/ ■■: ■' ~-r MEMOIRES D E L'ACADEMIE ROYALE DES SCIENCES Djp'àr, 1666. )ufc|Li'a 16 >99- T 0 M E X I. '%?. (-: i é^^'. /ta .-:>/. ,^» ■^'^^f^ ■^'^.ft^ A P A R I s > PAR LA COMPAGNIE DES LIBRAIRES. Kl DCC. XXX I 1 I. AVEC PRIVILEGE DU ROY. ' .-- i y^ i-. ■ .. A u A A N A L Y SE GÉNÉRALE. O V METHODES NOUVELLES POUR RESOUDRE LES PROBLEMES de tous les Genres & de tous les Degrez à l'infini. l'ur M. DE LAGNY de l'Académie Royale des Sciences , Csf de la Société Royale de Londres, Par les Soins de M. K. i c h £ a. 4/ 'J EXTRAIT EXTRAIT DES REGISTRES de l' Académie Royale des Sciences. Du 23. Janvier 1731- MeSSIEURS Nicole Se Pitot qui avoienc été nommez pour examiner un nouveau Traité d'Analyfe de M. de Lagny , dont une partie a été déjà inférée dans les Mémoires de l'Académie , &c le tout a été mis en ordre par M. Richer , en ayant fait leur rap- port j La Compagnie a jugé que quoi qu'il y aie plufîeurs Traitez lur cette matière , celui-ci fera utile parce qu'il contient plufîeurs Méthodes nouvelles pour la réfolution des Problêmes déterminez & indéterminez èc pour les Equations de tous les degrez , foit par des formules rationelles , fbit par des léries très conver- gentes , ou enfin par un triangle Analytique & Numé- rique auquel M"", de Lagny donne le nom de TriAngle des Rapports. En foi de quoi j'ai figné le préfent Certificat, à Paris ce 3, Février 1732. Fontenelle , Secrétaire ■perpétuel de l'Académie Royale des Sciences. Cij Du 13' Février 1751. ]Vl ONSIEUR de Lagny demande à l'Académie la Permilïïon de faire imprimer Ion nouvel Ouvrage fur l'Analyfe , à la fuite des Ouvrages des Académiciens dans la nouvelle édition de Coignard & Compagnie , dirigée par M . Godin. Accordé par l'Académie le 1 3 Février 1731. Fontenelle, Secrétaire perpétitel de l'Académie Roj/de des Sciences V PREFACE. LE Service du Roi , le progrès de la Ge'o- me'triej la perfedion des Sciences Phi- lico - Mathématiques ^ & des Arts utiles à la Société', voilà l'objet que je me propofe dans cet Ouvrage. J'ai principalement en vue de ?• II. mcmbres »)• 19. -¥- iij. iS. bc U8. 10 5 inconnue l}7. 144. 10. JOOO, I4«. 16. 0000. H7. 7&g. IIOOO. I4J, iy&i7. 17- 154. 158. 18. ? 15 5 -H i;7. 4- — lii. II. Signes. lifcz CcrreSion. partant, nombres. i-+- c connue. loooo. 5000. loooo. lignes. Kotez- Dans la cinquième Table des Equations ( féconde efpéce au troifiéme rang) que la fraftion de la Racine doit toujours être i hors du radical , & i fous le radical , ce qui cfl général. AVERriSSEMENT, AVERTISSEMENT. LA Méthode que nous donnons pour ré- foudre les Equations par des tables, eft très-propre à éclairer le Lecfteur & à lui four- nir les moïens d'approfondir tout ce qui regarde cette matière : ces tables prefentent à la vue une infinité de fériés infinies d Equations fem- blables dans chaque cas particulier, qui ne dif- férent que dans 1 homogène. Toutes ces Equa- tions forment des progreflions Arithmétiques, de telle forte qu'une Equation étant propolée, on apperçoit le rang qu'elle occupe dans ] in- fini , on connoît fa lérie , fa progreffion ôc la loi de cette progreflion. Cette Méthode a d ailleurs tout l'avantage qu'on peut délirer (ur la Méthode ordinaire de réfoudre les Equations par des formules , & ne participe point à fes défauts, I ». Par fon étenduëj la nouvelle Méthode des tables s'étend à tous les degrez à l'infini, elle embraffe également le cas irréduélible com- me le cas ordinaire , & le réfoud avec la même facilité : mais les formules font bornées au 3e. degré au-delà duquel elles ne peuvent s'étendre , elles n'embraffent pas même le 3=. degré tout entier, car elles ne peuvent refou- Andyfe. A a AVERTISSEMENT. . dre les quatrcs formules de la z°''. efpace de la l'^^clalTedu 3e. degré, dans lefc][uelles le 3e. terme cft évanoui. Elles ne peuvent fervir pour les huit for- mules de la 3e. clafTe qui ont quatre termes , qu'indiredlement , ôc après en avoir fait éva- noiiir le fécond terme. L'ufage des formules fe borne donc direâre- ment aux quatre formules de la i"^ efpece de la 1*^^ clalTe dans lelquelles le fécond terme eft évanoui ; mais il en faut encore retrancher le cas irréducHrible , qui comprend la 4^ for- mule toute entière , &c le quart des Equations poihbles de la 3e. formule, parce qu'il eft im- poiïible d'en tirer les racines par la formule or- dinaire, quoiqu'elles loient tres-réelles. xo. Par la facilitéj par les tables je réfoud les Equations du 1". coup d'œil fans aucune opération, leur conftrucflion efl facile, elles fe font par la fimple addition ou fouftradlion fui- vant les fignes de l'expreffion générale de l'E- quation. On peut les continuer auffi-loin qu'on voudra avec la même facilité , nous donnons même des abrégez afin de pouvoir fe fervir dans les grands nombres des petites tables comme des plus grandes. Mais la Méthode des formules oblige à plu- fieurs extractions de racines quarrées & cubi- ques, opérations longues & ennuyeufes, mais AVERTISSEMENT. 5 fouvent inutiles , lorfque les racines quoique re'elles Se l'ationnelles viennent fous un.e forme irrationnelle , ou (bus une forme imaginaire,ou la formule devient entièrement inutile. 30. Par fon exactitude , puifque les tables donnent exadement les racines des Equations telles qu'elles lont , mais les formules de la i"". racine du j^ degré donnent le plus fouvent les racines réelles ôc rationnelles déguifées, ou fous une forme irrationelle , ou fous une forme imaginaire. Tous ces avantages font fenfibles dans les exemples qui fuivent, où l'on compare les deux Méthodes en les appliquant à refoudre les mê- mes Equations. i". exemple. Soie propofée l'Equation du 3^degré.v'— i-é.v =88. lo. Par les tables. La ^^. table de la i"^ ef- péce donne fa l"^ racine pofitive.v=4. La je. table de la féconde efpéce donne fes trois racines dans une même cellule que l'ho- mogène 8 8 ; fçavoir , la i"^ racine pofitive Ar=4,les deux autres négatives égales & ima- ginaires .v= — i-jV-ITTS. lo. Par les formules. La formule de la première racine efi: x=yi ù~^^ibb-^± J — y-' l^ '^1H^± .^ qui Aii AVERTISSEMENT. donne.v:.=V44— i-^c,44 — y4^— +-^77^4- qui donne la i='\ racine fous une forme irratio- nelle, puifque 1944 cft un quarré imparfait, fa racine ei\ entre 44 & 45 , d où l'on tire la va- leur de la i"^ racme 4 -h.ou 5 — qui ell irratio- iielle. Quoiqu'elle foit rationelle, puifque ceft prccife'ment 4. il fuffit de multiplier les trois racines que nous venons de trouver par les tables pour en avoir la de'monftration. zd. Exemple. Soit A.-'— S'o.v= 100 , qui eft /origine du cas îrré- duSîible. 10. Les tables donnent les 3 racines qui font réelles. La 6e. table de la \"\ efpéce donne fa i"\ racine pofitive.v= 10. la 6^. table delà i.^\ ef- péce donne dans une même cellule fous l'ho- mogène propo(é ICO, les trois racines, la i"''. .v:=io qui cil réelle & pofitive , les deux au- tres réelles , négatives , égales &: irrationelles zc>. Par les formules, La formule de la première racine eft ^ 4 17 2 4 ^7 -l- 1 I .. i— aonnc.v=]/îû-4-;,-i45oo-+-]/jo-;/-i4 500- D-^"s laquelle l'exprefTion imaginaire — >/-245Qorcnd toute la formule imaginaire par AVERTISSEMENT. / une efpece de contagion qu'elle communique à la partie re'ellejo, d'où il cfl; impoflible abio- lument de tirer la valeur de la racine , quoi- qu'elle foit re'elle & pofitive. 3 e. Exemple. Dans le cas irréducithle. Soitx'— 9o.v= 1 10. dans la y. formule. ou x'— 90x_=r— 1 10. dans la 4=. formule. Ces Equations font dans le cas irre'dud:ible, par conféqucnt les 3 racines quoique réelles font irrationelles, c'elt-à-dire incommenfurables entr'elles, on ne peut les exprimer exaârement par aucun nombre entier qui foit un divifeur exaâ: de ces Equations ; on peut feulement en approcher , & il n'y a qu'un feul nombre qui donne cette valeur approchée, c'efl: 10. 10. La table de la i"'. efpece donnex^ 10 dans la 3«. formule,& x= — i o dans la 4c.formuIe. La table de la ^''^ efpece donne tout enfemble les trois racines 5 Sçavoir, dans la 3^ formule A-=i o , & x=— j-H-^ry. & dans la 4'. formule 2". Par les formules. La formule de la i'^'^". racine eft .\='V'4 5 -+-;,! o 15-393 04-H-V4 5-1^101 j 3 9 3 04 Ar=V4 5-4-;/3 7 2 79-f V45 ^>-3 7i79 qui ell une formule imaginaire d'où il eft ab- folument impoffible de tirer aucune valeur pour la racine qui eft Cependant réelle mais irratio- nelle. A lij 6- AVERTISSEMENT. 4-. Exemple. cas irréducîible. Soit X ' — 9ox= 90 dans la 3'^. formule, ou A-'— 9ox=:— 90 dans la 4^ formule. 1°. Par les tables. La (>". table de la i"""* efpe'ce donne la i^". racine approchée, a';^ 10 dans la l". formule , &:x=— 10 dans la4''. formule. La 6^- table de la 2.''"'. efpece donne dans la mê- me cellule de l'homogène 90. les trois racines , X ==ïo,Xz=^— ^— +"^1 y dans la j''. formule. Mais pour la 4*:. formule x=— i o, & x= 5 --+■^/1 5. Remarque. Comme 10 ell la i"- racme exac- te de l'Equation x ' — 90Ar ^= 1 00 , qui eft l'o- rigine d où partent les Equations dans le cas irrédudlible , elle eft aufli ieule la i"". racine ap- prochée de toutes les éq uations femblablesqui ne différent que dans le leul homogène qui peut varier à l'infini , foit en diminuant de i o , ioit en augmentant de 10 à l'infini :or dans toutes ces va- riations de l'homogène, 10 eft la feule racine la plus approchée en nombres enticrs,car elle pour- ra toujours divifer toutes ces équations non pas exadlement , mais avec un refte pofitif , lorfque les homogènes font moindres que 100. & avec un refte négatif lorfque les homogènes > 1 00 en la 3c. formule, &: au contraire en la 4^ formule : mais aucun autre nombre que 10 ne pourra être le divifeur de ces équations dont la iérie eft infinie. Donc les tables donnent la racine la plus approchée en nombres entiers danslecas AVEPvTISSEMENT. ■ 7 irrédudible fans aucune opération • &: pour avoir une approximation plus grande, on ic (er- vira des Me'thodes nouvelles que nous donnons dans cette Analife. La première racine approche'e e'tant trouve'e a:=io , on connoîtra quelle ell cette approxi- mation, en comparant l'homogène propolé, ou le refte que donne la divifion avec ioo,quiefl: l'homogène de l'origine du cas irre'dudiible. L'ap- proximation fera d'autant plus approche'e que la différence fera moindre , de l'approximation fera d'autant plus éloignée que la différence fe- ra plus grande. i'\ Par les formules , on trouve une for- mule imaginaire &impo{fible pour la i"^ racine ! . , c efl ,v-=:y4 j_-j-^_ 2.4975— i.V4j_^>_i^c)75 par- inutile comme dans l'exemple précédent. Les avantages de cette nouvelle Méthode nous ont engagé de la tirer du corps de l'Analife entière &complette que nous publions, où elle occupoit la fedion 7. du livre i ". & de la placer féparément à la tête de l'ouvrage pour fatisfaire à rempreffement du pubhc. METHODE MET NO UV ELLE POVK RESOVDRE L ES P RO B L E'M ES détermincz^oH les Equations de tous les dcgrcz^à, r infini . ^ même dans le cas irréducîible. Etre Méthode confiftc dans la conftruc- tion & rufagc des tables expliquées p. 3 1, &c ; chaque table cfl; drcirée fur une for- mule & fert encore pour d'autres, en y accommodant les lignes. Ces tables font de deux efpéces, qui ne différent que dans la manière de donner les racines des Equations quelle^ contiennent. Les tables de la première cfpcce donnent fur leur bor- àure à gauche la première racine de tous les homogènes qui font dans l'échiquier, lorfqu'elle cft rationclle ; mais non pas-lorfqu'elle cft irrationclle. Anal^fe. * B lo Méthode nouvelle, La féconde efpécc des tables donne directement fout à la fois toutes les racines des Equations de tous les de- grez , de quelque nature que foicnt les racines, réelles ou imaginaires, rationclles ou irrationellcs , en quoi elle a l'avantage fur la première cfpéce, • Cette Méthode ne fc borne point là , car en conti- nuant ces tables , leur confidération feule préfcntera à l'efprit une infinité de Théorèmes & de Problêmes im- portans , d'oià l'on pourra rirer pluficurs Méthodes dif- férentes pour refondre les Equations. Les commençans pourront s'exercer à dreffer ces ta- bles aufll amples qu'ils le jugeront a. propos, ils en tire- ront beaucoup d'utilité, ils y remarqueront les progref- fions Arithmétiques qui y régnent conftamment , foit dans les homogènes, foit dans les coëfficiens ou fadeurs, foit dans les puiffances de l'inconnue , foit enfin dans les racines des Equations , c'eft le fondement de la con- ftruétion de ces tables &c de leur ufage ; d'ailleurs ces tables par elles - mêmes ferviront comme un inftru- ment univerfel , pour réfoudre du premier coup d'œil &: fans aucune opération toutes les Equations qu'elles ren- ferment. Pour faciliter la conftruction de ces tables , on peut éviter de tracer les lignes de l'échiquier , en fe fervant d'un chaflis de carton divifé avec des fils par difFérens carreaux , on peut auffi mettre la bordure d'en haut , Se celle qui eft à gauche fur deux bandes de papier qui fe déplienr en dehors, & qui excédent les pages qni coiv- tienncnt l'échiquier. Une Equation littérale fc nomme une formule , par- ce que c'eft l'exprclTion générale de toutes les Equations numériques fcmblablcs ; car il n'y a qu'à fubftituer des nombres à la place des lettres connues pour avoir des Equations numériques , & fubftituant fucceiPivement chacun des nombres de la fuite naturelle à l'infini , on POUR LES EqJJATIONS A l'iNFINI. H aura des férics infinies d'Equations femblables à l'infini. Dans chaque degré , il y a des Equations complettes & incomplettcs , ce qui fait deux genres que je divife par clafles & par efpéces difFerentes afin de traiter cette matière avec ordre pour faciliter la rcfolution des E- quations. Une Equation complette contient toujours un terme de plus que l'cxpofant de fon degré ne contient d'uni- tcz. Ainfi dans le fécond degré elle a trois termes , dans le troifiéme degré quatre termes , 8cc. Voilà la dernière clafle des formules de chaque degré , fon expofant eft celui de fon degré. Une Equation incomplette contient moins de termes que l'Equation complette , ce qui ne fe trouve que dans les Equations abrégées, car lorfque l'Equation n'eft point abrégée, elle contient en détail tous les produits de fa for- mation qui la rendent toujours complette ,■ mais en abré- geant , lorfqu'il fc trouve dans un même terme ou dans plufieurs termes des produits égaux &c contraires , ils rendent ce terme ou ces termes nuls , les détrui- fcnt & les font évanouir , voilà l'origine des Equa- tions & des formules incomplettcs qui donnent les au- tres claflcs. L'Equation pure & fimple dans chaque degré n'a que deux termes extrêmes , le premier terme eit la haute puiflancc de l'inconnue , & le dernier terme que je nom- me l'homogène dccomparaifonqui eft exprimé en nom- bres ou en lettres connues dans cette Equation , tous les termes moïens employez dans fa formation ont été dé- truits par des fignes contraires en l'abrégeant. Voilà la plus fimple Equation ou formule dans cha- que degré, &: la première clafle des formules : entre cette première clafTc &: la dernière , il y a autant de claiïcs différentes qu'il y a d'unitez entre leurs expofans,ouce qui revient au même dans chaque degré , il y a autant Bij Il Méthode nouvelle de claflcs ditférentcs entre les formules , que rexpofant du dcçrc concient d'unitez. Je diftingue encore dans chaque claffe des efpeces dif- férentes , &: dans chaque efpcce des individus qui font autant de formules diffcrcntes dans un même degré, & pour traiter cela avec plus d'ordre &c de Méthode, je ré- duis à fept Problèmes tout ce qui regarde en général les formules de tous les degrez à l'infini, car dans un de- gré quelconque, on peut demander. 1°. Le nombre de fes formules. 1°. Le nombre des formules ou de plufieurs degrez , ou de tous les degrez à l'infini pris enfemble. 3 °. Le nombre des clafTcs différentes des formules dans chaque degré. 4=. Le nombre des efpéces différentes des formules dans chaque claffe. 5°. Le nombre des individus ou formules particulières dans chaque efpéce. 6^. Chacune des formules particulières en lettres , pour une efpece & une claffe déterminées dans un degré quelconque, 7°. Enfin la formation des Equations numériques dans chaque formule particulière. Nous donnons la rcfolution de ces fept Problèmes , afin qu'il n'y ait rien qui puiffc arrêter le ledeur. PROBLEME L Béterminer le nombre des formules dans chaque degré. Soit f l'expofant du degré propofé , le nombre de fes formules eft zx 3P — ■ , c'eft à dire que ce nombre ell double de la puiffance de j moindre de l'unité que l'ex^ pofant de ce degré. POUR LES ECLUATIONS A L'iNFINI, 1} Exemple s. I— I Dans le i*^''. degré, où^=:i. j'ai 1x3 =1x3— 3:=:i, Donc le premier degré a deux formules. 1 — I Dans le z<^. degré , oùp ;=i, j'ai ix^ =1x5 ==• 6 formules. 3—1 Dans le je. degré, où/ =3, j'ai 2.x 3 =2x9 ==:i8. formules. 4 — 1 Dans le ^^. degré, où /== 4, j'ai 2.x ^ =^=zxz-; = J4. formules. 5 — i Dans le j^ degré, où ;'=y, j'ai 2x3 =2x81 = 162, formules, fi — 1 Dans le 6*^. degré , où p= 6, j'ai 2X 3 =2x243 = 48(3. formules. Dans le 7e. degré, où/> ==7, j'ai 2x3 =1x729 = 1458. formules. s — I Dans le 8^ degré , où/ =8 , j'ai 2X^ :^^=zx2i87 = 4374. formules. 9 — I Dans le pi:, degré, où/ = 5, j'ai ix:; ==2X£j£ï 1 3 1 22 formules. lO— . Dans tous les de- grcz fupérieurs , foit ^ Tcxpcfant du degré propofé , le nombre des formules toralcmcnr négatives dans le fé- cond membre & partant inutiles , eft une puifTance de 2 moindre de l'unité que l'expofant du degré , c'eft donc z' '. Ainfi dans le fécond degré , où y» == 1, j'ai z*" — ' == i* ' = 2, , ce qui donne deux formules inutiles. Dans le troifiéme degré , ou p = 3 , j'ai 2.' ' = 4 formules inutiles. Enfin dans le lo*^. degré ,où^= 10, j'ai z" ' z' = jiz formules inutiles. On peut les exptimer par la férié qui fuit. £xf!>fans des I, z. 3. 4, J. 6. 7. S. 5)™^ degré,&c, degrez "Nombre des I. Z. 4. 8. 16. 31. 64. IZ8. Z : — 2 , j'ai 2x3 ' ' ^" ' = i X 3 1 == 6 z = 4, nombre des formules utiles. î6 Méthode nouvelle. Dans le troifiéme degré , où p = 3 , j'ai t x 3' ' i' ' = 1x9 4= iS 4= i4,nombredes formules utiles. Dans le fcptiémc degré , où j? == 7 , j'ai z x y — ' .6 z' '==1x3 Z =ix 719 (S4= i4jg -54=1394. Dans le dixième degré, où p = 10, jai zx 5' 2-X3 z' = 393 65 yiz=3 88y4. On peut les exprimer par les quatre, fériés fuivantes pour en avoir le rapport , le premier cft lexpcfant du degré, la féconde efl le nombre total des formules dans chaque degré correfpondant , la troifiéme contient le nombre des formules inutiles à retrancher , la quatrième contient le nombre des feules formules utiles , &: c'cft la différence de chaque terme correfpondant dans la fé- conde &: la troifiéme férié. Exfofant du degré \. z. 3. Total des formules z. 6, 18. Inutiles. i. 2. 4. Utiles I. 4. 14 PROBLE'ME Déterminer le nombre des clajfcs des formules dijférentcs dans chaque degré. Pour diftinguer en différentes claffcs les formules d'un même degré ,je prends dans ce degré , par exemple, le cinquième, les deux Equations extrêmes ; fçavoir , fon Equation pure & fimple .v' ^=^'.qui n'a que deux ter- mes , &: fon Equation coraplette qui a tous fcs fix termes. x'=4'A,-+-f-4"x'-+- ^iiiAr"--!- 4" A-' — fc^&: je les écris de cette forte , mettant dans le premier membre la haute puiflance 4. T. G. 7- Î4. léz. 486. 1458. &c. S. \6. 3z. 64. &:c. <\6. 146. 4J4. i35)4-&c. ME III. POUR LES Eq^uations al'infini. 17 puiffancc de l'inconnue toute feule , & dans le fécond membre tous les autres termes , par cette difpofition j'ai un fcul terme dans le fécond membre de l'Equa- tion pure & fimple, c'eft la première clalTe dont l'expo- fant efl: i. Mais )'ai cinq termes dans le fécond membre de l'E- quation compiettc, c'eft la cinquième claiïc de ce de- gré , fon expofant cft y. Donc )"ai les deux claffes extrêmes i & J , je remplis leur inter val par la fuite naturelle des nombres, 1,1,5,4, 5-, ce qui me donne cinq membres, qui donnent cinq claffes différentes, dont ils font les cxpofans , &c marquent en même tems le nombre des termes de chacune de ces claffes dans le fécond membre de la formule comme il fuit. I <:'"'■■. claffe. X =■ — b , Une feule efpéce. 2''^. claffe. X ■=.a x — b . - i«. efpéce. ] &: 4«. efpéces. -v^ = 4 x — b . z-^^. efpéce. j X .= a X —b. 3^ elpece. X =za X — b . 4"=. cfpece. . jc.claffe. ^.' ^/ / +/ ^' +^\ & 8 efpéces. 4e. ckffe ,,^ _-./ x"^ + / _^.' +^' _;^' + y^ ^ & 4 efpéces. J':. cianc X =a X '^ a. x 'ta x "t^ .v &C16 efpéces. ~ " ' And^fe. C i8 Méthode NOUVELLE Ainfi dans le cinquième degré, comme il y a cinq termes dans le fécond membre, ily a cinq clafTes de for- mules. En général , il y a dans chaque degré autant de clafles différentes de formules , que l'expofant de ce degré con- tient d'unitcz. PROBLEME IV. Trouver le nombre des efpéces différentes des formules dans chaque clajj'e d'un même degré. Le nombre des termes établit la différence des clalfes, ainfi la y^^. claflTc'du j^ degré qui eft complette contient cinq termes dans le fécond membre , mais il y a dans ce même degré quatre claffes de formules incomplettes, qui fe réduifent à trois claffes , en retranchant la pre- mière claffe qui eft celle des Equations pures &: fimples, de forte que de ces cinq claffes retranchant les deux claffes extrêmes la première & la dernière ; il refte trois claffes dans lefquélles il peut y avoir pkificurs efpéces : car je nomme efpéces dificrentes de formules , celles de la même claffe qui ont parconféquent le même nombre de termes , mais non pas les mêmes termes. Par exemple, la féconde claffe du cinquième degré qui a deux termes dans le fécond membre a auffi quatre efpéces , car re- tranchant dans l'Equation pure & fîmple, & dans l'E- quation complette l'homogène qui doit toujours fc trou- ver dans toutes les formules, il me refte une place à rem- plir dans la féconde claffe , &r j'ai quatre termes dans l'Equation complette qui peuvent occuper cette place chacun en particulier, ce qui donne quatre efpéces dif- férentes de la féconde claffe. POUR LES EqJJATIONS A l'iNFIXI. 19 i'". clafTe. .v' =+ ^''- < 14 1; 5- 4^ jnie^ clafle. X :=z^a x "^ a x 'fia x ^a x V e 14 V ^ i-^^. claffc. .V = + .? .V -jt ^ . i"^. efpece. ,v = + 4" A- +é. 2^^ efpéce. .v' := + .2' .v' •±^ . 3™^ efpéce. X =JJr'* •'^ zl^ • 4'"^- cfpece. De même dans la 5^. clafTe du y'^. degré qui a trois termes dans le fécond membre , j'ai deux places à rem- plir en combinant quatre termes de toutes les manières polTibles , deux à deux. Ces termes font, x'^ , x' , .v^ , x', ce qui fe peut combiner deux à deux fans répétition de fix manières différentes , ce qui donne fix efpéces diffé- rentes dans la 3<^. claffe. 3e. claffe. x^ =:± a x'^ '^a x^ + ^ . fans x S>cx , X = ± ^' .v4 +; ^' x^ ±.h . fans x ic x . x ■=.±.0. X i^a X -^h fans x & a' . AT = ^ ^ .V ■+!.'? AT + » . lans X & A' . ,v= ± «ï -V + ^ -V '^b . fans a- & a- . x' = ± -î -v' "t '2 v '±1 ^ . fans X & A' . Pareillement dans la 4^. claffe du j'. degré , quia qua- tre termes dans le fécond membre , au lieu de cinq ter- mes dans l'Equation complette, ce qui fe réduit à 3. S^ C ij io . Méthode NOUVELLE, à 4. retranchant de part 6^: d'autre l'Homogcnc, or de quatre termes on en peut arranger trois de quatre ma- nières différentes , ce qui donne quatre cfpcccs diffé- rentes dans la 4'^. claffc du 5'^. degré. Mais la i'^'^. claflTe qui n'a qu'un terme dans le fécond membre, de l'Equation complcttc de la j»^. claffc qui en a. cinq, n'ont chacune qu'une feule efpcce; car on ne peut varier ni le nombre ni l'efpéce des termes dans ces cjaffcs , mais elles ont des individus ou formules pùrti- liéres différentes , qui viennent de la feule diverfîté des Signes-^ &: — . PROBLEME V. Tfouver les Individus on Formules particulières d^ leur nombre dans chaque efpcce d" dans chacune des Clajfes d'un même degré & de tous les degrés, à l'infni. Les formules particulières dans chaque efpcce & dans chacune des clafles viennent des combinai fons ditîcren- tcs des Signes, + &: — .Or toutes les combinalfons uti- les qui donnent des formules différentes font exprimées par les deux Séries fuivantes , dont la première marque ï'expofant de la clafTe &: le nombre des termes dans la fécond membre, c'eft la Série des nombres naturels. La 2<^'^. qui marque le nombre des combinaifons qui déter- mine le nombre des formules particulières ou des indivi- dus dans chaque efpéce, eft la Série des puiffances de z. îJomhre des ^ o „,„ cernes. I- i- 3- 4- 5' ^- 7- 8. 9- &C-. tw.f ^- 4. 8. 16. 5.. ^4- 1^8- ^5^- 51^, &c. Ainfi dans la i^"-". claffe où il n'y a qu'un terme, il y a deux formules , parce que les Signes •+ & — peuvent- être mis tous les deux devant ce terme unique. Ce qui donne deux formules. POUR LES Eq^UATIONS A l'iNFINI. Zl Dans la i^e. clalTc où il y a deux termes , les lignes _^ ^ — peuvent être combinez en quatre manières. Ce qui donne quatre formules. Dans la ^"'^. clafle qui a trois termes , les figncs -j- ^ — peuvent fe combiner en huit manières , ce qui don- ne huit formules. Et ainfi des autres à l'infini. PROBLEME VI. Trouver en lettres chaque formule particulière d'une efpéce , Ô- d'une clajfe quelconque d'un degré propofé. Comme toutes les formules particulières dans une cfpcce & dans une clafle d'un degré déterminé , vient de la feule combinaifon des fignes , lorfqu'on aura une clafFe & une efpécc déterminée. Par exemple , la 1^=. efpéce de la 3"''c. clalTe du y'"*^. degré x =. '±_ a, x . 2. I V . . •^ a X '±, b . qui eft fans x 5c fans .v.v. &qui a trois termes dans le fécond membre -, or par le Problême ync. j'ai dans la Série huit combinaifons ou formules pour 5. termes. Ainfi j'écris de fuite ces huit formules qui com- prennent toutes les combinaifons différentes des fignes rf- & — comme il fuir. .V :::= S X ■= 5 .V = ? x = f •V = 5 X = f J - C iij 4 a X a 4 X a 4 .V a 4 X a 4 .V a 4 X 4 5 .V -^ b\ i^e. form. X h\ ad-, form. X -^h\ 3"!^ form. X h\ 4'"^ form. X -^b. 5'iiE. form. X V -^b . 6"i<^. form. X -^b\ yni^. form. 3 X b . 8me. form. xz Methodenouvelle PROBLEME VII. Former les Equations en nombres dans chaque Formule particulière d'un degré quelconque. Ce Problême eft imporcant pour la réfolution des Equa- tions , car il cft ridicule de chercher les racines d'une Equation propofécjfi on ignore le nombre & la nature des élemcns dont elle contient le produit. De la nature des racines des Equations de tous les degrez, de leurs genres dr de leurs ef'péccs. Les racines d'une Equation compofce d'un degré quel- conque ou fesélémens font les Equations fimplcSjOU du premier degré dont elle contient le produit. Je divife les racines en pluficurs genres. Les racines font ou pofitives ou négatives : Voilà leur premier genre. Les racines pofitives font celles dont la valeur de l'in- connue cft une grandeur pofitivc comme .v 1==(?. qui donne par tranfpofitionx ::==—+- i. c'cft une valeur pofitive. Les racines négatives font celles dont la valeur de l'inconnue cft négative , comme .v — (— z == ^ , qui donne par tranfpofition x = i, c'eft une valeur négative. Le fécond genre divife les racines en réelles &: ima- ginaires, qui fc divifent chacune en deux efpéccs , i". rationelles , i°. irrationelles. Les racines réelles, rationelles ou commenfurables , font celles dont la valeur s'exprime exaftement, ou par un nombre, ou par une lettre connue , comme .v 2 Les racines réelles, irrationelles ou incommenfurables, font celles dont la valeur ne peut être exprimée exade- ment par un nombre ou par une lettre connue , fans y POUR LES EqJJ AXIONS A l' IN FINI. 23 ajouter un figne Radical comme at ^^~ o , .v y^~ = 0 ce qui marque la racine quarrée de 2, , ou de .? , qu'il eft impoirible d'exprimer fans le figne Radical , on les nomme incommenfurablcs , parce qu'on ne peut pas les mefurer par l'unité ni par aucune partie connue de l'unité. Les racines imaginaires font auffi de deux efpéces , il y en a qui font imaginaires & rationelles comme -+- • a qui eft une valeur im.Tginairc négative dans ,v -ï^ a:==o ,mais imaginaire pofitive dans a- — — ^ 0 ces deux valeurs font des imaginaires du premier de- gré. Les valeurs imaginaires du fécond degré ont toujours deux fignes comme les autres imaginaires , le pre- mier qui eft hors du figne eft — |— ou , le fécond qui eft ici fous le figne Radical eft toujours dans l'ima- ginaire du fécond degré .v -{-' y^ — a &CX v^—»r, com- me dans le premier degré x -\ a S>C x ,1. Or le fécond figne eft toujours invariable dans tous les imaginaires , il n'y a que le premier figne qui peut varier. Ces racines imaginaires font proprement des racines négatives , fourdes Se irrationelles , mais les pofitives font fimplement des racines fourdes ou irrationelles. Les racines imaginaires font rationelles , lorfque la grandeur ou valeur imaginaire "qui eft fous le figne Ra- dical , eft une puiflance parfoite égale & femblabie à l'expofant du fic^ne radical , comme dans x -t- y — ^^ ■H- o,& x — ^'Zn'- = (?,dans lefquels a' eft élevé à la puiflance exade du figne Radical ^— qui eft la féconde puiflance. Mais les racines imaginaires font irrationelles , lorf- que la grandeur imaginaire qui eft fous le figne Radi- dal n'eft pas de même degré que l'expofant du figne Ra- dical comme dans x- — y"^!^ ^^= 0 dans lequel le Ra- i4 Méthode nouvelle dical cft dutroiliémc degré, &c la grandeur imaginaire fous le ligne Radical eft du premier degré. D/( tiomhrc des racines dans charjtte formnle , de tous les degré à l'jnjiui. Dans tous les dcgrcz à l'infini , chaque formule con- tient autant de racines ou d'équations limplcs &: du pre- mier degré , que l'expoTanc de la haute puiiïance con- tient d'unitcz. Ces équations du premier degré en font les élémens les plus funplcs , ainfi dans une Formule du fécond de- gré dont Icxpofant eft z, il y a deux racines ou deux élémens , trois racines dans une formule du troifiéme degré , quatre racines dans une formule du quatrième degré, &c. Onpcutauffi confiderer une formule du troifiéme de- gré , comme le produit d'une équation du fécond degré multipliée par une équarion du premier degré ; de même une équation du quatrième degré peut être confidérée comme le produit de deux équations du fécond degré; pareillement une équation du cinquième degré peut être regardée comme le produit d'une équation du troifiéme degré , multipliée par une équation du fécond degré. En général route équation , par exemple , du feptiéme degré, eft le produit de toutes les équations dont les ex- pofans peuvent être lesdivifeurs exads de fon expofanc 7; c'eft-à-dîre , qu'elle eft le produit de fept équations du premier degré, parce que leur expofant i divife 7, & le quotient eft 7 qui donne les fept équations du pre- mier degré. On peut encore la confiderer comme formée par les équations, dont les cxpofans pris enfemble font le nombre 7 , qui eft fon expofant , ainfi comme 1x5 -4- i==7, cette équation peut être formée par deux équations du troifiéme degré & une du premier degré , POUR LES E Q,U A T I O N S A l' I N F I N I. 1^ èc enfin comme 4X ^=^j, on peut aulTi la former par une équation du quatrième degré , & une du troifiémc degré , &c ainii des autres. Des termes des Equations , de leur nombre ^ é' de leur différence. Dans chaque équation d'un degré quelconque , il y a toujours un terme de plus que l'expolant de fon degré ou de fa haute puiflance qui l'ont égaux , contient d'u- nitez. Ainfi lorfqu'il fe trouve moins de ternies , c'eft une marque qu'il y en a qui font évanouis , ce qui le fait en abrégeant l'équation , lorfqu'il y a des produits égaux avec des fignes contraires , ils fe détruifcnt & ce terme manque dans l'équation abrégée. Les diiférentes puiflances de l'inconnue font la diffé- rence des termes , ainfi tous les produits qui ont une même puiffance de l'inconnue ne font qu'un feul &: même terme , on les écrit les uns fous les autres, à me- fure qu'on les trouve dans la formation de l'équation , & on les abrège en écrivant une feule lettre, ou un nom- bre qui eft la fomme des fadeurs s'ils ont le même figne, ou leur différence s'ils ont des fignes contraires , ainfi ce fadeur eft zéro , lorfque la fomme des fadeurs pofi- tifs égale celle des négatifs. Le premier terme contient la plus haute puifTance de l'inconnue feule, les termes fuivans qui font les termes moïens, contiennent un coefficient ou fadeur exprimé en nombre ou en lettres avec une puifTance de l'incon- nue. Dans les termes moïens , les expofans des puiffances de l'inconnue décroiffcnt de l'unité d'un terme à l'autre, iufqu'à la puifTance linéaire de l'inconnue , qui eft tou- jours le pénultième terme de l'équation. Le dernier terme n'a point d'inconnue , il contient Andyfe. D x6 Méthode nouvelle feulement un nombre, ou des lettres qui expriment le produit de toutes les valeurs des racines de 1 équation. Dans une équation réduite à fa plus fmiplc cxprciîlon comme la fuivante qui eft du cinquième degré. Ixfofans des I ... 2, ... 3 ... 4 ... y ... 5. termes. S 14 n ! m i IV I y X -+- a X -+- a X . -+- a x -i- a x b . = o. 11 y a fix termes, le premier terme contient la haute puiflance de l'inconuë feule x . Le fixiéme &c dernier terme l> . contient une lettre connue , dont l'expofant en chifre Romain ou Italique V marque cinq dimen- fions , ou le produit de cinq racines , &c non pas une cin- quième puiflance. Les autres termes ( compris entre le premier & le der- nier qui font les termes extrêmes) fe nomment les ter- mes moïens , qui ont chacun un coefficient ou fadeur avec une puiflance de l'inconnue décroiflante de l'unité. Dans les équations abrégées , les cœfficiens ou fac- teurs font exprimez en général par des a , dont l'expo- fant en chifre Italique marque le nombre des dimen- lions nécefl^iire, pour rendre tous les termes homogènes, & de cinq dimenfions comme dans le premier terme , ce qui fait que ces expofans de a croifl'cnt de l'unité d'un terme au fuivant , à mcfure que l'expofant de x décroît. Ces cœfficiens ou faétcurs font chacun en particulier le réfultat ,c'efl:-à-dirc la fomme ouladiffiirence de tous les cœfficiens particuliers qu'on trouve en détail dans la formation de l'équation ; c'cft la fommc lorfque les fignes font fcmbiables dans tous les fadeurs d'un même terme, mais c'efl: leur diffisrcnce , lorfqu'il y a dans un POUR LES Eq^UATIONS A l'iNFINI. in même terme des fadeurs qui ont des fignes contraires, Ainfi , fi je forme une équation du quatrième degré en multipliant quatre racines pofitivcs /?, ^, f,^, en- fuite en fuppofant d négative. ■a = o. ■ l?= o. X X ax Abrégé pour le fécond degré, hx-i-al>=o. ^ ' I ,1 -v a x~ira b ■. p. 5 = X ax b X —i- ah X. a c X, h c X —' ah c o. 1 ■ c X — {- a c X, y. X — d. Abrégé pour le troifiéme degré. 5 II II I X • a X -jr a X abc 4 X 5 a X . hr' —H ah X . î ex 1 -H ac X . dx' -Jf-bcx '^ahc X •*' a,b,c, o. — {- a d X "^ab dx. •+-bdx "^acdx. —b- e dx '^ b c dx. 'z8 Méthode nouvelle, Abrégé pour le quatrième degré fuppofant i/pofitif. A. 1 i II i m I , , ^ ■ ■■+- a b c a X ,v a — j— a X a x Mais fuppofant ii négatif. j ai -v a X Zl. ^ ^ ~t~ '^ ^ a v c a Dans laquelle j'ai mis deux fignes au trcifiémetcrmCj ce fera -4- fi les produits poiitifs furpaflentlcs négatifs , au contrairece fera files produits négatifs furpafîcnt les pofitifs, & s'ils font égaux , ils feront évanouir lettoi- liéme, comme alors fon coefficient cft nul ou zéro, ce qui s exprime amli +; o .v . Il fuit delà que le fadeur du fécond terme contient la fomme ou la diiîcrencc des valeurs de toutes les racines de l'équation; Sçavoir la fomme, lorfqu'clles ont des fi- gnes femblablcs, mais la différence lorfqu'clles ont des fignes contraires. Dans le troifiéme terme , le Eideur contient la fomme ou la différence des produits de toutes les valeurs des ra- cines prifes deux à deux. Dans le quatrième terme , le fafteur contient la fom- me ou la différence des produits de toutes les valeurs des racines prifes trois à trois. En général , les valeurs des racines font multipliées en nombre pair dans tous les termes impairs, à commen- cer par le troifiéme terme, cinquième, feptiémc, 8^c. car le premier contient la feule haute puifTance de Tincon- nuë , mais elles font multipliées en nombre impair,dans les termes pairs à commencer par le quatrième terme, fixiéme, huitième, ScC. car dans le fécond terme les valeurs des ra- cines s'y trouvent feules fans être multipliées les unes par les autres. POUR LES EqJJATIONS A l'iNFINT. 2.9 Méthode pour faire évanoiiir les termes moyens , df for-^ mer des équations numériques on il manque quelque terme moyen. Il fuie delà que pour faire évanouir les termes moyens, & rendre leur fadeur nul ou égal à zéro, ce qui eft né- cefTaire pour former une équation numérique , fuivanC une formule où il manque un ou pluficurs termes. 1°. Pour faire évanouir le fécond terme, il faut que la fomme des racines pofitives foit égale à la fommedes racines négatives. Ainfi dans le fécond degré il faut que les deux racines foient égales avec des fignes contraires, dans le troificme degré, il faut que la troifiéme racine égale la fomme des deux premières avec un figne con- traire, &c. 2°. Pour faire évanouir le troifiéme terme , &: même tout autre, dans le troifiéme degré, & dans tous les de- grez fupérieurs , il faut confidérer l'équation du degré prochain inférieur , afin de pouvoir par là tirer une va- leur de la dernière racine capable de rendre les produits négatifs égaux aux pofitifs. Ainfi pour faire évanouir le troifiéme terme dans une équation numérique du troifiéme degré , ou en former une où le troifiéme terme manque , je prends une équa- tion du fécond degré , dont le fadeur foit un dlvifeur exad de fon dernier terme , comme .v ■ 4 x 3 % :===; o. & le quotient -t- S fera la troifiéme racine pofitive. X 4A,- 3 z = o x.v 8 = 0. . 4 x~ 3 1 -v -t- 2 j 6 == o. 8 -v -f- 3 2 a: X 1 2 .V ■+■ 0 .V -i- 256 ==0. ~ D ii) jo Méthode, nouvelle Mais dans .v" -+- 4.V 3i=:o , la troifiémc ra- cine efl négative x -+- 8 == o. en général ce quotient prend le fignc propre à détruire le troifiémc produit, c'efl; celui du fadeur du fécond terme de l'équation précédente comme ici, ou le contraire comme dans l'exemple fui- vant , félon que le cas l'exige. Pour fo'-mer dans le quatrième degré une équation où le troiliéme terme manque,je prends une équation du troi- fiémc degré dans laquelle le fadeur du fécond terme foie un divifeur exad du troifiéme terme , comme X -+■ b X -h- ï zx X X :^= O. 4 ; 2- X -+- 6 X •+- l Z X -{- 8 AT. Z X I z X z 4 X 1 6 = 4 ? , ^ X -+- ^x + o -v i 6x 1 6 = o. Je divife iz par 6, fon quotient z , efl: la quatrième racine propre à faire évanouir le troifiéme terme. 11 cft facile de faire évanouir tel terme qu'on voudra par la même Méthode dans tous les degrez fupcricurs, ou de former des équations numériques , où il manque un ou pluficurs termes , ce qui revient au même , nous fom- nies obligez de fupprimerunplus grand détail pour abré- ger ce traire. En général, pour faire évanouir quelque terme d'une équation propofée , je confidcre tous les produits particu- liers de ce terme dans l'équation du degré inférieur moin- dre de l'unité que la propofée pour opérer dcffus ; il y a deux cas, le premier cas eft, lorfque tous les produits de POUR LES EqJJATIONS A L'iNFINI. ji ce terme ont le même figne -+- ou , alors il faut pour le détruire former dans ce terme un produit égal à la fom- me des fadeurs avec un figne contraire. Ainfî dans ce cas il faut divifcr la femme des fadeurs de ce terme par la fomme des fadeurs du terme précé- dent, & prendre le quotient pour multiplicateur cherché ou dernière racine, avec un figne propre à faire évanouir le terme défiré. Mais dans le fécond cas où les fadeurs du terme propofé ont des fignes diftérens, il faut prendre leur différence, & opérer comme on a fait ci-dcITus pour le premier cas. ^ Explication é' formation générale des Tables des Equations. Il y a deux efpéces de Tables , & chacune de ces Ta- bles fert généralement pour deux formules foûcontraires du même degré , dont l'une a les mêmes racines que l'au- tre , mais avec des fignes contraires, ce qui cft de l'ef- fence des équations & des formules foûcontraires. Toutes CCS Tables confiflent dans un échiquier avec deux bordures , l'une en haut , & l'autre à gauche. L'échiquier contient toujours les fériés des homogènes, qui font des progreflions arithmétiques, ce font les va- leurs du dernier terme ^ , qui a toujours un expofant ex- primé ou fous-entendu en chifre Romain , d'aucarit de dimenfions que l'expofant de la haute puilfancc de l'in- connue. Des Tables de la première efpéce. Dans les Tables de la première cfpécej'échiquier con- tient les fériés horifontales & verticales des homogènes feuls de toutes les équations poffiblcs , rationclles &: irrationelles dans ces formules ; ces fériés horifonta/es fuiventla formule, elles fontcroilTantesoudécroilTantes, 51 Méthode NOUVELLE, de la valeur de .vdu même rang, c'eft-à-dire, qu'elles fe forment les unes par fmiplc addition , les autres par firaplc fouftraûion , fuivanc qu'il cft prefcrit par la formule convenable à chacune des tables. La bordure d'enhaut contient la fcrie des valeurs de a qui efl: la fuite naturelle des nombres qui commence par zéro. o. i. 1.3. 4. y , &c. ce zéro donne pour la pre- mière colonne de l'échiquier la férié des équations pures &C fimples dans chaque degré. La bordure à gauche contient deux rangs verticaux ou deux colonnes dans le fécond degré , trois dans le troifiéme degré , quatre dans le quatrième degré , &c. la première colonne contient la férié des nombres qui commence par zéro, o. i. ^. 3. 4. y, ce font les valeurs de -v. La féconde colonne du fécond degré contient les va- leurs de -v . c'efl la fuite des quarrez naturels ,0. i. 4, c». 16. ly , &:c. Dans le troifiéme degré, les deux premières colonnes qui contiennent les valeurs dex&dcAr . font les mêmes que les précédentes , la troifiéme colonne contient les valeurs de.v'. qui eft la férié des cubes naturels , o. r. 8. 27. ^4, &c, &: ainfi des autres. Des Tables de la féconde efféce. Les Tables de la féconde cfpèce, ne contiennent que les feules Equations rationellcs , foit réelles foit ima- ginaires. L'échiquier contient dans chaque cellule un homo- gène avec toutes fcs racines ; ainfi l'échiquier contient tout enfemble les fériés des homogènes 6Î les férics de de toutes leurs racines, La POUR LES E Q^U AXIONS A L'xNFINI 35 La bordure d'enhauc contient les valeurs de a varia- ble & feule dans le 2'^. degré. Dans le j'^-'^. degré il y a des a Se des ^ . Si la valeur de a cft variable, la va- leur de a cft confiante , &: dans quelques Tables elle contient une valeur confiante de a avec une valeur de a variable^ Se l'on peut drefTer des Tables , fuppofant a variable fur chacune des valeurs de a confiante, prife dans la fuite des nombres naturels, pour le 3'"'=, degré; dans les degrcz fupérieurs l'on aura un plus grand nom- bre de combinaifons ; car on aura dans le qaatriéme de- gré a , a , rf , que l'on peut combiner à l'infini , en fup- pofant , ou deux de ces valeurs confiantes Sc la 3"!':. va- riable, ou bien en les fuppolant variables toutes trois en- femblc de toutes les manières pofTibles. Ce qui donnera autant de fériés différentes pour les homogènes. La bordure à gauche contient au premier rang vertical ou première colonne, les valeurs de .voiila i"^"^. racine , la z"^<=. colonne contient la féconde racine pour le z'-^ degré ; dans le 3"!^. degré il y a trois colonnes qui don- nent les trois racines, dont les deux premières font con- fiantes &c la troifième efl variable ; quelquefois c'efl la féconde qui efl variable. Il y a des formules où il y a deux racines variables en même tems , 8c d'autres où les trois racines varient cnfcmble. Tout cela s'éclaircira par les Exemples & par les Tables qui fuivent , beaucoup plus que pat un plus long difcours. Vfage des T bibles , four ré foudre les Equations de tous les degrés à l'infni. i°.ChaqucTable porte en tête les formules fur lefquelles elle efl drefTéc, c-: l.s termes des formules font placez fç- Analjfe. E 34 Nouvelle IvIethode. parement dans les endroits delà table qui leur convien- nent; la haute puiflance de l'inconnue eftfur la bordure à gauche. Les facteurs a des termes moyens font fur la bordure d'cnhaut ; cette bordure détermine la colonne où l'on doit trouver l'homogène propofé h. Tous les ho- mogènes font dans l'échiquier avec l'expofant de leurs dimenfions fous-entendu. Pour la première efpéce. Les Tables de la première efpéce , donnent directe- ment la première racine dans la première colonne de la bordure à gauche vis-à-vis de l'homogène propofé pour chacune des équations poflibles dans les formules fur lef- quelles chacune des tables cft drefiec. Premier exemple. Soit l'équation pure & fimple du i^. degré x — ox. == 4 , dans laquelle a = 0 , & ^" ■-= 4- Je cherche dans la première table du 1*1. degré dans la. bordure d'enhaut a = o ; c'eft la colonne où je dois trouver l'homogène ^=^4. Je le trouve en effet , & j'ai à cô:é dans la première colonne entre les valeurs des -v j du même rang horizontal .v= z , qui efl la pre- mière racine defirée. La féconde racine cfl x — }— a y Second exemple. Mais fi on propofé l'équation x^ ^ ox === 6. comme l'homogène b 6 ne fe trouve point dans la table dans la colonne ^ = (? , mais qu'il eft compris dans la fuite naturelle des nombres dans l'inter- val des deux homogènes confccutifs ^= 4, h p. fa première racine cft plus gr-ande que i racine de/' = 4, & moindre que 3 racine de h = ^. or 2 &: 5 font deux racines qui ne diffèrent que de l'unité. Donc 2, cfl une racine approchée par défaut, & 3 une racine approchée par excès a. moins de l'unité près. La féconde racine eft X -4- a == 2, —H G trop petite , ou 3 -+- o trop grande. Troifième Exemple. Soit l'équation aifcâèc de termes POUR LES EcVUATIONS A l'iNFINI. jy moïcns du i'^. degré .v -f- 3x1=10. je cherche dans la bordure d'cnhauc a = 3 , c'efi: la colonne où je dois trou- ver l'homogène h=z 10. Je le trouve en effet, & j'ai à côté à la première cellule du même rang horizontal .v=i,- c'efi: la première racine qui cft pofitive ; la i^-s racine eft X H- a = 2, — t- 5 = y qui eft négative. Quatrième exemple. Soie l'équation irrationelle du i'I. degré .V -f- 3 x- =: zo. dans laquelle ^ = 3 ,& ^ = zo. je cherche a. = 3 dans la bordure d'enhaut , c'cft la colonne où je dois trouver Thomogène h ■. 20 , je ne l'y trouve point mais 18 &:i8, dans l'interval, def- quels il fe trouve dans la fuite naturelle des nombres , d'où je conclus que l'équation propofée eft irrationelle, &:que (es racines font plus grandes que celle de l'homogène ^ == 18 , dont les racines font x = 3 pofitive, x -+- a == 3 -+- 3 = é négative , piiifque 2.0 > 18. de même comme 2.0 < z8 , les racines de 18 font trop grandes, c'cft 'V = 4 pofitive &c X -+- a =: 4 -4- 3 ^=7 négative. Donc H- 3 6 font les deux racines approchées par défaut ; mais -4- 4- 7. font les deux racines appro- chées par excès. Or ce défaut &c cet excès font moindres que l'unité" Pour le troifiéme degré. Cinquième exemple. Soit .V -i- i .v +0 .v=3(î, dans laquelle a = \ , ic h =36. dans la 5me, table de la première efpèce qui eft dreflèe fur cette formule , je clierche dans la bordure d'enhaut a-= i. C'eft la co- lonne où je dois trouver l'homogène 36 s'il eftrationel , { ou bien il fera compris dans l'intervale de deux homo- gènes confècutifs de la même colonne, s'il cft irrationel) or h = 3 (, s'y trouve ; & j'ai à côté dans la première cel- Eij j6 Nouvelle Méthode. Iule de la bordure à gauche du même rang horizontal A- = 3 . c'eft la première racine pofitive , .v 3 :^= o , par laquelle je divife l'équation propofée , & le quotient efl: une équation du z'^. degté dont il eft facile de trou- ver les racines. C Bivifeur ^ Dividende C .^client. ) JT — 3 = 0 ) X "l-lAr'^^o a;— )6 = o. J j: -J. 4^; -J- 1 1=0. 3 ^ .V — 3.V . H- " ' o + 4.V : 3" o • •* • 4A.- . . . . -f- 4X . — 1 1. X . I o -ï- 1 1. -V : — 3 ^. I ■Il + 1 1 . -V . — 36. = o 00. Ce quotient eft du i^'. degré & dans la (î'"^. formule qui a deux racines imaginaires. Je cherche ce quotient X -4- 4Ar -4- 1 2.= o. dans la zJ<;. table delà !''<■■. efpéce du 2.^. degré dans la colonne // ■ — - 4 , &: je trouve les va- leurs de fes deux racines imaginaires &r pofitivcs i +; ►^4 — Il qui donnent les deux racines .v 2 + v^ n En général la valeur déterminée du cœfficicnt ou fac- teur a contenue dans la bordure d'enhaut, détermine toujours la colonne oii l'on doit trouver l'homogène pro- pofé; la i"-'. racine, eft dans la i"^. cellule du même rang horifontal dans les tables de la première cfpéce. a°. Les Tables de féconde cfpéce , donnent tout à la fois POUR LES EcL.UATIONS AL'iNFINI. 37 toutes les racines de l'équation propolée ; e'cft-à-dirc , autant de racines que l'cxpofantdela haute puilTance ou du degré de l'équation ( qui font les mêmes ) contien- nent d'unitez. Dii cas irréductible du troijicme dcgrc. Le cas irrédu£lib!e du 3'^'^. degré fe trouve dans les é- quations du j'^^. degré dont les trois racines font irra- tioncllcs ou incommenfurablcs ; c'eft-à-dirc qui n'ont pas Jiiémcl'nnité ni aucune fraction pour commune mcfurc ; ainfiil n'y a point de racine cxaéte pour réduire l'équation au fécond degré par la divifion. Ce Problême n'eft pas moins célèbre parmi les Ana- liftcs , que la quadrature du cercle l'eft parmi les Géomè- tres c'eft là où fe réduit la trifcélion de l'angle. Toutes les équations poflibles dans la quatrième For- mule de la ïA-, cfpéce de la 1^'-. clalTc du 3"''^. degré X — a. X — b , & le quart des équations poiïibles fur une même valeur confiante de x prifc pour la grande racine , tombent néccffaircmcnt dans le cas irréduétible ; il y en a auiïi dans les formules de la r'^'''. cfpecc de la %^'^. claiïc du 3 ■ ■=. degré , & dans des formules des dcgrez fu- péricurs. Il eft évident que l'iiomogéne d'une équation dans le cas irréduftible qui a k% trois racines irrationclles eft compris dans l'intervale de deux homogènes confécutifs d'une colonne de la 6"^<=. table du 3'^"<=. degré , lefqucls ont chacun une racine réelle, qui eft approchée à moins de l'unité près. Ainfi l'homogène moindre que le propofé donne fa i"^*^. racine approchée par défaut, & l'homogè- ne plus grand , donne la r.icine approchée par excès. Ainii l'homogène irréduélible aura fa véritable première racine inexprimable entre deux nombres qui nedifferent que de l'unité 5 &: par ce moyen on pourra tenter la divifion pn.r E iij 3 8 Kî E T H O D E N O U V E L L E. l'une &: l'autre de ces racines approchées pour avoir un quotient qui fera l'équation propofcc abaiflee au z^- de- gré, dont il eft facile de trouver les deux autres racines irrarionclles. Exemple. Dans les deux équations confccutives dans la même colonne de la 6""^. table de la première efpécc ,v 4.v:= 315. dont la i"^". racine eft 7, S>cx 4.V =^ 480. dont la i""-. racine eft 8, ii je prends un homogène quelconque plus grand que jiy mais moindre que 480, comme .V 4.v = 410, j'aurai une équa- tion dans le cas irréductible; la i"^*^. racine de l'homogénc 410 eft irrationelle , car elle eft moindre que 8 & plus de que 7 qui ne diftércntque de l'unité. Ainfi les 6'^^ Tables de la i"^. & de la i^<^. efpéce don- nent la i"^^. racine approchée tant par défaut que par ex- cès de toute équation qui eft dans le cas irréductible. Et la 6-'-<=. table de la z'^^. efpéce donne encore les deux autres racines irracionelles fans aucune opération pour toutes les équations contenues dans cette table , foit qu'elles foient dans le cas ordinaire ou réduélible qui a deux ra- cines imaginaires , foit qu'elles fe trouvent dans le cas irrédudible dont les trois racines font réelles mais irra- rionclles ou incommenfurablc , & comme il eft impoffi- ble de les exprimer exa£tement par aucun nombre, mais qu'on peut feulement en approcher tant par excès que par défaut , les tables donnent cette approximation à moins de l'unité près, &: on pourra continuer cette ap- proximation à l'infini par les Méthodes de M^ Lagny qui ibnt expliquées dans le fécond Livre del'Analyfequi fuir. Nous avons vu dans l'avertiftement que 10 qui eft la i''*^. racine cxafte de l'équation x 9 o.v= 100 prifes pour l'origine d'une férié infinie d'homogènes h . ( dans POUR LES EclU AXIONS A l'iNFINI. 39 le cas inédu£tiblc ) dccroiffans conllatnment tic 10 juf- qu'à zéro, & croitlans conllamrnentde loà l'infini, cft auffi la première racine la plus approchée de toutes ces équations Semblables. De même fi on prend l'équation .V 5)o.v = 8i pour l'origine du cas irréduétible , dont la première raci- ne eft 9 , on aura encore 9 pour la première racine approchée de toutes les équations fcmblables ,v — pcx ; b . prenant fucceflivemcnt pour les valeurs de h . ou pour la férié des homogènes 9 & tous fcs multi- ples à l'infini. En général prenant une équation quelconque du j"'. degré dans la formule x — • j x =^ i . ou dans la for- mule x ax = h . dont la première racine foie réelle & les deux autres irrationcllcs , on pourra fur cette équation faire varier le fcul homogène par tous les mul- tiples de fa première racine en décroillant, & par tous les multiples de la même première racine en croiflant à l'in- fini; alors tous ces homogènes donneront des équations femblables dans le casirrédudible, dont les trois racines feront irrationelles & leur première racine la plus appro- chée , eft la première racine de l'équation prife pour l'ori- gine de cette férié infinie d'équations qui font dans le cas irrèduftible. Ainfi dans tous ces cas les Tables donneront la racine defirée de la manière dont il cft pofTible de la trouver , c'eft-à-dire à moins de l'unité près ; car dans le cas irrc- dudibles il eft abfolument impoftible de trouver cette première racine exaélemcnt; cela implique contradiûion; car il eft de l'cflence &: de la nature du cas irréduétible d'avoir trois racines irrationelles Se incommenfurables , partant inexprimables : pour les deux autres racines on 40 Méthode nouvelle les exprime avec des radicaux qui eft une exprefllon qui détermine à la vérité leur valeur , mais d'une manière en- tièrement in-incelligible quoique réelle d'où il fuit que les tables donnent tout ce qu'on peut délirer dans le cas irrédudible , fcavoir une approximacion pour la première racine à moins d'une unité près par les tables des deux ef- péces ; mais la table de la féconde cfpécc donne tout à la fois les trois racines ; de forte que divifant une équation du troifiéme degré propoféc dans le cas irréduélible, la première racine trouvée par les tables divifera toujours l'équation , mais avec un relie foit pofitif , foit négatif. Ce qu'on ne pourra jamais faire par tout autre nombre , & le quotient contiendra la valeur exacte des deux autres racines irrationelles , lefqurlles font contenues dans la ta- ble de la féconde efpéce. Voilà tout ce qu'on peut défirer pour le cas irréductible. ExplicatiOti de chaque Table (f/ p.irticulier avec/on nfage. Dans le fécond degré il y a fix formules divifées en deux clafles. La première contient les deux formules pures &c /impies. La féconde contient quatre formules complettcs. 2. II La i"^. formule .v +o.v==^ a deux racines é- gales , l'une pofitivc l'autre négative , en nombres en- tiers lorfque ^ eftunquarréparfait; mais ces racines font irrationelles lorfque b eft une féconde puiflance impar- faite. La féconde formule x +• o.v = h a deux raci- nes ég-alcs &: imaginaires +• / ^" Voilà les deux for- mules des équations pures &c limplcs. La troifiéme formule ,v -•\- a x =^=b a fa petite ra- cine pofitive , &: la grande négative réelles &c irratio- nelles, La quatrième formule x' a x =.b à fa grande racine POUR LES EQ.UATIONS A l' INFINI. 41 racine poficive. Se fa pecice racine négative, toutes deux réelles. La cinquième formule x' a x l>" fes deux racines font ou toutes deux réelles , ou toutes deux imagi- naires, fuivant les cas. Troifiémc cas. Lorfque ù ^ - aa , les deux racines font imaginaires , égales &; pofitives : Premier cas. Elles font réelles égales & pofitives lorf. que t =.- aa. Second cas. Elles font réelles , inégales &r pofitives lorfque b <- aa. La fixiéme formule .V -\- ax ■= i a fes deux racines ou toutes deux réelles, ou toutes deux imaginai- res fuivant les cas. Troifiéme cas. Lorfque^ >- ^^ fes deux racines font imaginaires , égales & négatives. Premier cas. Elles font réelles , égales & négatives lorf- que b =1 aa. Second cas. Mais elles font réelles , inégales &: néga- tives lorfque b < - La première table de la première efpéce du fécond de- gré contient la première formule .v' ^ ox = b , la fé- rié de fes homogènes eft dans la première colonne de l'échiquier. Le refte de l'échiquier contient les fériés des homogènes de la troifiéme formule x -f- ax == h^\ Sa première racine pofitivc eft x , la féconde négative f_+_f. Cette Table contient encore le premier cas ; & le z™=. cas des équations de la fixiéme formule dans lef- quelles les deux racines font réelles & négatives en fuppo- Analyfe. F 41 M E T H O D E N O V V E L L E, faut ^"précédé du figne ,1e troifiéme cas de cette formule fera dans la table des racines imaginaires qui fui- vraci-aprcs. La première Table de la féconde cfpécc contient les mêmes fériés que celle de la première efpcce; on y trou- ve fous chaque valeur de a fon homogène correfpondanc avec fa féconde racine au-deffous dans chaque cellule, & la première racine elt dans la bordure à gauche dans la première cellule du même rang horizontal, cette table donne les racines telles qu'elles font pour la première for- muler ■♦•oa: = ^ &: pour la 'n^^. formule a: -h- ax h , mais pour les deux premiers cas de la fixième for- mule .v -4-rf.v = 1? , il faut fuppofer la première racine négative comme la féconde. La féconde Table de la première cfpèce du fécond de- gré fert pour la féconde formule .v ::=^ h pour la /^"^^ X ^x ■ b pour la j""'^. at ax =^ b &C même pour le 3 'Te, cas delà 6''^. formule x -H ax =b quieft imaginaire. Cette féconde Table contient deux fériés d'homogènes, l'une finie , l'autre infinie , féparées par des zéros qui cou- pent en diagonale tout l'échiquier &c le partagent en deux triangles reéVangles, le premier à gauche eft pour la 4'"^. formule , l'autre à droite pour la j" <=. Dans la féconde formule .v = b les deux raci- nes font imaginaires , c'efl; -f- \^—i," elle fe trouve dans la féconde table de la deuxième cfpèce contenue dans le premier triangle à gauche dans la quatrième formule x - — /jx ■ — : b la grande racine pofitive eft ^ de la bor- dure à gauche du même rang horizontal que l'homogè- ne, la petite racine pofitive eft <"—x- POUR LES Eq^UATIONS A l'i N F I N I. 43 Exemple. Dans .v 3x = 4. la grande racine po- fitive eft X =^ z la petite négative efl: "—'x j 2, Dans X j.v = 4. La grande racine éft .v = 4, la petite eft £^^ = 3 4=== i- Les fériés hori- fontales des équations de cette quatrième formule finif- fent aux zéros qui forment la grande diagonale, après laquelle commencent les fériés horizontales des équations de la cinquième formule x ax — 1/ Le triangle reâanglc qu i eft à gauche de la diagonale dans la même table contient le premier & le fécond cas des équations de la cinquième formule .v au:==^ & même de la fixièmc formule .v -+- ax h &C on peut négliger cette dernière comme inutile. Or dans le premier cas de la cinquième formule oii ~ aa ■■ i> les deux racines font réelles , égales & pofitives. Soit .v io,v-= zj , la i"^'^. eft .v= j , la féconde eft " — " == 1 o j = j- . On peut marquer ce cas dans la Table par une petite diagonale dans chaque cellule où il fe trouve. Dans le fécond cas, où è '^ i ^^ , les deux racines font réelles , inégales & pofitives , comme dans x ■ iox== 16. La première racine eft ,v=:^ 1. La fé- conde eft '^ — X = 10 z = 8. ou bien x=;8 , g^ a — r -^10—8 ^-3 z,car ces équations ont deux fo- lutiom» , parce que leur homogène fc trouve deux fois dans une même colonne. Le troifiémecas de la cinquième formule dans lequel h > 4 rf^ , a fes deux racines imaginaires égales & po- fitives. Les fériés de ces équations imaginaires commence Fij 44 Méthode NOUVELLE dans tous les rangs verticaux; précifémcnt dans les cel- lules fuppofces coupées par des diagonales mcdiocre> qui s'étendent de cinq à cinq cellules en defcendant toujours &: continuant au deflous à l'infini , fuppofant le figne — devant les homogènes d'un rang feulement. Exemple, foit X 8 .v== 2.0 , dont les deux racines font 4 ;*r*^i7^^=4 t*^>^- Comme la féconde table de la première efpéce ne donne point ces racines imaginaires d'une manière afTcz fimple , ]*ai été -obligé d'employer la féconde efpéce des tables où les racines font dansi'cx- preflion qui leur eft propre. On peut appliquer ce que nous avons dit des trois cas de la cinquième formule aux trois cas de la (ixiéme formule, ce font les mêmes racines, mais négatives au lieu qu'elles font pofitives dans la cinquième formule. La féconde Table de la féconde efpéce contient deux feuilles, la première contient les deux racines réelles des formules , 4 , 5 &: 6 , la féconde feuille contient les deux racines imaginaires du troifième cas de la cinquième & de la fixième formule , dont les homogènes font conte- nus dans le premier triangle reétangle qui clt à gauche^, dans lequel il faut luppofcr les homogènes précédez du figne , fans quoi les racines ne fcroient point imagi- naires, comme elles doivent l'être en effet, puifque ce figne fe trouve dans le fécond membre de ces deux for- mules Biftreijîéme degré. Dans le troifième degrés il y a 18 formules qui fe di- vifent en trois clafles. La première claffe contient les deux formules pures & fimples , la première formule .v == /-'". a deux racines imaginaires négatives &: égales, &: la troifième racine pofitive, réelle, égale à la (omme des deux pre- mières racines. POUR LES EclUATIONS A l'i N F I N I. 4J La féconde formule .v = ^'". a deux racines ima- ginaires pofitives légales, la troifiéme réelle Se néga- tive, égale à la fommc des deux autres racines. La féconde claffe fc divife en deux cfpéccs, & cha- que cfpéce contient quatre formules. Dans la première cfpéce de la 1'^"^. clalTe, où. le fadeur du troifiéme terme .v eft és;al à zéro. Première formule .v -f- a x- — {— o ,v - — : ù qui vient de l'équation du fécond degré .v' — f- a x ^ = o. dont la grande racine eft négative & la petite pofitive multipliée par une troifiéme racine négative , dont la valeur eft le quotient- c'eft-à-dire, le quotient exa£t de l'homogène de l'équation du fécond degré, ù" divifé par fon fadeurs. X X -f- 8 4 0. ; 0, X z X X -+- 4.V- 8. 0 31. i -+■ • I2X X — La troifiéme Table de la première cfpéce contient les fériés des homogènes des équations fuivant cette pre- mière formule , toutes ces fériés font infinies. Cette rroi- fié;TiC table donne toujours la première racine qui c ft po- firivc , & qui ferr à abaifttr l'équation propofée au fé- cond degré; après quoi il eft facile d'en trouver les deux racines. Autrement. La première formule A'5 -jr- " x + o x Fiij 4^ Méthode nouvelle == -H ^ vient de l'équation .v -t- a x -t- h = o , qui efl dans la fixiéme formule du fécond degré qui a deux racines négatives; multipliée par une troifiéme ra- cine pofitive qui eft le quotient exadi en nombres entiers de l'homogène du fécond degré divifé par fon fadeur , d'où il fuit que toutes les équations du fécond degré ne font pas propres pour entrer dans les formules de cette efpéce, mais feulement celles dont le fa£teur cfl un di- vifeur exaft de leur homogène X 8 == o. X -v —H 4 = o. * -t- 8 .V -{- I (3 = o. X .V 2. La féconde formuler- ••^- a x +o.v== ^ , vient de l'équation de la cinquième formule du fécond degré, dont les deux racines font pofitives &: imaginaires &é- gales, multipliée par une troifiéme racine négative, qui cft le quotient exaû de l'homogène du fécond degré di- vifé par fon facteur. X A.- • 1 — f- \/~j = o. Donne x — i x -+- i -{- y == o. ou a; z.v -+- 8 = o. X .V -f- 4 = 0. X -4- 7.x +0 -^ ~f~ 3 ^ =0. oua;3 -f- i.v' + o.v = 31. POUR LES Eqjjations A l'infini. 47 Les équations de cecte formule font impoffibles , car foitA:==4, onaura par fubftitution &: tranfpofition 64 ^ 1 3 2- j ce qui cft importible & inutile , puif- que le pofitif ne peut être égal au négatif pur & fimple; ainfi les tables ne contiendront point cette formule. 5 La troifiéme formule x 4 a- +0 .v = 7 1 , vient de l'équation AT H- i.v -1- 1 1== o, qui eft dans la fi- xiéme formule du fécond degré , dont les deux racines font égales &: imaginaires. ^"^^TZ^^ , multipliée par une troifiéme racine pofitivc 6 égale au quotient exad de rhomogéne du fécond degré divifé par fon fadeur. .V -+- I -+- »CTi = o. X a; H- 1 y'—u = o. X -+- lAT -f^ I -H II ( -t- Il )=^0. z .V ~+- 1 X -+- I X == o. X A.- A c= o. x' 41 H- 1 1 A- 7 1 = o, IIAT. b' La quatrième formule x ax +"0 x == vient de l'équation .v a x -^ b = o , qui eft dans la quatrième formule du fécond degré , dont la grande racine eft pofitive, qui cft le quotient exad de l'homo- gène du fécond degré divifé par le fadeur du fécond terme. 4-8 Méthode NouvEtLE. X — 8 = 0. X X —f— 4 = 0. A" '4 .V — — 3 z- X ,V 8 : 0. •3 3 X I 2.x tx -+- 3 IX. 2 J 6: La quatrième table de la première efpéce donne la première racine pofirive des équations qui font dans la troifiéme formuler — ^ax "^o .v = ^ , Se dans la quatrième formule X ax + o x = b , & la quatrième table de la féconde clafle donne les trois raci- nes de la troificme& de la quatrième formule. Des formidts de la féconde clajfe du troifiéme degré ^ oit le fécond terme ejl évanoui. Il y a quatre formules de la féconde efpéce de la féconde clafTe du troifiéme degré , font celles où le fé- cond terme manque. La première formule eftx + <7.v -+-4 x = b ,qui vient d'une équation du fécond degré dont les deux racines font pofitives , égales & imaginaires , multi- pliée par une troifiéme racine négative &: réelle égale à leur fommc. La cinquième table de la féconde efpéce donne ces trois racines en détail pour chaque homogène de la pre- mière formule , on a mis aufll en tête la féconde formule, formule X +•(? AT — t- a x : b , pour laquelle elle peut fcrvir; mais cette formule cft inutile & impolTible, car il cft impofliblc que le pofitif du premier membre foit égal au négatif pur &: fimplc du fécond membre. La POUR LESE Q^U A T I O N S A l'i N F I N I. 49 La cinquième table de la picmiere cfpéce donne feu- lement la croilîéme racine réelle dans la première &: dans la féconde formule de cecte féconde efpéce. - i 1 II I III La troifiéme formule X '+10 x a x =& , vient d'une équation du fécond degré qui a deux racines né- gatives égales &: imaginaires , multipliée par une racine pofitive réelle égale à leurfomme; toutes les fériés defes homogènes font rinics , Se arrivencà des zéros qu on peut marquer avec des croix de St André dans les cellules de la fixiéme table de la première efpéce, qui forment Une diagonale interrompue comme par des efpéccs de dcgrez. Cette fixiéme table donne feulement la troificmc racine réelle. La fixiéme table de la féconde efpéce contient deux feuilles , la première contient les homogènes qui ont trois racines rationnelles qui font marquées à côté; la fé- conde fciiille contient les trois racines des équations pures & fimples du troifiéme degré, & celles de la troi- fié.ue &: de la quatrième formule de cette féconde ef- péce qui ont des racines imaginaires. La quatrième formule x +_o x a x = b vient d'une équation du fécond degré qui a deux ra- cines négatives égales de irrationnelles , multipliée par une troifiéme racine pofitive égale à leur fomme. Ces homogènes occupent la partie fupèrieure des tables , la fixiéme table delà première efpéce donne la troifiéme ra- cine : mais la table de la féconde efpéce donne toutes les trois racines. Âiialyfe. yo Méthode nouvelle. Des Formules de la troifiéme cUjJe du troijïcme degré. Il y a huit Formules dans la croifiéme claire du troi- fiéme degré. l^^ 5 ' ^ X —t— a X iJc. 5 * ^ .V -t- 4 A- ame^ ? ' - X -+-a X Ame. AT -i- 4 AT rme_ 5 ' ^ X a X &^^. 5 ' ^ X a X i^me^ 5 ' I i X a X 8™^. ; « 1 X a X a X a X a X a X a X a X h . IIX b . lit h . r. III b . Ce que nous avons dit fuffit pour expliquer la Mé- thode. Nous n'entrerons pas dans un plus grand détail , il fera facile au ledeur dedrefler lui-même des tables fui* vant chacune de ces formules , & de même dans tous les degrcz fupéricurs pour s en fervir dans le bctoin,)e me contenterai d'ajouter quelques tables des deux cÇ- péces différentes pour les formules de la troifiéme claflc du troifiéme degré , avec deux tables des formules du cinquième degré , je ferois un trop gros volume fi je vou- lois mettre toutes les recherches que j'ai faites fur ce fujet ; il eft bon de laifiTer au lecteur le plaifir de tra- vailler par lui-même, &: de fuivrc la route que j'ai te- POUR. LES E Q^U ATîONSAL'iNFINI. JI nue aufll loin qu'il lui plaira , il ne me refte plus que de donner des moiens d'abréger la conftruftion des tables, pour les continuer promtement aufli loin qu'on voudra à l'infini , en quoi confifte la pcrfeûion de la Méthode, pour réfoudre les équations dont l'homogène eftun très- grand nombre, &: dont chaque racine contient pluficurs chifres. Différentes Méthodes four abréger les Tables. Il eft évident que toutes les puiffances des nombres de tous les dcgrczà l'infini, ont une dernière différence toujours égale & confiante , laquelle a le même expo- fant que celui du degré de la puifTance fuppoféc; ainfi la fuite des fécondes puifTances des quarrez naturels , ont la féconde différence i confiante. La fuite des troi- fiémes puifTances ou des cubes , ont leur troifiéme dif- férence é toujours égale & conftante , pour trouver ces différences, il faut avoir trois termes dans le fécond de- gré, quatre termes dans le troifiéme degré ,• c'efl-à-dire, un terme de plus que l'expofant du degré propofé ne contient d'unitcz , enfuite écrire les mêmes termes au- dcffous en les avançant d'un rang pour ôtcr le premier du fécond , & le fécond du troifiéme pour avoir les pre- mières différences , enfuite écrire les premières diffé- rences les unes fous les autres , en les avançant d'un rang pour ôter la première de la féconde , &: ainfi de fuite, pour avoir les fécondes différences qui font égales & confiantes dans le fécond degré. Secondes puiffances. i. 4. p. 16. ij. 36, &c. ôtez 1. 4, 9. 16. 1^, &c. Premières différences, 3. j. 7. 9. 11, Sec. ôtez 3. y. 7. 5>, &c. Secondes différ. confiantes. z. 1. i. z, èca. Gij 19- 7- 37- 19- 61, 57. 1 1. i8. 12. ^4. i8, &:c, 51 Méthode nouvelle. Troificmes puifTan. i. 8. 27. 64. ii)> &:c. ôccz I. 8. 27. 64, &:c. Premières dittercnces. 7. ôrez Secondes ditferences. ôtcz Troificme difterencc confiance 6. 6 , 6cc. Si au lieu de prendre ces mêmes puiffances de fuite , on les prend dans une progrelîion quelconque, en fau- tant quelques termes de 3 en 3 , ou de j en j , ou de 8 en 8 , de 10 en 10 , &c. On pourra toujours trouver par la fouftradion leur dernière différence égale &: confiante, qui fera la féconde différence dans le fécond degré , la troifiéme différence dans le troifiéme degré, la quatrième différence dans le quatrième degré, ôic. M.iis cette dif- férence confiante ne fera pas un même nombre , que ce- lui qui fe trouve dans la fuite naturelle de ces puiffances. Il fuit de-là que l'on pourra toujours continuer à l'in- fini la fcrie d'une puiffance quelconque, en opérant par l'addition de fcs différences dans un fcns contraire à la fouflraftion qui a donné leurs différences ; il fuffit pour cela d'avoir la dernière différence confiante, & pour la trouver, il ne faut qu'un fcul terme de plus que i'cxpo- fant du degré : par ce moyen on formera les premières colonnes des tables pour réloudre les équations. De même dans chaque degré il y a des fériés infi- nies d'équations arithmétiqucmcnt femblablcs, lefquels ne différent que dans leur dernier terme ou l'homogène feul, qui eft la valeur de ^, que nous confidérons tou- jours avec un expofant ( exprimé ou foûs-cntcndu dans les tables) en chifrcs italiques qui marque autant de di- menfîons que l'expofanc du degré de l'équation con- POUR. LES E CLU A T I O N S A l'i N F I N I. y J tient d'unitez. Or dans chaque cas particulier ces ho- mogènes forment une férié infinie, &: même dans quel- ques formules , ils ont d'abord une ferie finie qui arrive au zéro , après lequel commence la férié infinie , & toutes ces fériés d'homogènes compris dans les colonnes des tables, font des progrefiions arithmétiques du même de- gré que l'équation , qui ont une dernière différence tou- jours égale &c confiante , qui a pour expofant celui du degré de l'équation , ce Théorème a été démontré par M', de Lagny dans les Mémoires de l'Académie des an- nées 170^,6,: 1701?. C'eftfur le fondement que j'établis la conftiudion &: l'ufage de mes tables , avec les différens moyens que je donne pour les abréger, qui font unedé- monftration fenfible de cette vérité. Fremier moïen d'abréger les Tables , en fe fervent pour les grands nombres des petites Tables , comme des pins grandes. Je fuppofe qu'on ait feulement les petites tables im- primées de dix rangs horifontaux pour les valeurs de a; = o , jufqu'à .V == 10. de ^ = o , jufqu'à a r— — 10. pour trouver par leur moïen des équations exprimées par de grands nombres , il y a trois cas pour trouver tout d'un coup un terme très éloigné. Le premier cas eft dclc trouver promtement dans lin rang horifontal. Le fécond cas eft de le trouver dans un rans; vertical. Le troiliéme cas eft de trouver un terme très-éloignc, & dans un rang horifontal, & dans un rang vertical tout enfemble. Premier cas pour trouver tout d'un coup un terme très- éloigné dans un rang horifontal déterminé, dans la troifiéme formule du fécond degré, par exemple, dans le neuvième rang horifontal , fi on demande lenonantc- G iij y4 M E T H O D E N O U V E L L E feptiéme terme , je n'ai qu'à écrire iimplcment a = 97. Dans les degrcz fupéricurs où il y a des 4 de plufieurs dimenlions , on trouvera de même les valeurs de a , mais pour les valeurs âe a ,a ,a ,,i ,&c.Il faut confiderer la progrefTion qui règne dans leur (érie exprimée dans la table où ils fe trouvent , pour en prendre la différence & la multiplier par l'cxpofant du terme propofé , par exemple , pour avoir le nonante-feptiéme de la ferie de ^ , dont la progrefllon croie de 7 d'un terme au fuivant , il faut multiplier par 7 l'cxpofant 97 , qui marque le rang que doit occuper le terme propofé dans la férié des a de deux dimenfions , 5^ le produit 679 donne a ^^=S-jS), pour la valeur du terme propofé. Pour avoir un homogène ou une valeur de b très-é- loignée dans un rang horifontal déterminé , par exemple, le nonantc-fcpciéme terme dans le huitième rang hori- fontal de la première table fur la troifiérae formule a;' -t- ax — 'h .(car dans toutes les tables il faut toujours que les b de 1 échiquier aient autant de dimenfions fous- entenduës ou exprimées en chifres romains , que l'cxpo- fant de la haute puifTance de l'inconnue .v contient d'unitez. ) Je confidcre la différence qui règne dans le rang horifontal eft égale à la valeur de x = 8 du même rang. Ainfi je multiplie 8 par 97 expofant du terme pro- pofé, le produit 776 eft la valeur des 96 termes précé- dens , aufquels il faut ajouter le quarré .v == 64 , car le premier terme ^== i donne pour le premier homogène è" ==71 = 8 -H 64. Or 776 -H <î4 donnée =840 qui eft le nonante-feptiéme homogène défiré. Mais pour avoir le nonante-feptiéme homogène dans la féconde table du fécond degré fuivant la quatrième formule x a x = b , comme les termes fe trouvent POUR LES Eci.UATlONS A l'iNFINI. yj par fouftradion à caufe du figne moins de la formule, je mulciplie rexpofanc 8 du rang donné par 97 , expofant du terme propofé, le produit eft 77 (îjdont i'ôtc.v =. 6^, la fommc 776 64 =;=: 712, donne pour le terme dé- flré^ = 712. La raifon en eft évidente, puifqu'il y a deux fériés , l'une finie qui arrive au zéro, l'autre in- finie toujours croiiïante , fuivant la quatrième formule le huitième rang , ou x = 8 ne croit de 8 qu'au di- xieme terme qui eft Z- == 8 ,1e neuvième eft zéro, & le huitième eft éi = 8. Ainfi il faut retrancher pour ces huit termes le quatre de 8 64. Dans tout autre rang , il faut toujours retrancher le quarré de la valeur de x prife dans le même rang , Se qui eft fon expofant, car je ne compte point le premier rang de ,v=o, qui n'eft mis que par fimple analogie feulement , &: pour faire partir les fériés vercicalcs des homogènes du zéro , d'où panent toutes les grandeurs numériques, pour partir d aulfi loin qu'il eft polfiblc. Le fécond cas , eft pour trouver un ou plufieurs ter- mes très-éloigncz dans un rang vertical , chaque rang vertical ou colonne contient une férié d homogènes d è- quations Arithmétiquement femblablcs-, c'eft-à-dire,des équations qui ont les mêmes termes moïens avec les mêmes ficlcurs , & qui ne différent uniquement que dans leur homogène feul , 2,°. que tous ces homogènes font du même degré que l'équation, par conféquent ils font une progtellion du même degré qui a une dernière différence Toujours égale & conftante , & dont l'expo- fant eft celui du même degré , c'eft la féconde diffé- rence dans le fécond deçré , la troifiéme dans le tt oifiéme degré , &c. Pour trouver un terme très-éloigné dans une colonne de la bordure qui eft à gauche dans la première table jô Méthode nouvelle. du fécond degré , Ci on demande le foixante-rroifîémc terme de la première colonne, c'eft cet expofiînt pro- pofé qui donne lui-même .v=:^ 65 ; li on demande ce foixance-croiiiéme terme dans la féconde colonne de x il faut élever 63 à la féconde puiflance pour avoir x = 55)69 qui cil le terme déliié. Si on demande le nouante - feptiéme homogène, dans une autre colonne déterminée par la valeur de a, comme /? = 3 , contenue dans l'échiquier entre les va- leurs de ù ,c'c'fl: à-dire , le nonantefcptiéme homogène dans la même table première , fur la troifiéme formule X -+-.ax = b , je cherche d abord ce nonante-fcpnemc terme pour la bordure à gauche , j'ai pour la première colonne x = 9j ,S>C fon quarré donne pour la féconde colonne x =5)405) , & opérant fuivant la formule & fubftituant ces nombres, dans x -^ax = b ,j'ai 5)405» ^{-3x97==^ , qui donne 9700 =:^ , c'eft le no- nante-feptiém.c homogène défiré. Pour avoir de fuite plufieurs homogènes très-éloignez dans une même colonne, il faut d'abord en trouver plu- fieurs de fuite; Sçavoir , un de plus que l'expofant du degfé, afin de trouver leurs différences pour la fouftrac- tion expliquée ci-dcfTus, & on continuera leur ièrie aulTi loin qu'on voudra par l'addition de leurs différences trouvées. Par exemple. J'ai trois homogènes dans la troifiéme formule du fécond degré ,v -^ax=:b ; Sçavoir, 5^9 y, ^48 , 703 , dans une même colonne de .?= 18. Je trou- verai la fèrie entière par l'addition de leurs différences comme il fuit. valeurs rOUR LES E Q^U ATIONS A l'iNFINI. 57 Valeursde a-= 17. 18. 17. lo. 21. zi,Scc. VaIcursdeA'= jsjj. 648. 705. 760. 819. 880, &c. ôcez 595. 648. 705. 7^0. 819, &c. Première difterencc. J3. ^5. ^7. yc,. 61, &c. n- TT- J7- îiJA'c. ot-z Seconde différence conftantc. 2. 2. 2. 2,&:c. Le troifiéme cas ne renferme aucune difHcuIré, puif- qu'il concient les deux premiers que nous venons d ex- pliquer. Deuxième moï'cn d'abréger les Tables afin d'employer les petites Tables pour les grands nombres. Le moïen le plus court & le plus fimple eft de faire des petites tables qui puifTent fervir pour de grands nombres, & de fubftituer dans la formule qui fert à conftruire cha- que table les nombres premiers , au lieu de la fuite ordi- naire des nombres naturels , & d'écrire dans les bordures en haut & à gauche la fuite de ces nombres premiers tels qu'ils fuivent. i. 2. 3. j. 7. 11. 13. 17. 19. 13. 29. 3 1. 37. 41. 43. 47. ^3. 59 éi. 67. 71. 73. 79. 83. 89. 97. ïoi.&c. Il fera facile par ce moïen d'avoir les autres nombres moindres compris dans leur interval qui ne font point ici , puifqu'ils font des multiples de quelque nom- bre premier qui les précède. On peut auffi employer la fuite des nomtres naturels dans l'une des bordures , & la fuite des nombres premiers dans l'autre bordure lorfque l'on voudra des tables plus amples. Lorfqu'on veut des tables pour des grands nombres, on peut d'abord fubftituer 1 00 , ou 1 000 , ou tout autre nom- bre plus grand dans la formule au lieu de i , 2,3, &c. Analy/e. H j8 Méthode nouvelle que nous avons fubitirué pour former les petites tables. Ce qui cft facile , &: ce qui ne demande pas un plus grand détail. Troijîéme ynoïen d'abréger Us Tables. On peut encore pour abréger la conftruâiion des tables fauter plufieurs termes de 3 en 3 , ou de j en j , ou dans telle autre progrcflion que l'on voudra. ^^atriérne nioïen en réduifant l'' Equation à fes moindres termes^ Lorfqu'une Equation eft propofée en grands nombres , dans le fécond degré , j'ôtc du fécond terme le plus grand nombre polfiblcj&j'ôte le quarréduméme nombre de fon homogène , & par ce moïen je réduis l'équation à de très petits nombres, de forte que je peux la réfoudre par de très-petites tables. Dans le troifiéme degré j'ôte la troifiéme puiffance d'un nombre , &: j'ôte les puilTances inférieures du même nom- bre des cœfficiens ou facteurs des termes moiens, chacun fuivant le nombre de fes dimeniîons , pour réduire l'équa- tion à fa plus fimple expreffion , & aux moindres nom- bres , afin de pouvoir la réfoudre par de petites tables ; mais après avoir trouvé la racine , il faut l'augmenter de la racine qui a été retranchée , &: par ce moïen on pourra fe fervir facilement des petites tables pour les grands nombres : mais le lecleur trouvera toujours beaucoup à profiter en continu.int d'abord alfcz loin les tables pour confidércr dans le détail leurs progreffions , qui font une fource très-abondante dcThcorémcs &: de Problêmes que je fupprime ici pour abréger ce Traité -, on tirera même plufieurs Méthodes générales pour réfoudre les équa- tions de tous les dcgrez à l'infini, par exemple. Dans le POUR LES EqJL'ATIONS A l'infini. J^ fccond degré la valeur de a cft toujours le divifcur cxaiît de rhomogénc , il contient toujours deux puiffanccs de d qui différent de la valeur de .i , ce qui donne une mé- thode (impie &: facile pour rcfoudre les équations atïcélécs de termes moicns dans le fécond degré. Par exemple. Soit une équation quelconque dans la quatrième formule du fccond degré .v" j,v h .foie a=^j. la férié des homogènes ou des valeurs de h dans cette colonne cft double l'une finie, & l'autre infinie ; " la férié finie cfl: o. 6. lo. 1 1. li. lo. 6. o. Se la féric infinie qui commence après le zéro clt 8. i8. 30. 44. 60. 68. 98. 110. 144. 170. 198. 12,8. &:c. Le premier homogène 6. dans la féric infinie a pour racine deux puilTances de 4 = 7 , dont la différence cfl: a = 7. la première racine ell i = 7x1 g. la fécon- de cft 6 ^=ijx X I. Le fécond homogène 10 , a pour racines z Se ^. Or 2 = 7x1 5 & 5 ■ 7"! 2.: De même dans la férié infinie l'homogène 8, a pour ra- cines 8 & I. Or 8 = 7>ti _f_ 1 , & I z= 7XJ ^. Dans l'homogène 18 fes racines font -f- z Sc 9. Or z == 7^' j & 9 = 7«i H- z . Dans rhomogénc zi8. les racines font -{- i z&c 19. Or 12 = 7x1 z, &; 19= 7j^ H- y. Ce qui montre évidemment que les racines de l'homo- génc font deux puiffances femblables de a , dont la différence l'une pofitive&: l'autre négative font toujours une fomme égale à la valeur déterminée de a = 7 dans ce cas particulier, Il fcroit àdéfirerqu'on pût trouver une Méthode aufli fimplc pour tous les degrcz fupérieurs ; je l'ai tenté , mais il mercfte encore des difficultezà furmonter pour la rendre générale pour tous les degrez fupérieurs à l'infini. 6o Méthode nouvelle, S>îc. Suivent les Tables pour la Rélolutioa des Equations de cous les degrcz à l'infini. J'en ai mis feulement ij pour fcrvir d'exemples pour en drcflcr de femblabk's. Pour le fécond degré , il y a quatre tables , deux de la première, & deux de la féconde cfpéce. Pour le troificme degré, il y a dix-neuf tables , &:on peut augmenter leur nombre , &: mettre à part les Equa- tions qui ont des racines imaginaires d'un cô;é , &: de l'autre celles dont les racines font réelles, comme on le voit dans la fixiéme table qui a trois fùiilles , la pre- mière eft pour la première efpéce des tables, mais la féconde efpèce des tables a deux feuilles , l'une pour les racines réelles, l'autre pour les racines imaginaires. La féconde clafle du troifiéme degré a cinq tables , la troifiéme clafle en a dix, dont la formation eft évidente. Les deux dernières tables font pour la féconde clafle du cinquième degré; on pourra en conftruire de même pour toutes les formules de tous les degrez à l'infini. Première Table Prcmiei-c Table de Pour les formules. la i'= efpécc. i^Sv^=^'. / ^'^^ x'-H^V=^". . i'. degré. .V:=I .v'=:I -V 2, Ac--=4 .v^3 x' = c, A-_4 x'-=l6 X=:'=64 .v= I o a: —Si I I X =100 , 4^0 <ï=I a — i -j 4=4 Z,=0 i=o 3=0 3=0 3=0 ^=1 ^=0 b=—ï 3=— 2 3-=3 3=_4 i=4 b=l b^6 i=o 3=_2 3=0- b=9 ^-3 3=8 3 3 3=0 b^l6 /'=I2. 3_4 b-ij ^=iO 3=1 y ^J=:I0 3=j b=}6 b=^0 b — 24 3=18 3=li ^— ^4 ^=4i 3=3 5 3=18 3—2 1 Z'=y6 3=48 3 — 40 3-5^ i— Si ^-7. b—6l 3_y4 f=4J ^^=: lOO 5=90 ' !'=8o h — -0 ' î'=6o r .vi a'x'=^l"... 4'-' formule, . . i^' claffe ^ x"^ A-'= h"... 5' formule. ) x'--i-a'x'^= ^"... 6= formule. _______ "=J a=6 4—7 4=8 a=9 <<=:IO a — I I b=0 b=o b^o b=:Q b=o /i=0 /<=o b 4 b=-s b=—6 b=-7 b=—S ^=—9 b 10 b=—6 b=.—% b= — 10 b=—12. /'= — 14 b=—i6 z;^_i8 ! b=~-6 b 5, Z-^— IZ ^=-iy É=— 18 b=—xi b 24 i b 4 b=—% b=—Il b= — JO b=—i6 £= — iO b^- — 24 b=—i2 ^=0 b=-^ /,=-iy ^= — 20 ^=-2 5 b^ — 30 b=^6 b=o b=—6 b^—ïi /;=— 18 b:= 24 b 30 è==i^ b^j b=0 b=-j /-= — 14 b=—ll ^=—28 b=lA b^\6 ^=8 b=0 b— 8 b^—î6 l' 24 b=l6 /.=i7 ^=18 b^Ç) i-^o b=. — c) b^—iS b — yo b^=^o b=io b^to è=IO ^=0 b= — 10 a m i^c Table de la Pour les formules 2,'ic efpéce. i<'c formules x'-hûx = h'" 2,''. degré. x=o X 1 ,y=l .v=5 x=4 x—S x=^6 .v^7 .\~9 .v-;=o .V'==I .v-=4 x-^9 x'=l6 .v' =2.5 x"- =36 .V" =49 .v"=(î4 =8r .!=:0 i=0 -1-v/— I -+-»/ — 4 b=^l6 -+-»/— 16 ■+-V— M ■+-V— ■56 -j-V — 49 i=64 64 .Î=I i=0 t=0 i=2, b=6 b^lL ^=50 ^=41 i-t-v/r-4T i==j6^ i=72, l>=o b=—l IX — I b^o ^=3 H-\/i — 3 1-+-V/1— 8 IH-v/i- -i~5 i=i4 -Î4 i-4-v/i- -iT i=48 14-8 i4-v/i^37 i''*-' claffc^.v= .ix= ^'"... y<= formule. ) x--k-ax-. — h"'...6'^ formule. "=5 <î=4 <ï=)- a=6 ^=7 b^o ^=0 /-=o b^o i— 0 b=—2. IX 1 i=-3 —IX— 3 — IX— 4 — IX— y — IX — 6 b=—2. IX— i i=_4 ZX 2. b=—6 — ZX— 3 i— 8 — ZX— 4 h— lO — ZX — y b—0 — IX— 5 — ZX— 3 b^—9 — 3X— 5 ^=— IZ — 3X— 4 b=', —4 i=0 i 4 — IX— 4 ^=—8 — ZX— 4 /=— IZ — 3X— 4 ^^=10 b=o —IX— s L — — lo — ZX— y i=i8 z-Hv 4 — iz b=6 — 6 i=o — IX— ^ i^iS b=ii z-f-v'4 — zi i=i4 i=7 Z-=o /'=4o b=ii. z_HV/4^3i ^=Z4 b=^if^ Z-=8 \''iz^ — 8 ^-=)4 i=4V i-f-v/4_45 Z>=56 3HrV-'9— Z7 ^=i8 3«: Table de la i'^'^ cfpéce. { -i-^'x--ho"x'=h'" x-^-i-A'x'-y-o"x'= — ù" 5^. degré. a;=o -v=I .v=i .v=j .v'^o a: — r .V'=0 .v' = i .x'=4 -^'=8 .v'=9 .v=4 x'-=i6 v=y Xz^C x=8 "=iy .v'=27 i.'=(54 .V* = IZJ .x-=5^ H 9 x'=ii6 '=5^-3 *r'=54 i.v'=) Il .V=5) .V'=:8l .V;;=IO .V'=IOO I X'=J1Ç) ■I I- 1000 ^'=o rf' = i confiant 4'=2 .■=3 6=0 6=0 6=0 6—0 6=1 6=2 6=3 6=4 6=8 /i=l2 b=i6 6 — 20 6=27 6=36 6=4 y 6=j4 6=^4 b—îo £=96 ^=112 6 12^ 6=1 y 0 6_i7j 6 — 200 6=2 I(î 6=2 f 2 6=288 6_324 6=345 ^=3^- 6=441 /'— 4P0 l>= )" I 2 6= ,75 6:^^40 6—704 6=715, 6=810 6=891 6—5)72 6 — iooo 6= 1 100' 6 — 1200 ! ^ — 1300 . , formule i"'"' formule. .z'^<^ formule. .■=4 .'=y ^'=5 .'^7 ^■=8 a'^ç, 4-=o b—o ^=0 ^=0 /^=o h^o b=o é=0 b-^ ^—18 h=-j h=^% b=9 b=IO ^=11 ^_M b-y. b='-,6 b — 40 ^—44 ^—48 ^-=117 ^=^3 b=-jz ^=Si br=^^0 l>—99 b^io^ ^=iz8 ^=144 ^=:I60 b=^i-j6 b=Î^Z ^=108 ^ — ii4 ^=^11 y ^=2yo ^—17 y b — 300 b—izs ^=3yo ^=37J ^=360 ^—35)6 ^—451 ^=468 b-^'jO^ ^=y4o ^=J76 ^=j88 ^-^37 b—6%6 ^—7iS '^-7S4 ^--833 ^=768 ■é^Sji /5=89 A ^=^^7 h:^0 ^=-5 ^=—8 ^=^-9 ^=c ^=15 ^=7i =z^ 6 ^=486 ^=40; ^-=700 ^=^00 ^=0 ^= — I i ^=—18 /^=— lé h=0 h=-^,6 ^=:I47 ^=58 ^=49 ^=:^0 h=- b=—l6 h^ — %-J h= — 31 b^-iS h^O L=^1^2. /J=j24 / = ÇOO £=118 l>=0 (>=—6 ^= — 10 ^=—36 ^=—48 i= fO ^=—36 h^=-0 b=6â, ^=■^4? ;&=400 ^^o b=—z h^ 14 ^=— 4J ^=—54 ^=-75 £=: 71 /^=— 49 ^=0 /^=lé2. ^-=300 ^=81 ^;=iOO i» /(/ 4*^ Table de la ideefpéce. Pour les i-ormules < ? , , r « / / „ L .V J .V H-* .V ==: b. je degré. .v^^I .V=i A-=4 .v=y .v=6 .v=io .v= I I ^=8 --^7 b=6^ b:=l2.^ b^l^yO b=lo b=^^0 a'=z b—o b=i: ^=68 ^=zi6 ,-'_—•. 43 a;'=:.54 .v'=jr2. .v'=Sl ^=10 .V=IOO .v'=7i5j 1000 -343 b=-,i: b^=llZ ^=21 ^-5 3 ^=0 b=A ^=14 ^— 3^_ i-7i t^ljy b=^^o JiC ^=7ii> ^^738 Zj^= 1000 --5n b=j6 ^=140 ^==.134 ^=364 ^=518 /'=7 747 ^=5 36 b=j^6 b= ioio|i= lozoU^iz 1030 1 i''= clafle / X ' ~ho.\ "■ -f- 6 6=100 6=104 ^=MT ^=iyo b=i^^ 6=160 6=i6y 6=170 6=175- ^^140 ^=i4(î b — 152, =m8 6 6 — 164 6=170 6=176 ^=371 /'=578 6=3 8 y 6=35,1 6=395) ^—406 6—413 ^—544 ^=^2- b=:^60 6=5-68 6_j76 6=j84 6=591 ^=76 y 6=774 b=J%i 6—791 6=800 6=805) 6=818 ^ — 1040 6= 1 0 j 0 6=1060 6=1070 ^=:I080 è=: 1090 6=:IIOO ArtAlyfe. 5<^Tablcdcla Pour les formules j x^-\^o\'^-i-a"x'z=l/." . z^e efpécc. 2'i': clafle. \x'-j-/ii_iixj «=4 — z-f-»/4_"i7X4 b=j^ — i-+-v/4_ig X4 x—^ b=l 50 — 2i-+V6i— lé X5 x—6 x=-j' — 3ïH-v^i2i— 50 X7 — 3î±»/l2i— JI X7 K=.% — 4-+:»T6"— ?5 x8 —^-;t-V^ 16—6 6 X8 x=9 ^=738 —4I-+-V/ 2,01—82. X9 — 4ï-+:V'zo-^— 83 xp X lO b — 10 10 — ^llr^'i»; — 101 xio Z- lOiO _ y-H^z^ — loz XI 0 i"^' formule, 2'^= formule / Equ ations fationelles imaginaires du f degré. "^5 "—4 drf. ^=o 1=0 d-^. ^-4 -^-t^-4i XI (^r. ^=t4 — i-HV— 6 XI — i-tv^— 7 Xi &c. ^=39 —'^±*^ 2-^—13x3 &c. i-t-v/,_,9 X4 ^=80 —z-W^—zo X4 &c. ;^= I J^O ^—145 — 2i-+y6i_ii9 xj &c. ^=^54 ;Ê=140 --3-t:^5'— 40 x6 &c. ^=564 3Î-H/iii— ji X7 ^=571 -3i±>/i.Vnx7 &c. — 4-j-t/i6_67 x8 ^— J44 —4-+:^ 16—68 x8 &c. ^7^6 — 4Î-+:*/ioi— 84" X5> ^=76 y — 4α^''zoi— 85 x9 &c. ^=1050 — î-tyr^^ 03 XI 0 /> — 1040 — ')-^I^ïô'af XI 0 &c. CIJ / Pour les formules, r x^ l i^^clafTe. \.v- é= Table de la i"^ efpéce, J Pour les formules, jx*-. i'" &c 2"' clafle. 5' degré. 1 .v=o x'^o .v'=o .V 1 •v"- = i .v'^I A.-=l .v-=4 .v'=8 X^) x^=c, .v'=i7 A— 4 x'=i6 .v'=.^4 x—S x'-=i^ .V'z=l2y x=6 x^=.;6 .v-=il6 .v=7 x-'=4s> .v'=343 .v=8 x^=64 .v'=5 iz X—Ç, 1 .v--=8 1 .v'=7.S) Ar=:ÎO J .V^ = IO0 ■V' = IGOO .1=0 a'=0 i^O ^=1 /^^8 i=6 i>=i7 ^=64 ^=il6 ^==545 4^=1 ^=0 ^=v: i=ii5 Z^=iio i=. ^4 ^=(Î0 confiant. h=o b^—l ^=4 ^-=il h^s6 i^^llj ^=i I O i^^l b^y,6 i=5 12, /^-=)04 ,i=--7i9 ^=1000 ^==710 ^=95)0 =3ii) /^=49(î ^•=71 r ^=i)8o " /, '" « . « • • j 1 rr Ç >: '^Ox' a .V=/ \^ X -+-i?.v a x^^^' -l."' 4^=3 4^=4 ^^==r ,!^=^ a'=-j — 9^0 ^—5)50 ^=940 ^=930 ^=910 C lij é»: Table de la i« efpécc. Pour les formules .v'-f-tf.v- d'x' h'" . 3^. degré. a=o. confiant = — I x= — I X — I X 1 x= 1 *;= — I x^i x-Hi x-Hi X— 3 X— 4 X— ^ X— 6 X— 7 x-4-^ X-+-4 x-Hf imvojfihle b=6 <ï':=l: ^=11 x-\-6 X-+-7 x-t-8 X— 8 X— 9 X lO X 1 I xH-5) X-i-IO a =1 1 l>=10 ^=41 x= — z X — 2 X-t-4 X— 4 X— 5 x-^6 X— 7 « =57 "^=73 X-f-I I X-1-12 3=5)0 '«'=111 3=:l 10 *'=I33 i==ï$l X — - —t X — 1 *•==- —2 X .^^ x=- -2 X — -2 X— 8 x-f-y x-4-6 XH-7 4'=I2I £=30 x-<-8 x-\-9 x-f-io X— c) X-t-I I X — 10 X II X-HI2 XH-I5 X — 12 X— 13 ^'-=28 £=48 b=JO («' = 52 a-=:6j b=ïi6 ^4'=8^ 4^=103 £=198 <«'=I24 3=240 <î-=i47 3=286 x-f-14 XH-Iy 4=172 3=390 3"^ degré. & la formule x'-j^ox' y'x'^^^ i>"' a — -Q conJUnt. x= — 3 X— 3 x-h6 .l'=27 £=84 .v=-. X— 4 x-^-S X 3 X— 4 x-^7 .V— 4 x=— 4 X— 5 X-+-5) --^. X— J x-t-8 4"=49 ^ — 120 4'=é3 £=162 ^^=79 X— (5 x-t-io X— 6 X-+-5 ,v= — 4 X— 7 X-4-I I X: 3 X— 7 xH-io x-Hli *— 4 X— 8 X-+-12 a:= — 3 X— 8 '^"=97 b — 1164 ='7t9 '=9 _4JH-t/^oi— '8i X5) .V= I G /6=I10 — il-f-v/^iZ:r4 xj ^=1 ro ^'=?;6 — 3Î^-»/izi— 48 X7 ^=^04 —4-+:^ 16 — 63 x8 i-=io. 00. — T'il^zj — loox 10. h=jio — 4|-j-\/ioi.l_8o X9 •i=990 — y+v^i^ — 5)9 xio z'!= claflc idc ci L-V -+-0X,_- 'i A' === 0. J iiuugiiiu irci. a'=2. .^==3 drf. b=0 ^=0 &C. — î±^i4-IXI — i-+y-;4-i XI &é. i_4 — ï-W'l—2. XI — iH-v^i—i XI &c. -ii-(-v/ii_7 x5 è=i8 — i-+-v/2i_6x5 &c. ^=j^ — ^"t^4 — ^4 >^4 *-î^ / ~^"tr 4— M X4 é-c. fc=ii^ — i|-+-v/éi— 13XJ è=IIO — li-j-v/éi^iixy &c. — 3-+-\/5-_34x6 ^=198 — 3"t-»/c,_3fx^ &c. t=32,9 — 3î±^iiï— 47x7 ^=311 — 3r-t^ïli— 46x7 3= clalTe. 3<=. degré. .v=o .v=i x=4 .v=5 A.-=6 ï=7 x=8 .v=9 :IO .V'^0 X'=I .v-=4 .v'=9 .v'=lé c^=zy .x-=36 ^=49 a;'=^4 .r'=8 I .v'=ioo .v'^o .V' = I .v'=z7 .v'=64 .v' = izj .v'=zi6 A.'=343 .x'=jiz .V': =72-9 ^= =0 i= =1 ^= =8 i= =Z7 i= =64 i= = IZ5 b^ = zié ù= =343 = 5iz =7Z9 1000 Z/^iooo 4= -0 i= =z ù= = IZ b^ =36 i.=:80 ^=150 ^=z5z confiant b—o ^=3 i=I4 ^=39 i=84 i=in i=i5;i i=:39i î=399 ^=T76 i=8io ^=1 100 ^=^84 i=8i9 <ï'=Z É=o i=4 ^=I6 ^=4Z b=%% b=i6o b=i64 b=t3^o6 b=^ç)2. *=8z8 b= I I I O ^= I I z o ï^'^ formule, deux Racines négatives, la j^ poficivc, 2,'^'= formule, ou en changeanc tous les fignes a:' — a' x^ — 4".v'=-f.^.' .^=3 '»'=4 .^=y .î^=6 .'=7 ^^=8 ^'=9 h—o y=o ^=0 h—o ^=0 b=o h—o b=^ h— 6 b-j h~% ^=9 b=IO b—Il h—i% Ù=10 h^it b=14 ^=1<Î h—z% b 30 ^=4j ^=48 b=si ^-54 ^-y? b—60 b=6} h — 9 2 b=96 h — 100 ^=104 ^—108 b 112 b=:ll6 ^=i6y h — 170 ^-=i7j ^=180 ^=i8y b=.\<)a b=ï9S h — 170 b~zj6 ^=182 ^=188 ^=i94 b — 300 b — 306 ^=413 ^=410 ^— 4Z7 ^=434 ^—441 ^=448 b-—4^^ h — 600 ^=608 b=6ï6 l>=62.4 ^=631 ^=^40 b=64i ^_8î7 ^=846 h=%sS ^=864 ^-875 ^=882 ^=1180 b=^9i ^=^1150 ^=1 140 h= 1 1 y 0 ;&=IIéo b — 1170 è=llS)0 dtj 7= Table de la i'^« efpéce. Equations tadonelles pour la i"^' . j^claffe, foimxûe x^-^a'x'--^a"x'===i>."' les . 3' degré > i. racines négatives, la 3"^ poCtive. . A-=— Z X 2 X— 5 .V= 1 X— 4 X i x—5 .V z x—6 X i X— 7 X= 2, X— 8 .V=:: 2, X— C) X 1 X 10 X= 2 X 1 I XI X= 2 X= 2 X IZ XI XI XI XI XI XI xr XI XI XI X — I ; XI d,f.i. impojfible dans 4=4. a'-=i 2x3 L—6 J=y. A'=2. 2x4 b=% A^6. ^'=5 2XJ ^=:I0 A— y. 1x6 4'=4 i=I2 a^'è. 4'=y 2x7 ^^14 2x8 u'—6 b=^i6 a — 10. "—7 ixp i— 18 rf=ll. -«•=8 2x10 b^lO ^;=I2. ^'=p 2XII /.=2 2 .î=i5. rf°-=:IO iXIZ b — 24 4=:::I4. 4' 2X13 .b -Il = 16 . df.Z. cette farmule. 4=7 2x6 i=I2 2x8 b—l6 A^^l I 2XIO ^=13. 2XIZ <2-=:IO ^=24 4=iy ZX14 4'^=IZ i=2 8 "=17- 2X1^ 2x18 =6o ''=37- ""-=34 2x36 i=72 ^=41. <*■ 2X40 =38 ^=80 ''=37- «'=34 2x36 l'=JZ <î=4i^ ^"-=38 2x40 i=8o ^=46. ^"=43 2X4J i=5J0 I. ^«^=40 4=4 5- . '^=42 iX44 1X48 ^-=96 'î=5 ;• «''-^yo 2X) 2 ^=104 2x50 è=ÎOO 2X) j ^=1 10 <î=43. ,}-^=4o 2x42 ^=84 =29. (î'=26 '«=3 3- i'=3o 2x28 ^=j(î "=36- '^'=3 3 2X3J 2x32 ^=64 4=43. ^'^^40 2x41 ^=84 4=49. 4=^=46 2x48 2XJ4 ^=108 ;=:— 5 x=—6 -—7 x=—9 x= — 10 X 1 X — z X— 4 X— î X— 6 X— 7 X— 8 X— 9 X 10 X 1 X— -I X— -I X— X — X— X — X — X — X 1 Troifiéme Racine variable. X — I X — 2. "—3- "—3 "=4- "'^5 X 1 X — 1 ^=—1 ^=—1 ,t^S- <*'— 8 ^=6. 4';:=Ii X 1 X 1 ^ 4 ^=—8 *=7- '«'=1 y rt— 8. ^'—11 X 1 X — t ^=-5, ^=—18 rf__cj. a' — Z4 rf — 10. a' — 31 X — I X 1 ^=— 16 ^=-3z ,ï^ii. =—t y 6 a — zi. «' — 144 /' 5 1 0 A 22. 4* 1^0 ^=—384 a — zi. «' — 135 ^—145 a — zi. a"- — iy3 ^=:— 5Z4 4=23. ^'=171 ^=—40 y a, — 24. «' — i8p ^=—486 ^=13. a'^=i6o 4=;Z4. =looo a= 1 ;&=;:0 i=l ^=11 è=3^ ^=80 ^=1 jo ^=iji ^=391 ^=^7(î ^=810 ,5=1 100 confiant. i=o ^=1 i>=^ÏO ^=33 />=76 ^=145 ^=146 ^=3 8 y ^=j88 ,5=8 or :IOC)0 qui commence après les zéros à droite qui efl: à gauche avant les zéros où elle finit. a^=l .^=3 .'=4 a^=^ a'=6 a'=7 b—o b=o b=^o b=o b=o b=o b=o b=—i bz^—% ^-^3 b=-^ h ^ i=8 b=6 ^=4 b^t b=o ^=_^ b — 30 b-tj i^=24 b:=ll ^=18 ^_iy h=7z b=6S b=6\ b—(,o ^=y6 ^=140 b—i^^ b — IÎ4 ^=150 ^=Ii^ b — liO b — 2,40 b=^^% t b=:l\6 ^ ZIO ^-378 ^—371 b—^64. ^=3J7 b—j^O ^—343 ^=5;8o =)7i /.= 564 ^=^6 ^-=h8 ^=^40 b—J92. ^=783 ^=774 b--j6s b-7<;6 ^—747 b=\0%0 b — 1070 b — 10 do b=iojo ^=1040 b — 1030 Jnalyfe 10' Table Pour les formules < . , , ■^."' . . i'= efpécc. 3"^. degré. 3':cla{rc. a;=0 .v=i x^=o X=Z .v=3 v=4 •^"=4 a;'=c, a;'=i6 V=y .v-=lj .\-=(î a:-=3^ .r=7 .v=8 "=49 ;«=9 .V =^81 I X= I o X = 1 A.'=I x'=z7 .v'=64 l,=^o i-^ï confiant b=o h=î b=Q l,=o b^l h=6 b^ij '=izy x'=ii6 .v'=345 b—6^ ^=Z4 ^=: lO b^ 5 3 Z.=6o ^=7^ ^=12, y b—iï6 b^^lZQ h^^-L I O ^=I4T £=343 Z.=336 ^-=38f £=^146 a;'=^4 I a;'=jI2. Il /-=5i2 .v'=IOO -v =7Z9 A-' 1=1000 £=504 b=.yir, *=)-6 8 ^=7Z0 £=1000 b=^-^^0 li=%Ol b=:lOC)0 3"^ formule. 4 formule. 4'=1 .'=3 "■=4 4'=y a'=6 .■=7 4'=8 6=0 6=0 6=0 6=0 6=0 6—0 6=0 b=i 6_5 6=4 6=y 6—6 6=7 6=8 6=14 6=18 6=11 6=16 6=30 6—34 fc=38 6_4t 6=n 6=60 6=69 6=78 6—87 6=96 6 — jji 6=108 6 — 114 6=140 6=iy6 b=.l-j2. 6=188 6=170 6=i9j 6^110 6—1 4 j 6 — 170 b=2.95 6=310 6=182. 6=318 6=3 j 4 6=390 6 — 416 6 — 461 ^=498 6=454 6=483 6_n2. 6=581 6=650 b=679 6=718 b^6it b=6^6 6=760 6=814 6=888 6 — 1106 ■ 6=951 6=:I0l6 6=881 b—ç)6) 6=1044 6= 1 1 1 î 6=1187 6=1368 6—1190 b — IlpO 6=:I 590 6=21490 6=1590 6= 1^90 6 = 1790 erj 11= Table de la „ i..f.r,^Ml.c/'^' a'x--i'a"x'=L"' r, r ' Pour les rormules s , /,,/// , 1^ efpecc. L.v' <î x--i-/î .v^= < 3= claffe, 3«. degré. .v=o x~ = 1 X- =1 X- =5 X- =4 - =7 X— =6 - =7 .v= =8 .Y= =9 .v'=o .V'=I .^'=4 .v-=p .v^=l6 — iy .v-=3^ '=49 :IO X-^ = §I x-=ioo .V'=0 '=8 .v'=Z7 .v'=64 .v'=iij x':=llé '=343 =yii a;'=7z5) ^=0 i=I ^==s i=i7 i=^64 ^=iiy i=ii6 i=343 ^=5 iz i=7i5) 1000 ^'=r /.= -0 b= =1 b= = 10 b= =30 b= b^ =68 = 130 b^ =2Z2 b^ = 350 i= -J2.0 b= =738 <î:=I b=0 ^=1 i— 6 ^=ii ^yi ^=105- b=iS6 ^^=301 i— 4J(Î ^=<57 ^= 1000 i5^= 1010, i;= 9 I ( ^=0 i=o b=l b=lï. b=^6 b^îo b^l jo ^^=2^2 i=39i ^=T7^ Z-^gio 7^ formule. 8'^ formule. 4=3 4—4 ^=y A=G "=7 ^=8 4=9 h—o ^=0 b=o b—0 ^—3 b=0 b—° ^—7 B=—-L ^=—2. i=-3 ^=-4 ^ y b=—6 b=—t ^— 6 ^ — — 10 6= — 14 ^=—18 ^=—12 ^=—26 ^=3 b^—6 b—x^ ^ — — 24 ^ 3 3 é= — 42 ^=-yi b iO ^=4 ^=— IZ ^=—28 ^—44 b=—6o /.=— 76 ^-n ^=30 ^-^ b — 20 ^— 4J é= — 70 b=—%'y h — ri4 ^=zo3 ^=78 ^=4Z bz=6 /5=-3o b=—66 b — -102 ^=1^4 b — 10) b='^€ ^=7 b 42 b=. — 91 £=528 ^=164 ^=200 b=i^6 ^=72 ^=8 b^-^6 £—49 j ^=414 ^—333 b^= 1^2 b= 171 /- — 90 b^Ç) ^=710 ^=^10 h JIO b — 4 10 ^=310 ^=210 b — IIO e iii 11"^ Table ,, , r , fj'. . , .v'-f-y.v- Icontenue dans la i colonne feule -.t"x'r jri<: cfpéce, 3= clafle. 3" degré. A,=- — I X — I X — I A=- — I .v=^- -I s.-=- -I .v=- -I X -I A.-=— -I X=i 1 X 1 X 2, X— 5 X— 4 X— T x—6 X— 7 X— 8 X — 9 X 10 X 1 I XI X2, x3 X4 xj x6 X7 x8 y-9 XIO XII rf=:I XI ^=1 i=4 a'=9 b=9 ■■l6 b=\6 7 =49 -49 lO b=64 4'=8l i=-=8i 4-;^ 100 ) ^=100 <ï'=lll 1 1 i=XiI A^l a'^1 XI b=0 b=l b=6 a'^iil :I2 o a— 109 li "—3 XI Z.=_i ^=0 J*=:l /;==! 4'=:6 ;^=IO *.'-^i3 = ii ^^Z4 "'=3 3 ^=3T .î'=::4(î 10 l I ^=48 a'— 61 b=6 7, .>'=78 II 13 ^=80 =P7 b=lio ^=99 7'.../ -v' ■a'x'- ■'x'.=ù." ,„ contenues dans le refte de la Table, «=4 Xi b=—z h=—i rf'= =0 -i b= b= h= lO 1 1 ^= II h= d"- 13 b^ 14 h= S ■7 10 ij 18 =z8 =37 4Q )i )4 67 70 88 ^=y "'=7 «'- *=-4 "—7 i=:0 ^•=1 £=T ^'=8 10 £=11 ^.'= 1 7 II i=:ll ^'=28 II --i^ 13 ..==41 =45 «'^56 14 ij =73 ^=77 rf=5 X4 <î'— II i==-4 <î"=i I ^=—6 /!^=II b=—6 «'^=14 .'=_j 10 i=o 1 1 l>=6 12. b= 14 4'=z:I5) 13 =^^4 ^«'=3 I 14 u =61 16 b=66 :=1^ ^-=:iy £:==64 h^6o i— 44 ^=12.5 ^=110 ^=9 y ^=iié ^^=110 ^—174 ^=345 ^_3 3é ^=187 i=^j II ^=^04 ^ — 440 ^—719 ^=7Zo ■b—6is ^=1000 ^=550 b=%9o y"^ formule. 6^ formule. a'^z .■=j .'==4 4'=5 rf'— 6 .'=7 b—O 6=0 b=^0 i=o /^=o 6=0 b=—i b 5 6^-4 /;= — 5 /=— 6 6=_7 l;=—l 6=— 6 i= — 10 ^=-14 ^=—18 6=— il b^6 b=^ — 3 6=— IZ 6=_M 6= — 30 6 35) b^l% b=iz i=_4 6= — 10 6=_36 6 52 b=^yo 6=45 i=20 i— y b= — 30 i=~5 5 i=i38 ^=101 6=66 6^=30 6^—6 6=: 41 ' b=x^% k=l%9 6 — 140 ^=pi /t=4i 6=_7 ^=376 h — 312, ^==148 ^=184 ^=IiO ^— y6 6-558 ^—477 6—396 6-315 ^=134 6=153 6—790 i=(îc)0 6— J90 h — 490 *^3po ^=ipo Analj/fe. f 14= Table, Pour la y' formule a-'_— /at' a"x'=b: 2 a;= — z X 1 x4 4'= 10 X4 xj ^=10 4'=: 16 x6 —3 X 1 X5 t=i8 4-=ij b—11 ^f=— 4 X — I X(S a'=t6 i=i4 rf'=3 1 X7 /.=i8 4'^ 3 6 x8 ,v— y X 1 X7 *=3T "—43 x8 i=40 "'=49 xp ^=4T x=— 6 X — r x8 x8 i=4S t— y7 xs» i=î4 .i'=64 XIO ■ b=6o .v=.— 8 X 1 X9 xp ''—73 XIO b=70 XI I b^77 "'=99 XII l!'=:I06 X 1 XIO a'-^'i l XIO i=90 XI I .v=— p X 1 XII ,i'-^= 1 0 1 XI I «'^=11 1 XIl i=ioS 4'^=I1I XI5 ^=1 17 1 X 1 XII XII i'=I20 4^=133 X13 ^=130 ^'=144 XI4 b 140 ^■=-1 1 X 1 XI3 "— i4y X15 "—157 X14 /;=U4 4'^i6 8 XIJ ■{ quia deux prcmicrcs racines négatives, èc la J* pofiuve plus grande que leur ibmme. 4=4 .î=y ■ A^G ^=7 . 8 ' .('= 1 1 x6 b=6 X7 6=7 ^'^IJ x8 "—17 X5) ^v--z8 X 10 b=.-LO .t'=i9 XIO 6=10 e=i4 4^=1 z x8 X5) ^•-=3 X XII 6=11 x8 i=i4 X9 "—37 XIO i=5o ..--=41 XI I i=3 5 ^'=4j XII 6=36 *'=:4I X9 b=i,6 7 X13 X14 ^=98 <î'=l2I XI6 b — m ^'— io8 ■xi3 b — I 14 d-=^ I ï 7 X14 ^=111 ►î'=i4l xiy ^=I5J r=i66 Xl6 /)=léO XIJ ^=130 ,r=i3y X16 6=138 <î'=iéi X17 6=1^3 X18 6=180 •^—144 XI7 b — 146 4'^i3i XI4 i=ii6 .1'= I J I xi(S i=i44 4'=i7i XI 8 6=iéz "—in xiy «' = 177 XI7 ^=170 .î'=ip5> XI5) b — 150 xi6 ^'~ïS)l XI7 /;:^l87 rî'=i0 3 xi8 ^=158 ^-=ilj XI9 i==:i05) rt*=227 XIO t=il0 f^J 15^ Table. Pour la 6" formule .v' a' x- .i- .v' ■+- k"'=o . ■ de efpcce. 3^ degré. =—4 Ar=— J c=— 6 =—8 x=— 9 .\-=; — I O x= — I I -Il X. — I X — 2, X— 4 X— ^ X— 7 X — ï X— 5) X 10 X 1 I X-+-Z X-f-1 x-Hz XI XI XI XI 4=1 rf'=4 XI b=4 rt--:=8 z b=iz .r=i4 L b=l^ <«'=2.1 1 /^-^40 4'=3Z z Z;=;îo "•-=44 z ^=84 .-==58 z L=iiz a-^74 z ^=144 a'^^Ç)z z *=i8o d'^= 1 1 2 z ^=iZO rf=2. >^3 b=6 XI '—134 &=i64 rf=5, b=i\ <Î^^ZJ t=fo -} y ^=90 .(-=45 /=^i 20 .i'=59 /'=if;8 i=zi6 '=-^3 4 — 1 1 4 ^=330 •'— i3y ^=596 "=3 rf'= =6 X4 i= =8 rt"- = 10 4 /.= =^4 = 11 b=i\ A': 9 -■^5 ^-=54 9 b=io8 9 ^=180 <î'— 39 ^^270 ^=378 =6y =494 9 ^=648 «'=99 ^=810 ^•=1 19 9 ^=990 «■=141 9 £-=44 10 b=zO fi- 10 :I6 b=6o ^ — 22 10 ^=120 10 .30 ^=200 a': 10 =40 =300 ^'=Î2 10 ^=420 a'— 66 10 i=: TTo 10 ^=720 'î'i^IOO 10 b=Ç)00 10 ^=1 100 rt'=I42 10 ^=1 320 /'(/ i<î= Table Pour les formules . . x' ^' l'"^ efpécc. y= dé 1c clafic. gré. a"—o 4'"=! .i"=i x'=o .V=:0 A,'=:0 .V'^^O .V +=0 ^'=0 l^'^o X=^l .v'=I A.;^ I <=I x'^ l t^=Z *-3 .V=i .r=4 .v^=8 x^=l6 ^"=34 Z'=36 x_5 .v'^9 .v^=z7 x'—S I .V':=143 ^'=14? ^•=146 ^'=Z49 .v=4 .v'^l6 x--^64 .v«=i 5 6 10^4 ^-^=1018 ^"■:=I031 -=j .v'=M A.'=iiy 6is .v' ô- i' 7776 ^"=3130 ^'=3135 v— 6 .v'==36 .v'=ii6 1x^6 i'=778z /''=7788 x=7 .v'=49 •^■—343 Z40I 16807 ^"=16814 ^"=16811 *-=8 X'— 64 .v'^jiz 4096 .X-' Cî" i'' 31768 X' à- y 59049 I 000000 ^>= 51776 ^'=31784 x— 5) A==8 I x'^jici Z,'=y90j8 ^'=59067 .\-==io .■ï'=IOO 100. 0 100. 00 100. 01. 0. 100, OiO Et .\ -fa'\\:':^=^ù.' — 1 ""=3 4'-^4 .'^=y ^"=6 ."=.7 ^'=0 ^'=0 i":=:0 b'=o i'=9 i'=4 i=y i'=(î *-=7 ^'=8 ^•=38 ■£"=40 ^'=41 ^"=44 l>'=46 ^'=1^2 ^'=ijy i'=z58 i''=i6i ^'=264 b^^=io^6 ^"=1040 ^'=1044 ^'=-1048 ^'^loyi /&'=5 140 i— 314^ ^—3^0 i'=3i^y i'=3i(îo ^—7794 Z''=:7800 i'z=78o6 ^'-=7811 ^=78 18 i'=i68i8 i"=i68 3j ^'=i684z ^'^16849 b,= i6%^6 b'^ii-^i ^"=31800 Z'"=3zSo8 ^"=31816 i'=3z8i4 ^"=$9076 /,':=j9o8y /,'=; 905^4 i^=5 9105 ^'^=591 iz Zî':=:IOO. 050 /)'=ioo. 040 ^^=IOO.OJO Zi'=ioo. 060 ^'=100. 070 17' Table Pour les formules .v5 — b' . . Se i" efpcce. j*^. degré. .v=i A-=io .v'=o .v"=I X=i. .v=4 A^3 .v'=5, .v_4 = ié .V=J .v-=iy x=6 36 X—J 49 .v=8 CH X=zç) 81 100 .V'^0 .V'^I .X'- X'=^ZJ 64 lij 215 345 yii 719 100. o x*=i x'' = l6 .v'^=S I 156 ) 625 1296 2401 4096 éjél 4"'=0 .Y'=0 ^••■=0 .V= 5 2 i'=3^ .v'=243 ^'=243 = 1024 .x' & i' = 3125 .X' C^ A' =7776 .X' G~ i' = 16807 .x" ci" ^' = 32768 x' 6~ b" 59049 <Î^^^I 100.00 A-' & b' 100, 00.0, b' =0 b- =0 b' = 30 b'- ^240 b" = 1020 b" = 3120 b" =7770 b--. = 16800 b'-. = 32760 b"-- =59040 ^'=99.99.0 ««'■ = 2 i^=0 b-'=. b'=l\ b-'^17,J b'^^lOlS ^'=3115 ^—77^4 ^'=16795 6'';=32752 ^"=59031 £'=99.98.0 { a:' d'\\'=b: ^■"=3 4-=4 '''—y ^'"—6 a-=y — ' ^"=0 i'=o ^'==0 b'—O b'=o .=-. i'^-5 /i'— 4 !>'=-<; b-'=—6 b'=i6 ^"=14 i^=12. ^'=20 £'=i8 1>'='-H l'''=^Z^ l ^"=118 ^"=225 i'=:222 b'—lOIl. ^"=1008 ^''=1004 i'=iooo 6'=99<î ^'=51 10 *— 3'OT £"^=3 100 ^'=309^ ^'=3090 i'-77j8 ^-77T^ ^-7746 ^"=7740 ^'— 7734 l>''=i6yS6 t'= 16779 4'= 16771 ^'=16765 ^"=16758 ^'=52744 ^—3^73^ ^'=32718 ^'=32720 ^^•=32712 i'z^jpoil £^=59013 ^"=^9004 ^'=5899 y £'=58986 ^'=99.970 i''=99.95o £"=99.9^0 £"=89.940 Z,"=99.9 50 Ariâlyfe, ANALYSE GENERALE, 0 U LES REGLES GENERALES DE L'ANALYSE. DISCOURS PRELIMINAIRE SUR L' ANALYSE, OÙ l'on explique Jk nature ,/on objet , ^comment elle procède. ^«f^K'-iïîrl^ N A L Y S E eft tiré du mot Grec Annly- fis , qui fignifie réfolution, divifion jdiH- fr£tion , comparaifon ; il a paffé dans la langue françoife avec toutes ces divcrfes fignifications qu'on employé dans leur lens naturel & fouvcnt même dans un fens figuré. On dit faire l'Analyfe d'un difcours, lorfqu'ou HZ Analyse générale, divifc ou réparc Tes p.irrics pour les comparer , ou pour en examiner lesdcfaucs ou les perfections ; faire l' Analyfc d'une plante, c'cft féparcr fes parties par l'arc de la Chimie pour en dévelopcr les principes ; faire l'Analyfe d'un mé- tal, c'cft rechercher les élemens dont il cft compofc en réparant fcs parties fcnfiblcs par le feu ou par quelque difTolvant , &c. L'Analyfe des Géomètres , qui eft l'art de découvrir les véritez Géométriques, &; qui eft la fource & le fonde- ment de coûtes les Mathémiciques, renferme toutes les difterentcs fignifications defon nom. C'eft la fcience de comparer les grandeurs , elle en fait la divifion , la diffcc- tion & la réfolucion , comme on le verra dans la fuite. Son objet principal eft la réfolution des Problêmes de tous les genres &c de tous les dcgrrz à l'infini. Un Problê- me étant propofé rAnalvfe en exprime les grandeurs par des lettres, les conditions par des figncs , &c les rapports par deségalitcz. Il y trois cas en général dans tous les Problèmes pofll- bJes.Lc premier cas cft loriqu'il y a autant derapports con- nus qu'ils y a de grandeurs inconnues , fuivant les condi- tions propofées , alors chaque inconnue a une égalité , &: le Problème eft déterminé. Le fécond cas cft lorfqu'il y a moins de rapports con- nus qu'il y a de grandeurs inconnues, alors comme cha- que inconnue ne peut pas avoir fon égalité , il y a quel- que égalité qui a deux inconnues , Se le Problême eft in- déterminé. Le croifiéme cas cft lorfque fuivant les conditions pro- pofées dans le Problème, on connoîr plus de rapports qu'il n'y a d'inconnuëssalors on peut former plus d'égalitez qu'il n'y a d'inconnues, &: le Problème eft plus que déterminé. Voilà les trois genresdcs Problèmes que l'Analyfe con- fidérc, elle les réduit à des cxpreffions fimples & faciles pour ménager la capacité de l'efprit humain,ellc dépoiiillc les Livre premier, 115 le'; grandeurs de touc ce qu'elles ont de particulier &: de fenfiblc, & les nomme chacune par une lettre de l'Alpha- bec , fçavoir les grandeurs connues par les premières let- tres ôc les inconmiës par les dernières lettres de l'Alphabet. Une exprcllion h (impie ne partage point inutilement l'at- tention de l'efprit & lui laifTc toute fon étendue pour comparer ces grandeurs & leur appliquer les différentes opérations du calcul que les conditions du Problême exigent. Co??iment l'Afialjfe procède à la rcfolution des rroblèmcs. 1°. Elle les prépare. 2°. Elle les rcfoud. 1°. Un problème étant propofè , l'Analyfc donne des noms aux grandeurs, elle exprime leurs rapports par des égalitez , elle prépare ces égalitez pour avoir la valeur des grandeurs inconnës qu'elles contiennent ; c'eft-à-dire, elle prend foin de chafler ou de faire évanouir fuccelîive- ment chacune des grandeurs inconnues dans chacune de ces égalitez, pour avoir une inconnue feule dans le pre- mier membre ; & faifant pafler dans le fécond membre les autres grandeurs , Si toutes les grandeurs du fécond membre font des lettres connues , elles donnent la valeur de l'inconnue qui ert dans le premier membre. Premier cas. Si l'on trouve par ce moien les valeurs de toutes les inconnues , alors le Problême cft réfolu , ce qui arrive dans tous les Problèmes déterminez & du premier degré ou l'inconnue eft linéaire. Car les égalitez donnent les valeurs des inconnues par ordre , on trouve d'abord la valeur d'une inconnue qui eft feule dans une égalité, on fubfticuë cette valeur trouvée dans une autre égalité oii eft la même inconnue avec une autre , ce qui donne moien de trouver la valeur de cette féconde inconnue , fubfti- tuant enfuite la valeur de ces deux inconnues dans une égalité oii il y a trois inconnues, fçavoir les deux donc Analyfe. ^ /j 114 Analyse générale, on a déjà trouvé la valeur avec une troifiéme ; on trou- vera de même la valeur de cecce troifiéme inconnue en lettres connues ou en nombres ; &: continuant de la forte , on trouvera la valeur de routes les inconnues , ce qui don- nera la réfolution parfaite du Problème; car il n'y a qu'à fubfbirucr des nombres à la place des lettres connues qui font les valeurs trouvées des grandeurs inconnues, &: s'il y a des fradions , on les fera évanouir par la multiplica- tion , & on réduira la réfolurion à la plus (impie exprcflîon ce qui cft néccflaire dans tous les cas &c même dans tou- tes les opérations qui fe font pour préparer une Equa- tion. C'cft ainfi que la préparation feule donne la réfolution des Problèmes déccrmint'z du premier degré où il n'y a qu'une inconnue principale à laquelle toutes les autres fc rapporteur &: qui eft du premier degré : mais dans les au- tres cas la feule prépar.uion ne fuffit pas pour avoir la ré- folution , il y a d'autres règles à obfcrver. Second cas. Il y a toujours plufieurs inconnues dans un Problême propofé, car s'il n'y en avoir qu'une feule, le Problême feroit réfolu : mais il y a une inconnue prin- cipale à laquelle les autres fc rapportent , dont on ne peut pas toujours trouver la valeur par la préparation parce qu'on n'a pu la dégager ou la faire évanouir, ce qui arrive lorfqu'elle eft multipliée par elle-même. Et c'eft l'origine des Equations de tous les degrez à l'infini. Par exemple, après la préparation fi on trouve une égalité x^ =ax, dans laquelle l'inconnue fe trouve au fécond degré dans le premier terme, & au premier degré dans le fécond ter- me , je divife tout par x , j'ai x = a , Se \c Problême eft réfolu. z°. Si je trouve .v* := l? , je tire la racine qunrrce des deux membres, & j'ai x =»^~ c'eft une équation pure & fimple du fécond degré. De même fi j'ai x' == l> , qui eft une équation pure & fimple du troifiéme degré , je tire Livre premier. iiy î la racine cubique de chaque membre & j'ai x = k'IT II en eftde niême des équations pures &: fitnples de tous les dcgrezà l'infini. 3°, S'il réiulce de la préparation une équation quelcon- que dont le premier membre foit la puiffance parfaite d'un binôme, comme a' lax H— aa :;=: b , qui eft une équation du fécond degré , dont le premier membre con- tient la pui/Tance parfaite du binôme x — f- a. De même A.-' H— 3 A .v' —1— 3 j' X H— a^ = ^' -i- t '. dont le pre- mier membre eft la troifiéme puiflance parfaite du binô- me X -i- a II en eft de même des autres puifTances à l'infini d'un binôme quelconque. Je nommeces égalitczqui ré- fultentdela prépar.ition du Problême des équations &: il y en a de tous Ir-s drgrcz ' l'infini, comme des puift'ances,- l'expiiianc de la hiut ■ puiifancc de l'inconnue marque le désiré de l'équation. Or la préparation feule ne peut pas doniv r la valeur de cette inconnue , il faut quel Anaiyfe fourni ft'e d'autres règles pour les réfoudrc & pour les cas fuivans. 4". Qiiclquefois la préparation fe réduit à plufieurs éga- litez où fe trouve la même inconnue élevée à des degrez difterens , & en ajoutant enfemble ces égalitez , on peut former une équation dont le premier membre eft encore une puiflance parfaite d'un binôme. Par exemple,fi le Problême propofé fe réduit à ces deux équations du fécond degré x"" ^a x b ^&c aa n- ax i=c. j'ajoute ces deux équations j'ai x* lax -4- aa == bc. dont le premier membre eft une 2.^'^. puiflance par- faite du binôme x -k- a. De même fi le Problême propofé fe réduit à ces deux équations du troifiéme degré , .v' -f- ^a^ x==b\ & ^ax'- —1-4' = c'. j'ajoute ces deux équations &: j'ai x^ -+- 3'Jx* -t- 3^" .V -4- rf' =P -H- c' , dont le pre- mier membre eft la troifiéme puiflance parfaite du binô- me fjtf . h ij ii6 Analyse générale, Souvent le Problême fe réduit à deux équations qui ont des fraclions comme A'' _;<'■ = j^. &:^' -+- 5.v^' Pourôter les fradions. i°. ]'éleve la première égalité à la troifiéme pui(rance,parce que le dénominateur 3 de la fradion du dernier terme eft l'expofant de la troifiéme puiflance. Ce qui donne x^ 3.V'* y -+- 3.V' 7* ^ 2,°. J 'élevc la féconde éîTalité à la féconde puifiance , parce qu'il faut la multiplier par le dcnommatcur i de la fradion du dernier terme qui eft l'expofant de la fé- conde puiflance ; ce qui donne x' -i- 6.\*y -t- p.v'^* , I , = 4 11- . Enfuite je retranche le premier membre de la première égalité élevée au cube du premier membre de la féconde élevée au quarré , &: le fécond membre de la première du fécond membre de la féconde. a^e. .v' -i~ 6x*y H- 9-^\>'' =i 11- Ce qui fe fait en changeant tous les fîgncs dans les ter- mes de la première, &: les ajoutant à ceux de lafeconde,ce qui donne. 'Addition -4- ^x* / -t- 6x\}* -^y''=:=\qq -^.f. Cette fomme eft une Equation dont le premier membre eft la féconde puiflance parfaite de 3.V* y — l— y . 3°. Je tire la racine quarréc de chaqr.c membre de cette Livre premier. 117 dernière Equation,)'ai 3 x/ -\- y =.= i/ 1 qcj — _L^'àla- quelle j'ajoute l'Equation.v -f- 3 x y' ==\tj. La fomine donne TEquarion x -+- 3 x~ y -{- 3 xj*" y ={'] -TT-^kf^-— rj p donc le premier mem- bre eft le cube parfait du binôme .v H-/, donc tirant la racine cubique de chaque membre, je trouve l'Equation fimple qui en eft la racine .v -+- y =>/-!- a -i-' — - & le Problème eft réfolu. j°. Qiielquefois la préparation réduit un Problême à une égalité dont le premier membre ne contient pas une puifTancc parfaite d'un binôme, mais il y manque quel- ques termes qu'on peut ajouter , ou fouftraire de part &: d'autre pour avoir cette puifTancc parfaite dans le pre- mier membre, par exemple. Si le Problème fe réduit à cette feule égalité .v ■tax==.bc; il eft évident qu'il faut ajouter de part & d autre -4- na , ce qui donne .v 2. a X -{- aa = aa -i— b c ^ alors le premier membre eft de la féconde puiflance parfaite du binôme .v a. Et tirant la racine quarrée de chaque membre , j'ai .v a ==^C7^- b c qui donne par tranfpolition x = a -i— y^ a « + l,c- De même fi j'ai .v • 3 ^ x -+- ^ ù x = c' , fi je mets h dans les deux membres , j'aurai dans le pre- mier membre la troifiéme puiflance parfaite de x b. Ainfi .V 3 bx -t— 3 b X h =c b , donc ti- rant la racine cubique de chaque membre , )'aurai lara- î cine ou l'Equation fimple .V ^=1/^1 — ^', & par 1 tranfpofition x ^= b -+- v' c-. i'. Souvent on trouve deux égalitez qui jointes enfemble donnent une Equation oii h iij ri8 Analvsegenerale, le fécond terme cù. détruit , &c. Voilà l'origine des égalitcz qu'on nomme les Equa- tions; c'eft amfi qu'elles naiflenc de la préparation des Problêmes déterminez , dans Icfquels il n'y a qu'une feule inconnue principale qu'on n'a pu faire évanouir. Troifiéme cas. Lorfqu'on n'a pu former d'abord au- tant d'égalitcz que d'inconnues , le Problême fc réduit à une ou à plufieurs égalitcz, qui renferment deux incon- nues ou trois inconnues qu'on ne peut faire évanouir , parce qu'on ne peut en trouver la valeur -, en ce cas le Problême eft indéterminé, il aune infinité de folu. ions, Se l'Analyfe fournit d autres règles pour ce fécond genre de Problêmes. Qiiatricme cas. Lorfqu'il y a par les conditions du Pro- blême plus de rapports connus qu'il n'y a de grandeurs inconnues , on peut former plus d'égalitez qu'il n'y a d'inconnues , puifque chaque rapport donne une égali- té , d'où il fuit que le Problême propofé eft plus que déterminé, dans ce cas il y a des règles pour éviter les réfoiutions qui font inipoflibles , parce qu'elles renfer. ment une abfurdité , ces Problêmes ont un nombre li- mité de folutions. Ainfi l'Analyfe a pour objet la réfolution des Pro- blêmes qui fe réduifent à trois genres , qui font , i". les Problêmes déterminez, qui n'ont qu'une feule inconnue, ils ont un nombre fini de réfoiutions, ils en ont préci- fément autant que l'expofant de la haute puiflance de l'inconnue contient d'unitez. Ces Problêmes contiennent les Equations , il y en a de tous les degrcz à l'infini , &: leur réfolution confifte à trouver les racines de ces équations. 1°. Les Problêmes indéterminez font ceux qui ont pUifieurs inconnues , ils ont une infinité de folutions à l'infini, ils fe réduifent à des égalitez , qui prennent leur nom de la multitude de leurs inconnues , les doubles Livre premier. 119 égalitez font celles où ilrefte deux inconnues , les triples égalirez celles où il refte trois inconnues , &:c. L'élégance de ces Problèmes conlifte à éviter les frac- tions, & adonner des folutions à l'infîni toujours en nom- bres entiers, la fimple égalité n'cft point un Problême indéterminé, c'eft un Problême déterminé du premier degré ou un Problème fimple, 3". Les Problèmes plus que déterminez font ceux dans Icfqucis on connoîc plus de rapports que d'incon- nues, le nombre de leurs folutions eft toujours fini 5c limité. Voilà l'objet général de l'A naly fe,el!e donne des Régies pour préparer ces Problêmes & pour les réfoudre , elle y applique avec art les Régies du calcul , &: cet art font les Méthodes générales quelle prcfcrit pour tous ces trois genres de Problêmes , ainfi l'Analyfe fuppofe les Régies du calcul , il faut fe les rendre trcs-familiéres dans la pratique , & fur-tout toutes les opérations qui concer- nent les fractions ,• fans ce fccours c'eft perdre le tems que de vouloir s'appliquer à l'Analyfe. LIVRE PREMIER. SECTION P R E M I E' R E. De l'An.xlyfe en générdl , cf de ta Réfoltttion des problèmes déterminez^ du premier degré. L'Analyfe qui eft le fondement & la fource de toutes les découvertes qu'on peut faire dans les Mathéma- tiques, tire fon nom d'un mot grec qui fignifîe réfolu- tion , elle a pour objet la réfolution de tous les Problê- mes ou qucftions qu'on peut former fur les grandeurs comparées enfemblc : cette réfolution fe réduit toujours * lio Analyse générale, à découvrir une ou plulieurs grandeurs inconnues , par le mo'ien des grandeurs connues & des rapports qu'elles onc avec la grandeur ou les grandeurs inconnues, exprimez par les conditions du Problême , ce qui fc fait en augmentant ou diminuant ces grandeurs fuivant les règles du calcul pour parvenir à l'égalité qui donne enfin la valeur défirce de l'inconnue. Il y a entre les Problêmes plufieurs degrez , pluficurs genres, & plufieurs eCpéces. Il y a plulieurs degrez dans les Problèmes comme dans les puiflances , les Problêmes du premier degré font ceux où l'inconnue n'eft point multipliée par elle-même . c'clT: un Problême Imiple ou linéaire. Les Problêmes du fécond degré font ceux où l'in- connue eft multipliée une fois par elle-même, & où par conféquent elle fc trouve élevée au fécond degré. De même fi l'inconnue eft élevée au troifiéme degré, le Problême eft du troifiéme degré , &: ainfi de tous les degrez fupérieurs ; il en efl de même des Problêmes com- pofez qui ont plufieurs inconnues , la haute puiflanceoù l'inconnue eft élevée eft le degré du Problême. Il y a deux genres de Problêmes , le premier genre contient les Problêmes fimples , ce font les Problêmes où il n'y a qu'une feule inconnue , ou bien ceux où l'in- connue n'a qu'une feule valeur , ce qui ne fc trouve que dans les Problêmes du premier degré. Les Pro-blêmes compofez font le i'. genre , ils font de deux ferres. 1°. Ce font ceux qui rcnfcrmcntpluficurs inconnues. z°. Ce font ceux qui, quoiqu'ils n'aycnt qu'une feule inconnue, cependant elle fe trouve élevée à la féconde QU à la troifiéme puifiance, ce qui fait que cette incon- nue a plufieurs valeurs différences, & précifément au- tant que l'expofant de la haute puifTance contient d'uni- tcz Ainfi cet expofant marque le nombre des racines de l'Equation, II Livre premier. m Il y a trois cfpéces de Problêmes en général. La première elpéce contient les Problêmes indéter- minez, ce font ceux qui ont plufieurs inconnues, &:qut fe réduifent à plufieurs cgalitez , &: par conféquent ils ont une infinité de folutions ; il y en a de tous les de- grcz à l'infini. La féconde efpéce contient les Problêmes déterminez, ce font ceux qui fe réduifent à une feule égalité qui ne contient qu'une feule inconnue , laquelle peut être du premier degré, du fécond , du troifiémc , &c, à l'infini, ces Problêmes n'ont qu'une feule réfolution dans le pre- mier degré, &: dans les dcgrcz (upcricurslc nombre des réfolutions eft déterminé , il cft toujours égal à l'expo- fant de la puiiTance à laquelle 1 inconnue fe trouve éle- vée, puifque la réfolution confiftc à trouver les racines ou les différentes valeurs de l'inconnue. La troifiéme efpéce contient les Problèmes plus que déterminez , ce font les Problèmes dont les conditions donnent plus d'égalitez qu'il n'y a d'inconnues ; de forte qu'on peut choifir entre les folutions poffibles celles qui font les plus commodes, mais il faut éviter les folutions faufTes qui renferment une contradiction. Le but & la fin de toutes les règles de l'Analyfecon- fifte à trouver la valeur] de l'inconnue dans un Problême fimple, ce qui fe nomme faire évanouir l'inconnue, car en fubftituant la valeur trouvée à la place de l'incon- nue , elle difparoîc Se s'évanouit. Dans les Problêmes compofcz. i°. S'il y a plufieurs inconnues , il s'agit de trouver leurs valeurs ,&: même toutes leurs valeurs pofiibles à l'infini , fi le Problême cft indéterminé , car en ce cas il a une infinité de folurions. 1°. S'il n'y a qu'une feule inconnue élevée àdifferen; degrez, commeilfe trouve dans les Equations, ils'agic de trouver autant de valeurs de l'inconnue quel'expo- fantdela hautr puiflp.ncc contienc-d'unitez. Analyfe. i 112» Analyse ce ki râle. Pour réfoudre un Problême crAnaiyfe.il faut, i». exprimer par les lettres de l'Alphabet toutes les gran- deurs du Problême. z°. Former des êgalitez fuivantlcs conditions propofécs, j°. Réfoudre ces êgalitez en trou- vant la valeur de l'inconnue , s'il n'y en a qu'une , ou des inconnues s'il y en a pluficurs. Dans tout Problème d'Analyfc , on exprime les gran- deurs par les lettres de l'Alphabet ; fçavoir , les gran- deurs connues par les premières lettres a,b, c^d ^ &cc. Se les grandeurs inconnues par les dernières lettres. Les conditions du problême font les rapports donnez entre les grandeurs connues &: les grandeurs inconnues, ou entre les feules grandeurs connues , leur cxprefllonfe fait par les mêmes lettres des grandeurs qu'ils reprcfen- tent. Les êgalitez fe font ainfi, pour égaler 4 avec h , je les joints enfemble par le figne d'égalité = ,3infi 4 = ^, ce font deux expreffions égales de la même grandeur fi a vaut 2, , j'ai par cette égalité z = 1. égaler deux gran- deur , c'efl: les joindre enfemble par le figne d'égalité =. Toute égalité a deux membres féparez par le ligne =, je nomme le premier membre celui qui eft à gauche du figne = c'eft a , je nomme le fécond membre celui qui eft à droite, c'eft L Le premier membre &c le fécond peuvent avoir plu- fieurs termes , dans .v' a 1 i> , le premier membre contient deux termes liez enfemble par le figne ; fçavoir, une inconnue .v élevée à la féconde puiffance, & la grandeur a. Il peut y avoir dans ces deux membres des termes complexes : c'eft-a-dire exprimez, par deux ou plufieurs lettres & des termes incomplexes , comme dans.vx -+- ax h c==d. Le fécond membre contient la feule lettre d qui eft un terme incomplexe ; mais le premier membre contient trois termes complexes expri- mez chacun par deux lettres. Livre premier. 113 Je nomme en général une égalité les deux expreffions d'une même grandeur jointes enfemble par le figne = qui eft le figne de l'égalité , foie que les deux membres foient connus comme rf= ^, ou inconnus comme x=y, foit qu'il y aie une ou pluficurs inconnues dans le premier membre comme x — f— ^j 1>, ou x — f- z, jf ==^. De quelque manière que les inconnues foient exprimées, ou par addirion.v-H-jjOU par fouftradlion x -7, par mul- tiplication xj, ou par diviûon ^ ; foit enfin que les incon- nues foient élevées àdifférentes puiflanccs .v' -+-_;'' =^> ou foit que les inconnues foient une racine d'une puif- fance quelconque^ , comme »^^ -f- y^jy 5 z.' == ^ Mais je nomme une Equation , une égalité dans la- quelle il n'y a qu'une feule inconnue ou linéaire comme Ar=^= a , ou élevée à la féconde puifTancc comme .v' = ^, & A^ -+- a X : h , ou élevée à la troifiéme puiflance dans le premier terme, &: à toutes fes puiffances mfé- rieures dans les autres termes moiens comme x' — i— a x' h X ■■ c. Enfin une Equation eft une égalité dont la haute puifTancc de l'inconnue eft élevée à un degré quel- conque, tandis que la même inconnue unique eft éle- vée dans les autres termes moïens à des puiflanccs infé- rieures , ainfi l'égalité eft le genre , & l'Equation eft l'efpéce ; il y a des égaiitez qui ne font point des E- quations , telles font les égaiitez doubles qui font celles qui ont deux inconnues , les égaiitez triples qui ont trois inconnues , les égaiitez quadruples qui ont quatre in- connues , &c. Mais toute Equation eft une égalité fimple , & il y en a d'une infinité de dcgrcz, puifqu'on peut élever une inconnue à tous les degrez ou puiflances à l'infini. Si une Equation contient le zéro feul dans le fécond membre , cela fe nomme une Equation égalée à zéro, comme x' -i- 4 x — - h = o , ou x' -f- 3 x 1 8 i ij 124 Analyse générale, = o , qui eft une Equation du fécond degré ^ puifque l'in- connue X eft élevée à la féconde puiflancc , &: la même inconnue .v eft linéaire , ou au premier degré dans le fécond terme a x que je nomme le terme moyen ; de même je nomme tous les termes où l'inconnue x fe trouve dans diftércns dcgrcz multipliée par des nombres ou par des lettres connues , les termes moïens de l'Equation. Les extrêmes font le premier terme de l'Equation &: le dernier terme. Le premier terme d'une Equation contient la plus haute puiffance de l'inconnue , il eft par conféquent en- tièrement inconnu. Les termes moiens font auflî entièrement inconnus, parce qu'ils font exprimez par diftcrcns degrez de la lettre inconnue multipliée par un nombre ou par une lettre coimuë. Le dernier terme eft entièrement connu, il contient un nombre ou une lettre connue ou pluficurs. Je le nomme l'homogène dccomparaifon après Viettc, car c'cft à ce terme qu'il faut comparer tous les autres ( quoiqu'ils foient tous homogènes) pour avoir la réfo- tution de l'Equation , puifque ce dernier terme contient le produit de toutes les racines de l'Equation. Des Problèmes Jlmples ou des cgalitez, Jiniples qui h ont qu'une incohiiue^iy- des Equ.uions fimfLcs ou du premier degré , leur formation & leur ré/olution. Les Problêmes Cmples font ceux qui fe réduifent à une feule inconnue. Les égalitcz fimples fon celles qui n'ont qu'une feule inconnue, dont on cherche la valeur. Les Equations pures- & fimples ne font que des éga- Ltez fimples , ainfi elles fe refondent de la même ma- nière par des fimples opérations da calcul que nous ex* Livre premier. tij pliquerons ici en détail dans les difFérens cas poffibles en faveur des commençans , parce que ces mêmes opé- rations font les préparations néceflaires pour réfoudre les Equations compofées ou des degrez fupérieurs. PROBLE'ME I, Réfolu par tranfpofition & fubftitution. Trouver un nombre inconnu x , qui étant augmenté d'une grandeur connue a ^foit égal à b nombre connu. 1°. Par les conditions du Problême , j'ai x Hf- i ' b. Voilà une Equation pure & fimple qui me donne un rapport, i . pur tranfpolition je fais pafler la grandeur -i- a du premier membre dans le fécond en lui donnant un figne contraire a , j'ai x = b a. 5 °. Puifque a^b font des nombres connus par hypothéfe , en fublli- tuant leurs valeurs dans cette Equation , par exemple, (oit a ==-6 &ib^= I o, ce qui donne. v= 10 6. 4 . Abré- geant par fouftraûion les termes du fécond membre, j'ai I o 6 = 4 , donc X = 4 , ce qu'il falloit trouver. PROBLE'ME IL Réfolu par tranfpofition & fubftitution. Trouver nn nombre x qui étant ajouté à ^j , égale 71. 1°. Par les conditions du Problême, j'ai x -+-37 71, voilà l'Equation formée qui me donne le rapport défiré, i". Par tranfpofition je fais paflcr -f- 37 dans le fécond membre , en l'cftaçant dans le premier membre, & J'é- crivant dans le fécond membre avec le figne contraire 37, ce qui donne x = 71 57, or 71 37 == 34 ; d'où je conclus que x = 34 , c'eft la valeur dé- firée. ^ i tt '/ tz6 Analyse générale, PROBLE'ME III. Par divifion & par tranfpoficion," Trouver un nombre inconnu x qui étant multiplié par une grandeur inconnue a ,foit égal an nombre donnéh. 1°. J'ai par les conditions du Problème 4 x x , ou 4 x : h. %°. Soit 4= 6,^=41 ,fubfl;icuant dans<7.v = ^, les valeurs de 4 &: de ^ , j'ai 6 x x = 41. 2,0. TranTpc- fant & divifant tout pat 6, j'ai x ==^;or divifant42, par 6 , le quotient eft 7 , ce qui donne x = 7 , ee qu'il falloic trouver. PROBLE'ME IV. Réfolu par multiplication. Trouver un nombre inconuu x qui étant divifé par un nombre connu a , foit égal à un nombre connu b. 1°. Par les conditions du Problême , - =^b. 1°. Je multiplie tout par a , ce qui donne x == a b , &: le Problême eft réfolu , car puifque.7 &: b font des nombres connus , foit <î<= 6 , b =7 , j'ai par fubftitu- tion dans la dernière Equation x == 6x7 = 41 , donc X 41, doncauffi la fubftitution donne dans la pre- mière Equation | = 7 , ou ^ = 7, or puifque divifant 4z par 6 , le quotient eft 7 , donc 41 == «î x 7 , donc x s= 41, ce qu'il falloir trouver. PROBLE'ME V. Par divifion. Trouver un nombre quarré inconnu xx , qui foit égal a la racine x multipliée par un nombre connu a. 1°, Par les conditions du Problème j'ai cette Equation Livre premier. 117 x-=zax.i.°. Divifant tout par ,v,j'aix = .? , puifque a eft un nombre connu , foie a .- — ■ 6 , j'ai .v 6 , & .v :^=3^, ce qu'il falloir trouver. PROBLEME VL Par l'extradion de la racine. Trouver un nombre quarré inconnu xxquifoit égal à un produit du nombre connu a multiplié par un autre nom- bre connu b. I". Par les conditions du Problême , j'ai.v' =^ab. Cette première Equation me donne le rapport connu z°. Je tire la racine quarrée de chaque membre, ce qui donne .v = i^Tï. 3°. Puifque a &c b font des nombres connus , foie ^ = 7,^=^5- , je fubftituë leurs valeurs après avoir multiplié -^x^ .^■^^ ^ ce qui donne x* = 3 j,& tirant la racine quarrée, J■aiA;;=^'77; REGLE GENERALE Four réfoudre les égalité z. qui n'ont qu une feule inconnue linéaire é' les Equations du premier degré. Leur réfolution confifte à faire évanouir l'inconnue, en la mettant feule dans le premier membre , & les autres grandeurs toutes connues dans le fécond membre, ce qui donne la valeur de l'mconnuë. Pour y parvenir, il faut , 1°. par tranfpofition faire pafFer les grandeurs connues dans le fécond membre ;& fi l'inconnue affcûe quelque grandeur connue , il faut la dégager comme dans les exemples préccdens , par l'addition , ou par fouftradion , ou par multiplication ou par divifion , ou par cxtr;iâ-ion de la racine félon la manière dont l'inconnue qu'on veut dégager eft affec- tée par des grandeurs connues. izS Analyse générale, PROBLEME VII. Trois grandeurs étant conniiis , a , b , c , trouver une qua- trième grandeur x , qui ait mérne rapport a la troi- Jiéme c , que la féconde b à la première ?, 1°, Le rapport de la féconde grandeur connue b à la première a , eft connu , puifqu'il fuffi: pour avoir ce rapport d'en faire une fradion , dont la première a foit l'antécédent j & la féconde b le conféquent , comme - c'efl: proprement divifer la première par la féconde , & comme ces deux grandeurs font connues , leur quotient t eft connu aufli. b 2". Le rapport de l'inconnue xàla troificrae grandeur c eft le quotient ou la fraftion - qui eft connue en partie, puifqu'on fçait par les conditions du Problême que - = 7 ; mais commet eft inconnue &: x eft inconnuë,ce rap- port - eft en partie connu, &: en partie inconnu. 3°. Par les conditions du Problême, j'ai cette équa- tion j=- qui renferme toutes les grandeurs connues &: l'inconnue avec leurs rapports, dans laquelle il faut ôcer les fraftions par la multiplication comme il fuit. 4°. Je multiplie les deux membres par b , ce qui fe fait en l'effaçant fimpicment dans le premier membre , & multipliant par Me feul numérateur du fécond mem- bre, ce qui donne /?= —, voilà la première fraction dé- truite. Livre premier. ixç) j". Pour ôtcr la fccondc fraction , je multiplie dans cette dernière équation les deux membres par .v , ce qui ■ donne . . a —H .vx ^ , ou . . ah -4- h x. fécond produit. C . . ^ -\- .vx ) ce qu'il falloit trouver. 70. Pareillement fi )e fubftituë la valeur de _>' = dans la première équation propofécx==^ /. Comme jefl: négatif, je change les fignes de fa va- leur -t- " ce qui donne , &: fubftitiiant , j'ai X a , je réduis par fouftradion ce fécond membre à fa plus fimple expreffion en retranchant la fraélion de l'entier a , le rcfte eft —h- - ainfi j'ai le fécond membre réduit à cette exprelTion plus fimple ^•^^^^c'eft la valeur de .v cherchée par l'autre manière. PROBLEME X I L Deux no-ifibres a c^ b étant donnez. , trouver un troifiéme nombre inconnu x qui fait enprofertion harmonique avec les deux nombres donnez,. li ■■ La proportion harmonique eft celle qui fe trouve en- tre trois nombres comme 3,4,6, qui ont cette pro- priété ; Sçavoir , que l'excès du moïen 4 fur le plus pe- tit 7 , eft à 1 , l'excès du plus grand 6 fur le moïen 4, comme le plus petit nombre 3 eft au plus grand é, car 3 : 6 : : 4 3 ; 6 4 ; c'eft-à-dire 3 : 6 : : i : 2. Cette proportion harmonique renferme la proportion géométrique, puifqu'on y confidére l'èquimultiplicité 6 qui eft double de trois, &: la difFérence %, qui eft dou- ble de la diff^ércnce i. elle renferme auffi la proporrion Arithmétique, puifqu'on y confidére l'égalité dans l'ex- 140 Analyse générale, CCS & dans la différence , car 4 3 = i , l'excès ou la différence cft égale au tiers du plus petit nombre 3 : de même 6 4 = 1 , eft l'excès ou la différence égale au tiers du plus grand nombre 6. Comme cette proportion fe trouve dans les accords de la Mufique , & qu'elle détermine le rapport de l'uniffon à l'oftavc par le rapport de 336,1e rapport de la quinte à l'odave par 4 à 6 , &: le rapport de la quarte par 3^4, on nomme cette proportion harmonique. Or les nombres donnez font 4 &: ^ , le nombre in- connu .V que l'on cherche renferme trois cas , car on peut chercher le plus petit des trois nombres , ou le plus grand, ou le moïen. Premier cas. Pour trouver le plus petit nombre x, des trois , foit le moien = a , je divife les deux membres par ce binôme , ce qui donne .v ==~r & le problême cft réfolu en lettres. Réfolution en nombres. Je fubftituc les nombres con- nus en la place des lettres. Exemple. Soit a == 4 , b= 6, dans X = la fubftitution donne .v = --==- t — : — — ;=— 3. donc ? eft le plus petit nombre" cherché. Second cas. Pour trouver le nombre mo'icn x de la proportion harmonique, foit ,1 le plus petit, &: ^ le plus Livre premier. 141 grand , j'ai ces trois nombres ,dans cet ordre .f , a: , ^. Donc par les conditions du problème )"ai a -. b : : X a : h .V , en multipliant les extrêmes & les moïens , j'ai a h a x ^=^h x a h , enfuitc par tranf- polition ax l>x=^ ab <^^,cn ciiangcant tous les fignes , j'ai a x -+- bx^= 7. al?. Enfuitc pour dégager l'inconnue x & la lailTcr feule dans le premier membre , je divifc tour par a — h- h qui afFcde ou multiplie l'inconnue, ce qui donne ■y = — — &le problême eft rcfolu en lettres. Réfolution en nombres. Soit 4= 5. b = 6 , fubfti- tuant ces valeurs dans x = • 1 ai — = — = 4. donc x 4, c'efi: le nombre moien cherché en proportion harmonique. Troifiéme cas. Pour trouver le plus grand nombre x. des trois qui font en proportion harmonique dans cet ordre a , b , x. par les conditions du Problême , j'ai a:x : : b a : x b. cnfuite multipliant les extrêmes & les moïens, j'ai a x ab^=^ b x ax ,&:par tranf^ pofition & addition 2.ax bxz=ah. Pour dégager l'inconnue & lalaiiïer feule dans le pre- mier membre , je divife tout par z a b , ce qui donne x = ~ — & le Problème eft réfolu en lettres. 1 a b Réfolution en nombres. Il faut dans ce troifiéme cas que 2 a foit plus grand que b , autrement on ne pourroit le fouftraire. Soit a — - 3 . b 4. Subftitiiant ces valeurs en la place des lettres dans ah ., . Î2i4 ' *• '^ £ i« B ' ixî 4 6 4 1 donc AT =6 eft le plus grand des trois nombres de la proportion harmonique défiré. liij l4i Analyse générale, PROBLEME XIII. Un Père fait fon Tejlament avec flufieurs conditions. i". Il laifTe mil écus à l'aîné de fcs enfans avec la on- ziéme partie du refte , il laifTe au fécond deux mil écus &; la onzième partie du reflc , il laifTc au troifiémc trois mil écus & la onzième partie de ce qui refte, & ainfide fuite jufqu'au dernier qui a le refte de fes frères. z". Il fe trouve après le partage qu'ils ont tous éga- lement ; on demande quel étoit le bien du Père , le nom- bre de fes enfans , bc la part de chacun ? ' D'abord je nomme le legs de mil ècus de l'aîné ==rf, ioiib la onzième partie de ce qui refte, & foit x le bien du Père. Suivant les conditions du problême, la part de l'aîné eft a -\ — , ou bien convertiftant l'entier a en une fradion de même dénomination , fans changer fa valeur ah -, . , j i> » ' ah-\-x — a ,a -— j ai pour la part de 1 ame ) ôtc cette part du bien total du père = x , le refte eft x enfuite convertiflant l'entier x en une fraûion fans chan- hx gcr fa valeur pour en fouftraire la fradion, j'ai — qui donne par fouftradion " ** -. — - c'cft le premier refte. Or fur ce premier refte le fécond fils prend deux mil écus = z a , donc le fécond refte eft — ^^ z a b mais pour ôter cet entier z ^ de la fradion qui le précède, je le convertis en une fradion d'égale valeur qui ait le mc- 1^ . iab . . hx—ah lah ï-t-/» me dénominateur ee qui donne r -^— & par addition -HZi-î-ZIf — ? pour le fécond refte, & Livre premier. 14J 1.1 onzième partie elt — Donc la part du fécond fils eft la -\ ~Jh~ ~ mais en réduifant l'entier 2. a en fradlion qui ait le même dénominateur hb ^ c'eft^— qui eft de même valeur que i ah b b X ; a b x -\- a 2 4 , & qui donne ^, . ^^ % Cl h h -\- b X % a b x -\- a. ou umplcmcnt ■ , Prcfcntement par la féconde condition du problême , la part de l'ainé elt égale à la part du fécond , donc 1. abb — t— b X î « b x -4— a ab •\- x a ' i • — : — ■■ , pour réduire- bb b ^ au même dénominateur ces deux fractions, je multiplie les deux termes de la féconde par h , ce qui donne 1 a bb -t- b X ! a b x -+- a abb — (- b x ab ^ . ~I- -^ = -,-; , enfuitc b b bb ' j'efface le dénominateur commun , ce qui donne l'équa- tion fans fraûions z a b b — (— b x ^ a b .v —h a- : — : abb -4- b x // b , qu'il faut réfoudre. D'abord je la prépare par tranfpofition , en faifant pafTcr dans le premier membre toutes les grandeurs in- connues , & dans le fécond membre les grandeurs con- nues en changeant leurs fignes ,ce qui donne b x b x .y : ■ abb i ab b a b -+- ^ ab a , enfuite ôrant par fouftraftion les moindres grandeurs femblables des plus grandes , j'ai — x == abb -+- za b a , changeant tous les fignes pour rendre l'inconnue pofitive, j'ai x = abb zab H-'?, &C le problême eft réfolu en lettres. Réfolution en nombres. Puifque par les conditions du problême a == mil écus ou looo , b == 1 1 , donc bb = 1 zi.bcab b ioooxiiiooo,&: zab=. ixiiooo == Z2.0OO , fubftitùant ces nombres en la place des lettres , dans la valeur de x = abb za h -+- a. 144 Analyse générale, J ai a h b 1 1 10 00 , 2.a b = 2. 20 00 -+- ab b iab=^ = 9 5)0 00 -J^ a = = lo 00 donc ,v :=; 10 oo 00 -^ ab b = 12,. 10. 00. _i_ a lO. 00. 12. 20. 20. 00. 00. donc .V 10. oo. 00, bien du Perc ôtez 10. 00. legs de l'aîné. refte 9- o. 90. 90. 00. 00.— » h~\- X — » II. ooo-f- 10.00. oo — 10 00. II. OU -+- lO. OO. OO. X -H I. lO. OO. ab : 1- II. lO. oo. oo. ab -H X II. oo. oo.— f - «fe-t- ï a m r>o. fOr le legs de l'aîné 10. 00, I plus la 77 partie du rcfte o. 90. 00. <• Total de la part de l'aîné I. 00. 00. dix mil écus. On Livre premier. i4y Ou bien je dis fimpicment le bien rotai du pcre eft X =r. 100. 00. G , = cent mil écus , dont j ôtc la part de l'ainé égale à dix mil écus ; fçavoir mil écus pour fon legs , &: neuf mil écus pour la onzième partie du rcfte. puifque de cent mil écus , étant mil écus , le refte eft quatre-vingt-dix-neuf mil écus ,dont la onzième partie eft neuf mil écus , donc la part de l'aîné eft dix mil écus, &: il refte quatre-vingt-dix mil écus pour les autres cn- fans. Sur quoi le fécond fils prend deux mil écus pour fon legs, il refte quatre-vingr-huit mil écus , dont la on- zième partie eft huit mil écus, donc la part du cadet eft de dix mil écus , &: par conféquent égale à la part de fon aîné. Or ôtant dix mil écus de quatre-vingt-dix mil écus , il rcfte quatre-vingt mil écus pour les autres enfans. Sur quoi le troifiéme enfant prend fon legs de trois mil écus , il refte foixante & dix-fept mil écus , dont il prend encore la onzième partie qui font fcpt mil écus, ce troifiéme fils a dix mil écus , & refte pour les autres enfans foixante & dix mil écus. Continuant ainfi la divifion du rcfte, en prenant d'a- bord un legs de mil écus plus fort pour chacun des enfans fuivans & la onzième partie du refte ; je trouve enfin , i°. que le bien du père eft de cent mil écus, 1°. qu'il y a dix enfans, 3°. qu'ils ont chacun dix mil écus & voilà toutes les conditions du Problême propofé , ee qu'il falloir trouver. Calcul. Le bien total du père 10. 00. 00. 00. 00. j'ôte le legs de l'aîné ... 10. premier refte ... 9. 90. dont j'ôte la n ... 90- oo- Analyfe. • m i4<î A K A L Y SE re fte GENERALE, 9. 00. 00. )'ôce le legs du 1°. fils • 20. 00. y. reftc dont i'ôte la n . 8. 80. 80. 00. 00. 4':. refte j'ôcele legs du 3^ fils 8 00. 30. 00. 00. 5':. reftc dont j'ôce la ~ partie • 7- 70. 70. 00. 00. éS refte donc i'ôte le legs du 4*=. fils' • 7- 00. 40. 00. 00. y', refte dont i'ôte la n partie . 6. • 60. 60. 00. 00. 8=. refte dont i'ôte le legs du y^ fils . 6. 00. 50. 00. 00. 9'=. refte dontj'ôte la ii partie ■ S- yo. 00. 00. 00. lo*^. refte dont fôtelelegsdu 6'^ fils • 5- 00. 60. 00. 00. II"', refte dont i'ôte la ^ • 4- 40. 40. 00 00. I 2.*^. refte yôt'e le legs du 7<=. fis • 4- 00. 70. 00. 00. 13''. refte dont i'ôte la n 5- 30. 30. 00. 00. 14 . icltc dontj'ôte le legs du 8^" 'fils • 5- 00. Se. 00. 00. Livre premier. 147 !$'■ l'efte ... 2. 20. 00. dont i'ôte la ^ ... 20. 00. 16^. rcfte ... 2. 00. 00. dont j'ûce le legs du i o-. fils , 90. 00. :7e. rcfte ... I. 10. 00. doncj'ôcc la rr ... 10. 00. i8^-. refte ... i. 10. 00. dont j'ôtclclcgs du lo'^. fils. i. 10. 00. 19'. refte ... o. 00. 00. dont j'ôce la n ^^^ • • . o. D'où il fuit que le dixième des enfans a précifément dix mil ccus, par confcquent fii partcft égale à celle de l'aîné^, & itous les enfans ont également , cependant il n'a qu'un legs , & il ne peut avoir la onzième partie du rcfte, puifqu'il ne refte rien. Retnarqite première. On peut réfoudre de la même manière une infinité de Problêmes. Or le nombre des pcrfonncs qui partagent également eft toujours égal au dénominateur moins un de la fraèlion qui exprime le premier refte, ici ce dénominateur cft b =^11 . or 1 1 -_ — I = 10 , c'eft le nombre des enfans , c'eft auffi la racine quarrée du bien total du pcre = Ar== 100 mil écus ,en prenant mil écus pour l'unité. Remarque féconde. Le legs des enfans croît toujours de l'unité depuis l'aîné jufqu'au dixième , c'eft la pro- greffion des nombres naturels i. 2. 3. 4. 5. C. 7. 8. S. 10. ce qui fait que le dixième n'a feulement que fon legs de dix mil écus , &: n'a point le ri du rcftant , puif- qu'il refte zéro ou rien , cependant fa part eft égale à celle des autres enfans qui ont un legs particulier joint à la onzième partie du rcftant dans le bien du père. m ij 148 Analyse générale, Des égalitû'z, /impies qui ont trois inconnues. PROBLEME XIII. Trouver trois grandeurs x , y , 2 , f « nombres avec ces conditions. 1°. Que le premier nombre .v avec la moitié des deux autres =^^= z j . z°. Qiie le fécond nombre y avec le tiers des deux autres x &cy = 2.6. 3°. Que le troifiéme nombre ii , avec la moitié des deux autres x &cy = 29. Par les conditions du Problême, j'ai les trois égalitez ou équations fuivantes. 1 ' remiere égalité, x ' Seconde . . . v-i-"- — —= 16. roilieme égalité ;:^ H -==zp. D'abord pour ôter les fraiftions de chacune de ces équations, je multiplie les deux termes par le dénomi- nateur de la fraftion , ce qui me donne les trois égali- tez fuivantes réduites fans fradions. 2 X -+■/ -t- 2-== jo. première égalité réduite. 37 -+- X -4- ;:=;=: 78. féconde égalité réduite. 2 z, -+- X -\-y == 29. troifiéme égalité réduite. Enfuite je choifis l'une de ces égalitez ou équations qui puiffe me donner par tranfpofition une valeur de l'une des inconnues , par exemple , je trouve que la pre- mière me donne par tranfpofition j = j o 2 x r., c'cil la première valeur de_;' , que je nomme la première Livre premier. i 49 égalité ou équation dérivée , que j'écris à part pour y a- voir recours. Par règle générale , je fubftituë cette valeur de^ dans les deux autres égalitcz réduites pour avoir autant d'é- galitez dérivées comme il fuit. La fubftitution de cette valeur dans la féconde éga- lité réduite donne i;o — 6x — ;z. _4_ y; _^ ^^ ^_^-^§ ^ fe_ conde égalité dérivée. La même fubftitution dans la troifiéme égalité réduite donne ^ z. —1— x -\- 5° — '■ ^' — ~ == j 8 , c'eft la troifiéme égalité dérivée. Enfuite je prépare ces trois égalitez dérivées , ainll la féconde égalité dérivée donne par fouftraétion 150 j .V 1 z. 1 78 , laquelle par tranfpofition donne I jo 78 — - j.v —H i^r, & par foiiftradion 2,7= y x —H z s- , & par arrangement mettant les inconnues dans le premier membre , j'ai y x — f- ^z. = 17, c'eft la fé- conde égalité dérivée préparée. Je prépare de même la troifiéme égalité dérivée , 2, 2, -t- X -t- yo 2 X z. = 58 , par fouftradlion j'ai d'abord z. .v -+- jo==: yS, &: par tranfpofition &: fouftraélion z. .v:= 58 yo = 8, ou 2. x=:^i^ & enfin par^tranfpofition pour dégager c. &: la laiflcr feule dans le premier membre , j'ai z, ::= 8 -H- x , c'eft une valeur de la troifiéme inconnue z,, mais encore in- connue en partie. Préfcntement je fubftituë cette valeur de z. dans la fé- conde égalité dérivée Se préparée 5 .v -+- 2, z, =72 , la fubftitution donne j x -H 16 -i- zx = 7 1 , par tranf- pofition j'ai ^ X -+- ix== 71 16 , & par addition ya.ijx==')6, pour dégager l'inconnue , je divife tout par 7 multiplicateur de l'inconnue , j'ai x = t or ^ = 8 , donc X ■ : 8, c'eft la valeur trouvée de la première inconnue , entièrement connue. Je fubftituë cette valeur entièrement connue de x dans m iij ijo Analyse générale, régallté;i = .v -+- 8 , qui cfl: une valeur de z. en partie inconnue , ce qui donne 2..= 8 -H 8, ou 2,== 16 , c'cll la valeur de la troiiiémc inconnue , qui cft entièrement connue. Enfin pour avoir la valeur de^ féconde inconnue, je fubftituë ces valeurs rrouvces de .v & de r. , 8 & 1 6 dans la première équation dérivée/ = 5:0 1 .v ;:, , ce qui donne/ = jo 16 16 , oixj= jo 5 1 , or 5 o 3 1 = 1 8 , donc y == 1 8 , c'eft la valeur en- tièrement connue de y ; par conféquent les trois gran- deurs x,j, ~ , font entièrement connucs,Ar = 8 ,/ = 1 8 2,;=a 16 , donc le Problème cfl: entièrement réfolu en lettres. Or fubftituant ces valeurs dans les"trois premières éga- litez , 1°. -v -i = 15- , donne 8 H == 2 ç ou 8 -f- 9 -t- 8 = if, z°.)' H — =.'16 , donne 18 -+- — = 2é,ou 18 H ou 18 -h- 8 =z6 , 3". 2. -i = ip , donne 1 6 -f- — ■ = zp , ou 16 H == 16 -+- 13 == 2,9; voilà une réfolution entière &c parfaite qui peut fervir de modèle pour tous les Problèmes femblables, PROBLEME XIV. Pour trois grandeurs inconnues. TroHver trois grandeurs inconnues x , y , z , avec ces conditions, 1°. Qii'ajoutant une grandeur connue a à la première inconnue A',la fomme foit égale à la fomme des deux autres inconnues/ & 2, Livre premier. iji 2,0. Qu'ajoutant la même grandeur connue de la fraftion — - , & lui donnant le même déno- b minateur h , ce qui donne la plus fimple expreflion — ^r — pour le fécond membre. Pour réduire le premier membre à fi plus fimple ex- preiïion , je multiplie l'entier^ par l> dénominateur de U fraction ~ & lui donnant le même dénominateur h pour avoir la plus fimple expreflion -H -^-—^ b * Par ce moïen j'ai l'équation ou l'égalité réduite à fa plus fimple expreflion z z, -+- ~-^ = ~â~ ' ^'^^ ^^ première des fécondes égalitez abrégées. j". Je compare de même la première valeur de x avec la troifiéme, c'cft-à-dire, j'en forme une égalité en pre- nant leurs féconds membres en A & en C, ce qui donne j -4- z. ,1 == j — , qui donne par tranfpofi- tion ly -f- z ~ 1- a. Puifqu'il y a encore des entiers & des fraftions ex- primées par les mêmes lettres ^ &: ^ , je les réduis à leur plus fimple expreflion de cette forte, Andyfc. a 1^4 Analyse générale, • Dans le premier membre , de l'entier^ je fais une frac- tion fans changer fa valeur en le multipliant au numé- rateur par le dénominateur càe la fradion -^ Se lui donnant ce même dénominateur c , ce qui donne la plus fimple expreflion — — Dans le fécond membre, je réduis de même rentiers & la fraûion — à leur fimple cxprcfiion ce qui donne l'équation réduite à fa plus fimple expreflion xj ^^^^ — - , c'efl la féconde des fécondes éga- litez ou équations abrégées. Les fécondes égalitez, ou équations abrégées font. D . . t z. -+- —-^ z^= — ;—* La première des fécondes. E . , zji — 1 == -. La féconde des fécondes. 6". Il faut dégager l'inconnue j dans ces égalitez , qui font en D & E. Or la première en D donne par tranfpofition — == — i i z, , pour raciuter 1 opération je convertis l'entier du fécond membre -+- i ^ en fraûion fans changer fa valeur , ce qui fe fait en le multipliant au numérateur par le dénominateur b delà fra£lion,qui fera auffifon dénominateur commun , ainfi- i~~~> ce qui donne ''J^^=dL±JL=ll± enfuitc effjçant dans les deux membres le dénominateur commun />, j'ai l?j ji ^= a b —1— a î.b z. ,0\iby i :^= i b z, ~+-*a b -f- a. Pour dégager l'inconnue/, je divife tout par ^' — ' qui Livre premier. lyy afFede ou multiplie cette inconnue , ce qui donne j — r^^xH-^t-j-^ C'cftla première valeur de j' trou- vée, que j'écris à part en N ci-defTous fous le titre des Equations mifes à part ; &: je mets en tête en M la pre- mière valeur de .v trouvée d'abord , en partie inconnue. Equations mifes à part. . La première des valeur de x. La i"^. valeur de/. M . . . X = y-\- z, — a- ^"^ N . , O . 1 hz-^ ab-\--i ■ • y- h — I Pour avoir une féconde valeur de y , j'opère de mê- me fur la féconde ou dernière des fécondes ègalitezE, i. y H- "^ '^ -—-.'"'-r-''- Jans laquelle je trouve par tranfpofition ty = "'-^- — c^ — ^ Pour ôter les fradions du fécond membre , je multiplie tout par le dénominateur c , ce qui donne Préfentemcnt pour dégager l'inconnue j' qui cfl: affec- tée ou multipliée par ic, ]e divife tout par ce multipli- cateur ic, ce qui donney=r" ''^ ^"^ «'^-4-'» £.'eft la féconde valeur dej. j'^. Puifque j'ai deux valeurs àcy , fçavoir: ^ . — « — X. -\- a c -t- a 1 c Pour les comparer je forme une égalité ou équation des féconds membres de ces deux valeurs différentes, &: j'ai i.h X. -4- a t — f- n ex. z, — (- ne ~\- n b — I ~c n ij lyé AmaLYSE GENERALE, II n'y a plus que la feule inconnue z. dans cette égali- té, je renverfe l'ordre des deux membres par arrangement o, •' j c z. z. -f- a c -f- a ih z. H- a h -f- a 0 — I. Pour ôter les fradions, je multiplie chaque numéra- teur par le dénominateur de l'autre fraclion , ô^j'ctFace enfuite chaque dénominateur. Ainfi effaçant le dénominateur i c du premier mem- bre, & multipliant fon numérateur par ^.zz^ qui cftlc dé- nominateur du fécond membre , j'ai d'un côté pour le premier membre. j • i/ c z, -f- ù z, -{- ^ ^c -f- au ^ -t- l c z, I i I ac I a De l'autre côté j'efface le dénominateur ^ — i du fécond membre. Se je multiplie fon numérarcur par 2_£ qui cfl le dénominateur du premier membre , ce qui donne pour le fécond membre ■ j[i> c z, -i- z a L c -f- z a c. De ces deux produits je forme l'égalité fuivante. j kc z, -+- h z. -t- abc -+- al / ^ -\-icz. I ;:::- lac \a ^ ; 4 ^ C Z. — i— z ah c — i— z a c. Enfuite par tranfpofitioii , je fais paffer dans le pre- mier membre toutes les grandeurs ou fe trouve l'incon- nue 2:. , qui efl: la feule qui fe trouve dans cette égalité, &C je fais paffcr dans le fécond membre toutes les gran- deurs qui font entièrement connues, &: qui font dans le premier membre en leur donnant des figues contraires, & j'écris dans une colonne verticale les unes fous les autres les grandeurs qui affecbcn: c , & les mêmes gran- Livre. PREMIER, Ij7 deurs ou les femblables qui font exprimées par les mê- mes lettres comme il fuir, — f— aI c ::^ 1^ -+- % d h c — {— 1 n c . h cz. -abc l '■ic lab -{- i n b z, l c z, I z. Dans cette égalité j'efface de chaque membre les grandeurs femblables qui fe détruifcnt par des figpes contraires, &: j'ajoute dans une fommc les grandeurs fem- blables qui ont le mêmefigne, ce qui donne ^ b c z, = -i- ab c mb -t- ^ at -f- i a. bz. Pour dégager l'inconnue b z, dans cette dernière éga- lire , je divifelcs dnix membres par les grandeurs qui af- fedent ou multiplient l'inconnue z, , ce qui me donne z. ^= "^"^ — lah-^-^ac^* ^.'gf^. j^ valeur toute connue ~ ib c -t- l>-\-c I de z, trouvée ; puifquc dans cette égalité le fécond mem- bre ne contient que des grandeurs connues. 8°. Pour trouver par le moyen de cette valeur de z, , la valeur de la féconde inconnue 7 je fubftituc cette va- leur de z. dans l'équation mife à part ci-devant en N , c'eft y = — i.bz -h'' !'-¥•'', la fubftitution donne ' -^ b I h 1 jic-f-t-f-c 1 b 1 , «É -+- ? a c I n h -4- -s . / T,b c-\- b-\-c I ou ;' ^j_i Voilà trois fraélions dans cette valeur de y , dont il faur n iij ij8 Analyse c.enerale, trouver la fommc réduice , il faut donc les réduire d'abord au même dénominateur, en multipliant en croix comme il fuit. En premier lieu , je multiplie tout par le dénominateur commun h—i de la première &: delà troifiémcfradion, en l'cfTaçint (impicmcnt dans ces deux fractions ; en fe^ cond liru , je multiplie par le numérateur i^ de la i'''^. fradion le numérateur de la féconde fraftion qui efl: la valeur de^, , c'cft-à-dire, — \-.i h c — t- ^ ne — i a b • — H a , X z l> Le premier produit efl; z a b^c 6 abc — Y zab'' — — X a b. En troifiéme lieu , je multiplie le dénominateur de la féconde Fraftion par le numérateur de la troifiéme frac- tion , c'eflà-dire, — i-3 hc—\-b ab a. ^ab^c—^ab — i-abc lab — \- 3 j b c — \- a b — h a c ■ i a. Le fécond produit efl' — V 5 a b'C' — \-'tb' — V ^abc — \-ac I a. Je fais une fomme de ces deux produits , abrégeant l'exprcflion par l'addition & la fouftradiûn des grandeurs femblablcs. Premier produit . . — ï.nh'-c-^ î.a b'- -^6abc—zab Second produit . . H- 3;;^^-+- a L'''\~a^abc ^ H- 4c — la Somme abrégée , .-+- ab'' c-+- ^ab'' — labc — lab-^-ac — la C'eft la valeur des produits de la féconde fradion ou valeur de z multipliée par les numérateurs des deux au- tres fradions. Livre p r h m i e r. i y9 En quatrième lieu , je divife cette fomme par^ — i dé- nominateur commun de la première & de la troifiéme fraiftion qui a cré etïaccc d'abord , cette divifion fe fait comme il fuit. S Divifeur \ Dividende ) -+- f> I / -+- ah^ c —^ lab c -f- ; a b- lab -f- a c i à. J^iotiens . -^ a b c . — lac. a b . Produits , rejics (y- nouveaux Dividendes. •\- ah^ c — I abc. i^'. produit à ôter. o — \ abc ■.-\- lab"" i*^'. reftc, & icî. Dividende. — r abc -t- î ac. i.^. produit à ôter. o — 1 .î f : H- j ab'- — ^ ab ■L^. refte & jme. produit. -4-3 ab^ — -i^ab. 3^"'= produir. jir.e rcfte , — \ ac . . . o -H ab : ~\- a c I a. J'abrège ce refte , retranchant les gran- deurs femblabics qui ont des figncs con- traires , H— I 'î c '? c ::= o. ce qui donne l'exprcflion fimple du 3™. refte, H— ab I a. 4"^^. produit à ôter -f- ab i a. o. 4'''<:& dernier refte. Donc le quotient eft -+- abc ac -H ^ab -\-a , c'eft i6o Analyse o e n e r a l e , lej numérateur d'une fraclion à qui je donne le dénomi- nateur de la féconde fraction ci-deflus valeur dcz, qui efl: 3 ^ f -+- h -H c i , &: cette dernière fradionqui fuitcfl: la valeur des trois fractions précédentes &; la vé- ritable valeur de/ toute connue -J- a b f -+- î a b 4 c -f- k ^ ) i c -h é -4- c — 1 Maintenant pour avoir la valeur toute connue de la première inconnue x , je fais une fomme des valeurs toutes connues à. a en la place des deux inconnues / , c , ce qui donne z a b c -f- 1 a b — f- i a e -j- i a Or pour ajouter dans une fomme l'entier /i, avec la fraftion, je change cet entier en une fradion de même valeur en la multipliant par le dénominateur de la frac, tion. Livre premier. igj 3 ^u -+- ^ H- c — I a ,,/, / , J ajoute ace prodmt le „.. — zabc — ah— ne -\' a. ' ' , , Trodmt . numérateur de la, 1 a ù c-h 2. ab-^-2. a c-^ la. fratlion. Lafomme ~ ial>c-\~aê>-^ac -\- ^ a fera le numérateur de la fradion fuivante qui fera la véritable valeur de. v puifque le fécond membre de régalité ne contient que des grandeurs connues , avec le dénominateur commun des valeurs de/ & z, , comme il fuir. — abc -+- ab -+- a c -\- ; a ^bc -f- b -t- c I ' ' --^_- Ainfi le Problême eft entièrement réfolu en lettres , puifquc j'ai trouvé les valeurs des trois inconnues. _ ab c -f- a b -)- ac -\- 5 a. ^b c-\-b-\-c 1, • .. ah c -f- 1 a h i°«. inconnue/ = ib c -\- b -\- c I abc a b -\- î a c -+- 1 . inconnue Xi = , , )b c -i» b c + — 1 Réfolution en nombres, 'I Soit 4 1=: 10,^ = 1 , c = 3 . Donc a b = io , a.bc = 60. ^bc == 1%. h c t= 6, Se ac= 30. en fubftituant ces nombres en la place des lettres , j'ai pour la valeur de la première inconnue x. ___ — — a ^ -^ dégage^ dans ces deux éga- litcz EtJ: Iitez , & ) ai^ — ^^ — -^— 0 — 2. C Je compare ces deux valeurs de ^ , dont je forme l'é- galité =^^V^^^^^''= — ^'-'*-- + ''^ + '' dans la- ., . afcc-4- j ac ab -H g ^ quelle dégageant:^,) ai :::== 5t,4.i4.,_. Je fubftituë cette valeur de z, dans la valeur de j mife ^ partj _ — — bz.-t- ab + a ^ j'abrég'c enfuite la valeur trou- vée par la fubftitution, &c ]e trouve j = 3^, ^^^,_i_ Enfuite je fubftituë les valeurs toutes connues que je viens de trouver de z, &: dej dans l'équation mife à part X ^^-y _i_ ~ a , je trouve par la fubftitution une grandeur très-compofée , & après l'avoir abrégée , je ^ abc + /ïi «t» ac -4- ! ^- trouve enfin x == — ,(,, ^^^,_x 0 ij I(j4 Analyse générale, Le Problême ellréfolu, & les valeurs des trois incon- nues font — abc + al -4- af -t* i « ^Ic + ' -i- z. = u -f- ^. Xf j' premières égalité^ mifes à part. A . . . v= 2, .V y -i- 4:. B . . . i z. = 2_/ a -+- h. C . . . iz, = 1 X b —t— c. z°. Je prends la valeur de l'une ou l'autre de ces in- connues dans l'une des premières égalicez ,• dans cec exemple je prends la valeur de v dans la première éga- lité V -{- .V -+-_7=:^2, -4— a, j'ai par tranfpofition x^ 2, X _;' -t- a , c'eft une valeur de .v que j'écris à part vers A. 5°. Je fuftitue cette valeur de "j dans les trois autres cgalitez, dans la féconde v ~\- x -+- 2,: j -+- b J'ai par fubftitution A' -+-2, -+- z, x y -+- .V -t- c , j'ai par fubftitiuion y — f- z, -+- z, .v y -+- a : .V — l- c , &c par addition , fouftradion & tranf- pofition , j'ai i z t x -+- a = f , ou i z. == i .v a -+- r,c'cfl: la féconde des fécondes égalitezabrégées que j'écris vers E. Dans la quatrième des premières cgalitez .v — f- ; H- ::. : y —H rf, je fubftituc la première valeur de -v, la (ubllii- tution donne .v -^ y -t- z, = d -+- ~ .v y H— a , par tranfpofition , addition & fouftradion , j'ai i x — (— ly a -+- ^jC'eft la troifièmc des fécondes égalitez abré- gées que j'écris vers F. 4°. Je prends la valeur de l'une des inconnues dans l'une des trois égalitez abrégées -, ici je prends la pre- mière en D. iz,= iy 4 -+- ^, c'eft une valeur de;^ que j'écris à part ci-dcfTus vers B. yo. Je fubftituë cette valeur de z. dans les autres des fécondes égalitez abrégées où elle fe trouve, comme ici dans la féconde vers E. . . z z. = zx a -+• c , la fubftitution donne zy a. -4- h % x -t- 1 = c , dans laquelle j'efFace a H- d qui fe dètruifent par des figncs contraires, & j'ai 7. y -H b z .v := f. c'eft la première des troifiémes égalitez abrégées que j'écris ci-dcflTous vers G , & j'écris au-dcflbus vers H , la troi- fièmc des fécondes égalitez quieftenF, où l'inconnue z. ne fe trouve point , ce qui donne pour les troifiémes égali- tez abrégées les deux fuivantcs. "■&■ Troifiémes égalitez. abrégées. G ... z 7 -H h z X = c. H ... z .V H— z / == a -f— d. 6°. Je prends la valeur d'une inconnue de l'une de ces troifiémes égalitez abrégées , ici je prends la pre- mière vers G. z ^ -f- ù z x =::= c , j'ai par tranfpo- fition 2 y = z x ù -+- e , c'cft une valeur de ly que t LiVREPREMlER. 1^7 j'écris vers C entre les premières égalicez mifcs à parr. 7-. Je fubftituë cette valeur de z^ dans la dernière des fécondes ègalitez abrégées vers F. 2, x -{- ly --— a d. La fubftitiition donne 2 .v — H 2 x b — Y c ■■ — - a d , j'ai par tranfpofition & addition 4 x = b c a — \-d ^ dont le fécond membre ne contient que des grandeurs connues. Pour dégager l'inconnue x dans le premier membre, je divife tout par 4 , ce qui donne x =- --+•«-4-^ 4 c'eft la valeur de .v trouvée en nombres connus. 8". Enfuite je reprends les cgalitcz mifcs à parr vers A , B , C , dans lefquelles je fubftituë cette valeur de ,v pour la faire évanouir & trouver par fon moien la valeur des autres inconnues , comme il fuit. Je prends l'égalité mife à part vers C. zj - — : 2. .v é> -1- c qui n'a que deux inconnues .v Scj, la fubftitution chafle 2A:&:donne27:=:''~^ T*^"^" ^-hc pour réduire le fécond membre à une exprcffion plus fimple , je réduis les entiers b^c aune fradion de même valeur qui ait le dénominateur commun 2 , c'eft -~^ ^^^^ qu'il faut fouftraire de la fraétion précédente, le refte eft t=±±ldz^ce qui donne ij/^fzifztlif enfuite je divife tout par 1 pour dégager l'inconnue , &: j'ai j ==" ^ ' — j c'eft la valeur de j trouvée. Je fubftituë cette valeur dc^ dans l'égalité mife à parc en B, c'eft zz,^=iy a~\-b , la fubftitution donne 2, z = "'^ -t-'--^ a-\~ h; j'abrège ce fécond mem_ bre en ôrant par fouftraûion la partie de la fraction des entiers exprimez par les mêmes lettres a i+i e , lerclte , donne 1 y == ; i68 Analyse générale, pour dégager l'inconnnucjc divifctouc par i, en mui- ciplianc feulement le dénominateur i x i = 4 , ce qui donne r. = , c elr la valeur de x, toute 4 connue. Enfin je fubftituë les valeurs entièrement connues que je viens de trouver des trois inconnues .v jj- , z. dans la première des cgalitez mifcs à part vers A , qui cfl v = z, .V j/-\r a , la fubftitucion donne a -*- b -+- c -{- d y c-\'ii-\-d a b-^'c-^d 4 4 4 >f< a. Pour abréger ce fécond membre , je réduis l'entier -f- /t dans une fradion de même valeur en le multipliant par le dénominateur 4, qui fera aufTi fon dénominateur ainfi - — . ainfi le fécond membre eft 4 — , _4_A_4_£_+-rf l — f_|.^_(_^b c ->[• d Somme -t- 14 o o-{~td. des numérateurs négatifs. De la fomme des pofitifs ^^ a^b^c:^ d. J'ôte la fomme des négatifs \-ia o o^id. Rêïïë Livre premier. lé^ Rcfte ^_ I ^ -+- (^ -f- f «'. Ce refte eft la valeur de l'inconnue v réduite à la plus fimple exprefllon, en lui donnant le dénominateur com- mun 4. c eft ^'= ^^ 4 Le Problême eft entièrement réfolu , puifqu'on a trou- vé les valeurs des quatre inconnues v ^x ,y ,z. , qui font les quatre égalitez fuivantes. V X y. z, a-^.h-^-l ■—'d 4 a — B — ( :-hd 4 a £-4- C~\-d 4 :-^r-d Soit a==. 4^.h == %.c == 16. d =■ 14. On aura par fubftitution V = 13. X = 13 i6t= 3. y= 13 8 = J Il eft facile de réfoudre ce Problème en nombres , en déterminant les valeurs des quatre lettres connues A,h,c,d, & fubftituant leurs valeurs dans les quatre égalitez trou- vées pour les valeurs des inconnues. AVIS. Comme cet exemple eft aftezcompofé, les commen- çansv trouveront le détail des opérations qui les accou- tumeront peu à peu à mettre en pratique les règles du Analyje. _ /> 170 Analyse générale, calcul dans les occafions , & comme on peut icfoudre les Problêmes par des voyes différentes , nou'- rcloudrons encore celui-ci par deux autres Méthodes afin d'exciter la fagacité , & nous réduirons en forme de règle chacune de CCS Méthodes après l'opération , &: les régies quoique réduites en peu de mots feront plus aiféeà concevoir , fi l'on pofTéde le détail de l'opération qui la précède. REGLE. PREMIERE METHODE. Cette Régie exprime ce qui efl contenu en détail dans la réfolution du 16'^. Problème. i". J'écris autant d'égalitez qu'il y a de rapports connus dans le Problême entre les grandeurs connues & les inconnues , & je les nomme les premières égali- tcz. i'^. J'écris à part vers A une de ces p-emiéres égail- lez qui donnne par trnnfpofition la valeur d'une des in- conncs , enfuite je fubftituc cette valeur de l'une des in- connues dans les autres premières ègalitcz où fe trouve la même inconnue , alors cette inconnue ne s'y trouve plus. J'écris à part vers D , ces nouvelles égalicez abré- gées, avec lefquelles j'écris les égalitez où cette même inconnue n'étoit pas, s'il s'en trouve quelques-unes. 3°. Entre ces fécondes égalitez abrégées vers D,i'en prends une qui me donne la valeur d'une inconnue qu'elle contient , mais différente de la première incon- nue qui a été évanouie dans l'opération précédente. Je fubftitué cette valeur dans les fécondes égalitez abré- gées oij elle fc trouve, ce qui donne des troiûèmes éga- litez abrégées , où cette féconde inconnue ne fc trouve plus. J'écris à part vers G ces troifiémes égalitez abrégées, jeles nomme abrégéfs(car parla fubflitution il fe trouve fouvent des expreffions composées qu'il faut abréger pour la réduire aux moindres termes ou à la p'us fimple ex- Livre premier. 171 prefTion, ) &c s'il y a quelque égalité où cette inconnue ne Ibit point je l'écris au-dcfTous. 4^. Après avoir dégagé de fuite par cette Méthode toutes les inconnues excepté la première , donc )'ai d'a- bord trouvé une valeur par une égalité, dont le fécond membre contient encore d'autres inconnues, je reprends dans un ordre contraire toutes les égalitez mifcs à part, ôc j'en chafTe les inconnues en fubftitiiant à leur place leurs valeurs trouvées p.ir les opérations précédentes , & j'ai foin dans chaque fubftitution d'abréger 1 exprcflion pour la rendre plus fimple; par ce moyen jerrouved'a- bord une égalité dont le fécond membre ell compofé feulement de grandeurs connues, c'eft une valeur exacte de l'inconnue qui eft feule dans le premier membre, la fubftitation me donne de même lucceifivement la valeur de toutes les autres inconnues , ce qui donne la réfolution du Problême. .. . .^ SECONDE METHODE. Fcitr refondre le mèrHc Problème 16*^. qui contient quatre grandeurs inconnues. 1°. Je forme les quatre premières égalitez pour les quatre grandeurs inconnues ^',x,/ , z., fuivant les con- ditions du Problême. Premières égalitez,. v H- a: -+- y — 2,-1-4 'V -f- -v -H z. y -H b V -+-7 -J- z X -b- c X -^ y -+- 2, == V -+- d. ftj lyi Analyse générale, Bg^ilitcz, mifes à fart. B . . . zzj = zj ■ b {i C . . . 2.V == zy -f- b c z°. Je prends toutes les valeurs d'une même inconnue choific à volonté, comme ici v , dans toutes les premières cgalitez où elle fe trouve , &: j'en écris une à part ci- deffus vers A. Or dans cet exemple toutes les valeurs de V fe trouvent par la feule tranfpofition , comme il fuit. Les dijfér entes 'valeurs de v. V = z. -{- a A." y V = .V -i- c y z, V = d y z.-. 30. Pour comparer enfemble ces différentes valeurs de v qui font égales , je les prends deux à deux que je joints par le figne'd'égalité, ce qui donne les trois cgalitez fui- vantes. X -4- " ^ • — y === / ~i~ ^ — ■^' — ^ ~ «^ b X z, = X -H c y 2. Je les réduis à leur plus fimplc expreffion par tranf- pofition & par addition pour avoir les fécondes égalitez abrégées qui fuivenr. Livre premier. 175 Secondes égalitez. abrégées. z z, zj = b a 2 z, z X ■-^= c a z X -i- zy = A -f- d Comme ces trois égalitez abrégées contiennent touces les autres inconnues , excepté la première qui cfl: v , elles fuffifent pour réfoudre le Problême , &: toutes les autres égalitez qu'on pourroit former fur les autres valeurs de "y font inutiles. 4°. Dans CQ% fécondes égalitez abrégées , je prends toutes les valeurs d'une même inconnue comme de z, , dans les égalitez où elle fe rencontre, j'ai donc ces deux égalitez. z z. == zy -\~ b a - - z z.= z X H— c A J'écris une de ces dernières égalitez à part vers B. Je compare enfemble ces deux valeurs de s, ; c'eftà dire je forme de leurs féconds termes une égalité abré- gée ix zy=b -fjC'efl: la première des troi- fiémes égalitez abrégées , à laquelle j'ajoute celles des fé- condes égalitez ou 2. ne fe trouve point. Troiftémés égalitez. abrégées. z X -4- z y d 5°, Je dégage l'inconnue .v dans ces deux dernières égalitez , ce qui me donne pour z x deux valeurs diffé- rentes. 1-7 1 A N A t Y S E GENERALE, * / T , r I 2_ X 2. 7 —r- C' C- t-C Z X = a -+- U 1/. 3'écris à part une de ces égalitcz vers C , enfuice je forme une égalité de ces deux valeurs de i x , )e les abi c- ge en les réduifantà leur plus fimplc exprclTion, & ]ïi 1)i = a i-+- c-Jr-d , où il n'y a qu'une feule incon- nue dans le premier membre , je dégage l'inconnue en divifant tout par 4 , ce qui donne 7 ^^= trrl±i±_ c'eft la valeur dcj- toute connue. 6°. Je fubftituc cette valeur de_; dans les égalitez mifes à part vers A , B , C , pour avoir les valeurs des trois autres inconnues. V, :: , i' , comme il fuit. Dans l'égalité mife à part vers C. ix= i j-4-^ c, puifque^ cft multipliée par z, je multiplie fa valeur par i ^ c'eft f — ^-f-^-+-'^ ce qui donne 2 .v = a — l-^r^d _^ y (-, il Lut réduire ce fécond membre à (a plus fuiiple exprellion en ôcani par addition ou par fouftrac- tion des entiers -V- 1 c la fradion femblable "^^^ — - , le refteeft "^^^-donc 1 ,v ^^5=^^^ &^ divifant tout par z pour dégager 1 inconnue X,) ai X = 7 De même fubftitiiant la valeur de z^ dans l'égalité mife à part vers B . , z ::. = z j -+- ^ 't , j'ai 2,z — '" "^"-^ _^_^ ^, je réduis ce fécond mem- bre à ù plus fimple expreffion comme ci-dcfTus , puif- quc les lettres a &c o Ce trouvent dans les entiers & dans la fra£lion,ce qui donne zz.="^^^^^^t Izt — Je dégage l'inconnue z, en multipliant le dénomina- teur zxz==4 , ce qui cft une véritable divifion qui donne z,=^- Pareillement en fubftitiiant la valeur trouvée des trois inconnues z,, x jj dans la première des égalitez mifes Livre premier. 175- à part vers h . .v = z. .v y-^ a , la fubftirution Pour réduire ce fécond membre à fa plus fimple ex- preffion de l'entier -if-a ,]c fais une fradion de même va- leur qui a le dénominateur commun 4 , c'eft -4- — 4 de la forte ce fécond membre ne contient que des frac- tions qui ont toutes le même dénominateur commun, j'efface &: j'opère fur les feuls numérateurs dont je cher- che la fomme. Numérateurs des fractions poj/tives. -■■■■ h -^ c ~\- d 4^ a Somme — t- 3 a Numérateurs des fraélions négatives. H- a -t- b c -h- d -H a h -H c -4- d — t- 14 G 0 — (- 1 d De la première fomme h- 3 a -+- h -\- c -4- d J'ôte la féconde fomme -t- 2 13 — •4 = — y Mégie abrégée four la féconde Méthode. 1°. Je prends routes les valeurs d'une même inconnue dans toutes celles des premières égalitcz où elle fe trouve, & j'en écris uneàpart vers A. 1°, Je compare toutes ces valeurs deux à deux , en for- mant de chacune un membre d'une nouvelle égalité , j'ai par ce moien les fécondes égalitez où cette incon- nue ne fe trouve plus , & j'y ajoute les égalitez où elle n'étoit point s'il y en a. 3"^. J'opère fur les fécondes égalitcz comme j'ai fait fur les premières pour en chaflTer une féconde inconnue, &c )c continue de la forte jufqu'à ce que je trouve une égalité où il n'y ait qu'une feule inconnue. 4°. Je prends la valeur de cette feule inconnue, & je la Livre premier. 177 la fubftituë dans celles des Equations niifes à part où elle fe trouve avec une feule autre inconnue que je fais éva- nouir par ce moyen. Je continue de même jufqu'à ce que j'aye les valeurs de toutes les inconnues. Enfin pour réduire cette régie en peu de mots; il fuffit de trouver la valeur d'une inconnue , la fubftitiier où cette inconnue fe trouve feule avec une féconde inconnue ; on aura par ce moyen la valeur de la féconde inconnue. De même fubftitiiant les valeurs de la première & de la féconde inconnue dans une égalité où elles fe trou- vent avec une troifiéme, on aura la valeur de latroifiéme inconnue ; continuant ainfi on trouvera les valeurs de toutes les inconnues. TROIS! E' ME METHODE Four refendre le même Problème 16'^. ou il y a quatre grandeurs inconnues. Quelque fois on trouve facilement par la tranfpofition ou par une autre préparation fimple la valeur toute con- nue de chacune des inconnues , enfuite foit en ajoutant feulement enfemble, ou deux , ou plufieurs valeurs d'une même inconnue prifes dans les premières égalitez , foie en ôtant par fouftradion une valeur d'une autre , ou plu- fieurs valeurs delà même répétée autant de fois dans l'un des membres, qu'il y a de valeurs différentes dans l'autre membre. 1°. Dans cet exemple , j'ai par les conditions du Pro- blême les quatre premières égalitez fuivantes. Analyfe. lyS Analyse cenerale, Premières égditez, formées far les conditions du F r oh terne. "j -H ,v •+■ y z. H- a. 1/ -H .V -{- ^ — y H- h V -\- y -H- ^ -V -^ c X ~k- y -k- ^ V H- d De cz% premières cgalltcz , je tire par tranrpoficion toutes les valeurs de la première inconnue dont je forme une colonne pour en avoir une fomme . je fais la même chofe pour chacune des quatre inconnues, ce qui me donne quatre fommes , comme il fuit. / ''alenrs de V. V : Z, -V ■y -4- a V --y .V z, -+- b 1» X y ~ -+- c V : X -+-JV -4- z d Somme abrégée. 4 V = a — î— h -4- c -^^^ d Valeur de x divifant tout far 4. _, . a -\- h -\- c d ] ai ^ = 4 Livre PREMIER. Valeurs de /- ;' — •y V ■ .V •+- a _ 7 V -+■ X -+- - ^ . ,: y X v - -+- c y V .V ■ - -+- d ■ ..' m Somme abrégée. 4J' = a b —1— c —4— d Donc divifant tout par 4, j'ai J= C'eil: la valeur de/ . Valeurs de X. X = _7 1^ z. — t- ^ '" ' '. X = y —H l' —H 2- f ' r x = —y-ir-v z. -H « • -..L, . i». Somme abrégée, 4 .V = 4 —H ^ c - Valeurs de x. Divifant tout par 4. J ai X = 4 ^ {/ i8o Analyse générale, Valeurs de z. : v —H 'V -+- y a D X y - d Somme abrégée. 4 z, ■■ : a — (- b —H- c —f- d Donc divifant tout par 4, j'ai ^ a-\-h->r-c -\-i ~ 4 C'eft la valeur de z.-. Les quatre valeurs de chacune des inconnues contien- nent les autres inconnues qui fe détruifent par des lignes contraires , c'eft pourquoi elles ne paroiflcnt point dans la fomme qui fe trouve compoféc des feules grandeurs connues dans fon fécond terme , ce qui donne la véri- table valeur de l'inconnue , ainfi ces quatre fommes don- nent la valeur des quatre inconnues bc une parfaite fo- lution du Problême; il eft facile d'avoir la même folu- tion en nombres , il fuffit de fubftitiicr en la place de ces lettres connues leurs valeurs. Remarque première. On trouve toujours en lettres connues la valeur de chacune des inconnues , en joignant dans une lom- me toutes fes valeu-rs trouvées par fimple tranfpofition ; on l'a trouvée par ce moien dans cet exemple , parce Livre premier. i8i qu'entre les quatre valeurs de chacune des inconnuifs , par exemple dans les valeurs de x , les trois autres in- connues s'y trouvent, autant de fois avec le figne _f- Se autant de fois avec le figne , ce qui fait que les trois autres inconnues fe détruifent par des figues contraires^ & difparoifirent dans le fécond membre de la fomme qui ne contient que des grandeurs connues. Dans tout autre cas où cela ne fc peut faire, il faut prendre d'un côte une valeur répétée deux fois, &: d'un autre côté deux aottes valeurs , pour les comparer en- femblc en formant une égalité dans laquelle toutes les inconnues, excepté une feule puifTent fc détruire par des figues contraires, ce qui donnera la valeur de cette in- connue reftante ; enfuite opérant de même & fuftituanc cette valeur en la place de fon inconnue , on trouvera la valeur d'une féconde inconnue , &c continuant par fubfti- tution , on trouvera les valeurs de toutes les inconnues propofécs, & par conféquent la réfolutiondu Problême. Remarque fcconde. ' ■ Sien comparant plufieurs valeurs d'une même incon- nue , on met une de fes valeurs dans les deux membres d'une égalité, on la mettra dans le fécond membre avec des figues contraires à ceux qu'elle a dans le premier membre pour conferver l'égdité. •; Remarque treifiéme. Lorfqu'on n'a pu former par les conditions du Pro- blême autant de premières égalitcz qu'il y a d'inconnues , alors le Problême eft indéterminé , & c'efl: une marque qu'il a plufieurs réfolutions , il peut même en avoir une infinité; c'eft ce que nous expliquerons en fon lieu. Au contraire lorfqu'on a formé fuivant les conditions q iij i8i Analyse générale, du Problème plus d'égalitez qu'il n'y a d'inconnues , alors il y a de l'art à choilir entre les valeurs celles qui étant fubftituées ne tombent pas dans rimpofllblc. Ce font des Problcnics plus que déterminez dont nous traiterons ci-après. Remarque qiuitricme. Pour abréger la réfolution des Problèmes , on fe fert de quelques-uns des rapports connus entre les grandeurs pour dinui.ùcr le nombre des inconnues , ce qui dimi» nue le nombre des égalitcz. On fe fert aufli des propriétez des figncs &: des fi- gures de la gcomécrie. SECTION DEUXIE'ME. Des Problèmes déterminez de cous les degrez, Ca des Eqitatiops coft.'pofées de tous les dcgrez, à t'uifni. DAns cette fcdion j'expliquel'origine & les principes des Equationç. i ^. Comment les Problèmes déter- nijnezquife réduifent aune feule inconnue donnent des équations compofées de tous les dcgrez à l'infini. z°. Je donne la manière la plus (impie &: la plus na- turelle de former les équations pour connoître mieux la nature de leurs racines , & les trouver avec plus de fa- cilité. jo. J'explique dans le détail les équations , & toutes leurs parties. 4", Je donne les moïens de préparer les équations, ou LlVRt PREMIER. 183 de les réduire à la forme la plus rin-iplc&: la plus commode pour les réfoudre. j°. J'explique en quoi confifle en général la réfolution des Equations. i". DE L'ORIGINE DES EQTJATIONS, Ou comment les Frohlcmes déterminez^ prodaifl'iU les Eritt lit ions de tous les degré z. à l'tnfni. Définition. Les Problêmes déccrmincz font ceuxqui fe réduifcnt à une feule égalité dans laquelle il n'y a qu'une feule inconnue. Si cette inconnue eftau premier degré comme .v = /f, alors cette équation efl: du premier degré , & elle eft ré- foluë , puifque a eft une grandeur connue , donc x qui lui eft égal cil: connue aufli. Mais ficn pratiquant les régies expliquées dans la fcc- tion précédente pour réfoudre un Problème , il fe ré- duit à deux ou trois égalitez , où il n'y a à la vérité qu'une feule inconnue, mais élevée à diftérens degrez, par exemple ; je fnppofe que pour réfoudre un Problè- me propofé dont les conditions donnent autant de rap- ports que de grandeurs inconnues, ce qui le rend déter- miné , j'ai formé les premières égalitez fur lefquellcs j'ai formé les premières opérations néceffaires pour faire évanouir toutes les inconnues hors la première x , & que j'ai trouvé enfin le Problème réduit aux deux égalitez fuivantes A & B,dans lefqucUes l'inconnue .v eft feule, mais élevée à difFcrens degrez. La première A . . . .v'- y'' =j^. La féconde B . . . .v -4- 3 .v y' == \ a, I''. Pour réduire ces deux égalitez à une équation feule , )'Ôte d'abord les fraétions en élevant la première 184 Analyse générale, équation A à la troificme puiflance , donc l'expofant 5 eftégal au dénominateur 5 de la fradion du fécond mcm- bic 'i p , ce qui donne l'équation C . . . x' 3 x'^y,, ^°. ]'ptc enfuite la fradion de l'équation B, en l'é- levant à la fccondc puiilancc, dont rexpofant 1 eftégal au dénominateur z de la fradion dufecond membre 7^, ce qui donne l'équation D . . . x^ ^ 6 x* y -\- <) x'' y'^ 3°. J'ôtc l'équation D de l'équation C, ce qui fe fait en changeant d'abord les fignes de tous les termes de l'équation C , &: les ajoutant aux termes correfpondans de l'équation D, ce qui donne l'Equation E. E . . . 9.vV'-!-6-^'V 71-7'=?^^^ — hp'- 4°. Je tire la racine quarrée de chaque membre de l'équation , c'eft 5 .v y — Vy = y^ —'7^ — /'' ^°. J'ajoute à cette racine la féconde équation ci- delTus B . . . -v' — y -^ xy"- ^=ï(]. La fommc eft dont le premier membre eft la troifiéme puiiïance par- faite de X — \-y , &c par conféquent l'équation réfultante F eft du troifiéme degré, 6". Je tire la racine cubique de chacun des dcu-x mem- bres de l'équation F , ce qui donne l'équation ûmple, la première racine de l'équation du troifiéme degré F, qui réllilte des deux équations A &: B qui ont été trouvées par la préparation expliquée dans la fcdion précédente fur les conditions du Problème propofé , & le Problême eft réfolu : car comme on le verra dans la fuite, cette première racine fcrvira à divifcr l'é- quation Livre premier. igj- quation , Se le quotient qui en viendra fera une équa- tion du fécond degré dont on trouvera de même les deux racines, comme il fera expliqué dans la fuite. i°. For?nation /impie ér naturelle des Equations. Lorfqu'un Problême fe réduit enfin à une équation où l'inconnue eft élevée à différens degrcz, pour la re- foudre il en faut trouver les racines , mais les opérations qu'on a faites pour en venir là , ne font point décou- vrir ces racines &: n'en donnent aucune idée , on ne voit aucune liaifon entre les opérations & la formation de cette équation , qui en réfulte comme par hazard , & que l'on trouve d'ailleurs la même par des routes très- différentes ; or pour trouver les racines de l'équation qui en font les élémens,il faut avoir une idée claire de la manière la plus fimple & la plus naturelle dont elle fe forme, e'eft par la multiplication de ces racines comme il fuit. Pour former une équation du fécond degré , je prends une équation fimple du premier degré x a ■. o , dont le premier membre eft un binôme qui contient l'inconnue x &c fa valeur pofitive — a , & le fécond membre contient le zéro feul , je multiplie cette équa- tion, fimple par elle-même, le produit x"^— zax -+- a4 = o , eft une équation du fécond degré , dont le pre- mier membre eft la féconde puiftancc parfaite du bi- nôme a: a, puifque le premier terme .v' eft Icquarrc de X , que le dernier terme aa eft le quarrc de /? , &: que le terme moïcn z a x contient deux fois le produit de a par x. Analyfe. i86 Analyse générale, Premier Exemple. .V - a = - o X X - a - - o - x' - a X - a X -H 4 ^ - 0 x' - 2. a X -H a a = o. Je peux de même former une équation par deux ra- cines poficives ou négatives , mais dans ce cas j'ai une équation du fécond degré , dont le fécond membre cft une féconde puiflance imparfaite. Second Exemple. X a = o X .V h r : o a X b ,v-+— a b == o. Si rffurpafle b , le produit ab du dernier terme eft moindre que le quarré aa , quarré de la plus grande va- leur .1 de l'une des racines , mais ce produit ^ib cft plus grand que le quarré bb , quarré àc b , Iz plus petite va- leur des deux racines. De même je peux par trois racines fcmblablcs , ou par la même multipliée deux fois , ou par la multiplication de trois racines différentes former une équation du troi- ficme degré. Livre premier. 187 Troifiéme Exemple. X a = o X X a = o x' — - ax - a X -f- a a 0 .V" - za X -i— ^ a == 0 X .V - — a 0 A-' zax'' -i- aax ax — t— z a a X x' i ax'' -4— 3 a'' x a* = o. Equation du troifiéme degré , qui contient une troi- fiéme puifTance parfaite de .v a = o. .^u^atriéme Exemple. X a . 0. X .V b 0. x"- ax ^x -4- rf^ == 0 X X c . at' ax"- -î- ab X b x^ -k- ac X ' cx'^ -t- bcx — ahc \ 1 88 Analyse générale, Equation du tioificiiie degré , qui contient une troi- lîéme puiffance imparfaite de chacune des crois racines. Dans le troifiéme exemple , la multiplication réitérée deux fois de la même racine .v a == o , donne au produit une équation du troifiéme degré dont le premier membre efl: la troifiéme puiffance parfaite de cette ra- cine X a - — ■■ o. Le dernier terme a' le découvre du premier coup d'œil, puifqu'il efl; le cube de^. Mais dans le quatrième exemple le dernier teime ^ic n'elt point un cube parfut , mais feulement un produit de trois dimcntions , ou de trois grandeurs différentes ; ainfi le premier membre de cette équation efl: une troi- fiéme puiffancc imparfaite , qui efl: moindre que le cube de chacune des deux plus grandes racines , mais qui fur- paiïe le cube de la plus petite de ces trois racines ; ce qui eft évident dans le cinquième exemple oiî les valeurs des racines font exprimées par des nombres. Soit 4=4. ^ ; — r j. c — ^ 1. ce qui donne les trois équations Am- ples a- 4==o, X 3 = o,x z = o. Cinquième Exemple, X X 3 = o AT* 4.V 3 A- -4- I i = 0 .V^ 7< -H I 2, = 0 X X 2 = 0 "Âr' 7x^^ I IX 2..V — t— I4>r 14 0 x' $x -h- z6x i4 Livre premier. i3y Dans les équations en Icccres , le dernier terme qui efl: le produit ahc des trois racines les découvre par fon ex- preflion ' mais cette expreilion n'eft qu'une formule ou une règle abrégée , qui marque en général ce qui cft con- tenu dans les équations numériques. Ainfi cela m'ap- prend que dans le produit 24. contenu dans le dernier terme de l'équation du troifiéme degré , du cinquième exemple, z/^:=^ a b c ; or dans 24 je n'apperçois aucune des valeurs 4 , 3 , i de ces racines. Ce produit 24 n'eft pas un cube , m^is un troifiéme puidncc imparfaite; or 24 eft moindre que ^4 cube de 4 , &: 24 cft encore moin- dre que 27 cube de 3 , mais 24 furpaftc 8 cube de 2. De même dans les équations du fécond degré conte- nues dans le quatrième & le cinquième exemple ;, le der- nier terme ^ ^ eft le produit de a multiplié par h , dont les racines paroiflent dans l'cxpreftion en lettres ; mais dans le nombre 12 qui eft le dernier terme, je ne vois point 4 multiplié par 3. Mais 12. n'eft pas un quarré , c'eft une féconde puiflance imparfaite moindre que 1 6. quarré de la valeur 4 de la plus grande racine , mais plus grande que 5» quarré de 3 valeur de la plus petite des deux ra- cines. DES EQ^UATIONS EN GENERAL. De leurs devrez, , de leurs e/péces O" de leur formation. Définition. Je nomme une équation , toute égalité dont le fécond membre contenant zéro feul, le premier membre contient une puiftance ou parfaite ou imparfaite d'une égalité du premier degré dont le fécond membre contient zéro feul, & dont le premier membre contient un binôme quelconque a- + a, compofé d'une inconnue fimple bc de fa valeur exprimée en nombres ou en lettres connues , comme x "ii a = o, .v * 4 = o. r iij i^o Analyse générale, Cette définition convient aux équations de tous les degrez à l'infini ; cela eft évident pour les équations du fécond &; du troifiérne degré dans les exemples prcce- dens ; il Tuffit d'en former dans les autres degrez fupé- rieurs pour en être convaincu. La même définition con- vient aulli aux équations fimples du premier degré com- me X i = G , .V a =z o ; car quoi qu'on ne puifTe pas former la première par la multiplication de x i == o , nien multipliant .v- — ■- i — ^o par x 2. o. On peut cependant la former par la multiplication du binôme. t/~ — ^T, car v^ •^=0 de même y^~ — \^'7 =0 x VT-l- »^~= o X »^~ -f- *^~ =: o ,— ,— A- — V X ^^ 1 a: — \^~ t^T H- VT vH^ 1 = 0 -+-^T^^r_^ = o. ^^^^,^ -^^ ^ 2 = o. produit. X X -+- abc 0 hx' -\- acx ex' -h-hcx Tous les termes doivent être homogènes , c'cft-à-dirc avoir le même nombre de dimenfions dans les équations comme dans les puiflfances. JDh nombre des termes dans une Equation. Une équation d'un degré quelconque a toujours un terme de plus que l'expofant de fon degré ne contient d'unitez de même que dans les puifTances , & lorfqu'il manque quelque terme qui a été détruit par des fignes contraires, ce qui ne peut jamais fe trouver dans la for- mation des puiflances , mais ce qui arrive dans la for- mation des équations lorfqu'il y a des racines poficives & négatives , je remplis les places vuidcs des termes dé- Livre premier. 197 traits pat 1.1 puiflixnce de l'inconnue qui leur convient multipliée par zéro qui rend toujours ce terme nul, pré- cédé des deux (igncs H- ^ parce que zéro n'eft ni poficif ni négatif, mais le terme commun des grandeurs pofi- tives & des grandeurs négatives, ainfi lorfqu'il manque une puifTance inférieure dans une équation , c'efl une inarque que ce terme cfl: détruit. Cela fuppofé , une équation du premier degré a deux termes , celle du fécond degré a trois termes , une équa- tion du troifiéme degré contient quatre termes , celle du quatrième degré contient cinq termes , &C ainfi des autres. Le premier terme d'une équation & le dernier fe nom- ment les extrêmes , les autres fe nomment les termes moicns , chaque terme moïen contient une puiflancc de l'inconnue multipliée par un nombre connu ou lettre con- nue qui cfl: fon multiplicateur ou coefficient ou fadeur. DES RACINES DES EQUATIONS. Il y a trois chofes à confidérer dans les racines des Equations, 1°, Leurs genres ^ i°. leur ejpéce , 3°. leur nombre. Il y a quatre genres fupéricurs ou fe rapportent les différentes racines qui entrent dans la formation des équations , ou les valeurs de l'inconnue dans chaque équation du ptemier degré , puifque nous avons démon- tré ci-dcffus , que les racines d'une équation compofée oufesélémens , font les équations du premier degré qui ont été multipliées pour la former , &: que l'équation compofée quelconque n'efl: autre chofe que le produit qui réfulte de la multiplication réitérée d'une mêmeé- quation du premier degré , ou de pluficurs équations. Quelque fois pour abréger on nomme, mais impro- prement , la racine d'une équation la valeur de l'incon- 1 5>8 Analyse générale, nue A- dans chaque équation du premier degré qui encre dans la formation d'une équation compolée , ainfi dans a:^ 7.V -H 1 2. =r 6 , 3 &: 4 ne font pas proprement fcs racines, car 3 n'efl que la valeur de l'inconnue dans a- 3 == G , &: 4 n'cfl: que la valeur de l'inconnue dans x 4 = G ; or ceibnt ces deux équations fimples du premier degré qui font toutes entières les élémens ou les racines de l'équation compofée x^ j x — j- 11 == o ; elles entrent dans fa formation naturelle , &: non pas leurs valeurs féparément. Le premier genre comprend les racines pofitives. Le fécond genre comprend les racines négatives. Les deux premiers genres s'étendent aax deux genres fuivans, dont le troifiéme comprend les racines égales, le quatrième genre comprend les racines inégales. Ces quatre genres comprennent toutes les racines qui peuvent entrer dans la formation des équations , & fe divifent en trois cfpéces primitives, qui ont chacune deux cfpéces fubalterncs qui les divifent encore , c'eft ce que nous expliquerons dans le détail. La racine eft pofitive dans une équation du premier degré, lorfque la valeur de fon inconnue eft pofitive, & je connois par le figne qui la lie à x qu'elle efl pofitive, comme dans x a =:o , car mettant a dans le fécond membre en changeant fon figne, j'ai x =^1 -H a, donc cette valeur a eft pofitive , je nomme a- a = o une racine pofitive. Ainfi les racines font pofitives dans une équation compofée , fi les valeurs de l'inconnue font pofitives dans les équations fimples qui entrent dans fa forma- tion. Car fi je multiplie a- a ^=: o par elle-même, comme c'eft une racine pofitive , l'équation du fécond degré .v' z ax H— ^a = o qui en eft le produit , a fes deux racines pofitives. Livre premier. ip^ La racine négative au contraire d'une équation com- pofécelluncéqu.ition du premier degré où la valeur de l'inconnue efl: négative , &: par conféqucnt précédée du ligne — t— comme x — (— rf= o efl une racine négative, car la valeur de .v cft négative , puifqu'en tranfpofant j'ai .v = a , or il eft évident que a efl; une gran- deur négative. Chaque genre de racine fe divife en trois efpéces pri- mitives qui font, î*^. les racines réelles, 2°. les racines imaginaires, 3". les racines mixtes, en partie réelles àC en partie imaginaires ; mais elles font proprement imagi- naires, car l'imaginaire fe communique au réel qui Tac- • compagne comme une contagion. Chacune de ces efpéces primitives fe divife encore en deux efpéces fubalternes , ce qui comprend 1°. les ra- cines rationcUcs, i°. les racines irrationelles. La première efpéce contient les racines réelles , &: cette première efpéce primitive fe divife en deux ef- péces fubalternes, qui font 1°. les racines réelles ratio- nelles , 2.". les racines réelles irrationelles, 1°. Les racines réelles rationelles ou commenfurables, font celles dont la valeur s'exprime exactement dans l'équation fimple par un nombre , ou par une lettre, com- ■ me X a = o , X 4 = o. z". Les racines irrationelles ou incoramenfurables , font celles dont la valeur s'exprime par le fecours du figne radical dans l'équation limple, comme dans x y'~ G , .V »^~p = o. Car on ne peut point exprimer cette valeur exadement , ni en lettres ni en nombres ,• mais on peut par la Méthode d'approximation en approcher à l'infini , en exprimant cette valeur par deux nombres , l'un plus grand , & l'autre plus petit , qui ne peuvent jamais atteindre à une exprcflion exade , parce qu'on ne peut tirer la racine exade ni de i/~ , ni de v'~. 100 Analyse générale, La féconde cfpécc primitive qui contient les racines imaginaires le divifc en deux cipcccs fubalterncs; fça- voir, t°. les racines imaginaires rationeiles , 2°. les ra- cines imaginaires irrationclles , ou impoflîblcs qui font celles dont on ne peut fe former aucune idée. Comme la racine quarrcc de aa, qui eft impof- fible, car il eft impoflible qu'un quarrc ou en général, toute puifTance dont l'expofantcft pair foit, précédée du figne , puifque -4- x -+- donne -t- au produit &c X donne aufli -+- au produit, Ainfi ces racines imaginaires font les racines paires des grandeurs négatives confidérées comme des puil- fances paires , &: on ne peut exprimer ces racines fans un fignc radical qui a deux fignes , l'un fous le figne qui eft toujours ■ , & l'autre hors le figne ou devant le figne radical qui eft ou -j- , ou ,• ce figne qui eft le premier fuit toujours la régie des fignes dans les opé- rations, ce qui le fait varier; mais le fignc fous le radical ne peut jamais varier , il eft de l'efifence des gran- deurs imaginaires. Une racine imaginaire eft rationelie , lorfqucla gran- deur ou valeur imaginaire de l'inconnue eft une puif- fancc exaéle &: parfaite, femblable à l'expofant du fignc radical comme 4' qui eft une féconde puiflance comme l'expofant de fon radical dans .v -+- v^ — ^i , comme a^ qui eft une troifiéme puiflance parfaite &: femblable à l'expofant du radical »/~7dans x'- -^ v^HL a'' , S£C. Une racine imaginaire eft irrationelleouincommen- furable , lorfque îa valeur imaginaire qui eft fous le figne n'eft pas du même degré que l'expofant du figne radical fous lequel clic eft placée comme/ h ,dans .v' y^ — y- &CC. On connoîc auflî peu les racines imaginaires ratio- neiles Livre premier. lo r ncllcs que les irrationelles , elles marquent également rimpoflibilité du Problême. Remarque. Lorfqu'en cherchant à réfoudre une équa- tion propofée qui cfl réduire à fa plus fimple exprcf- fion , & dans laquelle par conféquent il n'y apoin.td'in- commenfurables , on trouve des racines imaginaires, c'cfl: une marque qu'elles y font en nombre pair avec des fignes contraires , puifqu'cUes font détruites dans l'équa- tion , & qu'elles ne paroiflent point. Ainfi s'il y a une ra- cine imaginaire dans une équation du fécond degré , elles font tous les deux imaginaires ; dans une équation du troifiéme degré , il y a deux racines imaginaires avec une troifiéme racine qui eft réelle ; dans une équation du quatrième degré, il y a quatre racines imaginaires , ou deux racines imaginaires avec deux racines réelles , & ainfi des autres. La troifiéme efpéce primitive contient les racines mixtes, c'eft-à-dire mixtes imaginaires , en partie réelles & en partie imaginaires ; elles font exprimées par deux grandeurs liées enfemble , dont l'une eft réelle précédée d'un feul figne , & l'autre imaginaire précédée de deux fignes , dont le fécond eft , ce qui eft clTentiel aux grandeurs imaginaircs,elles font précédées de deux fignes H-— 4 eft une grandeur imaginaire fans figne radical H- v'IZi eft une grandeur imaginaire avec un figneradical. Ainfi— f-^î — I h eft une grandeur mixce imaginaire dans .V ^ a ~^ — -h= o, de même x -{- a -+- V^ZTT ===o,eft une racine imaginaire. Les racines mixtes imaginaires fe trouvent fouvenc dans les équations , car étant multipliées les unes par les autres , elles donnent des grandeurs réelles dans le der- nier terme de l'équation / or elles ne peuvent donner de grandeurs réelles que lorfqu'elles fe trouvent deux à deux , ou quatre à quatre, &c. toujours en nombre pair, car multipliant -+- v"~II^ x V~Zri , le produit réel AnalyTe t loi Analyse générale, ell: -f- 4 qui eft poficif , mais —h- v'^HT x -+- V'^UJ donne le produit négatif réel a. de même auill V~Zr7 X v' a donne le produit négatif réel Le troifiéme genre des racines des équations contient les racines égales , or les racines font égales , lorfque la même équation du premier degré eft multipliée par elle-même dans l'équation compofée , comme dans .v* ta X H— .ri?:= G , il y a deux racines égales x a = o,&x <î = o,dont la multiplication donne cette équation du fécond degré;de même dans. v' 3 ax^ H— 3 c c , alors ces grandeurs éga- les fe décruifent par des lignes contraires , comme il fe voit dans l'équation numérique x' -^ o x^ — i z .v -+- i é =: o dans laquelle le multiplicateur du 'fécond terme eft détruit & fa place vuide eft remplie d'un zéro, qui étant Livre premier. zo9 étant nul , ce fccond terme cfl abfolunient nul, Le fécond terme contient toujours la fomme de toutes les racines , c'efl: à-dire i ". que Ton multiplicateur contient réellement la fomme de toutes les racines fi elles font fem- blablcs, ou toutes pofirives ou toutes négatives. i°. Si elles font inégales avec des fignes contraires, cette fom- me cfl: la différence des pofitives& des négatives. 5''. Si les racines négatives font égales aux pofitives, leur fom- me ou leur différence eft zéro , ce qui détruit le fécond terme. Le cœfficient ou multiplicateur 11 du troifiéme terme 11.V dans l'équation numérique du troifiéme degré con- tient la fomme des produits des racines prifes deux à deux & multipliées par une puiffancede .v moindre de deux unirez que dans le premier terme. La preuve en cft évi- dente dans le troifiéme terme de l'équation littérale , dans laquelle le troifiéme terme contient les trois produits — — a b X. -+- a ex. ' h c X. Si l'on forme une équation d'un degré plus élevé , com- me du quatrième, cinquième fixiéme degrez , en réité- rant la multiplication des racines fcmbLibles ou différentes; on remarquera que le quatrième terme contient au mul- tiplicateur quatre produits des valeurs de quatre racines prifes trois à trois, multipliées par une puiffancede l'in- connue moindre de trois unirez que celle du i'^'^. terme. Que le multiplicateur du cinquième terme conticnc cinq produits des valeurs de quatre racines prifes quatre à quatre. Et ainfi de fuite à l'infini , on trouvera autant de produits que les ra.cines peuvent en fournir de dif- férens. Amlyfc, tf 110 Analyse générale, Mais le pénultième terme dans toute équation cft tou- jours celui qui contient l'inconnue au premier degré avec tous les multiplicateurs partiaux. Il fuie de là, i°. Que dans les termes pairs quifontle fécond , le quatrième, le fixlème , &:c. les racines y font toujours dans le nombre qui fuit , fçavoir, une à une pour multiplier l'inconnue dans le fécond terme; mais dans tous les termes pairs fupéricurs , les racines y font multi- pliées en nombre impair ; fçavoir, trois à trois dans le qua- trième terme , cinq à cinq dans le cinquième terme , fepc à fcpt dans le huitième terme , &:c. 1*^. Dans les termes impairs à commencer par le troi- fiéme & continuer par le cinquième , le fcptième , &c. les racines y font multipliées en nombre pair , fçavoir deux à deux dans le troifième terme , quatre à quatre , dans le cinquième terme , fix à fix , dans le feptième terme, 6i:c. Régie générale pour les JîgKcs dans les dijfércns termes des Equations. 1°. Si toutes les racines de l'équation font négatives , tous les termes de l'équation ont néccfTairemcnt le li- gne -H, car alors les racines font, .v -+- a =^= o, ou ,Y H— h^= o, &c. Ainfitous les produits qui en font for- mez ont néceflaircment le figne —h. z". Si toutes les racines font pofitives , comme ,v a = o, alors tous les termes ont alternativement les fi- gnes H- &' , car le premier terme a toujours le figne -+- par hyporhèfe , le fécond terme a le figne puifqu'il contient la fomme des racines pofitives qui ont toutes le figne dans l'équation fimple, comme x^~a 3 . Dans tous les autres termes de l'équation, lorfque toutes les racines font pofitives , alors tous les termes pairj Livre premier. zit coîiimc le quatrième, le (ixiéme, &c. ont le figne , piiifqu'ils ont pour multiplicateur ou coefficient la fomme des produits des racines en nombre impair , qui ont le fignc . Mais au contraire tous les termes pairs ont le fignc — {- , puifqu'ils ont pour multiplicateurs les produits des valeurs des racines nuiltiplices en nombre pair, puifque — x — donne -+-. D'où il fuit que lorfque toutes les racines font pofiti- ves , alors tous les termes de l'équation ont alternative- ment les fignes H- &c . 4°. Il fuit de là que lorfqu'ily a des -f- & des dans une équation , & qu'il fe trouve tantôt deux fois le fignc — f- , tantôt deux fois le figne , c'eft une marque qu'il y a des racines poficives & des racines négatives. 5:°. Comme le dernier terme eft le produit de toutes les racines , lorfque le nombre des racines pofitivcs eft pair, le dernier terme aie figne — i- ; mais fi le nombre des racines pofitivcs efl: impair , le dernier terme a le figne ; d'où il fuit que fi le dernier terme d'une équa- tion a le figne — ,ila nécefiTairemcnt des racines pofitives réelles; caries racines imaginaires qui ont des fignes con- traires fe détruifcnt & donnent le fignc -h- au produit réel qu'elles rctablifTent par leur multiplication. u,j zii Analyse générale, SECTION TROISIEME. La réfolucion des Equations en général Ôc en particulier. Lit réfolution des Equations f lires cr /impies de tous les degrez, ^ avec la formation O" l't réfolution des Equa^ fions du fécond degré. LA réfolution d'une équation d'un degré quelconque confifte en général à trouver les racines dont elle contient le produit , &: ces racines (bnc les équations fîm- ples du premier degré par la multiplication dcfquclles l'é- quation cfl: formée, voilà fes élémens. Ainfi , chercher les racines d'une équation , c'eft la réduire aux équations fimples du premier degré qui font fes racines réelles ,- de forte qu'on dit qu'une équation eft irréductible lorfqu'on ne peut la réduire à des équations du premier degré dans lefquelles la valeur de l'inconnue loit réelle , mais imagi- naire, ou mixte imaginaire. Or une équation contient autant de racines qu'il y a d'unitez dans l'expofant de fon degré , qui eft égal à l'ex- pofant de l'inconnue du premier terme qui eft toujours fa plus haute puiflance dans l'équation. Ainfi il faut trouver pour chaque équation autant d'équations fim- ples, ou du premier degré, que la haute puiftance de l'inconnue contient d'unitez. Il faut que leurs valeurs foient réelles , puifque l'inconnue dans une équation a autant de valeurs que l'expofant de fa haute puiflance contient d'unitez ; & que les valeurs imaginaires mar- quent de rimpoflibilité dans le Problême qui a donné l'Equation. Livre premier, , ai 3 REGLE GENERALE. Pour la réfolution des Equations de tous les degrez, à l'infini. Soit en général l'équacion d'un degré quelconque. p P — ' P.— ^ P .V ■±_ ax -^^ h" X . . &c. = z. J'ajoute de part & d'autre la grandeur m élevée à la P même puiflance que l'inconnue c'eft m Alors je confi- dérc le premier membre de l'équation , comme la puifTan- ce du binôme x -^ m ^ du même degré que l'cquarion ^ elle fcroir parfaite fi tous les multiplicateurs a b. &c. des termes moïcns étoient les puilTanccs inférieures de m. P p— I -p — 1 p P P j'ai .V ^ rf.v ~^l>" X ..5cc.~i-fn zz=.m — f— ~ Enfuice je tire la racine de chaque membre &: du même degré que 1 équation exprimée par cette formule; P \x - P / p 11 — I p — 1 P _ P/ y z -^ax ±_h" X ..^c.^m ~y abrégeant cette expre(rion& fubftituant des nombres en la place des lettres, je trouve en nombres entiers la première racine, qui me fert à divifer l'équation propofée; & le quotient cft une féconde équation ahailTée d'un degré fur laquelle j'opère de même, & je continue jufqu'à ce que j'aye réduit le tout à une équation du premier degré : par ce moïen je trouve de fuite toutes les équations ou ra- cines dont l'équation propofée eflle produit, ce quis'c- claircira dans la fuite par des exemples. u tij 2,14 Analyse générale, ta réfoution des Equations pures ç/m~5 == o X H- I .V .v\/ — 5 -4- I .V -t- I I V^I^ .V V' 5 -f- I \/ , -H J = o. .v' -{- 1 X -t- I H- 3 ( - H4) — ;0 oux'^ -H z A- -4- 4 0 X X 1 o x' -f- i.v^ -f- 4x ZX' 4.V 8: o ;t» -H 0 .v' -+- o X 8 = = 0 ou.v' 8 == 0 Formation Livre premier. tij Formation de x' -t- 8 :;= o. X- I V_, = o X .V- I -H V ; o x' I X X */ j I .V -H I -4- I V_5 -+- -VV 5 I V 5 -t- 5 o x' iX -i- 4 ==: o X X -f- 2 o x' i x' -4- 4 X -+- i X* 4 X -4- 8 — - a x' o x'' o X -4- s ■ o ou .V ' -4-8 o De même dans x' -+- 8 ' o , la racine réelle eft né- gative, c'cft X -f- 1 o , les deux autres racines font mixtes imaginaires , pofitives dans la partie réelle, mais l'une pofitive dans la partie imaginaire, l'autre négative, ce qui fait que l'imaginaire fe détruit par des fignes contraires , & ne paroit point dans l'équation, dans la- quelle l'homogène 8 eft le produit de la racine;!, par 4 = I-+- j qui eft le produit i de i x i réel , & 3 pro- duit réel de l'imaginaire -{- V^ x ^^' Analyfe. ziS Analyse générale, Fûrnuition des Iquations du feco/id degré par toutes les cfpcces des r^icines dijféretites. Chaque équation du fécond degré cft formée par la multiplication de deux équations du premier degré. Formation par deux racines égales & pojtti'ves , réelles & rationelles. X X X 4 4 o o 4.V 4A- i6 :.v i6 Formation par deux Racines égales (jr négatives , réel- les ^ rationelles. X X X 4 = 4 o : O 4x 4.V l6 - .V l6 Par deux Racines inégales pojitives. X 4 o X X 3 o ■ x' 4.V - 3 .V -1- 12 0 7^ I i Par deu V Racines in égale 3 négatives. X -+- 4=o X X H- 3 ° .v' -+- 4.V -4- 3 A- -f- I i o x' -1- 7 .V -+-■ I z ■ o Livre premier. 219 Par deux Racines égales l'une pojîtive , l'autre négative. X X X 6 6 '- ■■ o o l .V " (, X -+- 6 X 3 6 = o A' ' ^ O .V 5 6 = o '^^•" / ftne fojltive , l\ uitre négative. X 6 0 X .V -+- 7 ^0 .V' -6x -+- -J X 4i 0 .v' -+- I X 4^ 0 Formation par deux Racines irrationelles. Irrationellei égales pojitives. X X .V = 0 =: 0 .V' X VT xVT -+- X .v' 1 X V- T -+- t — c Irrationelles égales , l'une pojîtive, l autre négative. X v'T = o X X -H VT = o a:' X V 2. -f- .V VT i = o .V o .V - Ces deux racines nefe ren- contrent Jamais dans une é- qtiation préparée ô- réduite à fa forme la plus fniple : ni les' racines irrationelles in- égales. xtj ZÎ.0 Analyse générale, Formation des Equations du fécond degré far deux racines imaginaires du premier degré cf toujours égales , c^ contraires. X -t- 4 = o X -i- 4.V 4.V- -+- 16 = x'' -^ o .V H— ï6 = o. Mixtes imaginaires. \ X 4-1- 3 0 X .V 4 3 . 0 a" 4.V -i- 3 A' 4.V -f- 16 II 3^ -^ ■ — Il A-' 8x ( -+- 1 6 H- 9 ) H- 2- î = o i'^y fl'f «.V racines imaginaires du fécond degré. X -H 4 H— v/^3^ = o X AT — f- 4 V^^ = O x' -H 4-v -f- X v-T; -j- 4.V -}- 16 -h- 4 V^ a: v~ 4 V~ -f- 3 = o X* -t- 8a: (-f- 16 -H 3) -4- 19 = o Méthode NOUVELLE m Remarque, La multiplication des imaginaires n'eft point difficile, les imaginaires ont deux fignes qui les précé- dent , le fécond cfl: toujours négatif, il eft invariable dans le calcul , foit qu'il y ait un radical comme dans les imaginaires du fécond degré ^ v^^IT^ , ou qu'il n'y ait point de (igné radical comme dans les imaginaires du pre- mier degré. -\ 3 , &: 5. Une grandeur réelle multipliée par une grandeur ima- ginaire donne toujours un produit imaginaire, c'cft une contagion qui ic contraélemêmc p.n l'addition & par la fouftrad ion ; or comm.c les racines n aginaires font tou- jours deux à deux & avec des figne.s contraires dans une équation , dans laquelle ces imaginaires ne paroiflcnc point, il fuit dc-laqu'ils fe font détruits, ainfi ils donnent des produits mixtes imaginaires , qui fe détruifent aufli par des fignes contraires, & il ne refte dans l'équation que le produit des grandeurs réelles par les grandeurs réelles, car le produit des imaginaires par les imaginaires con- traires, rétablit la grandeur réelle par la multiplication qui efl: toujours pofitive, ainfi — (— 4 x 4 = -f- iiî , &: de même -t- \/~ x ^ V~ donne — {- 3 au produit. Mais lorfque les imaginaires oncle même premier figne, leur produit donne une grandeur négative, ainfi H 3 X -i 3 , donne 5. de même y/ — j x — vC^: La réfolution des Equations du fécond degré. Nous venons de donner la réfolution des équations pures & fimples de tous les degré à l'infini -, il refte à donner la réfolution des équations affedées de termes moïens , ce font celles qui ont plus de deux termes; or les équations affedécs des termes moiens ont, ou tous leurs termes comme les puilïanccs ,c'eft-à-dirc, au- X iij 211 Analyse générale, ant de termes que rexpofant de leur degré contient d'u- nitcz,&: un terme encore de plus, ou bien il y manque quelque terme, ce qui eft facile à connoitrc, puifque les puiffances de l'inconnue diftingue feule les termes &: non pas le nombre des grandeurs , puifque nous avons vu que toutes les grandeurs qui font multipliées par la même puifTince de l'inconnue, ne font toutes cnlemble qu'un fcul & unique terme ; donc (i la fuite des puiflances eft interrompue , ou qu'il s y en trouve quelqu'une multi- pliée par zéro , c'cfl: une marque que ce terme eft éva- noiii Se manque dans l'équation. En général, toute équation du fecoud degré s'exprime par cette formule x "jz, a x = -j;^ l". a èc b font des nombres ou des grandeurs connues. L'cxpofant //"en chifre romain eft pour confervcr la Loi des homogènes , qui veut que dans une équation tous les termes aient le même nombre de dimcnlions , ici h eft un nombre quelconque. L'inconnue a,' eft élevée à la t.^"^. puifl'ancc, parconfé- quent elle adeux valeurs ou deux racines exprimées par cette formule 2;énérile .v Ces formules font des régies abrégées qui prefcrivenc ce qu'il faut faire pour trouver les racines des équations ; mais comme la formule générale pour les racines cm- barraffc fort les commcnçans , pour leur en faciliter l'in- telligence , j'entrerai dans le détail de tous les cas pof- liblcs en fuppofmt tous les termes réels , il y a fix cas qui donnent fix formules , qu'il faut éclaircir par des exem- ples ; fçavoir, les deux formules des équations pures & fimples, la première formule .v* b = o , dont les deux racines réelles , l'une pofitive&; l'autre négative , fontAT J^Tv^T ;o, la féconde formule eft .v, -1- b=Oy dont les deux racines font imaginaires x^I v'-ir7==o. 3=. x'- -h- IX l> 4"-".-v' j=. X - -+- a X b ^=..v^ Livre premier. zij Il rcfte donc quatre formules des fix formules ordinaires} fçavoir , la troifiémc, la quacricrac,la cinquième & la ii- xiéme qu'il faut expliquer, & ce font les feuls cas des équa- tions du fécond degic affe61:écs de termes moïens. a X =^ b La réfolutïon des Equations affe£lées du fécond degré. Dans la troifiéme formule -v* -\- a x- — b" voilà pour Icquation : mais la formule pour les racines eft x = î ^ ± \^^ aa-i- b". Dans cette formule routes les équations ont deux racines réelles & inégaies la plus petite pofitive , la plus grande, négative. Exemple , en nombres. Soie l'équation .v' — f- iox=^ 144. pour ciouvcr les racines, fuivant ce qui eft prefcrit par la formule des racines qui eft une régie abrégée, j'ajoute de part& d'autre ^^^ : : ^100 j'ai donc A- ^ —H 10 x -+- \ i 00 =: ^ 100. -4- 144. dont il faut trouver les racines. 1 ''. Je prends la moitié du multiplicateur i o := a , c'eft y = i il , que je garde à part , ce fera la première par- tie de la valeur de la racine. 2.°. Pour avoir le refte de fa valeur , je quarre cette moitié, c'eft i aa ,o\i'- 100 , ou i^^ = ij , ou ftmple- ment je quarre j , & j'ai 2^. 3°. A ce quatre l'ajoute l'homogène qui eft le dernier terme fans changer fon figne , c'eft ^ ./ Formule, a,-' <î .v =/■". en lettres. La même x'- 7 .v == //'. en chiffres. série fnie. -^'^ — 7-v= 0. Racv 0 = 0, XX 7=0, Minimum. X — 7 .V =: (J. RaC.V I 0,X.V 6 0. a:'— 7.v^=io,Rac. A- 2.=:^o,xa.- jr=o. Maximum. A'' — J x =^ 12, RaC. X 3 0,XA; 4 = 0. Maximum. A"^ — 7 X == 12. RaC. .V 4 rp^x A^ i q j<' —j X .= 10. Rac.AT y=o,XAr 2=ro. x'-~jx^= 6. Rac.A: é = o,XAr 1=0- at' — 7x^=:= o. Rac.AT 7==o,xa- 0 = 0. 2.30 Analyse générale, Point de part.i^e dr origine de la férié ihjlnie. A.' 7 .V = 8. Rac. X S = o, X -v -+- 1 = 0. .V* 7 a; == 18. Rac. .V 9 == o, X .V -4- X = o. x"^ . 7 X = 30. Rac. .V 10:1= OjX.v -{- 3 ^=0. A-' 7 a: =:=: 44. Rac. AT I I = o, X X -\- 4 == O. A''' 7 a: = 60. Rac. ,v 1 2 = o, x a; -+- 5 == o .V* jx= 78. Rac. X 13 == o,xa; -H 6 = 0. ,v' j x= 98. Rac. X i4 = o,xa: -f- 7=^0. .v^ 7 X — — : 110. Rac. A' 1 5- = 0, x.v — {- 8 = o. .v' 7 A- = 1 44. Rac. X 1 6 = o, X A- -t- 5? = o. &CC. &CC. &c. à linfiiii. série des Equ.ttions de lu qn.itriétne formule fur les valeurs de 3^0" de y. , variables mais égales. acincs. 0. a"' 0 A 0. r. x' I -V ■ 0. z. x' z A ^= 0, 3- x' 3 A = 0. 4- A-' 4 .V 0. y- A" 5 X = 0. 6. .V^ 6 .V == 0. 7- x' 7 X 0. 8. x' 8 A 0. P- x' S» A' 0. Livre premier, 23 i Série pour .v confl:anc=^ 4 & a variable. A-' o .v= o. Racines, .v 4 = 0 x x -+- 0 = 0. X^ I -V = -t- II. . . .V 4 =: o X X H— 3 ; ■ o. A' ^ Z :< ;= -f- 8 . . . -v 4 =: o X X -f- 2, ; O. A'^ 3 a; =^= —h- 4 ... .V 4 = o x .v ~\- i =0. a:' 4.v = o . . . -V 4== ox.v -f-o = o, X^ d.V= 8 . . . .V 4=;OX.V Z :0. .v' 5).v.^= 10 . . ..V 4=OX.V J :0. -v^ 10. v = 14 . . . .V 4 = 0 x.v 6 o. ÔJC. à l'infini homogènes &c. à l'infini. négatifs. Rêfolution de la cinquième formule x^ —H n x h". C^ de U fixiéme formule x'' a x b" . Dans ces deux formules il y a deux racines qui font, ou routes deux réelles , ou toutes les deux imaginaires; de forte que celles qui font toutes les deux poiitivcsdans la cinquième formule font toutes les deux négatives dans la é-. formule,fuivant les différens cas qu'il faut dévelopcr, I.n formule de ces deux racines cft .v = ^ î ^ ±. d il 4 V Or comme fuivant cette formule, il faut prendre la fomme ou la différence du binôme \ aa b". qui eft lous le fignc radical, &: en tirer la racine, cette fo m- i3i Analyse générale, me devient négative ,lorfquc^ a a eft moindre que l'ho- mogène h" , qui réprcfcntc en général roue nombre en- tier qui peut être Thomogéne ou le dernier terme de l'c- quation ; or lorfque cette fomme ou cette différence eft négative , c'eft une féconde puiflancc négative dont il faut tirer la racine quarrée , or il eft impoflible qu'une féconde puiffimcc , &c même que toute puiffunce paire h", en général foit procédée du figne , puifque ■ b X b donne -+- b" , de même que H— b x h- ^ donne -t- h", donc cette grandeur eft une grandeur im- poflible, & fa racine eft imaginaire & impoflible. llfuf- fit pour cela que \ a foit moindre que ^", car ^ ^^ eft moindre que \ a , puifque le quarré d'une fraction eft moindre que la fradion &: décroît en raifon des puif- fmces , c'cft ce qui m'engage à confidércr les différens rapports qui peuvent ie rencontrer entre '- na &c b". Premier cas, lorfque ^ 4^ == b". ou lorfque 74 = V^/7^ alors les deux racines font égales , dans la cinquième for- mule X -+- n X =^=^ b" , foit l'équation x^ — |— i o.v y— z5 fes deux racines font négatives , c'eft .v — f- j := o. car fuivant la formule c'eft x ^ ^ -+- JX- aa b", ou .V = ^ ± f/^' 4 ^T ou x== J lil ^ 1$ — 15 , qui donne x j -4^ l/~ &cpa.ï tranfpofition x -\- 5 :^= o , & .v -h- j == o qui font les deux racines négatives défirées. Dans la fixiéme formule x^ ax b'\ foie l'équation .v' lo.v = ij , j ai la formule b". qui donne x ■ y. aa- 100 , , ij, OU.V = y.+ K z, 15 ,ou.v=^ç 4 ■* o. & par tranfpofition .v j = o , &c x y — n qui font les deux racines pofitives dans ce cas pour la fixiéme Livre premier, 153 rixléme formule ; la formation de l'équation en donnera la preuve. Le fécond cas, cftlorfquC;^ ^ .? furpafle ^", ou lorf. que i a furpaffe J^^ alors la fomme ou le rcflc du binô- me \ =: 0 X X -+- 9 -f- VT 0 x' 4.V — x vT -t- 9X 36 9 V' -+- X V~ — 4 v/7 4 V" 1 I = G, a' -f- ^x 37 13 V i = o. Voici la férié de treize équations arithmétiquement fcm- blables dont les racines font irrationeileSjC'eft-à-direplus grande que -|- 4 & 5» , mais plus petites que -f- 5: &; — 10 qui font les racines rarionclles des équations A &; B qui font au commencement &: à la fin de cette Série. Donc la petite racine eft entre 4& j , la grande en- trep & 10, /// ti% Méthode nouveile, &c. .î/r/V de treiz^e équations femlUhlcs. A. . .A' "H" J AT 3 6 S.acincs x 4 — 0 ic X "J- 9 = • I. ,..v-*-J-5.v 37 z. . . A'* -f- y AT 38 3- ...v'-{- 5.V 39 4- . . X* -l- î .V 40 y- .,x* H- JA.- 41 6. . . x' -{- J X 4i 7- ..x"-+-yx 43 8. . • X* •+• y AT 44 S). .. X -4- yx 4y lO. . .x' -+- y X 46 II. . . X' -f- y .V 47 II. ...v' H- 5.v.= 48 ï3- • . x' -i- y X 49 B. . . at' —h y A': yo Rncines x — j = 0, & *-f-lo 0 Comme il n'y a aucun nombre entre 4&: y , ni cnrre 5 &: 10 qui fe fuivent immédiatement & qui ne différent que de lunitc; donc les racines approchées à l'unité près de ces treize équations font irrationelles -+- 4-i- , ou —H y , & 9 — f- , ou ■ 10 , c'eft- à-dire, que -+- 4 & 9 font approchées par défaut étant trop petites, mais -f- y & lo font par excès étant trop grandes. Pour en approcher à l'infini , il faut employer la nou- velle Méthode d'approximation qui fuit dans le fécond Livre. Livre premier. 139 SECTION QJTATRIE'ME. La, formation t^ U réfolution des Equations du, truijteme degré. LEs Equations du troifiéme degré font formées par 'a multiplication de trois équations fimplcs du pre- mier degré ou pour abréger par une équation quelconque du fécond degré multipliée par une équation fimple du premier degré. Formation par trois racines. X z = 0 X X 3 = o x^ 2 X X' 5 AT -h- 6 X X -4- 5 := O x' 5 x' H- 6 X — f- y .V " 2 y X — f- 5 O = O x' ~^ ex* 19 X —H 30 = o. ou x' H^ o-^' ï9-\' = 5O' 140 Analyse générale, Form.ition par une Equation du fécond degré & "^e di* penuLT degré. .V' 5^-^-6 0 X .V -+- 4 0 a' y.v' -\- Gx -H 4 .v^ 1 0 .V — f- 14 = 0 x' I X I 4 .V -t- 24 0 ou at' I .V- I 4.V 24 Le dernier terme qui cfl; l'iiomogénc de comparaifon contient le produit des trois racines, il s'agit de les trou- ver, elles peuvent-être réelles ou imaginaires , rationel- les ou irrationellcs, &:c. La formule générale de toutes les équations poflibles du troifiéme degré eft^.v' it ax'' -^a^ x = b'" . dans laquelle h'" eft l'homogène de comparaifon , c'eft un nom- bre quelconque qui a trois dimcntions par la multiplica- tion des trois racines. Les multiplicateurs "\ fe changera en celle-ci m' a m -4 — -—- == a m Hf \- h'", ce qui donne par tranfpofi- tion & par fouftradion m^ -—7 ==^'". ' 17 OT ' î°. Je multiplie ces deux membres par z^/' , ce qui donne w* ij «' ; — = b'" m'' ,& par tranfpofuion m^ 6°. J'ajoute i h^\ de chaque côté , ce qui donne r/-/ h'" m^ -+- i h-". = 3 ^". H- rV 'î' , dont la ra- cine quarrèc eft w' { h'" = "^Z '- ^vi _^ j. ^s & par tranfpofition w' =ï ^"' -t- l/^i ^^' -t- 77./' 4 Analyfe. a a 2.4^ Analyse générale, dont la racine cubique eftw = j/ ^ //"-+- ^^Z-- -h ^4' Voilà la première partie de la racine qui cft trop grande, puifqiie )'ai m & non pas x , &c par la première liypo- fc.v^=w — ,il faut donc en retrancher 3'" . . '"* qui eft la féconde partie de la racine en continiianc comme il fuit. j\ Je (ubftituë cette première partie trouvée de la racine dans l'équation fimplc de la première hypotéfe , ,v=w la fubftitucion donne 37» : = j/ 1 ^'"^^i^è^-^^u' — i]/ lh"'^V\ V\o^^-\-^^a\ Cette formule ne demande qu'une feule extradion d'une racine cubique , &: d'une racine quarrée. 8°. Mais fi je veux avoir la formule ordinaire de Tar- talèa rapportée par Cardan , il faut multiplier le numé- rateur èc le dénominateur de cette fraftion par ,/- r- y .^l b'" -h- V î ^'" -t- T7 '«' j qui donnera la formule entière qui fuit pour la première racine oij)'ai fupprimèles cxpofans italiques de b pour abréger, mais cette formule demande deux extradions de raciiics cubiques , & deux de racines quarrées. Livre premier. 14J II. Soie A-' .= * H- a" X -f- h"\ Pour trouver ta formule de fa frcmiére ratine. î°. Je fuppofc .V ==;«_{_ — fon cube cil .v' =rn a m -\ -jf- _! 3 'w 17 m* • i". Je multiplie tout par a dans la première hypo- thefe X == m -\ ^ ce qui donne a x == a m -i- — 3'» * 3 îw 3°. Je fubftituë cette valeur dans le fécond membre de l'équation propofée , ce qui donne ax-^ h'" = a m 3OT 4". Je fubftituë ces deux valeurs dans les deux membres de 1 équation propofée , x' = -H a!' x -+- ê/'" , ce qui donne m' -+- am -+- b- — — -=^=am -+- — -\-b"'. } m 17 »j' i m qui donne en abrégeant par tranfpofition &parfouftrac- tion m^ -i ■"— ^=^"', j°. Je multiplie ces deux membres par m'' , ce qui donne m^ -+- ~j a'' — - b'" m^ ,&: par tranfpofition , ru* ^i>"'m' = ~^a\ 6°. J'ajoute de chaque côté \ h"' , ce qui donne »2* . — b'" w' -+- ^ ^^" =:^ é"— îî 'î' dont la racine quar» rée eft m^ — i b"' ,= 1/ i ^vi -L ^s^g^ par tranfpo- ' 4 fition m^ .= -i- r i'" -4- [/ il"' -"iy 4=,dont la racine " 4 cubique eft m=Y j ^"' _^ C'^^" — ■ ïfZ^ , c'eft la ï"^^. partie de la racine qui eft trop petite, carparl'hy- pothcfe A'furpaffew, de H — — -, pour trouver cette aa jj i44 Analyse générale, partie qu'il faut ajouter , je continue 7°. Je Tubdituc cette valeur trouvée de m dans la pre- mière Iiypothéfe a: ■ fn H , la fubftitution donne ' ' 5 ;« -3^/ L^"'-i-\/ifc" cette formule n'a befoin que de l'cxtrjftion d'une racine cubique & d'une racine quarrée pour trouver la pre- mière racine défirce. 8°. Pour réduire cette exprcffion à celle de Tartaléa, je multiplie le numérateur &: le dénominateur de cette fradion trouvée par J/ i ^/// _ ^^ ^v- _ _u7 ^ le pro- duit donne la formule entière qui fuit. où. j'ai fupprimé les expofans italiques de b pour abré- ger i mais il faut dans cette formule deux extractions de racines cubiques & deux extradions de racines quar- rées; lorfque ^ /.^' eft moindre que 77 a^ , la racine quoi- que réelle vient fous une forme imaginaire d'où il eft impoflîble de la tirer. C'ç/? /e cas irrédnclikle. III. Soit .v' = * -{- a"x h'". Tour trouver la formule de fa première racine. 1°. Je change les fignes de la propofée dans le pre- mier & le dernier terme , ce qui donne — -v' = —H- ax .•H- y" , enfuite je fuppofe — x m -f , fon cube eft >^ x^ c=w' --\- am -{- j --r- , ou bien .v' = — m^ — a m Livre premier. 24 j z". Je multiplie tout par a dans l'hypothéfe de x a . j a'- — m — 1 , ce qui donne a x == — am —i— j m '■ 3 w 3". Je fubfticuë cette valeur dans le fécond membre de la première équation, j'ai ax — ^"' = — am-+- — - -f- 1/'" 8c fubditilanc la première valeur à la place de — ,v , 1 ai m a m ■ — r== '^w } m i.7 m' — ^ -i-r. - . ■'. :'. - ;: 4". Donc abrégeant par tranfpofition bc par fouflrac- tion, l'ai m^ -\ r == b'". . i.-.b c.;j;n 17 m ' ^^. Je multiplie tout par m^ , ce qui donne ^ 4' = h'" m\ &c par tranfpofition -.r' 6^. J'ajoute i /"dans chaque membre, ce qui donne /»' ^"'»-/ -t- i <^'" = 5 b'" r- •'' donc la rat. quarrée eft w' 1 ^'" = 1/ , ^v. j_ ,j! ^ g^ par tranfpofi- 4 tion »«' == i h'" -f- 1/ _i ^v. j_ ^1 ^ dont la racine '^ 4 cubique eft w = J/ 1 /,"' _f_ y'i^v, ^~^ ^ c'eft la première partie de la racine qui eft trop petite , car x furpaffe m , puifque par la première hypothéfe ■ -v : — =:m H , je continue pour trouver la partie qu'il faut ajouter à cette racine. 7°. Je fubftituë cette valeur de m dans la première hy- pothéfe X == m -i , ce qui donne «4 ilj Z4^ Analyse générale, -v = ]/ 1 L'" -4- V \b^' -V '*' l/i^'" V 5 ^'" 17 4' , qui ne de- mande qu'une extradion de racine cubique & une ex- tradion de racine quarrée. 8^. Mais pour réduire cerre expreflion à la formule ordi- naire de la première racine du troifiémc degré, il faut multiplier comme ci-defTus le numérateur & le dénomina- teur de cette fradion trouvée , le produit donnera la for- t'/ . mule de Tartaléa , x = [/ i^_^»/i.^^ l^jî l/: Ib V{h ^.z' , qui demande l'extrac- tion de deux racines quarrécs qui font impofTibles , &; viennent (eus une forme imaginaire , lorfque \ b''^ eft moindre que -^ a^ , quoique la racine foit réelle , ce qui fait le caj irréductible. IV. Soit .v' = * a"x b"'. Pour trouver la Formule de fa première racine. 1°. Je change les fignesdu premier & du dernier terme, ce qui donne x' == a"x -f- h'". Se je fuppofe . — - .V = m ~ fon cube eft — x^ == m' — a m ' }m '~ 17»»' i". Je multiplie tout par a dans la première hypothcfe , ce qui donne -f- ax == a m 3°. Subftituant ces deux valeurs dans l'équation pro- Livre premier. 147 pofce x' = a"x , j'ay w' ^w -H -^ "—^ • — : am — - H h'", qui donnecn abrégeant par tranf- poilcion & fouftradion w' = ^'", 4^. Je multiplie ces deux membres par w?' ; ce qui donner// — -^—rt=.b"'m^ic partranfoofition?//' — t-'" ,5 5-°. J'ajoute de chaque côté ^ 17\ ce qui donne ^/ _ ^"V.'. -t- i r = î r' H- ïV 4S dont la racine ■,'/ ^^ quarré eR. m^ —.{^'" = 1/ j_ <; -4- j_,i' quidon- 4 17 ncpartranfpofition»?'== [ ^'"-H T/ J_ ^ -+- _L 4' (■»' . 1 dont la racine cubique eft m = 1/ y ^"'-^- ^- c'eft la première partie de la racine qui cft trop grande car m furpaiïe .v, puifque par l'hypochéfe — x ■■ m —. Je continue pour trouver la partie qu'il faut re- trancher de la racine. 6°. Je fubftituë cette valeur de m trouvée dans l'hy- pothéfe X = m — , la fubftitution donne ?/n — ^ = j/i y ^i i^" -t-r?^' que de l'extraûion d'une racine cubique & d'une racine quartoe. 248 Analyse générale, 7°. Pour réduire cette cxpreflion à la formule ordinai- re, il faut multiplier le numcraceur &: le dénominateur de cette fraction par le même multiplicateur r H- \/'~~7^< 1 — i ^^ produit donnera l/' 4 la formule ordinaire pour la première racine x -. — = qui demande l'extraftion de deux racines cubiques &: de deux racines quarrécs. Nombre des Formules du troifiâne degré. Toutes les équations poflibles du troificme degré con- tiennent dix-huit cas qui donnent les dix-huit formules fuivantcs. '' -t- b"'v=Oi 0' JîmfUs. ^' • ' " ^^Les deux Tormuîes dei Equetions pures 2,. . x' ^X f-'" "Vue racine réelle pojttive, é" deux négatives égales à l» fomme dt , ,„, l" P'fit've. A, . X IX — — Û Toute entière dans le ca< irréduHI- hle. Ç. . X — — — ^X ^^=^ — 1 — b "Vne ratine négative égale à la 6. . at' -f- ax = b' femme des deux négttives. S., .v' ' ax "*" o.Y • b'" fermule toute entière dans ' /* cas irrédutihle> 9. . x' -4- ax"- ■±_ ox = b'" 10. . .V -+- ax'- + o.v = b'" XI. ... ïr. . . .v' iz.. , .v' 13... A'' 14... .v' ly... .V 16. . . x' 17... x' 18... X Livre premier. ax"- 4\v = ^"'. -ta' a\x= ù'". ax' -+- a'x = h'". ax'- -H a\x:= L'". .IX' a\x=i"'. ax' a\x^= i"\ ax' -f- ^\v = ^"'. h"'. H? ax a' X De ces dix-huit formules il en faut retrancher d'abord quatre formules qui font purement négatives & qui ne peuvent être jamais d'aucun ufigc y compris la première qui eft une équation pure &c fimple, mais négative. Je retranche encore la féconde équation pure & fim- ple .v' = i'" . Sa réfolution eft expliquée dans la Scdion troifiéme. Il ne refte donc que treize formules, qu'on peut réduire à cette feule &: unique formule -+• .v' H- ax^ a X ReduSlion des dix-huit Formules du troifiéme degré à trois Jiules Formules. Après avoir réduit les dix-huit formules des équations du troificme degré à treize, on pourroit abfolument les réduire à une feule, dans laquelle on pourroit fuivant les cas fuppofer quelques termes nuls , lorfqu'ils font éva- nouis dans quelques équations propofécs, avec les diffé- rentes combinaifons des fignes, tant dans la formule gé- nérale des équations , que dans la formule générale des racines. Mais comme cela n'empêche pas la multiplicité des cas,& que cela eft incommode pour les commençans, Analjjè. hb 2JO Analyse générale, d'ailleurs qu'il y a des équations & mcme des formules entières qui tombent dans le cas irrédii£l:ible,dont on ne peut trouver les racines imaginaires, foit rationellcs foie irrationclles par la formule de Tartalcaij'ai jugé à propos de réduire les dix-huit formules aux trois luivantcs qui comprennent toutes les dlfficultez des équations du troi- fiémedcgré,&; aufquelles on pourra ramener les équations des autres formules de la manière dont nous l'expliquerons dans la fuite par l'cvanouifTement de quelque terme. I *■'. Form .v' -f- rf.v ::^= l'". c'eft la j«. des anciennes. i^c, Form. . . . .v' ax = b'". c'ell la j^. des anciennes. 3^. Form. . .. .v' ax=^ ^'". c'eft la 4^ des ancien. Le fécond terme manque dans ces trois formules , c'eft la féconde puiffance .V* que jefuppofeégaleà zéro : ainli les équations dans ces trois formules ont , ou deux raci- nes pofitives dont la fomme eft égale à la troifiéme racine qui eft négative , ou il y a une racine pofuive qui eft égale à la fomme des deux autres qui font négatives. Dans la première formule le nombre des équations poffibles eft infini , il n'y a qu'une feule féric infinie, & il n'y a qu'une feule racine réelle &: pofitive , qui cfc égale à la fomme des deux autres qui font négatives &: mixtes imaginaires ; dans la féconde &; rroifiémc formule il y a deux fériés, une finie l'autre infinie. Dans la féconde formule le nombre des équations pof- fibles eft égal au quatre moins un de la plus grande racine déterminée. Si .v ==. i o , il y a 99 équations , le centième homogène eft zéro & après commence la férié infinie des équations de la troifiéme formule , entre IcIqucUes il y en a un quart qui tombe dans lecas irrèduiSliblc, &: le rcftc tombe dans le cas ordinaire qui eft réJucVible. Il n'y a qu'une feule racine réelle Se potitivc , c'cft la Livre premier, zj-i grande ,• les deux autres font négatives & imaginaires dans le cas ordinaire qui comprend les trois quarts des équations pcffibles. Mais dans le cas incdudible les trois racines font réelles, la grande eft pofitive & les deux autres font né» gativcs & irrationclles. Dans la troifiéme formule qui tombe toute entière dans le cas irrédudiblc , il n'y a qu'une feule férié infi- nie , le nombre des équations poflibles cft infini. Les équations poflTiblcs fur la même valeur déterminée de X de la féconde Se de la troifiéme formule,forment une fuite d'équations compofces de deux fériés , l'une finie dans la féconde formule qui commence au zéro , & conti- nue par l'équation pure & fimple d'oià elle retombe en- core au zéro , qui cfl: le point de partage de la féconde 8c de la troifiéme formule,d'où partent les homogènes pofi- tifs d'un côté pour la féconde formule en montant , & les homogènes négatifs d'un autre côté en defcendant pour la troifiéme formule dont les homogènes négatifs s'é- tendent à l'infini , & donnent la féconde férié qui efl: in- finie. Dans cette troifiéme formule, il y a deux racines po- Crives & une racine négative qui eft égale à la fomme des deux pofitives , c'eft pourquoi la féconde & la troifiéme formule font des équations foû-contraires. ùl^ ij iji AnaLTSE GENERALE, Série des Equations de la féconde & de la troifiéme formule fur U v.ilciir de x =^= lo, ,v' ■ as = y Formule féconde. i Equation pure &:fimple du 3™^ .V oAr= 10. oo. , ' , r ' ^ degré. -v i.v=^= 990. Originedu i'"'. cas rédu£tible, .v' 2.v= j, 8 o. o" r^^ '*' = 4 ^'"- la racine eft X^ 3,V;^=: 5)70. &C. &C. &C. .v=»/T7-=^^'n x' 3o.v=^ 700, Première époque où 30.V eft , . triple de la racine 10. A.* 5ix== 690, ' , La racine cft x =^= V i j. a' 51.V = (5 8 o. &c. &:c. &c. ^ï^TTi .4 Fin du cas réduiflible. A-' 7J.V = z 5 o. Seconde époque où 75 .v= 1 j ^ de 100 quarré de 60. &: lî 'V 7C.v= 240. ,A„^,Ti, •■ 1 • • i^. c clt 1 origine du cas ir- -'^'' 77'^ = 2, 5 o. rédudiblc qui continue en def- &c. &c. &€. tendant. .v' 80.V = 200. Troiûcme époque , X* 8i.v= 190. a' SlA-«= 180. iCC. &CC. &c. Livre premier. ijj 5)i.v == 90. 5)2,.V = 80. - 93.V = 70. 5)4.v == 60. 5)j.v = jo. , p6x = 40. 517.^ = 30. 5)8.v == 20. ^5>.v = 10. X . roo.v . — . o. Equation pure & fimple du fécond degré. Et point de partage entre les homogènes pofitifs &: néga- tifs de la féconde &c de la troisième formule. Suite de la férié des équations de la féconde & troifîéms formule, Troificme formule toute en- tière dans le cas irréduftible. Equation pure & fimple du fécond degré , qui efl: le point de partage entre les deux formules, ou terme com- mun d'où partent les homo- gènes pofitifs delà x^ formule; &c. &:c. ôjc. & les négatifs de la 3 ^ formule. a' n.v . h" x' 100 .V 0 v' • x' 1 0 3 ,v ■.^= 3 0 bh iij i5'4 Analyse générale, ,v' 1 z o.v=: 200 Première époque où v "7~ _^.î j , ix = ioi furpaiTc .v^^= 10 de l'unité. a:' it ix== 20 i &c. &c. &c. .v' joo.v;= zooo Seconde époque où le cœffi- V.» ,oiv= 'ooi ciencrfcft triple du quarré de ^ ' ' .v= 10, & ^'"eft le double .v' ^ozx= iooi du cube. &:c. &:c. &c. .v' 3 30X;== Z300 Troilîcnie époque où L'"' fur- ^î ,UA.'= iîoi P^^^'-' ^'^ "iple ^^" quatre de &:c. &c. &:c. à l'infini. 10. On verra dans la Méthode de rcfoudre les équations par des tables la parfaite analogie qui règne entre les équations de la féconde & de la troifiémc formule qui arrivent au zéro , qui eft le terme commun , d'où par- tent la férié finie de l'une , &: Li féric infinie de l'autre de ces deux formules ; ceci fuffit pour s'en former une idée afiez claire pour les refondre par la première Mé- thode que nous donnons ici, par la formule dcTartaléa ou Tartaglia géomètre de grande réputation , qu'il pu- blia dans fes livres imprimez àVcnifecn lyjé. Cette formule pour la première & la plus grande racine des équations du troifiéme degré , x' + t" x' ' 2. •^y ibh:^ ibb±_i, a' ^ ïbhZ^i^ Livre Premier. ' *TÎ Mais cette formule a trois défauts , le premier c'cft d'engager à pluficurs extracftions de racines quarrces Se cubiques , ponr y remédier il faut fe fervir des tables des quarrez &c des cubes naturels pour tous les cas où les racines font rationellcs, &: de nos formules d'approxi- mation pour tous les cas où les racines font irracio- nclles. Mais le fécond défaut de cette formule & le plus im- portant, c'cft que ces opérations font inutiles dans le cas irrédudible. Voilà le défaut effentiel de cette Méthode; elle n'eft point générale , Se comme le cas irréduétible embraflTe une grande partie des équations polfibles du troifiéme degré , la formule de Tarraléa a des bornes très limitées, &: jette dans l'embarras du calcul fans pou- voir l'éviter ni le prévenir. Le troifiéme défaut , elle donne la racine quoique réelle déguifée fous une forme imaginaire. E» quoi conjîfie le cas irrcdu£lible. Dans les équations du troifiéme degré, on diftingue trois cas dans l'exprcifion générale de la formule des racines inventée par Tartaléa, ces trois cas font déterminez par le rapport du coefficient ou du multiplicateur a , avec l'homogéne ou le dernier terme de l'équation^, auquel nous donnons dans la fuite un expofant en chifres Ro- mains ù'" , pour indiquer Ces trois dimenfions , de même nous donnons un expofant au multiplicateur i!",quoiqu'ils ne foient qu'un fcul nombre l'un & l'autre, ou une lettre connue , afin de conferver la loi des homogènes, mais nous les fupprimons ici pour abréger. Les trois cas font, i°. lorfque ~ 4' =\ bh. c'eft-à-dire lorfqnc le cube du tiers du multiplicateur « eft égal au quarré de la moitié de l'homogéne b. Exemple. Soit x' li x = 16. z^6 Analyse générale, i". Je prends la moitié de i6, c'cfl; 8, fon quarréefté4 = 5 lu. z". Le tiers de 1 1 eft 4 , je l'cleve au cube , j'ai 64. = rr a^ jdonc j'ai dans cette équation 77 'î' : 5 ùè. Je réfous l'équation fuivant la formule deTar- taléa qui fuie , .v = j/ l ù -i-V ^ùi^ tV a' ' i z 4 ■ 64 -H y 8 v 5^ 5^ ^ ce qui donne î î .V == K' 8 -f- K 8 , qui donne .v = 2, -{- z =^ 4 , ou X = 4. Donc dans ce premier cas , la première racine cft cou- jours x=^yia-^ y\a,oa x -.=zVi^^ , ou bien on peut prendre .v = V Tï, -+- VTI , ou x = V~b , c'cft-à-dire , que dans le premier cas on peut prendre in- différemment le double de la racine quarrce du tiers du coefficient 4 j ou le double delà racine cubique delamoi- lié de l'homogcne h. Ce premier cas efl toujours rcducl:iblc,puifqu'on peut le réfoudre par la formule de Tartaléa ,& le réduire aux équations fimples du premier degré, dont il contient le produit, ce qui fe fait en divifant l'équation propofée par la racine trouvée, car le quotient fera une équation du fécond degré qu'on peut réfoudre aifément par la formule du fécond degré, fes deux racines font égales Le fécond cas eft, lorfque-^^' •< i^^, c'eft-à-dire , lorfque le cube du tiers du cœtiîcient d eft moindre que le quarré de la moitié de l'homogénc é ; alors le cas cft fncore réductible , mais les racines viennent fous une forme imaginaire , la grande racine cft réelle , les deux autres font mixtes imaginaires ; mais en apparence feu- lement , Livre premier. ayy Icmcnt, car elles ont des lignes contraires qui détruifenc la partie imaginaire. Le troiliéme cas eft, lorfqucT^ 4' > l?h , c'eft-à-dire, lorfque le cube du tiers du coefficient ^ furpade le quarrc de la moitié de l'homogène b , c'eft ce qu'on appelle le cas itrédtiStible , parce que la formule de Tartalca ne peut le réduire aux équations fimples du premier degré, qui font les racines dont il contient le produit , parce qu'elle prefcntc ces racines fous une forme imaginaire irrationelle , dont on ne peut les tirer pour les expri- mer, quoiqu'elles foient réelles. Moyen court (y facile pour connottre ces frais cas dans une équation. i^' J'ajoute au coefficient a fon tiers , &; je tire la ra- cine quarrée de la fomme. 2". Je multiplie l'homogène b par 4, & je tire la ra- cine cubique du produit. 3°, Je compare ces deux racines enfemble , fi elles font égales , l'équation eft dans le premier cas réduftible ; fi la racine quarrée de la fomme des quatre tiers de ^, ou feulement fon premier chifre eft moindre que la racine cubique de 4 ^ , ou feulement que le premier chifre de cette racine cubique, c'eft le fécond cas, encore rcdudible. Au contraire fi la racine quarrée furpaflc la racine cubique , ou feulement que le premier chifre de la ra- cine quarrée furpafle le premier chifre de la racine cu- bique, l'équation eft dans le troifiémecas , & parcon- féquent irréductible. Méthode four éviter les fractions dans l.i réfolittion des Equations du troifiéme degré. On ne trouvera point de fradions dans la réfolution Analyfe. c c 158 Analyse générale, d'une équation du troifiéine degré , li l'homogcnc h cft un nombre pair , & fi en même tcms le coefficient a cft un nombre divilîblc par 3 , qui cft l'expofant du degré de l'équation. Or rhomogéne^ efl: toujours un nombre pair , lorfquc fon dernier chifre cft l'un des chifrcs fuivans. o. t. 4. 6. 8. &c. ce qui fe diftingue du premier coup d'oeil. Pour connoitrc fi a cft diviilblc par 3 , il fuffit d'ajou- ter cnfcmble fes chitres comme dans la preuve dc9,&: d'en ôter trois autant de fois qu'il eft poflîble , s'il ne refte rien, c'cft une prenve qu'il eft divifible par 3. Mais pour rendre b un nombre pair lorfqu'il ne l'cft pas, il faut le préparer, & il y a trois cas. 1°. Si h étant impair , a cft divifible par 3. 2". Si i étant pair, a n'cft pas divilîblc par 3. .3°. Si h étant impair, a n'cft pas divifible par 3. Dans le premier cas où /' étant impair , a cft divifible par 3 , je multiplie a par 4 , &: /> par 8 , ce qui me donne une équation préparée &c transformée avec une autre inconnue dont je cherche la racine, dontja moitié fera la première racine de l'cquation propofée. Exemple, dans . . x' ^ s b"'. Soit . . . x' IS V 3j. Je multiplie . . , . X 4 &: X 8. Produit j' -jix ;= z8o. dont je trouve la racine par la Méthode ci-après/ ■ 10 =: o , dont la moi- tié donne x 5 ;^= o pour la racine de 1 équation pro- pofée. Dans le fécond cas oii b qui cft toujours de trois di- menfions eft pair , &: -+- V \bb -\- ^j a' Les deux autres racines font négatives , imaginaires & égales, on les trouve par cette formule , fuppofant z, =à la première racine trouvée. Exemple. Soit l'équation .v' — f- 45' .v = 98. Je me fers de la formule x = y Ib ^ K- ùb • — -y r^ y' U^b-i- jL.~ , qui donne 4 4 - _[_ 'iiil ce qui donne ■è'^' |/ 49 -f- )^ 1401 -H 337J - ■ 1/ 49 '/ Z401 — H- 3 37J qui fe réduit à 1/49-1-^7776 {/ 49 ^TtT^ ou J/ 49 -1_ -6 J/ 45, 76. K '^^ ~+" |/ ^7 qui donne enfin '^' ""^^ ^ y ,o\.\ bien X := i , donc la racine cft -4- 2,, ce tlj i(ji Analyse cenerale, ExoUcation de l'opération ftdvant U formule de T.irt.ilc4. \^. Je prends la moitié de l'homogène 98 , c'eft 49 = -[ h que je fubfticuë dans la formule , de même que les nombres fuivans. i°. J'élève au quarré cette moitié 49 , fon qiiarrécll 1401. =^ hb. 3". Je prends le tiers du multiplicateur 45 , c'cft i 5 , je le cube , c'eft 337J =r7 '''• 4°. J'ajoute enfemble ce quarré , & ce cube dans une fomme 2401 -t- 337J , leur fomme cft <^^-jG =\hb y°. Je tire la racine quarrée de cette fomme c'clt 76 = }/ \hh -^^.a\ 6\ J'ajoute cette racme quarrce 7(5 avec 49 moine de l'homogcne , la fomme cfl: its ■ dont je tire la racine cubique qui eft y = J/ il^ -^-y^ \bb-^ ^T' , c'cft la première partie de la racine, qui répond au premier membre de fa formule. 7°. Préfentement pour avoir la féconde partie de la racine fuivant ce que prefcrit le fécond membre de fa formule, j'ôte la moitié 49 de la racine cubique 76,1a différence cft i7,donr je tircla racine cubique qui eft — 5 = j/i 1 b V ^bb -+-T7 a^ qui eft le fécond membre de la formule de la racine. 8 /. J'ai donc les deux parties de la racine j 3 =^ i (Jonc la racine cherchée eft .v — i = o , qui eft polirive. Avis. Pour abréger ces opérations , il faut fe fcrvir des tables des quarrez &: des cubes naturels , dont nous avons donné la conftrudion. Livre premier. 16} Pour la preuve, je divifc l'cquation propofccparcccre racine trouvée .v i == o , & fi la divilîon cil cxafle, c'eft une marque que Li racine cfljurtc. Le quotient cft une équation du fécond degré qu'il faut refondre par la formule du fécond degré pour avoir les deux autres ra- cines qui font négatives, &: on aura de la forte toutes les racines de l'équation propoicc. Divi/eur. \ Dividende. \ J- ■ 1 = o / .v'. o x^ -H 4v .V 98 = o / -v' DiviTetir. \ Dividende. \ Quotient. ,^J(Oticilt. x"- . . x' z.v\ Premier produit à ôter. o -+- 2.v'. — f- 4y.v. Premier refte. -+• 2.x. , . —i-xx^. 4.V. Second produit à Ôter. o -+- 45).v. 98- Second refte. -+- 49 -+- 49.V. 5)3. j™'^. produit. == o o . . . o dernier refte. Pour achever la réfolution, je cherche les deux raci- nes du quotient .v^ -+- 2.x -+- 49 ==0 qui eft une équa- tion du fécond degré ou x" —H 2a- = 49 fuivant la formule du fécond dcsiré ± J/^- au ■ (5- , ce qui de X -+- - a -+- 1/ _ .7 ,, . h ce qui donne AT -H I =±J/^^— 49, ouA'=— l^l^^i_49, qui tombedansle troifiéme cas de la cinquième formule du fécond degré puifque i na -< 49 , par confcqucnt les deux racines (ont négatives, égales &: imaginaires , cVft X ■= 1 + V — 48~, la preuve en eft évidente parla formation de l'équation qui fuit. 1^4 Analyse générale, A- -H I — y^i^ = o i/: ;0 X .V -f- I -f- »^ 4S = .v' -h- i.v X V — 4,8 -t- i.v -\r I 1 V^ — 48 -4- .vv^z::7s -+- 1 ^^i^ -^ 48 = o. .v' -+- z .V ( -t- I -H 48 ) -H 49 = o. où l'on voit que les produits des grandeurs réelles par les imaginaires fc détruifcnt par des iigncs contraires, de même aulîi le produit de l'imaginaire par l'autre imagi- naire contraire détruit l'imaginaire hc rétablit la gran- deur pofitive &: réelle -f- 48. La réfolntion des Equ.itlons du troifiéme degré dans la féconde formule x' ax =^ b'". La féconde formule & la troifiéme qui fuit ont une étroite liaifon qui les unit &: mêle enfemblc leurs fériés, elles en ont deux chacune fur chaque valeur de .v déter- minée , la première férié eîl finie, &: la féconde cft in- finie j la féric finie de la féconde formule commence ex- clufivcment par le cube de la valeur de .v déterminée, par exemple, foit .v =^ 7 dont le cube cft 343. La férié finie commence cxclufivement par .v o.v = 343 &; continue ,v' i .v = 33^. .v' i.v = 319 , &:c. De fotte que la fuite des homogènes pofitifs décroît continuellement conftamment de 7 , tandis que le mul- tiplicateur a croît fuivant la fuite des nombres naturels I. 2. 3. &:c. Ainfi l'homogène arrive au zéro lorfque le multiplicateur a arrive à 49 quarré de la valeur de .v = 7. dans .v' 45?,v =:= o , qui cft une équation pure & fim- plc Livre premier. z6'^ pic du fécond dcgic , car en divifant tout par x , elle donne x' 49 = 0. dont les deux racines font a: 7 = o , &c X — (— 7 == o. Enfuite comme le zéro eft le terme commun de toutes les grandeurs pofitives Se négatives , les homogènes qui étoicnt pofuifs avant d'arriver au zéro fe changent en négatifsjtandis que le nuiltiplicateur ^ continua à croître fuivant la férié naturelle des nombres; ce qui donne x' - — 5 o X =: 7. & -v' J I X == I 4 , x' 52X == 21 , &: ainfi de fuite à l'infini. De force que cette férié infinie tombe dans la troifiéme for- mule .v' ax = ^"'. Pareillement dans la troifiéme formule il y a une férié finie qui commence exclufivement par l'équation pure &: Cmple du 3 <:. degré , a' ox = 343.x' i.v =^ 3 3<î. ,v' 2.V == 319. &CC. De forte que la fuite des homogènes négatifs décroît jufqu'à ce qu'ils foicnt arrivez au zéro , d'où enfuite ils deviennent pofi- tifs Se forment la lérie infinie des équations de la féconde formule. v' 50.V =^=7 , -v' j ix = 14. .v' ji X = II , &:c. Tout cela s'éclaircira par l'opération & fe découvrira du premier coup d'œil dans les Ta- bles. La liaifon des deux fériés différentes de ces deux for- mules vient de ce qu'elles donnent des équations foûcon- traires , c'eft-à-dire que les racines qui font pofitives dans l'une font négatives dans l'autre. Dans cette féconde formule il n'y a qu'une racine réelle & pofitive. La formule de Tartaléa pour rrouver cette i'-''. 1/ ,'/ ' 1, 'anderacnieeltx 1/ j, w — ~ ^ -^ ou 17 4 r' y^bi^—h'^'' Les deux autres racines font négatives : mais comme Analjfe. dd z66 Analyse générale, la formule de la première racine contient deux binômes complexes ou compofez de deux membres , qui compren- nent tous les deux fous le fignc .radical de la troifiéme puilfance , un ligne radical qui couvre encore un bi- nôme dont le premier terme ^ il? eft pofitif, & le fécond •~ a^ eft négatif, cette racine devient imaginaire lorfque ^ hb eft moindre que ■— a\ &c comme le rapport de ces deux grandeurs donnent trois cas que nous avons expli- qué ci-dcvant, il faut les confulter. Explication de P opération fuivant la. Formule de Tartaléa. Soit propofée l'équation .v' yxx i8o. 1°. Je prends la moitié de l'homogénc h'" qui eft le dernier terme z8o , fa moitié eft 140 = f h. que j'écris à part fous le premier radical V. z°. Je quarre cette moitié , fon quatre eft 1 5)600 = ^ bh , que je mets fous le fignc radical V^ . 3°. Je prends le tiers du cœtïicient 72, = a ; c'eft 24= \ a , ]c l'élevé à latroiliémo puilfance , c'eft 13814 = -•:; 4°. J'ôte ce cube du quarré qui le précède , c'eft i jkïoo I38i4£=: ivifeur\ Dividende j Retient X 10 = 0^ X* — 71* iSo = o / jr' H- loK -4- iS = o .v' . . x' io.v\ Premier produit à ôter. o -t- lo.v'. 7 ZA-. Premier reftc. lOA', . . H— ioa'. looA'. 2"^. produit à ôter. o -h- zSa-. 280. r'. refte. z8. ..... . -f- 28.V. i8o. 3"i«^. produit o o . . . o. dernier rcfte. Préfentement il faut réfoudre le quotient qui eft une équation du fécond degré x'- — f- io;c -+- 18 == o , qui donne par tranfpofition .v' -Ht- lox-. 28. J'ajoute d'abord de part & d'autre -f- i ^^ , ou 2 5 , ce qui don- ne x'- -4- ICA' -f- 2j == 2 y 28 , je tire la racine quarrée de chaque membre fuivant la formule du fécond degré , c'eft x -t- j = :t KlJHU, ou a- -h 5 dd ij 2.68 Analyse générale, ==T ^ -4^1/11:^. & abrégeant AT = J ±.^^~qui font deux racines négatives Se mixtes imaginaires que je multiplie pour en former l'équation du fécond degré qui en donne la preuve comme il fuit. X H- y V^ = o .v^ -h- j A- .vvZTT -H j .V -+- 1 y J v'~ —h- AT vZT^ -t- T ^ ~ ^~ î =■ o- x" -i- I o -v (-H ly -t- 3 ) -+- zS == o Jutre preuve p^rjîmplc addition, x' == 7 1.V -t- i8o. puifque ... a; = lo j'ai . 7ZO 280 10 00 = .v'. Remarque. Cette formule de la racine n'cfl: point géné- rale pour tous les cas des équations qu'on peut former fur cette féconde formule x' ax = b. Car il y a trois cas qui nailTcnt du rapport de \ 4' avec \ hh. Or dans le premier cas où ^ .j' = i bb , ^ dans le fe- cond cas on'- a* <, ^ bb , qui font tous deux réductibles on peut fe fervir de la formule ; Mais dans le troiffcme cas où -jî^ 4' > '- bb, qui cft le cas irréduftible, la formule eft abfolumcnt inutile quoique les racines foicnt réeller. Ce qui a engagé M^. Pelagny à reciierchcr d'autres Livre premier. 269 Méthodes pour le cas irréduûible , que j'expliquerai ici. Rcnuique importante. Dans cette formule le nombre des équations poffiblcs fur la plus grande racine qui efh pofitivc forme deux fériés , la première cft finie , &: la féconde cft infinie, la première férié qui eft limirée cft égale au quarrc de cette racine moins un ; c'cft-à-dire, que pour la racine -i- 9 , dont le quarré eft 81 , il y a 80 équations poftiblcs, & dans cet interval , comme les deux autres racines font négatives , & que leur fomme eft égale à la grande racine pofitive , il n'y a que quatre équations quiont des racines rationcUcs; X 5 7 5 *• ^:^= 7 3 jdont les racines font -{- 9, 8, 1 x' 6-j .v==i 2.6, dont les 3 Rac. font -4-5), 7, 2. a' — - 63 .v= 162.. dont les Rac. font —H 9, 6, 3 A.-' 61 x=^ iSo,dontlcsRac. font -h 9^ y^ 4, jc' 61 X = iSOjdontlesRac. font-{-p, 4, j. Cette dernière n'eft que la précédente répétée , car dans quelque ordre qu'on prenne les mêmes nombres pour racines , ils donnent précifément la même équation. Ainfi entre ces 80 équations , il n y en a précifément que quatre qui aient des racines réelles &c rationcUes , c'eft précifément la moitié de 9 en entiers , mais il y en a le quarr qui ont des racines imaginaires fuivant la formule, quoiqu'elles foient réelles &c irrationcllcs , & qui rombcnc par conféquent dans le cas irréduétible , a. commencer par x' 80. V :=9 , laquelle ne peut être réfoluë par la formule de Tartaléa , jufqu'à .v' 61 x = 180 in- clulivemcnt, ce qui comprend même toutes les quatre équations ci-defTus qui ont des racines râelles & ratio- nellcs ; mais toutes les autres équations font réductibles qui font au nombre de 60 , car leurs racines qui font vé- 2.-JO Analyse générale, ritablemcnc imaginaires, viennenc fous une forme mixte imaginaire. La ferie finie de ces équations efl facile à former à commencer par Si .v ^== o qui efl: hors d œuvre, &: con- tinuant par 80 ,v =9 , 79 A' == 1 8 , 78 .V ^=^ zj , &c, en continuant dcmême à diminuer le ca'fîicient^ de l'u- nité, &c prenant pour l'homogénc b la fuite des multiples de 9 , qui font 9 , 18, 27 , 56 , ôuC. on aura la dernière des 80 équations A-' i .v::=72.o. On peut former de femblables fériés fur les neuf pre- miers nombres commençant toujours par le quarré delà racine déterminée, ce qui efl: très-utile pour concevoir CCS équations & leur réfolution , que l'on peut trouver même dircdcment par des tables conftruites de la forte , comme nous l'avons vii ci-devant. Réfolution des équations du troijtéme degré. Dans la troifiémc formuler' a x =^ Z^'" , qui efl: toute entière dans le cas irrédudible , c'cft la plus dif- ficile &: la plus utile , parce que la trifedion de l'angle s'y réduit. Cette formule contient deux fériés, l'une finie & l'autre infinie d'équations comme la précédente fur une racine déterminée, comme x =9 , elle contient dans la férié finie 80 équations, c'efl; 81 moins i , quarré de cette ra- cine 9 , à commencer par la plus grande équation ;,(' 243. v = 145S ' ^ continuer en diminuant le ca'fficicnt.î de l'unité & l'homogène ^ de 9 , ce qui donne pour la 2.''=. équation a-' - — • 242 a- = i449, &: diminuant toujours de même, on arrive à la dernière équation .v' 8iA- = o,entre lefqucUcs il y a cinq équations dont les racines font rationclles ; mais on ne peut abfûlument réfoudre aucune de ces équations par la formule de Tartalea , ce qui s'appelle le cas irrédudiible. Livre premier. 171 qui comprend encorde quart des. équations poiïibles de la féconde formule qui précède, ce cas n'cft pas moins célèbre parmi les Analiftcs que la quadrature du cercle, l'cftchez les GéomctreSjCe qui a engagé M'.Dclagny à re- chercher des Méthodes pour le réfoudre ; d'ailleurs par la formule de Tartalcales équations du troifiéme degré qui font réductibles , c'eft-à-dire dans le cas ordinaire , 8c dont les racines font rationclles , viennent par la for- mule fous la forme déguifée d'un binôme irrationcl , ce qui eft le plus fréquent, que fous une forme rationelle. Par exemple, entre les 99 équations poffibles fur la va- leur de .V = 10 déterminée , il n'y a que j réiolutions qui donnent la valeur de cette racine fous une forme rationelle qui font. A.-' i7.v=730.formedeIaRac. .v' = 9-f- i 10. a;' 48 .v= jio x' = 8 -+- 1= 10. A.-' 6 5 A- =3 70 A-' =7 -+- 3== 10. A* 72. x^^= z 80 .v' =: 6 —H 4 = 10. a' 7y A- = 150 A-' == 5 -+- J =r: 10. Ainfi de tous les autres cas fcmblables , routes les au- tres équations donnent la première racine fous une forme irrationelle imaginaire, quoique la racine foit réelle. £ff général pour déterminer tous ces cas. * Soit la plus grande racine d'une équation du troi- fiéme degré dans la féconde formule , un nombre pair quelconque = 1 .1 , le nombre des équations poCibles en nombres entiers eft 4 jj i . Le nombre des équations qui donnent la racine réelle fous une forme rationelle eft 1= .1. Le nombre des équations qui donnent la racine réelle i71 A>rALYSE GENERALE, fous une forme irrationclle cft == 3 aa ■ ,1. Le nombre des équations qui donnent la racine réelle fous une forme imaginaire cAau- — i. Mais fi je fuppvofe la plus grande racine un nombre impair quelconque := ^ ., _f. i . Le nombre des équations poflibles fera == 4^4 -H 4.7. Le nombre des équations qui donnent la racine fous une forme rationelle = ^. Le nombre des équations qui donnent la racine fous une forme irrationclle réelle= 3 aa -+- in. Le nombre des équations qui donnent la racine réelle fous une forme in)aginaire = a a -+- a , c'eft précilc- mcnt le quart des équations poffiblcs plus une. Lorfque la grande racine efl un nombre pair ,alor; le dernier terme de l'équation ,où l'homogénc cft toujours un nombre pair,&: il y a précilément le tiers en entiers du nombre des équations qui viennent fans fraflions, parce qu'il faut prendre le tiers du dernier terme de l'équation, ainii la racine étant 10, il y a 3 3 équations qui viennent fans fractions. Au contraire lorfque la racine cft un nombre impair, le dernier terme cft impair , le nombre des équations fans fraftions n'cft alors que la fixiéme partie, par exemple, la racine étant 13 , il y a 168 équations pof- Cbles dans la féconde formule, dont il n'y en peut avoir que z8 fans fractions , ce qui fait la fixicme partie en entiers. Entre les racines qui viennent fous une forme imagi- naire, il y en a qui viennent fous une forme rationelle, & d'autres fous une forme irrationclle. Le nombre des équations qui donnent la racine fous une forme imaginaire rationelle cftl/TT en nombres II entiers, fuppofant la racine réelle & égale à -r. Ainfi foit la racine ;= 10 , dontje quatre cft 100 , fa douz.iéme Livre premier. 273 douzième parrie cft 8 j dont la racine approchée en en- tier eft 2 ; c'efl: pourquoi il y a deux équations où la ra- cine vienc fous une forme imaginaire racionelle , c'eft x' 78.v==2io. . , Six' 87x^^=130. SI la racine réelle écoit ^o , il y auroit 17 équations oià la racine viendroit fous une forme imaginaire ratio» nelle; mais il y en a un tiers qui la donnent fous une forme imaginaire irrationelle. Quelque fois la formule donne la racine fous une forme négative , au lieu de la racine pofitive qu'on cherche, exemple , dans .v' 3 .v = 2. on trouve fui vant la formule 1/ j , . . p -+- v ^ o , qui î ! donne K_ i -4- v i == 1 -f- — i = 2 , qui eft une racine négative , au lieu de la ra- cine pofitive x=- I. Enfin entre <)^ équations poflTibles dont 10 eft la ra- cine , il y en a cinq où la racine vient fous une forme rationelle, 70 fous une forme irrationelle , mais réelle, & 24 fous une forme irrationelle imaginaire. REGLE NOUVELLE ET GENERALE Pour trouver la. première ô" l^t plus grande racine des Equations du troijiéme degré dans la féconde formule. Cette règle confifte à perfectionner la formule de Tar- taléa. Exemple. Soit a-' 6o.v == 400 , la racine vienc par la formule fous cette forme irrationelle. ^=^y 200 -f- v^ 3 2000 -f- j/ 200 — 1^32000 Pour avoir fous une forme rationelle cette racine, qui Analyfe. ce 274 Analyse CfNET!.Ai.E, cft ainfi déguifce ions l'exprelVion d un binôme irratio- nel , 1°. je prends le tiers de 60 , c'eft zo , je le cube , c'cfi; 8000, :=j' de la formule. Suivant la formule générale de la racine ,•=1/ i^'"4-v^V" — 17"'"^ V -l^'" ■ykb^'-h'' i°. Je prends la moitié de rhomogcne=é"' = 400, c'cfi; 100 que je quatre , fon quarré cft 400. 00. 3°. 3'ôte 80. 00 de 400. 00 , il reite 32.0. 00 ==5^»' r? 1^ , Sc]t tire la racine quarréc à caufe du fécond figne radical qui couvre ces deux grandeurs dans la for- mule,c'eft 178 que j'ajoute à la partie rationelle zoo, la fomme eft 378, fuivant le premier membre de la for- mule. 4". Cette racine quarréc 178 augmentée de l'unité c'eft 179, que j'ôte de la partie rationelle zoo==i^"', le refte cft zi , fuivant ce que prcfcrit le fécond membre de la formule. jo. Je tire la racine cubique de ces deux nombres en dcflbus, fuivant ce que prefcrit le figne radical v'"" or la racine cubique approchée de 378 en dclfous eft 7. & la racine cubique approchée de z i en deflous eft z , la fomme de ces deux racines 7 -+- z = 9 , que j'au- gmente de l'unité c'eft 10 , d'où je conclus que 10 eft la grande racine de l'équation propofée , s'il y en a une ra- tionelle , ou ce fera la racine approchée fi l'équation pro- pofée n'a que des racines irrationelles. Hémonfiration. La véritable racine de l'équation propofec eft fuivant la formule y zoo -f-K 31000 Livre premier. ^71 200 V^ 32000. zooo Or pour la conftriiftion î/ 100 -[- V~ eftla plus grande queK 378, mais plus petite que 1/379- Par la même conftru6i:ion 1/ 200 V 32000 cft plus grande que V %\ , mais plus petite que V^2 2. Donc en prenant la racine cubique approchée de 378 en dclFous qui efl: 7 , il cft évident que la valeur de la racine dej/ 200 -i- V 3 2000 , eft entre 7 & 8. Donc prenant pareillement la racine cubique appro- chée en de/Tous de 21 , qui eft z, il eft évident que la ra- cine cubique de ï/ 200 1^32000 eft entre 2 & 5. Donc la véritable racine cherchée eft entre 8 -+- J = 1 1 , & entre 7 -}- 2 == 9 , donc cette valeur eft i o, fl l'équation propoTée a une racine rationelle,c'eft-à-dirc en nombres entiers , or s'il n'y en a point en nombres entiers , il cft impoffible qu'elle enayc en fraétions. Donc 10 eft la racine cherchée, ce qu'il falloir démontrer. Preuve pour s\i(J'urer fi 10 efl Li Racine de l'équation propofée, U fujjit dcfnhftit'ùerf.i valeur ^ fes puifiances à la place de l^ inconnue cf de fes puijfances. 1°. Je divife l'équation propcfée par cette racine po- fitive X I o =■ o , & fi la divifion cft exade, c'eft une preuve que 10 eft la véritable racine. 2'\ Par la fubftitution , en fubftitiiant 10 & fes puif. fances à la place de x Si de its puiflfances , fi après la et ij i-0 Analyse générale, fubftlnuion les deux membres de l'équation font égaux, c'eft une preuve que lo cftla véritable racine. Mais fi après la fubftitution les deux membres de l'é- quation ne le trouvent point égaux , c'eft une preuve que lo n'cft pas la racine cherchée , mais feulement une va- leur approchée -, or pour en approcher encore d'avantage; il faut ajouter des tranches de deux zéros au fécond terme, &: des tranches de trois zéros au troifiémc terme, ou bien fe fcrvir de la Méthode d'approximation qui fuit, qui cfl: plus promtc Se plus exaéte , &c qui employé des formules rationelles. Pour abréger & s'épargner la peine de la fubftitution, il fuffit de confidérer que la racine cft toujours un nom- bre pair, lorfquc a Se i> font tous deux pairs , car fi a eft pair, il eft évident que/z.v fera pair, par conféquent dans l'équation générale a x -+1 b'" =Ar'j le cube a.' fera pair. Or par la préparation b'" devient toujours un nombre pair , d'où il fuit que fi la racine trouvée cft un nom- bre impair , c'eft une marque que la racine cherchée eft irrationelle , Se que la valeur trouvée n'cft qu'une valeur approchée. RESOLUTION DU CAS IRREDUCTIBLE. Première Méthode pour les racines rationelles. Le cas irrédu£Vible eft celui où une équation ne pcutfe réduire a des équations fimples du premier degré par la formule de Tartaléa , ce qui comprend le quart des équations poflibles de la féconde formule du troifiémc degré , & la troifiéme formule route entière dans une férié formée fur une valeur conftante de .v , & fur 4 va- riable depuis zéro, où les homogènes font les multiples de Livre p p. e m i e r, 277 X cle fuite jufqu'au triple de Ton quatre , ce qui vient des racines imaginaires que donne la formule , dans ~'^ > ce cas 011774' > l" Soit at' 90 Ar= 100. qui cfl dans la féconde for- mule du troifiéme degré ; je me fers de cette formule qui me donne la racine fous une forme irrationelle ima^ ginaire .V = |/ 50 -+- V 24500 H- Y jo V 24500 ; c'eft-à-dire fuivant cette formule. " ' " ' . - 1°, Je prends le tiers du multiplicateur a == po, c'eft 30 , dont le cube eft 2700. 00. = rt i-'' < 2°. Je prends la moitié de l'homogène /-■ == 1 00 , c'efl: yo, fon quarré eft 2500. = ^'■. 30. J'ôte 270. 00 de 2500, il refte 24500 , dont je tire la racine quarréc qui eft imaginaire, c'eft V ■ 24500. 4°. J'ajoute cette racine imn^inaire à 50 ==: \ a ^\s fomme eft |/ 50-i- V 24500, dont je tire la ra- cine cubique en mettant fur le tout le figne radical \'~T c'eft la première partie de la racine qui fe réduit 5°. J'ôte cette même racine imaginaire de 50, & je tire la racine cubique de la différence , c'eft y 50 . — ^ 24500 , qui fe réduit à y V j^ C'eft la féconde partie de la racine, ._.,.- . — „ - „ e e i'4 Analyse générale, Je réunis ces deux parties pour avoir la racine to- y-. 178 talc .V = î -H 1/ — y H- 5 1/^7 = 10, puif- que la partie imaginaire de chaque linômc fe détruit par des figncs contraires ; car -+- V — j , V — j =- o. partant il refte 5 -i- j = 10 , & c'eft la racine cherchée &: pofitive. Autre Exemple. Soit 1 équation .v' ij.v=::4, fa racine vient par la formule ci-dcffus fous cette forme irrationelle imaginaire. ^ qui donne .v = l/ - -t— Or la racine cubique de % &c la racine cubique de 1 1 1 fuffit d'en former le cube pour s'en convaincre. Or com- me ces imaginaires fe décruifcnt par des fignes contraires , ils ne font qu apparens &: non pas de véritables imagi- naires , &c tout fc réduit à i -f- 1 = 4 , qui efl la vérita- ble racine cherchée; pour en avoir la preuve il fufïît d« divifcr l'équation propofée par .v 4 = o. T>ivifeur. \ Di'vidende. \ ^u^otient. 1 1 V' II. II , cfl: i eftl^ — I > X — 4 = o ij ï ■ x'- -4- 4x •Jf' 1: &uotietii. .-' .V 4a;' o -j- 4.v' 4.V. . . -H 4.V' Premier produit à ôter. ij.v. Premier refte. I (ÎA-. Second produit à ôter. i.v. 4. Second refte. I.V. 4. 3'"=. produit. o . . , o dernier refte. Livre premier. 279 Le Quotient efl: une équation du z^. degré à réfou- dre, dont les racines font x^= — 2-4-1/'^ — 16 r OU A- = 1 -f- l^^Zir.o^ x= 2 -^V~ Ec X X .V 1 — i/'7- = o Hh 2"V -H 4 -H 2. T^~ I o. X* -H 4Ar ( -H- 4 3 ) -+- 1 = o. ou A-' -f- 4a: -h 1 == o RE'SOLUTION DU CAS IRREDUCTIBLE. Seconde Méthode pour les Racines irrationelles. Je fuppofe une équation dans la z'î'^. formule .v' a>: = b'". Régie générale, dans les trois cas , je tire la ra- cine de la puifTance du terme dominant dans le cas irré- dudible, c cft-à dire , qui foit telle que 77 ^' > ^ 1^"' y c'eft-à-dirc que le cube du tiers du coefficient a furpaflele quart du quarré de l'homogène L'" , ou le quarré de fa moitié , ce qui revient au même ; il y a des racines imagi- naires &: imaginaires irrationclles fuivant la formule. Dans ce cas je tire feulement la racine quarrée du coeffi- cient a , parce que c'cft le terme dominant , & je néglige entièrement l'homogène //'" , la raifon en efl: évidente, puifquepar l'hypothéfe 4 peut être infiniment grand, il croît toujours, ainfi c'cft fur lui qu'il faut fe régler. z8o Analyse générale, Au contraire l'homogène L'" a un terme fixe de gran- deur , il peut diminuer &: arriver au zéro ; mais il ne peut croître dans ce cas, puilquc ion quarré doit être moindre que le tiers du cube du coefficient a -, c'cft pourquoi je re- garde comme nul l'homogène L'" , &c je confidcrc cette équation x' ax=^b, comme s'il y avoit,v' • //.v = o , ce qui me donne a,-' = a , &: ,v = v/~- Voilà une valeur de la racine. Mais cette valeur eft trop petite, car l'équation pro- pofée eft x' ax = b , qui donne ,v' = a x -+- b. C'eft pourquoi la valeur trouvée n'eft point exacke , mais pour la rendre exade je fais une féconde fuppofi- tion ; je fuppofe.v =V7^^ ^ &c je fubftituë cette va- leur & fes puiflances dans l'équation propofée .v' ax = b ; ou bien pour rendre le calcul plus facile, je fuppofe .v' égaleàla troifiéme puilfance parfaite du binôme J^IJ, c'eft x^ == 'i^ -+- 3 a.iy -f- 3 ay' — H j-'. Et je fais encore a;' == a^ -\- auy -\- b'". enfuite i'oce le fécond membre de cette égalité du fécond mem- bre delà précédente, ce qui donne .v' = 3 'ijy -4- laay -t-y' b'". Du fécond membre de cette dernière , je fais l'équation fuivantc ^ay'' -+- xaay -t- j'' = h'" , dans laquelle je néglige -+• y^ = zéro,puifque c'cft un infiniment petit; il rcfte ^ay^ -t- za.iy ^=^ b, qui eft une équation du fé- cond degré, que je réfous parla formule du fécond degré, &; je trouvej^ = f a -+- y — aa -h ■—. par con- fcquentx==v'"r4^donneA' j'i-h-y —aa-\-—^ c'eft une féconde valeur approchée de la racine de l'équa- tion propofée. Mais elle eft un peu trop grande ; car ce n'eft pas feu- lement 3 .ly'- -f- zaay qui eft égal à b"' ; mais c'cft ^ay^- Ainû Livre premier. aSr 5 '» Ainfi la racine cxaiTtccd; x = f ^ H- r ~ -î'Z- de forte que fi l'on fubftituë à la place de/ fa valeur qui eft/ = l a -+- y 7 ^ ^ H- — : on auraune troi- fiéme valeur un peu trop petite, mais plus approchée de beaucoup que la précédente , &c on pourra continuer d'en approcher à l'infini par la même formule. La féconde valeur eft une racine approchée d'une ma- nière aflez fimplc , &: l'erreur de cette racine eft toujours moindre que l'unité , lorfque l'homogénc l'" eft plus petit que 368. 43. 6^. ce qui fuffit pour la pratique; c'cft ce qu'il faut éclaircir par un exemple en nombres. i*^*^. Exemfle. Soit l'équation propofée .v' -j^6^ x t= 1409. 03. dans laquelle le coefficient aa = 7 y ^9. donc a :;= 87. Se l'homogène l>"' = 1 4. 09. 03. Donc X == \ a--\- y 7 *? ^o'" ]^ "re la ra- cine quarréc,c'cft 41 =^=1/ L ,j ,1 -\- — 4*^. J'ajoute ces 41 à 58 = j -^ trouvé d'abord , la fomme 100 eft la première racine approchée par excès , mais à moins d'une unité , elle eft négative dans la troi- fiéme formule, mais pofitive dans la féconde formule. yo. Pour trouver une féconde valeur de la racine en- core plus approchée , fuivant la féconde formule j'ôte 87 =3: y a de 100= X valeur trouvée, le relie cil: 13 ^=j dont je prends le cube ncjy =-.)(' qui eft au nu- mérateur de la fradion du dernier terme de la féconde _ b y' 140,901 11)7 rormule, ■ — — =^= 6°. Préfentementaulieu de divifcr 140.903 1197 = 2.38.706, je divife feulement 2,197 P^"^ ^^^ '^^ 'i^^ eft plus commode, le quotient eft 8 — , que j'ôte de 1764, ce qui donne le refte 1755 — > "l^'i donne pour féconde valeur approchée davantage de la racine x= j8 -i-y^ lyn— 5 1^^ ^'^ réduit à .v = 58 -h- 41 -+- y 74 -\- — qui eft un peu plus grande que 99 , mais moindre que 1 00 , mais fon excès eft encore moindre , & on pourra de même trouver des valeurs plus approchées à l'infini. 7°. Pour achever la rèfolution , il faut trouver les les deux autres perites racines de cette force. Je prends d'abord la moitié delà grande racine trou- vée ioo==x,c'eft j-o que je quatre, c'cft 2.^00 , = i.v;c, je triple encore ce quarré ,c'eft 7^00 \x x. Enfuitej'ôtè 7joo = | .v.vde7j69=.=:J/^irf^ , il Livre premier. 2.85 reftc 69 = JX i ^^ 1 ^,i ^ of la racine quarrcc v^'TJ cfl: 8 rs à peu près. Par conféqiient les deux petites racines approchées font X = 5 o -{- v'T^ 5 ô^ •^' ^= 5 o ^T^, o" 5 8 II &41 fi, fiiivant la formule fuivante qui eft du fécond degré .v = i qui eft le divifeur. En général le terme ^ dominant ^ eft toujours le divi- feur. Premier cas. Si a eft le terme dominant il cft le divi- feur, & l'homogène eft le dividende, Second cas. Au contraire fi h cft le terme dominant d'une équation propofée,.? eft le dividende,& h ledivifeur. Troijiéme cas. Mais fi .^ & ^ dominent également , ou plutôt s'ils ne dominent ni l'un ni l'autrcj, on peut en ce cas d'égalité tirer la racine du degré de l'équation dans l'ho- mogène, ce fera la première racine defirée. Cependant (i le nombre des tranches eft égal , celui dont la première Livre premier. a^y tranche conticnc le plus gra id nombre eft le terme do- minant. 3". Voici la marque du terme dominant. Je divifc a &c ù par tranches comme dans les puiflances. Dans le fécond degré où le multiplicateur numérique a n'a qu'une dimenfion , je le coupe par tranches d'un ibul chifre de droite à gauche. Et comme l'homogène ù a deux dimcnfions, je le coupe par tranches de deux chifrcs de droite à gauche. Celui des deux qui a plus de tranches eft le terme domi- nant & par conféquentc'cft ledivifcur. Dans le troifiéme degré où le multiplicateur ./" eft de deux dimenfions , je le coupe par tranches de deux chifres .de droite à gauche. Et l'homogénc h eft de trois dimcnfions, je le coupe par tranches de trois chifres de droite à gauche, Fremier cas ou a cfilc terme dominant. Tremier E^cemple. Dans la première formule du fécond degré .v' — f- ax - — = i" , foit l'équation propofée .v^ — |— j. 4. 8. 7. 6.x =c= 38. 41. 81. je fuppofc .v' nul ou égal à zéro , partant je le néglige entièrement, & je ne confidére quelecœfticient rf= j. 4. 8. 7. 6. & l'homogène de com- paraifon ù" ^= 38. 41. Si. Comme le cœfficient a n'eft que d'une dimenfion , je le divife par tranches d'un feul chifre, j'en trouve cinq ; &C comme h" eft de deux dimcnfions,je le divife par tranches de deux chifres de droite à gauche , je n'en trouve que trois. Donc a eft le terme dominant , &: par confèqucnc c'eft le divifeur, & h" eft le dividende; & je fais ladivi- fion comme il fuit. Dividende, ù" == ■}9. /\.i, 8r. \ J^^jiotienf. DiviTeur. a = 5. 4. 8. 7- 6. ) 7. z^ô Analyse cenerale, Je dis en 38 qui eft la première tranche du dividende combien de tois cinq premier chifre ou première tranche du divifcur , il y eft fept fois ; car j x 7 = 35. de 38 rcfte 3. Enfuite je multiplie le divifcur entier, y 487 (> parle quotient trouvé 7,1c produit eft 38. 41. 31. auquel )'a]oûte le quatre de 7=^=149 qui eft l'homogène proporè,la fom- meeft 38. 41.81. =i>". Donc 7 eft la racine exafte. Remarque. Dans l'équation .v'-f- y .4. 8 . 7. (îx = 3 8 . 41 .8 ^, { Divifcur Ç Dividende ^ .^u^otient a doMiiuint 3 b". 7- y. 4.8.7. 6. (_ 58. 41. %6.K,' 54. 87.^. . 38. 41. 81. = 38. 41. 3z. refte y- 49 38. 41. 81. ce qui abrège en quelques rencontres & conferve l'analogie, mais comme 3 a -+- i eft un infi- niment petit à l'égard de la grandeur confiante 2 <ï^ , on peut le négliger, comme je le néglige effeâivcmcnt. Je fuppofe toujours l'équation préparée à l'ordinaire, c'eft-à-dire fans fracVions & fans incommcnfurables , &: même fi l'on veut pour une plus grande facilité fans mul- tiplicateur à la haute puifTance que l'unité , cette der- nière piéparation n'cfi: que d'élégance & non pasdené- ccflité , car fi j'ai c x aa x = b , fuppofant que c re- préfente un nombre entier quelconque , alors au lieu de a pour premier membre de la racine , je prcndrois VT^ c OU —, ce qui ne change rien dans l'eflence de la Mé- thode. Il faut aufli examiner fi l'équation eft primitive , ou fi elle efl: dérivée, on connoitra qu'elle eft dérivée fi on peut divifer l'homogène par le cube d'un nombre quel- conque , & le multiplicateur aa par le quatre du même nombre , & l'équation qui réfulte de cette divifion eft: l'équation primitive fiar laquelle il faut opérer, carc'eft précifément la même faute d'exaûitude en matière d'é- quations , d'en réfoudre une qui foit dérivée ou compo- V J04 Analyse générale, fée fans l'avoir réduite à fon équation fimplc ou primi- tive , comme d'opérer furies fraétions fans les avoir ré- duites à leurs moindres termes. Exemple. Soit l'équation propofée .v' 75. 69 ,v = 245. 100. dans la féconde formule du troilicme de- gré , dans laquelle aa = 7 5 . ^9 . qui contient deux tran- ches de deux chifres chacune , parce qu'il a deux dimen- fions , & l'homogène /^"'= 243. 100, qui contient deux tranches chacune de trois chifres ^ parce que cet homo- gène a trois dimenfions. Puifqu'il y a deux tranches de part & d'autre, je tire la racine quarréc de 75. Première tranche du cœfficient aa,^ c'eft 8 , enfuite je tire la racine cubique de 243 pre- mière tranche de l'" c'efl: 6 , car le cube de 6 cil: 216 moindre que 243 , & le cube de 7cfi: 343, Or la racine quarrée 8 du multiplicateur na , efl: plus grande que <î, racine cubique de l'homogène 243. Ainfi le multiplicateur a,! eft le terme dominant , & par con- féqucnt c'eft le divifeur, ôc b'" eft le dividende, 1°. Pour avoir le premier membre de !a racine qui eft toujours plus grand que la racine cherchée , je me fers de la i'^. partie de la formule 4 -t- — , c'eft-à-dire,je prends la racine quarrée de 75 69 ^^=: 4/7,cette racine eft 87=='/. Et fuivant — j'ai la fraflion illilf qui indique une divifion, R^""'- y Diiif'-!t>'-J Dividende.^ J^ûtic/it. \ \' 1513S. 1(5:7. 9171C. , 90818. 891. II 69 Ainfi Livre premier. joj Ainfi le premier membre de la formule a -f- i donne pour premier membre de la racine 87 -+- 16 == loj H- qui excède la véritable valeur de la racine cherchée, & c'cftcn quoiconfirtel'efprit de la Méthode qui fcCcic de la fouftradion enfuite pour trouver la racine, par la voie la plus courte. Or il eftindifl-erenc en général qu'on employé dans une Méthode, ou l'addition ou la fbuftraélion. 2". Pour avoir le fécond membre de la racine , je me fers du fécond membre de la formule ~ — ^^dans 3(rf an laquelle c == a -i 103. Donccc = 103 X 103 = 1060p. Donc 3 c(r= 3 1817. &C — aa :=r — 7^69. Donc 3 ce — aa-=z 241^8. Valeur du Dénominateur. Pour trouver la valeur du numérateur rr nu d on 10609 7565) =3 3 040 = '" , ou ,v' — i— aa X := h'" ; je prends routes les quotiens par excès dans la formule univcrfelle pour la première racme qui fuir. Je néglige .v' que je fuppofe égal à zéro , & je fais une équation des deux termes aa x = l'" . ce qui donne 1°. partranfpofition & divifion en dégageant l'inconnue :< t= — C'eft le premier membre de la racine. a.i Exemple. Soit a-' y. 14. î(î,v=» i. 144. 160, dans laquelle aa = y. 14. 16. qui a trois tranches de deux chifres chacune , parce qu'il eft de deux dimcnfions, 8^ ^"'== I. 244. léo, cet homogène eft de trois dimenfions& a trois tranches de chifres; mais la dernière tranche eft incomplette, puifqu'elle n'a que le fcul chifrc i au lieu de trois chifres qu'elle dcvroit avoir , &: la troific- Livre premier. 509 me tranche du multiplicateur aaeù. jquifurpaffe i. Ainfi aa eft le terme dominant ou le divifcur , ^"' efl le divi- dende, Hivifeur aa ^ Dividende, h''' . Ç .^oticnt. •s=5.24. iiJ. ) 1.244. '<î°- / 13 -f- ou 24 X . . . . 1.0485a I p j 8 40 4 ....205)6154 refte 13824 Ainfi je prends pour le premier membre de la racine 24. qui efl un quotient par excès , que je fuppofe ■ ■ c , que je quarre pour fubftituer fa valeur , dans le fécond membre de la racine dont la formule eft c -H AlILlf , aa ICC j'ai ce = 476 , que j'ôte de na = y. 14. 16 , ce qui donne 51840 = ^, que je multiplie par la même racine trouvée f == 24 , le produit ca^ = i. 244. 160 eft égal à l'homogène propofc l'"' , &c ils fe détruifcnt par des figues contraires. Donc la première racine eft 24, qui eft exade ; mais fi l/'" ne fe rrouvoit pas égala cd, dans ce cas, il fau- droit continuer l'opération fuivant la formule univerfelle /'/ /// /// di „ * ' • b , b — ■ cd , b — — ef „ e la première racine — -i- -{- —&cc. an «' J f f ,•}' j f e h" dans laquelle on fuppofe dans le premier membre — a a • — : C bCd ce i/, pour avoir le fécond membre /// * '^ enfuite fuppofant ce ^fécond membre = ^ & ■j ce a iij jio Analyse générale/ a^ ee ■- — = f , pour former le troifiéme membre i ef ~T > Ce qui donne i°. .v== — &'"-.i .V c -\ , ou c —H , car j'ai fuppofc i'" •3 Ci: ^= ^ C , &C C = 3°. X =f -{- ^"' f/, &; ainfi de fuite à l'infini , Ib c e ou fimplemenC i°. .v = — , z". -v = -y , 3°. .v == -y 40. ^^ ,^^ j|- , gjc. Ecgle générale. Je prends toujours en nombres entiers les valeurs de tous les quotients — , — , ou ci —2ir~ — ' ^^' P^''*^^ que je fuppofc que a Se i font des nombres entiers , Se que je cherche la racine ou la va- leur de X en nombres entiers. Mais dès que le produit c d ,on ef, Sec. Ce trouve égal à l'homogène propofé , l'opération eft finie, & j'ai la va- leur de X en nombres entiers , qui cfl: une racine ratio- nclle. Au contraire fi après avoir trouvé que le produite^, cft moindre dans une opération que l'homogène propo- fé/'"', ce produit fe trouve plus grand que cet homogène dans l'opération fuivantc, la racine cft alors inationclle, & fa valeur eft trouvée en nombres entiers à moins d'une unité près dans ces deux équations, dont l'une donne la racine par défaut à l'unité près , Sc la fuivantc donne la racine par excès. L I V K E Premier. 3 r t Mais il fauc que ^i ^^ foit ou plus grand ou égal à ï hb , car s'il ctoir plus pccic dans ce cas , l'équation (croie impoflible , car dans le cas d'égalité ou ^ a^^=^ l'b, on jjm-j ,. __| / '^ T—r.V ^b ; c'cO:-à-dirc , qui! fuffic de tirer la racine cube du tiers du mulciplicateur a" , ou la racine quarrée de la moitié de l'homogène h"' , mais dans le cas d'inégalité , la racine fera d'autant plus aifée à trouver que a^ furpaflera davantage bb. Remarque générale. Lorique le ccefficient j'^i ■' " == 3 > tch"'=- 1. Par conféquent fubftituant dans la formule ces nombres en la place des lettres au lieu de a , "__ -^ Enfuite pour avoir le terme fuivant je quarrc e , c'cft ce :=-^^-^5Ca — C -a 3 IT ri ( li-j Donc ccd=^ -if'^ que ]'ôte de ^ .= i ; il refte -pf;— , que je divife par ^ee ide= '^^p "^ TT ' c'cft-à-dire ii?if , le quotient eft — ^jj-, que j ôte de ^ , il refte Lîl°-Il= i. 8793 8y'Ll"°'' &:c. dont le double j. 758770''^., cft efFedivcment lafécantcdc 8° degrez conformément aux Tables, Livre premier, ^ij Bémonftration de la réfolution des Equations, Dans la troifiéme formule x ' a" x = L'". 1°. Je cube . r, & je quatre /-, ce qui donne 4 ?^ hh. z°. Jedivifc/z' par ^/;, c'eft ^. Si le quotient cfl: 6 , la racine fera il. Or le quotient ne peut jamais être moindre que ff i; car fi je fuppofc dans l'équation propofce ^" = 3 c^; , & h"> = zc' , la fubllitution donnera a' ^ccx = zf' Or le cube de }cceQ:iy c\ Se le quarté de zc' eft 4 c'* &: divifanc l'un par l'autre ilil , le quotient = 6 \. Maintenant lorfque .v' =z 3 ccx zt' , il cft évident que A- = L. == -L = f , car en fubftitiiant cala place de .V, on aura c' == 31:' ic' : ; c\ 5°. Pareillement on démontrera que fi le quotient de ^ = 7 ^> la racine ou plutôt l'une des racines fera tl , par exemple dans l'équation a-' = ^ccx 3 c', on auraj =^cc , &^ = 3t^,par confisquent ,c,Ci l'on fubftitu-ë r^ à la place de c dans la fraflion ' *• ' '' , on aura c 5 X.? OU - -+- . ou enfin ' Mais préfentement fi l'on fuppofc f = c , ( alors c'cft une nouvelle valeur de c différente de la formu ^ '' '' ^ \ c — 5 xa ) Se fi on fiibftituë cette valeur dans la fradion ; .^^ ■ Xd, on aura pour le premier membre de la racine cherchée cette valeur c -+- — - — qui cft précifémcnt la valeur trouvée ci defiiis , dont nous avons faitlarégle, ce qu'il falloir démontrer. Enfuite pour trouver les autres membres de la racine C H , &C.1C fupppofec -i = f ourf.v — .v^ = h , or puifi^ue e < X ,ils'enfiiit de-Iànécciïairement que rhomogénede comparaifon donné, pris pour le pre- mier pour ax 4' , fera plus petit que b. Soit donc a ee t=, f ^ il fiiit de là que /"cft plus petit que b .,^h e f^ efl: la diffcLcncc des deux homo- gènes de comparaifisnpour les deux équations iembla- bles qui fiiivent. AX .v' = ^. & fuppofant ^=: <ï f ec ac e' =^c f , Se fuppofant ef=a eex c , &c. Enfin pour avoir un troifiérae homogène , puifi^ue x cft it l- iij jiS Analyse générale, un nombre entier , Se qi'.e e cft plus petit , la moindre valeur que je puifTe fuppofer pour .v eft e -+- i , je fub- ftituë cette valeur dans l'équation a x -v' =^, ou 4 .v" = — , la fubflitution donne 4 f -+- I 4 ee Alors fi d= h qui eft l'homogène propofc , la racine cft trouvée , c'eft .v = c -\- \ : mais iî l'homogène d eft encore moindre que l'homogène propofc ^ , il eft évi- demment plus grand que f^^, car l'homogène de compa- raifon augmente à mcfure que la racine qui le forme augmente aulfi ; or l'homogène d eft formé du produit de c feul , c'eft pourquoi je fais une règle de trois , ainfi je dis la différence des homogènes a c f ' ^^= ef, & ae t' 3 e e 3 e i H- i .î= d , cette dif- férence cft d ^ e e 3 e i . Mais entre les deux homogènes ^ x x' b , & iic t'^fy, la différence cft ^ — f/l Préfentement la racine qui a donné l'homogène c f eft f , la racine qui a donné l'homogénc d c^ e ~\- i , la diff'ércncc de ces deux racines eft i , ce qui donne cette règle de trois. Si n 3 ee 3 c i différence dans l'homogène vient de i différence dans les racines. De combien viendra h ef\ Le quotient donnera le troifiéme mcm- bre de la racine cherchée , mais parce que 3 e i eft un infiniment petit par rapport aux grandeurs conftan- tes — 1 — z H- «4 -+- 7 0 -t- 7 — z — z -H 91 7 — z — z -f- 98 8 . bon -+- 3 — z — z H- 99 -H I 9 H- I — z z — -4- 100 — I xo — I — z — z -+- 99 — î 1 1 3 M«« Z — z IZ Livre premier. 317 ContinuAtion. 1 3<^. colonne, homogènes. 4^ colon. Racines. z''^. colonne. ■+- 96 — T IZ bon i'''^. colonne. — J — z — 2. — 7 13 — 7 — z — z -+- !^4 — 9 14 — 9 — z — z -+- 7Î — 1 1 ly — II — z — z -+- 64 — M 16 — 13 ' "" *- 17 — z — z ^ 36 — 17 iS — 17 — z — z T- 19 — IP 19 — Ii> — z - z ± 0 — ZI zo Zl — 1 2. ZI Z', ZI — 2-3 — z Z — 44 — 2-T zz — z Z — 69 — 2.7 ^3 l -Z7 1 — 96 Z4bon jiS Analyse ceneraie, Remarque première. Par ce même trapefe je peux ré- foudre toutes les équations arithméciquement fcmblables, car il au lieu de l'homogène propolé 96 , j'avois quel- qu'autre homogène avec les autres termes fcmblables , x' H— 10 a; dans l'équation. Par exemple, x' _j— ZO X =: 64. Cet homogène fe trouve deux fois dans le trapéfe &: toujours avec le fignc -f- , ce qui marque que fes deux racines font pofitives, la première fois il y a 4 à côté, c'eft la première racine, la féconde fois il y a lé à côté, c'eft la féconde racine. Remarque féconde. La férié des homogènes contenue dcns la troifiéme colonne croît d'abord jufqu'à 100 , qui eft le quarré de 10 , moitié du coefficient zo, dans le fé- cond terme zo x , après ce terme qui cft le dixième la fé- rié continue , mais les homogènes qui font encore pofi- tifs comme auparavant , dècroiffent d'un terme à l'autre. Se tombent enfin à zéro après lequel , les homogènes fuivans font tous négatifs , & croiiïent à l'infini fans de- venir jamais pofitifs comme auparavant , cela vient du nombre générateur négatif idcla première colonne, qui après le dixième terme rend enfuite la féconde co- lonne entièrement négative, ce qui diminue les homo- gènes peu à peu dans la troifiéme colonne, &i les con- duit au zéro , après lequel cette troifiéme colonne ne contient plus que des homogènes négatifs. La même chofe arriveroit dans un fcns contraire, fi l'on avoir les mêmes nombres générateurs avec des fignes contraires, — f- z , 17 , 151 pour former le tra- péfe, car dans ce cas la féiie des homogènes contiendroic d'abord des homogènes négatifs qui croîtroient jufqu'à 100, après lequel ils décroîtroient jufqu'au zéro , après lequel ils feroient enfuite pofitifs &: croîtroient à l'infini. Ktnuirque troifiéme. Si l'homogène d'une équation propofée ne fc trouvoic pas dans la férié des homo- gènes Livre premier. 3 19 gcnes de la troifiéme colonne, il y a deux cas. Le premier cas eft , lorfque l'homogène propofé fe trouve dans la fuite des nombres encre deux homogènes confccutifs compris dans la troifiéme colonne. Par exem- ple. Si l'on propofe l'équation x^ — |— 20. v = 8^ , dont rhomogcne 86 cil compris dans la fijite des nom- bres entre les deux homogènes 84 & 5>i , qui fe l'uivent immédiatement dans la troifiéme colonne. Dans ce cas !'( quation eft irracionelle , je prends les racines de 84 , elles font approchées par défaut mais trop petites , ou je prends les racines de 91 , elles font trop grandes , mais approchées p.Tr excès à moins dune uniré près , car les racines de 84 & de 91 , ne diftérenc entre-cUes que de l'unité. Second cas , fi )'ai l'équation propofée x' -f- 20 .v = 115 , comme l'homogène pofuif 1x3 furpaffe 100 qui eft le plus grand des homogènes pofitifs, dans ce cas les racines font imaginaires & l'équation eft impoflTible,- on peut la rendre poflible en diminuant de 1 3 cet homo- gène , ce fera 100 , or le diminuant de plus ce fera un autre homogène compris dans la troifiéme colonne, ou compris dans l'intervale de deux homogènes de cette troifiéme colonne. De même l'homogène pofitif 18 eft trop petit, puifqu'il eft moindre que 19 le plus petit des homogènes pofitifs , par confèquent l'équation .v'' — (- 2.0 .V ;= 1 8 eft impollible , il faut augmenter cet homogène pour la rendre poffible. Remarque qucitriéme. Lorfque dans la fubftitution les valeurs de x prifes par hypothéfe ne donnent dansl'é- quirion que des homogènes négatifs , alors toutes les racines de l'équation propofée font imaginaires , & de même fi dans la troifiéme colonne du trapéfe on trouve 1 homogène propofé toujours négatif & jamais pofitif, c'eft une marque que fes racines font imaginaires , par- ce que par hypothéfe &: par conftru£tion l'homogénc Analyfe, m m 350 Analyse générale, cft pofitif , ce qui eft cflentiel à cette Méthode. Autre exemple du quatrième degré. Soit propofée l'équation .v* -t- 46 .v' 77(3 x -\- j66x=ijoi5. Les cinq hypothéres préparées pour les valeurs de x & de {^cs. puiflances avec leurs cccfficiens ou multiplicateurs font. x=.\=^ jé66-v I .V.V:= 776 .v' = 46 ^*= I X =z= 11331.. 4 = 3104 8= 368 1 = 16 Ar = 5=iÔ998. . 9 ^ 6984 17=1141 î= 81 AT =4=1: 116(34 . . 16 = IZ416 64=1944 4= iî6 .v=j=i8 3 50.. iT = 19400 i2.y=T7jo T = ^iy Préfentement je fais deux fommcs de chaque fubfti- tution , 1 une des termes pofitifs , l'aurre des négatifs , & le réfultat donne un homogène primitif, de cette forte je trouve cinq homogènes primitifs. I rc- hypothéfe x ■=. i donne AT* =: — I &-+- 4<îa;' = -+-4(î — j-jè x^ = — 776 ^ ^G'o6 x ^=-\- ^666 {bmme — 777 or _j_ (Î712 — 777 fomme -+- 6y 1 1 donne _j- 49 3 5 premier homogène. Livre premier. jji La 1^'. hypothéreAr= i donnnc — .V* = — iS & _4- 4(Îa:'= -V- 3(53 ■^■J76x^ = — 3104 ^^66t}X =-f- iijji fomme — 3 1 10 or -+- 11700 H- 5 110 for donne -^8580 fécond homogène. La j'. hypothéfe •«■ = 3 donne 1700 • a: 4 — 1^6 &-4- 45 -v' =-f- 1241 776 x'- = — (ÎP84 -+-^666x =_f_ KÎ998 fomme — 7 8 (î 5 fomme -j, 1 8 140 or -4- 18140 — 7075 donne -+- 1 1 1 7 5 troifiémc homogène. La 4'. hypothcfe -v = 4 donne — X* = — i^i^ & -+- 4<î.v'=_4_ 2944 — 77<ÎJf^ = — ^984 -4- 5g6 24 -+- loy 114 — 24 ^ 114 7i -4- 15120 — 9 8 -t- 7^ ^4 . 5) 42 — ^4 H- 42 48 -H 15111 — n 9 -4- 48 2-4 -+- 6 — 2-4 -4- -4- 6 24 -4- IJ060 — 4V 10 -^ 24 i4 -t- 4T 30 — 24 -H 30 0 -+- ijoiy — ly 1 1 bon _ 0 i4 -4- 30 — 24 — -^4 -H 30 24 _t- IJOOO 12 ' 24 ^4 •4- 6 -+- 6 48 _!- 21 I 3 bon — 48 2.4 -f- 21 42 — 2.4 "~— 42 72 -h iT03<5 — 11 14 """** 72- 24 — 21 If4 — 14 — I î 4 1 H- 150 IV I V bon m m uj 334 Analyse LIVRE SECOND SECTION PREMIERE. Méthode générale d'approximation des racines irralionelles far des formules rationelles, AVant de réfoudre les puifTances imparfaites & les équations qui ont des racines irrationcllcs , il faut trouver des formules rationelles qui puiflcnt donner l'ap- proximation de ces racines : c'cfl; ce que nous enfcigne- rons dans cette Section ; &: la fuivante contiendra l'ap- plication de CCS formules aux équations fimples & cora- pofécs de tous les degrez. AVERTISSEMENT. C'Efl ici la place naturelle ou je dois mettre la nouvelle Méthode d'approximation de Mr. de Lagny par des for />^ aies générales é" rationelles , pour trouver les racines des pnijfances imparfaites & des équations de tous fes de- grez, à C infini , afn de ranger avec ordre toutes les nou- velles Méthodes i celle-ci fervira à faciliter aux jeunes gens l'étude de l'Jnalyfe. Il a dé)a donné au public deux éditions de cette approximation , celle-ci fera la troifiéme , elle eft plus étendue ; & pour la rendre plus facile aux Commenscnçans , f entre dans le détail de tous les calculs ; ce font autant d'exemples utiles qui montrent l'ufage des Régies du calcul qui font expliquées dans les Sections pré- cédentes , é' dont l'application n'cjl point facile dans la ré~ fûlution des Problèmes , ce qui rebute d'ordinaire les jeunes Livre premier. 3jy gens , cf les engage àfe borner auxfiieaces des Mathéma- tiques pratiques , farce que ft-tèt qu'ils ne peuvent fur' monter les dijjuultez, qu'ils rencontrent dans l'Analyfe , ils font forcez, de renoncer à une étude dans laquelle ils déjèfpércnt de faire du progrès ,• de là vient qu'il y ajipen de perfonncs qui s\idonnent à l'Analyje qui efi le fonde- ment de toutes les Matématiques , parmi ceux qui s'appli' quent aux fciences Phijico-Mathématiques qui ont hefoin defonfecours. Cette Méthode générale d'approximation efl: utile &r importante pour la perfection de l'Analyfe , elle s'étend à toutes (es différentes parties, elle comprend générale- ment la réfolution des puilTances imparfaites , des égali- tez pures , des cgilitcz afteflées de termes moïcns , & des équations de tous les degrez à l'infini, fans en exclure le cas irrédadible , qui quoiqu'intraitable par toute autre Méthode, fe réfoud par celle-ci avec la même facilité que le cas ordinaire & rédudible; nous en ferons dans la fuite l'application au fameux Problème de la quadra- ture du cercle. Elle fert encore à réfoudre par le cercle & la ligne droite les Problêmes géométriques du troifiéme & du quatrième '^^S''^ » P^i" une approximation infinie mais commode pour la pratique , comme on le verra par l'exemple du Problême de la duplication du cube. Elle fournit des Méthodes fimplcs & faciles pour ex- traire les racines de toutes les puilTances imparfaites nu- mériques , fins aucun tâtonnement & par une fimpls fouft-adion. Je joins à cela la pierre de touche des Méthodes, qui cft une Régie générale pour comparer avec facilité toutes les Méthodes poffibles, & pouvoir juger de leur mérite par des principes folidcs; de même qu'on peut avec la. pierre de touche connoître l'excellence & le prix desdiffé- tens métaux. 33<î Analyse générale, M'', de Lagny a donné un cflai de cette Méthode dans le Journal des içavans de Paris, le 14. Mai 1691. il l'a expliquée plus au long dans la première édition du mois de Décembre 1691. il en a donné une autre édition au rtiois de Juin 1691. Le iz. du mois de Décembre 1691. il diftribua des Exemplaires de la première édition à Meilleurs de l'Académie Royale des Sciences en pleine Affemblée. Dans le même tems il en envoya aux Sçavans de Paris , des Provinces & des pais étrangers, en Angle- terre , en Allemagne & en Hollande. Voilà l'hiftoire abrégée de cette Méthode que je fuis obligé de rapporter pour réfuter un Auteur , àqui il avoic fait prêtent de la première édition , &: qui depuis n'a point fait difficulté de s'attribuer l'invention de cette Méthode dans un Livre imprimé au mois de Mars 1 69 1. Ce Livre n'eft qu'un mauvais Commentaire fur cette Méthode qu'il n'a point conçue ; il donne l'une des for- mule pour le cube ^ -f- -^ qui cft efTentielIe à la 3 " ' -1- ^ Méthode , elle occupe feule les trois quarts de fon Livre ; mais il la forme de quatre manières très-obfcures , très- embarraflées , fans aucun principe d'Analyfc fur lequel il puilTe les appuyer , & contraires à l'efprit de la Mé- thode. Tout le refte de ion Livre ne contient que la formule générale du fécond degré , a -+- — qui a été trouvée il y a près de deux cens ans avec fes dérivées , Se qui fe tire 11 naturellement 6c il facilement de cette Méthode , que M^ de Lagny avoir négligé d'en don- ner des exemples. D'ailleurs peu content lui-même de fon Commentaire , il promet de parler encore dans la fuite de fa formule favorite a — f- — . On fçait que les Commentateurs font féconds en réflexions ; mais en- fin , peut-être lui auroit-il pris envie de citer l'Auteur fur Je Livre second. 537 le texte duquel il a travaillé long-tems avec fi peu de fuccès , il peut s'en épargner la peine , &c au public le foin de lire un livre inutile, c'eftledciïein de cette troi- fiéme édition. ^ Elle étoit préparée pour l'imprclTion en 169^. Mais Mi^. de Lagny Fa diftérée )u(ques ici par réioigncment qu'il a pour tout ce qui peut blefler quelqu'un ; c'eft aufli le fujet pour lequel je (upprime le nom de cet Auteur. Axiome i. Un nombre quelconque cft réellement ,& fans fiftion la racine de toute puifTance quelconque finie. Ex. 1 6peutd'uncôtéêtreconfiderécommelaracineexa£te & parfaite de toutes les puifiances de 16, & comme la racme imparfaite de tous les nombres pofTibles qui fur- paflont les puifTances de 16 à l'infini , dont les racines complexes peuvent être exprimées par un polinôme , c'eft- à-dire que 16 peut entrer dans la grandeur complexe qui forme par addition de plufieurs nombres entiers une feule racine , quoiqu'elle foit exprimée par un terme complexe lé -h 3 , -+- I. &c. D'un autre côté ï6 peut entrer dans la racine de tout nombre exprimé par un terme complexe compofé de plu- fieurs nombres entiers par fouftraition 16 3, 4, &c. Se même dans toute racine exprimée par un terme com- plexe formé tout cr»femble par addition &: par fouflradion de plufieurs nombres foit entiers , foit rompus , rationels ou irrationels , où les fignes plus & moins font combinez divcrfemcnt Donc , tout nombre grand ou petit , foit entier , foit rompu , foit ratioriel & irrationel , peut faire partie de la racine d'un nombre très-petit exprimée par un terme compofé de plufieurs nombres liez cnfembles avec les fi- gnes — t- &: combinez diverfement. Axiome 1. Un nombre quelconque eft réellement , Sc fans fiaion une puifTance quelconque.£.v. 1 6. eftunquar- Analyfe. n» 338 Analyse générale, ré dont la racine cft 4 ; c'eft auffi une quatrième puiflancc dont la racine cft z. Si je prends un nombre plus grand, comme 4096, il contiendra un plus grand nombre de puifTances finies , car c'eft la féconde puiffancc de 64 , la 4^ pulffance de 8 , la 5'. puiffancc de 16 , la 6^. puiflance de 4, & la ii^. puiffancedc 2. Voilà fespuiffances finies, dont les ra- cines font comprifcs dans la fuite naturelle, entre ces nombres & l'unité. Mais ces deux nombres 16 & 4096 font encore toute autre puiffance à l'infini, dont les racines fontcomprifes dans la fuite naturelle des nombres,entre l'unité & chacun de ces nombres mais divifée à l'infini , auquel cas ces racines font incommenfurables. Axiome 3. Tout nombre formé par la multiplication de plufieurs autres , peut fe divifcr exaclcment par tous les nombres qui font les racines de fon produit. De même toute puiflance a pour racines cxaétcs les nombres géné- rateurs qui ont fervis à former la puiffance donnée. Pareillement toute équation qui eft le produit conti- nuel foit d'une racine , foit de plufieurs racines multipliées les unes par les autres, peut fe divifer exadement par les racines qui l'ont formée par leur multiplication. Or par l'axiome x. tout nombre eft réellement la racine de toute puiffance, c'cft-à-dire qu'il peut être , lorfqu'il eft incomplexe la racine exa£le , ou faire partie de la ra- cine cxafte lorfqu'clle eft complexe , foit que cette ra- cine complexe contienne deux ou trois nombres ou da- vantage joints enfemble avec le» fignes -+- &: com- binez différemment. . Dans toute équation il y a autant de racines que l'é- quation a de degrez, ( ou ce qui eft la même chofe , ) au- tant que l'expofant de la haute puiffance de l'inconnue a; contient d'unitez. Chacune de ces racines eft une valeur de l'inconnue x. L I V R E 5 E C Oîl D. 359 Exemple. Dans les équations du premier degré, nous avons vij que la valeur de l'inconnue x qui réfultc delà dernière équation eft ou fimplc comme x = a ; mais dans la réfolution des Problêmes, avant d'en venir à la dernière équation fimple qui réfulte du Problême , il faut réfoudre plufieurs équations. Si on multiplie un nombre 1 par lui-même , on l'élevc au quarré ou à la deuxième puiffance 4. Si on multiplie ce produit par la même racine 4 x z , on aura la troifiémc puiflance 8, Et i\ on continue à multiplier chaque produic par la racine, on aura toutes fes puiflances parfaites. Or dans la fuite naturelle des nombres 1,1, J , 4 , &c. il y a une infinité de nombres qui ne font aucune puiflance parfaite, c'eft-à-dire, qui ne font ni des quarrcz ni des cubes , &rc. & ce (ont 1°. tous les nombres premiers qui ne font formez par aucun produit. 1". Tous les nombres qui ne peuvent être que le produit de nombres différens encr'cux , de forte qu'il en rcftc peu qui foient le produic de quelque nombre par lui-même , ou ime puiflance quel- conque, qui ait au-deflous d'elle dans la fuite naturelle des nombres la racine correfpondantc à cette puiflTancc. Car entre i & 100 , il rt'y a que i o quarrez , fçavoir , I. 4. 9. i(î. ij. 36. 49. 64. 8i. 100. dont les racines font I. 1. 3. 4. j. 6. 7. 8. 9. 10. Par conféquent il y a dans cet interval 90 nombres en- tiers qui font des quarrcz imparfaits & dont la racine ne fe trouve point dans la fuite naturelle des nombres ; mais comme chaque quarré imparfait comme 2.6, eftnéceflai- rement compris entre deux quarrez parfaits qui fe fui- vent immédiatement z j & 36, dont l'un 2 5 eft plus petit, &; l'autre 36 eft plus grand que le propofé i6; fa ra- cine eft plus grande que j racine dez^ , mais moindre que 6 racine de 3 é , c'eft une racine qui contient quelque partie moindre que l'unité. C'eft une racine inconnue ir- rationelle ou incommenfurable , que je ne peux exprimer » n il 3 40 Analyse générale, par aucun nombre, mais que je peux feulement détermi- ner par le figne radical ainlil/Të". Je dis que je ne peux exprimer cette racine quarrée de 16 par aucun nombre ; car je peux exprimer en général la racine quarrée de tout quatre partait par ce binôme a -+- I , &: le quarré même par le quarré de cette racine <î* — {— ta —i—ï. lubftituant dans cette formule un nom- bre à la place de 1^. Et de trouver une autre racine par excès c .v = ^"ïô dont le quarré c'- ex -+- x* < 36. Il faut donc deux formules , l'une par défaut 3 , & < 4. Dnns l'intervale compris entre i & 100 , il n'y a que quatre cubes parfaits, i. 8. 2-7. 64. dont les racines font i. 2. 3. 4. Donc il y a 96 cubes imparfaits dans le même intervalc dont les racines lonc irratlonclles. Dans le même intervale il n'y a que trois puifTances quatrièmes x. 16. 81. dont les racines font '• ^- ^• Il n'y a que deux puiiTances cinquièmes i. 31. dont les racines font i & 1. Ces puiflTances parfaites font encore plus rares, dans la fuite, depuis 100 jufqu'à 100, il n'y a que le cube de j. 11 j. Ce qui montre combien il eft important dans l'Analyfe d'avoir une Méthode pour réfoudre les puiflTances impar- faites , qui font les plus fréquentes qui fe rencontrent dans la réfolution des équations &: des problêmes , & dont les » K jij 34i Analyse cBNERAtE, racines fon: irrationelles , c'cftà-dirc qu'elles ne peuvent s'exprimer exadetnent par aucun nombre entier , ni rom- pu , ni mixte en façon quelconque ; mais dont on peut approcher continuellement par deux nombres confécu- tifs , l'un plus grand, l'autre plus petit, qui ne dilïérenc entr'eux que de la moindre différence pollible. V origine (^ le progrès de cette nouvelle Mcihode d'apprO' ximation pnr les Formules rAtionelhs, Voici l'origine de eette Méthode. Il y a plus de deux cens ans qu'on a découvert la formule générale d'approximation pour les racines des puilTanccs imparfaites du fécond degré a -{- — & pour les équa- tions \ a-±_ \^- aa-±_b. Surpris de voir que les Géomètres en foient demeurez là , je m'appliquai à découvrir une formule fcn-.blablc pour le troifiéme degré, & je recherchai fi cette formule du fécond degré ne pourroit pas être employée encore dans ie troifiéme degré pour donner une racine fi approchée d'un cube imparfait, que le cube de cette racine difFerâC de moins d'une unité du cube imparfait propofé. Je pris pour exemple l'égalité z.' =^ï' -4- b. Donc z = 1^4 _^.^. Doncn. eftentre^, &4 -4- i. La racine cubique de ^' eft^; il refte à trouver dans b tous les produits qui joints avec iî' foient égaux à 4' -4-^. L'efprit de la Méthode va à trouver dans b tous ces produits , qui n'ont pour racine aucun nombre entier ni mixte quelconque qui foit connu. Et à cet effet je prends dans h une partie quelconque indéterminée que je nom- me X , & je fuppofe 2, — -: a -f- x , j'élève les deux mem- bres de cette égalité comme il fuit la 3*^. puiflTancc. Livre second, 54} Fermât ien de la troifiéme fmjfamt. z, = a -t- a:, X z, =• a — f— X. z^z, = 4* -h- 4;f -f- XX. — f— 4x ^ 1 , . i ^ ,1 Quarré. z- c=3 4' -f- Z,îX — l- AT ^- X Z, = a -f- A'. 4' H— ij'.v -+- 4,v* —H- X* a'-x -+- iax 3<î .V -\- 3 un. nombre mefuré par ^ .? , la formule générale & irratio- nci lie i .1 — f- K 4 'l'i -4- r^ devenoit la plus fimple qui fijt pcffiblc , car foit a = 4 , & ^ := 3 6 , on aura fui- vant la formule 1^11 it v 3 ; de forte que la formule î a y -.t,t-+- — fe transforme en celle-ci, e -H V^f7+r:i= 2. -H ^7^^, ou 2. H- V~, c'eft pour- quoi je pris en nombres l'exemple fuivant où ces condi- tions fe rencontrent. Exemple en nombres Soit i' == 100 , il contient les conditions précédentes car 100= 64.-f- 3 6. donc on aura fuivant la formule z, = 1 -{-y ^-h-3,ouz-t- V~ , puifque V^J^ = 4; d'ailleurs le nombre 100 efl: commode , tant par fa pctitcfic , que parce que c'eft un nombre rond , &: ou l'erreur ou l'excès 3 6 fur le cube moindre 64 , cft très fenfible , puifque 36 eft plus du tiers du total de 100. Donc j'ai par ma formule z -i- V~ pour la racine cubique de ::,' — — 100= a^ -i- b , pour en avoir une preuve & une démonftration fenfible , j'élève i -+- V~ racine trouvée à la troifiérae puiffance comme il fuit. »o ij 348 Analyse générale. X 1 VT 4 -t- 2 V/ 7 -f- •^- iV/7 4-f- 4^T H- X 1 -{- v^T 8 _1_ 8\/T -+- H- 4^ -^ 7 Quarrc 14 4X7( = i8)-f-7v/T 1% -t- i^v^ 7 14 -4- 7V~ jo -+- I9V^ 7 Cube. Enfuite je réduis fous le figne radical le binôme 19 v/y comme il fuit, multipliant 19x19 pour l'élever au quarrc à caufe du figne V 7 qui cft celui du quatre : j/— , & multipliant enfuite le produit 3 6 1 par 7 qui eft fous le figne radical , ce qui donne \/ ^j^y que i'écris fous le figne radical,&: qui égale 19 x/~,de forte que j'ai deux exprcOions différentes , mais égalcj^pour le cube ac z -H V— , la première eft jo -4- 19 v 7 , la féconde eft JO -H Vijiy . Opération pour réduire 19 y~ fous le Jigne radie d. X 19 19 Livre SECOND. 34^ 361 ^7 42.7 -, il ~: .'donclecubseftjo-i- V 1:^-7 = ko^i^VT Réfiesions fur le cube de 1 -H \/~' 1°. Dans la racine 1 -f- v^~ , la partie rationelle z répond au -î; <î de la formule , c'cft la moitié de la racine approchée en entier, car 4=:4,puifque (Î4 = <î',ra racine cubique eft 4 , car 4x4 == i 6 , & 1 6 x 4 ==64. Comme il ne s'agit plus que de trouver la partie ir- rationelle V~ àc la même racine, je crûs que j'abrcge- rois en fuppofantj = % -\- .Vjaulicu de 4 — f- .v, &; univerfcliemcnt I a. — 1— v , aulieu de a -+- a- , comme dans la formule générale du fécond degré. 1". Dans le cube exprimé par 50 -t- \/ 1^17, la par- tie rationelle jo eft la moitié du cube imparfait propofé 100; or 50 z=4i -t- 8, mais 8 eft le cube de z,&4a, eft formé par zi multiplié par le même 2, moitié do la racine approchée , &: ii eft formé par 7 quarré de \/~ multiplié par 3 , expofant de la puiftance imparfaite propoféej'' == 100 La partie irrationelle de ce cube v^zjiy , ou 19 \'~ qui eft encore une expreftion égale, furpafTc l'autre moi- tié 50 du cube yo -j- ^^TjIt" , ou de jo -+- 15) v~ qui lui eft égale, de cette grandeur V 152.7 yo. Or la grandeur \/ 1517 50 eft précifcment le cube du binôme négatif V"7 2. qui eft le cube de la diffé- rence des deux parties du binôme pofitif 2 H- v ~, d'où je tire facilement mon Théorème fondamental ^, comme ou le verra , parce que les cubes de ces deux par- 0 0 iij 3J0 Analyse gênerai, b, tics font fenfiblemcnr égaux , leur ditîcrcncc étant tou- jours moindre que l'unité , car tirant la racine quarrée dcv'iji^ ,on trouve pour cette racine jo -f- -^ ^ or cette fraction eft bien moindre que l'unité , c'eft environ un quart , car ^ eft jufte ^ de l'unité. }°. Dans le cube exprimé par yo -+- 19 v~. La partiriarionelle 19 du binôme 19 v'~ eft formée par I i triple de 4 quatre de t. moitié de la racine cu- bique approchée 4 , augmenté de 7 quatre de v ~ qui eft fous le figne radical , car 3x4 = 12,11 -+- 7 = 1 1>. C'cft-àdire qu'en fuppofant la racine cubique g, — ^ z H— ,v=: 1 — f- V~ ,)'ai dans les cubes formez par cha- cun de ces deux binômes & comparez enfemble une éga- lité exa£le. 8 — f- 12. X -+- 6 XX -+- .V ' = y o -+- 1 9 y/ 7 , Et nous avons vu que yo — (- 19 V~eft fcnfiblement égal au cube propofé 100 , &: que la différence eft moindre que l'unité. Or parce que .v eft par hypothéfeun irrationel du fé- cond degré ou une fradion moindre que l'unité , il fuit de- là nécelTaircmcnt que le i^ & le 4^ terme i tx -+- x^ font irrationels , mais le premier &: le troiliéme terme du premier membre delà même égalité 8 H— 6 xx font rationels, donc fi j'égale la fomme du deuxième &: qua- trième terme du premier membre de l'égalité précédente avec la moitié du fécond membre,j'aurai 8-f-^.VA'= 50, de même égalant la fomme du pt emicr & ttoifiéme terme du premier membre de l'égalité ci-deftus avec l'autre moitic'du fécond membre, j'aurai i ix -+- a.-' == i9v/f"> Se ces deux dernières égalitez me redonnent encore la même valeur de x == V~ , mais la première me donne cette valeur d'une manière plus fimple,commc on le verra par les opérations qui fuivent. LiVRESECOND. 3yi opération pour la première égalité, 8 -4- 6 .V X = j o ' , . donc 6 X X ■■ jo — — 8 = 41 divifant tout par 6 donc X ' =^ 7 - donc ;<• == V^ Opération pour la féconde égalité, iz X -H .v' = 15) V~ m donc ôtant i z de part &: d'autre , )'ai.v' = 7v/"7: donc X ::= v/'T!' Maintenant puifque nous avons vu, i". que 8 ~f- 12, X -H 6.v' -f- .v'=^ 100 , contcnoit une égalité fcnfiblc entre fes deux membres, z°. que dans le premier mem- bre les femmes alternatives étoient égales, c'cft à-dire que b fomme des termes pairs , le fécond & le quatrième eft égal à la fomme des termes impairs qui font le pre- mier & le troifiéme terme. Donc je puis égaler chacune decesfommes à jo moi- tic de 100 cube imparfait propofé , parce moïen d'une égalité exade mais impraticable, 8 -f- i ^ x — |— 6 x ^ -+- .v ' = 100, je tire les deux égalitez fuivantes qui font fend- blement cxaftesà moins d'une unité près. 8 -4- 6. VA- c= 50. première égalité. Il .V -H ,v' r=^ JO. féconde égalité. Voilà l'origine de ma Méthode des deux fommcs al- ternatives , j'ordonne ces deux égalitez mettant l'incoïv- jyi Analyse Générale, nuë .V feule dans le premier membre , ce qui donne 6 X X ^=^= jo 8 == 41. &; X ' — i— 1 1 X = j o. Je n'ai qu'une feule inconnue .v,&: j'ai deuxégalirez dont les hautes puiflances de l'inconnue x' , &c a.' ne dif- férent que d'un degré, donc le Problême eft plus que dé- terminé. Donc je puis en tirer une troifiéme égalité qui fera du premier degré , qui cfl tout ce que je cherche. Or je puis tirer cette troifiéme égalité du premier de- gré fuivant la Méthode des Problêmes plus que déter- minez en deux manières. La première en égalant tout à zéro , ce qui donne 6 \:v 41 =0 , &: x' — f- 12 X y 0 = 0; car 6xx- — jo —H 8 = 0, donnée x' 41 :=:o,ainfidivifantcnfuite la plus haute égalité par la plus petite, & négligeant le quotient qui eft ici inutile,j'ai pour refte 1 9 x j o 1=0, comme dans l'opération fuivante. Pour divifer la plus haute égalité .v' — (— 11 x jo - — ! O par la plus petite 6 .v'' 41 = o , je divife d'a- bord cette moindre par ^,ainfi j'ai pour quotient x' 7 ; O , c'ell le Divifcur préparé , & pour Dividende x' -H itx jo = o. Divifeurj Dividende \ ^^otient x^ — 7 =0 / *' -H u X — ço =0 / X Refte -t-i^Af — jo = oi ;s . a;' 7. V i'^'^. produira ôter du Dividende. ij.v jo = o. premier Refte. J'ai donc pour rcftc 19 .v 50 = o que je divife par 1 9 , c'cft .V ■ ~ qui fe réduit à x =^ 2 -J— -jy. Or par hypochéfe la racine z. = z -{- .v donc £, = 4 LIVRE SECOND. J'H . -^ , je forme le cube de cette racine pour connoîrre fa différence du cube propofc , ce qui me donne la preuve èC la démonftratjon. i6 144 J61 48 ^' \6 -4- 9 6 19 ^-iif a^ X it 4 -H 1 t 1 9 z. 64 H- 4X9fi 4x144 OU î V4 1 » -i-o"l^ Il X II) Il X p»; iix 144 1? ' ly X 19 19 X 361 OU '-^ — h- ou -^' -H ou «s î 0 IS , I "IS «Ht? Cl î ^ ■^"'^ I i~is ube i,' :.^= 64 -t- — -H -7^ Préfentement il faut trouver la valeur de ce cube en entier pour le comparer au cube propofc 100 , ce qui fe fait en divifant chaque fradion par fon dénominateur, &: réduifant tous les reftes à un même dénominateur commun pour les ajouter enfemble, comme il fuit. Le premier rerme efl: tout réduit, c'cft l'entier ^4, le fécond terme eft la fradion -^^ , divifant le numéra- teur 576 par le dénominateur 19 , le quotient cft 30 Divifeur \ Dividende 3 . . . . J7 oô Andyfe. ff 5^4 Analyse générale. Le troifiéme terme ^ donne au quotient 4 -+- 777. Divifeur \ Dividende\ .Retient. \ 17^8 61 / 17T8 (^ 4 ;6i 1444 Z84 J'ai déjà deux reftes 5=^ & î^f > )= ^^^^ ''éduis au même dénommateur en multipliant en croix ce qui donne 19 X ;cu 6859 685^. ^ Je les ajoute à la dernière fraftion qui ?. un même dé- nominateur , ( car il faut les réduire au même dcnomi- j 1 ■ \ > • j 7ç(;i-4-i7i8 9190 nateur du dernier terme 1 1 ai donc =1 — - — ■ ' ' 6859 6859 or divifant le numérateur par le dénominateur , le quo- tient eft I -hItK. J'ajoute dans une fommc tous ces quotients en entiers avec le même refte. ^4 -f- 30 -+- 4 I -4- "*" •-4i 1 (.8 ) !> La femme cft s>9 qui diffère de 100 cube propofé de moins d'un tiers , car divifmt les deux termes de la fradion reftante par 3 , j'ai -^^^ qui cft environ un tiers. On peut aulfi former le cube de 4 -f- 77 rcduifant l'entier en fraction , en multipliant l'entier 4 par 19 , dénominateur de la fra£lion , or 4 x 19 =^= 76 -+- ir = 88 , ce qui donne z, =^ f| , & formant (éparémenc ic cube de ces deux termes , on aura le cube du nu- Livre second. 5 yy rncratcur S8 = 681471. & le cube du dénominateur 19 = 68t9. & divifant rnfuite le numéra- teur par le dénominateur , on trouvera le même quo- tient ci-deflus 519 ■ ""' 14! l 68 ) 9' Divifiur ou C Dividende ou Ç J^uoticiit. dé/iominateur J numérateur 68^9 (,681471 (.99 ;4! I (.si'; 9 . . , 6 I 7 3 I. Premier produit. 64161 Premier refte. 9 . . . 6 I 7 3 I Second produit. z 4 3 I Second Reftc &: dernier. La féconde Manière commune aux Problêmes plus que déterminez pour tirer des deux égalitcz précédentes une troifiéme égalité qui foit du premier degré , confifte à multiplier tout également , afin de rendre égaux entre eux le premier membre des deux égalitcz, &: de pouvoir par-là abaifler d'un degré ces deux égalitez , en com- parant feulement leur fécond membre enfemble. Les deux égalitez font .v^ = j o 1 1 a; Et 6.v' = 41. Je multiplie la première par 6 , cœfficicnt de .v dans la féconde , ce qui donne 6 x* :^= 300 71 x. Je multiplie la féconde par x qui eft l'excès de .v' de la première fur x^ de la féconde ,cc qui donne 6 x' = 41 AT. J'ai donc 6 x' = 300 -jix Se 6 X = 41 AT 3jé Analyse générale, Donc en négligoanc le premier membre , &: compa- rant le fccond mcinbre de ces deux cgalircz , )'ai une troificmc égalicé 3C0 71 .v= 4, 1 .V qui eft du premier degré. Il n'y a plus^qu'à la rcloudre comme il luir. J'ai d abord par cranfpoficion 300= i 14.V , ou i I4,v =500,qui donne ,v=-^^ en divifant tout par 114, qui donne A- = z -t- 777-, &c divifant les deux termes de cette fraftion par leur commun divilcur 6 , j'ai X : 2. -+- tI comme ci dclTus. Or par l'hypothéfe la racine z = 2, H— -v , donc t=: 4 H- ii, dont le cube == 95, -+- |if; qui dif- fère de moins d'environ un tiers du cube propaié 100, comme on le voit par la démonftration fenliblc de l'o- pération précédente. Théorème premier fûndamental. Soit un binôme quelconque a -^ h , dans lequel je fuppofe que le binôa^e pofitif^/ — t- ^ =^= c , repréfcnte en général la racine exade de toute puiffance parfaire , &c le binôme négatif ^4X3 -+- 5>^ 2-x^ 3 X 5 X 3 8 36 -f- M 17 Ce qui donne 61 63 , qui donne pour rcfte î- tous CCS rodes font négatifs , parce que b furpafie a. Mais fi n = ^ 5c b = t. comme a furpaffe b , on aura des reftes pofitifs qui donneront une valeur po- fitive du cube a^ = a b' , car on aura 3x3x3 3X9x1 -+- 3x3x4 2X1X1 i? J4 -i-3 6 8 Les Livre second. Les termes impairs font 3^ Les termes pairs & négatifs font T4 8 3^t doncla i'^^ fomme alterna- donc la 2 -. {^. J'ai dans le quatre <î' — f- ^' == 4 -{- 16 = 20 SL . z a ù = 1 6 , or divifant -+- 20 par 16, le quotient eft i -(--j^oui. J'ai dans le cube a' -+- ^ a i'' = 8 — f- 96 ■ 104 , & 3 'i'- l (^' = 48 64= 112. Or divifint m par -4- 104 , le quotient eft i TrT' fn^Liite divifant 1 1 2 pât 8 , le quotient cft 14. & divifant 104 par 8 , le quotient cft 13 ,dov2C lesdcux fommes alternatives 1 12 &: 104 différent de 7 qui cft le cube de -. t Corollaire premier. Puifque d cft la valeur de la différence des deux par- Anulyfc ^ ^f 3^1 Analyse générale, tics du binôme négatif .2 b, je dis que fi d = i , toutes fes puillanccs à l'infini d' , d'' , d\ d* , &c. i. donc fi la difFcrencc des deux parties du binômes l> = I , la diftcrence des deux fommcs alternatives fera toujours == I dans toutes les puifTances. Mais fi d eft moindre que l'unité , ce fera pour lors une fra£Vion qui décroîtra continuellement dans toutes les puifTances de d , Se qui deviendra d'aurant plus petite que lunité, à mefure que fa puifTance fera plus élevée, donc fi^=i. ^' = ^, d^ = I, d^ = Y7, , ScC. donc dans ce cas la différence des fommes alternatives fera toujours moindre que l'unité. CerolLiire feeofid. Dans tout binôme, foit pofitif comme a -I- ^, foie négatif comme a h ,Ç\\e premier terme .; furpaflc le fécond b , la première fomme alternative compoféedes termes impairs furpafTe la féconde fomme alternative compofée des feuls termes pairs , ce qui eft évident parce que je viens de démontrer que l'excès de cette première fomme fur la féconde eft égal à la valeur pofitive de la puifTance de «""joudu binôme ncgat;-f ^ on peut conclure dans le quatre, que A^ -f- h'^ > 7.a b. Et de même dans le cube que 4' ~\- 5 ^z ^^ > ^ a'' h — t- h^ , mais c'eft le contraire lorfque a < b. PROBLEME I. Trouver les formules far défaut pour réfoudre les égalitez, df les puiffances imparfaites du fécond degré. Pour réfoudre ou trouver les racines des égalitez Sc des puifTances imparfaites du fécond degré fans aucune cxtraiStion nidivifion, &: par confèquent fans aucun ta- Livre second. jijj tonnement par une Méthode indéfiniment plus courte & plus approchée que la Méthode ordinaire je me fers de la formule fuivante. Pour trouver ces formules d'approximation , foit une égalité ou une puiflTance imparfaite du fécond degré. Donc Z. =: V^ a^ ^b. Régie générale. i". Je fuppofe la valeur approchée de cette racine quarrée connue & égale à 4 , il faut connoître le refte contenu dans b , qui doit fournir deux produits & un quarré. Je fuppofe z, =x -h- { a ,[& j'élève cette valeur à k féconde puiflance. X z X -4-T a AT -4-i 4 r a X a X 4 " i a. Je fépare les produits de ce quarré en deux fommes alternatives, la première fomme contient les termes im- pairs le premier & le troifiéme , la féconde fomme al- ternative contient les deux termes pairs , le fécond &le quatrième. Première Colonne des termes impairs. !"■ terme -+• at* 3=. terme - i"^^' fomme ■ aa ■-aa Seconde Colonne des termes pairs. rd. terme -+-. -a x 4<=. terme • a X z^'^. fomme -+- ax. ^1 ij j ^4 Analyse générale, 5°. Je fubftitue ce quarré de ia valeur de z, , formé par l'opéracion précédente dans l'égalité propofée z,'- =^a- —I— h , ce qui donne 2,- — - x'- -f- ax -+- \ aa 4°. J'égale la féconde fômme alternative, H- .'x, avec la moitié du fécond membre de l'égalité propofée, c'eft ^ -V = — — , & divifanttout par.? pour dégager l'in- connue ■ h ix = , or par rhypothéfe2,=:=.v -f- î^ donc z, == \ a H , que je réduis à fa plus fimplc expreffion , puifque ==7 a -+- — , j'ai donc b . - , j . ^ i — , qui le réduit a r. :^=: a H la '■ 1 a > voilà /rf \"^ .formule rationelle d'approximatio?i trouvée. j". Si je veux une féconde formule encore plus appro- chée, je fuppofe la première formule rationelle que je viens de trouver a -\ = v. Je prépare 7 & fa valeur pour la fuhftitiier dans la première formule trouvée , comme il fuit. Puifque a. -\ ==)'• donc z X y , ou 2, y == z a -\ pour avoir la valeur dcj- , ]g quatre ici ^ & fa valeur. h X y = a 1 a b r ah b^ a b donc^* : lab b'- 1 ^^ Livre second. jc^j Or le fécond terme du fécond membre — = b. lit donc y- == a- -+- h -i Quarré de y & de fa va- leur, je compare ce quarré avec le propofé. 2," = a- —H ^ , &: je trouve, que le quarré de la va- leur de 7 excède le propofé de -{- — , je nomme cet excès la formule d'excès. 6°. Préfencement je fubftituë 7 à la place de ^ , &: je fubftituë la formule d'excès H -dans la première for- 4 -jr A a b Y. y Livre second. 3^7 8 5. n„ J„ f — ,.,!„, 4'"ii-i-*' a — & pour féconde formule ^ 8.»' 4ab- ou bien z.=^c — .1 &: c — *"d-\-d- ^^ ç^ fcrvant des lettres de la formule par excès z'- z^=^cc d, dans la- quelle ce repréfente le quarré parfait plus grand , &: d fon excès. PROBLEME III. Trouver les limites d'affroxim/ttion , ou déterminer la valeur de l'approximation dans chaque formule du Je~ cond degré. Il s'agit ici de déterminer 1 erreur par excès ou par dé- faut dans chaque formule d'approximation du z'^. degré. i". 3e la déterminerai dans la puiff-ince. 2,". Dans la racine ,• & la Méthode fera générale pour toutes les puif- fances imparfaites, &: pour toutes les égalitez en géné- ral ; car les égalitez afteclces de termes moiens fe rédui- fent aux formules des égalitez pures qui font les mêmes que celles des puifTanccs imparfaites. Livre second. 3-r rriûàpe. Il faut remarquer que ce n'cft ni par la plus grande ni par la plus petite erreur, que l'on doit juger de la valeur d'une Méthode ou d'une Formule d'approxi- mation , de même que dans les jeux de hazard on juge de J'avantage ou du déiavantage des joueurs par la Ibmme des avantages &: des défavantages de chaque coup , di- vifé par le nombre de tous les coups, & non point par le coup fcul ouïe plus favorable ou le plus contraire: ainîi pour juger fainement de la valeur d'une formule d'approximation , il faut divifcr la fomme des erreurs pir le nombre des cas poffibles. Je me borne à déterminer l'excès ou le défaut dans les formules fimples &: primitives , comme 4 -t-i-,&:.î — — ou c — _ : mais comme je dirai quelque chofe par oc- cafion des formules dérivées, il faut expliquer d'abord en quoi elles confiftent , fi j'augmente ou je diminue de l'u- nité le numérateur b-^\ , j'aurai a -f- izhl , ou 3 ?o i, 3 1 . dont les quarrez font 10 7:. 1 1 "n , i ^ i^ ; 1 3 77, 1 4 H. i J TS» rr iij 374 Analyse générale, lefqucls fiirpaflcnt les quarrcz propofcz imparfaits, lo, II, II, 13, 14, 1^ , ^c ■^, —, &c.La Comme des numérateurs eft 91 , ce qui donne fj- pour la femme des erreurs , le produit en fradion 77. Or , comme on peut également avoir bcfoin de tirer la racine quarrée des tous ces quarrez imparfaits ; pour avoir l'erreur moyenne, je divilc la fomme des erreurs jj par le nombre des cas poffiblcs , c'cft SI ;6 X 6 == Y "H rrr- Voilà l'erreur moyenne en non. hrcs dans ce cas particulier pour la première formule primitive d'approximation a ' Par la même Méthode , on trouvera que l'erreur moïenne de la formule primitive .f qui eft par excès, ou de la formule dérivée qui lui eft égale , a -4- ■~ — ; S" 7— — „ , , , & par conlequent cette er- reur eft moindre que j,ainfi ces deux formules , la pri- mitive ôc la dérivée font un peu plus exaftes que la pre- mière qui précède a — | , mais elles font un peu plus compofécs d'un autre côté , l'erreur eft donc toujours moindre que l'unité dans le quarré. Dans la première formule primitive a •+• —,1a plus grande erreur eft,lorfque ^= i4,car alors le quarré de cette erreur elt — = i. Et la plus petite erreur eft lorfque l> = 1 , car alors il le quarré de cette erreur eft — x é' = — Au contraire dans la formule dérivée a -+- ^^7^17, l'erreur la plus grande, eft lorfque ^ = i , ce qui donne pour l'erreur dans le quarré ^^«^s-,^- 4. Livre second. j^y L'erreur la plus petite cfl lorfque b = i <î , ce qui donne pour l'erreur dans le quatre —z — — ' T 4 /!JÏ— t-b^— (-4. Si l'on fe fcrt de la formule dérivée a a -f-i , l'erreur fera toujours en dcfTus &: moindre que ;^. La plus grande erreur eft lorfque b a ,ou. b a — (- I, alors l'eireur dans le quarré eft — — — ■^ 4 /î<« — f- 4*z —t— !• & la petite erreur eft lorfque b = i , ou ^ ; z a , dans ce cas l'erreur dans le quarré eft ^ \ — donc l'erreur moïenne dans cette formule dérivée eft dS a' -+- Il (?/! — f- 4 a uni • /-Il J I ^ ~\. i 1 — ; ; , elle eft donc univerfellement de«. 4 S(!' -4- 48 «3-4-11 » ' Ainfi l'erreur moïenue dans cette dernière formule dérivée eft précifémenc de la moitié plus petite quedans la formule primitive a -{ où l'erreur mo'ienne eft d'un tiers : elle a encore ceci de particulier , que l'erreur eft égale &: toujours par défaut dans les deux cas où le quarré imparfait eft également éloigné de deux quarrcz parfaits ,run plus grand & l'autre plus petit, dans l'in- tervale dcfquels il eft compris. Par exemple. La racine de 11 eft 3 i, & la racinede 14 eft 3 i ; or 1 1 furpaft"c 9 de z, & 14 eft furpafte par 1 6 aufti de z. De même le quarré de 3 7 eft 1 o ^ , qui eft furpaffé par II de:i|,& lequ.arréde 3 l eft 13 ^ qui eft furpaffé par HauHideif, &c. __., . z". Four déterminer les limites dans la racine. Il eft plus difficile de déterminer l'erreur foit par dé- faut foit par excès dans la racine que dans le quarré, à caufe de l'irrationalité qui fe trouve dans la racine. 57^ Analyse générale, Voici la Méthode qui m'a paru la plus fimple & la plus naturelle. Je confidcre en particulier chacune des ra- cines trouvées par chacune des opérations , & je fuppofe que celle qui fuit eft exaûc par rapport à celle qui la pré- cède, &: que la différence de ces deux racines cft l'er- reur dé la première qui précède immédiatement. Ainfidans/i" — f- ^, la première racine approchée cft 4, la féconde eft a -k- — h il La troiiiéme cft a La quatrième eft^ h il 8«' -1-4»» ■ii8«'-+-iS i»' i-t-8«i i'-|-8 » ^5 La cinquième cft, &c. Je dis i". que l'erreur de la première racine cft un peu moindre que — qui cft l'excès de la féconde racine fur la première. zo. L'erreur de la féconde eft d'un peu plus de h"- 8 »' -V- 4» t. 30. L'erreur de latroifième eft un peu plus de ■& ainfi de fuite à l'infini. D'où il fuit, i". que l'erreur de U première racine , .„ h P ^,eftprecifement — nrZpTTè hA, T-; rr—, rrr-, rr eu contmuant cette pro- grefllon à l'infini. 2". Que l'erreur de la féconde racine a -f- — , cft , .çr h-- h^ preciiement ^^; ^ ^^i ng^'-^- i,i<,* i-fso»» i'-|-8«6'. &c. en continuant de même la progreftion à l'infini. Formation Livre secokd. 377 Formation de la progreffion des formules des limites d\xpproximation ^ qui fervent à. trouver les formules d'approximation. Chaque formule d'erreur par défaut ou par excès eft une fraflion. Les numérateurs font des puiflances de h non pas prifes de fuite, mais en fautant toujours au quatre de la précé- dente h ,b- ^b'^ ,b^ , &CC. à l'infini , c'efi; la multiplication de l'excès ^ précédent,multiplié continuellement par lui- mêmCjCe qui fe fait en doublant toujours l'expofantde b. Les dénominateurs viennent de la multiplication con- tinuelle du double du numérateur de la racine prccé- dcnre, réduite auparavant en fra£tion , &: enfuite mul- tipliée par le double du dénominateur. Ces formules d'erreur fervent à trouver les formules d'approximation fuivantes , & réciproquement chaque formule d'approximation fert à tt ouver la formule d'er- reur fuivante. Ainfi pour avoir la féconde racine a -+- — , je le î « double , c'eft — , je multiplie ce double z /?parfon dé- nominateur I , c'eft 2.a XI = 2. a , c'eft le dénominateur delà fraûion qui a b pour numérateur — , c'eft la pre- mière formule d'erreur ou des limites. J'ajoute cette fradion à la première racine ^ j'ai pour féconde racine & féconde formule a — } Pour avoir la troifiéme racine ou troifiéme formule d'approximation a -{- g^, , ^^ , ou fon égale 4 -f- t»> -i-4ab >'^°^^ j'ai expliqué la formation dans le Pro- Analyfe. ff 57^ Analyse générale, blême premier; je peux encore la former de la manière qui fuit, quicft plus fimplc & plus facile. Je forme à cet effet la féconde formule d'erreur , comme il fuie, fon numérateur cfl: ^-,c'eft le numéra- teur h de la première fraûion multiplié par lui-même, Pour avoir le dénominateur, je réduis la féconde ra- b cme , 4 -i- — en fradion, multipliant l'entier ««parle dénominateur i x i a^ donne 8 a'' -+- 44 ^,c'efl: le dénominateur de la deuxième formule d'erreur „ . - — ; Et 44.? -4- i>xa donne 4 a a l^ -+- ^' pour le numéra- teur de la troifiéme formule d'approximation qui a le même dénominateur de la troifiéme formule des limites; ainfi la troifiéme formule d'approximation efl: a 4aa b-\-h'^ "* ia>-\-ib. Pour avoir la quatrième racine approchée, & la troi- fiéme formule des limites ou d'erreur, le numérateur de celle-ci ^+ eft le numérateur de la troifiéme formule précédente ^' multiplié par l;~ ,oxb'x b' ^+. Le dénominateur fe trouve ainfi, je réduis la troifiéme formule d approximation a -+- 7-7-7-— r en une feu e fradion, multipliant l'entier 4 par le dénominateur en- tier , or 4 X 8 4' -H- 4 4 ^ == 8 4+ -4- 4 4' (^ , )c joins ce produit à la fradion entière -+- ^^"_^ ^ ^ ^ ce qui donne s ^* -j- s ja 6 -4- è» % A * —7- 4 «I P • LiV RE SECOND, 379 Je double ou je multiplie par 2. ce dernier dénominateur, j'ai j 6 ^+ -1- 1 6 ^- ^ _f_ i_h- enfuice je le multiplie par le précédent dénominateur 16 a^ -i- 16 a"- h ~\- 2. h'- xSa' -+- 4ak 64 ^' ^ H- 64 ^' /''-+- 8 -î P. Produic 12. 8^' H- I 5)1 .«* /'H- 8o.î /< -f- 8 <;//'. c'eft le dénominateur de la troifiéme formule des limites, ainfi la troifiéme formule des limites d'approximacioneft i* 118 a'' -1-ijia* 4-}- 80»' i^ H- 8 « i' Enfuite pour avoir la quatrième racine ou formule d'approximation, je lui donne le dénominateur trouvé, ii8 a'' , Sec. Pour former le numérateur,je multiplie par ^,le déno- minateur précédent doublé 1 6 <î+ -f- 16 a- h -+- i h^xh. ce qui donne 16 cf^ b -4- 1 6 d- h' -+- 2. b^ -h- b-^. y ajoutant ^+ numérateur de la formule d'erreur iz'i a'' -\- i^za^ h -^- %oa' h' -\- %a b\ & ajoutant a , j'ai la quatrième racine ou formule d'ap- is-«* i -f- isa* i^ -♦- li' -1- 1* proximation a -i- „s.^ -f .,..,, _t. ,,,,,.. 3,^.. //U j80 AmaLTSE GENER.A1E, Formation de la quatrième Racine. Il84'-f.I91'ï' ^-h8o 4' ^'-t- 8 4+^5 X 8 iî' ~\-^ab 64 -+■ 16 a.* h -^ 640 a^ b- -*• 64 a'' b^ 16 720 8 . Et i^ a X- -h- I a' ;== ou II 'i x' =: 6 a' -i- 6 l^ I if XX.. X a X 9 X itax' = 6 a-^-i-6a b'" 9 /?' x. Je fais dans ces deux égalitcz le premier^ terme égal , & dans les autres termes j'obferve l'homogénïté, comme h cil du troiiiéme degré , je lui fuppofe un expofant en chifies romains /-'"jainfi tous les termes feront de quatre dimenfions. A cet effet je multiplie dans la première égalité tous les termes par 3 a qui ell: l'excès de 11 a x' fur 4.V'; dans la féconde égalité ]c multiplie le premier terme par .vqui eft l'excès de jf' fur x' , je multiplie le fécond &c le troi- fiéme terme x - — 9 1^ x qui donne une valeur de x trop petite ; puifquc félon mon Théorème je devrois égaler la première fomme x'-(- + a'- x, à une fomme plus grande que ^ , mais je fçai auffi que l'erreur eft moindre que l'unité, car par le premier corollaire fi j'égale la première fomme alternative .v' -+-| Livre second. 587 1- r , ] aurai une valeur de at un peu trop grande , mais fi je l'égale avec , j'aurai une valeur de X un peu trop petite , mais toujours d'une fradion moindre que l'unité. 4^. Ainfi je compare la première fomme alternative avec la moitié du fécond membre augmenté de 7, c'eft ,v' •+• I a"- X == — p- -+- { je le multiplie xlz a pour ôter les fradions , j'ai 12, a x'^ -+-9 a' X => 6a^ -+^6 a b'" -^ 6 a , Sc tranfpofanc j'ai 12. a x'-' = 6 a^-¥-6a b'" ~i~ 6 a 9 a' x , c'eft la fé- conde égalité réduite , où x eft trop grand. y. Dans les égalitez précédentes art. 3. négligeant 3 a' x comme une fradion infiniment petite, j'ai 6 a' -+-6 b — - 6 i aK iccond membre de la fé- conde égalité. = y 'i' -4- 6 b 6 dont j'ôtele fécond membre de 1 a} -f- 1 b 1 la preraiéiC égalité. le rcfte 3 4> -4- 4^ 4 X X donne ^ a'> x — f- a^ b x /^x. c'cft-à-dire de 5 a'-+-6 b, fécond membre de la 1^. égalité, ôtanc z — ç)a' X, où ,v cft trop petit. z'^'. I 2 <î x' =6a-^'+-64l/-+-6a — 9.?' x , où ,v .efl: trop grand. 3*^. 12, rfx 1=3 54' A-'-f- 4^ X , où ,v efl trop grand. ^. ïzax''=^^a'x -f- 4^x 4. v, où .v efl: trop petit. 8°. Enfin pour avoir les formules d'appro^imario^ , je compare la première &c la féconde égalité en négli- geant le premier membre qui cft par tout égal. J'ai 6 a' — [- 6 a ^ 9 a x = ^ a x -+- 4 /' x , donc 6 a-^ -+- 6 a h =:=: iz a x -\- 4 ^ x , & dégageaiit ,,. ., . tf.i*-}- e V Clt ■ ' 9 a'' -^t,i,i b-^-ÙP 5«* i' donc l'err^'ur dans la racine cft d'environ ^ a 4 au. plus , & cette détermination cil plus cxaéle que celle c|ui fe tire a fofleriori , en élevant au cube la racine trouvée; cette Méthode cft générale , il eft facile de l'appliquer de même à toutes les autres formules d'une égalité quel- conque pure ou affcclée. PROBLEME VL VJage de la première formule d'approximation pour les puijfances imparfaites du troijléme degré. ah X £= I a. Les régies précédentes s'éclairciront par les exemples en nombres qui fuivent. Soit z,' = 100 1= ^4 -h- j^ = rf' -î- h. Donc a = A, ^ b :^= 3 é. Première racine approchée , refte 36, 5 î Donc ;i =:K,oo = «^64-1- 36 =K«S_|_é. Donc :l = .v — t- \a , 01 a = 4. Donc z. = x •-!- t. Dans la formule x == v ^^ -+- '~T~x — fubftituant les va- leurs de ^ & de ^ , j'ai .v = z -h ^^^"^1^ ^c' roncx= ^ ^ -^^^^ =. z H- if: == ^ -i- ^. Donc z. =^= 4 -t- ^= 7^ 5 c'eft la féconde racine ap- ît iij 390 Analyse générale, Prochée; je cube ces deux nombres, & j'ai 99 -+- iii.' qui diftére de 1 00 de moins d'une unité ; cette différence eft ^7^5 environ de deux tiers. Pour avoir une troifiéme racine encore plus approchée, je fiippofc la féconde racine trouvée 4 -+- ~ ^ , & la différence trouvée *-^ = b -, enfuice fubftituant ces va- leurs dans la même formule,! -+- ."^ , la fubftitution donne 4 — H- :^:r^ , ou ^f -+ ^i^^ 3 ^ 4 TT ^^ TsTT 3 ^ il r «TT?- Pour continuer après avoir trouvé la troifiéme racine approchée, je bfuppofe :^=;^,5e: fa différence égale ïù, & lubfticuant Ictus valeurs dans la même formule a — h — î — .j'approcherai toujours à l'infini de la racine cherchée. PROBLEME VII. Vftge de la féconde form:ilc four les puiffances imparfaites du trofiéme degré. Z^ . : 0^ ■ b. Une puiflance imparfaite du troifiéme degré peut être comparée ou avec une troiiiéme puiflance parfaite plus petite comme 100 = 6/\ — Y 3<î , &^ dans ce cas je me fers de la formule z, = a — + . . ^ , ou avec une troifiéme puiflance plus grande comme 100 == izy 2.5- ; &: dans ce cas je me fers de la'formule z. =: a — ; , femblable , mais dont les figncs font contraires. Nous avons donné un exemple du premier cas , en voici un dans le fécond cas. Soit 2,' = 4' b ^ ou 2,'== 100= lij iy. Livre second. 391 Donc ^1, = a ^^, ^, foit^ y. Donc ^= ij, fiibfticuant ces valeurs dans la formule , j'ai c ^"^^ ( = 111^ = , 1_ — î^_.2. J 5X1 ij 15 \ i>o/ ) 14 1 4 T" I ♦ dont le cube ell; 1 00 — +- ^^ qui approche de 1 00 à moins d'une unité près. Pour avoir une autre racine encore plus approchée , je fuppofe la racine trouvée 4 ^ == a , & la différence PTi = ^ j i^ fubftituë ces valeurs dans la formule z. = 4 al; j .s i j '•! rabftitution me donnera une racine plus approchée , & continuant de même on en approchera toujours de plus en plus à l'infini. Examen de l'avantage des deux formules d'approximation du troijîéme degré , ou de la formule générale d'approxi' mation du troiJiéme degré. . ah z. = a H riTT- — - j^s -j-6 Pour comparer l'avantage des deux cas de la formule , dont le i'^'. a le figne — H,& le fécond le figne , jecon- iîdérc le rapport le plus fimple que j'ai trouvé pour la ra- cine cubique de 1 00 , la formule a -H — -, r m'a donné ah 75- & la formule a ^^^, _^^ m'a donné ~ je réduis ces deux rapports en nombres de la dixme , ajoutant des zéros au dividende &: par la divifion je trouve , comme il fuie • > 4 • j. 00. 00. o '■* "■ 1.00, 00. 0. J91 Analyse générale. Bivifeur. 19 { Dividende. Ç patient. 88:0000 \ 4: 63.1^.8 4 76 Il : 0 6 II 4 6:0 3 • 5 7 3:0 I . . . \ 9 11:0 y 0 c • • • y ; I j:o 8- ... I j 1 2 Div'ifeur. .' Dividende. Ç J^otient. 6j:oooo (_ 4 : f^4- 28.^ — V 14. 4 56 9:0 é 8 4 è:o 4 4:0 2. ..28 1 2:0 S . . 112 8:0 f -*•■ .... 7 0. I o. PROBLEME VIII. Trouver les limites dans chaque formule d'approximation du troijiéme degré. Première Méthode. Puifqu'en général deux cubes qui Livre second. yj^ fe fviivent immédiatement font a', Se a' — \- ^a- — \- ^a ■ — I" I , &: que tout cube imparfait s'exprime en général p ir i."' == a'' ^2 ^' Il fijif de là que ù eft l'excès ou la dif- férence du cube 6. 09. quarré irrationel , eft une féconde puiflance complette exprimée par huit chifres. Pareillement dans la troifiéme puiflance dont l'expo- Livre second. 39 j fant cO: 3, je nomme troifiéme puifTancecomplette celle qui efl: exprimée ou par trois chifresou par un nombre de chifres qui eft une puiffance de 3 , comme jre, zde, ^e^ ^c. puiflanCC. 3. 9. 27. 81. Ainfi 343 cfl: une puifTance parfaite ou rationellemais ftf»?/'/f//'ir , exprimée par trois chifres ,& 453 eft un troi- fiéme puifTance imparfaite ou irrationelle , mais com- plette QX^nmèz par trois ciiifres. Demémeiji. 893. 679. eft une troifiéme puifTance complctte , parce qu'elle eft exprimée par neuf chifres, & que 9 eft une puifTance de 3. &c ainfi des autres. 30. Je nomme puifTance incomplctte celle qui eft ex- primée par un nombre de chifres qui n'eft pas égal à quelque puifTance de rcxpofant de fon degré. Ainfi 834 eft un quarré incomplet , parce qu'il eft exprimé par trois chifres, or 3 n'eft pas une puifTance de fon expofant 2. De même 343 3 2 eft unefeconde puifTance incomplette, car elle eft exprimée par cinq chifres , & j n'eft pas une puifTance de l'expofant 2. Première formation des Tranches de chifres. 4°. Je coupe les puifTances complettcs par des tranches de chifres proportiofielles de gauche à droite , au lieu que dans la Méthode ordinaire on coupe les tranches des chifres en commençant de droite à gauche ; or ces tranches proportionelles contiennent un nombre de chi- fres qui font dans la proportion géométrique de l'expo- fant du degré de la puifTance Dans le fécond degré où^== %. La première tranche qui eft la plus à gauche aura deux chifres , car p = z. La féconde tranche aura encore deux chifres , fuivanc la formule pp p = 4 •— 2, = z. uu ij ^^6 Analyse générale, La troifiéme tranche aura quatre cliifrcs , fuivant la formule ^' p- z= 8 4 = 4. La quatrième tranche aura huit chifres , fuivant la formule ^+ p^^^^= 16 8 ■ ■ 8. La cinquième tranche aura fcizc chifres , fuivant la formule p^ ^+ : 3 1 . 1 6 1 6. La fixiéme tranche aura trente-deux chifres , fuivant la formule/'" p'^ == 64 5 1 3 1. La fcptièmc tranche aura foixante-quatre chifres , fuivant la formule/*^ /*' ==^= '^^ 64 ■■ ; 64, &: ainfi de fuite à l'infini. Ainfi fi j'avois un nombre compofé de fo-ixante-quatre chifres , au lieu de le couper en 31 tranches de deux chifres chacune de droite à gauche cpmme dans la Mé- thode ordinaire , au contraire je le couperois en com- mençant de îiauche à droite en fix tranches feulement, fuivant la progrelfion fuivante qui exprime le nombre des chifres i«. tranche z''^. 3*^. 4'. f. 6'^. tranche. 2. z. 3. 4. y. 6. ^=^=64 chifres. Exemple. Soit propofé de trouver la racine quarréc du nombre qui fuit, je le coupe par cinq tranches. nombre ^7:83: 7173 : yooo 8"iy i : 307J. 9498. 9}o^. tranches 1^=. i'^'^. 3 chifres z . 2 . . ^ 4^ 8 j . tranche 16 chifres. Enfin la dernière tranche dans les puifFances com- plettes aura le nombre de chifres déterminé par cette formule/)'' — -p'' ' dans laquelle formule je fuppofe , (jue /'■ exprime la fornme du nombre des chifres propo- fé ,c'eft-à-dire que le nombre fj cft une puifFance quel- conque de l'exporant/» de la puilTance propoféc. En général dans les puifr.uiccs complcttcs , j'obTerve nians la divifioa des tranches la proportion gèomé- Ll,VRE SECOND. 397 trique , ainfi dans le cube , la première tranclie a trois chifrcs , la féconde fix chifres , la troifiémc tranche a dix- huic chifres ; ainfi la première contient trois chifres , les deux premières neuf chifres , les trois premières vingt- fcpt chifres; ce qui fait cette progrcflion géométrique, 3. 9. 17. ce qu'il faut obferver. Dans le troifiéme degré ou la troifiéme puiflTancedonc l'expoTant eft 3 = p , ie prends les puifTànccs de 3 que je (ubfticuc dans la formule en la place des puilîances de p. Ainfi la première tranche à gauche aura trois chifres puifque^= 3, La féconde tranche aura fix chifres, fuivant la for- mule f p r= 9 3 = 6. La troifiéme tranche aura dix-huit chifres , fuivant la formule^' p'- == zj — — • 9 : iS. La quatrième tranche aura cinquanrc-quatre chifres fuivant la formule ^+ p'- ■ — - 81 ^7 ^4, &: exemple. Dans le cube fuivant j'ai les tranches comme il fuit. cube 711. 8o(3. 34J. 800. 374. 943. 811. 914. 503, tranches V. . . 2,'^"" 3'". tranche. nombre des chifics. 3 6 18. chifres. Pareillement dans la quatrième puiflance, dont l'ejf- pofant eft 4=:^. lï^*:. tranche j» =-4 chifres. z''":. tranche^- /= i<5 4= 11 chifres. f. tranche ^= p = 6^ 16 = 48 chifres, &c. De même dans la cinquième puifTancc dont l'expo- fant eft j =/> , on fubftituë cette valeur & fes puif- fanccsd.ins li formule , ce qui donne pour le nombre des chifres de ch.ique tranche-, fçavoir , La première tranche^ = j chifres. 3 'C. 598 Analyse générale, La féconde tranche^' f = 1 j 5 = io chifres. Latroiliérac tranche f /^ == '^.j ij = 100 chifres. Total II y chifres partagez feulement en trois tranches, au lieu de ij tranches de j chifres chacune dans la Mé- thode ordinaire. Remarque. La dernière tranche qui efl: vers la droite contient beaucoup plus de chifres que celles qui font vers la gauche , & il eft indéfiniment plus difficile d'en trouver la racine que des tranches précédentes à gauche par la Méthode ordinaire , mais dans celle-ci, il efl: plus facile d'en trouver la racine, & on peut même négliger cette dernière tranche toute entière , & c'cft un vrai paradoxe, car elle efl: moindre que l'unité. Div'ijion des tranches de chifres pour les ptiijfances imp.irfaitcs iiicotMp.'cttes. j°. Dans les puiffances inromplettes , qui font celles qui font exprimées par un nombre de chifres qui n'cft point une puifTance de l'expofantdu même degré, lorf- que le nombre des chifres furpaflTe une puiifance de l'ex- pofanc du même degré ^ comme une féconde puilTance 384 , qui eft exprimé par trois chifres , or 3 furpalfe l'cxpofanc 2, de la féconde pulfTance; alors la première tranche contient ou autant de chifres que cet expofant z contient d'unitcz, ou bien la première tranche con- tient autant de chifres qu'il en reftc après avoir divifé le nombre des chifres de la puiifance propofèe'par l'expo- fant même de cette puiffance. Les tranches fuivantes contiennent autant de chifres que dans les puiffances complcttes ci-dcfTus , excepté la dernière tranche qui en contient moins. Par exemple , le quatre ^i. 38 53. 46. %6. 14. 5:9. eft une féconde puillance incomplette , puifqu'cllc eft ex- primée par 14 chifres , S>C que 14 n'eft pas une puif- Livre second. 39^ fance de l'cxpofant 1 — 'p , qui cfl; celui de la féconde puiflance. Sa première tranche proportionelle cfl: ji, de deux chifres &; les autres comme dans 1 opération fuivante. Qiiarré incomplet yi. 38. 534<^- 8(314^9. tranches ... i^^. . i'*^. 3''. . . 4^ tranche, chifres 2 . . z. 4 . . ^ chifres. Au lieu que dans les puiflances complettes la qua- trième tranche contient huit chifres. De même dans le quarrè fuivant exprimé par 13 chifres. Qiiarré incomplet z. 38. 534(î. 8^1459. tranches . . . 1^=. 2.^", f, 4^^. tranche, chifres . . . i. . i. . 4. . . 6 chifres. Parce que 13 nombre des chifres étant divifé par 2 , expofant de la féconde puiifance, il refte i , & les autres font comme dans l'exemple précédent. Pareillement dans le cube incomplet 59. 985 ly^. la première tranche <^6 contient deux chifres , & la fé- conde contient fix chifres. En général dans toute puiffance incomplctte, c'efl:-à- dire dans laquelle le nombre des chifres n'cft pas une puiffance exade du même degré que la racine cherchée, il faut dans la divifion des tranches obferver la propor- tion géométrique la plus approchante. Par exemple , foit une troifiéme puiffance propofée exprimée par 14 chifres , comme ^4 n'cft pas une puif- fance de 3 qui efl: l'cxpofant de la troifiéme puiffance , mais fe trouve compris entre deux puiffances confécu- tives de 3 qui font 9 & 27, & que 24 approche plus de 27 que de 9 , je divife le cube propofé en trois tranches comme s'il avoir 27 chifres , alors la première aura trois chifres , &c la féconde tranche fix chifres , ainfi elles fc- 400 Analyse genekale, ront complettces , mais la troificmc tranche feraincom- plettc , &c n'aura que les i y chifrcs fuivans , au lieu qu'elle devroic avoir i8 chifres pour être complette. Si le cube propofé n'avoit que ii ou 15 chifres, je le diviferois feulement en deux tranches , comme s'il n'a- voit que 5) chifres, pjfce que ii&: i j font plus proches de 9 féconde puifTance de 5 , cxpofant de la troifiémc puiffance, que de 17 qui cft la troifiéme puiffancc, & dans ce cas je donne 6 chifres à la première tranche , &c la féconde tranche contient les autres derniers chifres, fix ou neuf reftans ; mais alors il faut fuivre la Métho- de ordinaire pour tirer la racine de la première tranche. Enfin fi le cube propofé contient 18 chifres , je peux le divifcr oii en deux tranches félon cette progrefTion géo- métrique double 6. iz. ou en trois tranches fclon celle- ci , 3. 6. 9. parce que 18 eft également éloigné de 9, féconde puiffance de 5 , &: de zy qui eft fa troifiéme puiffance. La première divifion 6. iz eft plus commode & plus abrégée. Mais fi le nombre des chifres de la puiftance propc fée n'cft pas précifément un multiple de 3, il faut alors ou le rendre multiple en le multipliant par 9. zy.&c. ou prendre pour la première tranche , trois chifres de plus, ce qui eft plus commode que la multiplication , ce ^ qui eft général pour toutes les autres puiflances fupè- rieurcs. Seconde Manière de divlfer par tranches une puiffance imparfaite & incomplette. . lly a encore une autre manière découper par tranches les puiflances incomplettes , elle confifte à prendre la pre- mière tranche un peu plus grande , &; à augmenter les au- tres dans la même proportion , enforte que la dernière tranche i- I V R. E SECOND, 401 tranche foie la plus grande qu'il foie poffible , & qu'il y aie aulîi le moins de tranches qu'il fepeut. Autrement. Dans le quatre, par exemple, au lieu de prendre la dernière moitié pour en trouver la valeur par fimple divifion , on peut ne prendre que le dernier tiers , fuppofé quela première tranche foit plus petite que ij. z Ainfi dans V ,. 00.00. &:c. où la première tranche du quatre eft feulement 3, qui eft bien moindre que 2. j , après avoir trouvé les fcize premiers chifres, on trouvera les huit derniers fuivanc la formule d —V -^, &C a ^-f ^ '"*" z ^ la. 6''. Je x\ovc\vt\ j 8 de plus d'une unité franche , aiant égard aux chifres fuivans. Mais dans le cube 64 : 9(34808 , la première tranche ^4n'cft pascomplecte , quoique dans le cube immédiate- ment fuivant(Î5 : 4^0817 , la première tranche 6j fur- paffed une unité l'autre première tranche 64, parce que les chifres qui fuivent 64 font plus grands que ceux qui fui vent 6y. On verra dans la fuite l'ufage de ces définitions. Théorème fécond & fondamental. Si on élève deux nombres confécutifs a Se ««-f- i à une puiflance quelconque donc l'expoûnc foit^ , & que Analyfe. x x 401 Analyse générale. t—- Y f. foie égal ou plus pecit que la première tran- che proportionelle de la puilTancc^ ; je dis que la première tranche proportionelle de w"" furpalTcra de plus d une unité franche la première tranche proportionelle de a- — V i''. Soit »2 = lo , &:^= z, on aura K "^JT" = J- Je dis que dans tout nombre dont la première figure cfl: y , ou au-deflus, & par confcqucnt dans tour quarré dont la première tranche eft 2 j , ou au-dclTus jufqu'à 519 inclufi- vcment, la première moiti- cft furpafTce au moins d'une uni'té franche par la première moitié du quatre prochai- nement plus grand. Par exemple. Le quarré de yo cftiy. 00. celui de yi eft 2(5. 01 , dont la première moitié des chifrcs 26 fur- pafle d'une unité franche la première moitié 2jdes chi- fresdans 2500. De même dans le quarré de ^83 5, qui eft 3402. 3839. &: le quarré de j83 2.qiii cft 3401. 2224. La première moitié 3402 du premier quarré, iurpalTe d'une unité franchela première moitié 3401, du fécond qiurré. Mais les quarrcz du premier exemple de yo & yi font les premiers & les plus petits no.aibrcs oii cette différence fe trouve, car le quarré de 49 cft 2401. & celui de jo eft a j. 00 i il y a moins d'une unité franche à caufc du dernier ehifrc i. qui eft le quatrièmedans 2401. Dans la quatrième puiftance , la formule eft K — G. 300 — h & 6301 . La quatrième puiffance de 6. 300. eft 1^74 — t- , ôô celle de 6301 cft i jyy , tranche cherchée. Livré second. 40^ Dans la 3'-". puiirance, foit encore w = 10, Si/» = 3 on aura ro. 00 __ j/' 370.37 = i5)i-f-oui93 — pp-ip m Mais fuppofant m-=-j^ &/ =5 ^ = 3 , &c. l'on trouvera i^:=^ = 11 ï= iyi,ou 16. / Dans le eu be V c'eft 1000 -. — . 545 _ 19^ — +-& 193- 2000. 000 Z7 quatre = cherchée. 370. 37H- — , tranche Je dis que dans tout cube, dont la première tranche eft J ou au-dcflus jufqu'à 5)99 inclufivcment , le premier tiers eft furpaflc au moins d'une unité franche par le pre- mier tiers du cube prochainement plus grand. Par exemple. Le cube de ^77 cil 191. 100. 033. & le cube de jyS eft 193. 100. j ji. Le premier tiers à gauche du fécond cube 193 furpaflc le premier tiers 191 du premier cube d'une unité franche, èc ces deux cubes font les premiers &: plus petits nombres 10 où cette différence fe trouve , puifque ^ ZZ y. 77-\-> ou 5. 7S , car le cube de ^jè = 191. lot.^-jè. dans lequel ce rapport ne fe trouve point. XX ij 494 Analyse gener-ale, L E M M E. Elever tout d'un coup un binôme quelconque a ^ b 4 une fuijfance d'un degré quelconque dont l'expofant foit p. Pour démontrer le Théorème précédait , j'ai befoin de ce Lemmc. Pour élever tout d'un coup un binôme quelconque a-^hz une puifiance dont l'expofant eft ^. Sans pafTor par les puifTances inférieures &: ù\n% le fccours de la table des puifTances , je me 1ers de cette forme générale , — •* z 6 &c. & ainfi de fuite jufqu'à ce qu'on ait trouvé la pre- mière moitié des termes dans les puifTances impaires , ou la plus grande moitié dans les puifTances paires , c'eft à- dire , jufqu à ce que a\ " h", foit égal à .!^ h'^ dans les puifTances paires, & <î^^ — ' >■- — dans les puifTances impai- res , car alors on reprend dans un ordre contraire les mêmes mulcipticatcurs pour le termes de la puifTancede /i quifont également éloignez des deux extrêmes u', èc b^' Exemple. Pour avoir la fcptiéme puifTancede a -4- h, alors^ =^ 7. Il y a huit termes dans cette puifTance puif^ qu'il y en a toujours un de plus que fon expofanty. Il faut donc trouver feulement quatre termes dans lefquels , je fubftituë 7 a la place de^, &: les puilTanccs de 7 à la pla- ce des puifTances de ^ , ce qui donne I <î" H- ya^L' -\- iia^ b'- -'r- i^a'^ h\ po«r former les quatre derniers termes , j'écris les mêmes nombres dans un ordre contraire , en même tems je diminue: de l'unité les puifTances de ^ & j'augmente de l'unité les puifTances de^ , ce qui donne f. 6"". 7-. 8^ & dernier -i- }'jaH'^ ■+- iid"- b'' ->(- -ja' b^ -{- id' . terme. Livre second. 40J Voilà tous les termes de la feptiéme piùflance de a -j-ù que l'on peut ranger de fuite. Les puiffances de fe trouve feul & fon expofant eft égal à celui de la puiflance. La difficulté conlifte à trouver les nombres qui multi- plient les termes moïens , qui font T P tP — ip ?' — sfp-t-iA f* — 6p^-\-\ip'- — 6p- 1 , , , . , Or ces numérateurs font formez par la multiplication continuelle de i xp=j> , àc pxp i =^pp i p , àepp — ixp — it=!p' — ^pp^zp,àcp' — ^p-~^zpxp — 3. =;/-^ — 6p'' -+- iip"- — 6p. Ainfi les multiplicateurs/ — i ,p — 1,/ — ^,p — 4^ s^c. font l'a fuite des nombres naturels. Le multiplié du terme fujvant cft toujours le terme pré- cédent tout entier. Les dénominateurs fe forment par la multiplication des nombres pris dans la fuite naturelle i x i = i. 1x2. =1. I X 2 X j = 6. IX 2x3x4 ==24. 1x2x3x4x5 = 120 , &c. ou fimplement I. i x 2 == 2. 2x3=6, 6x4=24 24x5^^=120, &c. Démonfirdtien du fécond Théorème fejidamcntal.. Si h=\ ,alors les termes moïens de la formule générale des puiffances contenues dans le Lcmmc précédent n'aura plus de b , puifque l'unité ne multiplie point , & cette formule fera réduite à cette expreffion plus fimple/'^"' ' H--- 4 XX i U 40 6 Analyse gemerale, a^ ' Sec. Or , afin que la femme de fes termes mo'icns, c'cft-à-dlrc , la différence des puiflances de j & dc^-i-i, fade dans le cas le plus iîmple qui foie pollible , une unité de dilTcrcnce dans la pénultième tranche proportionellc de la puillance /i^ Il faut fuppofer .; exprimé par une feule figure fignificative , fuivic d un nombre de zéros quelcon- que : car fidans ce cas la puilfance de ^-+- i excède d'une unité dans la tranche pénultième la puillance fcmblablc àc a; ï\ cil évident que dans tous les nombres au-dcffus , la différence étant plus grande, il y aura toujours plus d'une unité de différence. Il faut donc égaler la fommc des termes moiens de a-^- t avec lo, ou généralement avec >n , &c on aura l'égalitc univcrfcUe à réloudre pa' ' -f- tLnL al ' &:c. = »;. Enfuitc négligeant tous les termes excepte le premier , parce que ce font des infiniment petits qui n'ont aucun rapport fenfible avec ce premier terme. Il fuffic donc d'égaler pa^ ' = m. ce qui donne .? ZI y ^' comme nous l'avons trouve ci-deflus. Ce qu'il falloit démontrer. Remarque. i°. Cette détermination de la valeur de^, eft la feule qui puiffe frtisfaire univcrfellement. Mais fi on veut la déterminer en nombres rationaux , on trou- vera que n ■. : y dans le quarré , que a = 6 dans la troi- fiéme puiffance , que a == 7 dans la quatrième puillance, &c. Ce qui revient au même , & ce qui eft plus commode pour chaque CAS particulier. Mi'fKart^ite. z'. Comme la puiffance eft toujours don- née , &: qu il s'agit d'en trouver la racine , il fera plus utile 6j plus cxnd de trouver dircdcment les limites de cette première tranche proportionellc , car on la trouvera 1°. par cette formule générale ^ = ij dans la féconde puiffance. Livre second. 407 z^. Vat celle-ci y 1222l222 H {/ 3. 7037 -{- '^ K=s ic)i — {- OU 15)3 dins la troificmc puifTince. 3°. Parcelle-ci l/^oo°o-°°^- - I/^î.;o<î..5oooo s= 1574 -h- , OU I 575- dans la quatrième puifTance. 4°. Par celle-ci t/i^2£2I: i3374 -i", I3 37J•- dans la cinquième puiflance. Enfin, on la trouvera généralement par cette formule / I , ou par celle-ci PP IP m ou loP r V] PROBLE'ME GE'NE'RAL. Tirer U racine d'une puijfance quelconque f^r une Méthode fins courte que la Méthode ordinaire, I". Je divife les chifrcs de la puifTancc propofcc en tranches proportionelles , comme il eft expliqué ci- dcfTus. 2.". Je tire la racine approchée de la première tranche feulement, par la Méthode des formules rationelles ex- pliquées dans la première fedion de ce livre. 40 s Analyse générale, 3°. J'aiouce au numcratcar delà fracbiou trouvée au- tant de zéros que la. tranche fuivancc doit contenir de chifres dans la racine , c cft-à-dire , autant que p i contient d'unitez, je divife ce numérateur par le déno- minateur ; la divilion (impie donnera tout d'un coup tous les chifres de la féconde tranche en entiers. 4°. Je tire la racine approchée des deux premières tranches , j'ajoute au numérateur de la fraétion trouvée par cette opération , autant de zéros que la troifiéme tranche proportionelle doit contenir de chifres dans la racine , c'eft-à-dirc autant qucpp j> contient d'unitez, enfuite je divife ce numérateur par le dénominateur Sc la divifion , donne tout d'un coup tous les chifres de la troifiéme tranche , &: ainfi de fuite jufqu'au dernier. Les plus grands nombres qui tombent dans la prati- que, n'ont que trois ou quatre tranches dans le quarré Se dans la troifiéme puilfancc , Se tout au plus deux tranches dans les puilTances plus élevées. Je fuppofc que la première tranche eft complctte , &; que l'approximation foit telle que l'erreur, foit de moins d'une unité près dans la puiflancc ; or il eft toujours fa- cile de donner cette forme à la puiflance propolée, foie par une fimple multiplication , foit en prenant un chifre de plus pour racine de la première tranche , lorfqu'on ne veut point faire de mulciplication ; foit enfin en ajou- tant ou en retranchant quelqu'unité dans le dernier chifre , félon q\ie l'approximation eft en defTous ou en delTus. Démotîjlration de cette Méthode. Puifque la racine trouvée par les formules d'approxi- mation contenues dans la première feéVion , diffère par conftrudion de moins d'une unité dans la puilTance , d'avec la première tranche proportionelle, Se que félon rhypothcfc la puiflance feinblable d'un nombre pro- chainement Livre second. 405 chainement plus grand ou plus petit , diffère de plus d'une unité dans cette même tranche proportionelle , il fuit de-là évidemment que la valeur trouvée par la Mé- thode fera moïenne entre la racine cxade &: celle qui cfl: plus grande ou plus petite d'une unité , donc cette valeur différera de moins d'une unité , ce qu'il falloic démontrer. Premier Exemple pour Li racine quarrée. Soie un nombre de fcizc chifres , dont on demande la racine quarrée , 1°, Je divife ce nombre en quatre tran- ches proportionelles, comme il fuit. -, i'". i-^'. 3^ 4*=. tranche. 31. . . 6z. . . 2777. • • 00000000. a°. Je me fers de la formule d'approximation a-\ qui donne la racine trop grands , ou bien de celle-ci ^ ~ qui donne la racine trop petite , ce qui fertà me régler pour les derniers chifres du quotient. 3°. Je tire la racine approchée delà première tranche 3 I = '''' -+- b , c'eft y c=: rf , or y x f =^= 2 y = a a , ^ 3 I 2 J , refte 6 = b , j'ajoute zéro à 6 , c'eft 60 Je double y = a , c'eft 10 .= i ^ par lequel je di- vife 60 , c'eft — ou fl , le quotient cft 6 qui eft la fé- conde partie de la racine renfermée dans la féconde tranche, enfuite je quarre 6, c'eft 6-k6= ^6 ■= aa. que i'ôte de la féconde tranche 62. , rcftc 16 = b , juf- qu'ici ma Méthode s'accorde avec l'ancienne : Voici ce qu'elle a de particulier. y°. A ce refte z6 j'ajoute deux zéros, c'eft 1.600 que jedivifepar nz = za.^= y 6 Xi, le quotient cft 23 Analyfe, y y 410 Analyse générale, qui eft la troificme partie de la racine , & il reftc 14 que j'ajoute aux deux premiers chifrcs de la troificme tranche 17 , ce qui donne pour cette troifiéme tranche ji 77, dont j'ôte le quatre de 23 qui cft J2.9 , &: il reftc 4648 = h, auquel j'ajoute quatre zéros , ce qui donne 4648. 00. 00. :=//'. 6". Je divife 4648 00 00. = h par 1 1246 = z a^ = 2x5613, &: je prends le quotient 4132 pour la 4'-^ par- tic de la racine renfermée dans la 4""=. tranche , &: la ra- i--^. 2'-". 3^ 4^". cinc cherchée eft 5. G. 23. 4132. 3'ai extrait par cette Méthode en une apiès dîner la racine quarrée d'un nombre de 64 chifres, & j'ai trou- vé les trente-deux derniers par neuf additions fimplcs, & 32 fouftradions fmiples fans aucune cxtradlion nidi- vifion, c'cft un paradoxe, mais il eft ai(é d'en démon- trer la vérité, j'en efïaçai d'abord d'un coup de plume les 32 dernières figuics comme inutiles, ce qui abrège beau- coup , & je divifai les trente-deux chifres reftans en fix tranches proportionelles. V/dge de cet Excm^ le. Il ferc à trouver le Logarithme du nombre 9 ,1e Logarithme de l'unité étant o. 0000. 0000. &: celui de 10, étant 10. 0000. 0000. il faut trou- ver vingt- fix nombres moiens géom.étriques , dont les deux premiers extrêmes font i. 0000. 000. & 10. 0000. 000. & le premier moïen eft 3 1622. 777 qui eft trop petit jc'eft pourquoi on continue l'opération dans la Mé- thode ordinaire , & on multiplie ce premier terme 3. 1622.777. par 10. 0000. 000. &: du produit 3. 1622. 777. oooo.oooo.il faut tirer la racine quarrée, & c'eft ce que nous venons de faire. Second Exemple pour le cube. Soit le cube propofé 819. 985256. 1°, Je le divife en deux tranches,, la première a trois Livre SECOND. 411 cliifics, & la féconde ûx chifrcs. z°. Je cherche la racine de la première tranche par la formule d'approximation a -4 r- — ri or la racine cu- ' ' } a' -^ b ' bique de 819 eft s» = a , dont le cube eftyi^ = 4' , qui ôté de 819, il reftc 90 =k 3°. Je multiplie 90 par 9 , a par ù , ce qui donne air = 810, auquel j'ajoute deux zéros, c'cll: 8 10. 00, = ah que je divife par 3 a^ -H /^ 2,177. '"^ quotient 3 J eft la féconde partie de la racine contenue dans la féconde tranche, donc la racine approchée de ce cube imparfait eft 9. 3;f, Il eft facile de le vérifier par la multiplication enéie- vantau cube cette racine 935 ,car fon cube eft 817. 400. 375 , qui étant ôté du cube piopofé , il refte 1584, 881. Remarque. On doit toujours faire la preuve d'une tranche avant de paffer à celle qui fuit , mais on pcuc négliger la preuve dans la dernière tranche , parce qu'elle eft inutile dans les puiflances imparfaites ou irratio- nelles qui font les plus fréquentes,', & dans IcfqucUcs* il fuffir d'avoir la racine à moins de l'unité près , S>c c'eftceque l'on trouve toujours par les premières tran- ches en fe fervant de la première formule d'approxi- mation. Troijîéme Exemple. Soit le cube propofé 6^9^. 53(^483. 31864. 003507. 3(^41037. qui a 17 chifrcs , & dont la racine doit avoir neuf chifres. i'\ Je le divife en trois tranches proportionelles , la première contient les trois premiers chifres de gauche à droite , la féconde contient fix chifres, & la troifième contient dix-huit chifres , lefquels je néglige entière- ment comme inutiles dans ma Méthode. 2.^. Je tire la racine cubique approchée des deux pre- mières tranches comme dans l'exemple précèdent, fuivanc la formule a -{ ^ "^ ç , ce qui donne pour les deux // /y AlZ AKALYSE GENERALE, premières parties de la racine les trois chifrcs 8. Î6' 911. 6o^. cil- 10.87- 549- 39Î- . , 30. Pour trouver les fix derniers chirres de cette ra- cine approchée , j'ajoute fix zéros au numérateur de la fradion reftantc jiz. 603. «jiz. 000. 000. &c je le di- vife par fon dénominateur Z087. ^49. 39 J . j<^ trouve le quotient 457. 166 pour la troifiéme partie de la ra- cine que j'écris après les trois premiers chifrcs trouvez 8. 86 , ce qui donne pour la racine cubique du nom- bre propofè 8. 86. 437. i6é.en nombres entiers. J'ai pris ce nombre au hazard , il cftundes moins fa- vorables qu'on puiffe choifir fur un pareil nombre de chifrcs , on peut comparer dans cet exemple ma Méthode avec la méthode ordmaire , & l'expérience fera juger quelle eft celle qui mérite la préférence ; je pourrois en- core apporter pour exemple l'cxtradion de la racine cubi- que d'un nombre exprimé par 8 i chifrcs, où je néglige en- tièrement la quatrième tranche qui contient les 54der- 'niers chifres , où l'avantage de ma Méthode paroîtra en- core plus grand; mais l'exemple précédent fuffit pour ju- ger de fes avantages. SECTION TROISIE'ME» KéfoLution des équations irrationellcs par les formules ruticnelles LEs équations rationelles de font qu'une partie in- finiment petite dans la férié infinie des équations pof- fibles dans chaque cas particulier, car entre deux homo- gènes quelconques de deux équations confécutivcs, il y a toujours cji nombres entiers autant d'homogènes poflfibles qu'il y a d'unitez dans la différence de ces deux horao- LiVRESECOND. 413 géncs. Par exemple , entre les deux homogènes confécu' tifs 204 &: 305) , donc le premier eft l'homogène de z,^ = 100 i -I- 204, qui eft une équation du fécond de- gré, dont la racine pofitive elt -i- ioz,& la racine né- gative 1 , &: le fécond qui eft l'homogène de l'équa- tion prochaine z,' = 100 z, ~i- 309, donc les racines font -4-103 , & 5 , il y a 10 j homogènes en nom- bres entiers compris entre les deux , parce que c'eft la diftcrencc( fans parier des fradions ) de 204 à 309 ; or ces 10 j homogènes ont leurs racines plus grandes que -H 102. ^- — 2., mais moindres que -t- 103, &c 3 Jefquelles racines ne différent que de l'unité , par conféquent les deux racines de ces loy homogènes font irrationellcs , c'eft à-dire , qu'elles ne peuvent s'exprimer exaétement par aucun nombre, foit entier foit rompu ou mixte , il s'agit d'en approcher par excès &: par défaut à l'infini, il eft évident qu'on peut trouver une férié infinie de nom- bres qui donnent cette racine approchée de plus en plus par déhut , & une autre férié de nombres qui donnent cette racine approchée de plus en plus par excès , de telle forte que le dernier terme dans l'une &: l'autre de ces fériés, qui eft l'infinitiéme terme auquel il cftimpodlble d'arriver, donneroit cxaâiement cette racine, s'il étoit poihble de le trouver, parce qu'alors ledèExuc ou l'excès feroit nul. Ainfi comme ileftimpofliblc àl'cfprit humain de trou- ver l'infinitiéme terme de ces fériés, ce qu'on peut faire de mieux eft d'en approcher continuellctnenr par une loi conftante & égale fondée en démonftrarion , &r de pouffer cette approximation auffi loin qu'on voudra afin que l'erreur foit infenfible ; c'eft tout ce que l'on peiK dcfircr fur cette matière, mais auffi on ne doit pas fe con- tenter de moins. JJ ^1 414 Analyse générale, Réfolutlon des équations irrationelles pures érjîmples dans le fécond degré. Les équations irrationelles pures &: lïmples, font celles qui n'ont que deux termes , & dont l'homogcne cfl: un quarré irrationcl, ou le produit de deux racines irratio- nelles , comme ces équations font affez Icmblablcs aux fécondes puifTances irrationelles ou imparfaites du même degré, leur réfolution fc fait de la même manière & par les mêmes formules expliquées ci-dclfus ; ce qui cfl: gé- néral pour toutes les équations irrationelles pures & (im- pies de tous les degrez fupérieurs à l'infini. i^^ Exemple pour la formule d'approximation par défaut. Soit une équation irrationelle pure & fimple du fécond degré zr == 200. 1°. Par la première formule d'approximation par dé- faut , j'ai Za^ ==■ a!- H- h=^ 196 — H 4 = zoo. ir. Je trouve que 196 == 44 cfl: le quarré moindre contenu dans 200 , fa première racine efl; a. = 14 > & ôtant 1 9 6 de 200 , le refle efl: 4 = h. 3 °. Je fubflituë 1 4 :^= ^ , Si 4 = ^ , à la place de cq.% lettres dans la première formule d'approximation a -\- ~ > c^ l'^i donne 14-4-^, qui fe réduit à 1 4 -f- j en divifant les deux termes de la fraûion par leur com- mun divifcur 4. Voilà la racine approchée. 4<'. Pour avoir une troifième racine plus approchée , je me fers de la féconde formule d'approximation ^ 4 a^ ■ — r dans la quelle je fubfl;ituëen nombres les valeurs des lettres , j'ai une troifième racine plus appro- chec 14 -\- ^ ■■■^=^ 14-1 Sx i744H-4x;6 ii^;2.-i-ii4 Livre second. 4iy = 14 -t- — — == 14 H = z, , en divilant les ^ iiiyS T^ 15S6 ' deux termes de la fraiStion par leur commun divifeur 16. comme cerce approximation cfl: immcnfc , & que l'erreur cft moindre qu'aucune grandeur fenfiblc , il eft inutile de la pouffer plus loin , ilfuffit de quarrer cette valeur de 2,, &: de fublliruer cette valeur dans l'équation pro- pofée, pour la comparer avec le fécond membre 200, y\ Pour quarrer cette valeur de z,,-. — 14. H '-^ 197 1386 - . 14 X 14 i;8i JS>6 58809 55 1586 \ T- 44/ 2.00 21 -^ '^'°' 44 19 H ?9* ou bien , il faut ajouter en une femme l'entier avec la fradion , ainfi je réduis d'abord l'entier 14 en fraûion quiaiclemêmcdcnominateur,en mulciplanc 14 par 1386, ce qui donne au produit 19 404,auquel j'ajoute le numé- rateur 197, la fomme donne pour le numérateur 151601. Ainfi j'ai la fraélion j^ à élever à la féconde puif- fance. 14 X i}86 ÎH4 1586 19404 -+- 197 1 $ 6o\ j^i4 Analyse générale, jo_ Je qiurre la valeur trouvée de z. , &: je la fubftituc dans l'équation propofée, z'= 200. 14 ■+- ,,Z6 197 ^ 14 -i- 13SS 17 f 8 '^' -^ .38. Z7ï8 ~^ I5S6 -i- 58809 I?149?« -h- 58809 J9I499« OU 196 -f- 4= ioo, je néglige la dernière fraftion qui eft infenfible,ainfi )'ai z.'=^ 200. à très-peu de chofe près. Autrement. Pour élever à la féconde puifTance la ra- cine approchée 14 -^ j^Ti <î"^ "°"^ venons de trouver par l'opération précédente fur la première formule d'ap- proximation par défaut, je réduis l'entier en fraftion , en le multipliant par ce dénominateur,- or 14x1386 donne 19404 , auquel j'ajoute le numérateur 196 , ce qui donne la fradion 'JÎÎl- dont le quatre = lilIiZI^ , 1586 19 to 996 enfuitc je divife le quarré du numérateur par le quarré du dénominateur. Divifcur '\ Dividende \ ^lotient 19. 20. 5)9 6/ 38. 41. 99. 20. I. / 200 -4— ij.io.s9«. 20 .... 38. 41. 9^. 20. G refte o : r Le Qiiotient eft 200 1 9 ZO 9 9 6 Ain fi L I V p. E 5£ C O N D. 4iT Alnfi fubdituanc ce quotient qui cft la valeur du quatre SjZ dans l'équation propoicc z,z,^^= loo. La fraction infenfible .... -+- 19 10996 eft la diiFérence des deux membres de l'équation , donc la racine trouvée 14-^^ efl: très-approchée. Second Exemple. Sur la formule d'approximation par f%.chs aa /'. Soie encore z?- ■. 20o. = .r.r h. " 1°. Pour me fervirdela formule d'approximation par excès aa h , je prends le quarrc prochain i2.j = <î4 plus grand que l'homogène 200, fa racine cfl: 15 a, or 2ZJ == 200 refte 2 j =^ j donc la première ra- cine approchée eft ly a. z". Pour avoir une féconde racine plus approchée , je fubftitue les valeurs trouvées ly = a , de z^ == l dans la première formule d'approximation par excès a b 7-; , ce qui donne i j ii , c'eft la féconde racine approchée; je l'élevé à la féconde puiiïance pour la com- parer a. l'équation propofée, en la fubftituant à la place de z'^. ...--' j^ il Multiplication. ' jo 22J El 37t -f- ?00 7fO 61^ ' ZIÇ 1 ' 30 500 OU iz^ zy -i- 1^ =a zoo -f- f. Amlyfe, 2.*; 4i8 Analyse générale, Stibftitution. z z=3 100 = i o o -+- I , or la différence des deux membres de cecte équation cft d'environ f. 3 '. Pour avoir une troifiémc racine encore plus ap- prochée, )e me fers de la féconde formule d'approxima- tion a '^"^ ' , dans laquelle je fubftituc à la place 4X IIJX If «IÇ des lettres leurs valeurs , j'ai i j ' •■ 8 X ;;7; — 4x15x15 ' 900x15 ^l^i ^^ réduit à 104. 04 -t- 188 -4- f— , cndivifant la féconde fradion par fon dénominateur 13 , ce qui me donne' 105. 5)1, ■ 44. y°. Je fubftituë ces valeurs en nombres de ;i &: de;:2i en leurs places dans l'équation propofée 2,2, = 100 & 300 , ce qui donne 144 100 z, -H 300 ioj.5)i -^ ~ =io2,.pz-j- 300 = ioy.pl. { 13 { ,1448 { 18S 11:4 10 4 I 4:8 104 aaa ij 428 Analyse générale, La différence des deux membres de cette équation eft donc H- ~ , c'eft l'erreur dans le quarré , donc l'er- reur dans la racine approchée eft moindre que 7^ par excès. Opération 100 Z. = lOi -h- ij X 100 [oz. 00. -i- ^^='(=91 -î") -h 91 donc 100 ;:. =: ICI. 5)z I ICO ... 117 5:0 .... z 6 4 loz-Hr^ Y. Z, =■ 10: 1 1 1 i 104. 04 1 ! Z,'- = 104. 04 -f- iff^ ( 188 -i- ) -i- 4f: donc z,- =: 10^. 5)z ' "''' 169 On peut encore continuer l'approximation à l'infini , en fe fcrvant d'autres formules d'approximation tirées des principes que nous avons établi dans la première Seclion de ce livre. LlVRESECOND, 42,9 Seconde opération. Suivant la formule d'approxima- -tion par excès4i 300 Et par les formules d'approximation par excès je trouve z.^ = 100 z — 300 5) = Z9I 500. avec une différence infenfible qui réfulte de l'évaluation des fractions , que je néglige pour abréger. Farallele de P approximation fnr un même exemple dans les trois formules des équations du fécond degré. Dans le réfultat je néglige les fradions qui font in- fcnfibles. 451 AnAÎ-VSE GENERALE, 1". Dans la première formule ::,- -4- looz. ■-. — 300. la première opération donne 8 -f- 292 300. la féconde opération donne 5) -f- 291 =300. 2'\ Dans la féconde formule z,- == 100 z, -t- 300. la première opération donne 10592 = 10291 -+- 300 la leconde opération donne 105. 01 -4- | . 102. 00 —H 300. 3°. Dans la troifiéme formule z'-^iooz, 300. la première opération donne 8 = 292 300 la féconde opération donne 9 291 ■ 300. Ces équations irrationcUcs font contenues dans l'intcr- val des deux équations rationclles ; fçavoir , Icquation z,^ -+- 100 z. = 204, dont les racines font z, -+- 102 = o , &: ~ 2 = o,& l'équation z,- -+- 1 00 z. ■■ 3 09 dont les racines font z, -f- 10; c, 2. 3 -— n_ z, -f- 102 = o X z, 2 = o -^ -+- 102 2. 2 XI 204 0 ^^ -f- 100 ;:, 204 0 ~ -4- X 2. 103 0 3 0 ;i' -+- 105 z. 3 ^ 309 L 7= 0 2.' — f- 100 2 309 Z, 102 = O X Z, H— 2 = O 2,^ 102. 2, 204 0 2 2. ^1 100 2. 204 0 Livre second. = o X z -{- 3 = o 435 103 == o > 103 z, 305) 3 ^ 100 z, 30P 101 ^=: O Z == O s," -4- -+- lOi 1 ~ -f- 204 — - 0 ~" -+- 104 z, -+- 204 ■ 0 z, X z. -4- 103 3 ■■ 0 3 OC) ; z,^ -f- 103 3 - -f- z, 0 106 z. 309 Réfolution des équations irrationelUs du troifiérne degré fur es é'JImples,par les formules d'approximation. - Dans les équations pures & fimples du troifiérne de- gré,comme5.':= loo, 000= <î'H^^, dont l'homogcne n'cftpasun cubcparfait,mais imparfait compris entre les deux cubes parfaits prochains ; fçavoir, le moindre 97336 =.î' dont la racine eft 46 = a, qui étant ôtée de l'iiomo- géne piopofée == 4, dont le cube= ^4 Analyfe. - hhb . 454 Analyse générale, qui eft trop petit de 36 , mais foit z- = j , foncube = 115 qui excède 100 de zj. Fremiére opération par la formule d'approximation par défaut pour la racine a -4- ' j . ^ ■- 1°. Suivant cette formule, foitz.» =ioo = 4> -{- ^ «=64 -4-3^. La première racine cubique approchée par défaut eft 4 = a &: ^= 36. 2=. Subftituant ces valeurs dans la première formule d'approximation a -+- -^J^y , )'ai 4 -f- 7777^:" ^"i donne 4 -4 — — , ou 4 -f- ~,&c réduifantles deux termes de la fradion à leur plus fmiple expreffion , j'ai 4 -f- yI , c'eft la féconde racine plus approchée. z\ J'élève cette racine à la troifiéme puifTancc pour la fubftitucr dans l'équation propoléc , S>c la comparer comme il fuit, d'abord je réduis l'entier avec la frac- tion 4 -4- r| dans une feule fraction f|, multipliant l'en- tier par le dénominateur i<),& ajoutant le numcratcur iz au produit. Or le cube de — = —-^ z= 5)9 -4- __ , lequel ne diffère du cube propofé 100, que de ^^ ,ce qui donne une racine très-approchée. 3°. Mais fi l'on veut une troifiéme racine encore plus approchée , il faut fubftituer les valeurs trouvées ci- dciïus en la place des lettr.es dans lafeconde for mule fiii- vante , — III_:;=: d qui donne r=^— =^= d, . , iiSjx iig'^ -4-4':cç ;x iij-f-iî 5 37J-I- 15 ^ 400 ^ l^ qui fe réduit enfin à 4 — t- tj, c'eft la féconde ra.- cine plus approchée. 3°. Je cube cette racine 4 -f- r^,fon cube efl: 100 , —H ^î^^ , qui approche davantage par excès que l'ap- proximation par défaut 4 -H -j^ trouvée dans la pre- mière opération. Parallèle des deux approximations. L'approximation par défaut 4 -f- 77 donne 7; , qui étant réduite en partie décimales par l'opération fui- vante donne au quotient z. => 4 : /j^^ L'approximation par excès 4 -+- inï donne 7^ qui étant bbh ij 43<ï Analyse générale, réduite en parties décimales comme il fuie , donne z. 4 : 10000 Divifeur. 1 Dividende, f .^otient. 88:0000 !_ 4: 63.15^.8 19 4 76 iz :o 6 II 4 6:0 3 • 5 7 3:0 I . . I iJ I 1:0 5 ...95 I j:o 8- — . ... I y 2. Divtfeur, { Dividende. C ^totient. époooo !_ 4:^4. 28. 5 —H 14. 4 9:0 ^ 8 4 6:© 4 . 5 6 4:0 2 ..28 I 2 :-o S » • . . 112 8:0 J-f-. .... 7 0. Or cette dernière donne un quotients: =4 -f- f* j &rc. qui cft beaucoup plus approché par excès que le pré- cédent 2, = 4 -i- fa , &c. n'cft approché par défaut. Livre second. 437 Réfoltttion des êqnations irrationellcs du troiftéme degré affectées de termes moïens. Régie générale. Par la différence des deux forames al- ternatives. Exemple, i". Soit .v' ==3- oo- ^°>( i- °°°' °°°' j'ai par tranfpofirion 3. 00. oo.v= i. 000,000. x^. donc 3. 00. ooa; > i.ooo. 000. D'ailleurs .v> 3 3, car 35 = 3 j. 937. qui eft moin- dre que I. 000. 000. la diftérence cit 96. 40. 6^^. De même ,v p> 34, car 34 = 39. 304,mais a- < 3j, car 3 y 42. 87 j qui furpafle 3.00. oox. C'ell: pourquoi iuivant la régie générale expliquée dans la première Sedion de ce livre, )c fuppofc .v ^z^^-t-j^, c'eft-à-dire , 17 -H J , je fubftitue cette valeur à la place de .v, &: fon cube à la place de at' dans l'équation propofée , ce qui donne la transformée _;' -f- i t—Vfp 5 ad. Mais la formule rationellc de la racine eft. iza*-i-ifp 6 a^ p — 6aq Cette formule eft générale &: s'étend même au cas ir- réduftible , & renferme les équations qui ont des racines réelles & celles qui ont des racines imaginaires. Pour l'équation z."' == j>p z, -+- q, dans lecasiriéduc. tible , la première racine eft z. = f/ -f- y '- pj> -+- —, qui approche par excès à ,-^ ou environ dans les cas les moins favorables. La féconde racine eft c = f / -+- y \ pp -\~ '' ^ " qui approche à — î — , ou environ par défaut, &: on ■* 1. 00. 00 peut continuer de mêaie pour en approcher à l'infini. Exemple. Soit ^.' = 7569 ~ -H 24090? . ""/ racine approchée = 87, on trouve z.== 58 -+- )^i764== 100, qui cft un peu trop grande ; mais c'eft le nombre entier qui en approche le plus , ce qui fuffir pour la pratique. Mais fi on veut en approcher indéfiniment plus , on trouve parla féconde formule d'approximation c = 5: S 340 Analyse générale, nicres formules pour avoir les racines approchées en nombres entiers , & des formules d'approximation pré- cédentes pour approcher en fradion , il n'y a Ipoinc d'équation qu'on ne puifle réfoudre avec toute la préci- fion poflible. Formules générales ^our le troijtéme degré. Soit l'égalité ou l'équation zS- = ^' ^ ^ , la formule générale rationelle de la première racine cft ^ ^; ^j" ^ For;nules générales pour le quatrième degré. Soit l'équation z,-^ =:^+ — f- h , &; foit 8?' -+- 3 h=c , foit auffi c -\- 3 h = d , on trouvera pour la formule ra- tionelle de la première racine z =^ a abc Formules générales pour le cinquième degré. Soit l'équation ;.' = d\ -f- b , & foit ^a^ = e, on trouvera pour la formule rationelle delà première racine ;C=a-{- "''"-^^''khc^zab^ ^ j^ ^^^jj^ç -^^^jj^^ nelle 2, = i 4 -+- J/^ V——T — - — r aa. Sa Remarque quatrième. Par l'égalité de la féconde fomme alternative , on pourra réduire toutes les égalitcz pures &: fimples du fcpciéme degré au troifiéme , &r celles du on- zième au cinquième, &c. Remarque cinqiiic/'rte. Les formules du troifiéme degré font plus compofécs que celles du fécond, &: celles du quatrième degré plus dompofées que celles du rroifiéme, & ainfi de fuite , car il eft impolfible que cela foit autre- ment; mais auffi elles approchent toujours davantage à mefure Livre second. 441 mcfiirc qu'elles font plus élevées, par le premier corollaire du Théorème fondamental. Remarque Jixiéme. Il efl évident que dès qu'une racine eft exprimée univerfellement par une formule d'un degré inférieur àl'expofant du degré de fon équation , bc donc les expofans font des nombres premiers entr'cux ; on peut toujours exprimer cette même racine d'une manière ap- prochée par une égalité du premier degré, comme dans l'exemple précédent, l'équation du 3™. degré fe réduit à une formule du fécond degré , ou compofée du fécond degré; c'eft pourquoi elle pourra toujours être réduite, à une formule univcrfelle du premier degré moins appro- chée ; mais les puilFancesde^ & q , montent fi haut qu'elle n'eft pas praticable. Ainfi cette vérité qui réduiroit les égalitez aux premier degré &: à la fimple divifion, n'eft belle que dans la théorie , & ne peut s'étendre univerfel- lement à la pratique, comme on pourra s'en convaincre par l'expérience. COROLLAIRE G E' N E' R A L. . ' Four continuer a l'injini l'approximation des Racines irra- tionelles des Equations O" des puiffanccs imparfaites de tous les devrez,. En général. Dans toute équation d'un degré quelcon- que qui a des racines irrationelles ; après avoir trouve deux valeurs approchées en nombres entiers pour chacune des racines , l'une par défaut & l'autre par excès ; on pourra transformer cette racine irrationelle en quatre fériés infinies primitives &: fondamentales fondées fur deux formules exemplaires tirées , l'une de la racine approchée par excès & l'autre par défaut ,- chacune de ces fériés contient la valeur approchée de la racine irra- tionelle cherchée ; mais la meilleure de ces quatre fériés donne toujours une approximation plus prompte &: plus Analyfe. ccc 441 Analyse générale, grande. Comme ces férics demandent un grand dctail,i'en fais le fiijctde la Scftion fuivaiuc. On y trouvera le moyen de transformer en fériés rationellcs infinies les racmes. SECTION QJJATRIE'ME. Seconde Méthode nouvelle. Four réfoudre les Lqiixtions irrationelles ^ les puij]'a,nces imparfaites de tous les degrez.à l'infini^ pur des fériés rationnelles infinies , les plus promtes g^ les plus convergentes qui fuit pojpblc. Ou nouveau calcul différentiel & intégral réduit à l'cx- prejjion fenj/ble des nombres naturels. LTlfage de cette Méthode s'étend dans toute l'Ana- lyfc générale, &c dans tout ce qui regarde les lignes courbes, puifqu'elle renferme tous les problèmes où l'in- connue a des valeurs irrationellcs qui ne peuvent s'expri- mer exaelemcnt en nombres , &: fur toutes les équations & les puiffances dont les racines font iirationelles ; ce qui comprend les équations atfcclées de termes moyens , comme celles qui font pures & iimples , car on peut tou- jours réduire ou transformer les équations aftcélées à des équations pures & fimplesen faifant évanouir le fécond terme par les Méthodes connues, en fuppolant l'incon- nue ,v y -^ '- , où je fuppofc4 = au coefficient du fé- cond terme, &c l'expofant^ égal à celui de l'équation donnée ; ce qui eft général pour les équations de tous les degrcz où il n'y a que trois termes ,- le figne ^ cft: tou- jours contraire à celui qui précède le coefficient de l'équa- tion propofée , que je fuppofe égalée à zéro , car la fubfti- tution fait évanouir le fécond terme. Livre second. 44 j Apres cecte préparation on trouvera les racines irra- tionelles de ces équations pures & fimplcs, comme celles des puifTances imparfaites &c par la même Méthode. Cette Méthode confifte à exprimer toute racine irra- tionellc propofée ou par deux fériés , l'une par excès l'au- tre par défaut ou par une feule férié infinie de termes qui expriment fa valeur alternativement par excès & par dé- faut , c'eft-à-dirc par une fuite de fradions qui approchent continuellement de la valeur défiréc à l'infini avec la plus petite différence qui foitpoflible , foit parexcès foit par défaut ; enlbrte que dans l'infinitiéme terme la différence foit nulle, &: que la fomme intégrale de cette férié donne exaétement , quoique d'une manière inexprimable , la va- leur entière Se exaétede la racine irrationelle propofée. C'cft-à-dire que dans le quarré irrationel, comme il eft impoffible d'exprimer exadement fa valeur en nom- bres entiers ni en fraétion , on ne peut lui fubflitucr qu'une férié de fradions rationclles telles que le quarré du numérateur , ait au quarré du dénominateur un rap- port continuellement approchant & le plus approchant qui foie pofflble & le plus promptement. C'eft-à-dire que fi le quarré irrationel eft z , ou 3 , ou 1 3 , &rc. il faut trou- ver une fuite qui foit rationelle & par la Méthode la plus prompte, la plus courte &: la plus fimplcqui foit poffible. Il fautaulTipour la perfedionla Méthode, que les termes de la férié foicnt alternativement par excès & par dé- faut, & qu'on puifTe trouver les limites de chaque terme en l'élevant à la puiffance propofée; ou bien il faut que l'on puiffc former deux fériés , l'une dont tous les termes foient par excès & dans l'autre par défaut ; fi l'une de ces deux fériés manquoit , ce ne fcroit que la moitié de l'ouvrage de fait, l'on ne doit rien fouhaiter déplus; mais auffi on ne peut pas fe contenter de moins pour trou- ver la valeur des nombres irrationnaux qui font inexpri- mables en nombres par leur nature. ccc ij 444 Analyse générale, On peut comparer cette Méthode des fériés rationel- les comme celle du triangle des rapports au calcul diffé- rentiel parce qu'il y a une divilion continuée à l'infini , car chaque terme des férics donne toujours infaillible- ment la racine ou le rapport cherché avec une différence toujours décroiffante d'un terme au iuivant , foit par excès foit par défaut. De même je compare au calcul intégral ; la manière dont je compare ici les quatre léries primitives pour faire choix de la meilleure , & entre les termes de la meilleure ceux qui donnent le plus exaéiemcnt le rapport cherché; à la rigueur l'intégration de la férié cft un vrai calcul intégral, nous en donnerons l'intégration qui eft ici toujours poffible , parce que la férié eft décroiffante à l'infini. D'ailleurs le quotient d'un feul terme eft le calcul in- tégral du même rapport. Or dans le choix des quatre fériés prim.itives, quoi- qu'il faille toujours préférer la plus convergente, il y a cependant des cas dans lefquels il faut s'écarter de cette régie, lorfquc les termes des autres férics étant réduits à leur plus funpie cxprcffion, donnent un rapport plus fimple & très-approché. SECONDE METHODE GENERALE, Pour trowver les Racines irrcitionelles par des Formules rationelles. f^ Ette Méthode eft générale pour les racines V^ déroutes les puiffances imparfaites &: pour les racines irrationelles des équations de tous les dcgrcz à l'infini. Comme elle demande un grand détail nous nous contenterons de l'expliquer pour le fécond degré fcule- Qieiit. Mais on peut l'appliquer de même au troillérae Livre second. 44j degré , au quatrième degré Se a. cous les degrcz fupérieurs, car la régie eft générale. Dans les deux formules exemplaires pour tous les de- grez, a cft en général la racine de l'irrationc! propofé, &c h rcpréfente l'unicé confiante , x cfl: la valeur de la ra- cine propofée par excès ou par défaut , &:^ eft toujours le nombre irrationel propofc. En ruppofant^ l'cxpofant d'une puiflance d'un degré quelconque, les formules exemplaires générales font — b pour le premier terme, &: = pour le fe- I X. -4- ay cond terme. Ainfipour le fécond degré j'ai — &: a,i ■ éjxy i X —H itj. , Des séries rationelles en général. Définition. Les férics rationellcs font des fuites de frac- tions réglées par une loiconftante fondée (ur les racines rationelles de deux nombres rationaux , dont l'un eft moindre , & l'autre immédiatement plus grand que le nombre irrationel donné ; dans ces fériés rationellcs , il eft encore de leur elfence que ja férié des dénominateurs croifle toujours en raifon plus grande que celie des nu- mérateurs, afin que chaque fraélion diminue de valeur d'un terme à l'autre à l'infini , de telle force que fa valeur devienne plus petite qu'aucune grandeur finie donnée , quand même le premier numérateur fcroit fuppofé plus grand à difcrétion dans le premier terme , que le déno- minateur donné. D'où il fuit que quelque valeur qu'on fuppofe pour le numérateur &:, le dénominateur du premier terme, la fé- rié formée fur l'bypothéfe la plus éloignée prife à volonté^ ccc iij 44H nombre des Formules ç^ des Séries pour exprimer chaque nombre irrationel. Chacun des nombres irrationaux peut s'exprimer en général , ( dans le fécond degré , par exemple , ) par xs ^^==41. Il en efl: de même des irrationaux de tous les autres degrez. .v.v efl un quatre parfait immédiatement ou plus petit ou plus grand que le nombre propofé, fup- pofé = 41. Donc .v.v :J27 =41 = 36-1-5 ,ou = 49' — 8. Donc .V = 6 , ou ,v == 7. La première valeur de. v== 6, donne. v.v = 36. Donc XX -H y= 36 -f- y =41. La féconde valeur de x == 7 , donne .v.v = 49. Donc ,v.v y = 49 ' 8 = 4 1 . Chacune de ces deux valeurs fubftituée dans la formu- le générale, me donne une formule particulière pour cet irrationel4i ; &: fubftituant dans chaque formule parti- culière l'une de ces deux valeurs, puis l'autrcila fubftitution donne quatre formules qui fervent a. former quatre fériés 'primitives & fondamentales , dont on peut tirer une infi- nité d'autres fériés. D'ailleurs fi on prend arbitrairement d'autres valeurs pour x , l'une moindre 5c l'autre plus grande à difcrétion. On pourra former d'autres fériés à l'infini , mais elle ne feront pas les plus promptes ni les plusfimples. Moten de trouver promptement des termes fort éloignex^ dans les Séries. Comme chaque terme de la férié exprime la racine cher- chée par approximation , ou par excès ou par défaut , qui 44S Analyse générale, décroiffcnc dans les termes de la férié à mefure qu'ils font plus éloignez du premier terme. 11 eft donc important d'avoir un grand nombre de termes , ou d'en avoir de fort éloignez ; cefl ce qui m'a engagé d'employer trois genres de progreflion dans la formation des termes de chaque féric. Le premier genre de progreffion que j'employe dans la formation des termes de la ïérie , ell la progreflion natu- relle des nombres, i. z. 3. 4. y , &:c. Je me fers de cette progreffion pour trouver de fuite l'un après l'autre tous les termes de la férié en réitérant toujours l'opération fur une même formule. Le fécond genre qui eft un abrégé du premier genre , renferme toutes les autres progrcflions arithmétiques , dont le nombre eft infini ; elle fcrt à fauter un ou plu- fieurs termes tout d'un coup fans palTer par les termes moyens comme du premier au 4'^. ou du 2^. au 6'^. ou du x'. au I 5^^. &c. Et continuant ainfi à fauter des termes félon la progreflion qu'on aura choifi , on arrivera en peu de tems par deux ou trois opérations à un terme trcs- éloigné fans paflcr par les termes moyens qu'on ne pourroit trouver que par un très-grand nombre d'opéra- tions réitérées de fuite félon la progreflion naturelle des nombres. Le troifiémc genre qui efl: encore un chemin plus abré- gé que le fécond , confifte à fauter d'un terme quelconque trouvé à un terme éloigné en progreflion géométrique quelconque, double, triple , quadruple, &:c. Axiome 1. Tout nombre entier comme 4 , qui cftunc féconde puiflance parfaite dont la racine eft 2. , eft en- core réellement & (ans fiélion toute puiflance quelconque à l'infini, dont les racines font irrationelles, mais ne fc trouvent que par la divifion infinie. Jxiômc i. Tout nombre entier ou mixte , quelque pe- tit qu'il fuit , pourvu qu'il foit plus grand que l'unité , peut Livre second. 449 peut cac élevé à une puifTance d'un degré détermine , telle que cette puiffancc furpaflera tout nombre donné, quelque grand qu'il foit , par exemple la fraction { peut être élevée à une puifTance d'un tel degré que cette puif- fancc fera plus grande que 10. 00. 00. que loooo 0000, &:c. Jxiôffie 3. Dans toute féric de fradions , fi la férié des dénominateurs croît en raifon géométrique continue plus grande que les numérateurs , la fraction diminue de va- leur à l'infini , &: deviendra plus petite qu'aucune gran- deur finie donnée , quand même le premier numérateur fcroit luppofé plus grand à difcrécion que le dénomi- nateur , c'cft une conféquence nécefTairc de l'axiome précédent. Axiome 4. En général toute puifTance eft parfaite ou imparfaite , & pour expliquer plus clairement ce qui convient à toiitcsles puiffanccs, je prends pour exemple le quarré qui eft la féconde puifTance. Tout quarré propofé en nombre entiers eft ou un quarré parfait , dont la racine peut être exprimée exademcnt en nombres entiers , ou un nombre compris entre deux quarrez parfaits , d'où on le nomme quarré imparfait , dont la racine ne peut être exprimée exaftement , ni par un nombre , ni par une fraftion , ni par un nombre mixte quelconque , ainfi 4 eft un quarré parfait dont la racine eft z , 9 eft aufii un quarré parfait dont la racine eft 3 : mais entre ces deux quarrez 4 8^9, il ya 5,6,7,8, qui font quatre quarrez imparfaits , dont la racine eft plus grande que 2 & plus petite que 3. Cette racine eft irrationelle , on détermine fa valeur en général par le figne radical, ainfi V^~, V^'ëT y^~, VT, Sec. On ne peut exprimer cette valeur que par une divifion pouflée à l'infini , ce qui eft impolTible -. mais on y fupplée pat une férié infinie de fraétions , dont l'infi- Aiialyfe. ddd 4JO Analyse générale, nkiéme terme cft lui-même la racine dcfiréc , &: d'ailleurs chacun des termes de la féric approche de cette va- leur alternativement par excès & par défaut. Tout ce qu'une intelligence bornée, telle qu'eft l'ef- prit humam peut faire de mieux pour approcher de la valeur exacte de cette racine ( qui ne peut être expri- mée exadement que par l'infinitiéme terme de cette fé- ric infinie ) confifte à former régulièrement , ou une feule férié, ou Jeux fériés de fraclions qui expriment cette ra- cine alternativement par excès ou par défaut dans les plus petits nombres, &c le plus exacicmcnt quil cftpof- fible par approximation ; fçavoir , l'une des férics qui donne la racine par excès, & l'autre qui donne la même racine par défaut , dont la différence foit toujours moin- dre que l'unité, & même lapins petite qui foit poffible avec des limites précifcs &: fimples . Or les limites d'approximation les plus fimples qu'on puifie donner , foit pour l'excès , foit pour le défaut , cft lorfquc leur diffcrence dans ces deux cas eft une partie aliquote de l'unité entre les deux termes de la férié qui ne différent entre eux que de l'unité au dénominateur , par exemple, lorfque les limites d'approximation font entre ^ &: -^j ou entre :i^ &: ^ , &rc. Ainfi la pcrfedion de la Méthode d'approximation des racines irrationelles demande deux conditions. 1°. Qu'il y ait deux fériés , l'une qui approche par excès, l'autre qui approche par défaut de la racine dé- firée. Une férié feule Se unique par excès ou par défaut ne fuffit pas , car puifqu'on ne peut trouver cxaétement la racine irrationellc , on peut également défircr ou avoir befoin d'approcher par excès ou par défaut; on ne doit pas fe contenter de moins , mais aufh on ne peut rien demander de plus, z". Qiie chacune des férics foit formée régulièrement. Livre second. 4jr V/'i^c de cette Méthode d'approxi?vaîiûfJ. Cette Méthode nouvelle fcrr généralement, 1°. Pour trouver les racines irrationelles de toutes les puiflances à l'infini, c'eft-à-dire les racines de tous les nombres irrationaux potîibles. 1°. Pour trouver les racines irrationelles de toute équation numérique quelconque. La préparation coniifte à trouver pour chaque racine deux valeurs approchées en nombre^ entiers, l'une par excès , S^ l'autre par défaut, qui donnera deux formules exemplaires tirées de l'équation propofée, cnfuitc fubfti- ruant dans chacune de ces deux formules exemplaires les deux valeurs approchées en entiers de la racine , alors on aura quatre fériés rationelles dans lefquelles la ra- cine fera transformée, & au nioïcn de cette transfor- mation, la différence de la racine cherchée deviendra moindre qu'aucune grandeur finie , &; cela fans aucun tâtonnement ce qui mérite attention. Il y a un choix à faire entre ces quatres fériés primi- tives, ic une infinité d'autres fériés qui en peuvent être dérivées , comme nous le verrons dans la fuite ; pour pré- férer la plus parfaite de toutes , qui eft celle qui fe trouve diredement par le triangle des rapports , &: qui concourt avec celle des formules dans un feul cas , c'eft lorfque ff.emar^iie. Dans ce Traité je ne parle que des nom- bres entiers qui font irrationaux; mais la Méthode s'é- tend également atout autre nombre rompu ou mixte quelconque , il faut feulement le préparer en le rédui- fant en une fraélion unique , & tirant féparément la ra- cine approchée du numérateur & celle du dénomina- teur. Ou bien par une Méthode plus fimple & plus éléo-antc, dans cette fraction je multiplie le numérateur par le dé- d d d ij 4yi Analyse générale, nominateur ; enfuite je tire la racine approchée du pro- duit, 3c je divife cette racine par le dénominateur, & le quotient me donne la racine dcfircc par approxima- tion. £» quoi confijh cette Méthode. Soit un nombre irrationcl quelconque , dont on de- mande la racine quarrée , par exemple , il s'agit de trouver une férié infinie de nombres quarrez en entiers pris deux à deux comme une fraftion, tels que le quatre du plus grand qui eft le numérateur de la fraâ:ion,qui compofe chaque terme delà férié, ait au quatre dudé- nominateur de la même fradion qui eft le plus petit , un rapport continuellement approchant & le plus appro- chant qu'il foit poflible. En général, je fuppofe tout quatre irrationcl expri- mé en nombres entiers = aa-^ y --=c. Je fuppofe a la val'eur approchée de la racine en en- tiers à moins d'une unité près , foit par excès, foit par défaut, d'où il fuit que j eft toujours entre i qui eft la plus petite valeur polTible, U. i a qui eft fa plus grande valeur, car ^\ y ■ i a -+- i , le quarté donné a a H- y == aa-^ za -+- i , dont la racine cxadc en entiers eft fl^ I, & par conféquentle quatre donné ne fcroit pas irrationcl, mais un quatre parfait, ce qui eft contre l'hy- pothcfe- La formule générale exemplaire qui doit fervir de Mo- dèle pour trouver la racine quartée de tous les nombres irrationaux eft 4- i". tetme. Et "" ~T \ pour le fécond b IX— |-«t ' tet me,dans lefquels x =^ a , racine en entiers ou par excès ou par défaut, b = i , bc c = le nombre irra- tioncl donne , ces deux valeuts donnent la férié la plus prompte, &: toute auttevaleutfubftituée dans la formule ne donne point la férié la plus prompte. Lxen,vlc. Soit an -^y = 41. Livre second. ^^^ i". Sijc prends le quarré moindre ^6, j'ai 41 ==36 5 , qui donne a = 6 , mais li je prends le quarré plus grand 49 , j'ai 4 1 == 49 8 , ou cettlapre- miére férié | , }~, z°. Suppofanc 4 =^7 S>cl>^= i Jafubftiturion donne j« y . 6^-4-4'^ 6 X 7 -4- 4' X I 41—1-41 8} i "^ la-^èb ix7-h*X' ' ^ 7-1-4 "~"~ 'îT' c'cft la féconde icric 7 , 7^ La féconde formule exemplaire tirée de la racine 7 du quarré 49 qui furpaiïe 41 , cfl: -^ & ^^"^j""', dans la- quelle je fubftitue les deux valeurs de a qui donneront deux autres fériés primitives. 3°. Suppofanc a = 6 bc b =: i , &: fibftituanc ces valeurs dans la féconde formule , j'ai -^ = f , & 7 — { = ■; — — r =^ — - — = f4-,ce qui donne I a -4- 7 i 1X6 -t- 7x1 6 _)- 7 ' ' ' i la troifiéme fcrie - — î I î • 40. Suppofant a = 7 , & ^^= i , fubftituant ces va- leurs dans la formule exemplaire ■f-,&:"^'' , 'j'ai? il ■ 'i — r 7 i> ■ ' ' 7 X 7 -H 41 X I 49-1- 41 90 , n 1 • ' r' • ; = —r — = 7- , c cil la quatrième ferie. Jx 7-!- "/x I 7 -h 7 "* ^ Paradoxe. Quelques nombres qu'on prenne pour x Scy, pourvu que le premier furpaîîc le Iccond , la for- mule donnera coujours nécclTaircment la racine dc- £rée , mais ce n'eft pas le plus court chemin , &: c'eft un dd d iij 4f4 Analyse générale, vrai Paradoxe; c'eft-à-dirc qu'en continuant la formule fur des nombres pris arbitrairement , on aura toujours une férié approchée de la racine dcfirée, &: l'infinitiémc terme fera égal à cette racine défiréc. Il y a une parfaite analogie dans la férié des formules rationcUes des nombres irtationaux, comme on le verra dans la table qui fuit, que l'on peut continuer à l'infini; cette table comprend également les nombres rationaux &: les nombres irrationaux , ce qui démontre l'univerfa- litc, l'excellence & la juUclFe de la Méthode, La conftruâion des formules eft facile pour tous les irrationaux. Le premier terme cfl: toujours y, le fécond terme con- tient au numérateur Se au dénominateur a -+- h , avec des cœfficicns qu'on détermine comme il fuit ; dans le numérateur le coefficient de a cfl la racine approchée par défaut dans la première formule , c'eft la racine du quarré parfait moindre que l'irrationel donné ; le coeffi- cient de^ eft le nombre irrationel donné; dans le déno- minateur , le coefficient de a efl toujours l'unité confiante, &: le coefficient de b eft le même que le coefficient de a dans le numérateur , qui efl la racine approchée par dé- faut dans la première formule. Dans la féconde formule le coefficient de a dans le numérateur, & de ^ dans le dénominateur font la racine approchée par excès , c'eft à dire, la racine en entier du quarré parfait plus grand que le nombre irrationel donné , le refle eft de même comme dans la première formule, d'où il fuitque les quarrcz parfaits n'ont qu'une feule formule qui fert à former celles des irrationaux plus grands ou plus petits. % L I VRE SE C OND- 4JJ Table géncr^de de U fermution des formules rationelles four trouver U racine qtiarrée des nrmhres ratien.t(ix é" irrationaiix. Qiiarrcz. \°.\^~. rationel== — , - — , - — , dont l'excès 5c le défaut dans les quarrez font alternativement z , -f- i. La féconde & la meilleure eft -p- & . \ , qui donne,— , —, — ,— , ^^^, ^^7-, dont lex- ces & le[défaut dans les quarrez font alternativement &c. 4°. V^T", rationel. f & T^qril , qui donne f , | , ^^ , |i , & le quotient de chaque terme eft toujours i = à la racine de ".. 4y6 Analyse générale, yo. V^~ irrationcl =a a-^l> = 4 -4- 1,00 = 5) — 4- La première formule -7- &: ^^ . ^^ qui donne -^ — , 161- 9_ _ 4 ' '7 '7 La féconde rormule -r- & ~ — _, ,■ qui donne &cc. é' ]^6 Irrationcl =a 4 -*- ^ = 4-1- 1 ,ou^9 — 3. La premicre rormule — &; ^ ^ ^ ^ ^ qui donne - — , 5 — 11-+- 49 — 118 -H , — , y- ,ro > "IT" alternativement 2 &-+-!. La féconde formule — &c , ^_j_,^ qui donne Sec. 70. V^y irrationcl .=: rf4+^ = 4-f-3 , ou = 9 — 2, La première rormule — & ^^ ^ ^ ^ qui donne - — ^ II — Jo-4- iM , — .• ^^ — > 1i — , alternativement ^,-^c!^—2.y, -+- 81. La féconde formule — & \^^,/, c'eft la meilleure, qui donne - — , - — , ~ , -^ — , alternativement -4- 2,-— I. ■ 8". V^8. irrationcl = ^^+^ == 4-4-4, ou =3 5) — r. La première rormule— &: 773777 qui donne - — , , 14+ 17 8z -H 99 — 7— ' 1 ' ~6 ' 17~~ ' 7^^ alternativement 4 p". V^j, . rationel t= j<î^^=i4-i-y,ou=;=:c);=: 3x5. La > fi ' i? ' 3i I. co nd ,e formule la meilleur — " > 17 — 99 6 > 5J • excjès I Livre second. 4^7 La formule eftf &-^y^qiù donne i,^,^,^, &:c. 1 1°. K'I^ irrationel =rf^?7Îl ^ =9-1- i , ou = 16 — 6^ La première rormule cft — & -^^ , , , c clt la meil- leure qui donne ^ — , , alternativement — i & H- I. La Icconde rormule 7- & -r — ; qui donne , &c. 11°. I^ïT irrationcl = 4,î^^/'==9-l-i,ou=: i(î — j. La première formule cil: ~ & \^^_> . ^ , c'cft la meil- leure qui donne \ ,^ ,jj, '■— , ^f^ alternativement — i, &C -+- z comme dans K"^ La lecondc formule cit— & ^ ^ , ^ qui donne, &:c. iz°.l^Tz- irrationel = 44^ ii=:9-+-3,ou=i^ — 4. La première formule cft î & — — ^ qui donne, &c. ' i I ^-(- 3 i ^ ' La féconde formule eft f & '^""'T'^; qui donne, &c. 13-. y^Tï irrationcl = aa + /' = 9-4^4, ou=: lé — 3. Ce nombre irrationel 13 , cft le premier &: le plus petit nombre où l'on peur appliquer la Méthode dans toute fon étendue & former les quatre fériés primitives & fonda- mentales , parce que c'cft le premier & le plus petit des nombres premiers qui furpaffc & qui eft furpalTc de même par les deux quarrcz parfaits immédiates 9 & 16 entre lefquels il fe trouve compris ; car i 3 furpaflc 9 de 4, ôi eft furpaffé de 3. par 16. Donc v^;|y = 4 ,ou 3 -4-,&: fubftituantces deux valeurs à la place de ^z &: i à la place de b dans les deux formules primitives , on formera les quatre fériés pri- mitives fuivantcs. Arialyfe. eeç 4j8 Analyse geherale, La première formule pour v^TT cft * & 7^^^ ^"'^ , . , ^, . 5+ II — j8-+ IIP — donne la première Icrie î — , , ~ , — — , 5^, &c. fuppofant^ = i- Et la même i''. formule fuppofant f = ^ donne la r J r' •« 4 — i?-H 85-f 137-+- S°5 — fecondeferie, — , y- , ~ , -jf^ , ^jr" ' La féconde formule cft ? & '^'"t 'S q^^i donne r fuppofant f = - y la troifiémefcrie toute par excès 3 H- ly -4- ipi-+ i4f ? -H o.- Et fuppofant î = î , on aura la quatrième férié toute . efaut— ,-|— ,^^,— — , &:c. 140. v77irrationel=: /r<î ^^ = 9-1-5, ou= 16 — 2. La première formule elt - &: ^^ ^ La féconde formule cft î & A'^-^h i, 1 .1 -1- 4 6 15°. v/77 irrationel = rf' La première formule 7 &: ^-^ — ,-^ Livre second. 45-9 La féconde formule eft "- & il:±ll± &c. &c. 17°- »/î7' radonel =:<î,r=:yxy = zy. i8<^. \/^ irrationel =^4 3+^, = 2jh-4, ou=jé — 7. La première formule eft - & ^ ""^^^ différence — 4 h 16 — 64. qui donne *--^, ——, ^ — -î- , &c. La féconde formule eft ^ & 19°' V j7 irrationel = <î4 74i^=ij-4-^,ou=3(î — y. La première formule elt ^ &: ^ ^ i.^^' qui donne j, f^, Hi- La féconde formule ^ &: ""^^'f- c'cft la meilleure qui donne | , ff- 1°. x/Ji" rationel = ^f^ •^^ ^ = fuppofant ^ = i^ -f" i = y -+- 5 -H I. ce qui donne = zy -h rvj -t~ i ==^ 3^> ou aa — ^ = 49 — I^ -+-1=349 — I3 = 3(î. 2.0°. v^^ irrationel =3 ^jH;^ Z'^: 36-4- y , ou 49 — 8. T •' r 1 nan^" "4" 4' b La première rormule elt - & ; ^-L-gT La cinquième formule eft ^ & ^"^ ^- fuppofant * = f , la première formule donne la première fèrie 6-\~ '77 — pf4-+' iigj?; — J46766 ■ î ' il ' 149 ' 1848 ' iipii. - r— r— ? la première formule donne la féconde férié y , s î 1 q; 1 1178 7 I 5 < >99 I5> 161 ' 1997 ' 14769 * En fuppofant j =: -, la 2.'''^. formule donne la troiûcmcféricf, ii., ui.^ , iifi^. eee ij fuppofant 46o Analyse générale, Enfuppofant j = ^, la féconde formule donne U quatrième férié i , 2|- , i|i| , iliii , &c. On peut continuer cette Table générale à l'infini ; car tous les nombres pris dans la (uite naturelle , font , ou des fécondes puifTances parfaites comme 1.4.9. 16. 25. 36. &CC. ou des fécondes puiiTanccs imparfaites. Dans toutes les fécondes puifTances parfaites , il n'y a qu'une feule formule laquelle donne une racine exacte à chaque terme de la (crie , parce que toute puilTancc par- faite a fa racine exade. Cette formule n'efl; pas néccffai- re , pour avoir la racine exade de la puilTance parfaite puifqu'clle fe trouve plus facilement par l'cxtraétion or* dinaire ; mais elle fert à confcrver l'analogie & à former Icscœfficiens dans les formules des nombres irrationaux. Par exemple , dans V ^, puifque 3 6 cft un quarré par- fait dont la r.icine e{\. 6 ,\z formule eft- & 6 ;? -4- 3 6 t. i 1 a-\-6b Or la racine de ^6 eu. 6 qui eft une racine exaclc &: non pas approchée , d'où il fuit néccffairemcnc qu'en fubftituant cette valeur dans la formule , on aura r : — - ^. premier terme qui donne la racine exacte. De même la fubftitution donne dans le z^. terme ^"-^i^^ ___ jg-Hîg Or chaque partie de ce fécond terme donne 6 -4— 6 encore la même racine exa£te &; en continuant la féric à l'infini, on trouvera toujours le même rapport : mais ce rapport ne feconfcrvc pis de mcmc dans les nombres ir- rationaux , parce qu'il eft impollible de trouver exade- încnt leur racine. Formation des Formules. Les irrationaux ont toujours deux formules , l'une par Livre second. 4(îi excès , formée fur le modèle de celle du nombre rationcl plus grand , & l'autre formule par défaut formée fur celle du quarré rationel plus petit ; par exemple 41 cft un irra- tionel compris entre deux quarrez parfaits , fçavoir en- tre 3 6 dont la racine eft 6 = it,&c entre 49 dont la racine Cft 7 =: ,?, La formule univcrfelle cft — pour le premier terme & pour le fécond terme ——L- , je fubflituë la première valeur a = 6,?>c b ■== i , & f = 4 1 , quarré propofé im- parfait, j'ai ^"+^12 enfin fubftituant a en la place de y , & ^ au lieu de j , j'ai f & ^1±±'± auï donne ^ = ? Premier terme. Et mi— = — ZllJl := i_Z!_±. . Second terme. 1x6-+- 6i i a-\- 6h <5-+.6 Ainil les deux premiers termes de la férié font 4. — fi je fuppofe le fécond terme ^ égal a la première for- mule du premier terme ^ &: fubftituant fa valeur dans la formule du fécond terme ^_"IHÎ_ , j'ai pour le troificmc 1 «_4_(3i terme de la féric ^LILZÎLL'JlâL = ^±49i ^^ ££4, 1x77-1-6x11 77 -h 7^ "49 Suppofant enfuite ce troifiéme terme 2if == ?: pour avoir le quatrième terme en fubftituant to'jours fa va- leur = - dans la formule du fécond terme '^''~*~4' ^ h 1 .1 -)- 6 i l'aurai le quatrième terme U3ll, Et continuant toujours de même , on trouvera autant de termes de la première (^éric qu'on voudra. Exemple. Pour trouver la racinede 41 , qui efl: un quar- ece ilj 4^i Analyse générale, ré imparfait compris entre le quatre parfait }6 dont la racine eft é , &: le quarré parfait 49 dont la racine eft 7. Donc la racine quarrée de 41 eft plus grande que 6 &: plus petite que 7. Ce qui s'exprime ainfi 41 = z?^ + ^ : = 3 6 •+- j , ou =49 8. Doncv a^_4__y =4 -I- V— = 6 -H v^~, 1". valeur de it ■■ ; 6. Donc V «a — ^^ .= 4 — v*~ = 7 VX iJ'-'. valeur de <î =. 7. La première valeur de .? = 6 , donne la première for- mule- & ^"T Vt' La féconde valeur de .; =7 , donne la féconde for- mule - &: ^- — -V^-r-. 7, cil: la formule univerfellc du premier terme , conf- cante 6c invariable dans fon cxprelTion , parce qu'elle n'a point de coefficient fi ce n'eft l'unité qui eft toujours fous-entenduë. La formule du fécond terme a toujours "-4-^ tant au numérateur qu'au dénominateur avec des cœfficiens par- ticuliers dans chaque irrationcl. Le coefficient de a au numérateur &: de ^ au dénomi- nateur , eft toujours le même ; c'cft dans la première for- mule la racine approchée par défaut , c'eft-à-dirc, la ra- cine exaéle du quarré moindre que le nombre irrationel donné , ceft 6 racine de 3 6. Dans la féconde formule c'eft la racine approchée par excès, c'eft- à-dire j la racine exade du quarré immédia- tement plus grand 49, que le nombre irrationel donné, ici cette racine eft 7 racine de 49. Le coefficient de i au numérateur , eft le nombre irra- tionel donné. Le cafficient de a au dénominateur eft toujours l'unité. Livre second. 4(Îj Dans chacune de ces deux formules je fubftituë les deux valeurs de a-. : é^^^y, ce qui me donne quatre fériés. Subftituant a = 6 dans la première formule , j'ai la première férié f, H", tt, H^rf» "^^ &c. Subftituant 4 =7 dans la première formule, j'ai la féconde icrie 7 , — > TTT > -7T?T > iTTr^ > ^'^■ Pareillement fubftituant a =7 dans la 2.<1-'. formule, j'ai la troifiémc férié ^, f^ , ii^\ i^, iLf^ , &c. Enfin fubftituant c h égaux à tel nombre qu'on voudra avec cette feule con- dition ou reftridion que a foit plus grand que h , par exemple , on peut fuppofer a = 100 , &: fuppofer b = 7 , ou 1 3 ,ou 91 , &:c. ou 99. L'excellence de la for- mule eft telle qu'on approchera toujours indéfiniment de la valeur cherchée foit par excès , comme de ■— = J^JT, foie par défaut comme de ■^° == V"^, 'Î'^^V qu'extravagante que paroiffe d'abord la fuppolition. Remarque JliQnde. Il y a évidemment un choix à faire de la meilleure des fériés pofîibics à l'mfini ; la plus fimple & la meilleure de toutes eft la férié formée par le triangle des rapports , comme nous le verrons dans la fuite ; mais auparavant il faut expUquer tout ce qui concerne ces fé- riés, leur formation Se leurs genres ou cfpéccs diffé- rentes. 1°. Dans chaque nombre irrationcl donné, il y a deux formules générales; fur chaque formule on trouve drux fériés primitives ou fondamentales , & fur chaque férié primitive ou fondamentale on peut former plufieurs feriez dérivées à l'infini. , 464 A K A L Y s F. GENERALE, La fcflc primitive &: fondamentale ed celle qui con- tient de fuite cous les termes qu'on a trouve par la for- mule propre. Les feries dérivées font celles qui font tirées d'une féric fondamentale , Sc dans lefquellcs les termes ne fui- vent pas l'ordre naturel comme dans la férié primitive , mais ils fuivent un nouvel ordre d'expofins , ou en pro- greffion arithmétique ,ou en progrclîion géométrique, ou en progrcifion quelconque compoléc de' ces deux progrc(fions. Ainfi il y a des fériés dérivées de deux genres ditïc- rcns, le premier genre contient les termes de la férié pri- mitive Sc fondamentale, félon une progreflîon arithmé- tique quelconque; c'eft à-dire, dont le? expofans font pris iion pas de fuite , mais en (autant ou un , ou deux termes, ou trois ou quatre , &:c. félon une progreflîon arithmé- tique quelconque, I. 3. j. Sec. ou I. ^.^.Scc; & comme on peut prendre les termes de la férié primitive fuivant toutes les progrefllons arithmétiques pofliblcs qui font infinies , & d'une infinité d'efpéces ; cela donneautanc d'cfpéccs différentes de fériés dérivées fclon la progref- fion arithniécique. Le fécond genre contient la progreflîon géométrique des expofans des termes de la férié fondamentale , &c comme il y a une infinité de progreflions géométriques à l'infini , cela donne une infinité d'efpéces de fériés dé- rivées en progreflTion géométrique. L'ufige de tous ces genres de fériés en progreflîon arith- métiquc&:géométrique,confiftcàabréger& donner prom- temcnt la perfection à la férié la plus parfaite lorfqu'on l'a trouvée , par exemple , s'il faut trouver le centième terme de la férié primitive, comme il feroit trop long de réi- térer cent fois la fubftitution &: les opérations fur la for- mule , )'ai recours aux formules des fériés dérivées en progrelTîon géométrique qui donnent facilement & proni- temenc Livre second. >^,- teraent le nonante-fixiéme terme, car fi l'on prend le troifiéme terme de la férié primitive pour le premier de la férié dérivée , &c que l'on employé la formule de la progreffion géométrique double, on aura ie 3<:, leé^. le ï^^ le i4\ le 48^ le ^6- terme. Enfuice ajoutant a la formule de ç)S la formule de la progreffion arithmétique pour fauter trois termes , j'ai 96 H— 4 = 100'^, terme cherché. Ainfi toutes les fériés dérivées fervent pour abréger l'opération de la férié primitive &c fondamentale, & pour avoir une approximation pluspromtC; de telle forte qu'on trouve en peu de tems par leur moïen une férié dérivée de trois ou quatre termes extrêmement convergente , & réduifantces termes à la plusfimpic expreffion , lorfque le numérateur &c le dénominateur d'un même terme ont un dlvifeur commun, on trouve par ce moïen la férié la plus fimplc, &: en même tems la plus convergente ; or c'cft par la Méthode du triangle des rapports que cette férié fe trouve infailliblement , de forte que tout ce que nous dirons ici fur les formules rationelles, n'cft qu'une préparation qui fert à trouver les matériaux né- ccfTaires pour former le triangle des rapports qui donne la plus fimple , la plus convergente & la plus parfaite de toutes les fériés. Mais les fériés dérivées foit en progreffion arithmé" tique continue , foit en progreffion géométrique con- tinue , ou dans une progreffion quelconque compofée de toutes les dcuXjfourniffent un moien court & facile de continuer à pas de géans cette férié qui eft la plus par- faite de toutes , & qui exprime le plus exaftemcnt &: le plus promtemcnt qu'il eft poffibJe en nombres entiers la racine quarrée défirée : les mêmes termes de fériés s'étendent également pour trouver les racines des équa- tions & des puiflfances de tous les degrcz à l'infini , en obfervant ce qui leur eft propre comme nous le verronS) Ânalyfe. fff 466 Analyse générale, Un point elTentiel qu'il ne faut pas perdre de vCië , font les limites d'erreur dans chaque terme des fériés , je les donne dans le quarré &c dans la racine, foitdans les fériés qui donnent l'approximation par excès , foie dans les fériés qui donnent l'approximation par défaut, de forte qu'on trouve à chaque terme l'excès ou le dé- faut qui manque à rexa(5luudc géométrique qu'il cft impodiblc de trouver par la nature des irracionaux. Enfin je compare toutes les fériés pour choifir la plus parfaite, qui eft toujours celle que le triangle des rap- ports donne direûement; mais pour former cette férié, il faut pouflcr les autres fériés aifez loin pour avoir au moins quatre ou cinq quotients générateurs , comme nous le verrons, qui ferviront de matériaux pour former le triangle des rapports. Pour expliquer cette Méthode , on pourra en faire l'application à la racine quarréc de trois irrationaux qui font importans dans la géométrie. Le premier exemple eft v~,qui exprime le rapport de la diagonale du quarré à fon côté z=: i. Le fécond exemple eft v~, qui exprime le rapport du côte du triangle équilatéral infcrit dans le cercle au raion du même cercle, & c'eft de ce rapport de \^~ ' ^ I , que dépend la quadrature du cercle. Le troifiéme exemple cft V^, qui cft un exemple choi- fi à dcffein d'expliquer cette nouvelle Méthode dans toute fon étendue dans les fériés primitives , car c'eft le plus petit & le plus fimple des nombres premiers où les va- leurs foient différentes. Car 41 = aa ■jz.j , ou pour mieux diftingucr les va- leurs des lettres = tia -{- j = 36 -+~ 5 = 41 , & = ce d = 45» 8 = 4 1 . Où l'on peut remarquer que les quatre valeurs a,j , c, d^ font toutes quatre diftcrentes , puifquc a == 6 ,7^= Jj c = 7 , a Livre second. : ■ 4<î7 Quoique v^" foie lui-même le plus pent & le plus fim- ple des nombres premiers , fur lequel on puilTc former quatre fériés primitives fur deux formules , les quatre va- leurs ne font pas différentes, mais il n'y en a que deux qui fonr répétées ; car i 3 == aa — {- y = 9 —H 4, qui donne a 3 , &:/ ■ 4 , &: le même 1 3 == a a y = 16 3 , qui donne a = 4 , &/ = 3 , danslel- quels les nombres 3 &: 4 fon répétez , car a == 3 dans l'un & = 4 dans l'autre , de même que 7 , ce qui em- pêche d'appercevoir l'analogie des quatre léries des quar- rez. Premier Exemple. V^~. Le rapport de la diagonale du quarré à fon côté i , s'exprime par le rapport de J^TT à I , c'eft un rapport important chez les anciens , il ne peut s'exprimer exaclementpar aucun nombre,parce que l^TT ert une fraélion compofée de deux nombres pre- miers entre eux , par conféquent il n'ont aucune mefurc commune , donc la racine de 1 eft un nombre irratio- nel qui eft réellement dans la fuite naturelle des nombres, & qu'on ne peut connoîrre cependant que par la divi- fion de 1 poufTée à l'infini , ce qui eft impoffible par fa nature ,• ainfi ce qu'une intelligence bornée telle qu'eft l'efprit humain peut faire de mieux, c'eft d'en approcher le plus près & le plus promtement qu'il eft poflible par deux fériés réglées , dont l'une exprime ce rapport par excès & l'autre par défaut , de forte que cet excès &c ce défaut foient les plus petits qu'il foit poflible , comme ces deux fériés font la même dans tous leurs termes , excepté dans le dernier qui diftere dans le dernier chifre, tout fe réduit à former une férié qui foit la plus appro- chée. Or on peut former une infinité de férics pour expri- mer ce rapport , dont les unes font primitives & les autres en font dérivées , ce qui engage , 1 3. à donner le détail de leur formation ; 1^. à trouver leurs limites ; fffij a6% Analyse générale, 3°. à les comparer pour faire choix de la meilleure ; 40. à porter la meilleure au degré de perfcdion néccfTi^irc , pour exprimer le plus promtement qu'il eft poflible le rapport cherché, &: de la manière la plus approchée. L'unique formule exemplaire pour V~ eft -7- & — ^ , fur laquelle on peut former une fé- 0 1 a -t- 16 ^ ' , rie infinie incomplexe , fuppofant a == 1 &: ^ = l ^ comme il fuit. — '_. premier terme. ; — 7 == 7-7-7 := f. fécond terme. I /« -+- 1 1 1 -t- 1 "■ Jcfuppofei = -,donc^-^qjY-^=^q:^ = f 3=.term. -, « 1 la— j-iè 7-4-10 7 Je fuppofe f = -. donc ^^^^^^ = -^q^j -= 77- 4^- term. &: continuant de la forte je formerai la férié infinie. I-H- % 7-4- '7-4- 4' -H 99 — ^^i-t- î j 1 > 5 ' 11 '19 > 70 > 169 i ^ • Dont tous les termes ont alternativement les figncs — t- & au numérateur -, pour trouver ces (ignés , il fuffit de confidérer que le premier terme formé fur la première partie de la formule — eft trop petit, il faut donc lui ajouter par le figne -4- le fécond terme formé fur la féconde partie de la formule, mais on ajoute trop, donc ce fécond terme aura le figne pour marquer qu'il en faut retrancher le troifiéme terme, &!:c. Autrement , chaque terme de cette féric exprime le rapport cherché alternativement par défaut & par excès. Car le quarré du premier numérateur i == i,cft iur- paffé d'une unité par le double du quarré du premier dénominateur 1 x i= z , puifqiic 2- — i = i qui eft l'excès dont le double du quarré du dénominateur fur- paflc le quarré du numérateur. Livre second.? 459 Je trouve le même excès dans tous les termes impairs I ' 3 > T > 7 j 9 > comparant le quatre du numérateur avec le double du quarré du dénominateur correfpondant dans chaque terme. Dans le premier terme i quarré de i qui efl; le pre- mier dénominateur , efl: furpadé de i par i , qui elt le double de i. quarré du premier dénominateur , car i Dans le troificme terme , 49 quarré du troifiéme nu- mérateur 7, cil furpaffé de i par 50 double de zj , qui eft le quarré du troifiéme dénominateur j , car 49 == z X 2.5 1 = 50 I. Dans le cinquième terme 1 68 1 , quarré du cinquième numérateur 41 , eft furpalïé de i par léSz , double de 841 qui efl: le quarré du cinquième dénominateur 29 ; car 1682, =^ z X 841 -+- I , & ainfi de tous les termes impairs à l'infini. Au contraire dans les termes pairs comme le fécond, le quatrième , le fixiéme , le huitième , &c. Les quarrcz des numérateurs furpaflent d'une unité le double des quarrcz des dénominateurs correfpondans. Dans le fécond terme 9 quatre du fccond numérateur 3 , furpafle de i le nombre 8 qui eft le double de 4 , quarré du fécond dénominateur i , car 9 = 1x4 -+- i = 8 -H I. De même dans le quatrième terme 289 , quarré du quatrième numérateur 17 , furpaffé de i le nombre z88, qui eft le double de 144, quarré du quatrième dénomi- nateur iz , car Z89 = z X 144 -f- i = z88 -+- i. Dans le fixiéme terme z8oi , quarré du fixiéme nu- mérateur 99 , furpaffé de i le nombre 9800 , qui eft le double de 4900 , quarré du fixiéme dénominateur 70 , car 9801 = z X 4900 —I- I = 9800 -t- I 5 Se ainfi de tous les termes pairs à l'infini. fffiO 470 ANALYSr. GENERALE, Cette férié pour vT cft la fcrie primitive & fonda- mentale , c'cft une féric incomplexe , donc chacun des termes exprime le rapport cherché alternativement par excès & par défaut. C'cfl: la première efpéccdu premier genre des fériés, qui comprend fous lui une infinité d'efpéces de fériés dif- férentes. Cette première efpéce peut fe réfoudre d'abord en deux fériés complexes dérivées de celle-ci , l'une par addition continuelle faite au premier terme de la diffé- rence des termes excédans aux termes défaillans immé- diatement fuivans. C'cft la féconde efpéce du premier genre ou la pre- mière férié dérivée complexe par addition ; le premier terme -; — cft défaillant , - — eft excédant , le fuivanc eft déraillant , c eft ' t = ^ =^— = ■ donc leur difterence eft -^^ j'ajoute cette différence au premier terme - — , ce qui donne pour le premier terme complexe de la férié dérivée par addition j -+- ■^. Je prends enfuite j &c^ qui font le 3=. &: le j=. terme defaïUans ,• or^ j^^ = = h- ^ , c'eft leur différence. De même je prends le y^ 5j le 7=. ii & ii| qui font , wr-11 4'X1«9 119X29 «919 «9?! tous deux defaillans= .9X.69 = ; — ^i = -t- 77^, , ce qui donne la première férié dcrivéei. -H T3- ~+- rrr ~^ irri » Sic. les dénominateurs 10 = 5) -+- I. 14^^ == 144 -4- I. La troifiéme efpéce du premier genre qui cft la fé- conde férié dérivée fe forme par fouftraélion , clic fe nomme complexe par fouftraftion , &: fe fait en ôtanc continuellement du premier terme de celle-ci qui eft tou- LiVRESECOND. 471 jours le fécond de la férié primitive , les différences de chaque deux termes immédiatement fuivans. Le premier terme cft -^ qui eft défaillant , le fé- cond terme eft — qui eft k premier des termes excé- dans , je prends la différence des deux termes qui fuivent ce fécond terme, c'eft 7 & 77 qui l'ont le 4^. &: le j^. ds la lerie primitive ; or 77 ■■ ■ IIXJ = =-!- c'eft le fécond terme. 60 '° De même j'ôce la différence du y=. &c du 6^. terme 41 H- 91 y, ^, 99 X 19 41 X 70 1? ' 70 ' 70 19 70x19 2871 zS70 I . , , ^"^^^ — T^ ^== r^ » '^■'^"^ ^^ troihcme terme de la fé- conde férié dérivée. Seconde féric dérivée pour v^T". | 7^ ^^ , &c. DES FORMULES. Tour trouver les Séries ratienclles infinies , primitives ou du premier gcfire. Pour exprimer OH transformer les nombres irr ai ionaux dit fécond degré. Soit propofé de trouver la racine quarréede 3. La première idée qui fe préfente à l'efprit , cft que 3 eft un quarré imparfait compris entre les deux quarrcz parfaits I , dont la racine eft i , & 4, donc la racine eft z ; il cft évident que J/'J" eft entre i & z, plus grande que i , & plus petite que z , par conféquent V~ ne peut être re- préfenté que par une fraftion j dont le numérateur a , foie plus grand que i^,& plus petit que z^;mais il eft démon- tré dans le 7, le 8 & 9 Livre des Elémens d'Euclide , que 47Î. Analyse générale, lorfque a n'cfl: pas mcfuré par h , il eft impoflTible que le quarré aa , foi: mefuré par le quarré bb ; d'où il fui: que la fraûion t ne peuc point être exa£te& en même teins b rationelle pour exprimer la valeur de K^~. Ainfi tout ce que peut faire une intelligence finie telle qu'eft l'efpric humain , fe réduit à trouver deux fériés en nombres en- tiers a Se b , tels que ^a = ^ bb^c ^ enfortc que la dif- férence c foit par excès , ou par défaut , foit la plus pe- tite différence poflible . Fremiére série des Formulesrationelles , ou Série primitive (^fondamentale ea lettres^ four V~ Premier terme. Second terme, Troifiéme terme, 4. ~b 2, a -f- 7, [) c l a -+- zb d X c -\- î d e l i -\- td f Qiiatriémc terme. ~ ~ — > y^ z <' — f— 3 ^ / Cinquième terme. ^ ^ y^ == ~ Sixième terme.... &:c, Ainfi de fuite à l'infini. Explication ô' formation de cette Série primitive. Dans - on peut fubftituer tel nombre qu'on voudra ; mais le plus court chemin eft de fuppofer a = à la ra- cine du quarré prochain plus petit ou plus grand que le quarré imparfait propofé ; ici je fuppole la racmc z du quarré plus grand 4. Dans Livre second, 473 Dans le fécond terme , il y a feulement deux lettres répétées a^b. avec des cœfficiens. Dans le numérateur le coefficient de a eft la racine h du quarré prochain 4 j dans le dénominateur le cœfficienc de ^ eft z , car cç:s deux cœfficiens font toujours égaux. Dans le numérateur , le cœfficient de h eft toujours donné , c'eft 5 dans ce cas , parce qu'on cherche la racine de j/en général c'eft l'cxpofantde la puifTance propofée. Le coefficient de n dans le dénominateur eft toujours l'unité conftante i a. , dans le fécond terme. Secotide Série des Formules rationelles comfofée des deux feules lettres a c^ b. Pour former cette féconde férié dérivée de la feric primitive & fondamentale, J'ai d'abord les deux premiers termes tout formez. • ^ Premier terme. —r b Second terme. I a H- 2. b 4 . , 1 ^ ~t~ 12,^ Le troifieme terme — fe forme ainfi. 4^ -+- 7 /; Je fubftituë dans le troifieme terme ^""^^ de la féric I c-\- i d, fondamentale & primitive au lieu des lettres cS>cdj leur valeurs comme il fuit. 7 .? -t- 3 i& Or, 7.c= ^a-+-6b Donc ■ , ■L c —H 3 d = 7 a -i- 110 Se ie==ia -f- 3 ù H— 2, d== 2. a — I— 4^^ Donc I c —H- 2. d ==^ 4 a — t- 7 ^ ce qui donne pour le j'^.tcrme ^^^^^^77^ comme ci-dcffus. Analyfe. ' ggg 474 Analyse générale, II eft facile de continuer les termes de cette féric par la même Méthode , c'ell ainQ qu'on a trouvé les termes fuivans. Quatrième terme. -. ^ 1 ^ a -h- z6b ., 97 't ~\- i6%y Cinquième terme, — ^ 56 .1 -+- <)j b te ainfi de fuite à l'infini. On peut aufli continuer direftemcnt cette féconde féric lorfqu'on a deux premiers termes comme il fuit. Puifque dans le numérateur d'un terme fuivant quel- conque , le coefficient de a cft compofc de deux nombres pris dans le numérateur du terme précédent , ces deux nombres font le double du coefficient de rf avec le coefficient de ^ , car dans le troifiéme terme , le coefficient de ^ dans le numérateur eft 7 = 2x2. -4- 5 , c'cfl-à-dire, 74 == 1X1 a ~\- 3'Or2&3 font les ca'fficiens du numéra- teur du terme précédent. Dans le dénominateur le cœfficient de ^ efl: 7 , toujours égal au cœfficient de fon numérateur a. Dans le dénominateur le coefficient de j cft 4 compofé de deux nombres ; fçavoir, du coefficient 2 de a pris dans le numérateur du terme précédent &: de 2 double de i coefficient de 4 pris dans le dénominateur du terme précé- dent. De même dans le quatrième terme le cœfficient de a dans le dénominateur eft i 5 compofé de J -\- 4-+- 4> qui font les cœfficiens de 4 pris dans le numérateur &: dans le dénominateur du terme précédent. Dans le numérateur le cœfficient de ^ , cft toujours le triple du cœfficient de 4 trouvé pour le dénominateur du même terme , ainfi ce cœfficient cft le dernier que l'on trouve ; ce qui fe réduit à trouver les cœfficicns de a pour le numérateur &: le dénominateur. Livre second. Exemple. Ayant le troificme terme ^'^"^'^ pour 475 trouver par fon moyen le quatrième terme , je dis 1x7 — }- 12, = 14 -{- I ^=. z6. ce qui donne pour le nu- mérateur zé 4, & en même tems pour le dénominateur z6 h , puifqu'ils font toujours égaux LlfJiL__. Je prends dans le troifiéme terme les cœfficicns de < ^ Il x'^ y -^ \ y Sextuple ^zx- 48 x+ -+- 1 8 x' ^1 jiat'^HH 3z.\-' j-f- éx^/ Septuple 64 .v' :+^ 1 1 r X * H- 5 6 -v' ;:4^ 7 .V 64 X 7 ^: 80 x+y -H i4 x"- j ■ ly Offuple^ izSx^ 2j6x' 160 x^ 3 ix~ 118 x^ y-^ 192 x*j-i- 8ox' j'H;;;^ 8 x' y Noricuple 2 5éx''+ 576x^-4- 431 x*"+ 120 A-''-+-9X iy6x*_7^448x^j-l-24o .v' ?' "+• 40 x'- y -4- i ;> Décuple JI2 x'° :42 l28ox*-4- 1 120 x'H^ 400 X+-I- )Ox'H[:^ i y I 2 X >■ lO' 14 x''_/ -+- 67 2 x' y~^\So x- r ■ \Q x^y Ondéciiple 1024X" -+ 2816X' -+-28i6x^~^ I 232 x' -4- 210X'-+ I I X I02.4x'°j'^2304x%'-f- 1792 x^y ^ 560X+J-+- 60 x'j :+ 17 dodécuple 2048 x"rt 6i44x'°'^:i65)i2x'^ 3^84x''-f-840x-* it 7 2 x- 2048x")'H;:5i2ox"j'-t-4éo8.v '*:+• I 79 2x'_r -(-2 8ox'_t :+ 12x^7 hi: l-ic. biC. 48c AnA1YS£ GENERALE, Table des numérateurs des termes en progrejjïon géométrique pour y^Y. i". colon. i''=. colon. 3=. colon. 4=. colon. y^. colon. ^=. colon. 7<:.C0l. Simple I .v = Double 2. X- ■± r Triple 4.v' -^ 3.V- ,^jtadruplL 8Ar+ -H 8 X- H- t .£>u 'ntiiple i6.v' H: io .v^ H- rv Sextuple ^^.v' ±. 48 x^ -4- 1 8 -v^ H^ I Septuple 64 x' ih iii.v' M- 56.v^ :+ 7-^ Octuple ii8a'» h- 2.y6.v* H- KÎO.V+ H^ 5ZX- H- I Noncuple ij^.v' ^ y7éx' -+- 43^'V' Hi I zo \-'' -t- 9X Décuple yii-v"°± ii8o.v«-f- I j zo .v^-4- 400 x^ -+- 50 X" ^ I Ondécuple ioz4.v"H;;; 2.8 16 A-' -i- 2SI5.v'± IZ3Z.V' -+- zzo.v' -'- I I X Dodécuple. i048.v"± 6i44A-'°-H 65iz.v^± 5j84.v^-+- 840 X-+ ± 7^x\ &CC. 5cc. &CC. &CC. &:c. &c. &:c. Taùle Livre second. 4S1 Table des denomin.xîeurs des termes en proQrefpon géométrique pour y—, z^-. colon. [ 3C. colon. |4e.coIon. 1 5:^ colon. 1 (î^ colon. ]7".coI. \ . colon. Simple Double \y 1 x^ y Triple £liiiidriiple £)u.iritHpU Sextuple a,x-y ±_ \y ■~y -f- 4v'_; I G x'y IX X- y 17 3zx'7 -±_ Septuple Ocliiple Nonctiple 31x7 64 x'^y ^ j 80 .v^ y 6 x'y z^x-y ir izS.v j 7H 191 v'j-i- 80 .v' y -+_ z j 6 .V [y 4^ I 448 .v*j -J- i40,v^ j ^ Décuple Ondée Ui le loz4,v jH- 67 z x'j: Z304.VJ-I- Dodécuplc zo48.v'^: 5 liCV j-f- I79i-vl;± 4(îo8Ar j- .v'v 40 .v~_r 160 X y • 5éo.v+_/ i79ZA-'7' I y 10 .V' y 60 x'-jy 280 .V') :+ li-^^ r/ &c. &c. Analyfe. Sec. &ic. ôcc. Sec. hhh &c. 48» Analyse ceneralb, Table des cœfficiens des. numérateurs. z £ I 4 3 8 8 I x6 20 y 3* 48 18 I . 32,. ^4. &c. La troifiéme colonne qui commence par l'unité à la féconde cellule vis-à-vis le double, contient dans les cel- hhh ij 484 Analyse générale. Iules fiiivantcs les puiiranccs de .v à commencer par la troifiéme qui en concient la première pui (Tance .v'. Comme les autres puifTances fonr de fuite ic leurs expofans croif- fcnt toujours de l'unité , il n'y a aucune difficulté dans leur formation. Dans cette troifiéme colonne, toute l^ifficulré con- fiftc à trouver les cœfficicns numériques d^hacunedcccs puiflances de.v, le premier cft l'unicéquc j'écris dans la féconde cellule. Le fécond cft 3 égal à la fomme 1 — t- z. Or I cft le premier cœfHcicnr, ou le cœfHcient du premier terme précédent dans la même troifiéme colonne, & x eft le cœffieient qui cft à côté dans la première colonne, auquel j'ajoute la première puifTance de .v' ; ainfi j'ai pour fécond terme 3.V' qui répond à la progrefTion triple. , Pour avoir le troifiéme terme 8.v" , je prends la fom- me des deux termes précédons de la même colonne i -f- 5 = 4 , plus le terme 4 à côté du dernier dans la colonne précédente. Ce qui donne i -1- 5 -i- 4 ^=8. avec la ■féconde puiffance de x' . e'eft 8.v'. Le quatrième tennceft zo .v' ; or :.o = 1 + 3-4-8 H- 8. Ce dernier 8 eft dans la colonne précédente à côté du terme précèdent. Le cinquième terme 48.V' vient de i H- 3 -+- 8 -+- 20 16, ce 1 é eft à côté de 20. &c ainfi des autres La quatrième colonne commence vis à- vis le quadruple à la quatrième cellule, i , y.v , iS.v' , jé-v' , 160.V+ , &rc. Ce font les puiftances de fuite de .v avec des cœfficicns dont le premier eft l'unité , le fécond 5 vient du coefficient de la même colonne i , Se des deux cœfficicns pris de la colonne p-rècèdcnte i -+- 3 =^=^4, ^n laiftant S qui cft à côté du terme précédent de la quatrième colonne. Le troifiéme cœffieient 1 8 vient de i -l- j = 6 pris'dans la même quatrième colonne précédente. Or 6 -+- 12, .= 18. Le quatrième cœffieient 56 vient de i -+- 5 -f- iS Livre second. 485 2,4 pris dans la quatrième colonne , & de i -+- 3. 8 -+-zo= 32, pris dans la troifiérae colonne. Or 14 -+- 3z = 56. Il eft facile de continuer de même cette quatrième colonne &c les fuivantes par la même Méthode. Explication ô' formation de la Table des dériomifiateurs des termes de la Série primitive en progre^ion géomé- trique pour \~ . Cette Table contient fept colonnes comme celle des numérateurs. La première colonne contient les cxpofans ou les noms des progreflions géométriques , double , triple, qua- druple , &:c. Les autres colonnes contiennent les puiflances de x prifes défaite multipliées par/ , avec des ccefliciens nu- mériques. Les cccfficiens numériques de la féconde colonne font ï. 1. 4. 8. 16. &:c. Ce font les puiflanccs de ^, à commen- cer par l'unité. Les cœfficicns de la troifiémc colonne i . 4. 1 1 , 3 1 . &:c. fc forment ainfi. Le premier coefficient ï cftà la troifiéme cellule vis-à- vis du triple. C'eft l'unité. Le fécond cœfficienc 4, == i -f- i — (- 1. c'cft-à-dirc 4 égale le cœfficienc i qui le précède dans la troiliéme co- lonne, ajouté à la fomme des termes delà colonne pré- cédente I -i- 1 jufqu'au terme du rang précédent exclu- fivcmenr, Le croifiéme coefficient II == i -t- 4 — f- i-hH-4, =:== y fomme des termes précédens de cette troifiéme colonne , plus 7 fomme des termes précédens jufqu'au pénultième rang dans la féconde colonne. Le 4™. cœfficient 32.= 1-+-4-+-11-4- i-+- 2.-f-4H-8 = 17 -\- 1 5 , fomme des termes précédens dans cette hlih iij 48^ Analyse générale, colonne & dans celle d'à coté non compris celui du pénul- tième rang , &cc. ainfi des autres. La quatrième colonne qui commence à la cinquième cellule vis-à-vis le quadruple par l'unité cfl i , 6. 14. 'io. Sec. Le premier coefficient eft I. Le fécond cœfficicnt 6=3 i H- i -l-4,c'cfl: la fommc du coefficient précédent de la même colonne Sc de celle qui précède non compris le rang précédent. Le troiiîéme coefficient 14== i -+- 6 —1— i -H 4-4- 11 ou 7 -+- 17 qui cfl: la fommc des ccefficiens précédens de la même colonne & de celle qui la précède non compris le rang précédent. Remarcjue. 1°. Dans les numérateurs contenus dans la Table , le dernier cœfficient efl toujours impair ; ainfi dans le fimple où il n'y a qu'un terme, c'cfl ix qui cft impair. Dans le double c'eft i , l'unité fimple, dans le triple c'eft 3.v' , dans le quadruple i , dans le quintuple j.v , icc. De forte qu'il fe trouve toujours une unité fimple pour dernier chifre d'un terme compris entre deux ccefficiens de la première puifTance x', lefquels cœfficiens font égaux à l'expofant du terme. z°. Les féconds termes font tous pairs , &: même tous les termes exsepté le dernier chifre ou le dernier terme feul. 3". Dans la Table des dénominateurs, chacun cfl le cœfficient ou le multiplicateur de r ou de quelque puif- fance de .v multipliée par/. Le cœfficient des termes pairs , cft toujours un nom- bre pair , même dans le double qui n'a qu'un feul terme , & il cil égal à l'expofmt du terme. Mais le cœfficient de chaque dernier terme impair efl l'unité. Tous les autres cœfficiens font des nombres impairs. Livre second. 487 Autre Méthode four trouver les cœfficiens du numérateur dr du dénominateur des termes en frogrejf\on géométrique ■pour V~. J'cicvc le binôme i .v -+- \y à la puifTancc qui a le mêir.e expofan: de la progfcfllon géométrique dcfirée. Pour la progrcflTion double , j'éleve le binôme I .V -t- ly à la féconde puifTance, X I * -f- \ y ixy-t- 1/ ix'/ -i- l^' je prends les termes alternatifs pour en faire les deux ter- mes de la fraiïtion de la formule, le premier terme \x^ Se le troifiémc terme ly- font le numérateur. Après les avoir préparé comme il fuit , je multiplie l'cxpofant 1 delà progrcflion double donnée par le coeffi- cient 1 , j'ai z X I = i coefficient du numérateur ix'- , &; je retranche^"^ du dernier terme , laiflant l'unité feule , ce qui donne le numérateur zx'^ -^ i. Le fécond terme donne le dénominateur z x'y' , ce qui- t x' ~^ I donne — -— pour le double. De même pour la formule de la progreffion quadruple dont l'expofant cft 4 , j'élève le binôme i x — t- 1/ à la; quatrième puiffance ix--i-'Z x' y' -h- ly'-. Seconde puifTance. X I ,v"-H ix'y'-^- i>'\ J x+ -H 1 x' y -H I x'-y^ •4xY- I x^y -4- z x'y^ -*- ty'^ z x'y' -H 4 x'-y- -H z x'y^ I X' H- 4 X y -4- 6 x"/- -H4x'7' -H ly-^. je prends les termes alternatifs , fçavoir le i*^''. le 3^ le 5^. Ce autres impairs pour en faire le numérateur après les 4SS Analyse générale, avoir préparé comme ci-deflus ; & les termes pairs , fça- voir le fécond , le quatrième Se autres pairs pour en faire le dénominateur de la formule qui fuit. 8-v'/ ± 4-v'/. Or cette formule vient des termes impairs. termes pairs. I -v^ 4x'/ 6-v' y ^^' y' £ c /• / 8 i*^. Comme al- „ i .Jomme alterna- ^ . , o . • j jt ■ ternative des ttve des cœmciens. /,- . -r> •/• ^ j . ' cœfnctens. vu milieu 6"" des extrêmes. ^ -'•' Des termes moiens. Ainfi le premier terme du numérateur &: du dénomi- nateur ont 8 pour cœfficient qui eft égal à chacune des fommes alternatives des cœfficiens, ce qui donne. - n , / _l_ - , / — rormule pour le quadruple. C'eft a-dire, le premier ti°rme impair donne le premier terme du numérateur , &: le premier terme pair donne le premier terme du dénominateur dont les cœfficiens font changez & égaux à chacune des fommes alternatives des cœfficiens. Je retranche dans tous les termes pairs les puiflances èiCy , en laiflant leurs cœfficiens ; de forte que dans le der- nier terme qui eft la haute puiiïance de^ , j'ai feulement I, au lieu de ij+. Dans les termes pairs , je laifTe feulement la première puiffance dej, c'eftj^', & je réduis à cette puiflance \ç% autres puifTances dej lorfqu'il s'y en trouve. Il en eft de même dans la formule de la progre/îîon fex- ?i ■V'' :+ 48 .v+ H- 1 8 .v^ -f- I . tuple. ; — ~r ^= — & dans toutes 31 A-'_>' •+ 31 .V -H Gx'y. les autres formules. Mais Livre second, 489 Mais il y a de l'arc à déccrmincr les cœfficiens dcS autres termes, comme nous Talions voir. Examen é' form^nion directe des cœfficiens. Pour connoître la nature de la progreflTion qui règne dans CCS cœfficiens , je les écris dans leur ordre _, dans des cellules égales difpofées fur un triangle redangle comme ci-deflus dans la quariéme table, afin de voir comment les mêmes nombres le répondent en ligne diagonale. I". Je trouve que les cœfficiens des numérateurs con- fiùérés en ligne diagonale donnent plufieurs progreffions arithmétiques ; ces diagonales font, i". tous , les premiers chifres de chaque colonne , 2-". tous les féconds , 3 °. tous les troifiémes termes, &c. La première diagonale eft i. i. i. i. &:c. dont la dif- férence eft zéro , c'eft la première progreffion arithmé- tique de zéro degré. La féconde diagonale efl: 3. y. 7. 9. n, &c. dont la différence conftante eft z , c'eft la féconde progreffion arithmétique du 1". degré,&:la férié des nombres impairs. La troiiiéme diagonale eft 8. 18. 32,. jo. &c. c'eft la troifiéme progreffion arithmétique du fécond degré , dont la différence conftante eft 4. Il eft facile de trou- ver de même les progreffions qui régnent dans les autres diagonales ; mais il eft plus facile pour les trouver d'é- crire de fuite fur une ligne tous les premiers nombres,en- fuite tous les féconds, &; continuant ainfi jufqu'à la fin, & négligeant les premiers nombres de chaque rang , parce que ce font les puiffances de z , & prenant par fbuftradion les différences de chaq\ie rang, on trouve- ra le degré de la progreffion & la différence conftante, comme il eft expliqué ci-deffus dans le Traité des pro- greffions arithmétiques. i". On trouvera de même que les cœfficiens des dé- nominateurs pris en diagonale font i. i. i. i. &;c.donc Amljife. m 4?o Analyse générale, la différence confiante = o , c'eft une progrcflion de zéro degré. La féconde progreffion arithmétique des cœfïiciens pris en diagonale, efl 2,4. 6. 8. 10. &rc. dont la première différence confiante a= 2. , les nombres générateurs font z Se z, cette progreffion efl du premier degré. La troifiéme progreffion des cœfïîcicns pris en diago- nale efl 4. II. Z4. 40. 60. dont la féconde différence confiante efl 4 , elle efl du fécond degté , fes nombres générateurs font 4. 8. 4. La quatrième progreffion prife en diagonale efl 8. 3 1. 80. léo. 280. 448. &c. la différence confiante = 8. fes nombres générateurs font 8. 24. 24. 8. Autre formation des cœjjiciens. La féconde colonne contient lespuiffancesde la pro- o-rcfïion géométrique double de 2 , c'efl i .v, z .v' , 4 .v' , 8 .v+ 16 -v' , &c. en général pour Texpofant /> d'une progreffion quelconque, le i", terme = 2' ' a', ainfî pour le 7^ terme j'ai z''~'= 1' = <î4.-^' / Dans !a table des numérateurs la troifiéme colonne î. 3. 8. 20. fe forme ainfi. double 1=1. ouhicn 1 = 1 trifle 3=3>= I 3 = ix i -t- l quadruple 8=4^ ^ 8=2X 3 -H 2 quintuple 10 = 5x4 20 = ix 8h-4 fextuple 48 = 6x8 48 = 2X20-h8 &c. 112 = 7x16 112:^1x48 -+-i6 2.^6=^8x32 256=2x111-4-31 ryg oX a R § 5 ;j S s s a 5 5 Livre second. 491 For-ûnile p — - ;;x 2 /- — " , p eft l'cxpofant du terme z?,expo(ant de la colonne, foicle quadruple donc^t== 4, j'ai 4 1 X %'' - ou 1 X 4=:= 8. Dans la Table des numérateurs, la quatrième co- lonne descœfficiens commence au quadruple c'eft i.y.iS. J(î. &:c. qui fe forment ainfi. qundruple i = i (Quintuple 5 == 4x1 -f- i • fexlifple 18 == 8 X z h— 2 fepttiple y (î = 16x3 o5tiiple 160 = yix 4 -Hjz. &:c. &:c, &c. &:c. Formule pour trouver tout d'un coup un terme quel- conque , p n X i''~~"~' , foit p l'expofant du terme cherché =7 pour le feptuple, &: foit« , l'cxpofant de la colonne = 4, J'ai p n = 7 4 = 3 . or 3 X 16:^^ y^, donc le cœflicient du feptuple eft jÊx'. Or l'expofant 5 de la puiflance de x = 7 4 = J > ou ^ «trouvé ci-dcflus ^— 3. La cinquième colonne descœfficiens des numérateurs commence au feptuple, c'eft i. 7. 31. 120. 400. Sextuple 1 = I feptuple 7 == 4x1 -f- 3 . oiluple 3 1 = 8x4 noncuple 1 20 = i 2 x 10. décuple 400 == 20 X 20. ondécup. 1231 = 12x100 -f- 3 2 ou 400 X 3 -H j 2. dodécup.^ 5 84 = 1232x2 -f- 1 1 20. &c. &c. &c. /// // 49i Analyse générale, La Série des cœfficiens de la fixiémc colonne des numé- rateurs commence à l'oduple , c'cfl: 1.9. 50. 110. 840- ôcc. oBtiple = I = r oti iy.1 noncufle == 5) == 4 —H 4 -4- i tf« 3 x 3 décuple 5°"= î>, le coefficient numérique du terme correfpondant dans la troifiémc colonne, eft/ 2x2' 'xa'"" ' j. Livre second, 45 j Ainfi Ço\t p==j, on aura^ z == 7 z j-^ & z^~^ =z+= j X 16 = 80, 3. expofant de la colonne. Donc p -z xz"""' == 80 , auquel ajoutant x^~* y^ j'aiSo.v+j pourlc feptiéme terme cherché, La férié des cœfEciens de la quatrième colonne cfï î. 6. Z4. 80, qui fc forment ainli en commençant au quintuple. (juinttiple I =: l X l x o Jextuple 6 == 2x3x1 p *~ — 4 feptuple Z4 = 3 X 4 X Zj y. p 3 ocînple 80 = 4x^x4 ^ * nonctiple 240 = y x (Sx 8 -^ "^ _i_ décuple 672 = 6x7x16 ^•'^ ^^ endécuple 1792 = 7x8x32 /<' yp-^ii. dodécuple 4608 = 8 x 5) x 64 L'expofant quelconque d'un terme de la progrefïion étant ■■ — = p , le terme correfpondant dans la quatrième colonne fera/» 4 y.p- — 3 x 2''"^ x x'~^ xj. Soit/ =7./- — 4=7 4 = 3- p 3 = 7 3 = 4>o''3>^4== 12- X 2'""*^= 2 ' * = 2. or 12 X 2= 24,c'eft lecœffi- cicn numérique cherché. a; """' ^= X '~' = -v* x/ = .v^y • donc le 7=. terme de la progrefïion cfl: 24 x* j. Autrement. Soit l'expofant = p = 7, le terme eft pp 7 / -4- I 2 X z"""' X .V ■""' X y. /'/=49, — 7/= 49 =o- iz X z"" * == 14 x"/. Voyez la multiplication cî- defTus. iti tij 494 Analyse générale, La férié des coefficiens de la cinquième colonne qui commence au fcpcuple eft i. 8. 40. 160. &c. fe forme ainfi. fepuple I ^ I X I ccÏHple 8 = 2. X 4,tf» I -+- 1 X i X z. noniuple 40 = j x 8,tf« 4-+- 1x4x1. décuple 1 6 o = I ox 1 6, c« j X z X 1 6, cft 8 -H 1 X I ^ oiidéci.ple j ^o =: 5 X7 x 1 6,011 lyx ^ z-+- 16, dod:cupU\-j^-L^ 11 x 64-4- 14, sz/yx 8 x 31, Pour avoir un terme quelconque du coefficient, foit^ l'cxpofjnt du terme chcrclié = 5? , Icscxpofans néga- tifs de la colonne font J, 4& le double 8. p y y.p 4x1 ''~' x.v '~' y. y S> 5X5) 4 X 1' X AT' XJ OU 4 X y x z = 40 X x^j , ou 40 x^j. Soit p = I z , & les expofans négatifs j , - — 4 , 8 ,on aura iz jx iz 4X z '^~"x.v ''""^ x/. ouyx Sx jzx x-^j. or 7 x8-.= j6,& jéx3z= ijpz, _ Soic^=ii. ri 6x11 4xz'' '' . ou j X 7 X z" V ou z^ = 16^ X X ^ ^ x/ 3 J X 16= j6o X-^jr. La férié de la fixiéme colonne eft r. 10. éo. z8o. II 20. à commencer au noncuplc &c fe forme ainfi. noncHple i = i x i x o décuple I o :^=: IX i x i o oitdécuple 60 = z X 3x10 do décuple z8o=4X 7X 10 trédécuple 1 1 zo ;= 8 x 1 4 x 10. Il eft facile de trouver la formule pour avoir un terme quelconque. RcmArquc. Ayant trouvé les cœfficiens des numéra- Livre SECOND. 49 y teurs , on aura par fimplc addition du terme qui eft à côté les cœfficiens des dénominateurs pour la colonne qui a le même expofant. Troifiéme colonne Troificme colonne des numérateurs. des dénominateurs. double I ... triple 3 donne i == i -4- o cjaddruple 8 4= ^ ~+~ 3 quintuple 10 12= 4 ~1~ 8 fextuple 48 32=11-+- 20 fcptuple\\% 80=32—1-48 BJgle pour les Jignes des formules en progrefjicn géométrique. La table générale contient dans tous les termes pairs les deux fignes 3+2 , parce que ces formules peuvent fer- vir généralement pour le binôme pofitif a -f- h , & pour le binôme négatifs h^ ainfi il faut fuivrela régie générale des fignes pour les puiflances de ces deux bi- nômes ; or dans les puiffances du binôme pofitif, tous les termes ont le figne -4- , mais dans les puiffances du bi- nôme négatif, les termes pairs font précédez du figne , & tous les termes impairs font précédez du figne Méthode tres-promte pour continuer la férié des Formules pour V~. Soit donne le cinquième terme — = ];. rour avoir le fixiéme terme, ie fubftituë dans la formule -. — ; les valeurs trouvées ci- deffus de a &l àt b dont je forme deux colonnes. 496 Analyse générale, 2 a = 724 3 ^ = 617 2iï -t- 3 ^ = I 5 j I I -î = 3 1 > 3^ 7 s ' 41 I» ' 99 7o • Pour continuer indéfiniment cette férié en fautanr d'un terme à un autre cnprogreflion géométrique fans palTer par les termes moyens. Par exemple , pour trouver un ter- me en progrcllion géométrique triple. Si Livre second, 457 Si je prends le premier terme -f dont l'expofant eft im- pair pour premier termedelaprogrclîion 1.3. é. 5). 12. Sic Je prendrai dans la table les formules qui ont ces nom- bres pour expofans , il fuffit même de prendre les deux premières. Simple. Triple. I -v 4 at' -H 3 x' ly a,x-y~¥- ly Le premier terme de la férié - => -, donne .v = i ?)Cy = I. Suftituant ces valeurs dans les formules , j'ai ixi 4x1 -4- 5x1 ixi 4XIXÏ— f-ixi ' i". Triple. ce qui donne i llhl r= 1. 2=. terme. Si je veux continuer la férié fur la même formule ; je fuppofe Z r= 1 , &: fubftiïuant cette valeur dans la S y ç , . , 4X'-f-3.v' ., . 4x73 -f- 3x7 rormule triple — , j at — — ~ — '- ^x^y-i-iy 4X49X5-H1XJ 4x;4^-f-it r?7r-Hr ^^ ' ^ ^ U' .zcvm': 4XZ4 5--+-J cjgo-l-y jitjy & ainfi de fuite. Si je prends pour premier terme de la progreffion triple celui qui efl: le fécond dans la férié primitive ^ = - dont l'expofant eft pair , je trouverai mettant le figne — dans la formule des termes triples à expofant pair , la 6\ car 3x1 ^= 6 , la 18*^. car 3 x (î ■ ■ 18. la 54-. car 3x18 := J4 , &c. Mais il fuffit d'en trouver d'abord une qui eft ici la fixiéme&: de réitérer à fubftituer des nom- bres en la place des lettres comme dans l'exemple précé- dent, pour avoir toutes cesprogreftions, Andyfe. kkk ^98 Analyse générale, !>=. 3*^. formule , ou triple avec le figne ï = 1 4'^"'— ?-^' 4x2-7—3x3 j z OfX^y — \y 4x5x1 — ixa JZ—Z jo J'obferve de mettre toujours le figne — dans la formule de la progreffion géométrique loifque l'cxpofant du ter- me pris dans la lérie primitive pour le premier de celle- ci eft pair. ^'■V terme. De même fuppofant ?£. = f , &: fubftituant cette va- 70 y leur dans la formule triple 3-i_ Li- la fubltitucjon _ 4 ^y — V , 4x99' == 3x99 4x804^^7 — 197 donne =:^; = — _ 4X99'x7o-iX7o 4x8645x70 — 7° 5117418 197 511 71^1 „^ == i— --^^ -"/--- = 2 L. i8^ terme. 34596x70 — 70 1411650 1 411710 — 70. Ainfi fi l'on a plufieurs termes dans la férié primitive, & qu'on fubfticuë le cinquième terme ou le fixiéme dans la formule décuple on aura tout d'un coup le cinquan- tième terme ou le foixantiéme , car j x 10 == jo , &: 6x10 == 60 , & continuant fur la même formule, on aura dès la féconde opération un terme incomparable- ment plus avancé, car lox 50=5 00, & lox 60=3600. C'eft ainfi qu'en peu de tems on avance à pas de geans dans la férié fans paflTcr par les termes moicns, ce qui épargne beaucoup de tems , &c ce qui abrège extrêmement le calcul. Remarque fur le nombre des termes de chaque f cric. Il eft toujours avantageux de former quatre fériés en- ferablc pour chaque nombre in ationcl propofé; fçavoir, Livre second, 4f>p deux fériés fur chacune des deux formules exemplaires , dont la première cft tirée de la racine du quatre parfait moindre que l'irrationel propofé , & la féconde cft tirée de la racine du quatre parfait immédiatement plus grand. On peut continuer chaque férié indéfiniment; mais pour l'ufage il fuffit de trouver un nombre fuffifant de termes pour conftruirc le triangle des rapports , c'eft-à-direquc le dernier trouvé foit un nombre capable de donner plu- ficurs quotients , comme nous le verrons dans la Sedlion fui vante , lequel donne la férié la plus exade , la plus convergente &: la plus pat faite pour exprimer toute racine irrationcUe. Régie four les Jîgncs d^ les limites de chaque terme des séries. En général pour déterminer les limites d'erreur ou d'ap- proximation , foit par excès foit par défaut. i". terme 2,''. terme. ■f. ti la -+- ^ b j a — f— 12. h b la — t- 2. ù 4 == I , la différence conftante fera — t- r aa 3 bb = i. Mais fi a = i , bc b = I , la différence conftante fera — 1- i aa 3 bb ^=: i . De même le troifiéme terme eft ZlrtlLf , fon quarré 4/»-+-7i * cft 49'"'->-i lyjy , la férié des quarrez eft alternativement par excès &c par défaut. 49 — . — 41 -f- S I <;889 40 l6j lo^içtfi 41 Ijyll T IJJII 1000 3988009 ' ^4^ 598x00? ' "*-^' Quatrième férié des racines f , fi , ^* -i^ , la férié des quarrcz font tous par défaut. -=41 *889 40 41 16^ ~ J«9 11.40996 30176 îll. 964. 614 41 Livre second. ;io ÎOJ 50176 ^41 if^e -, &:c. 54. 38 114 t' 54. 38114 Parallèle du fécond & du quatrième terme de ces quatre fériés i'". férié par excès. 2'i. terme. 4H-IT? 4=. terme. i^i^. férié par excès. 1*^. terme. 41 + r^ j*-'. férié par 1 4<^. férié par ^^A.,!- défaut. défaut. 41 4^ " i»S 8009 4^ ■ -^„ 41 ^— ~ J i 9 8 S 9 Il eft facile de juger quelle eft celle de ces quatre fé- riés qui approche davantage par excès ou par défaut , c'eft la féconde , puifque 41 -f- ij eft le terme le plus appproché de 41 par excès. Mais pour m'en alTurcr davantage je divife chaque numérateur par le dénominateur dans chacune des frac- tions, & chaque divifion donnera un quotient complexe, qui fervira dans la fuite à former le triangle des rapports comme nous le verrons dans la fedion fuivante , qui donnera la férié la plus convergente & la plus parfaite. Pour 41 -4- ^ ■ . Bivifeur. C Dividende. Ç ,^/oiient. 144 \ ly : 000 (_ g: 175.6. ■ &CC. o I 7 3 6 144 106: o 100 8 5 2-: • 4 3 S o 6 4 6: © J04 Analyse générale, Pour 41 -+-ïf Divijeur. (■ Dividende. C ^(oti ent. 49. X ï6 : 00 \ 0: 3i^y -f- 0 3 . . 14 7 ^ I 3:0 2, ...98 3 2. : 0 6 . . . a 2 ,, , S l". rejle 745 2 7d i"'. rejle 9^40 .^. prod. 1490 > 2 . 7 „ „ Ç ^ ^y < 2. -L^.frod. 18480 t ^ iJ. rcjie 5 j 8 " ~; 7, ■' ' ^ 2''. rejfe 4441 f .produit j.c. \ i..4-_ ^c. ^,,^, 8g8, I ,, 3^ refte 25» 4^/r.^/./V348 % 2 f- refte 5^8 -~— — ^\prod. 4296 4\ refte lo f. produit 20 4'- r^A— I4y. 6^ /-f/^f 9 : o Puifquc j'ai le quatrième quotient 1 2 qui cfl: précifé- ment double du premier quotient 6 l'opération eft finie, &: j'ai la période réglée des quotiens générateurs qui revien- nent toujours excepté le premier; car c'eft une maxime /// ij jo8 Analyse générale, contante , que lorfque l'on trouve dans la divifion un quotient qui cftprécifémcnc le double du premier , fi on ajoute des zéros au rcfte, & qu'on continue la divifion , on trouvera toujours la même période des mêmes quo- tiens qui reviennent continuellement , cette période eft donc compofée de quatre termes 6. i. z. i i. dont le premier eft hors d'oeuvre & ne revient jamais , &c les trois autres reviennent continuellement ^& cette période s'ex- prime ainfi. 6 II 1. i. iz II 2. i. li II 1. 1. 12. 1 I Sec. c'efl: cette période réglée des quotients qui fcrvira à for- mer le triangle des rapports inverfe comme il fuit , qui donnera la férié la plus parfaite. Formation du triangle du rapport inverfe pour )/'~^. Chaque colonne contient plufieurs cellules ou carreaux qui ont chacun quatre termes ou nombres. Le premier eft toujours l'unité, &: le fécond eft^ l'un des nombres générateurs ou des quotients de la période, car chaque colonne a fon nombre générateur particulier. La première colonne a le premier quotient 6 , qui eft hors d'oeuvre &c qui ne revient plus le premier dans au- cune autre colonne. Chacim des trois autres quotients donne les trois nom- bres générateurs des trois autres colonnes , &C fe met en tête après l'unité conftante qui commence chaque co- lonne. Les trois mêmes nombres générateurs font encoredans le même ordre , les féconds nombres particuliers des /\P. 5^. & é=. colonne. Livre second. y« tanpe du rapport deV ^i.j générateurs 6 \\ i. i. ''orme fur li 1 la période des tiomlres z. 1. 12 1 &c. 9^C0l. I i X z S'^.col. I 4 z X 12 X 12 7^co!. I i4 4- I 60 H- 2 ■ 12 X 2 2.S X e 62 X 2 ô^col I i4 -4- I 50 -^ 2 124 2 X 2 X 2 5^ X 2 129 X 2 j^ col. I = 4 H- I = 5° -+- 12 104 278 -+-62 320 X 12 2 X 12 5 X 12 62 X I 1 129 X 12 4^co!. 1 = 24 H- I = 60 -h 2 =744 -+- 2J 1748 -h^z 3840 4-129 IZ X 2. X 2 62 X 2 769 X 2 1600 X 2 5969 X 2 f. col. I z X 1 ^4 H- I 50 -r- 2 124 H- T H- 62 3200 -+-I29 35^9 X 2 7978 4-310 X 2 X 1 52- X 1 129 X 2 1600 X 2 i-J^col. I = 4 H- : ■+- iz 104 129 -f-é2 32CO 4-7 'Î9 3969 66^8 4-1600 I !Î i I 6 -4-3969 20485 X 6 z 5 6z 320 X 6 82j8 X 6 X 6 X 6 X 6 X 6 X 6 • •4- I -r- t 37^ M- 2^ 774 -4-52 82<î 1920 •4-129 2049 23814 -+-1600 49748 4-5329 122910 -4-8278 1 3 1 1 6 8 I ? 52- ?2^ 27414 4.;n /// UJ jio Analyse générale, La formarion de chaque colonne Ce fait alternative- ment par multiplication &: par addition dans chaque terme , comme il cft expliqué fort en dérail dans la Sec- tion fuivantc , avec cette différence qu'on y trouve le triangle du rapport direct, & celui-ci cft in verfe ; cha- que colonne donne deux nombres , un cft le dénomina- teur , l'autre en bas cft le numérateur de la fraûion ou du rapport cherché. ■Voici leur léric. i'^ Terme, Ce premier terme cft hors d'œuvre &: ne rc- I I vient jamais dans la Période des quotients. 1 z %z6 5 6". 2.049 IZ9' 8Z58 ' 33849K 310 4 . terme. 397 62 ' r- ' 3969 9'- 131168 10. terme. 162.6. 893 i043î 8396. 801 2-H- 078 13*^. terme. lo/\.ï^6^66 i6i6/\.96ï. J28641 X311360 On peut enfuite continuer cette férié à l'infini par les formules fuivantes dans lefqucUes le premier terme eft hors d'œuvre , c'eft-à-dire , qu'il n'entre point dans la période réglée des quotients qui revient toujours dans la féric continuée à l'infini. Livre second. Formule pour la Série des dénominateurs. a ... I ... a e .. 129.. 1 d -4- i b .. 2, . . . 2, a -f- o f y d 62. lie 1 f ^ g . . 3969 izf -+- e h .. 8258.. 528641 2 k -+• i ..20485. th k 254078 12/ -t- h m 1 3 1 1 360 2 / -4- /' n 15 752.961 iz m —H / Formule pour la Série des numérateurs. A ..6 .. A E .826... 2D-+-C H .52877.. G-t-F B ...13... 2 A -4- I C .. 32... B-i-A D •••397 I 2C-t-B . 2049.. .E-4-D ... 25414 12 F H- £ I 151168 2H-t-G K 1626893 12 n-H L 5. 384. 9Î4 2K-4-I M §. 396. Soi 2L-i- K N 20. 178. 5 56 1 2 M -t- L ni jit Analyse générale, Examen de la dijférenct des quarrez., Préfentement fi j'examine la férié des défauts & des excès dans les quarrez des ccrmcs de la véritable &: par- faite féric formée par le triangle des rapports & réfuU tante des autres fériés les plus approchantes , je trouve que ces différences tant par excès que par défaut font des pé- riodes réglées , 5 5 -+- 5 > i 1 1 "^ J î -h i , 5 , H- 5, I 11 -f- y, j, H- I jl , &c. où chaque terme d'une période a le figne contraire à fon ter- me correfpondant dans la période fuivantc , & comme ce font les trois mêmes nombres dans chacune des pério- des ^ ils fe trouvent détruits parles trois nombres de la période fuivante qui font égaux avec des figncs contraires. Racines. ^narrez, dit numérateur. aut ■ I 56 = 41 XI — 5 = 41 — 5!=3é.dcfi: ~... i69=4iX4-i-j=i64-+-5, excès -+- 7. ^-..■ 1014=41x2.) — i = ioij — I. défaut — r. 3io ' 1 5:7(509== 41 X 5S44-I- y.- excès -4-5. 681176=41x16641 — y. défaut — y. 4198401 =41 X 101400 -4- I. excès -f- I. i^.. 64^871396= 41 X 1^7^1961 —y. défaut— y. Et ainfi de fuite de tous les autres à l'infini. SECTION Livre second. 515 SECTION CINQJJIE'ME. La Science univerfclle des Rapporrs. Difcours Préliminaire fur Unature des Rapports , leur étendue , ^ la, nécejjîté de connoître tous les Rapports. TOutes les véritez géométriques en général , ne fonc que les rapports des grandeurs comparées enfem- bi... L'Analyfe qui eft la fourcc &: le fondement des Ma- thématiques , conlifte uniquement à découvrir des gran- deurs inconnues par le moyen des rapports connus. C'cfl là où fe réduit la réfolution de tous les Problèmes des Mathématiques pures, &: des fciences Phifico-Mathéma- tiques ; il eft donc important de connoître parfaitement les rapports des grandeurs , puifque c'eft de leur connoif- fance qu'on doit efperer la perfeétion de l'Analyfe &: de toutes les Mathématiques. Cependant , je ne fçais par quelle fatalité , les Géomè- tres ont négligé une fcience fi néceflaire , elle fe trouve très-bornée , on ne connoît parfaitement que le rapport d'égalité qui n'eft pas la moitié du premier genre, mais feulement une partie infiniment petite de tous les rap- ports , car nous verrons dans la fuite qu'il y a une infi- nitéde genres entre les rapports, une infinité d'efpéces fimples , une infinité d'efpéces compofées , primitives , &: fubalterncs ou dérivées , toutes infinies , &: dont chaque rapport en particulier eft le premier terme & l'origine d'une féric infinie d'individus , telle eft l'étendue des rap- ports d'inégalité , ils s'étendent de toutes parts à l'infini, Analjffe. m m m 514 Analyse générale, & ils font entièrement inconnus, on fçait feulement en gros &: confufément qu'il y a une infinité de rapports d'inégalité plus grande ou plus petite à l'infini. N'y a-t-il pas lieu de s'étonner que les Géomètres en foicnt demeurez là , & n'aient pas poulfé plus loin leurs recherches fur une matière fi vaftc de fi importantes quelle utilité ne devoit-on pas efpérer î à en juger par le feul rap- port d'égalité qui ell celui qui nous foie connu , puif- que c'cft la fource de la fcience des proportions &: géné- ralement de toutes les véritez géométriques qui nous font connues ; quel fccours ne dcvoir-on pas attendre de la connoiiTancc entière êcexadedes rapports de tous les genres & de toutes les efpéces à l'infini > pour la per- feftion del'Analyfe, pour les lignes courbes & pour les fcienccs Phificc-Machématiques. Cette confidcration m'a porté à examiner de plus près la narure des rapports , )'ai trouvé cette matière encore neuve , je me fuis fait une route fimple naturelle &: fa- cile par laquelle je conduirai mon Icdcur , pour lui don- ner Icplaifir de découvrir avec moi tout ce qui regarde une matière fi vafte Se fi utile. Dcfinition. Le rapport des deux grandeurs 4 & h con- fide ou dans leur égalité ou dans leur inégalité ; ou dans leur égalité qui fait que la première a contient la fé- conde b , autant de fois qu'elle y cft contenue , & réci- proquement , ou dans l'inégalité qui fait que la première a efl: la plus grande & contient la moindre^ un certain nombre de fois avec un refte ou fins reftc. Ainfi le rapport de deux grandeurs confifte ou dans leur égalité ou dans leur inégalité, c'cft le fondement de toutes les comparaifons qu'on en peut faire, la frac- tion^ &: - eft la plus fimple exprcffion du rapport de ces deux grandeurs ; or une fraètion indique un divifion dont le Dividende eft le premier terme ou le dènonù- Livre second. fiy nateurj c'cft donc le quotient qui réfulte de cette divi- fion qui- caradtérifc le rapport, ainfi fubllituant des nom- bres à la place des lettres dans j & dans - , le quotient exprimera en nombres ce rapport. Soit ^ : T , T, I , t , 7 , &c. dans chaque fradion de cette férié, en nombres j'ai i pour quotient, qui cft la marque & le caradltre du rapport le plus fimplequi eft celui d'égalité, car l'antécédent contient une fois fon conféqucnt , S>c réciproquement le conféqucnt contient une fois Ton antécédent , c'eft le plus fimple des tous les rapports, le rapport d'égalité qui cft feul de fon genre & de fcs cfpéces , &c qui n'a fous lui que des individus. Mais dans cette féconde férié de rappotts ou fraélions, f)Tj fj l>T' ^' ^^- "-""^ ''^ rapports font fcmbla- blcs, puifque chaque antécédent contient deux fois fon conféquent, & chaque quotient qui réfulte de la divi- fion eft 1 , ce qui montre que tous ces rapports font égaux &: font trcs-fimplcs , puifqu'ils n'ont qu'un feul quotient qui eft le moindre qui foit poffible dans les rap- ports d'inégalité. Cette féconde férié ne contient qu'un feul &r unique rapport, qui cft le plus fimple rapport d'inégalité 7, qui cft l'origine de cette férié , le refte de la férié font des individus du même rapport qui cft le nlus fimple rapport d'inégalité , qui fait le premier degré ou genre du rapport d'inégalité; les rapports plus compofez font les degrcz fupcricurs. La troifiémc féric des rapports fuivans, I, |, |, ~f, ~,S>cc. contient les individus du premier i qui cft l'origine de la férié, chaque antécédent contient une fois fon con- féquent avec un rcftc, & le conféquent contient deux fois ce reûc, ce qui donne deux quotients, i & 2. mmm ij ji^ Analyse générale, ^uotiens. Dividende 5 'Divifeur 2 Refte I Voilà déjà deux quotients qui marquent le fécond de- gré ou fécond genre des rapports d'inégalité , mais le plus fimple de fon genre , puifque les quotients i. &: i. font les plus fimples ,c3r le quotient i cfl: fi fimplc qu'il fe trouve même dans le rapport d'égalité qui efl le plus fimplc de tous , & le quotient z cft le plus fimplc qui puilfe fc trouver dans le rapport d'inégalité. Mais comme ces deux quotients peuvent varier par la fuite des nombres naturels, ils donneront des rapports difftrens en ce cas : mais d'ailleurs on peut conferver ces deux quotients conftans &: invariables , & {uhftitucr en la place de \ tous les multiples | , | , &c. qui font des individus: de même auiïi dans chaque variation de l'un des quotients , on aura une férié infinie de raports : dans la variation de l'autre quotient on aura encore une autre férié infinie différente : en faifant varier le refte ou la commune mefure on aura auili une autre féric infinie,- de même ii on fait varier deux quotients , on aura en- core une férié infinie de rappors; fi l'on fait varier l'un des quotients d'abord avec la commune mefure & enfuite l'autre quotient, puis tous les trois cnfemble; dans tous ces cas on aura autant de fériés infinies de rapports tous diftcrens,& chaque terme de l'une de ces fériés pourra être pris pour l'origine & le premier terme d'une férié infinie de rapports f^mblables, que je nomme des indivi- dus. Pour traiter cette matière fi étendue avec ordre , &: d'une manière claire qui porte la lumière dans ccvalle pais de l'infini, j'établis entre les rapports ditfércns de- grcz ou genres à l'infini , je divife chaque genre en fes Livre second. î'7 efpéccs primitives , foie fimples , foit compofces , chaque cfpcce primitive a fcs efpéces fubalternes ou dérivées , &c chaque rapport en particulier efl: l'origine & le pre- mier terme d'une féric infinie d'individus ; je diftingue cela fans peine & fans Luiguer la mémoire du ledleur , c'eft par le nombre &: la qualité des quotients & de la com- mune mefure que l'on trouvera par la divifion que nous allons expliquer dans le Problême qui fuit. LE Kl ME ET PROBLE'ME I'^^ &c fondamental. Trouver la commune mefure de deux nombres , ou Méthode nouvelle pour faire la divifon propre pour connottre les rapports des grandeurs exprimées en nombres. Nous expliquerons dans la fuite la Méthode d'expri- mer les rapports géométriques par les nombres, qui eli la feule cxpreflion claire & fenfible. Soit un rapport exprimé par la fradion — ==-g , Opération. l*-'"^. Dividende. A 39 I : C. premier J^uctient^ i^^. Bivifeur B 24. cf fécond Dividende. I : — = Y), fécond ,^iotient. l"''. Refte. M ly ^^, Divifeur cf 3'^. Divid. I E. troiftéme .^otient. tA. Refe. N 9 3*^. Divifeur, & 4'^- Divid. I — - F. quatrième Quotient. 3^ Refte. 0 6 A^. Divifeur ., ^ j*-'. Divid. 1 G. j'^. cf dernier £)uot. 4. Refte. P 3 Ô' commune mefure. mmm tij jiS Analyse GENERALE, Explication. J'écris le plus grand nombre A = 5 9 pour premier dividende, & au-dcflous le plus petit du rap- port propofé B = 14 pour le premier divifeur ; )'t)tc le divifeur du dividende 59 autant fois qu'il eftpoflible, ici il y eft une fois , j'ôte donc une fois 14 de 35? , le premier refle cft M = i y que j'écris au-deflfous pour fécond divi- feur, j'écris aulfi à côté le premier quotient i = C. Voilà la première opération finie. J'ai B = 14 pour fécond dividende , & M = i y pour fécond divifeur ; j ôte M = i 5 de B := 14 , autant de fois qu'il eft poffiblc, c'eft- à-dire une fois qui donne 1= D pour fécond quotient ; or 14 — i j = p , )'ccris le fécond refte N =;5) au-dcffbus pour troifiéme divifeur ; voilà la féconde opération finie. J'ai pour la troifiéme opération M = i y pour troificme Dividende, & N = 9 pour troifiéme divifeur, dont le quotient eft E t= i , & le reftc O == ^. Pour la quatrième opération, j'ai N = 9 , quatrième dividende, &: O = (î , quatrième divifeur , qui donne pour quotient !=!?,&: pour quatrième reftc P ^^ 3 . Pour la cinquième opération j'ai O == 6 , cinquième dividende , &: P = 3 , cinquième divifeur, qui donne pour cinquième quotient 1 = G , qui étant exaéi ne donne aucun refte, partant c'cft le dernier quotient, &: P = 3 jeft la commune mcfure des deux nombres donnez du rap- port propofé ^. Remarque, i. Lorfqu'un divifeur donne nn quotient exaâ:& fans refte , ce divifeur eft la commune mcfure des deux nombres propofcz, parce qu'il femefure lui-même par l'unité. i. Si dans l'opération un divifeur eft 10 fois, 30 fois, 3 5: fois , ou 1 00 fois , I yo fois ,153 fois dans le dividen- de , ou même davantage , le quotient eft exprimé par deux ou trois chifres ou même par un plus grand nombre, & n'eft pas moins unfeul quotient j alors pour ôter plus Livre second. rip commodément du dividende le produit du divifeur par ce quotient , j'écris à part ou fous le divifeur ce produit pour ne le pas confondre avec le refte donné par cette opéra- tion. Corollaire premier , génér aie" fondamental. ^ Il fuit de la divifion précédente, dans le rapport don- iit: rr > ^°- 1"^^ 3 cft la commune mefure de ces deux nombres , laquelle marque par i&% trois unirez que ce rap- port cft le troifiémc individu de fon genre & de iti ef- péces. 2". Il y a cinq quotients , dont j eft l'expofant qui marque tout enfemble le degré & le genre de ce rapport qui font toujours les mêmes. Il marque aufîi le nombre des divifions qu'il faut faire pour connoîcre ce rapport, dont chacune donne un quotient, 3°. Le cmquiéme & dernier quotient! marque que e'eft un rapport d'inégalité; mais le plus fimple de fon genre , car dans le rapport d'égalité le dernier quotient eft toujours i , & dans le rapport d'inégalité, le dernier quotient ne peut être hioindre que z , mais il peut croître à l'infini. 4". Les quatre quotients qui précédent le dernier font des unirez, ce qui marque que ce rapport eft le premier & le plus fimple de fes cfpéces : mais fa commune mefure 3 marque qu'il cft le troifiéme individu de fon genre, le premier individu cft encore plus fimple que le propofé, ce qui s'éclairciradans la fuite. Corollaire fécond , général é' fondamental. Ce Problême montre que la commune mefure des deux nombres propofez avec les quotients trouvez par la divi- fion , font les feuls Elémens qui entrent dans la formation des rapports. Ce qui m'engage à développer les proprietez de ces Elc-- jio Analyse générale, mens d'où dépend touce la théorie des rapports, comme il fuit. T H E' O R E' M E. ,^uels font les Elémcns des Rapports \ Leurs propr tétez, ? Ou Théorie générale des Rapports. Les Elémens d'un rapport exprimé par deux nombres quelconques , font la commune mefure de ces deux nom- bres , & les quotients que l'on trouve en divifant le plus grand nombre par le plus petit, par une divillon réitérée jufqu'à ce qu'on ne trouve plus aucun reftc. Comme ces Elémens font les feuls qui carrent dans la formation des rapports, leur variation qui cil: la (eulc propriété que je confidcre ici , efl; autlî l'unique fource de toutes les diver- fitez qui peuvent fe rencontrer entre les rapports. i". La variation dans le nombre des quotiens eft la four- ce de la plus grande diverfité qui fe trouve entre les rap- ports , elle me fournit la première idée pour diftingucr les rapports comme les puiffances par diifércns dcgrcz à l'infini que je nomme^ufli les genres des rapports, parce qu'ils ont différentes efpéccs du même degré , & par conféquent du même genre. Voilà la première & la plus importante diftindion entre les rapports, tirée de la na- ture & de l'effence des nombres. 2'^. La variation de chacun des quotients caufe une moindre diverfité entre les rapports, elle fe trouve entre les rapports d'un même degré ou genre, c'eft-à dire en- tre ceux dont on trouve la commune mefure par un nom- bre égal de divifions qui donnent autant de quotients , comme cette variation efl: moindre que la précédente , je m'en fers pour diftinguer les efpcces différentes entre les rapports diffèrens d'un même genre. Je noxnxne efpéces primitives Jlmplcs , celles qui font formées pour la variation d'un feul quotient, &: dont la férié infinie contient des rapports qui croillcnt en même LiVRESECOND. Jll même tems au dénominateur & au numérateur. Je nomme efféces primitives compofces celles qui font formées par la variation ou de deux quotiens , ou de trois quotiens , ou d'un plus grand nombre qui varient en- femble , combinez cnfemble ou avec la commune mefure , de toutes les manières poffiblcs, &: dont la férié infinie contient des rapports qui croiflcnt en même tems au dé- nominateur & au numérateur. Mais je nomme efpéces/iibalterncs ou dérivées les fériés infinies des rapports qui croifTent feulement au numéra- teur , tandis que le dénominateur eft confiant & invaria- ble , qui eft toujours le même que celui du rapport qui eft le premier & l'origine d'où la férié eft dérivée. 3 °. Enfin la variation de la commune mefure des deux nombres qui expriment un rapport , eft celle qui produit entre les rapports la moindre diverfité qui foit poffible, je m'en fers pour établir la diftinction des individus entre les rapports. Voilà le fondement des diftindions que j'établis entre les rapports , genres, efpéces , individus, qui fuffifenc pour déveloper tout ce qui appartient à la fcience des rapports ; ces diftinétions font (impies &c tirées de la na- ture des nombres; pour les mettre dans leur jour ,il faut entrer dans le détail &: former les fériés de ces genres , de ces efpéces , de ces individus comme il fuit. Formation de la férié infinie de tous les genres des Rapports à l'infini. à l'infini. Expofans. i" . z. 3. 4. y. 6. 7. 8. 5) lo^ genre Le premier genre eft double , il contient le premier Se le plus fimple rapport d'égalité qui eft -, avec le premier &: plus fimple rapport d'inégalité \, qui font tous deux Analyfe. nnn $iL AkaLYSE GENERALE, du premier degré & du premier genre, puisqu'ils ne peu- vent avoir qu'un feul quotient , car j = i , &C\ donne 2, pour quotient. Le premier terme de la féric eft 7 , l'antécédent &: le conféquent font égaux. Pour le fécond terme y fon antécédent 1 eft égal à la fomme de l'antécédent &c du conféquent du premier terme qui le précède i -{- i = 2, , fon conféquent i eft égal à l'antécédent précédent. Pour le troifiéme terme i , fon antécédent 3 eft la fom- me de l'antécédent Se du conféquent du terme qui le pré- cède immédiatement i — |- i 3, Son conféquent z , eft l'antécédent du terme précédent. La même analogie règne dans toute la férié que l'on peut continuer indéfiniment , chaque rapport a pour nu- mérateur la fomme du numérateur & du dénominateur précédent , mais le dénominateur eft toujours le numé- leur précédent. I>émonJlration de lafcrie des genres des Rappots. Vont àémonztet a priori que cette férié comprend les rapports les plus fimples de rous les genres à l'infini , il fuffit de démontrer qu'un rapport quelconque , par exem- ple, celui du cinquième genre '-^^ eft le rapport le plus fimple du cinquième genre , or cela eft évident par fa formation, puiiqu'il contient tous les rapports les plus fimples que le précédent &c qu'il Icsfurpaiïc, car il con- tient & furpafte le plus fimple rapport du quatrième genre f, &; en rétrogradant de même jufqu'à l'origine, on trouvera qu'il contient & furpafle le rapport du troi- fiéme genre | , celui du fécond genre \ , celui du pre- mier genre d'inégalité j,& enfin qu'il contient &; furpafle 4 qui eft le rapport d'égalité , le premier &c le plus fim- ple de tous les rapports. Coramc la même chofc fc trouve dans chacun des rap- Livre second. J13 ports de cette fcrie, il fuit de-là que la férié continuée à l'infini comprend par ordre les rapports les plus fimples de tous les genres à l'infini. On démontrera encore lamêm.echofe à pojfcriori ^zz la divifion , car on trouvera que chacun des rapports pris à difcrétion dans la férié , comme ici le rapport du cin- quième genre ii. contient tous les rapports les plus fim- ples des genres préccdcns dans la férié, &: il efl: évident que chacun de ces rapports cft le premier & le plus fim- ple de fon genre , puifque chaque quotient cft l'unité , excepté le dernier quotient z qui ne peut être moindre dans le rapport d'inégalité , ce qui cft de l'eflence du rapport d'inégalité. l"'. Dividende. 13 I. premier .patient. i". Divifeur df ^^^. Divividcnde. 8 I. 2,uot. l".Refl. zà.Divif. cf 3*^. Divid. j 2.^. Refi. l'^.Divif. CJT- 4<^. Divid. 3 3=. Refle 4":. Divif. Çy y""'. Divid. 1 4'. Re^e d". Divif. (^ comm, mefure. i ^uot. Il'iOt. ^ot. I MultipHcatio», y . on dernier I 8 1 Multip/icat. y^. nombre j mnltio. 1 1 4*^. .nombre a m/elt'p. 7 3*=. nombre à multip. 4 d nombre à miihip. l'"'^. nombre a mnltipl. i I. Multiplie. r. Multiplie. I. Multiplie. 3- . Multiplie. ou corn. mej. Je fuppofe la commune mefure toujours conftante c= I , je la multiplie par le dernier quotient 3 mis à !a place de 2. pour fcrvir de premier multiplicateur, le pro- duit efi: 3 , que j'écris à gauche pour le fécond nombre à multiplier. Le2.'',mukiplicareuraudefrusefl:i,or i x 3 -i- i=:4 Livre second. jij que j'écris au deffus pour troificme nombre à mulciplier. Le 3^ multiplicateur eft i , &: le troifiéme nombre à multiplier 4, or i x 4 == 4, auquel j'ajoute le nombre trouvé au deffous 3,4-4-3 = 7 , j'écris 7 pour 4=. nombre à multiplier. Le 4^ multiplicateur cfl: i , &: le 4^ nombre à multi- plier 7,1x7 . 7 , l'ajoute 4 , nombre trouvé au defTous 7 -+-■ 4 • 1 1 , que j'écris pour cinquième nombre à multiplier. Enrin le 5*^. multiplicateur eft i , & le yc_ nombre à multiplier I I , or i x il ^^= 1 1 , j'ajoute 7, nombre trou- vé au dt (Tous 1 1 -+- 7 = 18 , nombre déliré , qui finie l'opération. Si le cinquième quotient 2. croît ainfi continuellemcnc de l'unité & que l'on fubftituë fa valeur en fa place pour avoir les premiers multiplicateurs pour réitérer la fé- conde opération qui précède, on trouvera les termes de la férié infinie de la cinquième cfpéce fimple & primi- tive du cinquième genre des rapports , ( je dis la cin- quième efpéce , parce qu'elle vient de la variation du cinquième quorient) comme il fuit. Dans laquelle les dénominateurs croilTcntde 3, c'cft la valeur du premier multiplicateur conftantc. Les numérateurs croiffent de j , & c'eft l'expofantdu genre de cette férié , &: du rang qu'occupe parmi les quotients , le cinquième quotient dont la feule variation produit cette férié. Ce qui fournit un moyen facile de la continuer indé- finimenr par addition continuelle de 3 au dénomina- teur précédent pour avoir le fuivant , &c par addition de 5 au numérateur pour avoir le fuivant. COROLLAIRE L On formera de même une férié infinie d'efpéces fim- ^i6 Analyse générale, pies & primitives par la variation feule du quatrième quotient qui cft ici le pénultième, dont le plus fimplc rapport du cinquième genre clt encore l'origine &c le premier terme. Série-^,i|,ii> TT, fï,.4l,.^, &:c. à l'infini. Dans laquelle les dénominateurs &: les numérateurs croiflcnt en même tcmS;,cequi cft de l'cirencc des ef- péces primitives. Les dénominateurs croifTent de 4, c'cft l'cxpofant du rang de ce quatrième quotient dont la variation feule produit cette fèrie. Les numérateurs croiflent de 6 =■■ j -+- i , ou 4 -{- 1, COROLLAIRE IL On formera aufll par une femblable opération une fé- rié infinie d'cfpéccs iimples &c primitives par la variation feule du troifième quotient qui eft l'antépénultième dans cet exemple , en le fuppofant ou le faifant fuccllivc- ment égal à i. z. 3. 4. &:c. à l'infini , le premier & le plus fimplc rapport du cinquième genre -j- eft encore l'origine & le premier terme de cette féric. Cirif " i^ ii li i^ 4Î 49 a ^ l'infini ieric -^, — i~>T7> rz ,—■' ~ ■> ^^- a I innni. Dans laquelle les dénominateurs croiflcnt de 3, qui eft l'cxpofant du rang du troifième quotient dont la varia- tion donne cette férié. Les numérateurs croiffent de 6 , c'cft le double de 3, expofant du rang du quotient générateur pris en remon- tant, ou bien 6 eft triple de z , expofant du rang du quotient générateur en dcfcendant. COROLLAIRE II L La feule variation du quatrième quotient en rcmon- rant de bas en haut , donne la férié des cfpéccs fimplcs & primitives qui fuit. Série ^,1^,^,11, ii, il, il, If, &:c. à l'infini. Livre second. 'S ^7 Dans laquelle les dénominateurs S>c les numérateurs croiffent conftammenc de j. COROLLAIRE IV. On ne peut pas former une férié infinie d'cfpéces fim- plcs (^primitives par la variation feule du i". quoticnt,car alors le dénominateur demeureroit le même 8 confiant, ce qui eft de l'eflcnce des efpéccs fubal ternes ou déri- vées , comme nous le verrons , en quoi elles différent des efpéces primitives , dont l'clfcnce confifte à varier en même tems tant au dénominateur qu'au numérateur. Cependant fi on veut faire varier le premier quotient de manière qu'il donne une férié dont le dénominateur &C le numérateur varient en même tems , ce qui eft de l'effcnce des efpéces primitives , il faut en ce cas faire varier ce premier quotient conjointement avec la com- mune mefure , ou avec quelqu'autre quotient , mais la férié qui en refaite contient non pas des efpéces fmiples Se primitives des rapports , mais feulement des efpéces primitives &c compofées comme il fuit. Tormation des fériés des efpéees eompofées ô" primitives des Rapports. Les efpéces compofées & primitives , font celles qui fe trouvent dans une férié infinie de rapports quicroiflcnc en même tems tant au dénominateur qu'au numérateur, ce qui fait l'cflence de l'cfpéce primitive , & qui font formez par la variation des deux quotients enfemble , ou de plufieurs quotients en quelque nombre que ce foie combinez entre eux , ou avec la commune mefure va- riable de toutes les manières poflibles. Entre les efpéces compofées, il y en a de plus com- pofées les unes que les autres , par la variation des deux quotients elles font moins compofées que par la varia- tion de trois , de quatre, de cinq , de fix , &: de tout autre yi8 Analyse générale, nombre de quotients à l'infini ; à mefure que le genre du rapport eft plus élevé , il y a un plus grand nom- bre de quotients qu'on peut combiner & faire varier en- femble. La férié la plus compofée des rapports du cinquième genre ou degré eft celle qui fuit. Elle fe forme par la variation de tous les cinq quo- tients & de la commune mefure , comme on le voit dans les opérations fuivantes. Primitif. 13 198 ^ 1407 5 7985 4 i6o^ë J 8 — 8i 34 1 1 416 3_ 3 i88y 44 T 4^ 4 S016 966 y î 119 y 3 14 2, 39 3 loy 4 186 î 2, 6 3 12 4 2-T y 36 6 I i 3 y 6 Comme la commune mefure croît avec les cinq quo- tients , la variation de ces fix nombres font croître les dénominateurs &: les numérateurs tout enfeniblcle plus qu'il eft poflible dans le cinquième genre ou degré. COROLLAIRE. V. On peut par des opérations femblables &: réitérées trouver des fériés d'efpéees de rapports compofées 5c primitives par la variation de deux quotients quelcon- ques , ou de trois , ou de quatre , ou de cinq quotients, ou par la variation de la commune mefure conjointe- ment avec un ou plufieurs quotients , c'eft ainfi qu'on a trouvé les fériés fuivantes. Série formée par la variation des trois premiers quo- cicnts, -j-, —, j^, ■— , -^ , ^-j^i sec. a iinnni. ^ Série Livre second, yip Série formée par la variation des trois derniers quo- t'encs , IL, £1. , -, 1^ , ijLL. , LLiJ, &c. à l'infini. Série formée par la variation du fécond , du troifiémc & 4^ quotients ii , Vr> TT ^^ > ^^'^^ &c. à l'infini. Formation des fériés des efpéces fuhalternes ou dérivées des Rapports. Dans les fériés fubalternes ou dérivées , le dénomi^ Dateur eft toujours confiant &: le même que celui du premier terme de la férié qui en eft l'origine , & le nu- mérateur feul eft variable &: croit continuellement , voi- là l'elTcnce des fériés fubalternes, entre lefquelles il yen a qui font dérivées des efpéces fimples primitives , & les autres font dérivées des efpéces compofées primitives. Les fériés fubalternes ou dérivées fe forment par la variarion du (eu! premier quotient du premier terme de la férié, ce qui augmente le feul numérateur,- ou ce qui revient au même pour former les fériés fubalternes, foit un rapport ou terme quelconque d'une féric infinie d'ef- péces primitives pris pour premier terme ou origine de la férié défirée , on aura les numérateurs fuivans en ajou- tant au premier numérateur fon dénominateur, &: con- tinuant de même par l'addition du premier dénomina- teur à chaque numérateur trouvé pour avoir le fuivanr, on trouvera de la forte tous les numérateurs , fous lef- quels on écrira le premier dénominateur qui eft le dé- nominateur commun &: conftant de tous les termes de la férié. Exemple , foit le plus fimple rapport du cin- quième degré , & le plus fimple d'une efpéce primitive , ^ ' i;- j^ (-t) -^ ( = '^y^ (r'-f) &c. à l'infini , ce qui donne la férié dérivée ou fubal- tcrne, — ,i^, tL , LL, IL", IL , &c. à l'infini. Les dénominateurs font les mêmes, c'eft celui du pre- mier terme de la férié. Analyfe. e o o JJO AKALYSK GENERALE, Les numérateurs croiflent conftammcnt de 8 qui eft le premier dénominateur du premier terme qui cft l'ori- gine de la férié. Formation des Séries infnies des individus des rapports. Chaque rapportparticulier, ouchacundes termes pris dans une férié de rapports , foit dans la fcric des genres , foit dans les fériés des efpéces primitives fimplcs , foit dans les fériés des efpéces primitives compofccs , foit enfin dans les fériés des efpéces fubalterncsou dérivées ; ce rapport quelconque pris dans l'une de ces fériés à vo- lonté , peut fcrvir de premier terme &c d'origine à une férié infinie d'individus de rapports ; ce qui donne une infinité de fériés infinies d'individus de rapports , dont les fériés fe forment de la manière qui fuit. Pour former une férié d'individus de rapports fur un rapport donné quelconque; par exemple, foit le premier & plus fimple rapport du cinquième degré ou genre 11- , je multiplie féparémcnt le numérateur & le dénomina- teur par I , 2 , 3 , 4 , &:c. qui cft la fuite naturelle des nom- bres pour avoir les multiples de ce numérateur & de ce dénominateur qui font les termes de la férié. Expo fans. I^ i^. f. 4". f. 6'. &c. Série. IL , îf , il- , If , if , ^I|- , &c. à l'infini II cft facile de former de la même manière les ferics des individus de tout autre rapport. COROLLAIRE GE'NE'RAL. Cela fuffit pour donner une idée de l'étendue de la fcience des rapports , &c pour former les fériés des rap- ports dont on peur avoir bcfoin ; ileftbon de s'exercer fur les rapports de différons genres, & former foi-même les fériés des efpéces primitives fimplcs, enfuitc des ef- péces primitives compofécs ,- &c après en avoir formé çlufieurs pour les mieux pofTédcr, on pafTcra aux fériés Livre second. 531 des individus; cet exercice eft le meilleur moïen pour apprendre aux commençans la rhéorie des rapports, &: leur donner la facilité de les trouver dans le bcfoin. PROBLE'MEII. Uff Rdpport (tant exprimé par deux nombres , le réduire à fa plus /impie exprejJloK i ou deux nombres et ans donnez, qui ne foient pas les plus petits de leur raifon ; trouver les deux plus petits nombres qui foient en même raifon. Soient les deux nombres donnez 1591 &: 688, ou^^'. lo. ]e cherche leur commune mefure &; leurs quotients par la divifion expliquée dans le Problème premier com- me il fuit. i'^. colonne. l". Dividende IJ91 l*^"^. Divijtur & i.^- Dividende 688 l^''. refle 1 '. Divifeur (^ 3"^. Dividende ii j 2,<1. re/le ^^. Divif. 43 ^ commune mefure. colonne, J^uotiens y. colonne. Produits. 37- 1 6 X 4 -+■ r. i6xi-t-5=î3i-f-j I6=:5X 3- 4=f I lunité confante. zo. Je me fers des quoticns contenus dans la féconde colonne pour former une troifiéme colonne comme il fuit par multiplication. J'écris en bas l'unité confiante i. dans la troifiéme co- lonne qui eft celle des produits à droite vis-à-vis la com- mune mefure 43. Enfuite j'écris y au-deffus de i dans la troifiéme colon- ne vis-à-vis de 5 =c de la féconde colonne. Je multiple ce j par le quotient qui le précède dans la 000 ij y3i Analyse générale, féconde colonne 3 = ^ , & au produit j'ajoute l'unit^ conftanccqui eftau-dcflous , j'ai cxb qui donne 16 que j'écris vis-à-vis du pénultième quotient Je multiplie ce 16. par^r, au produit j'ajoute <:, c'eft 16 X a -^ c= i6xz -t- j= 37 , )'écris le produit 37 vis-à-vis 1 = <î, Ainfi les deux nombres cherchez font 37 & 16, ou if qui font les plus petits qui foient en même raifon que le rapport propofé '-j^ . Démonjlration. Je dis que la troifiéme colonne des pro- duits contient les mêmes nombres que la première colon- ne qui contient les dividendes , avec cette différence que dans la troifiéme colonne ils font divifcz par 43 qui cft la commune mefure. Dans la troifiéme colonne l'unité confiante , rcpréfente cette commune mefure 43 divifée par elle-même. Le nombre 5 qui eft au-dcffus dans la troifiéme colon- ne égal au quotient 5 qui eft à côté , repréfcntc le pre- mier reftc iijdivifcpar la commune mefure 43 , car di- vifant II 5 par 43 le quotient eft 5. Le troifiéme produit lé , qui vient de f y,h -f- i = 5x3 ■-4- I ■ • 15 -+- I -. — = \G rcpréfente le fécond quotient 3 h , multiplié par le troifiéme quotient j augmemé de l'unité, & cette fomme 16 rcpréfente le premier divi- feur ou fécond dividende 688 divifé par 43 , puifque fon quotient eft 16. Enfin le dernier produit 37 rcpréfente le premier di- vidende I 591 divifé parla commune mefure 43 , car ijji divifé par 43 donne au quorient 37. :. Donc les deux nombres du rapport-^ font les plus pe- tits nombres qui foient en même raifon que le rapport ■j5^'. Donc ce rapport eft réduit à fes moindres termes ; ce qu'il falloit trouver &: démontrer, -; '.; !.. . - . (. ' , Livre second. S E C O ND EXEMPLE. i''^. colonne. Dividendes. Hj i'^'^. Dividende. 8. 56. 16 ^=.r == I"'. Divifeur ô' 1.^. Dividente l. 57. 17 -îf?// produit X 5 4 ^^Vf r <^» I '^. Divid. 7. 8 y . 8 j 1". Rejh. z^. Divijeur C^ 3=. Dividende. jo. 3 i Son jirodffit x 3 4 ^Vfr â^« i''. Divid. I. 50. 93 2<*, i?f/?f. 3"=. Divifeur çjr 4*^. Dividende Son produit x 8 /f cVét d'à 5^. Divid. 49. 5>i 3*^. i?f//*f. 4^. Divifeur ç^ commune ntefure 39 Son produit à ôter du 4^. Divid. 6. 14 Dernier rcjle. 00 1= col. J^iot. 3=. colonne. Produits. ^=.r 11. 44.__ = 40JX5 ^- 119- 3=^ 403 119XJ -1- 16 8=f IZ5> — = i<5x8 ^- I. î6=nd 16 .. 6. 2,4 l6=a« == I. J 7. 17 7.8 y. 8j Opérations fuhjidiaires. 8. 36. 16 jo. 31 I. 5'7.i7. X 3 — I jo. 93 ■7-8T-8T 50. 31 15093 614 50-51 35> X 8 — 49. 92, X 16 49. 91 39 6.44. i4 tftfc /// 5-J4 Analyse générale, J'ai formé les deux prcmicrcs colonnes par la divillon expliquée dans le Problème i. qui m'a donné les quociens 5 =4 , 3 = ^ , 8 = , au produit 3 87 , ajoutant 119 , produit précédent la fomme 403 eft le quatrième produit vis-à-vis 3==^^. Enfin multipliant 403 x y quotient précédent a , 6 au produit loiy ajoutant le produit précédent 119 , la fomme 1144 eft le cinquième produit vis-à-vis le quo- tient 5-== a. L'opération cft finie, & les deux derniers prqduitsde la troifiéme colonne ^-IH font les deux plus petits nom- bres cherchez , qui expriment en moindres termes le rap- port des deux nombres propofez ^ilfilii. I.J7. 17. Bémonfiration. Dans la troifiéme colonne qui eft celle des produits, en bas l'unité vis-à-vis la commune mefure 39, repréfente j9divifé par lui-même. Le fécond produit lé vis-à-vis du quotient i6t=^, repréfente le fécond refte de la première colonne 614 di- vifé par la commune mefure 39 , car par hypothéfc & par conftruclion 39 mefure 62.4. parié, puifque le quo- tient 16 eft celui que donne la divifion de 6x4 par 39. Le troifiéme produit 129 repréfente le premier reftc " Livre second. yjy de la première colonne divifé par la commune mcfure 39 , car par hypochcfe & par conftrudion le premier relie j o 3 i , contient le fécond refte 614 huit fois , plus une fois 39 , c'eft-à-dire 614x8 -H 39 = jo. 31. ou ix'îëlTTp •+• 39 , ou Tï8ir39~-+-35> =^= TTslT^ De même le quatrième produit 403 , reprcfcntc le pre- mier divifeur i. 57. 17, divifé p.ir la commune mcfure 39 , car par hypothcfe Se par conftrudion i ^717 , con- tient trois fois le premier rcfte 5051 plus une fois 64, c'eft-à-^dirc^i 5717 t= n<^P~^T9 "+" ^> 77 > n , T > — » t > pour connoître les limites , il faut remonter aux hypo- théfes qui ont donné les produits , comme il fuit. I". Dans la première colonne j'ai fuppofè que 8 mc- furoit izj négligeant l'unité qui reftc,car ilmefureiz4 :c= iij I , ce qui donneroit z8 |, au lieu du quo- tient %%■■ : g , donc ce quotient^ eft trop petit, ainfi en écrivant dans la troifiéme colonne le fécond produit z8, il eft trop petit de i , puifque le véritable quotient eft 18 i, qui furpaffc 18 de ^. Livre second. j4j i°. J'écris 19 dans la troifiéme colonne pour la même raifon , au lieu de 19 i , & 57 pour yj f , & 86 au lieu de 8(5 I , &: 487 au lieu de 487 — , ou de 489 f , & en- fin 1060 au lieu de 1060 V , ou de 1064 |. Donc les excès des véricahles quotients fur les quo- ciencs approchez font |,?,f,ï,T^,-T-, dont les numé- rateurs I. I. 1. 3. 17. 37. l'ont produits conrinucllemenc par la nuiltipiication du numérateur 8 par le quotient précéder\c de la féconde colonne, & !e produit a;outé au numérateur fuivant en remontant comme il paroit dans la table (uivante. Coloufte ues N-tmtratetirs ^t.- excès ^ des dcfai/ts. • l'rouu.ts txacts de la colonne. 1 ;= d •7 1060 11 y — b 17 487 9 I c 5 56 k I -_ d 2. 57 ,^ I = e I -9 { z8 ^f I ^8 è 8 —g 1 Ce qui fe démontre comme dans le Problême z'-K puif- que c'cft la même opération, comme il fuit. Démenjiration des limites de la troijicme colonne. Puifque nous venons de voir que 487 y" ^^ ^ i oéo 1^, exademcnt comme 3913 efl: à 8y 17, li j'en ôte les deux fradions —^ & 11, qui font fenfiblemcnt dans le même rapport , comme on le verra dans la formation de la quatrième colonne , il fuit de-là que les rcftes 487 & J44 AkaLYSE GENERALE, 1060 feront encore fcnfiblemenc dans le même rapport, ce qui cft évident par la formation de la quatrième co- lonne expliquée ci-dcflus. Bémonflration des limites de la quatrième colonne. Je dis que les deux nombres de la quatrième colonne 37 & 17, font encore fcnfiblement dans le même rap- port que les deux nombres donnez 8 ji7,&: 35113 , c'eft- à-dire qu'ils donneront par la divifion les mêmes cinq premiers quotients &: dans le même nombre & le même ordre i = a , y = é> , i = c , i := d , 1 = e -, mais ils différent dans le fixicmc quotient que j'ai fup- pole I , au lieu de i 77-5. Car en divifant de fuite 8 J 17 , &: 59 1 3 , & tous les relies par it^ , on trouvera ce qui fuit ; fçavoir , D'abord divifant 215- par 12 j, le quotient eft i, comme je l'ai écrie dans la quatrième colonne. En remontant 233 divifé par 227 , le quotient efl: i ^,au lieu de i que j'ai mis à la féconde cellule de la quatrième colonne pour fécond produit. En remontant encore 458 divifé par 225- lequotienc efl: 1 j^,au lieu de 2 que )'ai mis à la quatrième colonne pour croifiéme produit. Enfuite 691 divifé par 22 j , le quotient efl: 3 -^ , au lieu de 3 que j'ai écrit à la quatrième colonne pour qiyitriéme produit. De même 3915 divifé par zi^,\e quotient efl: 17 -^. au lieu de 17 que j ai cent a la quatrième colonne pour cinquième produit &: dernier. Donc les excès des véritables quotients fur les quo- tients approchez qui font les produits contenus dans la , ^ « 8 i<; 88 loi quatrième colonne (ont — , — -, — -, — , — , dont les numérateurs 8, 8, 16,88, 192, font produits con- îinucUc.aient par la multiplication du numérateur 8 mul- tiplié Livre second. 5'4y tiplié par le quotient précédent , & le produit ajoute au numérateur précédent , comme il paroit par la table qui luit, ce qui le démontre comme ci-dcflus. 1 a 5 b I c I d Nuniêr-itcurs des excès cr des défauts. rroditits exacts de lu 4<;. colonne. l^-L 37 ^: 88 >7 ^ \G 3 ITT 8 - rlr 8 I TZ-s C'eft-à-dire , puilque 37 nf eft 3. ij — exadement comme 8517 eft à 391 j , &: que les deux excès '^ &c ^ qui font entre eux comme 24 a 11 , qui l'ont encore dans le même rapport , comme on le voit par la forma- tion de la cinquième colonne , c'eft-à-dire qu'ils font entre eux fenfiblement comme 8ji7eftà35)i3. COROLLAIRE. Règle générale pour les limites. L'origine du triangle des Rapports. Ce Problême me fournit par la formation de fes co- lonnes diftinguées par carreaux, la figure d'un triangle numérique que je nommerai déformais le triangle des Rapports ; c'eft de ce triangle que je tire une Méthode générale pour connoitre le plus exactement qu'il eft pof- lible les rapports des nombres tant commenfurables qu'in- commenlurablcs, qui fe trouvent exprimez dans les deux rangs d'en haut par la fuite des nombres entiers premiers entre eux , non pas dans la dernière précifion , ce qui Jnaljfe. qqq rjLÔ Analyse générale, efi: impofllble dans les nombres irrationaux , mais avec la plus grande approximation poflîblc alternativement par excès & par défaut , avec des limites qui déterminent l'erreur. Des limites. Toute Méthode d'approximation eft inutile , Ci elle n'eft accompagnée d'une autre Méthode qui donne les limites d'erreur , Ibit par excès, foit par défaut ; ici )c donne une Méthode facile pour ces limites , en com- parant comme il fuit par la régie de trois chaque terme de la férié comprife dans les deux premiers rangs d'en haut trouvez par l'opération ci-deflus avec les nombres du rapport donné. Série des nombres 8vi7 1060 î7 14 15 II 2, . j , j ' ' IL -2. — — . — compris dans les deux 391 3' 487' 17" iT 6' j' I rang-; d'en haut. Rézle générale. Faites cette analogie ou régie de trois , comme le nombre du i''. rang ou le dénominateur cfl: au nombre corrcfpondanc du premier rang ou le numérateur. Ainfi le plus petit des deux nombrrcs donnez 3913 , cft à un quatrième nombre. Or ce quatrième nombre qui n'eft qu'approché & non pas exact, diffère ou par excès ou par défaut d'une frac- tion , dont le dénominateur eft le dénominateur même compris dans le fécond rang d'en haut , &: le numéra- teur eft le refte de la divifion que donne la règle de trois, ce qui s'éclaircira par les exemples fuivans. Exemple. Pour connoitre l'erreur du dernier terme de la férié ci- deflus, )'ai cette analogie , i:!::??!?:?^^^; je trouve ce quatrième nombre par la règle de trois com- me il fuit , je mulciplic le plus petit des nombres donnez 3913 par le nombre z, numérateur du rapport f, le pro- Livre second, ^47 dult efl: 7816, qnoic divife par i dénominateur du aicmc rapport f , le quotient eft 7816. Enfuite j'ôtc ce quotient 7816 du plus grand des deux nombres donnez 8 5 17 , la ditfcrcnce eft 65 1, c'eft l'excès dont 8^17 furpaflTe le quotient j%z6. opération 3 9 1 J Analogie, i : 2: : 35)13 : 7816 — x 2. J J ^101 lent. '.i6\ 781^ I \ 78-ig\ 78i'î 78. 26 défaut ^' 691 J'ai donc une fraction pour l'erreur par défaut dont le numérateur eft cette différence 6^1 ,&:lc dénominateur efl: I, qui eft le dénominateur du rapport \. Autrement. Dans la férié des rapports formée par les nombres des deux rangs d'en haut ; je confidére deux chofes, 1°. le nombre des quotients donc la multiplica- tion a donne chaque rapport particulier , i"^. le caradére fpécial du pénultième quotient qui fournit le deuxième produit en commençant l'opération , & qui eft au-deflus de l'unité dans chaque coIonne,i'examine fi ce pénultième quotient eft défcdifou excelhf, c'eft à dire par défaut ou par excès, d'où je tire cette régie générale. Régie générale pour trouver les limites. i". cas. Si le pénultième quotient eft défcd:if,&: que le nombre des quotients reftans qui fcrviront de multi- plicateurs ( pour l'une des colonnes dont il s'agit ) , foit un nombre pair fans y comprendre l'unité, dans ce cas le plus grand des deux nombres exprime par excès le rapport pro- pofé. z'f, cas. Mais fi le nombre des quotients reftans eft im- pair, alors le rapport eft exprimé par défaut. 54^ Analyse 5^. cas. Au contraire , Il le pénultième quotient qui donne le i'^. produit de la colonne dont il s'agit cft cx- ceffif, &: le nombre des quotients rcftans cft ou pair ou impair, alors le plus grand des deux nombres de cette co- lonne exprime par défaut le rapport donné. D'où il fuit que lorfquctous les quotients font défcc- tifs comme il arrive ordinairement , la férié des rapports trouvés dans les deux rangs d'en haut expriment le rap- port donné alternativement par excès &c par défaut. Ainfi dans h huitième colonne le rapport 7 exprime par défaut le rapport '-^ , puifque le quotient z = 4cft défcdif , &c laifTe un refte , d'ailleurs le nombre des quo- tients rcftans eft impair non compris l'unité , puifque ce quotient i eft unique, ce qui donne cette analogie comme ci- devant. I : z:; 3913 :78i^ 8517 Opération. 3913 7816 Défaut 691 X 1 ^oti(nt 691 4 -jl. 1.6 S 78 16 Dans la feptième colonne le rapport '-j- eft exceffif , puifque le pénultième quotient 5 = b eft dèfcdif , &: que le nombre des quotients cft pair non compris l'unité, ce qui donne par la règle ci-deiTus cette analogie. 11: j:: 39 13 ■• 1778 -t- -f^- Opération. 3913 XII 39130 .Retient. l 43045 { 8608 -+- T 8 8 Livre . . 40 3 :o ..30 . . . . 0:4:3 40 SECOND. or 8^17 - — 8608-+- i J49 excès. o 8 — 51 -i- 1 5 ou^ refle 3 Dans la fixiéme colonne le rapport -^efl: défedif, puifqae le pénultième quotient i = c cftdéfcdif laif- fant un refte, &c que le nombre des quotients non com- pris l'unité eft impair , ce qui donne par la régie ci- delTus cette analogie. 6 : 13 : : 3913 : 8478 i Obérât ion. 3913 I. 17.39 3.91.30 6 I 5. 08. 69 { 84. 78^ 8 ..48 2.: 8 défaut, 4 ... i 4 or 8yi7 4:6 - 8478 i 38! ' ou ^■ 7 • • . • 4 ^ =_38 \ 6 4-9 8 4 8 refte i Dans la cinquième colonne le rapport —■ eft exccfïîf, puifque le pénultième quotient i == ^eft défcâiif laif- fant un refte, & que le nombre des quotients eft pair non compris l'unité , ainfi par la règle j'ai cette analogie, II :Z4:: 39 13 : 8J37 n -+- Opération. 3913 X 24 ■0 An A L Y 1.5651 7.816 SE GENERALE, J^jioîient. {■■ ^ 9- 3- 9- li- { 8564 rr 8 . y • . 88 y =9 • • y y 4:1 ...36 5:1 44 excès, or 8517 - 8564 ^ 47-4-J^ 6 . 4j_ — 47 rr II ou H refte 8 Dans la quatrième colonne le rapport ^ cft défec- tif , puifque le pénukicmc quotient i = e cft défcdif, &: que le nombre des quotients rcftans non compris l'u- nité eft impair , ce qui donne cette analogie. 17:37:: 3913:85 16 ;V — Opération, 39-13 X 37 ou par 40 3. 15. 65. 20 — I. 17. 39 Quotient. { 17 { I4-47-8I. { 85. 16 ^~ 8 . . 13 6 8:7 or 8517 y.... 8 '5 - ^n^ 1 7 1:8 := défaut I 7 1 I • 1 loi refte 9 EnfÎD dans la troifiémc colonne le rapport ~° eft ex- Livre second. jji ccffif, parce que le pénultième quotient 2,8=/ell:dé- feftif , laiiTant un refte , d'ailleurs le nombre des quo- tients non compris l'unité , cft pair , ce qui donne cette analoçrie. 487: 1060:: 3915 : 8j 17 ;f^ { 487 { 4. 14.77.80 { 8j. 17^, 8 . . . 3.89. 6 ly 1:7 y . . . . 24 3 j — 8^i7-f-7^ 82:8 or 8517 591} X 1060 ' 487 Txcès ^^, '^- 4780 3 4 1:0 '"'" 3-9I- 3 . . ^ ^ 4-^ 7^7^^ I On voit par le détail des opérations l'erreur de cha- cun des termes de la férié , foit par excès , foit par dé- faut, îl eft impoflible de trouver d'autres moindres nom- bres qui expriment plus cxadement le mênie rapport j~^ , car quelques nombres que l'on choififTe, on trou- vera toujours que l'excès ou le défaut fera toujours plus grand , &c par conféquent moins approchant , ce qui dé- montre que ceux-ci approchent davantage ; ce qu'il fal- loir démontrer. Remarque fondamentale. Si le rapport donné eft exprimé exademcnr par les deux nombres donnez, la férié donne cxadement la fuite de tous les nombres premiers entre eux qui cxprimenc le même rapport le plus exactement qu'il eft poffiblc. Si les deux nombres donnez ne font pas cxads, mais feulement approchez d'un rapport géométrique donné quelconque , ou l'un des nombres exaâ: , &: l'autre feule- JJ2, Analyse générale, ment approché, on opérera de même comme ci-dcffus. Si les nombres donnez font irrationaiix & incommen- fijrables, il fera toujours fort aifé de fubftitucr en leur place deux nombres rationaux entiers auffi grands qu'on voudra , qui diftcrcnt chacun de moins d'une unité du rapport donné , ôc dont l'un en approche par excès Se l'autre par défaut ,- dans ce cas il faut deux opéra- tions , la première furies nombres approchés par ex- cès qui donne une première férié, & la féconde opéra- tion fur les nombres approchés par défaut qui donne une féconde férié, comparant cnfuite ces deux fériés, on préfère celle qui approche davantage, foie par excès, foit par défaut , comme nous le verrons dans la fuite. LE TRIANGLE DES RAPPORTS Ou Méthode générale ^facile four trouver U férié infinie de tous les nombres premiers entr'eux , qui exvriment le fins exaclemcnt quil ejl pojJii?le un E^ipPort donné quelconque. Définition. Je nomme un triangle des rapports , le triangle numérique compofé de plufieurs colonnes divi- fées par carreaux ou cellules tel qu'eft celui qui réfulte dans le Problême quatriéma qui précède, de la formation des dernières colonnes 3'^. 4'-- , yi-'. 6'^ , 7'^. & 8'^. qui pré- fcntcnt à la vûë la figure d'un triangle redangle. C'efl: ce triangle que je nomme le triangle des Rapports, ic je l'employé comme un inflrument univerfcl pour for- mer la plus (impie , la plus convergente & la plus parfaite des fériés pour exprimer un rapport quelconque ; par exemple , foit propofé le rapport jffr- Pour former le triangle des rapports qui donne la féric des fractions en nombres premiers entr'eux qui expriment ce rapport le plus cxadcmcnt qu'il efl: poflible. i"^. Il faut par la divifion expliquée dans le Problème premier trouver les quotiens &c la commune mefure des deux LiVRESECOND. jyj deux nombres qui expriment ce rapport , qui font les (cpc quotients fuivans trouvez dans cet ordre. i". 1'^. 3<:. 4C. j^. 6=. 7C, Qiiotient. z=.ï, 5=^. j=c. i=r-i xb • I hc -+- I h c d-h- h h bc->r-l bcd ~^h-hd X a X a X .1 I al •+■ I a ù c -h- la abcd-hab-j-ad -+-cd-+- 1 ! "■ a h-V- i. dî'c -f- a -1- c. ■rii: a -h- ,i/^ -h 'id-^ id -i~ I LlYRE SECOND. ytfj e X d de ■+ I de -\~\ X c c d e-^i c -4- e c d e-i-c -i~ e xb b c de~\~y c~^h e -i~de~h I l; c d e -+~ b c -Je- b e-i-de-+~ I. Pénultième fomme. X a âbcde-i-iibc-^abe-i~'îde-hi^ h ï de H- abc -H db c •+- a d c -Jn a -k- c d c -+-c -4-^. dernière fomme. 5^4 Analyse générale, AvertijTentent, Comme il ell trcs-imporcanc de fuivre cxaclcmcnt les régies prescrites ci-deirus dans la forma- cion des colonnes du triangle des rapports , puifque le .moindre changement gâteroit tout , j'ai jugé à propos d'entrer dans un plus grand détail dans régies qui i'uivent en déterminant toutes les parties du triangle des rap- ports , afin que le lecteur ne puiffe pas fe tromper; cn- iiiitc je verrai l'ufagc de ce triangle des rapports &; des fériés qui en réfukent. i"^^. Régie générale pour former les colonnes du triangle des Rapports ,fur des quotients générateurs donnez^. Chacune des colonnes du triangle des rapports a fon quotient générateur propre & particulier, qui a le même cxpofant qui marque le rang qu'il occupe dans la pre- mière difpofition des rangs des quotients oiî ils font ran- gez par Analyfe; ainfi le troifiéme quotient eft le quo- tient propre de la troifiéme colonne , le cinquième quo- tient eft le quotient propre de la cinquième colonne^ &c. Chaque colonne outre fon quotient propre contient encore tous les quotients qui le précédent dans l'ordre d'Analyfe, ainfi la troifiéme colonne contient outre fon quotient propre les deux quotients qui le précédent , qui font le premier & le fécond comme multiplicateurs; de même la cinquième colonne outre le cinquième quotient, qui eft fon quotient 'propre , contient encore comme multiplicateu:;s les quatre quotients précèdens,& ces mul- tiplicateurs donnent chacun leurs produits, que je dif- tingue dans la colonne par ordre i*-'. i^. j*^. &:c. produits. Chaque colonne confidérèe dans fa figure contient d'abord en tête un triangle redangle qui contient un feul terme , c'eft toujours l'unité confiante mif? pour pre- mière fomme analogique , le rcfte eft un parallelogramc partagé en plufieurs cellules ou carreaux. Chaque cellule a la forme d'un parallclogramc , &; Livre second. jô"; contient quatre rangs ou quatre termes y rçavoir,un ter- me pour chaque rang : le premier rang eft un quotient, le fécond rfl: un quotient précédent comme multiplica- teur , après CCS deux rangs ou termes , eft une ligne ponftuéc pour les féparcr des deux rangs fuivans , le troi- îiéme terme eft un produit , le quatrième terme eft al- ternativement ou une fomme répétée ou un quotient ré- pété. Le nombre des cellules eft déterminé par l'expofant même de la colonne auquel il eft égal moins un;c'eft- à-dire que la cinquième colonne dont l'expofant eft y, contient quatre cellules de quatre rangs ou de quatre termes chacune, la troifiéme colonne contient deux cel- lules , la féconde colonne ne contient qu'une cellule, & la première colonne n'a point de cellules, puifque i 1 ; o, ainfi elle ne contient que deux termes , dont le premier eft l'unité confiante qui eft en tête dans fon triangle reftangle, &c au-dej(Tous un fcul rang qui eft le premier quotient , c'eft le premier rang en bas , ou le dernier fi l'on veut, qui étant prolongé contient la der- nière fomme de toutes les colonnes , &c qui en eft abfo- lument fépaté de même que le triangle qui eft en tête de chaque colonne. Setonde Régie four le nombre des termes contenus dans chaque colonne en particulier. Le nombre des termes de la première colonne eft 2, elle ne peut en avoir moins, c'eft un rapport exprimé par une fraèlion qui a deux termes, fon numérateur & fon dénominateur. Dans chaque colonne le nombre des termes croît de 4, c'eft-à dired'une cellule cntiéred'une colonne àcelle qui la fuit de gauche à droite fuivant cette progreffionj ^66 Analyse générale, Expofans colo ans des 1 r» j ^ >. c « nnes. } 1 ^ l'^'- 3^- 4 • î^ 6^ 7=. &C, Expofjint du f nombre desK 2,. 6. 10, I4. 18. 22. Z6. SCC. termes. \ Troijîéme Régie pour Lt qualité des termes. Il y a trois cfpéces de termes dans chaque colonne ,• ^çavoir, des quotients , des produits & des fommes , qui reviennent toujours de la même manière &c dans le même ordre dans les quatre termes de chaque cellule dans cet ordre; fçavoir, i». une fomme, i^. un quotient multi- plicateur, 3°. un produit, 4^. une fomme, excepté dans Ja première cellule dont le premier terme eft le quotient propre delà colonne, mais il efl: confidéré comme une fomme dans les autres cellules , ce premier terme ell: la fomme des termes de la cellule précédente. De telle forte que dans la première cellule de chaque colonne , le premier terme efl: le quotient propre & par- ticulier de cette colonne. Le fécond terme dans toutes les cellules efl: le quo- tient précèdent comme multiplicateur. Le troifiémetermeefl:le produit des deux termes pré- cédons , dcfquels il efl: fèparé par une ligne ponéluéc. Le quatrième terme efl: toujours le premier terme de la cellule précédente répété 5^ confidéré comme une fomme. Car chaque fois qu'on employé pour multiplicateur un quotient qui précède le quotient propre de la colonne , il occnfionne toujours un quatrième terme qui fuit fon produit, quieftnéccfLiircment la répétition d'une fomme précédcnrc , ce qui donne la fomme qui fait le premier terme de la cellule fuivante. Livre second. 567 Premier nfage du triangle des Rapports , ou examen de la férié fondamentale des Rapports trouvez, par lernoïen du triangle des Rapports. Le but de la conftrudion du triangle des rapports, confifte à trouver les termes d'une férié de rapports ou fractions , qui expriment le plus exademcnt qu'il eft pof- fible le rapport propofé; or dans chaque colonne c'efl: la pénultième fomme & la dernière qui font les termes qui compolcnt les rapports cherchez félon cet ordre. r pénultième fomme \ L ^ abe-^-xa^e ^^ (dernière " ^ ^h-^i, hc-^i dans le triangle des rapports analytique. Mais dans le triangle numérique &: particulier , j'ai C pénultième /•^^„„ 3 I I 8 17 178 lomme •< — — ___ __:. ' „. ( dernière 4 < y , 3S>, 83 , 869 , Ces fradions ou ces rapports ont été trouvez par le moïen des quotients générateurs pris dans l'ordre d'A- nalyfc.maisfionlcs avoir pris en ordre de Synthèfe,on auroit les mêmes rapports dans un ordre renverfé qui eft celui don: on a befom & tel qu'il fuir-, fçavoir , dans le triangle des rapports analytique ôc univcrfel. r dernière , , /- > a a b -^- 1 a b e-h-ï a-{-c^ lomme < _ ? ^^^ / pénultième i' ^ > b c ~+- l c'efl: la vraie féric primitive &: fondamentale. De même aulfi dans le triangle numérique & particu- lier )'ai la férié primitive & fondamentale, en renverfanï de même cous les termes. j(jS Analysegenerale, r dernière fommc) 4 j_ 59 85 869 &c. / pénultième i, i, 8, 17, 178, De cccce force pour avoir la fèrie primitive &: fon- clamcntale , je prends de chaque terme dans la bafe du triangle pour numérateur la dernière fominc,&: pour déno- minateur la pénultième fom,me de chaque colonne , &: la Icric étant ainfi trouvée dans laquelle chaque terme ap- proche de plus en plus de la valeur du rapport donné ; j'ai deux moiens pour la perfc6lionner. Le premier moïcn conliftc à continuer indcfinimcnc cette férié , 1°. ou en augmentant la fuite du nombre des termes , puifque les plus éloignez expriment plus exac- tement le rapport cherché , 2,". ou en fautant pluficurs termes pour avancer plus vite dans une progreffion arith- métique quelconque, 3°. ou enfantant plufieurs ternies dans une progrefllon géométrique qui eft encore plus prompte, &c qui avance à pas de géans. Le fécond moïen de perfcftionner la fèrie primitive &; fondamentale trouvée par le triangle des rapports , confifte à trouver d'autres fériés' qui foicnt dérivées de celles-ci par addition ou fouftraélion , &c. j'expliquerai ces deux moïcns dans le détail ; mais auparavant je veux donner les limites de chaque terme de cette férié primi- tive & fondamentale , pour connoître l'erreur qui Ce trouve dans chaque terme , foir par excès , foit par dé- fi; ur. DES LIMITES. Pour connetire Veneur foît par excès , foit par défaut dans chaque terme de la férié primitive & fondamentale réftdtante du triangle des rapports. Comme Je rapport donne cfl: irrationel de fa nature, il I LtVRE SECOND. ^(1() i! cft ImpoîTiblc de l'exprimer exadement fans une divi- iîoii poulTée à l'infini , ce qui efl, encore impoffible dans la pratique; ce que peut faire de mieux une intelligence bornée telle qu'cft i'cfpric humain, c'efl: d'exprimer ce rapport par une férié de fractions rationellcs , dont les termes approchent le plus qu'il eft polTiblc alternative- ment, ou par excès ou par défaut, &c dont l'erreur foie non feulement infenfible, mais la moindre qui foitpof- fible i & pour en juger il faut connoître &c déterminer avec précifion l'erreur de chaque terme de la férié, foie par excès foir par défaut. Dans le triangle des rapports numérique Se particu- lier ci-dcffiis, foit le rapport donné ||^ z=^ — ^= -^ j'ai trouvé en lettres la férié primitive & fondamentale a-\- a h-lr-i tih c-\- a-1^ ç-f- ahcd ~\.ah -^- ad -^- cd -+• i »b cde -f- ah c —I- " !> e -^-ade -+- a -^ c d e -+ c -+(-+• La même férié primitive & fondamentale trouvée en nombres pour le rapport donné ~ eft 4-t- T !9-4- 8! 8<9_)- I 'I '8 ' i^ > i^S Dans cette férié chacun des termes cft fuivi alterna- tivement du figne-f- & , parce qu'ils expriment al- ternativement par défaut &: par excès le rapport donné en plus petits nombres toujours premiers entre eux , puif- qu'ils n'ont que l'unité feule pour commune mefure,&: par conféqucnr c'cft l'expreflion la plus fimple & la plus exade qui foit pofliblc du rapport des deux nombres don- nez ; pour s'en convaincre , il n'y a qu'à appliquer ici les régies des limites expliquées ci-dcdlis , comme il fuit. Dans la férié primitive & fondamentale en lettres , le premier terme— donne le rapport-^ par défaut, car le numératetir a cft un quotient défedif par la conftruc- jyo Analyse générale, tion du triangle des rapports analytique ; puifqu'il laiflc un reftc, & que ce quotient efl: impair, étant unique. Donc fuivant les régies des limites , il exprime par défaut le rapport donné, c'cft pourquoi ce numérateur doit être fuivi du figue -+- , ainfi ^ — , fcs limites font h i , car ,-7-; == —r I —pi' I b • Le fécond terme ; doit être fuivi du fignc parce qu'il exprime par excès le rapport donné— par fa conftru(n-ion , fcs limites font h -f- i , fuivant les régies expliquées ci-dcfTus page 370 & 499. Tous les autres termes font de même alternativement par défaut & par excès , on en trouvera facilement les limites par la régie de trois , comme il efl: explique ti-dcflus. Des f cric s dcrivîcs. De la première férié trouvée ci- dciTus par le triangle des r:ipports qai eft la féric primitive & fondamentale , on peut former plufieurs autres fériés dérivées en joi- gnant enfemblc deux tctmcs de la férié primitive , ou plufieurs comme il fuir. 1°. La féconde férié qui eft la première des fériés dé- rivées fe forme en joignant enfemblc deux à deux les termes de la férié primitive qui font toujours alternati- vement par &xcç.% &c par défaut, je retranche l'excès des termes qui donnent ttop pour l'ajouter aux termes qui ne donnent pas aflez. Ainfi du fécond terme — — ; , j'ôte ■ "' , le rcfte efl: — , qui étant ajouté au premier terme qui ne donne pas afTcz 5 la fomme efl: '"--{- -77, ce font les deux pre- Livre second. ^71 raiers termes trouvez, qui font trop grands, car c'cft 7^^ , duquel j ote le f. terme Trr:f, le refte eft —r-, — ; — r fl"i ^^ra le troifiéme terme de la fé- rie dérivée ; pour la preuve il fuffit de faire l'opération qui fuit. car I 4 If — f- I . ' X i b c —h- I = i a b h c — f- l ab — f- l b c — f- I. Et i a bb c -+- I a -+- I c X i b . I rfi b bc -4- i a b or ôcant ce fécond produit du premier , le refte eft ! = — : — ; ! -, c'cft le troifiéme terme de la féric dérivée, &: ainfi des autres termes à l'infini. Par ce moïen je forme la féconde férié qui fuit , qui eft la première férié dérivée de la lérie primitive. i'-''. ^'^. 3':. terme 4'=. terme. I b ibùc-^iS ' \bbccd-^ibbc-^i.bcd-\-ib~\-\d 1 bb ce d d e — |- i b b c d , &c. Dans laquelle , 1°. tous les numérateurs font l'unité conftante, ce qui rend cette férié la plus fimple qui foit pollible, & les dénominateurs de chaque terme font tou- jours le produit des dénominateurs des deux termes qui ont fcrvi à former ce terme, qui ne font que des parties aliquotcs de l'unité qu'il faut fouftrairc &: ajouter pour avoir le rapport cherché. 2 '. Tous les termes ont alternativement le figne -{- & ■ — après le premier terme dans cette férié. Ufij j7i Analyse générale, Remarque. Il efl plus facile de former cette fccor.de férié en nombres qu'en lettres, parce que dans l'addition des grandeurs , littérales elles rcftcnt toutes entières &: confcrvent le même nombre de termes , au lieu que dans l'cxprelTion des nombres , l'addition les réunit dans un feul terme ou dans une feule fomme , ce qui rend cette féconde férié beaucoup plus fimplc lorfqu'clle efl: expri- mée en nombres , que lorfqu'clle cft exprimée en lettres, la mêmechofe fe trouve encore dans la fouftraûion > où l'exprcffion en nombres conferve le même avantage, mais dans la multiplication & dans ladivifion où il efl; néccf- faire de connoître tous les termes , l'exprefllon littérale a l'avantage au-deflus de l'expreflion en nombres &: lui cft préférable. Formation de Li féconde fer te qui efl Li f rentière dérivée en nombres de l'équation primitive. I'^^ terme. %^. f. 4^ 5^. terme. Série primitive. \. \. ^-. |f . |^. &:c. J'opère comme dans l'exprefTion littérale en prenant toujours deux termes , &: ôtant le premier du fuivant après les avoir réduit au même dénominateur , ainfi de i VA-- 4 ^>„n. i 4 5x1 — ' X 4 ? — 4 f,j'ôtc \, c'eft voilà le fécond terme trouvé pour la féconde férié que j'a- jouteau 1". terme', ainfi les deux premiers termes font - — f- T ^= T , cette fomme efl: trop grande , j'en ôtc le troi- fiéme terme de la férié primitive ~ , c'eft \ ^ , je les réduis d'abord au même dénominateur ^-^ 1X8- T^^Y ^^^= — i — "=* 8 ' '"^^ ^^ troiucme terme de la férié dérivée , que l'on continuera de même à l'infini , autant qu'on voudra. Série dérivée 4-i-r — \ -f- &:c. où les termes ont al- LiVRESECOND. J73 ternativementles figncs -4- & après le premier. Cette férié eft la plus fimple Se la plus commode de toutes les fcrics qu'on peut dériver de la férie fonda- mentale , foit par l'addition de plufieurs termes excé- dans & la foullradion des termes défaillans , foit en com- parant de toutes les manières &: dans toutes les combi- iiaifons pofTibles les termes de la férie primitive , ce qui donne autant de (érics dérivées , mais cette première dé- rivée aiant toujours l'unité confiante au numérateur , elle eft la plus commode , parce qu'il eft facile de voir la pro- grellion qui rogne dans les dénominateurs , qui ne l'ont que des parties aliquotes de l'unité qu'il faut ajouter &: fouftraire pour avoir le rapport cherché i mais ces fériés dérivées font très-utiles dans la reftification &: la quadrature des lignes courbes , &c dans tous les Pro- blèmes où il entre des racines irrationellcs , c'cft pour- quoi nous les renvoyons dans l'Analyfe particulière, c'eft leur place naturelle, parce que nous en ferons en même tems l'application aux lignes courbes , où l'on en a bc- foin. De l'a Méthode inverfe du triangle des Rapports. Le triangle des rapports qui eft explique ci-defllis donne infaiUiblemeut toujours la férie la plus parfaite qui exprime le plus cxaébcment qu'il eft pofliblc le rap- port ou la racine irrationelle cherchée. Ce triangle eft un inftrumcnt univerfcl pour trouver les rapports de tous les nombres irrationaux &: de toutes les racines irrationellcs de tous les dcgrez à l'infini , car ce que nous expliquons ici dans le détail pour le fécond degré, doit s'appliquer également à proportion dans tous les degrez. Mais il y a deux manières de propofer un rapport, la première manière que je nomme le Rapport direff , eft lorfque le rapport eft exprimé par deux nombres qui ttt iij ^74 Analyse forment une fradion, alors il faut opérer diredemenc fur les deux nombres donnez , divifer le plus grand par le plus petit , ce qui donne un premier refte , enfuitc continuer à divifer le plus petit par le premier relie ,ce qui donne un fécond refte, &c ainfi de fuite, jufqu'à ce que 1 on trouve un dernier divifeur exad &c fans refte , &: les quotients que l'on trouve par chaque divifion , fervent de matériaux pour former le triangle des rap- ports expliqué ci-dcfTus dans cette fcction. La féconde manière que je nomme la Méthode In- verfe du triangle des rapports , eft lorfque le rapport propofé eft inconnu & n'eft point exprime par deux nombres qui font une fraction , mais que l'on propofe feulement la période réglée des quotients qui réfultede la divifion du rapport , & dans ce cas il s'agit par le moïen de la période de ces quotients , de trouver les deux nom- bres qui ont ce raport, & même tous les nombres qui ont le même rapport en réitérant la période des quo- tients qui eft toujours la même ; nous en avons donné un exemple fur la lin de la Section précédente, p. y 09. C'eft-à-dire que la Méthode dircfte du triangle des rapports cherche les quotients du rapport de deux nom- bres donnez &c connus , la Méthode inverfe au contraire cherche les deux nombres inconnus dont le rapport eft exprimé par une férié de quotients donnez Se connus. Former la série générale des Fcriodes réglées des nombres irrationaux en général. Toutes les périodes réglées des quotients générateurs, commencent après le premier quotient qui eft hors d'œu- vre Si qui ne fe répète point & s'étendent depuis le fécond quotient jufqu'à celui qui eft précifémcnt double du pre- mier inclufivement , & la divifion continuée indéfiniment donne toujours la même période de quotiens qui fe répète à l'infini , quelquefois il n'y a qu'une feule période , c'eft Livre second. j-jj lorfque le premier divifeur revient le premier dans l'opéra- tion ; & quelque fois il y a deux périodes , c'cft lorfque le premier nombre qui revient n'cft pas le premier divifeur. Exemple. Pour trouver le rapport de i àv~j je cher- che la racine quarrée de z , j'ajoute des zéros tant que je veux après 2, , ou fimplcment je mets des points que je regarde comme des zéros. Extra£tiûfi de la Racine quarrée de z. f Dividende. Ç ^lotient. \ 1. 00.00. &:c. (_ 14142,. 13. jé' Racines ou 14142,13.^7 . 1...1. premier quarré à ôter. 1:00.. premier refte augmenté de deux zéros. 2 : 4 .... 96 . . fécond produit à ôter. 4 : 00. fécond refte augmenté de deux zéros, z : 8 : I . . 2 81. troifiéme produit à ôter. I 19:00.. 3*1'=. refte augmenté de deux zéroSo^ 28:1:4..! II. 96. quatrième produit. 6 04:00. quatrième relie. iSi : 8 : 1 . .. j 6 y 64. cinquième produit. 38. 36:00. cinquième refte. z8i8 : 4 : 1 . . . Z.8 18 41. fîxième produit. I o 07 59:00. (ixieme refte. 28184 : 2:3.. 848 yz 69. feptiéme produit. 1590631:00. fcprième refte. 282841 :tS:j.. 141411315-. huitième produit. 17641775:00. huitième refte. 282841 : 70 :6... 16970562 16. neuvième produit. &c. &c, &:c. Au contraire fi j'opère fur ces deux nombres donner en fradion '4'-4xi-?fg^ ■ ^j^ j^f^^j ^ I cm rinn r\ri * * 100. 000. 00 141 4^1. 35'7 - 100. 000. 000 par excès. Pour trouver la féric des nom- 57^ Analyse générale, bres qui expriment ce même rapport le plus cxadcment qu'il eft poflible alternativement par excès & par défaut, je trouverai comme dans les deux opérations fuivantesla leric des quotients générateurs i [ i 1 1 2 1 1 i 1 1 &e. Première opération , fur le rapport exprimé par défaut. Frcniier Divid. par défaut 141. 411. 35:6-1-1. i \".Divifeur & 2.^.Bivid. 100.000.000./ lA. ^hiot. 1'^^. produit à ôtcr 100. 000. 000 L t. f\rejh. vKDivi/](y- 3^ Divid. 41. 411. 3 uot. ^'^ . produit a oter ' 34. 314. ^76^ 2 ^"".refie.^^.Di'vif.ar f.Di'vid. 7.106.780./ J'=. j9 /i^^. produit à ôtcr 14. 2 1 3. yéo.L 2. uot. 4=. rejie. j=. Divif. ô" d". Divid. 2. 945. 728./ 6<=. J^ut. ^'^. produit 5.887.476.1 2. 5'^. rcjtc. 6'^.Divif. j". Dii'id. 1.119. ^14. f y". J^^iot. 6'^. produit. 2. 438. 648. (_ 2. 6\ refle. 7'. Divifeur 8". Divid. yoy. 080. f 8". .^ot. ■j'^. produit I. 010. 160. \ 2. •j". reflc. 8^ Divif. 9'=. Divid. 205). 164.J 9'-. j^^/. %\ produit 418.328.1 2. 8^ r^/c. 9^ £»;'y//: 10''. D/V/V. 86. 7 j 2. / i o"'. iAr/i>A ç)\ produit 175. 5:04 \ 2. 9^ rf/ff. lo"'. Divif. 1 1"'. Divid. 35. 660. f 11". J^uot. 10'^. produit 71.320.1 2. ïo' rf//f. 1 1^ Dix'/yC 1 2". Divid. i j. 43 2. r 1 2<=. 4^/tf/. 30. 864.1 3—- 4.796. Les L I V IV iz s E c o N D. 577 Les onze premiers quotients font bons & exa£ls ; mais le douzième commence à être faux par excès ; c'eft un 5 au lieu de 2 , parce que le dividende a été pris un peu trop petit dans fon dernier chifre 6. Seconde opération fur le rapport exprimé par excès. \". Dh'if. c>- -L^.Divid. 100. 000. 000. ^ 24I- I Il 764.70^. 882,. 551.941. I. Il 7 • • ii5> Il:o 6 . . . 102 8:0 4 ... ^8 I I 1:0 I I s î:o Livre second. ij9 o . . . . o lOiO 5 • • « • 8y I y:o 8 .... I 3 (> 14:0 8 ... .13 6 4:0 2- 3 4 3 y I 9:0 y 8 y j:o 2 34 I 6:0 9 I y 3 7:0 4 6 8 2:0 I 17 3:® , fin de la 1"^^ période I i 7 égal au 1". divifeur. qui recommence à l'infini 13:0. i". divid. 7 ïi 9 11:0 6 10 2 8:0 4 6 8 I 2:0 RemArqtie fur les refies. Le Dividende 13 cft regardé uuit ij jSo Analyse générale, comme le premier reftc , car tous les rcftes font des di- videndes , en le comprenant il y a 17 rcftes dans cet exemple, & c'efttout ce qu'il y en peut avoir , puilqiie ij eft le divifcur. Remarque importante é' fondamentale, "Lor^a^xo. le pre- mier reftc qui revient dans le cours de l'opération cft le même que le dividende comme ici 13 , alors il n'y a qu'une feule & unique période réglée qui recommence toujours à l'infini , l<. qui redonne toujours la même fé- rié des quotients comme dans l'exemple précédent. Mais lorfque le premier rcfte qui revient dans le cours de l'opération , comme dans le rapport ff^ , alors il y a deux périodes qui compofcnt la période réglée , la pre- mière partie fe termine à ce premier rcfte qui revient le premier , cette première partie de la période io. borne là. Si ne revient plus , mais la leconde partie contient la période qui fuit après, &: qui fe répète à l'infini. Concliijion. C'cft cette cxpreffion en parties décimales du rapport tI; fçavoir 0.764, &c. que je nomme le cal- cul intégral, il peut s'appliquer à tous les rapports , & par confèqucnt à toutes les racines irrationcUes de tous les dcgrez à l'infini , & cette intégration eft incompa- rablement plus facile , plus commode & plus cxaèlc'que celle des progrefllons géométriques décroiflantcs à l'in- fini , ô^ l'cxprefllon fenfible des nombres la rend préfé- rable à toute autre Méthode d'intégration, nous en ver- rons la preuve dans l'application que nous en ferons aux reélifications &: aux quadratures des lignes courbes , de leurs furfaces &: de leurs folides, c'eft le fujet dcl'Ana- lyfe particulière qui fera la féconde partie de cette Ana- lyfe complette. Livre t Pv o i s i e' m e. j 8 i LIVRE TROISIEME Des Problêmes indéterminez , & des Problèmes plus qu'indecerminez. METHODE G E' NE' RALE Bout refondre en nombres entiers les Troblêmcs indétermineT^ânns tous les cas pojfibles À l'infini.'' LEs anciens n'ont pas voulu recevoir les folutions irrationeilcs dans les Problèmes numériques , parce qu crlcctivemcnt ils n'ont pas regardé les irrationaux comme de véritables nombres. Euclide n'en a fait au- cune mention dans le 7. 8. &: 9. livres de fcs Elcmens qui font tous deftinez aux nombres , & le deuxième qui auroit du traiter des irrationaux n'eft exprimé qu'en lignes , ils ont crû que cette expreffion étoit la feule exacte &: naturelle pour les rapports incommenfurables, en quoi ils fc font trompez, comme l'auteur delà recher- che de la vérité l'a fait voir,car les lignes ne parlent qu'aux yeux , & pour en connoitre exadiemenr le rapport , il £iut avoir recours aux nombres , Icfquels s'ils font ra- tionaux expriment exadement & en même tcms d'une manière parfiitemcnt intelligible le rapport de toutes les grandeurs, mais s'ils font irrationaux , ils expriment ces mêmes rapports exaûement & en même tems de la manière la plus intelligible qui foit poffible , mais quia cependant eirentiellement&: inévitablement une inintel- ligibilité indéfinie que l'on peut diminuer à l'infini , en fubltituant des nombres exaûs qui approchent toujours de la valeur de ces irrationaux par défaut ou par excès,, mais qui ne peuvent jamais l'égaler. tiuii m 581 Analyse générale, Euclidc n'a pas même regardé comme nombres les fradions rauoncllcs , la définition qu'il donne du nombre au commcnccmen: du -j'^ . livre ne leur convient pas plus directement qu'aux irrationaux , eftcdivement on ne peut concevoir de fraélion abftraicc , l'unité abf- traite érant indivifibic. Diophante n'a point admis les irrationaux , mais il em- ployé les fraclions, & tous les Problèmes dont l'égalicé paite le premier degré font ou indetermincz, ou reftrains par des conditions qui les rendent nccefTaircmcnt ratio- naux , &: il n'y a de difficulté & d'adrcflc que dans les Problèmes indéterminez , lefqucls naturellement tombent dans les irrationaux ; il faut entre une infinité de folu- tions rationelles &: irrationclles dont ils font fufceptiblcs, fçavoir former l'égalité de telle forte , qu'elle donne néceflairemcnt une folution rationcUe, de forte que les Problèmes qui font les plus difficiles, & même quelque- fois impoffibles étant propofés avec cette reftriélion , d'en donner la folution en nombres rationaux , font fi faciles fans cette même condition , qu'il fcroit ridicule de les propofer. Pat Exemple. Divifer un nombre quarré en deux autres nombres quarrez, divifer un cube en deux autres cubes, &:c. & ce n'efl: pas fins raifon que l'on s'attache aux nom- bres rationaux préférablemcnt aux irrationaux , car il efl: évident que l'efprit reçoit avec plus de plaifir ce qu'il ap- pcrçoit exaélcment comme les nombres rationaux, que les irrationaux qu'il ne peut jamais apercevoir parfaitement. Diophante & les autres anciens n'ont pointconnu de folutions négatives , &: effectivement elles doivent être rejettées,lorfqu'il y en peut avoir de pofitives, &: lorf- qu'il n'y en peut avoir , le Problême eft abfolument im- poffible , car il eft impoffible de concevoir un nombre négatif purement & fimplcment ; effectivement les fo- lutions négatives d'un Problême font des folutions po- Livre troisie'me. ^%^ fitives d'un autre Problème, quoique cependant il v ait une très petite différenee entre les Problèmes abtoki- ment impoiîlbles , & ceux qui ne peuvent avoir que des folutions négatives, ou même imaginaires. Diophante ne s'efl: pas mis en peine d'aller plus avant, il me femble au contraire qu'on peur réduire à cinq,les difterens degrcz de perfeâion dans la folution d'un Pro- blème. Le premier , qu'elle fort en nombres rationaux. Le fécond, qu'elle foit en nombres entiers. Le troiliéme , qu'elle foit en plus petits nombres qu'il foit pollible , le quatrième , qu'on en ait une infinité. Le cinquième qu'on les ait toutes , ce qui cft diffèrent du quatrième , car on peut en avoir une infinité, fans ce- pendant les avoir toutes, par exemple, on trouve une infinité de nombres propres aux triangles rcèlangles par la règle des quarrez impairs, mais on ne les trouve pas tous , car on ne trouve pas , par exemple. 8 : ly : 17 : De tous ces degrez de perfection , Diophante &c les anciens ne Ce font mis en peine que du premier , mais il eftaifé de voir qu'ils ont eu tort de négliger les autres, & pour ne parler que dos folutions en nombres entiers, il eft évidenr que les réfolutions en nombres entiers ont fur les folutions en fractions , à peu près tour l'avantage que les folutions rationelles ont fur les irrationelles. Voici en peu de mots l'occafion Se la manière dont j'ai trouvé la Méthode , un de mes amis m'ayant dit qu'il fe trouvoit cmbarrafFé dans la folution d'un Problème de Diophante , qui n'ètoit cependant que du premier degré, me pria de lui en envoyer la folution Méthodique, parce que celle de Diophante lui paroilToit embrouillée & peu naturelle. Voici le Problême tirée de Diophante, îiv. z. prop. i S, trouver trois nombres tels que fi on ûte la cinquième partie du premier plus 6 , Se qu'on l'ajoure au fécond , j84 Analyse après en avoir ôté la fixicmc partie plus 7, pour l'ajou- ter au croifiéme , après en avoir ôcé la fcptiéine partie plus 8 pour l'ajouter au premier, ce qui réRiltc de l'ad- dition &: de la fouftraclion faite fur de certains nombres fafie trois nombres égaux. Voici comme j'opérai , foie pour éviter les fraftions. Le premier . . j .v Le fécond . . 6 x Le troiiiéme . . 7 z. ôtant du premier la cinquième partie -+- 6 , il rcfte 4.V • 6, auquel refte il faut ajouter la feptiéme du troi- fiémc -f- 8 , ce qui fait 4 x 6 -[- z, -H 8 , ou 4 a; -i- z. -+- 2, pour premier nombre réfultant. Otant la fixiéme partie du fécond -H 7 , il refte ^ _y 7 , auquel refte ajoutant x -i- 6,1a cinquième par- tie du premier félon le Problème, on a pour le fécond nombre réfultant j^ 7 — }- .v -4- 6 , ou j 7 -+- x — r. Enfin ôtant du troifiémc fa feptiéme partie -f- 8 , &: au refte 6 z, 8 , ajoutant la fixiéme partie du fécond -{- 7 , qui eft j/ -t- 7 5 on aura 6 z, S -+- y -4- 7 , ou 6z -k- y I , pour troifiémc nombre réfultant. Il y donc égalité entre ces trois nombres réfultans. 4 .V -H 2, -f- 1 y y -\- x I 6 z. — }~ y I dont on peut former deux égalitez , & comme il y a trois inconnues , il eft: évident que le Problème eft indétermi- né , c'eft pourquoi nous pouvons à difcrétion réduire deux des inconnues à l'expreflion complexe des nombres connus & de la troifiémc inconnue. Ainfi par la première égalité 4 .v —H z, — f- z === y j» —H X I , on a cette égalités ^= 57 3 x 3. Par la féconde égalité 4 x -4- z ~\- 1=6 z-^ y — i. on a ;::. = — — —^ &c comparant ces deux valeurs dez. on Livre t r o i s i e' m e. 5S)- on aura ■'^ "^ -'' = jj 3 x 3. Et en mul- tipliant tout par y, on aura 4 .v -t- 3 j == 15- jr I y a: I y , ou 2 y / -f- 7 = I y x -f- 4 X -t- ij -f- 3 , c'cft-à-ciire , z6 y = 19 at -i- 18. Ety^'^'^"^' . Or en fubftituant cette même valeur dans l'égalité z. = y j- 3 .v 5 , on aura cette autre égalité z, == ' 3 .v 3 , c elta-dire , 2, r= '•^ ^-r ''■ multipliant en croix pour ôter l'entier de la fradioH, & ôrant des numérateurs 2.6 autant qu'il eft poffible, c'cft-3-dire trois fois, à caufc de 3 ^^ car — - 3x16 ^= 78 .V 78. Le Problème eft donc réduit à fa dernière & plus fira- ple cxprefllon d'égalité , par conféquent il eft indéfini- ment rcfolu , car quelque nombre que je prenne pour x, les valeurs de ^y & de 2, font trouvées ; mais il s'agit de trouver des nombres entiers il faut donc que^ étant égal a &: z, étant égal a — — — , 1! raut dxs-ie que x foit tel que fon produit par 19 aiTgmenté de 18 , & de plus fon produit par 17 augmenté de iz , foient divi- iiblcs par i6. Or voici la penfée qui me vint là-defllis , fi 19 a: ~+- I 8 , & 17 ,v —I— 1 2. font divifiblcs par 16 , il eft évi- dent que lei'r différence l'eft aufii , c'eft-à-dire que z x — f- 6 eft auflidivifible par 16 ; donc fon multiple fera aulïï divifiblepar i6, c'cft-à-dire, confidérant dans 17 .v com- bien de fois il y a 1 x , je l'y trouve 8 fois , ainfi je mul- tiplie z X -f- 6x 8 , & il eft évident que 16 .v — f- 48 fera aullî divifible par 26, & pour abréger j'ôre de l'ab- folu 48 le nombre 26 autant de fois qu'il eft pofliblc, c'eft- à-dire ici une fois feulement , &c il me refte 1 6 x -+- z z^ Analyfe. xxx ^Î6 Analyse générale, qui cfl: divifible pari6, or lyx H- ii efl: auiïidivifibic par z6 , donc leur diflFérence x lo l'eftauffi , donc le double de cette différence i x io cfh aulli vilible par i6 , & ce double z x zo , étant ôté de 2. x -+■ 6 , il xefte z6. de 19 ,v-j- 18 ôtant 17 .V -H II 16 x-h 2.2. 1 .V H- 6 reftc ou dilTcrence i '■^ — 1 7 .V H- 1 1 X 8 diff. X — 10 16 x-H 48 Multiple. X 1 , . 2. X — 10 z6 refte — z6 z X — 2,0 ve([. 16 x-h 2.Z dont ôrant 16 .V — 10 reftc &r différence 2''=. zx — zo Multiple. z6 Or d'autant que le nombre abfolu étant 16 , il cft effedivement divifible par zéjje conclus que le Problême peut Ce refondre en nombres entiers , 5c qu'il ne reftc qu'à rendre x 10 divifible par z6. Je fuppofe X 10 , égal à zéro qui eft la moin- dre valeur pofliblc , '^ ° =: o , ce qui donne X = 10 qui fatisfait. Ainfi fubftituant cette valeur dans les égalitez ci-def- fus , on aura pour les trois nombres cherchez j x = jo. éji 48 , 7 2. =t — : 49 , qui font les plus petits qui foienc poffibies , & c'cft la folution la plus éiéeante qu'on puiflc défirer y ceux de Diophante font lZ,^l,ltl, ^^ .9 -y- -4- .8 ^^ J9o-H_S ^^ ^^^ g_ j^j^^ 67 = 48. l-' « -+■ Il 170 ■+!'■ 181 A r ^o ~ ^ Il 17 '* ■''" ^ donc y .v= jo. Si on veut avoir tous les nombres à l'infini qui fatis- I Livre troisie'me jSj font aux conditions du Problème , il n'y a qu'à donner à X les valeurs fuivantcs. X = lO. X = lo —H- z6 qui cft le divifeur ; ce qui donne pour les trois nombres cherchez i8o. i6i. i68. X = lO — f- zx 16 X = I O -f- j xi(5 ôcc. qui (ont tous primitifs ; mais leurs multi- ples ne fatisfont pas généralement. Or , il cft évident que tous les Problêmes indéterminez peuvent fe réduire aune formule fcmblable , &c parcon- féqucntils peuvent être réfolus de la même manière en nombres entiers , en obfervant ce qui eft dit ci-après. Voilà l'occafion de la première découverte , je l'ai mieux digérée dans la fuite, dc )e l'ai poufféc à l'infini avec un progrès qui m'a étonné. En voici le détail en com- mençant par les Problêmes les plus fimples. SECTION PREMIE'RE. Propolition première. Ré/ondre en nombres entiers un Problème indéter- miné où tl y a deux grandeurs inconnues , dont l' égalité finale ne pajje pas le premier degré , ^ où une inconnue n'efi pas multipliée par l'autre. (On fuppofe toujours qu il y a une fraSiion dans l égalité finale , autrement il n y aurait point de difficulté , £5" partant on n aurait pas befoin de régie. ) T Ous ces Problêmes peuvent aifément fc réduire à l'une des quatre formules fuivantcs. XXX ij p '{ f tj a X j88 ANALYSE GENERALE, 2.^^, . • . y - r /^ "' r- , I". La première formule eft aifée , il n'y a qu'à fuppofer Je fuppofe a &ip réduits à leurs moindres termes fi l'on veutavoir les plus petits nombres qu'il loit polîible ; ainfi on aura 4 = 1^ ce qui donne ^ = ^. Tous les multiples fatisfont & font les feuls qui puiflent fatisfairejCe qui don- une folution pleine & entière , x &c ji étant comme a les plus petits de leur raifon par là . . du 7 d'Euclide , toutes les valeurs de x ôc dej font multiples de la i"'. valeur. 2.^. Pour la féconde formule j' ■? ? Pr^paratien. Il faut d'abord réduire 4 -H ^ à leurs înoindres termes. Enfuite ôter de 4 ou de ^ tout ce qui eft égal ou multiple de^ ; je fuppofe toujours dans cette préparation a i^ q plus petits que ^ , & la raifon de cette préparation eft évidente ; car il'cft certain que p le me- fure lui-même &: fes multiples , & par ccnféquent s'il eft pofTible qu'il mcfure le tout propofé , il mcfurera la dif- férence. Ainfi ôtez a àc p autant de fois qu'il eft pofTible , pré- eifémcnt , & s'il refte quelque chofc , foit ce reftc nommé r , ôtez r autant de fois qu'il eft poffible de 4 , &: s'il refte quelque chofe, foit nomané ce fécond refte/ ,• ôtez t de r autant de fois qu'il eft poftible , &c ainfi de fuite jufqucs à ce que vous ayez trouvé un divifcur fans refte , ou que vous foyez parvenu à l'unité. Faites les mêmes divifions fur q &c fur/ , que vous avez Livre troisie'me. jg^ fait fur a &/> , en gardant les fignes -4- &: , & fi vous parvenez à l'unité , ce qui arrivera toujours lorfque a S^ p feront premiers entr'eux , fi l'abfialu reftant eft s , donc x = j : mais fi rabfolu reftant eft -+- s , donc x=p — j- , &c toutes les valeurs à l'infini l'ont dans le premier cas. s p — j- p ~^- s ip — s 1 p ~i- s ^ p J- 3p-i-s ^p~s 4p~i-s y/— •>- &c. Sec. 3". Dans le fécond cas , que fi l'on trouve un divifeut fans rcfte avant l'unité , multipliez l'abfolu j- par l'expofant de ce divifeur fans rcfte; ajoutcz-lc s'il eft p!us petit au dividende prochainement plus grand, & failantl'additioa ou la fouftraâiion du produit, l'inconnue fe détruira, Se fi l'abfolu reftant n'cft pas divifiblc par p , le Problême eft abfoluaient infoluble en nombres entiers. Que s'il eft divifible , divifez l'abfolu précèdent par le nombre des racines du dernier divifeur fans rcfte , & le quotient fera la valeur de la racine s'il eft , ou fa dif- férence au dénominateur s'il eft -+-. Que fi l'abfolu n'cft pas divifible fans rcfte , par le nom- bre des racines du divifeur fansrefte, le Problème eft in- foluble. Et fi on a foin de rejetter tous les excès dans l'opération, le nombre reftant fera le dénominateur même. 4°. Toutes les fois que ^ô^/» font nombres entiers, le Problême eft foluble &c infiniment foluble , parce que par la fouftraction continuelle , on arrive à l'unité , & toutes les fois que a Sep ne peuvent pas être réduits à moindres termes avec «7 , enforte que a &:p foicnt premiers , ou plus fimplcmcnt fi les trois t , p , cj , étant premiers entr'eux , a Sep fontcompofez , le Problème eft impolTible. Ce qui eft un des plus beaux Thcovêmes c^ui puiflcnc être trouvez: en ce genre, xxx iij j^o Analyse générale, EXEMPLE I. Trouver deux nombres entiers tels que le premier étant multiplié par 7 , /bit égal au fécond multiplié par 13 , (S" encore plus zo. Soit le premier = a- , le fécond =j. Donc j xt=\iy -+- 2.0. Donc.v= iî>'"+~*° le Problême eftindétermi- 7 né & réduit aux termes de la propofition. Mais d'autant que 1 3 & 10 font plus grands que 7, je l'ôte de l'un &: de l'autre autant de fois qu'il cfl polliblc,&: il me rcfte à rendre en nombres entiers . -'dzj ^ je pofe — 6j 77 ^ ^.^J ,« r' 6x13 -+- 20 6y -+-6 ^ donc_y = 6,5c par conlequent = _=^:_-.r^__ relt,-^ — ^ 7 == T~= 14 qui fatisfont. J'auroispû trouver premièrement x par la même éga- lité , jx ^=137 -t- 2.0. Donc 13 y ==J x 10, ÔC y = 7. "^ i°. , 3^ ajoutant 13a l'abfolu 10 , il fuffit de rendre en nombres entiers — — — , I 3 a: je pofe — -j X — 7 refte 6 a- -f- 7 A- 1 4 , & par la règle x == 14. Pour trouver tous les autres nombres qui donnent toutes les folutions poffibles à l'infini , il n'y a qu'à ajouter 7-4-6. pour la valeur de x continuellement , & 1 3 -t- 1 4 pour la valeur dej'. Ainfi les valeur de x feront X y 6== 6 .... 14 6-4-7= 13 • • • • 17 Li V RE TKOISIEM IJ •4-7=10. ...40 zo-H7 = z7 ••••n 27-1-7=34, . ...66 &c. Sec. &C. Î9l EXEMPLE II. Pour le premier cas ci-deflTus. Trouver deux nombres tels , que Jî le fremier donne au fécond fa cinquième partie -4- 7 , O" le fécond donne au premier fafxiéme partie -f- 13 , les deux nombres ré' fuit ans f oient égaux. Soient d'abord ces deux nombres xicy. Donc étant la cinquième partie du premier x -+- 7, ilrcftcf x — 7, auquel ajourant la fixiérne partie du fécond j -+-15 , c'eft-à-dire ^y -+- 13. Le premier réfultant efl 1 ,v -— 7 -f-îj'-f- 13. c'eft-à-dire , f x H- ^7 -f- ^. De même ôtant du fecondj- fa fixiérne partie -4- 1 3 , ilrefte ^jf 13 , auquel ajoûr.int|.v -f- 7. Le fécond réfultant 7/ -f- f ^• 6 = y x -i- i/ h- 6 , qui eft le premier réfultant. Et multipliant tout par 30 pour ôter les fractions | & 1^ , j'ai cette égalité i^j -t- 6 x 180^= 14 .v -+- oiC 1 égalité propoleej — , la préparation me donne i .v = — & z. c^: 6. opération ^\^_^ 102,-)- J Or , je ne puis pas prendre 2: => 6 pour .v , à caufc que divifant j 60 par j o , la valeur de .v cft plus grande 1 1 i c'efl: pourquoi j'ajoute 13 à 6, qui me donne 19 pour fé- conde valeur qui eft la première en cas de .v qui latisfair. Car 50 X 15» y(îo==9jo jéo= 35)0 qui eft divifible par 1 3 , dont le quotient eft 30 valeur dey. Exemples des Problèmes impojjlbles dans le fécond cas. Premier Exemple. Soit l'égalité/ = •. Bcmonftration. Si 8/ -(- 7 eft divifible par 10, d'au- tant que 10 l'eft aufri,leur dilférjgfice 2; 7 le feraaufTi, ce qui eft évident. Par conféquent Ion quadruple %y 28. Or %y -f- 7 par l'hypotéfe eft divifible par 10. donc leur différence 3 j eft auffi divifible par 10 , ce qui eft ab- furde. z=. Exemple, x 12, ■ , . de izy Opération. , ^ otez 8 y -f - 9 ' différ. 47 — multiple. 87 — 87 — -9 1 8 , ou 87 — - 6 — 6 , ce qu'il faut remarquer ij qui n'cft pas divifible par 1 1. Remarque. On peut &: on doit toujours , pour abréger , Livre troisîe'me. ^o^ ftir-toiît dans les grands nombres , diminuer tous les nom- bres qui furpafTent le dénominateur, ainfi on doit mettre 8/ 6 au lieu de %y 1 S. Il' H- is j'- Exemple, x = — — . 407 5 G y H— 10^, on H— 1 5: 4^ M- " 11^ ; ^ yo qui n'cft pas divihble par 40. Ainfi le Problême efl; impoffible, SECTION SECONDE. Des Problèmes plus qn indéterminé'^. SI le Problême cft plus qu'indéterminé ; c'cftà-dire, s'il y a plus d'une inconnue outre le nombre des é^alitcz, alors le Problème- qui étant fimplement déter- miné feroit infoluble , pourra avoir une , ou plufieurs fo- lutions. Par Exemple. Soit l'égalité y = — -où il y a trois inconnues dans une feule égalité, qui eft par conféquent plus qu'indéterminé , pour avoir toutes les folutions pof- fibles , ayant réduit a S^ pa. leur moindre dénomination, { & s'ils font premiers entre eux , il n'y a qu'à prendre pour i tel nombre qu'on voudra ) mais s'ils font com- pofez , on peut prendre tous les nombres multiples de leur commune mefure. Ainli , par exemple. Soiz, i°./ = — - — ,1°. ^ ' d'autant que 13 &: 13 font des nombres premiers, on peut prendre pour 2, tel nombre qu'on voudra, par exemple, I. 1. 3. &:c, . yyytj j^é Analyse générale, en prenant ;^=: i...z.=: z...z= 3 z^x on aura x=i y . .. x=t i^ . . .x= 11 13 .v-f- i ,v = 3 o . . . A- = 3 7 ... .V =: 44difF. I O.V I ,V = J 5 . . . AT :;= c d ne font pas divifibies par leur plus grande commune mefure , le Problême cfl: im- poiïible. IfT /? A' H^ q Formules y = — ■±_b x±_ d Si le Problème eft fimplemenc indéterminé ,• c'cft à- (TOO AkALYSE GENERALE, dire qu'il y aie trois inconnues &: deux égalitez du pre- mier degré , on pourra toujours après les fubflitutions faites, les réduire aux formules ci-dclTLis , & il les dé- nominateurs font diftércns, il n'y a qu'à les multiplier en croix, &: réduire à moindres termes par rapport au dénominateur commun , comme dans l'exemple ci-def- fus , y == ~ — ■ — & z, = — , après quoi il raut fouftraire continuellement les numérateurs l'un de l'autre, ou diviier quand il eft bcfoin , jufqu'à ce que vous foycz parvenu à l'unité , ou à un divifeur commun , & que l'inconnue foit évanouie- Pivifcz enfuite cet abfolu par le dénominateur , & s'il ne le divife pas fans refte , le Problème clt infolublc en nombres entiers , que s'il eftdivifibic, le nombre ab- folu accompagnant l'inconnue à l'unité , fera la valeur cherchée s'il eft ou fa différence au dénominateur s'il eft Exemple i". Soit le Problême ci-de{rus_)' =; — ^^ &: ~ -, — &c. on les réfoudra comme ci-delTus. Exemple tA. Soit la double égalité. - = i^i -y < n8 car-^^ < J58. 8i?îy — 1877115 i877z . , j X == — — .^^ Z2. car -7r~: > zz. Je rends tout pofitif, ajoutant à la première fraélion 1457 ce qui la transrorme en — , enluite ajoutant a la deu- xième un nombre multiple de 151 prochainement plus grand que 1S7726, ce quife trouve en divifant 187716^, par I y I , où fans avoir égard au quotient, je vois qu'il refte 3 3 ; c'eft pourquoi je transforme la deuxième éga- lite en celle-ci ■ — , jote cnluitc de 73507 au- tant Livre troisi e'm e. ^o r cane de fois 143 , qu'il cft pofliblc , il me reftc — ^^7— & faifant la même chofe fur 7^7 par iji , j'ai la deuxième transrormee — — Enfin je réduis à même dénomination — ^^^-^ , &c 78 v -H 3 5 . j 7097 -t- 90(5 ,y 1 1 if 4 r -4-4719 ,p , ce qui me donne z.jjj /&— ".;p5 pour dernière préparation, après quoi je fais roperation iiiH/ -^- 4719 Ç)o6j/ — f- 7096 X II 10871/ •+• 70960 1415)1 = 8yiîi dont j'ôte ■ ".' ^ '■ autant de fois qu'il eft pofTible , &: ici il reflc 64779 21393 il rcfte donc 10573, dont la différence à 11593 cft iiio. 1110. ainfide 1 1 1 54/ -f- 4719 281/-+- ^9^9 j ote 10871/ 1110 il rcfte 281/ -f- 5939 906/-1- 4719 846/ H- 178 17 17817 4719 60/ — 13098 140/— 51391 130^)8 41/ Remarquez , qu'on peut aifémentcomme ci-deffus ré- duire tous les cas à un fcul , en ajoutant comme il eft expliqué le dénominateur multiplié par l'inconnue au nu- Anaiyfe. 2'~& Coi Analyse générale, mérateur,> == — - — , & en divifant l'abfolu par l'in- p connue , vous aurez les limites au-deïïus Se au-dcfTous defquelles doit ccrc la valeur défircc. SECTION QJU A T R I E' M E. Des doubles égalitez^plus qu'indéterminées. NOus avons vu ci-dcffus que pour les égalités fim- ples indéterminées , il n'y avoir qu'une condition qui les rendoit impoffibles ; mais pour les deux égalités femblablemenr indéterminés , il y en a deux , de forte qu'en général il y a la moitié moins de Problêmes fo- lubles en nombres entiers dans les doubles égalitez que dans les fimplcs , &: la raifon en cft bien claire , car il cO: deux fois plus difficile de fatisfaire à deux conditions que de ne fatisfaire qu'à une feule. Par exemple, dans 1 égalité (impie .v = — — — , a n'y a qu'à trouver^ tel qu'étant multiplié par 19 , & fon produit augmenté de 18 , la fomme foit divifible par 19 V-T- 18 Mais dans la double égalité x = O 20 17 V —H II n faut de plus que le mêmcj multiplié par 17 , & fon produit étant augmenté de i z , la fomme foit encore di- vifible par 16. Or de tous les nombres qui peuvent fervir au pre- imercas, & de tous ceux qui peuvent fervir au fécond, il n'y en a que quelques-uns de communs à tous les deux, Livre troisie'me. (Joj &: il peut arriver qu'il n'y en ait point du tout de com- muns. ip.y-f- 13 1(5 Ainfi cherchant , par exemple , .v = —^l & — ^ 1 ^67 iSi.y -f- 10 16 16 i9^-f_is 77— 10 ^^y jy — i^ ^j-i-^o ^y — 7 — il- y/ -H 1 4/ 14 y =2.0. ..J- r=2I 14 7 = 7^ •••;' = 73 j = 5,8.. . 7 = 5)9 J:^^= 10 689 45 Or il eft évident qu'il n'y a aucune valeur commune, & même d'autant que toutes les valeurs fe font égale- ment par l'addition , fi la première valeur ne fe trouve pas égale , toutes les autres feront inégales ; il n'efl; donc pas néceflaire de faire aucune réduction à même déno- mination , fi l'on ne veut ,• mais on peut {eparément trou- ver les racines , & fi leurs racines font les mêmes , ou leur différence eft égale à celle des dénominateurs réciproquement , ou telle qu'en ajoutant un certain nom- bre de fois le dénominateur de l'un à l'une , &: un autre nombre de fois l'autre dénominateur à l'autre, lafommc fuit égale , le Problême eft foluble , & on trouvera toutes les valeurs poflibles , en ajoutant continuellement à la plus petite valeur trouvée , le plus petit nombre mefuré par les dénominateurs. Z,Z.Z. tl ^04 Analyse générale, 47 a: — t— j 6 Far Exemple. Sou z. = — ; 4 1. X -4- 2^5 •^ 2519 1°. Il faut réduire le dénominateur à fon plus petit nombre premier , comme h f avois — ~ — , ] ccruois lim- plcment -^ , parce que fi un nombre cft divifiblc par 3 3 f , il Icra aulîi divifible par 67. J'opère ainfi. ^ = 713. 67 X ij 47X -<- ^6 4iA:-l-2-n ^°43 • ■ 19987 I 66. 20.V 56 155). . 1 40 .V ili Z99A.- -4- 17 ^999 iO 7.v-t-i68 4iAr-t-2J5 2IX-+-J04 294.V-4-1771 20 .V s 6 X-+-560 40 .V 141 68 .V — f- 24=67 2.V-+-1442-I 30(Si3 I 102 iS>9 4.V —I— 28842 67 i^.valeur de.v==45 x 30613 = 0. z'^. valeur x= 1 15 valeurs de la i'". -v. valeurs de la i^, .v, 4? =43 iiJ = iir 4j_f_ 67=110 II j -+- 2. 99 = 414 45-4-2x67=244 II J-{- 2X299 = 71 3 "Jcur 3x67 = 311 i(-^. 43—1-4x67=^378 tisfâit. 43 -i- jx67 = 44y ==^512 = 575 Livre troisie'me. éoj Donc en multipliant 299 par z , èc ajoutant le produit à I r , on aura le nombre cherché. On autoit pu trouver la valeur commune fans in~ duftion , en fail'ant 43 — (- 6j x ^=^ IIJ -+- ^^9 y Donc .V == -^^--^y-^^ , ^^^ . y zgpy H- 7^ 67 67 yjy — 10 30 >- — 60 y -t- 6y = va- y =z. leur com- mune. Pour avoir routes les valeurs poiïlblcs. 713-4- 6-jy 2713-1- ^99 2, D'autant que 67 & zpc) font premiers cntr'eux, il efl évident que le plus petit nombre où ils peuvent fe ren- contrer cft le produit de 67 x zfjs», augmenté de 713. Amfi la deuxième valeur de a- efl: 7 i 3 -f- 6-j x 299 = 10746. La troificmc valeur efl: 71 3 -f- i^^ x -99 = 40779- &c. La quatrième efl: 713 -\- LiliZ. x i?? 5ic. &: ainfi de fuite à l'infini. 67 870 x^^ 14T 603 ICI 5 603. 134 20033 713 40066 ^«/r^ f ; ainfi la deuxiè- me valeur eft 962. La troifiéme 1494. &: ainfi à l'infini. SECTION CINQJLJIFME. Des triples t5 quadruples cgalitez. ^ autres à ttnfîni. x'^ f~^ Hcrchcz féparément les valeurs de la première &: \^_^ de la féconde , & formez-en une égalité réful- tanc: , qui donnera les valeurs communes , s'ilcft polfiblc pour les deux égalitez, comme ci-deflus. ^o8 Analyse générale, i'^. Cherchez cnCuitc la valeur de la ti oifiémc égalité & foriii'.'z-cn une qaacriéme avec l'égalicé réfulcantc, S£ e'I? donnera :o'iccs les valeurs poffiblcs qui fatisferonc aux crois égal irez, propofées , ainli de fuite s'il y a quatre, cinq , &:c. ou plufi:urs égalitez. Remarquez, que lorfque toutes les égalitez ou pluficurs, ont chacune le même dénominatcur,le Problème cft beau- coup plus aifé, Se qu'on en découvre plus facilement rimpoflibilité. SECTION SIXIE'ME Des égoilitcz^oà F inconnue efl dans le dénominiitcur. Exemple. Soitj'= ^jq^Tg-, donc i. a < ijj. Si/ = I ... i" 1 1 .î = 1 1 7 Lzo^ = 59 S>\y = i. 474= y y ... j(î^ = 57 impoflTiblc, Si 7 = 3 19^:= 81 . .. 58^?=^ 7} Donc 1 505 eft divifiblepar 94 18. 2 _{_9z, = iy3 i%z,. xj z.-= lyi 18. Donc 9rfit=ijo3 -+- 18 z.. C'eft-à-dire qu'ajoutant à 1503 un multiple de 18 , la fommc doit être divifible par 9. Or ici, d'autant que 18 fe trouve divifible lui-même, il faut que 1503 le foit par lui-même. Donc a= I 69. Preuve, 7-? = 1183 ... 153 == 133^ 9 a = I j z r 18 = iyo3 XX Livre tp. oisie'me. gcp - z=r.j elt impofTiblc, parce que quelque nombre que je prenne pour j , ^j fera terminé par y ou par o : fi c'eft par y,donc a-.v -+- z = <î,efl: un nombre terminé par y.Doncôcant 2. de parc &: d'autre a-.v :=/« , fera un nom- bre terminé par 3 , ce qui eft impoffible. Si y / cft terminé paro, de même a;a- = ^ fera un nombre terminé par 8, ce qui eft aufTi impo/fiblç. De même ïllhi == y car il S ' refte 2. ou 7. i Or 9 a -i- 18 eft dlvifible & fon multiple aufll par 114; fçavoir, ïii6a-^ tizz = UlLl à peu près ou plus grand. Donc 4<î -i- Z13 1 & fon multiple par m* o mil = 278=-^— -f-. Soit '-^±^ = .. Sij=i. Donc 2^= 284 — s Si/:=i. 4| 2^=909—8 Sij = 2 9aj-hij==ya^90y Si/=5 £2£=iJ' 24-Hi8<î=^S'09 — 24 poi— 8^ 7 r Si7=8,&::L=7 PÏ-+. » transformée a rf-Héj /? = 909— 64 7^_4,po, 0U907— j6 — 8. de P«-t-8 6y^ = 84y 4= 13. Analyfe. es termes des Equations , de leur nombre & de leur dif- férence. ^ y Méthode pour faire évanouir les termes moyens , é- former des Equations numériques , ou il manque quelque terme moyen. ^9 Explication & formation générale des Tables des Equa- tions. 3 ^ Des Tables de la première efpécc. 3 l Des Tables de la féconde efpéce. 3 i Vfage des Tables pour réfoudre les Equations de tous les degrez, à l'infini. 3 3 Exemples du fécond degré , réfolus par les Tables de la première efpéce. 34 Exemples pour le troiféme degré. ^ ^ 3 J Réfolution du cas irréductible du troiféme degré 37 Explication de chaque Table en particulier , avec fon ufage pour toutes les Formules du fécond degré. ^ 40 Vfage des Tables pour toutes les Formules du 3^ degré. 48 Trois moïens différens pour abréger la eonflruclion des Tables , e^ fefervir pour les grands nombres des petites Tables comme des plus grandes. yi (Quatrième moïen en réduifant l'Equation à fes moindres ''^termes. Ce qui rend fa réfolution plus facile. C'efi une préparation néceffaire. î» ay Tables pour la réfolution des Equations , du i''. du 3^. ér du s". deç:ré. pag. 61 iufgu'à la pag. iio L' A N A L Y S £ G E' N E' R A L E , ou les Régies Générales de rAnalyfc. Difcûurs préliminaire fur L' Analyfe , où l'on explique fa, DES MATIERES. nature , fon objet é" comment elle procède. m Comment l'Analyfe -procède à Li réfolution des Problèmes. LIVRE PREMIER. Section premie're. "De l' Analyfc en général ^ C?- de la réfolution des Problèmes déterminez, du premier degré. 1 19 Bi'vijion des Problèmes par degrez, c^ par cfpéces. 120 Des Problèmes Jimples , ou des égalitez^Jïmples qui nont qu'une feule inconnue. Et des Equations Jimples on du premier degré. Leur formation & leur réfolution. 114 Problème I. & II. Réfolus par tranfpoftion érfuhftitu- tion. I2J- Probl. III. \Réfolu par divifon dr par tranfpoftion. la même. Probl. IV. Par la multiplication. Probl. V. Par divifon. Probl. V I, Par extraction de la racine quarrée. iiG Régie générale pour ré foudre les égalitez. qui ri' ont au' une feule inconnue , o~ les Equations du premier degré. 1 17 Régies pour les égalitez fmples qui ont deux inconnues avec , des exemples , 152, Règle pour les égalitez. fmples qui ont trois inconnues avec des exemples. 148 Régie pour les égalitez. fmple s qui ont quatre inconnues avec un Exemple. Probl. XVI. 1^4 Seconde Méthode pour réfoudre le même Problème. iji Régie abrégée pour cette féconde Méthode. ij6 Troiféme Méthode pour réfoudre le même Problème. 177 Remarques 180 Section deuxie'me. Des Problèmes déterminez, de tous les degrez. , ou des Equations compofées de tous les dcgrez, à rinfni. 181 1°. De l'origine des Equations. l8j iP-. Eorrnationfrnple d" naturelle des Equations. 3 8 y TABLE Des Eqitatio-as ra général. De leurs degre:^, , de leurs efpcces ^ de l(ur formation. i §c, Des diffère ns degrez, des Equations à l'infini. ipx Des efpéces différentes des Equations dans chaque degré. 192, En quoi les Equations peuvent être contraires oufonfcon- traires , différentes oujcmblahles. 193 Des termes des Equations de tous les degrez. , qui eft ce qui les diJUngue , c^ quel eft leur nombre , comment il faut ordonner les termes d'une Equation ipj Du nombre des termes dans une Equation. 1^6 Des Racines des Equations, jo. Leurs genres. 2.°. Leurs efpéces. 3°. Leur nombre- 1517 Du nombre des Racines dans les Equations. 202, De la diverftté qui naît dans les Equations par les racines pofttives, c^ négatives mêlées enjemble. 203 De la préparation des Equations. la même. Régie générale pour les ftgnes dans les différens termes des Equations. 210 Section trois i'eme. La réfûlution des Equations en général cf en particulier. La réfolution des Equations pures é" ftmples de tous les degrez. , avec la formation ô" la réfolution des Equations du fécond degré. 2x2 Régie générale pour la réfolution des Equations de tous les degré z, à l'infini. 213 La réfolution des Equations pures ^ fmples de tous les dcgrez. à rinfni. 214 Formation des Equations du fécond degré par toutes les efpéces des Racines différentes. xi6 La Réfolution des Equations du fécond degré dans les fx Formules. 221 séries infinies d'Equations du fecead degré dans la 3<=. d^ la 4^ Formule. 228 L4 DES MATIERES. La réfoliition des Equations du fécond degré qui ont des Racines irrationciles, z^6 série de treiz^e Equations irrationelles contenues dans l'in- ter'val de deux Equations rationellcs femhlahlcs. z 3 8 Section q^u a t r i e' m e. Formation df réfolution des Equations du 3 '^. degré. 139 Méthode pour trouver la Formule de la première Racine des Equations du troijiéme degré dans tous les cas. z^i série des dix-huit Formules du troijiéme degré , avec leur réduction a trois Formules. 248 séries des Equations dans la 2,''=. ç^ la y. Formule du troi- jiéme degré. zji En quoi conjîjle le cas irréductible. 2 5 y Moyen de connoître les trois cas d'une Equation du troijiéme degré, 2 j 7 Méthode pour éviter les fractions dans la ïéjolution des Equation du troijiéme degré. 257 La réfolution des Equations dans les trois Formules du troiféme degré. 160 Moïen général pour déterminer tous les cas. 271 Régie générale pour trouver la première (^ la plus grande Racine des Equations du troijiéme degré. 273 Réfolution du cas irréduélible. Première Méthode , pour les Racines rationellcs- zj6 Seconde Méthode pour les Racines irrationelles. 279 La réfolution de toutes les autres Formules du troiféme dezré. 288 Méthode pour faire évanoiiir le fécond ferme dans une Equation d'un degré quelconque. 289 Section cin q_u i e' m e. Méthode générale df nouvelle , pour réfoudre les Equations de tous les degrez, à l'infini ^ par le terme dominant. 295 Application de cette Méthode aux Equations du Jecond degré dans tous les cas po{jihles. 29 j Réfolution des Equations du troiféme de?ré par le terme bhbb TABLE dominant dans tous les cas poffihles. 299 Remarque générale é' fondamentale , pour réduire toute Equation à fa plus fmple exprcffion , ce qui rend la ré- folut ion plus facile. 3 1 1 & j 8 Méthode pour trouver la féconde Racine , ayant trouvé la premier e dans les Equations du troifiéme degré. 3 1 3 Section sixie'me. Méthode générale pour ré foudre les Equations de tous les degrez. à l'injîni , pir les Progrejjions Arithmétiques , appliquée aux Equations du z**. O' du 4=. degré. 3 20 LIVRE SECOND. Section premie're. Méthode générale d^ approximation pour trouver les Raci' nés irrationelles des puijfances imparfaites & des Equa- tions irratienellcs de tons les degrez, par des Formules rationelles. 334 Avertijfement avec l Hifloire de cette Méthode, la même. L'origine (j- le progrès de cette nouvelle Méthode. 342, The'ore'me l. df fondamental. 3^6 Probl. L Trouver les Formules d'approximation par dé- faut pour ré foudre les égalitez, çjr les puijfancc impar- faites du fécond degré. 3 6z. Régie générale. 3 (Î3 Probl. IL Trouver les Formules d'approximatioit par excès , pour réfoudre les égalitez, d^ les pui fane es impar- faites du fécond degré. 3 6<) Probl. III. Trouver les limites d'approximation , ou déterminer la valeur de l'approximation dans chaque Formule du fécond degré ,foit dans le quarré , foit dans la Racine. 370 Formation de la ProgreJJion des Formules des limites d'ap- proximation. 377 Probl. IV. Appliquer les formules d'approximation du fécond degré à des exemples en nombres. 380 DES MATIERES. X ROBL. V. Trouver les formules d'approximation pour les Racines des troijîémes puijjances imparfaites. 384 Règle ge'ne'rale. jSj Probl. VI. Ufage de la prerniére formule d'apbroxima- t ion pour les puijjances imparfaites du 3*^. degré. 389 Probl. VII. VJage de la féconde formule d'approxima- tion pour les puiffances imparfaites du i'^. degré. 390 Probl. VIII. Trouver les limites-dans chaque formule d'approximation du troijiéme degré. 391 Seconde Méthode pour avoir les for?nules d'approximation des troijîémes puijjances imparfaites. 393 Section seconde. Méthode nouvelle & abrégée pour l'ey:tr action des Racines despuijfances imparfaites de tousles de grez. à l'infni 3 94 Première formation générale des tranches de chifres dans toutes les piiijfances complet tes a. V infini. 395 Divijîon des tranches dans les puiffances incompleftes. 398 Seconde & troijiéme manière de divifcr par tranches les puijfances imparfaites cf incomplettes. 400 Théorème II. ô" fondamental. 401 Lemme. Elever tout d'un coup un hinome quelconque à une pniffance quelconque 404 Démonjiration du fecondThéorêmc fondamental. 40 y Problème ge'ne'ral. Tirer la racine d'une puijfance quelconque par une Méthode plus courte que la Méthode ordinaire , c^ fa démonftration. 407 Section trois: e' me. Refoliition des équations dont les Racines font irrationelles par des formules rationelles. 412, Réfolution des équations irrationelles pures & fimples de tous les degrez. à l'infini. 4 1 4 Réfolution des équations irrationelles du fécond degré , compojées ou affectées de termes moïens. 419 Première Méthode pour les équations irrationelles du fé- cond degré. 42,0 bhbb ij TABLE Héfolution des é(} nations irrationelles pires c^ Jimples dti troifiéme degré. 435 Me/ûlution des équations irrationelles dit troijiéme degré ajj'eclées de termes rnoïens. 437 Formules générales d'approximation des Sacines irratio- nelles four les équations du troijiéme degré , du qua- triéme , cinquième ô" en général de tous les degrez. 440 Remarques importantes. 440 Corollaire général. Four continuer à rinfni l'ap- proximation des racines irrationelles des équations ç^ des puijfances imparfaites de tous les degrez.. 441 Section q^u a t r i e' m e Seconde Méthode nouvelle pour ré foudre les Equations ir- rationelles éf les puijfances imparfaites de tous les de- grez, à l'infni par des Jéries rationellcs infinies , les plus promptes ç^ les plus convergentes qui Jeit pojjible. Ou nouveau calcul différentiel ç^ intégral réduit à l'ex- . prefy.on fenfible des nombres naturels. 44^ Seconbe Méthode GZtii.KhhV., pour tro:!vcr les racines irrationelles par des formules rationellcs. 444 Des fériés rationellcs en général. 44 y Deux Méthodes pour former les fériés en général. 446 Du nombre des formules ^ des fériés pour exprimer chaque nombre irrationel. 447 En quoi confifle cette Méthode. 452, Table générale de la formation des formules rationellcs pour trouver la racine quarrée des nombres rationaux df irrationaux. 4JJ Remarque Cf Paradoxe, 463 Des Formules. Pour trouver les fériés rationellcs infi' nies primitives , ou du premier genre , pour exprimer ou transformer les nombres irrationaux du fécond degré. 471 Première férié des formules rationellcs y ou férié primi- tive dr fondamentale en lettres. Sa formation. 471 DES MATIERES. Seconde férié des formules rationellcs compofée des deux feules lettres z & h. 473 Formation des trois genres deforjnalc^pout les jéries ratio- nelles dans chacune des quatre fériés primiftives. ^-j6 Table des formules rationelles du troifiéme genre en pro- grejjion géométrique Jufcju'au dodécisple. 479 Table des -fjumérateiirs. 480 Table des dénominateurs. 48 I Table des cœficiens des ntimératatettrs cf dis dénomina- teurs. 482 Confruclion de la Table des formules rationelles des termes de la férié fondamentale en progrejjion géométrique. 48 j Explication d)-- formation de la Table des numérateurs ^ des dénominateurs povA la férié rationelle de V^~. 483&48J Autre Méthode pour trouver les cœjficiens du nuntérateur (^ du dénominateur des termes en progrefjlon géomé- trique pour VV. 4 87 Examen çj;- formation dire été des cœjficiens. 489 Autre formation des cœjfciens par des formules générales. 490 Règle pour lesfgnes des formules en pr ogre ffion géométri- que. ^ 49 y Méthode tres-prompte pour continuer la férié des for- mules pour y^~, ibid. XJfage de la Table générale des formules des termes enpro- greJjUn géométrique. 49e Régie pour les fignes & les limites de chaque terme des fériés. 495? Méthode pour connoître la pins parfaite & la plus con- vergente des quatre fériés primitives qui expriment une racine irrationelle. yoi parallèle du fécond Cf dit quatrième terme des quatre fé- riés primitives. 503 Fer mat ion dit triangle du rapport inverfe pour V^~^\. je S bbbb lij TABLE. Triangle dit rapport de V^~^ formé fur la Période des nombres générateurs ^09 Formules pour la fer ie des numérateurs C" des dénomina- teurs, j 1 1 Section cinq^uie'me. La fcience univerfelle des Rapporcs. jij Difc ours préliminaire fur la nature des Rapports, leur éten- due , & la nécejjité de connaître tous les Rapports, ibid. Définition des Rapports. ji^ Lemme et Problème voudamest ai. Trouver la com- mune mefure de deux nombres , ou Méthode nouvelle pour faire la divifion propre pour connaître les Rapports des grandeurs exprimées en nombres. y 17 The'ore'me. Trouver les élémens des Rapports , ou Théo- rie générale des Rapports , de leurs Elémens (^ de leurs propriétcz, , de leurs genres , de leurs efpéces o^ de leurs individus à l'infni. jio Formation de la férié infinie de tous les genres ou degrez, des Rapports à l'infini. jn Formation des fériés infnies des efpéces fmples d^ primi- tives des Rapports à l'infni. çij For?nation des jéries des efpéces compofées ^ primitives des Rapports à Cinfni. J17 Formation des fériés des efpéces fubalterncs ou dérivées des Rapports à l'infni. ji^ Formation des fériés infinies des individus desRapports. j 3 o Probl. II. Un Rapport étant exprimé par deux nombres, le réduire à fa plus fimple expreij.on ,ou deux nombres étant donnez, (jui ne font pas les plus petits de leur rai' (on , trouver les deux plus petits nombres quifoienten même raifon. yj r Probl. III. Inverfe du précédent. Trouver les moin- dres tertnes d'un Rapport donné ; c'ejl-à-dire d^ un Rap- port dont les quotients font donnez, , ou trouver la fuite des deux plus petits nombres quifoient tels , que divi' DXS MATIERES. (knt le plus grand des deux notnbres par le plus petit , Cr le plus petit nombre par le premier re/le , <^ coriti- nuant à divifer le premier rejh par le fécond , ^ ainfî defuitejufqu'au dernier rejle qi'.ijoit un divifeur exncl , les quotients fuient ceux du Rapport donné. 555 PROBr.. VI. FONDAMENTAL, l'our Li confirucHoii du Triay.glc des Rapports ^trouv-cr Lt fuite de tous les nom- bres prc-.niers ci.tr'eux , qui expriment le plus exacte- ment qu'il cft poffihle le Rapport de deux grandeurs don- Limites d approximation tant par excès que par défaut avec leur démonftration. J42, CoRO LL A IRE. Règle générale pour les limites , é" l'origine du Triaaglc des Rapports. j4y Le triangle des Rapports , ou Méthode générale ç^r facile pour tr orner la f rie injînie de tous les nombres premiers entreux qui expriment le plus exactement qu'il efl pojjible un Rapport donné quelconque. 552 Formation du Triangle des Rapports , pour troirocr la série infinie des fractions qui expriment en nombres premiers entr'eux le plus exaclemcnt ô' le plus prompte- ment qu'il efl po'fhle un Rapport donné, 5^4 Conflruction de chaque colonne du Triangle des Rapports en particulier. y y 6 Triangle des Rapports numérique (^particulier , formé fur cinq quotients générateurs. j^l Triangle des Rapports Analytique & univerfel formé fur cinq quotients générateurs. j6i Première Régie générale four former les colonnes d» Triangle des Rapports , fur des quotients générateurs donnez,. 564 Seconde Régie pour le nombre des termes contenus dans chaque colonne en particulier. jgy Troifléme Régie pour la qualité des termes. ^66 Premier ttfage du Triangle des Rapports .^ ou examen de la TABLE férié fond.inientale des Rapports trouvez, par le moïen du Triangle des Rapports. 567 Des limites, pour connottre r erreur ,fûit par excès , fait par défaut dans chaque terme de la férié primitive Ô" fondamentale réfultante duTriangle desRapports.'^6% T)es fériés dérivées. 570 J-ormation de la féconde férié (jui cjl la première dérivée en nombres de la férié primitive. 572, De la Méthode inverfe du Triangle des Rapports. 573 Former la férié générale des périodes réglées des nombres irrationaux en général. 574 The'ore'me , fir les Rapports d'inégalité. 578 Remarctie importante cr fondamentale fur les Périodes, j 8 o LIVRE TROISIEME. Tics Prohlèines indéterminez, çs" plus tju indéterminez. ^%i Met h. de générale pour réfudre en nombres entiers Us Problèmes indétermine;:, dans tous les cas poj'Jibles. Ibid. Section première. Propoftion première. Réfoudre en nombr'es entiers un Fro- hlème indéterminé ., oit il y a deux grandeurs inconnues du premier degré. 587 Section seconde. Des Problèmes plus çj/i indéterminez,. 59 j Section troisi e'm e. Des doubles égalitez, du premier degré. ^s>9 Section q^u a t r i e' m e. Des doubles égalitez plus qu'indéterminées. 602. Section cinq.uieme. Des triples ç^des quadruples égalitez (^autres à P infini. 6oj Section sixième. Des égalitez, oit l'inconnue ef dans le dénominateur. 60% Remarque générale, ou Régie générale pour réfojidre les Pro- blèmes plus que déterminez. (> i o De l'Imprimerie de Jean-Baptiste Coignard Fils, Imprimeur du Roi. 1751. "^