Se ts N | 40 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES DE L'INSTITUT DE FRANCE +. x TOME VI PARIS GAUTHIER-VILLARS IMPRIMEUR-LIBRAIRE DES COMPTES RENDUS DES SÉANCES DE L'ACADEMIE DES SCIENCES SUGCESSEUR DE MALLET-BACHELIER QUAI DES AUGUSTINS, 90 5 Fe MEMOIRES L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIÈNCES DE L'INSTITUT = DE FRANCE. EE ANNÉE 1823. RRRRAR ARR LES ÉRR LAS AA IULS LEUR EURE LAR ELA LI LUI LE IS EARNU SR ) L 1 é À oO à a? , 2 5 AL Hahibsetihesr SCENE DE L'IMPRIMERIE DE FIRMIN DIDOT, IMPRIMEUR DU ROI ET DE L'INSTIFUT, RUE JACOB, N° 24. MEMOIRES L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES DE L'INSTITUT DE FRANCE RS SSS ANNÉE 18923. RAS SAS SALE LA LAI LES LAS LL LES LES VER LAIT VEILLE TOME VI PARIS, CHEZ FIRMIN DIDOT, PÈRE ET FILS, LIBRAIRES RUE JACOB, N° 24. enes2e05es 1827. ? / fs ; a AN D) Nan S | ! o Fe 4 ® (TERESA rar ms RATS Er ; A ALMA TABLE DES MÉMOIRES CONTENUS DANS CE VOLUME, Qui est le sixième de la collection des Mémoires de l’Académie des Sciences, depuis l'ordonnance du 21 mars 1816. RecHEerces sur quelques objets d'analyse indéterminée et parti- culièrement sur le théorème de Fermat, par M. LeGENDRE.. .. Mémorres sur le développement de l’anomalie vraie et du rayon vecteur elliptique, en séries ordonnées suivant les puissances de l’excentricité, par M. De LarLace........, AS TE RATES Mémome sur l’état de la végétation au sommet du Pic du Midi de Bagnères ; par M. L. Les 5 9 PI Le RARES Mémoire sur la théorie mathématique des phénomènes électro- dynamiques, uniquement déduite de l'expérience, dans lequel se trouvent réunis les Mémoires que M. Ampère a communi- qués à l'Académie royale des sciences, dans les séances des 4 et 26 décembre 1820, ro juin 1822, 22 décembre 1823, 12 sep- tembre et 23 novembre REA 0 db ENS REURSENNEE Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, par M. Navier. Mémoire sur la théorie du magnétisme en mouvement, par M. em de UN | it AS Mémoire sur le calcul numérique des: intégrales définies, par M. RS UE tee Las où Là ue Mémoire sur les développements des fonctions en séries périodi- ques, par M. SEAESTIN CATGRE SR DT A UN lé (| Pages 175 389 603 TABLE HISTOIRE DE L'ACADÉMIE. Analyse des travaux de l Académie royale des sciences, pendant l’année 1823. PARTIE MATHÉMATIQUE, par M. le baron Fowrten , secrétaire-perpétuel. . . ..… Page 1 ÉLoce historique de sir William Herschel, par M. le baron Fourier, secrétaire-perpétuel........................ Ix} Analyse des travaux de l’Académie royale des sciences , pendant l’année 1823. PARTIE PHYSIQUE, par M. le baron Cruvrer, secrétaire-perpétuel............ Ixxxii] ÉLoce historique de M. Duhamel, par M. le baron Cuvier , se- crétaire-perpétuel....... 14144803. 0.420: clx ERRATA. Au lieu de la feuille 53 page 441, Usez : feuille 56. Histoire. Au lieu xxxiv, lisez : page Ixxxiv. Page 571, ligne 11 , au lieu de et conduisent , Zsez: conduisent. Page 573, ligne 16, au lieu de f(no), Gsez : : f(nw). HISTOIRE DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES DE L'INSTITUT DE FRANCE. ANALYSE Des Travaux de l'Académie royale des Sciences, pendant l'annee 1823. PARTIE MATHÉMATIQUE, Par M. LE BARON FOURIER, SECRÉTAIRE-PERPÉTUEL. 2écscersisesscece GÉOMÉTRIE. Diss le tome V de la Mécanique céleste on s’est proposé d'offrir le tableau historique des travaux des géomètres sur le système du monde. L'auteur de ce grand ouvrage, M. le marquis DE La Prace, en publiant successivement les livres qui composent cette dernière partie, y joint les résultats des recherches qu'il a faites plus récemment sur le même sujet. Les livres XI et XIT, dont nous avons fait mention dans notre rapport précédent, traitent, l’un de la figure de la terre et de son mouvement autour de son axe, l’autre de 1823. Histotre. A i] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, l'attraction ou répulsion des sphères et des lois de l'équi- libre ou du mouvement des fluides aériformes. Le livre XII, qui vient d’être publié, a pour objet une des questions les plus importantes et les plus difficiles de l'astronomie phy- sique, celle des oscillations des fluides qui recouvrent les planètes. Le chapitre premier contient un exposé rapide des vues principales et des découvertes des géomètres sur le flux et le reflux de la mer, depuis Newron jusqu'a M. DE La PLace. L'origine de cette théorie serait fort ancienne, si elle re- montait aux temps où l’on a commence à entrevoir que les mouvements périodiques de l'Océan sont dus à l’action de la lune et du soleil. Mais le point capital de cette question con- sistait à reconnaître distinctement les rapports multipliés de l'oscillation des eaux avec le cours des deux astres. NewrTow discerna, avec une pénétration admirable, les caractères gé- néraux de ces grands phénomènes et en assigna les véritables causes , qui sont l’action attractive de la lune et celle du soleil. Il expliqua ainsi les variations périodiques des hau- teurs des marées et des intervalles de leurs retours. A la vé- rité plusieurs de ces explications sont incomplètes, quelques- unes même inexactes, mais les conséquences générales sont incontestables et dès-lors la théorie était fondée. On trouvera dans le livre que nous citons, l’esposé succinct des travaux ultérieurs de Danier Bernouri, MacLauRIN, EuLEr et D'A- LEMBERT ; ét la notice des principales recherches de l’auteur de la Mécanique celeste. Aucune branche de fhistoire des sciences n'offre plus d'intérêt que ce tableau des progres de l'analyse mathématique dans une des plus grandes questions de la philosophie naturelle. Il appartient surtout aux inven- PARTIE MATHÉMATIQUE. ii] teurs des principales théories d'en montrer l'origine, les difficultés et les points vraiment importants. L'histoire de la géométrie ancienne ne nous a rien transmis de plus exact et de plus précieux que le peu de mots qui servent de préface aux livres d’Archimède. On ne pouvait point, dans les premières recherches, con- sidérer à la fois tous les éléments d’une question aussi com- posée que celle des oscillations de la mer et de l'atmosphère produites par l’action de la lune et du soleil. Les géomètres ont d’abord simplifié cette recherche en faisant abstraction de plusieurs conditions qu'il était très-difficile de soumettre au calcul. On a examiné en premier lieu l'effet résultant d'un seul astre décrivant l'équateur d’un mouvement uni- forme et à une distance invariable de la terre supposée en repos; et l’on a cherché à connaître les changements de fi- gure que produirait la présence de l’astre dans une masse liquide comparable au globe terrestre. On a ensuite réuni les effets des deux astres, et l’on a eu égard aux changements de déclinaison, et aux variations de la distance de la lune à la terre; enfin on a considéré l'effet du mouvement de la rota- tion de la terre, les ondulations du liquide, l'influence de la profondeur ou constante ou variable, et celle de la densité de la masse terrestre comparée à la densité de l'eau. Pour citer l’un des plus beaux résultats de cette recherche, nous rappellerons que M. pe La PLace a démontré la condition mathématique de la stabilité de l'équilibre des mers. Lorsque cet équilibre est troublé par les vents ou par des causes quel- conques, il tend à se rétablir de lui-même, parce que la den- sité moyenne du globe surpasse celle des eaux. Si cette der- nière condition n'avait pas lieu, l'équilibre des mers cesserait : À 2 iv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, d’être stable dans plusieurs cas, c’est-à-dire que les oscillations: ne seraient pas nécessairement contenues entre des limites rapprochées; les forces qui dérangent la situation de l'équi- libre pourraient occasionner des déplacements immenses de la masse des eaux. Nous avons dit qu'après avoir envisagé la question dans ses rapports les plus simples, on a successivement rétabli des conditions que l’on avait d’abord omises. Il faut ajouter que plus on s’est rapproché de la question physique en réu- nissant ainsi ses éléments naturels, plus on a trouvé d'accord entre les résultats observés et ceux ducalcul, en sorte qu'il n’y a aucun des faits généraux de cet ordre dont on ne pos- sède aujourd'hui l'explication mathématique. Quelque générale que füt cette théorie, elle ne pouvait com- prendre une multitude de circonstances accessoires et extré- mement variées qui influent dans chaque lieu sur la hauteur des marées, et sur les intervalles de leur retour. En effet, l’é- tendue de la mer , la forme des côtes, celle même des rivages opposés, la figure du bassin, l’adhérence des molécules li- quides , la situation du port, modifient beaucoup les résul- tats du calcul où ces éléments n’entrent point. Mais des élé- ments aussi variés ne peuvent être tous connus , et d'ailleurs les effets qui en résultent sont trop composés pour qu’on puisse les déduire directement de la théorie. Toutefois au milieu de tant de variétés locales, et en quelque sorte arbi- traires , il existe des rapports certains qui ne dépendent point des circonstances accessoires, mais seulement des causes générales. Or l'analyse mathématique peut saisir ces rapports et les développer: c'est un des plus grands avantages que l’on retire de cette science , et la question des marées en PARTIE MATHÉMATIQUE. w ôffre un exemple très-remarquable. La comparaison atten- tive des expressions analytiques avec un assez grand nombre d'observations faites dans des circonstances convenables, dé- montre clairement que le mouvement périodique des eaux, et ses variations, sont des conséquences nécessaires des at- tractions de la lune et du soleil, et les lois mathématiques qui dérivent de cette cause se manifestent dans les effets observés, nonobstant les conditions locales auxquelles ces effets sont assujettis. | Nous ne pouvons point faire connaître ici les expres- sions que fournit l'analyse ; nous indiquerons seulement les deux propositions générales qui servent à les former. La première est le principe de la coexistence des petites oscillations qui s'applique à tous les phénomènes représen- tés par les équations appelées linéaires. Il s'ensuit que le mouvement général des eaux se compose d’une multitude de flux partiels dont chacun pourrait être produit par un astre mû uniformément dans le plan de l'équateur. La se- conde proposition est un autre principe très-général et très- fécond dont voici l'énoncé: si un systeme matériel est soumis à l’action indéfiniment prolongée d'une cause périodique , et si les résistances propres au système ont fait disparaître les conditions de son état primitif, l'effet subsistant est pério- dique comme la cause qui le produit. {| restait à comparer aux observations les résultats déduits de ces deux principes. On avait recueilli à Brest un grand nombre d'observations des marées faites sur la proposition de l’Académie des Sciences , depuis 1711 jusqu'à 1716, et l’on vient de renou- veler dans le même port ce même genre de mesures pendant seize années consécutives depuis 1807. L'une et l’autre série Y] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE; de faits, et surtout la dernière qui est plus nombreuse ont offert le moyen de vérifier la théorie et de reconnaître les rapports des phénomènes avec les causes générales. M. DE La Prace avait discuté les résultats des anciennes observa- tions dans le tome IT, livre IV de la Mécanique Céleste; il examine maintenant suivant les mêmes principes les obser- vations récentes. En procédant à cette comparaison , on s’est proposé premièrement de compenser par la réunion d'un très-grand nombre de faits les irrégularités fortuites , afin d'obtenir les résultats dus aux seules causes constantes; se- condement, de rapprocher les observations les plus propres à déterminer certains éléments en faisant évanouir presque en- tiérement l'influence des autres. Le procédé qui sert à com- biner les observations de la manière la plus convenable pour le but que l'on veut atteindre se présente quelquefois de lui-même; et dans tous les cas, il est donné par des règles exactes puisées dans l'analyse des probabilités. La compa- raison de la théorie des marées avec près de six mille obser- vations exigeait des calculs immenses : on en est redevabie à M. Bouvarp, dont les travaux précieux ont mérité depuis long-temps la reconnaissance des astronomes. Sans énumérer tous les résultats de ses comparaisons, nous nous bornerons à dire qu'elles rendent manifestes les lois que le principe de la gravitation universelle assigne à ces phénomènes. Les conséquences déduites de la mesure des hauteurs des marées, et celles que fournit l'observation des heures de leurs retours, font reconnaître sans aucun doute l'influence des déclinaisons variables des deux astres, et celle de leur changement de distance à la terre; elles dé- terminent avec une exactitude suffisante l'intervalle de temps PARTIE MATHÉMATIQUE. vi} qui s'écoule depuis la syzygie jusqu’à la plus haute marée, ou depuis la quadrature jusqu'au minimum des marées ; cet intervalle est, dans le port de Brest, d’un jour et demi à très- peu près. Nous indiquerons à ce sujet une des conséquences remarquables des nouvelles recherches de M. pe La PLAcE : elle consiste en ce que les termes divisés par la quatrième puissance de la distance de la lune à la terre produisent un flux partiel que des observations très-nombreuses ont en effet rendu sensible. Il en résulte une différence entre les marées des nouvelles lunes et celles des pleines lunes, ce qui n'aurait point lieu en vertu des seuls termes dépendants du cube de la distance. On voit ici une application de ce prin- cipe qu'on ne peut trop rappeler, savoir qu'en multipliant les observations on supplée en quelque sorte à la précision par le nombre, et que l’on parvient à reconnaître et à mesu- rer des quantités extrêmement petites beaucoup moindres que les écarts fortuits auxquels ces observations sont sujettes, et l'existence de ces effets presque insensibles peut être con- statée avec le plus haut degré de vraisemblance. On déduit encore de ces mêmes observations des marées des valeurs , numériques , relatives à deux phénomènes , dépendants des mêmes causes, savoir : la précession des équinoxes et la nu- tation de l’axe terrestre. On trouve +; pour le rapport de la masse de la lune à celle de la terre, et toutes ces valeurs sont conformes à celles qui dérivent des observations astro- nomiques. On arrive ainsi au même but par deux voies en- tiérement différentes. Ces coïncidences singulières dont nous avons déja cité des exemples dans nos rapports précédents, sont peut-être les témoignages les plus frappants de la per- fection des théories modernes. Elles nous montrent spéciale- vii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, ment que les phénomènes des marées sont calculés avec au- tant de certitude que les mouvements des astres. Tous ces effets sont du même ordre; ils sont soumis à la même analyse et dépendent d'un seul principe. La question des marées offre dans son ensemble tous les caractères propres à fixer l’attention des géometres ; aucune ne réunit plus de considérations philosophiques ; elle pré- sente d'abord l'application de l'analyse à des problèmes dy- namiques de plus en plus composés, dont la solution exacte indique clairement la marche des phénomènes et la cause qui les produit. On voit ensuite que, le problème devenant très-complexe, on peut suppléer à la connaissance des élé- ments arbitraires ou à l'intégration des équations différen- tielles, en ne considérant que les rapports généraux indépen- dants de ces éléments, et faisant concourir les observations de la manière la plus convenable à la détermination de ces rapports et des lois que suivent les effets produits; enfin une troisième partie de la question, celle qui concerne les oscillations de l'atmosphère, exige l'application d’une autre branche de l'analyse mathématique, savoir la théorie des probabilités. Les attractions lunaire et solaire agissant sur la masse de l'air comme sur les eaux, lui impriment aussi un mouvement périodique. Cet effet est incomparablement moins sensible que celui des marées ; mais il subsiste en vertu de l’action directe des deux astres , et à cause du mouvement et du changement de figure de l'océan qui sert de base à l’atmo- sphère. Le flux total atmosphérique se compose aussi de deux effets partiels : l'un est dû à l’action de la lune, et sa période est un demi-jour lunaire ; le second est produit par PARTIE MATHÉMATIQUE. 1x la force attractive du soleil, et sa période est d’un demi- jour solaire. Ce second effet serait beaucoup plus diffcile à reconnaître que le premier, parce qu’il est plus petit, et parce que se renouvelant aux mêmes heures solaires , 1l se mêle à une autre oscillation périodique qui dépend d’une cause différente. L’oscillation dont il s’agit est connue depuis long-temps et rendue sensible par la variation diurne du baromètre. On ne peut douter qu'elle ne soit due, comme le phénomène des vents alisés, à l'influence variable de la chaleur du soleil. Nous ne pouvons citer ici les divers ou- vrages relatifs à cette question de la variation diurne, qui est une des plus intéressantes de la météréologie. On doit principalement consulter les recherches que M. le baron Ramond a publiées dans la collection des Mémoires de l'Institut de France. Quant au flux lunaire, il ne se reproduit aux mêmes heures solaires qu'après un demi-mois ; et c’est pour cela que les observations peuvent servir à le séparer des autres variations, ou irrégulières ou périodiques. Il augmente, le jour de la syzygie, la variation diurne ; il la diminue, le jour de la quadrature : en sorte que la différenc de ces variations est le double de l'effet dû à l’action de la lune, M. pe La Prace a donc pensé que l’on pourrait reconnaître le flux atmosphérique lunaire, en comparant entre elles, conformément aux remarques précédentes, un grand nombre de hauteurs barométriques , mesurées à l'Observatoire royal de France. Il était surtout nécessaire de choisir un système d'observations propre à faire disparaître, des résultats moyens, les variations accidentelles qui sont considérables. On a satisfait à toutes ces conditions en comparant des 1823. Histotre. B x HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, observations faites le même jour, à neuf heures du matin, à midi et à trois heures du soir, et prenant la valeur moyenne d’un grand nombre de résultats donnés par cette comparaison. On a employé pour ce calcul les cbservations de mille cinq cent quatre-vingt-quatre jours, faites dans le cours de huit.années consécutives ; et l’on a trouvé comme résultat vraisemblable, que le flux atmosphérique lunaire change en effet, soit en plus, soit en moins, la variation diurne observée à Paris, mais que ce changement est très- petit, en sorte que la hauteur barométrique n'est pas alté- rée par cette cause d’un dix-huitième de millimètre; on trouve ainsi 3" 18 + à tres-peu près pour l'heure du plus grand flux lunaire le jour de la syzygie. Quoique les obser- vations comparées soient au nombre de quatre mille sept cent cinquante-deux , il ne s’ensuit point qu’elles indiquent le flux lunaire avec un haut degré de probabilité. La dis- cussion précédente a cela de remarquable, qu’elle fournit la mesure de la vraisemblance du résultat. L'application des méthodes analytiques dues à l'illustre auteur montre que cette probabilité surpasse !, mais qu’elle n'approche point assez de l'unité pour donner un degré suflisant de certitude. Cette même analyse nous apprend que, pour que le résultat fût annoncé avec beaucoup de vraisemblance, il faudrait employer un nombre dix fois plus grand d'observations. . Quant'aà la variation diurne , elle est tellement indiquée par les observations , qu'il ne peut rester aucun doute. On reconnaît aussi que cette variation ne demeure pas la même dans le cours de l’année. et qu’elle change en vertu d’une cause périodique, comme le remarque M. Ramond dans les Mémoires cités. PARTIE MATHÉMATIQUE. x] La variation diurne observée dans nos climats est très- sensiblement au-dessous de sa valeur moyenne pendant les mois d'octobre, novembre et décembre, et au-dessus de cette moyenne pendant les trois mois suivants. M. de La Place démontre que ces conséquences et celles qui se rap- portent au flux lunaire, se déduisent, avec un très-haut degré de probabilité, de l’ensemble des observations re- cueillies à Paris jusqu’à ce jour. Rien n’est plus digne de remarque que cette application de la science des probabilités à la recherche des résultats moyens fournis par des observations nombreuses. Cette théorie éclaire la discussion de tous les faits naturels, même de ceux dont la cause est ignorée, ou ne peut être soumise au calcul. Elle dirige l'esprit dans la comparaison des obser- vations ; elle fait connaître jusqu’à quel point on doit les multiplier pour obtenir un degré suffisant de vraisemblance ; enfin, elle donne la mesure exacte de la probabilité des résultats. M. Poisson a présenté à l'Académie, pendant l’année 1823, deux Mémoires de physique-mathématique, dont il a publié des extraits assez étendus dans les Annales de chimie et de physique. Le premier Mémoire a pour objet {4 propagation du mouvement dans les fluides élastiques. L'auteur avait traité précédemment un cas particulier d'une question dans laquelle on considère deux fluides élastiques différents, qui sont en contact et ne se pénètrent point. Il s'agissait de dé- terminer le mouvement qui s'opère dans l’intérieur des deux fluides, lorsqu'une onde plane et parallèle à la surface de séparation traverse l'un des fluides , et atteint cette surface. B2 Xi] HISTOIRE DE LACADÉMIES, Le calcul lui avait fait connaître que l'onde, parvenue à ja surface de contact, se divise et produit deux autres ondes, dont l'une est réfléchie dans l’intérieur du premier milieu où le mouvement a été imprimé , et l’autre se propage dans le second fluide. M. Poisson donne présentement une nou- velle étendue à cette recherche. Il suppose que l’origine du mouvement est un point quelconque du premier fluide, en sorte que l'onde sphérique qui s'y forme atteint, sous une infinité de directions différentes, la surface de con- tact; il examine suivant queiles lois le mouvement ondu- latoire se réfléchit dans le premier milieu , et se propage dans le second. La première partie de son Mémoire a pour objet la propagation du mouvement dans un seul fluide. On y expose les conséquences relatives à la forme des ondes, à la vitesse de la propagation, aux vitesses propres des molé- cules fluides, aux directions suivant lesquelles elles oscillent, et les résultats du calcul dont l'auteur conclut que ces vitesses propres subissent un affaiblissement considérable sur les rayons qui s’écartent de la direction principale. M. Poisson détermine aussi la forme des ondes dans un milieu vibrant où la force élastique ne serait pas la même selon toutes les directions ; enfin il considère le mouvement ondulatoire , non-seulement dans le cas où il provient d’un seul ébranle- ment primitif d’une partie de la masse, mais encore dans le cas où ce mouvement est entretenu par des vibrations répétées à l’origine des ondes. Dans la seconde partie de son Mémoire, l'auteur examine l'effet que produirait chacune des ondes excitées dans un des fluides, lorsqu'elle atteint, en un certain point, la sur- face de contact , supposée plane et indéfinie. Cet effet com- PARTIE MATHÉMATIQUE. xiif prend 1° une onde réfléchie dans le premier fluide où le mouvement a commencé, 2° une onde qui se forme et se pro- page dans l’autre fluide. La première est sphérique comme celle dont elle dérive; les centres de cette onde primitive et de l’onde réfléchie sont situés à égale distance , de part et d'autre, de la surface de séparation , sur une même per- pendiculaire à cette surface. Ainsi la réflexion de l’onde suit précisément la même loi que la réflexion régulière de la lumiere. Quant à l'onde qui passe dans le second fluide, elle n’est pas sphérique ; mais les vitesses propres des molécules sont encore dirigées, selon les normales, à la surface de l’onde. Si l’on prolonge une de ces normales jusqu’à la rencontre de la surface de séparation, cette ligne représentera le rayon de l'onde propagée dans le second milieu ; et la droite menée du point de rencontre au centre de l'onde primitive, le rayon de celle-ci. Or le calcul donne une relation remar- quable entre les directions de ces deux rayons ; ils sont tous les deux dans un plan perpendiculaire à la surface de con- tact, et les sinus des angles que chacun fait avec la normale ont un rapport constant; ainsi ce phénomène offre la loi connue de la réfraction de la lumière. On peut encore ex- pliquer par la même analyse la conséquence qui résulte de l'application de cette loi, au cas où l'incidence est telle que l'onde n’est plus transmise à une distance sensible dans le second milieu. On voit par là que le mouvement ondulatoire qui se propage dans deux fluides différents, mis en contact, présente des effets comparables à ceux de la lumière et assu- jettis aux mêmes lois. En poursuivant cette comparaison des deux genres de phénomènes, et considérant la largeur des XIV HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, ondes dans les deux fluides, les vitesses de propagation, les vitesses propres des molécules, l’auteur trouve des résultats conformes aux faits optiques les plus connus, et il en trouve aussi qui ne s'accordent point avec ces faits. Cette partie de ses recherches lui donne lieu de présenter diverses remarques au sujet des deux hypothèses physiques , qui consistent à expliquer les propriétés connues de la lumière, soit par l'émission des rayons, soit par la propagation des mouve- ments vibratoires d’une matière éthérée. Nous ne pourrions point exprimer notre opinion personnelle sur cette question , sans entrer dans des détails que la nature de ces extraits ne comporte pas. M. Poisson a lu à l’Académie, dans sa séance du 13 mars 1823, et publié dans les Annales de chimie, un Mémoire relatif aux anneaux colorés. L'objet de cet écrit est de com- pléter, sous un certain rapport, l'explication du phénomène dont il s’agit, déduite de l’interférence des vibrations lumi- neuses, selon les vues de M. le docteur Thomas Young. M. Poisson examine le cas de l'incidence orthogonale, et il ne considère pas seulement les ondes qui sont réfléchies une première fois à l’une ou à l’autre surface de la lame mince d'air, mais encore toutes celles qui ayant subi, en ces sur- faces extrêmes, des réflexions multipliées, parviennent à l'œil de l'observateur. En réunissant ainsi tous les éléments qu'un calcul exact devait en effet comprendre, on trouve des résultats entièrement conformes aux faits observés. M. Fresnel , qui a traité avec tant de succès les questions les plus importantes de l'optique , a inséré ensuite dans le même recueil (Ann. chim. et phys., mai 1823) un article concernant la formation des anneaux colorés. L'auteur qui, à PARTIE MATHÉMATIQUE. vx l'occasion d’une recherche relative à l'intensité de la lumière réfléchie sous des incidences obliques , avait, long-temps auparavant, calculé la somme des effets produits par une infinité de réflexions successives, applique un calcul sem- blable aux réfléxions de la lumière homogène, opérées à l'une et à l’autre surface de la lame d'air. Il considère l’in- cidence sous toutes les directions, et rend l'explication in- dépendante des formules qui expriment les quantités de lumière réfléchies , en se fondant sur un fait général, que M. Arago a déduit d'expériences irès-précises; par ce moyen, l’auteur explique facilement le noir tres-foncé que l'on ob- serve sous toutes les incidences au milieu des anneaux obscurs. M. Poisson a lu, dans la séance du 8 septembre 1823, une note contenant l'énoncé des principaux résultats de ses recherches mathématiques sur la théorie du magnétisme. Il a présenté, le 2 février 1824, le Mémoire dans lequel il traite cette question. On a indiqué, dans les Analyses précédentes, les progres de nos connaissances expérimentales et théoriques concer- nant les rapports de l'électricité et du magnétisme, et les effets dynamiques de l'électricité. L'action du courant électrique sur l'aiguille aimantée, les actions mutuelles de deux courants, et leurs rapports avec. le magnétisme terrestre , les forces électro-motrices dues aux différences de température , les expériences si remarquables du mouvement continu , les conséquences déduites de la loi mathématique qui a été proposée, tels sont les points prin- cipaux de cette nouvelle théorie. î M. Ampère a continué ses recherches sur cette matière ; XV) HISTOIRE DE L'ACADÉMIE; elles sont l'objet d'un Mémoire de mathématique qu'il a lu et déposé à l'Académie le 29 décembre 1823; l’auteur a eu principalement en vue de développer par des démonstra- tions, en quelque sorte synthétiques, les conséquences mul- tipliées de la formule qu'il a donnée pour exprimer l’action élémentaire de deux particules des fils conducteurs. Dans les années 1820 et 1822, il avait présenté cette formule, et déterminé, par l’expérience, la valeur d’un coefficient nu- mérique qu'elle contient. Il en avait conclu que si un élé- ment de courant électrique est soumis à l’action d’un système de courants fermés ou infiniment prolongés dans les deux sens, la force qui en résulte pour mouvoir l'élément est perpendiculaire à la direction de cet élément. Cela n’a point lieu si l'on ne considère que l’action des courants qui ne for- ment pas des circuits, ou qui ne sont pas prolongés à l'in- fini dans les deux sens; et par là l’auteur explique comment la révolution d’un cercle métallique autour de son centre, peut résulter de l’action des courants électriques de l’eau aci- dulée où il est plongé. MM. Savary et de Montferrand, qui cultivent avec beaucoup de succes la physique-mathéma- tique, ont fait d’heureuses applications du çalcul intégral, en déduisant de la loi dont on vient de parler, un grand nombre de conséquences que les observations ont vérifiées. M. Ampère traite ce mème sujet sous un point de vue dif- férent ; il exprime par une construction très-générale l'effet résultant de toutes les parties d’un cireuit électrique fermé ou indéfini dans les deux sens; il obtient ainsi, non-seule- ment toutes les conséquences que le calcul avait déja don- nées, mais encore plusieurs autres également conformes aux observations. Son Mémoire est divisé en six paragraphes, dont PARTIE MATHÉMATIQUE. Xvi] nous allons indiquer l’objet. Le premier présente les consé- quences relatives à l’action totale d’un courant électrique fermégou d’un système de tels circuits, sur un seul élément du fil conducteur. 1° La résultante de toutes les actions exercées par les ‘courants qui forment le système , est perpendiculaire à l'élément. 2° Si l'on suppose le milieu de l'élément toujours situé en un point donné de position à l'égard du système, que l’on place cet élément suivant diverses directions dans un plan qui passe par ce point et qui est également donné de posi- tion, et que l’on décompose la résultante de toutes ies actions en une force située dans ce plan et une force qui lui soit per- pendiculaire ; la première composante sera constante, quelle que soit la direction de l'élément sur le plan. En considérant l’action magnétique du globe terrestre comme due à un système de circuits électriques, l’auteur cite une observation dont le résultat est conforme à la proposi- tion que l’on vient d’enoncer. 3° Cette première composante est exprimée par le pro- duit d’un coefficient constant et de la somme des aires for- mées sur le même plan par les projections des secteurs infiniment petits, qui ont pour sommet le point où est situé l'élément, et pour base les petits arcs des courants du sys- tème, divisés respectivement par les cubes des distances de ce sommet à chacun de ces arcs. 4° Pour un point donné de position à l'égard du système, il y a un plan anique pour lequel la somme dont nous ve- nons de parler est la plus grande possible. 5° Si on élève au point donné une perpendiculaire au plan 1823. Histoire. C Kvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, dont il s'agit, la même somme est nulle pour tout plan pas- sant par cette perpendiculaire. -69 Quelle que soit la direction de l'élément, si l’on mène un plan par cette perpendiculaire et par la direction de lélé. ment, la composante de la résultante dans ce plan est nulle, d'après ce qu'on vient de dire, et ainsi cette résultante est perpendiculaire au plan. 7° La résultante coupant à angle droit la direction de l’é- lémént et celle de la perpendiculaire, est donc dans le plan sur lequel cette dernière a été élevée; d’où il suit que la re- sultante est toujours comprise dans ce plan principal ( que l'auteur nomme plan directeur de l'action électro-dynamique au point donné, en désignant la perpendiculaire qui y est élevée, sous le nom de normale au plan directeur.) 8° La résultante est proportionnelle au sinus de l'angle formé par la direction de l'élément et la normale, au plan appelé directeur : elle est par conséquent nulle quand l’élé- ment est dans la direction de cette normale, et à son maxi- mum quand il lui est perpendiculaire, c’est-à-dire quand il est situé dans le plan principal. 9° Pour trouver la composante dans un plan quelconque passant par la direction de l'élément, il faut multiplier l’ac- tion maximum qui aurait lieu si l'élément était situé dans le plan principal, par le cosinus de l'angle des deux plans. 10° Si l’on considère trois quantités analytiques exprimant les sommes, des,aires formées sur trois plans rectangulaires per les, projections des petits secteurs dont le sommet est au point donné, divisées respectivement par les cubes des. di- stances, l’action maximum est exprimée par le produit du PARTIE MATHÉMATIQUE. xIX coefficient dont nous avons parlé-plus haut, et de la racine carrée de la somme des carrés des trois quantités. M: Ampère calcule ensuite, dans un cas particulier, les intégrales qui donnent les valeurs des trois quantités analÿ- tiques: dont on vient de parler; ce cas est celui où le système se réduit à un courant circulaire fermé, et ces intégrales prennent des valeurs simples quand on'suppose très - petit! lesdiamètre du cercle décrit par le courant. Il ajoute'que les résultats obtenus dans!les paragraphes précédents sont indé- pendants de l'exposant de la puissance de la distance des deux éléments de courants électriques à laquelle on suppose que leur action mutuelle est réciproquement proportionnelle quand'on fait varier cette distance sans changer les direc- tions des éléments; et que ceux qui vont suivre n’ont lieu, au contraire , que quand la même action est en raison in- verse du carré de la'distance : nous ferons deux remarques à ce sujet. La première est que: la formule donnée par l’au- teur suppose que la fonction de la distance, qui , toutes choses d'ailleurs égales, mesure l’action mutuelle de deux éléments, est:une puissance de la distance. En admettant cette forme de la fonction, l’exposant est déterminé par lés obsérvations. Notre seconde remarque consiste en ce que l’action d’un cou- rant prolongé:à l'infini dans les deux'sens' ne peut être assi- milée: à: celle d’un circuit entier, que ‘si l'effet élémentaire devient infiniment petit, lorsque la distance croît sans limite. Ceux des résultats précédents qui se rapportent aux coùrants infiniment prolongés dans les deux sens, n'auraient pas lieu si l'exposant dei l& puissance n'était: pas négatif. Les'consé- anse gs nous allonsemaintenant ‘indiquer aYaiént’ été 134194 BIOË 8} 8 tes. iuomol9t ue 9591979 1C 2 xx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, données par M. Savary, qui les a, le premier, déduites de la formule de M. Ampère. | Dans le troisième paragraphe de son Mémoire, M. Ampère considère l'action d'un système de courants circulaires d'un très - petit diamètre, décrivant des cercles égaux dans des plans équidistants normaux à la ligne droite ou courbe qui passe par leurs centres. La réunion des circonférences qu'ils décrivent détermine une surface, dont les géomètres ont exa- miné les propriétés analytiques. M. Ampère propose de don- ner le nom de solénoïde à cette surface, qui est, à proprement parler, celle d’un canal ou tube d’un très-petit diamètre. L'axe de ce tube peut être une ligne fermée ou infiniment prolongée dans les deux sens ou dans un seul sens , qu une ligne finie dont les deux extrémités sont données. 1° Si le système de courants électriques dont on a déter- miué précédemment l'action sur un élément est un tube fermé ou indéfini dans les deux sens, cette action devient nulle lors- que lon prend un des nombres 2 ou — 1 pour l’exposant de la puissance de la distance à laquelle l’action mutuelle des deux éléments est réciproquement proportionnelle; et elle ne peut l'être généralement pour d’autres valeurs de cet expo- sant. Comme des expériences directes prouvent qu'elle l’est effectivement, quelle que soit la forme et la grandeur du cou- rant dont l'élément fait partie, et que d’ailleurs cet exposant est positif, il en résulte nécessairement que cette puissance est le carré. is | 2° Si le système est infiniment prolongé dans un seul sens, la normale au plan principal:ou directeur est la droite menée. de l'extrémité de ce système au point où est l'élément;ien sorte que la force exercée sur l'élément est à la fois perpen- PARTIE MATHÉMATIQUE. XX] diculaire à cette droite et à l'élément, ce qui suffit pour en déterminer la direction. 3° Si l’on calcule dans ce cas la valeur de l'action maxi- mum, on &rouve qu’elle est réciproquement proportionnelle au carré de la longueur de cette droite; d’où il suit que quand l'élément lui est perpendiculaire, la force que le système dont il s'agit exerce sur lui, est en raison inverse du carré de la distance. Dans toute autre direction de l’élément, la même force est en outre, d’après ce qu'on a vu dans le premier paragraphe, proportionnelle au sinus de l'angle que forme cette direction avec la même droite menée de l'élément à l'extrémité du système. 4° Si l'arc du système est une ligne finie, l’action cher- chée est la résultante des deux forces qui seraient produites par deux systèmes prolongés à l'infini dans un seul sens, les courants ayant des directions opposées, et chacun d'eux ayant son extrémité à une des extrémités du systeme fini. Il suffira donc, pour avoir la direction et la grandeur de cette force, de déterminer les deux composantes d’après ce que nous venons de dire; et d'en conclure la direction et la grandeur de leur résultante. M. Ampère examine ensuite la réaction d’un élément de courant électrique sur un système de ce genre, qu'il suppose d'abord infiniment prolongé dans un sens, afin de n’avoir à ‘en considérer qu’une extrémité. Il cherche la valeur du mo- ment de rotation que cette réaction imprime au système au- tour d'une droite quelconque passant par son extrémité, et conclut aisément de cette valeur celle de la somme des mo- ments de tous les éléments d’un courant électrique d’une Xxi] HISTOIRE DE L'AGADÉMIE, forme et d'une grandeur quelconque. Il montre qu'ellene dépend que de la situation des extrémités de ce courant re- lativement à celle du système, et que la même somme devient nulle quand il s'agit d’un courant ferméou indéfiai dans les deux sens, et par conséquent d'un assemblage de tels cou- rants, quelles que soient d’ailleurs, leur forme.et leur gran- deur; d'où il suit que la résultante des actions, exercées par toutes les parties de ce courant sur le système, passe par l'ex- trémité de ce dernier. Les mêmes conséquences s'appliquent à un système fini; et. il en résulte que l'action exercée sur ce dernier par l'assemblage des courants dont nous parlons, ne peut.tendre à le faire tourner autour,d'une droite passant par ses deux extrémités. L'auteur qui considere un aimant comme pouvant être remplacé. par des assemblages de courants fer- més, explique ainsi pourquoi la rotation, continue ne peut s’obtenir qu’en faisant agir sur l’aimant un courant dont une partie passe par cet aimant ou par un fil métallique lié inva- riablement avec lui, afin quel’action de cette partie étant dé- truite par la réaction correspondante, le reste du circuit élec- trique agisse comme un courant non. fermé. L'action exercée sur un de ces systèmes que l’auteur nomme solénoïde, et qui serait infini dans un sens, par un système de courants fermés ou infinis dans.les deux sens, passant, d'après ce qu'on vient de, voir, par, l'extrémité du premier système, M: Ampère détermine la direction et la grandeur de cette action en la rapportant au plan principal relatif au second système, pour le point où estsituée l'extrémité du pre- mier, et il trouve : 1° Que l’action est dirigée suivant la normale à ce plan principal. FF PARTIE MATHÉMATIQUE. XXii] 2% Qu'elle est dans un rapport coristant avec l'action que le second système exercerait sûr un élément de courant élec- trique situé au même point que l'extrémité du premier, et dans le plan ‘principal: Cé rapport indépendant de la forme et de la grandeur des courants du sécond systeme, ést celui de la surface du cercle décrit par chacun des courants du pre- mier, au produit de la distance de deux deces cercles et de la longueur de l’élément. Pour avoir l'action éxercée sur un tube fini, il suffit encore ici de le remplacer par deux autres dont les courants auraïent des’ directions contraires, ét qui se terminant chacun à une des extrémités du prémiér, seraient infiniment prolongés dans l’autre sens. On a ainsi la grandeur et la direction des deux forces passant par ces extrémités, ét dont la réunion donne l’action totale exercée sur le systeme fini. Eorsque le système qui agit sur le tube infini dans un sens est lui-même un tube infini dans un seul sens, il suffit d’appli- quer ce qui à été dit dans le troisième paragraphe concer- nant à normale du plan principal de cette sorte de systeme et la valeur de la force qu'il'exérce sur un élément situé dans ce plan, à ée qui vient d’être démontré à la fin du paragraphe précédent, pour en conclure , 19 Que l’action entre déux systèmes infinis dans un seul sens est dirigée suivant la ligne qui en n joint les deux extré- mités. 2° Qu'elle est en raison'inverse du carré de la distance de ces deux extrémités. En substituant à deux sÿstèmes finis de ce genre des sys- ternes infinis équivalénts, on én'conclut immédiatement que leur action mutuellése compose de quatre forces dirigées XxIV HISTOIRE DE L'ACADÉMIE;, suivant les quatre droites qui joignent les deux extrémités de l’un aux deux extrémités de l'autre ; que deux de ces forces sont attractives, les deux autres répulsives, et toutes quatre proportionnelles à une quantité divisée respectivement par les carrés de ces quatre distances. M. Ampère a considéré depuis long-temps les phénomènes des aimants comme produits par des courants électriques fermés qui existent, soit avant, soit après l’aimantation, au- tour de chaque particule des corps susceptibles de magné- tisme. Il compare chacune de ces particules à une pile vol- taïque dont les deux courants entrant par une extrémité opposée reviennent, à travers l’espace environnant, à l’autre extrémité. Ces circuits électriques forment ainsi un des sys- tèmes qu'il nomme solénoïde fermé; et qui, d’après ce qui précède, ne peut exercer aucune action lorsque tous les cou- rants sont de même intensité et équidistants, comme ils le sont nécessairement avant l’aimantation de la particule. Il se représente que si un conducteur ou un barreau aimanté vient à agir sur ces courants, ils doivent être déplacés et s’accu- muler en plus grand nombre sur un côté de la particule. Alors le système des courants fermés qui en résulte, se com- pose d’une multitude de systèmes partiels dont l’un est fermé et a pour intensité celle du système total au point où ilen a le moins,et dont les autres ne sont pas fermés. Par ce moyen, l'auteur applique aux effets magnétiques les résultats qu'il a trouvés pour les actions mutuelles des systèmes qu'il désigne sous le nom de solénoïdes. Il explique ainsi l'ori- gine des forces que d’autres physiciens attribuent aux molé- cules de fluide austral et de fluide boréal. Il en conclut que le calcul des phénomènes provenant de ces actions, s'accorde | PARTIE MATHÉMATIQUE. XXV avec les principes qu'il a posés; et que toute explication de ce genre est commune aux deux hypothèses physiques, dont Tune admet les deux fluides d'espèce contraire, et l’autre fait consister ces effets magnétiques dans l’action des courants électriques fermés. Nous terminerons ici la notice relative au travail de M. Am- père, parce que le sixième paragraphe du Mémoire ne con- cerne pas la théorie mathématique de l'électricité. Il contient des considérations générales sur les actions chimiques, sur les deux fluides électriques, et la décomposition ou compo- sition du fluide neutre. ANALYSE. M. Poinsot a lu, dans la séance du 19 mai 1823 , un Mé- moire sur l'analyse des sections angulaires, et dans lequel il s'est proposé de généraliser et de rectifier, en plusieurs points importants, les formules qui se rapportent à cette analyse. Pour faire confaître avec précision et clarté l’objet de ces recherches , nous emprunterons les expressions de l’auteur. L'article suivant, extrait du Mémoire, contient le résumé de son travail. « On y fait d'abord remarquer, dans les séries connues, une imperfection analytique qui avait échappé jusqu'ici aux géomètres, et qui consiste en ce que la série ne présente ac- tuellement qu'une seule valeur, tandis que la fonction déve- loppée en a plusieurs, toutes différentes à raison des diffé- rents arcs qui ont un même sinus ou cosinus donné. L'objet principal du Mémoire estde faire disparaître ces imperfections, et de rétablir dans les nouvelles formules cette généralité ab- 1823. Histotre. D XXV] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, solue, qui doit être le caractère propre des expressions de l'analyse: « Mais en se bornant même à l'unique valeur de la fonc- tion qui est relative à l'arc simple que l’on considère, et non pas à cet arc augmenté d’une ou de plusieurs circonférences, on a prouvé, dans ce Mémoire, que les séries connues ne sont applicables que lorsque la variable est comprise entre de certaines limites que le calcul détermine. Aïnsi la formule d'Euler, qui développe la puissance du cosinus par les co- sinus d'ares multiples , n’est généralement vraie que pour un arc qui ne surpasse pas le premier quart de la circonférence pris en plus ou en moins. Au-delà, le cosinus est négatif, et la formule cesse d'être exacte pour l'arc dont il s’agit. La même analyse fait connaître le défaut précis de celle dont on avait déduit la série, et donne la solution de toutes les difficultés qu'on avait rencontrées sur ce point de doctrine. Il suit encore de, cet examen que la double série donnée par Euler, et confirmée par l'analyse de La Grange pour l'expression complète du cosinus d'un arc multiple dévelop- pée par les puissances descendantes de l'arc simple, n’est vraie que dans Je cas de l'exposant entier; que si l'exposant est fractionnaire, la série est divergente et ne peut être ap- pliquée. Le défaut de l'analyse dont on a déduit cette série, provient de ce que l'on y suppose tacitement le cosinus plus grand que le rayon; d'où il résulte que la formule générale à laquelle on est ainsi parvenu ne convient plus à la division des angles , mais à celle des secteurs considérés dans l'hyper- bole équilatère. » Nous ne pourrions ici entrer dans plus de détails sur ces différents points d'analyse, Les géomètres liront avec le plus PARTIE MATHÉMATIQUE. XXVN grand intérêt cette discussion dans l'ouvrage de M.Poinsot, qui fait partie de la collection de nos Mémoires et ne tardera point à être imprimé. M. Cauchy a présenté, dans le cours de l’année 1823, plu- sieurs Mémoires d'analyse dont nous indiquerons sommai- rement l’objet. L’un concerne la détermination des intégrales définies , et la résolution des équations algébriques ou trans- cendantes par le moyen de ces mêmes intégrales ; ce Mémoire est le complément de ceux que l’auteur a présentés en 1814, 1819 et 182r. Dans un second Mémoire; il s’est proposé d'in- tégrer les équations linéaires aux différences totales ou par- tielles, finies ou infiniment petites, lorsque les coefficients du premier membre sont constants, et il intègre aussi ces équations dans certains cas lorsque les coefficients sont va- riables; les procédés qu'il emploie sont indépendants de la résolution des équations algébriques. Le même auteur a lu à l'Académie, 1° le 27 janvier 1823, des recherches sur le mouvement de deux fluides superposés, l’un compressible, l’autreincompressible; 2° le 21 juillet, un Mémoire qui à pour objet d'exposer divers théorèmes analogues à ceux qui ont été donnés par l’auteur de la Théorie analytique de la chaleur, et qui servent à intégrer les équations propres à cette théorie. M. Cauchy a continué de s'occuper du mouvement des ondes formées à la surface d’un fluide pesant. L'Académie avait décerné à son Mémoire, en 1815, un prix d'analyse ma- thématique; l'impression de cette pièce vient d’être terminée. L'auteur a joint, à son premier travail, des notes fort éten- dues dans lesquelles il traite divers points! d'analyse et de D 2 XXVii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, mécanique ; les résultats de ses recherches intéresseront les géomètres. Lorsqu'on a déprimé ou soulevé une petite portion de la superficie d’un liquide pesant, et que la cause qui avait changé l’état naturel de cette surface cesse d’être présente, il se forme des ondes qui se propagent jusqu'aux extrémités de la masse fluide. Il s'agit d'exprimer par le calcul les lois générales de cette propagation. Il est facile de former les équations dif- férentielles de ce mouvement en conservant les conditions que les géomètres ont admises. Il reste à intégrer ces équa- tions sous une forme propre à représenter distinctement le phénomène. On obtient cette intégrale au moyen des théorèmes qui ent été donnés dans les Mémoires analytiques sur la chaleur; car la même méthode s'applique à des questions physiques très - variées que l’on n’était pas encore parvenu à résoudre: Pour connaître les lois générales du mouvement des ondes produites par l’émersion d’un très-petit corps, il est indis- pensable de conserver dans la solution une fonction qui ex- prime la forme entièrement arbitraire du solide plongé. C'est ce qui a lieu aussi dans une question analogue, celle des mouvements vibratoires d’une table élastique de dimensions indéfinies ; la solution qu’on a donnée de cette question n'est générale que parce qu'on y a conservé une fonction entiè- rement arbitraire relative à la forme initiale de la surface. , L'analyse par laquelle M. Cauchy exprime le mouvement des ondes satisfait à cette condition ; elle convient à une forme quelconque du corps immergé; c'est le caractère principal des recherches qu'il vient de publier. Il en déduit une con- séquence conforme à celle que nous avions fait remarquer PARTIE MATHÉMATIQUE. XXIX dans une note imprimée en1818, savoir : que les vitesses et les hauteurs des différentes ondes produites par l'immersion d'un corps cylindrique ne dépendent pas seulement de la largeur et de la hauteur de la partie plongée, mais encore de la forme de la surface qui termine cette partie. On doit remarquer avec l’auteur le cas où la courbe propre à cette surface étant divisée en deux parties symétriques, tourne constamment sa convexité vers l’origine des coordonnées, et présente au point le plus bas une sorte de rebroussement. Alors les ondes propagées avéc une vitesse constante peu- vent se réduire à une seule. La solution donnée par M. Cau- chy est exprimée sous une forme qui rend les applications numériques faciles , et elle représente dans tous ses détails la marche du phénomène. Les divers écrits à consulter sur cette question de la théorie des ondes sont : le Mémoire de de M. Poisson, imprimé dans la collection de l’Académie, année 1816; la note citée plus haut Bulletin, de la Société philomatique, année 1818, p. 129; le Mémoire de M. Cau- chy, imprimé dans le recueil des pièces couronnées , et les notes qu'il y a jointes, et celle qu'il a insérée dans le Bulle- tin des Sciences , société philomatique, année 1818, page 178. M. Fourier a lu, dans les séances du 10 et du 17 no- vembre 1823, un Mémoire d'analyse indéterminée sur le calcul des conditions d’inégalité. L'auteur s’est proposé de traiter dans ce mémoire un nouveau genre de questions, et d'établir les principes d’un calcul qui offre des applica- tions variées à la géométrie, à l’analyse algébrique , à la mécanique et à la théorie des probabilités. Nous allons in- XXX HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, diquer le caractère principal de ces recherches, et nous citerons quelques exemples simples, propres à en faire con- naître l’objet. Une question est en général déterminée lorsque le nombre des équations qui expriment toutes les conditions proposées est égal au nombre des inconnues. Dans la théorie dont il s'agit les conditions ne sont pas exprimées par des équa- tions, c'est-à-dire qu’au lieu d’égaler à une constante ou à zéro une certaine fonction des inconnues , on indique , au moyen des signes < ou >#% que cette fonction est plus grande ou moindre que la constante ; c'est ce qui constitue une inégalité. On suppose, par exemple, que quatre indé- terminées doivent être assujetties à un certain nombre d’ine- galités du premier degré, et qu'il faut trouver toutes les valeurs possibles de ces inconnues. Le nombre des inéga- lités pourrait être moindre que celui des inconnues , ou lui être égal, et même il peut être beaucoup plus grand; il est, en général, indéfini. Il s’agit de trouver des valeurs des quatre inconnues qui, étant substituées simultanément, satisfont à toutes les conditions proposées, soit que ces conditions consistent seulement dans certaines inégalités , soit qu'elles comprennent aussi des équations Une question de cette espèce admet une infinité de solutions; elle est indéterminée. Il faut donner une règle générale qui serve à trouver facilement toutes les solutions possibles. On ju- gera d'abord que des questions semblables doivent se pré- senter fréquemment dans les applications des théories ma- thématiques. Dans plusieurs cas on peut arriver à la solution par des remarques particulières propres à la question que l'on veut résoudre : mais si le nombre des conditions est PARTIE MATHÉMATIQUE. XXX) assez grand , et si elles se rapportent à trois ou à plus de trois variables , si les inégalités ne sont pas linéaires, la suite des raisonnements devient si composée, qu’il serait presque toujours impossible à l'esprit le plus exercé de la saisir tout entiere. Il faudrait d’ailleurs recourir à des considérations différentes , selon la nature de la question, comme cela ar- rive à l'égard de plusieurs problèmes que l’on résout sans le secours de l’algebre. Il était donc nécessaire de ramener à un procédé général et uniforme le calcul des conditions d'inégalité ; on supplée ainsi par une combinaison régulière et constante des signes , aux raisonnements les plus difficiles et les plus étendus , ce qui est le propre des méthodes algé- briques. L’exposé de ces règles générales est l’objet du Mé- moire; nous citerons en premier lieu un exemple très-simple de ce genre de questions. On suppose qu'un plan triangulaire horizontal est porté par trois appuis verticaux placés aux sommets des angles. La force de chaque appui est donnée et exprimée par 1; c'est-à-dire que si l’on plaçait sur un appui un poids moin- dre que l'unité, ce poids serait supporté, mais que l'appui serait aussitôt rompu si le poids surpassait 1. On propose de placer un poids donné ; par exemple 2, sur la table triangulaire en sorte qu'aucun des trois appuis ne soit rom- pu. La question serait déterminée si le poids donné était 3; elle est insoluble si ce poids surpasse 3 ; elle est indétermi- née s'il est moindre que 3. Désignant par deux inconnues les coordonnées du point où l'on doit placer le poids pro- posé, et par trois autres inconnues les pressions exercées sur les appuis ; et supposant, pour simplifier le caleul, que le triangle est isocele-rectangle, on voit que la question XXXi) HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, renferme cinq quantités inconnues , et une qui est connue ; savoir, le poids proposé. Or les principes de la statique donnent immédiatement trois équations ; et l’on y joindra, pour chaque sommet, deux inégalités qui expriment que la pression est positive et moindre que 1. Il est évident que toutes les conditions de la question seront alors exprimées. Il ne s'agit plus que d'appliquer les règles générales du cal- cul des iéralités linéaires; on en déduira toutes les valeurs possibles dés coordonnées inconnues , et l’on désignera ainsi tous les points du triangle où le poids donné peut être placé. Si l’on forme cette solution, on trouve que les points dont il s’agit se réunissent dans l’intérieur de la table, et composent un hexagone lorsque le poids donné est compris entre 1 et 2. Cette figure devient le triangle lui-même si le poids est moindre que l'unité; elle est un triangle plus petit si le poids est compris entre 2 et 3, et elle se réduit à un seul point si le poids est égal à 3 ; enfin lorsqu'il surpasse 3 la figure n’existe plus, parce que les lignes qui doivent la former cessent de se rencontrer. Voici la construction qui sert à tracer ces lignes. Dési- gnant par 1 le côté du triangle isocèle-rectangle, on divise l'unité par le poids donné qu'il s’agit de placer, et l’on porte la longueur mesurée par le quotient : 1° sur chaque côté de l'angle droit, à partir du sommet de cet angle, ce qui donne deux points 1 et 2; 2° sur un des côtés de l'angle droit , à partir du sommet de l'angle aigu, ce qui donne un troisième point 3; 3° sur l’autre côté de l'angle droit, à partir du sommet de l’angle aigu, ce qui donne un quatrième point 4. On élève, par le point 1, une ligne perpendiculaire sur le côté où se trouve ce point, et par PARTIE MATHÉMATIQUE. XxXxii] le point 2 une seconde ligne perpendiculaire sur. l’autre côté; enfin on mène une troisième ligne droite par les points 3 et: 4. Ces trois lignes ainsi tracées terminent, sur la surface du triangle, l’espace où le point donné peut être ‘ placé sans qu'aucun des appuis soit rompu. Il iserait facile de résoudre sans calcul une question aussi simple ; mais si le nombre des appuis ‘est plus grand que trois, si leur force est inégale , si la table horizontale porte déja en certains points des masses données, ou si l’on doit y ‘placer non un seul poids, mais plusieurs, on ne peut se dispenser de recourir au calcul des inégalités: L'avantage de cette! méthode consiste en ce qu'il suffit, dans: tous les cas , d'exprimer les conditions de la question, ce qui est facile , et:de combiner ensuiteices expressions, au moyen des règles générales qui sont toujours les memes; et l’on. forme ainsi la’solution à laquelle on n'aurait pu parvenir que par/une suite de: raisonnements très-compliqués. :1 Les questions que l’on traite dans ce Mémoire sont toutes indéterminées, parce qu’elles admettentune infinité de solu- üons; maiselles different entre elles quant à l'étendue. Dans les unes}.les conditions exigées restreignent beaucoup cette étendue ; pour : d’autres, l'énumération de toutes les solu- tions possibles est moins limitée; il est nécessaire, dans cer- taines recherches; de considérer les questions sous ce rapport. Un-efmen attentif prouve que l'étendue propre à chaque question est une quantité mathématique que l’on peut tou- jours évaluer en nombres: c’est en cela que la théorie dont on expose les principes se lie à celle des probabilités, et il yiaren effet divers problèmes dépendants de cette dernière science, qui se résolvent par le caleul desinégalités. Or, on 1823, Histoire. ; E XXXIV HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, ne peut mesurer l'étendue ou capacité d’une question, sans comprendre dans l'énumération toutes les solutions possibles ; en sorte qu'on doit ici faire usage du calcul intégral; et; en effet, l’auteur a reconnu que le nombre qui mesure l'étendue d'une question quelconque, est toujours exprimé par une in- tégrale définie multiple, dont les limites sont données. IL est très-facile d'effectuer ces intégrations successives , quel qu'en soit le nombre; et si l’on écrit les limites des intégrales, en se servant de la notation proposée dans la 7 héorie analytique de la chaleur, la quantité que l’on veut déterminer est expri- mée sous la forme la plus générale et la plus simple. Il est évidentique les conditions proposées pourraient être telles que la question n’admît aucune solution possible: Dans ce cas, le calcul développe l'opposition réciproque des con- ditions, et montre l'impossibilité d'y satisfaire. Ainsi la mé- thode a pour objet : 1° de reconnaître si la question peut être résolue; 2° de trouver dans ce cas toutes les solutions qu'elle admet; 3° de mesurer par un nombre l'étendue propre à la question. Il arrive souvent aussi, dans ce genre de recher- ches, que l'objet principal n’est pas de trouver toutes les so- lutions , mais d'en reconnaître une ou plusieurs limites. Sous ce point de vue, la question n’est pas indéterminée , et il en est de même de celle qui consiste à mesurer l'étendue. Mais ces questions dépendent de la même analyse: Nous ne pou- vons ici qu'indiquer bien imparfaitement les applicaffons et les résultats de cette méthode : on s’est borné à citer quelques exemples. Nous venons de rapporter le premier. Le second concerne une question de mécanique analogue à la précédente, mais qui .en diffère en ce que:la quantité inconnue est une limite, et par conséquent a une seule valeur. PARTIE MATHÉMATIQUE. XXXV On suppose qu’une surface plane'et horizontale, de figure carrée ; est portée sur quatre appuis verticaux, placés aux sommets des angles; chacun des appuis peut supporter un poids moindre que l'unité, mais ilrompraïit aussitôt s’il était chargé d’un poids plus grand que cette unité. On marque un point quelconque sur la table horizontale, et l'on demande quel est le plus grand poids que l’on puisse placer en ce point donné-sans qu'aucun des appuis soit rompu. Ce plus grand poids, c'est-à-dire la force de là table en ce lieu, dépend évidemment de la position du point. Concevons qu'on y élève une ordonnée verticale pour représenter le plus grand poids qui répond à ce lieu, et qu'ayant fait cette construc- tion pour chaque point de la table horizontale, on trace la surface courbe qui passe par toutes les extrémités supérieures des ordonnées. Il s'agit de déterminer la nature et les dimensions de cette surface. Or la solution déduite du calcul prouve que la sur- face qni serait ainsi tracée n’est point assujettie à une loi continue; elle ‘est formée de plusieurs surfaces hyperboli- ques , différemmént situées : la question est résolue par la construction suivante. On divise le carré en huït parties égales, au moyen des deux diagonales et de deux droites transversales, dont cha- cune joint le milieu d’un côté au milieu du côté opposé. Cha- cune de’ces huit parties est un triangle rectangle que l’on divise! en deux segments, dont l’un a trois fois plus de sur- face que l’autre. Cette division s'opère en menant une ligne droite de l'angle droit dutriangle à l’un des angles du carré. On prend pour base de chacun de ces segments, celui de ses trois côtés qui est parallele à un côté du carré. Pour E 2 . LA XXXV] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, trouver le plus grand poids qui puisse être placé en un point donné du plus grand segment, il faut, par ce point, mener une parallèle à la base du segment, jusqu’à la rencontre de celle des deux diagonales dont le point est le plus éloigné, et. mesurer sur cette parallèle la longueur interceptée entre le point de rencontre et le point donné; l'unité, divisée par cette longueur interceptée, est la valeur cherchée du plus grand poids. Si ce point donné est situé dans le petit segment, il faut, par ce point, mener une parallèle à la base du segment, jus- qu'à la rencontre de celui des côtés du carré dont le point donné est le plus distant, et mesurer la partie de cette paral- lèle qui est interceptée entre le point de rencontre et le point donné. L'unité, divisée par la moitié de la longueur inter- ceptée, exprime la valeur cherchée du plus grand poids. En appliquant l’une ou l’autre règle à chacun des seize compar- timents du carré, on connaîtra le plus grand poids qui puisse être placé en chaque point de la table rectangulaire. On voit que la valeur de l’ordonnée verticale qui mesure ce plus grand poids n’est pas assujettie à une loi continue. Cette loi change tout-à-coup lorsqu'on passe du grand segment au petit seg- ment. Il serait facile de trouver cette solution sans calcul, et l'auteur l'avait donnée depuis long-temps. Mais si la figure du plan est différente ; si le nombre des appuis est plus grand que quatre; si la table supporte déja en certains points des masses données , il est nécessaire de recourir aux règles qui servent à la combinaison des inégalités. Parmi les applications que l’auteur a faites de sa méthode, les unes ont, comme les deux précédentes, pour principal objet de faire connaître la nature dece nouveau genre de PARTIE MATHÉMATIQUE. XXXVI] problèmes, et la forme générale du calcul. D’autres concer- nent des questions très - difficiles et tres - étendues, dont la solution était néeessaire aux progres des théories analytiques. L'une se rapporte à l'usage des équations de condition si im- portant pour la formation des tables astronomiques. Il s’agit de trouver les valeurs des inconnues telles que la plus grande erreur, abstraction faite du signe, soit la moindre possible; ou telles que l'erreur moyenne, c'est-à-dire la somme des erreurs , abstraction faite du signe divisée par leur nombre soit la Vers possible. Une seconde application se rapporte à l'analyse générale; elle a pour objet de former les termes successifs de la va- leur de chacune des inconnues qui entrent dans des équa- tions littérales données. L'auteur considère la résolution des \ équations littérales à plusieurs inconnues comme dépen- dante de la recherche simultanée de toutes les racines ; soit que le nombre de leurs termes soit fini, ce que l'opération indique ; soit qu’on développe ces racines en séries infinies. Dans l’une et l’autre question que l’on vient de citer, les cas où il ne se trouve qu’une seule inconnue sont déja ré- solus; et ils ont pu l'être sans le calcul des conditions d’iné- galité : mais cette recherche prend un caractère tres-différent lorsqu’ on veut l’étendre à un nombre quelconque d’incon- nues. La solution dépend alors d’une théorie particulière, dont.les principes se retrouvent dans les questions les plus difficiles et les plus variées. C’est cette théorie que l’auteur s’est proposé de former. Nous rappelerons dans la suite de ces analyses l’applica- tion relative aux équations littérales à plusieurs inconnues. Nous ne pouvons ici que faire connaître succinctement le XXX VII] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, principe de la solution d’une des questions les plus remar- quables; celle qui se rapporte aux erreurs des observations. On considère des fonctions linéaires de plusieurs incon- nues æ,Y, 23; les coefficients numériques qui entrent dans les fonctions sont des quantités données: Si le nombre des fonctions n'était pas plus grand que celui des inconnues , on pourrait trouver pour æ,7,z, un système de valeurs numériques tel que la substitution simultanée de ces va- leurs dans les fonctions donnerait pour chacune un résultat nul. Mais on ne peut pas en général satisfaire à cette condi- tion , lorsque le nombre des fonctions surpasse celui des inconnues. Supposons maintenant que l’on attribue à x, y, 3, des valeurs numériques «, B, y, etc., et qu’en les substi- tuant dans une fonction, on calcule la valeur positive ou négative du résultat de la substitution, on considère comme une erreur ou écart le résultat positif ou négatif qui diffère de zéro ; et, faisant abstraction du signe, on prend pour mesure de l'erreur le nombre d'unités positives ou néga- tives que le résultat exprime. Cela posé, on demande quelles valeurs numériques X, Y, Z,, etc., il faut attribuer à x, y, z, etc., pour que le plus grand écart, provenant de la substitution dans les diverses fonctions proposées, soit moindre que le plus grand écart que l’on trouverait, en substituant dans les fonctions tout autre système de valeurs différent de celui-ci x, y, z, etc. On pourrait aussi chercher un système X' Y’ Z’,etc., de valeurs simultanées de x, y, z, etc. , tel que la somme des erreurs , prise abstraction faite du signe , soit moindre que la somme des erreurs provenant de la substitution de tout systeme différent de X’ Y’ Z', etc. PARTIE MATHÉMATIQUE. XXXIX L’une’et l’autre question se résolvent par l'analyse des inégalités, quel que soit le nombre des inconnues. Il suffit d'exprimer les conditions propres à la question, et d’appli- quer aux inégalités écrites les règles générales de ce calcul. On supplée ainsi par un procédé algorithmique à des raison- nements très-composés qu'il faudrait changer selon la nature de la question , et qu’il serait, pour ainsi dire , impossible de former si le nombre des inconnues surpassait trois. Lorsque le nombre des valeurs est assez grand, il est né- cessaire de réduire les opérations au moindre nombre pos- sible. On y parvient en considérant les propriétés des fonctions extrémes. On appèle ainsi celles qui peuvent être ou plus grandes ou plus petites que toutes les autres. La construction suivante représente, clairement la méthode qui doit être suivie pour arriver sans calcul inutile aux valeurs de x, y, 2, etc. , qui donnent au plus grand écart sa moin- dre valeur: L'auteur a donné cette construction, parce qu'il la regarde comme formant le point capital de la question , et qu'elle en résoud seule toutes les difficultés. Non seule- ment elle rend la solution sensible et la fixe dans la mé- moire: mais-elle sert à la découvrir ;.et, quoique propre au cas: de deux variables ; elle suffit-pour faire bien connaître le procédé général. æ et y sont; dans le plan horizontal, les coordon- nées d'un point: quelconque; l'ordonnée verticale z me- sure: la ‘valeur de:la fonction , chaque inégalité, est repré- sentée par:un plan-dont la situation est donnée. Dans la question dont il s’agit, le nombre de ces plans, est, double du‘nombre des fonctions, parce qu'il faut attribuer à chaque valeur le signe +1et le signe —; On ne considère que les par- xl HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, ties des plans qui sont placées au-dessus du plan horizontal desx et y, et ces parties supérieures des plans donnés sont indéfiniment prolongées. J1 faut principalement remarquer que le système de tous ces plans forme un vase qui leur sert de limite ou d'enveloppe. Ta figure de ce vase extrême «est celle d’un polyèdre, dont la convexité est tournée vers le plan horizontal. Le point inférieur du vase ou polyèdre a pour ordonnées les valeurs X, Y , Z, qui sont l’objet de la question, c'est-à-dire que Z est la moindre valeur possible du plus grand écart, et que X et Y sont les valeurs de x et y propres à donner ce minimum, abstraction faite du signe. Pour atteindre promptement le point inférieur du vase, on élève en un point quelconque du plan horizontal ; par exemple à l’origine des x et y, une ordonnée verticale jus- qu'à la rencontre du plan le plus élevé, c'est-à-dire que parmi tous les points d'intersection que l’on trouve sur cette verticale, on choisit le plus distant du plan des x et y. Soit m, ce point d'intersection placé sur le plan extrême: On descend sur ce même plan et dans un plan vertical ; depuis le point », jusqu'a un point », d’une arrête du polyèdre, et en suivant cette arrête on descend de nouveau depuis le point », jusqu'à un sommet #7, commun à trois plans ex- trêmes. À partir du point »m; on continue de descendre suivant une seconde arrrête jusqu'à un nouveau sommet 7, , et l’on continue l'application du même procédé ,! en suivant toujours celle des deux arrêtes qui conduit à un sommet moins élevé. On arrive ainsi au point le plus bas du po- lyèdre. Or cette construction représente exactément la série des opérations numériques que la règle analytique prescrit ; PARTIE MATHÉMATIQUE. xl} elle rend très-sensible la marche de la méthode qui consiste à passer successivement d’une fonction extrême à une autre, en diminuant de plus en plus la valeur du plus grand écart. Le calcul des inégalités fait connaître que le même procédé convient à un nombre quelconque d’inconnues, parce que les fonctions extrêmes ont dans tous les cas des propriétés - analogues à celles des faces du polyèdre qui sert de limite aux plans inclinés. En général, les propriétés des faces , des arrêtes, des sommets et des limites de tous les ordres, sub- sistent dans l'analyse générale, quel que soit le nombre des inconnues. Les bornes de ces extraits ne nous permettent point une exposition détaillée, qui pourrait seule donner une connaissance complète de la méthode, et de l’ordre qu'il faut établir dans les opérations numériques , lorsque le nombre des fonctions est tres-grand ; mais la construction précédente suffit pour montrer ie caractere de la solution. MÉCANIQUE ET APPLICATION DIVERSES. M. Ch. Dupin a présenté à l’Académie, dans le cours de cette année, un ouvrage intitulé #pplications de géométrie et de mécanique à la marine, aux ponts et chaussées , etc., pour faire suite aux développements de géométrie. Sous le titre de développemens de géométrie, M. Dupin a publié des recherches théoriques relatives à la courbure des sur- faces : il en a fait des applications importantes, dont nous allons indiquer l’objet ; elles sont rassemblées dans son ou- vrage , et précédées de considérations générales sur les avantages que les sciences et les arts peuvent retirer de la géométrie. 1823. Histoire. F xli] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE; Le premier Mémoire traite de la stabilité des corps flot- tants. L'auteur conçoit 1° une surface, formée par tous les centres de carène, d’un vaisseau qui, sans changer de poids, serait incliné successivement dans toutes les positions pos- sibles ; 2° une autre surface qui , dans la même hypothèse, aurait pour plans tangents les plans de flottaisons, qui cor- respondent aux diverses positions des corps flottants. L’une et l’autre surface, et principalement la premiere, celle des centres de carène, offrent des propriétés remarquables. La direction des lignes de plus grande et de moindre courbure de cette surface est la direction même de moindre ou de plus grande stabilité du vaisseau. La longueur des deux rayons de courbure sert à déterminer les grandeurs et les rapports de ces deux stabilités. L'auteur considère ensuite les stabilités, qu'il nomme conjuguées , et dont l’examen conduit à des conséquences intéressantes et nouvelles. Le second Mémoire concerne le tracé des routes : l’auteur montre que les déterminations relatives à ce tracé dépen- dent, comme la stabilité des corps flottants, de conditions géométriques. Il établit ces conditions, et s’en sert pour indiquer les routes qu'il est le plus avantageux de suivre sur des terreins à simple et à double courbure de forme quelconque. Dans le troisieme Mémoire, l’auteur applique les résultats du tracé des routes isolées à celui des systèmes de routes qui offrent le plus d'avantage pour opérer les mouvemens de matériaux , appelés déblais dans leur position primitive, et remblais dans la position qui a lieu après le déplacement. On suppose toujours que la forme du terrein, avant et apres ces mouvements, est une surface courbe quelconque, et que PARTIE MATHÉMATIQUE. xl} les transports s'effectuent en suivant la figure du terrein. Cette question avait été traitée précédemment, mais on supposaït les routes toujours rectilignes , ce qui particularise la recherche. La grande généralité des Propositions que l’auteur établit, les rend applicables à des effets trés-divers ; par exemple, aux phénomènes de la réflexion et de la réfraction ; c’est l'objet du quatrième Mémoire, dans lequel M. Dupin dé- montre et généralise une proposition de Malus sur là ré- flexion des TaYONS Qui, étant normaux à une surface , ont par cela même la propriété de rester toujours normaux à une surface, quoiqu’ils soient réfléchis par un nombre quel- conque de miroirs. Dans ce Mémoire, l’auteur détermine la direction des rayons réfléchis qui se coupent consécutivement , en consi- dérant les propriétés des lignes qu'il nomme tangentes con- juguées , et indicatrices de la courbure, et ces mêmes pro- priétés lui avaient servi pour déterminer, dans les corps flottants , la direction des stabilités conjuguées. Le troisième Mémoire traite de la construction des vais- seaux anglais : la société royale de Londres à fait imprimer ce Mémoire dans les Transactions philosophiques pour 1817. L'auteur s’est attaché à montrer les avantages d’une char- pente oblique , appliquée à la construction des vaisseaux : toutes les recherches, qui sont l'objet de son ouvrage, inté- resseront les géomètres, et présentent des considérations très-utiles aux progrès des arts de la marine. M. Dupin à continué la publication de ses voyages dans la Grande-Bretagne : l’histoire de l'académie présente l'ana- F2 xliv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, lyse des deux premières parties. La troisième est intitulée Force commerciale , section des travaux publics. Dans le premier volume , l'auteur développe le système de législation établi depuis long-temps en Angleterre, et que l'expérience a perfectionné. Dans cette contrée , les grands travaux civils sont géné- ralement exécutés par des associations : M. Dupin fait con- naître l'esprit qui les dirige, la forme des concessions, la marche à suivre pour obtenir l'acte législatif qui les consti- tue, et pour profiter de cet acte en accomplissant les travaux. L'auteur explique ensuite le système du tracé, de l’éta- blissement des entretiens des routes de diverses espèces. Il décrit la nouvelle méthode de M. Macadam, relative aux routes ferrées : il en montre les avantages , et indique les inconvénients à éviter ; il fait connaître le tracé, les travaux et le système de canaux. Il en décrit les ouvrages d'art re- marquables , et rapporte les conséquences que l’expérience a fournies. Pour montrer l'influence de ces moyens de communication sur le commerce et l'industrie, il classe, suivant une méthode qui lui est propre, cette multitude de canaux dont l’Angle- terre est sillonnée dans tous les sens, et fait remarquer les rapports qu'ils ont avec les principaux centres de négoce et de productions; par exemple, Londres, Manchester, Bir- mingham, Liverpool, Bristol. Le dernier livre du premier volume concerne les ponts : l’auteur explique la législation relative à ces travaux, et le mode de construction. Il fait connaître les ponts les plus modernes et les plus remarqua- bles. Il traite séparément des ponts en pierre et en fer ; il ex- plique dans un chapitre spécial, et fort étendu, le nouveau PARTIE MATHÉMATIQUE. xlv système de ponts, d’aquéducs et d'embarcadères, suspendus à des câbles ou à des chaînes. Le deuxième volume de la troisième partie, qui est le sixième de la collection des voyages, contient la description des ports et des côtes de l'Angleterre et de l' Écosse. L'auteur part de Londres, descend la Tamise, tourne au nord pour suivre la côte de l’est, revient au sud par la côte de l’occi- dent, et finit en longeant la côte méridionale. Dans le cours de ce voyage, M. Dupin décrit les travaux importants du commerce et de la navigation. On remarquera surtout les descriptions des docks ou bassins de Londres. Il examine avec soin la structure de leurs murs de revêtement, de leurs écluses, de leurs magasins, de leurs hangars, le jeu des ma- chines les plus parfaites qu'on emploie pour économiser la main-d'œuvre et le temps. On remarquera aussi la description du ponten fer de Sun- derland, des routes en fer et des embarcadeères de Sunderland. des deux shielos et de Newcastle, du phare de Bell -Rock, du canal Calédonien , et du canal E Forth et Clyde, qui tous deux traversent l'Écosse pour réunir la mer Germanique à l'océan Atlantique. On lira particulièrement avec intérêt la - description qu'il donne des grands ouvrages d'art exécutés pour les ports de Leith, d’Aberdeen , de Glasgow, de Liver- pool, de Bristol. L'auteur cite avec un soin particulier, en parlant de ces grandes cités, leurs institutions littéraires et les établissements d'instruction qui concourent à la prospé- rité de l’industrie , au développement et à la splendeur du commerce ; il décrit les monuments de bienfaisance et de charité, fondés dans ces mêmes cités par les hommes que le commerce a enrichis ; le tableau de ces nombreux établisse- xlv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE: ments est le plus beau spectacle et le plus bel exemple que la civilisation moderne puisse offrir à l'admiration des peuples. Une collection de planches, grand atlas, accompagne l'ou- vrage de M. Dupin : elles sont gravées avec beaucoup de per- fection, et exactement dessinées par l’auteur, selon les mé- thodes de la géométrie descriptive, science dont personne ne connaît mieux que lui les procédés et les avantages. M. Dupin décrit aussi , dans la troisième partie, tout ce qui contribue au développement et à la gloire du commerce inté- rieur, La quatrième partie est réservée au commerce extérieur dela Grande-Bretagne avec ses colonies et les autres nations. M. Dupin a publié un écrit intitulé: Zableau des progrès de l'industrie francaise depuis le commencement du 19° siècle. L'auteur fait connaître les progrès des arts qui empruntent le secours de la mécanique, et surtout des arts consacrés à la fabrication des tissus. Il termine par un exposé rapide des inventions et des perfectionnements les plus remarquables düs aux artistes français, et signalés par la derniere exposi- tion publique des produits de notre industrie. Dans la séance du 30 juin 1823, M. Girard a lu un troi- sième mémoire relatif aux canaux de navigation , considérés sous le rapport de la chute et de la distribution de leurs écluses. Après avoir démontré, dans ses deux mémoires précédents, que l’on parvient à économiser un volume d’eau considérable en réduisant la chute des écluses d’après certaines conditions, l’auteur s'est proposé de prouver, dans ce troisième mémoire, qu'indépendamment de cette économie d’eau , la réduction de chute des écluses qui doivent racheter une pente donnée entre PARTIE MATHÉMATIQUE. xlvi] deux extrémités fixes, produit encore une économie notable dans la dépense de première construction de tous les ouvrages dont le canal est composé: ces ouvrages consistent en déblais et remblais de terre, et en ouvrages d'art. M. Girard démontre, d’abord, que la dépense des terras- sements diminue toujours plus rapidement que la chute des écluses ne décroît. Quant à celles-ci , il distingue les diverses parties de cet ingénieux appareil, et réglant leurs dimensions d'apres l’objet spécial qu'elles sont destinées à remplir, il recherche qu’elle doit être sur un canal donné la chute com- mune de chacune de ses écluses, pour que la dépense de leur construction devienne la moindre possible. Les résultats de cet examen prouvent généralement que pour remplir cette condition, la chute ne doit jamais être supérieure au tirant d'eau des plus grands bateaux qui naviguent sur le canal, soit que l’on construise les écluses dont il s’agit en macçon- nerie, soit qu'on les construise en charpente. Apres avoir été conduit à cette conclusion remarquable, M. Girard fait voir que si l’on se borne à considérer les murs de revêtement d’une écluse, l'équation qui exprimera le rapport de sa chute à la dépense de sa construction, sera celle d’une hyperbole rap- portée à l’un de ses grands diamètres, de sorte qu'en -decà et au - delà de la chute qui correspond au minimum de dé- pense, il y a des chutes inégales, de dépense équivalente. Il résulte des recherches théoriques, qui sont l’objet de ce mémoire, que la réduction de chute des écluses, loin d'aug- menter la dépense de leur établissement , peut dans beaucoup de circonstances contribuer à diminuer cette dépense, en même temps qu'elle opère, sur le volume d’eau nécessaire à l'entretien de la navigation, une économie plus ou moins xlvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, considérable ; c'est la plus importante et la première de celles qu'on doit se proposer d'obtenir. M. Mongez, dont les savantes recherches embrassent des questions très - variées, a lu, dans le cours de cette année, deux Mémoires à l'Académie des sciences. * L'un est relatif à l’art du tissage chez les anciens Perses. L'auteur avait entretenu l’Académie royale des inscriptions et belles-lettres, dont il est membre, d'une interprétation qu'il donne d’un passage remarquable des Guêpes d’Aristo- phane. Il conclut de ce passage que, dès le cinquième siècle avant l’ere vulgaire, l’Asie fabriquait déja des tissus recher- chés à Athènes et d'un prix tres-élevé. M. Mongez compare ces étoffes fabriquées à Suze et à Ecbatane , ou plutôt appor- tées dans ces villes par le commerce, aux tissus de cache- mire, et il rappelle à ce sujet la propriété qu'ont les tissus de ce genre de former des plis tres-variés, fins et légers, qui ne laissent aucune trace; il y trouve le caractere des draperies des belles statues grecques du style de Phidias. Ces sculptures different sous ce rapport de celles de l’école d'Égine, dont les plis tres-fins et tres-multipliés indiquent l'emploi des toiles de lin ou de coton préparées au moyen de quelque enduit. Le second écrit de M. Mongez est une note relative à cer- tains effets des pénombres. Il s’est proposé d’appeller l’at- tention des physiciens sur le rapprochement subit des pé- nombres de deux corps éclairés par le soleil dégagé des nuages. Lorsqu'on diminue insensiblement la distance des deux corps, il se forme, au moment de la superposition des pénombres, une figure composée dont les propriétés pourraient être dé- déterminées par le calcul. PARTIE MATHÉMATIQUE. xlix Une commission, composée de MM. de Humboldt, Gay- Lussac et Arago, avait été chargée d'examiner plusieurs ins- truments proposés par M. Gambey, savoir, une boussole et un héliostat, de son invention , et un appareil qui sert à vé- rifier l’'horizontalité d’une lunette méridienne. Le rapport, fait au nom de cette commission par M. Arago, expose tous les avantages de ces nouveaux instruments, et montre par quelles combinaisons l'artiste ingénieux à qui on les doit est parvenu à rendre les observations plus faciles et plus pré- cises. L'appareil destiné à faire connaître si la lunette est ho- rizontale, est fixé à demeute; il convient à toutes les incli- naisons, il reste toujours sous les yeux de l'observateur, afin d'indiquer les moindres variations au moment où elles ont lieu. Ce sont ces trois conditions qui rendent ce procédé très-préférable à ceux qui ont été en usage jusqu'ici, et il en doit résulter un nouveau degré d'exactitude dans l’observa- tion des ascensions droites. Dans la boussole que M. Gambey a présentée à l'Académie, l'aiguille est supportée par un fil de soie non tordu , mode de suspension qui est devenu pour Coulomb un/moyen de découverte; mais le procédé de ce grand physicien laissait subsister plusieurs causes d'incertitude, qui sont toutes pré- vues dans le nouvel instrument, en sorte qu'il devient facile d'y obvier. Ce qu'il offre de plus remarquable, consiste dans le moyen d'amener à une exacte coïncidence les axes optiques de la lunette et du microscope. Le troisième appareil de M. Gambey est un héliostat. On sait que cet'instrument a pour objet de conserver aux rayons du soleil réfléchis une direction fixe, nonobstant l'effet du mouvement diurne. Il a été inventé par S'gravesande , et per- 1823. Histoire. G L HISNOIRE DE L'ACADÉMIE, fectionné par MM. Charles et Malus. Toutefois:les observa- tions récentes et très-délicates-dans lesquelles: on l'emploie, rendaient nécessaire un, plus haut degré d'exactitude: La so- lution donnée par M. Gambey est à la fois plus simple et plus complète; son instrument offre:tous:les moyens de vérifica- tion, il s'oriente à l’aide d'une petite lunette dirigée sur une mire méridienne, etles rayons réfléchis peuvent être portés dans tous les azimuths et à toutes les hauteurs. 1 La commission ,-en terminantson rapport, a rappelé que M: Gambey est ausst l'auteur d'un tres-bel équatorial, qui, dans la dernière-exposition au Louvre, a fixé l'attention et obtenu les suffrages detous les artistes de la capitale. La lunette qu'il dirige; seimeut, ce sont les:expressions mêmes du rapport, «comme les étoiles de l’orient à l'occident, d’un mouvement continu:et tellement uniforme, que l'emploi d'un puissant microscope n'y ferait pas découvrir d'inégalité sen- sible. » Indépendamment de ce mécanisme d'horlogerie d’ane rare perfection, l'équatorial présente une nouvelle combi- naison de contre-poids, une graduation singulièrement exacte, et un travail fini, dontil n'y avait pas de modèle en France, si ce n’est dans quelques instruments de M. Fortin. Il est important de faire remarquer que M: Gambey doit les succès qu'il vient d'obtenir, et qui le placent au rang des plus excellents artistes, à la réunion d’un talent naturel d'exé- cution, et de connaissances variées dans les mathématiques et la physique. L'Académie, après avoir entendu le rapport, a accordé son approbationaux trois instruments présentés , et a décidé que les descriptions, accompagnées des dessins de l’auteur,seraient publiées. dans le recueil des savants étrangers. PARTLE, MATHÉMATIQUE: lj M:Mathieu à fait; au nom-dune commission un: rapport: sufluhe machine à-diviser de l'invention de M; Gambey. :: On:connaît assez, généralement l'usage quél’on: fait de la plate-forme pour:transporter les divisions d'ün grand cercle sur le limbe d'un: petit instrument. On peut:$e servir dans cette application d'ünprocédé, du célèbre Ramsden ; qui con- siste à faire mouvoir laplate-forme sur son, centre.| Une des conditions: que: cette opération exige; est ‘elle de l'exacté coïncidence des centres. M..Gambey né: s'est point proposé de perfectionner les moyens: d'observer cette coincidence des centres, mais il ést parvenu-à rendré l'opération -indépen- dante d'une parfaite exactitude.du centrage. Il se fonde sur une proposition de géométrie; et ilen déduit un procédé qui donne des graduations fort nettes-et fort exactes , non- obstant quelques inégalités dans da position des centres ou dans les dimensions: de:la machine.;.Un: des avantages les plus remarquables de cer procédé, consiste en -ceiqu'it dis- pense d'enlever l'axe du cercle à diviser, opératiomgénante, et-qui-entraîne des-erreurs presque-inévitables. La 'commis- sion:propose;et l'Académie décide-que la déscriptiondeé cette machire À idiviser:.les instruments d’astronomieret: de géo- désiér sera : insérée dans! la collection: dés mémoires des! sa- vants éirangans, cad avait nommé:une commission \cornposée: de MM: le comte Chaptal, Mongez.et Molard, pour prendré con- naissance! des procédés chimiques;iet mécaniques «employés par M. de Puymaurin-fils porir:la fabrication: des médailles de bronze moulées ;et frappées. M:Molard a fait un rapport au nom de cette:comimissién:! Cette:pièeé contient des: dé- G2 lj HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, tails scientifiques et historiques très -remarquables concer- nant le moulage ancien des médailles de bronze, les médailles coulées entre deux coins d’acier gravés en creux, la prépa- ration des médailles dans des moules de cuivre, la trempe du bronze et la décarbonisation de l'acier par la limaille de fer. La commission annonce que M. de Puymaurin a donné aux moules une perfection qu'ils n'avaient pas avant lui, en formant un modèle de jet qui s'adapte parfaitement aux mé- dailles et qui se moule avec les pièces. Le titre qui a paru à M. de Puymaurin le plus propre à la fabrication des médailles, est celui de huit à douze pour cent d’étain sur quatre-vingt-douze à quatre-vingt-huit pour cent de cuivre. Cet alliage est sonore, dense; son grain est doux, serré; sa couleur agréable à l’œil. Il est à la fois assez mal- léable pour recevoir, après la trempe, l'empreinte des coins, et assez dur pour résister au frottement. Une pression ordi- naire suffit pour la fabrication; enfin, il réunit tous les avan- tages que l’on peut désirer. C’est aussi celui que les Romains ont employé pour leur monnaie de bronze. M. de Puymaurin s’est fait un devoir de reconnaître dans son ouvrage tout ce qu'il doit aux conseils éclairés par l'expérience de MM. Mongez et Darcet au sujet de la nature et des propriétés chimiques et physiques du bronze, ainsi que de son emploi dans les arts et de la fabrication des médailles par les anciens. Il dé- crit avec beaucoup de soin toutes ses expériences, et indique tous les soins à prendre pour la fonte des médailles en bronze, leur trempe avant la frappe, et le monnoyage de ces mé- dailles, opérations qu'il a rendues aussi simples que faciles. L'Académie, conformément à l'avis de sa commission , a ap- prouvé le travail important de M. de Puymaurin fils. PARTIE MATHÉMATIQUE. li] M- Desprets a présenté à l’Académie plusieurs Mémoires sur la densité des vapeurs et les quantités de chaleur ou la- tente ou sensible qu’elles contiennent. Dans un de ces Mé- moires l’auteur prouve, par la voie de l'expérience , que la loi de Mariotte sur la condensation des gaz est applicable aux vapeurs depuis la pression de quelques centimètres jus- qu’à om 76. Ces expériences , faites avec tout le soin conve- nable , ont conduit l’auteur à conclure que les densités des vapeurs sont en effet proportionnelles aux pressions, lors- qu'on tient compte du changement de température. On ne peut donc point admettre, comme l'ont supposé d’autres physiciens , que cette même loi a lieu indépendamment de la correction relative à la température. M. Desprets ajoute aussi, dans ce Mémoire, de nouvelles expériences à celles qu'il avait déja faites, et qui lui ont servi à prouver qu'une loi que plusieurs physiciens avaient admise, concernant les - forces élastiques des vapeurs, n’est point entièrement exacte. Il trouve, pour l’eau et la térébenthine , un écart de plus de 14 degrés. Dans un autre Mémoire, M. Desprets, dont les recherches embrassent des branches très-importantes de la physique, rapporte les résultats de ses expériences con- cernant les chaleurs latentes des vapeurs d’eau, d'alcohol , d’éther sulfurique et d'essence de térébenthine ; il montre que les quantités de chaleur latente de ces vapeurs sont sen- siblement en raïson inverse des densités: La densité de la vapeur d'eau doit être prise au moment de l’ébullition, et par conséquent corrigée de la température. Les résultats moyens sont les suivants : Liv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, HALEUR Les deux colonnes , é totale précédentes réduites DENSITÉ DENSITÉ| contenue [CHALEUR dans le rapport des EG dans la eapacités et rapportées LIQUIDES. xl’ au point vapeur, du à l'eau, OBS eue d’éballition Chaleur | Chaleur AUTE d'ébullition, à zéro. totale. latente. 4 /zer0- RS EE me 631,0 0,623 0,41 h10,7 0,613 Éther sulfu- rique..... 210,0 2,586 Essence de té- rébenthine.. 323 5,o1 M. Vauquelin a fait, au nom d'une commission, un rap- port détaillé concernant un nouveau genre d'expériences , dont on est redevable à M. le baron Cagniard de Latour. Elles consistent à soumettre différentes substances, soit isolées, soit réunies, à l’action de la chaleur et à la com- pression. Les instruments employés sont tres-simples ; les résultats sont des faits d'un ordre particulier. On n'avait encore rien observé de semblable, lorsque M. de Latour a commencé à rendre ses recherches publiques. Ces faits inat- tendus intéressent la théorie de la statique des gaz et va- peurs , et méritent toute l'attention des physiciéns et des géomètres ; nous en citerons un éxemple. On'introduit dans un tube de verre un volume d'éther un peu moindre que la moitié de la capacité du tube, on ferme ce tube, et on l'expose par degrés àla flammesd'unelampe-d'Argant.! La température , et par conséquent la pression, s’accroissent , le liquide augmente progressivement de volume, et il occupe PARTIE MATHÉMATIQUE. lv presque tout l'intérieur du vase; puis il disparaît tout-à- coup à la température:de 165 degrés centigrades environ. Il se forme une vapeur d’éther dont la densité-est à peu près la moitié de celle du liquide introduit, et presque égale à celle qu'avait le liquide au moment qui précède la conversion en vapeurs. Cet.état, intermédiaire de vapeur extrémement comprimée, qui, pour nous servir de l’expres- sion du savant rapporteur; est en quelque sorte une vapeur coulante, et tous les faits analogues , dont on doit la con- naissance à l'auteur du Mémoire, constituent une classe spé- ciale d'observations dont l'étude contribuera: certainement aux progres de la physique. On expose dans le rapport, avec beaucoup de clarté, les résultats principaux des re- cherches de M. de Latour; on décrit les appareils et les moyens ingénieux dont il s'est servi pour graduer les tubes, pour connaître or o les pressions exercées; enfin on indique les conséquences que son tra- vail Soie lieu d'entrevoir. Au reste , l’auteur du Mémoire a dù s'attacher d’abord, dans tune:matière nouvelle ; à reconpaître la marche générale des faits, et il sera néces- saire, par la suite, de mesurer très-exactement les pres- sions qui répondent aux diverses températures. Ce genre d'expériences , comme le remarque la commission , n’est pas exempt de dangers. On doit user de beaucoup de pré- cautions pour étudier des phénomènes qui se passent dans des tubes de verre chauffés quelquefois jusqu’à la tempéra- ture de l'ébullition du mercure, sous des pressions qui excédent go atmosphères. Les conclusions du rapport, telles que l’Académie les a adoptées , sont qu’on doit savoir gré à “M: Cagniard de Latour du zèle qui l’a porté à entreprendre lv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE;, ce genre de recherches, qu’elles présentent une nouvelle mine à exploiter , et que sa découverte mérite l'approbation de l’Académie. Nous n’avons point compris, dans ces analyses, les sa- vants ouvrages de M. le docteur Edwards , dans lesquels il traite de l'influence des agents physiques sur la vie, et les expériences si remarquables de M. Bequerel sur les phéno- mènes électriques. L'une et l’autre recherches intéressent en certains points les théories mathématiques, mais elles se rap- portent directement à l’histoire naturelle et à la chimie. M. Savard avait présenté un Mémoire très-étendu , inti- tulé : Des vibrations des corps solides considérées en général. M. Dulong à fait un rapport sur ce travail, au nom de la commission qui avait été chargée de l’examiner. L'auteur du Memoire , qui avait déja traité plusieurs questions parti- culières de ce genre, les considère ici sous un point de vue général ; il s’est proposé de reconnaître , par la voie expé- rimentale, quels sont les mouvements qu’un corps solide ou flexible vibrant communique à un autre corps ou à un système de corps avec lesquels il est mis en contact ; il dé- crit avec soin les divers procédés qui lui ont servi, soit à établir le contact, soit à déterminer les vibrations à la source du mouvement, soit à observer, dans le système auquel les mouvements sont communiqués, la nature et la direction des vibrations ; il déduit, d'expériences variées, des conséquences générales sur les relations très-simples qui se manifestent eutre les vibrations imprimées et les vibra- tions communiquées , etil découvre ainsi des particularités PARTIE MATHÉMATIQUE. lvij de ces mouvements, dont il semble qu'on n'aurait pu acqué- rir la connaissance qu'avec le secours de l’analyse mathéma- tique. La conclusion du rapport, adopté par l'Académie, est que le Mémoire de M. Savard mérite son approbation , qu'il pourra fournir de nouvelles occasions d'appliquer la science du calcul à la physique, et que ce travail est digne d'être imprimé dans le Recueil des ouvrages des savants étrangers. | L’Acadéinie de Lyon a couronné un ouvrage de M. Moreau de Jonnès sur ies colonies francaises et sur les moyens d'en assurer et d'en accroître la prospérité. L'auteur a traité successivement des colonies de déporta- tion , de celles Éisniuepo ou de commerce, et des coloniés D rabless Il a examiné quelles sont les conditions d'existence et de prospérité de chacune de ces espèces d'établissement, et a fondé ses recherches sur une longue suite d'observa- tions. Il indique les lieux qui peuvent devenir des colonies nouvelles , et ceux qui sont propres à recevoir des déportés ; il expose l'état actuel de nos anciennes colonies, montre combien elles sont éloignées du degré de prospérité qu'elles peuvent atteindre, et il propose les moyens qui condui- raient à ce but, en améliorant la culture, perfectionnant l'industrie agricole , et augmentant le commerce d’importa- tion et d'exportation. Il porte à 176 millions la masse totale des transactions commerciales de nos établissements des deux Indes , et il conçoit la possibilité d'en doubler la va- leur dans l’espace de quelques années. L'auteur ajoute à ce résultat le tableau des avantages que procurerait l’opulence. de nos colonies : l'industrie françaïse prendrait un nouvel 1823. Histoire. H … Là lvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, essor; la navigation acquerrait plus d'activité; des débou- chés nombreux s'offriraient à l’agriculture et aux fabriques; la population excédante aurait un asyle, et l'humanité ac- querrait un moyen de perfectionner l'application des lois pénales. L'objet et l'étendue de ces recherches, le suffrage d'une Académie justement célèbre , qui donne à toutes ses recherches une heureuse et honorable direction , recomman- dent l'ouvrage de M. Moreau de Jonnes à toutes les personnes qui s'intéressent aux progrès de l'administration publique. Elles apprendront avec satisfaction qu’une telle question à été l'objet d'un concours académique, et que l'ouvrage cou- ronné est dù à un officier de l’armée française. M. OErsted, de l'Académie de Copenhague , auteur de Ja découverte fondamentale sur les rapports de l'électricité et du magnétisme, a fait, pendant son séjour à Paris, et con- jointement avec M. Fourier, une suite d'expériences nou- velles sur les effets thermo électriques. M. Seebeck avait prouvé que l’on peut établir un courant électrique dans un circuit formé de conducteurs solides , en y troublant l’équi- libre des températures. MM. OErsted et Fourier, considé- rant que la différence de température de deux parties conti- gués suffit pour exciter les forces électro-motrices, se sont proposé d'examiner si l'effet thermo-électrique ne pourrait pas être multiplié par la répétition alternative de barreaux de diverses natures, et ils ont cherché par la voie de l’ex- périence comment on doit procéder pour obtenir de tels résultats. Ils ont résolu cette question en construisant un hexagone, dont les côtés sont alternativement formés de barreaux de bismuth et d’antimoine soudés ensemble. Si PARTIE MATHÉMATIQUE. lix lon échauffe un des sommets des angles, il se produit un premier effet, rendu sensible par la déviation de l'aiguille aimantée ; l'effet augmente beaucoup lorsqu'on échauffe deux sommets non consécutifs, et plus encoré , sil’on échauffe les trois sommets non consécutifs ; il continue d'augmenter lors- qu'on refroidit un ou deux ou trois sommets intermédiaires par la juxta-position de la glace. Si l’on changeait cette dis- tribution des températures inégales , on observerait des ré- sultats tres-différents ; les actions des forces électro-motrices pourraient se compenser en partie, ou même se détruire. Les observations de ce genre sont très-propres à montrer les conditions suivant lesquelles s’exercent les actions électro- motrices , et elles donnent des moyens précis de les mesu- rer. On trouve dans les Ænnales de chimie et de physique, avril 1823, une explication détaillée des expériences variées qui ont été faites par les mêmes auteurs, et qui sont ana- logues à celle que l’on vient de citer. L'Académie ayant été consultée par le Gouvernement sur une question, qui a pour objet de connaître avec exactitude la distance de Paris à Bastia, et de Paris à Ajaccio, a chargé deux commissaires de cet examen. M. de Rossel a présenté à ce sujet un rapport, que l’Académie a adopté, et qui re- sout la question d’après les documents les plus exacts et les plus authentiques, et dans tous les détails qui peuvent inté- resser l'état et les particuliers. M. Beautems-Beaupré a présenté à l’Académie la carte générale des environs de Brest et de la baie de Douarnenez. Ces deux cartes complètent le Pilote des environs de Brest. H 2 1x HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, PARTIE MATHÉMATIQUE. On a successivement fait connaître , dans ces analyses, l'objet et les progrès du Pilote français, dont on est redevable à M. Beautems-Beaupré et à MM. les ingénieurs hydrographes employés sous ses ordres, ouvrage très-important, que l’on a appelé à juste titre un des monuments de la science hy- drographique. ‘ RS SAR ARS RURALE EL AA R AR CAR LES MALE LEUR LA LR AR LRU AR LUE SARA LA ALL LA LE LAN ÉLOGE HISTORIQUE DE SIR WILLIAM HERSCHEL, ‘ \ / Prononcé dans la séance publique de l Académie royale des sciences, le 7 juin 1824, - Par M. LE BARON FOURIER, SECRÉTAIRE-PERPÉTUEL. 1 Eté William Herschel, membre de cette Académie, est du nombre des hommes extraordinaires qui, destinés à hono- rer leur patrie et leur siècle, ont eu d’abord à surmonter tous les obstacles qu’une fortune contraire peut opposer aux premiers efforts du génie. Il s’ouvrit des routes nouvelles dans une science sublime ; il vit des astres jusque-là ignorés, et recula toutes les limites du spectacle des cieux. Prévenu par les bienfaits d’un monarque puissant , il. consacra sa vie à des travaux immortels, et pendant quarante années l'éclat de ses découvertes a retenti dans toute l'Europe. Ixi) ÉLOGE HISTORIQUE A l'âge de 19 ans, doué d’une imagination vive et d’un esprit élevé , il était encore simple musicien dans les régi- ments des gardes hanovriennes. Son père , habile maître de musique, qui subvenait à l'entretien d’une famille nom- breuse, avait donné sa profession à cinq de ses fils. Le second, William Herschel, quitta en 1757 la ville de Ha- novre, sa patrie, et se rendit en Angleterre où les arts lui promettaient un meilleur sort. Il résida quelques années dans le comté de Durham, en- suite à Halifax, et bientôt après il fut appelé comme direc- teur de la musique à la chapelle octogone de Bath. Il jouis- sait alors d'un revenu considérable, soit à raison de son titre, soit comme dirigeant aussi les concerts publics et les oratorios. Ses talents étaient recherchés, on aimait son caractère , on estimait ses mœurs; et dans un pays où les beaux-arts sont appréciés , s'il n'eût désiré que les avantages communs de la fortune, tous ses vœux auraient été satisfaits; mais une force intérieure l’entraînait à de plus hautes destinées : il devait un jour étendre le domaine des sciences. L'étude approfondie de son art le conduisit par degrés à celle de la géométrie ; car il existe des rapports multipliés entre les lois de l'harmonie et les théorèmes mathématiques , conime l'ont prouvé tant de géomètres illustres, depuis Py- thagore et Euclide jusqu’à Descartes, Huygens et Euler. Herschel , introduit par la géométrie à la connaissance de l'astronomie théorique , fut saisi d'étonnement et d'admira- tion, et comme transporté dans un monde nouveau. Il dé- sira vivement contetnpler lui-même ces phénomènes célestes dont l'intelligence humaïne avait pu découvrir les lois. C’est DE SIR) WILLIAM HERSCHEL. Ixiij alors qu'il entreprit de construire des télescopes, et d'en perfectionner l'usage ; et comme la persévérance des réso: lutions a toujours’été le caractère distinctif de son esprit} il y parvint; et bientôt il posséda des instruments préférables à tout ce qu’un art aussi difficile et aussi ingénieux avait en- core produit. Ses premieres’ observations astronomiques ; qui datent de 1796, furent suivies d'une découverte mémo- rable qui excita au plus haut degré l'attention publique ; je veux parler de la planète qui a re pendant plusieurs années le nom d'Herschel. Les premiers observateurs du ciel ont distingué un petit nombre d’astres qui changent continuellement de situation par rapport aux étoiles fixes ; et reviennent périodiquement aux mêmes points de la sphère. On a connu, et l’on a com- paré entre elles , de temps immémorial , les différentes du- rées de ces révolutions des planètes; cest l'origine de la période de sept jours , monument universel de l'astronomie des anciens peuples. Les nations modernes avaient fait des progrès admirables dans la description et l'étude du ciel: Galilée, Huygens, Dominique Cassini avaient observé les premiers des astres secondaires que les planètes entrai- nent dans leur cours ; mais on ignoraït encore, avant la fin du dernier siècle, qu'il existe une planète immense au- delà de l'orbite de Saturne; cette découverte devait être le fruit des travaux d'Herschel. Il poursuivait avec constance l’entreprise qu'il avait formée d'examiner successivement les diverses régions du ciel, et d'y signaler tous les phénomènes remarquables. Le 13 mars 1781 il observait, à Bath, avec un de ses meilleurs télescopes, lorsqu'il remarqua dans la constellation des Gémeaux un astre dont la lamière lui pa- lxiv ÉLOGE HISTORIQUE rut tres-différente de celle des étoiles voisines, et compa- rable à celle de Saturne, mais beaucoup plus faible. La perfection de l'instrument lui permit de voir un disque bien terminé. Ayant continué ses observations , 1l reconnut que cet astre avait changé de place, quoique son mouvement par rapport aux étoiles fût alors tres-lent; car il avait été sta- tionnaire douze jours auparavant. Cette observation, trans- mise à Maskeline et à Lalande, fut confirmée à Paris, à Milan , à Pise, à Berlin , à Stockholm. On considérait géné- ralement cet astre comme une comète extraordinaire exempte de toute nébulosité, et l’on s’occupa de déterminer les élé- ments paraboliques de son cours. Le président Bochard de Saron, de l’Académie des sciences de Paris, et Lexel, astro- nome de Saint-Pétersbourg, qui se trouvait à Londres, connurent les premiers la forme circulaire et les dimensions approchées de l'orbite. Bientôt on ne douta plus que l’astre d'Herschel ne fût une nouvelle planète , et toutes les obser- vations ultérieures ont vérifié cette conséquence inattendue. On eut alors un témoignage frappant de la perfection des théories modernes; car on put déterminer les lois du mou- vement de cet astre avant qu'il n’eût achevé la dixième par- tie de son cours, et ce mouvement ne fut pas connu avec moins de précision que celui des autres planètes observées depuis tant de siècles. Sa distance au soleil est double de celle de Saturne, c’est-à-dire de plus de 660 millions de lieues ; son volume est plus de 7o fois aussi grand que celui de la terre; on peut l'apercevoir à la vue simple dans, des temps favorables. La durée de sa révolution est, d'environ: 84 ans, et la température de cet astre, situé aux extrémités, du système planétaire connu, est de plus de 4o degrés au- DE SIR WILLIAM HERSCHEL. Ixv dessous de celle de la ‘glace. On peut donner quelque idée de sa distance à la terre, en disant que la lumière qui par- court 70 mille lieues-en une seconde, emploie environ deux heures et demie pour arriver de cet astre jusqu’à nous. . Herschel, et avant lui Dominique Cassini et Galilée, ont désiré de donner aux corps célestes qu'ils venaient de décou- vrir, les noms des princes qui avaient favorisé leurs travaux : plusieurs astronomes ont proposé les noms des premiers ob-" servateurs, mais ce n’est ni la reconnaissance ni la justice qui ont dicté les noms des planètes récemment découvertes. Ces noms ont été puisés dans le souvenir confus de fables deve- nues inintelligibles. La nouvelle planète reçut d'Herschel le nom de Georgium Sidus, elle recut des astronomes celui d'Herschel, on hésita ensuite entre les noms de Cybèle, Nep- tune, Uranus: ce dernier a prévalu. Lorsqu'on eut calculé le mouvement de cette planète, on put marquer les points du ciel qu’elle avait successivement occupés durant le siècle précédent; on reconnut alors, en consultant les recueils des observations antérieures , que Flamsteed, Mayer, Lemonier, avaient indiqué en ces mêmes points des étoiles qui ne s’y trouvent plus aujourd’hui. Leurs observations se rapportent évidemment à ce même astre qu'ils n'avaient pas distingué des étoiles fixes. Les opinions cosmologiques de Kepler, de Lambertet Kant les portaient à supposer une huitième planète entre Jupiter et Mars. La comparaison que l’on avait faite des distances de chaque planète à celle de Mercure, qui. est, la plus voi- _sine du soleil, suggérait une remarque semblable. La dé- couverte d'Uranus la rendit beaucoup plus sensible, et dé: termina les astronomes à de nouvelles recherches. Il est arrivé 1823. Histoire. Il Ixw] ÉLOGE HISTORIQUE que dansée grand intervalle de Mars à Jupiter, et à une distance peu différente de celle qui était indiquée, on a découvert quatre petits astres qui semblent être autant de parties sé- parées d'un seul corps planétaire , et qu'on ne peut aperce- voir qu'à l’aide des télescopes. Ces observations capitales ont été faites vers le commencement de ce siècle; on les doit à MM. Piazzi, Olbers et Harding. On s’entretenait en Angleterre, et dans toute l’Europe, des travaux astronomiques du maître de musique de la chapelle de Bath, de la perfection de ses instruments, qui étaient tous son ouvrage, des circonstances singulières de sa vie, du se- cours que les arts lui avaient donné, du noble usage qu'il faisait de ses loisirs. Tous ces détaïls vinrent à la connaissance du roi. Georges IIT aimait les sciences comme l'ornement des états et comme une source pure de gloire et de prospérites publiques. Il appela Herschel, prévint et combla tous ses vœux, et voulut qu'il fixât sa résidence à Datchett et bientôt après à Selough , à très-peu de distance de son château de Windsor. Cette retraite de Selough devint un des lieux remarquables du monde policé: il fut visité par des voyageurs illustres. Herschel l'habitait avec sa famille ; c'est là qu'il a achevé sa longue et mémorable carrière. Le roi s'intéressait à toutes ses recherches et voulait souvent augmenter les dépenses pro- posées ,afin que rien ne bornât ni la perfection ni les dimen- sions des instruments. L'histoire doit conserver à jamais la réponse de ce prince à un étranger célebre qui le remerciait des sommes considérables accordées pour les progrès de l'as- tronomie. Je fais les dépenses de la guerre, dit le roi, parce qu’elles sont nécessaires; quant à celles des sciences , il m'est DE SIR WILLIAM HERSCHEL. Ixvi) agréable de les ordonner ; leur objet ne coûte point de larmes et honore l'humanité. :Herschel avait appelé près de lui un de ses frères ; très- exercé. dans la mécanique théorique et pratiques qui secon- dait tous ses desseins , dirigeait les ateliers où se-construi- saient les grands instruments ; et réalisait presque aussitôt , avec une rare sagacité, toutes les inventions de son frère. Leur sœur, Miss Caroline, acquit bientôt des connaissances fort étendues. dans l'astronomie et les mathématiques. Une amitié vive et constante, le désir de contribuer à la gloire de son frère, etsans,\doute une disposition d'esprit propre à cette famille extraordinaire, avait procuré à ses études un succès inoui. Elle rédigeait et publiait les observations; on lui doit . la, découverte de-plusieurs comètes. Elle a partagé toutes les veilles et tous les travaux littéraires de son frère , et assuré- ment aucun astronome n'a jamais eu de coopérateur plus in- telligent, plus fidèle.et plus attentif. Dans cette retraite isolée, ornée par les beaux-arts, et plus encore par la paix et les vertus domestiques, Herschel; libre de tous soins, entouré d’une épouse, chérie et d’une famille consacrée aux sciences, s'abandonnait sans partage aux inspi- rations de son génie, c'est-à-dire à un invincible désir d’étu- dier la nature.et d'interroger les cieux ; et, pour emprunter les expressions d'un des plus célèbres contemporains; c'est de ce village solitaire que l'univers apprit ce qu'il y'avait à connaître de plus singulier dans le ciel et peut - être de pré difficile à apercevoir. L'histoire des inventions diaises et de Lib progres est trop. connue pour qu'il: soit convenable de la rappeler ici. Les télescopes d'Herschelsont ceux que l'onamornmés New- I 2 Ixvii] ÉLOGE HISTORIQUE toniens. Il ne cessa d’en étudier les propriétés, d'en varier et d’en étendre l'usage. Instruit par une longue expérience, il parvint à supprimer le miroir plan qui produit une seconde réflexion, et cet heureux changement, proposé depuis long- temps par Lemaire, mais d'une exécution difficile et qui ne convenait d’ailleurs qu’à de grands instruments, doubla pour ainsi dire l'effet optique. Il reconnut qu’en exerçant l'œil par degrés on le rend beaucoup plus sensible à l'impression d’une faible lumiere, et par là il put amplifier les images des objets fort au- delà des limites où les autres observateurs s'étaient arrêtés. Il re- marqua deux propriétés différentes que l’on n'avait pas en- core distinguées, celle qui consiste à augmenter la dimension apparente des corps, et celle de pénétrer dans la profondeur de l’espace pour y découvrir des objets qui auraient été en- tièrement imperceptibles ; des exemples multipliés ne lais- sent aucun doute sur la vérité et l'utilité frappante de cette distinction. Enfin, il entreprit de porter jusqu'à la dernière limite le pouvoir de ces instruments; et , considérant moins les condi- tions propres à faciliter l'usage que celles qui devaient aug- menter la force optique, il construisit un télescope d’une di- mension extraordinaire. C’est le plus grand instrument de ce genre qui ait encore existé. Il faut se représenter un tube de fer long de 40 pieds an- glais, ayant quatre pieds + de diamètre, suspendu au- “dessous d'un assemblage de mâts inclinés, et que plusieurs machines font mouvoir dans tous les sens. Le système entier est mobile autour d’un axe vertical, et décrit une circonférence de 4o pieds de diamètre. Un miroir métallique très- poli, pesant DE SIR WILLIAM HERSCHEL. Ixix environ deux milliers de livres, est introduit dans le tube, et lorsque l'instrument est tourné vers le ciel, ce miroir ré- fléchit l'image éclatante des astres. L'observateur est lui- même transporté avec le tube, selon toutes les directions; car il se place dans un siége attaché à l'extrémité supérieure; les objets qu'il observe sont derrière lui, il en considère les images réflechies. Herschel découvrit avec ce télescope deux nouveaux sa- tellites de Saturne; ils sont l'un et l’autre plus près de la pla- nète que ceux dont on doit la connaissance à Huygens et Cassini. Jamais le ciel n'avait été observé avec un instrument aussi extraordinaire ; et l’on peut dire que les plus grands phénomènes se montrerent sous un aspect nouveau. Les né- buleuses, c’est-à-dire ces petits nuages lumineux et irrégu- liers que l’on remarque parmi les étoiles fixes dans diverses régions du ciel, parurent presque toutes se résoudre en une multitude innombrable d'étoiles ; d’autres pour ainsi dire im- perceptibles semblaient avoir acquis une lumière distincte. A l'entrée de l'étoile Sirius dans le champ du télescope, l'œil était vivement affecte , au point que l'on ne pouvait plus aper- cevoir, immédiatement après, les étoiles de moindre gran- deur : il fallait qu'il s’écoulât plus de 20 minutes avant que l’on püt observer ces astres. Les instruments dont il s'était servi jusqu'alors offraient moins d'avantage pour l'observation de quelques phénomènes; mais il lui avait été plus facile d'en multiplier et d'en varier les applications. Aucun astronome n'avait encore pu acquérir une connaissance aussi complète et aussi distincte des phé- nomènes du ciel. Par exemple, on cessait toujours d’aper- cevoir l'anneau de Saturne lorsque son plan est dirigé vers 1x ÉLOGE HISTORIQUE la terre; mais la faible lumiere que l'épaisseur nous réfléchit suffisait à Herschel, en sorte que dans cette phase l'anneau ne disparaissait point pour lui. Une observation entièrement nouvelle et tres-importante, fut celle des points remarquables de la surface de l'anneau de Saturne; Herschel en conclut que ce satellite, d’une forme singulière, tourne sur lui-même autour d’un axe perpendicu- laire à son plan, et il mesura la durée de ce mouvement de rotation qui est d'environ dix heures et demie. Peu de temps auparavant un grand géomètre s’occupaiten France de cette même question, et la résolvait par l'analyse mathématique, qui est aussi un instrument très-puissant , et le plus universel de tous. M. de Laplace démontrait que la rotation de l'anneau de Saturne est une conséquence nécessaire du principe général de la gravitation. Il avait déduit de son analyse cette même durée de dix heures et demie que l’astronome anglais trouva ensuite par l'observation directe. L'histoire des sciences n'offre rien qui soit plus digne de l'attention des philosophes que cet accord admirable des conséquences théoriques avec la per- fection des arts. Les observations d'Herschel sont trop variées et trop nom- breuses pour que nous puissions ici en exposer l’objet, La plupart ont été confirmées et ont acquis une entière certi- tude. Au reste, les instruments dont il s'est servi, et qui ont tant d'avantages remarquables, sont sujets aussi à des difficultés qui en ont restreint l'usage. Ses plus grands télescopes ne doivent pas toujours être, considérés comme des. instruments ;de précision, et de mesure , mais plutôt comme des instruments de découverte; sous ce rapport, ils latins DE SIR WILLIAM HERSCHEL. Ixx) nous offrent ce que l'homme a inventé jusqu'ici de plus parfait. Nous rappellerons maintenant les vues et les expériences d'Herschel relatives à l'origine et aux propriétés physiques des rayons solaires. Il concluait d’une longue suite d’obser- vations attentives, faites avec des télescopes puissants, que la lumière n’émane pas du corps même du soleil, mais des nuages brillants et phosphoriques qui naissent et se déve- loppent dans l'atmosphère de cet astre. Il pensa que cet im- mense océan de lumière est violemment agité dans toute sa profondeur, que lorsqu'il s’entr'ouvre nous apercevons ou la masse solide qui n’est point aussi lumineuse, ou ses cavités volcaniques, et que telle est l'origine de ces taches noires et variables qui se montrent sur le disque du soleil. Leur étendue est souvent beaucoup plus grande que la surface entière du globe terrestre: elles disparaissent lorsque le calme se rétablit dans l'atmosphère solaire. On sait que ces taches | observées pour la première fois par Galilée, ont fait découvrir le mouvement du soleil autour de son axe, et ont donné la mesure de ce mouvement qui s'accomplit en 25: jours et demi. Les nouveaux progres de l'optique viennent d'offrir un moyen très-inattendu de reconnaître s’il est vrai, comme le croit Herschel, que la lumière solaire ne sort pas d’une masse solide ou liquide incandescente. En effet , lorsqu'un tel corps élevé à une très-haute température devient lumi- neux, les rayons qu'il envoie dans toutes les directions ne proviennent pas seulement de l'extrême superficie, ils sont émis comme ceux de la chaleur par une infinité de points matériels placés au-dessous de la surface jusqu’à une certairie Ixxi) ÉLOGE HISTORIQUE profondeur, extrêmement petite à la vérité, mais subsis- tante. Or ceux de ces rayons qui traversent obliquement l'enveloppe de la masse échauffée, acquièrent et conservent une propriété spéciale que les expériences peuvent rendre sensible ; ils sont polarisés. Mais si la même masse, au lieu d'être rendue lumineuse par sa propre température, est seulement recouverte d’une flamme étendue qui est la source de sa lumiere , les rayons n’ont point cette même propriété. On pouvait donc soumettre à cette épreuve singulière la lumière que le soleil nous envoie. M. Arago, auteur de cette belle expérience, et dont les travaux ont souvent en- richi la physique et l'astronomie, a reconnu en effet que les rayons solaires même obliquement transmis ne sont point polarisés. On voit donc que sur ce point de la ques- tion l'opinion proposée par Herschel se déduirait immédia- tement des propriétés de la lumiere les plus récemment dé- couvertes. Au reste, ses recherches sur les variations annuelles de la chaleur solaire ont excité l'attention des physiciens ; on ne tardera pas à posséder sur cette question de physique des connaissances plus exactes. Dans plusieurs pays, et spé- cialement à l'Observatoire royal de France, on a pris la dé- termination de recueillir et de publier chaque année des observations précises sur l'étendue , les progres et la dispa- rition des taches solaires. Nous avons maintenant à rappeler les expériences mémo- rables d'Herschel, qui ont donné une nouvelle étendue à la théorie physique des rayons du soleil. En étudiant la nature de cet astre, qui était devenu pour lui un objet ha- bituel de méditations , il employait des verres diversement DE SIR WILLIAM HERSCHEL. Ixxii] colorés, pour affaiblir l’éclat de la lumière. Il eut ainsi des occasions multipliées d'observer jusqu'à quel point l'inter- position de ces verres modifiait la chaleur ou la clarté. Il n'était pas dans la nature de son esprit de s'arrêter à des remarques superficielles. Il entreprit donc une suite d’expé- riences variées , et la physique générale fut enrichie de faits nouveaux et importants que les observations ultérieures ont pleinement confirmés. On avait entrevu depuis long-temps que les rayons séparés par le prisme, et qui forment le spectre solaire, ne possèdent pas au même degré la faculté d’échauffer les corps terrestres. Cette opinion était déja vé- rifiée par des expériences faites en Italie et en France. En remontant à l'origine de cette question, nous la trou- vons dans les écrits d’une femme célèbre dont le nom ap- partient à l'histoire littéraire de la France. Avant qu'Émilie du Châtelet eût traduit et commente les ouvrages de Newton, elle avait envoyé à l'Académie des Sciences de Paris un Mé- moire de physique, et concourait alors avec Euler à l'examen d’un des plus grands objets de la philosophie naturelle, la théorie du feu. Dans ce Mémoire de madame du Châtelet, imprimé en 1738 par ordre de l’Académie, l'illustre auteur propose de rassembler assez de lumiere homogène pour éprouver si les rayons primitifs différemment colorés n’ont point aussi des degrés inégaux de chaleur, sile rayon rouge, par exemple, ne donne pas plus de chaleur que le rayon violet , ce qui lui paraît très-vraisemblable. L'auteur ajoute : l'expérience mérite d'être tentée par les philosophes qui ju- geront cet essai. Cette première vue fut confirmée, comme nous l'avons dit, par les observations de Landriani et de Rochon ; les expériences d'Herschel sur le même sujet non- 1823. Histoire. K lxxiv ÉLOGE HISTORIQUE seulement donnèrent une solution complète de la question, mais conduisirent à des résultats entierement nouveaux. Il mesura avec précision les effets thermométriques des sept rayons inégalement réfrangibles , et reconnut que les rayons rouges contiennent seuls plus de chaleur que tous les autres. | L'impression sur le thermomètre diminue rapidement depuis les rayons rouges jusqu'aux rayons violets placés à l’autre extrémité. Le caractère principal du talent d'Herschel était une disposition extraordinaire à considérer le même objet avec persévérance , et sous divers aspects. En reéitérant ses expériences sur les rayons solaires , il voulut déterminer la limite où cesse toute impression sensible de la chaleur , et le point où cette impression est la plus forte. Il parvint alors à un résultat totalement inattendu; il vit que l'effet ther- mométrique subsiste au-delà des rayons rouges dans l’espace obscur voisin du spectre, et ce fut même dans cette partie non éclairée, et sur le prolongement de l'axe, qu'il trouva le point où la chaleur communiquée est la plus grande. Au reste, la situation de ce point peut varier sensiblement, selon certaines conditions de l'expérience. Quoi qu'il en soit , il demeure certain que ce mélange de rayons qu'un même astre nous envoie, que le prisme réfracte inégalement et divise en éléments colorés, contient aussi une chaleur invisible dont on peut reconnaître et mesurer l’action. Le même observateur se proposa encore de découvrir quels sont les rayons qui jouissent au plus haut degré de la fa- culté d'éclairer les objets. IL trouva, par un genre particulier d'expériences, que cette propriété appartient aux rayons jaunes, et qu'elle décroît assez rapidement , à partir de ces rayons brillants jusqu'à l'une et à l'autre extrémité du spectre. PS th Sté ir DE SIR WILLIAM HERSCHEL. Ixxv Ces découvertes singulières exciterent dans toutes les aca- démies une vive attention. On contesta l'existence d’une cha- leur rayonnante invisible, mêlée à la lumière du soleil. L’in- venteur fut même exposé à des contradictions qui excédaient toutes les bornes de la critique littéraire. Ce grand physi- cien avait donné les explications nécessaires, il garda le silence. Ses expériences furent répétées en Angleterre, en Allemagne, en France, sous les yeux des plus habiles ob- servateurs de l’Europe, et l’on reconnut généralement la vérité des résultats. Il arriva même que la distinction des rayons colorés et de la chaleur invisible que le soleil transmet donna lieu de dé- couvrir une autre propriété non moins remarquable de la lumière de cet astre. On observa l'intensité de l’action chi- mique des différents rayons , et l’on trouva que cette action subsiste encore comme celle de la chaleur dans un espace non éclairé, mais à l'extrémité opposée du spectre. au-delà des rayons violets. Nous nous bornons à citer cette expé- rience qui n'appartient pas à notre sujet; il nous suffit d’a- jouter qu'aucun physicien ne peut aujourd'hui révoquer en doute l'existence des rayons de chaleur invisibles mélés à la lumière du soleil. C’est en cela principalement que consiste la découverte annoncée par Herschel. Il semblait qu'il füt dans sa destinée de découvrir et de rendre sensibles des êtres dont la connaissance avait échappé aux autres hommes pen- dant une longue suite de siècles. ‘Quoique notre système planétaire ait plus de douze cent millions de lieues d'étendue, on peut dire qu'il n’occupe qu'un point imperceptible dhns les espaces célestes. C'est de là que les regards de l'homme et son génie ont pénétré dans 2 K 2 Ixxv] ÉLOGE HISTORIQUE les immenses régions de l'univers. Il a vu des soleils innom- brables au-delà des limites naturelles de ses sens : car l’in- telligence divine dont sa raison émane, lui a donné le pou- voir de se former en quelque sorte des organes nouveaux. On avait observé de temps immémorial des changements sensibles daus la couleur et l'éclat de plusieurs étoiles ; on a vu de nouveaux astres briller tout-à-coup d’une vive lu- mière, et, semblables à des corps enflammeés, s’éteindre pro- gressivement et disparaître, devenus peut-être des corps non lumineux dérobés pour jamais à nos regards. On remarquait les mouvements propres et extrèmement lents d’un assez grand nombre d'étoiles, ou les variations alternatives et pé- riodiques de quelques-uns de ces astres. Sans doute une connaissance plus complète de l’histoire du ciel est réservée aux générations à venir. On ne peut point espérer aujour- d’hui des résultats certains et précis comparables à ceux de l'astronomie planétaire ; on se borne à décrire l’état présent et à distinguer les caractères généraux des phénomènes. L’'in- vention des télescopes , et surtout les observations d'Her- schel, ont donné une étendue prodigieuse à cette branche de la physique céleste. Nous ne rappellerons point ici toutes les vues cosmolo- giques de ce grand astronome. L'exposition d’une théorie aussi étendue ne peut être l’objet de ce discours : mais nous indiquerons quelques traits principaux. Il range dans une première classe les étoiles qu’il nomme isolées, c'est-à-dire celles qui sont séparées des autres par des intervalles immenses , et ne paraissent point sujettes à une action mutuelle dont l'effé@soit appréciable. Il consi- dère ensuite les étoiles doubles ou triples , ou les assemblages DE SIR WILLIAM HERSCHEL. Ixxvi] sidéraux plus composés. Ce sont des systèmes de corps lumineux évidemment rapprochés et retenus par une cause subsistante , et qui se meuvent ensemble autour d’un centre commun. De là Herschel passe à la description des nébuleuses ou de ces taches lactées et confuses irrégulierement disséminées dans l’étendue des cieux. | Il a principalement observé la voie lactée, qu’il regarde comme une seule nébuleuse formée de plusieurs millions d'étoiles. Ilen voyait plus de cinquante mille qui traversaient en une heure le champ de son télescope. Toutes ces étoiles sont distribuées dans une multitude de couches tres-étendues en longueur et largeur,et tellement superposées, que l’épais- seur du système est beaucoup moindre que les deux autres dimensions. Les astres qui nous paraissent avoir le plus d’é- clat sont au nombre de ceux que renferme la voie lactée. Il en est de même du soleil, centre de nos orbites planétaires; et c’est pour cela qu'étant placés dans l’intérieur de cette né- buleuse, nous l’'apercevons comme une zone qui divise et entoure le ciel. La première origine de ces vues se trouve, si je ne me trompe, dans les écrits de Kant , et ensuite dans ceux de Lambert, l’un des principaux géomètres de l’Alle- magne. Mais Herschel, de qui ces ouvrages n'étaient point connus, ne s’est pas borné à des considérations générales. Il a déduit d'observations positives et multipliées cette expli- cation, qui avait été entrevue par le célèbre philosophe de Koœnisberg et par l’académicien de Berlin. Il distingue parmi les nébuleuses celles que des télescopes puissants résolvent en une multitude d'étoiles séparées, celles où l’on remarque un ou plusieurs centres brillants, et celles Ixxvii] ÉLOGE HISTORIQUE qu'il nomme planétaires, d’une forme sphérique mieux ter- minée , et d’un éclat plus homogène. Il montre la variété sin- gulière de cet ordre de phénomènes dont la plupart étaient inconnus. Ses catalogues contiennent plus de deux mille né- buleuses, les unes semblables à la voie lactée, d’autres ou- vertes à leur milieu et' de figure annulaire, la plupart sous les formes les plus diverses et les plus irrégulières. Enfin il ajoute une multitude d'observations à celles que l’on avait déja faites sur les étoiles colorées rouges, bleues, vertes, ou qui offrent les nuances de ces couleurs, et principalement sur les étoiles doubles ou multiples. Si maintenant on considere l’ensemble de ces faits, on s'é- lève naturellement à l’idée d'une matière lumineuse rare et diffuse dont tous les corps célestes ont été formés. Cette ma- tière, répandue dans toutes les parties de l'univers, y est très-inégalement condensée; elle est encore à l’état de vapeur dans plusieurs nébuleuses, et dans les atmosphères si éten- dues et si variables des comètes. Le principe de la gravitation n'agit pas seulement sur les corps du systeme planétaire ; il est présent dans tous les points de l'espace , et toujours op- posé à la force expansive de la chaleur. On conçoit que l’at- traction universelle a pu réunir progressivement ces vapeurs lumineuses; que les centres brillants ou uniques ou mul- tiples , les groupes d'étoiles, les corps solides se sont formés. Ces effets ne sont pas également sensibles dans les différents astres ; ils sont très-avancés pour les uns, tres-faibles pour les autres, et tendent à s'y manifester de plus en plus. Enfin les mêmes causes entretiennent parmi tous ces corps des mouvements immenses que l'extrême éloignement nous per- met à peine de distinguer. DE SIR WILLIAM HERSCHEL. Ixxix Telles sont, autant qu’ilest possible de les exprimer en peu de mots, les vues cosmogoniques d’Herschel. L'illustre au- teur de la Mécanique céleste est arrivé à des conséquences semblables, en suivant une route directement contraire. Il a vu dans notre système de planètes et de satellites , des in- dices frappants de l’origine de ces corps. Il les regarde comme formés aux limites de l'atmosphère du soleil progressivement condensée par les forces attractives, et la déperdition de la chaleur rayonnante. Ainsi s'expliquent naturellement toutes les conditions fondamentales du système planétaire. Au- cune opinion n’est plus conforme à l’état actuel des sciences; elle satisfait à l'ensemble des phénomènes connus. Les corps célestes les moins éloignés de nous présentent donc aussi, et avec plus de précision, les caractères géné- raux qu'ils tiennent de leur origine; ils paraissent avoir été produits, comme tous les grands phénomènes du ciel, dans le sein de ces vapeurs lumineuses soumises aux deux actions contraires de la gravitation et de la chaleur. Je n'entreprendrai point, messieurs, de fixer votre attention sur les diverses parties de ce vaste tableau, de comparer les distances de ces astres à celles que nous pouvons mesurer, de compter les années qui ont dû s’écouler pour que leur lumière parvint jusqu’à nous. [ci les nombres , les temps, les espaces, manquent de bornes; l'esprit le plus étendu se re- fuse à concevoir l’immensité de l’univers; il ne s'arrête qu’en s'élevant à des pensées d’un ordre encore plus sublime.Cette ré- flexion nous ramène aux sentiments que sir William Herschel a souvent exprimés, etque lui rappelait sans cesse la contem- plation des merveilles du ciel. Dans chacun des grands phé- nomènes qu'il a observés, il a trouvé l'empreinte d’une sa- xxx ÉLOGE HISTORIQUE gesse éternelle et créatrice qui régit, anime et conserve, et qui a donné des lois immuables à toute la nature. Que l'on se représente maintenant le tableau d'une vie en- tière consacrée aux beaux-arts et à la description du ciel. Dès ses premières années Herschel lutte contre la fortune et la subjugue. Sa gloire s'accroît de tout ce que le hasard de la naissance lui a refuse. Les arts l’introduisent dans le sanctuaire des sciences; il perfectionne l'optique; il entreprend d'écrire l'histoire na- turelle des cieux ; il voit de nouveaux astres aux extrémités du monde planétaire, dont il a pour nous doublé l'étendue. Il contemple d'innombrables phénomènes dans des ré- gions où l'œil de l’homme n'avait point encore pénétré; il étudie la nature du soleil, divise ses rayons , en mesure la clarté, sépare la lumière de la chaleur ; il voit les effets de la gravitation dans toutes les profondeurs de l'espace. I! n’a été donné à aucun homme de faire connaître aux autres un aussi grand nombre d’astres nouveaux. Tout ce que l’univers a d'immense et d'impérissable, est l’objet habituel de ses pen- sées. Voilà quelles furent les occupations de son esprit; rap- pelons aussi les sentiments qu'il a inspirés. Ila vécu dans je sein d'une nation qui, plus qu'aucune autre, regarde la gloire de ses grands hommes comme une propriété publique. Il a joui d’un bonheur pur dans l'inté- rieur de sa famille; ses vœux ont été comblés par les succes de son fils, et il a entendu la voix publique répéter cette juste et douce expression, qui peut ici suppléer à tant d’au- tres, Herschel laisse un fils digne de son nom. Un prince bienveillant a desiré le connaître, et dès ce moment il s'est déclaré son protecteur et son ami. Sa sœur Caroline Her- né st nd. DE SIR WILLIAM HERSCHEL. Ixxx) schel, modèle admirable de désintéressement, de douceur et de persévérance, lui avait consacré sa vie. Pendant plus de quarante années elle a assisté à toutes ses veilles, recueilli toutes ses pensées, transcrit de sa main et publié tous ses ouvrages ; elle n'aurait pu souffrir qu'aucun autre füt chargé de ce soin. Elle a écrit et conservé ces immenses registres qu'Herschel laisse à son fils, où sont fidèlement déposées, depuis 1776, ses observations et ses expériences; héritage vraiment noble et glorieux, qui est à la fois le monument d’une science sublime et celui de la plus touchante amitié. L’astronomie et la physique trouveront long - temps dans ces recueils une source féconde de rapprochements et de découvertes. Ainsi se PepIenee dans l'avenir l'influence des grands hommes, et ce n’est point à leur mort que tous les fruits de leurs travaux peuvent être appréciés. Le tableau physique des cieux tracé par Herschel sera comparé aux observations récentes, et l’on remarquera les changements qu'un long intervalle aura produits. Déja des conséquences frappantes s'offrent à l'esprit; mais le temps seul es les dé- velopper; elles ne deviendront manifestes qu'après un grand nombre de siècles. Alors des révolutions entières seront accomplies, nos suc- cesseurs admireront d’autres phénomenes et d’autres astres. Une partie du spectacle des cieux sera changée: mais, à ces épo- ques reculées, la mémoire d'Herschel subsistera tout entière. Il a succombé dans la quatre-vingt-quatrième année de son Âge, sans infirmités et sans douleur. Son nom confié aux sciences reconnaissantes est à jamais préservé de l'oubli. Elles le couronnent d’une gloire immortelle. ——— 1823. Æistotre. L_ M Lis - Wu ES à 3, A S ; A | ét | QE sudn PART si N - “ral « LUE" barbe crsb % sh _ CREU LUE Air x ps mi rhin an: etai 6 all ar pes rev est ÉD DCE 6 _ | socorsfint À dit E ab OT D é FACE Hoi pl à 1 NN CT Ps #1 Pr 4 D “dame ge Froné je den rires aq qe né rep eos si sie me en do y AUS HISTOIRE DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES DE L'INSTITUT DE FRANCE. ANALYSE Des Travaux de l'Académie royale des Sciences, pendant l'annee 1823. PARTIE PHYSIQUE, Par M. Le BarON CUVIER, SECRÉTAIRE-PERPÉTUEL. . tosccecscese CHIMIE. M. VauqueLin a présenté un travail sur les combinaisons de acide acétique avec le cuivre, si connues dans le com- merce sous les noms de verdet et de vert-de-gris, ou plutôt verdet gris. Il résulte de ses expériences que ces combinai- sons se présentent dans trois proportions différentes. 1° Un sous-acétate insoluble dans l'eau, ‘mais qui, plongé dans ce | | L2 XXX1V HISTOIRE DE L'AGADEMIE, liquide , s'y décompose à froid, et s'y convertit en péroxide et en acétate. 2° Un acétate neutre dont la solution ne se décompose point à froid, mais par l’ébullition, et se change alors en péroxide et en sur-acétate. Et enfin 3, un sur-acé- tate dont la dissolution ne se décompose ni à froid ni à chaud, et qu'on ne peut obtenir cristallisé qu’en le laissant évaporer à froid ou dans le vide. Le verdet.gris du commerce est un mélange, ordinairement en proportions égales, d’acétate et de sous-acétate. Une grande et utile découverte est celle qui vient d’avoir lieu dans le département de la Meurthe, d'immenses dépôts souterrains de sel gemme. Les sondages déja faits et l'exploi- tation commencée font connaître leur étendue sur plus de trente lieues carrées, et leur profondeur de plus de trois cents pieds, ainsi que les diverses couches dont ils se com- posent. On y trouve du sel blanc, des sels gris diversement mélangés , et du sel coloré en rouge par le fer. L'Académie, à la demande du gouvernement, a fait ana- lyser ces produits par sa section de Chimie, dont M. Darcet a été le rapporteur. La pureté en est extraordinaire : le sel blanc ne contient au plus que sept millièmes de substances étrangères; mais il y en a aussi d'absolument pur. Les variétés les moins pures de sel gris ne contiennent que cinq centièmes d'argile bi- tumineuse , d'oxide de fer, et de sulfates de soude, de chaux et de magnésie. Le sel rouge est coloré par deux centimes d'oxide de fer. Aucun de ces sels étrangers n'étant déliquescént, le sel gris conviendra aux salaisons; tous les arts qui emploient le sel pourront en faire usage. Le sel blanc offrira pour la table = PARTIE PHYSIQUE. ! Ixxxv une denrée plus pure que celles d'aucune autre saline; et le consommateur y trouvera d'autant plus de bénéfice, qu’il _n'attire point l'humidité de l'air. - L'argent et le mercure fulminant sont des substances que l'on ne connaît que trop depuis que, répandues dans le com- merce à cause de l'usage qu’on en fait pour amorcer les armes à feu ; elles ont causé tant d'accidents funestes. On les forme en rapprochant l'argent ou le mercure de l'acide nitrique et de l'alcool: Ces trois substances ; dont deux sont composées, réagissent les unes sur les autres, et le composé définitif que l'on obtient détone avec violence par la chaleur ou par un choc léger. Maïs en quoi consiste-t-il ? quels éléments des corps employés: à le former y sont -ils restés? comment et dans quelles proportions y sont-ils combinés ? Le docteur Liebig, jeune chimiste allemand , s’est occupé de ce problème. En mettant de la potasse dans la dissolution de mercure fulminant ; il a précipité de l'oxide de mercure, etobtenu, par l'évaporation, un sel cristallisable et fulminant dans un moindre degré que le premier: toutes les bases al- calines en ont agi de même. Ainsi, la propriété de fulminer appartient non pas au mercure, mais à une combinaison qui peut s'unir avec diverses bases, en les neutralisant, plus ou moins complètement, comme ferait un acide. Ilen.ést de même pour l'argent fulminant ; on peut en pré- cipiter une grande partie de l'argent en y substituant un al- cali ou un autre oxide métallique. M. Liebig ,après avoir employé comme base un de chaux et l'avoir reprise par l'acide nitrique, est parvenu à isoler, à peu de chose près, le principe qu'il soupçonnait, et l'a vu se Ixxxv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE; précipiter sous forme de poudre blanche: soluble dans l'eau bouillante, rougissant la teinture de tournesol ; en un mot, de nature manifestement acide, mais se distinguantpar la propriété de détoner, dont il jouit au plus haut degré. M. Liebig a tenté l'analyse de cet acide; et a pensé payer cher son zèle pour la science ; car les détonations ont lieu même dans l’eau, et au moindre choc. Il a réussi enfin, en le mêlant de beaucoup de magnésie, à le décomposer sans accident. Les produits sont un reste:du métal par l’inter- mède duquel on l'avait formé, du gaz acide carbonique, de lammoniaque et de l’eau. C'est la composition la plus com- plexe que la chimie ait encore créée , puisqu'elle offre une substance métallique et les éléments ordinaires des matières animales, savoir : de l’oxigene, de l'hydrogène et de l'azote. Maisil restait à savoir comment ces éléments y sont combinés entre eux; si l’'ammoniaque et l’eau y sont toutes formées ; si le métal y est à l'état d'oxide, et de quel oxide , etc. De nouvelles expériences faites cètte année par l’auteur et par M. Gay-Lussac, nous ont appris que cet acide , qu'on avait d'abord nommé fulminique, lorsqu'on le débarrasse du reste de métal qu'il contient, est de l'acide cyanique, c'est-à-dire une combinaison de l'oxigene avec cette combinaison d'azote et de carbone qui a été nommée cyanogène. M. Doœbereimer, professeur à Jéna, est l’auteur d'une ob- servation bien curieuse sur la propriété dont jouit le platine précipité de sa solution nitro -muriatique ( ce qui lui donne une forme et une consistance spongieuse), sur la propriété qu'il a ; disons-nous, lorsqu'on fait passer sur lui un mélange d’oxigene et d'hydrogène , d'opérer la combinaison de ces to de ET PARTIE PHYSIQUE. Ixxxvij deux gaz.et-de produire une | chaleur: qui le‘porte lui-même 21 Tone: MM; Thénard et, Dulong-ont répété et: vérifié'ces: expériences. Îls ont reconnu de plus que le‘palladium et'le rhodium. jouissent dé cette propriété comme le platine à'la température ordinaire; que l'iridium s’échauffe fortement à cette même température; que l'osmium rougit}, mais seule- ment quand,on l'a un peu échauffé d'avance’; enfin ; que pour.donnerauw nickel et au cobalt la propriété de produire la combinaïson;il faut les chauffer à 300: degrés;'le platiné ‘ à la température ordinaire BEEN le’ protoxide: d'azote bts on dirige par : Jui! M. ee ao sa découverte. des acides qui se:pro= duisent lors de la, saponification ; à fait faire de si grands pas: à la théorie de: cettelopération iet ouvert un nouveau champ: à l'étude:des substances organiques; a continué ses recherches et déterminé:les; caractères de plusieurs de :ces acides ; qui varient.selon les diverses graisses avec lesquelles la’ saponi- fication se faitssetiqui sont les principes des odeurs des sa: vons'formés avecces graisses , ét d’une-partie de ces graisses ellesmêmes! Le beurre en fournit deux; le bufirique' et le va- prique ; la graisse de dauphin un ,le phocénique ; et la graisse demoutonun autre ; le hircique. do sont tous incolores, plus légers que l’eau; mais de moins d'un dixième ; diversement odorants;1et donnent-une saveur: brûlante. Le : caprique sé solidifie à 15 degrés au-dessus de 0; lés autres sont encore liquides à ÿ:1Ils varient davantage: par leurs: capacités de sa- turation et les propriétés de leurs sels: arr | -,0 Le nombre des alcalis ou bases salifiables organiques et Ixxxvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, composées de. plusieurs principes combustibles ou gazeux augmente, rapidement , surtout depuis les recherches de MM. Pelletier et Caventou; et les propriétés remarquables dont ces substances sont douées rendaient intéressant de connaître les compositions distinctives de chacune d'elles. MM. Pelletier et Dumas leur ont appliqué la méthode d'analyse imaginée par M: Gayÿ-Lussac , qui consiste à en brüler une quantité déterminée avec une quantité, égale: ment déterminée, d’oxidede:cuivre, et à recueillir les pro- duits. Par les proportions de leurs éléments ces substances ressemblent beaucoup aux résines ; elles ont un peud’azote de plus; on doute même qu'il y en ait dans la morphine; la caféine seule en contient jusqu'à un cinquième et plus, de son poids. La plupart ont une capacité de saturation: ( une alcalinité) à: peu près proportionnelle à leur quantité d'azote, mais la morphine en a plus que n’indiquerait l’excessive+ ment petite quantité de ceprincipe qu'elle paraît contenir. ” - Ces expériences, faites avec toutes les précautions qui peuvaient en rendre les résultats rigoureux et précis; con- duisent à des vues importantes, et qui‘intéressent toutela chimie organique, non moins que la matière médicale... Une espèce particulière et très-rare de calcul de la vessie, découverte par M. Wollaston , et «nommée par lui oxide! urique, s'est retrouvée pourila première fois en France ; dans» le caleul- d’un chien.M. Lassaigne , préparateur de chimie! à l'École vétérinaire;en a donné la description et les propriétés! caractéristiques. Il l'a trouvée:composée de 36 parties de car: bone, 34 d'azote, 17 d’oxigène et 12 d'hydrogène. lee ap fs | #3D ordre F smiames me 2 GR PARTIE PHYSIQUE. Ixxxix Le Dablia, grande et belle plante dont nos parterres ont été récemment enrichis, a des racines tubéreuses comme le Topinambour, qui est de la même famille qu'elle. M. Payen a cherché si ces bulbes ne contiendraient pas aussi un prin- cipe alimentaire de bonne qualité, et pour cet effet il en a fait l'analyse. IL en a retiré un sucre incristallisable ; un arome ressemblant à celui de la vanille; une huile volatile; une huile fixe; plusieurs sels à base de chaux; et une substance nouvelle qu'il a nommée dahline, et dont les bulbes de dahlia contiennent un dixième de leur poids : elle a de l'a- nalogie avec l'amidon et la gélatine, mais elle en diffère sur- toutipar la propriété de se précipiter en masse grenue, lors- que l’eau qui la tient en dissolution est évaporée jusqu’à former une pellicule. Sa pesanteur spécifique est de 1,356; l'acide sulfurique la convertit en un sucre incristallisable , plus sapide que celui qui provient de l'amidon. GÉOLOGIE. M. Cuvier, qui a publié cette année le quatrième et la première partie du cinquième volume de la deuxième édi- tion de ses Recherches sur les animaux fossiles, a commu- niqué à l'Académie plusieurs des articles nouveaux qui en- trent dans cet ouvrage. Il a fait voir, entre autres, les débris . d’une espèce inconnue de crocodile, dont quelques squelettes ont été retirés des carrières de pierre calcaire oolithique des environs de Caen; et des têtes de cétacées, d’un genre dif- férent de ceux qui existent aujourd'hui, déterrées sur la plage de Provence et lors de l’excavation du bassin d'Anvers. Une seule phalange, trouvée dans une sablonnière du 1823. Histoire. M xc HISTOIRE DE L'ACADÉMIE;, pays de Darmstadt, lui a donné la preuve de l’ancienne exis- tence d’un quadrupède du genre des Pangolins, mais d'une taille gigantesque. j On parlait depuis long -temps de squelettes humains in- crustés dans un rocher de la côte dela Guadeloupe, et dont il'avait été déposé un au Muséum britannique. Le ministre de la marine ayant bien voulu donner des ordres pour en faire apporter un autre au cabinet du Roi, M. Cuvier l'a pré- senté à l'Académie , et a fait voir, par les coquilles terrestres et marines toutes semblables à celles de la côteenvironnante, ainsi que par la situation dans laquelle sont ces squelettes, que la pierre qui les enveloppe est d'origine moderne , et le produit de quelques sources incrustantes qui coulent vers cet endroit. Ila aussi lu un mémoire sur des têtes humaines d’une épaisseur monstrueuse et d'une dureté excessive, qui ont passé aux yeux de quelques auteurs pour des pétrifications, et même pour des restes d’une ancienne race de géants: l’une d'elles, trouvée en Champagne, est célèbre depuis long-temps, et a été gravée plusieurs fois; l’autre a été tirée d'un ossuaire. M. Cuvier a établi que toutes deux sont des têtes défigurées par une maladie des os que l’on nomme la maladie éburnée, et qu’elles viennent même assez probablement d'enfants à l'âge où ils changeaient de dents. Aucun de ces faits ne peut donc être cité comme preuve qu'il existerait des ossements humains dans les couches anciennes et régulières. Deux jeunes naturalistes partis depuis peu pour l'Amé- rique méridionale, M.Boussingault, Français, et M. Rivero, Péruvien, ont déja communiqué plusieurs observations des plus intéressantes. L PARTIE PHYSIQUE. XC) Ils ont reconnu, à 20 lieues nord-est de Santa-Fé, une aëro- lithe pesant 1500 livres, qui avait été trouvée en 1810 sur une colline de grès par une jeune fille, sans que l'on ait rien su de sa chute; mais on voit encore l’excavation qu’elle a formée, et plusieurs fragments se trouvaient aux environs. Le grain de cette masse est fin; elle n’a point la croûte vitrifiée, ordinaire aux aërolithes. Son analyse a donné 91, 41, de fer, et 8, 9, de nickel. Les mêmes naturalistes ont adressé au Muséum d'Histoire Naturelle, des ossements de Mastodonte à dents étroites, trouvés près de Bogota, et qui ajoutent à nos connaissances sur cet animal perdu. Le principal besoin de la géologie consiste dans la déter- mination positive de l'ordre dans lequel les divers terrains se superposent les uns aux autres, et l’on ne peut arriver à la connaissance des lois générales de cette superposition que par des descriptions exactes des contrées dans lesquelles il est possible d'en apercevoir un certain nombre dans leur ordre naturel. M: Bertrand Roux , négociant et naturaliste éclairé, de la ville du Puy-en-Vélai, a entrepris de faire connaître, sous ces rapports, les environs de sa demeure , et il en a fait l'objet d'un ouvrage considérable, où toutes les couches sont décrites, leurs rapports de position indiqués, et leurs hau- teurs , ainsi que les differentes inégalités du terrain, mesu- rées au baromètre. La ville même du Puy est au centre d’un bassin entouré de montagnes assez hautes, et dont la Loire ne s'échappe que par une,gorge étroite. Les noyaux de ces montagnes M 2 XCi] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, sont granitiques , et de trois variétés caractérisées en partie par leur plus ou moins de consistance , et que l'on distingue de loin au plus ou moins d’escarpement de leurs cimes et de leurs talus; mais une grande partie de leurs crêtes sont hérissées de volcans, très-reconnaissables, bien qu’éteints long-temps avant les époques historiques. Dans cette en- ceinte, comme dans le fond d’un vase, sont déposés les ter- rains postérieurs : d'abord quelques dépôts épars de psam- mites formés des débris du granite, dans l’un desquels il y a déja des restes de végétaux; ensuite, et tout d’un coup, des terrains tertiaires; des couches puissantes d’argile, des marnes en lits nombreux, sans corps organisés, que l’auteur croit analogues à nos argiles plastiques des environs de Pa- ris; et sur elles, des terrains de plus de cent mètres d’épais- seur, qui ne contiennent que des coquillages de l’eau douce, des restes de tortues, ou des ossements d'animaux terrestres aujourd’hui inconnus , et nommément des mêmes palæothe- riums, si communs dans nos plâtrières de Paris, et d’un genre voisin nommé anthracotherium par M. Cuvier. C'est sur ce fond de bassin ainsi constitué, que se sont répandues les déjections des volcans, et qu'elles ont formé des pics, des collines et des plateaux. M. Roux les divise en deux sortes : les plus anciennes ont le felds-path pour base, et composent des terrains que M. Roux nomme trachytiques, lorsque le feld-spath est lamelleux, et phonolitiques, quand il est compacte; les autres, où abonde le pyroxène, com- prennent les laves basaltiques de diverses époques, des sco- ries et des cendres. Ceux-ci sont incontestablement plus récents que les ter- rains tertiaires, qu'ils recouvrent en plusieurs endroits d'une PARTIE PHYSIQUE. XCIi] manière évidente. On les voit quelquefois s'étendre aussi sur les trachytes, ce qui prouve l’antériorité de ces derniers. M. Roux croit que les trachytes eux-mêmes sont, aussi bien que les laves et les basaltes , plus récents que les terrains ter- tiaires. Il neles a pas vus cependant superposés à ces terrains; mais il tire sa conclusion principalement de ce fait, que les terrains tertiaires ne contiennent point de débris de trachy- tes, mais seulement ceux des granites. Ces trachytes se sont principalement déposés le long de la chaîne orientale, de celle qui sépare le Vélay du Vivarais, et dont la cime principale est connue sous le nom de Mézin; leurs contextures sont uniformes, et ils doivent s'être déposés dans un temps assez court, tandis que les laves et les basaltes différent entre eux par la structure et par les époques des éruptions qui les ont produits. Les dernières de ces éruptions sont, au reste, déja très-anciennes; car les élévations qu’elles ont formées avaient déja eu le temps d’être dégradées et es- carpées, comme elles le sont aujourd’hui, dès le temps où les Romains firent, dans ces environs, leurs premières routes et leurs premières constructions. La chaîne de l’ouest est celle où ont brülé les volcans, principalement les plus modernes : elle en offre au moins cent; mais, à l'exception de deux ou trois, leurs cratères sont presque effacés aujourd’hui. Une des élévations volcaniques les plus remarquables du Vélay est la roche rouge, pic basaltique isolé, fort noir, en- tièrement entouré de granite, et que M. Roux regarde comme ayant été soulevé de bas en haut, et offrant des traces d’une ancienne bouche volcanique. À ces descriptions, dont nous abrégeons à regret l'extrait, xCIV HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, M. Roux joint des conjectures plus ou moins ingénieuses sur les causes qui ont amené tant de modifications diverses : elles ajoutent à l'intérêt d’un ouvrage dont la publication fera connaître une des contrées de l’intérieur de la France les plus intéressantes sous le rapport de l'histoire naturelle, aussi bien que de la singularité des sites et de la beauté des paysages. Parmi les bancs nombreux qui forment les terrains des environs de Paris, il en est un composé principalement d'ar- gile, que l'on exploite en divers endroits pour en fabriquer des poteries plus ou moins belles. On l’a nominé par cette raison argile plastique. Son origine est déja ancienne, car il est surmonté par les immenses massifs de pierre à bâtir, de plâtre, de sable et de grès qui forment toutes nos collines ; et la craie seule, dans nos environs, est au-dessous de lui. On y trouve divers corps étrangers et entre autres des bois réduits en charbon, qui, dans plusieurs lieux, sont encore utiles comme combustibles, et que l'on a nommés lignites. Des grains de succin et d’ambre jaune sont fréquemment au milieu de ces lignites; et même tout rend vraisemblable que l’'ambre jaune des bords de la Baltique, si célèbre dès les temps les plus reculés, appartient à cette formation, dont l’éten- due est considérable, et que l’on a déja suivie très-loin de Paris et Jusqu'en Angleterre. Un jeune physicien, M. Bequerel , a particulièrement étu- dié des couches de cette argile que quelques fouilles venaient de mettre à découvert près d'Auteuil. Il y a recueilli des mi- néraux peu communs dans une semblable position : du phos- phate de chaux en noyaux oblongs, du sulfate de strontiane PARTIE PHYSIQUE. XCV en.cristallisations particulières. Il a trouvé aussi des lignites avec du bel ambre jaune, et de très-petits cristaux de sul- fate de zinc sur ces lignites. Tous les corps organisés y sont de terre. ou d’eau douce, et dans le nombre sont surtout quelques fragments d'os de crocodiles. Les observations faites sur cette argile en d’autres lieux n’ont donné aussi que des restes d'animaux de l’eau douce, et cependant elle est re- couverte de deux formations marines très -considérables. Aussi la range-t-on au nombre des monuments et des preuves des invasions répétées de la mer sur les continents. Ces terrains placés sur la craie, et qui remplissent presque seuls le bassin où est situé Paris, appartiennent aux der- nières époques des révolutions du globe, et cependant ils se sont déposés sur des étendues très-vastes, et recouvrent, dans une infinité de lieux souvent très-éloignés, les terrains plus anciens : s'ils sont masqués et peu reconnaissables dans quelques cantons par l’interposition de quelque formation locale, ou par des déplacements occasionnés par des cata- strophes particulières, c'est à la sagacité du géologiste à les démèler dans ces circonstances accidentelles et à rechercher les causes qui ont pu les modifier ainsi. M. Brongniart, qui a tant contribué à en éclaircir l'his- toire, a trouvé moyen de les reconnaître dans le Vicentin, pays où tout ce qui les accompagne était fait pour dérouter uh observateur moins exercé. IL a observé dans les collines qui bordent le val de Nera, un calcaire contenant les mêmes coquilles que le nôtre, al- ternant quatre fois avec une brèche en petits fragments de cornéenne , et surmonté par des basaltes. Mais ces collines XCV] HISTOIRE DE LACADÉMIE, ne forment pas , à beaucoup près, la masse de la montagne. Celle-ci appartient à l’ordre bien plus ancien de couches que l'on a nommées terrains du Jura, et les collines sont seule- ment appuyées contre ses flancs. Des dispositions analogues se sont montrées dans val de Ronca. A Montecchio Maggiore, lieu célèbre par les nom- breuses espèces minéralogiques que renferment ses amygda- loïdes , les basaltes et les brèches de cornéenne dominent; le calcaire n'y est qu’en indice; ses coquilles sont aussi en- veloppées dans la pâte des brèches, mais non pas dans les fragments de basalte d'amygdaloïde que cette pâte enveloppe. On y trouve çà et là des lignites ; à Monte Viales ces lignites offrent même quelques poissons fossiles. Cette indication a conduit M. Brongniart à fixer la position géologique des célèbres carrières de Monte Bolca, où sont déposées des quantités si étonnantes de ces poissons. Sous divers lits de basalte, de brèche et de calcaire, sont deux bancs de ces ichthyolites séparés par un calcaire coquillier contenant des nummulites et d’autres coquilles. Tous les poissons appartiennent à des genres marins; le second de ces bancs contient, outre les poissons, des lignites et des plantes la plupart terrestres ou d'eau douce. A Montecchio Maggiore ce sont les couches trappéennes qui dominent ; à Bolca, au contraire, c’est le calcaire, et de beaucoup; mais, sauf la proportion , la ressemblance de ces lieux et d’un nombre d’autres du voisinage est très-grande ; et leur calcaire, par sa nature, par les coquilles, les silex et les autres objets qu’il renferme, ressemble aussi beaucoup au calcaire grossier de nos environs, à celui qui repose sur la craie et qui supporte le gypse, PARTIE PHYSIQUE. XCVI] Les roches trappéennes forment la différence essentielle ; encore retrouverait-on plusieurs de leurs éléments dans notre chlorite et notre argile plastique. Les collines du pied de l’Apennin ressemblent, au con- traire , bien davantage à celles de notre calcaire et de notre grès supérieurs aux gypses. M. Prévost l'avait fait remarquer ‘dans un Mémoire sur les environs de Vienne, dont nous avons donné l'extrait il y a quelques années, et M. Brongniart l’a confirmé par l'examen scrupuleux qu’il a fait de la colline de la Superga, près de Turin. Ce qui est plus extraordinaire, c'est qu'un terrain et des coquilles très-semblables se ont en au sommet de la mon- tagnè des Diablerets, au-dessus de Bex, non-seulement à plus de trois mille mètres de hauteur, mais surmontés par des bancs de nature alpine, et d’origine trés-ancienne. M. Bron- gniart produit une coupe de cette partie de la montagne, qui semble prouver que c’est un dépôt formé dans un creux ou dans un repli ancien de ces bancs. Il a retrouvé jusque dans les montagnes d’auprès de Gla- ris, des couches qui, d’après les coquilles et les substances qui les composent, lui ont paru devoir se rapporter à nos terrains de sédiment supérieurs, M. de Buch a examiné, sous le rapport géologique, une contrée voisine du Vicentin, le Tyrol méridional; il y a trouvé en grande masse ces terrains porphyriques ou plutôt pyroxéniques qu'il croit soulevés par l’action du feu, ou, comme il s'exprime, apposés aux calcaires voisins, mais non déposés de la même manière qu'eux. Ces terrains en se sou- levant, ont tantôt percé, tantôt soulevé avec eux les porphyres 1823. Histoire. N XCvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, rouges, les grès rouges et les dolomies ou calcaires magné- siens qui les surmontaient, et les ont rompus et désordonnés de manière qu'il est impossible aujourd’hui de les ramener au même niveau. M. de Buch, qui avait déja appliqué cette maniere de voir aux montagnes de l'Auvergne, croit pouvoir l'étendre à la plus grande partie des Alpes, au moins des Alpes calcaires ; et il a découvert dans plusieurs endroits le porphyre pyroxénique demeuré caché ailleurs, mais qui a été partout la cause des soulèvements. N’observant dans ces cantons les masses de dolomie que fendillées en sens divers, ou creusées de cavernes , et placées sur le porphyre pyroxé- nique et au niveau du calcaire ordinaire des Alpes, M. de Buch croit que cette pierre est une transformation du cal- caire pénétré par la magnésie que le porphyre y a introduite. En un mot, elle n’en est qu'un accident. Vouloir distinguer une formation spéciale de calcaire magnésien ou de dolomie, ce serait, suivant M. de Buch, comme si l’on proposait de faire une espèce d'un chène qui aurait des galles et une autre de celui qui n’en aurait pas. Les naturalistes viennent d'obtenir un puissant secours , pour apprendre à bien connaître l'Auvergne, ce pays classi- que pour l'étude des anciens volcans et de toutes ces masses soulevées et travaillées par les feux souterrains. M. Désmarets le fils a publié la carte à laquelle feu son père avait travaillé presque pendant toute sa vie, et où il a marqué la nature de chaque pie, les cratères des différentes époques, les courants de laves descendus de chacun d'eux, les basaltes qu’elles ont déposés ; enfin, toutes les modifica- tions imprimées à ce pays par l'action successive de ces + PARTIE PHYSIQUE. XCIX mystérieux foyers, et celles que leurs produits eux-mêmes ont éprouvées avec le temps de la part des agents actuels. C'est un service important que ce jeune naturaliste a rendu à la science , non moins qu'un tribut naturel de respect dont il s'est acquitté envers la mémoire de son père. M. Bory de Saint-Vincent a posé une base essentielle pour la géologie de l'Espagne, en décrivant avec netteté la géo- graphie physique de ce pays, en fixant la direction et la hauteur des différents étages de ses montagnes, la pente de ses plaines, et le cours de ses fleuves. Ce travail, exécuté avec soin et accompagné d'une carte, a paru dans le Guide du Voyageur en Espagne, publié par l’auteur en un vo- lume in-8°. On voit que la géologie positive, celle qui s'occupe de constater l’état des couches, fait chaque jour de nouveaux pas. Nous aurions pu en donner bien d’autres preuves s'il nous eût été permis d'exposer tous ceux que lui ont fait faire les savants étrangers à l'Académie; mais on en trouvera le résultat, et en même temps le tableau le plus brillant et le plus exact de l'état actuel de la science, dans l'ouvrage que vient de publier l'un de nos confrères, qui a lui-même con- tibué plus qu'aucun autre à ses progrès. M. de Humboldt, dans son Essai géognostique sur le gisement des roches dans les deux Hémisphères, a embrassé d'un coup-d’œil leur ordre et leur succession ‘dans toutes les parties du monde connu, et personne n'avait encore mieux montré, par l'uni- formité des produits la généralité des causes qui ont agi autrefois sur le globe avec tant de puissance, et dont la na- N°2 e HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, ture est aujourd’hui, pour ses habitants, une énigme si at- trayante et si obscure. PHYSIOLOGIE VÉGÉTALE #r BOTANIQUE. M. Dutrochet vient de réunir en un seul volume les lon- gues et importantes recherches qu’il a faites sur les forces motrices qui agissent dans les corps organisés : ses expé- riences sur la sensitive dont nous avons déja donné quelque idée dans nos analyses précédentes , occupent une partie es- sentielle de cet ouvrage. Un procédé nouveau , qu’il a employé pour l’anatomie végétale, l’a conduit à des résultats qui ten- draient à infirmer une théorie célèbre. 1l assure que tous les organes élémentaires des plantes, c'est-à-dire les cellules et les tubes dont leur corps est composé, ont une existence in- dépendante et forment des organes circonscrits, en sorte que ces organes n'auraient entre eux que des rapports de voisinage et ne formeraient point par leur assemblage un tissu réellement continu. Il affirme qu'il n’y a ni pores ni fentes visibles au microscope dans le tissu cellulaire, non plus que sur les tubes des végétaux. On voit seulement sur les parois de ces organes de petits corps globuleux demi- transparents et des corps linéaires qui deviennent opaques par l’action des acides, et qui sont rendus transparents par l’action des alcalis. M. Dutrochet considere ces petits corps comme les éléments d’un systeme nerveux diffus. Aux ana- logies de structure intime et de nature chimique qu'il met en avant pour étayer cette opinion, l’auteur joint des consi- dérations physiologiques prises d'expériences qui lui sont propres et qui prouvent, selon lui, que les mouvements des PARTIE PHYSIQUE: cj végétaux sont spontanés , c'est-à-dire qu'ils dépendent d'un principe antérieur, lequel reçoit immédiatement l'influence des agents du dehors. Toutefois, répugnant à reconnaître de la sensibilité chez les végétaux , M. Dutrochet substitue à ce nom celui de nervimotilité. . Il s'agissait de déterminer quel est l'organe du mouvement dans les feuilles de la sensitive : M. Dutrochet a prouvé, par des expériences décisives , que cet organe consiste dans un renflement du Of ie ou de la rmédulle corticale qui est situé à la base du pétiale, à la base de chacune des pin- nules et de chacune des folioles dont la feuille de la sensitive est composée. Il a vu que cet organe, auquel il a donné le nom de bourrelet, est spécialement composé de cellules glo- buleuses disposées en séries longitudinales et remplies d'un fluide coagulable. Ce n’est point par le moyen d’articulations que la sensitive, non plus que les autres végétaux irritables, meut ses parties mobiles ; c’est par le moyen d’une courbure imprimée à ces parties dans l'endroit où se trouve l'organe du mouvement. Ainsi, chez la sensitive, ce sont les seuls bourrelets qui, en se courbant, produisent la plicature des feuilles. M. Dutrochet a vu que cette courbure est le résultat d’une force élastique vitale qui se manifeste même dans les tranches minces que l’on enlève à ces bourrelets ; il a donné à ce phénomene le nom d’incurvation. Ainsi l'irritabilité vé- gétale ne consiste que dans une zncurvation élastique, la- quelle est tantôt fixe et tantôt oscillatoire. Par exemple, cette incurvation élastique est fixe dans les vrilles des végétaux, dans les valves de l'ovaire de la balsamine, etc.; elle est oscillatoire chez les végétaux que l’on nomme srritables par excellence , végétaux qui offrent dans leurs parties mo- HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, biles un état d’incurvation et de redressement alternatifs. On sait depuis long-temps que la sensitive offre un phéno- mène de transmission sympathique. Il suffit de brüler lége- rement une seule des folioles de cette plante avec un verre ardent, pour que toutes les feuilles qui appartiennent à la même tige se ploient les unes après les autres. Ce mouve- ment méritait d'être étudié avecsoin. Il s'agissait de déter- miner quelle est la partie de la tige par laquelle s'opère cette transmission. Pour résoudre ce problème, M. Dutrochet a fait plusieursexpériences fort délicates, desquelles il résultequ’elle ne s'opère ni par la moelle ni par l'écorce , mais qu’elle a lieu exclusivement par la partie ligneuse du systeme central. Re- cherchant ensuite quels sont, dans cette partie ligneuse, les or- ganes spéciaux de cette transmission , il arrive à cette conclu- sion qu’elle s'opère par l'intermédiaire de la sève contenue dans les tubes qu'il nomme corpusculféres. I] a trouvé que le maximum de la vitesse de ce mouvement de transmission est de quinze millimètres par seconde dans les pétioles des feuilles, et seulement de trois millimètres par seconde dans le corps de la tige. L'état de la température ne paraît point in- fluer sur sa vitesse. La lumière exerce sur lirritabilité de la sensitive une in- fluence très-remarquable et dont l'observation appartient également à M. Dutrochet. Si on place une sensitive dans une obscurité complète, en la couvrant avec un récipient opaque, cette plante perdra entièrement son irritabilité, et cela dans un temps plus ou moins long, suivant un certain état d'a- baissement ou d’élévation de la température environnante. Ainsi, par une température de + 20 à 25 degrés R, ilne faut que quatre jours d’obscurité pour anéantir complètement PARTIE PHYSIQUE. cii] l'irritabilité d’une sensitive, tandis qu'il faut quinze jours d’obscurité pour produire le même effet lorsque la tempéra- ture environnante est dans les limites de + 10 à 15 degrés; en sorte qu’en prenant seulement les degrés de température dans lesquels la sensitive peut vivre, on peut établir que l'extinction de l'irritabilité de cette plante dans l'obscurité s'opère dans un temps dont la durée est en raison inverse de l'élévation de la température. M. Dutrochet a observé que la sensitive privée de son ir- ritabilité par le moyen de l'obscurité, la récupère par l’ex- position à la lumiere, et que cette réparation des conditions de l’'irritabilité est plus rapide par lexposition de la plante à la lumière directe du soleil, que par son exposition à la simple lumière du jour, telle qu’elle existe à l'ombre. Fondé sur ces observations, M. Dutrochet considère la lumière comme l'agent extérieur dans l'influence duquel les végétaux puisent le renouvellement des conditions de leur irritabilité, ou plus généralement de leur motilité, conditions qui sont sujettes à déperdition dans l’état naturel, et qui ainsi ont be- soin d'être continuellement réparées. Nous reviendrons un peu plus bas sur les expériences de l'auteur concernant la motilité des animaux. L # Une plante dicotylédone peut-elle être distinguée dans tous les cas d'une monocotylédone , par la seule inspection de sa structure intérieure ? Cette question s’est présentée à M. du Petit-Thouars, à l'occasion de deux tronçons isolés qu'une sorte de, hasard avait fait tomber entre ses mains. Au pre- mier aspect ils paraissaient ayoir beaucoup de ressemblance: car l’un comme l’autre était un cylindre de matière fongueuse civ HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, ou médullaire traversé dans sa longueur par des filets isolés; de là on pouvait présumer qu’ils étaient tous les deux mono- cotylédones, mais dans l’un on voyait que ces filets étaient des faisceaux composés de différents tubes et surtout de tra- chées spirales, tandis que dans l’autre ils étaient de la plus grande simplicité. Cela suffisait pour constater qu'ils avaient appartenu à des végétaux trèes-différents; mais l'écorce qui existait sur le dernier et qui manquait au premier a permis d’aller plus loin. Par elle seule, ce botaniste a pu prononcer que c'était une plante dicotylédone, et même qu'elle appar- tenait aux ombelliféres ; enfin, que c'était une espèce du genre /erula, tandis que la première était réellement mono- cotylédone. Mais quelle était l’origine et la nature de ces filets disséminés dans la substance de la moelle ? C'était une nouvelle question et trèes-importante dont on pouvait tirer des conséquences contre une des principales bases de la méthode naturelle; mais ce n’était que par l'inspection d’une plante vivante de ce genre qu'on pouvait en espérer la so- lution. M. du Petit-Thouars s'en est procuré une quelques mois après. C'était une tige du ferula ferulago; et elle lui a donné une pleine satisfaction , car ayant coupé net par le milieu un de ses entre-nœuds, il a vu de nombreuses gout- telettes d’une liqueur blanche suinter de toutes les parties de la tranche. Il a donc reconnu que ces filets n’étaient autre chose que des vaisseaux destinés à renfermer un suc propre tres-abondant dans quelques ombellifères , mais surtout dans les férules. Ce seraient des lacunes formées aux dépens de la substance même du parenchyme médullaire, et qui ne dé- pendent en rien du corps ligneux. Ainsi cette singularité ne porte aucune atteinte aux principes sur lesquels repose main- - L PARTIE PHYSIQUE. CV tenant l'étude des plantes, les rapports naturels. Il est donc certain qu'on peut distinguer plusieurs grandes séries de vé- gétaux aussi bien par leur structure intérieure que par l'ex- térieure. Cependant on voit, par cet exemple, qu'il est besoin d'ajouter quelques nouvelles considérations à celles qui avaient été employées jusqu'ici. Si le second tronçon eût été dépouillé de son enveloppe comme Île premier, on n’eût trouvé de différence que dans la simplicité des filaments interposés dans l'un, tandis qu'ils étaient fasciculés dans l'autre, et c'est justement dans cette Jasciculation que M. du Petit-Thouars trouve des caractères solides pour distinguer les grandes séries de végétaux. Sui- vant lui, ces fasciculations paraissent isolées dans les mono- cotylédones, tandis qu'elles se combinent d’une manière déterminée dans les dicotylédones. De là suit une différente combinaison des deux substances primordiales qui consti- tuent les végétaux : le gneux et le parenchymateux. Mais par la manière dont ces substances s’entremélent, le parenchy- mateux , quoique toujours continu, paraît former trois par- ties distinctes dans les dicotylédones , qui sont : la moelle, les rayons médullaires et le parenchyme extérieur, tandis qu'il semble homogène dans les monocotylédones. Les bornes de cet extrait ne nous permettent pas de suivre l'auteur dans les développements qu'il donne à cette idée. Nous nous contenterons de dire qu’il a observé plusieurs mo- difications de ce principe qui peuvent souvent le masquer. Il trouve qu'il ÿ a peut-être autant de différence entre la struc- ture intérieure des graminées et celle des autres monocoty- lédones, qu'entre celle-ci et celle des dicotylédones. Il an- nonce que les fougères, que l’on regarde comme absolument 1823. Histoire. [e) cv) HISTOIRE DE LACADÉHMIE, semblables aux monocotylédones, quant à leur structure in- térieure, en différent prodigieusement. Il est bien vrai que le stipe des fougères présente sur sa tranche des faisceaux isolés comme dans les monocotylé- dones ; mais on en trouve de semblables dans de véritables dicotylédones. C’est par le grand nombre et le petit volume de ces faisceaux qu'on distingue les monocotylédones , tandis qu'au contraire les fougères sont remarquables, pour l'ordi- naire, parce que leurs faisceaux sont très-gros et peu nom- breux. Ils y forment sur leur tranche des figures constantes. On connaît celle de la fougère femelle qui représente, en quelque sorte, un aigle éployé, ce qui lui a valu le nom de Pteris-Aquilina, M. du Petit-Thouars a fait une étude parti- culière de ces tranches pendant son séjour dans nos colonies africaines ; il croit pouvoir certifier qu'il aurait été à même de distinguer les cent vingt espèces qu'il a dessinées, par ce seul caractère, et il lui a suffi pour reconnaître comme identiques quelques-unes d’entre elles qui croissent aussi bien dans les environs de Paris que dans ces contrées éloi- gnées. Entre plusieurs remarques qu'il fait pour distinguer ces grandes séries végétales, il expose celle-ci : que dans les dico- tylédones les feuilles croissent simultanément en tous sens, en sorte qu’elles forment Loujours une figure semblable à celle qui existait dans le bourgeon ; que dans les monocoty- lédones elles croissent du sommet à la base, en sorte qu'elles sont souvent sèches au sommet et tendres à la base ; enfin, dans les fougères, elles croissent de la base au sommet; quelques-unes même se développent si lentement, qu'il leur faut plus d'une année pour parvenir à leur maximum, et il y en a qui périssent avant d'y arriver. PARTIE PHYSIQUE. cvi] M. Lestiboudois, botaniste de Lille, a présenté un Mé- moire sur la nature de la tige des plantes monocotylédones. Il pense qu’elle ne grossit que par les fibres qui naissent dans son intérieur, en sorte qu'il la considère comme ana- logue seulement à l'écorce de la tige des dicotylédones. 11 cherche à établir sa proposition , en soutenant que les feuilles et les rameaux sortent toujours du centre. On lui a opposé cette forte objection, que de grands arbres de cette classe, dont le tronc a son centre entièrement détruit par la pour- riture, ne laissént pas de produire encore des rameaux et des feuilles. C’est ce que M. du Petit-Thouars et M. de La Billardière ont observé souvent sur les dracæœna des forêts de l’île de France. Ordinairement le style est placé sur l’ovaire; et quand il y a plusieurs ovaires, chacun a son style. Mais il arrive aussi quelquefois que plusieurs ovaires ; ou plusieurs loges dis- tinctes , adhèrent autour de la base d’un style commun, et reçoivent, par cette voie , leur fécondation. Cette partie de l’ovaire se nomme alors gynobase. M. Au- guste de Saint-Hilaire, qui lui a donné une attention parti- culière, a constaté et décrit les modifications qu’elle éprouve dans les divers genres où on l’observe. Il présente comme résultat général de ses observations que le gynobase n’est autre chose qu’une columelle centrale déprimée. M: Adrien de Jussieu , fils de notre célèbre confrère , entre sous des auspices favorables dans la carrière que sa famille a parcourue avec tant de gloire depuis un siècle et demi. Il a repris l'examen des Euphorbiacées , dont son illustre père O2 cvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, avait fixé les caractères dans son Genera plantarum , mais que les découvertes des voyageurs depuis trente ans ont doublée, et dans laquelle on connaît aujourd’hui plus de mille espèces. On sait qu’en général elles montrent des propriétés délé- tères, qui se concentrent surtout dans leur embryon; mais elles ne sont pas non plus sans utilité. Les graines de plu- sieurs donnent de l'huile; le suc laiteux qu’elles répandent prend, dans quelques-unes , en se desséchant , la consistance de la gomme élastique : il en est qui possèdent un principe colorant. Certaines euphorbiacées n’ont à leurs fleurs qu’une enve- loppe, qui est un calice. D'autres en ont deux, et il s’agit alors de savoir si la seconde est une corolle ou un calice in- térieur. Ce dernier nom lui avait été donné par une autorité particulièrement respectable pour l’auteur : mais comme cette enveloppe intérieure est souvent colorée, et qu’elle se flétrit et tombe avant l’extérieure, M. Adrien de Jussieu se permet d’énoncer l’opinion qu’elle mérite alors le nom de corolle ; et toutefois, comme elle manque très-souvent, il ne croit pas que l’on doive y attacher dans cette famille une grande importance. Il examine avec un détail et une atten- tion singulière toutes les formes et les dispositions que pren- nent les parties de la fleur et du fruit dans les différents genres qu'il décrit au nombre de 83, dont 15 sont nou- veaux pour la botanique. Les sexes séparés ; les loges du fruit distribuées autour d'un axe central ; les graines au nombre d’une ou deux sus- pendues au sommet de chaque loge; le périsperme charnu , les cotylédons planes, la radicule supérieure, sont les carac- tères généraux de la famille. PARTIE PHYSIQUE. cix M. Adrien de Jussieu la divise d’abord en deux groupes, dort le premier comprend les genres qui ont deux graines dans chaque loge, et se subdivise en deux sections, selon que, dans les fleurs mâles, les étamines adhèrent immédiatement au centre de la fleur , ou à la base d’un rudiment de pistil: le second comprend ceux qui n’ont qu'une graine par loge; et pour subdiviser ce groupe, qui est de beaucoup le plus considérable, l’auteur est obligé de tirer ses caractères de Finflorescence, qui tantôt est pourvue d’un involucre, tantôt est en épi avec ou sans feuilles florales, tantôt enfin est en panicule ou en bouquet. Ce sont là les caractères des quatre sections de ce second groupe. ; Ce travail très-précis , plein de faits nouveaux et de vues ingénieuses , et accompagné de dessins soignés de la main de l'auteur, vient d’être publié : il ne peut qu'annoncer bien avantageusement ce jeune botaniste dans le monde savant. M. Poiteau a présenté la description de 5 genres d'arbres de la famille des myrtes, dont les botanistes n'avaient en- core les caractères que d’une manière incomplète ; le lécytis, le bertholletia , le couroupita, le gustavia, et le couratari. Le plus remarquable est le lécytis, dont l’espèce la plus connue, à cause de son grand fruit ligneux en forme de vase ouvert, et rempli de graines que les singes aiment beaucoup, porte, dans nos colonies, le nom de marmite de singe. M. Poi- teau en décrit trois espèces nouvelles, dont une est un arbre de haute futaie, mais ne porte que d'assez petits fruits. Le bertholletia est un des arbres les plus utiles du Nouveau- Monde. Haut de plus de cent pieds, il porte des fleurs jaunes et larges de deux pouces, disposées en grappes à l'extrémité cx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, des rameaux , suivies de fruits gros comme des têtes d'en- fants, contenant 12 ou 15 amandes d’un goût exquis, et qui donnent une bonne huile. C’est un objet considérable de commerce , et on en expédie du Brésil à la Guyane, en Por- tugal et en Angleterre. La partie botanique du grand ouvrage de MM. de Hum- boldt et Bonpland avance rapidement vers sa fin. M. Kunth a terminé cette année le cinquième , et la plus grande partie du sixième volume des Nova genera et species plantarum Ame- ricæ Æquinoctialis. Toutes les familles à corolle polypétale, à l'exception des légumineuses, des térébinthes et des rham- nées, se trouvent comprises dans ces deux volumes. Les trois dernieres familles restent encore à publier. Mais M. Kunth a fait connaître, dans la partie de l'ouvrage de M. de Humboldt qui est déja entre les mains des botanistes; plus de quatre mille espèces, dont les neuf dixièmes au moins sont nouvelles , et appartiennent à 137 familles et 865 genres. Il n'existe aucun autre ouvrage qui présente à la fois un si grand nombre de plantes exotiques, rangées d'après la méthode naturelle, décrites et figurées jusque dans les moindres détails de leur fructification. Parmi les Flores de l'Amérique méridionale, celle de Swarts, par exemple, ne renferme que mille espèces... ; Il ne reste à publier qu'un cahier des mimoses. Cet ou- vrage, exécuté avec le luxe et la beauté de gravure que l'habileté des artistes français a pu seule atteindre jusqu'ici, sert de supplément au grand ouvrage. M. Kunth à publié , en outre , trois volumes in-8° d’un extrait raisonné des Vova Genera, sous le titre de Synopsis plantarum Æquinoctia- nent en ne RE RUE nd à PARTIE PHYSIQUE. ex) lium Orbis Novi. Dans ces différents ouvrages il a établi plu- sieurs familles nouvelles, en a mieux circonscrit d’autres, institué 128 genres nouveaux , et déposé un grand nombre d'observations sur des plantes étrangères à son premier tra- vail. Quelques -unes de ses idées ont été développées dans des mémoires particuliers qu’il a présentés successivement à l'Académie, et dont nous citerons seulement une Votice sur le Myrtus et l'Eugenia, deux genres qu'il propose de réunir en un seul, et la Révision des familles des Malvacées, des Büttneriacées et des Siliacées. Ce dernier travail a été adopté en entier par M. Decandolle dans son Synopsis Regni vegetabilis. Dans une notice historique sur Richard ,M. Kunth a donné un analyse raisonnée des travaux carpologiques de cet illustre botaniste, décédé en 1821, et dont nous lirons bientôt l'éloge historique. La Monographie des Mélastômes et des Rhexias , ouvrage rédigé en plus grande partie par M. Bonpland , a été terminée par M. Kunth dans le courant de cette année. L’Isoëtes lacustris est une plante que l’on range aujour- d'hui aupres des /ycopodes, et qui croît dans le limon des eaux stagnantes, D'une base bulbeuse à trois lobes , elle pousse une touffe de feuilles étroites , pointues, tubuleuses, et plus ou moins longues, suivant le degré d'humidité dont elles jouissent, au pied desquelles sont de petits boucliers membraneux qui couvrent chacun une petite cavité, et ser- vent de réceptacles, les uns, ceux des feuilles les plus inté- rieures, à la poussière mâle, les autres, ceux des feuilles extérieures , aux semences, On n’ayait point encore suffisam- ment observé ces semences, ni leur manière de germer ; et cxi] (HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, M. Raffeneau Delille, professeur de botanique à Montpel- lier, profitant de l'abondance de l’isoëtes dans un petit lae des environs de cette ville , vient de les soumettre à un exa- men très-attentif. Elles sont très- petites, et contiennent sous un double tégument marqué de trois arêtes , un petit corps vésiculaire, que M. Delille considère comme un em- bryon sans cotylédon. Les téguments s'ouvrent en trois valves dans le haut pour laisser passer Ja première feuille , en même temps què la première radicule les perce dans le bas ; les autres feuilles et les autres radicules poussent ainsi succes- sivement; et pendant ce temps, le tubercule qui est entre elles grossit et devient le bulbe ou la souche qui les portera toutes. Les feuilles en dessèchent quand la plante est privée d’eau; mais le bulbe conserve long-temps sa vitalité, et re- pousse même après deux ans quand on l'humecte. Les lichens sont une famille de plantes cryptogames dont le nombre est prodigieux, mais dont la classification et la distinction sont accompagnées de grandes difficultés , à cause du peu de parties qu'ils présentent, et du peu de caractères auxquels ces parties donnent prise. Cependant les travaux de Hoffman et d’Acharius ont ouvert de nouvelles voies et ex- cité une grande émulation pour ce travail. M. Delise, de Vire, département du Calvados , se propose d'en donner l’histoire générale, et en a déja recueilli à cet effet plus de mille espèces. Il a présenté à l’Académie, comme échantillon de son travail, l’histoire particulière du genre sticte, l'un des trente-cinq qu'il conserve ou qu'il établit dans la famille. Ce fragment est fait pour donner une idée tres-avantageuse de l’ensemble, dont il est fort à desirer que PARTIE PHYSIQUE. _* ei lesiamateurs de cette partie du règne végétal puissent bientôt jouir. Les écorces employées en médecine nous arrivent des pays étrangers dans leurétat brut , et souvent encore chargées des lichens.et des autres cryptogames qui croissent naturellement sur.elles. M. Fée s'est attaché, à étudier ces espèces de para- sites,.et en à découvert et, décrit un grand nombre que les voyageurs, occupés, dans leurs courses d’ohiets plus sen- sibles, n'avaient pas remarquées. Les lichens surtout lui ont donné lieu d’établir.dans cette famille une distribution nou- velle. .IL:la : fonde premièrement sur les diversités de formes du corps même du lichen, ou de, ce queiles botanistes nom- ment thallus, et ne prend que pour caractères secondaifes les organes variés qui näissent sur, ce thallus,: ce que les) bota- nistes » qui les nomment.apothecium ; ont supposé assez lége- rement, à ce que pense M. Fée, appartenir à la génération. Comme il arrive, dans.les pays étrangers aussi bien que dans le nôtre; que certains cryptogames se fixent de préfé- rence sur certaines écorces, les descriptions de M. Kée, toutes très-exactes et-très-détaillées.et accompagnées de figures fort soignées faites par M. Poiteau , indépendamment de l'accrois- sement qu'elles, fournissent à la botanique, pourront encore aider,.en certains cas , les pharmaciens à distinguer avec plus de précision les écorces que leur apporte le commerce, M. Moreau. de RU qui suppose que les terrains, soit calcaires, soit volcaniques des Antilles, ont été, mis, à décou- mert plus tard. que les eu dû rechercher l'origine de leur population Yégétale,, et par quels,agents et 1823. Histoire. P Cx1V HISTOLRE DE WACADÉNMIE, dé quels pays chacune de leurs plantes y a été transportée. Pour cet effet, il a préparé, pendant qu'il séjournait à la Martinique, des mélanges de terre propres à la végétation, et dans lesquels il s’est bien assuré qu'il ne subsistait point de germes de plantes. Il les a exposés avec les précautions convenables ; et séparément, à l’action des pluies orageuses, à celle des différents vents, à celle des oiseaux de passage, à celle des divérs courants, ét compté, autant qu'il lui a-été possible, le nombre des éspèces que chacune de ces causes à amenées. Il a aussi cherché à apprécier ce que les commu- nications des hommes peuvent apporter de semences et de germes de plantes avec lés eaux prises en d'autres pays pour lapprovisionnemént des navires, avec les matieres qui ser- vent à emballer des marchandises étranigeres, avec les bois et les fourrages; et jusque dans le lest des vaisseaux et parmi les poils des bestiaux que l’on importe dans les îles. Le plus puissant et lé plus constant des agents naturels lui a paru être le grand courant équatorial de l'Atlantique. Il assuré avoir reconnu qu'en deux mois il apporta des graines de cent cinquante ‘espèces différentes ; mais toutes les se- mences ne se laissent pas également transporter par tous les agents; et pour pouvoir arriver dans une direction et à une distance données ; encore en état de reproduire leurs es- pèces , elles doivent réünir certaines conditions de légèreté, de mobilité, de résistance à la destruction , de difficulté ou de facilité de germination et autres semblables; ainsi, parmi les cent 'ciriquante espèces de semences apportées par le cou- rant, il'n'ÿy en eut que vingt-six qui germerent. ) Quant'à l'action des hommes, M. de Jonnès la croit bien supérieure à celle des agents naturels , et pense qu'elle peut PARTIE PHYSIQUE. CXV en quelques siècles changer entièrement les rapports établis par ces derniers depuis l'origine d'un pays. M: de La Billardière avait présenté à l’Académie, en 1802, un Mémoire sur le lin de la Nouvelle-Zélande, plante nom- mée par les botanistes phormium tenax, où il annonçait la possibilité de cultiver cette plante en France, et faisait voir que ses fils surpassent de moitié ceux du chanvre pour l’ex- pansibilité et pour la force, deux qualités également pré- cieuses dans la fabrication des cordes. Ces fils sont en même temps de la plus grande finesse, en sorte que l’on pourra les employer aux ouvrages les plus délicats. M. Cachin, inspecteur-général des ponts et chaussées, est parvenu en effet à élever le phormium tenax à Cherbourg, et à lui faire porter dés graines qui;.semées, par, plusieurs cultivateurs, ont Bermé avec facilité; et M. Gillet de Laumont a rendu compte à l’Académie d’un succès qui promet à notre pays une nouvelle richesse végétale. L'un des Nestors de la botanique en France, M. le docteur Paulet, de Fontainebleau, si connu par ses travaux sur les champignons, s’est: occupé depuis long-temps de reconnaître les plantes et les animaux dont les anciens ont parlé, et a présenté cette année à l’Académie un grand Commentaire sur l'Histoire des Plantes de Théophraste, et un autreouvrage de moindre volume intitulé : Flore et Faune de Virgile. C'est une des matières les plus difficiles et les plus sujettes à controverse de toute la critique classique. L’Ayacinthus, parexemple, est aux yeux de Linnæus le pied- d'alouette (delphinium Ajacis); Sprengel, soutient que Pa Cxv] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, c’est le 2/ayeul (gladiolus communis); Dodoens veut que ce soit le martagon (lilium martagon), et Martin le ls orange” (lilium croceum ). Il n’est guère de plantes, si l’on excepte les plus communes, celles qui ont toujours été des objets d'agriculture et d’éco- nomie domestique, qui ne puissent exciter de semblables con- tentions. M. Paulet apporte donc aussi des conjectures plutôt que des résultats décisifs ; mais plusieurs de ces conjectures sont heureuses, et réunissent de plus ‘grandes probabilités en leur faveur que celles de ses devanciers. M. de Humboldt a fait connaître, il y a plusieurs années, les propriétés de l'arbre dit de la vache, dont le suc res- semble au lait, non-seulement par sa couleur, mais parce qu'il est nourrissant et non pas vénéneux, comme le sont la plupart des laits végétaux. MM. Rivero et Boucingault en ont fait l'analyse. Il s'y forme des pellicules comme sur le lait de vache, et elles ressemblent à la frangipane. Dessous reste un liquide huileux , dans lequel nage une substance fi- breuse qui se racornit par la chaleur et répand alors une odeur caractérisée de viande frite. Ce lait donne de la cire, de la fibrine semblable à celle des animaux, et un peu de sucre et d’un sel magnésien. ZOOLOGIE. Les premiers historiens des colonies européennes en Amé- rique nous assurent que les Espagnols, lors de leur etablis- sement dans les Antilles, y âchèrent un certain nombre de cochons qui y pullulèrent promptement, et y furent la souche PARTIE PHYSIQUE: CXVI] d’une race sauvage, nommée cochons marrons, qui a fourni - pendant long-temps une grande ressource alimentaire, mais que le peu de soins donnés à sa conservation a laissé entiè- rement détruire dans presque toutes les îles. D'un autre côté, on sait qu'il existe en Amérique un genre de quadrupèdes connu sous le nom de dicotyle ou pecari, voisin des cochons, mais qui s’en distingue par un orifice glanduleux percé sur le dos, par des défenses courtes et droites ne sortant pas de la bouche, et par le manque de queue et d'un doigt interne au pied de derrière. Ces animaux sont aujourd'hui confinés sur le continent; mais il paraît qu'il y en a eu, au moins momentanément, à Tabago, et peut-être dans quelques-unes des îles voisines. Les naturalistes en ont décrit exactement deux espèces , l'une à collier blanc, l’autre à gorge et lèvres blanches; et l'on pourrait croire , d’après une indication un peu confuse de Bajon, qu'il en existe une troisième, à laquelle nos colons de Cayenne auraient aussi transporté le nom de cochons mar- rons. Il y a en effet un mélange et des interversions singu- lières de noms dans les notices que l’on en donne, et on conçoit qu'il ne pouvait guère en être autrement, de la part d'hommes aussi ignorants que les Du Tertre, les Labat, et les autres moines ou mauvais chirurgiens auxquels nous devons les descriptions de nos colonies , de la part de gens qui nous disent sans hésiter que le pécari respire par le trou, qu'il a sur le dos, et que c’est ce qui fait que ne s’es- soufflant point il est difficile de le forcer à la chasse. Il était donc naturel que M. Moreau de Jonnès trouvât ces espèces confondues dans plusieurs relations ; que souvent on crût avoir observé des cochons marrons , lorsque l'on n'avait vu cxvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE;, que des pécaris, et que réciproquement ceux-ci prissent sou- vent les noms de cochons et de sangliers à cause de leur res- semblance avec ces quadrupèdes d'Europe. Remarquant donc que plusieurs relations attribuent des cochons marrons à des îles ou à des endroits du continent où nul motif n'avait pu faire porter nos cochons d'Europe, et à des époques si voi- sines de celle de la découverte, qu'il était presque impossible qu'ils s'y fussent multipliés; voyant qu’une espèce de pécari paraît porter aussi dans une de nos colonies le nom de co- chon marron, il en conclut que les animaux nommés ainsi, et autrefois si nombreux dans les Antilles, n'étaient point d’origine européenne, mais appartenaient à cette grande espèce de pécari dont on n’a connaissance que par l'indica- tion de Bajon. Peut-être cette conclusion est-elle juste pour plusieurs îles, mais il est difficile qu'elle ne paraisse pas un peu trop générale, surtout relativement aux cochons mar- rons de la Martinique dont Du Tertre dit expressément qu'ils sont armés de deux horribles dents bouclées comme des cornes de béliers, caractère propre à nos sangliers d'Europe, : mais que n’ont pas les pécaris. M. Cuvier, à l’occasion de ses recherches sur les cétacées fossiles, a été obligé d’en faire de fort étendues sur les cé- tacées qui vivent aujourd’hui dans la mer. Il a fait connaître de nouvelles espèces de baleines et de dauphins, une entre autres, qui n'a point de nageoire sur le dos. Il a, au con- traire, rayé du catalogue des animaux, soit des baleines, soit des dauphins, et surtout plusieurs cachalots qui y avaient été placés en double emploi ; et il adonné de tous ces ani- maux des descriptions ostéologiques nouvelles ou plus com- PARTIE PHYSIQUE. cxix plètes que celles que l'on possédait, faites sur les nombreux squelettes dont le zèle des voyageurs a enrichi depuis peu la grande collection anatomique du cabinet du Roi : tels qu'un squelette de baleine des mers Antarctiques, de soixante pieds; un autre de rorqual, des mêmes mers, de trente-cinq pieds ; un squelette de cachalot de soixante-quinze pieds , et plusieurs autres de moindre taille. M. Caillaud, ce courageux voyageur qui a remonté si avant dans la Nubie, et jusqu'aux confins de l’'Abyssinie, à rapporté du Nil d'Abyssinie, ou Fleuve Bleu, des coquilles bivalves très-semblables à des huïîtres par l'extérieur; et comme les huîtres fossiles ont concouru, en plusieurs occa- sions, à déterminer la nature marine de certains terrains, on pouvait croire que cette découverte ne serait pas sans quelque influence sur les théories géologiques. M. Daudebart de Férussac a examiné ces coquilles de plus près, et a re- connu qu'ayant à l’intérieur deux empreintes musculaires , elles doivent être placées dans le genre des éthéries de M. de Lamark. Ce genre n’était connu ‘que par des échantillons conservés dans les cabinets, et l’on ignorait le lieu natal de ses espèces. M. de Férussae en fait une revue, où il détermine plus exactement leurs “caractères. Il sépare même l’une d'elles, et en fait un genre: qu'il nommé muüllerie ; sa charnière res- semble davantage à celle des pernes. M: Caillaud aaussi rapporté du canal vulgairement appelé de Joseph'en Égypte, une: coquille rare et dont on avait fait un genre sous le nom d’iridine. M: de Férussac prouve que léscaractères quiavaient servi à l'établir ne sont pas constants, et que lon doit laisser l’iridine dans le genre des moules. cxx HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, On sait que M. Caillaud a retrouvé aussi le scarabee d’un vert doré qui a plus spécialement servi de modèle aux images que les Égyptiens ont faites de leur scarabée sacré, qui jouait un grand rôle parmi les symboles vénérés dans leur religion. M. de Férussac, voulant profiter du départ d'une expédi- tion pour Madagascar, île sur laquelle les regards des natu- ralistes sont tournés en vain depuis si long-temps, y a envoyé à ses frais un voyageur, M. Gaubert, qui a résisté jusqu'ici aux dangers dont il est environné. Déja il a fait un premier envoi. Il est à désirer que son zèle ne se démente pas, et que celui de M. de Férussac obtienne ainsi tout le succès qu'il mérite. Il ajoutera aux services qu'il rend aux sciences par la publication du Bulletin universel , dans lequel il rassemble toutes les nôtions éparses qui peuvent les inté- resser dans les ouvrages périodiques de tous les pays. M. Duméril a réuni , dans un vol. in-8°, auquel il a donné le titre de Considérations générales sur les insectes, les no- tions les plus importantes pour diriger utilement dans l’é- tude de ces animaux. Soixante planches très-bien exécutées et tirées en couleur accompagnent cet ouvrage; elles repré- sentent plus de 350 genres principaux. L'auteur y traite suc- cessivement du rang que les insectes paraissent devoir occuper parmi les autres êtres animés, des formes, de la structure et des fonctions de ces animaux, des moyens que les insec- tes emploient pour conserver leur existence et pour perpé- tuer leur race. Le travail principal de l’auteur est exposé dans les deux chapitres qui ont pour objet de faire connaître PARTIE PHYSIQUE. Cxx] la méthode analytique, et d'exposer les caractères essentiels qui distinguent les ordres, les familles et les genres de la classe des insectes. Le livre est terminé par l'indication et le jugement des ouvrages principaux qui ont les insectes pour objet. M. Carteron, médecin de Troyes, a communiqué une observation faite sur un kiste de l’épiploon rempli d’une cin- quantaine d'hydatides qui contenaient une humeur transpa- rente, tandis que tous les liquides et les solides du corps étaient colorés d’un jaune foncé. Il en conclut que ces hyda- datides, bien que dépourvues d'aucun organe autre que la vésicule qui en faisait le corps, étaient des animaux doués d’une existence propre, et non des produits de la maladie dans le corps où elles ont été trouvées. Nous avons parlé, l’année derniere, du grand travail de M. Bory de St-Vincent sur ces êtres ambigus qui, pendant une partie de leur vie, sont unis en filets dont la couleur et toutes les apparences rappellent les végétaux, et qui, à certaines époques , se séparent et prennent la mobilité volon- taire des animaux. M. Gaillon, observateur éclairé dont nous avons déja mentionné un Mémoire intéressant sur la cause de la couleur verte dans les huîtres, vient de constater que le conferva comoïdes appartient à cette catégorie. Il a vu les corpuscules verdâtres qui en forment l'axe, se détacher, s’a- vancer plus ou moins rapidement, changer de place, agir enfin en tout comme les enehelys et les cyclidies. Prenant des filaments entiers , il a forcé ces petits êtres à se désagréger avant le temps, et ils lui ont montré les mêmes 1823, Histoire, Q CXXI] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, mouvements volontaires. Leur besoin de s'associer est si grand, que dès que les jeunes le peuvent, ils se mettent bout à bout sur une seule ligne; et lorsqu'ils sont dans cette disposition, M: Gaillon a cru remarquer qu'il s'exsude de leur substance une mucosité qui se forme en membrane et les enveloppe entierement. M. Mertens, botaniste de Bremen, a vu des faits semblables sur le conferva mutabilis. Le 3 août, dit-il, elle était dans son état de plante; le 5, elle s’est résolue en molécules douées de mobilité; le 6, quelques-unes de ces molécules se réuni- rent en simples irtitalitilné et le: 11, elle était reconstituée dans sa forme primitive. Ces transformations microscopiques ont continué d'occu- per M. Bory de St-Vincent. Il aurait voulu pouvoir remon- ter jusqu'aux premières combinaisons matérielles dont ces corpuscules semblent si voisins. En observant avec suite tout ce qui se montre successivement üans une eau exposée à la lumière , il a cru y voir d'abord la matière prendre la forme d'une simple mucosité sans couleur et sans forme: si l'eau contient quelque substance animale, elle produit une pelli- cule de cette mucosité à sa surface, se trouble ensuite, et fait voir une infinité d’atomes vivants, si l’on peut appeler ainsi ces monades qui, grossies mille fois, n'égalent pas encore la piqüre d'une aiguille, et qui cependant se meuvent en tout sens avec une prodigieuse vitesse. C’est ce que M. Bory nomme la matière dans l'état vivant. Quand l’eau est ex- posée à l'air et à la lumière, il s'y forme promptement ce que l'on nomme la matiere verte de Priestley, que beaucoup d’observateurs ont cru être le premier état de certaines con- PARTIE PHYSIQUE. CXxIi] ferves ou de plantes de genres analogues. M. Bory pense que c'est une combinaison d’une nature plus générale, et sus- ceptible seulement d'entrer dans la composition de ces plan- tes, ainsi que des animalcules qui en sortent et qui les re- produisent. Il nomme cette combinaison la matière dans l'état végétatif; c'est elle qui rend les animaux infusoires verts. Ceux qui colorent les huîtres , selon l'observation de M. Gail- lon, ne produisent cet effet, au dire de M. Bory, que parce qu'ils sont eux-mêmes colorés par la matière verte; elle colore de même l’eau et les coquilles de ces huîtres, et il ne serait pas impossible que l’on en trouvät qui fussent teintes immé- diatement par cette matière sans que des animalcules les eus- sent pénétrées. à Il est si difficile de rendre des observations de ce genre complètes, et l'on peut toujours si aisément supposer un état antérieur, encore plus délié et qui aura échappé à tout microscope , ou des germes invisibles que la nécessité du concours de l'air empêche d’écarter , que beaucoup de phi- losophes se refuseront probablement aux conséquences que l’auteur voudrait tirer de ces faits , pour attribuer à la ma- tière une disposition générale à s'organiser qui serait indé- pendante du mode ordinaire de génération. M. Gaillon a adressé de nouvelles observations sur les animalcules qui colorent les huîtres, et que, d’après M. Bory de St-Vincent, il nomme navicules vertes. I] en a remarqué d’autres espèces qui pénètrent aussi dans le tissu de l'huître et lui donnent des couleurs différentes, la rendant grise, brune ou jaunâtre : ce sont, entre autres, les wbrio bipunc- tatus et tripunctatus de Müller. Ce qui est remarquable, Q 2 CXXIY HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, c'est que la navicule verte n’existe pas dans les eaux de la mer, ni même dans les eaux douces des environs de Dieppe: elle ne se multiplie que dans un certain degré de salure et de stagnation de l'eau, tel qu'on sait le produire dans les parcs où cette coloration s'opère. Cependant, M. Gaillon en a vu qui étaient sorties d’une conferve du genre vaucherta, venues dans les eaux douces d’auprès d'Évreux. Une femme âgée d'environ quarante ans, apres vingt ans de maladie, et dont la médecine avait désespéré, s'était re- mise aux soins d'un praticien qui, à l’aide d’un assez vio- lent remède, prétendait lui rendre la santé. Elle ne tarda pas à éprouver un mieux sensible, mais en même temps des démangeaisons violentes se firent éprouver sur toute la sur- face de son corps. Sa surprise fut grande lorsqu'elle s’aperçut que des milliers de petits animaux brunâtres, presque im- perceptibles, sortaient à l'instant de toutes les parties où elle s'était grattée. Ces animaux , observés au microscope par M. Bory de St-Vincent, et au grossissement de cinq cents fois, se sont trouvés des acarides fort voisins des ixodes, mais susceptibles de former un genre nouveau que caracté- riserait un petit suçoir, accompagné de deux palpes compo- sés de quatre articles. La forme générale de cet acaride est celle des genres voisins. La femme qui les produisait par milliers, surtout dans les jours chauds , n'a point commu- niqué ces hôtes incommodes aux personnes qui la soignaient, ni à son mari, qui ne cessa d’habiter avec elle. L’améliora- tion de la santé de cette malheureuse n’a pas duré : après un mieux apparent elle a saccombé à l’éruption des acarides microscopiques qu’elle produisait. Un tres-beau dessin ac- compagnait le Mémoire de M. Bory de St-Vincent. ns EE PARTIE PHYSIQUE. CXXV Ce naturaliste, qui ne croit pas à la possibilité de la géné- ration spontanée dans les animaux articulés, pense que les œufs des petits animaux peuvent, comme les cynips, les abeilles, etc., être fécondés pour plusieurs années; qu’ils avaient été absorbés dans cet état, et qu'ils étaient venus à éclore sous l’épiderme, dont ils sortaient au moindre grat- tement. PHYSIOLOGIE. - Le corps animal contient de l'azote dans tous ses prin- cipes, et il n’est pas difficile de voir que tous ses aliments lui en fournissent beaucoup ; nous avons même rapporté, il y a quelques années, des expériences de M. Magendie, d'après lesquelles certains animaux que l’on nourrit unique- ment de substances non azotées, comme de sucre, ne tardent pas à souffrir et à périr. Mais on n’était pas autant d'accord sur la maniere dont se comporte l'azote qui pénètre dans le poumon avec l'air atmosphérique lors de la respiration : les uns pensaient qu'il ressort du poumon comme il yest entré; d’autres, qu'il y en a quelque partie d’absorbée; d’autres, au contraire, qu'il en ressort plus qu'il n’en est entré, parce que l'azote superflu du corps s’exhale par cette voie. M. Edwards a trouvé, par des expériences directes, que ces trois opinions sont vraies, quant au résultat définitif dans certaines circonstances, et selon l’âge de l'animal, la saison de l’année et la température du lieu où la respiration s'exécute; mais, qu'en réalité, il y a constamment absorp- tion et exhalation, et que le résultat dont nous venons de parler dépend seulement de la quantité dont l’une l'emporte sur l’autre, CXXV] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, Ce travail complète ceux que M. Edwards à présentés suc- cessivement à l'Académie , concernant l’action des agents ex- térieurs sur le corps animal, et dont il vient de publier le recueil en un volume in-8. - Dans un Mémoire sur l’action musculaire, MM. Dumas et Prévost ont communiqué des observations microscopiques fort intéressantes sur la distribution des nerfs dans les fibres musculaires, et sur les formes que prennent celles-ci lors de leurs contractions. [ls placent sous le microscope une lame amincie de muscle, conservant encore ses nerfs, et la mettent en contraction par le moyen du galvanisme. C'est en se ployant en zigzag que les fibres se contractent; et l'on voit les derniers filets nerveux partir parallelement entre eux du rameau qui leur donne naissance, pour se rendre précisément aux points de ces fibres où elles forment leurs angles. Les auteurs en concluent que le raccourcissement de la fibre résulte de la tendance que ces filets nerveux ont à se raccourcir, et ils pensent que cette tendance leur est im- primée par une action électrique. M. de Humboldt, à l’occasion de ces expériences, a com- muniqué verbalement à l’Académie les résultats de celles qu'il a faites récemment sur la section longitudinale et la ligature des nerfs. I distingue entre les cas où, dans le cir- cuit galvanique, le courant passe par le nerf entier, et les cas où le courant ne traverse que la portion supérieure du nerf, et où cette portion réagit organiquemnent sur le muscle. Des expériences faites sur la section transversale du nerf, et la réunion des bouts du nerf au moyen de lames métal- PARTIE PHYSIQUE. CXXVi] liques , prouvent que les contractions musculaires, lorsque la partie supérieure seule se trouve sur le passage du cou- rant électrique, ne sont pas l'effet d'un coup latéral. La réaction organique du nerf cesse lorsqu'il y a perforation, fendillément ou amincissement. Ces expériences sur la sec- tion longitudinale du nerf semblent prouver que l'appareil nerveux ne peut agir sur les mouvements des muscles, que dans son état d’intégrité. La lésion du névrilème produit les mêmes effets que la lésion de la pulpe médullaire. Lors- que le courant électrique traverse tout le nerf et le muscle, la lésion et la ligature èmpèchent les contractions muscu- laires, dans le seul cas où la portion du nerf comprise entre ‘la lésion longitudinale ou la ligature et l'insertion du nerf dans le muscle, au lieu d’être isolée et entourée d’air, est enveloppée d’une couche de chair musculaire. Les contrac- tions reparaissent lorsqu'on ôte cette enveloppe du nerf, ou lorsque, sans l’ôter, on établit, par un lambeau de chair musculaire , une nouvelle communication entre le zinc exci- tateur du nerf et le muscle. M. de Humboldt a montré com- ment ces ‘phénomènes, compliqués en apparence, s’expli- quent d'apres les lois de la conductibilité électrique. Les effets doivent varier avec la direction du courant, la masse variable des conducteurs , et la quantité d'électricité mise en mouve- ment par le contact plus ou moins grand des substances humides avec le zinc, qui est l’armature du nerf. Si la quan- tité d'électricité reste la même, le nerf isolé ou nu en recoit nécessairement beaucoup plus que le nerf enveloppe. V'élec- tricité, en traversant un conducteur d’une masse considé- rable, se répartit dans cette masse et à la surface. C’est de cette répartition que dépend l'effet de l'enveloppe de chair CXXVII] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE; musculaire dans laquelle on cache la portion du nerf com- prise entre la ligature et l'insertion dans le muscle, L’enve- loppe restant ainsi disposée, on peut voir reparaître les con- tractions, si l'on augmente la quantité du fluide électrique mis en mouvement par une nouvelle communication qu'on établit (au moyen d'un lambeau de chair musculaire ) entre le zinc et le muscle. L'obstacle que la ligature oppose dans les expériences galvaniques, lorsqu'elle est placée au point de l'insertion du nerf dans le muscle, avait déja été observé par Valli; mais ce physicien n'avait pas reconnu toutes les conditions qui caractérisent les effets de la ligature, et qui se retrouvent dans la section longitudinale du nerf. Pensant que la physiologie animale et la physiologie vé- gétale ne forment qu'une seule et même science, M. Dutro- chet a joint à ses observations sur les végétaux , des recher- ches sur la structure intime des organes des animaux , et sur le mécanisme de la contraction musculaire, En examinant au microscope le cerveau des mollusques gastéropodes, il a vu que cet organe est composé de cellules sphériques agglo- mérées, sur les parois desquelles on aperçoit une grande quantité de corpuscules globuleux. Cette organisation lui a paru tout-à-fait semblable à celle que présente le tissu cellu- laire médullaire des végétaux. Ses chservations sur les or- ganes musculaires ont confirmé ce que plusieurs observa- teurs avaient déja annoncé, savoir, que la fibre musculaire élémentaire est formée par une réunion de corpuscules glo- buleux placés à la file. Il a vu de plus que, dans le cœur des mollusques gastéropodes, cette agrégation des corpuscules musculaires est confuse, et ne présente point la disposition PARTIE PHYSIQUE. CXXIX ordinaire en séries longitudinales. Ayant sollicité, au moyen d'un acide, la contraction de fragments du cœur de la gre- nouille, et de fragments du cœur de quelques mollusques gastéropodes, il a vu que la contraction du tissu muscu- laire consiste essentiellement dans un plissement, c'est-à-dire dans l'établissement de courbures dirigées en sens alternati- vement inverses, d'où résulte le raccourcissement de ce tissu. Il-a vu également que les alcalis ont la propriété de faire cesser ce plissement, comme les acides ont celle de le pro- voquer. Ces observations, qui sont, à plusieurs égards, le complément de celles de MM. Prévost et Dumas sur le même sujet, paraissent à l’auteur ne devoir laisser aucun doute sur le mécanisme de la contraction musculaire. Elles lui sem- blent en même temps offrir une preuve convaincante de l'identité de l’irritabilité animale et de l’irritabilité végétale, l'une et l’autre consistant également dans l'établissement d’un état de courbure élastique ou dans une zrcurvation que cer- tains solides organiques sont susceptibles de prendre et de conserver, pendant un espace de temps plus ou moins court, après lequel ces mêmes solides reprennent leur état antécé- dent de redressement ou de relächement. C'est ce qui con- stitue l'incurvation oscillatoire que M. Dutrochet a observée dans le règne végétal comme dans le règne animal. Les animalcules du sperme, et leurs rapports avec la gé- nération, ont aussi été l’objet des observations microsco- piques de MM. Dumas et Prévost. Ils ont établi que ces ani- malcules existent tout formés dans la semence, des les testi- cules; que les liquides qui peuvent s'y mêler dans son trajet ultérieur , et venir ou des glandes de Cooper, ou de quelque 1923. AHistoire. R CxXxXX HISTOIRE DE LACADÉMIE, autre organe adhérent au canal qu’elle traverse, ne lui four- nissent que des corpuscules ovales et sans vie; que c’est par erreur que Buffon et Needham ont cru voir ces corpuscules se métamorphoser et former des animalcules par leur reu- nion. Nous reviendrons sur la suite importante que les au- teurs ont donnée à ces observations. Le cerveau, les nerfs et leurs fonctions ont été, cette année et la précédente, l'objet de grandes recherches soit anato- miques , soit expérimentales , de la part de plusieurs physio- logistes. ; Déja nous avons rendu compte des expériences par les- quelles M. Magendie établit que les racines postérieures des nerfs sont les organes exclusifs de la sensibilité, et les anté- rieures ceux du mouvement volontaire. Il a eu occasion de constater cette répartition des fonctions nerveuses, sur des individus vivants. Un homme dont la moelle de l’épine était altérée et ramollie dans une partie de sa moitié antérieure, avait perdu le mouvement dans les muscules qui reçoivent leurs nerfs de cette partie, et il y avait conservé la sensi- bilité. Nous avons analysé aussi les expériences de M. Flourens, qui tendent à prouver que le siége des sensations, des per- ceptions et des volitions, est dans les lobes cérébraux, et que la coordination régulière des mouvements dépend du cerve- let, mais que le jeu de l'iris et l’action de la rétine tiennent aux tubercules appelés dans les mammifères quadrijumeaux , qui n'étant pas toujours au nombre de quatre, ont reçu le nom plus général de tubercules optiques, fondé sur leur liaison avec les nerfs du même nom, constatée, comme PARTIE PHYSIQUE. CXXX) nous l'avons vu dans notre analyse de 1808, par MM. Gall et Spurzheim. L'auteur a procuré à la partie de ses résultats qui con- cerne les sensations, un genre de confirmation bien remar- quable. Une poule, privée de ses hémisphères cérébraux , a vécu dix mois entiers dans la plus parfaite santé. Pendant ce temps elle se tenait bien sur ses jambes; mais elle n’en- tendait, ni ne voyait, ni ne donnait aucun signe de volonté: des irritations immédiates pouvaient seules interrompre mo- mentanément le sommeil où elle était plongée. Sans désirs, sans appétit, on ne la nourrissait qu'en Jui insérant journel- lement ses aliments dans le bec. Un long jeûne ne l’excitait point à les chercher elle-même ; en vain on les mettait au- près d'elle, rien ne l’avertissait de leur présence; elle avalait de petits cailloux, quand on lui en donnait, aussi aisément que du grain; et cependant-sa plaie s'était refermée, elle en- graissait à vue d'œil. Néanmoins il est possible de retrancher une certaine por- tion des lobes cérébraux sans qu'ils perdent complètement leurs fonctions sensitives : et même après une mutilation qui, sans être totale, a suffi pour les leur faire perdre entière- ment, il arrive quelquefois qu'ils les recouvrent; mais s'ils en recouvrent une, la vue par exemple, ils les recouvrent toutes. Il peut arriver aussi qu'une mutilation du cervelet, qui a suffi d'abord Pour rendre tous les mouvements désor- donnés, n'empêche pas qu'après quelque temps ils ne repren- nent leur régularité, Ce sont des faits intéressants par les pronostics qu’ils peuvent fournir relativement aux blessures des organes. Depuis long-temps on s'était aperçu que les lésions d’un R2 CXXXi] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, côté de l’encéphale affectent, dans certains cas, le côté op- posé du corps; mais il y avait quelque doute sur la géné- ralité du phénomène; et mème, d'après quelques expériences, on avait pensé que la convulsion avait lieu du côté de la lésion , et la paralysie du côté opposé. M. Flourens a con- staté que ce croisement a lieu à l'égard de la sensation pour les hémisphères , à l'égard de la convulsion pour les tuber- cules optiques, et Femelle aux mouvements réguliers pour le cervelet : c’est-à-dire que les effets propres aux lé- sions de ces organes se montrent à l'extérieur du côté op- posé; mais que pour la moelle allongée, pour la moelle épinière, il n'y a aucun croisement, et que la convulsion et la paralysie se montrent du même côté que l'irritation s’est faite. Ce sont les rapports divers des lésions de ces diffé- rentes parties qui produisent les diverses combinaisons de paralysie et de convulsions que l’on observe dans les malades: et c’est ainsi que M. Flourens explique le fait reconnu dès le temps d'Hippocrate, que les convulsions ont presque tou- jours lieu du côté opposé aux paralysies. Cette action croisée du cervelet a aussi été observée par M. Serre, dans des cas pathologiques ; et il a réclamé à ce sujet sur M. Flourens une priorité que celui-ci ne lui a point contestée. Il y avait même dans des auteurs plus anciens des traces d'expériences analogues, mais qui n’offraient ni la précision de celles de M. Serre, ni la distinction établie par M. Flourens. Les mouvements continus et nécessaires à la vie, tels que ceux de la respiration et de la circulation , n’exigent pas l'in- tégrité de l’encéphale. L'animal les exécute quoiqu'on l'ait privé de cerveau , de cervelet et de tubercules optiques. Une poule, un pigeon ont survécu deux et trois jours à ces mu- PARTIE PHYSIQUE. CXXxII] tilations. Pour altérer ces fonctions, il faut attaquer la moelle allongée ; et en l'emportant entièrement, on les fait cesser tout d’un coup. La respiration, en particulier, cesse par la destruction des parties de la moelle épinière qui fournissent les nerfs des muscles intercostaux et du diaphragme. Dans les reptiles sans côtes complètes, tels que les grenouilles et les salamandres, qui respirent en avalant l’air,on ne l’arrête qu'en détruisant les parties qui donnent les nerfs de la gorge et de la langue. Mais une simple section de la moelle épi- nière n'empêche pas les parties qui recoivent leurs nerfs au- dessous de la section, de reprendre leur action quand elles éprouvent une irritation extérieure. La section de la moelle allongée ne fait donc que détruire le principe intérieur né- cessaire à l'excitation générale et à la coordination régulière des mouvements qui concourent à la respiration. - Quant à la circulation, M. Flourens assure avoir constaté sur plusieurs animaux qu’elle survit à la destruction de tout l'encéphale et de toute la moelle épinière. Lorsque la respi- ration à cessé par la destruction des troncs nerveux le sang passe noir : mais la circulation n’est pas arrêtée pour cela; et lorsqu'elle commence à s’éteindre, on peut la faire revivre en insufflant les poumons. Toutefois, à mesure que l’on détruit le système nerveux, la circulation s’affaiblit et se concentre; celle des vaisseaux capillaires de la peau surtout, plus éloignée du centre d’impulsion , s'éteint presque immé- diatement dans la partie dont les nerfs sont détruits. La plupart des anatomistes considèrent les ganglions du nerf grand sympathique comme incapables de produire de sensation, de quelque manière qu'on les affecte. Les expé- ‘riences de M. Flourens ont prouvé que cette impassibilité . CXXXIV HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, n'est pas générale. En pinçant les ganglions semi-lunaires d’un lapin, il lui a toujours fait donner aussitôt des signes d’une douleur violente; mais les ganglions cervicaux sont beaucoup moins susceptibles d'impression : ce n’est que rare- ment, et après beaucoup d'essais infructueux, qu’il est par- venu à faire ressentir à l’animal les irritations qu'il lui com- muniquait. A ces expériences fondées sur des lésions mécaniques, M. Flourens en à fait succéder d’autres qui reposent sur l’ac- tion de certaines substances prises à l’intérieur. Chacun sait que l’opium endort, que la belladonna aveugle, que les li- queurs spiritueuses empêchent de se mouvoir régulièrement. Il était intéressant d'observer si ces substances produisent un effet visible sur les parties de l'encéphale affectées à ces diverses fonctions. Effectivement, quand un oiseau meurt pour avoir pris de l’opium, on voit une grande tache d’un rouge foncé sur le devant de son crâne; si c'est pour avoir pris de la belladonna, les taches se montrent sur les côtés ; et s'il a péri pour avoir avalé de l’alcohol, c’est l'occiput qui est teint de rouge. M. Flourens avait pensé d’abord que c'étaient des signes d'autant d'inflammations locales : les premières sur le cerveau , les secondes sur les tubercules optiques, les troisiemes sur le cervelet; mais les commissaires de l’Aca- démie, en répétant ses expériences, ont trouvé que ces taches résultaient d'épanchements sanguins qui se font dans l’épais- seur même du crâne, et qui remplissent les cellules de son diploé, entre ses deux lames. Le fait de la position locale et constante de ces épanchements n’en est pas moins très- singulier; et les rapports de cette position avec celle des organes dont les fonctions sont altérées, ne laissent pas que PARTIE PHYSIQUE. CXXXV d'être encore assez favorables aux conclusions déduites des autres expériences de l’auteur. ANATOMIE COMPARÉE. Nous avons parlé assez au long, dans notre analyse de 1820, du grand ouvrage de M. Serre, couronné en 1821, sur les proportions des diverses parties du cerveau dans les quatre classes d'animaux vertébrés; ouvrage qui doit bientôt paraître, et qui sera une acquisition très- précieuse pour l’Anatomie. Deux jeunes anatomistes, MM. Desmoulins et Bailly, se sont occupés , dans l'intervalle, de recherches sur la même matière, qui ont offert des faits intéressants et des vues nou- velles, principalement en ce qui concerne l'encéphale des poissons. On sait que les lobes ou tubercules qui le composent, au lieu d’être les uns sur les autres, ou de s’envelopper plus ou moins, comme dans l'homme et les quadrupèdes, sont placés à la file et pag paires. La paire ordinairement la plus considérable, celle qui est immédiatement devant le cer- velet, est creusée à l’intérieur d'un ventricule, où l’on voit un renflement semblable au corps cannelé de l’homme; dans son fond sont presque toujours quatre petits tubercules, et en-dessous il ÿ en a deux plus grands, visibles à l'extérieur. En avant de cette paire principale , en est une autre, sans aucun vide intérieur, de laquelle partent les nerfs olfactifs , et quelquefois elle est double. Il était'assez naturel que l’on considérit les grands tuber- cules creux comme le cerveau; le petits de leur intérieur, CXXXV] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, comme les tubercules quadrijumeaux ; les lobes antérieurs solides ne pouvaient alors être regardés que comme des nœuds des nerfs olfactifs; quant aux tubercules inférieurs, leur position étant semblable à celle qu'occupent dans les oiseaux deux lobes creux que l’on croyait analogues des couches optiques, il était tout simple qu'on leur donnât le même nom. Mais MM. Gall et Spurzheim, ainsi que nous l'avons dit dans notre Histoire de 1808, ayant fait voir que les racines des nerfs optiques s'étendent jusque dans les tubercules qua- drijumeaux , établirent que les lobes inférieurs et creux des oiseaux sont les analogues de ces tubercules , et non pas des couches dites optiques, qui existent aussi dans les oiseaux indépendamment des lobes en question : on devait naturel- lement appliquer cette maniere de voir aux poissons; et c’est ce qu'a cherché à faire M. Apostole Arzaky, médecin natif d'Épire, dans sa thèse doctorale soutenue à Halle en 1815. Trouvant que les racines du nerf optique des poissons s’épa- nouissent sur les lobes creux placés immédiatement devant le cervelet, il a considéré ces lobes comme répondant aux tubercules quadrijumeaux, et il ne lui est resté pour cor- respondre aux hémisphères du cerveau que les lobes anté- rieurs et solides, nommés par d’autres nœuds du nerf olfac- tif. Dans cette manière de voir, les tubercules inférieurs ne pouvaient plus être que les analogues des éminences ma- millaires. M. Serre était arrivé de son côté à la même opinion, ainsi que nous l'avons dit en 1820, et l'a appuyée par de belles observations, qui portent principalement sur la prompte apparition et la grande proportion relative de ces tubercules PARTIE PHYSIQUE. CXXXVI] dans les embryons; sur le ventricule dont ils sont: creusés à cette époque, même dans les mammifères où ils sont pleins dans l’âge adulte; et sur la place qu’ils y tiennent aux dé- pens du cerveau et du cervelet, dont le développement, celui du cervelet surtout, est beaucoup plus tardif. Sous ce rapport, dit M: Serre, le cerveau des poissons, où les lobes en question sont très -grands et visibles par-dessus, peut être considéré comme un cerveau d'embryon des classes su- périeures. Bien que cette détermination des lobes optiques ne soit pas généralement adoptée, et que M.Treviranus en ait encore publié une autre en 1820 , c'est elle que suivent M. Desmou- lins et M. Bailly, et que nous emploierons dans l'analyse de leurs recherches respectives. Celles de M. Desmoulins ont commencé dès 1821, par des descriptions et des figures fort soignées du cerveau et des nerfs de plusieurs poissons, qui, au jugement de l’Acadé- mie, partagerent le prix de physiologie en 1822. Le même anatomiste les a continuées depuis , et a présenté un nombre assez considérable de mémoires, dont il a paru des extraits et des résumés dans quelques ouvrages périodiques. Ces mé- moires contiennent beaucoup d'observations importantes et nouvelles. Leur tendance générale semble être de prouver qu'il n’y a point une aussi grande uniformité dans le système nerveux que l’on paraît porté à le croire; mais que ses par- ties correspondent pour le volume, et quelquefois même pour l'existence, aux conditions de sensibilité où de mobi- lité des organes, et à leurs variations dans les divers animaux. L'auteur regarde la partie moyenne du système, ou l'encé- 1823. Histoire. S CXXX VII] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, phaleet la moelle de l’épine, comme n’existant que dans les animaux.vertébrés , et comme résultant de deux faisceaux médullaires composés chacun de deux cordons , un dorsal et un abdominal , et sécrétés par la face interne d’un tube formé par la membrane dite pie-mère, membrane dont un repli conserve à l’intérieur les vides connus sous les noms de ventricule et de canal de la moelle. Le cervedü et le cervelet exceptés, tous les autres lobes qui se manifestent sur les divers points de cette espèce d'axe médullaire ne dépendent, selon M. Desmoulins, quant à leur développement, que de la grosseur des paires de nerfs qui y correspondent. C'est ainsi, dit l’auteur, que l’on voit des espèces de lobes sur les côtés de la moelle, à la naissance des nerfs du bras dans les oiseaux grands voiliers , et de ceux des jambes dans les oiseaux marcheurs; et qu'il s'en trouve à l'origine des nerfs cervicaux, dans les trigles où ces nerfs prennent un grand volume pour fournir des branches aux doigts libres particuliers à ces poissons. La carpe en a aussi pour une branche de la huitième paire, qui lui est propre, et qui va à la pulpe singulière qui garnit son palais. La partie la plus constante de l'encéphale, et qui se déve- loppe la première, est précisément celle que l'on nomme aujourd’hui les lobes optiques. Ils ont, dans plusieurs poissons, des replis et des tuber- cules intérieurs (ceux-là même que l’on prenait pour les tu- bercules quadrijumeaux des poissons, avant de reconnaître que ces tubercules sont représentés par les lobes optiques dans leur entier ); et le nombre et le développement de ces replis sont le plus souvent en rapport avec la grandeur da PARTIE PHYSIQUE. CXXXIX nerf optique, et surtout avec les plis que fait sa substance dans certaines espèces : ici peut-être aurait-il été nécessaire de remarquer que cette règle est loin d’être générale, sur- tout dans les poissons dont les yeux sont fort petits. La rétine de beaucoup d'oiseaux et de poissons est aussi très-plissée. M. Desmoulins croit que ce plissement, qui en multiplie beaucoup la surface, augmente la force de la vision. En gé- néral, c’est par l'étendue des surfaces qu'il pense que se marque, dans le système nerveux , la prééminence des or- ganes ; et c'est ainsi qu'il explique la supériorité d’intelli- gence des animaux où les hémisphères ont beaucoup de re- plis; bien que plusieurs d’entre eux n'aient pas la masse de ces hémisphères d'une grandeur supérieure. C'est dans les hémisphères proprement dits que M. Des- moulins, ainsi que tous les anatomistes d'aujourd'hui, place le siége de l'intelligence ; mais il en sépare, dans les mam- miféres et les oiseaux, la Partie antérieure qui repose dans la fosse ethmoïdale et d’où paït le nerf de l'odorat : il lui donne le nom de lobes olfactifs et suppose que ce sont ces lobes séparés du cerveau, que l’on voit, dans la plupart des pois- sons , à l'extrémité antérieure du nerf près des narines. La structure des hémisphères Jui paraît originairement celle d’une membrane médullaire plissée, mais dont les con! cavités se remplissent, avec le temps, par la sécrétion d’une Pie-mère interne, qui ensuite se retire pour former les piexus choroïdes. Malgré l'importance qu’il donne aux hémisphères, M. Des- moulins croit que dans les poissons il n’en subsiste que cette partie inférieure que l’on nomme, dans l'homme et les S 2 cxl HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, quadrupèdes, couches optiques; et il va même jusqu’à penser que le cerveau manque entierement aux raies et aux squales , et que l’on nomme ainsi, dans ces poissons, ce qui n’est que leur lobe olfactif. C'est par un raisonnement analogue qu'il refuse le cer- velet à ces mêmes poissons, ainsi qu'aux grenouilles et aux serpents. Cet organe s'y réduit à une bande transversale mince, que l’auteur ne prend que pour une commissure, analogue à celle qui existe, indépendamment du cervelet, sur le quatrième ventricule des poissons. M. Desmoulins cherche à prouver que les nerfs destinés en particulier au sentiment, ont ou des lobes à leur ori- gine, ou des ganglions , et que ceux dont l'usage principal est de contracter les muscles en sont dépourvus. Ce sont les nerfs conducteurs des deux actions qui ont des racines de deux ordres : les unes du côté du dos, munies de glanglions et consacrées au sentiment , conformément aux expériences de M. Magendie; les autres du côté du ventre, et affectées au mouvement. Au reste, cette affectation particu- liere n’est pas absolument exclusive, car aucun nerf n’est entièrement dépourvu de sentiment; cela est nécessaire, sur- tout dans les serpents et les poissons osseux, où M. Des- moulins assure n'avoir trouvé aucun glanglion aux nerfs de l’épine. La revue qu'il fait, à ce sujet, des différents nerfs, lui a procuré quelques observations intéressantes. Le nerf du même sens s'est montré à lui avec des structures très-di- verses ; il l’a vu partir de paires différentes ; la même paire a fourni des branches particulières à certaines espèces, qu’elle ne donne pas dans d’autres. Il assure même n'avoir trouvé PARTIE PHYSIQUE. cxlj aucun nerf sympathique dans les raies ni dans les squales. L’olfactif est réduit à un filet très-mince dans les môles, où la narine est elle-méme à peu pres nulle. L'optique est celui qui varie le plus : nul, à ce que croit l’auteur, dans les qua- drupèdes à très-petits yeux ou dont les yeux ne percent pas la peau, il se développe dans quelques poissons, au point d'y être formé d’une large membrane plissée. M. Desmoulins insiste beaucoup sur la brièveté excessive de la moelle épinière dans le tétrodon-lune et dans la bau- droie; dans le premier surtout, où, comme l'avait déja re- marqué M. Arsaky, elle ne forme qu’une petite proéminence qui ne dépasse pas la première vertèbre, et où vont se rendre tous les nerfs du tronc. Les observations de M. Bailly ont été faites en plus grande partie en Italie pendant le cours de 1822, et il en a présenté l'exposé à l'Académie pendant l'automne dernière. Elles ont eu-pour objet le cerveau de quelques quadrupèdes, de plu- sieurs oiseaux et reptiles , et d’un grand nombre de pois- sons dont les espèces sont , eomme on sait, plus muitipliées dans la Méditerranée que sur nos côtes de la Manche. Elles se rencontrent sur quelques points avec celles de M. Desmoulins , et cependant leur tendance générale est fort contraire. Non-seulement l’auteur cherche à établir une très-grande analogie entre les systèmes nerveux des diffé- rentes classes ; il prétend que les divers étages, les divers échelons du même système nerveux, et qui plus est, les divers anneaux du mêème.animal, se ressemblent au point de n'être que des répétitions les uns des autres. La moelle épinière lui paraît une suite de renflements de matière grise cxli] HISTOIRE DE LACADÉMIE, enveloppés par huit cordons longitudinaux de matière blanche ou médullaire : deux supérieurs, deux inférieurs, et deux latéraux de chaque côte. Entre un supérieur et un latéral supérieur de chaque côté aboutissent les racines supérieures ou dorsales des nerfs ; entre le latéral inférieur et l'inférieur, les racines abdominales ou inférieures. Ces cordons arrivés dans le crâne se renflent, suivant lui, les inférieurs pour former les hémispheres du cerveau ; les laté- raux inférieurs pour former les lobes optiques; les latéraux supérieurs pour former le cervelet; enfin les supérieurs pour former en s’écartant les côtés du quatrième ventricule et les bandelettes qui les traversent dans les mammifères, ou les tubercules qui y adhèrent dans les poissons. Mais ces lobes., ces renflements, en prenant plus d'energie que les cordons avec lesquels ils se continuent, et en remplissant leurs fonctions avec plus de force, n'exercent pas pour cela des fonctions d'une autre nature; et M. Bailly croit que le troncon de moelle qui traverse chacune des vertèbres de l'épine, contenant aussi une portion des huit cordons qui se continuent avec les lobes de l’encéphale, possède les mêmes facultés que l'encéphale lui-même, mais seulement dans un degré plus obscur, et que ce tronçon peut même devenir pour l’animal un organe ou un centre de perception et de volonté. ï Pour appuyer cette opinion , sur laquelle nous n’avons pas besoin de nous étendre plus au long, M. Bailly cherche surtout à montrer la continuité constante de ces huit cor- dons avec les huit lobes en question, ét une ressemblance des nerfs du crâne avec ceux de l’épine, plus grande qu'on ne l'avait estimée jusqu'à lui Ainsi il avait à trouver aux " PARTIE: PHYSIQUE: : | cxlii] premiers, pour chaque paire, des racines inférieures et su- périeures, des commissures, des iganglions-d’origine et des trous de EE er : à cet effet, il est obligé de considérer comme ne faisant qu'une paire plusieurs: de celles que les anatomistes traitent comme distinctes. La première paire est pour lui le nerf olfactif, auquel il trouve toujours deux, racines:4a seconde se compose du nerf optique, de l’oculo-moteur et du ‘pathétique : elle a pour racines supérieures le pathétique, et celles des fibres de l'optique qui naissent des lobes optiques; pour inférieures, l'oculo-moteur et les fibres de Huptiqhe qui naissent derrière son entre-croisement. C'est par des rapprochements.semblables que M. Bailly réunit le nerf acoustique; le facial; le trijumeau et l’abduc- teur, en une troisième paire; l’hypoglosse, le pneumogas- trique et l'accessoire, en une quatrième... Les ganglions ophtalmique ,sphéno-palatin, naso-palatin, sont pour les paires cérébrales ce que les ganglions du'‘grand sympathique. sont pour les paires rachidiennes ; et si les nerfs du crâne sortent:par plus d’un trou pour chaque paire, M. Bailly fait remarquer qu'ilen est ainsi pour les premières paires rachidiennes des raies. De tous ces rapports, de ces tronçons de-moelle enveloppés chacun d’un anneau vertébral ,:et fournissant chacun en rayonnant quatre ordres: de racines nerveuses, il arrive à un rapprochement, même entre les animaux se et z00- phytes et tous les autres. Quel que puisse être le mérite de ces idées théoriques et de ces hypothèses, où l'on remarque l'influence d’une méta- physique qui à eu pendant quelque temps une certaine cxliv HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, vogue dans l'étranger, M. Bailly a fait, pour les appuyer, des observations intéressantes et vraies, relatives surtout au cerveau des poissons. Il y a bien développé la compôsition des lobes dits opti- ques, par le moyen de deux ordres de fibres: l’un interne transverse, qui est proprement la continuation du cordon latéral de la moelle; l'autre externe , qui croise obliquement le premier et se continue avec le nerf optique. H a fait remarquer, et retrouve jusque dans les quadru- pèdes, une bande qui marche derrière la conjugaison des nerfs optiques, et sert de commissure aux fibres externes des lobes de même nom, pendant que celle de leurs fibres in- ternes à lieu dans les poissons directement au plafond de leur cavité commune, et ressemble au corps calleux des hé- mispheres dans les mamimiferes. Il a donné aussi beaucoup de détails sur les variétés des replis qui sont dans l’intérieur de ces lobes optiques, et qu'il nomme corps optiques. Un cordon qui contourne les jambes du cerveau dans les ruminants, en avant de l’oculo- moteur ; la commissure antérieure du cerveau qu'il trouve double dans plusieurs animaux ; la distinction des ganglions ou lobes olfactifs, la maniere dont ils se confondent avec le cerveau ou dont ils s’en dégagent ; les variations dans le vo- lume et les formes du cervelet, celles des lobes latéraux du quatrième ventricule dans les poissons, qu'il croit les ana- logues des rubans gris que l’homme et les mammifères ont au même endroit; les origines profondes des nerfs triju- meaux, ont particulierement attiré son attention. Il se trouve quelquefois en opposition sur les faits de dé- tail, et avec M. Desmoulins, et avec M. Serre. Ainsi il n’ad- PARTIE PHYSIQUE. cxlv met pas, comme ce dernier, l'existence de la glande pi- néale dans tous les vertébrés. I! est fort éloigné aussi de croire, comme M. Desmoulins , que le cerveau ou le cervelet puisse manquer dans quelques-uns de ces animaux; et il explique les apparences qui ont donné lieu à ces supposi- tions, soit par une confusion du ganglion olfactif avec la masse du cerveau, soit par une diminution extrême du vo- lume du cervelet. Il n’est pas favorable non plus à la séparation trop absolue des fonctions, telle que l'entend M. Flourens. La petitesse excessive du cervelet, dans certains animaux qui sautent et nagent trés-bien, comme les grenouilles, les couleuvres , lui sert en particulier d'argument pour mettre en doute l'attribution que M. Flourens fait exclusivement à cet or- gane, d’être le régulateur des mouvements de locomotion. Il montre qu'il s’en faut de beaucoup que les lobes opti- ques soient, pour la grandeur, en proportion avec les nerfs du même nom. La taupe, entre autres, où ce nerf est presque atrophié, a ses tubereules quadrijumeaux aussi grands qu'aucun quadrupède ; ce qui lui prouve qu'ils ne sont pas consacrés à la vision seulement, et lui paraît confirmer son système de l’uniformité des fonctions de tous les lobes. Ce n’est pas dans une analyse comme celle - ci qu'il est possible de discuter ces opinions diverses , ni d'apprécier la multitude des observations dont se composent des recherches aussi laborieuses ; mais il nous a paru convenable d'en don- ner un exposé assez étendu pour attirer sur elles l'attention - des anatomistes. Elles rentrent dans le cercle des travaux de l’Académie, non seulement parce qu'elles ont été soumises 1823. Histoire. E cxlvj HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, à son examen, mais aussi parce qu'elles ont été en quelque sorte provoquées par le prix qu’elle proposa pour 1821, et qui fut remporté par M. Serre. A cette même époque, M. Tiedeman , aujourd’hui l’un des correspondants de l’Académie, avait aussi commencé une suite de recherches, dont il a publié un fragment sous le titre d'/cones cerebri simiarum et quorumdam animalium rariorum; recueil où plusieurs cerveaux sont représentés avec exactitude et des détails précieux. Tout nouvellement, M. Rolando de Turin vient d'envoyer un mémoire sur la moelle de l’épine , dans lequel il n'y ad- met que quatre sillons : l’antérieur qui est bien connu , et où pénètre le repli de la moelle épinière, un postérieur bien moins profond, et les deux latéraux postérieurs. Les latéraux antérieurs , selon lui, ne sont que des apparences produites par les racines des nerfs. Elle n’a donc que quatre cordons, si ce n'est dans le haut, où les pyramides postérieures en donnent deux de plus, mais qui ne règnent que dans la ré- gion cervicale, et qui disparaissent même dans les quadru- pèdes. M. Rolando a examiné et décrit avec soin les figures que prend, en différents points, la coupe de la matière cendrée qui remplit l’axe de la moelle épinière. Au-dessous des py- ramides antérieures elle représente un fer à cheval ; aux en- droits d’où sortent les nerfs des extrémités, deux demi- lunes adossées; dans la région dorsale , une espèce de croix. Il a trouvé les cornes postérieures de cette matière grise plus molles, plus rouges que le reste de sa coupe, et il admet, en conséquence, deux sortes de matière grise, comme il les PARTIE PHYSIQUE. cxlvi a déja fait connaître dans le cervelet. Mais ce qu'il a exposé avec le plus de détail, c'est que ce tube de matière médul- laire qui enveloppe l’axe de matière cendrée, est formé d’une lame médullaire repliée longitudinalement un grand nombre de fois , et que des lames de la pie-mère pénètrent dans ses plis extérieurs , et des lames de substance cendrée dans les intérieurs, ce qui donne à sa coupe l'apparence de fibres rayonnantes. Ce sont ces plis longitudinaux qui ont donné lieu , dit-il, à établir divers sillons. Il y en a à peu près cinquante dans les portions cervicale et lombaire de la moelle du bœuf et aux cordons antérieurs seulement. La pulpe médullaire qui forme cette membrane plissée, se résout elle-même en fibres tres-déliées et à peu près pa- rallèles ; les racines antérieures des nerfs, plus nombreuses, comme on sait, que les postérieures, ne tiennent pas de la même maniere à la moelle : elles y sont éparpillées, et leurs bulbes n’entrent pas si avant. M. Rolando croit que les filets, qui forment ces racines, se continuent avec les fibres médul- laires de l'enveloppe de la moelle, et qu'ils ne tirent pas, comme l'avaient cru MM. Gall et Spurzheim, leur origine de la substance cendrée ; ce qui, ajoute-t-il, est encore rendu improbable par l'observation de M. Tiedeman, que dans le fètus on voit déja ces filets, bien que la place de la sub- stance cendrée ne soit encore remplie que par un liquide transparent. Aureste, il y a dans toutes ces discussions beaucoup de dif ficultés qui ne viennent que de l’abus des expressions figurées. Ainsi, lorsqu'on a dit que les fibres médullaires naissent de la substance cendrée ; que le cerveau est une production, une ie cxlvii] HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, efflorescence de la moelle, ou la moelle une continuation du cerveau, on s’est exposé à être facilement réfuté par ceux qui prennent ces termes au pied de la lettre. Je devrais dire même, qu'en les prenant ainsi, on s’est donné pour les réfu- ter une peine tres-inutile. Les auteurs ne voulaient expri- mer que des rapports de liaison, de connexion, et non pas d'extraction ; ainsi, quand on dit que les artères naissent ou sortent du cœur, on ne prétend pas que, primitivement elles aient été dans le cœur, qu'il les ait émises, etc. Une remarque semblable doit se faire sur des expressions figurées qui donnent lieu à des disputes encore plus échauf- fées et non moins vaines; ce sont celles qui se rapportent à certaines fonctions des organes : lorsqu'on dit, par exem- ple, que c'est le cerveau ou telle autre partie du système qui sent, qui perçoit, qui veut, qui met en mouvement. Aucun de ceux qui parlent ainsi ne peut, à moins d'être absurde, entendre que ce soit telle ou telle partie qui éprouve la per- ception, qui exerce la volonté; c’est seulement une manière elliptique de dire qu’elle est pour l'animal, l'instrument, la voie nécessaire de ces modifications ou de ces actes. On pourrait faire une troisième remarque sur la facilité avec laquelle, lorsqu'une partie quelconque se montre à l'œil avant une autre dans l'embryon, on se détermine à dire qu’elle se forme avant elle, et à déduire de là des conclu- sions qui semblent supposer qu’elle n’y est qu'au moment où l’on commence à l’apercevoir ou à lui trouver quelque consistance. Ce n’est que lorsqu'on aura débarrassé son lan- gage et ses raisonnements de ces trois sources d'erreurs, que l'on pourra tirer des faits quelques résultats clairs, et qui puissent n'être pas la source de nouvelles disputes. PARTIE PHYSIQUE. cxlix Il est d'autant plus important d'éviter tout ce qui pourrait entraver ces recherches, que le cerveau est, anatomique- ment parlant, celui de tous les organes dont la structure est le plus difficile à dévoiler; comme il est, physiologique- ment, celui dont les fonctions merveilleuses échappent le plus à toute explication, et que l’on ne peut, par consé- quent, trop encourager les efforts qui tendent à avancer, ne fût-ce que sur quelque point limité, la connaissance de ce mystérieux appareil. M. Geoffroy-St.-Hilaire continue toujours, avec la même ardeur, ses recherches sur l'unité de composition dans les animaux. Il les a portées principalement cette année sur les organes de la génération des oiseaux, qu'il a comparés à ceux des mammifères, Déja dans notre analyse de l’année précédente nous avons fait connaître sa maniere de voir à cet égard. Après avoir rappelé qu'il y a dans les oiseaux, outre l'ovi- ductus ordinaire et connu qui s’insère du côté gauche du _cloaque, un petit canal aveugle, découvert par M. Emmert, inséré du côté droit, et que l’on peut regarder comme un second oviductus atrophié et oblitéré, nous avons dit que M. Geoffroy voit, dans la partie supérieure et vasculaire de l’oviductus , l'analogue de la trompe de Fallope; dans la par- tie moyenne à parois plus épaisse où l'œuf séjourne et prend sa coquille, l'analogue de la corne de la matrice ; et dans le reste de sa longueur l'analogue du vagin. L'auteur a retrouvé les mêmes divisions dans certains ovi- ductus du côté droit, plus développés qu’à l'ordinaire ; car cet oviductus droit, ce vestige d’oviductus, ne consiste communé- cl HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, ment que dans une petite vessie : mais il est sujet à beaucoup de variétés , et M. Geoffroy en a vu qui allaient au huitième, au quart, et même une fois à la moitié de la longueur de l'autre. Lorsqu'il est le plus volumineux, il manque encore d'issue à ses deux extrémités, et le pédicule qui l’attache au cloaque n’est qu'un ligament tendineux. L'oviductus gauche ou ordinaire, observé dans de tres-jeunes oiseaux, s'étend en droite ligne; et M. Geoffroy est porté à penser qu'il est primitivement fermé et ne s'ouvre, à ses extrémités, que par l'action du liquide qui se développe dans son intérieur. L'auteur a donné, dans un mémoire particulier, la des- cription des organes sexuels de l’autruche et du cazoar, où la grandeur des parties lui a procuré plus de facilité pour saisir leurs rapports et reconnaître leurs analogies. Il y a surtout rendu sensible, par des figures comparatives et très- exactes, la ressemblance singulière des organes dans l’au- truche mâle et dans l’autruche femelle, qui ne different, vers l'extérieur, que par les grandeurs relatives et inverses du pénis et du clitoris, et de l’orifice qui est à leur racine. Ce que dans l’autruche on appelle la vessie urinaire, est un sac assez grand, dans le fond duquel se-termine le rec- tum , et qui est séparé de la cavité plus extérieure qui s'ouvre au dehors, et que M. Geoffroy nomme urétro-sexuelle, par un bourrelet ou rétrécissement, où se voient les quatre ma- melons répondants aux deux uretères et aux deux oviductus. Les premiers se dirigent un peu plus en dedans, en sorte que l'urine qui coule des reins s’accumule naturellement dans ce grand sac jusqu'au moment de l'émission. La seule différence du mamelon qui répond à l'ovaire oblitéré, c’est qu'il n’est point percé. Le rectum fait une saillie dans ge à que me tite rt rt si + PARTIE PHYSIQUE. cl le fond de cette poche urinaire; et un rétrécissement plus intérieur fait même, de cette saillie, une poche particulière que M. Geoffroy nomme vestibule rectal, attribuant à ses deux issues les noms d’anus intérieur et extérieur. C'est ce dernier qui, s’ayançant au travers des deux autres dilata- tions,je veux dire de la vessie urinaire et de la poche urétro- sexuelle, se montre au dehors quand l'autruche veut jeter ses excréments. Dans le cazoar il n’y a point d’étranglement intérieur au rectum; et la vessie et la poche urétro-sexuelle, faute de bourrelet qui les sépare, ne forment qu'une seule cavité. Dans d’autres oiseaux, tels que le canard et la poule, c’est le vestibule rectal qui se confond en une seule poche avec la vessie. M. Geoffroy compare ce vestibule rectal à la poche glan- duleuse, dans laquelle s'ouvre le rectum de l’ichneumon , et il retrouve aussi ce double sphincter dans les marsupiaux et les monotremes. Il explique en détail le mécanisme des différentes excré- tions, et comment dans l’autruche et le cazoar la verge, ou plutôt le gland, car il croit qu’elle se réduit à cette partie, se déploie au dehors pour leur donner issue. La cavité où elle se retire et dont elle sort, dans certaines espèces, par une sorte de déroulement, est l’analogue de la bourse du prépuce; une poche particulière qui y aboutit, nommée d'apres son inventeur la bourse de Fabricius, et que M. Geoffroy appelait encore assez récemment du nom indéterminé de bourse accessoire, lui paraît aujourd’hui le réservoir, le canal déférent des glandes de Cooper qu'il a trouvées tantôt réunies, tantôt séparées, sur la partie dor- clij HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, sale de la poche du prépuce. Dans l’autruche et dans d’autres oiseaux où le gland se développe beaucoup, cette bourse ac- quérant plus d'ampleur et son col devenant plus large, se confond avec la bourse du prépuce. On voit que, d'après ce système de rapprochement, la principale différence qui resterait entre les oiseaux et les mammifères serait que dans les premiers le rectum ou le vestibule rectal s’ouvrirait dans la vessie, et que dans les se- conds il s'ouvrirait immédiatement au dehors. M. Geoffroy a dù rechercher aussi les analogies du bassin, qui tient de si près aux organes de la génération. Selon lui, on s’est fort mépris à cet égard. L’os que, dans les oiseaux , on nommait seulement os des îles , et qui s'étend le long de l’épine en avant et en arrière de la fosse cotyloïde, est composé de l'os des îles et de l’ischion ; celui qui lui est parallèle mais en arrière seulement de la fosse cotyloïde , et qu'on avait pris pour l’ischion, est le pubis; et l'os grêle qui fait le bord du bassin postérieur, et qu'on nommait le pubis, M. Geoffroy en fait, avec M. Serre, l’analogue de l'os si remarquable dans les mammifères à bourse, et que les ana- tomistes avaient désigné sous le nom de marsupial. Nous avons dit, dans le temps, que M. Serre a cru retrouver aussi l’analogue de cet os marsupial, dans une petite partie qui s'observe à un certain âge, encastrée dans la cavité co- tyloïde de plusieurs quadrupèdes d’autres familles. Cette pièce se voit en effet dans le rhinocéros, dans l’hyène, et peut-être dans plusieurs autres genres. Comme elle man- que danse chien, dans l’ours, qui ont l'intérieur de la verge soutenu par un os, M. Geoffroy a imagine que ce sont les os marsupiaux qui se réunissent pour former cet os de PARTIE PHYSIQUE. cliij la verge; mais on ne l’observe pas non plus dans bien des animaux qui n'ont pas d'os de verge. M. Geoffroy applique ensuite sa théorie aux mammifères: à bourse, ou didelphes, dont il s'était déja occupé plu- sieurs fois, notamment en 1819, ainsi que nous l'avons dit dans notre analyse de cette année-là. Les tubes en forme d’anse sur les côtés de la matrice, qui Sont particuliers à ces animaux, lui paraissent deux vagins; et il croit que ce que les autres anatomistes nomment vagin, répond à la bourse urétro-sexuelle des oiseaux. La partie re- courbée par laquelle ces anses s'unissent dans le haut , et qui est divisée, tant que l'animal n’a pas concu, par une cloison verticale, représente alors deux utérus qui se con- tinuent chacun avec la corne, et la trompe de Fallope cor- respondante. L'auteur se représente donc cet appareil comme double dans sa totalité, ainsi que celui des oiseaux ; comme dé- pourvu de même de col, et d’autres moyens de retenir l'o- vule : c'est ce qui fait que celui-ci est expulsé avant son in- cubation, avant qu'un embryon s’y soit montré. M. Geoffroy explique la faiblesse et le peu de durée de l’action de ces utérus par la petitesse des branches artérielles qu'ils recoi- vent; et c'est par la circonstance opposée qu'il rend compte du développement et de l’activité des mamelles et de la bourse qui les enveloppe, et dans laquelle il voit un grand déve- loppement du mont de Vénus. Les détails angéïologiques où il entre à ce’sujet sont des faits positifs et très-intéressants, mais il serait impossible deles faire entendre dans un résumé aussi Court que le nôtre. Daboville, Roume et Barton ayant vu que la première forme sous laquelle les produits de la gé- 1823. Histoire. U cliv HISTOIRE DE LACADÉMIE, nérationse montrentadhérents aux mamelles, est celle de glo- bules, souvent transparents ou gélatineux, M. Geoffroy sup- pose que ces produits sortent de l'utérus à l'état d’ovule, mais d’ovule qui a éprouvé un commencement de dévelop- pement, ce degré auquel ceux des mammifères ordinaires s’implanteraient dans la matrice par leur placenta. Il paraît même disposé à croire qu'il s'établit une liaison vasculaire de la tétine de la mère avec leur appareil digestif qui tient lieu, pendant un temps, du système ombilical; et néan- moins il vient tout récemment d'annoncer qu'il a observé dans quelques fœtus des marques d’une cicatrice ombilicale ou peut-être des vestiges d’un placenta qui n'aurait pas pris son développement ordinaire. Dans une autre série d'observations, M. Geoffroy a trouve sur un fœtus de vache, vers le commencement de la gesta- tion , les apophyses épineuses de vertèbres dorsales contenant plus de noyaux osseux que l’on n’en avait observé jusqu'ici : ce qui lui a paru une confirmation de l’analogie de ces apo- physes avec les rayons des nageoires dorsales des poissons, analogie qu’il avait mise en avant à l'occasion de ce bœuf des Indes que l’on assure porter des épines sur le dos. Plusieurs de ces apophyses ont en effet, dans leur cartilage, deux et même trois pieces osseuses distinctes, placées verticalement une derrière et deux devant, et ces deux-c1 l’une au-dessus ou à côté de l’autre. Avec le temps tous ces noyaux se sou- dent en une apophyse unique. M. Geoffroy ayant vu aussi, comme on le savait par les observations de Fougeroux faites en 1772, que le canon ou l'os principal du métacarpe et du métatarse des ruminants se divise dans le fœtus en deux os distincts, et prenant en PARTIE PHYSIQUE. clv considération les os gréles et les phalanges plus ou moins complètes qui représentent dans les pieds de ces animaux les métacarpiens et les métatarsiens , ainsi que les doigts la- téraux et qui ont aussi été décrits plus ou moins comple- tement par divers auteurs, critique l'usage que font les na- turalistes des termes d'ergots et de stylets pour désigner ces pièces osseuses, et de celui de bisulque pour distin- guer la classe entière : et en effet, un cochon n’est pas plus quadrisulque qu’un fœtus de ruminant. I] pense même que c'est à tort qu'on a dit que l'anoplotherium est le seul bi- sulque qui ait, au lieu de canon, un os double au métacarpe et au métatarse. Celui qui à caractérisé ainsi cet animal au- rait pu, il est vrai »S'exprimer plus rigoureusement en disant que c'est le seul qui conserve avec l'âge ces deux os séparés, s'ilavait pu croire qu'il ne seraitpas entendu de tout le monde. Enfin , le savant naturaliste dont nous analysons les tra- vaux a tiré, de la configuration des os de la tête du bœuf à bosse ou zébu, des conjectures sur une différence spécifique de cet animal et du bœuf domestique ordinaire. CHIRURGIE. \ Un militaire qui, par suite d’une plaie pénétrante faite par la lame d’un sabre qui l'avait traversé de part en part, avec lésion du poumon et d’une artère intercostale, avait un énorme épanchement sanguin dans la cavité de la poitrine, a été soumis à l'opération de l'empyème par M. le baron Lar- rey. Le succès a passé toute attente, mais les résultats ont été très-dignes d'attention. Le côté blessé est réduit de plus de moitié dans ses dimensions; les côtes ont perdu une U 2 clvj HISTOIRE DE L'ACADÉMIE, grande partie de leur courbure, et se sont mises en contact de manière à s'entre-toucher ; l'épaule s’est abaissée; le cœur a passé sous le sternum, et fait maintenant sentir les batte- ments du côté droit ; le diaphragme est remonté avec les vis- ceres placés au-dessous de lui; le bras droit s’est atrophié; mais le poumon gauche, qui sert seul aujourd'hui à la res- piration, est augmenté de volume. Ces faits intéressants pour la théorie des plaies pénétrantes de la poitrine, ajoutent à tous ceux que la chirurgie et la physiologie doivent déja à M. le baron Larrey , et qui l'ont rendu si justement célèbre parmi les hommes de l'art. M. Bancal, chirurgien et oculiste, a présenté un instru- ment de son invention, qu'il nomme Xystitome caché, et qu'il emploie avec succes à l'opération de la cataracte. Il se compose d'une gaîne étroite , longue et plate, munie d'un petit couloir, d'où lon fait sortir, en pressant un bouton, une petite lame aiguë et tranchante, qui agit avec facilité et certitude. On le tient comme une plume à écrire, et on le fait arriver sans risque pour les parties environ- nantes, à la membrane du cristallin, qu'il s'agit, dans cette opération, d'ouvrir pour en faire tomber le cristallin devenu opaque. On pense que cet instrument est préférable à tout autre dans les cas où il s’agit de dégager le cristallin des ad- hérences qu'il peut avoir contractées ; on pourra l'employer aussi pour former une pupille artificielle. M. Gabriel Pelletan, fils de l’un de nos confrères, pour appliquer le nitrate d'argent, ou pierre infernale, à des sur- faces tres-limitées où l'on veut restreindre la cautérisation , PARTIEIPHYSIQUE. clvi comme à de petites fistules, de petits kistes, a imaginé de plonger l'extrémité d’un fil ou d'un stylet d'argent dans l'acide nitrique, et de se procurer suf#le-champ par là une petite masse de nitrate proportionnée à l’espace sur lequel il veut opérer, et qui ne soit pas suéceptible de se casser, ét de de- meurer ainsi plus long-temps qu'on ne le voudrait dans la cavité où on l'aurait insérée. Il propose, pour le même objet, de plonger la pointe d’un stylet d’or ou de platine dans du nitrate d'argent fondu, et de la revêtir d’un enduit de cette substance. | AGRICULTURE. Il était assez singulier que l’agriculture, dont toutes les opé- rations ne consistent qu'en des transformations et des com- * binaisons dont la chimie sait aujourd’hui rendre compte, n'eût point encore reçu de cette science de théorie particulière. M. le chevalier Davy en a jeté les premières bases, dans un ouvrage publié il y a quelques années; 'et M. le comte Chaptal vient de s'en occuper avec plus de détail et des applications plus positives, dans un traité ex professo , im- primé cette année. Il y fait connaître tous les éléments qui influent sur la vé- gétation , et la maniere d’agir de chacun d’eux: Il y analyse la nature des différentes terres , leurs propriétés , et les moyens de les disposer à une bonne culture : il y expose avec étendue et netteté les principes des assolements. Passant ensuite aux produits de la végétation, il en développe les caractères, et la manière de les conserver et-de les: approprier à leurs usages; ou d'en extraire les parties utiles. La préparation du clviij HISTOIRE DE: L'ACADÉMIE, beurre, du fromage ; la fermentation vineuse, la distillation , li culture du pastel et l'extraction de son indigo, et tout.ce qui concerne la culture de labetterave et l'extraction de son sucre, ont spécialement attiré son attention. Il n’a pas même négligé les moyens d’assainir, à peu de frais, les demeures et les vêtements des habitants des campagnes. M. le baron Morel de Vindé, qui cultive par lui-même à la Celle, près de St.-Cloud , une grande propriété, et s'occupe sans relâche de l'améliorer, moins encore en vue des pro- duits qu'il en retire que pour donner des exemples utiles aux agriculteurs, vient de publier une notice sommaire sur les assolements qu'il y a établis. Sa terre est divisée en huit soles , dont chäcune a quatre années de rotation. Le tableau complet des trente-deux années de rotation, donné par l'au- teur, montre que chaque sole recoit avec régularité des cul- tures et des améliorations pareilles, et qu’elles reviennent toutes apres ce terme exactement au point de départ. Ce plan s'exécute depuis douze ans, et ses produits sont déja si considérables, et la terre tellement améliorée, que le propriétaire est obligé de détourner à d’autres cultures telles que potagers et chenevièeres, la surabondance de ses engrais. Il faut voir dans l'ouvrage même les différents problèmes dont les particularités de cette terre exigeaient la solution, et les moyens ingénieux par lesquels l’auteur est parvenu à les résoudre avec le plus d'avantage. Il fait remarquer que son exploitation est tellement ap- pliquée au temps et aux moyens dont il dispose, que ses hommes et ses chevaux: ne sont jamais ni oisifs ni forcés de travail, et que, le temps du ménage des fumiers excepté, PARTIE PHYSIQUE. clix ils lui suffisent completement, et qu'il n’a admis, dans ses assolements , aucune de ces cultures extraordinaires trop vantées dans les livres) et qui, selon lui} ne font que fati- guer à peu près inutilement les hommes, les chevaux et la terre. Cependant il a obtenu:14,000 francs de produit net d'une de ses fermes qui n’était louée auparavant que 5,040 fr. Mais en présentant ces résultats! il ajoute sagement que ses méthodes ne doivent point être imitées avec servilité, et que chacun doit se faire ses assolements à soi-même, en consultant bien les circonstances, et leur influence Sur la culture, la récolte ; et la vente des produits. nn AAA RS SELS USA LAS LES LUS LR UE LOS OA RAR OS LAS ER ARR DR LAS A AR SAR ARE AA LA A ÉLOGE HISTORIQUE DE M. DUHAMEL, Prononcé dans la séance publique de l Académie royale des sciences, le 8 avril 1822, Par M. ce Baron CUVIER, SECRÉTAIRE-PERPÉTUEL. M. Dunamez a été, s’il est permis de s’exprimer ainsi, l’un de ces savants de la vieille roche, tels que l’histoire de l’Aca- démie en compte beaucoup, travaillant dans la retraite pour leur plaisir, et pour le bien des hommes sans s'occuper de la gloire, connaissant peu le monde et ne se souciant point d'en être connus; dont le public lisait utilement les ouvrages sans presque savoir s'ils vivaient encore, ni s'informer de l'époque où ils avaient vécu. Sa modestie était si grande, qu'avec tout ce qu'il fallait pour parler avec autorité dans l'Académie, à peine pendant une longue carrière académique a-t-il fait entendre sa voix au milieu de nous; un grand nombre de ses confrères ne l'ont peut-être pas connu de figure, et cependant il a été l’un des bienfaiteurs de notre fes ÉLOGE HISTORIQUE DE M. DUHAMEL. clxj pays; il y a répandu beaucoup de procédés utiles; l'un des premiers, il y a naturalisé les vrais principes de la métallurgie; tous ceux qui pratiquent aujourd’hui l’art des mines ont été formés par lui ou par ceux qu'il a formés, et le corps entier des hommes attachés à cette branche de l'administration, fait profession de le reconnaître comme son vénérable patriarche. Voilà sans doute plus de motifs qu’il n’en faut pour que nous prenions pour samémoire le soin que lui-même a trop négligé, et pour que vous nous secondiez dans l’entreprise d’acquitter à son égard la dette de ses contemporains. Jean-Pierre-Francois-Gurrcor DUHAMEL, inspecteur général des mines, et membre de l'Académie des sciences de l'Institut, était né à Nicorps pres de Coutances , département de la Manche, le 31 août 1730, d'une famille ancienne dans * la province. Dès son enfance il se montra doux et réservé dans ses manières, mais très-arrêté dans ses résolutions. Son père qui le destinait au barreau l'avait placé chez un procureur, selon l'usage devenu une nécessité à cette époque, où par la négli- gence et l'égoïsme des professeurs, l’enseignement du droit se trouvait réduit à rien dans les écoles publiques. Chez un procureur, et au fond de la Basse-Normandie, c'était moins vouloir lui faire apprendre la jurisprudence, que lui faire contempler la chicane dans son centre et dans toute sa laideur ; aussi cette vocation n’eut-elle aucun charme pour lui; c'était un autre objet d'étude qu'il fallait à un jeune homme de ce caractère: un pressentiment irrésistible lui faisait se dire qu'il devait en exister de plus dignes de lui, et pour les chercher sans entraves il commença par s’é- 1923. Histoire. V elxi] ÉLOGE HISTORIQUE chapper, sans avertir personne, de l'espèce de prison où il sentait que jamais son intelligence ne pourrait prendre d’es- sor. Il avait un grand-oncle qui, après avoir servi long-temps comme ingénieur sans obtenir d'avancement , et avoir tenté en vain plusieurs autres fortunes, s'était décidé à finir sa vie agitée en se faisant capucin. Plus heureux sous le froc que dans le monde, il était arrivé aux dignités de son ordre, car il n'est point d'association d'hommes, si humble qu'elle soit, qui n’ait des dignités et des appäts pour l'ambition ; il se trou- vait le gardien des capucins de la ville de Caen, et supérieur de ceux de la province. Ce fut auprès de lui que le jeune Duhamel chercha un refuge. Un tel homme ne pouvait être insensible à des maux que lui-même avait éprouvés, à cette inquiétude si ordi- naire dans la jeunesse aux ames énergiques, tant qu'elles n'ont pas rencontré la vraie place que la nature leur assignait. Non seulement il recueillit son petit-neveu avec une affec- tion paternelle; mais, jugeant que ce qui pressait par-dessus tout, c'était d'appliquer son esprit, il se rappela pour le lui enseigner ce qu'il avait su autrefois de mathémati- ques. Comme ces ames de Platon qui se recherchent de- puis qu’elles sont jetées dans l'univers réel, le jeune clerc de procureur reconnut enfin la pâture qui lui convenait et la saisit avec avidité. Absorbé désormais dans sa retraite par cet unique objet d'etude, il fut bientôt un mathémati- cien plus habile que son oncle. On juge bien qu'en le dirigeant ainsi, le bon gardien des capucins n'avait pas entendu condamner son neveu à em- brasser le même état que lui. Il s’occupa au contraire à renouer ses liaisons avec d'anciens camarades. M. Peyronnet DE M. DUHAMEL. clxn] fondait alors, sous l’autorité de M. Trudaine le pere, cette école des Ponts-et-Chaussées, devenue depuis si utile et si honorable pour la France. M. Duhamel lui fut présenté, et lui donna des preuves si marquées de capacité qu'il l’admit aussitôt parmi ses élèves. Des-lors son assiduité ne se relà- cha pas plus que son aptitude ne se démentit , et il était au moment de quitter l’école, et d'entrer avec distinction dans le corps des Ponts-et-Chaussées, lorsqu'un nouveau projet de M. Trudaine l'appela dans une autre branche de service. Membre distingué de cette Académie , et l’un des hommes qui ont le plus contribué à faire prévaloir en France des principes éclairés d'administration. M. Trudaine, satisfait de l'impulsion qu'il venait de donner à l’art de multiplier les communications , en créant l’école des Ponts-et-Chaussées, pensa qu'un moyen semblable imprimerait le même mou- vement à une partie d'administration beaucoup plus négli- gée, la recherche de nos richesses souterraines. Heureusement pour la France, ce genre de richesses de- meurera toujours la moindre partie de celles dont la nature l'a gratifiée. Ses champs si vastes, si fertiles, ses gras pâtu- rages , ses vignobles de produits si exquis et si variés, com- pensent bien avantageusement la rareté de ces veines métal- liques, presque toujours annoncées par l’aridité et la rudesse des terrains qu'elles traversent. Mais puisque nous ne man- quons pas aussi de pareils terrains, encore valait-il la peine d'examiner si cette stérilité était partout sans compensation, ou du moins si l’on avait fait tout ce qui était possible pour ë s'en assurer. Or, un examen rapide des actes antérieurs du gouverne- ment montra bientôt quelles mines, quand elles ne s'étaient Vo clxiv ÉLOGE HISTORIQUE pas vues sacrifiées à la cupidité d'hommes en crédit, avaient été livrées au charlatanisme d’aventuriers ignorants. Leur langueur n'avait donc rien de nécessaire ni d’irrémédiable; mais pour leur rendre la vie, le premier pas à faire était évi- demment d'instruire ceux qui devaient y travailler; M. de Seychelles, alors ministre des finances, était digne de saisir des vues aussi sages, et avait promptement obtenu pour elles la sanction royale. Cependant , pour enseigner il fallait des maîtres , et l'on ne possédait pas même un seul homme qui fût en état de professer l’art des mines, sous le point de vue pratique. En effet, cet art né en Allemagne dans le moyen âge, y était demeuré à peu près concentré dans les mains des hommes du métier. À peine quelques traités de Métallurgie ou de Docimastique fondés sur une chimie grossière, com- : mençaient-ils à se répandre en France dans des traductions imparfaites. Ce n’était que sur les lieux mêmes, de la bouche de ces ouvriers, et à la vue de leurs travaux, que l'on pou- vait acquérir des notions sur les terrains qui recelent les mines, sur les lois de leurs gisements, sur les moyens les plus sûrs de les attaquer, de les suivre , et d’en purifier les produits. Mais si les ouvriers seuls possédaient tant de secrets, il fallait que ceux qui auraient à les leur arracher fussent plus que des ouvriers; des esprits très -éclairés pouvaient seuls rassembler en corps de doctrine cette foule de faits épars, dont ceux qui les connaissaient étaient bien éloignés d'embrasser l'ensemble et soupconnaient même à peine les rapports. On arrêta donc de prendre dans l’école des Ponts-et- DE M. DUHAMEL. clxv Chaussées quelques jeunes gens déja versés dans la méca- nique et dans la physique, et de les envoyer faire leur édu- cation sur l’art des mines proprement dit, dans les cantons où il a fait le plus de progrès, c'est-à-dire dans le Harz en Saxe , en Autriche et en Hongrie. Le choix de M. Trudaine, d’après les indications de M. Pey- ‘ronnet, tomba sur M. Jars et sur M. Duhamel dont nous fai- sons l’histoire. Pour les mieux préparer à ce voyage, on leur fit parcourir ce que la France possédait alors de mines un peu impor- tantes : de 1754 à 1756, ils visitérent celles du Forest, des Vosges et des Pyrénées , et en 1757, ils partirent pour l'AI- lemagne. On peut juger de l'application qu'ils mirent à leurs re- cherches par le recueil des Voyages métallurgiques qui porte le nom de M. Jars, mais qui est en grande partie le résultat de leurs travaux communs. Tous les mémoires concernant les mines et les forges de l'Autriche, de la Styrie et de la Carinthie, et celles de la Bohème et de la Saxe, sont dus aux deux jeunes auteurs, et quelques-uns de ces mémoires ont été rédigés par M. Duhamel seul. IL ne serait päs juste d'apprécier cet ouvrage d’après l'état actuel des connaissances. Depuis plus de soixante ans que ces voyages furent exécutés, la théorie de toutes les sciences qui traitent des minéraux a subi deux ou trois révolutions, et à cette époque même, lés maitres que nos jeunes gens purent consulter n'étaient pas des hommes à théories. À peine les chefs des mines s’élevaient-ils dans leurs conceptions au- dessus des ouvriers qu'ils employaient. Tout semblait mys- térieux dans les résultats purement empiriques sur lesquels clxv) ÉLOGE HISTORIQUE s’appuyaient leurs procédés. On croyait à la naissance, à la maturité des métaux ; il fallait, disait-on, aider la nature pour les perfectionner. Le mercure, le soufre, le sel, diver- - sement modifiés, formaient leurs éléments; en un mot, la métallurgie parlait presque partout le langage de l’alchimie. La géologie était bien plus éloignée encore d’avoir atteint une forme scientifique. À peine Lehman venait-il de distin- guer d'une maniere fixe les montagnes à couches , et les montagnes à filons. Toutes ces autres lois de détail qui président à la superposition des minéraux, n'étaient pas même soupconnées ; Desaussure n’avait point voyagé, Deluc n'avait point écrit; Werner n'avait point encore, par la force d'un génie supérieur, coordonné en quelque sorte l'univers minéral. C'est une réflexion que nous sommes souvent obligés de faire, lorsque nous avons à retracer l'histoire de ceux de nos confrères dont la carrière a été longue: alors les idées et le langage qui régnaient pendant leur jeunesse dans les sciences, se reproduisent à nous, et il nous semblerait que nous sommes remontés à quelque peuple de l'antiquité. Un demi-siecle a suffi pour tout métamorphoser, et probable- ment que dans le même espace de temps, nous serons aussi devenus des anciens pour la génération qui s'élève: motifs de ne jamais oublier la respectueuse reconnaissance que nous devons à nos prédécesseurs , et de ne point re- pousser sans examen les idées nouvelles qu'une jeunesse ardente conçoit, et qui, si elles sont justes, prévaudront malgré tous les efforts que l’âge présent pourrait faire. Ce qui est certain, c’est que les faits que MM. Jars et Du- hamel recueillirent sont très-nombreux , qu'à cette époque DE M. DUHAMEL. clxvij ils étaient presque entièrement nouveaux pour la France, et que des descriptions claires et méthodiques les ont mis à la portée de tous ceux qui peuvent en tirer parti. L'ouvrage où ils sont consignés a contribué essentiellement au déve- loppement que l’art des mines, la fabrication du fer, de l’a- cier, du fer-blanc, et la recherche de la houille ont pris en France, ainsi qu'à la multiplication des établissements con- sacrés à ces produits du règne minéral. Ce qui ne fut pas moins honorable pour les auteurs, c'est la constante amitié qui régna entre eux et pendant ces lon- gues recherches, et lorsqu'ils s’occupèrent de les donner au public. Leurs rapports les exposaient à devenir des rivaux ja- loux ; leur caractère les en préserva. Dans l'étranger même , leur conduite fut partout régulière et respectable. Ils s’ac- quirent l'amitié de plusieurs des hommes distingués qu'ils eurent à: visiter, et plus d’une fois il leur fut proposé de prendre du service chez les princes dont ils parcouraient les états. ; M. Duhamel surtout , que sa modestie et sa réserve dis- tinguaient avantageusement du commun des voyageurs ses compatriotes, fut très-recherché : le gouvernement autri- chien aurait voulu se l’attacher, mais il était rappelé dans sa patrie et par la destination qui lui était promise , et par un autre besoin plus cher à son cœur. Depuis sa fuite de chez son procureur , il n'avait pas revu son père, et l’idée d'avoir laissé encore des traces de mécontentement dans ce bon vieillard lui pesait. Il courut implorer son pardon : mais ce n'était pas l'enfant prodigue rentrant misérable et humilié dans la maison paternelle; c'était un homme instruit, recommandable par sa conduite, et qui s'était probablement clxvii] ÉLOGE HISTORIQUE ouvert à la fortune une route plus sûre que celle qu'on avait désiré lui faire suivre. On comprend que le courroux du père était apaisé d'avance. M. Duhamel le fils n’attendait donc plus que d'être in- stallé dans les fonctions auxquelles il s'était préparé par cette longue épreuve. Il vient en hâte à Paris, et s’informe si les préparatifs annoncés ont été terminés. Mais tout avait bien changé dans l'administration. La guerre la plus malheureuse avait épuisé les finances. M. de Seychelles, ce ministre éclairé qui avait fait voyager nos jeunes gens, n’était plus au con- trôle-général. Trois autres ministres s'y étaient succédé en deux ans, sans rien faire d’utile au crédit ni à la fortune publique ; et celui qui l’occupait pour le moment, M. de Silhouette, avait été plus malheureux encore que tous les autres. Son nom venait de recevoir un ridicule immortel de l’espèce mesquine de portraits, emblème en quelque sorte de ses opérations, auxquels on l'avait donné. Ce n'était ni à lui ni à la plupart de ceux qui le remplacèrent chacun pendant quelques mois, encore moins à cet abbé Terray, de formidable mémoire, qui gouverna les finances jusqu'a la mort de Louis XV, qu'il fallait proposer de rien fonder pour l'avenir. M. Trudaine ajourna donc ses rapports, et M. Duhamel resta sans emploi. Cependant il ne murmura, nin’essaya d’ob- tenir par des sollicitations ce que l’on refusait à ses travaux. Comme dans tout le reste de sa vie, il se tut, et chercha ses ressources en lui-même. Des conseils donnés aux com- pagnies de mineurs occuperent son loisir et soutinrent son existence. Iltravailla même pour des particuliers, et en 1764, il entra au service d’un riche propriétaire comme directeur d. DE M. DUHAMEL. clxix d'une grande fonderie, à laquelle étaient jointes plusieurs autres usines. H On vit bientôt dans cet établissement ce que l'instruction peut pour la fortune. En peu de mois les frais diminuèrent; le produit doubla; un art tout nouveau s’introduisit. Dès 1767 on y fabriquait de l'acier si parfait, que des An- glais l’achetaient pour le revendre comme acier cémanté an- glais, tant ils craignaient de perdre leur réputation exclu- sive; et l’on en fabriquait plus de 300 milliers par an. Long-temps depuis on a prétendu avoir importé en France cette fabrication, et l’on a demandé pour cela de grandes ré- compenses. M. Duhamel avait agi avec plus de désintéres- sement. Dès 1777, il avait publié son procédé : dans cette occasion il ajouta comme toujours la modestie au désin- téressement, et ne prit pas même la peine de réclamer son droit de priorité. Une situation moins dépendante aurait pu donner à ses talents une influence plus étendue, et il avait conçu un plan qui aurait assuré sa fortune et sa liberté. Il s'agissait d’éta- blir dans les landes des fonderies et des forges, qu'il eût été aisé d'alimenter au moyen des pins si abondants, et alors si inutiles dans cette contrée sablonneuse. Les traités étaient faits, le succès ne paraissait pas douteux , mais il fallait quitter l'établissement auquel il présidait; et il semblait qu'un pro- priétaire qu'il avait si fort aidé à enrichir, n’aurait pas dû se refuser à une liberté qui , à son tour, pouvait aider à la for- tune de l’homme qui l’avait si bien servi. Il en fut tout autrement: ce maître d’un caractère vio- lent , et à cette époque dans le plus grand crédit, abusa de son pouvoir au point de faire reprendre M. Duhamel par 1823. Histoire. X clxx ÉLOGE HISTORIQUE des soldats, et de le faire garder à vue dans son établisse- ment. À peine un des grands-vassaux de la couronne se se- rait-il permis une telle violence dans le fort du gouverne- ment féodal. Elle prouvait du moins le prix que l’on attachait à la possession de M. Duhamel, et rappelle ces temps où l'on emprisonnait les alchimistes , dans l'espérance de les con- traindre à faire de l'or. Heureusement nous n’étions plus au XII siècle : le Roi, à qui les amis de M. Duhamel furent obligés de recourir di- rectement, lui rendit toute justice ,et mème cette circonstance l'ayant rappelé à la mémoire du ministère, contribua à le faire tirer enfin de la position précaire où il avait -été réduit. On le nomma, en 1775, commissaire du conseil pour l'in- spectiondes forges et fourneaux, ce qui lui ouvrit de nouveau la route des emplois. Cependant il a toujours regretté que cet événement ait fait manquer ses projets sur les landes, tant il croyait y voir une nouvelle source de prospérité publique, en même temps qu'une base certaine à sa fortune particulière. Dès le temps où il était encore attaché à sa grande fon- derie, il avait commencé à faire connaître les découvertes et observations qui lui étaient propres. En 1772, il avait fait un vovage dans les Pyrénées, et constaté les avantages de la $ y , méthode catalane de traiter le fer, et la possibilité de l’appli- quer aux mines de l'intérieur du royaume. On sait que cette méthode consiste à faire passer immédiatement le minerai à un état de demi-fluidité, dans un creuset où il est préservé du contact de l'air, et à le soumettre tout de suite à l'action du marteau. On épargne ainsi les grandes avances qu'exige la DE M: DUHAMEL. clxx) construction des hauts fourneaux ; on économise beaucoup de combustible ; on perd moins de fer par la combustion ; le fer s'y sépare et s'y affine dans le même creuset, et par une seule opération. Pour prouver que ce n'étaient pas seu- lement les mines en roche des Pyrénées que l’on pouvait traiter ainsi, il fit transporter et manipuler sur les lieux des mines en grain de l'Angoumois qui y réussirent parfaitement. Une fois libre de tout engagement envers des particuliers, il ne mit plus de bornes à son zele; et ses écrits, ses expé- riences se multiplierent. En 1795, il visita les mines d’Huelgoat en basse Bretagne, et découvrit au grand avantage des propriétaires, qu'une matière d'apparence terreuse , qu'ils rejetaient comme inu- tile , était encore trés-riche en plomb et en argent. En 1777, il améliora dans le même pays les forges et les fonderies de canons et de boulets de fer de Lanoue, et pu- blia, commenous venons de le dire, son secret sur la cémen- tation de l'acier. En 1779, il proposa de grands perfectionnements à la li- quation de l’argent, c’est-à-dire à l’art de séparer ce métal du cuivre , par le moyen du plomb. En 1983, il imagina un instrument propre à mieux suivre la direction des filons, et à fixer les points où ils se croisent entre eux. En 1784 surtout, époque d’un grand concours pour une place à l'Académie , il présenta des mémoires encore plus nombreux qu'auparavant. Il donna un moyen de tirer parti des galènes les plus pauvres. Il enseigna à traiter sans perte les inines riches en fer, en y ajoutant dans les proportions X 2 / cixxi) ÉLOGE HISTORIQUE convenables des terres propres à y produire un laitier suf- fisant , et à en empêcher ainsi la combustion. Il montra que l'on peut encore tirer beaucoup de parti de la plupart des scories de plomb, et indiqua les moyens les plus sûrs de retirer l'or et l'argent des cendres des orfevres. Ces derniers travaux lui valurent successivement dans l’Académie , la place de correspondant et celle d’adjoint ; et ils lui obtinrent enfin du gouvernement la récompense promise depuis si long-temps à ses premiers efforts. Le ministère de Louis XVI avait repris les anciens projets de M. Trudaine. En 1781 M. Necker avait jeté les premières bases de leur réalisation, et en 1783 M. de Calonne parvint à la compléter. Une école des Mines fut établie à Paris, et M. Duhamel y fut nommé à la chaire d'exploitation et de métallurgie, qu'il attendait depuis plus de vingt ans. C'était se livrer un peu tard à un métier auquel il s'était destiné dès sa jeunesse, et qui aurait voulu être commencé avec le feu de cet âge. Non seulement il était difficile que M. Duhamel se formät tout d’un coup à cette élocution qui pouvait seule fixer l'attention de ses élèves; ces théories dont l'exercice de l’art, la vie des forges et des usines, ne lui avaient pas trop permis de suivre les progres, il allait être obligé de les reprendre, de se jeter de nouveau dans les méditations nécessaires pour les coordonner comme elles doivent l'être dans la bouche d’un professeur. 11 avait à s'informer enfin de tout ce que les sciences et les années avaient récemment ajouté à l’art. Son amour pour ses devoirs et pour ses élèves suppléa à tout: il se montra dès les premiers jours digne de sa place, et pendant trente ans qu'il l'a remplie sans 1 DE M. DUHAMEIX clxxir} interruption, l'amour et la reconnaissance de ceux qu'il a instruits l'ont constamment récompensé de ses efforts ; la reconnaissance de bien d’autres encore aurait pu lui être acquise , s’il avait pu la réclamer de tous ceux qu'il a enrichis. En effet, si l’on veut savoirce qu'uneinstitution bien conçue, si peu considérable qu’elle soit, ce qu'une chaire publique de plus ou de moins, par exemple, peut produire d'effet dans un grand royaume, que l’on considère ce qu'étaient alors nos mines et ce qu’elles sont devenues. Nos exploitations de fer, de houille, se sont quadruplées; les mines de fer qui vont s'ouvrir près de la Loire, dans la région du charbon de terre et au milieu du combustible, vont produire le métal au même prix qu’en Angleterre. L’antimoine, le manganèse, que nous importions autrefois , s'exportent aujourd'hui en quantité considérable; le chrome, découverte de l’un de nos chimistes, est aussi aujourd'hui le produit très -utile de l’une de nos mines. Déja on a extrait de très-bel étain des mines des côtes : de Bretagne. L’alun, le vitriol , autrefois presque inconnus en France, s’y recueillent en abondance. Un amas immense de sel gemme vient d'être découvert en Lorraine, et tout an- nonce que ces créations extrêmement nouvelles ne se bor- neront pas là. Sans doute, ce n’est pas à un seul homme, ni à l'érection d’une seule chaire que tout ce bien peut s’at- tribuer; mais il n’en est pas moins vrai que cet homme, que cette chaire, en ont-été la premiere occasion. C'est pour ses élèves que M. Duhamel avait composé son principal ouvrage, dont un volume à paru en 1787, sous le titre de Géométrie souterraine. On sait que les métaux, et surtout les plus précieux, n'ont point été distribués par la nature en masses étendues et ho- cixxiv ÉLOGE HISTORIQUE mogèenes. Jetés en petites parcelles parmi des pierres et des rochesinutiles , ce n’est que par un grand travail que l’homme parvient à s’en rendre maître. Toutefois ce n'est point au hasard qu'ils sont répandus. Leur gisement, comme tous les autres rapports des êtres naturels entre eux, est soumis à des lois. On dirait que les montagnes les plus anciennes se sont rompues ou crevassées pour leur offrir des asiles. Ces fentes immenses qui traversent les rochers dans tous les sens, ont l'air d’avoir été remplies apres coup de pierres étrangères au fonds de la montagne, et c'est dans les inter- valles de ces pierres étrangères ,de ces veines, de ces filons, que se sont déposées ces précieuses molécules, souvent en- core d'une composition très-compliquée, dont les décou- vertes successives de la chimie sont parvenues à extraire le métal dans son état de pureté. L'art du mineur consiste à découvrir les filons principaux, à les suivre, à les retrouver lorsqu'ils sontinterrompus, à ne lais- ser échapper aucun des filons accessoires qui viennentles croi- ser, à enlever enfin toutes les parties qui peuvent contenir du métal, età n'en pointenlever d’autres: ildoit donc connaître les lois générales de la distribution des filons, de leurs inflexions, de leurs intersections; et lorsqu'il en a exploité une partie, lorsqu'il a percé la montagne dans tous les sens où des filons se sont présentés à lui, lorsqu'il y a creusé denouveau ce même labyrinthe qui semble avoir existé lors de la rupture des ro- ches, et avant que les pierres qui remplissent les fentes se dé- posassent; il faut qu'il sache se retrouver en tout temps dans ces détours ténébreux , qu'il conserve même des notions pré- cises des galeries, des veines qu'il a abandonnées, afin de ne pas être noyé par lesteaux, en y revenant imprudemment par de nouvelles routes. DE M. DUHAMEL. clxxv Telest l'objet de la géométrie souterraine: elle reconnait ‘ la direction des filons vers les points cardinaux, et leur in- clinaison à l'horizon; elle fixe les trois dimensions des tra- vaux ; elle en suit et en constate les progres par. des images claires et distinctes. Ses moyens sont tels qu'ils pouvaient être dans ces cavités étroites, où la vue ne s'étend qu'à quel- ques pieds, et où la lumière du jour ne pénètre point. Quel- ques lampes , une boussole, et un: instrument à mesurer l'inclinaison, doivent lui suffire. Elle ne peut pas comme la geodésie ordinaire , ni lier ses opérations avec celles de l’as- tronomie, ni établir de grands triangles, pour raccorder.ses petites erreurs. I lui faut donc des pratiques spéciales qui suppléent par leur exactitude de détail à ces grands moyens de rectification; et ces pratiques doivent être telles que des. hommes de la classe de ceux: qui passent leur triste vie dans ces profondeurs , puissent les: saisir et les exécuter avec une jus- tesse suffisante. “ Ce sontelles que M. Duhamel enseigne, dans son livre. Ce n'est point un ouvrage d’une géométrie élevée, ni qui ait eu la prétention d'offrir de nouvelles vérités mathéma- tiques; c’est un traité purement pratique, une sorte d’ar- pentage d’un genre à part, mais dont l’art des mines ne pou- vait se passer, et que chaque mineur aurait été obligé de se faire à lui-même, si l’auteur ne lui en eùüt épargné la peine. Cet ouvrage est aujourd’hui le manuel de tous ceux qui pra- iquent l'art des mines en France; et comme si la lumiere des sciences perfectionnées eüt dû retourner vers le foyer d'où elle était partie, il a été traduit en allemand et.est fort répandu parmi les mineurs de ce pays. Dans la suite de son ouvrage, M. Duhamel dévait traiter clxxv] ÉLOGE HISTORIQUE de tous les autres procédés de l’art, des diverses manières de creuser, de boiïser, de murailler, d’aérer, et d’étancher les mines, de transporter le minerai , de le trier , de le laver, de le diviser, de le fondre et de l’affiner. La police des mines, leur administration, les questions de droit qui s’y rappor- tent, et les lois auxquelles elles sont soumises dans les di- vers pays, devaient également y être exposées ; mais les évé- nements qui troublerent la France peu de temps après la publication de son premier volume, en arrêterent la suite, et nous ne pouvons en prendre une idée que par les mor- ceaux qu'il en a insérés dans l'Encyclopédie méthodique. Lors de ces événements, M. Duhamel lui-même en fut for- tement atteint ; mais il fit comme dans toutes les autres occa- sions, il prit ses précautions sans se plaindre. Au premier danger, il avait fait acheter quelques terres en Amérique, et il était bien résolu d’y porter ses talents. | ‘ Au moment de s'embarquer, il accorda encore quelques instants aux larmes de sa famille; mais dans ce peu de jours, les hommes qui menaçaient tous les genres de mérite furent renversés, et bientôt les offres de gouvernements revenus à la modération le fixèrent de nouveau dans sa patrie. Depuis, il a rempli ses fonctions de professeur et d’inspecteur-géné- ral des mines, et en cette dernière qualité , il a exécuté des missions importantes, toujours avec zèle et toujours sans bruit ; ne demandant rien, ne contrecarrant les succès de personne, demeurant en un mot fidèle au caractère de toute sa vie. Enfin, son âge et la diminution de ses forces l’obli- gèrent en 1811 à prendre sa retraite. Il avait alors 8r ans. Le reste de sa vie s'est passé dans le calme de l’homme de bien, au milieu d'une famille qui le chérissait. Les douleurs de la DE M. DUHAMEL. clxxvi goutte seule altérerent quelquefois sa tranquillité, et lui cau- serent le plus grand de ses chagrins, en l’'empêchant de venir aussi exactement entendre ses confrères à l’Académie, car il y était aussi assidu que taciturne. Il portait dans ses relations intérieures, la même modestie , la même douceur que dans le monde , et l’on assure que pendant cinquante - trois ans de mariage , il n’a jamais eu avec sa femme la moindre alter- cation, et n’a jamais grondé ni ses enfants ni ses domestiques. Enfin, il s’'endormit du sommeil des justes, le 19 février 1816, âgé d’un peu moins de 86 ans. Un fils, l’un de ses meilleurs élèves, et inspecteur-général des mines, fait revivre son nom dans la carrière qu’il a ouverte, et où ce fils a fait déja des pas non moins distingués que l’ont été ceux de son père. ss 10 en —— 1823. {istoire. Y Fo à D CH 15 PEN ae Sr Qi F4 1% ARE Kia ns re RU “4 éf inéletifs à Ps net URI ERA AN sisi GS PT LLNTE pre Ne NUE | de à en pente ATHLE [AE am es s AAUULAE "Lui 0 SONNERIES pi RU DACNT ER , “1 + IN ND PLUS ji F4 3 ne er no M ré = « 1 d . “4 MEMOIRES L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES DE L'INSTITUT DE FRANCE. 11e #4h - Le SE Sr ERA ENS Tee 6; Eire 5 4h T in 4 e ÿ l £ ai (i « Not RMS 9 ni EE SE A Me PA QU RE PA 4 4 DO) A AC 1 Hs Fe ï J tas SJ \ x Ù £a, ME LS = ; bu D Aro LES Er)" gi hu ‘ \ ? = | UE : d È ” Lu RE PS 1 LA ARR E AE + L : GE L = 2 e ’ : z Û + # x Es ‘ enr CRE EE EE CE TS SE SE OS SOS CS ES SES | MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES DE L'INSTITUT DE FRANCE. RECHERCHES Sur quelques objets d'analyse indéterminée et particu- lièrement sur le théorème de Fermat ; Par M. LEGENDRE. —— ER la théorie des nombres soit beaucoup plus avancée maintenant qu'elle ne l'était du temps de Fermat , cependant il reste encore à démontrer une proposition découverte par ce savant illustre (1), savoir que, passé le second degré, il -(1) « Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos qua- « dratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum, potestatem « in duas ejusdem nominis fas est dividere, cujus rei demonstrationem mira- 1823. I 2 RECHERCHES n'existe aucune puissance qui puisse être partagée en deux autres puissances du même degré. Le cas des troisièmes puis- sances a été démontré par Euler , et celui des quatriemes l’a été également par une méthode que Fermat lui-même avait suffisamment indiquée, mais on n’est pas allé au-delà; et quoique l’Académie des Sciences, dans la vue d’honorer la mémoire de Fermat, eùt proposé pour sujet d’un de ses prix de mathématiques, la démonstration du théorème dont nous parlons, le concours, prorogé même au-delà du terme ordi. naire, n'a produit aucun résultat. I! semble donc qu'une difficulté particulière est attachée à cette question et que nous manquons encore du principe spécial qui serait nécessaire pour la résoudre. En attendant qu'un hasard heureux fasse retrouver ce principe, tel que Fermat l'avait concu, les Amateurs de la théorie des Nom- bres verront peut-être avec plaisir que le cas des cinquièmes puissances ‘peut être démontré rigoureusement. Nous allons exposer cette démonstration en la faisant pré- céder de quelques considérations générales sur les conditions auxquelles devraient satisfaire les trois indéterminées, si la « bilem sanè détexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.» Fermat, Notes sur Diophante, pag. 6r. Les dernières paroles de cette note autorisent à croire que la démons- tration dont parle Fermat, n'aurait occupé qu'un petit nombre de pages, s'il les avait eues à sa disposition. Cette démonstration était donc beau- coup plus simple que celle dont nous nous servons dans cet écrit pour prouver seulement que la solution, s'il y en avait une dans les cas non crandeur résolus, ne poufrait être donnée que par des nombres d'une g prodigieuse. D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 3 solution était possible. L’une de ces conditions est que l’ex- posant de la puissance, ou même son carré, soit diviseur de l’une des indéterminées; et l’on remarquera que cette simple condition, facile à démontrer pour de petites valeurs de l’ex- posant, devient elle-même un problème difficile et non ré- solu, lorsqu'on veut l'étendre à un exposant quelconque. ture L’équation à résoudre étant représentée en général par æ'£y'= 32", on peut d’abord exclure le cas où l'exposant » serait divisible par 4; car cette équation ne serait qu'un cas particulier de l’équation #æ+ui—. Or celle-ci est démon- trée impossible ; il faut donc que la première le soit à plus forte raison, puisqu'il ne suffirait pas de satisfaire à cette dernière par des valeurs de #, u, ®, et qu'il faudrait encore que ces valeurs fussent des puissances de l’ordre : ». On peut de même faire abstraction du cas où l'exposant ñ serait simplement divisible par 2; car en faisant 7—9m, l'équation proposée serait un cas particulier de l'équation &Lu"—v" où l’exposant 72 est un nombre impair. On peut prouver de plus qu'il suffit de considérer le cas où # est un nombre premier ; en effet, si » était un nombre impair quelconque, soit v le plus petit nombre premier qui divise z, il est clair que l'équation proposée serait un cas particulier de l'équation # + w"—»", de sorte que si cette der- nière est démontrée impossible, l’autre devra l'être à plus forte raison. 2. Cela posé, il s’agit en général de démontrer que l’équa- üon 2"+9"+2 —0, où n est un nombre premier plus grand que 2, est impossible, sauf le cas évident où l’un des nom- bres æ, y, z, serait zéro. Nous supposerons d’ailleurs que les nombres x, y, z, dont les valeurs et les signes sont in- TE 4 RECHERCHES déterminés , n’ont aucun commun diviseur ; car si un même nombre premier + divisait deux des nombres x, y; z, il divise- rait nécessairement le troisième, et l'équation pourrait être divisée par 4". Il faudra ,en vertu de cette supposition , que deux des trois nombres +, y, 2, soient impairs et le troi- sième pair. 3. Soit x+y+2—p, je dis que p sera toujours divisible par ». En effet, on sait que 7 étant un nombre premier , la quantité x"— x est toujours divisible par » ; il en est de même de y'—7y et de z'—z; donc la somme de ces quantités, savoir 2" +7" +2'"—p ou simplement —p est divisible par ». 4. Je dis maintenant que p" sera divisible par le produit (x+y)(y+2)(2+x), de sorte qu'on pourra faire....... p'=(x+7)(y+2)(2+x)P, P étant un polynomeen x, y, z, homogène et du degré 7 — 3. Car n étant un nombre impair quelconque, p"—z" est toujours divisible par p—z ou x +; de même 2" + y" est divisible par x+ 7; donc p°—2"— x" . —y" ou simplement p'est divisible par x + y. Par une sem- blable raison p" est divisible par y +2 et par z+ x. Donc x étant un nombre impair quelconque, p" sera divisible par le produit (x+7)(y + 2)(z+ x). 5. Si l'on suppose qu'aucun des nombres x, y, z n'est divisible par », il faudra aussi qu'aucune des sommes x +, Y+23,2+x, ne soit divisible par n; car si, par exemple, x+y était divisible par #, la difference p—(x+7) ou z serait divisible, ce qui est contre la supposition. 6. Si l'un des nombres x, y, z est divisible par », soit æ ce nombre; alors y+4-z sera divisible non-seulement par 7, mais par #"—", En effet, puisqu'on a +7°+2"—0, il faut que D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 5 y'+ 2" soit divisible par 7"; mais y'+z" est le produit de y +2 par le polynome »"—"— 23"°+ 237" —etc.; et si on fait dans ce polynome y+2—o,ou 2——7, il se réduit à 2y*—"; donc, comme y ne peut être divisible par », puisque x et y sont premiers entre eux, le polynome sera divisible par 7 simplement et non par une puissance plus élevée de 7. Donc n—1 y +2 sera divisible par z"7*. En général, si x était divisible par »#*,y +2 le serait par n*—1, et P simplement par 7. 7. Il résulte de ce qui précède que, si on fait y"+z" —(7+2) 9 (7,2), les deux facteurs y +2 et o(7y,z) auront pour commun diviseur ou n’en auront aucun, selon que x sera ou ne sera pas divisible par ». : La fonction p(Y,2z)=y""—27 "+2y +2 dont nous ferons beaucoup d'usage , est remarquable par plusieurs propriétés. Comme les nombres y et z doivent être en gé- néral ou tous deux impairs, ou l’un pair et l'autre impair, la fonction +(y,z), dont le nombre des termes est 7, sera toujours un nombre impair. De plus, ce nombre sera positif; car la fonction + est de degré pair, et elle a tous ses facteurs imaginaires. On sait d’ailleurs que 2 étant, comme nous le supposons, un nombre premier, la fonction 49 peut tou- jours se mettre sous la forme 49 —Y°+n7;, savoir Y°+n2;, si z est de la forme 4k— 1, et Y°—77;, sin est de la forme 4k+1. (Voyez Th. des N. n° 476.) Maintenant, si on peut satisfaireà l'équation x"+7"+2"—0, voici les conséquences qui résultent de cette supposition. 8. Considérons d’abord le cas où l’un des trois nombres x, ÿ, 2, serait divisible par », et soit x ce nombre; alors en 6 RECHERCHES faisant ÿ+2"—(y+2)o(y,2), le produit des deux facteurs y+2 eto(7, 2) sera égal à la puissance (—x)"; et comme ces deux facteurs ne peuvent avoir que 7? pour commun diviseur, il faudra que 2(y+32), et 10) soient lun et l’autre des puissances 7°" dont le produit sera égal à (— x)"; c'est pour- quoi nous ferons en général y + za, a désigaant un nombre divisible par z ou par une puissance de », et p(Y;Z)=na", ce qui suppose z——«4, et de plus « premier ana. On a également z°+2"—(:+x)o0(z2,x)—(—7)"; mais dans _ce cas y n'étant pas divisible par », il faudra que z+x et (2, x) soient l’un et l'autre des puissances 2°“;on fera donc zx —0", et p(z,x)—6", ce qui suppose y——06. Pareillement de l'équation x"+9—(2+7)e(x,7)—=—2",on déduira æ+y=—c",p(x,7)——7", ce qui suppose z——cy. On aura donc à la fois les neuf équations : J+z—>@", p(re)—=na, Nr Gr; TAG D p(2,æ)—€", Y—=—06, (ARR des A p(2y)—=Y; 2=—CY- Appelons comme ci-dessus p la somme x+7+2, nous aurons 2p=—=°a" +b"+c", et les valeurs de x,y,z, seront exprimées en fonctions de a,b,c, comme il suit : L— La — (bc? FA NES a % )1 D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 7 em ue M nm 1 ë n (VER = PS a d z=p—c—" (ra Ze c') 9. Il existe aussi une relation entre &,b,c, laquelle se dé- . 2 . I . / 2 : duira de l'équation 25 —- a" + b"+c", combinée avec l'équa- ‘ Pr ) tion : 2 O— (p—ia) Ga by + (Gen 2 On sait d'ailleurs que p" est divisible par » (y+2)(z +) (æ+7), où par a"b'c"; on peut donc supposer p=abcD, ce qui donnera I 2abcD — sa"+ D'+c". Et par le développement de l’équation précédente, on ob- tiendra dans chaque cas particulier une autre équation entre a,b,ce,D. Dans le cas de 2—3, on a simplement D= 1. 10. Nous remarquerons encore que tout diviseur premier 6 de l’un des facteurs +, 6,y, doit être de la forme 247 + 1. Car les nombres 6 sont diviseurs d’un nombre de la forme P'+g" sans l'être de p+9; soit p—gqt+4u, il faudra que 4 soit diviseur de #+1 sans l'être de #41; d’où il suit que 0 est de la forme 2kn+ 1. (Th. des N., art. 107.) Cette propriété est commune aux trois facteurs impairs 236,7; mais le premier a, qui entre dans la composition de l’indéterminée x déja divisible par'#, a de plus la propriété que tous ses facteurs premiers sont de la forme 24n°+ 1. 11. En effet, soit 6—92#7+ 71 un des facteurs premiers de +; on déduira des équations précédentes, en omettant les 8 RECHERCHES multiples de6,«=0,æ—0,7=—c",2—b",9(7,z2)—0. Soit p une racine, autre que —1, de l'équation ÿ"+ 1—0; puis- qu'on a y°+2—(y +2)e(y,2), l'équation g(y,2)—0, aura pour l’une de ses racines y—z; donc c'—.b", donc & doit être ün résidu ri de 6; représentons ces résidus par la suite H(i,u,u...u), où & doit satisfaire à la condition ui+ 1 — 0 (sans on puisse avoir p/+1—0, k étant un diviseur de #),on pourra faire =", et l'équation "+ 1 —o devien- dra ui} + = 10: Plusieurs valeurs de # peuvent satisfaire à cette équation; car si 2 est la moindre de ces valeurs, on pourra faire :—h, 3h,5h, ete., c’est-à-dire z: égal à un multiple impair de k, et alors la valeur s—y', renfermera les valeurs p—/,u",u”, etc., lesquelles satisferont également à l'équation &"+1—0. Cela posé , l'équation ,”“+1—o dans laquelle l'exposant de y est le moindre possible, devra coïncider avec l'équation u+1—0o, où À est assujetti à la même condition, de sorte qu'on aura À—hn, et par conséquent 0 —2/n°+1. Donc tous les diviseurs premiers de 4 sont de la forme 2#n°+ 1; ce qui établit une différence nôtable entre ces diviseurs et ceux des deux autres nombres 6 et y, lesquels sont simple- ment de la forme 9k7+-1. 12. Nous avons supposé dans l'article 8, que l'un des nombres +,y,z, est divisible par 7; il reste maintenant à considérer le cas où aucun de ces nombres ne serait divisible par ». Alors le seul changement à faire dans les neuf équa- s ; tions de l’art. 8, serait de mettre a” à la place de a, et «" à la place de n2": Mais on verra que ce cas ne peut jamais avoir lieu. D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 9 13. Au moyen de la forme générale que nous venons de donner aux valeurs de #9,z, On peut démontrer que si une de ces indéterminées est divisible par », elle le sera néces- sairement par n°, et qu'il en sera de même de la quantité p. En effet, nous avons appelé x dans l’art. 8, l'indéterminée qui est divisible par » ; or, d'après l'équation 2D— La" + b" +c", où 2p et = a" sont divisibles par », il faut que b"+c" soit divisible par ». D'un autre côté, d"—B et c—c étant toujours divisibles par », leur somme b'+c*—(b+0c) est di- visible par » ; donc b+c est aussi divisible. Soit b+c—nA, on aura B=(—e + n AY, et n.N—I T—c"".n'A?+etc.; BP +c—nce—", nA— d’où l’on voit que #"+-c" est toujours divisible par »°; mais ONE 0 . _. la partie = a” est aussi divisible par »° dans le cas de 7—3, et par une puissance plus élevée de n, lorsque 7 est > 3. Donc p sera toujours divisible par »°; donc p—>a" ou æ sera divisible par »°, Il est donc démontré en général que si l’une des incon- nues z,7,z, est divisible par , elle le sera nécessairement Par »”, et qu'il en est de même de la somme TH+Y+Z—=p. 14. Nous nous Proposons maintenant de démontrer que l'une des inconnues #72, est nécessairement divisible par 7. Ayant déja fait P—X+Y +2, soit encore g—xy +72 +2X,rT—zxyz, de manière que les indéterminées >; Mic 1823. 2 10 RECHERCHES soient les racines de l’équation V—pV'+q9V—r=—o; si on appelle en général $,, la somme des puissances de degré m de ces racines , savoir S, = 2"+7"+2",0n aura d’après les formules connues : DD S,—p—24, S;—=p+3(r—pq), et en général MIN—S , y MM 8 gp gr Sy—=p"—m qp""+mrp + 2 h BL. — 9 MM—4M—D 3 6 = ide te PE - gP m.m—5.m—6 Dom Mm.m—06.m—7 SH es Te louer LOT PU D NE M ee pos etc: cette suite devant être prolongée jusqu'aux puissances néga- tives de p exclusivement. 15. Soit »—3 , on aura S,—0, ce qui donne p=S(pg—r)=3(x+r)r+2)(2 +2); donc p est divisible par 3, et en outre un des facteurs x + y, Y+2,2+x est divisible par 9. Soit ce facteur y+z, alors p—(y+2) ou x sera divisible par 3; on peut de plus con- clure , suivant l’art. 13, que x devra être divisible par 9, ainsi que p. 16. Soit —5, on auraS,— 0, ce qui donnep*—5(pq—r) (p'—g) ou P'=S(x+y)(y +2) 2 2 2 52 (z +2) (EE . , D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 11 Si aucun des nombres x +7,7+2,2+x, n’est divisible par 5, il faudra que le facteur p°+x°+7 +2", ou simplement sa partie x°+7*+2" soit divisible. Mais tout nombre non di- visible par 5 est représenté par 5mæ+1,ou par 5m, et son carré l’est par 5mæ1; or trois nombres étant de la forme 5m—+1, leur somme ne peut être que de l’une des quatre formes m1, m3; il est donc impossible que æ + y'+2" soit divisible par à, si aucun des nombres x, y, n'est divisible. Donc dans le cas de r— 9, il y a nécessaire- ment une des indéterminées divisible par 5 , elle l'est donc en même temps par 25, ainsi que la somme x+7+2—p. 17. Ces deux premiers cas peuvent être démontrés d'une manière beaucoup plus simple comme il suit. 1°. Un cube quelconque non divisible par 3 est nécessai- rement de l’une des deux formes 9m 1. Or trois des restes Æ 1 ne peuvent faire ni fa somme zéro, ni la somme 9; donc si l'on peut satisfaire à l'équation x°+7°+2—0, un des trois nombres æ, y, z, sera nécessairement divisible par 3. 2°, La cinquième puissance de tout nombre non divisible par 5 est nécessairement de l'unedes quatreformes 25m+(1,7), ce que l’on peut vérifier sur les cinquièmes puissances des nombres 1 , 2,3 ,4, lesquelles divisées par 25 , ont les mêmes restes que donneraient les cinquièmes puissances des nom- bres 5x3+1,5x+92,5x+43,5x+4. Or trois des quatre restes +1,—+7, ne peuvent faire ni la somme o ni la somme 25. Donc si l’équation x°+7°+2"—0o est satisfaite, il faudra que l’un des nombres x,7, z, soit divisible par 5. Le même moyen ne réussit pas pour le cas de 7 —7; car on trouve 19/— 18—1—"7.18.19. Ainsi trois nombres non divisibles par 7 tels que x=—19,7=—18,z——1, ou plus EU EN 19 RECHERCHES généralement æ=— 19 +7°a,7—=—18+ 7"d,2—=—1+170c, donneraient la somme 27+77+2 divisible par 7. Mais voici deux autres cas qui réussissent , ce sont ceux de 7—11 et B—17. En effet, 1°. la puissance 11°“ de tout nombre non divi- * sible par 11 est toujours de l’une de ces formes 121m + (1,3,9,27,40).Or dans les cinq nombres 1,3,9,27,40o, il n'y en a pas deux qui se suivent immédiatement ou dont la différence soit l'unité. Donc trois de ces nombres ne peuvent faire ni la somme o ni la somme 121. Donc l'équation x" +7"+2"=—0 étantsupposée possible, un des nombres æ,7,z, sera divisible par 11. 2°, La puissance 17°" de tout nombre non divisible par 17 est de l’une des 16 formes 289m +(1,38,40,65,75,110, 131,134); or parmi ces restes on n’en trouve pas deux qui se suivent à une unité de différence ; donc dans l'équation æ7+9ÿ7+27—=0o, un des nombres æ,y,z, sera divisible par 17. 18. Le principe dont nous venons de faire usage se dé- montre ainsi : Supposons qu’on ait x"+7"+2"—0o, et soit 6 un nombre premier non diviseur de xyz, puisque x et 6* sont premiers entre eux, on peut supposer y—/fx+0"y,z—=gx+0"z", eten faisant la substitution on verra que 1+/f"+ 2" est divisible par 6°, ou qu'en supprimant les multiples de 4‘, on a (—g) —/f"+41, donc parmi les restes des puissances n°"* divisées par 6", il y en aura toujours un, provenant de (5—£) ou de (—g) qui sera plus grand d’une unité que le reste pro venant def". Si cette condition ne sé trouve pas remplie D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 13 dans la série des restes , on doit en conclure qu'il y a néces- sairement un des nombres +, y, z, divisible par 6. 19. Revenons au cas de 2 —", et faisons S —o dans les formules du n° 14, nous aurons P=7(pg--r) {pag} +prl Le facteur (p°—q)+pr peut être exprimé par p°+ C++ r 2 à ) ——i —— + PXYz; si donc aucune des indéterminées x,Y7,z, n'était divisible par 7, il faudrait que x +y° + 7° füt divisible ; mais cette condition ne présente aucun signe d'impossibilité, car le carré de tout nombre non divisible par 7 est de l’une des trois formes 9m+1,2,4, et la somme des trois restes r, 2, 4, est divisible par 7. Cette considération est donc insuf- fisante pour notre objet, et il faut recourir à d’autres moyens. 20. Etant proposé l'équation 4°+ 7° + 27—o , où l’on sup- pose xyz non divisible par 7, on pourra faire d’abord comme ci-dessus DANS C(Ys2)=—=, L—=— Qu, 2 étant premier à 7a. Mais on sait que 4o(y,z) peut se mettre sous la forme Y’+77;, où l'on a Y=2ÿ—Y2—7yz +22 et Z—yz(y—2). On aura donc 4#—Y°+77:, ou simplement #—(: Y +7(22); car Y et Z seront toujours des nombres pairs. Cette équation fait voir que 2 diviseur de la formule #+9u, doit être de cette même forme , et qu'ainsi on peut supposer a—f"+ 178; faisant ensuite (f+g1”/— 7J=F+GV—7, 14 RECHERCHES ce qui donne F=ff—3.7f'8 +5.7f 878) G=g8 fs. +37 fa Te") on aura l'équation (2Y} +37(:Z)—F°+ 76", à laquelle on satisfait généralement par les valeurs préesy2Qr +2); Lya(y—2)= G.. Mais puisque G est divisible par 7, il faudra que yz(7—2) le soit aussi; et comme dans notre hypothèse ÿz est non- divisible , il faudra que y z soit divisible. On prouvera de même par l'équation 4(z,x)=—6, que æ—2 doit être divisible par 7; donc la somme de ces deux quantités , +47 —22 serait divisible. D'un autre côté, x+7 + 2 est toujours divisible par 7; donc il il faudrait que 32 et par conséquent z füt divisible par 7, ce qui est contre l'hypothèse, Donc enfin dans le cas de 7—7, l'une des in- déterminées est nécessairement divisible par 7 et même par 7:. Le même mode de démonstration pourrait s'appliquer aux valeurs —11,72—19, mais il ne réussirait pas pour la valeur n—13. C'est pourquoi nous allons exposer une autre dé- monstration fort simple et d’une généralité presque absolue. 21. Si l'équation x"+»"+2"—0 est possible, avec la con- dition qu'aucun des nombres x ,7,2, n'est divisible par n, il faudra, conformément à l’art. 12, qu'on puisse satisfaire aux équations suivantes où 467 n'a aucun diviseur commun ayec nabc. Y+z—=Q", o(Y,2)—=0") Ge —aa—i(b+c"— a"), 4 D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 15 za", 06(25æ)= 67,0 piece er a"—#Ÿ"), T+Yy—C", ot) —=Ÿ", Ze} (arr bc"). Or nous allons faire voir que ces équations ne peuvent avoir lieu. Pour cela supposons, ce qui sera prouvé ultérieurement, qu'il existe, pour chaque valeur de », un nombre premier b—2hkn+1, tel qu'on ne peut pas satisfaire à l'équation 7. —r+1,r et 7 étant deux résidus de puissances 2°" divisées par 6, et tel en même temps que 7 ne soit pas un de ces résidus. Voici les conséquences qui résultent de l'hypothèse que » n'est pas diviseur de xyz. Il faut d’abord que l’un des nombres æ,y,2, soit divisible par #, car dans le cas contraire, on serait conduit comme dans le n° 18 à l'équation #=—7r+1 qui n’a pas lieu. Soit ce nombre +, alors D"+-c"— a" sera aussi divisible par 6, de sorte qu’en omettant les multiples de 4 on aura "+c"—a"—0o. Je conclus de cette dernière équation que l’un des nombres a,b,c est divisible par 6, sans quoi on serait conduit de nou- veau à l'équation r'=—r+1 qui n'a pas lieu. Ce nombre di- visible ne peut être ni b ni c; car si cela était, x aurait un commun diviseur avec l’un des nombres y et z exprimés par —b6 et ce. Donc le nombre divisible par 8 ne peut être que a. Cela posé, en omettant toujours les multiples de 8 on aura les équations conditionnelles (1) æ—0 ,a—0,b"+c—0o, (x) Ces équations entre des restes provenant de la division de plusieurs nombres par un même nombre premier @, se traitent comme les équations ordinaires, sans qu'il soit besoin des signes nouveaux d'égalité ni des déno- minations nouvelles assez éncongrues , dont.quelques géomètres font usage. 16 RECHERCHES z=V",y==c",z—— 7; ensuiteles valeurs x—0 ,z2—— 7 étant substituées dans les équations p(y,z)—=x",p(z,x)—6",p(x,y) —y\ilen résulter y "=2",7"—6",7"—y". Donc ry—0". Mais puisqu'on a 6—2#n+1,si on appelle 7 un résidu quelconque de la puissance x", non divisible par 6, on sait par les propriétés de ces résidus (7h. des N. art. 336), que les 24 valeurs de r qui satisfont à l'équation p’'—1, sont représentées par la suite 1,u,u°...u"", formée des puis- sances successives d’un même nombre &, dont la propriété est telle que u'——1, et qu'aucune autre puissance de y dont le degré serait inférieur à 4, ne peut donner le reste — 1. Îl en résulte donc qu'on pourra faire#"= p' et y" =", et alors l'équation 7y"— a" donnerait r=y'", donc » serait un résidu de puissance x", ce qui est contre la supposition. 22. Tout se réduit par conséquent à prouver qu'il existe pour chaque valeur de 7 un nombre premier 6 qui satisfait aux deux conditions mentionnées. Voici un tableau dressé à cet effet pour toutes les valeurs de 7 moindres que 100. d () | FU t n () .. WE Et 3+1/ Ex 43/173—= 4.43+1|-(1,80) H\ar— "2 "NO PTIEET 471699—14.47+1|<\1,12,55,144,249,270,307) 7| 29—= 4. 79+1| 1,12) H3lxo7— 2.53-Fr|-Er Alrr| 23— 2.11+1| Ex 59|827—14.5941|2#(1,20,124,270,337,389,400) || 13| 53— 4.13+1|— 1,23) 61|9797—16.61+1|#(1,52,80,227,252,357,403,439) 191137— 8.179+1/(1,10,37,41) ||67|260— 4.67+1| (1,82) 19|191—10.19+1/—(1,7,39,49,82)||711569— 8.71+1|+(1,76,86,277) 123] 47—= 2.23+1| Ex 731293— 4.73+1| (1,1 29| 59—= 2.29+1/x1 79|817—= 4.79+1| (1,114) 13rl311—10.31+ 1/2 (1,6,36,52,95)||83/167— 2.83+1|—Æxr 37|149—= 4.37+1| (1,44) 87l179— 2.89+1|—1 D4il 83— 2.41+1| Ex 971389= 4.97+1|E(1,r15) D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 17 On voit dans ce tableau que l'équation r'—7—1 n'est sa- tisfaite dans aucun cas, c’est-à-dire qu'il n’y a pas deux restes dont la différence soit égale à l'unité. On voit de même que l’exposant z n’est pas compris parmi les valeurs de 7. Ainsi la proposition est démontrée, en quelque sorte d’un trait de plume, pour toutes les valeurs de z moindres que 100 (1). 23. Dans le tableau précédent on peut remarquer que la valeur de X qui sert à former le nombre auxiliaire 6—2nk +1, est un terme de la série 1,2,4,5,7,8, où l'on ne trouve ni 3 ni 6. Cette suite s'étendrait plus loin si le tableau lui-même était prolongé au-dela de la limite 2—097; mais on n'y trouverait aucun nombre divisible par 3. En effet si k était divisible par 3, ikserait toujours possible de satisfaire à l'équation r'—7r+ 1 ,et l’une des conditions exigées n'aurait pas lieu. Car en faisant À—3z, le nombre y qui par ses puis- sances successives forme les 24 valeurs du résidu 7, devra satisfaire à l'équation p'——1 ou y*+1—o. Rejetant dans le premier membre le facteur u'+ 1 qui ne peut pas être zéro par la nature du nombre y (art. 21) on aura p*—y'+1—0; ainsi en faisant #7", w”—r, on aurait —7r+1. 24. Si l'on remarque que la valeur 6—2n+1 s'applique à 9 des 24 cas contenus dans le tableau , on pourra présu- (1) Cette démonstration qu'on trouvera sans doute très ingénieuse, est due à M Sophie Germain, qui cultive avec succès les sciences physiques et mathématiques, comme le prouve le prix qu’elle a remporté à l’Aca- démie sur les vibrations des lames élastiques. On lui doit encore la pro- position de l'art. 13 et celle qui concerne la forme particulière des divi- seurs premiers de &, donnée dans l’art. 11. 1823. 3 18 RECHERCHES mer que la loi est générale; c’est-à-dire que toutes les fois que 27+1 est un nombre premier en même temps que 7, ce nombre 27+1 où à satisfera aux deux conditions pres- crites, savoir que l'équation r—r+ 1 entre deux résidus n°" n'a pas lieu, et que » n’est pas un de ces résidus. En effet dans ce cas il n’y a que deux résidus+1 et — 1, qui ne satisfont point à l'équation #=—r+1, et » n'est pas un de ces résidus. 25. On peut prouver de même que lorsqu'on a8—4n+1, ces deux conditions sont encore satisfaites. Dans ce cas il y aura 4 résidus r à déduire de l'équation r‘— 1 =0, laquelle se divise en deux autres r* —1—0,r*+1—0. La seconde d’où ;l faut déduire le nombre 4 est facile à résoudre; car on sait que dans le cas dont il s’agit 6 peut être mis sous la forme a° + b’, il suffira donc de déterminer y. par la condi- tion que a+-b4. soit divisible par 6, et #’+ 1 sera divisible par 6; de sorte qu’en omettant les multiples de 9, on pourra faire p°—— 1, et les quatre valeurs de r seront r—Æ+(r,u). De là on voit que la condition r'=r +1 ne pourrait être satisfaite que dans le cas de y—2, alors on aurait 6—5 et n—1, cas exclu. La seconde condition qui exigerait que u—n, donne en omettant les multiples de 6, n°'——1; mais par la même omission on a 14+4n—0o,et 1—16n»; donc n——16n#,ou17—0, c'est-à-dire que 17 serait le nombre 6; mais alors on aurait » — 4 qui n’est pas un nombre pre- mier. Donc toutes les fois que 7 et 4n +1 seront l'un et l’autre des nombres premiers, le nombre 6—/4n+1 satisfera aux deux conditions requises. 26. L’analogie porte à croire qu’il en sera de mème dans D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 19 le cas de 6—8n+1; c’est ce qu'il faut examiner. D'abord la valeur de y devra être déterminée par l'équation g#+ 1 —o qui peut être résolue sans tätonnement de la manière sui- vante. Le premier membre peut se mettre sous la forme (u°— 1} +24,etcomme6 nombre premier 82+ 1,doit êtredela forme a +2b°, on pourra faire y°—1—2yc, en prenant pour c la plus petite valeur de y qui satisfait à l'équation a—2by==6 x. Pour résoudre ensuite l'équation #—2yc—1—o, ou (u—cY—(c+1)=0,on multipliera le premier membre par 4 b?, et observant que 4b°(c° + 1)—a° + 4b°—2b°, on aura 4b°(p—cÿ —2b°—0o, ou 2(u—c)—1—0. Mais le nombre 6 de forme 8n+1, peut être représenté par 24*— 6’; donc y sera déterminé par la condition que 6(u—c) +4 soit divi- sible par 6. ÿ Cela posé, les huit valeurs de r seront r—Æ(1,u,u,u). Maintenant l'équation #—r+ 1, si elle pouvait avoir lieu, serait représentée par l’une des trois équations suivantes : EE up EI ENL-EL; et comme on a p‘——1, la seconde mise sous la forme up" +, et la troisieme multipliée par 4, se réduisent à la premiere. Ainsi tout se réduit à prouver qu'on ne peut avoir pu Et, où p—1—y. En effet si on élève chaque membre au carré, on aura +2y—u*, équation impossible. Si on admettait encore la combinaison p—+y°+1, il én résulterait 2—<+%°, et ensuite 4—u——1, équation im- possible. Donc lorsqu'on aura 6—8n+ 1, l'équation —r+1 sera impossible, et la première condition sera remplie. Il reste à prouver que la seconde le sera également, c'est- Se 20 RECHERCHES à-dire que » ne sera pas comprise parmi les valeurs de 7. Si elle l'était on aurait 2{— +1 ; d’un autre côtéona1——87+46, ou simplement 1 ——8n, et par conséquent 1=8‘n', donc ni—=+8n, ou 8: Er—o, ce qui veut dire que 4 ne pourra être qu’un diviseur de 8f+1; or 8‘+ 1 n’a pour diviseur aucun nombre premier de la forme 82 +1,et 8+1ena deux, savoir 17 et 241; mais ceux-ci supposent 2—2 et n—30, Jun n'étant pas premier, l’autre n'étant pas impair. Donc nos deux conditions seront remplies sans aucune ex- ception, toutes les fois qu’on aura 6—8n+1. 27. Soit encore 6—16n+1, on pourra toujours trouver une valeur de 4 telle qu'en omettant les multiples de 6 on ait w——1, et les 16 valeurs du résidu r seront ainsi repré- sentéesr—Æ(1,u,u"...u"). Maintenant si l'équation r=r+1 entre deux résidus pouvait avoir lieu, elle se réduirait tou- jours à l’une des six équations RUES Her TESTER HE ui EN HECN Or de la première on déduit (+1) =’, où v'+1=y* (1H 2), et le carré de celle-ci est 2u*—y"(1 2), ou (12) —2 , équation impossible. La seconde équation donne L] 2 — 2 — & L mn (u El) — [, ou uw F2u Wir donc ui + IH ; le carré de celle-ci est AE, D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 21 TI 0 x ou parce que rt donc —1—16, c’est-à- dire 6—17, valeur qui supposerait z—1. La troisième équation ‘+ 1—y étant élevée au carré, donne = 2u'—y; le carré de celle-ci est —4—u*, d'où résulte encore 16—— 1, ou 6— 17. La quatrième u'+1—+y: élevée au carré, donne + ou“ —y{, ou 1— +2, équation impossible. Enfin on trouvera de même que les équations p°= + y.+ 1, w=y Ey, conduisent à des résultats impossibles. Donc la première condition est satisfaite. Quant à la se- conde on trouve également qu'elle l’est, à moins que 6 ne soit diviseur de 16° 1 ou de 2*+1. Or on sait (7. des N., art. 162) que le nombre 2*— 1 n’a d’autres diviseurs pre- miers 16n+1 que 17,257 et 6537 qui supposent..... u—=1,16,4096, valeurs exclues; on sait également par l’art. 157, que le nombre 2°+ 1 n’a que les diviseurs premiers 64 et 6700417, qui suppôsent 2—40 et »—/418776, or ceux-ci ne sont pas des nombres prémiers. Donc il n’y a aucune exception et les deux conditions seront toujours rem- plies lorsqu' on aura 6—167+ 1. 28. On peut vérifier de la même manière que les deux conditions sont encore remplies pour les cas de 6—10on7+ 1, et6—147+1. Dans le dernier cas la seconde condition ne souffrirait d'exception que pourles diviseurs premiers 14n+1 de 141. Or 14 +1 est le produit de 15 par le nombre 7027567 qui est premier, mais pour lequel on aurait.. ñn—501969 qui n’est pas premier; et 14—1 est le produit de 13 par 8108731 qui est un nombre premier 14n+1, mais pour lequél x n’est pas premier. Ainsi la proposition dé- 22 RECHERCHES montrée par la table pour tous les nombres premiers ? moin- dres que 100, s'étend généralement à tous les nombres pre- miers z tels que dans les six formules2n+1,/4n+1,10on7+1, ‘a4n+1,16n+1, ily ait au moins un nombre premier, ce qui permet d'étendre immédiatement la table jusqu'à = 197 qui dépend du nombre premier 8—38 n + 1 —7487. 29. Dans le cas de 7 —5 ,cessix formules donnent les trois nombres premiers 11,41, 71, quiremplissent par conséquent les conditions exigées dans la table; la formule 0—104+1 donne encore le nombre 101 qui satisfait aux deux mêmes conditions. Mais depuis’ 101 jusqu’à 1000 on ne trouve aucun nombre 104+1, ou plutôt 30# +11 (car 304 +1 est exclu par le n° 23), qui ne satisfasse à l'équation 7—r+1, ce qui doit faire présumer que 101 est le dernier des nombres qui remplissent les deux conditions de la table. Nous ne connais- ‘sons donc que les quatre nombres 11,41, 71, 101 qui di- visent nécessairement xyz dans l'équation x + y’ +z°=—0. Voici les résidus cinquièmes qui répondent à ces quatre va- leurs de 6. ; 6. Residus cinquièmes. 4x Æ (1,3,9, 14), TL NE (x, 204/28#20, 50% 32,34); on | Æ(r,61ro, 47, 32:36, 39, 41:44). IT HER D'où l’on voit que, non-seulement l'équation 7'—7r+ 1 n’est pas satisfaite , mais que à n’est pas compris parmi les rési- ee , D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 23 dus. Cette dernière circonstance permet de démontrer que les trois nombres 11, 71,101 divisent la même indéterminée æ déja divisible par 5, et de plus que cette propriété n'ap- partient qu’au plus petit a des deux facteurs &;a, dont la valeur de x est composée. Voici les moyens de parvenir à cette démonstration, d’où l’on déduira quelques conséquences importantes pour les autres cas du théorème de Fermat. 30. Reprenons pour cet effet les équations de l’art. 8, sa- Voir : I dl 4 I LL n JEI—E A", X—= —aa—=< (o+e mi D p(Y:2)=7a", HAE, y bé (otre bd), p(sx) 6, nt em me D et supposons que le nombre 6 de la forme 24n +1 réunit les deux conditions exigées dans l'art. 21. On peut prouver en général que 4 n’est point diviseur de b; car supposons, s'il est possible, que 4 divise , il divisera en même temps Jet, en supprimant les multiples de , on aura 8 —o et RUE I : Y=0. De là on déduit z—=>a",;2—c",2+x—0,donc.... : L \ L4 É e 7 . a% +c=0. Représentons par set y’, les résidus des puissan- ces a" et c’, divisées par 0, nous aurons u+nu—0, ou n— —p#"; donc z serait un des résidus r compris dans la suite Æ (r,pu'...u—), ce qui est contre la supposition. On prou- vera de même que 6 ne divise point c; donc 6 ne divise point bc. - 31. En second lieu, supposons que 6 divise l’un des nom- 24 RECHERCHES bres désignés par #,6,y; puisque «57 n'a aucun diviseur commun avec abc, il faudra que 6 ne divise aucun des nombres &, b,c; cependant comme il doit être diviseur de l’un des nombres +, y, z, on voit par les valeurs de ces nom- bres données ci-dessus, que l’une des quantités I I I : bp c—"a,c"+=a 6", {a +b"— 6e à n nm nm doit être zéro, en rejetant les multiples de 8; et comme dans le mème cas : —-—92Àk, cette condition exige que parmi les résidus r, r',r", etc., il y en ait deux ret 7' qui satisfassent à l'équation 7 —r—2k. C'est ce qu'on vérifiera aisément en ajoutant 24 à tous les termes de la suite Æ(1,p,u°.. Na) et voyant si la seconde suite ainsi formée a un ou plusieurs termes communs avec la première suite. Sielle n'en a point, l'équation r'—r—2À est impossible, donc 6 ne saurait di- viser 287, et puisque d’ailleurs il ne divise pas bc, il divisera nécessairement le facteur &, l’un des deux dont x est com- posé. Cette vérification, si elle réussit, dispensera des deux sui- vantes. { 32. En général on peut par deux opérations assez simples déterminer si 0 peut être diviseur de 67 et s'il peut l'être de «. Supposons 1° que 6 divise 6, alors en -omettant les mul- tiples de 6, on aura I ÉONME— 0,2—-a'—=—2kha",x—0c",z +x—b',o(z,x)—=0: Et d'abord pour résoudre cette derniere équation il faut D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 25 remonter à la valeur de la fonction "+ x" HE Er ap ainsi il faudra résoudre l'équation 4° +z—0, c’est-à-dire —un multiple de 6, et omettre la racine x+7—o. Or on sait (7h. des N. art. 337) que la solution générale de cette équation est donnée par la formule x——2.$",0" étant une puissance quelconque du nombre , qui satisfait à l'équation g—1—0, c'est-à-dire #—:1— à un multiple de 6: Cela posé, si on exclut la valeuræ— — x, les »— 1 racines de l'équation o(xæ,z)—0, seront, en omettant toujours les multiples de 6, æ——72(4,9,6"..0"*), et parce que x—c" et z——2/a", on aura les 72 — 1 valeurs GC, 2kp°, 2kp°. .2kp—). 2 . c' . 2 0 Dans cette équation — peut être considéré comme un résidu n°", donc il faudra que dans la suite B—2%», 2kb", 2kp°. 7 ais ; il se trouve un ou plusieurs termes communs avec la suite des résidus M—æ+(1,p,u,u..p—). S'il ne se trouvait aucun terme commun entre ces deux suites, on en conclurait que 6 n’est point diviseur de 6, ni par conséquent de +, car l'épreuve est la même pour l’un et pour l’autre. S'il y a un ou plusieurs termes communs entre ces deux suites , il faudra encore qu'ils satisfassent à la condition z+x CRE x Fe Voie —b"; et parce que Re doit encore être un résidu 2°”, il faudra 1823. 4 26 RECHERCHES que dans la suite B—24(p—1),24(6— 1), 24(p— 1)... 2k(p—" —1), il y ait encore un ou plusieurs termes qui appartiennent à la suite M; mais il faut de plus que les termes des suites B et B' communs avec M, soient placés au même rang, c’est- à-dire que le terme 2z+' de la suite B et le terme correspon- dant 2%9—2% de la suite B', soient compris l’un et l’autre dans la suite M des résidus °"“. Si cette double condition n'est pas remplie, on en conclura que 6 n’est point diviseur de 6. 33..Supposons 2° que 6 est diviseur de «, on trouvera sem- blablément que dans les deux suites x A—pp30p "9 A'=n(p—1),n(p—1),n(p—1)...nR(p—"—1), il devra se trouver deux termes correspondans &',n(9 —1}, qui soient compris l’un et l’autre daps la suite M. Mais cette épreuve ne sera nécessaire que lorsque 6 sera de la forme 2Ln°+1; car on sait à priori (art. ro) que si le nombre premier 6 est simplement de la forme 2k7+1,dans laquelle # n’est point divisible par quite nombre ne peut être diviseur de «. Au moyen de ces deux épreuves on décidera aisément dans chaque cas particulier, si 6 peut-être diviseur de 6 ou de ; Sil ne divise ni l’un ni l’autre, on sera assuré qu'il doit être diviseur de &., 34. Soit par exemple z— D, nous aurons à examiner suc- = D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 27 cessivement les quatre diviseurs 6—11,41,71,101, dont nous avons donné les résidus 5°“, art. 29. Soit 1°.06—11,on aura 24=—2,et M—æ+1. L'équation s—1—o, où l’on néglige les multiples de 11, a pour une de ses racines +—5, ce qui donne les autres #—3,$—4, pi—— 2; d’après ces valeurs voici les quatre suites A, A", B,B', où nous conservons l’ordre des puissances de » : A—+5,+3,+4,—0, B——1,—5,—3,—4, A—=—0,—1, +44, B=—3,+4,—5,+5. On voit que B' n’a aucun terme commun avec M— +1, et qu'il en est de même de A; done 11 ne divise ni 6yniu, donc il divise le facteur de x désigné par a. Soit 20, 6— 41, on aura 24—8 et M—+(1,3,9,14);on satisfait à l'équation —1—o, c'est-à-dire à l'équation... p—1 (41), par la valeur b—— 4, delà ces quatre suites: A—— 4,+16,+18,+10, B—+9,+5,—20,— 2, A—+16,— 5,4 3,+ 4, B—=+1,—3,+13,—710. Les termes correspondans 9 et 1 pris dans B et dans B', sont compris dans la suite M; donc il n’y a pas d'impossibilité à 5g", est certainement plus grand que 1, et ne peut comme nombre entier, être moindre que 2. Donc en supposant même que la suite w, u',u”, etc., eüt pour limite 1, la valeur de # composée d’un nombre indéfini de facteurs 2, r',r",r"", etc., qui ne peuvent être moindres que 2 ,surpassera bientôt toute quantité don- née, ce qui ne peut s’accofder avec la supposition faite que les valeurs primitives de x,7, z, sont données en nombres finis. Donc l'équation proposée est impossible, dans le premier cas où l’on suppose que l’une des indéterminées est divisible à la fois par 2 et par 5 (r). Second cas, où l'on suppose x impair. 43. Alors les deux indéterminées y et z seront l’une paire, l’autre impaire, et la seconde des équations (a) pourra se mettre sous la forme (y —1, les nombres x et y doivent être impairs, et on peut supposer que z l'est aussi ; d’ailleurs le premier membre est le pro- duit des deux facteurs æ+y,2°—xy+7", qui ne peuvent avoir que 3 pour diviseur commun. Ainsi il faudra distinguer deux cas, selon que z est ou n’est pas divisible par 5. Soit 1°. z divisible par 3, l'équation proposée se divisera nécessairement en deux autres comme i] suit : DEVANT Ge —xy+ÿ==3r, et l'on aura z—3ar, r étant premier à 3 a. La seconde de ces équations peut se mettre sous la forme (2 +3(27 —=37, ou 2) #3 (= =) ="; d'où l'on voit que r, qui est toujours un nombre impair, doit être de la forme f° + 32°. Faisant donc —f+32", puis (f+g8l/—3)="#F +GL/—3, on aura r°—F° +36, et de l'équation précédente on déduira 7 =F,—-=cG. Mais on a G—3g(f°—2") ; donc EPS) = a. Dans cette équation g doit être divisible par 2" , car f* — 2’ est nécessairement un nombre impair, puisque /* + 3g° en 46 Z RECHERCHES est un; d’ailleurs les trois facteurs g,f+£8,/f—2g, n'ayant aucun diviseur commun, l'équation précédente se décom- posera en trois autres, savoir g— 2" "a", f+8—6",f—8=—=Y" d'où résulte 6 —;—2", équation semblable à la proposée et composée de nombres beaucoup plus petits. Soit 2°. z non divisible par 3, alors l'équation proposée se décomposera en ces deux-ci : æ+ÿ—2"a", L —ZY+Y =", lesquelles supposent z—ar, et r premier à @. La dernière étant mise sous la forme. ...... HSTNERDRNE TZ) + +3 ‘=r, on voit quer devra être de la forme f° +38; c'est pourquoi faisant, comme dans le premier cas, ii) +32 ,(f+gV—3) —F+GL/—3, on aura....... F® 43 G’; ce qui donnera la solution = = “a on a F—/(/f*—98"); donc 2" a —f(f°—98"). Les trois facteurs du second membre f,f+3g,f—32, étant premiers entre eux et f°—9g° étant toujours impair, cette équation ne ‘peut subsister à moins qu'on n'ait f—2" "+, f+3g—6,f—3g—+%, ce qui suppose a—x67, les trois nombres 4, 6,y étant premiers entre eux. De là résulte... 6 + —2"4#, équation entierement semblable à la proposée, et dans laquelle + sera, ainsi que a, non divisible par 3. Puisque dans les deux cas l'équation proposée se réduit à une équation composée de nombres beaucoup plus petits; il s'ensuit que cette équation est impossible, excepté dans le seul cas x + y —0o. ‘ D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. | 47 Nous avions déja démontré dans la Théorie des nombres le cas de m—3: et celui de m—1 + 3i, à étant un nombre entier; la démonstration précédente qui s'applique à ces deux Cas , comprend en outre le cas de m—9 + 32. De l'équation x°+y —Az;. 5x. Il résulte de la démonstration précédente que cette équa- tion est impossible pour les valeurs A—1, 2,4,8, 16, etc.; on peut faire voir qu'elle l’est encore pour les valeurs A—3, 5, 6. Pour cet effet observons d’abord que si À est de la forme 9mE(3, 4), l'indéterminée z devra être divisible par 3; car si elle ne l'était pas, on pourrait faire Z—p2z+94,7—=Q2 +97, et en rejetant les multiples de 9, on aurait. ...... A=p°+q". Or un cube quelconque est toujours de l’une des trois formes 9m, 9m 1; donc la somme de deux cubes, divisée par 9, ne peut laisser pour reste que 8,1 ou +. Donc si À donne pour reste +3 ou +4, z sera nécessaire- ment divisible par 3. 52. Cela posé, considérons l'équation z° + Y'=37; puis- .que z doit être divisible par 3, cette équation ne pourra se partager en deux autres que de cette manière : Z+y—=(Sa), 2—xy +Y —$r", où l’on suppose z—3ar, r étant impair et premier à 3 a. La seconde de ces deux équations pouvant se mettre sous la forme (x—7) + 3(94*)—4r, il faudra distinguer deux cas, selon que a est pair ou impair. Supposons 1°,a impair, æ— y sera aussi impair; et puisque le premier membre de cette équation est de la forme p°+39', 48 |, RECHERCHES son diviseur r sera de la même forme. On pourra donc faire r=f"+3g,r —#F°+3G,et pour résoudre l'équation précé- dente, on ferax—y+9a4/—3=—{(12+4/—3)(F+G1/—3), ce qui donne g&—G+EF. Mais puisqu'on a G—3g(f°—2") et F—/#(f"—98"), il est visible que G est divisible par 3 et que F ne l’est pas; donc l'équation précédente ne saurait avoir lieu. Supposons 2°, & ne et par conséquent æ—7 pair, on aura = 2) +- Ce D —r, Faisant toujours 7—f"+32" r=Et+9G trois facteurs 2,f+£, Ve , étant premiers entre eux, cette équation ne peut subsister qu’en faisant g—124,f +86" f—g—="), ce qui suppose a—226y , 6 et 7 étant premiers à G«. De là résulte 6 —— 2 9 —3(24), équation semblable à la proposée et CORPS de nombres beaucoup plus petits. ‘ Donc l'équation à° + y°— 37°, est impossible. 53. On démontrera semblablement l'impossibilité des équa- tions æ° + y —92,x + y —67. Ainsi la série des valeurs de A depuis A— 1 jusqu'a A—6, auxquelles on peut joindre la valeur A—8, ne donne que des équations impossibles; mais en continuant cette série on trouve immédiatement deux valeurs A—7, A —9, qui rendent l'équation possible. #6, ou 2 —p(f—g) Les On voit en effet que l'équation x° + y°— 172; est satisfaite en faisant x—2,y—1,z=1, et que l'équation x° +7 — 92° l’est également en faisant x —2 ,7—1,:—1. 54. Il est remarquable au reste que si l'équation x° +7" D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 49 —Az admet une solution, sans supposer z—0, elle en ad- met dès-lors une infinité qui se déduiront facilement de ‘la solution primitive. En effet supposons qu'on satisfasse à l'équation proposée par les valeurs x—4a,y—b,z—c; on sait que la somme ‘ des deux cubes donnés a°+b° sera égale à la somme de a(25 +) deux autres cubes p°+ 9°, si l'on prend p=—, B(2a + - ; EEE 0 Donc de la solution donnée. a, b,c, on déduira cette seconde solution x—a(2b°+ a*),..... 91 Y—=—b(2a + b),z—c(a—b°);les nombres de celle-ci étant désignés par &,b',c', on en déduirait semblablement une troisième solution a”,b”, c”, au moyen des valeurs a'= a'(a%+20"), b'——b(2a°+ 0"), c'=c(a—06"), et ainsi à l'infini. 55. On voit que chaque solution est du quatrième ordre par rapport à la précédente, c’est-à-dire que le nombre des chiffres devient à peu près quadruple d’une solution à la sui- vante. Ainsi la première solution de l'équation x°+7—72; étant donnée par les nombres 2,-—1,1,la seconde sera 12, 15,9, ou plus simplement 4, 5, 3; de celle-ci on déduit la troi- sième 1265,— 1256, 183, etc. De même la premiere solution de l'équation 2 +ÿ —=92 étant donnée par les nombres 2,1,1, on en déduit la se- conde solution 20,— 17,7; de celle-ci la troisième. ...... 188479, — 36520, 90397, et ainsi à l'infini. 56. Dans le cas de A——1, on voit que s’il existait une 1823. 7 5o RECHERCHES solution de l'équation x? +7 +7°=—0, donnée par les nom- bresa, b, c, on en déduirait une seconde à’, b’, c', au moyen des valeurs a'—a(b—c),b—=b(c—),c=c(&#—b); celle-ci en donnerait semblablement une troisième, et ainsi à l'infini. Si on cherchait à prolonger la série de ces solutions dans le sens inverse, on devrait trouver de même une infinité de ‘solutions, mais elles deviendraient bientôt irrationnelles ; car puisque a’ est de l'ordre af, si a° précède a, il faudra que a° soit de l’ordre Va. Voici d'ailleurs la détermination de ces quantités. Soit a9—x, b— y, c°—2, on aura à résoudre les équa- tions a—=x(y — 2"); b—y(s —x), C—z(æ—7), qu'on peut combiner avec l'équation x°+ 7° +2—0. Or si l’on fait 3x—w, on trouve pour déterminer x l'équation —6Gau—8(b—c)u—3a—o, équation qui est du nombre de celles qu’on peut résoudre à peu près aussi simplement que celles du second degré. Soit ; 3 en effet rm—V/4, et p une auxiliaire dont la valeur est p=V/(a —bem), on trouvera 4 ou NME TUE (ap ira Gi TE _ Des expressions semblables donneront les valeurs de 3 et D'ANALYSE!) INDÉTERMINÉE. 51 de 32‘, au moyen des auxiliaires 1 g=V'(b—acm),r=V/(—abm). Fa Ainsi à l’exception de la constante » qui dépend d’une ra- cine cubique, il ne faut que de simples extractions de racines carrées pour déterminer les nombres x,y,z, et pour pro- longer à volonté la série des solutions dans le sens opposé à celui où elles croissent avec beaucoup de rapidité. Nous pourrions remarquer ici qu’on a entre les auxiliaires ‘P;:g>r et les quantités a,b,c, les trois équations ration- nelles ; pqg—=aûab+:mne, 3a—p —mar, 3bc——qr—?:m p, qui chacune en produisent deux autres semblables, et d’où résulte l'équation p° + g° + r—0o. Mais ces propriétés ne se rapportent qu'à un genre d'analyse indéterminée différent de celui où l'on'se propose seulement d'obtenir des solutions en nombres rationnels. Théorèmes d "Analyse. 57. Théorème 1. n étant un nombre premier, si on fait æ"+7"=(x +y)P, P désignant le polynome............. 2 '— y x" +y x" —etc., on sait qu'ilest toujours possible de satisfaire à l'équation APR 71 savoir X° +7 Y'si n est de la forme 4k—1, et X°—nY:sin 7. 52 RECHERCHES est de la forme 4 + 1. Cela posé: » Je dis que le polynome X se déterminera en général » par la formule (1) X=—2(x +7)", » OÙ ME, pourvu qu'après avoir développé cette puis- » sance, on retranche des coefficients tous les multiples de » » qu'ils peuvent contenir, en ne conservant que les restes » moindres que +7.» En effet la quantité A—(a + 1) — a" — 1 est toujours di- visible par », quel que soit l'entier &. Supposons a + 1 non- n PA / A se (HO se divisible par 7, alors ——=—(a + 1) (= sera divi- sible par 7; multipliant par 4 et observant que 4 (+ =) peut être mis sous la forme B°'+72C', on aura le nombre 4 (a +1)"—B=+nC', ou seulement sa partie 4 (a + 1)"—B* quisera divisible par ». Donc 2 (a +r)"+B sera encore di- visible par » ; et comme le signe de B est à volonté; on pourra faire B—2(a + 1)". C'est ce que donnerait la formule énoncée dans le théoreme en faisant x — ay. 58. Soit par exemple 2— 11 , on aura m—b, et X=2(x+7y)—=22 +107 y+ 202 Y +20% y +10xy' +2y; réduisant comme il vient d’être dit, les coefficients au-dessous de 27, on aura la vraie valeur de X, savoir X— 22 —x y —22 y —22 y —xy +27. (1) Gette formule offre pour déterminer X un moyen beaucoup plus simple que celui que nous avions indiqué dans la Théorie des nombres, art. 4784 D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 53 Si on prend ensuite le carré de X et qu'on le retranche de P, on aura la valeur de 11 Y: d’où résulte ? Y=xy(x —). Cette seconde opération s'exécute par les règles ordinaires de l'analyse, sans faire aucune omission dans les coefficients. Soit encore 7 — 17, On aura m—8, ce qui donne X = 2(x + y) — 22 +162 y +662 +112 2% + 1402 ys nE 2° + 16x77 +56x° 5 + I 122 Y et en supprimant les multiples de 17, X— DL y +5 y —7 LV + PT dy + SL y + 2ÿ'; ensuite on trouve Y=xy (a y+ DV LL + dy — wy M) 59. Théorème IL. « Soit » un nombre premier 4m +1 ; SL » l’on fait (P+gV' nr) =F+ GL/ 7, ensuite F=— FP,G=—ngQ, » ce qui donne Un — R—I1.7—90,n—3 LS dé Let = LPS gs ina. ne ne Here Eee. mr HI PERRET I nf mt LES ra Dre ST .n'g$+etc. » Je dis que les polynomes p et Q Peuvent en général se » mettre sous la forme X°—» Y', de sorte qu'on pourra faire P—A 28; Q=—C—2D;, » A,B, CD, étant des polynomes en f'et g du degré D2R—;(n— 1) » 54 RECHERCHES En effet, si on fait p—f+gl/n, g—f—gV n, on aura PET ; mais d’après cette formation on sait que la fonc- tion 4P peut être mise sous la forme X°—n7 Y', dans laquelle on aura X— | 2p"—p""""q +(m+ 1)p"g" + etc. FU (reg qg"p+ (m4 19" p" + etc. Ÿ= PT: +aprq +ete. 7 (+g"Tp+ag"p + etc. + Mp"g", + Np”q"”. Et comme en général pq est rationnel ainsi que p'+q', À étant un entier quelconque, il s'ensuit que X et Y sont des polynomes en f et g, homogènes et du degré 2m; ces poly- nomes divisés par 2 seront les valeurs de A et B dans l’équa- tion P—A'— 7 B;. On aura semblablement Q=—; TT ; mais en faisant... P'—g ={(?--9M, on aura 4H=4nQ=—=X"—nY": = ap het + (m+ Dre | +Mpa", +29" +9"%'p+(m+i)g" p +etc. | y— | PP" q—4p" "g + ete.) Norge. +" p —« g"—p°+etc.| Les valeurs de X’ et Y’ sont donc pareillement des fonctions entieres de f'et g; et comme X’ doit être divisible par », en vertu de l'équation 4nQ=X"—nY", il faudra faire X —n27, ce qui donnera ÂQ—n7Z°—Y". Donc la fonction Q peut être mise sous la forme n(:Z)—(£V'); or puisque » est de la forme 4m +1, et qu'ainsi l'équation F—nu—— 1 est tou D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 55 jours possible, la même fonction Q pourra être mise aussi sous la forme C*—7D>; il suffit pour cela de faire. ....... C+DV/n=(Y+IZV/n)(tÆuv/n), ce qui donnera... C—=HY EinuT, D=itZ +iuY. 6o. Théorème II. « Soit 7 un nombre premier de la » forme 4m +3, si on fait(f+gV/—n) —F+GL/—n, en. » suite F—fP,G=ngQ, ce qui donne PS ER sr 2 2.3.4 Q= EE — SF ng Re RÉ pr gi etc. » je dis que les polynomes P et Q pourront être partagés en » deux facteurs rationnels, de sorte qu'on aura P—AB,Q—CD, » À,B,C,D, étant des polynomes en f'et g du degré... D 2 +1—<(2—1) » En effet, soit p—f+gl/—n, g—=f—gV—n, on aura LEE news d’après cette forme on peut faire 4P—X:+nY", ce qui donnera Le} Mr —p"q— MPT g° Æ etc. : HG GP MG y D: un etc. ÿ 2 P"9+6p" "qg"+etc., 15 —q"p—6g""p —etc. Tee Or j'observe que la valeur de X est réelle et rationnelle, puis- qu'elle ne dépend que de la valeur de pg et celle de p'+q' 56 RECHERCHES qui sont réelles et rationnelles. Quant à la valeur de Y, elle est égale au produit de p—q par le polynome. .......... 2m—1 — qi m—3 CRIS PE PSE leur est réelle et rationnelle comme celle de X ; donc puisque P—g—=28gV—n, on aura 4P—X —/4n°g L'; donc P est égal au produit des deux polynomes 2X+n22,:X—ngZ, lesquels seront les valeurs de A et B. L=pq- +6p°q" +etc., dont la va- 61. On aura semblablement Q—2.2 2 ; on pourra donc (amet À supposer 4nQ—X"* +7 Y”, et on aura x — | .2p""+p"q—mp"q+etc., lag gp + mg" pete. vie P“g—6p" "q"+etc., +9 pq p'eete. La vaieur de Y' se réduira , comme on voit, à une quantité réelle et rationnelle, c’est-à-dire, à un simple polynome en f'etg du degré 2m + 1. Quant à la fonction X', elle est le produit de p—q ou 2g1/—n par le polynome g'__ DANGER D Mr ee PI — qu 7:—= 9" rer + pq. res PA emernanne (e | dont la valeur est réelle et rationnelle ; donc on aura ..…. X'—o2gLV/—n, et X°—— Ang Z°,ce qui donne 4Q —Y"” —4g°Z°; donc Q seçdécompose en deux facteurs rationnels :Y +82, IN—gT, qui seront les valeurs de C et D. 62. Voici des exemples de ces décompositions pour les cas de n—7 et n—11. D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 57 A". P=fS—3 nfg + 5nf°g—n'g, Af +nfg—n fs +n£; BP nf gnfé ne, Q=f—5nfg+3n fe ns, Cf —nf g+nfs +ng D=f +nfg+nfg —ng. T—=]II. P=f"— Sn fe + 3onf°g— on fig +15nf g'—ne", . A=f+3nfig+onfg +onfg nf re, B—f—Snfg+onfg +on fig —nfei+ns, Q=f"—15nf"g + 4onf°g —3Son fe +5nf'g—n'g", C=f+nfig—onfg—on fe —3n fs —ne, D—f—nfg—onfg+onf eg —3nfs+ne. Au reste, la similitude qu'il y a entre les fonctions P et Q permettrait de trouver aisément les facteurs de Q en les dé- duisant des facteurs de P, ou réciproquement. Il faudrait pour cela mettre zg et f à la place de fet g respectivement. 63. Le théoreme précédent peut être appliqué aux sections angulaires ; car si on fait f— cos. et gV/n—sin.+, on aura J+gV” —n—=cos.?+l/—1sin.?; d'où résulte F—cos.z9, GV/—n—=V— 1: sin.z®,et par conséquent # ___cos.719 De 7 cos. ? Ÿ nsin.p Ainsi toutes les fois que z sera un nombre premier de la É cos. 7 sin. 7 forme 4m +3, les expressions de 7? et *=7?, pourront cos: ® sin. ® 1823. | 8 ô RECHERCHES ox être décomposées en deux facteurs rationnels du degré.. 2m + I. Par exemple, dans le cas de 7 —17, on aura cos. 79 | (cos.° ?+75 005" @sin. ®— 17 COS. psin. 294 75 sin. °@) X SRE Wire o— 1e °@sin.®—"7 cos. sin. k PME 2), sin. = | (cos.? g—7rcos. 2Osin.® + COS. ® sin. ® +7. sin. ©) x Jaÿine sh (cos. ? 9— 7% cos." psin.p-- cos. @ sin.®p+47 2sin.°œ) 64. Pour appliquer ces formules à un cas particulier, soit proposé de diviser le quart de la circonférence . en 7 par- ties égales; on fera o — LL ce qui donnera cos.7—0, et on trouvera cot. © par la résolution de l’une ou l’autre des deux équations cot.” p+7°eot p—7cot. e+7" —=O, cot./p—7* cot.’o — 7 cot. p—7* — 3T DT Le La ou ne AUX ATCS QT) 275 7 , la seconde 97 . 2 aux arcs — a ie — , qui sont les suppléments es po On aurait directement par les formules ordinaires sg —C08./p — 21 cos. sin. +39 cos.’ psin.fe —7sin. "9, cos. ce qui, dans le cas précédent, donnerait à résoudre l’équa- üon o cote — 21 cot.t 9 + 35cot.o—7; on a donc le choix ou de décomposer cette équation du sixième degré en deux autres du troisième, comme on vient D'ANALYSE INDÉTERMINÉE. 59 de le faire, ou d'employer la substitution cot.:9=—x qui donne également à résoudre une équation du troisième degré. Mais la décomposition que notre théorème fournit, a de plus l'avantage de faire connaître des propriétés nouvelles LE des sections angulaires. Car puisque dans notre exemple, les cotangentes des trois arcs 14” 14? ag? SON les racines d'une même équation x°+7°2—9x+7—0, il s'ensuit qu'on a cot. = —cot Ge cot Rte . 14 . 14 . 14 —= 7 ; ges is C RÉ RLRN RO era MT I, T 37 5 cot. A C0 dr Pre QU : comme on peut le vérifier par le calcul trigonométrique. Il resterait à trouver pour une valeur quelconque de 7, la loi générale des valeurs de 4 qui servent à composer les racines de chaque équation. On aurait ainsi de nouvelles formules qui s’ajouteraient aux nombreuses formules connues dans la théorie des sections angulaires. 65. Théorème IV. « Si l'équation æ'—pax+qgx—r—0 à » ses trois racines rationnelles, la quantité App; —4q » +18pqr—4pr—271r, devra être un carré. » En effet, soient #,6,y, les racines rationnelles de l’équa- tion proposée, en sorte qu'on ait p—a+6+y,q—46 +67 + ya, 7—a67; si l’on cherche les valeurs des quantités y et z ainsi composées : a 6+6y+ya—=/fx6, Z—a y + Éa+y 6x7, 60 RECHERCHES D'ANAÂLYSE INDÉTERMINÉE. ces quantités devront être également rationnelles. Or par les: formules connues on trouve y+2=pq—3r,yz=q +p'r —6pqr+o9r, done (7—2)=p'q —4q+18pqr—Ap'r — 277"; le second membre doit donc être un carré parfait. On obtiendrait le même résultat par la considération des. deux quantités /'x°6,/ 4. Corollaire. Il suit de ce théorème que dans le cas où l’équa- tion &'— px +qx—r—0o a ses trois racines rationnelles, l'expression de l’une de ces racines par la formule de Cardan, est toujours de la forme 21 p + V(A+BL/—:) + V{A—BL—:), dans laquelle A et B sont rationnels , ainsi que VA: +3 B°). Théorème F. «Si l'on propose de trouver combien il y a » de nombres premiers dans la progression arithmétique » A—C,2A—C...nA—C, où C est l’un des # nombres » plus petits que À et premiers à À, le nombre cherché x » sera donné par la formule { n À FF log. WA) — 1.083866) » laquelle sera d'autant plus exacte que » sera plus grand. » Par exemple, dans la progression 59, 119, 179, etc. dont le terme général est 6or—1, on à RD PME 16 SARA 2 DE : log. (60 2) —1 .08366 termes de cette progression on devra trouver à très-peu;près. 25820 nombres premiers. étr— Ainsi dans les 100000 premiers _ 227 RER ER RAR LR AE RE LES SAR LR AR LT SUR IR RAR LR LR RAR LA VAR LEE La Len en LE MÉMOIRES Sur le développement de l'anomalie vraie et du rayon vecteur elliptique, en séries ordonnees suivant les Puissances de l'excentricité. Par M DELAPLACE. LE Le développement des fonctions en séries est un des objets les plus importants de l'analyse : la plupartdes applications du calcul aux phénomènes en dépendent. Ce développement pouvant se faire d’une infinité de manières, le*choix de celle qui donne les séries les plus convergentes est une des choses les plus utiles à la solution des problèmes. Il est donc inté- ressant de connaître les conditions qui font converger les séries, et l'expression la plus simple dont leurs termes suc- cessifs approchent de plus en plüs, et avec laquelle ils finis- sent par coincider. Les méthodes que j'ai données dans ma Théorie analytique des probabilités, sur les approximations des formules fonctions. de grands nombres, sont fort avan- tageuses pour cet objet. Je vais considérer ici les développe- ments en séries , des coordonnées du mouvement elliptique. L'excentricité des orbes elliptiques planétaires étant peu considérable , on développe le plus souvent le rayon vecteur et l’anomalie vraie, en séries ordonnées suivantses puissances. 62 * DÉVELOPPEMENT | Mais si l’excentricité qui dans les orbes elliptiques ne sur- passe jamais l'unité, en devenait fort approchante; on con- coit que les séries pourraient cesser d’être convergentes. Il importe donc de connaître si parmi les valeurs comprises entre zéro et l’unité, que l’excentricité peut avoir, il en est une au-dessus de laquelle ces séries seraient divergentes; et dans ce cas, de la déterminer. Prénons pour unité, le demi- grand axe de l’ellipse : désignons par e son excentricité, par t l'anomalie moyenne comptée du périgée, et par R le rayon vecteur; on aura par le n°. 22 du second livre de la Méca- nique céleste, _ RICE ———e.COs.{ 2 e me .COS.2 € =" (8-cos. 36—3. cos.) 3—"(4".cos.4t—4.2*.cos. 26) (Es. cos.bé—5.3%.cos. 352008 8e (6 .cos.6t— 6.4. cos. 4t +9 . cos. 2t) Le terme général de cette expression est PARA EM EC ru PAU RS Qss FRS fus, DER char a (0. cos. 2é—1i. (i— 2). cos.(i 2)t LS Æ —G— 4 .cos. (ë— 4) ne Eee ec: DE L'ANOMALIE VRAIE. 63 - la serie étant continuée jusqu’à ce que l’on arrive à un facteur @— 27) dans lequel i—27r soit négatif. Si l’on fait # égal à un angle droit, ce terme devient nul lorsque z est impair; et dans le cas de z pair , il devient , abstraction faite du signe, égal à é Fe CPE _ à ms [+ = CR) 4 .(i—4) + ete. | ; (a) for tei2m et 1l est alors le plus grand possible. Déterminons sa valeur, lorsque z est un tres-grand nombre. Il est facile de voir que les termes de la série RTE . S ! +: (2) + —. 2 —4)ÿ—"+etc.; (a) vont d’abord en croissant, et qu'ils ont un maximum après lequel ils diminuent. À ce maximum, deux termes consé- cutifs sont à très-peu-près égaux. Soit 21.0. _—— Li —2 a a lg Ne TD 5 -( ) le‘terme maximum. Le terme qui le précède, sera Lite. sir L'ONU .(—92r+2)"; en égalant donc ces deux termes, on aura PILE .(— or) =(i—-2r+2) Cette équation donne la valeur de r, et par conséquent, le rang que le terme le plus grand occupe dans la série. Si l’on prend les logarithmes des deux membres, on a 64 DÉVELOPPEMENT log. = —=(i—2) Jog.(1 2 =) ; ou log. (+ log. (i à ——)= (ë —2).log. (x ui a (b) or on a, lorsque z et r sont de très-grands nombres, log. (1 + - == + te: TT. 7 2.(2—7 2 2 2 log. (1 démess Tor (ane | etc. ; l'équation (b) deviendra donc, en négligeant les termes de , Le l'ordre =e ce qui donne c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. En faisant 7—=wt, on aura Si l'on nomme p le terme maximum PIERRE T2 9. CET .(— 27); le terme qui en est éloigné du rang #, sera i—rol—T— Le Ness ir (— 5 TH iertas cr +t 2—r> 2: Son logarithme sera donc DE L'ANOMALIE VRAIE. 65 log.p + é.log.(t—r) + log. (a —;})+ log. (1 =) + log. 1 —" —t.log.r—log. (1 +2)—log. (1 +2). _. —log.(x +1) nl En développant en séries ces logarithmes, et négligeant les + (i—2).log. (r > I termes de l'ordre , on aura log.p + £.log. (= 2 Rene et — (i— 2). + Gen; Par la nature der, on a àtres-peu-près, par ce qui précède, le D/ la fonction précédente deviendra donc log.p—(1+2+3...4+6). G—2).2t.(+ 1) En ne conservant ainsi parmi les termes de l'ordre :, que . ceux qui sont multipliés par & , et observant que Lee TA I #94 8. + f— À ; cette fonction prendra la forme 10 1° #2 S 8-P 2r.ir.(i—2r) ? ce qui donne pour le terme placé à la distance t, du terme p, 1823. : 9 (é— 1) 1 | 66 DÉVELOPPEMENT — LUE P:Cari=r(i—ar) Il est facile de s'assurer que cette même valeur a lieu à très- peu-près pour le terme placé avant p à la même distance. La somme de tous ces termes sera la série entière (a). On aura , comme on sait, cette somme à très-peu-pres égale à = t° re P .far.e 2rire(i—2r) l'intégrale étant prise depuis {—— 0, jusqu'à {= ; ce qui donne, par les méthodes connues, la série (a) égale à ENV r étant la circonférence dont le diametre est l’unité. On à- RS TO A UNE Pr aus La série (a) devient ainsi, abstraction faite du signe, (i—2r)2,1/7 ar Da uc Ho BD dre ik BUQIE 0 EU NS On a à tres-peu près, par les théorèmes connus, 1.2.3...) rc Lars 1.097 TThasC 7. |. La série (a) devient donc = (CAT Es TG T) Tax. ’ - DE DANOMALIE VRAIE. 67 ou 2 ec. = — 26) w étant donné par l'équation (c). On doit observer ici que la valeur de « donnée par cette équation n'est pas rigoureuse. Nous avons négligé, pour for- mer cette équation, les quantités de l’ordre : ; et de plus nous avons supposé que le terme maximum p, était égal à celui qui le précède; ce qui n’est qu’approché. Delà il suit que la valeur exacte de », est celle que donne l'équation (c), . LL FU lus une correction de l’ordre=, que nous désignerons par Z- 20 Oo 1 Mais cette correction disparaît d'elle-même par la condition de p maximum. En effet , si on nomme D la fonction ec.(1—20) 260,(1 — 0) T° ’ et D’ cette même fonction , lorsqu'on y change w dans w + £ : on aura Log. Drop [(a+ en se dD D pre +ete.). D|. En repassant des logarithmes aux nombres, et négligeant en- x . Ur I suite les quantités de l’ordre 5» On aura daD D'—D'.c7 Dév. 68 DÉVELOPPEMENT I1—0 rx 4 e 2 . s et l'équation (c) donne log. ——— =; on a donc aux quantites pres de l’ordre =; D'—D'; d'où ilest facile de con- clure que, par le changement de » dans o + 1 , la formule (d) reste la même. Si la quantité ec:(1— 2%) 260,(1—0w) surpasse l'unité, la fonction (d) devient infinie, lorsque test infini; lexpression du rayon vecteur devient donc alors divergente. La valeur de l’excentricité , déduite à l’équa- tion LPOICES RE 7 (1—06).c est par conséquent la limite des valeurs de l'excentricité, qui font converger l'expression du rayon vecteur développé suivant les puissances de l’excentricité. En substituant au 1—20 ) ? donnée par l'équation (c), L— 0 . I lieu de = Sa valeur ( cette expression de e devient __2:Vu.(i—o) X=20 » L'équation (c) donne à peu près w—0,08307 ; d’où l’on tire e—0,6619à. L’équation précédente de la limite de l’excentricité e, donne à cette limite DE L'ANOMALIE VRAIE. . 69 d’où il.est facile de conclure 1 — 0 GHVate), ee NN Tu l'équation (c) donnera donc Vie À 1+V/1+e —e.c ; (m2) Les valeurs dee, Hope celle que cette équation donne, rendent l'expression en série du rayon vecteur R, divergente lorsque # est un angle droit. Pour toutes les valeurs infé- rieures , cette série est convergente quelque soit £. En effet, le terme général de l'expression de R développée en série ordonnée par rapport aux puissances de l’excentricité est, comme on la vu, e' — ——ÿ ——"— (2. cos.26—7.(i— 92), cos.(i—2).6+ etc.). 9! 1 TOPNOE RTE La plus grande valeur de ce terme, abstraction faîte du signe, ne peut surpasser e' RSR Or [c DEN Ga + Se = .C—4)T'+etc. | On vient de voir que cette valeur, on z est infini, de- vient nulle par un facteur moindre que l'unité, élevé à la puissance :, lorsque l’excentricité e-est au-dessous de celle qui résulte de l'équation aux limites ; la série est donc con- vergente, quel-que soit £. Je vais maintenant établir qu’alors la série de l'expression de l’anomalie vraie développée de la même manière, est pareillement convergente. IT. u étant l’anomalie excentrique, et v l'anomalie vraie; 70 DÉVELOPPE MENT on a, par le n°. 20 du second livre de la Mécanique céleste, t—=u—esin.w — I —eCOS.u ; ce qui donne du I TR’ or on a, par la loi des aires proportionnelles aux temps, 4 dv Vi —e É EN ES TR WA on a donc d' | D a) Vi1+e, L'expression en série de x, du n°. 22 du livre cité, donne i+ Fo FR I e.cos. Hz e? 5+2?.cos. 2t+——.(3" cos. 3t—3.cos.t)+ te. Le terme général % cette série est e' Fou rs Le. COS.Zé—1.(1—2).cos.(i—2)t LES (i— 4) .cos.(ë—4) t—ctc. | ; 1.2 et dans aucun cas, il ne peut surpasser ay éauonri + 4) +-etc. ae le AU CU] En suivant exactement l’analyse de l’article précédent, on trouve ce dernier terme égal à 2 (1—2%) [ ec.(1—2w), 15, Fe) = ae] 2 (e) © étant donné par l'équation (c) de l’article précédent. DE L'ANOMALIE VRAIE. 71 Maintenant, si l’on désigne par A la série Det 2°.e* il e'! Ur ( 2)’ Tiens CR EAU UC ae nd . Te 1.2.2 1.2.3.,,0 9x1 PT PTE + —. (7 4) + ete. +etc., I— 2 la série étant continuée jusqu'à #—;; il. est facile de voir 5 à : D du ë ’ que l'expression en série, de gi » Sera moindre que le déve- loppement en série, de la fonction Aa 2.(1—20).g'é. (o) Var.(i—ge) ” en désignant par q la quantite (T—2%).c 20%,(1 — w)— Car il est visible que le coefficient d’une puissance quelconque e* dans le développement de la fonction (o) est positif, et qu'il est plus grand , abstraction faite du signe , que lé coef- Sie à RU d ficient de la même puissance, dans le développement de = - ; L d 3 L'expression de, ou de VAUT —, est donc moindre [a+ Dre NE ma. or, le développement de = ést moindre que celui de I 7 j = dv . . 7; le développement de 7; St donc moindre que celui de 1 —e* (?) 72 ï DÉVELOPPEMENT c'est-à-dire que le coefficient d'une puissance quelconque de e‘ dans le développement de cette fonction, est positif et plus grand, abstraction faite du signe, que le coefficient de la même puissance dans le développement de =. Donnons à la fonction (p) cette forme 2 mere 4A.(1—920).g'e 2.(1—20)gte" ie ang 4) try. 4) 27. 2 gente. Car, quelque grand que l'on suppose :, pourvu qu'il soit fini, A’sera composé du eus soi de termes. En dési- gnant par 7ne' l'un de ces termes » > développé en séries donnera une série convergente, e étant supposé moindre Pr AA e Fu que l'unité. Ainsi —- donnera un nombre fini de séries convergentes, et dans leur somme le terme dépendant de e’ deviendra nul lorsque s est infini. Le terme AA (1—2u0).g'e Var.(1—qe)(1—e) donnera un nombre fini des termes de la forme ne - (ge) —e)? s or la fraction I (ge) (ie) se décompose dans les trois suivantes 1 I 1 I Ca I a 29) LOUE NUE 17 1— ge DE L'ANOMALIE VRAIE. 73 Chacuné d'elles développée en série, donne une série con- vergente; car, par la supposition, ge est moindre que l'unité. On voit donc que le terme 4A.(1— 2 0). ge Vam.(1—ge).(1 —e:) donne un série convergente. Pareillement le terme 2.(1 — 2 w)°. g' ei m.(1— ge): .(1—e) donne une série convergente ; commeil est facile de le voir, en décomposant la fraction NA LINVE (1—ge).(1 —e) . . d , l/ J_e L4 en fractions partielles ; développé en série ordonnée par rapport aux puissances de l’excentricité, donne par consé- quent une série convergente, lorsque ge est moindre que l’anité. Il est facile d'en conclure que l'expression de (v— 6) ainsi développée forme une série convergente; car l’intégra- tion de d, faisant acquérir_des diviseurs à ses termes , On voit que, quel que soit £, v—+# sera moindre que 2.(1—2%).g'e]2 [A+ tree Wam.(1—ge) RNA Ces 7 gr 1—€ qui, comme on vient de le voir, forme une série conver- gente. Il résulte de ce qui précède, que la condition nécessaire pour la convergence des séries qui expriment le rayon vec- teur et l’anomalie vraie, développés suivant les puissances 1823. 10 7 DÉVELOPPEMENT de l’excentricité, est que l’excentricité soit moindre que 2 V'o.(1—v) 2 I1—2v w étant donné par l'équation 2 RO n Les deux séries sont alors convergentes ; c'est ce qui a lieu pour toutes les planètes, même pour les planètes télescopi- ques. Les valeurs supérieures de l’excentricité font diverger la série du rayon vecteur, et alors il faut recourir à d’autres développements. Tel est le cas de la comète à courte période. III. On développe encore les expressions de l’anomalie vraie et du rayon vecteur, suivant les sinus et cosinus mul- tiples de l’'anomalie moyenne. Soit alors v—t + af). sin.f+ a).sin.2t...-+ at).sin.zé + etc. a”, a”), etc. étant des fonctions de l’excentricité. On peut facilement démontrer que la série est toujours convergente. En effet, on a fo t).dt.sin.tt—#+.a l'intégrale étant prise depuis £ nul, jusqu’à # égale 25. Or, on a dans ces limites , en intégrant par parties, dv : RUE I dv : I : AIN dt(o—t).sin.it=® fdt( D — 1 ).cos.it=—<. dtsin.it.——; on aura donc SEULE, ao =. fde.sin.ie. Sr 22 di° DE L'ANOMALIE VRAIE. 75 l'équation du Vie demmulIR: donne dédtr es dR AE AIRE 0 dr Au périhélie et à l'aphélie, À est nul: Ddt est positif, en allant du premier de ces points au second ;'et négatif, du second au premier. Soit sa plus grande valeur positive ; ©} sera sa plus grande valeur négative. En supposant donc que les valeurs de sin. zf soient positives et égales à l'unité, depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie, et négatives et égales à — 1, depuis l'aphélie jusqu’au périhélie; on voit que l’inté- grale / dé sin. it. prise depuis la périhélie jusqu’à l’aphélie, R3 sera moindre, abstraction faite du signe, que 247. De là il suit que a, abstraction faite du signe , est moindre que  T.k.V/x mL 2? ’ Ce terme devient nul, lorsque z est infini. De plus, la série de l'expression Dante de », à partir de : supposé trés-grand, est moindre que AT k Vie. Ê ? quantité qui devient nulle, lorsque z est infini. Cette série est donc convergente. Considérons de la même manière l'expression de R dé- veloppée dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de £ et de ses multiples. Soit [0. 76 DÉVELOPPEMENT R—#6% +00). cos.t...+0800.cos.1t + etc. on aura r.00—= [Rdié.cos.it l'intégrale étant prise depuis # nul jusqu'à # égal à 27; ce qui donne nb à. fdt.cos.it ; de Les formules du mouvement elliptique donnent ddR __1—e —R GENRE Cette derniere quantité est toujours négative. Désignons par — K son maximum, et supposons cos. it égal à l'unité ; on ART , aura, abstraction faite du signe, r D moindre que —; d’où il suit que la série de l'expression de R est PR On peut, en suivant la méthode exposée dans le n° pré- cédent, déterminer la valeur approchée de 2°, lorsque z est un grand nombre. Pour cela j'observe que l'expression de R développée en série par rapport aux puissances de l’ex- centricité, et que nous avons rapportée dans l’article pre- mier , donne Due COR: [— it2 (y + SHARE ANT (2) T2: 30 0 KT 1.2.4 rit RENE SERRE (£ "+etc. | OCTO OEM ENT Le terme général de cette expression est DE L'ANOMALIE VRAIE. 77 ë te\2r “1 2 Fe (+ ar). © FR NS RE ROUE Si l’on observe que r étant un très-grand nombre, on a à fort peu près 1.290 TL AO RTE er) ETES car on: on peut donner à ce terme, la forme 1e ec. i.(G+ar) (=); RH) Vrar \éripr quantité qui devient nulle, lorsque r est infini. La série de l'expression de 2° est donc convergente. Pour avoir sa valeur approchée, je considère la série cs ei ip ei 4 l Lipi (£ Ÿ+ EvrnrE (©) + etc.; (m) dont le terme général est {G+a2r). (=) TENUE Le Lien On aura, par la méthode exposée dans l’article premier, la somme de cette série, fort approchée lorsque z est un très- grand nombre. Nommons p le terme précédent, et suppo- sons qu'il soit le plus grand des termes de la série. Pour avoir le rangqu’il y occupe, on l’égalera, suivant la méthode citée, au terme qui le précède; ce qui donne (+2 78 DÉVELOPPEMENT d’où l’on tire à fort peu près FE ET 2 Le terme qui suit p, d’un rang supérieur de #, est t+2r—t fei\it : itor 2 rHierto.certeitrtritrée...itr+e En appliquant ici l'analyse de l’article premier, il est facile de voir que le logarithme de ce terme est à très-peu-près, l re #1 ad (1+2+4+3...+5) BP ar PE Hope SO (tH2+3...+0) i+r —t.log.i+r— Mais on a à tres-peu-près = et, log.(r.i+7r) =2log.— ; en ne conservant donc, conformement à la méthode citée, : : I . TE parmi les termes de l’ordre 7 que ceux qui sont multiplies . par #, et observant que É t Do our À ; 1 le logarithme du terme placé à la distance t du terme maximum sera iFaret Ù lon er ce terme sera donc Pre Fa 2r.iEr. — DE L'ANOMALIE VRAIE. ro) Il est facile de voir que ce sera aussi l'expression du terme qui précède p, du même intervalle £. La somme de la série (rm) sera donc à tres-peu-près pfér.e— trame 2F.i+7r l'intégrale étant prise depuis £—— jusqu'à —« ; ce qui donne cette somme égale à = VAE 14 HE ir Si dans l’expression précédente de p, on substitue au lien du produit RENE LEA EanEEr ALES sa valeur très-rapprochée (rir). (rhin. ADS) on aura 1:2.3...5.(1427).ctr. FAT 2m. V/r.cr(+r) , ce qui, en observant que i + 2r est égal à 2.V/1+e, et que 2+ rest égal à Vi + e? +7 4 MA NEA TE Et) 2 donne pour la somme de la série (m), MAMIE DE LT 27 Var. (V4 — e? + 1} En changeant e* dans —e, dans cette expression, on aura 80 DÉVELOPPEMENT DE LANOMALIE VRAIE. la valeur fort approchée de la série =. (y. F6) _ me) — nn EL Ce Libr THEY Eros (il 1.2. RENE ae if2. 143 Ces passages du positif au négatif, comme du réel à l’ima- ginaire, ne doivent être employés qu'avec une grande: cir- conspection. Maïs ici, e* était indéterminé, on peut les em- ployer sans crainte. J'en ai reconnu d’ailleurs l'exactitude , par une autre analyse. On a ainsi Der I € à Vila (REV 2) NNRE Ge Re Lorsque : est infini , cette valeur de 2° reste toujours infini- ment petite, quel que soit e, pourvu qu'il n’excède pas l'unité. td SE EE RE MÉMOIRE Sur l'etat de la végétation au sommet du Pic du Midi de Bagnères ; Par M. L RAMOND. Lu à l’Académie les 16 janvier et 13 mars 1826, Dis mes premiers voyages au Pic du Midi, mon attention se porta sur les plantes que j'apercevais au sommet. On en voit d’abord fort peu: le regard s'arrête sur quelques espèces plus apparentes. Je ne tardai pas à en accroître la liste, et à les recueillir avec l'intérêt que m’inspirait leur séjour sur une cime également remarquable par son isolement et par sa hauteur. Peu à peu je conçus l’idée de compléter la Flore de ce site particulier. Les bornes de l’espace suffisaient déja pour faire de cette petite Flore un objet de curiosité : la na- ture du lieu la sort de la classe des curiosités stériles. En effet, on s’est plu de tout temps à considérer la distri- bution des plantes sur le penchant des montagnes, comme une représentation de l'échelle végétale, prise de la base de ces montagnes au pôle. C’est un de ces grands aperçus qui naissent d’un premier coup d'œil sur l'ordonnance de la na- ture, et qui appartiennent à l'instinct de la science plutôt qu'a ses méditations, Ils devancent l'observation, mais en même temps ils l'éveillent, lui tracent de nouvelles routes, 1823. II 82 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION et lui doivent à leur tour le degré de précision qui leur manque. Nul doute que l’abaissement progressif de la température ne dispose les végétaux à se ranger sur les divers étages des monts. comme aux différentes zones de la terre. Il est re- connu, par exemple, que les arbres s'arrêtent à certaines hauteurs, comme à certaines latitudes, et qu'il y a une ana- logie remarquable:entre les plantes voisines des glaces arc- tiques et les plantes voisines des glaces alpines; mais on doit s'attendre aussi à trouver cette conformité plus ou moins modifiée par la nature des deux stations et les circons- tances qui les distinguent. Des températures qui semblent pareilles, à ne considérer que leur terme moyen, sont loin d’avoir la même marche et d’être pareillement graduées. On ne retrouve au nombre de leurs éléments, ni le même ordre de saisons, ni une succession ‘semblable des jours et des nuits. L'état de l'air, le poids de ses colonnes, sa constitution et ses mélanges, la nature des météores dont l'atmosphère locale est habituellement le théâtre, viennent encore ap- porter, dans la similitude générale , des dissemblances parti- culières. Ensuite les terrains ont leurs exigences; la dissémi- nation, les migrations des végétaux ont leurs caprices ; et les diverses régions du globe, diversement dotées dans les dis- tributions primitives, livrent à l'influence de climats ana- logues, des séries d'espèces souvent trèes-différentes. Ainsi la similitude qui paraît régner entre la végétation alpine et la végétation polaire, doit se borner à des ressem- blances générales , et porter plus rarement sur les espèces, plus souvent sur certains genres et certaines classes. Les ob- servations de détail qui tendent à spécifier exactement les AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 83 faits, parviendront seules à fixer le caractère de ces classes. Considérée sous ce point de vue, la végétation des hautes cimes acquiert un nouvel intérêt, et celle du Pic du Midi devient un objet de comparaison de quelque-importance J par le nombre des espèces qui se trouvent réunies sur ‘un! point aussi caractéristique et dans un espace aussi borné. Ce pic est situé sur la lisière de la chaîne, et les longues crêtes dont il forme le comble, n’offrent à la vue aucune autre sommité'saillante, si ce n’est le Pic de Montaigu, qui en est éloigné de deux lieues, et lui est inférieur de 560 mètres. Du côté du sud , la partie de la chaîne qui le surpasse en élévation se trouve à une distance où elle lui devient à peu: près étrangère. La masse du Marboré et du mont Perdu en est éloignée de 32,000 mètres: Vignemale de 24,000 au moins; les groupes de Néouvielle et du Pic Long sont à trois lieues; et les montagnes intermédiaires s'abaissant rapide- “ment aux approches du Pic du Midi, laissent son ‘sommet dominer sans obstaéle tout l'espace qui le sépare des mon- tagnes supérieures. ) Du côté du nord, l'isolement est bien plus absolu encore: Là le Pic plonge brusquement vers de profondes vallées, et les. commande de si haut qu'à peine on compte quelques échelons entre sa cime et la plaine. Ainsi son atmosphère particulière est suffisamment libre, assez indépendante del’influence des montagnes méridio- nales, pour que le climat de son sommet puisse être con- sidéré comme! régi uniquement par l'élévation combinée avec la latitude; et l’état de la végétation, comme l'expres- sion nette et simple de l’action réunie de ces deux causes, os 84 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION s'exerçant sur l’ensemble des espèces qui leur ont été livrées par la dissémination originaire et ses extensions successives. La latitude du Pic est de 42° 56". Quant à sa hauteur, elle avait été fixée à 1507 toises, par les opérations de Vidal et Reboul, dont j'ai, dans le temps, adopté les résultats. De nouvelles observations déterminent aujourd’hui M. Reboul à réduire cette hauteur à 1493 ( Ann. de chimie et de phys., juillet 1817,tom. V, pag. 249). La correction porterait, non sur l'élévation du Pic au-dessus de Tarbes : (celle-là est bien certaine), mais sur l'élévation du sol de Tarbes au - dessus de la mer, et celle-ci ne me semble rien moins que défini- tivement déterminée, car mettant à part tout autre motif d'incertitude, encore faudrait-il, avant tout, savoir si l'Océan et la Méditerranée sont précisément au même niveau. Au reste, en attendant que nos doutes soient levés par les opérations géodésiques récemment entreprises, nous ne risquerons pas de nous éloigner beaucoup de la vérité, en évaluant la hau- teur de cette montagne à 1500 toises, ou 2924 mètres. L'abaissement de la colonne de mercure est d'accord avec cette évaluation. J'ai porté seize fois les instruments météoro- logiques au sommet du Pic. La hauteur moyenne du baro- mètre, ramenée à la température 12° 5, du therm. cent. a été 54° 3%, 68 ou 20" 1° 02. La plus grande élévation que j'aie eu occasion d'observer, est 54° 9 "" 95 (20° 3! 79). Pour obtenir le minimum, j'ai saisi l'instant d’une baisse considé- rable, survenue durant la bourrasque de l’équinoxe d’au- tomne; et ayant gravi la montagne en hâte, de nuit et par un très - mauvais temps, je vis le barometre descendre à 55°, 6"* 28 {19° 9" 54). Ainsi l'étendue totale de la variation que j'ai été à portée de constater, est de 13"* 67, ou un peu AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 85 plus de six lignes ; et quant à l'intervalle de temps qu’elle embrasse, elle se rapporte aux mois de juillet, août, sep- tembre et octobre, pris dans l’espace de cinq années suc- cessives. A l'appui de ces observations, je suis heureux d’avoir à citer celles que firent, il ÿ a un demi-siècle et sur le même sommet, deux savants dont la mémoire nous est chère. Le 28 août 1774. Darcet et Monge y virent le baromètre à 19" 11, et le 31 du même mois, à 20 ” 2! +. Ce sont là les extrêmes de la variation qu'ils ont eu occasion d’observer : elle se ré- duit à 3! £: cette variation, comme ces hauteurs baromé- triques , se trouvent exactement comprises dans les limites des miennes. Je puise ces détails dans la Dissertation sur l’état des Py- rénées , publiée en 1776, par Darcet, ouvrage extrêmement remarquable pour le temps où il a paru (voyez p. 105, 109, 111). J'y trouve aussi l'indication de la plus grande chaleur que ce savant ait observée au sommet du Pic : en éliminant les observations qui ont été faites, le thermomètre placé à terre ou exposé au soleil, cette chaleur s’est élevée, le 31 août 1774, à 130 £ (voy. p. 209). C’est précisément celle que j'y éprou- vai trente-un ans apres Darcet , le 30 août 1805 , et c’est aussi la plus forte que j'aie observée dans mes nombreux voyages. Le thermomètre centigrade monta à 16° 8, et je constatai de mon mieux cette température, en écartant plusieurs in- dications, ou équivoques, ou visiblement altérées par des accidents passagers. Or, le même jour, dans mon cabinet à Barèges, le thermomètre marquait 28° 2, et cette chaleur est réputée forte, dans un lieu élevé de 1270 mètres au-dessus de la mer. Elle y outrepasse rarement ces limites; en sorte 86 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION que 16 à 19°, qui représentaient cette température au haut du Pic, y sont vraisemblablement le maximum des étés or- dinaires. Mais comme j'ai vu aussi, à Barèges, le thermo- mètre atteindre le 29° et le 3o° degré, ce qui, au reste, ne m'est arrivé que deux fois, à sept années d'intervalle, et comme il est à présumer qu'au Pic l'augmentation aura été proportionnelle, j'admettrai sans peine que dans ces étés extraordinaires, on y aurait trouvé le thermomètre à 18 ou 19 degrés. Ce qu'il y a toutefois de bien certain, c'est qu'on ne le verra gutre à cette hauteur, si l'on a de bons instruments, s'ils sont convenablement placés, exposés à l'air libre, et pourtant suffisamment garantis de l’action di- recte et indirecte du soleil, mais surtout défendus, autant qu'il est possible, du rayonnement du sol. Car ce sol aride et noirâtre s'échauffe quelquefois à un tel point, que j'y ai vu une fois le thermomètre s'élever à 35°, tandis qu’au soleil, mais à l'air libre, il marquait seulement + 5°6, et à l'ombre + /°,0. Je ne connais pas d'observations plus délicates que celles de la température au sommet des montagnes. Les moyens imaginés jusqu'ici pour le placement des thermomètres , ne remplissent qu'imparfaitement leur objet. Cet instrument suspendu à 5 ou 6 pieds du sol , en est encore beaucoup trop voisin pour n'y pas puiser ou du chaud ou du froid. D'ail- leurs, si on lui ménage de l'ombre, on lui ôte de l'air; et si, dans la vue de lui donner de l'air, on réduit l'ombre à celle du bâton qui le porte , le soleil, en dardant ses rayons aux limites de cette ombre, communique de la chaleur à l’étroite lame d’air interposée ; enfin autour de lui, c’est un perpétuel échange de petites atmosphères locales, apportées par les vents des sommités voisines, soulevées de la plaine ou des AU SOMMET DU PIC DU MID. 87 vallées adjacentes, échauffées dans un lieu, refroidies dans un autre. Le thermomètre monte, baisse, varie à tous mo- ments. Bien que je me sois assidûment appliqué à discerner ce qui, dans ces variations, appartenait aux accidents, je ne sais si j'ai toujours réussi à me préserver d'erreur. Et comme en été presque toutes les perturbations vont dans le sens de la chaleur, je demeure persuadé que les évaluations auxquelles je me suis arrêté, pèchent plutôt par excès que par défaut. Quoi qu'il en soit, le maximum du thermomètre au Pic du Midi, tel que je viens de le fixer, assimile déja le climat de sa cime à celui des contrées fort avancées vers le pôle. Pour compléter les comparaisons, il faudrait avoir >enoutre, constaté le minimum, ce qui ne me semble guère praticable en un lieu pareil. Je ne l'ai pas tenté; mais à défaut d’obser- vations directes, quelques analogies viendront à notre se- cours. Dans nos régions, la variation mensuelle du thermo- mètre n’est pas moindre de 18 à 20 degrés. S'il enr est ainsi au Pic, il ÿ doit geler jusque dans les mois qui présentent le maximum de chaleur, et ces gelées doivent même aller jusqu'à un ou deux degrés au-dessous de zéro. On n’a donc pas besoin de recourir au rayonnement et à l’évaporation pour s'expliquer la formation de la glace très-solide, qu'il n'est pas rare de rencontrer en juillet et en août, dans les parties humides de ses pentes. Quant au minimum de l'hiver, les moyens de vérification nous anquent entièrement, mais nous savons que la variation annuelie du thermomètre est pour nous d'environ 45 degrés , et excède souvent cette éten- due. En partant donc du maximum observé, nous serons fondés à conclure que, dans les hivers ordinaires , le froid ne peut guère être moindre de 26 ou 28 degrés, et qu'il doit 88 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION atteindre à 30° ou 35° dans les hivers rigoureux. Ainsi, sous le rapport des extrêmes de la température, ce n’est rien exa- gérer que de comparer le climat de la cime du Pic du Midi à celui des contrées comprises entre le 65€ et le 70° degré de latitude. Cependant il n’y a point ici de neiges permanentes. Dès la fin de l'été on n’en aperçoit plus que des lambeaux con- finés dans des creux abrités du soleil. Rarement ils subsistent d’une année à l’autre, et ne durent jamais assez pour avoir le temps de former une couche , tandis qu’à peu de distance on voit sur les flancs de Néouvielle et du pie Long, des glar ciers fort étendus à une élévation bien moindre. Cette différence s’expliquerait déja par la position seule du Pic. La limite inférieure des neiges permanentes est au minimum d'élévation absolue vers le centre des chaînes, parce que là se réunissent toutes les causes de froid : cette même limite s'élève d'autant plus qu'on approche davan- tage de la lisière, parce qu'ici plusieurs de ces causes cèdent, d'une part, à l'abaissement graduel des montagnes, et de l'autre, à l'invasion de l'atmosphère des plaines ( voy. mes Obs. sur les Pyrénées, chap. XIV ); mais quand bien même l'élévation relative du Pic du Midi le soustrairait à une par- tie des conséquences de sa position, sa forme et ses aspects suffiraient pour le défendre de l'invasion des glaciers. Les neiges ne sauraient s’accumuler nulle part; une seule de ses faces leur prêterait appui, et celle-là est précisément exposée au midi : elles n’y résistent ni à l’ardeur du soleil, ni à l’im- pétuosité dévorante des vents du sud, qui sont à ces hauteurs les vents les plus habituellement dominants. Au nord, au le- vant, au couchant, c’est une longue suite de précipices où AU SOMMET DU PIC DU MID. 89 elles ne demeurent passagèrement suspendues que pour s’é- crouler bientôt en lavanges. Quant aux cimes, leur super- ficie a si peu d’étendue que les neiges ne sauraient s'y main- tenir contre le soleil qui les attaque, la pluie qui les lave, les pentes qui les attirent, le vent qui les y pouse. Une crête de 18 à 20 pieds de long sur 5 ou 6 de large, courbée un peu en croissant, mais dont la direction géné- rale est de l’est à l’ouest, voilà le point culminant du Pic en entier. Sur ses abords, les débris entassés d’un schiste micacé, dur et noirâtre; au pourtour, quelques-uns des ses feuillets debout; entre ces feuillets et ces débris, de menus frag- ments en gravier, en sable : voilà le sol aride où nous cher- chons des plantes quand tout autre œil que celui du bota- niste y apercevrait à peine des traces de végétation. De l'extrémité orientale de cette crête dominante, on des- cend par une langue fort étroite vers un prolongement du sommet, placé dans la même direction, mais moins élevé de quelques toises. Cette langue ou cet isthme présente, du côté du nord, un escarpement en forme de ravin, et presque toujours comblé de neiges : elles y subsistent souvent jus- qu'aux approches de l’hiver, ét doivent se rencontrer quel- quefois avec celles de l’année suivante : c'est le point de la montagne où elles sont le plus durables. Au midi, la pente est moins roide et assez bien gazonnée ; la végétation a même gagné jusqu’à l’arête de notre isthme, et le gravier qui en constitue le sol est mélangé d’une portion sensible d'humus,. Le second sommet est inférieur au premier de 15" 6 (48 pieds). Il a un peu plus d’étendue et un sol tout diffé- rent. Le calcaire blanc primitif, élément principal de la masse hétérogène du Pic du Midi, se montre là sans autre mélange’ 1823. 12 90! ÉTAT DE LA VÉGETATION que celui d’un peu de gneiss granitiforme en veines irrégu- lières. Le terrain formé de ses débris est d'une blancheur éclatante, absorbe moins de chaleur que celui du sommet supérieur, en réfléchit davantage, exclut par conséquent quelques-unes des plantes de celui-là, et en nourrit à son tour quelques -unes qui lui sont particulières, mais offre d’ailleurs la même apparence d’aridité à quiconque n’y jette qu'un regard superficiel. Au reste, la nudité d’une grande partie de ces cimes tient bien moins à la sécheresse du sol qu'à sa nature, à l'étendue que les rochers y occupent, à la mobilité des fragments dont les espaces intermédiaires sont formés. Sans doute l’eau ne saurait séjourner sur des terrains ainsi constitués, mais ils sont humectés long-temps par des neiges durables, en- suite ils le sont souvent par des neiges passagères, par les pluies, par les brouillards : où la végétation trouve assiette et repos, on voit croître une plante, et l'éclat de sa verdure dit assez que pour peu que la terre soit propice, ce n'est pas le ciel qui lui refuse ses faveurs. Les deux cimes que je viens d'indiquer, et l’isthme qui les lie, cessent d’être séparément discernables aussitôt que l’on s’en éloigne , et forment en commun le sommet du Pic, quand on l’envisage d’une certaine distance. C’est là le sommet dont jai entrepris la Flore. La cime orientale est la limite inférieure de mes herborisations. Du côté du grand Pie je me suis prescrit les mêmes limites ; elles sont marquées par la cabane que Vidal et Reboul ont habitée, en 1787, et dont les ruines se trouvent précisément de niveau avec le sommet inférieur 1, C'est-à-dire à 48 pieds au-dessous du sommet principal. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. OL Ce segment du Pic, ce rocher de 48 pieds de haut et d'une couple d’ares d’étendue , élancé à plus de 1300 toises au-dessus des plaines adjacentes; cette île, perdue dans l’o- céan de l'air , battue de ses tempêtes, et livrée à la froidure des régions supérieures, offrait à mon observation une loca- lité spéciale , une des extrémités de notre globe, dont il m'a paru curieux de constater les productions. J'y suis monté trente-cinq fois, en quinze années diffé- rentes. J'ai vu sa végétation à toutes ses époques, les années dans toutes leurs diversités. Il me serait néanmoins difficile de fixer précisément l’ins- tant où l'on verrait poindre les premieres fleurs. En juin et souvent dans le milieu de juillet , les pentes sont encombrées de neiges, et quand mème telle ou telle pointe de rocher s’en trouverait accidentellement dégagée, l’acces des cimes est ordinairement trop périlleux pour qu'on soit tenté d'y aller épier les premiers développements de la végétation. D'ailleurs les années different beaucoup entre elles, soit pour la quantité de neiges accumulées , soit pour l’époque du déblaiemenit. Ces variations avancent ou retardent la flo- raison d’une quinzaine de jours. Cependant il me paraît gé- néralement vrai qu'il n’y a point de fleurs avant le solstice, et qu'il y en a quelques-unes vers le 1° juillet. C’est donc avec notre été que le printemps du Pic com- mence. Les premieres fleurs appartiennent principalement aux familles des véroniques et des primulacées. En août la floraison devient générale : on entre en éte. Elle se soutient en septembre. Plusieurs espèces même ne fleurissent qu'alors. C’est le mois le plus favorable à l’ascen- sion du Pic, celui où le temps est le plus assuré, le ciel plus 12. 92 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION pur, l'air plus transparent, l'horizon plus net : ces avantages sont ceux de l'automne; ils ne se prolongent guère au-delà du terme marqué par la bourrasque de l'équinoxe. Dès les premiers jours d'octobre la floraison a achevé de parcourir son cercle. Passé le 10 ou le 15, il n’y a plus rien. L'automne du Pic a fini quand le nôtre a commencé. Ainsi trois mois et demi constituent à peu près toute la belle saison de ces cimes. Le reste appartient à l'hiver; et:sa rigueur est loin encore de s’épuiser dans le cours des huit ou neuf mois qui lui sont dévolus : il gèle en juillet, en août; il tombe de la neige; et rien de moins extraordinaire que de voir, au milieu de l'été, le Pic blanchir à la suite d'un orage, et la neige s’y maintenir une couple de jours. Voilà le climat : j'ai décrit le lieu; c’est là que j'ai réussi à constater l'existence de 133 espèces; savoir : 62 crypto- games et 71 phanérogames. Quelque considérable que,ce nombre puisse paraître, eu égard à la petitesse de l'espace, à l’aridité du sol, aux intempéries de l'atmosphère, je l'au- rais augmenté encore, si je m'étais appliqué à démèéler ce que les rochers nourrissent de lichens imperceptibles ou défigurés ; si j'avais réussi à déterminer tout ce que je voyais de brins de mousses dépourvues de fructification. Les lichens forment la majeure partie des cryptogames, j'en ai reconnu Dr espèces. Plusieurs n'avaient pas été ob- servés ailleurs. La Flore française indique celles que j'avais reconnues à l'époque de sa publication. Mon énumération contient la description des espèces que j'ai découvertes depuis. Les hépatiques, les mousses et les fougères ne mont donné ensemble que 11 espèces. Au reste, les cryptogames n'avaient qu'une part secon- AU SOMMET DU PIC DU MIiDi. 93 daire à mon attention. Je ne devais pas m'attendre à saisir, dans cette classe, la manifestation de l'influence que le cli- mat exerce sur la distribution des autres, végétaux. Soit qu'une organisation plus obtuse émousse en eux l’impres- sion des vicissitudes atmosphériques, soit qu'au contraire une organisation plus subtile etplus souple les plie sans effort aux exigences des climats et au caprice des saisons, ils se répandent sur toute la surface de la terre, ne tenant compte pour leur développement que d’un petit nombre de circonstances également indépendantes, et de l’élévation des lieux et de leur latitude. Les plantes phanérogames excitaient tout autrement mon intérêt, et J'ai lieu de croire qu'en quinze années de recher- ches , il m'en a peu échappé. Les 71 espèces que j'ai recueil- lies sont réparties en ho genres et 23 familles. Les synge- nèses forment à elles seules plus d’un sixième du total; les cypéracées, réunies aux graminées , un septième; les cruci- fères un douzième, les cariophyllées un autre douzième ; les lysimachies, les joubarbes, les saxifrages, les rosacées, les légumineuses, chacune un dix-huitième. Les autres fa- milles sont réduites à une ou deux espèces, et au terme de ma listé figure un amentacé, salix retusa, arbre par la con- formation, sous-arbrisseau par la stature, herbe par l'aspect et les dimensions, unique représentant de sa tribu à une élévation qui laisse loin au-dessous d’elle ces grands végé- taux dont la résistance échouerait contre les ouragans des cimes: ici rien ne subsiste que ce qui rampe, ou se cache ou plie. à Au reste, les nombres qui expriment! le rapport de nos diverses familles entre elles, sont loin de s’accorder toujours 94 ÉTAT DE LA VÉGETATION avec ceux que des comparaisons plus étendues ont fournis, soit aux laborieuses recherches de MM. Brown,-Pursch, Wahlenberg, Decandolle, etc., soit aux vastes considéra- tions développées par M. de Humboldt, dans la partie de ses immenses travaux qui concerne la distribution des formes végétales. Si l’on consulte le tableau où il établit le rap- port des diverses familles à la masse totale des phanéroga- mes (1), on trouve sans doute une conformité suffisante entre le nombre de nos légumineuses, de nos syngenèses , de nos glumacées, de nos cruciferes, et les nombres que ce tableau leur assigne, tantôt pour les contrées arctiques , tantôt pour les contrées tempérées. On voit aussi la proportion des cryp- togames relativement aux phanérogames, approcher de l'é- galité qu’elle atteint au voisinage du pôle ; et nous aperce- vons, en général, une certaine tendance de nos rapports vers les quotients de la zone glaciale. Mais en même temps, plusieurs de nos familles se refusent à ces comparaisons, et des sections entières les déconcertent et les déplacent, alors même qu’elles ne les repoussent pas. Dans les unes prévalent les proportions du Nord, dans les autres ce sont les pro- portions du Midi. Ainsi le rapport de nos monocotylédones à la totalité des phanérogames est d’un à sept : nulle part on ne les a trouvées en si petite quantité; il faudrait aller jusqu'à l'équateur, et là on rencontre seulement les rapports d'un à cinq et d’un à six. C’est vers le pôle, au contraire, qu'il faut tourner ses regards pour y chercher une propor- tion des cryptogames qui serve d'exemple à la nôtre. Encore (x) Dict. d'hist, nat., t. XVIIT, p. 436. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 99 reste-t-il de notre côté une singularité qui n’en a point : nos lichens forment à eux seuls les cinq sixièmes de la classe, et les mousses à peine un dixième, en sôrte que les deux cinquièmes de notre Flore sont la part d’une unique famille de cryptogames. Ces anomeries n'ont rien qui doive nous surprendre. Un groupe de 133 espèces, prises en un seul et même lieu, est loin d'offrir une base assez large aux compensations qui rameneraient les exceptions à la règle. La cime du Pic du Midi n’est pas une contrée: c’est un point dont le sol est aussi uniforme que limite. Ses rochers appellent les lichens; ses débris repoussent ce qui exige un terrain substantiel, demande l'ombre ou recherche l'humidité. On ne saurait ap- pliquer qu'avec réserve à la végétation toute spéciale d’une localité toute particulière, des considérations générales qui embrassent à la fois de vastes pays, leurs sites divers et l'ensemble de leurs productions. Quant à leur durée, nos plantes se partagent en deux sé- ries dont la disproportion est remarquable : sur 71 espèces phanérogames, cinq seulement sont annuelles, une paraît bisannuelle, 65 sont vivaces. La nature, dira-t-on, se fiant plus ici à la durée des racines qu'à la fécondité dés semen- ces, s'est plu à mettre la végétation en harmonie avec la constitution physique du lieu. On dira tout de inême que la constitution physique du lieu a opéré le triage des espèces tombées pêle-mêle des mains de l'inépuisable nature; et, en effet, les plantes annuelles n’ont qu’une existence précaire dans une région dont les intempéries compromettent tour- à-tour la fécondation des germes, la maturation du fruit, la germination des graines ; tandis que les plantes vivaces 96 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION 0 épuisent les chances par la longévité de leurs racines, et traversent les années en attendant les jours réservés à leur reproduction. Elles ont conquis le sol : les espèces annuelles ne font que l'emprunter. Un coup de vent les apporte, une gelée les détruit; celles que j'ai rencontrées au sommet du Pic, comme moi étrangeres, ont peut-être disparu de même, et d’autres peut-être les remplacent pour être recueillies par d'autres que moi. La végétation du sommet du Pic du Midi représente, à très-peu de chose près, celle de toutes les hautes sommités de cette partie des Pyrénées. L'absence ou la présence de telle ou telle plante sur l’une ou l’autre de ces diverses som- mités, dépend uniquement de circonstances locales, qui tantôt attirent des pentes vers les cimes , tantôt repoussent des cimes vers les pentes, des espèces que les montagnes de cet ordre possèdent en commun. Mais il n’est pas sans in- térêt de voir de quoi se compose la liste de celles qui sont confinées sur les sommets dont lélévation excède celle du Pic du Midi. La partie accessible des cimes de Néouvielle n’est élevée que d'environ 120" de plus. Mais elle se trouve au point de ‘ départ d'un vaste glacier, et serrée de près par les neiges éternelles. J'y ai recueilli 21 espèces phanérogames, dont seize appartiennent à la cime du Pic du Midi, et deux ne lui sont pas étrangères. La première de celles - ci, Zuzula spicata, se trouve peu au-dessous du sommet; et la seconde, Potentilla frigida ; est représentée sur ses pentes par le P. Brauniana dont elle se distingue à peine. Il en reste trois seulement que je n’ai point vues au Pic, savoir : Draba tomentosa, Ranunculus glacialis, et Saxifraga androsacea. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 97 Mais la première est au pic d'Ereslids , et j'ai rencontré les deux autres au sommet du Mont-Perdu ou sur ses abords. Les sommets de Vignemale-sont bien plus élevés, et dominent le Pic du Midi de 400 à 450 mètres: mais leurs crêtes ont beaucoup d’étendue, et la roideur des escarpe- ments en écarte les neiges. Ces crêtes m’ont fourni 22 es- pèces, dont 15 se trouvent au sommet de notre Pic, et les sept autres sur ses pentes. Au sommet du Mont-Perdu J'ai trouvé sept espèces de phanérogames. Cin Jappartiennent à la cime du Pie du Midi; les deux autres, cerastium alpinum et saxifraga androsacea, se rencontrent ailleurs à ‘des élévations bien moindres: Je les vis en fleur le 10 août; le temps était orageux, le soleil ardent; le vent :soufflait: avec impétuosité du sud-ouest, et pourtant Île thermomètre centigrade ne s’éleva pas au-dessus de 6.9 (5.5. Réaum.):/voilà les jours:d'été de cétte cime. Ici d’ailleurs l'espace accessible à la végétation'est tellement resserré, il est si étroitement bloqué par les néiges, que c'est beaucoup si entré: leur retraite et leur’ rétour, nos plantes ont six semaines pour végéter et fleurir. Souvent même cet intervalle doit{se réduire au point de ne pas leur enlaisser le temps ; et:l’on -est foridé à présumer qu'il y à telle année où le sol qui les nourrit ne voit ‘Pas ‘entr'ouvrir le voileiqui les couvre. Qui sait jusqu'où peut se prolonger l'état de léthargie au- quel ces plantes sont alors condamnées ? et qui'sait cé qu'il ÿ en a d'enfouies sous les neiges et les glaces du Mont-Perdu, en'attendant l'accident qui leur fera revoir le jour? J'ai une fois/saisi la, nature sur le fait: C'était au bord du'glacier de Néouvielle, Je connaissais parfaitement ‘ce glacier et sés li- 1823. 13 98 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION mites accoutumées, lorsqu'en 1796 il subit une retraite ex- traordinaire, Dans le ravin qu'il abandonnait, j'assistai au reveil de quelques plantes sortant d'un sommeil dont je n'ose évaluer la durée : elles végétaient vigoureusement et fleurirent au milieu de septembre, pour se rendormir bien- tôt sous de nouvelles neiges, que les années suivantes ont transformées en glace, et que je n’ai plus vues reculer. J'y ai compté sept espèces. Cinq d’entre elles se rencon- trent rarement sur les sommets, parce qu'elles recher- chent l'ombre ou l'humidité; mais elles n’en appartiennent pas moins à cette tribu de plantes nivales, dont les affec- tions ne sont satisfaites que dans les hautes régions où nous les trouvons. Il leur faut une année tout autrement partagée que la nôtre; il leur faut un petit nombre de beaux jours, et. une végétation accélérée, suivie d’un long et profond repos. Elles craignent des chaleurs vives, et surtout des cha- leurs soutenues ; elles ne craignent pas moins le froid, et en sont préservées par les neiges qui, dans leur patrie , devan- cent les fortes gelées. T'ransportées dans nos plaines, ce sont de toutes les plantes étrangères à notre sol, celles qui se mon- trent. les plus intraitables. On ne peut les plier au cours de nos saisons : notre printemps se traine, notre été est trop chaud et trop long, notre hiver trop äpre et trop court; en juillet elles nous demandent de l'ombre, en décembre un abri, et sur le total de l'année, neuf ou dik mois de sommeil que nos climats leur refusent. Les plantes des contrées polaires ontles mêmes besoins et se trouvent dans la même condition. Plusieurs d’entre elles viennent spontanément se mêler avec les nôtres, et l'on est moins étonné de Les rencontrer que de ne pas les voir en AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 99 plus grand nombre. Aux hautes latitudes, en effet, le climat, quoique autrement modifié, n’agit pas autrement sur la vita- lité des végétaux. Peu leur importe, durant tout le temps où ils sommeillent, comment se succèdent les jours et les nuits, comment procèdent les mois et les saisons. Des degrés de froid très-diversne leur sont pas moins indifférents sous le manteau de neige qui égalise pour eux les températures. Ce qui les concerne, c’est la coupe générale de l'année; c’est . la proportion établie entre la période du repos et celle des développements ; c’est surtout la durée, la marche et la me- sure de la chaleur qui préside aux diverses fonctions de leur vie active. Sous tous ces rapports, les plantes arctiques et les plantes alpines sont traitées de la même manière. Étroi- tément associées par cette communauté de condition , elles forment ensemble un groupe distinct dans le règne végé- tal, une petite tribu douée d’un tempérament particulier et d'une physionomie qui lui est propre. Leur aspect est le même : on serait bien en peine d’y démêéler un caractère qui indiquât la diversité d’origine, ou püt servir à distinguer les espèces exclusivement affectées à une région, de celles que les deux régions possèdent en commun. Quel que soit le caprice des causes qui ont présidé à la répartition des espèces, et séparé les unes par d'énormes distances, tandis que les mêmes distances n’opposaient aucun obstacle à la rencontre des autres, nul doute, ax moins, qu'elles ne pussent habiter toutes indistinctement les mêmes lieux, si la nature avait obéi seulement à la loi des climats, et si ses distributions n’eussent été primitivement soumises à des nécessités dont il nous est bien difficile de pénétrer le mystère. 19. #00 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION. La végétation de nos sommets nous présente toutes les anomalies de ces distributions. À la cime du Pic du Midi, nous remarquons. d’abord quelques plantes triviales, qu'il possède en commun avec les plaines adjacentes. Elles font peu de sacrifices à l’äpreté d’un climat aussi sévère. Seulement leur développement est restreint, et leurs dimensions sont amoiïndries. Quelques- unes se distinguent encore par un vert plus glauque, et cette modification est ordinairement accompagnée d’une . moindre porosité de l’épiderme, d’où résulte la résistance qu’elles opposent à la dessiccation : voilà pour elles la part du climat tout entiere. Sauf ces plantes que le Pic à dù recevoir de proche en proche, sa végétation se compose généralement d'espèces étrangères aux contrées limitrophes , mais dont on retrouve la plus grande partie dans diverses chaïnes, et plus par- ticulièrement dans les Alpes du Dauphiné, de la Suisse et du Piémont. Ici les communications deviennent déja plus difficiles à supposer, vu la grandeur des intervalles, et la constitution physique des plaines interposées. Ajoutons que si l'on compare une à une les espèces qui paraissent habiter indifféremment les Alpes et les Pyrénées, il est rare qu'on n'y voie pas l'origine empreinte , et le caractère normal modifié par le caractere de la patrie. Outre les plantes qui leur sont communes , chacune des deux chaînes en a qui lui sont propres. Le sommet de notre Pic en réunit dix ou douze, faisant partie de la végétation locale des Pyrénées; et dans ce nombre on en remarque une couple, si exactement calquées sur certaines espèces des Alpes, qu'on les dirait destinées à représenter ici le type de celles qu'a leur tour les Pyrénées ne possèdent pas. AU: 80MMET DU PIC DU MIDi. TOE Enfin, tandis que ces deux chaînes, presque contigués, refusent de se communiquer une portion notable de leurs plantes respectives, elles vont l’une et l’autre emprunter aux régions les plus septentrionales, des espèces qu’on ne retrouve plus dans l'immense intervalle qui les en sépare. Ces contrées glaciales, vers lesquelles nos végétations al- pines nous rappellent sans cesse, offrent à notre examen, des combinaisons absolument pareilles. On pourrait en choisir partout des exemples : le voyage du capitaine Parry et le beau travail de R. Brown sur les plantes de l’île Melville, nous dispensent de chercher ces exemples ailleurs. Sans doute les hivers de cette île sont beaucoup plus àpres que ceux du Pic du Midi; mais nous savons que pour les végétaux, l'abondance des neiges annulle ces différences. Les étés de ces deux régions ont au contraire beaucoup de ressemblance. Les gelées de juillet et d'août ne paraissent pas plus fortes à Melville qu’à la cime de notre Pic; et quant à la chaleur de ces mois, elle est à peu près pareille. Le maximum observé par le capitaine Parry, n’est guère inférieur au nôtre que d'un degré, et cette différence peut disparaître par des observations ultérieures, car ce maxi- mum est établi sur les observations d’une seule année, et ce serait un grand hasard si l’on avait justement rencontré une des années les plus chaudes de l’île Melville. Je conviens que ces analogies sont incomplètes, et que le caractère des “climats ne réside pas uniquement dans les extrêmes de la température ; mais ce sont au moins des traits de ressem- blance qui ont leur valeur dans les rapprochements que j'essaie. L'île Melvilie “ous fournit 116 espèces : c'est 17 de moins que n’en possede à lui seul le sommet du Pic du 102 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION Midi; mais nonobstant son indigence, cette flore hyperborée est une flore générale et complète. On doit s'attendre à y trouver les classes et les familles dans un tout autre rapport que sur le terrain uniforme et borné du Pic. En effet, les phanérogames y sont aux cryptogames comme 5 à 2, et les dicotylédones dans la même proportion eu égard aux mo- nocotylédones. Les graminées, réunies aux cypéracées, for- ment plus d’un quart des phanérogames ; les crucifères un septieme , les saxifrages tout autant, les syngénèses un treizième seulement. Sur 49 cryptogames on compte 30 mousses : au sommet du Pic du Midi je n’en ai compté que 6; mais ici nous avons 51 lichens, et là il n’y en a que 15 : voilà de grandes différences ; ce sont celles d’un pays comparé à un site; elles diminuent à mesure qu'on recule les limites de celui-ci. Presque tous les lichens de l’île Melville et une bonne partie de ses mousses, habitent les Pyrénées et les Alpes ; et les deux chaines partagent avec elle plus d’un tiers de sa végétation. On pourrait même ajouter à ce tiers, plu- sieurs espèces trop faiblement distinguées des nôtres, pour n'être pas considérées comme de simples variétés locales ; et dans le nombre de celles qui sont réellement différentes, aucune ne nous offre un type qui nous soit étranger. Si nous nous réduisons aux plantes dont l'identité spécifique est hors de contestation , le sommet du Pic du Midi, dans son étroite circonscription, ne renferme pas moins de 10 à 12 espèces de l'île Melville. Mais si nous faisons entrer dans nos comparaisons celles qu'une étroite analogie semble avoir destinées à se représenter réciproquement, dès-lors une portion notable de la végétation de chacune des deux sta- tions est en quelque sorte la copie de la végétation de l’autre; et, ce qui est assez singulier en ce genre pour mériter d’être AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 103 remarque : l'ile Melville ne possède comme la cime du Pic du Midi qu'un seul arbrisseau, et cet arbrisseau est de même un saule, réduit aux mêmes dimensions, couché de même, et bien moins distingué du nôtre par ses caractères spéci- fiques, qu'il n'est semblable par ses caractères habituels. Ainsi, avec des éléments en partie différents , la Flore de cette île glaciale offre la contre-épreuve de la Flore de notre sommet : espèces en nombre à peu près égal, appartenant aux mêmes familles et souvent aux mêmes genres, plus ou moins analogues aux nôtres quand elles ne sont pas exacte- ment identiques, semblables de port et d'aspect, et se trou- vant dans des rapports pareils avec la végétation ‘de lieux tantôt voisins et tantôt éloignés : c'est d'abord, comme au Pic du Midi, un certain nombre de plantes qui paraissent exclusivement propres à cette région; c’est ensuite un fonds de végétation qu’elle partage avec les régions environnantes; c'est enfin quelques espèces qui se retrouvent isolées de leur cortège, dans: des: contrées fort distantes, comme pour at- tester l'analogie de climats séparés par des intervalles de 20 et 30 degrés. Tout est à deux faces dans ces distributions si singulières. Les espèces qui vivent également au voisinage du pôle-et au sommet de nos montagnes, peuvent être ,si l’on veut, l'indi- cation pure.et simple du climat, et constater la conformité physique des deux stations, en ce qui concerne les: besoins de la/vie végétale. Considérées sous un autre point de vue, elles seront seulement des espèces plus dociles et suscepti- bles: de :se plier aux différences inaperçues de situations d’ailleurs suffisamment, analogues. Le;même doute ne s'élève pas à l'égard des plantes que nos sommets possèdent , 104 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION soit en propre, soit en commun, avec les hautes Alpes : celles-ci indiquent le climat, combiné avec la position géo- graphique, et représentent l'influence de l’un, appliquée aux formes végétales que l’autre lui fournit. A mesure que l'on descend de nos cimes, on voit prédominer de plus en plus le caractère de la position, et l’échelle des températures tracée par la succession des espèces locales. Bientôt s'y mélent, en proportion croissante, ces plantes cosmopolites qui n'indiquent plus ni climat ni position. Plus bas des arbris- seaux, puis quelques coniferes rabougris, annoncent les fo- rêts que l’on va trouver dans les, vallées. Peu à peu la lati- tude prend le dessus, la base des montagnes est envahie par:la végétation des plaines; les espèces méridionales pa- rassent. Sur ces limites, où les deux régions sont en contact, on doit s'attendre à un singulier mélange des deux végéta- tions; mais ce qui peut exciter l'étonnement, c’est de voir paraître, au milieu des plantes du pays, des espèces notables échappées aux Flores du Portugal, de l'Espagne, de la Bar- barie, de la Grèce, de l'Angleterre, pénétrant jusque dans les gorges des Pyrénées françaises, sans que la diver- sité des climats, les distances, l'interposition des montagnes et.des mers, aient mis obstacle à des rencontres aussi extra- ordinaires. ( Merendera Bulbocodium. N. — Crocus multifi- dus. N:— Scilla umbellata. N.— Silene tridentata. Desf. — Pinguicula lusitanica. L. — Narcissus Bulbocodium, ete.) Cette esquisse suffit pour établir la nature de l'analogie qui règne entre l'échelle végétale prise de la basede nos montagnes à leur sommet, et la même échelle prise denos latitudes au pôle: la première représente en raccourci la seconde, mais la représenté d'une manitre abstraite et éga- a AU SOMMET DU PIC DU MiDI. TO lement indépendante soit de la similitude, soit de la diver- sité des espèces que la dissémination primitive a livrées, de part et d'autre, aux distributions tracées par le décroisse- ment des températures. Il en est partout de même, et sans sortir du cercle étroit où nos observations se renferment, nous avons rencontré sous nos pas tout ce que la répartition des végétaux à la surface du globe , offre de combinaisons inattendues et de problè- mes à résoudre. La confusion naît pour nous sur chacun des points où s’entre-croisent les effets de diverses causes, également simples, mais devenues complexes par leur con- cours. Il y a d’abord des créations spéciales , appropriées aux terrains, aux eaux et à leurs diversités; il y a ensuite des créations locales, les unes affectées à certains climats, les autres renfermées dans certaines circonscriptions géogra- phiques; il y a des créations plus étendues et plus vaguement limitées, qui tantôt environnent celles-là , et tantôt se con- fondent avec elles; enfin , à travers les plantes que leur or- ganisation confine dans des lieux déterminés, se jette une multitude d'espèces vagabondes qui vont se propageant de proche en proche, par des moyens de dissémination régu- liers, où bien franchissent tout-à-coup de vastes intervalles, par des accidents dont les migrations de l’homme et des ani- maux font partie , mais qui se retrouvent aussi dans des loca- lités où l’on ne saurait s'expliquer leur présence, sans ima- | giner l’existence d'anciennes communications dont la trace est aujourd'hui effacée, ou bien sans supposer autant de créations locales que nous observons de ces répétitions. A'la rencontre de ces végétations diverses, rien derégulier, deconstant , d’absolu, dans le rang qu'occupent à leur égard 1823. 14 106 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION les différentes influences auxquelles on les voit simultané- ment soumises; et parmi les combinaisons infiniment variées du climat, de l'habitation , du lieu, chacune de ces causes est tour-à-tour prédominante et subordonnée. Ici là végé- tation locale étend son caractère propre jusqu’à la végétation du climat; là celle du climat conserve le sien, au milieu de formes qui lui sont étrangères; sur tel point, les conditions imposées par l'habitation commandent au climat et au lieu; sur tel autre, ces conditions reçoivent la loi de tous deux. Et ce n’est pas tout : Les diverses formes végétales sont loin. de se prêter aux mêmes influences , avec une égale docilité. Nous voyons des types plus fermes et plus rebelles, résister à toute modification ; tantôt exclusivement affectionnés à cer- taines positions , ils refusent obstinément d'en sortir; tantôt disséminés çà et là, ils n’ont fait à la diversité des lieux le sacrifice d'aucune portion de leurs caractères, et se repré- sentent partout comme des nécessités de la création végétale. D'autres types , au contraire ; ont tant de flexibilité que l'on ne saurait les concevoir que d’une manière en quelque sorte abstraite : c’est un module autour duquel la nature se joue; elle le copie, limite, l’altère, le modifie de mille manieres : ce sont des groupes d'espèces où tout diffère, où tout se ressemble, où rien ne se distingue sans rappeler une forme commune qui n’est ni l’une ni l’autre de ces espèces, et qui les renferme toutes. Quelle idée nous formerons-nous de la parenté de cel- les-ci ? Sont-elles nées distinctes, mais dans des circonstances assez semblables pour que la conformité de ces circonstances explique ce que leurs formes ont d’analogie ? ou bien y ver- rons-nous les variations de quelques espèces primitives, sub- AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 107 divisées en races constantes par l’action réunie des lieux et du temps? Le probleme embrasse plus de terrain qu'il ne semble. On ne sait bientôt plus quelle portion du règne végétal sous- traire à ces doutes ; et les mêmes questions se renouvellent à l'aspect de chacune des divisions du règne organique. Les animaux nous présentent également et des types plus tenaces et des types plus flexibles, des formes affectées aux lieux, aux climats, à certaines divisions géographiques , des espèces stationnaires , des espèces errantes, des migrations , des mé- langes et toute la confusion qui en ést la suite. Dans l’état où nous trouvons les choses, quelle est la part d'action des causes premieres? quelle part a été abandonnée aux causes secondes ? et celles-ci quelles sont-elles, et quelle a été leur puissance dans les temps reculés où les forces productrices déployaient toute leur énergie ? Nous voilà en présence des révolutions du globe : le botaniste interroge le géologue ; le géologue appelle en témoignage les-trois règnes de la nature; et les questions et les témoignages vont se perdre ensemble au sein des ténebres qui enveloppent l'enfance de notre vieux monde. Observons, comparons, amassons patiemment des faits, et arrêtons-nous, s’il se peut , devant ces obscurités qu'éclai- rerait mal l'incertaine lumière de nos conjectures. À peine une question s'élève : d'autres naissent en foule de son sein, et nous ont bientôt entraînés hors de la portée de notre vue. A l'aspect d’un ordre de phénomènes que l'observation aperçoit ; mais qu'elle ne saurait atteindre, il faut bien s’ar- rêter , et laisser lhypothèse, bien ou mal assise sur le peu que nous savons, hasarder ses sondes dans les profondeurs où se cache l'origine des choses. | 14. 108 ÉTAT: DE LA VÉGÉTATION. OBSERVATIONS MÉTÉOROLOGIQUES. CE que j'avais d'observations météorologiques faites anté- rieurement à 1802, soit au Pic, soit sur d’autres-cimes, soit enfin à Barèges et à Bagneres, m'a été enlevé avec dix années de travaux, par un grand événement dont mes pertes sont ur incident trop peu considérable pour mériter: d’être re- marqué: Les observations qui me sont restées, datent de l’époque où je fis choix du Pic du Midi pour essayer la formule ba- rométrique de la Mécanique céleste et déterminer la valeur de son coefficient. Leur nombre, au reste, suffit à l’objet auquel je les applique aujourd’hui. Elles forment seize séries, réparties entre cinq années très-différentes de constitution et de température. On y prendra donc une idée assez'juste de la marche des instruments à la cime de notre montagne, ainsi que des modifications habituelles de son atmosphère, durant la portion de l’année où les végétaux y jouissent de la vie active. Elles ont été faites avec divers baromètres dont j'ai tour- à-tour essayé l'usage. Aucun ne me donnait directement la hauteur absolue de la colonne de mercure : je les ai done successivement comparés avec les baromètres alors employés à l'Observatoire, et j'y ai ramené toutes les hauteurs qu'ils m'avaient fournies. Ces hauteurs sont ici réduites, selon ma coutume, à la température 12°, 5 du thermomètre centigrade. J'ai choisi cette température parce qu'elle est une moyenne entre les variations ordinaires , et resserre les limites d'une correction AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 109 qui, dans la Pratique et surtout à l'air libre, n’est jamais exempte de quelque incertitude. A l'Observatoire on a adopté autre terme : celui de la glace fondante. On y ramènera mes observations en les diminuant de 1°*,.26, ou seulement de 1°", 12, si l’on veuttenir compte de la dilatation du laiton, comme je suis dans l'usage de faire. OBSERVATIONS. 1802. Bar. à 12°,5|Th. cent. 26 juill.| 10", m. 54°.3.85 |+r110.0| Vent sud-onest impétueux sur les cimes. = Vent nord II 4.54 10 .6| dans le bas. 0 5.02 11 .6| Nuages. Soleil. Chaleur du sol +-36°.0. 15 sept.| o 54°, 5.39 + 8°.6|.Yent sad très-fort. — Ciel pur. 1803. Bar. à 12°.5|Th. cent. [21 m.] 54°.3-59 | 69.5] Nord-est vif — Brouillards venant de la plaine. o 3.67 8 . r| Chaleur du sol + 25°, 0: 0. 30 3.76 8.8 11. m.| 54, 5.19 |+-10 .6| Sudest faible. Très-beau temps. - o 4.94: 10.4] À midi, le thermomètre exposé au soleil marque 16°,9 o 541.43 1+ 8 .r| Sud-ouest intermittent. Air limpide, — Thermomètre au soleil + 12°, 5, 11. m.| 53 .8.88 3 .8| Sud intermittent. Nuages arrêtés sur les crêtes méri- o 8.87 4 .o| dionales. Ce 8.90 4 .4| Thermomètre au soleil # 5°, 6 — À terre + 35°, o. TGV im, 753.628 Rae Sud-est fort. Ciel voilé de nuages élevés. Pluie fine 6. 30! 6.28 4 .3| mêlée de neige. Les montagnes méridionales sont 7. 30! 6.50 4 .5| Couvertes; mais la plaine, quoique privée de soleil, 8 6.65 4 .6| se déploie sous les yeux avec nne telle netteté qu’on 8. 15 GA b , ol Y'discerne les moindres objets jusqu'aux bornes de ie À no . lhorizon. Dans mon cabinet de Barèges (environ 8. 30 6.52 5.0 1260" au-dessus de Ja mer), le baromètre, à 2h -30/, marqua 65.4.80 — A Tarbes, (environ 300% au. dessus de la mer),il marquait à 6h, 30 m. 72.787, et le thermomètre + 14.8. C’est le jour où j'ai vulebaromètre le plus bas an Pic. 30 août.| ro". m.| 15 sept. 22 sept. 7 oct. 19 oct. 10.30 II 0 0 .30 1 10 m. 10 -30’ 17 o 1 be 2 112,30” o o .30 RAC 2 2 .30 Time o Lis Jia o RER o Satis 1rsept.| 0". 0 .30 TASSE 3.30 ÉTAT DE LA VÉGEÉTATION 9-94 9.88 9-84 9-72 9-66 180. Bar. à 12°.5|Th. cent. tte | monts 54°.9.99 |+4-14°.0| Sud-ouest soufflant par bourrasques.Soleil päle et pour- 14 .2| tant ardent. La chaleur est extraordinaire dans Ja 35 .5l plaine. A Barèges, le thermomètre marquait 28°, 2 16 .4 vers midi et s'est élevé probablement davantage. Au AU: Pic, je l'ai vu monter momentanément jusqu’à 19, mais c'était l'effet du soulèvement de quelques por- 16 .2 tions de l'air échauffé dans les vallées adjacentes. La chaleur de ce jour est la plus forte que j'aie éprouvée au Pic. Quant à Barèges , les plus hautes températures qui j'y ai observées sont les suivantes : 30 juillet 1803 - 28°, r — 17 août 18094-29°, o — 7 août 1802 <- 30°, 5. 7.32 .0.37 .7-7 7 -o|Sud-onest, entrainant les nuages qui passent à une 7.59 7 .b| grande hauteur au-dessus du Pic. Nord-est dans la 7-44 7.7 plaine et jusqu'à sa cime. —- Beau soleil. 7.28 8 .o 7.00 7-6 £ 6.82 L AT A 1809. .b.21 [+ 7°./4| Sud-ouest soufflant à la cime du Pic, et retenant à dis- 5.21 8 .2| tance les brouillards amenés de la plaine par un 5.15 8 .3 vent bas, soufflant du nord. 5.09 8 .6 5,13 8 .6 5.16 8 .5 + D .5| Nord-ouest fort au sommet du Pic, — Calme dans les 7.18 6 .o| fonds. 7.43 6 .5| Ciel parfaitement pur:on ne peut juger de la direction du vent qui règne dans les couches supérieures, + 2 .5| Ouest très-fort, et nuages. — Le Pic est tout couvert 0.37 3.5| de neiges récentes. .3.77 |+- 2 .5| Nord-est assez fort. Brouillards passagers. Il y a en- 3.50 PA core beaucoup de neige sur le Pic. 1810. 2.4 .o| Sud-ouest fort sur le Pic. — Ouest sur la plaine. Elle 2.28 7 est couverte de nuages au-dessus desquels on voit EX .9 surgir la cime du Pic de Montaigu, dont l'élévation re 2 : n'est que de 2350", Les montagnes méridionales, au contraire, sont entièrement visibles, mais coiffées de nuages élevés qui oscillent avec ceux de la plaine, et finissent par franchir la barrière, A 4 heures , les deux masses sont réunies. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. III Bar.àz2°.5|Th. cent. 22sept.[11", m.| 54°,4.16 | + 4°.5| Ouest-sud-ouest dans la région supérieure, formant (0) 4.10 5 .8 un remous nord-est au sommet du Pic qui est envi- a : Si 4.07 07 ronné de brouillards. Courtes éclaircies entre une 1 30 3.68 4 .o heure et demie et deux heures et demie. à 3 3.46 3 0 À 2h ,30! grêle,suivie de grésil se terminant par laneige. A 3h il neige. Tonnerre lointain. — En descendant du Pic je vois la neige se changer en pluie/à:200/me- tres au-dessous de la cime, et l’orage envahir tout l'intervalle qui nous sépare des crêtés méridiopales, ÉTPRETTN jte vue tele pales DR ETES Re ee pe Te 1 28 sept.| o 54.2.84 |+ 5°.2| Sud-ouest dans la région supérieure. — Ouest-nord- 0 .30 2.85 5 .5 ouest en bas. Les hautes cimes méridionales sont D. 70 3.13 6 :1 coiffées, de nuages qui ne |les franchissent pas. La 3 .30 2.97 7.2 plaine est sans soleil , mais on la découvre en entier, et l’on aperçoit aux limitesdeson/horizon des brouil- lards qui avancent peu à peu et finissent par attein- dre le Pic. Leur approchefait reculer les nuages des HET PP 5 sommets méridionaux. La température dusol, observée! à 4° ,ne s'élevait qu'à — 0 3 q + 10°, 0. . Bar.à 12°.5 Th. cent. Maximum 54°.9.95 le 30 août 1805 à 10! m. 62.8 le 30 août 180h à midi.et demi: Minimum 53 .6.28 le 3osept.1803 à 6h, m.+ x .4 le rg,oct. 1809 à 3°.s. Différence 1°.3.67 5 T4 Moyennes des seize jours d'observations à midi , en y comprenant l'obser- vation faite le 30 sept. 1803 à 8 30 m., qui n'a pu différer beaucoup de celie de midi. Baromètre 54.3.68 — Thermomètre +7°.3. HYGROMÈTRE. Ayant reconnu l'imperfection de plusieurs hygromètres que j'avais employés, je me borne à rapporter ici quelques obser- vations faites avec des hygromètres à cheveu, dont j'avais soigneusement vérifié la marche. | OBS. DIRECTE. TEMPÉRATURE, |OBS. RÉDUITE 4 12°.h. Re 1803 | 4 septembre.| midi. 79° + 82.1 719.5 12 id. midi, 73 +10 .4 69 .8 23 id. midi. 46 + 8. 27 id. midi. 62 + 30 id. 6".3om. 93 .b + 1805 |30 août. midi. +1 15 septembre.| midi. + 112 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION Dans ces observations, la première chose que je ferai remarquer, est la prédominance des vents méridionaux. Ils soufflent habituellement à la cime du Pic, tandis que des vents différents et souvent opposés règnent sur la plaine. A ces hauteurs, nous approchons de la région où s’est élevé l'air échauffé entre l'équateur et nous, formant une couche qui s'écoule vers les contrées polaires et va en s’abaissant à mesure qu'elle perd de sa température. Mais nous sommes encore au-dessous et dans une région intermédiaire, livrée aux combats de-vents d'origine diverse. Ceux-ci atteignent, contrarient, fléchissent les couches inférieures du courant méridional, et cependant réussissent rarement à en suspen- dre la marche; mais ils l'égarent : le courant cède en se dé- tournant , revient sans cesse.et plonge sur nous, tantôt comme un häle doux et tiède qui descend peu à peu des hauteurs de l'atmosphere sur nos sommets, et des sommets sur les val- lées; tantôt en impétueuses rafales que l’on entend bruire dans les airs long-temps avant qu’elles ne fondent sur les plaines. Une fois établi, le vent souffle ordinairement du sud-ouest, plus rarement du sud-est, souvent des points intermédiaires, toujours dans une direction différente de celle où nous frapperaient les couches supérieures du même courant, abandonnées à leur mouvement propre, combiné avec la rotation de la terre; mais toujours le même, quel que soit le point d’où il nous arrive, la diversité des directions n'apporte aucun changement aux propriétés physiques qui le caractérisent. L'air refroidi dans les contrées septentrionales, nous revient au contraire par le bas, à travers les obstacles multipliés que Ja configuration des terrains lui oppose, modifié par l'effet AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 113 d'une foule d'actions et de réactions nées du contact de la terre, fléchi enfin ou entraîné.par les vents qu'engendrent sur divers points du globe, la raréfaction ou la condensation des atmosphères locales. Cependant, et malgré ces déviations et ces mélanges, rien de plus évident que l'existence et la superposition des deux courants principaux. Ÿ a-t-il des nuages? chacun a les siens, les forme , les porte, les entraîne à sa manière. Ceux du cou- rant septentrional rasent là terre, ou demeurent suspendus à des hauteurs médiocres. Nous les voyons, du Pic, occuper une zone ordinairement comprise entre mille et deux mille mètres au-dessus du niveau de la plaine. Les nuages du cou- rant méridional, au contraire, se soutiennent à une élévation qui excède habituellement celle de nos cimes, et planent souvent à quatre ou cinq mille mètres au-dessus. Envisagées de la plaine, les distances disparaissent ; les deux couches de nuages se confondent ; et à moins. que l’op- position de leur marche n’avertisse l'œil de l'observateur, on ne distingue plus entre eux ceux de diverse origine, si ce n’est à cette physionomie qu'ils tiennent de la région où ils ont pris naissance, et dont le caractère est aussi aisé à reconnaître que difficile à décrire. Sur nos sommets tout se débrouille et reprend sa place; les deux couches se sé- parent : nous sommes au point de partage, témoins des accidents qui signalent leur rencontre, et placés précisé- ment sur l'un des obstacles dont l’interposition donne à ces accidents une forme particulière. Deux barrières, en effet, s'opposent ici au libre passage des vents. Du côté du nord, c'est le Pic du Midi et le chaînon qu'il domine; au sud, c’est le Mont-Perdu et les longues 1823. 15 114 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION crêtes du Marboré. Dans la lutte des deux courants, cha- eune de ces deux barrières signale sa résistance par quelque phénomène digne d'attention. Les nuages formés dans le bassin de la Méditerranée ou sur le sol de l'Espagne, viennent-ils à atteindre les Pyré- nées ? on les voit, durant plusieurs jours, attachés aux cimes méridionales, s'y amonceler de plus en plus, et ne pouvoir les franchir. Transportons-nous sur la barrière où ils demeu- rent arrêtés : le soleil nous accompagne jusqu’au tranchant de la crête; là, nous trouvons l'orage battant avec furie le revers des montagnes. La crête est exactement la ligne de partage; et la masse de nuages s'élevant au-dessus à perte de vue, est invariablement maintenue sur le prolongement vertical de cette limite, par la direction ascendante que prend le vent impétueux qui heurte les pentes. Mais peu à peu l’'amas s'accroît, et le moment de la surcharge arrive. On croirait que ces nuages vont s'écouler par le haut, car il n’y a là aucun obstacle visible ; point du tout : c'est par le bas qu'ils se mettront en marche; ils s'emparent d’abord de tous les défilés, de tous les créneaux de la crête, parce que l’étran- glement y redouble la vitesse du vent, et franchissent le dé- troit par pelotons, saluant à la fois d’une double détonation les deux parois de la brèche qui leur a livré passage. La barrière une fois forcée , l'intervalle de sept à huit lieues qui sépare le Marboré de la chaîne septentrionale, est bientôt envahi. Celle-ci n’oppose qu'une faible résistance ; le Pic du Midi est foudroyé en passant, et l’orage s'étend sur la plaine. M. Balitoro a publié, il y a vingt-cinq ans, des observa- tions desquelles il résulterait que la foudre ne frappe jamais la partie nord et nord-est des édifices. Le Pic du Midi ferait AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 11) exception à cette loi. Les traces de la foudre, et elles sont trèes-nombreuses, s'y montrent précisément dans toute la partie du sommet qui regarde lorient, depuis le sud jus- qu'au nord. Là, ses roches offrent de vastes espaces et surtout des angles manifestement fondus à la surface, et cou- verts de bulles witrifiées. Mon observation pourtant ne con- tredit en aucune facon celle de Balitoro. La foudre frappe les édifices dans le sens où marchent les orages, et c’est du côté du sud et de l’ouest qu’ils sont atteints dans les plaines, parce que rien n'y dévie le cours naturel des nuages : au Pic, l'appareil orageux est nécessairement entraîné vers les gorges ouvertes à lorient ; c’est donc la face orientale de la montagne qui provoque et reçoit la décharge électrique. Le Pic oppose peu d'obstacles aux vents méridionaux, parce qu'ils le prennent par ses cimes : il résiste iong-temps à l'invasion des vents septentrionaux, parce qu'ils l’attaquent par sesbases. Rien de plus ordinaire que de voir, du sommet, la plaine chargée de nuages, et ces nuages remonter le long de ses pentes avec le vent qui les entraîne. Les observations météorologiques sont alors affectées de deux erreurs dont on ne peut: estimer avec précision l'étendue. Le courant as- cendant fait baisser le baromètre, en diminuant la pression de la colonne d'air, et il fait monter le thermomètre en lui apportant l'atmosphère de la plaine. Cet accident est fréquent dans les montagnes ; il a altéré, à l'insu de Saussure, les ob- servations qu'il a faites au sommet du Mont-Blanc; à plus forte raison altère-t-il un bon nombre de ces observations que nous voyons faire en courant de cimes en cimes, sans la moindre défiance des influences variées qu’exercent tour- à-tour, les vents, les lieux , les heures et le temps. Mais je 15. r16 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION dois à une circonstance pareille d'avoir été témoin de l'un des plus rares phénomènes que m'ait offert l'atmosphère de ces hautes régions. Je montai au Pic, le 8 août 1792, avec un ciel pur et le plus beau soleil, Arrivé à la cime , à trois heures et demie après midi, je trouvai non-seulement la plaine entierement eou- verte de nuages, mais ces nuages pressés contre l’escarpe- ment septentrional de la montagne, et se dressant perpen- diculairement sur ma tête à une hauteur que je n'estime pas moindre de cent cinquante mètres. La distance était facile à mesurer : trente pas, au plus. Sur cet immense rideau, dont la surface était parfaitement plane, se projetait mon ombre, celles de trois personnes qui m'accompagnaient, et l'ombre du tronçon de sommet au. haut duquel nous étions placés, le tout environné d'un iris dont le diamètre m’a paru de qua- rante degrés au moins, et à peu près égal à celui des halos que nous voyons autour de la lune. La continuité de cette vaste circonférence n'éprouvait d'autre interruption que celle d'un arc de quelques degrés, intercepté par l’image de notre piédestal. Les couleurs de l'iris étaient d’une vivacité admi- rable, et nos ombres d’une telle netteté qu'un miroir n'en aurait pas plus fidèlement représenté les contours. Nous con- templämes ce tableau, l'espace de trois quarts d'heure, sans qu'il éprouvât la plus légère altération. Sur ce rocher , sous. ce ciel, à la vue de ce magique spectacle, on eût cru assister vivant à son apothéose. Bouguer avait autrefois observé, sur les Cordillières, un phénomène de même sorte, mais.sous une forme très-diffé- rente (1). Ceux auxquels il s’est présenté depuis, l’ont presque (1) Préface du Traité de la figure de la terre, p. 43. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 117 tous vu de la même manière. Ainsi, les fils de Saussure, se trouvant le 7 janvier 1796 sur la montagne de Salève, virent le soleil projeter leurs ombres sur le brouillard , et ces om- bres, celles de leurs têtes surtout, entourées d’auréoles ou de cercles concentriques colorés, exactement conformes à la description qu’en donne Bouguer (1). C'est encore sous des apparences à peu près semblables que ce phénomène a été observé vers la mème époque, par Mirbel dans les basses Pyrénées, et par Aubert du Petit- Thouars à l’île de Bourbon. Beaunier seul a eu le bonheur de le revoir tel qu'il m'a apparu, quoique sous une forme moins imposante et dans de moindres dimensions. Le 27 septembre 1800, se trouvant au sommet du Puy de Sancy, et appuyé avec son guide contre la croix qui y est placée, il remarqua sous ses pieds un petit nuage blanc, éclairé du soleil, sur lequel se peignait un: cercle complet, brillant des couleurs de l'iris, au milieu du- quel se projetait l'ombre des deux spectateurs (2). Quant à Omalius d’'Halloy , de qui nous tenons les détails de l'observation de Beaunier, celle qu'il a eu occasion de faire lui-même le 27 août 1807, aux environs de Spa, lui a offert le phénomène sous sa forme la plus ordinaire : il a vu sur un brouillard l'ombre de son corps, où la tête seule était entourée d’une auréole large de plus d’un mètre, formée de cercles concentriques, lumineux et faiblement irisés (3). Les caractères. distinctifs du tableau qui s’est présenté à (x) Saussure, Voyage dans les Alpes, $. 2235 , en note. (2) Journal des Mines, tom. 27, p. 407. (3) Ibid. 118 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION mes yeux , la netteté des ombres, la correction de leurs con- tours, l’unité et l'étendue du cercle irisé, s’expliquent tout naturellement par la forme de ce nuage, qu’un courant d’air, à la fois rapide et continu, deéployait devant moi comme l'eut été un rideau bien tendu. Les nuages, au contraire, où Bouguer, les fils de Saussure et d’autres observateurs ont vu leur image imparfaite ou tronquée, et leurs têtes seule- ment environnées d’auréoles, avaient sans doute la forme ordinaire , et offraient cet assemblage de surfaces convexes, qui donne un aspect floconneux aux amas de vapeurs aban- donnés à eux-mêmes. Il n’est pas aussi aisé d'expliquer le phénomène lui-même. Voir son ombre sur:un brouillard , est une chose fort ordi- naire; mais voir cette ombre entourée d’un cercle coloré, est une chose sirare, que la formation de cet iris semble exiger le concours d'une condition tout-à-fait extraor- dinaire. Bouguer pensait que les particules du nuage étaient glacées. Saussure partage son opinion, et l'appuie de ce qu'il gelait sur la montagne de Salève , au moment où ses fils furent témoins du phénomène. Beaunier, au contraire, ne trouve dans sa propre observation rien qui autorise cette conjecture, et Omalius-d'Halloy ne :croit pas du tout à la congélation des particules, dans un brouillard qu'il rencon- trait le 27 août, à une élévation très-médiocre au-dessus du niveau dela mer. Je ne puis que me ranger à leur avis! bien qu'il y eût dans les dimensions de mon iris, de quoi favoriser l'opinion de Saussure; mais, certes , il ne gelait pas le 8 août au Pic du Midi, et j'aurais peine à me persuader qu'il gelât dans cette nue, vivement éclairée du soleil, que je touchais de la main, et qui remontait de la plaine. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 119 Au reste, je ne discuterai pas ici ce point de physique. IL me suffit d’avoir fait apercevoir, en exposant les phéno- mènes, l'existence de certaines modifications qui sont par- ticulières aux hautes sommités, et contribuent à distinguer leur climat de tous ceux dont il se rapproche d’ailleurs par la conformité générale des températures. Les contrées po- laires, où nous avons cherché nos points de comparaison, sont placées dans le courant de l'atmosphère qui s'écoule in- cessamment du pêle à l'équateur, et l'échange des masses d’air s'opère uniquement par le ministère des vents horizontaux. Nos sommets, au contraire, touchent au‘courant qui se di- rige de l'équateur au pôle, et outre les vents horizontaux, il y a encore tous les vents verticaux, naïssant tant de los- cillation diurne que du rebroussement des courants dont les pentes sont frappées. On conçoit l'effet que ces derniers produisent sur la tem- pérature de notre Pic, en mêlant immédiatement et subite- ment à son atmosphère, celle d’un climat tout différent et qui pourtant n’en est séparé que de la distance mesurée par sa hauteur. Les brusques variations dues à cette cause, sont au nombre des conditions particulières , imposées ici à l’exis- tence organique. Quant au courant méridional dont les cimes sont habi- tuellement baignées, ce qu'il y apporte de chaleur propre est renfermé dans l'échelle de température qui a servi de base à nos comparaisons. Mais il a encore d’autres propriétés, et agit sur l'organisme d’une manière toute particulière. Le Sirocco des Italiens, le Foen des hautes Alpes, la Balaguere des Pyrénées, vents chauds et souvent fougueux , tous com- pris entre le S. E. et le S. O., sont bien connus par leur in- 4 120 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION fluence débilitante, l'abattement où ils jettent les hommes et les animaux, l’atonie subite et mortelle dont ils frappent les maladies aiguës. Ils ne me sont pas moins connus par l'activité prodigieuse que leur invasion imprime à la végé- tation des montagnes, lorsqu'elle en est à ses premiers dé- veloppements, et par la célérité avec laquelle ils en préci- pitent le dépérissement à l'époque où elle est sur le retour. Ces propriétés, qui paraissent résider principalement dans un certain état de l'électricité, se manifestent , selon les cir- constances, avec des degrés d'énergie différents, mais ne de- meurent jamais complètement endormies. Personne ne croira que des plantes qui vivent sous l'influence permanente de ce courant équinoxial, se trouvent, même à température égale, dans une condition parfaitement analogue à celle des plantes habituellement exposées à l’action du courant po- laire, dont les propriétés physiques sont diamétralement opposées. Bien d'autres causes concourent à marquer le climat des montagnes élevées, d’un caractère qui lui est propre. Mes observations font foi du hautdegré de chaleur que l’irradia- tion solaire peut communiquer au sol. Cette chaleur est souvent hors de toute proportion avec la température de l'air. Sans doute, elle s'accumulerait déja jusqu’à une certaine me- sure, dans un terrain que sa couleur sombre et sa constitu- tion graveleuse disposent singulierement à la retenir; mais l'intensité qu'elle y acquiert tient encore à autre chose : à l'extrème vivacité de la lumiere qui éclaire et inonde ces hautes régions. Nous en sommes avertis, non par nos yeux qui l'ont reçue graduellement et s'y sont accoutumés peu à peu, mais par l'impression cuisante que le soleil fait sur la AU SOMMET DU PIC DU MIDI. I21 peau, et surtout par la puissance remarquable du foyer caus- tique : une lentille de très-petit diamètre enflamme sur-le- champ des substances qu’en plaine une lentille d'une sur- face double échaufferait à peine; et ceci fournirait un expé- dient pour comparer plus exactement, et réduire à une échelle convenue, les degrés de cette chaleur lumineuse que le ther- momètre exposé au soleil n’accuse pas sans ambiguïté, parce que latempérature de l'air est comprise dans ses indications. La vivacité de la lumière et l’échauffement du sol sont deux circonstances trop favorables à l'accroissement des plantes, pour n'être pas comptées au nombre de celles qui impriment à la végétation alpine son caractère distinctif. L’une et l’autre dépendent de la pureté de l'air; elles ont leur origine commune dans la diminution de la pression at- mosphérique. La puissance de cette dernière cause ne saurait atteindre l'organisation végétale par les voies qui lui ouvrent l’accès de la nôtre; et l’action qu’elle exerce sur les plantes n’a ni son modele ni sa mesure dans l’action qu’elle exerce sur nous, La raréfaction de l'air, au degré où nous pouvons la supporter sans incommodité ; exalte toutes nos facultés, et - double pour nous le sentiment de l'existence. Les hommes qui naissent et vivent au sein de cette atmosphère, marquent leurs premières années par un développement rapide , et four- nissent leur aventureuse carrière avec la plénitude de la force, que seconde l’élan de la pensée. Mais le mouvement imprimé à la vie n’en hâte pas la jouissance sans en précipiter le cours : comme il l'excite et la presse, de même il l’use et l’abrége, _si toutefois c'est abréger la vie que lui rendre en sensa- tions ce qui lui est retiré en durée. 1823. 16 122 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION Le système nerveux est à la fois l'intermède et l'agent de ces modifications de notre être. Les végétaux, privés de ce point de contact avec la nature, sont affectés d'une autre manière, et atteints par d’autres conséquences de la raréfac- tion de l'air. Nous venons de voir que la vivacité de la lumière est une de ces conséquences. L’accélération de l'évaporation en est une autre; et celle-ci agit en même temps, mais diversement, sur les végétaux et sur nous. On en éprouve l'effet, lorsqu’à la cime des montagnes on ressent un froid que l'observation du thermomètre ne jus- tifie pas. Cette sensation singulière, qui a autrefois frappé Darcet au sommet du Pic du Midi, est aussi facile à expli- quer aujourd'hui qu’elle paraissait alors inexplicable. C'est encore à la facilité avec laquelle s'exécute la perspiration cu- tanée et pulmonaire que nous devons de n'avoir rien à re- douter de la répercussion de la sueur, quand nous atteignons ces cimes, bien que nous ayons passé du chaud au froid, et du mouvement au repos; tandis qu'au contraire, cette ré- percussion est fort à craindre quand nous descendons des sommets vers la plaine, quoique alors la fatigue soit bien moindre, et la transition du froid au chaud. Quant aux végétaux , soumis comme nous à l'évaporation, ils semblent en redouter ici l'excès, et ne l’éprouver que pour être avertis de s’en défendre. Cette disposition se fait aper- cevoir plus ou moins dans un grand nombre de nos plantes alpines : elle est surtout manifeste dans certaines espèces que nous trouvons plus bas garnies de feuilles vertes, min- ces, se desséchant très-facilement, et que nous retrouvons sur les cimes, avec des feuilles glauques , épaisses, et revêtues d'un épiderme imperméable. \ * H AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 123 Elles ont bien d'autres épreuves à subir de l’instabilité du temps, durant ces étés si fugitifs et que l'hiver ne cesse d’assiéger. Sans parler des perturbations générales, dont les montagnes sont toujours plus fortement assaillies que les plaines, au soir des plus beaux jours, l’activité de l’évapo- ration a bientôt refroidi le terrain que le soleil avait si puis- samment échauffé : la nuit survient, et le rayonnement de ces cimes solitaires , vers un ciel dont rien n’égale la trans- parence et la pureté, ne manque guère d'y ramener la tem- pérature au terme de la congélation. Ce refroidissement des cimes donne naissancé à un petit phénomène, visible des plaines adjacentes , et qui entre dans les pronostics de leurs habitants. Le Pic du Midi se coiffe quelquefois, et souvent au matin de très-beaux jours , d’une calotte de vapeurs demi-transparentes, dont les bords se perdent en mourant dans l'air qui les environne. Ce n'est autre chose que l'humidité de cette couche de l'atmosphère, condensée jusqu'à une certaine distance, par le froid du sommet; et quel que soit le vent qui règne au bas de la montagne, on ne se trompe guère si l'on infere de cette apparence, qu'un vent méridional s'est emparé de la région supérieure, et que le sommet du Pic s'est couvert de gelée blanche. Le Puy-de-Dôme m'a souvent offert le même phé- nomène , et il a été remarqué depuis long-temps en Suisse, au Mont-Pilate qui en a tiré son nom, Mons Pileatus. I] se pourrait fort bien que le Pic du Midi eût autrefois partagé cette qualification, car son lac, aujourd'hui appelé Oncet, du nom du bassin où il est situé, a long-temps porté et porte encore dans la carte de Cassini, celui de Zac Peylade. Arrêtons-nous ici. La météorologie des montagnes est un 16. 124 ÉTAT DE LA VÉGETATION sujet fort vaste : je n'avais à l’envisager que relativement à un lieu et sous un seul de ses aspects. Tout se rapporte au même point de vue. Les observations qui constatent le poids et la température de l'air ou concernent les divers phénomènes que j'ai décrits, ont donc recu une application limitée à mon objet : savoir , de caractériser celles des modifications de l’at- mosphère qui intéressent particulièrement la végétation , du- rant la seule saison de l’année à laquelle il lui soit donné de prendre une part active. Mais la nature même de cette application dirigeait néces- sairement nos regards vers les causes productrices des modi- fications principales, et l'examen de ces causes nous a aidés à démêler quelques-uns des éléments tres-complexes , dont le climat des hautes cimes se compose. Nous avons vu l’éléva- tion agir sur l'organisme, non-seulement par l’abaissement de la température, mais aussi par la raréfaction de l'air et ses conséquences prochaines; nous avons vu cette même élévation aller au-devant du courant supérieur ‘de l’atmos- phere, la situation des montagnes décider de certains acci- dents météorologiques, et leur pente de la direction des vents; actions puissantes, infiniment variées, et pourtant subordonnées toujours au climat, dont l'empire s'étend de la base des montagnes jusqu'à leur sommet, et donne nais- sance, en se combinant avec leur climat particulier, à un ordre de phénomènes qu'aucune latitude ne peut repré- senter sans le concours de l'élévation, comme aucune éléva- tion ne les représenterait sous l'influence d’une autre la- titude. Ces considérations réduisent à des termes plus précis les comparaisons essayées entre les régions alpines et les régions AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 125 polaires, sous le double rapport de leur climat et de leurs productions. Appliquées aux conditions imposées à l’exis- tence des végétaux, elles indiquent comment et en quoi ces conditions different. Appliquées à l'impression que font ces différences de condition sur les formes végétales , elles por- tent à rechercher quels sont les degrés de leur importance, et l’ordre dans lequel leur action s'exerce sur ces formes. Jetons un coup d’œil sur les deux régions. Notre climat a pour caractère dominant, l’inconstance des vicissitudes et l'extrême mobilité des phénomènes. Cette ins- tabilité marche à la suite des subdivisions de notre année, coupée en courtes périodes par la succession des saisons, des mois et des jours, tels que notre position géographique nous les mesure. Sur nos sommets, l'influence d'une pareille cause ne se démentira pas plus que la cause elle-même. Les modi- fications atmosphériques, dépendantes de l'élévation , s’ajou- tent à celles qui dépendent de la latitude, et l'instabilité des variations s’'augmente de tous les accidents dont la haute ré- gion est le théâtre. : Rien de semblable dans les contrées polaires que j'ai prises pour exemple. L'élément de l'élévation y manque. Nulle dif- férence de niveau assez considérable pour diminuer le poids de l'atmosphère à ce point où les effets de la raréfaction de l'air deviendraient sensibles. D’autres vents dominent; ils se meuvent sur un seul et même plan. Une autre distribution du temps, une autre coupe des saisons, des jours et des _ nuits, tout concourt à modérer la célérité du mouvement; tout se réunit pour donner aux phénomènes un caractère qui nous est étranger , une continuité qui nous est inconnue. Cependant, malgré ces dissemblances fondamentales, et 126 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION nonobstant toutes les dissemblances secondaires qui en dé- rivent, la proportion relative des hivers et des étés, la lon- gueur de ceux-là et la température de ceux-ci, sont des traits de conformité si saillants, des circonstances tellement prédominantes, qu'il n'en a pas fallu davantage pour im- primer aux productions des deux climats une ressemblance qui tient de l'air de famille. Nous reconnaissons dans les plantes des deux régions, un aspect qui leur est commun, les mêmes types et'souvent les mêmes espèces; la flexibilité de l'organisme s’est prêtée à ce que les conditions respectives avaient de divers. Mais cette flexibilité a ses bornes : au terme qu’elle ne pouvait dépasser s'arrête également la conformité des espèces; et d’autres espèces se sont introduites , modifiées de manière à satisfaire aux nécessités locales, sans altérer l'unité du modèle commun. Les premières représentaient la similitude générale des deux climats, et dissimulaient les différences; les dernières représentent les différences , sans cesser de représenter les analogies. Les êtres organiques, instruments d’une délicatesse exquise et accessibles à toutes les impressions , subissent et révèlent à leur manière l'in- fluence d’une foule d'actions physiques , sur lesquelles l’ob- servation directe n’a pas de prise. Ils disent tout, mais en un langage qui ne nous est pas toujours intelligible. Aussi long-temps que nous le comprénons , nous voyons ordre, har- monie, économie d'efforts, accord admirable entre les fins et les moyens. Cessons-nous d'entendre ? là commencent pour nous les caprices de la nature. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 127 RSR RAR RE ARR RE LR LR LAS LRU LR LE RS AR RASE LEE LAS RAR RUE RAR RAR LR RATER EUR RER LR R ÉNUMÉRATION DES PLANTES QUI CROISSENT AU SOMMET DU PIC DU MIDI. CRYPTOGAMES. LICHENS. 1. Lecinea PETRÆA 6. char. lich. univ. p. 165, n°4. Patellaria petræa. Var. Excentrica. — Decand. flor. fr. 2, p. 348. Sommet supérieur, 8 août 1809. 2. Lecipea Lapicina. Æchar. lich. uni. p. 159, n° 10. Patellaria lapicida. — Dec. fl. fr. suppl, p. 181. Sommet inférieur, 27 septembre 1803. - 3. Lecipea girormis N. Patellaria biformis. — Dec. fl. fr. 2, p. 353. Sommet supérieur , 30 septembre 1803, — Sommet inférieur, ‘19 juillet 1807. Croûte grumeleuse, jaunâtre ; tubercules noirs , blancs au-dedans, d’abordbordés, puis convexés, difformes , agglomérés et saillants; quelques-uns pédiculés par un prolongement de la croûte, cir- constance d’où J'ai tiré le nom spécifique, Decandolle rapproche ce lichen du Lecanora Sulfurea : dans la méthode d’Acharius, il diffère de genre; par ses tubercules entièrément dépourvus de rebord accessoire. 128 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION 4. Lecipea conrruens. Æch. lich. univ. p. 174. Var. à. A4l- bozonaria ? Patellaria albozonaria. — Dec. fl. fr. 2, p. 348? Sommet supérieur. Tout-à-fait semblable d'aspect au L. confluens, ce lichen m'a paru s’en distinguer uniquement par le noyau blanc qui forme le centre de ses tubercules. 5. LEcIDEA siLACEA. Æch. lich. un. p.164, n° 18. Patellaria silacea. — Dec. fl. fr. 2, p. 351. Par petites taches, sur les rochers du sommet supérieur. 6. LECIDEA UMBITICATA. N. An. L. petræa 3. globulata. — Ach. lun. p. 156? Sommet inferieur. Croûte farineuse , très-blanche, un peu fendillée, bordée de noir. Tubercules très-noirs, à rebord, ayant en outre un ombilic proéminent, etsouvent quelques rides en spirale sur leur disque. Ils sont d'abord planes et sessiles , puis convexes, confluents et difformes. I . LECIDEA PARASEMA 6. crustulata. — Ach. l. un. p. 176. Patellaria parasema . rupestris. — Dec. fl. fr. 2 p.347. Sommet supérieur. ©o . LecinEA muscorum. Æch. lich. un. p. 179, n° 49. Patellaria muscorum. — Dec. fl. fr. 2, p. 349. Sommet supérieur, sur des tiges pourries de carex; sep- tembre 1803. 9. LEcIDEA canDipA. Ach. lich. un. p. 212, n° 112. Psora candida :. Dec. fl. fr. 2, p. 369. - Sommet supérieur, à terre; 11 août 1799: AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 1206 10, LecIDEA vEsICULARIS. Ch. lich. un. p. 212, n° 113. | Psora vesicularis. — Dec. fl. fr. 2, p. 368. Lichen radicatus. — Vill. Delph.3, p. 948, tab. 55. Sommet supérieur , au nord. | T1 s'empare de la roche très-dure qui constitue cette eime, y intro- | duit ses racines; elles se glissent entre les feuillets , divisent les cristaux que ces feuillets enveloppent, et finissent par réduire en sable une pierre très-cohérente et qui résiste à toutes les in- jures du temps. Dans cet état particulier, où on ne le rencontre guère, ce lichen répond parfaitement à la description et à la figure de Villars. 11. LECIDEA oBscurA. N. Confer: L. paradoxa.— Ach.lich. un. p.214, n° 116. Rochers du sommet supérieur, 30 septembre 1803. Croûte d’un brun marron foncé et luisant, composée de glomérules convexes, pressés les uns contre les autres, et du sommet des- quels naissent des scutelles noires, à rebord, se développant avec l’âge en gros tubercules souvent difformes et se crevassant irrégulièrement du centre à la circonférence. Ils sont blancs à l'intérieur : il en est de même de la croûte, mais celle-ci pose sur une couche radicale noire qui forme bordure autour du lichen. À la première vue on confondrait cette espèce avec notre Rhizocarpon atrobrunneum , n° 15 ; mais dans celui-là les glomé- rules sont distincts, et les scutelles naissent, non de leur sommet, mais dans leurs interstices et de la couche radicale elle-même. 12. Raizocarpon cEocraruicum. N. /n Dec. fl. fr. 2,p. 365. , Lecidea atrovirens. «. 8. Ach. lich. un. p. 163, n° 15. Sur les deux sommets. 13. Ruizocarpon morio. N. /n Dec. fl. fr. 2, p. 366. Sur les deux sommets , 27 septembre 1803. FA 1823. 17 130 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION 14. RaizoCarPON ARMENIACUM. N. /n Dec. fl. fr. 2, p. 366. Un peu au-dessôus du sommet supérieur, 12 septembre 1803. 19. RHIZOCARPON ATROBRUNNEUM. N. /n Dec. fl. fr. 2, p. 367. Sommet principal, 19 juillet 18o1. Ce genre que j'ai proposé aux botanistes, et que Decandolle a adopté , est très-naturel et fort bien caractérisé par ses tuber- cules naissants de la couche radicale; mais, dans la méthode d'Acharius, il ne peut entrer que comme subdivision de son genre Lecidea. Je ne doute pas qu'il ne l'eût introduit sous cette forme , s'il avait connu les belles espèces que les Pyrénées m'ont fournies, et examiné sous ce point de vue un bon nombre de Lecidea où l'on retrouve les mêmes caractères. 106. GYROPHORA PROBOSCIDEA. 4ch. Lich. un. p- 220, n° 2. — Brown. chlor. melv., n° 100. Umubilicaria proboscidea. 8. y. Dec. fl. fr. 2, p. 410. Sur les rocs schisteux du sommet principal. 17. VERRUCARIA SCHRADERI. Æch. Lich. un. p. 284, n° 21. V”. rupestris. — Schrad. — Dec. fl. fr. 2, p.317. Sommet inférieur , sur les rochers calcaires. 18. VERRUCARIA UMBRINA. ch. lich. un. p. 291, n° 38. V. nigrescens. — Pers. — Dec. fl. fr. 2, p.319. Roches calcaires du sommet inférieur. 19. VERRUGARIA cINCTA. N. Roches calcaires du sommet inférieur. Tubercules très-gros pour ce genre, et fort saillants au-dessus de la croûte. Celle-ci est blanche et pulvérulente. Les tubercules sont plus ou moins saupoudrés de cette farme, et elle les ceint, en outre, d'un anneau blanc. Ge caractère ne permet pas de confondre cette espèce avec le 7’. exserta, autre espèce également nouvelle que j'ai découverte à Lhierins, et à laquelle elle res- EC re AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 131 semble d'ailleurs’par la grosseur et la saillie de ses tubercules, tandis que ces derniers caractères, communs aux deux espèces, les distinguent nettement l'une et l'autre de toutes les verrucaires que l’on rencontre sur les rochers et les murs. 20. ENDocarPoN comPLicATtuM. ch. lich.un. p. 303, n° 17. — Dec. fl. fr. 2,p. 413. Sommet principal. 21. URCEOLARIA BRYOPHILA, 4. Æch. ich. un. p. 341, n° 17. U. scruposa. B. y. Dec. fl. fr. 2, p. 372. anis principal, à terre , sur les mousses et les tiges pour- ries du Carex curvula, 19 juillet 18or. 29. URCEOLARIA CINEREA. y. 2h. lich. un. p. 337, n° 11. U. tessellata +. Dec. fl. fr. 2, p. 371. Sommet principal , sur la roche micacée , 1803. 23. UrcEOLARIA ? casTaNEA. N. /n Dec. fl. fr.2, p. 371. Sommet principal. Mélée avec le L. miniatus. Elle est composée de folioles convexes ; d’un brun marron luisant , séparées et arrondies, ou rapprochées et difformes, au centre des- quelles s'ouvre un urcéole d’abord indiqué par un point, puis épanoui en bassin, toujours enfoncé dans la foliole, et d'un brun encore plus foncé. Cette espèce se place entre les urcéolaires et le Peltidea. W faudra peut-être la ranger dans ce dernier genre. 24. LECANORA ATRA. 2. ch. hich. un. p.344, n° 1. Patellaria tephromelas. — Dec. fl. fr. 2, p. 362. Sommet principal. 25. LecanorA ARcorHous. Ach. lich. un. p. 346, n° 2. (Ex descriptione.) Sommet principal. : Très-semblable au précédent; mais ses scutelles sont brunes et 17. 132 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION non pas noires, très-grandes, souvent difformes, entourées d'un rebord très-saillant, ondulé, crénelé et dominant toujours le disque, qui demeure plane ou même creux à tous ses âges. 26. LECANORA GLAUCOMA. Ach. lich. un. p.362, n° 24. Patellaria glaucoma. — Dec.f. fr. 2, p. 352. Sommet principal. 27. LEGANORA CRASPEDIA. Æch. lich. un. p. 391, n° 62. Patellaria craspedia. — Dec. fl. fr. 2, p. 359. 28. LECANORA EPIBRYON. 4ch. lich. un. p.396, n° 66. Patellaria hypnorum. — Dec. fl. fr. 2, p. 362. Ce lichen et le précédent sont indiqués dans mon ancien catalogue de 1803. Ne les ayant plus sous les yeux, je ne puis m'assurer si cette indication est fondée. 29. LEGANORA BICINCTA. N. Sommet supérieur sur la roche micacée , 30 septembre 1803. Belle espèce, très-apparente , que je ne trouve décrite nulle part. Croûte lisse , mais fendillée en aréoles irrégulières ; elle est d’une couleur jaune fauve, bordée de noir. Scutelles nombreuses, ses- siles, de grandeur médiocre, souvent irrégulières; leur disque est noir, légèrement poudré de poussière glauque, et environné d'un rebord propre, parfaitement noir, ceint à son tour d’un second rebord jaunâtre fourni par la croûte. Ces scutelles finis- sent par devenir convexes, sans perdre ni l’un ni l’autre de leurs rebords. Ce lichen a de l’analogie avec le Z. confluens. 30. LECANORA BADIA. +. Fuscata.— Ach.lich. un. p.40o7,n0.85. Patellaria badia. «. Dec. fl. fr. 2, p. 361. Ex ipso. Sommet supérieur, au nord. 51. LeëcanoRA DECIPIENS. ch. lich. un. p. 409, n° 87. Lecidea decipiens. — Ejusd. meth. lich. p. 80. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 133 Psora decipiens. — Dec. fl. fr. 2, p. 369. Autour du sommet , sur les débris du Polytrichum commune. Acharius rompt tous les rapports naturels en plaçant ce lichen dans ses lécanores. Je ne puis discerner un margo thallodes autour de ses tubercules; et quand même ils en offriraient quelquefois l'apparence, il n’est pas clair que le L. luridus et d’autres Lecidea ne donnassent lieu à des remarques semblables, quand le Thallus accompagne les tubercules dans leur premier développement. Souvent, dans le doute, Acharius a su se décider par des con- sidérations tirées du port : c'était bien le cas, ici, car on ne san- rait affirmer que la présence ou l'absence du rebord soit un caractère de telle importance qu'il doive l'emporter sur l'habi- tude entière de la plante. Le Z. decipiens se place à côté du /u- ridus , au voisinage des Psora à tubercules noirs, latéraux, tels que le candidus, le vesicularis, avec lesquels il a certainement plus de rapports qu'il n’en a avec le Lecanora crassa, cartilaginea , rubina , dont les tubercules évidemment bordés , autrement faits, autrement colorés, et naïssant sur le disque même des folioles, repoussent une association purement systématique et démentie par la nature. 32. LECANORA CARTILAGINEA. Ach. ich. un. p.415, n° 96. Squamaria cartilaginea. — Dec. fl. fr. 2, p. 376. Sur la crête occidentale, descendante du sommet supérieur, 19 juillet r80r. | 33. LECANORA MELANOPHTHALMA. Squamaria melanophthalma. N. Dec. fl. fr. 2, p. 376. Sommet supérieur, .16 août 1795, 19 juillet r8or. 34. LECANORA ELECTRINA. Squamaria electrina. N. Dec. fl. fr. 2, p. 374. Sommet supérieur. 35. LEcanorA concoLor. N. Sommet supérieur , appliqué sur ses rochers, 12 septembre 1803. 134 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION Croûte épaisse, formée de crustules distinctes , mais étroitement agelomérées et difformes, excepté au pourtour où elles se dé- ploient en expansions lobées. La surface du lichen est lisse et d'une couleur fauve clair ; l'intérieur est blanc, le dessous noir. Du milieu des crustules, naissent des scutelles d'abord concaves, puis planes et même convexes, fhais toujours ceintes de leur rebord. Leur couleur ne diffère pas sensiblement de celle de la croûte. Seulement avec l'âge, leur disque se ‘teint d'un fauve un peu plus foncé. d 36. L. concoLor. 8. pispersA. N. Je réunis à cette espèce, comme variété, un lichen très-commun sur les roches occidentales du Pic, et qui ne présente que des crustules éparses, mais d'ailleurs semblables et colorées de même. Leurs tubercules sont pareils, sauf que lerebord paraît un peu plus mince, et le disque disposé à se colorer en fauye rougeâtre. Quel- ques botanistes ont cru y reconnaître le L, polytropus d'Ehrhart; mais la description qu'Acharius nous donne de celu-là,p. 192, b, ne convient au nôtre en aucune manière- 37. LECANORA MINIATA. Ach. lich. un. p. 434, n° 127. Placodium elegans. — Dec. fl. fr. 2, p. 379. Rochers du sommet inférieur, 16 septembre 1793. 38. LEcANORA ELEGANS. ch. lich. un. 1p. 436, n° 128. — Brown. chlor. melv. n° 1o1. Roches calcures du sommet inférieur, 23 septembre 1803. Decandolle le confond avec le précédent, dans sa description et ses synonymes : je crois qu'il n’a pas tort. 39. PARMELTA saxaTiLis. Æch. lich. un. p. 469 , n° 24. Imbricaria retiruga. — Dec. fl. fr. 2, p. 389. A terre, sur des débris de végétaux. —Je ne suis pas sans quelque doute sur cette espèce; je ne l'ai trouvée qu'en lambeaux à peine reconnaissables. AU SOMMEÈT DU PIC: DU MIDI. 139 ho. PaRMELtA ENCauSTA. Var. 4ch. ich. un. p. 489, n° 49. Imbricaria encausta. &. Dec. fl. fr. 2, p. 394. Très-commun sur les roches du sommet principal. Il y acquiert des dimensions telles que j'en ai un échantillon de 13 à 14 centimè- tres (cinq pouces) de diamètre. Decandolle , qui cite mes échan- tillons mêmes, remarque que cette variété diffère de l'espèce par ses expansions plus larges , plus noires et imponctuées. Je n'y ai jamais rencontré de frucüfications : si un jour on en trouve, on y reconnaîtra peut-être une espèce distincte. 4r. CETRARIA JUNIPERINA. Zch. Lich. un. p. 506, n° 1. — Brown. chlor. mel. n° 103. Physcia juniperina. — Dec. fl. fr. 2, p. 400. Sommetinférieur, àterre, sur les débris de Carex, de Hyprum et les rameaux de Saxifraga oppositifolia , 14 octobre 1795, 28 juillet 1797, 30 septembre 1803. Feuilles bordées de points noirs. Quelques scutelles à rebord den- telé et même foliacé. 42. CETRARIA JUNIPERINA.G. Pinastri. — Ach. L. un. p.506, n°7. Physcia pinastri. — Dec. fl. fr. 2, p. 40o. Même lieu. Il ne diffère du précédent que par la pulvérulence du bord de ses feuilles, et on voit ces deux lichens se rapprocher par des intermédiaires qui en effacent les limites. 43. CETRARIA NIVALIS. Ach. lich. un. p. 510, n° 6.-— Brown. melv. n° 104. Physcia nivalis. — Dec. fl. Jr.2, p.400. Pêle-méle avec les deux précédents. Sommet inférieur, 28 juillet 1797 ; sommet supérieur, 11 septembre 1810. Expansions plus redressées, plus simples et moins erépues que les précédents ; leur bord ne présente ni globules noirs, ni paquets farineux. Il est blanc, mais ordinairement teimt de jaune à sa base. Il ne fructifie point ici. 136 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION 44. CETRARIA ISLANDICA. ÂCh. lich. un. p.512, n°8.— Brown. melv. n° 106. Physcia islandica. — Dec. fl. fr. 2, p. 399. Sommet inférieur , à terre, 28 juillet 1797. On n'y trouve que les variétés les plus menues, toujours dépourvues de scutelles. Dans cet état, il ressemble tout-à-fait au Cornicu- laria spadicea, mais s'en distingue toujours par ses expansions canaliculées. 45. PELTIDEA HORIZONTALIS. Ach. lich. un. p.515, n°3. Peltigera horizontalis. — Dec. fl. fr. 2, p. 406. À terre, sans fructification , 1805. 46. CENOMYCE PYXIDATA. «. Æch. lich. un. p. 534, n° 12. — Brown. melv. n° 112. Scyphophorus pyxidatus. «. Dec. fl. fr. 2, p. 339. Sommet supérieur. 47. CENOMYCE COCCIFERA. «. Ach. lich. un. p.537, n°. 13. Scyphophorus cocciferus, «. Dec. fl. fr. 2, p. 339. Sommet supérieur. Quelques brins mêlés à des mousses et d’autres lichens terrestres. 48. CENOMYCE uNcIALIS. à. Ach. lich. un. p. 558, n° 25. Cladonia ceranoïdes. «. Dec. fl. fr. 2, p. 337. A terre, assez commun. 49. CENOMYCE vERmicuLARIS. $. Æch. lich. un. p. 566, n° 3r. Cladonia vermicularis. 8. Dec. fl. fr. 2, p. 335. Sommet inférieur , avec le L. nivalis , juniperinus , islandicus. Tiges épaisses , renflées dans leur milieu, et un peu rameuses : ca- ractères distinctifs de cette variété que j'ai rencontrée aussi au- tour du lac du Mont-Perdu. L'autre variété est commune dans AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 137 les hautes Pyrénées, et se trouve également dans l'île Melville, Brown. chl. melv. n° rx. Brown. melv. n° 113.— Dec. fl. fr. 2, p. 528. | 50. STEREOCAULON PASCHALE. 4Ch. lich. un. Ph AnMoe | | Entre les deux sommets, sur la crête qui les sépare. 91. CORNICULARIA SPADICEA. «. ACh. ich. un. p.61r,n°2. C. aculeata. — Dec. fl. fr. 2, p. 329. A terre, sur des débris de Saxifraga oppositifolia. Decandolle ne distingue point le C. spadicea de l'aculeata. Acharius , qui les sépare, convient néanmoins que l’on peut sans erreur les réunir. HÉPATIQUES. 52. JUNGERMANNIA BIDENTATA. Dec. fl. JT. 2, p. 430.— V'aill. bot. par. t. 19, fig. 8. Quelques tiges attachées à des lichens. MOUSSES. 53. DinyMoDoN cAPILLACEUM. Swartz. — Dec. fl. fr. 2, p.463. — Brown. chlor. melv. n° 85. Cynontodium capillaceum. — Schwægr. 1, p. 57. — Brid. suppl. 1, p. 156. En fragments difficiles à déterminer. 54. PoryrricHum commune. Dec. SJ. fr. 2, p. 487.—Schwægr. 1, P. 88. — Brid. musc. 2, p. 85. — Suppl. », p- 54. j ; Entre les deux sommets, végétant vigoureusement. 55. PoLyTRICHUM PILIFERUM. Dec. J.fr.2, p.488.— Brid. 2, à p. 89. — Suppl. 1, p. 52. : Sommet supérieur, 1823. 18 138 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION. 56. PozyrricHuM azpiNum. Dec. fl. fr. 2, p. 490. — Schwægr. p.92, t. 19, fig.2, b. — Brid. 2, p.00, et suppl. 1, p.62. 57. Hypnum uxcinwaTum. Dec. fl. fr. 2, p. 529. — Schwæg. 1, p- 289. — Brid. musc. 3, p. 133. Excluso syn. Lam. 58. Hypnum squarrosum. Dec. fl. fr. 2, p.629. — Schwægr. p. 281. Ce qui j'ai rencontré d'individus de cette espèce et des deux précé- dentes , est tellement défectueux, que je ne sais si, à force de comparaisons, je suis parvenu à les bien reconnaître. D’autres m'ont paru appartenir au Hypnum molluscum de Schwægrichen et de Bridel (Crista castrensis, de Decandolle), que j'ai observé en meiïlleur état à peu de distance au-dessous du sommet. On trouve beaucoup de brins de mousses sur les deux sommets ; l'embarras est de les déterminer. Ils sont, pour la plupart, dé- pourvus de fructifications. On ne saurait herboriser dans les Pyrénées sans remarquer avec étonnement combien de mousses s'y propagent sans jamais fructifier. Le nombre des espèces qui y demeurent stériles, a souvent frappé comme moi les botanistes étrangers avec lesquels j'ai parcouru ces contrées. Quelle que soit la cause de ce phénomène, ce ne sera pas sur les hautes cimes qu'on s'attendra à le voir se démentir. ÿ ? FOUGÈRES. 59. BorrycHium LUNARIA. Swartz. — Wild. sp. 5, p. 61. — Dec. fl. fr. 2, p. 560. Sommetinférieur, 14 septembre 1792. Au-dessus du sommet supérieur, à la cabane de Reboul, 16 septembre 1793. Go. Aspipium REGIUM. /7/Ulld. sp. 5, p. 281. Cyathea regia. — Smith. brit. 3, p. 1140. Sommet supérieur, au levant, 30 août 1805. Comparée à des échantillons étiquetés par Willdenow, ma fougère est plus petite (8 centim. ou 3 pouces), feuillée un peu plus bas, AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 139 _ et à folioles plus rapprochées , du reste fort semblable, suffi- samment représentée par la fig. de Villars, tab. 53, fig. C; et encore mieux dans Vaillant, Bot. par. tab. IX, fg. 1 , que Villars cite avec raison, et dont Desfontaines a adopté le synonyme dans son herbier. Gr. Aspiium FRAGILE. Aid. sp. 5, p.280. — Dec. fl. fr. 2, P- 558. « Cyathea fragilis. — Smith: brit. 3, p. 1139. «. Sommet supérieur, au levant, sur les rochers, près de la neige , juillet 1799, août 1805. 62. AsPLENIUM virine. id. sp. 5, p. 332. a. — Smith. brit. 3, p. 1127. «. — Dec. fl. fr. 2, p. 554. Commun dans les fentes de rochers des deux sommets. PHANÉROGAMES. CYPÉROÏDES. 63. Carex curvuLa: AÜlion. ped. n° 2205, tab. 92, fig. 3. — Willd. sp. 4, p. 218. — Dec. fl. fr. 3, p. 109. (Non Lam. dict.) Sommet inférieur, 28 juillet 1797; sommet supérieur, 11 septembre 1810. Petits individus de 2 à 3 pouces. 64. Carex ovaLis. Gooden. — Smith. bnit. 3, p. 968. — Filld. sp. 4 p. 220.— Dec. fl. fr. 3, p.110. Sur les deux sommets,comme sur toute la pente du Pic, 1799. 65. Carex nicra. 471. ped. n° 2310. — Wild. sp. 4, p. 266. — Dec. fl. fr. 3, p. 113. Sommet supérieur, 26 août 1795; sommet inférieur, 7 oc- tobre 1809. Ordinairement trois ou quatre épis ramassés ; le supérieur mâle. 18. 140 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION GRAMINÉES. 66. Acrosris ALPINA. #'ulld. sp. 1 , p. 368. — Dec. fl. fr. 3, p. 20.— Scheuchz. prodr. tab. 4, fig. 1. Entreles deux sommets, 15 septembre 1805. 67. Aira surspicaTA. L. id. sp. 1, p. 377. Avena atroides. — Dec. fl, fr. 3, p. 37. Trisetum subspicatum. Pass. — Brown. chl. melv. n° 65. — Hall. he. n° 1490.— Scheuchz. prodr. t. 6, f. 2. Cette graminée abonde dans la partie moyenne du Pic, au bord du précipice appelé Trou de Montariou ; je Vai trouvée au som- met, le 30 août 1805. Koeler et Decandolle ont raison de la ranger dans les avoines. Je ne cite point la fig. 228 de la Flore danoise ; elle ne représente pas mieux les individus que j'ai recus de Norwège, qu’elle ne représente les nôtres. Celle de Scheuch- zer , au contraire, est excellente et ne laisse rien à désirer, si ce n'est que l'on n’y voit pas l'agrégation des chaumes, partant d'une base commune, épaissie et bulbiforme, circonstance que Haller seul a apercue et indiquée. GS. FesTuca viocacea. Gaud. agr. hel. 1, p. 231. — Dec. fl. fr. suppl. p. 265. Sommet supérieur et tout le long de la crête qui rejoint le sommet inférieur, 26 août 1795, 30 août 1805. Je rapporte à cette espèce une graminée qui ressemble au F. rubra de Leers, mâis s'en distingue fort bien par sa petitesse, ses feuilles très-glauques , ses pédicelles et le rachis des fleurs plutôt velus que scabres, et surtout par ses glumes calicinales bien moins inégales et beaucoup plus longues, puisqu'elles atteignent aux deux tiers de la fleur correspondante. Elle a le port et l'aspect du F. Halleri, mais en diffère suffisamment par la briè- veté de ses arêtes. Touffes épaisses, formées d'un grand nombre de chaumes agrégés. Feuilles glauques, roulées et capillaires , AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 141 à'atteignant pas à la moitié des chaumes, qui n’ont eux-mêmes que de 10 à 16 céntimetres(4 à6 pouces) de haut. Panicule peu garnie, resserrée en épi d'un violet Fe ou moins fonce. Épil- IE de "3 à à 4 fleurs. J'ai trouvé aussi cette graminée au bord du lac du Mont-Perdu. Elle y est de moitié plus petite, et ses épillets sont d’un pourpre noir. 9. Festuca Eski4. N. Dec. fl. fr. 3, p. 52. Varietas tenuifolia munor. Parmi les débris de rochers, immédiatement au-dessous du sommet, du côté du midi, septembre 1803. Cette variété a le port ordinaire de son espèce. Tiges allongées, traînantes, couvertes de feuilles flétries , roulées, courbes, dures et piquantes. De ces tiges s'élèvent, de loin en loin, des chaumes ascendants, garnis d’une couple de feuilles glauques très-cour- tes : ces chaumes sont ordinairement du double plus longs que les feuilles de la base. La ténuité des feuilles est le seul caractère qui distingue cette variété, et la rapprocherait tant du F. varia de Hæncke, que du F. acuminata de Gaudin, si d'ailleurs elle ne s'en éloignait par la brièveté, la courbure et la roïideur de ses feuilles. Au reste, toutes ces festuques à épillets luisants et à feuilles roulées forment un petit groupe qu'il est difficile de sub- diviser en espèces suffisamment tranchées, et où je n'en trouve qu'une, À. villosa. Haller fii., qui se distingue nettement par la petitesse de ses fleurs et les poils qui en garnissent la base. Ma plante porte, dans le pays, le nom d'Æskia, et c'est celui que je lui ai définitivement donné ; mais on l'appelle aussi Oursagne, et j'avais d’abord traduit cette dénomination. Plusieurs bota- nistes l'ont reçue de moi étiquetée F. crinum ursi, et elle figure successivement sous les deux noms dans le Dict. encycl. tom. X, p- 633, n° 30 et 33. Le F. eskia s'empare surtout de la face méridionale des montagnes. Il commence à paraître où finit le Vardus stricta, et constitue au Pic du Midi le fonds de la végétation graminée, depuis la hau- teur absolue de 1150 toises jusqu’à celle d'environ 1400. Rien de plus dangereux dans les Pyrénées que cette herbe enchevé- 142 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION trée, dure et glissante , dont les tapis épais font des moindres pentes autant de précipices. À peine les meilleurs crampons y mordent: c'est l'écueil le plus ordinaire du gros bétail , et pres- que l'unique cause des accidents, d'ailleurs peu nombreux, qui arrivent aux: agiles habitants de ces contrées. 70. Poa ALPINA. Var. Wild. sp. 1, p. 386. — Smith. br. 1 p. 100. — Dec. fl. fr. 3, p. 62. Sommet supérieur, 16 septembre 1793, 22 juillet 1799, 30 août 1809, 11 septembre 1810. 9 Petits individus de 2 à 4 pouces ; panicule peu garnie et peu étalée, Épillets de 3 à 4 fleurs au plus, où domine le violet foncé. Pédi- celles très-lisses, caractère qui distingue parfaitement cette espèce du P, frigida de Gaudin et d'autres analogues. Je ne cite pas la trés-bonne figure de Scheuchzer, qui représente le Poa alpina dans son état ordinaire et ne peut servir à le reconnaître sous la forme qu'il revêt ici. 71. Poa cenisra. lion. auctar. p. fo. (Collatis speciminibus). Dec. fl. fr. 3, p. 720, et suppl. p.274.— Poir. dict. NII, p. 328 ,:n° 79. P. distichophylla. — Gaud. agr. heb. 1, p. 199. Sur les deux sommets, 30 août 1805, 11 septembre 1810. Tiges traînantes,chaumes ascendants, comprimés à leur base. Feuilles glauques et distiques, surtout dans les pousses stériles. Ces der- niers caractères, observés par Gaudin sur sa plante, sont omis par Allioni dans sa description , et je n'aurais pu croire à l'iden- tité, si je n'avais été à portée de confronter la plante même de Gaudin avec un échantillon de celle d'Allioni , tiré de son propre herbier , et envoyé par Balbis à M. Delessert. Dans les individus du Pic du Midi, les épillets renferment cinq fleurs. C'est par suite d’une erreur qui nous a été commune que, dans la Flore française, Decandolle rapporte ma plante à son P. elegans, qui est le P. /axa de Willdenow, petite espèce grêle, à épillets pau- ciflores , native des hautes Alpes, et que je n'ai jamais rencontrée AU SOMMET DU PIG DU MIDI. 143 dans les Pyrénées. Le P° cenisia diffère constamment de celle-là par sa roideur , ses feuilles divergentes, scabres sur les bords, sa panicule plus serrée, à rameaux beaucoup plus courts, ses pédicelles chargés d’aspérités, caractères qu'il conserve dans tous ses états, et qui m'ont servi à ramener à l'espèce de petits échantillons à épillets triflores que j'ai rencontrés au port de la Canau. 72. AVENA SEMPERVIRENS. Ÿ#/l. delph. 2, p.140, t. 5.— Dec. HUTAS PAS A. striata. — Lam. dict. 1, p: 332. Sommet inférieur, 26 août 1795 ; sommet supérieur, 30 août 1805. Cette graminée, habituellement très -glauque, est ici tout-a-fait cendrée. Quelquefois pourtant on la rencontre verte, mais plus rarement au Pic que dans des lieux moins froids et. moins ari- des. Les épillets, ici comme ailleurs, contiennent un nombre de fleurs qui est assez constamment de trois, dont une stérile. Quant aux houppes de poils qui tiennent lieu de ligule, elles sont quelquefois peu perceptibles, et manquent tantôt à l’une des feuilles d’un même chaume , tantôt à l’un des chaumes d'une même touffe ; à leur place, on voit un élément de stipule sou- vent lacéré, Ces variations pourraient répandre du doute sur l'4. sedenensis, que Clarion a séparée de l'espèce , si toutefois cette séparation n'est pas appuyée de caractères plus solides, POLY GONÉES. 73. Rumex nicynus. illd. sp. 2, p. 258. — Smuth. br. 1, p- 395. — Dec. fl: fr. 3, p. 370. Oxyria reniformis. — Brown, chl. meb.n° 46. — For. dan. 1, tab. 14. —Gærtn..fr. 2, p. 180, t. 119, fig. 2. Sommet supérieur au nord, sur le bord du précipice. En fleur, le 28 juillet 1797 , et le 30 août 1805. Pas encore en fleur, Je 8 août 1809. Tiges de 2 à 4 pouces , naissant en touffes , d'une racine très-épaisse 144 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION et très- longue qui pénètre profondément dans les fentes du rocher. La figure de la Flore danoise représente la plante beau- coup plus grande, et telle que je l'ai de la brèche de Roland. A Néouvielle, elle est réduite aux mêmes dimensions qu'au Pic du Midi. Espèce très-certainement vivace, comme le disent tous les auteurs, et non pas annuelle , comme le dit la Flore francaise. PLANTAGINÉES. 74. PLanTaGo aALPina. Wld. sp. 2, pars. 2, p. 645. — Dec. MTS DLL Sommet supérieur, en petites touffes éparses. Ce plantain, fort commun dans les hautes Pyrénées, y porte le nom de Mortara. Mêlé avec le Trifolium alpinum , que l'on ap- pelle Baniou , il forme des pelouses d'une extrême finesse et sou- vent d'une grande étendue. Les pâturages où ces pelouses se rencontrent, sont réputés les meilleurs pour les moutons. PLUMBAGINÉES. 75. STATICE ARMERIA, Willd. sp. 1,pars. 2, p. 1522. Var. £, Dec. fl. fr. 3, p. 419. Var. +. S. linearifolia. 8. Loisel. fl. gall. p. 182. En fleur, sur le sommet inférieur, le 8 août 1809; sur le sommet supérieur, le 16 septembre 1793, le 11 et le 22 septembre 1810. Feuilles exactement linéaires, un peu charnues et très-obtuses; hampes entièrement glabres ; calice des fleurs très-velu. Bien distincte assurément du S4. maritima dont Loiseleur fait sa va- riété &, et qui a les feuilles bien plus menues, un peu triangu- laires, et les hampes pubescentes. Elle ne diffère pas moins du S. elongata des environs de Paris, dont les feuilles sont planes, linéaires-lancéolées , très-aiguës, à trois nervures, et qui se rap- proche beaucoup du St. plantaginea , que j'ai recueilli en Au- vergne. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 145 LYSIMACHIES. Juss. PRIMULACÉES. VenT. prc. 76. ANDROSACE ciLiATA. Dec. fl. fr. 3, p. 441.— Ice. pl. gall. rar: fasci 1, po 31.67. : Sommet supérieur, au nord, sur les rochers formant l’escar- pement du précipice. En pleine fleur, le 8 août 1809, année très-tardive. Je l'avais trouvée fleurie le 22 juillet 1799, et dès le 19 juillet 18or. Massey encore plus tôt, savoir le 3 juillet 1798. C'est peut-être la plante la plus précoce du Pic. Elle végète vigoureusement dans des situations bien plus froides encore. Je l'ai recueillie couverte de fleurs , le 12 août 1797, au haut du glacier de Tuque rouye , en plein nord, et le 10 août 1802 , à la cime du Mont-Perdu. Nulle part même je ne l'ai vue aussi forte, aussi belle, aussi vivement colorée. C'est une arétie , et le représentant, dans les hautes Pyrénées, de Ÿ Aretia alpina, que je n'y ai point rencontrée. On l'avait con- fondue avec celle-là, et il est en effet difficile de l'en distin- guer par des caractères bien tranchants , quoiqu'elle s’en dis- tingue à la première vue, par la grandeur relative de ses feuilles et de ses fleurs, la longueur de ses pédoncules, et l'aspect glabre de toutes ses parties. Tout cela varie bien jusqu'à un certain point : les feuilles diminuent de grandeur; des poils .rameux se mêlent aux poils simples dont elles sont ciliées, et envahissent même une partie du disque : cependant l'aspect général ne se dément pas; les feuilles continuent à se distinguer par une cir- conscription un peu différente; la partié la plus large paraît plus voisine du sommet ; et dans certains individus même , on y aper- coit une dent glanduleuse de chaque côté, Toujours aussi, le tube de la corolle approche davantage de la longueur du calice. Si les deux plantes croissaient à la fois dans la même contrée, les circonstances qui ont pu modifier leurs formes seraient appré* ciables , et l'examen critique de ces circonstances amèneraïit à prononcer sur la nature de leur affinité. Mais si, au contraire, chacune des deux appartient à une contrée distincte; si chacune des deux chaines a une portion de sa végétation qui lui estpropre, 1823. 19 146 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION et dont nos deux plantes font respectivement partie , alors la plante des Alpes et celle des Pyrénées caractérisent à leur manière les lieux où elles demeurent confinées , sans nous initier dans le secret des influences dont leur forme est la manifesta- tion. Elles se ressemblent comme les deux contrées : elles diffè- rent comme elles. Mais que l'on compare ou ces ressemblances ou ces dissemblances , d’ailleurs si expressives, on n’en résoudra pas mieux la question de savoir si les deux plantes sont parties originairement du même centre de dissémination et dérivent du même type, diversement modifié par les circonstances locales ; ou si, au contraire, elles remontent chacune à une création spéciale qui aurait partout assorti les types à la condition des lieux, 77. ANDROSACE viLLosA. #ild. sp. 1, pars 2, p. 798.— Dec. Entre les deux sommets , et sur le sommetinférieur , 8 août 1792, 28 juillet 1797. 78: ANDROSACE CARNEA f. Æ/alleri. — Willd. sp. 1, pars 2, p. 800. — Dec. fl. fr: 3, p. 442, et suppl. p. 383. — Hall. heb. n° 619,1. 17, f. 6. Descript. opt. Sur les deux sommets , 8 août 1792, 28 juillet 179. Nous n'avons que la variété à feuilles ciliées, qui varie elle-même à fleurs blanches. 79: PRIMULA INTEGRIFOLIA. Alld. sp. 1, pars 2, p. 805. — Dec. fl. fr. 3; p. 45o. — Clus. hist. 1, p. 304, fig. 1. Sommet inférieur, 28 juillet 1797. En fleur , elle est très-basse, mais grandit beaucoup en fructifiant. Ses feuilles s’allongent et tendent à se denter au sommet, Dans cette espèce , on voit tantôt les étamines insérées au bas du tube et le style s'élever jusqu'à son milieu, tantôt les étamines insérées au milieu du tube etle style caché au fond. Ces variations sont fort communes dans les primevères : je les ai également observées AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 147 dans le P. officinalis et le P. elatior; elles ne paraissent donc pas fournir un caractère suffisant pour distinguer spécifiquement le P. wiscosa du P. hirsuta,etle Primula brevistyla du P. grandiflora. PÉDICULAIRES. J. RHINANTHACÉES. Venr. Dec. . 80. VERONICA saxariis. Æäld. sp. 1, p. 62. «. — Smüth. brit. 1, p. 19.— Dec. fl. fr. 3, p. 469. — Flor. dan. 2, t. 342. — Clus. hist. 1, p. 347, fig. 1. Sommet supérieur, 16 septembre 1793. Commune sur tout le Pic. Les feuilles sont en général entières, mais quelquefois un peu crénelées. Du reste, mes échantillons du sommet sont fort semblables à ceux qui me viennent du Danemark. 81. VERONICA NUMMULARIA. Gouan. Il. p.1, tab. 1, fig. 2. — Dec. fl. fr. 3, p. 470. Sommet supérieur, 28 juillet 1797, 21 juillet 1798, 22 juillet 1799, 8 août 1809. Espèce assurément bien distincte de la précédente. Feuilles arron- dies , crénelées , ciliées. Fleurs bleues dont le segment supérieur . est redressé et plié longitudinalement en gouttière, la convexité regardant l'intérieur de la fleur. 82. Penrcuraris ROSTRATA. Ad. sp. 3, p. 216. — Dec. fl. Sr. 3, p. 481. x. — Hall. heb. 1, n° 322, tab. 8, fr. Haud bona. Entre les deux sommets, 11 août 1799. La figure de Haller est très-défectueuse. Elle représente la racine sous la forme d’une tubérosité, ce qui est en pleine contradic- tion avec la description même de l'auteur (Radices flavæ, lon- gissimæ,, teretes). Cette racine, en effet, se compose de fibres épaisses , charnues, longues, quelquefois rameuses, plus souvent fasciculées. Ge caractère seul suffirait pour distinguer notre es- pèce du P. gyroflexa, qui croît également sur les pentes du Pic, 19. 148 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION et que plusieurs auteurs semblent confondre avec elle. On ne l'en distingue pas moins à ses fleurs portées sur des pédon- cules allongés , et formant un épi très-lâche au lieu d’une tête serrée; à leur bec long et droit, dirigé en avant au lieu d'être couché sur la lèvre inférieure; enfin à la position de cette lèvre même, qui est horizontale et non pas oblique, comme dans le P. gyroflexa, dont les fleurs sont toutes contournées, ainsi que l'indique son nom. LA BIÉES. 83. Taymus serpyzium. Wild. sp. 3, p. 138.— Smith. br. 2, p. 639. — Dec. fl. fr. 3, p. 559. Sommet supérieur , 14 septembre 1792, 16 septembre 1793, en fleur le 11 septembre et jusqu'au 22 septembre 1810. Fleurs très-petites , en petites têtes peu garnies. Étamines à peine saillantes, feuilles fortement ciliées, très-odorantes : tels sont les caractères de la variété que j'ai habituellement rencontrée au som- met du Pic. SCROPHULAIRES. J. PERSONNÉES. VENT. 84. Linaria ALPINA. Dec. fl. fr. 3, p. 590. Antirrhinum alpinum.— Willd. sp. 3,p. 248. — Ci Ris. 1. p.990, ÊU Sommet supérieur, 14 septembre 1792, 16 septembre 1793, 11 et 22 septembre 1810; en fleur. Feuilles courtes, épaisses , extrêmement glauques, d'une dessiccation difficile; fleurs d’un bleu décidé et très-foncé. Je l'ai trouvée tantôt à tiges simples et redressées, tantôt à tiges très-nombreu- ses, partant d'une racine assèz grosse et fort longue. Au Mont-Perdu, et ceci est singulier, elle a bien moins le carac- tère des plantes qui croissent dans les lieux élevés : je l'y ai trouvée à feuilles plus vertes, plus étroites, plus longues, à tiges plus faibles étégalement plus allongées ; à fleurs d’un violet clair; et, en un mot, plus semblable à la plante que représente la figure de l'Écluse. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 149 BORRAGINÉES. 85. Mxosoris PyRENAICA. ourr. act. tol. 3 , P. 323. . M. alpestris. — Schmied. fl. bohem. 3, p. 26. M. perennis. y. Dec. fl. fr. 3, p. 629. Sommet supérieur et entre les deux sommets, 26 août 1793, 11 et 22 septembre 1810. Petits individus d’une couple de pouces de hauteur. Racine épaisse; feuilles inférieures plus ou moins pétiolées , très-velues ; grandes fleurs d'un bleu admirable. On rencontre partout cette plante dans les Pyrénées. Je l'ai trouvée également sur le Puy-de-Dôme et le Puy-de-Sancy. Au milieu des variations infinies de sa forme et de ses dimensions , il me semble bien difficile de démêler un caractère qui la distingue constamment du M. palustris. GENTIANES. 86. GENTIANA ALpina. Vu]. delph. 2 ,p. 526, tab. x. — Dec. ft. fr. suppl. p. 427. G. acaulis. y. Dec. fl. fr. 3, p. 654. — Froehl. gent. p. 57 - 58. p? Sur la crête qui sépare les deux sommets. Depuis le 2 août 1787, où je l'ai recueillie pour la première fois, je n'ai jamais manqué de l'y trouyer en août et jusqu'au milieu de septembre, toujours commençant à fleurir un peu plus tard que le G. verra. Sa fleur absolument sessile, et ses feuilles ovales arrondies , sont les ca- ractères qui distinguent cette espèce ou variété. Elle varie elle- même dans sa couleur. On la trouve à fleurs d’un bleu pâle, et à fleurs tout-à-fait blanches, Racines grêles, extrêmement amères. 87. GENTIANA VERNA. Var. x. Froehl. gent. p. 65. — Wild. SP: 1, pars 2, p. 1342. — Dec. fl. fr. 3, p. 655. Sur la crète qui sépare les deux sommets, et autour de la cabane 190 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION de Reboul; encore en fleur le 14 septembre 1792 et le 11 sep- tembre 1810. Elle fleurit ordinairement en août à ces hauteurs; au mois de juillet sur le Pic d'Ereslids, où j'ai trouvé sa variété à fleurs blanches , et dès le mois d'avril dans les vallées infé- rieures. Je lai rencontrée en abondance, à cette époque, au voisinage de Bagnères et dans le bassin du Lavédan. Il est à re- marquer qu'un changement de climat aussi considérable, n’en apporte presque aucun aux formes et aux dimensions de cette petite plante. CAMPANULACÉES. 88. Payreuma HemisPaærica. #lld. sp. 1 , pars 2, p. 920.— Dec. fl. fr. 3, p.710 Sur la crête qui sépare les deux sommets, 16 sept. 1793, etc. CHICORACÉES. 89. HiERACIUM PRUNELLÆFOLIUM. Gouan. Ill. p. 57, tab. 22, fig. 3. — Allion. ped. n° 784, tab. xv, fig. 2. — Willd. sp. 3, pars 3, p. 1574. H. brunellæfolium. — Dec. fl. fr. 4, p. 34. Sommet supérieur, 16 septembre 1793, 26 août 1795. Très-petits individus dont on ne peut prendre une juste idée, ni dans la figure plus développée des Illustrations de Gouan, ni, à plus forte raison, dans la grande figure d'Allioni, qui convient à peine aux échantillons de la base du Pic. 90. Leontonon Lævicarus. Püilld. sp. 3, pars 3, p. 1546. Taraxacum lævigatum.— Dec. fl.fr. 4, p. 34. — Pour. dict. XII, p: 420 , n°5. Sommet supérieur , et sur la crête entre les deux sommets, 26 août 1795, 7 octobre 1809, 11 septembre 1870. Très-semblable au pissenlit commun. Il en diffère par sa hampe peu ou point amincie sous la fleur, et par son involucre, dont les AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 151 écailles sont toutes redressées. Ses feuilles sont glabres, minces, fortement runcinées:, d'une dessiccation difficile. Dans la région des neiges, l'épiderme d’un grand nombre de plantes perd sa perméabilité. Il est représenté dans l'île Melville par le Zeont. palustre, qui n’en diffère guère. 91. APaRGIA ALPINA. #fülld. sp. 3, pars 3, p. 1545. Leontodon squamosum.— Dec. fl. fr. 4, p. 154. L. pyrenaicum.— Gouan. IÙ. p. 55, tab. xxur, fig. 1.2. Picris saxatilis. — All. ped. n° 766, tab. xiv, fig. 4. _ Entre les deux sommets, 30 août 1805. Les deux figures de Gouan représentent parfaitement cette plante, dans les deux états où je l’ai recueillie, soit ici, soit dans d’autres parties des Pyrénées. Celle d’Allioni convient mieux aux échan- tillons que j'ai pris sur le Puy-de-Dôme et les Monts-Dores. CORYMBIFÈRES. 92. GNAPHALIUM ALPINUM. Æilld. sp. 3, pars 3, p. 1883. — Dec. fl. fr. 4, p. 138. Antennaria alpina. — Brown. melv. n° 41. — Gœærtn. fr. 2,p. 410, tab. 167, fig. 3, E. Au sommet , 26 août 179 ; entre les deux sommets , 30 août 1810. — Je l'ai trouvé de même sur les pentes de Néouvielle. — Espèce nettement distinguée par le renflement qui termine les soies dont se compose l'aigrette de ses semences. 93. GNAPHALIUM NORWEGICUM. Retz. prod. fl. scand. n° 1006. — Fl, dan. tab. 254. Gn. sylaticum. — Smith. brit. 2, p.860. —Willd. sp.5, pars 3, p. 1884. — Dec. fl. fr. 4, p. 134. Var. à. Sommet supérieur, près la cabane de Reboul, 8 août 1792. Individus fort petits, mais parfaitement caractérisés. Dans des po- sitions moins élevées, je l'ai trouvé plus développé, plus con- forme à la figure; de, la Klore danoise , et en tout semblable à la 152 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION plante de Retz , que j'ai recue d'Islande, et que je dois à mon ami Hofman Bang, qui m'a procuré aussi les plantes de Norwège, de Laponie , du Groënland, dont l'étude était indispensable à l’exacte détermination des miennes. 94. GNAPHALIUM suPINUM. alld. sp. 3, pars 3, p. 1888. — Smith. brit. 2, p. 871.— Dec. fl. fr. 4, p. 133. — F1. dan. 2,t. 332. Sommet supérieur, 26 août 1795. Sommet inférieur , 30 août 1809. Je rapporte, avec Smith, à cette espèce, la figure de la Flore da- noise qui ne convient nullement au Gn. alpinum; et je pense, avec Decandolle, qu'il est difficile d’en séparer le Gn. pusillum de Hæncke, et le fuscum de Scopoli. On trouverait aisément les trois espèces dans mes échantillons, où les tiges sont plus ou moins couchées , les fleurs plus ou moins brunes, plus ou moins sessiles ou pédonculées, selon le lieu où je les ai pris, et les circon- stances qui ont secondé ou restreint le développement de la plante. £ 95. ErrGEroN ALpinum. #ülld. sp.3, pars3, p. 1959.— Smith. brit.2, p. 877. — Dec. fl. fr. 4, p. 142. Var. 8. Sommet supérieur, 7 octobre 1809, 30 août 1805. Entre les deux sommets , 11 et 22 septembre 1810. Calice cylindrique, plus ou moins velu. Demi-fleurons moins nom- breux que les fleurons du centre. Individus très-petits au som- met du Pic, plus développés sur ses pentes. J'ai trouvé cette espèce rameuse et pluriflore au pic d’Ereslids : c'est la variété « de Decandolle. 96. EriGERON unircorum. Lin. #’üld., sp. 3, pars 3, p. 1959. — F1, lapp.i. 9, f. 3. (Aster). E. alpinum. y. Dec. fl. fr. 4, p. 142. Sommet supérieur, 28 juillet 1797, 26 août 1795, 14 sep- tembre 1792, 16 septembre 1793. Encore quelques fleurs le 22 sept. 18r0. Ce n'est certainement point une variété du précédent. Toujours ‘AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 153 plus précoce dans les mêmes lieux, sa fleur est plus grande, plus belle et autrement conformée. Calice hémisphérique et non cy- Hndrique, ‘plus velu et d’une villosité cotonneuse, Demi-fleurons bien plus nombreux que les fleurons , dans le rapport de 100 ou 120 à 60 ou 70. Je l'ai trouvé rameux et pluriflore au port de Gavarnie, et à fleurs blanches sur les sommets de Néouvielle. 97. ARNICA scoRPloipEs. Dec. fl. fr. 4, p. 176. Ex ipso. — Wild. sp. 3, pars 3, p. 2108. — Hall. he. n° 80. Sommet inférieur et escarpement septentrional du sommet supérieur, 16 septembre 1793, et 26 août 1795. Près la cabane de Reboul, 36 août 1805. Cette espèce , très-commune dans les hautes Pyrénées. s'élève sou- vent jusqu à deux pieds, devient pluriflore, et varie beaucoup dans la forme et la dentelure de ses feuilles. Ici , elle est simple, uniflore et n’a que cinq à six pouces de haut. Mais sa petitesse est compensée par la grandeur de la fleur. Sa racine offré une suite continue de nodosités écailleuses et charnues, d’une saveur douce tenant de la réglisse, mais, mêlée d'amertume. ‘98. CHRYSANTHEMUM MONTANUM. — /fild. sp. 3, pars 3, p. 2143. C. Leucanthemum. +. — Dec. fl. fr. 4, p. 178. | Bellis montana minor. — J. B. hist. 3, pars 1, p.115, cum icone. Entre les deux sommets, et sur les rochers à l'est, 15 sep- | tembre 1800, 11 septembre 1810. La grossière figure qui accompagne la bonnedescription deJ.Bauhin, convient bien mieux à ma plante que ne fait la gigantesque figure d’Allioni, conjointement citée par les auteurs , toute défectueuse qu'elle soit, surtout en ce qui concerne la disposition et la forme des feuilles este Il_est bien difficile , au reste, de voir dans cette plnte autre chose qu’une variété au LAMPE me: 99- PYRETHRUM ALPINUM. «. Aülld. sp.3, p. 2153. re fl. fr. 4, p: 182. Sommet supérieur, En fleur , 22 juillet 1799 , 26 août 179), 1823. 20 154 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION 16 septembre 1793. En 1809, depuis le 15 août jusqu'au 7 octobre. — 11 septembre 1810. La plante du sommet est très-sensiblement velue. Plus bas, elle l'est beaucoup moins, mais je ne l'ai trouvée parfaitement glabre nulle part. 100. BELLIS PERENNIS. Æüld. sp. 3, pars 3, p. 2121. — Dec. A IR A NDATOD Sommet supérieur, 14 septembre 1792, 16 septembre 1793, 26 août 179, etc. 101. ARTEMISIA SPICATA. /'illd. sp. 3, pars 3, p. 1824. — Dec. fl. fr. 4, p. 192. A rupestris. — Lam. dict. 1, p.262. — Vull. delph.3, p. 246. non Lin. Sommet inférieur, 26 août 1795 ; sommet supérieur, 22 sep- tembre 1810. Cabane de Reboul, 8 août 1792, 16 septembre 1793. Cette espèce est fort bien décrite par Lamarck et Decandolle. L'épi va en s'épaississant de la base au sommet. Il est composé de fleurs assez grosses , éparses et un peu pendantes dans sa partie inférieure, agglomérées vers le haut en tête arrondie, et tou- jours dépassées à peine par les petites feuilles ou découpées ou linéaires, qui les accompagnent. Ces fleurs contiennent environ 30 fleurons , dont 5 à 6 stériles , portés sur un réceptable nu. Toutes les parties de la plante répandent, quand on les froisse, une odeur vive et pénétrante qui tient de celle de la lavande. L'4. boccone que tous les auteurs associent à cette espèce, me paraît très-différente, si j'en juge d’après la figure qu’Allioni nous en a donnée, tab. vins, fig. x de la Flore piémontaise, et t. 1, f. 2 de son specimen. J'y vois, en effet, un épi très-pointu, composé de très-petites fleurs, toutes dépassées de beaucoup par des feuilles pinnatifides et aiguës. J'ai retrouvé ma plante du Pic du Midi, au-dessus du glacier de Tuque rouye et au sommet du Mont-Perdu: c’est par erreur que ces diverses indications sont rapportées, dans la Flore francaise, AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 159 à l'A rupestris ,p..91, qui est l'4. mutellina du suppl., p. 178. Je n’ai point rencontré celle-là dans les hautes Pyrénées. RUBIACÉES. 102. GALIUM PYRENAIGUM. Gouan 1U. p-9% tonf #4. 7illd. sp. 1, pars 2, p. 589. — Dec. fl. fr. 4, p. 260. (Excl. syn. Villarsi.) Sommet supérieur, 8 août 1792, 26 août 1705 , 11 et 22 sep- tembre 1810. Bien moins commun que le suivant. 103..GaLiuM cÆspitosum..N:— an Lam. Hi. n° 1309 ? Au sommet, depuis le mois d'août jusqu'au mois d'octobre ; commun sur toutes les parties du Pie. Ce Galium , voisin du pyrenaïcum, Gouan, et du purnilum , Lam., est néanmoins trop distinct pour être confondu avec l'un ou l'autre. — D'une même racine naissent une multitude de tiges très-rameuses ; faibles , entièrement couchées , et ayant jusqu à 7 et 9 pouces de longueur. Elles sont parfaitement lisses, fili- formes , cylindriques vers le bas, obscurément quadrangulaires vers le haut. Verticilles de G à 8 feuilles, de la longueur , à peu près, des entre-nœuds. Feuilles très-vertes et non glauques ou jaunâtres , longues‘d'une à deux lignes au plus, molles, planes, lancéolées-linéaires, terminées par un filet sans roideur. Les fleurs naissent des aisselles supérieures et de l'extrémité des rameaux, là ordinairement solitaires ici agrégées en nombre variable, sur des pédoncules le plus souvent simples , quelquefois rameux, tou- jours de la longueur des feuilles , et les excédant à mesure que les fruits se développent. Corolle jaunâtre avant son épanouis- sement, puis blanche ou blanchâtre.Ses segments sont ovales , un peu pointus. Fruits lisses. Ce Galium abonde dans les lieux où la neige séjourne, longtemps. Il y forme de larges gazons, très-touffus , d’un vert gai et tout couverts de fleurs. La plante entière , quand on la dessèche, tend à noircir, comme le G. saxatile et le G. harcynicum , et non à jaunir comme, font le prrenaicum-et le pumilum. 20. 196 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION PAPAVÉRACÉES. 104. PAPAVER PYRENAICUM. Dec. syst. nat. veg. 2, p. 7r. P. aurantiacum.— Loisel. not.- Dec. fl. fr. suppl. p.585. Sammet supérieur ; en fleurs, 8 août 1992 et 16 août 1796; commencant à fleurir le 28 juillet 1797, et continuant jus- qu'au 15 et 20 août. En 1809, année très-tardive, il n’était encore qu'en boutons, le 8 août. Je l'ai trouvé en fruit, le 14 septembre 1792, et le 16 septembre 1793. Il avait, au contraire, quelques fleurs, le 11 et le 22 septembre 18r0. Un pavot jaune soufre ne pouvait conserver le surnom d'orangé qui lui avait été donné, sans doute, sur la foi des herbiers où sa fleur roussit comme celle du 2. cambricum et du nudicaule. J'ajoute à la description de Decandolle que sa fleur est très- musquée : l'herbe est inodore. Je ne l'ai rencontré qu'ici. Il y a long-temps que cette plante attire l'attention des voyageurs qui gravissent le Pic. Mon ami Saint- Amans m'en a donné un échantillon recueilli en 1754, sur cette même cime, par Borda. Mais s'il est rare dans les hautes Pyré- nées, il paraît plus commun vers la partie orientale de la chaîne. Ce pavot est, dans les Pyrénées, le représentant de celui des Alpes, comme l'Androsace ciliata V'est de l Aretia alpina, comme l’Ane- mone pyrenaica de l'An. vernalis, etc. Il est représenté à son tour dans les contrées arctiques , et notamment à l’île Melville, par le Papaver nudicaule. CRUCIFÈRES. 10. SISYMBRIUM PINNATIFIDUM. Dec. fl. fr. 5 , p. 667. — Syst. nat. veg. 2, p. 481. S. dentatum. — AU. ped, n° 1001, tab. 57,f. 3,— Hall. helv. 1, n° 48r. Arabis dentata. — Lam. dict. 1, p. 221. — Poir. 1x, p. 413. Sommet supérieur, 16 septembre 1793, 11 septembre 1810. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 157 Confondu par Willdenow avec le S. bursifolium, dont il est assu- rément bien distinct. 106. DraBa arzoines. #illd. sp. 3, pars 1, p. 424. — Smith. brit. 3, p. 1400. — Dec. fl. fr. 5, p. 697, et Syst. nat. veg. 2, p. 333. Sommet supérieur , en fleur le 28 juillet 1797, et le 22 juillet 1799 ; pas totalement défleuri le 11 septembre 1810. 107. Draga nivalis. #wld. sp. 3, pars 1, p. 427. — Dec. fl. Sr. 5, p. 699. — Syst. nat. veg. 2, p. 344. D. Stellata. — Flor. dan. 1, tab. 142. Wüilld. Dec. Sommet supérieur, II août 1799. Rosettes de feuilles lancéolées , ordinairement entières, quelquefois munies d'une dent, toujours pointues, ciliées de poils la plu- part simples, très-vertes, nonobstant les poils rameux dont elles sont plus ou moins garnies. Hampes 1antôt nues, tantôt chargées d'une ou deux petites feuilles. Ces hampes sont par- faitement glabres, au moins dans leur partie supérieure, comme aussi les pédoncules et les silicules. Celles-ci sont ellipti- | ques oblongues. Pétales entiers ou à peine échancrés. Cette espèce est très-voisine du D. stellata que j'ai des Alpes et n'ai point trouvé dans les Pyrénées; mais elle se distingue fort bien du D. tomensosa et du D. lævipes Dec. que-j'y ai rencontrés. | | 108. DraBa PYRENAICA. Pi. sp. 3, pars 1, p. 428.— Dec. fl. ST. 5, p. 698.—Lam. dict.2,p. 327.— All. ped. n°894, tab. 8, fig. r, et Specim. tab. 6, f 1. V’aldé rudis. Petrocallis pyrenaïca. — Dec. syst. nat. veg. 2,p. 330. Sommet supérieur, 14 septembre 1792, 16 septembre 1793, 26 août 1795; 8, 15, 30 août 1800. Il défleurissait à cette dernière époque. Gazons d'un vert tendre, parsemés de fleurs roses. Mélés aux bril- lants gazons du Sÿene acaulis, ils les répètent en teintes plus A 158 ‘ÉTAT DE LA VÉGÉTATION douces, comme dans certaines espèces d'oiseaux, le plumage de la femelle reproduit celui du mâle. 109. IgEriS sparaucATA. Dec. fl. fr. 5, p. 716, et Syst. nat. veg. 2, p. 404. J. carnosa. — Willd. sp. 3, pars 1, p. 455. (Flores pur- pureti, nec albi.) J. rotundifolia. — Lam. dict. 3, p. 221. (Descriptio, non synonyme.) Sommet supérieur, 22 septembre 1810. Decandolle décrit parfaitement cette jolie petite plante, que Lamarck avait confondue avec le Lepidium rotundifolium d’Allioni, dont elle se distingue par ses feuilles toutes pétiolées, ses silicules fort échancrées , son corymbe qui demeure plane durant la fructi- fication. Elle est du très-petit nombre des espèces annuelles que ., j'ai observées au sommet du Pic: je ne suis donc pas étonné de ne l'y avoir rencontrée qu'une fois. Son habitation ordinaire est un peu plus bas, dans le grand ravin méridional où s’amas- sent les neiges, et d'où elles tombent en lavanges vers le mois de mai, sur la glace qui, à cette époque, couvre encore le lac d'Oncet. 110. Lepinrom azpiNum. id. sp. 3, p. 433. — Dec. fl. fr. 5, p. 705.— Lam. dict. 5, p. 49. Hutclänsia alpina. — Dec. syst. nat. veg. 2, p. 389. — Clus. hist. 2, p. 128, fig. 1. Sommet supérieur, 14 septembre 1792, 16 septembre 1793, 26 août 179, 8.août 1809, 11 septembre 1810. CARYOPHYLLÉES. 111. CERASTIUM SQUALIDUM. N. C. lanatum.$.— Dec. fl.fr.5,p:778.Excl. syn. Lapeyr. AU SOMMET DU PIC DU MID. ‘ 159 €. latifolium.— Val. delph. 4, p.646. Descriptio , non synonyma. Sommet supérieur , 16 septembre 1793, 26-août 1795, 7 oc- tobre 1809. J'aurais de la peine à me persuader que ce céraiste fût une simple variété du C. lanatum. Il en diffère d’abord par la longueur que ses tiges acquièrent dans les lieux: favorables à sa végétation : ici, elles n’ont que 2 ou 3 pouces ; là, elles en ont jusqu'à 7 et 8. Elle en diffère ensuite par ses feuilles plus larges, souvent ar- rondies, d'un vert sombre, nonobstant la villosité dont elles sont revêtues, et devenant rousses dans le bas des tiges. Elle en diffère enfin par l'extrême viscosité de toutes ses parties, visco- sité qui procède de poils glanduleux d’où suinte un suif jaune roux dont toute la plante est salie. Tout cela, sans doute , se modifie à mesure que notre plante descend vers la région infé- rieure : les feuilles deviennent ovales , de rondes qu’elles étaient, leur couleur est moins sombre, la viscosité diminue ; et cepen- dant aucun des caractères distinctifs ne s’efface entièrement ; jamais les feuilles ne deviennent blanches et sèches, et nous ne voyons nulle part le C. /anatum se montrer à la suite pour mar- quer le terme de l'échelle des variations. Celui-là est bien dans les Pyrénées, mais vers la partie orientale : La Peyrouse, qui l'a décrit et figuré tab. x, n’a jamais eu que cette espèce en vue, quoique postérieurement il ait envoyé pêle-mêle l’une ét l’autre à ses correspondants sous le nom de /anatum. Quant à Villars, sa description ne me laisse aucun doute : sa plante est la mienne, telle qu’elle se trouve dans les lieux élevés. 112. CHERLERIA SEDOIDES. /f'illd. Sp! 2, pars T, p. 730. — Smith. brit. 2, p. 483. —_ Lam. dict. 1, D: 726. Dec. fl. fr.5,p.781.—Pennant. tour in Scotl. 2, t.33. Sommet supérieur, en gazons fort touffus » 16 septembre 1793, 26 août 1795 , etc. 113. ARENARIA CILIATA. Willd. sp. 2, pars 1, p. 718. — Dec. JL fr.5, p. 783. 2. Sommet supérieur au couchant, 26 août 1799, 7 octobre . 1809, 11 septembre 1810. 100 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION Autour de la cabane de Reboul, 16 septembre 1793. Feuilles très-nerveuses , fortement ciliées, resserrées en pétiole vers leur base. Pétales du double au moins plus longs que le calice. 114. ARENARIA VERNA. /ülld. sp. 2, pars 1, p. 7924. — Dec. JL fr. 5, p. 788. — Smith. br. 2.481. à. À. saxatilis. — Pennant. tour ir Wales 1,p. 19,t. 2.— Vaill. bot. par. t. 2, f. 3. Optima. Entre les deux sommets , sur le tranchant de la crête, 15 sep- tembre 1805. Feuilles striées , un peu ciliées, presque obtuses. Pédoncules pubes- cents, feuilles du calice ovales , très-aiguës et même un peu mu- cronées. Pétales obtus , excédant de beaucoup le calice. 119. SILENE ACAULIS. ///#ld. sp. 2 , pars 1, p. 709. — Smith. brit. 2 ,p. 472. — Dec. fl. fr. 5, p. 749. — Flor. dan. 1, tab. 21.— Ællion. ped. t. 29, f. 1.2. Sommet supérieur, 16 septembre 1793, 26 août 1795, 8 et 15 août 1809 , etc. Totalement défleuri , le 11 septembre 1810. On ne connaît pas cette jolie plante , onn’en a nulleidée, si on ne l'a vue à ces hauteurs. Ses gazons épais, régulièrement convexes , nettement circonscrits, où une feuille ne dépasse pas l’autre, sont d'une telle densité qu'aucune autre plante ne peut les tra- verser, et d'un vert qu'on dirait rehaussé par une couche de vernis. Une multitude de fleurs couvre ces élégants coussinets, presque sessiles, toutes de niveau et d’un rouge cramoisi qui lutte d'éclat avec la vive couleur de leurs gazons. À mesure que l'on descend, cet éclat diminue, les fleurs pâlissent, les gazons sont ternis, s'affaissent , se divisent et jettent cà et là des rameaux vagues. Ce n'est pas spontanément , au reste, que cette espèce vraiment alpine franchit certaines limites et va se montrer défi- gurée dans les lieux où elle est étrangère. Ce sont les lavanges, ce sont les torrents qui l'arrachent à sa patrie , et qui en entrai- nent des touffes entières avec le sol où elles étaient enracinées. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 161 Quand il m'est arrivé de la rencontrer au voisinage des plaines, je l'ai toujours trouvée au borddu torrent qui charriait les débris de sa demeure ; et c’est ainsi que je l'ai vue jusqu'au fond du Lavedan, fleurir tristement au commencement du printemps, sur les arides grèves de son Gave. Sa variété à fleurs blanches n'est pas rare dans les montagnes. Le feuillage se met en harmonie avec cette dégradation de couleur, ét l'annonce‘avant la floraison par une teinte de vert plus tendre. 116. Lycanis Azpina. id. sp. 1, pars 1, p. 809. — Lam. dict. 3, p. 640. = Dec. fl. fr. 5, p. 762. — F1. dan. t. 65.— Hall. heb. n° 922, t. 17. 4d pag. 243. Sommet inférieur , 22 juillet 1799. La plante des Pyrénées ressemble absolument à celle des Alpes. Elle diffère par ses feuilles plus courtes et plus larges de celle de la Flore danoise, que j'ai recue de Norwège. JOUBARBES. 117. SEDUM ATRATUM. //Uld. sp. 2, pars 1, p. 769. — Lam. dict. 4,p. 634. — Dec. fl. fr. 5, p. 391. «. — Allion. ped. n° 1960 , tab. 65, f. 4. Bora. Sommet supérieur , 16 septembre 1793. Entre les deux som- mets en abondance. Rameaux inférieurs opposés, comme Lamarck le fait observer. ® Segments du calicetriangulaires aigus, comme le remarque Haller, n° 963. 118. SEDUM REPENS. Schleich. pl. exs. — Dec. fl. fr. suppl. p. 525. S. Guettardi. — Viül. delph. 4, p. 678, tab. 45. S. atratum. 6. Dec. fl. fr. 5, p. 391. Sommet supérieur, en fleur, le 22 septembre 1810. Il diffère du S. atratum par les segments du calice ovales obtus ; et 1823. | 21 162 ÉLDAT DE LA VÉGÉTATION du S.saxatile par ses pétales simplement aigus et non mucronés. Il diffère en outre de tous deux, par ses tiges allongées et cou- chées, poussant, de loin en loin, des rameaux ascendants et simples. Le S. saxatile, qui se trouve sur les pentes du Pic, est droit, à rameaux alternes et nombreux, Ses pétales, d’un beau jaune, sont remarquables par une pointe en filet, qui part, non de leur extrémité, mais de la nervure dorsale dont le prolongement se sépare de cette extrémité et la dépasse, comme fait l'arête de certaines graminées. 119. SEMPERVIVUM ARACHNOIDEUM.//'Uld. sp. 2, pars 2, p.933. — Lam. dict. 3, p. 290. — Dec. fl. fr. 5, p. 397. — — Hall. helv. x, n° 95: Sommet supérieur, 16 septembre 1593 ,30 août 1805, 3o août 1809, 11 septembre 1810. Rosettes de feuilles toujours conniventes, mais quelquefois dépour- vues des filaments arachnoïdes dont elles sont ordinairement cou- vertes. Pétales 9 à 11, lancéolés, d'un pourpre rouge, pur et brillant. 120. SEMPERVIVUM MONTANUM. //’üld. sp. 2, pars 2, p. 934. — Lam. dict. 3, p. 290. — Dec. fl. fr. 5, p. 596. — Hall. he. 1, n° 951. Sommet supérieur, 16 septembre 1793, 11 août 1799. Rosettes ouvertes. Pétales 10 à 13, lancéolés-linéaires, d'un rouge un peu pâle. Cette espèce a , comme la précédente, les feuilles un peu obtuses , velues ainsi que les tiges , et des poils glanduleux. .Ces caractères les distinguent l’une et l'autre du S. tectorum que l'on trouve ca et là sur les rochers, et qui a les feuilles ciliées , mais d'ailleurs glabres , très-aiguës et même mucronées , les pé- tales absolument linéaires et d'un rougeâtre très-pâle. Dans les trois espèces, les pétales sont réunis. à la base, et les étamines en nombre double des pétales. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 163 | SAXIFRAGES. 121. SAXIFRAGA BRYOIDES. /Z4{l{d. sp. 2, pars 1, p. 643. — Poir. dict. vi, p. 678. — Scop. carn. n° 497, tab. 15.— Hall. helv. x, n° 969. S. aspera. x. Dec. fl. fr. 4, p-. 363, et Suppl. p. 518. Sommet supérieur , 26 août 1795, 11 septembre 1810. Lit Rosettes denses de feuilles ciliées et d’un vert jaunâtre. Tiges le plus souvent uniflores. Fleurs grandes ; calices à segments à peine aigus; pétales elliptiques, obtus, d’un jaune clair | mouchetés de fauve, 129. SAXIFRAGA OPPOSITIFOLIA. //Ud. sp. 2, pars 1, p. 648. Var.a.— Por. dict. vr, p.685. x. — Dec. fl. fr. 4, p. 364. Ë — Brown, chl. mel. n° ar. î - Sommet supérieur : défleurie , 14 septembre 1792, 16 sep- & tembre 1793, 26 août 1705; en fleur, 28 juillet 1797, 8 août 1800. Très-bélle ici et aussi bien développée que sur les pentes du Pic où elle est commune. Je l'ai trouvée, au contraire, très-petite et rabougrie au:sommet du Mont-Perdu ; où! elle était défleurie le 10 août 1802, Grandes fleurs, d'un beau rouge pourpre, cou- leur rare dans nos saxifrages. 123. SAXIFRAGA PETRÆA. //4/d. sp. 2, pars 1, p. 654. — Potr. dict. 6, p. 694. — Dec. fl. fr. 4, p. 370. — F1. dan. 1, tab. 68. Optima. Cabane de Reboul , 16 septembre 1793, 22 juillet 1790. Entre les deux sommets , 15 septembre 1805. Point de doute sur cette espèce: Vahl qui l'avait autrefois recueillie k avec Linné lui-même , l’a: reconnue et nommée dans mon herbier. Cest bien, celle aussi de la Flore danoise que j'ai recue de la Norwège sous le mêmenom. Il est seulement à remarquer que 3 21. 164 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION la plante de ces régions hyperborées, comparée à la nôtre, est du double plus grande et plus forte. Je n'ai pas la même confiance dans les divers synonymes que les au- teurs ontadoptés, et, par exemple, si la figure d’Allioni est fidèle, on serait fondé à présumer qu'elle appartient à une autre espèce. 124. SAXIFRAGA GROENLANDICA. Dec. fl.fr.4,p. 376.—Lapeyr. A pyr. p. 39, t. 19.— An Gunn.norv.n° 689, tab. 7, fig. 1 ? S. cæspitosa. 8. Retz. prod. scand., p. 103. — Willd. sp. 2, pars 1, p. 656. (Stérps Gunn.).— Poir. dict.vr, p.697. Promiscuè. Sommet supérieur, en plein nord, formant des gazons denses sur les gradins du rocher. Entièrenient déflenrie le 14 sep- tembre 1792, défleurissant le 1 1 septembre 1850 ; en pleine fleur, 26 août 1795 , 16 août 1796, 28 juilletet 9 août 1797, 11 août 1709; 8, 15 et.30 août 1809. Elle était de mème en fleur au sommet de Néouvielle, le 20 et le 26 août 1795 , et le 25 juillet 1800 ; à la brèche de Roland, le 9 août 1797 ; au sommet du Mont-Perdu, le 10 août 1802, Espèce nettement tranchée et parfaitement distincte , au milieu de ce groupe de petites saxifrages où il est si difficile de marquer la limite des espèces. [excellente description de Decandolle me dispense de la décrire. J'ajouterai seulement que l'extrémité des pétales tend constamment à se fléchir en dessous ; et que cette observation ne paraisse pas minutieuse : je me suis convaincu que dans le genre des saxifrages , la figure des pétales, leur pro- portion relative et leur disposition, la couleur, l4 rayure, la moucheture même, s’élévaient au premier rang des caractères spécifiques. Le manque de détails à cet égard motive seul le doute que j'exprime en citant la Flore de Norwège. L'auteur nous dit bien que la fleur est blanche et que ses pétales sont marqués de trois raies purpurines ; mais il ne dit rien de leur courbure , et il ajoute que la fleur jaunit en se flétrissant, circonstance que je n'ai point observée dans notreespèce vivante, et qui demeure am- biguë dans mes échantillons desséchés. Je ne verrais d'ailleurs aucune raison de mettre l'identité en question. La plante de L — | A AU SOMMET DU PIC DU MID. 165 Gunner est sous mes yeux : elle me vient de l'Islande, et je ne saurais la distinguer des petits échantillons que j'ai pris à la cime du Mont-Perdu. J'ai également sous les yeux le S. uniflora de l'île Melville, considéré par Brown comme une simple variété de la même espèce ; et je n'y vois également qu'une simple variété de la, mienne. Mais ce qui me paraît digne de remarque , c'est que tous les botanistes du Nord s'accordent à faire de ces plantes autant de variétés du $. cæspitosa. Ils auraient donc un S. Cæspi- {osa qui nous serait inconnu, çar l'espèce que nous nommons ainsi, espèce très-voisine du S! muscoïdes des Allemands et qui s’en distingue à peine, n'a pas la moindre ressemblance avee le S. groenlandica. La seule de nos saxifrages que l’on pourrait lui Comparer est celle que Decandolle a décrite sous le nom de pu- bescens ; mais si celle-là s'en rapproche par le vert sombre de son feuillage et la villosité gluante dont la plante est revêtue , par ses fleurs blanches et la couleur Purpurine que prennent les filets de ses étamines, elle ne s'en éloigne pas moins par la forme de ses feuilles, la profondeur et la divergence de leurs divisions, et surtout par la petitesse relative de ses fleurs et la. longueur. de leurs pédoncules. ROSACÉES. 12). ALCHEMILLA HYBRIDA, /un. SP. 179. — Mul. dict. no », tab. 18. Æ. pubescens. — Lam. I. n° 1703. — Poër. dict. 1x, p.285, n° 2. À. vulgaris. Var. — H'illd. SP. 1, pars 2, p. 698. -. T Dec. fl. fr..5, p.451. 8. Sur la crête qui joint les deux sommets, et à la cabane de Reboul. En fleur, le 15 septembre 1805, et le 22 sep- tembre 1810. Tiges velues. Feuilles velues en dessus et tout-à-fait soyeuses en dessous, Du reste, entièrement semblable à l'alchimille commune. Ce sera, si l'on veut, une simple variété de celle-là ; mais on conviendra du moins qu'elle n’est le produit ni du climat, ni du sol : depuis le fond des vallées jusques au haut dr Pic, on les 166 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION trouve toutes deux, l'une à côté de l'autre , diminuant de dimen- sions à mesure que l'on s'élève, et conservant toujours leur ca- ractère distinctif. ‘ 120. SIBBALDIA PROCUMBENS. //'illd. sp. 1 , pars 2, p. 1567. — Smith. brit. 1, p.345.— Dec. fl. fr. 5, p. 453.— F1. dan. 1, tab. 32. — Pennant, tour in Scotl.3, p. 43, tab. 5. Entre les deux sommets, 30 août 1809. — Je l'avais déja trouvée sur les cimes de Néouvielle, le 20 août 1795. 127. POTENTILLA riLIFORMIS. Dec. fl. fr. suppl. p. 542. (Quoad descriptionem ; excluso syn. Wulf.) an V'ill. delph.3, p. 264? Sommet supérieur, 22 juillet 1799, 16 septembre 1805. Souches souterraines, épaisses, rameuses , d'où s'élèvent des tiges plus ou moins allongées , grêles, simples, peu feuillées, si ce n'est à la base, et portant une à trois fleurs sur des pédoncules longs et filiformes. Les fleurs sont d’un beau jaune, et leurs pétales du double plus longs que le calice , échancrés au sommet, tachés de fauve à la base. Elle diffère du P. verna par son port, par la grandeur de ses fleurs, par ses calices à segments plus larges, plus obtus, plus inégaux , par ses feuilles dont les folioles sont presque sessiles sur le pétiole commun, moins tronquées au sommet, et à 7 -9 dents au lieu de cinq; enfin par ses poils moins nombreux mais plus étalés. Ce n’est point du tout le P. salisburgensis de Wulf. J'ai recu de Salzbourg cette dernière espèce , rare même dans son pays natal: elle ressemble bien moins au P. filiformis qu'à ma P. pyrenaica avec laquelle on ne peut néanmoins la confondre. 128. PoTENTILLA NivaLis. Lapeyr. act. tol. 1, p. 210, t. 16.— Dec. fl. fr. 5, p. 465. P. lupinoïdes —W'illd. sp. 2, pars 2, p. 1107. Descriptio bona. RES AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 167 P. valderia. — Vill. delph. 3, P: 572. (non Linn. nec Aion.) Sommet supérieur, En fleur, 8 août 1792 ; fleurissant encore le 11 septembre 1810; à peu près défleurie, le 14 sep- tembre 1792 et le 16 septembre 1793. — Petits individus d’une couple de pouces de haut. Le nom que Willdenow impose à cette espèce vautbeaucoup mieux que celui du botaniste de Toulouse. Mais l’antériorité a ses droits : il faut les respecter. Ses fleurs ont, selon Lapeyrouse, cinq pétales, et le calice aurait douze segments : ce serait certes une étrange distraction de la nature. Heureusement ce n’est qu'une méprise de l’observateur. La fleur terminale a ordinairement, il est vrai, un calice à 1° di- visions , mais alors il y a six pétales. Les autres fleurs n’ont que cinq pétales, mais leur calice n’a que dix divisions, Je remarque en outre que ce calice est fortement urcéolé et tout-à-fait conique : la description de Lapeyrouse n’en dit rien, et la figure le fait ovale, pour avoir été dessinée , sans doute d'après un individu desséché. J'ai vu la plante de Villars : c’est bien la même. LÉGUMINEUSES. 429. ANTHYLLIS VULNERARIA. (Floribus rubris).— Dec. fl. fr. 5, p: 516. — Willd. SP. 3, pars 2,p. 10138.— Dalech. Lugd. 1, p. 509, f. 2. Sommet inférieur, 7 octobre 1809. Il y a trois variétés de: cette espèce : à fleurs rouges , d’un jaune ocreux , d’un jaune pur. Elles se distinguent non-seulement par la couleur des fleurs mais par la figure des feuilles, la découpure et la proportion des bractées. La plante du Pic appartient à la première. Sesfleurs, sont d’un rouge très-vif, ses bractées très- courtes, à découpures élargies, les folioles en petit nombre, l'impaire fort grande, ovale, à peine aiguë. Peu de poils, tous couchés : aspect glabre. La grossière figure de Daléchamp repré- 168 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION ‘sente fort bien le port et les dimensions de mes échantillons ; les folioles seulement sont trop allongées et trop aiguës. Un peu au-dessous du sommet, cette anthyllis vient se mêler avec mon Aath. mollissima que Decandolle a vue dans mon herbier, et dont il a fait la variété à de l'espèce. Celle-là a des fleurs d'un blanc jaunätre (et non pas rouges comme il le dit par erreur), des bractées qui atteignent à la longueur des fleurs, des feuilles à folioles très-nombreuses, 9 à 13, la terminale à peme plus grande que les autres , et toute la plante est couverte d’un duvet laineux. Les deux espèces ou variétés se rencontrent sans se confondre, ° et vivent ensemble sans se rapprocher par aucun intermédiaire. 130. Lorus aLpinus.Schleich. cent. exs. n° 75. L. corniculatus. Var. — Dec. fl. fr. 5, p.595. — Lousel. SI. gall. p. 480. A. Floribus flavis. — B. Floribus croceis. A {leurs jaunes : sommet supérieur, 26 août 1795, 11 sep- tembre 1810. A fleurs de couleur orangée; entre les deux sommets, et sur le sommet inférieur, 3oaoût 1809, 11 et 22 septembre 1810. Très-petite plante, extrêmement glauque. Folioles épaisses , presque charnues , glabres, mais bordées de quelques cils assez roides. Fleurs souvent solitaires , et rarement au-delà de trois. La va- riété jaune est bien plus rare que la variété orangée : celle-ci est commune sur les pentes du Pic. Je l'ai trouvée aussi autour des lacs supérieurs de Néouvielle. Au reste, on ne saurait séparer spécifiquement ces variétés, du L. corniculatus dont elles con- servent le type, et dont on les voit se rapprocher à mesure que l'on descend vers la région inférieure. 131. ASTRAGALUS MmoNTANUS. #/%lld. sp. 3, pars 2 , p. 1302. — Lam. dict. 1, p. 318. — Scop. carn. n° 922, t. 45. — Hall. heb. n° 408. — Clus. hist. 2, p.240. Icon. Oxytropis montana. — Dec. astr. 53. — F1. fr. 5, p.565. Sommet inférieur; en fleur, 28 juillet 1797 , 22 juillet 1799. AU SOMMET DU PIC DU MIpi. 169 Sommet supérieur; défleuri, 22 septembre 1810: Mes individus des Pyrénées sont en général beaucoup plus velus que ceux des Alpes. Quelques-uns même prennent l'aspect de V4. uralensis, mais s’en distinguent toujours par la petitesse de leurs bractées. Cette dernière espèce, au reste, n'est pas étran- gère aux Pyrénées : je l'ai rencontrée auprès des glaciers du Mont- Perdu. 132. ASTRAGALUS CAMPESTRIS. ///Uld. sp. 3, pars 2,p. 1317. — Lam. dict, 1, p.319. à. Oxytropis campestris.— Dec. fl. fr. 5, p. 266. &. 6. — Hall. helv. n° 406, tab. 13. Entre les deux sommets , 15 septembre 1805; commun sur tout le Pic. La fleur est jaunâtre , marquée ordinairement d'une tache purpu- rine de chaque côté de la carène, comme le dit Haller, Ce serait, selon Willdenow et Lamarck, la base de la carène qui serait tachée de pourpre. Je doute que leur observation soit exacte. AMENTACÉES. 133. Sacix RETUSA. /Z'ülld. sp. 4, pars 2, p. 684. — Pour. dict. vi, p. 649. Exclus. syn. Scop — Gouan. I, p.56. — Loisel. fl. gall. p. 673. Dec. fl. fr. 3, p. 289. Sur la déclivité orientale du sommet inférieur; au déclin de sa floraison , le 26 août 1795, et le 28 juillet 1797- Très-bien décrit par Poiret. Souches de la grosseur du doigt et d'un bois très-dur, tortueuses, entièrement couchées et très- rameuses. Petites feuilles, longues de trois ou quatre lignes au plus, obovales, ordinairement obtuses ; Souvent échancrées au” Sommet; quelques-unes visiblement dentées vers la base, comme Linné l'avait vu et comme Gouan le fait observer. Cha- tons trés-nombreux , portant cinq à dix fleurs lâchement assem- blées. Bractées naviculaires, dela longueur des capsules. Style court mais apparent. Plusieurs de ces caractères distinguentnotre 1823. 22 170 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION LD saule de celui de Scopoli, que Willdenow regarde, peut-être avec raison, comme spécifiquement différent. Ce qu'il y a de certain, c'est que la figure du S. serpyllifolia ne convient nullement à notre espèce. Au reste, ce nain des arbres, étalé ici et couché comme du ser- polet, en tirerait son nom tout aussi bien que l’autre. C’est à la faveur de sa stature qu'il se dérobe à la froidure des hivers, tapi sous la neige qui le couvre sept ou huit mois de l’année. Sur la pente même du Pic, nul arbrisseau n'oserait s’élancer dans l’at- mosphère. Dans le petit nombre deceux qu'on y rencontre, celui qui s’est le plus hasardé est un vieux genévrier, tortu , rabougri, tout couché et collé contre terre, près le trou de Montariou , à 200 mètres au-dessous du sommet et environ 1380 toises au- dessus du niveau de la mer. Il y est demeuré seul depuis des siècles, dominant à peine les toutffes du ’accinium uliginosum qui rampe autour de lui. Un saule est, au sommet du Pic, le représentant unique de la tribu des amentacées, À 400 toises au-dessous, sur les bords du lac d'Oncet, un autre saule , le Sa/ix herbacea , la représente à son tour; et l'échelle des végétaux distribués de la base au sommet du Pic, a pour limites deux arbrisseaux qui ne s'élèvent pas à la hauteur des herbes. Notre saule paraît être un des aliments favoris du Lagopède. Ce bel oiseau habite ici, comme dans les hautes Alpes, comme sur les montagnes les plus élevées de l'Écosse (car_le ptarmigan de Pen- nant n'en parait pas différent), comme il habite même l'île Mel- ville , si toutefois celui dont nous parlent les voyageurs n'est pas l'espèce que Buffon distingue du nôtre et qu'il nomme lago- pède de la baie de Hudson. J'ai ouvert l'estomac de quelques-uns de nos lagopèdes. Je n'y ai trouvé ni le Rhododendron dont les auteurs le disent avide, ni le Meum qui l'attire, à en croire les gens du pays: mais j'y ai reconnu des sommités fleuries de Le- pidium alpinum, des calices de Solidago virgaurea où minuta , des feuilles de Plantago alpina hachées menu, des graines de Carex pyrenaïca, et beaucoup de jeunes pousses de Salix retusa. A-ton vérifié de quoi avaient pu vivre ceux que l'on a tués en plein hiver, dans l'île Melville ? AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 171 RAR RAR RAR RAR RL LR RE LUS RER AR RER R LOS RD RUE RUE RAR RAS LAS LULU US RAR SR NN Ree RÉCAPITULATION DES ESPÈCES OBSERVÉES AU SOMMET DU PIC. CRYPTOGAMES. Lichens....... n° 1- 51..b7r Hépatiques....n° 52...... I Mousses ...... n° 53- 58.. 6 Fougères. ..... n° 5g- 62.. 4 Nombre des espèces.... 62 62 PHANÉROGAMES. Cypéroïdes ....n° 63- 65.. 3 Graminées.....n° 66- 72.. 7 DURÉE DES ESPÈCES Polygonées....n° 73...... I ; Plantaginées...n° 74...... I Annuelles....... 5. n° 66, 109, 117, Plumbaginées. .n° 75...... 1 116,123 Lysimachics...n° 76-79... 4 Bisannuelles.. . ... 1. n° 84. Pédiculaires....n° 80-82... 3 Durée incertaine. 1.n° 52. Labiées....... n° 83...... 1 Vivaces......... 122. Scrophulaires..n° 84...... 1 Fruticuleuses.... 3.n° 80,81,83. Borraginées....n° 85....,.. 1 Ligneuses.. .….... I. Gentianes..... n° 86- 87.. 2 Rens Campanulacées.n° 88...... 1 133 Chicoracées....n° 8g9- g1.. 3 Corymbifères ..n° 92-101..10 Rubiacées..... n° 102-103... 2 Papavéracées. . . n° 104...... 1 Crucifères...,. n° 106-110... 6 Caryophyllées. .n° 111-116.. 6 Joubarbes. . ... n° 117-120... 4 Saxifrages.....n° 121-124.. 4 = Rosacées...... n° 125-128... 4 Légumineuses..n° 129-132.. 4 Amentacées....n° 133.....: 1 Nombre des espèces.... 71 71 Total....... 133 22. 172 ÉTAT DE LA: VÉGÉTATION APPENDICE. Espèces observées sur les sommets qui excèdent en hauteur le Pic du Midi. Les plantes de ces divers sommets n’ont point été l'objet de recherches spe- ciales , et l’on doit regarder comme fort incomplètes les listes que j'en donne. Des voyages plus nombreux et entrepris dans ces vues, y auraient, sans doute, ajouté beaucoup d’autres espèces. Mais celles que j'ai reconnues , réunies à ce que j'en ai trouvé à la cime du Pic du Midi, établissent suffisamment le carac- tère particulier de la végétation qui occupe les points culminants des hautes Pyrénées. Les numéros renvoient à mon Catalogue pour les espèces qui se trouvent au Pic; l’astérisque * désigne celles que je n’y ai pas rencontrées. NÉOUVIELLE. 20 et 26 août 1795. — 25 juillet 1800. Carex curvula, n° 63. | * Ranuneulus glacialis. Festuca violacea , n° 68. Draba nivalis , n° 107. Poa alpina , n° 50. * Drabatomentosa. * Luzula sp'cata. Cherleria sedoides, n° 119. Statice armeria. 8. n° 95. Silene acaulis, n° 115. Pedicularis rostrata , n° 82. * Saxifraga androsacea. F Linaria alpina, n° 84. Saxifraga bryoïdes , n° 191. Gentiana alpina , n° 86. Saxifraga groënlandica , n° 124. Leontodon lævigatus , n° 90. Sibbaldia procumbens, n° 126. Eriseron uniflorum , n° 96. * Potentilla frigida. Pyrethrum alpinum , n° 99. AU SOMMET DU PIC DU MIDI. 179 VIGNEMALE: Au sommet et sur ses abords. ( Voyages au Mont-Perdu , p.272.) * Aspidium lonchitis. Pyrethrum alpinum, n° 99- Festuca violacea , n° 68. Galium pyrenaicum, n° 102. Poa alpina , n° 70. Lepidium alpinum ,n° 110. Avena sempervirens , n° 72. * Geranium cinereum. Cavan. — Dec. fi. Plantago alpine, n° 74. fr.5, 849. Statice armeria. @. n° 75. Arenaria ciliata , n° 113. Thymus serpyllum , n° 83. * Arenarta purpurascens. N, Dec. fi. fr. 5, * Camparula linifolia. Lam. dict. 1, 559. 785. * Campanula pusilla. Dec. fl. fr. 3, 697. | * Silene rupestris. Phyteuma Læmisphærica, n° 88. Silene acaulis , n° 115. Hieracium prunellæfolium ; n°89. Saxifraga bryoïdes , n° 121. ‘à Erigeron alpinum, n° 95. * Saxifraga muscoides. Dec. fl. fr. 4,376. a : 4 MONT-PERDU. 10 août 1802. * Lecanora tegularis. Ach. lich. un. * Cerastium alpinum. p: 435. - * Saxifraga androsacea. Androsace ciliata., n° 76. Saxifraga oppositifolia , n° 122. Linaria alpina, n° 84. Sarifraga groënlandica , n° 194. Arternisia spicata, n°101. GLACIER DE NÉOUVIELLE. Plantes périodiquement livrées à un sommeil de plusieurs annces, — 15 septembre 1796. Rumex digynus , n° 73. * Saxifraga stellaris. * Veronica alpina. * Saxifraga ajugifolia. Apargia alpina, n° 91. * Salix herbacea. * Stellaria cerastoides. 174 ÉTAT DE LA VÉGÉTATION, ETC. ILE MELVILLE. 1820. CRYPTOGAMES. Champignons: MEME 2 LTichens-= #77. Le SENTE 15 Hépatiques UFR. meme 2 Mougssés....... no dnis c 30 Nombre des espèces. ... 49 49 PHANÉROGAMES. Cypéroïdesi....#1te au Graminéés. "2 000mn 14 Joncagées tree Polygonées PP me 2 Scrophulaires ............ 1 Bruyéres..... as ae 28.2 1 Campanulacées. .......... 1 Chicoracées........ SRE CHU Corymbiferes.. ...... ati EME Renonculacées ........... 5 Papavéracées........ Go pale Crucifères.....1 ENNE 9 Caryophyllées. ......... Se: Saxifrages. . ........ : 10 Rosacées. ........ hais ds k Légumineuses. . ... UOMERE 2 Amentäcées "0.0.5 Nombre des espèces. ... 67 67 OBSERVATIONS. Huit lichens de l'ile Melville , et une de ses mousses se trouvent au sommet du Pic du Midi : u®16,38,41,43,44,46,409, 50, 53. Cinq autres de ses lichens , une de ses deux hépa- tiques et six de ses mousses sont sut les pentes du Pic ou dans le voisinage. Dans le nombre des phanérogames , la cime du Pic en a d’abord quatre , nos 67, 73, 92, 122 de mon Catalogue; et l'on serait fondé à y ajouter le n° 124, car le Saxifraga uniflora de Melville diffèré bien pen du groenlandica. Deux autres espèces , Cardamine béllidifolia et Astragalus alpinus, croissent si près du sommet qu'elles pourraient faire partie de sa flore. Le Cerastium alpinum est à la cime du Mont-Perdu; l'Eriophorum capitatum autour de celle du Pi- mené; le Polygonum viviparum, Y Arnica mon- tana sont partout. Nous avons le Dryas octo- petala , dont l'integrifolia est bien faiblement distingué. Les Alpes possèdent le Potentilla nivea et le Saxifraga hireulus. Les montagnes d'A nvergne outleChrysosplenium alternifolium. L'Angleterre partage plusieurs autres espèces avec l'ile Melville. Maïs de toutes ses fawilles de phanérogames , la plus nombreuse en indi- vidus comme en espèces , est en même temps celle qui parait se prêter le moins à des migra- tions pareilles ; et c'est dans les graminées , si ingénieusement qualifiées par Linné de plé- béiens du règne végétal, que persévère avec le plus d'opiniätreté le caractère particulier de la végétation locale. CE EEE MÉMOIRE Sur la theorie mathématique des phénomènes électro- dynamiques uniquement deduite de l'expérience, dans lequel se trouvent réunis les Mémotres que M. Ampère a communiques à l Académie royale des Sciences, dans les séances des 4 et26 décembre 1820. 10 Juin 1822, 22 decembre 1823, 12 septembre et 21 novembre 1825. Trocs que les travaux de Newton ont marquée dans l'histoire des sciences n’est pas seulement celle de la plus im- portante des découvertes que l'homme ait faites sur les causes des grands phénomènes de la nature, c'est aussi l'époque où l'esprit humain s’est ouvert une nouvelle route dans les sciences qui ont pour objet l'étude de ces phénomènes. Jusqu'alors on en avait presque exclusivement cherché les causes dans l'impulsion d’un fluide inconnu qui entrainait les particules matérielles suivant la direction de ses propres particules; et partout où l’on voyait un mouvement révo- lutif, on imaginait un tourbillon dans le même sens. Newton nous a appris que cette sorte de mouvement doit, comme tous ceux que nous offre la nature, être ramenée par le calcul à des forces agissant toujours entre deux particules matérielles suivant la droite qui les joint, de manière que 176 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES l'action exercée par l’une d’elles sur l’autre soit égale et opposée à celle que cette dernière exerce en même temps sur la pre- miere, et qu'il ne puisse, par conséquent, lorsqu'on suppose ces deux particules liées invariablement entre elles, résulter aucun mouvement de leuraction mutuelle. C’est cette loi con- firmée aujourd'hui par toutes les observations, par tous les calculs, qu'il exprima dans le dernier des trois axiomes qu'il plaça au commencement des Philosophiæ naturalis principia mathematica. Mais il ne suffisait pas de s'être élevé à cette haute conception , il fallait trouver suivant quelle loi ces forces varient avec la situation respective des particules entre lesquelles elles s’exercent, ou , ce qui revient au même, en exprimer la valeur par une formule. Newton fut loin de penser qu’une telle loi püt être in- ventée en partant de considérations abstraites plus ou moins plausibles. Il établit qu’elle devait être déduite des faits observés, ou plutôt de ces lois empiriques qui, comme celles de Képler, ne sont que les résultats généralisés d'un grand nombre de faits. Observer d’abord les faits, en varier les circonstances au- tant qu'il est possible, accompagner ce premier travail de mesures précises pour en déduire des lois générales, uni- quement fondées sur l'expérience, et déduire de ces lois, indépendamment de toute hypothèse sur la nature des forces qui produisent les phénomènes, la valeur mathématique de ces forces , c’est-à-dire la formule qui les représente, telle est la marche qu'a suivie Newton. Elle a été, en général, adoptée en France par les savants auxquels la physique doit les immenses progres qu'elle a faits dans ces derniers temps, et c’est elle qui m'a servi de guide dans toutes mes recher- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. - 199 ches’sur les phénomènes électro-dynamiques. J'ai consulté uniquement l'expérience pour établir les lois de ces phéno- mènes, et j'en ai déduit la formule qui peut seule repré- senter tes forces auxquelles ils sont dus ; je n’ai fait aucune recherche sur la cause même qu'on peut assigner à ces forces, bien convaincu que toute recherche de ce genre doit être précédée de la connaissance purement expérimentale des lois, et de la détermination, uniquement déduite de ces lois, de la valeur des forces élémentaires dont la direction est nécessairement celle de la droite menée par les points ma- tériels entre lesquels elles s’exercent. C’est pour cela que jai évité de parler des idées que je pouvais avoir sur la nature de la cause de celles qui émanent des conduc- teurs voltaïques, si ce n'est dans les notes qui accompa- gnent l'£xposé sommaire des nouvelles expériences électro- magnétiques faites par plusieurs physiciens depuis le mois de mars 1821, que j'ai lu dans la séance publique de l’Aca- démie des Sciences, le-8 avril 1822; on peut voir ce que j'en ai dit dans ces notes’à la page 215 de mon recueil d'Obser- vations électro-dynamiques. Il ne paraît pas que cette mar- che, la seule qui puisse conduire à des résultats indépendants de toute hypothèse, soit préférée par les physiciens du reste de l’Europe, comme elle l’est par les Français; et le savant illustre qui a vu le premier les pôles d’un aimant transportés par l’action d’un fil conducteur dans des direc- tions perpendiculaires à celles de ce fil, en a conclu que la matière électrique tournait autour de lui, et poussait ces pôles dans le sens de son mouvement, précisément comme Descartes faisait tourner la matiere de ses tourbillons dans le sens des révolutions planétaires. Guidé par les principes 1823. 23 178 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES. de la philosophie newtonienne, j'ai ramené le phénomene observé par M. Oerstedt, comme on l'a fait à l'égard de tous ceux du même genre que nous offre la nature, à des forces agissant toujours suivant la droite qui joint les deux particules entre lesquelles elles s’exercent; et si j'ai établi que la même disposition ou le même mouvement de l'électricité qui existe dans le fil conducteur à lieu aussi autour des particules des ai- mants, ce n’est certainement pas pour les faire agir par impul- sion à la maniere d’un tourbillon , mais pour calculer, d’après ma formule , les forces qui en résultent entre ces particules et celles d’un conducteur ou d'un autre aimant , suivant les droites qui joignent deux à deux les particules dont on con- sidère l'action mutuelle, et pour montrer que les résultats du calcul sont completement vérifiés , 1° par les expériences que j'ai faites, et par celles qu'on doit à M. Pouillet sur la détermination précise des situations où il faut que se trouve un conducteur mobile, pour qu'il reste en équilibre lors- qu'il est soumis à l’action, soit d’un autre conducteur, soit d'un aimant; 2° par l'accord de ces résultats avec les lois que Coulomb et M. Biot ont déduites de leurs expériences, le premier relativement à l’action mutuelle de deux aimants, le second à celle d’un aimant et d'un fil conducteur. Le principal avantage des formules qui sont ainsi conclues immédiatement de quelques faits généraux donnés par un nombre suffisant d'observations pour que la certitude n’en puisse être contestée , est de rester indépendantes, tant des hypothèses dont leurs auteurs ont pu s’aider dans la recher- che de ces formules, que de celles qui peuvent leur être substituées dans la suite. L'expression de l'attraction univer- selle déduite des lois de Képler ne dépend point des hypo- thèses que quelques auteurs ont essayé de faire sur une ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 179 . cause mécanique qu'ils voulaient lui assigner. La théorie de la chaleur repose réellement sur des faits généraux donnés immédiatement par l'observation; et l'équation déduite de ces faits se trouvant confirmée par l’accord des résultats qu'on en tire et de ceux que donne l'expérience, doit être également reeue comme exprimant les vraies lois de la pro- pagation de la chaleur, et par ceux qui l’attribuent à un rayonnement de molécules calorifiques, et par ceux qui recou- rent pour expliquer le même phénomène aux vibrations d’un fluide répandu dans l’espace; seulement il faut que les pre- miers montrent comment l'équation dont il s’agit résulte de leur manière de voir, et que les seconds la déduisent des for- mules générales des mouvements vibratoires ; non pour rien ajouter à la certitude de cette équation ; maïs pour que leurs hypothèses respectives puissent subsister, Le physicien qui n’a point pris de parti à cet égard admet cette équation comme la représentation exacte des faits, sans s'inquiéter de la ma- nière dont elle peut résulter de l’une ou de l’autre des ex- plications dont nous parlons; et si de nouveaux phénomènes et de nouveaux calculs viennent à démontrer que les effets de la chaleur ne peuvent être réellement expliqués que dans le système des vibrations, le grand physicien qui a le pre- mier donné cette équation, et qui a créé pour l'appliquer à l'objet de ses recherches de nouveaux moyens d'intégration, n’en serait pas moins l’auteur de la théorie mathématique de la chaleur ; comme Newton est celui de la théorie des mou- vements planétaires, quoique cette dernière ne füt pas aussi complètement démontrée par ses travaux qu'elle l'a été de- puis par ceux de sés successeurs. Ilen est de même de la formule par laquelle j'ai représenté 23. 180 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES l’action électro-dynamique. Quelle que soit la cause physique à laquelle on veuille rapporter les phénomènes produits par cette action, la. formule que j'ai obtenue restera toujours l'expression des faits. Si l’on parvient à la déduire d'une des considérations par lesquelles on a expliqué tant d’autres phé- nomènes, telles que les attractions en raison inverse du carré de la distance, celles qui deviennent insensibles à toute dis- tance appréciable des particules entre lesquelles elles s'exer- cent, les vibrations d’un fluide répandu dans l'espace, etc., on fera un pas de plus dans cette partie de la physique; mais certe recherche, dont je ne mesuis point encore occupé, quoi- que j'en reconnaisse toute l'importance, ne changera rien aux résultats de mon travail, puisque pour s'accorder avec les faits, il faudra toujours que l'hypothèse adoptée s'accorde avec la formule qui les représente si complètement. Dès que j'eus reconnu que deux conducteurs voltaiques agissent l’un sur l’autre, tantôt en s'attirant, tantôt en se repoussant ,. que j'eus distingué et décrit les actions qu'ils exercent dans les différentes situations où ils peuvent se trouver l’un à l'égard de l’autre, et que j'eus constaté l'éga- lité de l’action qui est exercée par un conducteur rectiligne, et de celle qui l'est par un conducteur sinueux, lorsque celui-ci ne s'éloigne qu’à des distances extrêmement petites de la direction du premier, et se termine , de part et d’au- tre, aux mêmes points; je cherchai à exprimer par une for- mule la valeur de la force attractive ou répulsive de deux de leurs éléments, ou parties infiniment petites, afin de pouvoir en déduire, par les méthodes connues d'intégration, l'action qui a lieu entre deux portions de conducteurs don- nées de forme et de situation. os ” cu mans ÉLECTRO-DYNAMIQUES. L 18r L'impossibilité de soumettre directement à l'expérience des portions infiniment petites du circuit voltaïque, oblige nécessairement à partir d'observations faites sur des fils conducteurs de grandeur finie, et il faut satisfaire à ces deux conditions, que les observations soient susceptibles d'une grande précision, et qu’elles soient propres à déter- miner la valeur de l’action mutuelle de deux portions infi- niment petites de ces fils. C’est ce qu'on peut obtenir de deux manières : l’uneconsiste a mesurer d’abord avecla plus grande exactitude des valeurs de l’action mutuelle de deux portions . d'une grandeur finie, en les plaçant successivement, l’une par rapport à l’autre, à différentes distances et dans diffé- rentes positions , car il est évident qu'ici l’action ne dépend pas seulement de lx distance ; il faut ensuite faire une hypo- thèse sur la valeur de l’action mutuelle de deux portions infiniment petites, en conclure celle de l’action qui doit en résulter pour les conducteurs de grandeur finie sur lesquels on a opéré, et modifier l'hypothèse jusqu’à ce que les ré- sultats du calcul s'accordent avec ceux de l’observation. C'est ce procédé que je m'étais d’abord proposé de suivre, comme je lai expliqué en détail dans un Mémoire lu à l’Académie. des Sciences, le 9 octobre 1820 (r); et quoiqu'il ne nous conduise à la vérité que par la voie indirecte des hypo- thèses, il n’en est pas moins précieux, puisqu'il est souvent le seul qui puisse être employé dans les recherches de ce genre. Un des membres de cette Académie, dont les travaux ont embrassé toutes les parties de la physique, l’a parfaite- (x) Ge Mémoire n'a pas été publié à part, mais les principaux résultats en ont été insérés dans celui que j'ai publié en 1820, dans le tome xv des Annales de chimie-et de physique. 182 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES ment décrit dans la Notice sur l’aimantation imprimée aux métaux par l'électricité en mouvement, qu'il nous a lue le 2 avril 1821, en l'appelant un travail en quelque sorte de divination, qui est la fin de presque toutes les recherches physiques (1). | Mais il existe une autre manière d'atteindre plus directe- ment le même but; c'est celle que j'ai suivie depuis, et qui m'a conduit au résultat que je désirais : elle consiste à cons- tater, par l'expérience, qu'un conducteur mobile reste exac- tement en équilibre entre des forces égales, ou des moments de rotation égaux, ces forces et ces moments étant produits par des portions de conducteurs fixes dont les formes ou les grandeurs peuvent varier d'une manière quelconque , sous des conditions que l'expérience détermine , sans que l’équi- libre soit troublé, et d’en conclure directement par le calcul quelle doit être la valeur de l'action mutuelle de deux por- tions infiniment petites, pour que l'équilibre soit en effet indépendant de tous les changements de forme ou de gran- deur compatibles avec ces conditions. Ce dernier procédé ne peut être employé que quand la nature de l'action qu'on étudie donne lieu à des cas d'équi- libre indépendants de la forme des corps; il est, par con- séquent, beaucoup plus restreint dans. ses applications que celui dont j'ai parlé tout-à-l’heure : mais puisque les con- ducteurs voltaïques présentent des circonstances où. cette sorte d'équilibre a lieu, il est naturel de le préférer à tout autre, comme plus direct, plus simple, et susceptible d'une plus grande exactitude quand les expériences sont faites avec les précautions convenables. IL y a d’ailleurs, à l'égard (1) Voyez le Journal des savants , avril 1825, p.233. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 183 de l’action exercée par ces conducteurs, un motif bien plus décisif:encore de le suivre dans les recherches relatives à la détermination des forces qui la produisent : c’est l’ex- trême difficulté des ‘expériences où l’on se proposerait, par exemple, de mesurer ces forces par le nombre des oscillations d’un corps soumis à leurs actions. Cette diffi- culté vient de ce que quand on fait agir un conducteur fixe sur une portion mobile du circuit voltaïque, les parties de l'appareil nécessaire pour la mettre en communication avec la pile, agissent sur cette portion mobile en même temps que le conducteur fixe, et altérent ainsi les résultats des expé- riences. Je crois cependant être parvenu à la surmonter dans un appareil propre à mesurer l’action mutuelle de deux con- ducteurs, l’un fixe et l’autre mobile, par le nombre des os- cillations de ce dernier, eten faisant varier la forme du con- ducteur fixe. Je décrirai cet appareil dans la suite de ce Mémoire. Il est vrai qu'on ne rencontre pas les mêmes obstacles quand on mesure de la même manière l’action d'un fil con- ducteur sur un aimant ; mais ce moyen ne peut être em- ployé quand il s'agit de la détermination des forces que deux conducteurs voltaiques exercent l’un surl’autre, détermination qui doit être le premier objet de nos recherches dans l'étude des nouveaux. phénomènes. Il est évident, en effet, que si l'action d'un fil conducteur sur un aimant était due à une autre cause que celle qui a lieu entre deux conducteurs , les expériences faites sur la première ne pourraient rien appren- dre relativement à la seconde; et que si les aimants ne doi- vent leurs propriétés qu'à des courants électriques , entourant chacune de leurs particules, il faudrait, pour pouvoir en tirer 184 THÉORIE DES PHÉNOMEÈNES des conséquences certaines relativement à l'action qu'exerce sur ces courants celui du fil conducteur, que l’on sût d'avance s'ils ont la même intensité près de la surface de l’aimant et dans son intérieur, ou suivant quelle loi varie cette intensité; si les plans de ces courants sont partout perpendiculaires à l'axe du barreau aimanté, comme je l'avais d’abord sup- posé, ou si l’action mutuelle des courants d’un même aimant leur donne une situation d’autant plus inclinée à cet axe qu'ils en sont à une plus grande distance et qu'ils s’é- cartent davantage de son milieu, comme je l'ai conclu de- puis de la différence qu’on remarque entre la situation des pôles d’un aimant, et celles des points qui jouissent des mêmes propriétés dans un fil conducteur rouléen héliee (1). (x) Je crois devoir insérer ici la note suivante, qui est extraite de l’ana- lyse des travaux de l'Académie pendant l’année 1821, publiée le 8 avril 1822. (Voyez la partie mathématique de cette analyse, p. 22 et 28.) « La principale différence entre la manière d'agir d’un aimant et d'un « conducteur voltaique dont une partie est roulée en hélice autour de « l'autre, consiste en ce que les pôles du premier sont situés plus près du « milieu de l'aimant que ses extrémités, tandis que les points qui présentent « les mêmes propriétés dans l'hélice sont exactement placés aux extrémités « de cette hélice : c'est ce qui doit arriver quand l'intensité des courants de « l'aimant va en diminuant de son milieu vers ses extrémités. Mais M. Am- « père a reconnu depuis une autre cause qui peut aussi déterminer cet « effet. Après avoir conclu de ses nouvelles expériences , que les courants « électriques d’un aimant existent autour de chacune de ses particules, il « lui a été aisé de voir qu'il n'est pas nécessaire de supposer, comme il « l'avait fait d'abord, que les plans de ces courants sont partout perpendi- « culaires à l'axe de l'aimant; leur action mutuelle doit tendre à donner à « ces plans une situation inclinée à l'axe, surtout vers ses extrémités, en - sorte que les pôles , au liéu d'ylétrélexactement situés, comme ils de- ste ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 185 Les divers cas d'équilibre que j'ai constatés par des expé- riences précises, donnent immédiatement autant de lois qui conduisent directement à l'expression mathématique de la « vraient l'être, d'après les calculs déduits des formules données par « M. Ampère, lorsqu'on suppose tous les courants de même intensité et « dans des plans perpendiculaires à l'axe , doivent se rapprocher du milieu « de l'aimant d'une partie de sa longueur d'autant plus grande que les « plans d'un plus grand grand nombre de courants sont ainsi inclinés, et « qu'ils le sont davantage, c'est-à-dire d'autant plus que l'aimant est plus « épais relativement à sa longueur, ce qui est conforme à l'expérience. « Dans les fils conducteurs pliés en hélice, et dont une partie revient par « l'axe pour détruire l'effet de la partie des courants de chaque spire qui agit « comme s'ils étaient parallèles à cet axe, les deux circonstances qui, d’après « ceque nous venons de dire, n'ont pas nécessairement lieu dans les aimants, « existent au contraire nécessairement dans ces fils ; aussi observe-t-on que « les hélices ont des pôles semblables à ceux des aimants , maïs placés exac- « tement à leurs extrémités comme le donne le calcul. » On voit par cette note que, dès l’année 1827, j'avais conclu des phé- nomènes que présentent les aimants : 1° qu'en ‘considérant chaque par- ticule d'un barreau aimanté comme un aimant, les axes de ces aimants élémentaires doivent être, non pas parallèles à l'axe de l’aimant total comme on le supposait alors, mais situés dans des directions inclinées à cet axe et dans des directions déterminées par leur action mutuelle; 2° que cette disposition est une des causes pour lesquelles les pôles del'aimant total ne sont pas situés à ses extrémités, mais entre les extrémités etle milieu de l'aimant. L'une et l’autre de ces assertions se trouvent aujourd'hui com- plètement démontrées par les résultats que M. Poisson a déduits des for- mules par lesquelles il a représenté la distribution, dans les aimants, des forces qui émanent de chacune de leurs particules. Ces formules sont fondées sur la loi de Coulomb, et il n’y a, par conséquent, rien à y changer quand on adopte la manière dont j'ai expliqué les phénomènes magné- tiques, puisque cette loi est une conséquence de ma formule, comme on le verra dans la suite de ce Mémoire. 1823. 24 186 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES force que deux éléments de conducteurs voltaiques exercent l'un sur l’autre, d’abord en faisant connaître la forme de cette expression, ensuite en déterminant les nombres constants, mais d'abord inconnus, qu’elle renferme, précisément comme les lois de Képler démontrent d’abord que la force qui retient les planètes dans leurs orbites tend constamment au centre du soleil, puisqu'elle change pour une même planète en raison inverse du carré de sa distance à ce centre, enfin que le coefficient constatit qui en représente l'intensité a la même valeur pour toutes les planètes. Ces cas d'équilibre sont au nombre de quatre : le premier démontre l'égalité des valeurs absolues de l'attraction et de la répulsion qu’on produit en faisant passer alternativement, en deux sens opposés, le même courant dans un conducteur fixe dont on ne change ni la situation ni la distance au corps sur lequel il agit. Cette égalité résulte de la simple observation que deux portions égales d’un même fil conducteur recouvertes de soie pour en empècher la communication, et toutes deux rectilignes ou tordues ensemble de manière à former l’une autour de l’autre deux hélices dont toutes les parties sont égales, et qui sont parcourues par un même courant électrique, l’une dans un sens et l’autre en sens contraire, n'exercent aucune action, soit sur un conducteur mobile, soit sur un aimant; on peut aussi la constater à l’aide du conducteur mobile qu'on voit dans la figure 9 de la planche 1° du tome XVIII des Annales de chimie et de physique, relative à la descrip- tion d'un de mes appareils électro - dynamiques, et qui est représenté ici (PI. I, fig. 1). On place pour cela un peu au- dessous de la partie inférieure dee‘d' de ce conducteur, et dans une direction quelconque, un conducteur rectiligne ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 187 horizontal plusieurs fois redoublé AB, de maniere que le. milieu de sa longueur et de son épaisseur soit dans la ver- ticale qui passe par les pointes x, y, autour desquelles tourne librement le conducteur mobile. On voit alors que ce con- ducteur reste dans la situation où on le place; ce qui prouve qu'il y a équilibre entre les actions exercées par le conduc- teur fixe sur les deux portions égales et opposées de circuit voltaique bcde, b'c'd'e', qui ne different que parce que, dans l’une, le courant électrique va en s’approchant du con- ducteur fixe AB, et dans l’autre, en s’en éloignant, quel que soit d’ailleurs l’angle formé par la direction de ce dernier con- ducteur avec le plan du conducteur mobile : or, si l’on con- sidère d’abord les deux actions exercées entre chacune de ces portions de circuit voltaique et la moitié du conducteur AB dont elle est la plus voisine, et ensuite les deux actions entre chacune d'elles et la moitié du même conducteur dont elle est la plus éloignée, on verra aisément , 1° que l'équilibre dont nous venons de parler ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de cet angle, qu'autant qu'il y a séparément équi- libre entre les deux premières actions et les deux dernières; 2° que si l’une des deux premières est attractive , parce que les côtés de l'angle aigu formé par les portions de conduc- teurs entre lesquelles elle a lieu, sont parcourus dans le même sens par le courant électrique, l’autre sera répulsive parce qu’elle aura lieu entre les deux côtés de l’angle égal opposé au sommet, qui sont parcourus en sens contraires par le même courant, en sorte qu’il faudra d’abord, pour qu'il y ait équilibre entre elles, que ces deux premières actions qui tendent à faire tourner le conducteur mobile, l'une dans un sens, l’autre dans le sens opposé, soient égales 24. 188 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES entre elles; et ensuite que les deux dernieres actions , l'une attractive et l’autre répulsive, qui s’exercent entre les côtés des deux angles obtus opposés au sommet et suppléments de ceux dont nous venons de parler, soient aussi égales entre elles. Il est inutile de remarquer que ces actions sont réellement les sommes des produits des forces qui agissent sur chaque portion infiniment petite du conducteur mobile, multipliées par leur distance à la verticale autour de laquelle il peut librement tourner ; mais comme les distances à cette verticale des portionsinfiniment petites correspondantes des deux branches bcde,b'c'd'e sont toujours égales entre elles, l'égalité des moments rend nécessaire celle des forces. Le second des trois cas généraux d'équilibre, est celui que j'ai remarqué à la fin de l’année 1820; il consiste dans l'é- galité des actions exercées sur un conducteur rectiligne mo- bile, par deux conducteurs fixes situés à égales distances du premier, et dont l’un est rectiligne, l’autre plié et contourné d'une manière quelconque, quelles que soient d’ailleurs les sinuosités que forme ce dernier. Voici la description del'appa- reil avec lequel j'ai vérifié l'égalité des deux actions par des expériences susceptibles d’une grande précision , et dont j'ai communiqué les résultats à l'Académie, dans la séance du 26 décembre 1820. - Les deux règles verticales en bois, PQ,RS (fig.2), por- tent, dans des rainures pratiquées sur celles de leurs faces qui se trouvent en regard, la première un fil rectiligne bc, la seconde un fil £/ formant, dans toute sa longueur ‘et dans un plan perpendiculaire au plan qui joindrait les deux axes des règles, des contours et des replis tels que ceux qu'on voit dans la figure le long de la règle RS, de manière ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 189 que ce fil ne s'éloigne, en aucun de ses points, que très-peu du milieu de la rainure. Ces deux fils sont destinés à servir de conducteurs à deux portions d’un même courant, que l’on fait agir par répulsion sur la partie GH d’un conducteur mobile, composé de deux circuits rectangulaires presque fermés et égaux BCDE, FGHI, qui sont parcourus en sens contraires par le cou- rant électrique, afin que les actions que la terre exerce sur ces deux circuits se détruisent mutuellement. Aux deux extrémités de ce conducteur mobile, sont deux pointes A et K qui plongent dans les coupes M et N, pleines de mercure , et soudées aux extrémités des deux branches de cuivre gM, 2 N. Ces branches sont en communication, par les boites de cuivre g et », la première avec un fil de cuivre g fe, plié en hélice autour du tube de verre 2gf, l’autre avec un fil rectiligne À z qui passe dans l’intérieur du même tube, et se termine dans l’auge kz, creusée dans une pièce de bois vw qu’on fixe à la hauteur que l’on veut, con- tre le montant z, avec la vis de pression 0. D'après l’expé- rience dont j'ai parlé plus haut, cette portion du circuit composée de l’hélice z f et du fil rectiligne 2z, ne peut exer- cer aucune action sur le conducteur mobile. Pour que le courant électrique passe dans les conducteurs fixes à c et k/, les fils dont ces conducteurs sont formés se prolongent en cde, lmn, dans deux tubes de verre (1) attachés à la traverse (x) L'usage de ces tubes est d'empècher la flexion des fils qui y sont ren- fermés , en les maintenant à des distances égales des deux conducteurs be, kl, afin que leurs actions sur GH qui diminuent celle de ces deux conducteurs , les diminuent également, 190 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES x y, et viennent se terminer, le premier dans la coupe e, et le second dans la coupe ». Tout étant ainsi disposé , on met du mercure dans toutes les coupeset dans les deux auges b a, ki, et l'on plonge le rhéophore positif pa dans l’auge ba qui est aussi creusée dans la pièce de bois vw, et le rhéophore négatif gn dans la coupe 2. Le courant parcourt tous les conducteurs de l'appareil dans l’ordre suivant pabcdefg MABCDEF GHIKN 2rklmnag ;d'oùil résulte qu’il estascendant dans les deux conducteurs fixes, et descendant dans la partie G H du conducteur mobile qui est soumise à leur action, et qui se trouve au milieu de l'intervalle des deux conducteurs fixes dans le plan qui passe par leurs axes. Cette partie GH est donc repoussée par bc et #7 : d'où il suit que si l’action de ces deux conducteurs est la même à égales distances, GH doit s'arrêter au milieu de l'intervalle qui les sépare ; c'est ce qui arrive en effet. Il est bon de remarquer 1° que les deux axes des condue- teurs fixes étant à égales distances de GH, on ne peut pas dire rigoureusement que la distance est la même pour tous les points du conducteur 47, à cause des contours et des re- plis que forme ce conducteur. Mais comme ces contours et ces replis sont dans un plan perpendiculaire au plan qui passe par GH et par les axes des conducteurs fixes, il est évident que la différence de distance qui en résulte, est la #lus petite possible, et d'autant moindre que la moitié de la largeur déäla: rainure RS, que cette moitié est moindre que l'intervalle des deux règles, puisque-cette différence, dans le cas où elle est la plus grande possible, est égale à celle qui se trouve entre le‘rayon et la sécante d’un arc dont Ja tangente est égale à la moitié de la largeur de la rainure , 2% La ÉLECTRO-DYNAMIQUES. TOI et qui appartient à un cercle dont le diamètre est l'intervalle des deux règles. 2° Que si l'on décompose chaque portion infiniment petite du conducteur Æ/, comme on décompo- serait une force en deux autres petites portions qui en soient les projections, l’une sur l'axe vertical de ce conducteur, l’autre sur des lignes horizontales menées par tous ses points dans le plan où se trouvent les replis et les contours qu'il forme, la somme des premieres, en prenant négativement celles qui, ayant une direction opposée à la direction des autres, doivent produire une action en sens contraire , sera égale à la longueur de cet axe; en sorte que l’action totale, résultant de toutes ces projections, sera la même que celle d'un conducteur rectiligne égal à l'axe, c’est-à-dire à celle du conducteur bc situé de l’autre côté à la même distance de GH, tandis que l’action des secondes sera nulle sur le même con- ducteur mobile GH, puisque les plans élevés perpendiculaire- ment sur le milieu de chacune d'elles passeront sensiblement par la direction de G H. La réunion de ces deux séries de projections produit donc nécessairement sur GH une action égale à celle de bc; et comme l'expérience prouve que le conducteur sinueux #/ produit aussi une action égale à celle de bc, quels que soient les replis et les contours qu’il forme, il s'ensuit qu'il agit, dans tous les cas, comme la réunion des deux séries de projections, ce qui ne peut avoir lieu, indépendamment de la maniere dont il est plié et contourné, à moins que chacune des parties de ce conducteur n’agisse séparément comme la réunion de ses deux projections. Pour que cette expérience ait toute l’exactitude désirable, il est nécessaire que les deux règles soient exactement verti- cales , et qu’elles soient précisément à la même distance du 192 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES conducteur mobile. Pour remplir ces conditions , on adapte une division 46 à la traverse x 7", et l’on fixe les regles avec deux crampons » et 6, et deux vis de pression },y, ce qui permet de les écarter ou de les rapprocher à volonté, en les maintenant toujours à égale distance du milieu ; de la divi- sion «6. L'appareil est construit de manière que les deux rè- gles sont perpendiculaires à la traverse x y, et on rend celle-ci horizontale à l’aide des vis que l’on voit aux quatre coins du pied de l'instrument, et du fil à plomb X Y qui répond exactement au point Z, déterminé convenablement sur ce pied , quand la traverse x y est parfaitement de niveau. Pour rendre le conducteur ABCDEF GHIK mobile au- tour d’une ligne verticale, située à égale distance des deux conducteurs bc, kl, ce conducteur est suspendu à un fil métallique très-fin attaché au centre d’un bouton T, qui peut tourner sur lui-même sans changer de distance à ces deux conducteurs; ce bouton est au centre d’an petit cadran O, sur lequel l'indice Lsert à marquer l'endroit où il faut l'ar- rêter pour que la partie GH du conducteur mobile réponde, sans que le fil soit tordu , au milieu de l'intervalle des deux conducteurs fixes be, #1, afin de pouvoir remettre immédia- tement l'aiguille dans la direction où il faut qu’elle soit pour cela, toutes les fois qu'on veut répéter l'expérience. On re- connait que G H est en effet à égale distance de 2 c et de Æ 7, au moyen d'un autre fil à plomb 4 attaché à une branche de cuivre 944 portée comme le cadran O par le support UVO, dans lequel cette branche + ; Ÿ peut tourner autour de l'axe du bouton + qui la termine, ce qui donne la facilité de faire répondre la pointe de l’aplomb © sur la ligne ;5 milieu de la division +8. Quand le conducteur est dans la position con- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 193 venable, les trois verticales Lo, GH et CD se trouvent dans le même plan, et l’on s'en assure aisément en plaçant l'œil dans ce plan en avant de Lo. Le conducteur mobile se trouve ainsi placé d'avance dans la situation où il doit y avoir équilibre entre les ré- pulsions des deux conducteurs fixes, si ces répulsions sont exactement égales : on les produit alors en plongeant dans le mercure de l’auge ba et de la coupe 2 les fils æp,nq, qui communiquent avec les deux extrémités de la pile, et l'on voit le conducteur GH rester dans cette situation malgré la grande mobilité de ce genre de suspension, tandis que si l'on déplace, même trés-peu, l'indice L, ce qui amène GH dans une situation où il n’est plus à égales distances des conducteurs fixes bc, kl, on le voit se mouvoir à l'instant où l'on établit les communications avec la pile ; en s’éloignant de celui des conducteurs dont il se trouve le plus près. C’est ainsi que j'ai constaté, dans le temps où j'ai fait construire cet instrument , l'égalité des actions des deux conducteurs fixes , par des ice répétées plusieurs fois avec toutes les précautions nécessaires pour a il ne püt rester aucun doute sur leur résultat. On peut aussi démontrer la même loi par une expérience bien simple : il suffit pour cela de prendre un fil de cuivre re- vêtu de soie dont une portion est rectiligne et l’autre est repliée autour d'elle de manière qu’elle forme des sinuosités quel- conques sans se séparer de la premiere qui en est isolée par la soie qui les recouvre. On constate alors qu'une autre por- tion de fil conducteur est sans action sur l’assemblage de ces deux portions; et comme elle le serait également sur l'assemblage de deux fils rectilignes parcourus en sens con- 18923. 25 194 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES traires par un même courant électrique, d’après l'expérience : par laquelle on constate de la manière la plus simple le pre- mier cas d'équilibre, il s'ensuit que l'action d’un courant sinueux est précisément égale à celle d’un courant rectiligne compris entre les mêmes extrémités , puisque ces deux actions font l’une et l’autre équilibre à l'action d'un même courant rectiligne de même longueur que ce dernier, mais dirige en sens contraire. Le troisieme cas d'équilibre consiste en ce qu'un circuit fermé de forme quelconque, ne saurait mettre en mouvement une portion quelconque d’un fil conducteur formant un are de cercle dont le centre est dans un axe fixe, autour du- quel il peut tourner librement et qui est perpendiculaire au plan du cercle dont cet arc fait partie. Sur un pied T T'(P. 1", fig. 3), en forme de table, s'élèvent deux colonnes, EF ,E'F', liées entre elles par deux traverses LL',EF'; un axe GH est maintenu entre ces deux traverses dans une position verticale. Ses deux extrémités G,H, termi- nées en pointes aiguës , entrent dans deux trous coniques pra- tiques, l’un dans la traverse inférieure LL, l’autre à l’ex- trémité d'une vis KZ portée par la traverse supérieure FF", et destinée à presser l’axe GH sans le forcer. En C est fixé invariablement à cet axe un support QO dont l'extrémité O présente une charnière dans laquelle est engagé par son milieu un arc de cercle A A’ formé d’un fil métallique qui reste constamment dans une position horizontale, et qui a pour rayon la distance du point O à l'axe GH. Cet arc est équilibré par un contre-poids Q , afin de diminuer le frotte- ment de l'axe GH dans les trous coniques où ses extrémités sont reçues. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. ; 195 Au-dessous de l'arc A A’ sont disposés deux augets M, M pleins de mercure, de telle sorte que la surface du mer- cure, s’élevant au-dessus des bords, vienne toucher l'arc AA en B et B'. Ces deux augets communiquent par des conducteurs métalliques, MN, M'N', avec des coupes P, P' pleines de mercure. La coupe P et le conducteur MN qui la réunit à l’auget M sont fixés à un axe vertical qui s'enfonce dans la table de manière à pouvoir tourner libre- ment. La coupe P', à laquelle est attaché le conducteur M'N, est traversée par le même axe, autour duquel elle peut tour- ner aussi indépendamment de l’autre. Elle en est isolée par un tube de verre V qui enveloppe cet axe, et par une ron- delle de verre U qui la sépare du conducteur de l'auget M, de manière qu’on peut disposer les conducteurs MN, M'N' sous l'angle qu’on veut. ‘ Deux autres conducteurs IR, l'R' attachés à la table plon- gent respectivement dans les coupes P,P', et les font com- muniquer avec des cavités R,R' creusées dans la table et remplies de mercure. Enfin, une troisième cavité S pleine également de mercure se trouve entre les deux autres. Voici la manière de faire usage de cet appareil : On fait plonger l’un des rhéophores, par exemple, le rhéophore po- sitif dans la cavité R, et le rhéophore négatif dans la ca- vité S, qu'on met en communication avec la cavité R° par un conducteur curviligne d’une forme quelconque. Le cou- rant suit le conducteur RI, passe dans la coupe P, de là dans le conducteur NM, dans l’auget M, le conducteur MN, la coupe P', le conducteur l’ R', et enfin de la cavité R'’ dans le conducteur curviligne qui communique avec le mercure de la cavité S où plonge le rhéophore négatif. 25. 196 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES D'après cette disposition le circuit voltaique total est formé : 1° De l'arc BB'et des conducteurs MN,M'N'; 2° D'un circuit qui se compose des parties RIP ,P'TR de l'appareil, du conducteur curviligne allant de R' en S et de la pile elle-même. Ce dernier circuit doit agir comme un circuit fermé, puis- qu'il n’est interrompu que par l'épaisseur du verre qui isole les deux coupes P ,P': il suffira donc d'observer son action sur l'arc BB’ pour constater par l'expérience l’action d’un circuit fermé sur un arc dans les différentes positions qu'on peut donner à l'un et à l’autre. Lorsqu'au moyen de la charnière O on met l'arc A A’ dans une position telle que son centre soit hors de l'axe GH , cet arc prend un mouvement et glisse sur le mercure des augets M,M' en vertu de l’action du courant curviligne fermé qui va de R' en S. Si au contraire son centre est dans l'axe, il reste immobile; d’où il suit que les deux portions du circuit fermé qui tendent à le faire tourner en sens contraires au- tour de l’axe exercent sur cet arc des moments de rotation dont la valeur absolue est la même, et cela, quelle que soit la grandeur de la partie BB’ déterminée par l'ouverture de l'angle des conducteurs MN ,M’N’. Si donc on prend suc- cessivement deux arcs BB’ qui diffèrent peu l’un de l’autre, comme le moment de rotation est nul pour chacun d'eux, il sera nul pour leur petite différence , et par conséquent pour tout élément de circonference dont le centre est dans l'axe; d’où il suit que la direction de l’action exercée par le circuit fermé sur l'élément passe par l'axe , et qu’elle est nécessaire- ment perpendiculaire à l'élément. Lorsque l'arc AA’ est situé de manière que son centre soit ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 197 dans l'axe, les portions de conducteur MN, M'N' exercent sur l'arc B B'des actions répulsives égales et opposées, en sorte qu'il ne peut en résulter aucun effet; et puisqu'il n’y a pas de mouvement, on est sûr qu'il n’y a pas de moment de ro- tation produit par le circuit fermé. Lorsque l'arc A A' se meut dans l’autre situation où nous l'avions d’abord supposé, les actions des conducteurs MN et M'N' ne sont plus égales : on pourrait croire que le mou- vement n'est dù qu'à cette différence; mais suivant qu'on approche ou qu'on éloigne le circuit curviligne qui va de R'en S, le mouvement est augmenté ou diminué, ce qui ne permet pas de douter que le circuit fermé ne soit pour beaucoup dans l'effet observé. Ce résultat ayant lieu, quelle que soit la longueur de l'axe A A’, aura nécessairement lieu pour chacun des élé- ments dont cet arc est composé. Nous tirerons de là cette conséquence générale, que l’action d'un circuit fermé, ou d’un ensemble de circuits fermés quelconques, sur un élé- ment infiniment petit d’un courant électrique, est perpen- diculaire à cet élément. | C'est à l'aide d’un. quatrième cas d'équilibre, dont il me reste à parler, qu'on peut achever de déterminer les coeffi- cients constants qui entrent dans ma formule, sans avoir recours, comme je l'avais d'abord fait, aux expériences où un aimant et un fil conducteur agissent l’un sur l’autre. Voici l'instrument à l’aide duquel cette détermination repose uni- quement sur l'observation de ce qui a lieu quand ce sont deux fils conducteurs dont on examine l’action mutuelle. Dans la table MN (PI. I"°, fig. 4), est creusée une cavité A, remplie de mercure, d'où part un conducteur fixe ABCDEFG formé d’une lame de cuivre, la portion CDE est circulaire, 195 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES et les parties CBA, EFG sont isolées l’une de l’autre par la soie qui les recouvre. En G ce conducteur est soudé à un tube de cuivre GH, surmonté d’une coupe I, qui communique avec le tube par le support HIT du même métal. De la coupe I part un conducteur mobile IKLMN PQRS, dont la portion MNP est circulaire ; il est entouré de soie dans les parties MLK et PQR pour qu’elles soient isolées , et il est tenu horizontal au moyen d’un contre-poids a fixé sur une circonférence de cercle qu'un prolongement cg de la lame dont est composé le con- ducteur mobile forme autour du tube GH. La coupe S est soutenue par une tige ST, ayant le même axe que GH, dont elle est isolée par une substance résineuse que l’on coule dans le tube. Le pied de la tige ST est soudé au conducteur fixe TUVXYZ A", qui sort du tube GH par une ouverture assez grande pour que la résine l'en isole aussi complètement dans cet endroit qu'elle le fait dans le reste du tube GH, à l'égard de ST. Ce conducteur à sa sortie du tube, est revêtu de soie pour empêcher la portion TU V de communiquer avec YZA'. Quant à la portion VX Y, elle est circulaire, et l'ex- trémité A’ plonge dans une seconde cavité A’ creusée dans la table et pleine de mercure. Les centres O,0’, O" des trois portions circulaires sont en ligne droite ; les rayons des cercles qu'elles forment sont en proportion géométrique continue , et l'on place d’abord le conducteur mobile de manière que les distances 00,0" O0" sont dans le même rapport que les termes consécutifs de cette proportion; de sorte que les cercles O et O’ forment un sys- tème semblable à celui des cercles O’ et O”. On plonge alors le rhéophore positif en A et le rhéophore négatif en A, le cou- rant parcourt successivement les trois cercles dont les centres sont en O,0',0", qui se repoussent deux à deux, parce que ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 199 le courant va en sens opposés dans les parties voisines. Le but de l'expérience qu’on fait avec cet instrument est de prouver que le conducteur mobile reste en équilibre dans la position où le rapport de OO" à OO" est le même que celui des rayons de deux cercles consécutifs, et que si on l’écarte de cette position il y revient en oscillant autour d'elle. Je vais maintenant expliquer comment on déduit rigoureu- sement de ces cas d'équilibre la formule par laquelle j'ai représenté l’action mutuelle de deux éléments de courant voltaïque , en montrant que c’est la seule force agissant sui- vant la droite qui en joint les milieux qui puisse s'accorder avec ces données de l'expérience. Il est d’abord évident que l'action mutuelle de deux éléments de courants électriques est proportionnelle à leur longueur ; car, en les supposant divisés en parties infiniment petites égales à leur commune mesure, toutes les attractions ou répulsions de ces parties, pouvant être considérées comme dirigées suivant une même droite, s'ajoutent nécessairement. Cette même action doit encore être proportionnelle aux intensités des deux courants. Pour exprimer en nombre l'intensité d'un courant quelcon- que, on concevra qu'on ait choisi un autre courant arbi- traire pour terme de comparaison, qu’on ait pris deux élé- ments égaux dans chacun de ces courants, qu’on ait cherché le rapport des actions qu'ils exercent à la même distance sur un même élément de tout autre courant, dans la situation où il leur est parallele et où sa direction est perpendiculaire aux droites qui joignent son milieu avec les milieux de deux autres éléments. Ce rapport sera la mesure d’une des inten- sités , en prenant l’autre pour unité. Désignant donc par £ et 2’ les rapports des intensités des deux courants donnés à l'intensité du courant pris pour 200 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES unité, et par ds, ds les longueurs des éléments que l’on con-- sidere dans chacun d'eux; leur action mutuelle, quand ils seront perpendiculaires à la ligne qui joint leurs milieux , parallèles entre eux et situés à l'unité de distance l’un de l'autre, sera exprimée par 7 ds ds'; que nous prendrons avec le signe + quand les deux courants, allant dans le même sens, s’attireront, et avec le signe — dans le cas contraire. Si l’on voulait rapporter l’action des deux éléments à la pe- santeur , on prendrait pour unité de forces le poids de l’unité de volume d’une matière convenue. Mais alors le courant pris pour unité ne serait plus arbitraire; il devrait être tel, que l'attraction entre deux de ses éléments ds, ds', situés comme nous venons de le dire, pût soutenir un poids qui fût à l’unité de poids comme dsds' est à 1.Ce courant une fois déterminé, le produit # ds ds’ désignerait le rapport de l'attraction de deux éléments d’intensités quelconques, toujours dans la même situation, au poids qu'on aurait choisi pour unité de force. Cela posé, si l’on considère deux éléments placés d’une manière quelconque; leur action mutuelle dépendra de leurs longueurs, des intensités des courants dont ils font partie, et de leur position respective. Cette position peut se déterminer au moyen de la longueur 7 de la droite qui joint leurs milieux, des angles 6 et (' que font, avec un même pro- longement de cette droite, les directions des deux éléments pris dans le sens de leurs courants respectifs, et enfin de l'angle w que font entre eux les plans menés par chacune de ces directions et par la droite qui joint les milieux des éléments. La considération des diverses attractions ou répulsions observées dans la nature me portait à croire que la force dont je cherchais l'expression, agissait de même en raison inverse | ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 201 de la distance; je la supposai, pour plus de généralité, en raison inverse de la puissance n°"° de cette distance, » étant une constante à déterminer. Alors en représentant par s, à 3 ! : ii dsds’ la fonction inconnue des angles 6,0',w, j'eus ES pour l'expression générale de l’action de deux éléments ds,d$ de deux courants ayant pour Iintensités z et z’. Il me restait À déterminer la fonction .je considérai d’abord pour cela deux éléments ad, a'd' (pl. L°, fig. 5) parallèles entre eux , perpendiculaires à la droite qui jointleurs milieux, et situés à une distance quelconque 7 l’un de l’autre ; leur action étant i'dsds' x > Jesupposai que exprimée d’après ce qui précède par ad restât fixe, et que ad’ füt transporté parallèlement à lui-même, de manière que son milieu fût toujours à la même distance de celui de ad ;v étant toujours nul, la valeur de leur action mutuelle ne pouvait dépendre que des angles désignés ci-dessus par 6,4’, et qui, dans ce cas, sont égaux ou supplé- ments lun de l’autre, selon que les courants sont dirigés dans le même sens ou en sens opposés; je trouvai ainsi pour cette 1! ’o(6,8! RE valeur ROLL pa nommant '# la constante positive ou négative à laquelle se réduit 9 (0,8) quand l'élément 4’ d est en &’d” dans le prolongement de ad, et dirigé dans le ‘ki dsds! F même sens , j'obtins Tr Pour l'expression de l’action de ad sur ab"; danscette expression la constante X repré- sente le rapport de l'action de a d sur ad” à celle de 4 d sur a'd',rapport indépendant de la distance r, desintensités z, ?’, et des longueurs ds, ds des deux éléments que l'on considère. Ces valeurs de l'action électro-dynamique, dans les deux 1823. 26 202 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES cas les plus simples , suffisent pour trouver la forme générale de la fonction &, en partant de l'expérience qui montre que l'attraction d’un élément rectiligne infiniment petit est la même que celle d'un autre élément sinueux quelconque, terminé aux deux extrémités du premier, et de ce théorème que je vais établir, savoir : qu'une portion infiniment petite de courant électrique n’exerce aucune action sur une autre portion infiniment petite d'un courant situé dans un plan qui passe par son milieu, et qui est perpendiculaire à sa direction, En effet, les deux moitiés du premier élément pro- duisent sur le second des actions égales, l’une attractive et l'autre répulsive, parce que dans l’une de ces moitiés le cou- rant va en s'approchant et dans l’autre en s’éloignant de la perpendiculaire commune. Or, ces deux forces égales font un angle qui tend vers deux angles droits à mesure que l'élément tend vers zéro. Leur résultante est donc infiniment petite par rapport à ces forces, et doit par conséquent être négligée dans le calcul. Cela posé, soient M7 (fig. 6) —ds et M'm—ds', deux éléments de courants électriques, dont les milieux soient aux points À et A’; faisons passer le plan MA'm par la droite AA qui les joint, et par l'élément Mn. Substituons à la portion de courant ds qui par- court cet élément , sa projection Nn—ds cos. 4 sur la droite A A',et sa projection Pp—ds sin. 4 sur la perpendiculaire élevée en A cette droite dans le plan MA’m; substituons ensuite à la portion de courant ds qui parcourt M’ sa pro- jection N'7'—ds' cos. 4 sur la droite A A’ et sa projection Pp'—ds' sin. 4 sur la perpendiculaire à AA menée par le point À’ sur A A' dans le plan M'A»; remplaçons enfin cette dernière par sa projection T'# —d s'sin. 6’ cos. sur le plan ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 203 M A'm et par sa projection Ü'u'—ds sin. 6’ sin. à sur la per- pendiculaire à ce plan menée par le point A'; d’après la loi éta- blie ci-dessus , l’action des deux éléments ds et ds’ sera la même que celle de l’assemblage des deux portions de cou- rants ds cos. 4 etds sin. 6 sur celui des trois portions ds’ cos.W', ds’ sin. #’ cos. w, ds'sin. W sin. ; cette dernière ayant son mi. lieu dans le plan MA auquel elle est perpendiculaire, il n’y aura aucune action entre elle et les deux portions d scos.6, ds sin. 6, qui sont dans ce plan. Il ne pourra non plus, par la même raison, y en avoir aucune entre les portions dscos.b, ds’ sin. 8’ cos. , ni entre les portions ds sin. 6, ds’ cos. #, puisqu’en concevant par la droite A A' un plan perpendicu- laire au plan MA», ds cos.t et ds'cos. #' se trouvent dans ce plan, et que les portions ds’ sin. #’ cos. et ds sin. 6 lui sont perpendiculaires et ont leurs milieux dans ce même plan. L’ac- tion des deux élements ds et ds’ se reduit donc à la réunion des deux actions restantes, savoir : l’action mutuelle de ds sin. 6 et de ds’ sin. 6’ cos. et à celle de ds cos. 6 et de ds cos. #', ces deux actions étant toutes deux dirigées suivant la droite A A’ qui joint ies milieux des portions de courants entre lesquelles elles s'exercent, il suffit de les ajouter pour avoir l’action mutuelle des deux éléments ds et ds”. Or les portions ds sin.6 et ds'sin.6’ cos. sont dans un même plan, et toutes deux perpendiculaires à la droite A A'; leur action mutuelle suivant cette droite est donc, d’après ce que nous de voir, égale à ic! ds ds'sin.6 sin.(' cos. w AT PE RIT AUD à et celle deS deux portions ds cos. & et ds’ cos. &’ dirigée sui- 26. 204 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES vant la même droite AA’, a pour valeur éc' Ædis ds’ cos.@ cos. 6" a et par conséquent l'action des deux éléments ds, ds l'un sur l’autre est nécessairement exprimée par ir dsds' 7 (sin.6sin.#’cos.w + kcos.6 cos. 4). On simplifie cette formule en y introduisant l'angle : des deux éléments au lieu de w; car en considérant le triangle sphérique dont les côtés seraient 6,0 ,<, on a COS. —cos.b cos. # + sin.6 sin.’ cos. w; d'où sin. 6 sin. Ÿ COS. w — COS. «— COS. 8 cos. #'; substituant dans la formule précédente et faisant k — 1 —, elle devient cé dsds ——(cos.e + h cos.8Cos.6"), et il est bon de remarquer qu’elle change de signe quand un seul des courants, par exemple celui de l'élément ds, prend une direction diamétralement opposée à celle qu'il avait, Car alors cos. 6 et cos. « changent de signe, et cos. 6! reste le même. Cette valeur de l’action mutuelle de deux éléments n'a été déduite que de la substitution des projec- tions d'un élément à cet élément même; mais il est facile de s'assurer qu’elle exprime qu'on peut substituer à un élé- ment un contour polygonal quelconque, et par suite un are ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 205 quelconque de courbe terminé aux mêmes extréwités , pourvu que toutes les dimensions de ce polygone ou de cette courbe soient infiniment petites. Soient, en effet, ds,, ds,,.. ds, les différents côtés du polygone infiniment petit substitué à ds; la direction A A’ pourra toujours être considérée comme celle des lignes qui joignent les milieux respectifs de ces côtés avec A. Soient 6,,6.... 0, les angles qu'ils font respectivement avec AAÂ';ete,,e,,..e, Ceux qu'ils font avec M7’, en désignant, suivant l'usage, par > une somme de termes de même forme, la somme des actions des côtés ds,ds,,...ds, sur ds’, sera TE (545,008. e,+hcos.b >ds,cos.6,) Or > ds, cos. «, est: la projection du contour polygonal sur la direction de ds’, et est par conséquent égal à la-pro- jection de ds sur la même direction, c’est-à-dire à ds cos..; de même xd s; cos. 4, est égal à la projection de ds sur A A' qui est ds cos. #; l’action exercée sur ds’ par le contour poly- gonal terminé aux extrémités de ds a donc pour expression TE (dscos.e + Ad s cos. 6cos.t') et est la même que celle de ds sur ds’. Cette conséquence étant indépendante du nombre des côtés ds,,ds,,...ds,, aura lieu pour un arc infiniment petit d’une courbe quelconque. On prouverait semblablement que l’action de ds sur ds, peut être remplacée par celle qu'une courbe infiniment pe- tite quelconque, dont les extrémités seraient les mêmes que 206 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES celles de d s', exercerait sur chacun des éléments de la petite courbe que nous avons déja substituée à ds, et par consé- quent sur cette petite courbe elle-même, Ainsi la formule que nous ayons trouvée exprime qu'un élément curviligne quel- conque produit le même effet que la portion infiniment pe- tite de courant rectiligne terminée aux inèêmes extrémités, quelles que soient d’ailleurs les valeurs des constantes n et A. L'expérience par laquelle on constate ce résultat ne peut donc servir en rien à déterminer ces constantes. Nous aurons alors recours aux deux autres cas d'équilibre dont nous avons déja parlé. Mais auparavant nous transfor- merons l'expression précédente de l’action de deux éléments de courants voltaiques, en y introduisant les différentielles partielles de la distance de ces deux éléments. Soient x, 7, z les coordonnées du premier point, et x ;,ÿ,7 celles du second, il viendra _æ—x dx , y—ydy , z—z2'dz CE Be Pda HUE Ge Ve OM 6 , _æ— x" dx, y—y'dy" z—2/ dz cos.d — ds r ds 7 UAIS mais On a D —(x—x) +(y—y) +(z—2), d'où ,en prenant successivement les coefficients différentiels partiels par rapport à s et s’, NÉE s nd (ne M) + Ga) d ndæ’ n dy! z' road) (y —7) 5 —G—2) 7) ÉL ECTRO-DYNAMIQUES: : 207 ainsi co FC cos.0 — de S. ne QU EE ds! Pour avoir la valeur de cos.:, nous observerons que dæ dy dz. dx’ dy. dz’ dsds ds A rdst ? ds /}ds sont les cosinus des angles que ds et ds’, forment avec les trois axes, et nous en conclurons __dz dax dy dy’ dz d7 COS ea ds de À ds do Or, en différentiant par rapport à s l'équation précédente . dr 5 qui donne r—; on trouve ds dr dr dr. dxdzx* dy dy! dz dz7 ER ONTE ds ds” ds dé ds ds ds ds 00 Si l’on substitue, dans la formule qui représente l’action mutuelle des deux éléments ds, ds’, au lieu de cos.6, cos.b, cos.e, les valeurs que nous venons d'obtenir, cette formule deviendra, en remplaçant 1 + A par son égal #, __üdsds” d’r dr dr 7"! las 5 LT) qu'on peut mettre sous la forme 7" 2ÂNTE 08 dsfo 18 a (ra) drink KR sd. ou enfin 208 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES On pourrait encore lui donner la forme suivante: ir ad (+) — ri—Ar 1+4 dsds” dsds. Examinons maintenant ce qui résulte du troisième cas d'équilibre dont nous avons parlé, et qui démontre que la composante de l’action d’un circuit fermé quelconque sur un élément, suivant la direction de cet élément, est toujours nulle, quelle que soit la forme du circuit. En désignant par ds' l'élément en question, l'action d'un élément ds du circuit fermé sur ds’ sera, d'après ce qui précède, 1 ds ri—n—k ii ds .r d ds, dr / ou, en remplaçant + par — cos. f', 4 d(r'co SL s.0/) ds De ds; la composante de cette action suivant ds’ s’obtiendra en mul- tipliant cette expression par cos. ÿ', et sera rat ,d(r# cos.#” it ds'r —"—# cos, 2 Cette différentielle intégrée dans toute l'étendue du circuit s donnera la composante tangente totale, et devra être nulle, quelle que soit la forme de ce circuit. En l'intégrant par partie, après lavoir écrite ainsi a ru ,d(rfcos.W it ds'rt—"—2k7kcos. 0 + nous aurons ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 206 Li ds! [r—"cos.# (12 —22) r—"cos.l'dr]. 2 Le premier terme r'—"cos.#" s'évanouit aux limites. Quant à l'intégrale /r—reos-#dr, il est très-facile de concevoir un circuit fermé pour lequel elle ne se réduise pas à zéro. En effet, si on coupe ce circuit par des surfaces sphériques très- rapprochées ayant pour centre le milieu de l'élément ds’, les deux points où chacüne de ces sphères coupera le circuit donneront la même valeur pour r et des valeurs égales et de signes contraires pour dr; mais les valeurs de cos.*8’ pour- ront être différentes, et il y aura une infinité de manières de faire en sorte que les carrés de tous les cosinus relatifs aux points situés d'un mème côté entre les points extrêmes du circuit soient moindres que ceux relatifs aux points cor- respondants de l’autre côté; or, dans ce cas, l'intégrale ne s'évanouira pas; et comme l'expression ci-dessus doit être nulle, quelle que soit la forme du circuit, il faut donc que le coefficient 1: —7—2# de cette intégrale soit nul, ce qui donne entre 7 et k cette première relation 1—7—2k—0. Avant de chercher une seconde équation pour déterminer ces deux constantes, nous commencerons par prouver que À est négatif, et, par conséquent, quen—1—2# est plus grand que 1 ; nous aurons recours pour cela à un fait bien facile à constater par l'expérience, savoir qu'un conducteur recti- ligne indéfini attire un circuit fermé, quand le courant élec- trique de ce circuit va dans le même sens que celui du con- ducteur dans la partie qui en est la plus voisine, et qu'il le re- pousse dans le cas contraire. Soit UV (fig. 7) le conducteur reetiligne indéfini; suppo- 1823. 27. 210 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES sons pour plus de simplicité que le circuit fermé T HK T'K'H' soit dans le même plan que le fil conducteur U V,etcherchons l’action exercée par un élément quelconque MM de ce dernier. Pour cela tirons du milieu A de cet élément des rayons vec- teurs à tous ces points du circuit, et cherchons l’action per- pendiculaire à UV exercée par cet élément sur le cireuit. La composante perpendiculaire à U V de l’action exercée par MM'=d 5" sur un élément KH=—d;s s'obtiendra en mul- tipliant l'expression de cette action par sin.#'; elle sera donc, . en observant que 1—n—2k—0, iv ds'sin.0'7* - S; d (r# cos.) ds d ou ch À : 1(r2# s.20/ ui! ds'tang.6 PONS 2 ds expression qui.doit être intégrée dans toute l'étendue du circuit. L'intégration par parties donnera Es ,.# . = it ds’ (r*#sin.#' cos. — frid) ! Le premier terme s’évanouissant aux limites , il reste seu- —;ids fred" Considérant maintenant les deux éléments KH ,K'H' com- pris entre les deux mêmes rayons consécutifs, dé’ est le même de part et d’autre, mais doit être pris avec un signe contraire, en sorte qu'en faisant AH—7, AH'—7', on a pour l'action réunie! dés deux éléments Nr L fortres) dé |, lement EL 7 ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 211 où nous supposons que rest plus grand que 7: Le terme de cette intégrale qui résulte de l’action de la partie T HT" con- vexe vers Ü V l’emportera sur celui qui est produit par l'ac- tion de la partie concave T H'T'si k est négatif; le contraire aura lieu si k'est positif,et:il n’y aura pas d'action si À est nul. Les mèmes conséquences ayant lieu pour tous les éléments de UV, il s'ensuit que la partie convexe vers: UV aura plus d'influence sur Je mouvement du circuit que la partie con- cave; si À< 0, autant si k—0o; et moins si *>0.10r l’expé- rience prouve qu’elle en a davantage. On a donc À 1, puisque n—1-—-2 À. On déduit de làcette conséquence remarquable ; que les par- ties d'un même.courantrectiligne se repoussent ;car si l’on fait 6—0,0—0;la formule qui donne l'attraction de deux élé- k à sos ments devient — ; et comme elle est négative, puisque A l'est, il y a répulsion. C’est ce quelj'ai vérifié par l'expérience que je vais décrire. On prend un vase de verre PQ (fig.8), sé- paré.par la cloison MN en deux compartimeñts égaux et rem- plis de mercure, on y place un fil de cuivre recouvert de soie ABCDE, dont les branches AB,ED, situées parallèlement à la cloison MN, flottent sur le mercure avec lequel com- muniquent les extrémités nues À et E de ces branches. En mettant les rhéophores dans les capsules $ et T, dont le mercure communique avec celui du vase PQ par les portions de conducteur 2H ,4K , on établit deux courants, dont chacun a pour conducteur une partie de mercureet une partie solide : quelle que soit la direction du courant, on voit toujours les deux fils AB,ED marcher parallèlement à la cloison MN en s'éloignant des points H et K, ce qui indique une répul- 217. 212 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES sion pour chaque fil entre le courant établi dans le mercure et son prolongement dans le fil lui-même. Suivant le sens du courant, le mouvement du fil de cuivre est plus ou moins facile, parce que, dans un cas , l’action exercée par le globe sur la portion BCD de ce fil, s'ajoute à l'effet obtenu, et que dans l’autre au contraire, elle le diminue et doit en être retranchée: Examinons maintenant l'action qu'exerce un courant élec- trique formant un circuit formé, ou un système de courants formant aussi des circuits fermés, sur un élément de courant électrique. : Prenons l’origine des coordonnées au milieu A (fig. 9) de l'élément proposé M'N’, et nommons à,4,v, les angles qu'il fait avec les trois axes. Soit MN un élément quelconque du courant formant un circuit fermé, ou d’un des courants for- mant également des circuits fermés dont se compose le sys- tème de courants que l’on considere,en nommant ds et ds les éléments M'N',MN , 7 la distance A A’ de leurs milieux et 6” l'angle du courant M'N' avec A A", la formule que nous avons “trouvée précédemment pour exprimer l’action mutuelle des "1 . dr / deux éléments deviendra, en y remplaçant + par — cos.f', A d(r" cos.#’)ds LS ds Les angles que A À’ fait avec les trois axes ayant pour cosinus LOVANE FAO AEY on a LA 4 cos.d— © cos.} + 2 cos. y. + * COS.v; 'E ‘A 1 È £ Re æ en substituant cette valeur à cos.6, et en maltipliant par -, nous trouverons pour l'expression de la composante suivant l'axe des x, ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 213 PTS k— A QE LE ads’ r Led(r æcos.\+r E yCos. u + 7” cosy), le signe d se rapportant seulement, excepté dans le facteur : ds”, aux différentielles prises en ne faisant varier que s, cette expression peut s’écrire ainsi Led [cos.ar ad (rt ; x) Ne "yd (y) F 5 JL Zcos.y Cr à Ci z)| Zz —? j' ds [ cos 1d tr) + * cos ER à 2 A 54 Ce VA / x 24—2 ; + £cos.vd (7 #)] LAURE (d æ? COS, À + Æy COS. + x Z COS. Y __Jcos. “Hd? rit rr+i ( ACTE cos. y d RTS Ty sf yæcos.d xdy—ydx zdæ—xdz au ds a , en remplaçant 2 k—2 par sa valeur —7— 1. Si l'on représente par r,,x,,0, et r,,æ,,4',, les lents de r,æ,0',aux deux extrémités de l’arcs, et par X la résultante suivant l’axé des x de toutes les forces exercées par les élé- ments de cet arc sur ds’, on aura É AE dy—7yd X= hi ds (# cos. 6 005.0" 6’, PAR ef” yÿ—ydzx 2 ne 7” à ri zdx— zxd2 —— COS. y nn LE 5 Si cet arc forme un circuit fermé r.,,x,,0, seront égaux à 214 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES r,2,,0,, et la valeur de X se réduira à FA ædy—ydx zdæx—xdz PC Zi ‘ds’ (cos. ef nee —cos.v TEE). En désignant par Y et Z les forces suivant les axes des y et des z résultant de l’action des mêmes éléments sur ds’, on trouvera par un calcul semblable fur) TRE paie? ARR (cos.» [7 VA tie À —cos.1/ IE #), 2 T r'+i ù. z2dx— dz— = ù ds (cos. ES Arede —Cos:y 2 —— ) rai et en faisant f° ydz—zdy 1 ES as ET TATIE EE RS: =— RE PC — e pts ms mt: il viendra LA, X=—; 11 ds" (Gcos.yu—Bcos.v), Y—° ii’ ds’ (A cos.y— Ccos.2), Z=: it’ ds'(Bcos.1-—Acosiy). En multipliant la premiere de ces équations par A , la se- conde par B et la troisieme par C, on trouve AX +BY + CZ—o;et si l’on conçoit par l’origine une droite A’E qui fasse avec les axes des angles dont les cosinus soient respectivement a B C COS. 1, p —CO8.Ë,, A ——COSs.Ë,, — D B en supposant, pour abréger, ÉLECTRO “D YN A MIQUES. 21b VA: + B: EC =D = elle sera perpendiculaire sur la résultante R des trois forces X,Y,Z, qui faitavecles axes des angles dont les cosinus sont LL : X: Y pr | R’R°R? puisqu'on a, en vertu de l'équation précédente, AIX BEN CZ l'A DRE DA RIDER e. ES ILest, à remarquer que la droite:que nous venons de déter: miner. est tout-à-fait indépendante de la direction de l’élé- FA = ment M'N’; car elle se déduit immédiatement des intégrales | "14 A, B, C qui ne dépendent que du circuit fermé et de la posi- ‘4 tion des plans coordonnés, et qui sont les sommes des pro- . Jections sur les plans coordonnés des aires des triangles qui ont leur sommet au milieu de l'élément ds’, et pour bases | les différents éléments des circuits fermés s, toutes ces aires étant divisées par la puissance 7 ‘+ 1 du rayon vecteur r. La LE résultante étant perpendiculaire sur cette droite A’E que je | nommerai directrice, elle se trouve, quelle que soit la direc- [4 tion de l'élément, dans le plan élevé au point A’ perpendi- | culairement à A°E; je donnerai à ce plan le nom de plan di- recteur. Si l’on fait la somme des carrés de X, Y,Z, on trou- vera pour valeur de la résultante de l’action du circuit unique ou de J’ensemble de, circuits que l’on considère, R=—-D ii d S'V/(cos. C, cos. — cos.n, cos. v)°+ (cos. EË, cos. v— cos.{cos.})+ (cos. n,cos.À— cos.Ë, cos.p), L ‘ 1} 522 ou, en appelant « l'angle de l'élément ds’ avec la directrice, I . . ‘ R=-Dids'sin.e. 216 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES Il est facile de déterminer la composante de cette action dans un plan donné passant par l'élément ds’ et faisant un angle 4 avec le plan mené pas df et la directrice. En effet , la résul- tante R étant perpendiculaire à ce dernier plan, sa compo- sante sur le plan donné sera . Bee . : Rsin.+, ou -Dzr'ds'sin.esin.e. Or, sin. sin. & est égal au sinus de l’angle 4 que la directrice fait avec le plan donné. C’est ce que l’on déduit immédiate- ment de l'angle trièdre formé par ds’, par la directrice et par sa projection sur le plan donné. La composante dans ce plan aura donc pour expression x .. . =Dzz'ds'sin.. 2 Cette expression peut se mettre sous une autre forme en observant que y est le complément de l'angle que fait la di- rectrice avec la normale au plan dans lequel on considere l'action. On a donc, en nommant £, », € les angles que cette dernière droite forme avec les trois axes, og ras C SIN.Ÿ— 7; COS. + L COS. n + jp Cos.i, et l'expression de l’action devient siids’ (A cos. ë + Bcos.n + Ccos.t), ou "Uci'ds’, 2 en faisant ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 217 U— A cos. + B cos. n + Ccos.t. On voit que cette action est indépendante de la direction de l’élément dans le plan que l’on considère, nous la dé- signerons sous le nom d'action exercée dans ce plan, et nous conclurons de ce qu'elle reste la même lorsqu'on donne successivement à l'élément différentes directions dans un même plan, que si celle que la terre exerce sur un conducteur mobile dans un plan fixe est produite par des courants élec- triques formant des circuits fermés, et dont les distances au conducteur sont assez grandes pour être considérées comme constantes pendant qu'il se meut dans ce plan, elle aura toujours la même valeur dans les différentes posi- tions que prendra successivement je conducteur, parce que les actions exercées sur chacun des éléments dont il est composé restant toujours les mêmes et toujours perpendiculaires à ces éléments, leur résultante ne pourra varier ni dans sa gran- deur ni dans sa direction relativement au conducteur. Cette direction changera d'ailleurs dans le plan fixe en y suivant le mouvementde ce conducteur: c'esten effet ce qu'on observe à l'égard d'un conducteur qui est mobile dans un plan hori- zontal, et qu'on dirige successivement dans divers azimuths. On peut. vérifier ce résultat par l'expérience suivante : dans un disque de bois ABCD (fig. 10), on creuse une rigole circulaire K LM N dans laquelle on place deux vases en cuivreKL, MN de même forme, et qui occupent chacun presque la demi-circonférence de la rigole de manière cepen- dant qu'il reste entre eux deux intervalles KN, L M, qu'on remplit d'un mastic isolant ; à chacun de ces vases scnt sou- dées les deux lames de cuivre PQ;RS, incrustées dans le 1823. 28 218 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES disque et qui portent les coupes X, Y, destinées à mettre, au moyen du mercure qu'elles contiennent, les vases K L,MN, en communication avec les rhéophores d’une très-forte pile ; dans le disque est incrustée une autre lame TO portant la coupe Z , où l'on met aussi un peu de mercure; cette lame TO est soudée au centre O du disque à une tige verticale sur la- quelle est soudée une quatrième coupe U, dont le fond est garni d'un morceau de verre ou d’agate pour rendre plus mobile le sautoir dont nous allons parler, mais dont les bords sont assez élevés pour être en communication avec le mer- cure qu'on met dans cette coupe; elle reçoit la pointe V (fig. 11) qui sert de pivot au sautoir FGHT, dont les bran- ches EG, ET sont égales entre elles et soudées en G et I aux lames gx h, iy fqui plongent dans l’eau aciduléedes vases K L, MN, lorsque la pointe V repose sur le fond de la coupe U, et qui sont attachées par leurs autres extrémités k, f aux branches EH,EF, sans communiquer avec elles. Ces deux lames sont égales et semblables et pliées en arcs de cercle d'environ 90°. Lorsqu'on plonge les rhéophores, l'un dans la coupe Z, l’autre dans l’une des deux coupes X ou Y, le courant ne passe que par une des branches du sautoir, et l’on voit celui-ci tourner sur la pointe V par l’action de la terre, de l’est à l’ouest par le midi quand le courant va de la cir- conférence au centre, et dans le sens contraire quand il va du centre à la circonférence, conformément à l'explication que j'ai donnée de ce phénomène, et qu'on peut voir dans mon Recueil d'Observations électro-dynamiques, page 284. Mais lorsqu'on les plonge dans les coupes X et Y, le courant parcourant en sens contraires les deux branches E G, ET, le sautoir reste immobile dans quelque situation qu’on l'ait. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 219 placé, quand, par exemple, une des branches est parallele et l’autre perpendiculaire au méridien magnétique, et cela lors même qu’en frappant légèrement sur le disque ABCD, on augmente, par les petites secousses qui en résultent, la mobilité de l'instrument. En pliant un peu les branches du sautoir autour du point E, on peut leur faire faire différents angles , et le résultat de l’expérience-est toujours le même. Il s'ensuit évidemment que la force avec laquelle la terre agit surune portion de conducteur, perpendiculairementäsa direc- tion, pour la mouvoir dans un plan horizontal , et, par consé- quent, dans un plan donné de position à l'égard du système des courants terrestres , est la même, quelle que soit la direc- tion, dans ce plan, de la portion de conducteur, ce qui est précisément le résultat de calcul qu'il s'agissait de vérifier. Il est bon de remarquer que l’action des courants de l’eau acidulée sur leurs prolongements dans les lames g,if ne trouble en aucune manière l'équilibre de l'appareil ; car il est aisé de voir que l’action dont il est ici question tend à faire tourner la lame g' autour de la pointe V dans le sens kxg, et la lame :f dans le sens fyi, d'où résulte, à cause de l’éga- lité de ces lames, deux moments de rotations égaux et de signes contraires qui se détruisent. On sait que c'est à M. Savary qu'est due l'expérience par laquelle on constate cette action; cette expérience peut se faire plus commodément en remplaçant la spirale en fil de cuivre de l'appareil dont il s’est d’abord servi, par une lame circulaire du même métal. Cette lame ABC (fig. 12) forme un arc de cercle presque égal à une circonférence entière ; mais ses extrémités A et C sont séparées l’une de l’autre par un morceau D d’une substance isolante. On met une de 28. 320 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES ses extrémités À, par exemple, en communication avec un des rhéophores par la pointe O qu’on place dans la coupe S (fig. 13) pleine de mercure; celle-ci est jointe par le fil métallique STR à la coupe R dans laquelle plonge un des rhéophores. Cette pointe O (fig. 12) communique avec l’ex- trémité A par le fil de cuivre AEQ dont le prolongement QF soutient en F la lame ABC par un anneau de substance isolante, qui entoure en ce point le fil de cuivre. Lorsque la pointe O repose sur le fond de la coupe S (fig. 13), la lame ABC (fig. 12) plonge dans l’eau acidulée contenue dans le vase de cuivre MN (fig. 13) qui communique avec la coupe P où se rend l’autre rhéophore; on voit alors tourner cette lame dans le sens CBA, et pourvu que la pile soit assez forte, le mouvement reste toujours dans ce sens lorsqu'on renverse les communications avec la pile , en changeant réciproquement les deux rhéophores de la coupe P à la coupeR, ce qui prouve que ce mouvement m'est point dù à l’action de la terre et ne peut venir que de celle que les courants de l’eau acidulée exer- cent sur le courant de la lame circulaire ABC (fig. 12), ac- tion qui est toujours répulsive , parce que si GH représente un des courants de l’eau acidulée qui se prolonge en HK dans la lame ABC, quel que soit le sens de ce courant, il parcourra évidemment l’un des côtés de l'angle GHK en s’approchant, et l’autre en s’éloignant du sommet H. Mais il faut, pour que le mouvement qu’on observe dans ce cas ait lieu , que la répulsion entre deux éléments, l'un en I et l'autre en L, ait lieu suivant la droite IL, oblique à l'arc ABC, et non suivant la perpendiculaire LT à l'élément situé en L,, car la direction de cette perpendiculaire rencontrant la verticale menée par le point O autour de laquelle la partie mobile de l'appareil est assujettie à tourner , une force di- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 221 rigée suivant cette perpendiculaire ne pourrait lui imprimer aucun mouvement de rotation. | Je viens de dire que, quand on veut s’assurer que le mou- vement de cet appareil n’est pas produit par l’action de la terre , en constatant qu'il continue d’avoir lieu dans le même sens quand ;on renverse les communications avec la pile en changeant les rhéophores de coupes, il fallait employer une pile qui füt assez forte ; il est impossible en effet, dans cette disposition de conducteur mobile, d’empècher la terre d'agir sur le fil vertical A E pour le porter à l’ouest, quand le cou- rant y est ascendant, à l’est quand le courant y est descen- dant , et sur le fil horizontal EQ, pour le faire tourner autour de la verticale passant par le point O, dans le sens direct est, sud , ouest, quand le courant va de E en Q, en s’approchant du centre de rotation , et dans le sens rétrograde ouest, sud, est, quand il va de Q en E , en s’éloignant du mème centre(1). La première de ces actions est peu sensible, lors du moins qu’on ne donne au fil vertical AE que la longueur nécessaire pour la stabilité du conducteur mobile sur sa pointe O; mais la seconde est déterminée par les dimensions de l'appareil ; et comme elle change de sens lorsqu'on renverse les com- munications avec la pile, elle s'ajoute dans un ordre de com- munication avec l’action exercée par les courants de l’eau acidulée, et s’en retranche dans l’autre; c’est pourquoi le mouvement observé est toujours plus rapide dans un cas que dans l’autre ; cette différence est d’autant plus marquée, (x) Voyez sur ces deux sortes d’actions exercées par le globe terrestre, ce qui est dit dans mon recueil d'Observations électro - dynamiques, pages 280, 284. 2922 THÉORIE DES PHÉNOMEÈNES que le courant produit par la pile est plus faible, parce qu'à mesure que son intensité diminue, l’action électro-dynamique étant, toutes choses égales d’ailleurs, comme le produit des intensités des deux portions de courants qui agissent l'une sur l’autre, cette action entre les courants de l’eau acidulée et ceux de la lame ABC, diminue comme le carré de leur intensité, tandis que l'intensité des courants terrestres res- tant la même, leur action, sur ceux de la lame, ne devient moindre que proportionnellement à la même intensité : à mesure que l'énergie de la pile diminue, l’action du globe devient de plus en plus pres de détruire celle des courants de l’eau acidulée dans la disposition des communications avec la pile où ces actions sont opposées, et l'on voit, lorsque cette énergie est devenue tres-faible , l'appareil s'arrêter dans ce cas, et le mouvement se produire ensuite en sens con- traire ; alors l'expérience conduirait à une conséquence op- posée à celle qu'il s'agissait d'établir, puisque l’action de la terre devenant prépondérante, on pourrait méconnaître l'existence de celle des courants de l’eau acidulée. Au reste, la premiere de ces deux actions est toujours nulle sur la lame circulaire ABC, parce que la terre agissant comme un système de courants fermés, la force qu’elle exerce sur chaque élément étant perpendiculaire à la direction de cet élément, passe par la verticale menée par le point O, et ne peut, par conséquent, tendre à faire tourner autour d'elle le conduc- teur mobile. Nous allons, pour servir d'exemple, appliquer les for- mules précédentes au cas où le systeme se réduit à un seul courant circulaire ferme. Lorsque le systeme n’est composé que d’un seul courant, ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 223 parcourant une circonférence de cercle d'un rayon quel- conque "#7, on simplifie le calcul, en prenant, pour le plan des xy, le plan mené par l’origine des coordonnées, c'est- à-dire par le milieu À de l'élément &b (fig. 14), parallèle- ment à celui du cercle; et pour le plan des xz, celui qui est mené perpendiculairement au plan du cercle par la même origine et par le centre O. Soient p et g les coordonnées de ce centre O; supposons que le point C soit la projection de O sur le plan de x y, N celle d’un point quelconque M du cercle, et nommons v l'angle À CN ; si l’on abaisse N P perpendiculairement sur AX, les trois coordonnées x, y, z du point Mseront MN ,NP,AP, et l’on trouvera facilement pour leurs valeurs : 2=Q ,Y —=MSIN. 0, L—=p—mMCOS. 0. Les quantités que nous avons désignées par A,B,C, étant respectivement égales à EEE Tps rr+: 2 Hs se zdx—xdz JS es nous aurons cos. wdw Am EE sin. do B—m pnæ+i » C— Cos.wdy “ do ra rr+i Om FLE: Si l'on intègre par partie ceux de ces termes qui contiennent sin. w et COos.w, en faisant attention que 224 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES —=q+p" +m'—2mp COS.v donne 2 dre ue qu’on supprime les termes qui sont nuls parce que ces inté- grales doivent être prises depuis w— 0 jusqu'àw—2r,etqu'on mette les valeurs de A,B, C ainsi trouvées dans celle de U, U—A cos. ë + Bcos.n + Ccos.t, on obtiendra U=m Less, 1) (p°cos.{— pacos. e) [ASS cos. fo]: Or, l'angle £ peut être exprimé au moyen de t; car, en dé- signant par L la perpendiculaire OK abaissée du centre O sur le plan à A G pour lequel on calcule la valeur de U, on aura }—g cos.t + pcos.Ë, et cette valeur deviendra USE | Cr + 1)[(p° + g') cos. t— Ag) fs — cos. |: L'évaluation en est bien simple dans le cas où le rayon m est très-petit par rapport à la distance / de l'origine A au centre O; car, si on la développe en série suivant les puissances de », on verra que quand on néglige les puis- sances de » supérieures à 3, les termes en 77° s'évanouissent entre les limites 0,2r, et que ceux en n° s’obtiennent en remplaçant r par /=V/p° +3"; ilne reste alors qu’à calculer les valeurs de fsinede et de fd depuis w— 0 jusqu'à w—27; ps ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 225 ce qui donne + pour la première, et 2x pour la seconde; la valeur de U se réduit donc à ln +i lr+3 U— 77° pres. er Dao]. Pour plus de généralité, nous allons supposer maintenant que le courant fermé, au lieu d’être circulaire , ait une forme quelconque, mais sans cesser d’être plan et tres-petit. Soit MNL (fig. 15) un très-petit circuit fermé et plan dont l'aire soit à et qui agisse sur un élément placé à l’origine A. Partageons sa surface en éléments infiniment petits , par des plans passant par l'axe des z, et soit APQ la trace d'un de ces plans, et M, N ses points de rencontre avec le circuit }, projetés sur le plan des xy en P et Q. Prolongeons la corde MN jusqu’à l'axe des zen G; abaissons de À une perpendi- culaire AE—9 sur le plan du circuit, et joignons EG. Soit AP la trace d’un plan infiniment voisin du premier, faisant avec celui-ci un angle do: faisons AP et PQ—Sz. L'ac- üon du circuit sur l'élément en À dépend, comme nous l’a- vons vu, de trois intégrales désignées par À, B,C, que nous allons calculer. Considérons d’abord C, dont la valeur est C= fre = pri re + Cette intégrale est relative à tous les points du circuit, et si l’on considère simultanément les deux éléments compris entre les deux plans voisins AGNQetAGng, et qui se rap- portent à des valeurs égales et des signes contraires de de, on verra que les actions de ces deux éléments doivent être ôtées l’une de l’autre, e que celle de l’élément qui est le plus 1823. 29 + 2920 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES près de À produit l’action la plus forte. Observant que pour avoir l’action du plus éloigné, il faut remplacer w et r par u + Ju etr+0r, on trouve és u deg f{u+du) de rer (r+0r) +1? ces deux intégrales étant prises entre les deux valeurs de 9 relatives aux points extrèmes L,, L' entre lesquels est com- pris le circuit. La différence de ces deux intégrales pouvant ètre considé- rée comme la variation de la premiere prise en signe con- traire , lorsqu'on néglige toutes les puissances des dimen- sions du circuit dont les exposants surpassent l'unité, il vient c——sféie flex ner aude) a, r d'où d’ailleurs l'angle ZAE étant égal à €, on a ë ZT AG= É,,GH=z—-{., et, à cause des np semblables MHG,MSN, MH:MS::GH:NS, c’est-à-dire U:0U::z— PAU 127) cos. L° en tirant de cette proportion la valeur de ÿz.et la reportant dans celle de ÿr, on obtient pare nee su, FO Le mn AE VE ao LV ur cos. C ur cos, + l'ONRR ‘ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 297 et en substituant cette valeur dans celle de C, il vient c =f[" (+ 1)(r'cos.E—gz) = juiude pics C = ï (a+ 1) 2] = ff Test ududo. Le circuit étant très-petit, on peut regarder les valeurs de r et de z comme constantes et égales par exemple à celles qui se rapportent.au centre de gravité de l'aire du circuit, afin que les termes du troisième ordre s’évanouissent , en re- présentant ces valeurs par / et z,, l'intégrale précédente pren- dra cette -forme __ [ra Mes 1)9%x = ny] Judpou. Mais dest l'arc PK décrit de À comme centre avec le rayon u et PQ—Sw; donc wudoÿu est l'aire infiniment petite PQgp,et l'intégrale fu do d w exprime l’aire totale de la pro- jection du circuit, c’est-à-dire cos. {, puisque £ est l'angle du plan du circuit avec le plan des xy; on aura donc enfin Un tr +3 ait FERETARE Des. On obtiendra des valeurs analogues pour B et A , savoir: pee [es ñ eh As mi: /n +3 quon = 1) cosE (r+ ne v TER Jn+3 On connaîtra ainsi les angles que la directrice fait avec les A axes , puisqu’ on a pour leurs cosinus — B C a D’ D'p°°n faisant 29. À 228 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES DE VPAMEREERCE Quant à la force produite par l’action du circuit sur l'élé- ment situé à l’origine, elle aura, comme on l'a vu plus haut, pour expression : # ds’ Dsin.e, « étant l'angle que fait cet élé- ment avec la directrice, à laquelle cette force est perpen- diculaire ainsi qu'a la direction de l'élément. Dans le cas où le petit circuit que l’on considère est dans le même plan que l'élément ds’ sur lequel il agit, on a, en prenant ce plan pour celui des xy, q—0,C0S.(— I, COS.n —0,C0S.£—0), et par suite À; ft A—o,B—0,C—°— D se réduit alors à C; « est égal à - , et l’action du circuit > 2 sur l'élément ds devient 2 CRE Je vais maintenant exposer une nouvelle manière de con- sidérer l’action des circuits plans d’une forme et d’une gran- deur quelconque. Soit un circuit plan quelconque M Nr» (fig. 16); partageons sa surface en éléments infiniment petits par des droites pa- rallèles coupées par un second système de parallèles faisant des angles droits avecles premieres, et imaginons autour de chacune de ces aires infiniment petites des courants dirigés dans le même sens que le courant MN». Toutesles parties de ces courants qui se trouveront suivant ces lignes droites, seront détruites, parce qu'il y en aura deux de signes contraires culaires, représentera la valeur de ff. 7 ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 229 qui parcourront la même droite; et il ne restera que les parties curvilignes de ces courants, telles que MM',ym7', qui formeront le circuit total MN. Il suit delà que les trois intégrales A,B,C s’obtiendront pour le circuit plan d’une grandeur finie, en substituant dans les valeurs que nous venons d'obtenir pour ces trois quan- tités, à la place de x un élément quelconque de l'aire du cir- cuit que nous pouvons représenter par d’1 et intégrant dans toute l'étendue de cette aire. Lorsque, par exemple, l'élément est situé dans le même plan que le circuit, et qu'on prend ce plan pour celui des xÿ, On a A—0,B—0, C2 (n— ff et la valeur de la force devient d'où il suit que, si à chacun des points de l'aire du cir- . AE ! . . , 4 I, cuit on élève une perpendiculaire égale à7, le volume du prisme qui aura pour base le circuit et qui sera terminé à la surface formée par les extrémités de ces perpendi- d’À == 3. et ce volume Je T— 1] multiplié par 5 ii ds" exprimera l'action cherchée. Il est bon d’observer que la question étant ramenée à la cubature d’un solide, on pourra adopter le système de coordonnées, et la division de l'aire du circuit en éléments qui conduiront aux calculs les plus simples. Passons à l’action mutuelle de deux circuits très-petits 230 THÉORIE DES PHÉNOMENES O et O’{fig. 18} situés dans un même plan. Soit MN un élément ds’ quelconque du second. L'action du circuit O sur ds’ est, d’après ce qui-précède, n—1 ii/ds\d@ Fos ME L Nommant de l'angle MNO, et décrivant l'arc MP entre les côtés de cet angle, on pourra remplacer le petit courant MN par les deux courants MP, NP dont les longueurs sont res- pectivement d, et dr; l'action du cireuit O sur l'élément MP, qui est normale à sa direction, s’obtiendra en rempla- cant dans l'expression précédente ds' par MP, et sera n—x kdo. ra 4 ip 7 l'action sur NP , perpendiculaire à sa direction, sera de même n' 1.4 X\dr Gi > ‘pn+i Cette derniere intégrée dans toute l'étendue du circuit ferme O' est nulle, il suffit de considérer la première qui est di- rigée vers le point O, d'où il résulte déja que l’action des deux petits circuits-est dirigée suivant la droite qui les joint. Prolongeons les rayons OM,ON jusqu'à ce qu'ils rencon- trent la courbe en M’ et N'; l’action de M’N' devra être re- tranchée de celle de MN, et l’action résultante s’obtiendra en prenant comme précédemment la variation de celle de MN en signe contraire, ce qui donne n(n—1). ii’ Adqùr ch n(n—i) ikrdedr 2 T'AS 2 ri+2 Or, rdoÿrest la mesure du segment infiniment petit MNN'M°. é- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 291 Faisant la somme de toutes les expressions analogues rela- tives aux différents. éléments du circuit O’, et considérant r comme constant-et-égal à la distance des centres de gravité des aires à et x des deux circuits, on aura pour l’action qu'ils exercent l’un sur l’autre nm(n—1) 11/1 ER NAE Cm et cette action sera dirigée suivant la droite OO” Il résulte de là que l’on obtiendra l’action. mutuelle de deux circuits finis situés dans un même plan, en considérant leurs aires comme partagées en éléments infiniment petits dans tous les sens, et supposant que ces éléments agissent l’un sur l’autre suivant la droite qui les joint, en raison directe de leurs surfaces et en raison inverse de la puissance »7 + 2 de leur distance. L'action mutuelle des courants fermés n'étant plus alors fonction que de la distance, on en tire cette conséquence im- portante, qu'il ne peut jamais résulter de cette action un mouvement de rotation continue. La formule que nous venons de trouver pour ramener lac: tion mutuelle de deux circuits fermés et plans à à celles des éléments des aires de ces circuits, conduit à la détermina- tion de la valeur de ». En effet, si l'on considere deux syste- mes semblables composés de dé circuits fermés et plans, les éléments semblables de leurs aires seront proportion- nels aux carrés des lignes homologues , et les distances de ces éléments seront proportionnelles aux premières puissances de ces mêmes lignes. Appelant "» le rapport des lignes homo- logues des deux systèmes, les actions de deux éléments du premier systeme et de: leurs correspondants du second se- 232 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES ront respectivement n(n—1) 22'1N n(n—1) c/)dm Gi 2 5 rr+2 2 TENTE TS leur rapport, et par suite celui des actions totales, sera donc m°". Or, nous avons décrit précédemment une expérience par laquelle on peut prouver directement que ces deux ac- tions sont égales; il faut donc que #—2, et, en vertu de l'équation 1—7—2k—0, que k——7. Ces valeurs de » et de # réduisent à une forme très-simple l'expression = 3 /n1i+# — CRE Pen À (r° ) ti! ds ds" de l'action mutuelle de ds et de ds'; cette expression devient 2 ii! d° Cr qsds mardi Il suit aussi de ce que #— 2, que dans le cas où les directions des deux éléments restent les mêmes, cette action est en rai- son inverse du carré de leur distance, On sait que M. de La Place a établi la même loi, d’après une expérience de M. Biot, lorsqu'il s’agit de l'action mutuelle d'un élément de conduc- teur voltaïque et d’une molécule magnétique: mais ce résultat ne pouvait être étendu à l’action de deux éléments de conduc- teurs, qu'en admettant que l’action des aimants est due à des courants électriques; tandis que la démonstration expérimen- tale que je viens d’en donner est indépendante de toutes les hypothèses que l'on pourrait faire sur la constitution des aimants. Soit MON (fig. 17) un circuit formant un secteur dont les côtés comprennent un.angle infiniment petit, et cherchons l’action qu'ilexerce sur un conducteur rectiligne OS” passant ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 233 par le centre O du secteur, et calculons d’abord celle d’un élément MNQP de l'aire de ce secteur sur un élément M'N' du conducteur OS’. Faisons OM—w, MP—du,OM—, MM'=7r, SON—:,NOM—d:. Lemoment deMNQP pour faire tourner M’ autour de O sera, en observant que l'aire MNQP à pour expression udude, ner ira dizzidie uw s'ds CERN | ( et le moment du secteur sur le conducteur s’ s’obtiendra en intégrant cette expression par rapport à w et s’. On a r'—=5°+uw—ous Cos.e, , x d'où FAR , dr M7 TT US COS.e,r 7 —=S"—HCOS.e, et, en différenciant une seconde fois, dr Fe dr dr ue dads “ds du _ :° ; dr dr ou, en substituant à ay €t a, leurs valeurs, dr (u—s cos. :) (s —z cos. e) T —— ia unes nee mo COS:E', duds à ce qui devient, en effectuant les calculs et réduisant, d°r us’sin.”e duds’ r°? O0; d’où l’on tire us 1 dr. sin.” duds’ ? substituant cette valeur dans le moment élémentaire, on a 18923. 30 234 THÉORIE DES PHÉNOMENES pour l'expression du moment total Li 4e us!'duds’ Loteqs Aa And. tire ne _ En dan la portion LL" du courant s’, et la portion Ï, L, du secteur, et en faisant L’L—7,,L'L.=r,",L'L=—7,, L'L,=—r,", la valeur de cette intégrale est évidemment 1 7 LA ee 2 Er TS) —7,). Lorsque c'est à partir du centre O que commencent le sec- teur et le conducteur s’, la distance 7',—0; et si l’on fait OL,=a,;,OL'—6,L"L,—r, on trouve que leur action mutuelle est exprimée par de (a+b-r). 2 sin.?€ Quand le conducteur L'L" (fig. 19) a pour milieu le centre L, du secteur, et que sa longueur est double du rayon a de ce secteur, on a a—b,et en faisant L'L,L,—924—7r—:, ! PERNER = EM ie 2 a cos.6, de— 2 dé, en sorte que la valeur du moment de rotation devient aii LUCE 0—sin.6) sin.” { cos.” 0 air = (sin.6— cos.6)—; - , On peut déduire de ce résultat une maniére de vérifier ma formule au moyen d’un instrument dont je vais donner la description. Aux deux points a,a'( fig. 20 ) de la table mn s'élèvent deux supports a b, a’ b' dont les parties supérieures c b, c’b' sont isolantes; ils soutiennent unelamede cuivre HdeH'd'e’ FE. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 235 pliée en deux suivant la droite HH, et qui est terminée par deux coupes H et H' où l’on met du mercure. Aux points A,C, AC", de la table sont quatre cavités rempliesde même de mer- cure. De À part un conducteur en cuivre AEFGSRQ, sou- tenu par HH' et terminé par une coupe Q; de A'il en part un second A'E'F"G'S'R'Q"symétrique au premier; ils sont tous les deux entourés de soie, pour être isolés l'un de l’autre et du conducteur HH”. Dans la coupe Q plonge la pointe d’un conducteur mobile QPONMLKTIH revenant sur lui-même de K en I, et ayant dans cette partie ses deux branches PO, K I entourées de soie; il est terminé par une seconde pointe plongée dans la coupe H;N ML forme une demi-circonfé- rence dont LN est le diamètre, et K le centre; la tige PKp est verticale, et terminée en p par une pointe retenue par trois cercles horizontaux B, D, T qui peuvent tourner autour de leurs centres et sont destinés à diminuer le frottement. XY est une tablette fixe qui reçoit dans une rainure un conducteur V Uz:fkhg 0 Z.C revenant sur lui-même de g en o et doublé de soie dans cette partie; 4fkhg est un secteur de cercle qui a pour centre le point #; les parties Uz et go sont rectilignes ; elles traversent en x le support ab, dans lequel on a pratiqué une ouverture à cet effet, et se sépa- rent en o pour aller se plonger respectivement dans les ca- vités À et C. À droite de F G setrouve un assemblage de con- ducteurs fixes et mobile parfaitement semblable à celui que nous venons de décrire, et lorsqu'on plonge le rhéophore po- sitif de la pile en C, et le négatif en C”, le courant électrique parcourt les conducteurs CZ og hkfiUV,AEFGSRQ;de là il passe dans le conducteur mobile QPONMLKIH, etse rend en H” par HH'; il parcourt ensuite le conducteur mobile sy- 30. ’ 236 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES métrique H'I'K’L'M'N'O'P'Q', arrive en Q, suit le con- ducteur Q'R’S’G'F'E'A' qui le conduit dans la cavité A’, d'où ilse renden C' par le conducteur V' UEFA Re" 0 "LG, et de là dans le rhéophore négatif. Le courant allant dans la direction LN dans le diamètre LN,et de enk, puis de en /, dans les rayons 24,kf, il y a répulsion entre ces rayons et le diamètre; de plus, le circuit fermé ghkfi ne produisant aucune action sur le demi-cerele LM N dont le centre se trouve dans l'axe fixe pH, le conducteur mobile ne peut être mis en mouvement que par l’action du secteur g L k fi sur le diamètre LN, vu que dans toutes les autres parties de l'appareil passent deux cou- rants opposés dont les actions se détruisent. L'équilibre aura lieu quand le diamètre LAN fera des angles égaux avec les rayons À/, k k; et si on l’'écarte de cette position, il oscillera par l’action seule du seteur ghk fi sur ce diametre. Soit 21 l'angle au centre du secteur, on aura dans la posi- tion d'équilibre LA ST +1 ou 0— 2 4 +; d'où l’on conclut . T . TT : T cos. 0— sin.6— cos. — cos. (E— o)—=2 TRE (0) = I —=—|/ SID. -", 2 et » La I sin.0 cos.0— = SIN. 20 — = COS. n s Mais il est aisé de voir que quand on déplace, de sa position d'équilibre, le conducteur LL” d’une quantité égale à 246 , le moment des forces qui tendent à l'y ramener se compose de ÉfECTRO-DYNAMIQUES. 237 ceux que produisent deux petits secteurs dont l'angle est égal à ce déplacement, et dont les actions sont égales, mo- ment dont la valeur, d’après ce que nous avons vu tout à l'heure, est ji! (cos.0—sin.6 2aii/V/2sin.2 1'aii (cos in ane ET 2 sin." Bcos.?0 cos.” » D'où il suit que les durées des oscillations seront, pour le même diamètre , proportionnelles à cos." Faisant donc simultanément osciller les conducteurs mobiles dans les deux parties symétriques de l’appareil, en suppo- sant les angles des secteurs différents, on aura des courants de même intensité, et on observera si les nombres d’oscilla- tions faites dans un même temps, sont proportionnels aux deux expressions cos.n cos, 7” ? en appelant 2» et 2n’ les angles au centre des deux secteurs. Nous allons maintenant examiner l’action mutuelle de deux conducteurs rectilignes ; et rappelons-nous d’abord qu'en nommant 8 l'angle compris entre la direction de l'elément ds’ et celle de la droite r, la valeur de l’action que les deux éléments de courants électriques ds et ds’ exercent lun sur l'autre a déja été mise sous la forme ic ds’r'd(r“cos.f), en la multipliant et la divisant par cos. 6, et en faisant atten- Ë L 24 E 3 tion que k——- donne 7 —-, nous verrons qu'on peut 2 r 238 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES l'écrire ainsi : ic’ ds’ k k Dr ds cos.” ) ntm cos.fd (r'cos. B)=; PE 54 Eu d'où il nous sera facile de conclure que la composante de cette action suivant la tangente à l'élément ds', est égale à Liids'd (= =), 7 et que la composante normale au même élément, l’est à ‘ ri'ds'tang.pd (= :) à r expression qui peut se mettre sous la forme . rl ds’ [d = RGO F) 2 CF] } 2 r id Ces valeurs des deux composantes se trouvent à la page 331 de mon Recueil d'Observations électro-dynamiques, pu- blié en 1822. Appliquons la dernière au cas de deux courants rectilignes parallèles, situés à une distance a l’un de l’autre. On a alors «a sin. 8 ? 1 1 — et la composante normale devient a a : de [° (sin.? Bcos. Es sin. 8 | c Soit M'(fg. 21 ) un point quelconque du courant qui parcourt la droite L, L, ;et g’,g” les angles L'M'L,, L' M'L, formés avec ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 239 L,L, par les rayons vecteurs extrêmes M'I,, M'L'; on aura l'action de ds' sur L'L'en intégrant l'expression précédente entre les limites f’,£", ce qui donne _ 21’ dis” (sin. f” cos. 8"+ cos. g”/—sin.” B'cos.f—cos.f'); mais on a à chaque limite, en y représentant les valeurs de s par L'et b", ' se adg” . adg’ MU Cot. 8"—Db'— gcot. B',ds — AS EE sin.? sin? f en substituant ces valeurs et intégrant de nouveau entre les limites 6,',6,'et8,",p;", on a pour la valeur de la force cher- chée , = te. (sin. 8, —sin.8,"—sin. 6, + sin.p, I I I I —— a ———— —— —— see LT Cut Pa Sn: sin.$” sin.g/ sin.8,//? ou I ii ( a a a CN DT RER rer = Si les deux conducteurs sont de même longueur et perpendi- culaires aux droites qui en joignent les deux extrémités d’un même côté, on a - LA (2 TROT EC; ! [4 7, = — en nommant c la diagonale du rectangle formé par ces deux droites et les deux directions des courants , l'expression précédente devient alors k ne a LULE [AA — — — xx ; a € ac _—— 240 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES en nommant / la longueur des conducteurs, et quand ce a . à zt rectangle devient un carré, on a = pour la valeur de la 2 force; enfin, si l'on suppose l’un des conducteurs indéfini dans les deux sens, et que / soit la longue de l'autre, les termes où 7,',r, ,r,',r," se trouvent au dénominateur dispa- raîtront ; on aura r Sr Ti — r'—r, =9 d e et l'expression de la force deviendra ii’7 a ? qui se réduit à cz quand la longueur / est égale à la dis- tance a. Quant à l'action de deux courants parallèlement à la di- rection de s’, elle peut s’obtenir quelle que soit la forme du courant s. En effet la composante suivant à ds’ étant sit ds'd (= E), 2 | 14 l'action totale qu’exerce d s’ dans cette direction sur le cou- rant L'L" (fig. 21) a pour valeur Toto COS AB cos.* 8” Lodge (RE — 7): Le et il est remarquable qu’elle ne dépend que de la situation des extrémités L/,L” du conducteur s; elle est donc la même, quelle que soit la forme de ce conducteur, qui peut être plié suivant une ligne quelconque. Si l'on nomme a! et a" les perpendiculaires abaissées des ÉLECTRO-DYNAMIQUES. L 241 deux extrémités de la portion de conducteur L' L’que l’on considère comme mobile, sur le conducteur rectiligne dont il s’agit de calculer l’action parallèlement à sa direction, on aura ” ; 1! a a = ! ——— sin. 8” ? sin.p' ? ai dr’ radis dr’ ad’ me cos.’ sin.*$” cos.B’ sin.’ ? et par conséquent cs RE ES dE RATE r SET sin. B/? d'où il est aisé de conclure que l'intégrale cherchée est T La cos.? gd g'’ cos. ? g’ d g’ 2 sin, 6'/ "Wesin: 81 ñ ou tang.= 6" TE: tang.+f + cos. f”— cos. B'+- C). Il faudra prendre cette intégrale entre les limites détermi- nées par les deux extrémités du conducteur rectiligne ; en nommant £,,6, et £,”,6.," les valeurs de £' et de £” relatives à ces limites, on a sur-le-champ celle de la force exercée par le conducteur rectiligne , et cette dernière valeur ne dépend évidemment que des quatre angles p,6,”, 8,',8,". Lorsqu'on veut la valeur de cette force pour le cas où le conducteur rectilignes’étend indéfiniment dans les deux sens, il faut faire f/=—f"—=0, et f,/—$,"— 7: il semble, au pre- mier coup d'œil, qu'elle devient nulle, ce qui serait con- traire à l'expérience; mais on voit aisément que la partie de l'intégrale où entrent les cosinus de ces quatre angles est la 1823. 31 242 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES seule qui s'évanouisse dans ce cas, et que le reste de l'inté- grale LT (RER — IEEE) 2 tang. = 6,” tang. > 6,’ _ 1: tang.:f6//cot.:p," NF tang.+f,' cot.: 6," devient, à eause qu'on a f/—7r—6;" etf, —r—$;, rer rangs et ..,ytang.=f6,/” DONC til Rose GB; | —. 2 tang.” -f, tang.—f, a Cette valeur montre que la force cherchée ne dépend alors que du rapport des deux perpendiculaires a' et a', abaissées sur le conducteur rectiligne indéfini des deux. extrémités de la portion de conducteur sur lequel il agit; qu’elle est encore indépendante de la forme de cette portion, et ne devient nulle, comme cela doit être, que quand les deux perpendi- culaires sont égales entre elles. Pour avoir la distance de cette force au conducteur recti- ligne, dont la direction est parallèle à la sienne, il faut mul- tiplier chacune des forces élémentaires dont elle se compose par sa distance au conducteur, et intégrer le résultat par rap- port aux mêmes limites ; on aura ainsi le moment qu'il faudra diviser par la force pour avoir la distance cherchée. On trouve aisément, d'apres les valeurs ci-dessus , que le moment élémentaire a pour valeur Hi é cos.” Li ds'rsin. 8d =. Cette valeur ne peut s'intégrer que quand on y a substitué à lune des variables » ou 8 sa valeur en fonction de l’autre, tirée des équations qui déterminent la forme de la portion ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 243 mobile de conducteur; elle devient tres-simple quand cette portion se trouve sur une droite élevée par un point quel- conque du conducteur rectiligne que l’on considère comme fixe, perpendiculairement à sa direction parce qu en prenant ce point pour l’origine des s', on a T—= — cos. g ? et que s'estune constante relativement à la différentielle | k£ - HE B (à La valeur du moment élémentaire devient donc h: 3 : : = ii CO + d (cos.' B)=—< 1 ds'sin-pcos.6de, dont an entre les limites 8” et £’ est as = ci ds'(sin8"— sing). En remplaçant ds’ par les valeurs de cette différentielle trou- vées plus haut, et en intégrant de nouveau, on a, entre les limites déterminées du conducteur rectiligne, : iv [a”(cos.p,"— cos. p,")— a’(cos.B,/— cos. B,)]. Si l'on suppose que le conducteur s’étende indéfiniment dans les deux sens, il faudra donner à g,,8//,8/,8,", les valeurs que nous leur avons déja assignées dans ce cas, et on aura | —11'(a"— a") pour la valeur du moment cherché, qui sera, par consé- 3r. 244 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES quent, proportionnel à la longueur &”—« du conducteur mobile, et ne changera point tant que cette longueur res- tera la même, quelles que soient d’ailleurs les distances des extrémités de ce dernier conducteur à celui qui est consi- déré comme fixe. Calculons maintenant l’action exercée par un arc de courbe quelconque N M pour faire tourner un arc de cercle L.L, autour de son centre. Soit M' (fig. 23) le milieu d'un élément quelconque ds’ de l'arc L,L, ,et à le rayon du cercle. Le moment d’un élé- ment ds de NM pour faire tourner ds’ autour du centre O s'obtient en multipliant la composante tangente en M' par sa distance & au point fixe; ce qui donne I .. cos.* ariids de 67 2 r Nommant £',6" etr',r” les valeurs de £ et r relatives aux limites M et N, on a pour le moment de rotation de ds’ Lu cos.? 8" cos.” p’ sait ds'(E — =), 2 r 7 ! / Ve - résultat qui ne dépend que de la situation des extrémités M et N. Nous acheverons le calcul en supposant que la ligne MN soit un diamètre L'L” du même cercle. Nommons 26 l'angle M'OL';M'T" étant la tangente en M’, les angles L'M'T',L’'M'T' seront respectivement £ et g’,et l’on aura évidemment cos. B—-— cos.8,cos.fBl—sin.6,r —2asin.86,r"—2acos.6. L'action du diamètre LL” pour faire tourner l'élément situé ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 245 en M' sera donc siids ee Chstg” cos.? 0 cos.Ü = sin.0 Lorsqu'on prend un point quelconque A de la circonférence pour origine des arcs, et qu'on fait AL'—C, on a s'—=C+2a et ds'— 24ad8, ce qui change l'expression précédente en 1 ufsin/60d8 cos.0df Et ( cos.Ô sin.Ù 7 qu'il faut intégrer dans toute l'étendue de l'arc L,L, pour avoir le moment de rotation de cet arc autour de son centre. Or on a sin. dû T 1 À JR = 1tang. (5410) —sin.6 + C,, JE = 1tang. = 0 + cos.3 + C': Sin. 2 si donc on appelle 26, et 26, les angles L'OL, et L'OL, le moment total de l'arc L,L, sera : tang. (£ + 20, ) tang. 20, 4 — Lt M MEN ZONE UN = 2} ? lang , tang. (+: d — sin.0,— cos.b, + sin. 6, +Cos. 6, Cette expression, changée de signe, donne la valeur du mo- ment de rotation du diamètre L'L” dû à l'action de l'arc L,L.. Dans un appareil que j'ai décrit précédemment, un con- ducteur qui a la forme d’un secteur circulaire, agit sur un autre conducteur composé d’un diamètre et d’une demi-cir- conférence qui est mobile autour d’un axe passant par le 240 THÉORIE DES PHÉNOMENES centre de cette demi-circonférence et perpendiculaire à son plan. L'action qu’elle éprouve de la part du secteur est dé- truite par la résistance de l'axe, puisque le contour que forme le secteur est fermé; il ne reste donc que l'action sur le diamètre. Nous avons déja calculé celle de l'arc, il ne nous reste donc plus qu'a obtenir celles des rayons de ce secteur sur le même diamètre. Pour les déterminer, nous allons chercher le moment de rotation qui résulte de l’action mutuelle de deux courants rectilignes situés dans le même plan, et qui tend à les faire tourner en sens contraire autour du point de rencontre de leurs directions. La composante normale à l'élément ds’ situé en M (fig. 24), est, comme nous l'avons vu précédemment, : dm CEE | r Le moment de ds pour faire tourner ds’ autour de O, s'ob- tiendra en multipliant cette force par s’; on aura donc, en nommant M le moment total, dM . te : sin. & COS. d8 a AS AS VS Cr —") À dsds 2 r' r d'où, en intégrant par rapport à 5, cu ds'—;ii's ds (see is —f5). das ? VF Mais, d'après la manière dont les angles ont été pris dans le calcul de la formule qui représente l'action mutuelle de deux éléments de conducteurs voltaiques, l'angle MM'L;— £ est ex- térieur autriangle OMM'; et, en nommant e l'angle MOM' compris entre les directions des deux courants, on trouve <,ce qui donne que le troisième angle OMM' est égal à £ ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 247 __ s'sin.e 7 sin. (B—+) ? on a donc dM ! Tr ds : : Ty ds —; à a [ COS. Bsin. sin. (8—<)+cos.(8—e)+C]. En remplaçant dans cette valeur cos. (8—<) par cos.” Bcos.(B—e) + sin. Bcos.(B—e), on voit aisément qu'elle se réduit à daM dr ds => Ar [cos.e cos. 8 + sin.’ Bcos.(8 —e) + C] Sin. qu'il faut prendre entre les limites 8' et 8”; on a ainsi la dif- férence de deux fonctions de même forme, l’une de £”, l’autre de £', qu'il s'agit d'intégrer de nouveau pour avoir le moment de rotation cherché : il suffit de faire cette seconde intégra- tion sur une seule de ces deux quantités: soit donc a” la dis- tance OL" qui répond à 8”, on a, dans le triangle OMTL", a/'sin.(8//—e€ ; a/'sin.rd g/’ s' EE) 'cos.< — d'sin; « cot. 8’ INR ER sin. 6/’ y sin. f// et la quantité que nous nous proposons d’abord d'intégrer, devient 1 y. [cos.:cos.g" dp// ni 27 / PAS Et SAM sin. 6 + cos. (pl'—:)d g'| ; dont l'intégrale prise entre les limites 8,” et 8,’ est TOR Re : cos. COS. € AL [sin. (B."—e)—sin.(p,"—<)— ] sin,” ” sin. 6,’’ En désignant par p," et p,', les perpendiculaires abaissées 248 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES du point O sur les distances L''L,=—7,", L'L=7", on a évidemment me 7 RME Il TAN RIRES a’! Te d'en (ie) Pi (G 0 (St) EPST 11 et l'intégrale précédente devient LRU (72 72 " 7 :. —p{—(r,—r |: F LL LP" —p"—(r, ")cot.e] Si l’on fait attention qu’en désignant la distance OL! par a’, . 1 on a aussi, dans le triangle OM'I, a’ sin. (8 — e : a’sin..df/ Fm Cu re COS.c— a'sin.e COt. g',ds'— TS sin. 8 EHap fier on voit aisément que l'intégrale de l’autre quantité se forme de celle que nous venons d'obtenir, en y changeant p,",p,", r,,r/", en p,',p; 7,7, ce qui donne pour la valeur du mo- ment de rotation qui est la différence des deux intégrales, : [pp —p;+p;— (re 7 —r, +7) cot.e]. Cette valeur se réduit à celle que nous avons trouvée plus haut , dans le cas où l'angle « est droit, parce qu’alors cot.:—0o. Quant on suppose que les deux courants partent du point O, et que leurs longueurs OL/"',OL, (fig. 24) sont représen- tées respectivement par & et b, la perpendiculaire OP par p; et la distance LL, par r,on a p=p,p;"=p, =p;=0, A Re ie = OK: =ü[p+ (a+ b—r)cot.:], pour la valeur que prend alors le moment de rotation. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 249 La quantité a + b—r, excès de la somme de deux côtés d'un triangle sur le troisième, est toujours positive : d'où il suit que le moment de rotation est plus grand que la valeur Lùp qu'il prend quand l'angle + des deux conducteurs est droit, tant que ot. « est positif, c’est-à-dire tant que cet angle est aigu; mais il devient plus petit quand Je même angle est obtus, parce qu’alors cot.< est négatif. Il est évi- dent d’ailleurs que sa valeur est d'autant plus grande que l'angle < est plus petit, et qu'elle croît à l'infini comme cot.e à mesure que « s'approche de zéro; mais il est bon de mon- trer qu'il reste toujours positif, quelque voisin que cet angle soit de deux droits. Il suffit pour cela de faire attention qu'en nommant « l'angle du triangle OL”L, compris entre les côtés & et r, et B celui qui l’est entre les côtés b et r, on a cot.:——cot. («+ 8),p=asin.«—bsin.f,r—a cos. :+bc0s.f, et par conséquent a+b—r—a(; —cos.a) + b(1—00s.6), —p tang. : « + ptlang. LE ) et Lou . Sig En es ___ lang. +tang.;$ su'[p +(a+b r)cot.e] = rép (1 RE Tee DE valeur qui reste toujours positive, quelque petits que soient les angles « et, puisque tang. («+ 8), pour des angles in- férieurs à 7. est toujours plus grand que tang. + tang.£, et à plus forte raison plus que tang.= 2 + tang. = 6. Cette valeur 18923. 32 250 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES "+ 4? . . Ut “ tend évidemment vers la limite 3 tip à mesure que les an- ? 2 57 5 gles et 8 s’approchent de zéro; elle s'évanouit avec p quand ces angles deviennent nuls. Reprenons maintenant la valeur générale du moment de 12 rotation en n’y faisant entrer que les distances OL"=—a", OL'=—«', et les différents angles, valeur qui est = ir’ [a"sin. (8, —e)—a"sin.(8"—e)—a'sin. (8 —:) a/! COS. € a!’ cos. + a/cos.: a’cos. | ? sin. 6,” sin. 6,// sin. 6,” sin. 6,” + a'sin.(B,— €) — et appliquons-la au cas où un des conducteurs L'L' (fig. 25) est rectiligne et mobile autour de son milieu L, , et où l’autre part de ce milieu. En faisant L'L’—2a ,on a a!=a, a —=—a,${=7T+e Pain. B/——sin.f,", et en désignant comme précédemment les perpendiculaires abaissées de L, sur LL, L'L,, l'expression du moment devient I 75 5 Na Di acos.e a cos. € a Fe ER: sin.8””" sin.f6,’ Or 4 sin.6#";@:° sin. 7, "et —=sin.f/:7::sin.c:7,, et les valeurs de r;" et de 7, tirées de ces proportions et sub- stituées dans l'expression précédente la changent en I .., 722 1 ñ [22 AL [p."+p;'+cot.e(r,—r,")]. Lorsqu'on suppose L,L, infini, on a p'—p,=asin.e, r'—r,'—2acos.e, et cette valeur du moment se réduit à I ati! osin Le 2e) ee : 2 Le sin.e / sine? ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 251 il est donc en raison inverse du sinus de l’angle des deux courants , et proportionnel à la longueur du courant fini. Quand LL, — : L'L'— a et qu'on représente l'angle L'L,L, par 26, on a p,' —asin.b,p'—acos.t,r, —2asin.6, r'—=2acos.h,cot.«——cot.26, et le moment devient : ait | cos.6 + sin.6 + 2cot.26(cos.6—sin.6)], en remplaçant 2cot.26 par sa valeur 1—tang.-0 cos.”Ü— sin” __.(cos. 0+- sin. @) (cos.Û— sin.6) tang.0 sin.bcos.ÿ sin. 4 cos. Ô ? on trouve que celle de ce moment est égale à anraes I 002 & à ;au (cos.6+ sin.Ü) P+ Fa sin.6 cos. 0 2 sai ’ (cos.4 +sin.6) Ces 1) Pour avoir la somme des actions des deux rayons entre les- quels est compris un secteur infiniment petit dont l'arc est de, il faut faire attention que ces deux rayons étant par- courus en sens contraire, cette somme est égale à la diffé- rentielle de l'expression précédente; on trouve ainsi qu’elle est représentée par I (cos.@ + sin. 6) (cos.°0—sin. 91} = ait’ [(cos. ÿ— sin. NT — Gas t 1)— D ne ein dos a TS __ (cos. +sh 0+-sin. de — ai ’(cos.0 — sin. DIE sin. peoatii © sin.* Ucos.” 1 —< ai "(cos. 0— sin. D Creer. D APR NU + Mais l'action de l'arc LL, sur le diamètre L'L” est égale et 32. Jds . Eee sin. me) de? atr'(cos. ÿ—sin.6) (= 252 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES opposée à celle que ce diamètre exerce sur l'arc pour le faire tourner autour de son centre; le moment de cette ac- tion , d’après ce que nous venons de voir, est fon égal à EE 1) dÿ; sin. 0 cos. 0 sin. î cos. en l'ajoutant au précédent, on a pour celui qui résulte de l'action du secteur infiniment petit sur le diametre L' L” d6 ge : : —; ait (cos. 6 — sin.) Cette valeur ne diffère que par le signe de celle que nous avons déja trouvée pour le même moment, différence qui vient évidemment de ce que nous-avons tiré cette dernière de la formule relative à l’action d’un tres-petit circuit fermé sur un élément où nous avions changé le signe de C pour la rendre positive. Examinons maintenant l’action que deux courants recti- lignes, qui ne sont pas dans un même plan, exercent l’un sur l’autre, soit pour se mouvoir parallelement à leur commune perpendiculaire , soit pour tourner autour de cette droite. Soient les deux courants AU, A'U' (fig. 26); À A'—a, leur commune perpendiculaire; AV une parallele à A'U': l'action de deux éléments situés en M et M', lorsqu'on fait 2—2 et À—k—1——© dans la formule Cctérale 1sd ES (cos, + À cos.6 cos. 4), devient Le drd ii dsds’ ( 2cos.: + 3— PET I ds ds’ me r? } à cause de " ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 253 mais en faisant AM—s,AM'=—s,VAU—:,o0ona ra +s +5s"—255 COS, d’où nn hi eos aan sl ace es 7 ces mr de cos: ds un ie der? Hi 6" dsds | ds ds SRE) et comme x dr d’ ne dr dr pa HR dr Fée ds NE dede dt di Ut Re ds'ds a OU GIE NE T° DE r° 2 la valeur de l’action des deux éléments devient . HE EE y y | COS. € T su dsds (em. Ne) Pour avoir la composante parallèle à AA, il faut multi- plier cette expression par le cosinus de l'angle MM'P que fait MM' avec M'P parallèle à A A, c’est-à-dire par 2 , où a Ÿ d =, ce qui donne #) I .. | COS. T ; ai dsds ls +4) ; et en intégrant dans toute l'étendue des deux courants, on trouve pour l’action totale 1 DORA CT AS ds ds’ - ait (2 + cos.< - ): 2 LA 7 Si les deux courants font entre eux un angle droit, on a cos.:—0 , et l’action parallèle’ à À A’ se réduit, en prenant DO 0E THÉORIE DES PHÉNOMÈNES l'intégrale entre les limites convenables, et en employant les mêmes notations que ci-dessus, à Cette expression est proportionnelle à la plus courte distance des courants, et devient par conséquent nulle quand ils sont dans un même plan, comme cela doit être évidemment. Si les courants sont paralleles, on a : =o et TRANS) d'où ds ds’ L ds — Jess far (sy? ee A Er Re QC OO De 22; a AE a° 15 a c’est-à-dire entre les limites des intégrations, r,/+- ri Fe r42 à a° 2? et comme cos.:—1, l’action totale devient Nous verrons plus tard comment se fait l'intégration dans le cas où l'angle « est quelconque. Cherchons maintenant le moment de rotation autour de- la commune perpendiculaire : pour cela il faut connaître d'abord }a composante suivant MP, et la multiplier par la perpendiculaire AQ abaissée de A sur MP, ce qui revient à Le. RS ee 255 & 410 : : ss'sin. multiplier la force suivant MM par on aura ainsi _. _ .AQ, ou par d = ape os.:dsds! Zji' sin. e ls dsds'+ss sed) 3 2 ds Re r ! ss posant 7 —4» On aura ’ I dg s ss d- ds SR dsiW? et : I dg 17 s' dr s dr die ddr Ur delire dei idsds I s'(s—scos.e) + s(s—s" cos. c) d°= EE + ss _— r r? dsds et en réduisant, d’où l'on tirera Or, nous avons trouvé précédemment L dé dinidrt éos dde Did! dep eh 0€ > ou dep (s —s’ cos. «)(s/—s cos.e) Ï DRE AE ESC ——-COS.E€, 1.7 effectuant la multiplication et remplaçant s°+ 5° par sa va- leur tirée de TD + S +5s—9255 COS.e, 256 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES on obtient, en réduisant, d°r ss’ sin.” «+ 4° COS. dsds’ CE L 5e d'où ss! I d’r a° cos. - r° sin.” . Kdsds’ T7 LA d?= T Substituant cette valeur ainsi que celle de ss” ee dans l’ex- pression du moment de rotation de l'élément, il devient ir sin.e dsds’ É BAPE Ses ( +- Les) 2 #\dsds r dsds” TÈ sin NEC nd d°gq æ sin. « der cos. <* #) —=— RUE — IR ER ES 1 ne dsd ( ‘dsds 7: HOUS dsds' Sin enr EPA? 7 d°gq d°r RAGE — 11 dsds | SIN. e-—— — COt.e = — — — |; au dsd ( ‘dsds DÉRTEA sin. « DE et intégrant par rapport à s et s',on a pour le moment total a° ds ds’ r COt.e——— | et) sin. « r le calcul se ramèene donc , comme précédemment, à trouver la valeur de l'intégrale double ff =. T LA ( sin 5 q «€ — Si les courants sont dans un même plan, on a a—o, et le moment se réduit à IPPor ë : b nl (g Sin.e—rcot.e), résultat qui coincide avec celui que nous avons obtenu en traitant directement deux courants situés dans un même f' ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 297 è SSL plan. Car q n'étant autre chose que ser devenant MP, on a — #ssisin.e 1 MP: MP.AQ QD. ———— "75 —AQ; et nous avions trouvé par l'autre procédé, ri rcot.e); éé (p—rest.e); p désignant la perpendiculaire AQ : les deux résultats sont donc identiques. L'intégration faite entre les limites donne I -. "1 1 72 1 Fe ù = in [p"—p'"—p;'+p;'+cot.e Cr. +77" —7,)] ; si l'angle : est droit , ce moment se réduit à 1. 7 7 : / SP PP ire le) T : S Lorsque <= = , mais que a n'est pas nul, le moment ci-dessus DORE se dsds’ si (a = ) L'intégrale qu'il s’agit de calculer dans ce cas est devient | Ja fr=fs rate ce Re rar ds, qu'il-faut intégrer de nouveau par rapport à s'; il vient sds Læ (a°+s°)sds SANS PSE (ai+as ta s+ss arts s(a° +5? s(a+s)ds d OR) — CRT OUTRE AA LE La +s+s" as +52) AL ds’ ON: q 2(a° Hs Fe) ES PE Den 525"? ee Dee Ans: C. RES RES Hs 1823. 33 258 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES Soit M la valeur du moment de rotation lorsque les deux courants électriques, dont les longueurs sont s et s', par- tent des points où leurs directions rencontrent la droite qui en mesure la plus courte distance , on aura Or Eer : q M—° ZE (g—aare. tang.2) ; . . ‘d . d Y M I. . expression qui se réduit, quand a—o, à M—°21q, ce qui , I .. ps s'accorde avec la valeur M—: ip que nous avons déja trou- vée pour ce cas, parce qu'alors q devient la perpendiculaire que nous avions désignée par p. Si l’on suppose à infini, M devient nul, comme cela doit être, puisqu'il en résulte aarc.tang. 1 —= q. Si l’on nomme z l'angle dont la tangente est cs aV/ a +s +5: ? il viendra J CON Z F M—- q(i— Je 2 tang. z c'est la valeur du moment de rotation qui serait produit par une force égale à : oc, z it (I1—— y 2 tang. z agissant suivant la droite qui joint les deux extrémités des conducteurs opposées à celles où ils sont rencontres par la droite qui en mesure la plus courte distance. Il suffit de quadrupler ces expressions pour avoir le mo- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 259 ment de rotation produit par l’action mutuelle de deux con- ducteurs dont l’un serait mobile autour de la droite qui me- sure leur plus courte distance, dans le cas où cette droite rencontre les deux conducteurs à leurs milieux, et où leurs longueurs sont respectivement représentées par 25 et 25. Il est, au reste, aisé de voir que si, au lieu de supposer que les deux courants partent du point où ils rencontrent la droite, on avait fait le calcul pour des limites quelcon- ques, on aurait trouvé une valeur de M composée de quatre termes de la forme de celui que nous avons obtenu dans ce cas pañfticulier, deux de ces termes étant positifs et les deux autres négatifs. Considérons maintenant deux courants rectilignes A'S’, L'L' (fig.27), non situés dans un même plan et dont les di- rections fassent un angle droit. Soit AA leur commune perpendiculaire, et cherchons l’ac- tion de L'L” pour faire tourner A'S’ autour d’une parallèle OV à LL’ menée à la distance A O—b de A. Soient M, M' deux éléments quelconques de ces courants; l'expression générale de la composante de leur action paral- lèle à la perpendiculaire commune A A', devient, en fai- sant e——, QE al I . Tr ’ (re sait nn ds'ds ; son moment par rapport au point O est donc, en prenant A' pour origine des s', égal à d'= = air (sb) = dsds’: 2 dsds' 33. 260 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES en intégrant par rapport à s, il vient 1e TOME LR r 1. sai (s —b) ds; et en appelant r' et r” les distances M'L', M'L” de M' aux points L',L", et intégrant entre ces limites l’action de L'L", pour faire tourner l'élément M, est 1 2 de Et ARRETE au (s' —b)ds (a N) ; expression qu'il faut intégrer par rapport à s'. Or T'IE : I NAT ET ds’ = air f(— 045 —ai (= nn) ) etil est d’ailleurs aisé de voir qu'en nommant cla valeur AL” de s qui correspond à 7”, et qui est une constante dans l'in- tégration actuelle, on a A'L'=V/4 +, d'où il suit que ELA ae 5 =—V/a +e cot. ed neaEs d£”; sin. 6" sin.? 8" ? ds /ÈdEé Eau tang.=g," An) ÉCRAN ENS le second terme s'intégrera de la même manière, et l’on aura enfin pour le moment de rotation cherché ainsi LR (— Las 5, —d net s,/—0b s/—b Lu TGS a RRBREN, 2 + an - rl Ta LP tang.+6," tang.-6,’ L Dans le cas où l’axe de rotation parallele à la droite L’L'" ou s passe par le point d’intersection A’ des droites æ et s, on a b—0o; et si l’on suppose , en outre, que le courant qui ter: ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 261 parcourt s' part de ce point d'intersection, on aura de plus £ T 1 T SO =), B, FR ? en sorte que la valeur du moment de rotation se réduira à ns is su tanc.= 6," j Lai ( — = —|] Dex fa )- 2 e, \ ra Ta _tang.: 6,’ Je vais mainterant chercher l’action d’un fil conducteur plié suivant le périmètre d’un rectangle K'K”L'L' pour faire tour- ner un conducteur rectiligne A'S'—s",, perpendiculaire sur le plan de ce rectangle, et mobile autour d’un de ses côtés K'K" qu'il rencontre au point A’: le moment produit par l'action de ce côté K’K” étant alors évident nul , il faudra à celui qui est dù à l’action de L'L” et dont nous venons de calculer la valeur, ajouter le moment produit par K’L' dans le même sens que celui de L'L”", et en ôter celui qui l’est par K"L” dont l’action tend à faire tourner A'S’ en sens contraire; or, d'apres les calculs précédents, en nommant £ et z les plus courtes distances A'K’, AK”, de AS’ aux droites K'L',K”L" qui sont toutes deux égales à &, on a pour les valeurs ab- solues de ces moments Dés (Gr AN M A AfGpAe 34 Si (a —garc.tang. Es ii (q — harc.tang. &) : en faisant CRC as, 77 as, as, r,! ? q er VARHa Es 7 celle du moment total ést donc An ES L_ Qyets” Qu (Aarc.tang. 7 —garc.tang. Z a D) 262 à THÉORIE DES PHÉNOMÈNES Telle est la valeur du moment de rotation résultant de l’ac- tion d’un conducteur ayant pour forme le périmètre d’un rectangle, et agissant sur un conducteur mobile autour d’un des côtés du rectangle, lorsque la direction de ce conduc- teur est perpendiculaire au plan du rectangle, quelle que soit d'ailleurs sa distance aux autres côtés du rectangle et les dimensions &e celui-ci. En déterminant par l'expérience l'instant où le conducteur mobile est en équilibre entre les actions opposées de deux rectangles situés dans le même plan, mais de grandeurs différentes et à des distances diffé- rentes du conducteur mobile, on a un moyen bien simple de se procurer des vérifications de ma formule susceptible d'une grande précision; c'est ce qu'on peut faire aisément à l’aide d’un instrument dont il est trop facile de concevoir la construction pour qu'il soit nécessaire de l'expliquer ici. d sds DE = dans l'étendue Intégrons maintenant l'expression WP de deux courants rectilignes non situés dans un même plan, et faisant entre eux un angle quelconque :, dans le cas où ces courants commencent à la perpendiculaire commune; les autres cas s’en déduisant immédiatement. Soient A (fig. 28) le point où la commune perpendiculaire rencontre la direction AM du courant s, AM' une parallèle menée par ce point au courant s’,et 7m" la projection sur le plan MAM' de la droite qui joint les deux éléments ds, ds". Menons par À une ligne An parallele et égale à mm’, et formons en 7 un petit parallelogramme nn' ayant ses côtés parallèles aux droites MAN,AM/, et égaux à ds,ds”. Si l'on répète la même construction pour tous les éléments, les parallélogrammes ainsi formés composeront le parallélo- gramme entier N AM'D , et, leur surface ayant pour mesure « ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 263 dsds'sin.e, on obtiendra l'intégrale proposée multipliée par sin.<, en cherchant le volume ayant pour base NAM'D, et terminé à la sürface dont les ordonnées élevées aux diffé- rents points de cette base ont pour valeur 35 r étant la dis- tance des deux éléments des courants, qui correspondent, d’après notre construction, à tous ces points de la surface NAM D. Or, pour calculer ce volume, nous pourrons partager la base en triangles ayant pour sommet commun le point A. Soient Ap une droite menée à l’un quelconque des points de l'aire du triangle AND, et pgg'p' l'aire comprise entre les deux droites infiniment voisines Ap,Ag' et les deux arcs de cercle décrits de A avec les rayons Ap—uet Ap'=u+du: nous aürons, à cause que l'angle NAM'—7—: et en appe- lant l'angle NAp, 6 [= u dudo Sin. € rs = Sin) Or, si a désigne la perpendiculaire commune aux directions des deux conducteurs, et s et s' les distances comptées de A sur les deux courants, on a “ T—Vla tu, u—=V/ 5° +s 2 055! cos.: : donc, enintégrant d’abord depuisw—0 jusqu’à u—AR=,, : dsds' Cududg. we sin.e ff Dr arae — fa (À =) Il reste à intégrer cette dernière expression par rapport à o: pour cela nous calcurerons , en fonction de 4 par la propor- tion AN:AR::sin.(9+<):sin.e, ous: 4, ::Sin.(o+e):sin.e; 264 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES et en substituant à 4° + u, la valeur tirée de cette proportion, nous aurons à calculer fac LS 1 K dr) dosin.(® +) à a ,, sine | à JV/ssin-+esin"(o +. Va Fan (pe) ‘ue d £ ; £ Ur es ie ) —[;-+arc.sin SEL + C| a sa sin, . € ms ) Nommons # et y les angles NAD ,M’AD, et prenons l'in- tégrale précédente entre 9—o et 9—y., elle devient alors a cos. (lu +) : a COS. « ] I : = Lu +- arc.sin. Peer SN, = a L/æ+Sssn. La? + 5° sin.’e et, à cause de y +:—7r—y, elle se change en ï [ F a cos.” par a COS. : = [nu —Aarc.SIN. —=——— arc. in. TRUE a |! : Va +ss +-ssin.” Va +5" sin. AE or IVAIR Ss/— 5 COS. « S/—5 COS.+ COS. — AIDE Vs —5scos..) Hs°sin”e Vs +5 2955 cos..? d'où l'on tire pour l'intégrale l'expression suivante : a(s'—s cos. c) : a cos. a "Va? + s° sin. "eV 5£s? ass’ cos. Va +s°sin."e Qi [e — arc. Sin. ou, en passant du sinus à la tangente pour les deux arcs, a(s'—s cos.) a cot. € ] I - |y—arc.tan — arc.tang. © |; a [eu 5 ssin.e a+ ss" 25s/cos.e 8 La +5 |? # et comme on trouve l'intégrale relative au triangle M'AD en J a ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 265 changeant dans cette expression ÿ en et s en s’, on a pour d # » l'intégrale totale, à cause que u+p'—r—e, ( arc. ta ÈS) arc. tang. 2°: T—<—arc.tang. — = — arc. = ITS 5 sisin el la pipe oo sstcon. 5 Va +5 a(s—s’ cos. :) acot.s, —arc.tanc. = AL CAT). 9° s’sin. e RES HS" 55/0085. < 5 Va +5? En calculant la tangente de la somme des deux arcs dont les valeurs contiennent s et s', on change cette expression en I asin.el 7 +5 — 255 cos. (Fe —arc.tang. DRE RES a ss’ sin.? e + @° Cos.e a cot.e a COt. € —— ATC. LANS. © — arc. tan : s Le] La 5? 8 1 fa +5"? 3 et comme T asin.el + Hs — 955 cos.e = —arc.tang, re 2 SS SIN. €: +-4*COS.e ss’sin.”e+ 4° cos. = Arc, tang. asin.e Va + +45 2sscot.s ” on a, en divisant par sin. «, ds ds’ I : ss’sin.”* sa" COs. : ——— arc. tang. — r & SIN. € AS, Lg + ss 255 cos. acot. : a CO. & T ——arc.tang. y = —— Arc. tang. : + = — e) a +5s° V a? +5’? 2 . . T a AA expression qui, lorsqu'on suppose :—>, se réduit à (ac anges sen a du arr) 3 comme nous l'avons trouvé précédemment. 1823. 34 266 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES On peut remarquer que le premier terme de la valeur que nous venons de trouver dans le cas général est l'intégrale indéfinie de dsds’ 2 2 / 07 (a +s°+5?— 255 cos.e)< comme on peut le vérifier par la différentiation, et que les trois autres s'obtiennent en faisant successivement dans cette intégrale indéfinie : LAS 0 Dis 0) JU 0EtS—0: Si les courants ne partaient pas de la commune perpen- diculaire, on aurait une intégrale composée encore de quatre termes qui seraient tous de mème forme que l'intégrale in- définie. Nous avons considéré jusqu'ici l'action mutuelle de cou- rants électriques situés dans un même plan, et de courants rectilignes situés d’une maniere quelconque dans l’espace; il nous reste à examiner l’action mutuelle des courants cur- vilignes qui ne seraient pas dans un même plan. Nous sup- poserons d’abord que ces courants décrivent des courbes planes et fermées, dont toutes les dimensions soient infini- ment petites. Nous avons vu que l'action d’un courant de cette espèce dépendait de trois intégrales À, B,C, dont les valeurs sont ; cos.E … 3qx AY ee), L° cos. 34 Bi (t ip), CL cost e) à ill d? [a ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 207 _Concevons maintenant dans l’espace une ligne quelconque M 0 (pl. 2, fig. 29), qu'entourent des courants électriques formant de très-petits circuits fermés autour de cette ligne, dans des plans infiniment rapprochés qui lui soient perpen- diculaires, de manière que les aires comprises dans ces cir- cuits soient toutes égales entre elles et représentées par 1, que leurs centres de gravité soient sur MmO, et qu'il y ait partout la mème distance, mesurée sur cette ligne, entre deux plans consécutifs. En appelant g cette distance que nous regarderons comme infiniment petite, le nombre des courants qui se trouveront répondre à un élément ds de la ligne Mme O, sera de ; et il faudra multiplier par ce nom- £ bre les valeurs de A,B,C que nous venons de trouver pour un seul circuit, afin d’avoir celles qui se rapportent aux cir- cuits de l'élément ds; en intégrant ensuite, depuis l'une des extrémités L’ de l'arc s, jusqu’à l’autre extrémité L," de cet arc ,on aura les valeurs de A, B, C relatives à l'assemblage de tous les circuits qui l’entourent, assemblage auquel j'ai donné le nom de solénoïde électro-dynamique, du mot grec cwkn- ver, dont la signification exprime précisément ce qui a la forme d’un canal, c’est-à-dire la surface de cette forme sur laquelle se trouvent tous les circuits. On a ainsi, pour tout le solénoïde, ds 3qgæxds ASE RAS LS), AA __À ffcos.nds 3gyds ns Eire Ca 75 de —:f cos. ÊS 3qzds ere 268 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES Or, la direction de la ligne 2, perpendiculaire au plan de», étant parallèle à la tangente à la courbes, on a d d d cos. É— = , COS.n— D; cos. =. de De plus, g est évidemment égale à la somme des projec- tions des trois coordonnées x, y,z, sur sa direction; ainsi _! ædæz+ydy+zdz ld/ ET ds ; mu dE? puisqu'on à l’—x +7 +7, Substituant ces valeurs dans celle que nous venons de trouver pour C, elle devient Cr )= Gr 0). Nommantæ',y',z',0 et x',y",z",1", les valeurs de x,y,z,/, relatives aux deux extrémités L', L” du solénoïde, on a Cu (Eu En opérant de la même manière , pour les deux autres inté- grales A,B, on trouve des expressions semblables pour les représenter, et les valeurs des trois quantités que nous nous sommes proposé de calculer pour le solénoïde entier sont NPÉES AE AE (on 7)» À É y’ B— (S—%), ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 269 of 0e 1 Gr) Si le solénoïde avait aie directrice une courbe fermée, on aurait 2"—=x',7"—=y",z"=—2",l"=—l", et, par conséquent, A—0,B—0,C—o; s'ils ed, à l'infini dans les deux sens, tous IE termes des valeurs de A,B,C seraient nuls séparé- ment, et il est évident que dans ces deux cas l’action exercée par le solénoïde se réduit à zéro. Si l'on suppose qu'il ne s’'étende à l'infini que d'un seul côté, ce que j'exprimerai en lui donnant alors le nom de solénoïde indéfini dans un seul sens, on n'aura à considérer que l'extrémité dont les coor- données x',y',z ont des valeurs finies, car l’autre extrémité étant supposée à une distance infinie, les premiers termes de celles que nous venons de trouver pour A,B,C, sont nécessairement nuls; on a ainsi A2, B—— DE _ 5 5 5° doncA:B:C::x:7y':2; d'où il suit que la normale au plan directeur, qui passe par l’origine et forme avee les axes des angles dont les cosinus sont A B C DPFDU"D en faisant toujours D—4V/A"+B"+C", passe aussi par l’ex- trémité du solénoïde dont les coordonnées sont x',y',z!. Nous avons vu, dans le cas général, que la résultante totale est perpendiculaire sur cette normale ; ainsi l’action d’un so- lénoïde indéfini sur un élément est perpendiculaire à la droite ‘qui joint le milieu de cet élément à l’extrémité du solénoïde; 270 THÉORIE DES PHÉNOMENES et comme elle l'est aussi à l'élément , il s'ensuit qu'elle est perpendiculaire au plan mené par cet élément et par l’extré- mité du solenoïde. Sa direction étant déterminée, il ne reste plus qu'a en connaître la valeur: or, d’après le calcul fait dans le cas gé- néral , cette valeur est Dé’ ds sin.’ 2 ? = étant l'angle de l'élément ds’ avec la normale au plan di- recteur ; et comme D—V/A+B:+0C", on trouve aisé- ment À Pme ce qui donne pour la valeur de la résultante Àzzi/ds/$sin.e 2.gl'? On voit donc que l’action qu’un solénoïde indéfini dont l’ex- trémité est en L' (fig. 29) exerce sur l'élément ab, est nor- male en A au plan DA L’, proportionnelle au sinus de l’angle bAL'et en raison inverse du carré de la distance A L!, et qu'elle reste toujours la même, quelles que soient la forme et la direction de la courbe indéfinie L'L’ sur laquelle on sup- pose placés tous les centres de gravité des courants dont se compose le solénoïde indéfini. Si l'on veut passer de là au cas d’un solénoïde défini dont les deux extrémités soient’ situées à deux points donnés L',L', il suffira de supposer un second solénoïde indéfini commençant au point L'" du premier et coïncidant avec lui depuis ce point jusqu’à l'infini, ayant ses courants de même ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 271 intensité, mais dirigés en sens contraire, l’action de ce der- nier sera de signe contraire à celle du premier solénoïde indéfini partant du point L', et la détruira dans toute la partie qui s'étend depuis L' jusquà l'infini dans la direction L'O où ils seront superposés; l’action du solénoïde L'L' sera donc la même qu'exercerait la réunion de ces deux solénoïdes indéfinis, et se composera, par conséquent, de la force que nous venons de calculer et d’une autre force agissant en sens contraire , passant de même par le point A, perpendiculaire au plan b A L'', et ayant pour valeur Az ds”sin../’ DR DUUE =" étant l'angle 2 A L”", et /" la distance À L". L'action totale du solénoïde L'L" est la résultante de ces deux forces, et passe, comme elles, par le point A. Comme l’action d’un solénoïde défini se déduit immédia- tement de celle du solénoïde indéfini, nous commencerons, dans tout ce qu'il nous reste à dire sur ce sujet, par consi- dérer le solénoïde indéfini qui offre des calculs plus simples, et dont il est toujours facile de conclure ce qui adieu relati- vément à un solénoïde défini. Soient L' (fig. 30), l'extrémité d'un solénoïde indéfini; A le milieu d'un élément quelconque ba d’un courant électrique M. AM, et L'K unedroite fixe quelconque menée par le point L';nommons 9 l'angle variable K L,' À ,u l'inclinaison des plans .bAL,AL'K , et /' la distance L'A. L'action de l'élément 8 4 sur le solénoïde étant égale et opposée à celle que ce dernier exerce sur l'élément, il faut, pour la déterminer, considérer un point situé en À, lié invariablement au solénoïde, et sol- licité par une force dont l'expression soit, abstraction faite 272 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES du signe, xd s’sin.6 AIL7# Acc/de en een NOUS) 2gl gl en nommant ds l'aire a L'b qui est égale à l'ds’sin.2 AL’ 2 Comme cette force est normale en À au plan A L'b , il faut, pour avoir son moment par rapport à l'axe L'K, chercher sa composante perpendiculaire à AL'K, et la multiplier par la perpendiculaire à A P abaissée du point A sur la droite L'K. y étant l'angle compris entre les plans AL'é, ALK, cette aus s'obtient en multipliant l'expression pré- cédente par cos. y; mais dv cos. 4 est la projection de l'aire de sur le plan A L'K, d'où il suit qu'en représentant cette projection par du, la valeur de la composante cher- chée est, : Azi'du AH Or, la projection de l'angle a L'b sur AL/K peut être consi- dérée comme la différence infiniment petite des angles K L'a et KL'b: cesera donc d6, et l’on aura (Æ] 8 du=! 5 à ce qui réduit la dernière expression à Azz' d8, Tr ? . .2gl et comme À P—/'sin.6, on a pour le moment cherché Ait aie à) 6 da. 25 ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 273 Cette expression , intégrée dans toute l'étendue de la courbe M. AM, , donne le moment de ce courant pour faire tourner le solénoïde autour de L'K : or, si le courant est fermé, l’in- tégrale, qui est en général À’ cos.0 GC TEE s'évanouit entre Jes limites, et le moment est nul par rap- port à une droite quelconque L'K passant par le point L,'. Il suit de là que dans l’acüon d’un circuit fermé, ou d'un système quelconque de circuits fermés sur un solénoïde in- défini, toutes les forces appliquées aux divers éléments du système donnent, autour d’un axe quelconque , les mêmes moments que si elles l’étaient à l'extrémité même du solé- noïde; que leur résultante Passe par cette extrémité, et que ces forces ne peuvent, dans aucun cas, tendre à imprimer au solénoïde un mouvement de rotation autour d’une droite menée par son extrémité, ce qui est conforme aux résultats des expériences. Si le courant représenté par la courbe M, AM. n'était pas fermé, son moment pour faire tourner le solénoïde autour de L’K, en appelant 6; et 6; les valeurs extrêmes de 8 relatives au point L’ et aux extrémités M,,M, de la courbe M,AM., serait Ai (cos. 4, — cos.b,'). 28 Considérons maintenant un solénoïde défini L'L' (fig. 31) qui ne puisse que tourner autour d’un axe passant par ses deux extrémités, Nous pourrons lui substituer, comme pré- cédemment, deux solénoïdes indéfinis ; et la somme des ac- tions du courant M, AM, sur chacun d'eux sera son action sur L'L”, Nous venons de trouver le moment de la première, 1823. 35 274 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES et en appelant 0,”, 6," les angles correspondants à 0,,5,', mais relatifs à l'extrémité L”, on aura pour celui de la seconde À je! LL 24 — ni (cos. 6," —cos.f,”); le moment total produit par l’action de M, AM,, pour faire tourner le solénoïde autour de son axe L'L'', sera donc 1 UT Ÿ À 114 3g (C0. — cos.b,"— cost, + cos.b,”). Ce moment est indépendant de la forme du conducteur M,AM., de sa grandeur et de sa distance au solénoïde LL et reste le même quand elles varient de manière que les quatre angles 9,',0,",6,,8," ne changent pas de valeurs; il est nul non- seulement quand le courant M, M, forme un circuit fermé, mais encore quand on suppose que ce courant s'étend à l'in- fini dans les deux sens, parce qu’alors ses deux extrémités étant à une distance infinie de celles du solénoïde, l'angle 8; devient égal à 6,”, et l'angle 6, à 0,”. Tous les moments de rotation autour des droites menées par l'extrémité d’un solénoïde indéfini étant nuls, cette ex- trémité est le point d'application de la résultante des forces exercées sur le solénoïde par un circuit électrique fermé ou par un systeme de courants formant des circuits fermés; on peut donc supposer que toutes ces forces y sont transpor- tées, et la prendre pour l’origine A (fig. 32) des coordonnées: soit alors BM une portion d’un des courants qui agissent sur le solénoïde; la force due à un élément quelconque M2 de BM est, d'après ce qui précède, normale au plan A Mn et ex- primée par \cz'de gr” » dy étant l'aire AMm, et r la distance variable AM. - ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 275 Pour avoir la composante de cette action suivant AX, on doit la multiplier par le cosinus de l’angle qu'elle fait avec AX , lequel est le même que l'angle des plans AM, ZAY ; mais de multiplié par ce cosinus est la projection de AMm sur Z AY, qui est égale à ydz—zdy . 2 si donc on veut avoir l'action suivant AX exercée par un nombre quelconque de courants formant des circuits fermés, il faudra prendre dans toute l'étendue de ces courants l'in- tégrale- re qui ét re A désignant toujours la même quantité que précédemment dans laquelle on a remplacé 7 par sa valeur 3; on trouvera semblablement que l’action suivant AY est exprimée par Az:i’'B AE ? et celle qui a lieu suiyant AZ, par xz/C 28 . La résultante de ces trois forces, qui est l’action totale exercée par un nombre quelconque de circuits fermés sur le solénoïde indéfini, est donc égale à Aë:'D 2g ? en désignant toujours L/A* +B° +0: par D; et les cosinus des angles qu'elle fait avec les axes des x, des y et des z, ont pour valeurs 35. 276 THÉORIE DES PHENOMÈNES AMNBerNC DD VD: qui sont précisément celles des cosinus des angles que fait avec les mêmes axes la normale au plan directeur que l'on obtiendrait en considérant l’action des mêmes circuits sur un élément situé en A. Or, cet élément serait porté par l’action du système dans une direction comprise dans le plan directeur; d’où l’on tire cette conséquence remarquable, que lorsqu'un système quelconque de circuits fermés agit alter- nativement sur un solénoïde indéfini et sur un élément situé à l'extrémité de ce solénoïde, les directions suivant lesquelles sont portés respectivement l'élément et l'extré- mité du solénoïde, sont perpendiculaires entre elles. Si on suppose l'élément situé dans le plan directeur lui-même, l'action que le système exerce sur lui est à son maximum, eta pour valeur «7 Ddse; 2 Celle que le même système exerce sur le solénoïde vient d'être trouvée égale à AD. 25 ces deux forces sont donctoujours entre elles dans le rapport constant pour un même élément et un même soléncide ds’:? ; o c'est-à-dire, comme la longueur de l'élément est à l'aire de la courbe fermée que décrit un des courants du solénoïde di- visée par la distance de deux courants consécutifs; ce rapport est indépendant de la forme et de la grandeur des courants du système qui agit sur l'élément et sur le solénoïde. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 997 Lorsque le système de circuits fermés que nous venons de considérer est lui-même un solénoïde indéfini, la normale au plan directeur passant par le point À est, comme nous venons de le voir, la droite qui joint ce point A à l’extré- mité du soléncide ; il suit de là que l’action mutuelle de deux solénoïdes indéfinis a lieu suivant la droite qui joint l’extré- mité de l’un à l'extrémité de l’autre; pour en trouver la va- leur, nous désiguerons par X l'aire des circuits formés par les courants de ce nouveau solénoïde, 2’ la distance entre les plans de deux de ces circuits qui se suivent immédiatement, / la distance des extrémités des deux solénoïdes indéfinis, et nous ! À 4 : aurons LEE , ce qui donne pour leur action mutuelle ACÉDER Az ADI 2gg EP? qui est en raison inverse du carré de la distance /. Quand l'un . des solénoïdes est défini, on peut le remplacer par deux solé- noïdes indéfinis, et l’action se trouve composée de deux forces, l’une attractive et l’autre répulsive, dirigées suivant les droites qui joignent les deux extrémités du premier à l'extrémité du se- cond. Enfin, dans le cas où deux solénoïdes définis LL”, L, L, (fig. 33) agissent l’un sur l’autre, il y a quatre forces di- rigées respectivement suivant les droites L'L,,L'L,,L’L,, L' L, qui joignent leurs extrémités deux à deux; et si, par exemple, il y a répulsion suivant L'I.,, il y aura attraction suivant L'L, et L'L,, et répulsion suivant L''L.. Pour justifier la manière dont j'ai conçu les phénomènes que présentent les aimants, en les considérant comme des assemblages de courants électriques formant de très-petits circuits autour de leurs particules, il fallait démontrer, en partant de la formule par laquelle j'ai représenté l’action 278 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES mutuelle de deux éléments de courants électriques, qu'il résulte de certains assemblages de ces petits circuits des forces qui ne dépendent que de la situation de deux points déterminés de ce système, et qui jouissent, relativement à ces deux points, de toutes les propriétés des forces qu'on attribue à ce qu'on appelle des molécules de fluide austral et de fluide boréal, lorsqu'on explique, par ces deux flnides, les phénomènes que ‘présentent les aimants, soit dans leur action mutuelle, soit dans celle qu’ils exercent sur un fil conducteur : or on sait que les physiciens qui préferent les explications où l’on suppose l'existence de ces molécules à celles que j'ai déduites des propriétés des courants électriques, admettent qu’à chaque molécule de fluide australrépond tou- jours, dans chaque particule du corps aimanté, une molécule de fluide boréal demême intensité, et qu’en nommant élément magnétique l'ensemble de ces deux molécules qu'on peut considérer comme les deux pôles de cet élément, il faut pour expliquer les phénomènes que présentent les deux genres d'action dont ilest iei question : r° que l’action mutuelle de deux éléments magnétiques se compose de quatre forces , deux attractives et deux répulsives, dirigées suivant les droites qui joignent les deux molécules d'un de ces éléments aux deux molécules de l’autre, et dont l'intensité soit en raison inverse des carrés de ces droites; 2° que quand un de ces éléments agit sur une portion infiniment petite de fil conduc- teur, il en résulte deux forces perpendiculaires aux plans passant par les deux molécules de l'élément et par la direction de la petite portion du fil, et qui soient proportionnelles aux sinus des angles que cette direction forme avec les droites qui en mesurent les distances aux deux molécules, eten raison inverse des carrés de ces distances. Tant qu’on n'admet pas ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 279 la manière dont je conçois l’action des aimants, et tant qu’on attribue ces deux espèces de forces à des molécules d’un fluide austral et d’un fluide boréal , il est impossible deles ra- mener à un seul principe; mais dès qu’on adopte ma manière de voir sur la constitution des aimants , on voit, par les cal- culs précédents, que ces deux sortes d'actions et les valeurs des forces qui en résultent se déduisent immédiatement de ma formule, et qu'il suffit pour trouver ces valeurs de sub- stituer à l'assemblage de deux molécules, l’une de fluide aus- tral, l’autre de fluide boréal, un solénoïde dont les extrémi- tés, qui sont les deux points déterminés dont dépendent les forces dont il s’agit, soient situées précisément aux mêmes points où l'on supposerait placées les molécules des deux fluides. Des-lors deux systèmes de très-petits solénoïdes agiront lun sur l’autre, d’après ma formule, comme deux ai- mants composés d'autant d'éléments magnétiques que l'on supposerait de solénoïdes dans ces deux systèmes; un de ces mêmes systèmes agira aussi sur un élément de courant élec- trique, comme le fait un aimant; et par conséquent tous les calculs, toutes les explications, fondés tant sur la conside- ration des forces attractives et répulsives de ces molécules en raison inverse des carrés des distances, que sur celle de forces révolutives entre une de ces molécules et un élément de courant électrique, dont je viens de rappeler la loi telle que l’admettent les physiciens qui n’adoptent pas ma théorie, sont nécessairement les mêmes, soit qu'on explique comme moi par des courants électriques les phénomènes que produi- sent les aimants dans ces deux cas,ou qu’on préfere l'hypothèse des deux fluides. Ce n’est donc point dans ces calculs ou 280 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES dans ces explications qu’on peut chercher ni les objections contre ma théorie, ni les preuves en sa faveur. Les preuves sur lesquelles je l'appuie, résultent surtout de ce qu’elle ra- mene à un principe unique trois sortes d'actions que l’en- semble des phénomènes prouve être dues à une cause com- mune,et qui ne peuvent y être ramenées autrement. En Suède, en Allemagne, en Angleterre, on a cru pouvoir les expliquer par le seul fait de l’action mutuelle de deux aimants, tel que Coulomb l'avait déterminé; les expériences qui nous offrent des mouvements de rotation continue sont en contra- diction manifeste avec cette idée. En France, ceux qui n’ont pas adopté ma théorie, sont obligés de regarder les trois genres d'action que j'ai ramenés à une loi commune, comme trois sortes de phénomènes absolument indépendants les uns des autres. Îl est à remarquer, cependant, qu’on pourrait déduire de la loi proposée par M. Biot pour l'action mutuelle d’un élément de fil conducteur et de ce qu’il appelle une molécule magnétique, celle qu'a établie Coulomb relativement à l’ac- tion de deux aimants, si l’on admettait qu'un de ces aimants est composé de petits courants électriques , tels que ceux que j'y concois; mais alors comment pourrait-on ne pas ad- mettre que l’autre est composé de même, et adopter, par conséquent , toute ma maniere de voir? D'ailleurs, quoique M. Biot ait nommé force élémen- taire (1) celle dont il a déterminé la valeur et la direction dans le cas où un élément de fil conducteur agit sur chacune des particules d’un aimant, ilest clair qu'on ne peut regarder (1) Précis élémentaire de physique, tom. Il, pag. 122 de la seconde édition. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 281 comme vraiment élémentaire, ni une force qui se manifeste dans l’action de deux éléments qui ne sont pas de même nature, ni une force qui n’agit pas suivant la droite qui joint les deux points entre lesquels elle s'exerce. Cependant, dans le Mémoire que cet habile physicien a communique à l’Aca- démie les 30 octobre et 18 décembre 1820 (1), il regarde (x) Ce dernier Mémoire n'ayant pas été publié à part, je ne connais la formule qui y est donnée pour exprimer cette force que par le passage suivant de la seconde édition du Précis élémentaire de physique, t. I, p. 122 et 123. . « En divisant par la pensée toute la longueur du fil conjonctif Z’C’ (fig. 34) “en une infinité de trariches d’une très-petite hauteur, on voit que chaque « tranche doit agir surl'aiguille avec une énergie différente, selon sa distance «et sa direction. Or, ces forces élémentaires sont précisément le résultat « simple qu'il importe surtout de connaître; car la force totale exercée par « le fil entier n’est que la somme de leurs actions. Mais le calcul suffit pour «remonter de cette résultante à l'action simple. C'est ce qu'a fait M. La- « place. Il a déduit de nos observations, que la loi individuelle des forces « élémentaires exercées par chaque tranche du fl conjonctif, était la raison « inverse du carré de la distance, c’est-à-dire précisément la même que l'on «sait exister dans les actions magnétiques ordinaires. Cette analyse mon- «trait que, pour compléter la connaissance de la force, il restait encore à « déterminer si l'action de chaque tranche du: fil était la même dans toutes «les directions à distance égale, ou si elle était plus énergique dans cer- « tains sens que dans d’autres. Pour décider cette question , j'ai tendu dans « un plan vertical un long fil de cuivre Z MC (fig. 34), en le pliant en M, « de manière que les deux branches ZM, MC fissent avec l'horizontale MH « des angles égaux. Devant ce fil, j'en ai tendu un autre Z’ MC’ de même « matière , de même diamètre, pris dans le même triage ; mais j'ai disposé «celui-ci verticalement, de manière qu'il ne fùt séparé du premier en « MM’ que par une bande de papier très-mince. J'ai ensuite suspendu notre « aiguille aimantée À B devant ce système, à la hauteur des points M,M’, «et j'ai observé ses oscillations pour diverses distances, en faisant succes- « sivement passer le courant voltaique par le fil plié et par le fil droit. J'ai « trouvé ainsi que, pour l'un comme pour l’autre, l'action était réciproque 1823. Nue 36 292 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES comme élémentaire la force qu'exerce un élément de fil con- ducteur sur une molécule de fluide austral ou de fluide boréal, c'est-à-dire’sur le pôle d’un élément magnétique, et il y con- sidère comme un phénomène composé l'action mutuelle de deux éléments de conducteurs voltaïques. Or, on conçoit aisé- ment que s’il existe en effet des molécules magnétiques , leur « à la distance aux points M,M/; mais l'intensité absolue était plus faible « pour le fil oblique que pour le fil droit, dans la proportion de l'angle : AMH à l'unité. Ce résultat analysé par le calcul, m'a paru indiquer que . l'action de chaque élément y du fil oblique sur chaque molécule #? de ma- « gnétisme austral où boréal est réciproque au carré de sa distance pm à «cette molécule, et proportionnelle au sinus de l'angle z#:4M formé par «la distance 7» avec la longueur du fil. » IL est assez remarquable que cette loi qui est une conséquence rigoureuse de la formule par laquelle j'ai exprimé l'action-mutuelle de deux éléments de fils conducteurs, quand on remplace, conformément à ma théorie, cha- que élément maghétique par un très-petit solénoïde électro-dynamique, a d'abord été trouvée par une erreur de calcul; en effet, pour qu'elle soit vraie, il faut que l'entensité absolue de la force soit proportionnelle, non pas à l'angle ZMH, mais à la tangente de la moitié de cet angle, ainsi que l'a démontré M. Savary, dans le Mémoire qu'il a lu à l'Académie, le 3 février 1823, qui a été publié dans le temps et se trouve aussi dans le Journal de physique, tome xcvr, pages 1-25 et suiv. IL paraît, au reste, que M. Biot a reconnu cette erreur, car dans la troisième édition du même ouvrage qui vient de paraître, il donne, à la vérité sans citer le Mémoire où elle avait été corrigée, de nouvelles expériences où l'intensité de la force totale est, conformément au calcul de M. Savary, proportionnelle à la tangente de la moitié de l'angle ZMH, et il en conclut de nouveau, avec plus de raison qu'il ne l'avait fait de ses premières expériences, que la force qu'il appelle élémentaire est, à distances égales , proportionnelle au sinus de l'angle compris entre la direction de l'élément de fil conducteur et celle de la droite qui en joint le milieu à la molécule magnétique. (Précis élémen- taire de physique expérimentale, troisième édition , tome IL, pag. 740-745.) LA ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 283 action mutuelle peut être considérée comme la force élémen- taire: c'était le point de vue des physiciens de la Suède et de FAllemagne, qui n’a pu supporter l'épreuve de l'expé- rience, puisque cette force étant proportionnelle à une fonc- tion de la distance, ne peut jamais donner lieu au mouvement toujours accéléré dans le même sens, du moins tant que, comme ils le supposaient,les molécules magnétiques sont con- sidérées comme fixées à des points déterminés des fils con- ducteurs qu'ils regardaient comme des assemblages de petits aimants, et alors les deux autres genres d'action étaient des phénomènes composés, puisque l'élément voltaïque l'était. On conçoit également que ce soit l’action mutuelle de deux éléments de fils conducteurs qui offre la force élémentaire : alors l’action mutuelle de deux éléments magnétiques, et celle qu'un de ces éléments exerce sur une portion infiniment pe- tite de conducteur voltaique, sont des actions composées, puisque l'élément magnétique doit, dans ce cas, être consi- déré comme composé. Mais comment concevoir que la force élémentaire soit celle qui se manifeste entre un élément ma- gnétique et une portion infiniment petite de conducteur voltaïque, c’est-à-dire entre deux corps à la vérité d’un très- petit volume, mais dont l’un est nécessairement composé, quelle que soit celle des deux manières d'interpréter les phé- nomènes dont nous venons de parler ? La circonstance que présente la force exercée par un élé- ment de fil conducteur sur un pôle d’un élément magnétique, d'agir dans une direction perpendiculaire à la droite qui joint les deux points entre lesquels se développe cette force, tandis que l’action mutuelle de deux éléments de conducteur a lieu suivant Ja ligne qui les joint ; n’est pas une preuve moins dé- 36. 284 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES gnonstrative de ce que la première de ces deux forces est un phénomène composé. Toutes les fois que deux points maté- riels agissent l’un sur l’autre, soit en vertu d’une force qui leur soit inhérente, ou d'une force qui y naisse par une cause quelconque, telle qu'un phénomène chimique , une dé- composition ou une recomposition du fluide neutre résultant de la réunion des deux électricités, on ne peut pas concevoir cette force autrement que comme une tendance de ces deux points à se rapprocher ou à s'éloigner l'un de l’autre suivant la droite qui les joint, avec des vitesses réciproquement pro- portionnelles à leurs masses, et cela lors même que cette force ne se transmettrait d'une des particules matérielles à l'autre que par un fluide interposé, comme la masse du bou- let n'est portée en avant avec une certaine vitesse, par le res- sort de l'air dégagé de la poudre, qu’autant que la masse du canon est portée en arrière suivant la même droite, passant par les centres d'inertie du boulet et du canon, avec une vitesse qui est à celle du boulet, comme la masse de celui-ci est à la masse du canon. C’est là un résultat nécessaire de l’inertie de la matière, que Newton signalait comme un des principaux fondements de la théorie physique de l'univers, dans le dernier des troisaxiomes qu'il a placés au commencement des Philosophiæ naturalis principia mathematica, en disant que l’action est toujours égale et opposée à la réaction ; car deux forces qui donnent à deux masses des vitesses inverses de ces masses, sont des forces qui les feraient produire des pressions égales sur des obstacles qui s’opposeraient invinciblement à ce qu’elles se missent en mouvement, c'est-à-dire des forces égales. Pour ‘que ce principe soit applicable dans le cas de l’action mu- ÉL ECTRO-DYNAMIQUES. 285 tuelle de deux particules matérielles traversées par le courant électrique, lorsqu'on suppose cette action transmise par le fluide éminemment élastique qui remplit l’espace, et dont les vibrations constituent la lumière (1), il faut admettre que ce fluide n’a aucune inertie appréciable, comme l'air à l'égard du bouletet du canon; mais c’est ce donton ne peut douter, puisqu'il n'oppose aucune résistance au mouvement des pla- nètes. Le phénomène de la rotation du moulinet électrique avait porté plusieurs physiciens à admettre une inertie ap- préciable dans les deux fluides électriques, et par conséquent dans celui qui résulte de leur combinaison ; mais cette sup- position est en opposition avec tout ce que nous savons d’ailleurs de ces fluides, et avec Le fait que les mouvements planétaires n’éprouvent aucune résistance de la part de l’é- ther; il n’y a plus d’ailleurs aucun motif de l'admettre, depuis que j'ai montré que la rotation du moulinet électrique est due à une répulsion électro-dynamique produite entre la pointe du moulinet et les particules de l'air ambiant, par le courant électrique qui s'échappe de cette pointe (2). Lorsque M. OErsted eut découvert l'action que le fil con- ducteur exerce sur un aimant, on devait, à la vérité, être porté à soupçonner qu'il pouvait y avoir une action mutuelle entre deux fils conducteurs; mais ce n’était point une consé- (1) Ce fluide ne peut être que celui qui résulte de la combinaison des deux électricités. Afin d'éviter de répéter toujours la même phrase pour le désigner, je crois qu'on doit employer, comme Euler, le nom d'éther, en entendant toujours par ce mot le fluide ainsi défini. (2) Voyez la note que je lus à l'Académie, le 24 juin 1822, et qui est insérée dans les Annales de chimie, tom. xx, pag. 419 — 421, et dans mon Recueil d'observations électro-dynamiques, pag. 316—318. 286 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES quence nécessaire de la découverte de ce célèbre physi- cien, puisqu'un barreau de fer doux agit aussi sur une ai- guille aimantée, et qu'il n'y a cependant aucune action mütuelle entre deux barreaux de fer doux. Tant qu’on ne connaissait que le fait de la déviation de l'aiguille aimantée par le fil conducteur, ne pouvait-on pas supposer que:le cou- rant électrique communiquait seulement à ce fil la propriété d’être influencé par l'aiguille d’une manière analogue à celle dont l’est le fer doux par cette même aiguille, ce qui suffisait pour qu'il agit sur elle, sans que pour cela il dût en résulter aucune action entre deux fils conducteurs lorsqu'ils se trou- veraient hors de l'influence de tout corps aimanté ? L’expé- rience pouvait seule décider la question : je la fis au mois de septembre 1820 , et l’action mutuelle des conducteurs vol- taiques fut démontrée. A l'égard de l’action de notre globe sur un fil conducteur, l'analogie entre la terre et uni aimant suffisait sans doute pour rendre cette action extrêmement probable , et je ne vois pas trop pourquoi plusieurs des plus habiles physiciens de l'Europe pensaient qu’elle n'existait pas; non-seulement comme M. Erman, avant que j'eusse fait l'expérience qui la constatait (1), mais après que cette expérience eut été com- muniquée à l'Académie des Sciences, dans sa séance du 30 octobre 1820 , et répétée plusieurs fois, dans le courant de novembre de la même année, en présence de plusieurs de (1) Dans un Mémoire très-remarquable, imprimé en 1820, ce célèbre physicien dit que le fil conducteur aura cet avantage sur l'aiguille aimantée dont on se sert pour des expériences délicates, que le mouvement qu'il prendra dans ces expériences ne sera point influencé par l’action de la terre. 2 np — ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 287 ses membres et d'un grand nombre d’autres physiciens, qui m'ont autorisé , dans le temps, à les citer comme ayant été témoins des mouvements produits par l’action de la terre sur les parties mobiles des appareils décrits et figurés dans les Annales de chimie et de physiqué, tome xv, pages 191-196, pl. 2, fig. 5, et pl. 3, fig. 71, ainsi que dans mon Recueil d'observations électro-dynamiques, pages 43-48, puisque près d’un an après, les physiciens anglais élevaient encore des doutes sur les résultats d'expériences si complètes et faites devant un si grand nombre de témoins (1). On ne peut nier l'impértance de ces expériences , ni se refuser à convenir que la découverte de l’action de la terre sur les fils conduc- teurs m'appartient aussi completement que celle de l’action mutuelle de deux conducteurs. Mais c'était peu d’avoir dé- couvert ces deux genres d'actions et de les avoir constatés par l'expérience ; il fallait encore : 1° Trouver la formule qui exprime l’action mutuelle de deux éléments de courants électriques ; 2° Montrer que d’après la loi, exprimée par cette formule, de l'attraction entre les courants qui vont dans le même sens, et de la répulsion entre ceux qui vont en sens con- traire, soit que ces courants soient parallèles ou forment un angle quelconque (2), l’action de la terre sur les fils conduc- (x) Voyez le Mémoire de M. Faraday, publié le 11 septembre 1821. La traduction de'ce Mémoire se trouve dans les Annales de chimie et de phy- sique, tom.xvurr, pag. 337-370, et dans mon Recueil d'observations élec- tro-dynamiques,, pag. 125 - 158. Cest par mne faute d'impression qu’elle porte la date du 4 septembre 1821, aulieu decelle du 11 septembre. 1821. (2) Les expériences qui mettent en évidence l’action mutuelle .de deux courants rectilignes dans ces deux cas, furent communiquées à l'Académie 288 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES teurs est identique, dans toutes les circonstances qu'elle pre- sente, à celle qu'exercerait sur ces mêmes fils un faisceau de courants électriques dirigés de l’est à l’ouest et situés au midi de l'Europe, où les expériences qui constatent cette action ont été faites ; : 3° Calculer d’abord, en partant de ma formule et de la manière dont j'ai expliqué les phénomènes magnétiques par des courants électriques formant de tres-petits circuits fer- més autour des particules des corps aimantés, l’action que doivent exercer l’une sur l'autre deux particules d’aimants considérées comme deux petits solénoïdes équivalant chacun à deux molécules magnétiques, l’une de fluide austral, l’autre de fluide boréal, et celle qu’une de ces particules doit exercer sur un élément defil conducteur; s'assurer ensuite que ces cal- culs donnent précisément pour ces deux sortes d'actions, dans le premier cas la loi établie par Coulomb pour l’action de deux aimants, et dans le second celle que M. Biot a proposée, rela- tivement aux forces qui se développent entre un aimantet un fil conducteur. C’est ainsi que j'ai ramené à un principe uni- que ces deux sortes d'actions, et celle que j'ai découverte entre deux fils conducteurs. Il était sans doute facile, d'apres l’en- dans la séance du 9 octobre 1820. Les appareils que j'avais employés sont décrits et‘figurés dans le tome xv des Annales de chimie et de physique, savoir : x° celui pour l’action mutuelle de deux courants parallèles, pag. 72, ï pl. 1, fig. 1, et avec plus de détail dans mon Recueil d'observations élec- tro-dynamiques, pag. 16-18; 2° celui pour l'action mutuelle de deux courants formant un angle quelconque, pag. 171 du même tome xv des Annales de chimie et de physique, pl. 2, fig. 2, et dans mon Recueil, pag. 23. Les figures portent dans mon Recueil les mêmes numéros que dans les Annales. ÉLECTRO-DYNAMIQUES! 289 semble des faits, de conjecturer que ces trois sortes d’ac- tions dépendaient d’une cause unique. Maïs! c'est par le calcul seul qu'on pouvait justifier cette conjecture, et c’est ce que j'ai fait, sans rien préjuger sur la nature de la force que deux éléments de fils conducteurs exercent l'un sur l'autre : j'ai cherché, d’après les seules données de l’expé- rience , l'expression analytique de cette force; et en la pre- nant pour point de départ, j'ai démontré qu’on en déduisait par un calcul purement mathématique les valeurs des deux autres forces telles qu'elles sont données par l'expérience, l'une entre un élément de conducteur et cé qu'on appelle une molécule magnétique, l’autre entre deux de ces molé- cules, en remplacant, dans l'un et l’autre cas, comme. on doit le faire d'apres ma maniere de concevoir la constitution des aimants, chaque molécule magnétique par une des deux extrémités d’un solénoïde électro-dynamique. Des-lors tout ce qu'on peut déduire des valeurs de ces'dernieres' forces subsiste nécessairement dans ma manière de considérer les effets qu’elles produisent, ét devient une suite nécessaire de ma formule, et cela seul suffirait pour démontrer que l'action mutuelle de deux éléments de fils conducteurs est réellement le cas le plus simple et celui dont il faut partir pour expliquer tous les autres; les considérations suivantes me semblent propres à confirmer ‘de la manière la plus complete ce résultat général de mon travail, elles se dé- duisent facilement des notions les plus simples sur la com- position des forces, et :ont relatives à l’action mutuelle de deux systèmes, composés tous deux de points infiniment rap- prochés les uns dés autres, dans les divers cas qui peuvent'se présenter suivant que ces systèmes ne contiennént que des 1823. 37 290 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES points de même espèce, c'est-à-dire qui tous attirent ou re- poussent les mêmes points de l'autre système, ou qu'il y ait, soit dans n:de:ces systèmes , soit dans tous les deux, des points. de deux espèces opposées, dont les uns attirent ce que les autres repoussent ét repoussent ce qu'ils attirent. Supposons d'abord que chacun des deux systemes soit composé de molécules de même espèce, c'est-à-dire que celles de l’un agissent toutes par attraction ou toutes par répulsion sur celles de l’autre, avec des forces proportionnelles à leurs masses; soiéht M,M',M", etc. (fig. 35), les molécules qui composent le premier, et »2, une quelconque de celles du second :,en composant successivement toutes les actions 24, mb,md, etc.; exercées par M,M',M", etc., on. obtiendra les résultantes #c,me;, etc. dont la dernière sera l’action du système MM'M" sur le point »2, et passera à peu pres par le centre d'inertie de ce,système. En raisonnant de même re- lativement aux autres molécules du second.système , on trou- vera..que.. les. résultantes, correspondantes, pâsseront aussi toutes tres-près du centre d'inertie du premier système, et auront une résultante générale qui passera aussi à peu près par le centre d'inertie du second : nous nommerons centres d'action les deux points extrêmement voisins des centres respectifs d'inertie des deux systèmes panlesquels passe cette résultante, générale; il ést.évident qu’elle ne tendra, à cause des petites distances où ils sont des centres d'inertie, à im- primer à chaque, système qu'un mouvement de trauslation. Supposons, en second lieu, que les molécules du second: système xestant toutes. de même espèce, celles du premier soient les, unes attractives et les autres répulsives à l'égard de'ces molécules. du, second système, les premières donne- ront une résultante of (fig. 36), passant par leur centre d'ac- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 291 tion N, et par le centre d'action o de l'autre système : de même, les particules répulsives donneront une résultante 0e, Passant par leur centre d'action P et par le même point o : la résultante générale sera donc là diagonale og; et comme elle passe à peu près par le centre d'inertie du second sys- tème, elle ne tendra encore à lui imprimer qu'un mouve- ment de translation. Cette résultante est d’ailleurs dans le plan mené par les trois céntres d'action 0; N,P; et quand les molécules attractives sont en même nombre que les répul- sives, et agissent avec-la même intensité, sa direction est, en outre, perpendiculaire à la droite 0 O qui divise l'angle PoN en deux parties égales Considérons enfin le cas où les deux systèmes seraient com- posés l’un et l’autre de molécules d'espèces différentes. Soient N et P (fig. 37) les centres d'action respectifs des molécules attractives et répulsives du premier, soient » et p les cen- tres correspondants du second, de sorte qu'il y ait attraction entre Net p, ainsi qu'entre » et P, et qu'il y ait répulsion entre N et 7, de même qu'entre P et p- Les actions com- binées de N et P sur P donneront une résultante dirigée suivant la diagonale pe : Semblablement, les actions de N et P sur 7 donneront une résultante nf. Pour avoir la ré- sultante générale, on prolongera ces deux lignes jusqu’à leur rencontre en 9, et prenant on—pe, et ok—nf, la diagonale 0 / sera la résultante cherchée qui donnera l’action exercée par le système P N sur le système pn. Mais comme le point o ne fait Pas partie du système PA, il faudra con- cevoir qu'il est lié à ce système d’une manière invariable sans l'être au premier système P N; et la force o/ tendra généra- lement, en vertu de cette liaison, à opérer sur pr un 37. 292 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES mouvement de translation et un mouvement de rotation au- tour de son centre d'inertie. Examinons maintenant la réaction exercée par le second système sur le premier: d’après l'axiome fondamental de la mécanique, que l’action et la réaction de deux particules l'une sur l’autre sont égales et directement opposées, il faudra, pour l'obtenir, composer successivement des forces égales et directement opposées à celles que les particules du premier système exercent sur les particules du second, et il est évident que la réaction totale ainsi trouvée sera toujours égale et directement opposée à l’action totale. Dans le premier cas, la réaction sera donc représentée par la ligne me (fig. 35), égale et opposée à la résultante me, et que l’on pourra supposer appliquée au centre d'action du premier système qui se trouve sur sa direction; d’où il suit qu'en négligeant toujours la petite différence de situation du centre d'action et du centre d'inertie, on n’aura encore ici qu'un mouvement de translation. Dans le second cas, la réaction sera de même représentée par la ligne o; (fig. 36), égale et opposée à og. Mais comme le point o n'appartient pas au premier système, et que géné- ralement celui-ci ne sera pas traversé par la direction 07, il faudra concevoir que ce point o soit lié invariablement au premier système sans l'être au second; et, par cette liaison, la force o+ tendra généralement à opérer sur le système PN un double mouvement de translation et de rotation. Au reste, cette force o y est dans le plan P o N; et lorsque les molé- cules attractives sont en même nombre que les répulsives et agissent avec la même intensité, sa direction est, comme celle de og, perpendiculaire à 0 ©. Enfin, dans le troisième cas, la réaction sera représentée ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 203 par la ligne o1 (fig. 37), égale et opposée à la résultante 07, et appliquée comme elle au point o. Pour avoir l'action de o! sur pn, nous avons conçu tout à l'heure que ce point o était lié à ce second système pr sans l'être au pre- mier P N. Pour avoir maintenant la réaction exercée sur celui- ci, nous concevrons la force ox appliquée en un point situé en o, et lié au premier système PN sans l'être au second. Cette force tendra encore généralement à opérer sur PN un double mouvement de translation et de rotation. Si l’on compare ces résultats avec les indications de l’ex- périence, relativement aux directions des forces qui s’exercent dans les trois genres d'actions que nous avons distingués plus haut, on verra aisément que les trois cas que nous venons d'examiner leur correspondent exactement. Lorsque deux éléments de conducteurs voltaïques agissent l’un sur l'autre, l’action et la réaction sont, comme dans le premier cas, dirigées suivant la droite qui joint ces deux éléments ; quand il s’agit de la force qui a lieu entre un élément de fil conducteur et une particule d’aimant contenant deux pôles d'espèces opposées, qui agissent en sens contraires avec des intensités égales, l’action et la réaction sont, comme dans le second, cas dirigées perpendiculairement à la droite qui joint la particule à l'élément; et deux particules d’un bar- reau aimanté, qui ne sont elles-mêmes que deux très- petits aimants, exercent l’une sur l’autre une action plus compliquée, semblable à celle que présente le troisieme cas, et dont on ne peut de même rendre raison qu’en la considérant comme le résultat de quatre forces, deux at- tractives et deux répulsives : il est aisé d'en conclure qu'il n'y a que l'élément de fil conducteur dont on puisse sup- poser que tous les points exercent la même espèce d'action, 294 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES S et de juger quelle est, des trois sortes de forces dont il est ici question, celle qu'on doit regarder comme la plus simple. Mais de ce que la force qui a lieu entre deux éléments de fils conducteurs est la plus simple, et de ce que celles qui se développent, l’une entre un de ces éléments et une. par- ticule d’aimant où se trouvent toujours deux pôles de même intensité, l’autre entre deux de ces particules, en sont des résultats plus ou moins compliqués , en faut-il conclure que la première de ces forces doive être considérée comme vrai- ment élémentaire ? C'est ce que j'ai toujours été si loin de penser que, dans les ÂVotes sur l'exposé sommaire des nou- velles expériences électro-magnétiques, publiées en 1822 (1), je cherchais à en rendre raison par la réaction du fluide ré- pandu dans l’espace, et dont les vibrations produisent les phénomènes de la lumière : j'ai seulement dit qu'on devait la considérer comme élémentaire, dans le sens ou leschimistes rangent dans la classe des corps simples tous ceux qu'ils n’ont encore pu décomposer, quelles que soient d’ailleurs les pré- somptions fondées sur l'analogié qui pourraient porter à croire qu'ils sont réellement composés, et parce qu'après qu'on en a déduit la valeur des expériences et des calculs exposés dans ce Mémoire, c'était en partant de cette seule valeur qu'il fallait calculer celles de toutes les forces qui se manifestent dans les cas les plus compliqués. Mais quand mème elle serait due, soit à la réaction d'un fluide dont la rareté ne permet pas de supposer qu'il réagisse en vertu de sa masse, soit à une combinaison des forces propres aux deux fluides électriques, il ne s'ensuivrait pas (1) Recueil d'observations électro-dynamiques, page 215. ’ ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 295 moins que l’action serait toujours opposée à la réaction sui- vant une même droite; car, ainsi qu'on l’a vu dans les con- sidérations qu'on vient de lire, cette circonstance se rencontre nécessairement dans toute action complexe, quand elle a lieu pour les forces vraiment élémentaires dont se compose l’ac- tion complexe. En appliquant le même principe à la force qui s'exerce entre ce qu'on appelle une molécule magnétique et un élément de fil conducteur , on voit que si cette force, considérée comme agissant sur l'élément, passe par son mi- lieu, la réaction de l'élément sur la molécule doit aussi être dirigée de manière à passer par ce milieu et non par la mo- lécule. Cette conséquence d’un principe qu'avaient jusqu’à présent admis tous les physiciens, ne paraît pas an reste facile à démontrer par l'expérience, lorsqu'il s'agit de la force dont nous parlons , parce que dans toutes les expérien- ces où l’on fait agir sur un aimant une portion de fil con- ducteur formant un ciècuit fermé, le résultat qu’on obtient pour l’action totale est le même, soit qu'on suppose que cette force passe par l'élément de fil conducteur ou par la molécule magnétique, ainsi qu'on l’a vu dans ce Mémoire; cest ce qui a porté plusieurs physiciens à supposer que l’ac- tion exercée par l'élément de fil conducteur passait seule par cet élément, et que la réaction lui étant opposée et parallèle n'était pas dirigée suivant la même droite, qu’elle passait par la molécule et formait avec la premiere force ce qu'ils ont appelé un couple primitif. Les calculs qui vont suivre me fourniront bientôt l'occa- sion d'examineren détail cette singulière hypothèse, On verra, Par cet examen, qu'elle n’est pas seulement opposée à l’un des principes fondamentaux de la mécanique, mais qu'elle est en outre absolument inutile pour l'explication des faits ob- 296 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES servés, et qu'une fausse interprétation de ces faits a pu seule - porter à l’adopter les physiciens qui n'admettent pas que les aimants doivent réellement leurs propriétés à l’action des cou- rants électriques qui entourent leurs particules. Les phénomènes produits par les deux fluides électriques en mouvement dans les conducteurs voltaïques paraissent si différents de ceux qui en manifestent la présence quand ils sont en repos dans des corps électrisés à la manière ordi- naire, qu'on à aussi prétendu que les premiers ne devaient pas être attribués aux mêmes fluides que les seconds. C'est précisément comme si l'on concluait de ce que la suspen- sion du mercure dans le baromètre est un phénomène en- tièrement différent de celui du son, qu'on ne doit pas les attribuer au même fluide atmosphérique, en repos dans le premier cas et en mouvement dans le second; mais qu’il faut admettre, pour deux faits aussi différents, deux fluides dont l’un agisse seulement pour presser la surface libre du mercure, et dont l’autre transmette les mouvements vibra- toires qui produisent le son. Rien ne prouve d’ailleurs que la force exprimée par ma for- mule ne puisse pas résulter des attractions et répulsions des molécules des deux fluides électriques, en raison inverse des carrés des distances de ces molécules. Le fait d’un mouvement de rotation s’accélérant continuellement jusqu'a ce que les frottements et la résistance du liquide dans lequel plonge l'ai- mant ou le conducteur voltaïque qui présente cette sorte de mouvement en rendent la vitesse constante, paraît d’abord absolument opposé à ce genre d'explication des phénomènes électro-dynamiques. En effet, du principe de la conservation des forces vives, qui est une conséquence nécessaire des lois mêmes du mouvement, il suit nécessairement que quand les - ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 297 forces élémentaires, quiseraient ici des attractions et des répul- sions enraison inverse des carrés des distances,sontexprimées par de simples fonctions des distances mutuelles des points entre lesquels elles s’exercent, et qu’une partie de ces points sont invariablement liés entre eux et ne se meuvent qu’en vertu de ces forces, Tes autres restant fixes, le premiers ne peuvent revenir à la même situation, par rapport aux seconds, avec des vitesses plus grandes que celles qu'ils avaient quand ils sont partis de cette même situation. Or, dans le mouvement de rotation continue imprimé à un conducteur mobile par l'action d’un conducteur fixe, tous les points du premier reviennent à la même situation avec des vitesses de plus en plus grandes à chaque révolution, jusqu'à ce que les frot- tements et la résistance de l’eau acidulée où plonge la cou- ronne du conducteur mettent un terme à l'augmentation de la vitesse de rotation de ce conducteur : elle devient alors constante, malgré ces frottements et cette résistance. Il est donc complètement démontré qu’on ne saurait rendre raison des phénomènes produits par l’action de deux conduc- teurs voltaïques,en supposant que des molécules électriques agissant en raison inverse du carré de la distance fussent dis- tribuées sur les fils conducteurs, de manière à y demeurer fixées et à pouvoir, par conséquent, être regardées comme invariablement liées entre elles. On doit en conclure que ces phénomènes sont dus à ce que les deux fluides électriques par- Le [ES dr, "Ti 2 Tr," re en nommant x, r,,dr,, les quantités qui se rapportent à uneextrémité, et x, , r., dr, celles qui sont relatives à l’autre, cette valeur devient évidemment nulle quand, le circuit étant fermé, ses deux extrémités sont au même point. Quand le conducteur s' forme ainsi un circuit fermé, il faut donc, pour avoir plus simplement l’action qu'il exerce sur l'élément ds parallelement à l’axe des x, supprimer, 39. M== — Lt 2 308 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES dans l'expression de la composante parallele à cet axe, la 1..,.d'(æ—x')dx partie 22 , et n'avoir égard qu'a l’autre partie Tr? lu [E z Een “the 1215 VC cet y')dæ dy| que nous représenterons par X. En appliquant les mêmes considérations aux deux autres composantes de la même force qui sont parallèles aux axes des y et des z, on leur substituera des forces Y,Z, ayant pour valeurs 2 r'+ 1 ri ss Ga EE da ce prix ru 1 eu [(y—7)dz—(2—2) dy (z—2/)dx—(x— x) dz’ He ip Eee de) Ainsi, lorsqu'il s’agit d’un circuit fermé, la résultante R des trois forces X, Y,Z, auxquelles sont réduites les com- posantes de la force —1# 7" d'(r‘dr), remplace cette force; et l'ensemble de toutes les forces R est équivalent à celui de toutes les forces exercées par chacun des éléments ds’, du circuit fermé s’, et représente l’action totale de ce circuit sur l'élément ds. Voyons maintenant quelle est la valeur et la direction de cette force R. Soient z, v,1v, les projections de la ligne r sur les plans des yz, des xz et des xy, faisant respectivement les angles 9» 1 Ÿ, avec les axes des y, des z et des x. Considérons le secteur M'om' (fig. 38), qui a pour base l'élément ds’, et pour sommet le point o milieu de ds, dont les coordonnées sont +,7,z. Appelons à, y, v les angles que fait avec les axes la normale au plan de ce secteur, et 9’ l’anglé compris entre Hu v°d'*X m? d' x 22’ dsds’sin.f dy X=:ü( de" dy)=+- IP és es eme AE cos. u— 7 cos. v), Mrs (£ CAPE 2)=+ LR PA OL LE cosy — cos.) ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 309 les directions de ds et de r. Le double de l'aire de ce sec- teur est rds'sin.®, et ses projections sur.les plans des coor- données sont u’d'o—rds'sin.6cos.1—(y"—7)dz—(7—2) dy’; v'd'y=rds'sin.6'cos.u—(z —z2)da— (x —x)d 7, w'd'y—rds'sin.d'cos.v—(x —x)dy —(y —y)dæ. On peut donc donner cette nouvelle forme aux valeurs des forces X, Y, Z, PTE ESS 7" mt: pat T' d ds DH 1 Z=; ii (dy — Éd x) 1. fist et Ÿ cos. ME TCos, u KR RTE Ta ds ds Or ces valeurs donnent dx dy dz Xp the +27 =0; X cos.1+ Y cos.u + Z cos.v—0; c'est-à-dire que la direction de la force R fait avec celle de l'élément rM—ds, et avec la normale op au plan du sec- teur M'or', des angles dont les cosinus sont zéro, de sorte que cette force est à la fois dans le plan du secteur et per- pendiculaire à l'élément ds. Quant à son intensité, ôn a par les formules connues | VAR EVE TS = LPO RP À re 2 jo 1 é dsds’ sin.f’sin.pom: 27 dsds/sin cos. mok. AS lue opera 2e es dois 7 } 310 ._ THÉORIE DES PHÉNOMÈNES ok étant la projection de om sur le plan du secteur M'or. On peut décomposer cette force dans le plan du même sec- teur en deux autres, l’une S dirigée suivant la ligne 00 =r, l'autre T perpendiculaire à cette ligne. Celle-ci est 1 22 dsds’sin.f'cos:#0kcos. ok. 2 7" 2 T=R cos. ToR —R cos.hok— et comme l’angle trièdre formé par les directions de om ,0k etoh donne cos.mokcos.hok—cos.moh—cos.t, il vient 1 2’ ds ds’ sin. 8/cos.8 2 7 ñ == La force S suivant 0 est S—Rsin.hok—T tang.hok. Mais en désignant par © l'inclinaison du plan moh sur le plan ok, qui est celui du secteur M'o', on a tang. ok — tang.0 cos. v ; ainsi s ii’ ds ds’ sin, 4 sin.0’ cos. w =; — Si l’on intègre les expressions deX., Y,Z pourtoute l’éten- due du circuit fermé s', on aura les trois composantes de l’action exercée par tout ce circuit sur l'élément ds; en remplaçant x par sa valeur 2, celles des trois composantes deviennent ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 311 sul vd’ w° d’Ÿ AL (af RUES 14 / = (arf QE fée 2), TES, u°d’ v° d’X AL (dr + : Des forces semblables appliquées à tous les éléments ds de la courbe s donneront l’action totale exercée par le cir- cuit s’ sur le circuit s. On les obtiendra en intégrant de nou- veau les expressions précédentes dans toute l'étendue de ce dernier circuit. Concevons maintenant deux surfaces prises à volonté 5,5’, terminées par les deux contours 5, s', dont tous les points soient liés invariablement entre eux et avec tous ceux de la surface correspondante, et sur ces surfaces des couches infini- ment minces d'un même fluide magnétique qui y soit retenu par une force coercitive suffisante pour qu’il ne puisse point s’y déplacer. En considérant sur ces deux surfaces deux por- tions infiniment petites du second ordre que nous représente- rons par d’c et d’s', dont les positions soient déterminées par les coordonnées x, y, z pour la première, x’, y,z'pour la secon- de, et dont la distance soit r, leur action mutuelle sera une Eee répulsive dirigée suivant la ligne 7 et représentée par pee/d° 6 d’6” 7° la couche magnétique sur chaque surface ; 4 est un coeffi- cient constant, tel que ee représente l’action répulsive qui aurait lieu, si l’on réunissait en deux points situés à une distance égale à l'unité, d’une part tout le fluide répandu sur une aire égale à l’unitéde surface, où l'épaisseur serait ;5:, désignent ici ce qu'on appelle l'épaisseur de 312 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES constante et égale à <, de l’autre tout le fluide répandu sur une autre aire égale à l'unité de surface, où l'épaisseur serait aussi constante et égale à &’. En décomposant cette force parallèlement aux trois axes, on a les trois composantes 3 3 mes! do d°6/(x— x") wee d?cd’c’(y—7y") pes’ d’'od°6/(z— 7) DORE BAR NII ie re) eme et USER Concevons maintenant une nouvelle surface terminée par le même contour s qui limite la surface 6, et telle que toutes les portions de normales de la surface « comprises entre elle et la nouvelle surface soient tres-petites. Supposons que sur cette dernière surface soit distribué le fluide magnétique de l'espèce contraire à celui de la surfaces , de manière qu’il y en ait sur la portion de la nouvelle surface circonscrite par les normales menées par tous les points du contour de l'élément de surface d’s une quantité égale à celle du fluide répandu sur d’c. En nommant 2 la longueur de la petite portion de la normale à la surface 5, menée par le point dont les coor- données sont x, y,z, et comprise entre les deux surfaces, laquelle mesure dans toute l'étendue de l'aire infiniment petite d°c la distance de ses points aux points correspondants de l’autre surface, et en désignant par ë, , t les angles que cette normale fait avec les axes, les trois composantes de l’action mutuelle entre l'élément d’s et la petite portion de la nou- velle surface circonscrite comme nous venons de le dire, qui est toujours égale à d’s tant que = est très-petit et qu'on néglige dans les calculs, comme nous le faisons ici, les puissances de À supérieures à la première s’obtiendront en remplaçant dans l'expression que nous venons de trou- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 313 ver, Æ, Y, Z par æ + hcos.E, y+hcos.n, z+ hcos.t. Et comme les deux fluides répafidus sur les deux aires égales à d’c sont de naturé contraire, il faudra retrancher les nou- velles valeurs de ces composantes des valeurs trouvées pré- cédemment; ce qui se réduira, puisqu'on néglige les puis- sances de À supérieures à la premiere, à différentier ces valeurs, à remplacer dans le résultat les différentielles de x, 7,2 par hcos.€,h cos.n,h cos. t,et à en changer le signe. Ces différen- tielles étant prises en passant de la premièresurface « à l'autre, nous les désignerons par à, suivant la notation du calcul des variations; nous aurons ainsi pour la composante paral- ! X—X lèle aux x ce que devient —pee d'«d’c'à , quand on y 7 remplace Sæ par Acos.ë, c'est-à-dire 3 (æ—«) T7 ue d'od’6".h cos.Ë ER — :) Nous allons maintenant déterminer la forme et la position de l'élément dc. Désignons comme précédemment par w,v,w les projec- tions de la ligne r sur les plans des y, des zx et des æy, et par +, y; Ÿ, les angles que ces projections font avec les axes des y, des z et des x respectivement. Décomposons la première surface « en une infinité de zones infiniment étroites, telles que &bcd(fig.42), parune suite de plans perpen- diculaires au plan des yz menés par la coordonnée m'p'—x du point m’. Chaque zone se terminant aux deux bords du contour s de la surface <, aura pour projection sur le plan des yz une aire décomposable elle-même en éléments qua- drangulaires infiniment petits, auxquels répondront autant 1823. 4o 314 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES d'éléments de la surface « sur la zone dont il s’agit. Ce sont ces éléments qu'on doit considérer comme les valeurs de d’c. Celui dont la position, à l'égard de l'élément d’5', est déterminée par les coordonnées polaires r,u,9, est égal à sa projection wdud® sur le plan des y z divisée par le cosinus de l'angle £ compris entre ce plan et le plan tangent à la sur- face « avec lequel coïncide l'élément d'6. Il faudra donc u du (PRA = 1 dans la formule précédente, et l'on remplacer d°s par aura dr 3(x— x!) — rpuiauel _1). re r Pour calculer la valeur de (x— x") D, soient mx le pro- longement de la coordonnée mp —x du point » où est situé l'élément d°’$,mu une parallèle au plan des yz menée dans le plan pmm'p', et mt perpendiculaire à ce dernier plan au point ». Il est aisé de voir que la droite mn, suivant laquelle prm'p coupe le plan tangent en 7», à la surface 6, fait avec les trois lignes #24, mu, mt, qui sont perpendiculaires entre elles, des angles dont les cosinus sont respectivement me dx du L’dx +de? V/dx + du’ eto, et que la normale mA fait avec les mêmes directions des angles dont les cosinus sont dx du de V'Ox +0 +08. VSx + ou +56” V/Sa tou Lot" à é tenant lieu de la projection de 77 À sur mt. On a donc ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 315 dæjÿx+dudu L/dx° +du V/Ix +du +0 pour le cosinus de l'angle compris entre la droite mn et la normale m h, et puisque cetangleest droit,dx3x-+duÿu—o, TANTQIES du He : d'où Lu = ÿ> Mais l'équation Ti (x—xY +, donne rdr—(x—x)ix+udu, et rdr=udu+(x—x)dx, d’où l’on déduit dr x—x u Ôu DE MTNUEr r 0x ? et dr_u x—2x dx _u x—x du. du r Tr Tr dx? HER EURO 5 à PRE en éliminant jx entre ces deux équations, il vient sr dr x—x)" ,u° (æ—x Juge 4er Si nous tirons maintenant de cette équation la valeur de CN pour la substituer dans celle de la force parallèle à l’axe des x, nous aurons 3r—3u— £ uhee udude | —"—")— r* re T Fu d ® ! { phede(2e ME fes dedE 316 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES La hauteur Z et l'épaisseur « de lacouchedefluide infiniment mince répandue sur la surface «, peuvent varier d'un point de cette surface à un autre; et pour atteindre le but que nous nous proposons de représenter à l’aide des fluides ma- gnétiques, les actions qu'exercent les conducteurs voltaïques, il faut supposer que ces deux quantités «, k, varient enraison inverse l’une de l’autre, de manière que leur produit ke: con- serve la même valeur dans toute l'étendue de la surface ç. En appelant g la valeur constante de ce produit, l'expression précédente devient T7 u” pS'e d (o} ded— et s'intègre immédiatement. Sonintégrale pge d'5'de (£—c) exprime la somme des forces parallèles à l'axe des x qui agissent sur les éléments d’s de la zone de la surface « ren- fermée entre les deux plans menés par 72’ p' qui comprennent l'angle do. La surface « étant terminée par le contour fermé s, il faut prendre cette intégrale entre les limites déterminées par Jes deux éléments ab, cd de ce contour qui sont compris dans l'angle do des deux plans dont nous venons de parler, en sorte qu'en nommant 4,, r,, et w,,r, les valeurs de w et de r relatives à ces deux éléments, on a (7e u uge'd'c'de (5 == 3 2 1 pour la somme de toutes les forces exercées par l'élément d’c’ sur la zone parallèlement à l'axe des x. Si la surface 6, au lieu d’être terminée par un contour, renfermait de-tous côtés un espace de figure quelconque, la zone de cette surface comprise dans l'angle dièdre 9 serait ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 317 fermée, et l’on aurait u,=u,,r,—=7,; en sorte que l’action exercée sur cette zone parallèlement à l’axe des x serait nulle, et par conséquent aussi celle que l'élément d’c' exercerait sur toute la surface 5 composée alors de semblables zones. Et commela même chose aurait lieu relativement aux forces parallèles aux axes des y et des z, on voit que l'assemblage de deux surfaces très-rapprochées l’une de l’autre, renfer- mant de tous côtés un espace de forme quelconque, et cou- vertes, de la manière que nous venons de le dire, l’une de fluide austral, l’autre de fluide boréal, est sans action sur une molécule magnétique, en quelque endroit qu’elle soit placée, et par conséquent sur un corps aimanté de quelque manière que ce soit. Reprenons l'expression précédente LATE ad uge' d’o (ESS, etil nous sera aisé de voir que, pour avoir la somme totale des forces parallèles à l’axedes x que l’élément d s'exerce sur la sur- face entière 5, il faut intégrer, par rapport à +, les deux parties dontse compose cette expression, respectivement dans les deux portions Aa bB,BabA du contours, déterminées par les deux / fe , . / : plans tangents p m'À, p'mB, menés par la ligne mp’. Mais u° d 52 = = dans toute l’éten- il revient au même d'intégrer uge d'c due du circuit s ; car si l’on met pour w et » leurs valeurs en fonctions de r déduites des équations de la courbe s, on voit - qu’en passant de la partie Aa bB à la partie Bcd À, de change de signe, et que par conséquent les éléments de l’une de ces parties sont d’un signe contraire à ceux de l’autre. D'après cela, si nous désignons par X la somme des forces 318 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES parallèles aux x qu’exerce l'élément d’5’ sur l'assemblage des deux surfaces terminées par le même contour s, nous aurons X=uged' ft, ou, ce qui est la même chose, x=jgedre [dE ar, - les x, y, z n'étant relatifs qu’au contour s. Où aura de même,en désignant par Y et Z les sommes des forces parallèles aux y et aux z qui agissent sur le même assemblage de surfaces, LA aid LA Y=uged'e]=gus d'e' 2=uge de [= que de PRE, (. Comme toutes les forces élémentaires qu’exerce l'élément dc sur ces surfaces passent par le point m' où il est situé, on voit que toutes ces forces ont une résultante unique dont la direction passe par le même point "#', et dont les compo- santes parallèles aux axes sont X, Y,Z. Les moments de cette résultante par rapport aux mêmes axes sont donc Yz'—2y',Zx'—Xz, Xy —Yx!. Supposons maintenant qu’au lieu de ces forces on applique {1) I est inutile de remarquer que ces X,Y , Z expriment des forces toutes différentes de celles que nous avons déja désignées par les mêmes lettres, lorsqu'il s'agissait de l’action mutuelle de deux éléments de circuits voltaïques. ( rm ae til ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 319 au milieu de chacun des éléments ds du contour s une force , dssin.( 2 égale à pge d'o , et perpendiculaire au plan du secteur qui a ds pour base, le point »' pour sommet, et dont l'aire est :rdssin.6. Les trois composantes de cette force étant TR SUrEe he à Ps , :w° dy manre? uge' do __ , uge'd'o parallèles à celles qui passent par l'élément d’c et dirigées dans le même sens , on aura les mêmes valeurs pour les trois forces X, Y, Z qui tendent à mouvoir le circuit s; mais les sommes des moments de rotation qui en résulteront, au lieu d’être représentées par sr Cody #w? dé ’ , [u° do pee de (2 fr fE age d'a (&'f aa f Æ 1 2 d ñ V d uge' do nt “a le seront par RARE 22° dy yw° d PT æw? dé zu° do uge' do CETTE (ESS +), PAPE yu? d æv° dy age de (FES -fES) Il semble d’abord que ce changement en doit apporter un à l’action exercée sur le contour s, mais il n’en est pas ainsi pourvu que ce contour forme un circuit fermé, car si l'on retranche la première somme de moments, relative à l'axe des æ par exemple, de la quatrième qui se rapporte au même axe, en faisant attention que +’,y',2' doivent être considé- rées comme des constantes dans ces intégrations , on aura see frère n vdi 73 320 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES ! ge de fe dæ—(z—2)(x— x") dz—(y—7")(x—x')dy + (y 7) dx sl. r° r pri dofl— Unie ES de te as ge do = qu (frdæ—(x—z)dr] PE En A M ug'e d'a [ES] age dr (ET), en nommant æ,, «æ,, et r,, r, les valeurs de x et de r aux deux extrémités de l'arc s pour lequel on calcule la valeur de la différence des deux moments. Quand cet arc forme un circuit fermé , il est évident que x,—x,,r,=—r,, ce qui rend nulle l'intégrale ainsi obtenue; on a done alors 14 1 (20° dy —yw?d Pte VIDE dl , (w° dd pes do ft y ge ds (2 f( ns — ë On trouve par un calcul semblable que les moments relatifs aux deux autresaxes sont les mêmes, pour un circuit fermé , soit qu'on suppose que les directions des forces v° d' 142 w°d £,pge'd'e + ugue'd'o mo USE ‘de c° passent par l'élément d’s' ou parle milieu de ds; d'où ilsuit que dans ces deux cas l’action qui a lieu sur le contour s est exactement la même, ce contour étant invariablement lié aux deux surfaces très-voisines qu’il termine: l’action exercée sur ces deux surfaces par l'élément d’5" se réduira donc, pourvu que le contour s soit une courbe fermée, aux forces appli- quées comme nous venons de le dire à chacun des éléments de ce contour, celle qui agit sur l'élément ds ayant pour valeur 1: , Aésinf (A Se d'c ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 321 La force appliquée au milieu o de l'élément ab—ds, qui est proportionnelle à dssin.6 divisé par le carré de la dis- tance r de cet élément au point 7», et dont la direction est perpendiculaire au plan qui passe par l'élément a b et par le point m', est précisément celle qu’exerce , comme nous l'avons vu, sur l'élément ds l'extrémité d'un solénoïde électro-dy- namique indéfini lorsqu'on place cette extrémité au point m'; c'est aussi celle qui est produite, d’après les dernières expériences de M. Biot, par l’action mutuelle de l'élément ab, et d'une molécule magnétique située en 7’. Mais en donnant à cette force la mème valeur et la même direction perpendiculaire au plan #'«b, qu'on doit lui don- ner lorsqu'on la détermine, comme je l'ai fait, en rempla- çant la molécule magnétique par l'extrémité d’un solénoïde indéfini , M. Biot suppose que c'est en m' que se trouve son point d'application, ou plutôt celui de la force égale et op- posée que l'élément ds exerce sur le point », car c’est à cette derniere que se rapportent les expériences qu'il a fai- tes; au lieu que la direction de la force exercée par cet élément sur l'extrémité située en 77 d’un solénoïde indéfini doit passer par le point »m, comme celle que le solénoïde exerce sur l'élément, quand on conclut cette force de ma formule. Ainsi, en conservant les notations que nous em- ployons, et en représentant, pour abréger, par ? le coëfficient constant ge d’c',les sommes des moments, d’après la manière dont M. Biot place les points d'application des forces, se- raient pour les trois axes et en changeant les signes, puis- qu'il s’agit des forces qui agissent sur le point 7’, 20° dy—7y'w° dÿ Co CS ÉCRIT NET 1823. A 322 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES EE dh—z'u° do TS r° ? __. fp'u dp—zx'v° d; r° , tandis qu'en prenant les points d'application comme je les trouve, on a pour ces sommes de moments zou? dy—y1w? dY UE CSS ? x w° dh—z4° dp PONS PHRASE yu? dp—xe" dy. 2p fee Mais nous venons de voir que ces dernieres valeurs sont respectivement égales aux trois précédentes, quand la por- tion de conducteur forme un circuit fermé; d’où il suit que dans ce cas, l'expérience ne peut décider si le point d’ap- plication des forces est réellement au point m° ou au mi- lieu »m de l'élément ds. Et comme, dans celles qu'a faites l'habile physicien à qui l'on doit les expériences dont il est ici question, C'était en effet un circuit complètement fermé, composé de deux portions rectilignes formant un angle auquel il donnait successivement différentes valeurs , du reste du fil conducteur et de la pile, qu'il faisait agir sur un petit aimant, pour déduire le rapport des forces corres- pondantes aux diverses valeurs de cet angle des nombres d’oscillations du petit aimant, pendant un temps donné, qui correspondaient à ces diverses valeurs ; dès-lors, les résultats desexpériences faites de cette manière devant être identique- ment les mêmes, soit qu’on suppose le point d'application des $ ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 3923 forces en o ou en #', ne peuvent servir à decider laquelle de ces deux suppositions doit être préférée, cette ques- tion sur la situation du point d'application ne peut êtreré- solue que par d’autres considérations; c’est pourquoi je pense qu’il est nécessaire, avant d'aller plus loin, de l’examiner avec quelques détails. ; C'est dans le Mémoire que je lus à la séance du 4 de- * cembre 1820, que je communiquai à l'Académie la formule fondamentale de toute la théorie exposée dans ce Mémoire, formule qui donne la valeur de l’action mutuelle de deux fils conducteurs exprimée ainsi : ii dsds’(sin.Osin.6’cos.w:+cos.Ocos.®’) , | Re TT ent EC AR CM Da X étant un nombre constant, dont J'ai depuis déterminé la valeur, en prouvant, par d’autres expériences, qu'il est égal à ——. Quelque temps après, dans la séance du 18 du même mois, M. Biot lut un Mémoire où il décrivait les expériences qu'il avait faites sur les oscillations d’un petit aimant soumis à l'action d'un conducteur angulaire, et où il concluait de ces expériences, par l’erreur de calcul exposée plus haut, que l'action de chaque élément du conducteur sur ce qu’on ap- pelle une molécule magnétique, est représentée par une force perpendiculaire au plan mené par la molécule et par l'élément, en raison inverse du carré de leur distance, et pro- portionvelle au sinus de l'angle que la droite qui mesure (1) Journal de physique, tome xcr, page 226— 230. 41. 324 THÉORIE DES PHÉNOMEÈNES cette distance forme avec la direction de l'élément. On voit par les calculs précédents, que cette force est précisément celle que donne ma formule pour l’action mutuelle d’un élé- ment de fil conducteur et de l'extrémité d’un solénoïde élec- tro-dynamique, et qu’elle est aussi celle qui résultede la loi de Coulomb, dans l'hypothèse des deux fluides magnétiques, lorsqu'on cherche l’action qui a lieu entre une molécule ma- gnétique et les éléments du contour qui termine deux sur- faces infiniment voisines, recouvertes l’une de fluide austral, l'autre de fluide boréal, en supposant les molécules de ces fluides distribués sur les deux surfaces comme je viens de l'expliquer. Dans ces deux manières de concevoir les choses, on trouve les mêmes valeurs pour les trois composantes, paralleles à trois axes pris à volonté, de la résultante de toutes les forces exercées par les éléments du contour, et, pour chacune de ces forces, l’action est opposée à la réaction suivant les droites qui joignent deux à deux les points entre lesquels elles s’exercent ; il en est de même de la résultante elle- même et de sa réaction. Mais dans le premier cas, le point O (fig. 36) représente l'extrémité du solénoïde auquel appar- tiennent les points P, N, et o étant celui où est situé l’élé- ment, les deux forces égales et opposées 0g,07 passent par cet élément ; dans le second cas, au contraire, c’est en O qu'il faut concevoir placé l'élément du contour des surfaces recou- vertes de molécules magnétiques P, N, et en o la molécule sur laquelle agissent ces surfaces , en sorte que les deux forces égales et opposées passent par la molécule. Tant qu’on admet qu'il ne peut y avoir d'action d'un point matériel sur un autre, sans que celui-ci réagisse sur le premier avec une force ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 325 égale et dirigée en sens contraire suivant une même droite, ce qui entraîne la même condition relativement à l’action et à la réaction de deux systèmes de points invariablement liés, on n’a à choisir qu'entre ces deux hypothèses. Et comme l’ex- périence de M. Faraday, sur la rotation d’une portion de fil conducteur autour d’un aimant, est, ainsi que je l’explique- rai tout-àa-l'heure, en contradiction manifeste avec la pre- miere, il ne devait plus y avoir de difficulté à regarder, avec moi, comme seule admissible celle où l'on fait passer, par le milieu de l'élément, la droite suivant laquelle sont diri- gées les deux forces. Mais plusieurs physiciens imaginerent alors de supposer que, dans l’action mutuelle d’un élément AB (fig. 39) de fil conducteur et d’une molécule magné- tique M, l’action et la réaction, quoique égales et dirigées en sens contraire, ne l'étaient pas suivant une même droite, mais suivant deux droites parallèles, en sorte que, la molé- cule M, agissant sur l'élément AB , tendrait à le mouvoir suivant la droite OR menée par le milieu O de l'élément AB perpendiculairement au plan MAB, et que l'action qu’exer- cerait réciproquement cet élément sur la molécule M tendrait à la porter, avec une force égale, dans la direction MS pa- rallèle à OR. : Il résulterait de cette singulière hypothèse, si elle était vraie, qu'il serait mathématiquement impossible de rame- ner jamais les phénomènes produits par l’action mutuelle d’un fil conducteur et d’un- aimant à des forces agissant, comme toutes celles dont on a reconnu jusqu’à présent l'existence dans la nature, de manière que l’action et la réaction soient égales et opposées dans la direction des droites qui joignent deux à deux les points entre lesquels elles s’exercent ; car, 326 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES toutes les fois que cette condition est remplie pour des forces élémentaires quelconques, elle l’est évidemment, d'après le principe mème de la composition des forces, pour leurs ré- sultantes. Aussi, les physiciens qui ont adopte cette opinion sont-ils forcés d'admettre une action réellement élémentaire, consistant en deux forces égales dirigées en sens contraires suivant deux droites parallèles , et formant ainsi un couple primitif, qui ne peut être ramené à des forces pour lesquelles l'action et la réaction seraient opposées suivant une même droite. J'ai toujours regardé cette hypothèse des couples pri- mitifs comme absolument contraire aux premières lois de la mécanique, parmi lesquelles on doit compter, avec Newton, l'égalité de l'action et de la réaction agissant en sens contraires suivant la même droite; et j'ai ramené les phénomènes qu'on observe quand un fil conducteur et un aimant agissent l’un sur l’autre, comme tous les autres phénomènes électro-dyna- miques, a une action entre deux éléments de courants élec- triqués, d'où résultent deux forces égales et opposées, dirigées toutes deux suivant la droite qui joint les deux éléments. Ce premier caractere des autres forces observées dans la nature se trouve ainsi justifié; et quant à celui qui consiste en ce que les forces que l’on considère comme réellement élémentaires soient en outre simplement fonctions des distances des points entre lesquels elles s’exercent, rien ne s'oppose, ainsi que je l'ai déja remarqué, à ce que la force, dont j'ai déterminé la valeur par des expériences précises, ne se ramène un jour à des forces élémentaires qui satisfassent aussi à cette seconde condition, pourvu qu’on fasse entrer dans le calcul le mou- vement continuel, dans les fils conducteurs, des molécules électriques auxquelles ces dernières forces seraient inhéren- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 327 tes. La considération de ces mouvements introduisant néces- sairement dans la valeur de la force qui en résulterait entre deux éléments, outre leur distance, les angles qui déter- minent les directions suivant lesquelles se meuvent les mo- lécules électriques, et qui dépendent des directions mêmes de ces éléments; ce sont précisément ces angles, ou, ce qui revient au même, les différentielles de la distance des deux éléments considérée comme une fonction des arcs formés par les fils conducteurs, qui entrent seuls avec cette distance dans ma formule. Il ne faut pas oublier que, dans la manière de concevoir les choses qui me paraît seule admissible, les deux forces égales et opposées OR et OT sont des résul- tantes d’une infinité de forces égales et opposées deux à deux; OR est celle des forces On’, Op", etc., qui passent toutes par le point O, en sorte que leur résultante OR y passe aussi, mais que OT est la résultante des forces Nr, P p, etc., exercées par l'élément AB sur des points tels que N, P, etc., invaria- blement liés à l'extrémité M du solénoïde électro-dynamique par laquelle je suppose remplacé ce qu'on nomme une mo- lécule magnétique. Ces points sont tres-près de M quand ce solénoïde est très-petit, mais ils en sont toujours distincts, et c’est pourquoi leur résultante OT ne passe pas par le point M, mais par le point O vers lequel toutes-les forces Nr, Pp, etc., sont dirigées. On voit, par tout ce que nous venons de dire, qu'en con- servant aux deux forces égales qui résultent de l’action mu- tuelle d’un fil conducteur et d’un aimant, et qui agissent l’une sur le fil dont l'élément AB fait partie, et l’autre sur l’aimant auquel appartient le point M, la même valeur, et la même direction perpendiculaire au plan MAB, on peut faire zÆ s 1 a 328 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES trois hypothèses sur le point d’application de ces forces : dans la première, on suppose que les deux forces passent par le point M ; dans la seconde, qui est celle quirésulte de ma formule , les deux forces passent par le milieu O de l'élément ; dans la troi- sième, où les forces sont OR et MS, celle qui agit sur l’élé- ment est appliquée au point O, et l'autre au point M. Ces trois hypothèses sont entièrement d'accord, 1° à l'égard de la valeur de ces forces qui sont également, dans toutes les trois, en raison inverse du carré de la distance MO, et en raison directe du sinus de l'angle MOB que la droite OM qui mesuré cette distance fait avec l'élément AB; 2 à l’é- gard de la direction des mêmes forces, toujours perpendicu- laire au plan M AB qui passe par la molécule et par la direc- tion de l’élément: mais à l'égard de leurs points d'application, ils sont placés différemment pour les deux forces, dans les deux premières hypothèses; et il y a identité entre la pre- miere et la troisieme seulement pour les forces qui agissent sur l’aimant , et entre la seconde et la troisième seulement pour les forces qui agissent sur le conducteur. En vertu de l'identité des valeurs et des directions des forces qui a lieu dans les trois hypothèses, les composantes de leurs résultantes, prises parallèlement à trois axes quel- conques, seront les mêmes; mais les moments de rotation, qui dépendent en outre des points d'application de ces forces, ne seront, en général, les mêmes, à l'égard des for- ces qui tendent à mouvoir l’aimant, que pour la première et la troisième, et, à l'égard des forces qui agissent sur le fil conducteur, que pour la seconde et la troisième. Nous venons de voir que dans le cas où il est ques- tion de l’action d’une portion de fil conducteur, formant un ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 329 circuit fermé , les valeurs des moments sont les mêmes, soit qu’on prenne, pour chaque élément, le point d'application des forces en O ou en M; dans ce cas, donc, il y aura, en outre, identité pour les valeurs des moments dans les trois hypo- thèses. Le mouvement d’un corps, dont toutes les parties sont invariablement liées entre elles, ne peut dépendre que des trois composantes parallèles à trois axes pris à volonté, et des trois moments autour des mêmes axes ; d’où il suit qu'il y a identité complète dans les trois hypothèses pour le mou- vement produit, soit dans l’aimant , soit dans le conducteur, lorsque celui-ci forme un circuit solide et fermé. C’est pour- quoi l'impossibilité d’un mouvement indéfiniment accéléré, étant en général une suite nécessaire de la premiere hypo- thèse, puisque les forces élémentaires y sont simplement fonc- tions des distances des points entre lesquels elles s’exercent, il s'ensuit évidemment que ce mouvement est également im- possible, dans les deux autres hypothèses , seulement lors- que le conducteur forme un circuit solide et fermé. Il est aisé de voir, au reste, que la démonstration ainsi obtenue de l'impossibilité de produire un mouvement indé- finiment accéléré par l’action mutuelle d’un circuit électri- que solide et fermé, et d’un aimant, n’est pas seulement une suite nécessaire de ma théorie, mais qu’elle résulte aussi, dans l'hypothèse des couples primitifs , de la seule valeur donnée par M. Biot pour la force perpendiculaire au plan MAB, ainsi que je l’ai démontré directement, avec tous les détails qu'on peut désirer, dans une lettre que j'ai écrite sur ce sujet à M. le docteur Gherardi. Si donc on avait pu pro- duire un mouvement accéléré en faisant agir sur un aimant 1823. 42 330 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES un conducteur formant un circuit solide et fermé, ce n’au- rait pas été seulement ma formule qui aurait été en défaut, mais encore celle qu'a donnée M. Biot, que toutes les ob- servations faites depuis ont complétement démontrée, et dont les physiciens qui admettent l'hypothèse des couples primitifs n'ont jamais contesté l'exactitude. Lorsqu'on rend mobile une portion du circuit voltaique , on doit distinguer trois cas : celui où elle forme un cireuit presque fermé (1); celui où ne pouvant que tourner autour d'un axe, elle a ses deux extrémités dans cet axe; celui où la portion mobile ne forme pas un circuit fermé, et où une de ses extrémités au moins parcourt un certain espace à me- sure qu'elle se meut : ce dernier cas comprenant celui où cette portion est formée par un liquide conducteur. Nous venons de voir que, dans le premier de ces trois cas, le mouvement que prend la portion mobile par l'action d’un aimant, est identiquement le même dans les trois hypo- thèses, et ne peut jamais s’accélérer indéfiniment, mais tend seulement à amener la portion mobile dans une position déterminée où elle s'arrête en équilibre après avoir quelque temps oscillé autour de cette position en vertu de la vitesse acquise. Il en est de même du second, qui ne diffère du premier qu'en apparence: car si l’on ajoutait dans l'axe, un courant, L (x) Le circuit formé par une portion mobile de fil conducteur n'est jamais rigoureusement fermé, puisqu'il faut bien que ses deux extrémités commu- niquent séparément avec celles de la pile ; mais il est aisé de rendre l'inter- valle qui les sépare assez petit pour qu'on puisse le considérer comme s'il était exactement fermé, ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 331 qui rejoignit les deux extrémités de la portion mobile, on aurait un circuit fermé sans avoir rien changé au moment de rotation autour de cet axe, puisque les moments des forces exercées sur le courant ajouté seraient évidemment nuls ; d’où il suit que le mouvement de la portion mobile serait identi- quement le même que celui du circuit fermé ainsi obtenu. Mais lorsque la portion mobile ne forme pas un circuit fermé, et que ses deux extrémités ne sont pas dans un axe autour duquel elle serait assujettie à tourner, les moments produits par l’action, soit d'une molécule magnétique, soit de l'extrémité d’un solénoïde indéfini, ne sont plus les mêmes que dans la seconde et la troisième hypothèse, et ont une valeur différente dans la premiere. En prenant pour l'axe des x la droite autour de laquelle on suppose la portion mobile liée de manière à ne pouvoir que tourner autour de cette droite, et en consérvant les déno- minations que nous avons employées dans les calculs pré- cédents, nous en conclurons que la valeur du moment de rotation produit par les forces qui agissent sur la portion mobile, serait $ 2! v° d{—»" w°dY ef PAT FO EPS FOUR dans la première hypothése, et 112 d 1231 2 d LE 72 Real :[— 4 —ÿ"w ere æ TL, — x dans les deux autres. C'est à cette différence dans les valeurs du moment de ro- tation, qu'on doit la possibilité de prouver par l'expérience que la premiere hypothese est en contradiction avec les A 42. » 332 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES faits. Car si l’on considère un aimant comme réduit à deux molécules magnétiques d’une force comme infinie placées à ses deux pôles, et qu'après avoir mis dans une situation ver- ticale la droite qui les joint, on assujettisse une portion de fil conducteur à tourner autour de cette droite prise pour l'axe des x, alors les deux moments de rotation relatifs aux deux pôles seront exprimés par la formule précédente en y remplaçant x',7°,2", par x,,7,,2, pour un des pôles, et par x,,7,,2, pour l’autre, en ayant soin de changer de signe l’un de ces moments , le premier, par exemple, puisque les deux pôles sont nécessairement de natures opposées, l’un austral et l’autre boréal. Quand les deux pôles sont, comme nous le supposons ici, situés sur l’axe des x, on a y, —0,y, —0,2, —0,z,—0;,et les deux moments de rotation autour de l'axe des x devien- nent nuls dans la première hypothèse: ce qu’il était facile de prévoir, puisque dans cette hypothèse les directions de toutes les forces appliquées au conducteur mobile passent par un des deux pôles et y rencontrent l'axe fixe, ce qui rend né- cessairement nuls les moments de ces forces. Dans les deux autres hypothèses, au contraire, où les di- rections des forces passent par les milieux des éléments, les parties des moments égales à ceux de la première hypothèse sont les seules qui s'évanouissent ; et lorsque après les avoir supprimées, on réunit ce qui reste de chaque moment, on a L,—Zx', LL L,—Zx', Æ,—x!, PC +), BE r r. TE za 2,1 en désignant par r,,;r,,,5r,,,;r,,, les distances des points dont les abscisses sont respectivement æ,,4/;x,,x,/;2,,2,; ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 333 æ,,æ’,. Ii est aisé de voir que les quatre termes de la quantité qui est comprise entre les parenthèses dans cette expression, sont précisément les cosinus des: angles que forment avec l'axe des x les droites qui mesurent les distances 7,,,; r,,,; rl: Ce qui rend la valeur que nous venons de trouver pour le moment produit par l'action .des deux pôles sur le conducteur mobile, identique à celle que nous avons déja obtenue pour celui qui résulte de l’action sur le même con- ducteur d’un solénoïde dont les extrémités seraient situées à ces pôles, et dont les courants électriques auraient une in- tensité z et des distances respectives telles qu'on eût Act YEN c' étant l'intensité du courant du conducteur. ps Le moment de rotation étant toujours nul dans la pre- mière hypothèse, la portion mobile du circuit voltaïque ne tournerait jamais par l’action d’un aimant situé, comme nous venons de le dire, autour de l'axe de cet aimant ; dans les deux autres hypothèses, elle doit au contraire tourner en vertu du moment de rotation dont nous venons de calculer la valeur,toujours la même, dans ces deux hypothèses. M. Fa- raday, qui a le premier produit ce mouvement , conséquence nécessaire des lois que j'avais établies sur l’action mutuelle des conducteurs voltaiques, et de la manière dont j'avais consi- déré les aimants comme des assemblages de courants élec- triques, a démontré par-là que la direction de l'action exercée par le pôle d’un aimant sur un élément de fil con- ducteur passe en effet par le milieu de l'élément, confor- mément à l’explication que j'ai donnée de cette action, et non par le pôle de l’aimant. Dès-lors l'ensemble des phé- 334 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES nomènes électro-dynamiques ne peut plus être expliqué par la substitution de l’action des molécules magnétiques aus- trales et boréales, répandues de la manière que je viens de l'expliquer sur deux surfaces trèes-voisines et terminées par les fils conducteurs du cireuit voltaique, à la place de l'ac- tion, exprimée par ma formule, qu'exercent les courants de ces fils. Cette substitution ne peut avoir lieu que quand il s'agit de l'action des circuits solides et fermés, et sa princi- pale utilité est de démontrer l'impossibilité d’un mouvement indéfiniment accéléré, soit par l’action mutuelle de deux conducteurs solides et fermés, soit par celle d'un conduc- teur de ce genre et d’un aimant. Lorsque l’aimantestmobile, il faut aussi distinguer trois cas: celui où toutes les parties du circuit voltaique qui agit sur cet aimant sont immobiles ; celui où quelques parties de ce circuit sont mobiles, mais sans liaison avec l’aimant, ces portions pouvant d’ailleurs être formées par un fil métal- lique, ou: par un liquide conducteur ; enfin celui où une partie du courant passe par l’aimant, ou par une portion de conducteur liée à l’aimant. \ Dans le premier cas, le circuit total composé des conduc- teurs et de la pile, est nécessairement fermé; et puisque toutes ses-parties sont immobiles , les trois sommes des mo- ments des forces exercées sur les points de J’aimant considé- rés, soit comme des molécules de fluide austral ou boréal, soit comme des extrémités de solénoïdes électro-dynamiques, sont identiques dans les trois hypothèses, ainsi que le sont les résultantes mêmes de ces forces; en sorte que les mouve- ments imprimés à l'aimant, et toutes les circonstances de ces mouvements, sont précisément les mêmes, quelle que soit 4 ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 335 celle de ces hypothèses qu’on adopte. C’est ce qui a lieu, par exemple, pour la durée des oscillations faites par l'aimant, sous l'influence de ce circuit fermé et immobile; et c'est pour cela que les dernières expériences de M. Biot, d’où il résulte que la force qui produit ces oscillations est proportionnelle à la tangente du quart de l'angle que forment les deux bran- ches du conducteur qu’il emploie , s'accordent aussi bien avec cette conséquence de ma théorie que les directions des forces qui agissent sur l’aimant passent par les milieux des éléments du fil conducteur, qu'avec l'hypothèse qu'il a adoptée et dans laquelle il admet que ces directions passent par les points de l’aimant où il place les molécules magnétiques. L'identité qui a lieu dans ce cas entre les trois hypothèses, montre en même temps l'impossibilité que le mouvement de l’aimant s'accélère indéfiniment, et prouve que l’action du circuit voltaique ne peut que tendre à l'amener dans une po- sition déterminée d'équilibre. Il semble, au premier coup d'œil, que la même impossi- bilité devrait avoir lieu dans le second cas, ce qui est con- traire à l'expérience, du moins quand une partie du circuit est formée d’un liquide. Il est évident, en effet, que la mobi- lité d’une portion du conducteur n'empêche pas que cette portion n’agisse à chaque instant comme si elle était fixe dans la position qu’elle occupe à cet instant; et l’on ne voit pas d’abord comment cette mobilité peut changer tellement les conditions du mouvement de l’aimant, qu'il devienne suscep- tible d’une accélération indéfinie dont l'impossibilité est dé- montrée quand toutes les parties du circuit voltaique sont immobiles. Mais dès qu'on examine avec quelque attention ce qui 336 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES doit arriver, d’après les lois de l’action mutuelle d'un corps conducteur et d’un aimant, quand le conducteur est liquide, qu’un cylindre aimanté vertical flotte dans ce liquide, et que la surface du cylindre est recouverte d’un vernis isolant afin que le courant ne puisse pas le traverser, ce qui donnerait lieu au troisième cas, on reconnaît bientôt comment il résulte de la mobilité de la portion liquide du circuit voltaïque que l’aimant flottant acquière un mouve- ment qui s'accélère indéfiniment : il ne faut pour cela qu’ap- pliquer à ce cas l'explication que j'ai donnée, dans les An- nales de Chimie et de Physique ( tome XX, pag. 68— 0), du même mouvement, quand on suppose que l’aimant n’é- tant pas verni, les courants du liquide où il flotte le traver- sent librement. û En effet, cette explication étant fondée sur ce que les por- tions de courants qui se trouvent dans l’aimant ne peuvent avoir sur lui aucune action, et que celles qui sont dans le liquide hors de l’aimant agissent toutes pour accélérer son mouvement toujours dans le même sens, il s'ensuit évidem- ment que tout ce qui arrive dans ce cas doit encore arriver quand la substance isolante, dont on revet l’aimant, supprime seulement précisément ces portions de courants qui n'avaient aucune action, et qu'elle laisse subsister et agir, toujours de la même maniere, celles qui, étant hors de l’aimant, ten- daient toutes à accélérer son mouvement constamment dans le même sens. Pour qu’on puisse mieux juger qu'il n’y a, en effet, rien à changer à l'explication dont je viens de parler, je crois devoir la rappeler ici, en l'appliquant au cas où l’ai- mant est recouvert d'une substance isolante. Je supposerai, pour plus de simplicité dans cette explication, que l’on subs- / ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 337 titue à l'aimant un solenoïde électro - dynamique, dont les extrémités soient aux pôles de cet aimant, quoique, d’après ma théorie, il dût être considéré comme un faisceau de solé- noïdes. Cette supposition ne change pas les effets produits, pafce que les courants du mercure agissant de la même ma- nière et dans le même sens sur tous les solénoïdes du fai- sceau , ils lui impriment un mouvement semblable à celui qu'ils donneraient à un seul de ces solénoïdes, et l'on peut toujours supposer que les courants électriques de celui-ci aient assez d'intensité pour que son mouvement soit sensi- blement le même que celui du faisceau. Soit donc ET FT" (fig. 40) la section horizontale d’un vase de verre plein de mercure en contact avec un cercle de cuivre qui en garnit le bord intérieur et qui communique avec un des rhéophores, le rhéophore négatif par exemple, tandis que l’on y fait plonger gnP le rhéophore positif; alors il se forme dans le mercure des courants qui vont du centre P du cercle ETEFT" à sa circonférence. l Représentons la section horizontale du solénoïde par le petit cercle etft', dont le centre est en A et dont Îa cir- conférence etft! est un des courants électriques dont il est composé : en supposant que ce courant se meuve dans le sens etft', ilsera attiré par les courants du mercure tels que PUT, qui se trouvent, dans la figure, à droite de etft', parce que la demi - circonférence etf, où le courant va dans le même sens, en est plus rapprochée que ft'e où il va en sens con- traire. Soit AS cette attraction égale à la différence des forces exercées par les courants PUT sur les deux derni-circonfé- rences, et qui passe nécessairement par leur centre À, puis- qu'elle résulte des forces que ces courants exercent sur tous 1823. 43 338 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES les éléments de la circonference etft' qui leur sont perpen- diculaires, etsont, par conséquent, dirigées suivant les rayons de cette eirconférence. Le même courant etft' du solénoïde est, au contraire, repoussé par les courants qui, comme PU'T', sont, dans la figure, à gauche de ce courant etft', parce qu’ils sont en sens contraire dans la demi-circonférence ft'e la plus voisine de PU'T"”. Soit AS' la répulsion qui ré- sulte dé la différence des actions exercées par les courants PU'T' sur les deux demi-circonférences ft'e, etf, elle sera égale à AS;et fera,aveclerayon PAF , l'angle FAS'—PAS, puisque tout est égal des deux côtés de ce rayon : la résul- tante AR de ces deux forces lui sera donc perpendiculaire; et comme elle passera par le centre À, ainsi que ses deux composantes AS, AS’, le solénoide n'aura aucune tendance à tourner autour de son axe, comme on l’observe en effet à l'égard de l’aimant flottant que représente ce solénoïde ; mais il tendra, à chaque instant, à se mouvoir suivant la per- pendiculaire AR au rayon PAF, et comme, lorsqu'on fait cette expérience avec un aimant flottant, la résistance du mercure détruit à chaque instant la vitesse acquise, on voit cet aimant décrire la courbe perpendiculaire à toutes les droites qui passent comme PAF par le point P, c'est-à-dire la circonférence ABC dont ce point est le centre. Cette belle experience, due à M. Faraday, a été expliquée par les physiciensqui n'admettentpas ma théorie, en attribuant le mouvement de l’aimant au rhéophore plongé en P dans le mercure, auquel on donne ordinairement une direction per- pendiculaire à la surface du mercure. Il est vrai que, dans ce cas, le courant de ce rhéophore tend à porter l’aimant dans lesens où il se meut réellement ; mais il est aisé de s'assurer, ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 339 par des expériences comparatives, que c’est avec une force beaucoup trop faible pour vaincre la résistance du mercure, etproduire, malgré cette résistance, le mouvement qu'on ob- serve. J'étais d’abord surpris de voir que ces physiciens ne tenaient pas compte de l'action que les courants du mercure doivent exercer dans leur propre théorie, ma surprise a au- gmenté quand j'en ai reconnu la cause dans une erreur ma- nifeste qui se trouve énoncée en ces termes dans l'ouvrage déja cité (1): « L'action transversale de ce fil fictif (le cou- « rañt électrique qui est dans le mercure) sur le magnétisme «austral de A (fig. 43), tendra donc aussi constamment « à pousser À de la droite vers la gauche d’un observateur € qui aurait la tête en C', et les pieds en Z. Mais une ten- « dance contraire s’exercera sur le pôle B, et même avec « une énergie égale, si la ligne horizontale C'FF'Z se trouve « à la hauteur précise du centre du barreau; de sorte qu'en « somme, il n’en résultera aucun mouvement de translation. « Ce sera donc alors la seule force exercée par CF qui dé- « terminera la rotation du barreau A B. » Comment l’auteur n'atil pas vu que les actions que le fil fictif, placé comme il le dit, exerce sur les deux pôles du barreau AB , tendent à le porter dans lé même sens, et qu’elles s'ajoutent au lieu de se détruire, puisque étant d'espèces contraires, ces pôles se trouvent des deux côtés opposés du fil? Il est important de remarquer à ce sujet, que si des por- tions de courants, faisant partie de ceux du mercure, pou- vaient se trouver dans l’intérieur du petit cercle etft' et agir (1) Précis élémentaire de physique expérimentale, troisième édition , tome II, page 753. 43: ! 340 / THÉORIE DES PHÉNOMÈNES sur lui, elles tendraient à le fâire tourner autour du point P en sens contraire, et avec une force qui, au lieu d’être la différence des actions exercées sur les deux demi-circonfe- rences etf, ft'e, en est la somme , parce que si wv repré- sente une de ces portions, il est évident qu'elle attirera l'arc utv et repoussera l'arc vt'u, d'où résultent deux forces qui conspirent à mouvoir et/ft' dans la direction A Z opposée à AR. Cette circonstance ne peut évidemment avoir lieu avec l’aimant flottant qui occupe tout l’intérieur du petit cercle etft', parce qu'il en exclut les courants quand il est revêtu de matière isolante, et parce que, dans le cas contraire, les portions de” courants comprises dans ce cercle, ayant lieu dans des particules de l'aimant invariablement liées à celles sur lesquelles elles agissent, l’action qu'elles produisent est détruite par une réaction égale et opposée; en sorte qu'il ne reste , dans les deux cas , que les forces exercées par les courants du mercure , qui tendent toutes à mouvoir l’aimant suivant AR. C'est uniquement pour cela qu'il tourne autour du point P dans ce sens, comme on s'en assure en rempla- ant l'aimant par un conducteur mobile xzetft'sy (fig. 4r), forme d'un fil de cuivre assez fin, revêtu de soie, dont la. partie intermédiaire e tft" est pliée en cercle, et dont les deux portions extrêmes, tordues ensemble de e en z, vont, l’une ezx se rendre en + dans une coupe à mercure communi- quant à un des rhéophores, et, l'autre {sy plonger en P (fig. 40) dans le mercure qui communique, comme nous l'avonsdit, avec l’autre rnéophore : on suspend ce conducteur mobile de manière que le cercle etft' (fig. 41) soit très-près de la surface du mercure, et l’on voit qu'il reste immobile, en vertu de l'équilibre qui s'établit entre les forces exercées par ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 34 les portions de courants comprises dans le cercle etft', et celles qui le sont par les courants et portions de courants extérieurs à ce cerele. Mais dès qu'on supprime les portions de courants comprises dans l’espace etft' (fig. 4o),en enfonçant dans le mercure au-dessous du cercle et ft'(fig. 41) un cylindre de matière isolante dont la base lui soit égale pour imiter ce qui arrive à l’aimant flottant , on le voit se mouvoir , comme cet aimant, dans le sens AR. Lorsqu'on laisse le cylindre de matière isolante où était d’abord le cercle e£ft', celui-ci ne tourne pas indéfiniment comme l’aimant, mais va s’arré- ter, après quelques oscillations, dans une position d’équi- libre; différence qui vient de ce que l’aimant flottant laisse, derrière lui, se remplir de mercure la place qu'il occupait d'abord, et chasse le mercure successivement des diverses places où il se trouve transporté. C'est ce changement dans la situation d’une partie du mercure qui en entraîne un dans les*courants électriques, et fait que, quoique le circuit vol- taïque total soit fermé, le mouvement continu de l’aimant, qui est impossible par l'action d’un circuit solide et fonnié ne laisse pas d’avoir lieu dans ce cas où le circuit fermé change de forme par le mouvement même de l’aimant. Pour produire ce mouvement en employant, au lieu de l’ai- mant, le conducteur mobile que nous venons de décrire, il faut, lorsqu'on a constaté qu'il ne se meut que quand on sup- prime, par le cylindre de matiere isolante, les portions de courants intérieures au petit cercle etft', et qu'en laissant: ce cylindre à la même place, il s'arrête dans une position: déterminée d'équilibre après avoir oscillé autour d'elle, imiter ce qui a lieu lorsqu'il s’agit d’un aimant flottant, en faisant glisser le cylindre de matière isolante sur le fond du 342 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES vase, de manière qu'il soit toujours sous lecercleet ft (fig. 41), et que son centre corresponde toujours verticalement à celui de ce cercle, le conducteur mobile se met alors à tourner in- définiment autour du point P (fig. 4o) comme l’aimant. C'est, en général, en substituant aux aimants des con- ducteurs mobiles pliés en cercle, qu'on peut se faire une idée juste des causes des divers mouvements des aimants, lors- qu'on veut analyser ces mouvements par l'expérience sans recourir au calcul, parce que cette substitution donne le moyen d'en faire varier les circonstances de différentes ma- nieres, qu'il serait le plus souvent impossible d'obtenir avec des aimants, et qui peuvent seules éclaircir les difficultés que présentent des phénomènes souvent si compliqués. C'est ainsi, par exemple, que dans ce que nous venons de dire, il est impossible, avec un aimant, de vérifier ce résultat de la théorie, que si des portions des courants du mercure pou- vaient traverser l’aimant, et agir malgré cela sur lui en con- servant l'intensité et la direction qu'ils ont dans le mercure lorsqu'on enlève l'aimant, celui-ci ne tournerait pas autour du point P, et que la vérification en devient facile quand on lui substitue, comme nous venons de le dire, le conduc- teur mobile représenté ici (fig. 4r ). L'identité d'action qu'on observe constamment entre les mouvements d’un conducteur mobile et ceux d'un aimant, toutes les fois qu'ils se trouvent dans les mêmes circonstan- ces, ne permet pas de douter, quand on a fait l'expérience précédente, que l’aimant ne restät aussi immobile, lors- qu'il est traversé par les portions de courants intérieures au cercle etft', si ces portions pouvaient agir sur lui; et, comme on voit, au contraire, que quand il n'est pas revêtu ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 343 d'une substance isolante, et que les courants le traversent librement , il se meut précisément comme quand il l’est et qu'aucunes portions de courants ne peuvent plus pénétrer dans l’intérieur de cet aimant, on a une preuve directe du principe sur lequel repose une partie des explications que j'ai données, savoir : que les portions de courants qui tra- versent l’aimant n'agissent en aucune manière sur lui, parce que les forces qui résulteraient de leur action sur les cou- rants propres à l’aimant, ou sur ce qu’on appelle des molé- cules magnétiques, ayant lieu entre les particules d’un même corps solide, sont nécessairement détruites par une réaction égale et opposée. J'avoue que cette preuve expérimentale d'un principe qui n'est qu'une suite nécessaire des premières lois de la méca- nique, me paraît complètement inutile, comme elle l’au- rait paru à tous les physiciens qui ont considéré ce prin- cipe comme un des fondements de la science. Je n’en aurais même pas fait la remarque, si l’on n'avait pas supposé que l'action mutuelle d'un élément de fil conducteur et d’une molécule magnétique, consistait en un couple primitif com- posé de deux forces égales et paralleles sans être directe- ment opposées, en vertu duquel une portion de courant qui a lieu dans un aimant pourrait le mouvoir; supposition con- traire au principe dont il est ici question, et qui se trouve démentie par l'expérience précédente d’après laquelle il n’y a pas d'action exercée sur l’aimant par les portions de courants qui le traversent quand il n’est pas revêtu d'une enveloppe isolante, puisque le mouvement qui a lieu dans ce cas reste le même lorsque on empêche les courants de traverser l’ai- mant, en le renfermant dans cette enveloppe. 344 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES C'est de ce principe qu'il faut partir pour voir quels sont les phénomènes que doit présenter un aimant mobile sous l'influence du courant voltaïque , dans le troisième cas qui nous reste à considérer, celui où une portion du courant passe par l’aimant, ou par une portion de fil conducteur in- variablement liée avec lui. Nous venons de voir que lorsqu'il s’agit du mouvement de révolution d’un aimant autour d'un fil conducteur, le mouvement doit être le même, et l'est en effet, soit que le courant traverse ou ne traverse pas l’aimant. Mais il n'en est pas ainsi quand il est question du mouve- ment de rotation continue d’un aimant autour de la droite qui en joint les deux pôles. J'ai démontré et par la théorie et par lesexpériences variées de diverses manieres dont les résultats ont toujours confirmé ceux de la théorie, que la possibilité ou l'impossibilité de ce mouvement tient uniquement à ce qu'une portion du circuit voltaïque total soit dans tous ses points séparé de l’aimant, ou à ce qu'il passe, soit dans cet aimant, soit dans une portion de conducteur liée invariablement avec lui. En effet, dans le premier cas, l'ensemble de la pile et des fils con- ducteurs forme un circuit toujours fermé, et dont toutes les parties agissent de même sur l’aimant, soit qu’elles soient fixes ou mobiles ; ‘dans ce dernier cas, elles exercent, à chaque instant, précisément les mêmes forces que si elles étaient fixes dans la position où elles se trouvent à cet in- stant. Or nous avons démontré, d’abord synthétiquement à l’aide des considérations que nous ont fournies les fig. 30 et 31, ensuite en calculant directement les moments de ro- tation, qu'un circuit fermé ne peut imprimer à un aimant un mouvement continu autour de la droite qui joint ses deux ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 345 pôles, soit qu’on les considère, conformément à ma théorie, comme les deux extrémités d’un solénoïde équivalant à l’ai- mant, ou comme deux molécules magnétiques dont l'inten- sité soit assez grande pour que les actions exercées restent les mêmes quand on les substitue à toutes celles dont on ‘ regarde l’aimant comme composé dans l'hypothèse des deux fluides. L'impossibilité du mouvement de rotation de l’ai- mant autour de son axe, tant que le circuit total fermé en est partout séparé, se trouve ainsi complètement démontrée , non-seulement en appliquant ma formule aux courants du solénoïde substitué à l’aimant, mais aussi en partant de la considération d’une force qui aurait lieu entre un élément de fil conducteur et une molécule magnétique perpendiculaire- ment au plan qui passe par cette molécule et par la direction de l'élément, en raison inverse du carré de la distance, et qui serait proportionnelle au sinus de l’angle compris entre la droite qui mesure cette distance et la direction de l'élément. Mais lorsqu'on suppose, dans ce dernier cas, que la force passe par le milieu de l'élément, soit qu'elle agisse sur lui ou ré- agisse sur la molécule magnétique, ainsi que cela à lieu, d’après ma théorie, à l'égard du solénoïde, le même mouve- ment devient possible dès qu’une portion du courant passe par l’aimant, ou par une portion de conducteur invariable- ment liée avec lui; parce que toutes les actions exercées par cette portion sur les particules étant détruites par les réactions égales et opposées qu'exercent sur elles ces mêmes particules, il ne reste que les actions exercées par le reste du circuit total qui n’est plus fermé, et peut par conséquent faire tourner Vaimant. Pour bien concevoir tout ce qui se rapporte à cette sorte 1823. 44 346 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES de mouvement , concevons que la tige TVUS (pl. r, fig. 13), qui supporte la petite coupe S dans laquelle plonge la pointe e du conducteur mobile oab, soit pliée en V et U comme on le voit dans la figure, de manière à laisser libre la portion VU de la droite TS prise pour axe de rotation, afin qu'on puisse suspendre l’aimant cylindrique GH, par un fil très- fin ZK., au crochet K attaché en U à cette tige, et que le con- ducteur mobile oab maintenu dans la situation où on le voit dans la figure par le contre-poids c, soit terminé en à par une lame de cuivre bef, qui plonge dans l’eau acidulée dont on remplit le vase MN , afin que ceconducteur communique avec le rhéophore pP plongé dans le mercure de la coupe P, tan- dis que l’autre rhéophore rR est en communication avec la tige TVUS par le mercure qu'on met dans la coupe R, et que la pile pr ferme le circuit total. A l'instant où l’on établit le courant dans cet appareils on voit le conducteur mobile tourner autour de la droite TS; mais l’aimant est seulement amené à une position déterminée autour de laquelle il oscille quelque temps, et où il reste ensuite immobile. En vertu du principe del'égalité de l’action et de la réaction, qui a lieu à l'égard des moments de rota- tion autour d’un même axe comme à l'égard des forces, si l'on représente par M le moment de rotation imprimé, par l'action de l'aimant, au conducteur môbile o0&b, la réaction de celui-ci tendra nécessairement à faire tourner l’aimant autour de son axe avec le moment —M, égal à M, mais agis- sant en sens contraire. L'immobilité del’aimant vient évidemment de ce que si le conducteur mobile o& b agit sur lui, lereste MPprRTS du circuit total ne peut manquer de le faire également; le mo- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 347 ment de l'action qu’il exerce sur aimant, réuni àceluideoab, donne le moment du circuit fermé oabMPprRTS qui est nul ; d’où il suit que le moment de bMPprRTS est M, égal et opposé à —M. Mais si l'on vient à lier l’aimant G H au conducteur mo- bile o0ab, il en résulte un système de forme invariable, dans lequel l’action et la réaction qu'ils exercent l’un sur l’autre se détruisent mutuellement; et ce système resterait évidemment immobile, si la partie 8 MPprRTS n’agis- sait pas comme auparavant sur l’aimant pour le faire tour- ner en lui imprimant le moment de rotation M. C'est en vertu de ce moment que l’aimant et le conducteur mobile, réunis en un système de forme invariable, tournent autour de la droite TS; et comme ce moment est, comme on vient de le voir, et de même valeur et de même signe que celui qu'imprimait l’aimant au conducteur 0 a b quand ce conduc- teur en était séparé et tournait seul, on voit que ces. deux mouvements auront nécessairement lieu dans le même sens, mais avec des vitesses réciproquement proportionnelles au moment d'inertie du conducteur et à la somme de ce mo- ment d'inertie et de celui de l’aimant. J'ai fait abstraction, dans les considérations précédentes, de l'action exercée par la porüon bMPprRTS du circuit total sur le conducteur mobile o0ab, soit dans le cas où ce conducteur est séparé de l’aimant, soit dans le cas où 1l lui est uni, non-seulement parce qu'elle est très-petite rela- tivement à celle qu’exerce l'aimant, mais parce qu’elle tend uniquement à porter le Aude mobile dans la situation déterminée par la répulsion mutuelle des éléments de ces deux portions du circuit total, et ne contribue, par consé- 44. 348 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES quent, dans les deux cas, aux mouvements de rotation de oab, que pour en faire un peu varier la vitesse, qui sans cela serait constante. Pour pouvoir facilement unir et séparer alternativement l'aimant et le conducteur mobile, sans interrompre les expé- riences, il convient de fixer au crochet Z par lequel l’aimant est suspendu au filZK, un morceau de fil de cuivre ZX termi- né en X par une fourchette dont les deux branches X x,X y embrassent le conducteur mobile oa4b, qui se trouve serré entre elles, quand on plie convenablement la tige ZX; en la pliant en sens contraire, on lui donne la position où elle est représentée dans la figure, et le conducteur redevient libre. J'ai expliqué en détail cette expérience, parce qu’elle semble, plus qu'aucune autre ,appuyer l'hypothèse du couple primitif, quand on ne l'analyse pas comme je viens de le faire. En effet, on admet comme moi, dans cette hypothèse, que les forces exercées par l’aimant GH, sur les éléments du conducteur mobile oab, passent par ces éléments, et qu'en les supposant tous dans le plan vertical T Sad, mené par la droite TS, les forces sont normales à ce plan, elles tendent donc à faire tourner oab toujours dans le même sens autour de TS: ces forces sont, d’après la loi proposée par M. Biot, précisément les mêmes, en grandeur, en di- rection et relativement à leurs points d'application, que les forces données par ma formule; elles produisent donc le même moment de rotation M en vertu duquel s'exécute le mouvement du conducteur 0 b lorsqu'il est libre. Mais, sui- vant les physiciens qui admettent l'hypothèse dont il est ici question , les forces dues à la réaction des éléments du con- * ; ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 349 ducteur sur l’aimant ne sont plus les mêmes qu’en gran- deur et en ce qu’elles sont perpendiculaires au plan TS ab ; ils pensent que ces forces sont appliquées aux molécules magnétiques, ou, ce qui revient au même, aux deux pôles de laimant GH qui sont sur la droite TS; dès-lors leurs moments de rotation sont nuls relativement à cette droite. C’est à cette cause qu'ils attribuent l’immobilité de l’aimant quand il n’est lié à aucune portion du circuit voltaique ; mais pour expliquer le mouvement de rotation de l’aimant dans le cas où on l’unit au conducteur mobile 0ab, à l’aide de la tige ZX, ils supposent que la réunion de ces deux corps en un système de forme invariable, n'empêche pas l'aimant d'agir toujours pour imprimer au conducteur mo- bile le même moment de rotation M, sans que ce conduc- teur réagisse sur l’aimant de manière à mettre obstacle au mouvement du système, qui doit tourner par conséquent dans le même sens que tournait le conducteur mobile avant d’être lié invariablement à l’aimant, mais avec une vitesse moindre dans la raison réciproque des moments d'inertie du conducteur seul et du conducteur réuni à l’aimant. C’est ainsi qu'on trouve dans eette hypothèse les mêmes résultats que quand on suppose l’action opposée à la réac- tion suivant la même droite, et qu'on tient compte de l’ac- tion exercée sur l’aimant par le reste b MPprRTS du circuit voltaïque. Il résulte de tout ce qui a été démontré dans ce mémoire, que cette identité des effets produits et des valeurs des forces que nous venons de trouver, dans le cas que nous avons examiné, entre la manière dont j'ai expliqué les phé- nomènes et l'hypothèse du couple primitif, est une suite nécessaire de ce que le circuit voltaïique qu’on fait agir sur 350 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES l’aimant est toujours fermé, et que dès qu'il s’agit d’un cir- cuit fermé, non-seulement les trois forces parallèles à trois axes qui résultent de l’action qu'un tel cireuit exerce sur un aimant, mais encore les trois moments de rotation au- tour de ces trois axes, sont les mêmes dans les deux manières de concevoir les choses, ainsi que le mouvement de l'aimant, qui ne peut dépendre que de ces six quantités. La même identité se retrouvera, par conséquent, dans toutes les expériences du même genre, et ce n’est, ni par ces expériences, ni par la mesure des forces qui se développent entre les fils conducteurs et les aimants, qu’une telle ques- tion peut être décidée; elle doit l'être: : 19 Par la nécessité du principe, que l’action mutuelle des diverses parties d’un système de forme invariable ne peut, dans aucun cas, imprimer à ce système un mouvement quel- conque ; principe qui n’est qu'une conséquence de l'idée même que nous avons des forces et de l’inertie de la matière. 2° Par cette circonstance, que l'hypothèse du couple pri- mitif n’a été imaginée, par ceux qui l'ont proposée, que parce qu'ils ont cru que les phénomènes dont ils sont partis ne pou- vaient être expliqués autrement, faute d’avoir tenu compte de l'action qu’exerce sur l’aimant la totalité du circuit vol- taïque; parce qu’ils n'ont pas fait attention que ce circuit est toujours fermé , et qu'ils n’ont pas déduit, comme je l'ai fait, de la loi proposée par M. Biot, cette conséquence rigou- reuse que, pour un circuit fermé, les forces et les moments sont identiquement les mêmes, soit qu'on suppose que les directions des forces exercées sur l’aimant passent par les molécules magnétiques ou par les milieux des éléments des fils conducteurs. 3° Sur ce, quand on admet que les phénomènes dont nous ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 351 ñous occupons peuvent être produits, en derniere analyse, par les forces exprimées en fonctions des distances qu’exercent les molécules des deux fluides électriques, et qu'on attribue aussi aux deux fluides magnétiques quand on les regarde comme la cause des phénomènes, purement électriques selon moi, que présentent les aimants, on peut bien concevoir que si ces molécules sont en mouvement dans les fils conducteurs, il en résulte entre leurs éléments des forces qui ne dépendent pas seulement des distances de ces éléments, mais encore des directions suivant lesquelles a lieu le mouvement des mo- lécules électriques qui les parcourent, telles précisément que les forces que donne ma formule, pouvu que ces forces satisfassent à la condition que l’action et la réaction soient di- rigées suivant la même droite, tandis qu'il est contradictoire de supposer que des forces, quelles que soient d'ailleurs leurs valeurs en fonctions des distances, dirigées suivant les droites qui joignent les molécules entre lesquelles elles s’exercent, puissent produire, par quelque combinaison que ce soit, lors même que ces molécules sont en mouvement, des forces pour lesquelles l’action et la réaction ne soient pas dirigées suivant la même droite, mais suivant deux droites paral- lèles, comme dans l'hypothèse du couple primitif. On sait, en effet, que quand même des molécules électri- ques ou magnétiques sont en mouvement, elles agissent à chaque instant comme si elles étaient en repos dans la situa- tion où elles se trouvent à cet instant. Si donc on considère deux systèmes de molécules, telles que chaque. molécule de l'un exerce sur chaque molécule de l’autre une force égale et opposée, suivant la droite qui les joint, à la force exer- cée par la seconde molécule sur la première, et qu'arrêtant 3592 THÉORIE DES-PHÉNOMEÈNES toutes ces molécules dans la situation où élles se trouvent à un instant donné, on suppose qu'elles soient toutes liées in- variablement ensemble dans cette situation, il y aura néces- sairement équilibre dans le système de forme invariable, composé des deux autres, qui résultera de cette supposition, puisqu'il y aura équilibre entre les forces élémentaires prises deux à deux. La résultante de toutes les forces exercées par le premier systeme sur le second sera donc égale et opposée, suivant la même droite, à celle de toutes les forces exercées par le second sur le premier; et ces deux résultantes ne pour- ront jamais produire un couple capable de faire tourner le système total, quand toutes ses parties sont invariablement liées entre elles , comme le supposent ceux qui, tout en adop- tant l'hypothèse d'un couple dans l'action mutuelle d'une molécule magnétique et d’un élément de fil conducteur, pré- tendent cependant que cette action résulte de ce que l’élé- ment n’agit sur la molécule que parce qu'il est lui-même un assemblage de molécules magnétiques, dont les actions sur celle que l'on considère sont telles que Coulombles a établies, c'est-à-dire dirigées suivant les droites qui les joignent à cette dernière, et en raison inverse des carrés des distances. I] suffit de lire avec quelque attention ce qu'a écrit M. Biot sur les phénomènes dont nous nous occupons, dans le livre neuvième de la troisième édition de son Zraité élémentaire de physique expérimentale, pour voir qu'après avoir consi- déré constamment les forces que les éléments des fils con- ducteurs exercent sur les aimants, comme appliquées aux mo- lécules magnétiques perpendiculairement aux plans passant par chaque élément «et chaque molécule, il suppose ensuite quand il parle du mouvement.des fils conducteurs autour des ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 353 aimants, que les forces exercées par les molécules magné- “tiques sur les éléments des fils, passent par ces éléments dans des directions parallèles à celles des forces exercées sur l'aimant, et forment, par conséquent, des couples avec les premieres , au lieu de leur être opposées suivant les mé- mes droites; qu'il explique en particulier, à la page 754, tome II de cet ouvrage, le mouvement de rotation d’un ai- mant autour de son axe, quand une portion de courant le traverse, en supposant que l'aimant tourne par l’action que cette portion même exerce sur le reste de l’aimant, qui forme cependant avec elle un système de forme invariable dont toutes les parties sont invariablement liées.entre elles (1) : ce ————————————______ (1) Je ne sais s’il est nécessaire de rappeler à ce sujet ce que j'ai déja fait remarquer ailleurs, savoir que les fluides électriques , d’après l'ensemble des faits, surtout d’après la nullité d'action sur les corps les plus légers de l'électricité qui se meut dans le vide, doivent être considérés comme incapables d'agir en vertu de leur masse qu’on peut dire infiniment petite à l'égard de celle des corps pondérables, et qu'ainsi toute attraction ou répul- sion exercée entre ces corps et les fluides électriques peut bien mettre ceux- ci en mouvement, mais non les corps pondérables. Pour que ces derniers se meuvent, il faut, lorsqu'il s'agit des attractions et répulsions électriques ordinaires , que l'électricité soit retenue sur leur surface, afin que la force qui surmonte l'inertie de l'un, s'appuie , si l'on peut s'exprimer ainsi, sur l'inertie de l’autre. Il faut de même, pour que l’action mutuelle de deux fils conducteurs mette ces fils en mouvement, que les décompositions et recompositions du fluide neutre qui ont lieu à chaque instant dans tous les éléments des longueurs des deux fils, déterminent entre leurs partizules pondérables les forces capables de vaincre l'inertie de ces particules en imprimant aux deux fils des vitesses réciproquement proportionnelles à leurs masses. Quand on parle de l'action mutuelle de deux courants élec- triques, on n’a jamais entendu, et il est évident qu’on nepeut entendre, que * celle des conducteurs qu'ils parcourent : les physiciens qui admettent des molécules magnétiques agissant sur les éléments d’un fl conducteur, con: 1823. 45 354 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES qui suppose évidemment que l’action et la réaction de cette portion de courant et du reste de l’aimant forment un couple. Comment dès-lors concevoir que le physicien qui admet une pareille supposition, puisse s'exprimer en ces termes à la page 769 du même livre : «Si l’on calcule l'action qu’exer- « cerait à distance une aiguille aimantée d’une longueur in- « finiment petite et presque moléculaire, on verra aisément « que l’on peut former des assemblages de telles aiguilles, qui « exerceraient des forces transversales. La difficulté unique, « mais très-grande sans doute, c'est de combiner de tels « systèmes, de manière qu’il en résulte, pour les tranches d’un « fil conjonctif de dimension sensible , les lois précises d’ac- «tions transversales que l'expérience fait reconnaître, et que « nous avons exposées plus haut. » Sans doute que de l’action de deux systèmes de petits aimants, dontles molécules austra- les et boréales s’attirent ou se repoussent en raison inverse des carrés de leurs distances, suivant les droites qui les joi- gnent deux à deux, il peut résulter des actions transver- sales, mais non pas des actions qui ne soient pas égales et opposées à des réactions dirigées suivant les rmémes droites , comme celles que suppose M. Biot. } ; En un mot, la valeur de l’action de deux éléments de fils formément à la loi proposée par M. Biot, admettent sans doute aussi que cette action ne meut le fil que parce que la molécule magnétique estretenue par les particules pondérables de l'aimant qui constituent l'élément magné- tique dont elle fait partie ; et 1 est dès-lors évident qu'en supposant que l'aimant se meut par l'action de la portion de courant électrique qui le traverse, on suppose nécessairement que son mouvement résulte de l'action mutuelle qui a lieu entre chacune de celles de ses particules que traverse le courant et toutes les autres particules du même corps. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 355 conducteurs, que j'ai déduite uniquement de l'expérience, dépend des angles qui déterminent la direction respective des deux éléments : d'après la loi proposée par M. Biot, la force qui se développe entre un élément de fil conducteur et une molécule magnétique, dépend aussi de l'angle qui dé- termine la direction de l'élément. Si j'ai appelé élémentaire la force dont j'ai déterminé la valeur, parce qu’elle s'exerce entre deux éléments de fils conducteurs et parce qu’elle n’a pas encore été ramenée à des forces plus simples : il a aussi appelé élémentaire la force qu’il admet entre une molécule magnétique et un élément de fil conducteur. Jusque-là tout est semblable à l'égard de ces deux sortes de forces ; mais pour celle que j'ai admise, l’action et la réaction sont oppo- sées suivant la même droite, et rien n'empêche de concevoir qu'elle résulte des attractions et des répulsions inhérentes aux molécules des deux fluides électriques , pourvu qu’on suppose ces molécules en mouvement dans les fils conducteurs, pour rendre raison de l'influence de la direction des éléments de ces fils sur la valeur de la force ; tandis que M. Biot, en admettant une force pour laquelle l'action et la réaction ne sont pas diri- géesensens contraire sur une même droite, mais sur des droites parallèles et formant un couple, se met dans l'impossibilité absolue de ramener cette force à des attractions et répulsions dirigées suivant les droites qui joignent deux à deux les mo- lécules magnétiques, teiles que les admettent tous les physi- ciens qui s’en sont servis pour expliquer l’action mutuelle de deux aimants. N’est-il pas évident que c’est de cette hypothese de M. Biot, sur des forces révolutives pour lesquelles l’action et la réaction ne sont pas opposées suivant une même droite, qu'on devrait dire ce qu'il dit (page 771) au sujet de l’action 4p. 356 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES mutuelle de deux éléments de fils conducteurs , telle que je l'ai déterminée par mes expériences et les calculs que j'en ai déduits, savoir : qu'une pareille supposition est d'abord en elle-méme complètement hors des analogiesque nous présentent toutes les autres lois d'attraction? Y a-t:l une hypothèse plus contraire à ces analogies , que d'imaginer des forces telles que l’action mutuelle des diverses parties d'un système de forme invariable puisse mettre ce système en mouvement ? Ce n’est point en m'éloignant ainsi d’une des lois que New- ton a regardées comme les fondements de la théorie physique de l'univers, qu'après avoir découvert un grand nombre de faits que nul n'avait observés avant moi, j'ai déterminé, par la seule expérience et en suivant la marche tracée par ce grand homme, d’abord les lois de l’action électro-dynami- que , ensuite l'expression analytique de la force qui se déve- loppe entre deux éléments de fils conducteurs , et qu’enfin j'ai déduit de cette expression toutes les conséquences exposées dans ce Mémoire. M. Biot, en citant les noms d’une partie des physiciens qui ont observé de nouveaux faits ou inventé des instruments qui ont été utiles à la science, n'a parlé ni du moyen par lequel je suis parvenu à rendre mobiles des portions de fils conducteurs, en les suspendant sur des pointes d'acier dans des coupes pleines de mercure, moyen sans lequel on ne saurait rien des actions exercées sur ces fils, soit par d’autres conducteurs, soit par le globe ter- restre ou par des aimants; ni des appareils que j'ai cons- truits pour mettre en évidence toutes les circonstances que présentent ces actions, et déterminer avec précision les cas d'équilibre d'où j'ai conclu les lois auxquelles elles sont assu- Jetties; ni de ces lois elles-mêmes déterminées par mes expé- ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 357 riences ; ni de la formule que j'en ai conclue; ni des appli- cations que j'ai faites de cette formule. Et à l'égard des faits que j'ai observés le premier, il n’en cite qu'un seul, celui de l'attraction mutuelle de deux fils conducteurs; et s’il le cite, c'est pour en donner l’explication qui avait été d’abord pro- posée par quelques physiciens étrangers, à une époque où lon n'avait pas fait les expériences qui ont démontré de- puis long-temps qu’elle était complètement inadmissible. Cette explication consiste, comme on sait, à supposer que deux fils conducteurs agissent l’un sur l’autre, comme ils le feraient en vertu de l’action mutuelle d’aiguilles aimantées infiniment petites, tangentes aux sections circulaires qu'on peut faire dans toute la longueur des fils supposés cylindri- ques ; l'ensemble des petites aiguilles d'une même section formant ainsi un anneau aimanté, semblable à celui dont MM. Gay-Lussac et Velter se sont servis pour faire, en 1820, une expérience décisive au sujet de l'explication dont il est ici question. Cette expérience a prouvé, comme on sait, qu’un pareil anneau n’exerce absolument aucune action, tant qu'il forme ainsi une circonférence entière, quoiqu'il soit tellement aimanté qu’en le formant d’un acier propre à conserver, quand on le rompt, tout son magnétisme, on trouve, en le brisant, que toutes ses portions sont très-fortement aimantées. Sir H. Davy et M. Erman ont obtenu le mème résultat à l'égard d’un anneau d’acier d’une forme quelconque. Il est , au reste, une suite nécessaire de la théorie des deux fluides magnétiques comme de la mienne, ainsi qu'il est aisé de s’en assurer par un calcul tout semblable à celui par lequel j'ai démontré, dans ce Mémoire, la nullité d'action d’un solé- noïde formant une courbe fermée, conformément à ce que 358 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES M. Savary a trouvé, le premier, par un calcul qui ne diffère pas essentiellement du mien, et qu'on peut voir, soit dans l'addition qui se trouve à la suite du Mémoire sur l'applica- tion du calcul aux phénomènes électro-dynamiques, qu'il a publié en 1823, soit dans le Journal de Physique, tome xovi, pages 295 et suiv. En donnant de nouveau cette explica- tion, M. Biot montre qu'il ne connaissait ni l'expérience de MM. Gay-Lussac et Velter, ni le calcul de M. Savary. Il y a plus, les petites aiguilles tangentes aux circonfé- rences des sections des fils conducteurs, sont considérées par M. Biot comme les particules mêmes de la surface du fil conducteur aimantées par le courant électrique qui sépare- rait dans ces particules le fluide austral du fluide boréal, en les portant en sens contraire, sans que les molécules de ces fluides puissent sortir des particules du fil où elles se trouvaient d’abord réunies en fluide neutre. Dès-lors, quand le courant est établi depuis quelque temps dans le fluide et se continue indéfiniment, la distribution des molécules magnétiques dans les fils conducteurs ne peut plus changer; c'est donc comme s'il y avait dans ces fils une multitude de points déterminés qui ne changeraient pas de situation tant que le courant continuerait avec la mème intensité, et dont il émanerait des forces attractives et répulsives dues aux molécules magnétiques, et par conséquent réciproque- ment proportionnelles aux carrés des distances. Ainsi deux fils conducteurs n’agiraient l’un sur l'autre qu'en vertu de forces exprimées par une fonction des dis- tances entre des points fixes dans Fun des fils et d'autres points également fixes dans l’autre fil; mais alors un de ces fils, supposé immobile, ne pourrait qu'amener l'autre ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 359 dans la situation d'équilibre où l'intégrale des forces vives , qui s'obtient toujours en fonctions des coordonnées des points du fil mobile quand les forces sont fonctions des dis- tances, atteindrait sa valeur maximum. Jamais de telles forces ne pourraient produire un mouvement de rotation dont la vitesse allât toujours en augmentant dans le même sens, jusqu'à ce que cette vitesse devint constante, à cause des frottements, ou de la résistance du liquide dans lequel il faut que plongent les conducteurs mobiles pour main- tenir les communications. Or, j'ai obtenu ce mouvement de rotation en faisant agir un conducteur spiral, formant à peu près un cercle, sur un fil conducteur rectiligne, tournant autour d’une de ses extrémités située au centre du cercle, tandis que son autre extrémité se trouvait assez pres du conducteur spiral. Cette expérience, où le mouvement est très-rapide et peut durer plusieurs heures, quand on emploie une pile assez forte, est en contradiction manifeste avec la manière de voir de M. Biot; et si elle ne l'est pas avec l'opinion que l’action de deux fils conducteurs résulte des forces attractives et répul- sives inhérentes aux molécules des deux fluides électriques, c'est que ces molécules ne restent pas circonscrites, comme celles dont on suppose composés les deux fluides magnéti- ques, dans des espaces très-petits où leur distribution est déterminée par une cause permanente, mais qu'au con- traire elles parcourent toute la longueur de chaque fil par une suite de compositions et de décompositions, qui se succè- dent à de très-courts intervalles : d’où il peut résulter, comme je l'ai déja observé, des mouvements toujours continus dans le même sens, incompatibles avec la supposition queles points 360 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES d'où émanent les forces attractives et répulsives ne changent point de lieu dans les fils. Enfin, M. Biot répète dans la troisième édition de son Traité élémentaire de physique (tome 11, page 773), ce qu'il avait déja dit dans la note qu'il publia, dans les Annales de Chimie et de Physique, sur les premières expériences rela- tives au sujet dont nous nous occupons, qu'il a faites avec M. Savart, savoir : que quand un élément de fil conjonctif trés-fin et indéfini agit sur une molécule magnétique, « la « nature de son action est la même que celle d’une aiguille « aimantée qui serait placée sur le contour du fil dans un sens « déterminé et toujours constant par rapport à la direction « du courant voltaïque. » Cependant l’action de cette aiguille sur une molécule magnétique est dirigée suivant la même droite que la réaction de la molécule sur l'aiguille, et il est d’ailleurs aisé de voir que la force qui en résulte est en raison inverse du cube, et non pas du carré de la distance , comme M. Biot a trouvé lui-même qu'est celle de l'élément du fil. Il me reste maintenant à étendre à l’action mutuelle de deux circuits fermés, de grandeurs et de formes quelconques, les considérations relatives aux surfaces terminées par ces circuits et dont les points agissent comme ce qu’on appelle des molécules de fluide austral et de fluide boréal, que j'ai précédemment appliquées à l’action mutuelle d’un circuit fermé quelconque et d’un élément de fil conducteur. J'ai trouvé que l’action de l’élément ds’ sur les deux surfaces ter- minées par le contour s, était exprimée par les trois forces u* do r° nice pL£'e d'c — 2 JE {4 L4 / à d; USE d'c ) LBE d'5— =: r3 appliquées à chacun des éléments ds de ce contour, je vais ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 361 maintenant faire à l'égard du circuit s', ce que j'ai fait alors à l'égard du circuit s. Concevons pour cela une nou- velle surface terminée de tous côtés, comme la surface 56’, par la courbe fermée s', et qui soit telle que les portions des normales de la surface «' comprises entre elle et cette nou- velle surface, soient partout très-petites. Supposons, sur la nouvelle surface, du fluide de l'espèce contraire à celui de la surface 5’, de manière qu'il y ait les mêmes quantités des deux fluides dans les parties correspondantes des deux surfaces. En désignant par £',1',t', les angles que la nor- male au point m', dont les coordonnées sont x'.7',z", forme avec les trois axes, et par 2’ la petite portion de cette nor- male qui est comprise entre les deux surfaces, nous pourrons, comme nous l'avons fait pour l’élément d’5', ramener l’ac- tion de l’élément de la nouvelle surface qui est représenté par d’5', sur l’ensemble des deux surfaces terminées par le con- tour s, à des forces appliquées, comme on l’a vu, page 319, aux divers éléments de ce contour; celle qui est relative à l'élément ds et parallèle aux x s’obtiendra en substituant dans : l'expression que nous avons trouvée pour cette force u° do Tr? ? uge'd'o ou ,urt—ndz-(z—72)dy —ug<'d'e +, u les nouvelles coordonnées x'+ 'cos.£', y" +h'cos.n",2" + h'cos.{' à la place de x',7',z". Comme les forces ainsi obte- nues agissent en sens contraire des premières, il faut les en retrancher, ce qui se réduit, lorsqu'on néglige dans le calcul les puissances de À supérieures à la première, à différentier fa cr han Ca — , Q°E ——— ———— — PS nu K 1923. 46 362 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES en faisant varier æ',y',2',remplaçant dx',5y',3z' par L'cos.ë, h'cos.n',h'cos.t'. changeant le signe du résultat, tandis que æ,7,z, et dx,dy,dz, doivent être considérées comme des constantes puisqu'elles appartiennent à l'élément d s. La formule dans laquelle on doit substituer X’cos.i', h'cos.n',cos.t' à Sx',3y',32', est donc mi uge' (sd —dyds dE), T° qu'il faut intégrer après cette substitution dans toute l'éten- due de la surface 5’ pour avoir l’action totale de cette sur- face et de celle qui lui est jointe sur l'assemblage des deux surfaces terminées par le contour s. On peut faire cette double intégration séparément sur chacun des deux termes dont cette expression se compose. Exécutons d’abord celle qui est relative au premier terme Pere 7 age dzd''> . Pour cela, décomposons la surface 5’ en une infinité de zones infiniment étroites par une suite de plans perpendi- culaires au plan des 42 menés par la coordonnée y du mi- lieu o de l'élément ds. Nous prendrons, sur une deces zones, pour d’5' l'élément de la surface 5’ qui a pour expression vd’'vd’} cos.n’ ? et nous aurons alors à intégrer la quantité 13 2d’/2d'x &7/—Y ANG Et LEE cos.” r qui se changera, par ane transformation toute semblable à ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 363 celle que nous avons employée plus haut relativement à d’ ududo ee! G En, cos. € en celle-ci —vgdzh'e'd';d’ - En supposant, comme nous l'avons fait pour la surface o, que les quantités h',<' varient ensemble de manière que leur produit conserve une valeur constante £', On intégrera cette dernière expression, en supposant l'angle ; constant, dans toute la longueur de la zone renfermée sur la surface s entre les deux plans qui comprennent l'angle d'y depuis l’un des bords du contour s’ jusqu'à l’autre. Cette première intégration s'effectue immédiatement et donne DE 2 de 3 5) rm — uge'dz d'y (= — TV, et 7,,v, représentant les valeurs de 7 et de pour les deux bords du contour s'. Les deux parties de cette ex- pression doivent maintenant être intégrées par rapport à y respectivement dans les deux portions du contour s! déter- minées par les deux plans tangents à ce contour menés par l’ordonnée y de l'élément ds ; et d'après la remarque que nous avons faite, page 317, à l'égard de la valeur de la force parallèle aux x dans le calcul relatif aux deux surfaces ter- minées par le contour s, il est aisé de voir qu'on a ici SE d', —ugs dz/ + en prenant cette intégrale dans toute l'étendue du contour fermé s’; les variables r,v et x n'étant plus relatives qu'à ce contour. 46. 364 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES On exécutera de la même manière la double intégration .de l’autre terme qui est égal à z'— 2 —uge dyd s'à dans toute l'étendue de la surface 5’. Il faudra, pour cela, di- viser cette surface en une infinité de zones, par des plans menés par la coordonnée z du milieu de l'élément ds, et préndre, sur l'une de ces zones , pour d’5' l'aire infiniment v d'wd'À LE | petite qui d pour expression Born sa IOrmuiIe, après avoir été transformée comme la précédente, s’intégrera d'abord dans toute la longueur de la zone; l’intégrale ne renfermera alors que des quantités relatives au contour 5’. Ensuite la seconde intégration faite par rapport à 4 dans l'étendue du contour fermé s', donnera 77 _ L£29 o" dy Rassemblant enfin les deux résultats obtenus par ces doubles intégrations, On aura use (dr fa [ESS pour la valeur de la force parallèle aux æ, dont la direction passe par le milieu de l'élément ds, et qui provient de l'ac- tion des deux surfaces terminées par le contour s' sur les deux surfaces terminées par le contour s. e même, parallèlement aux deux 5 On aura d , parallèlement aux deux autres axes res (de far fe), les forces ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 365 PACE UE) Ainsi, en supposant appliquées à chaque élément ds du contour s les forces que nous venons de déterminer, on aura l'action qui résulte des attractions et répulsions des deux fluides magnétiques, répandus et fixés sur les deux assem- blages de surfaces terminées par les deux contours s, s’. Mais ces forces appliquées aux éléments ds ne different que par le signe de celles que nous avons obtenues page 311, pour l’action des deux circuits s,s', en les supposant par- courus par des courants électriques, pourvu qu'on ait ugg'—2zit. Cette différence vient de ce que dans le calcul qui nous les a données, les différentielles d'o, d';,d’+ ont été supposées de même signe que les différentielles do ,d+,d4, tandis qu’elles doivent être prises avec des signes contraires quand les deux courants se meuvent dans le même sens; alors les forces produites par l’action mutuelle de ces cou. rants sont précisément les mêmes que celles qui résultent de l’action des deux surfaces &’ sur les deux surfaces 6, et il est ainsi completement démontré que l’action mutuelle de deux circuits solides et fermés, parcourus par des courants électriques, peut être remplacée par celle de deux assemblages composés chacun de surfaces ayant pour contours ces deux circuits ,et sur lesquelles seraient fixées des molécules defluide austral et de fluide boréal, s’attirant et se repoussant suivant les droites qui les joignent, en raison inverse des carrés des distances. En combinant ce résultat avec cette conséquence rigoureuse du principe général de la conservation des forces vives, déja rappelée plusieurs fois dans ce Mémoire, que 366 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES toute action réductible à des forces, fonctions des distances, agissant entre des points matériels formant deux systèmes soli- des, l'un fixe , l’autre mobile ,ne peut jamais donner lieu à un mouvement qui soit indéfiniment continu, malgré les résis- tances et les frottements qu'éprouve le système mobile, nous en conclurons, comme nous l’avons fait quand il s'agissait d'un aimant et d’un circuit voltaïque solide et fermé, que cette sorte de mouvement ne peut jamais résulter de l'action mutuelle de deux circuits solides et fermes. Au lieu de substituer à chaque circuit deux surfaces très- voisines recouvertes l'une de fluide austral et l’autre de fluide boréal, ces fluides étant distribués comme il a été dit plus haut, on pourrait remplacer chaque circuit par une seule surface sur laquelle seraient uniformément distribués des éléments magnétiques tels que les a définis M. Poisson , dans le Mémoire lu à l’Académie des Sciences le 2 février 1824. L'auteur de ce Mémoire, en calculant les formules par lesquelles il a fait rentrer dans le domaine de l'analyse toutes les questionsrelatives à l'aimantation des corps, quelle que scst la cause qu'on lui assigne, a donné (r)les valeurs des trois forces exercées par un élément magnétique sur une molécule defluide austral ou boréal; ces valeurs sont identiques à celles que j'ai déduites de ma formule, pour les trois quantités A, B,C, dans le cas d’un trées-petit circuit fermé et plan, lorsqu'on suppose que les coefficients constants sont les mêmes, et il est aisé d'en conclure un théorème d’après lequel on voit immédiatement : 1° Que l’action d’un solénoïde électro-dynamique, calcu- (1) Mémoire sur la théorie du magnétisme, par M. Poisson , page 22. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 367 lée d’après ma formule, est, dans tous les cas, la même que celle d’une série d'éléments magnétiques de même intensité, distribués uniformément le long de la ligne droite ou courbe qu’entourent tous les petits circuits du solénoïde, en don- nant, à chacun de ses points, aux axes des éléments, la di- rection même de cette ligne; 20 Que l’action d’un circuit voltaique solide et fermé, cal- culée de même d’après ma formule, est précisément celle qu’exerceraient des éléments magnétiques de même intensité, distribués uniformément sur une surface quelconque ter- _minée par ce circuit, lorsque les axes des éléments magné- tiques sont partout normaux à cette surface. Le même théorème conduit encore à cette conséquence, que si l’on concoit une surface renfermant de tous côtés un très-petit espace; qu'on suppose, d’une part, des molécules de fluide austral et de fluide boréal en quantités égales dis- tribuées sur cette petite surface, comme elles doivent l'être pour qu’elles constituent l'élément magnétique tel que l'a considéré M. Poisson, et, d'autre part, la même surface re- couverte de courants électriques, formant sur cette surface de petits circuits fermés dans des plans parallèles et équidis- tants, et qu'on calcule l’action de ces courants d’après ma formule, les forces exercées, dans les deux cas, soit sur un élément de fil conducteur, soit sur une molécule magnétique, sont précisément les mêmes, indépendantes de la forme de la petite surface, et proportionnelles au volume qu’elle ren- ferme, les axes des éléments magnétiques étant représentés par la droite perpendiculaire aux plans des circuits. L'identité de ces forces une fois démontrée ,on pourrait con- sidérer comme n’en étant que de simples corollaires, tous les 368 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES résultats que j'ai donnés dans ce Mémoire, sur la possibilité de substituer aux aimants, sans changer les effets produits, des assemblages de courants électriques formant des circuits fer- més autour de leurs particules. Je pense qu'il sera facile au lec- teur de déduire cette conséquence, et le théorème sur lequel elle repose, des calculs précédents ;je l'ai d’ailleurs développée dans un autre Mémoire où j'ai discuté en même temps, sous ce nouveau point de vue, tout ce qui est relatif à l’action mutuelle d'un aimant et d’un conducteur voltaïque. Pendant que je rédigeais celui-ci, M. Arago a découvert un nouveau genre d'action exercée sur les aimants. Cette découverte, aussi importante qu'inattendue, consiste dans l'action mutuelle qui se développe entre un aimant et un disque ou anneau d'une substance quelconque, dont la si- tuation relative change continuellement. M. Arago ayant eu l'idée qu’on devait pouvoir, dans cette expérience, substi- tuer un conducteur plié en hélice au barreau aimanté, m'en- gagea à vérifier cette conjecture par une expérience dont le succès ne pouvait guére être douteux. Les défauts de l'appa- reil avec lequel j'essayai de constater l’existence de cette action dans les expériences que je fis avec M. Arago, nous em- pêcherent d'obtenir un résultat décisif; mais M. Colladon ayant bien voulu se charger de disposer plus convenablement l'appareil dont nous nous étions servis, j'ai vérifié avec lui de la maniere la plus complète, aujourd’hui 30 août 1826, l'idée de M. Arago, en faisant usage d’une double hélice très- courte, dont les spires avaient environ deux pouces de dia- mètre. Cette expérience complète l'identité des effets produits, soit par des aimants, soit par des assemblages de circuits ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 369 voltaïques solides et fermés (1); elle achève de démontrer que la série de décompositions et de recompositions du fluide (x) Il semble d'abord que cette identité ne dévrait avoir lieu qu’à l'égard des circuits voltaïques fermés d’un très-petit diamètre; mais il est aisé de voir qu'elle à lieu aussi pour les circuits d’une grandeur quelcon- que, puisque nous avons vu que ceux-ci peuvent être remplacés par des éléments magnétiques distribués uniformément sur des surfaces terminées par ces circuits, et qu'on peut multiplier à volonté le nombre des surfaces que circonscrit un même circuit. L'ensemble de ces surfaces peut être considéré comme un faisceau d'aimants équivalents au circuit. La même considération prouve que sans rien changer aux forces quien résultent, il est toujours possible de remplacer les très-petits courants électriques qui entourent les particules d’un barreau aimanté, par des courants électriques d'une grandeur finie, ces courants formant des circuits fermés autour de l'axe du barreau quand ceux des particules sont distribués symétriquement autour de cet axe. Il suffit pour cela de concevoir dans ce barreau des surfaces, terminées à celle de l’aimant, qui coupent partout à angles droits les lignes d'aimantation , et qui passent par les éléments magnétiques qu'on peut toujours supposer situés aux points où ces lignes sont rencontrées par les surfaces. Alors, si tous les éléments d'une même surface se trouvaient égaux en intensité sur des aires égales , ils devraient être remplacés par un seul courant électrique parcourant la courbe formée par l'intersec- tion de cette surface et de cellé de l’aimant; s'ils variaient en augmentant d'intensité de la surface à l'axe de l’aimant, il faudrait leur substituer d’abord un courant dans cette intersection tel qu'il devrait être d’après l'in- tensité z2i2mum des courants particulaires de la surface normale aux lignes d'aimantation que l’on considère, puis, à chaque ligne circonscrivant les portions de cette surface où les petits courants deviendraient plus intenses , on concevrait un nouveau courant concentrique au précédent , et tel que l'exigerait la différence d'intensité des courants adjacents, les uns en dehors, les autres en dedans de cette ligne; si l'intensité des courants particu- laires allait en diminuant de la surface à l'axe du barreau, il faudrait concevoir, sur la ligne de séparation, un courant concentrique au précé- dent, mais allant en sens contraire; enfin, une augmentation d'intensité qui succéderait à cette diminution, exigerait un nouveau courant con- centrique dirigé comme le premier. 1823. 47 370 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES neutre, qui constitue le courant électrique, suffit pour pro- duire, dans ce cas comme dans tous les autres, les effets qu'on explique ordinairement par l'action de deux fluides différents de l'électricité, et qu'on désigne sous les noms de fluide austral et de fluide boréal. Après avoir long-temps réfléchi sur tous ces phénomènes et sur l'ingénieuse explication que M. Poisson a donnée der- nièrement du nouveau genre d'action découvert par M. Arago, il me semble que ce qu'on peut admettre de plus probable dans l’état actuel de la science, se compose des propositions suivantes. 1° Sans qu'on soit autorisé. à rejeter les explications fon- dées sur la réaction de l’éther mis en mouvement par les courants électriques, rien n’oblige jusqu’à présent d'y avoir recours. 2° Les molécules des deux fluides électriques, distribuées Je ne fais, au reste, ici cette remarque que pour ne pas omettre une conséquence remarquable des résultats obtenus dans ce Mémoire, et non pour en déduire quelques probabilités en faveur de la supposition que les courants électriques des aimants forment des circuits fermés autour de leurs axes. Après avoir d'abord hésité entre cette supposition et l'autre manière de concevoir ces courants, en les considérant comme entourant les par- ticules des aimants; j'ai reconnu, depuis long-temps, que cette dernière était la plus conforme à l’ensemble des faits, et je n’ai point changé d'opi- nion à cet égard. Cette conséquence est d’ailleurs utile en ce qu'elle rend la similitude des actions produites, d'une part par une hélice électro-dynamique , de l'autre par un aimant, aussi complète , sous le point de vue de la théorie, qu'on la trouve quand on consulte l'expérience, et en ce qu'elle justifie les ex- plications où l'on substitue, comme je l'ai fait dans celle que j'ai donnée plus haut du mouvement de révolution d’un aimant flottant , un seul cir- cuit fermé à l'aimant que l'on considère. RE ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 3971 sur la surface des corps conducteurs, sur la surface ou dans l'intérieur des corps qui ne le sont pas, et restant aux points de ces corps où elles se trouvent, soit en équilibre dans le premier cas, soit parce qu'elles y sont retenues dans le se- cond par la force coercitive des corps non conducteurs, pro- duisent, par leurs attractions et répulsions réciproquement proportionnelles aux carrés des distances, tous les phéno- mènes de l'électricité ordinaire. 3° Quand les mêmes molécules sont en mouvement dans les fils conducteurs, qu’elles s’y réunissent en fluide neutre et s'y séparent à chaque instant, il résulte de leur action mutuelle des forces qui dépendent d’abord de la durée des périodes extrêmement courtes comprises entre deux réunions ou deux séparations consécutives, ensuite des directions suivant lesquelles s'opèrent ces compositions et décomposi- tions alternatives du fluide neutre. Les forces ainsi produites sont constantes dès que cet état dynamique des fluides électriques dans les fils conducteurs est devenu permanent; ce sont elles qui produisent tous les phénomènes d'attraction et de répulsion que j'ai découverts entre deux de ces fils. 4° L'action, dont j'ai reconnu l'existence, entre la terre et les conducteurs voltaïques, ne permet guère de douter qu'il existe des courants, semblables à ceux des fils coñducteurs, dans l’intérieur de notre globe. On peut présumer que ces courants sont la cause de la chaleur qui lui est propre; qu'ils ont lieu principalement là où la couche oxidée qui l'entoure de toute part repose sur un noyau métallique, conformément à l'explication que sir H. Davy a donnée des volcans, et que ce sont eux qui aimantent les minerais magnétiques et les corps exposés dans des circonstances convenables à l’action 47. 372 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES électro-dynamique de la terre. Il n'existe cependant, et ne peut exister, d’après l'identité d'effets expliquée dans la note précédente, aucune preuve sans réplique que les courants terrestres ne sont pas seulement établis autour des particules du globe. 5° Le même état électro-dynamique permanent consistant dans une série de décompositions et de recompositions du fluide neutre qui a lieu dans les fils conducteurs, existe au- iour des particules des corps aimantés, et y produit des ac- tions semblables à celles qu'exercent ces fils. 6° En calculant ces actions d’après la formule qui repré- sente celle de deux éléments de courants voltaïques, on trouve précisément, pour les forces qui en résultent, soit quand un aimant agit sur un fil conducteur, soit lorsque deux aimants agissent l’un sur l’autre, les valeurs que donnent les dernieres expériences de M. Biot dans le premier cas, et celles de Cou- lomb dans le second. 7° Cette identité, purement mathématique, confirme de la maniere la plus complète l'opinion, fondée d’ailleurs sur l'ensemble de tous les faits, que les propriétés des aimants sont réellement dues au mouvement continuel des deux fluides électriques autour de leurs particules. 8° Quand l’action d’un aimant, ou celle d’un fil conducteur, établit ce mouvement autour des particules d’un corps, les molécules d'électricité positive et d'électricité négative, qui doivent se constituer dans l'état électro-dynamique perma- nent d'où résultent les actions qu'il exerce alors, soit sur un fil conducteur, soit sur un corps aimanté, ne peuvent arriver à cet état qu'après un temps toujours très-court, mais qui n'est jamais mul, et dont la durée dépend en général de ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 373 la résistance que le corps oppose au déplacement des fluides électriques qu'il renferme. Pendant ce déplacement , soit avant d'arriver à un état de mouvement permanent, soit quand cet état cesse, elles doivent exercer des forces qui produisent pro- bablement les singuliers effets que M. Arago a découverts. Cette explication n’est, au reste, que celle de M. Poisson, appliquée à ma théorie, car un courant électrique formant un très-petit circuit fermé agissant précisément comme deux molécules, l’une de fluide austral, l’autre de fluide boréal, situées sur son axe, de part et d'autre du plan du petit cou- rant, à des distances de ces plans égales entre elles, et d’au- tant plus grandes quele courant électrique a plus d'intensité, on doit nécessairement trouver les mêmes valeurs pour les forces qui se développent, soit lorsqu'on suppose que le cou- rant s'établit ou cesse d'exister graduellement, soit quand on conçoit que les molécules magnétiques, d’abord réunies en fluide neutre, se séparent, en s’éloignant successivement à des distances de plus en plus grandes, et se rapprochent ensuite pour se réunir de nouveau. Je crois devoir observer en finissant ce Mémoire, que je n’ai pas encore eu le temps de faire construire les instruments représentés dans la figure 4 de la planche première et dans la figure 20 de la seconde planche. Les expériences auxquelles ils sont destinés n’ont donc pas encore été faites; mais, comme ces expériences ont seulement pour objet de vérifier des résultats obtenus autrement, et qu'il serait d’ailleurs utile de les faire comme une contre-épreuve de celles qui ont fourni ces résultats, je n'ai pas cru devoir en suppri- mer la description. 374 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES RAA AA ARR RE RAR RAR RUE LAS ARR UE RAR RAR ARRET L AAA AT RU RUR ER NOTES CONTENANT QUELQUES NOUVEAUX DÉVELOPPEMENTS SUR DES OBJETS TRAITÉS DANS LE MÉMOIRE PRÉCÉDENT. I. Sur la manière de démontrer par les quatre cas d’équi- libre exposés au commencement de ce Memotre, que la valeur de l'action mutuelle de deux éléments de fils con- ducteurs est oi! dsds” RENE d ds’. V7 d r En suivant l’ordre des transformations que j'ai successivement fait subir à cette valeur, on trouve d’abord, en vertu des deux pre- miers cas d'équilibre, qu'elle est £c' (sin. 6sin.Ÿ’cos.w + Æcos.Ücos.’)dsds’. 7" 2 on déduit du troisième, entre » et #, la relation 7+94—:, et du quatrième 7—, d’où #——+; ce quatrième cas d'équilibre est alors celui qu’on emploie en dernier lieu à la détermination de la valeur de la force qui se développe entre deux éléments de fils conducteurs: mais on peut suivre une autre marche en par- tant d’une considération dont s’est servi M. de Laplace, quand il a conclu des premières expériences de M. Biot, sur l’action mu- tuelle d’un aimant et d’un conducteur rectiligne indéfini, que celle qu'un élément de ce fil exerce sur un des pôles de l’aimant est en raison inverse du carré de leur distance , lorsque cette distance change seule de valeur et que l’angle compris entre la drôite qui la mesure et la direction de l'élément reste le même. ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 395 En appliquant cette considération à l’action mutuelle de deux éléments defils conducteurs, il est aisé de voir, indépendamment de toute recherche préliminaire’sur la valeur de la force qui en résulte, que cette force est aussi réciproquement proportionnelle au carré de la distance quand elle varie seule et que les angles qui déterminent la situation respective des deux éléments n'éprou- vent aucun changement. En effet, d’après les considérations dé- veloppées au commencement de ce Mémoire, la force dont il est ici question est nécessairement dirigée suivant la droite r,eta pour valeur = 12 f(r,8,0',w)dsds': d'où il suit qu'en nommant «,B,y, les angles que cette droite forme avec les trois axes, ses trois composantes seront expri- mées par - tu f(r,6,0',0) cos.zd sds’, cf (r,8,0", w)cos.Bdsds', EF (T,0,8 0) cos. ydsds’, et les trois forces parallèles aux trois axes qui en résultent entre deux circuits par les doubles intégrales de ces expressions, £ et &’ étant des constantes. Or il suit du quatrième cas d'équilibre, en remplaçant les trois cercles par des courbes semblables quelconques dont les dimen- sions homologuessoient en Progression géométrique continue, que ces trois forces ont des valeurs égales dans deux systèmes sembla- bles; il faut donc que les intégrales qui les expriment soient de dimension nulle relativement à toutes les lignes qui y entrent, d'aprés la remarque de M. de Laplace que je viens de rappeler, et qu'il en soit par conséquent de même des différentielles dont elles se composent, en comprenant ds et ds’ parmi les lignes qui y entrent, parce que le nombre de ces différentielles, quoi- 376 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES que infini du second ordre, doit être considéré comme le même dans les deux systèmes. Or le produit dsds' est de deux dimensions : il faut donc que F(r,,0, ©) cos. a, f(r,0,8/,&) cos.p, f(r,0,8/,w) cos. 4 soient de la di- mension — 2 ; et comme les angles 0,0',w,2,6,y sont exprimés par des nombres qui n’entrent pour rien dans les dimensions des valeurs des différentielles, et que f(r,0,8’,«) ne contient que la seule ligne 7, il faut nécessairement que cette fonction soit 4 VE proportionnelle à —, en sorte que la force qu’exercent l’un sur = l’autre deux éléments de fils conducteurs est exprimée par 22/@(0,0" : LARUEN) dsds!. tr Les deux premiers cas d'équilibre déterminent ensuite la fonc- tion +, où # seul reste inconnu , et l’on a ti’ (sin.Osin.0/ cos. , +4 cos.Ücos.0') 3 Cr ann co lé , pour la valeur dela force cherchée : c'est, comme on sait, sous cette forme que je l’ai donnée dans le Mémoire que j'ai lu à l’Académie le 4 décembre 1820. En remplaçant alors sin.6sin.6’ cos. @, et cos.f cos.p" par leurs valeurs rd°r dd À dr dr = 7 dsds Da de LUE il vient LL dir dr dr Met Durs Ti +AT TE) deds = &/(rdd'r+kdrd!r) ciéiridd’r+#krt=:drd'r à D mue EU UE DU RL COLLE SEE CA bride 47) ii’ dd’(r#+:) rh+:i TI (Æ + nr ? | ÉLECTRC-DYNAMIQUES. 377 et en faisant pour abréger #+1—m, on a pour la valeur de la force cherchée cette expression très-simple ti’ dd’ (Gi) mr" 11 ne reste plus alors qu’à déterminer "2 d’après le cas d'équilibre qui démontre que la somme des composantes des forces qu’exerce un fil conducteur sur un élément, prises dans la direction de cet élément, est toujours nulle quand le fil conducteur forme un cir- cuit fermé. Ce cas d'équilibre , que j'ai considéré dans ce Mémoire comme le troisième, doit l’être alors comme le quatrième, puis- qu'il est le dernier qu’on emploie dans la détermination com- plete de la force cherchée. En remplaçant d'7 par —cos.0' ds’ dans la valeur # ii d(rn—i d’r) Paul de la force que les deux éléments exercent l’un sur l’autre, on a, pour sa composante, dans la direction de l'élément ds’, zi'ds’cos.8 d(r"—"cos.0’) 1 iz:'ds’d(r"—20cos.? 0’) rm Ge pim—r ? _. dont il faut que l'intégrale relative aux différentielles qui dé- pendent de ds soit nulle toutes les fois que la courbe s est fermée; mais il est aisé de voir, en intégrant par parties , qu’elle est égale à LI …… cos.” cos.” 0! cos.* 6’ dr = ds [2 — > +(om—1) | ——— |. 2 7 re : Ur: La première partie de cette valeur s’évanouit quand la courbe s est fermée, parce qu’alorsr,—r.,,cos.W,— cos. , à l'égard de la se- conde on démontre facilement, comme nous l'avons fait, page 209, cos.-0 dr Je ] : que | ——— ne peut s’évanouir, quelle que soit la forme de la 1823. 48 378 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES courbe fermée s; il faut donc qu'on ait 27—1—0, m—#, et que la valeur de la force due à l'action mutuelle des deux élé- ments ds,ds’ soit Ad (ro) 2 Ad dr me" A V7 Il. Sur une transformation propre à simplifier le calcul de l’action mutuelle de deux conducteurs rectilignes. Quand les deux conducteurs sont rectilignes, l’angle formé par les directions des deux éléments est constant et égal à celui des directions mêmes des deux conducteurs; il est donc censé connu, et en le désignant pare, on a, page 207, dr dard dx dz'__dy dy dz dz” l'asds it sde nds (ds: dé den dede nan d'où il suit que dd'(r")__(m—1)drdr/+rdd/r _ (m—2)drdr'—cos.edsd s’ mr" T nr En désignant par p un autre exposant quelconque, on a de même dd’(r?7) __(p—»2)drd'r—cos.sdsds’ pre j r° ? et, en éliminant dre r°? re2 à ; entre ces deux équations, on obtient (p—2)dd’(r") _ (m—2)dd’(rr) _ (m—pjcos.edsds’ mr pr? HE Ta je d'où dd’(r")_m—2 dd’(r) m—p cos.edsds mr” P—2 pr? DE on ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 379 “ En substituant = à 72 dans cette équation, et en multipliant les deux membres de celle qui résulte de cette substitution par —ii', on a la valeur de l’action de deux éléments de fils conducteurs transformée ainsi __2ädd’y/r ii dd'(r): (—pl#' cos.edsds' V7 p—2 pr p—2 . r ? et l’on peut, dans cette expression, assigner à p la valeur que l’on veut. Celle qui donneun résultat plus commode pour le calcul est p——1, en l’adoptant, il vient 2 oi: dd'V; 1 ET RTE 1x c2/cos.edsds’ ne ee ériensedede Æ 2 Tr 2 r d°- _COS.€ A r r° dsds’ Eee u —-;5 dsds’ 2 J'ai déja trouvé d’une autre manière, page 253, cette expression de la force qu’exercent l’un sur l’autre deux éléments de fils con- ducteurs;on ne peut l’employer, pour simplifier les calculs, que quand les conducteurs sont rectilignes, parce que ce n’est qu’alors que l'angle « est constant et connu; mais dans ce cas, c’est elle qui donne de la manière Ja plus simple les valeurs des forces et des moments de rotation qui résultent de l’action mutuelle de deux conducteurs de ce genre. Si j'ai employé dans ce Mémoire d'autres moyens de calculer ces valeurs , c’est qu’à l'époque où je l'ai écrit je ne connaissais pas encore cette transformation de ma formule. TI. Sur la direction de la droite désignée dans ce Mémoire sous le nom de directrice de l’action électro-dynamique à un point donné, lorsque cette action est celle d'un circuit fermé et plan dont toutes les dimensions sont très -petites. La droite que j'ai nommée dérectrice de l’action électro-dyna- 48. 380 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES mique à un point donné est celle qui forme avec les trois axes des angles dont les cosinus sont respectivement proportionnels aux trois quantités À, B,C dont les valeurs, trouvées à la page 227, deviennent A— (a 3qx 5 ? r 4 cos.n _3qY B—) ( 73 —°2), EY (ES ==) ? quand on substitue à le nombre 2 auquel 7 est égal; si doncon sup- pose le petit circuit d’une forme quelconque situé comme il l’est (plr,fig.1/),c'est-à-dire qu'après avoir placé l’origine A des coordon- nées au point donné, on prenne pour l'axe des z la perpendiculaire AZ abaissée du point A sur le plan du petit circuit,et pour leplan des x Celui qui passe par cette perpendiculaire et parle centred’inertie 0 de l'aire LMS auquel se rapportent les x,y,zquientrent dans les . à TT valeurs de A, B,C, il est évident qu'on aura y—=0,g=2,=1—=", 2 7= 0, et que ces valeurs se réduiront par evnséquent à 3)1xz 1 32° À (x? — 22° A=— ss >B—0o;,C— (5 — F5 Je ; parce que 7° —x°+2°. B étant nul, la directrice AE est néces- saïrement dans le plan des x z déterminé comme nous venons dele dire. La tangente de l'angle E A X qu’elle forme avec l'axe des æest sui [y ; , C è 22° — évidemment égale à 3 C'est-à-dire à FRERES l’angle OAX l'est à £, on trouvera pour la valeur de la tangente de OAE ; et comme celle de z 22° —4#+° tang OAE— FES — Ce )e 1% ing COA: BA = = (24? +23°)z DZ 2 TX ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 387 d’où il suit que si l’on prend OB— +0 A, et qu’on élève sur OA au point B un plan perpendiculaire à AO qui rencontre en D la nor- male OC au plan du petit circuit, la droite ADE menée par les points A, D, sera la directrice de l’action exercée au point A par le courant électrique qui le parcourt, puisqu'on aura AB — 20B, tang. BD A—2tang.BDO, et tang. OA E— cot.BDA—:cot.BDO —:tang.COA. Cette construction donne de la manière la plus simple la direction de la droite AE suivant laquelle nous avons vu que le pôle d’un aimant placé en A serait porté par l’action de ce courant. Il est à remarquer qu'elle est située à l'égard du plan LMS du petit circuit qu’il décrit, de même que la direction de l'aiguille d’in- clinaison l’est en général à l'égard de l'équateur magnétique; car ‘ le point O étant considéré comme le centre de la terre, le plan OAC comme celui du méridien magnétique, et la droite AE comme la direction de l'aiguille d'inclinaison , il est évident que l'angle OAE compris entre le rayon terrestre OA et la direction AE de l'aiguille aimantée est le complément de l’inclinaison, et que l'angle CO A est le complément de la latitude magnétique LOA; l'équation précédente devient ainsi cot. incl. —+cot.lat., ou tang. incl. —:2 tang. lat. IV. Sur la valeur de la force qu'un conducteur angulaire indéfint exerce sur le pôle d’un petit aimant. Soit que l’on considère le pôle B (pl. 2, fig. 34) du petit aimant AB comme l'extrémité d’un solénoïde électro - dynamique ou comme une molécule magnétique , on est d'accord, dans les deux manières de voir , à l'égard de l'expression de la force exercée 382 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES “ sur ce pôle par chaque élément du conducteur angulaire CMZ: on convient généralement qu’en abaissant du point B sur une de ses branches C4 M prolongée vers O la perpendiculaire BO—b, en faisant Ou—s,BM—a, Bu=r, l'angle BxM—0, l'angle CMH=BMO—S:, et en désignant par un coefficient constant, la force exercée sur le pôle B par l'élément ds situé en 4 est égale à esin.Üds r° ? qu'il s’agit d'intégrer depuis s—OM—a cos. « jusqu'à $— , ou, ce qui revient au même, depuis j—e jusqu'à g—0 : mais, dans le triangle BOY, dont le côté OB—b—asin.e,;ona in. . in.ed — TE s—asin.ecot.8,ds—— "7" ds AN sin. ( er: a sin.£ ? ainsi psin.Ü ds - psinfd@ PANNE NS ITS E dont l'intégrale est o | sms (cos:8 + C), ou, en la prenant entre les limites déterminées ci-dessus, p (1 —cos.e) p, 1 asin£ — a ea D valeur qu'il suffit de doubler pour avoir la force exercée sur le pôle B par le conducteur angulaire indéfini CM7; cette force, en raison inverse de BM—a, est donc, pour une même valeur de a, proportionnelle à la tangente de la moitié de l'angle CMH, et non à cet angle lui-même, quoiqu'on prétende que la valeur : gsin.fds ! T° de la force exercée par l'élément ds sur le pôle B, ait été trouvée en analysant par le calcul la supposition que la force produite ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 383 par le fil conducteur CMZ était proportionnelle à l'angle CMH. On ne peut douter qu’il n’y eût quelque erreur dans ce calcul ; mais il serait d'autant plus curieux de’le connaître, qu’il avait pour but de déterminer la valeur d’une différentielle par celle de l'in- tégrale définie qui en résulte entre des limites données, ce qu'aucun mathématicien ne me paraît, jusqu’à présent, avoir cru possible. Comme on ne peut pas, dans la pratique, rendre les branches MC,MZ du tonducteur angulaire réellement infinies, ni éloi- gner les portions du fil dont il est formé qui mettent cet bran- ches en communication avec les deux extrémités de la pile, à une assez grande distance du petit amant AB pour qu’elles n'aient sur lui absolument aucune action, on ne doit, à la rigueur, re- garder la valeur que nous venons d’obtenir que comme une ap- proximation. Afin d’avoir à vérifier par l'expérience une valeur exacte , il faut calculer celle qu'exerce sur le pôle B du petit aimant un fil conducteur PSRMTSN .dont les portions SP,SN, qui communiquent aux deux extrémités de la pile, sont revêtues de soie et tordues ensemble, comme on le voit en SL, jusqu’au- près de la pile, en sorte que les actions qu'elles exercentse détrui- sent mutuellement , et dont le reste forme un losange SRMT situé de manière que la direction de la diagonale SM de ce losange passe par le point B. Pour cela, en conservant les dénominations précédentes et faisant de plus l’angle BRM—6,, l’angleBRO'—6;', la distance BS— 4’ et la perpendiculaire BO'—b'—— a'sin.e parce que l’angle BSO'——&, on verra aisément que l’action de la portion RS du fil conducteur sur le pôle B est égale à (cos. e — cos. 0 ,') nn OS dE UE il comme, à cause de = asin.e, on aurait trouvé pe (cos. 6, — cos. €) b U 384 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES pour celle qu’exerce la portion MR sur le même pôle B, en pre- nant l'intégrale précédente depuis 4—c+ jusqu'à 6 —6,. En réunissant ces deux expressions et en doublant la somme, on à, pour l’action de tout le contour du losange MRST, cOs.f, Cos.e cos.f,' ) : RÉ pan Mo IT ENTREE Cette expression est susceptible d’une autre forme qu’on ob- tient en rapportant la position des quatre angles du losange à deux axes BX, BY menés par le point B parallèlement à ces côtés etquiles rencontrent aux points D,E, F,G;si l’on fait BD—BF—g, BE=BG=X, on aura b—BO=—pgsin.2:,0"—BO'—R sin.2e, PE QUES OR: h+gcos.2e Cr BR OTRRATE 2gh cos.2e ? ORNE g+hcos.2e COS. 4°, = = — 2 — BR V/g" + +ogheos. 2e? etau moyen de ces valeurs , celle de la force exercée sur le pôle B deviendra ï h+ g cos. 2€ Le ar hétsh ess alle ___ 08e ose ê gsin. 2el/g+#+2ghcos.2e hsin.2el/é4+h+aghcos2e SSin.2e Asin.2e Ê DER ER cos. 2e | ri x ) ghsin.2e oh gsin.é hsin.s/? en remplaçant dans les deux derniers termes sin.2e par sa valeur 2 Sin. € COS. €. Abaissons maintenant du point D les perpendiculaires DI,DK sur les droites BM, BR : la premiere sera évidemment égale à gsin.e, et la seconde s’obtiendra en faisant attention qu'en la muiti- pliant par BR—V/g"+#%°+2ghcos.2€, on a un produit égal au double de la surface du triangle BDR, c’est-à-dire à g/sin. 2e, ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 385 en sorte qu’en nommant P::etp.,, ces perpendiculaires, il vient PATENT I VS +R poghocos:. Pia RSR pt gh sin.2e, < en abaissant du point E les deux perpendiculaires EU,EV sur .- les droites BT,BS, et en les représentant par Pa: etpP,,,, la pre- miére sera égale à DK à cause de l'égalité des triangles BDR,BET, et la seconde aura pour valeur Asin.<, en sorte que l'expression de la force exercée par le contour du losange MRST sur le pôle B pourra s’écrire ainsi : Sous cette forme elle s'applique non-seulement à un losange dont une diagonale est dirigée de manière à passer par le point B, mais à un parallélogramme quelconque NRST (fig. 44) dont le périmètre est parcouru par un courant électrique qui agit sur le pôle d’unaimant situé dans le plan de ce parallélogramme. 11 résulte, en effet, de ce qui a été dit, pages 229 et 276, quel'action de NRST sur le pôle B est la même que si tous les éléments dx dont.se compose sa surface agissaient sur ce pôle avec une force bale à COS NE ER 1 ; : ÉBAE 4-5 —; d'où il suit qu’en nommant x et y les coordon- LA nées rapportées aux axes BX,BY, et à l'origine B d’un point quelconque M de l’aire du parallélogramme ce qui donne \ d’\ —dxdysin.2e, et T=V/ x +7 +axycos. 2e, on aura, pour la force totale imprimée au pôle B, SIN. 2 € ends an 2 F (x ++ 2 xycos.2 e)2 Or nous avons vu, page 266, que l'intégrale indéfinie de 1823. 49 386 THÉORIE DES PHÉNOMÈNES dsds’ (a +st +5 ?— 255" cos.) est ss/sin.* e—- a° COS.: — QC, AG, ——— —@— —_—_— ————— , a SIN. € asin.elL/a +s+s?— 255"cos,e ou 2 1 asin. a+ ss — 9255 co0s.: — —— arc. tang. asin.el/a?+s +5" —2s 3 asSin. € ss’ sin. e+- @° COS.e > [a + Quand à est nul, cette quantité en supprimant la constante k } o 4 SBUE se présente sous la forme =; mais comme l'arc doit être alors remplacé par sa tangente, le facteur nul à sin.e disparait, et l’on a dsds’ Mal ER Pen lcose (s+5s/?—255/cos.e)? ss’ sin.” € * qu'il est aisé de vérifier par la différentiation. On en conclut im- médiatement que l'expression de la force que nous calculons , considérée comme une intégrale indéfinie, est ‘ES px +7 +2ægpeos.2e p æySin. 2: pe en nommant p la perpendiculaire PQ abaissée du point PsurBM, parce que le double de l’aire du triangle BPM est à la fois égal à pV/ x +7 +oxycoso2e et à æysin.2e, ce qui donne #__ VX" +7 +oxycos. 2: Li x y Sin. 2e Il ne reste plus maintenant qu’à calculer les valeurs que prend cette intégrale indéfinie aux quatre sommets N,R,T,S du paral- lélogramme, et à les ajouter avec des signes convenables; en continuant de désigner respectivement par p, 1; Pi ,25 Ps,ns Pr, les ÉLECTRO-DYNAMIQUES. 387 perpendiculaires DI, DK, EU ,EV, il est évident qu'on obtient ainsi pour la valeur de la force cherchée I I I x p TE IN RE VARIE P2,2 La direction perpendiculaire au plan du parallélogramme NRST suivant laquelle le pôle d’un aimant situé en B est porté par l’action du courant électrique qui parcourt le contour de ce parallélogramme , est la directrice de l'action électro-dynamique qu’il exerce au point B: d’où il suit que s’il y avait à ce point un élément de courant électrique situé dans le plan du parallélogram- me , il formerait un angle droit avec la directrice, et qu’ainsi l’action de ce courant sur l'élément serait une force située dans ce plan, perpendiculaire à la direction de l'élément, et égale à celle que le même courant exercerait sur le pôle d’un aimant placé au point B multipliée par un rapport constant, qui est ici : NET ; celui de g à ste ds, en nommant cet élément ds; en sorte que la force ainsi dirigée qui agirait sur l'élément aurait pour valeur 5 8 Z .. I si I I URSS À 2 Er à me Lorsque l'élément situé en B n’est pas dans le plan du pa- rallélogramme, mais forme avec ce plan un angle égal à w, on peut le remplacer par deux éléments de même intensité, l’un dans ce plan , l’autre qui lui est perpendiculaire : l’action du courant du parallélogramme sur ce dernier étant nulle, on ne doit tenir compte que de celle qu'il exerce sur le premier; elle est évi- demment dans le plan du parallélogramme, perpendiculaire à l'élément et égale à L'éer I I z I ED ee FAUTES À CORRIGER DANS LE MÉMOIRE PRÉCÉDENT. Page 179, ligne 8, 21 novembre, lisez : 28 novembre La page 209 porte mal à propos le chiffre 206. P li den Etre d’x. age 229, ligne 20, Ta iSEZ : HER I a +2)+ ja Fr Jr," —7r) a ? i 1. a a a a Pa TT, lisez (EE nn greniers, 2! 1 rl 7e r rr a Page 248, ligne 16, Quant, Ysez : Quand Mème page, ligne 17, (fig. 24), Uisez : (fig. 22) Page 250, ligne 14, L'L,L’L,, Üsez: L'L,, L'E, Page 297, ligne 24, on, lisez: oh set cd°6’ ec’ d’ cd? 5! re Page 311, ligne 21, , lisez : — , que nous considérerons comme agissant sur l'élément ds; Page 317, ligne 19, BabA, lisez : BcdA RDA RAR LA A LA VAR LR LEE LAS LAS LRU LR LU RAT LA VAE LA ILL LS AR LAS LAS LES LA LA LR ER MÉMOIRE SUR LES LOIS DU MOUVEMENT DES FLUIDES; Par M. NAVIER. Lu à l’Académie royale des Sciences ; le 18 mars 1822. L Notions préliminaires. Les géomètres représentent, au moyen d'équations aux différences partielles, les conditions générales de l'équilibre et du mouvement des fluides. Ces équations ont été déduites de divers principes , qui supposent tous que les molécules du fluide sont susceptibles de prendre les unes par rapport aux autres des mouvements quelconques, sans opposer aucune résistance , et de glisser sans effort sur les parois des vases dans lesquels le fluide est contenu. Mais les différences con- sidérables, ou totales, que présentent dans certains cas les effets naturels avec les résultats des théories connues, indi- quent la nécessité de recourir à des notions nouvelles, et d’avoir égard à certaines actions moléculaires qui se mani- festent principalement dans les phénomènes du mouvement. On sait, par exemple, que, dans le cas où l’eau s'écoule hors d'un vase par un long tuyau d'un petit diamètre, le cal- 390 MÉMOIRE SUR LES LOIS cul conduit à attribuer à ce fluide une vitesse d'écoulement qui surpasse beaucoup celle quel’on observe, et qui est sou- mise à des lois différentes. Nous considérons ici un fluide incompressible, et nous nous représentons ce corps comme un assemblage de points matériels, ou molécules, placées à des distances très-petites les unes des autres, et susceptibles de changer presque li- brement de position les unes par rapport aux autres. Une pression est exercée sur la surface du fluide, et pénètre dans l'intérieur du corps. Elle tend à rapprocher les parties, qui résistent à cette action par des forces répulsives qui s’éta- blissent entre les molécules voisines. Si le fluide est en re- pos, chaque molécule est en équilibre, en vertu de ces forces répulsives et des forces étrangères, telles que la pesanteur, qui peuvent agir sur elle; et c’est en cela que consiste l’état du corps. Si le fluide est en mouvement, ce qui suppose, en géné- ral, que les molécules voisines s'approchent ou s’éloignent les unes des autres, il nous paraît naturel d'admettre que les forces répulsives dont il vient d’être question sont modifiées par cette circonstance. Nous concevons en effet que, dans l'état de repos du fluide, les molécules voisines se sont pla- cées à des distances respectives déterminées par la condition d'une destruction mutuelle des forces de répulsion et de compression; ce qui a déterminé la grandeur du volume oc- cupé par le corps, en raison de la température et de la pres- sion extérieure à laquelle il est soumis. Or, tous les phé- nomènes indiquent -que les actions exercées de molécule à molécule, dans l’intérieur des corps, varient avec la distance des molécules; que si l'on veut diminuer la distance des parties, on fait naître une force de répulsion ; que si l'on DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 391 veut augmenter cette distance, on fait naître une force d’at- traction. Un liquide résiste beaucoup moins qu’un solide à un effort qui tend à écarter les parties voisines les unes des au- tres, mais l'expérience prouve que la résistance à l’écarte- ment n’est pas nulle. Nous admettrons, d’après ces con- sidérations, que, dans un fluide en mouvement, deux molé- cules qui s’approchent l’une de l’autre se repoussent plus fortement, et que deux molécules qui s’éloignent l’une de l'autre se repoussent moins fortement qu’elles ne le fe- raient si leur distance actuelle ne changeaïit pas; et nous prendrons pour principe, dans les recherches suivantes, que par l'effet du mouvement d’un fluide, les actions répulsives des molécules sont augmentées ou diminuées d’une quantité proportionnelle à la vitesse avec laquelle les molécules s’ap- prochent ou s’éloignent les unes des autres. Il s'établit de même, dans l’état d'équilibre, des actions répulsives entre les molécules du fluide et celles des parois solides dans lesquelles il est contenu. Ces actions doivent être . également modifiées dans l’état de mouvement, et nous sup- poserons encore qu'elles sont augmentées ou diminuées de quantités proportionnelles aux vitesses avec lesquelles chaque molécule du fluide s'approche ou s'éloigne de chaque mole- cule immobile appartenant à la paroi. IL Équations de l'équilibre des fluides. Pour exprimer les conditions de l'équilibre d’une portion de fluide conformément aux notions établies ci-dessus, on considérera une molécule placée au point M dont les coor- données sont *,y, z; et une molécule placée au point M’ 392 MÉMOIRE SUR LES LOIS tres-voisin du premier, dont les coordonnées sont x +», Yÿ+6,z+7. Onnommera | la distancé des deux points, en sorte que p—V/" +6 +7". La force répulsive qui s'établit entre ces deux molécules dépend de la situation du point M, puisqu'elle doit balancer la pression , qui peut varier dans les diverses parties du fluide. Elle dépend de la distance b, et, comme toutes les actions moléculaires, décroît très-ra- pidement quand cette distance augmente. On désignera cette force par la fonction f(+), à laquelle on attribuera cette propriété, et qui doit être regardée aussi comme dépendante des coordonnées x, y, z. Cela posé, chaque molécule M du fluide est sollicitée par des forces semblables , émanant de toutes les molécules M’ qui l'entourent. Nous supposons éga- lement cette molécule sollicitée par des forces accélératrices dont les composantes, dans le sens de chaque axe, seront désignées par P, Q,R, ces lettres représentant les valeurs des forces, données en unités de poids, et rapportées à l’unité de volume. Il s’agit de trouver les conditions de l'équilibre entre toutes ces forces, et pour cela d'exprimer la somme de leurs moments, et d’égaler cette somme à zéro. Si, le fluide étant supposé en équilibre, on imprime au système un mouvement très-petit, par l'effet duquel la mo- lécule M soit déplacée dans le sens de chaque axe des quan- tités Dx, Dy, 2, que nous regardons comme des fonctions de x,y,z, la molécule M’ sera déplacée dans les mêmes directions des quantités dj x dÿx dix Zi 71 El az 1° dùy ddr dy a ae ET An dy 1° dX + dY + DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 393 de dde, 48: PPS Cu CN ANT Par conséquent, S4, 36, 3y désignant les accroissements des distances #, €, y qui ont lieu par l'effet de ce mouvement, on a dx dù x dùx DA — —— PEN Pre RE 6 Sp, dre, 487 dx “dz Ÿ? __ dÿz dÿz dÿz PE 0e CORP Mais on a 5 __ada+6d6+ydy. PE p Can donc dix , dÿx dÿx E 7 Ë 2 ne Tee TO 7m dpt u6+ 6 +67 dÿz ir, Le LC) LUE TRY +) Le produit # (4) . à, représente le moment de la force /{(+) - agissant entre les deux molécules M,M', considérée comme étant appliquée au point M, plus le moment de la même force, considérée comme étant appliquée au point M’. Nous pren- drons d’abord la somme des produits semblables, donnés par les forces qui agissent entre la molécule M et toutes celles qui l’entourent ;et nous remarquerons qu'il existeautour du point M huit points, situés tous à la même distance + ,et pour lesquels les coordonnées relatives «, 6, y ont des valeurs qui diffèrent deux à deux seulement par le signe de l’une des coordon- nées. Donc, en ajoutant d’abord les huit valeurs du produit 1823. 5o 394 MÉMQIRE SUR LES LOIS f(e).5e qui répondent à ces huit points, il viendra 8.7) )dèx + Len LE ) ‘dx * dz Ÿ Il ne reste plus qu'à intégrer par rapport à «, 6, y, dans l'é- tendue du huitième de sphère où ces quantités n’ont que des valeurs positives. Pour cela on changera ces coordonnées en coordonnées polaires, et un par 4 l'angle du rayon b avec sa projection sur le plan des #6, par o he que forme cette projection avec l'axe des «, on aura a — p COS. ŸCOS.p , 6—=9cos.4 sin.?, j y=esin.Ÿ. Substituant ces valeurs dans l'expression précédente; mul- tipliant par l'élément de volume 49 .d4.d®.$"cos.4, et in- tégrant entre les limites convenables, il vient 8f Fe ro f° af d(D cos.’ 4. cos. re + DZcos4. sin.'é MO + ÉFssins QUE cos.ÿ ) ou bien, parce Pau) frappe el fi deco Mn A 0) 2 3 dù x res dÿz 8.3: ds Eh SReEe) Posant maintenant 0 de. f(e)==p, en désignant par Oo DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 395 P une quantité qui ne dépend pas de la distance +, mais seulement des coordonnées x,7,z qui déterminent la situa- tion de la molécule M, et qui mesure la résistance opposée à la pression qui tend à rapprocher les parties du fluide, on aura définitivement dix di dÿz Care) pour l’expression de la somme des moments des forces agis- sant entre la molécule M et toutes celles qui l'entourent. Pour obtenir maintenant l'expression de la somme des moments de toutes les forces répulsives existantes entre les molécules du fluide, on devra multiplier l'expression pré- cédente par l'élément de volume dx dy dz, et intégrer par rapport à x, y, z dans toute l'étendue du fluide. Il suit de là que l'équation exprimant les conditions de l’équilibre du système est o—fffaxdyd:[p(D+ O4 DE) + pèa + Qoy+Roel Nous remarquerons ici que, par le calcul précédent, on prend deux fois la somme des mêmes moments des forces intérieures; puisque la somme des moments des deux forces agissant suivant la ligne », représentée par f{+).09, est comptée par rapport à la molécule M et par rapport à la molécule M’. Mais cela est indifférent pour le résultat, puis- que le facteur +, qu'il faudrait appliquer au premier terme de l'équation, peut être supposé compris dans la quantité p, dont la valeur absolue dépend toujours de la grandeur des forces appliquées au fluide. En intégrant par parties le premier terme de l'équation bo, 396 MEMOIRE SUR LES LOIS précédente, elle se changera en o—fffaxdyaz((p—Æ3e+(Q—Tar+(R— 23] — ffaydz(p'3a" pie") ffardi(p'ar pay") — ffdxdy(p'52—p"32") en marquant d'un et de deux accents les lettres représentant les quantités appartenant aux limites des intégrales. On a donc en premier lieu, pour les conditions de l’équi- libre d’un point quelconque de l'intérieur du fluide, les équations indéfinies dpi dprs dp Ana ar node qui signifient que les expressions des forces P, Q, R don- nées en fonction de x, y, z, doivent être respectivement les, différentielles partielles prises par rapport à x, à Y, à Z, d'une même fonction p de ces coordonnées. La différentielle complète de cette fonction est donc dp=Pdx+Qdy+Rdz, et l'on a par conséquent p=fPdr+ Qdy +Rdz)+ const. formule où la fonction sous le signe 1 doit être nécessaire- ment susceptible d'une intégration exacte, pour que le fluide soumis à l'action des forces représentées par P, Q,R, puisse demeurer en équilibre. DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 397 Si aucune force n’était appliquée aux points intérieurs du fluide, la valeur de p devrait être constante dans toute l’éten- -due de-ce corps. En second lieu, à l'égard des points appartenant à la sur- face, si l’on désigne par /, m,n les angles que forme un plan tangent à la surface mené au point dont les coordon- nées sont x, y, z, avec les plans des yz, des xz et des xy, et par ds° l'élément différentiel de la surface, on pourra remplacer dydz par ds’. cos.{!, dxdz par ds’. cos. m, et dxdy par ds*°.cos.n (Voyez la Mécanique analytique, 1° partie, section VIT, art. 29 et 30). La partie de l’équa- tion qui est relative à ces points devient donc o= S ds’[(p'cos.l'.5x'—p"cos.l".ÿx")+(p'eos.m'.5y—p'eos.m".3y") +(p'cos.n'.5z—p'cos.n".5z")]. On en conclut que dans la partie de la surface qui est libre, où les variations des coordonnées de chaque point sont en- tièrement indéterminées, on doit avoir p—o. Ainsi, la figure que doit affecter cette partie de la surface est donnée en termes finis par l'équation o—/(Péx +Qdy+Rdz)+ const. : l'équation différentielle est o—Pdx+Qdy+Rdz, en sorte que la résultante des forces P, Q, R agissant sur chaque molécule du fluide placée à la surface libre, doit être dirigée suivant la normale à cette surface. 398 MÉMOIRE SUR LES LOIS Dans la partie où la surface du fluide est formée par une paroï solide et fixe, les molécules qui s'y trouvent placées ne pouvant se mouvoir dans le sens de la paroi, on a entre les variations dx, Sy, Sz la relation o—èx.cos./+0y.cos.m + 032.cos.7, en vertü de laquelle les termes de l'équation précédente dis- paraissent d'eux-mêmes, en sorte qu'il n’existe aucune con- dition particulière relative à cette partie de la surface. Les lois de l'équilibre des fluides , énoncées ci-dessus, sont conformes à celles que les géomètres ont établies d’a- près le principe de l'équilibre des canaux, ou en supposant le fluide décomposé en éléments rectangulaires infiniment petits, et exprimant que chacun de ces éléments, soumis à Faction des pressions exercées sur ses faces, et des forces accélératrices appliquées aux molécules, doit être en équi- libre. La considération des forces répulsives que la pression développe entre les molécules, dont M. de Laplace avait déja déduit les équations générales du mouvement des fluides, dans le XII: livre de la Mécanique céleste, paraît dépendre plus immédiatement des notions physiques que l’on peut se former sur la nature de ces corps. IT. Expressions des forces provenant des actions mo- léculaires qui ont lieu dans l'état de mouvement. Si, dans l’état de mouvement d’un fluide, les forces ré- pulsives existantes entreles molécules ne subissaient aucune altération , les conditions du mouvement se déduiraient de DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 399 celles de l'équilibre en exprimant, conformément aux prin- cipes de la mécanique, que les forces accélératrices auxquel- les sont dus les mouvements de chaque particule sont égales à la résultante des forces qui agissent sur cette parti- cule, et qui se détruisent mutuellement dans l’état d'équilibre. En désignant par w, v,w les vitesses parallèles aux axes des x, des y et des z, à la fin du temps £, de la molécule située dans le point dont les coordonnées sont x,y,2, et par p la densité du fluide, on aurait ainsi les trois équations d p du du du du er 7e de CATE CU dp dv dv dv do arf pre FU at Wa) R dp > .fdw dw ds div TT = Franc et a Ne On devrait avoir également p—0o dans tous les points de la surface libre du fluide. 11 faudrait exprimer que les molé- cules contiguës aux parois solides ne peuvent se mouvoir que dans le sens de ces parois. Enfin l'on doit joindre aux équations précédentes celle qui exprime que le volume des parties du fluide est invariable, qui est du dv dw / ARE re 0 Mais, d'après les notions exposées ci-dessus, il est néces- saire d'admettre l'existence de nouvelles forces moléculaires, qui sont développées par l’état de mouvement du fluide. La recherche des expressions PAU de ces forces est le principal objet que l'on s’est proposé dans la composition de ce mémoire. Considérons toujours deux molécules très-voisines M, M”. oo MÉMOIRE SUR LES LOIS Les vitesses de la molécule M dans le sens des axes étant u,v,w, celles de la molécule M’ sont au même instant AVE dy dzl? dv dy dv Phys D PAR FES) d dsw dw RE PrUL en négligeant les puissances supérieures des coordonnées 26,7, qui sont toujours supposées extrémement petites. On a donc af du due — dv dv n ENT TS L)+É( et ee ne Ce. mr SAGE = pour la différence des vitesses des molécules placées aux points M,M” estimées suivant la ligne MM'; en sorte qu’en vertu du principe que nous avons adopté, il s'établit entre ces deux molécules une action proportionnelle à la quantité V. Si nous multiplions cette quantité par une fonction f() de la distance des molécules qui ait la propriété de diminuer avec une rapidité extrême quand s augmente à partir de zéro, et de devenir nulle dès que ? a une valeur sensibles l’expres- sion #(L ). V représentera la force qui existe entre deux mo- lécules quelconques du fluide. Il s’agit de prendre les mo- ments des forces semblables dans toute l'étendue de la masse. Considérant donc le fluide dans son état de mou- vement, nous supposerons que l’on donne au système une impulsion, par l'effet de laquelle les vitesses actuelles DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 4ox u ,v,w aient varié respectivement des quantités 94, dv, dw. Le produit des forces qui seraient appliquées à la molécule M dans le sens des axes, multipliées respectivement par ces va- riations, représenteront les moments de ces forces, et l’on aura de même f{e). VS V pour la somme du moment de la force f(#).V, considérée comme agissant de M' sur M, et du moment de la même force considérée comme agissant de M sur M’. L'expression précédente de V donne dy las ‘dx * Sam, in, ee ! "dæ © y); a [Ÿdu du Sdu 6 ddr, Pre 04 DV (Te 6 + 1) et par conséquent le moment des forces intérieures prove- nant des actions mutuelles des deux molécules M et M', est exprimé par el a +6 +0 — a+ D6+ T4) eur É den, + te + 7) + (re + 0e + jas Jdw Pite ie Y SE D LA SÈPAR | Il faut donc prendre la somme des ie semblables pour toutes les molécules du fluide, considérées deux à à ; k ) ; deux, afin de la faire entrer dans l'équation générale qui donnera les lois du mouvement. Pour y parvenir , nous pren- drons d’abord la somme de ces moments pour les actions ré- ciproques exercées entre la molécule M et toutes celles qui 1823. 5r 402 (IMÉMOLIRE SUR° LES LOIS l'âvoisinénts puisneus-ajouterons! les sommes semblables qui seront fournies parltousiles points du‘fluide. Afin d'effectuer de la-mamiëete:la plus-simple la première intégration; qui doit êtresfaite autour du point M, nous re- marquerons;: comme ci-dessus, que l'on peut distinguer avec le point M/; dont les:coordonnées comptées du point M'sont *, 837, Sept autres points situés à la même distance ° du point M, dont destcoordonnées :auront:les-mêmes valeurs absolues, mais des signes différents. La formule précédente représentera les-valeurs des moments relatifsaux actions ré- ciproques du, point M.et de l'un a de ces huit points, 6h donnant dans/ cette formule à 4,6, les signes qui conviennent à chacun d'eux. Si l'on ajoute ensuite les huit valeurs que l’on ébtiendra ainsi, lés térmes contenant des püissanéés paires des cobrdonnées «, 6,4 se trouveront mul tipliés par 8, et les termes contenant des puissances im- paires de ces mêmes coordonnées se seront détruits récipro- quement. Cetté: circonstance est une suite nécessaire de! ce que les valeurs oree)pndantes aux huit points dont il s’agit, considérées" denx à deux, différent seulement par le signe de l'uné dés :coërdonnées. La somme cherchée sera donc, en effcctirant la multiplication indiquée, Yf Hi. 1HLOC éJUOmMONr 899 9D v1nomOe 81 DrOUR D ef10"! > : " f UD 89199 e9)1oi 19 1 us5lonx : YTIN9 299919X9 à D'PpOTG ; 0 G OO RE DU MOUVEMENT. DES, ELUIDES. du S'aui à du d'dure ep du du és doi; ue, 772 st ae do [dv ÿdu. ce do ÿdu 1e 4 # - ap dx * "Fo ET droit M: 35 {r.5 O0 9h) dwôdu , , ;dwddu , \ (Fr v+ dx dz Pr Aa i [du dd: du-d d Et Ee 7e 6) dv Üdv ,,, Fr Jde. do Jdv ES dx né ir dy ou Éd5ge dz )+ dwSdv,.,,. dwÿdr Fes, dy Me M la r)# du NE L", dufdw rs ér A La et NO EO 2e 0 he SUIS 29! dr ddwr, ...dv.dw dy di. CD én FR [dw ddm 1, _dwddw ga »dw dd, dx dx *Ÿ dy dy nn per dz Ÿ Cette addition étant faite. il ne reste plus qu'à intégrer dans la huitième partie. de la sphère dont le point M est le centre, où le: les valeurs de a! 6x LÉ positives. À A çet effet, on 1 ft 'a9 316) changera. ces. ‘coor données € en. d autres c coordonnées polaires, et désignant par Ÿ l'angle du rayon Rave | sa projection sur _le plan des 46, et par + l'angle que forme | cette projection ‘avc l'axe des #, On'aura à 3 ! _ mn bem à » . … s L 3 T "y pe hs] 5 4 pes. ÿ cos. Pos 8—g cos. Ÿsin. es SES CR Hz De Cesin. ds ab JR sb «| valeurs qui. St être substituées dans, Ja formule pré- cédente.,On la multipliera £nsuite par expression. ss. ‘E 3€] 31193994 Bt. 404 MÉMOIRE SUR LES LOIS dedydo.s cos. de l'élément du volume dans le nouveau système de coordonnées, et on intégrera par rapport à @ et à 4 de o à 25 et par rapport à ? de o à & . En faisant abstrac- tion du facteur en ?, on aura d’abord a. cos. —cos.* bcos. », 6icos.Ÿ —cos.’ 4 sin. 6,ycos.Ÿ = cos.bsin.‘d, « _4a’6*cos.4—cos.f} sin. pcos.’9, ay cos. 4 — cos.” Y sin.*Ÿ cos.’ », * cos. b — cos.’ 4 sin.” 4 sin. o. Multipliant chacune de ces quantités par dy de, et intégrant entre les limites indiquées, on trouve pour la valeur com- . . . 2 T mune des trois premières intégrales 753 €t pour la valeur . “1 T ’ e commune des trois dernières +=. Par conséquent si nous po- sons 8x Le) Go de pf(e), la somme des moments de toutes les actions exercées réci- proquement entre la molécule M et celles qui l'avoisinent se trouvera exprimée par GE d'u ddu nu d du au du dvôdu _drôdu . dwÔdu dw du dx de dy dy Vds da dy de ‘dx dy di dr ‘ du d2 | du ède , duddw dvddv ‘a dv dde d> ÿdr É dwÿdv., dw ddr : de dy dy de dx dx dy dy tds de ‘dy da ds dy}, | duSdw _, duddw dvÿidw drÿdw dnÈdw., did. dw Üdw ET RANCE T7 da Tax dy Vi dx dy dy dz dz Il faut maintenant prendre la somme des quantités sem- blables à la précédente pour tous lés points de la masse du DU MOUVEMENT DES FLUIDES. A0 fluide. On y parviendra en remarquant que, pour tous les points compris dans un élément rectangulaire infiniment pe- tit, dont les dimensions sont dx ,dy,dz, les valeurs de ces quantités ne différent pas; d’où il SATA que la somme de ces quantités, pour tous les points compris dans l'élément, s'obtient en multipliant l'expression pebrdente par le vo- lume dx dy dz. Il ne restera plus qu’à intégrer par rap- port à æ,y,z dans toute l'étendue de la masse du fluide. On pourrait d’ailleurs remarquer ici, comme dans le II° paragraphe, que l’on prend deux fois la somme des mo- ments dont il s'agit, et que, pour une entière exactitude, on doit regarder le facteur : comme étant compris dans la constante :, en outre des facteurs écrits ci-dessus. Nous venons de trouver l'expression de la somme des mo- ments des forces provenant des actions réciproques des mo- lécules du fluide : nous allons passer maintenant à la re- cherche de la somme des moments des forces provenant des actions exercées entre les molécules du fluide et celles des parois solides. Considérons à cet effet un point M appartenant à la sur- face de séparation du fluide et de sa paroi, dont les coor- données sont x,7,z; et où les valeurs des vitesses du fluide, dans ‘le sens de chaque axe, sont w,v,w. Considérons en- suite une molécule » du fluide, placée très-près du point M, dans le point » dont les coordonnées sont 2+2,7+6,2+7. Les valeurs des vitesses de la molécule m, dans le sens de chaque axe, seront 406 MÉMOIRE SUR LES LOIS en négligeant les puissances supérieures des quantités «,6, y, qui sont supposées extrêmement petites. La vitesse avec la- quelle la molécule m s'éloigne du point M, est donc égale à s (au + Ev+yw), en négligeant toujours les termes du second ordre en :, 6, y par rapport aux termes du premier ordre; et cette formule re- présente également la vitesse avec laquelle la molécule »# du fluide s'éloigne de toutes les molécules de la paroi solide qui sont situées dans le prolongement de la Le mM. Il suit de là, et du principe que nous avons énoncé, que les actions réciproques exercées entre la molécule » du fluide et une molécule quelconque de la paroi située dans le prolongement de la ligne mM, sont toutes proportionnelles à la quantité précédente. Elles ne différent les unes des autres qu’à raison de l'inégalité des distances entre m et les molécules dont il s'agit. S c Si d’ailleurs les molécules du fluide reçoivent une impul- sion , en vertu de laquelle les vitesses de la molécule », dans le sens de chaque axe, augmentent des quantités du, dv, Dw, la vitesse de cette molécule, dans le sens dé la ligne mM, aura augmenté de la quantité s(u+EBv + à). Doncles moments des actions réciproques entre la molécule m, et l’une quelconque des molécules de la paroi situées sur le DU‘MOUVEMENT DES FLUIDES. 407 prolongement de la ligne » M, sont proportionnels à ps (au + 6v + yw).(adu+ 6dv + y5w). Ainsi, pour avoir la somme des moments fournis par'toutes les actions dont il s’agit, il faudrait multiplier l'expression précédente par une fonction de la distance e” supposée entre la molécule » et une molécule de la paroi, puis’ intégrer depuis &"—; jusqu'à —. Or, en faisant cette opération, on doit nécessairement trouver pour résultat l'expression précédente multipliée par une fonction de e, qui décroisse trés-rapidement quand ; augmente à partir de o, et devienne nulle quand 4 acquiert une valeur sensible. Car l’action de la molécule m sur celles de la paroi est nécessairement as- Sujéttie à cette condition. Donc, en représentant par F (+) une telle fonction , On doit prendre FX (uv F6v+yw). (ai u+ 6 v+ y) FE 7 AS v Y : pour l'expression de la somme des moments des actions exercées entre la molécule #2 du fluideet celles des molécules de la paroi qui se trouvent dirigées suivant la ligne » M. Nous allons maintenant prendre la somme des moments semblables fournis par toutes les molécules du fluide situées dans le voisinage du point M. Nous obtiendrons de cette ma- miére la somme des moments de toutes les actions récipro- ques, entre les molécules du fluide et de la paroi, qui sont dirigées suivant des lignes passant par le point M:ilne restera plus qu’à ajouter les sommes semblables fournies par tous les points de la surface du fluide. IL s’agit donc d’abord d'intégrer l'expression précédente 408 MÉMOIRE SUR LES LOIS dans l'étendue du fluide qui se trouve à une tres-petite dis- stance du point M. Cette intégrale doit généralement se pren- dre d’une manière différente lorsque la paroi est plane, et lorsqu'elle est courbe; mais ayant supposé précédemment le rayon de la sphère d'activité des actions moléculaires assez petit pour qu'il fût permis de négliger, dans l’éten- due de cette sphère, les quarrés des distances *, 6, y par rapport à leurs premières puissances, nous devons admettre, comme une suite de cette hypothèse, que la surface de la paroi (sauf les arêtes ou les points singuliers) se confond avec son plan tangent dans l’espace où l'intégration doit s’et- fectuer. Ainsi supposant que l’on ait mené par le point M à la surface de la paroi un plan tangent, nous prendrons l’in- tégrale dont il s’agit dans la demi-sphere dont le point M est le centre, et qui est terminée par ce plan. Pour fixer la di- rection du plan tangent mené par le point M, soit MN la direction de la normale à la surface passant par ce point : nous désignerons par r l'angle P M4 que la projection de cette normale sur le plan des 46 fait avec l'axe des «, et par s l'angle NMP que la normale elle-même fait avec sa projec- tion. DU MOUVEMENT) DES IFLUIDES. 409 Cela posé, nous allons; d’abord changer les coordonnées a, 6,7 en d’autres coordonnées rectangulaires «', 6’, y, dont les axes seront dirigés comme il suit. La normale MN est l'axe des +’. Menant par le point M un plan perpendiculaire à cette normale, l'intersection MO de ce plan avec le plan des 26 est l'axe des 2’. Enfin l'intersection MQ du plan per- … , pendiculaire dont on vient de parler avec le plan contenant les lignes MP, MN, M}, est l'axe des 6’. En adaptant à ces suppositions les formules connues pour la transformation des coordonnées rectangulaires, nous aurons &— — o Sin. 7 + 6" cos. sin. s + y'COS.7COS.s, 6— à cos.r+6"sin.rsin.s + y’Sin.rcos.s, 3 Y— 6" cos.s — y'Sin.s; / et ces valeurs , substituées dans l'expression précédente, la changeront en (0) x 3 : ë pu (-usin. r+vcos.r)4-6"(ucos.rsin.s+vsin.rsin.s +#.Cos.s)+ Er É Ba - y (&cos.rcos.s+vsin.r cos.s—wsin.s)] x [2 (—dusin.r+vcos.r)+6"(Sucos.rsin.s+$Svsin.rsin. s+ Sw cos. s) + y Qwcos.rcos.s+ÿvsin.rcos.s—5Swsin.s)]. expression qu'il faut intégrer pour toutes les valeurs de «’ et £', et pour les valeurs positives seulement de }': Cette opération se simplifiera en remarquant que si l’on considère . quatre points placés symétriquement, pour lesquels y’ est positif, mais dont les autres coordonnées 4’ et €’ diffèrent deux à deux par le signe; et qu'on ajoute les valeurs que prendrait l'expression précédente en ces quatre points, il ne restera dans le résultat de l'addition que les termes affectés 1823. 5a 410 MÉMOIRE SUR LES LOIS des puissances paires de «' et 6’, termes qui se trouveront multipliés par 4. Ainsi, effectuant la multiplication indiquée, tout’se réduit à intégrer la quantité —— © 4:F(e)/a°{(usin?r—vsin.rcos.r)àu g° | ‘ |( uw sin. rcos.r + vcos’r)àv| g={(ucos.'rsin.®s + vsin.rcos.rsin."s + #Ccos.r'sin.scos.s) du (wsin.rcos.rsins + vsinrsin.s + wsin.rsin.s cos. s) dv (& cos.rsin.scos.s + v sin. sin. s COS. s + 19 COS.? 5) d y 7” ((&@cos."r cos.” s + vsin.rcos.rcos.®s —wcos.rsin.s cos.s)ÿu (usin.rcos.rcos.’s + vsin.rcos s —wsin.r sin.s cos.s)àv | \(—ucos.rsin.scos.s —vsin.rsin.scos.s + #wsin.*s)à«æ \ dans l'étendue du huitième de sphère où z', 6" et ; ont des valeurs positives. - Pour y parvenir nous substituerons, comme ci-dessus ,. les coordonnées polaires &, et 9 aux coordonnées rectan- gulaires, en posant æ'—p COS. ÿ COS. », 6'—=9cos. sin.+, y —=esin.. Mettant donc ces valeurs dans l'expression précédente, et multipliant par lélément de volume dd de .5° cos.#, nous aurons à prendre d’abord les trois intégrales | ffavds.cosycos+, [fdpdp.cos' ysin’e, fau dessine ycos.4, DU MOUVEMENT DES FLUIDES. AE shabe T entre les limites o et ;> €t nous trouverons pour leur valeur T . / commune =- Substituant cette valeur à la place de «°, €"? et y'*; posant Le <] FR f deeF(=E, et ayant égard aux réductions qui s’opèrent, il viendra déf- nitivement E(udu+vdv+wiwv) pour l'expression cherchée de la somme des moments de toutes les actions qui s'exercent entre les molécules de la pa- roi et du fluide, suivant des directions qui passent par le point M de la surface de séparation du fluide et de la paroi. La lettre E représente une constante dont la valeur sera don- née par l'expérience, d’après la nature de la paroi et du fluide, et qui peut être regardée comme la mesure dé leur action réciproque. On prendra ensuite la somme des mo- ments de toutes les actions semblables, en multiphant l'ex- pression précédente par l’élément ds*° de la surface du fluide, et intégrant dans toute l'étendue de cette surface. Il résulte de tout ce qui précède, qu’en admettant les prin- cipes énoncés dans l’article 1° de ce Mémoire, l'équation générale exprimant l'égalité à zéro dela somme des moments des forces appliquées aux molécules d'un fluide incompres- sible, dans l’état de mouvement, est 52. art: d'ARRRLE dy 4 —fffexdydz Fe re duÿdr dx dy duddw dx dz MÉMOIRE SUR LES LOIS + Sds'.E(udu+ vDv+ ad). à d d d ? CET Va +WZ a )jou dv do. dv) re g Ze Pare Te De dsw div di —e(7 Hi vo +we)] dw duddu duSdu . dv ddu dv ÿdu dw ÿdu Fay dr dz dz. dy dx dx dy. dz dx see Odv dvddr dvd dv dv odv...d# ddr dy dx tüx da ‘dy dy ‘de de ‘dy de | duèdw., duèdw dvddw dwÿdw dwÜddw dz dx “dy dz dz dy ‘dx dx “ dy dy / Le signe S désigne une intégration effectuée dans toute l'é- tendue de la surface du fluide, en faisant varier la quantité E suivant la nature des corps avec lesquels cette surface est en contact. Il est inutile de tenir compte des termes relatifs à l'équilibre des points de cette surface, puisque, pourvu que l'on ait p—o dans les points appartenant à la partie où la surface est libre, ces termes disparaissent. En passant dans le second terme de l'équation précédente le.d devant le 5, et effectuant les intégrations par parties, ce terme se changera en une d'u dv _. ffaxdyaz (BE + teen tee) 04 d°u Se dv dv ne w 2 Ted + dei OS Ape de Ta) dv du dv VE d°w ju sp DTxdr ?ayds de Var dé à dw à dl dsw ÿdu dx dal dw à d'u dx dj dz da | | DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 1 fa (5 85%} a au à Eu QD Gr a +. ffda'ar [CE pes SE ee] fr ae à 4 Du (Sr LE ur nur 2 7 | du" dw" dy" dw’ du" =. ffax dy"| dz +9) du He + dx tag ee) de d en marquant par un trait les quantités qui se HUE à la premiere limite des intégrales, et par deux traits celles qui se rapportent à la seconde limite. Nous remarquerons d'abord que l’équation de continuité dv dw ; Ta pra + Te 03 | | | à laquelle les valeurs de 4,v,w doivent satisfaire dans toute l'étendue du fluide, donne, en la différentiant successivement par rapport à x, à yetàz, d'u dy d? w dx a dax dy ie Tr Te 7 d'u d° > d'w Lis ï Zedj ap T'aydz d°u dv dw dzda dyde Var 0? D'apres ces relations, l'expression précédente se réduit à 414 MÉMOIRE SUR LES LOIS fffecarai(( Tee sou (Pere ce +77)30 x(2E ++ +ffar dz' +effax' ds + ff dx'dy 2 du DS +7 )3v v'+ du EN ARC D )ou + agde WTA Dr)ow| (9 [G (CG +9) du + (D De) av + au | L —ffay" as" (2£ De du ju + ete. On voit donc en premier lieu que les équations indéfinies du mouvement du fluide deviendront respectivement TE du du peu a ra d?u BE pi: nou + mg) —e +7 ); Ta dr” dr _ dv dv dv dv dv Qt né Se cr (es Un) sa dw dw dw + d°?w LE ml TL TE + VAE + WE ea (7 ae En second lieu, à l'égard des conditions qui se rapportent aux points de la surface du fluide, si l’on désigne, comme on l'a fait plus haut, par /,m,n les angles que le plan tan- gent à la surface forme avec les plans des yz, des æz et des x y ; si l'on remplace dydz par ds cos. !, dxdz par ds’ cos.m, dxædy par ds’ cos.n, et les doubles signes d'intégration relatifs à dydz,dxdz, dydz par le signeS relatif à ds*: il sera nécessaire, pour que les termes affectés des quantités Ju,dv,dw soient respectivement réduits à zéro, que l’on ait, pour chacun des points de la surface du fluide, les équations déterminées DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 45 a du [du du ee ANR +7) + cos.r (SE =) |=0, à du dv Ev+e[cos./(9+2 7) + cos. m. oi. (+ 7)|=0, dw du ot Ew+[cos./( + 7) + cos.m me +7) + cos.n. Se La valeur de la constante E doit varier suivant la nature des corps avec lesquels le fluide est en contact, et( ce qui est physiquement impossible ) s'il y avait un espace vide au- dessus de la portion libre de la surface du fluide, ces équa- tions devraient encore être satisfaites pour les points appar- tenant à cette portion, en y supposant E—o. Les équations précédentes peuvent encore être simpli- fiées. En effet, les molécules du fluide contiguës à la paroi ne pouvant se mouvoir dans une direction perpendiculaire à la surface, on 2 la relation O—w. cos. l+-v. cos. m+w.c0s. 7, en vertu de laquelle elles se réduisent à du du Eu +e (cos. LT + COS... — TX du Car + cos.n DE) = A r dv dy dv Ev+ el cos./.-—+ cos.m.—+ cos.n. D) 0; dx d'z dy E dre is + cos. n.)— 0 w +e(c Lt LR ere «NT )= 0. Dans un point où la paroi serait perpendiculaire à l'axe des z, on aurait simplement du , dv Eu+:—o, Ev+e— =} 416 MÉMOIRE SUR LES LOIS Si elle était perpendiculaire à l'axe des y, du Eu+e ap 0) Ew + e dw 275 et si elle était perpendiculaire à l'axe des x, Ev+e—o, Eyw + e — 0. On peut, d'apres ce qui précède, se former une notion exacte de la nature des constantes « et E. Concevons une portion de fluide reposant sur un plan, et dont toutes les molécules se meuvent suivant des lignes parallèles entre elles et à ce plan. Admettons que les vitesses des molécules du fluide comprises dans une même couche parallèle au plan soient égales entre elles; et que les vitesses de chaque cou- che, à mesure qu'elles sont plus éloignées du plan, aug- mentent progressivement et uniformément, en sorte que deux couches dont la distance est égale à l'unité linéaire ont des vitesses dont la différence est aussi égale à l’unité li- néaire. Dans cette hypothèse, la constante : représente en unités de poids la résistance provenant du glissement de deux couches quelconques l’une sur l’autre, pour une éten- due égale à l’unité superficielle. Si de plus on suppose que la vitesse de la couche en con- tact avec le plan formant une paroi fixe est égale à l'unité linéaire, la constante E représente en unités de poids la résistance provenant du glissement de cette couche sur la paroi, pour une étendue égale à l'unité superficielle. DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 417 IV. Applications des résultats précédents. Écoulement d'un fluide par un tuyau rectiligne dont la section est rectangulaire. On considère un tuyau dont les parois sont formées par quatre plans parallèles aux plans des xy et des æz. L’axe du tuyau se confond avec l’axe des x, qui forme avec l'horizon un angle 6. Toutes les molécules du fluide sont supposées se mouvoir suivant des directions parallèles à l’axe du tuyau. On a donc ici v—0,w—0; et désignant par g la vitesse que la gravité imprime aux corps pesants dans l'unité de temps, P=—egsin.8,Q—0o,R—pgcos.6, en supposant que les x et les z positives sont comptées de haut en bas. L’équation de RUN NE CL LL : continuité se réduit à 7x — 0; ce qui apprend que x est fonction de y et z seulement, ou que toutes les molécules situées sur une même ligne parallèle à l’axe du tuyau doi- vent à chaque instant avoir les mêmes vitesses. Les équations indéfinies deviennent : dp__ du d'u d'u PSN Th 7e AE Pro +), d Be d pgcos.0— To, et l'on doit y satisfaire dans toute l'étendue du fluide. Il faut de plus, en désignant par à la demi-largeur, et par c la demi-épaisseur du tuyau, que l’on ait 1823. 53 A8 MÉMOIRE SUR LES LOIS ro dyr=+ u+e7,=0 quand y +b, du Eu+eT —0o quand z= +c. La valeur de la pression est indépendante de y, en sorte qu'elle est la même pour tous les points situés sur une même ligne horizontale perpendiculaire à l'axe du tuyau. Nommons a la distance fixe ou variable de l’extrémité supérieure de la portion de fluide contenue dans le tuyau à l'origine des +, 2 la longueur de la partie du tuyau occupée par le fluide, a et x étant mesurés sur l'axe. Désignons par Z et Z’ les hau- teurs dues aux pressions qui ont lieu respectivement aux deux extrémités du fluide, pour les points situés dans l'axe, pressions que nous supposerons constantes. Il faudra que l'on ait p—9g.Z quand x—a,z—0;et p—pg. Z' quand x— 4+ 2,20: L'expression Pp—=v£8.2 p&(Z—Z) << + pg.20C08.0 satisfait à ces conditions, aussi bien qu'à la troisiémedes équa- tions indéfinies. En substituant cette expression dans la pre- miere de ces équations, et posant € —=asin.6t+Z—7",il viendra du pet CUT ET, Pace re CEE La quantité ? représente la différence de niveau des extrémi- tés supérieures des lignes Z et Z° supposées portées verti- calement aux deux extrémités du fluide. La question se réduit maïnteriant à trouver une expression de w qui satis- fasse en mêmetemps à cette équation, aux deux équations déterminées écrites ci-dessus, et à l’état imtial du fluide. 1% DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 419 On satisfait à l'équation précédente au moyen de l'ex- pression u=SSP cos.mYy COS. 72 oo pce SS Qcos. my.Ccos.n2, m,n étant des nombres quelconques, P représentant un coëfficient arbitraire, et Q un coëfficient déterminé par la condition pee = 2 2 99 Q(m° + n°)cos.my.cos.nz. En substituant ensuite l’expression de w dans les deux équa- tions déterminées, et faisant dans la première y— +, et dans la seconde z—+c, il en résulte les équations E2 m b.tang.mb=—, 8° € ? 1 qui donneront chacune pour "= et » uneinfinité de valeurs , au moyen desquelles on formera les termes des séries qui entrent dans l'expression de w. Il ne reste plus qu'à déter- miner les coëfficients de ces termes, que nous avons re- présentés par P et Q. Pour trouver d’abord les coëfficients re- présentés par Q, on multipliera l'équation dont ils dépen- | dent par dydzcos.m'y.cos. n'z, et l’on intégrera par rap- | ‘à port à y entre les limites o et b, et par rapport à z entre les limites o et c, ce qui donnera LEE af. dz.cos.m'y .cos.n'z — SS Q (» Fa ni cos. m2Y. COS. my. COS. 72. CO8. 2; 53. 120 MÉMOIRE SUR LES, LOIS Or‘on démontre que, les nombres m',n' étant supposés assujettis, comme les nombres m,n, aux équations détermi- nées précédentes, la valeur de l'intégrale double indiquée dans le second membre sera o si m' diffère de m, ou sin’ differe de 7; mais que, dans le cas où m'—m etn'—n, la valeur de cette intégrale est 2mbÆ+4sin.2mb 2nc+-sin.2nc 4m 4n (Voyez la Théorie de la chaleur, page 399). D'un autre côté, la valeur de l'intégrale double indiquée dans le premier sin.1b sin.zc ; 2 bé 7 membre est alors dent L'équation précédente se ré- duit donc à pet. ARE VE n°). 2mb+sin.2mb 2nc+sin.2nc. Ee.u m Au Am 4n 4 ce qui donne la valeur de chacun des coëéfficients représen- tés par Q. Quant aux autres coëfficients , ils se détermineront de la même manière par la considération de l’état initial du fluide. Si l'on désigne par (7,2) la vitesse initiale du filet de fluide dont la position est fixée par les coordonnées y, z, on devra avoir eW2)=SS(P+Q)cos.my cos.nz. Il résulte de ce qui précède que, quel que soit le mouve- ment initial du fluide, ce mouvement s'approche continuel- lement d'un même état régulier et permanent, entièrement indépendant de cet état initial , et dont la nature est exprimée par l'équation DU MOUVEMENT DES FLUIDES. Aa LR : ILE sin.720.sin. 7 C.COS. my COS. 22 TE OO GET GR »)(omb+sin. 2mb) (2nc+sin. anc) On forme les termes de la série en donnant successivement à m,n toutes les valeurs qui satisfont aux équations déter- + 7 E6 E minées transcendantes m btang.mb——, nctang.nc— a € : Dans aucun cas le véritable mouvement du fluide, après un temps déterminé, ne différera sensiblement de celui qui est représenté par cette équation. Pour trouver la vitesse moyenne des filets du fluide, il faut multiplier l'expression précédente par dy dz, intégrer dans toute l'étendue de la section transversale du tuyau, et diviser par l’aire de cette section transversale. En nommant cette vitesse U, on a donc u— fiers sin”b.sinnc À e.a. be mn(m+n)(2mb<+sin.2mb) (2nc+-sin.2nc) Cette valeur de U donne le mouvement auquel tend con- tinuellement une masse de fluide placée dans un tuyau rec- tiligne incliné, formant avec l'horizon un angle dont le sinus est£. Comme la solution précédente ne tient pas Le compte de la modification que pourraient apporter à ce mouvement les effets qui ont lieu aux extrémités de la colonne de fluide, elle ne peut d’ailleurs s'appliquer en général qu’au cas où le tuyau est assez gros pour que ces effets puissent être négligés. Mais s’il s’agit d’un tuyau éta- blissant la communication entre deux vases, la formule précédente donne la loi du mouvement, lors même que la grosseur de ce tuyau est très-petite, puisque les effets ca- pillaires dont il s’agit disparaissent alors entièrement. Dans 422 MÉMOIRE SUR LES LOIS ce dernier cas, « représente la longueur du tuyau, et # la distance verticale des surfaces de l’eau dans‘les deux vases, ou ce qu'on appelle communément la charge d'eau. Si la largeur et la hauteur du tuyau étaient très-petites , les premières valeurs des quantités »m b,nc, données par les ,. Q 4 Q , 0 4 Eb Eic équations déterminées, seraient à très-peu près V4 cn). V4 se € 0 Les valeurs suivantes des mêmes quantités différeraient très- peu des nombres r,2r,3r,..…. Ainsi, dans ce cas, les valeurs qu'ilfaudraitattribuer aux nombres m,n, seraient respective- ENT IST MOTIPNTNOT ment FAP EEE PE ps elec Les nombres de chacune de ces suites étant, dans l'hypothèse dont il s’agit, tres-grands par rapport aux premiers, tous les termes de la valeur de U, à raison du facteur De ect peu- mn (rm +7) vent être négligés par rapport au premier. On a donc sim- plement et si la section du tuyau est un quarré dont à représente le demi-côté, l'expression de la vitesse moyenne est L Écoulement d'un fluide par un tuyau rectiligne dont la sechon est circularre. La solution donnée précédemment pour le cas d’un tuyau rectangulaire apprend que l'état constant dont le fluide s’ap: proche continuellement, et dont son mouvement ne diffère DU MOUVEMENT DES: FLUIDES. 423 pas sensiblement au bout d’un certain temps, consiste en ce que les. vitesses des filets du fluide décroissent depuis l'axe du tuyau jusqu'aux parois, .etsont égales pour des filets placés symétriquement par rapport aux plans parallèles aux parois qu’on supposerait menés par cet axe; Ainsi, si les vitesses initiales ont été imprimées de manière que cette condition se trouve satisfaite, la même condition subsistera pendant toute la durée du mouvement: Il est évident que cette circonstance ne peut être particulière à la forme rec- tangulaire, et que, pour un tuyau cylindrique, l’état constant du fluide doit être tel que les vitesses des filets décroissent depuis l'axe du tuyau jusqu’à la paroi, et soient égales pour tous les filets situés à la même distance de cet axe. Nous supposerons donc, pour plus de simplicité,et en nous bornant au cas où les vitesses initiales seraient aussi égales: pour: les filets situés à la même distance de l'axe, que la vitesse z est seulement fonction du rayon variable » de chaque couche cylindrique du fluide. Dans ce cas, l'équation différentielle employée ci-dessus deviendra, comme l’on sait, PAR RER CRETE F et on n'aura plus que la seule équation déterminée du Eu+e— 10}, qui devra subsister pour la valeur r—R, en appelant R le rayon du tuyau. L'identité de ces deux équations avec celles dont dépend la recherche du mouvement de la chaleur dans un cylindre, lorsque, dans l’état initial, les points situés à la 424 MÉMOIRE SUR LES LOIS même distance de l'axe ont des températures égales, per- met d'employer ici la solution exposée dans le Chapitre VI de la Théorie de la chaleur. Pour trouver d’abord une valeur particuliere de w qui sa- tisfasse aux équations précédentes, nous supposerons donc mt u—s.e +, m étant un nombre quelconque, et s une fonction de 7. En substituant dans l'équation indéfinie, où nous faisons pour le moment abstraction du terme cons- tant DA il viendra équation dont dépend la fonction s. On satisfait à cette équa- tion au moyen de la série Te m Tr m* GE t 2.4.6 et 2.4.0.87 CC) dont la somme est donnée par l'intégrale définie T Es de: Ney sf dg.cos. (rV/!sin.g) Si maintenant on substitue la valeur de & dans l'équation , . , E d , . . déterminée =u + —o, et que l’on fasse r—R, il vient dr st mR m° R* nm R° PRE R° etc.) — ENT ea Po e2n46 67 2°.4.6.8 js 2mR 4m R Gr TRE 8m° R7 Ro RO EN GT €? m..6.8 + te: ou bien DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 425 LJ dq-c0s.(RV/ sin. 2) = VE f agsin.qin. (RV/Æsin.g), pour la condition à laquelle doit satisfaire le nombre repré- senté par m. L'une ou l’autre de ces équations, qui sont iden- tiques, donnera pour "= une infinité de valeurs. En s’assujettissant à prendre les nombres représentés par m parmi ces valeurs, l'expression cherchée de la vitesse w enr et £ sera donc __mt 4 u—=SP.5.e ? + SQ.s, P et Q représentant des coëfficients constants ; les coëffi- cients Q étant déterminés par la condition que l’on ait, de- puis r—0o jusqu'a r—R, Hi GQms, | et les coëfficients P par la condition que (7) étant, au com- | mencement du mouvement, la vitesse de la couche cylindri- E- que de fluide dont le rayon est r, on ait, depuis r—0 jusqu'à | PR, 5 S | p(r)=S(P+Q).s. | | Il s’agit donc de trouver généralement l’expression du coët- ficient À d’un terme quelconque du second nombre, dans | l'équation p(r)=S As, la fonction s, ainsi que les nombres m qui entrent dans cette fonction , et dont les diverses valeurs servent à composer les | termes de la série SAs, étant assujettis aux conditions énon- | cées ci-dessus. - | 1823. 54 426 MÉMOIRE SUR LES LOIS Pour y parvenir, on multipliera chaque membre de l'é- quation précédente par dr.s, « représentant une fonction de s, et l’on intégrera depuis r—0o jusqu'à r—R; ce qui donnera are Saf ares Mais, à cause de l'équation dont dépend la valeur de 5, Jar. sn x far (g de +15); et comme, en intégrant par parties, on a % il vient m ds ds dc pris s5=(° Ro PS) — (£ SERO . ca % dr /R | L'aé-$s). les parenthèses affectées des signes o et R indiquant les va- leurs que prennent les quantités comprises dans ces paren- thèses, lorsqu'on fait r—0, r-—R. Supposons maintenant que la fonction & soit assujettie à satisfaire à l'équation LA Apenn agi nr rat DUMOUVEMENT DES FLUIDES. 427 on aura, au lieu de l'équation précédente; R m—n ds do dr. ss (© = UC tr as). —(is+ sx € É dr dr dr Or la fonction & satisfait effectivement à l'équation que l’on vient de poser, si l’on prend «—r.s. En effet, mettant cette valeur de « dans l'équation dont il s'agit, elle devient c'est-à-dire l'équation même dont dépend la fonction s, en changeant seulement 77 en 7. 7e + Dé ) ô AA Ji ps par (VW =r) la fonction de 7 qui sa tisfait à l'équation et par Y (V °r) la fonction de 7 qui satisfait à l'équation En substituant donc v(vZ m r) à à la place de 5, et A4 r) à la place de 6, il viendra - 'dres=fr Ve Y (V4 r). v(VÆ r)—rV/ Le av (VZ CAO nude CAD Ven CEA IR oùbien 54. 428 MEMOIRE SUR LES LOIS Ve dr.es—- l'E mg (VER). E(VTR) — (En) v (V2 ER)] Si l'on suppose d’ailleurs le nombre pris dans la série des valeurs représentées par m, les fonctions HO Ê »), v(V2r r) seront également assujetties à satisfaire, pour la E valeur particulière r—R, à l'équation Fe So, d’où résulte NE A à LL AE PA alt 0 FOYER) , , v(V2R) Le second membre de l'équation précédente est donc nul, sauf le cas particulier où l’on aurait 2—7m», dans lequel L valeur de ce second membre se présente sous la forme 2 - Pour trouver dans ce cas cette valeur, soit = La = V4 s L'équation précédente devient R , / P Jr ERE PT (CR), différentiant les deux termes de la fraction par rapport à », et faisant ensuite y—, il vient fe ds LR (GR) re (Rev). #"(R)] Or la fonction Y (ur) étant, pour la valeur r —R, assujettie DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 429 aux équations m d?s 1ds à À "1 ue rest ARE es à pd UN ou Y+uY +RY —=0, E ds E Ê 25+7—0) OU =V+pY—o, = d’où l’on déduit Ey , E (2 EM . Y EE y EUR l'équation précédente se change en ù R 2 y? 2 “à gps (x +2), à 2 Le € ou, en nommant S la valeur que prend s quand r—R, et remplaçant 4 par la valeur ve R:6 E’ ‘à dr. ss 1+— me Il résulte de ce qui précède, qu’en prenant pour c la fonc- tion r.s, le coëfficient À se trouvera déterminé par l’'é- quation tr o(r)—=A.À —— hr -), + rs p(r) | S? RSS (r+E) Dans le cas particulier dont il s’agitici, où les coëfficients Q 1% d'où 430 MÉMOIRE SUR LES! LOIS doivent être déterminés de manière que l'on ait ul pet 4 ” LE S Qm»s, nous avons e(r)— ee, A—Qm. La formule précédente donne donc : et par conséquent la portion de la valeur de w qui représente les vitesses constantes que le fluide tend toujours à prendre quel qu’ait été son état initial, et qu'il a acquises sensible- ment après un. certain temps , est u — PE? _ 5 .s Ce m S (: +7) ou bien m R°' TRUE m° R° ) = ÉD RE er te. Uu —= =Ê8 S > 512. 2? 813 2%::4° e 4.2?.4? we EU ADR A Ur TQURS Ÿ SE IG VS 727.4 3 9 pes ei Pour déduire de: æétte co 5 celle de la vitesse moyenne U, il faut prend l'intégrale sn af dr.ruw—= R 2 \ F/ dr.ru. On aura donc \ Lo] : « | EE 6 I naar Da Es one 8. DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 431 On formera les termes de la série du second'membre, en mettant pour 2 la suite infinie des valeurs qui satisfont à l'équation transcendante écrite-ci-dessus: | Cette valeur de: U ‘exprime la vitesse de l'écoulement de l'eau par un tuyau cylindrique qui établit la communication entre deux vases, x étant la longueur du tuyau et {la charge d’eau. Si l’on suppose le diamètre du tuyau ‘très-petit, la 28. F > toutes les autres valeurs seront très-grandes par rapport à celle-ci. Il en résulte que l'expression de U, lorsque le rayon du tuyau est très-petit, se réduit à première valeur de m sera très-petite, et égale à R Ê L 2e ou simplement à ‘het U—iEtR. Ex 2 En comparant cette expression à celle trouvée précédem- ment pour un tuyau quarré, on voit que la vitesse moyenne prend la même valeur dans des tuyaux quarrés ou cylindri- ques, lorsque leur grosseur est la mème et tres-petite. Ces résultats apprennent d’ailleurs que la valeur de la vitesse est alors sensiblementindépendante de l’action mutuelle des par- ties du fluide, c’est-à-dire de ce qu’on nomme ordinairement la cohésion, ou la viscosité du fluide : cette valeur dépend presque uniquement de l’adhérence qui existe entre le fluide et Sa paroi ;et elle est d'autant plus grande que cette adhérence est plus petite. Lorsque les tuyaux sont très-petits, la vitesse moyenne augmente, toutes choses égales d’ailleurs’, propor- tionnellement au diamètre: mais ellé tend à augmenter dans 432 MÉMOIRE SUR LES LOIS une proportion plus rapide, à mesure que la grandeur du diamètre augmente elle-même, et alors l'influence de la co- hésion du fluide se fait de plus en plus sentir, et finit par dé- terminer seule, lorsque le diamètre devient très-grand, la vi- tesse moyenne du fluide. Lathéorie précédente estentièrement d'accord avecles résul- tats principaux des curieuses expériences de M. Girard sur l'écoulement de divers fluides par des tubes capillaires. On en conclut d’abord, comme ces expériences l'avaient indiqué, que la vitesse moyenne, lorsque le mouvement est linéaire, est toujours proportionnelle au rapport = , résultat tout-à- fait contraire aux idées reçues, puisqu'on pensait que cette pro- portionnalité ne devait avoir lieu que pour des vitesses tres- petites. Cet accord prouve que la supposition d’une action proportionnelle à la vitesse, entre la paroi et le fluide, est exacte, dans l'étendue au moins des vitesses soumises à l’ob- servation. On conclut aussi de cette théorie, que la vitesse d'un même liquide, coulant dans des tubes de même matière, mais de diverses grosseurs, augmente avec la grosseur du tube , conformément à l'indication donnée par l’expé- rience (1). (1) M. Girard trouve que les résultats de ses expériences, lorsque les tuyaux sont assez longs pour que le mouvement y soit devenu linéaire, sont représentés par la formule. gDA 41? w étant la vitesse moyenne, D le diamètre du tuyau, 2 sa longueur, et Ja charge d'eau. Cette formule ne diffère en rien de celle à laquelle nous au —= DU MOUVEMENT DES FLUIDES. 433 La théorie dont il s’agit apprenant que la vitesse , lorsque le diamètre du tuyau est extrêmement petit, ne dépend parvenons pour le cas d’un tuyau dont le diamètre est extrêmement petit. Le coëfficient &, dans la formule de M. Girard , est la quantité que nous avons désignée par E, divisée par la masse p de l'unité de volume. . IL résulte des expériences dont il s’agit, qu’à la température de 12° en- viron, la valeur du coëfficient & ou — , pour l'eau coulant dans le cuivre, est environ 0,0023 pour un tuyau de 0",00183 de diamètre; et environ 6,0027 pour un tuyau de 0",00296 de diamètre. L'inégalité de ces valeurs, si,elle ne provient pas de quelque différence dans l'état de la surface des deux tuyaux, indique que leurs diamètres ne sont pas assez petits pour 5 R a on puisse leur appliquer rigoureusement la “ie u—tét= + On peut présumer aussi que les tuyaux n'étaient pas ‘encore assez longs pour que le mouvement y fût parfaitement linéaire, et qu’en les allongeant davantage, on aurait trouvé pour le coëfficient E des valeurs plus petites ; P DES PLUS IP 2 et qui auraient offert moins de différences dans des tuyaux de diamètres différents. HIER 2 7 J E Quoi qu'il en soit, les expériences apprennent que la valeur de, à e pour l’eau coulant sur le cuivre , est un peu moindre que 0,0023, la tem- pérature étant 12° environ, le mètre et la seconde sexagésimale étant l'unité linéaire et l'unité de temps. On a donc E—p X 0,0023, ou, prenant le kilogramme pour unité de poids, E— 1090. 6,0023. La quantité E repré- Ft P È 9809 °°? q P sente en unités de poids, comme on l'a dit ci-dessus, la résistance néces- saire pour surmonter le frottement d’une couche de fluide coulant sur une paroi solide avec une vitesse égale à l'unité linéaire, l'étendue de cette couche étant égale à l’unité superficielle. Donc la résistance provenant du frottement d’une couche d’ean d’un mètre quarré de surface , coulant sur du cuivre avec une vitesse d’un mètre par seconde , à la température de 12° est d'environ + de kilogramme. On peut juger par là que les frottements résultants des mouvements des fluides ont des valeurs très-sensibles, et on ne peut être surpris de l'influence considérable qu'ils ont dans plusieurs cas sur les circonstances du mouvement. 1823. d 55 434 MÉMOIRE SUR LES LOIS que de l’action réciproque du fluide de la paroi, onne péut être étonné de voir le même fluide couler avec des vitesses trés-différentes dans des tuyaux capillaires de diverses ma- tières : l'eau, par exemple, couler trois ou quatre fois moins vite dans le verre que dans le cuivre. On ne peut être étonné non plus de voir un fluide. tel que l'alcool, dontles molécules sont moins adhérentes entre elles que ne le sont celles de l’eau et celles de l'huile de té- rébenthine, couler néanmoins plus lentement que ces deux derniers liquides dans des. tubes de verre. On en conclura seulement que l'alcool adhère plus fortement au verre que ne le font l’eau et l'huile de térébenthine. À l'égard des différences que présente l'écoulement d'H même fluide dans un même tube capillaire, sous diverses tem- pératures, elles s'expliquent naturellement, en admettant que l’action de la paroi sur le fluide diminue généralement à à mesure que la température s'élève. Les expériences mon- trent d'ailleurs que tous, les fluides ne suivent pas à cet égard la même loi. On voit, par exemple, que si l'on fait couler l'eau et une dissolution de nitrate de potasse dans le verre, le premier fluide coule plus lentement quand la températureestau-dessous de 250 degrésenviron ,tandis qu'il coule plus vite quand la température est plus élevée : on conçoit en effet que l'élévation de la température peut dé- terminer dans certains cas, entre la matiere du liquide et celle de la paroi, un commencement d'action chimique qui balance l'effet de la chaleur, et en vertu duquel il se mani- feste une adhésion plus grande. p Il paraît, d’après les résultats précédents , que l'écoulement d'un fluide dans un tuyau d’un très-petit diamètre offre un DU.MOUVEMENT DES FLUIDES. 435 des meilleurs moyens que l’on ‘puisse employer pour se for- mér l'idée de la grandeur de l’adhérence qui s'établit entre la surface des corps solides et les liquides qui les mouillent. On sait que l'observation des phénomènes capillaires, dont M. de Laplace à donné la théorie, fait connaître l’adhé- sion des molécules fluides entre elles. On peut conclure des expériences de M.Ga y-Lussac, rapportées dans le Supplément au X° livre de la Mécanique céleste, les poids qui seraient né- cessaires pour rompre une colonne d’eau, d'alcool , ou d'huile de térébenthine, d’un diamètre donné, en la tirant par ses extrémités opposées. La force que ces poids mesureraient ne doit pas être confondue avec celle désignée ci-dessus par la constante <; mais il est très-vraisemblable que ces deux forces conservent les mêmes rapports dans divers fluides: Il paraît difficile, quant à présent, d'exécuter des expériences dont on puisse conclure avec une exactitude suffisante la valeur de la constante <; parce que l'écoulement dans des tuyaux _d'ün très-petit diamètre n’est point propre à faire connaître cette valeur; et parce que, avec des tuyaux plus gros, on pourrait difficilement être assuré que le mouvement fût exac- tement linéaire. x - Les recherches précédentes ne s'appliquent pas aux :cas où les fluides coulent dans des parois qu’elles ne sont pas cibles de mouiller: par exemple au cas du mercure coulant dans le verre. On se tromperait si l’on croyait pou- voir adapter à des cas semblables les formules précédentes, ‘en y supposant E nul. Il conviendrait plutôt alors de con- sidérer l’action des parois comme opposant au glissement de la couche extrème du fluide une résistance analogue au * frottement des corps solides glissants les uns sur les autres. 55. 436 - MEMOIRE SUR LES LOIS Une circonstance très-remarquable, observée par M. Gi- rard, et qui consiste en ce que l'écoulement du merçure dans un tuyau capillaire de verre, s'arrête de lui-même lorsque le niveau du fluide dans le réservoir est descendu à une certaine hauteur au-dessus de l’orifice du tube, paraît indiquer manifestement que la résistance provenant du glis- sement sur la paroi, par laquelle le mouvement du fluide se trouve ici modifié, est dépendante, comme le frottement des corps solides, de l'intensité de la pression. Mouvement linéaire dans un lit découvert. Considérons une masse de fluide coulant dans un lit rec- tangulaire, dirigé en ligne droite, et d’une longueur indé- finie ; admettons que le mouvement du fluide soit linéaire , c'est-à-dire que toutes les molécules se meuvent suivant des lignes droites parallèles aux plans qui forment les parois du lit. Les équations différentielles seront Îles mêmes que dans la question du mouvement dans un tuyau, c'est-à-dire qu’en supposant le mouvement uniforme, on aura à +); à dpaù 2 dE =gsin.0 ++ SD = gcos. La pression ne variant point avec y, il s'ensuit nécessaire- ment que la section de la surface du fluide, par un plan pa- rallele au plan des yz, est horizontale. Cette surface est donc plane. En la prenant pour le plan des x, la valeur de la pression sera P—=Pg2 cos.b; . car dans la question dont il s’agit, les quantités représentées DU :MOUVEMENT/DES FLUIDES. 437 ci-dessus par Z et Z' sont/nulles, quand on fait abstraction dela pression atmosphérique. L’équation différentielle à la- quelle l'expression de ven y, z doit satisfaire est donc,sim- plement / (EE) vb 49 £ 2 dy° ds? Gé. A l'égard des conditions relatives aux points des parois, en désignant toujours par à la demi-largeur du lit, on devra avoir comme ci-dessus |... E 4Y _o quand y—+8 LEE, 71 9,4 HE Fo Pr Si nous nommons c la profondeur du lit, et si nous regar- dons comme nulle la résistance qui provient du, frottement de la surface supérieure de l’eau contre la couche d'air qui est en contact avec elle, nous devrons avoir L du L7=0 quand z—0, du Eu+e=—o quandz=c. On voit facilement, d’après cela, que l'expression de trouvée ci-dessus pour le cas du tuyau, u= fist sin, mbsin.nc.cos. my cos. 12 € Ï (nr) (2mb#4sin.2mb)(anc+sin.2nc)? convient à la question dont il s'agit présentement, avec cette seule différence que l'axe des æ, au lieu de passer par le centre des sections transversales, passe ici par le milieu de leur côté supérieur. Sin. &:est la pente de la surface du fluide, b la demi-largeur du lit, c sa profondeur. La plus grande 438 (MÉMOIRE SUR LES LOIS vitesse estcelle du filet situé au milieu de la surface du fluide, êt les vitesses diminuent à el de celpoint à mesure qu'on s'approche des parois. | | La vitesse moyenne U est également exprimée, comme dans le cas du tuyau, gr la formule : + Muse 4.4gsin. 0 ( AT sin. 720,sin.°7nc | EE e.bc ii DS7n@ +) (emb+ sin. 2m) (ane+ sim. 2nc) On s'est beaucoup occupé de rechercher par l'expérience le rapport qui existe entre la vitesse moyenne, et celle qui a lieu à la surface et au milieu du lit et qui est la plus grande de toutes. Cette derniere vitesse se déduit de l'expression précédente de x en faisant T0, 2—0; en sorte qu'en la nommant V, on a sin-#bsin.nc y — 4:4gsin.d € Si nous supposons d'abord à et cextrémement petits, cas dans lequel les premières valeurs de” et r sont ÿ'E ; Ec pr etles séries se réduisent sensiblement à leurs premiers termes, nous trouvons à, fort peu, près VIT ainsi, lerapport des deux vitesses tend devenir égal à l'u- nité quandles dimensions dudit diminuent de plus'en plus. Lors mêmeiqueb etc: ne sont pas tres-petits, le rapport de U à V diffère peu dexelui des premiers termes des’séries. On peut considérer cerapport-comme représenté à fort peu + “* DU MOUVEMENT DES/FDUIDES. 439, près para formules: 1 oil 0 2 515800 14 cos À error “Eoui 4p ATEN " "1 U sin.mb.$mine 0] [TAB OEU : RE —— L À : MN JOmäHneont 99 ob es org dans laquelle on MOPAL ‘pour m, n “les plus petites "valeurs qui satisfont aux équations dont. dépendent ces quantités. Si T — l'on suppose 2.et c très-grands, ces: valeurs. be LE 2c x on à donc alors à peu près pains Pi : 1* arr | | | } : 7=#=0 Ho53. | Fr ” / Ty Si dort pou bitres-grand,, etcitrès petit, on- aura m im EG { 8 | lit e1! es tre ce qui donne Di VAR, TEE CtU 2 NRA TT | + = = — 06366 ( D 2° 5 1 On suppose ordinairement ÿ— 0, 8; et d’après l'autorité de Dubuat, on regarde ce rapport comme- PRE us-nAppli- quer à différents lits, dont les sections transversales n’au- raient point la même figure et les mêmes. dimensions abso- lues. Les résultats précédents montrent qu “effectivement la valeur o , 8 tient une sorte de milieu entre les valeurs extrêmes du rapport dont il s’agit; mais on en conclut que ces valéurs peuvent varier sensiblement avec la grandeur et la propor- tion des deux dimensions de la section. Il est essentiel de remarquer d’ailleurs, qu’en admettant l'exactitude des expériences connues sur lé mouvement uni- forme de l’eau dans les canaux découverts et les tuyaux ser- vant à la conduite des eaux, il résulte de la nouvelle théorie 44o MÉMOIRE SUR LES LOIS exposée dans ce Mémoire, que la supposition d'un mouve- ment linéaire n’est point propre à représenter complètement les phénomènes de ce mouvement, à l'exception des cas où le diamètre des tuyaux est très-petit. Nous remarquerons aussi qu’en entreprenant de résoudre exactement la question dont il s’agit, il ne conviendrait point de supposer E—o à la surface supérieure du fluide. Il faudrait prendre en con- sidération l’action qui s'établit à cette surface entre l'air et l'eau , et le mouvement que l’eau doit communiquer aux couches d'air qui reposent sur elle. Dans le cas où l’on aurait ainsi à considérer l’action mu- tuelle de deux.couches formées de deux fluides différents , glissant l’une sur l’autre parallèlement à leur plan de sépa- ration, on verra facilement, par les principes établis dans ce Mémoire, qu’en nommant la vitesse dans le premier fluide, et u’ la vitesse dans le second fluide, les conditions relatives à la surface de contact seraient du ds : du du, et par consequent EE 7 5 | / «" désignant la valeur que prend : dans le second fluide, et e un nouveau coëéfficient proportionnel à l’action réciproque des molecules de l’un des fluides sur celles de l’autre. RSR A EE MEMOIRE Sur la Théorie du magnétisme en mouvement : Par M. POISSON. Lu à l’Académie des Sciences, le 10 juillet 1826. 14 Dixs les deux Mémoires que j'ai lus précédemment à j’Aca- démie, j'ai considéré l’action des corps aimantés par in- fluence , lorsque les fluides boréal et austral sont parvenus dans leur intérieur à l’état d'équilibre. Je me propose main- tenant d'étendre au cas du mouvement, la théorie que j'ai exposée en détail dans le premier de ces Mémoires; théorie qui attribue les phénomènes magnétiques à deux fluides impondérables, contenus l’un et l’autre en égale quantité dans les corps susceptibles d’aimantation , dont les particules n'éprouvent jamais que de tres-petits déplacements et sont soumises à une action mutuelle en raison inverse du carré des distances, répulsive entre celles d’un même fluide, et attractive entre les molécules de l’un des fluides et celles de l’autre. Coulomb avait pensé que tous les corps peuvent donner des signes d’aimantation , et que cette propriété ne provenait pas d'une petite proportion de fer qui entrerait dans leur 1823. - 56 442 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE composition. Cette opinion se trouve aujourd'hui confirmée par les expériences de M. Arago, qui ont fait voir que les métaux , l’eau, le verre, le bois, etc. , agissent sur l'aiguille aimantée quand ils sont en mouvement, ou quand l'aiguille oscille dans leur voisinage. Mais ce que cette découverte à, ce me semble, de plus important, c'est qu’elle nous apprend que le magnétisme agit dans les corps en mouvement avec une intensité et suivant des lois très-différentes de ce qui a lieu dans les corps en repos. Cette différence d’action a aussi été remarquée par M. P. Barlow, mais dans le fer seu- lement, et non pas dans des substances comme le cuivre, par exemple, où le magnétisme est à peine sensible dans l'état de repos , et où il se montre avec une grande intensité dans l’état de mouvement. C'est à l'occasion de ces expé- riences, maintenant bien connues des savants, que j'ai écrit ce nouveau Mémoire. Je continuerai d'appeler éléments magnétiques, les petites portions des corps aimantés dans lesquels les fluides boréal et austral peuvent se mouvoir, et qui sont séparées par d’autres portions imperméables au magnétisme. La proportion de la somme de leurs volumes, au volume entier de chaque corps, varie dans les différentes matières; ce qui suffit pour expli- quer comment, dans l’état de repos, ces matières donnent des signes de magnétisme plus ou moins marqués sous l'influence des mêmes forces extérieures. Cette proportion peut aussi dépendre de la température des corps aimantés par l'influence; et ce serait pour cela que l'intensité de leurs actions magnétiques change avec leur degré de chaleur. Mais pour se rendre raison de la différence d'action du magné- tisme dans les deux états de mouvement et de repos, d'un DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 443 rnême ‘corps , à la même température, il faut avoir recours à d’autres considérations. - Dès qu'on approche un aimant d’un corps susceptible d’ai- mantation par influence, et où les éléments magnétiques sont en proportion quelconque, la décomposition du fluide neutre commence dans chacun des éléments, et elle continue jus- qu'à ce que l'action du fluide décomposé fasse équilibre à la force extérieure, ce qui arrive après un temps tres-court, si cette force est constante en grandeur et en direction. Mais si elle varie continuellement , ou bien, si l’aimant extérieur change de position à l'égard des éléments soumis à son in- fluence, les deux fluides, au lieu de parvenir à un état per- manent, se mouvront dans chaque élément avec des vitesses qui pourront n'être pas les mêmes, toutes choses d’ailleurs égales, dans les corps de diverses matières. Dans cet état, nous ne saurions déterminer à chaque instant, la distribu- tion variable des deux fluides dans les éléments magnétiques; néanmoins nous pouvons concevoir qu’elle soit très-différente de la distribution permanente qui a lieu dans l’état d’équi- libre : il est possible, en effet, que pendant le mouvement, la décomposition du fluide neutre ayant lieu dans toute l'étendue de chaque élément , l’un des fluides boréal ou aus- tral soit en excès dans chacun de ses points; et qu’au con- traire, dans l’état d'équilibre, le fluide décomposé soit trans- porté à sa surface où il forme une couche d’une très-petite épaisseur par rapport aux dimensions de cet élément, ainsi que nous l'avons supposé dans les précédents Mémoires. L'action exercée au dehors par un même élément soumis à . l'influence des mêmes forces, serait alors très-différente dans les deux cas, puisque dans l’un elle émanerait seulement des 56. 444 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE points voisins de la surface, et dans l’autre, de tous les points de son volume. Toutefois je ne fais ici cette observation que pour indiquer une cause probable et facile à se représen- ter , de la différence d'action magnétique que l'expérience a fait connaître entre les corps en mouvement et les corps en repos. Mon analyse embrasse à la fois ces deux cas, et je l'ai affranchie de toute hypothese relative à la dis- position des deux fluides dans les éléments magnétiques. Il re subsiste dans les formules qui expriment, après un temps très-court, l’action extérieure d’un corps aimanté par influence , que des constantes dont l’une répond à l’état d’équi- libre, et ne dépend que de la proportion des éléments ma- gnétiques ,tandis que les autres sont relatives à l’état de mou-- vement, et dépendent de cette proportion et de la vitesse des deux fluides dans ces éléments. Quelle que soit d’ailleurs lana- ture de ces constantes, elles doivent être données par l’ex- perience pour chaque corps en particulier, et même pour chaque degré de chaleur, si l'observation fait voir qu’elles changent avec la température. Si les éléments magnétiques n'étaient pas des sphères, et qu'ils fussent régulièrement disposés, comme cela pourrait arriver dans les corps cristallisés, les constantes dont nous parlons dépendraient encore de leur forme et de leur dispo- sition. Dans ce cas, l’action d’un corps sphérique ne serait pas la même de tous les côtés, c'est-à-dire que le centre de ce corps ne changeant pas de position, et les forces extérieures qui produisent son aimantation, restant les mêmes, son ac- tion serait différente, lorsqu'on tournerait l'un de ses hé- misphères d’un côté ou d’un autre. Mais une telle circonstance ne s'étant pas encore présentée à l'observation , nous avons exclu de nos recherches, ce cas singulier dont la possibilité DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 445 avait déja été remarquée, dans les Mémoires précédents. Nous continuerons aussi de supposer nulle, ou du moins très-faible, la force coercitive dans les corps que nous con-. sidérerons : toute force extérieure, d’une grandeur appré- ciable, qui agira sur ces corps, y décomposera donc en pro- portion le fluide neutre; les effets de cette décomposition commenceront à se manifester au dehors, aussitôt que la force extérieure aura commencé d'agir , et ils atteindront toute leur intensité dans un intervalle de temps très-court. C'est ce qui arrive dans le fer doux, par exemple. C'est encore ce que l’on observe dans les expériences de M. Arago, sur des plaques de cuivre, ou d’autres matières, dont on approche les pôles d'une aiguille aimantée. Il n’en faut pas conclure, cependant , que ces substances n’opposent aucune résistance au mouvement des deux fluides dans leurs élé- ments magnétiques; nous admettrons, au contraire, que la matière pondérable exerce sur les particules boréales et aus- trales une certaine action , insuffisante pour empêcher leur mouvement de commencer quand elles sont sollicitées par une force extérieure qui n’est pas extrêmement petite, mais dont l'effet est de retarder plus ou moins ce mouvement, et peut se comparer à celui de la résistance des milieux. Nous supposerons de plus que cette action varie avec la matière et la température des corps, afin d'expliquer comment la vitesse des deux fluides, bien qu’elle soit tres-grande dans toutes les substances dépourvues de force coercitive, peut néanmoins changer, dans un rapport quelconque, en passant de l’une de ces substances à une autre. O" tro uvera dans ce nouveau Mémoire, les équations d'où dépend, en grandeur et en direction, l'action magné- tique exercée à chaque instant sur un point extérieur, par 446 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE un corps de forme quelconque, homogène ou hétérogène, où la force coercitive est insensible, et qui est soumis à l'influence de forces variables ou constantes, Ces équations renferment, comme cas particulier, celles que j'avais trouvées dans mon premier Mémoire sur le magnétisme. Quoiqu’elles soient présentées sous la forme la plus simple dont elles sont susceptibles, ce n’est, cependant, que dans des cas très-limités qu’on peut parvenir à les résoudre. J'en ai fait très-facilement l'application au cas d'une sphère homogène, tournant sur elle-même, et aimantée par l’action de la terre; et ensuite, par des calculs beaucoup plus compliqués, à une plaque homogène, sans discontinuité, d’une petite épaisseur et d'un grand diamètre, agissant sur des points très-éloignés de ses bords. J'ai développé en détail les formules relatives à l’action de cette plaque sur une aiguille parallele ou in- clinée, qui oscille dans son voisinage, ou qu’elle entraîne en tournant dans son plan. Leur comparaison à des expé- riences faites dans les circonstances qu’elles supposent , suffira pour décider si la théorie dont elles dérivent doit être ac- cueillie ou rejetée : je la ferai aussitôt que j'aurai pu réunir toutes les données nécessaires de l'observation. N Ee2 Expressions générales des actions magnétiques. (1) Le fluide libre étant distribué d’une manière quelcon- que, soit près de la surface, soit dans tout l’intérieur de chaque élément magnétique , proposons-nous de déterminer d’abord l’action d’un élément isolé, et ensuite l’action d’un corps de dimensions quelconques, sur un point donné de position. DU MAGNÉTISME,EN MOUVEMENT. 44 Soit M ce point; +, y, z, ses trois coordonnées rectangu- laires ; x’, y’, z, les coordonnées rapportées aux, mêmes axes, d'un autre point C appartenant à l'élément magné- tique dont on veut considérer l’action sur M; représentons par k, le côté du cube équivalent en volume à cet élément ; et soit M’ un second point de ce même élément, dont nous exprimerons pes hy; hE, ht, les coordonnées rapportées à des axes menés par le point C, et parallèles à à ceux des x, Y z. Appelons », la distance du point M au point C, de sorte qu'on ait Fo PAC EME n et #,, la distance de M à M’, laquelle se déduira de ? en y augmentant &', y', z', de hy, hE£, ht, resnectivement. L'élément différentiel du volume, correspondant au point M", aura k° dy dE d pour expression; nous désignerons par u' hf d'y dE dt, la quantité de fluide libre qu’il contient, w étant positif ou négatif selon que ce fluide sera boréal ou austral. Ce coefficient sera une fonction de ;,Ë£,t, dépen- dante de la distribution des deux fluides dans l’intérieur de lélément magnétique que nous considérons. S'ils y sont en mouvement, w variera en outre avec le temps; mais la quantité totale de fluide libre, appartenant à un même élément, devant être nulle dans tous les cas, on aura tou- jours Je dy dé dt—o, (1) l'intégrale s'étendant au volume entier de l'élément magné- tique: L'action répulsive exercée par le fluide de n° ° dy dE dt 448 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE sur une particule de fluide boréal située au point M', aura pour mesure : hu dy dE dt ç° ? en prenant pour unité de force, l'intensité de la puissance magnétique, à l'unité de distance et correspondante à l’unite de quantité de fluide. Ses composantes parellèles aux axes des æ, y, z, seront exprimées par les différences partielles : AUTRE Pa Pr Pr d ? va? 3 ? prises avec des signes contraires, et multipliées par... hu! dy dE dt. Selon que leurs valeurs seront positives ou né- gatives, ces forces tendront à augmenter ou à diminuer les coordonnées de la particule boréale, située en M; le con- traire aurait lieu, si l'on considérait leur action sur une par- ticule australe : par augmenter où diminuer les coordon- nées du point M, on entend éloigner ou rapprocher ce point de leur origine, quand elles sont positives, ef vice versd, lorsqu'elles sont négatives. Dans tout ce Mémoire, on pren- dra dans le sens que nous expliquons, l’action des compo- santes positives ou négatives , agissant sur des particules boréales ou australes suivant leurs coordonnées. Ces trois composantes de la force dirigée de M’ vers M devront être intégrées dans toute l’étendue de l'élément ma- gnétique auquel M' appartient, pour en conclure l’action exercée par cet élément sur le point M. (2) Pour cela, développons la quantité = suivant les puis- LI sances de À, ce qui donnera une série très-convergente, DU MAGMNÉTISME EN MOUVEMENT. 449 excepté dans le cas particulier où la distance du point M à l'élément magnétique serait du même ordre de petitesse que ses dimensions. Ce cas étant exclu, nous pourrons, us er- reur sensible, négliger les puissances de À supérieures à la première, et nous aurons simplement sprl ii de === P IP! Rene + A ht. En vertu de l'équation (1), le’ premier’ terme de cette valeur de - e disparaîtra dans les intégrales triples qu'il s’agit d'ef- “fectuer; et si Fo fait, pour abréger :, Aféndididi=a, $ BféEdidid 6, h fu dy dE dt ="; ét ensuite De PE F0 “ {., + 2 vie : AE 2 Ti qu’enfin l'on désigne par À, N°; fs ‘les trois composantes de- mandées, respectivement parallèles aux axes des x, DZ z,; on aura ja pr prog qu (2) On voit par-là que l’action d’un élément magnétique sur ün point! qui n’en est pas trés-rapproché ; ne dépend de sa forme’ étde la distribution des deux fluides dans son inté- rieur, qu'en tant qu'elles influent sur les valeurs des trois 1823. 57 45o MÉMOIRE SUR LA THÉORIE quantités «',6’,y. Quand ces valeurs seront connues, on pourra assigner la direction et l'intensité magnétiques d’une petite aiguille, dont l'action équivaudra à celle de cet élé- ment, ainsi que je l'ai remarqué dans mon premier Mémoire sur le magnétisme. J'ai: aussi observé dans ce Mémoire, que les quantités y,Ë,t, et par suite les intégrales «',6’,y', va- rient avec les idirections des axes rectangulaires auxquels elles se rapportent, suivant les mêmés lois que les compo- santes d'une force, donnée. Cette propriété de x',6',y', nous sera très- utile dans la suite; mais elle est assez évidente d'elle-même pour qu ‘il soit inutile de: revenir sur ce point. Nous allons maintenant éxpriméer par de nouvelles intégra- tions, l’action d’un corps de forme donnée, d’après les équa- tions (2) appliquées à chacün de sès djéments magnétiques. (3) Nous appellerons A le corps dont il s'agit de calculer l'action sur un point M, répondant toujours aux coordon- nées x, y, 2, et que nous placerons d’abord en dehors de A, à une distance sensible de sa surface. Partageons À en un très-grand nombre de parties, dont les: dimensions extré- mement petites eu égard à celles-de ce.corps , soient cepen- dant très-grandes par rapport aux dimensions de ses élé- ments magnétiques. Soit » le volume de l’une de ces parties, comprenant l'élément que nous venons de considérer, dont le lieu est déterminé par le point C qui répond aux coor- données x',y',2". Désignons par 4’, la somme des volumes de tous les éléments magnétiques contenus dans v, divisée par ce volume. Cette quantité #’ devra être donnée pour chaque substance en particulier, dont;elle représentera la densité sous le rapport du magnétisme ; et même pour chaque degré de température; si l’on suppose que la proportion des élé- ments magnétiques puisse varier dans la même matière avec DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 45: son degré de chaleur. Nous regardérons, pour plus de gé- néralité, 4’ comme une fonction donnée de æ,Y2, qui se changera en une .quantité constante, lorsque A sera ho- mogène, et qu'il äura partout Ja même température: cette fonction dépendra aussi du temps, si les différents points de A ne sont pas parvenus à des températures permanentes. Quoique le volume » soit très-petit, les quantités «',6',y', n'auront pas les mêmes valeurs dans toute son étendue, si les éléments magnétiques qu'il renferme n'ont pas tous la même forme et la même disposition ; mais le pont M étant extérieur et sensiblement éloigné de la surface de À, sa di- stance au volume v est très-grande par rapport aux dimen- sions de cette petite partie de À; d’où l’on peut conclure que les composantes de l’action de + sur M, seront toujours exprimées par les valeurs précédentes de 1,1, 7, en y rem- plaçant le volume k° d’un élément magnétique par là somme Æ'v de tous les éléments contenus dans », et prenant pour les quantités +’,6’, y’, les moyennes de leurs valeurs relatives à ces mêmes éléments. Ces moyennes devront être soumises à la loi de continuité, et pouvoir s'exprimer en fonction des coordonnées x’, y z', du point C qui déterminele lieu de v, Sans quoi l'analyse mathématique ne pourrait pas s’ap- pliquer à la question qui nous occupe. Cela étant, il ne restera plus qu'à prendre la somme des actions de tous les volumes + sur le point M, décomposées suivant un même axe, Pour avoir l'action totale de A suivant cette droite; or, cette sommation de quantités finies pourra être remplacée par une intégrale définie. En effet, si vf(#,7", 2°) est le terme général des quantités que l’on veut sommer , æ,ÿ',z' étant les coordonnées de l’un des points 57. 452 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE du volume v supposé très-petit, et si la somme demandée doit s'étendre à toutes les parties v dans lesquelles on a divisé un volume V , on sait par les principes du calcul intégral, que cette somme sera à tres-peu égale à l'intégrale triple TIACRE z')dx'dy'dz', prise dans toute l'étendue du volume V. La différence entre la somme et l'intégrale est d'autant moindre que les volumes partiels sont plus petits par rapport au volume entier; et dans le cas actuel, on peut la négliger sans crainte qu'il en résulte aucune erreur ap- préciable. Toutefois la substitution d’une intégrale à une somme ne serait plus permise , si la fonction f(x',y',2") va- riait très-rapidement dans quelques parties de l'intégrale, et que sa grandeur devint en raison inverse de celle de v; mais d’après les expressions de à,1,X", cette exception ne saurait avoir lieu, lorsque le point M est situé comme nous l'avons supposé, ce qui empêche la quantité & de devenir nulle ou insensible. En désignant donc par X, Y,Z, les trois composantes suivant les axes des x, y, z, de l'action de A sur ce point ex- térieur M, nous aurons leurs valeurs en substituant d’abord k' dx’ dy’ dz' à la place de X' dans les seconds membres des équations (2) que nous intégrerons ensuite dans, toute l'étendue de A. De cette maniere, on a X=—/|) 22y dzx' dy’ dz', ÿ= ff) TER dx’ dy' ds’, Z== f]] SK dx dy'ds'; . . . F Mt . ” ou bien en faisant passer les différences relatives a x, ÿ, x, DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 453 en dehors des intégrales dont les limites sont, en général, indépendantes de ces trois coordonnées ; remettant pour g, ce que cette lettre représente, et posant, pour abréger, pe d. off} (5 a + bise dep) k'dx' dy'dz, on aura plus simplement de ? sit dy ? io: dzi () (4) Lorsque M fera partie de A, ces formules s’applique- ront encore à la partie de ce corps dont M sera sensible- ment éloigné. Ainsi, en concevant autour de M, une partie de À, que nous appellerons B, dont les dimensions seront à la fois très-grandes par rapport à celles des éléments ma- gnétiques, et très-petites relativement aux dimensions de A, les équations (3) feront connaître les composantes de l’action exercée sur M, par l’autre partie de ce corps, pourvu que l'intégrale que Q représente ne soit étendue qu'à cette partie, c’est-à-dire, aux points de À compris entre sa surface extérieure , et la surface de B. Quant à l’action de B sur le point M, elle se composera de celle de l'élément magnétique dont M fait partie, et de celle des autres éléments contenus dans B : nous représenterons leurs composantes suivant les axes des æ,y,z, par à, 2’, 3”, pour la seconde action, etpar e,e,e”, pour la premiére. Le point M appartenant au corps À , la particule boréale que l'on y considère, sera en outre soumise à l’action des forces extérieures dont l'influence produit l’aimantation de ce corps. Or, si nous représentons par V, la somme des particules du fluide libre que con- 454 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE tiennent tous les aimants extérieurs , divisées par leurs di- stances respectives au point M, les composantes suivant les coordonnées +,7,z, de l’action de tous ces aimants sur ce point, seront exprimées par Dr A! av _dN HE IT Aÿ NE NAEE Donc enfin , si nous désignons par X’, Y’, Z', les composantes selon les mêmes directions de toutes les forces qui agissent sur le point intérieur M, nous aurons LION 87 V 70 w7iQ: \ Le ni 0e ; Asso a dt a hi (4) ÿ dV dQ' RP PAIE Re CHE ME Q" étant ce que devient l'intégrale Q, lorsqu'on n’y com- prend pas la portion B du corps A. Dans mon premier Mémoire sur le magnétisme, j'avais pensé qu'on pouvait négliger les termes 3,9',9", de ces équations; mais un examen plus approfondi m’a fait reconnafi- tre qu'encore bien que B soit une très-petite partie de A , ces forces sont du même ordre de grandeur que les composantes relatives à l’autre portion de ce corps, qui:sont exprimées par les différences partielles de Q”. Pour s’en convaincre, il suffira de calculer l’action exercée sur M par les éléments magnétiques de B qui en sont le plus éloignés, et dont les distances à ee point seront supposées très-grandes par rap- port à leurs dimensions. C'est ce que nous allons faire avant d'aller plus loin; et ce calcul sera utile, comme { DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 455 on le verra, pour mieux connaître la nature des actions magnétiques, dans les cas où les dimensions des corps dont elles émanent , deviennent très-petites. (5) Appelons donc D, la portion de B que nous voulons considérer. Les points de D étant éloignés de M comme l’exi- gent les équations (2), on calculera l’action de chacun de ses éléments sur ce point au Paie de ces équations; et si nous représentons par À, A’, A”, les composantes de l’action totale des D suivant les axes & æ,Y,2, elles seront données par les équations (2), c’est-à-dire que nous aurons en désignant par Q" la même intégrale que Q étendue seu- lement à tous les points de D. Ces trois équations étant sus- ceptibles des mêmes transformations, il suffira d'en consi- dérer une seule, la première par exemple. Si l'on y met pour Q” sa valeur, et que l’on effectue la différentiation relative à x, cette équation deviendra T—-x! | Z—x! z—2 ai À : aff nn a É + —E r)rasayas Dans cette petite portion D du corps A, ie plus que dans toute l'étendue de B, les quantités k',a,6!,y,ne va- rient pas sensiblement, et sont à très- La près les mêmes qu'au point M; en exprimant donc par #, 4,6, , leurs valeurs relatives à ce point, où ce que deviennent #, x", 6’, y’, lors- ge on y met ses coordonnées x, y, z, à la place des variables z',J',2', et faisant ensuite passer Æ, «, € y, hors des signes d'intégration , il en résultera 456 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE snif NS dr dy'dz! + 5 spé dy' dz’. Pour plus declarté, supposons que r axe de x” soit vertical et dirigé de bas en haut; que D soit tout entier au-dessus du plan horizontal des y',z"; et qu'il n’y ait que deux points de sa surface qui aient la même projection sur ce plan. Ce sera depuis l’ordonnée du point inférieur jusqu'à celle du point supérieur, que l’on devra prendre l'intégrale relative à x’; ainsi l’on aura ÎLE ap dy'dz' = ff) ér dz' — [T5 [ST] ar" ds"; | les quantités oct et nn se rapportant respective- gs dy'dz' ment à ces deux points. Si doncon conçoit un cylindre vertical, tangent à la surface de D, qui la divise en deux parties, il faudra étendre la première des deux intégrales doubles à la partie supérieure, et la seconde à la partie inférieure. Or, en appelant / l'angle compris entre la verticale tirée de bas en haut par le point de la surface de D dont x’,y,2', sont les coordonnées, et la partie extérieure de la normale à cette surface au même point, cet angle sera aïgu dans toute la première portion de la surface, et obtus dans toute la deuxième partie; désignant de plus par de l’élément diffé- rentiel de la surface en ce même point, sa projection hori- zontale sera dy’ dz', et nous aurons dy'dz'= + cos.ldo, DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 457 en prenant le signe + quand / sera aigu , et le signe — quand cet angle sera obtus. D’après cela, nous pourrons réduire la différerice de nos deux intégrales doubles ; à une seule inté- grale étendue à la surface entière de D, savoir : DE aras fer effet Nous aurons par conséquent fie ee. — dx'dy'dz'! = ÎLE a de (5) Si dans quelques parties de D, une même verticale rencon- tre la surface en quatre, six ,..... points, il faudra les consi- dérer deux à deux consécutivement : l’intégrale triple se composera alors d'autant d'intégrales doubles, dont la moitié sera précédée du signe +, et l’autre moitié du signe — ; aux points de la surface de D qui répondent à la première moitié, l'angle sera aigu , et il sera obtus aux points relatifs à l’autre moitie ; on pourra donc encore remplacer ces intégrales par une seule qui s’étendra à la surface entière de D; et l’équa- tion (5) aura toujours lieu, quelle que soit la forme de ce corps. Ce cas général comprend celui où D renfermerait un espace vide intérieur : on devra alors étendre l'intégrale double aux deux surfaces de D, l’une extérieure et l’autre intérieure, ou, si l'on veut, la partager en deux intégrales dont chacune se rapportera seulement à l’une de ces surfaces. On trouvera de la même maniere z— x! win aus m7 LE =— dx' dy dz' = ff à UE jt 1823. - 58 458 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE PE ax aa 2 feet à, en désignant par /’ et /” ce que devient l'angle / précédem- ment défini, quand on remplace la verticale tirée de bas en haut, par des droites horizontales, menées dans la di- rection des y’ positives pour /', et des z° positives pour /”. La valeur précédente de A deviendra donc = ff Merle dv, g en faisant pour abréger a cos. / + 6 cos. l'+ ycos./"—L; et l’on obtiendra semblablement = ff a, a = ff ae. (6) On peut appliquer ces formules à plusieurs exemples dans lesquels on obtiendra les valeurs des intégrales doubles par les règles ordinaires; mais sans entrer dans de plus grands détails, on voit clairement par ces dernières équa- tions, que les valeurs de A, 4, A”, seront généralement du même ordre de grandeur que les quantités 4, 6,7, et quil ne sera pas permis de négliger ces forces, ni, à plus forte raison, les composantes à, à’, à”, dont elles ne sont qu'une partie, en calculant l’action du corps À sur un point M de son intérieur.Quant à l’autre partie de à, #’, 3”, comprenant l’action des éléments magnétiques de B, qui sont très-voisins du point M, nous n'aurions aucun moyen de la déterminer. DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 459 Nous ne pouvons pas non plus calculer les composantes ee, e”, de l’action de l'élément dont M fait partie, non-seulement pendant que les deux fluides y sont en mouvement, mais même quand ils sont parvenus à l’état d'équilibre. Il en ré- sulte donc que les équations (4) ne nous seront d'aucune utilité pour calculer l’action de A sur un point M qui fait partie de ce corps ; action que l’on ne pourrait pas d'ailleurs vérifier par l'expérience. Mais ce n’est pas là, en’effet, l’objet que nous devons nous proposer : le but essentiel de nos calculs est de déterminer l'action de ce corps, sur un point extérieur, donné de position ; ce qui ne dépend heureuse- ment que des inconnues 4,6, 7, dont les valeurs résulteront de trois équations que nous formerons bientôt. Quoique nous ne devions pas considérer les#forces à, à", à", il ne sera pas inutile d'observer qu'elles ne dépendent que de la forme de B, mais nullement de ses dimensions abso- lues, pourvu qu’elles soient toujours assez petites pour qu’on puisse regarder #/, 4!, 6!, y, comme constantes dans toute l'étendue de cette partie de A, et en même temps très-grandes eu égard aux dimensions des éléments magnétiques. Supposons, en effet, qu'on prolonge les rayons menés du point M à tous les points de la surface de B, et qu'on les augmente dans un même rapport de 1 à 7. Dans chaque di- rection , les quantités æ—x"', y—y', z—z et augmente- ront dans ce même rapport; do croîtra dans le rapport de 1 à n°,et cos. /, cos. /’, cos. /”, ne changeront pas. Il en ré- sulte, d’après les formules du numéro précédent, que les forces A, A', A”, provenant des éléments de B les plus éloi- gnés de M, resteront les mêmes; par conséquent 5, à’, à", ne changeront pas non plus par cet accroissement de B qui 58. 460 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE reste semblable à lui-même. Mais il n’en serait pas ainsi, si ce corps changeait à la fois de forme et de dimensions. (7) L'équation (5) est la même chose que IE à da dy dx = ff à Ses deux membres sont des intégrales qui s'étendent à tous les points de la surface et du volume d’un même corps; et d'après les considérations qui nous y ont conduits, on peut donner à ce corps, une forme et des dimensions quelcon- ques. On aura semblablement I I grus dy'dz' —}} ere Vo Là fée e dx'dy dz' = ff à En ajoutant ces trois équations , et faisant, pour abréger, PR ET CNE PTE p BELL dx? FR di 2 dz° =, il vient JR dx’ dy'dz = ff(== ‘cos. PTT + EE cos. /” Soit z l'angle compris entre le prolongement du rayon ; mené du point M dont les coordonnées sont x, y, z, au point de la surface qui répond aux coordonnées x’, y', z', et la partie extérieure de la normale en ce dernier point; nous aurons Sd « L'— ZX rs Z'— 2 COS. z — cos. / +2 ; cos. L' + cos. /”. © DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 461 Concevons un cône qui ait son sommet au point M, et soit circonscrit à l'élément do de la surface; puis une sphère décrite du point M avec un rayon égal à l'unité. Soit do, l'élément intercepté par ce cône sur la surface de cette sphère ; on aura cos. 1 do — +?’ db, en prenant le signe supérieur ou l'inférieur, selon que l'angle z sera aigu ou obtus. Donc, avec cette attention, l'équation précédente prendra la forme : hi R da dy dz'—[f(+)d9; et l'intégrale double ne se rapportera plus qu'à la surface sphérique, quelle que soit la forme du corps auquel répond l'intégrale triple. Or, si le point M est en dehors du corps, et que l'on cir- conscrive à sa surface, un cône qui ait son sommet à ce point, elle sera partagée par la ligne de contact, en deux parties, telles que l'angle z sera obtus dans toute la partie située du côté du sommet, et aigu dans toute la partie oppo- sée; appelant donc 6 la portion de la surface sphérique, interceptée par ce cône, l'intégrale double aura pour valeur + © dans la première partie, et — © dans la seconde ; par conséquent l'intégrale entière sera nulle, et l’on aura dans ce premier Cas : JfRaz' dy" ds" —0. Si le point M se trouve sur la surface du corps que nous considérons , le cône se changera en un plan; la première partie de cette surface disparaîtra; la quantité © sera la moitié de la surface sphérique, ou égale à 2+, r désignant à l'ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre ; 462 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE dans ce second cas, nous aurons donc : JIfRaz' dy dr'=—9#. Enfin, si le point M est situe dans l’intérieur de ce corps, l'angle z sera aigu dans toute l'étendue de la surface; d’où il résultera que l’on aura dans ce troisième et dernier cas : ff Rdzx'dy'dz'—— 4r. En effectuant les différentiations relatives à x, y, z, qui sont indiquées dans l'expression de R, on trouve cette quantité nulle, excepté dans le cas où le dénominateur &° devient égal à zéro; et cette exception n'ayant pas lieu quand le point M est extérieur, c'est pour cela que l'intégrale J) J) F Rdzx'dy'dz' est alors égale à zéro. D’après cette consi- dération, on peut donner une plus grande extension aux résultats précédents. En effet, soit 4’ une fonetion donnée de x’, y’, z', et k ce qu'elle devient lorsqu'on fait x'—x, y'—y, z'—z. Soit en- suite T° dx! Eee HR En diftérentiant sous les signes d’intégrations par rapport à x, Y,z, On en conclura JIfRE da" dy à =T +R Quand le point M ne fera pas partie du volume auquel répond l'intégrale triple, cette intégrale sera nulle à cause de R—o dans toute son étendue. Lorsque M sera situé dans l'inté- rieur ou à la surface de ce volume, on le partagera arbitrai- DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 463 rement en deux portions: pour celle dont M ne fera pas partie, l’intégrale sera encore égale à zéro ; quant à l’autre, nous la supposerons assez petite pour que k' ne varie pas sensiblement ;.et qu’on puisse prendre k'=— dans toute son étendue; d’où il résultera IfRX de dy'da'=kf[ffRdz' dy" ax"; la seconde intégrale s'étendant à la portion de volume qui comprend le point M. Donc, d’après ce qui précède, nous aurons enfin : BV: PV EN Le SE Fr Aa 05 ——92k7r, ——/kr, selon que le point M sera situé en dehors, à la surface ou en dedans du volume que l’on considère. Les géomètres ont remarqué le premier cas depuis long-temps; j'ai été conduit à la troisième valeur, il y a plusieurs années, par une analyse moins directe que la précédente; j'y joins maintenant la se- conde ; ce qui ne laissera plus rien à désirer touchant cette équation, dont on connaît l'importance dans un grand nombre de questions , et qui nous sera bientôt utile. (8) Apres cette digression, cherchons les équations d’où dépendent lesinconnues #,6',;,quientrent dans la quantité Q. Ainsi qu'il a été dit au commencement de ce Mémoire,nous supposerons la force coercitive, nulle ou insensible dans la matière du corps À dont nous nous occupons. Il en résulte que dès qu’une force donnée commencera d’agir sur un de ses éléments magnétiques, les deux fluides s’y mouvront jusqu’à ce que l'élément soit parvenu à un état dans lequel son action sur chacun de ses points fasse équilibre à la force 464 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE extérieure. L'état magnétique d'un élément de forme déter- minée , et par suite les trois intégrales 4',6’,7", du n° 2, dé- pendront à chaque instant de l’action exercée jusque là par la force donnée, c'est-à-dire, du temps et des composantes de cette force, que nous supposerons d’abord constantes, et que nous représenterons par E, E”, E”, relativement aux trois axes rectangulaires auxquels répondent «', 6’, y". D’ail- leurs ces quantités z’, 6”, y', devant varier d’un système d’axes à un autre, suivant les mêmes lois que les composantes de la force donnée (nc 4 du premier Mémoire), elles ne sau- raient être que des fonctions linéaires de E, E’, E"; et comme elles seront nulles en même temps que ces forces, on aura, dans le cas le plus général : «' —=aE + 0bE' +cE", é'—a'E + b'E'+ cE y =a"E +0"E' +Cc'E"; les coëfficients &, b, etc., étant indépendants de E, E’, E”. Ils varieront avec le temps pendant que les deux fluides seront en mouvement dans l'intérieur de l'élément magnétique, et parviendront à des valeurs fixes lorsque les deux fluides seront arrivés à l’état d'équilibre. S'il s’agit d'un élément isolé , ils dépendront en outre de sa formeet desa situation eu égard à la direction de la force extérieure ; mais il n’en sera plus de même si nous prenons, d’après le n° 2, les moyennes de leurs valeurs relatives à tous les éléments compris dans un volume v, qui soit à la fois trèes-grand par rapport au volume de chaque élément, et très-petit relativement au volume entier de A; et dans ce cas, les seconds membres des équations précédentes se réduiront chacun à un seul DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 465 terme dont le coëfficient ne dépendra plus de la forme des éléments. | En effet, j'ai remarqué, il est vrai, dans le préambule du premier Mémoire, qu'il pourrait arriver que l’action magné- tique d’un corps aimanté par influence, surtout s’il s'agissait d'un corps cristallisé, dépendit d’une disposition régulière de ses éléments, et que, toutes choses d’ailleurs égales, elle ne fût pas la même en tout sens; mais nous exclurons ce cas singulier qui ne s’est pas encore présenté à l'observation, et nous admettrons qu’il n’a pas lieu non plus pour toute partie v de À, très-grande par rapport à chacun de ses éléments. Cela posé, si cette partie de À agit, comme dans le n° 3, sur un point M qui n'en soit pas très-rapproché, et que M soit situé sur la direction de la force qui sollicite les élé- ments de v, il est évident que l’action de v sur M devra s'exercer selon cette même direction ; si donc on prend l'axe des x, par exemple, dans cette direction, auquel cas on aura Ê’—o, E"—o, il faudra que les deux composantes 1’ et x de l’action de v sur M soient aussi égales à zéro; or, en faisant y'=—y,2z"—z2, dans les équations (2), afin que le point M soit sur l'axe des x, et y mettant 4'v à la place de hf, on trouve on aura donc 6'—0o,;—o, en même temps que E'—o, E"—o; ce qui exige qu’on ait a’ —0 et a"—o. En faisant coïncider successivement les axes des y et des z avec la di- rection de la force donnée, on prouvera de même que l'on doit aussi avoir b—0 et b”—0, c—0 et c'—o;il ne 1823. 59 166 ) $ Ë 4 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE restera donc plus que les trois coëfficients &, b' et c” qui devront être égaux entre eux, pour que «', 6’, 7', conservent la mème relation avec les composantes de la force extérieure, quels que soient les axes des x’, y', z'. Ainsi, les formules pré- cédentes se réduiront simplement à s'= al, 6 al; y=aË". Cette réduction aurait lieu pour chaque élément isolé, et pourrait être regardée comme évidente, si tous les éléments magnétiques de A étaient des sphères de rayons égaux ou inégaux; mais il était bon de rendre nos calculs indépen- dants de cette hypothèse particulière. : J (9) S'il s’agit des quantités «,6,7, relatives à l'élément auquel appartient le point M de À, dont x,7,z, sont les coordonnées , les composantes de la force extérieure que nous venons de représenter en général par E, E’, E”, auront pour valeurs les seconds membres des équations (4), abstrac- tion faite des termes «,:', e”. On y pourra, en outre, omettre 5,9',9", et considérer x,6,y, comme dépendantes, en dé- finitive, de la forme de B et des composantes exprimées par les différences partielles de V et de Q, que nous appellerons T,T',T", en sorte qu'on ait ALES 207 Tr. dx dx”? dV dQ MS Er der » à adY d4Q' ÎRE= dz dz Cela est évident, en effet, si l’on observe que les forces à,',3", provenant des éléments voisins de celui que l’on considère, DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 467 ne peuvent non plus dépendre que de la forme arbitraire de Bet de ces forces T, T',T/. De plus, nous prendrons pour B une sphère qui ait son centre au point M, ce qui sera toujours possible, excepté dans le cas que nous exclu- rons, où M ferait partie de la surface de A, ou en serait à une distance insensible. De cette manière, on verra que les valeurs de 4,6,4, se réduiront encore chacune à un seul terme, comme dans le n° précédent ; et si l’on représente par T,,T},T,', les valeurs initiales de T,T',T", et que l’on suppose, pour un moment, ces forces invariables, on aura, au bout d’un temps + quelconque : = 4 PT CET, y=T'ft: ft étant une fonction qui sera nulle quand #—0 , et qui ac- querra une valeur constante après un certain intervalle de temps. Ce temps sera très-court, parce que dans toutes les subs- tances susceptibles d’aimantation par influence, les phéno- mènes magnétiques acquièrent très-promptement toute leur intensité. Néanmoins il pourra être très-différent dans ces diverses substances ; et il dépendra, ainsi que la forme de ff, de la matière et de la température de A au point M. L'action de la petite sphère dont ce point est le centre ne variant pas , d'après ce qu’on a vu plus haut (n° 6), avec la grandeur . de son rayon, le coëfficient fé en sera aussi indépendant ; et comme il ne devra restér finalement aucune trace de ce rayori indéterminé , il sera nécessaire que l'intégrale Q' qui com- mence à la surface de cette sphèré, né dépende pas cepen- dant de son diamëtre; ce qui arrivera effectivement, comme on le verra bientôt. 9 468 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE Les valeurs variables de ft pourront être extrêmement grandes par rapport à sa valeur finale. Cela aura lieu, par exemple, si la décomposition du fluide neutre se fait dans tout l’intérieur de chaque élément magnétique, de sorte que pendant leur mouvement, l’un des deux fluides soit en excès en chacun de ses points; et qu’au contraire dans l'état d’équi- libre, le fluide libre soit transporté à sa surface, où il ne forme plus qu'une couche d'une très-petite épaisseur. Il en résulterait, en effet, que dans le premier cas, l'action d'un élément magnétique émanerait de tous les points de son volume, et d’une très-petite partie seulement, dans le second cas. Cette remarque que nous avons déja faite au commen- cement de ce Mémoire, peut servir à rendre raison de la différence d'action du magnétisme dans les deux états de repos et de mouvement. Mais nous ne ferons aucune hy- pothèse particulière sur la forme de ft : les valeurs de cette fonction pourront être positives ou négatives , et aussi gran- des qu'on voudra; elles passeront plusieurs fois du plus au moins, si les deux fluides ne parviennent à l’état d'équilibre qu'après plusieurs oscillations dans l’intérieur des éléments magnétiques : il nous suffira de savoir que /t n’est variable que pendant un temps très-court, et la loi de ses variations n'influera aucunement sur notre analyse, ni sur les résultats définitifs de nos calculs. (10) Étendons actuellement les résultats précédents au cas où les forces extérieures qui donnent naissance aux incon- nues #, 6, y, sont variables en grandeur et en direction. Supposons qu'après un temps {’<{t, une nouvelle force T,, constante et parallèle à l'axe des x, vienne s'ajouter à la force T, ; au bout du temps #, on aura DU MAGNÉTUSME EN MOUVEMENT. 469 a=T ft+T f(t—*t); car « ne peut être qu'une fonction linéaire de T, et T,, qui devra se réduire à chacun de ces deux termes, quand la force relative à l’autre terme sera égale à zéro. Par la même raison , si après un temps £” < {, une seconde force T,, cons- tante et parallèle à l'axe des x, s'ajoute aux deux premières, nous aurons , au bout du temps t: | a=T fé T, fit) +T, (er). Et généralement, au bout d’un temps quelconque #, plus grand que t',#",t", etc., on aura a=T ft+T f(s—t) LT f(E—*") +T;f(t— t") + etc., lorsque les forces T,, T,, T;, etc., toutes constantes et pa- rallèles à l’axe des x, s'ajouteront successivement à la force T,, et commenceront d'agir aux époques A NT "ec: . Maintenant, pour que la force qui agit LE cette direction sur l’élément que nous considérons, varie d’une manière continue , et soit égale à T'au bout du temps £, il suffira de faire 5 dt, Hs isdi\é"—=3dt); ete, et de prendre en même temps Pa TERRA, dE eté.; d’où il résultera a=T,ft+f(t-dt)dT,+f(t-2d0d7T,+...+/(dt)dT. La partie de cette valeur de + qui se compose de termes in- 470 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE finiment Pons est une. intégrale définie ; et sa valeur en- tière pourra s'écrire ainsi : T 9h onisbatl moftosiot su arp-onté dus AU 9 s M de à se ES à dame fort —t)de; 9'EMS ï s4 g'uvsl en désignant ne Ce) la valeur de T qui sahéi GPA 2 poil » À LISE 1 D Ho mi H L6 21 \ FT ve S(t—6)de," Me <% S0paoolsHp éqfrt 3 (13 D' 3 #19 : 1 = pre fred: ++ 95: be o < @' et 6” étant les valeurs de T' et T” relatives à 4—0. L'intégration par partie fera disparaître les termes com- pris hors du signe e en observant qu'on à hpol =0, ) ZNB ‘H D JÉ1019941 ff la limite 6=—r, € faisant RD 8 m1 D OT 8L'9UD'IUO(M AB TI9ÉCNEEM SC j D OT aapbie 09 "arJONt 9 pra Ll'T qu b ge ( rrl EX T: ei he | ai , nous aurons t ë 939 pd NE eqi 1} a pi us =f fred, sul) +Pate : ñ 1" hits 7 ! E o'] y= | S'(t—6)0" de. Th \Ve ss Ja (3% - A +-YY F— (11) Ce sont ces trois équations qu'il faudrait pouvoir sure pour détériminér les trois’ inconnues x, €, y. Lors- Dh, Sr. “2 | DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 471 que: leurs ‘valeurs seront connues en fonction du temps + et des trois coordonnées +, y,z,, du point de A auquel elles répondent ; les équations:(3) feront connaître à éhaque instant, en grandeur et:en direction, l’action de-ce corps sur un point extérieur donné de position; ce qui, serait le but final du problème dont nous nous: occupons: La quantité Q'\/contenue dans les seconds membres des équations (6), sera toujours l'intégrale Q du n° 3} étendue à tous les points de À compris entre sa surface et celle de B; mais la forme de B ne sera plus arbitraire; et l’on devra prendre pour cette partie de À , une sphère qui ait son centre au point M dont les coordonnées sont x »Y z, et un rayon indéterminé,. sb aa5e4 petit pour qu'on puisse regarder les quantités £',«',6',y, comme sensiblement constantes dans toute l'étendue de B, Comme les limites de l'intégrale Q' qui commence à la surface de cette sphère , dépendront implicite- ment de la position du point M, il faudra se souvenir que les différentiations relatives à ses coordonnées x} y} 2, devront être effectuées avant l'intégration, ainsi qu'elles étaient indi- quées dans le n° 3, avant qu’on les eût transportées én dehors des signes [> ice QE n Re plus permis Le le EE actuel. Observons : aussi que fé valeurs de 4,6, y, relatives. à de éléments magnétiques ; situés à la surfacé de A; ne sont pas comprises dans les équations (6); car en donnant dansle n° 9, une forme sphérique à B, nous avons exclu ces éléments. Ces trois quantités :,6,7, sont des fonctions de x, y, z, qui changent de forme:et varientrtrès-rapidement près de la surface de A. S'il s'agissait de calculer l’action de ce corps sur un point extérieur, très-voisin de sa surface , il ne serait 472 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE pas permis de négliger la partie de cette action qui pro- viendrait de la couche superficielle ; mais dans toute la suite de ce Mémoire, nous nous bornerons à considérerles points extérieurs qui sont à une distance sensible des corps aimantés : alors on pourra faire abstraction de l’action exercée par la couche superficielle sur ces points ; et par conséquent, nous n'aurons pas besoin de connaître les valeurs de «, 6,7, qui s'y rapportent. S. II. Simplfication des formules précédentes. (12) Nous pouvons écrire la valeur de Q sous la forme PE 1 . " Ps dx'dy'dz —R, en faisant, pour abréger, = [44 mie Le 6" © d.k'y\ dzx'dy dz' D Ts oi ) SAT dx dz p K! a Si nous mettons successivement dans l'équation (5), — X! [4 HT 14 ÿ g Q L—X! —T., à la place = par» NOUS en conclurons ns k'd — ffa'c0s.s + 61005. + y" c0s. 5 JÉRR; do étant l'élément différentiel de la surface de A; s,5',5", désignant les angles que fait la partie extérieure de la nor- male à cette surface, au point dont les coordonnées’ sont — DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 473 æ',y',z', avec des droites tirées par le même point suivant les directions des æ',y', z', positives; et l'intégrale double s’étendant à tous les points de cette surface, de sorte que si À est un corps creux, cette intégrale pourra se partager en deux autres, l’une relative à la surface extérieure de À, et l’autre, à sa surface intérieure. Pour obtenir lintégrale Q', nous l’étendrons d’abord, comme la précédente, au volume entier de A; puis nous en retrancherons l'intégrale relative à la sphère B qui n’y doit pas entrer ; et si l’on veut connaître les différences partielles de Q' qui entrent dans T, T'T”, il sera nécessaire, d’après ce qu'on vient de dire, d’effectuer les différentiations par rap- port à x,Yy,2, avant l'intégration dans l'étendue de B. De cette manière, on aura, par exemple, dQ" __4Q dx dx on Q étant la même quantité que précédemment, et en faisant " AE de HSE JT 2 Er +—— k'dx'dy' dz'. Cette intégrale triple s’étendra à tous les points de B; entre ses limites, on regardera les quantités Æ', «', 6’, y', comme constantes et égales à #, x,6,y; par conséquent, en conser- vant les notations du n° 5, nous la changerons en une inté- grale double, relative à la surface de B, savoir : — x) d s=4 ff COS. s + 6 COS. s' + yc0s.s") © 2 =} dont on obtiendra facilement la valeur à cause de la forme sphérique de B. 1823. 60 474 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE Menons, pour cela, par le point M, trois axes paral- leles à ceux des x, 7,2; soit w l'angle que fait le rayon b mené de ce point à celui de la surface de B dont les coor- données sont x', y’, z', avec l'axe des x, et v l'angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des æ, z; nous aurons L'—X= pCOS.U, Y'—y—p Sin. u Sin. V, 2 — 3 — pSiN.u COS. v. La normale en chaque point de B coïncidant avec le rayon » qui aboutit au même point, il en résulte COS. $ — COS. L, COS. 5’ —Sin.48in.v, COS. s'’—SIN. 4 COS. 2. On aura, en outre, dow—$" sin.udud, M à cause que le rayon b est constant; et pour étendre l'inté grale double à toute la surface de B, il faudra la prendre depuis #—o et v— 0, jusqu'à u—#+ et v—27; ce qui don- nera __frhka : 3 LU 1 D'apres cela , nous aurons On trouvera de même dQ _dQ 446 dQ __dQ rx. M ete LA ANITE COPIE ds SU et les valeurs de T, T', T”, deviendront DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 475 TV "4Q, 4mka TT'azude | Li DE rdr wer (7) 1 MIN dQ 4Tky RE at de Te (13) Avant d'aller plus loin , il sera bon de considérer en particulier le cas où les forces extérieures qui agissent sur À , sont constantes en grandeur et en direction, et où il s'estécoulé le temps très-court , nécessaire pour que les deux fluides'soient parvenus à l’état d'équilibre dans son inté- rieur: À cette époque, la fonction ff aura acquis une valeur fixe que nous représenterons par ft=g; en même temps fé sera nulle; par conséquent il faudra que 6 diffère très-peu de # pour que les éléments des intégrales comprises dans les formules (6), ne s'évanouissent pas à raison de eur facteur f'(#—06). Leurs seconds facteurs 6,0", 0" seront alors sensiblement constants ;on pourra les remplacer par T,T', T”; et comme on a A PPAGOE ET o à cause que f(é—4) est nulle à la limite 6—#, ces équa- tions (6) deviendront EI hg se 6—1qiy—= TR; En les combinant avec les équations (7), on en déduit 6o. 476 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE FI Poe — h5q +7) —o; RENTE SEE Porn Ge 7), - pra Eu dy GS PE +7)=0. DE +. On peut réduire à une seule, les deux quantités 4 et g, dé- pendantes de la matière de À, que renferment ces formules et les valeurs de Q et R : il suffit pour cela de multiplier ces dernières équations par k; de mettre :,6,y7 à la place de ka, R6,ky, et, par conséquent, «',6/, y’, au lieu #'a',#'6", k'y'; puis de remplacer — par une seule lettre p. Ces 3 équations et les valeurs de Q et R deviendront alors se Va a +p +7) —0, Le dv A dv Ps F)=0, ! ’ ni 771 do Q=/f( cos. s + 6'cos.s'+ y'cos.s D 7 ME Dar dx' dy’ d2' R= [fre Far Ÿa ee Soit maintenant + une fonction de x, y, z, déterminée par l'équation p+V+Q—o; (8) ee ue de à < CL : DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 477 nous aurons b'bi822'1 6 901 'dg 1 2 d dg : RP OP Jp Ÿ=P ges et en outre do! do do’ NoA Q= f [CE co8.s + PE cos. s' + 07 cos. s JR ,dg , do" de’ . ' (9) Rirnate MA IN Er LL dy'dz/ R— er 7 + ——— —— dx! dy! dz! 2? (s en désignant par p' et +’, ce qué deviennent p et + quand on y change x, y,z, en æ'y'z2". La solution du problème qui nous occupe , c'est-à-dire, le calcul de l’action de A sur un point, extérieur au moyen des équations (3), ne dépendra donc plus que d’une seule inconnue, ou de la résolution de l'équation (8). (14) Les centres des forces auxquels répond la fonction V étant extérieurs , et les coordonnées x, Y> 2, appartenant à un point intérieur de À, on a EN, EVN°N de ‘dy Far 05 et ce point ne faisant pas partie de sa surface, on a aussi identiquement dd. ie dE M larg) AO de la. de 021 dans toute l'étendue de l'intégrale double que Q renferme, laquelle disparaît par conséquent dans la quantité dQdQ,4Q de ay Ÿ dr 478 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE Mais il n’en est pas de même à l'égard de l'intégrale triple.R qui s'étend à tous les points de A; et d’après le théorème du n°7,ona de de de dRdR ,dR_ ; (£ræ ie “&) dr dpi ee PO MA UT EAN | dy Æ dE) On déduira donc de l'équation (8): dx dy° do de d° de (tr ss dr, tra) , = da E dx dy FA dz Een (10) fi Si À est un corps homogène qui ait partout la même température , les quantités k et g, et par suite la quantité p, seront indépendantes de æ, y, z; ce qui réduira cette der- nière équation à do d°o , d°o dy." dz° 10, On aura en même temps R—0,et la valeur de Q sera sim- plement : dy = Q=pff(Ec0s. MAT © cos. SH cos. SV. Cette expression, l'équation précédente et l'équation (8), s'accordent avec celles que j'ai trouvées dans le premier mé- moire, pour le même cas d’un corps homogène dans lequel les deux fluides sont en équilibre : elles coïncideront par- faitement, en remplaçant dans celles-ci, linconnue % par 3 FT qui est permis, puisque k est une constante dont la De cation n’est pas déterminée, d’après, ce qu'on a dit à la fin du n° 12 de ce mémoire. ut Le doésidé Lt t Y mettant ensuite pa 1P ace ae % TE Fra) © DU MAGNÉTISME /EN MOUVEMENT. 479 Après le cas de lhomogénéité, le plus simple serait celui d'une sphère composée de couches concentriques, dont cha- cune soit homogène. En fixant ; dans ce cas, l’origine des coordonnées au centre de cette sphère, et désignant par r le rayon vecteur du point qui répond à æ, y, z, en sorte qu'on ait la quantité p sera une fonction donnée de r. On aura, en conséquence , d ns Dh eo Dre me A dæ drr? dy, drr CORdET 2 et à cause de ê é æd@ yde 2 dpi d@ r dx rdy Ur CA Qi on tirera de l'équation (10): dp Ca d° EURE AT d? ni Hi AT TE AR p dr Si donc on désigne par 7' le rayon vecteur du point qui re- pond à x’, y’, z', la seconde équation (9) deviendra R =ffREEE dx’ I dz' : en faisant, pour abréger, I dp 1+47Tp = ot: de maniere:que t' soit une fonction donnée de 7’ qui sera nulle quarid:toutes les couches de A seront dé là même na- ture. Conservons ensuite p pour représenter la valeur con- 480 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE stante de p' relative à la surface de A, observons qu’on a & Ja HER cos.s— —,: cos.s'——, cos. s!—" sui) et éliminons R de la première équation (9), nous aurons Q—Pff ta fes de dx day as dz' Nous ne ferons quant à présent aucune application par- ticulière de cette formule, faute de connaître la valeur de ?” en fonction de r'. Si la sphère que l’on considere est formée d'une matiere homogène, dont la température varie du centre à la surface, cette fonction dépendra de la loi incon- nue suivant laquelle la puissance magnétique change avec le degré de chaleur dans les substances susceptibles d’aiman- tation par influence. | (15) Réduisons maintenant les équations relatives au ma- gnétisme en mouvement, comme nous venons de réduire celles qui se rapportent au magnétisme en repos ; mais pour ne pas trop compliquer la question, bornons-nous à consi- dérer le cas d’un corps homogène , dont tous les points ont la même température, de manière que 4 et ft soient des quantités indépendantes de x, y, z. Soit pour un moment du d6 “a de FAR te = F5", et désignons par F'#, ce que devient'cette fonction, quand on y change x, », 2, .en æ', y’, z'. La valeur de Q du n°12 deviendra DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 48 [? ‘ ‘À UA d F't f (2 Q=4ffC cos. s+6'cos.s +7 cos. s)T—4/]| Tr di dydé. On en déduira, comme précédemment, dQ dQ dQ de à aroilider —=4rÂkFt; et les équations (7) donneront ensuite dT., d'U' 4T" SxaFr. de” dy di TON au moyen de quoi l’on déduira des équations (6) : 8rk.[° LS D Con LE équation à laquelle on satisfait évidemment en prenant Fé—o, et qui n’a pas d'autre solution, quelle que soit la fonction f'£. En effet, si l'on a Fé#—0o, depuis £—0o jusqu'à une cer- taine valeur £— a, je dis que l’on aura encore F£— 0 jus- -qu'à é—a + 5,9 étantinfiniment petit ; car d'après l'équation dont il est question, et en négligeant le carré de à, nous aurons Fa+3)= ET fpif(a+i—0)d0+Faf (|: et comme on a Fa—o, et que F9 est aussi nulle par hypa- thèse dans toute l'étendue de l'intégrale que cette formule ren- ferme, il en résulte F (a + à) —0. D'ailleurs l'intégralerelative à 4 que contient notre équation, s'évanouissant avec £, On a 18923. 6t 482 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE Fi—o, quand f—0; on aura donc aussi F(3)=—0 ; et en prenant successivement a—5,—29,—39), etc., on voit qu'on aura généralement F(n3)—o, n étant un nombre entier, fini ou infini; ou autrement dit la fonction F# sera nulle pour toutes les valeurs de f. En remettant pour cette fonction, ce qu'elle représente , nous aurons l'équation 3 d6 d'y d'après laquelle, il ne restera dans la quantité Q, que l'in- tégrale double relative à la surface de A, savoir : 4 ' [44 d Q=—A f la cos.s +61 c05.5 + y'cos.s Ye (16) Soit actuellement de dé Aire TRE Les deux premières équations (7) donneront du: at! int dy dx HN A ensuite on tirera des deux premières équations (6): __4mA if vof'(é—8)dé: et l'on démontrera, comme dans le n° précédent, que cette dernière équation n’a pas d’autre solution que /#—0. Ainsi, l'on aura da d6 par ap + Ami) DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 483 On prouvera de même que l’on a d TRE NES ARR daias 20 dz— dy ox ce qui montre que «, 6, y, sont les différences partielles d’une même fonction de +, y,2; en sorte qu’en désignant par cette fonction inconnue , nous aurons ur LEUR NUE At, CRE TUE: des (11) L'équation trouvée dans le n° précédent se changera donc en celle-ci PV do, d'a . dy* 26Ù de —0); (12) et la valeur dé Q deviendra ia dg' dq' 14. 49! r\ de Q=E [/(E eos.s + 7 COS +75 COS. S re (13) en appelant +’ ce que devient # quand on y remplace x,y,7, par les coordonnées x", z', d'un point de la surface de A. Après avoiréliminé ©, @', 6", des équations (6), au moyen des formules (7) dans lesquelles on fera £—46 , ces trois équa- tions (6) se réduiront à une seule dont elles seront les dif- férences partielles relatives à æ,7,2, Savoir : (a + f'(r#QE LT DEA (£—0)d8—0, (14) où l'on a représenté par V,, Q, et #,, ce que deviennent V,Q et o quand on y met 6 à la place de #. (17) La solution du probleme qui fait l’objet de ce Mé- moire, ne dépend dont, comme dans le cas du magnétisme 61. "4 LA , 484 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE en repos, que d'une seule inconnue +, et se trouve ramenée à résoudre l'équation (14) pour en déduire la valeur de cette inconnue en fonction de x, y, z et f. L'équation (12) n'ajoute rien à cette équation (14) : toute valeur de + qui satisfera à celle-ci , vérifiera aussi l'équation (12) qui en est une con- séquence, dont on pourra néanmoins se servir pour faci- liter la résolution de l'équation (14). Lorsque la valeur de + sera connue, les équations (11) feront connaître immédiatement l'état magnétique du corps À à tel instant et en tel point de sa masse que l’on voudra , c'est- a-dire, la direction et l'intensité d’une petite aiguille aimantée dont l’action magnétique serait équivalente à celle de l'élé- ment de A qui répond à ce point (n° 2). Par une double intégration , étendue à toute la surface de A, on connaîtra aussi la valeur de Q; puis les équations (3) détermineront, en grandeur et en direction, l’action exercée à un instant quelconque par ce corps, sur un point extérieur, situé à une distance sensible de sa surface. D'après la formule (13), nous voyons que cette action sera équivalente à celle d'une couche de fluide libre, extrè- mement mince, qui s’'étendrait sur toute la surface de A, et dont l'épaisseur au point qui répond aux coordonnées x, y, z, aurait à chaque instant pour expression : do do 1 d / 2 (TE cos. s + TE cos. 4- TE cos.s") ; dx dy le fluide étant boréal ou austral selon que cette quantite sera positive ou négative. Cela ne veut pas dire, cependant, que cette couche superficielle existe réellement comme dans le cas de l'électricité : le fluide libre, dans un corps aimanté, DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 485 est distribué dans toute sa masse; l’action extérieure de ce corps émane de tous ses points ; et s'il ne s'agissait pas d’un corps homogène , cette action ne serait pas équivalente à celle d’une couche superficielle, ainsi qu'on le voit par la seconde valeur de Q du n° 14. Si le corps homogène A était creux , l'intégrale que Q représente s'étendrait à ses deux surfaces , et par conséquent aussi la couche de fluide libre dont l’action pourrait remplacer celle de A. Les composantes X, Y, Z, données par les équations (3) ne sont que des forces accélératrices : si le point extérieur sur lequel elles agissent était, par exemple, l’un des pôles d'une aiguille aimantée, et qu'on voulüt connaître la force motrice de cette aiguille, résultant de l’action de A sur le fluide libre, réuni en ce point, il faudrait multiplier les se- conds membres des équations (3) par cette quantité de fluide, positive -ou négative, selon la nature du pôle. Dans ce cas, il pourra arriver que ce pôle soit aussi l’un des centres des forces extérieures qui produisent l'aimantation de A, et aux- quelles répond la quantité V; la valeur de +, donnée par l'équation (14), dépendra alors de sa position, et sera fonc- tion de ses coordonnées; mais en différentiant Q pour for- mer les valeurs de X, Y, Z, il faudrait avoir soin de faire seulement varier les coordonnées de ce pôle qui entreront dans sa distance ? à un point quelconque de A. % (18) Quelles que soient la forme de ce corps et les forces extérieures auxquelles il est soumis, nous pouvons démon- trer que l'équation (14) n’est susceptible que d’une seule solution. Supposons, en effet, qu'on y puisse satisfaire au moyen d'une premiere valeur de #, et ensuite au moyen de 486 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE cette valeur augmentée d’une autre fonction de #, y, z et t; représentons cette fonction par F£, et par F'# ce qu’elle de- vient quand on y change x, y, z, en x', y", z'; faisons en- suite dE d.F'# AOC L0 ! —— COS. S'+ ——— ar COS.S + Tr COS. S + a CONS —— AT: Si l’on substitue successivement dans l'équation (14), les deux valeurs de +, et que l’on retranche l’un de l’autre les résul- tats de ces substitutions, il suit de sa forme linéaire par rapport à &, que les termes dépendants de la fonction F4 resteront seuls dans cette différence ; et en mettant à la place de Q, l'intégrale que cette lettre représente, nous aurons Peak f (ffne Er yrt Greene La question consiste donc à prouver que cette équation n'a d'autre solution que Ff—0o, ce qui se démontrera par un raisonnement semblable à celui du n° 15. D'abord , il est évident qu'on a F—0o quand #—0, puis- que l'intégrale relative à 6 s'évanouit avec 4. Admettons pour un moment qu'on ait F{—o, et par conséquent Hé—0, depuis £—0o jusqu'à une certaine valeur 4— 4; et prouvons qu'on aura aussi F£—o jusqu'à t—a + à, à étant infini- ment petit. Or, en négligeant le carré de 9, l'équation pré- cédente donne F(a+5) af (ere) r (a +50) d + A(ffua° a Fa) f'(Di0; DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 487 et à cause que , par hypothèse, les fonctions comprises sous l'intégrale relative à 0 sont nulles entre ses limites, aussi bien que Fa et Ia, il en résulte qu'on a F(a& + 3)—o ; d’où l’on conclura sans difficulté F£—o pour toutes les valeurs de £. Ainsi, dans chaque cas particulier , il suffira de trouver une valeur de + en fonction de x, y, z et f, qui satisfasse à l'équation (14), pour en avoir la solution complète. $. HE. Application à une sphère homogène, tournant uniformément sur elle-méme. (19) Pour fixer les idées, nous supposerons l’axe de rota- tion horizontal. Nous placerons l’origine des coordonnées qui entrent dans les formules précédentes, au centre de la sphère. Les æ positives seront comptées sur cette droite, du côté du sud ; l’axe des z positives sera vertical et dirigé de bas en haut, et celui des y positives, horizontal et tel qu’en tournant, les points de la sphère aillent du premier au second axe. Soit r le rayon vecteur du point M, extérieur ou inté- rieur, qui répond aux coordonnées x, y, 2; à l'origine du mou- vement, désignons par 4 l'angle compris entre cette droite et l'axe des +, et par v l’angle que fait le plan de ces deux droites avec celui des x,z. Si nous représentons par n la vitesse angulaire de la sphère, qu'on suppose constante, l'angle v deviendra 2 4+ v au bout d’untemps quelconque #, compté de cette origine ; et à cet instant, nous aurons —=rcos:.u, y—=rsin.usin.(né+v), 2—rsin.ucos.(né+v). Soient en outre 7”, u’ et v', ce que deviennent les variables r, u et v, relativement à un point M' de la sphère dont 488 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE x',7',2', Sont les trois coordonnées. En appelant à l'angle compris entre les deux rayons vecteurs 7 et 7’, on aura cos. J— cos. 4 cos. u' -+ sin.wsin.u'COs.(v—v"'); et la distance ? de M à M' sera donnée par l'équation : er +7r'—2rr cos. Au lieu d’une sphère entierement pleine, nous considére- rons, pour plus de généralité, une sphere creuse dont la partie pleine aura une épaisseur constante. Nous désigne- rons par a et b, les rayons de ses deux surfaces concentri- ques, de sorte que a — b soit cette épaisseur. Cela étant, pour former la quantité Q , nous aurons à la surface extérieure : e : ' À 7 2° COS. SE COS — "+, COS. es ; D ds r "4 r 8 do—=asin.u' du'dy'; et à la surface intérieure : u U » À æ z COS. S—— — cos.s'—- 7 COS.S"———, 7'—b r! 2? r : dw—= b*sin.u'du'd'; D par conséquent l'équation (13) deviendra nr lei / sin. u' du’ dv! Q=ka ff po (FE u se (15) e, et p, étant . Res de ? relatives à r'—a et r'—b; «' et 6’, celles de © qui répondent à ces mêmes valeurs de r'; et les DA étant prises depuis w'— o et v'—0, jusqu'à u'=7 et v'—27r. Pour les effectuer , il sera nécessaire de développer +, et », en séries convergentes, ce qui exigera qu'on ait égard à la position du point M. DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 489 Si ce point appartient à la partie pleine de la sphère, en sorte qu’on ait r >b et Je 4e FA a —B b’\r cos. : + (A'a—B'b’)rsin.usin.(n +) +(A"!a—B'b)rsin.ucos.(ut+ v)]; ou bien en remettant les coordonnées æ,Y,2, du point à à la place de leurs valeurs : Q= ET (A—B)x + (A —B'}y+ (A"—B')z], Q= FFT BE)x + (A'&—B'b)y-+ (Aa —B"b)z] Le temps n'entrant pas dans ces formules, il en résulte que, passé les premiers moments de la rotation , dont nous avons fait abstraction, l’action de la sphère tournante sur un point donné sera constante en grandeur et.en direction. De plus, la première valeur de Q étant linéaire par rapport à x, Y, z, cela montre que cette action sera la même pour tous les points de l’espace intérieur. Quant aux points extérieurs, les composantes parallèles aux axes des x, y, z, déterminées par les équations (3), auront pour expressions < x=— f(aa— Bo) (1°) — 3(A'a—B)27 —3(4"a BE], vif CCR DIE CCR DE —3(4"a Boy], k ” (4 322 Ve nee [ «a a —B'b) (Gi —) —3(Aa—BD)S —3(4'a 8). x 4TA(Aa—Bé?) [re (r 3m 3m, xy ms] DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 495 Ces forces varieront avec les coordonnées du point M sur lequel elles agissent, suivant les mêmes lois, soit que la sphère creuse soit en repos, ou qu’elle soit en mouvement; et l’on pourra ramener immédiatement le second cas au premier, en changeant convenablement les composantes perpendicu- laires à l'axe de rotation , de la force qui produit l’aimanta- tion. En effet, supposons qu’on arrète le mouvement dela sphère, ou qu'on fasse 2 —0, et qu'en même temps onMsubstitue des forces m,-et m,, aux forces m'etm" parallèles aux axes des Y et z; les valeurs de A et B neseront pas changées, et celles de A, B', A”, B", qui se rapportent à ce nouvel état, seront respec- 4 m UD mn, m2 tivement A, B=1, A, B—; par conséquent, on aura m mm mn mr ee 3mr 7 T° 7 7 __ 4mk(Aa—B&é*) DS PRES 3m, y2 = 3 m r° [re, (1 OPEN e2*] 7 2= C0 | ( 32° | I —— —— 3m r° T° Tr Or, on fera coïncider ces formules avec les précédentes, en prenant (Aa —B5)":—A'a BB, (Aa —Bby)"— A"aB'é;, 7 me pour déterminer m, et m,; ou bien, en mettant pour A et B leurs valeurs : n H(i+A)(a—b)am, _4mk à, pr TOHAjararee "3 (Aa—B'é), 496 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE k, +4, MPa) an 3 LS ! ! . j Re = =$ italie d celles de A’, B', A”, B”, étant toujours tirées des équations (17). (22) Pour appliquer ces formules à des exemples simples, supposons d’abord la sphère tournante, entierement pleine. Nous aurons b — 0; et les équations (17) donneront A'(N'% g)m'+ Nm”, A'—(N'+g)m"—Nm'; d'où l’on conclura, en ayant égard à ce que #, représente, Ce sont les forces parallèles aux axes des y et z, qu'il faut ajouter à m' et m" pour ramener la sphère tournante au cas où elle serait en repos. Or, on voit qu'elles équivalent à deux autres forces parallèles au plan des y, z, l’une ayant la même direction que la résultante de m' et m", et pour valeur NET I, l’autre perpendiculaire à cetterésultante et égale à NIREm"T Si lon considère a petitesse des valeurs de x dans les intégrales N et N', et si la vitesse 7 n'est pas extrêmement grande, on pourra développer sin.nx et cos. n x sous les signes f: en séries convergentes suivant les puissances de nx; et en négligeant le cube et les puis- sances supérieures, on aura simplement N=n faf'ada, N'=—in fa f'adz; DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 497 où l’on voit que N' sera très-petite par rapport à N, et par conséquent aussi la première force additive relativement à la seconde. Donc, pour ramener une sphère tournante au cas du repos, il suffira d'ajouter aux forces qui produisent son état d’aimantation, une force à très-peu près normale au plan de leur résultante et de l'axe de rotation. Ce résultat s'accorde avec la proposition que M. P. Barlow a énoncée, et qu'il a conclue de ses expériences sur l’action d'une sphère de fer fondu, de huit pouces anglais de dia- mètre, à laquelle il avait imprimé une vitesse de rotation de 420 tours par minute (1). Selon cette proposition, la force additive serait exactement normale au plan dont nous par- lons ; il en faut donc conclure que malgré la grandeur de la vitesse employée, le rapport de N' à N est encore insen- sible dans le fer fondu; ce qui suppose que la décomposi- tion du fluide neutre s’y fait dans un temps æ, extrêmement court, et tel que l'arc nx décrit dans ce temps avec une vitesse d’une circonférence par cinquième de seconde, n’a pas néanmoins une grandeur sensible; circonstance qui n’em- pêche pas que l'intégrale N n'ait une valeur comparable à la quantité q, à cause que les valeurs variables de fx peuvent êtreextrêmement grandes par rapport à sa valeur finale (n° 9). Quant au sens dans lequel la sphère tournante exerce son action , pour le fixer clairement, supposons, avec le même physicien, qu’on ait neutralisé les composantes horizontales m et nm’ du magnétisme terrestre, au moyen de deux aimants convenablement placés; et considérons cette action sur un (1) Transactions philosophiques, année 1825, deuxième partie. 1823. 63 À 498 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE point M appartenant à l’axe des y. Nous aurons alors —0, m'=0,%—=0,z—0; par conséquent A Nm", A7 — (N' + g)m”, et ensuite 8rkNm" a? PAPE 4m A(N'+g)m'a?. RE 0 PRES D 37° D'après les expériences sur l’action des plaques tournantes, l'intégrale N est positive dans toutes les sübstances ; la force Y l'est donc aussi, c'est-à-dire qu'elle tendra à éloigner du centre de la sphère, les particules boréales situées du côté des y positives, et en rapprocher cellesqui tombent du côté des y négatives. Si donc on a placé sur l’axe des y, le point de suspension d'une boussole rendue indifférente au magné- tisme terrestre dans les directions horizontales, comme la sphère que nous considérons, l’action de cette sphère tour- nante la dirigera suivant cette droite; et son pôle sud, où est concentré le fluide boréal, s'éloignera ou s’approchera de la sphère, selon que l'aiguille sera placée du côté des y positives ou du côté opposé, c'est-à-dire, selon qu’en tour- nant, la partie supérieure de la sphère s'approchera ou s'éloignera de l’aiguille : résultat entièrement conforme à ce que M. P. Barlow a trouvé par l'expérience. Observons encore que si la quantité N' n’est pas absolu- ment nulle, la force Z dépendra de la rotation de la sphère; en sorte que si l'aiguille était équilibrée et parfaitement hori- zontale avant que le mouvement ait commencé, elle prendra une petite inclinaison due à l’action de la sphère tournante; et la grandeur et le sens de cette inclinaison, s’il est possible de l'observer, feront connaître la grandeur et le signe de N°. DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 499 (23) En faisant 2—0, et par suite N—o et N'—o, les formules du. n° 21 se rapporteront. à l’action de la sphère en repos, et elles deviendront (1): 3x 3 æ 2 x=—< ; [re (ae) 2 2e, r T 3} 3 2 3 (2 =—< TN [me (Gi—)— er m7] 3 r r Tr Tr ak, ra 31z2 3mæxz 3m y2 TT TE [me (Gi) 7e 2], si la sphère est entièrement pleine. Dans le cas contraire, il y faudræ remplacer le facteur X, par la quantité : k, (a+ 4k,)(a? —0?) ‘ (144, )a—2kb? L'expérience a prouvé que la valeur de , relative à la ma- üère du fer est tres-peu différente de lunité; d’où il résulte que cette quantité est aussi à tres-peu près égale à un, excepté lorsque l'épaisseur a — & est nulle ou très-petite. En général, l'action d’une sphère creuse, de fer et en repos, est donc à peu près indépendante de son épaisseur, et égale à celle d’une sphère pleine, de la même matière et de mème diamètre : ii n'y a d'exception que quand l'épaisseur est une certaine fraction du rayon, d'autant plus petite que la différence nf est moins considérable. C’est, en effet, ce que M. P. Barlow (r) Ces formules sont les mêmes que celles du n° 9 de mon second Mémoire sur le magnétisme ; en observant que &, 6, Y, sont égaux et de signes contraires à »2,72!,m";remplacant # par k,, et faisant attention qu'ici les forces X, Ÿ, Z, sont censées agir sur une particule boréale, et, dans, ce, Mémoire. sur une particule australe. 63. 5oo MÉMOIRE SUR LA THÉORIE avait conclu de l'expérience avant que je l’eusse déduit de la théorie dans mon premier Mémoire sur cette matière, Mais on verra tout-à-l’heure que ce résultat singulier ne subsiste plus dans le cas d’une sphère en mouvement. Si l’on place an point M, le point de suspension d’une boussole horizontale, dont la longueur soit tres-petite par rapport à sa distance à la sphère, l'action de ce corps sera à peu près la même en tous les points de cette aiguille, qui se dirigera, par conséquent, suivant la résultante de cette ac- tion et de celle de la terre. En menant donc, par le point M , un axe parallèle à celui des x positives, et désignant par :, l'angle compris entre cette droite et la partie de l'aiguille qui aboutit à son pôle sud, où est concentré le fluide bo- réal , nous aurons De même, s'il s’agit d'une aiguille d’inclinaison dont le point de suspension soit placé au point M, dont la longueur soit aussi très-petite par rapport à son éloignement de la sphère, et, enfin, dont le plan dans lequel elle peut tourner, passe par le centre de ce corps, elle se dirigera dans ce plan, sui- vant la résultante des forces horizontales L/X4Y et L/7+m"7, et des forces verticales Z et m”. Si donc on désigne par 9 l'angle que fait la partie de cette aiguille qui aboutit au pôle sud , avec la verticale tirée de bas en haut par son point de suspension, on aura ZL+m" tang.o — AE NES AE On rendra ces formules plus exactes, en leur faisant subir DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. bot des corrections relatives, soit aux longueurs des aiguilles, soit à leur action sur la sphère. En désignant par / la demi-longueur de la première ai- guille, et supposant qu’elle soit maintenue horizontale malgré l’action de la sphere, z sera l'ordonnée verticale commune à tousses points, et x £/cos.e,y +/sin.:, les coordonnées horizontales de ses deux pôles. On aura donc les composantes horizontales de l’action de la sphère en chacun de ces deux points, en substituant ces coordonnées à la placede x et y dans les expressions de X et Y. Nous prendrons ensuite pour ces forces les demi-sommes des valeurs rélatives aux deux extré- mités de l'aiguille; et en négligeant les puissances de / supé- rieures au cube, ces valeurs moyennes seront dx & CES QU X+= Ta l’ cos. +2 sin. £ COS. +7, sin. e); Hi (ou l'c0s. e + 2 ei a, sin. e COS. MAP à e), dx dy° qu'il faudra mettre au lieu de X et Ÿ dans l'expression de tang. e. Soit aussi /’ la demi-longueur de l'aiguille d'inclinaison, u la distance de son point de suspension à l'axe des z, à l'azimut de son plan, en sorte qu’on ait æ—=UCOS.À\, Y—USIN.X; désignons par U la force horizontale L/{X +») + XY+m);on trouvera, en négligeant la quatrième puissance de /', que les forces Z et U doivent être un dans tang.+ par ZE dE cos. g+a ie sin. COS. Je mn sin. e), dU, En ! U+= ne HIT À sin. ® COS. g + LUsin” 8) 5o2 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE Appelons y la quantité de fluide boréal, réunie au, pôle sud de la première aiguille. Les composantes suivant les axes desx, y, z, de l’action de ce pôle sur une particule, bo- réale située au centre de la sphère , seront respectivement: pe (x+ Zcos.e) u(y+ sine) pz 500 el prie NS -[.s 207 2 tigre en faisant, pour abréger, p—r"—92xlcos.e—92ylsin.e + 2. On. en déduira, l’action du pôle nord, en. y changeant les signes de 4 et. /, Nous supposerons le rayon de la sphère assez petit par rapport à, l'éloignement de l'aiguille, pour qu'on puisse regarder l'action de chaque pôle comme cons- tante dans toute son étendue, et la même pour tous ses points, que celle qui a lieu sur son centre. Il faudra alors ajouter aux composantes », m',m',de l'action de la terre, la somme des composantes suivant chaque axe, provenant de l’action des deux, pôles; et en négligeant le cube de /, on voit que lés quantités »,m"', mm", comprises dans les expressions de X et Y, devront être diminuées respectivement de 2 [ cos. ss 3 (x LE r r 2H sin. ES SMART EEE 2], 6ulz(æcos.e+ysin.e) PORE ? avant de substituer ces deux forces dans tang.e, Qn verra de même qu'avant de Slasiner les forces Z et U dans tang.w, il faudra diminuer les quantités 7», m , m', contenues dans DU MAGNÉETISME EN MOUVEMENT. ” 563 leurs ‘expressions, de 3x (xcos,sin.@.ysin.Asin,@ +7 cos. #7 7? 1) [cos. \Sin. Dichèeer ap 7 2E [sin.x sin.g + 37 (æ cos. sin.g Hysin. A sin. g +3 cos.ç) 2], T° Eva [cos. ns 3 z (x cos. A sin. p-+ysin.À SE +4 c08.9)| r3 r? &' étant la quantité de fluide boréat, réunie au pôle sud de l'aiguille d’ inqaason. On à ru mean comme on sait, les valeurs de 4./ et u'/" que ces formules Pepe d'après les durées des oscillations des deux aiguilles, soumises à la seule action du magnétisme terrestre. En ayant égard à ces diverses corrections, on pourra calculér avec une grande précision, les déviations d'une boussole horizontale et d’une aiguille d’inclinaison, dues à l'action d’une sphère en repos, aunantée par l'influence de la terre, pourvu que les aiguilles ne soient pas très-rap- prochées de là surface de ce corps. Une seule, déviation, ob- servée suffira pour déterminer la valeur de la constante #,, relative à la matière dont il est formé, et à son degré de chaleur. Dans le cas d'unesphèré en mouvement, il suffira, cornme on l’a vu plus haut, de remplacer dans toutes ces formules, m'-êt m' par 7n,1étm;, que l'on regarderà comme des quan: tités inconnues , à raison des intégrales N et N' qu’elles con- tiennent dans leurs expressions , et dont on déterminera, au moyen de deux déviations observées , les valeurs relatives à la matière et à la vitesse de la sphère tournante. Les valeurs de m,.et m, feront connaître celles de N et N' qui répondent 504 MÉMOIRE SUR LA THEORIE à la même matière et la même vitesse; et tant que ni l’une ni l’autre ne changeront, on emploiera les mêmes valeurs de Net N', pour calculer, au moyen des formules précé- dentes , les déviations dues à des sphères d’un diametre et d'une épaisseur quelconques, et dans telles positions qu’on voudra de l'aiguille aimantée. Lorsque la vitesse de rotation changera, on observera qu’en réduisant chacune des inté- grales N et N' au premier terme de son développement, l'une est proportionnelle à la première puissance de cette vitesse , et l’autre à son carré (n° 22), en sortg que leurs va- leurs seront connues pour une rotation quelconque, quand elles auront été déterminées pour une vitesse particulière. Mais si l’on veut conserver plusieurs termes dans les déve- loppements de N et N', il sera toujours possible de déter- miner leurs coëfficients au moyen d’un pareil nombre de déviations observées, et correspondantes à des vitesses de rotation différentes. Tous ces calculs n'auront de difficulté que leur longueur; et l’on pourra leur donner une précision au moins égale à celle que l’on peut attendre des obser- vations. (24) Il suffira d'un exemple particulier pour montrer que l'action d’une sphère tournante, dont le fer est la matière, n'est pas la même,comme celle d'une sphère immobile, quand elle est entierement pleine, ou qu'elle renferme un espace vide dans son intérieur. Nous choisirons pour cela l'exemple dont le calcul est le plus facile, et, dans cette vue, nous suppose- rons qu'on ait Er. Nous ferons #,—1, et nous néglige- rons N'. On a, dans cette hypothèse, 4T4A 3 M; B=—-0; DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 50 et en résolvant les équations (17), on trouve CN PL PE PA Là 3 +p° 7 ARE jump) 4m p 3 SD 3+p° , 2 Thpr_m"p np 3 3+p° 9 où l'on a fait, pour abréger, dk SN —p. Au moyen de ces valeurs, les formules du n° 91 deviennent REX [CR p — 3m") + (mp + 3 my], 3a° 1 2 37° 2 1192 VV + [On p —3 m (2) 3 (0° p + 3m |; 3 a° 771 1 NZ ! " z ET AR RG [Ce pP+3m )(1 =) 3(m'p—3m | : X,, Y,,Z,, étant les valeurs de X » Ÿ,Z, qui auraient lieu dans le cas de la sphère immobile. Maintenant supposons que la sphère soitentièrement pleine, son rayon &, la matière dont elle est formée et sa vitesse, restant les mêmes, et par conséquent aussi la quantité p-On aura toujours _ ÿ. du m, B—o. En faisant b—0 dans les équations (17), et observant qu'on 1823. 64 506 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE suppose 4, — 1 et N'=—0, on en déduit Ad A'=m'+pm", LE arm" — pm'; les formules du n° 21 deviendront donc Or, en comparant ces valeurs de X, Ÿ , Z,aux précédentes, on voit que les actions exercées sur un même point , par les deux sphtres , formées de fer, du même diamètre, tournant avec la même vitesse, l’une pleine et l’autre creuse, seront très- différentes en grandeur et en direction, tandis qu’elles seraient égales si les deux sphères étaient en repos. Ce résultat remar- quable aurait également lieu pour deux sphères creuses dont les épaisseurs différeraient sensiblement : les déviations qu'elles feraient éprouver à la même aiguille, pendant leur rotation , différeraient aussi; et c’est un point de théorie qu'il serait important de vérifier par l'observation directe. $ IV. Application à une plaque homogène, tournant uniformé- ment sur elle-méme. (25) Nous supposerons l'axe de rotation vertical ; les deux faces de la plaque seront planes et horizontales; nous re- ; EE DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 507 garderons ses bords comme assez éloignés des points sur lesquels elle agit, pour que leur influence mutuelle soit insensible ; et nous traiterons, en conséquence ; son diamètre comme infini. La détermination de l’action des bords, sur- tout à cause de leurs arêtes, présente des difficultés d’ana- lyse qui peuvent se rencontrer dans d’autres questions , et dont nous renverrons l'examen spécial à un autre Mémoire. Nous désignerons par 20, l'épaisseur constante de la plaque ou la distance mutuelle de ses deux bases, et par # la vitesse angulaire, aussi constante, de son mouvement de rotation. Nous placerons l'origine des coordonnées rectan- gulaires que comprennent les formules générales, sur l'axe de rotation, à égale distance des deux bases ; l’axe des x positives sera vertical et dirigé de bas en haut; le plan de æ, z, coïncidera avec le méridien magnétique ; l'axe des z po- sitives sera dirigé vers le sud, et celui des y positives, de ma- nière que les points de la plaque, pendant leur rotation, aillent du premier au second axe. Nous appellerons r la per- pendiculaire abaissée du point M de la plaque dont les coor- données sont æ,7,2, sur l’axe des x ; avant que le mou- vement ait commencé, nous représenterons par & l'angle compris entre cette droite et une parallèle à l'axe des z po- sitives ; au bout du temps quelconque #, cet angle deviendra nt + u par l'effet de la rotation, et les coordonnées horizon- tales y et z de ce point M auront pour valeurs : y=rsin.(nt+u), z=rcos.(ni+u). Soit M' un point appartenant à l'une des deux faces de la plaque; x',r',2', ses trois coordonnées rectangulaires, et 7’ et u' les valeurs de r et w qui s’y rapportent. Sa distance & au 64. 508 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE point quelconque M de la plaque, qui entre dans l'expres- sion de la quantité Q (n° 16), ne dépendra pas du temps t, et la valeur de son carré sera g—(x—x') +r°—02rr'cos.(u—u')+r*. Il s'agira, d’après cela ,de former l'intégrale que Q représente, et de la substituer dans l'équation (14); mais auparavant nous conviendrons, afin de simplifier les notations, de faire gé- néralement : ï (E+r'+r—orr'cos.v) 2—=f(t,r,r, cos.v), en sorte que f indique une fonction indépendante du signe de £, symétrique par rapport à r et r’, et dont la valeur sera toujours positive. (26) Pour tous les points des deux bases de la plaque, on aura z'= ED, COS TT, cos s— 6, co$.5 —0, dur dr 48 les signes supérieurs ayant lieu pour la face supérieure, et les signes inférieurs pour la face inférieure. Pour chacune de ces deux surfaces planes et indéfinies, l'intégrale double devra être prise depuis r'—0 et #'—o jusqu'à r'—® etu'—2#+; et puisque l’on fait abstraction des bords de la plaque, la valeur de Q résultant de l'équation (13) sera @ or —— sinus > unes el do’ Q=f f (re x, r,r,COS.(u—u')] (Æ) pirate erfér])raré get DU MAGNÉTISME/EN MOUVEMENT. 509 Ho JC % do! . ! L4 | dd?’ en désignant par ( an) et == les valeurs de Je dans lesquelles on fera, après les différentiations, x'— 4 pour avoir do : do’ rs et æ'=— à pour obtenir [Æ] Ê Si lon, substitue cette valeur de Q dans l'équation (14), et que l'on différentie ensuite par rapport à x, sous les signes d'intégrations qui sont relatifs à r',w' et 6, on aura do t aY. 4rkdp\ À ee fr Ce AXE pe 6) dt 0; (a) où l’on a fait, pour abréger, Ke f PAG; r,C0s. (4—u')](b—x) (CE) | (ë) +f°[8 +a,rr' cos. (u—u')](b+x) [a] pre au on se souviendra que cette quantité X devra répondre à {—4, aussi bien que V, et o.. A la limite où l’on suppose l’épais- seur de la plaque infiniment petite, X conserve une valeur finie que l’on peut déterminer, comme on va le voir, sans connaître celle de la fonction o. (27) En ayant égard aux facteurs 2x et b + æ, compris sous le signe ff et qui sont infiniment petits dans cette hy- pothèse, il est évident que cette intégrale double X n'aura de valeurs finies que pour celles des variables 7’ et w' qui rendront infinie la fonction Jf, C'est-à-dire, pour des valeurs de r' et 4’ infiniment peu différentes de r et . Il suffira donc d'étendre les intégrations à des valeurs de r'=r et u'—4, 510 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE positives ou négatives, mais infiniment petites; par consé- dg quent dans toute leur étendue, les quantités GE) et [ 7] pourront être regardées comme constantes et égales à G) do et É =] qui répondent à »'—7r et '—u. Ainsi nous aurons d'abord, en remettant pour la fonction f, ce qu’elle repré- sente : == ee . (b—x)r' dr' du’ dæ —xŸÿ +r—orrcos.(& —u)+r?]> [7] rare (b+x)r'dr'du! [(b+x) +7°— arr! cos.(u’ y) Lr] Mais maintenant les coëfficients de dr’ du’ sous les signes Î] étant infiniment petits dès que l’une des différences 7 —r ou u'—u aura acquis une grandeur finie, il en résulte que sans changer les valeurs de ces intégrales, on peut y com- prendre des valeurs de 7’ et 4’ qui différeront sensiblement deretu, et rétablir, si l’on veut, leurs limites primitives r'— 0 etr —,u'—o et u' —27r. Cela étant, si l’on fait u'—=u +, 1du—=dv, les limites relatives à v seront toujours v—o et v—27; et en désignant par « une constante positive , qui représentera b—x ou b+x, on trouvera par les regles ordinaires : ©. 27 T EE J f 1 or'dr'dv “ne Vo Er dv 8 Tire 2 2 a F 3 w r° sin? o 0 [o+77+7"—2rr0cos. v]> o hi ’ . ON . . ‘ I On peut réduire ces dernières limites à v—o et 2—:7+, me te RENE DU MAGNÉTISMÉ EN MOUVEMENT. 5r1 _ pourvu que l'on quadruple le résultat de l'intégration ; fai- sant ensuite dz tang. v— 7%, dv— Ter? les limites relatives à la nouvelle variable seront z—0 et z— , et l'on aura eat 27: dard = . OL/o Er + 72 dz 00 Tor rt simv J. dt aisés 4 Dans l'hypothèse d'une épaisseur infiniment petite, nous aurons donc X=ar (a) +20: © et au moyen de ce résultat, nous pourrons, dans la même CE] L { #4 D) Lan A . supposition, résoudre l'équation (4) de la manière suivante. (28) Faisons successivement, dans cette équation, x —b etæ——b, et prenons la somme et le différence: des résul- tats. Soit, pour abréger, Ge) [Ale * GIE d et,en outre, FE: & FE U)di = a (RAD Gode et [1] étant LS ji Y qui répondent à æ—Ù 512 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE et.æ——b; nous aurons Vé+Vi—=— if Jef" (ét)d0, V'é+w't— gif V'Of'(E—0)d0. Ces deux équations sont de la même forme, et les incon- nues bé et 4’é y sontséparées; il suffira donc d’en considérer une seule; la première, par exemple, dans laquelle nous met- “ k L4 . “ 14 trons a à la place de —. en sorte que l'équation à résou- dre sera ë yes yi= af qof(e—t)dt. (d) En négligeant d’abord son second membre, on a LE —VYé. Faisons ensuite Vi—wt+0%e, et négligeons 4 4 dans ce même second membre ; nous aurons t Spt—al Ywof'(t—0)d. o Soit encore t y: syt= af Yof'(t—0)d0+ 5,ÿt; Oo en substituant la valeur correspondante de 4 £ dans le pre- mier membre de l'équation (d), et négligeant à, # dans son second membre, on en conclura DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. 513 dt — ef (vero) repas Si l'on ajoute un nouveau terme ,ÿ£ à cette valeur appro- chée de à,4£, et que l’on forme la valeur approchée de à,4£, en négligeant cette quantité dans le second membre de l'équa- tion (d), on trouvera NTE MONO ICT OO AO DTA di. En continuant ainsi, et prenant la somme des valeurs appro- chées de 4,94, SV, 3,Vt, etc., on aura en série infinie la valeur de Ÿ £ qui satisfait à l'équation (d), savoir : peer af were f(['vér ee ar) rev À (e) DR: LM + & Cf we ft —c')dte" )f'(6—1)dt )f'(t—6)d6 — etc. | TANT: MP (—E)de) f'(E—0) On en déduira la valeur de 4'#, en y changeant Y en Y”’, et | mettant ee à la place de a. Les valeurs de ÿé et y’£ subsisteront dès que le mouve- ment de la plaque aura commencé, et pour des valeurs de £ aussi petites qu'on voudra. Dans les premiers moments de sa rotation , la plaque acquerra un degré d’aimantation sen- sible, qui variera très-rapidement en même temps que la fonction ft. La durée de cet état initial sera très-courte (n°9); et pendant cet intervalle de temps, nous regarderons comme insensibles, les vitesses communiquées par la plaque aux 1823. 65 514 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE points extérieurs sur lesquels elle agit, ainsi que les dépla- cements qu’elle leur fait éprouver. C’est pourquoi nous ferons abstraction, comme dans le cas d’une sphère tournante (n°20), de tout ce qui se passe dans les premiers instants du mouve- ment; et nous allons chercher ce que devient la formule pré:- cédente, pour une valeur sensible de £ qui rend ft cons- tante, et par conséquent f”# nulle. (29) Désignons à cette époque par I{£ la valeur donnée de Y t. Puisque la variable 2 a acquis une grandeur sensible, il faudra ne donner à 84, dans le second terme de la formu- le (e), que de pareilles valeurs, telles que &—6soit insensible, sans quoi le facteur f" (£—6) serait insensible ou nul. On y mettra donc I16 à la place de Y 6; alors cette fonction ne va- riant plus très-rapidement, on pourra la développer suivant les puissances de £—6, ce qui donnera dTl 4 YO —(6—6) a (é—0y LE eve. À cause que f(t—0) est nulle à la limite 6—#, on aura u [FUN =; o q étant la valeur constante de ff, relative à la matière et à la t température de la plaque. Les intégrales f. (t—0) f'(t—06)d0, Lo t À (é—6Yf"(t—0) dé, etc., auront aussi des valeurs indé- Le) pendantes de #, et les mêmes que si on les prenait depuis t—6Ü— jusqu'à é—6—o. Si donc on fait é—6—x, DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 515 dé——dx, et généralement 2 ’ ; es æ'f'xdx=q, : étant un nombre entier quelconque, on aura £ CAUE d* II f WOf'(t—0)dé—=qnté—g, _ + — etc. Oo Par conséquent le second terme de la série (e) sera aNITÉ, - en faisant, pour abréger, d°II4 dTIt 2 de sa 93 de. + etc. —=vIlIé. aTIt QUE 7 104 Si l’on passe actuellement au troisième terme de cette ‘série, on voit d’abord que # ayantune valeur sensible, il faut qu'il en soit de même à l'égard de 6, pour que f'(t—6) ne soit pas nulle, et par suite à l'égard de #’, afin que f'(0— +") ne s'évanouisse pas. On, aura donc, d’après l'équation que l'on vient de trouver, Feat f Ye f'(6—t)dé —vns; Lo) et si l’on convient de désigner par v’Ilf,ce que devient vIT# quand on y met vITé à la place de H#, on en conclura LL vere — t)de)J'(t—t)di= vus; 65. 516 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE et, par conséquent , — @°V'Ilé, pour le troisième terme de la série (e). ; Examinons encore le quatrième terme de cette série. Il fau- dra que 4 ne reçoive que des valeurs sensibles et très-peu diffé- rentes de é; il en sera de même à l'égard de t’ par rapport à 6, et ensuite, à l'égard de #” par rapport à #’. On aura donc successivement : t' LÀ ve" f'(t—tdt"=vn#, Le] : (Ci ep )dr) Ed = ms, LÉ vera) pe nae) pe-navur et le quatrième terme de la série (e) sera a V'Ilé, en convenant de représenter par V'IL£, ce que devient v’Ilé, lorsqu'on y remplace 11€ par VIE, ou VIL#, quand on y met v'Ilé au lieu de cette même fonction Ir£. Sans aller plus loin, nous voyons que pour des valeurs sensibles de #, l'équation (e) prendra la forme : dé——TIé + ayVIIé— a V'ITÉ + a V'IIé — etc. Quant à la fonction 1r£ qu'elle renferme, elle se déduira de Y£en y supposant que f ait acquis une grandeur sensi- ble, Or, si l’on développe V, suivant les puissances de £ — 6, DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. br ce qui donne 2V —— — elc., PAU d V.—=V— EE 2 (Es) 6 L L4 V et que l’on représente par F# la somme des valeurs de eY dx qui répondent à æ—b et x——b, on en conclura nef (CE +- [SE Dr'e—ndi=vre. . La formule précédente se changera donc en celle-ci : dé=—vFéi+avFt—a vFi+ av'Ft—etc., dont on ne devra toutefois faire usage que quand elle for- mera une série convergente. (30) Nous pouvons ordonner ses termes suivant les diffé- rentielles croissantes de F£. En effet, nous avons d’abord dFt d'Ft d' Fi d*Ft VF QFi—q + qe — Qi + Qi — EC; “en mettant yF£ à la place de F£, il vient dF dF dE vFéqFi—2g,q +(29:9 +Q gr — (29:39 +299) 7 A d‘Fé + (2919 +2q:q.+ qi) —etc.; par la même substitution , on obtient 3 ,4Ft 4 > , xd F7 ; BF V'FE=gFi—Sgg 7 + (99,9 +99) —(39:q +6q,9.9+q) ds F£ + (3919 +6q:q.q+3q.9) 7 — etc.; 518 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE et ainsi de suite. La loi de formation des quantités vF£, vEe, v'Fé, etc., n’est pas diflicile à saisir : le coëfficient de —— = dans v”F# se compose de tous les produits de z’ LE Yr23 G:1Qs3 etc, dans lesquels la somme des indices inférieurs est égale à :; chaque produit étant répété autant de fois que ses facteurs peuvent subir de RO différentes. Ainsi, par exemple, le coëfficient de ©! dans v Fése compose ue de tous les produits de trois facteurs dans lesquels la somme des indices est égale à quatre : le produit 9,9, q s'y trouve répété six fois, parce que ses facteurs inégaux peuvent subir six permutations différentes; et le produit g,g° n’y entre que trois fois, parce que ses facteurs ne sont susceptibles que de ce nombre de permutations différentes, à cause de l'égalité de deux d’entre eux. Or, en substituant les valeurs de ces quantités v F£,v°F£, etc., dans l'expression de ÿ#, ontrouve RP LINE d'Fé 1+-aq ZE PE TLE COPIES etc.) (f) où l'on a fait, pour abréger : SERRES 1+ag rl SATA es PURE 1 +aq (1 +ag} 20 VE — 2079762 RENE 1itag (i+ag) (G+ag) d qu __a(agrgi+qn) , Sa'guqr GG AMER 2 3 NT PRE 1 +ag (1 + ag) (1+ag) (1 +ag) etc. ; et la loi de formation de ces coëfficients k,, L,, L,, etc., est DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 519 facile à déduire de celle des quantités vF 4, v°Fé, Fe F£,'etc., que nous venons d'indiquer. Les expressions numériqués de ces coëfficients dépendént de l'unité de temps que l’on choisit; mais en faisant atten- tion aux intégrales que q,, Q; 4: fc., représentent, il est aisé de voir que si l'on multiplie 2,,2,, A, etc., par les puis- sances d’une vitesse angulaire, marquées par leurs indices respectifs , les produits seront des nombres abstraits, indé- pendants de toute unité particulière. Par les différentiations de la fonction F£, les termes de la série ( f) acquierent ef- fectivement pour facteurs, ces puissances de la vitesse'» de la plaque. Gette série séra donc d'autant plus convergente que les nombres 7 h,, n°h,,n°h,,etc., décroîtront plus ra- pidement. Les expériences que l'on a faites sur les plaques de cuivre, montrent que leurs principaux effets magnétiques ne dépendent que des deux ou trois premieres-puissances de la vitesse, lors même que la plaque tourne ‘avec une très- grande rapidité; cela indique que dans cette matière, les nombres dont il est question sont très-décroissants : il est naturel de penser que la même chose a lieu dans les autres substances, qui ne deviennent magnétiques comme le cuivre, que sous l'influence de forces variables; lors donc que la plaque tournante sera formée de ces sortes de matières , nous admettrons la convergence de Ja série (f), du moins pour des vitesses du même ordre que celles dont les physiciens ont fait usage dans leurs expériences. Mais s’il s’agit d’une plaque de fer, et qu'on fasse 4 — __ r pour que la série (f'} exprime 4'£ (n° 28), la quantité 1 + ag deviendra 1—Æ,, k, étant la même constante que dans le 520 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE n° 21, laquelle est à tres-peu près égale à l'unité; cette quan- tité 1 + ag sera donc presque nulle ,ce qui rendra la série (#) divergente. On ne devra donc plus s'en servir; et pour appliquer nos formules générales à une plaque de fer, il faudra résoudre l'équation (4) d’une autre maniere. C’est ce que nous pourrons faire dans une autre occasion ; mais main- tenant il ne sera plus question que de plaques de cuivre, ou de matières analogues, tournant avec des vitesses qui ne ren- dent pas la série ( f) divergente. (31) Lorsque les forces extérieures qui produisent l'aiman- tation de la plaque sont constantes, la fonction F# l’est aussi, et la série (f) se réduit à son premier terme. C’est donc de ce terme que dépendent les effets magnétiques des plaques aimantées par l'influence de forces invariables ; par consé- quent on pourra le supprimer comme étant insensible dans les substances que nous voulons considérer, et réduire en même temps la quantité 1 4.4 g à l'unité dans les équations précédentes. Cela étant, faisons ATk 3 Qi D; et généralement AT À 73 dix " —P: ; Ét / . AR k : multiplions les équations précédentes par Es puis met- tons-y successivement à la place de & ses valeurs Se et sie qui répondent à ÿé et V'#; soit dans le premier cas: P:—2P =P£:; \ P:—hp,p+Ap°=p£;; @ Pi—4p,p—2p°+192p.p—8p=pg, |} EC DU MAGNETISME EN MOUVEMENT. bar et dans le second : P:+P'=P£"» P:+2p.p+p'=p£'; (2) P:+2p,p +p°+5p.p +p=p£'s etc. ; on conclura de l'équation (f) : Has 3p [dFt dFé dFt d‘F?r t ) ÿ Trad rar TB m8: ga + etc. ), r,_ 3p fdF't , d°F'e , d'F'e , di F't Na mé amies an à it) en supposant qu’on ait CA" dV : dV av » 0 )+lalere D-[=re 7e . CAM CA av et désignant toujours par (7) et [ Z les valeurs de qui répondent à x—b et x—— 4, Si les coëfficients 1,g,,g,,g:, ete.,et 1 on PRE EC: ; _ forment deux progressions géométriques, et que l'on repré- sente le rapport d’un terme à celui qui le précède, par g dans la première progression et par g’ dans la seconde, les valeurs de 4 et 4'£ seront la même chose que: co ee 3p dF(t—gz) éd 4% 4 . dé (z) Le] 4 RATER SIEN TES p' 2e SP AU) =) di; 4% ; dt 1823. 66 522 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE e désignant la base de logarithmes népériens : c'est ce qu'on vérifiera sans peine, soit par des intégrations par parties, soit en développant suivant les puissances de g et g', et effectuant ensuite les intégrations relatives à z. Mais quelles que soient les quantités g,,g,, etc., g”,,g'., etc., nous pour- rons toujours employer ces formules pour exprimer d'une manière simple, les valeurs de ÿ# et J’t, pourvu que l’on couvienne de remplacer dans leurs développements selon les puissances de g et g', les puissances quelconques g" et g'”, par g, et g',, c'est-à-dire, les exposants des indéterminées g et g' par des indices inférieurs qui leur soient égaux. Ces expressions seront surtout utiles , pour faciliter les intégra- tions dans lesquelles 4 # et 4’ se trouveront engagées, lors- qu'elles pourront s'effectuer sans donner des valeurs parti- culière$ à g et g'; ce qui permettra de ne développer les résultats suivant les puissances de g et g”, et de n’y rem- placer les exposants par des indices inférieurs, qu'après ces intégrations. (32) Ces valeurs de 4£et 4’£ et l'équation (c) dont elles dérivent, ne seront exactes qu'a la limite où l'épaisseur de la plaque serait infiniment petite : dans la réalité , cette épais- seur ne pourra être que très-petite, et ces valeurs ne seront qu'approchées. Si l’on en veut calculer de plus exactes, on ajoutera aux formules (z:), de nouveaux termes 4,# et 4"; puis on substituera dans l'équation (b), les valeurs de (TE) dx Lo’ D ; TE . et [| qui en résulteront. La partie de X qui répondra à ces nouveaux termes, pourra se calculer dans l'hypothèse d'une épaisseur infiniment petite; on la trouvera , par l’ana- lyse du n° 27, égale à 2r4,t; et la seconde valeur appro- DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 523 chée de X, sera de la forme : X—927rV't+X,, X, étant une quantité connue. Au moyen de cette valeur et de l'équation (a), on déterminera les inconnues 4, £ et 4'#; d’où l’on conclura une troisième valeur approchée de X, et ensuite denouveaux termes 4, # et bé à ajouter aux formu- les (7). En continuant ainsi, on obtiendra, par la méthode des approximations successives, des valeurs de 4£et V'£, expri- mées par des séries dont les premiers termes seront les formu- les (2), et les autres auront pour facteurs, les puissances D, L*, b?, etc., indépendamment de la quantité à que renfermeront Féet F'é6, c’est-à-dire, par des séries telles que yé—A+bA,+bA,+DbA,+etc., V'é—AÀA'+bA,+bA;+ DA, + etc.; A,A,,A,,etc., A’, A;,A,,etc., étant des quantités connues qui renfermeront la demi-épaisseur ? , provenant des valeurs données de F'£et F#. Les premiers termes A et A’ sont les seconds membres des équations (2). J'ai aussi formé les seconds termes Ÿ À, et bA ;'; mais je n’en donne point ici les expressions à cause de leur complication, et de la longueur des calculs qu'il fau- drait faire pour les réduire en nombres dans chaque cas particulier. Il convient toutefois d'observer que le coëfti- cient À ,' s'évanouit comme A’, quand —0, en sorte qu'en s'en tenant au premier terme de la valeur de 4'#, la partie négligée a b* pour facteur, tandis qu’en s'arrétant au pre- mier terme de la valeur de 4, la partie négligée a seule- ent pour facteur la première puissance de l'épaisseur. 66 524 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE (33) Supposons maintenant qu'il s'agisse de déterminer l’action de la plaque tournante que nous considérons, sur un système de particules magnétiques, situées en dehors et données de position. Soit U la somme de ces particules, positives ou négatives, divisées par leurs distances respec- tives au point de la plaque dont les coordonnées sont x, y, z, ou qui répond aux trois variables x, r et w. Cette quantité U ne serait autre chose que la fonction V, si ces particules étaient les centres des forces extérieures qui ont produit l’ai- mantation de la plaque, et qu'il füt question de calculer la réaction qu’elles en éprouvent. Dans tous les cas, U sera une fonction donnée de x, r et u; et nous représenterons par U, et U,, ses valeurs relatives à x — b et x——b, ou aux deux faces de la plaque. D'après ce qu’on a vu précédemment (n° 26), la quantité Q donnée par l’équation (13), et relative aux points extérieurs, aura pour expression : Q2 JC (62) =u0. [2] rardu, ou, ce qui est la même chose, ff G+trtrardus ff @-U) Jens Comme la différence U, —U, s’évanouit avec b, il en résulte qu’en substituant dans cette formule, les valeurs de 4 # et ÿ’€ auxquelles nous nous sommes arrêtés et qui sont données par les équations (£), la partie négligée dans chacune des deux intégrales dont elle se compose, aura pour facteur le carré de à. La substitution faite, on aura DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 525 [ee] oO 27% d Th à Q=sE funfrafe aftie UE ES (@) + (0 U,) ED] 6 dzdrdu. Si», h',h", sont les trois coordonnées parallèles aux axes des x, y, z, de l’un des points extérieurs, les trois compo- santes parallèles aux mêmes axes, de l'action de la plaque sur ce point, seront, d’après les équations (3) : Lu Ati OT 2 dh ? dh'? dh"? en ne faisant varier, suivant la remarque du n° 17, que les h,kh', h", qui entreront dans U, et U,. Soit / la perpendi- culaire abaissée du même point sur l'axe des x, et 4 l'angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des z, z, de sorte qu’on ait h'—lTsin.4, k"—JZcos.y. Si l’on remplace ces coordonnées horizontales #' et 2”, par les variables / et 4, on aura dQ_WdQ 4Q, 4Q lis 2 4. PAST CIC TE Dore ah"? d’où l’on peut conclure que les composantes horizontales seront aussi dQ 4Q. DE PRET É la première tendant à augmenter la distance /, et la seconde l'angle y. Le moment de l’action A2 la RAR sur le même point , rapporté à son axe de rotation, sera — SR ne 526 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE On ne pourra faire usage de ces formules, que quand la plaque sera formée de cuivre, ou de toute autre matière très- peu susceptible d'aimantation sous l'influence de forces cons- tantes; que son épaisseur sera tres-petite, soit par rapport à son diamètre, soit relativement aux distances à son plan, des centres de forces extérieures et des points sur lesquels elle réagit; et qu'enfin , ces différents points seront assez éloi- gnés des bords de la plaque, pour que l'influence des bords soit insensible. $. IL. Action d'une plaque tournante sur une aiguille parallele. (34) Supposons qu'on: ait placé au-dessus de la plaque que nous venons de considérer, une aiguille horizontale aimantée de manière que la distribution des deux fluides y soit permanente, et ne puisse être changée par l’action résul- tante de la rotation de la plaque. Nous regarderons le fluide libre comme concentré à chacun de ses pôles ; supposition qui n’est pas rigoureusement exacte, mais dont on dimi- nuera l'erreur en prenant, pour chaque pôle, le centre d'inertie de la portion de fluide que lon y réunit. En calculant dans cette hypothèse l’action et la réaction de l'aiguille et de la plaque, l'erreur que l'on commettra sera du même ordre de grandeur que le carré de la petite portion d’aiguille sur laquelle s'étend le fluide libre, divisé par le carré de sa dis- tance à la plaque ; ainsi pour l'exactitude des calculs, il faudra que cette distance soit toujours très-grande, eu égard à celle de chaque pôle à l'extrémité correspondante de l'aiguille. Nous supposerons aussi les deux pôles également éloignés on DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 527 du point de suspension de l'aiguille, etce point situé dans le prolongement de l’axe de rotatién dela plaque, ce qui rendra possibles sous forme finie, les intégrations relatives à 7 ét w, indiquées dans les formules dont nous allons faire l’appli- cation. f} à Cela posé, les axes des coordonnées étant les mêmes que précédemment, désignons par X la hauteur de l'aiguille au-des- sus du plan des y, z;'par / la distance de chacun de ses pôles à son point de suspension , ou à peu près sa demi-longueur'; par y la quantité de fluide boréal réunie à son pôle sud, et conséquemment par —4 la quantité de fluide austral con- centrée à son pôle nord; par 4 l'angle compris au bout du temps {, entre la partie de l'aiguille qui aboutit au premier pôle, etune droite menée par son point de suspensionsuivant la direction des z positives; par conséquent, par ++ l'angle compris au même instant, entre cette droite et la partie de l'aiguille qui aboutit au pôle nord. Le carré de la distance du pôle sud au point M de la plaque qui répond aux coordonnées x, r et 4, aura pour expression : (h—x) +l°— orlcos.(nt+u—4)#+7r; le carré de la distance du pôle nord au même point, s’en déduira en y mettant 4 + r à la place de 4; si donc nous conservons la notation du n° 25, et que nous fassions, ni+u—ÿ=), la fonction V relative à ces deux centres de forces sera V=gf(h—x;r,l,cos.v) —yf(h—x,r,l,—cos. v). Les points de la plaque seront, en outre, soumis à l'in- 528 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE fluence du magnétisme terrestre; mais nous ferons abstrac- tion des termes de V qui en résulteraient, parce qu'ils dis- paraîtraient, comme il est aisé de s’en assurer, dans les diffe- rences partielles de la quantité Q , d’où dépend l’action éxté- rieure de la plaque; ce qui tient à ce que nous avons sup- posé son diamètre infini, et n'aurait plus lieu si l'on voulait avoir égard à l’influence de ses bords. Nous supposerons qu'aucune autre force n’agisse sur la plaque,et qu’il soit ques- tion de déterminer sa réaction sur les deux pôles de l'aiguille, auquel cas les deux fonctions U et V auront la même valeur. (35) Designons encore par 1° le moment d'inertie de l’ai- guille, rapporté à l'axe vertical passant par son point de suspension. Lorsqu'elle ne sera soumise qu'a l’action de la terre, on aura pen —— 2m p.l sin.Ÿ, pour l'équation de son mouvement horizontal ; rm étant une constante positive, telle que le produit my soit, abstraction faite du signe, la composante horizontale de cette action sur chacun des deux pôles. En appelant 0 la durée de cha- sune des petites oscillations de l'aiguille, de part et d'autre du méridien magnétique, on en conclura, d’après la théorie ordinaire du pendule, Tue 2 u — PTE La valeur de 8 fera donc seulement connaître le produit my; la valeur de y se déduira de la déviation que l'aiguille hori- sontale ferait éprouver à une autre aiguille, située dans son voisinage et soumise à l’action de la terre. DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 529 Imaginons, par exemple, qu’on ait uné aiguille d'incli- naison , située dans le plan du méridien magnétique; pla- çons au-dessous et dans le même plan, l'aiguille horizontale que nous considérons ; supposons que par son action opposée à celle de la terre, elle ramène l'aiguille d’inclinaison à la direction verticale, et qu'alors les deux pôles de celle-ci, et le pôle sud de l'aiguille horizontale, soient dans une même droite verticale. Appelons L, la distance de chaque pôle de l'aiguille d'inclinaisôn à son point de suspension, et €, la distance de son pôle inférieur au pôle contraire, ou au pôle sud de Yaiguille horizontale : on formera aisément l'équation d'équilibre de l'autre aiguille dans sa direction verticale; quelle que soit son intensité magnétique, on trouvera I I I I 2m LE te (c, + 1) Ces Si) @, LD NE "TE er: 47 hi Ce, +2. Œ 21,ÿ 7) ‘On tirera de là #w—2m c*; = c étant une ligne d'une longueur connue: par conséquent on aura Ju TR: AAC Dans chaque cas particulier, les constantes D, n, RSTLNN, ce et 6 devront être données en nombres ; et il s’agira de cal- culer tous les effets produits sur l'aiguille horizontale par la réaction de la plaque tournante, en employant , toutefois, la grandeur observée d’un ou plusieurs de ces effets, pour dé- terminer les valeurs des quantités p, p,,p,, etc. (n° 31), rela- tives à la matière et à.Ja température\de la plaque, dont ils dépendront. nee (Up 1823. Eight 67 530 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE (36) Si l’on appelle P l’action verticale de la plaque sur les deux pôles de l'aiguille; qui ont, an ce sens , la même ordonnée À, on aura dQ RO Ce sera la diminution ou l'augmentation apparente du poids de l'aiguille, selon que cette valeur de P sera positive ou négative. De même, en désignant par Y la somme des moments Le forces provenant de l’action de la plaque , qui tendent à faire tourner l'aiguille autour de l'axe vertical mené par son point de suspension, et à augmenter l'angle 4, nous aurons d4Q VS * Par conséquent l'équation complète de son mouvement ho- rizontal , sera d? À _ —— 2m y. l sin. & + w. (l) Il s'agira donc de former les valeurs de P et Y d’après celle de Q qui est donnée par l'équation (4);et comme on ne doit différentier que par rapport aux variables À et 4 qui sont comprises dans U, et U, on aura EE ON pe DE) FU —8'?) DE Te) F(e—g2)] rdrdu)e— V2 | (oe] Le] 3) (re) M NN TE Te )F(—g2)] rdrdu)e”dz. DU MAGNÉTISME: EN MOUVEMENT. 531 Quoique nous ayons fait passer en dehors des signes de la différentiation. relative à #, il faudra cependant, ne pas faire varier le temps qui entre dans U, et U,; c’est pourquoi, nous le désignerons par #’, avant cette différentiation, de sorte que U, et U, seront les valeurs de V qui répondent à x— etæ——b, et l'une et l'autre à {—1". D’après ce que représentent F£ et F’£(n°31), nous aurons di HU 1e ANAL ES Abo nn ah eR es LL En faisant usage de la valeur de V, il vient F£é—p(h—Db)[ fa —0b;,r,l,cos. v) —f(h—b,r,l, — cos.v)] +u(k+b)LP (RH D,r,l cos.v)—f(h+B,7,1,—cos.v)]|, F'é=p(h—0)[f(h—b,r,l,cos.v) —f(h— b,r,l, =cos:v)] —p@(A + b)[ '(h+ Dr,l, cos. v)—F'(h + b,r,l, —cos.v)], D —=grisin.v'|f%(k=b;,r,l,cosv') SDPET ENTER ENNTE T7 =vprlsin.v'| f#(h+bir;l;cos.v')+f(h4+b;,r,l,cos.v')|; v' étant ce que devient l'angle v quand on y change t en #’. Au moyen de ces différentes valeurs, on peut effectuer les intégrations relatives à r et w qui sont indiquées dans les équations (2). | (37) Pour cela, soit généralement LU fit, kkrdrd ; A rene rmeen "0 0/0 [+747 : e + 247 —orlcos(u#+0))(K74+7 + 7— 2rlcos.(u + w'))] [ 0 3 klrèsin. (4 8) drdu CCE o [A+ ZHr— 2rlcos.(u+0)) (4° +7 + r°— 2r1c0s: @+w)]> 67. 532 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE k, k',1, w et w' étant des quantités indépendantes de r et u. En prenant »—b et k+ d pour k et k', et des valeurs con- venables pour les angles © et v’, l'intégrale relative à r et w comprise dans la première équation ("”), se composera de parties telles que : CA) — CASA) CRE) — 6 (KE); et celle que renferme la seconde équation (m), de parties telles que : PCA) —9' (FA), PCA A) — 9 (KP). Faisons d’abord | u+:(o+o)=u, du=du'; nous aurons cos. (4 + w)— cos. cos. +(w— w')—sin.w'sin?(o —w), cos. (4 + w')—= cos. u'Ccos.+(o—w") + sin.w’sin.+(o —«'); et les limites relatives à w’ seront toujours w'—0 et u'—2#. Soit ensuite FADUEEY, POST, et, pour abréger, sin. =(o6—w')—x, lcos. L(o6—w")—= «'; nous aurons en même temps rdrdu'=dydy'; les limites relatives aux nouvelles variables y ety'seront ts , et il en résultera DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 533 l JE cr an | (1 tee : a) ++ + aa) + PL" +y"—2ya—ay'x)] à k) ep 1 PRE LANCE 2 SO OR — 00% — co [(4°+ 249249 +aoya—oga)(R+ + +y—2ya—ar x) Mettons yÿ'+ «' à la place de y’; les limites relatives à y' ne changeront pas , et nous aurons plus simplement (4 k >= f L kk'dydy 3 k — 0% — 00 [(4 + a +7 +y Haye) (44e +y + —2ye)] CE PET E LT L OT ANEONIENRE ENS RCI LACS AE PNRPARTEREEEERS der : D — 007 — co [(4+a+y" +7" +aya)(K®+a+y +7 —2ya)] on a supprimé la partie de la seconde intégrale qui con- tiendrait la première puissance de y’ et dont les éléments seraient, deux à deux, égaux et de signes contraires entre les limites y' = +. D’après l'expression de 4 (4, 4’), on voit que la partie de cette intégrale qui répond aux y négatives , sera la même que la partie de 4(4',k) relative aux y positives, et vice versd. On aura donc PCA) = CASE); ce qui fera disparaître dans l'intégrale que contient la pre- mière équation (m), les termes de la forme : 9 (4,4) — @(#,R), et ne laissera subsister que ceux de la forme: 6(4,#)— (4,4), pour lesquels on aura Fdydy' a Je k LS Per = S TES: Ha +y +7") y) 534 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE Dans le cas de #'—}X, nous aurons PAR) = GR) RS CA Re re DE ÉD ue 207 = @ [OF a + Ep) Lay] Cette derniere intégrale est nulle, comme étant composée d'éléments, deux à deux, égaux et de signes contraires entre les limites ÿ— + ; il en résultera donc / , / ’ / k,k Le QUE) 9 (EP) aa) (200 RON, Lorsque les constantes et ' seront différentes, on ne pourra pas obtenir sous forme finie la valeur de l'intégrale o(%,%"); mais si l'on prend, comme il a été dit, k—h—d, K—=h + b, pour les valeurs de Æ et k', et que l'on développe suivant les - puissances de », on obtiendra une série tres-convergente, dont nous ne conserverons que Îles deux premiers termes ; ce qui donnera : FU gp (AE) = — Ur h)—12bau'H, en faisant, pour abréger,. yo id ire Ry dy dr! LCA a + +) Te et supprimant une intégrale dont les élements se détruisent deux à deux entre les limites yÿ= + . La valeur de &'(X,4) DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 535 se déduira de celle de 9’ (k,#4"),en y changeant le signe de b; on aura ensuite PER) QUE) Ep (Rs ha hbac H . (38) La question est ainsi réduite à trouver les valeurs des intégrales 9(4,#) et H, lesquelles deviendront . Krdrdu k,k 0 #(4,8) = Fe [A+ & +) — 4er cos u]> =f bars ?r'cos-udrdu He 2 TUE FR) Au cos 4] en y faisant y=rcos.u, ÿ —=rsinu, dydy —=rdrdu, et observant que les limites relatives à r et u seront r— o et r— @,u—0 et u—27r, comme précédemment. Si nous faisons, pour un moment, k° + re = a’ ; nous aurons RT krdrdu et oo f[ri+2(a—2a"cos"u)r"+a]= Par les règles ordinaires, l'intégration relative à r, et ensuite celle qui répond à z, s'effectuent sous forme finie, et l’on a 42 27% du r #4? Da f aa cos u 24 Ve? 536 . _ MÉMOIRE SUR LA THÉORIE Trh° 2 , 24a3(a°—a°)> ou bien, en remettant pour & et « leurs valeurs, EE) = ©" —, a (4°+ 2 sin” 1(o — w’))? LE ROME ANNE ARTE Li ge a 4 (44 Lsin22 (0) (39) D'après ces valeurs , si nous réunissons les formules relatives aux fonctions + et +’ qui devront servir à former par parties les valeurs des intégrales contenues dans les équations (m), et que nous négligions partout le carré et les puissances supérieures de db, nous aurons ces quatre équa- tions : p(A,4)—@ (fr, #)—= 0, PE PAPA rb 3 PA A) — (4, k = —— El ee) (+ Psin.?2(w—w’)) ? p'(A,47)—9' (4, k)—0, o'(4, k)—o'(k,k')y=— __3r6hl'sin.(u—e) 2(h?+42?sini(u—«’)) vu Cela posé, soient 4',Ë,£', ce que devient 4 quand on y met #',t—gz,t—g'z, à la place de t; prenons successi- vement nt —',nt—4'+7, pour w!'; nt—ngz—#, nt—ng'z—{À", et ces valeurs augmentées de +; pour w;en faisant, pour abréger, nt gr) —E + pay, (tt ga) Et + 07, DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 537 nous trouverons que les équations (77) deviennent : D 3u°bp Cie Fe I (: PRE La) 4 dt}, res R+Tsny CR EE (r DE È (ai 3k° n°3, — > —° (A+ sin? y")* 2 + l’sin. ï CEE h° + cos. Y 1 ( 32° ) = r RS Le ENT (k°+ Poos y)? hit eps°7 y—9%elhpd. … sin. 2 y 15 sin. 2 y 98 Æ3 A LUE QUE NL QE Cr à RL 8 de Lis Psin2))s (a+ Fsm2y)* sin. 27y sin. 2 Y RE + 5e 3 ] et de k° + Lcos? y) k° + Z°cos°y)* t Y Ces résultats pourront s’écrire plus simplement de cette manière : read 2 à GR Fe I He: a | 4 dtdh fn Rd EURE o (4 +/sin*y)s (k°+7°sin7y)> via UT Rd ee 2) he‘ dz, (442 cos) (k+2?cos? y) 7 (x) D ee Ph de Eee Te 2 dtdhdÿ [rs EL ET PEL ER LME o L(k?+ /?sin. DE (k° +1 sin.” y’) * éd ee à seu 4: (242 cosy)? , (+ cos°y)? On se souviendra que l’on doit faire #'—t , après la différen- tiation relative à £; et pour employer ces formules, il faudra les développer suivant les puissances deg et g', que l’on rem- placera ensuite par les quantités g,,g,,8,,etc.,g/,8.;8:,etc. du n°31. 1823. : 68 538 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE (40) Lorsque la direction de l'aiguille aimantée sera telle, si cela est possible, que l’action de la terre et celle de la plaque tournante se fassent équilibre, l'angle 4 sera constant, eten appelant à sa valeur inconnue, on aura VE É—R. En mettant 6 et 6" à la place de £—#' et ÿ'— 5, dans les va- leurs de ; et ;', elles deviendront v—=3(n6—ngz4+6), y'=!i(n6—ng'z+6); les différentiations par rapport à # et 4's’opéreront sur 6 et£’, etaprés les avoir effectuées ,on fera 6—0,6'—0. La valeur deÿ s’obtiendra en égalant à zéro le second membre de l'équa- tion (/) , en sorte que l'on aura 5 3ubp 7 AE x si 1 I SN, d = — + Ércnemersmsse 4m dhd6d6 o (4 +2 sin? y)* (k° +2 sin” y)" eds (4° +27 cosy)» (4° +7 cosy) > Cette valeur de sin.ÿ ne renfermant pas le temps #, ilen résulte que l'équilibre de l'aiguille sera effectivement possi- ble, toutes les fois qu’elle ne surpassera pas l'unité. L’angle ÿ sera, dans cet état, la déviation de l'aiguille à partir du méridien magnétique; et l’on voit que son sinus sera pro- portionnel à la quantité y, ou à l'intensité magnétique de l'aiguille, ce qui tient à ce que cette déviation est l'effet de la réaction de la plaque aimantée par l'influence des pôles de l'aiguille. En déterminant la valeur de 7, au moyen de l'équation sin. ÿ—1, on aura la limite de vitesse au-delà de laquelle l'action de la plaque tournante fera prendre à l'ai- guille un mouvement continu. F DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 539 La condition sin. à < 1 étant remplie, la première équa- tion (2) fera connaître la diminution apparente du poids de l'aiguille dans sa position stationnaire, en y mettant pour y et y leurs valeurs précédentes. En développant, comme il vient d’être dit, les valeurs corresp, ndantes de sin. ÿ et P par rapport à g et g',et effectuant les intégrations relatives à z, la valeur de sin. ÿ se trouvera exprimée par une série or- donnée suivant les puissances impaires de la vitesse n, et celle de P, parune série qui procédera suivant les puissances paires et commencera par le carré. Si l’on s'arrête aux deux premiers termes de la première, et que l’on ne conserve que le premier de la seconde; que d’ailleurs on ait égard aux valeurs de y? et 2my du n° 35, et que l'on substitue pour les puissances g,2°,g',2", les quantités BB L':38 23 du n° 31, on trouve sin JDE [(1 + ( Pr . Nr arr eer 2 2 93 2__J2\25 PE (1 + (AAA) = (p.—:p"}n?. AB +R) Des expériences qui m'ont été communiquées par M. Arago, montrent que le terme proportionnel à la vitesse # dans la valeur de sin. 3, en est la partie principale. La déviation de l'aiguille ayant toujours lieu, d’après l'observation, dans le même sens que le mouvement de la plaque, il faut que ce terme soit positif, et que la quantité p soit par conséquent positive. Relativement aux variations de à dues à celles de la 68. 540 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE vitesse 7, ces expériences sont représentées avec une grande exactitude par les deux premiers termes de la série qui représente sin. à, c’est-à-dire, par une expression de cette forme : sin. ÿ—an—a'n; a et a” étant des quantités positives, indépendantes de », et dont la seconde est peu considérable eu égard à la pre- micre. Cela fait voir combien cette série est rapidement con- vergente, lors même que la vitesse » est très-grande, comme dans ces expériences où la plaque faisait depuis cinq jus- qu'à quinze tours, par seconde. Mais si l'on veut comparer sous d’autres rapports, l'expression du sin.ÿ à l'observation, il ne faudra pas perdre de vue les conditions qu’elles sup- posent, et qui n'étaient pas suffisamment remplies dans les expériences citées : il est nécessaire que les pôles de l'aiguille soient très-éloignés des bords de la plaque ; que à soit très- petit, un ou deux centièmes, par exemple, par rapport à son rayon et à À; et que cette distance soit assez grande relativement à la distance de chaque pôle à l'extrémité cor- respondante de l'aiguille (n° 34). Quant au poids P, on peut s'assurer à priori qu'il sera généralement une tres-petite partie de celui de l'aiguille. En effet , en appelant celui-ci Hi ; désignant par f l'espace qu'un corps pesant parcourrait dans le vide, pendant la durée. 6 d’une oscillation de l'aiguille ; supposant qu’elle soit prisma- tique, et ses dimensions en largeur et épaisseur très-petites par rapport à sa longueur, nous aurons pu MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 54x d'où il résulte que le rapport de P à II aura - pour facteur; quantité qui sera très-petite dans toutes les expériences que l'on pourra faire. Les effets de la force verticale, dont la théorie a indiqué l'existence, ne seront bien sensibles que dans les déviations de l'aiguille d’inclinaison que nous con- sidérerons bientôt. (41) Pour effectuer le développement de la quantité Y suivant les puissances de g etg”; lorsque l'aiguille sera en mouvement, il faudra d’abord développer les fonctions E et E” de é—gzett—g'z qu'elle renferme , ce qui donnera 1 =y— 82H; 78 2 etc, ' dY on 1 dY 2 — — 710 ZT 720 Z etc. Le premier terme du développement de Y sera de la forme : dÿ\. H tee Zi ; H étant une quantité indépendante de t et de ». Les autres termes renfermeront les différentielles de y des ordres su- périeurs ; mais à cause que la série est, en général, très-con- vergente , d'après ce qu'on vient de dire, on pourra calculer la valeur de y en fonction de #, par des approximations suc- cessives et en intégrant seulement des équations du second ordre. Après avoir mis dans l'équation (/) à la place de Y son premier terme, on en déduira une première valeur ap- prochée de ÿ; on la substituera dans le second terme de Y, au moyen duquel et de l'équation (/), on déterminera une 542 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE seconde valeur de 4, que l'on substituera ensuite dans le troisième terme de Y; et ainsi de suite alternativement. Nous nous bornerons à considérer la valeur de Ÿ, dépendante du : ? HAE premier terme de Y , laquelle sera donnée par l'équation : l° 2 > H d LL Eisin.y + Ë RE Ê (o) Quand l'épaisseur de la plaque sera tres-petite par rap- port à la distance de l'aiguille, ainsi que nous l'avons sup- posé jusqu'ici, le coëfficient H sera une quantité connue ; on aura alors ; 2h 272 h° HE TER (a ÈS, (A+) Mais lors même que cette condition ne serait pas remplie, le premier terme du développement de Y aura toujours la même forme , et l'équation (o) subsistera quelle que soit l'épaisseur de la plaque, pourvu que ses bords continuent d’être très-éloignés des pôles de l'aiguille. Dans le cas général, H sera une quantité inconnue que l’on déterminera par la déviation observée de l'aiguille, correspondante à une vitesse donnée de la plaque; l'équation (0) fera ensuite connaître le mouvement de la même aiguille, à la même distance de la même plaque. Supposons, par exemple, que la vitesse de la plaque étant n', la déviation de l'aiguille stationnaire soit 3’; on devra PTS P È : . SC! donc satisfaire à l'équation (0), en faisant à la fois = 0, $—39",n—n'; d'où l'on conclura DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 543 Par conséquent , l'aiguille étant en mouvement, et la plaque tournant avec une vitesse 2, cette équation deviendra ee CS Soit à la déviation de l'aiguille dans sa position d’équili- bre , lorsque la vitesse de la plaque est ? ; supposons qu’on ait écarté l'aiguille un tant soit peu de cette position, et . qu'au bout du temps #, on ait Y—0+e, : étant une variable très-petite dont nous ne conserverons que la premiere puissance : en observant, en outre, que l'équation (p) doit subsister quand :— 0 , nous aurons de m’sin. dde m'cos. à de Ur dt BYE AR Si l’on fait, pour abréger, {) 7° sin. 9 ? COSO—n V” M CAE et que l’on représente par c'et c’ deux constantes arbitraires, l'intégrale complète de cette équation linéaire, sera de r°sin. 9” —e MR (ccos.77 +c'sin.% ); = 08.77 T ); - e étant la base des logarithmes népériens. Pour déterminer ces constantes, nous supposerons qu'on ait ea, = o, quand #—0; la valeur de e à un instant 544 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE quelconque deviendra r° sin. 0” ST ae . Te Pnsm des Té ERA 4 (co 07 20° n° AT : : de À la fin de chaque oscillation , on aura —0 , ou <\ TE SiN.7r —0; les oscillations seront donc isochrones, et 8” sera la durée de chaque oscillation entière. Or, à moins que à n’approche beaucoup de l'angle droit, la valeur de 4’ se réduit à très-peu près à 0 Mort R L il s'ensuit donc que la durée des oscillations n'est pas altérée sensiblement par l’action de la plaque, et qu'elle est la même que si l'aiguille oscillait en vertu de la seule action de la terre, de part et d'autre de la direction qui répond à l’angle à; ce qui est conforme à l'expérience. Il n’en est pas de même à l'égard de leur amplitude : si l'on appelle :., l'amplitude de la demi-oscillation dont le rang est marqué par 22, ou qui s'achève au bout de temps t—10', on aura m°ésin. 0’ . a; —= ae 2n/BV/cs.0? d’où il résulte que les amplitudes successives diminueront continuellement; ce qui est aussi conforme à l'observation. Elles formeront une progression géométrique, dans laquelle les termes décroîtront plus rapidement à mesure que la vi- tesse » de la plaque augmentera et fera croître l'angle 5. Si DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 545 la plaque est.en repos, et que l'aiguille oscille en consé- quence de part et d’ autre du méridien magnétique, on aura d—=0); et { — .409 r° ésin. à a; —ae l 27/0 - y Dans le cas de i— 1, on pourra développer l’exponentielle en série, et s'arrêter au second terme à cause de la petitesse de l'exposant ; il en résultera aT* sin. à’ CET Fm ee , pour la petite différence de la première à la seconde demi- oscillation. On peut déterminer cette diminution, sans supposer très-petit, comme nous l'avons fait, l'angle 4 dont l'aiguille a été écartée du méridien, et en admettant seule- ment qu'elle soit une très-petite partie de cet angle. (42) Pour cela faisons 7—0o dans l'équation (p); multi- plions les deux, membres par 244; puis intégrons de ma- > TE 20 niere qu on ati ie) quand L== 0; nous aurons aÿ 27° sin. ÿ fdÿ*. CT DE (008 4— cos. FE AG pre Tr? l'intégrale à commençant avec é.. Puisqu’on suppose l’éf- 8 q PP fet produit par l’action dé la plaque, tres-peu considérable pendant la première oscillation, on peut, dans une première approximation , négliger le terme qui renferme cette inté- grale : on en conclura alors $ seb : et dt — — 2% T Wa (cos. be a) Dans une sÉeconde approximation, on subétituera cette va- 1823. sr0h ” oi : 69 546 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE leur de dt sous ligne f ; et l'équation précédente deviendra dÿ * (cos. ÿ— COS. a) + 4) ” AR, LE of cos." ÿ— cos. à dY. LT — 4 À la fin de la première oscillation , on aura 4} —0 et4——«,; l'intégrale devra s'étendre depuis ÿ—4 jusqu’à ÿ— —%,, ou depuis ÿ—a« jusqu'à ÿ— —x4, à cause que 2, diffère peu de « par hypothèse; ou bien encore depuis $—o jusqu'a ii 2E ; D JU ÿ—%, en changeant le signe de l'intégrale et la multipliant par 2; par conséquent nous aurons 2T V/2 sin. d’ coshau--€0s. amer rap dy. On’ En résolvant,cette équation par poele Ve et négligeant le carré de son second Se . il vient 27 V/: sin. d 0 n' sin.« ad —=a— MR ÿ— cos. ad. Il serait facile de vérifier ce PAT par l'expérience, en prenant pour « un grand angle, et plaçant l'aiguille à une assez grande distance de la plaque pour que la diminution d'amplitude, dans une seule oscillation, ne soit que d'un petit nombre de degrés , abstraction faite de celle qui est due à la résistance de l'air. En mettant successivement, dans cette formule, «,, «,,etc., à la place de«, on calculera, de proche en praçhe, les amplitudes des demi-oscillations ascendantes, jusqu’à ce qu’elles soient insensibles. Lorsqu’ elles seront de- venues très-petites ; et qu’ on négligera le carré et les puis- sances supérieures de «, la formule se réduira à T° sin. 0’ na 25s0 0 f" La ——d* dt=«— ——— «à; 67! « 207 ce qui coïncide avec le ut du n° précédent. __ DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 547 (43) L’aiguille étant toujours parallèle à la plâque; si la pla- que , au lieu d'être horizontale ; était perpendiéulaire à la di- rection du magnétisme terrestre , il faudrait supprimer dans toutes les formules précédéntes, les termes relatifs à l’action de la terre, dont l'aiguille serait alors indépendante. L’équa- tion (p) se réduirait donc à celle-ci : d’4 r°sin. à d\. ee (7): d' désignant toujours la déviation de l'aiguille due à la vi- tesse 7’ de la plaque, dans la position horizontale du système. En l'intégrant une première fois, et supposant la vitesse ini- tiale de l'aiguille égale à,zéro, il vient r* sin. à d CR CE a =n (: =e 6x 9 5 ce qui montre déja que la vitesse de l'aiguille approchera de plus en plus d’être constante et égale à celle de la plaque. Si l’on intègre une seconde fois, et que l’on compte l'angle 4 à partir de la position initiale de l'aiguille, on aura as m° sin. d" — | 4 panne (ie sr 1 ). Supposons qu'on ait marqué par un trait, la projection de l'aiguille sur la plaque avant: que lemouvement ait commencé; que l’on marque par un autre trait, cette projection à l'époque où la vitesse de l'aiguille est sensiblement égale à celle de la plaque ; et que l’on désigne par à, la quantité angulaire dont le second trait se trouvera en arrière du premier par rapport au sens de la rotation, on aura, d’après cette équation, | RL URR 17 r°sin. 69. 548 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE La vitesse de l'aiguille ayant atteint celle de la plaque, si celle-ci devient tout-à-coup immobile, l'aiguille ne s'arrêtera pas immédiatement, mais son mouvement changera de na- ture. L’équation différentielle dont il dépendra se déduira de la précédente, en y faisant 2—0, ce qui la réduit à d 4 T°sin. à’ dY dE: TS Cr dt. On déterminera les deux constantes arbitraires de son inté- . , HE! grale, de manière qu'on ait Un, ÿ=—=0, quand £—0,en comptant le temps £ à partir de l'instant où la plaque s’est arrêtée, et l'angle 4 à partir de la projection de l'aiguille au même instant. De cette manière , on aura, pendant toute la durée da second mouvement de l'aiguille : 7 r° sin. à ne ex dt 4 nn! 4° __7'sin d" 2 ! =. Te CL d’où l’on conclut qu’abstraction faite de la résistance de l'air, la vitesse de l'aiguille diminuera continuellement, en vertu de l’action de la plaque, jusqu'à ce qu’elle soit devenue sen- siblement nulle, et qu'à cette époque, on aura ñn 1h72 = D; c'est-à-dire qu'à la fin du second mouvement , la projection de l'aiguille répondra sur la plaque, au même trait qu'au commencement du premier ; ce qui ne pourrait toutefois se vérifier que dans le vide. DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 549 $ VI. Action d'une plaque tournante sur une aiguille inclinée. (44) La plaque est la même que précédemment (n° 25). On place au-dessus une aiguille d’inclinaison; et dans la vue de simplifier la question, on suppose le pôle sud assez élevé pour qu’on puisse négliger l’action mutuelle de ce point et de la plaque, et n'avoir égard qu’au pôle nord qui est le plus abaissé dans nos climats. Ce dernier point sera d’ail- leurs très-éloigné des bords de la plaque, dont il n’éprou- vera aucune action sensible. Soit y; son ordonnée verticale, « sa distance à l’axe des x , et € l'angle que fait le plan de ce point et de l’axe des x avec celui des x,z. Au bout du temps #, le carré de la distance & comprise entre ce même point et celui de la plaque qui répond aux trois variables x, ret u, sera —=(y— x) +7 —2 ra cos.(né+u—6) + 7. La différence des deux quantités U et V, provenant de l’action de la terre sur la plaque, disparaîtrait , comme nous l'avons déja dit (n° 34), dans les différences partielles de la fonction Q relative à une plaque d’une étendue indéfinie ; c'est pourquoi nous Der U et V comme égales ; et si nous désignons par —4’ la quantité de fluide austral, réunie au pôle que nous considérons ; que nous posions nl+u—6—7, et que nous fassions usage de la notation du n° 25, nous 550 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE aurons 4 U=V=—p'f(y—x,r,a,cos.v). Ce sont ces valeurs égales de U et de V qu'il faudra sub- stituer dans l'expression de Q donnée par l’équation (#). Les différences partielles de cette quantité prises par rapport aux coordonnées '},«,6, introduites par la substitution de U, feront connaître les composantes de l’action de la plaque sur le pôle nord ; mais nous supposerons que le plan dans lequel l'aiguille peut tourner, soit vertical et passe par le centre de rotation de la plaque : la force dépendante de la différence partielle de Q relative à 6, étant perpendiculaire à ce plan, sera détruite, et nous serons dispensés d’y avoir égard. Pendant le mouvement de l'aiguille , l'angle 6 restera cons- tant et représentera l'azimuth de son plan de rotation, compté du méridien magnétique,-et du sud au nord. Les deux autres coordonnées « et y du pôle nord, varieront avec le temps; et si nous désignons par k l'ordonnée verticale du point de suspension de l'aiguille, par k' sa distance à l'axe des x, par /' la distance du pôle nord à ce point, et par l'angle compris , au bout du temps #, entre la partie de l’ai- guille qui aboutit à ce pôle et la perpendiculaire abaissée du point de suspension sur la plaque , nous aurons y=h—t COS. n, a—h —l' Sin.n; ce qui suppose que l'on regarde l'angle » comme positif ou comme négatif, selon que le pôle nord de l'aiguille, comparé à son point de suspension, se trouve plus rapproché ou plus éloigné de l’axe des x. Afin de n'avoir pas à considérer l'action de la pesanteur, DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 55r nous supposerons enfin que l'axe de rotation de l'aiguille | passe par son centre de gravité, qui sera de plus également éloigné de ses deux pôles. (45) Pour former d’après ces données l’équation du mou- vement de l'aiguille, désignons par Q le moment rapporté à son axe de rotation, de l’action de la plaque sur son pôle nord; par X° le moment d'inertie de l'aiguille relatif au même axe; par m et m’ deux constantes positives, telles que m4’ et m'u' soient, abstraction faite du signe, les com- posantes horizontale et verticale de l’action. de la terre sur chacun des. pôles de l'aiguille : l'équation demandée sera EN Nr 2 l'y" (m'sin. n — m cos.6 cos. n) + Q. . Soit encore z la valeur de 1 relative à la position d'équilibre de l’aiguille, soumise à la seule action de la terre, c’est-à- dire, le complément de l'inclinaison magnétique qui répond à l’azimut 6, dans le lieu et à l'instant de l'observation; et soit & la durée correspondante de ses petites oscillations. Nous aurons m' sin.i — M COS.6 COS. —0, É MURS r°1? 2l'u'(m'cos.i+ mcos.6sin.:) = 7e) d'où l’on tire T*)À/2cos. t T'À/sin.i. olum= 5, olumeos.6=—5— ; ce qui change l'équation précédente en celle-ci : d'n dr RAR Da = — pr Sin. (ni) + (9) 552 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE Il en résulte aussi ___tang. i m m' cos. 6 ? de sorte qu'en appelant 7 le complément de l'inclinaison magnétique dans le plan du méridien , ou la valeur de? qui répond à 6—0, on aura l'équation connue : tang.i— tang./ cos.6, qui servira à déterminer l’angle £. Pour connaître 4” indépendamment de m et m', on fera une expérience semblable à celle que nous avons indiquée dans le n° 35. Après avoir placé dans le plan du méridien magnétique, l'aiguille que nous considérons, on la rendra horizontale, puis on placera au-dessus dans le même plan, une autre aiguille d’inclinaison dont le point de suspension sera situé dans la même verticale que le pôle sud de la premiere aiguille. Cela étant, on cherchera la distance à laquelle ces deux points doivent être l’un de l’autre, pour que la seconde aiguille soit rendue verticale; d'où l’on conclura, comme dans le n° cité, une équation de cette forme: in aTRe c' étant une ligne donnée par cette expérience. Par consé- quent, on aura 3 METE AN: sin FLE ME one" ? ou , ce qui est la même chose, T8’? À’? sin. 7 a = a —— —— 274" V/sin.° 7 cos. 64 cos.” y fa te DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 553 Enfin, nous aurons Q— Q et d’après les valeurs de ; et « en fonctions de », d Q = 7 cos.n— mt Sin. n, œ les différences partielles étant nb par rapport aux va- riables + et y qui proviennent de la fonction U. (46) La question consiste donc à former ces quantités d’après équation (#), et la valeur précédente de U et V. Or, si nous supposons qu'on mette £' à la place de £ dans U, et que nous représentions, en outre, par U, et U, les valeurs de cette quantité qui répondent à æ——b et x—b, nous au- rons, comme dans le n° 36, ANT dE AaldLL Ant Unes M RE Es DU MI FES LRO d'où il résultera [e °] dQ ____3pd. F + [à nl ! mea), (Q, JLFEF ge) + F'éF(t—gz)jrdrdu )e © dz; nous aurons de plus NRC ee + (TD) F(—gs)rdrdu)e T*dz; (s) et dans ces deux équations, il faudra faire # —#, après la 1823. 70 554 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE différentiation relative à #, et prendre pour.les fonctions qu’elles renferment ces différentes valeurs : Ft=—p'(y—0) fr birsa,cos.v)—p'(y+ 0) f(y+ br, cos. »), Feb) Fr —brsa,cos.v) + p'(7 +0) (y +b,r,a, cos. v), al ! , 1 Tr = (a —rcos.v')f (y —b,r;x,c0s.v'), dU, ne ; ee, } ; ra =U (a —rcosiv") f#(y + br, 2/;00s.'); 37,0 étant les valeurs de «, y, v qui répondent à 4—#". Le calcul des intégrales relatives àret v sera différent selon que l'aiguille se mouvraou qu'elle sera en repos. Nous suppo- serons d’abord que l’action de la plaque et de la terre se fas- sent équilibre , et que l'aiguille soit stationnaire. Les coor- données x et de son pôle nord seront alors indépendantes du temps; on aura donc 4 =}, « —«;et, dans ce cas, la dQ / » 1 : DRE valeur de En donnée par l'équation (r), s’obtiendra par le même calcul que celle de la quantité P du n° 36. On trou- vera de cette maniere dQ _3u"bp L'Asie 6 EE d'y an 4 dtd} x CCD) E % I pe RER de hide ve *dz; C2) 3 expression qu'il faudra développer suivant les puissances de getg',que l’on remplacera ensuite par les quantités g,,g,,etc., g',g., ete, du n°31; et à cause de & — +, après la diffé- rentiation relative à {, il en résultera une série ordonnée suivant les puissances paires de », et commençant par son RS, ds nt a CE Fos he Æ DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 555 carré. Si: l'on- s'arrête au premier terme de: cette série; on aura simplement : 4Q 9 ee n° PL ENT (ps p)n, (6) formule dans läqueHle on mettra pour w'* sa valeur précé- dente quand il Me de la réduire en FAT, Cette quantité S prise avec un signe contraire , > EXPri- mera l’action verticale de la plaque sur le pôle de l'aiguille qui produit son aimantation. On voit qu’elle est proportion- nelle au carré 4° n° de la vitesse absolue du point de la plaque qui répond à la projection de ce pôle, et en raïson inverse de la cinquième puissance de son élévation 7. On voit aussi qu'elle conservera le même signe, qu'elle que soit la posi- tion! du' point sur léquel elle agit; et l’expérience ayant fait voir que cette force est répulsive, il'en faut conclure que là constante p,— #p* est positive, du moins dans le cuivre et les autres substances soumises à l'observation. (47) Dans ce même cas de l'aiguille stationnaire , les inté- grales relatives à r et que contient le second membre de l'équation (s), se composeront de parties telles que : RE) RE), pH) 0. (ARE), en supposant qu'on.ait Æk(a—rcos.(u+v'))rdrdu prenant Fe sl Pa +6, »'=nt— : 70. TE. — + a+r—92arcos. (44 ))( Hair our cos. (@+w’))]+ ? 556 . MÉMOIRE SUR LA THÉORIE et successivement 2 (t—gz)—6, n(t—g'z)—6, pour l'an- gle w. On traitera cette intégrale double comme celles que l’on a considérées dans le n° 37. Ainsi, après avoir fait u+=(o+v')=u,. du=du', t on fera rsin.u—y, rcosuw=—=y,. rdrdu=dydy"'; il en résultera (4 e)= f” ni A[a—ysin.?(0—0) —ycos.1(6— w!)] dydy" HAE, ME Le LH HT Hp 27 asini(o— +) — 27 "a cos.+(0—w’)) KT + y 3 +7" —27asin.?(o —&)— 27 «cos. (o—/))]7 Mettons y’ + « COS. + (w—w') au lieu de y’; en supprimant la partie de cette intégrale dont les éléments se détruisent deux à deux entre les limites + œ de la nouvelle variable y’, et faisant, pour abréger, [CA + a° sin o—w")+Y + y + 27 asin.+(0—w'))(#? + à sin." +(0—w') 3 +9? +7—27asin.+(o—w'))]" =D, nous aurons [se] [ce] < e(Ek)=—f p k(y—asin. :(w—w")) sin. ;(w—w') 7 27 2 — 0% — Si l'on supprime de même la partie de cette intégrale, qui renferme la première puissance de y à son numérateur, et qui se détruit dans le cas de «'—4, on aura simplement : DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 557 kasin?1(©—w’)dy dy 2 PACE AE EE ONE CRE ga wir œ [A+ asia (o— 0") +74) — pt asines (0 — 0’): _ intégrale dont la valeur s’obtiendra sous forme finie, comme celle de 9 (4,4) du n° 38, et sera NN ECC 1 2 (+ asin"2(0—0/))t F Il n’en sera plus de même lorsque les quantités # et k seront différentes; mais si l’on désigne par D' ce que devient D quand on y change le signe de y, on aura co Ac ANLE LCR RTS dy EE)=—f JA asins(e—e))sin.s (0) TE [ce] (-e] + f [EG +asin.r(e—u'))sin.s(e — 0") STE et en même temps + de er d’où il résultera BP 0e ff + Fysin (ee) (= n)drdy! 4 [T [TG Ryssiner(e— 0) = +5) dydry. 558 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE Or , à cause de £'—k—2b, si l’on néglige les puissances de à supérieures à la première, ou seulement supérieures à son carré, la seconde intégrale que renferme cette équation aura pour valeur : 2 b Te re de plus, si l’on développe suivant les puissances de b, en s’ar- rêtant au premier terme, il vient I 24byyusin.=(o—w) D DES (y + sin? (0) +7 PDT ain (à —«/)] É ? l'équation précédente deviendra donc *. Va (A, 4)—0 (4,2) —=248;G ee Got} en faisant, pour un moment, cf" fs 27° sin +(0—’)dy dy! ; —œ% — 00 [(y*+x*sin.? + (o—w) +7 +7") —4ryharsimi(u—)] La valeur de cette derniere intégrale s’obtiendra comme celle de la quantité H du n° 37, et l'on aura s|u Res rasin 2(»—w’) 24% (ÿ + sin." a le laquelle valeur étant jointe à celle de +, (+,y) donnéra pi(k,k)— 9, (k", A) —o. Ainsi , les intégrales relatives à r et & que contient l’équa- tion (5), ne renfermeront que des termes de la forme : p:(4,#)—o, (4,7), DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 559 dont l’expression.sera 3rbyasin = (o—w") Ce a ERA en négligeant toujours les puissances de à supérieures à la seconde. (48) D'après ce résultat, on trouvera sans difficulté que l'équation (s) devient « [14 F 7 dQ stp f RS en int) SRE ONADE APE PAR RRL ON ES RERO EURE RS EURE A da 8 di ro) (rase (ee ge): yasin* T(4— 4 —g'z) a en az v{u (y? a sin? (é——#—g'z)) et il ne restera plus qu'à développer par rapport à g et g' dont on remplacera les puissances par les quantités g,, g,,etc., - 8,87, ete., du n°3r, et à faire # —# après la différentia- tion relative à . On obtiendra, comme dans le cas précédent, une série ordonnée suivant les puissances paires de », et commençant par son carré. En s'arrêtant au premier terme, il vient DE (ptprhnt à (a) Cette différence partielle de Q, prise avec un signe con- traire, exprime la composante suivant le prolongement du rayon , de la réaction de la plaque sur le pôle qui ré- pond à ce rayon et à la hauteur . Les expériences relatives à la composante verticale ayant fait voir que p,— :p° est dQ une quantité positive, il en résulte que la valeur de -—= 7 d œ 560 MÉMOIRE SUR LA THÉORIE l’est aussi, et que ce pôle sera attiré vers l'axe de rotation de la plaque. L'observation a prouvé, en effet, que la com- posante centrale est attractive jusqu’à une certaine distance des bords de la plaque; et quant au changement de signe que M. Arago a remarqué dans cette force, lorsqu'on s’ap- proche suffisamment des bords, il ne peut pas être compris dans la formule précédente qui suppose la plaque indéfini- ment étendue. La composante centrale et la composante ver- ticale sont, l’une et l’autre, proportionnelles au carré de la vitesse de rotation z, tandis que la troisième composante perpendiculaire au plan des deux autres, c'est-à-dire, la force qui fait tourner l'aiguille horizontale, est seulement propor- tionnelle à la première puissance de », en réduisant sa valeur à son premier terme (n° 40). Le rapport de la première à la seconde force est indépendant de la matière et de la vitesse de la plaque; il ne dépend que de la position du point au- quel elles sont appliquées, et sa valeur est _ , abstraction faite du signe : au contraire, le rapport de la seconde à la troisième force serait à peu près indépendant de cette posi- tion, et, pour une même plaque, proportionnel à la vitesse 7, pourvu qu’elle ne füt pas tres-considérable. (49) Au moyen des équations (£) et (w), la valeur de Q devient ou'*bl'an* (== - 4% (p.—+p")(zycos.n + asin.n). Je la substitue dans l'équation (4), dont j'égale à zéro le second membre; et en ayant égard à la valeur de '* du n° 4), il vient DU MAGNÉTISME EN MOUVEMENT. 561 RS Pie AP in.(n—1)=—= sin.(n—à) 27 V/sin?;cos.?6 + cos.”} [ calcul des intégrales définies est peut-être la partie de l'analyse dont les applications sont les plus nombreuses et les plus variées. Non-seulement elles comprennent la rectification des courbes, l'évaluation des surfaces et des solides, la détermination des centres de gravité, mais encore, la plupart des problèmes de mécanique ou de physique qui se résolvent par le calcul intégral, et conduisent à des expres- sions des inconnues en intégrales définies. Aussi, depuis Euler et surtout dans ces derniers temps, les géomètres se sont-ils beaucoup occupés d'étendre et de perfectionner cet important calcul. Dans le petit nombre de cas où l'intégrale générale est connue sous forme finie, on en déduit immé- diatement l'intégrale définie; dans d’autres cas, beaucoup plus étendus, on parvient à trouver la valeur exacte de l’une sans connaître celle de l’autre; mais le plus souvent on est 72: 572 CALCUL NUMÉRIQUE oblige de recourir aux méthodes d’approximation. Celles-ci consistent en des moyens particuliers à quelques intégrales ; d’après lesquels on parvient à les faire dépendre les unes des autres et à les réduire en tables , ainsi que M. Legendre l'a pratiqué à l'égard des transcendantes elliptiques et de deux autres classes d’intégrales que notre confrère a nommées Eulériennes. Quelquefois aussi, on peut réduire la quantité soumise à l'intégration, en une série convergente dont les termes sont intégrables par les règles ordinaires. Mais quand toutes ces ressources manquent, on emploie un procédé gé- néral de caleul, fondé sur la nature même des intégrales, et que l’on appelle proprement /a méthode des quadratures ; dénomination qui lui vient de ce que le problème est le même que celui de trouver l'aire d’une courbe plane, ou le côté du carré équivalent. C'est cette méthode, envisagée sous un nouveau point de vue, qui est l'objet principal de ce Mémoire. (1) Une intégrale définie est la somme des valeurs de la différentielle, comprises entre les limites de l'intégration, et supposées toutes infiniment petites, ce qui ne souffre d’ex- ception que quand le coëfficient différentiel devient infini entre ces limites. Il en résulte que si l’on prend seulement un grand nombre de ces valeurs, et qu’on y remplace la différentielle de la variable par sa différence finie, on aura une valeur de l'intégrale, d'autant plus approchée que cette différence sera plus petite ; et la méthode dont nous allons nous occuper, consiste à trouver, exactement ou par ap- proximation, la correction qu'il faudra faire subir à ce pre- mier résultat. DES INTÉGRALES DÉFINIES. 573 Nous supposerons les valeurs de la variable qui répondent aux deux limites de l'intégrale, égales et de signes contraires, ce qu’on peut toujours obtenir en augmentant ou diminuant la variable d’une quantité constante. Nous désignerons ces limites par + a; et pour les indiquer en mème temps que l'intégrale, nous emploierons la notation très-commode que M. Fourrier a proposée. Ainsi. (1 f fa dx, —4 désignera l'intégrale de fx dx, prise depuis x——a jus- qu'à x— + a; fx étant une fonction donnée qui ne devient pas infinie entre ces limites. Partageons a en un nombre » de parties égales ; soit w la grandeur de chacune d'elles, en sorte qu’on ait a= nv ; fai- sons, pour abréger, (no) +f(—ne+v)+f(—no+20)+..... MERE + f(nw—20) +/f(ne—0) + f(no) =P;: en remplaçant dx par w, on pourra prendre, d’après le prin- cipe précédent, P, pour la valeur approchée de notre inté- grale; et si l’on désigne par Q, la correction dont elle est susceptible, on aura exactement a f fax dz—vwP, + Q:. (x) —a Au lieu de ne faire entrer dans P,, qu’une seule des deux valeurs extrêmes de fx, on a pris, pour la symétrie du cal- eul , la moitié de chacune d'elles ; ce qui est permis tant que Lfa+f(—a)=2f fadz +2 574 CALCUL NUMÉRIQUE la correction Q, n’est pas déterminée. Il s'agit maintenant de trouver la valeur inconnue de cette quantité, en fonction du nombre , ou de la différence o. (2) Pour y parvenir, je ferai usage de la formule : 7 de Le) ir (x— x! , : af Jrdx+i > ; cos EE | fa dx’, (2) qui se trouve dans mon dernier Mémoire sur les intégrales définies, inséré dans le dix-neuvième cahier du journal de l'École Polytechnique. Elle représente fx pour toutes les va- leurs de x>—a et —-aet < a. Or, en développant suivant les puissances de «,ona, en série convergente , 2 « —r1+2ÙY «cos. + a° I ie ir (æ 2). SERA A6) 7 104 SRE 550) on aura donc ss z (1—a°)fx'dx z— x! ei aie, ee) en Le coëfficient de dx' sous le signe intégral, devient infini- ment petit en même temps que 1 —«, excepté pour les va- r(z—2") leurs de x’ qui rendent cos. ——— infiniment peu diffé- rent de l'unité, et, par ÉseqenE, le dénominateur aussi infiniment petit. Mais x étant > —a et < a, et la variable æ° ne sortant pas non plus de ces limites , cette circonstance ne peutavoir lieu que pour des valeurs de x'—x, infiniment petites, positives ou négatives; il suffira donc d'étendre l’in- tégrale aux valeurs de x' infiniment peu différentes de x ; et dans cette étendue, on pourra considérer la fonction fx’ 576 CALCUL NUMÉRIQUE comme constante et égale à fx. Si donc on fait Las LL R, dx —dh, et que l’on traite g et À comme des quantités infiniment pe- tites, on aura pour la limite demandée : X VE [ET a g LEE 3 a Comme cette dernière intégrale est infiniment petite, pour toute valeur finie de la variable, on pourra l’étendre à des valeurs de À aussi grandes que l’on voudra; en désignant donc par à une quantité positive et finie, dont la grandeur est arbitraire, et intégrant depuis À—— 3 jusqu'à À— + ÿ, nous aurons No — VE arc. (tang. = 2) 5 quantité qui se réduit à X—/fx, à cause de g infiniment petit ; ce qu'il s'agissait de démontrer. x— x") : : Dans le cas de x— a, on rendra cos. ee infiniment peu différent de l'unité, en supposant successivement æ'—a+h et x ——a+h, et traitant toujours À comme une variable infiniment petite; mais pour que x' ne sorte pas des limites +a, il faudra n'intégrer que depuis L=——3 jusqu’à —o dans la première hypothèse, et depuis À—0 jusqu'à A— + à dans la seconde; ce qui réduira chaque por- tion d’intégrale à la moitié de la valeur précédente. Alors on aura, dans ce cas, X=—:[fa+/f(—a)], DES INTÉGRALES INFINIES. 597 pour la limite de X ; et l’on trouvera le même résultat dans le cas de x——a ; ce qui coïncide avec l'équation (3). (3) Maintenant, pour faire de l’équation (2) l'usage que nous avons en vue, mettons-y 2 à la place de a; puis don- nons successivement à æ, ces 27— 1 valeurs équi-diffe- rentes : —(nm—1)0,—(7—2)6...—0,0,+0,..(2—2)u,(7— 1), pour lesquelles cette équation subsiste. En prenant la somme des résultats , et ajoutant la demi-somme des valeurs de fx relatives à r — +4, on en conclura oP,=[fa+f(—a)]+ (2 *[_ fr'az à ff $ imx! EU, ele [= pos. — PE dx; —4@ Le) où l'on a fait, pour abréger, dd 2iT 3iT (a—1)ir P=1+20C08.—+ 2C05.—— + 2C05.— + ., + 208.7. nm nr L(2 nm Cette quantité p est évidemment égale à 2 7 — 1 toutes les fois quez est un multiple de 27. Si on la multiplie par cos. . ; on trouve, en réduisant, (n—1)ir. îT . POS. -——p + COS.z7 — cos. d'où l'on tire p——cos.ir, pour les autres valeurs de z. : , oo D'après cela, je prends d'abord la somme S en supposant LI 1823. 73 578 CALCUL NUMÉRIQUE que cette dernière valeur de p ait lieu sans exception ; en-" suite, je fais Z— ain; et je prends une seconde somme © S relative à à’, en supposant que 2n— 1 + cos.217r, ou I 2n, soit la valeur de p : la série périodique, contenue sous le signe intégral, se composera évidemment de ces deux séries ainsi calculées ; et en faisant attention qu'on a iT az’ iT(a—x") COS, x COS. —— — COS. —"*, nr a on en conclura co "1 r it. a— 21 TT 5 cos. = a cos. : I De cette manière , la valeur précédente de v P, deviendra Pt fase + (1) fred ne [ES co$ 22) ad af. [= COR — | fa x'dx". I En ayant égard à l'équation (3), celle-ci se réduit à +af ER cos. 2? EE | fa dzx'; et si l'on y remplace x’ et 2’ par æ et :, et qu'on la com- pare à l'équation (1), il en résultera a Q=—2f {= cos. LEE] ya da. I DES INTÉGRALES INFINIES. 579 Ainsi la correction qu’on doit faire subir à la première valeur approchée de notre intégrale, se trouve exprimée par une autre intégrale définie; mais, par le procédé de l'inté- gration par partie, celle-ci se réduit en une série ordonnée suivant les puissances dé w, dont il suffira généralement de considérer les premièrs termes. (4) Soit, pour cela, I I 1H ++ 22m 3èm ï Li m rat Éc—7(2r) "A; la série se prolongeant à l'infini, m étant un nombre entier, et À, un coéfficient dont la valeur exacte est connue pour toutes les valeurs de m. En intégrant 2Mm— 1 fois de suite par partie, et observant qu'aux limites + a, ou +nv, on a 2iT x +. 2iTX cos, TSI w —=0O, nous aurons a (FE ()x (PRET CE) (HTC pepe. CEE) a. +R. les différentielles comprises entre les parenthèses se rappor- tent à la première limite x——«, celles qui sont renfer- mées entre des crochets répondent à la seconde x— 4, et 73. 580 CALCUL NUMÉRIQUE l'on a fait, pour abréger, R=—2(—1)" (= =) nas MEL Las 2e | EVE da. (4) Maintenant, si l'on prolonge indéfiniment cette série , et qu'on néglige le reste R,, l'équation (1) deviendra J' ada=r. 0 (AT En + (RÉI-CGE)8 Les) (HAI-2))s -Fielc. Cette formule ne diffère pas Sr a de celle qu’'Euler a donnée pour le même objet dans son Traité de calcul différentiel, et qu'on peut regarder commeune des plus utiles dont il a enrichi l'analyse; mais la manière dont nous y sommes parvenus a l'avantage de faire connaître en même temps l'expression du reste R, , que l'on néglige quand on s'arrête à un terme quelconque de la série infinie ; expres- sion dont il sera toujours facile d’assigner une limite supé- rieure à sa valeur exacte; ce qui permettra d'apprécier le degré de l’approximation. Il serait à désirer que l’on eût de semblables limites pour toutes Îes suites infinies dont on fait usage : Lagrange les a exprimées tres-simplement dans le cas du théorème de Taylor; et récemment M. Laplace s’est occupé de questions analogues, relatives aux développe- ments des coordonnées des planètes dans le mouvement elliptique, et d’une autre fonction qui se présente dans la théorie des perturbations. DES INTÉGRALES INFINIES. 581 (5) Les valeurs des coëfficients À,, A, , A ;, etc., sont con- nues, comme nous l’avons dit ; mais on peut aussi les déter- miner au moyen de l'équation (5), en faisant une supposi- tion sur le nombre » et sur la fonction fx. Le plus simple est de prendre 7 — 1. On a alors w—a, P,—=:f(—a)+fo+:fa. Si l’on désigne par e la base des logarithmes népériens, et qu'on fasse on aura a A 2 J fzdx=e—e *, pulse 2) ? —4a et généralement LE dim fx ME a Ta) =E Lo 2 au moyen de quoi , en divisant les deux membres de l’équa- tion (5) par e‘—e-*, on en conclura a ET) LH À, —afA,+a°A,—etc. PIN. TE HER 2 CS) Or, ie premier membre ne charigeant pas quand on y change le signe de a, son développement ne renfermera que des puissances paires de a ; d’ailleurs, les inconnues A,, A., A,, etc., sont indépendantes de a ; il en résulte donc qu'après avoir developpé le premier membre, les coëfficients de 582 CALCUL NUMÉRIQUE a?,—a, a, etc., seront les valeurs de ces quantités ; ce qui était déja connu. En supposant toujours 2—1,w—4@, et prenant fax = 2 m œ on aura, 2 étant un nombre entier, Sapriie 21m fs fade, Peas —«a 2m+I1? n d’après l'équation (4), le reste R, sera nul ; et en supprimant le facteur a°"+* qui se trouvera commun à tous les termes de l'équation (5), il vient 277 X 2(2m+1) RUE ON OMC ON 0: OM ONE —=97n À,—9m.9m —1.9Mm—92.À,+:..".. Cette relation connue entre les quantités À,,A,, À, etc. servira à les déterminer les unes au moyen des autres, en y faisant successivement m—1,—2,—3, etc. On trouve, de cette maniere, A——, A AS — er etc. (6)Si l’on veut que l'intégrale proposée commence avec la variable, et soit prise depuis zéro jusqu’à une limite donnée c, on diminuera x de a, et l’on fera 24 —c. Mettons ensuite fæà la place de f(x— a), et n au lieu de 2» ; la différence w sera lan." partie de c ; la quantité P, se composera de nm + 1 termes, savoir : Pa: fo +fo + fout. +f(Re—u)+:fe; DES: INTÉGRALES! INFINIES. 583 et si l'on substitue à la place de A,,A.;, A, etc.;' leurs valeurs numériques ; l'équation (6) deviendra : Jr El (A) \ nes Lara dun. 16) Per Ce o | + etc.; les différentielles comprises entre des parenthèses ou entre des crochets, répondant toujours, les premières à la pre- miere limite x= 0 ,.et les secondes.à la seconde limite x—c. 2iTAN À cause que à est un multiple de v, le cosinus de — reste le même dans le changement dé x en:xæ—a ; le reste R,, donné par l'équation (4), qu'il faut ajouter à cette série quand on s'arrête au n.#"° terme inclusivement, aura donc pour expression : Bai) GE) [5 res 6e] 2 2iTX En intégrant encore une fois , et observant que sin. est nul à la seconde limite 32—c—n, aussi bien qu'à la première x — 0, on peut donner à R, cette autre forme équi- valente : k 2m 1 L: » LS ÊT æ: dant} dx Run 2(i)r( =) dpt Foi gg = ee : 1 (8) 584 CALCUL NUMÉRIQUE Pour obtenir des limites de ces expressions, désignons par B, et C, des quantités connues , telles que l’on ait, abs- traction faite du signe, ! d:mfr dx?" d2m+: pLeverere ve dam+r pour toutes les valeurs de x comprises depuis zéro jusqu’à c; soit, en outre, T 3Z2m+x + + get hétct=t (ar) TEA —. T— m Ce en observant qu'on a évidemmment on en conclura, en grandeur absolue, 2m R est constant par rapport au nombre m. ! Dans ce cas singulier, si “est une fraction, le facteur ‘fo Nom LEE à LE is + (2) que ce reste renferme, diminue indéfiniment à 12 mesure que » augmente; mais en même temps l’autre fac- teur augmente à raison des différentiations successives de fx, de telle sorte que le produit demeure constant. Cepen- dant, il n’en sera pas de même à l'égard de la limite supé- rieure à R, que l’on pourra assigner; elle dépendra de m, et décroitra d'autant plus rapidement avec que ce nombre m sera plus grand. (9) Nous choisirons pour-exemple de cette anomalie, l'in- tégrale qui donne le quart de la circonférence d'une ellipse, que nous appellerons E. En prenant pour unité le demi- grand axe, et désignant l’excentricité par À, nous aurons alors 2T E—f V1 —° sn°xdx; o on fera donc, dans l'équation (6), c—ir, fa—=Vi—hsin. x; et il est évident que toutes les différentielles impaires de fx seront nulles aux deux limites æ—0o et x—:r, à cause du facteur sin. x cos. x dont elles seront affectées. 590 CALCUL NUMÉRIQUE Le coëfficient différentiel de fx, d'un ordre quelconque, se composera de termes dont les diviseurs seront les puissan- ces impaires de fx, et qui ne renfermeront quedes puissances entières de sin. 2x et cos. 2x à leurs numérateurs ; on substi- tuera facilement à chaque numérateur , une plus grande quan- tité abstraction faite du signe ; prenant en outre, pour fx sa moindre valeur L/1—%", on formera ainsi une quantité su- rf. Ac Co sr NS : périeure au coëfficient différentiel Te qui entre dans la formule (7). Soit H cette quantité; en mettant aussi dans cette formule ,:(2r)°"A, à la place de la série qu’elle ren- T ferme, et pour « sa valeur 75 > nous en conclurons T T 27 Free sn) m 2\2n/ H An c en grandeur absolue. Appelons I le rayon du cercle dont la circonférence est équivalente à celle de l'ellipse que nous considérons, de sorte qu'on ait E= :71. D'après la formule d'Euler, nous aurons cette valeur approchée : MALE T 2T 37 (2) TA MENT = (ifo ++ fi + HP + PT); et si l’on désigne par 51, l'erreur dont elle susceptible, on aura en même temps SI<(Z) "HA, En supposant #—0,6, et s’arrêtant à m—3, on trouve qu'on peut prendre pour H, le nombre 40; et si l'on sub- stitue, en outre, pour r et À, leurs valeurs numériques, il DES INTÉGRALES DÉFINIES. 591 vient 0,0198 SV 2 2 Z. 7e Soit ensuite 2—4; la valeur approchée de I sera 1=—0,9927799272; à quoi il faudra joindre SIe ( HT) usse €C0S.2740; les sommes > s'étendant actuellement à toutes les valeurs dei, entières, positives , négatives ou zéro , depuis ——c0 jusqu'à é—. Cette équation est identique dans le cas de — . — I a—=0 et w—V/7. En faisant o—|/%, A =) et, pour abréger,e—r—c+, on en déduit k ) 27 E EE —3(—1) € , ou, ce qui est la même chose, E 2 25 EAl 1 < CE mr re + etc. —c#+e—0"+# etc; équation entre les deux transcendantes e et r, qui mérite DES INTÉGRALES DÉFINIES. 593 d’être remarquée, quoiqu’elle ne soit pas sous forme finie, et qu'il ne semble pas qu’on puisse l'y ramener. (11) Soit encore Fe cos.ax . TT b? + x? K} a et b étant des constantes que nous regarderons comme positives. On aura, par les formules connues, D 2 COS.2TXCO0s.a x T —b(2iT—a —b(2ix+a PRE ae (e 7" ie ( + ) û (11) ss b°+x° 20 7 le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu dans la première exponentielle, selon .que l’on a a < ou > 257, afin que son exposant soit toujours négatif. D'après cela , si l’on désigne par 2n7r, le plus grand multiple de 2 qui soit contenu dans &, il faudra prendre le premier signe, lors- qu'on aura Z > n, et le second, dans le cas de :=n ou < 7. co En partageant la somme 3 en deux autres, dont l’une soit F I prise depuis i— 1 jusqu'a :—», et l’autre depuis 2=n + 1 jusqu'à : —,et sommant les progressions géométriques ui en résulteront, on en conclura 9 ty À 2H. us e Set 2008.2iræc0s.a% y __re (27+2n7—a) pas (2m+ a) EE © —— AS Bb x parare b — Te Le (27 a)__ ,b(at+anr a) +23 2Tb ; I—e On a d’ailleurs ® cos.ax T —ab Jesse das (a) 1823. 7D 594 CALCUL NUMÉRIQUE si donc on prend w—1, la formule (10) deviendra, toute réduction faite , ; feel ko A ns 2NT — FA r b —r D Te 2b(e" rap agé ) (13) ja cos. a cos.24 Cos.3a t DÉS rer 7 AN er En différentiant cette équation par rapport à &, on en déduit cette autre : A mi rain, Rem Ce 2 Gens e2) (14) sin. a 2sin.24& 3sin.3a Pb emotrs LRS Au moyen du nombre r qu’elle renferme, l'équation (13) subsiste pour toutes les valeurs réelles et positives de à, parce qu'en effet, les équations (11) et (12) dont nous som- mes partis, ont lieu sans exception. Mais il n’en est pas de mème à l'égard de leurs différentielles par rapport à &, et pour cette raison, l'équation (14) est en défaut quand @ est zéro ou un multiple de 2. Pour la rendre applicable à ces valeurs particulières, j’ob- serve qu'en différentiant l'équation (12), et faisant ensuite a—0, On aurait EUR) j cg À BETA ME; Tr tandis que cette intégrale est évidemment nulle; dans le cas de a—0, il faut donc retrancher du premier membre de DES INTÉGRALES DÉFINIES. 595 l'équation (14), le terme :r qu’il renferme de trop; ce qui le réduit effectivement à zéro, comme le second membre. Dans le cas de a—92n7+r et =, la différentielle de l'équa- tion (11) par rapport à 4, donnerait co LORIE Fr x=T(i+e Ro) au lieu que la valeur exacte de cette intégrale est seulement :re-—4#rb; d'où il résulte que pour la valeur particulière a—a2nr, le premier membre de l'équation (14) renferme aussi un terme =r qui ne devrait pas s’y trouver : en l’en retranchant , ce premier membre devient nul en même temps que le second. Les équations (11) et (12), ainsi que leurs différentielles ; et, par conséquent, les formules (13) et (14) qui en dérivent, subsistent encore quand on y remplace à par g + bV/— ; g et b étant des quantités réelles , dont la première est po- sitive, mais aussi petite que l'on voudra. Après cette sub- stitution , si l'on suppose que la partie g devienne infiniment petite, et qu’on la supprime en conséquence, on aura Tcos.b(a—2nT—575) 1: cos. a Lcos2e , cos da | te 2bsin.rb Fer D—4 b—9 EU msin.b(a—2nT—T) sin.&æ 2sin.a 3sin.3a ———© © —_—©° = —— + >— + - — ( 2 sin.Tb IEEE # BE 9 4e, Toutes les formules de ce n° étaient déja connues. Elles se trouvent dans les ouvrages d’Euler et de M. Legendre, et aussi dans mes Mémoires sur les intégrales définies qui font partie du Journal de l'École Polytechnique. On en dé- duit facilement.tous.les résultats que l'on à trouvés jusqu’à nb. 596 CALCUL NUMÉRIQUE présent, et, vraisemblablement, tout ce qu'il est possible d'obtenir, sur les séries de sinus et de cosinus, et sur celles des puissances négatives des nombres naturels. (12) Soit que l’on forme la valeur exacte d’une intégrale définie ou qu'on la calcule par approximation, il faut avoir égard aux observations suivantes par lesquelles nous ter- minerons ce Mémoire. 1°. Lorsque l’une des limites de l'intégrale est infinie, la fonction fx comprise sous le signe f, doit décroitre à me- sure qu'elle s’en approche, et devenir nulle à cette limite. Cela est nécessaire pour que la partie P, de la formule (6), qui se change alors en uue suite infinie, soit une série con- vergente. Néanmoins on a souvent employé des intégrales de fonctions périodiques , prises depuis zéro jusqu’à l'infini; mais les valeurs qu'on leur assigne ne sauraient se vérifier numériquement, ni être données par la formuie (6); et l'on doit ne les considérer que comme des limites d’autres inté- grales pour lesquelles la fonction fx était décroissante et convergente vers zéro. C'est ainsi qu’en désignant par a une constante réelle et qui ne soit pas nulle, on a I a , co CONS d cos.axdxr—0o, l Sin. GX Ar — (eo) o en regardant ces résultats comme les limites de ceux-ci : D gx AVS a [ e 8 cos.axdx—#—, e Ë snaxdr—=——, 2 FANS gra dans lesquels g est une constante positive, aussi petite qu'on DES INTÉGRALES DÉFINIES. 597 voudra , et que l’on fait infiniment petite pour passer aux intégrales précédentes. La première peut encore être consi- dérée comme la limite de l’une ou l’autre de celles-ci :- LS CJM ; Vz= AN te 8 * cos.axdx— Te %g, 26 40 qui s'accordent aussi à donner zéro pour valeur de cette intégrale, à la limite où l’on suppose la quantité g infini- ment petite, en exceptant toujours le cas où l’on aurait a—=0O. A cause de cette exception, si les intégrales que nous citons pour exemples, sont comprises sous d’autres signes f; rela- tifs à a, il faudra avoir soin de les remplacer par celles dont elles sont les limites. Ainsi, en désignant par Fa et F'a deux fonctions données de à, si l'on a fra(f”cosazdx)da, fr'a f° sin.axdaæ) da, | faudra prendre gFada Î g Ha? He” et ne faire la constante g infiniment petite qu'après avoir effectué les intégrations relatives à a, lorsque leurs limites comprendront a— o. Soit, par exemple, Fa—cos.a F'a—sin.a ; | > 593 CALCUL NUMÉRIQUE et intégrons depuis a—=—c jusqu'à & =. Nous aurons res pour la valeur commune aux deux intégrales , laquelle se réduira à r, à la limite où la quantité g est infiniment petite. On peut vérifier que r est , en effet, la véritable va- leur de chaque intégrale double, en effectuant les intégra- tions dans un ordre inverse, c'est-à-dire, en commençant par a et et finissant par x, ce qui n’est sujet à aucune dif- ficulté; ou bien encore, en intégrant d’abord par rapport à x, entre des valeurs indéterminées de cette variable, qu'on ne fera infinies qu'après l'intégration relative à a. 2. On ne doit pas faire usage de la formule (6), quand la fonction fx passe une ou plusieurs fois par l'infini, entre les limites de l'intégration. Le principe qui en est la base, et l'équation (2) dont nous l'avons déduite , supposent essen- tiellement que fx est toujours une quantité finie. Si cepen- dant cette fonction devenait infinie à raison d’un diviseur dont l’exposant serait moindre que l'unité, il serait facile de le faire disparaître par un changement de variable. Sup- posons , par exemple, a — F 25 . free a étant une constante comprise entre les limites de l’intégra- tion , À un exposant >oet <1, et Fx une fonction qui ne devient pas infinie : on fera alors (æ Sat "À EE à (r = H)(Gc— a) “dx —dy; d'où l’on conclura cf .310 DES INTÉGRALES DÉFINIES. 599 F'y étant aussi une fonction qui ne deviendra pas infinie, ce qui permettra d'appliquer la formule (6) à l'intégrale re- lative à la nouvelle variable ÿ. [4 Généralement, une intégrale f J'x dx cesse de représen- o ter la somme des valeurs réelles de la différentielle, com- prises depuis æ—0 jusqu'à æ—c, lorsque fx devient in- finie dans cet intervalle. Ainsi, l'on a, par exemple, et si l’on suppose a > o et < c, la première valeur est imagi- naire, et la seconde négative, tandis que la ‘première diffé- rentielle est toujours réelle, et la seconde toujours positive. Mais dans ces sortes de cas, si l'on fait passer la variable, entre les limites données, par des valeurs imaginaires qui ne rendent plus fx infinie, on pourra considérer de nou- C veau l'intégrale # fx dx, comme la somme des valeurs ima- o ginaires de fxdæ. Dans les exemples précédents, il faudra faire æ—*}c(1—0cos.z+sin.zl/ 3 >» dæ=+c(sin.z + cos.zl/_r), et intégrer depuis z—0 jusqu’à z— (27 + 1)r, 7 étant un nombre entier quelconque, afin de ne pas changer les limites données 3—0 et x—c. Les intégrales définies ne change- ront pas non plus; mais les fonctions de z, comprises sous les signes f ne devenant pas infinies, chaque intégrale sera 600 CALCUL NUMÉRIQUE maintenant la somme des valeurs de la différentielle; et ces valeurs étant imaginaires, cela explique comment leur somme peut être imaginaire dans un cas et négative dans l’autre. Il y a aussi des intégrales dans lesquelles la fonction fx passe une infinité de fois par l'infini, et qu'on peut encore admettre dans l’analyse en les considérant comme les limites d’autres intégrales qui n’ont pas cet inconvénient. C'est dans cette classe qu'on doit ranger celles dont M. Bidone a donné les valeurs dans les Mémoires de Turin pour l'année 1812 (1). 3°. Lorsque fx renferme un radical, il devra conserver le même signe, ou plus généralement, avoir pour facteur la même racine de l'unité, dans toute l'étendue de l'intégration; et de cette manière , l'intégrale aura le même nombre de valeurs différentes, réelles ou imaginaires, dont le radical sera susceptible. Si le radical passe du réel à l'imaginaire, les signes dont il sera affecté dans ces deux périodes de va- leurs, n'auront pas de dépendance mutuelle, et la valeur de l'intégrale sera nécessairement ambiguë, c’est-à-dire, qu'après avoir donné un signe déterminé à la partie réelle, on pourra supposer indifféremment que la partie imaginaire soit multi- pliée par + 4/25 ou par —4/— r: il est inutile d’insister sur cette circonstance qu'il suffit d’avoir indiquée. Lorsque le radical sera constamment réel entre les limites de l’intégra- tion, la nécessité d’un signe constant, sera une condition essentielle qui influera sur l'expression de l'intégrale définie. Pour en donner un exemple connu, considérons l'intégrale : (1) Voyez aussi sur ce point les Exercices de calcul intégral, tome IL, page 125. EL Mi} DES INTÉGRALES DÉFINIES. 6or T : sin.ædx 5 V'1—2acos.x+ a? 4 dans laquelle à est une constante positive ; et convenons de regarder le radical contenu sous le signe 1: comme une quan- tité positive dans toute l'étendue de l'intégration. Il faudra prendre pour sa valeur, 1 +@ à la limite xx, et 1 —a ou a— 1 à la limite x—0o, selon qu’on aura a 1. D’après cela , on trouve ces deux expressions différentes : TC = sn.xdx 2. OÙ o L'i1—2acos.x +a° 8I la premiere ayant lieu dans le cas de & < 1, et la seconde dans le cas de a >1; et si l'on différentie cette intégrale par rapport à a, on aura, dans les mêmes cas, cet autre exemple : fo (a—cos,.x)sin.xdx OO o (1—2acos.x+a?)s CRE a Il est à remarquer que si l’on fait a—1, les deux valeurs de la première intégrale sont égales, mais non pas celles de la seconde. Dans ce cas particulier, la derniere intégrale a pour valeurs zéro ou 2, selon qu'auparavant on regardait a comme plus petit, ou comme plus grand que l'unité. Ce paradoxe tient à ce que les deux valeurs que l’on détermine de cette maniere, sont celles qui répondent à la différence 1 — a infiniment petite, positive ou négative, et qu’à cette limite, un changement infiniment petit dans la valeur de 1 —a, suffit pour produire un changement brusque dans 1823. 76 602 CALCUL NUMÉRIQUE DES INTÉGRALES DÉFINIES. celle de l'intégrale dont il est question. Dans le cas où l’on aurait rigoureusementa—1, la valeur de cette intégrale serait la moyenne des deux valeurs précédentes, ou égale à l'unité; et, en effet, on a, dans cette hypothèse, o {1—2acos.æ-+a°)* o DES fi (a— cos.x )sin. xdx I F sin.ædzx Au reste , il existe beaucoup d’autres intégrales définies , renfermant, comme celle-ci, une constante sous le signe f qui ont des valeurs differentes, selon que cette constante est positive ou négative, bien qu’elle puisse être infiniment pe- tite. C’est ainsi qu’on a, par exemple, ca sinaz y : Le 2 % T—:;7, —=O0, OU——:7T, o selon que la constante « est > o,—0, ou < 0. RAR RAR RAR AR AA ARR A LAS RARE RAR LR ONE NAN ARR DR ER RNA LR TR RAR RAR danenasrs nor sus san MÉMOIRE Sur les développements des fonctions en séries pério- diques. Par M. AUGUSTIN CAUCHY. Lu à l’Académie royale des Sciences ,le 27 février 1826. LA solution d'un grand nombre de problèmes de physique mathématiqueexige le développement des fonctions en séries périodiques, par exemple, en séries ordonnées suivant les sinus ou cosinus des multiples d’un même arc. Dans les séries de ce genre, les coëfficients des différents termes sont ordinairement des intégrales définies qui renferment des sinus ou des cosinus; et, lorsque les intégrations peuvent s'effectuer, en raison d’une forme particulière attribuée à la fonction qu'il s’agit de développer, on reconnaît aisément que les séries’ obtenues sont convergentes. Toutefois il était à désirer que cette convergence püt être démontrée d’une manière générale, indépendamment des valeurs des fonctions. Or, on y parvient facilement en faisant usage des formules que j'ai données dans les Mémoires sur les ondes (1), et sur (x) Voyez la page 232 du Mémoire sur la théorie des ondes, et la page 29 du Mémoire sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires. 76. 604 DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, et remplaçant, à l’aide de ces formules, les sinus ou cosinus renfermés sous le signe du par des exponentielles dans les- quelles les parties variables desexposants sont négatives. Ajou- tons que l'emploi des mêmes formules fournit le moyen de substituer, dans certains cas, à la série qui représente le développement d’une fonction une intégrale définie, et que cette substitution produit de nouvelles équations fort remar- quables dont on peut se servir avec avantage dans les ques- tions de physique mathématique, Pour montrer une explication de ces principes, considé- rons la série a «a (44 (1) "1 JS (ve) du Se af cos. . (x —vy).f(u) du 3£ af cos. 47 (&—y).f(u)du “+ étc. US o (0) Il est facile de reconnaître 1° que la fonction représentée par cette série ne varie pas, quand on fait croître ou dimi- nuer + d'un multiple de a ; 2° que cette fonction, entre les limites x—0,x—a, est équivalente au produit a f(x). En effet, si l’on désigne par « un nombre infiniment petit, et si l'on pose 8— 1 —e, la série (1) pourra être remplacée par la suivante a a . (&-p) V3 ÿ a 4 (xp) JL rodu+ f e F)de+ f e J(u)dy + etc. (ep) a (ap) V5 a +fe OCR f(u) du + etc. o [e] EN SÉRIES PÉRIODIQUES. 6Go5 aug ee Ÿ en Or , & étant très-rapproché de l'unité, et x étant compris entre zéro et a, l'expression sie I . I 27% ; — 27% —_—_— = fu) tr = GS eV, sera sensiblement nulle, excepté quand 4 différera très-peu de +. Par suite, la dernière des intégrales relatives à y pourra être prise entre deux limites tres-rapprochées de x. Or, si l’on fait y—x+ew, et 0 —1—e, cette intégrale sera réduite sensiblement à ref | On aura jus entre les limites x—0,x—a, I RE + 27 — HV 1 MM à dw=af(x). ® (2) f(x) = Ef JU) du 2 fc. = a ()dut f° cos. EE (ay) f(e)dy + etc. 606 DÉVELOPPEMENTS DES: FONCTIONS La série précédente peut être fort utilement employée dans plusieurs circonstances. Mais il importe de montrer sa convergence. Or, pour y parvenir, il suffit de rappeler qu’on a généralement, lorsque la fonction o{y + vV/—+) s'évanouit - pour =, ® fetes fete nid tea € (Ce (z))); et, lorsque la fonction (+ vl/x) s'évanouit pour y —— a £ 20 4 "+ Oo (4) 'i e(u)du= = Î Lea) pd 215 € ((eG) o o Le) — œ® Si, dans la première de ces équations, on pose bUEV pe NL ft) b étant une quantité positive, et f(,)une fonction qui reste finie pour toutes les valeurs réelles et imaginaires de y, on aura of + CES D CE CN ETC Pre) Ca D Si l’offsuppose, au contraire , —pW p(u)—=e j f(&), on aura Of de PCT rca Je ÉN SÉRIES PÉRIODIQUES. 607 Cela posé, revenons à l'équation (2). Cette équation, pouvant s’écrire comme il suit : =U) V5: ue Re RE Au) du Sete U—x)V/= + raie" Fr S(e)du+ ete., on en déduira, à l’aide des équations (5) et (6), Eh ME , + ete. LF(a + 2) —f(V5)]dy I co — V5 SET y | — =] L a ga + ae Wide et par suite (9) Sa= if fode = | FH) OV) Safi) y Ne Eva 2, RS, y e4 —1 e e - 6o8 DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS La série comprise dans le dernier membre de la formule (8) a évidemment pour terme général ? 2 V5 " _?rr, de ni Te e * [fat V=n)—/VTr)]d) (e) (10) 2nTx — 27% 1 SN le Tv DT = fe Vers ie, . A7 ou, si lon fait == VE I a = anis + [ra FREE Vi 1) | de y PURE 7 = Je dre nn) (E Vi )|de Or, pour des valeurs très-grandes de 7, chacune des inté- 1 grales comprises dans l'expression (11) se réduira sensible- ment à Y—Z;, (ri) fa) —f(o), et cette expression elle-même à (12) — 2 [a)—f(o)}sin. Or, il est clair que la série qui aura pour terme général l’ex- pression (12), sera une série convergente. IL est essentiel de remarquer que la formule (9) peut se déduire immédiatement des équations (3) et (4). En effet, on a, en vertu de ces équations, en supposant æ renfermé PORN ENT PU OS Chr EN SÉRIES PÉRIODIQUES: Gog entre les limites o et à, Ji Ju) du qi Ne fa+aV—)SOVS) y, 2 f(x) 27 == 27% 2 RE E E: = 2% = — 275 x 0 —{(#—x)V =: o RTE AE EN (AT ==}, Te A RÉ AVE) er) Or, il suffit d’ajouter ces dernières équations pour retrouver la formule (10). Si l’on remplace x par a, dans les intégrales relatives à que renferment les équations (13), on tirera des formu- les (3) et (4), 11 Me. mes ml e)+ 0] TAUET — “ne S JS f(u)dw a puis, en ajoutant, 2% (15) De à — = [fta) +f\o)]. On aura donc =" VOL 7 Re EVE dy f{a)+flo) (e) (16) -f Por 1823. 77 Gro DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS, La formule (16) paraît mériter l'attention des géomètres. Elle comprend,comme cas particuliers, des formules connues. Si l’on fait, par exemple, f(x)— x", elle donnera puis, en prenant 4a—2#+, D ydy Pet: y TEE À Le) PE Nous terminerons en observant que la théorie des inté- grales singulières suffit pour déduire la formule (16) de la formule (9), quoique au premier abord ces deux formules ne paraissent pas d'accord entre elles. Post-Scriptum. Dans les formules (3) et (4), le signe Ÿ, placé devant la fonction ,(z), indique, conformément aux notations adoptées pour le calcul des résidus des fonctions, la somme de plusieurs résidus de la fonction + (z), c'est-à-dire en général, la somme de plusieurs des valeurs du produit :p(z+e) correspondantes à des valeurs infiniment petites de +, et à des valeurs infinies, réelles ou imaginaires de 2, qui vérifient l'équation 1 (17) LE ent Les limites placées à droite et à gauche du signe £ sont les quantités entre lesquelles doivent rester comprises 1°les par- ties réelles, 2° les coëfficients de |: dans les diverses va- EN SÉRIES PÉRIODIQUES. Ori leurs de z tirées de l'équation (17). Ajoutons que la démonstra- tion donnée ci-dessus de la convergencede la série (r) suppose évidemment 1° que l'équation (2) peut être remplacée par l'équation (8), ce qui a effectivement lieu quand la fonction f(w) conserve une valeur finie pour toutes les valeur finies réelles ou imaginaires de 4; 2° que l'expression (11) ne devient pas indéterminée pour des valeurs infinies de x, ce qui arri- verait, par exemple, si l'on prenait /(z)—e° . Si ces condi- tions n'étaient pas remplies , la série (1) pourrait devenir di- vergente. C'est, en particulier, ce qui aurait lieu, si l’on prenait fo» puisque alors le temps général de la série (1), ou l'intégrale 2[" cos (re join, AA Ie D (a— au) ? aurait une valeur infinie. Observons encore que, si l’on veut obtenir sous forme finie le reste de la série comprise dans l'équation (2), il suffira de remplacer, dans la formule (10), les produits LEP Em PAT, 2nTT ti 2nTF er ES enne ENNamrrernrs e par les fractions 2ATT — 27% 2nTT = — 27 — VW: — Vu — y e a e [44 e a e a DOTE DEN de : 2% ? DT LQEEE 27 V1 —-—Y bo" 612 DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS, etc. Aprèsce remplacement, il deviendra facile, quand la série (1) sera convergente, d'assigner des limites entre SE 3 soit renfermé le reste dont il s’agit. 2 4 le baspp woil tnomisyosfs 6 iup 9 not: ; { hi è b : | ) ig 1 10 {e ini ) ‘If # : PR d S . 1 | F is ani La } ; one Ê I V ons F:: FESSSES ETES RSS ESISISESISESEÿ —:1=-0 Zom.E, Acad, des J'etencer . 1823 ’ pe FONTAINE 24 27 : (Es MRerree ee) Th nomeries À LCeho-dyname (le. Z Z : 1023. Tôm.E, Acad. der d'etencer PE Fig.5. Fig.b. F7 21829: Tome €, Acad, der Sel 9 (AA 1 B Darrie Pl2. Fig jo. ? ne LS CP . 40 ' ) s) de , ÉAUZ De ; ( Herr te ds c Tfenomenes Cecioo dr (AA : Ë Pl. — }/23, Tome L, Acad, der Jewncer. PARLE OA RE EC = s' 2" f Fÿ.20. G 6° ” 3 LIBRAIRIE DE GAUTHIER-VILLARS x vs SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER QUAI DES AUGUSTINS, 55, À PARIS ÿ “4 INSTITUT DE FRANCE. — Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Lu” Ces Comptes rendus paraissent régulièrement tous les dimanches, en un cahier de'32 à 40 pages, ile quelquefois de 80 à 120. L'abonnement est annuel, et part du 1°" janvier. Paix de l'abonnement franco : Pour Panisee- "ut, 20 fr. || Pour les départements . . 30 fr. F Pour BIO MP OS LOMME en pe RER e NL ARE FRE NS 34 fr. x La collection complète, de 1835 à 1877, forme 85 volumes in-4. . . . . ..... 637 fr. 50 c. 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La librairie Gauthier-Villars, qui depuis le 1° janvier 1877 a seule le dépôt des Mémoires publiés par l'Académie des ve Sciences, envoie franco sur demande la Table générale des matières contenues dans ces Mémoires. INSTITUT DE FRANCE. — Recueil de Mémoires, Rapports et Documents relatifs à l'observation du passage de Vénus sur le Soleil. ; 1e Panne. Procés-verbaux des séances tenues par la Commission. In-4; 1877. . . . 12 fr. 50 c. Ie Partie, avec SUPPLÉMENT. — Mémoires. In-4, avec 7 pl., dont 3 en chromolitho- ÉRADE EP AIO TGS EPA ASE EU EE RC Re Ti ES ARS CN e Pe MRe OOD ÉOES VAL 12 fr. 50 c. INSTITUT DE FRANCE. — Mémoires relatifs à la nouvelle Maladie de la Vigne, présentés par divers savants. Ç : A - I. — DUCLAUX, Professeur de Physique à la Faculté des Sciences de Lyon, délégué de l'Académie. — Dr: ntudes sur la nouvelle Maladie de la Vigne dans le sud-est de la France. In-4, avec 8 planches NAS représentant, teintes en rouge, les portions du territoire où le Phylloxera à été reconnu à la fin Fr de chacune des années 1865 à 1872; 1874. . . . . .. ........... RE RC (Epuisé.) HSE IE —- CORNU (Maxime), aide-naturaliste au Muséum d'Histoire naturelle, déléqué de l'Académie. — - SÛR Études sur la nouvelle Maladie de la Vigne. In-4, avec 3 planches en couleur, gravées sur acier, 14 représentant les galles produites par le Phylloxera sur les feuilles des vignes américaines, les ss altérations des racines par le Phylloxera et des coupes de racines en un point sain et sur un HERHEMENU SAS TASER CAE A RS ER AR Se Pur D De NAN ER ETS EEE Ar 50e IT. — KAUCON (Louis). — Mémoire sur la Maladie de la Vigne et sur son traitement par le procédé dONANSUbMErsSI ONE STAR NN NE EN ent MATE 212850) c: IV. — BALBIANI. — Mémoire sur la reproduction du Phylloxera du chêne. In-4; 1874 . . . A fr. … M: — DUMAS, Secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences. — Mémoire sur les moyens de combattre l'invasion du Phylloxera. [n-4; 4874... . .................... Artre VI. — BOULEY, Membre de l'Institut. — Rapport sur les mesures administratives à prendre pour préserver les territoires menacés par le Phylloxera. In-4; 1874 ; HoLC: VII. — DUMAS, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences. — Communication relative à la destruction du Phylloxera; suivie de : Nouvelles expériences effectuées avec les sulfocarbonates alcalins; manière de les employer, par M. Mouircerenr, délégué de l'Académie; et de Recherches sur l’action du coaltar dans le traitement des Vignes phylloxérées, par M. Bazpranr, délégué’ de DROLE EE LEP AB RTE NE ENT RNA se EE PQ A AE fonc, VIT. — DUMAS, Secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences. — Rapport sur les études relatives é FRE présentés à l'Académie des Sciences par MM. Ducraux, Max, Cornu et L. Faucon. OR RE EN RTE A LRO dre DLL EME ee EL Ste EE RASE CEE NES 75 c. AUX. — DUCLAUX, Professeur à la faculté des Sciences de Lyon. — Études sur la nouvelle Maladie “de la Vigne dans le sud-est de la France. In-4, avec une planche représentant, coloriés en rouge, es pays vignobles atteints par le PAYS ER ABB AE Tee Ne 75 ce. X. — COMMISSION DU PHYLLOXERA (Séance du 3 décembre 1874). — Observations faites par MM: Bazsrani, Cornu, Giraro, MouILLErERT. — Analyses chimiques des diverses parties de la vigne : saine et de la vigne phylloxérée, par M. Bouriv. — Sur les vignes américaines qui résistent au & .Phylloxera, par M. Micranner.— Vins faits avecles cépages américains, par M. PASTEUR. — Traitement par le goudron de houille, par M. Rowuier. — Sulfocarbonates, par M. Dumas. In-4; 1875. . 2 fr. XI. — COMITÉ DE COGNAC (Station viticole. Séance du 21 mars 1875). Expose des expériences faites à Cognac et des résultats obtenus par M. Max. Connu et M. Mouicerent. [n-4; 1875. 1 fr. XII. — DUMAS, Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences. — Note sur la Pomitosition et les propriétés physiologiques des produits du goudron de houille. In-#; 1875. . . . . . . . .. 50 c. XIII. — DUCLAUX, Professeur à la Faculté des Sciences de Lyon. — Études sur la nouvelle Maladie de la Vigne dans le sud-est de la France. In-4, avec une planche représentant, colorits en rouge, les pays vignobles atteints par le Phylloxera en 1874. . . . . . . . . .. . . ... ..... 75 c. XIV. — BOULEY, Membre de l'Institut. — Rapport sur les réclamations dont a été l objet le décret Em à l'importation en Algtrie des plants d’arbres fruitiers ou forestiers venant de France. ABOU Tee re trente le es eva ere she titine ne EC Ne 190: 2 — DUMAS, Secrétaire perpétuel de l’Académie des Sciences, et Max. CORNU. — Instruction pratique sur les moyens à employer pour combattre le Phylloxera, et spécialement pendant l'hiver. ELA LYS RS Pi) nn Res 0 NON MORE) PUR NE APCE RTE Enr: A 2.2 LAN 75 c. XVI. — MILLARDET, Délégué de l'Académie. — Études sur les Vignes d'origine américaine qui résistent au Phylloxera. PA AIBRO E-rea el ce DEl.S LU Se deb EC té Me VD (EU 2 ta XVIL. — GIRARD (Maurice), Délégué de l’Académie. — Indications générales sur les vignobles des Charentes; avec 3 planches représentant, teintes en rouge, les portions du territoire des Charentes où le Phylloxera a été reconnu à la fin de chacune des années 1872, 1873 et 1874.In-4;, 1876. 2fr.50c. XVIII. — CORNU (Maxime) et MOUILLEFERT, Délégués de l'Académie. — Expériences faites à la station viticole de Cognac dans le but de trouver un procédé efficace pour combattre le Phylloxera. DURE CEA DRE SA ST à RES ES ROIS IOPES AE NOMERn E tuer ae AUS A EN a » fr. XIX. — AZAM, Docteur en Médecine. — Le Phylloxera dans le département de la Gironde. In-4, avec une grande planche représentant, au moyen de teintes noires, rouges et bleues, l’état du MES en 1873 et son développement en 1874 et en 1875; 1876. . . . . . . . . . . ..... 19€: — BALBIANI — Sur l'éclosion de l'œuf d'hiver du Phylloxera de la Vigne. In-; 4876. por n° XXII.) XXI. — Extraits des Comptes rendus des Séances de l'Académie des Sciences de l'Institut de France. (Séances des 2 novembre 1875*et 2 juillet 1876): 2% 4: . 20 EN Re ECO Auf SomMAIRE : Sur la parthénogénèse du Phylloxera comparée à celle des autres Pucerons; par M. BALBIANI. — Résultats obtenus, au moyen du sulfocarbonate de potassiuin, sur les vigues phylloxérées de Mézel, par M. AUBERGIER. — Observations sur la lettre de M. Aubergier; par M. Dumas. — Sur le mode d'emploi des sulfocarbonates, par M. J.-B. JaugekrT. — Etat actuel des vignes soumises au traitement du sulfocarbonate de potassium depuis l’année dernière; ; ar M. P. Mourrérgrt. — Résultats obtenus à Cognac avec les sulfocarbonates de sodium et de baryum appliqués aux vignes phylloxérées; par M. P. Mouizzér£rT. — Expériences relatives à la destruction du Phylloxera; par M. MartoN. XXII. — BOUTIN (aîné), Délégué de l Académie. — Études d'analyses comparatives sur la vigne saine et sur la vigne phyloxére8-Jn-4°487720,,;.100,. 05 ue Rp a ee cree AVE XXII. — BALBIANI, Délégué de l’Académie des Sciences, Professeur au Collége dé France. — Mémoires sur le Phylloxera, présentés à l'Académie des Sciences, en 1876. In-#; 1876225 9 fr SommaIRE : Sur l'éclosion prochaine des œufs d'hiver du Phylloxéra (mars 1876). — Sur l'éclosion de l'œuf &'hiver du Phylloxera (avril 1876). — Sur la parthénogénése du Phylloxera comparée à celle des autres Pucerons, — Nouvelles observations sur le Phylloxera du chène comparé au Phylloxera de la vigne. — Remarques au sujet d'une Note récente de M. Lichtenstein sur la reproduction des Phylloxeras. — Recherches sur la structure et sur la vitalité des œufs du Phylloxera. XXIV. — DUCLAUX, Professeur à la Faculté des Sciences de Lyon, délégué de l'Académie. — Études sur la nouvelle Maladie de la Vigne dans le sud-est de la France. Pays vignobles alteints par le Phylloxera en 1875 et 1876. In-#, avec 2 planches; 1876. . . . . . . . . . . . . . .. AWfr.#25 10: XXV. — COMMISSION DU PHYLLOXERA. — Avis sur les mesures ma prendre pour s'opposer à l'extension des ravages du Phylloxera. In-#; 1877. . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . .. Fouc. XXVI. — CORNU (Maxime), Délégué de PAtadimées — Études sur le Phylloxera vastatrix. In-4 de 358 pages, avec 24 planches en-couleur. 1878 . 5.2.7, . 4 M LR ER SE 10 fr. INSTITUT DE FRANCE. — Instruction sur les paratonnerres, adoptée par l'Académie des Sciences (Ke Partie, 4823, par Gay-Lussac. — 1° Partie, 1854, par M. Pouillet. — IIIe Partie, 1867, par M. Pouillet). In-18 jésus, avec 58 figures dans le texte et une planche; 1874. . . : . 2 fr. 50 c. PRÉFECTURE DE LA SEINE. — Assainissement de la Seine. Épuration et utilisation des eaux d’égoût, 4 beaux volumes in-8 jésus; avec 17 pl., dont 10 en chromolithographie; 1876-1877. 26 fr. PRÉFECTURE DE LA SEINE. — Assainissement de la Seine. Épuration et utilisation des eaux d'égoût. — Rapport de la Commission d’études chargée d'étudier les procédés de culture horti- cole à l’aide des eaux d’égout. In-8 jésus avec pl.; 1878. . . . . . . ... . . . .... ... 4 fr. 50 RAPPORT DE LA COMMISSION D'ÉTUDES chargte d'étudier l'influence exercée dans la presqu'ile de Gennevilliers par l'irrigation en eau dégoût, sur la valeur yénale et locative des terres de culture. [n-8 jésus avec 3 planches en chromolithographie; 1878 . . . . : . . . + . . . .. 3 fr. © ET OV % HS ER RES