembkbles fous la forme ^ -*- vC^'-yi""),

i'alors la forme deviendra

^J ■+- vB -^^e

•^ &c.

y A •+■ v^-f-vC,
ou 1' on peut fuppofer le nombre des radicaux egal dans
chacune , puifque s' il en faut trois de plus , par exemple,
on peut prendre y^' & lefaire egal a /^-f-y (BT^)"*-!-" {B,'P^y
-j-^(^' - B")", ou bien fuppofer que deux ou trois de
A, B, C, font zero. Soit donc^le nombre des radicaux
fous le figne ;?, & r celui des radicaux fous le figne m , on
aura « r , 5, C , &c, qui prifes r a. r , donneront les valeurs
des termes fous le figne ; done nous aurons cetre fonftion
de la forme ci-delTus (n." XL, Xll., Xlll., & XIV.) oh ce
que nous avons appelle /z & /? eft le meme, &c s = nf. Il en
fera de meme des formes plus compliquees ; il faut fur«touE
obferver ici que fouvent pour reduire a cette forme , il fiut,
comme 1' on voit , la fuppofer beaucoup plus compliquee
que celle fous laquelle la fonftion fe prefente.

XX. Maintenant il refte a prouver que la fonftion ne

peut avoir de denominateur. Soit done - — - — ^ — '-LL1 la

valeur de la racine d' une equation oil le coefficient de

la pljs haute puilTance eft numerique , & dont les racines

■ — j
*'font *, x', x"&c. on aura ^ s=:flx-+-^x'-Hc ;f"&c. a,^, c,

etant numeriques; or faifant j' = a x -+• b x' -^ c x' Sec.
on aura y par une equation oil auffi la plus haute puil-
fance aura un coefficient numerique ik. les autres entiers j

A ■ . n- -. A A'-^yS'-^yC'

done p^ kra une toncnon entierej mais jj-^= p^ i

done ~ fera une fon^lion entlere , & par confequent ^^

,8f ainfi de fuite ; done en general - — ^^ - Cera imme-

diatement divifible par P ; done on peut la fuppofer en-
tiere. Or il eft aif^ de voir qu' il doit etre general que
le coefficient de la plus haute puiflance de y (bit numeri-
que , car ce coefficient ne depend que du premier coeffi-
cient de la propolee , qu' on peut fuppofer 1' unite , & du
degre de 1' equation , & eft independant de tous les autres.
/•;!! XXI. J' ai done prouve que Ton auroit toujours une
in^thode g^nerale de trouver la racine d' une equation du
degre , pourvu que certe racine fiit d' une forme finie ;
•mais le nombre des radicaux fuccellifs & leurs expofans ,
-reftent indetermines j d' ailleurs 1' equation en x alaqueile
. on compare la propofee , eft beaucoup plus elevee peut
f 6tre qu' elle ne doit 1' etre. C eft done a fimpliher cette
methode , & a tacher de determiner , s' il eft poffible , le
nombre de degres des radicaux, que je dois ra'occuper
maintenant.

ARTICLE II.

iNI ous examinerons quatre queftions dans cet article .
1.° La maniere dont 1' equation produite par 1' evanouifle-
ment des radicaux fucceffifs & dont la racine eft v'A -+■ vB
•+■ v'C , &c. peut fe reduire a une equation rationneile
du n.* degre . z." Combien & quels radicaux font neceC-
faires pour que cela foit poffible. 3.° De la reduftion &
folution des equations en Ji, B, C. 4." De la marche gene-
rale la plus fimple qu' on puifle faire fuivre a la methode.
I. Soit I'equation dont la racine eft x=y'Z4-i-v B-+-C C,&:c.
rationnelle du degre n, & Coit pie nombre totaldesy^, ^,C, &c.
il eft clair que ce nombre doit etre egal ou plus grand que

n— I. En efFet , s' 11 eroit plus petit , foient x, x\x'*..iii
les n racines de la propofde , nous aurions entre n— i de
ces racines une equation lineaire j ce qui eft contre I'hy-
pothefe , puifqu' on peut les fuppofer quelconques. D' out
il fuit que ii les memes A , B ^ C , fe trouvent dans cha-
que racine de 1' equation , il faut que ces n— t tecmss
au moins fe trouvent dans chacune.
• : II. Soit maintenant

une des racines, les A, B, C, &c. ^tant au nombre
de « — I , & appelons n , n\ n'\ n"\ &c. les n racines
de r equation y" - i = o , les n""' combinaifons differences
de ces racines donneront n"~' racines de i' equation en x.
Suppofons que v'34 -h y-S ■+■ vC Sec. foic une racine de
r equation raiionnelle en x , il faut que tout fyrteme de
radicaux convenant a cette equation du degre n, foit af-
fujctti aux conditions de 1' article precedent. Le nombre
total de fyltemes de n racines eft ici , ( «""' ) = j ,

— '- ■— -*j mais comme il n' eft queftion que

I . ^ . 3 . . . » '

de ceux qui contiennent y^A -t- v5 -I- yC , &c. le nombre

eft reduit a '■ — '-^-^ . Maintenant i° tout fy-

Jleme de ces » - i radicaux , qui contiendroit un ou plu-
fieurs des « - i racines «',«",«''', multipliant yA~i-y'B^...
eft exclus j done il ne reftera plus que Jiysb

lyftemes. z° 11 eft aile de voir que,

i.a.3...»-i •'

ii on divife J/ A -+- y'S -H vC, &c. en deux parties

/> -+- Q , le cas oil le fyfteme des n racines contiendroit

deux tormules n P -^ n" Q^, ou en le divifunt en trois

/> _f_ ^ H- iJ , ce fyfteme contiendroit trois formules

„' /> -f- /z" Q -+- n" R , & ainfi de fuite , doit etre egale-

inen: exclus. 3.° Que foit n ^A -+- n' y/B -*- n" y C, &c.

^47
une feconde racine , toute formule ....'...

in vA -^ n" yB &c. ) x n fera exclue ; or comme

n% n n" Sic. font auffi des racines de 1' equation j'" - i = o,

la formule (n v^ -+* «' i/5 Sec.) ;:' fcra une des s

racines i ainfi cette obfervadou exclut encore des racines

de I' equation en x du degre n ■"' toute cette claffe de

racines , & ainfi de fuite.

HI. Mais fans chercher par ce moyen le nombre de
fyftcmes repondant a la racine y/J -h yB -+• yC j &c.
il ell aife de s' affurer qu' il n*y en a en general qu' ua
feul > en effet , fi y^'A -4- v'5, &c. appartenoit a deux
fyftemes de n racines d' equations rationnelles du degre «,
on auroit une equation rationnelle du degre z n qui auroit
deux racines egales } done difFerenciant , on aura la racine
propofee , ou par une equation foit lineaire , foit infe-
rieure au degre n ; ce qui eft contre 1' hypothefe ; ou par
une equation du degre « j or ce dernier cas fuppoferoit
que r equation en x du degre 72*" a n racines egales deux
a deux, a toutes les racines egales au moins deux a deux,
ou plutot les a toutes /z a « , puifque n eft en general
le feul divifeur de n""' , done l' equation en x du degre
n"'" feroit reducible en general a une rationnelle du de-
grd moindre , ce qui eft contre l' hypothefe.

IV. II fuit des memes principes que ci-defius , que fi
jc = y^ -H v''5 • • • • elt la racine d' une equation du
degr^ n , r equation du degre ra"" eft formee par le pro-
duit de /z""* equations du degre n , qui ne different de la
propolee que parceque leurs coefficiens font multip'ies par
d' autres nombres. Nous obferverons ici que 1' equation ra-
tionnelle en n , ^tant fous la forme
■ «" ^4- a"- x"-- -+- b' A-"-» -i- c* x"-* .'...-+- f,
les autres equations feront

x" -+- A, a' x"-^ -+- B, b' x*-' -1- (C, c* -h D, a*) x"^^ &C.
^ais i\ on avoit regards T equation

24S

x" •+- A^ a- X""' -+- J?, i' ***'.... = « ,

comme etant la propofee , 1' equation

feroit devenue

x'^ ^ (A, a') x'-^

& ainfi de fuite ; & il n' y a pas lieu de favoir fi en ge-
neral on peut fuppofer a ces autres equations une forme
plus fimple.

V. Mdintenant foit

jc = v'^^ -H vB -H ^C

au nombre de p termes , nous aurons une equation en x
du degte /^^ Suppofons que x" -t- a^ x"** . . . . -^~ /, foit
une equation rationnelle qui divife I' equation du degrd
n^ a^ . . . q" demeurant quelconques , il eft aile de voir
que fi le nombre p eft « - i , on pourra avoir , en met-
tant pour x" fa vaieur , une Equation

V x" -^V x"-' = 0;

que la multipliant par x , & fubftituant , on en a une fe-
conde de la meme forme, qui fera

Z x» -+- Z'*"-' = 0;

que multipliant la premiere par Z' , on aura une equation

rz'-y'Zx''-r- V" z' - rvx'-^ &c.

ou mcttant pour x" (a vaieur , on aura n - i equations
pour determiner les /z - i quantites indeterminees ; done
il taut toujours fuppofer qu' il y a un nombre d'u^,5,C, &c.
En effet , i\ on ie fait plus petit , il y a trop d' equations
de comparaifon , & fi on le tait plus grand , il reitera des
valeurs jndeterminees. II fuit de la que la formule qui ren-
ferme /i - i radicaux xndetermines dans la meme racine,
eft la ieule qui puifTe convenir, VI,

249

VI. Suppofons matntenant que (bus le figne ^ il fe
trouve des fonftions de radicaux fucce/Cfs , en Torte que
le radical d' un degre quelconque ne contienne qu' una
feule fonftion (bus lui , ou des fonftions compofees des
niemes radicaux, il ed aife de voir qu'il t'audra n — \
radicaux fuccefllfs.

VII. En effet pour que I' equation

X" -I- a"- x""* -+- 5* = o

ait une racine

X =i^A -^ vB ■+• \'C &CC.
il faut que parmi les AB , AC, &c. il y ait un terme

qui devienne P-i-Q en forte que P foit rationnel , & Q^
tel que la fomme de toutes les quantites femblables qui
le trouvent dans le terme forni6 par les produits des

A ^ B , C fous le figne y » & qui doit etre ega-

le a a% que la fomme, dis-je , de tous ces termes Ibit
Dulle. Mais pour que A B ait cette propriere , fans que
A foit de la meme forme , il faut que faifant

A — A' -^ ;^B- -H vc &c.
&i B = A' -^ a\ B -^ b vc; fi^c. ^a 5c h font jdes nom-

bres ) on ait ou B' C — F -^ Q' ou B B = P -4- (^' ,

&i aiiifi de fuite ; en forte qu' il taudra que dans les ra-
dicaux fuccelTifs il y en ait un quarre: on prouvera de
meme qu'il faudra qu' il y ait un radical troilleme, ua
radical quatrieme , ou un nouveau radical quarre, un ra-
dical cinquienie, &c. & ain(i de fuite j^fqu'au radical n
qui n' ell pas neceffaire , puifque le dernier terme con-
tient A, B, C, &c. au premier degre , ainfi il n' y a au-
■c\xn beibin que A contienne des-radicaux plus eleves j mais
.ccla ne prouve pas qu' il n' en puilfe contenir.

VJII. Maintenant fuppofons que x = C^ A -t- ^ B -h^ C Sec.
les A , B , C, &c. eraut au nombre de /z — i , foit la r^-
MijC.Taur.Tom.V'. .ii

cine de 1' dquarion du degre n ; M.' de la Grange a prou-
ve qu' en general fi n elt un nombre premier , l' equation
en A fera reduftible au degre i . x . ■^ . . . . n - ^ i
& que fi n eft un nombre qui ait des divifeurs, elle fera
reducible fi m eft un divifeurpremierj enforte que n = ot «'

au degre '-'—i-LLl _ m • done C\mSc n.

font des nombres premiers , elle le fera auffi au degre

'- '■ — '- — r-^- -^ — — — ,. c' eft-adire , redu6li-

I . 2 . . . . /W* . I . 2 . 3 . . . »'

ble , en fuppofant m <i ri egalement a une equation dii

, , x.2.3 n

de^re -: — — m . o\x ■& une

° 1.2.3 »«""*" ' m-l-i • ">-t-i ■■■"

equation du degre

° I. 2. 3.. ../»"-•-•. OT-t-i. //»•+• z...n'y

ou, ce qui eft la raeme chofe , a une equation da degrd

1.1.3... ;»"«-*-' .mw-i. «-).»...,' 1.1.3... m"'""
ou a une du degre — x

° 1.2.3 .m'"-*-^ . m-i- I. m-t- :...;■'

, & pax confequent reducible a une da •

/?» -t- I ./»-*- 2 ... a"

I . 2

degre

» 1,2.3... w-^' . ^r:^rT .TTT^™

IX, Si I' on examine maintenant la forme de ce der-
nier nombre, on trouvera qu' en general I'equation en A
n' eft reducible qu' a une equation dont le degie eft urt
produit de nombres plus petjts que n , mais lui-meme plus
grand que /2 5 & Ton verra que fi on traite cette equa-
tion reduite comme la propofee, on parviendra a une re-
duite d' un degre encore plus elev^ , & ainfi de fuite .
Mais fi Ton ne peut efperer , par ce moyen, de parvenir
a: une equation toujours de plus en plus rabaiffee, on peut
etre fur, cependant, qu' en la repetant un nombre de tois

fuffifant, on parviendra k une equation rationnelle. En
efFet , fuppofbns que la derni^re equation reduite foit du
degre m' n f' &c. to', n', p Sec. etant des nombres < /z,
que nous fuppofions 1' inconnue x' de cette equation mife
fans fecond termc- , & que nous faffions

■m' n' p' &c. m* n' p

X'= yr— H- ^— &C.

au nombre de /tz' n' p' . . . - i j il eft aife de voir que les
fon6lions A, B', C contiennent un moindre nombre de ra-
dicaux fucceffifs que la valour de x'i & qu'ainfi en conti-
nuant toujours de meme , on parviendra , Ci la propofee
a une racine exprimable en rermes finis , a une equation
dont la racine fera rationnelle, Mais jufqu' ici on n' a pas
encore pu parvenir a determiner combi«n d' equations fuc-
ceffives en x' , x" , &c. on auroit a lefoudre auparavant.
X. II ell au moins tresvraiferablable que cette maniere

generale de refoudre 1' equation en jc' du degre m' /z' ^'

ell trop generale. En effet cette maniere feroit dependre
la folution de la propofee de radicaux qui auroient pour
expofans des nombres premiers contenus entre m n'p'.....
.& n ; or ces radicaux ne doivent pas etre contenus dans
Ja racine d'une equation du degre n. Suppofons done que

m' n' p* . . , m' n'p'

X' = ^-^, -H ^^gT- &C.

les A\ B\ C &c. etant au nombre fculement de m — i,

'Ou n — I y ou p — I termes , &c. il ell aife de voir

.1.° que fi r expofant m n p' . . . . da radical a ete fuppo-

:fe trop grand, & qu' il ne doive etre que m', n, p, &c.

.nous aurons une equation en Aj telle que la meme equa-

I I

•lion feroit aulli rationnelle pour ^'"V"- A^'f'- , Sc ainli

•de fuite. Ainfi dans ce cas 1' equation en A ne contier.dra
.que des puiffances n p . . . oa m' p' . . . i.° que fi le
lOombre des A', 5' .... n' eft que m ~ i, on aura par

i i X

les principes employes par M. de la Grange, T equation
en J' , du degre ( m n' p' . . .) . (jn n' p . . . ^ i) jufqu' a
tn n p' . . . . — m degr^ qui s' abaiffera par des reductions de
la maniere que M. de la Grange I'a enfeigne. 3."*_que li
on avoit au contraire pris y a' ■+■ v s' &c. au nombre

map

de m.' " I , 8c que c' cut ete le radical V ~ qu' il eut
fallu prendre , l' equation ayant *$te trouvee en A , on

auroit , en mettant au lieu de A , Z "' -p'--- a caufe de
Z= A"'' . . . . une equation en Z d' oii le radical aura
difparu ; ce qui prouve que i' on peut laus inconvenient
feire r une ou 1' autre fuppofition ; 4." que fi le nombre
des niL — I , n ~ I &c. ell plus petit que ne doit etre
ceiui des fonftions, nous auroiis , (en ne fubllituant dans

r equation du degre x""' que les valeurs dej:'""'"'^' )

T)i n p — I equations entrc m — 1 variables qui nous fer-
viront a voir fi la fuppofition eft legitime , & a avoir
dans ce cas pour A^ B' &c. les equations du plus petit
degre pofiible. On voit aifement que fi m elt. le plus grand
des fa6teurs mn'p, on aura prefque toujoursOT''"'"'>'/.'2Vzy

m n

P

& fi on prend v/"" ou v & ainfi de fuite , on par-

viendra toujours a une equation en A' B' &:c. x' qui fera
d' un degie p)us eleve que 1' equaiion propofee. Au relle,
li au lieu de fuppofer que route racine de I' equation du
,degre ni n p . . . . eft de la forme v >4' -^- v's' .au nom-
bre de 77i — I , on fuppofoit que ces deux equations ii'ont
que m racines communes , on trouveroit toujours autanc
d' equations pour determiner A, B', qu' il y auroit de ces
quaniit^s ; mais la methode ci-delTus me paroit plus pro-
pre a abajfler le degre de 1' equation en A , aut*uu que
cela fera poffible.

XI. Soit la propofce du degr^ n , que je fuppol>r

X = ^A -H v^ au nombre de n—\ termci, cjlik

je faffe evanouir tous ces radicaux , j* aurai une equation
du degre a*""' qui fera divifible par la propofee. Suppofons
la divilioii faite , & le relle egal a zero, les equarions de
condition doiineront les valeurs que doivein avoir y^,^,C,&c.
pour que la raciiie hypotherique foic celle de la propole^i
done toure valeur Ao. A ^ B ^ C . , . . qui latiiRra a la
condition , donnera une valeur de la racine de la propo-
fee. Suppofons que 1' elimination foit faite , & que nous
aions C donne par une equation en A , B , C ; B par
une equation en A , B ; &i A par une equation du de-
gre n , il ell clair qu' a chaque racine de 1' equation en
A, repondront certaines valeurs de ^ , de C, & au moins
une racine de la propofee ; mais ces racines ne peuvenc
etre qu' au nombre de n j done foient

A , B , C n — I de ces racines j

A' B' C n - I autres ;

A" B" C" 72-1 autres ;

& ainfi de fuite , lefquelles reprefcntent n racines de la
propofee , les autres racines de i' equation en A ne pour-
ront etre que quelques-unes de ces n — i . n racines j
done r equa*don en A fera neceflairement reducible a une
equation de ce degre , qu' on voir devoir fe re.^uire
a une du degre m — i. Cette reflexion fuppofe que fi

y/A -J- V 5 .... & ° 6" -H v'Z? font des valeurs

d' une m^me racine de I' equation en n , aucun de ces
radicaux n' etanc rationnel , il faut que C = A , ou = B
Sc D = B oa = A. Si done on fuppofe en general
r equation en A , telle qu' etant donnees n . n - i va-
leurs de ^ , ou meme /z - i , les autres racines foient
egales a ces memes valeurs de A , multipliers par des
nombres , ou a la forame d' un certain r.ombre de
ces valeurs inultipliees par des coeflicicns numenqucs,

154

on pourra trouver un moyen de rabaifTer V Equation

en A.

XII. Generalement apres avoir trouve V Equation en y^,
il faudra ( le degre de I'equation en A etant p'^"r'....}
rechercher (i cetie equation n' eft pas d' une forme telle
que prenant

Jp ~t- A' JP-' -H B' Ap" ..,.:= oi
ou A^ -+- A' A^' ■+- B' Ai-"- . . . . = o ;

A' -t- A' A'-' -+- B' A'-'- . . . . = o }
&c.

on ait A ' par une equation du degre p"^^ f r' Sec. oa
m t-i ^j g^(,^ gr gn traiter de la meme maniere les equa-
tions en A' , jufqu' a ce qu'on parvienne a une Equation
ron reducible. Soit cette equation encore du degre/j"' ^"' r''....
on fuppofera que fa racine ( le fecond terme ayant ete de-
truit) foit A' = v'jf' -H v^jj' au nombre de p"' - i
termes; & ayant trouve ( n.° X.) I'equation en A" , fx
^lle eft poffible , on la traitera comme on a traite I'equa-
tion en y^ , & ainfi de fuite. Si cela n' etoit pas poflible,

ilfaudroit effayer la fuppofition de A' = 'y^A" ■+■ '^'s'

au nombre de p"' f - i , & continuer ainfi jufqu' a ce
qu' on ait une equation en A'. Par ce moyen , toutes les
fois que la propofee aura une racine finie , on parviendra
a la fin a une equation rationnelle , & le probleme fera
refolu.

XIII. Nous obferverons ici que nous avons deux efpe-
<:es de reductions a confiderer ; 1' une eft celle dont nous
venons de parler , &!' autre eft numerique pour ainfi direj
c' eft lorfque, cu la propofee ne contient que des puit
fances x*' . . . ce qui fait que Ton a ( faiCant ^ = x")
les valeurs de .-c en ^ par la folution de 1' equation nu-
raerale jy" — i = o > on bien lorfque la propofee du de-
frre /z' eft divifible par une equation du degre ni <i n ^
\.^% coefficiens de cette nouvelle equation etant ratiounek

quant aux fon£lIons algebrlques. II faudra done examiner
d' abord li les equations reduites qui fervent a la iblurion
du probl^me ne font pas fufceptibles de ces reduftions .
La leconde efpece de reduction eft algebrique , c' eft celle
oil r on fuppofe qu' une equation du degre p q , par exem-
ple , eft telle que i' on puiffe y fubftituer une equation du
degre p, dont les coefficiens foient donnes par une equa-
tion du degre ^ , ou reciproquement j & comme nous
r avons dit dans le memoire precedent , il ne faut jamais
tenter la (olution d' une equation par la fubftitution de la
forme x = x' A •+• v'B .... que Ton n' ait examine
toutes les redudions dont elle peut etre fufceptible , tou-
tes les fois que le nombre des coefficiens algebriques in-
determines de 1' equation eft plus petit que 1' expofant de
degre diminue d' une unite. '

XlV. Nous avons donne dans le premier article de ce
memoire , la maniere d' avoir en general une equation
rationnelle en x. A, B ^ C, lorfqu' on a x = C A -+- v5 . .. .
Suppofons que nous ayons cette equation du degre w*^' ,
nous la pouvons fuppofer etre identique au produit de
«""- equations

x' -t- a- A;"-^ ...-+- g"-'- A-* -J- A"-' -+- j" = 0 J

x" -^ p a'- x"-''

"+■ P/?' -^p,,a^ q'"- = Oj

oil les coefficiens p^ p, p,, font des nombres , ou bien iden-;

tique a

x' -t- a' x""- -H 5%

muhipliee par

• J

X - n -\r p a*x - n - 2 , &c.

Cela pofe , nous avons trouve ci-deffus que le coefficient
de x° —n etoit dans 1' equation en ;c, ^■^j B , C, Sec.

de la forme M.A-^ B -*- C &;c, que celui du tcrme fui-
vant etoit JV. ^^b-*- C -+■ N' (le produit des yi,i^,C,&c.

ajS

deux a deux;) celui du tcrme fulvant ^gal a P. A-*-B -^- C...'
.+- P'. A -^B ■+•€.. (le produir des y^ , jff , C, &c. deux
a deux) H- /*" ( le produit des ^, B , C, &c. trois a
troii ) & ainfi de fuite. Done egalant ces valeurs aux ter-
mes correfpondans de T equation en at , a^ , />' , &c. &
laiflant les coefficiens numeriques indetermines , on aura
des valeurs rationnelles ; i.° de A -i- £ -+- C, &c. i.''du
# produit des y4 , B , C, &c. deux a deux ; 3.° du produit
des A, B , C, &c. trois a trois, & ainii de fuite; done
on aura une equation 'en ^, ou B , Sec. rationnelle quant
aux quaniites algebriques & du degre « — i.

XV. Les feules chofes qui pourroient empecher cette
conclufion , feroieat 1.° i\ Ton avoic un coefficient de

n-l

r equation en x, yd, B, C,Scc. pour le terme x" —nm,

qui ne contint point le produit convenable des A, B, C, &c.
pris m a m. Ce dont'il eft aife de s' affurer d' apres le
premier article , & cela n' exige qu' un calcul que tout
le monde peut faire. r." S' il arrivoit que les coefficiens
numeriques des termes de I'equation ci-deflus du degre «— i,

fulTern — , ce qui eft plus difficile a conftat<;r en general.

XVI. Si aucun de ces inconveniens n' a lieu , alors oit
aura par ce moyen T equation iitterale reduite par una
voie tres fimple , & pour la determination des coefficiens
nufneriques p^ p^ p\, &:c. (n." XII.) comme on a les coef-

. "~^

ficiens des termes aa dcla de x -"-t-"-' donnes & coef-
ficiens des termes pyrecedens , on aura immediatement les
equations de condition , en fojrmant cts termes & egalanc
a zero le coefficient de chaque terme en a% b^, &c.

XVII. II feroit done tres utile d' avoir des formules
generates & abregees pour calculer les fonftions homo-
• genes de a^, ^', c*, . • . . j", auquel le probleoie propo-
l{j conduit a chaque inftaut.

XVI IL

157

XVIII. D'abord , foit /i - i le nombre 6es a',h*,. .. . f,

& n = m n ~h p p <Cn\e degre de la fonflion homogcue
cherchee , nous auroiis le nombre T des termes de la fon-
£tion homogeive egal h ce que devient T", en y mettant
..pour n, n - i , plus ce que devient T en mettant poar
.« , n — 1 , &c pour «', n' -' n , plus ce que devient 2" ea
mettant pour n , w — i , & pour n', ;i' — i « , & ainfi de
fuite , julqu' ^ ce que devient T, en y jnettant p au lieu
de n & de n. (Mais il ne s' agit pas iei de developper
cette theorie , non plus que la maniere d' avoir les coef-
ficiens de chacun des terme:> ; ce qui depend de la thco-
jie des combinaifons.)

XIX. Connoifl'ant en general la maniere de former ces
fonftions homogenes , on refoudra ce probleme: etanc
donnee unc equation dont les coefficiens foient de cette
forme & une propofee 4 favoir li fuppofant ces coefficicn';
numeriques indetermines , la forme hypothetique ne refout
jpas la propofee. On pourra y parvenir par la methode
des coefficiens indetcrmines , Sc on aura les equations de
condition eiitre les coefiiciens, li on fjit former les foe-
..ftions de 1' article precedent.

XX. Pour cela on cherchera d' abord une propofee

x"' •+- a .x"'"' ■+■ b'x"''' etant donnees les equations

.de condition pour qu' elle ait pour racine les n raciiies
•xlc x' -4- ax"" ..... en fuppolant a ou a connus a vo-
.lonte. -Cela pofe , on prcndra telle hypothefe qu' on vou-
.dra po.ur la forme de la racine cherphee, & failant difpa-
roitre les radicaux & comparant terme ji tcrme , on aura
les equations de condition encre les cociliciens numeriques,
pour que cette fornie foit .celle de la racine propoiee ;
ou bien , fi au lieu de la forme de la racine cherchee
jon prendia feuleraent x ;= y'A -+■ y £ . . . . j}l 6c B
pouvant etre irrationnels , on aura les equations en A^B.
.Ces equations en Ay B , &c. font al jrs en bien plus
grand r.ombre que .les A ., B , 6vC. m-ns cela ne peut

Mifc. Taur. Tom. K k k

m8.

fervir a abaifler le degre des ^quatloni en A , B , parce-

que les coc-fficiens numeriques doivent etre tels que ces
equations fe r^duifent 3. n — i ; mais cependant l\ on doit
avoir des equations d' un degre moindre en n'ayant^gard
qu' aux fondions algebrjques , on Ics trouvera par ce mo-
yen. En cffet il n* y aura qu' a fuppofer dans routes ces
equations A , B, C, &c. . , . donn^es par une Equation
du degre m , par exemple , le meme pour toutes , on
aura, 1.° le degre de cette equation & la forme de (es
coefficiens en a% i», &c. i." les equations en A, B, C, Sec.
les contenant d' une maniere fembiable , on aura toutes
ces equations en valeurs de ces coefficiens , & par con-
ftquent immediatement les equations de comparaifon entre
les coefficiens. Si on veut examiner fi I' equation en j4,B, &c.
eft reducible , ou non ; on prendra ces differentes hypo-
ihefes , & on comparera de meme fans avoir befoin d'eii-
mination.

Ceci pourroit donner lieu a des d^veloppemens plus
etendus , que je fupprime , mais auxquels je me livrerai
fi les geometres trouvent que ces recherches meritent d'etre
fuivies.

ARTICLE III.

J.I ne me refte plus maintenant pour remplir Je plan que
je me fuis propofe, qu' a examiner la polfibilite ou la non
poffibilite de la redui^ion a I'indefini de toutes ces equa-
tions. J' y ajouterai quelques remarques fur 1' elimination
& lur la maniere la plus (imple de la faire.

1. Si d' abord nous examinons les remarques de
M.' De la Grange , nous trouvons que la methode gene-
rale ne nous conduit qu' a des reduites toujours plus ele-
vees que la propofee, lorfqu' elle ell du 5."^ 7.* 8.' degre, &c.
car il me paroit d' apres les recherches de M.' De la Grange,
& de M.' Vandermonde , qu' on peut regarder celle du
6' comme ie reduifant au cmquieme.

M9
IF. Si on examine les remarques clu premier article de

ce memoire , & que produifant par le moyen d' u:ie des
formes quelconques de radicaux, une equation du degre f,
on fuppofe que cette equation foit le produit d' une equa-
tion rationnelle du degre p — n par utie du d^gre n ; il
ell clair que le nombre de terraes en a% b* . . . . q" dont
les coefficiens numeriques font indetermines, eft egal , i." au
nombre des termes femblables dans une equation du degre
p ~ n. 1." au nombre de ces termes qui entrent dans la
t'orme hypothetique ; & que celui des equations de com-
parailbn eft celui de tous les termes qui entrent dans une
Equation du degre p ; en forte que ce nombre furpafle
celui des coefficiens indetermines de celui du nombre des
termes contenus dans n fonftions de a% b* ... . du degre
p , p — I , . . . p ~ n -*- I raoins celui des m^mes termes
dans des fonftions du degre n, nn, nn n" ....nn n" ... n'-"'*
au nombre de m , m etant le nombre des radicaux fuccef^
fifs , Sc n , n, n" . . . n"~"~' leurs expofans. Or ce nombre
eft toujours poiitif. Done en general le nombre d^s equa-
tions furpaffera toujours celui des coefficiens indetermines .

III. Ces deux reflexions ne fuffifent pas pour afTurer la
non poffibilite de la folution generale , ni meme pour
prouver qu' on ne puifle demontrer cette pollibilite. Exa-
minons done les moyens de s' en afTurer.

IV. Nous avons d' abord i' abaiflement del' equation du
degre p ( N." II. ) . Cette equation n' eft pas 1 equation
generale du degre p ; elle ne contient qu' un nombre plus
petit de coefficiens indetermines, elle eft done fufceptible
d' abaiflement , ik il eft clair que fi on prouve que cette
equation eft r^duftible algebriquement (les coefiiciens nu-
meriques reftant irrationnels ) a une equation telle que le
nombre des equations ne (urpafl^at point celui des coeffi-
ciens , le probleme feroit reiolu ; & fi cela n' eft pas en-
core poffible en g^n^ral , cette confideration peut du moins
fervir a diminuer i' exces du nombre des conditions fur

it k 2

i6o

ce!ui des coefRciens inddtermines. On pourrolt diminuer

encore la difficu'te en condderant d' abord una equation

dii degre/J - n multipliee par x" -H a^ x'"- -+- i' .x""' -+-/»

& telle qu' il n' y ait dans le produit que des puifl'ances «,
& en examinant ce qui refte de termes indeterniines. On
fijpporcroit de meme , comme cela fuit de la difparition
fucoffive des radicaux inferieurs fous ks fignes ;/, n'\ que
r equation eft formee femblablement des puiffances n', /:", &c.
& il eft tres poflible que fbus ce point de vue , 1' exces
du nombre des conditions foic encore diminue.

V. En attendant que ces calculs foient executes , voici
toujours une mithode de s' affurer de la poiribilite du pro-
bleme. Soit (article i. ) 1' equation reduite autant qu'elle
peut r etre & du degre /tz , p, ^, /-; Ces nombres etant
premiers & moindres que n , s' eftaie la folution de cette
equation par la meme methode que la propofee & je
cherche une autre reduite. J' examine le degre le plus bas
oil elle s' abbaifle : fi ce degre a pour divifeurs premiers
des nombres plus grands que ceux qui formoient le produit
par lequel le degre de la propofee dtoit exprime , oudes'
nombres egaux a n , ou plus grands , on pourra rcgarder
la Iblution comme impofllb^e , fmon on pourra la regar-
der comme pofiible. Continuant , on obfervera fi dans cha-
que reduite le nombre des termes dont le produit forme
le degre de Tequation, ne diminue pas, quant au nom-
bre loit des produifans , foit quant a leur degre-

VI. Si on rapproche de ceci ce que f ai dit , (article
I." N."' 14. (k fuiv.) on verra que chaque operation qu'on
fait pour chercher les reduites , tend a debarralTer d' uii
radical ; on verra egalement pourquoi les equations fe prd-
fentent lous un degre plus eleve que le produit des radi-
caux fucce/fits oa ieurs puiffances , pourquoi ce degre pour-
roit etre le produit du nombre premier plus grand que «,.
comment enlia li doit toujours pouvoir fe rabbailler au

i6t

VII. Je' finis par quelques reflexions fur T elimination .
L' introduftion a l' analyfe de T infini de M. Euler r'.'n-
ferme d' excellens principes fur cette maciere i c'eft d'apres
lui que je vais proceder ici.

VIII. Quel que Ibit un m nombre d' Equations entre m
variables X , ^, ^, ?/.... fi je veux avoir une equation
d^termin^e en une feule variable , ii el\ clair que , quelque
methode que je prenne , I' equation determinee en x, par
exemple , fcra une fbii6tion de x egal^e a zeroj & ft
A = o , y4'=o, j4" = o , Sec, font les equations propo-
lees , cette fbn6tion de x purs fera AB ■+■ A'B' -\- A B" &c.

IX. B , B', B", feront des fonftions entieres toutes les
fois que 1' on n' aura point d' equation en jy^ , { , « ....
Satisfaifant aux equations

y4 = O , -4 ' = O , &C.

independamment de x, Dans ce cas , ft on veut avoir x,
il faut fuppofer a B , B\ B", &c. un denominateur.

X. Suppofbns done que 1' on cherche 1' Equation la
plus fimpie rationnelle en x , qui fatisfaffe aux equations
y4 = o , A' = o , A" = o , &c. il n' y aura qu' a les
multiplier par les fondions , ft /tz eft le degre de ces
equations

C C C"

D ' D ' D ' ■

les C etant des fonftions entieres du degre u , Sc D da

degre « •+- TO — 1 , tout au plus. Prenant au lieu de cha-

que C Si de D , des feries indefinies , multipliant Sc ftip-

j4C u4'C'
pofant — -t- — T— , &'c. une fonftion entiere de x, &

r egalant a zero , on aura 1' equation cherchee ; & fup-
poiant fticcelTivement pour chaque degre des fonftions C,
ceiui des Z) , le plus grand qu' il eli poflible.
. XI. Si on cherche au contraire 1' equation en x la plus
ele\ee qu' il ell poffible, toujours en fuppolant qu' on
n' admette point de racines mutiies , il taut , en luivant la

i6z

meme operation, prenc?re pour les C, comme pour la quan-

tite D, le plus petit degre qui puiffe reuffir.

XII. Toutes les fois que 1' on n' a aucune valeur de
y, ^, u, &c. independantes de toute valeur des x, on
aura par cette maniere la valeur des coefficiens de I'^qua-
tion en x , en refolvant des equations lineaires ; & comme
il eft aife de voir en general la forme de ces equations,
on fubftituera immediatement aux equations a eliminer un
fylleme d' equations lineaires, Cela peat etre d' une gran-
de utiiite dans la pratique.

XIIL II y a maintenant deux cas a confiderer; i.°celui
oil s' arretant a un degre pour les valeurs desC, le nom-
hre de ces equations lineaires eft plus grand que celui des
coefficiens indetermines. Dans ce cas , Ja folution n' eft
poffible que lorlque les coefficiens des equations propofees
ont entre eux certaines conditions. 2.° Lorfque dans la
meme hypothefe le nombre des coefficiens eft plus grand
ou egal a celui des equations. II femble qu'alors on devroit
conclure qu'en general la folution eft poffible ; mais il faut
obferver qu' il faut que le fyfteme ne puifte pas fe divifer
en deux autres dans I'un defquels le nombre des indeter-
minees foit plus petit que celui des equations. Par exera-
pie , foit m -i- n le nombre total des equations , p -h ^
celui des indetermindes, & /j -h ^ > « -+- /«. Si p de
ces ind^termindes fe trouve n' entrer que dans n equations,
& que p <C n, on voit que 1' elimination n' eft pas pof-
fible , tant que les fatleurs C ne feront pas plus eleves.

XIV. Si les equations fe trouvent reellement en moindre
nombre que les coefficiens , il y a une remarque impor-
tante a faire. 11 peut arriver que la fonftion AC ■+• AC
-4- AC" , Sec. qui devient une fonclion entiere de x par
r hypothefe , -fe trouve monter a un meme degre, quel-
ques coefficiens de C, C, C", &c. reftant arbitraires. Dans
ce cas , comme la veritable equation en x ne doit pas en
contenir , il eft aife de voir que pour avoir cette equa-

fion , il faut chercher le divifeur le p!us elev^ de la fon-
ftion AC -+- A'C -+- A"C", &c. qui ne conticnne p^is de
coefficiens arbitraires, & ce divKeur fera 1' equation cherchee.

XV. On aura done toujours dans ce cas 1* equation la
plus fiinple. La m^me choie aura lieu pour celui oii Ton
fuppofe que les C peuvent avoir un denominateur j mais
alors on peut reduire les operations a la folution d' equa-
tions lineaires.

XVi. On voit ei» general que quelque methode que Ton
choififle pour avoir une equation en x , on aura toujours
la fonclion.

AC H- AC -+- A'C &c. = o ,
qui repond dgalement aux fyllemes d' equation
A^=o^A';=o^ A' = o . . . .

A = A' =: o, C" = o

■^ = C ^^ o , A = o . . . ,

& autant de fyflemes qu' on pourra former de la meme
maniere ; & il faut pour que AC ■+■ AC -f- AC" &c.
foit la fofiftion de X , la moins elevee polfible , que ces
fy'iemes aient abftjlument le meme nombre de valeurs de x
qui y faiisfaffenr, Hors de ce cas , quelque methode d'eli-
mination que 1' on choidfTe , eile conduiroit toujours a une
equation plus elevee qu' elie ne doit etre.

On trouvera toute la theorie de 1' elimination developpee
d' une maniere tres favante dans un memoire prefente par
M. Bezout a r Academic Royale des Sciences de Paris,
& qu' elle publiera dans le volume de fes memoires pour
r annee 1773.

XVII. Par la methode fuivante, dont la marche eft tres
fimpie , on pourra parvenir a trouver la racine cherchee
de toute equation determinee.

Sou une equation du degre m fans fecond terme , on
prendra x egal a—, (a-t-^-+-c-4-<^...)au nombre
de /n - I & on comparera a la propofee , terme a terme^
le produit de x ~i- a-t^b-i-c &c. XA-f-na + n'^-f- n"c&zc.
X X -^ p a-^ p'b -i- p"c Sec... i^ aiiili de fuite, les n ks p, 6cc,

z64

n' etant que des nombres qu'on decsrminera par la con*
■ditlon, 1° que (a caufe du z.** terme qui manque, &
qu' on ne doit pas avoir d' equation lineaire entre les
a , b , c &c. ) r on ait i -t- 2 -H «' -+- «" . • • = o
I -^ p -h p' -+- p'^ . . . = <p , & ainfi de fuite. 2.° Que
r equation dehnitive en a qu'on aura, apres avoir elirmnd
i y c &c. ne coiitienne que des puiflances multiples de rn
de la quantite a , ou (i m a des divifeurs m\, m'\ Sic. des
ipuiffances multiples de m', ou de ot' dn'\

Eiifuite on iubllituera au lieu de a, ^ = a" j on fera
difparoitre le fecond terme , & on traitera I' equation en
{' comme la propofee , en obfervant de determiner alors
les nouveaux coefficiens numeriques n, p, &c. par leg
deux conditions ci-deffus, & par cette troifieme condition
que r equation que 1' on aura en a' , f ' = - (a' -t-Zi' -i- c'. ..)
ait, s'il eft poffible , uu fafteur rationel j & on aura foiii,
Jorfque cela arrive, de prendre pour n, p^ &c. les valeurs
qui rendeiu le degre de ce fa6teur le plus petix poffi-
ble; & fi a'"' eft la puiiTance de a' dont rl ne doit fe
trouver que les multiples de l' equation , on cherchera les
valeurs de w' p^ qui rendtont m' le plus grand poffible .

On refoudra 1' equation en a "" comme 1' equation en
£ / & ainfi de fuite.

Par ce moyen a chaque operation on fera difparoitre
un des radicaux qui entrent dans la forme de la racine
•de r equation , & I'on aura le double avantage de don-
ner a {' la forme qu' il doit avoir rigoureufement & in-
dependamment de toute Iiypothefe ; & fi cette forme eft
-trqp compliquee, d'eviter les embarras qui pourroient nai-
ire de cette complication fuperflue.

On aura done, par ia, la racine routes les fois qu' elle
^ft poffible i & fi elle ne 1' eft pas toujours ( ce qui me
paroit .tfjespeu vrai femblable ) on decouvrira ion impof-

fibilite par celle de la redu6tion de requation en a'"' ou

.des fuivantes.

i6^
ERR AT J DANS LA P ARTIE MATHEMATIQUE.

n , Iz dz t-r adz

Pag.i-j.l. 1. — - -f. a — hfcs H -p-

^ ' d y dy ■' d X dy

Pig. I 7. /. I }. q & (p ; lifes <p & <p \

Pag 10 lp:n. des revolutions lijes de revolution

Pag.T,',. l.w. doncl'equation et lifes dont I'equation eft

Pag.i<j. I pen. les ordonnees PM & PM ifes QM & PM

Pag-iJ, l.pen. en jf' en x Scj' lifes en x &C j'

Pag.^i.l. 9. de la fonftion ' lijes da la fonit'on cp'

/. I 4. ^ = (p' (^ X — y) /i/eV { = ^' (^ X — y^)
Pag. 4 3 . /. z I . ^ ot" lifes K ni"

/.Z3. dans W lifes dans '/F

/.1 5. V = a lijes ^r == a
Pfl^.47. /. I 4. Ph = IV' lifes Ph — W

Uo. W = u lifes ^JV = u

Liz. AI = TV lifes AI =:'fV
Pug.4c,. I. z. x & y lifes x &C y

Pag.^i.l.14, <p = __p^Lcv hfes —P-^J —cv

1.17. y! c y lifes U -^ c y

Pag.'^j. /.1 2. <p u lifes <p' u

Pug.6x.l. 4. lV = x{b-^ i) hfes W'^x b-h I

Pag. 6 6. I. 9. <pu=Fif.a)~h.-al lifes = F {f.ayh-Al

Li6. point de conltruclion lifes point de contra-
diftion
Pag io. 1.16. le trottement des menfes lifes des meules

Pag.Si.l.i6. x'^-^ = dF lifes x^^ = S K
° dx'- ■' dx*

Pag.^^.lMlt. ^ <P (^) ^^/" -^ f> {})

Pag. ^2. 1. 4. -h x°-^ ^ (-) ^'-f -^ ^"'■* ''^ O
Mifc, Taur. Tom. V, I L

t66

Pa^.ioy 1.4. la coriikante a qui fe trouve lifes la coiillaute «
Hx^ dy ■' dx "^ dy

Pag.n6. I. 17. empoy6 Ufes employe

Pag. I 1 7./. 1 8. J 9, que (i Ton avoit en A^ = o iifis que (1 i'on

avoit ea K:=' o
Pag.ix6.l.i^.xo. fi on nomm." a la hauteur iifis fi on nom-

me a la hauteur

/. 1 1 . ffin. {U ^ +g) = o lifcs f. f.n. (a|/ - -»- ^ =: o
Pag.\ 11.1.17. par I' equation lifes pour i'equatioa

Pag. i 17. l-^- J - I'f^'Jj;

P P

Pug.isi. l.ulc. - lifcs —
" J* -^ 0*

Pjg.it6.'l.iz. - pour la probabilire /(/"« -- pour la pro-

babilite
Pag.ioo.ioi. en plufieurs endrolts a la place de fv met-

tez partout / ^
Pag.io-il. 1 8. faifaiit dB=dx lifes 'faifant ^^6 = d -^^
Li<). dx lifes d^

Pag io^.l.i.^J'''^x-(,ir~*-i-2p) liJis1<"zD. X "C^^-^'-^TP)

1 X

a67

Pjo'.iij./.ig. I'integrale (leja'dx f^-ra -^ — lifes fera - —
P.i^>-. 130. / I . Problime II. lifcs Problems XL

Pag.i^^hi. £B = P'-h(^ lifesB-B' = P-r(^

«J

A

PlAXCHt: I.

PLANCHt: J.

Fig. 4^,^.

I

\

PLANCHE.tn.

»IL

Planche.iii.

PlJ^NCHF.. /v.

; Fu

:X-

Pla^'che. IV.

B

M

N

Tia. 2.

1/
A

B

F.|. 3

D

\J

N

B

B

M

N

rig. 2

K

J

A

B

Fid. 3

D /

\

"\

ivr

'