HARVARD UNIVERSITY.

1. 1 B K A R Y

MUSEUM OF COMPARATIVE ZOOLOGY.

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MÉMOIRES COURONNÉS g

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ET

\11TKES MÉMOIRES,

VIMII.IKS TAK

l'académie royale

1>ES SCIENCES, DES LETTRES ET DES BEAUX-ARTS DE BEECIQUE

COLI^K^TIOM IM-ii». — TOME XV.

^ BRUXELLES.

M. HAYEZ. IMPRIMEUR DE l'aCADÉMIE KOiAlE.

Jnillrt 1863.

[W^r^Oj-

MÉMOIRES COURONNÉS

AUTRES MÉMOIRES.

MÉMOIRES COURONNÉS

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AUTRES MEMOIKES,

PlULIKS PAil

l'académie royale

hF.S SCIESr.KS, I>ES LETTRES ET DES BEALX-ARTS 1)1. lîF.LGIQUE.

c:oi.le;cti«.% ix-S". — tomf xv.

^BRUXELLES

W. HAYEZ. IMPRIMEUR DE L ACADEMIE ROYALE.

Juillet 1865.

^^/^

^r

r w

EXPOSE GEOMETRIOUE

DU

CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL.

TROISIÈME PARTIES

COMPRENAM

LES APPLICATIONS DL CALCUL DIFFÉRENTIEL A l'aNALYSE
ET A LA GÉOMÉTRIE ;

Eniest LAiMARLE,

liigtiiiicui eu iliil des iiouls cl tliuussccs , professeur ;ï l'L'iiivdsile de Oaiid,
ussoiic de r.Vcadciuic royale de IJeIgi<|uc.

(l'ié;ii'Htc à r .ttiuUmic , dans luscainctlu S uoiviiidrc JbOS.)

* Vovtz (unie XI des Mtinuiif^ in b».

Tome XV.

AVERTISSEMENT

Le lecteur qui serait déjà initié au calcul diflérenliel et qui
voudrait comparer aux méthodes ordinaires celle qu'on a
suivie dans cet ouvrage, doit s'attacher plus particulièrement
aux théories et solutions géométriques que la deuxième série
présente en très-grand nomhre. L'introduction et la table
des matières peuvent servir de guides dans le choix à faire
pour établir cette comparaison.

INTRODUCTION.

Los <lon\ pi'omièr(v^ parties ôc col ouvrage oui <*l('' pnhliéos on
1801. Dnns l'iiiie sont exposés les prineipes içéïK-raux de la einénia-
liqiie pure, dans l'autre, et eoninie déduelions de ees i)rin('ipes,
les règles delà dilTéreutiation. La troisième partie a pour objet les
a[)pli(*ations du e.ilcul diiïéi'ontiel à l'analyse et à la géouK'trie.
Elh' se divise en deux séries distinctes.

La première série eomprend les applications à l'analyse; elle
s'écarte, en général, des errements ordinaires, et notamment
dans les points suivants :

l" Les différentielles empruntent;! leur définition géométrique
un sens précis qui les assimile aux autres variables, et ne leur
laisse ainsi rien de myst('rieux ni d'obseur;

2" Les signes auxqiu-ls on reconnaît le cours des fonctions et
leurs valeurs maxiina ou minimasc déterminent par la considé-
ration directe des différentielles;

3" L'égalité établie entre raccroissement de la fonction et le
produit de raccroissement de la variable par la valeur moyenne
de la fonction dérivée ouvre une voie nouvelle et facile. Elle per-
met d'attribuer, dès r<»bord, un sens précis aux quadratures, et
d'efîectuer, sous forme d'identités, les développements des diffé-
rences de tous les ordres;

4" Un cbapitre spécial traite de la continuité dans ses rapports
avec la convergence des séries de Taylor et de Maclaurin. 11 est
complété par deux notes placées à la suite de la première série.

La deuxième série comprend les applications du calcul diffé-

( <i )

rentiel à la géoniélrie. Elle ne présente, pour ayisi dire, aucun
point qui ne soil Irnité directement, par voie géométrique, et qui
ne doive à l'emploi de ce procédé un certain degré d'élucidation.
La simplicité des déductions se prétait ici à plus de développe-
ments et d'extension que n'en comportent, en général, les trai-
tés élémentaires. Nous en avons profité pour faire ressortir,
autant qu'il dépendait de nous, les avantages et les ressources que
notre méthode peut offrir sans autre auxiliaire que la géométrie
et la cinématique.

Les sept premiers chapitres traitent des lignes planes, le hui-
tième des lignes à double courbure, les cinq suivants des surfaces,
le dernier de la mesure des lignes, des aires et des solides.

Nous avons déjà dit et fait voir qu'en géométrie plane notre
méthode met à la portée des commençants la théorie des contacts
de tous les ordres et leur offre, comme moyens de solution, les
procédés simples et rigoureux de la géométrie élémentaire '. Le
complément exigé pour généraliser et faciliter au besoin les ap-
plications se trouve dans les sept premiers chapitres. Le huitième
étend aux lignes à double courhrn^e les théories établies d'abord
pour les courbes planes. On n'y rencontre aucune dilliculté par-
ticulière. La définition géométrique du plan osculateur suffît pour
aplanir ia voie déjà ouverte, et l'on n'a plus qu'à poursuivre.

Le chaj)itre IX s'appli([ue à la génération des surfaces et à la
détermijiation du plan tangent. On y voit pourquoi ce plan con-
tient, en général, toutes les tangentes. On le voit, disons-nous,
parce que le fait surgit de lui-même, comme conséquence directe
de la génération continue des surfaces, et qu'il s'établit géométri-
quement avec évidence et rigueur.

Le chapitre X est relatif à la courbure des surfaces. On sait et
l'on démontre j)ar le calcul qu'il existe généralement en chaque
point dune sui face deux seci ions principales rectangulaires. Pour-
quoi ces sections sont-elles à angle droit l'une sur l'autre? Pour-
quoi leur nombre se réduit-il à deux? Tout esprit curieux d'allei'
au fond des choses, et de saisir dans les faits leur raison détre se

< VoirJ'intro<hiciion i)lar<''C en !ôlo des dcnx pnriics piibliôc^; on 1861

( 7 )

pose natiircllomcnt ces questions. On peut y répondre, avec nous,
sans sortir de la voie purement géométrique. La propriété du
plan tangent sert de point de départ : les autres s'en déduisent
d'une façon tout élémentaire. C'est ainsi que nous avons pu repro-
duire sans calcul les principaux théorèmes concernant la cour-
bure des surfaces et y ajouter quelques résultats nouveaux.

Le chapitre XI donne les applications générales du chapitre X.

Le chapitre XII a pour objet la théorie géométrique des lignes
géodésiques. yVprès avoir développé cette théorie, nous l'appli-
quons à plusieurs cas, les uns généraux, les autres particuliers.
Nous citerons, pour exemple, la question des lignes et des surfaces
minima. Le procédé suivi met en évidence la raison fondamen-
tale qui détermine la nature de ces lignes et de ces surfaces. C'est
là, comme ailleurs, un des avantages principaux de notre mé-
thode. Elle élucide les questions qu'elle résout.

Le chapitre XIII contient la théorie géométrique des surfaces
qui peuvent s'appliquer les unes sur les autres sans déchirure ni
duplicature. Il permet de transporter dans les éléments des ques-
tions réservées jusqu'ici au domaine des mathémati([ues supé-
rieures.

Le chapitre XIV est le dernier. Il traite des rectifica lions et des
quadratures dans l'espace ainsi que des cubatures. La marche sui-
vie nous a conduit d'elle-même à quelques énoncés nouveaux , tels
que celui-ci par exemple :

Toute aire engendrée par une ligne, tout solide engendré par
nue surface a pour différentielle le produit de la grandeur géné-
ratrice par sa vitesse moyenne de circulation.

Ce théorème comprend celui de Guldin comme cas particulier.
C'est à lui que nous devons d'avoir pu résoudre par voie géomé-
trique la question des lignes et des surfaces minima mentionnée
ci-dessus.

Les formules du chapitre XIV comportent une extension gé-
nérale au cas où les grandeurs à déterminer sont données comme
limites de certaines sommes. C'est par là que nous terminons, de

( « )

manière à Iravor la voir poui' tonlo la série des appliealions an\
phénomènes naturels.

Les parties suivantes auront pour objet les éléments du caleul
intégral, du calcul des différences et du calcul des variations.
Nous compléterons le tout en mon(ranl comment on peut passer
de notre méthode aux autres , les embrasser toutes dans une même
conception rationnelle, et, sans en exclure aucune, combiner leur
emploi de façon à remplir le mieux possible l'objet qu'on se pro-
pose en chaque cas particulier.

EXPOSK (ii<;oMKïnioi"h:

CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL.

TROISIEME PARTIE.

APPLTflATIOrVS GKl>'ÉR\lES DU CALCUL DIFFi:KF.>TIEI.

PREMlEIli: SERIE.

Al>PI.I€ATIO%.«>> AXAI.YTIQIKS.

CHAPITRE 1".

TIIKORKMES FONDAMENTAUX CONCERNANT LES FONCTIONS, LEIT.S
DIFFÉRENTIELLES ET LEURS DÉRIVÉES SUCCESSIVES.

Des slfiiies auxqiich on rcconnail ht marche d'une foncilon.

1. Roporlons-nous aux })rin(ipos foiulamcntaiix du calcul dilTc-
] piiticl cl représentons par z une grandeur queleonque .supposée
conlinùmenl variable. Nous avons les énoncés suivants pris pour
(l(''tînitions et déductions ])reinièrcs *.

La (lilférentielle z ou dz est la vitesse du point qui décrit le

Vniv nu hosoin la première pnrlic do col oiivpari"(» paiïc?; 9r>, 01 ol OrJ.

( 1<> )

segment de droite suhstilaê comui'' èqmmdent numn-ique à lu
(jrandeur z.

La vitesse z n\'st pas nulle en général : elle est positive ou né-
gative selon que la grandeur z croit ou décroît.

De là résultent évidemment les conséquences suivantes :

1" Lorsqu'une grandeur varie continûment elle croit ou décroît
selon que sa différentielle est positive ou négative.

î2" Lorsqu'une grandeur continue s'annule, le signe qu'elle
prend, au sortir de zéro, est celui de sa différentielle.

Supposons que la grandeur considérée comme variant, à partir
de zéro, soit la différentielle première d'une grandeur quelconque
continûment \ariable; supposons en outre qu'il } ait annulation
simultanée de toutes les différentielles successives, jusques et y
compris celle de l'ordre [n- 1). Les déductions qui précèdent im-
pliquent, comme conséquence immédiate, la règle suivante :

Règle géxki'.ale. — Lorsqu'une grandeur varie continûment ,
elle croît ou décroit selon que sa différentielle première est positive
ou négative. Si cette différentielle est nulle à l'origine de la varia-
tion que l'on considère , le signe qu'elle prend au sortir de zéro
est celui de la première des différentielles successives qui ne
s'annule pas à celte même origine.

2. Soit une fonction quelconque, supposée continue *,

(I) y = f{^)'

La variable x et la fonction ?/ variant toutes deux simultanément,
on dit de la fonction qu'elle est croissa)ite lorsqu'elle croit ou
décroît en même temps que la variable. On la dit décroissante
lorsqu'elle croit en même temps que la variable décroîl , ou inver-
sement. Cela revient à dire que la fonction est croissante dans le
cas où les ^itesses x , y sont de même signe et qu'elle est décrois-
sante ih\n>> le cas conlraire.

* Le lecteur ne doit pas oul)lior (]irà moins de menlion oonlrrtire, il est
toujours enlendn (|uc la eontinuilé subsiste.

( Il )

Celn posé, on a içénéralcment,

(2) ^, . y = x. f\x).

Il s'ensuit que les vitesse x , y sont ou non de même signe selon
que la dérivée f'(x) est positive ou négative. Ce résultat peut
s'énoncer comme il suit :

Le signe de la dérivée indique, en général , la marche de la
fonction, celle-ci étant croissante ou décroissante, selon que la
dérivée est positive ou négative.

Vn cas échappe à la règle qui vient d'être établie : c'est celui où
la dérivée s'annule *. Examinons ce cas cl , pour plus de généralité,
supposons qu'une même valeur de la variable x annule en même
temps toutes les dérivées successives f'(x), f"{x), etc., jusques et
y compris celle de l'ordre n — I. Soit a cette valeur : si on la sub-
stitue à T dans les expressions générales des différentielles suc-
cessives dy, dhj , ... d^'hj, d"y , il est aisé de voir qu'elle les
annule toutes, la dernière exceptée, et que celle-ci se réduit à la
forme très -simple

d"y = X" /""(rO **.

Pour ramonor à cecasctMui oîi In dérivée? se présonlc sous la forjpio - , il
sufïil (le reprendre l'équaiion // = f{x), de résoudre colle éfju.Uion par rap-
port à X et de poser, en consé(pi(Mice,

,r=F(j/).
De là résulle

x = !/ . F' (y),

et eu égard à Térpialion i'2) du présent numéro,

I

'■'■""= m

On a donc en même temps

/•'vr) = - et V'iy) = o.

Il s'ensuit qu'en opérant sur les deux équations simultanées

07 = F (y), œ = i/¥'{i/),

tout se ramène au cas traité ci-dessus dans le texte,

'* Voiraubesoin les fornmles établies dans la deuxième partie de cet ouvra.ae.

( 1^2 )

Appliquons ici la rè^^ie griK'inlc (''iMhlicau n" I. Ln (]<''riv('o/"(.r)
l'ianl supposée eoalimio ilnns k' voisinage de la valeur .T = a , en
deçà comme an delà, il s'ensuit que le signe afYecté par la vi-
tesse y au sortie de zéro est celui du produit i". /"(/')• ^'<^''^ posé,
voici les conséquences :

1° Lorsque n est impair, selon que la dérivée f"{f() est positive
ou négative, les \ liesses i),x sont de même signe ou de signe con-
traire. Oji voit donc qu'en ce cas la fonction croît ou décroît selon
que la dérivée /'"{a) est plus grande ou plus petite que zéro.

2" Lorsque n est pair, selon que la dérivée f"[a) est positive ou
négative, les >itesses y, i sont de même signe pour j>o et de
signe contraire pour .r<[o, ou inversement. c"est-à-dire de même
signe pour .r<ô et de signe contraire pour i'^o. Dans le premier
eas, c'est en décroissant que la fonction parvient à la valeur /'(«)
et c'est en croissant qu'elle s écarte de cette valeur après Tavoii'
atteinte. xMoindre à la fois que celles qui la précèdent et la suivent
immédiatement, la valeur dont il s'agit se distingue des autres et
prend le nom de valeur minima. Dans le second cas, eest en
croissant que la fonction parvient à la valeur f{a) et c'est en dé-
croissant ([u'elle s'écarte de cette valeur après l'avoir atteinte. Plus
grande à la fois que celles qui la précèdent et la suivent immé-
diatement, la valeur dont il s'agit se distingue des autres el prend
le nom de valeur maxima.

Les résultais que nous venons d'établir peuvent se résumer
comme il suit :

Règle fliîxKiiALE. — La marche delà fonction est rndifpfèe par le
signe et le rang de la première des dérivées successives qui ne
s^ évanouit point.

Cette dérivée est-elle de rang impair? selon ffirelle est positive
on négative, la fonction est croissante ou décroissan(e.

Est-elle de rang pair? selon qu^elle est positive on négative la
valeur de la foyiction est une valeur minima on une valeur ma-
xima.

11'^ ÔO, paires 104-Pl lôri. LVxlcnsioii quo ((S loj-niiilo^; oompnrinil ps( en quci-
(ino soi'ic évidonle.

( ro )

De réya/ilc qui stibsisle eiilre l'acirotssemeni d'une /'ontlwu el
le produil de l'accroisseineni de la variable par la valeur
moijenm de la /hnclion dérivée.

3. Soit

(') '/ = /W

une J'oiiclioii ({iR'lcoiu|iic supposée coiiliiiuc.
On a géncraloment

{■^) :'/ = .'■•/>•)•

Supposons la vitesse x constante et eoiisidéroiis deux actroisse-
juenls quelconques simultanés ^x, a y.

Si la dérivée f'(x) demeurait invariable, la vitesse y serait eon-
stanle connue la vitesse x et Ton aurait

(">) ^/y =^ /"'W • -^•^' *•

L'équation (3) ne subsiste })oint en général, >u cjuc la dérivée
/'(a) varie incessamment avec x et quil en est de inéjne de la
\ilesse fj.

Supposons que la déi'ivée/''(j) soit continùmenleroissanle dans
l'intervalle ax. La vitesse y restera comj)risc entre les valeurs
extrêmes x . /"(x) et x . ['{x -\- ^x). On aura donc en même temps :

W A.y>/'V).Au:

et

(5) A^ < f'(x -\- \x) . \a\

Divisons lintervalle sx en ii parties égales et désignons })ar h
Tune de ces i)arties, par a//,, A/y.,, etc., les accroissements [)arliels

Voir uu jR'suiii la dcuxicuio l'Uilir de cet ouvrayc, ii" 3, page 1)3, règle 4.

(14)
successifs ([ui leur correspondent. On a d abord, eoniorinénienl à
rinégalilc (4) ,

sy,y h .f'(x-^ h),

et , eonscquenunent ,

^ / S /'W -+- /'l-^' -^ ^0 -^ ^^^^'- \

(0) yij = s,,, ^ su, -^ ete.> h j _^ ^,^^. -^ (;^ - 1) h.) (
On a de même

M/i < A. ./'(x -+ h),

A J/s < // ./'(X + 'i/o,

et, par eouséquent,

, { l'ix -f- A) -+- l"(x -+- ^JA) -+- ele. )
(7) -U-^!h--^U^--^^'<^^\lf'(,lJ^, \

La différence que présentent les derniers membres des inéga-
lités (6) et (7) ayant pour expression

h.[r[x-^nh)--r{x)],

il s'ensuit qu'on peut écrire

^y = li 1 7'(a) H- l\x -f- A) -»- etc. h- /'(o.- h- (/i — 1) A)]

/^ étant une (piantité comprise entre 0 et 1.

( l--' )

Kempiaçoiib It par sa valeur — ^ cl di\isoiis par \jc. 11 vient

i\) f'{x) -+- f'(x 4- h) -+- etc. H- /'U' -+- (n — 1) A)

(8) ~ =

à a: n

f'{x -+- AX) — f''(x)

-f- y- •

)i

Cela posé, imaginons que, sans rien changer à rintcrvalle ax ,
ni par conséquent à l'accroissement at/, l'on augmente indéfini-
ment le nombre n, qui marque en combien de parties égales rin-
tcrvalle ào; est subdivisé. L'équation (8) subsistera toujours, et,
puisque le premier membre de cette équation demeure invariable,
les deux termes qui figurent dans le second devront former en-
semble une somme constante. Or , à mesure que n est pris de plus
en plus grand, l'un de ces termes devient aussi petit qu'on veut :
il faut donc que, dans les mêmes circonstances, l'autre se rap-
proche indéfiniment de la limite fixe exprimée par leur somme.
Mais, d'un autre coté, ce terme est la moyenne arithmétique des
valeurs que la dérivée f'(x) aifecte à l'origine de chacune des
subdivisions introduites dans l'intervalle àx. Si donc on repré-
sente par le sMnl)ole M,^ /'W ^^ limite vers laquelle cette
moyenne converge à mesure que le nombre n croît indéfiniment,
il s'ensuit qu'il y a identité entre les deux limites M, f'{x) et
— . On peut écrire , en conséquence ,

(9) s^ = S;v.^C'.r(x).

Désignons sous le nom de luU'ur inoyi'mie de la dérivée la
lantité représentée par le symbole I
a pour traduction le théorème suivant :

quantité représentée par le symbole M^ "" /'(•^)- L'équation (9)

L'aaroiasamcnl de la fonrhonesl égal au prodtiif de laccrois-
semenl de la variable yav la valeur moyenne de la fonction
dérivée.

( !<■> )

i. >ous a\ons supposé que la (léi'i\ée f\.r) étaiL coiislaiiiinciil
croissante dans l'intervalle A.r. La démonstration qui précède s'ap-
plique de la même manière au cas où la dérivée serait constam-
ment décroissante. Le résultat formulé ci-dessus est d'ailleurs tout
à fait général, ainsi qu'on va le voir.

Repoi'tons-nous aux inégalités (4) et (5) du n*' 5, page 15. Elles
se résument en une équation de la forme

yjj =. ^x [f'{j) -f- ^ (/''{x + s.v) ~ r(x))],

ju. étant une (piantité comprise entre 0 et 1.

Supposons que la dérivée f {x) soit continue à partir de la va-
leur X prise pour origine de rinter\alle ^x. Si cet intervalle e^t
suflîsamment petit et qu'il ne fasse plus que décroître, il est \ isible
(juc la différence f'{x ■+■ a.t) — /'(x) converge nécessairement
vers zéro. On })eutdonc écrire en général

(0 A/y = A.r. [/-'(a:) -+-;/],

v; étant une quantité qui converge vers zéro en même temps
que A.1-.

Divisons l'intervalle \:v en u parties égales et désignons jiar A
l'une de ces parties. A chacune des subdivisions représentées par h
correspond un accroissement de la fonction, et cet acci'oissement
est déterminé par les valeurs particulières ({ue les quantités f'{x)
et y alfeclent à son origine. On a ainsi

* ' ' '(

Oj', la sonnnc dc^ dillercnccs a^,, a//.^, etc., Ay„ est néces-
sairement égale à raccroisscmcnt total itj : il \icnl donc, en

( 17 )

ajoutciiit, membre à membre, les cMjuatioiJb (:2). cl (livi:>;mt tle
partel d'autre, par ^^

Mj f'{x) -t- f'(x -f- h) •+- etc. -t- f'{x -\- {)t — I) h)

àX II

^i -^ '<-2 -^ etc. H- Vw

H

n

Imaginons qu'on attribue à n des valeurs de plus en plus
grandes. Chacune des quantités y,y, vjij etc., converge alors vers
zéro et il en estde même de leur moyenne arithmétique. Concluons
que réquation (3) remplit les mêmes conditions que l'équation (8)
du n° 3 et qu'elle inq)liquc, comme conséquence, la même équation
linale,

(4) ..y = .a; Mf ^'/-(x).

Lors(jue la continuité subsiste, la valeur Mi /'(■>>') coïncide
nécessairement a\cc ujic des \aleurs ([uc la dériNéc f [x] i)rcnd
dans rintervalle ix. On peut donc écrire

(^)) 2,fJ = SX . /'(X -\- OSX),'

0 étant inie quantité qui dépend, en général, de x et de a.i-, et qui
reste comprise entre 0 et I.

On pourrait croire, au premier abord, que l'équation (4) est
restreinte au cas où la dérivée f" (x) ne cesse pas d'être continue
dans rintervalle sx. Ce serait tnie erreur. Pour que cette équa-
tion subsiste, il fauf et il 6uf/it que la lonction )/ := f (x) demeure
continue dans l'intervalle que l'on considère. In exeniple sulïira
pour éclaircir ce point *.

* Si Ton voulail étciulro à luu^ les cas possibles la soliilioii doimée dans le
texie pour le cas pailieulier oii la dérivée f'{,r) ne cesse d'être eonlimie (juà
rextréniité de rinlervalle Sx, on observerait d'abord (jne si cet intervalle est
subdivisé en une suite de parties représentées par sx^, Sx^, sx-, etc., on a
généralement

, Au-, M'/ /'(j) -^ Aa-2 M^2 /'(j.) ^ ^ j.^ m;^ f'^,i.) ^ etc.

wr^^/'(.c) = ^ '-— ' ;

* SX

le reste s'achèverait ensuite sans aucune difficulté.

ÏOME XV. 2

{ is)

Supposons que la dérivée /' (x) soit indéfiniment croissante vers
la fin de l'intervalle sx et qu'en conséquence la valeur extrême
/' {x -+- Ji x) se présente sous la forme -. Par hypothèse, la func-
lioii y demeure continue.

Divisons l'intervalle ^x en n parties égales et désignons par h
l'une de ces parties. On peut écrire, conformément aux déductions
précédentes ,

Aï/ = (ax — h) 3lf ^"~'^'' f'{x) -^ f(x H- nh) - f\x -+- (n ^-^ \)h),

et divisant par ax ou son égal nh

(6) tl = U _ '!] Mf'^ ^' /•'(.) .- f'^'-^ ^^>-/^^ -^ '■'-'''^

AX \ 71 J Aa?

Par hypothèse, la différence /(x ■+- a^) — /(x -+- ax — h)
converge vers zéro à mesure que le nombre n est pris de plus en
plus grand. Il s'ensuit que l'équation (0) remplit les mêmes condi-
tions que l'équation (8) du n" 5 et qu'en conséquence elle ne cesse
point d'impliquer, comme tout à l'heure, la même équation finale :

(7) Aï/ = Ad^ Mf ^7».

L'équation (7) subsiste, ainsi qu'on le voit, sous la seule condi-
tion que la fonction ij soit et demeure continue dans l'intervalle
AA'. Elle comporte en outre une extension qu'il convient d indi-
quer. Imaginons qu'à la valeur o^j comprise dans l'intervalle ^a;
correspondent, pour y, deux valeurs distinctes qui se rattachent,
respectivement et par ^oie de continuité, l'une à celles qui pré-
cèdent, l'autre à celles qui suivent immédiatement. Si l'on repré-
sente par dïji l'accroissement brusque subi par la fonction y dans
le passage de la première à la seconde de ces deux valeurs, il est
aisé de voir que, sans rien changer à ce qui précède, on a néces-
sairement

Ay=== ixM'J'^' f'(x) + (^«/,.

On aurait de mciuc pour le cas de plusieurs changements

( lî> )

brusques subis par la l'onction ij dans l'intervalle \x et repré-
sentés par les symboles cTî/, , ây.^^ âi/^, etc. ,

i^y = Ax M*''' ^ f\x) -^ (^^1 -+- Sij.i -\- ây^ -¥■ etc.

5. Lorsqu'on part d'une fonction connue y = f'(x) et qu'on
se propose de déterminer la valeur moyenne que la dérivée /*'(x)
affecte dans un intervalle quelconque ix, on peut d'abord dé-
terminer l'accroissement ^y, en posant

Ay=:^f'(x + Ax)— /'(x-).

Il vient ensuite,

et la question se trouve ainsi résolue.

Lorsque la grandeur donnée est la dérivée /' {x) et qu'on veut
calculer directement sa valeur moyenne, on a rigoureusement

/ ^^\ ri n~\ \
/'(x) -f-/'Mx -+- — U- etc.-+-/' X f- Ax

M/ / '(x) = hm.

oc

et , par approximation

/ SX\ ,. f H — 1

/*'(x)-h /■ X -4- - U etc. -^- f x h -ix

,+ Ax ^,. X \ « / \ '^

Mr-^V'w^

l'erreur commise diminuant à mesure que n augmente et restant
toujours moindre que la quantité

/■'(x -4- AX) — f'\x)

En exprimant, par cette quantité, la limite supérieure de l'er-
reur commise, on suppose, comme au n" 5, que la dérivée f (x)
est toujours croissante ou toujours décroissante dans l'intervalle

( -H) )

Ax. S'il ni était autrement, on pourrait subdiviser riulervalle ^x
en parties (pii satisferaient tontes à la eondition préeédentc et
pour chacune desquelles on appliquerait successivement le pro-
cédé qui vient d'être décrit.

On verra plus loin comment le calcul numériiiuc de la quantité
M', f{x) peut s'effectuer, par voie de développement, dans le
cas où les dérivées successives f"(x), /'"(i), etc.. sont et de-
meurent continues.

Du développemeid des fonclions par voie dklenlUés.

6. Soient /'(jc), /'(x)', /'' (x),... /'"(^) une suite de termes dé-
duits les uns des autres par des dérivations successives et suppo-
sés continus entre deux limites quelconques, l'une variable et
représentée parx, l'autre constante et représentée pari; = x-4- àx.

La quantité :: étant ([uclcon(|ue mais constante, considérons la
fonction composée

(I) .{x)^(z-x)r(x) + .(^~|i!/"(^)+eU-. + ii:i^/"(j;).
Celte fonction a pour déiivée première

.'(■<^) = {z-x] f"{x) + elc. + ~^^ /■" + ' (JJ)

- /'W - (^ - ^) /■'>•) - etc. - ^\~^^''_^^ n-'h

ce (pii donne, toute réduction faite,

On a d'ailleurs, conformément au théorème des n" 5 et 4,

(5) . . . . '^{z)-y{x)^(z-Jo)W,'/{x),

( ->l )

et il y a lieu cr<)l><er\er que la fonetion -, (r) se réduit à zéro en
vertu (le l'équation (1).

La combinaison des équations (1), (2), (3j donne, ainsi qu'on
le voit aisément, la relation générale

(4) Kf'{x)=r{x) H- Y^- ["(X) -f- ete. + lîZ^^"^^^

\ .'2. .n

et cette relation subsiste alors même que la dérivée de l'ordre
n -\- \^ /■"+ ' [x], ne satisfait pas, comme les précédentes, à la condi-
tion de continuité.

Soit p un nombre entier compris dans la suite 1, 2 . . ?? ; si dans
1 équation (4) on remplace successivement n par p — 1 et i)ar p^
la comparaison des résultats obtenus fournit l'équation générale,

(5) W,{z — xY-'p'(x)= ^^ ~~ ^^' -p\x) -f- i M;(^ - j-)"/*"+'(.t)

et pour p = 1, ce qui revient à poser n = I dans l'équation (i),

(c) . . . M:n^')=/»-^>ù(2^-^)/"v).

Transportons celte ^ aleur dans ré([uation fondamentale

(7) . ^!i==^x.Kr(x),

il vient

(8) . . . yi,==.^x.[f'{x)-^^K{z~-x)r"{x)].

Si l'on compare cette dernière formule à laj'ormule (1) du n" 4

W ^y=sx[f\x)~v-y],

On reconnaît que la fonction inconnue désignée ])ar îf se Iroine
complètement déterminée pour tout intervalle où la fonction et sa

( ^-' )

tiérivéc /'(x) demeurent continues. La relation très-simple et
purement algébrique

i^ = mî{z — x)f"{x)

complète d'une façon satisfaisante le sens de l'équation (9).

7. Reprenons l'équation (7) du n° 6. Substituons à ^a!, z —x;
à û?/, f{z) — /"(jr); et à M^/'(x), le développement fourni par
l'équation (4); le résultat conduit à l'énoncé suivant :

Théorème. — La fonction quelconque y ^={{\) et ses dérivées
siiccessives f'(x), f"(x), .... f"(x), étant continues entre les deux
limites x et z, l'on a identiquement

(1) . f(z) = f(x) ^{z-x) f'(x) ^ ^^^ r(x) -^ etc.

i . 2 . . « ' ' ' 1 . 2 . . /«

Lorsque la dérivée de l'ordre n -^ \ est constante, les dérivées
suivantes sont toutes nulles. On peut alors écrire le dernier terme
de l'équation (1), soit en lui conservant sa forme actuelle

^^^ • • ■ • rï."»^'^^"'''"'"'^'^''^'

soit en lui attribuant celle qui résulte de la loi de formation des
termes antérieurs

(5) .... . -J^-:=^^-''-^^f"+^(x).

Égalons les expressions (2) cl (5) dont la forme seule peut-être
différente. Observons que, par hypolbèse, la dérivée /'" + ' (or) est

( 2^ )

c'onstaiile cl siipprinions les facteurs Louimuns, On (rouvc aii)si

(z — xy*

(4) K,{z-x)'

n -t- i

Supposons la dérivée /'" + ' (x) continûment variable entre les
limites x ci z; il s'ensuit qu'il existe une valeur intermédiaire,
représentée par x -f- 6 {z — x), et satisfaisant à la condition

[z — [x -\-d{z — a^))y /'"+' [x -4- e (z - X)] = Ml (z ^ x)" /'"+* (x).

De là résulte, en premier lieu .

(:i) .... --L-^n:(z-xYr+'(x)

0 étant une fraction.

Si, dans la même hypothèse, on désigne par A la moindre valeur
affectée par la dérivée /'"+ '(x)(lans l'intervalle (r — x), on a, con-
formément à l'c-fiuation (4),

iz — x) "

WJz ~ xY f"-^' (x)> ^ L A.

n -h 1

On trouverait de même en désignant par B la plus grande va-
leur affectée par la dérivée /'"+'(x) dans l'intervalle z — x,

La conséquence est qu'il existe pour x une valeur intermé-
* Cette équation peut aussi s'écrire comme il suit :

M .r" = ou M,, x"

n -+- 1 " n + i

{-H)
(liaire i*opr<senléo [y^r x ■+■ (j[z — x) et sntisfîiisnnt à la coiidilion

De là ilonc résulte, en seeond lieu,

(z xV-^^

l.2....(/i-f-l)

0 étant, eommc tout à l'heure, une quantité comprise entre 0 et I.
En général on exprime le dernier terme de l'équation (1) par
le second membre de l'une ou l'antre des égalités (o) ou ((î). La
première de ces trois formes est évidemment préférable, non pas
seulement parce qu'elle implique chacune des deux autres, mais
surtout parce qu'elk remplit les conditions suivantes :

I" Elle supprime toute indélermination ;

2° Elle permet qu'on calcule la valeur du dernier terme arec
tel degré d'approximation qu'on désire;

ô" Elle jie cesse pas d'exprimer la râleur de ce dernier terme
alors même que la dérirée f"+'(x) re5.se d'être continue dans
l'intervalle z — x.

Supposons qu'une même valeur particulière x = a annule en
même temps la fonction ?/ et toutes ses dérivées successives, jus-
ques et y comj)ris celle de l'ordre n. Il est visible qu'en rempla-
çant d'abord x par a , puis ensuite z par x , les formules (I), (5),
(G), se combinent de manière à fournir les équations suivantes :

(7) • ({^■)=~~^K(\-nYf"'-'Vi-*-n{x-«)],

1 . 2 . . H

M — oV'f.r — iiY+*

(8) • /■(■'•) = ^ t..,..„ • /■"■" [" -^ « ('^ - ")] .

{ -i^ )
On obsorvern que \c symbole 3I„(I — it)" /'"'^'^[a -\- ?/(;>•— (()]
exj)rimc la movenno aritlimétique (les valeins aifectées par le
produit (l — it)" f"'^^[a -4- u [x — a)], lorsque la ([uantité u
varie continûment entre 0 et I, les quantités x et a étant consi-
dérées comme constanles.

Di /[('renées des' ordres supérieurs. Moyennes multiples.
8. Soit une fonction continue

\x et A?/ étant deux accroissements quelconques simultanés
de la varia l)le x et de la fonction ?/, on a d'abord

W Mj^fix-^ ^x)-i\x).

L'accroissement \x étant supposé quelconque mais constant,
prenons la différence des deux membres de l'équation (1) et dé-
signons par A^ y celle du premier, cest-à-dire le cbangement subi
par ce membre lorsque, dans le second, on remplace la variable x
))ar X -+- àx. Posons d'ailleurs

V -f- \x =^- z.

11 vient

^hJ^^[f\x^^a)~f{;x)],

et, conformément aux règles précédentes,

. A [f{x -4- ^x) - fix)] ^ IX X [f'ix -f- A.r) - f'{x)] = ix K ^ f'i^Y
On a donc

m ^\,j^ixMUf'{x).

Si, daiileurs, on écrit

A?/-= SX},\Î/"{X).

( -JO )
On a de même, en prenant la Jiiïérenee des; den\ membres,

(5) ..... . ^hj-^-r. A.r. aM:,/'(.4

La comparaison des équations (2) et (3) donne

am;/-V) = m;a/-'(^),

et de là résulte le théorème suivant : ' *

La différence de la valeur moyenne d'une fonction est égale à
la valeur moyenne de la différence de cette même fonction.

L'équation (5), lorsqu'on y remplace la différence A/''(jf) parle
produit égal at. M^,/*"(x), devient

(4) ^hJ=.{^^)n\:M:f■"[x).

Opérons sur l'équation (4) comme nous l'avons fait sur l'équa-
tion (l)et, sans rien changer d'ailleurs, désignons par i^ y la dif-
férence A. A* y. On a directement

A'«/ = (A^)^ A.Ml.M'/''»,

et , eu égard au théorème formulé ci-dessus ,

^h|^{^wf.W,,K^f"(l^).
Remplaçons a/"(x) par le produit égal ix- . M, /'"(x); il vient

(5) . . . . A^y/ = (A.r)MM;..i\C.M!r'(4

Convenons de représenter par les notations M, M, etc., les
moyennes multiples M . (M)., M . [M . (M)], etc. Il est visible que
nous aurons en général

(6) ^^y = i^xY.Mlf"{j^).

Celte relation très-simple peut s'énoncer comme il snit :

(27 )

La (li/fêrence de Vordre n d'toie foncllon (jHe/cotu/ue y=^r(\)
est égale au prodmi de la puissance n de l'accrnissement de la

n

variable par la moyenne multiple M f"(x).

Lorsque la dérivée de l'ordre )i, /"('), est constante, l'on a
évidemment

M f" (.r) = M /■« {.t) = etc. = Ûf" (aj) = /'" (,r) =- cons'* =- C.
et, par suite,

En général la dérivée f"{x) est une quantité variable avec x.
Néanmoins, s'il y a continuité, il est aisé de voir (jne l'équation
(()) est réductible à la forme

(7) ^"y = {^ar[f"{a;)^^],

t étant une quantité qui converge vers zéro en même temps
que ^x *.

Du développement de la différence A"y, efferivé h priori et par
voie d'idenlité.

1). Reprenons la formule établie ci-dessus

(I) ^"i/ = {i.TYÛ:f"{x^),

et, pour éviter toute confusion, représentons par « la valeur as-
signée à X comme origine de l'intervalle àx. On a idenliqucment

(2) . . . Û:f%v)^f-{a)-^M:[r(x)~f"{a)]

= f" («) -+- m; (.r — a) m; /" ^-* (.r) ,

les limites entre lesquelles x varie étant a et z = a -«- ^x.
* Ou vrna plus loin comment la quanlité c se détermine.

( 28 )
De là résulte, en premier lieu .

(ô) . .A"y = (.y-) [/•"(«) + 't"(*--«)M„V+'W].

Comparée à l'équation (7) du n°8, l'équation (3) donne, en gé-
néral , u

ç = m; (x - rt) m; f<' (x).

Poursuivons. On a, comme tout à llicurc,

K /■"+' (X) = r" («) -t- -m: [/•"+' (X) - /•»+' («)j
=/•"+'(«) 4- m: (x -«)</•"+' (^i^)-

Il vient donc, en second lieu,

•^ ^ ^ ( -+- ^i; (X - a) X (x ~- a) X I "'■-- (.r) )
On trouverait de même,

(4) ^"y = (\x)" / H- /'"^ - (r/) >i; [x - a) X (x — a) [ .

et ainsi de suite indéfiniment.

Reportons- nous à la formule (4) du n" 7. Si Ion y remplace
l'exposant y^ par l'exposant q, et la difïerencer — x qui varie entre
les limites o et ;3 — x par la dilTérencc x — a supposée ^arial)le
entre les limites o etx — «, elle donne, en général,

[x — rO'' *
X(x — ay=-- ^•

* Celte éqnalinn poiil s'obtenir diroclemcnt en procédaDt oomnio il suit.

Posons

{.v-ay+i

De là résulte

f'{œ)^{x — a)'i,
et , par consé(j lient ,

- m: (.-.),^^'">-^^'" = '"-"".

( -M> )

De là résulte, par voie de substitulions suceessives,

X — a

t (jc — af (x — i(Y
M„ {x - a) M,; (X - «) = M„ ^——L .^ i^-i. ,

X x(x — af (x — «)•■'

K{^-a)M:{x-a)M^{x~a)=^K-~- ^ V^r"^- '

2 . O 2.0.4

et ainsi de suite. On peut donc éerirc, comme conséquence immé-
diate de l'extension que l'équation (4) comporte,

■/•«(«.) 4- /'"-H (,oii: (a- -a) I

■ cif
h t

„ ; - f'"^' («) ^'î« "- -^ <^tc.

(y) . . à"tj= ^X" ( ' ^ ^ 1.2

-r-'(«).M:-i:V::i,^-,y-'^

le reste R étant déterminé par l'équation

(0) K = m: {x - a) Ml {x - a) K {x — a) . . . K {oc — a) M^ f"+" (x) ,

où le signe 3J^ et le facteur {x — «) sont tous deux reproduits/?
l'ois.

Lorsque la dérivée /'"^'' (a;) varie continûment dans rintervallc
ix, il est aisé de voir, en opérant cojnme on l'a fait au n" 7, que
Ton peut écrire

d étant une quantité comprise entre 0 et 1,

Cela posé, si Ton remarque que l'on a identiquement

et (pi'il est permis de remplacer j)ar x la valeur (piclconqne (/ jirisc

( 50 )

pour origine de rintervallc a^, il est visible que la i'oiuuilc [o]
revient à

(8) . A"^ = (A.O" '^ ~1.2..(y;-l)

/ _ f"^>'(c

^-"'^"^MfV

1.2../>
ou mieux encore à

(9) . v', = (..r!-:,;g^ )'

\ 1.2. ..p 1

les faeteurs M^jc, M„x'% etc., étant des quantités numériques
complètement déterminées.

Considérons en particulier le cas où n est égal à l'unité. 11 vient
alors *

,y = ..• . /•'(.•) -^ y^ /-(^) ^ etc. -^ --^- /■''(.•)

et Ton retrouve ainsi le développement auquel nous étions déjà

* L'équation générale établie ci-dessus

(.r — «.)v.

Ma {x ~- a)

donne évidemment

q-hi
ou bien encore

m; œ'^ -= — !—- •

(51 )

parvenus. En comparant le terme désigné ci-dessus par R à celui
qui lui' correspond dans la formule (J) du n° 7, page 22, on est,
conduit à l'égalité

(10) . m; {x-a) m: (x a) . . . m; (a;-- a) Ml />-^* {.v)

1.2..;/

où l'on peut remplacer /''+ '(a:) par une fonction quelconque de la
variable x \

Reportons-nous à l'équation (8). Lorsqu'on y fait p= \ , on
trouve

(H) . s"ij =-- (>^-)" [/•" (a-) -4- Z'"-^' {.v -+- e ^.T) ^C" ^].

* Au lieu ck' procéder comme on Ta fait plus luiul, pour déterminer par
voie de substitutions successives, les valeurs des quantités M^ {.jo - «),
Ul {x — a), M* (.r — a) , etc. , il est plus simple de poser tout d'abord l'équa-
tion (10) et de l'appliquer au cas oh la fonction /■/'-+-! (^•) se réduit à une con-
stante. L'équation générale

M:(.-«)M:(.-rO...M:(a--.)M;/>^M^r) = %I^^l^

1 . 2 . . . /j

oii la constante fi'-^i (xj intervient comme facteur dans chacun des deux mem-
bres, donne, après suppression de ce facteur,

m; ..i' - a) M J.r - a; . . X i^' - «) = -,-Ç^'^' •
On a d'ailleurs , comme ci-dessus,

yj -f- 1 /) 4- 1

On peut donc écrire en général

m; {X - a) Ml {x~~a)... >C i^ - «) - ^ ^''^''

1 . -2 ... p -h 1
le binôme {x — a) étant lépélc p fois dans le premier membre.

( 5-2 )
On a d'ailleurs, ainsi quon le voit aisément,

et, par suite,

M^ (.r, = M^ A' -+- - A .1^ = .T H — A a;

De là résulte, pour x=0,

M„ a; = - Ait-.
On peut donc écrire, en général,

(12) . . A"^==(A.:)"[/-"W+^A.t7-"-H(^^ÔA.r)].

10. Proposons-nous de déterminer directement les valeurs nu-
meriques des facteurs exprimés par les symboles ^l„ x, M^ x^ ...

n

M„a;^ dans l'équation (9) du numéro précédent.
On a^ en général,

(.r ^p^ J)"-' - (.r -I- pf-' -= (7 -f- 1) ^\T (•^- ■+- V)\
ou, ce (fui revient au même,

De là résulte , j)Our p = Oy
7 -»- *

•(5Ô )

Prenons les valeurs moyennes deeluu un tlesinenibies deléqua-
lion (2). 11 vient, eu égard à l'équation (1),

Opérons sur l'étiuation (5) eomme nous venons de le l'aire sur
réquation (:2), et ainsi de suite indéfiniment. Il est aisé de voir que
ce procédé conduit à léquation générale

,, (:. + «)"■'-'- ,(.. + «-1,'+"

i) Mr ' *■' =- r ;

f -^ —. — :z — (^-t-/i— 2) — ctc.±a;*-*-"\

Oji a donc, en prenant x = 0 pour limite inférieure,

j- in''-^"— ~(n— [)''+'

0 31 .r* = ; ' ^

(7-4- [)... 7 + yOi /^(/^— 1)

' '' ^^-,--A__^(,,_2r'+«-elc.zp/.

Représentons par le symbole ["■^'/ ] l'expression générale

I

nous aurons
'L >t J 1.2...(/^+ 7)) yé(M-l)

1 j.-"-ç(..-I)^^" )

- 1)

^ --(M-t>)"-^"- elc.rf

et, eu égard à l'équation (o),

(7) . . . mU"=i.2.5. ..,/[";'/].

Tojit XV.

( 3'. ) •

Observons que, dans l'hypotlièse </ =o, on a direclemeiit pour
'équation (5)

Mi.^[;;]

Cela posé, il est visible que l'équation (9) du numéro qui précède,
page 50, peut s'écrire comme il suit :

(»^ ^'> = [«] (^*)" /"W ■*["«'] ('*■)""' /'"^'(■'■) * •^"^•

Si d'ailleurs on pose

X = cous"" =^ àJi-,
ce qui donne ; en géné'ral,

r/vt/^(A.f)v./-v(4

On peut écrire aussi
(9) • • -■■H = [l]d-!, -<-["-*;,^]d"^' y ^ ^-W.

le dernier terme Rj ou R . [ix)" étant déterminé par ré()uation
(G) du n" 9, pour tous les cas où les dérivées d'ordre inférieur
à ?^ -+- y) demeurent continues dans rinlervalle ix , et pouvant
s'exprimer de la manière suivante

Ri-[";^^'](^^r)"^''/"-"(.r-4 6A^),

lorsque la dérivée /"+''(x) ne cesse pas d'clre continue dans ce
même intervalle.

■ ( 35 )
CHAPITRE IL

APPLICATIONS PARTICULIÈRES.

Des rapports qui s'établissenl entre la l'onction et ses dérivées
pour certaines valeurs de la variable.

II. Soit une fonction quelconque,

On suppose que pour une valeur particulière de la variable x
la fonction y jusque-là continue se présente sous la forme sym-
bolique - . Soit X3 cette valeur particulière * : cela revient à dire
que la fonction y croit sans limite à mesure que la variable x se
rapprocbe de la valeur x^.

Considérons le point qui décrit le scgniciil de droite su])stituc
comme équivalent numérique à In grandcui- /y. La vitesse de ce
point a pour expression générale

y = xf{x).
et Ion a en même temps

\y-^\xUT ' f\x).

Cela posé, il est visible à priori que la vitesse y ou , ce qui re-
vient au même, la dérivée f'{x) doit croître indéfiniment à mesure
que la variable x converge vers la valeur x^. Quelle que soit en
effet la vitesse d'un point, du moment qu'elle est limitée, le seg-
ment décrit par ce point reste aussi limité. Or, par hypothèse, la

* 11 est entendu que toute valeur particulière truue quantité variable est
luie valeur tinii-, ilétermiiiée et \vv\W.

( 5« )

grandeur y augincnlc siins limite ii mesure que la MU'iable x se
rappioehe de la >alcur j-^; il faut doue que la dt'rivée ['(x) eroisse
indéfiniment dans celle menu; eireonslanee, et par conséquent
aussi toutes les dérivées successives.

Veut-on procéder plus rigoureusement? On peut raisonner
comme il suit.

Soit a?, une valeur aussi rapprochée qu'on voudra de x-^ et telle
que de Xi à x- la l'onction ij soit toujours croissante en grandeur
absolue; soit en outre x^ une valeur intermédiaire. En admettant
que, pour x = jr^, la dérivée /' (x)prit accidentellement la forme - ,
celte forme ne pourrait persister. Il est donc permis de poser im-
médiatement f\x^i) =B, la valeur B étant numériquement assig-
nable. Or, si grand que soit B, je dis que la dérivée f'{x) doit
augmenter encore de j-^ '<^ -^s. Pour le démontrer, prenons, à partir
de Xi, rintervalle sx., plus petit que % — x^- Nous aurons, en dé-
signant par ài/2 l'accroissement correspondant de la fonction

àyi= ^x^^[lr"^''^{x).

Suppose-t-on maintenant que la dérivée /' (x) n'augmente j)as

de Xi à X3? La Aaleur moyenne M,^' * /' (a')élanl inférieure à B,

il \ient

Aî/2 < B . àx.^ ^ =

et, à forliori ,

A^2 < B.(X3— X.,).

Mais, quel que soit B , si grand qu'on le suppose, cette dernière
inégalité est toujours impossible, puisque, par hypothèse, la diffé-
rence Ay^ ci'oît indéfiniment à mesure ([ue ax^ converge vers la
limite X:,— x.^. On ne peut donc admettre que la dérivée f'{x), lors
même qu'elle décroîtrait à partir de x^, ne prenne pas ensuite des
valeurs toujoui^ de plus en plus grandes, et cela sans limite as-
signable. 11 faut donc nécessairement que, pour la valeur x = x^^
elle afTecte la forme symbolique--

De là résultent les énoncés suivants :

Lorsque pour une valeur puriieuUère attribuée à la variable

( 37 )

/(/ l'onclioH, jiis(|iir-l;'i contiimc, se pré^icnti' sons la farmc , H eu
i'sl (le nu'ine de lonles ses dérivées successives.

Réciproquement j toute valeur de la variable qui ne rend pas
infinie la dérivée de l'ordre n, ne rend infinie ni la fonction ni
aucune des dérivées précédentes.

Ces ('iioncés ont , en certains cas, leur utilité.

Des limites qui correspondent aux formes singulières

O 00

0

X

12. Soient deux fonctions d'une même variable, représentées
respectivement, lune par z=^f{x)^ l'autre par u =F(.r). Consi-
dérons d'abord la fonction composée

VU) u

et supposons, en premier lieu, que pour une même valeur x = «,
on ait en même temps

y(^a)==o, f{a) = o.

Cela posé, on demande de déterminer la limite vers laquelle
converge la fonction y en même temps que la variable x se rap-
proche indéfiniment de la valeur a.

Reportons-nous aux principes fondamentaux du calcul différen-
tiel. L'un de ces principes, tous établis directement et par voie
géométrique, est énoncé comme il suit : *

Lorsque deux variables convergent en même temps vers zéro ,
leur rapport converge en même temps vers une certaine limite.
Cette limite est le rapport des valeurs que les différentielles des
varicdjles considérées affectent respectivement lorsque ces varia-
bles s'annulent.

* Voir ;m l)csoin la cleuxicnie partie de cet ouvrage, iv' 9, page 104.

( ^8 )
De Jà résulte iinniédialeineiil

lim-f-^=-]im ---=-7-

On n (1 ailleurs, on général^

f(r= oc . F'(.'r) , z = X. f'(x).
Il vient done ici , ponr x=(i,

,i. ^(^) ^'("'

f(^) /■'(«)

Si la valeur x = a annulait en même temps les deux fonctions
F(jr), f[x) et leurs dérivées premières, on aurait de même

F(x) ,V\x) F"(fl)

lim -— — = lini

et ainsi de suite indéfiniment.
Concluons qu'on a généralement

^.^FW _F"(a)^
/'(^) /""(«) '

>i étant l'ordre de la première des dérivées qui ne s'annule point
pourx=«.

Le résultat précédent suppose que la valeur x = a annule en
même temi)S les deux fonctions F(x), f(x) et leurs dérivées suc-
cessives jusques et y compris celles de l'ordre {n — J ). Appliquée
à ce cas, ré([uation (9) du n" 7, page 24, donne en même temps^
d'une part

[x — «)" „ ^
FW -= ; F \a -+- 6(r - a)\

( ^^^' )

irautrr part

^'''^^'"/'V."^," T" [" H- M'- - »)]■

Il vient donc, on général.

et, pour x—a,

,. FW F" (a)

lô. Supposons en second lien que, pour une jnènie valeui
a- -^ fl , on ait en même temps

Si nous posons, en général,

^^^ F(,r) '^^ /-(x)

il s'ensuit que, pour .r = ff, les deux fonctions i^(.'r), i/ (.t) s'an-
nulent et qu'en conséquence on peut écrire

F:^' ^{x) d>'[a -f- 0{x — a)]
*''^- • • • Jî^)^7{^)^ /[«-^«'(x-a)]'

On a dailleurs

( '*" )

e( pnr siiil<*.

^^^ F'(,t) /(.r) FW^ ./(.r)r.i'(o

Passons à la limite. Les équations (I) et (2) donnent respective-
ment et simnltanément, la première,

Imi — 7— r = nm — -- =

la seconde,

On peut donc ('crire aussi

/M ■/■{")

La comparaison des équations (1) et (:2) fournit le principe sui-
vant :

Lorsque deux fonetions croissent indéfiniment, à mesure que
la variable converge vers vne valeur particulière , le rapport de
ces fonctions et celui de leurs dérivées premières convergent en
même temps vers une même limite. Mais, d'ailleurs, chacune de
ces dérivées est alors indéfiniment croissante ; le rapport des dé-
rivées secotides a donc même limite que celui des dérivées pre-
mières, et ainsi de suite, à Vinfni.

lîi résulte

F(«) X F'(«) F"(«)

A") == /■'(«)""■/■"(")"

= etc. =

F" {a)

( '^l )
Il semble quil v ni( eerelc vicieux à exuiimer la limite-*^ *■"'-
par le rapport de deux termes dont chacun , pris isolément, af-
fecte la forme—. Mais ici, de même qu'au n" 12, l'hypotlièsc
r = a ne doit être introduite dans l'expression ,— ^qu'après la

fn{x) ^ '

suppression des facteurs communs mis en évidence par les déri-
vations successives.

iV. B. Nous avons supposé que les formes -' — affectées nar le

Fr) ^ *

rapport -jr~ répondaient à une valeur particulière x = a. Si 1 hy-
pothèse faite sur la variable était exprimée symboliquement par
.r=:3c , on poserait

_ 1

et l'on considérerait la variable / comme conver£;ennt vers zéro à
mesure que la variable x croîtrait de plus en plus. On aurait ainsi

/•(•'■

et, conformément à ce qui précède, on en déduirait pour / = o
ou, ce qui revient au même, pour x = oc

'il

y„„m_ \'l '^'W

/w

r(i) '^"'

Rien donc ne changerait dans le résultat définitif. Toutefois il
convient d'observer que le symbole- exprime, en général, une
impossibilité qui peut se traduire en solution deconlinuilé el faire
loinber eu défaut les relies du calcul.

14. Conskh'rons niaiiih^iiant ]v |)i(Kliiit

f(.v).V (:,:).

Si pour une valeur particulière x = a , ce pioilnil prend la
forme o X =c , ou peut éerire, en général ,

I 1

Tout revient donc à considérer une expression de la forme -
ou ~ 5 et l'on est ramené à l'un des cas traités précédemment.

Soit encore l'exponentielle /'(x)''^'^ supposée telle que pour jc = cf
elle se présente sous Tune des trois formes f* , oo ", 0" ; on a gé-
néralement

et, si les logarithmes sont pris dans le système népérien,

f{a^Y'^} ^eF(..-)iog/-,>)^

La question se réduit donc à déterminer vers quelle limite con-
verge le |)roduit F (r) . log. /"(x) dans l'hypothèse où Ton s'est
placé *.

* On ;.

Su()|)osons que pour une valeur quelconque déterminée de l'accroissement
àv la variable x croisse indéfiniment. En général, il n'y a pas lieu de distin-
guer entre les limites f (oc ) et /" (oo -4- zi,r). On peut donc écrire

s.r
Posons vr =r- 1. Jj vient

/•'(>:)=liml7(j'-+-l)-/-(.r)l.

. ( 4-5 )

15. Montrons, par quelques appliealions parlieiilières, l'usage
qu'on peut faire des règles élahlies dans les trois numéros qui pré-
cèdent.

Soit d'abord x = o : on trouve pour ce cas

X log; X = lim— ^ — = lim (— x) = o,

X . e^= lim -— = lim c = 5c ,

1 i]ogcos»»,r _,»tsi J

[ eos m jc ]' = e ' = 1 1 m e ""s * = 1

(I -+- :vy = e- = lim e* ^' = e.

Soit ensuite r = ao . On a de même.

log a; i
= hni — = 0,

X X

— = lun a', log « = ce pour a > o,

X

-^ lOg .1

.r' == imi p' = e" =: 1,

/■(;r)' =(.-'"'•" = lim e^' = e""''^'

Do là résulto, pour le cas on la fonction f {œ) croît indéllnimentavec ^,

lim ^ = ['( oc.) = lim [/-(.r -+- 1) - /-{.r^]

Hn,^^^^^ .. log^^^ ,. fi-r-^^)

{. log/-ix)

Vimf{xY = e'"' • =lime""' m =lim

Cesdenv formules ont été données par M. Cancliy.

ciwpnnE iff.

SÉRIES DE TAYLOR ET DE MACLVURIN,

H). Reporlons-nous à la fonimlc (I) du n" 7, page 2^, H posons
z=x -+- h. On trouve ainsi

(1 ) . . Ilv + h) = /•(.•) + 't /-(.r) + Cl..-. + j^- fia)

Nous savons, d'ailleurs, que si la condition de continuité, sup-
posée remplie par la fonction et ses ;/ premières dérivées, l'est en
même lemj)s pour la dérivée de l'ordre (>/ -4- I), le dernier terme
peut se rem|)lacer indifféremment, soit par

soit par

0 étant une quantité comprise entre Oeil.

Supposons que la valeur attribuée à x comme origine de l'ac-
eroissement h se réduise à zéro. 11 vient d abord x = 0, puis en-
suite, en substituant x à // ,

(2) . /V)=f(o) + y /•» + etc. + y:^ /■"(")

■*--r4 — M.(z-x)Y"+'H*

\ .2 . . H

* Le derniiM' lorme, lorsqu'on y remplace la variable ,r par sa valeur initiale
auûnienlée de hu, ilevient

( '^^ )

le dernier terme puinaiit être remplacé, comme tout à l'heure,
soil pur

ou pai'

(1 _e)"^"+'

\.^2 .. n

r'-'M'.

Ou ne perdra pas de vue que dans le l'acteur représenté par
z — X sous les signes 3l' ', M'I, la quantité z doit être considé-
rée comme constante et comme ayant la valeur exprimée par l'in-
dice supérieur. Si l'on craignait quelque confusion , on pourrait
prendre une variable auxiliaire qu'on désignerait par u et substi-
tuer aux l'ormules (1) et (:2) les formules suivantes

m1(1 - u)" f'-^^^v -^ Itu),

\ .^,.11

W • • M -M + Yf'io) -^ etc. -^ ^ ^ ^^ r(o)

I . 2 . . n

m; (I _/<)"/■"-• (x<o,

la quantité u étant la seule qui varie sous le signe .M,,.

Au lieu de limiter ces développements par Taddilion du lermc
qui les complète, on peut concevoir (pi'ils se ])rolongent à l'iniini,
suivant la loi de formation indi([uée. Les séries que l'on obtient
de cette manière sont généralement connues sous les noms de
série de Taylor ou de série de Mudaurin , selon qu'elles dérivent
de l'identité (ô) ou de l'identité (i). Il est permis, en certains cas,
de substituer ces séries au développement limité de la fonction.
IVéanmoins on ne doit jaiuiiis pcidj'e de ^ ue qu'elles ii'ont d'autre
fondement que celui qui résulte de la ))ossibililé présumée de pro-

( '^•^» )

longer toujours, el suivant une loi constante, le développement

limité sur lequel elles reposent. Lorsque les termes complémen-
taires

-m! (\ -uYp'-^-'(.T-^hn), --Ç Ml (l - ny/-"-^ {.ru}

convergent vers zéro à«mesure que n augmente, les séries sont con-
vergentes et elles permettent de calculer avec tel degré d'approxi-
mation que l'on veut la valeur des fonctions qu'elles servent à dé-
velopper. Dans le cas contraire, elles sont divergentes. Pour que
les séries puissent subsister, il faut que toutes les dérivées pren-
nent des valeurs finies à l'origine de raccroissementquel'on consi-
dère, et qu'en outre la continuité sétende au delà de cette origine.
Ces conditions étant supposées remplies, les séries sont, en gé-
néral, convergentes pour tout ou partie de l'intervalle considéré.

47. Prenons, pour exemples, les fonctions élémentaires et
cherchons à les développer suivant la formule de Taylor ou sui-
vant celle de Maclaurin.

Soit, en premier lieu,

Lorsque l'exposant /// est positif et enlier, la dérivée de l'ordre
m étant constante, le développement est limité et Ton a identi-
quement

m

(1) .... (.i--+- /0"' = .i'"'-t- — Ax-"'-*-+-elc.

iiiim — l)..(>/i — ;i-f-l) ,

-+- — ^ — h"x"'-" -f- etc. -+- h'".

1.2. ...n

C'est la formule du binôme de Newton pour le cas de l'exposant
entier et positif.

Supposons l'exposant m quelconque. On a

/'«+* {x) =. m {m — i) . . [m — n) x"-"-*.

En se rcporlant au u" 10, on voit aisément que le dernier terme

( 47 )

des foriijules (1) ou (5) ()eut s'écrire iiulilfércnimcut sous runc ou
l'autre des deu\ formes suivantes

(5) . -— ^ — --4 — ^ \ T — — » **'' ^- ^^^'"'•

La première de ces formes montre que pour des valeurs de A
|)Ositives et moindres que jr, le lerme eomplëmentaire eouverge
vers zéro à mesure que n croît indéfiniment. La deuxième fait voir
que celte même condition est remplie pour des valeuis de h néga-
tives *, et moindres qui; jt- en grandeur absolue. On peut donc
écrire, en général,

(i) .1- -\- h)"'=r.i"' -+- —hx"-^' H ^^ frx'"-' -4- etc.

1 1.2

m (m — 1 ) . . (m — n -\- \) ,

^ — ^__ — j^^_^ i /r :r"-" -4- etc.

1 . 2 . . ?i

/* étant, par hypothèse, moindre que x en grandeur absolue. Si
l'inverse avait lieu, h étant supérieur à x , on écrirait

m . , m (in — 1)

(5) (h -4- .r)'" = A'" -+- —xir-' H ^ -^— jJ'IV''-^ -+- etc.

Soit h = 1 et X une fraction quelconque positive ou négative :
on a de même

ni m {m — 1 )

(6) . ( 1 -+- xf -^ [ -\- — X -\ — ^ — a:- H- etc.

" Lorsque la quantité li est négative le fadeur représenté par l'expression

. h - eh , . /t - Oh

Iractionnaur -—devient — -y"

X -hdh x~i}h ,

( ''» )

Loisciifon lait A = — x dans rc(|iuilion (I), on lrou>c ideiili-
queiiieiit

ut m (m — 1)
18. Soit, eu second Jieu,

(1) /•W=log^'.

11 vient d'abord/' (jt) = x ~^ , et, par suite,

Les dérivées étant positiNcs ou négatives, selon (jue lindiee n
est impair ou pair.

En opérant comme au n" 17, ou trouve que le terme complé-
mentaire affecte indilleremment lune ou Tautre des deux formes

h 1" + ' rh~-ôltT h

1 r h, Y^ rh--ôhj
il + I LiV -f- ohj \_.i' ■+- ùhj ûj

6li

La conséquence est la même qu'au Jjujuéro précité. On peut donc
écrire, en général,

{->) log [x H- h) = log .f -f- - — ~ I -1 4- etc. ± -^ M zfz etc.

h étant, par hypothèse, moindre que j; en grandeur absolue. Si
l'inverse a lieu , h étant suj)érieur à x, on a de même

(5) . . log (h -t- x) = log h-^-~—- ^:i j -4- etc.

Faisons h == 1 dans la formule (5). H >ient
(4) . . . log {[ ^a;) = x — -- ^ ~ — etc.

( 4!> )

jc étant iiiic IVaclion quelconque positive ou négati\ c. De là ré-
sulte, en changeant le signe de la variable x,

(5) . . . log(l - .î^)-- — A-— -- — ~— etc.

À Ù

Soustrayons léquation (5) de l'équation (4). On a d'abord
\ -\- X r x^ x^ ~]

Si l'on pose ensuite

'C qui donne

on en déduit

1 -+- .r ^ H- 1
{—x~ y

1

.2^ + 1

logi,-. 1)-L(,)=^.[^ -. ^^ -. J^-^^-^ç

Cette dernière formule est très-convergente pour des valeurs
un peu grandes de la variable y. Elle permet ainsi de calculer ra-
pidenient les logarithmes de deux nombres entiers consécutifs,
et, de proche en proche, ceux de tous les nombres entiers supé-
rieurs à celui par lequel on a commencé. On sait d'ailleurs que
pour passer du logarithme naturel d'un nombre au logarithme de
ce même nombre pris dans un système à base quelconques, il faut
diviser le logarithme naturel du nombre par celui de la base a *.

19. Soit, en troisième lieu,

C) /■(•'■) = «'•

* L'équation générale a'-^ = x donne , en prenant les logarillnnes naturels
des deux membres,

Tome XV.

( oO )

On a d'abord

f\x) = «' log («),

puis géiicralement

/■"W = «'(iog^O".

Le terme complémentaire de la formule (4) du n" 10, page 43,
devenant ici

il est Aisible que ce terme converge vers zéro à mesure que n

croît indéfiniment. On peut donc écrire, d'après la formule de

Maclaurin,

^^loga (.rlog«f (^logfO'

(2) . . . a' = 1 H ; 1 -— 1 . ^ ,- -+- etc.

^ ^ 1 1.2 1.2.5

Supposons la base quelconque «prise égale à la base e du sys- i
téme Népérien. On a log e = \ et, par suite, ^

(5). . . . e'=l-^. + £-- + ^+ctc.

Aous étions déjà parvenus à ce résultat au n° 18, de la deuxième
partie (page 116). On en déduit

e =.. 9 H , H etc. = 2,718281828459

1.2 1.2.5

20. Considérons, en quatrième lieu, les deux fonctions circu-
laires sin X, cos X , et posons d'abord

(1)

. f{x) = sin X.

On a

I''[x) = toix.

11 >ienl ensuite

f"{x) = — sin X .

( oi )

De là résulte, en général, pour les dérivées d'ordre impair

et pour celles d'ordre pair

P"(^a;) = ± eos x.

Les signes + et — se succédant alternativement dans un cas
comme dans l'autre.

Reportons-nous aux formules (2) ou (4) du n" 16, pages 44 et 45.
Le terme complémentaire devient ici

X

i-\.i

do Mo (1 — uY sin hu ,

OU bien

11 s'ensuit qu'il est moindre en grandeur absolue que la quantité

ul(\ — iiY =

\.±.n ' ' 1.2..(?<H-1)

On voit par là que ce terme converge vers zéro à mesure que n
croit indéfiniment. On peut donc écrire , en général, et sans aucune
restriction,

(2) . . . sin x = X 1 etc.

^ ^ 1.2.5 1.2.3.4.0

On trouverait de même

(5) . . . . cosa;=l H etc.

^ ' 1.2 1.2.5.4

Il y a lieu d'observer, relativement aux séries (2) et (5), que, les
termes étant alternativement positifs et négatifs , Terreur commise
en s'arrétant à l'un quelconque d'entre eux est moindre que le
suivant. On voit d'ailleurs que , quelle que soit la valeur attribuée

( a-> )
à Xj on peul loujouiîj choisir le terme auquel on s'arièle, de ma-
nière à obtenir tel degré d'approximation que l'on veut.

i2l. Considérons, en cinquième et dernier lieu, les fonctions
circulaires inverses arc tgx , arc sin x , arc cos x.

Nous pourrions procéder ici comme nous l'avons fait dans les
diiïérents cas traités précédemment. Il sera plus simple de suivre
une autre marche, qu'il est bon d'ailleurs de connaître et qui se
fonde sur les considérations suivantes.

On a généralement *

(i) . . . . . /•W-/(o)=..i;3j;/»
et

Cela posé, imaginons que la dérivée/"' {x) soit développable en
série convergente, et que l'on ait en conséquence

(5) f'{j^) = a ~\- ha; ■+- cd^ -+- etc.

De là résulte, eu égard aux équations (I) et (ii),

(4) . . . . />•) = f{o) -f- «0.- -+--—-+- — -+- etc.

2 o

Dans le cas particulier des logarithmes, déjà traité n" 18, on
peut poser

/■(;r) = log(l-+-x)

et, par suite, .

1

/ 7^;) = r= [— X -^ x'^ — a;^ 4- et(î.

1 -+- a;

* Partant do l'équalion générale

f{x 4- h) - f{x) = h . Mi"^ V'(-^)
et posant /« — — a, un en déduit

fU)-f{o) = x,MU'{x).

( iiô )

Cette série étant converp^cnle pour toute valeur de ;r moindre
que l'unité, on a immédiatement, par application de l'équation (4),

log(i-t-^)=j'.Mo(l — X -\' x^ — etc.) = 2; 1 etc.

2 5

Passons aux fonctions circulaires inverses arc ts^ x, arc sin x,
arc cos x, et posons d'abord

^■(,1') :r= arc tg X.
On en déduit

1

f'[x) =r= =r= I _ X- -H .T* — v^ -f- etc.

\-\'X^

Cette série est convergente pour toute valeur de j:^ moindre que
l'unité. On peut donc écrire inmiédiatement

arc tg X = X — — -+- -¥- etc.,

3 o 7

et comme ici la convergence ne cesse pas d'exister pour x = 1, on
en déduit cette ex|)rcssion remarquable du rapport de la circon-
férence au diamètre

77 1 1 I

-=:| 1 h etc.

/i- T) :> 7

Soit maintenant

j'i^x) rrrr arc sin x.
De là résulte

et, eu ('garda la formule (G) du n" 17, page 47,

( 3'^ )
Il vient donc aussi

1 x^ 1.5^^ 1 . ô . 5 x'

arc sin X = X -H — • — h 1 h- etc.:

2 5 2.45 2 . 4 . (; 7

ce qui donne pour x = -

2

1 4 1 i . 5 1 1.5.51

^ + etc.,

6. 2 2 5.2' 2.4 5.2^ 2.4.6 7.2

et pour X = 1

TT 4 1 4.51

- = 1 H — h ^ -f- etc.

2 2 5 2.4 5

On trouverait de même

TT \ x^ 4.5^"

arc cos X = x etc.

2 2 5 2.4 5

Extension (jénérale des formules établies précédemment pour tes
développements par voie d'identités et par voie de séries.

22. Considérons une fonction de plusieurs variables

Il = F(x, 2/, z^ etc.).

Quel que soit le nombre des variables engagées sous le signe F,
elles dépendent ou non les unes des autres. Dans tous les cas, on
peut introduire par la pensée une variable auxiliaire, prise pour
variable indépendante, et, afin que toutes les autres en deviennent
fonction, concevoir au besoin une ou plusieurs relations arbitraires
que Ion ne détermine point aussi longtemps qu'on le juge conve-
nable et dont pourtant il est toujours permis de disposer. Dési-
gnons par Ha variable auxiliaire prise pour variable indépendante.
La fonction a se résout en une fonction de la forme

(35)

et l'on pont lui appliquor los formulas éfnl)!i<N ci-dessus pour les
(lévclopponicnts par voie d'itlentités cl par voie de séries.

La marche à suivre restant toujours la même, bornons-nous à
prendre pour exemple la fonction

(1) z^¥{x,y),

qui peut être considérée comme représentant une surface.
Si nous posons

il vient

(2) j = F(x, 2/) = /■(»).

On a d'ailleurs, conformément aux équations (8) et (9) du n" 10,
page 54,

(5) . . A" z = ["']] f/" z -+- p^ "J^ n f/«+^ z + etc.

les différentielles d" z, d"'^^ z^ etc., étant toutes déterminées par
les formules établies dans la deuxième partie de cet ouvrage
(n<* ofi, page loO).

Supposons, pour plus de simplicité, que les relations arbitraires
X = 'j{t), y^= 'i {t) soient de la forme

.T = ft -4- htj y ^= h -¥■ ktf
et que l'on pose

dt= ^t^i.
Il en résulte

dx = Aa; = h et pour îi y \ d^'x ^=o,
dy r= ^y = k et pour ?^ > 1 d" y = o.

Convenons de représenter symboliquement par

Kâ-Ê)]".

( 30 )

ce que devient le développement de ce binôme, lorsqii'aprcs
l'avoir efTeetiié d'après la formule (1 ) du nM7, page 4G, on déplace
les exposants de la quantité dz de manière à les transformer en
indices de dérivation. Ce procédé donne en général

(h\ , dz-]'" , fd"'z\ m ( d"'z \

k — = h'" T- N- -7- ^' ^ -7-7 -+- ^t^-

dy] \dx'"l 1 \dydx'"-'l

dxl dyj \dx"'J 1 \dyd

m {m — 1 ) . . {m — 71 -h i)

1 .2.. y? \dx'"-"dy"

et l'on peut écrire en conséquence

J^m-n l^n ^ ^j^.^

4"r]['0-'{|)r

les substitutions à faire dans les dérivées du dernier terme

n'étant pas, comme pour les autres, les valeurs initiales attribuées

aux variables x, y, mais bien ces mêmes valeurs augmentées de

oh pour la première et de dk pour la seconde *. Il suit de là que,

si l'on conserve les lettres xety comme expressions des valeurs à

partir des quelles les accroissements h et A: sont comptés, on a

pour les valeurs x', y' à substituer dans les dérivées du dernier

terme

a;' = X -^ oh, y' = y -+- ok.

* a et h étant, par hypothèse , les valeurs respectives des variables a; et ?/ à
Torigine des accroissements que l'on considère, il s'ensuit qu'elles correspon-
dent à i' = 0. On a d'ailleurs a ^ = 1 . Le dernier terme de la formule (3) prend
en conséquence la forme

H-f-;)-l

[":i^-"<«).

G étant la valeur à substituer pour t dans la dérivée dont il s'agit. A cette va-
leur (le ^correspondent pour j-et pour // les valeurs respectives,

.r = a-[-0]l. 7/ae=/;-h 9/1.

( 37 )

Appliquons la formule (A) au cas particulier des difTércnces du
1" ordre. A cet effet nous ferons d'abord n^= \. Remplaçant
ensuite p par n et ^z par F (x -^ h, y -i- k) — F (x, ?/), il viendra

(^)

. F(.. -4- h, y -^ k)^V(^,y) -I- h (J) H- A: (^)

* rrr-*** — rî>=f)— * — îxj, —

On peut d'ailleurs, ainsi qu'il est aisé de le voir, remplacer
IVquation (3) par Tidentilé *

(fi) . . F{^ ^h,y + A) = F{.., y) + h ( J) + A- ('^|) + etc.

les substitutions à faire dans les dérivées placées sous le signe M„
étant respectivement oc ■+- lui, y •+- ku. On observera que l'exis-
tence des formules (4), (5), (0) est subordonnée à la condition que
les dérivées partielles qui y figurent en debors du signe M soient
toutes finies et continues à partir des valeurs x, y jusqu'aux
limites x -+-/*,?/ h- k. Pour que ces mêmes formules puissent se
transformer en séries, d'après la loi qui régit la formation des pre-
miers termes, il faut en outre que leur dernier terme converge
vers zéro à mesure que l'indice de ce terme est pris de plus en
plus grand.

Il est aisé de voir ce que deviennent les formules précédentes,
soit lorsque les valeurs x, y sont supposées nulles et qu'après les
avoir annulées dans tous les termes qui les contiennent, on rem-

* Il sudit pour cela d'opérer sur ritlentité (1) du n« 7, page 22, comme nous
rnvons fnil sur les forninles (8) et (9) du n» 10, pnge ôi.

( :)8 )

plarc par .r ci y les nccroissciiiciifs (nu^lconqno'; di'loi'minés 1i ot
hj soit plus généralement lorsque le nombre des variables est
quelconque. Un exemple suffira, celui d'une fonction de trois va-
riables V {x, y, z) = \. S'agit-il en ce cas de la formule (6)? En
désignant par / l'accroissement attribué à la variable z et donnant
aux conventions précédentes l'extension qu'elles comportent, il
vient, sous les mêmes conditions et réserves,

V[x + //, y -h k, z ■\- l)= F(.r, y, z)-\-h -~ -\- k —- -^1 — -t- etc.

dx dy dz

CHAPITRE IV.

DE LA CONTINUITÉ CONSIDÉRÉE DANS SES RAPPORTS AVEC LA
CONVERGENCE DES SÉRIES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN *.

Dérivation sons le sifjne M.

25. Soit

z = ¥{j^,y)

une fonction quelconque supposée continue entre les limites que
l'on considère. On a , généralement,

(1). . . F{s + l,,y)-F(:,,y)^hMT"F:{^,y),

et, prenant les dérivées des deux membres par rapport à y,

dy

(2). . .F;(,.^/,,)-F,;(,.,y) = Ap^(rf].

Le lecteur peut passer ce cliapiti-e, sauf à y revenii' plus lanl , s'il a quelque
intéivl à approfoiulic le stijel (jii'on v liaile.

( '>î> )

D'un autre côté, on a diroctomcnt et ronforniéniont à Téqua-
fion (I)

{^y . F;(.r -H h, y)- F>, y) = /iM:"X .(^. V) = f^T"K,i^> ?/)•

La comparaison des équations (:2) et (o) donne

,., ,(.iïr|<î^)=.,».,:,,..,,=«r-(^).

On aurait de même, en prenant de nouveau les dérivées par
rapport à y des deux membres de l'équation (i)

l(m:

(hf I

d.M

.+h d[Z{a^y y)]'

et ainsi de suite indéfiniment.

'':'/

On peut doue éei'ire, en général

;o). . . . (

cnCji^, y)

' ' L dy" J

f{x,tj) étant pris égal à la fonction désignée ci-dessus par F' (.r, y).
De là résulte la règle sui\ante :

Pour effectuer n dérivalions successives sur la valeur moyenne
(Vnne foncHon, il suffit de substituer à la fonction placée sous le
siyne M sa dérivée de l'ordre n.

Cette règle est d'un fréquent usage. On peut rétablir à priori,
comme nous l'avons fait ailleurs *, en substituant aux valeurs
moyennes que l'on considère les développements dont elles sont
les limites d'après leur définition.

Journal rjp mnfhémnfiqiicfi pures cl appliquées . \ctn\o W , IRiO.

( GO )

Conditions remplies par les séries de Taylor cl de Maclaurin
lorsqu'elles sont convergentes.

24. Consi<l(''rons une fonction quelconque
(I) y = f{s + l,).

Au lieu de s'en tenir au système des valeurs réelles que la va-
riable X comporte, on peut attribuer à cette variable une valeur
quelconque, réelle ou imaginaire, représentée par

(2) cc = p ^qS/'^^X.

Dans cette expression de la variable imaginaire, /) et q sont des
quantités réelles dont on dispose, si la variable est indépendanle,
et qui, dans tous les cas, sont considérées comme impliquant la
continuité ou la discontinuité de la variable qu'elles déterminent,
selon qu'elles demeurent toutes deux continues ou qu'elles ces-
sent de l'être, soit ensemble, soit séparément.

Posons

(5). . . . p ^ q \/ — 1 =: r(ro> 9 -+-t/— 1 sin 9).

On déduit de cette équation

(4) r cos ^ = ;) , r sin 0 = (/ .

et, par suite,

7

(o) . . . . r = Vji^ H- q- , tang 0 =

Quelles que soient les valeurs réelles p et r/, il est visible qii'on
peut toujoui's satisfaire à l'équation (5) en attribuant à /• et à B
d'autres valeurs également réelles, les valeurs fournies par les
équations {\) et (5). On ^oit en même temps que la continuité des

( <il )

quantités [Jj q iuipliquc celle des qiuuitités r, 0; et réciproque-
ment.

La quantité r, supposée toujours positive, est dite le module de
l'expression imaginaire p-\- (j^— I. L'angle 0 est dit l'uryumenl
de cette même expression. On a d'ailleui's * *

(0) . . . x= r (cos ô -f- V^^" . siu O) = rê^~^ .

Prenons x pour variable indépendante imaginaire. Rempla-
çons-la dans f\h-^x) par re^*^~\ et, mettant en évidence les
parties réelles et les parties imaginaires , effectuons leur sépara-
tion dans l'équation symbolique

(7) . . . . /•(/i-f-re^*^'^) = î>(r,ô)-t-ï/^=lç^(r,ô).
Concevons en outre que l'argument 0 varie continûment de 0

Cela posé, si les fonctions y(>\,0), ^{r, o) restent finies et
réelles et qu'elles ne changent point brusquement de détermina-
tion numérique pour toutes valeurs du module comprises entre
deux limites quelconques déterminées, la fonction /'(/*H-x)est
et demeure continue entre ces mêmes limites. Dans le cas con-
traire, il y a discontinuité sinon pour les valeurs réelles, du moins
pour les valeurs imaginaires.

La séparation effectuée dans léquation (7) peut offrir quelque
dilïiculté. Néanmoins elle est toujours possible. S'agit-il seulement
des fonctions développables en séries convergentes suivant les
formules de Taylor ou de Maclaurin? Rien de plus simple que de
constater à priori la possibilité de la séparation. En effet on a , par
hypothèse **,

(8) . . . . /'( h -h x) = a -i- hx -+- cx"^ -v- etc.

' Voir au besoin le chapitre VI, ii" 55 et suivants, pour la théorie des quan-
tités imaginaires et le sens cpii s'attache à leur emploi.

Si le cléYelopi)ement eft'eclué en série d'après la formule de Taylor se pré-
sente d'abord sous la forme

h h^

l\x -4- h) = l\x) H- - f'{d) + — /"(.r) + etc.,

( 02 )
De là résulte

f{h -4- re^^'~') =^ a + bre'^^' -^ crh'^^~' -4- ete.,

c'est-à-dire en remplaçant e"^ *^-'par cos nO -+- V^— I sin y<o,

( 6f -f- br cos 9 -4- CT^ cos "20 -4- etc.

11 vient donc
(9). . . \[r, 0) = a -h br cos 0 m- cr^ cos ":>9 -*- etc.
(10). . . ^(r, 0) = br sin 9 -4- cY^ sin 29 -+- etc.

Prenons dans la série (8) un terme assez éloigné du premier
pour qu'il devienne aussi petit qu'on vcut,elquen outie les termes
suivants soient tous de plus en plus petits à mesure qu'ils s'éloi-
gnent davantage. Deux cas sont possibles selon que ces termes
ont un seul et même signe, ou qu'au contraire, leurs signes ne
cessent pas d alterner suivant une loi quelconque.

Dans le premier cas, il est visible que la convergence de la
série (8) implique celle des séries (9) et (10) et par conséquent
la continuité des fonctions ^(r, s), -d^lr, S) pour toute l'étendue de
l'intervalle ])récédemment indiqué.

Dans le second cas, la même conséquence subsiste, à cela près
que la continuité peut s'étendre, d'un (ôté, jusquà une certaine
limite supérieure, tandis que de l'autre côté, cette même limite
devrait être exclue. Soit en effet x=ji'i la plus grande des valeurs
pour lesquelles la série (8) ne cesse pas d'être convergente. Repré-
sentons par px'l le terme désigné ci-dessus comme satisfaisant à
la double condition d'être aussi petit qu'on veut et de n'avoir
après lui que des termes supposés de plus en plus petits à mesure

il suflil cKy i'em[)lacei' h par x et x par h pour lui donner celte auli-e forme,

fil, -+- X) = /•{/>) -+- j /'[h) -t- ~ l"{h) -4- CIC.

( 03 )

qu'ils s'éloignent davantage. Si nous icinplaçons la \ ariable x par
/^-Xj, f/ étant une fraction, et que nous prenions positivement tous
les ternies compris dans la suite infinie

p^'" -+- qjû"'^^ -4- etc. ,

il est clair que nous pouvons écrire

y."

p{y.^iY 4- (/(pt*-,)""^' -4- etc. <p^;'[p." -f- ^a"-^* -4- etc.]< — ^^ — w^«.

I — a

Or, si rapprochée de 1 que soit la fraction ^, on |)cut toujours
prendre le nombre n assez grand pour rendre la quantité
~ — px't aussi petite qu on veut. 11 sensuit que si l'une ou l'autre

1 fx,

des séries (î)) et (10) cessait d'être convergente pour x = Xi (les
termes n'y changeant pas de signe comme dans la série (8)), il
sufiirait, pour rétablir la convergence, d'attribuer à r une valeur
quelconque ax, moindre que j-, *.

Concluons que dans toute fonction développable en série con-
vergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la va-
riable la continuité subsiste nécessairement à partir de r = o pour
toute valeur inférieure à une certaine lijuite R.

^a. Indépendanniient de la conlinuité ((iii subsiste pour cha-
cune des deux fonctions f(r,'j}, -4^(1', b), il} a lieu d'observer que
ces mêmes fonctions remplissent en outre certaines conditions
particulières plus ou moins remarquables. La principale consiste

" Voici un exemple de ce cas. Oi) a, comme nous Ta vous vu au ii« 18, [)age 48,

f<x) — \o'^{\-\-x) = x ^-t-— - t^tt^M

et celte série ne cesse i)as d'èlre convergente pour x= \ Si l'on pose 0 = t
dans la série (9), correspondante au eas dont il s'agit, il vient

f{r, 0) = _ r - ^ - -^ — etc. = log(l— r),

et cette série, qui devient divergente pour /• = !, reste convergente pour toute
valeur de r inférieure à l'unité.

( ti'- )
Cil ce (iirt'lk's l'cpi'cmiciit iiièiiics valeurs aux deux limites ô^= o,
ô^^'-Itz, h est visible en effet que l'on a toujours et néeessaiiejiicnt

Voilà donc une condition nouvelle, tout à fait distincte de la
première et résultant comme elle de ce que la fonction don-
née f(li H- x) est développable en série convergente ordonnée
suivant les puissances entières et positives de la variable x. Celte
condition en implique une autre qu'il convient d'indiquer, non pas
seulement parce ([u'ellc est curieuse, mais surtout à raison du
jour qu'elle jette sur les déductions ultérieures.

Imaginons qu'on prenne pour facteur l'expression imaginaire

( 1 ) . . . e-"^ ^'~' = cos iiQ — V~^ sin nd,

cl qu'on multiplie par ce facteur les deux membres de léquation

(2) . . AA>f-r.^^~») = ^(r,6) + ï/':=l^(r,0);

il vient

(5) e~"^ ^-"^ f{h -+- re^y^') == f (r, O) cos nO -4- ^ (r, 0) sin nO
— - V^— 1 [v (/•_, e) sin ne — ^ {)', e) cos m].

On a d'ailleurs, comme au n''24,

[ ^ (r, 0) --= a -f- 6>- cos 6 -t- c>''^ cos 20 -+- etc.,
^ ^ * * ( ^ (r, e) = 6r sin ô -+- cr^ sin 2o h- etc.

De là résulte, en substituant ces valeurs dans Féquation (3) et en
réduisant

1a cos nQ ■+- hr cos [n — \)(^)
H- r>''^cos {n — 2)0 H- etc.,
vv V. ,,..-... /— , -^ />'•" -+- 7'-"+* oos 0 -h etc.,

-V — 1 I H-cr^sin(M— 2)ô4-etc.,
( 4- 0 — (//•"■^' sin 0— etc.

( «:> )

Cela posé, si l'on observe que, pour toute valeur entière du
nombre m, l'on a généralement et évidemment

(0) . . Mo cosma; = o, M,, sinmx = o;

il s'ensuit que la convergence des séries qui figurent dans le se-
cond membre de l'équation (5), implique comme conséquence
nécessaire le résultat suivant :

(7) . MTe-''^^~f{h-^re^^ = Ml''p.r'' = p.r\

Prenons, de part et d'autre, dans chacun des membres de
l'équation (7), la dérivée de l'ordre n par rapport à r. En vertu
de la règle du n" 25 , page 59 , il faut , pour le premier membre ,
substituer à la fonction /[h -+-re^l^~*), la dérivée de l'ordre m,
e'*^^-*/"(^' -t-re^*^~'). La dérivée du second membre est d'ailleurs
i , 2... /i ./>. Il vient donc

(8) . . . MTp{h -^re'^^^)=i.^...n.p.

L'équation (8), où le second membre est indépendant de r, mon-
tre que le premier n'en peut pas dépendre. Il est donc permis de
poser r = o et d'écrire, en conséquence,

(9) t^== ' ^

1 . 2 . . . /i

De là résulte, en prenant successivement pour n les valeurs
4,2,5, etc.,

(10) . I\h -4- X) = /\h) H- jf'W -+- ^^ r W -^ etc.

On voit ainsi comment la formule de Taylor peut s'établir à
priori par la considération des imaginaires, les coeflicients qui se
succèdent dans la série convergente

f{x ■+- h) = a -+- 6x -*- cx^ H- dx^ ■+- etc.,

ne pouvant avoir d'autres valeurs que celles qui leur sont assi-
gnées parla loi de formation qui les régit dans celte même fornudc.
Tome XV. 5

( 0(i )

En restreignant au plus petit nombre possible les conditions
qu'une fonction doit remplir pour être développable en série con-
vergente suivant la formule de Ta} lor ou suivant celle de Maclau-
rin, nous voyons, d'après ce qui précède, qu'il en faut au moins
deux.

La première consiste en ce que la continuité doit subsister à
partir de r =o, pour toute valeur du module inférieure à une
certaine limite R.

La seconde exige que, dans cet intervallej chacune des fonctions
y(r,0), \p (r,0) prenne pour ô=^7z même valeur que poure = 0.

Ces conditions nécessaires étant supposées remplies, nous
allons démontrer qu'elles sont suffisantes.

Conditions à remplir pour qu'une fonction soit développable en
série convergente suivant un des types réductibles aux formules
de Taylor et de Maclaurin.

26. Théorème. — Toute fonction est développable en série con-
vergente suivant la formule de l^aylor ou de Maclaurin, tant
que le module de la variable reste moindre que la plus petite des
valeurs pour lesquelles la fonction cesse d'être continue ou de
prendre mêmes valeurs aux deux limites 6 = 0, ô=27r *.

Soit une fonction continue
(1) y = f{h-^xy

Remplaçant x par re ^'~^, on peut écrire

* Ce théorème imporlaiit a été donné , pour la première fois , par M. Cauchy,
sous une forme qui laissait prise à quelque incertitude. Nous avons cru devoir
en modifier l'énoncé pour lui restituer toute la rigueur et toute la généralité
qu'il comporte. (Voir le Journal de mathématiques pures et appliquées, tomeXI,
1846, et tome XII, 18i7.) M. Maximilicn Marie a rencontré cette même ques-
tion dans sâ Nouvelle t/icorie des fonctions de variables imaginaires. Il rectifie
ce (\ue les énoncés antérieurs avaient de vicieux et s'accorde avec M. ïchebi-
clielV et moi sur le point principal. (Voir le Journal déjà cité , deuxième série,
1" tome V (1860), n^^ 97 et 98; 2' tome VI (1861). Note finale).

( ^>7 )
(2) . . . I\h -+- re^y~') =- P -+- Q V^.

Considérons le produit
équivalent à

(P -+- Q V— \) (cos m — V — \ sin nB),

et dans lequel ?i est un nombre entier positif.

La dérivée de ce produit, prise par rapport à l'argument 0, est

Supposons que chacune des fonctions réelles P et Q prenne
mêmes valeurs respectives aux deuxlimites0 = O, 0==27r et qu'elle
ne cesse pas d'être continûment variable entre ces mêmes limites.
Il s'ensuit que le produit e~"^^^~'/('* "♦- ^*e^^~*) remplit ces mêriies
conditions, et que l'égalité subsistant entre la difféi'ence

g-2nr \,^^ ly^ ^ ^.^2^ k~) _ [[h -f- r) = 0

et l'expression

iT »/ - 1 M. j _ ^^^_,,^ ^_ ^^^^ ^ ^_^_,^_^ ^

implique, comme conséquence, l'équation suivante :

Posons , pour simplifier,

(4) . . . F(r) = ]\Ce-"^^~./'(A -f-re'^l-^^).

( <i« )
Il cil résulte, coiirorméinciil à la règle du n" ^5, |)ai5e 51),

(5) . . . r{r) = MTe-^'^~'^^^'^.r(h-^re^y^),

et, substituant dans l'équation (5) les valeurs fournies par les équa-
tions (4) et (5),

(ti) >nr) = HF(r).

Opérons sur l'équation (0) et sur celles qui s'en déduisent, en
prenant les dérivées des deux membres par rapport à r. On trouve
ainsi

/ rV" r =(/t-l)F'(r),

rF"' (,•) = («- 2) F"(r),

(7) '

I rF"-'(r) = 2.F"-'(r).
\rF" (r)=l.F"-'(r),

et, en dernier lieu,

(8) . : . . . . ..F"*'(r) = o.

L'équation (8) n'étant possible qu'autant que la dérivée de Tor-
dre n, F"(r), est une quantité constante, on a nécessairement

(9) F"(/) = cons^

Si , d'ailleurs , on multiplie membre à membre les équations (6)
et (7), il vient

(10) .... /F"(/) = 1.2...w.F(r),

et, eu égard à l'équation (9),

(11) FM=C.,».

C étant une constante.

Substituons dans l'équation (4) la valeur fournie par l'équa-
tion (1 1). On a , comme conséquence des déductions qui précèdent,

(12) . . i:r" = MTt--^''^y'=^.f{h-^re^^~).

( <iî> )

Cela posé, imaginons que k' module r puisse varier depuis o
jusqu'à une certaine limite R sans que les fonctions P et Q cessent
de remplir les conditions précédemment indiquées. En ce cas, la
constante C conserve, pour tout cet intervalle, une seule et même
valeur; il vient donc, en prenant la dérivée de Tordre n par rap-
port à r,

1 . 2 . . . ?i . C =- M'7 r [h -+- re^ ^- ' ).

Le premier membre de cette équation étant indépendant de r,
il s'ensuit que le second n'en dépend pas non plus , et qu'on peut
y poser 7== o, sans en changer la valeur. De là résulte

\ .'2...n

Cette valeur transportée dans l'équation (12) donne, en remplaçant
r par R,

(^5) . -i;^

1.2... M R"

Considérons la série

(14) f{h) ^- X ^ -.- X' ^ -.- etc. H- X» ;j^Ç^ + «t^-

et désignons par P', Q' les valeurs maxima affectées parles fonc-
tions P et Q, lorsqu'on y remplace r par R et qu'on fait varier
l'argument o depuis o jusqu'à 2t. On a évidemment*,

(lo)Mre-"^^^/'(//-4Re^^^=*)=Mr(Pcosn0-t-Qsin/iO)<P'-4-Q'.

* L'équation (13) exige que la partie imaginaire du produit
g-nS l/~^(/i ^ He^ V'~ = (P -i- Q V— i ) (cos nQ — V—'i . sin nB)
s'évanouisse dans la moyenne

H en résulte que la partie réelle représentée généralement par le binôme
P cos ?i9 -t- Q sin nQ est la seule que Ton ait à considérer dans la formation de
cette même moyenne.

( 70 )

Remarquons en outre que, pnr hypolïièse, les quantités P' et
Q' sont néeessairement finies.

En vertu de l'équation (15) et de l'inégalité (15), la série (14) est
nécessairement eonvergente pour toute valeur de la variable x
inférieure à R. La conséquence évidente est qu'on peut écrire,
suivant la formule de Taylor,

(16) . /\h + X) = /•(/») + ^ r(h) + ^ r(h) + etc.

Si d'ailleurs on pose

f'(x~^h) = ¥{x),
ce qui donne en général

r{h) = r{o),

il est visible qu'il y a identité entre la formule (10) et cette autre
formule dite de Madaurin

2 u

F(x) = F(o)-+- ^ F'(o)-+- ^ F"(o) -H etc. h- — ^ F"(o) -f- etc.

Résumant ce qui précède, nous sommes en droit de conclure
que les deux conditions énoncées à la fin du n" 25, page GO, et
reconnues nécessaires pour la possibilité du développement, sont
en même temps suffisantes. De là résulte le théorème qu'il s'agis-
sait de démontrer, et qu'on peut compléter comme il suit :

Toute fonction est développahle en série convergente y suivant
la formule de Taylor onde Madaurin, tcmt que le module de la
variable reste moindre que la pins petite des valeurs pour les-
quelles la fonction cesse d'être continue ou de prendre même va-
leur aux deux limites 4=^0, 9 = 2t. Lorsqiio^i dépasse ta plus
petite de ces valeurs , la série devient divergente *.

* II est bien entendu que la fonction considérée est censée n'admettre pour
chaque valeur de la variable qu'une valeur uni([ue, correspondante à une
branche distincte et isolée. C'est cette valeur qui, par hypothèse, concourt ex-
chisivement à la foimalion de tons les coelïicients de la série.

( 71 )

27. Les rcsnltats qui précèdent comportent une extension qu'il
convient d'indiquer.

1"^ Cas. — La condition relative aux deux limites 0-=O,5 = !27t
étant supposée remplie, il peut arriver que la continuité cesse
lorsque le module s'annule. En ce cas , si l'on prend au lieu de la
fonction le produit de cette fonction par une certaine puissance
de la variable et que l'on pose, par exemple,

la première condition ne cessera pas d'être remplie. On voit en
outre que la fonction F (a?) sera continue en même temps que
l\x-\- h) et pourra l'être encore pour r = o. Il viendra donc, en
admettant que l'exposant n soit convenablement déterminé ,

2

x^t\h + x) = F(o) -^- I F'(o) + ^ F"(o) -h etc.,
et Ton peut en déduire

^-(«-1) ^-(«-2)

l\x H- h) = x-'T{o) H F'(o) H ^—^"(o) -t- etc.

2'"*' Cas. — Les fonctions P et Q ne prenant pas mêmes valeurs
respectives aux deux limites B = o, dr=^r, cette condition peut
avoir lieu aux deux limites B =o, e = %m:. En ce cas, tous les
calculs, tous les raisonnements qui précèdent demeurent applica-
bles, pourvu que l'on remplace 2t par 2»iT, et l'équation (8) du
n" 24, page 61 , par l'équation suivante :

J. 1.

(i). . . . /"(/j -H x) = a -+- hx"" H- ex'" -+- etc.

Posons

(2) X = II'"

et

(3) nu) ^ f(h -4- «'"),

11 vient

F(?/) = r/ ^- Jni ■+- cit^ -\- etc.

( 72 )

P.nr hypoUièso, la série (( h- />?/ -+- cu'^-i-, etc. , est eonvergenle a
partir de u = o. On a donc, conformément à ce qui précède,

f/ = F(o), hr=F(o), c==F'(o), etc.
De là résulte

1 X'"

f(h + x) = T(t() = F(o) 4- .T"'F'(o) -I -^"(o) -4- etc.

5"''' Cas. — En admettant les mêmes choses qu'au cas précé-
dent, supposons en outre qne pour établir la continuité à partir

de 0, il faille multiplier f{x h- h) par a*". Si l'on pose, comme tout
à l'heure,

et

n

x^f(li H- .r) = X(îO ,
il viendra d'abord,

X(,0 = X(o) -4- ^ X'(o) -4- -^^ X"(o) -f- etc. ,

et, par suite,

j

M — 1 n — î

X '" _., . X

f{h ^x) = x '". X(o) -4- -j- X\o) ^ -jj-^»

etc.

Le théorème du n'' 20 se trouvant ainsi généralisé, nous dirons
maintenant :

Toute fonction est développable en série convergente suivant
nn des types réductibles aux formules de Taylor oude Maclatirin,
tant que le module de la varial)le reste moindre que la plus petite
des valeurs pour laquelle le produit de la fonction, par une cer-
taine puissance de la varialAe, cesse d'être continu ou de prendre
même valeur aux deux limites e^^a, 0 = 2m:r.

(73)

Ajoutons que le nombre m se détermine par la condition des
limites et la puissance - de la variable par la condition de conti-
nuité à l'origine des valeurs du module.

28. Les considérations développées ci-dessus s'appliquent de la
même manière au développement des fonctions en séries couver-
i^entes ordonnées suivant les puissances descendantes de la varia-
ble. Bornons-nous au cas le plus simple, celui où la fonction don-
née f{h -+- x) reste continue et satisfait en outre à la condition des
limites pour toute valeur du module supérieure à une certaine
quantité R.

Si l'on pose

1

X = —

II

et

f{h^x) = f[^h-^^j^F{u),

de même qu'en remplaçant x par re^^''~\ l'on a, par bypotbèse,
f\h -^x)=-^ f{h -4- ré^~' ) = P -+- Q V^^^;

de même, en remplaçant ti par î-'e^^^^-*^= 1 e^^'^^il vient néces-
sairement (le signe du radical étant seul changé)

La conséquence est que, pour toute valeur du module r' infé-
Heure à^, la fonction F («) reste continue et prend même valeur
aux deux limites ô = o, 0 = 27r. Il suit delà qu'on peut écrire im-
médiatement

F{ff) == F(o) -+- ^ F'(o) -f- -^ F"(o) -f- etc.
et, par suite,

f(h + X) = F(o) + ^-^ F -(o) + ^ F" {«) + etc.

( 74 )

2î). Terminons ce sujet par mie application particulière, et pro-
posons-nous, pour exemple , de recliereher dans quels cas la fonc-
tion (! -+- x)"' peut être développée en série convergente suivant
les formules de Taylor et Maclaurin *.

En remplaçant la variable x par re^^* ~', l'on a

(i H- x)'" = [1 -+- re^y~^]'" = [1 -+- r cos e -\- V^l.r sin 0]'".

Faisons
(1). . . 1 -4- r cos 9 = p cos «, r sin d =^ o sin a;
il vient
(2) (1 -f-x)"'=^p'" [cos a -f-l/— 1 sin «]'" =p"'(cosma -4-l/— I sin ?>îa).

et l'on a en même temps

?• sin 6

(5). . p = V^l -f- r^ H- 2r cos e,

(4).

1 -+- r cos ^
De là résulte

r sin 0

1 -\- r cos

et, par suite,

?'(r -h cos 9)

La moindre valeur du trinôme lH-r^-f-2r cos 0 est évidemment
celle qui correspond à 9 = 7r, c'est-à-dire (1 — r)*. Elle n'est jamais
inférieure à zéro.

* La dlstinclion établie entre ces deux formules est plus apparente que

' 11 I , ' . . »«(»» — 1 ) «
réelle. Le développement 4 -+■ mœ -\ œ^ -+• etc., pouvant être con-

1.2

sidéré comme effe tué suivant la formule de Taylor ou suivant la formule de
Maclaurin, selon que l'on représente par /"(I-hj') ou par F(^) la fonction
donnée (i-t-a?)".

( 75 )

Cola pose, soit d'abord

r<l.

La simple inspection des équations (4) et (5) met en évidence
les résultats suivants :

L'angle e croissant à partir de zéro jusqu'à Stt, désignons par ô'
et e" les valeurs de cet angle comprises, l'une dans le deuxième
quadrant, l'autre dans le troisième, et déterminées toutes deux
par l'équation de condition

cos ^ = — r.

L'angle a supposé nul pour 6 == o croît jusqu'à la valeur
aretgr— ^== comprise dans le premier quadrant et correspondante
à 0= 9'. 11 décroît ensuite et s'annule pour 0 = tt. De 0 = tt à â=2r
l'angle a prend négativement les valeurs qu'il a prises positivement
de â = 0 à 0 =• 77. Il décroît ainsi jusqu'à la valeur arc tg . ~

comprise entre o et — |^ et correspondante a e = o". Il croît en-
suite jusqu'à s'annuler de nouveau pour S = 2t.

Il suit de là, conformément aux équations (2) et(5), que, quelque
soit l'exposant m entier ou fractionnaire, positif ou négatif, la
fonction (1 -+- x)"* ne cesse pas d'être continue et de prendre même
valeur aux deux limites ô = o, 0 = :27r. Elle est donc développable
en série convergente d'après la formule de Taylor ou de Maclau-
rin, pour toute valeur de x inférieure à l'unité.

Soit maintenant

r> 1.

En procédant, comme tout à l'heure, on reconnaît d'abord que
l'angle a ne cesse pas de croître avec l'angle e. On voit ensuite qu'il
passe en même temps que 0 par les valeurs o, tt, Stt. Il suit de là
que la continuité subsiste en général, mais que la condition des
limites cesse d'être remplie pour toute valeur fractionnaire de
l'exposant m. La conséquence est que la série devient divergente,
lorsque, l'exposant m étant fractionnaire, on attribue à x une va-
leur plus grande que l'unité.

Soit, en dernier lieu,

r = 1.

(7C )
L'équation (.'i) se réduisant à

f/a = - lie.

on voit que l'angle a croît avec e et moitié moins vite. De là résulte
généralement

6

On a d'ailleurs

sin 0 = 0 sin «.

On voit donc aussi que la quantité o change de signe en passant
par zéro pour ôr^r^r. Positive d'abord , elle devient ensuite et reste
négative.

En s'annula nt pour o ^=77 la quantité p interrompt la continuité
toutes les fois que l'exposant m est négatif. Elle la laisse subsister
dans le cas contraire. On voit en outre que la condition des limites
ne cesse pas d'être remplie pour toute valeur entière et positive
de l'exposant m, les deux facteurs p'" et cos «la prenant tous deux
même signe et conservant chacun même valeur absolue aux deux
limites :5c = o, a = ;r. Il suit de là que c'est exclusivement dans le
cas où l'exposant m est entier et positif que la série subsiste pour
des valeurs de la variable plus grandes que l'unité. Ce cas est aussi
le seul où la variable r peut, en croissant à partir de zéro, franchir
la valeur 1 sans solution de continuité. Lorsque l'exposant m est
négatif, la fonction (1 ■+- a;)"* prend la forme J pour r = \ et 5 =^t.
Lorsqu'il est fractionnaire et qu'on passe, pour ô = 2::, d'une
valeur de la variable r, moindre que l'unité, à une valeur plus
grande que l'unité, les valeurs correspondantes de la fonction
(l -♦- x)'" sont respectivement (i -h r)"' et ( 1 -h r)'" [cos 2//ir
~h V — 1 sin 2m7r] *. On voit donc qu'elles subissent nécessaire-
ment un cbangement bnisque de détermination.

* Ne pas perdre de vue que, par hypothèse, m est tVaetioniiaire et qu'en gé-
néral , les valeurs de l'angle ûi qui correspondent à 0 = î2t sont respectivement
0 ou:2'r, selon que le module/- esl plus petit ou plus grand (pie Punité.

(77)

CHAPITRE V.

THKOIUE GE.NEUALE DES iMAXIMA ET iMliMiMA.

50. Aous avons déjà vu ce qu'on entend par valeur maxhna ou
minlma d'une (juantité continûment variable. La valeur maxlma
se distingue et se caractérise en ce ([u'elle est plus grande que
celles qui la précèdent et la suivent immédiatement. L'inverse a
lieu pour la valeur mhiimu : ce qui la distingue et la caractérise,
c'est qu'elle est plus petite que celles qui s'y rattachent, de part
et d'autre, par voie de succession continue. A la quantité qui varie
substituons, par la pensée, le segment de droite qui la représente
comme équivalent numérique. Pour que ce segment prenne une
valeur maxitna ou mini ma ^ il faut que la vitesse du j)oint qui le
décrit change de sens, devenant négative de positive qu'elle était
ou cessant d'être négative pour devenir positive. La conséquence
évidente est que les valeurs muxima ou minima d'une fonction
correspondent aux changements de signes de la fonction dérivée,
les uns impliquant les autres et réciproquement.

En général, la continuité subsiste et si la dérivée change de signe
c'est en passant par zéro. Ce sera donc, le plus souvent , en égalant
à zéro la fonction dérivée qu'on déterminera les valeurs de la va-
riable qui rendent maximct ou minima la fonction primitive. Déjà
nous avons traité celte question en procédant à priori et d'une
manière directe. Résolvons-la de nouveau en nous appuyant sur la
formule 1 du n^ 7, page 22.

Soit une fonction quelconque *

( 7S )

on suppose que, pour uue valeur a de la variable x, une ou plu-
sieurs des dérivées successives f'(x)^ l"[^)') /" (^)î ^t^'-? s'annu-
lent en même temps, la première de celles qui ne s'annulent pas
étant la dérivée de l'ordre n, f''\x).

Désignons par h une quantité quelconque prise positivement
et aussi petite qu'on veut.

Si dans la formule (1) des numéros 7 ou 10, pages 22 et 44, on
remplace n par n — l,a; par a, et (ju'on ait égard à l'égalité

MT'\z — xf-'f\a;) = IV^-'mI(\ — uY-'p\a -+- ah),
on a, en général, l'identité

(1). A» -t- '') - /■(«) = ,72;:^'zrr) ^'» (* - »)"-7"(«+ "'O,

et, par suite,

(2). lia - h) - /•(„) =. :~^Y^) '^'» '' ^ "'""'/'"'" " "'**■

Cela posé, voici les conséquences pour toute valeur de h infé-
rieure à une certaine limite :

1° La quantité /'"(a) donne son signe à chacune des deux fonc-
tions

m; (1 — uY-'f"(a -+- uh), mI (I — uf^'f'\u — îih).

2** Les différences /"(«-+- h) — f{cf), /'{a — h) — /(«) sont toutes
deux de même signe ou de signe contraire, selon que l'indice n
est pair ou impair.

3** Pour que la valeur a de la variable x rende maxima ou mi-
nima la valeur correspondante /\(f) , il faut qu'elle annule la déri-
vée première /'(x), et, si elle annule en même temps la dérivée
seconde /""(x) , il faut que la première des dérivées successives
qu'elle n'annule point soit dordre pair.

( 7y )

¥ En admellant que la valeur a de la variable x annule la déri-
vée f'{x) et que la première des dérivées suivantes qu'elle n'an-
nule point soit d'ordre pair, la valeur /\a) est maxima ou miuima
selon que cette dérivée d'ordre pair est négative ou positive pour
x=a.

Concluons (jue la marche à suivre, pour déterminer les valeurs
miuima ou maxima d'une fonction quelconque

consiste, en général, à résoudre l'équation

f\x) = o,

et, si cette équation admet des racines réelles, à s'assurer, pour
chacune, que la première des dérivées successives qu'elle n'annule
point est de rang pair. La substitution se fait d'abord dans la dé-
rivée seconde /'"{x), puis, s'il y a lieu, dans les dérivées suivantes,
jusqu'à celle qui ne s'annule point. D'après l'ordre et le signe de
cette dernière dérivée, on juge s'il y a ou non maximum ou mini-
mum y et lequel des deux, le tout conformément aux indications
précédentes.

51. Lorsqu'il s'agit d'appliquer la théorie qui précède, il est
souvent plus simple de s'en tenir exclusivement à la considéra-
tion de la dérivée première et de rechercher, en opérant sur elle,
si elle change ou non de signe en passant par zéro. Cela revient
à considérer la formule générale

(1). . . . f(aàzh)--f{a) = ±imlf'{adzuh).

On voit par cette formule, ainsi que nous l'avons montré
d'abord par un simple raisonnement, que la condition du maxi-
mum et du minimum se réduit à ce que la dérivée change de

( 8(. )

signe en passant par la valeur /'(«). 11 y a maximum ou mini-
mum, selon que te changement a lieu du positif au négatif, ou
inversement.

L'emploi de la formule (1) ou, ce qui revient au même, la re-
cherche des valeurs de la variahlc auxquelles correspondent des
changements de signe de la fonction dérivée présente l'avantage
d'être applicahle à tous les cas possihles. En général, avons- nous
dit, la continuité suhsisle, et si la dérivée change de signe, c'est
en passant par zéro. 11 est des cas, cependant, où la fonction
reste continue sans qu'il en soit de même de sa dérivée, celle-ci
pouvant changer de signe en passant par la forme ^ ou même
sans passer par celte forme et sans s'annuler.

En posant et résolvant l'équation

i _

on détermine les valeurs de la variahle auxquelles correspon-
dent les changeiuents de signe que la dérivée peut subir en pas-
sant par la forme J. Il suflit ensuite de recourir à ré([uation (I)
pour reconnaître si ce passage est ou non accompagné d'un chan-
gement de signe, et, par conséquent, s'il y a ou non maximum
ou minimum dans la valeur correspondante de la fonction
donnée.

La détermination des valeurs que la variable ne peut franchir
sans que la fonction dérivée change de signe semble se compliquer
et devenir trcs-dinicile, lorsque le changement de signe ne corres-
l)ond pas au passage par zéro ou par linfini. En général , les dilH-
cultes ne sont point considérables et, presque toujours, il suffit
d'une étude attentive sur la dérivée pour résoudre complètement
la question des valeurs maxima et minima de la fonction que l'on
considère.

oî2. La fonction dont on cherche les valeurs maxima ou mi-
nima peut être implicite et déterminée par plusieurs équations
fcinmltanées. Rien n'est changé pour cela dans les règles à suivre :

( «I )

le calcul seul devient plus compliqué. Soit , pour exemple , une
fonction z déterminée par les deux équations

(1). . . . V{x, y, z) = o, f{x, tj, z) =0.

On en déduit

dF dF dy dF dz

(2). . . .

dx dy dx dz dx

0.

(5). . . .

df df dy df dz
dx dy dx dz dx

= 0.

Posons

dz

dx

et éliminons -/ . 11 vient

dx

(4).

dF df _ dF df
dx dy dy dx

La combinaison des équations (1) et (4) détermine les valeurs
cherchées pour Xj ?/, ;:. Le reste s'achève , soit en différenciant les
équations (2) et (5) de manière à obtenir la valeur de la dérivée se-
conde 1 ^] , soit en déduisant de ces mêmes équations la valeur
générale de la dérivée première— . Dans un cas comme dans
l'autre on applique les principes exposés ci-dessus et Ton recon-
naît s'il y a maximum ou minimum.

Soit encore, pour exemple, une fonction u déterminée par les
trois équations

(5). . F(x, y, z, u) = 0, f{x, y, z, u) = o, '^(x, y, z, u) = o.

En opérant comme tout à l'heure et posant -^ = 0, on a
Tome XV. (>

( 8-> )

d'abord

dF dF dy dF dz _
dx dy dx dz dx '

(7). 'L+'l.'!i^K.'li^o

dx dy dx dz dx '

d(j> df dy d'f dz
dx dy dx dz dx

II reste ensuite à éliminer les quantités -j^ gI-^ de manière
à obtenir l'équation de condition qui s'ajoute aux équations (5) et
fixe avec elles les valeurs cherchées pour les variables Xjy, z, u.
Indiquons à cet effet un procédé d'élimination, souvent plus avan-
tageux que le procédé direct.

Après avoir multiplié l'équation (7) par le facteur / et l'équa-
tion (8) par le facteur f/ , ajoutons membre à membre les équa-
tions (6) (7) (8) et égalons à zéro les coelTicicnts des quantités
-r-. -F^ . De là résulte

dx ' dx

dF _df d'y

dx dx ' dx '

dF df (/y

(W df df

et l'équation de condition cherchée s'obtient en éliminant / et p.
entre les équations (9), (10), (il).

Le reste s'achève comme nous l'avons dit cî-dcssus.

53. Considérons le cas où la fonction donnée dépend de plu-
sieurs variables. Ainsi que nous l'avons déjà fait voir et que ûous
l'avons rappelé au n*' 22, page 54, le cas général se ramène très-
simplement à celui d'une seule variable indépendante. Il sufîit pour
cela d'introduire, par la pensée, une variable auxiliaire prise pour
variable indéi)endante; et, afin que toutes les autres en devien-

( 83 )

nent fonction, de concevoir au besoin une ou plusieurs relations
arbitraires que l'on ne détermine point aussi longtemps qu'on le
juge convenable et dont, pourtant, il est toujours permis de dis-
poser.

Soit , pour exemple , une fonction de deux variables

(I) z = F{x,y).

Désignons par t la variable auxiliaire prise pour variable indé-
pendante et posons

x = f(t), y^m-

Il vient

z = ^x,y)=f{t),

La condition du maximum ou du minimum exigeant, en géné-
ral, que la dérivée f\t) soit égale à zéro, on a d'abord,

(^> no=|/w-Jfw=o.

Or, s'il s'agit A\\n maximum ou d'un î?u*y«'my^«i absolu de la
fonction z, il faut que la relation (2) subsiste indéj)endammcnt
de toute détermination particulière des fonctions arbitraires r^{t)
\h{t). Il en résulte que cette relation implique les deux équations
simultanées,

(o). . . ¥X^,y)= — = o, Vy{x,y) = ~ = o,

et que de là se déduisent les valeurs des variables x, y suscepti-
bles de rendre maxima ou minima les valeurs correspondantes
de la fonction.

Les valeurs fournies par les équations (3) exigeant, en certains
cas, qu'on les substitue dans les dérivées successives /""(O*
f'"\t) , etc., il vient d'abord

( 8i )

Observons que la dérivée seconde f"[t) se présente ici sous
une forme particulière. Cette forme est précisément celle qu'elle
affecte, en général, lorsque, disposant jusqu'à un certain point
des fonctions f{i)^ -d^if), on les suppose toutes deux linéaires, c'est-
à-dire du premier degré en t. La même simplification se repro-
duirait pour la dérivée troisième /'"'(O? ^^ ^^^ valeurs déduites des
équations (3) annulaient les dérivées partielles

te/' [dx.dyl' \dyy'

dyl \dy'

et, ainsi de suite, pour toutes les dérivées successives.

Cela posé, on voit qu'en ce qui concerne les substitutions à faire
dans la suite des dérivées /"(O? /'"(O? ^^c-' i^ ^^^ permis de sup-
primer d'avance les termes où figurent les coeflicients différen-
tiels ^"(0' '^Z^' (0' ^"'(Oî ■^' '(0> ^^^' ^' ^'"^ suppression est permise,
en même temps que la substitution devient nécessaire, c'est parce
que chacun de ces termes se trouve affecté d'un facteur qui s'éva-
nouit, et non point, parce qu'on dispose en aucune façon des
fonctions arbitraires ç(/), ■4^{t). On parvient au même résultat lors-
qu'on traite à priori les dérivées y'(/), -d^^t) comme des quantités
constantes, et tel est le point de vue auquel on se place habituel-
lement. Mais procéder ainsi, c'est dépouiller la solution de la géné-
ralité qu'elle comporte; il parait donc préférable de suivre la
marche que nous venons d'indiquer *.

* La théorie des valeurs maxima ou mimma(\ts fonctions de plusieurs va-
riables peut s'élablir en se fondant sur les formules (o) et (6) du n" 2^ , page 57.
Lorsqu'on procède ainsi, il importe d'avoir égard à l'observation développée ci-
dessus. Ces formules ne subsistent, en eflet, qu'avec une certaine restriction ,
provenant de Tliypotlièse admise en ce qui concerne la forme des fonctions
f{t) = a -t- /</, '^ (/) =r 6 -+- kt. Ainsi, par exemple, s'il s'agissait d'une surface
ayant pour é(iuation

par cela st'ul qu'on suppose x et y fonctions linéaires de la variable /, il s'en-
suit (lue la variable // devient fonction linéaire de la variable x. La consé-

( «-3 )

En divisant j)ar ^^'(/j-Io second membre de l'équation (4), on
le ramène à la forme

Dans le cas du maximum ou du minimum absolu, ce second
membre doit satisfaire à la double condition de ne point s'annuler
et de conserver un seul et même signe indépendamment de toute
valeur particulière attribuée au rapport — - . Il faut donc que
l'on ait

('^)

r d^ z -^ /d^z\ /d^z\

ce qui exige avant tout que les dérivées partielles [-t-ôJ' (t-t) soient
toutes deux de même signe.

Cela posé, deux cas sont possibles selon que les valeurs obte-
nues pour X et y par la résolution des équations (5) satisfont ou
non à l'inégalilé (3). Dans le premier cas, il y a maximum ou mi-
nimùm absolu , suivant que les dérivées partielles [ l-^j f^j sont
négatives ou positives. Dans le second cas, il n\ a plus, en général,
que maximum ou minimum relatif, ou bien encore la marcbe de
la fonction n'offre rien de particulier.

Lorsque les trois dérivées du second ordre s'annulent en même
temps que les deux dérivées du premier ordre, il faut recourir
aux dérivées l'"\f\f'\t)^ etc., et poursuivre le cours des déduc-
tions en appliquant les règles du n" 50.

54. Les détails dans lesquels nous venons d'entrer en prenant
pour exemple une fonction de deux variables

z^Y[x,y)

quenco est que les ré:^.ultats se présentent comme nï'lanl applical^les qu'aux
sections planes faites dans la surface, perpendiculairement au plan des .r//.

( 8(i )

s'appliquent exclusivement au cas où la dérivée /'(l) change de
signe en passant par zéro. En général on a , conformément à
l'identité (6) du n" 22, page 57.

F (x =b // , y ±k) — ¥ (x, y) = do h m' ¥,(x zb Im , y d= ku)
=h k Mo F^ (x àz hii, y ± ku)^

et, s'il s'agit d'un changement de signe que la dérivée subisse en
passant par la forme - , c'est à cette dernière formule qu'il faut
avoir recours, en procédant comme au n"51 .La question se compli-
que ici de la présence simultanée de deux fonctions dérivées suscep-
tibles de prendre en même temps ou séparément la forme - . Tou-
tefois , comme on dispose arbitrairement de chacune des quantités
h et k et qu'on peut annuler l'une ou l'autre à volonté, il est
visible qu'on doit procéder d'abord en opérant ainsi, c'est-à-dire en
annulant, l'une après l'autre et séparément, chacune de ces deux
quantités. La continuité qui subsiste, par hypothèse, dans la fonc-
tion exige que chacun des produits

h U[ F^, [x db hu ,y), kMlFy(x, y ± k),

converge vers zéro, le premier avec A /le second avec k. Ce n'est
d'ailleurs qu'en passant par zéro ou par l'infini que chacune des
deux dérivées partielles F'^(x,3/), ¥'y(x,y) peut, en général, chan-
ger de signe. Ce sera donc, presque toujours, en résolvant le sys-
tème des équations simultanées

1 _ 1 _

ou

^^=0, f;(x,,) = o,

ou bien encore

F,{x,y)=ro, -7- =0

( 87 )

qu'on déterminera les valeurs des variables x^ y, auxquelles peu-
vent correspondre les maxima ou minima cherchés.

Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il ne suffit pas que
l'un ou l'autre de ces systèmes fournisse des valeurs réelles, ni
que ces valeurs substituées dans les deux produits

rt hU[ f1 {x dr hu ,k), db km' F^ {x, y ± ku ) ,

leur donnent un seul et même signe pour toutes valeurs des quan-
tités h et k inférieures à une certaine limite. Il faut en outre que
cette dernière condition ne cesse pas d'être satisfaite, lorsque à
ces produits l'on substitue les suivants :

± h M* f', (x ± Jw, y =b ku) , d= A; M^ F', {x d= hu, y zfc hi).

CHAPITRE VT.

DE l'emploi des IMAGINAIRES DANS l'aNALYSE.

Réalité des solutions dites imaginaires.

o5. Soit

(1) x^-\-y^ = r''

l'équation d'un cercle ayant son centre à l'origine et rapporté à
des axes coordonnés rectangulaires.

Imaginons qu'on se donne une droite quelconque

{•2) y = ax -\- b

située dans le plan du cercle (1) et rapportée aux mêmes axes.
Imaginons en outre qu'on se propose de déterminer les points
comnmns à ce cercle et à cette droite.

( 88 )

S'il est un point commun à ces deux lignes, l'abscisse de ce
point doit satisfaire à l'équation

(5) x^ -f- {ax -4- Uf = r\

De là résulte, conformément aux règles du calcul algébrique,

4 ... X = ^ .

fr ■+- 1

L'équation (3) impliquant l'équation (4), il s'ensuit que la valeur
cherchée pour x se présente sous la forme

(o) v-^ ^ v^-^,

et cesse, par conséquent, d'être numériquement assignable toutes
les fois que l'on a

(6) ...... r<

Le second membre de l'inégalité (G) exprime, ainsi qu'on le
voit aisément, la longueur de la perpendiculaire abaissée du centre
du cercle (1) sur la droite (2). L'inégalité, lorsqu'elle subsiste,
indique que cette perpendiculaire est plus grande que le rayon
du cercle. La conséquence est qu'en ce cas la droite ne peut pas
rencontrer le cercle, et si la solution cherchée semble faire dé-
faut, c'est qu'on est en présence d'une impossibilité qui se révèle
sous la forme d'une imaginaire.

Il peut , au premier abord , paraître singulier que là, où la solu-
tion qu'on cherche n'existe pas , l'algèbre semble aller au delà de
ce qu'on demande, et fournir, sous une forme rigoureusement
déduite, un résultat })urement illusoire. Un examen plus attentif
du rôle assigné à l'algèbre permet de reconnaître que les solu-
tions, qu'on dit imaginaires , au point de vue restreint du pro-
blème mis en équation, ne diffèrent en rien, relativement à cette
équation , des solutions réelles qui résolvent en même temps le
problème donné et celui qui résulte de sa traduction algébrique.

( 89 )

Dans l'exemple que nous avons choisi et traité ci-dessus , on
voit tout d'abord que s'il y a rencontre du cercle et de la droite,
l'abscisse du point commun à ces deux lignes doit satisfaire à
l'équation (5). On pose, en conséquence,

(5) . . '. . . x^ -\- (ax -\- hf = r^ ,

et l'on est assuré d'avance qu'il n'y a pas de solution possible en
dehors de celles qui satisfont à cette équation.

Cela posé, remarquons bien ici que, du moment où l'on a tra-
duit par l'équation (5) le problème dont il s'agissait, et où Ton de-
mande à l'algèbre de fournir, comme équivalent de cette équation,
une transformée quelconque, et en particulier la plus simple de
toutes, celle où l'inconnue x se trouve entièrement dégagée, il
ne s'agit plus que du problème purement algébrique dont voici
l'énoncé :

Étant donnée Véqnatlon (ô), trouver une expression de rin-
conmie x qui rende le premier membre identique au second,
lorsqu'on la substitue d x et qu'on effectue, suivant les règles de
l'algèbre, les opérations indiquées.

»
En présence de ce nouveau problème , substitué au premier
comme conséquence implicite de l'application de l'algèbre à la
solution cherchée, il est absolument indifférent que la transfor-
mée de l'équation (5) donne pour x nne valeur numériquement
assignable ou une expression imaginaire de la forme

x = pàzq V— 1.

Dans un cas comme dans l'autre il y a solution réelle de l'équa-
tion (3) par cela seul qu'en substituant à x l'expression définitive
à laquelle on est parvenu , l'on rend le premier membre iden-
tique au second.

On a dit des vcdeurs imaginaires qu'elles étaient mystérieuses.
Peut être est-ce uniquement à la juxtaposition des deux mots
valeur et imaginaire qu'il faut altribuer cette erreur de qualifica-

( 00 ;

tion. Les expressions imaginaires ont algébriquement la même
réalité que les valeurs réductibles en nombre. Si celles-ei se dis-
tinguent des autres par rapport au problème qu'on se propose de
résoudre, c'est que ce problème apporte à l'équation par laquelle
il se traduit, et sur laquelle on opère, une restriction qui exclut
tout ou partie des solutions purement algébriques.

Application des règles du calcul algébrique aux
imaginaires.

56. Lorsque l'on attribue à une quantité quelconque une valeur
imaginaire et que l'on écrit, par exemple,

x = p -{- q )/ — 1

il doit toujours être bien entendu qu'il s'agit d'une identité, la
quantité x se composant nécessairement de deux ])arties dis-
tinctes, l'une réelle et égale h p, l'autre imaginaire et représentée
par qV^ — i. Rien n'est changé d'ailleurs dans l'application des
règles du calcul algébrique, si ce n'est qu'elles acquièrent un
sens plus général. C'est ainsi, par exemple, que le produit
V^— 1 . |/ — 1, équivalant à (1/ — \ )% s'effectue purement et sim-
plement par la suppression du signe (|/~")Mans la dernière expres-
sion. On a donc, conformément aux règles ordinaires, et avec un
sens plus étendu ,

V/-\ .v/— I=(|/— 1f = _'l.
Il vient de même

et, ainsi de suite indéfiniment, les résultats obtenus se reprodui-
sant tous de quatre en quatre suivant le même ordre.

( !•! )
Supposons qu'on ait entre des quantités réelles et imaginaires
une équation de la forme

(l) . . . A -I- B j/~^=- A' H- B V^^.
Il en résulte

A — A' = (B' — B) |/— T,

et , par suite ,

(2) (A — A')'-v (B — B7=o.

Les quantités A, A', B, B' étant toutes réelles, par hypothèse,
l'équation (2) exige que l'on ait en même temps

A = A', B = B'.

Telle est done aussi la conséquence impliquée par l'équation (i).
Concluons qu'une équation de cette forme ne peut subsister
qu'autant que les parties réelles sont respectivement égales et
qu'il en est de même des coeOicients des parties imaginaires.

Relations existant entre les exponentielles et les fonctions cir-
culaires.

57. Considérons les fonctions e*, e^. Lorsque les valeurs a?, y sont
toutes deux réelles, on a, en série convergente,

e* = 1 -4- X H H h etc.,

(1) . ■ / gy = 1 -t, y -t- JL, H- ^ ^ ^ -4- etc.,

] ^ 1.2 1.2.5

f . . (x -h yf (x •+- y?

e^+v^i^x-^y-^^- ^-H^ ^-t- etc.

\ -^ 1.2 1.2.5

( !>2 )
De là résulte identiquement

(2) . 1^1 -4- .T+^-f-etC.j[l -+- 7/ +-j^-4- elc.J

(x -+- rjf
= 1 H- X 4- ?/ H '- \- etc.

L'identité des deux membres de léqualion (2) ne peut être trou-
blée lorsqu'on remplace x par xV^ — l^et?/ par?/V^ — 1. Mais, dans
cette hypotbèse, on a, toujours identiquement,

-4- X V— 1 -+- ^ ~ -+- ^ -\- etc.

1.2 1.2.5

= cos X -+- V^ — 1 sin X == e' ^~*

= cos ?/ -+- i/ — 1 sin ?/ = e'' ^~\

i ^ (,r -4- y) V— 1 -4- ^ -^^ ^- H- etc.

os (x -{- ?y) -t- l/ — I sin (x -\- y)^= q

(■'•4-'/)î/-i

les symboles e'^~', 6^»^"~', ^(^+^'1^-*^ n'étant autre cbose que les
expressions abrégées de ce que deviennent les développements des
exponentielles e'', €\ e''^ ^, lorsqu'on y remplace x par x \^ — 1 et
y par y^ ~ I. Il vient donc, en premier lieu,

(5) . . . . e"^~ .c2/l/=^=^('-+.'/)l/~*.

Ce qui montre que la règle des exposants s'étend à tous les cas,
soit d'abord dans la multiplication et la division des exponentielles,

* La marche suivie pour établir cette équation permet évidemment d'y
attribuera .Tel ?/des valeurs quelconques réelles ou imnginaires.

('J3 )
soit ciisLiitc dans leur élévation à des puissances quelconques et
par conséquent aussi dans l'extraction de leurs racines.
11 vient d'ailleurs, en second lieu,

(4) (cos X -h 1/ — 1 sin x) (cos y -+- l^ — 1 sin ^) = cos (x -♦- y)

■+- V — 1 sin [x -i- y) ,

ce qui montre que, pour multiplier ou diviser des binômes de la
l'orme cos x-\-\^ — 1 sin x, cos y -+- \^ — 1 sin y , il suffit d'ajouter
ensemble ou de soustraire l'un de l'autre les arcs correspondants.
L'équation (4) implique en outre la formule générale

(5) [cos X -\- V — 1 . sin x]'" = cos mx -f- V — 1 sin mx.

Cette formule est due à 3Ioivrc. Elle fait voir que, pour élever à
une puissance quelconque une expression de la forme

cosx-t- 1/ — 1 sinx,

ou pour en extraire la racine , il suffit d'opérer sur l'arc en le mul-
tipliant par l'exposant qui indique l'opération à effectuer.

Les résultats que nous vcjions d'établir en ce qui concerne les
puissances et les racines des exponentielles et des binômes imagi-
naires cos a; H- K — I, sin x, etc., peuvent s'obtenir directement
en substituant aux équations (1) les équations suivantes

X"

e' = 1 -f- X -t- 1- etc.,

1 . 12

[nixf

e"*'= i -+- mx -f- -4 etc.,

1.2

x^ Y'* {))ixY
\ -\- X -\- h etc. = 1 + mx H + etc.

On en déduit, par voie d'identité,

1 . 2 J 1.2

Le reste s'achève comme tout à Iheure, etil vient généralement

(G) [e-'-^^'" = e'"' y~^ = [cos x -\- j/^^^sin x]"' =- cos mx

-\-V — 1 sin mx ,
ce qui justifie et confirme les déductions précédentes.

( y^^ )

Il est visible que Téquation (5) ne cesserait pas davoir lieu si
l'on y remplaçait a; par — x\/ — 1 , ce qui revient d'ailleurs à
opérer sur l'identité (2) en se bornant à changer y en yV^ — I. On
a donc aussi

(7) . e' . e^ ^"^-^ = e'^'*-^ ^^~* = e^ (cos y -+- \/— 1 sin y).

58. En désignant par e"^^" * ce que devient le développement
de l'exponentielle e^ lorsqu'on y remplace x par oîV^ — 1 , on a

l/— \ sinx = e^^'

cos x* H- K — 1 sni X

cos x — V — 1 sin X = e~ ' »^~'.
De là résultent les équations symboliques

cos X =

l cos

(^) . . • i

\ sm X == -

y-i _ e— 1/-1

Si Ton procède en sens inverse et qu'on désigne par cos {x\^ — 1 ),
et sin {x\/ — I) ce que deviennent les développements de cos x et
de sin a?, lorsqu'on y remplace x par 0?!^ — 1 , on a de même

( cos x |/ — 1 — 1/ — 1 sin X V — 1 = e'' ,

(3) . . ]

( cos X V — 1 H- V — 1 sin X V — i =e '.

et l'on en déduit

(4)

cos xV — \ = 5

e — e

sin ocy — 1

Ces résultais coïncident, ainsi qu'il est aisé de le voir, avec ceux

( 95 )

qu'on obtient en remplaçant x par x V — I dans les formules (1)
et (2).

Les équations (5) se résolvant en deux identités, on peut y attri-
buer à X une valeur quelconque réelle ou imaginaire. Si l'on fait,
par exemple,

x=^u — z \^ — 1 ,
il vient

(5) . cos (z -t- u V— 1) — V— i . sin {z + u V— 1)
^ e"— * y^= e (cos z — V^^ï . sin z);

on a d'ailleurs, conformément à la première des équations (5),

e"= cos uV^ — 1 — y" — i sin «1/ — i.
On peut donc écrire aussi

(7) (cos z — {/— i sin z) (cos uV — i — V' — I sin u\/— l)

= cos {z -4- u \/'^^\) — l/^n'.sin (z -+- </ V^).
On trouverait de même

(8) (cos X -+- 1/"^ sin z) (cos ?< l^^ -+- K -^ sin î< l/^)

= cos(z -f- H [/'^) -t- V^^^. sin {z -+- i< |/^^1).

Eu égard à lextension que comportent ces dernières formules,
il est visible qu'elles permettent d'appliquer à toutes les valeurs
de X, réelles ou imaginaires , les formules du n° 57.

En opérant sur la deuxième des équations (3) comme on l'a fait
sur la première , on a

(9) cos{z -^ uV^^) 4 i/^^.sin(2 + i*l/^)=e-"-^-^"^

= e"^"(cos s -+- J/— l.sin z).

( 'Jb )

La combinaison des équations (5) et (9) conduit aux formules
suivantes :

1 cos (^ 4- <i î/^ ) -= - [(e'* -♦- e- ") cos z — l/irT(e"— e~ ") sin z]

m — r —

/sin(c -f- ui^— \)=~[(e"-¥- e-")sin;:: -4- |/— l(e'*--e-")cosz]

Expressions générales des logarithmes,

59. Lorsqu'on étend aux exposants imaginaires la définition
donnée pour les logarithmes dans le cas des exposants réels, l'équa-
tion l'ondamcntalc

(I) U-=x

devient, en y remplaçant x par x -t- yV — 1,

•p) Le'-^"^~^x-\-y\/^^\

et c'est à l'équation (2) que se réduit la définition générale du lo-
garithme d'une expression quelconque réelle ou imaginaire.
On a pour x=o

(5) Le^V/~==y v/Zrr-*r

Ajoutons membre à membre les équations (1) et (ô). Il vient

Le^ -+- L(^'^-'^ x-\-y V— i ,
et eu égard à Téqualion (^)
(4) Le^^-^^^^=Le^+Le''»^~'

* On observera (lue rexpoiienlielle e^*^~' resle la même pour toutes les va-
leurs delà variable /y qui difï'èrent entre elles d\in nombre eiilier quelcon(iue
de circonférences "2t. 11 s'ensuit évidemment ([u'à cluuiue détermination par-
ticulière de celle exponentielle correspondent nécessairement une inlinité de
logarithmes distincts.

( !>/ )

L'cqiialion (4) suttîl pour établir Ja proprictt' cai'a('lci*i8li(|Ucdos
logarillinies et pour pcrnictlrc d'étendre au cas général d'un ex-
posant quelconque les règles établies j)0Ln' le cas des exposants
réels.

Soit

(5) X =^ p -\- qV — \,

Si l'on pose

r = V/î?'^f/, 0 = arc tg ^ .

V

la quantité r étant positive, l'équation (a) devient, ainsi qu'on l'a
vu au n" 24,

X = r [eos 0 4- V^^.sin o] = re^^ "'.
Considérons l'expression

y(-<)V^^= r [eos 0 -+- V'-~ 1. sin 0] ,
à laquelle se ramène toute expression imaginaire de la forme

On a

(0). . Lr.e^^^'--'^ Lr [eos o -t- l/'^.sin (j]^Lr -\- oV — \,

Lr étant le logaritbme aritbmétique du nombre r.

Désignons par m un nombre entier quelconque, positif ou né-
gatif, et i)osons successivement Q='-lm ;r, 0=-(2 m -i- 1) tt. De là
résulte

(7) L(>') = Lr -4- ^mi: V^''- T, L(- r) ■= L/- + (;2^». -^ 1 Jtt ï/1^

ce (jui donne une infinité de valeurs toutes imaginaires, une
seule exceptée, celle qui correspond à ni= o dans la première des
formules (7).

Tome XV. 7

( 1)8 )

Dans le cas parliciilicr où l'on fait r = I , les équations (7) de-
viennent

(8). . L(l) = i>m-i/^~[, L(— l) = (2m-+- \)nY^^^.

Les formules auxquelles nous venons de parvenir expriment
quil existe pour chaque nombre pris positivement ou négativement
une infinité de logarithmes distincts, tous imaginaires à l'exception
d'un seul. Voici comment ce résultat s'explique et doit être entendu.

On a l'équation (6) comme expression des conventions admises,
et de l'extension que comportent les règles du calcul algébrique.

Cela posé, imaginons qu'on fasse varier la quantité ô à partir de
zéro, en l'assujettissant soit à croître, soit à décroître indéfiniment.
L'identité qui subsiste entre le binôme cos 6 -t- [/— 1 sin 6, et le
développement de rexponeutielle e »^~* , montre que chacune
des valeurs de ce développement correspond à une infinité de va-
leurs de Targumcnt ô, celles-ci n'étant assujetties qu'à la seule
condition de comprendre entre elles un nombre entier de circon-
férences. Si donc on prend en particulier l'une quelconque des
valeurs affectées parle développement et que, conservant au dé-
veloppement son expression générale, on légale à cette valeur, il
est visible que l'équation résultante comprend nécessairement une
infinité de racines toutes différentes les unes des autres. Ce sont
ces racines que le second membre de léquation (6) met en évidence
alors que le premier repasse par les mêmes valeurs. L'on a, d'un
côté, l'argument ô qui change incessamment et qui prend ainsi
successivement toutes les déterminations possibles; de l'autre, on
a une fonction circulaire de l'argument 0, laquelle n'affecte jamais
qu'une valeur unique pour toutes les valeurs de l'argument qui
diffèrent entre elles dun nombre entier de circonférences.

Relations existant entre les puissances du sinus et du cosinus
d'un arc y et le sinus et le cosinus des arcs multiples.

40. Faisons >()ir par (picbpies applications les avantages que
j)cnl offrir . en cci'lains cas, la considération des imaginaires.

Reprenons la formule (5) du n° 57, page 95 ,
(1). . (cos X -f- l/' — 1 . sin x)"' =^ cos mx -h 1/ — 1 . sin ?«.r ,

et supposons que l'exposant m soit entier et positif. Le développe-
ment du binôme (cos x -i- 1/ — l.sin a:)"' est limité en ce cas, et
il s'effectue suivant la formule (1) du n" 17, page 40. Égalant de
part et d'autre les parties réelles et imaginaires on a généralement

i m {m — I )

I cos mx = cos'" X cos'"-'^ (x) sin'^ x

\ m(m — i)(in — ^)(7}i — 5)
,.^ ' -^ 7~^ — ^-^ cos"'-*a; . sin^x — etc.

(2) < 1.2.0.4

I sin mx = m cos"'~ * x . sin x

f m {m — i ) {m — 2)

\ 1.2.5

cos'" "x sur X -+- elc,

S'agit-il, au contraire, de développer une puissance quelcon([ue
entière et positive de cos x ou de sin x en fonction des cosinus et
sinus des arcs multiples? On peut poser

/-x j ?/ = cos X ■+- V — l . sin X,

= Q0sx — V — 1 . sin X,
ce qui donne, d'abord,

(4). ?/ H- r = 2 cos X, y — ^ = 21/ — 1 . sin x, fj~=l
puis, eu égard à ré({uation (i).

y" -^z" = ^2 cos nx , y" — j:" = 2 V"~ 1 . sin nx.

On déduit de là

2'" cos"' X = {y H- z)'" = iy'" h- z'") h- myz (y'"~' -t- -"'-^^)

m (m — 1 ) „ _
+ —j-^yV{y"-' + z"-') + fie ,

( 100 )

et. par suite

i cos mx -f- ))t eos {m, — 2) x

■)'" cos'" X = 'i l m{m—\)

H COS [in — 4) X -h ete.,

le ilei'iiier terme étant

nt(m — 1), . . I— -H

■••&

1 .2.

i^i

»j

ou bien

J . 2. .

selon que m est pair ou impair.
On a (le même,

(m -♦- 5\

m— 1\
2 /

eos X,

cos î*/x — m eos («4 — 2) a;

'(— ly^ sin'" a; ^^ 2 < m (m — 1)

1.2

- — eos {m — 4) j — etc.,

ou Die

bien

/ sin mx — m sin {m — 2) a? \

2"'(— J)~^sin"'x = 2| m(m~-i) . ^ '

/ H j — - — Sin (m — 4) a; — etc., '

1 . 2

>elon que m est pair ou impair, le tlcrnicr terme étant
m(/M~t). ..[-+ l]

1.2..

( KH )
(lan^ le premier en s, et

m -f- 3

m (m — i). . . — —

m— 1
1.2...—-

sin r

(lan^i le seeond *.

fii'sohdion (hs êqualions hînémes.

41 . Considérons réquation binôme
(I) x"=a

où le nombre n est suppose entier et positif **.

Si nous désiiçnons par r la raeine arithmétique V «, il vient

(2) .r" = rL:r".

]*osons

X :-= r('fy-^=^ r [cos 0 -^ l/_ I. sin o] ;

substituons eede valeui* dans l'équation (2) et supprimons le Aie-
leur commun r". On trouve ainsi, pour transformée des équations

(l)et("2),

(ô) eos nO -^V^ — l.sin nQ =dt 1.

* On ol)sei'vera que, dans les t'orniules qui donnent le développenienl de la
luiissanee m de sin j,', les termes sont allernalivemenl positifs et négatifs. 11
s'ensuit que le dernier est positif ou négatif, selon que les termes sont en
nombre pair ou en nombre impair.

** S'il en était autrement, on pourrait toujours ramener à ce cas le cas
plus général d'unexposajil quelconque.

f in:^ )

Le second nioni!)i(' osl il p()silir?Oii satisiail à léquation (T)) eu
postint M0 = 2»/ TT , »< étant un nojiibre entier quelconque. Delà
résulte, pour ce cas,

(4). . . X = r cos h V — I . sui — •

On a de même, pour le cas où le second membre est négatif,

r (2m -+-1)77 . . (2m-f-l)7r-]

' L n n A

Il est d'ailleurs aisé de voir qu'il suffit d'attribuer au nombre »j
les valeurs successives 0, 1 , 2....(/i — 1) ou 1,2. .. «pour épuiser
la série des valeurs distinctes et différentes que l'inconnue .r com-
porte dans les deux cas.

Les solutions fournies par les équations (4) et (o) s'étendent
d'elles-mêmes aux équations de la forme ,

X"' -+ 6x" -+- c = 0.
On prend d'abord la transformée

et rien n'est à changer si les valeurs obtenues pour x" sont réelles.
Supposons ces valeurs imaginaires et représentons leg par

X*' = a (cos '■j.±V — I . sin a).
En faisant, comme tout à l'heure,

r = Y^V, oc = r (cos ddoV^—l sin 6) ,

il vient

(0). . . cos ?/0 ±V^ — \ Hu nO = cos a zh k — 1 . sin a.

( «<>"> )

Cela posé, selon que eos x est posilif (tu uégatiC, ou salisl'tiil à
l'équation ((i), en faisant 7?e = t2>»7T-4-a ou n 9 = (2 7» -t- 1) 7r-t-«,
ce qui donne

COS =t 1/--1.SU1

dans le premier cas, et

(8). a: = r COS ^— — ± l/— l.sin J

dans le second.

42. Reprenons Téquation

X" = a.

En appliquant la formule (7) du n" 59, pnge 1)7, on a
7iLx = L(«) = L(t -+- 27)177 l/-in".

De là résulte en divisant par », puis revenant des logarithmes
aux nombres et désignant par r la racine arithmétique va

^^^/ZT r ^mvr y . 2W7r-|

X = re ^ r cos -f- \/ — 1 sui •

L yi n J^

En opérant de même sur l'équation

X" = — a
on trouverait

X = re " = r\ cos -h y — 1 . sui .

L n n -i

Si l'on avait

x" =p -{- q \/ — 1 = ± </ (cos a -h v—\. sin a) ,

( io^i- )

L;i loiinniilo ((■>) du n'' 51), pai>e 07, doiiiuM'.iil d'aliord

« L a: = L (± «) -\- xV — 1 .

Le reste s'aclièverail comme ci-dessus, et l'on retrouvenut
ainsi tous les résultais du n" 41.

liiterprétadofi (jihiérale de la formule de Moirre.

43. Considérons la formule

(1). [cos X -\- V — l.sin..il'' = cos-a; -f- V — i.sin -x,

H H

où p et (i sont par hypothèse deux nombres entiers, premiers
entre eux.

On peut voir dans In formule (J) la transformée de celte autre
formule

(!2). cos X -f- \/ — I . sin x\ = cos - X -4- l^^ — I sin - x :

on a, d'ailleurs, en d(''signanl })ar y>/' \\\\ nomhrc entier quelcojique,

cos h V — 1 sni — — = cos t2n?~ -\- V — 1 sni2/)^rr=^ 1.

7 7 J

Il vient donc aussi

cos X 4- V — 1 sin X =

I cos '^ X + 1/ —1 sin:^ x] U-os ^^ + l/-^ sin ^^-j •
On déduit de là.
[cos .r -\- V—\ sin .t]''= eosU-)fx-+-'2/7.-) -+- \^ — \ sin ~ (x-i-S/rr),

( lo:j )

el, pour ohteair It's (j v.'ilonrs (jiic romporlc le scooiid iiienilnc
do l'('(|iiation (1), il siiilil d'atlrilmcr siuTossivemeiit au noml)re /
chacune des valeurs comprises dans la suite 0, 1, 2, ô,...(q — I).

De la coiitinuili' dans la rariafion des i'))iafjiiiaires.

44. On admet que (ouïe expression imaginaire est réduetihie
an Ivpe fondamental

Ce n'est d'aillenrs qu'après avoir efTectué celte réduction, ou dé-
montré sa possibilité , qu'il est permis d"oi)érer snr une expression
imaginaire et de la soumettre an calcul.

Soit, pour exemple, la fonction Lrc^^ "'. Elle n'est que par
l'identité

LrcO^'-"^=Lr-i- o l/— T:

si donc on fait varier 0 c'est dans le second membre et non dans
le premier qu'il fautétudierlesmodificalions subies parla fonction.
Considérons une fonction quelconque imaginaire ramenée à la
forme

P -H Q 1/ _ 1 :

P etQ seront des fonctions réelles delà variable indépendante sub-
sistant chacune isolément et non réductibles entre elles.

La fonction donnée étant représentée par y, il vient identique-
ment

y = P H- Q l/'-~f,

et ce qu'il faut voir dans // ce sont deux grandeurs lune égale à P,
l'autre à Q, toutes deux réunies symboliquement, mais toujours
distinctes et toujours séparables. 11 suit évidemment de là que la
variation de l'imaginaire y doit être considérée comme s'identifiant
a\cc celle des foiutions P et Q prises à part et siujidtanémenl.

( KX' )

On peutîuoir. cnlcc cortiiiiics limitts,
puis, entre d'antres limites,

y = .(.T) -4-l/-1..i{x)

les fonctions exprimées par P et Q changeant en même temps
qu'on passe du premier intervalle au second et par conséquent
restant toujours réelles.

Il peut arriver aussi que la quantité Q s'évanouisse par suite
d'une valeur particulière attribuée à la variable indépendante ou
qu'elle disparaisse d'elle-même pour toute l'étendue d'un certain
intervalle. Dans le premier cas la valeur affectée par ^, quoique
réelle en apparence *, ne cesse point d'appartenir au système gé-
néral des valeurs imaginaires. Dans le second il y a transition d'un
système à l'autre et solution relative de continuité.

Une fonction peut être tantôt réelle, tantôt imaginaire, la va-
riable dont elle dépend restant toujours réelle : elle n'affecte ainsi
qu'une partie des déterminations compatibles avec son mode d'exis-
tence. Si l'on veut l'étudier dans toutes les modifications qu'elle
comporte, il faut substituer aux valeurs réelles de la variable un
système qui, sans exclure aucune de ces valeurs, comprenne en

* La fonction ( — rt)^ dans laquelle la variable œ denieme réelle, oftVe un
exemple remar(|uable de ce cas. On a généralement

(_. a)^- = (,'{ — 1 )■« = ff. [cos ( -2m -^i)rœ-hV~ i sin (-2m -4- 1 ) tj-]

7)1 étant un nombre entier quelconque. On voit par là que, contrairement à
ridée qu'on sNmi forme généralement, la fonction ( — rO^ est imaginaire et con-
tinue. A cha(iue valeur du nombre entier m répond un système distinct de dé-
terminations particulières. Il n\v a solution de continuité que lorsqu'on passe
de l'un de ces systèmes à un autre. On voit d'ailleurs aisément qu'en désignant
par k un nombre entier quelcon([ue , les valeurs de (— aY qui afTectent la foi'me

"ik -H I . . -2k

réelle sont celles cpii correspondent soit à .r = ~

soit a .r

1 -2m H- 1

( l<>7 )

oulro (onlos les valeurs iiu.tgiiiaircs jtossihics *. Pour satisfaire à
eelte condition x étant la variable, on doit poser

x=:-- p -\- q]/ — 1 .

Il faut admettre en outre que les quantités p et q sont suscep-
tibles d'acquérir directement et indépendamment l'une de l'autre
toutes les valeurs réelles. Dès lors x devient fonction de ces deux
variables et celles ci seules sont dites indépendantes.

En assujettissant la variable x à francbir successivement et avec
continuité toutes les valeurs imaginables, on ne détermine aucun
des modes particuliers suivant lesquels ia variation peut s'ac-
complir efîectivement. Il est permis de rester à ce point de vue
général, comme aussi de considérer spécialement l'un ou l'autre
de ces modes, le choix à faire pouvant dépendre des questions à
j'ésoudre et offrir ainsi le moyen d'établir entre la variable et la
fonction donnée l'ordre de relation le plus propre à remplir l'ob-
jet qu'on se propose. Dans tous les cas la continuité n'est possible
pour X, qu'autant qu'elle subsiste pour chacune des quantités
réelles p et q, prises à part et simultanément Nous admettrons
que cette condition nécessaire est toujours satisfaite.

Ce qui vient d'être dit s'applique en même temps et de la même
manière à la fonction

Il sensuit qu'à la variation continue de la variable imaginaire
correspond une variation continue ou discontinue de la fonction,
selon que les quantités P et Q restent, ou non, finies, réelles et
continues.

45. Les détails qui précèdentn'offrantaucune difficulté , je crois

* Le système complet des valeurs imaginaires comprend , comme cas parti-
culiers, toutes les valeurs réelles. Dès qu'on entre dans ce système, il n'y a
plus lieu d'établir entre les unes et les autres aucune distinction, si ce n'est
celle que nous avons déjà mentioimée. Cette remarque est très-importante au
point de vue de la continuité.

( l"'8 )
imililc d'insiskr >\\r la dislinclioii (ju il iniporlc d'élalilir enlrc le
système g('iirral de Ions les modes possibles de variation conlinue
et l'un quelcoii((ne d'entre eux. Je vais, en conséquence, passer im-
médiatement à celui de ces modes que Wm choisit habituellement
pour iattribucr à la variable imaginaire.

Il semblcrail iialurel d'opérer directement sur les ([uantitésp
et (j en faisant correspondre successivement l'une quelconque des
valeurs de }) à toulesles valeurs de r/ ou récipro(juement. Dans l'un
et Faulre de ces modes y> et (f seraient les variables indépendantes.
Il est d'ailleurs visible qu'on \ réaliserait pour a- toutes les ^aleurs
imaginables. Tel nVst point le procédé généralement suivi : moins
simple en a|q)arence il offre en réalité certains avantages qui le
l'ont préférer. Voici en (juoi il consiste.

Faisant

(}).... r cos 0 = p, r sin 0 =^ q,
on en déduit

/' = \'^r -+- (f-, f) = arc Ig -- •

Cela pos(*, on remarque ({ue quelles que soient les valeui's res-
pectives attribuées séparément aux quantités p et ry, ojî peut tou-
jours satisfaire aux écpiations (1) en attribuant à r la valeur posi-
tive 1^/7- -h r/'^, et à l'arc 6, soit la > alcur uni(pie qui, dans l'intervalle
de 0 à Stt, remplit les conditions voulues, soit cette même valeur
augmentée ou diminuée d'un multiple quelconque de la circonfé-
rence.

Au lieu de l'fMpiation

X = p -h </ V — 1 ,
il est donc permis décrire

X = r [cos fJ -4- l/" — \ sin o],

et, cliangcant le mode de variation . de prendre r et 0 pour varia-
bles indé'pcndantes.

( I"!» )
Veiit-on u'attribuer à r que des valeurs positives ci restreindre
entre les limites o et Stt la variation de 9, eela suflit pour réaliser
un mode de variation eontinue où la variable x passe suecessive-
ment par toutes les valeurs imaginables. Cela ne suflit point, en
général, si l'on veut que la fonction ac([uière elle-même toutes les
déterminations qu'elle comporte. Soit, pour exemple, la fonction

y == X = r [cos e -+- \/^ . sin ^if = r fcos - -+- V — i . sin -

Il est visible que pour n'exclure aucune des déterminations dont
elle est susceptible, et, en particulier, pour lui faire exprimer les
diverses racines de l'unité, il est indispensable d'assigner comme
limites à la variation de B des valeurs prises de plus en plus
grandes à mesure que q augmente.

40. Lorsqu'on entre dans le système des valeurs imaginaires,
il est à observer que, sauf les cas d'impossibilité fortuite, il n"est
l)0urla fonction, de même que pour la variable, aucune détermi-
nation particulière (jue toutes deux n'admettent nécessairement.
La seule cbosc qui cbange d'une fonction à inic autre, c'est l'ordre
dans Ie<iuel ces déterminations se succèdent, ou bien er.coi'c le de-
gi'é de périodicité. Supposons en effet <[uc la variable soit prise
pour fonction et réciproquement. La fonction, prise pour variable,
reçoit immédiatement toutes les valeurs possibles. l)"un autre côté,
à cbacune de ces >aleurs il en correspond une <iue la variable,
de\enue fonction, acquiert forcément. Si donc agissant directe-
ment sur la variable on lui fait prendre successivement toutes les
valeurs possibles, il faut quela fonction remplisse elle-même celte
condition générale. De là résulte le i)riucipe suivant :

Toule variation limilée des quanlités r et ô qui ne permet pas
de réaliser dans la fomiion le sjjsiènie entier des valeurs imagi-
naires est j par cela seul, nécessairement incomplète.

Appliquant ce principe à la fonction particulière

Ljc = Lr (cos 5 -+- V/*--^ï . sin $) = L/v'H ^ == i,- -+- o \ ~T.

( 110 )

on reconnaît immédiatement que la variation de 9 ne peut être
complète par rapport à la fonction qu'autant qu'elle est illimitée.
L'exemple que nous venons de choisir est très-propre à montrer
comment, en certains cas, la série des valeurs imaginaires est à
peine entamée par la variation continue de la fonction, tandis
qu'elle est déjà complètement épuisée par celle de la variable.
L'explication de ce fait est toute simple : il dépend delà multipli-
cité des valeurs qui, dans la fonction, correspondent à une seule
et même détermination de la variable imaginaire. L'inverse est
également possible; nous citerons, pour exemple, la fonction

x'" = /'"' [cos 6 -+- [/— 1 . sm 0]'" = r'" [cos mB -+- V/ — J . sin mh].

Essentiellement continue pour toute valeur entière et positive
de l'exposant m, cette fonction est en même temps périodique,
et, par elle, la série des valeurs imaginaires est m fois épuisée,
lorsqu'elle ne l'est qu'une fois par la variable x.

La variable x demeurant continue, imaginons que, pour toute
valeur de r comprise entre deux limites déterminées la fonction
varie périodiquement suivant un certain mode et qu'au delà de
ces limites ce mode change brusquement.il est clair que ces limites
ne pourront être franchies sans qu'il y ait, eii général, change-
ment brusque de détermination et par conséquent solution de
continuité. Si donc une fonction a d'abord un certain degré de
périodicité, puis({u'clle le perde brusquement ou que, ne lavant
pas, elle lacquière tout à coup, la discontinuité surgit en même
temps. Cette reniar([ue explique peut-être l'erreur où l'on est
tombé en faisant dé|>endre la continuité de la périodicité et con-
fondant ainsi deux caiactcrcs essentiellement distincts *.

* Voir plus loin la noie placée à la suite du ii" 50.

( ni )

Application du calcul di/férenliel aux imjj^in aires.

47. Soit y une fonction quelconque imaginaire définie par
l'identité

(i) y = M-^ l/=T.F(x).

Pour appliquer à cette fonction les règles du calcul différentiel,
il suffit d'opérer successivement sur la partie réellejet^sur la par-
tie imaginaire en traitant le facteur symbolique 1/ — 1 comme un
facteur constant. De là résulte

(î2) . . . // = l'\x) . X -t- l/— I . F'(a-) . X ,

ctl'équalion (^!) définit la différentielle, delà même manière que
l'équation (I) définit la fonction.

On voit par ce simple aperçu que les règles établies pour la
différentiation et la dérivation des fonctions réelles s'étendent
d'elles-mêmes aux fonctions imaginaires, et qu'aucune difficulté
ne peut surgir dans leur application lorsqu'on a pris le soin de
ramener au type fondamental

P ^ Q V/^^

l'expression imaginaire sur Ia(iuelle il s'agit d'opérer.

Yeut-on procéder directement, sans passer par l'intermédiaire
d'aucune transformai ion? Il faut s'assurer d'abord que cette voie
plus rapide et plus simple peut être suivie légitimement. Tout se
réduit ainsi à quelques vérifications faciles et d'ailleurs peu nom-
breuses. _

Soit pour premier exemple la fonction e"^*^"*. Elle est par
l'identité

(5) . . . . e' *^~* == cos JT -h V — 1 . sin x.

( ii^M

Si l'oi! opôrc (lireclcmrnt sur e"^^"', en trailant le l'acteur symbo-
lique V'^ — 1 comme uu facteur constant, on a pour la dérivée,

Oi', en vertu de récjualion {5), il vient identiquement

e' ^-^ . y^ — ! = — sin dc H- [/ — 1 . cos x,

et cette expression de la dérivée n'est autre que la dérivée du
second membre de lidentité (5). Il est démontré par là qu'on a
généralement

la règle restant la même ({ue s'il s'agissait d'un exposant réel.

Soit , pour deuxième exemple, la fonction. L. e'^ ~'. Elle est, par
l'identité

(4) Lf^' V^"= jc l/^^.

Traitée directejnent elle a pour dérivée,

e'y-<

= i/-i,

et telle est aussi la dérivée que l'on obtient en opérant sur le se-
cond membre de l'identité (i).

Soit, pour ti'oisième exemple, la fonction sinal/— 4. Ainsi
qn'on l'a vu par les formules (4) du n" 38, page 1)4, on a identi-
quement

—~ iT' — e^ , c' -+-• c"'

sin xv — 1 = i=ir 5 cos xV — 1 ==^ r •

9 \/_i 2

Prise directement la dérivée de sin xV — i est, d'après le:
iiaires

i/iri. ,.„s ..: i/= T = V-\ ■ "' "*" "^ •

règles ordinaires

( 115 )

D'un autre côté, si l'on opère sur le binôme , on a, pour

dérivée

Uicn donc nest changé dans le résultat, soit qu'on opère d'une
manière diiecle, soit qu'on suive la marche générale.
S'agit-il de la formule

(cos X -V- V — 1 . sin x)" = cos mx -+-• \/ — 1 . sin mx*

11 est visible à priori que, subsistant par voie d'identité, elle ne
peut a^ oir pour chacun de ses deux membres qu'une seule et même
dérivée. On peut d'ailleurs le vérifier directement, ou bien le dé-
duire de ce (|ui précède en observant que l'on a

[cos 0,' -4- \/' — 1 . sin x]'" = c"" ^' ~'.

Considérons en dernier lieu la fonction

z'" = {x-{-ij V/— l )'" = /•'" e"''^^^~^=/-"' [cos /y/ '> -4- l-^ — l.sin//f'>J.
On a directement

d{z"') = mz'"-' . dz = mz'"- ' . [dx + dij V^^)

= m {x 4- ij l/HT)"*- * (dx -I- du V~^\),

d{z"') = m . [re^ »^^]'" - ' (e^ ^^. dr 4- e'^ ^^rdO l/^

-= m (x -f- fj V ^"'- ' (c^ ^-'dr + e' ^'-^rd<) V'^).

Eu égard aux équalions de condition

X =. r cos y, jf --'- r sin 0 , c'^^ • — ^ cos 6 + l/- — 1 sin >j ,
Tome XV. 8

il viciil

( 114 )

xiU -+- ijdil , Xihi — ifdx

et Ton en déduit

eOV~dr -f- c^^'^nb = dx -f- dij \/'-^.

Il y a donc identité de part et d'autre et les règles de la diiîé-
renfiation ne cessent pas d'être applicables aux expressions s} ru-
boliques des imaginaires de la même manière que si le symbole
[/ — I était en réalité un facteur numérique.

Heiïrî'senlatlon iji'oniéiriijiw des iniayi/iain's,

48. .Nous ne terminerons point ce sujet sans ajouter quelques
mots sur la construction géométrique des valeurs imaginaires et
sur les avantages spéciaux que ce mode de représentation peut
offrir en certains cas *.

Soient t et n deux coordonnées rectangulaires, si l'on pose, en
général ,

P H- Q \/^T= / -h u V— I,

toute > uleur de l'imaginaire P -+- Q V — 1 lixc la position d'un
I)oint, et, réciproquement, tout j)oint du plan des coordojinécs
répond à lune des valeurs de cette imaginaire.

On voit ainsi que toute expression imaginaire considérée dans
l'ensemble des déterminations ({u'cllc comporte, et abstraction l'aile
des solutions de continuité (pfellc peut offrir accidentellement,

* On [teiil \ai'ieia Piiiliiii les dillei'eiils modes (|iu' cuiii|t(>rlc la repiesoiila-
tion géoiiiélri(|ac des iniaginaires. Nous ne nous oeeupons ici (fiie d'un seul
mode choisi painii les plus simples el les plus élémentaires; le lecteur qui vou-
drait étendre et poursuivre ces recherches i)eut cousuiler avec fiuil les tra-
vaux de M. Maximilieu Marie déjà cités eu note, u" :26, pairie GG.

(ll.J)

dans les cas d impossibilité fortuite, est exactement représentée
par la suite inlinie des points que comj)rend une surface plane.

Cherchons quelle est, par rapport à la génération de cette sur-
face, le sens exprimé par les divers modes de variation continue
sur lesquels notre attention s'est portée j)lus particulièrement
dans les numéros qui précèdent.

Soit, d'abord,

P

V/_T =.t-i- a V— 1

si l'on fait correspondre à chaque valeur de ^> toutes les valeurs
de </, on a pour chaque valeur de p une droite perpendiculaire à
l'axe des abscisses, et c'est parle déplacement de cette droite,
transportéeparallèlement à elle-même, que la génération du plan
s'effectue. Lorsqu'on procède inversement, c'est-à-dire en faisant
correspondre \\ une valeur de q toutes les valeurs de p, puis en
donnant à ({ toutes les valeurs possibles, la génération a lieu i)ar
le déplacement d'une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Soit, ensuite,

X = y [cos 0 \ \/ — 1 . sin o] = / -+- « \/— \ .

De là résulte

l = r cos e, a = r sin 6,

et, sui\anl (juon élimine /■ ou 9,
ou bien

Dans le premier cas, chaque valeur de ô, se combinant avec
toutes les valeurs de r, fournit une droite qui passe par l'origine
et fait avec l'axe des abscisses un angle égal à 0. Lorscjue 0 varie,
cette droite tourne et c'est par sa rotation autour de l'origine que
le plan se trouve engendré.

Dans le second cas , il } a combinaison directe de chaque va-
Iciii^ de )■ a>cc toutes les >alcurs de 6». Chacune de ces combinai-

(110)

sous iloiuio une circoiilêicucc de cercle ayant son centre à l'origine
et la quantité /• })our rayon. Lorsque r varie à son tour, la cir-
conlércnce se développe progressivement, et la génération du
|)lan s'effectue.

41). Considérons en particulier quelques fonctions simples et,
pour abréger, adoptons exclusivement, en ce qui concerne la va-
riable X, le mode de variation continue qui se traduit par la rota-
lion d'une droite tournant autour de l'origine des coordonnées.
On sait que, dans cette bypotbèse, chacune des valeurs de l'ar-
gument 0 se combine directement avec toutes les valeurs que
<'ompoi*te le module, ccst-à-dire que pour une même valeur (luel-
conque attribuée à 9, le module r est censé prendre toutes les va-
leurs possibles à partir de zéro.

Soit, en premier lieu, la fonction x"*. On a

X = r [cos 0 -+- v — 1 . sin h] .
et. pîir suite,

x'" = /•'" [cos inh -f- \/ — \ . sin mh].

On voit ainsi que, de part et d'antre, c'est par la rotation dune
droite tournant autour de l'origine que se traduisent les variations
continues simultanées de la variable et de la fonction. Si l'on prend
pour unité la vitesse angulaire ({ui correspond à la variation de la
variable, celle qui en résulte pour la variation simultanée de la
fonction est représentée en sens et grandeur par l'exposant m.

Soit, en second lieu, la fonction Lx. En posant, comme tout à
riicure,

X :^ r [cos 0 -h \/ — i . sin o] =^ re^^ * ~',
il \icnl

Lx ^Lr^O 1/ — 1 ==/-+- ^/ V^— 1.

Il scnsuit ([u en se combinant a>cc toutes les >aleui*s de r, cliîi-
que valeur attribuée à 0 donne une droite parallèle {i Taxe des

( 117 )

abscisses ol siluée à la ilistanee Q do cel axe. Ici donc, tandis ((ne
le sysième des valeurs imaginaires se réalise, pour la variable,
par la rotation d'une droite qui tourne autour de l'origine des
coordonnées, c'est par le déplacement continu dune droite assu-
jettie à rester parallèle à l'axe des abscisses que ce système se
réalise en même temps pour la fonction. Lorsqu'on restreint la
variation de l'angle 0 entre les limites o et ^t: (ce qui permet d'ob-
tenir, en ce qui concerne la variable, le système complet des va-
leurs imaginaires), les positions extrêmes de la droite qui corres-
pond aux valeurs imaginaires de la fonction sont données par les
é(piations

et la surface engendrée se réduit à la bande que comprennent
entre elles ces positions extrêmes. On voit ainsi (jue la réalisation
du système complet des valeurs imaginaires, par la variation con-
tinue de la fonction, exige impérieusement que Ton attribue suc-
cessivement à 0 toutes les valeurs possibles et quon les prenne
chacune positivement et négativement.

Ces exemples suffisent. Par eux on saisit clairement ce quex-
prime tout mode de variation continue susceptible d'être attribué
à la variable imaginaire. Ils mettent d'ailleurs en évidence la rela-
tion qui s'établit entre l'un quelconque de ces modes et celui qui
lui correspond dans la variation simultanée de la fonction. De part
et d'autre, il y a d'abord à considérer le mouvement d'un point et
par suite la génération de deux lignes répondant, lune à la va-
riable, l'autre à la fonction : puis vient, avec ou sans changement
de forme, le déplacement de ces lignes. De là résultent deux aires
planes qui s'engendrent simultanément et se correspondent de la
même manière que leurs génératrices respectives. Par hypothèse
l'un de ces deux systèmes est essentiellement continu, c'est-à-
dire que dans le mouvement du point qui décrit une position
quelconque de la génératrice, comme dans celui de la génératrice
qui décrit une portion d'aire quelconque, il n'y a jamais ni lacune
ni saut brusque. Tant que l'autre système remplit les mêmes con-
ditions, il v a continuité relative.

Kn l'ôsiinn', soil une fonclion ([«iclconquo riM^llo ou iinniçinnirc ,
la variable \)q\\1 élre assujettie à varier eontinùineut entre cer-
taines linn'tes. Quelle que soit , en ce cas, la détermination particu-
lière (lu mode <le variation, il reste caractérisé par l'absence de
tout changement brusque, et la fonction varie, en général, de la
même manière. Aussi longtemps que cette condition, supposée
remplie par la variable, l'est également par la fonction , on dit de
celle-ci qu'elle est et demeure fonction continue de la variable
que Ton considère.

50. Étant donnée une expression quelconque imaginaire

P H- Q i/z~r.

Prenons pour axes coordonnés reclangulaircs les deux droites
Fi(/. 1. OT, OU, et d('signons par m le ])oint déterminé

^' par les équations

wr- (1) . . . . /==.P, u = q,

\ \ T

( p { étant l'abscisse et u l'ordonnée de ce point.

Si l'on pose

/ -+- V \/ — I = re^ ^'"' =^ r cos O -4- \/ — 1 . r sin ô ,
l'on en déduit
(2) . . . . r = l/(- -+- ?/', taui^- 0 = - ,

et, lorsqu'on passe du système des coordonnés OT, OU, au sys-
tème [)olairc dont le |)ole est en 0 et la droite fixe en OT, le point
tn se trouve déterminé par les équations (2) comme il l'était
dabord par les équations (I), le module r étant le rayon vecteur
du point m, et Tarijumeiit 0 l'angle de ce rayon avec, la droite OT.
Supposons le point m situé sur la circonf('rence de cercle décrite

( Hî' )

du point 0 comme contre avec un rayon ('gai à l'unilé, (>t consi-
dérons un second point m' situé sur cette même circonférence.
On aura, d'alxnd, r=\ et, par suite,

X =r cos 0, ?/ = sin 0.

Du point w' abaissons sur Om la perpendiculaire m'p' et dési-
gnons par S' l'angle w'Op' . On a

Op' = cos 6', iii'p' = sin b'.

Soient l\ii' les coordonnées du point w'. En abaissanl du j)oint
in' sur la droite OT la perpendiculaire >»V/, il vient

I' = 0q r=i Op' cos 0 — tii'p' sin ^ ,

i(' = m'q = Op' sin h •+- m' p' cos 0.

Cela posé, puisque l'expression symbolique, qui détermine le
point m', est indifféremment

l' -f- il' \/ — 1 ou bien cos [h -f- h') -+- \/ — 1 . sin (o -+- 0'),
il s'en suit que I on a

cos ( H -+- 0') = \' = cos H COS e' — sin O . sin o',
sin (^ -f- 0') = ?/'= sin H cos 6' -4- cos o . sin o'.

Si, d'ailleurs, on multiplie entre elles les deux imaginaires

cos 9 4 V — 1 sin 0, cos ^' -\- V — 1 sine', on trouve pour pro-
duit

cos 0 cos ô' — sin 9 sin 0' -+- v — 1 [sin 6 cos o' -t- cos 6 sin o'].
On peut donc écrire, en o-énéral,

[cos e -4- t^ — j . sin h\ [cos h' -+- i/ — 1 . si?) e''
=r ro.s (0 -f- 6i') -\- \/ - \ . sin (0 + o').

( hJO )

(^oiîcliion^ que la niulriplif-ntion do^^ oxprossion»; fie la forme
co^o -{- i'^ — I. sino. (OS 6' -t- V"^ — 1. sin o\ s'effectue en n jou-
tant les angles.

J)e là résulte la formule de Moivre *

[eos '; -4- \^— 1 sin o]'" =r eos mh -i- \/ — I sin mo.

S'agit-il ensuite des racines de l'unité? Voiei comment on en
obtient la représentation géométrique.

Soit une circonférence de cercle ayant l'unité pour rayon et
J^ifJ- -■ divisée en n parties égales à partir du point o.

^n-;^ ^^. Si de l'un quelconque des points de division ,
3? /j du point m par exemple , on abaisse sur le dia-

j "/ I . , mètre qui correspond au point o la perpen-
diculaire mp représentée par i( = sin m . —
et qu'on désigne par fr=eosm . — la distance

/

n

ep comprise entre le centre du cercle et le pied de c(^tte perpendi-
culaire, il est visible (pie l'expression imaginaire,

9- <2-

t -\- u \/ — 1 . =- cos m — • -h V — \ . sin m —
n n

est une des raciiU'S >/'""■' de runit('*. On a. en effet,

cos m h V^ — l sin m ^— = cos ^m- -\- V — I sin 2mr = 1 .

// // J

Prolongeons la perpendiculaire mp jusqu'à sa rencontre en m
avec la circonférence de cercle déjà divisée en n parties égales. Le
point m' est comme le point m un des points de cette division. Il

Di-nioinréo d'nhonl pour le cas d'un exposant entier et positif, la foimulc
(le >foivre s'clond sans dillicullé au cas d'un exposant (juclconquo enliei- ou
Iraclionnaii'c, posiliron nr£>aliC, comni(^nsurat»lc on inconnncu'^urable.

( 121 )

s'on«;iiil qno lc>^ rnrinos u'""" (lernnilé qui corro.«;pon(lrnt aux <lonx
points; })}, m' oui, pour soiniue,

î2r/) = 2 ros ïh — ;
//

et, pour produit.

[t -f- u V— \) (t — y V/"^^) = ^- H- ir -^ I .

Désignons par z Tinconnue du facteur du second degré qu il
faut égaler à zéro pour obtenir chacune de ces deux racines. Ce
fadeur csi évidemment,

z^ — 2' (*os m H I .

n

Prenons sur le diamètre or le point a , situé comme on veut à
gauclie du centre c. Posons

ca = z ,

et tirons la droite nm. On a

am rr= nip -t- ap = sin- m h [z — cos m —

n \ n I

2:7
= zr — âr cos m ~ — h I .
n

La conséquence est qu'en désignant par yo5 2/i 5 Vi^ <"!<'•? !/«- 1 ? ^^^
distances comprises entre le point a et chacun des points de divi-
sion, 0,1,2, etc., n — 1 marqués sur la circonférence, on a gé-
néralement

z" — 1 =?/o. y, .?/,... 2/„_i.

Si, sans rien changer à ce qui précède, on doublait le nombre
des divisions, il faudrait écrire

(5) . . . . -"—!=- ?/o . ?/. . \i^ . . . ?/,„_,

( \^n )

On niirail. (railloiiiN, on niomo temps cl do la nioino nianiôr
ainsi qu'il osl aise- do lo Aoii',

(/*') -"-+-!=: JJ^ . y, . ,;. . . . ?/2„_,.

Los cqnalioiis (5) et (i) oxprimonl le lliéorènio do Colo^.

NOTE 1.

Sur f(( cont'rnuitv et la périodicité des foftctio/is d'}n}p variable

imaffinaire.

Soit iino fonction qnoloonque

La variable .r eroissant d'une manière eonlinue entre certaines
limites, il peut arriver que les valeurs correspondantes de la fonc-
tion constituent un système uni(|uo ou plusieurs systèmes simul-
tanés et distincts. Dans le cas où la fonction admet plusieurs sys-
tèmes de valeurs, nous supposons que l'on |)renn<' à part lun
quelconque do ces systèmes, et qu'on le considère isolc'jncnl de la
même manière que s'il subsistait seul. Il suit de là qiu» la fonction
satisfait, en cfénéral , aux conditions suivantes :

l** Elle varie continûment;

2° Elle alîocte à cliaque instant une valeur unique et dcUor-
minée.

Lorsque nous disons de la fonction y qu'elle afTeete une valeur
déterminée , nous entendons exprimer que la valeur dont il s'agit
est ejfecliremenl atteiale \r.\v la fonction, et qu'elle no se réduit
pas à une simple limite vers la()nclle la (onclion sciait couver-

( l-^"> )

i;onlo. Pour Wwn faire c(>ni])reiHlre \v i^ons do cette remni-que,
eoiisidérons en partieulier la fonetion

1

Si 1 on perdait de vue l'impossibilité radicale aceiisée par le sym-
bole et quon traitât l'équation (I) sans tenir compte de cetle
impossibilité, on serait conduit à confondre parmi les valeurs
effectives de la fonction x . sin - la limite zéro vers laquelle cette
fonction converge à mesure (jue la variable x d<M'roît indéfini-
ment. On pourrait alors ne pas aperee\oir la solution de conti-
nuité qui correspond à x = 0, ou l)ien estimer quil n'y a pas lieu
d y avoir égard, l^ne simple remarque sutlîra pour montrer que
la question nest point indifférenle et qu'on doit en iralité mettre
le plus grand soin à distinguer les valeurs e/fecdres de ces autres
valeurs qu'on peut désigner sous le nom de rtdpurs limites en
rappelant ainsi qu'elles restent en debors de la suite formée par
les premières.

Supposons en effet que, dans l'exemple cboisi , la valeur y =r= 0,
qui répond à x==0, puisse èti'c considérée, non pas seulement
comme une valeur limite mais bien comme une valeur e/j'eclive.
Il s'en suivra que la courbe représentée par l'équation (I) atteint
l'origine des coordonnées et que, par suite, elle comporte néces-
sairement un tracé continu ayant cette même origine pour point
de départ. Or il est évident qu'un pareil tiacé est absolument im-
possible puisque rien ne détermine si c'est en s'élevant au-dessus
de Taxe desx, ou au contraire, en s'abaissant au-dessous qu'il
devrait commencer. On voit donc que la valeur»/ = 0 qui répond
h X == 0 n'est qu'une valeur limite et qu'il nest jias permis de
lui attribuer le caractère d'une valeur effective. ■

La distinction que nous venons d'établir ne doit pas être perdue
de vue en ce qui eoncerne l'exacte définition de la continuité.

Reportons-nous aux considérations développées, à partir de la
page no, n" 24 et suivants.

Xons avons dit à la fin du n" /«fi, page 110. qu'en faisant dépen-

( l-H )

(\vo la conlimiilô de In jX'riodicitf' dnns Jos; foiulions d'une variable
imaginaire, on a^ait confondu deux earaetères essenlicllement
distincts. Pour se convaincre de rexactitude de celte assertion, il
sufiit de considérer la l'onction

En y jxjsant

X =r= r (cos f) -4- 1/ — 1 . sin h),

on trouve pour les fonctions désignées au n" :24, page fil, par

l Ti -^ 5

V (/•, o) = r eos - fj, i (/', e) = r' sin - ^.

Il suil delà que la fonction x- est et reste continue pour foute
valeur du module v. On voit d'ailleurs qu'elle ne reprend pas
pour e = i>~ la valeur qu'elle affecte pour 0=0. FJIe n'a donc pas
la périodicité voulue pour être dévelo])pal)le en séiie convergente
suivant la formule de 3Iaclaurin, et ce n'est pas le défaut de con-
tinuité, mais bien celui de périodicité qui accuser ici l'impossibilité
du développement.

Nous avons démontré au u° !2fi, page fiC), le tbéorémc suivant :

Toute fonction est dêveloppable en série convergente siiirant
1(1 formule de Tat/lor ou de Maclaurin tant que le module de la
variable reste moindre que la plus petite des valeurs pour les-
quelles la fonction cesse d'être continue ou de prendre mihnes
valeurs aux deux limites 0=0, 0 = 2t. Lorsqu'on dépasse la plus
petite de ces valeurs la série deviott divergente.

31. Tehebicbeif a proposé en i844 (Journal de Crelle, tome
XXYIII), un autre énoncé dont je n'avais pas connaissance et qui
se trouve reproduit dans le mémoire déjà cite de M. Marie. Voici
cet énoncé :

« La série de Taylor

/•(,,) -,.f /•'(,,) ,. _i_ /•'(,,) .^„p.

( l-^-> )

» est divergente ou convergente suivant que le module de z est
» plus grand ou plus petit que celui de la valeur imaginaii-e x qui
» rendrait infinie ou discontinue une des fonctions,

f{a -H x), f'(a ^- x), f"(a -\- x), ele.

Pour que ces deux énoncés concordent, il faul que la condition
de périodicité, lorsqu'elle est remplie par une fonction continue,
ijnplique en ce qui concerne toutes les dérivées successi^es, la
condition de continuité et réci])roquement. C'est en effet ce qu'on
peut établir, connue il suit, d'une manière générale.

Partons de notre théorème et considérons une suite de séries,
toutes ordonnées suivant les puissances ascendantes de la \ariable,
et déduites les unes des autres })ar dérivations successives. On sait
que si l'une quelconque de ces séries est convergente pour toute
valeur de la variable inférieure à une certaine limite, chacune des
autres remplit en même temps cette même condition. De là, et eu
égard à notre théorème, résulte en i)remier lieu la déduction sui-
vante :

EliUit (h/i/têc la s ut le in/ùtie des fo/if lions

/'(a -f- x), f'(a + x), /""(a -4- j;), etc.

Si y pour loule valeur du module inférieure à une certaine
limile, lune (juelco/ufHe de ces fonctions reste continue et reprend
mêmes vcdeurs aux deux limites o = 0, 6 = 277, chacune des au-
tres remplit en même temps ces mêmes conditions.

On voit ainsi, (luunc fonction ne peut être continue et pério-
dique * pour toute valeur du module inférieure à une certaine
limite sans que ses dérivées successives ne soient en même temps
continues **.

Lorsque nous disons ici que lu fonction est périodl(iue, nous entendons
exprimer qu'elle reprend mêmes valeuis aux deux limites 5 = 0, 0::=i!ir.

"* Il est clair (jue c<>s deri\ées ne sont pas seulenienl continues, mais qu'elles
sonl aussi' peri(»di(pies.

( 1^^^ )

Supposons (jiic la ronclion donnée [{a -^ jî), soil conlinuc à jmr-
lir de /• = (), et quêtant d'abord périodique, elle cesse de l'être
avant de subir aucune solution de continuité. Pour établir la réci-
l)roquede la pioposition précédente, tout se réduit à démontrer
que les dérivées successives comprises dans la suite infinie

f{a H- X), f"{a -f- x), f"'(a -+- x), etc.,

ne peuvent toutes rester continues alors que la fonction /'(«-♦- j)
cesse d'être j)ériodique.
Soit

/•(« -+. x) ^ f(o -f- re'^y^) ==. 'v(r, 0) -h [/ZZJi^r, h).
Obser\ons dabord que pour r=^Oj on a nécessairement
.(r, 0) -^ .(r, i>7r) = /•,«), H^'^ «) = M^ '^^) - 0.
Lu condilion de jjérlodicitê suhsiate donc d l'origuiL'.

Soit R la valeur du module au delà de laquelle la périodicité
n'a plus lieu, bien que la continuité persiste. Cette valeur peut être
aussi petite qu'on veut, elle peut même se réduire à zéro, sans
modifier en rien les déductions suivantes.

Les fondions -^{r, o), ■dj[r,H) ne cessant })as d'être continues et
périodi<[ues pour toute valeur du module (]ui ne dépasse point
la limite 11, il sen suit, d'abord, (pi'on a généralement

f"{a -4- X) =- /■; [u ^ vii^ *^'^) = v;: (7'j ^^) -+- V'-\. 'P';, {r, o).

11 s'en suit, en oulic, (juc la dérivée (pielcoïKpie /"{a -h re^^ ~')
reste continue et j)ériodi(|ue pour toute valeur du module infé-
rieure à R. Est-il possible que la continuité et la périodicité de la
dérivée /'"{a 4 r«®^~') s'étendent toutes deux au delà de cette
même limite? l'Jiuh'mmanf non \ Il faut donc qu'à partir de la

' Si l;i cléiivcc f"^((i +- re^^' -') puiivail trancliii' la liiiiile H cii ivslaiil cuii-
liiiUL' cl [K'ii(Kli<i(ic, la loiiclinii cluiiiicr /'(((-hj) = f { a -\- rc^^\^' - ^) rcniplicait
iiocosaiimiciil et lie uicuic cuiidiliuii, t«j (|ui l'sl (.oiidaire à l.'l)V|»ullièb;o
admise.

( l-i? )

limite II la roiiclioii f"{a v- la''*" " ') dcvieiiuc discoiiliiuie ou bien
qu'elle cesse d'èlre périodique. Cesse-telle d'être périodique sans
devenir discontinue? Les équations de condition

ru'l (/', i>7r) — v;' (r, o) -- 0, ■>;: (r, -27r) — ^; (r, u) = o,

subsistant pour toute valeur du module inférieure à 11 et n'ayant
plus lieu au delà, il en résulte (jue les expressions

.;:(>■, :2t)-v;:(>-,o), ^;;(r,2T)-^;:(r,o)

sont dabord indépendantes de r et que, parlant de zéro, pour
r ^^R, elles dcAiennent et restent fonctions eontinues de r pour
une suite non inlerrom})ue de valeurs toutes supérieures à R.

Cette déduction s"aj)plique indistinctement à toutes les dérivées
de la fonclioM f\a -\- x). Si donc il n'était aucune de ces dérivées
qui cessai d èlre continue, à partir de r^=^ R, il faudrait que cha-
cun des termes des deu\ suites infinies

[',;(R -^ r, i>:r) - .;.(R -f- >•, o)], [.';(R -^ r, ^1^) -^ y;(R ^ /•,o)],
[v;"(H-+-r, ^j7r)~.:(R-t-r,o)],etc.,

[^.(R -4- /•, ^irr) - ^[W -H r, 0)], [fM H- r, ^lix) - ^';(R -v- /•, o)],
[^:."(R-f-r,27r)-.^',"(R-i- /•,«)], etc.,

pût satisfaire en même temps à la double condition de s'annuler
avec le module /• et de rester fonction continue de ce même mo-
dule dans un certain intervalle compté à partir de r=o.

On démontre aisément que la première de ces conditions est in-
compatible avec la seconde *. 11 en résulte que si la fonction don-
née f(a -\- x) cesse dètre périodique en restant continue, il est
impossible ([ue ses dérivées successives demeurent tontes finies et
continues dans un intervalle quelconque a}ant pour origine la

* Voir, page sui\aiiU', la iiolc sur les Jonctions dont toutes les déiivées suc-
cessives s'auiiuleul on mOnie leun)s poui' une inéme vaieui' de la variable.

( lr>8 j

Jiiiiile au-delà de hiquellc il n'y a plus périodicité. Ceh» levient à
dire que, dans la suite infinie des dérivées suwessives, la eontinuilé
ne peut s'étendre plus loin que la limite R.

Concluons que les deux énoncés reproduits ci-dessus peuvent
être considérés comme équivalents. Le premier a l'avantage de tout
ramènera lexamen direct d'une seule et même fonction, qui peut
être indifféremment , soit la fonction donnée, soit l'une quelconque
de ses dérivées successives; le second présente l'inconvénient de
faire intervenir à la l'ois toutes ces dérivées : néanmoins, comme
il fait tout dépendre d'une condition unique, la continuité, il peut,
en certains cas se mieux prêter aux applications. Sous ce rapport
on doit les connaître tous deux et se servir de f un ou de l'autre
sui\ant les circonstances.

iNOTE II.

Sur les foitx(ivf(6 ifunt toutes les dètivèes successives s'utnndeut eu
tuème temps pour nue même valeur parliculicrede lu variable.

.^oit

(I) -y-M

une fonction quelconque, supposée telle que toutes ses dérivées
successives s'annulent en même temps poura: = ^^ Imaginons,
s il est j)ossiblc.que la l'onction i/ et ses déri^écs successi\ es soient
toutes continues de})uis a' =« jusqu'à x=a-i- Il La formule (I)
du n" Iti, page ii, <l(mne identiquement

(!>). /\a ^ h) f\a)---—y--~^^\Ui--a)'^r'-'{a-ilia),

( i-^0 )
et le nombre ii i)cnt être pris aussi grand que l'on veut. De là ré-
sulte

(5). . •Mlr-^\a-^liu)>~^[/\a-^h)-~f(ai].

Attribuons à h une valeur queleonque, aussi petite quon veut,
mais déterminée. Si Ton prend pour n des valeurs de plus en plus
grandes, le second membre de l'inégalité (5) croît indéfiniment et
peut ainsi dépasser tout degré de grandeur assignable. Cela revient
à dire que l'intervalle h ne peut jamais être assez petit pour que
la moyenne M' /"'* + * (« -+- hu) ne devienne pas infinie avec le nom-
bre n. La conséquence est que les dérivées comprises dans la suite
infinie,

/'(« -h hu). /'■'(« H- hu), l'"'{a -+- Jiu), etc.

ne peuvent pas être considéi'ées comme satisfaisant toules à la
condition de ne subir aucun changement brusque lorsqu'on passe
de la valeur ;^ = o à une valeur quelconque aussi rapprochée qu'on
voudra de la première.

Pour peu qu'on réfléchisse sur les rapports existant entre l'ac-
croissement d'une grandeur et les vitesses exprimées par ses dif-
férentielles, il semble ([u'unc même valeur de la variable ne jjuissc
jamais annuler en même temps toutes les dérivées successives
d'une même fonction. Telle serait, pensons-nous, la conclusion
générale à laquelle on aboutirait, si Ton distinguait toujours les
valeurs effectives des valeurs limiles * et que l'on rangCtàt parmi
les dernières toutes celles qui correspondent à l'apparition du
symbole - . Quoi qu'il en soit, dès qu'on procède comme on le fait
habituellement, il y a lieu d'admettre qu'il est des fonctions dont
les dérivées successives s'annulent toutesensemblepour une même
valeur de la variable; je cilerai, comme exemple, la fonction

!J = ^

* Voir la iiolc qui i»icceili'
Tome XV.

( i-M )

Lorsqu'on pose x = o , la continiiitc subsisUuil par hypothèse,
on a pour ^ aleur effocti\ c

y = o.

S'agit-il cnsuilc de la dérivée d'un ordre quelconque n? On
trouve aisément que la limite vers laquelle eclte dérivée converge,
à mesure que la variable x se rapproche de zéro, a pour expression
générale,

"r.y 1

ë)'>

Fa i son.'

I

et observons (juc, j)our avoir x =o, il faiit [)oser in -= x
Le dénominateui'

devenant

on voit qu'il satisfait aux deux conditions suivantes :

1" Pour toute valeur déterminée de n il croit sans limites avec ni;

2" Pour toute valeur déterminée de «i, il converge vers zéro
en même temps que le nombre ii est pris de plus en plus grand.

On reconnait ainsi que , s'il est permis de dire de toutes les dé-
rivées de la l'onclion e '-qu'elles s'annulent pour x -=o, il faut
ajoutci' en même temps qu'il n'existe à partir de zéro aucun in-
tervalle (lu'clles puissent taules franchir sans passer brusquement
de zéro à une valeur indéfiniment grande.

Im;ii;inons (pi'à la lonchon

( l-'l )

on substitue cette nutre fonetion

ce que nous a\ons dit de la première, par rappoil à la valeur
jr=o, s'applique à la secojide pour la valeur x = a. 11 en résulte
que s'il s'agissait de développer, suivant la fornnde de ïaylor, une
expression de la forme

F {x) = f(x) + e~^'^^-^,

el que, partant de la valeur x = a^ on écriNÎt

X — a (x — ciY

K(x) = F(a) + --- -^ F' (a) + '-^ P"{a) -.- etc.,

la série, supposée convergente, se réduirait au développement
exclusif de la fonction f'(x). Cette anomalie apparente s'explique
en observant que, i)Our être en droit d'appliquer la formule de
Taylor, il ne suffit pas que les valeurs aff'ectées poui' x = a par
cliacune des dérivées suecessi^es F'(x), ¥"(x), etc., fassent cou-
verger la série

X — a (x - — u)'

(4) . . F((.), — — F'("), ^-j~^V"{<,),cU::

il faut en outre cpie re\])ression générale

devienne indéliniment petite à mesui'c que le nombre n est pris
de plus en plus graud, et cela, pour toute valeur de h inférieure
à une certaine limite déterminée. S'il arrive, comme dans l'exem-
ple choisi ci-dessus, que cette limite n'existe pas ou, ce qui revient
au même, qu'il faille la faire converger vers zéro à mesure qu'on
allri])ue à n des valeurs de plus en plus grandes, il s'ensuit que

( ro-2 )

ce n'est point comme d('velop])ejiient de la fonction V{.v) que la
série (4) peut subsister. La marelie suivie pour pan enir à la for-
mule de Tavlor ne laisse aucun doute sur ce jioint.

En appli([uanl à la fonction e' '- le procédé de Iransforjuation
<[ue comporte la règle du n" 2(>, [uige 70, et posant, en consécpience.

j =: )■ (cos t 4- {/ — 1 . sin Oj.
On a (Fabord

jc^ == r- [cos i>0 4- \/^ sin -Àh] ,
puis

— =::.- [cos 2<) — l/— ^Fsin "Ih] ,

et, par suite,

sin ^o\

± -/-^^/ sini>. _- .

■" = e '' (cos — ^ h K — 1 sm

De là résulte en général, pour 0= — ,

1 j_

II suit de là (pie Ja continuité ne s'étend })as jus(iu'à /• = o. Le
développement suivant la formule de Maclaurin est donc impos-
sible.

( 1^^ )

NOTE III

S ter quelques cipplicalions de l(( formule de Mtuhmrin.

Dèvehppemeni d'une foncHon suivant les j}fffssances entières
el positives d\ine antre fonction de la même variable. — Soient F(ar)
ot 1, {x) doux fonctions données d'une même variable x. Si l'on pose

(I) ï/ = fW-r("),

a vlnnl une constante , la fonction V(x) devient dépendante de la
variable //, et l'on |)eut écrire en conséquence,

(2) • • l'W^Av).

Désignons par A. 1>, C ce (juc de^iennenl les dérivées /' (//),
/"(v/), /"'(/y), etc., loisqnon les e\piime en lonclion de la \ajia-
ble X. La combinaison des é(pialions (I) et (ii) doinie successive-
ment,

F'{x)
nu) ==-T7~==A,

\

c; (x) \(fx/

(■'^ • • • ■ ^^ /■'■« = 7^ -IjJ-'''

1 (dA'
Ixj

'dm

et ainsi de suite indéiiniment.

Sup|)osons que la fonction /*(?/) soit développable en série eon-
^eri;enle suivant la foi-mule de 3faclaurin : On a

/■(y) = /•(„) H- I /-(O) + y^ /■"(») + '^"•-

( 1^'^ )

on, ce (jiii revient .lU inèiiie,

(?W-v(<'))'

1 . 2 . o

1 . ^2

les coellfîcienls A„, B„, C„, etc., n'étant autre chose qne les valeurs
affectées pour x = a par les fonctions A, B, C, etc.

Veut-on substituer aux coeflicicnts A„, B„, C„, etc., leurs valeurs
respectives? Les équations (o) donnent

B _ r'(a)^'(a)-¥\a)."{a)
(:>) (' " " [?\a)f

I _ V'"(a) f(ay- ô F'» -/VO -/((/) H- oF-(a)y-(»f-F» r»^X^O.

L"é(juation (4) peut servir en général à déveloi)pcr l'une par
l'autre les deux fonctions données F(.r) et <.{x). Elle se simj)lifie
lorsque la valeur x = a est choisie de manière à annuler ç. («) :
elle tombe en défaut lorsque cette même valeur fait évanouir la
dérivée '/(«)•

Heloiir des suites. — Dans le cas du retour des suites, on a, })ar
hypothèse,

(x — af , (x — aY
y ^ . {x) - V (a) - h {x - a) -+- c ^ J --h d j-y^ ■+- etc.,

*
et, ce qu'on se propose, c'est de développer x suivant les puis-
sances entières et positives de la variable y. Posons F(x)=x : On
en déduit,

1 c ôc^ — })d

A„=-r, B„ = --, C„^- , etc.

h I) (y

( l--^» )

De là n'suUc iiiiDK'diatcniciit le (h^ oloppoincnl clicrclH'

y y (■ y" m- — hd

x = a -^ ^ — -- — -4- — ^ . — etc.

h 1 . ^2 >' 1.2.3 h'

Résolution approcliée iJes éfjualiotts /lumérù/ïies. — Dans le
cns où Pou prend pour x une racine de l'équation

et pour (1 une valeur approchée de cette racine, la différence

étant petite, la série (4) peut converger rapidement et fournir
ainsi un moyen prompt et facile de calciïler la racine x avec tel
degré d'approximation que Ton vent. En effet, si Ton j)ose comme
tout à l'heure, F(x) = x, il en résulte F{a) = a; et, comme on a
d'ailleurs v(:r)==o, il est visihle que l'équation (4) donne immé-
diatement,

x = a - \,rr(a) -4- B„ f^- - f; -i^ - ^- ^'Ic
1.2 I . z . .)

( iriCi

JNOTE IV.

Sur la couver ff en ce et la divergence des séries.

On entend i>ar série une suite infinie de termes qui dérivent
les uns des autres sui\ ant une loi déterminée.
Soit une série ()ueleonquc

(I) "n, ''i, thy ?^,; etc.

r.onsidérons la somme de Ji premiers termes, et j)osant

^,z = ^'o -t- ffl -H ?^2 -+- ftC. -t- U„^i ,

imaginons qu'on attribue suecessivement à n tontes les valeurs
comprises dans la suite infinie

!, !2, 3, 4, y), etc.

Deux cas sont possibles selon que la somme S„ finit ou non par
eon\ergcr vers une limite d('lerminée. Dans le premier cas on dit
de la série (I) qu'elle est convergenle, et (ju'elle a pour somme la
limite dont la somme S^^ se rapproche indéfiniment pour des va-
leurs de n de plus en plus grandes. Dans le second cas la série est
dite divergente.

Pour qu'une série soit convergente, il faut d'abord et avant tout,
que les termes qui s'y succèdent en nombre illimité finissent par
converger vers zéro à mesure qu'ils s'éloignent davantage. En effet,
s'il en est autrement, suivant qu'ils ont tous même signe ou qu'ils
sont alIciMialivement de signes contraires, leur somme croît sans
limite, ou elle oscille sans fin entre des valeurs brusquement diffé-
rentes.

La condition qui vient d'être énoncée est toujoui's nécessaire :
elle ne ^-ufiit. en i>('néral. que dans le cas où les tenues de la Sf'rie

( 157 )

cliangent un à un de signe. Voici d'jiillonrs , en ce qui eonccrn»-
/es séries dont les lermes sont tous positifs * , les caraclèrcs les plus
simples auxquels on peut reconnaître qu'elles sont eonvergenics
ou qu'elles ne le sont pas.

7^ y a convergence ou divercjence selouf/ne^ù partir d'un terme
el pour tons les suivants, Vuneou l'autre des expressions

'fn+i .>— logn
' V u„ ,

10 •

'»

reste toujours inférieure à l'unité ** o?^ <iu\ni contraire elle n^est
jamais moindre que un.

Dans le cas oit le rapport — — a l'unité pour li)nite supé-
rieure, on peut écrire , en (jénéral,

= — — et hni = I.

U,^ I -f- V I -]- '/

Il y a d'ailleurs, convergence ou divergence, selon rju'à partit
d'un terme et pour tous les suivants le produit nx remporte sur
un d'une certaine (ju((nfité ou qu'au contraire il n'es! jamais su-
périeur à un.

Les règles que nous venons de résumer en quelques lignes
peuvent se démontrer comme il suit : .

^'m h- 1

i" Scion que le rapport est toujours inférieur à la frac-
tion quelconque r ou qu'au contraire il reste au moins égal à
l'unité, on a

u,^ 4- n„^i -f- /^,+2 -+- <'tc. < (.\, [l -f r 4- ?•■ -+- elc] < ?

* Le cas crune série oh les lermes sont tons négalifsse ramène évidemment
à celui oii ils sont tous positifs.

** Xons entendons par là qu'entre rnnilé et la liniile vers laijuelle l'expres-
sion considérée peut cire converi^enle , il existe nn certain écart.

( l">N )

ou hicii

//„-+- t(„^i H- K„^i -f etc. ou U,^[\ -+- 1 H- 1 + I -\ ck'.). •

>

Il s'en suit qu'il y a converojeneo dans le premier- cas et diver-
gence dans le second. ,,

2' Selon que l'expression rn,, est toujours inférieure à la frac-
tion quelconque r ou qu'au contraire elle reste au moins égale à
l'unité, on a

,,«

"n -*- "--Hi -^ '',H2-^ etc.<r" -h r"+* ^- r"-^--»- etc. < '

1 — r

ou bien

f(„ -+- ^^,+, -+- if„^i -f- etc. ou I -f- 1 -f- 1 -4- etc.

11 s'ensuit qu'il y a convergence dans le premier cas el diver-
gence dans le second.

5" Les termes de la série (1) étant par hypothèse, tous positifs,
supposons en outre qu'ils décroissent constamment à partir du
premier.

Si, partant de la série (I) on forme cette autre série

(2) Uoy ^2ui, iu-^f Sw-, Urifi^, etc..

il est ais<* de voir que l'on a, d une part.

Vo -^ 2//, -♦- ïn- -f- etc. > u,, -+- (w, -^ n.,) ^ (î/j, f. ?/j -4- n,. -+- k^)

-h (k-; -+- ?/,s -+-...)-+- etc.
et . daulre |)ai't,

?/„ -4- 2y^ H- i/N.-t-elc.<y/o-+-2 , " ' , , •

I -+- (//(-+- Ha -^ y^; + it-;) ■+- etc.)

Il suit évideunneni de là cpu' les séries {[) pf ['2)soule/t même
temps on taules (U-kx coincrifenics an lotdes deftx divergentes.

( i^î> )

Posons // , = . Los séries (I) cl {"2) dcviomienl respect ive-

ment, la première

1 1 1

(5) 1, — . -_-, .-, etc.;

\ / ^2'" ô'" 4"'

la seconde

(4) 1, 2*-'", 4'-"', 8'-'", etc.

Or, la série (4) est convergente ou divergente *, selon que l'ex-
posant m remporte ou non sur l'unité. 11 en est donc de même de
la série (o) : convergente pour toute valeur de m supérieure à 1 ,
elle est divergente pour m=-- 1 et pour toute valeur plus petite.

Cela posé , selon que le rapport

lOiÇ )l

^ r

log —

est toujours inférieur à la fraclion quelconque - [tn étant plus
grand que I), ou qu'au conirairc il reste au moins égal à l'unité,
on a généralement

I ,. = I

)i<i — ou bien tr ou — •
H'" y n

Dans le premier cas, il vient

\ I I

î/„-+-7/,H-i-^- "'M-5-+-rtc.< --- -4- -: -— -+- — -+- etc..

;/' [n -+- I) [li -+- 2)'

et il V a convergence, puis(juc par liypothcse m est plus grand
([ue 1.

* Il est visible que la série (i) est une progression géométrique décrois-
>aiite ou croissante selon que Pexposant m est, ou non, plus grand que l'unilé

Dnns ]e second cas, il \ienf,

= 1 I I

II,, -\- iiuH-\ ^- '^+2 -t- i'If. OU h 1 1- Ole.

et il y a divorgeucc. ainsi qu'on l'a vu tout à riioure et quon peut
d'ailleurs le reconnaître directement \

i'^ Supposons que, dans la série (1), le raj)portd'un terme au
précédent finisse par converger vers l'unité, tout en lui restant
inf(>rieur. On a , en ce cas,

et si l'on allrihiu- à y/ des valeurs toujours croissantes

liin = 1

I 1- a

Consid('ions la série (5) où le rapport d'un terme a>i précédenl
a pojir expression ij,énérale

I 1

1 y" m m (m —1)1 m (m — \ (m — î2 1

1 H- - 1 -h - H ^ — — ^ — -+- — ' -T H- etc.

nJ H 1 . i> H^ ! . t> . ô /!'

Loi'scpu' le produit jt a a pour limite un noml»i'e j)lus grand (pm

On :t

1 1 f ^ ^ 1
r -f- H- etc. H- -— > " • T" > -;

1! sVnsuil (iiiolasôno - , ■ , , ('l(\, est ovidiMiimenl clivor^'piil<

( l''l )

l'imilé, on peut écrire pour toute valeur de n qui dépasse uu cer-
tain degré de grandeur

in{m — V) I m {m. - \){m — 2) 1

(o). ny-ym 4- — • — \ ; — - — ^ -f- etc.

^ ' 1.2 n 1.2.3 n'

m rdml plus yrand r/ue I.

Di\ isons par n les deux membres de rinégalité (5) et ajoutons 1
de part et d'autre. II vient

ni m {in — l) 1

1 -4- a > 1 H 1 -h e

n 1.2 n-

"••>[' -J

et, par suite,

1

((i). ...... ---<

- [-i]

L'inégalité (0) lait voir que dans la série (I) les termes finissent
j)ar décroître plus rapidement qu'ils ne le font dans la série (5).
Or, celle-ci est convergente pour toute valeur de m supérieure à
l'unité; il l'aut donc que la première le soil à forliori toutes les
l'ois que l'on a

lim n .y.y 1.

Loj'sque le lU'oduil ua ci'oît avec n sans jamais dépasser Tunilé,
on a })Our toute valeur de ji ([ui excède un certain degré de gran-
deur

yea ou I.
<
Il en résulte

= , I . I == I

1 -4- a OU l -i — Cl par suite ou

^ ^ I -f- -

//

La dernière inégalilé l'ail voir (juc dans la s<''i'ic (I) les Ici'n;

( i^i ;

finissent par décroître moins vile ou , tout au plus, aussi vite ((u ils
le font dans la série

I 1 1

— 5 — - — 5 , etc.

n n -^ \ y* H- 2

Or, celle-ci est divergente. 11 faut donc qu il cji soit de nièinc de
la série (1) , lorsque le prodnit nv. croît avec ti sans jamais dépas-
ser l'nnité.

Indépendamment des règles exposées ci-dessus et choisies parmi
les plus simples, il en est encore une que je vais établir comme ap-
plication de la théorie des valeurs moyennes à la convergence des
séries dont les termes sont tous positifs.

Soit w„ le terme général de la série (I). Si l'on pose

on peut admettre qu'à partir dune certaine valeur n = in, la
fonction f(n)uc cesse pas de décroître continûment et de conver-
ger vers zéro à mesure qu'on attribue à n des valeurs de plus en
plus grandes. Cela posé, il est visible que l'on a, dune part

..w-f-l . i»i'" + '^ ^ ,,'«-+-3

^l. Un <'Un,, i^l«-fi «. <î^»^-l, >ï».-i-2 <^, <«^«-, -2, etc.,

et, d'autre part,

__Mi4-l _,w-|-!î 11 "'"{"3

M„» i(n^ ^m-^iJ >J,n-|-l <'n> "m-f2; Mm4-2 '^, > "m -f 3? ^tC.

De là résulte, en prenu'er lieu,

(7) M„, ii,^ -\- >I„..i., (i„-+-^>\,„-^. u„-\- etc. <<^„, + '^„_|-,-^-/^,^.;i-+- etc.,
et, en second lieu,

(8) M,,» ■w„-t-M,„4.,i/„H-AU4.2/^-^ etc.>/^„^,4-«„,^2-f-i6,„^.-+ etc.

On a d'ailleurs , en désignant par F(><) la fonction dont la dérivée

est /'(y?),

(t)jiAi;;;^'^/„-4 3i;;;xî<'»-+-etc.-+-3i;;_,?/,.=(/;-y>/)M;;,//,.=F(y>)-F(>y^).

( l'^3 )
Combinons l'cquatioii (U) avec les inégalités (7) et (8). Nous
aurons en même temj3s

(10) . V{p) — ¥{m)<u„, -+- u„,^i -+- etc. + u^_^,
et

(11) . F(p) — ¥(m)y '«,,^., + <^„_i.-2 -t- et<'. h- ;/,,.

La simultanéité des inégalités (10) et(ll) montre que la série (1)
est convergente ou divergente, selon que la fonction F (?i) con-
\erge ou non vers une limite déterminée pour des valeurs de u
indéliniment croissantes.

Considérons, en ])arti(ulier, la série

4 1 1

(v ' ' • ■ • ^» ;^,. ' ^. ' 77' ^'1^^'j

On a
et, par suilc ,

II en résulte, conformément à ce qui précède, que la série (12)
est convergente on divergente selon que l'exposant r est, ou non,
plus grand (|ue l'unité.

Re)nar(jfie relative aux séries doni les lermesjie soul pus tous
de même signe. — Etant donnée une série dont les différents termes
se succèdent sans cesser de présenter des changements de signe,
on peut la transformer en prenant tous ses termes positivement.
S'il y a convergence api*ès cette transformation, la convergence
s'étend délie même à la série donnée. Celle-ci, d'ailleurs, peut
être convergente alors que sa transformée ne l'est pas. C'est ainsi,
'par exemple, qu'une série dont les termes finissent par converger
vers zéro et par prendre altcrnatiNcmcnt des signes contraires est

4 1

1

ï' 5^

5 7

4'

fin) =--

1

n'

V{n)==

1 — /•

( 14i )

toujours coiivcrgonlc, tandis qu'elle peut devenir divergente par
rela seul qu'on donne le même signe à tous ses termes. Telle est,
en particulier, la série

, I 1 l 1

1 , - 5 —5 5 —5 etc.

2 5 4 5

On observera que, dans le cas où les alternances de signe s'ap-
pliquent à l'ensemble de plusieurs termes, on peut grouper les
termes qui se succèdent sans changer de signe, former de chaque
groupe un terme unique et ramener ainsi la séi'ie donnée à une
série dont les termes sont alternativement, l'un positif, l'autre né-
gatif. Pour (ju'il y ait convergence il suffit alors que dans la trans-
formée les termes finissent par converger vers zéro à mesure qu'ils
s'éloignent davantage.

( 14o

DEUXIEME SERIE,

.% I*P L RC ATlOi'VS» C; ÉOMËT Hlf^U i:«.

CHAPITRE 1".

I.NTERPRÉTATIOA GÉM- UALE DE l'ÉQI ATION DIFFÉREMIELLE

dij = /''(x) . dx
AVEC EX,TE>:blO> AUX DIFlÉllEMIELLES DES OKDUES SLPÉRlELliS.

'il. Soient X et ij deux i^raiuleurs quelconques, dépendant riiiic
de l'autre et liées entre elles par la relation ,

(1) • y = /(x).

Lors(pi'on suppose ees grandeurs incessamment variables et
({non désigne, par x ou dx pour la i)rcinicre . par ^ ou dy pour la
seconde, leurs dinV'rcjiliellcs res})cctivcs, on a, en général,

ou ce qui roient au incnie

(4) dij.=^f'(x),dx.

Soient ^7 et (j les [.oinlsqui décrivent les longueurs quelconques,
ou, plus simplenicnt, les segments de droite substitués comme
Tome XV. ' 10

{ li« )

équi\ aïeuls iuiinéri(|ucs aux grandeurs x el y. On sait que les ilil-
fércnlielles dx el dy ne sont autre eliose que les vitesses respee-
tives et simultanées des points décri^ants/) clq. Si, d'ailleurs, on
désigne par ax et a?/ deux accroissements qui se correspondent à
partir d'une origine quelconque déterminée, la valeur attribuée à
la variable x restant la même dans les équations (I) et (:2), on a,
en même temps ,

(5) A/y= A.I'.IVC^'./».

Lorsque l'on attribue à x une valeur quelconque déterminée,
on fixe par cela seul, d'une part, l'origine des accroissements ax
et A^, d'autre part, le rapport qui s'établit à cette origine entre
les vitesses simultanées des points p et q. Imaginons qu'ayant fait
cela, on assujettisse les points p et q à conserver les vitesses qui les
animent à l'origine des accroissements considérés : les longueurs
qu'ils décrivent dans celte hypothèse conservent entre elles le
même rapport que leurs vitesses res])eclives, devenues consfanles.
La conséquence est que l'équation (^) comporte en même temps
deux inlerprétations distinctes, les différentielles dx el dy pou-
vant être indifféremment, soit les vitesses des points p et q à
l'origine des accroissements ax et a?/, soit les longueurs décrites
simultanément par ces points, dans l'hypothèse où ils conservent
les vitesses qu'ils ont à cette origine.

Plaçons-nous à ce dernier point de vue. La comparaison des
équations (2) et (5) s'accorde avec la déduction j)récédenle en fai-
sant voir que, pour une même valeur (luelconciue aUribuéeà dx
et à Ax, il y a identité entre la différentielle dy et ce que devient
raccroissemcjit ù^y, lorsque, au lieu de rester incessamment \a-
riablc dans rintervallc ax, la dérivée /"'(x) est assujetlie à conser-
ver, })our toute retendue de cet interAalle, la valeur ({u'elle y
affecte à l'origine.

De là résulte le principe sui\anl :

LorsqKOii allrihne à la lan'ahle \ une vtdi'in- quelcu/Kiui' dv-
tenninèe et qu'an fixe, jxa- cela inrnw, la valeur correspondante

( l^i-7 )

de la dérivée t"{\), les di/férenh'elles ily , dx peuvent être considé-
rées comme des différences ordinaires, ayant même origine que
les accroissements e/fectifs ày,\ x, et conservant entre elles un
rapport invariable.

52. Le principe qui vient d'être établi s'étend de lui-même aux
différentielles de tous les ordres, la variable x étant prise pour
variable indépendante et assujettie à croître ou à décroître unifor-
mément. En effet on a, généralement, d'une part,

d"y = f"(x) • dx",

et , d'autre part ,

A"// = ^x" .Ml!"*" V"W *•

H s'ensuit que si l'on attribue de part et d'autre une seule et
même valeur aux deux quantités f/x et ûx, il suffit, pour identi-
fier la différentielle d"jj avec la différence ordinaire du même
ordre à"i/ de soustraire la dérivée de l'ordre n, /""{x),aux cban-
gements qu'elle subit dans l'intervalle ^x et de l'assujettir à con-
server, pour toute l'étendue de cet intervalle, la valeur (|u'elle y
affecte à l'origine. Ce résultat peut se formuler de la manière sui-
vante :

Lorsqu'on attribue à la variable x une valeur quelconque dé-
1er minée, et qu'on assujettit la dérivée de l'ordre n, f"(x) à con-
server pour toute l'étendue de l' intervalle ax la valeur qu'elle
affecte à l'origine de cet intervalle, les différentielles (\"y, d\"
peuvent être considérées comme des différences ordinaires ayant
même origine que les accroissements effectifs M', ix et conservant
entre elles un rapport invariable. *

Il est bien entendu, d'ailleurs, que si les différeuticllcs d"jj et
dx" sont considérées connue des différences ordinaires, la pre-

* Voir au besoin, pour ce qui coiiceiiie les ditïeicuUeiles des ordres supé-
rieurs, le chapitre ^' des applicaliom analytiques, ii" 8, pages :2ri et suivantes.

( I ''« )

jiiièrc est une diilerenee de l'ordre u , laiulis (iiie la seeondc est
la n'""' puissance de la différence dx ou ^x.

jô. Les considérations développées dans le n" ô\ conduisent
à j)Iusieurs déductiojis que nous croyons devoir indi(iuer, tout en
avertissant le lecteur quil peut passer outre et les laisser à l'écart,
s'il éprouve la moindre difficulté à les bien entendre. Ces déduc-
tions ont, à nos }eu\5 une certaine importance et nous pensons
qu'elles offrent, non-seulement et pour certains cas, un secours
utile, mais aussi et généralement, un intérêt métaphysique très-
digne d'attention. Quoi ({u'il en soit, elles s'écartent assez des idées
i»énéralement admises pour soulever des objections spécieuses, et
d'ailleui's, il nous est aisé de poursuivre sans nous appuyer sur
elles. Si donc nous les indiquons, cest en laissantau lecteur toute
liberté d'en prendre ce qu'il voudra, rien même, pour peu ({u'il
les juge autrement (|uc nous. Voici ces déductions dont l'énoncé
suffit, soit parce que nous les avons déjà démontrées ailleurs,
soit parce qu'il est très-facile de les établir comme conséquences
des principes fondamentau\ exj)Osés dans le cours de cet ouvrage.

1" Dans toute fonction continue, ?/ = /"(a[;), la génération simul-
tanée des accroissements ^y et ^x commence, en général, suivant
une raison de proportionnalité incessamment variable. Cette rai-
son est exprimée par la valeur particulière que la dérivée f'[x) af-
fecte à l'origine de ces accroissements.

!2" Lorsqu'on considère la raison de proportionnalité exprimée
par la dérivée /'(x) comme affectant dans lintervalle ^x toutes
ses déterminations successives, Téipiation correspondante

Mj ==^ \x . m;! ""' ' f'{x)

exprime la loi variée ([ui régit le développement continu de la
dilVércnce ordinaire a y.

ô" On peut se placer à un point de vue différent, lixer l'origine
des accroissements que l'on considère et supi)oser (jue, au lieu de
varier incessanmient dans l'intervalle àx. la raison dont il s'agit
conserNc, poui* toute l'étendue de cet intervalle, une seule et mèjue
(létermiMalion , celle (piellc \ affecte à l'origine. L'éipiation cor-

( ! ^-'-> )
rospond.inic h relie li\ j)oliiès(' os( lécfiialion dilïV'iTnlicllc

(b/ -= f'{x) . dx.

Elle exprime la loi uniforme qui régit le développement con-
tinu de Faccroissement différentiel dy , les accroissements djj et
dx n'étant autre chose que des différences ordinaires qui con-
servent entre elles un rapport constant.

i" A partir de toute origine commune, il y a identité entre le
mode Iransitoire suivant lequel commence la génération de l'ac-
croissement effectif M/ et le mode permanent suivant le([uel s'ac-
complit la génération de l'accroissement différentiel dy.

;i" Quel que soit l'énoncé fourni comme traduction direcle et
èffaivalenle de l'i-qualion différentielle

dy = l''[x) . dx,

par cela seul que la condition exprimée a lieu d'une manière per-
manente et invariable dans la génération des accroissements dif-
férentiels d.v et dy, on peut afîirmer, sans autre intermédiaire,
qu'elle subsiste transitoirement à l'origine des accroissements
effectifs àx et \y.

()" Soit y une fond ion continue de x à déterminer d'après les
données suivantes :

I" Une grandeur incessamment variable et représentée numé-
riquement par ç>(jf) intervient dans la génération continue de l'ac-
croissement \y.

2" Si cette grandeur cessait d'être variable et que, toutes cho.<ies
restant d'ailleurs les mêmes, elle fut assujettie à conserver une
seule et même détermination j celle qu'elle affecte à l'origine de
rintervalle ^x, l'accroissement de la fonction pris dans eette hy-
pothèse ^ aurait pour mesure le produit '^(x) ^x, x étant la valeur
(pieleonqne choisie pour origine de l'intervalle ^x.

Cela posé, l'on a comme traduction directe des données du pro-
blème,

dy = f {x) . dx ,

( i->o )

ri, (le colle (Hjnnlion difTrreiilicllc, on déduit immédinlcmciil,

^y = \x M,, 4?(x),
ce qui résout la question proposée.

CHAPITRE If.

DES TAINGENTES ET DES NORMALES AUX COURBES PLANES.

o4. Une courbe quelconque étant donnée, on peut toujours
concevoir un point qui la décrive. Quel quesoil le lieu actuellement
occupé par ce point, lorsqu'il en sort, c'est avec une certaine vi-
tesse déterminée en direction. La droite qui fixe cette direction, et
que nous avons désignée sous le nom de (Hrectiicc, est la tangente
à la courbe au lieu occupé par le point décrivant. De là les deux
définitions suivantes, dont nous avons déjà démontré la rigueur
absolue et qu'il importe d'avoir toujours présentes à la pensée
dans les applications géométriques du calcul différentiel:

1" La courbe est la trace dun point qui se meut sur une droite
mobile, dite directrice, le point glissant sur la droite et la droite
tournant autour du point, tous deux incessamment.

2" La tangente à la courJ>e est la directrice du point décrivant y
autrement dit , la droite suivatit laquelle est dirigée la vitesse de
ce point.

Soit une courbe plane $, rapportée à des axes coordonnés rec-
lani>u!aircs OX, OY et délerminée par l'équation

(I) F(-^,.!/) = o-

Désignons par /u un point mobile assujelli à décrire la ligne S;

( 131 )
j)ar m le lieu choisi j)our position aflucllo du point y.; par .r, y
les coordonnées du lieu m. (Voir Ws^. 5, u" aC», page 154.)

Losque le point, u. sort du lieu m, c'est avec une vitesse dirigée
suivant la tangente et dont les composantes parallèles aux axes
coordonnés sont respectivement, lune x ou (Jx, l'autre y ou dy.
De là résulte, en désignant par a l'angle de la tangente avec Taxe
des X *,

(2) '^"'"^=1 = 1-

Cela posé, il ne reste plus qu'à déterminer le rapport des deux dif-
férentielles dy et dx. La solution générale consiste à différencier
l'équation (I). On en déduit

0,

(5) .... .

0 '' -" (|) ^'•'^

et, par suite,

ldY\

dy [dxl
dx fd¥\

On a donc aussi

\(iyi

idf\

•

\dù

tan» a = — — —

\dxl

Soient / et d les coordonnées courantes de la tangente en ma
la ligne S. Il est visible que l'équation de cette droite étant d'ahord

u — y

= tang a,

* Cet angle est celui que la partie de la tangente située au-dessus de l'axe
dos ,r fait avec la partie de cet axe dirigée dans le sens positif.

( \y2 )
oïl peiil r^rrirp, on "('néral. soii^î la forme suivante :

w • . . ('— )0-(" -.'/)(!) =»•

Si les axes coordonnés sont obliques au lieu d'être rectangu-
laires (l'angle qu'ils font eïjtre eux étant désigné par ô), la seule
différence consiste en ce que l'on doit remplacer tang a par le
rapport de sin a h sin (6 — a). L'équation (5) devient, en consé-
quence,

sin (a) (ly

sin (o — a) (Lr

ri. comme la même substitution doit être faite partout, il s'ensuit
(pie rien n'est changé dans Téqualion (4).

On observera quon peut passer directement de l'équation (">)
ù l'équation (i). 11 suffit pour cela de substituer aux différentielles
lir et (hj les différences ordinaires qu'elles expriment. Cette sub-
stitution s'accorde avec lliypothèse ([ue les composantes .r, y con-
servent entre elles un rapport invariable, celui qu'elles affectent
à l'instant précis où le point y. sort du lieu m. La conséquence est
que le point y. ne cesse pas de se mouvoir suivant une seule et
même direction, celle de la tangente en m à la ligne S. C'est donc
une droite qu'il décrit et l'équation (i) est nécessairement l'équa-
tion de cette droite *.

' Si Ton voulait procéder ici par applicalion des principes du iv' oô, voici
comment ou pouriail s'y prendre.
Parlant do Técpialion.

F(.T, y) = o,

on observerait ((lie réijualion ditféreuticlle

est ru iUffcroncoR or^Iinaircfi IVqualion (rmir liijne qui Iniichr la courbe S an

( l'i"> )

5"). La normale au |»oiiU m (]c la ligne S est la droite menée pai'
ee poinl perpendiculairement à la courhe : elle est ainsi dé'termi-
néc en même temps que la tangente. Si les axes eoordonn<ls sont
reetangulaires et qu'on désigne par a' l'angle que la normale en )n
fait avec l'axe des x, on a l'équation de condition

lang ry . tang a" -+- 1 r^^ o.
De là résulte

dx
lang «' = ——,
dy

et désignant par /, ?< les coordonnées courantes de la normale

'" ■ ^ ^ i"-')0-"-i(g=-

Au lieu de déduire l'équation de la normale de celle de la tan-
gente, on jieut procéder directement, sans autre secoui's ((iie celui
de l'analyse difrérentiellc. Kn effet, soient /, u, les coordonnées
d'un point quelconque a pris sur la normale en dehors {\u j)oint m.
Snpi)osons le point a fixe et prenons-le pour cenli'e du cercle (jui
touche en m la ligne S. Il est visible ({u'on peut substituer ce cercle
à la ligne S sans altérer en rien la vitesse du point ^ au sortir du
lieu m, m par conséquent les composantes dx et djj. Mais, dans

point m. Cela résulte de ce qu'en persistant dans sa détermlnaticm première, le
l'apport des vitesses d.x et dy n'est point altéré , ni par conséquent la direc-
tion qu'il détermine de part et d'autre à l'origine commune des accroisse-
ments.

C.onsidérant la ligne dont il vient d'être fait mention, et sul)sliluant aux
diirerentielles les dillérences qu'elles expriment , il vient, en désignant par / et
u les eoordoiuiées courantes de cette ligne,

(g

(/_,^)(_,-M'^ -//)(-)

Or, d;ins un système queloonqiuMl'axes coordormés recii lignes, celte équa-
tion roprèsenlo une droite. La ligiif doul i! s'agit est <Imiic I:i langenie o\\o-
nièmc.

( l'ii )
l'hypotlièso on le poii)t (x soii <l!i lien \n on reshuif sur le ooi'cle
um, on a gôiu'niIiMnont

(^) . . [i — .rf H- (/^ — ?/)- -tr-t am = ('ons'^

Il vieil! (l(>!io, en difféi'entiant j)nr rapport aux ^arial)le.s x, ?/,

(5) . . . {t — x) (hr H- {u — y) r/?/ =^ o.
Cela posé, on a eomnie au ii" oi, page loi ,

Substituant au rapport ~ la valeur déduite de cette équation,
on trouve , pour équation de la normale ,

(')■■- <«-.)(3-<'-.iO=»-

Si les axes eoordonnés sont obliques, au lieu d'être reetangu-
laires, l'équation (:2) est remplacée par la suivante

(5) {t — xf -+- {tf — yf -f- 2 (f — x) (h — y) eos o = mn = eons'%

0 étant Tangle des axes coordonnés.

La différentiation de l'équation (')) donne

[/ — J* -f- (u — fj) eos o] r/x -4- [// -- // -+- (I — x) eos O] dtj = o.

De là résulte, en opérant comme (ont à l'heure,

^"-"^ [(S - (|) '-"]-(' -'{(f) -f' '■"^"] = "'

Fi g o.

Y . ,^ et telle est l'équation de la normale dans

j \ s un système (luelconqne d'axes coordonnés

\y/ rectili^nes.
I ^y \ '^^>- Soient T = ?*î(et N = nin les par-

I y^ 1 \ lies de la tangente et de la normale com-

^^'7 ? ^^ prises entre le point m et l'axe des .r. Les

( i:'-' )

])nrlios de cet axe comprises en ire la projeclion /> du |)oiiit in et
eliaciiij des deux points f et n j)rennent respeetivemciU les noms
de sous -tangente et de sous-normale. Xous les désignerons par
les symboles ST, SN.

Cela posé, on parvient aisément aux formules suivantes, les
axes étant rectangulaires,

dx ^^ du

On observera qu'en affectant du signe — rexi)ression de la
sous-tangente, on indicpie le sens de sa direction à partir du
|)oint p.

Applications particulières.

57. Les formules établies ci-dessus s'appliquent au cas général
où la courbe que l'on considère est donnée par son équation. Lors-
quelle est définie géométriquement cl qu'on peut déterminer la
vitesse du point décrivant, soit d une manière directe, soit par ses
composantes, il est souvent plus sinjple de s'en tenii- à cette mé-
tbode introduite pour la première fois parRober^al. {Montrons,
par quelques exemples, le [)arti que l'on peut tirer de ces diverses
ressources.

Considérons d'abord les trois sections coniques et, pour les
embrasser toutes trois dans une seule et même détermination,
définissons-les comme le lieu des points dont les distances à un
point et une droite fixes conservent entre elles un rapport con-
stant.

Prenons pour axe des // la droite fixe OY et pour axe des x la
l)erpendiculaire OX abaissée sur cette droite du point fixe/".

Soit a la distance Of, m un point quelconque du lieu que l'on
considère, mp la perpendiculaire abaissée du point )u sur l'axe

( !■>« )
dos y, c lo rappoi'l coiislaiit qui su!)si?^lr. par hypolliôso. rniro le
rayon ycvivwv fm ot la distance»?/).

On sail qne le lien des points ;/? est une ellipse, une hyperbole
/Vv^. ;. ou une parahole selon que Ion a e < 1,

r^l ou e= I. L'équation générale des
trois liones est, d ailleurs, ainsi qu'on le
voit aisénienl ,

■■a/-'^r

(1) . . f -^ {x — af = r.i\

X

De là résulte, pour l'équation de la tangente en m

(->) . . ?/'(// — ^^') '«- [(' — ^') ■^' — ^'1 i'^ — ^'') = ^ *-'

a', i/ ('tant les coordonnées du point m.

Soi! t 1«' |)oint où (M>tte tanii;ente vienl couper l'axe des y. On a,
pour ce point ,

x' [( 1 — c") x' — a] <((x' — a) '
X ^= 0, 7 = >/' -f- — , — — = ^ — - '

y y

*■

Il s'ensuit (pie r('(|ualion de la droile //"se n'duit à

X — a

{x — a) ,

et, counn(^ celle de la droile [ni est

x — a

on voit que lofi r/ro/'/cs- nif, ft, ^oui reclanffylairps.

' Pour (.hleiiir ccMc éiiualion, il stillit tic (liitV'roKitM' lV(|ii:iliori (2) et «le
rcinphicer r piU' t'. fj [>ur //', dx par x - x, du |>ar // — //'.

( l-w )

L c'(]ua(iuii de la iioiiualt' au point >/^ claiil

[(1 - r) x' — a] (ij — y') — ij\x ~ x)^o

si Ton désigne par n le point on celte normale ^ icnt couper l'axe
des a;, on en déduit, en posant ?/^=-- o.

et, par suite,

On a, dailleui's,

(5)

11 \ ient donc aussi

(i).

fn = rx'.
inf= ex'.

fn = c . nt/.

I/é(]uation (4) expiinie la propriété suivante :

Il t'xi-sic , citlre la ilisla/tci' du foyer 1' ((u poiul où (a norntalc
coupe laie des \ et le rayon vecteur l'ni. le même rapport qu entre
ce rayon vecteur et lu distance du point m à la droite fixe OY.

Des points m et n abaissons deux perpendiculaires, l'une nu/
sur OX, l'autre ni sur fm. La sinjililude des tjiangles mfj, nfi
doinie , d'abord ,

fn mf
et, eu égard à l'équation (4),

/'/ -= (• . f(j = c(x' — a).
De là l'ésulte, eu égard à léciuatioji (3),
(5). . mi ■=. mf — fi = ex' — c[x' — a) ^=^ a.c -^ cons'' .

( l->8 )

La propriété cxpriniéc par Icqualioii (o) peut s'énoncer eoniiue il
suit :

Dans les sections coniques lu projection de la normale sur le
rayon vecteur est une (juantité constante *.

* Dans le cas de IVIlipse et de riiypeibole on trouve aisénienl, pour Tabscisse
). du centre,

Fig. i'''" . a

1 — c'

A

i \\ et, pour Tequalion iai)poitée au cenlie

o' y /•'

Soient a\ h' les axes principaux el c' Texcentricité, on a

"'■-«''-"■'• "=r^' ''=i7î^^' '■ = i-^=«-^'.

el inversemenl

_ £ _ a'^- b'I _ b'^

~ a' ' c' ~ c'

Soit 0' le centre; ni' le sonunel placé sur Taxe b' ; m'ij la itcrpcndiculaire
élevée en»«' sur le rayon recteur fm' . Ou a

iVg =z -y- = a.

Si Ton désigne imr éTangk- (pie lail avec la normale en m le rayon vecleur
/m, on a genéralemenl, comme on le vena plus loin, n" t):2, page t73,

(1) cos- ^— ., ---•

Soient /",/' les deux loyers, et r,r' les rayons vecleurs conjugués fm , fm.
Ou a

r=:zcœ,

I ^lad^ \ r
r' — c (-2(1 + i2('' ~ J') — f 2a H- j-^— r - .c —- -, ^^ {"^a — cc-h c-£).

( n^!' )

Sagil-il ensiiilc des longueurs désignées par les lettres T, I\,
ST, Si\,au numéro précédent? On trouve

nj' Vx' [2 a ~ ( 1 - c') x'] ^-„ ;,

(1 — c^) X ~a -^

a — (1 — r) X

De là résulte

el , par suite,

ah-
(2) /•/■' cos-^ J = j~;_~2 ~ ^'^"^'*' ^ ^'''•

La proi»rieté ex|>iiniée par réquation (:2) peut s'énoncer comme il suit, en
ce qui coiicernc l'ellipse et Phyperbolc :

Le produit des projections des rayons vecteurs sur la normale est le même
en chaque point. H a pour mesure le carré du demi-axe perpendiculaire à
la ligne des foyers.

Dans le cas de la parabole , il est ain: de voir cpi'au lieu de ré(|uation (:2), l'on
a plus simplement

rcos-^ = - = cous"".

Dans ce cas, en elîet , les longueurs mf, mp étant égales (lig. l, page lo()),Ia
tangente mt est bissectrice dt; l'angle fmp.

Il suit de là (|u'en désignant par Ii le point d'intersection des droites w</,/p
et par /, la projection de ce |«>int sur Of,(m a les conséquences suivantes :'

Les points h et k sont les milieux respectifs des segments fp, fO. Les angles
pfm, mpf, pfO sont égaux entre eux et à l'angle désigné ci-dessus par C.

Les triangles fhni, fhk, tous deux rectangles, l'un en k, l'autre en k, donnent
les relations

[h = r . cos C. kj = fh . cos „.

De là résulte, en remplaçant kf |)ar — '

It . cos te — /• cos- b =: — .

( 1«' )

')8. Coii8cr\oii.s Jcs notations précédcnlcs et procédons par voie
gconiclriquc.

Lorsque le point m sort du lieu qu'il oecupe, la droite fm tour-
nant autour du point /'et la droite mp se déplaçant sans changer
de direction, un raj)port constant subsiste, par hypothèse, entre les
longueurs ({ue le point ni décrit simultanément sur chacune de
ces droites. 11 s'ensuit que ce même rapport s'établit entre les
vitesses simultanées qui animent le point m, l'une suivant fin,
l'autre suivant wp. On sait d'ailleurs que ce rapport est précisé-
ment le même (jue celui de la longueur fm à la longueur inp. La
eonsé(iuence est que si l'on prend la longueur »j/'pour représenter
en direction, sens et grandeur la vitesse actuelle du point m sur la
droite fm, on doit prendre en même temps la longueur i)tp pour
représenter en direction, sens et grandeur la vitesse du i)oint m
suivant la droite m p.

Cela posé, le point m étant considéré d'abord comme restant
sur la droite fm , il est visible ((ue sa vitesse totale a pour compo-
santes rectangulaires : 1** la vitesse de glissement mentionnée tout
à l'heure et représentée par mf; 2° une vitesse de circulation nor-
male à la première et, par conséquent, parallèle à la droite /ï
menée par le point /' perpoidiculaircment à fm. Concluons en
premier lieu que le segment de droite, «{ui représente en direc-
tion, sens et grandeur la vitesse totale du point m, aboutit quelque
part sur la droite fl.

Si maijitenantnous considérons le i)oint i)i comme restant sur
la droite mp, le même raisonnement nous fait conclure que le
segment de droite, qui représente en direction, sens et grandeur
la vitesse totale, du point m, aboutit quelque part sur la droite
pO menée par le jxjint p pcri)endiculairement à la droite mp. II
s'ensuit que, située à la fois sur chacune des droites //, ])0, l'ex-
trémité de ce segment ne peut être qu'en /, à leur intersection.
C/esl dont- sua- uni mt ([uesl diriijèe la vitesse actuelle du point
m et, par cons(''(pti'nf aussi, la tangente en ce point.

On observera (jue , pour parvenir à ce résulta.t, nous aurions pu
nous borner à invoquer la règle générale du (piadrilatère des
vitesses, règle exposée à la ])age ï)l de I.» 1" [)arlie, n" 14.

( 1<>1 )

Cette première propriété des sections coniques fournit un tracé
très-simple de la tangente en un point quelconque m.

On élève en i' sur le rayon vecteur ïm une perpendiculaire que
l'on prolonge juscfu'à sa rencontre en t avec la droite OY. La
droite tm est la tangente cherchée.

Les 'duglcs m pt j nift étant droits, le quadrilatère mptf est
inscriptible dans la circonférence de cercle ayant mt pour dia-
mètre. Il s'ensuit que si l'on tire la droite fp, le triangle fmp est
semblable au triangle nfnij mn étant la normale au point m. En
effet, les angles nifn, p ni f sont égaux connue alternes internes.
D'un autre côté, les nngiesin pf\ finn sont égaux entre eux, puis-
qu'ils le sont à un même troisième ftm, le premier comme ayant
même mesure dans le cercle /Ï^j>/?, le second comme compris entre
des côtés respectivement perpendiculaires à ceux de l'angle ftut.
De là résulte immédiatement

(1) fn = fmJ—- = cJm.

mp

Le reste s'achève connue au n" 57, page I;j7, par voie purement
géométrique et doinie , en conséquence ,

(2). . . . . . nti = c . a = cons'*.

On peut observer, d'ailleurs, qu'en abaissan t du point n sur tn
la perpendiculaire ni, on forme deux triangles rectangles, l'un
nim semblable au triangle mftj l'autre nif semblable au triangle
fOt. La comparaison des deux premiers donne

mi f't
in f'm

celle des deux seconds, .

in 0/" a
. fn^Jt^Ji'
Tome XV. Il

( lfi2 )

De là résulte, en iiiultipliant membre à membre,

mi a
fn fm

et, eu égard à l'équation (1) ,

(5) mi = CCI = cons^^

Les équations (i) et (3) fournissent les énoncés suivants appli-
cables aux trois sections coniques:

i° Le rayon vecteur du point m est moyenne proportionnelle
entre la distance de ce point à la droite OY et la distance du point
f cm pied de la normcde;

^° La projection de la normale mn snr le rayon vecteur fm est
une quantité constante.

59. Considérons encore les sections coniques, mais séparément
et en adoptant pour chacune sa définition ordinaire. Pour plus
de simplicité nous procéderons exclusivement par voie géomé-
trique.

S'agit-il d'abord delà parabole? Elle est définie : le lieu des points
équidistants d'une droite et d'un point tous deux fixes. Dès lors
rien ne change dans la solution précédente, si ce n'est que l'éga-
lité des longueurs mf, nip implique celle des triangles »<//, mpt,
et par conséquent aussi celle des angles fmt , pmt. De là résul-
tent plusieurs propriétés dont il suffît que nous énoncions les sui-
vantes :

Sans rien changer aux notations précédentes, transportons l'axe
Pl^J^ 5' des y en A milieu de 0/' et sommet de

la parabole ; prolongeons la tangente mt
jusqu'à sa rencontre en s avec Taxe prin-
cipal /AO pris pour axe des abscisses :

\^ La tangente mt est dirigée sui-
o A f f ^ vaut la bissectrice de l'angle pmf. Elle

est parallèle à la bissectrice de l'angle mfq;

"2" Le triangle smf est isocèle : il donne fm =^ /s. De là, et eu

( 105 )

égard à fin = mp, résulte d'abord fs --= nip = Oq , et ensuite
Aq = As. La sous-tangente sq est donc double de l'abscisse Aq;
5° La normale étant dirigée suivant la bissectrice du supplé-
ment de l'angle pnif, il s'ensuit que la sous-normale nq est égale
à la projection mi de la normale 7nn sur le rayon vecteur fm, et
qu'en conséquence elle est constante et égale a Of = a.

S'agit-il ensuite de l'ellipse? Elle est définie : le lieu des points
dont les distances à deux points fixes, nommés foyers, forment
ensemble une somme constante.

Soit?/i un point de l'ellipse; /", f, les foyers. Tirons les rayons
vecteurs /)>i, f'm.

Dans la description de l'ellipse le point ni peut être considéré
comme glissant sur l'un ou l'autre des deux
rayons vecteurs fni, f'm, tandis que ce
même rayon tourne autour du foyer qui
lui correspond. Il s'ensuit que sa vitesse
totale a pour composantes : 1" la vitesse de
glissemcntdu point m sur le rayon vec-
teur que l'on considère; 2" une vitesse de circulation perpendicu-
laire à ce même rayon. Cela posé, puisque les deux rayons vecteurs
forment ensemble une somme constante, il est aisé de voir que les
vitesses de glissement du point m sur ces ra} ons sont égales et de
signe contraire. De là résultent, conformément à la règle du ({ua-
drilatère des vitesses, les conséquences suivantes :

1" La vitesse totcde du point m et ^ pur conséquent, la tan-
gente en m à VeUipse sont dirigées suivant la bissectrice de
l'angle que Vun des rayons vecteurs fait. avec le prolongement de
l'autre;

2" La normale en m est dirigée suivant la bissectrice de l'angle
que font entre eux les deux rayons vecteurs aboutissant en ce
point.

Soit n le point où la normale en m vient couper la droite ff.
L'égalité des angles fmn, f'nDi, donne la proportion

fn _ fut
J^i"fm'

( lO'p )

Eli dcsiguaiil par lia' la boiiinie des rayons vecteurs, on eu dé-
duit cette autre })roportion

<'^ ?)r=/r=^"""-

L'équation (I) montre que le rapport des longueurs fin, ùi de-
)neure inmiriable et que, par conséquent, ce même rapport sub-
siste entre les vitesses de glissement du point m sur fm et du
point n sur ff.

Désignons par v la première de ces vitesses, et par u la se-
conde. On a d'abord

fm

fn

Du point n abaissons sur ftn la perpendiculaire ni et considé-
rons les déplacements simultanés des points m et i sur la droite
fni, le point m restant sur l'ellipse, la droite fm tournant au-
tour du point fj le point n glissant sur //*' et entraînant avec lui la
droite ni assujettie à rester perpendiculaire au rayon vecteur fm.

Soit w la vitesse angulaire de la droite fm autour du point /'.
La vitesse de circulation du point m est ot.fm. Soit ^l'angle fmn.
Cet angle est égal à celui que la vitesse totale du point m, dirigée
suivant la tangente mt, fait avec la perpendiculaire élevée en m
sur fm. C'est dailleurs suivant cette perpendiculaire qu'est diri-
gée la vitesse de circulation a.fm. On a donc, ainsi qu'on le voit

aisément,

CD . fm mi *

I_ = cot^ = -^ •

V in

On déduit de là , eu égard à l'équation (2) ,

(d) 0). m = u . -- •

jn

La vitesse totale du point m ayant pour composantes rectangulaires les
vitesses v et w . /"m, le rapport de la première de ces composantes à la seconde
n'est autre chose que la taiij^enlc de l'angle "» que la vitesse totale du point m
Aiit avec la composanle oj.fm..

( n\h )

Observons ici que la droite in, assujettie à rester perpendicu-
laire au rayon vecteur /w, tourne autour du point ?î avec la vitesse
u et communique, en conséquence, au point i une vitesse co.in
dirigée suivant fm. La droite in est animée, en outre, d'une trans-
lation dirigée suivant ff pour le point n et représentée par ti. La
vitesse qui résulte de cette translation pour le glissement du point t
sur fm est évidemment u cos a, a étant l'angle mfn. On a, d'ail-
leurs ,

fi

(4) u cos a = n —"

fn

De là résulte, pour la vitesse totale de glissement du point i sur
la droite fm ,

u.in -H u . cos a,

ou, ce qui revient au même, eu égard aux équations (2), (5), (4),

mi fi fm

(5) n . -— H- n . -— ^=u . --- =z V.

fn fn fn

L'équation (h) montre que les vitesses des j)oints m et i sur la
droite fm sont égales et de même sens. De là se déduit la conclu-
sion suivante:

La projection de lu normcde mr\ sur les rayons vectenrs fm,
fm est constante.

8'agit-il enfin de l'hyperbole? Elle est définie : le lieu des points
dont les dislances à deux points fixes, nommés foyers, diffèrent
entre elles d'une quantité constante. Les déductions sont les mêmes
que pour l'eHipse. Le seul changement consiste en une inversion
des direclionsrespectives affectées parla tangenteet parla normale.

La tangente en m est dirigée snivant la bissectrice de l'angle
qne font entre evx les deux rayonsvectevrs ahontissant en ce point.

La normale en m est dirigée snivant la bissectrice de l'angle
qne Tnn des rayons vecteurs fait avec le prolongement de Vautre.

( KiC, )

Les propriétés signalées pour l'ellipse subsistent et se démon-
trent de la même manière pour l'hyperbole.
Dans le cas de la parabole ayant pour équation

le calcul donne, pour éqiiatioij de la tangente,

et, pour la sous-tangente et la sous-normale ,

ST . = 2x', SN =p = cons'^
Dans le cas de l'ellipse ou de l'hyperbole ayant pour équation

le calcul donne pour équation de la tangente

a^yy' =fc h^xx' = a^h^.

60. Considérons , en dernier lieu , les deux courbes connues ,
l'une sous le nom de logarithmique, l'autre sous celui de cycloïdc.
Soit d'abord la logarithmique ayant pour équation

y
(I) X = a . log— 5

ou, ce qui revient au même,

y = me\ '^'

Le calcul donne :

1" poui' équation de la tangente.

m - y ,

y — y' = _ e" (.T — x') = — (a- — X );

( I'i7 )
2° pour éqiintion (îo la normale ,

y

5" pour la sous-tangentc et la sous-normale,

ST = — r^ = cons'^, SN =

Soit ensuite la cycloïde. Elle est engendrée par un point d'une

Fig.

circonférenee de cercle qui roule sans
glisser sur une droite fixe et qui s'y dé-
veloppe ainsi tout entière.

Soit m une position quelconque du
point générateur.

Représentons par ninb le cercle rou-
lant, et parOXla droite fixe suivant la-
quelle il se développe.

Soit n le point où le cercle et la droite se touchent. Si nous pre-
nons la longueur On égale à l'arc m/i, le point 0 sera l'origine de
la cycloïde. Plaçons en ce point l'origine des coordonnées, les
axes étant rectangulaires et dirigés respectivement suivant les
droites OY, OX.

Du point m abaissons sur le diamètre nc61a perpendiculaire î?f 9.
En désignant par r le rayon cm du cercle roulant, par x Tab-
scisse Op du point m, on a, pour équation de la cycloïde,

X = On =f: pn — r arc cos

r — y

qz \/^ry — y^

Lorsque le point m sort du lieu quil occupe en restant sur k
cycloïde , c'est par rotation autour du point n que son mouvement
commence. Il suit de là que les droites mh.mn sont, l'une la tan-

( IC8 )

génie, l'autre la normale en m. La sous-tangente est ^j/, la sous-
normale p/i. Partant de ces données géométriques, on trouve :
1" pour équation de la tangente,

/9r ^ y'

2'' pour équation de la normale,

y-y'^=FY/^-f— .(._.^').

On a de même
ï

= '/V§£-V' ^ = ^"2'v/-'

V ^2r — y'

ST = 1/' \/ —^ — r , SN = V'2ry' — y'\

Ces résultats s'accordent avec ceux que fournit l'application des
formules générales établies précédemment.

Extension des résultats précédents au cas des coordonnées,
polaires.

(VI. Proposons-nous de résoudre pour le cas des coordonnées
polaires les questions traitées ci-dessus pour un système de coor-
données rectilignes.

Soit m un point quelconque d'une ligne S. Les coordonnées qui
Fig. 8. déterminent le point m dans le système polaire

t?i\ sont au nombre de deux :

L'une est la distance du point m à un point
;^ fixe 0 désigné sous le nom de pôle. Cette dis-

/ tance est ce qu'on nomme le rayon vecteur du

point m. Nous la représentons par r.

L'autre est l'angle que le rayon vecteur Ow
/ fail avec une droite fixe 0/ désignée sous le nom

( l«i> )

d'axe polaire, ou sim])lement d'axe, et menée par le point 0. Nous
représentons cet angle par e.

Cela posé, l'équation de la ligne S exprimée en coordonnées
polaires est nécessairement de la forme

(I) . F(r,o)=o.

Soit mm' la vitesse du point m au sortir du lieu qu'il occU])e
sur la ligne S. Du point m. abaissons sur Om la perpendiculaii'c
m'm". Le point m glissant sur la droite Om, tandis que cette droite
tourne autour du point 0, les composantes de la vitesse mm' sont
respectivement, l'une la vitesse de glissement

mm" = r = dr,

l'autre la vitesse de circulation

m'm" = n = r.(U.

Désignons par >^ l'angle m'mm" que la vitesse mm' fait avec
le prolongement du rayon vecteur Om. On a tout d'abord

(h

(-2) tg'v^r. — .

dr

On sait, d'ailleurs, que la tangente en m l\ la ligne S est dirigée
suivant la vitesse mm'.

Par le point 0 menons une droite nOl perpendiculaire au rayon
vecteur Om, et prolongeons, jusqu'à leur rencontre avec cette
droite, d'une part la tangente m'mt , d'autre part la droite mn,
supposée normale en m à la ligne S.

Les longueurs que l'on désigne ici sous les noms de tangente,
normale, sous-tangcnte et sous-normale, et que l'on représente
comme ci-dessus par les lettres T, N, ST, SN, sont les suivantes,

T = wîr, N = w;?, ST--0^, SX = 0».

( 170 )
Il on résnilo, ainsi qu'on le voil aisénionl sur la figure,

I cos r ▼ \ar/

(3). . , N = ^ = — VT^TWT- = \/r- + i'-^y,

sni y tg ->/

dr ' ' ~~ dh

„ da di

ST = r tg r==r^~— , SN = r cot y

et la valeur du rapport — ^e déduit de l'équation difFéren-
tielle

Si, dans cette équation, on désigne par r', 9' les coordonnées
du point m, et qu'on remplace les différentielles dr, dB par les
différences quelles expriment, il vient

(5). . . (r-r')F;.,(r', e')-f-(9-o')Fi,(r', o') = o,

c'est-à-dire l'équation de la courbe connue sous le nom de spirale
d'Aixhimède.

Lorsque l'on substitue l'équation (o) à l'équation (4), en conser-
vant aux dérivées partielles F^- (>''>^')? F'^- i^''?^') ainsi qu'aux gran-
deurs r',0' les valeurs qu'elles affectent au point m, on n'altère en
rien les composantes de la vitesse mm\ Il s'ensuit que léqua-
tion (5) exprime, en général, celle des spirales d'Archimède qui
touche en m la ligne S *, et pour laquelle les accroissements simul-

Quel que soil le système de coordonnées que Ton considère, l'équation
qu'on obtient en différcntiant celle d'une ligne quelconque est toujours l'équa-
tion linéaire correspondante à ce système. Elle exprime ainsi, parmi les lignes
que réqualion linéaire représente,, celle qui touche la ligne donnée au point
pris pour origine commune des accroissements.

( 171 )

tanés àv, ao, conservent entre eux un seul et même rapport,
eeliii qui s'établit entre les vitesses r, b, au point m de la ligne
donnée.

Applications parficidières.

62. Appliquons à quelques cas particuliers les formules éta-
blies ci-dessus.

Soit d'abord la spirale d'Arehimède. Ramenée à sa forme la
plus simple , l'équation de cette ligne est

De là résulte

r

■ tg 7 = - =^ 0 , SN = a.

Il s'ensuit que la sous-normale est constante et que l'angle r,
nul pour 9 = 0, croît constamment avec 0, de manièreà converger
vers la limite — à mesure que l'angle o devient de plus en plus
grand.

Soit, en second lieu, la spirale bvperboiique ayant pour équa-
tion

a
~ 0
De là résulte

a • ^^

tgy=: =—9, ST= — a.

r

ici donc c'est la sous-tangente qui demeure invariable. Langle
r subit d'ailleurs, au signe près, les mêmes conditions que dans
le cas de la spirale dArchimède.

La spirale liyperbolique offre l'exemple d'une courbe qui se
rapproclie indéfiniment d'un point, en tournant autour de ce
point et sans jamais l'atteindre.

( 17-i )

Soit, en Iroisièmc lieu, la spirale logarithmique ayant pour
équation

r = m . e" .
Tl vient

^ ' V «- f/

On voit ainsi que cette spirale coupe en chaque point, sous un
seul et même angle, le rayon vecteur correspondant.

Les valeurs de la sous-tangente et de la sous-normale font voir
en outre que les extrémités t et 7i de ces lignes (voir la iîgure du
numéro précédent, page 108), sont situées respectivement sur
des spirales identiques avec la première. Pour obtenir ces spirales
dans leurs vraies positions, il faut faire tourner la première au-
tour du pôle pris pour origine, le déplacement angulaire élant
égal à l'angle — a log a s'il s'agit du point f , et à -+- a log a s'il
s'agit du })oint ?^.Dans le cas particulier où la quantité a est égale
à l'unité, les trois spirales se confondent.

Lorsque l'on attribue à l'angle 6 des valeurs négatives de plus
en plus grandes, le rayon vecteur converge vers zéro. Il s'ensuit
que la spirale logarithmique est, comme la spirale hyperbolique,
une courbe qui tourne autour dun point, en s'en rapprochant
toujours et sans jamais l'atteindre.

Soit, pour dernier exemple, les trois sections coniques. Les nota-
tions restant les mêmes qu'au n" 57, page iao, si Ton prend le
point /' pour pôle et OX pour droite fixe, on peut écrire immé-
diatement, comme équation générale des trois sections coniques,

r = c (o -H 7' cos e) ,
ou, ce qui revient au même,

a.c

r =^ ' '

1 — r cos f> •

( 175 )

De là résulte

a

tgr=

rsin5

ou , désignant par y la perpendiculaire abaissée du point ni sur la
droite OX,

(') '§'-=- ^-

On voit ainsi que dans les sections coniques, le produit de la per-
pendiculaire abaissée d'un point sur la ligne des foyers par la tan-
gente de l'angle que la touchante en ce point fait avec le rayon
vecteur est une quantité constante.

Soit S l'angle que fait avec la normale en m le rayon vecteur
fm. Les angles ^,x étant coniplénients l'un de l'autre, on a

cos C= sin r?

et, eu égard à l'équation (1) ,

(2) <=os'î=r.-^-

Ainsi se trouve établie la relation dont nous avons fait usage au
n" 57 (voir la 2™' note qui se rapporte à ce numéro, page 1.j8), et
qui nous a conduit, ])0ur l'ellipse et Ihyperbole, à l'équation
irénéralc

«-■'

(5). . . . r.r' cos' <p =^ = cons^'' = h

Des assymplotes considérées comme positions l imites des
tangentes dont le point de contact s'éloigne i?idéfini-
ment.

Oô. Lorsqu'une courbe a des branches qui s'étendent à l'infini,
s'il arrive en même temps quelles se rapprochent indéfiniment
de quelqucs.droitcs. on désigne en général ces droites sous le nom

( 17V )

d'assyniptolea. A ce point de vue Ion peut dire aussi des assyinp-
totes qu'elles sont les limites des tangentes dont le point de con-
tact s'éloigne au delà de toute distance assignable.
Soit

(1) F(-«'^:y)==(>;

l'équation dune courbe susceptible d'avoir une ou plusieurs as -
symptotes et rapportée, par hypothèse, à un système quelconque
d'axes coordonnés rectilignes.

L'équation générale d'une tangente à cette courbe étant

„....„-,,(£). ,.-„(f)^..-,

la question se réduit à chercher ce que devient, eu égard à Téqua-
tion (1), la droite représentée par l'équation (2), lorsque l'on
attribue à l'une ou l'autre des variables x, y une valeur indéfini-
ment croissante. Si cette droite ne cesse pas d'être réelle, et qu'elle
tende vers une ou plusieurs positions déterminées, chacune de
ces positions fournit une assymptote.

On obs(;rvera qu'il ne suilit pas toujours d'élinîincr de l'équa-
tion (:2) l'une des variables x^y et d'attribuer à l'autre une valeur
infiniment grande. S'il existe une assymptote parallèle à l'axe de
même nom que la variable éliminée, elle échappe à la recherche
faite dans ces conditions et, pour la mettre en évidence, il faut
répéter ropération , en éliminant à son tour celle des deux varia-
bles que l'on avait d'abord conservée.

Nous avons supposé tout à l'heure que la courbe dont on cher-
chait les assymptotes était rapportée à des axes coordonnés recti-
lignes. Supposons maintenant que son équation soit exprimée en
coordonnées polaires. Les directions des ass} mptotes sont déter-
minées par les limites vers lesquelles l'angle ô peut converger
lorsqu'on attribue au rayon vecteur r des valeurs indéfiniment

DaiKs celte équation / el u sont les cuordoinioeb courantes de la tangente,
X et y celles du point de contact.

( 175 )

grandes. Soit a run de ces angles liiniles. La perpendiculaire
abaissée d'un point quelconque de la courbe sur la droite menée
par le pôle sous l'angle 9 = a a pour expression générale.

r sin (3 — a).

La limite vers laquelle cette expression peut converger lorsque
l'on donne à r des valeurs indéfiniment croissantes détermine la
distance de l'assyniptotc au pôle et sa position relative.

A pplications particulières.

64. Recherchons, pour exemple, les assymptotes de quelques
courbes.

Soient d'abord les sections coniques ayant pour équation,
comme au n° 57, page 1 56 ,

(1) y'-^(x-(éf = c'x\

L'équation générale de la tangente devient, a})rès réduction,

(2) . , yy' -^ x[{ [ — r) x' — ((] H- (/ {a — x') = o.

Passant à la limite, les équations (I) et (2) donnent respective-
ment, la première ,

X '

la seconde ,

(3) a(l — Oztyyï/c^— I =«.

On voit ainsi que c'est uniquement dans l'hypothèse r > 1 ,
c'est-à-dire dans le cas de l'hyperbole, que les sections coniques
admettent des assymptotes. Ces assymptotes, représentées par
l'équation (5) sont au nombre de deux; elles se coupent sur l'axe
des X au point dont l'abscisse est ^— - et sont disposées symé-
triquement par rapport à cet axe.

( 170 )

Si l'on prend, au lieu de l'équation (1), l'équation polaire du
n" 02, page 172,

ac
1 — c eos ô = — 5
r

l'on en déduit

liin (l — c cos ô) = 0 ,

ce qui exige comme tout à l'heure que l'on ait c> 1 et ce qui
donne, en désignant i)nr a. la limite de o,

1
COS a = - 5
c

ctj par conséquent,

Ig a := ± )/c'— \. .

Si l'on opère ensuite sur le produit

r sin (f) — 0.) = r [sin 0 cos a — sin a cos ô] ,

on trouve

ac

lun r . sm (s — a) = ifc — — ?

ce qui exclut la valeur c= 1 et s'accorde in ce les résultais pré-
cédents.

Soit encore la logarithmique représentée, comme au n" 60,
pnge IGG, par l'équation

y = m . e%
On a, pour éijuation générale de la tangente,

( rn

OU, ce qui revient au iiiêiue ,

f' / x\ uix'

Passant à la Jiniitc pour des valeurs de x' supposées négatives
et indéliniment grandes, on trouve, pour asymptote,

Ce résultat est d'ailleurs évident à priori.
Soit, en derniei' lieu, la spirale hyt)erboli(iue rc[)résentée au
n" 62, page 171, par l'équation

a

6 — ' — •

/'

11 vient

liin f) =: 0.

On a ensuite

hm r sni ') = liin . r \ ; -+- etc. j --^ a.

j' 1.2.5 /•■'

On voit donc ijue cette courbe a pour asymptote une droite
parallèle à l'axe et située au-dessus de cet axe à Ja distance a.
Terminons ce sujet par une remarque touchant la courbe

y ■■= a sni — •
-^ X

Cette courbe a Taxe des x pour asymptote. Elle présente en outre
l'exemple singulier d'une ligne qui se rapproche indéfiniment de
Taxe des y sans jamais latteindre, sans cesser d'osciller toujours
entre les limites y-^'\-a, ij = — «.

Tome XV. i2

( 178 )

CHAPITRE 111.

DIFFEREMIELLES DE L ARC ET DE L AIRE D U.NE COURBE PLAINE.

liectificathns el quadratures.

Go. Soit MM' une courbe plane. Supposons d'abord qu'elle soit

Fhj. 9.

rapportée à des axes coordonnés rectangu-
laires OX, OY, et désignons par s la longueur
d'un arc quelconque ^hn mesuré sur la courbe
à partir du point M.

5oit a un point mobile assujetti à décrire
la ligne MM' et sortant du lieu m à l'ins-
tant que l'on considère. La vitesse actuelle du
point fji est dirigée suivant la droite mt tan-
gente en m à la ligne MM'. Représentons cette vitesse par le seg-
ment mm\ et du point m' abaissons les perpendiculaires m'p,
iu'q sur les droites )np, mq menées par le point »< parallèlement
aux axes OX, OY. Les segments mp, mq sont les composantes or-
thogonales de la vitesse mm' ; on a, d'ailleurs, par définition,

mp =^ X =^ (Ix ;
mq = i) '-= (h);
mm' = s = ds.

Le Irianglc nun'p rectangle en ]) donne, en conséquence,

(I) (/s- = dx'-^ (ltj\

De là résulte

Ci) rf

■-'■V'AÎÏ-

et, par suite,

(5)

= "-<-V'-(g)'

Dans la desciûption de la courbe MM' par le point f/, ce point
glisse sur la tangente, et la tangente tourne autour de ce même
point, tous deux simultanément. La rotation de la tangente n"a
d'autre effet que de changer incessamment la direction du point
|x : elle n'altère en rien la vitesse de ce point considérée comme
grandeur, ni par conséquent l'étendue linéaire décrite en vertu
de cette même vitesse. Cela posé, tandis que le point ii décrit la
courbe 3IM', concevons un autre point ii' mobile sur une droite
fixe, et animé d'une vitesse qui passe à chaque instant par les
mêmes degrés de grandeur que celle du point y.. Il est visible que
les longueurs décrites simultanément de part et d'autre, l'une par
le point p, l'autre par le point /x\ sont constamment égales. Con-
cluons qu'il sutïit de considérer la vitesse ds déterminée par
l'équalion {"I) comme étant celle d'un point qui se meut en ligne
droite, pour obtenir au moyen de l'équation (5) la rectification de
l'arc décrit par le point /a sur la courbe MM' dans le même inter-
valle.

Veut-on préciser davantage? Tout se réduit à considérer ie
mouvement simultané de deux points qui décrivent en même
temps des segments rcctilignes, Tun avec la vitesse constante dx,
l'autre avec la vitesse incessamment variable

Le premier de ces points est la projection du point nt. sur I axe
OX. Le second est le point p'. Tandis que le premier passe de l'ab-
scisse quelconque a; = a à l'abscisse « -+- a x et décrit ainsi la lon-
gueur M' , le second décrit une longueur égale à celle de l'arc ^s
compris entre les points de la courbe MM' qui correspondent
respectivement aux deux abscisses a et a -t- sx. La vitesse de ce

( i«o )

second point dépend à chaque instant de la position du premier,
c'est-à-dire de l'abscisse x qui détermine en même temps celte
position et la valeur correspondante de la quantité -r^. On a d'ail-
leurs, en général,

(;i) . . .

A6'

SX U.

V'Hii

Soient «, C les angles que la tangente en m fait avec les axes
OX, OY; la simple inspection du triangle ni»t,'p donne immédia-
tement

(6). . .

cos « =

dx
7h

cos ^ =

ds

C6. Supposons en second lieu que la ligne 3IM' soit rapportée

Fig. tO.

à un système de coordonnées polaires, ayant
le point 0 pour pôle et la droite OX pour axe.
Supposons, en outre, qu'on prenne pour com-
posantes orthogonales de la vitesse «î»^', d'une
})art, la vitesse de glissement du point y. sur
le rayon vecteur Om, d'autre part, la vitesse
de circulation de ce même point autour du
pôle 0. L'une de ces vitesses étant dr = ntp,

•t lautre, rdd = m'p, on a évidemment *

(1

d6'=dr'

-' db\

'^'-W''-^[S

De là résulte

i-ï) ....

et, par suite,

(0) . . . . .. = .0 31, V'^-^(^j •

On clesigiif ici par d V-à\\'^\(i que le rayon veclcur 0/?i fait avec Ta.ve OX.

( 181 )

La reetillcalioii s"()!)li(.'nl ici, comme tout à l'Innire, on considé-
rant deux points qui décrivent simultanément des segments recti-
lignes, l'un avec la vitesse constante do, l'autre avec la vitesse
incessamment variable

(Is = de

\A^^

sur la droite à décrire par le premier point on fixe une origine
correspondante à 0 = o. Cela posé , tandis quil passe de la posi-
tion </ h la position o' -f- se et qu'il décrit ainsi la longueur a6,
le second point décrit une longueur égale à celle de l'are as com-
pris entre les points de la courbe MM' qui correspondent respec-
tivement aux deux angles 6' et &' -f- A5. La vitesse de ce second
point dépend à cbaque instant de la position du premier, c'est-
à-dire, de l'angle o qui détermine en même temps cette position
et la valeur correspondante de la quantité ?'^ -+- ij^\ . On a d'ail-
leurs, e n gé n é rai,

(i) . . . . L\.s= ^0

■K'"V"Ail

Soient a, et ries angles que la tangente en m fait avec l'axe
OX et le rayon vecteur Om, on a

rd>J

1g (c/. — o)=tg.'y =

et, par siiite,

dr

do

c/. = 0 -^ arc tg r. -—
dr

07. Soit Oaw un triangle limité par deux droites fixes 0«, am

Fig. IL et i)ar une droite Om mobile autour du point 0.

.,./.^ r étant la surface du triangle Oam , h la per-

' / pendicuiaire abaissée du point 0 sur la base ma,

:/ et X cette base, on a généralement

V
o

( !«-' )
De In n'siillc

a.

Rej)r('seiitons pnr nun' la \itcssc x ou dx du poiut m el ache-
vons le triangle )iim'm" donl les côtés mm'\ ni m" sont respecti-
vement dirigés, l'un perpendiculairement, l'autre parallèlement à
la droite Om. Si nous lirons les droites 0»*', Om" , il est visible que
les triangles Omni', Omni" sont équivalents, puisqu'ils ont même
base Oniy et leurs sommets ni', m" situés sur une même droite
parallèle à cette base. De là résulte en premier lieu la déduction
suivante :

La (lifférentielle dU ayant pour expression numérique le pro-
duit-— on petit la représenter indijféremment par l'aire de l'an
ou l'autre des deux triangles 0mm', 0mm".

Prenons pour expression de la différentielle dV l'aire du
triangle 0mm", et observons que dans ce triangle la base mm"
est la vitesse de circulation communiquée au point m par la rota-
tion de la droite Om autour du point 0,

Soit Obn un second triangle limité comme le premier, avec cette
seule différence que la droite am soit remplacée par la droite
b7i : nu" étant la vitesse de circulation communiquée au point n
par la rotation de la droite Om autour du point 0, son extrémité
n" aboutit nécessairement à la droite Om"; et la différentielle de
l'aire Obn est représentée par le triangle Onn" en même temps et
de la même manière que celle de Taire Oam est représentée par
le triangle 0mm".

Concluons qu'en désignant par A l'aire du quadrilatère amnb
on a, pour expression de la différentielle dk, l'aire du trapèze
mm"n"n.

Ce résultat est indépendant des directions sui\ies parles points
m et n à l'origine de leur déplacement simultané. La conséquence
est qu'il subsiste en général et qu'il s'étend ainsi de lui-même au
cas où les droites am, (;n seraient remplacées par des lignes quel-
conques situées dans un même plan el passant. Tune par le point

( 185 )

m y l'autre par le point n. Voici d'ailleurs renoncé quil fournit,
sous forme fie théorème :

La différentielle de l'aire engendrée par un segment de droite
qui se merit dans un plan entre deux lignes quelconques est égale
au produit de ce segment par la vitesse de circulation de son
point milieu.

Cet énoncé général comprend le cas particulier où la droite
mobile se meut par translation. On peut d'ailleurs prendre ce cas
à part, et le traiter directement ou par la réduction à labsurde.
Suivons de préférence ce second procédé qui offre l'avantage d'être
en même temps très-simple et d'une application générale à tons
les cas analogues.

Soit z une ordonnée mobile dans un plan el limitée par deux

Fia. 12. droites fixes ah, cd. L'ordonnée z, représentée

^ par mn conserve par liy|>olbèse une direction

';:>^^^Cr^ • constante: elle enajendre ainsi l'aire trapézoïdale

amnc. Soient A cette aire, et li une droite menée

cL___ par le point m parallèlement à cd.

'*^^~~"^~^ <^ L'ordonnée z croît ou décroît selon qu'elle va
de gauche à droite ou de droite à gauche au sortir du lieu quel-
conque mn. Dans le premier cas, la différentielle dA ne peut être
inférieure à zù , ù étant la vitesse de circulation commune à tous
les points de la droite mn. Elle est donc égale on supérieure à ce
produit. Supposons-la représentée par

(z -{->])((.

Il en résulte évidemment que, dans le second cas, elle est repré-
sentée en grandeur par

(z — )i)ù.

Cela posé, imaginons qu'après avoir fait croître l'aire A d'un e
quantité quelconque aA, on la fasse décroître de celte même
(luanlité, l'ordonnée z et la vitesse ù repassant f^^i sens inver.se par

{ l«i )

les mêmes voleurs. Lliypotlihe admise implique la conséquence
absurde exprimée par l'équation

cl consistant , au point de vue des équivalents numériques , en ce
que les longueurs décrites simultanément par deux points animés
respectivement, l'un d'une vitesse plus grande (z •+- >i) à, l'autre
d'une vitesse plus petite (;? — j;) à, seraient égales entre elles.
Concluons qu'on a nécessairement

î?=0,

et, par suite,

r/A =^ ztL

Ce résultat subsiste indépendamment des directions suivies par
les points m H n à l'origine de leur déplacement simultané. Il est
done tout à fait général et s'étend ainsi de lui-même au cas où le
segment mn est intercepté entre deux lignes quelconques. Celte
remarque suffit: elle montre que le tbéorème formulé ci-dessus
s'applique à tous les cas possibles, la direction du segment mn
pouvant être constante ou bien incessamment variable.

08. Considérons Taire A engendrée par l'ordonnée y d'une

Fia. 13 eourbe plane MN rapportée à deux axes OX,

^ OY. Soient mp cette ordonnée, a l'angle XOY, et

/ y dx la vitesse du point ^> sur l'axe OX. La vitesse

/^^<w de circulation commune à tous les points de

/ / l'ordonnée y est évidemment dx. sin a. De là

^ P résulte, en général,

(1) f/A = y . sin a . f/o-,

et , si les axes sont rectangulaires,

(•J) dA = y. dx.

On a d'ailleurs, dans le premier cas,

(5) aA = Ax . sina . M'" ^y,

( l«3 >
et, dons le second ,

(4) \\ == ^x^\''^'^' ' y.

On voit par les formules (3) et (4) que l'aire comprise entre
une courbe plane, l'axe des abscisses et deux ordonnées quelcon-
ques, est équivalente à celle du parallélogramme ayant pour base
1 intervalle ^x compris entre les ordonnées extrêmes , et ])Our coté
adjacent l'ordonnée moyenne intermédiaire.

Supposons maintenant qu'il s'agisse d'une aire A engendrée par
le rayon vecteur d'une courbe plane rapportée à des coordonnées
polaires. En désignant, comme ci-dessus, par >*, le rayon vecteur,
et par 0, l'angle compris entre ce ra}on et l'axe, la vitesse de
circulation du point milieu du rayon r es( évidemment - f/o. On
a donc

(■•i)

. . . ,l\^.-,t<j.

cl, par siiilo,

(«)

On voit par la formule (0) que l'aire comprise entre une courbe
plane et deux rayons vecteurs est équivalente au secteur circu-
laire que ces rayons comprennent entre eux et dont le rayon a
pour carré la moyenne arilbniétiqne des valeurs affectées par r'
dans l'intervalle àf). On peut dire aussi quelle équivaut au rec-
tangle ayant pour bauteur cette moyenne et pour base la moitié
de Tare qui mesure l'angle ao dans le cercle ayant l'unité pour
rayon.

La substitution à des aires quelconques d'autres aires équiva-
lentes et susceptibles d'être transformées directement en carrés
constitue ce qu'on nomme, en général, la (/vculrahfre des aires.

(îl). Au lieu de i)rocéder comme nous l'avons fait, dans les deux
nuFuéros qui précèdent, il est plus sim})le «remprunter le secours
du tbéorcMue suivant:

La ih'fl'êrentii'lle (l'une fonction )te change poînl , encjènèral,
de grandeur, mais seulement de signe, lorsque la dilfèrentielle
de la variable change de signe sans changer de grandeur.

On pourrnit croire, nu premier aijord, que ce tliéorèine, en
quelque sorle évideul, est toujours hi conséquence immédiate et
nécessaire de l'équafion fondamentale

f'/y = t"{^) ' ^^^ ;

ce serait aller trop loin. La dérivée f'[x) peut |)rendre accidentelle-
ment deux déterminations différentes, selon qu'à partir de l'ori-
gine fixée par la valeur particulière attribuée à x, cette variable
change en croissant ou en décroissant; c'est ainsi, par exemple,
que si , sans cesser détre continue, la fonction y = f{x) représente
le contour dun polygone quelconque, la dérivée f''(x) affecte en
général deux valeurs distinctes pour tous les sommets de ce poly-
gone. Les points susceptibles de fournir ainsi des valeurs multiples
sont nécessairement séparés les uns des autres par des inter-
valles plus ou moins grands. La discontinuité qui se manifeste en
ces points n'est que l'interruption accidentelle de la continuité qui
subsiste en dehors.

Considérons l'équation générale

y = f(^h

comme représentant une ligne s rapportée h deux a\(\s coordon-
nés rectangulaires et décrite par un point mobile /u.

Le rapport des vitesses dy et dx, égal à la dérivée /''(x) n'est
autre chose que la tangente de l'angle que la directrice du point ^a
fait avec Taxe des x. Il peut arriver pour certaines positions du
point /u que la directrice change brusquement de direction. II est
évidemment absurde et impossible quil en soit ainsi constamment
sur une étendue quelconque de la ligue décrite. 11 faut donc néces-
sairement que cette direction soit, en général , constante ou bien
continûment variable. Dans un cas, connue dans l'autre, la direc-
trice n affecte jamais pour une même position du point ^c^ qu'une

( t«7 )

seule et même détermination nppliealile à la lois aux deux sens
suivant lesquels le point fx. peut se mouvoir dans la description de
la ligne s. Il s'ensuit que la dérivée f\x] ne comporte, en géné-
ral, ])Our chaque valeur de x qu'une seule et même valeur, indé-
p(Mulanle du sens dans lequel s'effectue la génération que l'on
considère. De là résulte comme conséquence le théorème formulé
ci-dessiis. Voici, d'ailleurs, les solutions très-directes et très-
simples fournies par ce théorème pour les cas traités précédem-
ment. Elles sont un exemple des ressources qu'il offre dans les
différents cas d'application.

Soit C l'aire engendrée par le rayon vecteur 0;>i qui tourne
F](j. 14. autour du point 0 et dont l'extrémité se meut

sur la ligne amb.

Du point 0 comme centre, avec le rayon

Ow = r, décrivons l'arc de cercle rme. Si le

point 7H se déplaçait en restant sur cet arc, on

aurait évidemment

et par conséquent aussi

(I) dV = -de,

Cela posé, lorsque le point m sort du lieu qu'il occupe en
restant sur la ligne amb y selon qu'il va de m vers b ou de m vers
«, il estvisihlc que la différentielle rfU ne peut être, ni moindre
dans le premier cas, ni plus grande dans le second, (jue la quan-
tit(i l! f/o. Or, on général, elle a même valeur absolue dans cha-
cun de ces deux cas. 11 faut donc nécessairement quelle soil égale
à ^ de. On voit ainsi que l'équation (1), étahlie d ahord dans
l'hypothèse r = cons'% suhsiste, en général, pour le cas où le rayon
vecteur Om varie incessamment.

Désignons par r la partie du rayon vecteur Om limitée à la ligne

( 188 )
a'm'h' et par V TiMiu' qu'ongendre le segment r'. On a, comme tont
à riieiire,

».'2

(2).

9

De là résnlte. en désignant par A l'aire engendrée par le seg-
ment mm' ,

(5). . . . d\ = (h . = (r— r' ) (h.

L'équation (5) a pour traduction l'énoncé suivant, déjà for-
mulé n" (>7, page 185 :

La di/férenlietle de l\iire enyemirée par un segment de droite
(jiii se meut dans un plan entre deux lignes quelconqnes est
égale au produit de ce segment par la vitesse de circulation de
son point milien.

Cet énoncé n'est pas restreint au cas où la droite mobile se
meut en changeant de direction, et par conséquent en tournant
autour de son centre instantané de circulation *; il s'étend de lui-
même au cas particulier où cette droite se déplace en conservant
une direction constante. On peut d'ailleurs procéder, pour ce cas
et pour tous les cas analogues, en suivant toujours la même
marche.

Soit A l'aire engendrée par le segment mn supi>osé mobile dans

Fi>l io.

un plan, et compris entre la droite cd et la ligne
anib. Par Je point }n menons la droite /y>*« paral-
lèle à cd et désignons par y le segment mn, par
a l'angle constant mnd. par .r la distance en.
Si le point m restait sur la droite //, on aurait
évidemment

ii A = ?/ . ^<T

sm r/.

La subsliliuion (hi centre insianlané de eirciilalion au contre instantané
de rotation n'a (Taulre elï'el (|ue de supprimer lettli^seinent de la droite mol)ile
sur elle-mènje. La suppression de ce glissement n'altt're en rien l'étendue dé-
crite par le segment que Ton considère.

( 18« )
et, par coiisLHiueiil aussi ,

(/A = ydx . siii a.

Cela pose, puisque le point ni sort du lieu qu'il occupe en
restant sur la ligne amh^ selon qu'il va de m vers 6 ou de m vers
«, il est visible que la différentielle r/A ne peut être moindre, dans
le premier cas, ni plus grande, dans le second, que la quantité
ydx un x. Or, en général, elle a même valeur absolue dans cha-
cun de ces deux cas. Il faut donc nécessairement que l'on ait, en
général ,

(4) dX = ydx . sin a,

la quantité y n'étant plus assujettie à demeurer constante
comme elle létait dans l'hypothèse où nous avons d'abord rai-
soiiné.

Partant de là , il est aisé de voir comment récjuation (4) est direc-
tement applicable au cas où l'on remplacerait la droite cd par une
courbe quelconque située dans le plan de la ligne amb.

70. Montrons, par quelques exem])les, comment, en certains
cas, la quadrature des aires planes et la rectification des courbes
peuvent s'effectuer sans autre secours ([ue celui des notions précé-
demment ac(|uiscs.

Supposons, en })remier lieu, que la courbe M>i du n" 08,
page I8i, étant représentée par une équation de la forme

y = r{x),

la fonction y(.*;) soit la dérivée d'une fonction connue /(j), de
telle façon que l'on ait

De là résulte

t

/•(.r-^ A.i-)-/-M^Ai;3ir^Y'(x),
et, par conséquent,

( lyo )

L'hypothèse que nous venons de faire se réalise toutes les fois
que la fonction ^(x) est la dérivée d'une fonction élémentaire. De
là une série d'applications dont il suffît d'indiquer les suivantes.

La dérivée de la fonction étant, en «énéral, a;'", il s'en-

suit que dans le cas d'une courbe MlN représentée par léquation

il vient immédiatement

/\.,. [X -+- -^i^j X

(1). . . ûA-:A.rMr 'x"' =

m -+- 1

Soit m positif. La quadrature prise entre les limites o cl x
donne

ni H- I m -\- I

Désignons par X la valeur x -+- ^x et ])ar Y la valeur corres-
pondante {x -+- Ax)'"; l'équation (I) se réduit à la forme très-
simple

XY — x//

A A

m -+- I

Lorsque m est négatif et égal à 1, la formule (I) tombe en
défaut. Cela tient à ce que ce n'est plus une fonction algébrique,
mais bien la fonction logarithmique Lx , qui a pour dérivée--
En ce cas on a , dune part,

1
•^ X
et, d'autre part, •

JL- \ X I

Les dérivées des fonctions sin x et &" étant respectivement

( 191 )

cos X et (?', il s'ensuit que dans le eus d'une eourbe MN représen-
tée par Tune ou l'autre des deux équations

U

sni X ,

!J = ^''

On a, })Our le premier eas,

aA --= sin (r -4- Ai) ~ sin x,
et, pour le seeond,

aA^c*-^*^"" — e^ — Y — ^.

71. Supposons, en seeond lieu, que la eourbe MN soit définie
géométriquement. Il est alors des cas où la solution peut s'obtenir
d'une manière directe et très-simple.

Considérons d'abord la ligue MN comme étant une cycloïde,
c'est-à-dire la courbe engendrée par un point d'un cercle qui roule
sans glisser sur une droite fixe.

Soient amh une position quelconque du cercle roulant ; LP la
droite sur la({uelle ce cercle roule sans glisser; ah le diamètre
aboutissant au point de contact a; QR une parallèle à la droite
LP passant par le point h.

Le point décrivant étant j)ar livpothèse en m, sa vitesse actuelle
résulte de la rotation qui s'établit autour du centre instantané a.
Il s'ensuit qu'elle est dirigée suivant mh et qu'on peut prendre ce
segment pour la représenter en direction, sens et grandeur. Du

raj. m.

point m abaissons deux perpendicu-
laires, l'une y = nrp sur la droite QR,
l'autre x= nifj sur le diamètre ah. La
première décrit l'aire A comprise en-
tre la cycloïde et la droite QR, la se-
conde décrit en même temps le demi-
J* cercle anih, représenté par B.

Cela posé, il est visible que les
composantes de la vitesse mh, respec-
tivement perpendiculaires aux droites
ah, QR, sont l'une mq , l'autre mp.

( I!'-' )
On a donc, en incinc temps,

d\=^ ij . mq = mp . mq^ dH = £ . inp = mq . mp.
De là résulte

et, eu égard à l'égalité constante de ces deux vitesses simul-
tanées,

On voit ainsi qu'en désignant par in^ ni deux points de la ey-
cloïdc, et \yॠj),p' , q, q' les projections de vas points sur les droites
QR et ab , il y a toujours équivalence entre l'aire mm'p'p et la
porlion du demi -cercle amb (pii se trouve interceptée par les
droites mq, m'q'.

S'agit-il de l'aire totale comprise entre la cycloïdc et la droite
LP pour une révolution tout entière du cercle roulant? Le rec-
tangle construit sur le développement de ce cercle pris pour base,
et sur le diamètre «6 =^ 2r pris pour hauteur, a pour surface
47r/*^. Il faut d'ailleurs en soustraire la surface du cercle amb égale
à 7iT^. Il reste donc pour Taire cherchée 3~r'^, c'est-à-dire trois fois
celle du cercle roulant.

Sans rien changer à ce qui précède, représentons-nous le cercle
amb comme demeurant fixe, tandis que le point m décrit la cy-
cloïdc et sort de sa position actuelle avec la vitesse mh.

Le point m entraînant par hypothèse la droite m(i, soit (x le
point où cette droite coupe la demi circonférence a)nb. Les points
m et [j. sont actuellement en m: dans leur mouvement simultané
l'un décrit la cycloïdc, l'autre la demi-circonférence amb; tous
deux d'ailleurs restent sur la droite mq qui se meut avec le point
m^ sans changer de direction. 11 suit de là que la vitesse du i)oint
fx. se projette sur ab comme celle du [)oinl }n, c'est-à-dire en qb.
Tirons le rayon cui et, du j)oint b, abaissons sur vtn hi per])cndicu-
laire be, qui coupe en l la droite mq. Diiigée suivant la tangente
en m au cercle amb, la vitesse du point fx est parallèle à bc. >'ous

( »95 )

savons, en outre, que sa projection sur ba est égale à qb. Con-
cluons que eette vitesse est représentée par ib. Cela posé, considé-
rons le point y. comme glissant sur la corde mb, tandis que cette
corde tourne autour du point 6. La perpendiculaiie abaissée du
point i sur bm étant in, la vitesse de glissement du point // sur
inb est iéb. Mais, d'un autre côté, le triangle mcb est isocèle; et
les droites niq, be sont respectivement perpendiculaires, l'une au
rayon cb, l'autre au rayon cm. On voit donc que le point n est le
milieu de la corde nib et que la vitesse de glissement du point >/.
sur ad) est précisément la moitié de lu vitesse du point m suv la
cycloïde.

Soit m" le point où la droite m'q' vient couper la demi-circon-
l'érence amb. On voit, ])ar ce qui précède , que lare cijcloïdal m'ju
a, pour longueur rectifiée, le double excès de la corde m"b, sur la
corde mb. On déduit aisément de là que la cycloïde a pour demi-
longueur 4r, et 8/- pour longueur totale.

Au lieu de procéder, comme nous venons de le faire, en ce qui
concerne la rectilication de la cycloïde, on peut poser

ds = mb ^= ^"^rtj, dy = bq = ij.

De là résulte

I i

ds = V^^ .ij~' .y ^ l/^ . y/~ ^ . dy

et par suite, la rectilication étant laite entre les limites y = o ,

y-- H,

^s = bq . Wr . ^j'r y~~'=^'2 \/lry = '2mb \
' La fonnulo (1 ) du n" 70, page 190 donne, en général,

Delà résuUe, pour m =

1

2 '

M«//'^ = 2//~i

Tome X^^

15

( vn )

Les résultais auxquels nous souinies parvenus pour le cas où la
y,.- j- ligne MN est une cycloïde peuvent se

résumer d'une manière très-simple.

Soit h le sommet, ou ce qui revient
au même, le point milieu delà cycloïde.
Traçons le cercle roulant dans la posi-
tion où le point décrivant se trouve en
by et menons parce point la tangente
hQ et le diamètre ha.

Cela posé, m étant un point quelconque de la cycloïde, si de ce
point on abaisse deux perpendiculaires )up, mq sur les droites
/;Q, ha et qu'on désigne par m' le point où la droite mq vient
couper le demi-cercle am'n'b, on a les énoncés suivants :
Vaire pbnm est équivalente à Vaire bn'm'q.
Varc bnm est égal en longueur au double de la corde bm'.
72. Prenons pour ligne MN la courbe connue sous le nom de
Limaçon de Pascal.

Soient c le centre d'un cercle au rayon cO =^ a,h un point quel-

Fig. 18.

conque de la circonférence de ce
cercle , hm la tangente en ce point,
m le pied de la perpendiculaire
abaissée du point 0 sur la tangente
hm. La courbe, dont il s'agit, est le
lieu des points m.

Prenons, pour pôle, le point 0,
et pour axe, le prolojigement du
layon cO. Traçons deux circonfé-
rences de cercle, l'une ayant cO pour diamètre, l'autre ayant son
centre en 0 et cO pour ra) on. Soient n et p les points où le pro-
longement du rayon vecteur mO vient couper ces deux circonfé-
rences. Par le point c élevons sur cO une perpendiculaire cB.

Le ra}on vecteur mO étant représenté par /', et l'angle uiOb
par ô, l'équation polaire du limaçon est très-simplement

(!)•

mn

On = a([ - cos o) =rr 9^/ sin"

( 11>'J )

On a d'ailleurs, pour la quadrature, ronformémcnt à la for-
mule (;>) du n" (18, page I8;j,

et, pour la rcclifieation, conformément à la formule (2) du n" G6,
page 180,

L'ëqualiou (j) donne

r^ = 4 a^ sin* - = 4«'' sin'^ - — «^ sin- e.
2 â

Tirons les dmites p6, /jc, oi. Les angles eO/j, e/>/; sont respec-
tivement égaux, l'un à o, l'autre à -. De là résulte, d'abord,

h
cp =:r= -2a sin - ? (•//=::: (< siu 0 .

puis, substituant,

f/A =^ - V cp — c/i j (la.

Observons ici que les angles Bcp , Ben sont respectivement
égaux, l'un à - , lautre à 6. Si donc il s'agissait des aires décrites
par les rayons vecteurs c/>, eu (le point c étant pris pour pôle et
la droite cB pour axe) on aurait en désignant ces aires l'une j)ar
A', l'autre par A",

i

1 — -^ tlB , , m
dk'^-cp —, dk"=^~ ' de.

2 2 2

La conséquence évidente est que l'on peut écrire
flX = 2 (IX' — d . A",

( 100 )
et 5 par suite ,

Parlons de 0 -^ o. L'aire du limaçon comprise entre le rayon
A eeteur Om et l'are qu'il sous-tend, est (fgale à deux fois le segment
circulaire intercepté par la corde rp dans le cercle cpb, moins
une fois le segment circulaire intercepté par la corde ai dans le
cercle cuO.

x\llons de Q == 0 à 0 = ~. On a tu' pour le double du premier
segment et -^ pour le second. Il s'ensuit que Taire totale com-
prise entre le limaçon et son axe 00' est égale à 5 '—-, c'est-à-dire,
à (rois fois la surface du cercle cnO. L'aire correspondante du
demi-cercle 0/iO' étant 2^^, on voit que l'aire comprise entre le
limaçon et le contour de ce demi-cercle est précisément égale à la
surface du cercle cnO.

On a généralement, ainsi qu'il est aisé de le voir sur la ligure,

0 — sin 0 ,, a- "Ih — sin iio

AA' = a- 7 A A == — •

^ 4 2

Il vient donc, en substituant

r59 . sin^o"!

A A = cr SHl 0 H •

14 8 J

Sa2;it-il maintenant de la rectification? On a

(î)'-'<

2«^ (I — cos f)) = 4fr sin^ -

De là résulte

(1s = "la^'m - . r/9.

( lî^7 )

On a (railloms. en désignant par z l'excès du diamètre ch aiv la
corde bpf

(l-cosl)

e!, par suite,

=- '^a I I — cos

ilz =^ a sin - • (h.

Il vient donc aussi.

el . conséqneninient .

A.s = ^^z.

Concluons que l'are Oem a pour longueur rectifK'e le double
excès du dianu''lre ^a sur la corde hp. Cela revient à dire que Tare
de limaçon compris entre le point 0' et le p(Mnt m est égal en lon-
gueur au double de cette corde. Il s"ensui( que le développement
total de lare OihO' a \(( pour longueur.

Les résultats obtenus successivement, en ce qui concerne la
cycloïde et le limaçon de Pascal, offrent une analogie remarquable.
Nous verrons plus loin, ainsi que nous l'avons déjà signalé dans un
travail purement géométrique*, que l'analogie s'étend jusqu'aux
développées de ces courbes.

On observera qu'en désignant par n' le point où la droite ch
vient couper la circonférence du cercle c//0, Ton peut substituer
les cordes n'O, Oh, O'h aux cordes eu, cp, hp, et sen tenir au tracé
des deux circonférences O'hO, cnO, pour figurer et exprimer les
solutions précédentes. La droite ch , parallèle au rayon vecteur
0»^, suftit pour déterminer les deux points n' et //. Le reste est
daillcurs très-facile. S"agit-il, par exemple, de l'arc 0'»?? On voit
(]uil a pour longueur rectifiée le double de la corde O'h.

* Voir K's ]>v]U'lii\i< 'le l'Académie roynlç de lieh/ique, :2""^ série, lomc V,
n" 0.

( lî>«^ )

La rrclification dv l'arc O'ni s'obtient dircctcinent de la manière
suivante :

Lorsque le [)()int ni sort du lieu qu'il oceupe, eest en restant
sur les droites Oni^ km qui sont rectangulaires et qui tournent
avec une même vitesse angulaire, Tune autour du point 0, l'autre
autour du point h. Prenons cette vitesse angulaire égale à l'unité.
Il s'ensuit que la vitesse actuelle du point m a pour compo-
santes orthogonales deux vitesses représentées en grandeur, lune
par Om, l'autre par lun, et qu'en conséquence elle-même est repré-
sentée en grandeur par l'hypoténuse Oh. Mais, d'un autre côté,
la vitesse du point h (lorsqu'on la fait tourner d'un angle droit)
se trouve représentée en direction, sens et grandeur, par le rayon
ch. Si donc on abaisse du point c sur la corde O'A une perpendicu-
laire c^, il est visible que la vitesse de glissement du point /i sur
la corde O'h est représentée en grandeur par cq *. Cela posé, la
vitesse cq est évidemment moitié de la vitesse Oh. De là donc
résulte immédiatement l'énoncé formulé ci-dessus.

La quadrature de l'aire hnteO comprise entre la tangente km,
l'arc de limaçon meO et l'arc de cercle Oit s'obtient plus simple-
ment encore que la rectiiication de l'are O'm. Il suffît d'observer
que le segment hm reste toujours égal et parallèle au segment oi.
La conséquence évidente est qu'il y a constamment équivalence
entre l'aire hmeO et le segment sous-tendu dans le cercle One par
la corde en. Cette déduction s'accorde avec la mesure trouvée plus
haut pour Taire du limaçon.

* Le point h peut être considéré comme glissant sur la corde 07; , en même
temps que celte corde tourne autour du point 0'.

ii)y

CHAPITRE IV.

THÉORIE GÉNÉRALE DE l'oSCULATION DES COURBES PLANES.

De fil coiirhurc proprement dite.

CERCr.R OSCULATEIR. - DÉVELOPPÉES ET DÉVELOPPANTES.

75. Soit S uni' coiirhc pinne; ya un point assujetti à décrire la
eourbe S; m le lieu du point a à l'instant que l'on considère.

La ligne S étant courbe, il s'ensuit que, dans la descrii^tion de
celte ligne, le glissement du point y. sur sa directrice est accom-
pagné en général d'une rotation de cette droite autour du point a.
De là résulte la courbure : elle est d'autant plus prononcée que la
vitesse angulaire de la directrice est plus grande pour une même
vitesse linéaire du j)oint décrivant. Lorsqu'un rapport constant
subsiste entre ces deux vitesses simultanées, la coufbure demeure
invariable et réciproquement. Ce cas se présente toutes les fois
que la ligne S est une circonférence de cercle. En dehors de ce cas ,
le rapport qui s'établit, pour chaque position du point /^, entre la
vitesse angulaire de la directrice de ce point et sa propre vitesse,
varie incessamment. Considérons la valeur affectée par ce rapport
à l'instant précis où le point ^ sort du lieu m , et représentons-
nous la circonférence de cercle qui se substitue à la ligne S, (/«/^s
rhi/potlièse où cette valeur persiste sans changement ultérieur.
La courbure de la ligne S au point m n'est autre chose que la
courbure uniforme présentée par cette circonférence en chacun
de ses points : elle se manifeste en cessant de varier : elle devient
sensible, en même temps qu'elle est rendue permanente.

( 2(10 )
Do là r<'.^iillP la drliiiilion snivnnio :

La courbure en. un point diine courbe a pour mesure le rap-
port qui s'établit j au sortir de cepoiîit, entre la vitesse angulaire
(le la directrice et la vitesse du point dccrivant.

On pont n jouter :

Elle «, pour type sensible , la courbure du cercle oif ce mcme
rapport subsiste invariablement.

74. Précisons davantap;c.

Soit V la vitesse du point /u. au sortir dn lieu m, c\ w la vitesse
angulaire simultanée de la directrice.

Considérons la dvo'ilc mn, normale en m à la courbe s , et sup-

Fiç/. 10.

posons qu'entraînée par le point décrivant, elle glisse
avec ce point le long de la directrice en lui res-
tant perpendiculaire. II est visible qu'en se dépla-
çant ainsi, la normale nui sort du lieu qu'elle occupe
dans les conditions suivantes :

1" Elle glisse tout entière avec la vitesse v rendue
commune à tous ses points.

2" Elle tourne autour du point m avec la vitesse tr.
On sait d'ailleurs que la vilesse r est dirigée suivantla droite»*/,
tangente en m à la ligne s.

De là résultent pour le point quelconque o situé sur la normale
mn à la distance nio du })oint décrivant deux vitesses actuelles et
simultanées, l'une ('gale à v, l'autre au produit mo.w. Ces deux
vitesses ont une seule et même direction })erpendiculaire à la noi-
male. Elles sont d'ailleurs de même sens, ou de sens contraire,
selon que Tare décrit , à partir du lieu m, commence par être con-
vexe ou concave du coté du point o , cVsl-à-dire, suivant qu'il se
])rojette d'abord sur le prolongement du segment om, ou sur ce
segment. Supposons le point o pris du coté de la concavité. Dans
cette bypotbèse, la vitesse du })oint o (st représentée en grandeur
par la dilTérencc

V — mo . U-.

( ^iOl )

Considérons!, on parlieiilier. In position que prend le poini o,

lorsque sa distance an point tn est déterminée par l'équation de

condition ,

r
mo = — •
ir

]\n ee ras, on a évidemment

V — mn . ir = o.

De là résultent les conséquences suivantes :

1" Lorsque le point dècriranl entrahio avec lui la normale à
la ligne décrite , il est un point de la norn\ale dont la vitesse est
nulle. Ce point est situé du côté de la concavité, à une distance
du point décrivant exprimée, pour chaque position de la nor-
male, par la valeur correspondante du rapport — .

2" Deux cas sont possibles selon que le rapport — demeure in-
variable sur la courbe décrite, ou quau contraire il varie inces-
samment d^un point à un autre.

Dans le premier cas , le point de la normale dont la vitesse est
nulle l'esté toujours le même. Il s'ensuit qu'il est fixe et que la
ligne décrite en est équidistante. Cette ligne est donc une circon-
férence de cercle ayant son centre en ce point.

Dans le second cas , le point de la normale dont la vitesse est
nulle est le centre du cercle qui se substituerait à la courbe dé-
crite si, sans rien changer d'ailleurs, l'on conservait au l'ap-
port—la valeur qu'il a/fecte à V instant que l'on considère. Ce
cercle prend par rapport à lacourJ)e le nom de cercle osculateur.
Son rayon est dit rayon de courrure. En désignant par p ce
rayon, on a généralement ,

V

7^). Soif m une position quelconque du point y.: o le centre de

( iH)^2 )

t'Oiirbupe qui cori'ospond à l'cllo position: •/ un point inol)ii(' as-
sujetti à glisser sur la normale de inanièi'e à coïncider lonjoiirs
avec le centre o du cercle osculaleur.

Le rayon o étant, par liypolhèse, incessamment varial)le, il s'en-
sintque, dans le passage d'une position quelconque de la normale
aux positions suivantes, le point /x sécarte ou se rapproclie du
point y* en glissant sur la normale avec une certaine vitesse. Soit
// cette vitesse; elle est déterminc'c par la variation correspon-
dante du rapport -, c'est-à-dire j)ar le degré de rapidité avec
laquelle ce rapport augmente ou diminue. Il est \isihle d'ailleurs
qu'elle constitue à elle seule la vitesse totale du point ^'.

Affectons à la courbe donnée S le nom de développante et au
lieu géométrique de ses centres de courbure celui de (Icveloppée.
Les considérations qui précèdent ont, pour conséquences immé-
diates, les déductions suivantes :

I" Pendant que le point /u, décrit la développante avec la vi-
tesse V, le point a' décrit la développée avec la vitesse

wdv — vdn-

"="fâ—

:2" Dans la description de la développée le point >/ çjlisse sur
la normale avec la vitesse u, et, en même temps ^ la normale
tourne autour de ce point avec la vitesse w.

5" Toute normale à la développante est tangente à la dévelop-
pée^ et réciproquement toute tangente ù la développée est normale
à la développante.

4" Dans le passage d'une position à une autre la normale à la
développantes applique sur la développée j)ar voie d'enroalemeni
continu **.

* Le iK)iiil ,« osl le iioiiit qui décrit la lii^nc S. il est siijtposé lixe sur la
normale (ju'il entraîne avec lui.

*' Lu désignant par .s' l'arc de la dévelo|>iH'e, ou a évidenimeiil

<l.s' = dp,
et par suite,

Ai' = A^.

( ^-^O'^ )

h" L'arc de. (U'veloppéey coDiprfs entre deux rayons de courbure
de Ici développante , a pour longueur recli/iée lu différence de ces
mêmes rayons.

0° Le rayon de courbure de la développée est représenté, pour
le point 0, par le rapport— , en même temps fjue celui de la dé-
veloppante l'est, pour le point m, par le rapport - .

7" Lorsque les vitesses u et w varient dans un rapport constant ,
la développée est une circonférence de cercle et réciprociuement.

S" Les développantes de cercle sont les setdes lignes pour les-
quellesles vitesses ii et w conservent entre elles un rapport inva-
riable.

La théorie, qui fournil d'elle même ces déductions si simples et
si directes, suflit, ainsi qu'on va le voir, à toutes les applications.

Déterminât ion analytique du rayon de courbure, du centre du
cercle osculateur et de la développée.

7(>. Soit

(i) .V = /K

r<'qiiation de la ligne S *, dans un sysième d'axes coordonnés
rectangulaires.

Désignons par x, y, les coordonnées du point???, et para l'angle
que la touchante en ce point fait aA ec Taxe des x.

Le rayon de courbure ayant pour expression générale

("^)- ■° = ^'

* Si réqualioii do la ligne S était donnéo sons la forme

F(.T, y) — o.

on eu déduirait aisément les valeurs des dérivées /"'(a;) et /"'(j?) qui fij-Mirent
dans les lurniuks suivantes.

( 20i )

c'est-à -dire lo rapport dr la vitesse du point décrivant à la vitesse
angulaire de la directrice, léquation (i>) revient à

(5)

On a, d'ailleurs.

ds

'/ = arc tg f'Çr),
et, par suite.

n<' là ivsiille.ffi siih^^lidi.inl colle valoiii" ii </-/ . ei on rcniploçont

(4) ,_["-/»'?

Kn général, on désigne, par;>, la dérivée première/ (j), et par 7,
la dérivée seconde /"'(^). L'équation (i) peut ainsi s'écrire sous
eetle autre forme

Ci). ..... .„ = ii^.

Lorsque la variable x est prise pour variable indépendante et
assujettie à croître ou décroître avec uniformité, il est permis de
substituer à rj le rapport de la différentielle (Pi/ au carré de la
différentielle dx. S'il en est autrement et quon veuille exprimer
le rayon de courbure en fonction des différentielles correspon-
dantes, on le peut, soit au moyen des formules établies au n« ô:2
de la deuxième partie (page 150), soit en procédant comme il suif :

On a , généralement.

(/y
oL=^ arc tg-^ •
' (Ix

(

205

)

Il V

icnt donc

(/a^

"S
' - (1)

2 '^"

djr

Ou

a, d'ailleurs,

dx' -{-

df.

- c//il

De

là l'ésulle

(0). .

. 0 ^^=

ds

1 1 i

15 _

5

..

77. Considérons le eas des coordonnées polaires. Les formules
du n" GG, naajc 180, donnent d'abord

I de
Vdi:

do
a-=^e -\- arc Ig r . ~~,
dr

et, par suite,

d

dy. =^ dh -+-

De là résulte, en général.

(I). .

HÛW

\ -\-r

^£r-*-i-''(''i)

et, pour le cas pajtieulier où la variable 9 croil ou décroit unifor-
mément, la vitesse angulaire dh étant suj)posée eonslante,

(.) • ^'

;)7

r H- 1>

dfJ ' [deV

78. Plaçons- nous de nouveau dans les conditions du n" 7G.
L'équation de la normale au point m est , ainsi qu'on la vu au n" 55,
page 1 54,

{]) (/ — x)dx -\- (u — fj)ihj = 0.

Lorsque le point /u. sort du lieu m en restant sur la ligne S, la
normale tourne autour du centre de courbure comme s'il était
fixe. Il s'ensuit que, si Ion considère les coordonnées générales t
cti/ comme étant celles du centre de courbure, et qu'on différencie
l'équation (I) dans cette hypothèse, on doit regarder ces coordon-
nées comme constantes.

De là résulte,

(2). . . . (/ — x)d''x -\- [H — y)d\ij =^ dx' -+- di/\

Les équations (1) et (2) déterminent les coordonnées du centre
de courbure. Elles donnent, pour Faljscisse de ce centre,

r\ t— - ^(v(^^-^' -^ ^hr)

^''^' ' ' dxdhj-dyd\x ''

et, pour I ordonnée correspondante,
dx{dx- -f- dif)

(4). .../< = //

dxdhj — dxjd^x
La valeur du ra}on de courbure déduite de ces formules est

[dx'' -+- diff

(5). . .r^V[\--xf-^-^i-iif

dxd^ij — dijil^x

L'équation de la développée s'obtient, d'ailleurs, ci] élimiiuint
les variables x et // entre l'équation de la courbe et les équa-
tions (1)et(2).

Supposons qu'on [)renne la variable x pour variable indépen-
daule, et (pu^ Ton ait

( 207 )
Les équations (ô) et (i) deviennent

/» ' " - ^'"' " -7>r '

et il siillil d'élimiiKT x entre ees deux dernières équations pour
obtenir l'éciuation de la développée.

1

Propriétés, et caraclh'cs (iiîilinrlifs du rerrlc osctilaleur.

70. Soient a/, «/', deux eourbes passant par le point « et ayant,
Fia. 20. ^^^ ^^ point, même tangente aX, même nor-

male aY.

I / Soient a, y/, deux points mobiles assujettis à

i y ^ partir en même temps du lieu a et à déerirc

1 ^ijï^" simultanément, Fun la courbe r//, l'aulic la
^"~^ ' courbe al\ tous deux avee une même vitesse
constante v.

On suppose les points /, /' assez rapprocbés du point u j)Our
que dans la description des ares «/, ni' les directrices des points
ytc, u.' tournent toujours dans le même sens et ([ue leur rotation
totale soit inférieure à 90".

Désignons par m,m' denx positions conjuguées des points ^,v/
et par a, a les angles dont les directrices ont (ourné simultanément
dans la description des arcs mn, am'.

Les cooi'données du point m étant (x,^) et celles du point
m', {x' y')j on a, d'une part,

(1 ) dx .=^ V cos V. , dtj = V sin a ,

et, d autre part,

(2). . . . //x' = f cos a' ^ r/y/' :^ r sin a'.

Les é(pialions (1) montrent ([ue l'ordomiéc y croit avec l'ab-

( ->08 )

scissc X \ Supposons Tauglc ^' toujours plus giaud que Tanglc j;
dans 1 intci*\alle que l'on considère. La comparaison des équa-
tions (I) et (:2) donne dx > dx' et en même temps dij' ydy. 11
s'ensuit que, dans la description simultanée des arcs «/m, um' , la
projection p' reste en arrière de la projection p , et que néanmoins
l'ordonnée m'p' l'emporte en grandeur sur l'ordonnée nip. On a
donc up' < ap et m' p' > mp.

Soit y* le point de l'arc am situé sur rordoiince nip' . Le point //
étant en arrière du point ;>, on a

mpynp'.

11 vient donc, ù foiilori,

m'p'^np'.

De là résulte le théorème sui\anl :

Lorsque deux courbes ont en un point commun même lan(jente,
celle dont tu courbure, au sortir de ce point , est ou devient plus
(jrande que la courbure de l'autre, s'écarte davantage de la tan-
(jente commune.

Ce théorème est en quelque sorte évident à priori. Si nous
Lavons démontré , c'est uniquement aiin de procéder toujours avec
une entière rigueur.

80. Considérons une courhe S, et son cercle oscillateur en un
point quelconque m.

L'A courhure de la courhe S est, i)ar hypothèse, incessamment
variahle. 11 s'ensuit (\\\en général, elle est croissante d'un côté du
point m et décroissante de l'autre côté. Du côté où la courhure
augmente au sortir du point ut, elle devient plus grande que celle

* On a

dij = (U . lii, o:.

11 sV'iisuil que k'b vitesses dy cl d.c soiil cl icblcnl de mOiiif ^iyiie pour luulc
valeur de oc eomprise entre o el -5 •

( 201) )

du cercle oscillateur : du côlé où elle diminue elle de\icnt plus
petite. Dans le premier cas, la courbe S s'écarte plus que le cercle
osculateurdela tangente commune; dans le second, elle s'en écarte
moins. De là résulte immédiatement cette première déduction :

En (jî'néral le cercle osculatciir couije la courbe au poinl d'os-
culation.

S'agit-il d'un autre cercle ayant son centre sur la normale du
côté de la concavité et touchant la courbe S au point /» ? Selon que
ce cercle est moindre ou plus grand que le cercle osculateur, sa
courbure, au sortir du point m , est, en mêine temps et des deux
côtés à la fois, plus grande ou plus petite que celle de la courbe S.
Dans le premier cas , il s'écarte plus que la courbe S de la tan-
gente commune, en deçà comme au delà du point m. Dans le se-
cond cas, c'est précisément l'inverse. De là résulte, en conséquence,
celte deuxième déduction :

Le cercle osculateur est la limite sèparalive des cercles qui
touchent la courbe au point d'osculation, les uns intérieurement,
les autres extérieurement.

Observons que les cercles qui louchent la courbe S au point v>;,
les uns intérieurement, les autres extérieurement, touchent en
même temps et de la même manière le cercle osculateur. Il n'est
donc aucun de ces cercles qui puisse passer entre le cercle oscula-
teur et la courbe S. De là résulte cette troisième déduction :

Le cercle osculateur est parmi tous les cercles menés par le point
d'osculation celui qui se rapproche le plus de la courbe dans le
voisinage de ce point.-

Tome XV. 14

( 210 )

Remarque sur les courbes osculatrices.

80*"' Lorsque deux courbes S, S' ont en un point commun même
direction * et même courJ)ure, celle qui s'écarte le plus de la tan-
gente commune, au sortir du point d'osculation, ne s'en écarte
pas autant que toute autre courbe ayant même tangente et une
courbure plus grande; celle qui s'en écarte le moins, s'en écarte
plus que toute autre courbe ayant même tangente et une courbure
plus petite. De là résulte évidemment la conséquence suivante :

Entre deux courbes qui ont, en un point commun, même direc-
tion et même courbure y on n'en peut faire passer aucune de cour-
bure plus grande ou plus petite.

La courbure supposée la même au point d'osculation des deux
courbes S,S' est, en général, pour cbacunede ces courl)es croissante
d'un côté et décroissante de Tautre. Si d'un coté la courbure de la
courbe S devient d'abord plus grande que celle de la courbe S', Tin-
versé a lieu de l'autre coté. 11 suit de laque ces courbes se coupenl
au point d'osculation. Cette conséquence subsiste en général. Elle
est en défaut pour le cas particulier.où les courbures, affectées par
les courbes S, S' au point d'osculation, sont toutes deux des maxinia
ou des minima.

Indication générale des procédés à suivre pour la détermination
des centres et rayons de courbure des courbes planes.

8 1 . Nous avons établi dans les numéros 70, 77 et 78 les formules
qui permettent de déterminer par le calcul les ccnties et rayons de
courbure ainsi que les développées des courbes dont on a Téqua-

* On eijlend par direction d'une couibc en un point celle de la tangente
en ce point, ou nueux encon* cdle delà directrice.

( 211 )

tion, soit en coordonnées rectangulaires, soit en coordonnées po-
laires. L'emploi direct de ces formules constitue un procédé gé-
néral, applicable à tous les cas et n'offrant aucune difliculté, si ce
n'est, quelquefois, la longueur et la complication des calculs. C'est
là, sans aucun doute, un avantage précieux. Toutefois il y a lieu
d'observer que l'introduction d'un système de lignes auxquelles
on rapporte celles que Ion considère, sans qu'il existe entre les
unes et les autres aucun licji naturel, doit avoir très-souvent pour
effet de présenter les propriétés les plus simples sous des formes
complexes qui les voilent et les dissimulent. L'babitude du calcul,
les artifices quelle suggère, remédient plus ou moins à cet incon-
vénient, mais il faut pour cela quelque effort d'invention. Que cet
effort, du moment où il devient nécessaire, s'applique à des trans-
formations analytiques, ou à des recberclics de géométrie pure,
peu importe, sil est le même de part et d'autre. Cette remarque
suffit pour motiver, en certains cas, la combinaison des diverses
ressources dont on dispose et l'abandon plus ou moins complet de
la voie analytique pour la voie géométrique.

Le rayon de courbure est exprimé par le rapport de la vitesse
du point décrivant à la vitesse angulaire simultanée de la direc-
trice. On peut se doiuier arbitrairement Tune de ces deux vitesses,
et dès lors tout se réduit à déterminer l'autre. De là résulte un
procédé général, susceptible d'être appliqué de diverses façons pour
toute courbe définie géométri((uement.

Le centre de courbure est le j)oint de la normale dont la vitesse
est nulle à l'instant que l'on considère. Cela revient à dire qu'il se
confond avec le centre instantané de rotation. C'est donc en com-
mençant })ar tourner autour du centre de courbure que la normale
sort dii lieu qu'elle occupe. A ce point de vue, tout se ramène à
déterminer les vitesses de circulation de deux points de la nor-
male. On peut se donner la vitesse du point qui décrit la courbe;
il ne reste plus qu'à cberclicr, pour un autre point quelconque de
la normale, la vitesse simultanée qui correspond à celle du point
décrivant. La droite qui joint les extrémités de ces deux vitesses
va couper la normale au centre de courbure. Tel est le procédé
très-simple qui réussit le mieux dans la plupart des cas, et que

1 IM^ )

l'on peut d ailleurs appliquer, soit en s'en tenant aux ressources
offertes par la géométrie, soit en combinant ces ressources avec
celles que fournit l'analyse.

Applicalions parliculières.

1*} iSecdouB coniques.

8:2. Reprenons l'équation générale donnée pour les sections co-
niques au n" 57, page 156,

et

7/' -+- (x — af = â x\

On en déduit

(Ix y

(l'y a' c^
dx'~~ y' ~'^'

De là résulte

<-^^

i 2

1 + ,/ =. -^ (2 « - [I - é] x) = c^ — ^ >
et par suite

On sait, d'ailleurs, que la longueur de la normale désignée
par N au n"' 57, page 159, a pour expression

N = c V/x (2(/ - ( I — (•') x) =r (■ \/ a' -f- y\
On peut donc écrire aussi

{">) P = -l-

( iI5 )

Soit R le rayon do ('()urI)iiro qui oorrcspoiul au sommet situé
sur l'axe des x et pour lequel y^^o; léquation (1) donne

(5) R=-a.c.

II vient donc, en général, pour un point quelconque des trois
sections coniques

w ■°=ïï-^-

Procédons par voie géométrique, en poursuivant les déductions

du n" 58, page \(\0.

La vitesse du point m suivant la courbe est représentée par mt,

en même temps que sa vitesse de
Fkj. 21. / ^

glissement suivant le rayon vecteur

fm est représentée par mf. On sait

/* T^r de plus quil existe un rapport con-

<ç^ -' ^^X,[ \ stant entre les longueurs fn, fm,

y,.'-''' o ^y!" yV'-'''^ fT"^ '* étant le point où la normale en m

""^-.,^ ^>'K \ ! vient couper la droite 0/'. Il s'ensuit

^ ""--.^ ^'*N, \ i que lu vitesse du point n su)' Of est

"'--<-À'i représentée pur fn. Par les points /'

"^ et n menons deux droites, l'une fe

parallèle à la normale mn, l'autre neh parallèle à la tangente mt.

Il est visible que le segment ne représente, par rapport à la

normale mn, la vitesse de circulation du point n.

Les segments mt, ne pouvant être pris comme vitesses simul-
tanées des points m et n de la normale, il suffît de tirer la droite
te pour avoir en 0', à la rencontre des droites te, mn, le centre
de courbure qui correspond au point m.

Si l'on prenait nh , au lieu de ne, pour vitesse de circulation du
point n, il faudrait augmenter, dans le rapport de nh à ne, ou ce
qui revient au même, de tnh à mf, chacune des deux vitesses tnf,
mf. La vitesse »?/ serait ainsi remplacée par mh et la vitesse 7nt
par mt', t' étant le point où la perpendiculaire * élevée en h

* On sait que les droites ft , fm sont rectangulaires.

( -'14 )

sur mit vient coiipoi' la taiigcnU' }nt. Cela posé, l'on conclurait,
comme tout à l'heure, que le centre de courbure, cherché pour le
point nij est en 0', à la rencontre des droites t'h et nm.

Arrêtons -nous à celte dernière déduction qui fournit, pour la
construction des centres et rayons de courbure des sections co-
niques, le procédé suivant :

Tirer le rayon vecteur et la normale qui aboutissent au point
m donné sur la tourbe. Dêlerminer le point n oii lanormale vient
couper Vaxe Of. Par ce point élever sur la normale une perpen-
cliculaire et la prolonger jusqu'à sa rencontre en h avec le rayon
vecteur. Par le point h élever sur le rayon vecteur une perpen-
diculaire et la prolonger jusqu'à sa rencontre en 0' avec la nor-
male. Le point 0' ainsi déterminé est le centre de courbure qui
correspond au point m.

Désignons par fi* l'angle fmn, et rappelons-nous que la projec-
tion mi de la normale mn sur le rayon vecteur fm est une quan-
tité constante, égale au produit c.a. On a,

mi --= mn . cos S,
mn = mh . cos C,
))ili z= niO'. cos C.

En multipliant ces trois équations, membre à membre, on en
déduit

mi c . a

(o). mO'==p== — — = — —■

cos" o COS"' o

L'angle tétant évidemment nul lorsque le point m est pris sur
l'axe 0/", l'équation (5) donne, comme ci-dessus,

R = c . «.

Il vient donc aussi

_ R

cos^ c

I

( ^'•^> )

85. L'rqualioii

mt

cos C= —

mn

lorsqu'on y remplace mi par c.a, et mn par c V' d^ h- y^ % donne

a y

cos C =^ — — — — — — 5 sui ^ =

\/d' -+- _y^ l/^^^ -4- y'

e( , par conséquent ,

'g^ = --

II s'ensuit qu'il y a ('galilé constante entre l'angle S et l'angle pfO
que fait avec l'axe OX la droite menée du point fl\ la projection
(lu point m sur Taxe OY.

Cette proj)riélé cui'ieuse des sections coniques se reconnaît à la
simple inspection de la figure 4 , page 1 5G. En effet, l'angle fmn ou
son égal///» ayant pour mesure la moitié de l'are fm dans la cir-
conférence circonscrite au quadrilatère /mpO, il est visible qu'il
ne diffère pas de l'angle fpm, ni, par conséquent, de son égal pfO.

Cela posé , si l'on désigne par y' l'ordonnée du point 0', et que
l'on considère les triangles semblables mrjn, O'f/u, on a

y -+- y p 1 **

et, par suite

mil cos^ C

* C'est la valeur trouvée pour la normale aux numéros M" et 82, pages 1o9
et 212.

'* On a

?

et

R

eos-* o

mn =

cos ff

( 'iltl )

De là iN'siillc

ou.terinni roiiipic des signes,

Cette relation très-simple, entre l'ordonnée d'un point quel-
conque de la courbe et celle du centre de courbure qui corres-
pond à ce point, peut s'énoncer comme il suit :

Dans les sectio?is coniques j il existe un rapport constant entre
le cube de Vordonnée d'un point quelconque et Vordonnée du
centre de courbure qui correspond à ce point. Ce rapport est égal
an carré du paramètre a.

Il est bien entendu que les ordonnées dont il s'agit sont prises
par rapport à l'axe principal OX *.

84. Considérons l'ellipse rapportée à ses axes principaux. Si

* A une même valeur quelconque du paramètre a correspondent deux sé-
ries , Tune d'hyperboles, l'autre d'ellipses, et , entre ces deux séries, une para-
bole intermédiaire. On obtient ces lignes en attribuant successivement à c
toutes les valeurs possibles à partir de zéro. Considérons un de ces systèmes.
Les courbes qu'il comprend étant toutes coupées par une même droite paral-
lèle à l'axe OX, les angles que les normales aux points d'intersection font avec
les rayons vecteurs qui aboutissent aux mêmes points sont tous égaux entre
eux. Les centres de courbure qui correspondent à ces mêmes points sont tous
situés sur une seule et même droite parallèle à la première.

S'agit-il exclusivement d'une ellipse ou d'une hyperbole? L'angle que font
entre eux les rayons vecteurs partant des foyers et aboutissant à un même
point est divisé en deux moitiés par la normale. Il s'ensuit que cet angle, dans
le cas de r('llipso,el son supplément, dans le cas de l'hyperbole, sont respec-
tivement égaux au double de l'angle pfO. En subslitiianl ce dernier angle à
l'angle des rayons vecteurs, on p(Mil se rendre aisémcul compte des variations
qu'ils subissent siniullanéniciil.

( :2I7 )

nous (Irsignons par a , h' les (Icnii axos el par c l'excentri-
cité V'^a'^ — ^^'", on trouve aisément

On a d'ailleurs, pour écpiation delà courbe,

(') • • h-^v^-'-

et, pour ordonnée du centre de courbure qui correspond au
point (x,?/),

Soit x' l'abscisse de ce même centre. Eu égard à la symétrie %
on peut écrire immédiatement

(S) ^ =-7^

Les équations (2) et (5) donnent

9 8 3 8

y = —r- ' ^ = — — '

En substituant ces valeurs dans l'équation (I), on a, pour équa-
tion de la développée de l'ellipse.

Dans le cas de lliyperbole, on a de même pour la développée,

(5'2,f-(a'x7 = -<••*,
le signe de la quantité 6'^ étant changé.

" L'équation (1) étant composée symétriquement, d'une part on y et h\
d'autre part en x et o', il est clair que si l'on procède, par voie de calcul, à la
détermination des coordonnées y\x\ elles ne peuvent différer (jue par la sub-
stitution des quantités x et n' à leurs correspondantes // et //.

( ^il8 )
Dans le cas do la parabole, on a, eojiime ci-tlessiis

etIVin trouve aisément, r étant égal à Tunité,

Ces deux valeurs snbslitnées dans l'éqnation de la parabole
y- = 2ax — «^
do'nnent. pour équation (*orresi)ondante de la développée,

3

^^ Roulettes.

8*i. Uepre/ions la eyeloïde définie an n" 7 1 . La tangente au point
m étant dirigée suivant la droite mh y on a d'après la figure iO,
page 191,

dy hq mq - fïr

(Ir mq uq
De là n'sulle

\^p.

!L= — L=:C

et, par suite,

(Ix

û = == 2 K ^2ry r=^ 2 . ma.

On voit ])ar là que dans la eyeloïde le rayon de eourliurc est égal
en grandeur au double de la normale *.

Soil 0 II' rvnti'c de cnuihurv siliiô sur le iMitlunucMiioiil de la nonnulo ma,

( '^1!» )

80. Considérons le cas général dos coiirbos dires roulettes.

Soient S' et S denx lignes situées dans un mémo plan, lune
fixe, l'autre mobile, celle-ci roulant sans glisser sur la première,
et entraînant avec elle un point m situé dans son plan. Le lieu
des positions cfue le point »* occupe successivement est celui que
nous désignons, en gc'uéral, sous le nom de roulette.

Cela posé, plaeons-nous à un instant quelconque délerminé et
nommons :

ni le lieu actuel du point qui décrit la roulette.

a le point de contact des lignes S, S'.

f,c' les centres de courbure qui correspondent au point a sur
la ligne S et sur la ligne S'.

Tirons la droite me et prolongeons-la jusqu'à sa rencontre en e

Fiij. 22.

*\

avec la perpendiculaire élevée en a sur am.

La vitesse du point a est dirigée suivant la
tangente commune aux deux lignes S, S'. Repré-
sentons-la par al), h étant le point où la droite eh
menée par le point e parallèleuuMit à uni vient
couper cette tangente.

La droite c'c tourne autour du point c', comme
s'il était tixc*, et, par bypotlièse, celte rotation
communique au point a la vitesse ah. Il s'en-
suit qu'en désignant par u la vitesse de circula-
tion du point r autour du centre r', on a

0).

ce (•/>

,1 = at) . — = uh . —

c'a (te

à la dislance aO=am. Prolongeons le rayon me jus(iu'à sa rencontre en It avec
la eii'conférence amb. Los i)oints h cl 0 se ti'onvent sur une même droite /?0
égale à 2r el perpendiculaire à LP. Il s'ensuit que le lieu des points 0 s'obtient
en abaissant celui des points A de la quantité -2r. Concluons que la développée
de la cycloïdose compose de deux demi -cycloides identiques à la première
et disposées par rapport à celle-ci d'une laçon qu'il est très-facile de recon-
naître. (Voir lig. 16, page 191 )

" 11 sunit de substituer aux deux lignes S, S' leurs cercles osculateurs pour
reconiKiilre iniinédialentenl rcxaclilnde de cet énoncé.

( ±20 )

Ja droite qcp étant parallèle à ae cl limitée à la rencontre de la
droite c'e.

Les points m et c peuvent être eonsidérés comme tournant tous
deux à la fois autour du centre instantané a. Soit v la vitesse du
point Ml. Elle est dirigée tout entière suivant la droite mn perpen-
diculaire en m au rayon vecteur am^ et il existe, entre elle et la
vitesse <«, le même rapport qu'entre les longueurs am^ ac. On peut
donc écrire

am . cp a m

(^2) r = u. — =ab.-

ac ae ac

Les triani>lcs semblables ahe, acq donnent

(3)

ab a G
ae aq

et, par suite,

am

V = cp . —
aq

Le point n de la droite mn étant pris sur le prolongement de la
droite c'e, on a, comme on le voit aisément sur la figure,

am. en mn

— — — ■ — —

aq ep cp

Il vient donc aussi

(i) ..... .

. . V ^ mn.

Mais, d'un autre côté, la vitesse du point de la normale am qui
coïncide actuellement avec le point « est représentée par la com-
posante «e de la vitesse ab. Il s'ensuit que la droite c'en passe par
les extrémités des vilessesquianimenten même temps les pointsm
et a de la normale am. De là résulte la déduction suivante :

Le centre de courbure cherchv povr le point m est sttué en 0 à la
rencontre des droites ma et c'e.

{ 221 )

La droite ma est donnée d'avance. Le point e se détermine en
tirant la droite me et élevant en a nne perpendiculaire sur am.
Cela fait, il ne reste plus qu'à joindre le point c' au point e parla
droite c'e. La solution est, comme on le voit, très-simple et pure-
ment géométrique. Traduisons-la en nombres.

Désignons j)ar R, R' les rayons de courbure aCy ac' ; par rie
rayon vecteur am ; par « l'angle mac. On a, d'après ce qui précède ,

, c'c , R -4 R'

(I -^ ah . -— = ah

ca R

et, en même temps,

a m ru

t: = u — =^ — =^ mn.

ar R

On déduit de là

. R + R

(0)

itirv - — / . it

"• RR'

posant

\ h — ~

RR'

' ''-Il

+ R''

vient

mn '-^

r . ah
T"

On a d'ailleurs, d'après la ligure,

p=mO-=

am . mn
mn — ae

De là résulte, en substituant,

•

r'

r

ae

-h~-

ah

puis, icmplaçant le i'a|)j)ort-r par son égal— = cos b,

( 22a )

ae

-r par so.- ._.,.

(0

/■ — Il cos €
Poilons sur ac la longueur aa égale à A, et telle ({uc l'on ail

<'> ""=''=ir;nF-

Si Ion désigne par i le pied de la perpendiculaire abaissée du
point a sur le rayon vecteur anij on a,

h cos ^ = ai.

La l'orniule (O)peutj en conséquence, s'écrire sous la forme Irès-
simulc

(«)

mi

Si le centre de courbure c' était situé par rapport au point (/ du
mcmc coté que le centre de courbure c, les formules ('j) , (7) et (8)
ne cesseraient pas d'être applicables. 11 faudrait seulement y met-
tre — U'au lieu de -\-}V.

Sagit-il, en parliculier, des épicycloïdes proprement dites, les
lignes S, S' étant des cercles, et le point générateur étant pris sur
la circonférence du cercle mobile? En désignant par m le rapport
du rayon R' au ra}on 31 et remplaçant R' par ml\, il vient

lit

h=. R.

hf -h I

On a, dailicurs, cl évidemment,

R cos 0 =^ -

( -'23 )
De là résulte, en subsliluaul,

m ■+- 1

Celte formule s'applique au cas où les cercles S, S' sont extérieurs
Tun à l'autre. S'ils étaient placés l'un dans l'aulie, toutes choses
égales d'ailleurs, on trouverait de même

m — 1
(10) 0 = ^2. -r.

87. On observera que, dans la rotation simultanée des deux
droites am , ac, autour du point a, les vitesses communiquées aux
points a' et m sont entre elles dans le même rapport que les lon-
gueurs aa et am. Si done on désigne la j)remière par n'y en même
temps que la seconde est représentée par inn, il vient

a' — inn .

uni

Or, on a trouvé ci -dessus

, U + \V

a m

mu-,, ah. -jj^, -

ud'

ah.

Il s'ensuit donc (jue l'on a trcs-simj)lemcnt

n' = ah.

Ce résultat peut s'énoncer de la manière suivante:

La ligne S entrainanl avec elle tous les points de son plan, le
point a' est celui dont la vitesse est précisétnent égale à celle du
centre instantané a.

U est d'ailleurs entendu que cette égalité ijnpiique, de part et
d'autre, l'identité de direction, sens et grandeur.

La vitesse ab détermine ainsi qu'on l'a vu la vitesse ae. Si l'on
suppose que la vitesse nui soit donnée en même temps que la
vitesse al) y il s'ensuit que le cenli'c 0 de courbure est absolument
détci'miné.Ccla posé, imaginons que, sans rien changer d'aillcuis,

( 2^i4 )

on substilue, d'une part à la ligne S, la ciiTonléi'ence de eerelc
ayant son centre en a', et aa pour rayon ; d'autre part, à la ligne S',
la tangente commune ah : il est visible (jucn roulant sur cette droite
le cercle au connnunique au point m ainsi cjuau centre inslanlané
de rotation a leurs vitesses respectives ma, et «6, ou ce (pii re-
vient au même, d'autres vitesses conservant entre elles le même
rapport*. Rien donc n'est changé par là dans la détermination du
centre de courbure cherché i)Our le |)oint m. En se plaçant à ce
point de vue, on peut désigner le point a' sous le nom de cmlre
instiuikuiè du roidemenL 11 suffit ensuite de faire la substitution
indiquée pour ramener la question générale à ses termes les plus
simples, la courbe fixe étant remplacée par une droite et la courbe
mobile par le cercle de roulement qui lui correspond à l'instant
que Ton considère.

Lorsqu'on ramène le cas général des roulettes à celui d'un cercle
roulant sur une droite D, la construction du n'^ 86, j)age î2^1 ,
•se réduit aux termes suivants :

Soient ah la droite D ; a le centre instantané de rotation ; a le cen-
tre du cercle roulant; m le point qui déi-rit la
roulette; e le point de rencontre de la dro'iic ma
avec la perpendiculaire élevée en « sur le ra\ on
vecteur «>/<. Cela posé.

Le centre de courhure cherché pour le puint m
est en 0 à la rencontre du rayon vecteur ma et
de la perpendiculaire ahaisaée du point e aur
la droite ab.

Fig. t:s.
3 t

\
\

a

a

Élevons en m.^ sur am, la perpendiculaire mt.
Par le point a menons la droite sij parallèle à
wi«, et tirons la droite /.s. 11 est aisé de voir que

* Soit ah la vitesse du centre iiistaulané «. Cette vitesse est en même leni|)s
celle <lu centre «'. De là résulte évidemment pour la vitesse c, du point m

am

v = alf . — = mn.

aa

( Î225 )

si l'on représente par mt la vitesse du point î», celle qui anime en
même temps le point de la normale situé actuellement en a est
représentée par as. La conséquence est que le prolongement de
la droite ts passe nécessairement par le centre 0 de courbure déjà
déterminé. Cette déduction se vérifie d'ailleurs sans difficulté. En
effet, soit i la projection du point a' sur le rayon vecteur a)n ; on
a d'abord, conformément à la formule (8) du n" 80, page 222,

r mi

ou , ce qui revient au même ,

mO um
am mi

S'agit-il ensuite du point 0, considéré comme fintersection des
droites tSf ma? Il vient

mO mt am
(js gt ija'

ou , remplaçant (/s par am, et ga par mi,
, , ?nO am

2 — = -T-

am mi

La simultanéité des équations (1) et (2) prouve la proposition
énoncée ci-dessus. Elle fournit, en outre, un second moyen de con-
struire le centre de courbure cbercbé pour le point m.

Prolongeons la droite a'a d'une longueur aa" précisément égale
à aa'. 11 est visible qu'au lieu de procéder comme tout à l'heure,
on pourrait faire précisément l'inverse, c'est-à-dire substituer,
d'une part, à la ligne S une droite, dautre part, à la ligne S' la
circonférence de cercle ayant son centre en a" et aa" pour ravon.

88. Les résultats obtenus dans les numéros 86 et 87 peuvent
s'établir directement en procédant de la manière suivante :

Tome XV. la

( 2l>G )

Considérons une figure plane et de forme invariable qui se dé-
place dans son plan d'un mouvement continu.
, Soient a le centre instantané de rotation qui correspond à une
l'ifj. 24. position donnée de la figure mobile F; «6 le segment
^ . ;"- de droite qui représente en direction, sens et gran-
deur la vitesse actuelle d'un point mobile assujetti à
coïncider constamment avec le centre instantané a ;
co la vitesse angulaire avec laquelle la figure F tourne
*\~7^ autour du point « à linstant ([ue l'on considère.
\/ Si l'on élève en a sur ab une perpendiculaire al et

0 quon désigne par a le point de celte droite qui em-

jji'unte à la rotation établie autour du centre a une vitesse préci-
sément égale à «6, on a

ab

(1) « = —7

^ ' aa

Soit nm la vitesse qu'emprunte à cette même rotation un point
(luelconqueî>j lié à la figure mobile et cntrainé par elle. On a, en
me me temps,

(^) )nn = :o . am.

Projetons le point 6 en e sur la droite ae menée i)ar le point a
perpendiculairement à am. La vitesse ab aura pour composante
perpendiculaire à am la vitesse ae.

On sait que le centre de courbure de la trajectoire du point m
est en 0, à la rencontre des droites ma^ ne. De là résulte immé-
diatement

nm . a m

0 = ///() =

mil

Soit l le pied de la perpendiculaire abaissée du point a' sur am.
La comparaison des triangles semblables abe, ^/o'/ donne

(w =^ <d) . . = 6) , a^,

( ^ni )

De là résulte, en remplaçant mn, ae par leur* valeurs respec-

tives w . am , œ.ai

uni iun

(5) 0= : == — : •

ani — ut mt

La eombinaison des équations (I) et (:2) donne, d ailleurs,

mn auk

4 -;-= — ■

au aa

L'équation (i) montre que les elioses se passent eomme si la
figure F était une eireonférence de cerele ayant son centre en a,
touchant en a la droite ab , et roulant sans glisser sur cette même
droite. De là le nom de cercle de roulement donné à ce cercle, et
celui de centre instantané de roulement donné à son centre a .

La valeur fournie par l'équation (ô) devient avec les notations
du n" 8(), page 221,

mi r — aa' cos o

Désignons par w' la vitesse angulaire avec laquelle la droite ce
tourne autour du centre c (fig. 22, page 219) considéré comme
fixe. La vitesse du point c devant être la même, soit qu'elle s'em-
prunte à cette rotation, soit qu'on la fasse résulter de la rotation co
établie autour du centre instantané a, on a évidemment

(;j). ...... (R -+- IV) co' =. Rcc.

On a de même , en ce qui concerne la vitesse ah,
(0) «6 = RV.

La combinaison des équations (1), (5), (G) donne

, RR'

at) ^^^ : w = aa . ce.

R + R'

{ ns )

Il vient donc, comme au numéro 86, page :22l ,

RR'

au

II

R -+- R'

et, par conséquent,

(7) P

r — h eos ^
L'inspection de la figure fournit encore la déduction suivante:

Le centre 0 de courbure est placé par rapport au point m du
même côté que le point i.

89. Supposons o connu pour le point î?î, il vient en général

2

am r^
(1) mi = — := — •

p p

Cette formule peut servir en certains cas à la détermination di-
recte du centre instantané de roulement. Voici d'ailleurs plusieurs
énoncés qui résument les résultats précédents:

I" Le centre instantané de roulement est situé sur la normale
à la trajectoire décrite par le centre instantané de rotation de la
figure mobile.

i>° La distance comprise entre ces deux centres étant exprimée
par h, la vitesse du centre instantanéde rotation par u', la vitesse
angidaire de la figure mobile par w, ro}i a généralement

1,=."-.

w

5° Lepoint i étant pris sur unraijon vecteur quelconque am = r

* C'est réqualion (1) du ir H8, pago 2-2G. On enteiul, par vitesse du cenlro
instantanéde rolalioii, la vitesse d'iin poinl mobile assujetti à coïncider con-
slamnieiit avec ce centre.

( 2^29 )

et la ({islance mi =- étant portée , à partir (la point m, dans le
sens fixé par la position t^elative du centre de courbure, la per-
pendiculaire élevée en i sur am passe par le centre instantané de
roulement.

90. Plaçons-nous dans l'hypothèse où la ligne S est une ligne
quelcon{[ue entraînée par la figure mohile, la ligne S' étant une
autre ligne quelconque, supposée fixe et touchée constamment
par la ligne S.

Désignons par e le point de contact des lignes S, S', à l'instant
que l'on considère; par c, c' les centres de courbure qui corres-
pondent au point e pour chacune de ces courbes ; par R , R' les rayons
de courbure ce , c'e; par « le centre instantané de rotation.

Il est visible que les points e, c, c, et sont situés sur une même
Fig. 2'i. droite normale en e aux lignes S, S' et que la trajec-
toire décrite par le point c de la figure mobile a son
centre actuel de courbure en c' *.
-^ Soit i la projection du centre instantané de rou-
' lement sur la droite ca. On a, en général, et con-
formément à ce qui précède

(1)

R -4- R'

Cela posé, différents cas peuvent se présenter. En établissant,

' La droite ce' étant perpendiculaire à la vitesse acliielle du point e, il s'en-
suit qu'elle contient le centre instantané a.

On peut substituer aux lignes S, S' leurs cercles osculateurs. Cela posé,
lorsque le cercle ce roule avec ou sans glissement sur le cercle c'e, le centre c
reste équidislant du centre c' et décrit, en conséquence, la circonférence de
cercle ayant ce' pour rayon.

** Lorsque la ligne S roule , sans glisser, sur la ligne S', le point a se trans-

poile en e et il vient

R-

c/= •

R-+-R'

On (Il déduit ( omnie au n» 86, page 221,

aa' =s: H

R

Hh-R'

rr;

R-f'R'

( 230 )

ainsi (]iu' la l'ait M. lîiesse, ponrcliacun do ces oas, la règle pnrli-
(Milière qui lui correspond, on l'aeilite beaucoup certaines applica-
tions *.

Supposons, en premier lieu, que la ligne S' soit droite. 11 vient,
en ce cas,

(^2) ci=o,

et voici la conséquence :

Le centre inslantané de roidement est situé stir la droite menée
par le centre c jmrcdUdement à la droite S'

Rejiarqie. — Lorsqve la ligneS se réduit à un point parcourant
une droite, cette droite passe par le centre instantané de roule-
ment.

Supposons en second lien, que la ligne S' se réduise au point e.
Il vient, en ce cas,

2

ac

On sait , d'ailleurs, que le centre instantané de roulement se pro-
jette en i sur la droite ce.

Supposons, en troisième lieu, que la ligne S se réduise au point é'.
11 vient, en ce cas,

2

ea

W " = ir'

le point/ étant par rapport au point e (\u mcme côté que le cen-
tre c\

Supposons, en dernier lieu, que la ligne S soit droite. On a, gé-
néralement ,

""' (R-f-R')' — ^'

c'/ = R-f-R' ^ — = ' = c'a [ -f-

R -^ R' R -t- R'

ca \
R-+-R7

Voir le Journal de fKrote polytechnique . trcntp-cinquiènie cahier.

( ^•-1 )

Il \ iont donc à la liinile

(I)) c'^ = 2(''«.

Si la ligne S' se réduit, en outre , au point p, ce point se confond
avec le centre c' et la formule [li] devient

((V) ei == "Jea.

La solution consiste à joindre le centre c', ou, s'il y a lieu, le
point c qui le remplace, au (centre instantané «, puis à prolonger
le segment c'a, ou eu d'une longueur égale à lui-même. 1/extré-
mUédu dernier segment est la projection du centre instantané de
roulement.

î)l. 3Iontrons, par quelques applications, l'usage qu'on peut faire
des procédés établis dans les cinq numéros qui précèdent.

('vcï.(ùdf:. — Soit c le centre du cercle qui roule, sans glisser,
^iir la droite fixe LP, et dont le point m décrit la cy-

Fhj. 20.

cloïde.

""^^ \ L'extrémité e du diamètre mce est le point de ren-

WvT" y^ contre de ce diamètre avec la jjcrpendiculaire élevée

~ ^\\'' en a sur le rayon vecteur cim. Le centre de cour-

\! hure clicrclié pour le point m est en o, à la ren-

^ contre du rayon vecteur am avec la droite eo menée

par le point e parallèlement à ca *. Or de même que le point c est

le milieu du diamètre me, de même aussi le point a est le milieu

i\{\ segment mo. De là résulte immédiatement

0 = mo = 2 . am.

Il s'ensuit d'ailleurs, comme au n'' 85, pages i218 et 219, que
la développée de la c) cloïde se compose de deux demi-cycloïdes
égales à la première.

' Cette conslruclion rcsiille de la solution géométrique ol)lenue pour le cas
général des roulettes au n" 86, page 219. On peut (railleuis y parvenir direc-
lenienl sans la moindre diOieulté; il sutïit d'opérer, pour ce cas, comme on
l'a fait pour celui des roulettes,

( '27r2 )

Limaçon df. Pascvl. -^ Procc'dons (rahord eu suivant la niaiclic
générale traeée pour Ja solution géométrique des questions de
courbure.

Soient c le centre du cercle 6A6'; A un point quelconque de la cir-
conférence; ml) la tangente en ce
point; m le pied de la perpendicu-
laire abaissée du point b sur la tan-
gente mh. On sait que le limaçon de
Pascal est le lieu des points m.

Considérons cette courbe comme
étant décrite d'un mouvement con-
tinu. 11 suffît pour cela que le point
h se déplace continûment sur la cir-
conférence bhh'.

Lorsque le point m sort du lieu qu'iloccupe, les droites 6m, hm
tournent simultanément l'une autour du point 6, l'autre autour
du point /*, et comme elles sont assujetties à rester perpendicu-
laires entre elles, il en résulte qu'elles ont toutes deux même
vitesse angulaire. Prenons cette vitesse angulaire égale à l'unité.

Il est visible que la vitesse totale du point m a pour composantes
rectangulaires, 1" une vitesse dirigée suivant mh et représentée
en grandeur par bm ; 2" une vitesse dirigée suivant le prolonge-
ment de bm et représentée en grandeur par mli. Imaginons que
ces deux composantes tournent, en même temps, autour du point
m, de manière à décrire chacune un angle droit et à venir s'appli-
quer l'une sur mh, l'autre sur w6. Après cette rotation, la résultante
est représentée en grandeur ainsi qu'en direction par la diago-
nale mn du rectangle hmbn, et, comme elle a tourné d'un angle
droit, il s'ensuit que la diagonale mn est, pour le point m de la
courbe décrite, la normale à cette courbe.

Observons que les diagonales mn , bh sont égales et que, par
conséquent, l'une et laulre représentent en grandeur la vitesse
du point m.

Joignons le point h aux points c, b'. Le rayon ch est parallèle à
la droite bm, et tourne par conséquent comme elle avec une

( 2ÔÔ )

vitesse angulaipc égale à runiti'. II s'onsuit que la vitesse du
point h, dirigée suivant la tangente mh, est représentée en gran-
deur par le rayon ch. Décomposons cette vitesse en deux autres
dirigées respectivement, l'une suivant /i6', l'autre suivant le pro-
longement de bh. Faisons tourner d'un angle droit la vitesse
ainsi décomposée, de manière à l'appliquer sur hc ^ et du point c
abaissons suvh'h la perpendiculaire cp. Il est aisé de voir que cette
perpendiculaire représente en grandeur la vitesse de glissement
du point h sur la corde hh'. On a d'ailleurs

hh = ^ . cp.

Concluons que la vitesse du point m sur sa trajectoire est
double de la vitesse du point h sur la corde hh', ce qui implique
la déduction suivante à laquelle nous étions déjà parvenu n'' 72 ,
page 197:

L'arc de limaçon compris entre le point b' et le point m est
ècjal en longueur au double de la corde b'ii.

Prolongeons le diamètre b'b d'une longueur bc' égale au rayon
cb. Par les points c', 1/ menons les droites b'm\ c'h' parallèles à
bm et par conséquent à ch. Prolongeons la corde 67i jusqu'à sa ren-
contre en h' avec la droite c'A', et acbevons le rectangle Jtm'b'n.

L'égalité des segments b'c, ch, bc' implique celle des segments
interceptés par les parallèles 6'm', ch, bm, ch' sur les droites bli' ,
b'n, mh. Il en résulte que dans le rectangle h'm'b'n, la diagonale
m'n passe par le point m, comme la diagonale b'h' passe par le
point h et que Ton peut écrire immédiatement

hh' ■= mm'.

On a, d'ailleurs,
Il vient donc aussi

hh' = %'h.

mm' = Wh.

Cela posé, puisque la corde b'h est la moitié de l'arc de limaçon
compris entre les points 1/ et m, il s'ensuit que la longueur mm'
est le développement de ce même arc.

( -^^'* )

1/angle bhb' osl droit par ronstriiclion. I/angIo iunii' est (^«lom-
mcnl égal à l'angle 6/*//. Il est donc droit, et, puisque la droite
mn est la normale en m, il s'ensuit que la tangente en ce point est
la droite mm'.

La (Iroile mm' louchant en m le limaçon construit sur la cir-
conférence de cercle blib' et ayant pour longueur l'arc compris
entre ce point et le point h\ Il en résulte fjue le point m' appar-
tient à la (léreloppa)ife (jul prend son origine au point h'.

D'un autre eôté, la droite c'h' est, par construction , triple de ch
et perpendiculaire à m'h\ Il suit de là que la droite rn'h' touche
en h' la circonférence de cercle ayant son centre en c' et vJW = ô.cb
pour rayon. Le point m' est d'ailleurs le pied de la perpendicu-
laire abaissée du point h' sur la tangente m'h'. Il s'ensuit donc
que le point m appartient au limaçon construit sur la circon-
férence de cercle b'ii', b' étant le point qu'on projette orthogona-
lemenl sur toutes les tangentes.

On voit, par ce qui précède, que le point i)t' ap|)arlient à la
lois au second limaçon et à la développante du premier. De là
résultent les conclusions suivantes :

La développante du limaçon est un autre limaçon construit
sur une circonférence de cercle trois fols plus grande que la pre-
mière.

Le centre de courbure de la développante est en m pour le
point m'. Le rayon de courbure correspo}idant est les deux tiers
de la diagonale m'n'.

Réciproquement.

La développée du limaçon est un autre limaçon construit sur
une circonférence de cercle trois fols plus petite que la pre-
mière.

Le rayon de courbure qui correspond au point m est égal aux
deux tiers de la normale mn.

Ces propriétés du limaçon complètent l'analogie déjà signalée

( '^yà )

outre celle couibe e( la eycloïde, ies développées ('tnnl de part
el, d'autre de même nature que les développantes, semblables
ou identiques, et ne différant d'ailleurs que parleur position rela-
tive.

1)2. Reprenons le eas i\\i limaeon en opérant dune autre ma-
nière.

Soit bncr la eireonférence de eerele décrite avec ch pour dia-
mètre; r étant le point où la droite hm vient coui)er cette circon-
férence, il est aisé de voir que la dislance rm est égale à ch et par
conséquent à ch. De là résulte la délinition suivante :

Étant donné un point v assujetti à décrire vue circonférence
de cercle bncr, si l'on porte sur la droite br une longueur rm
égale au diamètre cb, le lieu des points m est le limaçon de
Pascal.

Partons de celte définition et considérons le point r comme fixe
sur la droite mobile hr. il s'ensuit: I" que le centre instantané
de rotation de la droite 6r'est en n, h la rencontre du diamètre
m avec la perpendiculaire élevée en h sur br ; 2'' que la droite ntn
est normale en ni au liniaeon.

Nous pouvons appliquer ici la formule (fi) du n" 90, page 251 *.
Prolongeons, en conséquence, bn jusqu'en i où l'on a ni = bn,
et, par suite, bi = 2bn. La droite b'i menée par le point / per-
pendiculairement à bi contient le centre instantané de roulement.
Ce centre est donc en «' à la rencontre de la droite b'i avec le pro-
longement du diamètre m **.

Soit *' la projection du centre a' sur la normale nin. Le rayon

* Il suffit pour cela de considérer les lignes S, S' ilu n" 90 comme se rédui-
sant , lu première, à la droite brm, la seconde, au point b. L'équation ei= liea
donne, en conséquence, 6/= 26«.

"* Le lieu des positions successives du centre instantané n étant ta circon-
férence de cercle bon, la perpendiculaire élevée en n sur la langenle nVsl
autre chose que le dinnièire /7<.

( 250 )
(le ('onrl)uro cherché pour k* point m est donné par la formule

mti
mi'

Cela posé, le triangle mm étant isocèle, et la droite rs perpen-
diculaire à la base mn, on a d'abord

ms = su.

L'égalité des segments «i, bn implique celle des hypoténuses
na', nr et, par conséquent aussi , la suivante

ni =3 sn.

De là résulte évidemment

mi' = 0 . -s/î = ô

mn
"1

et, par suite,

2

o = — mn.

5

95. Ellipse. — Considérons l'ellipse engendrée par un point
d'une droite, de longueur constante, qui se meut en s'appuyant par
ses extrémités sur les deux côtés d'un angle.

Soient hii, bn' les côtés de l'angle sur lesquels s'appuye la
Fig. 28. droite nn de longueur constante, tit m le point de
cette droite qui décrit l'ellipse considérée.

Le centre instantané de rotation de la droite mn
est en a , point de concours des droites na, n'a res-
pectivement perpendiculaires aux côtés bn, bn'. Le
centrer instantané de roulement est en b puisquen vertu de la
règle exprimée par la formule (2) du n" 90, page 250 (voir la
remarque), il doit cli-e en même temps sur chacune des deux
droites 6;^, bji' *.

On peut considérer la li^nc S du n"90 ooninic s<' rôduisanl ici à Tun ou
l'autre des jtoinls n , /<'.

( 257 )

Tirons le ra}Oii vecteur ani; du point b abaissons sur ce rayon
vecteur Ja perpendiculaire In, et désignons par p le rayon de
courbure de l'ellipse au point ni. On a

am
mi

cl le centre de courbure est situé au delà du point m sur le prolon-
gement de am.

Désignons par r la distance am et par /, /' les segments de
longueurs constantes mn, mn . La circonférence de cercle dé-
crite sur })a comme diamètre passe par les points n , n\ i. De là
résulte

iun . ml ^= > . /'.

et, par suite,

_ '■'

C'est la formule à laquelle nous étions déjà parvenu en suivant
une autre marche, dans notre théorie géométrique des rayons et
centres de courbure.

CoNCHOÏDE. — Prenons pour dernier exemple la conchoïdc
d'Archimède, c'est-à-dire la courbe engendrée par un point d'une
droite qui tourne en passant par un point fixe et de manière à ce
que l'un de ses points décrive une autre droite.

Soientmle point générateur; /'le point fixe; m/la droite mobile;

Flg. W.

e le point de cette droite assujetti à décrire la
droite fixe //'.

Les droites fa, ea étant respectivement per-
pendiculaires. Tune, à la droite mobile fm, l'au-
tre, à la droite fixe 11% leur point de concours a
est le centre instantané de rotation de la droite
fin. Prolongeons af d'une longueur af égale
à fa et par le point /' élevons sur //" la perpen-
diculaire /'«'.

( 238 )

En vertu dos règles exprimées par les formules ("2) el (G) du
n" 90, pages 250 et 231, le centre instantané de roulement est
en a l\ la rcneontre des droites f'a ^ II'.

Joignons le point m au point a par la normale )na; du point
a abaissons sur cette normale la perpendiculaire al et désignons
par p le rayon de courbure clierché par le point m. On a

ma
lui

1)4. Les applications (pi'on peut faire en s'appuyant sur les con-
sidérations précédentes comportent une extension qu'il convient
d'indiquer. Cette extension re])ose sur le principe snivant :

Toale ligne plane peut vire considérée généralement comme
étant une roulette du genre cyclo'idal, c'est-à-dire une roulette
engendrée par un point lié à une courbe qui roule rSans glisser
sur une droite fixe.

Démontrons d'abord ce tbéorème.

Soient AB nne ligne plane; OX une droite tracée dans le même
plan; m un point quelconque de la ligne AB;
mn la normale au point m.

Supposons le point m lié à une courbe S et
cliercbons à déterminer cette courbe par la con-
dition qu'en roulant sans glisser sur la droite
OX elle fasse décrire au point m la ligne AB.

La ligne S toucbe en n la droite OX et l'on a, conformément à
la formule générale du n° 88, page 227,

(1)

COS ^ \ û /

r étant la normale mn; C l'angle de cette normale avec la per-
pendiculaire élevée en n. sur OX; p et K les rayons de courbure
qui correspondent, l'un au point m de la ligne AB, Taulrc au
point n de la courbe S.

( -^39 )

Si l'on rapporte la ligne S aux axes rectangulaires 0\ , OY, et
qu'on désigne par n l'abscisse du point /«, on a d'abord

\ / , l<'y\- " » / 7'''/\- L '^ «'■<■'' J

\dxV
et de là résuite, en premier lieu,

"='[--(;f-»S]-

On a, ensuite,

dy
^ dx
et l'on en déduit

x^V{u).

Par bypotJièse, y est une l'onction connue de la variable x , on
peut donc exprimer y en l'onction de a;, puis x en fonction de /< et
parvenir à l'équation déterminée

R = /•(«).

Désignons par s Tare de la courbe S qui s'est développé sur la
droite OX à partir de lorigine jusqu'en n : on a évidemment « ==^s
et, ])ar suite,

lt = /-(,s).

Remplaçons U j)ar le rapport des deux vitesses v ou ds , w ou
d^. Il vient

c^)-

Donnons-nous arbitrairement la vitesse v, sa direction pre-
mière et la })osition initiale dun point /u. supposé mobile avec la

V

ds

(C =

ou

(/a = — -

m

/W

( ^40 )

vitesse v. Si nous prenons à chaque instant pour s la longueur
décrite par le point y. depuis l'origine du mouvement, et pour
vitesse angulaire de la directrice du point u la (piantilé corres-
pondante }v, il est visible que la ligne S définie par ré(iuation (^)
se trouve complètement déterminée, ce qui justifie l'énoncé pré-
cédent et fournit en outre le moyen de construire la courbe S.

95. Sans rien changer à ce qui précède, proposons-nous d'ex-
primer l'équation de la courbe S en coordonnées polaires et pla-
çons le pôle au point m.

Soit

(5) ^ = ?{'!/)^

l'équation de la ligne AB. En désignant par r le rayon vecteur
m??, on a

X ■== s — r sin C, y = r cos C.

Il vient donc, dabord,

(4) .s =: r sin » -4- ç- (r cos S).

Observons que l'angle désigné par C est l'angle que la normale
en H à la ligne S fait avec le rayon vecteur mn, autrement dit
Tangle que font entre elles la vitesse ds et sa composante rdo *.
Delà résulte

rde

(5 ds=

^ ^ cos^

La deuxième composante de la vitesse ds étant dr, on a de
même

dr
^'^ '^'=^e-

On sait que, dans le système des coordonnées polaires , nous représentons
par G l'angle du rayon vecteur avec l'axe. H s'ensuit que la quantité dQ est la
vitesse angulaire de ee layon, et rrlO la vitesse de circulation de son extré-
mité n.

{ -'41 )

La simultanéité des équations (4) (o) (0) permet d'éliminer les
variables s, ds, 6, (/S, et d'obtenir ainsi, pour la ligne S, une
équation différentielle de la forme

/ dr rfV\

Prenons, pour exemple, le eas où la ligne AB est droite et sup-
posons d'abord qu'elle soit parallèle à l'axe OX. L'équation (l) du
n" îli, page î258, se réduit, dans cette hypothèse, à

R = cons"^.

Cela donne un cercle, pour la courbe S, et le centre de ce cercle ,
pour point décrivant.

Supposons maintenant que la droite AB soit quelconque. L'angle
6 est l'angle que cette droite fait avec l'axe OX. De là résulte, con-
formément à l'équation (6) du présent numéro,

dr

— — = t£f é" = cons^".
rd^ °

Mais, d'uu autre côté, ê est le complément de Tangle désigné
par y au n° G 1 , page 1 G9. II vient donc ici, comme au n" 62, page i 72,

(7). ..... te >^ = cons"= = •

tg^

Ce résultat, évident à priori *, caractérise, ahisi qu'on l'a vu au
n" 02, la spirale logarithmique

r = m . e".
La constante a est égale à la cotangente de l'angle 6. La con-

Ce résultat exprime rinvariabililé de Paugle que font entre eux dans la

ligne S le rayon veclcui' rei)résenlé par mn et la tangente en n repré.sentée
par la droite OX.

Tome XV. 16

Fig. 31.

{ n-2 )

stante m peut être quelconque. Dans tous les cas le pôle est le
point décrivant.

96. Nous venons d'établir que toute ligne plane peut être con-
sidérée comme étant une roulette du genre cycloïdal. Indiquons
deux des propriétés qui appartiennent à ce genre de courbes et
qu'il peut être utile de connaître pour certaines applications.
Désignons par S la courbe à laquelle est lié le point décrivant
et qui roule sans glisser sur la droite LP.

Soient m, a, c, trois positions quelconques
occupées simultanément, la première par le
point décrivant, la seconde par le point de
contact des lignes S et LP, la dernière par le
centre de courbure qui correspond au point a
de la ligne S.

Tirons la droite me et prolongeons-la jus-
qu'à sa rencontre en e avec la perpendiculaire
élevée en a sur am. Du point e abaissons
sur LP la perpendiculaire eh. Le point o où viennent se couper
les prolongements des droites eh, ma, est le centre de courbure
qui correspond au point m dans la roulette engendrée par ce
point.

Soit i la projection du point c sur ^na, et n celle du point i sur
ae. On a d'abord cette première propriété :
Les points m, n, h , sont en ligne droite.
En effet, puisque le point h est la projection du point e sur
LP, et que les triangles aeli, icn sont semblables, on a d'abord

ah
in

ae

^c

et, eu égard au parallélisme des droites ae, ic,

ah

171

ma
mi

Cette dernière équation montre évidemment que la droite mn
passe par le point h.

( -^43 )
Considérons la section conique déterminée pur la condition
qu'elle ait un foyer en ???, qu'elle passe par le point a et qu'elle
ait en ce point même direction et même courbure que la ligne S.
Si l'on se reporte à la construction du n" 8:2, page 214, on recon-
naît immédiatement que la droite mn est l'axe principal de cette
section conique. Veut-on d'ailleurs fixer les valeurs des paramètres
désignés par les lettres c et a dans les numéros j7 et 82 , pages 1 35
et 212 ? En nommant R le rayon de courbure uc, r le rayon vec-
teur anij et ê l'angle maCj il vient, d'après la formule (:i) du n" 82 ,
page 214,

(l) «.(; = Rcos'fe%

et, d'après la formule (I) du n" 58, page 101,

(2) c =

On a d'ailleurs, ainsi qu'il est aisé de le voir sur la figure.

[3). . . . mn -= Vr' -\- R'' cos* S — 2rR cos^ G

=- V r* sin' f -+- (r — R cos Sf cos' G. '
De là résulte
1

(4). . . c=-V r^ siji^ S ^ {r — R cos Sf cos^ S,

et, par suite,

Rr cos^ C

(5).

l/r* sin^ C -+- (r — R cos Cf cos^ S

* La valeur de mn se déduit do la coiisidéiatiou du liiau^le nma, dans
lequel on a évidemment

an — R cos2 C,
et

2 2

mn = r^ -V- an — 2r . an. cos l

( âU )
La coiulitioii c < I revient, traprès la valeur de c, à

(G) Ucos6'<2r,

ou

ai < 2 . am.

Concluons que la section conique déterminée d'après les con-
ditions qui précèdent est une ellipse, une hyperbole ou une pai»-
l)oIc, selon que le rayon vecteur am est supérieur, inférieur ou
égal à la moitié de la projection du rayon de courbure ac.

On peut dire aussi plus simplement que cette section conique
est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, selon que le rayon
vecteur am est supérieur, inférieur ou égal à la distance miiy ou
ce qui revient au même, selon que l'angle mna est supérieur, infé-
rieur ou égal à l'angle man. Cela résulte de l'équation ("i).

Par les points a et n menons les droites am', np dirigées de
manière à ce que les angles pam\ m'np ayent pour bissectrice la
droite an, et respectivement limitées, la première à la droite mh ,
la seconde au rayon vecteur am. Il est visible que la droite ;;/m'
est parallèle à LP, que les segments ap, am' sont égaux et que
Ton a

nui mi ma

mm'

mp

ma •+- am'

Oji déduit de là

mi

mp

ma — ap

ma

ma

■+■ am'

ma -\- am' '

ou , remplaçant par r le segment ma, et par /•' le segment am' et
son égal ap,

mi r — r'

Soil /> le rayon de courbure mo. Oii a généralement.

v

m i

\

( i>'.S )
De là résiillc en substilunnt

(8). . . .
et, par suite.

(9). . . .

i 1 __ ^

r 0 }' ■+- r'

L'équation (9) exprime, en ee qui concerne les roulettes, une
seconde propriété générale qu'on peut énoncer comme il suit :

La somme des valeurs inverses de la normale et du rayon de
courbure est égale à deux fois la valeur inverse de la somme des
rayons vecteurs r, r'.

97. Substituons à mi sa valeur r — R cos €. L'équation (7)

donne

2rr'

R =

(>* -h r') cos ^,

Cette expression particulière du rayon de courbure des sections
coniques peut s'obtenir directement, soit par le calcul, soit,
comme nous l'avons fait ailleurs, * par voie géométrique. On
reconnaît que le })oint m' est le second foyer placé sur l'axe princi-
pal mn^ en remarquant que la droite ac , normale en a à la ligne S,
divise en deux parties égales l'angle mam'. Il s'ensuit que les
segments r = maj r =m'a sont les rayons vecteurs partant des
deux foyers pour aboutir au point a.

On observera que l'équation (9) implique la déduction sui-
vante :

Lorsque la courbe roulante S est une section cmiicjue, la roulette
engendrée par le foyer de cette courbe est telle que la somme des

* Théorie géométrique des rayons et centres de courbure.

( 246 )

valetD'S inverses do sa normale et de son rayon de courbure est
constante pour toits ses points *.

Prenons cette roulette pour ligne méridienne cVune surface de
révolution autour de l'axe LP, et admettons, comme nous le ver-

(*) Veut-on exprimer en fonction des quantités r, r' et € les paramètres a
et c qui déterminent cette section conique? on peut partir de Téquation

mn ma r

mm ma -+- am r -+- r
On a d'ailleurs, ainsi qu'on le voit aisément sur la figure,

mm' = l/rM^"^ — 2r . r' . cos 2g = l/(r-t-r')2 — -irr' cos^g.

De là résulte

mn __ mm' _\ / .
r r -+■ r' V

Arr' cos^ g

^=— = :=»/ '--(r^rTjr.

et, par suite,

_ R cos' ê _ ( r -t- r') R cos' g

*" |/(r-f-r')3 — 4/T'cos''g

On parvient au même résultat en faisant usage de la valeur

- 1^ r» sin« g -4- {r — R cos g)^ eos^ g,

et de l'équation

r — R cos g =

On reconnaît aisément que les valeurs des paramètres c et a sont constantes.

En eflet, imisqu'il s'agit d'une section conique, et que le produit R cos' g

n'est autre chose que la projection de la normale an sur le rayon vecteur ma,

on a d'abord

R cos' g = cons'«.

11 vient ensuite , comme on l'a vu dans la note du n" 57, page 159 :
1" Pour le cas de Tellipse et de l'hyperbole

rr' COS' g = b'^ = cons»*;

2" Pour le cas de la parabole

a

r eo?^ g ^^ — =r oons'^

(247)

rons plus loin, que, dans les surfaces de révolution, la courbure
moyenne soit mesurée en chaque point par la somme des valeurs
inverses de la normale et du rayon de courbure de la section
méridienne. La déduction formulée ci-dessus comporte cet autre
énoncé:

Lorsque la courbe roulante S est une section conique^ la roulette
engendrée par le foyer de cette courbe est la ligne méridienne
d'vne surface de révolution à courbure moyenne constante.

Un certain intérêt s'attachant à la détermination des surfaces
dont la courbure moyenne est constante, nous allons compléter
ce dernier énoncé, en démontrant la réciproque.

Le problème à résoudre se pose dans les termes suivants :
La roulette décrite par le point m est, par hypothèse, la section
méridienne d'une surface de révolution ayant la droite LP pour
axe et présentant en chacun de ses points une même courbure
moyenne. On doit avoir, en conséquence,

1 1

— I — = cons'^
r p

ou ce qui revient au même, en vertu de l'équation (9) du n'' 9G,
page 245 ,

r -t- r' = cons'^

Cela posé, il s'agit de déterminer ce que doit être la ligne rou-
lante S pour donner la roulette cherchée.

Plusieurs cas sont possibles selon que l'angle mna est supérieur,
inférieur ou égal à l'angle nam\

Considérons en premier lieu le cas où l'angle m7ia est plus
grand que l'angle nam', et où, par conséquent, les deux points
m, m' sont situés d'un même côté de la droite LP.

La vitesse du point m peut se déduire indifféremment de cha-
cune des deux rotations simultanées établies respectivement, l'une
autour du centre instantané «, l'autre autour du centre o de
courbure. Si l'on représente par u la première de ces rotations et
par îv la seconde, on a , d'abord , et généralement,

( ^48 )

A partir du poiat a portons sur ao * une longueur ap' égale
à r' et tirons la droite pW. Il est visible que cette droite est per-
pendiculaire à l'axe LP et que les lieux des points m', p' sont dis-
posés symétriquement par rapport h cet axe, l'un au-dessus,
l'autre au-dessous. La conséquence est que les vitesses simulta-
nées des points m\p' ont même grandeur et qu'elles sont dirigées
symétriquement par rapport à la droite LP.

La distance mp\ égale à la somme r -4- r\ étant, par hypothèse,
constante, on voit aisément que, dans la rotation w établie autour
du centre 0 de courbure, le point p' doit être considéré comme
fixe sur le rayon om. Il s'ensuit que la vitesse de ce point est per-
pendiculaire à mo et qu'elle est représentée en grandeur par le
produit

(r -\- r'\
1 j ne.

On a d'ailleurs, en vertu de l'équation (8) du n" 90, page 245,

(' — vV"

ru.

De là et de ce qui précède , eu égard à l'égalité des angles Vap\
Pam', résulte la déduction suivante:

La vitesse du point m' est perpendiculaire au rayon vecteur
am' et représentée en grandeur par le produit r'co.

On voit ainsi que la vitesse du point m' s'emprunte tout entière
à la rotation w établie autour du centre instantané «, et que, par
conséquent, ce point demeure fixe dans le plan de la ligne rou-
lante.

Les points m, m' étant fixes dans le plan de la ligne S, et la
somme de leurs distances aux différents points de cette ligne étant
constante, il est visible qve cette ligne se résont en vne ellipse
dont les points m , m' sont les denx foyer

rs.

Voir In figure 51, pngo 2i2.

( 241) )

Remauque. — Si les points m , m' se confondaient en un point

unique, on aurait r =

n" 9G, page 245,

1

- = 0.

et Ton déduirait de l'équation (9) du
1

Leilipse S deviendrait un eerele, et la roulette engendrée par le
poifit m une droite parallèle à LP.

Si le point m' se confondait avec le point a et restait ainsi sur

la droite LP, on aurait ?•' =-- o, et Ton déduirait de l'équation (9) du

n" 90, page 245,

p rr= r = cons'''.

L'ellipse S se réduirait au segment rcctiligne ma^ et la roulette
engendrée par le point m h une circonférence de cercle ayant son
rentre en a sur la droite LP.

Considérons en second lieu le cas où Tangle mna est plus petit
que l'angle nam', et où, par conséquent, les points m, m' sont
silu('s Tun au-dessus, l'autre au-dessous de la droite LP.

La dis[)Osition que prend la figure montre (ju'il faut changer le
Fia. 32. signe des quantités r' et p, ce qui donne pour

transformée de l'équation (8) du n'^ 96, page 245,

r r' -+- r
p r' — r

^P et, pour équation de condition,
r' — Y = cons'*.

En opérant', comme on l'a fait tout à l'heure, on trouve pour
vitesse du point p'

(r'-r

Ir' — r\

On voit d'ailleurs, de la même façon, que telle est aussi la vi-
tesse du point m\ celle-ci étant perpendiculaire au rayon vecteur
am' comme la première l'est à la droite ap'.

( -ioO )

Il suit de là que les points m, m' sont fixes dans le plan de la
ligne S et que la dllFérence de leurs distances aux différents points
de cette ligne est constante. La ligne S se résout donc nécessaire-
ment en une hyperbole dont les points m, m' sont les deux foyers.

Considérons en troisième et dernier lieu le cas où les angles
mua, nam' sont égaux, et où, par conséquent, le parallélisme
des droites mn, am' supprime le point w' en le transportant à
rinfini. L'équation (9) du n" 96, page :2i5, devient, en ce cas,

1 i

- H = 0.

^' P

et Ton en déduit

p -= - r.

Il suit d'abord de là que les rotations iv et w sont égales et de
sens contraire. La disposition que prend la figure, (le point m
étant le milieu de oa) montre ensuite que les angles onm mon
sont toujours égaux, et, par conséquent, que la rotation de la
droite mn autour du point m n'est autre chose que la rotation w
transportée en ce point. La conséquence évidente est que la droite
mn est fixe dans le plan de la ligne S.

Par le point a menons une parallèle à la droite 7ih et prolon-
Fig. 33. geons-la jusqu'à sa rencontre en q avec la perpendi-
c culaire abaissée du point m sur la droite LP. Par le
point q menons la droite qq' perpendiculaire aux
deux parallèles aq, nh.

Les points m et q sont disposés symétriquement

-P par rapport à la droite LP. Il en est donc de même

de leurs lieux respectifs et, par conséquent aussi, de

^ leurs vitesses simultanées. Or, la vitesse du point

m est peri)endiculaire au rayon vecteur am. Il faut donc que celle

du point q soit perpendiculaire à la droite aq, ce qui revient à

dire qu'elle est dirigée suivant la droite qq' .

Concluons que le point 7 ne sort pas de la droite qq\ supposée
fixe dans le plan de la ligne S, et que l'on a constamment

am r^ aq.

( -^-'i )

Il suit (le là que les difTérenls j)oinls de la ligne S soïil, équidis-
tanls d'un point et d'une droite fixes, situés tous deux dans le
plan de cette ligne et entraînés par elle dans son roulement sur
la droite LP. La Ikjne S est donc une parabole ayant non foyer au
point }n *.

* La roulette décrite en ce cas par le point m est la courbe connue sous le
nom de chaînette. Elle se caractérise ici par cette circonstance (ju'en chacun
de ses points il y a toujours égalité entre la normale ma et le rayon de cour-
bure mo. On peut d'ailleurs, au moyen des données précédentes, en opérer
très-simplement la rectification et la quadrature.

Soit h le milieu du segment mq, et bu, bu' deux perpendiculaires abaissées
de ce point sur les droites ma, mli. On a , d'une part,

ma'

(1) ' - ^

et , d'autre part ,

a a'
(2) 6m = 6w' = -^--

Or mq' n'est autre chose que le paramètre constant désigné par a aux nu-
méros 37 et 82, pages 153 et 212. Il vient donc d'abord

a

mu— ~= cons^e.
2

La propriété exprimée par cette équation peut s'énoncer comme il suit :

La projection de l'ordonnée sur la normale eut constante. Elle a pour
valeur la moitié du paramètre a, ou ce qui revient au même , V ordonnée de la
chaînette à son sommet.

On voit aisément que la vitesse d'écart des points g, q' est égale à deux fois
la vitesse du point q ou son égale la vitesse du point m. Mais, d'un autre côté,
on vertu de l'équation (2), la vitesse d'accroissement du segment bu est la
moitié de celle du segment qq' : elle est donc précisément égale à celle du
point m. Cela posé, voici la conséquence évidente :

L'arc de chaînette compris entre son sommet et le point m a pour longueur
rectifiée le segment bu.

Soit i/ l'ordonnée mb , a |a longueur de l'arc de chaînette compris entre le

( âS2 )

La démonstration qu'il s'agissait de faire se trouve ainsi eom-
plélée, et l'on peut dire, en eonséquenee :

Les roulettes ilècrltes par le foijer de Vtine ou Vautre des sec-
tions couiques sont les seules lignes qui , dans leur révolution
autour d'une droite, puissent engendrer }(ne surface à coitrhure
moyenne constante.

sommet et le i>oiiit m. Le liiaiigic inbu , reetangle en u, (.lonne immédiate-
ment

(3) . = l/r^-Ç-

4

Passons à la quadrature. La vitesse d'accroissement de l'aire décrite par
l'ordonnée mb a pour mesure le produit de cette ordonnée par la projection de
la vitesse du point m sur la droite LP, ou ce qui revient au même ( la vitesse
du point m étant perpendiculaire au rayon vecteur am) le produit de cette vi-
tesse par la longueur constante mu. De là résulte, en désignant par A Taire
dont il s'agit,

(4) iA = mu . à(T = ,

et , si l'on prend pour origine le sommet de la chaînette,

a fl 1/ , «2

A — -a—-V7f-—= mu

bu.

La propriété exprimée par celte équation peut s'énoncer de la manière sui-
vante :

L'aire décrite 2Mr l'ordonnée mh^ à partir du sommet de la chaînette jus-
qu'en m, a pour mesure la surface du quadri la 1ère humu'.

Désignons par P' le rayon de courbure qui correspond au point o dans la
développée de la chaînette, et par v la vitesse du point o sur cette développée.
On a d'abord

W

Or, en vertu de l'égalité qui subsiste entre le rayon cet la normale ??jrt, ilesl

( ^^5 )

Transformation applicable au cas des coordonnées polaires.

98. Considérons, en particulier, le cas où la courbe, dont on

cherche le centre et le rayon de courbure en un point quelconque

déterminé, est rapportée à un système de coordonnées polaires.

Soit p le pôle; m le point décrivant; v la vitesse actuelle du

Fig. 34. point m sur la courbe qu'il décrit; ml la direction de

à cette vitesse. On a généralement

V

visible que la vitesse v est celle du point a sur oa dans la rutalion w établie
autour du centre o. De là résulte, ainsi qu'on le voit aisément,

v = p.iv A{iS^=zoc .IC,

et, par suite,

p' = oc. '

L'inspection du triangle coa donne, en conséquence ,

Par le point amenons une parallèle à LP et prolongeons-la jusqu'à sa ren-
contre en k avec le rajon vecteur ao. En désignant par W le rayon de courbure
qui correspond au point c dans la développée de la parabole roulante, on dé-
montre aisément l'égalité \V = ùch: (Voir la note qui suit le n» 1:20.) Les trian-
gles semblables Koc, coa donnent d'ailleurs

ck ca

oc oa

De là résulte, en substituant, cette autre relation curieuse

7~ 2 R^ '

* Suit c' le centre de courbure (jui correspond au point o dans lu développée de la
cliainetle. Le centre c' n'est pas en c, mais bien de l'autre côté du point o à la distance
oc' =oc.

( -^-v^ )

0 étant le rayon de courbure cherché pour le point m et w la
vitesse angulaire qui anime la directrice de ce point au sortir du
lieu qu'il occupe.

Tandis que le point m , supposé fixe sur la droite pm, se meut
suivant la courbe à décrire, la droite ;J>>^ tourne autour du point p
et glisse en même temps sur elle-même. Désignons par w la vitesse
angulaire qui correspond pour la droite pm aux vitesses actuelles
V et it?. Le centre instantané de rotation de cette droite est en a,
à la rencontre des deux perpendiculaires élevées respectivement,
l'une en m surwi^, l'autre en p sur pm. On a donc

V = am . co.

De là résulte, en désignant par N, comme au n° 01, page IGD, la
normale am,

(2) ^-^î-^-

L'équation (!2) fournit l'énoncé suivant:

Le rayon de courbure est égal au produit de fa nonuale par le
rapport des vitesses angulaires qui animent en même temps,
Vune le rayon vecteur. Vautre la directrice du point décrivant.

Si d'ailleurs on désigne par r le rayon vecteur pm et par 6
l'angle que ce rayon fait avec la normale en m à la courbe décrite,
on peut écrire aussi

oi r
(5) 0=

w COSg"

99. Montrons, par quelques applications, l'usage qu'on peut
faire des formules précédentes.

Considérons, d'abord, les sections coniques et commençons par
rcllipse.

Si l'on prend l'un des foyers pour pôle et qu'on désigne par r'
le rayon vecteur qui correspond à l'autre foyer, il est visible que

( 255 )

régalité, qui subsiste entre les vitesses de glissement du point m
sur les deux rayons vecteurs ?', r', implique celle des vitesses de
circulation qui se composent avec la première pour donner la
vitesse v. U suit de là qu'en désignant par r./, pour le rayon vec-
teur /•', la vitesse angulaire désignée par a, pour le rayon vec-
teur r, on a nécessairement

(i) ....... . rco = r'œ.

Soient/', /' les foyers; nm la normale au point m; ô, ù; et ô' les

Fig 35. angles que les droites mfj mn, mf font res-

v^ pectivement, d'un même côté avec la droite ff,

y^!\ I^a normale mn étant dirigée suivant la bissec-

^ p. Vg; , Iricc de l'angle fmf^ = :2^ , il vient

9 = a — to , 9' = a -4- ff.
On en déduit

e -+- 6'

= 2o:.

Del

\\ résulte évidemment

W -\ 'J

= 2w',

et, eu <

égard à l'équation (1),

ttJ =^ w .

/• ^ r'

Concluons qu'on peut écrire, d'après l'équation (5) du n" 98,

2rr'

(2) p = — •

^ ' ^ ^r -\- r'jcosff

Dans le cas de l'hyperbole, on trouve, en opérant de même,

(3).

(r — r') cos Q

( ^oij )

Dans le cas de la parabole, si l'on prend le foyer pour pôle et
qu'on trace l'axe principal, on voit ininicdiatement que l'angle de
cet axe avec le rayon vecteur est double de l'angle du même axe
avec la normale. On a donc

et, par conséquent

cos s

II suit de là ([u'on peut éci-ire, en général, pour les trois sec-
tions coniques ,

(b) ^=- '

^ ' ^ (r -\- r) cos C

le rayon r' devenant négatif ou infini, selon que l'on passe du
cas de l'ellipse à celui de l'hyperbole ou à celui de la parabole.

En se reportant aux notations du n" u7, page 155, et observant
que l'on a , en général ,

rr COS"* c ^= ■ 5 r -

1 — c'

la formule (Ji) devient

a. c

cos^ s '

résultat identique avec la formule (i>) du n° 8^, page )>[\.

100. SpuiALe logarithmique. — Dans le cas de la spirale loga-
rithmique, le pôle étant le centre autour duquel tourne le rayon
vecteur, et l'angle de ce rayon avec la tangente demeurant inva-
riable, on a évidemment

ce = If.

( ^^7 )
De là résLillo, conformcmcnt à la formule (2) du n" 98, page ^^54,

Ou voit ainsi que le centre de courbure cherche pour le point
m est précisément en a : ce résultat très-simple est évident à
piiori, puisque la directrice et le rayon vecteur constituent un
système de forme invariable* et n'ont, en conséquence, à chaque
instant, qu'un seul et même centre instantané de rotation.

Si l'on observe que la droite am touche en a la développée et
Fig. 36. f^it avec le rayon vecteur pa un angle map toujours
égal a Tangle constant pmt, on peut en conclure
immédiatement que la développée de la spirale loga-
rithmique n'est autre chose que cette même spirale
déplacée, d'un certain angle, par rotation autour du
pôle p. De là se déduit cette autre conséquence:

La longueur de rare de la spirale logarithmique j compris entre
le point m et le pôle asymptote, est égale à la tangente mt **.

Il est clair, en clfct, que l'arc de la développée compris entre le
point a et le pôlep est égal en longueur à la normale ma, ce qui
revient identiquement à l'énoncé qui précède.

Spirale D'ARCHiaiÈDE. — Dans le cas de la spirale d'Archimède,

Fig. 37. si l'on désigne, par u = dr, la vitesse avec laquelle

.^\ le ravon vecteur pm elisse sur lui-même, et, par y,

/7 ^\ l'angle qmt que ce rayon fait avec la tangente en iHj

'^ on a d'abord

œ n

— = cons'% y = S.

u 2

* On ne perdra pas de vue qu'en procédant, ainsi ([u'on l'a l'ait au n" 98 , on
doit considérer la directrice comme entraînée par le point m dans son glisse-
ment sur la courbe.

*' On entend ici par tangente la partie de celte droite, qui se trouve inter-
ceptée entre le point m et la perpendiculaire élevée en j) sur le rayon vecteur
pm.

Tome XV. 4 7

( ^oS )

Il vient ensuilc

fil ce

lgy = — = >• - ♦
qm u

De Ih résulte , pour la vitesse dy avec laquelle varie l'angle y,

ce
dy = dr . — • cos'^ y = co sin^ S.
Il

Mais, d'un autre côté , on a évidemment

10 ^= co -\- dy = oi{\ H- sin^ S),
Il vient donc, en dernier lieu ,

' l-4-sin^5 (1 -f- sinn^)cosê
CHAPITRE V.

l** THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES ENVELOPPES.

Cas (jénêral d'une droite ou d'une courbe mobile dans un plan.

101. Considérons d'abord une droite D supposée mobile dans
un plan P' , et de direction incessamment variable.

Soient a, a' les positions qu'occupent, à un même instant quel-
conque, les centres instantanés de rotation et de circulation de la
droite D *.

Le lieu des points a prend le nom (Venveloppe par rapport aux
positions successives delà droite mobile.

Soient ^, (Ji deux points assujettis à coïncider constamment, le

* On sait (jue le cciKre a' est le pied de la perpendiculaire abaissée du
centre a sur la droite D.

( 2bl» )

premier avec le centre «, le second avec le centre a . Il est visible
que la vitesse du point fx! est dirigée tout entière suivant la
droite D, le point glissant sur la droite et la droite tournant autour
du point, tous deux incessamment. De là résultent les déductions
suivantes :

1° La tangente, en un point de V enveloppe, n'est autre chose
que la droite mobile prise dans la position qui correspond à ce
point ;

2° Toute courbe peut être considérée comme Venveloppe de ses
tangentes;

5" La développée d'une courbe est l'enveloppe des normales à
cette courbe.

On observera que la vitesse du point a' résulte, en général, de
deux composantes distinctes. L'une est la vitesse de circulation
que le point a emprunte à la rotation établie autour du centre
instantané a; l'autre est la vitesse qui anime le point fv. perpen-
diculairement à la droite aa. Dans le cas particulier où l'enve-
loppe que l'on considère est celle des normales à une courbe
donnée, les centres a, a' se confondent et, des deux composantes,
il ne reste que la dernière.

Sans rien cbangcr à ce qui précède, considérons, en second
lieu, une courbe quelconque S, située dans le plan P', liée à la
droite D, et participant avec elle à la rotation établie autour du
centre instantané a.

Soit a" le pied de la perpendiculaire abaissée du centre u sur
la ligne s.

Le lieu des points a" prend le nom d'enveloppe par rapport
aux positions sticcessives de la co^lrbe mobile.

Soit /il" un point mobile, assujetti à coïncider constamment avec
le point a". La vitesse du point /u" est dirigée tout entière sui-
vant la tangente en a" h la courbe i:. De là l'énoncé suivant :

Venveloppe de la lignelest une ligne qui la touche dans toutes
ses positions successives.

( 2G0 )

On observera que la vitesse du point y." résulte, en général, de
deux composantes distinctes. Ces composantes sont les vitesses de
circulation communiquées au point a" dans les rotations établies,
l'une autour du centre instantané a , l'autre autour du centre de
courbure qui correspond au point «" de la courbe s. Ce qui dé-
termine cette deuxième rotation , c'est la condition quelle rem-
plit de communiquer au point a la vitesse qui anime le point y.
perpendiculairement à la droite cm" *. On voit d'ailleurs, sans
diftîculté, que les composantes dont il s'agit proviennent de ce
que la ligne s glisse et roule en même temps sur son enveloppe.
La première composante exprime la vitesse de glissement; la se-
conde est celle qui résulte du roulement. Cette remarque est
générale; elle s'applique au cas d'une droite mobile, comme à
celui d'une courbe.

Cas yénéral d'un plan mobile sur lui-même.

102. Imaginons que la droite D des numéros précédents soit
liée à un plan P superposé au plan fixe P', et qu'elle l'enlraînc
avec elle dans sa rotation autour du centre instantané a. Il y a
lieu, en ce cas, de considérer séparément les traces du pointée
sur le plan mobile P et sur le plan fixe P'. Soient S la première et S'
la seconde. La rotation établie autour du centre instantané a ne
peut altérer en rien la vitesse qui anime le point ju. dans le plan P'.

Tous les poiiils de la figure mol)ile i)aitici[)eiU en même temps à la rota-
tion établie autour du centre instantané a.

De là résulte, pour la vitesse totale du point f.<-", la première de ses deux
composantes.

La di'oite mm" est assujettie , en outi-e , à passer constamment par le point
mobile m et à rester normale à la courbe 2. Il s'ensuit qu'elle tourne autour
du centre de courbure qui correspond au point a" de la courbe 2, en em-
pruntant à la \itesse linéaire du point m la vitesse angulaire de cette rota-
lion.

De là résulte, en conséquence, la deuxième des comiiosantes mentionnée dans
le texte.

( '^«1 )

Cette vitesse est donc aussi celle du point y. dans le plan P. De là
résultent les déductions suivantes :

1" La ligne S' est l'enveloppe des positions snccessives de la
ligne S;

2" Le mouvement du plan mobile P est le même que si la ligne
S roulait sans glisser sur la ligne S'.

Supposons que l'on ait tracé les deux lignes S, S', et qu'on réa-
lise le mouvement du plan P en faisant rouler la ligne S sur la
ligne S'. Prenons égale à l'unité la vitesse angulaire de roulement ,
et désignons par u la vitesse correspondante avec lesquelles le
point /Cc se meut sur les courbes S, S'.
Soient a la position actuelle du point /u ,

a' celle du point a' sur la droite D ,
V la vitesse du point /u' ,
t ah une longueur prise égale à la vitesse u et

portée sur la normale commune aux deux lignes S,
S', du même côté que la droite D ou du côté opposé,
^^ selon que les deux composantes de la vitesse du
^ point \i' sont de sens contraire ou de même sens»
"' La directrice du point p/ n'étant autre chose que

la droite D , et celle-ci tournant, par hypothèse, avec une vitesse
angulaire égale à l'unité, le rayon de courbure qui con^espond au
point a de l'enveloppe décrite par le point ]x a, pour expression ,

= V.

S'agit-il ensuite des composantes de la vitesse i'? Elles sont
représentées en grandeur, l'une par a«', l'autre par la projection
sur aa de la longueur ah, c'est-à-dire par ae. La conséquence évi-
dente'est que le centre de courbure qui correspond au point a
de l'enveloppe se trouve en e sur la circonférence de cercle ayant
«6 ])our diamètre. Ajoutons qu'en désignant par R, R' les rayons
de courbure qui correspondent au point a pour les lignes S, S',

( 202 )

on a, comme au n° 88, page 227 (la vitesse désignée par w dans
ce numéro é(ant égale h Tunité),

R.R'

ah

R-^R'

De là résulte le théorème suivant :

Lorsqu'un plan se meut sur lui-même, les enveloppes des
droites situées dans ce plan ont toutes à la fois leurs centres de
courlmre sur une même circonférence de cercle.

Soit a la position du centre instantané de rotation à l'instant que
1 on considère, ?< la vitesse de ce centre au sortir du lieu qu'il oc-
cupe, eu la vitesse angulaire simultanée du plan mobile. On peut
ajouter ce qui suit :

La circonférence do?it il s'agit touche en a la droite suivant
laquelle est dirigée la vitesse u. Elle a pour diamètre le rap~
Vort - .

Supposons le mouvement du plan mobile déterminé par celui
tVun cercle au rayon R situé dans ce plan et roulantggans glisser
sur un cercle fixe au rayon R'. 11 vient alors

u RR'

ô "" r'^Tr^ '

et l'on a cet autre théorème :

Les enveloppes des droites situées dans leplanmohile ont toutes
pour développée une même épicyclotde , occupant une même posi-
tion ou des positîo?is différentes, selon que les droites considé-
rées sont ou non parcdlèles.

Cette épicijcloïde est eiigendrée par un point de la citconfé-
rence qui a pour diamètre- — — et qui roule sans glisser sur un
cercle fixe, concentrique au cercle K, et ayant lui-même pour

( ^tJ^ )

Ce second théorème peut se démontrer comme il suit :
Soient Cj c' les centres des cercles aux rayons R, R'; a le point
Fia 39 ^^^ ^^ contact subsiste à l'instant que l'on consi-

dère; ah le diamètre de la circonférence sur la-
quelle les enveloppes des droites situées dans le
plan P ont leurs centres de courbure; D une
quelconque de ces droites; ae la perpendicu-
laire abaissée du point a sur la droite D.
On a , d'après ce qui précède,

ab

RR'

Rh-R'

On sait, en outre , que le centre de courbure, situé sur la droite
ae pour l'enveloppe des positions successives de la droite D , ou
de toute autre droite de même direction, est en e à la rencontre
de la circonférence décrite sur ab comme diamètre.

Soient i une deuxième position du point a; h la position corres-
pondante du point b; ie' , c'i celles des droites ae , c'a. L'angle aci
a pour mesure— : celui dont les droites D et ae tournent simul-
tanément, dans le passage de la première position à la seconde, est
égale à la somme -^ -h ^*. La différence de ces angles est ^ : elle
exprime l'excès de l'angle eih sur l'angle eab. 11 suit de là que
l'arc he' est plus grand que l'arc 6e de la longueur

(^).

ab.

aa

W

a a

R-i-K

"'■ Si le point a restait fixe sur le cercle mobile et qu'on le transportât en?,
(le contact subsistant en i comme en a) le cercle mobile tournerait de l'angle
~ ' Mais il y a roulement , sans glissement. H faut donc que le point a sup-
posé fixe sur le cercle mobile recule , relativement au point/, d'un arc égal en
longueur à l'arca/. De là résulte une deuxième rotation exprimée angulaire-

01

ment par — .

( -2(J4 )

Cela posé, décrivojis la ciiTonféroncc de cercle ayant son centre
en c', et c'h j)onr rayon. On a

(2) . . c'br=W — ab = W

et, par suite ,

RR'

R

R ^ R' R -t- R'

' ' R' R -f- R

Les équations (1) et (5) montrent que le déplacement du point
e s'effectue comme s'il était fixe sur la circonférence aeh, et que
celle-ci roulât sans glisser sur la circonférence décrite du point c'
comme centre avec c'h pour rayon. De là résulte évidemment le
théorème énoncé ci-dessus.

Rayon de courbure de l'enveloppe d'une courbe qui se meut dans
son plan, sans changer de forme. Glissement de la courbe mo-
bile sur son enveloppe.

403. Étant donnée une courbe quelconques, supposée déforme
invariable et mobile dans son plan, proposons -nous de détermi-
ner le rayon de courbure de l'enveloppe et le mouvement relatif
de la courbe mobile.

Soit PQ une position quelconque de la ligne s. Le mouvement
de cette ligne peut être considéré comme résul-
tant du roulement d'une courbe S, représentée
par LM , sur une courbe S' représentée par UV,
la ligne S étant liée à la courbe mobile S et la
courbe S' étant fixe.

Soit a le centre instantané de rotation ; ab
la tangente commune aux courbes LM, UV; aa
la perpendiculaire élevée en a sur ah ; a le cen-
tre instantané de roulement; R, R' les rayons de
coiirhure des courbes L3I et \\ pour le point a.

( 2(J3 )
L'on a, i^V'ncralomenl *,

mi

R -4- R'

Abaissons du point a sur la courbe PQ une normale am , et
prolongeons cette normale jusqu'en n , centre de courbure cor-
respondant de la ligne PQ. L'enveloppe de la ligne 2 est le lieu
des points m.

Par le point a' menons une parallèle à ma , et prolongeons-la
jusqu'à sa rencontre en b avec la droite ah. En n élevons sur an une
perpendiculaire et prolongeons-la jusqu'à sa rencontre en n avec
la droite aa' .

Dans la rotation établie autour du centre instantané a les
vitesses simultanées des points a et n sont respectivement pro-
portionnelles aux rayons vecteurs «a', an. Il s'ensuit que si l'on
prend «6 pour grandeur de la première, la seconde est repré-
sentée par nn'. En effet, les triangles aha\ nn'a sont semblables et
donnent, en conséquence,

ah aa'

nn an

La vitesse ?in' est la vitesse totale du point n de la normale «7h**.
D'un autre côté, nous avons vu (n" 87, page 2!25) que la vitesse ab
du centre instantané de roulement coïncide en grandeur ainsi qu'en
direction avec la vitesse du centre instantané a. Si donc on abaisse

' Si la courbe IJV tournait sa concavité du côté de la ligne LM , on devrait
changer le signe du rayon de courbure R' et écrire en conséquence

Le point n se distingue des autres points de la normale am en ce que sa
vitesse s'emprunte tout entière à la rotation établie autour du centre instan-
tané a. Pour les autres points, il faut tenir compte, en oulre, de la rotation
simullnnée établie autour du centre de courbure ??.

( 2()() )

du point « sur a'b la perpendiculaire ae, il est visible que cette
perpendiculaire représente en direction, sens et grandeur la vi-
tesse du point de la normale am qui se trouve actuellement eu a.
Cela posé, il ne reste plus qu'à tirer la droite 7i'e et qu'à pro-
longer celte droite ainsi que la normale ma jusqu'à leur rencontre
en 0.

Le ]X)int o ainsi déterminé est en même temps le centre de
courbure de la trajectoire dit point n et de l'enveloppe décrite
par le point m.

II est bien entendu qu'on comprend ici par trajectoire du point
n, la trajectoire que ce point décrirait s'il devenait fixe par rap-
port à la ligne 1 et (pi'il fût entraîné par elle dans son déplace-
ment continu.

Par le point m menons la droite mtt' perpendiculaire à ma,
La vitesse qui anime ce point sur l'enveloppe qu'il décrit est repré-
sentée par mt'. Celle qui anime le point de la ligne PQ actuelle-
ment en ni est représentée par mt. Telle est donc aussi la vitesse
actuelle du glissement de la courbe s sur son enveloppe. Il s'en-
suit que la quantité tt' exprime la vitesse actuelle du point m sur
la ligne PQ, ou, ce qui revient au même, la vitesse qui résulte
pour le point m du roulement de la ligne PQ sur son enveloppe.
Pour obtenir directement cette dernière vitesse, il suffît de tirer
la droite ne. Le segment ms intercepté sur mt est précisément
cette vitesse, ainsi que nous l'avons exposé au n" 101, page 260,
et qu'on le voit d'ailleurs directement. On vérifie, sans difficulté,
que l'on a, d'après la figure,

ms = tt'.

Soit { la projection du centre instantané de roulement sur le
rayon vecteur am, et p' le rayon de courbure de la trajectoire du
point n. On a, d'après la formule (5) du n°i^8, page 227,

2

, an

ni

( 267 )

De Iti résulte, en désignant par p le rayon de courbure cherché
pour le point m de l'enveloppe,

'2

an

(1) 0 =s iUU,

Ht

On a, d'ailleurs,

ms mn al ai

ae an mt ani '

d'où, multipHant membre à membre , et observant que les lon-
gueurs aCj ai sont égales,

, , ms ai . lïin

(2) — =

mt an.am

Les équations (1) et (2) résolvent la question proposée.

Extension générale au cas crime ligne qui change en même
temps de position et de forme.

104. Soit E une courbe mobile dans son plan et de forme inces-
samment variable. Prenons un point quelconque m, supposé fixe
sur la ligne E, et désignons parmi une droite assujettie à rester
tangente en m a la courbe mobile.

Quels que soient, à un même instant quelconque, l'état de
mouvement du point m et celui de la tangente mt , ils détermi-
nent un centre instantané de rotation qui leur correspond, et si
l'on distingue dans la ligne E le changement de forme du chan-
gement de position, on peut considérer celui-ci comme résultant
tout entier de la rotation établie autour de ce centre. Imagitions
que Von procède ainsi. La ligne E subit deux modifications dis-
tinctes et simultanées. En vertu de la première, elle tourne autour
du centre instantané, sans changer de forme et comme si elle
était liée invariablonicnl à la droite mt : en vertu de la seconde.

( ^i08 )

elle se déplace par rapport à la droite nit considérée comme fixe,
et dans ce déplacement elle ne cesse pas de toucher celte droite
au point m.

Cela posé, soit ju un point assujetti à se mouvoir sur la ligne E.
Les données qui précèdent impliquent évidemment la déduction
suivante :

Le point /u. sortant du lieu m, à Vinstant que Von considère,
sa vitesse est la même que si la ligne E persistait dans sa forme
actuelle.

S'agit-il ensuite de la directrice du point t/.? Elle tourne, par
rapport à la tangente mt , avec une certaine vitesse angulaire.
Cette vitesse, lorsqu'il n'y a pas de changement de forme, résulte
exclusivement de la vitesse du point /u. sur la ligne E et de la cour-
bure afFectée en m par cette ligne. Elle ne dépend, en aucune façon,
de la rapidité plus ou moins grande avec laquelle la courbure de
la ligne E peut varier au delà du point m. Mais, d'un autre côté,
s'il y a changement de forme, à partir de l'instant où le points
sort du lieu m, ce changement n'a d'autre effet, par rapport aux
parties de la courbe E situées au delà du point m, que de modifier
la rapidité plus ou moins grande avec laquelle leur courbure
varie à partir de ce point. Or, cette rapidité plus ou moins grande
ne peut affecter en rien la vitesse qui anime la directrice du
point II au sortir du lieu m. De là donc résulte cette autre déduc-
tion :

Le point /x sortant du lieu m, à Vinstant que Von considère^-
sa vitesse et la rotation de sa directrice sont les mêmes que si la
ligne E persistait dans sa forme actuelle.

Lorsqu'une ligne E, mobile dans son plan et de forme invariable,
sort du lieu ({u'cllc occupe, il arrive, en général, pour un ou plu-
sieurs de ses points, que leurs vitesses actuelles sont dirigées tan-
genticllement à ce lieu. Cette circonstance, qui nous est déjà
connue, peut se présenter de la même manière lorsque la ligne E
se déplace en changeant de forme. Raisonnons dans cette hypo-

( -^<-'9 )

thèse, et, (s'il est plusieurs points qui satisfassent, en même temps,
à la condition précédente, bornons-nous à considérer Tun d'entre
eux en excluant les autres par la suppression des parties de la
ligne E qui leur correspondent.

Plaçons -nous à un instant quelconque. En désignant par m le
point (le la ligne E que Ton considère et dont la vitesse actuelle
est dirigée tangentiellcnient à cette ligne, on a la définition sui-
vante :

Le lieu des points m est l enveloppe des positions successives
de la ligne E, cette ligne étant mobile dans son plan, et de forme
constante ou incessamment variable.

Soil [j. un point assujetti à coïncider constaminent avec le point
m. La vitesse du point p résulte à chaque instant de deux compo-
santes distinctes. La première de ces composantes est la vitesse du
point m considéré comme fixe sur la ligne E : elle est dirigée tan-
gentiellemoit au lieu occupé par cette ligne à Vinstant que Ton
considère. La seconde est la vitesse qui provient du déplacement
du point m sur la ligne E : elle est la même que si la ligne E per-
sistait dans sa forme actuelle; elle a donc même direction que la
tangente en m. De là se déduisent immédiatement les conséquen-
ces suivantes :

La vitesse du point y. est dirigée tout entière suivant la tan-
gente en m à la ligne E.

L'enveloppe de la ligne E touche celte ligne dans toutes ses po-
sitions.

Cette propriété de i enveloppe est caractéristique. Elle suffît ,
dans tous les cas , à la détermination de cette ligne.

Imaginons qu'on connaisse, à un instant quelconque, le lieu
occupé par la ligne E, la position du point m, la vitesse de ce
point considéré comme fixe sur la ligne E, la vitesse angulaire cor-
respondante de la tangente en m. Soient u la première de ces vitesses.

( ^70 )

et ce la seconde. Le centre instantané qui leur correspond est situé
sur la normale en îh , à la distance

i(
ma = - •

a

On voit d'ailleurs aisément dans quel sens il faut porter cette
longueur, le point a devant être tel qu'en le prenant pour centre,
la rotation établie autour de ce point communique au point m sa
vitesse actuelle il

Cela posé, si l'on distingue dans la ligne E le changement de
forme du changement de position et qu'on détermine celui-ci
comme résultant tout entier de la rotation w établie autour du
centre instantané a, on peut faire abstraction de l'autre en ce qui
concerne la courbure de renvelopi)e au point m , et appliquer les
déductions du n° 105, page 2GG, de la même manière que si la
ligne E conservait en réalité la forme qu'elle affecte à l'instant que
l'on considère. Cette conséquence se déduit immédiatement du
principe énoncé ci-dessus, dans les termes suivants :

Le point /x sortant du lieu m, à Vinslant que Von considère,
sa vitesse et la rotation de sa directrice sont les mêmes que si la
ligne E persistait dans sa forme actuelle.

2^ THÉORIE ANALYTIQUE DES ENVELOPPES.

105. Soit

(1) F(jc, î/, «) = o,

l'équation d'une ligne plane l, rapportée à des axes coordonnés
quelconques et dépendante d'un paramètre a dont on dispose
entre certaines limites.

A chaque valeur du paramètre « correspond une détermination
particulière de la ligne 2, et, en outre, celle d'un point a" situé

( ->n )

à h\ fois sur cette ligne et sur l'envelojjpc de ses positions succes-
sives. II suit de là que les coordonnées du })oint a" sont fonction
du paramètre a. Réciproquement le paramètre a est fonction de
ces coordonnées, ce qui implique la conséquence suivante : Véqua-
tion (1) peut être considérée comme représentant V enveloppe,
pourvu qu'on y remplace a. par une fonction convenable des
coordonnées x et y.

Cela posé, suivant que le point a" est pris sur la ligne 2 ou sur
l'enveloppe, la tangente en ce point est déterminée par l'équation
différentielle

ou par cette autre équation

('>••• O ''-^ * (S) ''^"O ''"■="•

Or, on sait que la ligne :;; doit toucher en a" l'enveloppe de ses
positions successives. Il faut donc que les équations (2) et (5) don-
nent une seule et même valeur pour le rapport -y^ . De là résulte
nécessairement

dF

W TT^'-

«a

L'équation (4) détermine la relation qui fait dépendre a des
coordonnées x , y. Jointe à l'équation (1), elle représente l'enve-
loppe des positions successives de la ligne 2 , ce qui revient à dire
que, pour avoir l'équation de cette enveloppe, il suffit d'éliminer a
entre les équations (1) et (4).

On parvient au même résultat en procédant comme il suit :
Concevons un point p/' assujetti à décrire la ligne 2 et sortant
du lieu a" à 1 instant que l'on considère. Soient x , y les coordon-
nées de ce point. La direction de sa vitesse actuelle est donnée
par l'équation (î2), ou par Téquation (5), selon que la ligne 2 cotfi-

( -m )

serve une seule et même détermination, ou qu'au contraire elle
passe d'une détermination à une autre.

Mais si le point a" appartient à l'enveloppe des positions succes-
sives de la ligne 2 , la vitesse du point [k" doit avoir même direction
dans chacune des deux hypothèses précédentes. Il faut donc que
les équations (2) et (5) subsistent en même temps. Cetlc consé-
quence conduit, comme tout à l'heure, à la solution cherchée.

106. Veut-on procéder directement, sans s'appuyer sur la
théorie géométrique développée dans les numéros qui précèdent?
Voici comment on peut s'y prendre.

Étant donnée l'équation

(1) F(x,?/, 'x) = o.

Elle représente une courbe qui change en général de forme et
de position, en même temps qu'on fait varier le paramètre a.
Soit 2 cette courbe; p un point assujetti à la décrire; x, y les coor-
données de ce point.

La direction suivie par le point y-, à un instant qucIcoïKiue, est
détermine, par l'équation dilfércntielle

<'^' (3''^-©"^='''

ou par cette autre équation

selon que la ligne 2 persiste dans sa détermination actuelle, ou
qu'au contraire elle passe de cette détermination à une autre.
Posons

(IV

w *:="•

Les équations (1) et (4) subsistant ensemble, chaque valeur du

( -'ï-l )

paiiMiiètrc a fixe, en général *, la position d im point délonninc
de la ligne 2. Soient a" ce point et /u," un point mobile assujetti à
coïncider constamment avec le point a'\ tandis que le paramètre a
varie incessamment.

Le point a" se déplace, en général, sur la ligne 2 en même
temps que cette ligne change de forme et de position. Il s'ensuit
que le point p" se meut sur cette ligne avec une certaine vitesse.
D'après ce qui précède, la direction de cette vitesse est donnée par
l'équation (5), ou ce qui revient au même, par l'équation (2), puis-
qu'cn vertu de l'équation (4) les équations (2) et (5) fournissent
une seule et même valeur pour le rapport-^. Mais d'un autre
côté, l'équation (2) lixe pour le point a" la direction qu'affecte
actuellement en ce point la tangente à la ligne 2. On voit donc
que le point u." se meut suivant la direction de cette tangente et
qu'en conséquence il a pour trajectoire une ligne qui touche en a"
chacune des positions successives de la ligne 2.

La trajectoire du })oint i>." est le lieu des points a". Considérée
j)ar rapport aux positions successives de la ligne 2 , elle prend le
nom d'enveloppe. Son équation résulte de l'élimination du para-
mètre a entre les équations (1) et (4). Cela revient à dire que
l'équation de l'enveloppe est

(1) F(x-, ?/, a)=o,

le paramètre c^. étant une fonclion des >ariablcs Ji , y, déterminée
par l'équation de condition

« ©=»■

On ne perdra pas de vue que l'existence de lenveloppe est
subordonnée à la condition que les équations (I) et (4) fournissent,
pour chacune des valeurs attribuées successivement au paramè-
tre a, une détermination correspondante du point désigné par a".

* Cette coiidiliou pourrait n'être pas remplie, comme on le voit, par exem-
ple, clans le cas d'une droite qui se meut sans changer de direclion. Les dé-
ductions suivantes cesseraient alors d'être applicables.

Tome XV. 18

( 274

Applications.

107. Soit d'abord à déterminer l'enveloppe des normales à une
courbe plane. Nous savons déjà que cette enveloppe n'est autre
chose (|uc la courbe désignée sous le nom de développée. On a,
d'ailleurs, pour équation générale de la normale,

(1). . . . . (t --- x) dx -i- (u — y) dy =-- o.

De là résulte, en différenciant par rapport aux variables x, ?/,
et considérant comme constantes les coordonnées courantes t
et î(,

(2). . . {t — x) d^x -h {il — y) d^y = dx^ -f- dy'^.

Les équations (1) et (2) subsistant avec le même sens qii'au
n" 78, page 206 , il est clair qu'elles déterminent en même temps
les centres de courbure de la courbe dont on considère les nor-
males, et le lieu de ces centres, c'est-à-dire l'enveloppe des nor-
males ou la développée.

Si l'on différencie l'équation (1) par rapport à toutes les varia-
bles qu'elle renferme, il vient, eu égard à l'équation (2),

(5). ...... dldx -+■ du . dy = o.

En opérant de même sur l'équation

(4) p'=^{t-i-xf -^{u — yf, .

qui donne le rayon de courbure en fonction des coordonnées x,
y, l, u, on a

(5). . . . . odo = [t — x) dt -\- (u — y) du.

Désignons par a l'arc de la développée et posons, en consé-
quence,

(6). . . . r/^ =^ Vd('-\-du-^ dt y l ^- f^)'

( ^7:) )
La comparaison des cqiiations (1) et (5) donne

du u — y
~dt~ t —X '

Cette valeur transportée dans les équations (5) et (C) conduit,
d'une part, à

rfp

dt (t — xf -h [u — yf odt

(t-x)

t — X

d'autre part, à

de = dt
On a donc

t — X t X

dp = d<T ,
el, par suite, ainsi que nous le savions déj;i

^p

= àa.

108. Soient A, A' deux points pris respectivement sur deux

Fig. il.

B...t

droites fixes et parallèles AB, A'B'; soit
en outre un' une transversale quel-
conque assujettie à la condition d'in-
tercepter des segments An, A'n' dont
le produit demeure invariable.

Plaçons Torigine en 0, milieu de AÂ',

et prenons pour axes coordonnés, d'une

part, la droite AA', d'autre part, une parallèle aux droites AB, A'B'.

Si nous désignons par « le segment An, par b"' le produit

An. \'n\ supposé constant, et par a' la distance OA, il est aisé de

voir que la transversale ?in' a , pour équation générale ,

(i;

b'')x^{c

h"

( -'70 )
Cherchons l'enveloppe des (h'oilcs leprêsenlées par l'équa-
tion (1). En égahuit à zéro la dérivée du second membre, prise
])ar rapport au paramètre:», l'on trouve

(2). . . .

./' "-^'6-.

et -\- X

De là résulte

r/~b"^^

^

— ) 7.

a H- X

cl, substituant.

iir/Aj = h'^\a — x).
Élevons au carré et remplaçons ^/- par sa valeur. Il vient
?/^ x^

<^'' F-^ = '- ■

Oji voit, par là, que renvelo])pe cherchée est une ellipse rap-
portée à son centre et ayant pour diamètres conjugués les seg-
ments 2«', 2// dirigés respectivement l'un suivant AA', l'autre
parallèlement aux droites AB, AB'.

Pour passer du cas de la figure à celui où le segment k'n' serait
j)orté en sens contraire, il suffit de changer le signe de la quantité
li"^. L'ellipse trouvée j)our enveloppe, dans le premier cas, est
remj)lacéc, dans le second, par une hyperbole.

Soit ), l'angle des axes OX, OY, et S celui ({ue la transversale nii
fait avec l'axe des x. On a, généralement,

sin ê a^ — 6'^

sin (à — 6) 2a(*'

DifTérenciant et posant c. = h' dans le résultat de la différen-
ciation , on trouve

sin ) ,
(4) d^> = —r- ày-

( ^77 )
En opérant de nicmc sur la valeur

h" — a'

qui se déduit de l'équation (2), on a
(.*)) dx == — d(/..

Désignons par p le rayon de courbure qui correspond au point
de l'ellipse situé h l'extrémité du diamètre (/, On a , d'après ce
qui précède, et comme il est aisé de le voir,

(()) .

dx a''

\"/'

^ f/6 6' sin/

De là

résulte

(7). .

. 0 sin / = — •

^ 1/

Or p sin i est la projection du rayon p sur l'axe OY. On a donc
l'énoncé suivant, lequel s'applique en même temps à l'ellipse et à
l'hyperbole :

Etant donnés deux demi-axes quelconques a', b', conjugués
entre enx , le rayon de courbure, qui correspond à Vextrémiié de
l'axe b', a pour projectioti sur cet axe le segment -jr .

Reprenons ce problème en le traitant par voie géométrique.

Lorsque la transversale nn' sort du lieu qu'elle occupe, le pro-
duit des segments Xn, k'n demeure constant. Il s'ensuit que les
vitesses des points n , n' sur les droites AB, A'B' sont de signe
contraire et qu'elles conservent entre elles le même rapport que
les segments kn, k'n. Prenons le segment nk pour vitesse ac-
tuelle du point n sur la droite BA. La vitesse simultanée du
point n sur la droite A'B' sera représentée par le segment y/'B'
= k'n.

( -'78 )

Los vilossos )i\, //T)' résultant de la rotation de la droite an'
autour de son centre instantané de circulation, la conséquence
est que ce centre se trouve actuellement en m à la rencontre des
droites nn', AB'. On sait d'ailleurs que le lieu des points m est
l'enveloppe des positions successives de la droite )in'.

Soient y = mp ^ x = Op les coordonnées du point m. Si l'on
tire la droite n'p et qu'on la prolonge jusqu'en s, à sa rencontre
avec la droite BA , il est visible que le segment As est égal au seg-
ment An , ce qui détermine la droite n's et par sui/^ le point p
où cette droite vient couper la droite AA'. On a, d'une part,

A'B' , , a' — X
(8). . . . 3/==^.K--)^-V-AV,

et, d'autre part,

AA a

Multiplions, membre à membre, les équations (8), (9) et rempla-
çons par h'^ le produit constant kn.A!n . On trouve ainsi, pour
équation de l'enveloppe ,

S'agit-il ensuite de la courbure en m ? Cherchons d'abord la vi-
tesse V du point m sur la tangente nn\ en observant qu'elle ré-
sulte de celle du point p situé à la rencontre de la droite mobile
n's avec la droite fixe AA'.

La vitesse du point n' sur A'B' est yî'B'. Celle du point s sur sB
est sA. Il s'ensuit que celle de l'intersection de la droite n's avec
la droite mp, supposée fixe est pm, et qu'en conséquence la vi-
tesse du point p sur AA' est représentée par pg , la droite mg
étant parallèle à ?i's *.

* Concevons la perpendiculaire élevée en p sur n's et désignons-la par P.
La projcclion de la vitesse pm sur la'droite P est la vitesse de circulation du
point p de la droilc n's. Si In vif(^sse pf/ était eonnue, sa projection sur la

( -27!) )

Par le poinl (/ menons la ilroilc (/// j)ai'alk"'l(' à piu. Si la dioilc
7in' était fixe, la vitesse pg du point p sur AA' donnerait mh
j)Our vitesse du point m sur n'n. Ce résultat nest pas changé par
la rotation de la droite nn' autour du point m. On a donc, en pre-
mier lieu ,

Soit, en second lieu, w la vitesse angulaire avec laquelle la droite

nn tourne autour du point m. Si par les points n', B' on mène

deux droites, l'une B't parallèle à nn\ l'antre n't normale à la

première , il vient

n't

mn'

De là résulte, en désignant par p le rayon de courbure cherché
pour le point m,

V mh. mn'
IV n't

Appliquons cette formule au cas où les segments A;? , X'n étant
tous deux égaux à 6', le point m est le milieu de la droite nn . Les
droites nn'^ A A' sont alors parallèles, et il en est de même des
droites AB', sn . Il suit de là que les segments mh, mn' sont tous
deux égaux à a et que le segment n't est la projectior du demi-
axe h' sur la normale en m à la droite nn'. On a donc

mh = mn' = a', w'f = 6'sin/,

et Ton en déduit par substitution

p sin / = -— •

0

Ce résultat est la reproduction de la formule (7). Il comporte le
même énoncé.

droite P donnerait cette même vitesse de circulation. 1! suit évidemment de là
que les extrémités des vitesses pm , pg sont situées sur une mt^me droite mfj,
menée par le point m parallèlement à la droite n's.

( 280 )

Le parallélisme existant, par hypothèse, entre les droites mr,
AA', on a , en désignant par p la distance de ces droites,

j) z= h' sin / ,
et, par suite,

(10) p.p = a

La propriété exprimée par l'équation (10), n'est qu'une autre
forme de celle que nous avons formulée ci-dessus comme inter-
prétation de l'équation (7). On peut l'énoncer comme il suit :

Le produit du rayon de courbure par la perpendiculaire abais-
sée du centre sur la tangente est égal au carré du demi-diamètre
piiralléle à cette même tangente *.

(1)

* Reprenons la formule générale

mh . mn'

n't

et prolongeons la droite n'n jusqu'à sa rencontre en u avec la droite OX. Le
parallélisme établi d'une part entre les droites n'p , mg , d'autre part entre les
droites mp , gh donne

-j mn' mh

n'u ~ mu

On a, d'ailleurs, ainsi qu'on le voit aisément sur la figure,

7i'îi. A'n' mn' mn'

{,-). . . .

un' A'n' — An nn' — mn ^mi
La combinaison des équations (2) et (3) donne

(4) m/1 . m7i' =:'2.mi. mu . = 2 . w; . mu — = ?>??. mu .

nn An-\-An Oi

Soit Oc la perpendiculaire al)aissée du point 0 sur la droite 7in'. Les trian-
gles «'B7, 0/e sont send)lables et l'on a , en conséquence,

^ _ ?n^ _ A'n'

ô7~ Ô7 ~~"ôr *

( 281 )

109. Soient deux droites fixes An^ An et une transversale nu'
assujettie à détacher un triangle Ami' de surface
constante. On demande l'enveloppe des positions
successives de la droite iin\

Plaçons Torigine en A, et prenons pour axes coor-
donnés les droites AnX, A/t'Y. En désignant par «
le segment An' et par c^ le produit constant des seg-
ments A?î, An\ on a A?î =^— . L'équation générale
de la droite nn' est, en conséquence,

(!)•

Prenons la dérivée du second membre par rapport à « et éga-
lons cette dérivée à zéro. Il vient ainsi

(2) 2ax = c^

De là résulte en substituant dans les équations (4) et (1)

mi . mu

(«' •"=-ô^-

L'équation (5) exprime la propriété suivante que Tellipse et l'hyperbole pré-
sentent eu chacun de leurs points ;

Le jwoduit du rayon de courbure par la perpendiculaire abaissée du
centre sur la tangente est égal au produit des segments interceptés sur la
tangente entre le point de contact et deux axes quelconques conjugués.

Si Ton rapproche l'équation (a) de l'équation (10) établie dans le texte (la
grandeur représentée par p n'étant autre que la perpendiculaire Oe), on a

mi . mu . = a'^.

On est ainsi ramené à cette propriété connue de l'ellipse et de l'hyperbole:

Le produit des segments interceptés sur une même tangente entre le point
de contact et deux axes quelconques conjugués est constant. Il a pour expres-
sion le carré du demi-axe parallèle à la tangente.

Au lieu de procéder, comme nous venons de le faire, par voie de déductions
successives, on peut éialilir a priori cette dernière propriété, et remonter à la
précédente en se IbiKianl siii- Tequalion (10).

( 1>H^2 )

L'cHinination de la quantité x entre les équations ( l) el ("2) donne,
pour équation de Tenvéloppe cherchée,

(5) ^2^^ 4'

c'est-à-dire une hyperl)ole rapportée à son centre et à ses asymp-
totes.

Soient 0 le centre d'une ellipse; m un point de la courbe; imu la tangente en

ce point; OX une parallèle à cette taneenle ; 6' le demi-axe
Fin. 41'^*'. r. , . ■

^ Om; a son conjugue.

^""7^ L'équation de l'ellipse , rapportée aux axes 5a' , 2//, est

Soit m' un point quelconque pris sur la courbe. La droite Om' a , pour é(iua-
tion ,

x'

^ = ~ y,
y

œ\ y' étant les coordonnées du point m'.

La droite Om' coupe en / la tangente im . et il suffît de poser y = h' , pour
avoir immédiatement

mi = -7 h'.

y

Soit Ow l'axe conjugué avec 0/. Cet axe est parallèle à la droite qui touche
l'ellipse en m'. Son équation est , en conséquence,

œœ' yy^ _

a'-' "^ />'2 ~ ^'
De là résulte, en posant comme tout à l'heure y = b',

— ^ Ml.

b' œ'

Les valeurs trouvées pour mi el mu donnent, ainsi qu'il s'agissait de le
démontrer,

mi .71111 ^= rt'^.

( 2«5 )

Soit A rnngle des axes AX, AY et 6 celui (jue la tangente nu' fait
avec l'axe des x. On a

sin ê &?

sin(> — ê)

Le reste s'achève de lui-même.

Considérons la circonférence de cercle circonscrite au triangle iOu et pro-
longeons la droite 0?n jusqu'à sa rencontre en O'avec cette circonférence. On a

Om . mO' = mi . mu = «'^,

et , par conséquent aussi,

mO = — = cons'^.

De là, cette autre propriété, commune à l'ellipse et à l'hyperbole et s'appli-
quant à une tangente quelconque déterminée :

Si l'on prolonge V<ixe qui va du centre au point de contact jusqu'à sa ren-
contre avec la circonférence de cercle menée par le centre et par les poi7its
où la tangente vient couper deux axes quelconques conjugués, ce prolonge-
ment a pour longueur constante la projection du rayon de courbure sur
l'a.xe dont il s'agit.

Soient , a, b les axes principaux, a étant celui qui coïncide en direction avec
la ligne des foyers. Eu égard à la relation connue, a.6^ p a', l'équation (10)
devient

a'^

' = 77,- .

Soit N la partie de la normale interceptée entre le point m et l'axe princi-
pal a. En désignant par N' la projection constante de cette normale sur le
rayon vecteur local et par 6 l'angle que ce rayon fait avec la normale, on a,
comme on Ta vu précédemment,

_ N'
cos^C

La combinaison des deux dernières équations conduit à la relation

3

a' cos o = V ''fl . /j . N ' — cons*''.

( :284 )
et Ton on déduit

(i) (1^.=^ - — ^ ^^ -

(- sm /

L'équalion (:2) donne de même

dx=^ (W,

cl, par siiiîe, en désignant par ds la différentielle de l'are de
l'enveloppe .

(o) ^/.Ç = ' -da.

^ ^ X sin(A — f.)

De là résulte, pour le rayon de eourbure qui correspond au point
de l'enveloppe situé sur la tangente un',

ds

f/é ^2a^ sin'(A — S)

Soit m le point dont il s'agit : l'équation (2) montre qu'il est le

Il suffit, d'ailleurs, de transporter le point m à rcxtrémilé du demi-axe a pour
reconnaître (jue Ton peut écrire plus simplement

a' cos C = consl^ = b.

Celte dernière propriété comporte l'énoncé suivant :

Si l'on porte sur la normale une longueur égale au demi-axe qui lui est
perpendiculaire et qu'on projette cette longueur sur le rayon vecteur mené
par Vun des foyers , la projection est constamment égale au demi-aœe prin-
cipal b.

On parvient au même résultat en faisant usage de la relation

a

( 280 )

it un'. Uei
par kn. II vient.

milieu du segment nii'. Remplaçons x par^ , - par A/t et a

A/i^ sin"

(d).

4A/i'sin'()— 6)
On a d'ailleurs, ainsi qu'on le voit aisément,

, sin(/-_^ , ,sinS

AU = — nu . . 7 A/i =^ lut — —

sin A sni À

On peut donc écrire aussi

itu' . sin /

' 4 sin 6 sin (A — ^:)

Par les points ?<, /<', «i menons trois droites respectivement
])erpendiculaires, l'une ne à AX, l'autre u'e à A^, la troisième niee'
h nu'. On a

y<M' , nu'
me = cot 6, >«e = eot (/ — 6),

et, désignant par o le milieu de rintcrvalleee',

nn' ^ , , ?i/i' sin A

(7) mo = . [cote -^- eol(/— 6)1= : r-, :'

^ ^ 4 •■ \ n 4sin6sin(A — ô)

La comparaison des équations (0) et (7) montre que le centre
de courbure elierehé pour le })oint m est en o, au milieu de l'inter-
vallc intercepté sur la normale me par les deux perpendiculaires
ne y ne.

Reprenons ce problème en le traitant par voie géométrique.

La surface du triangle knn' demeurant constante, le produit
des longueurs An, kn' reste invariable. 11 s'ensuit, comme dans le
cas du n" 108, page 277, que les vitesses actuelles des j)oints n, n'
sur les droites \n , \n' peuvent être représentées simultanément,
l'une par nk , laulrc pal' n'k' = n'k.

( 1>86 )

Par les points vi, n menons los droites np , n'p' perpendicu-
laires à nn', et par les points A, A' les droites A^), A'p' parallèles
à nn. Les vitesses des points n,n ont, pour composantes normales
à nn', les longueurs évidemment égales np, ii'p'. Les composantes
de ces mêmes vitesses parallèles à nn' sont, d'ailleurs, représen-
tées par les segments p\ , p'A' et l'on a visiblement

pX ■+■ p'X' =- nn'.

Il suit de là ([uc le point ?>/, déterminé par l'interseclion des
droites nn', pp\ est en même temps le milieu de la droite nn' et
le point de contact de cette droite avec son enveloppe.

Cette détermination du point m étant générale, on en déduit,
pour équation de l'enveloppe ,

.V.ÎJ

On en conclut, ensuite, que la vifcssc de ce point sur la droite
nn' est égale à la demi-somme des vitesses pXcip'A'. On a donc,
en d('signant par v cette vitesse,

nn

V = — --= mn .
Î2

On a, d ailleurs, pour la vitesse angulaire de la droite nn' au-
tour du point m,

n'p'

ic = j '

mn

Désignons par o le point situé à la rencontre des droites mo,
n'o, menées perpendiculairement, l'une sur nn', l'autre sur pp'.
Les ï^n^Xcsn'mp' ,n'om étant égaux, on a

mn' n'p'
mo mn'

■ ( 287 )

Soit^ le rayon de courbure qui correspond au point m de l'cn-
eloppe. On déduit immédiatement de ce qui précède

V mn
(o) p =M= — = = mo,

W 71 p

Le point o est donc le centre de courbure cberché pour le
point m.

Les triangles men , iipA ayant leurs trois côtés respectivement
perpendiculaires, donnent

(9) n^^Ap

mn np

On a de même, en comparant entre eux les triangles m'en\p'Mn',

(10) J^=^.

mit np'

Or inn = mn\ np =^ np' et kp ■+■ A'p' = ^mn'., il vient donc,
en ajoutant, membre à membre, les équations (9) et (10),

me H- me' mn'

^^-— = 2 -.

vin n p

De là résulte, eu égard à léquation (8),

-1

me H- me' mn'

2 ~~ n'j)' ~

Ce qui montre que le centre de courbure o divise en deux
parties égales le segment ee' .

Cette solution très-simple s'étend d'elle-même au cas général
où la ligne considérée est l'enveloppe des positions d'une corde
assujettie à détacber d'une courbe quelconque un segment d'aire
constante. La seule modification consiste en ce que les tangentes
menées à la courbe aux extrémités de la corde se substituent aux
droites \n, kn .

( 1>88 )

En etfcl, puisque la vitesse avec laquelle s'engendre l'aire décrite
par un segment de droite est égale au produit de ce segment par
la vitesse de circulation de son point milieu, il s'ensuit que cette
vitesse doit être nulle. Or cette condition implique comme consé-
quences toutes les déductions qui j)récèdcnt. L'enveloppe est donc
le lieu géométrique des positions que prend successivement le mi-
lieu de la corde mobile. La courbure en chaque point se détermine
ensuite, comme on l'a vu tout à l'heure.

110. Soient AX, AY deux axes coordonnés rectangulaires, et

Fig. 43.

fui un segment de droite intercepté par ces
axes. Le segment nu' étant supposé mobile et
de grandeur constante, on demande de dé-
terminer l'enveloppe de ses positions succes-
sives.

En désignant par c la longueur constante nfi
et par a le paramètre variable An\ on a pour
équation générale de la droite nit'

(!)■

L i/c^_aO

Prenons la dérivée, par rapport à a, de la fonction /y, et égalons
cette dérivée à zéro. On trouve ainsi

(4) rx^ic'-^f^

et, par suite,

La combinaison des équations (1) cl (2) donne d'abord

W y = -,j'

( 289 )
et, eu égard à l'équation (5),

<=> (!)'-©■'=■■

Cette dernière équation est celle de lem eloppe cherchée.
Soit m le point de l'enveloppe situé sur la droite nn'. Les coor
données de ce point sont, respectivement,

y = T^^z:7i^ ^'

Désignons par ê langle Ann', et par m' le pied de la perpendi-
culaire abaissée du point A sur le segment un'. On a, d'après la
figure 5

sm 6 = - 5 m'n' = « «in ô, mu . sin ^j = ij.
De là résulte , en substituant,

a"

(()) mn=~ = m'n'.

c

La dilïérentiation des valeurs trouvées i>our sin S et pour x
donne

5al/c^— a^

(/g = , c(x = , d'y..

c . cos 6 r

On en déduit, pour la différentielle de l'arc de 1 enveloppe,

iJx Zoci/c' — u'

ih r-^ . — - :=. — - da ,

cos 6 c . cos S

et, pour le rayon de courbure qui correspond au point m,

,_. (h ùx V (^ — rj? An . An'

V)' • p-^Tr'^ ""^' -,— --= 3. A?/<'.

«b C nn

Tome XV. 1.)

( iIDO )

Reprenons ce problème en le traitant par voie géométrique.

Le rectangle uAn'a étant achevé, il est visible que le point a est
le centre instantané de rotation tle la droite un'.

Soit ui le pied de la perpendiculaire abaissée du point a sur la
droite iut'. Le point >h étant le centre instantané de circulation de
cette droite, il s'ensuit que le lieu des points m est renvelo])pe
cherchée. On a, d'ailleurs,

Delà résulte, d'après la figure et les notations précédentes,

Au'''
(8). . ij = mn . sin ê = m'n' sin 6 = An' sin^S = — — •

On trouve de même '

An^

c

11 vieni donc pour équalion de l'enveloppe

2 2

An"^ H- An^

{f)-i

= 1.

Prenons uA pour vitesse du point n sur la droite AX, et repré-
sentons par 7i'/t la vitesse simultanée du point n' sur la droite
AY *. La longueur /i^i' étant constante, les points Uj n peuvent
être considérés comme fixes sur la droite nn' . 11 s'ensuit que
leurs vitesses de glissement sont égales.

Parle point A menons une parallèle à nn , et désignons par c le
pied de la perpendiculaire abaissée du point n sur cette parallèle.
Les vitesses de glissement et de circulation du point n sont repré-
sentées respectivement lune par cA, l'autre par ne.

Tirons la droite em et prolongeons-la jusqu'à sa rencontre en /

On verra plus loin comiuenl le point h se trouve déterminé par les con-
structions ultérieures.

( ^'^H )
avec la j)('i'|>eiKliciilairc élevée en it sui' nn' . IJ est visible que la
vitesse <Ie eirciiIiUioii du point n' est représentée par n'I, et sa
V itesse de glissement par le segment Ih qui joint le point / au point
Ji. Oj', nous savons déjà ({ue ee segment doit être égal et parallèle
à i'X. Il faut donc (pie la di'oite eml soit parallèle à Taxe AY, ee
(pii fournit un seeond moyen de déterminer le point m, et iuipli-
que les eonséquences suivantes :

Le point a se déplaçant avec les points ii , n', les eomposanles
de sa vitesse actuelle sont respeelivement, lune an', l'autre n'h.
Il s ensuit que cette vitesse est représentée par ah.

Soit afj la projection de la vitesse ah sur une droite menée par
le pointa parallèlement à un'. Cette projection est la composante
parallèle à irn' de la vitesse du centre instantané a. On a, d'ail-
leurs, en désignant par i le point d'intersection des droites ni
Cl aqj

aq = ai ■+■ iq = mn h- kl = '-Imn.

La vitesse que le point «# emprunte à la l'Otalion établie autour
du centre instantané a est la \itesse de glissement des dilFérents
j>oinls de la droite )iii', c'est-à-dire cA ou nui .

Soit r la vitesse actuelle (jui anime le point m dans la descrip-
tion de renveIoj)|)e. On a, d'après ce qui précède,

nui

aq

La pai'lie de la vitesse v qui s'em])rinite à la rotation établie
autour du centre instantané a est, aijisi qu'on le voit, le tiers de
celte même vitesse. La conséqucjice est que le centre de courbure
cherché pour le point m se trouve en o sur la normale ma, à la
distance mo = 5oî«. On a donc

(10) 0 =^ ôam,

et ce résultat concorde évidemment avec celui de la formule (7).

( 2Uï> )
Tirons la diagonale Ao et désignons par b son point milieu. Si

Fig.

m.

nous traçons les deux eireonférences de cerele, dont
Tune a ba pour diamètre, et l'autre \a pour rayon,
il est visible que le point m est situé sur la première
de ces circonférences. Dun autre côté, l'angle abiti
est double de l'angle nA/i. On voit donc aussi que
l'arc

am = ah . abni --=- ^2ab . aXn = A« . ai^Ji
a même déxeloppement ({ue l'arc

«X = A(( . a A il.

U suit de là ([ue renveloppe délermiaée ci-dessus est rêpiijj-
clotde engendrée par le point m dans le roulement de la première
circonférence sur la seconde. Il suffît, d'ailleurs, de se reporter à
l'équation de cette courbe pour se rendre compte du molif qui l'a
fait désigner sous le nom iVépicycloïde elliptique.

Reportons-nous à la fonnule (10) du n" 8G, page :225,

m-[

û = 2 r.

m — "2

On a ici, m --^ 4 , et r = ma. De là ré&ultc, en substituant,
0 =: Dtna.

111. Soient /;e, nb deux droites rectangulaires se coupant en n
et liées invariablement l'une à l'autre. Le point n étant assujetti à
décrire la spirale dArcbimède dont le pôle est en p, et la droite
pe à passer par ce pôle , on demande de déterminer l'enveloppe
des positions successives de la droite nb *.

Procédons simplement par voie géométrique.

* (^elteenvdoii[)e est la spirale tiuployce puur riuuulcr la cliaiiie des ponts
levib (Jaiib !t ^jblèinc du capitaine Deiche.

( ->i>3 )

Assnjollic à passer par le point fixe 79, la droite )}f' tourne autour
«le ce point et glisse en même temps sur elle-même. Soient w sa
vitesse angulaire et 7( la vitesse de glissement correspondante. On
a, par hypothèse,

~ =r cons"' =^ e.

0)

Désignons par 0 la position quoecupe, à un instant quelconque
/7r/. '10. <lé(ci'miiié, le centre instantané de rotation de la
droite pe. On sait que la rotation w est établie autour
de ce centre et qu'elle communique au point p de
la droite pe la vitesse actuelle u. Il s'ensuit que le
jM)int 0 est situé sur la droite menée par le pôle per-
pendiculairement à pe, et que l'on a

II

po = — = c.

^fais, di\i\ autre coté, les droites pe, ah sont liées invariablement
l'une à l'autre. Elles ont donc, à chaque instant, même centre in-
stantané de rotation.

Soit m le pied de la perpendiculaire abaissée du centre 0 sur la
droite nJ). Le point m est le centre instantané de circulation de
celte droite et l'on a

inn ^^po == c.

ce qui monti'C que le point m est fixe sur la droite nb.

L'enveloppe cherchée étant le lieu des points m , on voit aisé-
ment qu'elle a pour d<'veloppée le lieu des points 0. Il est clair,
en efTct, (juc, dans la description de l'enveloppe, le point m a pour
vitesse totale celle qu'il emprunte à la rotation établie autour du
centre instantané 0. Ce résultat peut s'énoncer comme il suit:

L'enveloppe cheirhée esl la développante du cercle dècrll dit
point p comme centre avec un rayon (kfcd an rapport constant-^-

{ 2yi )

1 12. Considérons les conrl)es désignées sous le nom général de
caHstiques et occupons-nous, d'abord, des caustiques par réflexion.

Soient p un point et AB une courbe situes dans un même plan.
Du point p partent dans toutes les directions des droites pn. Ces
droites viennent rencontrer la courbe AB et sont renvoyées par
elle suivant des directions np' supposées telles qu'en représentant
par tic la normale au point d'incidence u, les angles j^}/H'; p'nc
soient égaux entre eux. Cela posé, on demande de déterminer l'en-
veloppe des rayons réflécliis îip'j et c'est à cette enveloppe qu'on
donne le nom de caustique par réflexion.

Soient c le centre de^courbure qui correspond au point n de la
courbe AB; q^q' les pieds des perpendiculaires abaissées du point
c sur les droites np , np'. On a, généralement,

(I). ..... nq=^nq', cq = cq'.

l'renons le segment qc pour vitesse de circulation du point q
dans ia rotation de la droite pn autour du point p.
La vitesse du point q dans la rotation de la droite
np' antour de son ce?itre instantané de circulation
sera représentée par q'c.

Tirons la droite pc et prolongeons-la jusqu à sa
rencontre en e avec la perpendiculaire élevée en n
sur le rayon pn. Le segment ne sera la vitesse de
circulation du point n de la droite pn.

Soient nb la tangente en n à la courbe AB, et h le
point de celte tangente qui se projette en e sur ne. Le scgmcnl nh
est la vitesse actuelle du point n sur la courbe AB.

Projcions le ))oint h en e' sur la droite ne' menée par le point ti
perpcn<licul;iij'cmcnt au ra}on réflécbi np'. Le segutent ne' est la
vitesse de circulation du point n de la droite np'.

Cela pos(',il est \isible (jn'il suflit de tirer la droite ce' pour

( 29o )

avoir en ui\ h la roiicontrc de cette droite avec Je rayon réfléchi
np', le centre inslanlané de circulation de ce même rayon.

Concluons que l'enveloppe cherchée est le lien des points m'.

On observera que l'égalité des angles cnp, cnp' implique celle
des angles hne, bne' et, par suite aussi, celle des segments ne , ne'.

Prolongeons la droite cq d'une longueur égale c/c et tirons la
droite c'e, qui vient couper en m le rayon incident pn. Il est aisé
de voir que le point m divise le segment tiq de la même manière
que le point m.' divise le segment 7iq'. On a donc

(2) nm == nm',

et, en même temps,

nm ne pn pn

(5).

(4)

niq cq pq pn —nq

De là résulte

mn pn

nq "-Ipn — nq

Nommons R le rayon de courbure ot , 0 l'angle pnc , et à le
rayon vecteur np. Il vient, en substituant,

/R cos 9

(5) nm =?/m=

^ ^ :2/ — Rcose

Mo. Supposons, pour cas particulier, que la ligne AB soit une
circonférence de cercle et que le point p soit situé sur cette cir-
conférence.

Il est aisé de voir que le point e, devenu fixe, se trouve à l'ex-
trémité du diamètre pc, que le segment qc est la moitié de la
corde ne, et qu'en conséquence le point m tombe aux deux tiers de
nq, ou, ce qui revient au même, au tiers de )tp. Soil np'\Q rayon
réfléchi : on a

np

Dm' = nn\ = -^r- '

( 20(; )

La formule Ci) du n" 1 12, où Ion doit remplacer R cos 0 par i ,
conduit nu mémo résultat

fini' = nm = - •
~)

Soit / le point où la perpendiculaire élevée en m' sur np' vient
couper la droite en : on a évidemment

ni = 2 . ci.

Décrivons avec le rayon ci deux circonférences de cercle ayant res-
Flg. 47. j)ectivemcnt pour centres, l'une le pointe,

l'autre le point o , milieu de ?ii. Il est visibhî
que les angles au centre ich, nom' sont égaux
entre eux * et que leur égalité implique celle
-' des arcs la, nnt'. Cela posé, voici la consé-
quence :

Le lieu (les posilions du point m est l'épicyclo'ide engendrée
par ce point dans le roulement dv cercle au rayon oi siir le cercle
égal au rayon ci.

Au lieu d'une circonférence de cercle, prenons, i)our ligne AB,
FUj: 48. une spirale logarithmique , et plaçons le point p au
^ 72. ^' pôle. On sait que, dans cette courbe, le rayon vecteur
p?i coupe la tangente en n sous un angle constant.
\^* Il s'ensuit que l'angle pnp' reste toujours le même
^ et qu'on peut, en conséquence, considérer le rayon

réfléchi connue lié invariablement en n au rayon incident. Cela
posé, rappelons-nous, conformément aux déductions du n" 100,
page 2dG, que le centre de courbure c se trouve à la rencontre de
la normale ne avec la perpendiculaire élevée en p sur le rayon
vecteur /m, etijue, d'ailleurs, il se confond avec le centre instan-

* Les cordes ?ijp, vp' étant égales et le point m' situé au tiers de la coi'de
np' comme le point o Test au tiers du rayon en , on voit aisément que les
angles nom', ncp, sont nécessairement égaux.

( '^"^^ )

tanc do rotation du système invariable formé par les denx droites
np, 11])'. Il suit de là que le eentre instantané de eircnlation de la
droite 7ip' est en^)', à la rencontre de cette droite avec la perpen-
diculaire abaissée sur elle du point c, ou, ce qui revient au même,
avec la perpendiculaire abaissée du point /) sur eu.

L'enveloppe cbercbée étant ici le lieu des points p\ * il est vi-
sible que la droite np' qui la toucbe en ]/ fait avec le rayon vec-
teur ^jp' un angle constant, égal à l'angle pnh. La conséquence est
que cette enveloppe coïncide avec la spirale donnée , lo}'Sf(u'on a
fait tourner celle-ci d'un certain angle autour du pôle p.

114. Plaçons-nous dans l'iiypotlièse où les rayons incidents pn
sont tous parallèles entre eux. Les vitesses de circulation représen-
tées ci-dessus par qc,ne étant égales, le point m' se trouve au milieu
du segment nef. Cela revient à l'énoncé suivant :

Dans le cas du parallélisme des rayons incidents, le point m'
s'obtient en projetant orthocjonalement sur le rayon réfléchi le
milieu du rayon de courtture qui correspond au point d inci-
dence.

La formule (5) du n" 1 12 se réduit ici à la forme très simple

R eos 0
nin = •

De là résulte, en général,

,; ,, (/orr/R „ . -]

d (nm ) = — — cos h — R sni 0 •

Soit cl la direction des rayons incidents. (Voir fig. 40, page sui-
vante.) Les angles 7icly cnm' sont égaux entre eux et à ô. Il s'ensuit
qu'en désignant par w la vitesse angulaire de la droite nm\ on a

(!) 9r = 2.f/0.

* Les doux points , que nous avons désignés généralcniont , l'un par m', l'autre
pai' q' , se confondent ici avec lo point p'.

( 1>98 )

La vitesse du point n sur la ligne AB étant représentée par

w6 = R.r/0, sa composante suivant nq' est

Fig. 49.

^, e'h = nb . sin 0 . =^ R . (U . sin e.

,,,/ En soustrayant de eette vitesse, supposée eom-

mune à tous les points de la droite nrj' , la vitesse

J^ ^ exprimée par la différentielle d{iim') on a la vitesse

" absolue v, qui anime le point m' dans la description
de l'enveloppe cherchée *. On trouve ainsi

do r r/R -]
(2) ^ = — SRsniO C0S6 •

Désignons par p le rayon de courbure de cette enveloppe au
point m', et par R' = — celui qui correspond au point c de la
développée de la ligne AB. La combinaison des équations (1) et (!2)
donne, généralement,

(o). . . . 0 ^ — = - [oR sin H — R' cos o] ,
' ir- 4

et, pour le cas parliculier où la ligne AH esl une circonlV'rence de
cercle,

5 5

(4) p = - R sin 0 ==— fY/'.

4 4

Soit 0 le centre de courbure qui correspond au point c de la
développée de la ligne AB. Tirons la droite co , prenons en o' le
tiers de co et lU'ojetons le point r>' en f^uvof/'. 11 \ient

(0 R'cosô

rf = c'o . cos 0 = -^ cos 0 = _- ,
5 ô

* Jl esl aisé clo voir que la partie do la vil('sstM/(/?m'), (|ni correspond à
H :=oons"', est (l(^ inènic son? «pic la vitesse e'h.

( m) )

ri, par suite,

{:>). . . .

1^-/] = ^

Considérons en j)îirticulier le cas où la ligne Ali esl une eircon-

Fig SO.

férenec de cercle. Soil pn la direction du
rayon incident, et 7ip' celle du rayon réiléehi.
Le |)oint m'est la projection sur hj>' du milieu
/ de en.

Décrivons deux circonférences de cercle,
Tune sur ></pris pour diamètre, l'autre ayant
son centre en c et ci pour rayon.

L'égalité des angles ^j?/c, aip' implique celle
des angles nùn' , ncq dans les triangles qui sont désignés respec-
tivement ])ar ces mêmes lettres et qui sont rectangles, l'un en w',
lautre en q.

Cela posé, si Ton observe que le rayon du cercle >//?/'/ est moitié
de cl , il est aisé de voir que les arcs )im' et lil sont ('gau\ entre
eux. De là résulte la déduction suivante :

Le lieu des points m' est l'épicyclo'ide engendrée par ce point
dans le roulement du cercle an diamètre ni, snr le cercle au
rayon, ci.

On sait, d'ailleurs, que le diamètre ni et le ra\on ci sont tous
deux égaux à la moitié du rayon en ou R.

En aj)pliquant ici la formule (9) du n" 8(), page ^i^ô,

m -4- 1

p -= 2 r.

Il faut poser m = 2 et r =^ m'i = - sin 1 On trouve ainsi, con-
formément à ce qui précède,

D )

p r= - 7':^^ — R sin 0.

( 300 )

1 l'i. Los cansliqtics pnr réfraclion ilifrèronl dos cansliquos par
rédexion on ce que le rayon renvoyé par la courbe est situé, par
rapport à la normale, du même eoté que le rayon incident, et que,
au lieu d'être égaux, les sinus des angles cnp\ cap conservent
entre eux un rapport constant, moindre ou plus grand que l'unité.

Cela posé, si l'on procède comme au n" 11:2, page 29i, sans rien
changer d'ailleurs aux notations, on a, d'abord,

en'

— =rons'^ = /.

S'agit-il, ensuite, de la détermination géométrique du point de

Fi(/. .■;/. Tenveloppc situé sur le rayon /tp'1 Elle s'effectue

S de la même manière , et en emplovant littéralement

^ , la même rédaction qu'au n" 112. De là résulte, en

^ ,^ conséquence,

m'n ne ne urf ne . V^ \ — /' sin- h
m'q' cff cq nij I .]{ . sin 0 cos 0

ou , ce qui re^ient au même.

f

m n

rV\~- l' sin' 0
m'n — R V\ — }' sin^l ^ ^«^^^ • [^ — ^^ ''''^ '^]

On en déduit, d'ailleurs, pour le cas général,

R/[l — /-^sin^ô]
m'n =

/ V\ ~ /- sin^^ 0 — / cos 9 [/ — H cos h]

el , pour le cas où les rayons incidents conservent tous une seide
et même direction ,

R(l_/-2.sin-o)
m n ==^

V^ \ — /-sin'-O — /cos 0
llfi. Cherchons, pour dernière a])plicalion , l'enveloppe (\\\n

( 501 )

cercle variable rapporté à des axes coordonnés rectangulaires et
déterminé par l'équation

(I ). . . . y- -h {x — af — m^j. =- [(jc, y, y) ^ o.

En égalant à zéro la dérivée [''^{x, y, a), on trouve

m

Éliminons a entre les équations (1) et (^). 11 vient ainsi

(û) y'=mx~\--^ .

et cette équation, qui représente une parabole, est celle de lenve-
loppe cherchée.

On observera que les valeurs de l'ordonnée y deviennent ima-
ginaires pour des valeurs négatives de l'abscisse x supérieures en
grandeur absolue à la quantité- , ou, ce qui revient au même,
pour des valeurs du paramètre « inférieures à cette même quantité.
Cela tient à ce que les cercles successifs représentés par l'équa-
tion (1) deviennent intéi'icurs l'un à l'autre pour toute valeur du
paramètre a inférieure à '-J^ , et qu'ils cessent ainsi d'avoir aucun
])oint où la direction tangenticlle soit indépendante de la varia-
bilité de ce paramètie.

Reprenons ce problème en le traitant par voie géométrique.

Soient c le centre du cercle variable et R son rayon. (Voir lig. !>->,

page suivante.) Le centre c glissant sur la droite OX avec la vitesse

dx^ on a, généralement,

R'=-/«a,

et, i>ar suite,

m

Prenons la v itcsso (fv. égale à R. La vitesse (/R sera constante et
égale a :, .

Fig o2.

a p

( 50^ )

Soil «y/^r^ une posilioii quelcon([uc déU'i'iiiiiiëc du ccirle \Hria-
ble. Sur le rayon ay pris pour diamètre tra-
çons une circonférence de cercle «er; prenons
la corde ce égale à ^ et prolongeons -la jus-
qu7i sa rencontre en m avec la circonférence
amu' .

Considéré cojnnie restant à la fois sur la
droite ce el sur la circonférence ama ^ le j)oint m a pour coinf)o-
santes de sa ^ itesse actuelle :

1° Une vitesse d^ représentée en direction, sens et grandeur
par ac = R ;

2" Une vitesse </R représentée en direction, sens et grandeur

m

par ce = - ;

5* Une vitesse perpendiculaire à cm et duc tout entière à la
rotation de la droite ce autour du point c.

La droite ae représente en direction, sens et grandeur la ré-
sultante des vitesses da. et (/R : elle est d'ailleurs perpendiculaire
à ce.

Ces diverses doiuiées conduisent à la déduction suivante :

Le point m est tel qu'en le sujjposant iixe sur le cercle variable,
sa vitesse actuelle est dirigée tangentiellenient nu lieu occupé par
ce cercle.

Il suit de là que ïcnvidoppe cherchce est le lieu des points in.

Soit i) = inp l'ordonnée du point ui , et x = Op son abscisse.
On a évidemment

i-p = ce = a — X.
On a, de même,

y'^ -\' (a — x)- = R'^ = }na.
Il \icnt donc, en éliminant «,

y^ = nix \- -— 5

et telle est l'équation de lenveloppc cherchée.

( 505 )

L'exemple que nous venons de traiter est un de eeux dnns les-
quels on peut proeéder, tout d'al)orH,en distinguant le ehangenienl
de fornie du cliangenieni de position. Pour isoler le premier en le
séparant du seeond, il suflît de eonsidérei' le eentre c eomnie fixe,
tandis que le rayon R varie avce la vitesse r/R. Pour isoler le
seeond en le séparant du premier, il sulïit de considérer le rayon R
comme constant, tandis que le eentre c glisse sur la droite OX
avec la vitesse r/a.

Partant de là, et opérant, comme nous l'avons fait ci-dessus, il
est aisé de déterminer les vitesses actuelles de chacun des points
du cercle variable, et par conséquent aussi de reconnaître que,
parmi ces |)oints, les seuls dont la vitesse soit dirigée tangentiel-
lement au lieu occupé par ce cercle sont, dune jiart le point m,
d'autre part le point situé s\méli'i(jucmenl au-dessous de l'axe OX.

CHAPITRE Yl,

PO IMS SIAGULIERS.

117. Points mlliiples. — On désigne sous le nom de points
multiples les points où passent en même temps plusieurs bran-
ches d'une courbe et où , par conséquent, ])lusieurs tangentes dis-
tinctes correspondent, en général, à uiw seule et même détermina-
tion des coordonnées courantes.

Imaginons (juon puisse distinguer les différentes branches
d'une même courbe et les représenter chacune isolément par une
équation i)articulière; les solutions communes à deux quelconques
de ces équations correspondent à des points multiples et récipro-
quement.

Veut-on préciser davantage, et échapper aux cas d'exception
que comportent les indications précédentes? On peut s'en tenir à
l'énoncé suivant :

Les points multiples se distinguent de leurs voisins en ce que

( 50i )

parmi les valeurs de rordonnée qui correspondent à une niéiue
abscisse et qui sont généralement différentes, il en est plusieurs
qui deviennent égales.

Il est un cas général où la détermination des points multiples
se ramène à des règles très-simples; c'est celui des courbes re-
présentées i)ur des équations algébriques et rationnelles. Soit

(i) ¥(x,y) = o,

une équation de celle espèce. On en déduit

f/F (IF du

(-2) j = 0.

dx dy dx

Cela posé, s'il s'agit d'un point multiple, il l'aul que les valeurs
affectées pour ce point par les dérivées — 5 -— cessent de four-
nir une valeur unique pour le coeflicient différentiel ■^- Cette
condition ne peut être remplie que dans le cas où ces deux déri-
vées s'annulent. Il faut donc que l'on ait en même temps

dF d¥

(5). . . . -^- = 0, -=^0, V[x,y)^o.

Supposons (|ue l'ensemble de ces trois équations comporte des
solutions réelles. La differenliation de Téquation i^l) doinie pour
les valeurs correspondantes du coefficient différentiel -t^ .

d^F d'F du (/-F IdyV

dx^ dx.dydx dy''- \dxl

Si le point multiple correspondait à la rencontre en un même
point de trois brandies distinctes, on devrait avoir, comme on la
vu tout à l'heure,

d'F _ d-F iFF^ __

f/x" ' dxdy ' dy'

( ôoy )

H laudrait donc que les >alcurs déduites des équations (5) satis-
fissent, en même temps, aux équations (5), et c'est à la différentielle
de l'équation (4) qu'il faudrait recourir pour déterminer les valeurs
correspondantes du eocfiicient -.- . Le même procédé , constam-
ment poursuivi, s'applique à la rencontre en un même point d'un
nombre quelconque de branches.

1 18. Soient m un point d'une courbe ; ml la tangente en ce point;
OX,OYdeux droites quelconques situées dans le plan de la courbe
et prises pour axes coordonnés. Il arrive, en général , que la courbe
s'étend des deux côtés du point m, et que, de part et d'autre, elle
se détache de la tangente en restant d'abord d'un seul et même
côté. Cela posé, deux cas sont possibles, selon qu'à partii' du
point m, en deçà comme au delà, les coordonnées de la courbe
commencent par être moindres ({ue celles de la tangente mt , ou
qu'au contraire, les premières remportent sur les secondes. Dans
le premier cas, on dit de la courbe quelle est concave en m par
rapport à la droite OX. Dans le second, on dit qu'elle est convexe
en m par rapport à cette même droite.

Soit p un point mobile, assujetti h décrire la courbe donnée et
sortant du lieu Vi h. l'instant que l'on considcjr.
Représentons, par mt , la vitesse actuelle de ce
point, et, par mm', m't\^ ses composantes paral-
lèles aux droites OX, OY.

L'équation de la courbe étant, parli}pothèsc.

On a

dij=^['(x).dx,

et l'on peut supposer constante la vitesse dx = mm'.

Il est visible que la courbe est convexe ou concave en m, par
rapport à la droite OX, selon que la rotation de la directrice du
point /x autour du lieu m est dirigée de manière à l'aire croître ou
à faire décroître la \ilcssc dt/ = m' t , et réciproquement. Or, cette
vitesse est croissante ou décroissante, selon que l'on a

d-ij '-^ f"{j'-) • dx' > 0,
ToMi^ XV. 20

( 300 )

OU bien

(Pjj ■— f"(x) ifx- < 0.

Concluons que la courbe est convexe ou concave, par rapport à
la droite OX, selon que la dérivée seconde /"(x) est positive ou
négative.

Supposons que cette dérivée soit nulle. La première des déri-
vées suivantes, qui ne s'annule pas, peut être de rang pair ou de
rang impair.

Est-elle de rang pair? Elle se substitue à la dérivée seconde
l'"{x), et rien n'est changé, d'ailleurs, puisque celle-ci prend le
signe de lautrc.

Est-elle de rang ini})air et })ositive? La dérivée f"(x) est néga-
tive en deçà du point m et })Ositive au delà. Il y a donc concavité
d'un côté et convexité de l'autre.

Est-elle de rang impair et négative? La dérivée ["{x) est posi-
tive en deçà du point m et négative au delà. C'est donc, en sens
inverse , la uièmc conséquence que dans le cas ])récédent.

Points n'iNFLiixiOiN. — On désigne sous le nom de points d'inflexion
les points où la tangente coupe la courbe. Ils se distinguent en ce
que la courbe, supposée convexe en deçà de ces })oinls, de\icnt
concave au delà, ou inversement. La condition anah tique qui les
caractérise est le changement de sigtie qui leur coiTcspond dans
la dérivée seconde / (j). On détermine les points d inilexion en
posant

(1) rw-^,

ou bien encore

''^ wr'-

Dans tous les cas, il faut s'assurer que les valeurs déduites pour
la variable x de lune ou lautre des équations (I) et (2) ne peu-
vent être franchies sans qu'il en résulte un changement de signe
de la dérivée seconde f"(^^'

( "'OT )

I 11). I*0IMS DE KliBllOLSSEMEM. Loi'S(jLlC clcilX hiailcIlCS d lUlC

courbe sarrèlcnl en un même point et y ont même taniçenle, ce
point est d'il poi ni de rebron.ssenient. 11 est du premier genre ou
du second, selon que les deux branches se détachent de la tan-
gente commune en la laissant entre elles, ou en s'en écartant
toutes deux d'un nu'me coté.

On reeonnait qu'une branche de courbe s'arrête en un j)oint,
lorsque les ordonnées sont réelles, d'un côté de ce point, et que,
de l'autre, elles sont imaginaires. Dans le cas où la tangente en
ce point est parallèle à l'axe des tj, il faut substituer l'abscisse à
l'ordonnée.

Le point de rebroussemenl comporte, pour chacune des deux
brancli(!s (pii s\\ arrêtent, une seule et même valeur du coelîicient
différentiel J^ . Il est du premier genre ou du second, selon que
les valeurs correspondantes de la dérivée seconde f"{x) = —
sont de signe contraire ou de même signe.

120. Points coajlgués. — Poims d'arrêt. — Poiists saillants ou
ANGULEUX. — On désigne sous le nom de points conjugués des
points isolés qui satisfont à l'équation de la courbe.

On nomme point iVurrèt tout point où se termine isolément une
branche de coui'be.

Les points dits saillants ou anguhux sojit ceux où plusieurs
branches s'arrêtent en conservant chacune une direction dis-
tincte.

Il est aisé de voir à quels signes on jK'ut reconnaître et distin-
guer ces points de ceux que nous avons définis ])ré(édemmeut et
avec lesquels ils jîrésentent certaines analogies.

Exemples de points singuliers

àrif =- oV^ -+- ar*

Ces exeniples sojil enipmiités aux éléments de calcul intinitésimal de
M. Duhamel. Paris, 1856. Tome I^» page. ô5o.

{ 308 )
Point mulliplc, iiillcxioii.

2" jj = siii Xy \j --=^ L'OS X, Il == Ig X, XII = Ig X, Il = X Ig X :

hittcxions.

3» . . . . ,j = ;{x)-^{x-af^.V(x):

Rcbroussciiieiitdu premier genre, lorsque rexposuiil -- — lestc
compris entre 1 et 2.

Kehrousscment du deuxième genre, lorsque cet exposant est
supérieur à 2, et que la dérivée seconde ^"{x) n'est j)as nulle.

Cas particuliers :

; ij- = x""', y/ = X li- a; V' x y y = x' zfc x- V x ,

' ' j •'^ = roÎ7' ■V=^log.:

Point d'arrèl à lorigine

.y =

1 -+- (3'

Point saillant ou anguleux à l'origine.

0" !/ = ('^' — ^ ") ^^' — ^ •

Point conjugué ou point multiple, pour x==«, et selon que a
est moindre ou plus grand que b.

Remarque. — Il est des points qu'on peut désigner sous le nom
de points lunites et ranger dans la classe des points singuliers.
Ils se distinguent des points d'arrêt et des points saillants en ce
que la courbe s'en rapproche indéfiniment sans les atteindre.
Cette double condition suflit, en général, pour déterminer les
points limites, connue on le voit dans les exemples suivants :

( 501) )

Le point pris i)our [)ole tsl un point limite dans la spirale hv
perbolique

a

0

et dans la spirale logaritlimique

/• =:r me

Le point pris ponr origine des coordonnées est nn point liniile
dans la eonrl)e reprt'sentr'e par l'équation

. I *

y =^ X sni - •

X

CHAPITRE VU,

THEORIE GENERALE DES CONTACTS DE TOUS LES ORDRES.

Vole (jéométrifivc.

121 . Soient deux courbes situées dans un même plan et ayant
un point commun.

Si ces courbes ont, en ce poijit, même tangente, elles se tou-
cbent et leur contact est dit du premier ordre.

Si, en outre, elles ont même centre de courbure, leur contact,
devenu plus intime, est dit du deuxième ordre.

Soit 0 le centre de courbure commun à deux courbes qui ont

'' Si la courlu? atleignail rorigiiie des coordonnées , elle coimportcrnit un
nacé continu ayant cotte mémo origine i)our point de départ. Or, il est évident
qu'un j»ar(il tiaoé est iniposiiiiblo, puisque rien ne détermine si c'est en s'éle-
\ant au-dessus de Taxe des^r. ou au contraire en s'abaissant au-dessous qu'il
devrait commencer.

( ^Hl )

cnlrc elles un eonlael du deuxième ordre; les développées de ees
eoiirbes se louelienl nu poiut o et leur eontacl est, en général, du
premier ordre.

Su])posons que ees développées aient en o un eontacl du
deuxième ordre, leeonlaet des développantes devient plus inlimc
et il est dit du troisième ordre.

Pour abréger, disons immédiatement qu'un contact de l'ordre
n — 1 entre les développées implique un contact de Tordre n
entre les déveloj)pantes et réciproquement. Il suit de là que le
contact du quatrième ordre se définit au moyen du contact du
troisième ordre, celui du cinquième au moyen du quatrième, et
ainsi de suite indéfiniment.

i2î2. Considérons deux courbes Iwl, /'?»/' passant par le point m
où elles ont même courbure, et dont les dé-
veloppées respectives os y os' sont situées
toutes deux d'un même côté par rapport à
la normale mo.

Occupons-nous, d'abord, des arcs ml, ml'
pris à droite du point m et supposons la dé-
veloppée os' intérieure à la développée os.
Du point e pris sur l'arc ml, h proximité du point m, menons
deux droites, lune eh tangente en h à os, l'autre e>i tangente en
n ào.s'. Cette construction, toujours possible pour une certaine
étendue de l'arc ml comptée à partir du point m, donne évidem-
ment *

on -\- ne <C oh -+- he.

Fig.

On a d'ailleurs, conformémeni au principe du n" 75,
oli H- he — om.

* LVnvcloppc ohee^A «écossairemriH plus longue que ronveloppéo nnc.

'* Toulc taiigenle à la développée est normale à la développante et réci-
pi'0(inenieiit. L'arc de développée compris «Milie deux lavons de eouihnre de
la dévelop|)anle a pour longueur reeliliée la diPi'érence de ees mêmes rayons.
(Voi!' au besoin le u" TTi, page 'îl'^)i.)

( 311 )
Il vient donc aussi

on -+- ne < ont.

Cette dernière inégalité montre que le point de la développante
ml', qui correspond au centre de courbure n, se trouve au delà
du point e sur la tangente ne, et, conséquemment, que la dévelop-
pante ml' est extérieure à la développante ml.

De là résulte, en premier lieu, la déduction suivante :

La position relative affectée par les développantes , à partir du
point m et à droite de ce point, est V inverse de celle qui lui cor-
respond dans les développées.

Occupons-nous maintenant des arcs ml, ml situés à gauche du
point m et supposons, comme tout à l'heure, la développée os'
intérieure à la développée os.

Du point e' pris sur l'arc ml' à proximité du point m, menons
deux droites, l'une eh tangente en h à os, l'autre en en tan-
gente en n à os'. La tangente e'yi rencontre en q la développée
os, et Ion a

n'e' = n'q -\- qe = n'o -\- om.

De là résulte, en remplaçant l'enveloppée n'o par l'enveloppe
n'q -\-qo, et supprimant, dans chacun des deux membres de l'iné-
galité résultante, la partie commune n'q,

qe' K fjo -^ om.

Ajoutons, de part et d'autre, hq ; il vient

hq -\- qe' < hqom,

et, à fortiori ,

he' <^ hqom.

Cette dernière inégalité montre que le point de la développante
ml, qui correspond au centre de courbure //, se trouve au delà du
point e sur la tangente //e', et, conséquemment que la dévelop-
pante ml Qsi extérieure à la développante ml'.

( 3hi )

De là l'ésulle, eu second li«Mi. In (h'diiclioii suivante :

Laposilioii relative affectée par les développantes j d partir du
point m et à gauche de ce point y est la même que celle qui lui cor-
respond dans les développées.

Les déductions formulées ci-dessiis peuvent se résumer comme
il suit :

Lorsque deux courbes ont entre elles un contact d'un ordre
quelconque supérieur au premier, selon que leurs co^irhures sont
toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes à partir du
point de contact et d'un même côté de cepoitit, la position rela-
tive des développées est Vinverse ou la même que celle des déve-
loppantes.

125. Le principe que nous venons d'établir implique comme
conséquences pkisi(>urs propositions applicables aux contacts des
ordres supérieurs et déjà démontrées pour le cas de l'oseulation
simple.

Observons d'abord que, dans le cas où le contact établi entre
deux courbes est d'un ordre quelconque supérieur au second, les
dévelojypées de ces courbes ont même courbure et se détachent,
par conséquent, d'un même côté de la normale. Il suit de là ([uc
les courbures des développantes, supposées variables à partir du
point de contact, sont généralement , toutes deux croissantes d'un
côté de ce point et toutes deux décroissantes de l'autre côté *.

Cela posé, puisque d'un côté du point de contact les positions
relatives des développantes et des développées sont les mêmes,
tandis qu'elles sont inverses de l'autre côté, il s'ensuit que si les
unes se coupent, les autres ne se coupent pas, et réciproquement.

S'agit-il maintenant d'un contact dun ordre quelconque n entre
les développantes? Le contact des déveloj)pées estdel'ordre n— 1.

Soit // =-5. Les développées ont entre elles un contact du second
ordre et, par suite, elles se coupent. Concluons que les dévelop-

* On ne perdra pas de vue qu'il s'agit du cas général et non des cas parti-
culiers qui correspondent soit à des maxima ou des miitima de courbure, soil
à des pdinis (rinCii'xiou , (\o rebroussenienl , etc.

( ^1^ )

panles no se coupent pas et qu'il en est i^c'néralement ainsi pour
tout contact du troisième ordre.

Soit n = 4. Les développées ont entre elles un contact du troi-
sième ordre et, par suite, elles ne se coupent pas. Concluons que
les développantes se coupent et qu'il en est généralement ainsi
pour tout contact du ([ualrième ordre.

Le même raisonnement constamment poursuivi conduit évi-
demment aux déductions suivantes :

1° En général, lorsque (Jeux conrhes ont entre elles uu contact
d'ordre pair j elles se coupent au point de contact ;

2° En général, lorscfue deux courfjes ont entre elles un contact
d'ordre impair, elles ne se coupent pas au point de contact.

Considérons une troisième courbe ayant, avec chacune des deux
autres et pour le même point, un contact quelconque d'ordre infé-
rieur à celui que ces courbes ont entre elles. Si cette troisième
courbe pouvait, à partir du point de contact rester com})risc entre
les deux autres, il est aisé de voir que sa déveloj)pée remplirait
la même condition par rapport à celles des deux premières courbes.
Soient, en effet, A, li, C les trois courbes que l'on considère; ?» leur
point de contact; A,, B, , C, leurs développées respectives. Le con-
tact des courbes A, B, étant au moins du troisième ordre, il s'ensuit
(pi'elles ont même courbure en m, et, conformément aux déduc-
tions du n" HO^'% page 210, qu'aucune courbe de courbure diffé-
rente ne peut passer entre elles. Par hypothèse la courbe C part du
point m et reste d'abord comprise entre les courbes A, B. Il faut
donc qu'elle ait en m même courbure que ces courbes et, par
conséquent aussi, même centre de courbure. Soit o ce centre:
les développées A,, B,, C, se touclient au point o, et elles sont
situées à partir de ce point d'un même côté de la normale mo *

' Celle proposition est évidente en ee qui concerne les couvl)es Aj , B, dont
le eonlaelen o est au moins du second ordre. Il est d'ailleurs aisé de voir que
si la développée Cj était située par rapport à la normale mo du coté opposé à
celui des développées A,, B, , la courbure de la courbe C serait croissante à
partir du point m du côté où les courbures des courl)es A, B sont toutes deux
décroissantes, et inversement. 11 serait donc impossible que la courbe C restât
d'abord comprise enli-e l<s coidIm's A, It.

( ÔI4 )

Rangeons les trois premières courbes dans l'ordre où elles se
succèdent, à partir du point m'. Si, comme on le suppose, la courbe
C reste, d'abord, comprise entre les courbes A, B, l'ordre corres-
pondant est A, C, B. Mais, d'un autre côté , la position relative des
développées est la même ou l'inverse que celle des développantes.
Il faut donc que l'ordre affecté par les développées, à partir du
point 0 soit A,, C,, B, ou B,, C, A,. De là résulte évidemment la
conséquence formulée ci-dessus.

Étendons cette conséquence aux développées successives des
courbes A, B, C. Soient A2, B.2, C^ les développées des courbes A,,
Bi, C,: Aj, B3, C3 celles des courbes A2, B^, C, et ainsi de suite. 11
est visible que si la courbe C ne peut rester comprise entre les
courbes A, B sans qu il en soit de même de la courbe Cp par rap-
port aux courbes A,, B, , la même conséquence s'étend de proche
en procbe à toutes les développées successives; la courbe C^ de-
vant rester comprise entre les courbes Ao, B.,, la courbe C5 entre
les courbes Ar,, B-, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à
une développée C„ dont le contact avec les développées correspon-
dantes A„, B„ ne soit plus que du premier ordre. Observons ici
que le contact des développées A„, B,; est nécessairement d'un
ordre égal ou supérieur au second. Elles ont donc même cour-
bure, et dès lor-; il devient imj)ossible que la courbe C„ dont la
courbure est moindre ou plus grande puisse passer entre elles. On
voit ainsi que Ihypotluse d'où l'on est parti implique contradic-
tion. De là résulte, en consécpienee, la conclusion suivante :

Enire deux courbes dont le contact est d'un certain ordre, on
7ien peut mener aucune ayant avec elles un contact d'ordre infé-
rieur.

Celte conclusion justifie ce que nous avons avancé au n" 121, en
disant du contact de deux courbes, (ju'il devenait de plus en plus
intime à mesure que son ordre s'éle\ail.

1*24. Considérons une coui'be plane A et l'cpréseutons par A,?
A2, etc., A„ ses développées successives.

Soit p le rayon de courbure de la coui'be A ; c, celui de la courbe
A,; p.2 celui dr la courbe A.,, et, ainsi de suite, p„ étant le rayon de

( -^r.^ )

coni'lniro (le la ooiirhc A„. 11 est entendu que tous ces rayons eor-
respondenl à ini seul et même point de la ronrhe A.

Si nous d('signons, par .s , la longueur d'un arc pris à partir d'un
point (juclconque m sur la courbe A, et, |)ar w, l'angle que la tan-
genle en ce point l'ait avec une droile fixe située dans le plan de
la courl)e, on a , géuf'i'alcjnent , pour le point m ,

(/.s

Imaginons, pour plus de simplicité, que la vitesse angulaii
3it assujettie à demeurer constante. Il s-ilTit de se rej)orter
)nsidérations du n" 7o, page 202, pour reconnaître que l'on

dairc (ho
soit assujettie à demeurer constante. Il s-ilTit de se rej)orter aux
considérations du n" 7o, page 202, pour reconnaître que l'on peut
écrire immédiatement

_ ç^ _ dh

°' "" ^ '~ ~(hr

(Ipi (Ps

et, en général,

' ' d:c dos'

_ dp^ _ d^

Mais, d'un autre côté, si l'on rapporte la courbe A à des axes
coordonnés rectilignes, et qu'on représente son équation par

y = /».

il est aisé de voir que les différentielles du et f/"+' .s dépendent ex-
clusivement : la première, de l'abscisse x et des dérivées /'(x),
f'"[x)', la seconde, de ces mêmes éléments et, en outre, des déi'ivées
suivantes f"'{oc)^ /"W^ ^^^-^ jnsques et y compris celle de 1 ordre
n -t- 2, /'" + -(x).

Cela posé, s'agit-il d'une autre courbe, ayant pour ('quation

et susceptible de contracter avec la première un contact de l'ordre
n -+-2? Les développées successives, qui se correspondent de part

( ÔIO )

et (raulro, devroul avoir nu-mo rayon de eoiirljure jnsques et y
compris celles de Tordre ??. La conséquence est que. pour une même
valeur altrihuée à la variable x et correspondante au point de
contact des deux courbes, on devra satisfaire, en même temps,
à toute la s<'rie des équations simultanées.

.i,r) = f{x},

f+\x) ^ r"^%x).

La réciproque est d'ailleurs évidente.

Les équations qui précèdent étant au nombre de ;? h- H, il s'en-
suit que, j)our établir un contact de Tordre n -a- i2, entre une
courbe quelconque A et une courbe B d'un genre déterminé, il
faut, e)i cjênéraly ([uc Té(iuation la plus complète de la courbe 15
comporte au moins n -+- 5 constantes arbitraires. Lors(|ue la
courbe lî est une section conique, les constantes arbitraires sont
tout au plus au nombre de cinq. On voit, par là, que le contact
de Tordre le plus élevé, qu'on puisse établir, (ji'néralenieut, entre
une courbe quelconque et une section conique, est un contact du
quatrième ordre. Suivant les différents cas, cette section est une
ellipse, une Inpcrbole ou une parabole. La note A })lacée plus
loin, h la suite du n" I2C, montre comment ce curieux problème
peut se résoudre par voie purement géométrique.

Procédé mixte.

12;). Soient A ci A' deux courbes ayant entre elles un contact
de Tordre // -f- 2 ; m le point où ce contact a lieu ; o, o' les rayons de
courbure qui se corresj)ondent pour des points déterminés, de part
et d'autre, par une même direction langenlielle,

( 517 )

En désignant par p,, p., etc., /?„ les rayons de courbure qui cor-
respondent au rayon p, pour les développées successives de la
courbe A, et i)ar p\, p'2, etc., p' „ ceux qui correspondent au rayon /;'
pour les développées successi>es de la courbe A', on a, générale-
ment,

<^pn~l , iffn

De là résulte

X , ï/(p,._, — p;,_,)

et, s'il s'agit en particulier du point m, où les courbes A, A' ont
ciilre elles un contact de l'ordre « -4-;2, (la vitesse angulaire ih
étant supposée constante comme au n" i^'i-)

d^

d{p\ — p't) d'ip — p')
d:o dcc-

d:o dw^

= 0,

d{p„^i — p,^i) d"'-^(p - p'}

= 0.

d^ dc<i'

■t-i

La différence p — p étant nulle en m , on sait qu'elle change de
signe en i)assant par ce point lorsque la première de ses différen-
tielles successives qui ne sannule pas est de rang impair, et
qu'elle n'en change pas lorsque cette même différentielle est de
rang pair. Cela revient à dire que le passage par le point m s'ef-
fectue avec ou sans changement de signe, selon que l'indice 11 est
pair ou imj)air. Mais, d'un autre coté, il est aisé de voir que les
courbes A, A' se (oupcnl au poini m, ou (ju'au contraire elles ne

( 518 )

s'y coii|jciil [)as, selon que la difïcri'iifc o — ;/ change ou non de
signe en passant par ce point. On peut donc poser imniédialemcnt
la conclusion suivante :

En (jénèrid, lor.s(/ue deux courbes ont enlre elles un contacl de
V ordre n, selon que r indice n esl pair ou impair, elles se coupent
ou ne se coupent pas au point oit le contact a lieu.

Considérons une troisième courbe A" ayant, avec chacune des
deux courbes A, A', et pour le même point m, un contact (picl-
conque dordre /j -+- ^ inférieur à celui que ces courbes ont entre
elles. Si Ion désigne par /', p"i, o^', etc., pour la courbe A ', les
rayons de courbure correspondants à ceux qu'on a désignés ci-
dessus par ,;, 0,, ^2, etc., pour la courbe A, et par o', p[, p'^, etc.,
pour la couibe A', il est visible que la position de la courbe A",
par rapport à chacune des deux autres, est relativement la même,
puisqu'elle est déterminée, pour lune, par le signe de la différen-
tielle ,

(1) (r'(o-p")-^/-^V-^^"''V''

pour 1 autre, par le signe de la différciitiellc,

(î2) d (O p ) = d 0 (/ p ,

et que l'équation

a (o — p ) = (/, p — d 0 =^ o,

implique l'égalité de> difrérentielles (1) et (:2).

])e là résulte la i)ioposilion déjà formulée ci dessus dans les
termes suivants :

Entre denx courhes dont le contact est (iun certain ordre, on.
n'en peut me/ter aucune ayant avec elles un contact d'ordre infé-
rieur.

( 510 )
Voit' u/iiili/tifuw.

{"IG. Soient A cl H deux coiirbos quelconques, situées (Unis un
même phui et rapportées à tin même système de eoordonnées. On
dit de ees courbes qu'elles ont entre elles un contact de Tordre n,
en un point déterminé m, lorsque les eoordonnées de ce point
satisfont en même temps aux équations des courbes et à celles
qui s'en déduisent par n dilTérentiations successives.

Supposons les coordonnées reciilignes, et les équations des
courbes ramenées h la forme

ij = f(x), .V = 'r(4

Si nous développons cliacune de ces fonctions, d'après la série
de Taylor, et que nous attribuions à la variable x la valeur cpii
correspond au point vi, les courbes ayant en ce point un contact
de l'ordre // , on a d'abord, selon la délinition,

f(x) = -fix) , f'(x) = ./(x), /-(x) -^ J-(x) .... fix) - /'(x).

et, par suite, conformémcjit à la fornuile (1) du n" 10, *

(1 ) f(x -+- h) - ç>(x + h) ^ ^- — ^ M, (1 - H)" [f"-^'{x-^rlw) — f"-^\x -i-hu)].

Observons ici que, par bypotlièse, la difFérence /""'*' * (x) — -/'^^{x)
n'est pas nulle et qu'en consé(juence, elle donne son signe à l'ex-
pression s}niboli([ue

]m1('1 — u)" [/'"-"-'(x -+- hi() — '/'-'(x -+- hu)],

non pas seulement pour /« = o, mais, en outre, pour toute valeur

de h qui ne dépasse })as, en grandeur absolue, une certaine limite.

Cela posé , il est visible que la différence f(x -+- h) — y(x -+- //)

* Voir au h('t>oiji If iv 16, page 4i.

{ 3i!0 )

change ou non de signe avec h, selon que lindiee n est pair ou
impair. Voici d'ailleurs la conséquence :

Les courbes A, D. qHi ont en m tf/i contact de l'ordre n, -se
coupent en ce point ou ne s'tj coupent pas, selon que F indice n est
pair ou impair.

Soit C une troisième courbe passant parle point m et a\ant en
ce point avec chacune des deux autres un contact d'un ordre p,
inférieur à celui (ju'cllcs ont entre elles. Si l'on représente par

l'équation de cette courbe on a, comme tout à llicure.

(2) V{x -\- h) - f{x -f- h)=^ ~ m1 (l— uY[f'''\x 4- hu) - f''-^\x -4- hu)]

\ir..p

et, en même temps,

r(a- 4- h) — .(a- -+- h) = 4,-^ ^^'' (1— '0"LF"'"'(x- -+- hu) — /-^'(x -t- hu)]

les dilTérences F''+' (x) — f''-^' (x), F"-^' (x) - -/+' (x), étant
égîdes et ne s'annulant pas.

Il suit de là que les différences F {x -\' h) — /'{x-i-h), et
V {x-^h) ~ 'j(x-hh), supposées nulles au ])oint ni, deviennent
en même tem})s toutes deux positiACs ou toutes deux négatives
au sortir de ce point. Ce résultat implique la conséquence sui-
vante :

Entre deux courbes dont le contact est d'un certain ordre on,
nen peut faire passer aucune aijani avec elles un contact d'ordre
inférieur.

Cette conséquence étant générale et pouvant s'établir à priori
pour un s}slème (pielconque de coordoiniécs, il en résulte imj)li-
citcment (|uc, si les conditions formulées ci -dessus comme celles

(521 )

du contact de Tordre n, sont remplies pour l'un de ces systèmes,
elles le sont en même temps pour tous les autres.

On remarquera que les courbes susce])tibles de contracter avec
une courbe donnée un contact de Tordre n doivent, en général,
comprendre dans leurs équations n -+- 1 constantes arbitraires.
Les plus simples sont représentées par l'équation algébrique

(4) y = a -\- hx -\- cx^ -h etc. -f- ;jx".

Si , d'ailleurs ,

est l'équation de la courbe donnée, et ([u'on désigne par x' Tab-
scisse du point de contact, on a la courbe cbercbéc en posant,
d'une part,

ij = a -^ h{x — x' ) -\- v[x — x' )' H- etc. ■+■ j)(x — x')",

et, d'autre part,

« = /{x'), h

fV) /•"(^')

•■/' =

r(x)

4 ' ' " 1.2 ••

\. '■>..<,

NOTE A.

SOLUTION GEOMETIUQIE DL PROBLEME AVAM POLR ENONCE :

Liant donnés vne coiirhe quelconque et Vvn de ses points, on
demande de délenniner, pour ce point, la section conicjue qui y
affecte avec la courbe donnée un contact du quatrii-ine ordre.

On connaît la solution donnée, pour ce problème, par M. Tran-
son *. Elle repose, en partie, sur Tcmploi de l'analyse infinitési-

* Vuii le Journal de Mal/icmuliquvs pures et appliquées, par J. Liouvillc,
tome VI . année TSil.
Tome XV. 21

( 522

maie. Nous voulons montrer ici comment on peut parvenir aux
mêmes résultats sans autre secours que celui de la géométrie élé-
mentaire.

Proposons -nous, d'abord, de rechercher quels sont, pour un
point quelconque m d'une section conique, les rayons de courbure
p' et p" qui correspondent à ce point dans chacune des deux pre-
mières développées.

Soient /' /"' les foyers de la section conique ; r, r\ les rayons vec-

Fig.5^

teurs fm , f'm ; mn la normale en m ;
mi la projection de la normale sur le
rayon vecteur fm ; 6 Tangle fmn.

Reportons-nous au n" 99, page 255.
En désignant, par w, w', les vitesses
angulaires des rayons vecteurs r, r'et,
par IV , celle de la normale mn, nous
avons trouvé,

/•o) = r w

2r'

Nommons %v' la Aitesse avec laquelle l'angle ê vaiie dans la rota-
tion simultanée des droites mf , mn. On a

U'

co — ÎV.

et, eu égard à l'équation (2),
(5)

r — r

ÎV' = oi.

2r'

Soit d le centre de courbure qui correspond au point m ; o le
rayon de courbure mo ; v' la vitesse du point o sur mo. Le rayon
de courbure qui correspond au poini o, dans la développée pre-
mière, étant déjà désigné par p', on a

p °^^-

( ^^^ }

On sail, d'ailleurs, que la projection tni de la uoiiiiale nui est
constante, et que, le centre o se projetant en g sur mf, le point g
se projette en ii sur mo.

Cela posé, si, sans rien changer d'ailleurs, le point i glissait
sur mg avec la vitesse îf, les droites nif\ mn touj*nant l'une par
rapport à l'autre avec la vitesse w', la vitesse du point n sur nio
résulterait de ces deux mouvements. La composante due au glis-
sement du point i sur mg serait évidemment

II

cosê

La composante due à la rotation w' correspondrait à une vitesse
de circulation qu'on peut représenter par nk ( k étant le pied de
la perpendiculaire abaissée du point i sur ng) et, en conséquence,
elle aurait, pour expression,

ik = nk . Ig 6 := mn . ic' . tg 6.

Appliquons ces résultats généraux à la détermination succes-
sive des vitesses qui animent en même temps le pointai sur mn^
le point g sur mf, le point o sur mo.

S'agit-il dabord de la vitesse du point n sur m)i? Le point l
demeurant fixe sur mf , on a u=^o et la vitesse cherchée se
réduit à

mn .'w' . tgg.

S'agil-il ensuite de la vitesse du poinl g sur mf? On a, pour
première composante,

u tnn . ir' . ^ C

~ = ~- =- mg . w . Ig 6,

eos 6 cos €

el, pour deuxième composante,

mg . w' . tg ê.

( 524 )
La vitesse ilierchée est donc égale à

Î2m</ . w/ . tgS.

S'agit-il, en dernier lieu, de la vitesse du point o sur mo. On a ,
pour première composante,

iimo . w' . la G

o " 5

il ))ig Av' Agf}

cos S " ' cos S

et, pour deuxième composante ,

mo . ?(;' . tg 6.
De là résulte

v'='ô . mo , lo' . tg S *.

Élevons en o, sur mo, une perpendiculaire, et prolongeons-la
jusqu'à sa rencontre en q avec la droite mf. Il vient

oq = ;>jo . tg 6 ,

et, par suite,

v' = 5 . 0^ . iv'.

Cette valeur transportée dans l'équation (4) doime

[/ = 5 . of/ . —

Si l'on paît de la foimulc

Ttii

mo

cos»S

où 7/ii est une quantité coiislanle, il suffit de diflerencier pour avoir immédia-
tement

.sin o , mi
Umo ~ u —o.ini. — -7- cr<-j — 5 , tg o . f/o ^ 5 . ?»o . îo . 1^' S .

COs*o C03O

( '2;; )

et, eu égard aux équations (2) et (3),

r — r

f

' r H- r'

Soit c le centre de la

conique. La droite mn étant bissectrice de

l'angle fmf, on a
et, par suite,

nf r

r' —

r nf — nf ne

r -+-

r nf-i- nf fc

Il vient donc aussi

(S)

ne

Tirons la droite me et prolongeons-la jusqu'à sa rencontre en o'
avec la droite qo.

La droite gn coupe, en h, la droite me et, en g', la droite mf\
Par le point y' menons les droites g'c, g' s respectivement paral-
lèles, la première à ff, la seconde à me. La droite g'e est coupée,
en son milieu a, par me. Tirons la droite af.

Les droites nf, g'e étant parallèles et le point n divisant (/^' en
deux parties égales, le point f est le milieu de ge. Mais, d'un
autre côté, le point a est le milieu de g'e. La droite af est donc
parallèle à la droite gg'. Il suit de là qu'il y a égalité entre les
deux segments /*«, ?ig' et, par conséquent aussi, entre les deux
triangles semblables /«c, w^'s. Concluons que Ton a

fc = })S.

On a d'ailleurs, d'après la figure,

ne nh nh oo' ^
ns ng' ng o((

En remplaçant ns par /r, il vient

?ie oo'
fc or/

( 526 )

et, siibstininnt dans 1 équation (5),

(6) p'==Z.oo\

Ce résultat peut s'énoncer comme il suit :

Soient o le centre de courbiire qui correspond au point m d'une
section conique, et c le centre de cette courbe. Si l'on élève en o une
perpendiculaire sur la normale mo et qu'on la jjrolonge jusqu'à
sa rencontre en o' avec la droite me, le rayon de courbure Cfui
correspond cm point o de la développée est égal en grandeur au
triple du segment oo'.

Partons de la donnée qui nous est fournie par l'énoncé précé-
dent et cherchons le rayon de courbure p" qui correspond, dans
la développée seconde, au centre de courbure de la développée
première.

Si l'on désigne par r" la vitesse du point o' sur la droite oo\ on
a d'abord ,

v"
(7) /• -

IV

Soit oc l'angle omo', En représentant par ; le segment oo', on a,
d'après ce qui précède,

p == 5>,

p w

ôHv<

00 ).

mo p

La vitesse du point m dans la rotation établie autour du centre o
est pw. Il s'ensuit que la vitesse de circulation
de ce même point est exprimée par pu\ cos a,
lorsqu'on le considère comme restant sur la
droite me et qu'on assujettit cette droite à
tourner autour du point c. On déduit immé-
diatement de là que la vitesse de circulation
du point o', autour du centre c, a , pour expres-
sion ,

co

p .IV . cos a.

cm

( 327 )

Dïin autre côté, si Ton considère le point o' comme rcslant sur
In droite no\ il est nnimc, par rapport à cette droite, d'une vitesse
de circulation qui résulte de deux composantes distinctes, l'une
égale à v' = p'îv = o)w, l'autre égale à Uv. Cette vitesse est donc
représentée par

ixw *.

Elevons en o' deux perpendiculaires, l'une o'd sur o'Cj l'autre
o't sur o'o. Prenons, sur la première,

0 II = pic . COS a.

cm

et, par le point hj menons la droite hl parallèle à o'c.
Prenons, sur la seconde.

o't = 4/ltr

et, par le point ty menons tl parallèle à o'o.

Soit / le point de rencontre des droites hl, II. D'après la règle
du quadrilatère des vitesses, le segment o7 représente en direc-
tion, sens et grandeur la vitesse totale du point o'. Concluons que
la vitesse cherchée v" est représentée par It.

Cela posé, on a, d'après la figure,

co'
o'd = o't sin a = 4>.ir sin « = oli -+- hd = pw — cos a -+- /« c os a

cm

De là résulte

f co'l Iki^ co'\

It = r" = 4a ta; a — p — 1 w = I p — \iv,

L cmJ \ p cm/

* Il est aisé de voir que les composantes Tilw et ytv sont toutes deux de
même sens et qu'en conséquence elles s'ajoutent.

(528 )
et, par suite, eu égard à l'équation (7),

(8 P=-û p — .

L a cmJ

Prolongeons oo' d'une longueur égale o'o", et tirons les droites
cOj mo". Soit A le point où la droite o'A, menée par le point o'
parallèlement à co , vient couper la normale mo. Soit, en même
temps, B le point où la perpendiculaire, élevée en o" sur mo" ,
vient couper cette même normale. On a, d'après la figure, d'une
part,

et, d'autre part,

CD co

oX = mo — == p — 5
cm cm

2

oo" 4/-
mo p

11 vient donc , en substituant ,

p" = 5 [oB — oA] = 5 . AB.

* Si, toutes choses égales d ailleurs, le point / tombait à droite du point /,
l'équation (8) ne cesserait pas de subsister pourvu qu'on y changeât le signe
de la quantité p". Cette circonstance correspond au cas où le rayon p serait
croissant dans le déplacement que l'on considère, les positions relatives des
points m, c, o' restant d'ailleurs les mêmes.

On reconnaît aisément que, dans le cas de l'ellipse, les points c et o' sont
tous deux d'un même côté du point m, tandis que, dans le cas de l'hyperbole,
ils sont situés , l'un à gauche, l'autre à droite de ce même point. On voit aussi ,
pour le cas de rellii)se, qu'au lieu d'être plus rapproché du point m que le
point o', le point c peut s'en éloigner davantage. De là résulte un changement
de signe portant sur la quantité cm, dans le cas de l'hyperbole, et sur la quan-
tité co', lorsqu'il s'agit de l'ellipse, et que le point o' se trouve placé entre les
points m et c. Rien d'ailleurs n'est modifié dans les déductions ultérieures. On
observera seulement que le trinôme 4/3'*-t-9/3- — Zpp" devient négatif dans le
cas de l'hyperbole et qu'en conséquence il l'nut changer son signe.

(520 )
Ce résultat peut s'cnonocr comme il suit :

Soit 0 le centre de courbure qui correspond au point m d'uîie
section conique ; e le centre de cette section ; o' le point de la
droite me qui se projette en o; o" le point de la droite oo' sittié de
l'autre côté du point o' à la distance o"o' = o'o. Si , après avoir
tiré les deux droites co, mo", on mène parle point o' une parai -
IMe à la première, et par le point o" une perpendiculaire à la
seconde, puis qu'on prolonge ces deux dernières droites jusqud
leurs rencontres en A et B avec la normale mo , le rayon de cour-
hure, qui correspond da?is la deuxième développée au centre de
courbure de la première, est égal en (jrandeur au triple du seg-
ment AB.

Abordons et résolvons maintenant le problème proposé. On
connaît, par bypotlicse, le point m, le centre de courbure o, les
rayons de courbure p, p', p". On sait, en outre, de quel côté de la
normale mo est situé le centre de courbure de la première déve-
loppée.

Cela posé, voici comment on peut procéder.

On élève en o , sur la normale mo , une perpendiculaire située
du côté opposé à celui du centre de courbure qui correspond au
point 0 dans la première développée. On prend sur cette perpen-
diculaire les deux points o', o", déterminés l'un et l'autre par
l'équation de condition

00 = 00 = -^ p .

5

On élève en o", sur la droite mo", une perpendiculaire que l'on
prolonge jusqu'à sa rencontre en B avec la normale mo.

A partir du point B, on porte sur la normale mo, dans le sens
Ylm , une longueur BA égale au tiers du rayon de courbure o".

Le point A se trouvant ainsi déterminé, on tire la droite Ao' et,
par le point o, Ton mène une parallèle à cette droite. Le point c
où cette parallèle vient couper la droite mo' est le centre de la
c()!ii(iue cherchée.

Scion que le centre r se trouve placé, par rapport au point m^

( 550 )

du même côte que le point o', ou qu'au contraire il est situé du
côté opposé, la conique cherchée est une clli()se ou une hyper-
bole.

Lorsque le point A tombe en m j ou, ce qui revient au même,
lorsque le segment >»B est précisément égal au tiers du rayon de
courbure p", la conique cherchée est une parabole.

En résumé, on a une ellipse, une hyperbole, ou une parabole,
selon que le segment mB est supérieur, inférieur ou égal au tiers
du rayon de courbure p".

Nous venons de voir comment on obtient le centre de la conique
cherchée; comment aussi 1 on reconnaît si cette conique est une
parabole, une ellipse ou une hyperbole. Pour compléter la solu-
tion géométrique il ne resle plus qu'à montrer comment la con-
struction s'achève dans chacun des trois cas qui peuvent se pré-
senter.

Considérons, en premier lieu, le cas de la parabole.
Le segment désigné par oq ne diffère, en ce cas , du segment oo'
p. ^j que par la position. Il s'ensuit qu'il est égal au tiers du
;,, rayon p'.

Le point q se trouve ainsi déterminé. On sait, d'ail-
leurs , que le fo} er fcsl situé sur la droite mq, au milieu
7^>l(j de l'intervalle compris entre le point m et la projection g

du centre de courbure o.
Projetons le point g en ?i sur la normale mo. La droite fn est
l'axe principal de la parabole.

On connaît ainsi le point m, le foyer /', Taxe principal /ii.Tout
est donc déterminé dans les conditions les plus simples.
Considérons, en second lieu, le cas de l'ellipse.
Soit p la perpendiculaire abaissée du centre c sur la tangente
Fiçj. 5S. en m. On a, conformément à l'équation (10) du
/ n" 108, page 280, *

f

p . 0 = a -.
Delà résulte la détermination du demi-diamètre a'.

Le produit du rayon de courbure par la perpendiculaire abaissée du

( o51 )

Sur la iiorninle nio prenons vmc longueur uiin' égale au demi-
(liamèli'e ((\ et, sur le milieu du segment m'c, élevons une perpen-
dienlaire.

Soit ?i le point où eette perpendieulaire vient rencontrer la tan-
gente en m. Du point u connue centre, avec la longueur //r=î«n'
prise pour rayon , décrivons la demi-eirconférence tcm't', et tirons
les cordes te y t'c.

L'angle tct' est droit et l'on a, par construction ,

2

mt . mt' ^ mm' = a'^.

Concluons, conformément au théorème rappelé dans la note
du n° 108, page 281, que les axes principaux de l'ellipse cherchée
sont dirigés respectivement, l'un suivant ct\ l'autre suivant et *.

Sur ino, pris pour diamètre, décrivons la demi-circonférence
mgOy et, par le point n situé à la rencontre de la normale mo
avec l'axe ct\ élevons sur mo une perpendiculaire. Le point, où
cette perpendiculaire vient couper la demi-circonférence mcjOj est
évidemment celui que nous avons désigné ci-dessus par g. Il en
résulte que le foyer de l'ellipse cherchée se trouve en f, h la ren-
contre des droites mg et cf.

On connaît ainsi le point m , le foyer /"et le centre r. Tout est
donc déterminé dans les conditions les plus simples.

Remarque. — On sait, conformément au dernier théorème énoncé
dans la note du n" 408, page 284, que la projection du segment
mm' sur le rayon vecteur fm est égale au demi-axe principal h **.

centre sur la tangente est égal au carré du demi-diamètre parallèle à cette
même tangente.

' Le produit des segments interceptés sur une même tangente, entre le
point de contact et deuxaœes quelconques conjugués , est constant. lia, pour
expression éciuivalente , le carré du demi-axe parallèle à la tangente, ou,
ce qui revient au même, le produit du rayon de courbure par la perpendi-
culaire abaissée du centre sur la tangente.

** S/ Fon porte sur la normale une longueitr égale au demi-axe qui lui

( 552 )

On sait aussi que la projection de la normale mn sur ee même
rayon vecteur a, pour expression générale,

6«

a étant le demi-axe principal dirigé suivant la droite des foyers.
Considérons, en dernier lieu, le cas de lliypcrbole.
PI ;.Q^ On a, comme pour l'ellipse,

f- — >° Sur la droite me déterminons le point ?«M'après

la condition

mm . me = a

p.p.

Soit il le point où la perpendiculaire élevée sur me, par le
milieu du segment m'c, vient couper la tangente en m. Du point it
comme centre, avec la longueur uc = ti)n' prise pour rayon, dé-
crivons la demi-circonférence icm't' et tirons les droites te, t'e.

Il est visible, comme tout à l'heure, que les axes principaux de
l'hyi)erbole cherchée sont dirigés respectivement, l'un suivante/',
l'autre suivant et. La construction s'achève ensuite de la même
manière que pour le cas de l'ellipse.

Veut-on procéder par voie de calcul? En désignant, par 6', le
demi-axe cm et, par a', son conjugué, l'équation (8), où l'on peut
remplacer co par la différence mo' — me, donne d'abord

//

mo . p

4).'

p ■+-

est perpendiculaire, et qu'on projette cette longueur sur le rayon vecteur
mené par l'un des foyers, la projection est constamment égale au demi-
axe h.

( 553 )
puis, substituant à / ctà »io' leurs valeurs respectives ^ , ^ f ^- f ^)'

fkp'^ -\- V — 5/:3"

Ou a, d'ailleurs,

h' ôpb'

p = 6' cos a =

et de là résulte

a =Vp.p==.

ôp^

Dans le eas partieulier où l'on a

^i-p'- -4- 9p"' — Ùpp" =^ 0,

la eonique eherchcc est une parabole, et l'on ne peut plus faire
usage de l'équation

a'-=po.

Ce cas, le plus simple de tous, se résout coinnic nous l'avons
indiqué ci-dessus. "Les déterniinalions numériques qui correspon-
dent à cette solution n'offrant aucune difliculté, nous n'insiste-
rons pas davantage.

* Lo cas de riiy|)Cil)ole coiTespoml à celui où le U-inùme placé sous le signe
(lu radical est négalif. Il faut alors changer le signe de ce liinônie.

( 554 )
CHAPITRE Mil.

COURBES \ DOUBLE COURBURE.

Conaldérulions géométriques sur la génération des courbes
dans l'espace.

127. Considérons le double mouvement d'un point u et d'une
droite D, le point glissant sur la droite et la droite tournant
autour du j)oint, tous deux incessamment.

Soit m le lieu occupé par le point f/. à un instant quelconque
déterminé. Lorsque le point /u. sort du lieu m, la directrice D
tourne autour de ce lieu et les \ilesses de ses différents points
sont toutes dirigées dans un seul et même plan. Soit P ce plan.
Cela revient à dire que la droite D tourne autour du point /u, dans
le plan P. 11 s'ensuit que ce i)lan remplit par rapport à cette
droite un rôle tout à fait analogue à celui qu'elle remplit elle-
même par rapport au point y.. Eu égard à cette analogie, nous
désignerons le plan P sous le nom de Plan directeur.

Le plan directeur étant assujetti à passer cojistamment par la
directrice, deux cas sont possibles, selon qu'il reste (ixe ou qu'il
change incessamment de direction.

Dans le premier cas, le point y. se meut dans un seul et même
plan. Sa trace est donc plane.

Dans le second cas, le plan directeur tourne autour de la direc-
trice en même temps que la directrice tourne autour du point u,
et comme ces deux rotations sont, en général, incessantes, il
s'ensuit qu'il n'est aucune partie de la trace du point y. qui puisse
demeurer plane. A la courbure qui subsisterait seule, si l'on sup-
primait la rotation du plan directeur, s'ajoute, en chaque point,
une sorte de torsion désignée sous le nom de deuxième courlmre.
De là vient la dénomination de courhes à double courbure donnée

( 55o )

aux courbcs.^qui ne sont planes sur aucune partie de leur
étendue.

Soit V la vitesse du point y. au sortir du lieu m. A cette vitesse
du point p. correspondent deux vitesses angulaires simultanées,
l'une îD , l'autre ic' ; la première est celle de la directrice D autour
du point y-, la seconde, celle du plan directeur P autour de la di-
rectrice D.

La vitesse v est dirigée suivant la droite D. Elle dépend de la
position que cette droite affecte à l'instant que Ion considère. Les
rotations établies, l'une autour du point p., l'autre autour de la
droite D, ne modifient en rien sa détermination actuelle.

La rotation iv est établie autour du point f/ dans le plan P. Elle
dépend, quanl à sa direction, de la position que ce plan affecte à
l'instant que l'on considère. L'état de mouvement qu'elle commu-
nique aux différents points de la directrice D n'est modifié en
rien par la rotation du plan P autour de cette droite.

La rotation iv' est établie autour de la directrice D. Elle est
sans effet par rapport aux différents points de cette droite. Les
vitesses qu'elle communique aux autres points du plan P sont
toutes normales à ce plan et respectivement proportionnelles aux
perpendiculaires abaissées de ces points sur la directrice.

('onsidéré par rapport à la courbe à double courbure engendrée
ou décrite par le point ;/, le plan P prend le nom de plan oscilla-
teur. De tous les j)Ians menés pur la directrice il est évidemment
celui qui se rapproclie le plus de la courbe dans le ^oisinage du
point m, lieu actuel du point y..

La tangente en ni coïncide avec la position correspondante de
la directrice. Le plan mené par le point m perpendiculairement à
cette droite prend le nom de plan normal. Ce plan est le lieu des
normales menées par le point m. Parmi ces normales il en est
une qui se distingue des autres, c'est la normale située dans le
plan oscillateur. On la désigne sous le nom de normale princi-
pale.

Concevojis que le point f/ soit lié à la normale principale, et
qu'il sorte du lieu m en entraînant cette droite avec lui. Deux
états de mouvement !-imultané& et distincts animent la normale

( 300 )

principale. Le premier est identiquement le même que si le plan
osculatcur demeurail fixe dans la position qu'il affecte au point m
et que, d'ailleurs, rien ne fût changé, ni dans la vitesse r du
point f/, ni dans la rotation w de sa directrice. 11 détermine la
courbure proprement dite dans les mêmes conditions et de la
même manière que pour le cas des courbes planes. Le second
résulte exclusivement de la rotation îv établie autour delà direc-
trice du point f^. II détermine ce qu'on nomme la deuxième
courbure. Son effet, relativement à la normale principale, est de la
faire tourner autour du point [j. dans le plan normal et dimprimer
ainsi, à ses différents points, des vitesses perpendiculaires à celles
qui résultent de la rotation établie, dans le premier état, autour
du centre du cercle osculateur.

1 28. Les détails dans lesquels nous venons d'entrer constituent ,
dans leur ensemble, la base géométrique de la théorie générale
des courbes à double courbure. Ils mettent, d'ailleurs, en évidence
les résultats suivants :

La courbe à double courbure est la trace d'un point cjui se meut
sur une droite et dans un plan mobiles ^ le point glissant stcr la
droite tandis que la droite tourne autour du point et le plan
autour de la droite, tous trois incessamment.

Soit /u. le poiut décrivant, D la directrice de ce point, P le plan
mobile.

Le plan P prend le nom de pla."v DniECTEUii, ou celui de plan
OSCULATEUR , suivuut qu'on le considère par rapport à la directrice
du point décrivant, ou par rapport à la courbe décrite.

La directrice du point /u est, relativement au plan mobile P, la
droite qu'on désigne, en général, sous le ?w}n de caractéris-
tique.

La courbe décrite par le point ^ est l'enveloppe des positions
successives de la droite D.

Le point fx étant supposé fixe sur la nomade principale et
celle- ci se mouvant avec ce point , le (entre du cercle osculateur

est le point de la normale principale dont la vitesse résulte ejccla-
sivement de la rotation établie autour de la directrice du point v..
// se distingue, généralement , du j>oim ci-.ntkal, eelui-ri étant le
point de la normale principale dont la vitesse est la plus petite
eu (grandeur absolue.

Irniisporloiis, on \\n nièiiic point ui , ia vilcssc v du poiiil fx (>l la

/'Vf/ 00 vitesse u du centre du cercle oseulateui". Rej)ré-

.^, sentons la |)i'eniicrc par mt , la seconde par mn.

|^\ L'angle )imt est droit. Tirons l'Iiypoténuse ///, et

^^'^ désignons, par p, le pied de la j)ei'pendicu]aij"e

abaissée du point m sur cette hypoténuse.

La vitesse du point central est représentée par la perpendicu-
laire mp.

Le point central est situé sur le segment compris entre le point
décrivant et le centre du cercle osculateur, de manière à diviser
ce segment comme le point p divise l'hypoténuse in.

Désignons, par v', la vilesse du point central; j)ai* o, le ra\on de
première conrbui'c; par e, la dislance con)i)rise outre le jjoint cen-
tral et le centre du cci'cle osculateur. On trouve aiséjnont

u . l'

(I) y' = —

)/u' + v'

u' / r

^ ^ u-h v^ \ r

v' I r

^ «- -+- v^ \u

ïoML XV. ^*iii

{ ô.vs )

Fonniiles élémenlaire.s de (a (jéoinébHe à trois dimensions.

\i>[). Nous admettrons, dans ce qui suit, que les lignes considé-
Fif/. 61. l'ces sont rapportées à trois axes coordonnés rectan-
gulaires OX , OY, OZ.
^^ Soit, d'abord , une droite ({uelconque D, ayant, pour

^ équations,

oc = az ~h lij ij ^=ihz -\- i ,

Sur la droilc D, prenons une longueur nm égale à l'unité, et
projetons cette longueur sur chacun des trois axes OX, OY, OZ.

En désignant, par y, l'angle que la droite D fait avec l'axe OX , la
projection , sur cet axe ^ de la longueur mn est cos a..

On a, de même, cos ê et cos y, pour projections de la longueur mn
sur les axes OY, OZ,^^ et y étant les angles que la droite D fait
avec ces axes. De là résulte, en premier lieu,

(I) cos^ a -4- cos''' 6 -4- cos"^ r = 1 •

On voit d'ailleurs aisément que les paramètres a et h ont res-
pectivement, pour \aleurs,

cos a , cos S

(2 « = , 6=

cos r tîos y

De là, et eu égard à l'équation (1), résulte en second lieu,

a b A

^5). cos « = ; cos (j =^ ; COS y

ya'-h-b'-^ï )/a^-^b'-\-i j/a^H-^-H-l

Soit une seconde droite D', ayant, pour équations,
X =^ u'z -+- li'j y = b'z -*- î',

( 5r>ii )

et faisant, avec Jes axes OX , OY, OZ, desaiii^lcs i'C})réscnlcs res-
pectivement par y, 6', y'.

Si Ton désigne, par co, l'angle des droites J), I)', et (pie l'on
prenne, à partir du point m, sur une parallèle à la droite D', une
longueur mn égale à l'unité, il vient

nn' = '-2[{ — eos co],
et, comme on a, d ailleurs,

7in' == [cos a — eos a']- -+. [cos ^ — cos ^'f'-h- [cos y — eos y'f
= 2 [1 — cos >x cos a' — cos ê cos ê' — cos y cos y'],

il en résulte évidemment

(4). . . cos w = cos a cos x' •+- cos C cos S' h- cos y cos y'
aci -+- hb' -\- 1

y{a'^ b'^ i) (a" -^ b" -i- i)

Supposons les droites D, D' rectangulaires. L'équation (4) donne,
pour relation correspondante à cette liy})Othcse,

(5). . cos a COS a' -+- COS o COS Ô' -+- COS J' COS y' = 0 ,

OU, ce qui revient au même,

(0) ua' ■+- bb' -+-1=0.

130. Soit un planP, ayant, pour équation,

(1) Ao; -t- B?/ H- Cr = D.

Désignons, par ^, un point mobile assujetti à glisser dans le
plan P; par m , le lieu du point p. à l'instant que l'on considère;
par n, un point quelconque de la perpendiculaire élevée en m sur

( ')io )

le plan V; par I , u ^ v, les coordonnées du point u ; par 11, la
distance du point fixe n au point mobile ju.. On a, généralement,

(2). . . . {t-xY^-{a-i/f + {v-zf = K\

X, y, z étant les coordonnées du point f- , et satisfaisant, en consé-
([uence, à Téquation (I).

Lorsque le point fx. sort du lieu ui, eVvst suivant une certaine
direction et avec un ccj'tain degré de rapidité. Ouclle (juc soit la
vitesse ainsi déterminée; quelles que soient ses trois composantes
<lx, (hfy dz; cette vitesse est dirigée perpendiculaircjnent à la
droite ;<;/, et l'on a , par conséquent,

dK = 0.

Supposons que le })oint ju. se déplace parallèlement au j)laii
des xz. Différenciées, dans cette hypothèse, les équations (1)
et (i2) donneni

Adx -\- Cdz = 0 , ( / — x) dx -h- {c — z) dz = o,

et. par suite,

(5) t-x = -^^(v-z}.

On trouverait, de même, en supposant ipic le point ^ ^orle du
lieu ni parallèlement au plan des yz,

B

W ^f--y = -^{^' — ^)'

Les équations (5) et (4) s'appliquent, in<lifféremment, à toutes
les positions qu'on peut assigner au point n sur la normale en m
au plan P. Il s'ensuit ([u'elles sont les èquallons de cette même
71 arma le.

Voici d'ailleurs les conséquences :

Soil 1) une droite quelconque, ayant, pour équations.

j( = uz -+- A , y z=^l)z -\- i.

( ^''-1 )

N'cnt-on que rctlc di'oitc soil porpendicnlaire au pian I*? Il l'.nil
que l'on ait, conrorniément h ce qui précède,

(3]

A

B

a == — )

h =

C

C

Veut-on que la droite D soit parallèle au plan P? Il faut ((ue la
normale à ee i)lan lui soit perpendiculaire. Cette dernière condi-
tion exige que Ion ail, conformément à la formule (()) du
u'I'i!),

(fi) Xa +U ~i-C:=o. *

Telle est donc aussi la condition du parallélisme entre le plan V
et la droite D.

Soient ). , v. , y les angles que la noruialc au plan P fait avec les
axes OX, OY, OZ. On a, conformément aux formules (3) du
n' 12t),

A B C

(7) cos ;. :=---- — — , cos y. = - , cos V

Klant donné un second plan P', ayant, pour é(|ualion,

A'x-f- B'/y -^C'^ = D',

désignons, par -,, l'angle des plans P, P'. On sait que l'angle de
deux plans est celui (jue font entre elles leurs normales resj)ecii-

* Autrement et directement. Le point // glissanl dans le plan P, los com-
posantes (lo sa vitesse satisfont à Téquation

Af/.r -t- D<v -+- Cf/:; = 0.

Supposons la droite I) parallèle à la direclion suivie par le point y-. On a

dœ du

De là résulte, en substituant,

( Si^ )

VOS. De là résulte, ou ('gard l\ ce ([ui précède et conformément à
la formule (4) du u" 1:20,

AA' -+- BI3' -+- ce
(8). '. COS.

l/(A- -+- B--t- C-) (A'- -+- B'- -+- C'-)

Il s'ensuit que In condition à remplir pour la perpendicularité
des deux plans P, P' est exprimée par l'équation

(9) AA' -4- BB' -4- ce = 0.

Reprenons la droite D et supposons-la quelconque. Si l'on dé-
signe, par&j, l'angle qu'elle fciit avec la normale au plan P, il vient,
en général, conformément à la formule (4) du n" !'29,

Aft -+- B6 -+- C

(10) . . cosco =

Comlilions analytiques du mouvement d'une droite dans
l'espace.

loi. Lorsqu'une droite se meut, on n'altère pas les vitesses
de ses différents points en établissant autour de la droite une
rotation quelconque. S'agit-il, seulement, des positions qu'une
droite mobile, considérée comme ligne indéfinie, prend successi-
vement dans l'espace? S'agit-il, en même temps, des équations de
cette droite? On ne change, en rien, ni ces positions , ni ces équa-
tions, en assujettissant la droite à glisser, comme on veut, sur
elle-même. Cette observation ne doit pas être perdue de vue dans
les différents cas d"ap])lication.

Jetant donnée une droite qui se meut dans l'espace, désignons-
la pni' D' et plaçons-nous à linslant précis où elle sort d'un des
lieux (iirelle occupe successivement. Soient

(1) x =^ az -h h , y =z t)Z -+- i ,

les équations du lieu orîiipé |)nr la droite 1) à l'instant que Ion

considère. Les paramètres , «, (),/i , i dépendent, en général, d'une
seule et même variable, et chaque valeur de cette variable déter-
mine une position correspondante de la droite mobile.

Prenons dans l'espace un plan quelconque P, supposé fixe, et
ayant, pour équation,

Ax -^ By -i- Cz = 0.

En désignant, par co, l'angle que la normale à ce plan fait avec
la droite D, on a , en général ,

Aa 4- B6 + C

COS co =

l/(a- -4- b- -+- 1 ) (A- H- B- -+- C-)

Delà résulte, pour le cas particulier où le plan P est pris pa-
rallèle à la droite D,

(2) . . A«-+- U 4- C = o,

et, par suite,

Ada ■+■ Bdb
rfty = •

l/(ft2 4-62-t-|)(A--4-B^-t-C-)
Posons

(3) Ada •+- Bdb = o.

Les équations (2) et (5) suffisent à la détermination du plan P.
La première exprime que ce plan est parallèle à la droite D : la
seconde, que la vitesse angulaire ((co est nulle à l'origine du dépla-
cement considéré, c'est-à-dire que la droite D sort du lieu qu'elle
occupe, sans prendre, d'abord, aucune inclinaison par rapport à
ce plan.

Ce résultat peut s'énoncer comme il suit :

Lorsqu'tnie droite sort du lien fju'eUe occupr , c'est j d'abord,
eu restanf puriiUèle à un plan déterminé.

On V()it,(l';iilleiii'>.f|ircn re[)ivs(MUant, par

I ('(jnali(^ij (le ('<> |)Ian. (M par

X r=: az -+- Il , ij = 6r -h / ,

les écpiafions coi rospondantes de la droite mobile, on a, pour
Ji\ei' la diiTclion du plan dont il s'ap;it. les deux équations simul-
tanées

(/i) Aft -+- Bt -4- C = 0 ;

(:')) Ar/rt -t- Bclh = 0.

L'équation (4) exprimaut qu'il y a parallélisme entre le plan P
et la droite D, on observera qu'il suffit de la différeneier, par rap-
poi't aux deux variables a et b , pour exprimer que le parallélisme
subsiste à l'origine du déplacement de la droite mobile , et obtenir
ainsi l'équation (5). Ce procédé plus rapide et plus simple n'est
pas moins rigoureux que le précédent.

132. Lorscjuc la droite D sort du lieu qu'elle occupe, deux cas
sont possibles, selon qu'elle tourne autour de son point central
supposé fixe, ou que ce point n'étant pas dépourvu de toute vi-
tesse de circulation, une pareille hypotbèse est inadmissible.

Considérons, d'abord, le premier de ces cas, et observons que, si
le point central avait une Nitesse quelconque dirigée toute entière
suivant la droite 1), il sulïirait, pour annuler cette vitesse, de
l'imprimer, en sens contraire, à tous les points de la droite mo-
bile.

Cela posé, si nous différencions les équations (!) du n" ni, en y
considérant les Naiiables x, y, z comme étant les coordonnées du
point central, nous devons égaler à zéro cliacune des trois com-
posantes (Ix , r/?/, (h. On trouve, ainsi, que l'ordonnée r du point

( 545 )
central (li)lt sntislaire, on mémo temi)S, aux deux é(|uations
(I). . . . zda -+- dh ^^ 0, zdb ~\- dî = o *.
li faut doue que l'on ait nécessairement
dh di

c^) -^-li.^

ou, ce qui revient au même,

(5) dh . dh — da . di ^= o.

Les équations (i2) et (ô) expriment la condition analytique qui
doit être satisfaite pour que l'état de mouvement delà droite D soit
réductible à mie rotation simple autour de son point central.

Cette condition reconnue nécessaire est, en même temps, sufll-
sante. Cela rc'sulte, évidemment, des considérations qui précèdent.
Veut-on, d'ailleurs, le démontrer sans s'appuyer sur ces considé-
rations? Guy parvient aisément, connue il suit :

Ueprenons les éfjuations de la droite 1)

(i) X =^ az -\- J( y y =- hz -\- i,

elles donnent, en général, pour éipiations dilîéreulielles corres-
pondant(\s,

(5). . dx = adz -4- zda -+- f///, dij ■= hdz ~\- zdh -v- di.

Supposons que l'équation (^) subsiste, et considérons, en par-
ticulier, le point de la droite 1) qui correspond à lordonnée

dh di

<'•") '--^r-ii,-

* On pni'viciit à ces mémos ôqnalioiis on sVn tonanl aux dôtluclions sui-
vnntos:

Lorsque la choit e mobile sort du lieu qu'ollo occupe, on tournant autour
d'un do SOS points, co point peut cire considéré comme fixe à l'origine du
doplacemenl quo Ton considère. Jl faut donc que ses coordonnées salist'assont
;in\ e(pialinns dilïoronlicllos de \\\ droite, lorsfpi'on y pose flr = o , r/// = o

( '"^i^J )

Eu égard aux é(Hiations (ii), on a, pour ce point,

(7) dx= adz , dij = hdz ,

et, comme on peut poser r/r= o, [juisqu'il sufllt pour cela d'im-
primer à la droite I) un certain glissement sur elle-même, on voit
quil vient, en même temps,

dz = 0, dx == Oy % = 0.

Il suit delà que le point, détermine par l'équation (6), peut être
considéré comme fi\e et, dès lors, cest par rotation simple autour
de ce point que commence le déplacement de la droite au sortir
du lieu qu'elle occupe.

On parvient au même résultat en mettant en évidence ce qu'ex-
priment les équations (7), à savoir, que la vitesse du point déter-
miné par l'équation (G) sur la droite D, est dirigée tout entière
suivant cette droite. En effet, si l'on désigne, par V, cette vitesse,
et, par a', //, /, les angles qu'elle fait avec les axes OX, OY, OZ,
on a , d'abord ,

\^ = \/dx- -+- df -t- dz' ^ dz Ver -\- h- -+- 1 .

11 vient, ensuite, eu égard à ce que les difFérentielles d^Pydy, dz
sont les trois composantes de la vitesse V,

dx a du h

COS a = — - = , cos ?/ = -^ =

V y/a'-^lr-,-\ V j/«-2^//^^]

, dz I

COS y z= -- =

^' Vu- -4- /r -+- I

et ces cosinus sont, précisément, ceux des angles que la droite D
fait avec les mêmes axes.

De là résulte l'énoncé suivant :

La condition nécessaire et snfjîsantp, pour que Vètat de mouve-
ment d'une droite mobile soit rèductiUe à une rotation simple

( ^47 )

autour de son point central , est exprimée anahjtiquement par
Vèquatlon

(8) dt) . dh — da . di == o.

Il s ensuit ([lie les vitesses simiiltanées des difTérents points de
la droite mobile sont toutes situées dans un seul et même plan. La
réciproque est d'ailleurs évidente. Nous verrons, plus loin, com-
ment l'équation (8) devient celle des surfaces dévcloppables, en
exprimant que le plan tangent est le même en tous les points
d'une même génératrice rectiligne.

133. Étant données les équations de la droite D ,

(1.) X ^= az -\- h , y = bz -i- i,

on en déduil , par la différentiation ,

(:2). . dx = adz -+- zda -+- dh , dy = Ixlz -\- zdl) -\- di.

Soit G la vitesse de glissement commune à tous les points de la
droite D. En désignant, par a, ^j, % les angles ([iie cette droite fait
avec les axes OX, OY, OZ, on a

adx ■+■ bdy -\- dz

(3). G ^^ dx cos X -+- dïi eos ^ -+- dz cos y = ==^zr- •

Les équations (2) et (3) déterminent les vitesses simultanées des
difTérents points de la droite mobile.

Soit m un point quelconque de la droite D; U la vitesse actuelle
de ce point; mn le segment de droite qui représente la vitesse U.
Les coordonnées du point m étant x, y, z, désignons par t , u, v
celles du point n. On a

dx = t — x^t — az — h f dy = u — y = ^^ — f>^ — h (^!^ = v — z.

Substituons ces valeurs dans les équations (-2) et (3), et rempla-

( Ô4S )

rons, |>nr r, le prodtiil, (il^^-'-i- lr-{-\, dont la valciii' est iiidi-peii-
dantc do la position du point lu sur la droite D. On trouve, ainsi,

ai -+- hii -i-v — ah — hi — c ,

(i). . l -^ ai- — h - dh = -, ; (la;

a' -f- Ir H- 1

a( -\- bu -+- î; — ah — hi — c

(li). , f( — hv — / — <h'^-=- ; — . (Ih.

((- '{- Ir -4- 1

Les équations (4) et (5) déterminent la droite sur laquelle sont
situées les exti'émités des vitesses qui animent en même temps les
différents points de la droite I). Divisées, membre à membre, elles
donnent

t — av — // — dh da

G) ■ -, : p-ir-

u — bv — / — di ab

L'i'qualion (0) repn'sente un plan dont la direction demeure
invariable, indépendamment de toute valeur al(ribu(''e au glisse-
ment G et à la vitesse d'aeeroissement de la variable indé])endanle.
II suit de là (|ue ce j)lan doit avoir même direction que le plan P
du n° 151. On V(''rilie cette déduction en observant que, si l'on dé-
sii^.'ic, })ar A , B, C , les coefficients des coordonnées courantes t, n,
l'y les valeui's quils affectent dans l'équation ((>) sont les mêmes
que celles (|ui résultent des équations de condition

\a + M -+- C =r o , Ad(( -+• Bdb =t o.

La droite détei-minée par les «'([nations (4) et (5) varie de posi-
tion avec la grandeur du segment nui , ou , ce qui revient au même ,
avec la vitesse d'accroissement attribuée à la variable indépen-
dante. ^Liis, d'ini autre coté, elle est comjjrisc dans le i)lan déter-
miné par ré<[uation ((i), et, i)aj' conséquent, elle ne cesse pas
d'être parallèle au plan P. La consé<juence est que le lieu des posi-
tions qu'elle prend, pour tontes les valeurs du segment nrn ^ est
un paraboloïde byperboli(iue.

( 7y',[) )

Remarque. — En égard à l'cqiialioii (5), il est aise de \oii' qucn
posant

(7) adx -\-hhi -h dz==o^

on annule la vitesse de glissement (j , et ({n'en eonséciueneo, on
rend les vitesses des dilFérents points de la di'oile mobile toutes
perpendieulaires à eette droite.

On peut se donner à priori l'équation (7). Elle exprime, par elle
seule, que la vitesse du point m est dirigée })erpendieulairement
à la droite 1). 11 sensuil qu'il en est JiécessaireFiient de même pour
les vitesses simultanées de tous les autres points. Cette déduction
se vérifie très-simi)lement par le ealeul. Soit en effet »?' un second
point quelconque de la droile D, et jc', y', z les coordonnées de ce
point. La distance \)im' demeurant in\ariable, on a, d'abord,

{x — x')- -h (/y — /y')"' -t- {z — z f = cons'^,
et, i)ar suite,

{x — x') [dx - (Iv) ^(,j — y') {(hj — dtj') ~\- [z - z) [dz - dz') -^ o.
Mais, d'un autre côté, les équations (1) doinient

X — x' == a [z — ;:.'), y — //' = h {z — -'),
il vient donc, en substituant, et supju'imant le l'acteur connnun

(8). . . a[dx — dx')-vh[(Uj — dij') ^ dz ~ dz' = o.

La combinaison des équalions (7) e( (8) montre que l'on ne j)eul
avoir

(/(/.»• ■\ bdij -\- dz =^ 0 ,_

sans qu'il n'en résulte

ndx' -f- hdij' H- dz' = u.

La ronclusioii est d'ailleurs évidenle.

( 5:)0 )

Condilioiis analytiques du hiouveinent d un plan dans
l espace.

154. Soit

{]) Aa; -*- B^ -H C^ = K,

l'ëqualion tPnn plan P, supposé mobile dans lespacc et considéré
à linslant précis où il sort d'un des lieux qu'il occupe successive-
ment. Les paramètres A, B, C, K dépendent, en général, du ne
seule et même variable, et ebaque valeur de cette variable déter-
mine une position correspondante du plan mobile.

Lorsque le plan P sort du lieu qu'il occupe, c'est, en général,
par rotation autour d'une droite située dans ce plan et désignée
sous le nom de caractéristique. Dans tous les cas, lors même que
celte propriété ne serait pas connue davance, on peut toujours
faire abstraction du mouvement du plan sur lui-même, cl consi-
dérer ceux de ses points qu'il est permis de regarder comme fixes
à l'originede son déplacement. Ces points se distinguent des autres
en ce que leurs vitesses sont nulles, et qu'ils satisfont, en consé-
quence, à réquation différentielle

(2) xdA ^ (jdB -t zdC = dK.

11 suit de là que les points dont il sagil sont situés sur la dioilc
représentée par les éciuations (1) et (î2). Concluons que ces écpia-
tions sont celles de la caractéristique.

On parvient au même résultat, en parlant de l'équation dilfé-
renlielle

(5). . \dx -4- hdy -+- Cdz -+- jcd\ -i- ydï\ -h zdC = d\\.

Kn effet , puisque celte équation subsiste, en même temps, pour
tous les points du plan P, on peut distinguer, j)armi ces points,
ceux dont les vitesses actuelles sont compatibles avec un état de
mouvement qui résulterait, cxclusiAcment , dun déplacement du

( 3ol )

plan P sur lui-mcnic. Lors(|u un raisonne dans rii}pothcsc où le
plan P ne sort pas du lien qu'il oeeupe, on doit regarder les para-
mètres A, B, C, K comme constants. Il vient alors

(4) A<lx -f- B(/?/ H- Cdz = 0.

Or, on veut que cette équation subsiste en même temps que
l'équation (5). Celle-ci se réduit donc à Téquation (2). Réciproque-
ment, si l'on considère les points du plan P déterminés par
l'équation (^), les vitesses actuelles de ces points satisfont à l'équa-
tion (4).

On voit, par là, que, si la caractéristique se meut, c'est dans le
plan P, et l'on a lénoncé suivant :

L'état de mouvement d'un plan, qui se meut dans l'espace j ré-
sulte, en (jénéralj du mouvement d'une droite supposée fixe dans
le plan mobile, et d'une rotation de ce plan, la droite ne sortant
pas du lieu occupé par le plan mobile à l'instant (jue l'on consi-
dère et le plan tournant autour de cette droite.

La droite, dont il s'agit, {)rend le nom de caractéristique. Le
mouvement qu'elle a dans le plan mobile se communique à ce
plan, sans en cbanger la position dans l'espace ni, par conséquent,
l'équation. On peut donc la regarder comme fixe, en ce qui con-
cerne, à cbaque instant, le mouvement angulaire du plan mobile
et les vitesses qui animent les différents points de ce plan perpen-
diculairement à sa direction actuelle. On voit d'ailleurs, d'après ce
qui précède, que la caractéristique est déterminée par les équa-
tions (I) et {"ï).

On observera ([ue les vitesses simultanées des différents points
de la caractéristique sont dirigées à cbaque instant dans un seul
et même plan. Il s'ensuit que cette droite remplit les conditions
de la droite mobile du n" 132, et que le lieu de ses positions suc-
cessives est une surface développable *.

* 11 tsl aise de voir que la condition, nécessaire et suflisanle pour qu'une
surface réglée soil développable, consiste en ce qu'elle n'ait qu'un seul et même

( ->^ )

Cousidcnuis le jtoiia de la caraeléristique doiil la vitesse est
nulle, ou peut èlre supposée nulle, j)arce qu'elle est dirigée tout
entière suivant celle droite. Les équations de ce point ne satisfont
pas seulement au\ (Mpiations (1) et (-2), mais, en outre, à celles qui
s'en déduisent j)ar la dilTérentiation, soit en égalant à zéro cha-
cune des diiïérenlielles dx , dij, dz, soit en annulant, comme on
l'a vu (oui à l'heure, l'ensemble tics termes qui correspondent à
la diUéi'cnlialion ed'ectuée [)ar rappoi't aux variables x, \j, z. On
retrou\(' ainsi ré(pi;ili(Mi (:2), et l'on obtient, en outre, l'écpialion
suivante :

(Ij) tï/-'A -t- v/f/-li -\- zdrC = dm.

Le point (bUerminé par les équations (1), (^), (o) est le [)oint
clierehé. Le lieu de ces points résidte de l'élimination de la va-
riable ind('pendanle entre ces mêmes équations. Il est l'enveloppe
des positions successives de la caractérisiique. Ce lieu prend le
nom d\uète de rehroussemcnt , \)nr rapport à la surface dévelop-
pable que déterminent les positions successives de la caractéi'is-
lique.

Hettl/icaliuii de^ï v()urbt6 à doubla courbure.

155. Considérons une courbe quelconque, située dans Tespace.
Désignons-la, par S, et sup])Osons que ses éipialions soient rame-
nées à la forme

(1) ^ = l\^, ,y = ?(-)•

Soit (x un j)oint mobile, assujetti à décrire la ligne S cl sorlanl
du lieu )n à l'instant <pnî l'on considère.

|)l;iii iaiif^ciil pour tous 1rs poifits d'une iiiènie géiiératricc t[ut'k'(iii(iui' iccli-
ligno. Loistiuc celte oinulition est remplie, la surlaee peut s'ai)pli(iuei- sur un
plan, i)oinl par point, sans déchirure ni diiplicalure , sans extension ni l'un--
traction d'aucune dos lip,nes qui y sont tracées. On dit alors qu'elle est déve-
loppable. Telles sont, en général, les surfaces coniques et cylindricpies. Nous
reviendrons sur ceitoinl, de njanière à ne laisser [U'ise à aucune objection,
lorsque nous noub occuperons plus loin de la tiieoiie des surfaces.

( 5oô )

Si nous représentons, par x, ?/, z, les coordonnées du point ^,
et par s, la distance comprise sur la courbe entre un point fixe siUié
sur cette ligne et le point ^, la vitesse du point décrivant a, pour
expression générale,

(2) ds== Vdx' -4- chf -t- dz\

dx, f/^,f/z élan tics composantes respectivement parallèles aux axes
coordonnés rectangulaires OX, OY, OZ. On a, d'ailleurs , comme
résultat de la dilTérentialion des équations (|) ,

(5). . . . dx = f\z).dz, dij = f'{z).dz.

De là résulte , en premier lieu ,

w ih=^,(zyi + r(zf+y'{zY,

et, s'il s'agit de la rectification de lare s y

(3). . . . ^s=^^z.^C^'y\ -\- f'{zf-^ -/(zf.

TaiKjentes et plans normaux.

15G. Sans rien changer aux notations précédentes, désignons,
})ar T, la tangente en m h la courbe S; par ( , a , r, les coordonnées
courantes de la tangente T; par 5c, S, y, les angles de cette droite
avec les axes OX OY, OZ. La droite T étant dirigée suivant la vi-
tesse qui anime le point /te, au sortir du lieu m, il sulïit de poser

(1) . . dx =-- t — X, di/ ^= i( — y j dz = v — s _,

et de substituer ces valeurs dans les équations (5) du n" 155, pour
obtenir les équations do la tangente ï. On trouve ainsi

(2). . t-X = {v- Z)r(x) , u-y=^{v- z) f'iz).

On a, d'ailleurs,

dx ^ du dz

(d). . COS a = -— , cos è=^ ~- , cos r = T" ■
as ds ds

Tome XV

HD

( ôbi )

Supposons, maintenant, que les coordonnées f, u, v soient celles
d'un point quelconque «, situe dans le plan Q mené par le point
m perpendiculairement à la tangente T. Le point n étant consi-
déré comme fixe, tirons la droite qui le joint au point /^. et dési-
gnons, par R, la distance comprise entre ces deux points. On a,
généralement,

(4). . . . ^t-xf^{u-yf-^-{v-zf==là\

La vitesse qui anime le point ^c, au sortir du lieu m , est perpen-
diculaire à la droite /ifx. Il suit de là que la vitesse correspondante
(/R est nulle, et qu'il vient , en difFérenciant l'équation (4),

(o). . . {t — x)dx -h {u — y) (ly -^ [v — z)flz = o.

L'équation (5) sapplique à toutes les positions que le point n
peut prendre dans le plan Q. Elle est donc l'équation de ce plan.
Eu égard aux é(iuations (5) du n" ISd, on peut l'écrire sous la
forme suivante :

(6). . . (t~-x)f'(x)-\-[u-~yy(z)-^-v--z = o

Concluons que les équations (1) et (2) sont celles de la tangente
en m à la ligne S, et que celle du plan normal, mené par ce même
point, est indifféremment l'une ou l'autre des équations (5) et (6).

Plan osculateiir.

4 57. Soit D la directrice du point fx,. Lorsque le point [>. sort du
lieu m , la droite D tourne autour du point /Jt, et les vitesses de ses
différents points sont toutes dirigées dans un seul et même plan P.
Ce plan est, pour le point m , le plan osculateur de la courbe S.
Ccst dans ce plan que commence la rotation de la tangente, lors-
que le point de contact se déplace continûment.

Si 1 on désigne, par t, y y v, les coordonnées courantes et, par x,

( 33;. )

y y z, celles du point de contact, on a, pour équations générales de
la directrice D, ou , ce qui revient au même, de la tangente T,

dx ^ du

Le plan P passant par le point m, son équation est de la forme

(2). . . . A(/ — x)-\- ^u - y) -+- C(r — z) =-- 0.

On a, d'ailleurs, conformément aux équations de condition (4)
et (5) du n« 131, page 344,

» ^^^ ^ dy ^ . .doc , dit

dz dz dz dz

A R

Les équations (5) déterminent les valeurs des coefficients 77» rr •
En substituant ces valeurs dans l'équation (l2)>on trouve, après
réduction,

(4). . (/ — x) {dzdhj — dyd'z) H- {u ~ y) (dxd'z — dzdhv)
-t- (u — z) (dyd^x — dxd^y) = 0,

et telle est l'équation du plan osculateur.

On parvient au même résultat en combinant l'équation (2) avec
celles qui s'en déduisent par deux différentialions faites successi-
vement par rapport aux coordonnées x, y ^ z. La première des
équations difîérentielles que l'on obtient ainsi est

(5) kdx + Bf/î/ -t- Cdz = 0.

La seconde est, de même,

(6) Ad'x -t- B(/^^ H- Cd'z =- 0.

En écrivant l'équation (5), on exprime que la vitesse du pointât,
au sortir du lieu m, ne sort pas du plan P considéré comme fixe.
Cela revient à dire que la tangente, en viy à la ligne S est située dans
ce plan.

( 556 )

Eu CL'i'ivjuil réqiuiliou (O), cominc conséquence d'une différcn-
linlion clTecluée en même temps sur les équations (2) et (5), on ex-
l)rimc que la directrice du point /u. ne sort pas du planP, à l'origine
de son déplacement, ou, ce qui revient au même, (pie les vitesses ac-
tuelles de ses différents points sont toutes dirigées dans le plan P.

11 suit de là que les équations (o) et ((>) déterminent les valeurs
quelescoeflicients -, ^ doivent affecter, pour que le plan P de-
vienne osculateur.

Nous avons admis, dans ce qui précède, que le déplacement
d'une tangente à la courbe S peut être considéré comme ayant
lieu par rotation simple autour du point de contact. Les principes
sur lesquels nous nous appuyons n'exigent, à cet égard, aucune
démonstration particulière. On peut, néanmoins, recourir au calcul
coiume moyen de vérification.

En comparant les équations de la tangente T à celles de la di'oitc
mobile du n" lô:>, page ô4i-, on a. évidemment,

a =

djc , du , dx dii

dz dz dz dz

De là résulte

dx , , du , dx du

c/a = (/.— , db^d .-j^ r dlt^-z.d-—, di^-z.d~^,
dz • dz dz dz

cl; i)ar suite ,

(7). . . .

dh_di
du dh

L'équation (7) implique, comme conséquences, les déductions
suivantes, qu'il est, d'ailleurs, permis dctablir directement et à
priori :

[' Le di'placement de la tangente peut être considéré comme
ré.'iultanl d'une simple rotation , établie autour du point de von-
tart ;

( ^S7 )

"2" Pris à sou on'iji/ipj v( (onlhiiK' (Vaprès le mode (jui le réijit
d abord, le changement de direction tangentielle s'effectue sui-
vant un plan déterminé ;

3" Le lieu géométrique des tangentes est une surface dévelop-
pable.

Ajoutons, comme ronséqucnces subsidiaires, que, dans le déve-
loppement de cette surface, la courbe donnée conserve, en chaque
})oinl, sa courbure, etque toute trajectoire orthogonale des géné-
ratrices rectilignes a, i)our développée, l'enveloppe de ces mêmes
génératrices, c'est-à-dire la courbe que l'on considère.

.Vormale principcde.

158. La normale située dans le plan osculateur est dite nor-
male principale. Pour obtenir ses équations, il suftit de joindre à
l'équation du plan osculateur

( I ). (t-x) [dzd-y — dyd^z) ^ (u — y) [dxd'z - dzd\r )
-\- [r — z)[ dyd'x — dxd^^y ) ==o,

celle du plan normal

(^). . {I — x) dx -h {a, — y) dy -\- (v — z) dz = o.

Veut-on , d'ailleurs , ramener ces équalions à la forme ordinaire?
On trouve parleur combinaison *,

, dx
dsd^x — dxd^s ds

! dsdSi — dyd-s , ds

'■lu

' (^n oltscrven que Ton a généralement

( 558 )

Soient ;, y., y les angles que la normale principale fait avec les
axes coordonnés OX, OY, OZ. On a, d'abord,

et, par suite

as .d.-~-
ds

dlj

(O). . ' COS y.

ds.d ,
ds

ds . </ ,

COS y =

On sait que c'est en lournani autour de la directrice du point
décrivant, que le plan osculateur se déplace sur la courbe. La nor-
male principale participe à cette rotation, en même temps qu'elle
tourne dans le plan osculateur autour du centre de première
courbure. Il suit de là que les vitesses de ses différents points ne
sont pas dirigées dans un même plan et qu'en conséquence, le
lieu de ses i)Osilions successives est, en général, une surface
gaucbe. Pour qu il en lût autrement, il faudrait que le plan oscu-
lateur demeurât invariable. Cette dernière circonstance ne peut

f't (jiio (le là ivsull<'

,ls<r\s — (Ixd'.r -h dyd-ij H- dzd^z.

C/osl (Ml toiiaiil compte de ces relations que Ton parvient aux équations (3)
el :iii\ é(pK(liuiis <uiv:uiles

( 559 )

se présenter que dans le cas des courbes planes, alors que l'on a ,
généralement,

, dxd^z — dzd^x
V

dzd-y — dydh

, di/d^x — dxdhi
dzd^y — dyd'^z

[dxil^z — dzd-x dydrx — dxdSi ~\

dzdy — dyd-z dzdhj — dyd'zJ

ou, plus simplement,

(6) . . dx[d'ydh — d'zd'y]-\-dy[dhd'x — d'xd''z]
-+- dz [d-xd^y — dhjd'^x] = o,

cette dernière condition n'étant que la transformée commune à
chacune des trois autres.

expression analytique de la vitesse angulaire avec laquelle une
droite qui se meut dans V espace s'écarte ^ à chaque instant j de
la position dont elle sort.

159. Étant donnée une droite D, supposée mobile dans l'es-
pace, proposons-nous de déterminer l'expression analytique de la
vitesse angulaire avec laquelle celle droite s'écarte , à chaque in-
stant, de la position dont elle sort.

Soit ic cette vitesse : elle est la même, à chaque instant, que
pour une droite D', menée par un point fixe et assujettie à tour-
ner autour de ce point, en restant parallèle à la droite D.

Prenons l'origine des coordonnées pourpoint fixe cl représen-
tons , par Om, la droite D' menée, par ce point, parallèlement à la
droite D*.

Le point m étant supposé fixe sur la droite D', et la distance Om

* Voir la figure 61, page 538.

( ÔOO )

('(ant })i'ise ('gale à l'unité, il est visible que la vitesse du point m,
au sortir du lieu qu'il occupe, satisfait aux conditions suivantes :

1" Elle est dirigée perpendiculairement à Om dans le plan P
du n" loi, page 542;

2" Elle est égale en grandeur à la quantité w.

Soient i«, ? , r 1<'^ angles que la droite Om fait avec les axes OX ,
OY, OZ. Soient, en même temps, x', f/, y ceux que la vitesse lo
du point m fait avec ces mêmes axes.

En désignant par x, y y z les coordonnées du point m , on a ,
évidemment,

X^COSa, î/ = C0S6, Z = C05'y.

11 sensuit que les projections du point m sur les axes OX,
OY, OZ, ont, pour vitesses respectives,

dx = cl cos «, dy =- d cos S, dz = d eos y.

jMais, d'un autre côté, les composantes de la vitesse du point m
suivant ces mêmes axes sont, respectivement,

?r cos a', it^cosÇ', icftosy'.

De là résulte

v cos a' = (/ cos « , te cos €' = d cos 6, u* cos r'= d cos r.

et, par suite,

( I ). . . \0 = V'[ d cos a }- -4- (f/ cos ê )'* H- ( rf COS r)'-

S'agit-il , en outre , de la direction commune aux vitesses simul-
tanées des différents points de la droite D'? On a.

(■-j)

d cos a

cos Ç'

V (d cos

-)'

-+- (r/cosê)'
f/ eos C

•4- (rf cos rf

cos r '

^/((/eos

-f

-i-(^/cos6)-
d cos r

-+- ((/cos?^f

K(r/cosa)*-+- (f/ cosf>)--+- (r/cosr)'

( S'il )

La valeur obtenue pour la vitesse ic j)eut se déduire, par voie
analytique, de l'expression générale du eosinus de langle de deux
droites.

Soient en effet >, ,t/, v les angles qu'une droite fixe F fait avec
les axes OX, OY, OZ. En désignant, par j, l'angle des deux droites
1) et F, on a, généralement,

cos V =^ cos / eos </. -f- cos y. cos ^^ -+■ cos v eos y.

Une première différentiation donne

sin f.d'^ = — [eos / . d eos a -♦- cos y. . d cos ^ -+- cos v . d cos y].

II vient ensuite, en différenciant une seconde fois,

(5). eos 'V . dJ ■+■ sin y . d-f = — [ cos / . d^ cos a -4- cos u. . d- cos €
-f- eos y.rf^cos r]

Suj)posons qu'au lieu d'être quelconque, la droite F coïncide
avec la position dont la droite D sort, à l'instant que l'on consi-
dère. Si l'on se place à ce même instant, on doit poser

'j= Oj df = Wf X=r ct^ a = ^ , V = <y.

De là résulte, en vertu de l'équation (3),

(4). 11'^ = — [cosa.d- cos a •+- cos ^j.d- cos ê -4- eos y .d'aces y].

L'équation (4) se ramène à l'équation (1), en observant que la
relation générale

COS' a 4- COS" ^j -+- eos^ y^=i.

donne, en premier lieu,

cos a . rf COS cK H- cos C . d cos ^j ■+■ cos y . d cos y = 0.

et, en second lieu,

cos x . d' cos a -t- cos 6 . d- cos S -t- cos y . d- cos 7^

= — [{d cos ^y)- H- (d COS ^:)^ H- ((/ cos yf]. ^

( 362 )
Il vient donc aussi, par voie de substitution,

w = V{(1 cos «y- + (d cos 6f 4- (d cos y f.

140. Sans rien changer à ce qui précède, supposons que la
droite D soit déterminée par les deux équations

a h

ou bien, qu'étant assujettie à rester perpendiculaire à un plan
mobile, ce plan ait, pour équation,

a [t — x) -t- 6 (u — y) -^ c (v — z) = 0.

Les coordonnées courantes étant représentées, de part et d'au-
tre, par les variables t, «, v, il est visible que Ion a , dans chacun
de ces deux cas.

cosâ = — ■ , cos ^

y/a' -+- //- -4- c-

cosr =

y^a" + b'

c-

Ces valeurs, substituées dans Téqualion (1) du n° 159, donnent,
d'abord ,

^^^ (jlaf -+- {(Jhy- +- [dcf {ad a -+- hdb -f- cdcf

U -f tr H- c [a- -+- Ir -» cj'

et , après réduction,

[/(^b — bd'^'~(l)dc-- âfhf -f- {cda - adcf

(i). w==

a' -y- h

' ' h'^ c'

( 5(15 )
Oïl trouve, do même.

/ cos 6'

1 cos y'

V [adh — bdaf -4- {hdc - cdhf -f- {cda - adcf

('^)-

_ h.dVa^^ b^ -^ c^— V/«2+ 6^ 4- c-,db

V (adb — bdaf -+- (bdc - c^/^)-^ -+- {cda - «r/cy^

c . d y a' -^b'-i- c'— Va^ -t- 6^ -f- c\dc

—

V {adb — bdaf -+- [bdc — cdbf + [cda — adcf

Première et deuxième courbure des courbes à double courbure.

14i. La direction tangentielle étant incessamment variable,
considérons le changement qu'elle subit à partir du point m. Pris
à son origine, ce changement commence par rotation dans le
|)lan P, de la même manière que si la courbe était plane et que son
plan coïncidât avec le plan P. De là résulte une première courbure,
déterminée, par rapport au plan osculateur, comme la courbure
des courbes planes l'est elle-même, par rapport à leur plan.

La courbe S nétant point plane, il y a déplacement continu du
plan P, et c'est, par rotation autour de la tangente , que ce plan
change incessamment de direction dans l'espace. De là résulte
une sorte de torsion, nommée deuxième courbure.Cetle deuxième
courbure peut, ainsi que la première, demeurer constante ou
bien varier incessamment d'un point à un autre. Dans tous les
cas, si l'on désigne, par W, la vitesse angulaire qui anime le plan
osculateur dans sa rotation autour de la tangente, tandis que la
tangente tourne autour du point décrivant avec la vitesse W et
que ce point glisse sur la tangente avec la vitesse V, il est visible
que la première courbure étant mesurée par le rap})orl — = i ,
la seconde peut être mesurée de la même manière nar le rannort

V

P

La quantité o déterminée par l'équation

( 30 i )

a ITOU lo nom do rayon de deuxièine couvh.ure. Lo rayon du cerole
osoulalour rosie d('torminc par l'ôquation génôralc

V

On le distinguo du rayon /s', on lo dosignant sous le nom de
rayon de première courlnire.

142. S'agit-il, «l'abord, du rayon de première oourburo? La vi-
tesse V élaut représentée par ds , les cosinus des angles que la
droite D, supposée tangente à la rourbe S, fai( avec les axes OX,
OY, OZ, sont respeotivement

dx

oos y. = — - , eos
ds

De là résulle, conformément à la formule (1) du n" 1 39, page 360,

. ^^1/

dz

ç, = - -- ,

cosr= —

ds

ds

cl, par suite,

(2). . . '' '''

^^ 1/ {d\rY -^ {d'yf -i- (d'zf - {d'sf

Au lieu d'opérer, comme nous venons de le faire, on peut partir
dos équations de la tangente,

et recourir à la formule (J) du nM40, page oG2, en y posant,
a = doi, h = dy, c = dz.

On trouve ainsi

\ . ^ ,

(3) . . W -= -— V{dxd-y — dyd\vY -+- {dyd'z — dzd'yf -*- (dzd'x — dxd'zf,

( 505 )
et 5 par suite ,

(4) 0=

\^(dxd'i/ — dyd'xf H- {dijd'z — dzdhjf H- {dzd'x — dxd'zf

Soient / , ,v. , v les angles que la normale principale fait avec les
axes OX, OY, OZ, et Xj, y,, Zy les coordonnées du centre de pre-
mière courbure. L'on a

(îi). a-, — X = p cos / , y, — y — p cos ^, -, — z = p cos u.

Jlcmplaçons p par la valeur déduite de l'équation (2); cos >,
cos a, cos y par les valeurs déduites des équations (5) du n** 158,
page 558, et posons, pour simplifier,

(/s' ds

{d'xf+

(^f'jf

-^{iHf-

-(rfv

{"

dxy

dsl

*('!)'

On trouve

: ainsi

.) x,-a- =

=£.<;.

dx

■Ts' ^'

— y =

• E.d

S, ;: =

(«)

Observons que la tangente sort du lieu ([u'clle occupe en tour-
nai]t autour du point de contact. Il s'ensuit que les vitesses de ses
différents points sont dirigées parallèlement à la normale princi-
pale et qu'en consé([uencc, les angles A, a, v sont les mêmes que
les angles désignés par x, ^, y dans les numéros 1 51) et 1 40. Si l'on
substitue pour p la valeur (4) et pour cos / = cos a', cos y. = cos 6',
cos V = cosx', les valeurs (^) du n" 140, page 505, on retombe sur
les équations (G), la quantité E pouvant être écrite indifféremment
comme on Ta fait ci-dessus, ou sous la forme suivante,

E_ ^A

{dxdSj — dyd'xf h- {dyd'z - dzdhjf + (dzd^x — dxdhf

145. Les résultats auxquels nous venons de parvenir, en ce qui
concerne la première courbure, peuvent être établis de dilTcren-

( ô(;(i )

tes manières. On peut se donner les équations générales d un
cercle quelconque et assujettir ce cercle à contracter avec la
courbe S un contact du second ordre. Soient

ces équations. Les constantes à déterminer sont au nombre de six.
Il en est de même des é([uations de condition exprimant que ce
cercle passe par un point de la courbe S, qu'il la touche en ce
point, et que, en outre, les dérivées du second ordre y affectent,
de part et d'autre, les mêmes valeurs.

On peut aussi se donner la normale principale et chercher
celui de ses points dont la vitesse actuelle est dirigée tout entière
perpendiculairement au plan osculateur. Ce point n'est autre
chose que le centre de première courbure.

On peut encore considérer la surface enveloppe des plans nor-
maux, en d autres termes, le lieu des caractéristiques de ces
plans. Cette surface est connue sous le nom de surface polaire *.
Elle est dé^eloppabIe, et sa génératrice rectiligne a pour équa-
tions, d'une part, l'éciuation du plan normal mené par le point
x,y, z, savoir,

(1). . ' {I — x)dx -^ (?/ — y)dy -4- (r — z)dz = 0,

d'autrcpai !. I'é({uati(m (|u'on oblicnt en différenciant 1 équation (1)
et en annulant les vitesses dt , du, dv, dans le résultat de Ja dil-
férentiation , savoii',

(â). . . (/ — x)d'x -f- {u — y]dhj -t- (r — z)d^z = ds\

L'expression

d^x[dAjd'z — dzdhj] H- dhj[dzd'x — dxd'z] -+- d'zldxd'y — dyd'jc],

étant identiquement nulle, comme on le reconnaît en la dévelop-
pant, il s'ensuii que le plan {"ï) est perpendiculaire au plan oscu-

* Voir pluï< loin, n-' iA'6, j.our tjclails relalir& à la surface polaire.

( 007 )

Jateur. Celte condition étant déjà remplie par le plan (i), elle
subsiste en nième temps pour la droite (I), (2). Or c'est en com-
mençant par tourner autour de cette droite, que le plan normal se
déplace le long de la courbe S. Le centre de première courbure se
trouve donc au point d intersection de la droite (1), (2) avec le
plan osculateur.

Si l'on observe que tout plan normal à la courbe S touche la
surface polaire le long de la génératrice sur laquelle est situé le
centre de courbure correspondant, l'on peut en conclure immé-
diatement que la tangente au lieu de ces centres est contenue,
pour chaque centre, dans le plan normal qui lui correspond. Cette
tangente est donc à angle droit sur la courbe S. Elle ne doit pas
être confondue avec la normale principale. Celle-ci est dans le
plan osculateur; l'autre s'en écarte généralement.

144. Considérons inaintenant la deuxième courbure et repre-
nons la formule du n" 141, page 565.

V

La quantité W étant la vitesse angulaire qui anime le plan oscu-
lateur dans sa rotation autour de la tangente, elle est aussi la
vitesse angulaire a\cc laquelle la normale à ce plan sécarte, à
chaque instant, de la position dont elle sort. Il suit de là que, pour
déterminer cette vitesse par la formule (i) du n° 140, page 56i2,
il suffît de poser

a = dyiPz — (Izdhjj h =^ dzd^x — dxd^z , c = dxdhj — dyd^x.

En faisant usage de ces valeurs, on trouve

adb — bda = dz [ad^x -f- hd^y -4- cd^z^ ,
bdc — cdb =^ — dx [ad^x -^ bd^y -f- cd^z] ,

cda — adc = — dy [nd^x -h bd^y -h c(Pz].

( Ô(i8 )
De là rciullc, en subsliluant,

(Px{difd-z — d:d\i/) 4- d'y [dz'fx — dxdh] -4- d'z [dxdh/ — dijd^x]
' ' ' ^^''^ "^^ (dyd'z - dzd'iif 4- {dzd'x - rfx(/^;r)^ -f- ((ix(/^^ — dijd'xf

et eommeoii a, d'ailleurs, V=(/.s, on peut écrire immédialcmcnl
\d\jd'z - dzd'ijY -t- [t/^(/-J — dxdrzf -h [(/x^/y/ — (///rfU] '

DÉVELOPPÉES DES COUIIBES A DOUBLE COLRBUUE.

Surface polaire.

1 i'j. Étant donnée, une ligne quelconque S à double courbure,
supposons-la décrite par un point mobile /u, et désignons, par nij
le lieu d'où le point y- sort , à l'instant que Ton considère.

Imaginons que le point /u entraîne avec lui un plan IN , assujetti
à rester normal à la ligne S.

Le plan N est animé de deux mouvements simultanés, l'un de
translation, l'autre de rotation. Le premier rend commune à tous
les points du plan N la vitesse du point i^.; le second est établi
autour de la perpendiculaire élevée en m sur le plan oscula-
teur P; la vitesse angulaire qui lui correspond est celle de la di-
rectrice du point y..

Cela posé, il est visible que i'élat de mouvement du ])l;)n N se
résout en une rotation simple autour de la droite menée dans ce

• La coniUlioii nécessaire et suffisante pour qu'une courbe soit i)lanc s'ob-
tient en éf^alant à zéro le numérateur de celte expression, il est aisé de voir
que ré(|uation à la(|uelle on [taivienl de celte manière ne dillère pas de l'équa-
tion (0) du n" \ôt>, page 5j'J.

( ô(li) )

plan, par le centre de première courbure, perpendiculairement
au plan osculateur. Cette droite a reeu le nom de polaire. Dési-
gnons-la par L. Elle est la caractéristique du plan N. Le lieu de
ses positions successives est la surface dont nous nous occupons
ici, et à laquelle on a donné le nom de surface polaire.

Considérée comme génératrice de la surface polaire , la droite L
sort du lieu qu'elle occupe, sans sortir du plan N. De là résultent,
conformément aux déductions du n" 154, page 550, et comme on
peut, d'ailleurs, le voir directement, les conséquences suivantes :

i'' Lorsque la droite L sort du lieu qu'elle occupe pour décrire
la surface polaire, elle tourne, en général, autour d'un de ses
points ;

2'' Les vitesses simultanées des différents points de la droite L,
étant toutes dirigées dans le plan N, il s'ensuit que ce plan touche
la surface polaire en tous les points de la droite L, et que cette
surface est développable;

5" Soient n le point central de la droite L, et S' le lieu des posi-
tions qu'il prend successivement. La vitesse du point n étant di-
rigée tout entière suivant la droite L, le lieu S' est l'enveloppe
des positions successives de celte droite, autrement dit, l'arête de
rebroussement de la surface polaire;

4" La droite L touchant la ligne S' au point n, et étant perpen-
diculaire au plan P , il s'ensuit que la vitesse angulaire de la di-
rectrice du point iiy dans la description de l'arèle S', n'est autre
chose que la vitesse angulaire du plan osculateur de la ligne S,
dans la description de cette ligne par le point u;

5° Les vitesses simultanées des différents points de la droite L
étant toutes dirigées dans le plan N, ce plan est, pour le point n,
le plan osculateur de l'arête S'. Il s'ensuit que la vitesse angulaire
qui anime le plan osculateur de l'arête S', dans la description de
cette ligne par le point ii, n'est autre chose que la vitesse angu-
laire de la directrice du point ^ dans la description de la
ligne S *.

• Celle proposilion et la précédente ont été données par Fourier. Elles éta-
blissent entre les courbes S, S' une réciprocité curieube.
Tome XV. 24

( 570 )
Menons par le point n un plan P', parallèle au plan P. Le
plan P' est normal, en n, à l'arête S'. Mais, d'un autre côté, le
plan N normal, en m , à la ligne S est osculateur, en n, à l'arête S'.
Il suit de là que la normale principale au point n de la ligne S'
résulte de lintersection des plans N et P', en même temps que la
normale principale au point m de la ligne S résulte de l'intersec-
tioii du ])lan X avec le plan P, parallèle au plan P'. De là se déduit
l'énoncé suivant:

Las nonnalcs principales qui se correspondent y de part et
d autre, l'une pour le point m de la ligne S, l'autre pour le
point n de l'arête S', sont toujours parallèles.

On constate l'accord existant entre cette déduction et les deux
propositions précédentes, en observant que s'il y a parallélisme
pour deux positions quelconques correspondantes des normales
principales, ce parallélisme se maintient nécessairement pour
toutes les positions (lui se correspondent de part et d'autre. Le
mouvement angulaire d'une normale principale résulte, en effet,
de deux rotations simultanées, respectivement établies autour
d'axes rectangulaires. L'une est la rotation de la directrice du
point décrivant : elle a, pour axe, la perpendiculaire élevée en ce
point sur le plan osculateur. L'autre est la rotation de ce plan;
elle a , pour axe, la directrice. Or, lorsqu'on passe de la ligne $ à la
ligue S', ces axes se substituent l'un à l'autre, en mêjne temps que
les vitesses angulaires correspondantes. L'identité résulte de ce
double renversement, et le parallélisme établi, par hypothèse,
se maintient comme conséquence d'un même mouvement angu-
laire.

140. Soit ^/ un point quelconque du plan N. Tirons la droite
indéfinie .a/a', et désignons, pari, le point d intersection de cette
droite avec la droite L, suivant laquelle le plan N touche la surface
polaire.

Lorsque le point ^ décrit la courbe S, il entraîne avec lui le
plan normal N et le fait tourner autour de la droite L. Le plan IV
s'enroule, ainsi , sur la surface polaire, en y appliquant successive-

( 371 )

ment tous ses points, et, en particulier, ceux de la droite p.^'
désignés ci-dessus par i *.

Il suit de là que le lieu des points i, sur la surface polaire, est
une développée de la courbe S, la droite /uju' touchant cette déve-
loppée au point /, et la quantité, dont le rayon vecteur /xi croît ou
décroît, dans le passage d'une position à une autre, étant précisé-
ment égale à l'arc de développée compris entre ces deux positions.

On voit, par ce simple aperçu , fondé tout entier sur des consi-
déi'ations géométriques, qu'il existe , en général, pour une courbe
(juclconque, une infinité de développées différentes, toutes situées
sur la surface polaire et caractérisées, par la condition qu'elles
remplissent, de se transformer en lignes droites dans le développe-
ment de cette surface. On voit, en même temps, que le lieu des
points /u' est, comme celui des points ju, une développante du lieu
des points ?*.

On observera que, abstraction faite du cas des courbes planes,
le lieu des centres de première courbure n'est jamais une déve-
loppée de la courbe que Von considère.

En effet, soit o le centre de courbure qui correspond au point m
de la courbe S. Pour que le lieu des points o soit une développée
du lieu des points m, il faut que la droite om touche, en o, le pre-
mier de ces lieux et qu'elle soit normale, en m , au second. Cette
dernière condition est toujours satisfaite, puisque la droite om est
la normale principale, menée, par le point m, à la ligne S. La
première condition exige que, dans le passage d'une position aux
suivantes, la vitesse du centre o soit dirigée tout entière suivant
la droite om. Or, s'il en est ainsi dans le cas des courbes phuies, il
en est autrement dans celui des courbes à double courbure, le
centre o restant sur la droite om , et celle-ci tournant , autour du
point w , dans le plan normal. De là résulte évidemment la propo-
sition énoncée ci-dessus.

Nous avons vu que le plan N peut être considéré indifférem-

* La vitesse du point /.i est dirigée tout entière peipendiculairoment au
plan normal. Cela revient à dire que ce point reste fixe dans le plan normal en
même temps qu'il décrit la courbe S et (ju'il fait tourner la droite /.';«' autour
du point I.

( 372 )

ment, soit comme entraîné par le point a, soit comme roulant,
sans glisser, sur la surface polaire. Ce ne sont là que deux façons
différentes d'envisager une seule et même chose , le mouvement
qui anime le plan N dans sa rotation continue autour de ses ca-
ractéristiques successives. Lorsqu'on considère le plan N comme
entraîné par le point u , ce point décrit la courbe S et reste fixe
dans le plan N. Lorsqu'on considère le plan N comme roulant, sans
glisser, sur la surface polaire, rien n'est changé , ni dans le mouve-
ment du point iu. sur la courbe S, ni dans la fixité de ce point sur
le plan N. Il suit de là que la trace de la courbe S, sur le plan
]uobile N, se réduit à un point.

Imaginons que le plan N emporte avec lui la trace de chacune
de ses caractéristiques successives, et celle d'une développée quel-
conque de la courbe S. Si l'on conçoit une droite , supposée mobile
dans le plan N, et assujettie à coïncider constamment avec la carac-
téristique correspondante, il est visible que l'état de mouvement
de cette droite sera identiquement le même que celui de la carac-
téristique sur la surface polaire. De là et de ce qui précède, résul-
tent évidemment les conséquences suivantes :

La trace que l'arête de rehroussement de la surface polaire
laisse sur le plan mobile a, pour courbure en chaque point, la
première courbure de cette arête.

Les traces laissées sur le plan mobile par les génératrices rec-
tilignes de la surface polaire ont, pour enveloppe, la trace de
rareté de rehroussement .

Les traces laissées sur le plan mobile par les développées de la
courbe S sont des droites toutes issues d'un seul et même point, le
point où se concentre la trace de la développante.

L'ensemble des traces laissées sur le pian mobile par la surface
I)olaire constitue le développement de cette surface. Il est visible
que les lignes tracées sur la surface polaire conservent, dans le dé-
veloppement de cette surface, leurs longueurs respectives et les in-
clinaisons relatives sous lesquelles ont lieu leurs intersections *.

On veiia plus loin , ii" 207 et sui\autb, la Ihéoiie géométrique dea buiiaces

{ 575 )

147. Proposons-nous de déterminer l'équation de la surface
polaire et celles de l'arête de rebroussement.

La génératrice rectiligne de la surface polaire est située dans le
plan normal

(i). . (t — x)dx+(u — y) dy -{- {v — z) dz= 0.*

Elle est le lieu des points de ce plan dont la vitesse est nulle, ou
peut être considérée comme nulle, au sortir du lieu qu'il occupe.
Il suit de là que les coordonnées de cette droite doivent satisfaire
à l'équation qu'on obtient en différenciant l'équation (1), et en
annulant les vitesses dt, du, dv, dans le résultat de la différentia-
tion. On trouve, ainsi,

(2). [t — x] d'x ~f- (u —y) dhj -f- [v—z) d'z^dx^-^ dy^-¥- dz^ = ds\

Les équations (1 ) et (2) sont les équations générales de la géné-
ratrice rectiligne de la surface polaire. Pour avoir l'équation de
cette surface, il suffît d'éliminer les variables x, y, z entre ces
équations et celles de la courbe donnée,

P) ^==A^)» y = 'À^)'

Le point de l'arête de rebroussement situé sur la droite fi), (2) ,
se distingue des autres points de cette droite en ce que sa vitesse
est nulle, ou peut être considA'ée comme nulle, à l'origine du dé-
placement de la génératrice. Il suit de là que les coordonnées de
ce point satisfont aux équations qu'on obtient en différenciant les
équations (1), (2), et en annulant les vitesses dt, du, dv, dans les
résultats de la différentiation **. Lorsqu'on opère, ainsi, on re-

développables, et, plus généralement, celle des surfaces qui peuvent s'appli-
quer l'une sur l'autre, point par point , sans déchirure ni duplieature.

* Dans cette équation t, u,v, sont les coordonnées courantes; X ,y,z
sont celles du point de la courbe par lequel passe le plan normal.

" On observera que cela revient à différencier les équations (1), (2), en y
considérant, comme constantes, les quantités /, u, v. Cette remarque s'applique
à tous les cas du môme genre. Elle permet d'opérer directement avec la plus
grande simplicité possible.

( ^74 )

tombe sur l'équation (2), comme conséquence de la différentiation
effectuée sur l'équntion (1), et l'on trouve, en outre, l'équation de
condition

(i). . {t - x) iPx -\- {u — y) (Pu -+- (v — ') cV'z = ùdsd^s. *

Les équations (1) , (^) , (4), déterminent, pour une position quel-
conque de la génératrice (1), ("2), le point de l'arête de rebrousse-
ment situé sur cette génératrice. Les équations (3), (4) permettent
d'exprimer les variables or, ?/, z, en fonction des coordonnées
courantes fy u , v, et de reporter leurs valeurs dans les équations
(1), {"2). En opérant ainsi, on élimine les variables x, y, z, et l'on
obtient les équations finales de l'arête de rebroussement. On peut
d'ailleurs considérer les équations (1), (2), comme étant celles de
cette arête. Il suffit, pour cela, d'y traiter les variables x , y, z,
comme des fonctions des variables t , u, v, ces fonctions étant
déterminées par les équations (5) et (4). Lorsqu'on procède de
cette façon et qu'on différencie, en conséquence, les équations
(1) et i2), on doit observer que les résultats des différentiations
effectuées, par rapport aux variables x , y, z, sont identiquement
nuls en vertu des équations (2) et (5). On trouve, ainsi, très sim-
plement,

(o) dtdx -h diidy -\- dvdz = 0 y

(6) dkPx ■+- dad^y \ dvd^z = o.

De là résulte, en différenciant l'équation (5) et tenant compte de
l'équation ((>),

(7) d^tdx -^ dhidy -\- dhdz = 0.

La différentiation des équations (6) et (7) donne, ensuite,

(<S). d'id'x 4- d-Hcr\ij -+- d'vd-z -f- dld'x -+- dnd:^y -+- dicPz = o ,

(<)). f/'/r/^jc -+- d'udhj -\- dh-d^z + dHdx -i- d'ady -+- dhdz -= o ,

* li est aisé de voir ((uo la rolalion

(ir- -H (bf -f- dz- = (h^ ,
(loniio la snivaiito

(lr(l\r -+- (Jijd'ii H- clzd^z ~ (h . (Ps.

(57S)
et l'on en déduit
(10). dld^x H- dud^jj -+■ dvd^z = d"t,dx -+- dhidy -\- dh^ .dz.

L'équation (V)) exprime que les tangentes, en deux points con-
jugués de la courbe S et de l'arête S' de rebroussement, sont rec-
tangulaires.

Soient m le premier de ces points , et m' le second. On déduit des
équations (5) et (C),

dt dzdhj — dyd^z du dxdh — dzd'^x

dr dyd^x — dxcPy dv dyd^x — dxd^y

Les équations (11) expriment que la tangente, en m' , à l'arête S',
est perpendiculaire au plan osculateur mené par le point m de la
courbe S.

La réciprocité qui subsiste, en vertu des équations (5), (6) , (7),
s'étend à la proposition précédente. On peut donc dire, aussi, que
la tangente, en m, à la courbe S est perpendiculaire au plan oscu-
lateur mené par le points' de l'arête S'.

En combinant les équations (5) et (7), comme on a combiné les
équations (5) et (6), on doit trouver évidemment

dx dvdhi — dud^v dy dtd^v — dvdH

^'^'* di ^ dudH — dtdhi ' dz ^ dudH — dtd^u '

Ces valeurs, substituées dans l'équation (i), donnent

•»

(15). {t — x) [dvdhi — dud'v] + {u—y)[dtdh — dvdH]

-t- {v — z) [dudH — dtdhi] = o.

L'équation (15) étant celle du plan osculateur mené par le
point m' à la courbe S', il en résulte que ce plan n'est autre chose
que le plan normal, en m y h la courbe S.

La combinaison des équations (6) et (7) donne

dzdvd-zd-v ^= [dxd-t -+- dyd^u] [dtd-x h- dud'y],

( S7(; )

et, ou égard aux ('({ualions (')) et (8) ,

clz'lv [dliPx -+- du(Py -+- dvcPz] = [dtdx -t- dndj/] [d'td'x -4- dhtd'y]
— [dxdH -\- dy(fii] [dtd-x -4- diid^y].

De là résulte, toute réduction faite,

dijd-x — dxd-ij dz [dtd^x h- diuPi/ -+- dvd^z]

(14).

dv dud-l — dtd-i(

Cela posé, si l'on transporte dans la formule (5) du n^ 142,
page 304, et dans la formule (1) du n** 144, page 568, les valeurs
fournies par les équations (M), on trouve, d'abord , pour la vitesse
angulaire de la tangente en m,

, , d<7 dud-x — dxdhi

c^)- • • ■ ''=T.- ..s- -'

la quantité dcr étant la vitesse du point m' sur Taréte S' et rempla-
çant, par conséquent, le radical

\/dt^ -+- dii" -4- dv-.

On trouve, ensuite, pour la vitesse angulaire qui anime le plan
osculateur de la courbe S, autour de la tangente en m ,

ds.dv dtd^x ■+■ dudhi ■+• dvdh

(IC). . . W, = -- — ^--

^ ^ da'^ dyd'x — dxd^y

Pour passer de cette dernière formule à celle qui exprime la
vitesse angulaire du plan osculateur en m' à Taréte S', il suffît de
remplacer a par -s, les coordonnées x , 7, ' par les coordonnées
t, V j V, et réciproquement. Cela résulte, évidemment, de la symé-
trie des équations (5), (G), (7), (8) et (9). On peut, d'ailleurs, se
dispenser d'effectuer aucun cbangcment dans le facteur trinôme
dtd'^x -f- difd^fj -4- dvd^Zf vu qu'en vertu de léquation (iO), la per-
mutation à elfectuer n'altère en rien la valeur de ce terme. Dési-

( "^77 )

gnons par W cette vitesse angulaire, et opérons , eoninie nous
venons de l'indiquer.
On trouve, ainsi,

d<7 . dz dld^x -\- dud^ii -\- dvd^z
(1/). . . \\' = ^ ,

(/.s- dud-i — dld-u

et, eu égard à l'équation (14) ,

d7 dud-x — dxd-ft
(18). . . . W' = _..^_^_-/=..w.

La réciproque qui subsiste, de part et d'autre, en vertu des
équations (a), (G), (7), (8) et (9), suffît pour que légalité des vi-
tesses W, W implique celles des vitesses angulaires qui animent
simultanément, l'une la tangente en m' à l'arête S', l'autre le plan
osculateur en m à la courbe S.

On voit, ainsi, comment se vérifient, par le calcul, les déductions
géométriques du n° 145, pages 5G8 et suivantes. On aurait jmi se
borner à constater que le produit

dtd^x -t- dud'ij -+■ dvd^z

W.W,=

ds . de

reste le même, lorsqu'on passe du point m de la courbe S au point
m' de l'arête S'. Il est clair, en effet, que les équations (il) impli-
quent toutes les conséquences développées à leur suite.

Conditions générales des contacts de tons les ordres.

148. Soient deux courbes ayant un point conmiun m.

Si ces courbes ont, en ce point, même tangente, elles se touchent,
et leur contact est du premier ordre.

Si, en outre, elles ont même plan osculateur et même centre
de première courbure, leur contact, devenu plus intime, est dit du
deuxième ordre.

Soient o le centre de courbure commun à deux courbes qui ont

( .w8 )

entre elles un contact du deuxième ordre; L la polaire correspon-
dante, autrement dit la perpendiculaire élevée en o sur le plan
osculateur; i un point quelconque pris sur cette polaire. Il existe,
pour chacune des courbes, une développée passant parle point i.
Considérons ces deux développées. Klles se touchent en /, suivant
la droite im, et leur contact est, en général, du premier ordre.

Supposons que les développées aient en i un contact du second
ordre; le contact des développantes devient plus intime encore, et
il est dit du troisième ordre.

Pour abréger, disons immédiatement qu'un contact de l'ordre
[n — I), entre les développées, implique un contact de l'ordre n
entre les développantes, et réciproquement. Il suit de là que le
contact du quatrième ordre se définit au moyen du contact du
troisième ordre, celui du cinquième au moyen du quatrième, et
ainsi do suite, indéfiniment.

Soient

(I) ^ = A")> .V=r(-)

les équations d'une courbe quelconque S. Celles de la polaire, qui
correspond au point (x, y^z), sont, ainsi qu'on la vu tout à l'heure,

l{t — x)dx-^ {h —y)dy <- [v — z)dz = o,
( {t — x)d^x H- {u — y)dhj + (u — z)d^z = ds-.

Considérons les coordonnées t, », v comme étant celles du
point d'intersection de la polaire avec Tune des développées de la
courbe S. Elles seront les coordonnées courantes de cette déve-
loppée, et celle-ci aura, pour tangente, la droite menée par le point
(x, y, z) au point (/, h, r). De là résultent les deux équations de
condition,

t — X df u — y du

(3)

r — z dv i- — z dv

Imaginons qu'au moyen des équations (1) et (5), on détermine
les coordonnées x, ?/, z en fonctions des variables t, v, v, dt, du ,
dvy et qu'on transporte les valeurs ainsi obtenues dans les équa-

( 379 )

(ions (2). Ces éqiuUions deviendront celles dune développée qiiel-
eonqne de la courbe S. Cela revient à dire que les équations (2)
peuvent être considérées comme étant les équations générales des
développées de la courbe donnée. Il suffît, pour cela, qu'on les
traite en regardant les variables, x, y, z comme des fonctions des
coordonnées courantes tj u, v, ces fonctions étant déterminées par
les équalions (I) et (ô). Il suit de là qu'on peut substituer aux
équations (2) celles qui s'en déduisent au moyen des équations (3).
On trouve ainsi

dt du

i dx — H- dii — -4- dz = 0,

\ dv -^ dv

w

I diX . h dni . ■ \-d-z = •

^ dv dv V — z

Suj)posons, pour plus de simplicité, qu'on prenne la variable v
pour variable indépendante. Il est visible que les équations (4)

déterminent les dérivées premières—? ^, en fonction des quan-
tités r, Xj y, Zj f{z). f'{z), f"(z], -/'{z): les dérivées secondes
~a% ' Jl ' ^" lonction de ces mêmes quantités et des dérivées troi-
sièmes f"'{z), '/"{z)', et ainsi de suite indéfiniment*, les dérivées
de l'ordre (n — i), r ? - — - se trouvant déterminées en fonc-

^ '' dv»-* rfi"-i

tion des quantités^, Xjy,z, /'(r), ^\z\ f"{z\ ^"(z), etc., jusqucs et y
compris les dérivées de l'ordre n, f"{z), f"{z). La réciproque sub-
siste évidemment, c'est-à-dire que si l'on se donne les quantités

dt du dH d^K d"-H d"-^u

etc.

' dv dv dv' dv^ dv''-' dv"-'

il en résulte une détermination complète des quantités correspon-
dantes, x,^, z, r(z), r\^),rV), '/'W, etc., I\z), -/'(r).

Admettons, pour un instant, qu'un contact de l'ordre n établi

* Pour obtenir les dérivées secondes -—5 t^î , il suffît de différencier les

dv^ dv^ ^7.1 f/.-jt

équations (4). Une deuxième différentiation donne les dérivées —. •> jt^ et
ainsi de suite, indéfiniment.

( 580 )

entre doux roiirbcs S, S', implique Tégalité des valeurs que pren-
nent, de part et d'autre, toutes les dérivées successives jusques
et V compris celles de l'ordre n. D'après notre définition, les dé-
veloppantes de ces courbes auront entre elles un contact de l'ordre
n -4- 1. D'après les déductions précédentes, elles fourniront des
dérivées successives qui prendront, de part et d'autre, mêmes va-
leurs, jusques et y compris celles de l'ordre n-\- \. On voit par là
que si le contact d'un ordre quelconque n implique la condition
que nous avons admise, cette condition s'étend d'elle-même au
contact de l'ordre n -4- 1, et, de proche en proche, à tous les con-
tacts d'ordre supérieur.

S'agit-il du contact du premier ordre? La condition énoncée
ci-dessus subsiste évidemment. Concluons qu'elle a lieu pour le
contact du second ordre et, généralement, pour les contacts de
tous les ordres.

On observera que l'égalité des valeurs que prennent, en un même
point, les dérivées qui se correspondent, de part et d'autre, pour
deux courbes S, S', jusques et y compris les dérivées de l'ordre /?,
implique un contact de cet ordre entre les projections de ces
courbes. 11 s'ensuit que, pour établir entre deux courbes à double
courbure, un contact d'un ordre quelconque, il est nécessaire et
suffisant d'établir un contact de ce même ordre entre leurs pro-
jections sur deux des plans coordonnés. La théorie du contact des
courbes dans l'espace se trouve ainsi ramenée tout entière à celle
du contact des courbes planes.

449. Nous avons dit du contact de deux courbes qu'il devient
plus intime à mesure que son ordre s'élève. Nous entendons, par
là, que l'écart qui s'établit entre deux courbes, à partir d'un point
commun, commence par être d'autant plus petit que le contact,
en ce point, est d'un ordre plus élevé. Cherchons à justifier cette
proposition, et, d'abord, établissons les deux lemmes sur lesquels
on peut s'appuyer ici, et, en général, pour tous les cas analo-
gues.

Soit X une grandeur quelconque continûment variable; dx, d-x,
r/'x, etc., ses différentielles successives,

La différentielle dx n'étant autre chose que la vitesse d'accrois-

( 581 )

sèment de la variable x, il est évident que cette variable croît
d'autant plus vite que sa différentielle clx est plus grande.

Supposons que l'on ait dx = o. Partant de zéro, la quantité dx
commence par être d'autant plus grande qu'elle croit plus vite.
Or, elle croît d'autant plus vite que sa différentielle d'x est plus
grande. Concluons que, dans l'hypothèse où la première différen-
tielle s'annule, la variable x croît d'autant plus vite que la diffé-
rentielle d'^x est plus grande.

Le même raisonnement, constamment poursuivi, cojiduit au
lemme suivant :

Lorsqu'une grandeur continûment variable sort d'un état
([uelconque déterminé, elle croit, d\ibord, d'autant plus vite que la
première de ses différentielles successives qui ne s'annule pas est
plus grande.

Supposons que les différentielles successives (/x, d^x, etc., d"~^ x
s'annulent toutes à la fois , et considérons les deux cas qui peuvent
se présenter, selon que la différentielle rf"x s'annule en même temps
que les précédentes, ou qu'au contraire, elle ne s'annule point.
Dans le premier cas, les valeurs qu'elle commence par prendre, au
sortir de zéro, sont moindres, en grandeur absolue, que celles qui
leur correspondent dans le second cas. Cette déduction s'étend,
d'abord, à la différentielle d"~^x, et, de proche en proche, à la
différentielle dx. Cela posé, voici la conséquence définitive :

Lorsqu'une grandeur continûment variable sort d'un état quel-
conque déterminé, c'est en croissant ou en décroissant. Dans tous
les cas elle change, d'abord, d'autant plus vite que la première
de ses différentielles successires qui ne s'annule pas est d'un ordre
moins élevé.

150. Soient deux courbes S, S' ayant un point commun m, et
décrites simultanément par deux points mobiles /x, y/. On suppose
que les points u. y/ sortent du lieu m , à l'instant que l'on consi-
dère, et que leur vitesse est lu même en grandeur. Cela posé, on

( 38i )

peut admettre, comme évident, que lecari qui s'établit entre les
courbes S, S', à partir du point m, commence par être plus ou
moins grand, selon que lécart angulaire des directrices des points
a et u.' remplit cette même condition. Désignons par D, D' ces
directrices et par -^l'angle qu'elles font entre elles.

Les courbes S, S' étant tangentes en m, la valeur initiale de
l'angle ^ est zéro. 11 s'ensuit que 1 écart angulaire des droites D, D',
et, par consé((ucnt aussi, l'écart des courbes S, S' commence par
être d'autant i)Ius grand que la première des différentielles succes-
sives d-^, iP'Y, (f^f, etc., qui ne s'annule pas, est d'un ordre moins
élevé.

Admettons, comme vérité de définition, que l'ordre du contact
établi, en m, entre deux courbes quelconques S, S', soit marqué
par l'indice de la première des différentielles successives df, fP^,
d^o, etc., qui ne s'annule pas pour v = o; la proposition qu'il
s'agissait d'établir se trouve immédiatement démontrée. En effet ,
le contact étant de l'ordre ?î, la première des différentielles succes-
sives qui ne s'annule pas est celle de l'indice n. Or, si l'on substituait
à la courbe S' une courbe S", ayant avec la courbe S un contact d'un
ordre quelconque p, inférieur à n, la première des différentielles
successives df. d^-^ , d^f^ etc., qui ne s'évanouirait pas, pour -^ = 0,
serait celle de Tindice p. L'écart des courbes S, S" commencerait
donc par être plus grand que celui des courbes S, S'.

Soient x, ij, z les coordonnées courantes de la courbe S, et x', y\
z\ celles de la courbe S'. On a généralement

dxdx' -+- dydv' -\- dzdz'

ds . ds'

Les vitesses du, ds' étant suj)posées constantes et prises égales
à l'unité, on peut écrire, identiquement,

(dx- dx/y H- (dij — di/f -f- idz - dz'f

(1 ). cos y = 1 — -^ ^-^ ^-^ '

En différenciant deux fois de suite, on trouve, en premier
lieu,

sin tf .df -^ [dx — dx') [d'x — d^x' ) -+- etc.

( 385 )
en second lieu ,

(2). . . cos '-f'd'/ -+- sin y.rf^ç =^ [(fx — d'x'f -+- etc.
-H (dx — dx') d^x — d^x' ) 4- etc.

Posons V =ro. En vertu de l'équation (1), il faut que l'on ait, en
même temps,

(5). . . .dx = dx', djj := dy', dz = dz .

De là résulte, en vertu de 1 équation (^),

(4). . rf'/ -= [fc — d^x' Y + [^7/ — d-y' J -\- [d^z — d^z' ]\

On voit ainsi que les équations de condition

(S) 9 = 0, d'^ = b.

impliquent les suivantes :

(0) dx^^dx', dy = dy\ dz=^dz', d^x=^d^x\ d^y=^d^y', d^z = dh'.

et réciproquement.

Reprenons Téqualion (2), et différencions -la deux fois de suite.
Il vient, en premier lieu ,

— sin MJ ■+- 5 cos -Mfd--. -4- sin -^d^^ =^ 5 (d-x.d^x') [ifx d^x' ] -+- etc.
-+- [dx — dx' j [d^x - d^x] -+- etc.

et, en second lieu,

(7). _ cos '^df^— r>sin fd-^'^dy + 5 cos v[c^^?]^-»- '' ^'o*^ '^d-fd^f-^ sin ^.(Z*©

= T^[dh^ — d'x'Y+ etc. -f^ 4[rfV— <^V][rf*x — (/V]-+- etc.

H- [(/x — rfx'] [d^x — (fx'] H- etc.

De là résulte, pour le cas où l'existence des équations (5) im-
plique celle des équations ((5), ou inversement,

(8). [d\]' ^ [d'x — dh:' ]' -♦ [dhj - d'y'f -+- [dh - d'z' ]'.

( Ô84 )
On voit, ainsi, que les cciuations de condition

(9). ... f^Oy d^=-o, d--^=^o,

inijjliqucnl les sui>antcs :

/ dx = d.v\ dij = c///', dz = dz\

(10). . . \d'x = d'x', dnj = d'u\ d'z = d'z\

( d^x ^ d'x ' , d'^y = d'y ' , d^z--=- d^z'.

et léeiproquenient.

On trouverait, de même, pour le cas où l'existence des équations
(9) implique celle des équations (10), ou inversement,

[d'^,Y^[d'x-d'x'Y -+- [d'y — d'yf-^[d'z — d'z'f

et, ainsi de suite indéfiniment, lannulation simultanée de l'angle
'j et des différentielles successives dv, d'^j, etc., (/""^j impliquant
les équations suivantes,

[ dx — dx'f -+- [ dy — dy' ]- -^[dz — dz' f=o,
[ d-x — d'x' Y -h [ d-y — d^y' J -4- [ d^z — d'z'J == o ,

et réciproquement. On a d'ailleurs, en même temps,

[(i"yP= [f/"^'a; — (/"+'x'J- -f- [d"-^'ij~d"-^YY -^ [d'^-^'z-d'+^zj.

On voit, par ce qui précède, qu'il est indifférent de l'aire dé-
pendre l'ordre du contact établi entre les courbes S, S' de l'une
ou Tau Ire des conditions énoncées ci-dessus. On peut admettre,
relativement à cet ordre, qu'il est marqué par l'indice de la pre-
mière des différentielles successives df, d'-^, etc., qui ne s'évanouit
point, ou qu'il est moindre d'une unité que l'indice de la première
des différentielles successives dx, dy, dz, d'x, d^y, li'z, etc., qui
cesse d'être égale à celle quilui correspond dans la suite dx, dy',
dz',d^x',d'-y',d'z',tii'., ou bien, encore, qu'il est le même que celui

( 085 )

du contact qui s'établit, de part et d'autre, entre les projections
des courbes S, S' sur deux des plans coordonnés, ou bien, enfin,
qu'il remporte d'une unité sur l'ordre du contact établi entre
deux quelconques des développées correspondantes de ces courbes.
Cbacunede ces conditions implique nécessairement les autres, et
il est démontré que l'écart entre deux courbes, à partir d'un point
commun, commence par être d'autant plus petit, que le contact
contracté par ces courbes, en ce point, est d'un ordre plus élevé.
151. Au lieu de procéder, comme nous l'avons fait tout à l'heure,
on peut partir de l'équation générale

(4). [d''-'r^Y = [d^x — d''xJ-\-[d"y—d''yJ-\-[d"z — d"z]\

supposée démontrée pour le cas où les différentielles succes-
sives f/y, d^f^ etc., d"~^ f s'annulent en même temps que l'angle f.
II vient alors

(2). . [^rvz ^1

^ ' [d"x—d''x'f-^[d''y-dYf-^[d"z—d''z'f

et cette équation ne cesse pas de subsister, alors même qu'on se
place dans l'hypothèse où la différentielle d'*~^f s'annule en même
temps que les précédentes. L'expression (2) se présente alors sous
la forme ^ , et l'on sait que, pour en avoir la vraie valeur, il
sulîit de substituer, à chacun de ses termes, sa différentielle res-
pective. De là résulte, en premier lieu,

' [d^x — d^x'] [rf"+*x — rf"+'x'] -t- etc.

«
Or, ici encore, l'expression fractionnaire affecte la forme-.
On peut donc écrire, suivant la même règle **,

[rf«+i^_rf«+ix7-4- etc.

* Cela résulte évidemment de l'équalion (1).

"* Il est visible que la différenlielle du numérateur se réduit à [W-ff, et
Tome XV. 25

( Ô8(i )
De larcsullc, en conséquence,

(4). . [d"fY = [d'^-^'x — d'^-^'xj 4- [rf"^'y — d"+yY

On voit, par ce résultat, que l'équation (I), supposée vraie pour
une certaine valeur de l'indice n, Test également pour cette même
Videur augmentée d'une unité. Démontrée vraie pour n = % elle
l'est pour /i=3, puis pour » = 4, et ainsi de suite, indéfiniment.
Elle est donc générale.

DU CONTACT DES COURBES ET DES SURFACES.

Sphère oscidatrice.

1 o"!. Étant données une courbe et une surface qui ont un point
commun ni , on dit qu'elles ont entre elles un contact de l'ordre
a, lorsque, })armi les lignes susceptibles d'être tracées sur la sui'-
l'acc, celle qui s'écarte le moins de la courbe doiniée, à partir du
|)oiiit })ij contracte avec cette courbe un contact de Tordre n.

Soit

(1) ^=-f(^,y).

réquation de la surface donnée A, et

(2). . . ij = '^{x) = a -^ hx 4- cx' 4- etc. + px" ,

celle d'une ligne S', située dans le plan des x]j et contractant, avec
la projection, sur ce plan, de la courbe donnée S, un contact de
Tordre n. Il est entendu que le point, pour lequel ce contact sub-

celledu dénominaieur, à

'laub l'hypotljcbt' où Ton a d -^ f = <j.

( Ô87 )

sislc, est la projection, sur Je plan des xy, du point su])posé com-
mun à la courbe S et h la surface A.

Le cylindre (:2) coupe la surface (!) suivant une ligne dont la
projection sur le plan des zx a, pour équation ,

(5) ^-=f{^,?{^))-

Cela posé, puisque l'on a, d'une part, les équations de la courbe
S, d'autre part, celles de la courbe S' *, il est visible que tout se
réduit à vérifier si la ligne représentée par l'équation (5) dans le
plan des zx contracte, avec la projection , sur ce plan, de la courbe
S, un contact de l'ordre u, et à déterminer la plus grande valeur du
nombre n compatible avec cette condition. On ne perdra pas de
vue que le point où ce contact doit avoir lieu est la projection,
sur le plan des xz^ du point supposé commun à la courbe S et à la
surface A. On sait, d'ailleurs, que l'ordre du contact est marqué
par le nombre des dérivées successives qui prennent même valeur
au point rendu connnun aux lignes que l'on considère.

Au lieu de s'en tenir à la définition qui précède, on peut dire
plus simplement que l'ordre du contact établi entre Une surface
et une courbe est marqué par l'indice le plus élevé des différen-
tielles successives qui satisfont à la fois aux équalions de la courbe
et de la surface.

Supposons qu'on ait détei'ininé, par les équations de la courbe,
les valeurs des différenlielles successives (dx, dy, dz), [d^x , d-ij,
d'z), etc., ce qui ne présente aucune difficulté, puisqu'on dispose
arbitrairement de l'une des vitesses dx, dy, dz, et qu'on peut l'as-
sujettir soit à demeurer constante, soit à varier comme on veut.
On substitue ces valeurs dans les équations différentielles de la
surface, en opérant d'abord sur l'équation différentielle du pre-
mier ordre, puis sur celle du second, et ainsi de suite, aussi long-
temps que la substitution reste possible sans incompatibilité.

* Nous avons fait voir au n'' 126, page 521 , comment on délermine les coel-
licients a, b, c, . . .p de manière à établir un contact de Tordre n , entre une
courbe donnée dans le plan des xy cl celle que l'équation (2) représente dans
ce même plan.

( 588 )

L'ordre de la dernière des équations différentielles , qui peut être
ainsi satisfaite, est celui du contact établi entre la courbe et la
surface données.

On observera qu'en suivant ce procédé, il est permis de rem-
placer par léciuation (^) celle de la projection de la courbe S sur
le plan des xjj, et de prendre, au lieu de l'équation (1), l'équa-
tion (ô) qui résulte de la combinaison des équations (1) et (!2).
Cette simple remarque suffit pour faire voir que la première défi-
nition implique la seconde, et réciproquement. On peut donc ad-
mettre indifféremment l'une ou l'autre. Si les conditions qu'elles
expriment diffèrent, c'est par la forme et non point par le fond.

155. Reportons-nous aux considérations développées ci-dessus,
en ce qui concerne le cercle osculateur d'une courbe à double
courbure et la droite menée par le centre de ce cercle perpendi-
culairement à son plan. Toute splière ayant son centre sur cette
droite et passant par le point correspondant de la courbe con-
tient le cercle osculateur. Elle a donc, avec cette courbe, un contact
du second ordre. On comprend dès lors que, parmi ces spbères,
il doit, en général, s'en trouver une dont le contact avec la courbe
donnée soit plus intime que pour les autres et devienne du troi-
sième ordre. La splière, ainsi déterminée, est connue sous le nom
de splière osculatrice. Elle est caractérisée parla condition qu'elle
remplit d'avoir, pour centre, le point de la polaire dont la vitesse
est nulle à l'origine du déplacement de celte droite. Soit

(1). . . . (t-xy^{u~-yf^(v~-zY=n%

l'équation de cette slipère; f, w, v étant les coordonnées du centre;
R le rayon; x, y, z les coordonnées courantes. De là résulte, pour
les équations différentielles des trois premiers ordres,

i{t — x)(ix + (il — y)dy -* {v — z)dz -^ o ,
{t — x)cPx-^(n—y)dhj-i. (v — z)dh = ds%
{t — X )d^x -i- {u — y )dhj -H ( i' — z)d^z = Ms . d^s.

Observons que ces équations reproduisent identiquement les
équations (1), {% (i) du n'^ 147, page 575. La seule différence con-

( 38!) )

sistc en ce que les quantités x, ?/, z sont ici les coordonnées cou-
rantes de la sphère, tandis qu'au n" 1 47 elles sont les coordonnées
courantes de la courbe. S'agit-il du point commun à la courbe et à
la sphère? Les valeurs qu'affectent, en ce point, pour la courbe,
les différentielles successives (dx, dy^ dz), [d^x, d^y, d^z), {d^x,
d^y, d^z), satisfont, ainsi qu'on le voit, aux équations différentielles
de la surface sphérique. Il est donc vérifié que la sphère dite oscu-
latrice contracte, avec la courbe, un contact du troisième ordre.
On sait, d'ailleurs, que les coordonnées du centre de cette sphère
sont déterminées par les équations (2).

Application des théories précédentes à l'hélice.

154. Proposons-nous d'appliquer à l'hélice les théories précé-
dentes, et procédons, d'abord, par voie géométrique. L'uniformité
que présentent ici la première et la deuxième courbure facilite sin-
gulièrement toutes les solutions. Elle suffit, d'ailleurs, pour faire
voir à priori que l'hélice peut, en contractant, avec une courbe
quelconque à double courbure, un contact du deuxième ordre et,
en partie, du troisième, remplir, par rapport à cette courbe, pour
chacune de ses deux courbures, le rôle assigné au cercle oscula-
teur en ce qui concerne les courbes planes.

Soient une hélice H tracée sur un cylindre droit, à base circu-
laire; r le rayon du cylindre; h le pas de l'hélice; a l'angle que la
tangente à la courbe fait avec le plan de la section droite.

Prenons sur cette hélice un point quelconque m , et représen-
Fig. 62. ^oiïs, par ma, la tangente en ce point; par mp, la gé-
nératrice correspondante; paro/i, l'axe du cylindre;
par abop, le plan de la section droite opq.

Le plan map touche le cylindre suivant la généra-
trice mp. Considérée comme située dans ce plan et
comme entraînée par lui dans son enroulement sur
la surface cylindrique, la droite ma vient appliquer
"^ successivement tous ses points sur Ihélice H.

Représentons-nous le plan nuip à l'instant précis où il sort du

( rm )

lien qiril ocf'ii}»o en senroulant sur le cylincli'o. Létal do moiivc-
niont qui l'anime consislant en une rotation simple autour de la
génératrice mp, il s'ensuit que les vitesses actuelles delà tangente
ma sont toutes dirigées parallèlement à la normale mn. De là ré-
sultent, en prejnier lieu , les conséquences suivantes :

Le plan oscillateur de Vhèlice H est, pour le point m, le plan
amn mené par la tangente ma et la normale mn.

La normale mn étant située à la fois dans le plan osculateur
et dans le plan mené , par le poiJit m, perpendiculairement à la
tangente ma, est, pour ce point, la normale principale de Vhè-
lice IL

Soit dco la vitesse angulaire du plan tangent amp, dans sa rota-
tion autour de la génératrice >;îyj. Celte vitesse est, en même temps,
celle du rayon op autour du centre o, et celle de la droite |)a autour
du point/).

Soit W la vil esse angulaire avec laquelle la tangente ma s'écarte
de la position dont elle sort en tournant autour du point m. La
vitesse actuelle du point a pouvant s'exprimer indifféremment
par chacun des deux produits pa.da ^ ma y^, on a nécessaire-
ment

pa

(i) W=-^^ — • do3 = cm rj. . doo.

ma

Soit V ou ds la vitesse du point m sur riiélice IL II existe, entre
cette vitesse et celle de sa projection p, le même rapport qu'entre
les deux longueurs ma, pa. Or, la vitesse du point p a, pour ex-
pression, r.du. Il vient donc

ma r

(2). . . . Y = ds== .r.dco = — — . f/:o.

pa cos a

Désignons, par o, le rayon de première courbure de l'hélice H.
On a

V r

(^)- • • P = TT =^ — r~ ==" ^' (^ -^ ^^"" '^) = ^*ons'^
>> cos a

( ^i'I )

Le centre du eercle osoulaleur étant situé sur la normale prin-
cipale, et celle-ci coupant en n Uaxe du cylindre, on voit que ce
centre se trouve en m\ au delà du point n, à la distance

(4) nm' = p — r=r tg^ a.

Concluons que le lieu des centres de première courbure est une
hélice H' de même pas que l'iiélice H, ayant même axe et, pour
section droite dii cylindre correspondant, ini cercle au rayon
rJgyy..

Soit Cf.' l'angle que la touchante à Ihélice H' fait avec le plan de
la section droite opq. De même que l'on a, pour l'hélice II,

h

de même il vient, pourrhélice H',

h

(fi). ....... tga'

'-ItzV tg' a

La combinaison des équations (.')) cl {(')) donne

(7) tga.tga'=l.

On voit par là que la tangente en m' à Ihélice H' est perpendi-
culaire à la tangente en m à l'hélice H. On sait, d'ailleurs, qu'elle
est perpendiculaire au rayon nm\ Il s'ensuit qu'elle est normale
au plan osculateur amn, et qu'en conséquence elle n'est autre chose
que la polaire correspondante au point ?». De là résultent immédia-
tement les déductions suivantes :

Le lieu des Umgenies à l'hélice H' est la surface polaire de
r hélice H.

L'hélice H' est rareté de rehroiissement de cette surface po-
laire.

Soit p' le rayon de courbure de l'hélice H'. La formule (5), où
Ton doit remplacer r par r/^fV, et igct par tga.\ donne

r/ = rtg^a(I + tr^'),

( 592 )

et, eu égard à léquntion (7),

(8) f>' = r(I -+- tg-^) = p.

On voit, ainsi, qu'il existe entre les hélices H, IF une récipro-
cité remarquable. Cette réciprocité implique les énoncés sui-
vants :

Les plans osculateurs, qui correspondent aux points eonjii-
guès m, m' des hélices H, H', se coupent à angle droit suivant la
normale principale commune mm'.

De même que l'hélice H a son cetitre de première courbure
situé en m', pour le point m, de même Vhélice H' a son centre de
première courbure situé en m, pour le point m.

Le lieu des tangentes à rhélice H est la surface polaire de
l'hélice W \

L'hélice H est l'arête de rebroussement de cette surface po-
laire.

Menons, par le point m, la droite mb perpendiculaire au plan
osculateur amn. Cette droite est située dans le plan tangent amp
et elle y conserve une inclinaison constante. 11 suit de là qu'en
désignant, par n, la vitesse angulaire avec laquelle la droite mb
s'écarte delà position dontelle sort en tournant autour du point m,
on a, d'après la formule (1) , où il faut remplacer l'angle x par son
complément - — «,

(D) a = sini?i .rf«.

Telle est la vitesse angulaire qui anime le plan osculateur de
l'hélice H dans sa rotation autour de la tangente.
Soi! U le ra\ 01) de deuxième courbure. On a.

10).

i -h ts^ a

0

12 Sin a COS a bsx \\

* On voit aisémonl que Us traces de chacune des deux surfaces polaires
sur les seclions droites des cylindres qin leur correspondent sont les dévelop-
j)niiles des eerelcs de hase.

( 595 )

Désignons par W, 12', R' les quantités qui correspondent, pour
rhélice FI', à celles que nous avons représentées par W, n, R pour
Ihéliee H. Les formules (1) et (D), lorsqu'on y remplace a par
a ^= - — a, donnent

(11) W'--sina.rfw.

(1^2) a' == cos «.(/w.

Il vient donc, conformément aux résultats généraux des nu-
méros 145 et 147, pages 509 et 577,

W = a', a = W ,

En opérant sur la formule (10), comme on Ta fait sur les for-
mules (Ij et (9), on trouve

(i5) R'-ptga.

La combinaison des équations (10) et (15) donne, en consé-
quence ,

r/=-RR'.

Ce résultat peut s'énoncer, comme il suit :

Le rayon Oe première courbure de chacune des hélices H, H'
est moyenne proporlionnelle entre leurs rayons de deuxième
courbure.

On observera que, dans le cas particulier où Ibélicc II est in-
clinée à 45° sur le plan de la section droite oy>r/, I hélice H' lui
devient égale. On a, d'ailleurs, en ce cas

p = R =. 2r.

155. Considérons une courbe quelconque S. Désignons par m
l'un de ses points et donnons-nous les deux rayons de courbure cor-
respondants. Soient p,le premier de ces rayons, et R, le deuxième.
Si l'on pose

r{\ -f- te* a)

(1). . . .p=.-(i + tg'.), R= ^ ; ^

ig j.

( rm )

l'on PII (li''<1\iit

i -h ^

L1i('licc (l('tcrmin('e par les équations (2) prend, par rapport à
la courbe S, le i]om d hélice osculatrice. Elle est tracée sur un
cylindre droit à base circulaire. L'axe de ce cylindre est perpen-
diculaire à la normale principale : il la coupe à une distance du
point m ex})rimée par la quantité r, qui est le rayon de la base.
L'angle qu'il fait avec la touchante en m h la courbe S est repré-
senté par f — a. Cet angle s'ouvre, par rapport à la touchante,
du même côté que la courbe s'en écarte à partir du point m.

On observera que le contact établi entre la courbe S et l'hélice
osculatrice déterminée par les équations (2) n'est pas du troi-
sième ordre, bien qu'il soit plus intime que celui du cercle oscu-
lateur.

I5(). L'application du calcul à la détermination des résultats
obtenus, dans les numéros qui précèdent, ne présente auriine dif-
ficulté.

Si, sans rien changer aux notations du n" 154, on prend, pour
axe des Zj l'axe du cylindre sur lequel est tracée Thélice H, on
peut écrire les équations de cette courbe sous la forme suivante :

( 1 ). a; = r cos «, y = r sm w, z = -~~ = r.u. tg «. ,

De là résulte, en prenant l'angle a pour variable indépen-
dante,

dx = — r . sin w . ofw , dy = r cos w.(/&), dz = r tg a , r/w,
d^x = — r, cos w . rfw-, d^y = — r sin w.rf&j-, d^z == o,
d^x = r sin «.rf«^, dJ'y = — r cos w.rfw^, d^z = o.

On en déduit, d'abord.

(2). . V -- f/.s =- Vdx' -^ dy' -+- dz' = r k'i + tg^ y.dco,

( 59;, )
et, comme on a

, dx ros w du sin a , dz

f/. — - = i=zz=: "'^> d.-j-= . dco . ^L —-^ 0,

d'^ l/j-f-tg'^a ^« V^l-i-tg^-y. ^^'

il vient

,Mv^v'('a^(4r

4r_

dz)

V I 4- tg- a
Les équations (2) et (5) donnent

W • p = — =K» + »g-4

On a de même

(/'-j: [dijd'z - dzdhj] -t- (/^y/ [dzd-x — dxd'z] + f/-^.; [r/x^/- y — (/j/r/-;r]
^^ " ^ "^ [dijd.-z — r/?r/^^yy]- -+- f//rrf-.T — dxd'zf -f- [//.Tr/^y — dyd'xj'

^= — ziziziizr "'■'' >

|/1 -+- tg'a
et, par conséquent,

^ V r{\ -t-lg-a)
6 R-=- "" ^

il tû- a. tg

S'agit-il ensuite de la surfiice polaire? Les équations générales
1) et (2) du n" 147, page 575, deviennent respectivement

(7). .

n cos w — f sin w = {rcc Ig a — v)\^>x.
V sin w 4- / cos w = — r tg- x.

On en déduit
et. par suite,

( 596 )
ce qui donne

(8). . . "- ^ ^_^ ==-rtg^.,

+- H sni - — - d= V -T-r - M

Lr tgji ▼ r-tgV. J /

pour Tcqualion ehcrcliée de la surfaec polaire.

Si l'on ajoute, aux équations (7), l'équation (4) du n" 147,
page 574, en observant qu'elle se réduit à

(9) ^ sin co — 1/ eos w = o,

la combinaison des équations (7) et (9) détermine l'arête de re-
broussement de la surface polaire. On trouve ainsi, pour équa-
tions de cette arête,

(10). / = — r' cos œ, î( =^ — r' sin w , v = r'w tg «',

la quantité r' étant égale au produit rtifcx., et l'angle o:' au complé-
ment de l'angle a , - — a,

La comparaison des équations (1) et (10) fait voir que l'aréle de
rebroussement de la surface polaire n'est autre que l'hélice H' du
n" lo4, page 591. On reconnaît, d'ailleurs, aisément que les résul-
tats obtenus d'abord par voie géométrique s'accordent avec ceux
que nous venons d'établir au moyen du calcul.

137. Reportons-nous aux considérations du n" 14G, page 570,
et proposons-nous de déterminer la forme qu'affectent les déve-
loppées de l'hélice H. il est visible à priori que ces développées
ne diffèrent (pie par leur position. On sait, d'aillciu's, quelles
deviennent droites dans le développement de la surface polaire
et qu'elles concourent toutes en un seul et même point, le point
où se concentre la trace de la développanle.

Considérons la transformée de Ihélice H' dans le développe-
ment de la surface polaire. Cette courbe a, pour courbure, en
chaque point, la première courbure de l'hélice lî'. Il s'ensuit
qu'elle se résout en une circonférence de cercle au rayon

p:^r(lH-tg'^)=:r'(l -f-tg^^'),

( 3Î)7 )

les notations restant les mêmes qu'aux numéros préeédents et r'

étant, en conséquence, le ra}on du cylindre sur lequel est située

l'hélice H'.

Prenons le point o pour centre, et, avec un rayon om' égal à p,

„. ^9 traçons une circonférence de cercle C. Si l'on consi-
Ftg. O'j.

dère cette circonférence comme la transformée de

l'hélice H', la trace de l'hélice II est en o, et c'est par
ce point que passent les droites suivant lesquelles les
développées de l'hélice H viennent se rectifier.
Soit omn l'une de ces droites. La polaire P', menée par le point
m', se rabat suivant la tangente en m' a la circonférence C. Le seg-
ment m'Hj intercepté sur cette tangente entre le point m' et la
droite onm^ est la partie de la polaire P' interceptée entre l'hé-
lice H' et la développée qui part du point m. De là résulte, en
désignant par j; l'angle m'om ,

m' 71 == p tg >f = r'[l -+- tg^ a] tg ^.

Considérons la polaire P' dans sa vraie position. La projection
du segment m'n sur le plan de la section droite a, pour expres-
sion,

(1) i)i' n . cos oi' = p l^ vj . cos x\

On a, d'ailleurs, pour la longueur <j de l'arc mm',

Sans rien changer à la ligure, imaginons, maintenant, qu'elle
représente la section droite du cylindre sur lequel est tracée
rhéhce H', et que le point m soit la projection du point où cette
hélice est rencontrée par la développée que l'on considère.

L'arc ff reporté à partir du point m sur l'hélice H', ayant con-
servé sa longueur, aura, pour projection, sur la circonférence C
un arc a' déterminé par l'équation de condition

a' --^ (7 COS jc' ^^ p . If COS a'.

( ^>'^>^ )

Supposons cet arc représenté par mm', le point m' étant la
projection du point où la polaire P' vient couper l'hélice H' *. Si
l'on désigne, par •<', l'angle correspondant mom\ on doit avoir

r'-^' z= a' = c, .>j , cos ù;'.

De là résulte

f> 1 -^- tg'y- Jf **

)j = — '^ . cos a = •< . ■ COS <y. = •

r tg'' j. sin a

Observons ici que la polaire P' se projette suivant la tan-
gente mn. Si donc on porte, sur cette tangente, à partir du
j)oint m', une longueur m'a égale à la projection déterminée par
l'équalion (1), et ipi'on pose, en conséquence,

(5) V/i'/i' =p.cos a'.tg i; = /•' -^ ,

sin X

on a, en )t', la projection du point où la développée que l'on consi-
dère vient couper la polaire P'.

Prenons la dioite omn pour axe, et désignons, par A, le rayon
vecteur 0//'; par 0, Tangle n'on. La tangente de l'angle ui'on' étanl

égale

à

m'n
om'

}/^^

r y r ■

, — 1.

Ou

a évidemment

^' —

arc tg \/ -^> —

1.

On

a, d'ailleurs,

y

'•1
sin a

* On lie pci'dra pas tic vue «[ue si la figure est resléc la nièine, c'est en ex-
primant des choses diiïéientes.

** Ou sait que le? aii^le^ jc , x' i.oni cuiupléniculs Tuii de l'autre.

( 5iiy )

cl réquatiuii (5) donne

— — smx

r

Il vient donc, en substituant,

arc Ig sm a w — _ i

I / > 2 /Tô

;/..). 0 = -._- arc Ig sin . y/ 4^ " 1 " «-'«^ 'S • V ?i "

et telle est l'équation, en coordonnées polaires, de la courbe sui-
vant laquelle la développée de l'hélice II se projette sur le plan
perpendiculaire à Taxe de cette hélice. Rapportée au système
des coordonnées rectilignes du n" 1 jO, cette équation devient

(o). arc tg ~ = -r^ arc Ig . sni y. ^ ~yi * — ^''^" *ë • y —77 1 ,

ou, réduisant,

(0). . — ---Hy-l^lg

arc Ig . sin j;\/ ;:^ 1 ,

l sui t>;

Si l'on joint, à Téquation (ti), celle delà surface polaii'c

(7). t cos

-7-^V-7^-'J-™[-7-^V-7^-'}

r.'

On peut considérer les équations (0) et (7) comme déterminant
d'une manière complète la développée de Ihélice H.

La discussion de l'équation (4) montre que les branches de la
courbe représentée par cette équation, et partant du point m , sa-
tisfont aux conditions suivantes :

1" Elles ont en m un point de rebroussement du premier genre :
leur tangente commune, en ce point, est la droite oui.

Ollecqualioii ne ilifiëre de I équation (8) du n** lo<3, page 5'JO, que par
!a suhbtiluliou de la «juaiilite r' au piuduit r.f'j''<y..

( ioo ) -

'2° Elles ont, pour asymptotes, les droites menées à la distance r
du point 0 sous linclinaison

T I — sin a,

<j.-^db-. :

sui a

Remauquk. — Eu désignant, [mvy, I angle sous lequel la courbe
coupe son rayon vecteur, on a généralement

VS-

-71 ig'^

CHAPITRE IX.

DES SURFACES.

(iiiivndwn des surfaces par une ligne ntohile.

PRINCU'ES FONDAMENTAUX.

158. Etafit donnée une surface quelconque, on peut la consi-
dérer comme le lieu d'un système de lignes qui se succèdent con-
tinûment, et l'on est libre de déterminer ces lignes d'une inlinilé
de manières difrérentes. Admettons, pour plus de simplicité,
qu'elles résultent des intersections faites dans la surface par un
plan mobile de direction constante. 11 s'ensuit que la surface admet,
pour génératrice, une ligne située tout entière dans le plan mo-
bile, entraînée par ce plan, et cliangeant, en général, de forme
en même temps qu'elle change de position. Imaginons qu'on fixe,
sur la génératrice, un de ses points, et qu'on assujettisse ee point

( 401 )

à glisser sur la surlace le long d'une trajecloire déteniiiuée. Uieu
ne s'opposantà ce qu'on procède ainsi, nommons

A la surface donnée;

Q un plan mobile, de direction constante ;

S, la section faite dans la surface A par le plan Q;

m un point supposé fixe sur la ligne S, ;

Sy la trajectoire du point m sur la surface A.

Soit 1^ un point mobile assujetti à glisser sur la ligne S, et sor-
tant du lieu ni à l'instant que l'on considère.

La vitesse V du point ^a, sur la surface A, a pour composantes :

1" La vitesse Vj. du point /n sur la ligne S^;

2" La vitesse Vy du point m sur la trajectoire S^.

Ces deux composantes sont dirigées respectivement suivant les
tangentes menées, par le point ?>?, aux sections S^ et S^. Soit P le
plan déterminé par ces deux tangentes. Les vitesses V^, V^ étant
dirigées dans le plan P, il s'ensuit que ce plan contient nécessai-
rement leur résultante V et, par conséquent aussi, la tangente
menée, par le point m , à la trace du point /u. sur la surface A.

Observons que le plan P demeure invariable indépendannncnt
du degré de grandeur attribué séparément à cliacune des deux
composantes V^, V^. Observons, en outre, (ju'en cliangcantle rap-
port de ces composantes, on dirige, comme on veut, dans ce plan,
la résultante V. Cela revient à dire qu'on est libre de choisir pour
trace du point /u. sur la surface A, Tune quelconque des lignes tra-
cées sur cette surface à partir du point m. Quelle que soit cette
ligne, sa tangente, en m, est comprise dans le plan P.

Concluons que le plan P contient, en général *, les tangentes
menées en m à toutes les courbes tracées par ce point sur la sur-
face A.

On désigne sous le nom de plan tangent le plan mené, en un
point d'une surface, par deux quelconques des droites qui tou-

On voit aisémeiil que la démonstration sérail en défaut , si Tune ou Tau ire
des deux vitesses V,,, V,^ était nulle, ou qu'il y eût discontinuité dans le clian-
genienl de loiine subi par la liyiie S, au sortir du lieu qu'elle occupe.
Tome XV. 20

( 402 )

chent la surface en ce point. Le résultat auquel nous venons de
parvenir peut, en conséquence, s'énoncer comme il suit :

// n'existe, en général, pour chaque point d'une surface qu'un
seul plan langent . Ce plan contient à la fois toutes les droites qui
touchent la surface en ce point *.

150. Nous avons établi au n" 104 (voir pages 267 et suivantes)
que le changement de forme de la ligne S^ ne peut altérer en au-
cune façon la vitesse angulaire qui anime la directrice du point yu
au sortir du lieu m. Cette vitesse est la même que si la ligne S^ per-
sistait dans sa forme actuelle et qu'elle tournât autour du point m
comme le fait sa tangente en ce point. Plaçons-nous à l'instant
précis où le point ^i sort du lieu m , et nommons

w, la vitesse qui anime la ligne S^. dans sa rotation autour du
point m ;

W, la vitesse avec laquelle la directrice du point fx, s'écarte angu-
lairement de la tangente en m à la ligne S^;

a, la vitesse totale angulaire de celte même directrice.

On a évidemment

(1) i>==W-+-co.

Partons de là et, considérant ce qui se passe dans le plan Q,
lorsqu'on le regarde comme fixe, c'est-à-dire lorsqu'on fait ab-
straction de la translation qui l'anime, proposons-nous la question
suivante :

Soit mX une droite quelconque menée par le point m e^ sup-
posée fixe dans le plan Q. On sait que la ligne S,, tourne autour
du point m avec la vitesse a. Cela posé, on demande de détermi-
ner la différentielle de la vitesse avec laquelle le point y. s'écarte
de la droite mX, au sortir du lieu m sur la ligne S^.

* Ce principe a déjà été démontré au ii" 27 de la deuxième partie. Le lec-
teur peut d'ailleurs se reporter au ii" lOi de la troisième partie, pour ce qui
concerne Tindépendance existant, d'une part, entre le changement de forme de
la génératrice mobile, d'autre part, entre la vitesse actuelle du point ,« sur la
li^iie Sj; cl la rotation de la directrice de ce point au bortir du lieu ??t.

( m )

Supposons le point p situé en n sur la ligne S^, et rein'ésentons,
par ni y la tangente en ce point.

Soient z^/i;; la perpendiculaire abaissée du point » sur la droite
mX;
X ^= mp la distance du point m au pied de cette perpendi-
culaire ;
a l'angle de la tangente ni avec la droite mX.
La vitesse communiquée au point n delà ligne S, par la rotation
w établie autour du point m a, pour composantes :
i" Une vitesse co.x dirigée suivant pn;
2" Une vitesse —a.z parallèle à mX.

Soit V la vitesse qui anime le point p sur la ligne S^. Cette vitesse
Fig. 64. ^î) pour composantes :

P X 1" Une vitesse v.sin a dirigée suivant np;

y^r 2° Une vitesse v.cos a parallèle à mX.
j^^ De là résulte, pour la vitesse totale avec la-

quelle le point (j. s'écarte de la droite 7«X, au sor-
ir ^ ^'^ tir du lieu n ,

z =^ dz= (; . sin a H- cc.ûc

On a, de même

jc = dx = t^ cos a — co.z

ce qui donne

X ■+- CC.Z

COS a

et, par suite,

(2)

(Iz = {JC -\- u.z) tg a -h « . X

Regardons la vitesse oc comme constante et, après avoir diffé-
rencié l'équation (2), reportons le point n en ïh , ce qui revient à
annuler les variables x et z dans le résultat de la différentiation.
On trouve ainsi

JC,j, , i"(i-+-co)

COS^ a COS^ a

( 404 )

La vitesse J; n'étant autre chose (lue la vitesse angulaire dési-
gnée ci-dessus par il dans Téquation (l), on a

Il vient donc, en substituant,

Ce résultat peut sénoneer, comme il suit,

Lorsque la ligne S^ ne tourne pas autour du point ni, la dilJ'é-
renlielle d'^z est égale à la vitesse du poiid décrivant multipliée

" Soient (wiX , ?«Z) , {ïiiï, mU) deux syslèmes d'axes eooriloiinés reclan-
gulaires, l'un lixe, l'autre mobile avec la ligne S,, et participant à la rotation
de cette ligne autour du |)oint m. En désignant par >? l'angle variable X?nT,
on a '

z = t sin •< -h u cos yi, j; = tcos^i — u sin j^ ,

t , u étant les coordonnées du point ti par rapport aux axes mobiles {niT, ml]),
en même temps que x , z sont les coordonnées de ce même point par rapport
aux axes lixes mX, iiiL. (Voir la fig. 64, page 405.)
De là résulte, en premier lieu,

dz = dl . sin ^-\- du cos t^ -h ( ^ cos y, — u sin j; ) dy, ,
dx = dt cos vj — du sin yi — {lûwyj-\- u cos y) d^j.

bitlerenciant une seconde fois, et annulant les quantités t, u, x, z, y, dans le
résultat de la différentiation , on trouve

d-h = rf2 u H- ^dtdii = d'^ u -t- 2ccf/a;, d-x=dH - %lud^ = dH — 2x.dy.

Soit a l'angle (jue la tangente en m à la ligne Sx l'ait avec la droite 7nT, on
a , généralement,

du = dl . tg a. ,
et , par suite ,

d^u = — -H dH . tg .7. = — -— - + r/^'/ . ig ^ ,

cos'^ a cos- (j;

la dilïér<»ntielle da représentant ici la vitesse angulaire avec laquelle la direc-
trice du point f.c tourne i»ar rapi)orl à la droite mT, et étant égale, en consé-
quence, à la «luantile W.

( w;> )

■j)((r lu vih'Sf^e anfjululre de lu directrice et divisée par le carré du
cositiifs de Vanifle fine la tangente en m fait avec la droite mX.
Lorsfjue la lie/ne S^, tourne autour du point m, la rotation éta-
blie autour de ce point produit, en ce qui concerne la différen-
tielle àh, le même effet qu'une rotation double établie autour du
point décrivant.

Dans le cas particulier où In droite mX touche en m la ligne S^,
on a, plus simplement,

(:;) d'z = oc[w -^^co].

De là résullent les énoncés suivants :

Lorsfpiun point assujetti à décrire une cou7'be sort d'un lieu

On a (l'nilhMirs, d'apivs ce qui précède,

De là résiillr, apKs substitution et réduction ,

d.2;(\V+2cc)
cos- o:

Otte dornièro éqiiation se réduit à

W-4-2C0
dH = r— .r/.r,

lorsqu'on prend x pour variable indépendante et qu'on annule, en conséquence,
la dilTérentielle cFx.

Ce résultat est celui du texte. Si le point n restait quelconque , et que l'on se
bornât à annuler la variable Vi, on trouverait généralement

d'^z = d^'u -f- 2d/f/>î -^ xd'^)/i - z {dyf
d'œ=: rpt — 2dudyi - zd^^i - œ{di^y^
et, par suite,

d-^z = -i-—}[œ-^c.\.) ^ ^^2^ ^XQ.^^^do:lœ-\-z tg a) -f- cc2 (^ tg a; — z).
cos^ <x

On observera que , dans le cas particulier où Tangie a se réduit à zéro, l'équa-
tion du texte subsiste avec ses conséquences, indépendamment delà con-
stance attribuée à la vitesse i" ou dx.

( 40() )

(jvvlcoïhfue détenu uU'j la dî/fére/ttielle de la vitesse , avec laquelle
il s^ écarte de la tamjente en ce lieu, a, pour expression, le produit
de sa vitesse propre par la vitesse anyiclaire de sa directrice.

Si l'écart est pris par rapporta la droite fixe suivant laquelle
la tangente est d'abord dirigée, et que cette tangente tourne autour
du point de contact, la rotation établie autour de ce point pro-
duit, en ce qui concerne la différentielle de la vitesse d'écart, le
même effet qu'une rotation double établie autour du point décri-
vant.

IGO. Au lieu d'opérer comme nous venons de le faire, on peut
procéder directement par voie géométrique. En effet, on a d'abord,
ainsi qu'on l'a vu tout à l'heure,

i = (i -t- oi.z) tg « -4- w.xr

Il est clair, d'ailleurs, que cette vitesse d'écart se compose de
deux parties distinctes, l'une co. x provenant de la rotation établie
autour du point »i^ l'autre (i -+- cc.z, tga due au glissement du point
P sur la directrice nt. La composante (i -f- œz) tgx s'obtient en me-
nant par le point n une parallèle à wX, prenant sur cette parallèle
une longueur nq égale à la somme x h- «.j: et achevant le triangle
nqt dont l'angle en q est droit. Cela donne

qt = [x -4- oj.z) tga.

S'agit-il maintenant de la partie correspondante de la différen-
tielle^? Elle n'est autre chose que la vitesse avec laquelle le point
t glisse sur la droite qt , lorsque le point q se meut sur nq avec la
vitesse d[x ■+■ uz], et que l'hypoténuse nt tourne autour du point
n avec la vitesse à = W h- w.

La vitesse d[x + wr], ayant pour expression générale x-h '^z~{- coz,
se réduit à

oi.Z = co.x tg a,

dans le cas où le point n est reporté en m et qu'on considère la
vilc^sr» .i ('(uninc conslnnte.

( 407 )

Parle point / menons une parallèle à mX (voir la lig. 04, page
405) et , sur celle parallèle , prenons la longueur

tb — w.i; tg ce.

La vitesse du point t a son extrémité située quelque part sur la
droite bV menée parle point b parallèlement à qt.

Élevons en t une perpendiculaire à nt et, sur cette perpendicu-
laire , prenons la longueur

ta = (W-4- ce) nt = -^ ^-^ = ^ '— •

COS a COS (X

La vitesse du point t a son extrémité située quelque part sur la
droite at' menée par le point a parallèlement à nt.

Soit t' le point situé à la rencontre des droites bt', at' : il' est la
vitesse du point t, et bt' la composante cherchée.

Prolongeons la droite nt jusqu'à sa rencontre en c avec le seg-
ment bt'. On a évidemment

. , , , , «^ . a (W -+- w) ac
bt=bc-k-ct=^l)t.ie.a-\ =w.xtg'^aH •

COS o: COS «

La partie de la différentielle z qui correspond à la vitesse w.ac est
d'ailleurs w.x. De là résulte, en premier lieu,

(W-+-C0)X

^ = co.x-f- w.xtg*a H :

et, après réduction,

x(W-4-2«)
(1 ^ = - T— ^'

résultat identique à celui du n" 159, et comportant, en consé-
quence, les mêmes énoncés.

( 408 )

Tlu'orhno des lançfcnies rirlproqucs.

101. Soient une surface quelconque A;

0 un point de cette surface;
OX, OY deux droites menées par le point 0 (an-
gentiellement à la surface A ;

OZ la perpendiculaire élevée en 0 sur le plan

z

^ XOY

/ \jr Sy la section faite dans la surface A par le plan
^ ' ZOY;

Q un plan mobile assujetti à rester parallèle au plan ZOX;

S^ la section faite dans la surface A par le plan Q ;

m le point commun aux deux sections S^, S^.

Prenons les droites OX, OY, OZ pour axes coordonnés, et pla-
çons-nous à linstant précis où le i)lan Q sort du lieu ZOX, le
point m étant considéré comme fixe sur la section S^, et glissant
avec la vitesse y le long de la section S^.

Imaginons quà ce mcmc instant il y ait en m un point mobile
/a, assujetti à rester sur la section S,, et sortant du lieu m avec la
vitesse x.

En désignant par W^ la vitesse angulaire de la directrice du
point î>i sur la ligne S,,, la différentielle de la vitesse avec laquelle
ce point s'écarte de la tangente OY au sortir du lieu 0 a pour ex-
pression le produit

ii.w,. '

Soit co,i la vitesse angulaire de la tangente en m à la ligne S. et
\s^ celle qui anime la directrice du point y. par rapport à cette
même tangente. Si, toutes choses égales tV ailleurs, le point m
était fixe, la différentielle de la vitesse avec laquelle le point ^a
s'écarterait de la droite OX au sortir du lieu m aurait, pour expres-
sion , le produit

* Voir, :iii besoin, lo ii" KiO on lo ii'^ 100. pages i02 ol snivanfos.

( \W )

En réalité, la vitesse du point m se eommiiniquc à tons les poinls
(le la ligne S^, et, par conséquent, au point ju. Il suit de là que la
différentielle de la vitesse avec laquelle le point /u s'écarte du plan
XOY, au sortir du lieu 0, est la somme des deux différentielles
précédentes. Ou peut donc écrire

(1). . . . r = rf'.- = ?/.W, -+-2x.w,-f-.fW,.

On voit d'ailleurs , aisément, que la direction suivie par le point
ju, au sortir du lieu 0. est complètement déterminée, par les deux
vitesses oc, y*.

Au lieu d'opérer comme nous venons de le faire, on peut sub-
stituer la section S^ à la section S,/ et réciproquemment, c'est-à-
dire considérer la section faite dans la surface parallèlement au
plan ZOY comme étant celle qui se déplace et que le point /u. dé-
crit, tandis que le j)oint m glisse sur la section S^. supposée fixe
dans le j)lan ZOX. Si l'on désigne alors par co,. la vitesse angulaire
de la tangente en m à la ligne S,,, il vient, comme tout à l'heure,

(:2) zr^d'z^ i. W, -\- 2//«, -»- y/ . W,.

Rien d'ailleurs n'est changé dans la direction suivie par le point
/u, au sortir du lieu 0. Il faut donc que les équations (l) et (2) sub-
sistent en même temps. De là résulte, en général,

et, pour le cas particulier où Ion prend la vitesse x égale à la
vitesse y^

(4).

Soit / Tangie XOY, et ce colui que fait avec Taxe OX la direolioii OL suivie
pai' le iKtint ,ci, au sortir dn lieu 0, on a évidemment

sin (X y

sin(A — <x) X

Dans le cas particulier oii l'on pose x =r y, la droite OL est dirigée suivant
la bi<serlrieo de rannl<> XOV.

( 410 ) ' .

Traduite en langage ordinaire, l'équation (4) exprime une pro-
priété curieuse qui comporte de nombreuses applications et qu'on
peut énoncer, comme il suit :

Soit P un plan tangent en 0 à une surface A; OX, OY les traces
sur le plan P de deux sections normales S.^, S^. Nous désignons,
sous le nom de tangentes réciproques j deux tangentes conjuguées
entre elles et respectivement assujetties, l'une à rester parallèle au
plan de la section S^ tandis que son point de contact glisse sur la
section S^, l'autre à rester parallèle au plan de la section S^ tandis
que son point de contact glisse sur la section S,.

Cela posé, voici l'énoncé dont il s'agit :

Lorsque deux tangentes réciproques sortent en même temps des
sections normales qui les déterminent , et que leurs vitesses de
translation sont les mêmes en grandeur, leurs rotations autour
des directions suivies par leurs points de contact sont égales et
de signe contraire.

L'équation (4) exprime directement qu'il y a égalité entre les
vitesses angulaires avec lesquelles les tangentes réciproques con-
sidérées s'écartent simultanément des positions dont elles sortent
à l'origine de leur déplacement. Pour passer de ces vitesses angu-
laires aux rotations mentionnées dans l'énoncé qui précède, il
faut les diviser chacune par un même facteur, le sinus de l'angle
que font entre elles les traces OX, OY. L'égalité des vitesses angu-
laires qui figurent dans Téquation (4) implique, en conséquence,
celle des rotations qui leur correspondent respectivement autour
des directions déterminées par ces traces. On voit, d'ailleurs, aisé-
ment que ces rotations sont de signe contraire, les écarts expri-
més par les produits y.w, , ocm,, étant nécessairement de même
signe.

De l'égalité f'^, ,. (x, y) = fj, , (x,y).

IG^. Sans rien changer à ce qui précède, imaginons que les
axes OX, OY ne soient pas tangents en 0 à la surface A.

Si l'on désigne, pai' a, l'angle que la tangente en O n la section

( '^n )

s, fait nvec la droite OX ol, par fj, l'angle (jiie la langoiite en 0 à la
seefion 8,^ fait avec la droite OY, il est visible qu'en opérant, eonime
tout à riieure, on trouvera d'abord

cos'' 6 cos'-^ a eos* a
et, ensuite,

z =^- a Z =r= — — - -f- 1 — - ?

COS'* a COS'^ 6 COS" ê

le tout, conformément au théorème général du n" 159 ou du
n« 1G0.

Les équations (1) et (2) impliquent, comme conséquence,

«X XCOS^ê
('->) —=- _.

cjy y COS'' a

Supposons qu'on détermine les vitesses x, y de manière à ce
qu'il existe entre elles le même rapport qu'entre les carrés des
cosinus des angles x et f>; on aura

X cos^ oc

4) . - = — — ,

^ y cosH

et, par suite,

(5) a^= :c!/.

L'équation (5) subsiste, en général, sous la double condition que
l'axe OZ soit perpendiculaire au plan XOY et que Téquation (4)
soit satisfaite. L'énoncé qu'elle comporte est analogue à cebii que
nous avons formulé dans le numéro précédent.

Soit

(<^>) ^ = /'(^,.V),

l'équation de la surface A; on en déduit génénilement

(') ^^^-^fA^,?/)-

(412)

Différencions l'cMiuation (7) on y ronsidc'ront la variable x
comme eonslante et en observant (pie la dlifcrentielle o-. n'est autre
cbose que la vitesse angulaire désisfnéc ci-dessus par a\^. On trouve
ainsi

(8) -^r=y.f':^,^{x,y).

vos- a

On a, de même.

^'^^'^f"A-^,y)^

et, par suile.

eos' h

La comparaison des équations (8) cl (0) donne, en vertu de l'équa-
tion (ô),

(10) llÀ^,v)-riÂ^,y)'

Ce résultat, qni nous est déjà connu , s'établit ainsi très-simple-
ment. On sait, d'ailleurs, qu'en le posant à priori , d'après la mé-
tliode des limites, on en déduit immédiatement le tbéoième des
tangentes réciproques.

IGÔ. L'égalité

peut s'établir sans autre secours que celni de la gi'omélrie plane.
Etant donnée l'équation générale

(I) '==AK?/).

considérojis-la comme déterminant, pour cliaque valeur de la va-
riable }j, une ligne plane désignée par S et rapportée à deux axes
coordonnés rectangulaires OX, OY.

Soit m un point quelconque supposé fixe sur la ligne S et «
l'angle que la louebante en ce point fait avec l'axe OX. On a , gé-
néralement,

(2) tga^/':(.T,7/).

( '<I3 )
Assujettissons le point m h conserver toujours la même abscisse
et différencions l'équation (^2) dans cette hypothèse. On trouve
ainsi,

^ =;/■/■:.,(--?;)•

j. étant la vitesse angulaire qui anime la ligne S dans sa rotation
autour du point »? , alors que ce point glisse sur l'ordonnée qui lui
correspond, et qu'entraînée par lui, la ligne S sort du lieu qu'elle
occupe en changeant de forme et de position.

Soit p un point mobile assujetti à rester sur la ligne S et sortant
du lieu m à l'instant que l'on considère. L'ordonnée de ce point
étant représentée par z , il est visible que la partie de la différen-
tielle z ou drz qui correspond au glissement du point ni sur son
ordonnée a pour expression

La partie de cette différentielle qui correspond au niou\ement
du point y. sur la ligne S est donnée \n\i la l'ornuile (i) du n" loi),
page 404. On a aijisi

i:(VV-+-2û:) W.i , . ,.„

et de là résulte évidejumcnt

W.i-
(5). . . ;; = d'z = -—- -h "^xy/Zix, y) -f- ^Y;(x, y).
cos a,

Observons ici que pour avoir l'expression de la quajitité VV^, il
sulïit de différencier l'équation ("2) en y considérant la variable //
comme constante. La valeur qu'on obtient ainsi pour à est précisé-
ment celle de la vitesse angulaire W. Ce procédé donne

\V

( 41 i )
Il vient donc, en substituant,

(4). . ï = (H = xY;(x, y) -t- 2x^/:;, {x, y) -4- y' . f;(x , y).

Cela posé , différencions deux fois de suite l'équation (1 ) et effec-
tuons cette opération en nous conformant à la marche suivie dans
ce qui précède , cesl-à-dire en considérant comme constantes les
deux vitesses x, ?/. Le résultat étant

(5). z =: d'z = x'Pioc, y) -t- iy [f:,y{x, y) -\- /;%(x, y) ] + iff^ix, y\

on voit, par sa comparaison avec l'équation (4), qu'il implique
l'égalité

(6) tly{:x.y) = fyÂx,y)'

Cette égalité peut d'ailleurs s'écrire, comme il suit,

^^^ \dx.dy]^\dy.dxl'

Plan liDtycnt. — Xortnah. — Plans normaux.

1()4. Nous avons vu au n" 158, page 40:2, quil existe, en géné-
ral, pour chaque point dune surface un plan unique, contenant
toutes les droites qui touchent la surface en ce point. Ce plan est
déterminé par deux quelconques de ces droites : on le désigne
sous le nom de plan tangent.

Veut-on chercher directement l'équation du lieu qui contient,
pour un point quelconque d'une surface, toutes les tangentes
menées par ce point? Voici comment on peut procéder générale-
ment.

Soient A la surface donnée, et

(») ¥[x,y,z)^o

son équation. Concevons un i)oint u assujetti à rester sur la sur-

( -Vlb )

l'ace A et sortant du lieu tn à 1 instant ({110 l'on considère. On a, en
général ,

(^'> S''^-^©''^-^0"^'=^''-

les quantités r/2?, di/j dz étant les trois composantes de la vitesse
du point y-, ou, ce qui revient au même, les projections de cette
vitesse sur les axes coordonnés.

Soit mn le segment de droite qui représente, en direction, sens
et grandeur, la vitesse du point y. au sortir du lieu m. En dési-
gnant, par tj u, Vf les coordonnées du point n et, parx, 1/, r,
celles du point m , on a

dx = / — X, dy = u — y, dz = v — z.
Delà résulte, en substituant,

,5). .(,_.) (I). („_,) g). (._.) (3 = 0.

L'équation (3) est celle d'un plan passant par le point m et com-
plètement déterminé par les valeurs que les dérivées partielles
[d^i ' (rfr) ' Uf) ^ff^^^^c'^^ ^" ^^ point. Elle est en même temps le
lieu des points n et, par conséquent, celui de toutes les droites
qui touchent en m la surface A. Ce résultat s'accorde avec les dé-
ductions du n'^ 158. 11 fournit, en outre, l'équation générale du *
plan tangent en un point quelconque d'une surface.

Si l'équation de la surface est donnée sous la forme

(4) z=^IViy)

et qu'on désigne, comme on le fait généralement, par /> et ^ les
dérivées partielles (£j , [^) , l'équation (-2) devient

(1)) dz = 'pdx -\- qdy,

et l'on en déduit, pour celle du plan tangent,
(0) v — z^i)[l-x)'^q{u — y).

( ^^H'> )

K;;). Sans rien cliangcr à ce qui précède, proposons-nous de
déterminer les équations de la droite menée par le point m per-
[)endiculairemcnt au j)laii tangent. Cette droite est la normale au
point m de la surface A. Désignons-la par X.

Soit n un point quelconque supposé fixe sur la normale N. Re-
présentons, par t, u , V, les coordonnées de ce point; par x, y, z,
celles du point y.; })ar /, la distance nu.. On a généralement, les
axes coordonnés étant rectangulaires ,

(I). . . . )'={t — xf-\-{ii—iif'\-(v-'zf.

Cela posé, si nous considérons le point v. à l'instant précis où
il sort du lieu m, sa vitesse est perpendiculaire à la droite wj.. 11
s'ensuit que la vitesse de glissement ih. se réduit à zéro. De là ré-
sulte

(i>). . . (l — x)dx -+- {u — y) lUj -+- (u ~ ') dz = o.

L'équation (^) subsiste, en général, pour toutes les directions
que le jioint /u peut prendre au sortir du lieu m. Elle subsiste, en
outre, non-seulement pour tous les points de la normale N, mais
aussi pour tous ceux du plan mené par le point w per|)endiculai-
j'cment à la direction suivie par le point fx dans son déplacement
effectir. Ces remarques impliquent évidemment les déductions sui-
^ an tes :

1** L'équation (!2) est celle du plan mené par le point m per-
pendiculairement à la direction déterminée par les composantes
(Jx, (ly, dz*. Elle peut ainsi représenter tous les plans menés par
la normale et désignés sous le nom de plans nonnaux.

' Les cosinus dos anyks (iu"une laugeiile quelconque l'ail avec les axes

f^* ^^V ^z ,

coordonnés, supposes leclangulaires, elanl — ' "T'y' 't's eciualions de

celle langenle sont de la loime

dœ , ^ (h/ .

t—œ=z~{c-z), u-y = — {c - z).

dz (IZ

1! ^"eni^uit, eunlunnenienl a rciiualion Çj) du u" lôO, paye 5il , que le plan

( il7 )

i2" Si l'on considère , en particulier, deux quelconques de ces
plans, leur intersection détermine la normale.

Posons y = eons'". Le plan normal, qui correspond à cette
hypothèse, a pour équation

(5) t — X •\- p{v — z) = 0.

On a de même, en posant x = cons'%

W u—y + ci{v — z) = o.

Il suit de là que les équations (o) et (4) déterminent la normale
N et résolvent ainsi la question proposée.

166. Les équations (2) et (5) du n° 164 subsistent, en même
temps que l'équation (^) du n'' 165, pour toutes valeurs attribuées
séparément à chacune des deux différentielles dx et dy. Celte cir-
constance exige que l'on ait

. \dxi i — X \dyj a

A/F\ v — z ' um v — z

\dil \dz]

De là résulte
(^i). . t — x -^ i){v — z) = o, u — y + q{v — z) = o,
ou bien encore

Les équations (2) déterminent, ainsi que les équations (5), une
seule et même droite, la normale N.

mené par le point m perpendiculairement à celte tangente a , pour équation ,

{t — x) dx ■+■ {i( — y)dy -H (u — z)dz = o.

On peut donc écrire à priori l'équation (2) et lui attribuer directement le
sens exprimé dans le texte.

Tome XV. 27

( '^1« )

En procédant comme nous venons de le faire en dernier Jieii,
0)1 démontre directement que les tangentes menées par le point m
à la surface A sont toutes perpendiculaires à une seule et même
droite. La conséquence est que ces tangentes sont toutes situées
dans un seul et même plan, ce qui vérifie les déductions des
Jiuméros 1o8 et 1()4.

CHAPITRE X.

COURBUHE DES SURFACES.

Théorie géomélriqiie de la courbure des surfaces.

COURBURE DES SECTIONS NORMALES.

IG7. Soient A une surface quelconque; 0 un point de celte sur-
face; N la normale en ce point; Il un plan mené par la normale N;
S la section faite dans la surface A par le plan II.

Lorsque le plan n tourne autour de la normale N, la ligne S ne
change pas seulement de position; en général, elle change aussi
de forme, et sa courbure en 0 varie incessamment. Considérons
cette courbure. Elle est, par hypothèse, continûment variable, et
redevient la même après chaque demi-révolution du plan n. De
là résulte évidemment cette première conséquence:

// existe, au moins , deux sections normales dont la' courbure
en 0 est, pour l'une plus grande, pour Vautre plus petite que
celles des sections qui précèdent et suivent immédiatement.

408. Soit P le plan tangent en 0 à la surface A; S^, S^ deux
sections normales passant par le point 0 et dirigées perpendicu-
lairement l'une sur l'autre; OX,OY les traces des sections S^,SySur
le plan P.

( n'J )

Désignons par )ii un i»oint molMlc iibsujctU à déciiit' la sec-
lion Sy et sortant du lieu 0 à l'instant que l'on considère.

Désignons, en même temps, par T^ une droite assujettie à tou-
cher en m la surface A et à rester parallèle au plan de la section S^.

Cela posé, considérons Tintersection de la surface A par un
cylindre droit, à base circulaire de rayon suffisamment petit, et
ayant pour axe la normale N. Soit I cette intersection. En général,
elle est fhinèe, et ses différents points s'écartent inégalement du
plan qui touche en 0 la surface A. Il suit de là * quil est, au
moins, deux j)oints de la courbe 1 pour chacun desquels la tan-
gente à cette courbe est parallèle au plan P et, pur conséquent y
perpendiculaire à la section normale correspondante.

Cette propriété de la courbe I prend naissance avec elle , c'est-à-
dire lorsque le rayon du cylindre qui la détermine s'engendre
continûment à partir de zéro. La conséquence immédiate est que
la trace OY comporte, au moins, deux directions distinctes, satis-
faisant chacune à 1 énoncé suivant :

Vêlai de mouvement qui anime la lamjenle T,^ au sortir du
lieu OX est une translation simple.

Si Ion considère l'état de mouvement qu'affecte, au sortir du
lieu P, le plan tangent en ))i à la surface A, l'énoncé qui précède
implique évidemment cet autre énonce qui n'en diffère que parla
forme :

La caractêrislique du plan tangent en m est perpendiculaire à
la section normcde S^.

La coïncidence , existant entre les traces qui satisfont à ces deux
énoncés et les directions des sections normales dont la courbure
en 0 est un maximum ou un minimum , est en quelque sorte
évidente. Nous allons néanmoins la démontrer.

La continuilé qui subsiste, par hypothèse, implique l'aljscjicc de tout
changement lirusque dans les directions tangenlielles. On sait d'ailleurs (ju'en
0 les tangentes sont toutes situées «.lans le plan P.

( 420 )

101). Appuyons -nous sur la condition remplie par la tangente
T,^ et consistant en ce que lëtat de mouvement, qui anime celte
droite au sortir du lieu OX, se réduit à une simple translation. Il
suit de là, conformément aux principes du n" 104, page 267, que
tout commence, à partir du point 0, comme si la surface A s'en-
gendrait par le déplacement de la section S^,, cette section conser-
vant sa forme et se mouvant tout entière par translation avec la
vitesse du point m sur la section Sy. On observera que, dans celte
hypothèse, les vitesses simultanées des différents points de la sec-
tion S, sont toujours égales à celle du point m et qu'e//e.s commen-
cent toutes par être parallèles à la droite OY.

Désignons par T, une droite assujettie à rester parallèle au plan
de la section S,^ et à toucher la surface A en un" point qui sorte du
lieu 0 suivant la section normale S,*. Il résulte de l'observation
précédente que la tangente T^; sort du lieu OY comme la tangente
Ty sort du lieu OX, c'est-à-dire avec un état de mouvement qui
se réduit à une simple translation. La réciprocité qui s'établit
ainsi entre les tangentes T,, Tj^ implique le résultat suivant :

Les directions qui satisfont à l'énoncé du n° 168 sont conju-
guées deux à deux, rectamjulairement.

170. Les sections S,,, Sy restant déterminées comme ci-dessus,
considérons deux sections normales quelconques également incli-
nées sur la section S, et représentées par leurs traces OL, OL'
(fig. 66).

Les conditions qui régissent la génération de la surface A, à
partir du point 0 , étant les mêmes pour chacun des côtés de la
droite OX, il en résulte nécessairement que les deux sections nor-
males OL , OL' ont même courbure en 0 **. Cette égalité de cour-

* Il est visible que les droiles T^, ï,^ forment entre elles un système de
tangentes réciproques. La propriété dont elles jouissent à ce titre n'a pas be-
soin dV'lre invoquée ici , comme conséquence du Ibéorème général démontré
précédemment. Elle s'élablil, d'elle-même, dans les conditions les plus simples.

** Nous avons dit que tout commençait . à parlir du point 0, comme si la sur-
face A admettait pour génératrice la section S,,., et rpie cette ligne se mût par

( 421 )

bure s'applique à toutes les sections norm;iles qui se succèdent, h
partir de la section S, , et qui sont dirigées symétriquement de part
et d'autre. Il s'ensuit évidenunent que chacune des deux sections
S,, S„ est une section de courbure maximum ou de courbure mi-
nimiim. Ce résultat peut s'énoncer comme il suit :

Les sections normales qui satisfont à Vènoncé du n" 168 sont,
en même temps, des sections de plus grande ou de plus petite
courbure.

Veut-on démontrer la réciproque de ce théorème? Il suffît de
substituer aux sections normales leurs cercles osculateurs. Cela
fait, on voit immédiatement que , parmi ces cercles, les maximum
ou minimum satisfont seuls à l'énoncé du n° i C8.

Pour plus de simplicité, nous désignerons sous le nom de sec-
tions principales les sections qui satisfont à lénoncé du n" 168, et
qui sont, en conséquence, des sections de plus grande ou de plus
petite courbure.

Soit a un point mobile assujetti à décrire la section normale OL,
et sortant du lieu 0 à l'instant que l'on considère.
Représentons, par 06, la vitesse actuelle V du point
Il et, par 0«, ah, ses composantes orthogonales x, y.
'^ Soient, en même temps, R, R' les rayons de cour-
bure qui correspondent au point 0 dans les sec-
tions Sj, Sy.
Concevons que le point [t. entraîne avec lui deux
droites respectivement assujetties à toucher en fx. la surface A et
à rester parallèles, l'une au plan de la section S^, l'autre au plan

translation avec la vitesse qui anime le point m sur la section S''. Voici quel
est le sens et la portée précise de cet énoncé.

Étant donné un point /U assujetti à rester sur la surface A, et sortant du
lieu 0, à l'instant que Ton considère tout commence par rapport à ce point et
par rapport à sa directrice, comme si la surface A s'engendrait par le déplace-
ment de la section S^. , cette section conservant sa forme et se mouvant par
translation avec la vitesse du point m sur la section S^ On sait, d'ailleurs,
qu'il y a ici réciprocité complète entre ces deux sections.

( '»2^ )
de lu seclion S,^. Lq^ rotations do ces droites sont

(^) ^^'' = T=r'

pour la première, el

ah y

'•^) •■ ■ ^^■'=F=r

pour la seeonde. Représentons par Oc la rotation W,., par Oe la
rotation V\y, et achevons le rectangle Ocne. On sait, d'après le
théorème du n" 40 de la première partie, page 8;i, que la dia-
gonale Oy^ est la caractéristique du plan qui touche en u la surface
A, et que la rotation de ce plan autour de cette droite est repré-
sentée en sens et grandeur par le segment On.

Imaginons que la section OL puisse être une section principale,
comme le sont déjà, par hypothèse, les sections S^, S^. Il faudra
que la caractéristique On soit perpendiculaire à la droite OL et,
par suite, qu'il y ait égahté entre les deux angles a06, nOc. Cette
égalité impliquant la suivante

ab ne Wy ah R

il est visihle qu'elle a toujours lieu ou qu'au contraire, elle n'a
jamais lieu, selon que les rayons de courbure R, R' sont égaux
ou inéiïaux. De là résultent les déductions suivantes :

D"

1° // n'existe, en général , pow chaque jmint d'une surface,
que deux sections principales, l'une de plus grande, l'autre de
])lus petite courhure. Elles sont disposées rectangiilairemejit.

i2" Lorsqu'il existe en un point d'une surface deux sections
principales disposées ohliquement l'une par rapport à l'autre,
oîi ayant même courhure, les sections normales intermédiaires
sont toutes principales et leur courbure, en ce point , est la même
pour toutes.

{ W3 )

On appelle OmhiUcs on points ombilicaux les points singuliers
où les sections normales ont toutes même courbure.

171. Complétons la solution précédente, et, à cet elFet, com-
mençons par substituer à la rotation On ses deux composantes

Si l'on désigne par (x l'angle «0^, et qu'on décompose chacune
des rotations Oc, Oe en deux autres établies respectivement, l'une
autour de 06, l'autre autour de la perpendiculaire élevée en 0
sur 0/>, on voit aisément que la rotation du plan tangent autour
de la directrice du point y. et celle de cette même directrice sont
exprimées simultanément, l'une par la somme des premières com-
posantes, l'autre par la somme des secondes. De là résulte, en
nommant a la rotalion du plan tangent autour de la directrice du
point a et en tenant compte des signes des composantes,

(1) û = Wy.cosa — Wj;.sinrx.

On a, de même, en désignant par W la rotation de la directrice
du point /u,

(2) W = \\\ cos « -\- W,/. sin a.

On a, d'ailleurs,

x=Vcos«, î/ = Vsina,

et, par suite, p, R, R' étant pour le point 0 les rayons de cour-
bure des sections normales OL, OX, OY,

V ^^^ X V cos ^ ^^T y ^ ^^" ^'

P

w=-, w.==- = -_, W,-^,-^ ^,

Ces valeurs substituées dans l'équation (1) donnent, a])rès ré-
duction ,

PI <"'^\i^U-

s in 2c

{ 424 )
Substituées dans l'équation (2), elles donnent, de même

ou, bien encore ,

(^)

p R R'

L'équation (5), jointe à l'équation (4) ou à l'équation (o), résctut
comi)]ét(Miient la question proposée.

^fêlions à profit Tindétermination de la vitesse Y, représentée
par le segment Oh et posons, en général ,

L'équation (4) devient ^

x^ if

(«> R-^F='-

ar, îj n'étant autre ebose que les coordonnées du point \).

L'équation (G) est celle d'une ellipse rapportée à son centre et à
ses demi-axes principaux l^R, I/R'. L'équation (o) est l'équation
polaire de cette même ellipse, qu'on désigne, en général, sous le
nom d'indicatrice. On observera que chacun des demi-diamètres
de l'indicatrice détermine, par sa direction, une section normale;
par le carré de sa longueur, le rayon de courbure qui correspond
au point 0 de cette même section.

Lorsque les courbures des sections S^., Sy sont de sens contraire
Vindicatrice se compose de deux hyperboles conjuguées , ayant
chacune pour axe réel Taxe imaginaire de l'autre. L'indicatrice de-
vient un cercle dans le cas ovi les courbures des sections S^, Sj, sont
égales et de même sens : elle devient une droite dans le cas où
l'une de ces deux courl'.ures se réduit à zéio.

On voit aisément comment les déductions du n" 170 sont toutes
implirjnf'cs jjnr les équations (5), (4),(^)). Bornons-nous à résumer

( 42S )

les points principaux qui résultent direetement de hi discussion
de l'équation (4), et qui sont rendus plus manifestes encore, soit
par l'inspection de l'équation (5), soit par la considération de Tin-
dicatrice.

1" Les sections rectangulaires OX, OY se distinguent des
autres sections normales en ce Cjue leur courbure est ^/?^ maxi-
mum pour Vune, un minimum pour l'autre. Elles sont dites

SECTIONS DE PLUS GRANDE ET DE PLUS PETITE COURBUliE, OU bicU

encore, sections principales;

2" Si l'on groupe deux par deux les sections normales qui
font un même angle avec une même section principcde, la cour-
hure est la même pour les deux sections d'un même groupe. Elle
diffère, en génêrcd , d'un groupe à un autre;

5° Lorsqu'en un point d'une surface les sections principales
ont même courbure, cette courbure est communie à toutes les sec-
tions normales passant par le même point;

On appelle ombilic le point singulier oii toutes les sections nor-
mcdes ont ainsi même courbure;

4" Lorsque deux surfaces ont tm point commun, et qu'en ce
point leurs sections principales ont entre elles un contact du
second ordre, ce même contact subsiste entre toutes les sections
normales correspondantes. On peut dire alors qu'il y a, entre
ces deux surfaces, osculation complète;

5" Soient p^ p' les rayons de courlmre de deux sections nor-
males rectangulaires , choisies comme on voudra. Les angles que
ces sections font avec une même section principale étant complé-
mentaires l'un de Vautre, il en résulte que la somme inverse des
rayons p, p' est constante. On a ainsi

1111

— 1- - = — -f- -^ = cons'^
p p' R R'

1 72. On observera que la section faite dans une surface, par un
plan parallèle au plan tangent, tend à devenir semblable à l'indi-
ratrice et semblablement placée, à mesure que l'intervalle com-

( i^iO )

pris entre rcs deux plans diminue. Veiit-on le démontrer? On
l)eut .snl)sli(iiei- aux seelions principales leurs paraboles oscula-
Iriees et, pour j)lus de simplicité, disposer ces paraboles de ma-
nière à ce que le contact ait lieu en leur sommet. Le paraboloïde
osculateur ainsi déterminé aura , pour équation ,

^c^

n '^ w

(R, U' élaiit le rayon de courbure des seelions principales) et
1 indicatrice ne sera autre cbose que la projection de la section
faite dans ce paraboloïde par le ])lan - = 7 . Mais, d'un autre coté,
les sections faites dans le paraboloïde j)ar des plans parallèles à
celui de l'indicatrice sont toutes semblables entre elles et sembla-
blement placées. Il est, d'ailleurs, évident que, à raison de l'os-
culation établie entre ce paraboloïde et la surface donnée, les
sections faites de part et d'autre par un même plan parallèle au
plan tangent commun, tendent à s'identifier à mesure que le
plan sécant se rapproche indéfiniment du point dosculalion.
De là se déduit immédiatement le principe énoncé ci-dessus. Il en
l'ésulte, i)our le cas général des surfaces du second degré, les con-
séquences suivantes :

La similitude qui subsiste entre toutes les sections paralUdes ù
un même plan tanifent s'étend d'elle-même jusquW Vindicatrice
correspondante.

Dans l'ellipsoïde, Vlnjperholoïde ù deux nappes et le parabo-
loïde elliptique , les diamètres conjugués avec les sections circu-
laires déterminent par leurs extrémités les points omhilicausc.

175. Ueprenons les données du n" IfiO, page 420, et proposons-
nous de parvenir, suivant une autre marche, à la solution des
numéros 170 et 171.

Soit IX un point assujetti à décrire la section mobile S, et sor-
tant du lieu 0 à l'instant que l'on considère.

La vitesse qui anime le point ^ parallèlement à l'axe OX étant
représentée par.r; celle qui anime le point m parallèlement à

( '^-i1 )

l'axe OY étant représentée en même temps par?/, les vitesses .r, y
sont les eomposanlcs de la vitesse totale qui anime le point ^ au
sortir du lieu 0. Désignons , par V, cette vitesse totale et, par S, la
section normale qu'elle détermine comme trajectoire du point ^
sur la surface A.

Soient W, W^r, Wy les vitesses angulaires qui animent les di-
rectrices des points /^ et m, et qui correspondent respectivement,
la première à la vitesse V du point u. sur la ligne S, la seconde à
la vitesse x de ce même point sur la ligne S,, la dernière à la
vitesse y du point m sur la ligne S,,. Si l'on désigne généralement,
j)ar z, la distance du point ;a au ])lan tangent XOY, il est visible
que la valeur affectée , au sortir du lieu 0, par la quantité z = d^z
peut s'exprimer indifféremment par le produit V.W, ou par la
somme i\V^-h yW^. La première expression s'applique au cas on
l'on considère directement le mouvement du pointée sur la ligne S;
la seconde, à celui où l'on substitue à ce mouvement les deux
mouvements simultanés dont il se compose, savoir: 1" le mou-
vement du point fx. sur la ligne mobile S^; 2° le mouvement du
point m sur la ligne S^ *. De là résulte immédiatement I équation
générale

(I) V.W = i.W, -4-7/.W,.

* Ces valeurs de la quantité z = (P:: se déduisent de la formule (5) du
n' io9, page 405, en posant :c= o. On peut y parvenir directement et d'une
façon plus simple en opérant comme il suit, d'après la marche tracée au n° 160.

Soit /.i un point mobile assujetti à décrire une courbe plane S et sortant du

lieu m suivant la direction mt. La ligne S est rapportée, par
Fia <;6'*'"*

^' ' hypothèse, à deux axes coordonnés rectangulaires OX, OZ

0. X et la vitesse x qui anime le point /.t parallèlement à Taxe OX

est supposée constante. Représentons par mm' la vitesse x
et achevons le triangle rectangle mm't. On a d'abord

z = dz = m' t.

Soit ta la vitesse de circulation imprimée au point / par la rotation Wx de
la directrice du point m autour du lieu m. Menons par le point n la droite nn'
parallèle à ??î/et limitons Ci ne droite en n' à sa rencontre avec le prolonge-

{ 428 )

Désignons par R, R' et p les rayons de courbure qui correspon-
dent, respectivement pour le point 0,1e premier à la section S^, le
second à la section S^ , le troisième à la section S. On a

X y y

^^--R' ^^'=é' ^^'-T-

Ces valeurs substituées dans l'équation (1) donnent

y r" ^ iv '

On retrouve ainsi l'équation (4) du n'^ 171, page 4-24, et avec
•elle, toutes les déductions formulées à sa suite *.

174. Au lieu de procéder, comme nous l'avons fait à partir
du n" 1075 par déductions successives, on peut s'en tenir h la

ment de la droite m' t. Delà résulte, ainsi qu'on Ta vu au n" 160, et comme il
est, d'ailleurs, aisé de le reconnaître immédialemenl,

Z = (I^Z = tu'.

Désignons, par a, l'angle tmm' et son égal iitn\ On a, d'après la figure,

, in W.t.7nt Wx.mm' à-.W,

cos a cos a cos^ o: cos'"* o:

De là résulte, en général , pour le cas oîi l'angle ck se réduit à zéro ,

z =r cfz — œ .W...

* Soit a l'angle que la direction de la vitesse V l'ait avec l'axe OX. Cet angle
est, en même temps, celui que font entre elles les deux sections normales S
elSj . On a, d'ailleurs,

j-=Vcosa, yr=z\ .^iwcc.

L'équation (3) devient, en conséquence,

1 cos^ <x sin- <x

7 ~" R "*" H' '

Cette dernière équation n'est autre chose que l'équalion (5) du n^ 171.

( 429 )

marche suivaiUc, plus générale, plus directe, et non moins
facile.

Soient une surface A; 0 un point de cette surface; P le i)lan lan-
gent en 0; Sy une section quelconque normale en 0 à la surface A;
OY la trace sur le plan P de la section normale S,^.

Soient encore 0' et P' un point et un plan mobiles, respective-
ment assujettis, le point 0' à rester sur la sur-
face A, le plan P' à touclier cette surface en 0'.
Imaginons , d'abord , que le point 0' sorte du
lieu 0 suivant la section S^. L'état de mouve-
ment qui anime le plan P', au sortir du lieu P,
consiste en une rotation autour d'une certaine
droite OX passant par le point 0 et située dans
le plan P. Soit S^ la section normale dirigée suivant OX et Ty une?
droite assujettie, d'une part, à toucher en 0' la surface A, d'autre
part, h rester parallèle au plan de la section S^. Il est visible que
la tangente Ty sort du lieu OX par translation simple , c'est-à-
dire, sans vitesse angulaire actuelle. Pour le reconnaître, il suffît
d'observer que dans la rotation établie autour de la caractéris-
tique OX, les droites menées dans le plan P', parallèlement à cette
caractéristique, ne changent pas de direction. De là résulte la dé-
duction suivante:

Etant donné un point tj. assujetti à rester sur la surface A et
sortant du lieu 0 à Finstant que Von eonsidi're, tout commence,
par rapport à ce point et à sa directrice , comme si la surface A
s'engendrait par le déplacement de la section S,,, cette section con-
servant sa forme et se mouvani, par translation , avec la vitesse
du point 0' sur la section S^.

Partant de là, désignons par T, une droite assujettie à rester
parallèle au plan de la section normale S^ et à toucher la surface A
en un point qui sorte du lieu 0 suivant la direction OX. On voit,
d'après l'énoncé précédent, que la droite T^. sort du lieu OY, par
translation simple, c'est-à-dire, sans vitesse angulaire actuelle.
Cette propriété doit avoir lieu nécessairement, si la droite OY

( 450 )

est hi c;u'a(iciisli(iue du plan P', pour un dcplaccuiciit du point 0'
cfTcctuc à partir du lieu 0 suivant la direction OX. Elle est impos-
sible, au contraire, si Ja droite OY n'est pas cette caractéristique.
Concluons qu'il y a réciprocilé entre les deux droites OX, OY. la
première ne pouvant être la caractéristique qui correspond au
glissement du point 0' sur la section S^, sans que la seconde ne
soit, en même temps, la caractéristique qui correspond au glisse-
ment de ce point sur la section S,.*.

Supposons que le point ju soit assujetti à décrire la section
mobile S,. Il suffît de conserver les notations du numéro qui pré-
cède et de reproduire littéralement les mêmes déductions **, pour
écrire en premier lieu,

\\) X.\\ = x.\\,~\-y\W,,

et, en second lieu ,

(2).

Y^ __ £ If

Soit OL la direction de la vitesse V, ou , ce qui revient au
même, celle de la section normale décrite par le point y.. Si l'on
prend sur OL la longueur Oni égale à V p, et qu'on profite de
l'indétermination de la vitesse Y pour la représenter par Onij

l'équation (:>) devient

y'

(ô). ...... •R+i^ = i.

les quantités i, y n'étant autre chose que les coordonnées du
point }n,

* Il rsl visililp que \cs tlroitcs T., , T^ loniioiit cnîre elles un syslèmc tle
lanfjentcs réciproques. La propriété dont elles jouissent à ce tilre n'a pas
besoin d'être invoquée ici. comme conséquence du lliéorème général démonlré
précédenunent. Elle s'élahlil, d'elle-même, dans des conditions beaucoup i)lus
simples.

•* La seule diiréience consiste en ce ({uc le point désii^né par m au n'' 175,
Pebt ici par <»'.

( '-ôl )

L t'({uation (5) est celle d'une ellipse raj)portéc à sou centre et
à SCS demi-axes conjugues V^R, V^R'. Chacun des dcnii-dianiè-
Ires de cette ellipse détermine par sa direction une section nor-
male, par le carré de sa longueur le rayon de courbure qui cor-
respond au point 0 de cette même section. L'ellipse, dont il s'agit,
a reçu le nom A' indien Irice. On voit aisément pourquoi. Elle est
remplacée par deux hyperboles, ayant chacune pour axe réel
Taxe imaginaire de l'autre, lorsque les rayons de courbure R, R'
ne sont pas dirigés dans le même sens. Dans tous les cas, il sufiit
de considérer Y indicatrice pour arriver directement à toutes les
déductions formulées dans les numéros qui précèdent. On obser-
vera que la réciprocité établie entre les directions OX, OY con-
duit à un théorème qu'on peut énoncer comme il suit:

Les droites , dont l'une fixe la direction du déplacement que
l'on considère, l'autre la caractéristique correspondante du plan
tangent, forment entre elles et, par rapport d V indicatrice , un
système de diamètres conjugués.

Ce théorème a été donné pour la première fois par M. Dupin.
Les droites qui se déterminent ainsi, l'une par l'autre, ont reçu le
nom de tangentes conjuguées. Il ne faut point les confondre avec
nos tangentes réciproques.

Désignons i)ar j;, 6 les angles ({uc la droite OL fait avec les
axes OX, OY et par / l'angle de ces mêmes axes. On a

sin f: sin x

X = V - — , .y = V

sm / ■ sni i

Ces valeurs substituées dans l'équation {"}) donnent, en gé-
néral ,

sin"'^ / sin'- 6

w — -

p

ce qui détermine le rayon p en fonction des rayons R , R' et de
lun ou l'autre des angles ^;, o, dont la somme, égale à /, est
donnée en même temps (jue les sections normales S,, S^^.

( 45;i )

Vciil-on parvenir aux équations (2), (5), (4) sans passer par
l'équation (1), c'est-à-dire sans emprunter le secours du théo-
rème établi dans le numéro 159 ou ICO et reproduit plus simple-
ment dans la note du n'' 175? Voici comment on peut procéder.

Les directions OX, OY restant déterminées comme ci-dessus,
elles satisfont à la conditiou de réciprocité démontrée dans le
présent numéro. Partant de là, considérons le point p. comme
assujetti à décrire une section normale et prenons-le à l'instant
précis où il sort du lieu 0 suivant la direction Om de cette sec-
tion.

Soit V la vitesse actuelle du point y. et W la vitesse angulaire
simultanée de sa directrice. Représentons par Om la vitesse V, et
par 0(^, am ses deux composantes j, y. Elevons en 0 deux per-
pendiculaires, l'une Oc sur OX, Tautre Oe sur OY (voir la fig. (i?,
page 4:29).

Concevons que le point /u entraîne avec lui deux droites respec-
tivement assujetties à toucher en /u. la surface A et à rester paral-
lèles, l'une au plan normal OX, l'autre au plan normal OY. Les
rotations de ces droites sont W, pour l'une, W,, pour lautre.
Représentons la première par Oc, la seconde par Oe et achevons
le quadrilatère Ocne dont les côtés crij en sont respectivement
parallèles aux droites OX, OY. On sait, conformément au théo-
rème du n" 40 de la première partie, page So, que la diagonale
0/î est la caractéristique du plan qui touche en ^a la surface A, et
que la rotation de ce plan autour de cette droite est représentée
en sens et grandeur par le segment On.

Soient c', e' les points où les côtés en, en vicnnenl couper les
axes OY, OX. Substituons à la rotation On ses deux composantes
Oc', Oe', et, des points c', c', abaissons sur Om les perpendiculaires
c'p, e'q. Si Ton décompose, à leur tour, chacune des rotations
Oc', Oc' en deux autres étjiblies respectivement, lune autour de
Om, l'autre autour de la perpendiculaire élevée en 0 sur Om, il
est aisé de \oir que la rotation de la directrice du point yu est
la somme des dernières composantes et qu'il vient, en consé-
quence,

( '.3ô )

Ou a , d'ailleurs, d'n])rcs les nolalions jiréeédeules el ainsi (jiioii
le voit aisément sur la ligure,

cp , c'r/
0(; = W, =:0(;'.siii '/= - — . sin ), 06':=W,, = Ot; siii ; ^^— .siii ;.

sui C Slll X

De là résulte

siu Ô „^ , siu X ,^,

SIU / SUI /

cl, par suite,

(5). . . . W . sin / = VV, . sin ê -t- W^ . sin a.

L'identité qui subsiste entre les équations (1) et (5) s'établit,
sans dillieulté, parla considération du triangle Ofmi dont les cotés
Oni, 0«, am représentent en grandeur les >itcsscs V, j, y et
fournissent, en consé(|uence, les égalités

X sin 6 !i sin «

V sin X V sin ).

On a , en outre,

Ces valeurs, substituées dans l'équation (5), donnent,
Y^ __ x' y^

T "~ F "^ R '

On est ainsi ramené à l'équation i^ï) el le reste s'acbcve comme
ci-dessus.

Pour compléter celle solution, il ne reste plus qu'à déterminer
la vitesse aui^ulaire in ce hutuelle le plan langent tourne autour de

Tome XV. ""J-^

{ 454 )

la directrice du i)oint u. Cette vitesse angulaire est évideinment
reprëseulée par la somme algébrique

0^ — Op,

Il est visible, d'ailleurs, que, pour passer des valeurs trouvées
plus liaut pour les segments e'q j c'p à celles des segments 0(/,
Op, il sullit de substituer aux sinus des angles a, S les cosinus de
CCS mêmes angles. On a donc

COS a COS f>

O7 - Op=^\,. W,-^

SHi > sni /

De là résulte, après substitution et toute réduction faite,

V rsinSa sin2f;-|
(0). . . Oq-Op^^-^[— j^J.

i7o. Appuyons-nous directement sur le tliéorèmc des tan-
gentes réciproques, sans autre intermédiaire, et faisons voir, par
un dernier exemple, comment l'application de ce tbéorème à la
question qui nous occupe fournit une solution géométrique, sinon
tout à fait aussi simple, du moins aussi complète que les précé-
dentes.

Soient OX , OY deux droites rectangulaires menées par le point
0 tangentiellcment à la surface A; 0' et P' un point et un plan
mobiles assujettis respectivement, le point 0' à sortir du lieu 0
en restant sur la surface A, le plan P' à toucher cette surface
en 0'.

Quelle que soit la direction suivie par le point 0', au sortir du
lieu 0, nous admettrons que sa vitesse est égale à l'unité. Si l'on
désigne alors, par W, la vitesse angulaire de la directrice du point
0' et, par R, le rayon ^ courbure de la ligne décrite, on a , généra-
lement,

La vitesse Sv, ainsi détciminéc, est le module de la courbure cor-

{ 433 )

rcspoiidantc. Pour éviter toute confusion, nous l'écrivons en la
surchargeant d'un trait horizontal. Il en sera de même de toutes les
vitesses angulaires que nous aurons à considérer dans le module
qui les détermine. La présence du trait placé sur leur signe repré-
sentatif indiquera sullisamment l'hypothèse admise en ce qui les
concerne.

Soient S,, S^, S, les sections normales respectivement dirigées
suivant les droites OX, OY, OL; W^, W,,, W, les modules de la
courbure que présente en 0 chacune de ces trois sections.

Supposons que le point 0' sorte du lieu 0 suivant la section
S^ et nommons

T une droite assujettie à toucher en 0' la surface A et à rester
parallèle au plan de la section S, ;

â la vitesse angulaire qui anime la droite T au sortir du lieu
OL*.

Le point de contact du plan P' avec la surface A se déplaçant,
par hypothèse, suivant la section S^, nous connaissons les rota-
tions simultanées de deux droites situées dans ce plan et se mou-
vant avec lui. L'une de ces droites est la directrice du point 0',
l'autre la droite T. La rotation de la première a son axe dirigé
suivant OY et Wi pour grandeur. Rcpréscnlons-la par 06. La ro-
tation de la seconde a son axe dirigé suivant OX etw pour gran-
deur. Ueprésentons-la par Oa.

Soit nie point de rencontre des deux droites bu, an, respective-
Fig. 68. ment parallèles, l'une à OX, l'autre à OL. La

0 -, rotation de la normale au plan P' est repré-

sentée en direction, sens et grandeur, par la
diagonale On du quadrilatère Oanh. {V^ partie,
^ n° 40, page 85).

Projetons le point n en cj sur la droite Oa. Le segment 0^ repré-
sente en direction, sens et grandeur la rotation de la normale au-
tour de la droite OX. De là résulte, en désignant cette rotation par

* Ce que nous désignons ici par cô, ce n'est pas la vitesse avec laquelle la
droite T s'écarte angulaiiemenl de la i)Osilion dont elle sort, c'est la vitesse
angulaire qui correspond à la relation établie autour de la droite OX.

( 450 )
N^, et l'angle XOL par u,

(I) N^= Ou — aq ='w — W.,.cot a.

Substituons la section S/ à la section S,, et réciproqueiucnl. La
formule (1) ne cesse pas d'être applicable. Il faut seulement rem-
placer rindice x par l'indice / et changer les signes des deux quan-
tités wct;: *. Delà résulte immédiatement

i^ï) N/ = W,c0ta — w.

N, étant la vitesse angulaire avec laquelle la normale au plan P'
tourne autour de la droite OL lorsque le point 0' sort du lieu 0
suivant la section S,.

Veut-on considérer, en particulier, le cas où il s'agit de deux
sections rectangulaires S^, S^? La comparaison des équations (1) cl
("2) , où Ion doit poser cf. = 90" donne

(5) N. = -N,.

Le théorème exprimé par l'équation (5) a été exposé par 3L lîer-
Irand. On peut l'énoncer comme il 5>uit:

Lorsque deux droîtcs assiijellies à rester normales à une ménie
surface sortent en même temps d'une position commune, sui-
vant deux directions rectangulaires et avec une égale vitesse des
points où elles s'appuyent sur cette surface, leurs rotations, au-
tour des directions qu'elles suivent respectivement en ces points,
sont égales et de sens contraire.

On observera (fue ce théorème est impliqué, comme cas parti-
culier, par celui que nous avons exposé de diverses manières et
notamment au n'* IGl, page 408, sous le nom de théorème des tan-
gentes réciproques.

* Les changenients de signe des (luanlités cô et « onl leur raison d'èlre, le
premier dans le théorème des langentes récipro(iues, le second dans l'inver-
sion qui résulte, par rapport à Tangle o:, de la snb.^lilulion faite mutuellement
et riieiprot|ueni('nt entre k-b deux direelions (».\, OL.

17(). Poursuivons, La rotalioii N/ clinngonnt do sii^no dans Fin-
ton allo dos doux soolions rcolangulaircs S^,, S^, il s'onsiiil qno oos
doux sections comprennent, en général, une section intermédiaire
pour laquelle la rotation N, doit s'annuler. Cette conséquence peut
ainsi s'établir sans calcul. On peut aussi la déduire des équations

(1), (2),(5)-

Tirons de l'équation (1) la valeur de co et transportons celte va-
leur dans l'équation (2). Il vient

(4) rs\ = (W, — W,,)cota — N.,.

, On a de mémo, on substituant la section S,^ à la section S, et
tenant compte do l'équation (5),

(.^i) N;=.(W,~\V,)tga + N,. *

La combinaison des équations (4) et (;>) pormol di'liminor W^ et
(r(''ci'iro, en conséquence,

(0). . . N,=:cos2a.| N, — ^lg2aj.

L'équation (G) conduit aux déductions suivantes :

d" L' H g (hier al, N^ iivtant pas mil et W^ n'étant pas êcjal â W\,
il existe entre les sectioiis S^, Sy une section normale intermédiaire
pour laquelle on a

N, = 0.

L'angle «, compris entre cette section et la section .% est déter-
miné par l'équation de condition

2 . N,

Pour passer de l'équalion (i) à l'équation (o) il faut rem[tlaocr rindicc œ
par rindioe y , ot l'angle a. par son eonii>lénient changé de signe.

( m )

'2^ N, n'étant pcifi nul et W,. étant égal à Wy la section pour

laquelle on a

N, = 0 ,

est la section diricjée suivant la bissectrice de l'angle XOY.
5" N^. étant nul, réquation (6) devient

__ w W

(8) ^,==-ï-^ ^sm2«,

et , dès lors, selon que les modules W^, W,, sont les mêmes ou
différents^ N^ est nul pour toutes les sections intermédiaires ou
ne l'est pour aucune.

La section S^. pouvant être quelconque, supposons-la choisie
d'après la condition

N, = o.

Dans cette hypothèse, si l'on égale les valeurs fournies pour
N, par les équations (4) et (5) , on a

(0) W, = W,cos2«-t- W, sin^a.

Soient H, R' et p les rayons de courbure qui correspondent,
pour le point 0, aux sections respectives S^, S^ et S,; on a, confor-
mément à la définition des modules W^, \yy, VV,,

— 1 — 1 —.1

\v, = -» w,=— , \v, = -.

R ' R' p

11 vient donc , en substituant ,

(10)

p R R

L'équation (10) n'est autre chose que l'équalion (5) du n" 171.
Elle impli((ue, comme conséquences, toutes les déductions for-
mulées dans ce numéro.

{ 450 )

Soit /le rayon de courbure de la section normale dirigée à
angle droit sur la section S,. Il vient, en vertu de Téquation (10),

i sin^ a COS^ a
(H)

P R ir

Multipliées membre à membre, les équations (10) et (M) don-
nent, après réduction,

1 1 i r 1 in.,

(12. . . =- f- sin^2a.

^ ' p.p' RR' 4Lr rJ

On a d'ailleurs , d'après l'équation (8) ,

1 r 1 11

De là résulte, eu égard à l'équation (12),

Cette relation curieuse nous servira plus loin.

On observera que les sections principales sont caractérisées par
la condition qu'elles remplissent, à l'exclusion des autres sections
normales, cette condition consistant en ce que la rotation repré-
sentée par N est égale à zéro. De là résulte la déduction sui-
vante :

Lorsqu'une droite se déplace en restant normale à une sur-
face, selon qu'elle suit ou qu'elle ne suit pas la direction d'une
section principale, les vitesses de ses différents points sont ou non
dirigées dans un seul et même plan.

Cette déduction n'exige aucun calcul pour s'établir à priori. Elle
résulte évidemment des considérations géométriques développées

* Celte formule a été donnée pour la première fois, pensons-nous, par M. Ber-
trand.

{ HO )
dans les numéros qui prérèdcnl et notammont dans Ion" 1()8, pn^jo
/i.|0. Nous y reviendrons plus loin.

177. Reprenons les données et les notations du n° 173, page
427, avec cette seule différence que les sections rectangulaires S,,
Sy soient quelconques, et qu'en conséquence, la tangente Ty tourne
au sortir du lieu OX. Désignons, dailleurs, par ce = xi/ la vitesse
angidaire qui correspond à cette rotation.

Eu égard à l'équation (o) du n° 159, page 405 , l'équation (1)
du n° 175. page 427, est remplacée par l'équation suivante :

( I ). V.W. = X .W, -t- Si-ro -t- //W, =-- x\\, 4- 2x?/w -4- y .W,.

De là résulte, en oi)érant comme au n" 17ô (voir la note, page

427)

1 cos-y. ^_ . sin^a

(-)) ... - =1 h 2w sin a cos a -f-

^"^ p R R'

Considérons la section normale dirigée à angle droit sur celle
donl le rayon de courbure est représenté par p. Si nous représen-
tons , par o', le rayon de courbure de cette section, et que nous rem-
placions l'angle a par l'angle - -^ a, il vient

i sin^ a . cos- a
(ô). . . . — = 2w sm a cos a H ■

^ ' P R R'

La combinaison des équations (2) et (5) donne
1 1 1 1

w r7=^R"i^'

L'équation (4) exprime que la somme inverse des rajons de
courbure de deux sections normales rectangulaires est constante.
11 s'ensuit qu'il existe deux de ces sections ayant même courbure.
Cela posé, faisons l'angle a égal à '- . H vient en ce cas

^ ^ 0 2LR R J

^^ o' 2 Lu U'J

( 'i'^l )

La onnihinoison (ks rquations ('))el (Ojdomio, pngi'néral,

(7) ~-7'=^^'

Supposons les sections rcctanpjulaires qui correspondent aux
rayons o, p' clioisies de manière à ce que ces deux rayons soient
égaux. II en résulte

C0= 0 y

et l'équation (!) devient, en conséquence,
1 cos^« sin^a

<«' ; = -ir-^ir-

L'équation (8) résout, ainsi quon l'a déjà vu, la question pro-
posée. Elle suffit à toutes les déductions que nous avons dévelop-
pées précédemment. Les équations (5), (0), (7) fournissent, en
outre, plusieurs résultats curieux susceptibles de s'exprimer,
comme il suit, d'après les notations du n° 175, pages 454 et sui-
vantes :

La moyenne des courbures, étant la même pour l'ensemble de
toutes les sections normales que pour deux sections quelconques
rectangulaires, constitue ce qu'on nomme la courbure moyenne
de la surface au point considéré. Soit W le module de cette cour-
bure moyenne et W, W" ceux des courbures de deux sections
rectangulaires inclinées chacune à 45° sur les sections normales
S, , S^. On a , généralement,

_______ W— W'

(0). . . w=W' — W=-W~W' =

Il est visible, d'ailleurs, qu'on peut substituer l'axe des x h
Taxe des y et réciproquement. La seule modification qui résulte
(le cette substitution est un cliansfcment de sii^ne du module w.

44i> )

Courbure des sections obliques.

178. Soient A une surface; m un point mobile sur cette surface;
N la normale en ce point; 0 le lieu du point m à l'instant que l'on
considère; OZ le lieu de la normale N à ce même instant.

Soient , en même temps ,

Si une section oblique faite par le point 0 dans la surface A ;

T la tangente en 0 à la section S, ;

S la section normale dirigée suivante la droite T;

'Y l'angle que la section oblique S, fait avec la section nor-
male S.

Prenons pour plan de la figure le plan P mené par le point 0
perpendiculairement à la droite T.

Lorsque le point m sort du lieu 0 suivant la direction de la tan-
gente ï, la normale N sort du lieu OZ, et son mouvement angu-
laire se compose 5 en général, de deux rotations simultanées ayant
respectivement pour axes, l'une la droite T, l'autre la droite Oa
menée, dans le plan P, perpendiculairement à la droite OZ.

Désignons par W la vitesse angulaire qui anime la normale N

Fig. 69. dans sa rotation autour de l'axe Oa, et observons que
c'est uniquement de cette rotation que dépend la
courbure en 0 de la section S.

Le déplacement considéré étant pris à son origine
et continué comme il commence, il est visible que la
projection de la normale N sur le plan de la section S,
se confond avec la normale à cette même section.
Soit Ni cette dernière normale. Elle est située dabord en OL,
à l'intersection du plan P avec le plan de la ligne S,. On voit,
d'ailleurs, aisément que son mouvement angulaire au sortir du
lieu OL dépend exflusivement de In rotation de la normale N au-
tour de l'axe Or(.

Soit n un point pris sur la normale N à la distance 1 du point
0 et /?, la i)rojection de ce point sur le plan de la section Sj. La
vitesse communiquée au point n par la rotation West représentée
en grandeur par W, en direction pnr une perpendiculaire au plan

( 4i5 )

P. CcMo perpendiculaire claiit parallèle à la droite T et, par con-
séquent, au plan de la section S,, il s'ensuit que la projection du
point n sur le plan de la section S, a même vitesse que le point n.
Concluons que la vitesse imprimée au point ?i, par la rotation de
la normale N„ autour du point m, est représentée en grandeur par
W, cette vitesse étant prise à l'instant précis où le point m sort du
lieu 0 suivant là direction de la droite T.

Désignons par Wi la rotation qui anime la normale Nj autour du
point m et qui communique au point n^ la vitesse W mentionnée
ci-dessus. L'angle ZOL n'étant autre que l'angle v, la distance
Oyi, est égale à cos ç;, et l'on a, en conséquence,

\V,.cosv = W.

De là résulte, en désignant par p et par p, les rayons de cour-
bure qui correspondent au point 0 dans chacune des sections S
et Si,

(i) ^, =:/7.C0Sy.

11 est clair, en efîet, que pour une même vitesse totale V du
point m , au sortir du lieu 0, le rapport existant entre les rayons
de courbure o, p, est l'inverse du rapport établi entre les vitesses
angulaires simultanées W, W,.

Le théorème exprimé par l'équation (1) est dû à Meunier. On
peut l'énoncer comme il suit ;

Le rayon de courbure d'ime section oblique est la pt^ojection sur
le plan de cette section dn rayon de courbure de la section nor-
male menée par la même tangente.

179. Autrement. Soit Q le plan tangent en m l\ la surface A.
Lorsque le point m sort du lieu 0, le plan Q tourne autour de la
caractéristique qui correspond à la direction suivie par le point
m. Soit D cette caractéristique. Elle est située dans le plan tangent
en 0 et, en général, elle est oblique sur la tangente T. L'état de
mouvement du plan Q consistant en une rotation simple autour de
la droite D, on peut toujours décomposer cette rotation en deux

( Ui )

antros ro>|)0('livrinon( ('tal)lies, l'une aiiloui- de la tangente T,
l'autre autour d'une perpendiculaire à relie tangente. La rotation
établie autour de la tangente T est sans effet par rapport à celte
droite. II est donc permis d'en faire abstraction et de considérer
exclusivement l'autre composante. Cela posé, si Ton remarque
que le plan tangent en m contient toutes les tangentes menées par
ce point à la surface A , il est visible que la question à résoudre se
ramène aux termes suivants :

Soient 0/ la direction suivie par le point m au sortir du lien 0;

Fig. 70. ^(^ Vaxc de rotation situé dans le plan langent

.a en 0 et dirigé à angle droit sur 0^

^ tb, tbi deux droites menées par le point t perpeh-
& diculairement à Or, et situées respectivement, lune
b,^' dans le plan de la section normale S, l'autre dans
le plan de la section oblique Sj.

Un plan Q tournant autour de la droite Oa avec la vitesse W et
sortant du lieu «0^ à l'instant ([ue l'on considère, on demande de
déterminer les vitesses angulaires qui animent, au sortir du lieu
0/ les intersections du plan Q avec les plans (ixes Olh, Olhi.

L'intersection du plan Q avec le plan bthi étant et restant paral-
lèle à l'axe Ort, il s'ensuit que les points où les intersections du
plan Q avec les plans fixes 0/6, 0/6, rencontrent les droites tb ,
ibi sortent du lieu / avec des vitesses respectivement proportion-
nelles aux côtés tb, tb^ du triangle b^tb dont la base 66, est, en
même temps, parallèle à l'axe 0« et perpendiculaire à la droite 6/.
Mais, d'un autre côté, il existe entre ces vitesses le même rapport
qu'entre les vitesses angulaires qu'il s'agit de déterminer. On a
donc, avec les notations du n" 177, page 440,

>Y _tb _

W,~"tbi~~ ''''''

De là résidtc, ainsi qu'on l'a vu tout à Ibeure

Aiilrp)))P)it et i>ti(R simplement. La rotation \\\ établie autour de

( Uj )

la clioilc OUj comumniquc une vitesse angulaire \V à linlersec-
tion du plan Q avec le plan de la section normale S. Soit Oc la
normale élevée en 0 sur le plan de la section S| (voir la figure 09
page 442). Le plan Q tournant autour de la droite Oa avec la vi-
tesse VV, on peut substituer à cette rotation les deux rotations
composantes dont les axes sont dirigés respectivement l'un sui-
vant OZ, l'autre suivant Or. La rotation composante établie autour
de l'axe OZ fait tourner le plan Q sur lui-même; elle est donc
sans effet sur linlersection de ce plan avec celui de la section S^.

Reste la rotation composante établie autour de l'axe Oc et repré-

w
scntéc en grandeur par :. La vitesse angulaire que cette rota-
tion communique à l'intersection du plan Q avec le plan de la

w
section Sj est évidemment . De là résulte, en conséquence,

cos

et, par suite,

p, = p . cos 53.

Théorème de J/achetlc,

180. Désignons sous le nom de cetilre inverse de courbure le
point du rayon de courbure dont la distance à la courbe est ex-
primée par la valeur inverse de ce même rayon. Eu égard à cette
définition, il est visible que le tliéorème de Meunier, démontré
n° 178, page 445, comporte l'énoncé suivant :

Les centres inverses de courbure de toutes les sections faites
suivant une même tangente sont sur une même droite perpendi-
culaire à la section normale correspondante.

Considérons deux surfaces A, A' et leur intersection 1. Par un
point quelconque m de la ligne s menons un plan tangent à clia-
cune des deux surfaces A. A'. Le plan tangent à la surface A coupe
en i-cjic.rai la surface A' bui\ant une courbe S' De mcmc au^^i le

( i46 )

plan tangent à la siirl'acc A' coupe la suilace A suivant une cer-
taine courbe S.

Soient 0, o' les centres inverses de courbure (jui correspondent
au point m dans les courbes S, S'. Sur les droites
mo, mo' prises pour cotés, construisons le parallé-
logramme moco'.

Cela posé, voici en quoi consiste le théorème qui
est du à Hachette et que nous nous proposons de
démontrer :

Le point c est le centime inverse de courbure de la ligne s.

Par le point m menons les droites mu, mn respectivement nor-
males, Tune à la surface A , l'autre à la surface A'. Les droites mn,
mo , me, mo\ mn' seront toutes dans un même plan, normal en m
à chacune des trois courbes 2 , S, S'. 11 est visible, d ailleurs, que
les angles ?imo\ nmo seront droits.

Soit D la tangente en m aux trois courbes 2, S, S'. Soient en
même temps n, n' les centres inverses de courbure des sections
normales faites suivant la droite D, l'une dans la surface A , l'autre
dans la surface A'. Si Ton tire les droites no, n'o' et qu'on les
prolonge juscprà leur rencontre en c , le théorème de 3Ieunier
implique les déductions suivantes :

1° Les droites no, m'o' sont respectivement perpendiculaires,
Tune à la normale mn, l'autre à la normale mn' ;

2" Le centre inverse de courbure de la courbe 2 se trouve en
même temps sur chacune des droites no, n'o'. Il est donc situé
en c à l'intersection de ces droites.

On sait, d'ailleurs, que les angles nmo', n'mo sont droits. Il y
a donc parallélisme, dune part entre les droites oc, mo, d'autre
part entre les droites o'c, mo. De là, et de ce qui précède, résulte
évidemment le théorème énoncé ci-dessus.

( 447 )

Lignes de courbure.

181 . Nous avons vu qu'il existe , en général , pour chaque point
d'une surface deux directions rectangulaires, satisfaisant à l'énoncé
du n° 108, page 419, ou, ce qui revient au même, à la condition

du n" 170, page 457. Lorsque la normale à la surface se déplace
suivant l'une ou l'autre de ces deux directions , les vitesses de ses
différents points sont toutes dirigées dans le plan de la section
normale correspondante. Il s'ensuit que l'un de ces points, celui
qui coïncide avec le centre de courbure de cette même section a
une vitesse nulle. Les sections déterminées par les directions dont
il s'agit sont dites, ainsi quon l'a vu déjà, seclions principales.
Voici d'ailleurs les conséquences.

1" Les sections principales sont les seules pour lesquelles il
existe, sur la normale à la surface, un point dont la vitesse soit
nulle à l'origine du déplacement de celte même normale. Elles
déterminent sur la surface, par la direction des tangentes qui
leur correspondentj.deux systèmes de lignes, dites lignes de cour-
bure ;

2" Les lignes de courbure se coupent partout à angle droit.
Elles sont les seules, parmi toutes les lignes tracées sur la suifuce,
pour lesquelles le lieu géométrique des normales correspondantes
soit une surface développable * ;

5" Dans les surfaces de révolution , les lignes de courbure sont
les méridiens et les parallèles.

Tangentes conjuguées,

\S'2. Reportons-nous aux données et notations du n" 175, page
454, et raisonnons dans 1 hypothèse où les sections S,, Sy sont
deux sections principales.

* La llicoiif (It's surfaces déveloii|»ables est exposée plus loin ii° 205 et sui-
vante.

( i4« )

Considérons, dans rliacun des systèmes formés par la section S^
^^ et l'une ou l'autre des sections principales S,, S,,,
celle des deux tangentes réciproques dont le point
de conlact est assujetti à glisser sur la section S/.
.0/ La rotation de l'une peut être représentée j)ar OL,

l)Our\u (pion ait égard à l'équation de condition
^ >>,:=o et <pie Ton pose, en conséquence,

I

"7K

\

; \

(I) OL=:« = W, cot a •

La rotation de l'autre peut, de même, être rcpjésenlée par OL',
en prenant

(2) OL' = W,.t

. a.

Ces deux l'otations étant ainsi déterminées, celle delà normale
en résulte, j)our le déplacement qui correspond h la direction OL.
Elle est représentée par On y le point n étant donné par linter-
scction des droites Lu, L'u, respectivement parallèles, l'une
à OX, l'autre à OY. ( V partie, n° 40, page 85).

Soit y l'angle ({ue la droite On l'ait avec Taxe OX. Oji a innné-
diatcmenl

06 OL . sin a W., cos a

De là jésuite
(5) tga.tgy =

bn OL' cos j: \V,^ sin a
W. R'

Les tangentes OL, Oji, dont Tune lixc la direction du déplace-

* Celle valeur fournie par l'équation (1) du ii» 175, page 456, s'applique,
avec un signe contraire, à celle des tangentes réciproques du système S,;, S/
dont le point de conlacl glisse sur la section S^ . On peut, en vertu du théo-
rème des tangentes réeiproques, considérer celle même valeur connue s'ap[)li-
quant à celle des langenles réciproques, du système S. , S/ dont le point de
conlacl ylis^c hur la section !^/ . Il sullit d'en clianwr le sijnc.

ment que l'on eonsidèrc, et laiitre celle de Taxe instantané qui
correspond, dans le plan tangent, à cette direction, sont dites,
d'après M. Dupin, tangentes conjuguées. L'équation (5) exprime,
en vertu d'une propriété connue des sections coniques, que, rela-
tivement à l'indicatrice, les tangentes OL, On forment entre elles
un système de diamètres conjugués. Ce résultat nous était déjà
connu. Nous l'avons établi directement au n° 174, page 451.

Théorèmes de MM. Dupin et Lamé sur les surfaces
orthogonales.

185. Soient A, A', A" trois surfaces qui se coupent, deux à deux
et à angle droit, suivant trois lignes ayant un point commun 0.
Soient OX, OY, OZ, les tangentes en 0 aux intersections des sur-
faces A, A', A". Soient de plus N, N', N" trois droites assujetties à
sortir du lieu qu'elles occupent avec une égale vitesse de transla-
tion * et en restant, comme elles le sont en 0, respectivement
normales, la droite N à la surface A, la droite N' à la surface A',
la droite N" à la surface A".

Considérons la rotation de la droite N autour de la direction
qu'elle suit, au sortir du lieu OX, et, selon que cette direction
est OY ou OZ, désignons par Ny ou par N. la rotation dont il
s'agit.

Considérons de même la rotation de la droite IN' autour de la
direction qu'elle suit, au sortir du lieu OY, et, selon (jue cette
direction est OZ ou OX, désignons par X^- ou pai' XI la rotation
dont il s'agit.

Considérons enfin la rotation de la droite N" autour de la
direction qu'elle suit, au sortir du lieu OZ, et, selon que cette
direction est OX ou OY, désignons par NI! ou par N^J la rotation
correspondante.

Cela posé, lorsque les normales N', N" se déplacent en même
temps suivant la direction OX, elles ne cessent pas d'être reclan-

* Celle vilesse esl, i>our chaque droite, celle du iwiiiloù elle s'appuie sur
la surface qui lui correspond. 0)i la nuppone éyalc à l'unité.

Tome XV. 20

( ijO )

guhurcs. La niêjuc observation s'applique aux iioiinales ^", N
dans leur déplacement suivant OY, et aux normales N, IN' dans
leur déplacement suivant OZ. De là résulte, conformément au
théorème XI de la 1'' partie (n" 52, page Go),

(I). . . . K = K, K = %^ n. = n;.

D'un autre côté, s'il s'agit des déplacements d'une même nor-
male suivant les deux directions rectangulaires qui lui correspon-
dent, l'on a, comme déduction du théorème des tangentes récij)ro-
(pies, et conformément au dernier énoncé du n" 17o, page 450,

(2). . K-^-K ^, = -N„ K = -^K'

Le double s}stème des équations (I) cl (2) peut s'écrire de la
manière suivante :

(3). iN:=^^:^-lN;, S;^N,^-N,, ^^,==K-=~-K'

De là résulte immédiatement

(4). . . . n; = n:==^-n,-n, = S; = -N;,

et, comme l'égalité J\', = — IN' n'est possible qu'autant que la
quantité >'l est nulle, il s'ensuit que l'on a nécessairement

(')). K=^o, K=^o, ^,j = o, 'i^'y=^Oj i\- = o, K,^o.

iVous avons vu, au n^* 170, page 451), que les sections principales
sont les seules })Our lesquelles on ait

N, = 0.

On a donc ce premier théorème :

Lorsqtfc trois surfaces se consent orlhogonalemenl suivant
trois lignes ayniit un point commun, ces lignes sont , sur cha-
cune (les trois surfaces , tangentes aux lignes de courbure menées
par le point roumiun aux trois iiderseclioits.

( ^'--il )

II vient ensuite, comme eonséquenee, cet autre ihéorèmc, qui
est celui de M. Dupin :

Lorsque trois séries de surfaces se coupent orthogonale ment ,
leurs intersections ne sont autre chose que leurs lignes de cour-
bure respectives.

185 ''''■ Soient S, Sj, S.^ trois courbes issues d'un même point 0
et résultant des intersections, deux à deux, de trois
surfaces SOS,, SiOSa, SgOS. On suppose que ces sur-
faces font partie d'un système triple de surfaces
orthogonales. Il s'ensuit, comme on vient de le voir,
que les courbes S, S,, S.^ sont, relativement aux
surfaces SOS,, S,OS.,, S.2OS et pour le pointiO , leurs
lignes de courbure respectives, c'est-à-dire les lignes
de courbure qui se croisent en ce point et qui sont, en général , au
nombre de deux pour chacune de ces surfaces.

Donnons-nous les modules des courbures affectées en 0 par les
sections principales et désignons-les respectivement, parW et ^1
pour la surface SOSj; par W, et ^ç, pour la surface S^OSa; par y>\
et :c pour la surface S^OS, les indices étant les mêmes pour chacun
de ces modules que pour celle des courbes S, S,, S^ qui touclie
en 0 la section principale correspondante.

Menons par le point 0 une droite quelconque OB, supposée lixe,
et nommons

m un point mobile sortant du lieu 0 à linstant que Ion

considère;

D une droite issue du point m et cntrainée par ce point;

T, T,, T2 les tangentes en ni, soit aux courbes S, S,, S.,, soit

aux sections principales qui touchent ces courbes en 0;

a, aj, «2, les angles que font avec la droite OB les tangentes

T T. T>-

V, V,, Y2 les diverses valeurs affectées par la vitesse du point m

selon qu'elle est dirigée suivant la première, la seconde

ou la dernière des tangentes T, T,, T2.

Cela posé, imaginons d'abord que le point m sorte du lieu 0 en

glissant sur la surface S.OS, et assujettissons la droite I) à lestcr

( '^-^'2 )

normale à cette surface. Si la direction suivie par le point m est
relie de la section principale dont la courbure a pour module la
quantité ^,la droite D ne cesse pas de coïncider avec la droite Tj,
et l'on a

(1 ) d cos «1 = V« . cos a ,

cette équation pouvant s'écrire immédiatement, d'après le théo-
rème général formulé comme il suit * :

La différentieUe du cosinus de l'angle qu'une droite mobile
fait avec une droite fixe est égale au produit de la vitesse angu-
laire de la droite mobile par le cosinus de l'angle que fait avec
la droite fixe la perpendiculaire élevée sur la droite mobile dans
le plan de rotation.

Si, toutes choses égales d'ailleurs, la direction suivie par le

' Voici , au besoin , la démonstration géométrique de ce théorème.
Soient OB une droite fixe; OD une droite mobile autour du point 0 ; COD le
plan de rotation de la droite OD; B un point quelconque de
la droite OB; C etD les pieds des perpendiculaires abaissées
respectivement, Tune du point B sur le plan COD, Tautre du
point C sur la droite OD.
^ — ^^^ Désignons par «i Tangie variable BOD et par oc Tangle ac-
^ tuel des droites OB , CD. On a évidemment

Fig. 73''".

A

et, par suite.

OD

cos., = —

d cos <Xi = -— (/(OD).

Mais , d'un autre côté, si Ton désigne par w la vitesse angulaire qui anime à
la fois les deux droites OD,CD dans leur rotation simultanée, autour du
point 0 pour l'une, et du point C pour Taulre, on a de même

t/(OD)=cv.GD.

De là résulte, en substituant ,

CD

r/ cos iz, = co , -— = w . cos ix. C. Q. F. D.

OB

( 4:r> )

point m est celle de la seetion j)rineipnle dont la eonrbure a W.^
pour module, la droite D ne cesse pas de coïncider avec la droite T,
et l'on a de même

(2) d^ eos «, = V2W2 cos aj,

les indices qui affectent la caractéristique d et la vitesse V ayant
même sens de part et d'autre.

Imaginons maintenant que le point m sorte du lieu 0 en glis-
sant sur la courbe S et considérons la droite D comme étant la
directrice du point m sur cette courbe. Ainsi déterminée, la
droite D se confond avec la droite T et l'on a, comme ci-dessus,

(J cos a = — Vïî cos ^ *

les quantités Q et € se rapportant au point 0 de la courbe S et
exprimant pour ce point. Tune le module de la courbure, l'autre
l'angle que la normale principale fait avec la droite OB.

On sait, daprès le Ibéorème de Hachette (voir n*' 180, page 445)
que la module il, porté sur la normale principale de la ligne S, à
partir du point 0, est la diagonale du parallélogramme qui a pour
côtés adjacents à ce point, d'une part, le module x porté sur la
droite T,, d'autre part, le module W porté sur la droite Ta. Il suit
de là que si l'on projette en même temps sur la droite OB ces
deux côtés et la diagonale, on a l'égalité

û ce® 6 = w cos «1 -4- W cos a^.

De là résulte, en substituant,

(3). . . .rfc0Sa = — V[w COSai-4- W COSag].

* Il est aisé de voir que le second membre de cette équation doit être pris,
loutes choses égales d'ailleurs, avec un signe contraire à celui dont se trouve
affecté le second membre de Téquation (1). Les droites T, Ti entraînées toutes
deux par le point m sont et demeurent rectangulaires. Il s'ensuit que les
cosinus des angles qu'elles t'ont avec la droite OB varient en sens inverse, l'un
croissant si l'autre décroît et réciproquement.

(4).

( 454 )

Reprenons les équations (l)et p). En leur ajoutant eelles qui
s'en cUkliiiscnt par simple voie de permutation tournante, on a
les six équations

( (l cos a , = Ycù eos a , (Il eos a.2 = Vi . ô^i cos a, , (J^ eos a == Vs . 0^2 cos «2 ,

( ^; eos a. := V WCOS a 5 f/i cos a r^ ViWi cos «i , rfa cos aj=V2 .WgCOS «2 )

Le même procédé s'applique à l'équation (5) et fournit les trois
écpiations

!r/cos a = — V [cô COS «1 H- W eos a^],
(Ji cos «, = — Vi [côj cos «2 -+- Wi t'OS a] ,
(A, COS a2 = — y 2 [^2 «"OS a -t- W2 COS a,].

La simultanéité des équations (4) et (5) permet de les combiner
entre elles et d'en déduire, par voie de différentiation , les for-
mules dont nous poursuivons la recherche. Les substitutions que
nous aurons à faire exigeant la détermination préalable de chacun
des couples {cl^Y, dW^), {dVi, diY), (r/iVa, r/^Vj) nous observerons
qu'on parvient sans difficulté aux six équations *

(G)

l diY = V. Vi « , d,Y, = \\\, ^i , f/ V2 = Vo . V «2 ,
I d,y = V VoW , dV, = V,V w, , d,\, = VoV, W2 .

Différencions, par raj)port à la caractéristique (L, la première

* S'agit-il de la difleivntielle (/«V? La vitesse Y, dirigée suivant la droite T
peut se rapporter indifléremmeiU à chacune des deux sections principales
faites langentiellenient à celle droite, Tune dans la surface SOSi, l'autre dans
la surface S^OS. Si on la rapporte à la première de ces sections , on a

y étant le rayon de courbure (pii correspond au module W.

La différenlielle (/jV exprime, par hypothèse, la vitesse avec hKjuelle varie
la quantité V lorsque le point m sort du lieu 0 avec la vitesse V dirigée suivant
la section faite dans la surface S^.OS par un plan parallèle aux droites T, T, et

( io'J )

(les équations (4) et, par rapport à la earactérisliqiie (/ la dernière
de ces mêmes équations. L'identité

(1-2 . d COS flc, = (/ . (h cos a, ,

qui subsiste en vertu de la règle établie au n" 55 de la 2"" partie
(page 148) , donne

r/,(V^ cos a) =:= (/(V,W, cos «.).
De là résulte, en développant,
V cos r/ . f/^ .^ -+- v;^/, cos « -h cô cos « . f/oV'^V., cos x^ . r/W.,
-+- V.AY.2 • '^^ cos a., -+- Wo C(ys «., • (1^2 •>
puis, sul)slituant les valeurs fournies par les équations (1) et (0),

VCOS a.r/o.~ -f-VVo.oô^o cos a.2 -+-VV.2.iôW COS a==V.2 COS y-o. fAV.>
-+- WAYAVî. cos V. H- VV.,. "AVo cos a., .

Divisons par le produit V.V^ et remplaçons les rapports -~^ , --^
par les expressions équivalentes -^ , —-(les dénominateurs dé-

que ce plan se meut avec la vitesse de Iraiislalion ropréseiilée i^ar V,, la posi-
liondonl il sort étant celle d'une section principale. Il suit de là que lout se
réduit à considérer le point m comme s'il sortait du lieu 0 en glissant sur le
rayon de courbure y avec la vitesse 7== V^ et que ce rayon tournât avec la
vitesse AV autour du centre de courbure qui lui correspond. De là résulte, en
vertu de réqualion précédente,

rf J = W . r = W.V„

et, substituant à W le produit égal V.W

r/,V=V.V,W.

On peut obtenir de même les autres équations, ou les déduire do celle-ci par
voie de permutation tournante.

( i-i<) )

terminant la vnrial>Ic à considérer pour la clifTérentiation indi-
quée au numérateur). On trouve ainsi les équations suivantes, dont
la première s'obtient directement, et les deux autres par voie de
permutation tournante.

— — COS a — — — ^ COS a^ = [W.2 — iô] [W COS a ■+- x., COS a., ] ,

(8). \ _lî. p^j. ^^ ç,Q^ y ^^ ^'^y — t:^ [-yy^ çq^ ^^^ _^ ^ COS a] ,

ils dsi

"^^ '^'^ rw -irw - 1

-— • COS «2 — ~~r~ ^'OS a, = I \> 1 — X J I W 2 COS ao + :v^ COSa, 1.

La droite OB pouvant être quelconque, disposons-en pour la
faire coïncider successivement avec chacune des trois tangentes
T, T, , To. Il suflit pour cela d'annuler alternativement chacun des
trois angles a, ^,, xç, et d'égaler, en même temps, les deux autres
à 90°. On trouve ainsi trois identités et les six équations

(9). ) ^^ t ^

Au lieu de combiner entre elles les équations (4) on peut les
combiner avec les équations (5), sans rien changer d'ailleurs au
procédé suivi. Cette combinaison nouvelle a l'avantage de repro-
duire les relations précédentes et d'en fournir trois autres. Bor-
nons-nous à un résumé succinct.

Diffc'rcncions la première des équations (5) par rapport à Tune
ou l'nuli'c des caractéristiques //,, d.,. Si nous différencions en
mcnic icmps la troisième et la cinquième des équations (i) j)ar
rapi)ort à la caractéristique il , les identités résultantes

il^d COS a -rr- (/.(/, COS X , d.,d cos a ^■^- d.d^^ cos a

(lO)

( i;i7 )

donnent

^/,V [; vos «, -+- W cos (/.<i] == — </(V,W, cos y.,),
(/jV p cos ^., -+- W cos «2] = — rf(Vç..':3.^ cos x^).

De là résulte, en développant, faisant les substitutions permises
en vertu des équations (4), (0), (6), et réduisant comme pour les
équations (8),

cos a, H cos'A,=[w, — W]xcosao— [w -+ w, -+-côiW]cosa„

dSi ds dsi

f j -\ -' ! cos ^2 H cos a, = [ W-j — ic]WcOS a, — [&)., -+ W H- !cW,] COS OL^.

ids., ds j t/Sa

On sali qu'il suflit d'annuler successivement chacun des trois
angles a, a, , y^ et d'égaler, en même temps, les deux autres à 90%
pour que la droite OB coïncide alternativement avec chacune des-
trois tangentes T, T,, T^. Cela posé, si l'on fiiit d'abord a = o, les
c<iuations (10) sont satisfaites identiquement. Si Ion pose ensuite
a,^^ 0 , il vient

dSi as a Si

On a de même pour «2 = 0

(/Sa rf.s as,

On voit, daillcurs, aisément, par voie de permutation tour-
nanle, qiie ces équations impliquent le système complet des équa-

{ 458 )

lions (0) et. on outre, le.^^ trois reintioiis siiivnntc^ dont ebaeune
est deux lois reproduite,

dss ds

ds.^ dsi

dx., d\V 2 — 2 —

— ^ -+- ■ = — f.I, -I- W + :ô W.,].

ds ds.2

Désignons par y, j^, y., et par r, e, , e, les rayons de courbure
qui eorrespondent respectivement, les premiers aux modules
W, W, , W^, les derniers aux modules I, ic,, û?.,. Si on les pren<l
avee leurs valeurs absolues, et que l'on tienne compte, d'après les
conventions adoptées, du sens des rotations, il faut poser

1
VV

1

5

•y

T/,

w,= -^

1

C

1

C, '

1

C.

(12).

Les formules (9) et (11), lorsqu'on y substitue ces valeurs,
prennent la forme suivante, sous laquelle on les doit à M. Lamé ,

1 ! I

lï_i(i_i\ l^_l(l„i], l^_i(i__i],

1 ' 1 1

!i_lfi_:L], liî_ifi._i), li_L(i_i),

(As, ds c- r{ ?'Ci
c. r

r/.s (/Sj

f?, -^o 1 > ^
■ , ^ y.

ds. ' r/.<;, c' " ?! ' ?lf-

11 1

(•■; r"- C9'^

( m )

11 y a lieu d'obscrvor que ces équations sont nu nombre de
neuf, tandis que les rayons de courbure dont elles dépendent
sont seulement au nombre de six. On peut en inférer que trois
quelconques de ces neuf équations rentrent dans les six autres *.

Théorème de Sturm, et mitres, sur les (Jéplacements iVtme
normale à une surface.

184. Reportons-nous aux données du n" 182 et à la figure 72,
page M8.

Lorsque le point 0', supposé mobile sur la surface A, sort du
lieu 0, suivant la direction OL et avec une vitesse égale à Ihinitéy
la rotation de la normale est représentée par On. Cette rotation se
décompose en deux autres, l'une établie autour de l'axe OX et
représentée en sens et grandeur par 0«, l'autre établie autour
de l'axe OY et représentée en sens et grandeur par Ob. On a,
d'ailleurs ,

(1). . . . Or(=:OL'.eosa, 06==0L.sina,

et, comme les formules (1) et (2) du n** 182, page 448, donnent

0L'=:Wy.tg«, OL = W,,.cota,

il en résulte

(2). Ort = W,, . sin a = — ;^ , 0^^ = W, cos y. = -— •
V / ' R' R

Soient c, c' les points de la normale qui coïncident originaire-
ment avec les centres de courbure des sections principales S^., S^.
Les vitesses qui animent les points c , c' se composent de la vitesse

Nous avons suivi pour rétablissement des formules de M. Lamé la marche
tracée par M. Ossian Bonnet, dans un mémoire publié en 1818 sur la théorie
iiénérale des surfaces {Journal de l'école Polytechnique, ô^""^ cahier, t. XIX,
pages :22 et suivantes). La seule différence à noter consiste en ce que nous
avons procédé géoniétriquonient, sans aucune intervention d'infiniment petits.

( ioo )

avec laquelle le point 0' sort du lieu 0 et de eelles qui résultenl
des rotations simultanées Or/, 0/>. Les eomposantes de la vitesse
du point 0' suivant les axes OX, OY sont Tune eos a, l'autre
sin a.

De là résulte :

i*» Pour la vitesse qui anime le point c parallèlement à OX,

(5) eosa — R. 06=^0;

2" Pour la vitesse qui anime ce même point parallèlement
àOY,

/ R \ R'--R .

(4). . sin a — R . Oft = I l — —- 1 sm « == "1^^~" ^^" ^''

5** Pour la vitesse qui anime le pointe' parallèlement à OX,

, / R'\ R~R'

(*)). . eosa — R .06= 1 eos c/.= eos a;

^ ^ \ R / R

4" Pour la vitesse qui anime ce même point parallèlement
à OY,

(G) sin a— R'.OrY = o.

Les écpiations (ô) et (G) montrent, conformément au théorème
de Sturm, que c'est en s'appuyant sur deux droites, parallèles au
plan tangent et rectangulaires entre elles, que la normale à une
surface sort du lieu qu'elle occupe. Cette circonstance est remar-
quable en ce que les droites dont il s'agit restent les mêmes pour
tous les déplacements possibles à partir diin même lieu. On voit,
d'ailleurs, comment elles sont situées, chacune d'elles passant par
le centre d'une des sections princij)alcs et étant dirigée perj)endi-
culairemenl au plan de cette section.

La simultanéité des équations (Ô),(4'), (51, (G) imj)]ique les
déductions suivantes :

LovRci^'une (droite assujeltie ù rester normale à vue surfaee

( '«ni )

sert du lieu qu'elle occupe, son état de mouvement résulte, en
général, de deux rotations simultanées.

L'une de ces rotations est établie autour du point c. Elle fait
tourner la normale dans le plan de la section S, avec la vitesse

, . cos a , . , ,, . . ,

angulaire—^. La vitesse quelle communique au point c est
dirigée parallèlement à l'axe OX et représentée en grandeur par
l'expression

R— R'

eos a.

R

L'autre est établie autour du point c'. Elle fait tourner la nor-
male dans le plan de la section Sy avec la vitesse angulaire -— '
La vitesse qu'elle communique au point c est représentée en
grandeur par r expression

R — R .

SI 11 a.

R'

On observera que ces déductions s'appliquent au cas où le point
0' sort du lieu 0 avee une vitesse égale à l'unité.

185. Projetons en m sur OX, en n sur OY les extrémités des
vitesses qui animent simultanément les points c'
et c. Si nous tirons la droite mn et ([ue, du point
0, nous abaissions sur cette droite la perpendi-
culaire Op, il sulïit de se reporter au tliéorème
^ VII de la première partie (n" ]7, page 45') pour

reconnaître que la vitesse du point central est représentée par Op,
et que ce point est situé sur la normale de manière à diviser l'in-
tervalle c'c comme le point p divise le segment mn. Désignons par
e le point central et par y les angles égaux Onp , 7nOp. On a,
d'après ce qui précède ,

(!) fe=-(R' — R)^'

mn

Fig. 7 /.

0

V

( ^02 )
1 c(iualioii (:2) pouvcHit t>"cci'ii'c sous l'cIIc aulrc loruic

IV

tga.tgr-- — •

Rapprochée de l'équalion (o) du n" 182, page 448, la dernièi-e
cqualion montre que la droite Op coïncide avec la caractcristicjue
du plan tangent qui correspond au déplacement considéré. Ce ré-
sultat est évident à priori. Il est elair, en effet, que l'état de mou-
vement (le la normale est réductible à une translation représentée
par Op et à uvm rotation établie autour d'un axe mené par le
point e j)arallèlcment à Op.

Ajoutons R aux deux membres de l'équation (1) et désignons
par r la dislance du point central e au point 0. Il vient

C) ,= R?^ + Hi^..

mn mn

On a , dailleurs,

pm pm Om . ^ pif pu On

'— = '—-.- = sur r, = = cos- r .

mn Ont mn mn On mn

Ces valeurs substituées dans l'équation (5) donnent

(4) r =^ R sin^ 9/ -+- R' cos"' y ,

et, par suite,

(0). .- . . .

r cos^ r sin^ r

R.R' R R'

Soit pt le ra}on de courbure de la section normale dirigée sui-
vant Op. On a

1 cos^ r sin'^'v

<•') jr-^-^-w

La comparaison des équations (5) et (O) l'oiirnil la rclalion gé-
nérale

(7) ,'i.r==RR'=cons^

( 407) )

Désignons sous le nom de sections ionjuguées deux sections
normales quelconques, dirigées respectivement suivant deux dia-
mètres conjugués de l'indicalrice. L'éfjuation (7) implique le théo-
rème suivant :

Le produit du rayon de courbure d'une section normale par la
distance de la surface au point centrcd de lu section conjuguée
est constamment égal au produit des rayons de courbure princi-
paux.

I8G. Reprenons l'équation (^) du n" 18-j, page iOl,

K'cosa

0 tgr="-T— •

R sm y.

L'on en déduit

R".sin-a R'^cos"a

ri . cos- r = ...; . . Tzz — r ' ^i»" r ==

R^ si n -^ ^ -f- R'-^ cos^ a ' R^ sln^ a h- R'^ cos^ a

Ces valeurs subsliluécs dans l'expression de la quantité r don-
nent

R R'

^ ' * R' sin^ a -t- IV Qos' «

Soil 0 le rayon de coui-bure de la scclion nonnale dirigée sui-
vant OL. On a

1 cos"a sin'-«
^ ^ ^ R R'

La combinaison des équations (1) et (4) l'ournit la relation

R^R'^

(5).

• •

. . p.

. r

^-

R^

sin^a •+-

R'^cos^

a

ou,

mieux

encore,

(•■-)•

1

cos' a
R^ -^

sin^a

'

. .

P

.r

R'^

( i()4 )

L'équation (0) est l'équation polaire dune ellipse rapportée à
son centre et ayant ses axes principaux R, R' respectivement
dirii^és, le premier suivant la droite OX, le second suivant la
droite OY.

Chacun (les rayons vecteurs de cède courbe détermine, par sa
position une section normale, par sa longueur la moyenne pro-
portionnelle entre le rayon de courbure de cette section et la dis-
tance centrale correspondante *.

On peut désigner sous le nom de deuxième indicatrice l'ellipse
représentée par l'équation (6). La considération de cette courbe
n'offre pas les mêmes avantages que celle de la première indica-
trice. Elle permet néanmoins de faire ressortir quelques résultais
plus ou moins curieux. Bornons-nous à signaler la propriété sui-
vante que l'inspection de l'équation (6) suffit d'ailleurs pour mettre
en évidence.

Soient r/ cl r' le rayon de courbure et la dislance centrale * qui
correspondent à la section normale dirigée à angle dioit sur OL.
On a évidcnmient

1111

(7). . . . -^ — — r=.^-^ r=cons",

^ ^ o.r p\r' R- R-

et, de là lésidle I énoncé suivant :

La somme inverse des produits du rayon de courbure par la
distance centrale est constante pour deux sections quelconques
rectangulaires.

Imaginons (luon superj)()se les plans des deux indicatrices, en
faisant coïncider les centres respectifs de ces courbes et les direc-
tions de leurs axes principaux. A une même direction quelconque

Pour abréger, nous désignons sous le nom de distance centrale la dis-
tance comprise, pour la section que Ton considère, entre la surface et le point
central correspondant.

( U\h )

coiTespoiidroiit deux rayons vecteurs exprimés rcspectiAenicnt
l'un par 1^0, l'autre par V^p.r. Le quotient de ces deux rayons
détermine la quantité l^r, c'est-à-dire la racine carrée de la dis-
tance centrale correspondante. Ce résultat peut s'énoncer comme
il suit :

Le rapport qui s'établit pour une même direction entre le raijon
vecteur de la deuxième indicatrice et celui de la première est la
racine carrée de la distance centrale correspondante à cette direc-
tion.

Multiplions membre à membre l'équation (6) du présent numéro
et l'équation (7) du numéro précèdent, page 462. Il vient

(oj - = — COS^'a -♦- — sm''a.

jo R R'

1» I
Remplaçant le rapport - par sa valeur l(j j, . tgy, on trouve ,

toutes réductions faites,

(9) /-j, sin. î2r ^= /jsin.^a.

Les équations (8) et (9) cxprimcjit les relations qui s'établissent
entre les rayons de courbure de deux sections normales conju-
guées.

187. Le point central étant le point de la normale dont la vi-
tesse est la moindre en grandeur, on peut, en procédant comme
il suit, déterminer directement la position qu'il occupe.

Soit 71 le centre de courbure de la section normale désignée par
S, dans le n" 182, page 448, et dirigée suivant la droite OL.

Lorsque le point 0' sort du lieu 0 suivant la section S,, la nor-
Fig 73. niale peut être considérée comme animée de deux rota-

0 L lions simultanées, établies respectivement, lune autour

|\ du point n dans le plan de la section S,, l'autre autour

y du point 0 dans un plan perpendiculaire à celui de cette

/^/, même section. La vitesse angulaire qui correspond à la
-n'^ première de ces rotations est VV, ; celle qui correspond à

Tome XV. 50

( 46G )

la seconde est X,. Les vitesses qii elles communiquent à nn même
point e' de la normale sont rectangulaires entre elles et elles ont
j)Our valeurs respectives, l'une le produit ne'.W,, lautre le pro-
duit Oc'.N,. Si nous représentons la première par ne', nous pou-
vons représenter la seconde par e'li\ l'angle nc'h' étant droit et
le segmente'//' a\ant pour longueur

(),;'.— = e'h'.
W,

Tirons la droite 0//' cl désignons par ) l'angle Oli'c'. On a

Oe' W,

Concluons que la direction de la droite Old est complètement
déterminée par le rapport des vitesses angulaires ^y,, N/, et que
la vitesse totale du point e' est représentée en grandeur par lliypo-
ténuse nh' du triangle rectangle ne h'.

Cette conclusion étant générale et s'appliquant, en conséquence,
à toutes les positions que le point e' peut prendre sur la normale
On , il est visible (pic, pour déterminer le point central e, il sullit
d'abaisser du ])oint n sur la droite Oh' la perpendiculaire nh et
de projeter en e sur On le pied de cette pcrpendiculaiie. De là ré-
sulte innnédialcmcnt

Oe = OA . sin / = On sur A.

et, avec les notations du Jiuméro qui précède,

(1) r = psin2>.

Sans changer la ligure, imaginons qu'elle soit tracée dans le
plan qui touche en 0 la surface A', et que la droite OL, menée par
le point 0 perpendiculairement à 0«, représente la direction
suivie par le point 0' au sortir du lieu 0. Les droites On, OL re-
présentent respectivement, l'une l'axe de la rotation VV,, l'autre
celui (le la l'oljition >V II s'ensuit que la rotation résultante aura

pour axe une droite parlant du point 0 cl Taisant avec OL un
angle a} ant pour tangente le rapport

W,

N, ' ■

Mais telle est déjà la condition remplie par la droite Oh'. On
voit donc que l'angle / de la formule (I) nest autre chose que
celui que font entre elles les deux tangentes conjuguées représen-
tées respectivement par OL et O/i dans la ligure 7i>, n" 18^,
page 448. De là résulte, en conséquent

ice

A = Cf. -h y.

La formule (!) détermine très-simplement le rapj)ort qui existe
pour une section quelconque entre le ra} on de courbure de cette
section et la distance centrale correspondante. Combinée avec la
formule (7) du n" 185, page i(>^, elle donne

("2) Pi.;3 sin- > ^^RR'= cons'%

et, par conséquent, aussi

(3). . . . V/^.l^7i-sin/=-V/R.|/F-.cons"'.

Considérons l'indicatrice déterminée par les demi-axes princi-
paux V^R, l^R'. Les rayons vecteurs )/ p, \/ pt y correspondent à
deux diamètres quelconques conjugués faisant entre eux l'angle /.
Cela posé, il est aisé de voir que les équations (l) et (o) ont pour
traduction immédiate les énoncés suivants :

I" Les racines carrées du rayon de courbure et de la distance
centrale sont déterminées pour une même section ^ l'une par le
rayon vecteur qui correspond à cette section dans l indicatrice ,
l'autre par la perpendiculaire abaissée de ^extrémité de ce rayon
sur le diamètre conjugué;

( 468 )

2" Le parallélogramme construit dans l'indicatrice sur deux
diamètres conjugués a pour surface équivalente celle du rectangle
construit sur les axes principaux.

Ce dernier énonce exprime une propriété connue des sections
coniques. Au lieu de procéder comme nous l'avons fait, on peut
poser à priori l'équation (5). II suffit alors de combiner cette équa-
tion avec l'équation (7) du n" 185, page 462, pour parvenir à
l'équation (1) du présent numéro et formuler, par suite, le premier
énoncé.

188. Reprenons l'équation (6) du n'' 186, page 465,

1 cos^a sin^a

et l'équation (1) du n"^ 187, page 466,
r = p. sin^ )..
La combinaison de ces deux équations donne

(!)•

Considérons l'ellipse que nous avons désignée sous le nom de
deuxième indicatrice. Elle est déterminée par ses demi-axes prin-
cipaux R, R'.

Soient m un point de celte ellipse ; 0 son centre ; mn la normale
Fig.76. en m *; On une perpendiculaire élevée en 0 sur le rayon
vecteur Om ; Oe la perpendiculaire abaissée du point 0
sur la normale mn.

o4 — \o Les droites On , mn étant respectivement perpendicu-

^ laires, l'une au rayon vecteur Om , l'autre au diamètre

conjugué avec ce rayon, les angles Onm, mOe sont égaux entre

eux et à l'angle A. Il s'ensuit que le rayon de courbure de la sec-

* La normale dont il s'agit ici n'est plus la normale à la surface , mais bien
la normale à l'ellipse que l'on considère. Le plan de la ligure est celiii de cette
nicinc eilipbe.

( m) )

tion dirigép fiidt^anf Om e.s/ représenté pur rnn et lu distance cen-
trale correspondante par me. En clTct, Icquation (I) donne

r
Om = p sni / = -; —
sm X

et, l'on a, d'après la figure,

me

Oi>i = 7nn . sin / = •

sin >

Il vient donc évidemment
(2) p = mn 5 r = me.

On voit ainsi comment il suffît d'une construction très-simple
pour obtenir, en même temps, le rayon de courbure et la distance
centrale qui correspondent à une même section quelconque déter-
minée. Sous ce rapport, la deuxième indicatrice ne le cède en rien
h la première. Peut-être même doit -elle être considérée comme
lui étant préférable.

Veut-on déterminer, en fonction de l'angle a et des rayons de
courbure principaux, la distance centrale r? On a

1 1 r cos^ a sin^

et l'on en déduit

1 1 rcos^a sm^a~|

. r " 7 L R R' J

^ ± P , tg^ «

'-^.tg^^

le signe à prendre étant le supérieur ou l'inférieur selon que la
première indicatrice est une ellipse ou une byperbole, autrement
dit, selon que les courbures des sections principales sont de même
sens ou de sens contraire.

180. Reprenons la formule (8) du n" ITT), page 458. En y rem-

( '^70 )

plaranl les niodulos \V,^ et \V^ pnr leurs valeurs respectives
— et - . elle devient

1 r 1 I

1 r 1 M
1) N, = - sii2.a

^ ' 2L1V rJ

On j)eul écrire aussi, comme on l'a vu au n" 187, page 4GG,

_ — col ;.

(-2) N, = W/ cot ;. = ,

étant Tangle que la section normale que Ton considère fait avec

F'ki 77 '*^''^ conjuguée. Soit, en effet , 0)i la tangente conjuguée

avec la direction OL. La rotation établie autour de cette

7^ 3

tangente se décompose en deux autres, l'une Oaétahlic

e
et

\o autour d'un axe perpendiculaire à OL et représentée
en grandeur par - , l'autre 06 établie autour de la

droite OL et représentée en grandeur par N^. Cela posé, la simple
inspection de la ligure suffît pour établir immédiatement l'équa-
tion (:2).
On a, généralement,

— 1 cos- a sin^ a

f> R R'

De là résulte pour la vitesse avec laquelle varie le module VV,,
lorsqu'on passe d'une section normale à une autre,

(3) f/(W,) = [^i-^jsin2a.f/«.

Prenons la rotation f/a égale à l'unité. La combinaison des équa-
tions (1) et [T^] donne

W ^/(W,)=:2N,.

cl l'on a renoncé suivant :

( 'i-71 )

Le module de la vitesse * nvec Uuitte/le la courbure des sériions
normales varie de l'une à Vautre est égal à deux fois le module
de la rotation de la normale autour de la direction déterminée
par la section que l'on considère.

La formule (2) revient à

(^) p. N,. 1-/^1 **.

Elle implique le lliéorème suivant :

Le produit des trois facteurs p, N,, tçj >. est constamment égal à
l'unité pour tous les points de toutes les surfaces.

Désignons par ;.' l'angle que la section normale, dont le rayon
(le courbure est o', et qui est dirigée à angle <lroit sur celle dont le
rayon de courbure est p , fait avec sa conjuguée. La quanlité N, res-
tant la même, au signe près, conformément au théorème^ des
tangentes réciproques, on a

(«) • /.N,tg^'=l.

La combinaison i]e>^ équations (5) et (fi) donne

/ ~ 'g ^ '
et de là résulte Ténoncé suivant :

Les rayons de courbure de deux sections normales rectangu-
laires sont en raison inverse des tangentes des angles que cliacune
de ces sections fait avec sa conjuguée.

iNoiLS disons k module pour exprimer que celle vitesse répond à l'tiypo-
tl»èseà=:f/i7.=:l.

En mullipliaiil les deux monibres de celle équation par V ou f/.9, on a
généralemenl

</.9= «.N.ty;,.

( 47^2 )

190. Soit :o la vitcsso angulaire aveo laquelle le plan tangent
tourne autour de la earaotéristiquc On, lorsque son point de con-
tact sort (lu lieu 0 avec la vitesse V dirigée suivant OL. (Voir la
figure 77, page 470.) La directrice de ce point sur la section nor-
male OL tournant avec la vitesse — , il est visible que la vitesse du
point 6 })eut être considérée indifféremment, soit comme résultant
de cette rotation et étant exprimée, en conséquence, par le pro-
duit 01). -, soit comme s'empruntant à la rotation co et ayant, en
conséquence, pour expression le produit de la quantité w par la
perpendiculaire be abaissée du point 6 sur la droite On. De là
résulte

V

u.be = Ob .—-^

P
et, remplaçant le rapport — - par sa valeur sin A,

V

(1) ,,____.

(o.sin /

L'état de mouvement de la normale se compose de la transla-
tion V et de la rotation w. La translation se décompose en deux
autres, l'une V cos / dirigée suivant On, l'autre V sin A perpen-
diculaire à la première. La vitesse V sin A se compose par voie
daddition ou de soustraction avec celle qui résulte, pour chaque
point de In normale, de la rotation co. Il s'ensuit que le point central
est celui pour lequel ces deux vitesses sont égales et de sens con-
traire. Il s'ensuit aussi que la vitesse de ce point est dirigée tout
entière suivant la caractéristique On, et qu'elle est représentée en
grandeur par la composante V cos X.

Soient ii la vitesse du point central et?' la distance de ce point au
point 0. On a, d'après ce qui précède,

(2) ?/ = V cos > ,

et, en ouh'c ,

(/)) . . r:c rr= V sin A.

( ^^7Ô )

I.a combinaison dos équations (1) et (5) donne

(4) r = |o sin^ >,

c'est-à-dire la formule (I) du n" 187, page 406.

L'équation (I) exprime un théorème qu'on peut énoncer comme
il suit :

O étani ifu point mobile sur une surface e( P le plmi langent
en ee point, le rapport de la vitesse du point 0 à la rotation du
plan P est égal au produit du rayon de courbure de la section
normale correspondcnite par le sinus de l'angle que la directioti
SHii^'e par le point 0 fait arec la caractéristique du plan P.

Ce théorème se trouve énoncé en d'autres termes dans un mé-
moire de M. Ossian Honnet sur la théorie générale des surfaces *.

Si l'on voulait exprimer la vitesse w en fonction du rayon de
courbure p, d'une section oblique inclinée de Tangie •/- sur la sec-
tion normale menée parla même tangente, on remplacerait p par
le rapport— 7 et Ion aurait, en conséquence,

• N Vcos..

0, sin >.

On peut, d'ailleurs, établir dircct( ment cette dernicre formule.
TIIKORIE ANALYTIQUE DE LA COURTUIîE DES SIRFACES.

.\otio)is prélimaires.

191. La courbure dune surface varie, en général, d'un point
à un autre. On l'estime, en chaque point, par les coin^burcs

' Voir le JournaJ de I'ÏlcoIp polytechnique, Ô2""" cahier, tonio XIX (1818),

( "i )

qu'affertcnt en ce point les divers syslèines de lignes qu'on peut
tracer sur la surface. Parmi ces lignes les plus simples à considérer
sont celles qui résultent des intersections faites par les plans nor-
maux. On les désigne sous le nom de sections normales y et l'on dit
de deux surfaces qu'elles ont même courbure lorsqu'il en est ainsi
des sections normales qui se correspondent de part et d'autre sous
les mêmes inclinaisons relatives. S'agit-il de deux surfaces ayant un
point cojumun et, en ce point, même plan tangent? Si, de plus,
les sections normales faites en ce point par un même plan ont
toutes, deux à deux, même courbure , les surfaces dont il s'agit ont
entre elles un contact du second ordre, et il y a de part et d'autre
osculation complète.

La question du contact du deuxième ordre entre deux surfaces
se trouvant ainsi ramenée à celle d'un contact du même ordre
entre deux systèmes de lignes déterminées, commençons par
établir une proposition dont nous aurons plus tard à faire usage.

Lorsque deux courbes ont en un point commun [x, y, z) même
tangente, on [)eut identifier de part et d'autre les vitesses dx, r/y,
(h. Il suflil pour cela d'identifier leur résullante

(1) (h^S/lh^^ dif-^-ii?'.

Suppose-ton , en outre, qu'en ce point les deux courbes aient
même courbure? Il en résulte que les différentielles secondes dhr,
d^U, d^z s'identifient de part et d'autre comme celles du premier
ordre, et réciproquement. Soient, en effet, ^, S, ^Ics angles que
la tangente commune aux deux courbes fait avec les axes coor-
donnés ; on a , généralement ,

(2). . dx = da . cos « , dy= d<7 . cos ê , ^/^ = d^ . ces y ,

ce qui donne

(3). d^x =^- r/V (OS a — dc.dc/i . sin a , d^y = d^a . cos G — dcdt, sin ê ,
d'^z = d-a cos y — dcdy sin ? .

( "5 )
L't'quation (I) donne, en mémo tomj)s,

(4) dh^ -^ -^

\^ ((%- -y- dif -\- dz"'

Cela posé, si les courbes ont même courbure, les vitesses angu-
laires f/a, dfj, dy correspondent, de part et d'autre , à une même
rotation de la tangente commune. Elles ont donc, deux à deux,
mêmes valeurs. Eu égard aux équations (5) et (4), il s'ensuit évi-
demment que l'égalité de courbure implique celle des différen-
tielles secondes d^x, dhj, d-z.

Réciproquement, si ces différentielles secondes ont, deux à deux,
mêmes valeurs, les équations (5) et (4) fournissent, de part et
d'autre, des valeurs identiques pour les vitesses angulaires r/a,
d^i, dy. L'identité de ces vitesses implique celle de leur résultante,
et, par conséquent aussi, lidentité de courbure.

Concluons que lu où deux courbes ont y en vu point commun,
même tangente, régcdiléde courbure implique celles des différeti-
tielles secondes d'x, d^ , d-i^et rrciproquement.

Courbure des sections normales el des sections oblif/ues.

192. Soit une surface quelconque A, rapportée à des axes coor-
donnés rectangulaires, et ayant pour équation

(I) , .z = 'F{x,y).

Pour abréger, nous représenterons, comme on le fait habituel-
lement, par p et q les dérivées partielles du j)remier ordre
Fl(x, y), T'y{Xj y), et par r, s , t les dérivées partielles du second
ordre Y'^x, y), F;:,(x,î/), F;(a;,?/).

On a, dabord,

(:2) dz — pdx — qdy = o ,

puis, différenciant ime seconde fois,

("). . . (/-'r — pd\r — qd-y — r.d^r- ■+■ "Is . dxdy -h t. dy-.

( '^70 )

Soient )n un point pris sur la surfare A, et S une section plane
faite dans cette surface par le point ni.

Considérons le cercle osculateur en m à la section S et, quel
que soit ce cercle, concevons-le trace sur la sphère

(4), . . . (x- a.f -+- (;/ - hf -f- (z - cf = p^

En opérant sur l'équation (4), comme on Ta fait sur l'équation
(1), on frou>e, en premier lieu ,

(5). . . (x — a)dx -+-(// — b)di/ -¥■ (z — c)dz = o,

et, en second lieu ,

(6). (x - a)d\jc -+-(//- h^y -f- {z - c) d'^z ^ dx' -h dif -+- dz' = da\

On sait, d'ailleurs, conformément aux déductions du n" 191 ,
que les quantités dx y dy, dz , d^x , f%, d^h peuvent èire consi-
dérées comme identiques dans les équations simultanées (ï>) , (5),
(S), (6).

Sans rien changer à ce qui précède, nous pouvons assujettir la
splière à toucher en m la surface A. Il s'ensuit que le centre de
cette sphère se trouve sur la normale en m h la surftice A et que ses
coordonnées «, 6, c satisfont à l'équation de cette droite. De là
résulte immédiatement*

(7). . X ~ a ^ - ]){z — c), y - h ^ - q(z - f).
Ces valeurs suhstituées dans l'équation (4) donnent

(8) ?^{-- c) y^^ -^ f ^- (f-

Suhsiiluées dans Péquation (o), elles vérifient l'identité de cette

* En (U'siiiiianl par /, u. v les cooidonnécs courantes do la normale, on sait,
confornu'mont anx formules lô") cl (ii du n" lOri.page 417, ({ue celte droite a
pour équations }<énéral«'S

( 477 )

t^quation avec l'équation (il). SubslitucL's dans réquation (0), elles
donnent

(9) d-z — pil'x — qd-f/ = — — ,

et, eu égard à l'équation (ô) ,

(10). . . . z~ c

rdx^ \ ''Isdxdy h- idif

La comparaison des équations (8) et (10) fournil la relation
finale

«,) ,= .l^^Vx.f-.f

rdx^ -h ^Isdxdy -\- tdy^

Les coordonnées a , b, c sont, d'ailleurs, déterminées par les
équations (7) et (10).

Cela posé , la section S peut être normale ou oblique.

Dans le premier cas, la section qui lui correspond dans la sphère
est un grand cercle, et elle a pour rayon de courbure le rayon p
déterminé par l'équation (11). Dans le second cas, la section cor-
respondante est un petit cercle. Néanmoins la sphère sur laquelle
ce cercle est tracé ne change pas si les quantités dxj dy^ dz restent
les mêmes, c'est-à-dire si la section oblique a même tangente que
la section normale considérée d'abord. Or, en ce cas, si Ton dé-
signe par ip l'angle des deux sections et par p^ le rayon du petit
cercle, on a évidemment

(1'-^) p. =- p.cos ^.

De là résulte la conclusion suivante:

Pour loule .section nornude le rayon de courbure est fourni par
l'équation (11). Pour toute section oblique j ayant même tangente,
il est fourni par l'équation {[''}).

195. L'équation qui détermine le rayon p peut s'écrire comme
il suit :

{i),r{x'~xY-^'2s{y'-y){x'-x)-^t(y'-yf=^-\/\-^p'-^q\

{ 47<S )

a étant une loiii^ucur quelconque, mesurée à ]>artii' du [>oint m sui-
vant la tangente à la section normale que Ton considère, et x', ])'
les coordonnées du point suivant lequel lextrémité de cette lon-
gueur se projette sur le plan des X]}.

Le rayon vecteur a restajit arbitraire, on peut le prendre tel
que, pour chaque section normale, on ait constamment

(^) • • ^'--P-

Dans celte hypothèse, rexlrémité du rayon vecteurs reste sur
une certaine courbe située dans le plan tangent et ayant pour pro-
jection sur le plan des xy

(5) r(x'--^)-' -f- Mii'—v)^^'-^) '^ Ku'-yf- ï/ï -^ f H- f'

La courbe délei'ininée par cette équation et celle du plan tan-
gent est Y indicatrice déjà mentionnée dans les numéros 171 et
174, pages 424 et 451. Il suffît, dailleurs, de considérer cette
courbe pour en déduire directement les énoncés qui suivent :

1° Les rayons de courbure des sections normales comportent,
en général , un maximum et un minimum , /es ^^/««s normaux
correspondants étant rectangulaires;

2° La somme inverse des rayons de courbure appartenant d
deux sections normales rectangulaires est constante;

0° La courbure d\(ne section quelconque est déterminée par
celles qu'a/Jectent les sections de plus petite et de plus grande
courbure.

Supposons l'origine transportée au point m, et prenons pour
plan des JTî/ le plan qui touche en ce point la surface A. Les quan-
tités y; et q s'annulant toutes deux, on a, pour équation de Tindi-
catriee ,

(4) rx"^ '\- ^sx'y' + ty'-=^ \.

Choisit-on les axes de manière à ce (|ue cette courbe soit rap-
portée à ses diamètres principaux V II vient en outre s ^= o.

( "!l )

Cela posé, si l'on annule les quantités p, q, s dans l'équation
(1 1) du n" lî)i2, page 477, on trouve, pour le rayon de courbure
d'une section normale quclcon(tue,

ou, désignant par ^ l'angle que la tangente à la section que Ion
considère fait avec l'axe des x,

(«) p =

r cos' a f- l sin^ a

Soient U, U' les rayons de courbure principaux. L'équation (6)
donne, pour a ^=0,

1

et pour ^ = - ,

1

Delà résulte, en général,

1 cos^a si n'a

('» r"ir""R""'

l'équation (7) n'étant autre chose que l'équation (a) du n° 171,
page 42 i.

494. Autrement. — Conservons les données du n° 192 et dé-
signons par m' un point mobile assujetti à rester sur la surface A.

Soient x\ y\ z les coordonnées du point m' ; h la perpendicu-
laire abaissée du point in sur le plan qui louche en «da surface
A; m" le pied de cette perpendiculaire; x", ij", z' les coordon-
nées du point m".

Les points m et m" étant tous deux dans le plan tangent en m,
on a

(1). . . . z--z".^p{x- x") s q[y — y").

( i80 )

Les points m' et )n" étant tous deux sur une même droite per-
peiidieulaire au plan tangent en tn, on a, en même temps,

(2). x' — a-"= -/;(2'— z"), ij'~ij"=z — q{z'-z").

Il est visible, d'ailleurs, qu'en désignant par y l'angle (jue la
normale au plan tangent fait avee Taxe des z, on peut écrire im-
médiatement,

(5). . . . z — z" ==^h eos r

Y/\^p^^ q^
L'équation (1) revient à

{^)z'-z"==^p[x~x")-\-q(y'—y")-¥-z—z-p{x'~x)-q[y'-)j).

Eu égard aux équations (i>), l'équation (4) donne

Celte valeur substituée dans l'équation (ô) conduit à la relation

(G). . h V 1 -+- f -f- q- =z —z — j){x' — x) — q[ij' — y).

Différencions deux fois de suite l'équation (0), en y considérant
comme conslantes les quantités déterminées x, y, z, ;j, q, et po-
sons X ^^ X, y' =^ yy z' = z dans le résultat de la seconde diffé-
rentiation, ce qui revient à considérer le point )n' au sortir du
lieu }n. On trouve ainsi

(7). . . d% V\ -y. f H- f = i^^i — inl^x — qdhj.

On peut iKUvenirà Tequation (ô) en posant

el siibbliluaiil poui x — x", y' — //" les valeurs romnics par les équations (:2).

( i8l )

Coiiibiiiëc avec réquti lion (5) du n^ 19i2, page 47j, i cqiialion (7)
donne

(8) (l'h^ -^ -^

-f- y- H- ry^

Supposons que le point m' décrive une scelion oblique S^. En
désignant par h^ la perpendiculaire abaissée du point m sur la
tangente en m à la section Sj, et par v l'angle que le plan de cette
section fait avec celui de la section normale menée par cette même
tangente, on a évidemment

(i)) /i =- A, . cos ^.

De là résulte

ilrh :=.- d^i^ cos t.,

et, eu égard à Téquation (8),

rdx- -\- ^sdxdy h- Uly-

(10). . . . d% =

cos © 1/ 1 -t- p^ -H f/^

Soient (/c- la vitesse du point m' au sortir du lieu in ; >A'i la vitesse
angulaire simultanée de sa directrice; o, le rayon de courbure
corresjjondant. On a, d'aj;rès la formule établie dans la note du
n" 173, page ii>7,

(II) d%'^\\iAh=^

Pi

La combinaison des équations (10) et (il) donne

do' ]/\ -H p' -4- (f
^ ^ ^ rdo(--{-''2sdxdjj-\-{dy-

S'agit-il maintenant de la section normale S ayant même tan-
' gente que la section S,? En désignant par p le rayon de courbure
de cette section normale et posant y = o, on trouve

(.3) r- '''^•'^^''-*-p'-*-î

' i-dx"^ -f- ''2sdxdy ■+- khf
Tome XY. 51

( 48-2 )
et Ion en décUiil, comme on la déjà vu,

(14) p, =:p.COS'^.

Le procédé que nous venons de suivre se simplifie beaucoup
lorsqu'on prend le plan des xy parallèle au plan qui touche en m
la surface A. Les quantités j) et q étant nulles, l'équation (3) du
n" 192, i)age 475, donne immédiatement

O^z -■= rdx^ -+- ^Isdxdy -+- tdy^ = dVi.

De là résulte, en procédant comme on la fait tout à l'iieure , à
partir de l'équation (9) ,

da'

' rdx^ -f- "-Isdxdy •+■ Idy^
et Ton a, d'ailleurs,

p, ^^ 0 . COS ç>.

1 95. Autremenl. — Soient a un point mobile assujetti à décrire
une section normale; a, 6, 7^ les angles que la directrice du point
ju fait avec les axes coordonnés. En désignant par W la vitesse
angulaire de cette directrice, on a, d'après la formule (1) du n" 159,
page 5G0,

(1 ). . . W = l/(f/ cos oif -t- {d cos 6)"' -+- {d cos y f.

Prenons le point ^. au sortir du lieu m La directrice tourne
autour de ce lieu et les vilesses de ses diffèrenl s points sont toutes
dirigées parallèlement à la normale en m à la surface A. Les for-
mules (2) du n° 1 39, page 560, permettent d'exprimer cette con-
dition en posant

(2). . . d. cos a ~/j . (/ cos X, (/ cosè ==(j(.d cos y.
La combinaison des équations (1) et (2) donne

(5). . . . W =^ ài [^ [ -^ p^ -\- q\d cosy.

( 483 )
On a, d'ailleurs,

(ï) cos'a -f- cos'^o -+- cos- r -"- J)

et, [)ar suite,

(a). . eos a . d eos x ■+- eos f> . (/ cos ^j h- eos y. d cos r = o-

De là résulte, en substituant dans l'équation (o) les valeurs f'our-
in"es par les équations (2) et su|)[)rimant le facteur d cos y devenu
commun à tous les termes de la transformée ,

(6) jo eos a H- (/ cos € -fr eos r = o.

Différencions l'équation (0) en y considérant comme variables
toutes les quantités qu'elle renferme. Cela revie/ït à tenir compte
non pas seulement de la rotation de la normale autour du centre
de courbure correspondant, mais, en outre, de la rotation de cette
droite autour de la directrice du point (U. Cette deuxième rotation
n'influe ni sur la position de la directrice, ni sur sa vitesse angu-
laire actuelle. Elle n'altère donc en rien les différentielles (/ cos a,
d cos S, d cos y. On peut, en conséquence, substituer dans le
résultat de la différentiation les \aleurs fournies par les équa-
tions (!2).

En 0[)éranl comme nous Acnons de lindicpicr, on trouve

dp . cos a -+- dq . cos 6
(7). . . . rtcosr=-

et, par suite,

(8). . • . . .W

1 -+- ]f ■+■ q^
dp cos a-\- dq cos S

jr-^q

Soit p le rayon de courbure de la section normale considérée.
On a

d<j da .V \ -\- p^ H- q^
W dp . cos a -+- dq . cos ^

( 48'^ )

Remplaçant les quantités cos a, cos b, dp^ dq par leurs valeurs
respectives^? -^ , rdx 4- sdy, sdx -v- tdtj, il vient

da^ \/ 1 -f- ;/- -4- n'

(10) e= ' '

rdx^ ■+• 'isdxdy -\- tdy^

C'est le résultat obtenu dans les numéros qui précèdent. 11 im-
plique toutes les conséquences déjà développées.

IDG. Autrement. — Soient x\ y^, z les coordonnées courantes
de la normale; x, y, z celles du point où la normale s'appuye sur
la surface A. On a, généralement,

(i). .x' — x=-p(z'-z), y' — y^ — qi^' — z),

Lors([ue la normale sort du lieu qu'elle occupe -, les composantes
des vitesses qui animent ses différents points satisfont aux équa-
tions différentielles

. \dx' — dx = — p (dz ' — dz) — [z — z) dp ,

Soit m' le point de la normale qui coïncide avec le centre de
courbure de la section normale déterminée par le déplacement
initial du point (x, y y z).Lc point m' se distingue des autres points
de la normale en ce que sa vitesse actuelle est nécessairement *
perpendiculaire à celle du point {x,y, z). Cette condition exige
(pic l'on ait

dxdx' -h dydy' -+- dzdz' = o,

ou, ce qui revient au même,

(5). {dx'— dx) dx -t- [dy— dy)dy -+- (dz' — dz) dz -+- da^'== o.

Les équations (1), (2), (5) déterminant d'une manière complète
la position du point ni ^ on a d'abord, en vertu des équations (1),

V-?

= y{x'- xf-^ (y'- yfH- {z'~ zr={z- z)V\+ p'-,- q\

xNous dis(»iis uéci'S6aireme)it parce que celte coiitlilion sul)sisle iudépen-
'lanimeiil de tout vjibseuiî ut <!e la noiuiale sur elle-niènie.

( 'i.8S )

0 t'[ant le ravoji «le coiirliiirc de la section nornialc qiu- l'on con-
sidère.

Substituons dans l'équation (5) les valeurs fournies par les équa-
tions (2). Il vient

(5). {dz — pdx — fjdi/) {dz — dz) =^ (:;' — z) [dpdx -t- dqdy] — c/o-^ *

et, comme on a

dz =^ pdx -h qdij,

il s'ensuit que réqnnlion (5) .e réduit à

da'-

0) z' — z

dp . dx H- d(f . c/ y
La combinaison des équations (4) et (<)) donne immédiatement

dp .dx~\-dq.dij

Cette solution identi({uc avec les précédentes se distingue, nous
paraît-il, en ce qu'elle est peut-être plus directe et quelle offre,
d'ailleurs, une extrême simplicité.

197. Considérons, en particulier, les sections principales. La
condition qui les détermine consiste en ce que le point de la nor-
male qui correspond à leur centre de courbure peut être consi-
déré comme dépourvu de toute vitesse actuelle, lorsque la direc-
tion suivie par le point {x, y, z) au sortir du lieu m est celle de
la tangente à ces mêmes sections. Si l'on annule, en conséquence,
les composantes dx\ dy' dz', on déduit des équations (2)

dx-^ pdz dy -\- qdz

(< ). . . z — z= -^^ = —

Celte analyse n'e^t pas seulement applicable au cas jsnrliculicr traité dans
le texte. Elle s'étend trelle-mème au mouvement d'uncMlroitequeleonqno dont
la direction se trouve déterminée en même temps que les coordonnées de l'un
de ses points.

( 48(; )

De là résiilto, en ce ([m concerne les directions des sections
principales, Térjuation de condition

dx -^ pdz dy -4- (^dz

('•»)

'dx f- sdfj sdx -i- tdi/

Remplaçant dz par sa valeur pdx -+- qdij et développant, on
trouve

(10) r^T- (^•^F)^-(< + 7Vr«^i/1 _^ pqr-{\^f)s __^
^ ^Ldx] {\ -^ q-]s - pqt IdxJ ([^(f)s—pqt

L'équation (10) fait voir que les sections principales sont, en
général, au nombre de deux. Elle fournit leurs directions et per-
met de vérifier qu'elles sont rectangulaires, soit en opérant direc-
tement, soit plus simplement en prenant le plan des xij parallèle
au plan tangent, ce qui donne

Êr-^(i)---

et prouve immédiatement la proposition énoncée.
r/('quati()n (<S) donne, d'une part,

rdx -+- ,Sf/y/
et, d'autre part ,

.' _ ^ ^ _ (> -^ (f)dij-^p(/.dx
sdx -^ tdy

On déduit de la première de ces transformées
dy r{z — z) -+- 1 -*- ;/

dx

p(J -^ s{z'-

-^)

et, de 1

a scco:i(l(

'.

'f'J .

VH -+ ^■[^'-

-^^)

dx i -+ if '+- l[z' z)

( ^^^'^ )

En égalant entre elles <'es deux Aaleurs du rappoit ^j*^'"
trouve, après réduetion,

Soit R le rayon de eourbure de Tune ou l'autre des deux sec-
tions principales. L'équation (4) du n" 196, page 48i, donne

R

= 0.

V \ -\- p^ -f- q-
De là résulte, en substituant,
R' (\-\-f)t~^2pqs-^{\-\-q')r R i-^p^'-hq'

(12). ; --4-^^ —^ , ^-^ ■+- - 7~ =

\^f^.q- rt — s- |/l+p2_^g2 rt — s-

Au lieu de procéder, comme nous venons de le faire, on peut
opérer sur l'expression générale du rayon de courbure, chercher
la différenlielle de cette expression et l'égaler à zéro. On déter-
mine ainsi les directions des sections de plus grande et de moindre
courbure, 1 équation qui les donne n'étant autre que 1 équa-
tion (10), et celle qu'on en déduit, pour les rayons de courbure
principaux, se confondant avec Téquation (12).

Si l'on appliquait à la normale l'équation (2) établie au n" 132,
page 545, comme expression de la condition à remplir pour que
la vitesse du point central puisse être nulle à l'origine du déplace-
ment considéré, on devrait écrire,

^''^ —d^^—cli"'

* On voit par cette équation que les rayons de courbure principaux sont ou
non de même signe , selon que le binôme rt — «^ est positif ou négatif. Jl s'en-
suit qu'à partir du point de contact, la surface commence par être située
tout enlière d'un seul et même côté du plan tangent, ou, au contraire, par
être située, partie d'un côté de ce plan et partie de l'autre, selon que le
binôme 77 — .s- est plus fiiaiid ou plus petit que zéro.

0

( 188 )
ce qui donne

(Jq [dx -t- pdz ■+- zdp] = dp {djj -¥ qdz -+- zdq),
et, supprimant le terme zdpdq commun aux deux membres
dx -f- pdz dij -4- qdz

(li).

dp dq

Ce résultat n'est autre que celui exprimé par l'équation (8) et
reproduit sous une autre forme dans léquation (9).

OmJnllcs.

108. Nous avons trouvé, pour expression générale du rayon de
courbure d'une sec! ion normale.

(1) ' ^

rdx' H- '■Isdxdy + tdif
Lorsqu'on y remi)lace la quantité d/j"- par sa valeur
dx"^ -f- dif 4- dz' ^ ( 1 H- ir) dx- 4- ^pqdxdy ■\- {\ + q^) dy^,
il vient

(1 -^p^)dx'^ ■+■ 'ipqdxdy 4- (I -f- q'^)dy'^

^ ^ ^ rdx' -+- "-Isdxdy -t- idy" ' ^

S'agit-il maintenant de Tun de ces points singuliers qu'on dé-
signe sous le nom (V ombilics et pour lesquels les sections nor-
maies correspondantes ont toutes même courbure? Le second
membre de l'équation (2) devant rester le même, indépendam-
ment de toute valeur attribuée au rapport -,— , il faut que Téqua-
tion

( '^<so )
ne cesse pas irèlrc satisfaite lorsqu'on y dispose arhitrairement
de la quantité— , et que l'on ronsidère toutes les autres comme
constantes.
De là résulte,

et, par suite, élimination Aiite de la constante quelconque e ,
p^ -+■ 1 pq (f -t- J

(•■)

.s

Concluons que tout point d'une surface est ou n'est pas un
ombilic, selon que les coordonnées de ce point satisfont ou ne sa-
tisfont pas aux équations (5).

On parvient au même résultat , en partant de l'équation (10) du
n" 197, et exprimant qu'elle sul)siste indépendamment de toute
valeur attribuée au rapport ^- .

LIGNES DE COURBURE.

Lieu des normales menées suivant ces lignes. Arête
de rehroussement de ce lien.

190. Les lignes de courbure étant définies, comme on l'a vu au
n" 181 , page 447, on reconnaît immédiatement qu'elles satisfont, en
chacun de leurs points, à la condition exprimée par l'une quel-
conque des équations (9), (10), (lô) ou (14) du n'' 497. Il s'ensuit
que chacune de ces mêmes équations est l'équation différentielle
de la projection des lignes de courbure sur le plan des xy.

Supposons qu'on ait déterminé les équations d'une ligne de
courbure. Celles de la normale étant, comme au n" 190, page 484,

x'—x-hp{z' — z) = o, y'—y -^ q{z'^z)=o,

il suflRt déJiininer les variables r , y, z entre ces équations et

( 4i)0 )

celles de la ligne de courbure que l'on considère pour obtenir
réquaiion du lieu des normales menées suivant ces lignes.

Imaginons que les coordonnées courantes x, y', z soient parti-
cularisées de manière à s'appliquer exclusivement à l'arête de
rebrousscment du lieu mentionné ci-dessus. Cette arête est en
même temps sur le lieu des centres principaux de courbure, c'est-
à-dire sur la surface qu'on obticnten éliminant les variables x, ?/, z
entre l'équation de la surface donnée elles équations (l)'et (G) du
n° 19G. Cette élimination faite, les équations obtenues pour le
lieu des normales et pour celui des centres de courbure princi-
paux sont les équations de l'arête de rebrousscment cberchée.

CHAPITRE XI.

APPLICATIONS GÉNÉRALES CONCERNANT LES SURFACES.

Cot/rhiire des surfaces de l'évolution.

200. Lorsqu'une droite se déplace en restant normale à une
surface, selon (jue sa trace sur la surface suit ou ne suit pas la
direction d'une section principale , les vitesses simultanées de ses
différents poinîs sont ou non dirigées dans un seul et niéme plan.
Supposons que la dircclioii suivie soit celle d'une section princi-
pale : les vitesses des différents points de la normale sont dirigées
dans un seul et même plan. iNéanmoins, elles peuvent être toutes
égales, ou toutes différentes. Elles sont toutes égales dans le cas
particulier d'une section principale dont la courbure est nulle à
l'origine du déplacement considéré. Elles sont toutes différentes
dans le cas général d'une courbure ({uelconque, et l'on peut
appliquer à ce cas général la déduction suivante, déjà indiquée
au n" 181 , page 447 :

Lorque la normale à une surface sort du lie\( quelle occupe
suivant la direction d'une sertion principale, elle a un point

( iî)! )

dont la viffsse est nulle et n''cipro(iiieme)it. Ce poiiit est le centre
de roîirlmre de la s€ctio?i principale qui correspond au déplace-
uwnt eonsidéré.

Tcla posé, s'agil-il en parliciilicr d'une surface de révolution?
Il est visible que la seelion méridienne est une section })rincipale.
11 est visible aussi que la direction perpendiculaire à la section mé-
ridienne est fournie par le parallèle, et que, pour cette direction ,
le point de la normale dont la vitesse est nulle est précisément
celui où la normale vient couper l'axe de révolution. Concluons
que

Dans les surfaces de révolution les rayons de courbure princi-
paux sont respectivement, Vun celui de la section méridienne
au point considéré, Vautre la partie de la normale * comprise
entre ce même point et l'axe de révolution.

On voit aussi, sans aucune difficulté, que

Les lignes de courbure sont déterminées , en cliaque point , par
lemérldien et le parallèle correspondants.

Courbure des surfaces développables.

201. S'agit-il d'abord des surfaces cylindriques? Les sections
principales sont déterminées, en cliaqtu» point, par la seelion
droite et par la génératrice rectiligne correspondantes. Ici donc
aucune difïicullé. L'une des courbures j)rincipa]es est nulle.
L'autre est celle de la section droiîe au point considéré. Les
lignes de courbure se confondent et coïncident avec les sections
principales

* L;i iioimnle à la surface se confond , (mi charinc point , avec la nornialo à
la section nici-idicnnc coirospondanlc.

{ 49-> )

S'agit-il cnsuile (iime surface quelconque (léveloj)j)nl)le et non
cylindrique? On peut, en général, la considérer comme le lieu
des tangentes îi son arête de rehroussemcnt et partir des données
suivantes qu'il suHit d'énoncer.

Lorsqu'une droite assujettie à décrire une surface développable
sort du lieu qu'elle occupe, elle reste tangente à laréte de rebrous-
sement et son état de mouvement se résout en une rotation
autour du point où elle touche cette arête. La a itesse de ce point
é'Iunt suj)posée nulle, celles des autres points sont toutes perpen-
diculaires à la génératrice et situées dans un même plan. Il suit
de là qu'il n'existe ([u'un seul et même plan langent pour tous
les points d'une même génératrice, et que ce plan coïncide avec le
plan osculatcur de l'arête de rebroussement.

Cela posé, voici les conséquences immédiates :

Les sections principales sont dirigées^ pour chac/tie point , l'une
suivant la génératrice passant par ce point , Vautre perpendicu-
lairement à cette même génératrice.

Lune des courbures principcdes est nulle. L'autre varie géné-
ralement le long de la génératrice.

Les lignes de courhiire sont, d'une part , les génératrices rec-
tilignes, d'autre part, les trajectoires ortJiogonales de ces mêmes
génératrices.

Soient m et o deux points d'une même génératrice, l'un quel-
conque, l'autre situé sur l'arête de rebroussement. Lorsque la
génératrice om sort du lieu qu'elle occupe, elle tourne autour du
point 0 avec une vitesse W et communique au point m une vitesse
actuelle V. De là résulte, en premier lieu,

(1). V = W./i,

// étant la distance du point m au point o.

Soit \Y' la vitesse angulaire simultanée du plan qui touche la
surface le long de la génératrice om et (jui coïncide en o avec le
plan oseulateur de l'arête de rebroussement. En désignant par R
le rayon de courbure de la section principale faite en m per-

( '^î>5 )

pcjidiciilairement à la génératrice, on peut écrire ininiédiate-
inent

V W r/ -

^'^ ''=w-w''-r''

p et p' étant les rayons de première et deuxième coiirbui-e qui
correspondent au point o de l'arête de rebroussement.

L'équation (2) montre que le long d'une même génératrice, le
rayon principal 11 croît proportionnellement à la distance com-
prise sur celte génératrice entre Farcte de rebroussement et le
point que l'on considère. Elle siiflit, daillcurs, pour résoudre
complètement la question proposée.

Si Ion pose h = p , il en résulte

De là, l'énoncé suivant :

Soit S une ligne quelconque à double courhure ; A la surface
développable (font la ligne S est rareté de rebroussement ; o un
point de cette arête; om la tangente en ce point; S^, la section
faite dans la surface A par le point m , perpendiculairement à la
droite om. Cela posé j si la distance om est prise égale au rayon
de première courbure de la ligne S au point o, V égalité subsiste
entre la deuxième courbure de la ligne S en ce même point et la
courbure en m de la section , principale S,„.

On observera que, dans le cas des surfaces développables, il
n'existe en cliaquc point, pour toutes les directions, qu'une seule
et même caractéristi(|uc du plan langent, la génératrice recliligne
passant par ce point.

Courbure des surfaces réglées gauches.

202. Soit D la génératrice rectiligne d'une suiface gaucbe quel-
conque A. Si, dans le déplacement de la génératrice D, on assu-

jetlit un do sc^^ points à décrire la trajccfoirc orlbogon de des

( 40i

positions qu'elle prend successivement, ses autres points remplis-
sent en même temps rette même condition *. On sait, en effet,
que les vitesses simultanées des différents points d'une droite
mobile sont, à h\ fois, toutes perpendiculaires ou toutes obliques
à cette droite.

Supposons la droite D projetée en 0 sur un plan P perpendicu-
Fi(j. 78. Jî^ii'e à sa direction. Supposons, en outre, qu'elle sorte
a du lieu qu'elle occupe en remplissant la condition pré-
cédente. Les vitesses des différents points de la droite D
sont, par hypothèse, perpendiculaires à cette droite et,
par conséquent, parallèles au plan P. Il en résulte que
si l'on transporte en 0 les vitesses de ces différents
points, leurs extrémités viennent toutes aboutir à une
même droite BB' située dans le plan P. (l '^ partie. Théorème VII,
page 45 ). Il en résulte aussi que les vitesses ainsi transportées
sont les projections sur le plan P de ces mêmes vitesses considé-
rées dans leurs vraies positions.

On sait que les vitesses des différents points de la droite D,
lorsqu'on les prend dans leurs vraies positions, ont pour lieu de
leurs extrémités une droite oblique sur la droite D. (l"" ])arlie,
Théorème VI, corollaire :2, page 4a.) Désignons par a cette
deuxième droite et observons qu'elle est située dans le ])lan mené
par BB' pcjpcndiculairement au plan P.

De là résultent immédiatement les conséquences suivantes.
Il est un point de la droite D dont la vitesse représentée par la
perpendiculaire Oa abaissée du point 0 sur la droite BB' est
moindre que toutes les autres. Ce i)oinl dit point central , d après
31. Chasles, est situé sur la plus courte distance des droites D, a.
Soit 0 le point central ainsi déterminé. L'état de mouvemenî,
de la droite D consiste en une translation u représentée par la
vitesse Oa du point central et en une rotation u établie autour de
la droite Oa.

* Cette remarque s'applique à toutes les surfaces réglées. Il en résulte
que, dans ces surfaces, il y a loujoui's équidistance entre deux quelconques
des trajectoires oi thogonales des génératrices rectilignes.

( 405 )

Soient m un point qiiolconquc de la droite 1); On la vitesse ac-
tuelle de ce point.

Considérons les deux sections normales faites en m dans la sur-
face A , l'une suivant la droite Om, l'autre perpendiculairement à
cette droite, et désignons celle-ci par S,„. Considérons, en même
temps les tangentes réciproques déterminées par ces deux sec-
lions. Celle de ces tangentes dont le point de contact glisse le
long de la généra Irice Om tourne autour de cette génératrice,
conmie la droite On tourne autour du point 0 dans le plan P. Or,
en désignant par h la distance Oni comprise entre le point m et
le point central 0, on a

(1) un = h. ce,

et, dans cette équation, la quantité w doit être considérée comme
constante.

De là résulte , en prenant égale à l'unité la vitesse du point m
sur la génératrice Oni^ et en représentant par lui' la vitesse cor-
respondante du point n sur BB',

nn = co . dh ^= :o.

Par les points n , n menons les droites nli, n'b., l'une perpen-
diculaire, l'autre parallèle à On; désignons, d'ailleurs, par t langle
nOa et son égal b'nn. On a , comme expression de la vitesse angu-
laire des tangentes réciproques considérées ,

nb' nn'. vos £

= — cos'^ t

On On

Soit « l'angle que fait avec la section S„, l'une des sections prin-

* La longueur Oa représenlant, par hypothèse, la vitesse w, on a

Ort = w==0/i.cos£,
et, par suite,

1 coss

On H

( ^■^)'' )

cipalcs passant par le point m. La lorniulc (7) du n° 170, page 457,
donne

2N,.

Ig2a

Or, ici l'on a

U p

0 étant le ra}on de eourbure de la section S,,,, il vicnl donc, en
substituant,

(i2) tg 2a -- L> ." . ^ eos^.

Soient 11, R' les deux rayons de courbure })rincipau.\.On a, con-
Ibrmément aux é([i!a lions (10) et (l 1) du n« 1 70, pages 458 et 45*J,

/ 1 cos^^a sin"^ a

1 ^_ 1 ,

(5) 1^ «, «

sin- a eos'^ a

0 = ^ 5

R R'

et, par suite, (^ étant l'angle que la section normale diiigée sui-
vant la génératrice reetiligne fait avec la section principale dont
le ravon de courbure est R'),

Kl 4- tg- 2a — 1

R==,[l-tg^a]==2, ^-

(4). ) ^--

î..=.

[1 — COt-a] =

1 — \/i H- tg^ 2«

Tout est ainsi détermine en fonclion du rayon o de la sec-
tion 8„,.

On observera qu'en élevant au cai-ré les équalions (5), puis
les soustrayant membre à membre, on trouve, ai)rès réduction,

r • '1 v>

— : cos za.

LR' R'J

i r 1 I

.,2

( i»7 )

^05. Eli divisant membre à membre les équations (i) et don-
nant un même signe aux deux rayons de coui'bure principaux, on
trouve

(û) tg

'-VI

On sait, d'ailleurs, que l'angle a est celui que la section nor-
male dirigée suivant la génératrice rectiligne fait avec la sec-
tion principale dont le ra} on de courbure est représenté j)ar R'.

3Iuîtipliées, membre à membre, les équations (4) donnent

(0). ...... RR'.

•et, eu égard à l'équation ('i).

(') ' ■ • i(R'^

tJ5-2'/

On a li'ouYé précédemment

a
N,,:^ — COS" £.

a
On peut donc écrire

L'équation (8) ex])rime la propriété suivante :

Lorsque la normale à une surface (jauche sort du lieu (fu'ellc
occupe, suivanl une génératrice rectiligne , et arec une vitesse de
translation égale à V unité , le carré de sa rotation autour de cette
génératrice a pour valeur inverse le produit des rayons de cour-
bure principaux correspondants.

Désignons par k' la distance comprise entre le point central 0
et le point de la droite D où le plan langent à la surface A (ait un
Tome XV. 52

( 498 )

angle de 45" avec le plan tangent au point central. Oji a, généra-
lement ,

an an co
tgf =-— = - ==~.L
Oc. u u

De là résulte, en faisant t = 45" et remplaçant h par li',

co
et, par suite,

.g. = ^

On a, d'ailleurs,

1 r^+A'

Substituant cette valeur et remplaçant — par h' dans l'équa-
tion (7), on trouve

('•" «"^^-L-H-

Soient OA; la génératrice, et efune perpendiculaire à cette géné-

„. .g ratrice menée par le point central 0. Prenons Oe égal

à h\ joignons le point e au point considéré m, et, sur

, em, élevons en m h perpendiculaire nif. On a ainsi,

2

-Q ^/ em = h^ H- h'^ = h', cf.

Il vient donc

et, par conséquent,

(10) RR'=-{(ff.

Les équations (9) et (10) expriment plusieurs propriétés eu-

rieuses des surlaces gauches. Ces propriétés peuvent s'énoncer
conune il suit :

1" Les rayons de courbure principaux en un point quelconque
cV une surface gatirJie, sont de signes contraires;

52° Le produit des rayons de courbure principaux est le même
en deux points situés sur une même génératrice à égale distance
du point central ;

3" Le produit des rayons de courbure principaux cm point
central cVune génératrice quelconque est égal au carré de la dis-
tance comprise sur cette génératrice entre le point central et le
point où le plan tangent fait un angle de 45" avec le plan tan-
gent an point central ;

4° SI Von substitue au pomt central le point oii le plan tan-
gent fait un angle de 45" avec le plan tangent au point central,
le produit des rayons de courbure principaux est quatre fois plus
grand;

h^ L.e produit des rayons de courbure principaux , en un point
quelconque d'une surface gauche, est égal au carré de V hypoté-
nuse du triangle rectangle ayafit pour hauteur la distance du
point donné au point central de la génératrice correspondante, et,
pour segment adjacent d cette hauteur, la distance de ce même
point central au point de la génératrice oii le plan tangent fait
un angle de 45" avec le plan tangent au point central.

:204. On a directement (voir la figure 78, page 494)

0« u

cos £ ^^ :7- = — »
On Y

V étant la vitesse totale du point m.

Si l'on substitue cette valeur dans Icxpression de la quan-
tité N, et dans l'équation (7) , il vient

— uu

(11) ^'-Y''

( jOO )
et

UK' = —

De là rcsullc, cii ne considérant que les valeurs absolues des
rayons de courbure principaux ,

1 uu

(l->) -.nzr-TTi—N..

Vmx ^

Soit in un point d'une surface A; R, R' les rayons de courbure
principaux correspondants. On peut convenir, a^ec M. Gauss, de

considérer la quantité — comme exprimant la courbure de la
J/ RR'

surface A au point m. Cela posé, il est aisé de voir que les équa-
tions (8) et (12) expriment, par rapport aux surfaces réglées
gauches, les deux théorèmes énoncés comme il suit par M. Os-
sian Bonnet * :

1" « La courbure dans une surface gauche est égale à l'angle
» des plans tangents au point considéré et au point infiniment
» voisin appartenant à la même génératrice rectiligne divisée par
» la distance de ces points. »

2" « La courbure de la surface varie le long dune génératrice
» rectiligne dans le rapport inverse du carré de la perpendiculaire
» menée à cette génératrice et terminée à la génératrice infini-
» ment voisine. »

Si l'on dégage ces énoncés de la considération des infiniment
petits et qu'on les traduise en langage ordinaire, on peut les for-
muler de la manière suivante :

i" La courbure dans une surface gauche est égale au module
de la vitesse angulaire qui anime la normale dans son déplace-
ment suivant la génératrice rectiligne ^

2" La courbure de la surface varie le long d'une génératrice

* Journal de l'École polytechnique, ôii"'' cahier, lumc XIX. (1818), pages
18 et 61.

( ^<»l )

recliligne dans le rapport inrorse du carré de la vHofiSP de cir-
culation communiquée au point que l'on considère par le dèpla-
cemenl de cette même génératrice.

Appliquons au point central 0 la formule (11). Il vient, en fai-
sant Y = Uf

N = - == 1
H h'

et, par suite,

\ 1

tin

Cette dernirre formule comporte renoncé suivant :

La courbure au point central d'une génératrice rectiligne est
égale à la valeur inverse de la distance comprise, sur celte qén
ratrice, entre ce même point et celui oit. le plan tangent fait u
angle de 45° avec le plan tangent au point central.

Remarque. — On observera que l'équation fondamentale

(N,)^ = ~

peut s'établir à priori comme conséquence immédiate de l'équa-
tion (14) du ir 170, page 459. Il suftit pour cela d'observer que
l'une des courbures exprimées par - ou par— pour le cas gé-
néral, devient nulle dans le cas particulier d'un déplacement elTec-
tué le long d'une génératrice rectiligne.

Théorie des surfaces enveloppes.
205. Etant donnée l'équation

0) F(ar,y, ^, a) = o,

elle représente une surface qui cbange, en général, de forme et

( 30-i )

de- position en mènir temp-; que ion fait varier le paramètre a.
Soient A eetlc surface; ix \\\\ point assujetti à s y 'mouvoir; x, ?/, z
les coordonnées de ce point.

La direction suivie par le point (j. à un instant quelconque est
déterminée par les valeurs correspondantes des quantités dx, r/^,
i\z et celles-ci satisfont à l'équation différentielle

ou bien à cette autre équation

selon que la surface A persiste dans son état actuel ou qu'au
contraire elle passe de cet état à un autre.
Posons

(4).

©=».

La combinaison des équations (I) et (4) donne, en général, pour
chaque valeur du paramètre a une section déterminée de la sur-
face A. Soit S cette section. Elle est caractérisée par la condition
qu'elle remplit de rendre l'équation (5) identique à léquation (2).

Supposons le point u. assujetti à décrire la section S et dési-
gnons par m le lien qu'il occupe sur cette ligne à l'instant que
l'on considère. Videnliiè des équalions {"2) et (5) montre que la
vitesse du point y., cm sortir du lieu m, ne subit aucune modifi-
cation par suite du changement d état de la surface A.

Ktant données les équations (1) et (4), elles déterminent la ligne
S. et celle-ci change, en général, de forme et de position, en
même temps que l'on fait varier le paramètre x. Le point /u étant
astreint, par liypoilièse, a rester sur la ligne S, la direction qu'il

( :,(>ô )

.suit à un iiist.int quelconque esl délerniinée par l'équation (12) et,
en outre, par Téqualion différentielle

^ \drAdxl \drj.dijl '^ \drMzl

ou par cette autre équation
, I d'F \ ( d'Y \ ( d^F\ ld'V\ ,

selon que la ligne S persiste dans son état actuel ou qu'au contraire
elle passe de cet état à un autre.
Posons

d^F

La combinaison des équations (1), (4), (7) donne, en général,
pour chaque valeur du paramètre a un point déterminé. Soit m
ce point. Il est caractérisé par la condition qu'il remplit de rendre
l'équation (6) identique à l'équation (5). L'idenlitê de ces équa-
tions montre j d'ailleurs, que la vitesse du point /^, au sortir du
lieu m , ne subit aucune modification par suite du changement
d'état de la ligne S.

Cela posé , voici les conséquences.

Reprenons les équations simultanées

(8). . . . F{x, y, z, a) =: 0, ^— j = 0.

La ligne qu'elles déterminent et que nous avons désignée par S
a reçu le nom de caractéristique.

Le lieu des caractéristiques s'obtient en éliminant le paramètre
a entre les deux équations (<S). Cela revient à dire que ce lieu est
représenté par l'équation

(9) F{x,y,z,^y)r^o, ,

{ :m )

le paramètre a étant une loiirtion do-^ varial)lesx, y, z déterminée
par l'éqiialion de condition

Soit A' le Heu dont il s'agit. Il cslVcnveloppe des surfaces A. On
voit d'ailleurs aisément que la surface A' touclie chacune des sur-
faces A en tous les points de la caractéristique qui leur est com-
miine. Il est clair, en effet, que si le plan tangent, en un point
d'une ligne S , est déterminé, pour la surface correspondante A,
par IcnsemMe des équations (2) et (4), il Test en même temps et
de la même manière, pour la surface A', par la différentielle de
l'équation (9).

Aux é(|uations (9) et (10) ajoutons récjuation

(") ^..v

d'F\

0.

Le point déterminé par les équations (9), (10), (li) est celui
que nous avons désigné par m et qui jouit par rapport au point /u
de la propriété formulée plus haut en italiques.

Le lieu des points m s'ohtient en suhslituant dans les équations
(9) et (10) la valeur déduite pour a de l'équation (11). Ce lieu est
évidemment re;ire/o/)/)e des caractértstiques. Il prend, par rap-
port à la surface A' sur laquelle il est situé , le nom d'arrle de
rebronssement. On vérifie, sans la moindre diflîculté, que celle
arête touche chacune des caractéristiques au point qui leur est
commun de part et d'autre.

On ohservera que les surfaces A peuvent, en certains cas,
n'avoir pas d'enveloppe, et que, dans les cas où elles en ont une,
cette enveloppe peut ne point avoir d'«ré/e de rehroiissement.
Lorsque l'enveloppe n'a point d'arête de rehroussement, la carac-
téristique prise pour génératrice de cette surface sort du lieu
qu'elle occupe sans qu'aucun de ses points puisse être considéré
comme dépourvu de toute vitesse actuelle. Néanmoins il arrive,
en gériéral, pour l'un des poinis de la caraciéristique que *

( oo:) )

vitesso est un minimnm. La suite des points qui remplissent
cette condition, pour les positions successives de la caractéristique,
forme sur l'enveloppe une ligne particulière nommée ligne de
striction.

206. Autre))ie)it. — Sans rien cliang;er à ce qui précède, pro-
posons-nous de déterminer directement les points de la surface
A qu'on peut considérer comme fixes, à Tinstant précis où cette
surface sort d'un état quelconque pris, comme on voudra, parmi
ceux qu'elle affecte successivement. Ces points se distinguent des
autres en ce que leurs coordonnées x, y, z doivent satisfaire à
l'équation (5) lorsqu'on y annule en même temps chacune des
trois vitesses dx, dij, dz. De là résulte immédiatement l'équation
(4) et les déductions suivantes :

Le lieu des points cherchés est représenté par V ensemble des
équations (1) et (4). Il constitue la ligne S, désignée sous le nom

de CARACTKIUSTIQUE.

Le lieu des caractéristiques est représenté par Véquation (1) oit
le paramètre a, déterminé par Véquation (4), devient fonction
des variables x, y, z. Ce lieu constitue la surface A\ désignée, par
rapport aux surfaces A, sous le nom f/'E.wELOPPE.

// est visilde que /enveloppe A' touche chacune des surfaces A
en tous les points de la cauactéristiqije qui leur est commune.

Opérons sur la ligne S déterminée par les équations (1) et (4),
comme nous venons de le faire sur la surface A. S'il est un point de
la ligne S qui puisse être considéré comme fixe, tandis que cette
ligne sort d'un état quelconque pris, comme on voudra, parmi
ceux qu'elle affecte successivement, ce point se distingue des
autres en ce que ses coordonnées x, y, z doivent satisfaire à
l'équation (6) lorsqu'on y annule en même temps chacune des trois
vitesses dx, dy, dz. De là résulte immédiatement l'équation (7) et
les déductions suivantes :

Le point cherché , désigné par m, est déterminé pour chaque
valeur du paramétre v., par rensemt}le des équations (i), (4),

( :i()(i )

Le lien (les points m es! représenté par les éfpiations (l) et (\)
où le parami'tre a, déterminé par V équation (7), devient fonction
des variables x, y, z. Ce lien constitue j par rapport à la surface
k\ sur laquelle il est situé , la ligne particulii're désignée sous le

nom f/^ARÊTE DE «EBU0US3EMENT.

// est visible que /'arête de uEnRorssEME>T touche chacune des
CARACTÉRISTIQUES au point qui leur est commun, départ et d'autre.

Caractères généraux des surfaces développables.

207. On désigne sous le nom de surfaces développables les sur-
faces qui peuvent s'îippliqner sur un plan, point par point, sans
déchirure ni duplicature, autrement dit, sans extension ni con-
traction d'aucune des lignes tracées sur ces surfaces. Cette condi-
tion est évidemment remplie par les surfaces réglées qui n'ont
pour tous les points d'une même génératrice qu'un seul et même
plan tangent. Il s'ensuit, en effet, que si l'on assujettit le plan
tangent à tourner autour de la génératrice rccliligne, tandis que
celle-ci se meut de manière à décrire la surface considérée, cette
même génératrice peut être regardée comme se déplaçant dans un
plan qui tourne autour d'elle, et dont le mouvement n'altère, en
conséquence, ni les vitesses de ses différents points, ni celles des
points qui se mouvraient sur elle, ni, par conséquent, non plus les
longueurs décrites en vertu de ces mêmes vitesses.

Soit A une surface réglée et développable. Soient en même
temps S, S' deux lignes quelconques tracées sur cette surface. Sup-
posons la surface A développée sur un plan P. On peut se tenir
au résultat de cette première opération; on peut aussi, et cda
d'une infinité de manières, se ser>ir du plan P pour reprendre
le dévcloj)pcmcnt effectué et le reporter, comme on veut, soit sur
la surface A , soit sur une autre surface quelconque réglée et dé-
veloppahlc. Dans tous les cas, désignons par S, 1' les transformées
des lignes S, S'.

L'observation que nous avons faite en commençant, implique
évidemment les (l(Mluclions suivantes :

( ^>07 )

Quelles que soient les transformées i, l\ elles ont respeetire-
ment mêmes longueurs que les lignes données S, S'.

Lorsque les lignes S, ^' se coupent sons un angle quelconque ,
leurs transformées 2, 2' se coupent sous ce même angle.

Lorsque la ligne S se ferme en revenant sur elle-même, de ma-
nière à couper deux fois les mêmes génératrices reclilignes, la
transformée 2 remplit ces mêmes conditions. On voit, déplus,
que les aires circonscrites, départ et d'autre, sur les surfaces
correspondantes sont superposables par voie de développement et
d'enveloppement. Elles ont donc nécessairement même étendue.

208. Reportons-nous aux notations du n" 192, page 475, et
supposons qu'il s'agisse d'une surface A, réglée et développable.

La direction du plan qui touche la surface A, en un point quel-
conque m, est déterminée par les valeurs que prennent, en ce point,
les dérivées partielles p et q. On sait, d'ailleurs, que ce plan reste
le même pour toute l'étendue de la génératrice rectiligne menée
par le point m. Il s'ensuit que l'on a, poiir tous les points situés
stir une même génératrice quelconque rectiligne,

p = cons'% q = cons'%

ou, ce qui revient au même,

dp = rdx -4- sdy = o, dq = sdx -+- tdy = o.

dy r s

dx s t

De là résulte,

(1)

et, par suite,

(2) rt-s^=o.

L'équation (I). où l'on peut remplacer les vitesses dx et dy par
les segments x' — x , cl y' — y qui leur correspondent respecti-
vement, est l'équation de la génératrice menée par le point m
et projetée dans le plan des xy. Cela revient à dire, en d'autres

( o08 )

termes, quelle esl Vèquallon différentielle de la projeetion de
larête de rcbroiissement.

L'équation (2) subsiste pour tous les points de la surface A. Elle
est rêqiiaiiofi de condition qui caractérise, eu général ^ les sur-
faces cléveloppaf)les.

Procédons autrement. Lorsque la normale à la surface A se dé-
place le long dune même génératrice rcctiligne, elle conserve une
seule et même direction. Il s'ensuit que cette génératrice con-
stitue une (l{^s lignes de courbure de la surface A et que l'un des
rayons de courbure principaux doit se présenter conslammentsous
la forme symbolique-- •

Cela posé, il suffît de se reporter à l'équation (12) du n" 107.
page 487, pour reconnaître immédiatement quon doit avoir, en
cbacun des points de la surface A ,

rt

Réciproquement, si cette condition est satisfaite, il y a, en
cbaque point, une des sections principales dont la courbure est
nulle. Il suit de là que la ligne de courbure correspondante est
droite et qu'en conséquence la surface A est une surface réglée.
Elle ne peut, d'ailleurs, être gaucbe, puisqu'en ce cas les généra-
trices ne correspondent pas aux directions des sections princi-
))ales. Il faut donc nécessairement que la surface A soit réglée et
développable.

Nous verrons plus loin qu'en deliors des surfaces réglées, il n'en
est aucune qui soit développable d'après la définition donnée pré-
cédemment.

( :m )
CHAPITRE \n.

THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES LIGINES GÉODÉSIQLES.

Déjimtimi et propriétés fondcmientales.

209. On désigne sous le nom do lignes cjéodésifjues les lignes
d'une surface en cliaque point desquelles le plan osculateur est
normal à cette surface. Une propriété remarquable caractérise les
lignes géodésiques. Elle consiste en ce que ces lignes sont celles
qui déterminent, sur la surface, le plus court chemin d'un point
à un autre. Démontrons d'abord cette propriété.

Soient S une ligne quelconque; m un point su[)posé mobile sur
la ligne S ; D une droite entraînée par le point m et assujettie à
rester perpendiculaire à la ligne S; n un point supposé fixe sur la
droite D et, par conséquent, tel que la distance tiiu demeure in-
variable.

Si nous considérons le point ni au sortir d'une position quel-
conque déterminée, il est visible ({u'ii communique sa vitesse
actuelle à tous les i)oints de la droite D et que ceux-ci sojit ani-
més, en outre, de la >itesse qu'ils empruntent à la rotation de
cette droite autour du point )n. Les vitesses qui se transmettent
ainsi au point n sont toutes normales à la droite D. 11 en est donc
de même de leur résultante. De là se déduit, en premier lieu, la
conclusion suivante:

Quelle que soit la rotation de la droite D autour de la tangente
en m à la ligne S , le Heu des points n est une Irajextoire ortho-
gonale des positions successives de la droite D.

Considérons la droite D dans l'ensemble de ses positions succes-
sives. Cela revient à considérer une suite continue de droites D,
toutes perpendiculaires à la ligne S, ou, plus simplement encore,
la surface réglée (fue ces droites déterminent comme lieu de leurs
})o.sitions sinmltanccs. Soil B cette surface.

( -^l" )

Imaginons (|uc les droites D se nienvenl tontes à la lois, cha-
cune d'elles tournant autour de son point »/, où elle coupe la
ligne S, et restant perpendiculaire à la tangente en ce point. La
surface B chnngera de position et, généralement aussi, de forme.
Dans tous les cas la déduction précédente ne cessera pas d'être
applicable. Si donc on désigne par S' le lieu d'une suite continue
de points m' pris sur les droites D, d'un même côté et à égale
distance de la ligne S , il est visible que la ligne S' sera et restera
une trajectoire orthogonale des génératrices reclilignes de la sur-
face B.

Concevons quà un instant quelconque, on fixe chacun des
points )n' dans la position qu'il occupe à ce même instant. Con-
cevons, en outre, que chacune des droites D continue à tourner
autour de son point m' comme elle tournait d'abord autour de
son point m, c'est-à-dire en restant perpendiculaire en on' à la
ligne S', au lieu de l'être en })i à la ligne S. La déduction précé-
dente ne cessera pas encore d'être applicable. Si donc on désigne
par S" une suite continue de points ni" pris sur les droites D au
delà et à égale distance de la ligne S', il est visible que la ligne S"
sera et restera une trajectoire orthogonale des génératiices recli-
lignes de la surface B.

Cela posé, considérons la ligne S comme étant tracée sur une
surface quelconque A, et représentons-nous, pour chaque point
de cette ligne, la ligne géodésique issue de ce point perpendicu-
lairement à la ligne S. Si ces lignes géodésiques sont toutes décrites
simultanément par autant de points partant ensemble de la ligne
S et animés d'une vitesse égale en grandeur pour chacun d'eux,
il est aisé de voir que les directrices de ces points réalisent les
conditions supposées remplies tout à l'heure par les droites D *.

' Les lignes géodésiques sont caractérisées par la condition qu'elles rem-
plissent d'avoir, en chaque point, leur plan osculateur normal à la surface A.
Il s'ensuit que la directrice du point qui décrit une ligne géodésique tourne
dajis le plan mené par la normale à la surface et par la tangente à cette ligne.
L'axe qui correspond à cette lolalion est dirigé, en conséquence, suivant
la tangente menée par le point décrivant perpendiculairement à la ligne dé-
crite.

( *'lt )

La seule difrérence eoiisisle en ce qu'au lieu de laisser entre elles
certains intervalles, les lignes S, S', S", etc., se succèdent d'une
manière continue, chacune d'elles étant le lieu des centres autour
desquels les directrices des points décrivants tournent toutes en-
semble à un certain instant. Les vitesses des points décrivants
sont par hypothèse toutes égales en grandeur. Il s'ensuit que les
points qui deviennent à un instant quelconque les centres simul-
tanés de rotation des directrices sont situés primitivement sur
ces droites à distance égale de la ligne S. C'est, d'ailleurs, lorsqu'ils
s'appliquent sur la surface A qu'ils deviennent centres de rotation
et qu'ils se fixent dans la position qu'ils occupent. Il suit de laque
le lieu déterminé par leur ensemble est une trajectoire orthogo-
nale des lignes géodésiques qu ils décrivent, et, en outre, que les
arcs de ces lignes compris entre cette trajectoire et la ligne S sont
tous égaux entre eux.

De là résulte un théorème important, démontré, pensons-nous,
pour la première fois par M. Gauss et formulé, comme il suit, par
M. Ossian Bonnet *.

« Si sur une surface on conçoit une courbe quelconque et que,
» des différents points de cette courbe, l'on mène à angle droit
y> une série de lignes géodésiques de même longueur, la courbe
» qui joindra les extrémités de ces lignes cou})era chacune d'elles
» à angle droit. »

Ce théorème s'étend de lui-même au cas dune suite continue de
lignes géodésiques toutes issues dun même point. On le recon-
naît, soit en considérant ce point comme un lieu de concours et
renversant ainsi les termes de la question, soit en répétant pour
ce cas la démonstration précédente, soit encore en prenant une
courbe fermée pour lieu de départ des lignes géodésiques et res-
serrant cette courbe de manière à n'en faire plus qu'un point.

210. Soient m et n deux points situés sur une surface A. Parmi
les lignes géodésiques issues du point m, il en est une qui passe
par le point n; soit man cette ligne. Si nous considérons les tra-
jectoires orthogonales des lignes géodésiques issues du point m et

* Voir le mémoire déjà cité, pajje 27.

( ^l'-i )

une eouijjc (lUck'oïKjuc nia'n tracée sur la sujface A par les points
ni et Hy il est évident que les intersections de la courbe ma'n
avec ces trajectoires ne se feront pas toujours à angle droit.

Cela posé, concevons deux points mobiles f'.,/^' partant ensemble
FUj. 80. <^bi lieu ïn , et assujettis à décrire simultanément , l'un
la courbe niun , l'autre la courbe ma'n, le premier avec
une vitesse v constante en grandeur, le second avec une
vitesse n.

Décomj)osons la vitesse u en deux autres, Tune u' di-
rigée normalement à celle des trajectoires orthogonales ({ue le
point y.' IVancbil à l'instant que l'on considère, l'autre u" dirigée
suivant la tangente en v.' à celte jnème trajectoire.

La vitesse u pouvant être (}uelcon(iue, supposons-la déterminée
de manière à ce que le point u' se trouve à chaque instant sur
celle des trajectoires orthogonales que le point ^c rencontre à ce
même instant. Pour qu'il en soit ainsi, alors que l'écart qui s'éta-
blit entre les trajectoires orthogonales successives commence en
chaque point avec une égale vitesse, il faut nécessairement et
évidemment que la composante u' de la vitesse h soit constam-
ment égale à la vitesse r.

La composante ii' étant et restant égale à la >itesse v , il s'en-
suit que partout où la courbe nia'n coupe obliquement les trajec-
toires orthogonales mentioiniées ci-dessus, la vitesse u l'emporte
sur la vitesse v, et que, nulle part, d'ailleurs, elle ne peut être
moindre '. Ce n'est donc qu'en vertu d'une vitesse toujours supé-
rieure, ou tantôt égale et tantôt supérieure à celle du point /^, que
le point y.' peut décrire la courbe ma'n en même temps que le
point y. décrit la courbe man. De là résultent immédiatement les
conséquences suivantes :

1" La courbe man est plus iOurte (jue la courba jna'n.
2" Le plus court chemin cViin point à un autre sur une sur-
face est la ligne (jèodésique passant par ces deux points.

" Onagéiiéralemc)ili^=^-M'^-i-w"^^^^v^-i-M"^. La vitesse «me peut donc
être iiit'eiiouie à r, et elle est nécessairement plus grande pour Ions les [toinls
où rubliiiuilé det; inleibcelions implique l'exiblenee de la eomi)osanle u".

( al5 )

Co u rb '( i e y éudéf> iq ue.

211. Soient une surface A; S' une courbe tracée sur cette sur-
face; m un point quelconque de la courbe S'; P le plan (jui touebe
en m la surface A; S" la projection orthogonale de la ligne S' sur
le plan P.

Considérons la courbure affectée en m par la ligne S". Elle est
évidemment nulle lorsque la courbe S' est une ligne géodésique.
Dans tout autre cas elle est, en général, plus ou moins prononcée,
et elle constitue, par rapport à la ligne S', une courbure parti-
culière. Cette courbure est désignée sous le nom de courbure
géodèslciue. De là résulte, en conséquence, la définition suivante :

La coiRBURE GÉODÉSIQUE iVuRe courbe quelconque tracée sur une
surface esl la courbure affectée, pour le point que l'on considère,
par la projection de la courbe sur le plan qui touche la surface
en ce même point.

Soit yu' un point mobile , assujetti à décrire la ligne S', animé
d'une vitesse égcde d l'unité , et sortant du lieu ui à l'instant que
l'on considère. Désignons par N la normale en m à la surface A ;
par Q le plan qui projette la directrice du point /n' sur le plan P;
par p' le rayon de courbure qui correspond au point m de la
ligne S'; par /x" la projection du point /u' sur la ligne S".

Lorsque le point /a' sort du lieu m , le plan Q peut être consi-
déré comme tournant autour de la normale N et cette rotation
doit être telle qu'elle communique à la directrice du point y/ la
vitesse angulaire -.

Prenons pour plan de la iigure le plan mené par le point m

Fia. 81. perpendiculairement à la ligne S', et représentons ,

j^ par mk la normale N; par ma la trace du plan P;

^ 1^ par me celle du plan osculateur en m à la ligne S';

\ par ô l'angle ame que ces deux plans font entre eux.

Soit mh la rotation établie autour de la normale

^ mk ou ^\ Elle se communique tout entière à la

Tome XV. 55

( 314 )

directrice du point y.'. Décomposons cette rotation en deux autres,
Tune établie autour de Taxe am et représentée par mn, l'autre
établie autour de la perpendiculaire élevée en m sur î>ie et repré-
sentée par mb. La rotation mn est évidemment sans effet sur le
mouvement actuel de lintersection du plan Q avec le plan oscu-
jateui' en )n à la ligne S'. Il s'ensuit que la vitesse angulaire de la
directrice du point /u' dépend exclusivement de la rotation mb.
Posons, en conséquence,

mb := — •

P

H cil résulte, d'après la ligure,

COS 0

}nh = — — •>
P

et tel est le module de la courbure a/fectée en )n ])ar la ligne S".
Disons plus simplement que la courbure (jêodésique de la ligne S'
est représentée, pour le point m, par l'expression i'ractionnaire

COS 0

^'^ -'

p étant le rayon de première courbure de la courbe S' au point
m, et h langlc que font entre eux, pour ce point, le plan oscu-
Jateur de la courbe S' et le plan tangent à la surface A.

On j)arvient plus simplement à l'expression (1) en considérant
le cvlindre qui projette la courbe S' en S". En effet, sur ce cyliji-
dre, la ligne S" est une section normale, et Ion peut substituer à
la courbe S' la section oblique déterminée par son plan osculàîeur.
Si donc on désigne par p" le rayon de courbure qui correspond au
point 7)^ de la ligne S", on a, d'après la formule de Meunier, *

(2) ,û' = p". COS e,

* Voir un bcbuiu le ii'' 178 ou le u" ITU, pauub -iiô et iii.

( -il^ )

et, par suite,

1 ros 0

212. Soient T', T" deux droites menées par le point /u', à angle
droit l'une sur l'autre, et assujetties à rester constamment tan-
gentes. Tune à la ligne S', l'autre à la surface A. Désignons par P'
le plan de ces droites et imaginons, comme tout à l'heure, que le
point y/ sorte du lieu lu en glissant sur la ligne S' a^ec une vitesse
égale à l'unité. Les droites T'^ T" font entre elles un angle con-
stant : e//es ont, en conséquence, mêmes rotations autour des
mêmes axes *.

Considérons d'abord la droite T'. Elle coïncide avec la direc-
trice du point '/ sur la ligne S'. Il s'ensuit que son état actuel de
mouvement se résout tout entier en une rotation représentée en
•grandeur par - , et ayant pour axe la perpendiculaire élevée par
le centre de courbure de la ligne S' sur le plan osculateur de cette
même ligne. Dans le cas le plus général, cette rotation ne peut se
composer qu'avec une rotation sans effet actuel sur la droite T' et
établie, })ar conséquent, autour de cette droite.

Soit o' le centre de courbure qui correspond au point ui de la
liiçne S' et o't' la ])erpendiculaire éle>ée en o'

l'Hj. 82. ^ 1 r 1 r 1 •

sur le ])lan osculateur correspondant. La droite
T" est située dans le plan mo't'. Représentons-
la par mt' et nommons b l'angle qu'elle fait avec
le rayon de courbure ma'. Il est aisé de voir que
la rotation r^ , établie autour de Taxe ot', a pour composantes :

r

l" Une rotation —7- établie autour d'un axe normal au plan P **
et représentée par la perpendiculaire o'o" abaissée du point 0' sur
la droite mt' j

* lr« partie. Théorème XL Page 60.

'* Le plan P est le lieu occupé par le plan P' lorsque le point //' est en m.
Le segment o't' étant pris pour mesure de la rotation — , il est évident qu'elle
a pour composaiiles les rolalions représentées en grandeur, Tune i)ar le seg-
ment u'o", l'autre par le segment o"t'.

( ^Hi )

'->" Une rotation ^^ établie autour d'un axe mené par le
point o' parallèlement à cette même droite.

Ajoutons à ces deux rotations composantes celle qui résulte,
en général, de la rotation du plan osculateur et qui a pour axe la
droite T'. Nous aurons les trois rotations simultanées qui détermi-
nent, en même temps, les états actuels de mouvement des droites
T', T" et celui du plan P' dans Ihypothèse où ces droites restent
fixes dans ce plan.

Supprimojis, en ce qui concerne le plan P', la rotation — 7-
étabiie autour de la droite o'o" et dont l'effet consiste à faire tour-
ner ce plan sur lui-même. Il s'ensuivra que pour restituer aux
droites T', T" leur mouvement effectif, il faudra les considérer
d'abord comme participant au mouvement du plan P', et, en
outre, comme tournant dans ce plan autour du point 0" avec la
vitesse ^^ . Ce premier résultat confirme la déduction du n " 211.
Il est clair, en effet, que la rotation— —déterminée, comme on
vient de le voir, n'est autre* chose que le module de la courbure
géodésique définie et mesurée précédemment.

Supprimons encore, en ce qui concerne le plan P', la transla-
tion qu'il faut composer avec la rotation— rlorsqu on transporte
cette rotation autour de l'axe mt'. L'effet de cette translation con-
siste à faire glisser le plan P' sur lui-même avec une vitesse pa-
rallèle à la droite T' et égale en grandeur au produit o'o". — - •
Il s'ensuivra que pour restituer aux droites T', T" leur mouve-
ment effectif, il faudra les considérer, non plus seulement comme
participant au mouvement du plan P' et comme tournant, en

1 1 1 • r/ 1 -i C0S6

outre, dans ce plan, autour du point 0 , avec la vitesse — — ->
mais, de plus, comme y glissant en même temps avec une vitesse
égale en grandeur au produit o'o"^^ et dirigée parallèlement
à la droite T'.

Transportons en m autour de la normale à la surface A la rota-
tion—-- . La translation qu'il faut composer avec cette rotation ,

r

pour qu'elle produise, après son transport , le même effet qu'avant ,
est égale en grandeur au produit o'tn. ^^ .

( 317 )

Cela posé, voici d'abord commont so résunionl l(\s déductions
(jui précèdent.

Le plan tangent P' roule sans tourner ni glisser sur lui-même,
de manière à s'appliquer successivement sur tous les points de la
ligne S'. Son mouvement consiste en deux rotations simultanées ,

l'une ^-7- établie autour de la droite mt' ou T", l'autre établie

F
autour de la tangente T' avec la vitesse angulaire représentée

parN, dans la formule (8) du n° J76, page 4ô8, et dans les for-
mules (I), (2), (4) du n" 189 *, page 470.

* Veut-on procéder directement, et d'après les données précédentes, à la
détermination de cette vitesse? Voici comment on peut s'y prendre.
Considérons la caractéristique du plan P' et représentons-la par ma.
o,)i,-. Soient d'ailleurs mt, mt' les droites T', T" et t'a une parallèle
'^' ^ à T' menée par le point /'.

h T . sin0 ,

La rotation — — établie autour de la droite mt' commu-
P
i^ nique au point a de la caractéristique ma une vitesse perpen-

\~^ diculaire au plan P' et représentée en grandeur par le pro-

'Y , . , sin e

duit at' .

_ P

Soit -\/ la rotation établie autour de la droite mtow T. La vitesse imprimée

au point a par cette rotation est perpendiculaire au plan P' et représentée en
grandeur par le produit ml'. N< . Elle doit d'ailleurs être telle qu'en se compo-
sant avec la précédente elle l'annule. De là résulte l'égalité

— sin 0

(1) w^' N, = «r — 7- •

P

Désignons par / l'angle mat' que la caractéristique ma fait avec la tan-
gente mt ou T'. On a

mV

^^ •«^=^-

et, par suite,

- sin 9

(3) N,lg > = —;-.

p

Soit N la normale en m' à la surface A. Elle tourne comme le plan P', c'est-
à-dire avec la vitesse— 77- dans le plan de la section normale menée parla

r

tangente m/, et avec la vitesse 'Si autour de cette même tangente. Il suit de

( 318 )
Lf point (x gji.-^se sur la ligno S' avec la vilos-^c

sino , cosG . „ ,

o'o . — ; — \- 0 m . — ~ = sur 0 •+■ cos^ 0=1,

ce ffui vérifie les données précédentes.

La droite T" participe au mouvement du plan P' de la même

là, qu'en désignanl par p le rayon rie courbure de la section normale menée
pni- la langenle wjV, on a

~ sin ô '
ce qui donne, conformément au théorème de Meunier,

/ = /) sin 9 C),
el, en outre, eu égard à l'équation (3)

_ cot /
(4) N, = -— .

P

On parvient directement à l'équation (3) en représentant par ma la rotation
totale du plan P' et considérant ses deux composantes rectangulaires mt\ mh,
dont l'une, mt' , est — — , et l'autre, m&, est la quantité cherchée N/ . La simple
inspection de la figure permet d'écrire immédiatement l'équation (ô).

Soit m\ la trace sur le plan P' de la section principale dont le rayon de
courbure est R. Si l'on désigne par a et i)ar y les angles que la droite m\
fait, d'une part, avec la tangente mt, d'autre part, avec le prolongement de la
caractéristique am, on a , d'après la figure ,

et , conformément à la formule (3) du n" 182 , page 448 ,

R'

tg a tg 7' = _ .
n

(*) On observera que l'angle désigné ici par 0 est le complément de celui que la sec-
tion oblique S' fait avec la section normale menée parla tangente mt.

( ^'l'-» )

iHîHiirrc^ (pic si elle y ('tnit lixo, Ello a de pins, J^/>/.s ce plan, dciiv
inouvenionts dislinets, lun do Iranslation qui rond communo à
tous ses points la vitesse du point ^', l'autre de rotation autour du

1 ^ 1 • , . cos 0

j)onit m et correspondant a la vitesse angulaire -rr- '

Ce qui vient dètre dit de la droite T" s'applique évidemment
et dans les mêmes termes à la droite T'.

Considérons la droite T" et tenons compte exclusivement du
double mouvement qu'elle a dans le plan P'. La vitesse de trans-
lation communiquée au point t' est égale à l'unité. Celle qui résidlc
pour ce même point de la rotation ~r établie autour du point m
dans le plan P' a pour expression le produit

cos h 0 m
ml' = — = I.

Ces deux vitesses sont, d'ailleurs, de même direction et de sens
contraire. La conséquence est que le point /' de la droite T" n'a
j)oint de vitesse actuelle dans le plan P'. ïl sensuit qu'on peut mo-
dificrrundes énonccvs ((ui j)récèdent et dire plus simplement :

Lorsque le plan P' roule, sans glisser ni tourner sur lui-
même, de manière à s'appliquer successivement sur toiis les points
de la ligne S', le mouvement, qui anime la droite V dans ce
plan, se réduit à vue rotation simple autour du point t', la dis-

. , . I ^ P'

tance mt etcmt eqale a — - .
'^ ros B

213. Le tbéorème que nous venons de formuler conduit à plu-
sieurs conséquences importantes.

Le plan P' se mouvant, comme on l'a supposé tout à Ibcurc, il
est visible que la courbe S' s'y dévelopj)e sans cbanger de longueur
et qu'elle s'y transforme en une ligne dont les centres de courbure
successifs sont situés en t'. Cela revient à dire que, dans ce déve-
loppement, la transformée de la ligne S' a pour courbure, en
cliaque point, la courbure géodésique qui correspond h ce point
de la ligne S' sur la surface A.

( o20 )

On pont observer, (l'iin autre côté, que le plan P' ne eesse pas
(le touelier la surface A le long de la ligne S', et que sa earaetéris-
stique, autrement dit son axe instantané de rotation, se confond
à chaque instant avec la tangente conjuguée correspondante. Le
lieu de ces axes ou , ce qui revient au même , de ces caractéristi-
ques est évidemment une surface développable sur laquelle la
ligne S' est située et qui a pour chacun des points de cette ligne
même plan tangent que la surface A. Soit A, cette seconde surface.
On peut la substituer à la première sans qu'il en résulte aucun
changement dans la ligne S' et dans le plan tangent à considérer
pour chacun des points de cette ligne. Il s'ensuit que cette substi-
tution n'altère en rien les quantités représentées ci-dessus par
/j' et par 9, ni, par conséquent non plus, la courbure géodésique
de la ligne S'. On peut dire ainsi de la courbure géodésique d'une
ligne quelconque S' tracée sur une surface A, qu'elle est la cour-
bure de la transformée de cette ligne dans le développement de
la surface A,.

Ces premiers résultats peuvent se résumer comme il suit :
Soient une ligne S' tracée sur une surface A; m un point de cette
ligne; S" la projection orthogonale de la ligne S' sur le plan qui
touche en ni la surface A. Considérons le lieu des caractéristiques
qui correspondent au mouvement du plan tangent, lorsque le
point m devient mobile et décrit la ligne S'. Ce lieu est une sur-
face développable. Désignons par A, cette surface et par Sj la
transformée de la ligne S' dans le développement de la surface A,.
Cela posé, voici l'énoncé dont il s'agit :

La courbure géodésique de la ligne S' est la même en chaque
point sur chacune des deux surfaces A, A,. Elle est représentée en
qraudenr par la courbure qîi'affecte au point que l'on considère
chacune dos deux lignes S", S,.

( aai )

TJn'or('me ila Laucrct. - Dcvxlhnç coiirJ)urc (jrfHh'sUfue.

214. Soient S' une ligne quelconque tracée sur une surface A ;
m un point décrivant la ligne S'; V la A^itcssc actuelle du point m ;
D la tangente en )n à la ligne S'.

Désignons par P le plan qui touche en m la surface A; par Q le
plan osculateur en m à la ligne S'; par N la normale au plan P;
par N' la normale principale qui correspond au point m de la
ligne S' et qui, par conséquent, est située dans le plan Q.

Soient w la rotation du plan P autour de sa caractéristique, et A
l'angle de cette caractéristique avec la droite D.

La rotation w a pour composantes rectangulaires dans le [)lan P :

1° Une rotation établie autour de la droite D et représentée par

(1) .• • • N, = &j.cos /;

2" Une rotation établie autour de la pci'pcndiculairc ('l(>vée en
)n sur la droite D, cl représentée par

(2) W=:w.sin /.

La rotation composante W détermine le rayon de courbure p de
la section normale faite en m suivant la droite D. Cela donne

V

(5) W=~.

P

et, par suite, comme on l'a vu déjà au n" 100, paiijc 172,

V

(4)

p.sni A

Elle détermine, en même temps, le rayon de courbure p qui
correspond an point m de la ligne S'. En effet, si l'on désigne

( rm )

par f l'aiiiçlo dos doux normales X. N', on a, d'après ]o llioorème
de .Mounior, cl comme on peul, d'ailleurs, le voir directement,

p' =^ p ces f.

De là résulte, en désignant par W la viteâse angulaire de la
directrice du poini m,

V V cos oj
Ci) W-=--- ^--W'.cosv,

P p'

et, par suite, comme au n" 190, page 473,

, ,. V cos f W cos y

p sni / sin /

On a , d'ailleurs,

(7) «^ = N; -4- W- = Nf -h W- cosn.

Soit N^ la rotation du plan Q aulour de la droite D. En la sup-
posant de même sens que la rotation N,, il est visible que la diffé-
rence NI — N, exprime la rotation relative des deux normales
N, N', c'est-à-dire la vitesse angulaire avec laquelle l'angle v croît
ou décroît. ])e là résulte,

(8). ....... y = N',-X,,

ou, ce qui revient au même,

(0) n, = n;-?.

Le théorème exprim('' par léquation (0) peut s'énoncer, comme
il suit :

La rotation du plan P autour de la droite D est égale à l'excès
de ta rotation du plan Q sur la vitesse angulaire avec laquelle
varie V angle des deux normales N, N'.

( ^^^ )

On peiil ol)«;crver à priori qiio le plan tic; droites N, N' est le
plan normal de la ligne S'. L'équation (8) pent, dès lors, sVerirc
immédiatement, comme traduction directe du théorème XII de
la première partie (page G7).

21o. Reprenons l'équation générale

(I) n,=n:. -f.

Dans le cas particulier où la ligne S' est une des lignes de cour-
bure de la surface A , on a pour tous les points de cetle ligne

N, = 0.
De là résulte

(2) K = f-

Le théorème exprimé par l'équation (I) comporte l'énoncé sui-
vant :

Lorsque la licjne décrite est une liqne de conrlntre , il y a con-
stamment êijalitê entre la rotation du plan osculateur autour de
la tangente et sa rotation relative par rapport au plan tangent *.

Ce curietix théorème a été énoncé, pour la première fois, par
Lancret, dans son premier mémoire sur les lignes à double cour-
bure. On voit, par ce qui précède, comment il se déduit immédia-
tement du théorème XII de la première partie. Il implique, d'ail-
leurs, la conséquence suivante :

Lorsque deux surfaces se coupent partout sous %in angle con-
stant, et que leur intersection est une ligne de courbure de l'une
de ces surfaces , elle est aussi pour l'autre une ligne de courbure.

Il est clair, en effet, que chacun des deux plans tangents à con-
sidérer en chaque point tourne avec la même vitesse par rapport

' La réciproque e9.[ évi<lente, les lignes de coin'l)nre étant les seules pour
lesquelles on :iit

N, r= 0,

( 324 )

au plan oscillateur de rinterseclion commune aux deux surfaces.
Or, pour Tune des deux surfaces, il y a, par hypothèse, égalité
constante entre la rotalion absolue du plan osculateur et sa rota-
tion relative par rapport au plan tangent. Cette même égalité sub-
siste donc, en même temps, pour l'autre surface.

Lorsque la ligne S' est une des lignes géodésiques de la surface
A, la normale principale N' se confond avec la normale N et
l'angle -. demeure constamment nui. On a donc

f = 0.

De là résulte, en général,

N. = N.:,

ou, substituant à ces rotations leurs modules respectifs, ce qui re-
vient, comme on sait, à prendre la vitesse V égale à l'unité,

(3) • • n,=n:.

Quelle que soit la ligne S', sa deuxième courbure est toujours
représentée ])ar le module ÎN',. Lorsque cette ligne est une des
lignes géodésiques de la surfa(e que Ton considère, le module
A', devient ('gai au module ?s',. Cette égalité ne subsistant pas en
général *, M. Ossian Bonnet considère le module >', comme déter-
minant ce qu'il nomme îa deuxième courbure géodésique de la
ligne S'. On a , d'ailleurs, en vertu de l'équation (1),

(4) n,= n;-?:

On déduit de là et de ce qui précède les énoncés suivants :

d" La deuxième coiirhitve (jêodésique a même moâidc que la
rotalion flv plan tangent autour delà tangente.

2" La vitesse avec laquelle le plan tangent tovrne autour delà

* L'égaillé dont il s'agit n'a pas lieu seulement pour les lignes géodésiques,
elle subsiste, en même temps, et de la même manière, pour toutes les lignes
qui satisferaient à la condition f = constante. Dp là résulte, en effet, ^ = 0
et, par suitf

{ -m )

direcUon suivie par le puiul dêcrira/U est ('gale au produit de la
vitesse de ce point par le module de la deuxième courbure çjéodé-
sique.

5" Lorsque la ligne décrite est une ligne de courbure, la deuxième
courbure géodésique est constamment nulle et réciproquement.

On ne perdra pas de vue que ces énonces n'apprennent rien de
neuf. Ils ne font que reproduire des résultats déjà connus sous
une autre forme.

Equation générale des lignes géodésiques.

î2i(). Considérons une courbe plane OS rap})ortéc à des axes
coordonnés curvilignes. Les abscisses et les ordonnées qui déter-
minent les diirércnts points de la ligne OS sont, [)ar hypothèse ,
des courbes (juclconcfucs situées dans le plan de cette ligne, sous
la seule condition que les unes soient relativement aux autres leurs
trajectoires orthogonales.

Soit i>. un point mobile assujetti à décrire la ligne OS et sortant
du lieu 0 à l'instant que l'on considère.

On peut se représenter le point il connue glissant sur la ligne

Fiy. S3.

V

OX, en même temps que le point 0 glisse sur la
ligne OY et entraine avec lui la ligne OX. On peut
su})[)Oser, d'ailleurs, que la ligne OX reste normale
en 0 à la ligne OY, et, qu'en outre, elle ne change
pas de forme. Ricii n'est altéré par là , ni dans la
vitesse actuelle du point //, ni dans la rotation si-
multanée de sa directrice sur la ligne OS *.

Soient W^, W,, W., les vitesses angulaires (jui animent simulta-
nément la directrice du point 0 sur la ligne OY, et les directrices
du point a sur les lignes OX, OS. Si l'on désigne par / Tangle que
font entre elles les tangentes en u. aux deux courbes OX, OS, et
qu'on suppose de même sens les trois vitesses angulaires \Çy^ W^,

' Voir, au beboiu, le principe exposé au ii" lOi, page 267.

( 026 )

W, on a, cvidciniiicnl, pour cxi)rcssioii de la vitesse avec laquelle
l'angle i varie à l'origine du déplaecmcnt considéré,

(\). . . . . . f/^ = VV.-i- w,— w, *.

Supposons qu'il s'agisse de trois courbes tracées sur une sur-
face A et ayant pour j)rojections sur le plan tangent en 0 les lignes
nicntioiHiées ci-dessus et auxquelles Fcqualion (1) s'applique. Les
vitesses angulaires W^, W^, Ws sont celles ({ui correspondent aux
courbures géodési(iucs des courbes S,,., S^, S, tracées sur la sur-
face A et projetées actuellement en OX, OY, OS. De là résulte

f , , rcos6~i , rcosô"! . rcoso"!

l'indice inférieur indiquant celle des courbes à hK^uelle se rappor-
tent les ([uantités qui ligurent dans l'expression fractionnaire mise
entre parenthèses.

Ces valeurs substituées dans léquation (!) fournissent immé-
diatement l'équation générale

('■!)•

■"='"m. -'»•[=?],-"■[-?].

où les symboles différentiels peuvent être considérés comme ex-
})i'imant, av point de me géométrique, les vitesses qui leur cor-
respondent.

Supposons que la courbe S, projetée en OS, soit une des lignes
géodésiques de la surface A. Le module ^;- se réduit à zéro,
puisque l'on a pour tous les points de celle ligne fj=:yO"On a,
d'ailleurs,

ilx . (hj

— - 3= cos t , -= sin /.

ds ds

" il suflît de se leporlei- à cette équatioa pour résoiulie , en thaciue cas , les
dout(>squi i>euveiil suryir relaliveiiiem aux biyuci. des (luauliléb «lui lij^uienl
dans les étiualioui; buivanle^.

( •^'27 )
Il vient donc, en subsliluant ,

sm t.

L'équation (3), obtenue ainsi très-simplement, est l'étjuatiou
générale des lignes géodésigues tracées sur une surface guelcon-
gue, les coordonnées étant curvilignes et formant les unes par rap-
j)ort aux autres un double système de trajectoires orthogonales.

Application aux surfaces de révolution.

^17. 8'agit-il eii particulier des surfaces de révolution? Lors-
(pi'on prend les méridiens pour lignes des ordonnées et les paral-
lèles pour lignes des abscisses , l'équation (5) du n" 210 se réduit à

<" • shR'l-

Il est clair, en elfet, (pie les méridiens sont des lignes géodési-
ques et. qu'en consé({uence, on doit, ainsi qu'oii la vu tout à
riieure })our la courbe S,, supprimer le terme où le module
—^ mterMcnt comme iacleui'.

Désignons par r le rayon du parallèle représenté par p dans
l'équation (4). Il est aisé de Noir que l'on a, généralement,

dr

cos 6 = — 5
dy

et, remplaçant dj paj' la valeur égale ds . sin i (voir n" 21(»),

eos 6 =

ds . sin i
Cette valeur substituée dans Téquation (4) donne

(5). = . . . . . dt.igi-^ — »

( im )

ouj ce qui revient au même.

d. log(r. eus /) = o.
De là résulte

(6) r. cos ^ = cons" = R cosf .

R et £ étant les valeurs que les quantités r et i prennent respec-
tivement au point où la ligne géodésique que l'on considère vient
couper l'axe des abscisses.

On voit ainsi comment les lignes géodésiques dune surface
quelconque de révolution sont représentées par l'équation (6).

Soit S une ligne géodésique tracée sur une surface de révolu-
tion. Considérons un point quelconque m de la ligne S et menons,
par ce point, les droites I , T respectivement tangentes, l'une à la
ligne S, l'autre au parallèle correspondant. Soit n l'extrémité d'une
longueur égale au rayon de ce parallèle et portée sur la tangente T
à partir du point m. L'équation (6) exprime le théorème suivant :

La projeclion de la longueur mn sur la droite I esl coiisUutle
pour tous les points d'une même ligne géodésique S.

Dans le cas particulier de la sphère, i>n vérifie aisément que
les lignes g<^odésiques déterminées par l'équation (6) coïncident
avec les grands cercles de cette surface.

Soit, en effet, ABC un triangle sphérique rectangle en C. Si
Fia. 84. *^'^ représente par A, B, C les angles et par a , b,
^ <■ les côtés opposés, la formule générale

A^ ,

(OS A = — cos B cos C ■+- sin B . sin C . cos a ,
où l'on doit poser C = 90% donne

cos A = sin B . cos a.
On a, d'ailleurs,

cos o -^ — î sin B = cos i
R

( '>2^' )

R étant le rayon dt; la sphère, r celui du j)andlè]e mené ])nr le
point B parallèlement au plan du côté b, i l'angle (jue font entre
elles les tangentes menées par le point B, l'une à ce parallèle,
l'autre au côté c. De là résnlte

(7) R cosA ==. r cos /,

et telle est léquation du grand cercle AB dans le système de coor-
données que nous considérons, le grand cercle AC étant pris pour
axe des abscisses.

L'identité visible des équations (0) et (7) fournil la ^érliicalion
annoncée. Le fait , consistant en ce que les lignes géodésiqnes de la
sphère sont toutes des grands cercles, n'exige en lui-même aucune
démonstration. Il résulte û priori de la délinition de ces lignes.

!218. Proposons-nous de traduire en coordonnées polaires l'équa-
tion (G) du numéro précédent.

Le point m étant projeté sur un plan perpendiculaire à l'axe de
révolution, plaçons l'origine au point où cet axe vient percer ce
})lan, et désignons par a l'angle que la projection du rayon r l'ait
avec la droite prise pour axe dans ce même plan. On a , d'abord ,
(voir n" 217)

(Ix rdy.

(!) COS /= —,=::=:—-,

^ as (is

et, en outre,

(î2) (h- = dr- -^ r-iU- -\- (Iz^-y

z étant la hauteur du point m au-dessus du plan de piojeclion.
Soit

(3) z==f\r).

l'équation de la ligne méridienne en coordonnées ordinaires. On
en déduit

et, par suite,

(ï) dr=^((r' [\ -4- r(rf] + rVal

Tome XV. 54

( :i3() )
Considérons l'équation (G) du n" 217, poge 5î28. On a

(5). .... r cos t = r^ -—z= cons**" = c.

as

La combinaison des équations (4) et (5) donne, en conséquence,

<^ d^-^ V" r-^

iry

L'équation (ti) , ainsi déterminée et ramenée à une simple qua-
drature, est réquation polaire des projections des lignes géodé-
siques pour le cas général des surfaces de révolution.

Dans le cas particulier de la sphère, l'origine étant au centre,
on a

z = f{r)^VR'~7'\

De là

résulte

nr)^ '■

VR'—r'

Celte valcui- substituée dans l'équation ((i) coiiduil à
(7) dcc=^

On vérifie d'ailleurs aisément que léquation (7) est l'équation
polaire d'une ellipse rapportée à son centre et à son axe prin-
cipal c y le second axe principal étant égal à R. Si l'on observe, en
outre , qu'en désignant par f l'angle sous lequel la ligne géodé-
sique considérée vient couper le plan central de projection, on a

c =:- R cos P,

il est aisé de voir que Tcllipse, dont il s'agit, est la projection du
grand cercle dont le plan passe par l'axe R et fait l'angle n avec le
plan de projection.

( o31 )

Al»l>LICATIOx>; A L ELLIPSOIDE ET A L HY^ERBOLOIDE.

Théorènw de Joacltinislal. — Jùjuulion (jê/téralc des ligues
géodésiques.

"îli). Soient o le centre d'un ellipsoïde ; m un point de la surface;
onij oa, oh trois demi-diamètres conjugués; ma\ mb' deux droites
situées dans le plan tangent en m et respectivement parallèles,
l'une à la droite oa, l'autre à la droite oh.

Considérons l'ellipse qui résulte de l'intersection de l'ellipsoïde
par le plan diamétral moa.

Si le point ni glissait sur cette ellipse , et qu'il entraînât avec lui

Fia 85 ^^^^^ droite assujettie à rester parallèle à la tangente

m. . mb' , il est visible que cette droite ne cesserait pas

^'X/ de toucher l'ellipsoïde. Il suit de là, comme on l'a

/^ ^ vu au n" 174, page 429, que la tangente mb' est la

à^ ^-' caractéristique qui correspond, pour le })Ian lan-
gent en m , au glissement de ce point suivant la direction ma.

Soient S la ligne gcodésique issue du point m suivant la direc-
tion )tia', et A l'enveloppe d'un plan mobile Q assujetti à toucher
l'ellipsoïde en chacun des points de la ligne S. L'enveloppe A, lieu
des caracléristiques du plan Q, est une surface développable, et
nous savons que, dans le développement de cette surface, la ligne S
devient droite.

Considérons le point ni , le plan Q et le demi-diamètre ob comme
assujettis respectivement et simultanément, le point m à décrire
la ligne S, le plan Q à toucher en m l'ellipsoïde, le demi-diamè-
tre ob à tourner autour du centre o de manière à rester parallèle
à la caractéristique du plan Q. Devenue mobile avec le point m la
droite ob engendre un cône. Soient A' ce cône; Q' le plan qui le
touche suivant la droite ob ; S' le lieu des points b, lieu situé à la
l'ois sur l'ellipsoïde et sur le cône A'. Le plan Q' ne cesse pas

( 55i> )

d'être parallèle au plan Q, ni, par conséquent, de contenir la
droite ha" menée par le point 6 parallèlement à la tangente ma.
Mais, d'un autre coté, la droite 6a" est la directrice du point b
sur la ligne S' et , comme elle se meut en restant parallèle à la
directrice du point wi sur la ligne S, les vitesses qui résultent,
pour ses différents points, de la rotation du plan Q' autour de la
droite ob sont toutes perpendiculaires à ce plan *. Il suit de là,
sans autre intermédiaire, que la ligne S' est une des lignes géodé-
siqucs du cône A', qu'elle devient droite dans le développement
de ce cône **, et que, par conséquent, la perpendiculaire abaissée
du point 0 sur toutes ses tangentes est constante en grandeur.
L'égalité qui subsiste entre cette ])erpendiculaire et celle abaissée
du point b sur le demi-diamètre oa implique, en conséquence, le
théorème suivant :

Etant donné j sur un ellipsoïde j un point quelconque m d'nne
ligne géodésique S, si l'on mène deux demi-diamètres respective-
ment parallèles y Vun à la tangente en m à la ligne S, rautre à
la tangente conjuguée, la perpendiculaire abaissée de Vextré-

* dette condition cesse d'avoir lieu lorsque le plan osculateur de la ligne S
n'est point normal à la surlace A. Dans ce cas, en ellet, tandis que le plan lan-
gent en m tourne autour de la caractéristique mh', la tangente ma' touiiie dans
ce même plan, comme on Ta vu au n" 212, page 315. Il s'ensuit que la directrice
du point b sur la ligne S' ne tourne pas seulement autour de' la droite ob ,
nfais qu'elle tourne en même temps autour de la normale en b au cône A'. La
eonséciuence évidente est que les vitesses de ses différents points cessent d'être
perpendiculaires au plan Q'. En d'autres termes et plus simplement, il y a en
même temps parallélisme d'une part entre les i)lans tangents Q, Q', d'autre
part, entre les plans qui sont osculateurs, l'un en m à la ligne S, l'autre en b
à la ligne S',

** Klant donnés le point m et la direction de la ligne S en ce point , on con-
naît la longueur ob et l'angle oba" . Imaginons qu'on trace la droite ba'' et que,
sans changer les dislances de ses dilTérents points au point o, on rappli([ue
sur l'ellipsoïde. La transformée de celte droite sera la ligne S'. Cela posé, si ,
pour chaque point de la ligne S', on construit le plan diamétral mené par la
tangente en ce point et son diamètre conjugué , il est visible (lue les extrémités
de ce diamètre auiont pour lieu géométrique la ligne S à déterminer.

( :i53 )

mité du second de ces demi -diamètres sur le premier est constante
en cfrandcur.

Soit P la perpendiculaire abaissée du centre o sur le plan lan-
gent en m à l'ellipsoïde. On sait que le volume compris entre les
six plans tangents menés par les extrémités de trois diamètres
conjugués est constant. De là résulte, évidemment,

P.D.II = cons'%

D étant le demi-diamètre dirigé suivant oa , et H la perpendicu-
laire abaissée du point (> sur ce demi-diamètre. Mais on a déjà

H = cons'^

On peut donc écrire aussi

(1) P.D---cons"'.

Le théorème exprimé par cette équation est «lu à IM. Joa-
cbimstal. On |)eut r<'noncci', comme il suit:

Etant donné stir un ellipsoïde un point fjuclcoiifjue m d'une
ligne cjéodésiffue S, le produit du diamètre parallèle à la tan-
gente en m d la ligne S par la perpendiculaire abaissée du centime
sur le plan tangent en m est constant.

Il est entendu pour ce théorème, comme pour le précédent,
qu'il s'applique à tous les points d'une même ligne géodésique,
cette ligne pouvant, d'ailleurs, être tracée soit sur un ellipsoïde,
soit sur un hypcrboloïde.

On voit aisément qu'il existe une infinité de lignes géodésiques,
correspondantes à une même valeur quelconque du produit PD.
En général, ces lignes sont au nombre de deux pour un même
point. Lorsqu'elles sont au nombre de trois, le point est \\n om-
bilic et les lignes géodésiques issues de ce point correspondent
toutes à une seule et même valeur du produit P.D.

2^0. Si Ton se reporte à la démonstration précédente, il est
aisé de voir qu'elle s'applique aux lignes de courbure, tout aussi

( -y^^ )

bien, et même plus slmjdement qu'nnx lignes géodésiques de l'el-
lipsoïde et de riiyperboloïde. Supposons, en effet, que la ligne S,
issue du point m suivant la direction ma\ soit une ligne de eour-
l)ure. Il s'ensuit que la ligne S' est partout normale aux génératrices
rectilignes du cône A' et que, par conséquent, le rayon vecteur
oh est de grandeur constante*. De là résulte ce premier énoncé:

Étanl donné sur un ellipsoïde un point quelconque m d'une
h'g)ie de courbure S, si l'on mène deux demi-diamètres respecti-
vement parallèles y l'un à la tangente en m à la ligne S, l'autre
à la tangente conjuguée , ces deux demi-diamètres sont rectangu-
laires et le second est de grandeur constante.

Le reste s'achève comme au numéro précédent. On peut, en
conséquence, énoncer aussi cet autre théorème :

Étant donné sur un ellipso'ide un point ([uelconque m d'une
ligne de courbure S, le produit du diamètre parcdlèle à la tan-
gente en m à la ligne S pr/r la perpendiculaire abaissée du centre
sur le plan tangent en m est const((nf pour tous les points de
cette même ligne.

Ces déductions sont, ainsi qu'on le voit, d une grande simplicité.

Polaires conjuguées.

221. Reprenons les données du n" 219 à cela près qu'au lieu
de ranger la ligne S parmi les lignes géodésiques, nous la suppo-
sions tout à fait quelconque, sous la seule condition d'appartenir
à lune ou l'autre des surfaces du second degré qui sont pourvues
d'un centre. Quelle que soit la ligne S, elle ne cesse pas de déter-
miner, ainsi qu'on la vu, la ligne correspondante S'. De là résulte

* La coiistruclion iiuliciaéc dans la dernière note, page 532, [)Our le tracé
d'une ligne yéodesiiine devient plus simple encore lorsqu'il s'agit du tracé d'une
ligne de courlmre. Dans ce cas, en ellet, la ligne S' n'est autie chose (pie l'inter-
section de l'ellipsoïde par une sphère concentrique de rayon connu. On déduit
aiséniejd de là l'équrition des lignes de courbure.

( 555 )

entre ces deux lignes une dépendance mutuelle et réeiprocjue qui
les lie de telle façon que lune ne peut être donnée sans que
l'autre ne s'en déduise immédiatement. C'est à raison de cette
dépendance, et pour en rappeler le mode constitutif, que nous
désignons les lignes S, S' sous le nom de polaires conjuguées.
Nous nommons en même temps cônes centraux de conjugaison
les cônes dont le sommet est au centre de la surface du second
degré que l'on considère et qui ont respectivement pour bases,
l'un la ligne S , l'autre la ligne S'.

Cela posé, si nous prenons deux points m et b, conjugués
entre eux, et situés respectivement, le premier sur la ligne S, le
second sur la polaire conjuguée S', il est visible que les déduc-
tions des numéros 219 et 220 impliquent les énoncés suivants :

Les plans oscillateurs qui correspondent aux points m et h de
deux polaires conjuguées S, S' sont parcdlèles entre eux. Il en est
de même des deux plans qui touchent en ces points, Vun Vellip-
soïde ou lliyperholoïde donné, l'autre le cène central de conju-
gaison.

Lorsque la ligne S est une ligne géodésique de rellipsoïdeou de
r/iyperboloïde , la polaire conjuguée est une ligne géodésique du
cône central de conjugaison qui lui correspond.

Lorsque la ligne S est une ligne de courbure de rellipsoule ou
de Vhyperboloïde , la polaire conjuguée est une ligne de courbure
du cône centrcd de conjugaison qui lui correspond.

222. Le théorème du n° 219 conduit très-simplement à l'équa-
tion générale des lignes géodésiques de l'ellipsoïde *.

Supposons qu'on prenne pour coordonnées le double système
des lignes de courbure correspondantes aux différents points de
la surface. On aura généralement

1 cos^ « sin^ /

p R R'

■^ Les mémos tléduclions s'ap[>Iiquenl à Tliyperboloïde.

( :m )

R, R'et p étant les rayons do courbure qui appartiennent respec-
tivement, pour un même point quelconque m, les deux premiers
aux sections principales, le dernier à la ligne géodésique inclinée
de l'angle i sur celle des sections principales dont le rayon de
courbure est rej)résenté par R.

Considérons la sectioii faite par le centre de l'ellipsoïde, paral-
lèlement au plan tangent en m.On sait, conformément aux déduc-
tions du n° 17î2, page 425, qu'on peut substituer cette section à
1 indicatrice. Cela revient à dire, qu'on peut remplacer dans l'équa-
tion (1) cliacune des quantités R , R' et p par le carré du demi-dia-
mètre dirigé parallèlement à la tangente correspondante. Désignons
pnr A, B les demi-diamètres respectivement parallèles aux tan-
gentes dirigées, pour le point >>?, suivant les sections principales,
ou , ce qui revient au même, suivant les lignes de courbure qui se
coupent en ce point. Le demi-diamètre parallèle à la tangente
en m h la ligne géodésique que l'on considère, étant représenlé
comme ci-dessus par D, il vient, d'après ce qui précède,

1 cos^ i siïi^ i

^'^^ B'^~¥"*'~¥~'

Prenons la perpendiculaire désignée par H au n° 219, page 555.
Nous savons qu'elle est constante pour tous les points d'une même
ligne géodésique, et que l'on a, d'ailleurs, en vertu d'une propriété
connue de l'ellipse,

(5). . D.H = A.B.

Élevons au carré les deux membres de léquation (5) et inlro-
duisons-les comme facteurs dans l'équation (2). On trouve ainsi

(4). . . . B- cos^ / -ï- A^ sin^ i = II' = cons'^

Les quantités A et B sont données en cliaque point par la direc-
tion qu'y affectent les sections principales. Il s'ensuit qu'elles
sont indépendantes de l'angle /. L'équation (4) suffît, en consé-
quence, à la détermination des lignes géodésiques qui passent par

( 557 )

le point }n et pour lesquelles la perpendiculaire H affeete l'une
quelconque des valeurs qu'elle comporte en ce point. On obser-
vera que ces lignes sont, en général, au nombre de deux pour
une même valeur de la quantité II. Cette circonstance ne fait
point obstacle à ce qu'on les dislingue aisément l'une de l'autre,
l'angle qu'elles font entre elles étant le même que celui que font
entre eux, dans l'indicatrice centrale, les deux demi-diamètres
dont la longueur est D.

On voit ainsi comment l'équation (4) représente:, sous une forme
à la fois très-simple et très-remarquable, l'équation générale des
lignes géodésiques de l'ellipsoïde. Cette équation a été donnée,
pour la première fois, par M. Liouville, qui la ramène à la
forme,

(;)). . . . y.- cos'' / -h V" sin- / = p- — If' =^ cons"",

P étant le plus grand des demi-axes principaux de rdlipsoïde.
L'équation (')) revient à

(p' — u^) cm' i + {/ — v^) sin- 1 =-. \\\

Elle doit, d'ailleurs, s'identifier avec l'équation (4). Il en résulte
que les variables qui figurent de part et d'autre dans les équa-
tions (4) et (5), sont liées entre elles par les relations

(0) If^p'-^,/-, p,^^p'-'f-.

Nous montrerons, dans le numéro suivant, le sens particulier
qui s'attache directement aux variables y-, v, et comment il s'en-
suit qu'elles satisfont aux é([uations (0).

:223. Considérons un ellipso'ide quelconque et représentons ses
demi-axes principaux , le plus grand par o, le moyen par Vf — b\
le plus petit par \^ p^ — r. Soit, d'ailleurs,

X' y- --

(1) -H--^-*-^ .= K

f p- — Ij- [j — (■
l'équation de cet ellipsoïde.

( 538 )

Si nous désignons pnr a et y deux quantités, l'une comprise
entre 6 et c , lautre inférieure à 6, et que nous prenions, d'une
part, l'hyperboloïde à une nappe

X- y z: ■

u~ y.~ — b- C" — ur

d'autre part, l'hyperboloïde à deux nappes

il est visible, qu'indé])endamnient de toutes valeurs particulières
affectées séparément par chacune des trois quantités p, y-, v, ces
trois surfaces sont homofocales. On peut vérifier, en outre, ([ue
leurs intersections se font })artout orthogonalement *.

* Considérons deux quelconques de ces surfaces , la première et la deuxième
par exemple. Les équations de leur intersection peuvent s'écrire comme il
suit :

(!)• -T-T-^7— -777-7— 77 = 1

Si, d'ailleurs, on désigne par p et q les dérivées partielles — ' f — , or

\dx} \dyj
pour la première surface ,

p = 17— r ' fJ~-

et, pour la seconde,

P = 7, ' 9 =

jC-— 6- ::

M=^ — 62 ::

Il en résulte, pour condition de perpendicularité entre deux normales quel-
conques menéi^s par un même point de rinterseclion de ces deux surfaces,

(2). . . .T^ H -y--^z-r=o.

( :)3i) )

Supposons que rellipsoïdc soil donné. Il en est de mènie des
(piantitcfs p, h, r. Les quantités p., v restent néanmoins indétermi-
nées et, si l'on en dispose de manière à les faire varier, soit ensem-
ble, soit séparément, on réalise trois séries de surfaees qui se
eou])ent toujours et partout à angle droit. Coneluons, eonformé-
ment au théorème de 31. Dupin sur les surfaces orthogonales,
(voir n" 185, page 4al), que les intersections de l'ellipsoïde (1)
avec chacun des hyperholoïdes (2) et (3) constituent, par rapport
à l'ellipsoïde, les deux systèmes de ses lignes de courhure. Préci-
sons davantage. Lorsqu'on se donne un point m pris sur l'ellip-
soïde, on connaît les trois coordonnées de ce point. En transpor-
tant les valeurs de ces coordonnées dans les équations (2) et (3),
on détermine les valeurs correspondantes des quantités p- et v. De
là résulte la détermination complète des deux hyperholoïdes
représentés par les équations (2) et (3) et, par conséquent aussi,
celle de leurs intersections avec l'ellipsoïde. Ces deux intersec-
tions ])assent par le point m et constituent, par rapport à l'ellip-
soïde, les deux lignes de courbure qui se croisent en ce point. Ces
lignes étant prises pour coordonnées comme au n" '2^2^, on voit

Snl)slituons aux quantités œ^, //^ les valeurs foumies par les éqnalioiis (1).
L'équation (i2) devient, d'abord,

1/'
ou, a|>rès réduction ,

fl-. ^ 1

{P'-C'){l^'-C')

11 suit de là que l'équation (2) est satisfaite indéi)endaniment de toute valeur
attrilniée à la variable :î, c'est-à-dire pour tous les points de l'intersection
considérée. Le même calcul s'appliquanl à deux quelconques des trois sur-
faces dont il s'agit, il en résulte que partout oii elles se coupent c'est à angle
droit.

( 540 )

comment elles sont détermin«^es en ehaque point de l'ellipsoïde
par les équations de condition

(4) y. = cons'' , V = cons"".

Les détails dans lesquels nous venons d'entrer ajoutent un com-
plément simple et satisfaisant à la solution du numéro qui pré-
cède. Pour donner à ce complément toute sa signification , il nous
reste à montrer que les quantités fieiv sont les mêmes, de part et
d'autre, ici et dans le n° i222, page 557.

S'agit-il d'abord de déterminer en fonction des variables y. et v
les coordonnées x , y, z d'un point quelconque de rellipsoïde? La
combinaison des équations (1), (i2), (5) permet darriver sans
peine aux valeurs suivantes :

5). ^

(.-^

V/p2__c^V/c^„^^V^r — v^

hVc'^ly

S'agit-il ensuite d'exprimer en fonction de ces mêmes variables
les valeurs des demi-diamètres représentés par A et par B dans le
11" 22^, page 53G ? On peut procéder comme il suit :

Considérons la ligne de courbure déterminée sur rellipsoïde
par son intersection avec l'byperboloïde (2). On trouve aisément
pour les équations de cette ligne,

Soit m un point de cette ligne et ïla toucliante en ce point. Les
angles que les projections de la droite T sur les plans des zx et
des zy font avec les axes des x et des y ont pour tangentes res-
pectives, ainsi qu'on le voit aisément d'après les équations (6),

dx r>\iu\(c'—b') Z (Jy C'{r:'-b'){f.'-b') Z

^^^' Th"^ b%p'-c'){r—u-) .r' fïz '^lr(r-c')(c'—u') y'

( y^\ )

De là résulte, en subslituant aux quantités x , ij, z les valeurs
fournies par les équations (5) ,

dx p.y. l/c-— 6-|/c^— V- dlf cVp-—b^\/]j}^U'\/\

Menons par le eentre de lellipsoïde une droite T', parallèle à la
tangente T, et désignons par x\ y/', z' les coordonnées du point où
cette droite vient percer l'ellipsoïde. Le demi-diamètre dirigé
suivant la droite ï' est celui que nous avons représenté par A
dans le n° ^;2:i, page oôG. On a donc, en premier lieu,

(5») A^==x'^-+-y^-t-^^

On a, d'ailleurs, d'une part,

,. . dx dy >

et, d'autre partj^

De là résulte, ijinnédiatement

11 vient donc, en second lieu,

(13).

^©•-(;ép)g

''y\\.^l

( bii2 )
et, par suite,

(14). . \' = p'

i fdxy 1 fdijY 1

Substituant aux quantités -r ' -r 't^'' valeurs lournies par les

^ dz dz '

équations (8) et réduisant, on trouve, pour le numérateur de la
partie soustraetive du second membre de l'équation (14),

et, pour le dénominateur de eette même partie,

Il s'ensuit que l'on a, toute réduction faite,

(15) A^=-p^-vl

Si Ion considérait la ligne de courbure déterminée sur lellip-
soïde par son intersection avec l'hyperboloïde (5), il est é>ident
qu'en répétant les mêmes calculs, on arriverait à 1 équation finale

(10) B'=p*-^^

L'idenlité qui subsiste entre les équations (lo) et (10) du pré-
sent numéro et les écjuations (C) du n" 2^2, })age 557, met en
évidence la vérilicalion qui nous restait à faire.

Formulas générales relatives à la théorie des surfaces.

2!24. Reportons-nous aux considérations du n" ^01), page jOÎ),
et dé\eIo})pons-les davantage.

Soient S une ligne quelconque d'une surface A; [i un point sup-

( o43 )

pose mobile sur la ligne S; m le lieu actuel du point /u; 1) une
droite issue du point y, entraînée par ce point cl assujettie à
rester normale à la ligne S; n un point de la droite D; / la dis-
tance du point n au point a.

Désignons par v la vitesse actuelle du point p. ; par u celle du
point n; par P le plan que déterminent la droite D et la tangente
en m h la ligne S; par S', m' et i^' les projections orthogonales de
la ligne S et des points m et y. sur le plan P.

La vitesse u résulte de deux composantes rectangulaires, Tune
parallèle à v et située dans le plan P, l'autre perpendiculaire à
ce plan et provenant de la rotation de la droite D autour de la
tangente en ra à la ligne S.

Nommons f l'angle des vitesses r, u. La première composante
a pour expression

//- COS f.

Mais, d'un autre côté, le mouvement de la droite D dans le
plan P se compose d'une translation qui rend commune à tous les
points de cette droite la vitesse v du point f/, et, en outre, d'une
rotation établie autour de ce point avec la vitesse angulaire qui
anime la directrice du point u' sur la ligne S'. Soit W cette vitesse
angulaire et 0 l'angle (pie la droite D fait avec la normale princi-
pale menée en nt à la ligne S. En désignant par p le rayon de
courbure qui correspond à ce même point, on a

cos e
P

la quantité ^- étant, connue on la vu aux numéros 211 et
suivants, le module de la courbure géodésique affectée en m par
la ligne S, ou, ce qui revient au même, le module de la courbure
affectée en m' par la ligne S'.

Supposons le point n pris du côté de la concavité. La vitesse
qu'il emprunte à la rotation W est exprimée en grandeur par le
produit

cos e

).W' = À.t;

( b'pi )

Elle est, d'ailleurs, tle sens eontraire à la vitesse v. De là
résulte, pour la ^ilesse totale qui anime le point n, dans le
plan P, parallèlement à la tangente en m à la ligne S,

eos 0

V — v.) .

Celle même vitesse est déjà représentée par le produit ii. cos ç..
On a doue, en général,

cos 0
(1) V — i;./. ^=^/.eosj^,

ou, ee qui revient au même,

eos f) a

hï) I— A. =-eoS'..

P '•

L'équation (I) subsiste en même temps pour lous les points de
la droite D. Les quantités /, u et f sont, d'ailleurs, les seules qui
varient, lorsque, pour une même position quelconque de cette
droite, on y passe d'un point à un autre. Plaçons-nous dans celle
hypothèse et exprimons par la caractéristique c? les vitesses d ac-
croissement qui correspondent, pour chacun des deux membres
de l'équation (1), à un déplacement continu du point n sur la
droite D. On a, d'abord,

';(?/..cos'.) = <^

/ cos 6\

et, clTectuanl les difrércntiations indiquées par rapport aux va-
riables /, w, ,.,

cos h

cos f.rju — Il sin v.c?'j. = — V . o'j..

P

Applicjuons celle dernière équation nu cas particulier où il s'agit
d'un point supposé mobile sur la droite I) cl sorlant du lieu }n,

( :,io )

à riiisUuit que l'on considère. On doit, en ce cas, poser k =Vj et
©== 0. Cela donne immédiatement l'cquation générale

(ô) OV = — V àX .

P

Remarque. — La rotation de la droite D autour de la tangente
en m à la ligne S pouvant être ([uelconque, il est permis de la
déterminer par la condition que cette droite soit et reste tangente
à la surface A. On peut, d'ailleurs, sans rien changer à ce qui
précède, imaginer que la ligne S tourne autour du point m. Si la
droite D participe à ce mouvement, les équations (2) et (5) ne ces-
sent pas de subsister. On doit observer seulement qu'au lieu d'ex-
l)rimer les vitesses absolues des points a et n, les quantités v et u
ne sont plus que les vitesses relatives de ces mêmes points dans
le mouvement qui vient d'être indiqué et qui, par hypothèse , leur
est rendu commun.

i22a. Reprenons la formule générale

^ ^ cos 0 u

(I) 1— / = -cosv.

p *'

Le point n étant supposé fixe sur la droite I), désignons par 1
le lieu de ses positions successives. Toutes choses sont égales de
paj't et d'autre, en ce sens ([ue les lignes S et 2 sont deux trajec-
toires orthogonales d'une même surface réglée A' **. On peut dés
lors substituer l'une de ces lignes à l'autre et réciproquement. De
là résulte, par inversion de l'équation (I),

cos o' u
(2) 1 -+- > ^- - cos V,

P V

' Les formules (2) et (3) reproduisent, sous une forme diflTérenle, les équa-
tions données par M. Ossian Bonnet, aux pages 5o et 37 du mémoire déjà
cité.

*' Celle surface est déterminée par l'ensemble des positions que prend la
droite D lorsqu'on l'assujetlit à rester tangente à la surface A et qu'on la fait
passer successivement ou simullanément par tous les points de la Vii^w S.
Tome XV.

(i)

( ;jio )

les quaiitilés e' et r/ ayant respectivement, par rapport à la
ligne 2, les mêmes significations que les quantités 0 et p par rap-
port à la ligne S.

Multipliées, membre à membre, les équations (l)et (î2) donnent,
après réduction ,

cos 6' cos f) cos e' cos h sin^ o

9 9 9 9 >

La ligne S étant supposée fixe, applicpions l'équation (ô) au cas
où la ligne ^ sort du lieu qu'elle occupe en restant sur la surface
A'. Cela revient à passer, sur cette surface, de la trajectoire ortho-
gonale Z à celle qui lui succède immédiatement. Cela revient, en
d autres termes, à différencier l'équalion (5) par rapport à la carac-
téristique 0, comme nous l'avons fait tout à l'heure, c'est-à-dire
en ne considérant comme variables que les quantités e', p\ / et '^. On
trouve ainsi

[cos H\ cos h' cos b' cos ô sin -f.cos -^ sin^y
I — / 0. — c?). = — !2 c?o H — ^
9-^999 '^ '•

Sans rien changer à ce qui précède, imaginons que la ligne i
coïncide originairement avec la ligne S. Pour appli(iuer 1 eijua-
tion (4) à ce cas, il suffit de poser / = o et, par suite, B' =^fj, p'^=p,
o = 0. De là résulte, en observant que le rapport '^— ^ dont les
deux termes s'annulent a pour limite le rapport— *,

''^- ■ ■ ■ n— )=b— yj'^'-

La quantité -f est évidemment celle que nous avons dési-
gnée par N, dans le n" 203, page 497, et pour laquelle nous avons

* Chacune des quanlilés sin f el / s'annulanl à la lois, on sait, conl'ormé-
menl au principe exposé clans la 2n'« partie (n" 9, page 10 i), que leur rapport
a pour limite celui (|ui s'élablil entre les dilierenlielles cos f. 'if cl c// lors-
(ju'on alliihuc la valeur zeiu a chacune des deux variables f et >.

trouve, soit directement, soit comme coiisc(iucnce immédiate de
1 équation (14) du n" 170 *, page 459,

^ '^ RR'

L équation (5) peut, en conséquence, s'écrire comme il suit,
, , cos e rcos^ e \ ~\

^ ' P l P' RR'J

R et R' étant les rayons de courbure principaux qui correspon-
dent au point m de la surface réglée A'.

Reprenons la ligne s au sortir du lieu S et imaginonsqu'au
lieu de décrire la surface A', elle soit assujettie, toutes choses
égales (V ailleurs, à décrire la surface A. Au lieu de décrire la
génératrice rectiligne qui lui correspond dans la surface A', le
point n de la ligne i décrit la ligne géodésique tracée sur la sur-
face A perpendiculairement à la ligne S. Au lieu d'être fixe, la
directrice de ce point tourne avec une ccrlaine vitesse w. Il s en-
suit que la courbure géodésique varie, comme tout à l'beure, avec
la vitesse

[^-(in-

et, en outre, avec la vitesse angulaire relative

^.cos B

la caractéristique c? ne s'appliquant ici qu'à la variation partielle
subie par langle e, eu égard à la rotation de la directrice du
point m. Cela revient à substituer la vitesse angulaire co à la quan-
tité cJO dans le résultat de la dilférentialion. On t^ou^e ainsi

Voir au besoin la lomiulc (8) du ii'^ -03, [)age 497, et la i tiiiaïquc iiuuic du
n" 224, page 54a.

( ^'^8 )
De là résulte, par voie de simple addition,

cos 0 feos- 0 ce sin 6 /c?v\^~l

réquatioii (7) subsistant avec le sens de l'équation (5) , non plus
seulement pour le cas de la surface réglée A' *, mais
bien pour le cas gênerai d une surlace quelconque A.
Veut-on procéder autrement? Soient mn la posi-
tion actuelle de la droite D; mo celle de la normale
principale qui correspond au point m de la ligne S;
ma une droite fixe située dans le plan normal mno.
Léquation (5) ne s'applique pas seulement au cas où les géné-
ratrices rectilignes de la surface A' restent fixes, elle s'appli-
que, en même temps, à celui où ces génératrices sortent des
lieux qu'elles occupent , en tournant cbacune autour delà tangente
qui lui correspond sur la ligne S. Désignons par- o" l'angle (uno
et par c l'angle ainn, c'est-à-dire l'excès de l'angle o" sur l'angle Q.
On a

cos 9 cos (o" — t) cos^" sine"
= = cos £. h sin £. •

De là résulte, en indiquant par la caractéristique c?^ les diffé-
rentielles prises dans l'hypothèse i=^ cons"%

cos 6 /cos 6"\ . sin o" F . cos 6'' sinO""]
(8). S = cos £.'^i[ ) -+- sin f . cJ^i — sin e cos t rji

? \ p / fi \- 0 P -•

Pour plus de simplicité posons £ = o. Il en résulte e" = e et
l'équation (8) se réduit à

cos fj cos 0 sin &

(9) c? =(?! 1 dE.

P P P

»

* Dans le cas de la surl'ace A' on a évidemment ^=:o, ce (|ui réduit Téqua-
tibn (7) à l'équation (o).

( 541) )

Observons que la dilTérentiellc c?i-^^, prise dans l'hypothèse
f =cons'% correspond au cas où la droite 1) reste fixe, et quVn
conséquence, elle a pour expression la valeur fournie par le
second membre de l'équation (5). Observons, en outre, que la
différentielle dV est précisément la vitesse angulaire désignée plus
haut par w. Cela posé, il est visible que l'équation (9) revient
identiquement h l'équation (7).

Considérons les sections normales rectangulaires faites dans la
surface A, l'une sui^antla droite D, l'autre suivant la tangente
en m h la ligne S. Si l'on désigne par r' le rayon de courbure de
la première et par r celui de la seconde, on a, d'abord et évidem-
ment,

w

Il vient ensuite, conformément au théorème de Meunier (voir
n" 178, ])age 445),

P

sin 6

On déduit de là.

m

w.sinô i
pJx rr'

La quantité -^ n'étant autre chose que le module représenté
par N, au n** 17G, on a, d'après la formule (14) de ce même
numéro, page 439,

On sait, d'ailleurs, que les quantités R, R' sont les rayons de
courbure principaux qui correspondent au point m de la sur-
face A.

Eu égard aux égalités (iO) et (il), l'équation (7) devient

cos 9 r cos^ 0 1 "I

(12). . . . ._-=[_-H--J.>.

( 330 )

Elle ne fait dorie que reproduire réqiintion (6), en la générali-
sant, c'est-à-dire en la rendant applicable non plus seulement au
cas de la surface réglée A', mais bien à celui d'une surface quel-
conque A.

22G. La formule à laquelle nous venons de parvenir peut
s'étendre aisément du cas traité ci-dessus au cas général de deux
systèmes de courbes quelconques tracées sur la surface A, sous
la seule condition que les courbes de l'un de ces systèmes soient
les trajectoires ortbogonales des autres.

Soit mm' la position actuelle d'une ligne géodésique G assujettie
à rester sur la surface A et à couper rectangulaire-
ment la courbe S, tandis que le point m glisse sui-
vant cette courbe.

Imaginons qu'on ait tracé sur la surftice A une
suite continue de courbes quelconques toutes per-
pendiculaires à la ligne S. Désignons par S, les tra-
jectoires ortbogonales de ces courbes, et, comme tout à l'beure,
j)ar 1 celles qui correspondent à l'ensemble des positions de la
ligne G.

Prenons sur la ligne G un point quelconque ti. Par ce point
passent en même temps deux trajectoires ortbogonales désignées
respectivement, l'une par la lettre s, l'autre parla lettre Ij. Selon
que le point u , tout en restant sur la ligne G, est assujetti à
décrire l'une ou l'autre de ces trajectoires, sa vitesse actuelle est
représentée par np ou par ;«■, ces droites étant dirigées chacune
suivant la tangente qui lui correspond. Lorsque le point n décrit
la trajectoire 2, il reste fixe sur la ligne géodésique G, et sa
vitesse np est dirigée perpendiculairement à cette ligne. Lors-
qu'il décrit la trajectoire 2, sa vitesse nr se compose de la vi-
tesse np et d'une autre vitesse dirigée suivant la tangente en n à
la ligne G.

Tirons la droite pr, et désignons par y l'angle rnp; par A l'arc
mn : par u la vitesse 7ip. Il est visible que la vitesse m- a pour
composantes ortbogonales, dune i)art, la vitesse np ou ?/, d'autre
part, la vitesse pr ou d), la caractéristique d s'appliquant aux
vitesses qui résultent du c^lissement du point m siïr la lii^ne S. De

( ^31 )
là résulte , en génériil,

np u
et, par suile,

(H) d'Y = cos,'^y.d. — •

H

Soit W = — le module de la vitesse angulaire avee laquelle
la directriee du point n sur la ligne 2 tourne autour de ee point
dans le plan tangent rnp. Cette vitesse ayant pour expression
correspondante le produit n .-j- , il s'ensuit que la vitesse angu-
laire simultanée de la direetrice du point n sur la ligne 2, est
représentée par la somme

eos 0
Il -4- dy.

Désignons par ^ le module de cette dernière vitesse auffu-
laire. Pour obtenir ce module, il faut diviser l'expression jirécé-
dente par la vitesse nr, ou, ce qui revient au même, par le rap-
port . On trouve ainsi

cos(?, ("cosO dyl
pi L 0 u J

et, diiférenciant par rapport à la caractéristique o*,

/,\ .coso< r^eoso drl fcosG d^ 1

(i). r) =. 0 h rj. — cos <) — 1 sin 9'.0'7 .

pi L p u J L p y J

Plaçons-nous dans ri)ypothcse où le point 7i étant d'abord en m
les lignes 2, s, coïncident primitivement avec la ligne S. Il faut

On se rappelle que la caractéristique J exprime les vitesses avec lesquelles
varient les quantités que Ton considère , lorsqu'on passe d'un point à un aulre
sur une même ligne géodésique G.

{ 552 )

poser r=o, et l'on peut remplacer la vitesse a par la vitesse v,
ou ,ee qui revient au même, j)ar la différentielle ds cpii est iden-
tique à la vilesse v. La combinaison des équations ("2) et (4) donne,
en conséquence,

.^.. ^ cos 0, ^ cos

'■("■î) '

Pi p ffs

Substituons h la vitesse o la valeur fournie par l'équa-

9

On a, généralement,

dy ë.dr

à. = -h (tyj

Il U

0-

De là résulte, pour le cas ou les lignes 2 et 2, coïncident originairement
avec la ligne S, (la quantité dy s'annulant en vertu de réqnalion (5)),

dy ^S.dy ^.dy

u u ds

L'équailon (2) donne d. — pour valeur à substituer à dy. Exprimons u en
u
fonction de v, au moyen de Téquation (1) du n» 224, page 544. Il vient, en
général ,

ril^^\ ^ I ^^ <^osf \ cos f dx d:k . cosf

COS e

X / 1-;. — : I~A

p I p

COS0 V V . COS 6

P

De là résulte, pour le cas dont il s'agit, les quantités % l , f s'annulant
toutes trois, et Téquation (1) impliquant , comme conséquence , l'annulation
de la (luantité d/,

_ dx ^^- _ , ^^

u V ds

On voit, pur ces détails, comment on a, en toute rigueur,
dy S.dy ds

a . —— = s= • •

M ds ds

( 555 )

tion (1:2) du n" 2:25, page*i4î), et, après cette snhslitiition, rempla-
çons les quantités 9i, p, par leurs valeurs initiales 0, p. On trouve
ainsi

rld —

C0S9 rcos-0 1 ~| ds

L'équation (G) résout la question proposée pour le cas général
de deux systèmes quelconques de courbes tracées sur une sur-
face, sous la seule condition que les courbes de l'un de ces sys-
tèmes soient les trajectoires orthogonales des autres. Le premier
membre exprime la vitesse avec laquelle la courbure géodésique
varie dans un même système lorsqu'on passe d'une courbe à une
autre suivant la trajectoire orthogonale qui correspond au point
que l'on considère. Le second membre fournit la valeur dévelop-
pée de cette même vitesse.

On observera que dans les cas traités précédemment, la quan-
tité-—reste constamment nulle, ainsi que l'angle y. 11 en résulte
que le dernier terme du second membre de l'équation (G) s'éva-
nouit, et l'on retrouve ainsi l'équation (12) du n" 225. Dans le cas
général, on a d abord, conformément à la règle du n° 55 de la

deuxième partie,

dl d)

<^\rf.-— = d.â.—-'
ds ds

11 vient ensuite, comme on le voit aisément *,

dl rhdx d.âi
' ds ds ds

' On a, ûénéralement.

, dX ^.d

?-'-'(a

ds di

De là résulte, pour le cas dont il s'agit, les quantités y et dj. s'annulaut à
la fois en vertu de l'équation (1),

^ dx ê.dX

(5". — =

ds ds

( 5:)i )

Il suit (le là que l'c'qufition (0) peut prendre la forme suivante,
sous laquelle elle a été donnée par M. Ossian Bonnet *,

1—

eos 0 r cos" 0 1 ~1 ds

eoso rcos-0 1 ~]

(h

Il est visible, dailleurs,que si la quantité cT/ avait même valeur
pour tous les points de la ligne S, ee qui nous ramènerait aux eas
traités précédemment , la difFérentielle <L(f'y. serait identiquement
nulle et ferait ainsi disparaître le terme qui lui correspond.

:227. Les formules (I) et (:2) du n" t>2i ne cessent })as de sub-
sister, lorsque la droite D s'arrête au point n et se continue au
delà par une courbe qui la touche en ce même point. Cette simple
observation implique évidemment la conséquence suivante.

La formule (5), qui se déduit de la formule (2) en posant ; =0y
s'applique, en même temps et de la même manière, au cas traité
dans le n° 5i>4, page 542, et au cas plus général où Ion remplace
la droite D par une courbe quelconque qui la louche en />^ , c'est-
à-dire qui soit assujettie à rester normale en m à la ligne S.

Cela })osé, si nous nous reportojis aux données du n^ 1220 et
que nous l'cmplaçions r par f/.S' dans la formule (5) du n" 224,
nous avons, comme tout à Ibeure,

cos e r eos- 0 1 1 .

d.rn

(t.

du

ds

et, en outre,

coso ,

(2) r^.ds——— .ds.Oy.

p

Appliquons l'équation (2) à celle des trajectoires orthogonales
de la ligne S qui passe par le ])oint m. 11 faut pour cela substituer
l'une à l'autre et réciproquement , dune part, les quantités S et A,

' Voir le mémoiro déjà cité (pngc r;-2).

( 5oo )

d'autre part, les caractéristiques d et c?. Il faut, de plus, rempla-
cer les quantités 6 et p par celles qui leur correspondent sur la
trajectoire dont il s'agit. De là résulte, en désignant par 6' et p'
les valeurs nouvelles des quantités 0 et p, *

^ ^ d.o/ cos b'

us p

Différencions l'équation (ô) par rapport à la caractéristique d.
Il vient

d.rîi cosO' cos 9' *

d. == — d.fJx—r^x.d, — 7- >

ds p p'

et, par suite, eu égard à l'équation (5),

(/ . o\

cos ô' cos'^ fj' du

(4) d. — — -= -^i^ ds ; — - .

p p' rjA

Cette dernière équation n'est autre chose qu'une fcu'nie parti-
culière de la réciproque de l'équation (1). Son premier membre
exprime la vitesse avec laquelle la courbure géodésique varie dans
le système des trajectoires orthogonales considérées, lorsqu'on
passe d'une courbe à une autre suivant la direction fournie par la
ligne S à partir du point m. Le second membre est la valeur déve-
loppée de cette même vitesse.

Ajoutons, membre à membre, les équations (1) et (4), après
avoir divisé la première par c?A, la seconde par ds. On trouve
ainsi

cos 0 cos ô'

0 p COS* 9 cos- 6 1

'ds ^ 0- "^ ' p'- "*" R.ir'

* L'orthogonalité qui persiste de part et d'autre permet d'appliquer ici la
remarque finale du n" 22i, page Tviri. Il en résulte qu'on peut différencier
rétpiation (2) par rapport à la caractéristique d et, par conséquent aussi,
réqnation (ô) par rapport à In ciractérislique d.

( 556 )
les détails qui précèdent impliquant la conclusion suivante : *

L'équation (5) jjeî/f être considérée comme exprimant iVune
manière générale la condition nécessaire et suffisante pour Cfue
deux systèmes de lignes tracées sur une surface soient orthogo-
naiix.

Reprenons l'équation (4). En opérant sur elle, comme nous
l'avons fait sur l'équation (2), par voie d'inversion ou de récipro-
cité, on en déduil immédiatement

rj.ds

^,

, ^ cos 9 cos- 0 c? /

P p^ ds

On peut, d'ailleurs, parvenir à ce même résultat en observant
que, du moment où l'orthogonalilé persiste, l'équation (2) sub-
siste d'une manière générale, et peut, en conséquence, être dif-
férenciée par rapport à la caractéristique o. Il n'est pas besoin de
faire ici ce calcul. On reconnaît à priori qu'il conduirait nécessai-
rement à l'équation (G).

La combinaison des équations (1 ) et (6) fournit la relation

dJ). ê,ds dsM

(7) d. 4-^. =

^ ^ ds (?>. R.R'

On voit, d'ailleurs, d'après ce qui précède, que cette relation
subsiste j en général , pour deux systèmes cjuelconq\ies de lignes
tracées sur une surface, sous la seule condition que les lignes
de l'un de ces systèines soient les trajectoires orthogonales des
autres.

Su])posons que, disposant des deux variables s et /, on assujet-
tisse l'une et l'autre à croître ou décroître uniformément. Dans
cette hypothèse, les vitesses ds et ^x deviennent constantes; et

* L'équation (5) et la conclusion qu'elle implique se trouvent dans le mé-
moire déjàcilé de M. Ossian Bonnet (pages 55 et TU).

( ao7 )

l'on peut, en conséquence, écrire réqu.ition (7), sous cette autre
forme ,

ds\rj-,^

(8 . ...(?/. d-. rh -4- ds . ohls -=

^ ^ R.R'

APPLICATION A QUELQUES CAS PARTICULIERS.

1" Surfaces et courbes orthogonales.

228. Donnons-nous, comme au n° 1 83'"', page 451, trois courbes
S, S,, Sc2 issues d'un même point 0 et résultant des intersections,
deux à deux , de trois surfaces SOSi , SiOS.,, S.2OS. On suppose que
ces surfaces font partie d'un système triple * de surfaces orthogo-
nales. Il s'ensuit, d'après le théorème de ^\. Dupin, que les cour-
bes S, S,, Sç, sont, relativement aux surfaces SOS,, S1OS2, S^OS,
et pour le point 0, leurs lignes de courbure respectives, c'est-à-
dire les lignes de courbure qui se croisent en ce point et qui sont,
en général, au nombre de deux pour chacune de ces surfaces.

Soient r et r,, pour la surface SOS,; y^ et C2 pom* bi surface
SjOS^; rs et c pour la suiface S^OS, les rayons de courbure prin-
cipaux qui correspondent au point 0. On observera que les indices
sont les mêmes pour chacun de ces rayons que pour celle des
courbes S, S,, S^ qui touche en 0 la section principale correspon-
dante.

En ap])liquant aux courbes S, S, la formule (-i) du n° 227, page
5oo, on a d'abord

cos h cos H
d ^. — 7-

p p cos' 6

cos'^ d' \

dSi ds p-

p- r-Ci

les quantités (0, p), (9', p') se rapportant aux courbes S, S, et au
* Voir n« 185, page 4-41K

( JoS )

plan qui les touche eu 0. Il est visible, en effet, que le sens atta-
ehé aux symboles

eos B cos h

a d.

0 0

0/

ds

permet de remplaeer indifféremment l'un par l'autre.

Considérons la eourbe S comme appartenant à la surface S2OS.
L'angle 6 est celui que la section oblique osculatrice en 0 à la
ligne S fait avec la section principale dirigée suivant la même tan-
gente. De là résulte, en vertu du théorème de Meunier,

C(»S 6 1

p c

On trouverait de même, en considérant la courbe S, comme
appartenant à la surface SjOSs,

eos fj' i
?' ri
Ces valeurs substituées dans l'équation (1) donnent

/9v _i-^_Zi_i^. 1^±.

c* r\ rci

11 suffit, d'ailleurs, d'une simple permutation tournante pour
déduire de l'équation (^)

('^) -7- -H -7-= -7+ -7-^-- — '

ii% a Si Cl y. 2 0 {Ci
et de l'équation (ô)

(4) -^..--Z=.I.VJ_.

as (/S2 Ci r 7\c

( olj\) )

Les équations (:2), (3), (4), ainsi obtenues, sont les trois der-
nières des neuf formules que l'on doit à M. Lamé , sur les surfaces
orthogonales et que nous avons établies directement au n" 183'"',
page 4j8.

Supposons que les trois systèmes dont les surfaces SOSj, S, OS.,,
S-^OS, font partie se réduisent respectivement, le premier à un
plan unique, chacun des deux autres à une suite de surfaces cylin-
driques a}ant toutes leurs génératrices per})endiculaires à ce plan.
Il s'ensuit que l'on n'a plus à considérer, en réalité, que deux
systèmes de lignes orthogonales S. S, situées dans un seul et
même plan. On voit, d'ailleurs, aisément que pour j)asser du cas
général traité ci-dessus à ce cas particulier, il suflît d'animler en
même temps chacune des quantités - ^ — -> - ? — . On trouve ainsi
deux identités et, en outre,

(o) -7- -+- -7- = - ;. -i- — •

asi as c" j'i

Au lieu de procéder, connue nous -venons de le faire, on peut
appliquer directement au cas dont il s'agit l'équation (5) du n" i>i27,
page 5oj. On a, par hypothèse,

I

cosô=l, coso'=l, t;t7^^^^

Rir

et de là résulte, immédiatement.
I .1

(Oj -V -^

r) - d -

o' i I

oa ils p'

0

Eu égard aux égalités c = p, ri = p''> il «-'st visible que les équa-
tions (li) et (0) sont identiques. Dues à M. Lamé, comme les pré-
cédentes 5 elles expriment la condition à remplir pour que deux
systèmes de lignes tracées sar an plan soient orthogonaux.

On observera <[ue Féqualioii ('>) ou (()) peut soblenir duub des

( oOO )

conditions plus simples, en traitant la question d'une manière
directe, d'après la marche tracée au n" 185 *"% ou selon les pro-
cédés d^s numéros ^2:24 et suivants.

229. Considérons deux systèmes conjugués de trajectoires
orthogonales appartenant à une même surface A et proposons-
nous de rechercher les conditions à remplir pour qu'en prenant
dans chacun de ces systèmes deux lignes quelconques détermi-
nées, les segments interceptés sur ces lignes par celles de l'autre
système conservent entre eux un rapport constant.

Soient MM', NN' deux lignes déterminées du premier s} slème

... ^^ et iiin une ligne quelconque du second. Si l'on con-

, sidère la surface A comme engendrée par le dépla-

/ ^ cément continu de la ligne mn, il faut, par hypo-

^ — ^^4 thèse, quil existe un raj)port constant entre la

\ / vitesse v du point m sur la ligne MM' et la vitesse

M ^ simultanée du point n sur la ligne NN'.

Représentons [)ar // cette dernière vitesse et assujettissons le

point m de la ligne ma à glisser (inlforminuenl sur la ligne MM'.

On a

(1). u = C.v,

V étant une coiistante absolue et C une quanti(é indépendante de
la position du point m sur la ligne MM'.

L'équation (1) subsiste en général. On peut lappliquer, en con-
séquence, au cas où la ligne NN' sort du lieu qu'elle occupe en
glissant sur la surface A. De là résulte, en différenciant, comme
au n" 224, par ra])port à la caractérislique c^\

(2) 'rhl = C'.l',

la quantité C dérivant de la quantité C et restant, comme elle,
indépendante de la position du point m sur la ligne MM'.

Sans rien changer à ce qui précède, appliquons l'équation (2)
au cas où la ligne NN', devenue mobile , sort du lieu MM'. On peut
remplacer u par v y et v par ds. 11 vient ainsi

(5) 'j ,ds = C .(Is.

( ^01 )

Oji a, d'ailleurs, conlorméincnt à 1 équation (i>) du u° 227, page

554,

cos 0
(4) â.(ls = â)..ds.

P

La simultanéité des équations (5) et (4) conduit à l'identité

cos

(S) C'

et, puisque la ({uantité C ne dépend pas de la position du point m
sur la ligne 3131', la même condition subsiste nécessairement en
ce qui concerne le produit— j—c) A.

Cela posé, si l'on différencie l'équation (5) par rapport à la
caractéristique dy on a évidemment

/cos 6 \ COS 6 . cos 4

(G). . d r)y] = d.rn + àx,d. =0/

\ P / p p

Désignons i)ar —y- j)Our la ligne tniij la courbure géodésique ex-
primée par^^ i)our la ligne 313J'. L'équation (i) a sa correspon-
dante

d.Oy= as .0/..

P

De là résulte, en substituant cette valeur dans Téquation (G),

, cos 0
d*

cos h cos 6 0

(7) — --T--— 7^'

*" On parvient dircctonunl îi ce lésullat en partant de Téquation (4) el en
observant, comme il est aisé de le voir à priori, que dans Thypotlièse où l'on
raisonne, la vile^^se ds étant supposée constante, on doit avoir »

dJ. ds = 0.
Tome XV. oG

( :.Cr2 )

et telle est l'équation de eondition qui doit être satisfaite, pour
qu'en prenant à volonté deux lignes du système 3IM', les seg-
ments interceptés sur ces lignes par deux quelconques de leurs tra"
jectoires orthogonales conservent entre eux nn rapport constant.

Supposons que les lignes du système 3IM' soient toutes des
lignes géodésiques. L'équation (7) est satisfaite identiquement par
l'annulation simultanée de ses deux membres. Ce résultat s'accorde
avec le théorème de M. Gauss, démontré au n° 209, page oll.

Supposons que chacune des lignes du système 3IM' soit d'égale
courbure géodésique. L'équation (7) ne peut subsister, en général,
que si les trajectoires de ces lignes sont elles-mêmes des lignes géo-
désiques.

Revenons à la question proposée. Toutes choses égtdes de part
et d'autre, la réciprocité, qui subsiste, par hypothèse, entre les
deux systèmes considérés, permet d'écrire immédiatement,
comme conséquence de l'équation (7) ,

(8). . .

Cette dernière équation résout la question proposée. On vérifie
aisément qu'elle subsiste pour le cas des surfaces de révolution
en prenant, pour double système de trajectoires orthogonales, les
méridiens et les parallèles.

Si l'on voulait que la surface A pût se subdiviser en une suite
quelconque de quadrilatères, tous rectangles et équilatéraux, il
faudrait que l'on eût à la fois

cos ô COS h'

, COS Ô

d

P

ds

, COS d

P

P ?

èl

o.ds == 0,

f/.cJA = 0,

et, par suite ,

(9)

COS â

— 0,

cosô'

/ — 0*

* On prendra garde aux signes dont les quanlités qui figurent dans cette
énualion doivent être affectées : ils dépendent du sens des déplacements que
l'on considère et de la convention généralement adoptée pour tenir compte du
sens des rotations.

( :m )

Eu égard à l'équation (1^) du n" iiiij, i)ygc 541), les équations (9)
exigent que l'on ait

Ce n'est donc que dans le cas des surfaces développables ([ue la
condition dont il s'agit peut se réaliser, et, dès lors, il est évidem-
ment une inlinité de façons d'} satisfaire, en prenant pour trajec-
toires orthogonales conjuguées deux s}stènies quelconques de
lignes géodésiques.

2" Sur/aces yiwches.

:250. Soient A une surface gauche quelconque; D sa génératrice
rectiligne; m un point de cette génératrice ; S la trajectoire ortho-
gonale qui correspond au point m et aux positions successives de
la droite D sur la surface A.

Lorsque le point m sort du lieu qu'il occupe en glissant sur la
Fiy. 89. ligne S, il entraîne avec lui la droite D et lui fait

f prendre un état de mouvement déterminé comme

. / il suit :

Soient ml la tangente en 7)i à la ligne S; mo la po-
sition actuelle de la droite D; o le centre qui cor-
respond à la courbure géodcsique affectée en m par la ligne S.

La droite D est animée de deux rotations simultanées w et W,
respectivement établies ^ la première au tour de la tangente mi ^
l'antre autour de la normale en o an plan tangent omt.

Opérons comme si la vitesse w était égale à lunité. Ce procédé
plus simple exige que nous substituions à la vitesse W la vi-
tesse — . Si, d'ailleurs, nous voulons plus tard restituer leurs
vraies valeurs aux vitesses considérées, il suffira de les multiplier
par le facteur u.

Représentons par mf la vitesse du point w<. Elle est due tout

( b()4 )

entière à la l'olation établie autour du point o dans le j)lan tan-
gent o)itl j et l'on a, par l)}pothèse,

W

(1) ml = — . nio.

Où

Tirons la droite ot et considérons un point quelconque il de la
droite D. La vitesse du pointai a pour composantes rectangulaires
deux vitesses représentées en grandeur, l'une par mil, l'autre
par np , le segment np étant parallèle à mt et se terminant à la
(li'oite ol y il s'ensuit qu'elle est représentée en grandeur par 1 hy-
poténuse mp , et quen conséquence elle atteint son muihnum
lorsque le point n est choisi de manière à ce que la droite nip
tombe à angle droit sur la droite ot.

J)e là résulte immédiatement la déduction suivante:

Selon que le point m est ok n'est pas le point central de la
droite D, la courbure gêodésique affectée en m par la liyne S est
nulle ou nest pas nulle.

11 est clair, en effet, que le point m ne peut se confondre avec
le point n, supposé central, qu'autant que la droite ot devient
parallèle à la droite D , ce qui correspond à l'annulation de la
vitesse W.

Considérons le lieu des points centraux, autrement dit la ligne
de striction de la surface A, et reportons-nous à 1 équation (H)
du n° 210, page 520,

m-

'''^''•^■•[t^I"- ''^[v]r'*[T^l"

Si nous appliquons cette équation à la ligne de striction, en
prenant pour axes coordonnés, d'une part, les génératrices rcc-
tilignes, d'autre part, leurs trajectoires orthogonales, on a d"abord
et généralement, en ce qui concerne les génératrices rectilignes,

rcos')-]

I

( -m )

On a ensuite, d'oprès ce qui précède,

[COS0"1
=0,
P Jy

cette dernière équation subsistant pour le lieu des points cenlrnux
et rien que pour ce lieu.
De là résulte

(U rcosoi

^■''- •■•••■. ^s-'-Iti^"'

ré(juation (3) s'n})[)liquant à la ligne de striction et déterminant
cette ligne à l'exclusion de toute autre. On voit, d'ailleurs, aisé-
ment, (jue l'équation (3) implique les déductions suivantes :

1° La ligne de slrlrticm des surfaces gauches est oa n'est pas
une de leurs lignes géodêsirjites selon qu'elle coupe ou qu'elle ne
conpe pas sous un même angle toutes les génératrices rectili-
gnes;

2" Parmi les lignes tracées sur une surface gauche, la ligne
de striction est la seule qui puisse satisfaire en même temps à la
condition d'être le chemin le plus court entre ses différents
points et de couper sous un angle constant toutes les génératrices
recti lignes.

Revenons aux dminées premières et proposons-nous de déter-
miner, comme au n" 224, page o42, la différentielle de la vitesse
mp dans le passage d'un point à un autre sur la droite mo. Si nous
partons du point >« et que nous représentions par to la vitesse du
point t sur la droite fixe o/, il est visible que le segment mt repré-
sente en même temps la vitesse du point /// et sa difîérenticlle. On
voit aussi , sans la moindre difficulté , que la quantité â/ du n" 224,

* Celle équation se trouve avec ses conséquences dans le mémoire déjà cilé
de M. Ossian Bonnet, (page 71).

( nm )

n'est autre chose que le segment mo. Il suit, de là, qu'on peut
écrire immédinlement

W W

(4). . . rSmt = — mt = — — mo = '^>.

Soit V la vraie valeur de la vitesse représentée ci-dessus par mt.
Il suffît d'introduire le facteur constant a dans les deux termes
de l'équation (4) pour en déduire, comme conséquence directe,

cos e

(5) rJv = — \\.rj',,= —V rn,

la vitesse W étant évidemment égale au produit de la vitesse v p

le module— — de la courbure géodésique.

p

On retrouve ainsi l'équation (3) du n" :224, page 542.

3" Lignes et surfaces minima.

231. Soit S une ligne assujettie à rester sur une surface A et
pouvant s'y déplacer comme on veut, avec ou sans déformation.

Plaçons-nous à l'instant précis où la ligne S s'écarte d'une posi-
tion quelconque détenninée. Ses différents points peuvent être
considérés comme sortant des lieux qu'ils occupent avec des
vitesses normales à la ligne S et tangentes à la surface A. Ces
vitesses, dites de circulation , sont précisément celles qui figurent
sous le signe oX dans tout ce qui précède. On doit observer, sans
doute, qu'elles sont continûment vai^iables d'un pointa un autre;
quoi qu'il en soit, il est visible que la quantité âv = â.ds des
numéros 224, 227 et 230 ne cesse pas d'exprimer la vitesse avec
laquelle la difféientielie ds croît ou décroît sur la ligne S à Tori-
gine du déplacement que Ion considère. On peut, en consé-
quence, formuler dès à |)r('sent la déduction suivante :

Théorème I. — hlanl donné sur la ligne S un segment quelcon-
qvc, limité par deux points déterminés^ ce segment commence

( ;>67 )
par croître on par décroitre selon que les vitesses exprimées, pour
chacun de ses points, par <?.(ls sotit toutes positives ou toutes né-
gatives.

II est un second théorème applicable au cas qui nous occupe.
Démontré plus loin, n" 2o0, il s'énonce comme il suit :

Théorème i2. — Laire engendrée par une ligne S qui se meut
dans Vespace avec ou sans changement de forme a pour diffé-
rentielle le produit de cette ligne par sa vitesse moyenne de cir-
culation.

Partons de ces prémisses et proposons-nous le problème sui-
vant :

Trouver la ligne de longueur donnée qui circonscrit une aire
maximum sur la surface A, ou , ce qui revient au même, la ligne
de longueur minimum pour une aire circonscrite de grandeur
donnée.

On voit à priori que la ligne cherchée ne peut avoir aucun
segment dont la courbure géodésique tourne sa convexité vers
l'intérieur de Taire circonscrite. Autrement, en effet, on pour-
rait augmenter cette aire et diminuer son contour. Il suffirait pour
cela de prendre deux points quelconques du segment convexe et
de substituer à l'arc qu'ils comprennent entre eux la ligne géodé-
sique qui leur correspond.

Ce premier point résolu, imaginons, d'ailleurs, que la ligne
cherchée soit quelconque. Il s'ensuit que la courbure géodésique
varie généralement dun point à un autre et que, tournant partout
sa concavité vers \ intérieur de laire circonscrite, elle ne cesse
pas d'être constamment croissante sur une certaine étendue MN'.

Prenons sur 3ÎN' deux arcs S, S' de même longueur et repré-
sentés respectivement, l'un par MN, l'autre par MTs'.

( ;iG8 )

Soit m un point quelconque de l'arc S et tu' son conjugué sur
fiij^ 90. rîH'C S'. Ces points sont dits conjugués parce

■^ ^îT^^ ^1^^^ ^^s distances arcuelles Mm, M'm' sont
ég aies de part et d'autre.

cos 9' , , , , , .

et par — ;— les courbures geodesiques qui
correspondent respectivement l'une au point m de l'arc S, l'autre
au point m' de l'arc S'. Si nous posons, en général ,

cos b' , ^ cos 0
(1) =:(l-+-2y.) ,

? ?

il est visible que la quantité y. reste toujours positive et supérieure
à zéro.

Assujettissons l'arc S' à se déplacer sur la surface A, ses extré-
mités restant fixes et cliacun des points ([u'elles comprennent
entre elles glissant vers Vîntérieur de l'aire circonscrite sans
qu'il y ait solution de continuité.

Soit rj). la vitesse de circulation communiquée an point quel-
conque m' dans le déplacement dont il s'agit pour l'arc S'.

Opérons de même en ce qui concerne l'arc S, à cela près que le
point m conjugué avec le point m' glisse vers Vextériem^ de l'aire
circonscrite, et que sa vitesse de circulation soit égale au produit
(1 -\-y.)rn.

Considérons, en premier lieu, la somme algébrique des aires
engendrées parles arcs S, S', dans leur déplacement simullané
sur la surface A. En vertu du théorème 2, elle a pour difîéren-
lielle

S.M(i -\-a)rn—S'.Mrll,

et 5 eu égard à l'égalité des longueurs totales S, S',
(2) S.M(u,rh).

Cette difTérentiellc étant positive, on voit qu'elle implique,
comme première déduction, l'énoncé suivant :

I/aire circoiiscrilp commence jnir augmenter.

{ 509 )

Considérons, en second lieu, la somme alîiçébriqne des difft'ren-
tielles, exprimées simultanément pour les points cpielconques
eonjugués ?>i, ni, l'une par c?.r/.s, l'autre par o.ds'. On a, daprès
ce qui précède, et conformément à la formule (2) du n" 227, page
551,

rj . (Is = (1 -+- y.) rj'j . fis . 5

, , eos 0' , , cosQ
r7.(h'=—rn.(l^' — ~ = — (1 -^ 2a) oj.fJs'

o' ' 0

1 I

De là résulte, eu égard à l'égalité constante des quantités ds
et ds'

, , ,^ , eos 0

(ô) r)[({s-v-as) = — /x.rj'y.ds. •

La somme exprimée par l'équation (Ty) est constamment néga-
tive pour loutc rétendue des arcs conjugués S, S'. On a donc, en
verlu du théoi'ème 1 , cette autre déduction:

Le coniovr de Vatre circonscrite commence par décroître.

Les résultats auxquels nous venons de parvenir et que nous
avons formulés en italiques, sont absolument généraux. Ils prou-
vent, pour toute ligne dont la courbure géodésique n'est point
uniforme, qu'on peut en diminuer la longueur et augmenter en
même temps l'aire qu'elle circonscrit. On en déduit, comme con-
séquence directe et évidente, le théorème suivant qui résout la
question proposée *.

La ligne de longueur donnée, qui circonscrit une aire maximum
sur une surface, a même courbure géodésique en chacun de ses
points.

* Ce théorème, démontré depuis longtemps dans le journal de M, Crelle, a
été donné plus réeommeiil pnr MM. Dolaujinyet Ossian-Honnet.

( ^i70 )
On peut dire, plus généralement,

Les lignes dont la longueur est un minimum, par rapport aux
aires qu'elles limitent siir une surface ^ ont leur vourhure géodé-
sique constante et uniforme dans chacune des parties dont on
peut disposer séparément.

232. Appliquons la marche que nous venons de suivre au cas
d'un segment unique S dont la courbure géodésique tournerait sa
convexité vers l'intérieur de Taire circonscrite. On a, en même
temps, pour la différentielle de l'aire engendrée,

(4) S.M^i,

et, pour la vitesse ^.ds,

cos 0
(5) â.ds = — rjy.ds ?

0
I

le déplacement ayant lieu de l'intérieur vers l'extérieur.

On voit, par là, que riiypotlièse d'un segment convexe implique
la possibilité d'un changement qui diminue le contour en même
temps qu'il augmente l'aire circonscrite. Cette hypothèse est donc
inadmissible, ainsi que nous l'avons établi tout d'abord.

Prise à part et considérée isolément, l'équation (5) fait voir que
la ligne tracée entre deux points sur une surface ne peut être la
plus courte qu'autant qu'elle satisfait partout à la condition géné-
rale

cos e

p

Ce résultat nous ramène à la propriété connue des lignes géo-
désiqucs.

S'agit-il (le la plus courte distance comprise sur une surface
entre un point m cl une ligne S? Soit n le point de la ligne S où
vient aboulir la [)lus courte distance cherchée : on sait déjà que
la ligne mn est une, des lignes géodésiques passant par le point m.
On voit, (1 ailleurs, aisément qu'elle doit tomber à angle droit sur

( S7I )

la ligne S : cela résulte implicitement des considérations précé-
dentes. On peut aussi le reconnaître en se représentant, d'une
part, toutes les lignes géodésiques issues du point m, d'autre
part, celle de leurs trajectoires orthogonales qui passe par le
point n. Les différents points de cette trajectoire étant tous équi-
distants du point m, il est visible que si elle coupait oblique-
ment la ligne S, la distance mn augmenterait ou diminuerait
selon qu'on déplacerait le point n dans un sens ou dans l'autre.

Déterminée par la condition d'être géodésique et de tomber à
angle droit sur la ligne S, la ligne mn peut être un minimum ou
un maximum. En général, elle sera l'un ou lautre, suivant que la
courbure géodésique affectée en n par la ligne S sera moindre ou
plus grande que celle qui correspond à ce même point dans la
trajectoire orthogonale mentionnée ci-dessus *.

S'agit-il enfin de deux lignes S , S' tracées sur une même sur-
face et dont on demande la plus courte distance ? Il n'est pas
besoin de nouveaux détails pour reconnaître que cette plus courte
distance doit tombera angle droit sur les lignes S, S'. La ligne
géodésique déterminée par cette condition peut donner, suivant
les cas, un maximum ou un minimum. Cela dépend, comme tout
à l'heure, des courbures géodésiques à considérer de part et
d'autre, à chacune des deux extrémités de la plus courte distance.
Si les différences que ces courbures présentent, en général, étaient
de signe contraire, la solution tomberait en défaut et cesserait ainsi
de correspondre, soit à un minimum, soit à un maximum pro-
prement dit.

Résumant en quelques mots les détails qui précèdent et les
déductions du n" 251 , nous dirons :

Les lignes de longueur minimum tracées sur une surface ont
même courbure géodésique en tous les points de cJiacune de leiirs
parties distinctes. Celte courbure est toujours nulle pour le cas

* On ne perdra pas de vue que la courbure géodésique affeciée en n par la
ligne S est considérée comme positive ou comme négative selon qu'elle tourne
sa concavité ou sa convexité du côté du point m.

( 572 )

du minimum ab.wlu. Elle 7i' est pas nulle, en général, pour le cas
dît minimum relatif.

255. Les considérations développées dans le n" 251 peuvent
aisément s'étendre au cas des surfaces et des volumes qu'elles
circonscrivent. Commençons, à cet effet, par établir les théorèmes
dont nous avons besoin.

Soit A une surface quelconque, pouvant se déplacer comme on
veut, avec ou sans déformation.

Plaçons-nous à l'instant précis où la surface A s'écarte d'une
position quelconque déterminée. Ses différents points peuvent
être considérés comme sortant des lieux qu'ils occupent avec des
vitesses normales à la surface A. Représentons })ar â'/. ces vitesses,
dites de circulation, et cherchons d'abord comment elles déter-
minent les vitesses correspondantes avec lesquelles la différen-
tielle f/.f/A croît ou décroît sur la surface A, à l'origine du dépla-
cement que l'on considère.

Soient S une ligne tracée sur la surface A; m un point quelconque
de cette ligne; B le lieu des droites menées suivant la ligne S
normalement à la surface A. En même temps que la surface A
sort du lieu qu'elle occupe, le point m glisse sur la surface 13 avec
sa vitesse de circulation ox et Ion a, conformément à la for-
mule (2) du n" 227, page 554 ,
, , cos 0

(I) rLdS=—rn.dS.— '

p

Soit P le plan osculateur et R, le rayon de courbure qui cor-
respondent respectivement pour le point m, l'un à la ligne S,
l'autre à la section normale de même direction. L'angle 0 est
Tanglc du plan P avec le plan qui touche en m le lieu B, autre-
ment dit l'angle que la normale en m à la surface A fait avec le
rayon de courbure p. De là résulte , conformément au théorème
de Meunier,

/5 = R, cosO,
et, par suite,

r7i.ds
2) ^.ds = — -•

Ri

( 573 )

Soit a une deuxième ligne Iraeée sur la surface A et passant par
le point m. On a, eomnic ei-dessus,

(5) àAi=^

R2 étant le rayon de courbure de la section normale qui corres-
pond pour le point m à la direction fournie par la ligne a.

Supposons que les lignes S et (7 se croisent au point m sous un
angle quelconque «. On déduit aisément de la formule applicable
aux quadratures et démontrée plus loin, n^ 2j1 ,

d Ak ^= ds.da .ûi\ a.

De là résulte, en général,

^\ (rf . rfA) = [ ds . c?. (/a- 4- da . 0. ds ] sin ^ -4- ds . rfo- . cJa . cos a ,

et, pour le cas particulier où les lignes S et o- sont ortliogonales,

(4) r)(^d.d\ ) =^ ds . rL da -»- da. d. d.s.

La combinaison des équations (2), (ô) et (4) conduit au résultat
cherclié

{:.). . . . 'j(rf.rfA)=-[l + i-]</s.</,...;;.

Soient R et 11' les rayons de courbure principaux qui corres-
pondent au point ni de la surface A. On a, généralement,

' ' ' ' w
R, R2 R R'

la quantité W étant, connue on la vu au n° 177, page 441, le mo-
dule de la courbure nio} enne affectée en )n par la surface A.
Écrivons, d'après ce qui précède,

(()). . rJ{d.dA) = — — H j]d8.dc;.oj= — W.da .dcâ)..

L'équation (C) csl , par rapport aux surfaces, ce qu'est, pai' rap-
port aux lignes, l'équation [1] du n" 2ti7, page 554.

( 074 )

254. Reportons-nous h la dernière équatiou. ElJe implique la
déduction suivante :

Théorème 1. — Etant doîiné sur la surface A im segment quel-
conque, limité par une suite continue de points déterminés ^ ce
segment commence par croître ou par décroître selon fine les
vitesses exprimées pour chacun de ses points par la quantité
(J(d.dA) sont toutes positives ou toutes négatives.

Il est un second théorème applicable au cas qui nous occupe.
Démontré plus loin, au n' 20^2, il s'énonce comme il suit :

Théorème i2. — Le volume engendré par une aire qui se meut
avec ou sans changement de forme a pour différentielle le pro-
duit de cette aire par sa vitesse moyenne de circulation.

Partons de là, et proposons-nous le problème suivant:

Trouver la surface d'aire donnée qui circonscrit un volume
maximum, ou, ce qui revient au même, la surface d'aire mini-
mum pour un volume circonscrit de grandeur donnée.

Comparons ce problème à celui du n" 231 , page 500 : comj)a-
rons, en même temps, les équations et les théorèmes qui se cor-
respondent de part et d'autre. Si d'un côté, pour les lignes, cest
leur courbure géodésique qui intervient comme principe et base
de solution, de l'autre, pour les surfaces, c'est leur courbure
moyenne qui remplit identiquement le même rôle. Cette simple
observation permet d étendre immédiatement aux surfaces les ré-
sultats obtenus pour les lignes et de les résumer, comme il suit :

Les surfaces dont l'aire est un minimum ont même courbure
moyenne en tous les points de chacune de leurs parties distinctes.
Cette courbure est toujours nulle potir le cas du minimum absolu;
elle n est pas nulle, en général, pour le cas du minimum relatif.

Ajoutons quchiucs détails ])our justifiei', s'il eji est besoin,
l'énoncé précédent.

{ ^7o )

S'îigil-ii tl'ahord du niinhnuin absolu? Quelle que soit la surface
ehcreliée, si sa courbure moyenue n'est pas nulle en chaque point,
on peut toujours trouver sur cette surface un segment A, supposé
tel que la courbure moijenne /t'u change pas de signe.

Prenons à part le segment A. Fixons-en le contour et, sans le
décbirer *, communiquons à ses points intérieurs des vitesses de
circnlalion qui les portent tous à la fois d'un seul et même côté
de leur lieu actuel. Selon que ce déplacement s'effectue dans l'un
ou l'autre des deux sens ({uil comporte, les vitesses correspon-
dantes

rL{d.dA) = — Wds.d<7.^x

sont toutes positives ou toutes négatives. Il suit de là et du théo-
rème 1 que le segment A commence par croître ou par décroître
suivant le sens qu'on attribue à son déplacement. Cette première
déduction implique évidemment la conclusion suivante :

Les surfaces donl l'aire est un minimum absolu pour un con-
tour quelconque déterminé ont leur courbure moyenne constam-
ment nulle.

S'agit-il ensuite du luinimuin relatif? On voit tout d'abord qu'il
ne peut y avoir sui* la surface cherchée aucun segment A dont la
courbure moyenne tourne sa convexité \ers Vinlérieur du xolumc
circonscrit. Autrement, en effet, si Ton déformait ce segment,
sans le déchirer, les points du contour restant fixes, et chacun des
autres glissant ters l'extérieur, sui\antla normale qui lui corres-
pond, les vitesses rj (d.dX) seraient toutes négatives. Il y aurait
donc à la fois augmentation du volume circonscrit et diminution
de l'enveloppe, ce qui, par hypothèse, est contradictoire.

Cela posé, il suffit d'opérer, comme au n" 251, pour parvenir,
en ce qui touche les surfaces, aux résultats obtenus concernant les
lignes.

Il sutîil jiour cela qu'il n'y ail aucun cljangemenl l)ius(iue dans les vi-
tesses de ciiculalion communiquées siniullanémenl aux différents points du
segment A.

( 370')

Lu courbure uioycuue devant être partout de même signe, -elle
ne peut varier, d'ailleurs, sans être constamment croissante sur
une certaine étendue. On peut , des lors, substituer aux arcs S, S'
deux segments A, A', donner à chacun de ces segments même
grandeur totale et les conjuguer entre eux, points par points,
de telle façon que la courbure moyenne rem])orte en chaque lieu
du segment A' sur celle qui lui correspond au lieu conjugue du
segment A. Le reste s'achève sans difficulté, la marche restant
absolument la même et conduisant à la conclusion suivante :

Les surfaces, donl l'aire est un minimum par rapport aux
volumes qu'elles limitent j ont leur courtmre moyenne concave
vers l'intérieur, et la même en tous les points de chacune de leurs
parties distinctes.

Indiquons comme corollaires deux conséquences faciles à éta-
blir d'après les données précédentes.

Soient A une série de surfaces à courbure moyenne nulle et se
succédant d'une manière continue. Traçons sur l'une d'elles un
contour quelconque fermé, et, par ce contour, concevons une
surface B assujettie à couper orlhogonalement toutes les autres.
Les aires interceptées par la surface B, sur les surfaces A, ont
toutes même étendue totale.

Soit encore A une surface assujettie à être un minimum sous
la seule condition d'aboutir librement à une surface donnée B.
Détenu i née par la condition d'avoir en chaque point une cour-
bure moyenne nulle , la surface A doit, en outre, tomber à angle
droit sur la surface B.

Voir, pour dernière application, la note finale, placée à la suite
(lu chapitre XIV. On y hxe, par rapport au tracé des lignes consi-
dérées, le sens géométrique de l'équation

, COS 0 COS El'

d c?

■t- = ^

( ^77 )

CHAPITRE Xlll.

THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES SURFACES Qu'oA PEUT APPLIQUER

L'ursE SUR l'autre sans Déchirure ni duplicature.

î255. Nous avons vu au n" ^07, page 500, quelles sont, parmi les
surfaecs réglées, eclles qu'on désigne sous le nom de surfaces déve-
loppables. Elles se distinguent des autres en ce qu'elles n'ont qu'un
seul et même plan tangent pour tous les points d'une même géné-
ratrice rectiligne. De là résulte la propriété fondamentale qui les
caractérise et que leur nom rappelle : elles peuvent se développer
sur un plan et s'y appliquer, point par point, sans déchirure ni
duplicature. Cette propriété eomjjrend implicitement les sui-
vantes :

1" Les surfaces développables peuvent toutes s'appliquer l'une
sur l'autre, sans ex tension ni contraction d'aucun de leurs élé-
ments linéaires ou superficiels ;

2° Etant données deux surfaces développables, on peut tou-
jours pour chaque point de l'une, trouver sur l'autre un point
correspondant , les ])oints ainsi conjugués ayant pour lieux res-
pectifs des arcs de même longueur.

Arrêtons-nous au dernier de ces deux énoncés. Bien qu'il soit,
en apparence, plus restreint que le premier, on reconnaît aisé-
ment qu'il l'implique. On conçoit, dès lors, que, procédant par
voie d'extension et considérant, non plus seulement deux surfaces
développables , mais bien deux surfaces quelconques choisies de
manière à remplir, l'une par rapport à l'autre, la condition du
dernier énoncé, on ait été conduit à dire de ces surfaces qu'elles
sont applicables lune sur l'autre sans déchirure ni duplicature.

Tome XV. 57

( j78 )

Dans tous les cas, rien ne fait obstacle à ce que l'on admette,
comme vérité de définition, Ténoncé général ainsi formulé :

Étant données deux surfaces, si pour chaque point de Vune on
peut trouver sur l'autre un point correspondant , les poiivts ainsi

CONJUGUÉS AYANT POUR LIEUX RESPECTIFS DES ARCS DE MÊME LONGUEUR,

on dit de ces surfaces qu'elles sont applicables Vune sur l'autre
sans déchirure ni duplicature.

Avant d'aller plus loin, cherchons s'il n'est pas, pour dautres
surfaces que les surfaces dévcloppahles proprement dites, quelque
procédé simple qui permette de les appliquer ou de les transpor-
ter l'une sur l'autre, sans déchirure ni duplicature, autrement
dit, sans extension ni contraction d'aucun de leurs éléments
linéaires *. Les exemples qui suivent résolvent, en partie, cette
question délicate.

25G. Considérons, en premier lieu, les hélicoïdes gauches et
proposons-nous la question suivante :

Étant doniié un hélicoïde gauche, déterminer la série des
hélicoïdes qui comprennent rhélicoïde donné et ciui peuvent se
développe rV un sur Vautre, sans déchirure ni duplicature.

Soient II rhélicoïde donné; A son axe; D sa génératrice rectiligne.
On sait comment s'engendre rhélicoïde H, la droite D étant animée
à la fois de deux mouvements uniformes qui consistent respecti-
vement, l'un en une translation parallèle à l'axe A, l'autre en une
rotation autour de ce même axe.

Prenons la droite D dans une position quelconque déterminée.
Nous pouvons la faire tourner sur elle-même, sans modifier, pour
aucun de ses points, ni la vitesse actuelle de ce point, ni le plan
tangent qui lui correspond sur l'hélicoïde. Quelle que soit la

* Dès qu'il y a transport sans déchirure ni duplicature, il s'ensuit égale-
ment qu'il n'y a ni extension ni contraction d'aucun élément superficiel.
Cette conséquence peut être considérée comme évidente à priori. Elle résulte,
d'ailleurs, des principes exposés dans le chapitre suivant, en ce qui concerne
lu (piadrature des surlaces.

( ''7!) )

rotation introduite additionnellement autour de la droite D, dès
qu'on Ja compose avec la translation et la rotation déjà mention-
nées, elle se résout en une translation parallèle à un certain axe A'
et en une rotation établie simultanément autour de ce même axe.
Fixons l'axe A' et assujettissons la droite D à sortir du lieu
qu'elle occupe, en persistant par rapport à cet axe dans le double
mouvement qui résulte de la composition précédente. Il en résulte
que la droite D engendre un hélicoïde H', ayant avec l'hélicoïde II
une génératrice commune et touchant ce même hélicoïde en tous
les points de cette génératrice.

Cela posé, imaginons quon communique à chacun des hélicoï-
des H, ir le double mouvement déterminé d'abord pour leur gé-
nératrice respective. Il est évident qu'ils ne sortent ni l'un ni
l'autre des lieux qu'ils occupent et qu'ils se développent l'un sur
l'autre, point par point, sans déchirure ni duplicature. On voit,
d'ailleurs, aisément, qu'ils réali.sent, run par rapport à Vautre,
toutes les conditions établies au n" 207, comme conséquences
du développement des surfaces développables proprement dites.
Les détails qui précèdent indiquent suffisamment la marche à
suivre pour résoudre la question proposée. Tout se réduit à quel-
ques constructions très-simples, fondées sur les notions élémen-
taires de cinématique et de géométrie. Bornons-nous à présenter
le résultat final et laissons au lecteur le soin d'en vérifier l'exacti-
tude, ce qui ne présente aucune difliculté.

L hélicoïde H étant donné, par hypothèse, on en connaît les
divers éléments : soient, en conséquence,

i° DD la génératrice rectiligne;

2° 0 son point central *;

5° om la vitesse de translation parallèle à l'axe A ;

4" on la rotation établie autour de ce njéme axe;

5° j) la plus courte distance des droites A et D.

Le plan de la figure étant celui que déterminent
les droites oD , om , désignons-le par Q. (On sait que
la plus courte distance p se projette en o sur le plan Q ).

* On sait {[ue le point ceiilral est situé sur la pJus comte distance des
droites D et A.

( 580 )-

Par le point n, menons la droite indéfinie BB, parallèle à DD,
et du point o, abaissons sur eette droite la perpendiculaire 06.

Élevons en m sur om une perpendiculaire et déterminons-en
l'extrémité a par la condition que la projection du segment ma
sur la droite DD soit égale au produit connu p . oh.

Tirons oa, et sur cette droite prise pour diamètre, construisons
la circonférence de cercle omac.

Cela fait, voici la solution.

« On peut, toules choses éyules iVaillaiirs, substituer à la
» corde om une corde quelconque om' . L'iiélicoïde désigné par
» H' cl correspondant à la corde om' est déterminé comme il
» suit :

» Son axe A' est parallèle à om'', il coupe la plus courte dis-
» tance p à une distance du point 0 représentée par le rapport du
» segment ae au segment oh , ae étant la projection de la corde
i> m'a sur la droite DD ou sa parallèle ca.

» Dans la génération de l'hélicoïde H', la droite D glisse paral-
» lèlemcnt à l'axe A' avec la vitesse om' \ elle tourne en même
)) temps autour de cet axe avec la vitesse ou' y \

Les hélicoïdes H' ainsi déterminés sont tous conjugués avec
riiélicoïde II. Ils peuvent se dévcloi)pcr l'un sur l'autre, sans dé-
cbirure ni duplicature. Parmi ces bélicoïdes, il en est trois, en
général, qu'il convient de distinguer.

L'un est l'bélicoïde dont l'axe dirigé suivant oa coupe la géné-
ratrice D au point 0.

Le second est 1 bélicoïde gauche à plan directeur, dont l'axe est
dirigé parallèlement à la droite or.

Le troisième se résout en un liyperl>oloïde de révolution dont
l'axe a pour direction celle de la droite qui touche en 0 la circon-
férence omac.

Dans le cas particulier, où la vitesse oa du point central est diri-
gée perpendiculairement à la génératrice D, les deux premiers

* On observera que Taxe A' est situé en avant ou en arrière du plan Q,
selon que le point nt' esl au-dessus ou au-dessous de la perpendiculaire al
abaissée du [loinl a ^ur la droite DD.

( 5«l )
de CCS trois Ijciicoïdcs se (oniondciit en un seul. Le dernier se
réduit à son axe et s'évanouit en s'identifiant avec la génératrice.
On voit, aisément, qu'en ce cas, le produit des vitesses de trans-
lation et de rotation est constant pour tous les liélicoïdes *.

Rien ne changerait dans les déductions précédentes, si, au
lieu de demeurer fixe, comme on l'a supposé pour la génération
de riiélicoïde II', Taxe A' passait continûment par toutes les dé-
terminations qu'il comporte, et qu'en même temps, la généra-
trice D prît, pour chacune de ces déterminations, les vitesses de
translation et de rotation qui lui correspondent. De là résulte une
infinité de surfaces gauches, comprenant les hélicoïdes H', con-
juguées comme eux avec l'hélicoïde II et susceptibles de se déve-
lopper les unes sur les autres, sans déchirure ni duplieature.

jVous avons fait observer que parmi les hélicoïdes IF, il en est
un dont l'axe est coupé par la génératrice D. On voit, dailleurs,
aisément, que cette génératrice coupe sous un angle constant le
lieu des points centraux, autrement dit, la ligne de stnclioit. Il
suit de là, que les lignes de striction des hélicoïdes II' et des sur-
faces susceptibles de s'appliquer sur eux, sans déchirure ni dupli-
eature, sont les chemins les pins courts entre les différents points
de ces lignes, et qu'elles sont coupées sous un angle constant par
les génératrices rectiligncs qui leur correspondent respective-
ment. Ces résultats s'accordent avec les déductions du n'' 2ôO,
page 5G3.

257. Considérons, en second lieu, une surface gauche quelcon-
que et proposons-nous la question suivante :

Etant donnée vue surface gauche qiielconq^ie, déterminer la
série des surfaces de même genre qui comprennent la svrface
donnée et peuvent se développer V une sur Vautre , sans déchirure
ni duplieature, par application mutuelle et réciproque de leurs
génératrices rectiligncs.

Soit A la surface donnée et D sa génératrice rectiligne. îmagi-

* Voir au besoin pour phi s (\o ûé\i{\h,]e9, PtiIIclins de l'Arodniiie roi/nle
fie Belf/UpiP, (2"i'' série , loiue M , n" 4).

( o82 )

nous que la droite D se meuve en restant sur la surface A. On
peut, à mesure qu'elles s'engendrent continûment, distinguer les
parties déjà engendrées par la droite D de celles qui ne le sont
pas encore, et assujettir les premières à tourner autour de cette
droite d'un mouvement commun. Quelle que soit la rotation éta-
blie, comme on vient de le dire, autour de la droite mobile D,
elle né modifie en aucune façon les vitesses actuelles des diffé-
rents points de cette droite. Il suit évidemment de là, qu'elle a
pour unique effet de transformer la surface donnée A en une sur-
face A', susceptible dune infinité de déterminations différentes,
exprimant pour cbacune un des développements que comporte la
surface A et résolvant ainsi la question proposée.

Sans rien changer à ce qui précède, imaginons qu'à partir
d'une position quelconque de la droite D , on continue la sur-
face A' en lui assignant d'avance sa forme définitive. La rotation
établie autour de la droite D aura maintenant pour effet d'appli-
quer continûment et successivement toutes les génératrices recti-
lignes de la surface A' sur les génératrices correspondantes de la
surface A, de telle façon que la droite D pourra être considérée
comme décrivant à la fois les deux surfaces A , A', la première
étant fixe et la seconde tournant tout entière autour de la
droite D.

Lorsque la droite D se meut sur la surface A', il est indifférent
que cette surface demeure fixe ou qu'elle tourne autour de la
droite D. Rien n'est modifié par ce mouvement, ni dans les gran-
deurs absolues, ni dans les directions relatives des vitesses actuelles
de ses différents points. Conduons que les lignes décrites simul-
tanément par un même point quelconque de la droite D, l'une
sur la surface A, l'autre sur la surface A', ont même longueur et
coupent sous un même angle les génératrices rectilignes qui se
correspondent de part et d'autre.

On sait que, pour identifier les états de mouvement de deux
droites qui sortent en même temps d'un même lieu, il est néces-
saire et sufiisant de faire coïncider leurs poials centraux, les
vitesses de ces points et, en outre, celles de deux autres points
quelconques, situés en un même lieu sur cbacune de ces droites.

( 583 )

Partant de là, et de ce qui précède, on peut formuler comme il
suit les conditions à remplir pour que deux surfaces gauches
puissent se développer l'une sur l'autre, sans déchirure ni dupli-
catiire, par application mutuelle et réciproque de leurs généra-
trices rectilignes :

4° Les génératrices rectilignes conjuguées doivent couper sous
un même angle les lignes de striction correspondantes à chacune
des surf aces et intercepter sur ces lignes des arcs égaux;

2° La distance comprise, sur deux génératrices conjuguées,
entre leur point central et celui oii le plan tangent fait un angle
de 45" avec le plati tangent au point central, doit être la même
de part et d'autre.

Observons que les plans tangents tournent d'un même angle
pour d'égales distances franchies, à partir du point central, sur
deux génératrices quelconques rectilignes et conjuguées. 11 en

résulte que les modules N^ et [7== des numéros 205 et 204, pages
497 et 499, sont les mêmes de part et d'autre. On peut exprimer
ce résultat, en disant que les surfaces A et A' ont même courbure
en leurs points conjugués. Nous verrons plus loin comment cette
dernière condition suffît à elle seule pour impliquer les autres.

258. Considérons, pour dernier exemple, les surfaces de révo-
lution et proposons-nous la question suivante :

Étant donnée une surface de révolution, déterminer parmi les
surfaces de même genre celles qui comprennent la surface donnée
et qui peuvent se transporter l'une sur l'autre, sans déchirure
ni duplicature , par application mutuelle et réciproque de leurs
parcdlèles respectifs.

Soient MN, M'N' deux droites indéfinies, parallèles et fixes.
Fig. 92. Soient en même temps mn, m'n' deux segments quel-
j^ j^' conques de grandeur constante, assujettis à glisser com-
me on veut, l'un sur la droite MN, l'autre sur la droite
^' M'N'. Tirons les droites mm\ nn' et considérons le tra-
pèze mnn'm' . Quelle que soit la position relative des seg^

M M' \

( :.8'.. )

mcnls »?», m' n\ laire trapézoïdale m un m' demeure invariable.
De là résulte, en ee qui eoneernc les surfaees cylindriques, le théo-
rème suivant, facile à démontrer en toute rigueur *.

Lorsqu'on fait glisser, les nus par rapport aux antres, les
segments interceptés sur les génératrices d'un cylindre entre
deux lignes quelconques , (chacun d'eux conservant sa longueur
j)rimilivc et restant sur la génératrice qui lui correspond) l'éten-
due de Vaire déterminée par Vensemble de ces mêmes segments
demeure invar icdde.

Cela posé, soient A une surface de révolution , aa' son axe, ce
Fig. !^3. i"ic portion de la ligne méridienne,

o' Prenons la ligne ce' pour section droite d'un ey-

^C lindre dont les génératrices puissent glisser sur elles-

^ ^' mêmes, indépendamment les unes des autres, et cela

sans sortir du lieu qu'elles occupent dans l'espace.

Imaginons que la surface A tourne d'un certain angle autour de
l'axe aa, et supposons que, ])endant cette rotation, chacun des
parallèles correspondant au segment ce' communique à la géné-
ratrice qu'il touche la vitesse de son point de contact. Il est visi-
ble qu'au moment où la rotation s'achève, l'arc compris, pour
chaque parallèle, entre le point où le contact subsistait à l'origine
et celui où il s'arrête, se trouve développé suivant la génératrice
correspondante du cylindre , et que celle-ci a glissé sur elle-même
d'une longueur précisément égale à cet arc.

Désignons par E l'aire que détermine sur la surface A un con-
tour quelconque tracé entre les deux parallèles ca , c'a et les
positions extrêmes du méridien qui coïncidait d'abord avec la
ligne ce'.

Tous les points de l'aire E se sont appliqués successivement
sur la surface cylindrique, de manière à former une série de

Il suffit pour cola de développer sur un plan lo cylindre que Ton considère
et d'opérer, soit directement, soit en se fondant sur ce que Taire engendrée par
un segment de droite a pour ditrérentiellc le produit de ce segment par la
vitesse do circulation (]o son point miliou.

( o8!i )

segments reelilignes juxtaposés, parallèles, et n'ayant subi les
uns par raj)port aux autres aucun déplacement, si ce n'est celui
qui résulte du glissement inégal des génératrices sur lesquelles ils
sont situés respectivement. La conséquence évidente est que l'aire
déterminée sur le cylindre par rensemble de ces mêmes segments
a une étendue précisément égale à celle de l'aire E sur la sur-
face A. Il ne resterait donc plus qu'à développer le cylindre, c'est-
à-dire qu'à rectifier sa section droite, si l'on voulait obtenir le
développement JioinalocjrapJiique de l'aire E *. Notre but étant
autre, poursuivons.

Soient A, A' deux surfaces de révolution; M, M' leurs méri-
diens respectifs; C, C les cylindres droits circonscrits à ces sur-
faces le long des b'gnes M , M'.

Le procédé suivi tout à l'iieure montre qu'après avoir trans-
porté la surface A sur le cylindre C, on peut replier celui-ci sur
le cylindre C, et reporter la surfîice A sur la surface A' d'une infi-
nité de façons différentes.

Considérons le cas où le cylindre C est replié sur le cylindre C,
de manière à ce que la ligne M soit appliquée sur la ligne M'. Il
est visible que le transport de la surface A sur la surface A' se
résout généralement en un développement homalograpbique de
la première surface sur la seconde. Pour qu'il en fût autrement;
pour c|u'il y eût développement sans extension ni contraction
d'aucun élément linéaire ou superficiel; pour que toute ligne
transportée de la surface A sur la surface A' reprît et conservât
sa grandeur première, il faudrait que les génératrices du cylin-
dre C, alors qu'elles sont entraînées par la rotation de la sur-
face A', glissassent avec des vitesses respectives précisément
égales à celles qui animaient ces mêmes génératrices dans le déve-

* On entend par développement homalographiqiie un développement dans
lequel les lignes tracées sur la surface à développer changent, en général, de
l'orme et de grandeur, tout en conservant aux aires qu'elles circonscrivent
leurs étendues premières. La projection Flamsteed présente le résultat d'un
développement homalograpbiciue effectué d'après les indications du texte, H
n'en est pas tout à fait de même de la projection homalograpliique de M. l]a-
liinef. Elle est analogue à ce développement , mais non pa<; identique.

( 580 )

loppemenl de la surface A sur le cylindre C. Veut-on remplir
cette condition? Il suffit de déterminer la ligne M' de telle façon
qu'étant appliquée sur la ligne M, les rayons des parallèles, qui
correspondent de part et d'autre aux mêmes points, conservent
entre eux un rapport invariable. Supposons, en effet, que ce
rapport soit exprimé par m et qu'il s'agisse d'un point pour lequel
les rayons des deux parallèles soient respectivement r et r. On
a 5 par hypothèse,

r' = m.r.

Cela posé, si dans le transport de la surface A sur le cylindre C,
la vitesse de rotation est >y et qu'on la prenne égale à — dans
l'opération subséquente, c'est-à-dire, lorsqu'on reporte celte
même surface du cylindre C sur la surface A', il est clair que la
génératrice correspondante aux deux parallèles, dont les rayons
sont respectivement r et r' aura, dans le premier cas, une vi-

î''\V

tesse r.W et, dans le second, une vitesse — . L'égalité visible
de ces deux vitesses implique, comme conséquence, la possibilité
de transporter la surface A sur la surface A' ou réciproquement,
sans déchirure ni duplicature.

239. Rapportons la ligne M à deux axes coordonnés rectangu-
laires, dont celui des x coïncide avec l'axe de révolution de la
surface A. Désignons par n un point quelconque de cette ligne;
par X j y les coordonnées du point n; par s l'arc de la ligne M
compris entre le point m et un autre point quelconque déter-
miné ;f„.

La ligne M' restant à déterminer, d'après les conditions précé-
dentes, supposons-la rapportée aux mêmes axes et désignons
par n', n^ les points de cette ligne qui sont conjugués, par hypo-
thèse, le premier avec le point n, le second avec le point n^.
Soient x', y' les coordonnées du point n , et s' l'arc de la ligne M'
compris entre les points n et n^. Les équnlions du problème sont
très-simplement

•^ = ^\ y' =^ '» . V,
m étant une constante.

( S87 )
De là résulte

dx'^ -\' (fy- = dx'^ -+- dy'- = dx' h- nr dy",

et, par suite,

(I) dx'=:dx'-v-{] —m'')dy\

Soit

(2) y = f{T)

l'équation de la ligne M. On a, pour équations correspondantes de
la ligne M',

n/ =my = m.f{x)
{'V ' • • l . ...+^.

x'^àxMV ' V^l -+- (1 — m')r(xf.
L'équation de la ligne M étant mise sous la forme

W ^ = ?{y),

on a de même, pour équation correspondante des lignes M',

(3). . . »,.x=.y'.Mr^''Y/l-m^+./g

On observera que la deuxième des équations (3) et léqua-
lion (5) équivalent respectivement, la première à l'équation diifé-
rentielle

(G). . . . dx' = f/x 1/1 + (1 - m')l'{xY;
la dernière à l'équation difîérentielle

/

(7). . . , m

/ / ' \

( ;.88 )

Concluons (jnc, quclh' que soit la lia;nr ^[, on pont loiijoni's
trouver une série de lignes ?»!', ronjngnees entre elles cl avec la
première, de telle faeon que les surfaces engendrées par ces
lignes dans leur rotation autour de l'axe des x soient toutes trans-
portables, lune sur l'autre, sans déchirure ni duplicature.

Considérons, en particulier, le cas de la sphère, la ligne M avant
pour équation

x^ -+- if == ?•-.
On déduit de là, pour équations des lignes ?»î'.

(<S). . y' — m.r cos -j, dr' =^ rdy k 1 — Jir sin' ^ ,

la variahle y étant remj)lacée par ?-.cos ç.

Les équations (8) sont précisément celles qu'on obtient pour la
ligne méridienne de l'hélicoïde à génératrice courbe, qui d«'rive
de la sphère * et qui jouit de la propriét('' d'avoir en chacun de
ses ])oints une même courbure )noye)ine. II est remanjuable que
cette même ligne, suivant (lu'elle tourne , sans glissery autour de
l'axe des x ou qu'elle tourne autour de cet axe, en glissant, sui-
vant sa direction, avec une vitesse dont le rapport à la vitesse de
rotation est exprimé par le produit r V" \ — in\ engendre, dans le
premier cas, une surface à'ècfale courlmre et, ])ar conséquent,
applicable sur la sphère; dans le second, wwq surface à courlmre
moyenne constante.

On peut multiplier indéfiniment ces applications. Bornons-nous
à en donner une seconde.

Soit un ellipsoïde ayant pour ligne M une ellipse dont le petit
axe est situé sur l'axe de révolution. L'équation de la ligne M
étant

x'^ if
(!> - + 7:='-

Voir, au besoin, les Bulletins de l'Académie royale de Pekjique
(2'"*" série, 1 01110 YI, n" .">).

( 581) )

Si l'on désigne par c rcxccnlricité \^b^ — a^ et qu'on attribue à ni
la valeur ^ , on trouve, pour équation correspondante d'une des
lignes conjuguées M',

(j== my = m.b cos y, x = a. a^ .M(1) = (t.^,
et, par suite,

X

(10) ï/' = c cos

Dans rii\ pothèse où l'on attribuerait à m une valeur quelcon-
que moindre que l'unité, on aurait pour équations générales des
lignes 31

9+Av» / m^lr — c^ . „
(ïl). y' = m.b. cos (p, x' = a.^'^^^ ^\/ 1 ^ sur î-.

Cbangeons le signe de la quantité à\ A l'ellipsoïde se substitue
riiyperboloïde de révolution à une nappe; à la sinusoïde repré-
sentée par l'équation (10), respcce de chaînette ayant pour équa-
tion

(i->) • .'/=f['^"-t-''"] •

On a, dailieurs c = \/cr ■+- b\ et les équations (11) sont rem-
placées par les suivantes

. ?/' = m.6.cosv, u,' = «.A'v.iM: ' \/ sui> — 1,

(15)

Rappelons-nous, conformément aux déductions du n" î230, page
580, que riiypcrboloïde de révolution à une nappe fait partie
d'une série d'hélicoïdcs dévcloppables l'un sur l'autre, sans déchi-

' Cette équation se déduit directement de l'équation (10) eu remplarant a
par aV —[ el faisaul usage de la formule 2 du n» 58, i)age 9-i. On peut
s'assurer de son exactitude, en conslalant qu'elle ^elilie retiualion i7).

( oDO )

l'urc ni diiplicature.Cc même h} perboloïdc pouvant se transporter
sur cliacune des surfaces de révolution déterminées par les équa-
tions (15), on voit qu'il sert de transition entre ees surfaces et les
hélicoïdes gauches, ceux-ci devenant applicables sur celles-là, et
réciproquement, le tout sans extension ni contraction d'aucun
élément linéaire ou superficiel *.

240. La solution du n" 239 s'applique, en général, à toutes les
surfaces de révolution. Elle comporte, en outre, une extension
qu'il convient d'indiquer.

Soient S, S' deux lignes planes. Tune quelconque, l'autre déter-
minée comme il suit :

Soient p. un point mobile assujetti à décrire la ligne S; Via vitesse
de ce point à un instant quelconque; a la vitesse angulaire simul-
tanée de sa directrice, y.' étant un second point mobile, on sup-
pose qu'à ce même instant il est animé d'une vitesse V = m. V et
que sa directrice tourne avec une vitesse angulaire «' =— . Cela
posé, la ligne S' est la trace du point ^', et les positions conjuguées
des points f/. , ^i' sont celles qu'ils occupent simultanément, l'un
sur la ligne S, l'autre sur la ligne S'.

Par hypothèse, M, M' sont deux courbes planes, telles qu'en les
prenant pour lignes méridiennes de deux surfaces de révolution ,
ces surfaces peuvent se transporter l'une sur l'autre comme on
l'a vu tout à l'heure.

Prenons la ligne S pour section di-oite d'un cylindre C et fai-
sons coïncider Taxe de la ligne M avec une génératrice quelconque
D de ce cylindre. Soit B la surface engendrée par la ligne M, lors-
que son plan s'enroule, sans glisser, sur la surface du cylindre C.

Prenons de même la ligne S' pour section droite d'un cylindre

* Le Irausporl d'un hélicoïde gauche sur une surface de révolution cfui
ifadmet pas de génératrices rectilignes présente, au premier abord, assez de
difficultés, pour qu'il semble impossible de se le figurer nettement et, sur-
tout, de le réaliser par voie géométrique. En déterminant les transformations
successives qui permettent d'elFeeluer ce tiansport et d'en suivre tous les dé-
tails, on jette, pensons-nous, ({uelque jour sur une question qui otfre de l'in-
térêt et qu'il n'est pas indifférent d'éclaircir à raison même de son impor-
tance.

( 591 )

C, et faisons coïncider Taxe de la ligne M' avec la génératrice de
ce cylindre qui correspond à la précédente, c'est-à-dire qui coupe
la ligne S' en un point conjugué avec celui où la génératrice D
vient couper la ligne S. Soit B' la surface engendrée par la ligne
M', lorsque son plan s'enroule, sans glisser, sur le cylindre C.

Cela posé, il est aisé de voir et de démontrer, comme on l'a fait
pour les surfaces de révolution engendrées respectivement par
les lignes 31, M', que les surfaces B, B' sont Iransportables l'une
sur l'autre, sans déchirure ni duplicature.

Les équations différentielles qui déterminent la ligne S', en
fonction de la ligne S, s'obtiennent aisément sous forme de qua-
dratures. On les déduit directement des équations de condition

(Is = m . as , m . a I arc tg — ; \ =d \ arc tg . — I •

Bornons-nous à signaler les résultats suivants :

1° Lorsqu'on prend pour ligne S une circonférence de cercle
au rayon r, la ligne S' est une circonférence de cercle au rayon
m'^.r.

'-2" Lorsqu'on prend pour ligne S la développante du cercle au
rayon r, la ligne S' est la développante du cercle au rayon m^.r.

Ces résultats n'exigent aucun calcul j)our s'élablir dircclement.
On voit d'ailleurs à priori que si l'on désigne par/j, p' les ra}ons
de courbure (pii se correspondent en deux points conjugués des
lignes S, S' on a, généralement

p' =^ »r .p.

Vérifions pour le cas des surfaces de révolution, comme nous
l'avons fait pour celui des surfaces gauches, qu'elles ne peuvent
s'appliquer l'une sur l'autre, d'après les conditions du n" 251), sans
avoir même courbure en leurs points conjugués.

Soient R , R' les rayons de courbure principaux d'une surface
de révolution. Rien n'étant changd aux données du n'' 259, dési-
gnons par u l'angle que la tangente en un point quelconque du

( ay-i )

méridien fyit avec l'axe de rotation. On a pour lun de ces rayons,
celui que la normale détermine en position et grandeur,

R^ y

COSa

et pour l'autre, celui de la ligne méridienne au point considéré,
Il = -— - cos y.. *

dhj

la vitesse du étant supposée constante.

De là résulte, pour la surface A du n" "ù-ôi) , page 580,

ds'
d'i/

S'agit-il ensuite des surfaces A'? Les équations de condition

donnent

ds' = ds , d'\(j ' = m. d^y.

11 s'ensuit évidemment qu'il } a, de part et d'autre, égalité de
courbure.

* PailaiiL de réqualioii

etassujetlissanl la vitesse ds à demeurer conslanle, on a
d^y = ds. cos iX.do:.
Mais, d'un autre cùlé, on a généralement,

U' = -l = '^.
W do:

11 vient donc aussi, par voie de substitution ,

1» ^=: COS tX.

d-y

( -m )

Cette déiiionstratioii s'étend d'clle-mcinc aux surfaces B, B'. Il
est visible, en effet, que si Ton a pour Tune, toutes choses égales
d'ailleurs,

Y = y -h c.

on a /eu jnèmc tcnit)s. j)our l'autre,

\'=y' -+- m.c = î/iY.

t24I. Abordons mainlenant la ([uestion générale, en la traitant
connue elle se pose d'après la définition du n" 255. Il s'agit de dé-
terminer les conditions à remplir pour que deux surfaces (juel-
conques A, A' puissent être considérées comme applicables lune
sur l'autre sans déchirure ni duplicature.

Les surfaces A, A' satisfont, par liypothèse, à la condition sui-
vante :

A toul poinl de la surface A correspond un point délerminé
de la surface A', les points ainsi conjugués ayant pour lieux
respectifs des arcs de même longueur.

De là résultent plusieurs conséquences relatives aux arcs tracés
sur chacune des deux surfaces A, A', et conjugués entre eux comme
les points dont ils sont les lieux respectifs. Disons, d'abord, les
plus simples et les plus directes.

1" Les points M , N étant pris y comme on veut) sur la surface
A y et leurs conjugués M',N' sur la surface A\ Tare géodésitjue MN
a pour conjugué l-are géodésique M'N';

t:" Soient OM , 0.\ deux arcs guelcomjues issus du point 0
sur la surface A : ces arcs et leurs conjugués O'M', O'JN' se cou-
pent sous un mémo angle, les deux premiers en O, les deux der-
niers en 0' *;

* Il est enteiitlu que cliûque ouiiiile de poinls conjugués est désigné par une
même lettre , accentuée uu non aeeenluée, selon qu'il s'agit de la tuiiacc A'
ou de la surface A,

Tome XV. 58

( 0<)i )

5" Deux arcs quelconques conjugués entre eux el situés respec-
tivement, l'un sur la surface A, l'autre siir la surface A', ont
même courbure géodésique en chacun de leurs points conjugués.

Ces premières déductions sont en quelque sorte évidentes.
Démonirons-Ies néanmoins. Nous dirons ensuite quelles sont les
autres.

Il n'existe, en général, entre deux points d'une même surface
qu'une ligne géodésique. Si l'arc MN est la ligne géodésique allant
du point 31 au point N sur la surface A, il est le chemin le plus
court qu'on puisse y tracer entre ces deux points. L'arc M'N' étant
le conjugué de l'arc MN a, par définition, même longueur. On
conclut aisément de là que l'arc M'N' est sur la surface A' le che-
min le plus court du point M' au point N' et qu'il se confond, en
jconséquence, avec l'arc géodésique correspondant. Le premier
des trois théorèmes énoncés ci- dessus se trouve ainsi démontré.
Passons au second.

Les lignes OM, OS étant tracées sur la surface A et supposées
quelconques, concevons deux points mobiles uj, a^ assujettis à les
décrire, et sortant du lieu 0 à l'instant que l'on considère. Soit
Vi la vitesse actuelle du premier de ces points et v.^ celle du se-
cond; u leur vitesse d'écart à l'origine de leur déplacement; a,
l'angle des tangentes en 0 aux lignes OM, ON. On a évidem-
ment

11^ =1 v] -+■ V'o — "2t\V^2 cos a.

Supposons, toutes choses égales d'ailleurs, que l'on substitue
aux lignes OM, ON leurs conjuguées O'M', O'N'. En désignant ici
par u' et a' les quantités désignées tout à l'heure par u et « , on a ,
comme ci-dessus,

u"^z=i d"; -h i-\ — 2vii'o cos a'.

Mais, par définition , et comme conséquence directe de l'égalité
qui subsiste, de part et d'autre, entre les arcs conjugués, les vi-
tesses u, u' sont nécessairement égales. Il faut donc aussi que l'on
ait

{ D\}0 )

L'ëgalilé des angles a, a' justifie la seeoiitle des pioposiliuiis
éiioiieées plus liaul. On peut aussi la considérer eoinnie impliquant
la troisième. Quoi qu'il en soit, procédons pour celle-ci, comme
pour les deux autres, en la traitant directement.

Soit O^r un arc quelconque donné sur la surface A. Représen-
tons-nous le système des lignes géodésiques issues à angle; droit
des différents points de cet arc, et considérons ce même arc comme
une des trajectoires orthogonales de ce système. On a, conformé-
ment à l'équation (3) du n" ^i4,

cos 6

(l) ^'v = — V rJ).

p

Substituons à l'arc OM, son conjugué 0'3I' et répétons i)our ce
second arc ce que nous avons fait pour le j)rcmier. En désignant
par v\ y, B' et p' les quantités désignées tout à l'heure par î;, ) , 9
et p, on a, comme ci-dessus .

. cos ù'

(^) ^v-= — V' y-r}ï'.

P -

Égalons entre elles, d une part, les vitesses u, <;', d'autre part,
les vitesses cJ/ , ni' . L'équation (2) devient

^ , cos h'

(5) Jv = — V — — ^\.

P

On voit, d'ailleurs aisément, d'après ce qui précède, que les
trajectoires orthogonales qui se correspondent sur les surfaces
A, A' sont conjuguées entre elles et qu'elles impliquent, en consé-
quence, pour chaque point de l'une et son conjugué sur l'autre,
l'équation générale

(4) r}v'=,^V.

Lu simultanéité des équations (1), (3), (4), donne, pour chaque
point de l'arc OM et pour son conjugué sur l'arc O'M',

, ^ cos 0 cos e'

(5) — -— •

( :m )

Ue là résulle iiiiiiiédialenient la dernière des trois i)ro])osilioiis
formulées ci-dessus.

24;2. Poursuivons le cours des déductions précédentes et restons,
à cet effet, dans les conditions établies pour la démonstration du
dernier théorème.

Lorsqu'on se donne l'arc OM, son conjugué O'iM', et le double
système des lignes géodésiqucs issues à angle droit des différents
points de ces arcs, il est visible que les trajectoires orthogonales
de ces lignes se correspondent de part et d'autre, de manière à
Ibrmerune double série d'arcs équidistants, conjugués deux à deux
et offrant en chacun de leurs points conjugués même courbure
géodésique.

Cela posé, si l'on part de l'équation (1:2) du n" 2:2j, page JJiU,

cos ô

p

rcos^o I -1

L p' iiirj

et qu on rapi)liquc à deux quelconques de ces trajectoires conju-
guées, l'identité qui subsiste, de part et d'autre, entre les quan-

\ , , . . r COS 0 ^ COS 9 ^, . T ,,

tites correspondanlesexprnneespar — — - 5 o ___ ^ op, imphquc celle
du produit des rayons de courbure principaux R, W.

La conséquence à laquelle nous venons de parvenir est à la fois
curieuse et importante. Le théorème qui en résulte est du à
M. Gauss. On i)cut l'énoncer dans les termes suivants :

Lorsque deux surfaces sont applicables rune sur Vautre sans
dcchirure ni dupUcainrc , le produit de leurs rayons de cour-
fyure principaux est le uicmc en deux quelconques de leurs points
conjuijuês.

Nous avons vu au n' 204, page 500, qu'en désignant par m un
point d'une surface A, et par R, R' les rayons de courbure prin-
cipaux correspondants, on est convenu de considérer la quantité
;-~r- , comme exprimant la courbure de la surface A au |)oinl m.
On peut doni. dire aUi.oi et plus sinjplcmcnl:

( •■i'J7 )

Lorsque deux fiurfuco^ .wut applicablefi l'u^e sur J'aïilro ^ans
déchirure ni duplicu lu r{\ elles nul même courbure eu leurs poiuls
conjugués.

245. La proposition qui précrdc a sa rcoiproquc éiionc('e roninic
il snit :

Lorsque deux surfaces ont même courbure en leurs pifinls con-
jycfuês, elles sont appUccddes rune surTaulre sans dêcliirure ni
dupliculure.

Avant do démontrer cette réciproque, il faut d'abord spécifier
diine manière précise en quoi consiste, pour les deux surfaces que
l'on considère, la correspondance établie entre un point quelcon-
que de Tune et son conjugué sur l'autre.

Le point 0 étant pris sur la surface A, représentons-nous celte
surface comme le lieu des lignes géodésiques issues de ce point,
et, parmi ces lignes distinguons Tune d'elles, la ligne Olî, par
exemple, que nous supposerons fixe et déterminée *.

Opérons de même en ce qui concerne la surface A'. Au point 0
se substitue le point 0', à la ligne OB la ligne O'B', le point 0' et
la ligne OB' étant clioisis comme on veut.

Cela posé, faisons correspondre, d'une part, les lignes géodé-

F'ig. 94. si([ues qui coupent sous un même angle quelconque w,

0 Tune la ligne OB, l'autre la ligne O'B', d'autre part, les

l\ points de ces lio-nes qui sont situées sur elles à égale dis-

/ \ tance de leur origme respective.

0' Il est visible qu'en opérant d'après ces conventions , on

J\ , détermine pour ebaque point de la surface A un point

^'/ \ correspondant de la surface A'. Ces points vont ainsi par

couple et il en est de même de leurs lieux respectifs.

Lorsqu'on dit des uns et des autres qu'ils sont conjugués entre

eux, on entend exprimer qu'ils se déterminent l'un par l'autre,

suivant le mode exposé ci-dessus.

* On ne perdra pas de vue, pour ce qui suit, qu'il n'existe, en général,
qti'tin seul plan langent en 0 à la surface A.

( o98 )

Cette explication donnée, rappelons-nons et ne perdons pns de
vue que, par liypotlicse, les surfaces A , A' ont même courbure en
leurs points conjugués.

Soit Mm une trajectoire quelconque orthogonale des lignes géo-
désiqnes issues d»i point 0 sur la surface A. Soit Mm' sa conju-
guée sur la surface A' *.

Supposons que les arcs conjugués de ces deux trajectoires aient
même longueur, et, pour chacun de leurs points conjugués, même
courbure géodésique.

En appliquant au point m, pour la courbe Mm, et à son con-
jugué m', pour la courbe M'm' l'équation (i^) du n" 2:2, page oiî),

ces 6

4

P L p

[COS'^0 \ 1

et l'équation (2) du n" !2;27, page 554,

CCS e

on reconnaît immédiatement que les conditions supposées rem-
plies par les trajectoires orthogonales Mm, M'm' s'étendent, de
proche en proche , à toutes les courbes qui font partie de leur
système, et qui sont comme elles, par rapport aux lignes géodé-
siques issues des points 0 et 0', des trajectoires orthogonales con-
juguées. Il est clair, en effet, que légalité primitive des arcs con-
jugués et celle de leur courbure géodésique se maintient de part
et d'autre, puisqu'il y a identité dans les vitesses avec lesquelles
ces arcs et ces courbures croissent ou décroissent simultanément
pour un même déplacement effectué suivant les lignes géodésiques
correspondantes.

Observons ici que pour réaliser l'hypothèse admise, en ce qui

On sait que les segments interceptés sur les lignes géodésiques par deux
quelconques de leurs trajectoires orthogonales sont tous égaux entre eux. Jl
en résulte que l'arc Mm' conjugué, par hypothèse, avec l'arc Mm est une
des trajectoires orthogonales dos lignes géodésiques issues du point 0' sur la
surface A'.

( :m )

concerne les conrhes Mm, W)}i\\\ suffît de les prendre dnns la po-
silion où elles se confondent , en même temps, Tune avec le jjoint
0, l'autre avec le point 0'. Cette simple remarque permet de
poser, dès à présent, la déduction suivante * :

A" Lorsque deux surfaces ont même courbure en leurs points
conjugués, les arcs conjugués, pris sur les trajectoires orthogo-
nales des lignes géodésiques , ont même longueur et, pour chacun
de leurs points conjugués , même courbure géodésique.

Cet énoncé s'étend en quelque sorte de lui-même à tous les
arcs qui sont conjugués entre eux sur les deux surfaces que l'on
considère. Soient, en effet, mn, m'n' deux arcs quelconques con-
jugués et situés respectivement l'un sur la surface A, l'autre sur
la surface A'. Imaginons que ces deux arcs soient décrits simulta-
nément, le premier par un point // animé d'une vitesse constante,
le second par un point fx' assujetti à prendre à chaque instant sur
l'arc m'n la position conjuguée avec celle que le point y. occupe
à ce même instant sur l'arc mn. Pour que cette condition soit rem-
plie, il faut, d'après ce qui précède, que les vitesses simultanées
des points f/, [>.' aient mêmes composantes, d'une part, suivant les
lignes géodésiques 0^, OV? d'autre part, suivant les trajectoires
orthogonales de ces lignes. Il faut donc aussi que ces mêmes
vitesses soient égales. Il suit de la que les arcs conjugués mn, m'n'
sont égaux entre eux et qu'ils coupent sous un même angle les
lignes géodésiques conjuguées qui leur correspondent respectiv<^
ment de part et d'autre.

Ces dernières déductions impliquent évidemment la réciproque
qu'il s'agissait d'établir. On peut donc conclure en résumant
comme il suit les deux propositions fondamentales que nous avons
démontrées successivement :

Pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre

Si la rigueur de cette déduction devenait douteuse; sMl arrivait, par
exemple, que l'un des points 0, 0' ne satisfît pas à la condition générale de
ne comporter qu'un seul plan tangent, on pourrait s'en tenir à la donnée pre-
mière, et maintenir, comme devant être réalisée, la supposition faite en ce qui
concerne régnlité de longueur et de courbure géodésicpie des arcs Mm, M'm'.

( 000 )

fifois décJiinrre ni ihrplicature, il est nécessaire et suffisant qu'elles
aient même courbure en leurs points conjugués.

1244. Le théorème qui vient dèlrc énoncé offre de précieuses
ressources pour les différents cas d'a})plication. Bornons-nous à
formuler quelques-unes des conséquences qui s'en déduisent im»
médiatement.

S'agil-il d'abord des surfaces développables proprement dites?
Ces surfaces étant, par hypothèse, applicables sur un plan sans
déchirure ni duplicature, il faut que leur courbure soit nulle en
tous leurs points. 11 s'ensuit qu'elles doivent être réglées et
qu'elles ne peuvent être gauches.

On sait, conformément à l'équation (12) du n° 197, page 487,
que le produit inverse des rayons de courbure principaux a pour
expression générale

1 rt — s''

RR' (i -f-p-H- r/'j-

II s'ensuit, comme nous en avons déjà fait la remarque au
n"208^ page b08,que les surfaces développables sont toutes déter-
minées par l'équation de condition

rt — s- = 0.

S'agit-il ensuite des surfaces gauches? En se reportant aux
théorèmes exposés, à partir de la page 497, dans les n"' 205 et 204,
on reconnaît aisément que, dans le cas où leurs génératrices rec-
tilignes sont conjuguées entre elles, les conditions à remplir, pour
qu'elles soient applicables l'une sur l'autre sans déchirure ni dupli-
cature, sont les suivantes en ce qui concerne deux quelconques de
CCS génératrices conjuguées :

Les points centraux doivent être conjugués entre eux; leurs
vitesses doivent être les mêmes en grandeur absolue et en direc-
tion relative *. Les distances comprises entre ces points et ceux

La ligne dite de striction n'étant autre chose que le lieu des points cen-
traux, les conditions énoncées reviennent à dire que, de part et d'autre, les |L
lignes de striction doivent être conjuguées entre elles. *

À

( m )

où le plan langonl fail un angle de 45" avee le plan tangent au
point central doivent être égales de part et d'autre.

S'agit-il encore des surfaces de révolution? Pour qu'elles soient
applicables l'une sur l'autre sans déchirure ni duplicature, pnr
superposition de leurs parallèles respectifs, il faut que les paral-
lèles ainsi conjugués aient même courbure géodésique; il faut,
en outre, qu'elles présentent même courbure en chacun des
points conjugués de leurs méridiens. Ces deux conditions revien-
nent à celle que nons avons formulée dans les n°' ;238 et 259,
pages 585 et 586, et qui consiste en ce que les rayons de deux
parallèles quelconques conjugués doivent conserver entre eux un
rapport constant.

L'égalité de courbure qui doit avoir lieu en chacun des points
conjugués de deux méridiens implique, conformémenl aux don-
nées du n" 240, page 590, l'équalion générale

(l"y' d'il

y y

Si cette équation subsistait seule, on pourrait y satisfaire, soit
en posant

(2) ~ = cons^S

y

soit, plus généralement, en se donnant;; en fonction de la va-
riable s\ considérant la vitesse ds comme constante et résolvant
l'équation différentielle

. ?/' ds *

y y

* Celte équalion revienlàla suivante

y . dj/ — y' (]y ^= c . rf.s'.

DifiTérenciée dans riiypotlièse on la vitesse (l<; est considérée comme con-
stante, elle donne

V'd'!/ — V'd-y~o,

et se confond ainsi avec réqniHion (1).

( 602 )

OÙ c est une constante quelconque, et qui se trouve ainsi rame-
née à une simple quadrature.

Mais, d'un autre coté, la courbure géodésique en un point
quelconque d un même parallèle a, pour expression générale,

cos e cos 0 i dy

p y y d^

et l'on doit avoir, par hypothèse, même courbure géodésique pour
chaque couple de parallèles conjugués. De là résulte cette autre
équation de condition

y y '

qui revient évidemment à

y'

ydy' — ij(hj^if(l—=o,
et donne ^ en conséquence,

y'

•-^ ^= cons•^

11 suit (\c lii, que léqualion (2) satisfait seide aux données de
la question et que les deux conditions, d'abord énoncées, se
réduisent à la condition unique formulée en dernier lieu.

245. S'agit-il enlin de deux surfaces quelconques, nayant l'une
et l'autre en tous leurs points qu'une seule et même courbure. Il
est une infinité de manières de les appliquer l'une sur l'autre et
sur la s})hère de courbure égale, sans déchirure ni duplicature.
Considérons, en particulier, le cas où les surfaces à déterminer
sont en même temps d'égale courbuiT et de révolution.

Soit A , Tune de ces surfaces. Si nous désignons par r- le
produit de ses rayons de courbure j)rincipaux et que nous déter-
minions l'ordonnée ?/ de la ligne méridienne en fonction de son

{ «05 )

nrc s (la vitesse ds étant supposée eonslaiile), on a pour équa-
tion différentielle de cette ligne

('*' ^^-"^7'

le tout, conformément à la formule générale du n° 240, page 592,
et, eu égard à ee que le second membre doit être pris avec le signe
supérieur ou avec le signe inférieur, selon que la ligne méri-
dienne tourne sa convexité ou sa concavité vers l'axe de rota-
tion.

Observons ici que les fonctions exponenlielles e ' et les fonc-
tions trigonométriques sin x , cos x, ont pour dérivées secondes
des quantités qui leur sont égales en grandeur absolue et dont le
signe reste le même ou cbange, selon qu'il s'agit des i)remières fonc-
tions ou des dernières. Partant de là, il est aisé de voir et devéri-
lier que l'équation (4) est satisfaite en posant, pour le cas de la
concavité ,

s , s

(5) V = C sin - -♦- C cos - 5

V / ^ r r

cf. pour le cas de la convexité,

(i;) ?y^C«" + C/e"^,

C, C étant deux constantes arbitraires.

Les équations (5) et (6) déterminent, par leurs lignes méridien-
nes, lenscmble des surfaces de révolution dont la courbure
cst^ . Dans celles qui correspondent à l'équation (;>), les lignes
méridiennes ne cessent pas de tourner leur concavité vers l'axe
de rotation. L'inverse a lieu pour les autres.

La' sp]u''re au rayon r est une des surfiices comprises dans
réquation (o). En plaçant l'origine commune des variables au
point y = 0, .s=^ 0, on a , nécessairement, C = 0 et l't'quation (5)
se réduit à

(7) y = C^\ny

( (iOi )

11 est (l'nilloiirs ('videul (}ue dans \c cns où il s'agit de eelle
splièrc, ou plus généralement d'une ligne méridienne, coupant à
angle droit l'axe de rotation , on a d'abord, comme tout à Flieure,
C'::r=r 0 , et , en outre , pour .s= 0 ,

M 1='.

réqualion (7) donnîjnî- en générai,

dij C s

— - = — cos - •
ds r r

On voit qu'on ne peut satisfaire à léquation (8) qu'en posant
C=r. Il suit de là, que la ligne méridienne, représenlc-e par
réqualion

. s
y =^ r sui -

esl la seule qui puisse couper à angle droit Taxe de rolafion.

Il est visible, d'ailleurs, que cette ligne n'est autre chose que
la demi-circonférence de cercle ayant son centre sur Taxe et la
quantité r pour rayon.

D'autres déductions très-simples découlent immédiatement des
équations (5), ((5) , (7). Bornons-nous , pour le cas de l'équation (7),
à signaler la suivonte. On a, en général,

r/x" = ds' — dy'^,

et, dans le cas pailiculier don! il s'agit,

cos'^ —
r

De là résulte

i

( ()()0 )

et, telle est, en coordonnées ordinaires, l'équation dilTérentielle
des lignes méridiennes comprises dans l'équation (7).

Remarque. — Lorsqu'on se domie une surface quelconque et
qu'on prend un point de cette surface, on peut toujours trouver
pour ce point une sphère ayant même plan tangent et même
courbure que la surface donnée. On conçoit, dès lors, que la
sphère, ou plus généralement les surfaces d'égale courbure,
soient aptes à ren)plir par rapport aux autres surfaces un rôle
analogue à celui du cercle osculatenr en ce ({ui concerne l(;s lignes
courbes. La considération des surfaces d'égale courbure et plus
particulièrement de la sphère peut ainsi de^ enir (luclquefois très-
utile dans certains cas d'application *.

chapitîil: XIV.

DIFFÉUEMIELLE6 DES ARCS, AIRES ET VOLUMES QLELCO.NOLES.

lieclificalioMS. — Quadra dires. — Ciibulures.

îîiO. Nous avons \w , dans les numéros (»j et suivants du cha-
pitre 111, i)age 178, connncnt on détermine les dilïerentielles des
arcs et des aires pour le cas des lignes planes, cojnmcnt aussi l'on
procède à la rectification des uns, à la quadrature des autres. La
jnarche suivie, en ce ([ui (oncerne les arcs, s'étend d'elle-même
au cas général des lignes à double courbure. 11 n'en est pas tout
à fait ainsi, lorsqu'on passe des aires ])lanes aux aires courbes. La
question ne conserve pas toujours le même degré de simplicité ,
et, comme celle des volumes circonscrits par des surfaces (juelcon-
ques, elle exige de nouveaux détails.

" Voii' au besoin, pour délails, le luéuioire déjà cilê de M. Oi^siaii Doiuiet,
pages iU7 et bunaiittb.

Occupoiis-iious d'abord des arcs dans l'espace. Nous traiterons
ensuite des aires et des volumes.

Différentielle et recti/lcation iVun arc quelconque.

247. Soit S une ligne à simple ou double courbure. Rapportons-la
d'abord à des axes coordonnés rectangulaires OX , OY, OZ.

Désignons par m un point mobile assujetti à décrire la ligne S et
sortant du lieu qu'il occupe à l'instant que l'on considère.

La vitesse actuelle du point m étant représentée par ih , elle
est dirigée suivant la tangente à la ligne décrite et a pour compo-
santes orthogonales les vitesses dx, dy, dz respectivement paral-
lèles aux axes OX , OY, OZ. On peut écrire, en conséquence,

(i) ds^=dx'-^df-\^dz\

De là résulte

et, par suite,

Les équations (2) et (ô) résolvent la question proposée, en ce
qui concerne la différentielle dun arc quelconque et la rectifica-
tion de ce même are. S'il restait quelques doutes sur le sens et la
])ortée de cette solution , on les dissiperait en se reportant aux
développements du n" 65, page 178. Il est, d'ailleurs, aisé de voir
comment la formule (3) se prête aux différents cas d'application,
soit que Ton considère séparément et successivement chacune des
])arties où la différence àz ne change point de signe, soit qu'on
prenne pour sz la sonnne des valeurs absolues qui correspondent
rcApectivement à ces mêmes parties.

( 007 )

Prenons pour c\ein|)le d'application un cas Irès-siniplc, celui de
riiélicc déterminée, eoinnieau n" Kiîî, page 39i, par les é(iuations

X =: r ces u, ij = y sin w, z = r.w tg a.
De là résulte, ainsi (pi'on Fa vu au numéro précité,

ils ^rV \ -\- tg'' a.rft».
On peut, en conséquence, écrire immédiatement

As =^ rv\ -\- ts;^ a . ^cc.

^48. Supposons maintenant que la ligne S soit rapportée à un

Fia. 9^). système de coordonnées polaires, et, sans rien

2^ changer à ce qui précède, prenons le point 0 pour

pôle, le plan des xy pour plan de projection, la

droite OX pour axe.

Projetons le point m en n sur le plan XOY, et

U

y ^ nonuîions

r le rayon vecteur 0^^; ,

43 l'angle du rayon r avec sa projection Oyi ,

e l'angle de la projection 0/i avec Taxe OX.

Lorsque le point m sort du lieu qu'il occu|)e, on peut le consi-
dérer comme entraînant avec lui le rayon ^ ecteur r et le plan m^n.
De là résultent, pour la vitesse r/s, trois composantes distinctes
f/?-, nU^ V cos-v f/o, tiues respectivement, la ])remière au glisse-
ment du point m sur le rayon vecteur r, la seconde à la rota-
tion d'^ du ra\ on r dans le plan i/iO/« , la troisième à la rotation
du plan mO)i autour de l'axe OZ.

Ces trois composantes étant icctangulaires, on a, évidemment,

et, par suite,

(;o<s

L'ap})licalioii de la ilcrjiicre formule se lait comme nous l'avons
iudi([ué pour la formule (ô) du numéro précédent.

Di II érenl telle el quadraiat'e tVune aire quelconque.

->4l). Ou conçoit (( priori qu'il existe nécessairement un rap-
port déterminé entre l'aire plane, prise pour unité de mesure et
une aire quelconque circonscrite, comme on veut, sur une surface
courbe. La difliculté consiste à préciser ce rapport, lorsqu'il s'agit
d'une aire que sa double courbure ne permet pas de ramener au
type plan , à moins d'une transformation préalable ou de quelque
artifice équivalent.

S'agit-il d'abord des surfaces développables? Par cela seul qu'on
peut les appliquer sur un j)lan sans extension ni contractioji
d'aucun de leurs éléments linéaires ou superficiels, il est visible
qu'elles comportent l'application directe des formules établies
pour les aires planes aux numéros 07, 08 et 09 du cbapitre IH.

S'agit-il ensuite des surfaces de révolution? On peut, ainsi que
nous l'avons fait voir au n° 238, page 583, les transporter sur un
cylindre. Si, dans ce transport, les éléments linéaires cbangent,en
général, de forme et de grandeur, ils ne cessent pas néanmoins
de conserver aux aires qu'ils circonscrivent, leurs étendues pre-
mières. Il ne reste donc qu'à développer le cylindre et l'on est
ramené, coujuic tout à l'Iieure, au cas des aires planes.

S'agit-il enfin d une surface ({uelcou(jue, prise dans son ensem-
ble, ou réduite h Tune de ses parties? Désigiious par A la poj'lion
considérée et supposons ((u'elle s'engendre par le déplaremcnt
continu dune ligne S incessannnent variable.

IMacons-nous à un instant quelconque déterminé el noju-
inons A' l'enveloppe des plans qui, à cet instant, toucbent la sur-
face A le long de la ligne S. (^ctlc enveloppe étant par rap])ort à
CCS plans le lieu de leurs caractérisiiqucs, on est en droit de for-
mulci- innnédialemciit les déductions suivantes :

1 " L'en^clopl^c A' est une surface dt'veloppable;

2" Lc^ jilau:? qui loutlicnt la surface A' le long de ;A's généra-

( cm )

tricL's rc'ctiligncs, touchent en même temps la sarfaec A le long
de la ligne S ;

3" Les vitesses qui animent les différents points de la ligne S ,
au sortir du lieu qu'elle occupe sur la surface A , sont toutes conte-
nues dans les plans tangents à la surface A';

4" On peut substituer la surface A' à la surface A , tout en
conservant à chacun des points de la ligne S sa vitesse actuelle.

Mais, d'un autre côté, c'est uniquement des vitesses actuelles
des différents points de la ligne S que dépend la différentielle de
l'aire engendrée par cette ligne au sortir du lieu qu'elle occupe
sur la surface A. On peut donc aussi substituer la surface A' à la
surface A sans modifier en rien cette différentielle.

Cela posé, développons sur un plan la surface A' et, après
avoir tracé sur ce plan la transformée S' de la ligne S, détermi-
nons la différentielle de l'aire engendrée par la ligne S', eu égard
aux vitesses que ses différents points conservent dans le dévelop-
pement. L'identité qui subsiste entre cette différentielle et la pré-
cédente montre suffisamment comment le cas général d'une aire
courbe est réductible à celui d'une aire plane.

250. Le problème à résoudre, d'après ce qui précède, consiste
à déterminer la différentielle de l'aire engendrée par une ligne
plane S' qui se meut dans son plan , avec ou sans changement de
forme, et dont on connaît, pour chacun des points, la vitesse ac-
tuelle. On peut supposer, d'ailleurs, que cette vitesse est constam-
ment dirigée suivant la normale correspondante. Il suffit, pour
cela, qu'on se donne les trajectoires orthogonales des positions
successives de la ligne S sur la surface A et qu'on assujettisse
chacun des points de cette ligne à décrire celle de ces trajectoires
qui lui correspond.

Soient MN le lien actuel de la ligne S' ; m un point de cette ligne ;
mo la tangente en ce point; me la normale; « la
vitesse du point w.

On sait que la vitesse ^i , dirigée par hypothèse
suivant la normale cm , est dite , en génér^d, vitesse
de circulation.

Représentons par dA la différcnlicllc cherchée

3y

( <>10 )

et supposons qu'elle corresponde à Taire engendrée par le segment
Mm de la ligne S'. Si, au lieu de rester fixe sur la ligne S', le point m
sort du lieu qu'il occupe en glissant sur cette ligne , la quantité dX
devient variable en même temps que la longueur Mw, et elle croît
ou décroît avec une certaine vitesse d (c/A). Proposons-nous de
déterminer cette vitesse. Toutes cJioses égales, d'ailleurs, elle est
la même que si la ligne S' était remplacée de part et d'autre du
point m par sa tangente en ce point. Mais, dans cette hypothèse,
en désignant par o le centre instantané de rotation de la tan-
gente mo, et par w sa vitesse angulaire, on peut écrire , conformé-
ment à la formule (5) du n° 68, page 185,

1 2

f/A = - mo .0).
2

De là résulte, immédiatement,

d . (dk) = mo . w . (/ {mo).

On a, d'ailleurs,

mo.a = u,

et, désignant par ds' la vitesse du point m sur la ligne S',

d{mo) = ds\

Il vient donc aussi, par simple voie de substitution,

(i) d{dX) = u.ds',

Au lieu de procéder comme nous venons de le faire, on peut se
donner le centre c de courbure qui correspond au point m de la
ligne S', et observer que la dilférentielle cherchée ri. (f/A) conserve
une seule et même détermination, soit que l'on considère la
ligne S', soit qu'on lui substitue, à partir du point m, le cercle
osculateur ayant son centre en c et le segment cm pour rayon. Si
l'on désigne alors par W la vitesse angulaire de ce rayon, on a
comme ci-dessus

dx = - cm .\y,

( <'ll )

et. i)ar suite,

• (l.{dA) = an .W. f/ [cm).

Ou a, d'ailleurs, ainsi ({u'ii est aisé de le voir,
(l((w) =: u , cm . W =^ ds'.

Ces valeurs substituées dans Téciuation précédente conduisent
au même résultat que les premiers calculs.

La formule (1) implique, comme équivalent, la relation géné-
rale

ou, ce qui revient au même,

(:2) dA = s\MUi,

les quantités dA et s' s'annulant toutes deux, en même temps, à
l'origine commune de leurs accroissements simultanés.

Les équations (1) et (2) ne cessent pas de subsister lorsqu'on
revient de la transformée S' à la ligne S. On peut donc écrire gé-
néralement, d'une })art,

(3) d{d\) = u.ds,

cl d'autre part ^

(4) d\ = s.Mlti,

Le tbéorèmc exprimé par l'équation (4) est général. On peut
l'énoncer comme il suit :

L'aire engendrée jmr une ligne quelconque S qui se meut dans
l'espace, avec ou sans changement déforme, a pour différentielle
le produit de cette ligne par sa vitesse moyenne de circulation.

Il est entendu que les facteurs de ce produit sont respective-
ment, l'un la longueur rectifiée de la génératrice S, Tautie la

moyenne des vitesses de circulation qui animent à la fois les diffé-
rents points de cette ligne.

251. Reprenons la question générale des aires courbes et trai-
tons-la directement.

Soient m un point d'une surface; P le plan tangent en ce point;
1 un contour quelconque fermé passant par le point m et circon-
scrivant sur la surface donnée une aire A.

De même qu'en se rétrécissant d'une manière continue le con-
tour 2 peut décroître jusqu'à s'évanouir et faire évanouir avec lui
l'aire A, de même et inversement il peut prendre naissance à
partir de zéro, étant, d'abord, comme concentré tout entier dans
le lieu m. Plaçons-nous à ce dernier point de vue et concevons en
m une infinité de points mobiles, désignés par ,u et assujettis à for-
mer par leur ensemble le contour 2. La vitesse avec laquelle l'aire
A s'engendre à partir de zéro ne peut évidemment dépendre que
des vitesses qui animent respectivement et simultanément chacun
des points |7, au sortir du lieu m. Mais, d'un autre côté, ces vitesses
sont toutes dirigées et comprises dans le plan P. On voit donc
que tout se passe» à l'origine , comme s'il s'agissait de l'aire plane
circonscrite sur le plan P pnr la projection du contour 2.

Par le point m menons dans le plan P deux droites rectangu-
Fig. 97. laires mt, ml. Soient p et q deux points pris, comme

/ on veut, lun sur la droite ml, l'autre sur la droite

ml. Achevons le rectangle mpnq et considérons-le
comme étî^^it la })rojection du contour 2 sur le plan

. '^ P*.

V.w désignant par A' l'aire du rectangle mpnq, on a, générale-
ment.

A' = mp.mq.

Supposons d'abord que le point q soit fixe et que le point p
glisse sur la droite ml avec la vitesse u. Si l'on prend, dans cette
hypothèse, la différentielle de l'aire A', il vient

diV = u.mq.

" Cela revient à dire qu'on détermine le contour 2 par la condition qu'il
ait jM^ur lutijeciiou sur le plan P le contour mpnq.

( <H3 )
Supposons maintenant que le point q se déplaee en glissant sur
la droite ml avec la vitesse r. La quantité dX' devient variable
avee le segment mq, et elle a pour différentielle

(1) d.(dA') = u.v.

Léquation (l) ne cesse pas de subsister lorsque les points p et
^sont situés primitivement en m et qu'ils sortent de ce lieu, en
glissant, l'un sur la droite ml avec la vitesse ii, l'autre sur la droite
ml avec la vitesse v. Mais, dans cette hypothèse, on peut substi-
tuer Taire A à l'aire A'. On a donc aussi

(2) d(dK) = u.v.

Désignons par s une ligne quelconque tracée sur la surface A et
touchant en w la droite »?/. La vitesse i" n'étant autre chose que
la différentielle ds, l'équation (2) devient

(3) ". . d.[dA) = u.ds,

et l'on en déduit, comme au numéro précédent,

(4) dA = ^s.^C^%(.

252. Sans rien changer à ce qui précède, considérons, d'une

Fia. OS. P^i't , les lignes déterminées sur la surface A par les

Y ]\r _ positions successives de la génératrice s, d'autre

/^/ i)art, les trajectoires orthogonales de ces lignes. Soit

pl~h — m-'-'Q^ OX l'une de ces trajectoires. Prenons -la pour axe

[_^^^L--^^ des X et plaçons l'origine en 0.

^^ MN étant une position quelconque déterminée de

la ligne s, soient m l'un de ses points et VniQ la trajectoire ortho-
gonale correspondante.

Lorsque le point M glisse sur l'axe OX avec la vitesse dx et qu'il
entraîne avec lui la ligne 31N, le point ^/? de cette ligne glisse sur
la trajectoire PQ avec la vitesse u , et l'on a généralement

(1) ii=^f{s).dx.

( <in. )

De là rc??ulte,

(^2) d\ = dx.AsMl'^^' f{s).

On voit, crailleiirs, sans difficulté, que le produit àsM, f{s)
se résout nécessairement en une fonction déterminée de la va-
riable X. On a donc aussi

(ô) ^^=^x.^C'[^s^C'f{s)l

Cette dernière équation peut être considérée comme résolvant,
d'une manière générale, la question proposée. S'il s'agissait d'ap-
plications particulières, on ne perdrait pas de vue les détails qui
précèdent. Ils indiquent la marche à suivre dans les diverses opé-
rali<ms à effectuer successivement.

Veut-on préciser davantage? On peut prendre pour axe des y
celle des lignes s qui passe par le point 0. Si l'on désigne alors
par s et a- les segments Mm , Vni , on a

De là résulte, en premier lieu,

y = (h = Il (:r, y) . dx ,
et , par suite ,

dk = dx. \s^C'^' f:(x,y)r=dx.^s^C^' l'\x, <^{x, «)),
ce qui donne, en dernier lieu,
(4). , . AA = Ax.I\r/"'[^s.M' ' ll{x,<f{x,s))'\.

Quant aux opérations à cffectuier, elles consistent:
!" A déterminer pour une valeur quelconque de x, supposée
constante j la moyeiuie

(5) lir'V:(x,r (*,.)):

( «l-'i )

2" A cxprimri' cette nio}eniie ainsi que la dilTérencc a.s en
fonction de la variable x j de manière à pouvoir écrire

(6) ^s.]\C^V,:(a:,^(x,s))=F(x);

5" A poser et résoudre l'équation finale

(7) ^^ = ^x^C^''¥{x).

255. Au lieu de s'en tenir, comme on l'a fait jusqu'ici, à la con-
sidération directe de la surface donnée, il est, en général, plus
commode et plus simple de substituer à cette surface sa projec-
tion sur un plan déterminé. Le principe sur lequel on s'appuie
pour opérer cette substitution s'établit aisément de la façon sui-
vante :

Soit A une aire quelconque située dans un plan P et projetée
en A' sur un plan P'. On peut considérer les aires A, A' comme
engendrées simultanément, l'une par un segment de droite mo-
bile dans le plan P, l'autre par la projection sur le plan P' de ce
même segment. Soient A, A' les deux segments dont il s'agit. On
peut en disposer de manière à ce qu'ils soient et restent perpen-
diculaires à l'intersection des plans P, P'. Supposons qu'on les
assujettisse à remplir cette condition, et désignons par v leur
vitesse commune de circulation. On a, conformément à la for-
mule (2) du n" 68, page 184,

(1) dA^i.v, dk'=l'.v.

Il est visible, d'ailleurs, cfu'en désignant par y l'angle des plans
P, P' on a constamment

(2) A' = ;. . cos -;?.

De là résulte

(5) (/A' = coso.r/A,

et, par suite,

(4) AA'=AA.C0Sy,

( 010 )

ou ce qui revient au même, puisque les aires A, A' s'annulent, en
même temps, à leur origine commune,

(5). . . . . . . A' = A cos f.

L'équation (5) exprime pour deux aires planes quelconques, dont
Tune est la projection de l'autre, le théorème suivant :

L'aire projetée est égale au produit de l'aire projetante par le
cosinus de V angle que les plans des deux aires font entre eux.

On peut dire de la même façon :

L'aire projetante est égale à l'aire projetée divisée par le cosi-
71US de l'angle que les plans des deux aires font entre eux.

Cela posé, soit

(C) ^^f{x,y),

l'équation d'une surface quelconque rapportée à des axes coor-
donnés rectangulaires OX, OY, OZ.

Prenons sur cette surface un point w, projeté en m' sur le plan
Ficf. 99. ^^^ ^y- ^^ ^^^^s désignons par A' une aire quelconque
2 située dans ce plan, et que nous appliquions au point

m' de cette aire la formule (2) du 251 , page 615 , il
vient, en général,

(7). . . . d{dk')=^v.u

Soit (/ (r/A) la différentielle pour le point m d'une aire quel-
conque A située sur la surface donnée et projetée en A' sur le
l)Ian (les xij. On peut toujours déterminer la différentielle d {dX)
par la condition que Taire plane qui lui correspond dans le plan
tangent cii m ail pour projection sur le plan des xy le rectangle
a}ant pour côtés les vitesses v et u. On a dès lors, conformément
à ce qui précède,

(8) a.(dK)^^~^^^^^,

cos 'y COS 'y

( <il7 )

^ étant l'angle que le plan tangent en m h la surface <lonnée fait
avec le plan des xy.

Représentons par p et q les dérivées partielles i-t^J 5 |^|. En
combinant les équations (5) et (4) du n" 1G5, page 417, avec la
dernière des équations (3) du n" 129, page 558, on trouve aisément

(9) COS a?

K 1 -+- p^ -+- (f

De là résulte, en substituant,
(iO). . . . d.{dX) = v.u.\/\ -^f-^q'.

L'équation (10) a la même généralité que celles d'où nous
l'avons déduite. Comparée à l'équation (2) du n" 251, page G13,
elle offre l'avantage d'être mieux préparée pour le cas ordinaire
des applications.

254. Les vitesses u ci v n'étant assujetties qu'à la condition
d'être rectangulaires, prenons-les constantes et dirigeons-les de
manière à ce qu'elles soient respectivement parallèles, l'une à l'axe
OX, l'autre à l'axe OY. Cela revient à poser

Il =z dx = eons'% v == dy = cons'^
On a, d'ailleurs, d'après léquation (\0) du numéro précédent,

(1). . . . d.{dA) = dx.dy.[/l ^p'-^q\

Supposons que le point m' se déi)lace le long de l'ordonnée qui
lui correspond. L'abscisse x demeurant constante ainsi que la
vitesse dxy l'ordonnée y varie seule dans les fonctions p et q. De là
résulte, en premier lieu ,

(2). . . . dA = dx.^yMl'^^'^/'^^i^yTY'
Soient

( ('>I8 )

les équations des lii^jncs qui limitent, de pnrtct d'autre, l'ordonnée
y dans le plan des xy. Il vient

et eomme la moyenne qui figure dans le second membre de l'équa-
tion (2) se résout nécessairement en une fonction de l'abscisse x ,
on peut écrire

^y.^C^' l/l +f^(f= F(a"),

et, par suite,

(5) dk = \'{x),dx.

Imaginons maintenant que l'ordonnée y se déplace de manière
à décrire l'aire A'. L'abscisse x supposée jusqu'ici constante de-
vient variable à son tour. Néanmoins Téquation (ô) ne cesse pas
de subsister. De là résulte, en second lieu,

(4) ^^=^x^C^"V[x).

On voit, par ces détails, comment l'équation (J) implique
l'équation correspondante

et comment il faut opérer sur celle-ci pour en déduire l'expres-
sion numérique de l'aire à mesurer sur la surface que l'on consi-
dère.

Observons qu'on peut procéder en sens inverse, c'est-à-dire en
opérant d'abord sur l'ordonnée y comme nous l'avons fait sur
l'abscisse x et réciproquement. On trouve ainsi

y + ùiv, -m.^-^-^'

(G). . . ^^ = ^y^]!',,\^x^\V'V\-^2^'■^(f)^

Les équations (o) et (0) conduisent également au résultat cher-
elle. Le choix à faire entre elles dépend des facilités plus ou moins

( 019 )

grandes qirellcs présentent au point de vue des opérations indi-
quées dans leurs seconds membres. Prenons pour exemple le eas
où le radical V^l -+- p^-i- (f dépendrait exclusivement de la va-
riable y. L'équation (0) devrait, en général, être préférée, vu
qu'elle se réduit immédiatement à la forme plus simple

.y-y-l^y

^K = ^yM,, àxVl + p^ h- cf.

Le contraire aurait lieu si le radical Kl -i-p^-i- (y- ne dépen-
dait que de l'abscisse x. On atteindrait plus aisément le but en
recourant à l'équation (o) et posant, comme on le peut alors,

X-}- Ax

A A = AX.3I, A?/ ]/{-{- p^ H- (f.

255. Montrons par quelques applications le parti qu'on peut
tirer, en certains cas, de tout ce qui précède concernant la qua-
drature des aires courbes.

Considérons d'abord les surfaces développables. Il est visible «
priori qu'il existe une infinité de manières de tracer sur ces sur-
faces un double système de lignes géodésiques dont les unes soient
les trajectoires ortliogonales des autres. On voit de même qu'en
prenant pour génératrices les lignes de l'un de ces systèmes, et
pour directrice l'une de leurs trajectoires orthogonales j. on a,
comme dans le cas des aires planes ,

aA= ^xM,^ y.

La seule différence consiste en ce que, au lieu d'être rectilignes,
les segments représentés par y pour les génératrices, et par ax
pour la directrice, sont généralement courbes.

On parvient au même résultat en partant de l'équation (4) du
n° 251, page 615. On peut, en outre, faire l'observation suivante:

Il suffît que les génératrices soient des lignes géodésiques pour
qu'elles se rectifient dans le développement.

Cela posé, il est aisé de voir que le théorème du n" 67, page 185,
comporte l'extension suivante :

La différentielk de Vuire engendrée par vn segment de ligne

( C20 )

géodésique, gui se meut sur une surface développable entre deux
courbes quelconques , est égale au produit de ce segment par la
vitesse de circulation de son point milieu.

S'agit-il en particulier des cônes ou des cylindres et de l'aire
comprise sur ces surfaces entre deux quelconques des trajectoires
orthogonales de leurs génératrices rectilignes? L'énoncé qui pré-
cède implique cette autre déduction :

L'aire engendrée sur un cône ou sur un cylindre par le seg-
ment compris sur les génératrices rectilignes entre deux quel-
conques de leurs trajectoires orthogonales a pour mesure le pro-
duit de ce segment par la trajectoire de son point milieu,

256. Considérons en second lieu les surfaces de révolution.

Le procédé que nous avons décrit au n^ 238 , page 585 , sous
le nom de développement homalograpliique, fait voir immédiate-
ment que pour obtenir l'équivalent de l'aire circonscrite sur ces
surfaces par un contour donné, tout se réduit aux opérations sui-
vantes :

i° Rectifier un méridien quelconque;

2" Conserver sur le méridien rectifié les points de division mar-
qués par les parallèles;

5" A partir de ces points rectifier Tes parallèles suivant des per-
pendiculaires au méridien rectifié;

4° Reporter sur les parallèles rectifiés les points de division
marqués par le contour donné.

Partant de là, on voit aisément que la différenliellc de faire
engendrée par un parallèle a pour expression

(1) dA = '27z,y.ds,

y étant le rayon du parallèle que l'on considère et ds la vitesse
d'un point quelconque de ce parallèle sur le méridien qu'il décrit.
Observons que la quantité ds est la vitesse de circulation com-
mune à tous les points du parallèle considéré. Cette simple obser-
vation suffît. Elle permet d'écrire l'équation (!) comme traduction
directe du théorème général formule au n° 250, page Gli.

( 'i2l )

Lc(Iuation (I) donne

(i>) 4A = As.M;r^':27r.7/.

Il est visible, d'ailleurs, que s'il s'agissait de laire comprise
entre deux parallèles et deux méridiens, ceux-ci faisant entre eux
un certain angle a, on devrait remplacer Stt par cet angle, et
écrire en conséquence

s -4- :i s

(ô) aA = aa^.Ms '^'U-

Le théorème exprimé par l'équation (5) peut s'énoncer comme
il suit :

L'aire engendrée sur une surface de révolution par la rotation
d'un segment méridien a pour mesure le produit de ce segment
par l'arc moyen cfu^il décrit.

Il est entendu que les facteurs de ce produit sont respective-
ment, l'un la longueur recfifice du segment générateur, l'autre
la moyenne des arcs décrits par les différents points de ce même
segment.

Appliquons la formule (1) au cas d'une surface sphérique. En
désignant par R le ra}on du méridien et j)ar x la distance du
centre de la sphère au parallèle mobile, il est aisé de voir ({ue Ton
a généralement

yd.S ^^ Wdjf.
Delà résulte, par \oie de substitution,

(4) f/A = î2-R.^/x.

L équation (4) donne

\X = 2tR. AT,

c'est-à-dire la mesure connue de la zone sphérique.

( (i'22 )

La combinaison des équations (2) et (4) conduit à la relation
générale

o

AS

On en déduit, pour le cas où il s'agit de toute la sphère, às
devenant égal à ;rR , et a.z à 2R ,

M:2;rî/ = 4.R.

On voit par là que la circonférence moyenne qui correspond à
Tensemble des parallèles, lorsqu'on les distribue nniformémenl
suivant le contour du méridien , a pour longueur quatre fois le
rayon de la sphère.

2j7. Reprenons la fonnule

(1) dA^'îiryds,

et montrons comment elle s'applique au cas général où le méri-
dien considéré se compose de deux segments MN, M'N' disposés
symétriquement par rapport à un centre C, ou par rapport à une
droite LCK parallèle à l'axe de révolution IG.

Soit J( la distance de la droite LCR à l'axe IG. Si Ton conjugue
I'l(j. 100. entre deux points quelconques m, ni situés

/»/ symétriquement, riin sur l'arc MN, l'autre sur

\ Tare M'N' et qu'on désigne par ;:; la distance de

^ i: ces points à la droite LCK , on a généralement

m
M

W

le signe à prendre étant le supérieur ou linféricur selon qu'il
s'agit du segment MN ou du segment M'N'.

Distinguons les portions de surface engendrées simultanément
et symétriquement. Tune par l'arc MN, l'autre par l'arc M'N'.Ona,
pour la première ,

0) dk--^^l-[h -\ z)ds,

( «^3 )
et, pour la seconde,

(4) f/A' = 2r(/t— -)^/6-,

la quantité ds affectant, de part et d autre, une seule et même
valeur.

La combinaison des équations (5) et (4) donne, d'une part,

(5). . . . dA-\'(LV:=d{X-^A') = A-hds,
et, par suite,

(6) ^{\•^^') = i-li.^s,

d'autre part,

(7). . . . dA—dX' = d[\ — X'] = i7:zds,

et, par suite.

Ces résultats impliquent les énoncés suivants, où Ion doit
observer que les aires changent de signe pour les parties des
segments générateurs qui s'abaisseraient au-dessous de l'axe de
révolution :

1'^ Les surfaces engendrées par les segments WS ^ WX dans
leur révolitiion autour de l'axe IG ont pour so)nme algébrique le
double produit du segment MN par la trajectoire du point C;

2° La différence algébrique de ces surfaces est indépendante de
la distance du point C à l'axe de révolution. Elle a même mesure
que si la rérolution s'effectuait autour de la droite L(]K.

Dans le cas particulier du tore, les segments MN, M'N' étant
situés tous deux sur une même circonférence de cercle au rayon r,
on a, comme au numéro précédent,

zds = rdx.

( <>^i4 )
Cette valeur substituée dans l'équation (7), donne

(1{X — A') = i7Tr.dx,
et, par suite,

(9) ^{^ — X') = inr.^x.

On a, d'ailleurs, eomme dans les cas généraux traités ci-dessus,
(10) ^{X-\-X') = inh.^s.

De là résulte, d'une part,

A A = 27r/iAs -+- ^2nràx,
d'autre part,

^^' =^^7This — 2;rrAx,

et la question se trouve ainsi complètement résolue.

258. Considérons, en dernier lieu, le cas général d'une surface
quelconque et bornons-nons à ajouter un nouveau tliéorème à
ceux que nous avons exposés précédemment.

Reproduisons l'équation (4) du n" 250, page 61 1.

et renoncé «prelle implique.

Luire en(jeiidrée pur une ligne quelconque s qiti se meut, avec
ou sans changement de forme j a pour différentielle le produit de
tette ligne , par sa vitesse moyenne de circulation.

Soit A une portion de surface circonscrite par un contour
donné. On peut toujours, et cela d'une infinité de manières, con-
sidérer Taire A comme le lieu d'une suite continue de lignes cr,
toutes géodésiques. Assujettissons la ligne s h se confondre succes-
sivement avec cbacune des trajectoires ortliogonalcs des lignes c
Il s'etisuit (jue la vitesse u est à chaque instant la même pour

( 'i^-if> )

tous les points de la ligne S et qu'on peut éerire en Lonsécjuencc,

Cl\ ==::: s . ît ^= 6 . dl .

J)e là résulte, immédiatement

et l'on a ce nouveau théorème :

Valve engendrée sur une surface quelconque par (a trajectoire
orthogonale d^une suite de lignes géodésîques a pour mesure lare
compris sur ces lignes entre les positions extrêmes de la trajec-
toire, multiplié par la longueur moyenne du segment généra-
teur.

Il est deux cas généraux où l'on peut se donner à priori une
suite continue de lignes géodésiques. Ce sont ceux des surfaces
réglées et des surfaces de révolution. •

Dans le cas des surfaces réglées , l'énoncé général formulé ci-
dessus comprend la déduction suivante :

L'aire engendrée sur une surface réglée par la trajectoire
orthogonale des génératrices rectilignes a pour mesure la dis-
tance comprise entre les positions extrêmes du segment généra-
teur, multipliée par la longueur moyenne de ce même segment.

Dans le cas des surfaces de révolution, si l'on prend pour lignes
géodésiques la suite des méridiens, on a les parallèles pour trajec-
toires orthogonales de ces lignes. On retombe ainsi sur la solution
du n" 256, page G2I.

Supposons, pour terminer, qu'il s'agisse du développement
homalograpliique du ne aire A circonscrite par un contour donné
sur une surface quelconque. D'après ce qui précède, tout se réduit
aux opérations suivantes :

i" Rectifier une des lignes a\

2" Conserver sur la ligne a rectifiée les points de division mar-
(jués par la ligne S dans ses positions successives;

ÏOME XV. 40

( ():2(3 )

5" A partir de ces points, rectifier la ligne S suivant des per-
pendiculaires à la ligne o- rectifiée;

4° Reporter sur la ligne S rectifiée les points de division mar-
qués par le contour donné de l'aire A.

II est visible qu'au point de vue des quadratures, ce procédé
établit une analogie complète entre la mesure des aires planes et
celle des aires courbes, les lignes o- jouant le rôle des abscisses et
leurs trajectoires orthogonales celui des ordonnées.

Différentielle et cubature (Vun solide quelconque.

259. Soit H un cylindre droit h base quelconque A. Désignons
par P le plan de la base, par S une surface à déterminer comme
on veut, par V le volume intercepté dans le cylindre H par le
plan P et la surface S.

Supposons, d'abord, que la surface S se réduise h un plan P'
pt^i'alièle au plan P. En désignant par z la distance du plan P' au
plan P, il est visible qu'on peut écrire à priori

^Y

— =cons"' = C,

àz.

et, par suite,

(1) V = C^.

On voit de même que la constante C ne peut être ni moindre,
ni plus grande que la base A. Elle lui est donc nécessairement
égale. De là résulte

(2) V = A.z,

et, par suite,

(5) dy=A.dz.

Considérons un cas plus général , celui du volume engendré I
par l'aire A, lorsqu'elle se meut avec ou sans changement de

( Crl7 )

roinic, le plan qui la contient conservant d'ailleurs une direction
constante.

Donnons-nous l'aire A dans une position quelconque déterminée
et représentons-nous le cylindre droit dont elle est actuellement
la base. Soit H ce cylindre. L'aire A pouvant sortir du lieu qu'elle
occupe suivant deux sens directement opposés, comparons le
volume qu'elle engendre à celui que son plan intercepte dans le
cylindre H. Si ces volumes demeuraient égaux de part et d'autre,
on aurait, comme tout à l'heure,

d\ = A.dz.

En général, ils sont inégaux, et si le premier l'emporte d'abord
sur le second pour l'un des deux sens à considérer, l'inverse a
lieu pour le sens contraire. S'agit-il du sens où le premier volume
commence par l'emporter sur le second? La différentielle cher-
chée ne peut être moindre que le produit A.dz. S'agit-il du sens
opposé? Le premier volume commençant par être inférieur au
second, la différentielle cherchée ne peut être plus grande que ce
même produit. Mais , d'un autre côté, cette différentielle n'admet,
ainsi qu'on l'a vu au n" 69, page 185, pour l'un et l'autre cas,
qu'une seule et même valeur. On a donc nécessairement, et tou-
jours,

(4) d\=:X.dz.

De là résulte , en général ,

(5) ^Y = àz.K'^^'A,

et l'on a le théorème suivant :

Le volume engendré par une aire plane qui se meut dans Ves-
pace, avec ou sans changement de forme, et dont le plan conserve
une direction constante a pour mesure le produit de la valeur
moyenne de l'aire génératrice par ladistance que cette aire fran-
chit perpendiculairement à son plan.

Ce simple théorème peut être considéré comme résolvant à lui

( (i-i8 )

seul la question générale des cubatures. Quel que soit, en effet,
le solide que l'on ait à euber, rien n'empêche qu'on se donne
pour aire génératrice la section faite à l'intérieur par un plan
mobile de direction constante.

2G0. Reprenons les données premières du n*' 259, en supposant
que la surface S se réduise à un plan quelconque P'.

Soit I rintersection des plans P, P'. Considérons la base A et le

„. , „ , volume V comme engendrés simultanément, la base
tig. loi. ^ \

A par un segment rectiligne 3IN , assujetti à rester

0 parallèle à la droite I , le volume V par le rectangle
qui se projette en MN et dont la base supérieure est
située dans le plan P'.

En désignant par dx la vitesse de circulation du
segment MN, par y la longueur de ce segment, par J3 la hauteur
du rectangle projeté en MN, on a, d'après la formule (2) du n" C8,
page 184,

cl A. = y.dx ,

et, d'après la formule (4), étabHe tout à l'heure au n" 259,

dy = zy. dx.

De là résulte

(1) dY=-z.dX,

et . par suite ,

(2) AV=iA.M^'-^'(4

OU, plus simplement,

(3) ^ . . V==A.M(4

Les équations (i) , (2), (5) résolvent la question proposée en
ce qui concerne la différentielle et la cubature d'un tronc de cy-
lindre.

Sans rien changera ce qui précède, imaginons que le plan P'

i

( (i2i) )

sorte (lu lieu qu'il occupe eu touruaut autour de la droite I. Dif-
féreuciée daus celle hypothèse, l'équatiou (1) donue

(4) d.dY = (lz.(lA,

et, par suite. Tordre des différentiations effectuées sur le vo-
lume V étant interverti,

(5) i(l\=M\.Ul'^^\dz),

ou plus simplement,

(6) dy^-\.M{(lz).

L'équation ((») est générale. Appliquée au cas où le plan P' sort
du lieu P en tournant autour de la droite I, elle s'étend delle-
mcmc au cas d'une aire plane qui se meut comme on veut dans
l'espace avec ou sans changement de forme. Celte extension pou-
vant se démontrer par un procédé identique à celui que nous
avons suivi pour généraliser l'équation (5) du n** 259, nous nous
hornons à constater sa légitimité. On a, en conséquence, le théo-
rème suivant :

Le volume engendré par une aire plane qui se meut dans r es-
pace, avec ou sans chanyemerd de forme, a pour différent ielle le
produit de cette aire par sa vitesse moyenne de circulation.

2G4. Reportons-nous, de nouveau, aux données premières du
n« 259.

La surface S étant quelconque, considérons la hase A et le
volume V comme engendrés simultanément, la hase A par un
segment rectiligne MN de direction constante, le volume V par
la section plane B, faite suivant MN perpendiculairement au
plan P.

En désignant, comme au numéro précédent, par dx la vitesse
de circulation du segment MN , par y la longueur de ce segment,
par z l'ordonnée du point de la surface S qui se projette en m sur

( 6Ô0 )

le segment MN, on a d'abord, conformément aux formules (2)
et (4) du n'' 08, pages 184 et 485,

(1) cm = z.dy, B = y.M'(4

Il vient ensuite, d'après ce qui précède,
(^) dN=^.dx.

On peut écrire , en conséquence ,

(5) (l\ = y.dx.K(z),

et, substituant à y.dx sa valeur dk ,

(4) dV=dk,K{z).

De là résulte, en général,

(0). . . ^\=^^^C^\K{z)\ = ^kMT^\:^.

et s'il s'agit du volume V qui correspond a la base donnée A,

(G) V=:A.M(z).

Le tbéorème exprimé par l'équation (6) s'étend de lui-même
au cas où le volume à mesurer est limité par une enveloppe
quelconque. On peut, en efïet, projeter ce volume sur un plan
et prendre sa projection pour base du cylindre à considérer. Les
droites projetantes étant par hypothèse perpendiculaires au plan
de projection, il est aisé de voir qu'on a l'énoncé suivant :

Tout solide qu'on "projette orthogonalement sur iiti plan a
pour mesure le produit de l'aire projetée par la longueur
moyenne des segments que l'enveloppe intereepte sur les droites
projetantes.

On ne perdra pas de vue que la moyenne dont il s'agit corres-
pond à une ri'partitioii faite uniformément sur Taire projetée.

Si les droites projetantes étaient obliques, relativement au plan
de projection, rien ne serait changé, si ce n'est l'unité de mesure,
le cube étant remplacé par un parallélépipède, ayant ses côtés
égaux à ceux du cube, sa base carrée, ses arêtes latérales incli-
nées sur la base comme les droites projetantes sur le plan de pro-
jection,

262. Considérons la base A comme étant la projection sur le
plan P d'une aire courbe qui se meut dans l'espace avec ou sans
changement de forme. Différenciée dans cette hypothèse, l'équa-
tion (6) donne, en général,

dy=AM{dz)-\-dA.M(z).

De là résulte , pour le cas où la surface S se confond d'abord
avec le plan P, chacune des valeurs représentées par z se rédui-
sant à zéro,

(7) dy=AM{dz),

Revenons à l'équation (2). En la différenciant par rapporta B,
dans l'hypothèse où , sans sortir du lieu qu'il occupe, le segment
y s'allonge ou se raccourcit par le déplacement de l'une de ses
extrémités, on a, d'abord,

d.d.\=dB.dx,

puis, remplaçant t/B par sa valeur z.dy,

(8). . \ . . . . d,d.\= z.dy.dx.

Appliquons l'équation (8) au point m du segment MN et , ce
point restant fixe , imaginons que la surface S se déplace avec ou
sans déformation. La quantité d.d\ devient variable, en même
temps que l'ordonnée z, et elle a pour différentielle

(9) d.d.dY= dz.dy.dx,

cette différentielle étant prise à partir du point où l'ordonnée z
vient couper le lieu actuel de la surface S.

( G52 )

L'équation (9) s'étend à tous les cas , l'aire dx.dy pouvant être in-
difréremment constante ou variable le long de l'ordonnée z. Cela
résulte du théorème du n° 260, page ()29. On le voit aussi en diffé-
renciant l'équation (8) d'après la règle établie pour le produit de
deux facteurs, et en observant que pour attribuer à la différen-
tielle cherchée sa vraie valeur, il faut opérer comme si l'ordon-
née z avait son origine sur la surface S : il s'ensuit, en effet, qu'on
doit annuler z dans le résultat de la différentiation , ce qui re-
vient précisément au même que si le facteur 2 était seul variable.

La différentielle exprimée par l'équation (9) est absolument
générale. Elle s'applique à tout point pris comme on veut, à l'in-
térieur d'un solide.

S'agit-il d'une suite de points déterminant, par leur ensemble,
une surface quelconque S, sortant tous à la fois des lieux qu'ils
occupent et glissant, chacun sur la normale f[ui lui correspond?
On peut pour chaque point substituer à la surface S le plan qui
la touche en ce point. On peut aussi mesurer les vitesses dx sui-
vant des lignes géodésiques dont on prendrait les trajectoires
orthogonales pour y porter les vitesses dy. Supposons qu'on opère
de cette façon et qu'on effectue le développement homalographi-
q-uc de la surface S, d'après le procédé décrit au n° 238 , page 025.
Si dans ce développement, on conserve à chaque point sa vitesse
de circulation repréiîentée par dz, rien n'est changé ni dans la
différentielle d.d.dY, ni dans aucun des trois facteurs dxy dy,
dz. La conséquence évidente est que l'équation (7), établie d'abord
pour le cas d'une aire plane et applicable, en conséquence, au
développement homalographiquc de la surface S , ne cesse pas de
subsister pour le cas d'une aire courbe dont les diff'érents points
se déplacent normalement à cette aire. De là résulte le théorème
suivant :

Le volume engendré par vne aire qui se ment, avec ou sans
changement de forme, a pour différentielle le produit de cette
aire par sa vitesse moyenne de circtilation.

Ce théorème comprend, comme cas particulier, celui que nous
avons formulé au n'' 2C0, page 629, pour le cas des aircts planes.

( 655 )

265. Indiquons, d'après ce qui précède, comment on peut
opérer, en général, pour elTcctucr la cubalure d'un solide rapporté
à des axes coordonnés rectangulaires OX, OY, OZ.

Soient

(') ^=^{^^y)y z = t\x,y),

les équations des surfaces qui limitent supérieurement et infé-
rieurement le volume à mesurer.

On peut partir de l'équation (9) du n'''262,

(2) d.d.d\ = dx,(hj.dz.

Les vitesses dx, dy étant supposées constantes, on en déduit

(5). . d.d.Y= ^z.dx.dy=[ F (x, y) — [(x, y) ] dx . dy.

L'équation (5) , où la variable x doit dabord être considérée
comme constante, donne de même

(4) . . .dV=dx.^y.iC[V[x,y)~|\x,y)].

11 est visible, d'ailleurs, que l'équation (4) peut s'écrire ù priori,
soit parce qu'elle est identique à l'équation (5) du n" 261, page
630, soit parce qu'en prenant pour aire génératrice du volume V
la section faite dans le solide par un plan parallèle à celui àQszy,
l'équation (4) n'est autre cbose que la traduction algébrique du
théorème formulé au n" 260, page 629.

Observons ici que la différence ^y et la moyenne qui figure
dans le second membre de l'équation (4) sont toutes deux fonction
de la variable x. On peut écrire, en conséquence,

Ay.Mf [F(x,y)-/'(x,2/)] = ,(a;).

De là résulte,

dN^',{x),dx,

( ()54 )
et, par suite,

La remarque faite au n** 254 , page Gl 8, s'applique de la même
manière au cas des cubatures. La symétrie qui subsiste en vertu
de réquation (2) permet de substituer l'une à l'autre chacune des
trois coordonnées x, y, z. Ce résultat évident à priori résulte
aussi de l'équation (4) où Ion peut remplacer le plan des yz par
le plan des zx ou celui des xy. Il convient en chaque cas de choi-
sir parmi les trois formules équivalentes, dont on peut ainsi dis-
poser arbitrairement, celle qui rend plus faciles les opérations à
effectuer.

Si les axes étaient obliques au lieu d'être rectangulaires, rien
ne changerait si ce n'est l'unité de volume, le cube étant rem-
placé par le parallélépipède dont les côtés égaux à celui du cube
sont respectivement parallèles aux axes coordonnés.

264. Considérons le cas général où le solide à mesurer est rap-
porté à un système de coordonnées polaires défini, comme au
n*^ 248 , page 607.

Prenons un point quelconque m du solide et représentons-nous
pour ce point les vitesses exprimées ci-dessus par dz, dy et dx.
Ces vitesses n'étant assujetties qu'à la seule condition d'être rec-
tangulaires , nous pouvons supposer qu'elles soient dirigées res-
pectivement, la première suivant le rayon vecteur Ow , la seconde
suivant la perpendiculaire élevée sur ce rayon dans le plan proje-
tant, la dernière suivant la normale h ce même plan. Il vient
ainsi, d'après les notations du n° 248,

dz = dr, dy = r.d-^ , rfx = r cos y . r/ô ,

et, de là résulte, en conséquence,

(i ) . . . d.d.dV= dxAhj.dz = ?-'. cos y . dr.d-^ . dd.

Regardons d'abord comme persistant dans la détermination

( ()Ô0 )

qu'elles affectent, les quantités '^,b et leurs différentielles dy^ilô.
L'équation ( I ) a pour équivalent

(2)V/.t/V=eosy.f/y.f/e.Ar.M';"^^''r'=eosyj/y.f/9. ^^ "^ ^^. ~^ -

Conservons à ^ sa valeur actuelle et faisons varier 1 angle 6. Les
quantités r et Ar deviennent fonction de la variable 0 et Ton déduit
de l'équation (2)

(3). . . rfV^cosy.rfy.AOI^^^''"*" ':''-''•

Cela fait, il suffit d'exprimer en fonction de -^ l'angle 6 et la dif-
férence Aâ, puis de faire varier l'angle ., })0ur passer de l'équa-
tion (5) à l'équation finale

(4). . AV=A'^.M^"^^^rcos-,.A0.

,,e-.^e{r--^ry-r^-

Dans le cas particulier où le rayon vecteur Oin est toujours nul
à Tune de ses limites et où les angles 9 et ?? varient constamment ,
le j)remier de oh'iTr, le second deo à — , on peut désigner par r le
rayon vecteur représenté ci-dessus par ?'-+-Ar, et, dès lors,
écrire plus simplement

77 f r ajT

(5) aV= — Mo Lcosy.M„ r'].

,2 -^
D

Quant à la marche à suivre pour effectuer les opérations indi-

La formule (1), du n° 70, page 190, donne, en général,

^xMi a;" =

7l-t-l

On verra plus loin, au n" 266, page 64t, comment Téquafion (-2) peut s'ob-
tenir à priori.

( 636 )

qiiées dans le second membre de l'équation (5), elle résnlle des
détails qui précèdent et peut se résumer comme il suit :

i" Remplacer r par sa valeur en fonction des angles 0 et t;

2" L'angle f étant considéré comme constant et quelconque,
déterminer la valeur générale de la moyenne M^^r^;

5" Cette valeur étant obtenue sous la forme dune fonclion de y
représentée par F (..) calculer la moyenne

mJ cos •..!'(.).

On voit, aisément, comment cette marche s"appli([ue au cas
général; comment aussi, il peut èlrc quelquefois plus simple d in-
tervertir l'ordre des opérations, en partant de l'équation (1) et
choisissant, pour les considérer d'abord comme constantes, celles
des variables ?', 0 et f qui permettent d'arriver ainsi plus promp-
tement au but. Prenons pour exemple le cas d'une sphère, le
pôle étant au centre. Si l'on considère d'abord comme constantes
les quantités r, v et leurs différentielles f/r, df, l'équation

d.d. r/V = r- cos .; . dr .df. dd ,

où la quantité 0 varie seule, donne immédiatement,

d . dY = r- cos f . dr . d-j . a 0 = 2~r^ cos s? . dr . dj.

Partant de là, et restituant à l'angle ç sa variabilité, on trouve

d\ = '^Tzr^dr .^'^. ^\ ,. cos f.

On a , d'ailleurs , entre les limites '* = o . f-\- a çj = - ,

A'^.M^ cos Ç) = 1 .

* L'équation

d siii f = cos 'f.d Y

a pour équivalent général

A sin (f — A^.mI"*" ^ cos ^ = sin {y -i- j\^ ) — sin ^%
De là résulte, entre les limites o et ^

A ^. M cos 7-- — t.

( ^-y-^ )
Il vient donc, ciilrc tes iiicmcs limites,

et, par suite, ainsi qu'on l'a vu tout à l'heure,

aV

Les angles 9 et ç^ ayant varié, l'un de o à ^tz-, l'autre de o à — ,
le volume exprimé par la différence aV est évidemment la moitié
delà sphère. On a donc pour le volume total

3

205. Le cas d'un solide rap])orlé à un système de coordonnées
polaires, peut se traiter directement au moyen du théorème du
n° 202, page 032. Il suOit pour cela qu'on se donne une sphère
de rayon variahle, ayant son centre au pôle et qu'on prenne pour
aire génératrice du solide la section qui lui est commune avec la
surface de cette sphère. Soit A cette section : on peut écrire immé-
diatement

(i) dV=A.d);

et, par suite,

(2) i\==M'.^C^'(A).

De là se déduit le théorème suivant :

Le volume engendré par une aire sphérique qui se meut dans
l'espace , sous la seule condition de conserver toujours un seul
et même centre, a pour mesure le produit de la valeur moyenne
de l'aire génératrice par la distance franchie suivant le rayon.

Ce théorème comprend im})licitement celui que nous a>ons

( 0Ô8 )

formulé au n" 259, page 627. II peut, de même, être considéré
comme résolvant à lui seul la question générale des cubatures.

Revenons à l'équation (I). On a, d'après la formule (2), du
n" 251, page 61 5,

cl.dA = u.v.

Remplaçons, comme au numéro qui précède, u par r,d'^ et v
par r cos y.f/ô. Il vient

d.dA = r^ cos y.rfv . dB.

L'équation (5), où la quantité r doit être considérée comme
constante, donne, en attribuant à -^ une valeur quelconque déter-
minée et faisant varier la quantité 6,

(4) dA = r- cos'Y.df.ie.

Supposons qu'on ait remplacé aô par sa valeur en fonction
de », l'équation (4) a pour équivalent

(5) .... . A = r\^',.Ml'*'^'^ cos'f.àB,

De là résulte, en substituant cette valeur dans l'équation (1),

(6) .... dW^rW.S'^.ml'^^'^cosf.AQ.

Il ne reste plus qu'à exprimer les limites générales y et 50-4-, a ç>
en fonction de r pour passer de l'équation (6) à l'équation finale

(7) . . . ^y=^r.^C^''[r'^'^Ml'^^'^coSf.^e],

Dans le cas particulier où le rayon r est nul à l'une de ses limi-
tes et où l'angle d varie constamment de 0 à 2t, on peut remplacer
A0 par 27r et écrire plus simplement

(8) . . . AV=27rR.Mr[r^Ay.M|;"*'^%os^],
R étant la limite supérieure du rayon r.

( (;r,<) )

Supposc-t-on, en outre, que l'angle f varie conslaniment de o
à 1^? L'cqualion (8) ne subsiste plus que pour le cas de la sphère.
On a, d'ailleurs, entre ces limites,

Ay.Mj,"*" ^COSÇJ = 1 *.

II vient donc, en substituant,

3

On en conclut, comme au numéro précédent, que le volume
total de la sphère a pour expression

4
5

2G0. Montrons, par quelques exemples, le parti qu'on peut tirer,
en certains cas, des théorèmes exposés précédemment pour la cu-
bature des solides.

S'agit-il d'abord d'un cône à base plane quelconque? Nom-
mons B la base de ce cône, h sa hauteur, A une section quelcon-
que faite parallèlement à la base B, z la distance du sommet du
cône au plan de la section A. On a, généralement,

De là résulte, en \crtu du théorème du n*^ 251), page 627,
V=Ol'A=^./i.MlV,

/,,3

et, remplaçant la quantité h.UoZ^ par sa valeur — ,

B/i

* Voir au besoin la deuxième note du ii" :2Gi , page 656.
*' Voir au besoin la première note du n^ 264, page 63o.

( (340 )

S'agit-il ensuite d'une sphère au rayon R? Le théorème du
n'' 26o, page 057, se traduit directement par l'équation

V = R

.M.

^ hr,f'

On

a, d'ailleurs,

R.MlS

'■^ =

R^
5

il vie

Ht donc, en su]

)stituant,

(2).

. . V=-

4
5

iiK\

V^/'

On peut aussi partir de la formule (1) établie ci-dessus pour le
eas général d'un cône à base plane, et, désignant par A la surface
de la sphère , poser à jwiori

d.

(/V=-

l d.d.A.
5

Cela

donne.

d'

cl bord

j

d,\ =

4 ./A,

0

et, ensuite,

V

R
5

4

A=-;rRl

3

Ce dernier procédé s'applique au cas d'un solide quelconque,
rapporté à un système de coordonnées polaires. Plaçons le pôle 0
à rintérieur du solide et nommons B la surface enveloppe, m un
quelconque de ses points. Il vient, connue tout à 1 heure,

d.d\ .= -(/.(/B.
3

L'aire ^/.(/B étant située dans le plan qui touche 1 enveloppe au

( (iU )

point //^, cl la hauteur h étant la perpendiculaire abaissée du
pôle 0 sur ce plan.

Soit a l'angle que le rayon vecteur 0;>* lait avec la droite h, et
(l.dA la projection orthogonale de l'aire d .dB sur le plan uienc
par le point m normalement h Ont. On a, simultanément,

It = r cos a , d.dX = d, dB . cos a.
De là résulte , en substituant ,

f/.f/V= *-d.dk,

0

et l'on peut disposer comme on veut de l'aire d.dk. Déterminée
comme au n" 2C5, page 058, elle a pour expression

d.d\ = r^ cos c^.df.dQ.
On en déduit

d.dW = — cos f.df.do,

D

et, pour le cas où le pôle est extérieur au volume à mesurer,

(r -\- Mf — r^ , ,

d.dY = - ^ cosf.df.de,

ù

On retombe ainsi sur la formule (2) du n" 264, page 655.

267. Considérons maintenant l'eUipsoïde et supposons d'abord
qu'il soit de révolution. Rapporté à ses axes principaux, il a pour
équation

x^ if z' .

(1) -. + -.+ T=l-

' (1? dH- or

Comparé à la sphère concentrique dont le rayon est «, il n'en
diffère que par la substitution de l'ordonnée - ^ à l'ordonnée z.
Il suit, de là, et du théorème du n" 261, page 630, que pour passer
du volume de la sphèj'c à relui de rdlipsoïde considéré, il suflit

Tome XV. . il

( (i4-2 )

de multiplier le premier par le rapport - . On trouve ainsi, pour
le volume eherché,

(t 4 , ^
(2). . . . . .V = — • —7r.(r = — 7i-.fr c.

a 0 ù

Passons maintenant de lellipsoïde (I) à Tellipsoïde (piekomiue,
ayant pour équation

x' f z'

Comparé au premier ^ cet ellipsoïde n'en diffère que ])ar la sub_
slitution de l'ordonnée - y à l'ordonnée y. 11 suit de là et du

théorème rappelé ci-dessus, que pour passer du volume de 1 el-
lipsoïde (1) à celui de 1
inicr par le rapport - .
ellipsoïde quelconque,

lipsoïde(i) à celui de l'ellipsoïde (5), il suffit de multiplier le pre-
mier par le rapport - . On trouve ainsi, pour le cas général d'un

(i) V = -7r.((.6.(;.

5

Si l'ellipsoïde, dont nous venons de délermincr le volume,
était rapporté à un système d'axes obliques, dirigés respective-
ment suivant trois demi-diamètres a', 6', c' conjugués entre eux ,
son équation deviendrait

Les équations (5) et (a) étant de même forme, il est visible
qu'en appliquant, pour chacune, le i)rocédé décrit au n" 26ô,
page 033 , on parviendrait nécessairement à des résultats de forme
identique et ne différant l'un de l'autre que par la substitution
des quantités a , //, c' h leurs similaires a, h, c.

Rien, d'ailleurs, n'est changé par là, si ce n'est l'unité de
volume, le cube étant remplacé par le parallélipipède dont les
côtés égaux à ceux du cube sont dirigés suivant les axes «', 6', c'.

( 045 )

La conséquence évidente est, qu'en prenant ce paralléJipipède
pour unité de volume, on a, comme expression nuniéri({ue du
volume de l'ellipsoïde ,

4

(()) -n.a.h'.c'.

5

Soit r l'angle que l'axe c fait avec le plan des axes a\ b\ et G
celui que font entre eux ces derniers axes. Pour revenir de la
seconde unité à la première, il suffit d'introduire, connne cocfti-
cient, le facteur sin y. sin S. On a donc aussi ,

4 , , , , . .
(7) V^ = — 7r. a'.w'.c'. sni G.sm "x.

ù

La comparaison des é(|ualions (4) et (7) fait voir que le parallé-
lipipède construit sur trois diamètres quelconques 2a', 26', 2c'
conjugués en Ire eux a toujours même volume que celui qui cor-
respond aux diamètres principaux 2(( , 26 , 2c.

2G8. Considérons en dernier lieu le volume engendré dans un
solide de révolution par une portion quelconque A de Taire méri-
dienne. Le théorème du n" 200, page 029, implique é>idemmcnt
la déduction suivante :

Le volume engendré dans un solide de révolution par une por-
tion quelconque A de la section méridienne a pour mesure le
produit de Vaire A jjar Varc moyen quelle décrit.

Pour établir cette déduction, il suffît d'observer que l'on a,
comme traduction directe du théorème invoqué,

(I) . . . . d\ = \MtjAU = \.daMy,

dj. étant la vitesse angulaire de rotation et ij la distance d'un
point quelconque de Taire A à Taxe de révolution.

La quantité représentée i)ar M// est évidennnent constante De
là résulte, eu veitu de Téciuation (1),

(2) ^N = k.\y.Mij=^XM{ijà^).

( 044 )

On voit, d'ailleurs, aisément, que renoncé formulé ci -dessus
n'est autre chose que la traduction littérale de Téquation (:2).

Exlension générale au cas où les grandeurs à déterminer sont
données comme limites de certaines sommes.

269. En traitant, comme nous l'avons fait jusqu'ici, la question
générale des rectifications , quadratures et cubatures , nous avons
voulu faire voir comment elle se résout, indépendamment des
procédés fournis par la méthode des limites. Peut-être avons-
nous ainsi négligé quelqu'une des ressources qui, sans nous être
nécessaires, pouvaient néanmoins nous servir. Il est, d'ailleurs,
des cas où la considération des limites s'impose d'elle-même
comme expression directe du problème à résoudre. Obligés
d'aborder ces cas, nous trouverons dans la solution qui s'y appli-
que des éclaircissements utiles et de nouvelles facilités.

Commençons par établir le théorème fondamental qui permet
de substituer les différentielles aux différences, lorsqu'on en fait
la somme pour un intervalle quelconque déterminé et qu'on les
assujettit à converger toutes ensemble vers zéro.

Soit

une fonction quelconque de la variable jc. On a généralement et
simultanément,

(!)• • • ^y^^x.mT VWî dg=^f"{x).dx.

^Supposons la fonction y toujours croissante dans l'inter-
valle ^x, et divisons cet intervalle en n parties égales *. Soit A
J'une de ces parties.

Si nous appliquons, d'une part, à la valeur quelconque

* La dénioiisUalion qui suit se lorail de la même manière si la fonction y,
au lieu d'êlie toujours croissante, était toujours décroissante dans Tinter-
valle ^œ. Elle se lerail , sans plus de dillieuilé , si la division s'elTectuail en par-
ties inégales, toules choses restant d'ailleurs les mêmes.

( an )

x^,=x-\-p}i , d'an Ire pari, à la valeur eorrespondante y/^, les
équations (1); nous avons,

(2). . . Ay,=:/iMl;'^'7"'W' dy,,^(h,.r(x,).

La vitesse dXj, pouvant être quelconque, prenons-la égale à h.
Il vient, par voie de substitution ,

(5). . . . dy,. = hnr,)^-f'^'''^ ■-•

Considérons le binôme

1 —

MrV'w

et désignons par z la plus grande des valeurs qu'il afîecte, lors-
qu'on pose successivement p — o, /?= 1, p = 2, etc., p = n-~\.
Il s'ensuit que si, parmi les valeurs de ce binôme, il en est une
pour laquelle on ait, exceptionnellement,

M:fV'(x)

on a, en même temps, pour toutes les autres,

M:fV"(^)

>i—z.

De là, et, eu égard a l'équation (5), résulte évidemment,

(4). (hj,^ (ly, -}-etc, -h dy,_i={\ —^) [^y„-^ Mj,~^ etc.-+- ^î/„_,],

j; étant une quantité nécessairement comprise entre o et z.

Observons ici qu'il suflit d'attribuer au nombre 7i des valeurs
de plus en plus grandes, ou , ce qui revient au même, datlriliuer
à h des valeurs de plus en plus petites, pour que la quantité z et

( ()4(i )
à foriioriVà qiinntilé t^ scrnpproclie indéfininient de zéro, L'équa-
tion (4) implique, en conséquence, l'équation finale

(a) Ay^H-A?/,-4-etc.-+-A?/„_,= Adr.M^ ''/■'(x) = lim[r/?/o-t-c/;/,-+-ctc.-i-f/y„

On voit, d'ailleurs, aisément, que cette équation s'établirait de
la même manière si les subdivisions de l'intervalle ^oc présen-
taient des inégalités, pourvu qu'elles restassent assujetties à con-
verger toutes ensemble vers zéro.

Le tbéorème exprimé par l'équation (a) comporte l'énoncé
suivant :

Les valeurs affectées par la différentielle dans un intervalle
quelconque déterminé o?it, pour limite de leur somme, la somme
des différences qui leur correspondent, ou, ce qui revient au
même, le produit de l'accroissement total de la varialAe par la
valeur moyenne de la fonction dérivée.

11 implique, en outre, la déduction suivante :

Lorsqu'on subdivise V accroissement total d'une fonction en
parties qu on prend de plus en plus petites et qu'on fait cnnsi
converger vers zéro, on peut substituer à ces parties les différen-
tielles qui leur correspondent et prendre pour somme des unes la
limite de la somme des autres.

Cela posé, occupons-nous d'abord des cas auxquels nous avons
fait allusion dans le premier paragrapbe du présent numéro.

270. Etant donnée une grandeur géométrique complètement
définie et pouvant être indifféremment une ligne, une surface,
un solide, imaginons qu'on la subdivise en parties de plus en
plus petites, et qu'on multiplie cbacune de ces parties par un fac-
teur dépendant des coordonnées de l'un de ses points.

Le problème à résoudre consiste, par bypotlièse, h déterminer
la limite dont la somme des [)roduits ainsi ol)tenus se rapprocbe
indéfim'ment à mesure que les subdivisions faites dans la gran-
deur donn('e convergent toules ensemble vers zéro.

( <'>^^7 )

Pour plus clo i^cMiôralilé, considérons le ens d un solide et re-
présentons par V son volume.

Soient î?i le point pris pour origine d'une partie quelconque aV;
X, y^zlcs coordonnées de ce point; F (a: -+- y^x,y -+• i>.ù,y,z-\-v\z)
le facteur à introduire comme cocnicient de la partie aV.

Il est visible que la valeur absolue de chacun des trois coelîî-
cients >, a^, v reste nécessairement comprise entre o et I.

Si l'on désigne par P la somme des produits à considère)', on
peut écrire , en général,

(I). . . AP=r aV.F[x-+- AAX, ?/H- ,f/.A?/, 2 H- vAjz].

On voit, d'ailleurs, aisément, que si l'on fait converger à la fois
vers zéro, chacune des trois quantités àx , Ay, àz, les différen-
ces aP, a V subissent cette même condition, tandis que leur rap-
port converge vers la limite F (x, y, z).

Partons de là , et observons qu'en vertu du principe établi dans
notre exposé général des règles de la dilîérentiation *, la limite

A P

du rapport — n'est autre chose que le rapport de la dilféren-
tiellc dV à la différentielle (1\, L'équation (1) donne, en consé-
quence,

(2) dV:=d\.V(x,y,z).

De là résulte, conformément au théorème du n" 200,

(5) îim.P = V.M>(x,;î/,4

L'équation (éî) résout évidemment la question proposée.

S'agit-il de déterminer la valeur exprimée par la moyenne qui
figure dans le second membre de l'équation (5)? Il faut, en géné-
ral, remonter à l'équation (1) et procéder avec plus de détails que
nous ne l'avons fait.

Supposons, pour fixer les idées, que le solide soit rapporté à
des axes coordonnés rectangulaires OX, OY, OZ. Sup})osons, en

* Voir, au liesoin , la deuxième partie, n" 9, pages KH et suivantes.

( 048 )

outre, que les subdivisions aV résultent, en général, de trois séries
de ])lans resj)e('tivoment parallèles aux plans coordonnés YOZ,
ZOX, XOY et distant entre eux, les premiers de la quantité àx,
les seconds de la quantité ^y, les derniers de la quantité ^z.
De là résulte, généralement,

(4) ^\=^x.^y.^z,

et, par suite,

(o). . \V= SX. ^y .^z.V[x-^ l^x,y -\-iui\y,z-\-vsz\.

Imaginons d'abord que l'écart sz converge seul vers zéro, les
deux autres demeurant constants. On a, comme ci-dessus,

(G). . . iLV^= SX. sy .dz.[Y[x -\- isx, y -\- ii-ù^y, z)].

Supposons maintenant que l'écart sy converge vers zéro. Les
quantités r/.P et sy s'annulant à la fois, on peut substituer à
leur rapport celui de leurs dilTérentielles et écrire, en consé-
quence,

(7) . . . dy.iLV ^^ sx.dy.dz.Y{x-\- /sx,y,z).

Opérons en dernier lieu sur l'écart ax supposé jusqu'ici con-
stant, et faisons-le converger à son tour vers zéro. Les quantités
d,jd,V et SX sannulant à la fois, on peut substituer à leur rap-
port celui.de leurs différentielles. On a donc, comme résultat
final ,

(8) . . . . dJyd,V = dx.dy.dz.¥{x,y,z).

Observons qu'on est libre d'intervertir à son gré l'ordre des
opérations précédenles , et, par conséquent aussi, celui des
indices. Mieux vaut aloi's supprimer ces indices et écrire simple-
ment,

(0) . . . d.d.dP^dx.dyjh..¥[X,y,z).

( (iiî) )

Quant aux opérations à elfecluer pour passer de l'équation (0)
à la <léterminalion de la quantité lim. P, elles sont sufïisaninient
indiquées parles détails qui précèdent et par l'équation générale,
dont le sens nous est bien connu ,

(iO) \,mP==Ax.iC^'[^yMl'-'"(^zM:-'^'F{x, y, z)}].

La quantité lim P étant ainsi déterminée, on connaît d'avance,
ou, si on ne le connaît pas, on peut calculer de la même manière
le volume V. On est, des lors, en mesure de compléter la solu-
tion clierchée , en posant,

(M)!MjF(x,y,z)

^ M, [^yMy àz]

Il n'échappera point au lecteur que les résultats établis ci-
dessus s'étendent d'eux-mêmes à un système quelconque de coor-
données, et que pour les appliquer au cas d'une surface ou dune
ligne, il suffit de supprimer celles des variables qu'on se donne
en fonction des autres. Les détails qui suivent éclairciront, au
besoin , ce qui paraîtrait obscur dans ce simple énoncé de l'exten-
sion que comportent les déductions précédentes.

^71. Appliquons la solution détaillée du numéro précédent, au
cas où le facteur à introduire comme coefficient du solide par-
tiel aV est Fabscisse x ■+■ X^x de l'un des points de ce solide. En
désignant par lim P^ la limite vers laquelle la somme des pro-
duits aV [x -4- Xix] converge à mesure que chacune des par-
ties aV converge vers zéro, ou a, d'après l'équation (<")), du nu-
méro 270 5 page 047 ,

(1). ..... . lim P,-=V.!M!(a').

Substituons successivement à l'abscisse x chacune des ordon-
nées y et z. On a, de même, pour l'ordonnée y ,

(2) Wm.V.^^XMly,

( ^»'5() )

et, pour rorflonnée r,

(5) limP,- = V.M!r.

Soit g le point de l'espace dont les coordonnées Xi, ?/i, ^i ont
pour valeurs respectives

(4). . . x, = mI{x), .7.=Ml(y), r, = Ml(£),

et expriment, en conséquence, la distance moyenne du volume
total V à chacun des plans coordonnés YOZ, ZOX, XOY.

Ainsi déterminé, le point g jouit d'une propriété curieuse,
facile à établir et consistant en ce que sa distance à un plan quel-
conque n'est autre chose que la distance moyenne des différents
points du solide V à ce même plan. On ne perdra pas de vue
que la moyenne dont il s'agit correspond à une répartition faite
uniformément dans toute retendue du volume que l'on consi-
dère.

Soit Q le plan quelconque sur lequel on projette orthogonale-
nient les différents points du solide V. Menons par l'origine 0 un
plan Q' parallèle au plan Q et désignons par «, la distance des
plans Q, Q'; par iiy la perpendiculaire abaissée du point >}? sur le
plan Q'. On a d'abord,

(5) Mo {a -+- y) ^= a -\- M^ u.

Quant à la longueur u, elle est la projection du rayon vecteur
Om sur la normale au plan Q' et, par conséquent aussi, la somme
des projections des coordonnées x, y, z sur cette même nor-
male. De là résulte,

(6) ?/ = x eosa -4- ?/ cosê -4- zcos 7,

a, 6, r étant les angles que la normale au plan Q' fait avec les
axes coordonnés OX, OY, OZ..

La combinaison des équations (4), (5), (6) donne

( m3 (a -t- II) = « -f- cos a . m]Î X -+- cos^.mJ^ ~+- cos 7'.M,yr
( = r/ H- .Ti cos a. -\- ?/, cos ^> -\- jT, cos r-

( (131 )

L'observation faite en ee qui concerne la perpendiculaire v
abaissée du point m sur le plan Q' s'applique de la même manière
à la perpendiculaire t/, abaissée du point (j sur ce même plan. On
a donc, en vertu de l'équation (0),

?^j = £C, COS rj, ^ y^ COS 6 -f- ^1 COS y.

Substituant cette valeur dans l'équation (7), il vient,

a -+- ?ii = Mo (a -4- II) ,

et la propriété qu'il s'agissait d'établir se trouve ainsi démon-
trée.

Si le lieu des points considérés était une surface A ou une ligne
S, rien ne cbangerait dans la démonstration précédente si ce
n'est que,. partout où la lettre V figure, on mettrait à sa place
la lettre A ou la lettre S. La propi'iété dont il s'agit est donc tout à
fait générale. Elle s'applique à la fois aux lignes, aux surfaces et
aux solides. On pourrait dire du point g (juil est le centre des
distances moyennes h un plan quelconque. Envisagé sous un autre
rapport, il a reçu le nom de centre de gravité. Nous lui conser-
verons cette dernière dénomination et, résumant ce qui précède,
nous dirons :

A tout assemblage de points uniformément répartis sur une
ligne y sur une surface ou dans un solide, correspond un centre
des distances moyennes, autrement dit-, un centre de gi^avité.

Ce centre est déterminé par la condition suivante : sa distance
à un plan qiielconque est la distance moyenne comprise entre ce
plan et les différents points de V assemblage.

Supposons qu'il s'agisse d'une ligne ou d'une aire plane: au lieu
de prendre leur distance moyenne par rapport à des plans quel-
conques, on peut ne la prendre que par rapport à des droites
situées dans leur propre plan. Rien n'est cbangé, d'ailleurs, puis-
que pour rester dans les conditions générales, il sufïit de consi-

( 052 )

dépcr chacune de ces droites comme la trace d'un plan normal au
plan de la ligne ou de l'aire donnée.

Partons de là, et reportons-nous aux formules des n"' 250 et
208, pages 021 et 043. Il est visible que la moyenne représentée
dans ces formules par le symbole My n'est autre chose que la per-
pendiculaire abaissée de leur centre de gravité sur Taxe de ré-
vohition. On peut, en conséquence, énoncer les théorèmes sui-
vants dus à Guldin :

L'aire engendrée par une ligne qui tourne autour d\in axe
situé dans son plan a pour mesure le produit de cette ligne par
l'arc que décrit son centre de gravité.

Le volume engendré par une aire qui tourne autour d'un axe
situé dans son plan a pour mesure le produit de cette aire par
l'arc que décrit son centre de gravité.

272. La quadrature des aires peut, ainsi que la cubature des

Fia 10^ solides, s'obtenir aisément parle procédé général

y- du n" 270. Bornons-nous à quelques exemples.

S'agit-il d'une aire plane A? Supposons d'abord

que la division se fasse par des droites mp perpen-

X. diculaires à l'axe OX et distantes entre elles de la
^ /'

quantité ax. Cet intervalle pouvant être pris aussi

petit qu'on veut et n'ayant plus d'ailleurs qu'à décroître, on a évi-
demment

(i) àA^=^ ^x[y -\' |l^y]^

y n'étant autre chose que l'ordonnée quelconque mp.
De là résulte, comme au n" 270, pages 040 et suivantes,

(2). dA = ydx,

et par suite, l'accroissement sx devenant quelconque,

(.3) ^A:=^x^C''%J.

( (iu3 )

Si la division s'clfcctnait par des dioitcs Oni partant du point
0 pris pour polo, en désignant par r le rayon vecteur Om et par aO
l'angle compris entre ce rayon et le suivant, on aurait, comme
tout à l'heure,

W aA=— (r + ^Mf.

Il viendrait donc

('^) ^'^==^'

et par suite, l'accroissement \0 devenant quelcon(|uc,

(0) .A = ^Ml*^'rK

S'agit-il du volume intercepté dans un cylindre droit entre sa
base A et une surface S? En désignant par z la distance d'un point
quelconque m de la surface S à la base A, et prenant la projection
du point in pour origine de l'accroissement ^A, supposé très-petit
et n'ayant plus d'ailleurs qu'à décroître, il vient

(7) ûV =-- aA [2 -^ >AZ]

à\ étant la partie du volume V qui se projette sur l'aire ^A.
On déduit de l'équation (7)

(8) (IV^^zdA,

et par suite, 1 accroissement ^A devenant quelconque,

(9). ...... .AV=ûA.Mr^'(4

Veut- on opérer sur l'équation (7) en y remplaçant l'aire ^A par
le j)roduit ix. ày?On a

(10) ^Y--=lx.^y[z-i-,^z],

( 054 )
et, prenant

pour équation de la surfaœ S ,

(11). ^V = ^x.^lj [z-\-v {f(x -+- ;.ax, ij -t- ^mj) — I\x, y))\

Passons à la limite en ce qui concerne l'accroissement mj. 11
vient

(12). ^/,V = ^x.^ly [z -t- v {f\x -4- /Ax, y) — /(x, y))].

De là résulte, en passant à la limite pour l'accroissement A.r,

(15) ..... . djIyY = z.dx.dyj

et par suite, ainsi qu'on le voit aisément, les accroissements ax
et ^y devenant quelconques,

(14). . . . ^y=^x^C^'\^y.Ml'^^'z).

275. Reprenons, comme exemple général, la question des cu-
batures et traitons-la de manière à faire ressortir les nioyens de
solution fournis par le théorème du n" 2G9, page G4G.

Soit V le volume du solide à mesurer. Divisons ce solide comme
au n° 270, i)age 047, et considérons d'abord la suite des tranches
formées par les plans parallèles dont l'écart est a^. Cet écart élaiit
pris aussi petit qu^on veut et li ayant phis qu'à décroître, il est
visible qu'en désignant par A l'aire de la section faite dans le so-
lide par un des plans de division, et par a V le volume de la tranche
qui a cette même section pour base, on peut écrire généralement,

(i) aV=: Aa:[AH-/AA],

A étant une quantité comprise entre 0 cl 1.

De là résulte, en passant à la limite, comme on l'a \ u précédem-
ment,

(2) ^/,V = A.(/x.

( ()j5 )

Dniis cette écjuatioii dx n'est, si Ton veut, autre cliose que l'ac-
croisscmcnt ax supposé très-petit et n'ayant plus qu'à décroître *.
Quant à la quantité A, elle doit être considérée comme constante
aussi longtemps qu'il s'agit de la tranche qui prend son origine à
partir d'un seul et même plan de division. II suit de là que la diffé-
rentielle d^Y se confond avec le cylindre droit ayant la section A
pour base et l'écart dx pour hauteur.

Soit H ce cylindre. Les plans parallèles dont l'écart est a?/ divisent
en même temps la base A en bandes a A et le cylindre II en prismes
ayant tous pour hauteur commune l'écart dx et chacun pour base
respective la bande a A qui lui correspond. Soit a((/^V) le volume
de l'un de ces prismes. L'écart aij étant pris aussi petit quon
veut et n'ayant plus qu'à décroître, il est visible qu'en désignant
par z la hauteur que la bande A présente à son origine, on peut
écrire généralement

(5) aA = ày [z -^ v^z] ,

y étant une quantité comprise entre 0 et 1. On a de même

(4) ^(dJ^') = dx.'^y[z-\-v^z].

De là résulte, en passant à la limite pour l'accroissement ^y,

(a) dyd^S = z.dx,dy.

Dans cette équation où la différentielle dx n'a pas changé,
l'écart dy n'est si l'on veut, autre chose que l'accroissement ày
supposé très-petit et n'ayant plus qu'à décroître. Quant à l'or-
donnée z, elle doit être considérée comme constante aussi long-
temps qu'il s'agit du prisme qui prend son origine à partir du plan
de division considéré. Il suit de là que la différentielle djlyY se
confond avec le prisme droit ayant pour hauteur l'ordonnée z
et pour base le rectangle dx.dy.

' Pour ne i)as changer la base A , il sulïîl de faire décroître dœ, en lui substi-
tuant sa moitié et ainsi de suite indéiininienl. Celte observation s'applique, de
la même manière, au décroissement de l'écart i^y. On peut, ainsi, la généra-
iser

( OoO )

Cela pose, prenons la somme des prismes droits qui correspon-
dent à une seule et même position de la section A, à une seule et
même valeur de l'écart dx, à la suite des écarts dy. Si l'on dé-
signe par Zq, Zi, Z.2, etc., les différentes valeurs affectées par l'or-
donnée z aux points de division uniformément répartis sur
l'étendue totale d'un accroissement quelconque ^y, on a pour
cette somme

;So -*- ^1 -*- ^tc. -^^n-i
(G). dxAly. [Zo -\-Zi-\- etc. h- z„_,] ~dx . ^y .

Il est visible, en effet, que le nombre des divisions étant mar-
qué par n, raccroissement total ^y a pour valeur le produit n.dy.

Attribuons à l'accroissement quelconque ^y la détermination
qu'il acquiert comme projection de l'aire A sur le plan des xy. En
vertu du tliéorème du n" 269, page 646, la somme exprimée par
l'équation (6) a pour limite le volume de la tranche d^N. De là
résulte, en passant à la limite,

(7) . . . . d,N^X.dx = dx.^y^Ç^'{z).

Faisons la somme des tranches en supposant qu'elles aient
toutes même épaisseur dx et qu'elles soient au nombre de // })Our
un intervalle quelconque déterminé ^x. En désignant par Ag, A,,
A2, etc., les valeurs affectées par la section A et correspondantes
aux divisions successives de l'intervalle ax, on a pour cette
somme

Ao-4- Al -4- etc. -+- A„_,
(8). dx [K^ -h Aj K etc. -4- A„_iJ = \x. •

En vertu du théorème du n" 269, cette somme a pour limite le
volume total exprimé par ^N pour un écart quelconque \x. De là
résulte^ en passant à la limite,

(9) aV-= \xM]^^' X,

( <'^7 )
et , eu égard à Icquatioii (7) ,

(10). . . . AV=Aa;.Mr^'[A?/.M'''-''(r)].

L'équation (10) résout évidemment la question proposée.

Au lieu de s'en tenir à l'équation (5), on peut pousser la division
plus loin et substituer au prisme droit que l'on considère la suite
des parallélipipèdes rectangles qui résultent des sections de ce
prisme par les plans parallèles dont l'écart est az. Soit ^(f///,V)
le volume de l'un de ces parallélipipèdes, il vient d'abord

(11) s[d^.d,Y] = dx.ily,Az,

et, par suite,

(12) dJ,d^' = dx.dy.dz,

l'équation (12) ne cessant pas ici d'être identique à celle dont on
la déduit d'après le procédé fourni par la considéralion des limites.

Si l'on parlait de lécjualion (12), on remonterait à l'écpiation
(a) en faisant la sonnne de tous les parallélipipèdes qui correspon-
dent à un seul et même prisme droit. Le reste s'achèverait connne
ci-dessus.

274. On parvient plus raj)idementà l'équation (12) du n° 275,
en partant, comme au n" 270, de l'équation générale

(1) à\ = AX.Mj.àZy

et substituant successi\cmenl à chaque différence sa différentielle.
Ce procédé donne d'abord

(2) d^y = dx.ày.àz,

puis

(5) dyd^Y = dx.d)/.AZj

et, enffn,

(4) djl,/iy=^dx.dy.dz.

Tome XV. 42

( Go8 )

Cela posé, on peut eonsidérer le volume V comme la somme
d'une suite de parallélipipèdes rectangles tous égaux entre eux et
représentés chacun par le produit dx. dy. dz, ou plus exactement
comme la limite de cette somme.

Prenons, pour deux valeurs quelconques déterminées des va-
riables X cly, les parallélipipèdes qui se projettent sur la même base
dx. dy. Leur somme est égale au produit de cette base par la hau-
teur totale z. Exprimée par le produit

(5) z.dx.dy ,

elle représente un des prismes compris dans la tranche qui cor-
respond à l'abscisse x et dont l'épaisseur est dx. Faisons la somme
de ces prismes. Elle donne la tranche et a, pour expression, le pro-
duit de l'accroissement de la variable par la valeur moyenne delà
fonction dérivée, c'est-à-dire

(0) dX.Mj.^\'y^^'{z).

Ajoutons toutes les tranches. Leur somme, considérée dans sa
limite aV, est le produit de l'accroissement total àx par la valeur
moyenne de la fonction dérivée ^y.^f,, ^"l^). H vient donc, en
dernier lieu ,

(7) ^\^^xMT"[^y^Ç''(i)■\.

Le })rocédé que nous venons de suivre est, comme celui du
n** 275, tout à fait général. Si, après avoir subdivisé le volume V
en parallélipipèdes rectangles, on avait à multiplier chacune des
subdivisions par un facteur de la forme

F(x ■+- x^Xy y -t- /^^y , ^h- v^^),

les coordonnées x, y, z étant celles du point pris pour origine de
la subdivision considérée, il est visible qu'en désignant par P la
limile de la somme des pioduits obtenus, on aurait, comme lout
à l'heure,

(8) dJyd.V = dx . dy . dz . F [x, y, z).

( (i5î) )

II est clair, en effet, <|iie du inoineiit où l'on passe à la limite,
chacun des binômes x-t- X^x, y -\- i>-^yi z-\- vi^z se réduit à son
premier terme.

L'équation (8) traitée comme l'équation (4) conduit au résultat
final

(9). . ^P= A£iMr^^[^y.IVj;^^'(^z.Mr'^^F(x,:v,z))].

A|)pliquée au cas d'une surface quclcon(pie A, elle donne, comme
au n" 2;j4, page 018,

(10). '. aA = ^xM[^ ^ ' (a^.M'/^' V^TTy^^^^l.

275. Le principe qui permet de substituer les diiférentielles
aux différences qui leur correspondent, et de prendre pour somme
de celles-ci la limite de la somme des autres, est susceptible d'ap-
plications nombreuses. En procédant, d'après ce principe, comme
on l'a fait aux numéros 275 et 274, on peut établir sans difficulté
les différents théorèmes que nous avons démontrés successive-
ment en ce qui concerne les quadratures et les cubaturcs proi)re-
ment dites. De là de nouvelles ressources qu'il convenait de mettre
en lumière pour les cas où l'on doit nécessairement y recourir,
et qu'il nous suffît, d'ailleurs, d'indiquer pour ceux où elles ne
sont pas indispensables, les développements déjà donnés offrant
par eux-mêmes tout ce qu'il faut pour en bien comprendre l'em-
ploi.

Nous terminons ici la série des applications directes du calcul
différentiel. Dans les parties suivantes, nous traiterons du calcul
intégral, du calcul des différences, et du calcul des variations.

l-IN Dli I.A ÏHOISIÈME 1>AR1IE.

( ()(50 )

APPENDICE

AU NL3JÉR0 229 DU CHAPITRE Xll.

DIVISION DU.NE SURFACE EN QUADRILATERES RECTANGLES SATLSIAISANT
A CERTAINES CONDITIONS PARTICULIÈRES.

Considérons deux systèmes de trajectoires orthogonales appar-
tenant à une même surface A, et supposons d'abord que, satisfai-
sant à l'équation générale

d

cos 0

r]'

COS 6

cos 0 cos 0

(!)• • • • -r^=-^

^ ^ as Oy. p 0

elles remplissent, en conséquence, la condition suivante :

I. — Deux lignes quelconques étant prises d volonté dans l'un
ou l autre des deux systèmes, les segments interceptés sur ces
lignes par leurs trajectoires orthogonales conservent entre eux un
rapport constant.

fig, /. Soient [mm'm".... nn^n"..., pp'p"...,

etc.], [mnp. .., m'n'p'...., m"n"p".....
etc.], deux suites de lignes prises res-
pectivement, les premières dans l'un
des systèmes considérés, les secondes
dans l'autre.

Les trois lignes mm'm"..., nnn"...,
m)ip...., pouvant être choisies comme
on veut, déterminons les autres en
posant

m"m"' = m"n", etc.
(2).

r""

/"

r

/ T^'l /•

\

r/"

r

r'-

r'

9\

^ —

m

p

r

p

?>

___^

71

7e

7/.

7,jl

-m-

r- '""

»

771

\

1

1

V~~'

\

mm
np

muy m m
nn'j pq

m n ,
PP' ^

qr = qq

etc.

Les (luaiilitcs --— ? ^^V-sont les mudulcs cie> courbureb géodéslques

' p P'

( <'<il )
D'.iprès la condition g(''nc'ralo l'orninh'c ci-dessiis, on a

, ,, , m' m" , , m' il'

(o). . . 71 n =n)i . , np ==np. — — •

mm mn

De là résulte , en vertu des équations (2) ,

(4) ni}" = n'p'.

L'équation (i) jointe aux équations (3) donnerait de même

II"/}"' = n"p" , p'f/ = p'p",

e(, ainsi de suite indéfiniment.

On voit par là comment la condition I implique cette autre
condition :

II. — Etant <Io/iUP('s troi>> iîrjnes choisies comme on vent, deux
dans Inn des systèmes considérés, la troisième dans Vautre,
elles déterminent une double suite dont les lignes divisent la sur-
face A en quculrilatères rectangles ayant tous deux côtés de même
longueur, adjacents l'un d l'autre et placés de la même ma-
nière *.

On peut, avons- nous dit, choisir comme on veut les trois

qu'affectent en un mémo point quelconque m les deux trajectoires orthogo-
nales passant par ce j)oint. Les caractéristiques rZ/J* correspondent à des dépla-
cements eflectués à partir du point m, l'un suivant l'arc -s de la ligne dont la

courbure géodésique a pour module , l'autre suivant l'arc A de la ligne

P

cos 6'.
dont la courbure geodesique a pour module — —

J'ai montré, au n" 229, page 560, conmient Féquaiion (1) peut s'établir en
quelques lignes , par voie géométrique.

On peut, à volonté, donner à ces côtés même longueur ou maintenir entre
eux un rapport constant a. Ils sont de longueur égale, lors(iu'on pose, comme
ci-dessus,

mn m'n' m' n np pq qr

mm' m'wJ' m"m"' m\' pp' gq'

( 662 )

lignes mm'm"....^ nn'n" ....^ ninp....^ et délerniiner les aiitresd'après
les équations (2). Sans rien changer à cet égard, considérons un
groupe quelconque comprenant quatre quadrilatères accolés au-
tour d'un même point central, et, au Heu de la condition I,
donnons-nous la condition plus restreinte énoncée comme il suit :

III. — Quel que soit le groupe considéré, si trois des quadri-
latères qu'il comprend ont deux côtés de même longueur^ adja-
cents l'un à l'autre et placés de la même manière y cette même
condition est remplie par le quatrième.

Appliquons cet énoncé en prenant d'abord pour exemple le
groupe dont n' est le point central. On a, d'après les équa-
tions (2),

(5). . , mm'^=mn, m'm" =m'n', np = nn'.

De là résulte, comme conséquence immédiate de la condi-
tion m ,

(6) n'n" -= n'p'.

S'agil-il maintenant du groupe ayant son point central en n"?

Ils seraient inégaux et conserveraient entre eux le rapport constant a , si
Ton posait

mn ni'ii' np pq

mm' m'm" nn' pp'

Cette extension subsiste alors même qu'au lieu des équations (3) du texte,
on aurait, pour chaque groupe de quadrilatères accolés autour d'un même
point central, des équations de la forme

, , , , m'm" , , , mV

nn = k . nn . — , np = k . np. ,

mm mn

la quantité k étant la même dans ces deux équations et pouvant varier d'un
groupe à un aulre.

( 11(13 )
L'équation ((î) jointe aux ('qunlions (^) donne

m'iji" = m'n', m" m'" = m"n", ?i'p'= n'n'

II vient donc, comme tout à l'Iieiire

n n ==. n

P

et ainsi de suite, de proche en proclie. Il suit évidemment de là
que la condition II est également impliquée par l'une ou l'autre
des conditions I et III.

Partons de la condition III.

Si nous désignons par s les lignes de la première suite, par X
celles de la seconde, et que nous fassions usage de la caractéristi-
que D ou de la caractéristique ^ , selon que les différences à con-
sidérer dépendent d'un déplacement effectué suivant les lignes s
ou suivant les lignes /, nous pouvons écrire

( ni m' ■= D,s, m' ni" = D.s ♦- D.Ds, w» == a/ -+- a . a>. ,

(7)- ,

( mn =^A/, m'n =A/H-D.Ai, un ^^\^s -\- \ .Us,

et, par suite,

( n'n" = nii -t- Dnn = D,s -+- a.Ds h- D.Ds -+- D.a.Ds,
f np' = m'n h- àm'n' = a; -4- D . a;, h- a . a; -+- a . D. a;..

Les équations (2) comprennent les équations (5) et, par consé-
quent aussi, celles qui s'en déduisent, eu égard aux équations (7) ,
savoir :

(9). . . Ds = A ) , D . Ds = D . A / , A . A > = A . Ds.

Cela posé, pour que la condition III subsiste, en général, il
faut et il suflitque, dans l'hypothèse des équations (!)), on ait, en
même temps,

n'n" = n'p'j

( (i()4 )
ou, ce qui revient au même, eu égard aux équations («S),

Supposons quil en soit ainsi. La condition II subsiste indépen-
damment de tout degré de grandeur assigné au quadrilatère
mm'n'n. Imaginons ([u'après avoir décru continûment jusqu'à
s'annuler, ce quadrilatère accomplisse l'évolution inverse, et pla-
çons-nous à l'instant précis où il s'engendre à partir de zéro. La
dépendance établie entre ce quadrilatère et les autres se mani-
feste à ce même instant qui fixe leur origine commune. S*agit-il,
en elYet, pour l'un quelconque d'entre eux , de ceux de ses cotés
qui sont assujettis à prendre même longueur? Il est visible que
leur génération simultanée commence, de part et d'autre, avec
une égale vitesse.

Arrêtons -nous à ce dernier résultat. Il peut subsister alors
même que les équations (9) n'impliqueraient pas l'équation (10).
Tel est évidemment le cas })lus général où, toutes cboses égales
d'ailleurs, léquation (10) est remplacée par Téqualion aux limites

D./i.Ds

(") •'■-nrir^^'

ou, ce qui revient au même, par l'équation différentielle

(12) d.rJ.dS = rJ.d.rn.

Restons à ce nouveau point de vue qui comprend tous les cas
précédents, sans en impliquer aucun, et qui comporte ainsi luie
extension plus grande. Au lieu des équations (9), nous avons à
poser les équations correspondantes

(15). . . ^/s ==(?;., (L(h = d,âx, rh^y = ^.ds,

et tout se réduit à ce que l'équation (12) résulte, en général, des
équations (15).

Nous verrons tout à Ibeure à quoi revient la condition qui doit
être ainsi satisfaite. Commençons par en fixer le sens par rapport
au tracé des lignes qu'elle détermine.

( OOo )

Concevons d'.il)or(I ([ue les Vignes mm' m" ....,mnp. ,., glissent sur
h surface A, de manière à prendre successivemenfles positions
conjuguées [nrt'71"...., m'n'p'....], [pp'p'\..., m"n"p"....] etc. Il
est visible que leur point d intersection occupera successivement
les lieux m, n\ /;", etc., et qu'il sortira de chacun de ces lieux sui-
vant la bissectrice de Tangle des deux trajectoires orthogonales
qui s'y coupent. Concluons que, dans l'hypothèse où nous rai-
sonnons, les points m,n ,p" .... sont tous situés sur une même tra-
jectoire à 45'' des lignes orthogonales que Ton considère.

Prenons maintenant dans chacun des quadrilatères mm' n' n ,
m'm"n"n', nn'p'p, etc., celui de ses sommets pour lequel les côtés
adjacents s'engendrent à partir de zéro avec une égale vitesse.
S'il s'agit, par exemple, du quadrilatère nn'p'p, ce sera le som-
met n. Concevons que deux points mobiles, placés d'abord en w,
sortent en même temps de ce lieu avec une égale vitesse reprtv
sentée, pour l'un par jin', pour l'autre i)ar np. La direction sui-
vant laquelle ces points se détachent l'un de l'autre, au sortir du
lieu n, est évidemment inclinée à 4a" sur chacune des vitesses nti'
et np. La même observation subsiste en général. Elle s'applique ,
en conséquence, de la même manière, à deux points mobiles qui
seraient placés , d'abord , en ni' et qui sortiraient , en même temps,
de ce lieu avec une égale vitesse représentée, pour l'un par
1)1 m", pour l'autre par m'n'. Supposons qu'il y ait, de part et
d'autre, simultanéité. Les quatre points mobiles arrivent, en même
temps, l'un en />, deux en n', le dernier en m". Il suit de là,
comme tout à Vhexire, que les points m", n',p sont situés sur
une seule et même trajectoire à 45" des lignes orthogonales con
sidérées. On voit, d'ailleurs, aisément qu'il en est de même des
points m'", n", p', q et, ainsi de suite, de proche en proche *.

Le résultat auquel nous venons de parvenir implique, comme
conséquence, la déduction suivante :

* Veul-on procéder autrement ? On peut prendre à part un groupe quel-
conque de quadrilatères accolés à un même point central, soit, par exemple,
le groupe dont le point central est en n\ tixer ce point, le réunir par des
droites aux sommets m" et p, puis passer à la limite. La conclusion sera la
même.

(660)

IV. — Les trajectoires orthogonales qui, dans Ihypothèse des
équations (15), satisfont à léqnation (l'^), remplissent, en même
temps, cette autre condition :

Étant données trois licjnes choisies , comme on veut, denx dans
l'un des systèmes, ta troisième dans l'ajntre, elles déterminent
une double suite de lignes qui découpent la surface A en quadri-
latères rectangles admettant tous pour diagonales les trajectoires
à 45" de ces mêmes lignes.

On a, d'ailleurs et évidemment, ce corollaire :

La propriété établie pour les lignes données s'étend d'elle-
même au double système orthogonal que forment entre elles leurs
trajectoires à 45".

Revenons aux équations (12) et (13), les équations (13) se posant
à priori et devant, par hypothèse, impliquer l'équation (12). Si

1, , , cos 9 cos â' , , ' 1 ' • , o

Ion représente par , — 7-les courhures geodesiques qu af-
fectent en un point quelconque m les deux lignes orthogonales s
et / passant par ce point, on a, en général, d'après l'équation (2)
du n" 227, page 554,

coso , , cosô'

(14). . r].ds==±:ds.rn , d.rn=^±dS.rn

p p

De là résulte, en premier lieu ,

(l. rj, ds = ±:[ ds.d. rh ■+■ ^/ . d. ds ] zh ds. ^i;.. d ,

P P

et, par suite, eu égard aux équations (i5) et (14),

COSO ,, ('OS 6 , C0S9 coso' cos9
(1 5) d. ri ds = =b 2r/.s. d.ru zh dsKd = 2r/s" ~ • —7— =b ds\d

P P P P P

On trouverait de même

, , cosO cose' COSÇl'

( 1 6). . . o.d. ô-, =^ <^ds\ y~ dr ds-J — — •

( <i<'7 )
11 sViisuil que, pour snlislniro à I'(M|nntion (1^), on doit avoir

-, cos 9 eos o'

(17) (l =rbr;-— ,

P P

et rcciproquement.

On ne perdra pas de vue que l'équation (17) est subordonnée
à la condition ds == âx. Veut-on tout exprimer en une seule et
même équation ? il suffit de substituer aux vitesses d ^-^ > '^~—
leurs modules respectifs. Cela revient à écrire

cos e cos I '

(I

(18)

P

ds ^>-

L'équation (18) remplace à la fois les équations ( I i2) et (45). Elle
implique, en conséquence, l'énoncé suivant :

V. — Pour qu'un double système de lignes orthogonales rem-
plisse la condition \Y ^ il faut et il suffit que les vitesses, avec
lesquelles les courbures géodésiques variefit d partir d'un point
quelconque sur les lignes qui s'y croisent , aient, de part et
d'autre, même module (d)solu.

On voit par là que l'équation (18) ne peut subsister pour un
double système de lignes orthogonales, sans subsister, en même
temps, pour le double système orthogonal des trajectoires à 45*^
de ces mêmes lignes. Cette déduction peut s'établir à priori de la
manière suivante :

SoientO un point quelconque de la surface A ; OX, OY les lignes
s et A issues de ce point, OX, , OY, les
trajectoires à 43" corrcsj)ondantes.

Assimilons la ligne OX, à la ligne OX
la ligne OY, à la ligne OY, et conservons,
de part et d'autre, les mêmes notations,
en nous bornant h les accentuer lors-
^^ qu'il s'ngi? de la ligne OX, an lieu de
la ligne OX . on de la lionne OY? nu lion de In liîçne OY.

( <i08 )

S'agit-il, d'abord, de la ligne OX,? Siippo^^ons-la décrite, à par-
tir du point 0, par un point f/ assujetti à glisser sur la ligne s
en même temps que cette ligne sort du lieu OX, le point de la
ligne s qui se trouve actuellement en 0 étant désigné par m et
glissant sur la ligne OY.

Les vitesses ils et c^> avec lesquelles les points y. et m sortent
en même temps, l'un du lieu m sur la ligne s, l'autre du lieu
0 sur la ligne OY, sont nécessairement égales. De là résulte , pour
la vitesse r/,.9i avec laquelle le point y. sort du lieu 0 sur la ligne
OX,,

(19) (hsi=^y%(is = y'%rn,

et, pour la vitesse angulaire avec laquelle la directrice du point
y. sur la ligne OX, tourne autour de ce point au sortir du lieu 0,

C0S9( . / — , COSOi

m) (/, .s^. - = V^±ds. -'

Pi pi

Eu égard au double mouvement qui anime à la fois la directrice
du point y sur la ligne .9 et celle du point m sur la ligne OY (celle-
ci tournant, par hypotbèse, en sens inverse de l'autre) la vitesse
angulaire (l^s^. a pour expression équivalente

. eos 9 cos d'

ils. r7).. — — •

P
Il vient, en conséquence.

cos 01 cos 6 cos I

Oa .—

(Il Si = (Is

Pi p p

et, par suite des équations (19) et (20),

eos 04 i r cos 9 cos g' "i

Pi 1/2 L P P -1

L'équation (21) subsiste, en général, pour toutes les positions

(i01>

I II- .^X' 1 II L'OS 6, OOh 0 C05, ^'

suct'cssiv es du poiiil v- siii' la ligne OAi, les iiiouuJcs 5 — — ? — ^

dépendant du lieu que ce point oceupe à Tinstant que l'on con-
sidère et variant ainsi d'une manière incessante. On peut, par con-
séquent, la différencier. Soit, comme ci-dessus, (îi la caracté-
ristique correspondante. Elle exprime, par rapport à cliacun des
termes du second membre de l'équation (:21) une différentielle
totale, ou, ce qui re^ient au même, la somme des différenlielles qui
correspondent resp<îctivcment, l'une à la caractéristique d, l'autre
à la caractéristique 0. De là résulte,

di

cos e,

diSi

.d,Si

V'i

I cos 0 cos 0' \ / cos 9 cos 0 \

ds 01

et, eu égard à l'équation (19),
cos 0,

di

d.s,

cos 0 cos () cos 0 cos 0

d 0 j— rj (i — —

0 0 0 n

'■)J.

ds

vS agit-il maintenant de la ligne OY,? Le même procédé donne
en premier lieu ,

COSO,

V

1 r COS 0 cos 0' "j
9L p p' J

2:3).

et, en second lieu ,
cos 0',

cos

f/.S

cosâ

rn

COS I

rn

COSô'

0

7/s~

Observons ici qu'avant de combiner entre elles les équations
(^22) et (25), il faut avoir égard, pour la dernière, à l'inversion
du sens de la ligne OX et y changer, en conséquence, le signe

( 070 )

des différentielles qui ont la lettre d pour caraclérislique. On
trouve ainsi

cose.

(24) . .

d

coso

cos 0

ds

cosO

rh

cosô
ds

Ajoutant, membre à membre, les équations (i22) et (-24), il
vient

,/,

cosi

(25).

diSi

cos

pi

d

eos !

ds

cos 6'

âX

L'équation (25) met en évidence la proposition qu'il s'agissait
d'établir d priori ou de vérifier à posteriori. H est clair, en effet,
qu'on ne peut avoir

d

cos ô

ds

cosô'

âl

= 0.

sans qu'il n'en résulte

COSOi

Pi

diSi

cos ©i

'■h — —
Pi

= 0,

et réciproquement.

Terminons par quelques applications particulières.

Si nous considérons d'abord les surfaces de révolution , il est
visible que les méridiens et les parallèles constituent un double
système de trajectoires orthogonales, dont chacune, suivant
qu'elle est un méridien ou un parallèle, satisfait en tous ses points
à la première ou à la seconde des équations

cos 6

cos 6

p'

cous'

( <i7l )

Il s'ensuit que ces lignes satisfont h l'équation (l) et remplis-
sent, en conséquence, les conditions 1, II, III, IV.

Ce résultat est en quelque sorte évident et l'on peut l'élahlir â
priori sans aucun calcul. II en est de même dans le cas où les
lignes considérées étant planes, les unes sont des circonférences
concentriques, les autres des droites issues du centre commun
aux premières. On reconnaît immédiatement que ces circonfé-
rences et ces droites constituent un double système de trajec-
toires orthogonales satisfaisant à toutes les conditions formulées
ci-dessus.

Restons au point de vue des trajectoires planes.

Deux paraboles homofocales, dont les axes principaux font
entre eux l'angle 2a, se coupent sous l'angle x. Il s'ensuit que les
paraboles homofocales , dont l'axe principal est dirigé suivant une
même droite et dans le même sens, ont pour trajectoires ortho-
gonales d'autres paraboles ne différant des premières que par le
sens de Taxe principal.

Plaçons l'origine au foyer commun de ces paraboles et prenons
pour axe des x la droite dirigée suivant leur axe principal. Elles
ont pour équation générale , les unes

les autres

et pour ordonnées des points où elles se coupent

On trouve , pour les premières

(hi a , Vd'-^- tf , («'-+- vT fh ^V

dx y a a^ as a

De là résulte, en remplaçant //-par a.h ,

0 ÔU

— '- = ±: ^ .

ds « H- 6

( <>7-^ )
H est visible qu'on trouverait de même , pour les secondes,

c?/ a -t- 6

Concluons que ces paraboles constituent un double S} stènie de
lignes ortliogonalcs satisfaisant à l'équation (18) et remplissant,
en consc(iuencc, la condition IV, Ici, d'ailleurs, se manifeste
d'elle-même la réciprocité établie entre ces lignes et leurs trajec-
toires à 45°. Il est clair, en effet, que celles-ci s'obtiennent en fai-
sant tourner les autres d'un angle droit.

Vérifions, en ce qui concerne les paraboles ainsi déterminées,
la propriété qu'elles ont de découper le plan qui les contient en
quadrilatères rectangles, admettant i)Our diagonales les trajectoires
à 45" de ces mêmes paraboles.

Soit 0 le foyer commun pris pour origine des coordonnées;
Fiy, 3. ACD, A'C'D', BCX trois paraboles

cboisics, comme on veut, les deux
premières dans l'un des systèmes
considérés , la troisième dans l'au-
tre; MCD' l'une des trajectoires à
45" passant par le point C: D' le
point de rencontre de cette trajec-
toire avec la branche A'C'D'; B'D'D
la parabole du système BC'C me-
née par le point D' ; D le point d'in-
tersection des deux branches ACD,
B'D'D. Tout se réduit à démontrer que la trajectoire à 45» menée
par le point C et représentée par NC'D passe par le point D.

Donnons-nous les équations des paraboles ACD, A'C'D', BC'C,
B'D'D et représcnlons-les respectivement par

On lrou\e aisément, pour les coordonnées du point C,

h — a

j^Va.h;

( "••73 )
pour colles du poini C,

h — a'

, y = \/a'.h.

2

pour celles du point D',

pour celles du point D ,

ac=-y-, u = Va.h.

Soit

x^ = m' — ""hnij,

l'équation de la trajectoire MCD'. Cette trajectoire passant par les
•deux points C, D', on a

(^-^0' . .. ./-^ {b'-a

m- — "-Im Va . b , = m^ — 2m Va. b\

4 4

ou, ce qui revient au même,

4 4

Les équations (26) déterminent les paramètres m et b' supposés
tous deux positifs. Elles donnent, d'abord,

b -V a - b' -V- a' i/-^T'

m = h y aj>, = iti — V a .b .

2 2

De là résulte

[Vl -4- V^if = [Vb'-^ Vd\\

et, par suite,

(27). . . . , VT'=^V'a-i-Vb V7.

ToMt XV. 45

{ 674 )
Soit

l'équation de la trajectoire NC'D. Étant menée par le point C,
son paramètre n est déterminé par l'équation de condition

— = n^ -\- ^nV a .0,

On en déduit, comme tout à l'heure,

6 H- a' /

(28) n = .— Va'.h.

Cela posé, pour que cette trajectoire passe par le point D, il faut
et il suffît que l'on ait

(^'-«)' . ., ,/-r.
4

ou, ce qui revient au même,

(29) ^l^±^n-^-W.h'.

La simultanéité des équations (28) et (29) donne

^' -^^ ./—n ^-+-«' y/-ri

V a.b = Va. h,

2 2

et, par suite (1/ étant plus grand que b , et a plus i^r^uid (juc a')

(30). .... \/h'—\/~a = y/b — V'^'.

La concordance des équations (27) et (ôO) fournil la vérification
rlierchée.

Passons des paraboles aux autres sections coniques. On recoii-
naif immédiatement, par la construction des tangentes, qu'mi

( 07S )
système quelconque dellipses hoino locales a pour Irajecloiies

orthogonales,

les

hyperboles

ayant

les

mêmes

foyers

que

ces

ellipses.

Soit

x'
7"";

y'

== '

,

'-c'

l'équation générale des lignes du premier système. On a pour celle
du second

I,

la quantité c étant constante et la même, de part et d'autre.

Considérons un point quelconque où viennent se couper l'une
des ellipses et sa trajectoire orthogonale. On trouve aisément pour
les coordonnées de ce point

C

et, par suite,
(31). ■- . .

P

ôàxy

,1

rj —

p'

/.2 ..2\3

_<>■

fis {a^—v'f rJ-,

le rayon p, l'arc s et la caractéristique d s'appliqunnt à lellipsc,
le rayon p', l'arc / et la caractéristique c? à Fh} pcrl)olc correspon-
dante.

L'équation (51) montre que le double système des lignes ortho-
gonales formé par les ellipses et les hyperboles de mêmes foyers
remplit ht condition IV. Ces lignes permettent, en conséquence,
de découper leur plan en quadrilatères rectangles admettant pour
diagonales leurs trajectoires à 45".

Revenons au cas général des lignes planes et indiquons une
dernière application.

Supposons les lignes s Isolhermes. Le flux de chaleur y est pro-
portionnel en chaque point au quotient— , et ce quotient doit

( 676 )

pouvoir rester le même, non-seulement d'un point à un aulre
d'une même ligne s, mais, en outre, dans le passage d'une quel-
conque de ces lignes aux suivantes. Cela revient à dire que si l'on
se donne â priori les équations (15) (ce qu'on est toujours maître
de faire), il faut que l'équation (12) en résulte.
On déduit de là l'énoncé suivant :

Pour qu\(ne suite de lignes situées dans un même plan soient
isothermes , il faut et il suffit qu'elles fassent partie d'un double
système orthogonal satisfaisant à l'équation

A 1

d- rj-

ds c?;.

Cet énoncé revient à celui que M. Ossian Bonnet * a formulé
comme expression équivalente d'un théorème de M. Bertrand **.
Nous croyons pouvoir le compléter en y ajoutant ce corollaire :

Lorsqu'une suite de lignes situées dans un même plan sont
isothermes , il en est de même non-seidement de leurs trajectoires
orthogonales , mais, en outre, de chacun des systèmes formés
par leurs trajectoires à 45".

* Voir le mémoire déjà cité (page 48).

Journal de mathématiques pures et appliquées, tome XI, année 184i
page 126,

FIN DE L'APPENDICE A LA TROISIEME PARTIE

DU TOME S E C 0 A D.

TABLE DES MATIÈRES.

Pages.

Avertissement. 3

Introduction

TROISIÈME PARTIE.

PREMIERE SERIE.

APPLICATIONS AIVAI.YTIQVKS DIT CALeiJI. DIFFÉRKIVTIRI.

CHAPITRE PREMIER.

EXPOSE DES THEOREMES FONDAMENTAUX.

d'ordre.

1 à 2. Des signes auxquels on reconnaît la marche d'une fonction. . 9

3 à 5. DerégalitéAî/=rAa;.M^"''^V(^) 13

6 à 7. Du développement des fonctions par voie d'identité . ... 20

8. Différences des ordres supérieurs. Moyennes multiples ... 25

9 à 10, Développement de la différence A"?/ 27

( ")

CHAPITRE II.

APPLICATIONS PARTICULIERES.

d'ordre. Pages.

11 à 13. Des rapports qui s'établissent entre la fonction et ses dérivées

successives pour certaines valeurs de la variable .... 33

CHAPITRE m.

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EN SÉRIES.

16 à 21. Séries de Taylor et de Maclaurin 44

22. Extension générale 34

CHAPITRE IV.

DE LA CONTINUITÉ CONSIDÉRÉE DANS SES RAPPORTS AVEC LA CONVER-
GENCE DES SÉRIES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN.

23. Dérivation sous le signe M 38

24 à 23. Conditions remplies par les séries de Taylor et de Maclaurin

lorsqu'elles sont convergentes 60

26 à 29. Conditions à remplir par une fonction pour qu'elle soit déve-

loppable en série convergente 66

CHAPITRE V.

DES MAXIMA ET MINIMA.

30 à 32. Théorie générale des maa?ma et mimma 77

33 à 34. Application au cas de plusieurs variables indépendantes. , . 82

CHAPITRE VI.

EMPLOI DES IMAGINAIRES DANS l'ANALYSE.

33. Réalité des solutions dites imaginaires 87

( ». )

d'ordre. ^ages.

56. Application des règles du calcul algébrique aux imaginaires. 90

37 à 38, Relations entre les exponentielles et les fonctions circulaires . 91

39. Expressions générales des logarithmes 96

40. Relations entre les puissances des sinus ou des cosinus, et les

sinus ou les cosinus des arcs multiples 98

41 à 4:2. Résolution des équations binômes 101

43. Interprétation générale de la formule de Moivre 104

44 à 46. De la continuité dans la variation des imaginaires 105

47. Application du calcul différentiel aux imaginaires 111

48 à 49. Représentation géométrique des imaginaires 114

SO. Formule de Moivre. — Racines de Tunité. — Théorème de

Cotes 118

NOTES

I. Sur la continuité et la périodicité des fonctions d'une

variable imaginaire 12:2

II. Sur les fonctions dont les dérivées successives s'annu-
lent pour une même valeur de la variable . . . . 1 28

III. Sur quelques applications de la formule de Maclaurin.

— Développement d'une fonction suivant les puis-
sances entières et positives d'une autre fonction. —
Retour des suites 133

IV. Sur la convergence et la divergence des séries . . . 136

DEUXIÈME SÉRIE.

APPLICATIONS GEOMKTRIQVES DV CALCCL, DIFFERENTIEL. .

CHAPITRE PREMIER.

GÉNÉRALITÉS.

51 à 53. Interprétation générale deVéqudiXiondiïïérent\e]\edy=f{x).dœ.

— Extension aux ordres supérieurs 145

( «v )

CHAPITRE II

THEORIE DES TANGENTES.

d'ordre. Pages.

o4 à 06. Tangentes et normales aux courbes planes 150

57. Applications par voie d'analyse. — Sections coniques . . . 155

58. Applications par voie géométrique. — Sections coniques . . 160

59. Parabole. — Ellipse. — Hyperbole 162

60. Logarithmique. — Cycloïde ; . . 166

61. Extension au cas des coordonnées polaires 168

62. Applications. — Spirales. — Sections coniques 171

63. Théorie de.s asymptotes 173

64. Applications particulières 175

CHAPITRE III.

RECTIFIC.XTIONS ET QUADRATURES EN GÉOMÉTRIE PLANE.

65 à 66. DiflTérentielle d'un arc. — Rectification 178

67 à 69. Différentielle d'une aire, — Quadrature 181

70. Applications par voie d'analyse 189

71 à 72. Applications par voie géométrique 191

CHAPITRE IV.

THÉORIE GÉNÉRALE DE l'OSCULATION DES T.OURBES PLANES.

73 à 74. Courbure proprement dite. — Cercle osculateur .... 199

75. Développées et développantes 201

76 à 78. Déterminations analytiques. — Rayon et centre de cour-
bure. — Développée 203

79 à 80. Propriétés et caractères distinctifs du cercle osculateur. . 207
81. Indication générale des procédés à suivre pour la détermi-
nation des centres et rayons de courbure 210

82 à 84. Application aux sections coniques. —Voie d'analyse. — Voie

géométrique • . . . . 212

85 à 88, Application générale aux roulettes. — Voie géométrique. . 218

89 ù 90. Théorèmes concernant les roulettes. 228

( V ) .

d'ordre. Pages.

91 k 93. Applicalions pailiculières. — Cycloide.— Liiiiaroii do Pascal.

Ellipse. — Conchoide 231

94 à do. Des courbes planes considérées comme élanl des roulettes. 238

96. Propriétés résultantes 242

97. Démonstration géométrique du théorème de M. Delaunay,

concernant les surfaces de révolution dont la courbure
moyenne est constante . o 245

98. Transformation applicable au cas des coordonnées polaires. 253
99 à 100. Applications. — Sections coniques. — Spirale logarithmi-
que. — Spirale d'Archimède , 254

CHAPITRE V.

THÉORIE GÉNÉRALE DES ENVELOPPES EN GÉOMÉTRIE PLANE.

101 à 102. Théorie géométrique des enveloppes 258

103. Rayon de courbure de l'enveloppe d'une courbe qui se meut

dans son plan sans changer de forme. — Glissement de

la courbe mobile sur son enveloppe 264

104. Extension générale au cas d'une ligne qui change en même

temps de position et de forme 267

105 à 106. Théorie analytique des enveloppes 270

107 à 116. Applications particulières.

1" Enveloppe des normales à une courbe plane .... 274

2" Enveloppe d'une droite mobile assujettie à intercepter
sur deux droites fixes et parallèles des segments dont
le produit soit constant — Solution par voie d'analyse
et par voie géométrique. — Propriétés résultantes pour
l'ellipse et l'hyperbole 275

S- Enveloppe d'une droite mobile assujettie à détacher une
aire de grandeur constante. Solution par voie d'ana-
lyse et par voie géométrique. Centres et rayons de
courbure de l'enveloppe ' .... 281

4" Enveloppe d'une droite mobile assujettie à conserver une
grandeur constante entre deux droites fixes et rectan-
gulaires. — Centres et rayons de courbure de l'enve-
loppe 288

o" Spirale des ponts-levis. — Caustiques par réflexion. —

Caustiques par réfraction. — Solution géométrique . 292

6" Enveloppe des positions successives d'un cercle variable.

— Solution par voie d'analyse et par voie géométrique. 300

( V. )

CHAPITRE VI.

DES POINTS SINGULIERS EN GÉOMÉTRIE PLANE.

d'ordïc. Pages.

117. Points multiples 305

118. Caractères et signes distinclifs de la concavité et de la con-

vexité. — Points d'inflexion 505

119 à 120, Points de rebroussement. — Points d'arrêt. — Points sail-
lants ou anguleux. — Exemples de points singuliers . . 307

CHAPITRE VII.

THÉORIE GÉNÉRALE DES CONTACTS DE TOUS LES ORDRES.

121 à 124. Théorie géométrique des contacts de tous les ordres . . . 309

125. Procédé mixte 316

126. Théorie analytique des contacts de tous les ordres. . . . 319

NOTE A.

Détermination géométrique de la section conique qui affecte
avec une courbe donnée un contact du quatrième ordre. 321

CHAPITRE VIII.

COURBES A DOUBLE COURBURE.

127 à 128. Considérations géométriques sur la génération des courbes

dans l'espace 534

129 à 150. Formules élémentaires de la géométrie à trois dimensions. 558
151 à 155. Conditions analytiques du mouvement d'une droite dans

l'espace 542

154. Conditions analytiques du mouvement d'un plan dans l'es-

pace • . 550

155. Reclification des courbes à double courbure 552

( vil )

d'ordre. Pages.

136. Tangentes et plans normaux 553

137. Plan osculateur 354

138. Normale principale 357

159 à 140. Expression analytique de la vitesse angulaire avec laquelle

une droite qui se meut dans Tespace s'écarte à chaque

instant de la position dont elle sort 359

141 à 144. Première et deuxième courbure des courbes à double cour-
bure 365

145 à 146. Développées des courbes à double courbure. — Surface po-
laire 368

147. Équations de la surface polaire et de l'arête de rebrousse-

ment 373

148 à 151. Conditions générales des contacts de tous les ordres . . . 377
152 à 153. Contact des courbes et des surfaces. — Sphère osculatrice. 386
154 à 155. Application des théories précédentes à l'hélice 389

156. Application du calcul à la détermination des résultats obte-

nus pour l'hélice par voie géométrique 394

157. Détermination géométrique des développées de l'hélice . . 396

CHAPITRE IX.

DES SURFACES.

158 à 160. Génération des surfaces. Principes fondamentaux . . . . 400

161. Théorème des tangentes réciproques 408

162 à 163. Del'égaHté F^\ (a;,î/) = Fy ^ (a;,?/) 410

164 à 166. Plan tangent. — Normale. — Plans normaux 414

CHAPITRE- X.

COURBURE DES SURFACES.

167 à 170. Théorie géométrique de la courbure des surfaces .... 418

171 à 173. Courbure des sections normales. Indicatrice 423

174. Second procédé , suppléant à tout ce qui précède . . . . 428
175 à 177. Troisième procédé, par application directe du théo'rème des

tangentes réciproques 434

178 à 179. Courbure des sections obliques , suivant deux procédés . . 442

( vil. )

JJO.

d'urilr«. Pages.

180. . Théorème de Haclielle 445

181. Lignes de courbure •. . 447

182. Tangentes conjuguées Ih.

182 à 183'"* Théorèmes de MM. Dupin et Lamé sur les surfaces ortho-
gonales 449

184. Théorème de Sturm sur les déplacements d'une normale à

une surface 459

185 à 186. Autres théorèmes sur le même sujet. — Deuxième indica-
trice 461

187 à 188. Détermination directe du point central. — Relations résul-
tantes 465

189 à 190. Théorèmes concernant la rotation de la normale et celle du

plan tangent 469

191. Théorie analytique de la courbure des surfaces. — Notions

préliminaires 473

192 à 193. Courbure des sections normales et des sections obliques. . 475

194. Autrement 479

195. Autrement 482

196 à 197. Autrement, d'une manière plus directe et plus simple . . 484

198. Ombilics 488

199. Lignes de courbure. — Lieu des normales menées suivant

ces lignes. — Arête de rebroussement de ce lieu . . . 4S9

CHAPITRE XI.

APPLICATIONS GÉNÉRALES CONCERN.VNT LES SURFACES.

200. Courbure des surfaces de révolution 490

201. Courbure des surfaces développables 491

202 à 204. Courbure des surfaces gauches. — Propriétés curieuses, . 493

205. Théorie des surfaces enveloppes 501

206. Autrement 505

207 à 208. Caractères généra u>c des surfaces développables .... 506

CHAPITRE XIL

THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES LIGNES GÉODÉSIQUES.

209 à 210 Définition des lignes géodésiciues. — Propriétés fondamen-
tales 509

( IV)
d'ordre. Pages.

:21I à 213. Courbure géodésique. — Définition el mesure. — Consé-
quences ol3

214 à 213. Théorème de Lancret. — Deuxième courbure géodésique . 521

216. Équation générale des lignes géodésiques 525

217 à 218. Application aux surfaces de révolution 527

219 à 220. Application à l'ellipsoïde et à Thyperboloïde. — Théorème
de Joachimstal sur les lignes géodésiques et les lignes de

courbure 531

221. Polaires conjuguées 534

222. Équation générale des lignes géodésiques de rellipsoïde. . 533
225. Équations correspondantes des lignes de courbure . . . 537

224 à 226. Formules générales relatives à la théorie des surfaces . . 542

227. Conditions générales de Torthogonalilé 554

228 à 234. Applications.

1<» Surfaces et courbes orthogonales. — Théorème de
M. Lamé. — Division d'une surface en quadrilatères
rectangles, satisfaisant à certaines conditions particu-
lières 557

2" Surfaces gauches — Équation et propriété de la ligne de

striction 563

3" Conditions du minimum absolu et du minimum relatif

pour les lignes tracées sur une surface 566

4" Conditions du minimum absolu et du minimum relatif
pour les surfaces dont on dispose librement entre cer-
taines limites ou qu'on assujettit à circonscrire un
volume déterminé 572

CHAPITRE XIII.

THÉORIE GÉOMÉTRIQUE DES SURFACES APPLICABLES l'uNE SUR
l'autre sans DÉCHIRURE M DUPLICATURE.

235, Énoncé général de la condition à remplir pour que deux
surfaces puissent s'appliquer l'une sur l'autre , sans dé-
chirure ni duplicature 577

236 à 240. Développement et transport d'une surface sur une autre.
— Exemples divers.

1« Cas particulier des helicoïdes gauches 578

2' Cas général des surfaces gauches 581

(X)
d'ordre. Pages.

3" Cas général des surfaces de révolution. — Traduction
analytique de la solution directe. — Applications parti-

' culières 383

-4« Extension de la solution précédente 590

âil. Conséquences de l'énoncé général du no 235 593

24:2 à 243. Théorème de M. Gauss, consistant en ce que l'égalité de
courbure en leurs points conjugués est la condition néces-
saire et suffisante pour que deux surfaces soient applica-
bles l'une sur l'autre, sans déchirure ni duplicature . . 596

244. Applications particulières de ce théorème. — Surfaces déve-

loppables. — Surfaces gauches. — Surfaces de révolu-
tion 600

245. Application au cas où les surfaces à déterminer sont, en

même temps , d'égale courbure et de révolution. . . . 602

CHAPITRE XIV.

RECTIFICATIONS ET QUADRATURES DANS l'ESPACE. — CUBATURES.

246. Indications générales 605

247 à 248. Différentielle d'un arc quelconque. — Rectification . . . 606
249 à 250. DifTérentielle d'une aire quelconque. - Quadrature . . . 608

251. Second procédé plus direct 612

252. Marche à suivre pour l'exécution des calculs 613

253 à 254. Procédé ordinaire fondé sur la substitution de l'aire projetée

à l'aire projetante 615

255 à 257. Applications du procédé direct. — Surfaces développables. .
— Surfaces de révolution. — Théorèmes généraux, pro-
pres à ces différents cas 619

258. Théorèmes applicables à toutes les surfaces. — Développe-
ment homalographique d'une surface quelconque . . . 624
259 à 261 . DifTérentielle d'un solide engendré par une aire plane. —

Cubature. — Théorèmes généraux 626

262. Cas général d'une aire quelconque prise pour génératrice

du volume à mesurer. — Théorème propre à ce cas. . . 631

263. Marche à suivre pour l'exécution des calculs 633

264. Application générale au cas des coordonnées polaires. . . 634

265. Théorème propre à ce cas. — Marche à suivre pour l'exécu-

tion des calculs 637

( XI )

d'ordre. Pages.

:266 à 268. Applications parliculières. — Cônes. — Sphère. — Ellip-
soïde. — Solides de révolution 639

269 à 274. Extension générale au cas où les grandeurs à déterminer
sont données comme limites de certaines sommes.
1° Position de la question. — Théorème fondamental. . . 644
2« Énoncé du problème à résoudre. — Solution directe . . 646
3« Exemple d'application — Définition et détermination du
centre des distances moyennes. — Quadrature des

aires. — Cubature des solides 649

4*» Exposé général du procédé fourni par le théorème du
n» 269 pour la cubature des solides et la quadrature
des surfaces 652

APPENDICE AU N» 229 DU CHAPITRE XII.

Division d'une surface en quadrilatères rectangles satisfaisant à cer-
taines conditions particulières 660

FIN DE LA TABLE DES MATIERES.

ERRilTA.

Page».

Lignes.

44

4

en remontant.

Lire M* au lieu

de Mo

74

3

id.

Id. etrectué

id.

effetué

161

7

id.

Id. sur mf

id.

sur m

173

Bt suivantes.

Id. asymptote

id.

assymptote

290

7

id.

Id. nn'

id.

nn

301

4

en descendant.

Id. fAx,y,o^)

id.

f'cc{x,y,oi)

386

1

en remontant.

Id. d»-»y

id.

d-^f

411

9

id.

Id. cCi.= cOy

id.

w^ = wy

421

8

id.

Id. S^

id.

S!/

422

4

*en descendant.

-i

id.

y

423

6

en remontant.

Id. suite

id.

snite

426

7

en descendant.

Id. les rayons

id.

le rayon

438

7

en remontant.

Id. Wx,Wy

id.

w^w^

453

9

id.

Id. cosê

id.

cosg

453

13

en descendant.

-f

id.

d^oo

456

5

id.

id.

dcc
ds^

457

5

en remontant.

Id. W,

id.

wl

554

2

id

Id. s

id.

s

PliKLICATIOXS i)K l/ACADEMIË HOYALE l)K HKKiK^lK.

:Vouvcaiix mémoires de rAcadémie royale des sciences ctbelles-
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rAcadémie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Bel-
gique, t. XIX à XXX ; in-4<^. — Prix : 8 U\ par vol., à partir du t. XII.

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Annuaire de l'Académie, 1 '*■ à 29"'«ann. 1855-G5;iu-18. Fr. i,î)0.

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Bruxelles, tome I à Xlï; in-S". Prix : -4 fr. par vol. — Bulletins de
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gique, tome XIII à XXIÏI. — 2""' série, tome I à XVI; in-S-^". — iv-
nexes aux bulletins de ISfi^, 1 vol. in-8". — Prix : i fr.

UibliograpEiie académique, ou liste des ouvrages publiés par
les membres, correspondants ctassociés résidents. 1854; \ vol.in-18.

'rallies des Mémoires des nicmbres, des Mémoires couronnés et
(les savants étrangers (I81(i-i857). \ vol. in-18; 1858.

Tables générales et nnaly tiques du recueil des Bulletins de
l'Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Bel-
gi(}ue, comprenant les 1. 1 à XXIII, l"-'^ sér. (1852-50). 1858;! v. in-8".

Catalogue des livres de la bibîiotbèquc de TAcadémie royale des
sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique. 1850; 1 vol. in-8".

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littéra l u re fia m a n de .
lier I^aturen Bloente van Jacob Tan Maerlant. ])ublié par
M. Bormans, tome !'"% 1857; 1 vol. in-B".

Ilymbybel van Jacob %'aii Maerlant. publié par M. .1. David,
tomes î. H, III et Glossaire, 1858-18()0; 4 vol. in-8«.

AlexaiifSer Cicesten van Jacob van Maerlant. pitljlié par
M. Snellaert, tomes I et ï!, 1800-1802, 2 vol. in-8'\

Commission royale d'histoire.

Collection «le Chroniques belges inédites, publiée par ordre
<lu Gouvernement; 25 volumes in-i".

Compte rendu des séances de la Commission royale d'bistoire,
ou Recueil de ses Bulletins, l""*^ série, 10 vol. in-8" (1857-'! 849). —
2'"^' série, 12 vol. in-8" (1850-59). — 5""' série, tomes I à IV (1800-65).

Annexes aux Bulletins, 0 volumes in-8». — Tables générales dcf^
Bulletins de la I''' série, par F. Gachel. I vol. iii-8" (1852),

F

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