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L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES
DE L'INSTITUT

DE FRANCE.

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L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES

MEXEEENSTITUT
DE FRANCE.

TOME XVIT.

PARIS,

TYPOGRAPHIE DE FIRMIN DIDOT FRÈRES,
IMPRIMEURS DE L'INSTITUT, RUE JACOB, 56.

1840.

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TABLE DES ARTICLES

CONTENUS

DANS LE DIX-SEPTIÈME VOLUME

ARR sas rasass ass

DE LA NOUVELLE COLLECTION DES MÉMOIRES DE L ACADEMIK

DES SCIENCES.

Ézoce uistoriQue d'Antoine-Laurent de Jussieu, par M. Frourens,
Secrétaire perpétuel. .---------------------------------- A

ÉLoce HistToriQuE de James Watt, un des huit associés étrangers
de l'Académie des sciences, par M. Araco, secrétaire per-
Hébdl cco8ceoncésosssonensenronecoreceuc-et00teocodie

Tuéorie des effets mécaniques de la turbine Fourneyron, par
M°POonCELET.. ......... 5... D eiete eds e I lee le cie ice exe ete ie

Mémoire sur les différences qu'offrent les tissus cellulaires de la
pomme et de la poire; sur la formation des concrétions ligneuses
de la dernière, celle des noyaux et du bois, comparées aux con-
crétions calcaires qui se trouvent sous le manteau des arions, et
à l'ossification des animaux en général, par M. Turrin.........

Pages

Lx}

37

VI TABLE DES ARTICLES CONTENUS DANS CE VOLUME.
Mévoine sur la cause et les effets de la fermentation alcoolique et

acéteuse, par M. Turpin......................:.........

NouveLLEs RECHERGHES sur le dégagement de la chaleur dans le

frottement, par M. BECQUEREL.......... AID Lo cr Elu ét 0,0 0e

Rechercues microscopiques sur divers laits obtenus de vaches plus
ou moins affectées de la maladie qui a régné pendant l'hiver
de 1838 à 1839, et désignée vulgairement sous la dénomination

de cocote , par M. MER PEN 20e see ee avons sic Se etats intulare CE HO VOTE
Mémorres sur la théorie des nombres, par M. Augustin Caucny...

Mémoire sur l'existence d'une condition physique qui assigne à
l'atmosphère terrestre une limite supérieure d'élévation qu'elle ne

peut dépasser, par M: Bron... ........"."""""".
RecHEercues physico-chimiques sur la teinture, par M. Cnevreur..

ErrRarTa du tome XVIL........ RE D ADR NE de ares EU

FIN DE LA TABLE DU DIX-SEPTIÈME VOLUME.

Pages

93

151

201

249

ARR LORS LL ALLER ATLAS LIL EUS LOS SARL L ILE USE LER EURE LU ÉLLULR AA ELLE ELLE LS LOL LELLLLLRS à

ÉLOGE HISTORIQUE

D’ANTOINE-LAURENT
DE JUSSIEU;
Par M. FLOURENS , SECRÉTAIRE PERPÉTUEL.

Lu à la séance publique du 13 août 1838.

La famille des Jussieu est originaire du petit bourg de
Montrotier, situé au milieu des montagnes du Lyonnais. Un
membre de cette famille vint s'établir à Lyon vers 1680,
pour y exercer la pharmacie. Il s'y maria, et fut père de seize
enfants, dont trois, Antoine, Bernard et Joseph de Jussieu,
ont été trois des botanistes les plus célèbres du XVITT siècle.
. L’aîné de toute cette famille si nombreuse et si privilégiée,
se nommait Christophe; c'est de lui qu'est né M. Laurent de
Jussieu, qui devait avoir le bonheur d'ajouter une nouvelle
gloire au nom que ses oncles lui avaient laissé, et le bonheur
non moins rare de le transmettre à un successeur fait pour
en soutenir l'éclat : famille dans laquelle le génie de la bo-
tanique semble être héréditaire depuis bientôt deux siècles,
comme le génie des mathématiques l'a été, pendant tant
d'années , dans celle des Bernouïilli.

T. XVII. Hist. 1838. À

1 ÉLOGE HISTORIQUE

Antoine de Jussieu par qui commencent la célébrité du
nom et la vocation pour la botanique, fut botaniste presque
dès son enfance. Dès l’âge de quatorze ans, il parcourait,
en herborisant, les environs de Lyon et les provinces voisi-
nes du Lyonnais; à dix-huit, il étudiait à Montpellier sous
Magnol, lequel proposait déjà le nom de familles, expression
heureuse, quoique alors à peine comprise, des affinités, et,
si l'on peut ainsi dire, des parentés des plantes; à vingt-
quatre, il succédait à Tournefort, le plus grand botaniste
de son temps, et peut-être de tous les temps, pour avoir
fixé, le premier, les idées constitutives de la science, comme
Linné en a fixé plus tard la nomenclature.

Obligé de se donner à la pratique de la médecine, dans
laquelle il excellait, Antoine ne tint pas, pour la botanique,
tout ce que semblait promettre son génie facile et si singu-
lièrement précoce. Mais, en appelant auprès de lui son second
frère, Bernard, il fit plus pour cette science qu'il n'aurait
probablement pu faire en s'y livrant tout entier lui-même.

Après avoir appelé Bernard, il appela Joseph. Celui-ci,
dont la vie devait être aussi agitée que celle de ses deux frères
a été tranquille, partit pour le Pérou en 1735. Il accompa-
gnait, en qualité de botaniste, les astronomes que l’Académie
envoyait alors mesurer, à Res un degré du méridien,
et résoudre ainsi, par une expérience Less la question
fameuse, et si longtemps débattue, de la figure de la terre.
Joseph est un exemple de plus de tout ce que peut inspirer
de courage et de patience, ce dévouement aux sciences, qui
compte déjà tant de victimes, qui en compte sur presque
tous les points du globe, et qui est un côté de l’héroïsme
des temps modernes. Retenu d’abord par la curiosité que lui

DE M. DE JUSSIEU. II)

inspiraient des régions si riches et si nouvelles, retenu en-
suite par les habitants du pays qui, frappés d’une épidémie,
redoutaient le départ d'un médecin habile, il ne revit la
France qu'après trente-six années des fatigues les plus péni-
bles, épuisé de corps et d'esprit, ayant perdu jusqu’à la
mémoire de ce qu'il avait fait, et ne justifiant que trop, par
tant d'épreuves et de malheurs, le titre que lui a donné
Condoreet , de martyr de la botanique.

De ces trois frères, le seul qui ait eu sur la botanique,
et, par la botanique, sur l'histoire naturelle entière, une
de ces influences profondes qui marquent une époque dans
les sciences, est Bernard. C'est lui qui, tandis que tous les
autres botanistes français, à commencer par son frère An-
toine, suivaient d’un pas timide les traces de Tournefort,
s’ouvrait une route nouvelle, dans laquelle nul ne l'avait
précédé encore, et dans laquelle nul ne devait aller plus
loin que son neveu, M. Laurent de Jussieu, à qui cet Éloge
est consacré.

Antoine-Laurent de Jussieu, neveu et continuateur de
Bernard, naquit à Lyon le 12 avril 1748.

Dès qu'il eut fini ses premières études, son oncle le fit
venir à Paris, où il arriva au mois de juillet 1765, âgé de
dix-sept ans et demi.

Il se trouva ainsi tout à coup auprès de l’homme qui,
depuis Tournefort, tenait en France le sceptre de la bota-
nique, et n'avait pour rival en Europe que le seul Linné :
homme étonnant, dont le nom remplissait le monde savant,
et qui n'avait presque rien écrit. Mais, s’il avait peu écrit,
il avait beaucoup pensé; il avait passé sa vie à méditer sur
‘une de ces questions qui contiennent toutes les autres ques-

A2

1v ÉLOGE HISTORIQUE

tions d’une science; il avait résolu le problème de la méthode
en histoire naturelle; et ce problème fondamental, il l'avait
résolu au milieu du siècle dont les efforts en tout genre ont
le plus avancé la pensée humaine.

Au moment où le jeune Jussieu vint se réunir à son oncle,
Antoine était déja mort, Joseph était toujours au Pérou,
et l'ilustre vieillard vivait à peu près seul. Logé dans une
petite maison de la rue des Bernardins, il n’en sortait que
pour aller à la messe, à l’Académie, où au Jardin des plan-
tes; presque toujours plongé dans ses méditations profondes,
et ne les interrompant, si c'était mème les interrompre, que
pour quelques amis, choisis parmi les hommes les plus res-
pectables de cette époque, les Poivre, les Lemonnier, les Du-
hamel et les Malesherbes.

Telle était la vie retirée de Bernard. A cette simplicité de
mœurs, à ce besoin d'une méditation continue, mais libre,
et dans laquelle, par un tour particulier de son esprit, il
semblait plutôt laisser venir les idées que les chercher, il
joignait une régularité d’habitudes qui était extrème. Tout,
dans sa maison, était soumis à l’ordre le plus exact, et,
si l'on peut s'exprimer ainsi, à l'esprit de méthode le plus
sévère. Chaque chose s’y faisait, chaque jour, à la même heure,
et de la même manière.

Chaque repas avait son heure fixe et invariable. On sou-
pait à neuf; et lorsque le jeune Laurent allait jusqu'à se
permettre la distraction du théâtre, il n’oubliait jamais de
calculer le nombre précis de minutes qu'il lui fallait pour
rentrer dans la salle à manger par une porte, juste dans le
moment même où son oncle y entrait par l’autre.

Voici encore un trait, et qui peint le caractère de Bernard

DE M. DE JUSSIEU. V

par une autre face. La partie de ses revenus qui n'était pas
absorbée par les dépenses courantes, il la déposait dans un
coffre. Il lui fallut un jour faire une dépense extraordinaire,
il ouvrit le coffre et y trouva quarante mille francs ; puis le
coffre fut referme pour n'être plus rouvert qu'après sa mort,
et l’on y retrouva une somme à peu près égale.

Eh bien, on peut dire qu'il traita ses idées comme sa for-
tune. Il les laissa s’accumuler de même avec régularité , avec
suite, mais avec une sorte d'insouciance; enfin il y puisa un
jour, et traça le tableau de ses Ordres naturels, monument
immortel de son génie; puis il les laissa s’'accumuler encore;
et, à sa mort, il en légua le dépôt à son neveu, comme la
partie la plus précieuse de son héritage.

Bernard passait presque tout son temps à méditer. Habi-
tuellement, il méditait assis. L’oncle et le neveu travaillaient
tout le jour dans la même chambre, sans se parler. Le soir,
Je neveu faisait la lecture à son oncle, qui lui communi-
quait , à son tour, ses vues et ses réflexions.

On sent que les impressions reçues auprès d’un homme de
cette trempe, ne devaient guère moins influer sur le carac-
tère du jeune Jussieu que sur son génie. Aussi, même simpli-
cité dans les habitudes, même constance dans le travail,
mème persévérance dans le développement d'une grande idée
et de la même idée: jamais deux hommes ne semblèrent plus
faits pour se continuer l’un l’autre, et n'être, si l’on peut
ainsi dire, que les deux âges, les deux phases successives.
d'une même vie. |

Au bout de cinq ans passés anprès de son oncle, dans des
études si actives et dans un commerce si intime, le jeune Lau-
rent, quoique à peine âgé de vingt-deux ans et demi, était

v] ÉLOGE HISTORIQUE

déjà docteur en médecine, et suppléant de Lemonnier dans
la chaire de botanique du Jardin des plantes.

Dès qu'il commença à professer, l'influence de Bernard sur
ses idées dut prendre une nouvelle force. Il le consultait sur
ses difficultés, il lui soumettait ses doutes; et toutefois on
doit ajouter que, jusque dans les discussions qu'il soulevait
alors, il y avait souvent moins de curiosité scientifique que
de piété filiale. Car, depuis la mort d'Antoine, Bernard était
tombé dans une mélancolie profonde; bientôt il perdit la
vue. Î] ne fallait rien moins, pour rattacher ce vieillard à la
vie, que les liens adroits dont l'entourait un jeune homme,
ingénieux à réveiller sans cesse cet esprit né pour la médita-
tion, par des questions piquantes et difficiles.

En 1773, une place devint vacante à l'Académie, et Ber-
nard engagea son neveu à se présenter; mais ce neveu n'avait
rien publié encore. Il fallut donc songer à un mémoire; et,
pour sujet de ce premier travail, Laurent choisit l'£xamen
de la famille des renoncules. Au reste, le sujet importait peu;
car, quel qu'il fût, il ne pouvait être, pour lui, qu’une occa-
sion de faire sentir sa force, et de développer de grandes
idées.

C'est alors en effet que, par une réaction énergique sur les
idées de son oncle, il concoit ces idées sous une nouvelle
forme, sous une forme qui lui est propre, et qu'il leur imprime,
à son tour, le cachet de sa pensée et de son génie. Il a sou-
vent répété que c'était ce mémoire qui l’avait fait botaniste,
que le voile s'était levé, ce sont ses expressions, et que, pour
la première fois, s'étaient découverts à ses yeux ces grands
principes dont la démonstration devait être ensuite le but
constant de ses efforts et de ses recherches.

DE M: DE JUSSIEU. vi]

Ce mémoire frappa tous les esprits. C'était tout un ordre
nouveau d'idées. Un élément nouveau, le principe constitutif
de la méthode naturelle, prenait enfin sa place dans la
science, et bientôt il allait en changer la face.

Jusqu’alors, et particulièrement depuis Linné, elle s'était
occupée surtout de nomenclature; maintenant, et par un pro-
grès qui la ramenait plus près de son véritable objet, la nature
des êtres , à l'étude de la nomenclature elle allait faire succé-
der l'étude des caractères. « La nomenclature, dit l’auteur
« lui-même, ne doit pas être négligée; mais la recherche des
« caractères est une partie plus importante de la botanique. »

Il établit que tous ces caractères n’ont pas une valeur égale.
. [Il y en a de généraux et de particuliers, de constants et de
variables, de primitifs et de secondaires. Souvent un seul
équivaut à plusieurs. Il ne suffit donc pas de compter les
caractères, il faut les évaluer.

Les caractères sont les signes indicateurs des rapports des
êtres. Dans tout être organisé, soit végétal , soit animal, cha-
que partie a des rapports nécessaires avec toutes les autres.
On peut donc juger de toutes par chacune. Et ces parties
qu'on prend ainsi pour signes des autres, ces parties par les-
quelles on juge des autres, sont ce qu’on nomme des carac-
tères. Ê

Les naturalistes ont commencé par chercher ces caractères,
ces signes , dans toutes les parties, à peu près indifférem-
ment. Ils ont reconnu ensuite que toutes ces parties n'ont
pas, à beaucoup près, une force égale, soit pour unir, soit
pour séparer les êtres. De là est né le calcul des caractères ;
et ce calcul a donné la solution du problème de la méthode.

Dés le milieu du XVI siècle, Gessner coneut l’idée detirer,

vil] ÉLOGE HISTORIQUE

des organes de la fructification, les principaux caractères
des plantes. Ce fut le premier pas. La prééminence de la
graine, démontrée par Césalpin, fut le second.

Le problème le plus intéressant peut-être de toute la phy-
siologie végétale, a été la détermination de la fonction propre
de chaque partie de la fleur.

Une fleur se compose, comme chacun sait, de plusieurs
parties. Au milieu est le pistil, ou l'organe femelle ; autour
du pistil, sont les étamines, ou les organes mâles ; la corolle,
ou la partie brillante, la partie colorée de la fleur, la fleur
même, selon Tournefort, entoure les étamines ; et le calice ,
prolongement de la lame la plus externe de l'écorce, de
l'épiderme , enveloppe toutes ces parties.

Plus d’un siècle et demi après Gessner, Tournefort igno-
rait encore l'usage des étamines; il niait cet usage, à côté de
Vaillant qui le démontrait.

Les idées de Vaillant sur les sexes des plantes, rendues
populaires par le système ingénieux de Linné, furent confir-
mées par des expériences précises de Linné même, de Gle-
ditsch, de Kœlreuter ; et le problème physiologique fut ré-
solu.

Le problème relatif à la #1éthode ne Y'a été que par M. de
Jussieu. Il voit la corolle, le calice, manquer dans un grand
nombre de plantes. Le pistil et les étamines, parties plus
essentielles, parties productrices de l'embryon, du nouvel
être, subsistent; mais, pris séparément, chacun de ces organes
ne donne que des rapports incomplets; les rapports naturels,
les rapports complets ne sont donnés que par ces deux orga-
nes, pris ensemble, et considérés dans leur insertion respec-

DE M. DE JUSSIEU. IX

tive. L'insertion des étamines forme donc, dans la fleur, le
premier caractère.

Le premier caractère de la graine se tire des lobes de l’em-
bryon, ou du nouvel être. Ces lobes sont les premières feuilles
de la nouvelle plante, l'organe qui lui fournit son premier
aliment ou le lui prépare. On conçoit donc combien, pour
me servir d’une expression heureuse de M. de Jussieu lui-
même, les différences remarquables et simples que l'on
observe dans ces premiers organes, doivent influer sur le
développement général de la plante et sur son organisation
entière. Toutes les autres parties de la graine, les parties
étrangères au nouvel être, les parties de la graine propre-
ment dite, les enveloppes séminales, le périsperme, etc., ne
sont que des parties secondaires.

Le mémoire où M. de Jussieu jetait ainsi les premières
bases de la science des caractères, est, comme je viens de le
dire, de 1778. Ge mémoire lui ouvrit les portes de l'Académie.

L'année d’après, 1774, il en donna un autre plus étendu,
plus complet, où toutes ces grandes idées sont reprises,
remaniées, et portées à un plus haut degré de clarté et de
précision.

Voici quelle fut l'occasion de ce nouveau mémoire.

La méthode de Tournefort, établie par Tournefort même au
Jardin des Plantes , y régnait encore en 1774, malgré tous les
changements survenus dans la science. On sentait le besoin
d’une réforme. D'un autre côté, le nombre des espèces acquises
s'était beaucoup accru durant ce long intervalle, et l’ancien
local ne suffisait plus. Buffon concut le projet d’un agrandis-
sement digne de l'époque à laquelle son nom devait servir de
date. IL présenta ce projet à Louis XV, qui aimait la bota-

T. XVII. Fist. 1838. B

LS ÉLOGE HISTORIQUE

nique et qui l'adopta. Le Jardin fut doublé; et toute la
partie consacrée à l'École proprement dite, put dès lors être
replantée.

Il ne restait plus qu’à se décider sur l’ordre à suivre dans
cette plantation nouvelle. La méthode de Tournefort ne pou-
vait être conservée, du moins dans son entier, surtout depuis
les deux grands progrès par lesquels Linné avait, d’une part,
précisé les genres, et, de l’autre, simplifié la nomenclature.
On ne pouvait pas non plus adopter le système de Linné,
d'ailleurs si ingénieux, mais, au fond, plus éloigné de l’or-
dre naturel que celui de Tournefort. Il n'y avait donc que
deux partis à prendre, ou de corriger l’un de ces deux sys-
tèmes par l’autre, ou d’en établir un nouveau; et c'est à ce
dernier parti que l’on s'arrêta.

Le système nouveau, proposé par M. de Jussieu, est une
combinaison savante des travaux célèbres de Linné, de Ber-
nard de Jussieu, et de Tournefort. Il prend, de Linné, les
genres , les espèces, la nomenclature ; il prend, de Bernard,
les ordres ou les familles naturelles ; 1 tire enfin, de Tour-
nefort, un moyen de multiplier les classes de Bernard, sans
rompre ses ordres ou ses familles.

Les genres de Linné étaient les plus précis que l’on eût
encore; ses espèces étaient les mieux déterminées ; sa nomen-
clature était admirable. Cette nomenclature, qui réduisait
à deux mots pour chaque plante, le nom de l'espèce et le nom
du genre, les longues phrases de Tournefort et de Gaspard
Bauhin, constituait, à elle seule, une grande réforme de la
science. Cependant, quand il fut question de l'introduire au
Jardin des Plantes, une difficulté survint. On sait quelle était
la prévention de Buffon contre la partie technique des clas-

DE.M.. DE JUSSIEU, x]
sifications.. Il repoussa d'abord les noms linnéens. M. de Jus-
sieu lui fit sentir que ces nomsétaient un des changements les:
plus-heureux que l'oneût jamais opérés dans l’histoire natu-
relle; il ajouta que le Jardin de Paris ne devait rester en
arrière sur aucun point, et Buffon se rendit aussitôt. Le Jar-
din des Plantes reçut tout à la fois la nomenclature de Linné,
et les ordres naturels .de Bernard.

Ces ordres naturels, tels que Bernard en avait concu l’en-
semble, se trouvaient compris dans sept classes. Laurent
sentit le besoin de multiplier ces classes, et il en porte le
nombre à quatorze.

Les lobes de l'embryon donnent les trois premières : d’où la
fameuse division du règne végétal entier en plantes acotylé-
dones, monocotylédones et dicotylédones.

L'insertion des étamines sur le pistil, sur le support du
pistil, sur le-calice, ou sur la corolle, donne les divisions
suivantes.

Ainsi, deux ordres de caractères, les premiers tirés de
l'embryon ; les seconds tirés de l'insertion relative des diffé-
rentes parties dela fleur, donnent toutes les classes. Des ca-
ractères de moins.en moins élevés donnent les autres groupes,
les familles, les genres, les espèces : partout les groupes se
subordonnent dans la méthode, comnre les caractères dans la
nature; et le principe constitutif de la méthode, pris dans la
nature même; est l'importance relative des caractères. |

Mais cette 2mportance relative des caractères, base de tout
l'édifice de la.méthode, comment l’estimer, comment l’éva-
luer , à, son tour, avec certitude? Ici deux moyens se présen-
tent, et tous deux également sûrs.

L'un , fondé, sur le raisonnement, conclut directement l'im-

B 2

x1] ÉLOGE HISTORIQUE

portance du caractère de l'importance de l'appareil qui le
fournit. Tout, dans le végétal, tend à la formation de la
fleur ; tout, dans la fleur, tend à la formation de l'embryon,
du nouvel être ; la formation de ce nouvel être, de l'embryon,
est donc le but, la fin de toutes les autres fonctions végétales ;
c'est donc dans l'embryon, dit M. de Jussieu, que les natu-
ralistes doivent chercher leurs premiers caractères.

Quand ce moyen, fondé sur le raisonnement, quand ce
moyen rationnel manque, et il manque bientôt en botanique,
l'auteur y supplée par un autre purement expérimental, mais
tout aussi sûr, et qui ne manque Jamais. À défaut de la fonc-
tion qui n'est pas connue, où qui l'est mal, où qui du moins
ne l’est pas assez pour rendre raison de l'importance de l’or-
gane, il détermine l'importance de l'organe par sa constance;
et ce n'est pas tout.

I en est de chaque circonstance d’un organe comme de
l'organe mème ; la circonstance la plus constante, c’est-à-dire
la plus générale, est toujours la plus importante. Linné a fait,
des étamines, la base de son système : nombre, attache,
réunion, proportion, situation de ces parties, il considère
tout, il emploie tout ; et il ne voit pas que, parmi tous ces
caractères, un seul à de l'importance, parce que seul il a de
la constance, savoir, l’attache des étamines, ou leur inser-
tion.

Tournefort à fondé son système sur la corolle. L'absence,
la présence, la situation, la division, la forme de la corolle,
il emploie tous ces caractères, qui sont variables; et il néglige
précisément le caractère tiré de l'attache de cet organe, qui
seul est constant.

L'ordre naturel a échappé à ces deux grands hommes; et

DE M. DE JUSSIEU. XII]

il leur a échappé à tous deux, comme on voit, par la même
cause, parce qu'ils n’ont pas connu l'importance relative des
caractères. I y a plus, c’est qu'à prendre tous les botanistes
depuis Gessner, tous ceux qui ont rencontré juste dans leurs
essais, tous ceux qui ont saisi quelques fragments de l'ordre
naturel, tous ceux-là suivaient, à leur insu, l'importance des
caractères. Il y a plus encore, c'est qu'il y a des familles na-
turelles toutes faites, comme celles des graminées, des com-
posées , des ombellifères. Qu'on étudie ces familles : tout ca-
ractère qui varie dans une d'elles est subordonné, secondaire;
le caractère primitif, essentiel, le caractère important, em-
brasse la famille entière.

Il y a donc un ordre, une graduation , une subordination
dans les caractères; le vrai problème est donc de commencer
par classer ces caractères , d'après lesquels se classent, à leur
tour, les êtres. Or, c'était là une face toute nouvelle de la
science. Bernard de Jussieu qui avait introduit le principe de
l'importance relative des caractères dans la classification des
plantes, n’avait pas assez dégagé ce principe du point de vue
pratique; en l’élevant au point de vue théorique, en le géné-
ralisant par cette transformation même, Laurent en faisait
mieux sentir toute la portée; il consommait la grande révo-
lution commencée par son oncle; il créait la philosophie de
la méthode.

Lorsque M. de Jussieu écrivait ces deux mémoires, pre-
miers germes de tout ce qu'il a fait par la suite, Bernard et
Linné vivaient encore. Bientôt ces deux grands naturalistes
moururent, Bernard en 1777, et Linné l’année suivante. Dès
lors la première place fut libre, et tout le monde sentit que

XIV ÉLOGE HISTORIQUE
c'était M. de Jussieu qui allait l'occuper; il était impossible,
que lui-même ne le sentit pas.

Je trouve en effet dans une lettre de Jui, écrite vers cette
époque, ces mots remarquables : « Il est des circonstances,
« dont un homme doit profiter ; etil's’en offre une pour moi,
« que j'aurais tort de négliger. Nous avons perdu, en trois:
«mois de temps, les trois premiers botanistes de l'Europe;
« M. de Haller en Suisse, M. Linnæus.en Suède, le troisième:
«à Paris. Il serait glorieux de leur succéder, et de rappeler en:
« France une primauté que les étrangers lui ont disputée, »

Ces mots trahissent le sentiment qu'il avait de sa force;
ce qui le trahit bien plus encore, c’est l'entreprise qu’il con-:
cut dès lors de soumettre en quelque sorte le règne végétal
entier aux principes qu'il venait de poser dans ses deux mé-
moires : entreprise immense, et dont le résultat a été ce grand.
ouvrage sur les familles des plantes, duquel date l'esprit nou-
veau qui anime aujourd'hui tous ceux qui s'occupent des rap-
ports et de la classification des êtres,

La méthode naturelle est le but vers lequel tendaient tous
les efforts des naturalistes ; avant qu'ils l’eussent trouvée; et,
une fois trouvée, elle est devenue le guide de tous leurs efforts
subséquents.

Les anciens, si l'on excepte Aristote,.et Aristote seul, ne
se sont point occupés des rapports des êtres. Ils ne cherchaient
dans l'histoire naturelle, et particulièrement dans la bota-
nique, que le côté utile; ils n’étudiaient les végétaux que
pour l'économie domestique et la médecine. L'ordre, les rap-
ports des espèces, la méthode, expression de cet ordre et de
ces rapports, tout ce côté purement scientifique de la bota-

DE M. DE JUSSIEU. XV
nique leur a échappé; et il n’était guère possible qu'il en fût
autrement , ils connaissaient trop peu de plantes.

T1 n’y en a que cinq cents dans Théophraste, six cents dans
Dioscoride, huit cents dans Pline.

L'ordre naturel, le véritable ordre des êtres, a ses maté-
riaux dispersés sur toute la surface du globe. On peut le com-
parer à un édifice dont on n'aurait que les débris disjoints et
bouleversés, dont on n'aurait pas même, à beaucoup près,
tous les débris, et dont il s'agirait néanmoins de rétablir la
structure. On conçoit que, plus il manquerait de ces débris,
plus la restauration serait difficile, qu'il pourrait en manquer
beaucoup trop pour qu'elle fût possible, et que, pour être
rigoureusement sûr qu’elle est exacte, il faudrait nécessaire-
ment les avoir tous.

Dès la fin du moyen âge, des découvertes étonnantes se
succèdent; la plus étonnante est celle d’un nouveau monde.
La curiosité des hommes , éveillée par ces grands événements,
les porte à des explorations plus énergiques et plus hardies.
Les sciences renaissent, les grands voyages commencent, et
le nombre connu des êtres s'accroît avec une rapidité qui va
croissant elle-même , et dans une proportion très-digne d’être
remarquée, à mesure que l’on s'approche de notre époque.

Pour ne pas sortir ici de la botanique, le nombre des
plantes, qui n’est encore, dans les premiers auteurs du XVI°
‘siècle, que de huit à neuf cents, est déjà, vers la fin de ce siècle
même, de plus de deux mille ; il est, au siècle suivant , de plus
de dix mille dans Tournefort, en y comprenant les variétés ;
réduit aux seules espèces proprement dites, ce nombre est
de sept mille dans Linné; il est de vingt mille dans M. de
Jussieu, et il s’est quadruplé depuis; il sera de près de quatre-

XV] ÉLOGE HISTORIQUE

vingt mille dans le grand ouvrage que publie en ce moment
M. De Candolle. Une famille, celle des composées, aura, dans
ce grand ouvrage, plus de huit mille espèces; ce sera plus
d'espèces, dans une seule famille, que n'en avait le règne végé-
tal entier du temps de Linné.

Ce qui marque le mieux la force de l'esprit de M. de Jus-
sieu, c'est le parti qu'il a tiré des matériaux que l’on possé-
dait à l'époque où il a écrit. Le nombre de ces matériaux s’est
quadruplé depuis, comme je viens de le dire; et cependant
il n'est aucun grand principe de l’ordre naturel qui ne soit
posé dans son livre, et presque aucune des combinaisons
établies par ses successeurs dont on ne puisse y trouver le
germe. Fontenelle admire, dans Tournefort, une classifica-
tion où plus de douze cents espèces nouvelles, et, ajoute-t-il,
qu'on n'attendait PAS ; avaient pu entrer, sans en rompre les
bases. Qu’aurait-il dit de la méthode de M. de Jussieu, où
près de cinquante mille espèces, inconnues au moment où
l’auteur écrivait, ont pu trouver leur place, et presque par-
tout une place indiquée d'avance, une place où on les atten-
dait ?

L'ouvrage dans lequel M. de Jussieu expose cette méthode,
fruit de combinaisons si profondément calculées, est le résul-
tat de quinze années de travaux sans relâche. Il en com-
mença l'impression en 1788; il en avait la tête si pleine que
l'impression fut commencée sans que le manuscrit fût prêt;
l’auteur ne fut jamais en avance sur l'imprimeur que de deux
ou trois feuilles. [y a plus : c'est que les prémières feuilles
avaient été imprimées sans ces {Votes, placées à la suite des
caractères des familles , et qui sont peut-être, de tout le livre,
la partie Ja plus fine et la plus profonde. M. de Jussieu fit

DE M. DE JUSSIEU. XVI}

mettre ces feuilles au pilon ; il ne recula pas devant une réso-
lution qui, pour un ouvrage ordinaire, aurait pu paraître
extrême; il sentait que l'ouvrage qu'il écrivait serait éternel.

L’impression, et par conséquent la rédaction, puisqu'elles
marchaient ensemble, durèrent quinze mois; l'ouvrage parut
au mois de juillet 1789.

Il s'ouvre par cette /ntroduction célèbre dans laquelle l'au-
teur développe de nouveau, et, cette fois-ci, dans tout leur
véritable ordre, ces grands principes qu'il avait déjà posés
dans ses deux mémoires de 1773 et de 1774. Ici ces principes
forment un corps complet de doctrine. On conçoit tout ce
qu’une étude de quinze années avait dù leur donner de luci-
dité, d'enchaînement et de force ; c’est là que, par ses réflexions,
par son expérience, par ses méditations profondes, l’auteur
remonte jusqu'aux règles les plus élevées de l’art des méthodes,
et qu'il rattache cet art à une science nouvelle, à une science
créée par lui, à la science des caractères.

Deux faits dominent toute idée de méthode naturelle : Yun
est la subordination même des caractères. S'aidant, tour à
tour, du raisonnement et de l'expérience, M. de Jussieu con-
clut, comme nous avons vu, l'importance des organes de leur
fonction; et, quand cette fonction n’est pas connue, il la con-
clut de leur constance : artifice ingénieux, et par lequel un
fait d’une évaluation souvent impossible, toujours difficile,
presque toujours obscure, du moins dans l’état actuel de la
botanique, savoir la fonction d’un organe, se trouve habile-
ment transformé en cet autre, d’une évaluation toujours sim-
ple, facile, évidente, savoir sa constance.

Le second fait constitutif de la méthode naturelle est l’assu-
jettissement des caractères aux groupes. Dans les méthodes

T. XVII. Hist. 1838. C

XVI) ÉLOGE HISTORIQUE

artificielles, on commence par choisir un caractère parmi
tous les autres ; et l'on soumet ensuite les espèces à ce carac-
tère. Dans la méthode naturelle, la marche est tout opposée;
on y soumet le caractère aux espèces.

Les auteurs systématiques descendent des classes aux genres,
des genres aux espèces; ils vont du général au particulier.
M. de Jussieu renverse complétement cette marche; il re-
monte, comme il le dit lui-même, du particulier au général.
Et toute la différence entre les méthodes artificielles et la mé-
thode naturelle est là : les unes soumettant les espèces aux
genres, les genres aux classes; l’autre soumettant, au con-
traire, les classes aux genres, les genres aux espèces : les unes
soumettant les faits aux idées; et l’autre, les idées aux faits.

Dans cette route nouvelle, ouverte à la science des rapports,
chaque pas de M. de Jussieu appelle l'attention du naturaliste.
Le secret de sa force est dans la marche qu'il a suivie.

L'exemple des familles naturelles toutes faites le guide dans
la formation des familles moins évidentes. Il voit dans ces fa-
milles, naturelles aux yeux de tous les botanistes, les grami-
nées, les composées, les légumineuses, les ombellifères, ete.,
les espèces rapprochées conformément à l’ensemble de leur
structure ; et c'est là, pour lui, le trait de lumière : tout carac-
tère qui, appliqué à l'une de ces familles, en bouleverserait
les espèces, doit donc être exclu; la première condition de
tout caractère est done de respecter le rapprochement des es-
pèces fonde sur l’ensemble de leur structure.

Etce calcul de l'importance des caractères, déduite de leurs
rapports avec l'ensemble de la structure, est le principe sur
lequel l'ouvrage de M. de Jussieu repose tout entier. L'objet
propre de cet ouvrage est la distribution des genres en familles.

DE M. DE JUSSIEU. XIX

Tournefort avait déjà distribué l'ensemble des espèces en
genres. Linné avait donné à ces premiers genres plus de ré-
gularité et de précision. I] s'agissait de faire, pour les groupes
-d’un ordre plus élevé, pour ces groupes mêmes, omis dans les
systèmes de Tournefort et de Linné, pour les familles ,
ce que Tournefort et Linné avaient fait pour les genres.

M. de Jussieu distribue tous les genres connus au moment
où il écrivait, au nombre de près de deux mille, en cent
familles. Chacune de ces familles primitives, il la fonde sur
un ensemble déterminé de caractères; et ce concours de ca-
ractères , il montre qu'il est indispensable ; car chaque carac-
tère, pris séparément, peut appartenir à plusieurs familles ;
c'est leur assemblage, et un. assemblage différent pour. cha-
cune, qui seul est propre à chaque famille, et la constitue.

Le caractère de chaque famille n'est donc pas unique, il
n’est pas arbitraire, comme dans les systèmes artificiels ; ce
caractère, un mais multiple, est l'assemblage des caractères
donnés par l'observation, par le fait, comme les plus cons-
tants dans chacune.

On conçoit qu'une lumière aussi nouvelle n’a pu être portée
sur toutes ces familles , sur tous ces groupes principaux du
règne végétal , sans que l’auteur en revit tous les éléments : les
espèces , les genres, les caractères de chaque genre. Dans ce
travail immense, jamais son attention ne s'est lassée; l'œil
exercé du naturaliste admire partout cette ex périence COnsom-
mée, ce tact heureux, cette sagacité profonde, qui j usque-là
peut-être, et dans aucune branche de la science, n’avaient
paru à un égal degré. ;

Les naturalistes ont reconnu de bonne heure, comme je
viens de le dire, certaines familles de plantes pour naturelles.

C 2

xx ÉLOGE HISTORIQUE

Dès 1672, Morison saisissait les principaux traits de celle des
ombellifères. Quelques années plus tard , Raï essayait une dis-
tribution du règne végétal sur un plan plus vaste; il signalait
la grande division des plantes en dicotylédones et monocoty-
lédones, et déjà il rangeait le palmier parmi ces dernières.
Enfin, en 1689, précisément un siècle avant M. de Jussieu,
Magnol publiait son ouvrage sur les famulles des plantes.
Mais ni Magnol, ni Morison, ni Rai, n'avaient pu suivre ces
vues générales dans le détail; et ces vues éparses, ces traits
heureux , demeuraient perdus.

Vers le milieu du XVIITE siècle, ce mème Linné à qui la
botanique devait déjà sa nomenclature, sa langue descriptive
et le système artificiel le plus précis, le plus rigoureux qu'elle
ait jamais eu, publia une suite d'ordres ou de familles natu-
relles, qu'il porta d'abord, en 1738, à soixante-quatre,
et qu'il réduisit, plus tard, à cinquante-huit; et toutefois
ces deux essais n'offrent encore que des séries de noms :
nulle explication, nul développement, nulle indication des
motifs qui avaient pu diriger l’auteur, soit dans la formation,
soit dans le classement de ses familles. C'était, comme l’a dit
M. de Jussieu lui-même, une sorte de problème que Linné
laissait à résoudre à ses successeurs, et qui n’a point été
résolu.

Un ouvrage plus complet, et, sous le point de vue des fu-
milles naturelles, beaucoup plus important , est celui d'Adan-
son, publié en 1763. Le premier trait qui frappe dans Adanson,
c'est le caractère de réformateur. Ce caractère perce dès son
premier écrit, son ÆZistoire naturelle du Sénégal, où, touchant
à la classification des coquillages , il change cette classifica-
tion de fond en comble, et la place tout d'un coup sur ses

DE M. DE JUSSIEU. XX]

véritables bases , savoir, sur les animaux, dont les coquillages
proprement dits, les coquilles, ne sont en effet que les dé-
pouilles. Ce géfie original et rénovateur paraît tout entier
dans l’ouvrage sur les familles des plantes. Nul homme n'a
plus cherché qu’Adanson à débarrasser la science de ses
entraves systématiques ; nul n'a plus complétement mis
au jour le vice radical de tous ces systèmes artificiels, c’est-
à-dire partiels, fondés sur une seule partie, sur un seul
organe, et sur un organe arbitrairement choisi; nul n’a
mieux vu enfin que la méthode, pour être naturelle, c'est-
à-dire complète, doit reposer sur l’universalité des parties;
mais ce qu'il n'a pas vu, c’est la subordination de ces par-
ties les unes aux autres. Et ce qui montre jusqu'à quel point
peut aller la prévention, même dans un esprit de cet ordre,
c'est cette phrase curieuse que je trouve dans le Rapport
d’Adanson à l'Académie sur le premier mémoire de M. de
Jussieu : «Les principes de M. de Jussieu, dit Adanson dans
«ce Rapport, demeuré inédit et conservé dans nos archives,
«souffriront peut-être quelque difficulté de la part des bo-
« tanistes qui croient qu'une méthode, pour être naturelle,
« doit se fonder sur toutes les parties prises ensemble, sans
« donner à aucune une préférence exclusive sur toutes les
«autres.» [ci la méprise d’Adanson est évidente pour tout
le monde; ce qu'il rejette sous ces mots de préférence
exclusive, c'est précisément la subordination des parties ;
et rejetant la subordination des parties ou des caractères,
il rejette par là même celle des groupes, du moins dans ce
que ces groupes ont de plus élevé; il n’admet que des familles,
dont il porte le nombre à einquante-huit ; il n'admet pas de
classes; il ne voit pas cette compréhension de tous les groupes

XX1] ÉLOGE HISTORIQUE

les uns dans les autres, depuis le premier jusqu’au dernier,
depuis l'espèce jusqu'au règne; et cette généralisation graduée
qui des espèces remonte aux genres, des genfes aux familles,
des familles aux classes, des classes au règne, et qui, sous:un
autre point de vue, sous le point de-vue abstrait, est toute
la méthode, cette généralisation graduée lui échappe.

L'homme dont M. de Jussieu a le ‘plus: profité pour son
grand ouvrage, est son oncle Bernard. Cependant le Catalogue
de Bernard n'offre, comme le tableau des Ordres de Linné,
que des séries de noms. Mais les principes qui guidaient Ber-
nard dans son Catalogue, soit pour la formation des familles,
soit pour la réduction des familles en elasses, ces principes
nous ont été fidèlement conservés par son neveu, et ce sont
ceux-là même que je viens d'exposer : la subordination des
caractères entre eux , et l’assujettissement des caractères aux
groupes.

Bernard a donc l'honneur d’avoir posé les premières bases
de l'ordre naturel; il a vu les principes sur lesquels cet ordre
se fonde. Mais, d’une part, il s’est borné à appliquer ces prin-
cipes, sans en développer, sans en bien débrouiller peut-être
la théorie, et, de l'autre, en fait d'application même, il s’est
borné à des séries de noms. Il n’y a rien dans Bernard, ni de
cette philosophie de la méthode , qui a découvert un nouvel
horizon aux sciences naturelles, ni de ce choix raisonné des
caractères qui, diversement groupés, donnent toutes les fa-
milles ; et ce sont là les deux vrais titres , les deux titres éter-
nels de M. de Jussieu.

À Dieu ne plaise qu'on puisse nous soupconner de vouloir
élever ici l'un de ces deux hommes célèbres aux dépens de
l'autre. Bernard est l'inventeur; il a fait les premiers pas ; si

DE M. DE JUSSIEU. XXII]

son neveu est allé plus loin que lui, c'est qu'il est parti du
point où son oncle l'avait conduit. Je cherche la vérité, je la
cherche dans l'étude seule de leurs pensées, et il me semble
que le caractère particulier de leur génie s'y démêle et s’y re-
connaît à des traits distincts. Bernard, par la force d’une pé-
nétration heureuse, a vu les principes de l’ordre naturel , mais
il les a vus sans s’en rendre compte, et beaucoup plus pour
lui que pour les autres; Laurent les a vus en s’en rendant
compte, et en les exposant aux autres; ces principes, si je
puisainsi dire, naissent dans l’un, ils mürissent dans l’autre;
l'un les aperçoit, l’autre les explique; en un mot, l’un est ce
premier âge où le génie découvre, l’autre est ce second âge
où le génie raisonne ce qu'il a découvert; et il y a, entre M. de
Jussieu et son oncle, entre leurs travaux, entre leurs manières,
entre la forme de leur pensée, toute la différence qu'il y a
entre ces deux âges.

Si, après avoir comparé l'ouvrage de M. de Jussieu à ce qui
avait été fait avant qu'il parüt , nous le comparons à ce qui est
venu après, sa place n’en demeure pas moins unique.

Nous avons vu que l’auteur avait établi cent familles pri-
mitives; aucune de ces familles n’a été supprimée; plus de la
moitié n’a subi aucune modification. Trois ont été portées,
et portées tout entières, dans des groupes voisins, ce qui
n'est qu'un mode différent d'association. La plupart des au-
tres , par l'effet naturel de tant d'espèces nouvelles recueillies
depuis près d'un demi siècle, ont dû être découpées et sous-
divisées; mais presque aucune ne l’a été que sur des sections,
sur des coupes, établies par M. de Jussieu lui-même. Enfin, il
yen a cinq, et:seulement cinq, qui ne se sont trouvées natu-

relles que par fragments.

XXIV ÉLOGE HISTORIQUE

Les erreurs ne portent donc que sur quelques fragments
de familles, sur quelques genres épars; et encore ici une note,
une indication, un doute, viennent-ils, presque toujours,
mettre sur la voie de la vérité, et d’une vérité que la sagacité
la plus merveilleuse pouvait seule entrevoir alors, tant les élé-
ments desquels l’auteur l'a déduite étaient peu nombreux, et
tant il a fallu depuis en rassembler de nouveaux pour l’éta-
blir d’une manière complète.

Et maintenant si l’on demande quel est le mérite particulier,
le mérite attaché, si je puis ainsi dire, à chaque page de cet
ouvrage, et par lequel il se distingue si fortement de tous ceux
qui avaient paru jusque-là dans une carrière si vaste et déjà
si souvent battue, il sera facile de répondre que ce mérite ré-
side surtout dans cette précision continue des détails, qui
marque à chaque fait sa véritable place; qui, ne se bornant
pas aux résultats principaux , en tout genre rapidement saisis,
ne néglige aucune de ces vérités de tous les ordres sur les-
quelles ces résultats se fondent; mérite essentiel dans une étude
où tous les faits sont nécessaires, où presque aucun ne peut
être suppléé par un autre, où presque tous sont également
pénibles à acquérir; mérite le plus rare peut-être, et qui ex-
plique bien ce mot profond de Buffon, que la patience, e’est-
à-dire, la constance dans les grands efforts, est le génie.

On a reproché à M. de Jussieu, et avec raison, la disposi-
tion de quelques-unes de ses classes, fondées sur les formes
de la corolle. C’est en effet là le point vulnérable de sa mé-
thode; et lui-même le déclare formellement. « Ces classes ont,
« ditl, le défaut de ne pas pouvoir subsister sans admettre
« des exceptions. » Il ajoute que, à ne considérer que la ri-
gueur et non la commodité de la méthode, il aurait dû s'en

DE M. DE JUSSIEU. XXV

tenir aux seuls caractères invariables, les lobes de l'embryon
et l'insertion des étamines. Cependant, à mesure que le nom-
bre des espèces s’est accru de plus en plus, on a fini par trou-
ver qu'il n'est pas jusqu'à ce dernier caractère, pris de l'in-
sertion des étamines , qui ne puisse varier, et qui ne doive par
conséquent être exclu des caractères classiques.

Tout est venu confirmer, au contraire, la grande division
fondée sur les lobes de l'embryon. M. Desfontaines, par une
des plus belles découvertes de l'anatomie végétale , a fait voir
que les rapports tirés des organes de la végétation répondent
partout, dans cette division, aux rapports tirés des organes
de la fructification. On peut mème dire que cette éclatante
confirmation, puisée dans la structure des tiges, place les trois
premiers groupes du règne végétal dans un rang particulier,
et que ne marque pas assez le nom commun de classe, égale-
ment imposé par M. de Jussieu à ces trois premiers groupes
et aux groupes suivants. On peut les comparer aux quatre em-
branchements du règne animal établis par À. Cuvier, et
sous lesquels viennent se ranger, à une certaine distance,
les classes proprement dites, et peut-être conviendrait-1l de
les désigner de même, dans les deux règnes, par une déno-
mination propre et déterminée. :

Comment donc remplir l'intervalle qui sépare ces trois pre-
miers groupes du règne végétal, des simples familles, sans
admettre , entre ces groupes et ces familles, rien d’artificiel,
d'arbitraire ? Ici encore M. de Jussieu a le mérite d’avoir tracé
la voie par l'association, plus d’une fois indiquée dans son ou-
vrage, de plusieurs familles entre elles ; et c'est ce que M. Ro-
bert Brown a admirablement vu. « Le problème actuel, dit-
«il, est de combiner les familles en groupes plus considéra-

T. XVIL. ist. 1838. D

XXY] ÉLOGE HISTORIQUE

« bles, et également naturels. » Et c'est en effet ce problème,
déjà résolu par M. Brown lui-même pour un certain nom-
bre de cas, qui, résolu pour tous, donnerait la bonne clas-
sification générale.

Lorsque M. de Jussieu eut publié son ouvrage, il fut sans
contredit le premier naturaliste de son époque. Cependant, il
ne faut pas croire que cet ouvrage ait eu, dès l'abord, tout
l'éclat qu'il a eu plus tard. On était en 1789 : au milieu de
cette révolution profonde-qui ouvrait à la France toutes les
portes de ses destinées nouvelles, il n’était guère possible que
lon s’aperçüt beaucoup d’une révolution qui s'opérait dans
la botanique. D'ailleurs, cet ouvrage était trop en avant des
idées reçues, pour pouvoir être bien compris sans une longue
étude. Ce ne fut donc qu’assez lentement que les principes de
M. de Jussieu pénétrèrent parmi les naturalistes, et surtout
parmi les naturalistes étrangers.

En France, dès que le nouvel ordre social, assis sur ses
bases, permit le retour des études paisibles, une circonstance
particulière vint donner tout à coup à ces principes une nou-
velle force et une influence inattendue. Un jeune naturaliste,
jusque-là caché dans une petite ville de province, et à la dé-
couverte duquel, car c'en fut une, et que plusieurs de nos
contemporains se sont disputée, et à la découverte duquel
M. de Jussieu lui-même a l'honneur d’avoir eu part, publia,
en 1795, deux mémoires, l’un sur les Principes de la classi-
Jication des mammifères, Yautre sur la Classe des vers de
Linné ; et ces deux mémoires furent pour la zoologie ce que
les deux premiers mémoires de M. de Jussieu avaient été pour
la botanique ; ils changèrent la face de cette science; et dès
lors, en zoologie comme en botanique, les mots méthode na-

DE M. DE JUSSIEU. XXVI)

turelle eurent leur sens complet; la méthode naturelle fut la
méthode fondée sur l'organisation.

M. Cuvier a rendu longtemps après, et dans une occasion
solennelle, un noble hommage à M. de Jussieu. Il déclare hau-
tement, dans son Rapport historique sur les progrès des scien-
ces naturelles depuis 1789, « que l'ouvrage de M. de Jussieu
«fait, dans les sciences d'observation, une époque peut-être
« aussi importante que la Chimie de Lavoisier dans les sciences
« d'expérience. »

Je ne sais pourtant si cet autre hommage, qu'il lui rend
dans le premier des deux mémoires que je viens de citer, n’a
pas quelque chose de plus remarquable. « Les zoologistes , y
« dit M. Cuvier, n'avaient aucune idée de ce calcul des carac-
«tères, dont les botanistes avaient cependant entrevu la réa-
«lité, et qu'un d’entre eux a si bien développé dans un
«ouvrage dont toutes les branches de l'histoire naturelle sen-
«tiront bientôt l’heureuse influence, quoiqu'il n'ait été di-
« rigé que vers l’une d'elles. » Ici, comme on voit, la chaîne
philosophique des progrès se renoue; et les efforts du jeune
Cuvier pour la rénovation de la zoologie se rattachent au
livre même qui venait de renouveler la botanique.

Mais la zoologie offrait aux applications de la méthode na-
turelle, et particulièrement aux applications de la méthode
naturelle fondée sur le raisonnement, un champ beaucoup
plus vaste que la botanique. Dans les animaux , les organes
sont plus distincts, les fonctions plus tranchées, et par suite
la subordination des caractères plus évidente. Les modifica-
tions des organes externes y dépendent, d’une manière visible,
des modifications des organes internes ; le cerveau, le cœur,
les poumons, par exemple, ne peuvent changer sans que les

D 2

XX VII} ÉLOGE HISTORIQUE
autres parties, nécessairement corrélatives à celles-là, chan-
gent aussi; la raison de cette concordance rigoureuse entre
toutes les modifications de l'économie animale est palpable :
le principe de la subordination des organes y devient le
principe même des conditions de l'existence des ctres.

Aussi, la science des caractères a-t-elle pris, par son ap-
plication à la zoologie, un nouvel essor. La méthode s’est
complétée, en se généralisant, en s'étendant d’un règne or-
ganisé à l’autre; et il n'est pas jusqu'aux deux auteurs qui,
comparés entre eux , n'offrent des traits distincts, et par les-
quels ils se complètent eux-mêmes : M. de Jussieu plus fait
pour suivre la chaîne continue des détails avec une patience
opiniâtre et une infatigable sagacité ; M. Cuvier plus fait pour
passer aux dernières conséquences d’un vol rapide et qui
franchit les intermédiaires: l'un né pour ne pas se rebuter
dans la marche expérimentale, la seule, du moins actuelle-
ment, applicable à la botanique ; l’autre pour embrasser d'un
coup d'œil plus prompt la marche rationnelle, à laquelle se
prêtait mieux la zoologie: tous deux ayant donné à la pensée
humaine un nouveau ressort logique, le ressort de la méthode,
laquelle, consistant à réunir les objets par leurs qualités com-
munes, est en effet aux sciences d'observation, ce que l'ana-
lyse, où l’art de les décomposer en leurs éléments distincts,
est aux sciences d'expérience.

Et de même que l'analyse, née des expériences de Galilée,
a passé peu à peu des sciences physiques dans la science
plus générale de l’ertendement , en devenant l'analyse philo-
sophique de Condillac, de même la méthode, née des recher-
ches des naturalistes modernes, n'attend, pour produire
tous ses effets, que l’étude abstraite du philosophe. Et dès

DE M. DE JUSSIEU. XXIX

lors seulement, la philosophie générale, qui ne résulte pas
moins de l’art de classer les idées, jusqu'ici négligé par elle,
que de l’art de les décomposer, dont elle s’est occupée avec
tant de soin, sera complète.

M. de Jussieu avait publié son ouvrage en 1789. Presque
toujours enfermé dans: son cabinet pendant ces années d’un
travail sans relache, il était demeuré étranger au mouvement
politique qui poussait alors la nation entière. Son ouvrage
était à peine terminé, lorsqu'il se trouva chargé de l’un des
départements de la mairie de Paris. La mairie de Paris,
alors unique, se partageait, comme on sait, en plusieurs
départements. Celui des hôpitaux échut à M. de Jussieu;
et c'est à cette occasion qu'il publia son Rapport sur
les hôpitaux de Paris, genre de travail le plus fait sans
doute pour rendre les sciences respectables, et dans le-
quel l’auteur n'avait été précédé encore que par un autre
membre de cette Académie, dont la mémoire sera éternelle-
ment vénérée parmi les hommes, l'illustre et infortuné Bailly.

En 1593, le Jardin des Plantes recut une organisation
nouvelle, et prit le titre de Muséum d'histoire naturelle.
Daubenton en fut le premier Directeur; M. de Jussieu lui
succéda. Dans ces temps difficiles, M. de Jussieu se dévoua
tout entier à l'administration de ce bel établissement, au-
quel se rattachaient, d’une manière si étroite, l'éclat de son
nom, et presque tous ses souvenirs de famille.

Dès la création de l’Institut, il en fit naturellement partie.
Il fut un des premiers présidents de la nouvelle Académie
des sciences ; il était vice-président l’année même qui fut mar-
quée par la présidence de Napoléon.

En 1804, la chaire de matière médicale de la Faculté de

XXX ÉLOGE HISTORIQUE

médecine, étant devenue vacante par la mort de Peyrilhe, il
se présenta, et tous les concurrents se retirèrent.

Devenu professeur, il prit pour base de ses leçons le prin-
cipe fécond de l'accord des propriétés des plantes avec les
affinités botaniques ; principe qu'il avait signalé dès ses pre-
miérs travaux ; application nouvelle de la méthode naturelle,
et marche la plus propre peut-être à étendre le domaine de la
matière médicale.

I1 fut nommé au Conseil de l’Université en 1808.

Pendant la seconde moitié de sa vie, la pensée la plus cons-
tante de M. de Jussieu a été de donner une seconde édition
de son grand ouvrage. Malheureusement, ses forces dimi-
nuant à mesure que les matériaux de la science s’accroissaient,
il n’a pu laisser, de ce beau travail, que des fragments, mais
tous d’une profondeur rare, et qui suffiraient seuls pour la
réputation d’un autre.

Ces fragments forment une suite de mémoires, insérés de
1804 à 1820, et presque sans interruption, dans les Ærnales
du Muséum. Plus de la moitié des cent familles primitives de
l’auteur y est revue; chacune de ces familles y est examinée
en détail, et dans chacun des genres qui la composent. M. de
Jussieu n'avait pu profiter, en 1789, du grand ouvrage de
Gærtner sur les fruits. Il le prend, cette fois, pour terme
de comparaison, et, si je puis ainsi dire, pour pierre de tou-
che de tous les nouveaux rapprochements qu’il essaye. En
étudiant la graine, Gærtner avait porté l'anatomie sur cet
organe même dont M. de Jussieu tirait les principales bases
de sa méthode. Appliquées à la science des rapports, les ob-
servations de Gærtner prennent une importance nouvelle et
inattendue ; M. de Jussieu s'en sert pour répandre un jour

DE M. DE JUSSIEU. XXX]

nouveau sur le calcul des caractères, sur la formation des
familles, sur cet art, jusqu'à lui si peu connu en botanique,
d'appliquer l’un à l’autre ces deux ressorts, desquels seuls
dépendent désormais tous les progrès futurs de la science,
l'anatomie et la méthode.

M. de Jussieu se délassait de ces travaux profonds par des
écrits d’un autre genre, mais dont l’histoire naturelle, et, ce
qui va presque sans dire, le Jardin des Plantes, étaient tou-
jours l’objet; je veux parler de ses Mémoires sur le Muséum.

Le Jardin royal, fondé sous Louis XIIT, par un édit de
1626, ne fut d'abord qu'un Jardin pour les plantes médici-
nales ; c'était même là son titre légal; son cabinet n'était
qu'un droguter.

M. de Jussieu rappelle les faibles commencements de ce
droguier, devenu depuis le plus magnifique établissement
consacré à la nature, qui füt jamais. Il rappelle les difficultés
de tout genre qu'on eut à surmonter d'abord, et la petite
guerre qu'il fallut soutenir contre la Faculté de médecine,
laquelle s'opposait surtout à ce que la chimie, objet d'une des
nouvelles chaires du Muséum, Jüt enseignée dans Paris,
comme étant, disait la Faculté, pour bonnes causes et consi-
dérations défendue et censurée par arrét du parlement.

M. de Jussieu rappelle aussi ces hommes illustres aux-
quels ce bel établissement a dû la partie la plus noble
de sa splendeur : les Tournefort, les Duverney, les Bernard
de Jussieu , les Vicq-d’Azyr, les Buffon. Il s'arrête à la grande
époque de Buffon; et l’on regrette qu'il n'ait pas ajouté
l'époque qui a suivi, et qui peut-être n’a pas été moins
grande,

Dans cette nouvelle époque, Haüy, dévoilant le mécanisme

XXXI} ÉLOGE HISTORIQUE
de la formation des cristaux , soumettait aux lois du calcul
jusqu'aux phénomènes de la nature; M. de Jussieu soumet-
tait à des lois d’une autre espèce, aux lois du raisonnement
fondé sur l'expérience, les êtres nouveaux rapportés avec
une profusion jusque-là sans exemple de presque toutes les
parties du globe; et Guvier, pénétrant jusque dans les cou-
ches mêmes de ce globe, y découvrait des générations per-
dues ; il créait un art de rapprocher, de réunir les débris
épars de ces générations éteintes; il leur donnait, par les
seules lois de l'anatomie comparée, un nouvel être, et comme
une nouvelle vie; et, à toutes ces populations des anciens
mondes, ranimées par lui, sa voix puissante semblait com-
mander de se lever et de marcher.

Je voudrais n’oublier aucun des écrits sortis de la main de
M. de Jussieu. Je trouve dans sa 7'hèse, publiée en 1770, les
premières idées nettes sur ces analogies multipliées des végé-
taux et des animaux, sur cette unité, si je puis ainsi dire,
des deux règnes organiques; vues nouvelles alors, car elles
n'avaient été indiquées encore que par Pallas; vues profondes,
et qui ont été si brillamment développées depuis par Vicq-
d'Azyr et M. Cuvier.

Un seul des écrits de M. de Jussieu pourrait être omis, et
peut-être devrait-il l'être, car il est tout à fait étranger à
l'histoire naturelle, c'est son Rapport sur le magnétisme ant-
mal, publié en 1784. Rien, dans cet écrit, ne se rattache à
ces questions profondes et positives, sujet habituel des pen-
sées du grand naturaliste ; et par conséquent il ne saurait en
coûter beaucoup d'avouer ici que rien, non plus, n'y rappelle
l'esprit judicieux et ferme du législateur de la botanique.

La Restauration avait trouvé M. de Jussieu au Conseil de

DE M. DE JUSSIEU. XXXII}

l'Université et à l'École de médecine. En 1815, le Conseil
de l'Université fut remplacé par celui de l’Instruction pu-
blique, et M. de Jussieu ne fut pas appelé dans ce nouveau
Conseil. En 1822, il fut exclu de l'École de médecine, avec
Vauquelin, Chaussier , Pinel, Deyeux , des Genettes, etc.
En 1830, lorsque l'injustice put être réparée, plusieurs de
ces hommes célèbres, Vauquelin, Chaussier, Pinel, étaient
morts ; et M. de Jussieu lui-même, alors âgé de quatre-vingt-
deux ans, était trop vieux pour reprendre sa place à la F aculté.

Déjà, dès 1826, il s'était démis, pour son fils, M. Adrien
de Jussieu, de sa chaire du Muséum ; quelques années après,
en 1831, il eut le bonheur de voir entrer ce fils à l’Académie.

Le travail avait été, toute sa vie, un besoin pour lui. Tout
le temps que lui laissaient ses fonctions, il le passait dans son
cabinet, à étudier, à ranger ses plantes. Il avait l'habitude
de lire jusque dans les rues.

Par une conformation particulière de famille, sa vue avait
toujours été fort basse : il était encore dans la force de l’âge,
lorsqu'il perdit entièrement l'usage d’un œil; et, vers la fin de
sa vie, la vue de l’autre s’affaiblit au point de ne plus lui per-
mettre ni d'écrire, ni d'observer.

Ne pouvant plus, dès ce moment, travailler par lui-même,
il se fit rendre compte des travaux des autres. Tous ces soins
délicats qu'il avait eus pour son oncle Bernard , devenu aveu-
gle, une main plus chère encore les eut alors pour lui. On
cherchait des problèmes qui pussent exercer cet esprit, né,
comme celui de Bernard, pour méditer et pour combiner.
On le tenait au courant des découvertes nouvelles ; et, parmi
ces découvertes , si quelque chose se rapportait à ses idées
sur les caractères et sur la méthode, l'instinct botanique,

T. XVII. AHist. 1838. E

XXXIV ÉLOGE HISTORIQUE

toujours en éveil chez lui, le saisissait aussitôt ; chaque chose
était promptément réduite à sa plus simple expression ; puis
M. de Jussieu rédigeait ces nouveaux résultats dans un latin
d'une élégance singulière; et, préparant une seconde édition
de l’/ntroduction de son grand ouvrage, il ne se reposait point
qu'il ne les y eût fait entrer.

On vient de publier, dans les Ænnales des sciences natu-
relles, ce dernier écrit de M. de Jussieu, œuvre d’un vieil-
lard presque nonogénaire. On est étonné d'y voir jusqu'à quel
âge reculé l’auteur avait conservé toute la netteté de son es-
prit; on l’est plus encore d'y voir avec quelle force avaient
dû s'emparer de sa tête ces idées qui, produites une première
fois en 1773, reproduites en 1774 et en 1789, et constam-
ment remaniées depuis, l'ont occupé jusqu'à sa dernière
heure.

Cependant il ne se faisait point illusion; il répétait souvent
qu'il ne travaillait ainsi que par besoin , par habitude, et non
pour instruire les autres.

On l’entendit même un jour expliquer, avec bonhomie, à
son secrétaire , pourquoi il écrivait en latin plutôt qu'en fran-
çais. D'abord, disait-il, cela m'emploie du temps, et c’est
autant de gagné; et puis des choses fort ordinaires, dites
dans une langue étrangère, prennent une physionomie moins
banale ; si je les exprimais dans la mienne, je jugerais tout
de suite qu’elles n’en valent pas la peine, et je ne ferais plus
rien.

M. de Jussieu a joui de toute sa gloire; mais il ne cessa
Jamais de rapporter la plus grande part de cette gloire à
son oncle; et ce sentiment lui inspira, il y a peu d'années
encore, un mot heureux. Quelqu'un complimentait, devant

DE ‘M. DE, JUSSIEU. XXXV

lui, son fils sur le bonheur de porter un aussi beau nom que
le sien. Oui, répondit M. de Jussieu , c'est vrai; ilm'’a été bien
utile.

Jusque dans les dernières années de :sa vie, il n’a jamais
manqué, quand il était à Paris , de se rendre à l’Académie; et
alors même qu'il n'y voyait presque plus et qu'il n’entendait
plus, il s’y rendait toujours ; il était heureux du sentiment
seul de se retrouver parmi ses confrères.

Il a été soixante-trois ans membre de cette Académie; et
soixante-six ans professeur au Jardin des Plantes , soit en
qualité de suppléant, soit en titre.

À la campagne, où il passait, sur la fin de sa vie, une par-
tie de l’année, son plaisir, presque unique, était la prome-
nade. Il cherchait encore des plantes; et, quoiqu'il n’y vit
presque plus, ainsi que je viens de le dire, il approchait ces
plantes de:ses yeux jusqu’à ce qu'il les eùt reconnues. Quand
il n'y vit plus du tout, il chercha à les reconnaître au tact;
et, d'y réussir, était pour lui un petit triomphe. C'était en
effet une sorte de problème, d’énigme, de difficulté vaineue :
tel avait toujours été le tour de son esprit, et le tour qu'il
avait voulu donner à la botanique. On peut en juger par ces
paroles que j'emprunte à l’un de ses premiers mémoires, pa-
roles qu'il est d'autant plus à propos de rappeler à la fin de
cet Éloge, que l’auteur, en cherchant à y définir, à sa manière,
les qualités du grand botaniste, semble s'y être peint lui-
même. « Un homme d'esprit, dit M. de Jussieu, peut faire des
«systèmes, il peut les varier à l'infini; mais l’ordre naturel
«ne:sera jamais l'ouvrage que d’un botaniste consommé en
«qui la patience pour examiner les plus petits détails égale

E 2

XXXV] ÉLOGE HISTORIQUE

«le génie pour en tirer des conséquences, pour former des
« suites, pour faire en un mot, de la botanique, non une
« science de mémoire et de nomenclature, mais une science
« nouvelle qui ait ses combinaisons et ses affinités comme la
«chimie, ses problèmes comme la géométrie. »

Le caractère de M. de Jussieu s'était développé de bonne
heure; il s'est constamment soutenu le même. Les habitudes
sévères de Bernard avaient donné à ce caractère une maturité
précoce. Fort jeune encore, M. de Jussieu obtenait déjà de
tous ceux qui l’entouraient, et souvent de personnes beaucoup
plus âgées que lui, une estime mêlée de respect.

Il avait, comme son oncle Bernard, une piété sincère.

Quoique homme d'un génie supérieur, quoique savant
d’une célébrité rare, il a eu le secret de se ménager une car-
rière paisible; et ce secret, il l'a trouvé surtout dans le calme
philosophique de son esprit. Il s'est laissé attaquer, à peu
près dans toutes les langues, sans jamais répondre. Il disait
que, s’il s'était trompé, il était tout simple qu’on l’attaqut ;
et que, s’il ne s'était pas trompé, toutes les attaques seraient
bien vaines.

M. de Jussieu s'était marié deux fois; la première en 1779,
et la seconde en 1791. Il a eu deux filles du premier mariage:
et, du second, une fille et un fils; ce fils est M. Adrien de
Jussieu, membre de cette Académie.

Par un contraste remarquable, au milieu de tant de rap-
ports qu'il avait avec son oncle Bernard, M. de Jussieu aimait
autant la société que Bernard avait aimé la solitude. A la vé-
rité, cette société dont il avait besoin se bornait presque à sa
famille; mais cette famille était fort nombreuse. Outre les
personnes que je viens de nommer, il avait appelé auprès de

DE M. DE JUSSIEU. XXXVI}

lui, par une sorte d'adoption, deux neveux et une nièce, la-
quelle devint plus tard l'épouse de son fils.

M. de Jussieu était adoré de toute cette famille. On sait
quels ont été les soins religieux qu'avaient pour lui madame
de Jussieu, sa seconde épouse, et mademoiselle de Jussieu,
l'une des deux filles de son premier lit. Tous les membres
de sa famille partageaient ces soins, ou du moins ils auraient
tous voulu les partager.

De son côté, il avait une affection inépuisable pour tous
les siens. Il se plaisait particulièrement à réunir autour de
Jui ses petits-enfants, à les voir jouer, à jouer avec eux; il trou-
vait que sa bibliothèque avait cela de bon, que les figures de
fleurs et d'animaux dont elle était remplie, les retenaient sou-
vent auprès de lui pendant des heures entières.

Il aimait les jeunes gens. Ayant eu le privilége de vivre long-
temps, il avait eu le malheur attaché à ce privilége : il avait
perdu peu à peu la plupart de ses premiers amis ; à mesure,
les générations nouvelles lui en avaient donné d’autres; et il
est mort environné de jeunes botanistes dont l'affection ne le
touchait pas moins sans doute que le respect.

L'âge l’avait extrêmement courbé; mais naturellement sa
taille était très-élevée. Sa constitution était forte. 1] dut à son
goût pour l'exercice de la promenade, à l'habitude du travail,
qui est l’exercice de l'esprit, et qu'il sut prolonger jusqu'à ses
derniers jours, et aux soins de tout genre dont il était en-
touré, une santé ferme qui ne fut troublée que sur la fin de sa
vie, et qui ne le fut que par quelques indispositions légères.
Sa dernière maladie ne s'annonca pas même d'une manière plus
grave ; mais bientôt le défaut d'action, complet et persistant,
des organes digestifs, fit perdre toute espérance.

XXX VIT] ÉLOGE HISTORIQUE DE M. DE JUSSIEU.

Il s'éteignit le 17 septembre 1836, âgé de 88 ans 5 mois et
5 jours.

Pendant près d'un demi-siècle, qui s'était écoulé depuis la
publication de son grand ouvrage; sa supériorité ne fut con-
testée par personne. Îl vit tous les botanistes qui vivaient au-
tour de lui, travailler à perfectionner sa méthode; Desfontai-
nes la confirmait par ses belles observations sur Ja structure
des tiges; du Petit-Thouars l'appliquait avec une sagacité sin-
gulière; Richard, le père de l'analyse végétale exacte et dé-
taillée, et dont on connaît le langage austère, appelait l’auteur
de cette méthode, /e premier botaniste de l'Europe ; tous les
botanistes célèbres, qui se sont élevés pendant ce demi-siècle,
l'ont proclamé leur maître : il a été donné à peu d'hommes
d'exercer une telle influence sur lgs'autres hommes, et à bien
moins encore d’en être les témoins; carrière peut-être unique,
qui s'étend un nombre d'années à peu près égal dans le XVIIS
et dans le XIX£ siècle, et qui, par sa contemporanéité comme
par sa gloire, se lie aux deux plus grands événements des
sciences naturelles dans ces deux siècles, la Chimie de Lavoi-
sier, publiée en 1789, la même année que l'ouvrage de M. de
Jussieu, et par laquelle se ferme le XVIII siècle, et les

Recherches sur les ossements fossiles de G. Cuvier, par les-
quelies s'ouvre le XIXe.

RE tt te

NOTES.

Pace 1j. Antoine ne tint pas, pour la botanique, tout ce que semblatt

promettre son génie facile et si singulièrement précoce.

Il a cependant laissé un grand-nombre.de mémoires. On voit, par son
Discours sur le progrès de la botanique au Jardin royal (Paris 1718), et
plus particulièrement encore par son Introduction à la connaïssance des
plantes, écrit qui fait suite au précédent, qu'il s'en: tenait à peu près à la
méthode de Tournefort.

Mais il se faisait déjà, grâce à Vaillant, des idées plus justes de la fleur.
« Nous entendons, dit-il, par fleurs, ce.composé de parties appelées dans
«les plantes étamines et pistil, servant à leur multiplication; et nous ne
« regardons ces feuilles colorées qui environnent ces parties que comme
«des enveloppes propres à leur conservation ; enveloppes qui, pour les
«distinguer des feuilles de la plante, se nomment, en langage de: bota-
«niste, pétales: »

Quelques-uns de ses mémoires indiquent une grande sagacité. En recon-
naissant, le premier; dans les impressions de plantes, si fréquentes sur les
houilles de Saint-Étienne.et de Saint-Chaumont, et prises pendant si long-
temps pour des jeux de la nature; des fougères, et des fougères analo-
gues plutôt à celles des climats tropicaux, qu'aux fougères actuelles de la
France, il fit faire un véritable pas à l'étude philosophique des fossiles.
Il reconnut aussi, dans d’autres péfrifications recueillies sur divers points
de la France, des débris de plusieurs animaux, et nommément de pois-
sons, et de poissons de la mer des Indes , des débris d'hippopotame, etc.

Parmi ses nombreux mémoires, les uns se rapportent à la botanique
(ses mémoires sur les champignons ; le café, le simarouba, le contrayerva,
le cierge du Pérou, le cachou, etc.); d'autres à la géologie (ses deux
importants mémoires sur les Causes des impressions des plantes marquées

XL NOTES.

sur certaines pierres des environs de Saint-Chaumont dans le Lyonnais,
et sur les petrifications qui se trouvent er France de diverses parties de
plantes et d'animaux etrangers; celui sur quelques ossements d’une tête
d’hippopotame, celui sur la corne d’Ammon, etc.); et quelques-uns à
l'anatomie (ses mémoires sur une fille sans langue, sur le sperma ceti, etc.).

Né à Lyon le 8 juillet 1686, mort à Paris le 22 avril 1758.

Pace uj… Joseph ne revit la France qu'après trente-six années des fatigues

les plus pénibles.

Condorcet remarque que, « par une singularité unique, il fut académi-
«cien pendant trente-six ans, sans avoir jamais paru à l'Académie.» En
effet, il avait été nommé en 1743, lorsqu'il était au Pérou; et son état,
à son retour, ne lui permit pas de se rendre aux assemblées de la Com-
pagnie.

Condorcet remarque encore que, «il consacra aux sciences sa vie en-
«tière, et qu'il n'a pas même publié un seul mémoire. »

Quoiqu'il n'ait pas écrit, il a rendu de vrais services à la science. L'Eu-
rope lui doit plusieurs plantes nouvelles, l'kéliotrope, le cierge du Pérou, ete.
Ses herbiers ont fourni des espèces remarquables, et, jusqu’à lui, in-
connues. On a tiré des renseignements utiles de sa correspondance avec
ses frères. La publication de ses Notes (accompagnées de plans et de des-
sins) pourrait rendre encore de nouveaux services. Malheureusement, la
plupart de ces AVotes, et les plus intéressantes peut-être, celles qui se
rapportaient à ses voyages dans l'intérieur des Cordillères, lui furent
enlevées avec une partie de ses collections.

Ne à Lyon le 3 septembre 1704, mort à Paris le 11 avril 1779.

Pace uj.… Homme étonnant , dont le nom remplissait le monde savart , et
qui n'avait presque rien écrit.

On n'a de Bernard, en botanique, que trois mémoires: le premier, sur
la pilulatre; le second, sur le /emma ; le troisième sur les fleurs d'une es-
pèce de plantain (plantago monanthos), dont on ne connaissait que les
fleurs mâles, et dont il a découvert les fleurs femelles.

Son mémoire sur quelques productions marines, prises pour des plantes,

NOTES. XL]
confirma la belle découverte de Peyssonnel, touchant l'origine animale de
ces productions.

Ses Ordres naturels, «le dernier de ses ouvrages , et le plus solide mo-
«nument de sa gloire, » selon les expressions de M. de Jussieu lui-même
(Mémoires sur le Muséum), ses Ordres naturels, plus connus sous le titre de
Catalogue de Trianon, n’ont point paru de son vivant. Ce Catalogue, de-
venu si fameux comme première ébauche des familles naturelles du
Genera plantarum, n'a été publié que par M. de Jussieu, qui le plaça en
tête de son grand ouvrage.

« Cet homme modeste, dit M. de Jussieu, dans son mémoire de 1774,
«en parlant de son oncle, n’a pas publié son travail, parce qu'il s’est cru
«trop peu avancé dans la science. Il voulait auparavant diminuer le nom-
«bre des vides occasionnés par l'absence des familles inconnues, et atten-
« dait que de nouvelles découvertes le missent à portée de réformer les
«articles douteux. »

Né à Lyon le 17 août 1699, mort à Paris le 6 novembre 1777.

Le père de ces trois hommes célèbres, docteur en médecine , et maître-
apothicaire à Lyon, se nommait Laurent de Jussieu. Leur mère se nommait
Lucie Cousin.

Pace vij… Dans tout étre organisé, soit végétal, soit animal, chaque
partie a des rapports nécessaires avec toutes les autres. On peut donc juger

de toutes par chacune...

C'est pourquoi quelques-unes (et particulièrement les plus externes,
parce qu'elles sont les plus évidentes , les plus commodes pour l'observa-
teur) peuvent être prises pour caractères, pour signes , de toutes les autres.
J'ai exposé dans l'Éloge de M. Cuvier, et d'après M. Cuvier même, les
raisons de cette concordance, de cette corrélation de toutes les parties
entre elles dans les animaux; là, ces raisons sont palpables, comme je
le dis plus loin.

À défaut du côté rationnel de cette corrélation des parties, pour long-
temps encore, peut-être, caché en botanique, M. de Jussieu en avait
parfaitement saisi, dès son mémoire de 1773, le côté expérimental.

«Il est vrai, dit-il dans ce mémoire, que les caractères fondamentaux

T. XVII Hist. 1838. F

XLI] NOTES.

« d'un ordre quelconque, doivent toujours être pris dans la fructification ;
« mais enmême temps il faut regarder ceux que fournissent les autres
« parties, comme des caractères accessoires, qui annoncent l'existence des
« précédents. C'est ainsi que, chez les animaux, la disposition extérieure
« des parties indique le nombre des ventricules du cœur, et les autres
« distinctions classiques ou génériques. »

I] dit, dans son mémoire de 1774: «Les caractères simplement géné-
«raux sont ordinairement liés à quelques-uns des caractères essentiels... ;
« ce qui procure des signes accessoires qui annoncent l’existence des vrais
« caracteres.» Il dit encore, à propos des organes des animaux : «Il n’est
« pas toujours aisé de déterminer quels sont les plus essentiels; et comme
«ils sont internes.., il faut avoir recours à des signes extérieurs pour les
« indiquer. Celui qui se contenterait de ces signes secondaires, sans éta-
« blir leur affinité avec les parties intérieures, n'aurait qu'une idée impar-

« faite des vrais rapports qui existent entre les animaux. »
Pace vuj.… Les idees de Vaillant sur les sexes des plantes...

Voyez son Discours sur la structure des fleurs, leurs differences et l’u-
sage de leurs parties, prononcé à l'ouverture du Jardin royal de Paris, le
10 Juin 1717.

Pace vuj.… Le problème relatif à la methode n’a éte résolu que par M. de
Jussieu.

La solution de ce problème commence avec Gessner et Césalpin, comme
je l'ai dit plus haut.

La subordination expresse des caractères est déjà clairement indiquée
dans cette phrase de Morison : Motas genericas et essentiales à seminibus
eorumque similitudine petitas per tabulas cognationis et affinitatis dispo-
nentes stirpes exhibemus. Differentias autemspecificas a partibus égnobilio-
ribus, scilicet, radice, foliis et caulibus.….. desumptas adscribimus (Planta-
rum historia, ete.).

Au fond, le problème de la valeur relative des caractères est implicite-
ment compris dans toute méthode; mais personne, avant M. de Jussieu,
ne s'était bien rendu compte des moyens de le résoudre. Le principal de

NOTES. XLII}

ces moyens a été, comme nous le verrons plus loin, de faire sortir la subor-
dination des caractères de l'assujettissement de ces mêmes caractères aux
groupes, c'està-dire, en un seul mot, de leur constance.

De plus, tous les caractères avaient été essayés un à un; mais il fallait
hôisir entre ces caractères, il fallait les combiner ensemble, il fallait
enfin, dans un caractère important, déterminer la circonstance qui le ren-
dait tel.

On:a souvent cité cette phrase de Linné: Sciant nullam partem univer-
salèm magis walere .quam illam à situ ;| præsertim serninis. Class. plant. ,
p- 487. Or, dans cette phrase, Linné entend. la position de l'embryon
par rapport à la graine et à ses parties, ce qui n’est qu'un caractère très-
secondaire.

Pour bien déméler tout ce qu'il y a de neuf dans M. de Jussieu, il suffit
de porter l'analyse dans la plüpart dés principes, plus ou moins heureux,
rmais aussi plus ou moins vagues, qui avaient été proposés avant lui.

P. 1x. Les différences remarquables et simples que l’on observe dans
l’embryon, influent sur le développement général de la plante et.sur

son organisation entière.

M. de Jussieu s'exprime à peu présainsi, aux mots : Méthode naturelle ,
du Dictionnaire des sciences naturelles. Dans son mémoire de 1974, il
avait dit : « Une conformation différente ‘dans l'embryon végétal locca-
« sionne, dans le développement et l'organisation de la plante, des diffé-
« rences remarquables qui constituent autant de caractères : ces différences
« étant dépendantes de celles de l'embryon, les caractères qu’elles donnent,
« dépendent également d'un seul qui détermine leur existence; d'où il suit
« que le caractère tiré de l'embryon doit avoir une valeur égale à celle de

«tous les autres réunis ensemble. »

P. 1x... Buffon concut le projet d'un agrandissement digne de l’époque à

laquelle son nom devait servir de date.

Je neiparle ici que de l'agrandissement de 1774. Un nouvel agrandisse-
ment fut dû à Buffon en 1785. (Voyez les Memo ires de M. de Jussieu
sur le Museum).

F2

XLIV NOTES.

P. xr... Ces ORDRES NATURELS, {els que Bernard en avait concu l’ensemble,

se trouvaient compris dans sept classes.

Dans son mémoire de 1774, M. de Jussieu s'exprime ainsi: «Le règne
«animal n’a que sept classes; on n'en compte pas plus dans le règne
« végétal, en suivant les divisions de Trianon. »

Ce nombre sept résulte en effet de l'emploi de la seule insertion des
étamines pour la subdivision des monocotylédones et des dicotyledones.

On a alors trois classes pour les monocotyledones, trois pour les dico-
tylédones; en tout, sëx classes. Les acotylédones, laissées indivises, à
cause de leurs fleurs si peu apparentes et si peu connues, forment la

septième.
P. id... Il porte le nombre des classes du règne végétal à quatorze...

Il le porta plus tard, dans son Genera plantarum, à quinze, par l'ad-
dition, dans les dicotylédones apétales, de la classe des apétales à étamines

épigynes.

P. id. L'insertion des étamines sur le pistil, sur le support du pistil,
sur le culice, sur la corolle, donne les divisions suivantes...

L'insertion des étamines, prise en soi, est toujours de trois sortes :
sur le pistil, sur le support du pistil, ou sur le calice. Le point impor-
tant était de ramener les formes de la corolle à l'insertion des étamines.

Or, considérées relativement à la corolle, les dicotyledones (car il n'y
a de corolle que dans les dicotylédones) sont apetales, polypetales,
ou »onopetales.

Dans les apétales, insertion des étamines est essentiellement imme-
diate, puisqu'il n'y a pas de support intermédiatre, de corolle.

Dans les prlypétales, cette insertion est simplement immediate; car, y
ayant une corolle, l'insertion peut se faire sur cette corolle, et s'y fait
quelquefois en effet, quoique fort rarement.

Enfin, dans les monopetales , l'insertion des étamines est meédiate. C'est
la corolle qui y porte, du moins presque toujours, les étamines, et qui

va toujours s'insérer, quand elle les porte, à l'un des trois points (le

NOTES. XLV

pistil, le support du pistil, ou le calice), auxquels se seraient insérées
les étamines mêmes, s'il n'y avait pas eu de corolle. L'insertion de La
corolle peut donc être substituée alors à celle des étamines; c'est un
signe accessoire qui annonce, qui implique le vrai caractère.

P. xv…. Il est (le nombre des plantes) de vingt mille dans M. de Jussieu.

Ce grand nombre de plantes nouvelles grand par rapport à Linné,
qui n’en comptait que sept mille), et qui n'avaient été connues ni de
Linné ni de Bernard, était particulièrement dû, soit aux voyages de
Dombey et de Commerson, soit aux ouvrages de Forster, de Forskal,
d’Aublet.

Au reste, le nombre des plantes sur lesquelles M. de Jussieu s’est
exercé, ne peut guère être évalué que d'une manière approximative, puis-

qu'il n'a traité en effet que des genres et non des especes.

P. xvu… Le second fait constitutif de la methode naturelle est l’assujet-

tissement des caractères aux STOUpES...

Le fait que je cherche à désigner ici par ces mots d'assujettissement
des caractères aux groupes, est le fait même de la constance des carac-
tères, vu dans le moyen par lequel on arrive à reconnaître cette cons-
tance. Cette constance n'est que la répétition d'une même partie, d'un
même caractère, dans un certain nombre d'espèces. Il faut donc com-
mencer par voir les espèces, par rechercher les caractères qui s'y répètent,
par évaluer ces caractères d'après cette repetition même, en un mot, et

comme je le dis ici, par les assujettir aux espèces.

P. xvrn.…. La première condition de tout caractère est de respecter le rap-

prochement des espèces fondé sur l’ensemble de leur structure...

Les espèces , rapprochées d’après l'ensemble de leur structure, donnent
les genres naturels ; les genres, rapprochés d’après leur structure, donnent
les familles naturelles ; et il en est des familles par rapport aux classes,
comme des espèces par rapport aux genres, comme des genres par rapport
aux familles. Les caractères qui, appliqués à ces classes, à ces familles,
à ces genres naturels, respectent partout les rapprochements fondés sur

XLV] NOTES.

l'ensemble de la structure, sont donc les vrais caractères; et.il est impos-
sible que, dans la marche suivie par M. de Jussieu, ils ne soient pas
tels. Car il ne forme pas le groupe en conséquence du caractère ; il tire,
au contraire, le caracrère du groupe. Il suit cette belle pensée de Linné,
que c’est le genre qui fait le caractere, et non le caractère le genre. Les
seuls caractères constants dans toutes les espèces d'un genre, deviennent
caractères de genre; les seuls constants dans tous les genres d'une famille,
deviennent caractères de famille; les seuls constants dans toutes les familles
d'une classe, deviennent caracteres de classe. Samarche est toute expéri-

mentale ; tout s'y traduit en expérience, en observation, en fait.

P, xvrm… L'objet propre de cet ouvrage est la distribution des genres en

familles...

Le titre est : GENERA PLANTARUM SECUNBUM ORDINES NATURALES DISPO<
SITA, JUXTA METHODUM IN HORTO REGIO PARISIENSI EXARATAM , ANNO 1794.

Parisiis 1789.

P. xex... Le caractère des familles n'est donc pas UNIQUE, comme dans les

systèmes artificiels ; ce caractère ‘UN mais MULTIPLE..

C'est encore ici l’un des traits distinctifs de la marche de M. de Jussieu.

On n'assignait qu'un seul caractère aux groupes du premier ordre, etl'on
5 I 5 P j

multipliait les caractères des genres. Il fait tout le contraire; il multiplie

les caractères des premiers groupes, et simplifie les caractères des genrés.

Par jà, il obtient deux avantages à la fois : d'abord les vrais caractères

des premiers groupes, caractères qui n’ont de force que par leur réunion ;

P DEEE q ;
ensuite, comme il le dit lui-même, une grande commodité pour l'é

et, te, lle dit1 ; grand dit l'étude

des genres, « dont les caractères principaux sont toujours compris dans
5 > P P ]

« celui dé la famille en général. »

P. xx... Dès 1672, Morison saisissait les principaux traits de celle des
ombelliferes.… ;

Roberti Morison Plantarum umbelliferarum distributio nova, ete. x672.

P. éd... Raï signalait la grande divisiondes plantes en n1corxrébones et

MONOCOTYLÉDONES , ef déjà il rangeail le pawmxer parmi ces dernières...

NOTES: VLV1]

Voici la phrase curieuse de Raï : « Hæc divisio (celle des dicotylédones
«et des monocotylédones) ac arbores etiam extendi potest : siquidem palmæ
«et congeneres hoc respectu eodem: modo à reliquis arboribus differunt
«quo MONOCOTYLEDONES à reliquis herbis. »

Joannis Raiï Methodus plantarum nova, etc; 1682.

P. id... Magnol publiait son livre sur les FAMILLES DES PLANTES...

Petri Magnol Prodromus historiæ generalis plantarum , in quo familiæ
plantarum per tabulas disporuntur; 1689.

P. id... Un ouvrage plus complet est celui d’ Adanson…
Familes des plantes ; 1963.

P. xx... Mais ni Magnol, ni Morison, ni Rai n'avaient pu suivre ces vues

générales dans le détail...

En même temps que Morison, Magnol, Rai publiaient ces vues géné-
rales, et. devançaient ainsi les deux Jussieu pour les affinités botaniques,
Rivin, par quelques pages pleines des considérations les plus élevées , de-
vançait Linné surplusieurs points de Ja réforme à opérer dans la nomen-
clature (Zntroductio generalis.in rem kerbariam, 1690).

L'Histoire des Ombellifères ( Plantarum umbelliferarum distrébutio nova )
de Morison est de 1672; son Histoire générale des plantes (Plantarum his-
toria universalis etc.) est de 1680 ; l'ouvrage de Rai (Methodus plantarum
nova, etc,).est de 1682; celui de Magnol est.de 1689; celui de Rivin, dont
je viens de citer lettitre, est de 1690; et les Éléments de botanique, de
Tournefort, sont de 1694.

En tout genre, c'est de la fin de ce XVII siècle que datent les pre-
miers progrès du grand mouvement philosophique du XVIII.

P. xx1j... Mais les principes qui guidaient Bernard dans son cATALOGUE ,
soit pour la formation des familles, soit pour la réduction des familles
en classes, nous ont été fidèlement conservés par son neveu...

« Il existe, dit M. de Jussieu (Mémoire de 1774),.dans les végé-
«taux, comme. dans les animaux, des classes primitives qui renferment
« d'autres classes secondaires; les unes et les autres sont fondées sur des

XLVII) NOTES.

« caractères généraux et invariables qui ne peuvent être tirés que des or-
« ganes les plus essentiels à la vie, à la reproduction de l'espèce ; tous
«les êtres qui diffèrent par la structure, la situation et l'usage
« de ces organes principaux, doivent être séparés; de là les premières
«divisions du règne animal, d'après l'inspection du cœur, du nom-
« bre de ses ventricules et de ses oreillettes. Les organes qui tiennent
«après lui le premier rang dans l'économie animale, donnent les secondes
« divisions, et ainsi de suite. Ce principe, dont on ne s'écartera jamais sans
« tomber dans l'erreur , est le fondement de toutes les recherches à faire
« dans les corps organisés; dès lors on ne peut se contenter de l'exa-

« men des parties externes, de ces parties qui fournissent tout au plus des

caractères du troisième ou du quatrième ordre; les méthodes, fondées

sur ces caractères, s'écartent toujours de la nature, dans l’un et l'au-

tre regne.

« Ces vérités, continue-t:il, n'ont pas échappé à mon oncle, et la dispo-

« sition des familles , dans le jardin du Petit Trianon, prouve qu'il en était
« bien pénétré; son ordre est plus naturel que les méthodes publiées jusqu’à
«présent, parce qu'il est simple dans ses divisions générales, et conserve
« les familles dans leur intégrité. On y retrouve les trois classes primitives,
« caractérisées par l'embryon ; les acotylédones sont disposées suivant l'ap-
« parence plus ou moins marquée des parties de la fructification ; dans les
«monocotylédones, Yauteur se règle sur l'insertion des étamines , et passe
« successivement en revue les étamines portées sur le pistil, celles qui
« adhèrent au calice, celles qui sont attachées au support. Les dicotylédones
«sont divisées de même, en observant que, lorsque la corolle porte les
étamines, c'est son insertion qui devient le caractère décisif, pour
rapporter les plantes à l'une des trois autres insertions des étamines. »

Il dit ailleurs (Introduction du Genera plantarum) : « Les Ordres tra-
cés par Bernard de Jussieu, dans le jardin de Trianon, sont au nombre
« de soixante-deux, dont plus de la moitié est entièrement conforme aux

familles actuelles. Plusieurs autres, également conformes, diffèrent seu-

x

a

«lement par l'addition de genres étrangers, qui ont dû en être séparés.
« D'autres sont une réunion de plusieurs familles, qui doivent tantôt res-

“ ter voisines, tantôt être plus ou moins éloignées. L'auteur n'ayant donné

NOTES. XLIX

« qu'un simple catalogue manuscrit ,sans aucune autre addition , n’a point
« caractérisé ses ordres, et de même il n'a pas motivé leur disposition res-
« pective. Mais, si on étudie avec soin cette disposition, l'on reconnaît
«d'abord que, sans indiquer les classes, il a adopté les trois grandes divi-
«sions caractérisées par l'embryon. Les premiers ordres appartiennent aux
« acotylédones, excepté néanmoins les naïades, qui en ont été séparées
« plus récemment, et les aristoloches, qui doivent être reportées tres-loin.
« Dans les monocotyledones, qui suivent, on voit paraître successivement

«les ordres à étamines epigynes, ceux à étamines périgynes, et ceux à

étamines kypogynes : ce qui prouve qu'il appréciait les caractères tirés

des insertions. Dans les dicoryledones 11 suit la même marche, la même

distinction, en terminant seulement par la périgynie, et rapportant à

chacune les plantes monopétales, polypetales et apétales qui ontla même

insertion, tantôt entremêlées, tantôt se suivant séparément, Il termine

« sa série par les amentacées réunies aux urticees, les euphorbiacces et les

« coniferes. On voil que, sans avoir proclamé les lois naturelles , il leur a
« presque toujours obéi tacitement. »

(Voyez la traduction donnée par M. de Jussieu lui-même, aux mots
Méthode naturelle du Dictionnaire des sciences naturelles, de l'Introduction
du Genera plantarum).

P. xx1v... On a reproche à M. de Jussieu la: disposition de quelques-unes
de ses classes, fondees sur les formes de la corolle….

Ces formes de la corolle, rattachées, bien entendu, à l’insertion des
étamines, comme on l'a vu dans une Note précédente. Ici même, les repro-
ches qu'on peut adresser à M. de Jussieu ne portent que sur quelques
points. Ainsi, l'insertion médiate est commune à toutes les #onopétales ;
l'insertion immédiate Y'est à toutes les plantes apétales et polypétales; et,
jusqu'ici, ce n'est que dans cette dernière division, dans la division des
polypetales, qu'ont paru quelques exceptions.

P. id... C'est la le point vulnérable de sa méthode...

Ou, plutôt, de la clef de sa méthode, de ce qu'il s'est vu contraint
d'admettre encore de systématique dans sa méthode.

T. XVII. ist. 1838. G

L NOTES,

« Cet arrangément, dit:il, a un défaut dont aucune méthode n’est exempte,
« celui de ne pouvoir subsister sans admettre des exceptions. » Il ajoute
que c'est uniquement « pour l'instruction publique , pour les élèves et non
«pour les gens consommés, qu'il a cherché à établir une méthode qui
«eût des classes plus nombreuses, plus précises et conséquemment plus
«faciles à saisir... On a cru remplir cet objet, continue-t-il, en joignant
«aux caractères essentiels des caractères accessoires , qui indiquent l’exis-

«tence des premiers, en associant la corolle aux étamines pour désigner

«les classes. »

P. xxv... Le problème actuel, dit M. Brown, est de combiner les familles

en groupes plus considérables , et également naturels...

Voici à peu près les paroles de M. Robert Brown. « Un arrangement
« méthodique, et en même temps naturel, des familles est peut-être im-
« praticable , dans l'état actuel de nos connaissances. Ce serait probable-
« ment en hâter l'exécution, que de tourner toute son attention vers la
«combinaison des familles en classes (c'est-à-dire en groupes plus consi-
« dérables) également naturelles, »

General remarks geographical and systematical on the botany of terra
australis. 1814 ; p. 7.

M. de Candolle dit : « On ne connaît aujourd'hui que trois grandes
« classes... Il est hors de doute que chacune de ces classes pourra un
« jour se subdiviser, de manière à grouper entre elles les familles qui se
«ressemblent; mais cette sous-division des classes, cette institution de
« groupes supérieurs aux familles ét inférieurs aux classes, n'a pas encore été
« faite d'une manière naturelle... C'est là le problème le plus important à
« résoudre qui se présente aujourd'hui dans l'étude des rapports naturels.»

Théorie élémentaire de la botanique , 1813; p: 199.

P. xxvrij... Le principe de la subordination des organes y devient le principe

même des conditions de l'existence des êtres. …

La subordination des caractères est la méthode naturelle empiriquement
vue; les conditions d’existence sont la méthode naturelle, vue rationnel-
lement.

-NOTES. E]

P. xxvuj.. La marche rationnelle à laquelle sx PRÊTAIT MIEUX a z00/ogie.….

Je dis se prétait mieux. En effet, on est/loin encore de pouvoir tout
réduire, en zoologie, à la marche rationnelle.

Pour l'évaluation des organes intérieurs, des organes centraux, on à
une règle sûre, savoir, que plus un organe est important, c'est-à-dire
essentiel par l'ordre de ses fonctions, plus ses modifications en entraînent
de correspondantes dans tous les autres. Ainsi, les centres nerveux (la
moelle épinière , le cerveau), par lesquels l'animal est essentiellement,
donnent les premiers caractères et les plus généraux; les centres circula-
toires et respiratoires (le cœur, les poumons), par lesquels l'animal vit
de sa vie présente, donnent les seconds; les centres digestifs, par les-
quels ilentretient cette vie, donnent les troisièmes; et ainsi de suite.

Mais quand on en vient à l'évaluation des organes extérieurs , des or-
ganes subordonnés, secondaires, cette règle ne suffit plus, ou du moins
ne s'applique plus d'une manière immédiate et directe.

Le meilleur caractère extérieur est celui qui répond à un plus grand
nombre de ressemblances internes ou cachées : malheureusement la phy-
siologie n’a point pénétré encore assez avant dans l'étude de ces concor-
dances ; la raison de ces rapports de détail lui échappe; et, dès lors, c'est
à l'expérience seule de prononcer.

L'expérience découvre donc seule au zoologiste, du moins jusqu'ici, et
dans la plupart des cas, l'importance relative des caractères extérieurs ,

signes visibles des rapports cachés.

P. xxx... Dans ces temps difficiles, M. de Jussieu se dévoua tout entier à

l'administration de ce bel établissement.

Le Muséum:lui doit sa bibliothèque. Pour réunir.les éléments de cette
bibliothèque, aujourd'hui si riche, il fallut choisir dans celles des corps
religieux, qui venaient d'être supprimés, tout ce qui ayait trait à l'histoire
maturelle; M. de-Jussieu fit lui-même tout ce travail. Il l'avait formée;
et il est resté, pendant toute sa vie, chargé du soin de la surveiller.

A cette même époque, les galeries d'histoire naturelle, et, en général ,
toutes les parties du Jardin prirent une nouvelle extension. Cependant on

G 2

LI} NOTES.

manquait d'argent, les caisses de l'Etat étaient vides. À force de sagesse
et d'activité, l'Administration parvint à suffire à tout. Et dans un moment

où il était si difficile de conserver, non-seulement tout fut conservé, mais

tout fut augmenté.

P. xxx... Æn 1804, la chaire de matière medicale de la Faculté de méde-
cine étant devenue vacante, il se présenta, et tous les concurrents se reti-

rérent.

I] avait pris plusieurs années auparavant, en 1776, une part trés-active
à la formation de la Société royale de médecine. 11 en fut le trésorier. Il
seconda, de tout son zèle, les efforts de son ami Vicq-d’Azyr, pour fon-
der et pour soutenir un corps, alors si fortement combattu par l'ancienne

Faculté, et devenu plus tard, du moins en partie, le noyau de la Faculté
; L 2 ) y

nouvelle.

P. xxx... 77 prit, pour base de ses leccns, le principe fecond de l'accord des

propriétés des plantes avec les affinités botaniques.

Le développement de ce principe fait le fond du Déscours qu'il lut à la
séance publique de l’École de médecine, en 1806.

Il est curieux de voir ce principe important déjà clairement énoncé
dans cette phrase de Morison: Plantæ quæ generis soctetate junguntur,
plerumque et similes possident facultates. (Plantarum historta, etc.) Mais
il est à remarquer que ce principe n’est devenu fécond pour la matière
médicale, que quand ila pu s'appliquer à des groupes plus vastes que les
genres, que quand il a pu s'appliquer aux famélles.

« Le raisonnement, appuyé de l'expérience, dit M. de Jussieu dans son
: mémoire de 1774, démontre que les plantes conformes dans leurs ca-
« ractères , jouissent aussi des mêmes propriétés, de sorte que, l'ordre
« naturel une fois donné, on pourrait déterminer leurs vertus par des si
« gnes exterieurs. »

Ce beau problème de la détermination des propriétés des plantes par
leur classification, est devenu, en 1804, le sujet de l'ouvrage de M. de
Candolle, intitulé : Æssaë sur les proprietés médicales des plantes, etc. —

La seconde édition de cet ouvrage est de 1816.

NOTES. Li}
P. xxx... Il fut nomme au Conseil de l'Université en 1808.

I] le fut sur un billet de lui à l'Empereur, qui n'avait oublié ni ce bu-
reau de l'Académie où il avait siégé, ni, dans M. de Jussieu, l'un des col-
lègues particuliers qu'il y avait eus, et qui, d'ailleurs, se faisait rendre
compte des progrès des sciences et des travaux de l’Institut.

P. xxx... Ces fragments forment une suite de mémoires.

Voyez, pour les titres de ces mémoires, la Liste des ouvrages de M. de
Jussieu, placée à la fin de ces Votes.

P. xxx1].… Je voudrais n’oublier aucun des écrits sortis de la main de M. de

Jussieu.

Ses nombreux articles, répandus dans le Dictionnaire des sciences na-
turelles, sont des travaux importants. Les uns ont pour objet les familles
mêmes; et, réunis en un corps d'ouvrage, ils seraient un des livres les
plus utiles de la botanique. Les autres ont pour objet la détermination
des roms de plantes, rapportés par les voyageurs. Ici, sa sagacité brille
sous un nouvel aspect. Ces noms, accompagnés à peine de quelques ren-
seignements vagues et incomplets, sont en effet autant d'énigmes qui pi-
quaient sa curiosité, et dont lui seul peut-être était capable de trouver
le mot.

L'article méthode naturelle est la traduction précieuse (car notre langue
a le don d'éclaircir beaucoup les choses) de l'Zntroduction du Genera plan-
tarum. Il en est, sous un äutre repport, une seconde édition revue et
augmentée. L'article familles, beaucoup plus court, puisque les mêmes
idées principales auraient dû s'y reproduire, est un modèle en son genre.

Les articies relatifs à chaque famille en particulier, offrent tous, et
chacun dans les proportions requises par la matière, la même brièveté,
la même précision, la même vue nette des faits dont ils se composent.
Je viens de dire que la réunion de ces articles en un corps d'ouvrage se-
rait un des livres les plus utiles. On peut objecter, sans doute, qu'il ne
serait pas partout au niveau des derniers progrès. Mais ce n'est là qu’un
côté de la question, et le côté purement pratique. Je demande si, sup-
posé que l'ouvrage que j'indique existât, il y en aurait aucun autre où l'on

pût recueillir, à moins de frais, plus d'idées botaniques.

LIT NOTES.

P.xxxiv.. On vient de publier ce dernier ecrit de M. dé Jussieu (la seconde
édition de l'Introduction du: Genera plantarum)....

M. Adrien de Jussieu y a joint le Tableau des familles et'des classes
établies par M. de Jussieu en 1774. La comparaison de-ce Tableau avec
celui des familles de Bernard, mis en tête du Genera plantarum, est pleine
d'intérêt. On y voit toutes les modifications, que le Catalogue ou le Ta-
bleau de Bernard avait déjà éprouvées entre les mains de M. de Jussieu,
soit pour la place de certaines familles, soit pour la coordination des

familles entre elles, c'est-à-dire, pour la formation des classes.

Pace xxxvj... 17 avait appelée auprès de lui, par une sorte d'adoption, deux

neveux et une nièce...

De ces deux neveux, l'un est M. Laurent de Jussieu, secrétaire géné-
ral de la préfecture de la Seine, et membre de la chambre des députés ;
l'autre est M. Alexis de Jussieu, successivement préfet des départements
de l'Ain, de la Mayenne, de la Vendée et de la Vienne, aujourd'hui di-

recteur général de la police du royaume.

Pace #d.…. Cette nièce devint plus tard l'épouse de son fils...

On eut le malheur de la perdre en 183.

Pace xxxvj.… Au milieu de tant de rapports qu'il avait avecison oncle
Bernard...

Quelques faits encore mettront ces nombreux rapports dans un nou-
veau jour.

A la mort d'Antome, Bernard refusa la chaire de botanique, pour con-
server la place de démonstrateur, à laquelle il était habitué : peu touché
d’ailleurs, dit M. de Jussieu (Mémoires sur le Muséum), de la supériorité
apparente de l'autre place.

Lui-même, lors de la démission de Lemonnier, et quoique déjà sup-
pléant de Lemonnier, aima mieux aussi conserver la place de démons-
trateur , si longtemps occupée par Bernard.

En 1830, ses collègues le pressaient de reprendre sa chaire à la Faculté

de médecine ; il leur répondit qu'il était trop vieux, et qu’un jeune homme
seraït plus utile à la science.

NOTES. LV

De pareilles choses, faites avec tant de simplicité, supposent beaucoup
de philosophie; et peut-être même d'autant plus-que , d'abord, on y.en

soupçonne, moins.

P. xxxvrr... Carrière quis’étend un nombre d'années à peu ‘pres égal dans
le XNIIL°'et dans le XIX° siecle...

Pendant la première moitié de cette longue carrière, il avait connu
la plupart des hommes célèbres du dernier siècle. Il ayait vu Voltaire,
lequel marqua de sa présence la lecture de l’Eloge de Bernard par Con-
dorcet, dans la séance publique de 1778. Il avait fourni des notes à
Raynal pour les détails d'histoire naturelle que renferme l'Histoire des
deux Indes. | avait eu des relations plus particulières avec J. J. Rousseau.
J. J. Rousseau aimait la botanique, il se plaisait à suivre les herborisa-
tions de M. de Jussieu («il les suivit régulièrement, dit M. de Jussieu :
Mémoires sur le Muséum , pendant les cinq dernières années de sa vie »);
et, dans ses Lettres sur la botanique, il parle souvent de l’oncle et du
neveu, et toujours de tous les deux, avec l'estime la plus profonde.

11 dit dans une de ces Lettres : « J'ai parlé à M. de Jussieu (Bernard)
« du papyrus que vous avez apporté de Naples; il doute que ce soit le vrai
« papier zélotica. Si vous pouviez lui en envoyer... j'ai vu que cela
« lui ferait plaisir, et ce serait peut-être un excellent moyen d'obtenir de
« lui beaucoup de choses qu’alors nous aurions bonne grâce à demander,
« quoique je sache bien par expérience qu'il est charmé d'obliger gratui-
« tement. ....— Mais (et ces mots-ci sont bien de Jean-Jacques) j'ai
besoin de quelque chose pour m'enhardir, quand il faut demander.»

11 dit ailleurs : «M. de Jussieu vient de l’établir (la nomenclature de
« Linné) au Jardin du Roi, préférant ainsi l'utilité publique à la gloire
« d'une nouvelle refonte, que semblait demander la méthode des familles
« naturelles, dont son illustre oncle est l’auteur. »

M. de Jussieu avait été présenté à Louis XV, et il s'était entretenu
longtemps avec lui, dans le jardin du Petit-Trianon, la veille même du
jour où ce roi fut pris de la maladie dont il mourut.

LV] NOTES.

En terminant ces Votes, je sens le besoin de remercier M. Adrien de
Jussieu des détails qu'il m'a fournis, soit sur la vie intérieure de son
oncle Bernard, soit sur la vie et les travaux de son illustre père. Je
puis dire de lui, par rapport à M. de Jussieu, ce que Condorcet a dit
de M. de Jussieu, par rapport à Bernard : « Sans lui, il m'eût été bien
«plus difficile encore de tracer, de cet homme célèbre, la faible esquisse
« que j'ai essayé d'offrir à l'Académie, dans cet Éloge. »

dti 0 6 ©

LISTE DES OUVRAGES

DE M. ANTOINE-LAURENT DE JUSSIEU.

An æconomiam animalem inter et vegetalem analogia ? (C'est sa thèse,
soutenue en 1770.)

Examen de la famille des Renoncures. Mémoires de l’Académie des
sciences, 1773.

Exposition d’un nouvel ordre De PLANTES adopté dans les démonstrations
du Jardin royal. Ibid., 1774.

"GENERA PLANTARUM SECUNDUM ORDINES NATURALES DISPOSITA, JUXTA ME-
THODUM IN HORTO REGIO PARISIENSI EXARATAM, ANNO M. DCC. LXXIV.
Parisüs, 1789 (1).

Principes de la Mérnone NATURELLE des vegetaux (Article extrait du
Dictionnaire des sciences naturelles). Paris, 1824.

INTRODUGTIO IN HISTORIAM PLANTARUM (/ntroductionis olim generibus
plantarum premissæ editio altera posthuma , aucta et maxima parte nova ;
accedunt ordines naturales in horto Parisiensi prièmum dispositi post annum
1774). C'est la seconde édition de l’Ixrronucrion du Genera plantarum,
publiée par M. Adrien de Jussieu, dans les Annales des sciences naturelles,
1858. !

Note sur le Caxice et sur la Cono1re. Ann. du Mus., T. XIX, 1812.

Mémoire sur les rapports existant entre les caracteres des plantes et leurs
vertus. Mém. de la Soc. roy. de médecine, 1786.

Tous Les Arricres sur les familles des plantes, contenant, à la suite dès
caractères des familles, l’énumération de leurs genres : articles disséminés

dans les 6o volumes du Dictionnaire des sciences naturelles, 1816 — 1830.

(1) Ilen a paru en 1791, à Zurich, une autre édition, ou plutôt une contrefacon, publiée par
M. Usteri, lequel a ajouté seulement un petit nombre de notes.
D'un autre côté, l'ouvrage de Ventenat, intitulé : Tableau du règne végétal selon la méthode

de Jussieu, peut en être considéré, pour la plus grande partie, comme une traduction française.

T. XVIL Hist. 1838. H

LVII] LISTE DES OUVRAGES

Mémoires sur les cARACTÈRES GÉNÉRAUX DE FAMILLE firés des graunes et

confirmes ou rectifiés par les observations de Gærtner.

1° Memoire sur les Arisrorocniées-Prumsaeinées. Ann. du Mus., T. V,
1804.
Supplément à ce mémoire. T. VII, 1806.
2° Mémoire sur les Moworérares nyroeynes. T. V, 1804.
3° Memoire sur les MonoréraLes PÉRIGYNES. T. V, 1804.
4° Memoire sur les MONOPÉTALES ÉPIGYNES A ANTHÈRES RÉUNIES.
1 partie, T. VI, 1805.
5° Mémoire. 2° partie, T. VIL, 1806.
6° Memoire. 3° partie, T. VIII, 1806.
7° Mémoire sur les MoNoPÉTALES ÉPIGYNES A ANTHÈRES DISTINCTES. Î. X,
1807.
8° Mémoire sur les Caprrrorrées-Loranrnées. T. XII ; 1808.
9° Mémoire sur les Ararracées-Omserrirères. T. XVI, 1810.
10° Mémoire sur les Rexowcuracées-MacriemiacÉes. T. XVIII, 187 à
11° Mémotre sur les Hyréricées-Gurrirères. T. XX, 1813.
12° Mémoire sur les Auranrracées-Taéacées. Mém. du Muséum. T. IT,

181.

13° Mémoire sur les Mérracées-Géranracées. T. LIL, 1817.
14° Mémoire sur les Mérracées-Tirracées. T. V, 1819.

Mémoires sur différentes amixes de plantes.

Observations sur la famille des Amaranracées. Ann. du Muséum. T. IT,
1803.

Observations sur la famille des Nycracinéss. T. IL, 1803.

Observations sur la famille des Oxacraïres. T. III, 1804.

Mémoire sur le Loasa, genre de plantes qui devra constituer, avec le
MæNTzELrA , une nouvelle famille. T. N, 1804.

1° Memoire sur quelques espèces nouvelles du genre PAssirLora, et sur la
necessité d'établir une famille des Passirconées. T. VI, 1805.

DE M. DE JUSSIEU. LIX

2° Mémoire sur les PassirLorées et particulierement sur quelques espèces
nouvelles du genre Tacsowra. T. VI, 1805.

Observations sur la famille des VerBénacées. T. VIL, 1806.

Mémoire sur les Moximrées , nouvel ordre de plantes. T. XIV, 1800.

Memoire sur les LoséLracées et les Srvyrinrées, nouvelles familles de
plantes. T. XVIII, 18rr.

Memoire sur la famille nouvelle des Porvearées. Mém. du Mus., T. {,
1815.

Memoire sur la nouvelle famille des Paronyouiées. T. Il, 1815.

Mémoire sur la famille des Rusracées. T. VE, 1820.

Extrait d’un mémoire de M. Cusson, sur les plantes OMBELrIFERES.
Mém. de la Soc. roy. de médecine, 1782.

Mémoires sur les genres de plantes à ajouter ou à retrancher aux familles
des PRiINULAGÉES, RHINANTHÉES, AGANTHÉES, JAsMINÉES, LABIÉES ef Per-
sonées. Ann. du Mus. T. XIV, 1809.

Mémoire sur les genres de plantes à ajouter ou à retrancher aux familles
des SoLANÉES, BORRAGINÉES, CONVOLVULACÉES, PoLÉMONIACÉES, Breno-
NIÉES, GENTIANÉES, SAPOTÉES ef ARDISIACÉES. T. XV, 1810.

Mémoire sur quelques genres anciens de plantes non classées antérieure-
ment et maintenant rapportées à leurs familles. Mém. du Mus. T. V., 1819.

Mémoires sur differents eenres de plantes.

Memoire sur la plante nommée par les botanistes Erica Dasogci, et sur
la nécessité de la rapporter à un autre genre et à une autre famille. Ann. du
Mus., T. I, 1802.

Memoire sur le PÉrunIA, genre nouveau de la famille des Soxaxées.
LIL, 1803.

Mémoire sur l'AcrcarpHa et le Boopis, deux nouveaux genres de la fa-
mille des Cxxarocérmazes. T. II, 1803. ë

Mémoire sur le Cantua , genre de plantes de la famille des Porémoniées.
T. IT, 1804.

Sur le Sozanum Cornurum du Mexique. T. III, 1804.

Sur quelques espèces du genre Hyrericum. T. III, 1804.

H 2

L
LX LISTE DES OUVRAGES DE M. DE JUSSIEU.

Sur quelques espèces nouvelles d'Axémoxes. T. III, 1804.

Mémoire sur le GRewra, genre de plantes de la famille des Tivracxes.
T. IV, 1804.

Sur le Gymvosryces, genre nouveau de la famille des Corymmirènrs.
T. IV, 1804.

Sur le Pauzrinta, genre de plantes de la famille des Sarivnacées.
T. IV, 1804.

Sur l'Orercurarta, genre de plantes voisin de la famille des Dirsacées.
T. IV, 1804.

Memoire sur la reunion de plusieurs genres de plantes en un seul dans la
famille des Laurivées. T. VI, 1805.

Sur le Dicrirrera et le BrecHum, genres nouveaux de plantes composés
de plusieurs espèces auparavant réunies au Jusrrcra. T. IX, 1807.

Sur le genre Hyprorrrion de Gærtner fils, et sur ses affinités avec d’autres
genres, T. X, 1807.

Sur le genre Pneriwxa de Thunberg, et sur d’autres plantes qui portent
le même nom. T. XII, 1808.

Sur quelques genres de la flore de Cochinchine de Loureiro. T. XI, XII,
XVI, 1808 — 1810.

Sur une nouvelle espèce de MarceravraA, et sur les affinités botaniques de
ce genre. T. XIV, 1809.

Sur le Mericocca, et quelques espèces nouvelles de ce genre de plantes.
Mém. du Muséum, T. HI, 1817.

Suite de nombreux articles sur les noms vulgaires (ou de pays) des plantes,

dans les volumes du Dictionnaire des sciences naturelles. 1816 — 1830.

Mémoires sur le Muséum D'HISTOIRE NATURELLE de Paris, depuis sa fon-
dation en 1635. Annales du Muséum, T. I, IL, III, IV, VI, XL. 1802
— 1808).

Rapport de l’un des commissaires charges par le rot de l'examen du ma-
gnétisme animal. Paris, 1784.

Compte rendu à la Commune par le département des hôpitaux. Paris,
1790.

Discours lu à la seance publique de l ’École de médecine. Paris, 1806.

és À Le -

tt tt tt tte tt tete

ÉLOGE HISTORIQUE

DE

JAMES WATT,

UN DES HUIT ASSOCIÉS ÉTRANGERS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES,

Par M. ARAGO, SECRÉTAIRE PERPÉTUEL.

Lu à la séance publique du 8 décembre 1834.

Messieurs,

Après avoir parcouru la longue liste de batailles, d’assas-
sinats, de pestes, de famines , de catastrophes de tout genre
qu'offraient les annales de je ne sais quel pays, un philosophe
s’écria : « Heureuse la nation dont l’histoire est ennuyeuse! »
Pourquoi faut-il que l’on doive ajouter, au moins sous le
point de vue littéraire : « Malheur à qui échoit l'obligation
« de raconter l’histoire d’un peuple heureux! »

Si l’exclamation du philosophe ne perd rien de son à-pro-
pos quand on l’applique à de simples individus , sa contre-
partie caractérise avec une égale vérité la position de quel-
ques biographes.

T. XVII. Hist. 1838. H. 2.

LXI] ÉLOGE HISTORIQUE

Telles étaient les réflexions qui se présentaient à moi,
pendant que j'étudiais la vie de James Watt, pendant que
je recueillais les communications bienveillantes des parents,
des amis, des confrères de l'illustre mécanicien. Cette vie,
toute patriarcale , vouée au travail, à l'étude, à la médita-
tion, ne nous offrira aucun de ces événements piquants dont
le récit, jeté avec un peu d'art au milieu des détails de la
science, en tempère la gravité. Je la raconterai, cependant,
ne füt-ce que pour montrer dans quelle humble condition
s'élaboraient des projets destinés à porter la nation britan-
nique à un degré de puissance inoui; j'essayerai surtout de
caractériser avec une minutieuse exactitude, les inventions
fécondes qui lient, à jamais, le nom de Watt à celui de ma-
chine à vapeur. Je connais parfaitement les écueils de ce
plan ; je prévois qu’on pourra dire, en sortant d'ici : Nous
attendions un éloge historique, et nous venons d'assister à
une leçon sèche et aride. Le reproche, au surplus, me pa-
raîtrait peu grave si la leçon avait été comprise. Je ferai donc
tous mes efforts pour ne pas fatiguer votre attention ; je me

rappellerai que la clarté est la politesse de ceux qui parlent
en public.

Enfance et jeunesse de James Watt ; sa promotion aux
fonctions d'ingénieur de l’université de G lasgow.

James War, un des huit associés étrangers de l’Académie
des sciences, naquit à Greenock, en Écosse, le 19 janvier 1736.
Nos voisins de l’autre côté de la Manche ont le bon esprit
de penser que la généalogie d’une famille honnête et indus-

DE WATT. EXII}

trieuse est tout aussi bonne à conserver que les parchemins
de certaines maisons titrées , devenues seulement célèbres par
l’'énormité de leurs crimes ou de leurs vices. Aussi, je puis
dire avec certitude que le bisaïeul de James Watt était un
cultivateur établi dans le comté d’Aberdeen; qu’il périt dans
l’une des batailles de Montrose ; que le parti vainqueur,
comme c'était, (j'allais ajouter, comme c’est encore l'usage dans
les discordes civiles), ne trouva pas que la mort füt une ex-
piation suffisante des opinions pour lesquelles le pauvre
fermier avait combattu; qu'il le punit, dans la personne de
son fils, en confisquant sa petite propriété; que ce malheu-
reux enfant, Thomas Watt, fut recueilli par des parents
éloignés ; que dans l'isolement absolu auquel sa position dif-
ficile le condamnait, il se livra à des études sérieuses et assi-
dues ; qu'en des temps plus tranquilles il s'établit à Greenock
où il enseigna les mathématiques et les éléments de la navi-
gation ; qu'il demeura au bourg de Crawfords-dyke, dont il
fut magistrat; qu'enfin il s'éteignit en 1734, âgé de 92 ans.
Thomas Watt eut deux fils. L’aîné, John, suivait à Glasgow
la profession de son père. Il mourut à 5o ans (en 1937), lais-
sant une carte du cours de la Clyde, qui a été publiée par les
soins de son frère James. Celui-ci, père du célèbre ingé-
nieur, longtemps membre trésorier du conseil municipal de
Greenock et magistrat de la ville, se fit remarquer dans ces
fonctions, par un zèle ardent et un esprit d'amélioration éclai-
ré. Il cumulait, (n'ayez point de crainte: ces trois syllabes
devenues aujourd’hui en France une cause générale d’ana-
thème, ne feront pas de tort à la mémoire de James Watt);
il cumulait trois natures d’occupations : il était à la fois
fournisseur d'appareils, d'ustensiles et d'instruments néces-

LXIV ÉLOGE HISTORIQUE

saires à la navigation, entrepreneur de bâtisses et négociant,
ce qui, malheureusement, n’empêcha pas qu’à la fin de sa vie,
certaines entreprises commerciales ne lui fissent perdre une
partie de la fortune honorable qu’il avait précédemment ga-
gnée. Il mourut à l’âge de 84 ans, en 1782.

James Watt, le sujet de cet éloge, naquit avec une com-
plexion extrêmement délicate. Sa mère , dont le nom de fa-
mille était Muirhead, lui donna les premières lecons de lec-
ture. Il apprit de son père à écrire et à compter. Il suivit
aussi l'école publique primaire de Greenock, Les humbles
grammar schools écossaises auront ainsi le droit d'inscrire
avec un juste orgueil le nom du célèbre ingénieur parmi
ceux des élèves qu'elles ont formés, comme le collége de la
Flèche citait jadis Descartes, comme l’université de Cambridge
cite encore aujourd’ hui Newton.

Pour être exact, je dois dire que de continuelles indis-
positions ne permettaient pas au jeune Watt de se rendre
assidûment à l’école publique de Greenock; qu'une grande
partie de l’année il était retenu dans sa chambre, et s’y li-
vrait à l'étude sans aucun secours étranger. Comme c’est
l'ordinaire, de hautes facultés intellectuelles destinées à pro-
duire de si heureux fruits, commencèrent à se développer
dans la retraite et le recueillement.

Watt était trop maladif pour que ses parents éussent la
pensée de lui imposer des occupations assidues. Ils lui lais-
saient même le libre choix de ses distractions. On va voir
s'il en abusait.

Un ami de M. Watt rencontra un jour le petit James étendu
sur le parquet et traçant avec de la craie toute sorte de li-
gnes entre-croisées. «Pourquoi permettez- vous, s'écria-t-il,

DE WATT. - LXV

« que cet enfant gaspille ainsi son temps ? envoyez-le done à
« l'école publique! » M. Wait repartit: « Vous pourriez bien,
« Monsieur, avoir porté un jugement précipité; avant de nous
«condamner, examinez attentivement ce qui occupe mon fils. »
La réparation ne se fit pas attendre : l'enfant de six ans cher-
chait la solution d’un problème de géométrie.

Guidé par sa tendresse éclairée, le vieux James Watt avait
mis dé bonne heure un certain nombre d'outils à la disposition
du jeuneécolier. Celui-ci s’en servait avec la plus grande adresse;
il démontait et remontait les jouets d'enfant qui tombaient
sous sa main; il en exécutait sans cesse de nouveaux. Plus
tard , il les appliqua à la construction d'une petite machine
électrique dont les brillantes étincelles devinrent un vif
sujet d’amusement et de surprise pour tous les camarades
du pauvre valétudinaire.

Watt, avec une mémoire excellente, n’eût peut-être pas
figuré parmi les petits prodiges des écoles ordinaires. Il
aurait refusé d'apprendre les leçons comme un perroquet,
parce qu'il sentait le besoin d'élaborer soigneusement Îles
éléments intellectuels qu'on présentait à son esprit; parce
que la nature l'avait surtout créé pour la méditation. James
Watt, au surplus, augurait très-favorablement des facultés
naissantes de son fils. Des parents plus éloignés et moins
perspicaces ne partageaient pas les mêmes espérances.
« James, dit un jour M” Muirhead à son.neveu, je n'ai ja-
«mais vu un jeune homme plus paresseux que vous. Prenez
« donc un livre et occupez-vous utilement. Il s’est écoulé plus
« d'une heure sans que vous ayez articulé un seul mot. Savez-
« vous ce que vous avez fait pendant ce long intervalle ? vous
«avez Ôté, remis et Ôté encore le couvercle de la théière ;

T. XVII. AHist. 1858. I

LXV] ÉLOGE HISTORIQUE

«vous avez placé dans le courant qui en sort, tantôt une
« soucoupe, tantôt une cuiller d'argent; vous vous êtes éver-
« tué à examiner, à réunir entre elles et à saisir les gouttelettes
«que la condensation de la vapeur formait à la surface de
«la porcelaine ou du métal poli; n'est-ce pas une honte que
« d'employer ainsi son temps! »

En 1750, chacun de nous, à la place de Mme Muirhead,
eût peut-être tenu le même langage; mais le monde a mar-
ché, mais nos connaissances se sont accrues; aussi, lorsque
bientôt j'expliquerai que la principale découverte de notre
confrère a consisté dans un moyen particulier de transformer
les reproches de Mme Muirhead s’offri-
ront à notre esprit sous un tout autre jour; et le petit James,

la vapeur en eau,
devant la théière, sera le grand ingénieur préludant aux
découvertes qui devaient l’immortaliser; et chacun trouvera
sans doute remarquable que les mots : condensation de va-
peur, soient venus se placer naturellement dans l’histoire de
la première enfance de Watt. Au reste, je me serais fait illu-
sion sur la singularité de l’anecdote, qu’elle n’en mériterait
pas moins d'être conservée. Quand l’occasion s’en présente,
prouvons à la jeunesse que Newton ne fut pas seulement
modeste le jour où, pour satisfaire la curiosité d’un grand
personnage qui désirait savoir comment l'attraction avait été
découverte, il répondit : C’est en y pensant toujours ! Mon-
trons à tous les yeux, dans ces simples paroles de l'immor-
tel auteur des Principes , le véritable secret des hommes de
génie.

L'esprit anecdotique que notre confrère répandit avec tant
de grâce, pendant plus d’un demi-siècle, parmi tous ceux
dont il était entouré, se développa de très-bonne heure. On

DE WATT. LXVI]

en trouvera la preuve dans ces quelques lignes que j'extrais,
en les traduisant, d’une note inédite, rédigée en 1798 par
Mme Marion Campbell, cousine et compagne d'enfance du
célèbre ingénieur (+).

« Dans un voyage à Glasgow, Mme Watt confia son jeune
« fils James à une de ses amies. Peu de semaines après elle
« revint le voir, mais sans se douter assurément de la sin-
« gulière réception qui l'attendait. Madame, lui dit cette amie
« dès qu’elle l'apercut, il faut vous hâter de ramener James à
« Greenock. Je ne puis plus endurer l'état d’excitation dans
« lequel il me met : je suis harassée par le manque de som-
«meil. Chaque nuit, quand l'heure ordinaire du coucher de
«ma famille approche, votre fils parvient adroitement à
« soulever une discussion dans laquelle il trouve toujours le
« moyen d'introduire quelque conte; celui-ci, au besoin, en
«enfante un second, un troisième, etc. Ces contes, qu'ils
« soient pathétiques ou burlesques , ont tant de charme, tant
« d'intérêt ; ma famille, tout entière, les écoute avec une si
« grande attention qu'on entendrait une mouche voler. Les
« heures, ainsi, succèdent aux heures sans que nous nous en
«apercevions, mais le lendemain je tombe de fatigue; Ma-
« dame, remmenez votre fils chez vous. »

(x) Je suis redevable de ce curieux document à mon ami, M. James
Watt, de Soho. Grâce à la vénération profonde qu'il a conservée pour la
mémoire de son illustre père; grâce à l'inépuisable complaisance avec
laquelle il a accueilli toutes mes demandes, j'ai pu éviter diverses inexac-
titudes qui se sont glissées dans les biographies les plus estimées, et dont
moi-même, trompé par des renseignements verbaux acceptés trop lé-
gèrement, je n'avais pas su d'abord me garantir.

I 2

LXVII] ÉLOGE HISTORIQUE

James Watt avait un frère cadet, John (1), qui en se déci-
dant à embrasser la carrière de son père, lui laissa, d'après
les coutumes écossaises , la liberté de suivre sa vocation ;
mais cette vocation était difficile à découvrir, car le jeune
étudiant s'occupait de tout avec un égal succès.

Les rives du Loch Lomond, déjà si célèbres par les sou-
venirs de l'historien Buchanan et de l'illustre inventeur des
logarithmes, développaient son goût pour les beautés de la
nature et la botanique. Des courses sur diverses montagnes
d'Écosse lui faisaient sentir que la croûte inerte du globe
n'est pas moins digne d'attention, et il devenait minéralogiste.
James profitait aussi de ses fréquents rapports avec les pauvres
habitants de ces contrées pittoresques, pour déchiffrer leurs
traditions locales, leurs ballades populaires, leurs sauvages
préjugés. Quand la mauvaise santé le retenait sous le
toit paternel, c'était principalement la chimie qui devenait
l'objet de ses expériences. Les Ælements of natural philosophy
de s'Gravesande l'initiaient aussi aux mille et mille merveilles
de la physique générale; enfin, comme toutes les personnes
malades, il dévorait les ouvrages de médecine et de chirurgie
qu'il pouvait se procurer. Ces dernières sciences avaient excité
chez l’écolier une telle passion, qu'on le surprit un jour
emportant dans sa chambre, pour la disséquer, la tête d'un
enfant, mort d'une maladie inconnue.

Watt, toutefois, ne se destina ni à la botanique, ni à la
minéralogie, ni à l'érudition, ni à ia poésie, ni à la chimie,

(1) Il périt, en 1562, sur un des navires de son père, dans la tra-

versée de Greenock en Amérique, à l’âge de 23 ans.

DE WATT. LXIX
ni à la physique, ni à la médecine, ni à la chirurgie, quoi-
qu'il fût si bien préparé pour chacun de ces genres d'études.
En 1755, il alla à Londres se placer chez M. John Morgan,
constructeur d'instruments de mathématiques et de marine,
dans Finch- Lane, Cornluill. L'homme qui devait couvrir
l'Angleterre de moteurs à côté desquels, du moins quant aux
effets, l'antique et colossale machine de Marly ne serait qu'un
pygmée, entra dans la carrière industrielle en construisant,
de ses mains, des instruments subtils, délicats, fragiles; ces
petits, mais admirables sextants à réflexion, auxquels l'art
nautique est redevable de ses progrès.

Watt ne resta guère qu'un an chez M. Morgan, et retourna
à Glasgow, où d'assez graves difficultés l’attendaient. Ap-
puyées sur leurs antiques priviléges, les corporations d'arts
et métiers regardèrent le jeune artiste de Londres comme un
intrus, et lui dénièrent obstinément le droit d'ouvrir le plus
humble atelier. Tout moyen de conciliation ayant échoué, l’uni-
versité de Glasgowintervint, disposa en faveur du jeune Watt,
d'un petit local dans ses propres bâtiments, lui permit d’éta-
blir une boutique, et l'honora du titre de son ingénieur. II
existe encore de petits instruments de cette époque, d’un
travail exquis, exécutés tout entiers de la main de Watt.
J'ajouterai que son fils a mis récemment sous mes yeux ,
les premières épures de la machine à vapeur, et qu'elles sont
vraiment remarquables par la finesse, par la fermeté, par la
précision du trait. Ce n’était donc pas sans raison, quoi qu’on
en ait pu dire, que Watt parlait avec complaisance de son
adresse manuelle.

Peut-être aurez-vous quelque raison de penser que je porte
le scrupule bien loin en réclamant, pour notre confrère, un

LXX ÉLOGE HISTORIQUE
mérite qui ne peut guère ajouter à sa gloire. Mais, je l'a-
vouerai, je n'entends jamais faire l'énumération pédantesque
des qualités dont les hommes supérieurs ont été dépourvus,
sans me rappeler ce mauvais général du siècle de Louis XIV,
qui portait toujours son épaule droite très-haute, parce quele
prince Eugène de Savoie était un peu bossu , et crut que cela le
dispensait d'essayer de pousser la ressemblance plus loin.

Watt atteignait à peine sa vingt-unième année, lorsque
l'Université de Glasgow se l’attacha. Il avait eu pour pro-
tecteurs, Apan Sur, l’auteur du fameux ouvrage sur la Ri-
chesse des nations; BLack, que ses découvertestouchant la cha-
leur latente et le carbonate de chaux devaient placer dans un
rang distingué parmi les premiers chimistes du XVITI® siè-
cle; Rogerr Simsox, le célèbre restaurateur des plus impor-
tants traités des anciens géomètres. Ces personnages émi-
nents croyaient d'abord n'avoir arraché aux tracasseries des
corporations, qu'un ouvrier adroit, zélé, de mœurs douces;
mais ils ne tardèrent pas à reconnaitre l’homme d'élite, et
lui vouerent la plus vive amitié. Les élèves de l'université te-
naient aussi à honneur d’être admis dans l'intimité de Watt.
Enfin, sa boutique ; oui, Messieurs, une boutique! devint
une sorte d'académie où toutes les illustrations de Glasgow
allaient discuter les questions les plus délicates d'art, de
science, de littérature. Je n’oserais pas, en vérité, vous dire
quel était, au milieu de ces réunions savantes, le rôle du jeune
ouvrier de vingt-un ans, si je ne pouvais m'appuyer sur une
pièce inédite du plus illustre des rédacteurs de l'Encyclopédie
britannique.

« Quoique élève encore, j'avais, dit Robison, la vanité de
« me croire assez avancé dans mes études favorites de méca-

DE WATT. LXX]

« nique et de physique, lorsqu'on me présenta à Watt ; aussi,
« je l'avoue, je ne fus pas médiocrement mortifié en voyant
« à quel point le jeune ouvrier m'était supérieur... ... Dès
« que, dans l’université , une difficulté nous arrêtait, et cela
« quelle qu’en fût la nature, nous courions chez notre ar-
« tiste. Une fois provoqué, chaque sujet devenait pour lui
« un texte d’études sérieuses et de découvertes. Jamais il ne
« lâchait prise qu'après avoir entièrement éclairei la ques-
« tion proposée, soit qu’il la réduisit à rien, soit qu'il en tirat
« quelque résultat net et substantiel... ... Un jour, la solu-
« tion désirée sembla nécessiter la lecture de l'ouvrage de
« Leupold sur les machines : Watt apprit aussitôt l'allemand.
« Dans une autre circonstance et pour .un motif semblable,
« il se rendit maître de la langue italienne...... La simpli-
« cité naïve du jeune ingénieur lui conciliait, sur-le-champ,
« la bienveillance de tous ceux qui laccostaient. Quoique
« j'aie assez vécu dans le monde, je suis obligé de déclarer
«qu'il me serait impossible de citer un second exemple d’un
« attachement aussi sincère et aussi général, accordé à quel-
« que personne d’une supériorité incontestée. Il est vrai que

ñ

cette supériorité était voilée par la plus aimable candeur,
«et qu'elle s’alliait à la ferme volonté de reconnaitre libéra-
lement le mérite de chacun. Watt se complaisait même à

A

À

« doter l'esprit inventif de ses amis, de choses qui n'étaient
« souvent que ses propres idées présentées sous une autre
« forme. J'ai d'autant plus le droit, ajoute Robison, d'insis-
« ter sur cette rare disposition d'esprit, que j'en ai person-
« nellement éprouvé les effets. »

Vous aurez à décider, Messieurs, s’il n’était pas aussi honora-
ble de prononcer ces dernières paroles, que delesavoirinspirées.

LXXI] ÉLOGE HISTORIQUE

Les études si sérieuses, si variées dans lesquelles les cir-
constances de sa singulière position jetaient sans cesse le jeune
artiste de Glasgow, ne nuisirent jamais aux travaux de l'a-
telier. Ceux-ci , il les exécutait de jour; la nuitétait consacrée
aux recherches théoriques. Confiant dans les ressources de
son imagination, Watt paraissait se complaire dans les en-
treprises les plus difficiles, et auxquelles on devait le supposer
le moins propre. Croira-t-on qu'il se chargea d'exécuter un
orgue , lui totalement insensible au charme de la musique;
lui qui, même, n'était jamais parvenu à distinguer une note
d'une autre: par exemple, l'ut du fa? Cependant, ce travail fut
mené à bon port. Il va sans dire que le nouvel instrument
présentait des améliorations capitales dans sa partie mé-
canique, dans les régulateurs, dans la manière d'apprécier
la force du vent; mais on s'étonnera d'apprendre que ses quali-
tés harmoniques n'étaient pas moins remarquables et qu'elles
charmèrent des musiciens de profession. Watt résolut une
partie importante du problème ; il arriva au tempérament as-
signé par un homme de l’art, à l’aide du phénomène des batte-
ments, alors assez mal apprécié, et dont il n'avait pu prendre
connaissance que dans l'ouvrage profond, mais très-obseur,
du docteur Robert Smith, de Cambridge.

Histoire de la machine à vapeur.

Me voici arrivé à la période la plus brillante de la vie de
Watt, et aussi, je le crains, à la partie la plus difficile de ma
tâche. L'immense importance des inventions dont j'ai à vous
entretenir, ne saurait être l’objet d’un doute; mais je ne par-

DE WATT. LXXII]

viendrai peut-être pas à les faire convenablement apprécier,
sans me jeter dans de minutieuses comparaisons numériques.
Afin que ces comparaisons, si elles deviennent indispensables,
soient faciles à saisir, je vais présenter, le plus brièvement
possible, les notions délicates de physique sur lesquelles nous
aurons à les appuyer.

Par l'effet de simples changements de température, l’eau
peut exister dans trois états parfaitement distincts : à l'état
solide, à l'état liquide, à l’état aérien ou gazeux. Au-dessous
de zéro de l'échelle du thermomètre centigrade, l’eau devient
dela glace; à 100° elle se transforme rapidement en gaz; dans
tous les degrés intermédiaires elle est liquide.

L'observation scrupuleuse des points de passage d’un de
ces états à l’autre, conduit à des découvertes du premier ordre,
qui sont la clef des appréciations économiques des machines
à vapeur.

L'eau n’est pas nécessairement plus chaude que toute espèce
de glace; l’eau peut se maintenir à zéro de température sans
se geler; la glace peut rester à zéro sans se fondre; mais
cette eau et cette glace, toutes les deux au même degré de
température, toutes les deux à zéro, il semble bien difficile
de croire qu'elles ne diffèrent que par leurs propriétés phy-
siques ; qu'aucun élément, étranger à l’eau Pope dite,
ne distingue l’eau solide de l’eau liquide. Une RACE
fort simple va éclairer ce mystère.

__ Mélez un kilogramme d’eau à zéro, avec un kilogramme
d'eau à 55° centigrades ; les deux kilogrammes du mélange
seront à 37° =, c'est-à-dire à la température moyenne des
deux liquides composants. L'eau chaude se trouve ainsi avoir
conservé 37°: de son ancienne température ; elle a cédé les
PENIL 775: 1838: J

e \

LXXIV ÉLOGE HISTORIQUE

2

37° + autres degrés à l'eau froide ; tout cela était naturel ;
tout cela pouvait être prévu.

Répétons maintenant l'expérience avec une seule modifi-
cation : au lieu du kilogramme d'eau à zéro, prenons un
kilogramme de glace à la mème température de zéro. Du
mélange de ce kilogramme de glace avec le kilogramme
d'eau à 75°, résulteront deux kilogrammes d’eau liquide,
puisque la glace, baignée dans l’eau chaude, ne pourra man-
quer de se fondre et qu'elle, conservera son ancien poids;
mais ne vous hâtez pas d'attribuer au mélange, comme tout
à l'heure, une température de 37° =, car vous vous trom-
periez; cette température sera seulement de zéro; il ne res-
tera aucune trace des 75° de chaleur que le kilogramme d’eau
possédait; ces 75° auront désagrégé les molécules de glace,
ils se seront combinés avec elles, mais sans les échauffer en
aucune manière.

Je n'hésite pas à présenter cette expérience de Black,
comme une des plus remarquables de la physique moderne.
Voyez, en effet, ses conséquences :

L'eau à zéro et la glace à zéro diffèrent dans leur com-
position intime. Le liquide renferme, de plus que le solide,
72° d'un corps impondéré qu’on appelle /a chaleur. Ces 75°
sont si bien cachés dans le composé, j'allais presque dire dans
l'alliage aqueux , que le thermomètre le plus sensible n’en dé-
voile pas l'existence. De la chaleur, non sensible à nos sens,
non sensible aux instruments les plus délicats ; de /a chaleur
LATENTE , Enfin , car c’est le nom qu'on lui a donné, est donc
un des principes constituants des corps.

La comparaison de l’eau bouillante, de l'eau à 100”, avec
la vapeur qui s'en dégage et dont la température est aussi de

DE WATT. LXXV

100°, conduit, mais sur une bien plus grande échelle, à des ré-
sultats analogues. Au moment de se constituer à l’état de va-
peur à 100", l’eau à la même température de 100°, s'imprègne
sous forme latente, sous forme non sensible au thermomètre,
d’une quantité énorme de chaleur. Quand la vapeur reprend
l'état liquide, cette chaleur de composition se dégage, et elle
va échauffer tout ce qui sur son chemin est susceptible de
® l'absorber. Si on fait traverser, par exemple, 5,35 kilo-
grammes d’eau à zéro, par un seul kilogramme de vapeur à
100°, cette vapeur se liquéfie entièrement. Les 6,35 kilogram-
mes résultant du mélange, sont à 100° de température. Dans
la composition intime d’un kilogramme de vapeur, il entre
donc une quantité de chaleur latente qui pourrait porter
un kilogramme d'eau, dont on empècherait l'évaporation,
de o à 535 degrés centigrades. Ce résultat paraîtra sans doute
énorme, ais il est certain ; la vapeur d'eau n'existe qu'à
cette condition; partout où un kilogramme d’eau à zéro se
vaporise naturellement ou artificiellement, il doit se saisir,
pour éprouver la transformation, et il se saisit, en effet, sur
les corps environnants, de 535° de chaleur. Ces degrés, on
ne saurait assez le répéter, la vapeur les restitue intégralement
aux surfaces de toute nature sur lesquelles sa liquéfaction
ultérieure s'opère. Voilà, pour le dire en passant, tout l'ar-
tifice du chauffage à la vapeur. On comprend bien mal cet
ingénieux procédé, lorsqu'on s’imagine que le gaz aqueux ne
va porter au loin, dans les tuyaux où il circule, que la cha-
leur sensible ou thermométrique : les principaux effets sont
dus à la chaleur de composition, à la chaleur cachée, à la
chaleur latente qui se dégage au moment où le contact de sur-
faces froides ramène la vapeur de l'état gazeux à l’état liquide.

J 2

LXXV] ÉLOGE HISTORIQUE

Désormais, nous devrons donc ranger la chaleur parmi les
principes constituants de la vapeur d’eau. Ja chaleur, on
ue l'obtient qu'en brülant du bois ou du charbon; la vapeur
a done une valeur commerciale supérieure à celle du liquide,
de tout le prix du combustible employé dans l'acte de la vapo-
risation. Si la différence de ces deux valeurs est fort grande,
attribuez-le surtout à la chaleur latente : la chaleur thermo-
métrique, la chaleur sensible n’y entre que pour une faible
part.

J'aurai peut-être besoin de n'étayer, plus tard, de quelques
autres propriétés dela vapeur d’eau. Si je n’en fais point men-
tion dès ce moment, ce n’est pas que j'attribue à cette assem-
blée la disposition d'esprit de certains écoliers qui disaient
un jour à leur professeur de géométrie : « Pourquoi prenez-
« vous la peine de démontrer ces théorèmes? Nous avons en
«vous la plus entière confiance; donnez -nous votre parole
« d'honneur qu'ils sont vrais et tout sera dit!» Mais j'ai du
songer à ne pas abuser de votre patience; j'ai dû me rappeler
aussi qu'en recourant à des traités spéciaux, vous comblerez
aisément les lacunes que je n'aurai pas su éviter.

Sssayons, maintenant, de faire la part des nations et des
personnes qui semblent devoir être.citées dans l'histoire de
la machine à vapeur. Tracons la série chronologique d'a-
méliorations que cette machine a reçues, depuis ses premiers
germes, déjà fort anciens, jusqu'aux découvertes de Watt.
J'aborde ce sujet avec la ferme volonté d'être impartial; avec
le vif désir de rendre à chaque inventeur la justice qui jui
est due ; avec la certitude de rester étranger à toute considé-
ration, indigne de la mission que vous m'avez donnée, in-

DE WATT. LXXVI]

digne de la majesté de la science, qui prendrait sa source
dans des préjugés nationaux. J'avoue, d’un autre côté, que
je ferai peu de compte des nombreux arrêts déjà rendus sous
la dictée de pareils préjugés ; que je me préoccuperai encore
moins, s'il est possible, des critiques acerbes qui m'attendent
sans doute, car le passé est le miroir de l'avenir.

Question bien posée est à moitié résolue. Si l'on s'était rap-
pelé ce dicton plein de sens, les débats relatifs à l'invention
dela machine à vapeur, n’auraient certainement pas présenté
le caractère d’acrimonie, de violence, dont ils ont été em-
preints jusqu'ici. Mais on s'était étourdiment jeté dans un
défilé sans issue, en voulant trouver un inventeur unique,
là où il y avait nécessité d’en distinguer plusieurs. L’horloger
le plus instruit de lhistoire de son art, resterait muet devant
celui qui demanderait, en termes généraux, quel est l’in-
venteur des montres. La question, au contraire, l’'embar-
rasseraif peu, si elle portait, séparément, sur le moteur, sur
les diverses formes d'échappement, sur le balancier. Ainsi
en est-il de la machine à vapeur : elle présente aujourd'hui
la réalisation de plusieurs idées capitales, mais entièrement
distinctes, qui peuvent ne pas être sorties d’une même source
et dont notre devoir est de chercher soigneusement l’origine
et la date. g

Si avoir fait un usage quelconque de la vapeur d’eau, don-
nait, comme on l’a prétendu , des droits à figurer dans cette
histoire, il faudrait citer les Arabes en première ligne,
puisque, de temps immémorial, leur principal aliment, la
semoule, qu'ils nomment couscoussou, se cuit, par l’action
de la vapeur, dans des passoires placées au-dessus de
marmites rustiques. Une semblable conséquence suffit pour

LXXVII] ÉLOGE HISTORIQUE

faire ressortir tout le ridicule du principe dont elle découle.

Gerbert, notre compatriote, celui-là même qui porta la
tiare sous le nom de Sylvestre IT, acquiert-il des titres plus
réels lorsque, vers le milieu du IX° siècle, il fait résonner les
tuyaux de l’orgue de la cathédrale de Reims, à l'aide de la
vapeur d'eau? Je ne le pense pas : dans l'instrument du futur
pape, j'aperçois un courant de vapeur substitué au courant
d'air ordinaire, la production du phénomène musical des
tuyaux d'orgue, mais nullement un effet mécanique pro-
prement dit.

Le premier exemple de mouvement engendré par la vapeur,
je le trouve dans un joujou, encore plus ancien que l'orgue
de Gerbert; dans un éolipyle d'Héron d'Alexandrie, dont la
date remonte à cent vingt ans avant notre ère. Peut-être
sera-t-il difficile sans le secours d'aucune figure , de donner
une idée claire du mode d'action de ce petit appareil ; je vais
toutefois le tenter.

Quand un gaz s'échappe, dans un certain sens, du vase
qui le renferme, ce vase, par voie de réaction, tend à
se mouvoir dans le sens diamétralement contraire. Le recul
d'un fusil chargé à poudre n’est pas autre chose : les gaz
qu'engendre l’inflammation du salpètre, du charbon et du
soufre,, s'élancent dans l'air suivant la direction du canon ;
la direction du canon, prolongée en arrière, aboutit à l'é-
paule de la personne qui a tiré ; c’est donc sur l'épaule que
la crosse doit réagir avec force. Pour changer le sens du
recul, il suffirait de faire sortir le jet de gaz dans une autre
direction. Si le canon, bouché à son extrémité, était percé
seulement d'une ouverture latérale perpendiculaire à sa
direction et horizontale, c’est latéralement et horizontalement

DE WATT. LXXIX
que le gaz de la poudre s’échapperait; c'est perpendiculaire-
ment au canon que s'opérerait le recul; c'est sur les bras
et non sur l'épaule qu'il s’exercerait. Dans le premier cas,
le recul poussait le tireur de l’avant à l'arrière, comme pour
le renverser ; dans le second, il tendrait à le faire pirouetter
sur lui-même. Qu'on attache donc le canon, invariablement
et dans le sens horizontal, à un axe vertical mobile, et au
moment du tir il changera plus ou moins de direction, etil
fera tourner cet axe. ï

En conservant la même disposition, supposons que l'axe
vertical rotatif soit creux, mais fermé à la partie supérieure ;
qu'il aboutisse, par le bas, comme une sorte de cheminée, à
une chaudière où s’engendre de la vapeur; qu'il existe, de
plus, une libre communication latérale entre l'intérieur de
cet axe et l’intérieur du canon de fusil, de manière qu'après
avoir rempli l'axe la vapeur pénètre dans le canon et en
sorte de côté par son ouverture horizontale. Sauf l'intensité,
cette vapeur, en s'échappant, agira à la manière des gaz
dégagés de la poudre dans le canon de fusil bouché à son
extrémité et percé latéralement; seulement, on n’aura pas ici
une simple secousse, ainsi que cela arrivait dans le cas de
l'explosion brusque et instantanée du fusil ; au contraire, le
mouvement de rotation sera uniforme et continu, comme la
cause qui l’engendre.

Au lieu d’un seul fusil ou, plutôt au lieu d’un seul tuyau
horizontal, qu’on en adapte plusieurs au tube vertical rotatif,
et nous aurons, à cela près de quelques différences peu es-
sentielles , l'ingénieux appareil d’Héron d'Alexandrie.

Voilà, sans contredit, une machine dans laquelle la vapeur
d’eau engendre du mouvement et peut produire des effets

LXXX ÉLOGE HISTORIQUE

mécaniques de quelque importance, voilà une véritable ma-
chine à vapeur. Hâtons-nous d'ajouter qu'elle n'a aucun point
de contact réel, ni par sa forme, ni par ie mode d'action de la
force motrice, avec les machines de cette espèce actuellement
en usage. Si jamais la réaction d’un courant de vapeur devient
utile dans la pratique, il faudra, incontestablement, en faire
remonter l'idée jusqu'à Héron; aujourd'hui l’éolipyle rotatif
pourrait seulement être cité ici, comme la gravure en bois
dans l’histoire de l'imprimerie (1).

Dans les machines de nos usines , de nos paquebots, de nos
chemins en fer, le mouvement est le résultat immédiat de l'é-
lasticité de la vapeur. Il importe donc de chercher où et
comment l’idée de cette force a pris naissance.

Les Grecs et les Romains n'ignoraient pas que la vapeur
d'eau peut acquérir une puissance mécanique prodigieuse.
Hs expliquaient déjà, à l’aide de la vaporisation subite d'une
certaine masse de ce liquide, les effroyables tremblements de
terre qui, en quelques secondes, lancent l'Océan hors de ses
limites naturelles; qui renversent jusque dans leurs fonde-

(x) Ces réflexions s'appliquent aussi au projet que Branca, architecte
italien, publia à Rome, en 1629, dans un ouvrage intitulé : Le Machine ,
et qui consistait à engendrer un mouvement de rotation en dirigeant la
vapeur sortant d'un éolipyle, sous forme de souffle, sous forme de vent,
sur les ailettes d’une roue. Si, contre toute probabilité, la vapeur est un
jour employée utilement à l'état de souffle direct, Branca , ou l'auteur
actuellement inconnu à qui il a pu emprunter cette idée, prendra le pre-
mier rang dans l'histoire de ce nouveau genre de machines. A l'égard des

machines actuelles, les titres de Branca sont complétement nuls.

DE WA!IT. LXXX]

ments les monuments les plus solides de l'industrie humaine;
qui créent subitement, au milieu des mers profondes, des
écueils redoutables ; qui font surgir aussi de hautes montagnes
au centre même des continents. F

* Quoi qu'on en ait dit, cette théorie des tremblements de
terre ne suppose pas que leurs auteurs s'étaient livrés à des
appréciations, à des expériences, à des mesures exactes.
Personne n’ignore aujourd'hui qu'au moment où le métal
incandescent pénètre dans les moules en terre ou en plâtre
des fondeurs, ii suffit que ces moules renferment quelques
gouttes de liquide, pour qu'il en résulte de dangereuses ex-
plosions. Malgré les progrès des sciences, les fondeurs mo-
dernes n'évitent pas toujours ces accidents; comment donc
les anciens s’en seraient-ils entièrement garantis ? Pendant
qu'ils coulaient les milliers de statues, splendides ornements
des temples, des places publiques, des jardins, des habita-
tions particulières d'Athènes et de Rome, il dut arriver des
malheurs; les hommes de l’art en trouvèrent la cause immé-
diate; les philosophes, d'autre part, obéissant à l'esprit de
généralisation qui était le trait caractéristique de leurs
écoles, y virent des miniatures, de véritables images des
éruptions de l'Etna.

Tout cela peut être vrai, sans avoir la moindre importance
dans l'histoire qui nous occupe. Je n'ai même tant insisté, Je
l'avoue, sur ces légers linéaments de la science antique au
sujet de la force de la vapeur d’eau, qu'afin de vivre en paix;
s’il est possible, avec les Dacier des deux sexes, avec les Du-
tens de notre époque (1).

(1) Par le même motif, je ne puis guère me dispenser de rapporter ici

T. XVII. Fist. 1838. At à

LXXXI] ÉLOGE HISTORIQUE

Les forces naturelles ou artificielles , avant de devenir vrai-
ment utiles aux hommes, ont presque toujours été exploitées
au profit de la superstition. La vapeur d’eau ne sera pas une
exception à la règle générale.

Les chroniques nous avaient appris que sur les bords du
Weser, le dieu des anciens Teutons leur marquait quelque-
fois son mécontentement, par une sorte de coup de tonnerre
auquel succédait, Immédiatement après, un nuage qui rem-
plissait l'enceinte sacrée. L'image du dieu Bustérich, trou-
vée, dit-on, dans des fouilles, montre clairement la manière
dont s’opérait le prétendu prodige.

Le dieu était en métal. La tête creuse renfermait une
amphore d’eau. Des tampons de bois fermaient la: bouche
et un autre trou situé au-dessus du front. Des charbons,
adroitement placés dans une cavité du crâne, échauf-
faient graduellement le liquide. Bientôt la vapeur engendrée
faisait sauter les tampons avec fracas: alors, elle s'échappait
violemment en deux jets et formait un épais nuage entre le

une anecdote qui, à travers ce qu'elle offre de romanesque et de contraire
à ce que nous savons aujourd'hui sur le mode d'action de la vapeur d'eau,
laisse voir la haute idée que les anciens se formaient de Ja puissance de cet
agent mécanique. On raconte qu'Anthémius, l'architecte de Justinien,
avait une habitation contigué à celle de Zénon, et que pour faire pièce à
cet orateur, son ennemi déclaré, il placa dans le rez-de-chaussée de sa
propre maison plusieurs chaudrons remplis d'eau; que de l'ouverture
pratiquée sur le couvercle de chacun de ces chaudrons, partait un tube
flexible qui allait s'appliquer dans le mur mitoyen, sous les poutres qui
soutenaient les plafonds de la maison de Zénon; enfin, que ces plafonds

dansaient comme s'il y avait eu de violents tremblements de terre, dès
que le feu était allumé sous les chaudrons.

x

DE WATT. LXXXII]

dieu et ses adorateurs stupéfaits. [l paraîtrait que dans le
moyen àâge des moines trouvèrent l'invention de bonne prise,
et que la tête de Bustérich n’a pas seuiement fonctionné de-
vant des assemblées teutonnes (1).

Pour rencontrer, après les premiers aperçus des philoso-
phes grecs, quelques notions utiles sur les propriétés de la va-
peur d’eau, on se voit obligé de franchir un intervalle de près
de vingt siècles. Il est vrai qu'alors des expériences précises,
concluantes, irrésistibles, succèdent à des conjectures dé-
nuées de preuves.

En 1605, Flurence Rivault, gentilhomme de la chambre
d'Henri IV et précepteur de Louis XIII, découvre, par
exemple, qu'une bombe à parois épaisses et contenant de
l'eau, fait tôt ou tard explosion quand on la place sur le feu
après l'avoir bouchée, c'est-à-dire, lorsqu'on empêche la va-
peur d’eau de se répandre librement dans l'air à mesure
qu'elle s'engendre. La puissance de la vapeur d’eau se trouve
ici caractérisée par une épreuve nette et susceptible, jusqu'à
un certain point, d'appréciations numériques (2); mais elle
A PR ARRET UN AN 1 UN Ne pt

(1) Héron d'Alexandrie attribuait les sons, objets de tant de contro-
verses, que la statue de Memnon faisait entendre quand les rayons du
soleil levant l'avaient frappée, au passage, par certaines ouvertures, d'un
courant de vapeur que la chaleur solaire était censé avoir produit aux
dépens du liquide dont les prêtres égyptiens garnissaient, dit-on, l'intérieur
du piédestal du colosse. Salomon de Caus, Kircher, etc., ont été jusqu'à
vouloir découvrir les dispositions particulières à l'aide drdanhéd la fraude

théocratique Ss ’emparait ainsi des imaginations crédules ; mais tout porte

à croire qu'ils n'ont pas deviné juste, si même, en ce genre, quelque
chose était à deviner.

(2) Si quelque érudit trouvait que je n'ai pas remonté assez haut en

K 2

LXXXIV ÉLOGE HISTORIQUE
se présente encore à nous comme un terrible moyen de des-
truction. |

Des esprits éminents ne s’arrétèrent pas à cette réflexion
chagrine. Ils concurent que les forces mécaniques doivent
devenir, ainsi que les passions humaines, utiles ou nuisibles,
suivant qu'elles sont bien ou mal dirigées. Dans le cas par-
ticulier de la vapeur, il suffit, en effet, de l'artifice le plus
simple, pour appliquer à un travail productif la force élas-
tique redoutable qui, suivant toute apparence, ébranle la
terre jusque dans ses fondements, qui entoure l’art du sta-
tuaire de dangers réels, qui brise en cent éclats les parois
épaisses d’une bombe!

Dans quel état se trouve ce projectile avant son explosion ?
Le bas renferme de l’eau très-chaude, mais encore liquide ;
le reste de la capacité est rempli de vapeur ; celle-ci, car c’est
le trait caractéristique des substances gazeuses, exerce éga-
lement son action dans tous les sens : elle presse avec la même
intensité, l’eau et les parois métalliques qui la contiennent.
Placons un robinet à la partie inférieure de ces parois. Lors-

nr'arrêtant à Flurence Rivault; s’il empruntait une citation à Alberti, qui
écrivait en 1411; si d'après cet auteur il nous disait que dès le commen-
cement du XV° siècle, les chaufourniers craignaient extrêmement, pour
eux et pour leurs fours, les explosions des pierres à chaux dans l'intérieur
desquelles il y a fortuitement quelque cavité, je répondrais qu'Alberti
ignorait lui-même la cause réelle de ces terribles explosions; qu'il les
attribuait à la transformation ex vapeur de l'air renfermé dans la cavité,
opérée par l'action de la flamme; je remarquerais, enfin, qu'une pierre à
chaux, accidentellement creuse, n'aurait donné aucun des moyens d'ap-
préciations numériques dont l'expérience de Rivault paraît susceptible.

DE WATT. LXXXV

qu'il sera ouvert, l'eau poussée par la vapeur en jaillira avec
une vitesse extrême. Si le robinet aboutit à un tuyau qui,
après s'être recourbé en dehors autour de la bombe se dirige
verticalement de bas en haut, l’eau refoulée y montera d’au-
tant plus que la vapeur aura plus d'élasticité; ou bien, car
c'est la même chose en d’autres termes, l’eau s'élèvera d’au-
tant plus que sa température sera plus forte. Ce mouvement
ascensionnel ne trouvera de limites que dans la résistance
des parois de l'appareil.

A notre bombe substituons une chaudière métallique
épaisse d’une vaste capacité, et rien ne nous empêchera de
porter de grandes masses de liquide à des hauteurs indéfi-
nies par la seule action de la vapeur d'eau; et nous aurons
créé, dans toute l’acception de ce mot, une machine à vapeur
pouvant servir aux épuisements.

Vous connaissez maintenant l'invention que la France et
l'Angleterre se sont disputée, comme jadis sept villes de la
Grèce s’attribuèrent, tour à tour , l'honneur d’avoir été le
berceau d'Homère. Sur l’autre rive de la Manche on en gra-
tifie unanimement le marquis de Worcester, de l'illustre mai-
son de Somerset. De ce côté-ci du détroit nous soutenons
qu’elle appartient à un humble ingénieur presque totale-
ment oublié des biographes : à Salomon de Caus, qui
naquit à Dieppe ou dans ses environs. Jetons un coup
d'œil impartial sur les titres des deux compétiteurs.

Worcester, gravement impliqué dans les intrigues des der-
nières années du règne des Stuarts, fut enfermé dans la Tour
de Londres. Un jour, suivant la tradition, le couvercle de
la marmite où cuisait son dîner se souleva subitement.

LXXXV) ÉLOGE HISTORIQUE.

Que faire en paral gite, à moins que l'on n'y songe?
Worcester songea donc à ce que présentait d’étrange le phé-
nomène dont il venait d’être témoin. Alors s’offrit à lui la
pensée que la même force qui avait soulevé le couvercle,
pourrait devenir, en certaines circonstances, un moteur
utile et commode. Après avoir recouvré la liberté, il exposa,
en 1663, dans un livre intitulé Century of inventions, les
moyens par lesquels il entendait réaliser son idée. Ces moyens,
dans ce qu'ils renferment d’essentiel, sont , autant du moins
qu'on peut les comprendre, la bombe à demi-remplie de
liquide, et le tuyau ascensionnel vertical que nous déeri-
vions tout à l'heure.

Cette bombe, ce même tuyau sont dessinés dans
La raison des forces mouvantes, ouvrage de Salomon de
Caus. Là, l'idée est présentée nettement, simplement, sans
aucune prétention. Son origine n’a rien de romanesque ; elle
ne se rattache ni à des événements de guerre civile, ni à une
prison d'État célèbre, ni même au soulèvement du couver:
cle de la marmite d'un détenu; mais, ce qui vaut infiniment
mieux dans une question de priorité, elle est, par sa publi-
cation , de quarante-huit ans plus ancienne que la Century
of inventions, et de quarante-un ans: antérieure à l’empri-
sonnement de Worcester.

Ainsi ramené à une comparaison de dates, le débat sem-
blait devoir être à son terme. Comment soutenir, en effet, que
1615 n'avait pas précédé 1663? Mais ceux dont la principale
pensée paraît avoir été d’écarter tout nom français de cet
important chapitre de l’histoire des sciences, changèrent
subitement de terrain, dès qu’on eut fait sortir La raison des

DE WATT. LXXX VI]

forces mouvantes des bibliothèques poudreuses où elle restait
ensevelie. Ils brisèrent, sans hésiter, leur ancienne idole; le
marquis de Worcester fut sacrifié au désir d'annuler
les titres de Salomon de Caus; la bombe placée sur un
brasier ardent et son tuyau ascensionnel cessèrent enfin
d’être les véritables germes des machines à vapeur actuelles !

Quant à moi je ne saurais accorder que celui-là n’ait rien
fait d’utile, qui , réfléchissant sur l'énorme ressort de la va-
peur d’eau fortement échauffée, vit le premier qu’elle pour-
rait servir à élever de grandes masses de ce liquide à toutes
les hauteurs imaginables. Je ne puis admettre qu'il ne soit dû
aucun souvenir à l'ingénieur qui, le premier aussi, décrivitune
machine propre à réaliser de pareils effets. N'oublions pas
qu'on ne peut juger sainement du mérite d'une invention,
qu'en se transportant, par la pensée , au temps où elle naquit;
qu'en écartant momentanément de son esprit, toutes les con-
naissances que les siècles postérieurs à la date de cetteinvention
y ont versées. Imaginons un ancien mécanicien : Archimède, par
exemple, consulté sur les moyens d'élever à une grande hauteur
l'eau contenue dans un vaste récipient métallique fermé. Il par-
lerait certainement de grands leviers, de poulies simples ou
moufflées, de treuils, peut-être de son ingénieuse vis; mais
quelle ne serait pas sa surprise, si, pour résoudre le problème,
quelqu'un se contentait d’un fagot et d’une allumette! eh
bien! je le demande, oserait-on refuser le titre d'invention,
à un procédé dont l’immortel auteur des premiers et vrais
principes de la statique et de l’hydrostatique, aurait été éton-
né? E’appareil de Salomon de Caus, cette enveloppe métal-
lique où l'on crée une force motrice presque indéfinie à

LXXXVII] ÉLOGE HISTORIQUE

l'aide d’un fagot et d’une allumette, figurera toujours noble-
ment dans l'histoire de la machine à vapeur (1).

Il est fort douteux que Salomon de Caus et Worcester
aient jamais fait exécuter leur appareil. Cet honneur appar-
tient à un Anglais, au capitaine Savery. J'assimile la machine
que cet ingénieur construisit en 1698, à celle de ses deux
devanciers, quoiqu'il y ait introduit quelques modifications
essentielles : celle, entre autres, de créer la vapeur dans un
vase particulier. S'il importe peu, quant au principe, que
la vapeur motrice soit engendrée aux dépens de l’eau à élever
et au sein même de la chaudière où elle doit agir, ou qu'elle
naisse dans un vase séparé pour se rendre à volonté, à l’aide

(1) On a imprimé que J.-B. Porta avait donné, en 1606, dans ses
Spiritali, neuf ou dix ans avant la publication de l'ouvrage de Salomon de
Caus, la description d’une machine destinée à élever de l'eau au moyen de
la force élastique de la vapeur. J'ai montré ailleurs que le savant napo-
litain re parlait, ni directement ni indirectement de machine, dans le
passage auquel l'on a fait allusion ; que son but, son but unique était de
déterminer expérimentalement les volumes relaufs de l’eau et de la vapeur;
que dans Île petit appareil de physique employé à cet effet, la vapeur
d’eau ne pouvait élever le liquide, d’après les propres paroles de l'auteur,
que d'un petit nombre de centimètres (quelques pouces); que dans toute
la description de l'expérience , il n’y a pas un seul mot impliquant l'idée
que Porta connût la puisssance de cet agent et la possibilité de l'appliquer
à la production d’une machine efficace.

Pense-t-on que j'aurais dû citer Porta, ne füt-ce qu'à raison de ses
recherches sur la transformation de l'eau en vapeur? Mais je dirai alors
que le phénomène avait été déjà étudié avec attention par le professeur
Besson , d'Orléans, vers le milieu du XVI siècle, et qu'un des Traités de
ce mécanicien, en 1569, renferme notamment un essai de détermination
des volumes relatifs de l'eau et de la vapeur,

DE WATT. LXXXIX

d’un tuyau de communication portant un robinet, au-dessus
du liquide qu’il faut refouler, il n’en est certainement pas de
même sous le point de vue de la pratique. Un autre change-
ment encore plus capital, bien digne d’une mention spéciale
et dù également à Savery, trouvera mieux sa place dans
l’article que nous consacrerons tout à l'heure aux travaux de
Papin et de Newcomen.

Savery avait intitulé son ouvrage l’Æmi des mineurs
(Miner’s friend). Les mineurs se montrèrent peu sensibles à la
politesse, Avec une seule exception, aucun ne lui commanda
de machines. Elles n’ont été employées que pour distribuer
de l’eau dans les diverses parties des palais, des maisons de
plaisance , des pares et des jardins; on n’y à eu recours que
pour franchir des différences de niveau de 12 à 15 mètres. Il
faut reconnaître, au reste, queles dangers d’explosion auraient
été redoutables, si on avaït donné aux appareils l'immense
puissance à laquelle leur inventeur prétendait atteindre.

Malgré ce que le succès pratique de Savery présente d'in-
complet, le nom de cet ingénieur mérite d'occuper une place
très-distinguée dans l’histoire de la machine à vapeur. Les
personnes dont toute la vie a été consacrée à des travaux
spéculatifs, ignorent combien il y a loin du projet en appa-
rence le mieux étudié à sa réalisation. Ce n’est pas que je
prétende, avec un célèbre savant allemand, que {a nature
s’écrie toujours non! non! quand on veut soulever quel-
que coin du voile qui la recouvre; mais en suivant la même
métaphore, il est permis du moins d'affirmer que l'entreprise
devient d’autant plus difficile, d'autant plus délicate, d’un
succès d'autant plus douteux, qu’elle exige et le concours de
plus d'artistes et l'emploi d’un plus grand nombre d'élé-

EUAVIL 71036: L

xC ÉLOGE HISTORIQUE
ments matériels; sous ces divers rapports et en faisant la
part des époques, personne s'est-il trouvé dans des conditions

plus défavorables que Savery ?

J'ai parlé jusqu'ici de machines à vapeur, dont la ressem-
blance avec celles qui portent aujourd'hui ce nom pourrait
être plus ou moins contestée. Maintenant il sera question de
la machine à vapeur. moderne, de celle qui fonctionne dans
nos manufactures, sur nos bateaux, à l'entrée de presque
tous les puits de mines. Nous la verrons naître, grandir, se
développer, tantôt d’après les inspirations de quelques hommes
d'élite, tantôt sous l’aiguillon de la nécessité, car la nécessité
est mère du génie.

Le premier nom que nous rencontrerons dans cette nou-
velle période, est celui de Denis Papin. Cest à Papin que la
France devra le rang honorable qu’elle peut réclamer dans
l'histoire de la machine à vapeur. Toutefois , l’orgueil bien
légitime que ses succès nous inspireront, ne sera pas sans
mélange. Les titres de notre compatriote, nous ne les trou-
verons que dans des collections étrangères; ses principaux
ouvrages, il les publiera au delà du Rhin; sa liberté sera
menacée par la révocation de l’édit de Nantes; c'est dans un
douloureux exil qu'il jouira, momentanément, du bien dont
les hommes d'étude sont le plus jaloux : la tranquillité d’es-
prit! Hâtons-nous de jeter un voile sur ces déplorables ré-
sultats de nos discordes civiles ; oublions que le fanatisme
s’attaqua aux opinions religieuses du physicien de Blois et
rentrons dans la mécanique : à cet égard, du moins, l'ortho-
doxie de Papin n’a jamais été contestée.

Il y a dans toute machine deux choses à considérer : d’une

.

DE WATT. XC]
part, le moteur; de l’autre, le dispositif, plus ou moins
compliqué, de pièces fixes et mobiles à l’aide duquel ce mo-
teur transmet son action à la résistance. Au point où les
connaissances mécaniques sont aujourd’hui parvenues, le suc-
cès d’une machine destinée à produire de très-grands effets,
dépend principalement de la nature du moteur, de la manière
de l'appliquer, de ménager sa force. Aussi, est-ce à produire
un moteur économique, susceptible de faire osciller sans
cesse et avec une grande puissance le piston d’un large cy-
lindre, que Papin a consacré sa vie. Emprunter ensuite aux
oscillations du piston, la force nécessaire pour faire tourner
les meules d’un moulin à blé, les cylindres d’un laminoir , les
roues à palettes d’un bateau à vapeur, les bobines d’une
filature; pour soulever le lourd marteau qui frappe à coups
redoublés d'énormes loupes de fer incandescent, à leur sortie
du four à réverbère; pour trancher, avec les deux mächoires
de la cisaille, d’épaisses barres métalliques, comme on coupe
un ruban avec des ciseaux bien affilés; ce sont là, je le ré-
pète, autant de problèmes d’un ordre très-secondaire et qui
n'embarrasseraient pas le plus médiocre ingénieur. Nous
pourrons done nous occuper exclusivement, des moyens à
l'aide desquels Papin a proposé d’engendrer son mouvement
escillatoire.

Concevons un large cylindre vertical, ouvert dans le haut,
et reposant, par sa base, sur une table métallique percée d'un
trou qu'un robinet pourra boucher et laisser libre à volonté.

Introduisons dans ce cylindre un piston, c’est-à-dire, une
plaque circulaire pleine et mobile qui le ferme exactement.
L’atmosphère pèsera de tout son poids sur la face supérieure

de cette espèce de diaphragme ; elle le poussera de haut en bas.
L 2

XCI] ÉLOGE HISTORIQUE

La partie de l'atmosphère qui occupera le bas du cylindre,
tendra, par sa réaction, à produire le mouvement inverse.
Cette seconde force sera égale à la première si le robinet est
ouvert, puisqu'un gaz presse également dans tous les sens.
Le piston se trouvera ainsi sollicité par deux forces opposées
qui se feront équilibre. Il descendra, néanmoins, mais seu-
lement en vertu de sa propre gravité. Un contre-poids légère-
ment plus lourd que le piston, suffira pour le pousser, au
contraire, jusqu'au sommet du cylindre et pour l'y mainte-
nir. Supposons le piston arrivé à cette position extrême.
Cherchons des moyens de l’en faire descendre avec beaucoup
de force et de l'y ramener ensuite.

Concevons qu'après avoir fermé le robinet inférieur , on
parvienne à anéantir subitement tout l'air contenu dans le
cylindre; à y faire, en un mot, le vide. Le vide une fois opéré,
le piston ne recevant d'action que de l'atmosphère extérieure
qui le presse par dessus, descendra rapidement. Ce mouve-
ment achevé, on ouvrira le robinet. [air reviendra aussitôt,
par dessous, contre-balancer l'action de l'atmosphère supé-
rieure, Comme au début, le contre-poids remontera le piston
jusqu'au sommet du cylindre, et toutes les parties de l'appareil
se retrouveront dans leur état initial. Une seconde évacuation,
ou, si on l’aime mieux , un second anéantissement de l'air in-
térieur, fera de nouveau descendre le piston et ainsi de suite.

Le véritable moteur du système serait ici le poids de l’at-
mosphère. Hätons-nous de détromper ceux qui croiraient
trouver dans la facilité que nous avons de marcher et même
de courir à travers l'air, un indice de la faiblesse d'un pareil
moteur. Avec un cylindre de deux mètres de diamètre,
l'effort que ferait le piston de la pompe en descendant; le

DE WATT. XCII]

poids qu'il pourrait soulever de toute la hauteur du cylindre,
à chacune de ses oscillations , seraient de 51000 kilogrammes
ou de 600 quintaux, anciennes mesures. Cette énorme puis-
sance, fréquemment renouvelée, on l’obtiendra à l’aide d’un
appareil très-simple, si nous découvrons un moyen, prompt
et économique, d’engendrer et de détruire à volonté une
pression atmosphérique dans un cylindre de métal.

Ce problème, Papin l’a résolu. Sa belle, sa grande solution,
consiste dans la substitution d’une atmosphère de vapeur
d’eau à l'atmosphère ordinaire; dans le remplacement de
celle-ci par un gaz qui , à 100° centigrades, a précisément la
même force élastique, mais avec l'important avantage dont
l'atmosphère ordinaire ne jouit pas, que la force du gaz
aqueux ,s’affaiblit très-vite quand la température s’abaisse,
qu'elle finit même par disparaître presque entièrement si le
refroidissement est suffisant. Je caractériserais aussi bien et
en moins de mots la découverte de Papin, si je disais qu'il
a proposé de se servir de la vapeur d’eau pour faire le vide
dans de grands espaces; que ce moyen est, d’ailleurs, prompt
et économique (1).

La machine dans laquelle notre illustre compatriote com-

(1) Un ingénieur anglais, trompé sans doute par quelque traduction
infidèle, prétendit, naguère, que l'idée d'employer la vapeur d’eau dans
une même machine, comme force élastique et comme moyen rapide
d'engendrer le vide, appartenait à Héron. De mon côté j'ai prouvé, sans
réplique, que le mécanicien d'Alexandrie n’avait nullement songé à la
vapeur; que dans son appareil le mouvement alternatif devait unique-
ment résulter de la dilatation et de la condensation de l'air, provenant
de l’action intermittente des rayons solaires.

XCGIV ÉLOGE HISTORIQUE

bina ainsi le premier, la force élastique de la vapeur d’eau
avec la propriété dont cette vapeur jouit de s'anéantir par
voie de refroidissement, il ne l’exécuta jamais en grand. Ses
expériences furent toujours faites sur de simples modèles.
L'eau destinée à engendrer la vapeur n'occupait pas même
une chaudière séparée : renfermée dans le cylindre, elle repo-
sait sur la plaque métallique qui le bouchait par le bas. C'était
cette plaque que Papin échauffait directement pour transfor-
mer l’eau en vapeur; c'était de la même plaque qu’il éloignait |
le feu quand il voulait opérer la condensation. Un pareil
procédé, à peine tolérable dans une expérience destinée à
vérifier l'exactitude d'un principe, ne serait évidemment pas
admissible sil fallait faire marcher le piston avec quelque
vitesse. Papin, tout en disant qu'on peut arriver au but «par
« différentes constructions faciles à imaginer, » n'indique au-
cune de ces différentes constructions. Il laisse à ses successeurs,
et le mérite de l'application de son idée féconde, et celui des
inventions de détail qui, seules, peuvent assurer le succès
d’une machine.

Dans nos premières recherches touchant l'emploi de la
vapeur d'eau, nous avons eu à citer d'anciens philosophes
de la Grèce et de Rome; un des mécaniciens les plus célèbres
de l'Écèle d'Alexandrie ; un pape; un gentilhomme de la cour
d'Henri IV ; un hydraulicien né en Normandie, dans la pro-
vince féconde en grands hommes, qui-a doté la pleïade
nationale, de Malherbe, de Corneille, du Poussin, de Fon-
tenelle, de Laplace, de Fresnel; un membre de la Chambre
des lords; un ingénieur anglais; enfin, un médecin francais,
de la Société royale de Londres, car, il faut bien l'avouer,
Papin, presque toujours exilé, ne fut que correspondant de

DE WATT. XCY

otre Académie. Maintenant, de simples artisans, de simples
ouvriers vont entrer en lice. Toutes les classes de la société se
trouveront ainsi avoir concouru à la création d’une machine
dont le monde entier devait profiter.

En 1705, quinze années après la publication du premier
mémoire de Papin dans les actes de Leïpzic, Newcomen et
Cawley, l’un quincaillier, l’autre vitrier à Dartmouth, en De-
vonshire, construisirent (veuillez bien remarquer que je ne
dis pas projetèrent, car la différence est grande); construi-
sirent une machine destinée à opérer des épuisements et dans
laquelle il y avait une chaudière à part où naissait la vapeur:
Cette machine, ainsi que le petit modèle de Papin, offre un cy-
lindre métallique vertical, fermé par le bas, ouvert par le haut,
etun piston, bien ajusté, destiné à le parcourir sur toute sa lon-
gueur en montant et en descendant. Dans l’un comme dans
l'autre appareil, lorsque la vapeur d’eau peut arriver libre-
ment dans le bas du cylindre, le remplir et contre-balancer
ainsi la pression de l'atmosphère extérieure, le mouvement
ascensionnel du piston s'opère par l'effet d’un contre-poids.
Dans la machine anglaise, enfin, à limitation de celle de Pa-
pin, dès que Je piston est arrivé au terme de son excursion
ascendante, on refroidit la vapeur qui avait contribué à l'y
pousser; on fait ainsi le vide dans toute la capacité qu'il
vient de parcourir, et l'atmosphère extérieure le force aussitôt
à descendre.

Pour opérer le refroidissement convenable, Papin, on le
sait déjà, se contentait d'ôter le brasier qui échauffait la
base de son petit cylindre métallique. Newcomen et Cawley
employèrent un procédé beaucoup préférable sous tous les
rapports : ils firent couler une abondante quantité d’eau
froide, dans l'espace annulaire compris entre les parois exté-

XCY) ÉLOGE HISTORIQUE
rieures du cylindre de leur machine, et un second cylindre,
un peu plus grand, qui lui servait d'enveloppe. Le froid se
communiquait, peu à peu, à toute l'epaisseur du métal et at-
teignait enfin la vapeur d’eau elle-même (1). :
La machine de Papin, perfectionnée ainsi quant à la ma-
nière de refroidir la vapeur ou de la condenser, excita au
plus haut point l'attention des propriétaires des mines. Elle
se répandit rapidement dans certains comtés de l'Angleterre
et y rendit d'assez grands services. Le peu de rapidité de ses
mouvements, conséquence nécessaire de la lenteur avec la-
quelle la vapeur se refroidissait et perdait son élasticité, était
cependant un vif sujet de regrets. Le hasard indiqua, heu-
reusement, un moyen très-simple de parer à cet inconvénient.
Au commencement du XVIII siècle, l’art d’aléser de
grands cylindres métalliques et de les fermer hermétiquement
à l'aide de pistons mobiles, était encore dans son enfance.
Aussi, dans les premières machines de Newcomen, récou-
vrait-on le piston d’une couche d’eau destinée à remplir les
vides compris entre le contour cireulaire de cette pièce mo-
bile et la surface du cylindre. A la très-grande surprise des
constructeurs, une de leurs machines se mit un jour à osciller
beaucoup plus vite que de coutume. Après maintes vérifica-
tions, il demeura constant que, ce jour-là, le piston était
percé; que de l’eau froide tombait dans le cylindre par

(x) Savery avait déjà eu recours à un courant d'eau froide qu'il jetait
sur les parois extérieures d'un vase métallique, pour condenser la vapeur
que ce vase renfermait, Telle fut l’origine de son association avec New-
comen et Cawley; mais, .il ne faut pas l'oublier, la patente de Sa-
very, ses machines et l'ouvrage où il les décrit, sont postérieurs de
plusieurs années aux mémoires de Papin.

DE WATT. XCVI]

petites gouttelettes, et qu'en traversant la vapeur elles l'a-
néantissaient rapidement. De cette observation fortuite date
la suppression complète du refroidissement extérieur , et
l'adoption de la pomme d’arrosoir destinée à porter une
pluie d’eau froide dans toute la capacité du cylindre, au
moment marqué pour la descente du piston. Les va-et-vient
acquirent ainsi toute la vitesse désirable.

Voyons si le hasard n'a pas eu, de même, quelque part
à une autre amélioration également importante.

La première machine de Newcomen exigeait l'attention la
plus soutenue, de la part de la personne qui fermait ou
ouvrait sans cesse certains robmets, soit pour introduire la
vapeur aqueuse dans le cylindre, soit pour y jeter la pluie
froide destinée à la condenser. Il arrive, dans un certain mo-
ment, que cette personne est le jeune Henri Potter. Les ca-
marades de cet enfant, alors en récréation, font entendre des
cris de joie qui le mettent au supplice. Il brüle d'aller les
rejoindre, mais le travail qu’on lui a confié ne permettrait
même pas une demi-minute d'absence. Sa tête s'exalte; la
passion lui donne du génie; il découvre des relations dont
jusque-là il ne s'était pas douté. Des deux robinets, l'un
doit être ouvert au moment où le balancier que Newcomen
introduisit le premier et si utilement dans ses machines, à
terminé l’oscillation descendante, et il faut le fermer, tout
juste, à la fin de l’oscillation opposée. La manœuvre du second
est précisément le contraire. Les positions du balancier et
celles des robinets sont dans une dépendance nécessaire.
Potter s'empare de cette remarque; il reconnaît que le ba-
lancier peut servir à imprimer aux autres pièces, tous les
mouvements que le jeu de la machine exige, et réalise à

T. XVII. Hist. 1858. M

XCVII) ÉLOGE HISTORIQUE

l'instant sa conception. Les extrémités de plusieurs cordons
vont s'attacher aux manivelles des robinets ; les extrémités
opposées, Potter les lie à des points convenablement choisis
sur le balancier; les tractions que celui-ci engendre, sur
certains cordons, en montant; les tractions qu'il produit
sur les autres en descendant, remplacent les efforts de la
main ; pour la première fois la machine à vapeur marche
d'elle-même; pour la première fois on ne voit auprès d'elle
d’autre ouvrier que le chauffeur qui, de temps en temps, va
raviver et entretenir le feu sous la chaudière.

Aux ficelles du jeune Potter, les constructeurs substituèrent
bientôt des tringles rigides verticales, fixées au balancier et
armées de plusieurs chevilles qui allaient presser, de haut en
bas ou de bas en haut, les têtes des différents robinets ou
soupapes. Les tringles, elles-mêmes, ont été remplacées par
d’autres combinaisons; mais, quelque humiliant que soit un
pareil aveu, toutes ces inventions sont de simples modifica-
tions du mécanisme que suggéra à un enfant, le besoin
d'aller jouer avec ses petits camarades.

Il existe dans les cabinets de physique, un bon nombre de
machines sur lesquelles l’industrie avait fondé de grandes
espérances ; la cherté de leur manœuvre ou de leur entretien
les a réduites à de simples instruments de démonstration.
Tel eût été aussi le sort final de la machine de Newcomen,
du moins dans les localités peu riches en combustible, si les
travaux de Watt dont il me reste à vous présenter l'analyse,
n'étaient venus lui donner une perfection inespérée. Cette
perfection, il ne faudrait pas la considérer comme le résultat
de quelque observation fortuite, où d’une seule inspiration
ingénieuse : l'auteur y est arrivé par un travail assidu, par

DE WATT. XCIX

des expériences d’une finesse, d'une délicatesse extrêmes. On
dirait que Watt avait pris pour guide cette célèbre maxime
de Bacon : « Écrire, parler, méditer, agir quand on n’est pas
«bien pourvu de faits qui jalonnent la pensée, c’est navi-
« guer sans pilote le long d’une côte hérissée de dangers;
«cest s’élancer dans l’immensité de l'Océan, sans boussole
«et sans gouvernail. »

Il y avait dans la collection de l’université de Glasgow,un pe-
tit modèle de la machine à vapeur de Newcomen, qui jamais
n'avait pu fonctionner convenablement. Le professeur de phy-
sique Anderson chargea Watt de le réparer. Sous la main
puissante de l'artiste, les vices de construction dispa-
rurent ; dès lors, chaque année, l'appareil manœuvra
dans les amphithéâtres, aux yeux des étudiants émerveillés.
Un homme ordinaire se fût contenté de ce succès. Watt, au
contraire, suivant sa coutume, y vit l’occasion des plus sé-
rieuses études. Ses recherches portèrent successivement sur
tous les points qui semblaient pouvoir éclairer la théorie de
la machine. Il détermina la quantité dont l'eau se dilate
quand elle passe de l’état liquide à celui de vapeur; la quan-
tité d'eau qu’un poids donné de charbon peut vaporiser; la
quantité de vapeur , en poids, que dépense, à chaque oscil-
lation , une machine de Newcomen de dimensions connues ;
la quantité d’eau froide qu'il faut injecter dans le cylindre,
pour donner à l’oscillation descendante du piston une cer-
taine force ; enfin, l’élasticité de la vapeur à différentes tem-
pératures.

I y avait là de quoi remplir la vie d'un physicien Jabo-
rieux; Watt, cependant, trouva le moyen de mener à bon
port de si nombreuses, de si difficiles recherches, sans que

M 2

€ ÉLOGE HISTORIQUE

les travaux de l'atelier en souffrissent. Le docteur Cleland
voulut bien , naguère, me conduire à la maison, voisine du
port de Glasgow, où notre confrère se retirait en quittant
les outils et devenait expérimentateur. Elle était rasée! Notre
dépit fut vif, mais de courte durée. Dans l'enceinte, encore
visible, des fondations, dix à douze ouvriers vigoureux sem-
blaient occupés à sanctifier le berceau des machines à vapeur
modernes: ils frappaient à coups redoublés les diverses pièces
de bouilleurs, dont les dimensions réunies égalaient, certai-
nement, celles de l'humble demeure qui venait de disparaître.
Sur cette place et dans une pareille circonstance, le plus élé-
gant hôtel, le plus somptueux monument, la plus belle statue
eussent réveillé moins d'idées que les colossales chaudières !
Si les propriétés de la vapeur d’eau sont encore présentes
à votre esprit, vous apercevrez d'un coup d'œil que le jeu
économique de la machine de Newcomen semble exiger
deux conditions inconciliables. Quand le piston descend , il
faut que le cylindre soit froid : sans cela il y rencontre une
vapeur, encore fort élastique, qui retarde beaucoup sa mar-
che et diminue l'effet de l'atmosphère extérieure. Lorsque,
ensuite, de la vapeur à 1002 afflue dans ce mème cylindre, si
les parois sont froides, cette vapeur les réchauffe en se liqué-
fiant partiellement , et jusqu'au moment où leur température
est aussi de 100°, son élasticité se trouve notablement atté-
nuée; de là, lenteur dans les mouvements , car le contre-poids
n'enlève pas le piston avant qu'il existe dans le cylindre un
ressort capable de contre-balancer l’action de l'atmosphère;
de là, aussi, augmentation de dépense, puisque la vapeur a
un prix très-élevé, comme je l'ai déjà expliqué. On ne con-
servera aucun doute sur l'immense importance de cette con-

DE WATT. cJ

sidération économique, quand j'aurai dit que le modèle de
Glasgow usait, à chaque oscillation, un volume de vapeur
plusieurs fois plus grand que celui du cylindre. La dépense
de vapeur, ou, ce qui revient au même, la dépense de com-
bustible, ou, si on l'aime mieux encore, la dépense pécu-
niaire indispensable pour entretenir le mouvement de la ma-
chine, serait plusieurs fois moindre si l’on parvenait à faire
disparaître les échauffements et les refroidissements successifs
dont je viens de signaler les inconvénients.

Ce problème, en apparence insoluble, Watt l’a résolu par
Ja méthode la plus simple. Il lui a suffi d'ajouter à l’ancien
dispositif de la machine, un vase totalement distinct du cy-
lindre et ne communiquant avec lui qu’à l’aide d’un tube
étroit armé d’un robinet. Ce vase , qui porte aujourd'hui le
. nom de condenseur, est la principale des inventions de Watt.
Malgré tout mon désir d’abréger, je ne puis pas me dispenser
d'expliquer son mode d'action.

S'il existe une communication libre entre un cylindre rem-
pli de vapeur et un vase vide de vapeur et d’air, la vapeur du
cylindre passera en partie et très-rapidement dans le vase:
: l'écoulement ne cessera qu'au moment où l’élasticité sera la
même partout. Supposons qu'à l’aide d’une injection d’eau,
abondante et continuelle, le vase soit maintenu constamment
froid dans toute sa capacité et dans ses parois; alors la
vapeur s'y condensera dès qu’elle y arrivera : toute la vapeur
dont le cylindre était primitivement rempli, viendra s'y
anéantir successivement; ce cylindre se trouvera ainsi purgé
de vapeur, sans que ses parois aient été le moins du monde
refroidies ; la vapeur nouvelle dont il pourra devenir néces-
saire de le remplir, ni perdra rien de son ressort.

ci] ÉLOGE HISTORIQUE

Le condenseur appelle entièrement à lui la vapeur du
cylindre, d'une part, à cause qu'il contient de l'eau froide;
de l’autre, parce que le reste de sa capacité nerenferme pas
de fluides élastiques ; mais, dès qu'une première condensation
de vapeur s'y est opérée, ces deux conditions de réussite
ont disparu : l'eau condensante s’est échauffée en absorbant
le calorique latent de la vapeur; une quantité notable de
vapeur s'est formée aux dépens de cette eau chaude; l’eau
froide contenait d’ailleurs de l'air atmosphérique qui a dû
se dégager pendant son échauffement. Si après chaque opé-
ration on n’enlevait pas cette eau chaude, cette vapeur, cet
air que le condenseur renferme, il finirait par ne plus pro-
duire d'effet. Watt opère cette triple évacuation à l’aide
d'une pompe ordinaire qu'on appelle la pompe à air, et dont
le piston porte une tige convenablement attachée au balan-
cier que la machine met en jeu. La force destinée à maintenir
la pompe à air en mouvement, diminue d'autant la puissance
de la machine ; mais elle n’est qu'une petite partie de la perte
qu'occasionnait, dans l’ancienne méthode, la condensation
de la vapeur sur les parois refroidies du corps de pompe.

Un mot encore,et les avantages d'une autre invention de
Watt deviendront évidents pour tout le monde.

Quand le piston descend dans la machine de Newcomen,
c'est que l'atmosphère le pousse. Cette atmosphère est
froide; elle doit donc refroidir les parois du cylindre métal-
lique, ouvert par le haut, qu’elle va successivement couvrir
sur toute leur étendue. Ce refroidissement n’est racheté, pen-
dant la course ascensionnelle du piston, qu'au prix d’une
certaine quantité de vapeur. Il n'existe aucune perte de ce
genre dans les machines modifiées de Watt. L'action atmos-

DE WATT. CIi}

phérique en est totalement éliminée, et: voici comment :

Le coiticiné est fermé dans le haut par un couvercle mé-
tallique, percé seulement à son centre d’une ouverture garnie
d'étoupe grasse et bien serrée, à travers laquelle la tige eylin-
drique du piston se meut librement, sans pourtant donner
passage à l'air ou à la vapeur. Le piston partage ainsi le
cylindre en deux capacités distinctes et fermées. Quand il
doit descendre, la vapeur de la chaudière arrive librement à
la capacité supérieure par un tube convenablement disposé,
et le pousse de haut en bas comme le faisait l'atmosphère
dans la machine de Newcomen. Ce mouvement n’éprouve pas
d’obstacle, attendu que, pendant qu’il s’opère, le bas du
cylindre tout seul est en communication avec le conden-
seur où toute la vapeur inférieure va se liquéfier. Dès que
le piston est entièrement descendu, il suffit de la simple ro-
tation d’un robinet, pour que les deux parties du cylindre
situées au-dessus et au-dessous du piston, communiquent entre
elles; pour que ces deux parties se remplissent de vapeur au
même degré d’élasticité; pour que le piston soit tout autant
poussé de haut en bas que de bas en haut; pour qu'il remonte
à l'extrémité du cylindre, comme dans la machine atmosphé-
rique de Newcomen, par la seule action d’un léger con-
tre-poids.

En poursuivant ses recherches sur les moyens d'économiser
la vapeur, Watt réduisit encore presque à rien, la perte qui
résultait du refroidissement par la paroi extérieure du
cylindre où joue le piston. A cet effet, il enferma ce cylindre
métallique dans un cylindre de bois d’un plus grand dia-
mètre, et remplit de vapeur l'intervalle annulaire qui les sé-
parait.

CIV ÉLOGE HISTORIQUE

Voilà la machine à vapeur complétée. Les perfectionne-
ments qu'elle vient de recevoir des mains de Watt sont
évidents; leur immense utilité ne saurait soulever un doute.
Vous vous attendez donc à la voir remplacer, sans retard,
comme appareil d’épuisement, les machines comparative-
ment ruineuses de Newcomen. Détrompez-vous : l’auteur
d’une découverte a toujours à combattre ceux dont elle peut
blesser les intérêts, les partisans obstinés de tout ce qui a
vieilli, enfin les envieux. Les ‘trois classes réunies, faut-il
l'avouer ? forment la grande majorité du public. Encore,
dans mon calcul je défalque les doubles emplois pour éviter
un résultat paradoxal. Cette masse compacte d’opposants, le
temps peut seul la désunir et la dissiper; mais le temps ne
suffit pas : il faut l’attaquer vivement, l'attaquer sans relâche;
il faut varier ses moyens d'action, imitant, en cela, le chi-
miste à qui l'expérience enseigne que l'entière dissolution de
certains alliages exige l'emploi successif de plusieurs acides.
La force de caractère, la persistance de volonté qui déjouent
à la longue les intrigues les mieux ourdies, peuvent ne
pas se trouver réunies au génie créateur. Watt, au besoin,
en serait une preuve convaincante. Son invention capitale,
son heureuse idée sur la possibilité de condenser la vapeur
d'eau dans un vase entièrement séparé du cylindre où l’action
mécanique s'exerce, est de 1765. Deux années s’écoulent et
à peine fait-il quelques démarches pour essayer de l'appliquer
en grand. Ses amis, enfin, le mettent en rapport avec le doc-
teur Roëbuck, fondateur de la vaste usine de Carron encore
célèbre aujourd’hui. L'ingénieur et l’homme à projets s’asso-
cient; Watt lui cède les deux tiers de sa patente; une ma-
chine est exécutée d'après les nouveaux principes ; elle

DE WATT. cv
confirme toutes les prévisions de la théorie; son succès est
complet; mais, sur ces entrefaites, la fortune du docteur Roë-
buck recoit divers échecs. L'invention de Watt les eût ré-
parés, sans aucun doute : il suffisait de chercher quelques
bailleurs de fonds; notre confrère trouva plus simple de
renoncer à sa découverte et de changer de carrière. En 1767,
pendant que Smeaton exécutait entre les deux rivières Forth
et Clyde, les triangulations et les nivellements, avant-coureurs
des gigantesques travaux dont cette partie de l'Écosse devait
devenir le théâtre, nous trouvons Watt faisant des opéra-
tions analogues, le long d'une ligne rivale traversant le pas-
sage du Lomond. Plus tard, il trace les plans d’un canal
destiné à porter à Glasgow les produits des houillères de
Monkland, et en dirige l'exécution. Plusieurs projets du
même genre, celui, entre autres, du canal navigable à tra-
vers l’isthme de Crinan que M. Rennie a depuis achevé; des
études approfondies relatives à certaines améliorations des
ports d’Ayr, de Glasgow, de Greenock ; la construction des
ponts d'Hamilton et de Rutherglen; des explorations du
terrain à travers lequel devait passer le célèbre canal Calé-
donien, occupèrent notre confrère jusqu'à la fin de 1775.
Sans atténuer en rien le mérite de ces travaux, il me sera
permis de ne pas étendre leur importance au delà de simples
intérêts de localité; d'affirmer qu'il n'était nullement néces-
saire, pour les concevoir, les diriger, les exécuter, de s'appeler
James Watt.

Si oubliant les devoirs d'organe de l’Académie, je songeais à
vous faire sourire plutôt qu'à dire d'utiles vérités, je trouverais
ici matière à un frappant contraste. Je pourrais citer tel ou

T. XVIL ist: 1838. N

cv) ÉLOGE HISTORIQUE

tel auteur qui dans nos séances hebdomadaires, demande, à
cor et à cris, à communiquer la petite remarque, la petite ré-
flexion, la petite note conçue et rédigée la veille; je vous le
représenterais maudissant sa destinée, lorsque les prescrip-
tions du règlement, lorsque l’ordre d'inscription de quelque
auteur plus matinal , fait renvoyer sa lecture à huitaine, en lui
laissant, toutefois, pour garantie, pendant cette cruelle semaine,
le dépôt dans nos archives du paquet cacheté. De l'autre côté, -
nous verrions le créateur d’une machine destinée à faire époque
dans les annales du monde, subir, sans murmurer, les stupides
dédains des capitalistes et plier, pendant huit années, son génie
supérieur à des levés de plans, à des”nivellements minutieux,
à de fastidieux caleuls de déblais, de remblais, à des toisés de
maçonnerie. Bornons-nous à remarquer tout ce que la philo-
sophie de Wait supposait de sérénité de caractère , de modé-
ration de désirs, de véritable modestie. Tant d'indifférence,
quelque nobles qu'en aient été les causes, avait son côté blà-
mable. Ce n’est pas sans motif que la société poursuit d’une
réprobation sévère, ceux de ses membres qui dérobent à la
circulation lor entassé dans leurs coffres-forts ; serait-on
moins coupable en privant sa patrie Êses concitoyens, son
siècle, des trésors mille fois plus précieux qu’enfante la pen-
sée ; en gardant pour soi seul des créations immortelles, source
des plus nobles, des plus pures jouissances de l'esprit; en ne
dotant pas les travailleurs de combinaisons mécaniques qui
multiplieraient à l'infini les produits de l'industrie; qui affai-
bliraient , au profit de la civilisation, de l'humanité, l'effet de
l'inégalité des conditions; qui permettraient un jour de par-
courir les plus rudes ateliers, sans y trouver nulle part le dé-
chirant spectacle de pères de famille, de malheureux enfants

DE WATT. Cv]

des deux sexes, assimilés à des brutes et marchant à pas pré-
cipités vers la tombe ?

Dans les premiers mois de 1774, après avoir vaincu l'in-
différence de Watt, on le mit en relation avec M. Roul-
ton, de Soho, près de Birmingham , homme d'entreprise,
d'activité, de talents variés (1). Les deux amis demandèrent

(x) Dans les notes dont il accompagna la dernière édition de l'essai du
professeur Robison sur la machine à vapeur, Wait s’exprimait en ces
termes au sujet de M. Boulton :

« L'amitié qu'il me portait n’a fini qu'avec sa vie. Celle que je lui avais
« vouée, mimpose le devoir de profiter de cette occasion, la dernière,
« probablement , qui s'offrira à moi, de dire combien je lui fus redevable.
« C'est à l'encouragement empressé de M. Boulton, à son goût pour les dé-
« couvertes scientifiques, et à la sagacité ayec laquelle il savait les faire
« tourner aux progrès des arts; c'est, aussi, à la connaissance intime qu'il
«avait des affaires manufacturières et commerciales, que j'attribue, en
« grande partie, les succès dont mes efforts ont été couronnés. »

Une manufacture de M. Boulton existait déjà depuis quelques années à
Soho, lorsque naquit l'association dont il est parlé dans le texte. Cet éta-
blissement, le premier sur une aussi grande échelle qui ait été formé en
Angleterre, est encore cité aujourd'hui pour l'élégance de son architec-
ture. Boulton y faisait toute sorte d'excellents ouvrages d'acier, de plaqué,
d'argenterie, d'or moulu ; voire même, des horloges astronomiques et des
peintures sur verre. Pendant les vingt dernières années de sa vie, Boulton
s'occupa d'améliorations dans la fabrication des monnaies. Par la combi-
naison de quelques procédés , nés en France, avec de nouvelles presses et
une ingénieuse application de la machine à vapeur, il sui allier une exces-
sive rapidité d'exécution à la perfection des produits. C’est Boulton qui
opéra, pour le compte du gouvernement anglais, la refonte de toutes les
espèces en cuivre du royaume-uni. L'économie et la netteté de ce grand
travail rendirent la contre-facon presque impossible. Les exécutions nom-

N ».

vil] ÉLOGE HISTORIQUE

au parlement une prolongation de privilége, car la patente
de Watt datait de 1969, et n'avait plus que quelques années
à courir. Le bill donna lieu à la plus vive discussion. « Cette
«affaire, écrivait le célèbre mécanicien à son vieux père, n'a
«pu marcher qu'avec beaucoup de dépenses et d'anxiété.
« Sans l’aide de quelques amis au cœur chaud , nous n’aurions
« pas réussi, car plusieurs des plus puissants personnages de
« la chambre des communes nous étaient opposés. » Il m'a
semblé curieux de rechercher à quelle classe de la société
appartenaient ces personnages parlementaires dont parle
Watt, et qui refusaient à l’homme de génie une faible partie
des richesses qu'il allait créer. Jugez de ma surprise lorsque
j'ai trouvé à leur tête le célèbre Burke! Serait-il donc vrai
qu'on peut s'être livré à de profondes études, être un homme
de savoir et de probité, posséder à un degré éminent les
qualités oratoires qui émeuvent, qui entrainent les assem-
blées politiques, et manquer quelquefois du plus simple bon
sens ? Au surplus, depuis les sages et importantes modifica-
tions que lord Brougham a fait introduire dans les lois re-
latives aux brevets, les inventeurs n’auront plus à subir la
longue série de dégoûts dont Watt fut abreuvé.

Aussitôt que le parlement eut accordé une nouvelle durée

breuses dont les villes de Londres et de Birmingham étaient jusque-là
annuellement affligées , cessèrent entièrement. Ge fut à cette occasion que
le D° Darwin s'écria, dans son Botanical Garden : «Si à Rome on décer-
« nait une couronne civique à celui qui sauvait la vie d'un seul de ses
« concitoyens, M. Boulton n'a-t-il pas mérité d'être couvert chez nous de
« guirlandes de chêne ? »

M. Boulton mourut en 1809, à l'âge de 81 ans.

, DE WATT. = CIX

de vingt-cinq ans à la patente de Watt, cet ingénieur et
Boulton réunis commencèrent à Soo les établissements qui
ont été pour toute l'Angleterre l'école la plus utile de mé-
canique pratique. On y dirigea bientôt la construction de
pompes d’épuisement de très-grandes dimensions, et des ex-
périences répétées montrèrent qu'à égalité d'effet, elles éco-
nomisaient les trois quarts du combustible que consumaient
précédemment celles de Newcomen. Dès ce moment, les
nouvelles pompes se répandirent dans tous les pays de mines,
et surtout dans le Cornouailles. Boulton et Watt recevaient,
pour redevance, la valeur du tiers de la quantité de charbon
dont chacune de leurs machines procurait l'économie. On ju-
gera de l'importance commerciale de l'invention, par un fait
authentique : dans la seule mine de Chace-Water, où trois
pompes étaient en action , les propriétaires trouvèrent de
l'avantage à racheter les droits des inventeurs pour une somme
annuelle de 60000 francs. Ainsi, dans un seul établissement,
la substitution du condenseur à l'injection intérieure avait
procuré, en combustible, une économie de plus de 180000 fr.
par an.

Les hommes se résignent volontiers à payer le loyer d’une
maison, le prix d'un fermage. Cette bonne volonté les aban-
donne quand il s’agit d'une idée, quelque avantage, quelque
profit qu’elle ait procuré. Des idées ! mais ne les concoit-on
pas sans fatigue et sans peine? Qui prouve d’ailleurs qu'avec le
temps elles ne seraient pas venues à tout le monde? En ce
genre, des jours, des mois, des années d’antériorité ne sau-
raient donner droit à un privilége!

Ces opinions, dont je n’ai sans doute pas besoin de faire ici
la critique, la routine leur avait presque donné l'autorité de

cx ÉLOGE HISTORIQUE

la chose jugée. Les hommes de génie, les fabricants d'idées
semblaient devoir rester étrangers aux jouissances maté-
rielles ; il était naturel que leur histoire continuât à ressem-
bler à une légende de martyrs!

Quoi qu’on vienne à penser de ces réflexions, il est certain
que les mineurs du Cornouailles payaient d'année en année
avec plus de répugnance, la rente qu'ils devaient aux ingé-
nieurs de Soho. Ils profitèrent des premières difficultés
soulevées par des plagiaires, pour se prétendre déliés de
tout engagement. La discussion était grave; elle pouvait com-
promettre la position sociale de notre confrère; il lui donna
done toute son attention et devint légiste. Les incidents des
longs et dispendieux procès que Boulton et Watt eurent à
soutenir et qu'en définitive ils gagnèrent, ne mériteraient
guère aujourd'hui d'être exhumés ; mais puisque tout à l'heure
j'ai cité Burke parmi les adversaires du grand mécanicien, il
semble juste de rappeler que, par compensation, les Roy, les
Mylne, les Herschel, les Deluc, les Ramsden, les Robison,
les Murdock, les Rennie, les Cumming, les More, les Sou-
thern allèrent avec empressement soutenir devant les magis-
trats, les droits du génie persécuté. Peut-être , aussi, sera-
t-il bon d'ajouter comme un trait curieux dans l’histoire de
l'esprit humain, que les avocats; (j'aurai la prudence de faire
remarquer qu'il ne s’agit ici que d'avocats d’un pays voisin );
que les avocats à qui la malignité impute un luxe surabon-
dant de paroles, reprochaient à Watt, contre lequel ils s'é-
taient ligués en grand nombre, de n'avoir inventé que des
idées. Ceci, pour le dire en passant, leur attira, devant le
tribunal, cette apostrophe de M. Rous : « Allez, Messieurs ,
«allez vous frotter à ces combinaisons intangibles, ainsi qu'il

DE WATT. Cx}

«vous plaît d'appeler les machines de Watt; à ces préten-
« dues idées abstraites; elles vous écraseront comme des mou-
« cherons; elles vous lanceront dans les airs à perte de vue! »

Les persécutions que rencontre un homme de cœur, là
où la plus stricte justice lui permettait d'espérer des témoi-
gnages unanimes de reconnaissance, manquent rarement de
le décourager et d'aigrir son caractère. L’heureux naturel
de Watt ne résista pas à de telles épreuves. Sept longues
années de procès avaient excité en lui un sentiment de
dépit qui se faisait jour, quelquefois, dans des termes acer-
bes. « Ce que je redoute le plus au monde, écrivait-il à un de
« ses amis, ce sont les plagiaires. Les plagiaires! Ils m'ont
« déjà cruellement assailli; et si je n’avais pas une excellente
« mémoire, leurs impudentes assertions auraient fini par me
« persuader que je n'ai apporté aucune amélioration à la
« machine à vapeur. Les mauvaises passions de ceux à qui
«j'ai été le plus utile, vont, le croiriez-vous? jusqu'à leur
« faire soutenir que ces améliorations, loin de mériter une
«pareille qualification, ont été très-préjudiciables à la ri-
« chesse publique. »

Watt, quoique vivement irrité, ne se découragea pas. Ses
machines n'étaient d’abord, comme celles de Newcomen,
que desimples pompes, que de simples moyens d'épuisement.
En peu d'années il les transforma en moteurs universels et
d'une puissance indéfinie. Son premier pas, dans cette voie,
fut la création de la machine à double effet.

Pour en concevoir le principe , qu’on se rapporte à la
machine modifiée dont nous avons déjà parlé (page xax ).
Le cylindre est fermé; l'air extérieur m'y a aucun accès ;
c'est la pression de la vapeur, et non celle de l'atmosphère

Cxi) ÉLOGE HISTORIQUE

qui fait descendre le piston; c'est à un simple contre-poids
qu'est dü le mouvement ascensionnel, car à l’époque où ce,
mouvement s'opère la vapeur pouvant circuler librement
entre le haut et le bas du cylindre, presse également le piston
dans les deux sens opposés. Chacun voit ainsi que la machine
modifiée, comme celle de Newcomen, n’a de force réelle que
pendant l'oscillation descendante du piston.

Un changement très-simple remédiera à ce grave défaut
et nous donnera la machine à double effet.

Dans la machine connue sous ce nom, comme dans celle
que nous avons appelée machine modifiée, la vapeur de la
chaudière, quand le mécanicien le veut, va librement au-
dessus du piston et le pousse sans rencontrer d'obstacle,
puisqu'au même moment la capacité inférieure du cylindre
est en communication avec le condenseur. Ce mouvement
une fois achevé et un certain robinet ayant été ouvert, la
vapeur provenant de la chaudière ne peut se rendre qu’au-
dessous du piston et elle le soulève, la vapeur supérieure
qui avait produit le mouvement descendant, allant alors
se liquéfier dans le condenseur, avec lequel elle est, à son
tour, en libre communication. Le mouvement contraire des
robinets replace toutes les pièces dans l’état primitif, dès
que le piston est au haut de sa course. De la sorte, les mêmes
effets se reproduisent indéfiniment.

Le moteur, comme on le voit, est ici exclusivement la va-
peur d’eau, et la machine, à cela près d’une inégalité dépen-
dante du poids du piston, a la même puissance soit que ce
piston monte, soit qu'il descende. Voilà pourquoi, dès son
apparition, elle fut justement appelée machine à double effet.

Pour rendre son nouveau moteur d’une application com-

DE WATT. CxII)

mode et facile, Watt eut à vaincre d’autres difficultés : il
fallut d’abord chercher les moyens d'établir une communica-
tion rigide, entre la tige inflexible du piston oscillant en
ligne droite, et un balancier oscillant cireulairement. La so-
lution qu’il a donnée de cet important problème, est peut-être
sa plus ingénieuse invention.

Parmi les parties constituantes de la machine à vapeur,
vous avez sans doute remarqué certain parallélogramme arti-
culé. A chaque double oscillation il se développe et se resserre,
avec le moelleux, j'ai presque dit avec la grâce qui vous
charme dans les gestes d’un acteur consommé. Suivez attenti-
vement de l’œil le progrès de ses diverses transformations, et
vous les trouverez assujetties aux conditions géométriques les
plus curieuses; et vous verrez que trois des angles du parallé-
logramme décrivent dans l’espace des arcs de cercle, tandis que
le quatrième, tandis que l'angle qui soulève et abaisse la tige
du piston, se meut à très-peu près en ligne droite. L’immense
utilité du résultat frappe encore moins les mécaniciens, que la
simplicité des moyens à l’aide desquels Watt l’a obtenu (7).

(1) Voici en quels termes Watt rendait compte de l'essai de ce paral-
lélogramme articulé : $

« J'ai été moi-même surpris de la régularité de son action. Quand je
«l'ai vu marcher pour la première fois, j'ai eu véritablement tout le
« plaisir de la nouveauté, comme si j'avais examiné l'invention d’une
a autre personne.»

Smeaton , grand admirateur de l'invention de Watt, ne croyait pas,
cependant, que dans la pratique elle pût devenir un moyen usuel et
économique d'imprimer directement des mouvements de rotation à des
axes. Il soutenait que les machines à vapeur serviraient toujours avec
plus d'avantage à pomper directement de l'eau. Ce liquide, parvenu à

T. XVII. Hist. 1838. O

‘CXIV ÉLOGE HISTORIQUE

De la force n’est pas le seul élément de réussite dans les
travaux industriels. La régularité d'action n'importe pas
moins; mais, quelle régularité attendre d’un moteur qui s'en-
gendre par le feu, à coup de pelletées de charbon , et même
de charbon de différentes qualités; sous la surveillance d’un
ouvrier, quelquefois peu intelligent, presque toujours inat-
tentif? La vapeur motrice sera d'autant plus abondante, elle
affluera dans le cylindre avec d’autant plus de rapidité , elle
fera marcher le piston d'autant plus vite que le feu aura
plus d'intensité. De grandes inégalités de mouvement semblent
donc inévitables. Le génie de Watt a dû pourvoir à ce défaut
capital. Les soupapes par lesquelles la vapeur débouche de la
chaudière pour entrer dans le cylindre, n’ont pas une ou-
verture constante. Quand la marche de la machine s'accélère,
ces soupapes se ferment en partie; un volume déterminé de
vapeur doit employer, dès lors, plus de temps à les traverser,
et l'accélération s'arrête, Les ouvertures des soupapes se di-
latent, au contraire, lorsque le mouvement se ralentit. Les
pièces nécessaires à la réalisation de ces divers changements,
lient les soupapes avec les axes que la machine met en jeu,
par l'intermédiaire d’un appareil dont Watt trouva le prin-
cipe dans le régulateur des vannes de quelques moulins à
farine, qu'il appela le gouverneur (governor), et qu’on

des hauteurs convenables, devait ensuite être jeté dans les augets ou sur
les palettes des roues hydrauliques ordinaires. A cet égard les prévisions
de Smeaton ne se sont pas réalisées. J'ai vu cependant, en 1834, en visi-
tant les établissements de M. Boulton, à Soho, une vieille machine à
vapeur qui est encore employée à élever l'eau d'une large mare et à la
verser dans les augets d’une grande roue hydraulique, lorsque la saison
étant très-sèche l’eau motrice ordinaire ne suffit pas.

DE WATT. CXV

nomme aujourd'hui régulateur à force centrifuge. Son effi-
cacité est telle qu’on voyait, il y a peu d'années , à Manches-
ter, dans la filature de coton d'un mécanicien de grand:
talent, M. Lee, une pendule mise en action par la machine
à vapeur de l'établissement, et qui marchait sans trop de
désavantage à côté d'une pendule ordinaire à ressort.

Le régulateur de Watt et un emploi bien entendu des.
volants, voilà le secret, le secret véritable de l’étonnante per-
fection des produits industriels de notre époque; voilà ce qui
donne aujourd'hui à la machine à vapeur une marche totale-
ment exempte de saccades; voilà pourquoi elle peut, avec le
même succès, broder des mousselines et forger des ancres;
tisser les étoffes les plus délicates et comm uniquer un mouve-
ment rapide aux pesantés meules d’un moulin à farine. Ceci
explique encore comment Watt avait dit, sans craindre le
reproche d’exagération, que pour éviter les allées et les ve-
nues des domestiques, il se ferait servir, il se ferait apporter
les tisanes en cas de maladie, par des engins dépendant
de sa machine à vapeur. Je n'ignore pas que suivant les gens
du monde, cette suavité de mouvements s'obtient aux dépens
de la force; mais c'est une erreur, une erreur grossière; le
dicton : « Faire beaucoup de bruit et peu de besogne ,» n’est
pas. seulement vrai dans le monde moral; c'est aussi un
axiome de mécanique.

Encore quelques mots, et nous arrivons au terme de ces
détails techniques.

Depuis peu d'années on a trouvé un grand avantage à
ne pas laisser une libre communication entre la chaudière
et le cylindre, pendant toute la durée de chaque oscillation
de la machine. Cette communication est interrompue quand

t O 2

CXY] ÉLOGE HISTORIQUE

le piston, par exemple, arrive au tiers de sa course. Les deux
tiers restants de la longueur du cylindre sont alors par-
courus en vertu de la vitesse acquise, et surtout par l'effet de
la détente de la vapeur. Watt avait déjà indiqué ce procédé (1).
De très-bons juges placent la détente, quant à l'importance éco-
nomique, sur la ligne du condenseur. Il paraît certain que de-
puis son adoption les machines du Cornouailles donnent des
résultats inespérés; qu'avec un boisseau (bushel) de charbon,
elles réalisent l'ouvrage de vingt hommes travaillant dix heu-
res. Rappelons-nous que dans les districts houillers, un bois-
seau de charbon de terre coûte seulement nine pence (envi-
ron 18 sous de France), et il sera démontré que Watt a réduit,
pour la plus grande partie de l'Angleterre, le prix d’une rude
journée d'homme, d’une journée de dix heures de travail, à
moins d’un sou de notre monnaie (2).

(x) Le principe de la détente de la vapeur, déjà nettement indiqué dans
une lettre de Watt au D° Small, portant la date de 1769, fut mis en
pratique en 1776 à Soho, et en 1778 aux Shadwell Water Works’
d’après des considérations économiques. L'invention, et les avantages
qu'elle faisait espérer, sont pleinement décrits dans la patente de 1782.

(2) Dans un moment où tant de personnes s'occupent de ma-
chines à vapeur à rotation immédiate, je commettrais un oubli im-
pardonnable si je ne disais pas que Watt y avait non-seulement songé,
ainsi qu'on en trouve la preuve dans ses brevets, mais encore qu'il en
exécuta. Ces machines, Watt les abandonna, non qu'elles ne marchassent
point, mais parce qu'elles lui parurent, sous le rapport économique, nota-
blement inférieures aux machines à double effet et à oscillations rectilignes.

Il est peu d'inventions, grandes ou petites, parmi celles dont les ma-
chines à vapeur actuelles offrent l'admirable réunion, qui ne soient le

développement d'une des premières idées de Watt. Suivez ses travaux,
L

DE WATT. CXVI]

Des évaluations numériques font trop bien apprécier l'im-
portance des inventions de notre confrère, pour que je
puisse résister au désir de présenter encore deux autres rap-
prochements. Je les emprunte à un des plus célèbres corres-
pondants de l’Académie, à M. John Herschel.

L’ascension du Mont-Blanc, à partir de la vallée de Cha-
mouni, est considérée, à juste titre, comme l’œuvre la plus
pénible qu'un homme puisse exécuter en deux jours. Ainsi,
le maximum de travail mécanique dont nous soyons capables

et outre les points capitaux énumérés minutieusement dans le texte,
nous le verrons proposer des machines sans condensation, des machines
où après avoir agi, la vapeur se perd dans l'atmosphère, pour les localités
où l’on se procurerait difficilement d’abondantes quantités d’eau froide. La
détente à opérer dans des machines à plusieurs cylindres, figurera aussi
parmi les projets de l'ingénieur de Soho. Il suggérera l'idée des pistons
parfaitement étanches , quoique composés exclusivement de pièces
métalliques. C'est encore Watt qui recourra le premier à des ma-
nomètres à mercure pour apprécier l'élasticité de la vapeur dans la chau-
dière et dans le condenseur; qui imaginera une jauge simple et permanente
à l'aide de laquelle on connaîtra toujours, et d’un coup d'œil , le niveau de
eau dans la chaudière; qui, pour empêcher que ce niveau puisse varier
d’une manière ficheuse, liera les mouvements de la pompe alimentaire
à ceux d’un flotteur; qui, au besoin, établira sur une ouverture du cou-
vercle du principal cylindre de la machine, un petit appareil (/’éxdicateur)
combiné de telle sorte qu’il fera exactement connaître la loi de l'évacua-
tion de la vapeur, dans ses rapports avec la position du piston; etc., etc.
Si le temps me le permettait, je montrerais Watt non moins habile et
non moins heureux dans ses essais pour améliorer les chaudières, pour
atténuer les pertes de chaleur, pour brûler complétement les torrents de
fumée noire qui s'échappent des cheminées ordinaires quelque élevées
qu'elles soient.

GX VII) ÉLOGE HISTORIQUE

en deux fois vingt-quatre heures, est mesuré par le trans-
port du poids de notre corps à la hauteur du Mont-Blanc. Ce
travail, ou l'équivalent, une machine à vapeur l'exéeute en
brûlant deux livres de charbon de terre. Watt à done établi
que la force journalière d'un homme ne dépasse pas celle
qui est renfermée dans une livre de houille.

Hérodote rapporte que la construction de la grande pyra-
mide d'Égypte occupa cent mille hommes pendant vingt ans.
La pyramide est de pierre calcaire ; son volume peut être faeiïle-
ment calculé; de là on déduit que son poids est d'environ 13
millions de millions de pounds (livres). Pour élever ce poids
à 125 pieds anglais, hauteur du centre de gravité de la pyra-
mide, il faudrait brüler sous la chaudière d’une machine à
vapeur, 630 chaldrons de charbon. Il est, chez nos voisins,
telle fonderie qu'on pourrait citer, qui consume une plus
grande quantité de combustible chaque semaine.

Des machines considérées dans leurs rapports avec le bien-étre
des classes ouvrières (1).

Beaucoup de personnes, sans mettre en question le génie

(1) En écrivant ce chapitre, il m'a semblé que je pouvais user sans
scrupule de beaucoup de documents que j'ai recueillis, soit dans divers
entretiens avec mon illustre ami lord Brougham, soit dans les ouvrages
qu'il a publiés lui-même ou qui ont paru sous son patronage.

Si je m'en rapportais aux critiques que plusieurs personnes ont
imprimées depuis la lecture de cet éloge, en essayant de combattre
l'opinion que les machines sont nuisibles aux classes ouvrières, je

me serais altiqué à un vieux préjugé sans consistance actuelle, à

DE WATT. CIX

de Watt, regardent les inventions dont le monde lui est
redevable et l'impulsion qu'elles ont donnée aux travaux in-
dustriels, comme un malheur social. A les en croire, l'adop-
tion de chaque nouvelle machine ajoute inévitablement au
malaise, à la misère des artisans. Ces merveilleuses combinai-
sons mécaniques , que nous sommes habitués à admirer dans
régularité et l'harmonie de leurs mouvements, dans la puis-
sance et la délicatesse de leurs effets, ne seraient que des ins-
truments de dommage; le législateur devrait les proscrire
avec une juste et implacable rigueur.

Les opinions consciencieuses, alors surtout qu’elles se
rattachent à de louables sentiments de philanthropie , ont
droit à un examen attentif. J'ajoute que de ma part cet exa-
men est un devoir impérieux. J'aurais négligé, en effet, le côté
par lequel les travaux de notre illustre confrère sont le plus
dignes de l’estime publique, si, loin de souscrire aux critiques
de la préoccupation, je ne signalais de tels travaux à l’atten-
tion des hommes de bien, comme le moyen le plus puissant,

un véritable fantôme. Je ne demanderais pas mieux que de le croire et,
alors, je supprimerais très-volontiers tous mes raisonnements, bons ou
mauvais. Malheureusement, des lettres que de braves ouvriers m'a-
dressent fréquemment, soit comme académicien, soit comme député;
malheureusement, les dissertations ex professo et assez récentes de divers
économistes ,ne me laissent aucun doute sur la nécessité de dire encore au-
jourd'hui , de répéter sous toutes les formes , que les machines n'ont jamais
été la cause réelle et permanente des souffrances d’une des classes les plus
nombreuses et les plusintéressantes de la société; que leur destruction ag-
graverait l’état présent des choses ;que ce n’est nullement de ce côté qu’on
trouverait le remède à des maux auxquels je compatis de toute mon âme.

Cxx ÉLOGE HISTORIQUE

le plus direct, le plus efficace de soustraire les ouvriers à de
cruelles souffrances, et de les appeler au partage d’une foule
de biens qui semblaient devoir rester l'apanage exclusif de la
richesse.

Lorsqu'ils ont à opter entre deux propositions diamétra-
lement opposées ; lorsque l'une étant vraie, l’autre est néces-
sairement fausse, et que rien, de prime abord , ne semble
pouvoir dicter un choix rationnel , les géomètres se saisissent
de ces propositions contraires ; ils les suivent minutieusement
de ramifications en ramifications; ils en font surgir leurs der-
nières conséquences logiques ; or, la proposition mal assise
et celle-là seulement , manque rarement de conduire par cette
filière, à quelques résultats qu'un esprit lucide ne saurait ad-
mettre. Essayons, un moment, de ce mode d'examen dont
Euclide a fait un fréquent usage et qu’on désigne, si juste-
ment, par le nom de méthode de réduction à l'absurde.

Les adversaires des machines voudraient les anéantir, ou,
du moins, en restreindre la propagation, pour conserver,
disent-ils, plus de travail à la classe ouvrière. Placons-nous
un moment à ce point de vue, et l’anathème s’étendra bien
au delà des machines proprement dites.

Dès le début nous serons amenés, par exemple, à taxer
nos ancêtres d’une profonde imprévoyance. Si au lieu de fon-
der, si au lieu de s’obstiner à étendre la ville de Paris sur les
deux rives de la Seine, ils s'étaient établis au milieu du pla-
teau de Villejuif, depuis des siècles les porteurs d’eau forme-
raient la corporation la plus occupée, la plus nécessaire, la
plus nombreuse. Eh bien ! messieurs les économistes, mettez-
vous à l’œuvre en faveur des porteurs d’eau. Dévier la Seine
de son cours n’est pas une chose impossible; proposez ce tra

DE WATT. CXX]

vail; ouvrez sans retard une souscription pour mettre Paris
à sec, et la risée générale vous apprendra que la méthode de
la réduction à l'absurde a du bon, mème en économie poli-
tique; et, dans leur sens droit, les ouvriers vous diront eux-
mêmes que la rivière a créé l'immense capitale où ils trou-
vent tant de ressources; que, sans elle, Paris serait peut-être
encore un Villejuif.

Les bons Parisiens s'étaient félicités jusqu'ici du voisinage
de ces inépuisables carrières où les générations vont arracher
les matériaux qui servent à la construction de leurs temples,
de leurs palais, de leurs habitations particulières. Pure illu-
sion ! La nouvelle économie politique vous prouvera qu’il eût
été éminemment avantageux que le plâtre, que les pierres de
taille, que les moellons ne se fussent trouvés qu’aux environs
de Bourges, par exemple. Dans cette hypothèse, suppütez en
effet sur vos doigts le nombre d'ouvriers qu'il eût été né-
cessaire d'employer-pour amener sur les chantiers de la capi-
tale toutes les pierres que, depuis cinq siècles, les architectes
y ont manipulées, et vous trouverez un résultat vraiment pro-
digieux ;°et, pour peu que les nouvelles idées vous sourient,
vous pourrez vous extasier à votre aise sur le bonheur qu’un
pareil état de choses aurait répandu parmi les prolétaires !

Hasardons quelques doutes, quoique je sache très-bien
que les Vertot de notre époque ressemblent parfaitement à
l'historien de Rhodes, quand leur siége est fait.

La capitale d’un puissant royaume peu éloigné de la
France est traversée par un fleuve majestueux que les vais-
seaux de guerre eux-mêmes remontent à pleines voiles. Des
canaux sillonnent, dans toutes sortes de directions, les con-
trées environnantes et transportent à peu de frais les plus

LE XNITL. FAst. 1698, P

\ CXXI) ÉLOGE HISTORIQUE

lourds fardeaux. Un véritable réseau de routes admira-
blement entretenues conduit aux parties les plus reculées
du territoire. À ces dons de la nature et de l'art, la capitale,
que tout le monde a déjà nommée, joint ur avantage dont
la ville de Paris est privée : les carrières de pierre à bâtir
ne sont pas à sa porte, elles n'existent qu’au loin. Voilà done
l'utopie des nouveaux économistes réalisée. Ils vont compter,
n'est-ce pas? par centaines de mille, peut-être par millions,
les carriers, les bateliers, les charretiers, les appareilleurs
employés sans cesse à extraire, à transporter, à préparer les
moellons, les pierres de taille nécessaires à la construction
de l'immense quantité d’édifices dont cette capitale s'enrichit
chaque année. Laissons-les compter à leur aise. Il arrive dans
cette ville ce qui serait arrivé à Paris privé de ses riches
carrières : la pierre étant très-chère, on n’en fait pas usage ;
la brique la remplace presque partout.

Des millions d'ouvriers exécutent aujourd'hui à la surface
et dans les entrailles de la terre, d'immenses travaux auxquels
il faudrait totalement renoncer si certaines machines étaient
abandonnées. Il suffira de deux ou trois exemples pour ren-
dre cette vérité palpable.

L’enlèvement journalier des eaux qui surgissent dans les
galeries des seules mines de Cornouailles, exige une force de
cinquante mille chevaux ou de trois cent mille hommes. Je
vous le demande, le salaire de trois cent mille ouvriers n’ab-
sorberait-il pas tous les bénéfices de l'exploitation ?

La question des salaires et des bénéfices paraïît-elle trop
délicate? D’autres considérations nous conduiront à la même
conséquence.

Le service d’une seule mine de cuivre de Cornouailles,

DE WATT. ; CXXII)

comprise dans les Consolidated-Mines, exige une machine à
vapeur de la force de plus de trois cents chevaux constam-
ment attelés, et réalise, chaque vingt-quatre heures, le travail
d'un millier de chevaux. Puis-je craindre d’être démenti en
affirmant qu'il n'existe aucun moyen de faire agir plus de
trois cents chevaux, ou deux à trois mille hommes, simulta-
nément et d'une manière utile, sur l'ouverture bornée d’un
puits de mine? Proscrire la machine des Consolidated-Mi-
nes, ce serait donc réduire à l’inaction le grand nombre
d'ouvriers dont elle rend le travail possible; ce serait déclarer
que le cuivre et l’étain du Cornouailles y resteront éternelle-
ment ensevelis sous une masse de terre, de roches et de li-
quide de plusieurs centaines de mètres d'épaisseur. La thèse,
ramenée à cette dernière forme, aura certainement peu de dé-
fenseurs ; mais qu'importe la forme lorsque le fond est évi-
demment le même ? »

Si, des travaux qui exigent ‘un immense développement
de forces, nous passions à l'examen de divers produits indus-
triels que la délicatesse de leurs éléments, que la régularité
_ de leurs formes ont fait ranger parmi les merveilles de l'art,
l'insuffisance, l’infériorité de nos organes, comparés aux
combinaisons ingénieuses de la mécanique, frapperaient éga-
lement tous les esprits. Quellé est, par exemple, l'habile
fileuse qui pourrait tirer d’une seule livre de coton brut, un
fil de cinquante-trois lieues de long , comme le fait la machine
nommée Mule-Jenny ?

Je n'ignore pas tout ce que certains moralistes ont débité
touchant l’inutilité des mousselines , des dentelles , des tulles
que! ces fils déliés servent à fabriquer; mais qu’il me suffise
de remarquer que les Mule-Jenny les plus parfaites marchent

P:2

CXXIV ÉLOGE HISTORIQUE

sous la surveillance continuelle d'un grand nombre d’ou-
vriers; que toute la question, pour eux, est de fabriquer des
produits qui se vendent; qu'enfin, si le luxe est un mal, un
vice, un crime même, on doit s’en prendre aux acheteurs et
non à ces pauvres prolétaires dont l'existence serait, je crois,
fort aventurée, s'ils usaient leurs forces à fabriquer à l'usage
des dames, au lieu du tulle mondain, des étoffes de bure.

Quittons maintenant toutes ces remarques de détail et
pénétrons dans le fond même de la question.

«11 ne faut pas, disait Marc-Aurèle, recevoir les opinions
de nos pères, comme le feraient des enfants, par la seule rai-
son que nos pères les ont eues. » Cette maxime, assurément
très-juste, ne doit pas nous empêcher de penser, de présu-
mer du moins, que les opinions contre lesquelles aucune cri-
tique ne s'est jamais élevée depuis l’origine des sociétés , ne
soient conformes à la raison et à l’intérêt général. Eh bien!
sur la question tant débattue de l'utilité des machines , quelle
était l'opinion unanime de l'antiquité ? Son ingénieuse mytho-
logie va nous l’apprendre : les fondateurs des empires, les
grands législateurs, les vainqueurs des tyrans qui opprimaient
leur patrie, recevaient seulement le titre de demi-dieux ; c'é-
tait parmi les dieux mêmes qu'était placé l'inventeur de la
béche, de la faucille, de la charrue.

J'entends déjà nos adversaires se récrier sur l'extrême
simplicité des instruments que je cite, leur refuser hardi-
ment le nom de machines , ne vouloir les qualifier que d'outils,
et se retrancher obstinément derrière cette distinction.

Je pourrais répondre qu'une semblable distinction est
puérile; qu'il serait impossible de dire avec précision où l'ou-
ül finit ,où la machine commence ; mais il vaut mieux remar-

DE WATT. CXXV

quer que, dans les plaidoyers contre les machines, il n'a ja-
mais été parlé de leur plus ou moins grande complication.
Si on les repousse , c’est parce qu'avec leur secours un ouvrier
fait le travailde plusieursouvriers; or, oserait-on soutenir qu'un
couteau, qu'une vrille, qu'une lime, qu’une scie , ne donnent
pas une merveilleuse facilité d'action à la main qui les emploie;
que cette main, ainsi fortifiée, ne puisse faire le travail
d'un grand nombre de mains armées seulement de leurs
ongles ?

Ils ne s’arrétèrent pas devant la sophistique distinction
d'outils et de machines, les ouvriers qui, séduits par les dé-
testables théories de quelques-uns de leurs prétendus amis,
parcouraient en 1830 certains comtés de l'Angleterre , en vo-
ciférant le cri de mort aux machines ! Logiciens rigoureux, ils
brisaient dans les fermes la faucille destinée à moissonner, le
fléau qui sert à battre le blé, le crible à l’aide duquel on vanne
le grain. La faucille, le fléau et le crible ne sont-ils pas, en effet,
des moyens de travail abrégés ? La bêche , la pioche, la char-
rue, le semoir ne pouvaient trouver grâce devant cette horde
aveuglée, et si quelque chose m'étonne, c’est que, dans sa fu-
reur, elle ait épargné les chevaux, espèces de machines d'un
entretien comparativement économique et dont chacune peut
exécuter, par jour, le travail de six ou sept ouvriers.

L'économie politique a heureusement pris place parmi
les sciences d'observation. L'expérience de la substitution des
machines aux êtres animés s’est trop souvent renouvelée de-
puis quelques années, pour qu’on ne puisse pas, dès à pré-
sent, en saisir les résultats généraux au milieu de quelques
irrégularités accidentelles. Ces résultats, les voici : :

En épargnant la main-d'œuvre, les machines permettent

CXXY) ÉLOGE HISTORIQUE

de fabriquer à meilleur marché; l'effet de ce meilleur marché
est une augmentation de demande : une si grande augmen-
tation , tant notre désir de bien-être a de vivacité, que, mal-
gré le plus inconcevable abaissement dans les prix , la valeur
vénale de la totalité de la marchandise produite surpasse
chaque année ce qu’elle était avant le perfectionnement ; le
nombre des ouvriers qu'emploie chaque industrie, s’aug-
mente avec l'introduction des moyens de fabrication ex-
péditifs. ;

Ce dernier résultat est précisément l'opposé de celui que
les adversaires des machines invoquent. De prime abord,
il pourrait sembler paradoxal; cependant, nous allons le
voir ressortir d'un examen rapide des faits industriels les
mieux constatés.

Lorsque, il y a trois siècles et demi, la machine à impri-
mer fut inventée, des copistes pourvoyaient de livres le très-
petit nombre d'hommes riches qui se permettaient cette dis-
pendieuse fantaisie. Un seul de ces copistes, à l'aide du
nouveau procédé, pouvant faire l'ouvrage de deux cents, on
ne manqua pas, dès cette époque, de qualifier d'infernale
une invention qui, dans une certaine classe de la société, de-
vait réduire à l’inaction neuf cent quatre-vingt-quinze per-
sonnes sur mille. Plaçons le résultat réel à côté de la sinistre
prédiction. .

Les livres manuscrits étaient très-peu demandés; les livres
imprimés, au contraire, à cause de leur bas prix, furent re-
cherchés avec le plus vif empressement. On se vit obligé de
reproduire sans cesse les. écrivains de la Grèce et de Rome.
De nouvelles idées, de nouvelles opinions firent surgir une
multitude d'ouvrages, les uns d’un intérêt éternel, les autres

DE WATT. EXXVI)

inspirés par des circonstances passagères. On a calculé, enfin,
qu’à Londres, avant l’invention de l'imprimerie, le commerce
des livres n'occupait que deux cents personnes ; aujourd'hui,
c'est par des vingtaines de milliers qu'on les compte.

Et que serait-ce encore si laissant de côté le point de vue
restreint et pour ainsi dire matériel qu'il m'a fallu choisir,
nous étudiions l'imprimerie par ses faces morales et intellec-
tuelles ; si nous examinions l'influence qu’elle a exercée sur les
mœurs publiques, sur la diffusion des lumières, sur les pro-
grès de la raison humaine; si nous opérions le dénombrement
de tant de livres dont on lui est redevable, que les copistes.
auraient certainement dédaignés , et dans lesquels le génie va
journellement puiser les éléments de ses conceptions fécondes!
Mais je me rappelle qu'il ne doit être question dans ce
moment, que du nombre d'ouvriers employés par chaque
industrie.

Celle du coton offre des résultats plus démonstratifs encore
que l'imprimerie. Lorsqu'un ingénieux barbier de Preston,
Arkwright, lequel, par parenthèse, a laissé à ses enfants deux à
trois millions de francs de revenu, rendit la substitution des
cylindres tournants aux doigts des fileuses, utile et profitable,
le produit annuel de la manufacture de coton en Angleterre
ne s'élevait qu'à cinquante millions de francs; maintenant
ce produit dépasse neuf cents millions. Dans le seul comté
de Lancastre, on livre, tous les ans, aux manufactures de
calicot, une quantité de fil que vingt-un millions de fileuses
habiles ne pourraient pas fabriquer avec le seul secours de la
quenouille et du fuseau. Aussi, quoique dans l’art du filateur
les moyens mécaniques aient été poussés à leur terme, un
million et demi d'ouvriers trouvent aujourd’hui de l'emploi,

CXX VI] ÉLOGE HISTORIQUE

là où, avant les inventions d’Arkwright et de Watt, on en
comptait seulement cinquante mille (1).

Certain philosophe s’écria, dans un profond accès de
découragement : Il ne se publie aujourd'hui rien de neuf,
à moins qu'on n'appelle ainsi ce qui a été oublié. S'il enten-
dait seulement parler d'erreurs et de préjugés, le philosophe
disait vrai. Les siècles ont été tellement féconds en ce genre,
qu'ils ne peuvent plus guère laisser à personne les avantages
de la priorité. Par exemple, les prétendus philanthropes mo-
dernes n’ont pas même le mérite (si toutefois mérite il ya)
d'avoir inventé les systèmes que j'examine. Voyez plutôt ce
pauvre William Lea faisant manœuvrer le premier métier
à bas devant le roi Jacques IT! Le mécanisme parut admi-
rable; pourquoi le repoussa-t-on? Ce fut sous le prétexte que
la classe ouvrière allait en souffrir. La France se montra tout
aussi peu prévoyante : William Lea n’y trouva aucun encou-
ragement, et il alla mourir à l'hôpital, comme tant d’autres
hommes de génie qui ont eu le malheur de marcher trop en
avant de leur siècle!

Au surplus, on se tromperait beaucoup en imaginant que
la corporation des tricoteurs, dont William Lea devint ainsi
la victime, füt bien nombreuse. En 1583, les personnes de
haut rang et de grande fortune portaient seules des bas. La

(1) M. Edward Baines, auteur d'une histoire très-estimée des manu-
factures de coton britanniques , a eu la bizarre curiosité de chercher quelle
longueur de fil est annuellement employée dans la fabrication des étoffes
de coton. Cette longueur totale, il la trouve égale à cinguante-une fois la
distance du soleil à La terre! (cinquante-une fois trente-neuf millions de
lieues de poste, ou environ deux mille millions de ces mêmes lieues).

DE WATT. , CXXIX
classe moyenne remplaçait cette partie de nos vêtements par
des bandelettes étroites de diverses étoffes. Le restant de la
population ( neuf cent quatre-vingt-dix-neuf sur mille) mar-
chait jambes nues. Sur mille individus , il n’en est pas plus
d'un aujourd'hui à qui l’excessif bon marché ne permette d’a-
cheter des bas. Aussi, un nombre immense d'ouvriers est-il dans
tous les pays du monde occupé de ce genre de fabrication.

Si on le juge nécessaire, j'ajouterai qu'à Stock-port, la
substitution de la vapeur à la force des bras, dans la ma-
nœuvre des métiers à tisser, n’a pas empêché le nombre des
ouvriers de s’y accroître d’un tiers eñ très-peu d'années.

Il faut ôter, enfin, à nos adversaires leur dernière res-
source; il faut qu'ils ne puissent pas dire que nous avons
seulement cité d'anciennes industries. Je ferai donc remar-
quer combien ils se sont trompés, naguère, dans leurs lugu-
bres prévisions touchant l'influence de la gravure sur acier.
Une planche de cuivre, disaient-ils, ne peut pas donner plus
de deux mille épreuves. Une planche en acier qui en fournit
cent mille sans s’user, remplacera cinquante planches de
cuivre. Ces chiffres n'établissent-ils pas que le plus grand
nombre des graveurs (que quarante-neuf sur cinquante) se
verront forcés de déserter les ateliers, de changer leur burin
contre la truelle et la pioche, ou d'implorer dans la rue la
pitié publique?

Pour la vingtième fois, prophètes de malheur, veuillez
ne pas oublier dans vos élucubrations, le principal élé-
ment du problème que vous prétendez résoudre! Songez au
désir insatiable de bien-être que la nature a déposé dans le
cœur de l'homme; songez qu'un besoin satisfait appelle sur-
le-champ un autre besoin ; que nos appétits de toute espèae

T. XVII. Æist. 1838. Q

CXXX ÉLOGE HISTORIQUE

s'augmentent avec le bon marché des objets qui peuvent les
alimenter, et de manière à défier les facultés créatrices des
machines les plus puissantes.

Ainsi, pour revénir aux gravures, l'immense majorité du
publie s’en passait quand elles étaient chères ; leur prix
diminue et tout le monde les recherche. Elles sont devenues
l'ornement nécessaire des meilleurs livres ; elles donnent aux
livres médiocres quelques chances de débit. Il n’est pas jus-
qu'aux almanachs où les antiques et hideuses figures de
Nostradamus, de Mathieu Laensberg, ne soient aujourd’hui
remplacées par des vues pittoresques qui transportent, en
quelques secondes, nos immobiles citadins, des rives du
Gange à celles de lAmazone, de l'Himalaya aux Cordil-
lères, de Pékin à New-York. Voyez aussi ces graveurs dont
on nous annonçait si piteusement la ruine : jamais ils ne
furent ni plus nombreux, ni plus occupés.

Je viens de rapporter des faits irrécusables. Ils ne per-
mettront pas, je crois, de soutenir que sur cette terre, que
parmi ses habitants, tels du moins que la nature les a créés,
l'emploi des machines doive avoir pour conséquence la dimi-
nution du nombre d'ouvriers employés dans chaque genre
d'industrie. D'autres habitudes, d'autres mœurs, d’autres
passions auraient peut-être conduit à un résultat tout diffé-
rent; mais ce texte , Je l’'abandonne à ceux qui seraient tentés
de composer des traités d'économie industrielle à l'usage des
habitants de la lune, de Jupiter ou de Saturne.

Placé sur un théâtre beaucoup plus restreint, je me de-
mande si après avoir sapé par sa base le système des adver-
saires des machines, il peut être encore nécessaire de jeter
un coup d'œil sur quelques critiques de détail. Faut-il re-

DE WATT. CXXX]

marquer, par exemple, que la taxe des pauvres, cette plaie
toujours saignante de la nation britannique, cette plaie que
l'on s'efforce de faire dériver de l'abus des machines, date du
règne d'Élisabeth ; d’une époque antérieure de deux siècles
aux travaux des Arkwright et des Watt.

Vous avouerez du moins, nous dit-on, que les machines
à feu, que les Mule-Jenny, que les métiers dont on fait usage
pour carder, pour imprimer, etc., objets de vos prédilections,
n’ont pas empêché le paupérisme de grandir et de se pro-
pager ? Ce nouvel aveu me coûtera peu. Quelqu'un présenta-
t-il les machines comme une panacée universelle ? Préten-
dit-on jamais qu’elles auraient le privilége inoui d'écarter
l'erreur et la passion des assemblées politiques ; qu'elles di-
rigeraient les conseillers des princes dans les voies de la
modération, de la sagesse, de l'humanité; qu'elles détour-
neraient Pitt de s’immiscer sans relâche dans les affaires des
pays voisins ; de susciter chaque année, et sur tous les points
de l'Europe, des ennemis à la France; de leur payer de riches
subsides, de grever enfin l'Angleterre d’une dette de plu-
sieurs milliards? Voilà, voilà pourquoi la taxe des pauvres
s'est si vite et si prodigieusement accrue. Les machines n’ont
pas produit, n’ont pas pu produire ce mal. Jose même
affirmer qu'elles l'ont beaucoup atténué, et je le prouve en
deux mots : Le comté de Lancastre est le plus manufacturier
de toute l'Angleterre. C'est là que se trouvent les villes de
Manchester, de Preston, de Bolton, de Warrington, de
Liverpool ; c’est dans ce comté que les machines ont été le
plus brusquement, le plus généralement introduites. Eh bien!
répartissons la totalité de la valeur annuelle de la taxe des
pauvres du Lancashire, sur l'ensemble de la population;

Q 2

CXXXI] ÉLOGE HISTORIQUE

cherchons, en d’autres termes, la quote-part de chaque in-
dividu, et nous trouverons un résultat près de trois fois plus
petit que dans la moyenne de tous les autres comtés! Vous
le voyez, les chiffres traitent sans pitié les faiseurs de
systèmes.

Au reste, que ces grands mots de taxe des pauvres ne
nous fassent pas croire, sur la foi de quelques déclamateurs,
que chez nos voisins les classes laborieuses sont entièrement
dépourvues de ressources et de prévoyance. Un travail de
fraîche date a montré que dans l'Angleterre seule (l'Irlande
et l'Écosse étant ainsi laissées de côté), le capital apparte-
nant à de simples ouvriers, qui se trouve en dépôt dans les
caisses d'épargne, approche de 400 millions de franes. Les
recensements opérés dans les principales villes ne sont pas
moins instructifs.

Un seul principe est resté incontesté au milieu des débats
animés que l’économie politique à fait naître : c'est que la
population s'accroît avec l’aisance générale, et qu'elle diminue
rapidement dans les temps de misère (1). Plaçons des faits à
côté du principe. Tandis que la population moyenne de l’An-
gleterre s’augmentait, pendant les trente dernières années, de
5o pour 100, Nottingham et Birmingham, deux des villes les
plus industrielles, présentaient des accroissements de 25 et de
4o pour 100 plus considérables encore. Manchester et Glas-
gow, enfin, qui occupent le premier rang dans tout l'empire
britannique, par le nombre, la grandeur et l'importance des

(1) L'Irlande est une exception à cette règle, dont la cause est bien
connue, et sur laquelle j'aurai occasion de revenir.

DE WATT. CXXXII]

machines qu’elles emploient, voyaient, dans le même inter-
valle des trente dernières années, leur population s’augmenter
de 150 et de 160 pour 100. C'était trois ou quatre fois plus
que dans les comtés agricoles et les villes non manufacturières.

De pareils chiffres parlent assez d'eux-mêmes. Il n’est pas
de sophisme, de fausse philanthropie, de mouvements d'é-
loquence qui puissent leur résister.

Les machines ont soulevé un genre particulier d'objec-
tions quejene dois point passer sous silence. Au moment deleur
introduction , au moment où elles commencent à remplacer
le travail manuel, certaines classes d'ouvriers souffrent de ce
changement. Leur honorable, leur laborieuse industrie se
trouve anéantie presque tout à coup. Ceux-là même qui,
dans l’ancienne méthode, étaient les plus habiles, manquant
quelquefois des qualités que le nouveau procédé exige, restent
sans ouvrage. Il est rare qu'ils parviennent tout de suite à se
rattacher à d’autres genres de travaux.

Ces réflexions sont justes et vraies. J'ajouterai que les tris-
tes conséquences qu'elles signalent, doivent se reproduire
fréquemment; qu'il suffit de quelques caprices de la mode
pour engendrer de profondes misères. Si je ne conclus pas
de là que le monde doive rester stationnaire, à Dieu ne plaise
qu’en voulant le progrès dans l'intérêt général de la société, je
prétende qu’elle puisse rester sourde aux souffrances indivi-
duelles dont ce progrès est momentanément la cause ! L’auto-
rité, toujours aux aguets des nouvelles inventions, manque
rarement de les atteindre par des mesures fiscales ; serait-ce
trop exiger d'elle, si l’on demandait que les premières con-
tributions levées sur le génie, servissent à ouvrir des ateliers
spéciaux où les ouvriers brusquement dépossédés trouve-

CXXXIV ÉLOGE HISTORIQUE

raient, pendant quelque temps, un emploi en harmonie avec
leurs forces et leur intelligence! Cette marche a quelquefois été
suivieavec succès; il resterait donc à la généraliser. L’humanité
en fait un devoir; une saine politique la conseille; au besoin,
des événements terribles dont l'histoire a conservé le sou-
venir, la recommanderaient aussi par son côté économique.

Aux objections des théoriciens qui craignaient de voir les
progrès de la mécanique réduire les classes ouvrières à une
inaction complète, ont succédé des difficultés tout opposées,
sur lesquelles il semble indispensable de s'arrêter quelques
instants.

En supprimant dans les manufactures toutes les manœu-
vres de force, les machines permettent d'y appeler en grand
nombre les enfants des deux sexes. Des industriels, des pa-
rents cupides abusent souvent de cette faculté. Le temps
consacré au travail dépasse toute mesure raisonnable. Pour
l'appât journalier de huit à dix centimes, on voue à un abru-
tissement éternel des intelligences que quelques heures d'étude
eussent féecondées; on condamne à un douloureux rachitisme
des organes qui auraient besoin, pour se développer, du grand
air et de l’action bienfaisante des rayons solaires.

Demander au législateur de mettre un terme à cette hi-
deuse exploitation du pauvre par le riche;solliciter des me-
sures pour combattre la démoralisation qui est la conséquence
ordinaire des nombreuses réunions des jeunes ouvriers ; es-
sayer d'introduire , de disséminer certaines machines dans les
chaumières , afin que suivant les saisons les travaux agricoles
puissent s'y marier à ceux de l’industrie, c'est faire acte de
patriotisme, d'humanité; c’est bien connaître les besoins ac-
tuels des classes ouvrières. Mais s’obstiner à exécuter de main

DE WATT. CXXXV

d'homme, laborieusement, chèrement, des travaux que les
machines réalisent en un clin d'œil et à bon marché; mais as-
similer les prolétaires à des brutes; leur demander des ef-
forts journaliers qui ruinent leur santé et que la science peut
tirer, au centuple, de l’action du vent, de l’eau, de la vapeur,
ce serait marcher en sens contraire du but qu'on veut at-
teindre; ce serait vouer les pauvres à la nudité ; réserver ex-
clusivement aux riches une foule de jouissances qui sont
maintenant le partage de tout le monde; ce serait, enfin, re-
venir de gaîté de cœur, aux siècles d’ignorance, de barbarie
et de misère. $

Il est temps de quitter ce sujet, quoique je sois loin de
l'avoir épuisé. Je n'aurai certainement pas triomphé d’une
foule de préventions invétérées, systématiques. Du moins,
je puis espérer que mon plaidoyer obtiendra l'assen-
timent de ces mille et mille oisifs de la capitale, dont la
vie se passe à coordonner le goût des plaisirs avec les
exigences de leur mauvaise santé. Dans quelques années,
grâce aux découvertes de Watt, tous ces sybarites, incessam-
ment poussés par la vapeur sur des chemins de fer, pourront
visiter rapidement les différentes régions du royaume. Ils
iront, dans le même jour, voir appareiller notre escadre
à Toulon ; déjeuner à Marseille avec les succulents rougets
de la Méditerranée; plonger à midi leurs membres énervés
dans l'eau minérale de Bagnères , et ils reviendront le soir,
par Bordeaux , au bal de l'opéra ! Se récrie-t-on? je dirai que
mon itinéraire suppose seulement une marche de vingt-six
lieues à l'heure; que divers essais de voitures à vapeur ont
déjà réalisé des vitesses de quinze lieues ; que M. Stephenson,
enfin , le célèbre ingénieur de Newcastle, offre de construire

CXXXV] ÉLOGE HISTORIQUE

des machines deux fois et demie plus rapides : des machines
qui franchiront quarante lieues à l'heure!

“ . %

Presse à copier les lettres. Chauffage à la vapeur. Compo-
sition de l’eau. Blanchissage à l’aide du chlore. Essais sur
les effets physiologiques qui peuvent résulter de la respi-
ration de divers gaz.

Birmingham , lorsque Watt alla s'établir à Soho, comptait
parmi les habitants du voisinage, Priestley, dont le nom dit
tout; Darwin, l’auteur de la Zoonomie et d’un poëme célèbre
sur les amours des plantes ; Withering, médecin et botaniste
distingué; Keir, chimiste bien connu par les notes de sa tra-
duction de Macquer et par un mémoire intéressant sur la
cristallisation du verre; Galton, à qui l’on devait un traité
élémentaire d'ornithologie; Edgeworth, auteur de divers
ouvrages Justement appréciés, et père de la si célèbre
Miss Maria. Ces savants devinrent bientôt les amis du célèbre
mécanicien, et formérent, pour la plupart, avec lui et
Boulton une association, sous le nom de Zunar Society
(Société lunaire). Un titre si bizarre a donné lieu à d’é-
tranges méprises. [l signifiait seulement qu'on se réunissait
le soir même de la pleine lune, époque du mois choisie de
préférence , afin que les académiciens y vissent clair en ren-
trant chez eux.

Chaque séance de la Société lunaire était pour Watt une
nouvelle occasion de faire remarquer l’incomparable fécondité
d'invention dont la nature l'avait doué. « J'ai imaginé, dit un
jour Darwin à ses confrères, certaine plume double, cer-

DE WATT. CXXXVI)

taine plume à deux becs, à l’aide de laquelle on écrira chaque
chose deux fois; qui donnera ainsi d’un seul coup, l'original
et la copie d’une lettre. — J'espère trouver une meilleure solu-
tion du problème, repartit Watt presque aussitôt : je mü-
rirai mes idées ce soir et Je vous les communiquerai de-
main. » Le lendemain la presse à copier était inventée et
même un petit modèle permettait déjà de juger de ses effets.
Cet instrument si utile et si généralement adopté dans tous
les comptoirs anglais, a recu récemment quelques modifica-
tions dont plusieurs artistes ont voulu se faire honneur ;
mais je puis assurer que la forme actuelle était déjà décrite
et dessinée, à la date de 1780, dans le brevet de notre
confrère.

Le chauffage à la vapeur est de trois ans postérieur. Watt
l'établit chez lui à la fin de 1783. Il faut le reconnaître,
cette ingénieuse méthode se trouve déjà indiquée par le
colonel Cuoke, dans les Transactions philosophiques de l'an-
née 1745(1); mais l'idée était passée inapercue. Watt, en tout
cas, n'aura pas seulement le mérite de l'avoir fait revivre : c'est

=. — —

(1) Je lis dans un ouvrage de M. Robert Stuart, que sir Hugh Platte
avait entrevu avant le colonel Cooke la possibilité duel la vapeur au

ù chauffage des appartements. Dans le Garden of eden de cet auteur, publié

en 1660, ilest question , en effet, de quelque chose d' analogue pour con-
server pendant l'hiver les plantes des serres. Sir Hugh Plaite propose de
plicer des couvercles d'étain, ou de tout autre métal, sur les vases où les
viandes cuisent et d'adapter ensuite à des ouvertures de ces couvercles,

des tuyaux par lesquels la vapeur échauffante peut être conduite partout
où on le désire.

T. XVII. Aist. 1838. R

CXXX VII} ÉLOGE HISTORIQUE

Jui qui l’appliqua le premier; ce furent ses calculs sur l’é-
tendue des surfaces nécessaires à l’échauffement des salles de
différentes grandeurs, qui, à l’origine, servirent de guide à
la plupart des ingénieurs anglais.

Watt n'aurait produit, pendant sa longue carrière, que la
machine à condenseur séparé, la machine à détente et le pa-
rallélogramme articulé, qu'il occuperait encore une des pre-
mières places parmi le petit nombre d'hommes dont la vie fait
époque dans les annales du monde; mais son nom me semble
se rattacher aussi avec éclat à la plus grande, à la plus fé-
conde découverte de la chimie moderne : à la découverte de
la composition de l'eau. Mon assertion pourra paraître témé-
raire, car les nombreux ouvrages où ce point capital de l’his-
toire des sciences est traité ex professo, ont oublié Watt. J'es-
père, cependant, que vous voudrez bien suivre ma discussion
sans prévention; que vous ne vous laisserez pas détourner de
tout examen, par des autorités d’ailleurs moins nombreuses
qu'on ne le suppose; que vous nerefuserez point de remarquer
combien peu d'auteurs remontent aujourd'hui aux sources ori-
ginales ; combien ils trouvent pénible de secouer la poussière
des bibliothèques ; combien il leur semble commode, au con-
traire, de vivre sur l’érudition d'autrui , de réduire la compo- ‘
sition d'un livre à un simple travail de rédaction. Le mandat
que je tenais de votre confiance m'a semblé plus sérieux : j'ai
compulsé de nombreux mémoires imprimés, toutes les pièces
d’une volumineuse correspondance authentique encore ma-
nuscrite, et si Je viens, après cinquante ans, réclamer en
faveur de James Watt un honneur trop légèrement accordé
à un de ses plus illustres compatriotes, c’est qu’il m'a semblé

DE WATT. CXXXIX

utile de montrer qu’au sein des académies la vérité se fait jour
tôt ou tard, et qu'en matière de découvertes il n’y a jamais
prescription.

Les quatre prétendus éléments, le feu, l'air, l’eau et la
terre, dont les combinaisons variées devaient donner nais-
sance à tous les corps connus, sont un des nombreux legs de
la philosophie brillante qui, pendant des siècles, a ébloui les
plus nobles intelligences et les a égarées. Van Helmont, le
premier, ébranla, mais légèrement, un des principes de cette
ancienne théorie, en signalant à l'attention des chimistes
plusieurs fluides élastiques permanents, plusieurs airs, qu'il
appella des gaz, et dont les propriétés différaient de celles
de l'air ordinaire, de celles de l’air élément. Les expériences
de Boyle et de Hooke soulevèrent des difficultés plus graves
encore : elles établirent que l'air commun, nécessaire à la
respiration et à la combustion, subit dans ces deux phéno-
mènes des changements notables, des changements de
propriété, ce qui implique l’idée de composition. Les nom-
breuses observations de Hales; les découvertes successives
de l'acide carbonique par Black, de l'hydrogène par Caven-
dish; de l'acide nitreux, de l'oxygène, de l'acide muriatique,
de l'acide sulfureux et de l’'ammoniaque par Priestley, relé-
guèrent, définitivement, l'antique idée d’un air unique et élé-
mentaire, parmi les conceptions hasardées et presque cons-
tamment fausses, qu'eufantent tous ceux qui ont l'audace de
se croire appelés, non à découvrir, mais à deviner la marche
de la nature. ;

Au milieu de tant de remarquables travaux, l'eau avait tou-
jours conservé son caractère d'élément. L'année 1776 fut,
enfin, signalée par une des observations qui devaient amener

R 2

CXL ÉLOGE HISTORIQUE

au renversement de cette croyance générale. On doit l’a-
vouer, de la même année datent aussi les singuliers efforts
que firent longtemps les chimistes, pour ne pas se rendre
aux conséquences naturelles de leurs expériences. L’observa-
tion dont je veux parler appartient à Macquer.

Ce chimiste judicieux, ayant placé une soucoupe de por-
celaine blanche sur la flamme de gaz hydrogène qui brülait
tranquillement au goulot d'une bouteille , observa que cette
flamme n'était accompagnée d'aucune fumée proprement dite,
qu'elle ne déposait point de suie : l'endroit de la soucoupe que
la flamme léchait, se couvrit de gouttelettes assez sensibles
d'un liquide semblable à de l'eau, et qui, après vérification,
se trouva être de l’eau pure. Voilà assurément un singulier
résultat. Remarquez-le bien, c'est au milieu de la flamme,
dans l'endroit de la soucoupe qu’elle léchait, comme dit
Macquer, que se déposèrent les gouttelettes d’eau! Ce chi-
miste, cependant, ne s'arrête point sur ce fait; il ne s'étonne
pas de ce qu'il a d'étonnant; il le cite tout simplement, sans
aucun commentaire; il ne s'aperçoit pas qu'il vient de tou-
cher du doigt à une grande découverte.

Le génie, dans les sciences d'observation, se réduirait-il
donc à la faculté de dire, à propos, Pourquoi?

Le monde physique compte des volcans qui n’ont jamais
fait qu’une seule explosion. Dans le monde intellectuel il est,
de même, des hommes qui après un éclair de génie dispa-
raissent entièrement de l’histoire de la science. Tel a été
Warltire, dont l’ordre chronologique des dates m'amène
à citer une expérience vraiment remarquable. Au com-
mencement de l'année 1781, ce physicien imagina qu'une
étincelle électrique, ne pourrait traverser certains mélanges

DE WATT. CXL]

gazeux, sans y déterminer quelques changements. Une idée
aussi neuve, qu'aucure analogie ne suggérait alors et
dont on a fait depuis de si heureuses applications, aurait,
ce me semble, mérité à son auteur que tous les historiens de
la science voulussent bien ne pas oublier de lui en faire hon-
neur. Warltire se trompait sur la nature intime des change-
ments que l'électricité devait engendrer. Heureusement pour
lui il prévit qu'une explosion les accompagnerait. C’est par
ce motif qu'il fit d’abord l'expérience avec un vase métalli-
que dans lequel il avait renfermé de l'air et de l'hydrogène.

Cavendish répéta bientôt l'expérience de Warltire. La
date certaine de son travail (j'appelle ainsi toute date
résultant d'un dépôt authentique, d’une lecture académique,
ou d’une pièce imprimée) est antérieure au mois d'avril 1783,
puisque Priestley cite les observations de Cavendish dans un
mémoire du 21 de ce même mois. La citation, au surplus, ne
nous apprend qu'une seule chose : c’est que Cavendish avait
obtenu de l’eau par la détonation d’un mélange d'oxygène et
d'hydrogène, résultat déjà constaté par Warltire.

Dans son mémoire du mois d'avril, Priestley ajouta une
circonstance capitale à celles qui résultaient des expériences de
ses prédécesseurs : il prouva que le poids de l’eau qui se dépose
sur les paroïs du vase au moment de la détonation de l'oxygène
et de l'hydrogène, est la somme des poids de ces deux gaz.

Watt, à qui Priestley communiqua cet important résultat,
y vit aussitôt, avec la pénétration d’un homme supérieur, la
preuve que l'eau n’est pas un corps simple.

« Quels sont les produits de votre expérience? écrivit-il à
« son illustre ami : de l'eau, de la lumière, de la chaleur.
« Ne sommes-nous pas, dès lors, autorisés à en conclure que

CXLI] . ÉLOGE HISTORIQUE

« l’eau est un composé des deux gaz oxygène et hydrogène,
« privés d’une partie de leur chaleur latente ou élémentaire;
« que l'oxygène est de l’eau privée de son hydrogène, mais
«uni à de la chaleur et à de la lumière latente ?

«Si la lumière n’est qu'une modification de la chaleur, ou
«une simple circonstance de sa manifestation, ou une partie
«composante de l'hydrogène, le gaz oxygène sera de l'eau
« privée de son hydrogène, mais unie à de la chaleur latente.»

Ce passage si clair, si net, si méthodique, est tiré d'une
lettre de Watt du 26 avril 1783. La lettre fut communiquée
par Priestley à divers savants de Londres, et remise aussitôt
après à sir Joseph Banks, président de la Société royale,
pour être lue dans une des séances de ce corps savant. Des
circonstances que je supprime, parce qu'elles sont sans intérêt
dans la discussion actuelle, retardèrent cette lecture d’un
an; mais la lettre resta aux archives de la Société. Elle figure
dans le soixante-quatorzième volume des Transactions phi-
losophiques, avec sa véritable date du 26 avril 1783. On l'y
trouve fondue dans une lettre de Watt à Deluc, en date du
26 novembre 1783 et distinguée par des guillemets renversés,
apposés par le secrétaire de la société royale.

Je ne réclame pas d'indulgence pour cette profusion de
détails : on remarquera que la comparaison minutieuse des
dates peut seule mettre la vérité dans tout son jour, et qu'il est
question d'une des découvertes qui honorent le plus l'esprit
humain.

Parmi les prétendants à cette féconde découverte, nous
allons maintenant voir paraître les deux plus grands chi-
mistes dont la France et l'Angleterre se glorifient. Tout le
monde a déjà nommé Lavoisier et Cavendish.

DE WATT. CXLII}

La date de la lecture publique du mémoire dans lequel
Lavoisier rendit compte de ses expériences, dans lequel il
développa ses vues sur la production de l'eau par la combus-
tion de l'oxygène et de l'hydrogène, est postérieure de deux
mois à celle du dépôt aux archives de la Société royale de
Londres de la lettre déjà analysée de Watt.

Le mémoire célèbre de Cavendish , intitulé : £xperiments-
on air, est plus récent encore: il fut lu le 15 janvier 1784.
On s’étonnerait avec raison que des faits aussi authentiques
eussent pu devenir le sujet d'une polémique animée, si je ne
m'empressais de signaler à votre attention une: circonstance
dont je n'ai pas encore parlé. Lavoisier déclara, en termes po-
sitifs, que Blagden , secrétaire de la Société royale de Londres,
assista à ses premières expériences du 24 juin 1783, et «qu'il
« lui apprit que Cavendish ayant déjà essayé, à Loudres, de
« brüler du gaz hydrogène dans des vaisseaux fermés, avait
« obtenu une quantité d’eau très-sensible. »

Cavendish rappela aussi dans son mémoire la communi-
eation faite à Lavoisier par Blagden. Suivant lui, elle fut plus
étendue que le chimiste français ne l’avouait. Il dit que la con-
fidence embrassa les conclusions auxquelles les expériences.
-conduisaient, c'est-à-dire la théorie de la composition de l’eau.

Blagden, mis en cause lui-même, écrivit dans le journal
de Crell, en 1786, pour confirmer l’assertion de Cavendish.

A l'en croire , les expériences de l’académicien de Paris
n'auraient même été qu'une simple vérification de celles du
chimiste anglais. Il assure avoir annoncé à Lavoisier, que l’eau
engendrée à Londres avait un poids précisement égal à la
somme des poids des deux gaz brülés. Lavoisier, ajoute en-
fin Blagden , a dit la vérité, mais pas toute la vérité.

+

CXLIV ÉLOGE HISTORIQUE

Un pareil reproche est sévère; mais, fut-il fondé, n'en at-
ténuerai-Je pas beaucoup la gravité, si je montre que, Watt
excepté, tous ceux dont les noms figurent dans cette histoire
s'y étaient plus ou moins exposés ?

Priestley rapporte en détail et comme siennes, des expé-
riences dont il résulte que l’eau engendrée par la détonation
d'un mélange d'oxygène et d'hydrogène, a un poids exactement
égal à celui des deux gaz brülés. Cavendish, quelque temps
après, réclame ce résultat pour lui-même et insinue qu'il l'a-
vait communiqué verbalement au chimiste de Birmingham.

Cavendish tire de cette égalité de poids, la conséquence que
l'eau n'est pas un corps simple. D'abord, il ne fait aucune
mention d'un mémoire déposé aux archives de’ la Société
royale et dans lequel Watt développait la même théorie. Il
est vrai qu'au jour de l'impression le nom de Watt n'est
pas oublié; mais ce n’est pas aux archives qu’on a pu voir le
travail du célèbre ingénieur : on déclare en avoir eu connais-
sance par une lecture récente, faite en séance publique. Au-
jourd'hui, cependant, il est parfaitement constaté que cette
lecture a suivi de plusieurs mois, celle du mémoire où Ca-

.vendish en parle.

En arrivant sur le terrain de cette grave discussion, Blagden
annonce la ferme volonté de tout éclaircir , de tout préciser.
Il ne recule, en effet, devant aucune accusation, devant la ci-
tation d'aucune date, tant qu'il est question d'assurer à son
protecteur et ami, Cavendish, la priorité sur le chimiste
français. Dès qu'il s'agit de ses deux compatriotes, les
explications deviennent vagues et obscures. « Dans le prin-

« temps de 1783, dit-il, M. Cavendish nous montra qu'il avait.

« dù tirer de ses expériences, la conséquence que l'oxygène

|
|

DE WATT. CXLV

«n'est autre chose que de l’eau privée de son phlogistique
« (c'est-à-dire privée de l'hydrogène). Vers le méme temps,
« la nouvelle arriva à Londres que M. Watt, de Birmingham,
« avait été conduit par quelques observations à une opinion
« semblable.» Ces expressions : V’ers le méme temps, pour
parler comme Blagden lui-même, ne sauraient être toute la
vérité. Vers le méme temps ne décide rien : des questions
de priorité peuvent tenir à des semaines, à des jours, à des
heures, à des minutes. Pour être net et précis, comme on l’a-
vait promis, il fallait dire si la communication verbale, faite
par Cavendish à plusieurs membres de la Société royale, pré-
céda ou suivit l’arrivée à Londres des nouvelles du travail de
Watt. Peut-on supposer que Blagden ne se serait pas ex-
pliqué sur un fait de cette importance, s'il avait pu citer une
date authentique en faveur de son ami ?

Pour rendre l'imbroglio complet, les protes , les composi-
teurs, les imprimeurs des Transactions philosophiques se mi-
rent aussi de la partie. Plusieurs dates y sont inexactement
rapportées. Sur les exemplaires séparés de son mémoire que
Cavendish distribua à divers savants, j'aperçois une erreur
d'une année entière. Par une triste fatalité, car c'est un
malheur réel de donner lieu involontairement à des soupcons
fâcheux et immérités, aucune de ces nombreuses fautes d’im-
pression n'était favorable à Watt! À Dieu ne plaise que j'en-
tende inculper par ces remarques, la probité littéraire des sa-
vants illustres dont j'ai cité les noms: elles prouvent seulement
qu'en matière de découvertes , la plus stricte justice est tout
ce qu'on doit attendre d'un rival, d’un compétiteur , quelque
éminente que soit déjà sa réputation. Cavendish écoutait à
peine les gens d’affaires , quand ils allaient le consulter sur

T. XVIL Aist. 1838. S

CXLY]) ÉLOGE HISTORIQUE

le placement de ses 25 ou 30 millions ; vous savez mainte-
nant s'il avait la mème indifférence pour des expériences.
On se montrerait done peu exigeant, en demandant, qu'à
l'exemple des juges civils, les historiens de la science n’ac-
cueillissent jamais comme titres de propriété valables , que des
titres écrits; peut-être devrais-je même ajouter, que des
titres publiés. Alors, mais seulement alors , finiraient ces
querelles, sans cesse renaissantes, dont les vanités nationales
font ordinairement les frais; alors le nom de Watt repren-
drait dans l’histoire de la chimie, la place élevée qui lui ap-
partient.

La solution d'une question de priorité, quand elle se
fonde, comme celle que je viens de lire, sur l'examen le
plus attentif de mémoires imprimés et sur la comparaison
minutieuse de dates, prend le caractère d’une véritable dé-
monstration. Toutefois, je ne me crois pas dispensé de par-
courir rapidement diverses difficultés auxquelles de très-bons
esprits m'ont paru attacher quelque importance.

Comment admettre, m'a-t-on dit, qu'au milieu d’un im-
mense tourbillon d'affaires commerciales; que préoccupé
d’une multitude de procès; qu'obligé de pourvoir, par des
inventions de tous les jours, aux difficultés d’une fabrication
naissante, Watt ait trouvé le temps de suivre pas à pas les
progrès de la chimie, de faire de nouvelles expériences, de
proposer des explications dont les maîtres de la science eux-
mêmes ne se seraient pas avisés ?

Je ferai à cette difficulté une réponse courte, mais con-
cluante : j'ai dans les mains la copie d’une active correspon-
dance, relative principalement à des sujets de chimie, que
Watt entretint, à dater de 1782, de 1783°et de 1784, avec

DE WATT. CXLVI]

Priestley, Black, Deluc, l'ingénieur Smeaton, Gilbert Hamilton
de Glasgow, et Fry de Bristol.

Voici une objection qui semble plus spécieuse ; elle est
née d'une connaissance approfondie du cœur humain.

La découverte de la composition de l’eau, marchant au
moins de pair avec les admirables inventions dont la ma-
chine à vapeur offre la réunion, peut-on supposer que Watt
ait consenti de gaieté de cœur ou du moins, sans en témoi-
gner son déplaisir, à se voir dépouillé de l'honneur qu’elle
devait éternellement faire rejaillir sur son nom ?

Ce raisonnement a le défaut de pécher complétement par
sa base. Watt ne renonça jamais à la part qui lui revenait
légitimement dans la découverte de la composition de l’eau.
Il fit scrupuleusement imprimer son mémoire dans les
Transactions philosophiques. Une note détaillée constata
authentiquement la date de la présentation des divers para-
graphes de cet écrit. Que pouvait, que devait faire de plus
un philosophe du caractère de Watt, si ce n’était d'attendre
patiemment le jour de la justice? Au reste, il s'en fallut de
bien peu qu'une maladresse de Delue n’arrachät notre con-
frère à sa longanimité naturelle. Le physicien génevois
après avoir averti l'illüstre ingénieur de l’inexplicable absence :
de son nom dans la première rédaction du mémoire de
Cavendish ; après avoir qualifié cet oubli dans des termes
que de si hautes renommées ne me permettent pas de rap-
porter, écrivait à son ami : « Je vous conseillerai presque,
« attendu votre position, de tirer de vos découvertes des
« conséquences pratiques pour votre fortune. Il vous faut
« éviter de vous faire des jaloux. »

S 2

CXLVII] ÉLOGE HISTORIQUE

Ces quelques mots blessèrent l'âme élevée de Watt. « Si je
« ne réclame pas mes droits sur-le-champ, répondit-il, im-
« putez-le à une indolence de caractère qui me fait trouver
« plus aisé de supporter l'injustice, que de combattre pour
en obtenir le redressement. Quant à des considérations
d'intérêt pécuniaire, elles n’ont à mes yeux aucune valeur.

=

Au surplus, mon avenir dépend des encouragements que
le publie voudra bien m'accorder, mais nullement de ceux
de M. Cavendish et de ses amis. »

Dois-je craindre d'avoir attaché trop d'importance à la

AA À A #

théorie que Watt imagina pour expliquer les expériences de
Priestley ? Je ne le pense pas. Ceux qui refuseraient un juste
suffrage à cette théorie, parce qu'elle semble maintenant
une conséquence inévitable des faits, oublieraient que les
plus belles découvertes de l'esprit humain ont été surtout
remarquables par leur simplicité. Que fit Newton, lui-même,
lorsque répétant une expérience déjà connue quinze siècles
auparavant il découvrit la composition de la lumière
blanche ? Il donna de cette expérience une interprétation
tellement naturelle, qu'il paraît impossible aujourd'hui d'en
trouver une autre. Tout ce qu'on tire, dit-il, à l'aide de
quelque procédé que ce soit, d'un faisceau de lumière
blanche, y était contenu à l'état de mélange. Le prisme de
verre n'a aucune faculté créatrice. Si le faisceau parallèle
et infiniment délié de lumière solaire qui tombe sur sa pre-
mière face, sort par la seconde en, divergeant et avec une
largeur sensible, c'est que le verre sépare ce qui dans le
faisceau blanc était, par sa nature, inégalement réfrangible.
Ces paroles ne sont pas autre chose que la traduction litté-

DE WATT. CXLIX

rale de l'expérience connue du spectre solaire prismatique.
Cette traduction avait cependant échappé à un Aristote, à
un Descartes, à un Robert Hooke !

Venons, sans sortir du sujet, à des arguments qui iront au
but plus directement encore. La théorie, concue par Watt,
de la composition de l’eau, arrive à Londres. Si dans les

idées du temps elle est aussi simple, aussi évidente qu’elle nous

le paraît aujourd'hui, le conseil de la Société royale ne man-
quera pas de l’adopter. Il n’en est rien : son étrangeté fait même
douter de la vérité des expériences de Priestley. On va jus-
qu'à en rire, dit Deluc, comme de l'explication de la
dent d'or.

Une théorie dont la conception n'eût présenté aucune dif-
ficulté, aurait été certainement dédaignée par Cavendish.
Rappelez-vous avec quelle vivacité, sous l'inspiration de
cet homme de génie, Blagden en réclama la priorité contre
Lavoisier.

Priestley sur qui devait rejaillir une bonne part de l'hon-
neur attaché à la découverte de Watt; Priestley dont les sen-
timents affectueux pour le célèbre ingénieur ne pourraient
être contestés, lui écrivait, à la date du 29 avril 1783: « Re-
« gardez avec surprise et indignation la figure d’un appareil
«à l’aide duquel j'ai m#uiné sans retour votre belle hypo-
« thèse. »

En résumé, une hypothèse dont on riait à la Société royale;
qui faisait sortir Cavendish de sa réserve habituelle ; que
Priestley, mettant tout amour-propre de côté, s’attachait à
ruiner, mérite d'être enregistrée dans l’histoire des sciences
comme une grande découverte, quelque idée que des con-

CL ÉLOGE HISTORIQUE

naissances devenues vulgaires puissent nous en donner au-
jourd’hui (1).

Le blanchissage à l’aide du chlore, cette belle invention de
Berthollet, fut introduit en Angleterre par James Watt,
après le voyage qu'il fit à Paris vers la fin de l'année 1786.
Il construisit tous les appareils nécessaires, dirigea leur ins-
tallation , présida aux premières épreuves et, ensuite, confia
à M. Mac-Grégor, son beau-père, l'exploitation de la nou-
velle industrie. Malgré toutes les sollicitations de l'illustre
ingénieur, notre célèbre compatriote avait obstinément re-
Jusé (2) de s'associer à une entreprise qui n'offrait aucune
chance défavorable et dont les bénéfices semblaient devoir
être fort grands.

À peine venait-on de découvrir, pendant la seconde moitié
du sièele dernier, les nombreuses substances gazeuses qui
jouent aujourd'hui un si grand rôle dans l'explication
des phénomènes chimiques, qu'on songea à s'en servir

(x) Lord Brougham assistait à la séance publique où je payai, au nom
de l'Académie des sciences, ce tribut de reconnaissance et d’admiration à
la mémoire de Wait.

De retour en Angleterre, il recueillit de précieux documents et étudia
de nouveau la question historique à laquelie je viens de donner tant
de place, avec la supériorité de vues qui lui est familière, avec le
scrupule, en quelque sorte judiciaire, qu'on pouvait attendre de l’anciem
lord chancelier de la Grande-Bretagne. Je dois à une bienveillance dont
je sens tout le prix, de pouvoir offrir au public le fruit encore inédit
du travail de mon illustre confrère. On le trouvera à la suite de cet éloge.

(2) Le terme est exact, quelque fabuleux qu'il puisse paraître dans le

siècle où nous vivons.

DE WATT. CL]

comme médicament. Le docteur Beddoës poursuivit cette
idée avec sagacité et persévérance. Des souscriptions partieu-
lières lui permirent même de créer à Clifion, près de Bristol,
sous le nom de Preumatic Institution, un établissement où
les propriétés thérapeutiques de tous les gaz devaient être
soigneusement étudiées. L’/nstitution Pneumatique eut l'a-
vantage d’avoir quelque temps à sa tête, le jeune Humphry
Davy qui débutait alors dans la Carrière des sciences. Elle
put aussi se glorifier de compter James Watt parmi ses fon-
dateurs. Le célèbre ingénieur fit plus : il imagina, décrivit
et exécuta dans les ateliers de Soho les appareils qui servaient
à engendrer les gaz et à les administrer aux patients\Je trouve
plusieurs éditions de ses mémoires, aux dates de 1794, de
1799 et de 1796.

Les idées de notre confrère se tournèrent de ce côté, lorsque
plusieurs de ses proches et de ses amis lui eurent été cruelle-
mentenlevés,avant l’âge, par des maladies de poitrine.C'étaient
surtout les lésions des organes de la respiration qui paraissaient
à Watt pouvoir être traitées à l’aide des propriétés spécifiques
des nouveaux gaz. Il attendait aussi quelque avantage de l'ac-
tion du fer ou du zinc que l'hydrogène entraîne en molécules
impalpables , quand il est préparé de certaines manières. J'a-
jouterai , enfin, que parmi les nombreuses notes de médecins
publiées par le docteur Beddoës et annonçant des résultats
plus ou moins décisifs , il en estune, signée John Carmichael,
relative à la guérison radicale de l’hémoptysie d'un domesti-
que, Richard Newberry, à qui M. Watt faisait lui-même
respirer de temps à autre un mélange de vapeur d'eau .et
d'acide carbonique. Quoique je reconnaisse sans difficulté
ma profonde incompétence en ‘pareille matière, ne me sera-

CL] ÉLOGE HISTORIQUE

t-il pas permis de regretter qu'une méthode qui compta parmi
ses adhérents, des Watt, des Jenner, soit aujourd’hui entière-
ment abandonnée, sans qu’on puisse citer des expériences
suivies, en opposition manifeste avec celles du Preumatic Ins-
titution de Clifton (1)?

Watt dans la retraite. Détails sur sa vie et son caractère.
Sa mort. Les nombreuses statues élevées à sa mémoire.
Réflexions.

Watt avait épousé, en 1764, sa cousine M" Miller. C'était
une personne accomplie dont l'esprit distingué, la douceur
inaltérable, le caractère enjoué arrachèrent bientôt le célèbre
ingénieur à l'indolence ,au découragement, à la misanthropie
qu'une maladie nerveuse et l'injustice des hommes menaçaient
de rendre fatale. Sans M" Miller, Watt n'aurait peut-être
jamais livré au public ses belles inventions. Quatre enfants,
deux garcons et deux filles, sortirent de cette union. Madame
Watt mourut en couche, d’un troisième garçon qui ne vécut
pas. Son mari était alors occupé dans le nord de l'Écosse ,
des plans du canal Calédonien. Que ne m'est-il permis de
transcrire ici avec leur naïveté, quelques lignes du journal
dans lequel il déposait chaque jour ses pensées les plus in-
times, ses craintes, ses espérances! que ne puis-je vous le mon-
trer s'arrêtant, après son malheur, sur le seuil de la porte de la
maison où ne l’attendait plus sa douce bienvenue (my Kind

(1) Vingt ans avant la naissance de l'institution pneumatique de Bristol,
Watt appliquait déjà ses connaissances chimiques et minéralogiques au
perfectionnement des produits d’une poterie qu'il avait établie à Glasgow
avec quelques amis, et dont il resta actionnaire jusqu’à la fin de sa vie.

DE WATT. CLII]

welcomer); n'ayant pas la force de pénétrer dans des appar-
tements où il ne devait plus trouver le confort de sa vie (the
comfort of my life)! Peut-être la peinture si vraie d’une douleur
profonde réduirait-elle enfin au silence les esprits systéma-
tiques qui, sans s'arrêter à mille et mille démentis éclatants,
refusent les qualités du cœur à tout homme dont l'inteili-
gence s’est nourrie des vérités fécondes, sublimes, impéris-
sables des sciences exactes.

Après quelques années de veuvage, Watt eut encore le
bonheur de trouver dans M" Mac Gregor, une compagne
digne de lui par la variété des talents, par la sûreté de ju-
gement, par la force de caractère (1).

À l'expiration du privilége que le parlement lui avait con-

_féré, Watt (au commencement de 1800) se retira entièrement
des affaires. Ses deux fils lui succédèrent. Sous la direction
éclairée de M. Boulton fils et des jeunes MM. Watt, la fa-
brique de Soho continua à prospérer et prit même de nou-
veaux, d'importants développements. Aujourd’hui encore
elle occupe le premier rang parmi les établissements anglais
destinés à la‘ construction des grandes machines. Le second des
deux fils de notre confrère, Gregory Watt, avait débuté dans
le monde de la manière la plus brillante ;par des compositions
littéraires et des travaux de géologie. Il mourut en 1804, à
l'âge de 27 ans, d'une maladie de poitrine. Cet événement
cruel atterra l’illustre ingénieur. Les soins touchants de sa fa-
mille, de ses amis, parvinrent très-difficilement à entretenir

(x) M°° Watt (Mac-Gregor) s’éteignit en 1832, dans un âge très-avancé.
Elle avait eu la douleur de survivre aux deux enfants qui étaient issus de
son mariage avec M. Watt. )

T. XVII. Æist. 1838. TP

CLIV ÉLOGE HISTORIQUE

quelque calme dans un cœur à demi brisé. Cette trop juste
douleur a paru pouvoir expliquer le silence presque absolu
que Watt a gardé pendant les dernières années de sa vie. Je
suis loin de nier qu'elle ait été sans influence; mais qu'est-il
besoin de recourir à des causes extraordinaires, lorsque nous
lisons déjà, à la date de 1783, dans une lettre de Watt à son
ami le docteur Black : «Rappelez-vous bien que je n'ai aucun
« desir d'entretenir le public des expériences que j'ai faites; »
lorsque nous trouvons ailleurs ces paroles bien singulieres
dans la bouche d’un homme qui a rempli le monde de son
nom: «Je ne connais que deux plaisirs : la paresse et le
«sommeil.» Ce sommeil, au reste, était bien léger. Disons-
le aussi, il suffisait de la moindre excitation pour arracher
Watt à sa paresse favorite. Tous les objets qui s'offraient à
lui recevaient peu à peu dans son imagination, des change-
ments de forme, de construction, de nature qui les auraient
rendus susceptibles d'applications importantes. Ces concep-
tions, faute d'occasion de se produire, étaient perdues pour
le monde. Voici une anecdote qui expliquera ma pensée :
Une compagnie avait établi à Glasgow, sur la rive droite
de la Clyde, de grands bâtiments et de puissantes machines
destinées à porter de l'eau dans toutes les maisons de la ville.
Quand ce travail fut achevé, on s’aperçut qu'il existait près
de la rive opposée une source, où plutôt une espèce de filtre
naturel qui donnait à l'eau des qualités évidemment supé-
rieures. Déplacer l'établissement n'était pas même proposa-
ble; aussi pensa-t-on à installer au fond et tout au travers de
la rivière, un tuyau de conduite rigide dont l'embouchure
se serait constamment trouvée dans la nappe d'eau potable ;
mais la construction du plancher destiné à supporter un

DE WATT. CLV
pareil tuyau sur un lit vaseux, changeant, très-inégal et
toujours couvert de plusieurs pieds d'eau, semblait devoir
exiger de trop fortes dépenses. Watt fut consulté. Sa solu-
tion était toute prête : en voyant un homard sur sa table,
quelques jours auparavant, il avait cherché et trouvé com-
ment la mécanique pourrait avec du fer, engendrer une
pièce à articulations qui aurait toute la mobilité de la queue
du crustacé; c'est donc un tuyau de conduite articulé, sus-
ceptible de se plier de lui-même à toutes les inflexions pré-
sentes et futures du lit de la rivière, qu'il proposa; c’est
une queue de homard en fer, de deux pieds anglais de dia-
mètre et d'un millier de pieds de longueur que, d’après les
plans et les dessins de Watt, la compagnie de Glasgow fit
exécuter avec un succès complet. ;

Ceux qui eurent le bonheur de connaître personnellement
notre confrère, n'hésitent pas à déclarer que chez lui les
qualités du cœur. étaient encore au-dessus des mérites du
savant. Une candeur enfantine, la plus grande simplicité de
manières, l'amour de la justice poussé jusqu’au scrupule, une
inépuisable bienveillance, voilà ce qui à laissé en Écosse,
en Angleterre des souvenirs ineffaçables. Watt, d'habitude si
modéré, si doux, se crispait quand devant lui une inven-
tion n'était pas attribuée à son véritable auteur; lorsque,
surtout, quelque bas adulateur voulait l'enrichir lui-même
aux dépens d'autrui. À ses yeux les découvertes scienti-
fiques étaient le premier des biens. Des heures entières de
discussion ne lui semblaient pas de trop, s'il fallait faire
rendre justice à des inventeurs modestes dépossédés par des
plagiaires, ou seulement oubliés d'un public ingrat.

La mémoire de Watt pouvait être citée comme prodi-
2

CLY) ÉLOGE HISTORIQUE

gieuse, même à côté de tout ce qu'on a raconté de cette fa-
culié chez quelques hommes privilégiés. L’étendue était,
cependant, son moindre mérite : elle s’assimilait tout ce qui
avait quelque valeur; elle rejetait sans retour, presque ins-
tinctivement, les superfluités qu'il eût été inutile de con-
server.
. La variété de connaissances de notre confrère serait vrai-
ment incroyable, si elle n’était attestée par plusieurs hommes
éminents. Lord Jeffrey, dans une éloquente notice, caractérisa
heureusement l'intelligence à la fois forte et subtile de son
ami, quand il la compara à la trompe, si merveilleusement
organisée, dont l'éléphant se sert avec une égale facilité
pour saisir une paille et pour déraciner un chêne.

Voici en quels termes sir Walter Scott parle de son com-
patriote, dans la préface du Monastère :

« Watt n'était pas seulement le savant le plus profond;
« celui qui avec le plus de succès avait tiré de certaines com-
« binaisons de nombres et de forces des applications usuelles ;
«il n’occupait pas seulement un des premiers rangs parmi
« ceux qui se font remarquer par la généralité de leur ins-
«truction ; il était encore le meilleur, le plus aimable des
« hommes. La seule fois que je l’aie rencontré, il était en-
« touré d’une petite réunion de littérateurs du Nord... Là,
«je vis et j'entendis ce que je ne verrai et n'entendrai plus
« jamais. Dans la quatre-vingt-unième année de son äge, le
« vieillard, alerte, aimable, bienveillant, prenait un vif inté-
« rêt à toutes les questions; sa science était à la disposition
« de qui la réclamait. Il répandait les trésors de ses talents et
« de son imagination sur tous les sujets. Parmi les gentlemen
«se trouva un profond philologue; Watt discuta avec lui

DE WATT. CLVI)

« sur l'origine de l'alphabet comme s'il avait été le contem-
«porain de Cadmus. Un célèbre critique s'étant mis de la
«partie, vous eussiez dit que le vieillard avait consacré sa
« vie tout entière à l'étude des belles-lettres et de l’économie
«politique. Il serait superflu de mentionner les sciences :
«c'était sa carrière brillante et spéciale; cependant, quand
«il parla avec notre compatriote Jedediah Cleishbotham,
«vous auriez juré qu'il avait été le contemporain de Claver-
« house et de Burley, des persécuteurs et des persécutés ; il
œaurait fait, en vérité, le dénombrement exact des coups de
e fusil que les dragons tirèrent sur les Covenants fugitifs.
« Nous découvrimes, enfin, qu'aucun roman du plus léger
«renom ne lui avait échappé, et que la passion de l'illustre
«savant pour ce genre d'ouvrages était aussi vive que celle
«qu'ils inspirent aux jeunes modistes de dix-huit ans. »

Si notre confrère l’eût voulu il se serait fait un nom parmi
les romanciers. Au milieu de sa société intime, il manquait
rarement d'enchérir sur les anecdotes terribles, touchantes ou
bouffonnes qu'il entendait conter. Les détails minutieux de
ses récits, les noms propres dont il les parsemait; les descrip-
tions techniques des châteaux, des maisons de campagne,
des forêts, des cavernes où la scène était successivement
transportée, donnaient à ces improvisations un-si grand air
de:wérité qu'on se serait reproché le plus léger sentiment
de défiance. Certain jour, cependant, Watt éprouvait
de l'embarras à tirer ses personnages du dédale dans
lequel il les avait imprudemment jetés. Un de ses amis s’en
aperçut au nombre inusité de prises de tabac à l’aide duquel
le conteur voulait légitimer de fréquentes pauses et se
donner le temps de la réflexion. Aussi lui adressa-t-il cette

CLVII] ÉLOGE HISTORIQUE

question indiserète : « Est-ce, par hasard, que vous nous
«raconteriez une histoire de votre cru?» — «Ce doute
«m'étonne, repartit naïvement le vieillard : depuis vingt
« ans que j'ai le bonheur de passer mes soirées avec vous,
«je ne fais pas autre chose! Est-il vraiment possible qu'on
« ait voulu faire de moi un émule de Robertson ou de Hume,
« lorsque toutes mes prétentions se bornaient à marcher, de
« bien loin, sur les traces de la princesse Scheherazade des
« Mille et une Nuits ? »

Chaque année, durant un très-court voyage à Londres ou
dans d’autres villes moins éloignées de Birmingham, Watt
faisait un examen détaillé de tout ce qui avait paru de neuf
depuis sa précédente visite. Je n’en excepte même pas le spec-
tacle des puces travailleuses et celui des marionnettes, car
l'illustre ingénieur y assistait avec l'abandon et la joie
d’un écolier. En suivant, encore aujourd'hui, l'itinéraire de
ces courses annuelles, nous trouverions en plus d’un endroit
des traces lumineuses du passage de Watt. A Manchester,
par exemple, nous verrions le bélier, d’après la proposition de
notre confrère, servant à élever l’eau de condensation d’une ma-
chine à vapeur, jusqu’au réservoir alimentaire de la chaudière.

Watt résidait ordinairement dans une terre voisine de
Soho, nommée Heathfeld, dont il avait fait l'acquisition vers
1790. Le respect religieux de mon ami, M. James Watt, pour
tout ce qui rappelle la mémoire de son père, m'a valu, en
1834, la satisfaction de retrouver la bibliothèque et les meu-
bles de Heathfeld, dans l’état où l'illustre ingénieur les laissa.
Une autre propriété bordant les rives pittoresques de la
rivière Wye (pays de Galles), offre aux voyageurs des preuves
multipliées du goût éclairé de Watt et de son fils, pour l'amé-

DE WATT. CLIX

lioration des routes, pour les plantations, pour les travaux
agricoles de toute nature. £

La santé de Watt s'était fortifiée avec l’âge. Ses facultés
intellectuelles conservèrent toute leur puissance jusqu'au
dernier moment. Notre confrère erut une fois qu'elles décli-
naient, et fidèle à la pensée qu'exprimait le cachet dont il

avait fait choix (un œil entouré du mot observare), il se
décida à éclaircir ses doutes en s’observant lui-même :; et le
voilà, plus que septuagénaire, cherchant sur quel genre d’é--
tude il pourrait s'essayer, et se désolant de ne trouver aucun
sujet vierge pour son esprit. Îl se rappelle, enfin, qu'il existe
une langue anglo-saxonne, que cette langue est difficile, et
l'anglo-saxon devient le moyen expérimental désiré, et la
facilité qu'il trouve à s'en rendre maître lui montre le peu
de fondement de ses appréhensions.

Watt consacra les derniers moments de sa vie à la cons-
truction d'une machine destinée à copier promptement
et avec une fidélité mathématique, les pièces de statuaire et
de sculpture de toutes dimensions. Cette machine dont il
faut espérer que les arts ne seront pas privés, doit être fort
avancée. On voit plusieurs de ses produits, déjà fort satis-
faisants, dans divers cabinets d'amateurs de l'Écosse et de
l'Angleterre. L'illustre ingénieur les avait présentés gaiement,
comme les premiers essais d’un jeune artiste entrant dans
la quatre-vingt-troisième année de son âge.

Cette quatre-vingt-troisième année, il ne fut pas donné à
notre confrère d'en voir la fin. Dès les premiers jours de l'été
de 1819, des symptômes alarmants défièrent tous les efforts
de la médecine. Watt lui-même ne se fit pas illusion. « Je
suis touché, disait-il aux nombreux amis qui le visitaient,
je suis touché de l'attachement que vous me montrez. Je

CLX ÉLOGE HISTORIQUE

me hâte de vous en remercier, car me voilà parvenu à
ma dernière maladie. » Son fils ne lui paraissait pas assez ré-
signé; chaque jour il. cherchait un nouveau prétexte pour lui
signaler avec douceur, avee bonté, avec tendresse, «tous les
«motifs de consolation que lui apporteraient les circons-
« tances dans lesquelles allait arriver un événement inévi-
« table. » Ce triste événement arriva en effet le 25 août 1819.

Watt fut enterré à côté de l’église paroissiale de Heathfeld,
près de Birmingham, dans le comté de Stafford. M. James
Watt, dont les talents distingués, dont les nobles sentiments
embellirent pendant près de vingt-cinq ans la vie de son père,
Jui a fait ériger un splendide monument gothique, qui rend au-
jourd'hui l’église de Handsworth extrêmement remarquable.
Au centre s'élève une admirable statue en marbre, exécutée
par M. Chantrey, et qui est la reproduction fidèle des nobles
traits du vieillard.

Une seconde statue en marbre, sortie des ateliers du même
sculpteur, à été placée aussi par la piété filiale, dans l’une
des salles de la brillante université où, pendant sa jeunesse,
l'artiste encore inconnu et en butte aux tracasseries des cor-
porations, reçut des encouragements si flatteurs et si mérités.
Greenock n'a pas oublié que Watt y naquit. Ses habitants
font exécuter, à leurs frais, une statue en marbre de l'illustre
mécanicien. On la placera dans une belle bibliothèque, cons-
truite sur un terrain donné gratuitement par sir Michel
Shaw Stewart, et où seront aussi réunis les livres que la
ville possédait, et la collection d'ouvrages de sciences dont
Watt l'avait dotée de son vivant. Ce bâtiment a déjà. couté
3500 livres sterling (près de 80000 fr. de notre monnäïe),
dépense considérable à laquelle la libéralité de M. Watt fils

a pourvu, Une grande statue colossale en bronze qui domine,

DE WATT. CLX]
sur une belle base de granit, un des angles de George square,
à Glasgow, montre à tous les yeux combien cette capitale
de industrie écossaise est fière d'avoir” été le berceau des
découvertes de Watt. Les portes de l'abbaye de Westminster,
enfin, se sont ouvertes à la voix d’une imposante réunion de
souscripteurs : une statue colossale de notre confrère, en
marbre de Carrare, chef-d'œuvre de M. Chantrey, et dont
le piédestal porte une inscription de lord Brougham (1), est

(1) Voici cette inscription :

Not to perpetuate a name
which must endure while the peaceful arts flourish
But to shew
that mankind have learnt to honour those
who Lest deserve their gratitude
the King

his Ministers and many of the Nobles

and Commoners of the Realm
raised this monument to
James War
who directing the force of an original genius
earb exercised in philosophic research
to the improvement of.
the Steam Engine

enlarged the resources of his country
increased the power of man
and rose to an eminent place

among the most illustrious followers of science
and the real bencfactors of the world
Born at Grcenock MDCCXXXVTI
Died at Heathfield in Staffordshire MDCCCXIX
T. XVII. Æist. 1838. U

CLXI] ÉLOGE HISTORIQUE

devenue, depuis quelques années, l’un des principaux orne-
ments du Panthéon anglais. Sans doute, il y a eu quelque
- coquetterie à réunir les noms illustres de Watt, de Chantrey
et de Brougham sur le même monument; mais je ne saurais
trouver là le sujet d’un blâme: gloire aux peuples qui saisissent
ainsi toutes les occasions d’'honorer leurs grands hommes !

Voilà, de compte fait, cinq grandes statues élevées en peu
de temps à la mémoire de Watt. Faut-il l'avouer? Ces
hommages, de la piété filiale, de la reconnaissance publi-
que, ont excité la mauvaise humeur de quelques esprits
rétrécis qui en restant stationnaires croient arrêter la mar-
che des siècles? A les en croire, des hommes de guerre, des
magistrats, des ministres (je dois avouer qu'ils n’ont pas osé
dire tous les ministres), auraient droit à des statues. Je ne
sais si Homère, si Aristote, si Descartes, si Newton, parai-
traient à nos nouveaux Aristarques, dignes d’un simple buste;
à coup sûr ils refuseraient le-plus modeste médaillon aux
Papin, aux Vaucanson, aux Watt, aux Arkwright et à d’au-
tres mécaniciens, inconnus peut-être dans un certain monde,
mais dont la renommée ira grandissant d'âge en âge avec les
progrès des lumières. Lorsque de semblables hérésies osent
se produire au grand jour, il ne faut pas dédaigner de les
combattre. Ce n’est point sans raison qu'on a appelé le pu-
blic une éponge à préjugés; or les préjugés sont comme les
plantes nuisibles : le plus petit effort suffit pour les extirper
si on les saisit à leur naissance; ils résistent, au contraire,
quand on leur a laissé le temps de croître, de s'étendre, de
saisir dans leurs nombreux replis tout ce qui se trouvait à
leur portée.

Si cette discussion blesse quelques amours- propres,

25e

ï
:

DE WATT. CLxXII]

je remarquerai qu'elle a été provoquée. Les hommes d'é-
tude de notre époque avaient-ils jusqu'ici fait entendre
des plaintes en ne voyant aucun des grands auteurs dont
ils cultivent l'héritage, figurer dans ces longues rangées
de statues colossales que l'autorité élève fastueusement sur
nos ponts, sur nos places publiques? Ne savent:ils pas que
ces monuments sont fragiles; que les ouragans les ébranlent
et les renversent; que les gelées suffisent pour en ronger les
contours, pour les réduire à des blocs informes ?

Leur statuaire, leur peinture à eux, c’est l'imprimerie. Grâce
à cette admirable invention, quand les ouvrages que la science,
que l'imagination enfantent, ont un mérite réel, ils peuvent
défier le temps et les révolutions politiques. Les exigences du
fisc, les inquiétudes, les terreurs des despotes ne sauraient
empêcher ces productions de franchir les frontières les mieux
gardées. Mille navires les transportent, sous tousles formats,
d’un hémisphère à l’autre: On les médite à la fois en Islande
et à la terre de Van-Diemen; on les lit à la veillée de l'humble
chaumière, on les lit aux brillantes réunions des palais. L'é-
crivain, l'artiste, l'ingénieur sont connus, sont appréciés du
monde entier, par ce qu'il y a dans l'homme de plus noble, de
plus élevé: par l'âme, par la pensée , par l'intelligence. Bien fou
celui qui placé sur un pareil théâtre, se surprendrait à dési-
rer que ses traits, reproduits en marbre ou en bronze, même
par le ciseau d'un David, fussent un jour exposés aux re-
gards des promeneurs désœuvrés. De tels honneurs, je le
répète, un savant, un littérateur, un artiste peuvent ne pas
les envier, mais ils ne doivent souffrir à aucun prix qu’on
les en déclare indignes. Telle est, du moins, la pensée qui m'a
suggéré la discussion que je vais soumettre à vos lumières.

U 2

CLXIV ÉLOGE HISTORIQUE

N'est-ce pas une circonstance vraiment étrange, qu'on se
soit avisé de soulever les prétentions orgueilleuses que je
combats, précisément à l’occasion de cinq statues qui n’ont
pas coûté une seule obole au trésor publie? Loin de moi,
cependant, le projet de profiter de cette maladresse. Jaime
mieux prendre la question dans sa généralité, telle qu’on
l'a posée : la prétendue prééminence des armes sur les
lettres, sur les sciences, sur les arts; car, il ne faut pas s'y
tromper, si l'on a associé des magistrats, des adminis-
trateurs aux hommes de guerre, c’est seulement comme un
passe-port. -

Le peu de temps qu'il n'est permis de consacrer à cette
discussion, m'impose le devoir d'être méthodique. Pour qu'on
ne puisse pas se meéprendre sur mes sentiments, Je déclare
d'abord bien haut, que l'indépendance, que les hbertés
nationales sont à mes yeux les premiers des biens; que
les défendre contre l'étranger ou contre les ennemis inté-
rieurs, est le premier des devoirs; que les avoir défendues
au prix de son sang, est le premier des titres à la reconnais-
sance publique. Élevez, élevez de splendides monuments à
la mémoire des soldats qui succombèrent sur les glorieux
remparts de Mayence, dans les champs immortels de Zurich,
de Marengo, et certes mon offrande ne se fera pas attendre:
mais n'exigez pas que je fasse violence à ma raison, aux senti-
ments que la nature a jetés dans le cœur humain; n'espérez
pas que je consente jamais à placer tous les services mili-
taires sur une même ligne.

Quel Français, homme de cœur, même au temps de
Louis XIV, aurait voulu aller chercher un exemple de cou-
rage, soit dans les cruelles scènes des Dragonnades, soit

DE WATT. CLXV

dans les tourbillons de flamme qui dévoraient les villes, les
villages, les riches campagnes du Palatinat ?

Naguère, après mille prodiges de patience, d'habileté, de
bravoure, nos vaillants soldats pénétrant dans Saragosse
à moitié renversée, atteignirent la porte d'une église où le
prédicateur faisait retentir aux oreilles de la foule résignée
ces magnifiques paroles : « Espagnols, je vais célébrer vos
funérailles! » Que sais-je? mais, ensce moment, les vrais
amis de notre gloire nationale balancçant les mérites divers
des vainqueurs et des vaincus, auraient peut-être volontiers
interverti les rôles !

Mettez, j'y consens, entièrement de côté Ja question de
moralité. Soumettez au creuset d'une critique consciencieuse,
les titres personnels de certains gagneurs de batailles, et
croyez qu'après avoir donné une part équitable au hasard,

‘ espèce d’allié dont on fait toujours abstraction parce qu'il

est muet, bien de prétendus héros vous paraîtront peu dignes
de ce titre pompeux.

Si on le croyait nécessaire, je ne reculerais pas devant
un examen de détail, moi, cependant, qui, dans une car-
rière purement ‘académique ai dû trouver peu d'occasions .
de recueillir des documents précis sur un pareil sujet. Je
pourrais, par exemple, citer dans nos propres annales, une
bataille moderne, une bataille gagnée, dont la relation of-
ficielle rend compte comme d’un événement prévu, préparé
avec le calme, avec l'habileté la plus consommée, et qui, en
réalité, se donna par l'élan spontané des soldats, sans aucun
ordre du général en chef auquel l'honneur en est revenu,
sans qu'il y fût, sans qu'il le sût.

Pour échapper au reproche banal d'incompétence, Jap-

CLXY] ÉLOGE HISTORIQUE

pellerai quelques hommes de guerre eux-mêmes au se-
cours de la thèse philosophique que je soutiens. On verra
combien ils furent appréciateurs enthousiastes , éclairés des
travaux intellectuels; on verra que jamais, dans leur sentiment
intime, les œuvres de l'esprit n’occupèrent le second rang.
Obligé de me restreindre, j'essaierai de suppléer au nombre
et à la nouveauté par l'éclat de la renommée : je citérai
Alexandre, Pompée, César, Napoléon!

L’admiration du conquérant macédonien pour Homère est
historique. Aristote, sur sa demande, prit le soin de revoir
le texte de l'Iliade. Cet exemplaire corrigé devint son livre
chéri, et lorsqu'au centre de l'Asie, parmi les dépouilles de
Darius, un magnifique coffret enrichi d’or, de perles et de
pierreries, paraissait exciter la convoitise de ses premiers
lieutenants : « Qu'on me le réserve, » s’écria le vainqueur
d’Arbelles ; « j'y renfermerai mon Homère. C’est le meilleur
«et le plus fidèle conseiller que j'aie en mes affaires militai-
« res. Îl est juste, d’ailleurs , que la plus riche production des
«arts serve à conserver l'ouvrage le plus précieux de l'esprit
« humain. » à

Le sac de Thèbes avait déjà montré, plus clairement encore,
le respect et l'admiration sans bornes d'Alexandre pour les
lettres. Une seule famille de cette ville populeuse échappa à
la mort et à l'esclavage : ce fut la famille de Pindare. Une
seule maison resta debout au milieu des ruines des temples,
des palais et des habitations particulières ; ce fut la maison
où Pindare naquit et non pas celle d'Épaminondas !

Lorsque après avoir terminé la guerre contre Mithridate,
Pompée alla rendre visite au célèbre philosophe Possidonius,
il défendit aux licteurs de frapper à la-porte avec leurs ba-

:

+ DE WATT. CLXVI]

guettes, comme c'était l'usage. Ainsi, dit Pline, s’abais-
sèrent en face de l’humble demeure d'un savant, les faisceaux
de celui qui avait vu l'Orient et l'Occident prosternés de-
vant Jui! :

César , que les lettres pourraient aussi revendiquer , laisse
apercevoir clairement en vingt endroits des immortels Com-
mentaires , quel ordre occupaient dans sa propre estime les
divers genres de facultés dont la nature l'avait si libéralement
doté. Comme il est bref, comme il est rapide, quand il
raconte des combats, des batailles ! Voyez, au contraire, s’il
croit aucun détail superflu dans la description du pont
improvisé sur lequel son armée traversa le Rhin. C'est qu'ici
le succès dépendait uniquement de la conception , et qué la
conception lui appartenait tout entière. On l’a déjà remarqué
aussi, la part que César s’attribue de préférence dans les évé-
nements de guerre, celle dont il semble le plus fier est une
influence morale. César harangua son armée, est presque
toujours la première phrase de la description des batailles
gagnées. César n'était pas arrivé assez tôt pour parler à ses
soldats, pour les exhorter à se bien conduire , est l'accompa-
gnement habituel du récit d’une surprise ou d’une déroute
momentanée. Le général prend constamment à tâche de s’ef-
facer devant l’orateur, et de vray, dit le judicieux Montaigne,
sa langue lui a faict en plusieurs lieux de bien notables ser-
vices ! |

Maintenant, sans transition , sans même insister sur cette
exclamation connue du grand Frédéric : « J'aimerais mieux
« avoir écrit le siècle de Louis XIF de Voltaire, qu’asoir
« gagné cent batailles , » j'arrive à Napoléon. Comme il faut
se hâter, je ne rappellerai ni les proclamations célèbres , |

CLXVII] ÉLOGE HISTORIQUE

écrites à l'ombre des pyramides égyptiennes par le membre
de l'Institut général en chef de l'armée de l'Orient; ni les
traités de paix où des monuments d'art et de science étaient
le prix de la rançon des peaples vaincus; ni la profonde estime
que le général, devenu empereur, ne cessa d'accorder aux
Lagrange, aux Laplace, aux Monge, aux Berthollet ; ni les
richesses, ni les honneurs dont il les combla. Une anecdote
peu connue ira plus directement à mon but.

Tout le monde se rappelle les prix décennaux. Les quatre
classes de l'Institut avaient tracé des analyses rapides des
progrès des sciences, des lettres, des arts. Les présidents et
les secrétaires devaient être successivement appelés à les lire
à Napoléon, devant les grands dignitaires de l'empire et le
conseil d'État.

Le 27 février 1808, le tour de l’Académie francaise arrive.
Comme on peut le deviner, l'assemblée ce jour-là est plus
nombreuse encore que d'habitude : qui ne se croit juge très-
compétent en matière de goût ? Chénier porte la parole. On
l'écoute avec un religieux silence, mais tout à coup l'empe-
reur l’interrompt , et la main sur le cœur, le corps penché, la
voix altérée par une émotion visible : « C’est trop, c'est
« trop, messieurs, » s'écria-t-il, « vous me comblez; les
« termes me manquent pour vous témoigner ma reconnais-
« sance! »

Je laisse à deviner la profonde surprise de tant de courti-
sans témoins de cette scène, eux qui d’adulation en adula-
tion étaient arrivés à dire à leur maître et sans qu'il en parût
étonné : « Quand Dieu eut créé Napoléon, il sentit le besoin
« de se reposer! »

Mais quelles étaient enfin les paroles qui allèrent si juste,

DE WATT. CLXIX

si directement au cœur de Napoléon? Ces paroles, les
voici :

« Dans les camps où, loin des calamités de l'intérieur, la
« gloire nationale se conservait inaltérable , naquit une autre
« éloquence, inconnue jusqu'alors aux peuples modernes. Il
« faut même en convenir : quand nous lisons dans les écri-
« vains de l'antiquité les harangues des plus renommés capi-
« taines, nous sommes tentés souvent de n’y admirer que le
« génie des historiens. Ici le doute est impossible ; les monu-
« ments existent : l’histoire n’a plus qu'à les rassembler.
« Elles partirent de l’armée d'Italie, ces belles proclamations
« où le vainqueur de Lodi et d’Arcole, en mème temps qu'il
« créait un nouvel art de la guerre, créa l'éloquence mili-
« taire dont il restera le modèle. »

Le 28 février, le lendemain de la célèbre séance dont je
viens de tracer le récit, le Moniteur , avec sa fidélité recon-
nue, publia une réponse de l’empereur au discours de Ché-
nier. Elle était froide, compassée, insignifiante; elle avait
enfin tous les caractères, d’autres diraient toutes les qualités
d'un document officiel. Quant à l'incident que j'ai rappelé,
il n’en était fait aucune mention ; concession misérable aux
opinions dominantés, à des susceptibilités d'état-major ! Le
maître du monde, pour me servir de l'expression de Pliné,
cédant un moment à sa pensée intime, n'en avait pas moins
incliné ses faisceaux devant le titre littéraire qu'une académie
lui décernait.

Ces réflexions sur le mérite comparatif des hommes d’é-
tude et des hommes d'épée, quoiqu’elles m’aient été prin-
cipalement suggérées par ce qui se dit, par ce qui se passe

T. XVII Hist. 1838. V

CLXX ÉLOGE HISTORIQUE
sous nos yeux, ne seraient pas sans application dans la patrie
de Watt. Je parcourais, naguère, l'Angleterre et l'Écosse. La
bienveillance dont j'étais Mobhtt. autorisait de ma part
jusqu'à ces questions sèches, incisives, directes, que, dans
toute autre circonstance, aurait pu seulement se permettre
un président de commission d'enquête. Déjà vivement préoc-
cupé de l'obligation où je serais à mon retour, de porter un
jugement sur l'illustre mécanicien ; déjà fort inquiet de tout
ce qu'a de solennel la réunion devant laquelle je parle, j'avais
préparé cette demande : « Que pensez-vous de l'influence
«que Watt a exercée sur la richesse, sur la puissance, sur
« la prospérité de l'Angleterre?» Je n'exagère pas en disant
que j'ai adressé ma question à plus de cent personnes
appartenant à toutes les classes de la société, à toutes les
nuances d'opinions politiques, depuis les radicaux les plus
vifs, jusqu'aux conservateurs les plus obstinés. La réponse
a été constamment la même : chacun placait les services de
notre confrère au-dessus de toute comparaison; chacun, au
surplus, me citait les discours prononcés dans le meeting où
la statue de Westminster fut votée, comme l'expression
fidèle et unanime des sentiments.de la nation anglaise. Ces
discours, que disent-ils ? ÿ

Lord Liverpool, premier ministre de la couronne, appelle
Watt « un des hommes les plus extraordinaires auxquels
« l'Angleterre ait donné naissance, un des plus grands bien-
« faiteurs du genre humain.» Il déclare que «ses inventions
«ont augmenté d’une manière incalculable les ressources de
«son pays et même celles du monde entier. » Envisageant
ensuite la question du côté politique : « J'ai vécu dans un

DE WATT. CLXX]

«temps, » ajoute-t-il, « où le succès d’une campagne, où le
csuccès d'une guerre dépendait de la possibilité de pousser,
«sans retard, nos escadres hors du port; des vents contrai-
«res régnaient pendant des mois entiers, et anéantissaient de
«fond en comble les vues du gouvernement. Grâce à la ma-
«chine à vapeur, de semblables difficultés ont à jamais
« disparu. » x

« Portez, portez vos regards, » s'écrie sir Humphry Davy,
«sur la métropole de ce puissant empire, sur nos villes, sur
«nos villages, sur nos arsenaux, sur nos manufactures; exa-
« minez les cavités souterraines et les travaux exécutés à la
«surface du globe; contemplez nos rivières, nos canaux, les
« mers qui baignent nos côtes; partout vous trouverez l’em-
« preinte des bienfaits éternels de ce grand homme. »

« Le génie que Watt a déployé dans ses admirables inven-
« tions, » dit encore l’illustre président de la Société royale,
ca plus contribué à montrer l'utilité pratique des sciences,
«à agrandir la puissance de l’homme sur le monde matériel,
« à multiplier et à répandre les commodités de la vie, que les
« travaux d'aucun personnage des temps modernes.» Davy
n'hésite pas, enfin, à placer Watt au-dessus d’Archimède !

Huskisson, ministre du commerce, se dépouillant un
moment de la qualité d’Anglais, proclame, qu’envisagées dans
leurs rapports avec le bonheur de l'espèce humaine tout
entière, les inventions de Watt lui paraîtraient encore méri-
ter la plus haute admiration. T1 explique de quelle manière
l’économie du travail, la multiplication indéfinie et le bon
marché des produits industriels, contribuent à exciter et à
répandre les lumières. « La machine à vapeur, dit-il, n’est

V 2

CLXXI) ÉLOGE HISTORIQUE

« donc pas seulement, dans les mains des hommes, l'instru-
« ment le plus puissant dont ils fassent usage pour changer
« la face du monde physique; elle agit encore comme un le-
«vier moral, irrésistible, en poussant en avant la grande cause
« de la civilisation. »

De ce point de vue, Watt lui apparaît dans un rang dis-
tingué parmi les premiers bienfaiteurs de l'humanité. Comme
Anglais, il n'hésite pas à dire que sans les créations de Watt,
la nation britannique n'aurait pas pu suffire aux immenses
dépenses de ses dernières guerres contre la France.

La mème idée se retrouve dans le discours d’un autre mem-
bre du parlement, dans celui de sir James Mackintosh. Voyez
si elle y est exprimée en termes moins positifs :

« Ce sont les inventions de Watt qui ont permis à l'Angle-
«terre de soutenir le plus rude, le plus dangereux conflit
« dans lequel elle ait jamais été engagée. » Tout considéré,
Mackintosh déclare, sans hésiter, « qu'aucun personnage n’a
«eu de droits plus évidents que Watt aux hommages de son
« pays, à la vénération, au respect des générations futures. »

Voici des évaluations numériques, des chiffres, plus élo-
quents encore , ce me semble, que les divers passages dont je
viens de donner lecture :

Boulton fils annonce, qu'à la date de 1819, la seule ma-
nufacture de Soho avait déjà fabriqué des machines de Watt
dont le travail habituel aurait exigé cent mille chevaux ; que
l'économie résultant de la substitution de ces machines à la
force des animaux, montait annuellement à 75 millions de
francs. Pour l'Angleterre et l'Écosse, à la même date, le nom-

bre des machines dépassait 10000. Elles faisaient le travail

Nb AE Le" Te

DE WATT. CLXXII)

de 500000 chevaux ou de 3 ou 4 millions d'hommes, avec
une économie annuelle de 3 ou 4 cents millions de francs. Ces
résultats, aujourd'hui, devraient être plus que doublés.

Voilà, en abrégé, ce que pensaient, ce que disaient de Watt,
les ministres, les hommes d'État, les savants, les industriels
les plus capables de l’apprécier. Messieurs, ce créateur de 6
à 8 millions de travailleurs; de travailleurs infatigables et
assidus parmi lesquels l'autorité n’aura jamais à réprimer
ni coalition, ni émeute; de travailleurs à cinq centimes la
journée ; cet homme qui, par de brillantes inventions,
donna à l'Angleterre les moyens de soutenir une lutte achar-
née, pendant laquelle sa nationalité même fut mise en
question; ce nouvel Archimède, ce bienfaiteur de l'humanité
tout entière, dont les générations futures béniront éternel-
lement la mémoire, qu’avait-on fait pour l’honorer de son
vivant ?

La pairie est, en Angleterre, la première des dignités, la
première des récompenses. Vous devez naturellement suppo-
ser que Watt a été nommé pair.

On n'y a pas même pensé!

S'il faut parler net, tant pis pour la pairie que le nom
de Watt eût honorée! Un pareil oubli, cependant, chez une
nation aussi justement fière de ses grands hommes, avait
droit de m'étonner. Quand j'en cherchais la cause, savez-
vous ce qu'on me répondait? « Ces dignités dont vous par-
lez, sont réservées aux ofliciers de terre et de mer, aux
orateurs influents de la chambre des communes, aux membres
de la noblesse. Ce n'est pas la mode (je n'invente pas, je
cite exactement); ce n'est pas la mode de les accorder à des

CLXXIV ÉLOGE HISTORIQUE

savants, à des littérateurs, à des artistes, à des ingénieurs!» Je
savais bien que ce n’était pas la mode sous lareine Anne, puis-
que Newton n'a pas été pair d'Angleterre. Mais ,après un siècle .
et demi de progrès dans les sciences, dans la philosophie; lors-
que chacun de nous, pendant la courte durée de sa vie, a vu
tant de rois errants, délaissés, proscrits, remplacés sur leurs
trônes par des soldats sans généalogie et fils de leur épée, ne
m'était-il pas permis de croire qu'on avait renoncé à parquer
les hommes; qu'on n'oserait plus, du moins, leur dire en face,
comme le code inflexible des Pharaons : Quels que soient vos
services, vos vertus, votre savoir, aucun de vous ne franchira
les limites de sa caste; qu'une mode insensée, enfin (puisque
mode il y a), ne déparerait plus les institutions d’un grand
peuple !

Comptons sur l'avenir. Un temps viendra où la science
de la destruction s’inclinera devant les arts de la paix; où
le génie qui multiplie nos forces, qui crée de nouveaux
produits, qui fait descendre l’aisance au milieu des masses,
occupera dans l'estime générale des hommes, la place que la
raison , que le bon sens lui assignent dès aujourd'hui.

Alors Watt comparaîtra devant le grand jury des popula-
tions des deux mondes. Chacun le verra, aidé de sa machine à
vapeur, pénétrer en quelques semaines dans les entrailles de
la terre, à des profondeurs où, avant lui, on ne serait arrivé
qu'après un siècle des plus pénibles travaux ; il y creusera de
spacieuses galeries et les débarrassera ,en quelques minutes,
des immenses volumes d’eau qui les inondaient chaque jour ;
il arrachera à un sol vierge les inépuisables richesses miné-
rales que la nature y a déposées.

« DE WATT. CLXXV

Joignant la délicatesse à la puissance, Watt tordra avec
un égal succès les immenses torons du câble colossal sur
lequel se cramponne le vaisseau de ligne au milieu des mers
courroucées, et les filaments microscopiques de ces tulles,
de ces dentelles aériennes qui occupent toujours une si large
place dans les parures variées qu’enfante la mode.

Quelques oscillations de la même machine rendront à la
culture de vastes marécages; des contrées fertiles seront ainsi
soustraites à l’action périodique et mortelle des miasmes qu'y
développait la chaleur brülante du soleil d'été.

Les grandes forces mécaniques qu'il fallait aller chercher
dans les régions montagneuses , au pied des rapides cascades,
grâce à la découverte de Watt, naitront à volonté , sans gêne
et sans encombrement, au milieu des villes, à tous les étages
des maisons. Û

L’intensité de ces forces variera au gré du mécanicien ; elle
ne dépendra pas, comme jadis, de la plus inconstante des
causes naturelles : des météores atmosphériques.

Les diverses branches de chaque fabrication pourront être
réunies dans une enceinte commune , sous un même toit.

Les produits industriels , en se perfectionnant, diminueront
de prix.

La population, bien nourrie, bien vêtue , bien chauffée,
augmentera avec rapidité ; elle ira couvrir d'élégantes ha-
bitations toutes les parties du territoire, celles même qu'on
eût pu justement appeler les steppes d'Europe, et qu’uné
aridité séculaire semblait condamner à rester le domaine
exclusif des bêtes fauves.

En peu d’années , des hameaux deviendront d'importantes

CLXXY] ÉLOGE HISTORIQUE

cités; en peu d'années, des bourgs, tels que Birmingham, où
l'on comptait à peine une trentaine de rues, prendront place
parmi les villes les plus vastes, les plus belles, les plus riches
d'un puissant royaume.

Installée sur les navires, la machine à vapeur remplacera
au centuple les efforts des triples, des quadruples rangs de
rameurs, à qui nos pères, cependant, demandaient un travail
rangé parmi les châtiments des plus grands criminels.

A l’aide de quelques kilogrammes de charbon, l'homme
vaincra les éléments; il se jouera du calme, des vents con-
traires, des tempêtes.

Les traversées deviendront beaucoup plus rapides; le mo-
ment de l'arrivée des paquebots pourra être prévu comme
celui des voitures publiques ; on n'ira plus sur le rivage,
pendant des semaines , pendant des mois entiers , le cœur
en proie à de cruelles angoisses, chercher d’un œil inquiet,
aux limites de l'horizon, les traces incertaines du navire qui
doit vous rendre un père, une mère, un frère, un ami.

La machine à vapeur , enfin, trainant à sa suite des milliers
de voyageurs, courra , sur les chemins de fer, beaucoup plus
vite que le meilleur cheval de race chargé seulement de son
svelte Jockey.

Voilà, Messieurs, l’esquisse fort abrégée des bienfaits
qu'a légués au monde, la machine dont Papin avait dé-
posé le germe dans ses ouvrages, et qu'après tant d'in-
génieux efforts Watt a portée à une admirable perfection.
La postérité ne les mettra certainement pas en balance avec
des travaux, beaucoup trop vantés, et dont l'influence réelle,
au tribunal de la raison, restera toujours circonserite dans

DE WATT. CLXXVI]
le cercle de quelques individus et d'un petit nombre
d'années.

On disait, jadis, le siècle d’Auguste, le siècle de Louis XIV.
Des esprits éminents ont déjà soutenu qu'il serait juste de dire
le siècle de Voltaire, de Rousseau, de Montesquieu. Suivant
moi, je n'hésite pas à l’annoncer, lorsqu’aux immenses
services déjà rendus par la machine à vapeur se seront ajou-
tées toutes les merveilles qu’elle nous promet encore, les po-

pulations reconnaissantes parleront aussi des siècles de Papin
et de Watt!

Une biographie de Watt destinée à faire partie de notre
collection de mémoires, serait certainement incomplète si
on n'y trouvait pas la liste des titres académiques dont l'il-
lustre ingénieur fut revêtu. Cette liste, au surplus, occupera
bien peu de lignes :

Watt devint :

Membre de la Société royale d'Édimbourg en 1784;

Membre de la Société royale de Londres en 1785:

Membre de la Société Batave en 1797:

Correspondant de l’Institut en 1808.

En 1814, l'Académie de sciences de l’Institut fit à Watt
le plus grand honneur qui soit dans ses attributions : elle le
nomma un de ses huit associés étrangers.

Par un vote spontané et unanime, le sénat de l'Université
de Glasgow décerna à Watt, en 1806 , le degré honoraire
de docteur en droit. à

T. XVII. Aist. 1838. W

CLXXVII] ÉLOGE HISTORIQUE

Traduction d’une note historique de lord Brougham sur
la découverte de la composition de l’eau.

Il n'y a aucun doute qu'en Angleterre, du moins, les recherches
relatives à la composition de l'eau ont eu pour origine les expériences
de Warltire relatées dans le 5° vol. de Priestley (r). Cavendish les cite
expressément comme lui ayant donné l'idée de son travail ( Trans. philos.,
1784, p. 126). Les expériences de Warltire consistaient dans l'inflamma-
tion, à l'aide de l'étincelle électrique et en vases clos, d'un mélange
d'oxygène et d'hydrogène. Deux choses, disait-on, en résultaient : 1° une
perte sensible de poids; 2° la précipitation de quelque humidité sur les
parois des vases.

Watt dit, par inadvertance, dans la note de la page 332 de son mé-
moire (Yrans. philos., 1784), que la précipitation aqueuse fut observée,
pour la première fois, par Cavendish; mais Cavendish,, lui-même, déclare,
pag. 127, que Warltire avait aperçu le léger dépôt aqueux, et cite, à ce
sujet, le 5° vol. de Priestley. Cavendish ne put constater aucune perte
de poids. Il remarque que les essais de Priestley l'avaient conduit au
même: résultat (2), et ajoute que l'humidité déposée ne contient aucune

(x) La lettre de Warltire, datée de Birmingham le 18 avril 178x, fut publiée par le docteur
Priestley dans le 2* vol. de ses Zxperiments and observations relating to various branches of natural
philosophy; with a continuation of the observations on air, formant dans le fait le 5° vol. des Experiments
and observations on different kinds of air, imprimé à Birmingham en 178x. (Note de M. Watt fils.)

(2) La note de Cavendish, à la page 127, paraît impliquer que Priestley n'avait apercu aucune
perte de poids; mais je ne trouve cette assertion dans aucun des mémoires du chimiste de Birmingham.

Les premières expériences de Warltire sur la conflagration des gaz furent faites dans un glube de
cuivre dont le poids était 14 onces et le volume 3 piutes. L'auteur voulait «décider si la chaleur est
“ ou west pas pesante. »

Warltire décrit d'abord les moyens de mélanger les gaz et d'ajuster la: balance ; il dit ensuite):
« J'équilibrais toujours exactement le vase rempli d'air commun, afin que la différence de poids, à la
« suite de l'introduction de l'air inflammable, me permit de juger si le mélange avait été opéré dans les
«proportions voulues. Le passage de l'étincelle. électrique rendait le globe chaud. Après qu'il s'était
« refroidi par son exposition à l'air de la chambre, je le suspendais de nouveau à la balance. Jeitrou-

DE WATT. CLXXIX

impureté (littéralement, aucune parcelle de suie ou de matière noire,
any sooty matter). Après un grand nombre d'essais, Cavendish reconnuüt
que si on allume un mélange d’air commun et d'air inflammable , formé
de 1000 mesures du premier et de 423 du second, «un cinquième environ
«de l'air commun et à peu près la totalité de l'air inflammable perdent
«leur élasticité, et forment en se condensant a rosée qui couvre le
«verre. .….. En examinant la rosée, Cavendish trouva que cette rosée est
« de l'eau pure... Il en conclut que presque tout l'air inflammable et
«environ un sixième de l'air commun deviennent de l’eau pure (are
«turned\ into pure Water). »

GCavendish brûla de la même manière un mélange d'air inflammable
et d'air déphlogistiqué (d'hydrogène et d'oxygène); le liquide précipité
fut toujours plus ou moins acide, suivant que le gaz brûlé avec l'air
inflammable contenait plus ou moins de phlogistique. Cet acide engendré
était de l'acide nitrique.

M: Cavendish établit que : «presque la totalité de l'air inflammable et
«de l'air déphlogistiqué est convertie en eau pure; » et encore, « que si
«ces airs pouvaient être obtenus dans un état complet de pureté, la
«totalité serait condensée. » Si l'air commun et l'air inflammable ne

« vais toujours une perte de poids, mais il y avait des différences d’une expérience à l’autre. En
« moyenne la perte fut de deux grains.»

Warltire continue ainsi: « J'ai euflammé mes airs dans des vases de verre, depuis que je vous l'ai vu
« faire récemment vous-même ( Priestley ), et j'ai observé comme vous (as you did) que bien que
«le vase fût net et sec avant l'explosion, il était après couvert de rosée et d’une substance noire
« (sooty substance). »
© En balançant tous les droits, le mérite d'avoir aperéu la rosée n'appartient-il pas à Priestléy ?

Dans les quelques remarques dont Priestley a faivsuivre la lettre de son correspondant, il confirmé
la perte de poids , et ajoute : « Je ne pense pas, cependant, que l'opinion si hardie que la chaleur
« latente des corps entre pour une part sensible dans leur poids, puisse être admise sans des expériences
« faites sur une plus grande échelle. Si celà se confirme, ce sera un fait très-remarquable et qui fera
«le plus grand honneur à la sagacité de Warltire.

«Il faut dire encore, continue Priestley, qu'au moment où il ( Warltire ) vit la rosée à la surface
« intérieure du vase de verre fermé, il dit que cela confirmait une opinion qu'il avait depuis longtemps :
« l'opinion que l'air commun abandonne son humidité quand il est phlogistiqué. »

11 est donc évident que Warltivé expliquait la rosée par la simple prétipitation mécanique dé l'eax
hygrométrique contenue dans l'air commun. (Vote de M. Watt fils.)

W.

CLXXX ÉLOGE HISTORIQUE

donnent pas d'acide quand on les brûle, c'est, suivant l'auteur, parce
qu'alors la chaleur n'est pas intense.

Cavendish déclare que ses expériences, à l'exception de ce qui est
relatif à l'acide, furent faites dans l'été de 1981, et que Priestley en eut
connaissance. Il ajoute : « Un de mes amis en dit quelque chose (gave
«some account) à Lavoisier, le printemps dernier (le printemps de 1783),
«aussi bien que de la conclusion que j'en avais tirée, savoir, que l'air
« déphlogistiqué est de l'eau privée de phlogistique. Mais à cette époque,
« Lavoisier était tellement éloigné de penser qu'une semblable opinion
« fût légitime, que jusqu'au moment où il se décida à répéter lui-même
« les expériences, il trouvait quelque diffculté à croire que la presque
«totalité des deux airs püt être convertie en eau. »

L'ami cité dans le passage précédent, était le docteur, devenu ensuite
sir Charles Blagden. C’est une circonstance remarquable que ce passage
du travail de Cavendish semble n'avoir pas fait partie du mémoire origi-
nal présenté à la Société royale. Le mémoire paraît écrit de la main de
l’auteur lui-même; mais les paragraphes 134 et 135 n'y étaient pas pri-
mitivement; ils sont ajoutés avec une indication de la place qu'ils doivent
occuper; l'écriture n’est plus celle de Cavendish ; ces additions sont de la
main de Blagden. Celui-ci dut donner tous les détails relatifs à Lavoisier,
avec lequel on ne dit pas que Cavendish entretint quelque correspon-
dance directe.

La date de la lecture du mémoire de Cavendish est le 15 janvier 1784.
Le vol. des Transactions philosophiques dont ce mémoire fait partie ne
parut qu'environ six mois après.

Le mémoire de Lavoisier (vol. de l'Académie des sciences pour 1981)
avait été lu en novembre et décembre 1783. On y fit ensuite diverses ad-
ditions. La publication eut lieu en 1784.

Ce mémoire contenait la relation des expériences du mois de juin 1783,
auxquelles Lavoisier annonce que Blagden fut présent. Lavoisier ajoute
que ce physicien anglais lui apprit: « que déjà Cavendish ayant brûlé
« de l'air inflammable en vaseS clos, avait obtenu une quantité d'eau
« très-sensible ; » mais il ne dit nulle part que Blagden fit mention de con-
clusions tirées par Cavendish de ces mêmes expériences.

DE WATT. CLXXX]

Lavoisier déclare de la manière la plus expresse, que le poids de l’eau
était égal à celui des deux gaz brûlés, à moins que, contrairement à sa
propre opinion, on n’attribue un poids sensible à la chaleur et à la lumière
qui se dégagent dans l'expérience.

Ce récit est en désaccord avec celui de Blagden qui, suivant
toute probabilité, fut écrit comme une réfutation du récit de Lavoisier,
après la lecture du mémoire de Cavendish et lorsque le volume de l'Aca-
démie des sciences n’était pas encore parvenu en Angleterre. Ce volume
parut en 1784, et, certainement, il n'avait pu arriver à Londres, ni lors-
que Cavendish lut son travail à la Société royale, ni à plus forte raison
quand il le rédigea. On doit, en outre, remarquer que, dans le passage du
manuscrit du mémoire de Cavendish, écrit de la main de Blagden, il
n’est question que d’une seule communication des expériences : d’une
communication à Priestley. Les expériences, y est-il dit, sont de 1781;
mais on ne rapporte aucunement la date de la communication. On ne
nous apprend pas davantage, si les conclusions tirées de ces expériences,
et qui, d'après Blagden, furent communiquées par lui à Lavoisier
pendant l'été de 1783, étaient également comprises dans la communication
faite à Priesley. Ce chimiste, dans son mémoire rédigé avant le mois d'avril
1783, lu en juin de la même année, et cité par Cavendish, ne dit rien
de la théorie de ce dernier, quoiqu'il cite ses expériences.

Plusieurs propositions découlent’ de ce qui précède : 1° Cavendish,
dans le mémoire qui fut lu à la Société royale le 15 janvier 1984, décrit
l'expérience capitale de l'inflammation de l'oxygène et de l'hydrogène en
vaisseaux clos, et cite l'eau comme produit de cette combustion;

2° Dans le même mémoire, Cavendish tire de ses expériences la
conséquence que les deux gaz mentionnés se transforment en eau;

3° Dans une addition de Blagden, faite avec le consentement de
Cavendish, on donne aux expériences de ce dernier la date de l'été
de 1781; on cite une communication à Priestley, sans en préciser l'époque,
sans parler de conclusions , Sans même dire quand ces conclusions se pré--
sentèrent à l'esprit de Cavendish. Ceci doit être regardé comme une très-
grosse omission (g most material omission) ;

# Dans une des additions faites au mémoire par Blagden, la con-

CLXXXI] ÉLOGE HISTORIQUE

clusion de Cavendish est rapportée en ces termes : Le gaz oxygène est
de l’eau privée de phlogistique. Cette addition est postérieure à l'arrivée
du mémoire de Lavoisier en Angleterre.

On peut observer de plus que dans une autre addition au mémoire de
Cavendish, écrite de la main de ce chimiste, et qui est certainement
postérieure à l'arrivée en Angleterre du mémoire de Lavoisier, Caven-
dish établit distinctement pour la première fois, comme dans l'hypo-
thèse de Lavoisier, que l'eau est un composé d'oxygène et d'hydrogène.
Peut-être ne trouvera-t-on pas une différence essentielle entre cette con:
clusion et cellé à laquelle Gavendish s'était d'abord arrêté, que le gaz
oxygène est de l'eau privée de phlogistique, car il suffira, pour les rendre
identiques, de considérer le phlogistique comme de l'hydrogène ; mais dire
de l'eau, qu'elle se compose d'oxygène et d'hydrogène, c'est, certainement,
s'arrêter à une conclusion plus nette et moins équivoque. J'ajoute que
dans la partie originale de son mémoire, dans celle qui fut lue à la Société
royale avant l'arrivée du mémoire de Lavoisier en Angleterre, Caven-
dish trouve plus juste de considérer l'air inflammable « comme de l’eau
phlogistiquée, que comme du phlogistique pur » (p. 140).

Voyons maintenant quelle a été la part de Watt. Les dates joueront ici
un rôle essentiel.

Il paraît que Watt écrivit au docteur Priestley, le 26 avril 1783, une
lettre dans laquelle il dissertait sur l'expérience de l'inflammation des
deux gaz en vaisseaux clos, ét qu'il y arrivait à la conclusion que « l’eau
«est composée d'air déphlogistiqué et de phlogistique, privés l’un et
« l’autre d'une partie de leur chaleur latente (1).»

Priestley déposa la lettre dans les mains de sir Joseph Banks, avec la
prière d'en faire donner lecture à une des plus prochaines séances de la

(x) Nous pouvons en toute assurance déduire de la correspondance inédite de Watt, qu'il avait déjà
formé sa théorie sur la composition de l’eau, en décembre 1782, et probablement plus tôt. Au surplus,
dans son mémoire du 21 avnil 1783, Priestley déclare qu'avant ses propres expériences, Watt s'était
attaché à l'idée que la vapeur d'eau pourrait être transformée en des gaz permanents (p. 416).

Watt lui-même, dans son mémoire (p. 335), déclare que depuis plusieurs années il avait adopté
l'opinion que l'air était une modification de l'eau, et il fait connaître avec détail les expériences et les
raisonnements sur lesquels cette opinion s’appuyait. (Note de M. Watt fils.)

DE WATT. CEXXXII}

société royale. Mais Watt désira ensuite qu'on différât cette lecture, afin
de se donner le temps de voir comment sa théorie s'accorderait avec des
expériences récentes de Priestley. En définitive, la lettre ne fat lue,qu'en
avril 1984 (x). Gette lettre, Watt la fondit dans un mémoire adressé à
Deluc, en date du 26 novembre 1783 (2). Beaucoup de nouvelles obser-
vations, de nouveaux raisonnements figuraient dans le mémoire; mais la!
presque totalité de la lettre originale y était conservée , et dans l'impression
on la distingua des additions par des guillemets retournés. Dans la partie
ainsi guillemetée, se trouve l’importante conclusion citée ci-dessus. On
lit aussi que la lettre fut communiquée à plusieurs membres de la Société
royale, lorsqu'en avril 1783 elle parvint au docteur Priestley.

Dans le mémoire de Cavendish tel qu'il fut d'abord lu, il n'y avait
aucune allusion à la théorie de Watt; mais une addition, postérieure à
la lecture des lettres de ce dernier et écrite en entier de la main de
Cavendish, mentionne cette théorie (Trans. philos., 1984, p. 140).
Gavendish expose dans cette addition les raisons qu'il croit avoir pour
ne pas compliquer ses conclusions, comme Watt le faisait, de con-
sidérations relatives au dégagement de chaleur latente ; mais elle laisse
dans le doute sur la question de savoir si l’auteur eut Jamais connaissance
de la lettre à Priestléy d'avril 1983, ou s'il vit seulement la lettre datée
du 26 novembre 1783 et lue le 29 avril 1784 ; sur quoi il importe de re-
marquer que les deux lettres parurent dans les Trans. philos. réunies en
une seule. La lettre à Priestley du 26 avril 1983 resta quelque temps
(deux mois d’après le mémoire de Watt) dans les mains de sir Joseph
Banks et d’autres membres de la Société royale, pendant le printemps
de 1783. C'est ce qui résulte des circonstances que relate la note

/

(x) La lettre à Priestley fut lue le 22 avril 17984.

(2) Sans le moindre donte le physicien génevois, alors à Londres, le recut à cette époque. Il resta
dans ses mains jusqu’au moment où Watt entendit parler de la lecture à la Société royale du mémoire
de Cavendish. Dès ce moment mon père fit toutes les diligences nécessaires pour que le mémoire
adressé à Deluc et la lettre du 26 avril 1783 adressée: au docteur Priestley fnssent immédiatement
lus à la Société royale. Cette lecture, réclamée par Watt, du mémoire adressé à Deluc, est du
29 avril 1784. ( Note de M. Watt fils.)

CLXXXIV ÉLOGE HISTORIQUE

de la page 330. Il semble difficile de supposer que Blagden, secré-
taire de la Société, ne vit pas le mémoire. Sir Joseph Banks dut le lui
remettre, puisqu'il l'avait destiné à être lu en séance ( Trans. plilos.,
1784, p. 330, note). Ajoutons que puisque la lettre a été conservée aux
archives de la Société royale, elle était sous la garde de Blagden, secré-
taire. Serait-il possible de supposer que la personne dont la main écrivit
le remarquable passage, déjà cité, relatif à une communication, faite à
Lavoisier en juin 1783, des conclusions de Cavendish, n'aurait pas
dit au même Cavendish que Watt était arrivé à ces conclusions,
au plus tard en avril 1783? Les conclusions sont identiques, avec la simple
différence que Cavendish appelle air déphlogistiqué, de l'eau privée
de son phlogistique, et que Watt dit que l'eau est un composé d'air
déphlogistiqué et de phlogistique.

Nous devons remarquer qu'il y a dans la théorie de Watt, la même
incertitude, le même vague que nous avons déjà trouvé dans celle de
Cavendish, et qu’elle provient aussi de l'emploi du terme, non exactement
défini, de phlogistique (1). Chez Cavendish on ne saurait décider si le
phlogistique est tout simplement de l'air inflammable, ou si ce chimiste
n'est pas plutôt enclin à considérer comme air inflammable, une combi-
naison d’eau et de phlogistique. Watt dit expressément, même dans son
mémoire du 26 novembre 1983, et dans un passage qui ne fait pas partie
de la lettre d'avril 1783, que l'air inflammable, suivant ses idées , contient
une petite quantité d'eau et beaucoup de chaleur élémentaire.

Ces expressions, de la part de deux hommes aussi éminents, doivent
être regardées comme la marque d'une certaine hésitation, touchant la
composition de l'eau. Si Watt et Cavendish avaient eu l'idée précise
que l’eau résulte de la réunion des deux gaz privés de leur chaleur
latente, de la réunion des bases de l'air inflammable et de l'air déphlo-

(1) Dans une note de son mémoire du 26 novembre 1783 (p.33r), on lit cette remarque de Watt :
« Antérieurement aux expériences du docteur Priestley, Kirwan avait prouvé par d'ingénieuses déduc-
«tions empruntées à d'autres faits, que l'air inflammable est, suivant toute probabilité, le vrai phlogis-
« tique sous une forme aérienne. Les arguments de Kirwan me semblent à moi parfaitement convain-

« cants; mais il paraît plus convenable d'établir ce point de la question sur des expériences directes. »

DE WATT. CLXXXV

gistiqué; si cette conception avait eu dans leur esprit autant de netteté |
que dans celui de Lavoisier, ils auraient certainement évité l'incertitude
et l'obscurité que j'ai signalée (r).

En ce qui concerne Watt, voici les nouveaux faits que nous venons
d'établir :

1° Il ny a point de preuves que personne ait donné avant Watt et
dans un document écrit, la théorie actuelle de la composition de l'eau.

2° Cette théorie, Watt l'établit pendant l'année 1783, en termes plus
distincts que ne le fit Cavendish dans son mémoire de 1584. En faisant
entrer le dégagement de chaleur latente en ligne de compte, Watt ajouta
à la clarté de sa conception.

3° Il n’y a aucune preuve, il n'y a même aucune assertion de da-
quelle il résulte que la théorie de Cavendish (Blagden l'appelle la cou-

clusion) ait été communiquée à Priestley avant l'époque où Watt consigna

(1) Au bas de la page 331 des Transactions, dans une partie de sa lettre d'avril 1783, imprimée en
italiques, Watt dit : « Ne sommes-nous pas dès lors autorisés à conclure que l’eau est composée d'air
« déphlogistiqué et de phlogistique, dépouillés d’une partie de leur chaleur latente ou élémentaire +
« que l'air déphlogistiqué, ou l'air pur, est de l’eau privée de son phlogistique et unie à de la chaleur
« ou à de la lumière élémentaire ; que la chaleur et la lumière y sont certainement contenus à l’état
« latent, puisqu’elles n’affectent ni le thermomètre, ni l'œil ? Si la lumière est seulement une modifi-
« cation de la chaleur, ou une particularité de son existence, ou une partie constituante de l'air in-
“ flammable, alors l'air pur ou déphlogistiqué est de l’eau privée de son phlogistique et unie à

« de la chaleur élémentaire. »

Ce passage n'est-il pas aussi clair, aussi précis, aussi intelligible que les conclusions de Lavoisier ?
(Note de M. Watt fils.) ; e

L'obseurité que lord Brougham reproche aux conceptions théoriques de Wait et de Cavendish
ne me semble pas réelle. En 1784, on savait préparer deux gaz permanents et très-dissemblables.
Ces deux gaz, les uns les appelaient air pur et air inflammable; d'autres, air déphlogistiqué
et phlogistique ; d'autres, enfin, oxygène et hydrogène. Par la combinaison de l'air déphlogistiqué et
du phlogistique, on engendra de l'eau ayant un poids égal à celui des deux gaz. L'eau, dès lors,
ne fut plus un corps simple: elle se composa d'air déphlogistiqué et de phlogistique. Le chimiste
qui tira cette conséquence, pouvait avoir de fausses idées sur la nature intime du phlogistique, sans,
que cela.jetàt aucune incertitude sur le mérite de sa première découverte. Aujourd'hui méme
at-on mathématiquement démontré que l'hydrogène (ou le phogistique) est un corps élémentaire;
qu'il n’est pas, comme Watt et Cavendish le crurent un moment, la combinaison d’un radical et
d'un peu d’eau ?( Note de M. Arago).

T. XVII. Æist. 1838. X

CLXXXV) ÉLOGE HISTORIQUE

ses idées dans la lettre du 26 avril 1783; à plus forte raison, rien ne peut
faire supposer, surtout quand on a lu la lettre de Watt, que cet ingénieur
ait jamais appris quelque chose de relatif à la composition de l’eau, soit
de Priestley, soit de toute autre personne.

4° La théorie de Watt était connue des membres de la Société royale,
plusieurs mois avant que les conclusions de Cavendish eussent été confiées
au papier ; huit mois avant la présentation du mémoire de ce chimiste à
la même Société. Nous pouvons aller plus loin et déduire des faits et des
dates sous nos yeux, que Watt parla le premier de la composition de
l'eau ; que si quelqu'un le précéda, il n'en existe aucune preuve.

5° Enfin, une répugnance à abandonner la doctrine du phlogistique,
une sorte de timidité à se séparer d’une opinion depuis si longtemps
établie, si profondément enracinée, empêcha Watt et Cavendish de faire
complète justice à leur propre théorie (1), tandis que Lavoisier, qui avait
rompu ces entraves, présenta le premier la nouvelle doctrine dans toute
sa perfection.

Il serait très-possible que, sans rien savoir de leurs travaux respectifs,
Watt, Cavendish, Lavoisier eussent, à peu près en même temps, fait le
grand pas de conclure de l'expérience que l'eau est le produit de la com-
binaison des deux gaz si souvent cités. Telle est, en effet, avec plus ou
moins de netteté, la conclusion que les trois savants présentèrent. Reste
maintenant la déclaration de Blagden, d'après laquelle Lavoisier aurait
eu communication de la théorie de Cavendish, même avant d'avoir
fait son expérience capitale. Cette déclaration, Blagden l'inséra dans le
mémoire même de Cavendish (2); elle parut dans les Transactions philo-

(1) On pouvait à peine s'attendre que Watt, écrivant et publiant pour la première fois, en butte aux
soucis d’une fabrication immense et d’affaires commerciales également étendues, pourrait lutter
avec la plume éloquente et exercée de Lavoisier ; mais le résumé de sa théorie (voyez la page 33r
du mémoire) me parait à moi, qui, à vrai dire, ne suis peut-être pas un juge impartial, aussi lumi-
neux et aussi remarquable par l'expression, que les conclusions de l'illustre chimiste français. ( Mote
de M. Watt fils.)

(2)Unelettre au professeur Crell, dans laquelle Blagden donna une histoire détaillée de la décou-
verte, parut dans les Annalen de 1786. Il est remarquable que dans cette lettre Blagden dit qu'il

PRÉ

DE WATT. CLXXXVI]

sophiques , et il ne semble pas que Lavoisier l'ait jamais contredite, quelque
inconciliable qu'elle fût avec son propre récit.

Malgré toute la susceptibilité jalouse de Blagden en faveur de la priorité
de Cavendish, il n'y a pas eu de sa part une seule allusion de laquelle on
puisse induire qu'avant de publier sa théorie , Watt avait entendu parler
de celle de son compétiteur.

Nous ne serons pas aussi affirmatifs, relativement à la question de
savoir si Cavendish avait quelque connaissance du travail de Watt avant
de rédiger les conclusions de son propre mémoire. Pour soutenir que
Cavendish n'ignorait pas les conclusions de Watt, on pourrait remarquer
combien il serait improbable que Blagden et d’autres de qui ces conclu-
sions étaient connues, ne lui en eussent jamais parlé. On pourrait encore
dire que Blagden , même dans les parties du mémoire écrites de sa main
et destinées à réclamer la priorité en faveur de Cavendish contre Lavoisier,
n'affirme nulle part que la théorie de Cavendish füt conçue avant le mois
d'avril 1783, quoique, dans une autre addition au mémoire original de son
ami, il y ait une citation relative à la théorie de Watt.

Puisque la question de savoir à quelle époque Cavendish tira des
conclusions de ses expériences, est enveloppée dans une grande obs-
curité, il ne sera pas sans utilité de rechercher quelles étaient les habi-
tudes de ce chimiste quand il communiquait ses découvertes à la Société
royale.

Un comité de cette Société, auquel Gilpin était associé, fit une série
d'expériences sur la formation de l'acide nitrique. Ce comité, placé
sous la direction de Cavendish, se proposait de convaincre ceux qui dou-
taient de la composition de l'acide en question, indiquée incidentellement
dans le mémoire de janvier 1784, et ensuite, plus au long, dans un
mémoire de juin 1785. Les expériences furent exécutées du 6 décembre
1787 au 19 mars 1788. La date de la lecture du mémoire de Cavendish

communiqua à Lavoisier les opinions de Cavendish et de Watt, et que ce dernier nom figure là pour

la première fois dans le récit des confidences verbales du secrétaire de la Société royale. (Note de
M. Watt fils.)

CLXXXVI] | ÉLOGE HISTORIQUE DE WATT,

est le 17 avril 1988. La lecture et l'impression du mémoire suivirent donc,
à moins d’un mois de distance, l'achèvement des expériences.

Kirwan présenta des objections contre le mémoire de Cavendish relatif
à la composition de l'eau, le 5 février 17984. La date de la lecture de la
réponse de Cavendish est : le 4 mars 1984.

Les expériences sur la densité de la terre embrassèrent l'intervalle du
5 août 1797 au 27 mai 1798. La date de la lecture du mémoire est le 27
juin 1798. ;

Dans le mémoire sur l’eudiomètre, les expériences citées sont de la
dernière moitié de 1781, et le mémoire ne fut lu qu'en janvier 1783. Lei
l'intervalle est plus grand que dans les précédentes communications.
Mais d'après la nature du sujet il est probable que l’auteur se livra à de
nouveaux essais en 1782.

Tout rend probable que Wattconcut sa théorie durant le peu de mois ou
de semaines qui précédèrent le mois d'avril 1983. Il est certain que cette
théorie il la considéra comme sa propriété, car il ne fit allusion à aucune
communication analogue et antérieure; car il ne dit pas avoir entendu
raconter que Cavendish fût arrivé aux mêmes conclusions.

On ne saurait croire que Blagden n'aurait pas entendu parler de la
théorie de Cavendish avant la date de la lettre de Watt, si la théorie avait
en effet précédé la lettre, et qu'il ne se serait pas empressé de signaler
cette circonstance dans les additions qu'il fit au mémoire de son ami.

Il est bon, enfin, de remarquer que Watt s'en reposa entièrement sur
Blagden, du soin de corriger les épreuves et de tout ce qui pouvait être
relatif à l'impression de son mémoire. Cela résulte d'une lettre encore

existante adressée à Blagden. Watt vit son mémoire seulement après qu'il
eut été imprimé.

(Les notes de M. Watt fils faisaient partie du manuserit qui m'a été remis par lord Brougham, et

c'est sur la demande expresse de mon illustre confrère, que je les ai fait imprimer comme un utile
commentaire de son travail). Ar.

IMPRIMERIE DE FIRMIN DIDOT FRERES,
lmprimeurs de l'Institut, rue Jacoh n° 57.

MÉMOIRES

DE

L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES

DE L'INSTITUT DE FRANCE.

A X VIT. 1

RSR LR LS LAS LR LAS LR RES LRT LASRRS LAURE LUS LOS URLS LULU LA LUS LU US LA LU LUS

THÉORIE

DES EFFETS MÉCANIQUES

DE LA TÜRBINE FOURNEYRON;

Par M. PONCELET.

Lu dans la séance du lundi 30 juillet 1838.

L'Académie des sciences a accueilli, dans plusieurs de ses
séances, avec un intérêt très-vif, la communication de divers
résultats d'expériences sur les effets mécaniques de la turbine
de M. Fourneyron, machine ingénieuse qui est venue se pla-
cer au rang des meilleures roues hydrauliques connues ; de
celles, surtout, qui doivent leur état actuel de perfection et
leurs principales qualités au développement des idées méca-
niques, et, plus spécialement, aux applications du principe
des forces vives. On n’en doit pas moins être surpris de voir
que la connaissance des propriétés essentielles de cette roue
soit due presque exclusivement à l'expérience, et que la
théorie en soit encore si pea avancée; car on ne peut con-
sidérer comme entièrement satisfaisante celle que l’auteur en
a lui-même présentée dans l’un des Bulletins de la Société
d'Encouragement pour l’année 1834, et l’on s'aperçoit, sans
peine aussi, que les anciennes solutions de l'ilustre Borda,
malgré l'extension et les perfectionnements qu’elles ont ac-
quis dans ces derniers temps, ne sauraient ici recevoir une
application directe et certaine à cause de l’engorgement qui
peut survenir dans les tuyaux d'évacuation de Ja roue, et de

1

4 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

la réaction occasionnée par la présence de ces tuyaux, sur la
masse liquide qui s'écoule incessamment par les orifices in-
jecteurs du réservoir. Il résulte, en effet, de cette double cir-
constance dont on n'avait jusqu'ici tenu aucun compte dans
la théorie des roues comprises sous l'expression générale de
turbines (1), que, pour une ouverture de vanne déterminée, la
dépense de liquide dépend forcément de la vitesse de rotation
propre de la machine, et croît avec elle de manière à chan-
ger complétement l'appréciation des effets mécaniques.
D'après ces considérations, j'ai pensé qu'il ne serait pas
sans intérêt pour la science et les applications pratiques, de
soumettre de nouveau la question au calcul, dont les ré-
sultats, grâce aux recherches récentes de M. Morin (2),
peuvent être immédiatement contrôlés par ceux de l'expé-
rience; et d'examiner plus particulièrement jusqu'à quel
point les formules pouvaient rendre compte des singulières

(x) Lors de la lecture de ce passage à l'Académie, nous n'avions en vue
que les formules analytiques à l’aide desquelles on représente ordinairement
les effets utiles des roues hydrauliques, armées de canaux ou tuyaux que
l'eau traverse avec une vitesse relative plus ou moins grande. Mais il est
certain que M. d'Aubuisson, l’un des correspondants de l'Académie, a in-
diqué et parfaitement fait sentir, à la page 394 de son Traité d’hydran-
lique, dont la deuxième édition est maintenant sous presse, l'influence que
peut avoir, sur la dépense de liquide et l'augmentation de la charge mo-
trice, la force centrifuge dont se trouve animée l'eau qui circule dans la
turbine Fourneyron. Cest une justice que nous nous plaisons à rendre à
un savant dont les travaux et les recherches expérimentales sont dignes
de toute notre estime,

(2) Expériences sur les roues hydrauliques à axe vertical, appelées
turbines. Ce mémoire, qui vient d'être imprimé, a été l'objet d'un rapport
favorable, lu à l'Académie des sciences, par M. Savary, dans la séance du
2 janvier 1838, au nom d'une commission qui était composée, en outre,
de MM. de Prony, Arago et Gambey.

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 5

propriétés offertes par la turbine Fourneyron, qui marche
avec un égal avantage, soit qu’elle se trouve noyée dans l’eau
du bief inférieur, soit qu’elle se meuve librement dans l'air,
et qui, entre des limites fort étendues, peut recevoir des vi-
tesses angulaires très-différentes, sans que l'effet utile s'écarte
notablement du maximum absolu, de celui qui est mesuré
par le produit du poids du liquide effectivement écoulé dans
chaque expérience, et de la différence correspondante des
niveaux entre les deux biefs.

+ On avait déjà eu l’idée de faire marcher horizontalement
une roue, ouverte vers l’intérieur et l'extérieur, armée d’aubes
cylindriques comprises entre deux couronnes planes, paral-
_lèles et disposées perpendiculairement à l'axe de la machine,
à peu près comme cela a lieu dans certaines roues verticales
où l’eau est introduite par le fond du réservoir tangentiel-
lement à leur circonférence extérieure ; M. Burdin avait même
imaginé quelques dispositifs de turbines qui offraient beau-
coup d’analogie avec la machine qui nous occupe, et dont la
description se trouve consignée dans un mémoire inédit,
présenté à la Société d'Encouragement pour le concours de
mai 1827; mais, outre que cette date est aussi à peu près
celle de l'époque où M. Fourneyron à construit sa turbine
d'essai à Pont-sur-l'Ognon, on doit encore reconnaître, avec
le savant rapporteur du mémoire cité de M. Morin, que ce
n'étaient là que des conceptions fort éloignées du but à at-
teindre, en elles-mêmes très-imparfaites, et qui, pour réussir
lors de l'exécution effective, eussent exigé diverses modifi-
cations, divers perfectionnements très-importants, dans le
système général des constructions.

La qualité essentielle de la turbine Fourneyron ne réside

6 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

pas seulement dans la propriété qu'elle possède de marcher
très-vite et de pouvoir être noyée dans l’eau du bief inférieur,
sans trop d'inconvénients pour l'effet utile, car le dispositif
des roues verticales à aubes courbes dont il a été parlé ei-
dessus en est pourvu à un degré déjà assez prononcé, mais
bien, redisons-le, dans cette heureuse idée de faire arriver
l'eau horizontalement par tout le pourtour intérieur de la
roue, et de la faire dégorger par la partie la plus étendue,
par sa circonférence extérieure. Il en résulte effectivement
que, dans la plupart de ses applications à l’industrie, cette
roue permet, sous de très-petites dimensions, et par consé-
quent avec une faible dépense en argent et en force, un débit
d'eau pour ainsi dire illimité, que l'écoulement s’y opère
d'une manière facile, et, en quelque sorte, sans entraves ;
qu'enfin elle fonctionne avantageusement à peu près sous
toutes les chutes et à toutes les vitesses, sans éprouver, de la
part du poids de ses propres parties et de celui de l’eau qui la
met en action, ce surcroît de résistance qui se fait sentir dans
presque toutes les roues existantes , et se trouve accompagné
d’inconvénients plus particulièrement fâcheux dans celles
dont l'axe est vertical.

On sait, au surplus, avec quel art infini M. Fourneyron est
parvenu à soustraire cette même turbine au défaut, d’abord
si capital, du prompt usé des pivots, et comment aussi, à
force d’études, de soins et de persévérance, il en a perfec-
tionné les différentes parties de manière à constituer, de
l'ensemble, un moteur puissant qui est en tous points com-
parable, pour lélégance et la simplicité des dispositions, à
cette admirable machine due à quarante années de travaux
d'un homme de génie tel que Watt. D'une autre part, ne

DE. LA TURBINE :FOURNEYRON. 7

craignons pas de le déclarer, la vitesse excessive qu'il est né-
cessaire de laisser prendre à la turbine Fourneyron, lors des
grandes chutes d’eau, loin d’être à nos yeux une qualité
essentielle, et qu'on doive admirer, nous semble, au con-
traire, un grave défaut , toutes les fois qu’une pareille vitesse
n'est pas immédiatement réclamée par les besoins de l'usine,
et qu'on se voit obligé de l'amoindrir par une transformation
d'engrenages qui dépensent une portion plus ou moins grande
de l'action motrice, et dont il convient toujours de tenir
compte dans les projets d'établissement de la machine.

La théorie et les calculs qui se trouvent exposés dans la
première partie de la note que nous avons l'honneur de
soumettre à l’Académie, ont déjà été l’objet de deux leçons
professées , par l’auteur, les 11 et 13 juillet dernier, à la Fa-
culté des sciences de Paris. On y considère d’abord les équa-
tions relatives à l'écoulement du liquide, tant dans l’intérieur
du réservoir de la roue, qu’au travers des orifices de eircu-
lation formés par ses aubes cylindriques. Dans ces équations,
on tient compte, en même temps, soit de la perte de force
vive qui a lieu à l'entrée du liquide dans le réservoir, soit de
la différence qui peut exister entre les pressions à l'intérieur
et à l'extérieur de l’espace cylindrique compris entre la tur-
bine et les orifices d'alimentation, soit enfin des pertes de
force vive qui s’opèrent en vertu de la vitesse relative avec
laquelle le liquide afflue dans les canaux de circulation de
cette roue, et vient choquer leurs parois ou se méler avec
celui qui y est déjà contenu et qui possède généralement une
vitesse différente de la sienne propre.

Ces mêmes équations conduisent immédiatement à des ex-
pressions très-simples de la vitesse, de la dépense de liquide,

8 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

ainsi que de la pression déjà mentionnée ci-dessus et qu’on
avait primitivement considérée comme l’une des inconnues
du problème. Le numérateur de ces expressions contient
uniquement les termes relatifs , soit à la différence des niveaux
dans les deux biefs, soit à la vitesse angulaire de la roue, et
dont l’un, je veux dire le premier, est spécialement dû à l’ac-
tion de la gravité, et l’autre, à celle de la force centrifuge.
Leur dénominateur ne renferme, au contraire, que les seuls
termes qui proviennent des différentes pertes de forces vives,
et qui dépendent ainsi essentiellement de la constitution par-
ticulière de la machine et du réservoir, lequel est lui-même
armé d’aubes, de surfaces cylindriques verticales, fixes, qui
servent de directrices au liquide.

Quant à l'effet utile de cette machine, il est donné immé-
diatement par l'équation ordinaire des forces vives, dans la-
quelle on réunit, à la perte de travail relative à l'introduction
de l’eau dans les canaux de la turbine, celle qui résulte de la
vitesse absolue conservée par ce liquide à son arrivée dans
l’espace extérieur. Mais, comme l'effet dont il s’agit dépend
essentiellement de la masse du liquide qui s'écoule, dans
chaque unité de temps, après que le régime uniforme se
trouve établi, et que cette masse elle-même est une fonction
implicite de la vitesse de la roue, il en résulte une expression
radicale assez compliquée, qui se simplifie, néanmoins, quand
on ne veut uniquement considérer que le rapport des effets,
et rechercher la valeur de la vitesse angulaire qui le rend
un maximum.

D'ailleurs, les aubes de la roue formant, avec sa circon-
férence intérieure, un angle sensiblement droit dans le sys-
tème de construction adopté par M. Fourneyron, nous

DE: LA TURBINE FOURNEYRON. 9

n'avons pas eu à nous occuper spécialement des conditions
du maximum d'effet absolu, dont l'expression générale se
complique beaucoup ici, et qui eussent conduit à trois équa-
tions du deuxième degré, assez difficiles à discuter ; nous
nous sommes borné à montrer, pour le dispositif particulier
dont il s’agit, l'impossibilité de satisfaire à ces mêmes con-
ditions, dont on approche, néanmoins, lors des fortes ouver-
tures de vanne et pour de très-petites valeurs attribuées aux
angles formés par la veine liquide à son entrée et à sa sortie
de la roue. Quoi qu'il en soit, la marche que nous avons
suivie dans la recherche du maximum d'effet relatif à ce cas
particulier, indique suffisamment celle qui devrait être adop-
tée pour l'établissement de la théorie de toutes les roues qui
offrent plus où moins d’analogie avec les turbines, et dont la
difficulté réside principalement dans la détermination de la
dépense de liquide ou de la vitesse d’affluence de ce liquide
sur la machine.

Considérant donc spécialement le dispositif adopté par
M. Fourneyron, et appliquant les formules à un cas qui doit
beaucoup se rapprocher de celui de la turbine de Mülbach,
soumise à l'expérience par M. Morin, on trouve :

1° Que cette turbine, encore bien qu’elle ne soit pas, en
général, susceptible de produire ce qu'on nomme le maxinium
d'effet absolu, offre néanmoins des résultats qui en appro-
chent de très-près, en raison de l'excellente disposition de
toutes les parties, à laquelle l'auteur s'est conformé dans
l'application spéciale dont il s’agit; 2° que le rapport de
l'effet utile au travail dépensé, de même que celui de la vi-
tesse de la roue à celle qui est due à la chute virtuelle ou
effective, sont entièrement indépendants de la hauteur de

D VE. 2

10 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

cette chute et de la quantité dont la turbine peut être noyée
dans l'eau du bief inférieur; circonstances dont la dernière,
on le sent bien, tient à ce qu'on n'a point eu égard , dans les
calculs, aux pertes de force vive occasionnées par la résistance
de cette eau; 3° enfin, que les valeurs du rapport des effets
varient assez peu pour des vitesses angulaires qui s'écartent
notablement, de part et d'autre, de celle qui donne le maxi-
mum d'effet relatif.

Ces diverses conséquences s'accordent parfaitement avec le
résultat des expériences connues; mais ce qui nous paraît
surtout mériter l'attention, c'est que les valeurs, attribuées,
par le calcul, au rapport des effets, sont bien loin de dé-
croître, pour les grandes vitesses de roue, aussi rapidement
que l'indique le tableau des expériences déjà citées de
M. Morin. Or, cette circonstance, jointe à ce que la diminu-
tion de l'effet utile relatif aux très-petites ogvertures de
vanne, est aussi moins sensible dans les résultats déduits du
calcul , offre une nouvelle preuve de la nécessité d’avoir égard
à la résistance du liquide ‘dans lequel la roue se trouve plon-
gée, ainsi qu'à plusieurs autres circonstances dont nous n’a-
vons point encore parlé. Du reste, le même accord se fait
apercevoir dans la comparaison des dépenses théorique et
effective, à cela près encore de l'influence perturbatrice qui
peut être due aux circonstances dont il s’agit.

L'examen de ces particularités, omises dans l'établissement
des précédentes formules, est l’objet de la dernière partie de
cette note; on a cherché à y tenir compte, d'une manière
approximative, non-seulement de la résistance que la turbine
éprouve à se mouvoir dans l’eau du bief inférieur, mais aussi
de l'influence qui peut être due au jeu annulaire ou vide

DE LA TURBINE FOURNEYRON. Il

laissé entre le réservoir et la couronne supérieure de la roue,
ainsi qu'à la présence des diaphragmes ou couronnes inter-
médiaires quelquefois adoptées, par M. Fourneyron, dans
l'établissement de cette roue. On concoit, en effet, que, lors
des mouvements très-rapides ou très-lents de celle-ci, la
pression intérieure pouvant être plus petite ou plus grande
que celle du fluide ambiant, il en résulte, dans le premier
cas, une aspiration, et, dans le second, une expulsion qui
altèrent les effets dynamiques de la machine et le mode d'é-
coulement de l'eau, avec d'autant plus d'énergie, que le jeu
‘annulaire dont il s’agit est plus appréciable, que l'ouverture
de la vanne est plus faible, et que la vitesse de la roue s’ap-
proche elle-même davantage de ses limites extrêmes.

D'un autre côté, il résultera de l’interposition de cou-
ronnes intermédiaires, que, lors des faibles ouvertures de
vanne, le liquide compris dans les divisions supérieures,
soumis uniquement à l'action de la force centrifuge, tendra
à s'en échapper avec une vitesse qui croîtra avec celle de la
roue, et qui produira un remous, un effluve continuels du
dehors vers le dedans de cette roue, lesquels n’ont pas lieu
pour la division inférieure où l’eau afflue, par hypothèse,
directement et d’une manière constante.

L'analyse de ces différentes circonstances conduit à un
nombre d'équations suffisant pour en déterminer complé-
tement l'influence, tant sur la dépense de fluide que sur les
effets de la machine; mais les résultats auxquels on arrive
sont très-compliqués, et nous nous sommes borné, dans cette
note, à indiquer la marche des calculs, qui ne pourraient
‘s'effectuer que pour chaque cas spécial et par la méthode des
approximations successives , à laquelle d’ailleurs on sera dis-

2.

12 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

pensé de recourir lorsqu'il ne s'agira que des effets de la
turbine considérée dans son état normal, c’est-à-dire, pour
des ouvertures de vanne et des vitesses appropriées à sa cons-
titution primitive.

Les détails dans lesquels on vient d'entrer montrent, de
plus, que la théorie et l'établissement des turbines sont en
eux-mêmes très-délicats ; que leur effet utile est susceptible de
s'amoindrir, pour ainsi dire indéfiniment, par une mauvaise
disposition de l'ensemble ou des parties, mais surtout par
une fausse appréciation de la vitesse, de la dépense ou de
l'ouverture qui convient aux orifices d'écoulement ; qu’enfin
l'excellence des résultats obtenus par M. Fourneyron est due
autant à son intelligence de la véritable constitution de la
machine, qu'à une longue pratique, à une longue expérience
dirigée par les indications de la théorie.

Nommons spécialement pour le réservoir cylindrique de
Ja turbine :

e, la hauteur effective des orifices d'écoulement ;

a, la plus courte distance entre les directrices consécutives
du liquide;

!, la distance entre les extrémités extérieures de ces direc-
trices ;

a, l'angle aigu sous lequel les filets liquides, censés perpen-
diculaires à «, viennent rencontrer la circonférence in-
térieure de la roue, ce qui donne sensiblement a —/

Sin «;

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 13

U, la vitesse inconnue et moyenne avec laquelle ces filets fran-
chissent les orifices dont l'aire individuelle est ae;

k, le coefficient de la contraction à la sortie de ces orifices,
et qui ici doit être au moins 0,95 pour les petites va-
leurs de e;

&, celui qui se rapporte à l'introduction de l’eau dans l'in-
térieur du réservoir, et qui peut descendre à 0,60 lorsque
les parois de ce dernier ne sont pas convenablement
évasées ;

À, l'aire des sections horizontales du réservoir ;

O— nkae, la somme des aires contractées, Lae, des orifices
de sortie, dont » représente le nombre ;

Q— OÙ, le volume du liquide écoulé, dans chaque seconde,
par ces orifices.

Soit pareillement pour la roue :

R' et R”, les rayons des circonférences extérieure et inté-
rieure, dont le dernier est aussi, à très-peu près, celui
du réservoir ;

e', la hauteur du débouché naturel et invariable offert au li-
quide affluent, par les canaux de circulation des aubes,
hauteur qui peut, néanmoins, se réduire à une fraction
déterminée de la distance entre les couronnes exté-
rieures de la roue, quand il existe un ou plusieurs dia-
phragmes intermédiaires ;

a’, la plus courte distance entre deux aubes consécutives;

l'et !”, leurs intervalles mesurés respectivement sur les cir-
conférences extérieure et intérieure ;

9, l'angle aigu formé par le jet liquide avec la première de ces
circonférences, de sorte qu’on a sensiblement «= [sin +;

14 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

O' = n'ka'e', la somme des aires contractées, L'a'e’, des ori-
fices d'évacuation dont x’ est le nombre ;

w, la vitesse angulaire ou à l'unité de distance de l'axe;

= wR, v"—wR", les vitesses des circonférences extérieure
et intérieure ;

u et u', les vitesses relatives avec lesquelles le liquide est in-
troduit dans l'intervalle compris entre les aubes voisines
de la roue, et s'en échappe ensuite comme d’une espèce
de canal ou ajutage conique ;

B, l'angle formé par la vitesse w et la vitesse #” prise en sens
contraire.

Enfin, désignons généralement par :

het L’, les hauteurs du niveau de l’eau, dans les bassins su-
périeur et inférieur, au-dessus du centre des orifices
d'écoulement ;

H=— 1 }!, la chute totale ou utile;

P, la résistance et Pv l'effet, utiles, mesurés au point dont la
distance à l'axe est R, et la vitesse 0 — ok ;

p; la pression atmosphérique extérieure, par mètre carré;

p', celle qui a lieu dans l’espace compris entre le réservoir et
la roue ;

= 1000/, la densité, le poids du mètre cube du liquide ;

g = 9",809, la vitesse imprimée, par la pesanteur, au bout
de la première unité de temps de la chute des corps;

I ë ‘ . » DU r
M ee la masse de liquide qui s'écoule uniformément,

dans l'unité de temps, par les orifices du réservoir ou
ceux de la turbine.

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 1

Qt

- Gbservant que la perte de force vive, par seconde, qui
s'opère à l'entrée de l’eau dans le réservoir cylindrique d’a-
limentation de la roue, est, d’après les principes connus,
mesurée par l'expression Me (E dE négligeant, en gé-
néral, la résistance, ici assez faible, des parois des vases ou
différentes conduites, aussi bien que la force vive due à la
vitesse d'affluence de l’eau dans le bassin supérieur, et qui est
ordinairement très-petite par rapport à celle qui a lieu dans
le réservoir même de la turbine ; l'équation du mouvement
permanent du liquide, depuis son entrée dans ce réservoir
jusqu’à sa sortie par les orifices O, sera

MU [1 + EC 1) ]=2Mge +aMg(2 2),

ou, en divisant par M, et posant pour abréger,

© fr e z _ z ADR D)
(1) —=K, U(1+ K)= 29h + 28 — FAR
On aura ainsi pour déterminer la hauteur de pression dans
l'espace compris entre le réservoir et la roue, quand UÜ sera
connu,
Je

Ps LE 2
nn 6 EEK}

Pour obtenir l'équation qui se rapporte au mouvement
cireulatoire de l’eau dans l’intérieur de la roue, on remarque
d’abord que la vitesse relative u, avec laquelle cette eau tend,
au premier instant, à s’introduire dans l'intervalle compris
entre les aubes, est donnée par la relation

12 '

12 O 1: O n
NUE p'— ay cosa = n° + 072 © cos a. u’,

16 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

attendu qu'on a Q —OU—0'#', et que U doit étre la résul-
tante de w et de v”.

Admettant ensuite, ce qui a effectivement lieu dans la tur-
bine Fourneyron, que la direction des aubes est, sinon rigou-
reusement, du moins très-sensiblement perpendiculaire à la
circonférence intérieure de la roue, on décomposera la vitesse
relative z, en deux autres; l’une x cos 8, dirigée dans le sens
de cette circonférence, et qui donne lieu à une première perte
de force vive mesurée par

Mu: cos’ 8 ;

l'autre w sin £, dont l'excès sur la vitesse moyenne ou de ré-
gime que l’eau tend à prendre, dans les canaux de cireulation
de la roue, un peu au delà de leur entrée, donne lieu à une
seconde perte de force vive, qu'on évaluerà approximati-
vement en observant que k'a'e'u! étant la dépense qui se fait
en une seconde, par l'orifice d'évacuation de chacun de ces
canaux, la vitesse moyenne dont il s’agit, a pour mesure,
dans l'hypothèse du parallélisme des filets, et attendu que
el" peut être pris sensiblement pour l'aire de la section à
l’entrée des canaux, et que l'et /” sont proportionnels à K'
et R”,

k'a'e!u’ k£'a’ R'

R
'e Al
RS TRUE a.

em sin o.4';

le coefficient numérique 4! pouvant servir, en même temps,
à corriger l'erreur que l’on commet en supposant le parallé-
lisme des filets établi dans la section e’/”, qui est évidemment
trop forte, et « représentant ici, redisons-le, non pas l'angle
du dernier élément des aubes avec la circonférence extérieure
de la roue, mais bien celui du filet moyen ou central de la
veine sortante avec cette même circonférence.

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 17

La perte de vitesse à l'entrée et dans le sens de l’axe des
canaux, aura donc pour ms

u sin £ — # = sin e.u/;

=

ce qui donne pour la perte correspondante de force vive, par
seconde et sur le pourtour entier de la roue, l'expression

M (a sin rare © sin o. u),

et, pour la perte de force vive totale à l'entrée de l’eau dans
les canaux,

M Le i (u smi—Fs ie sin 9. u)
=M (+2

sin” eu op sine. usin$. u').

== R’

Mais, attendu que l’axe de ces canaux est ici supposé per-
pendiculaire à la circonférence intérieure de la roue (1) ou à
la direction de ,”, et que U est la résultante de #” et de w, on
a nécessairement

!

: ON 6
usinf—=U sine" sin au’;

(x) S'il formait avec elle, du côté de la vitesse v”, un angle quelconque y,
l'expression de la perte de force vive deviendrait

R? sin° gRsine Ale

f2 12 (0)
M ju? + #72 TUE Li —2[5 COS(y— a) —v ‘cos | R's ie

ce qui introduirait, dans les équations, un terme en #, qui les compli-
querait un peu plus, et auquel il sera ainsi facile d’avoir égard dans la
recherche des conditions relatives au maximum d'effet absolu.

HA VIL 3

‘18 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

cé qui donne pour la nouvelle expression simplifiée de la perte
de force vive à l'entrée de la roue,

O'
M (a care LE qu? —92# Fe Sin 9 © sin a. u*),

_

ou, en posant pour abréger,

Ke ‘sin =—=@, £ sina—=€, M(u+bu"—2bcu?).

D'après cela, l'équation du mouvement relatif dans l’inté-
rieur de la roue, en ayant égard à l’action de la force centri-
fage qui développe, par seconde, une quantité de travail
mesurée par M (v*—v"?), sera

Mu = Mu + M(0°—0") + 29M Œ SE
— 29M} — Mu + bu — 2bcu' :
ou, en divisant par M remplaçant? dise q Par sa valeur trouvée

ci-dessus, et se rappelant que A—k'=H, U— . u'
2 ta 12 2 0° 2 '
u— V0 — +agl—[G +R + D —be| uw”

De là on tire pour déterminer la vitesse w', en posant de
nouveau, afin d’abréger, le nombre

(G+K)Q + D ube—i, n'y 28H E v°—v" Lau

1+-c
Les pee QU RTS
1 +5

2

et, partant, pour calculer la vitesse et la dépense de liquide
à la sortie du réservoir cylindrique de la turbine,

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 19

0 0 /RR ETS,
(0) (0) 1+c

OU— 0 29H + w? (R:— R"°).

te A

formules qui montrent que cette vitesse, cette dépense,

peuvent surpasser celles qui seraient dues à la différence H,

des niveaux, et qu’élles croissent, en général, avec la vitesse

2 2 o ?

angulaire de la roue, conformément au résultat des récentes
expériences de M. Morin, sur la turbine de Mülbach.

Mettant d’ailleurs la valeur de U, qui vient d’être trouvée

.. ;

, : pt DU
dans l'expression de jp 00 aura
DRE x Del AT;
IL = À KR 1 +-2 H ke 22 À

ce qui montre que la pression dans l'espace compris entre la
roue et le réservoir, diminue rapidement à mesure que la vi-
tesse angulaire w augmente, et qu’elle peut même devenir
inférieure à la pression du fluide dans lequel se meutla tur-
bine, quand la condition

Bou < (SNS [+0 ER

se trouve naturellement remplie.

Enfin , le principe des forces vives donnera également pour
calculer effet utile ou la quantité de travail transmise à la
roue, abstraction faite des résistances passives,

/ z 2 27/22 f2\ Li Æ f2 # 0
Po=MgH —©M(u+ bu — 2bou )—;M(u+v®—25 cosœ.u'),

attendu que &#? +-#*— 29’ cos &.#/, représente le carré de la

3,

20 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES
vitesse absolue conservée par le liquide, à sa sortie de cette
roue.

Mais il est à remarquer qu'ici les valeurs de M et de MgH,
qui représentent la masse de liquide écoulée par seconde, et
le travail moteur, l'effet absolu qui s’y rapporte, ne sont point
indépendants de la vitesse angulaire de la roue, de sorte
qu'il ne conviendrait pas non plus de supposer ces valeurs
constantes, comme on le fait ordinairement dans la recherche
du maximum d'effet ; c'est pourquoi on se contentera de con-
sidérer simplement le maximum même du rapport de ces
effets, lequel exprime l'avantage relatif de Ja roue, ou ce
qu'on appelle quelquefois son rendement, dans la pratique.

Comme on a d’ailleurs

Où L (4 4 O' r
W—-—u" +9 —929 —COS au
0 = œil 2 re) OS au ,
l'équation qui donne ce rapport sera, en divisant l'expression
ci-dessus de Ps par Mg,

Po ET CL D UUE la £ u'?
= er 2h

+ (s COS o + ?” D Ho
2 o Oo cos «) >gH

Observant, en outre, qu’on a

29H + 07—0".

HR ESS
1 +2

remplaçant v' et #” par &6R et wR”, il viendra, toutes réduc-

= (5 7% K)T + &— 206, u?—

tions faites,

Po __ K cs K 0” (R°—R")—2R"] _

Mg 1+60° (14 à) 0°
(R'cose+R'S cos :)
À Re RM).

V'i+i 2H

——————————————

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 21

Pour déduire de là les conditions du maximum d'effet, il
faudra successivement faire varier, dans cette expression, les
quantités qu'on veut considérer comme indéterminées dans
l'établissement de la roue, en faisant attention que le nombre

sin’ (o]

= +K)g + ab (1 + K) D + pr

’n'

25 pr sin qsin CA

est lui-même fonction de quelques-unes d’entre elles.

En se bornant ici à ce qui concerne particulièrement la :
vitesse angulaire 6, ou plutôt le rapport de la vitesse v — wR"
à celle L/2gH qui est due à la chute disponible du cours
d'eau, rapport qui entre seul dans l'expression de celui des
effets, on posera de nouveau, afin d’abréger,

+ ”

' , coso + 57 COS «&
2 K O7? R' O R
Ter —B, 2 Ts 0; ——————————— — D;
142 O 1420 V'i1+i
R'"2 oR/? LR
Ip —#} ee ou P —oR — 29Hx,

quantités qui, dans le problème dont on s'occupe, sont toutes
essentiellement positives.

L'expression du rapport des effets devenant ainsi, en gé-
néral,

Pe
M£H

—B— En DER ER

on trouvera, sans difficultés, pour la condition du maximum
relatif de ce rapport

Hi il DIMEGAITIQ
= C°— 4D°E°

29 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES
et, pour la valeur même de ce maximum ,
Pe C I ESS PINS
D = NC —/AD?P.
Men Ÿ3E 28 4
Cette dernière expression ne contenant ni H, ni #'ouh, on
voit que la turbine Fourneyron doit, entre certaines limites
de vitesse et abstraction faite des résistances passives plus ou
moins grandes qu’elle éprouve, fonctionner avec un égal
avantage sous toutes les hauteurs de chute, et qu’elle soit ou
non noyée dans l’eau du bief inférieur; propriétés qui sont
confirmées, à l'avance, par le résultat des expériences connues.

LA

R 4 :
——, qui corréspond au maximum
oH

28

d'effet relatif, fait voir, en outre, que ce rapport doit être
sensiblement indépendant des circonstances dont il s’agit, et
qu'il n’est, ainsi que le précédent, susceptible de varier

La valeur du rapport

qu'avec les proportions mêmes de la machine, l'inclinaison
des courbes directrices du réservoir, celle des aubes de la
roue. et l'ouverture des orifices d'écoulement, conformément
encore à ce qui est indiqué par l'expérience.

Dans le système de construction adopté par M. Fourneyron,
l'aire variable © des orifices du réservoir est, tout au plus,
le quart de celle À, de ses sections horizontales +R”, de sorte
qu'on a aussi

I SI a 7 I
K <=) ou K <3g = 00278,

en prenant pour y sa plus petite valeur 0,6. Et, comme le
nombre K est, en même temps, facteur de quantités assez
petites dans les expressions de B et de C ci-dessus, on pourra
l'y supposer entièrement nul, ce qui donnera plus sim-
plement :

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 23
1° Pour l'expression générale du rapport variable des
effets,

cos OR Fa
P ( 9 _ ) Re
L ——————— —— 7 PARTNER + (x = je; =

ZE 7 2H 2 -
M£H Vi +

2° Pour la valeur x qui correspond au maximum de ce
rapport,

"+ R/ ï " R’/2 x
_ 2{R°—R”) Y 1 ?

V (R'cosg + R'cos «)
Rien rene (Ré R

3° Enfin pour la valeur même de ce maximum,

Ceres TES ET RA
ion |. \/ | (R'cosÿ+ TR'e05x) (R°—R")
R2-R? 22 ru True Me MORE EU PV CE PU

MH Re — G +R"

L'examen de cette dernière expression fait voir que les au-
tres conditions à remplir pour rendre l'établissement de la
. , 5
roue le plus avantageux possible, dans l'hypothèse À > 40,
qui nous cecupe, consiste à rendre elle-même un maximum
la quantité

(coss+- D R'eos2) AU (cosgio _ cos a) Gr)
G+ùR* des | cs R=A O'R'
GK) + pas 7p— 2Gprsin? sinx
Posant, à cet effet,
R' x
tanga=—y, tango —=z, m7, Se

et observant d’ailleurs qu’on a

O'__n'k'ale Ken l'sin®g 1 R’sin®
O nkae Kenlsna 7 s R'sime?

24 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

l'expression dont il s’agit prendra la forme

m(1—m\(sy +2)
CRE TENTES SCE DE ert)r

sous laquelle il est facile de reconnaître, d'après la limita-
tion des valeurs que peuvent recevoir ici les nombres 7», s
et K : 1° que cette fraction demeurera toujours au-dessous
de l'unité, de sorte que la valeur du rapport x, ou celle de
la vitesse angulaire de la roue, ne saurait, non plus, devenir
infinie par la condition du maximum d'effet, ainsi qu'il
arrive pour les roues à réaction, à la classe desquelles, par
conséquent, celle qui nous occupe ne saurait appartenir ;
2° que cette même fonction approchera d'autant plus de son
ke
k'e'
et que K, y et z ou « et © seront eux-mêmes plus près de
zéro ; 3° qu'enfin, si cette condition de K, « et +, nuls ou

maximum , que le rapport s ou sera plus voisin de l'unité,

x : Fe pe tang
très-petits, était satisfaite, le rapport de == 7 devenant

ang

b à . . , . . . “
a la fraction ci-dessus se réduirait sensiblement à la quan-
tité 1 — mn"; ce qui donnerait

Pure. R2 Res CARE Re
MER ee en) ACER

oR” ou ” —=V/gH—0,7071 V2,

et indique que le maximum d'effet absolu serait atteint pour
une vitesse de la circonférence intérieure de la roue, égale
aux 0,7 environ de celle qui répond à la hauteur de la chute
disponible H.

Dans la réalité, il est impossible de faire les angles + et o
nuls où même très-petits, conditions dont la première tient

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 25

uniquement d’ailleurs à ce qu'on a supposé ici les aubes per-
pendiculaires à la circonférence dont il s’agit; mais on con-

çoit, d’après la nature de la fonction ci-dessus, que sa valeur

Po L sl. ;
et celle de MH devront éprouver des variations assez faibles

Mg
pour des valeurs de « et de + qui s’écarteraient notablement de
zéro; et c'est ce qui sera démontré par l'exemple suivant,
dans lequel nous nous proposons d'étudier spécialement la
marche suivie par les résultats numériques du caleul, afin de
la comparer à celle qui est indiquée par les données immé-
diates de l'expérience.

Nous choisirons, à cet effet, l’un de ceux dont M. Morin
s’est, dans son dernier mémoire, imprimé, sur les turbines,
occupé avec le plus de soin, sans d’ailleurs faire connaitre les
éléments relatifs à la constitution particulière de la roue sur
laquelle il a opéré, et qui eussent pu servir de base à l'éta-
blissement des calculs; circonstance d'autant plus fâcheuse,
qu’elle nous empêche de donner à cette comparaison le degré
de certitude et d'intérêt scientifique qu’elle eût pu comporter.

Si l’on admet que M. Fourneyron n'ait pas sensiblement
modifié le système général de construction de sa roue, depuis
l’époque de l'impression de son premier mémoire dans les
Bulletins de la Société d'encouragement , pour l’année 1834
(p- 3, 49 et 85), on sera conduit, notamment pour la turbine
de Mülbach, sur laquelle M. Morin a multiplié beaucoup les
expériences, et qui, sous une hauteur de o",33, offre un dia-
mètre d'environ 2", on sera conduit, disons-nous, à prendre,
d'une manière qui laisse à la vérité un peu d’arbitraire,
R—1" ,R"—0,7R —0",7,sina—0,5, cosx—0,866,sing—0,4, cosy—0,9165.

De plus, nous supposerons les coefficients de contraction

D CVIT: 4

26 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

k, k', relatifs aux orifices d'injection du réservoir et d’évacua-
tion de la roue, sensiblement égaux entre eux et à l'unité; et,
parmi: les séries d'expériences entreprises par M: Morin,
nous choisirons les deuxièmes des pages 36 et 46 du. mé-
moire cité, pour lesquelles la valeur du rapport = des hauteurs.

de ces orifices ne devait pas, elle-même, différer beaucoup
de l'unité, si, comme il y a lieu de le supposer encore:, la
roue dont il s’agit portait une couronne intermédiaire, et!
qu'on néglige l'influence qui peut être due à la présence de
la division supérieure où l’eau ne devait pas! être admise di- |
rectement.

On aurait ainsi sensiblement, dans ces hypothèses,
O'__n'ka'e. R'siny

OÙ nhae R'sinx

O? r Of . »
1,149, Hi Ga = EK+ Gr = sin a—1,9434,,

/R£
COS + —— COS œ FA
E 31999, plomb
AE R

ce qui donne :
1° Pour l'expression générale du rapport variable des
effets de la turbine dans le cas particulier qui nous. occupe,

P ä
GE = — 2X + 3,3567 V'x+ 0,1 TS
> Pour la valeur maximunr de ce-rapport,
Po
ME ° 809);

3° Enfin pour la valeur correspondante. du nombre +,
wR"? De MERS FES oR
2 = RE 689; d'où Don 08

En consultant la deuxième partie du tableau de la page 36

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 27
‘du mémoire cité de M. Morin, onverra que l’avant-dernier de
ces résultats surpasse de : environ, celui qu'il a déduit de ses
propres expériences, dans lesquelles, d’ailleurs, on avait
moyennement H — 3",2 ; ce qui donne, pour le nombre N

des révolutions par minute de la roue, correspondant au
maximum d'effet,

N — 9,556 —= 9:99 LV’ 2eHzx —62!,8,
au lieu du nombre 59° environ, fourni par le résultat de ces
expériences. Quoiqu'une semblable différence n’ait point lieu
ici de nous surprendre, nous ferons cependant remarquer
qu'elle doit être principalement attribuée aux résistances
passives dont on n’a tenu aucun compte.

Substituant maintenant dans l’expression générale ci-dessus
au rapport des effets, une série de valeurs décroissantes de:x,
on formera le tableau suivant, dans lequel nous avons aussi
inséré les valeurs de ce rapport qui se concluent, par inter-
polation, du résultat des expériences de M. Morin.

* Valeurs attribuées Nombre de tours de roue Rapport des effets Moyennes fournies
au nombre r. parminute. d'après le calcul. par l'expérience.
ROBE MUR 000. 0,000... DU
GRECE SE SOS QCOA eee Os
OIL E APS AN 2. So 0 EE 0,700
OO: later SO Greene 5 0,807....... 0,70
D These -fe GERS Oo 0,810....... 0,700
(Rens GpOpeeereet 0,800: ---0 0,675
0 5555: NOTE OJÉ0 ee -Ce 0,610
PODERNNE 2 88 rte. GHAB SCO EU 0,490
PRHERREE 80523510 ODA ele le à 0,360
DOM 0Ù;70- mme 0,664....... 0,280
0 ae NMTOMO Et LUN. O6T2 15. 0,203
120 more 1IMO7OO. ee (Hi (OS 0,00
Die ee TA OU CS 0,000, « sn eine »

Les chiffres de ce tableau montrent, conformément encore

4.

28 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

aux résultats de l’expérience, que l'effet utile, qui ne saurait
ici atteindre le maximum absolu, peut non-seulement s’en
approcher de très-près, mais, de plus, qu'il n'éprouve que
de très-faibles variations pour des vitesses qui s’écartent no-
tablement de celle du maximum relatif.

Néanmoins, en consultant la dernière colonne de ce ta-
bleau, on verra que le rapport des effets y décroît, avec le
nombre des révolutions de la roue, d’une manière beaucoup
plus rapide que ne l'indiquent les résultats du calcul; et ceci
tient encore, sans aucun doute, à la grande influence qu'’ac-
quièrent alors les résistances passives et autres causes de dé-
perdition inhérentes au mouvement de la turbine, qui, pour le
cas dont il s’agit, se trouvait noyée dans l'eau du bief inférieur.

Pour se convaincre encore plus de l'accord des formules et
de l'expérience, il n’y a qu'à jeter les yeux sur le tableau de
la page 34 du mémoire cité, qui concerne les ouvertures de
vanne de 0",09 de hauteur seulement : on y verra le rapport
maximum des effets descendre au-dessous de 0,53. Or, il est
aisé d'apercevoir encore que nos formules marchent dans le
même sens, quoiqu'elles fournissent toujours, en raison des
causes signalées, des nombres sensiblement supérieurs à ceux
de l'expérience (1).

Enfin, M. Morin ayant aussi fait sur la turbine de Mülbach

O’ , ARC N.
(1) En supposant, en effet, le rapport 5 des orifices, réduit à la moiti
de la valeur qu'on lui a attribuée ci-dessus, on trouve que le maximum
Ps

de Mgi devient 0,59 environ, et le nombre de tours correspondant, 48;

a peu près comme l'indique l'expérience.

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 29

une suite d'expériences fort intéressantes, dans la vue de
constater l'influence de la force centrifuge sur la dépense
qui se fait par les orifices du réservoir, et de découvrir la loi
qui lie cette dépense à celle O V/2gH, qui aurait lieu si la
roue était enlevée, nous croyons utile d’en comparer éga-
lement les résultats à ceux de nos formules, qui donnent pour
l'expression du rapport des dépenses dont il s’agit,

1+(
(1+i) T
laquelle devient, dans le cas particulier qui nous occupe,
VASE 0,51T
1,5434 ?
formule où nous nous contenterons de substituer, pour x,
les valeurs 0,2, 0,7, 1,8, et qui donne respectivement : pour
32300373 4,0; |

—) LA

O'u’ O! SP SER QE ET) +0? (RE — RME LE
er: IC +2)

?

O'u’

— Syoi. à la mi es —————— = 5
N 33,84. révoi. à la minute On 0,845,
Nt= 62,80................,.......... — 0,938,
Néon ahmed eu tree = 1,11.

On peut voir encore par le tableau des pag. 46 et 47 du
mémoire souvent cité, concernant l’orifice de 0",20 d’ouver-
ture, que ces résultats suivent la même marche que ceux de
FE emue quoiqu'ils les surpassent généralement à nombre
égal de révolutions de la roue. De plus, la formule qui les
donne, montre qu'ils sn sensiblement à décroitre,

avec la valeur du rapport © des orifices, ce qui ne paraîtrait

pas avoir lieu, à beaucoup près, avec la même rapidité, d’a-
près la comparaison des données fournies par les tableaux

30 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

relatifs aux levées de vanne de 6",05-et 0",27, qui montrent,
d’ailleurs, que le terme w’(R°— R"°), dû à la force-centrifuge,
exerce, en réalité, une influence bien moindre pour les-petits
que pour les grands orifices. Mais, je le répète, de pareilles
différences n’ont rien qui doive surprendre, puisque, indé-
pendamment des résistances passives auxquelles la turbine se
trouve soumise quand elle est noyée dans l’eau du bief infé-
rieur, le mouvement du liquide y éprouve diverses modifi-
cations dont on a négligé la considération dans ce qui pré-
cède, quoiqu'il ne soit nullement impossible d'y avoir égard
dans l'établissement des formules.

En effet, nous avons jusqu'ici admis que l'intervalle com-
pris entre le réservoir et la rouëé, ne communique avec le
milieu ambiant que par les conduites formées par les aubes
de cette roue. Dans le fait, cet intervalle est entièrement sé-
paré du fluide extérieur par la couronne qui sert de fond à
la turbine, et qui se prolonge jusqu’à son axe vertical, sans
aucun jeu appréciable; mais il n’en est pas ainsi de la cou-
ronne supérieure, qui laisse entre elle.et le réservoir un es-
pace annulaire par lequel le fluide peut s'échapper ou être
introduit, selon que la pression p' surpasse la pression exté-
rieure p + IX’, ou en est, au contraire, surpassée,; cir-
constance qui altère nécessairement d'autant plus les effets,
que la lame d’eau affluente a moins d'épaisseur, et que la
vitesse angulaire est elle-même plus:grande.

Nommant 7 la largeur horizontale du jeu dont il s’agit;

= 26R'"7, l'aire du vide qu'il forme autour du réservoir ey-
lindrique de la turbine ; w, la vitesse avec laquelle le Tiquide
tend , en général, à franchir ce vide, soit du dehors au dedans,
s'ily a aspiration ou que la-pression p':setrouve être inférieure

DE LA TURBINE FOURNEYRON. +
à p + U/,soit du dedans vers le dehors, s’il y a refoulement
ou que p' surpasse cette même pression. Enfin, désignant par
g—k,ow, le volume, et par m— = k,ow, la masse du liquide

expulsé ou introduit pendant une seconde, au travers de o,
dans le cas où la turbine est censée tourner sous l’eau du bief
inférieur ; #, représentant d’ailleurs le coefficient de contrac-
tion qui se rapporte à l'ouverture annulaire o, on aura :

1° Pour l'équation du mouvement au travers des orifices O
du réservoir,

x == oœ A re =
U'(1+K) — 23h + 29 (£ nm);
2° Pour celle qui. se rapporte à l'écoulement par l’ouver-
ture o : du dedans vers le dehors, ou si l’on ap >p + I,
mg = == ? —2gh",

du dehors au dedans, ou si l’on a, au contraire, p << p+U',

4— 99h" + 29 EE ;
ce qui donne simplement, d'après l'équation ci-dessus,
£a 29H — (1 + K) U
le signe négatif de w° correspondant à la oo gt hypothèse
qui est celle de l'aspiration ;

3° Pour l'équation qui se rapporte au mouvement relatif
dans l’intérieur des conduites de la roue, lesquelles donnent
toujours lieu à une dépense de fluide O'w', par seconde,

u® = p2— ÿ" + 29H x (: + K) U— etre R7 sr Sir Pa u?

MED: FIN. :
— 2k 5; sin ç sin A

32 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

D'ailleurs on n'aura plus ici simplement la condition OÙ
—0O'y', mais bien cette autre relation :

OUÙU—= O'x Æ kow,

qui, avec les trois précédentes, suffira encore pour déter-
miner les vitesses d'écoulement U, #', w ; les dépenses OÙ,
O'u', ow, ainsi que la pression inconnue p'; le signe infé-
rieur de k,ow se rapportant toujours au cas de l'aspiration.
D'après cela, on n'éprouvera aucune difficulté à établir lé-
quation relative à l'effet utile de la roue, si l'on observe,
comme on vient de le faire pour établir l’avant-dernière des
équations ci-dessus : 1° qu'il n’y a pas lieu, dans le cas pré-
sent, à tenir compte de l'influence de la force vive mw’, qui
est entièrement perdue pour cet effet, puisque sa direction
est perpendiculaire à celle du mouvement de la roue; 2° qu'on
doit seulement avoir égard à l'accroissement ou à la diminu-
tion subis, selon les cas, par la dépense qui se fait au travers
des orifices d'évacuation O de cette roue.

Toutefois, les résultats auxquels on sera ainsi conduit se-
ront fort compliqués, puisqu'ils dépendront, en général,
d'équations d’un degré élevé, et ne pourront être obtenus,
dans chaque circonstance, que par la méthode des approxi-
mations successives.

Lorsque la turbine se trouve divisée, par un diaphragme,
une couronne intermédiaire, en deux parties dont la plus
basse a pour hauteur e’, et que le fluide, animé de la vitesse U,
afflue du réservoir sous une épaisseur e ou ke qui surpasse €’,
les choses restent à peu près dans l’état où on vient de les
considérer ; mais il n’en est plus ainsi lorsque l'inverse a lieu,
et les équations relatives au mouvement du liquide comme

DE LA TURBINE FOURNEYRON. 33

celles qui se rapportent à l'effet utile même de la roue, doivent
alors se partager en deux groupes distincts, ou plutôt on
doit considérer séparément ce qui a lieu pour la capacité
inférieure et pour la capacité supérieure où les circonstances
du mouvement seront très-différentes, puisqu'il s’y fera gé-
néralement une aspiration, plus ou moins puissante, qui
modifiera complétement la loi des effets.

Soient, pour cette même capacité, 0,, O’,, p',,w,, m, et
w, les quantités analogues à celles que nous avons précédem-
ment désignées par 0, O', p', u!, m et w, et qui, désormais,
seront relatives à la capacité inférieure où l’eau afflue d’une
manière directe, on aura d’abord, pour remplacer l'équation
en g”, posée ci-dessus,

H= 29 PRE) ou #°— 2gh—(1+ K) U + 2g (EE ;
relation qui, à son tour, se rapporte au jeu de la couronne
intermédiaire, et à laquelle il faudra joindre les trois sui-
vantes :

W}—=2g (5) +ogh', uv? — 07 +2g D) — 2gh,

O'u,—=0ow+ow,,
en ayant soin, en outre, de considérer comme perte, dans
l'équation relative à l'effet utile de la roue, la force vive
(m+ m,) (u'/+v°— ous" cos 4), que possède la masse de
liquide m» + m,, à sa sortie de la division supérieure de cette
roue.

D'ailleurs la question , bien que plus compliquée, n’en sera
pas moins susceptible d’une solution suffisamment approchée

pour le but à remplir, et dont ce qui précède servira à donner
Re CVIT. 5

34 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES

au moins une idée, en montrant la nature des considérations
sur lesquelles on doit l’'appuyer.

Enfin si, dans la vue d'apprécier avec une plus rigoureuse
exactitude encore, les effets de la machine, on voulait tenir
compte de la résistance qu’elle éprouve à se mouvoir dans
l'eau du bief inférieur, on remarquerait qu'il n’y a pas lieu de
s'occuper ici de celle qui peut provenir du choc sur la con-
vexité extérieure des aubes, puisque le fluide moteur les
occupe en entier et déplace continuellement celui du milieu
ambiant, mais qu'il est au contraire indispensable d’avoir
égard à la résistance qui s'opère sur les faces extérieures et
horizontales des couronnes. Or, on sait, d’après les ingé-
nieuses expériences de Coulomb, que cette résistance peut
être représentée, pour l'unité de surface, par une expression
de la forme av + b'v°; a’ et b'étant des coefficients à déter-
miner par l'expérience, et » — R la vitesse du point de la
couronne qui est située à la distance quelconque R, de l'axe
de la roue. On aura conséquemment, et en observant que les
surfaces frottantes sont au nombre de deux :

1° Pour la résistance totale,

à (2R/—R/4) ;

(R®—R")
= - ;

II II r
2% — d'w - + 250—0'0
£ à £

2° Pour la perte de travail correspondante, par seconde,

I 5 R’‘ Ru I 15 — PIS
20 —« se GR EERE) + 2D— b'é: GCR°—R"),
£ 4 £g 5
Cette perte devant être introduite, parmi les autres, dans
l'équation relative à l'effet utile de la roue, donnera lieu,

pour les hypothèses qui nous ont d’abord occupé, et après

DE .LA TURBINE. FOURNEYRON. 35

avoir été divisée par M2H , à un terme soustractif de la forme

j " Il ! e LL4
Lan a (2R4— Ro" +200 (2R°—R")o"
200$ s

* OgHw
__ 5wa’ (2R/— R") 6° + 408" (2R/—R") w°
1 +2

qui compliquera beaucoup l'expression de cet effet, et dont
on appréciera d’ailleurs l'influence avec une approximation
suffisante, du moins dans le cas des grandes vitesses, en né-
gligeant la partie qui a pour coefficient «’, et qui devient
alors très-petite vis-à-vis de l’autre, dont le facteur constant
b pourra être pris égal à 0,0036 environ, d'après les re-
cherches de notre illustre confrère M. de Prony, sur les lois
qui régissent le mouvement uniforme de l’eau dans les canaux.

La perte proportionnelle ou relative de travail, occasionnée
par la résistance du liquide dans lequel la roue est plongée,
se réduira ainsi à l'expression

=
+2

0,01131 (2R°—R'"°) x
ee
R°
1
OR CRU PEN
(+2) 5

dans laquelle on a substitué à & et 2’ leurs valeurs 3,1416 et
wR'
0,0036 , et remplacé ——— pa
; ; P V'2H par V/z.
En faisant l'application numérique de cette formule au cas
déjà considéré de la turbine de Mülbach, on trouve que la
perte dont il s’agit a pour valeurs respectives 0,121, à 101,

Ge

36 THÉORIE DES EFFETS MÉCANIQUES, ETC.

tours de roue par minute, et 0,035, à la vitesse de 62,8 tours,
qui correspond au maximum d'effet relatif. Ces résultats sont
bien loin, comme on voit, de suffire pour rendre compte de
la perte croissante d'effet éprouvée par la turbine Fourneyron,
à mesure que sa vitesse augmente, et l'on en doit conclure
que la principale cause de cette perte provient, non pas de
la résistance même du liquide extérieur, mais bien des re-
mous, des courants, occasionnés par la présence de la capa-
cité de la roue, qui n'est pas soumise directement à l’action
du fluide moteur.

RS tt tt tnt dt

MÉMOIRE

SUB

LA DIFFÉRENCE QU'OFFRENT LES TISSUS CELLULAIRES

DE

LA POMME ET DE LA POIRE;

SUR LA FORMATION

DES CONCRÉTIONS LIGNEUSES DE LA DERNIÈRE,
CELLE DES NOYAUX ET DU BOIS, COMPARÉES AUX CONCRÉTIONS CALCAIRES

QUI SE TROUVENT SOUS LE MANTEAU DES ARIONS (1),

ET A L’OSSIFICATION DES ANIMAUX EN GÉNÉRAL ;

Lu à l’Académie des sciences, le 28 mai 1838.

Par M. TURPIN.

PREMIÈRE PARTIE.

Tout en étant frappé des nombreuses ressemblances et de
l'intime parenté qui lient si étroitement le Pommier et le

(1) Le genre Arion, formé par de Férussac avec quelques Limaces,
comprend les espèces suivantes : Arion Empyricorum, A. albus, A. sub-
fuscus, À. melanocephalus, A. fuscatus et A. hortensis.

38 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

Poirier, chacun de nous cependant les distingue aussi net-
tement que s'ils appartenaient à des familles végétales très-
éloignées.

Tout le monde sait voir que le Poirier , comparé au Pom-
mier, est plus mâle, plus vigoureux ; que sa taille est plus
grande, sa forme pyramidale et altière ; que ses feuilles , plus
longuement pétiolées , sont en même temps plus lisses, plus
coriaces, moins sujettes à être mangées par les insectes, pres-
que toujours ployées en gouttières ,et à peine denticulées-en
leurs bords ; que ses fleurs, qui en général précèdent celles des
Pommiers d'une ‘quinzaine de jours, sont blanches (1), portées
sur de longs pédoncules, et rassemblées en bouquets plus lâches
ou moins serrés que ceux des Pommiers ; que ces fleurs ont des
étamines plus étalées et des styles lisses ;libres ou isolés jus-
qu’au fond de la cavité de la fleur ; que les fruits, qui succèdent
à l'ovaire inférieur de ces fleurs, ont une queue longue qui ne
s'implante point dansune cavité, mais quisemble s’épaissir gra-
duellement sous la forme allongée de la poire, forme si connue
que dans mille autres cas nous appelons pyriforme , comme
moyen de comparaison. Cette forme si caractéristique de la
poire offre quelques exceptions ; on en voit de globuleuses (2),
et une variété dont je parlerai tout à l'heure, qui, étant iso-
lée de son arbre, a absolument la forme et tout l'aspect d’une
pomme.

Les racines du Poirier , soumises à la même puissance d’ex-

(1) Sauf un très-petit nombre de variétés, dont.le bord des pétales est
légèrement teint en rose.

(2) Exemple, l'Orange rouge et quelques autres.

DE.LA POMME ET DE LA POIRE. 39

tension que les rameaux du système aérien, ont aussi une
grande étendue perpendiculaire ; elles s’enfoncent profondé-
ment et exigent, par ce besoin, une épaisseur de terre bien
plus considérable que les racines du Pommier, beaucoup plus
étalées.

Le bois du Poirier , quoique ayant les plus grands rapports
avec celui du Pommier , est plus serré, plus solide , a le grain
plus fin, et doit être préféré pour la durée et les travaux qui
demandent un grand fini dans leurs détails.

Le Pommier, qui semble être la femelle du Poirier, a une
taille moins élevée; son port est plus humble, sa forme abais-
sée est arrondie en demi-sphère, et ses rameaux ont une ten-
dance à s’incliner ; sa feuille, portée sur un pétiole court, est
velue, plus étoffée, plus dentée, mais aussi plus tendre et
plus souvent dévorée par les insectes.

Les fleurs, rassemblées en bouquets serrés, sont grandes,
et leurs pétales étalés sont presque toujours teints en partie
d’un rose très-vif ; leurs étamines, au lieu d’être ouvertes et
lisses comme celles des Poiriers, sont velues et rapprochées
en faisceau , de manière à embrasser et à cacher les styles qui,
contrairement à ceux des Poiriers, sont velus et soudés dans
leur partie inférieure (1).

(x) Ce caractère des cinq styles libres dans toute leur longueur chez les
fleurs des Poiriers, et soudés par leur partie inférieure chez celles des
Pommiers, est en rapport avec la différence d'énergie vitale qui a lieu
entre ces deux: sortes d'arbres,

La désoudure des organes appendiculaires de la fleur, chez les végétaux,
est:toujours un signe ou un acte de plus grande vigueur. C'est ainsi que
j'ai observé que toutes les corolles ordinairement gamopétales du Cobæa

40 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

Les fruits, le plus souvent arrondis où pommiformes , mais
aussi quelquefois allongés, ou d’autres fois déprimés ou apla-
tis sur leur axe, se distinguent de ceux du Poirier par une
queue plus courte implantée dans une cavité, et par un œil
terminal souvent entouré de cinq bosselettes plus ou moins
proéminentes (1).

Les racines du Pommier , de mème que le système aérien
s'élève peu et s'étale beaucoup, restent pour la plupart près
de la superficie du sol; aussi le Pommier peut-il vivre dans
une terre peu profonde, et là où le Poirier, dont les longues
racines ont besoin de s'étendre verticalement, périt en peu
d'années. De la direction naturelle des racines de ces deux
espèces d'arbres fruitiers, il en résulte que le Poirier se fixe
solidement au sol, tandis que l’on voit souvent les Pommiers
être déracinés et renversés sur la terre par le vent. Le bois
de ceux-ci, moins solide et surtout moins élastique que le
bois du Poirier, fait que ces arbres se déchirent souvent lors-
qu'ils sont exposés aux ouragans (2).

scandens étaient devenues polypétales sur un individu qui végétait outre
mesure, (Voyez ce que j'ai dit de ce cas de végétation, dans mon Esquisse
d’'Organographie végétale, placée en tête du grand Atlas des OEuvres
d'Histoire naturelle de Goethe, 1837, page 79.)

(1) Dans l'Api étoilé, dont la forme est pentagone, chacune des cinq
saillies du fruit, en s'élevant autour de l'œil, y produit autant de bosse-
lettes très-prononcées. (Por. et Turr., Arbr. fruit.,t. V, pl. 6.)

(2) Le tronc d'une espèce de Pommier à cidre, cultivé dans les environs
d'Alencon, se tord constamment et invariablement dans le même sens, de
la même manière que cela se voit chez les vieux troncs de Grenadiers qui

ornent nos jardins publics.

DF LA POMME ET DE LA POIRE. 4x

J'ai dit plus haut que je parlerais d’une variété de Poire
dont tout l'aspect est celui d'une Pomme. Étant allé en Nor-
mandie pendant les années 1806 et 1807, pour y étudier
parmi les Pommes à cidre et les Poires à poiré, celles qui par
leur beauté et leur bonne qualité pouvaient être admises
dans nos jardins, sur nos tables, et faire partie du Traité
des Arbres fruitiers dont nous nous occupions alors, M. Poi-
teau et moi, je rencontrai une Poire qui avait entièrement
la forme d’une Pomme. Une seule chose pouvait la démas-
quer et la faire reconnaître : c'était son poids, qui, par une
exception de plus, se trouvait être plus grand encore que
dans les Poires ordinaires. Cette Poire pommiforme ressem-
blait, à s'y méprendre, à une Pomme de reinette grise (1).
J'en rapportai quelques individus à Paris, que je présentai à
la Société Philomatique. M. Dupetit-Thouars, qui assistait à

(x) Sans que cela soit constant, on voit assez souvent quelques individus
de la grosse Poire turbinée appelée d'Agobert et Gil-6-Gil prendre, sur le
même arbre, la forme d'une véritable Pomme. On ne peut douter que la
cause de cette imconstance dans la forme accoutumée des fruits de cette
variété de Poire, ne soit dans la grande vigueur de l'arbre, qui naturel-
lement pousse à des écarts passagers, choses qui n'arrivent point chez des
espèces plus tempérées et, par conséquent, plus fidèles à reproduire tous
leurs caractères normaux. C'est encore à cette même cause de plus grande
énergie vitale que, comme je l'ai observé hien des fois, les Pommes, en
général, sont plus petites, ont une forme plus allongée lorsque la saison
est sèche et froide, et plus grosses et plus arrondies lorsqu'elle est humide
et chaude. Ces sortes de métamorphoses, dont les Poires elles-mêmes ne
sont pas exemptes, nous ont souvent obligés, M. Poiteau et moi, à décrire
et à figurer ces fruits, dans notre Traité sur les Arbres fruitiers, sous les

deux aspects si différents dont je viens de parler.

AN VIT: 6

42 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

cette séance, crut d’abord, comme tout le monde, que c’é-
taient des Pommes , et il ne fut détrompé que lorsque je lui
en mis une dans la main, et qu'il en sentit le poids, fort diffé-
rent de celui d’une Pomme.

L'arbre qui produisait constamment ces Poires pommi-
formes avait aussi un aspect qui l'éloignait des Poiriers et le
rapprochait des Pommiers ; son port était plus étalé, ses ra-
meaux plus divergents , ses feuilles velues et plus dentées. Je
n'ai point vu les fleurs.

La différence de poids qu'offrent les Pommes et les Poires
est encore un caractère qui les distingue assez nettement. On
sait que, généralement, les Poires tombent au fond de l’eau,
tandis que les Pommes nagent. Ce qui rend la Poire plus pe-
sante, c'est, d’abord, la présence des nombreuses concrétions
pierreuses qu'elle renferme ; c'est ensuite un nombre plus con-
sidérable de vésicules dans la composition de son tissu cellu-
laire ou de sa chair; c’est encore à une plus grande quantité
d’eau, et, par conséquent, moins d'air dans ses vésicules.

Ce qui rend , au contraire, la Pomme plus légère, c’est lab-
sence totale de concrétions pierreuses, ce sont des vésicules
plus grandes, pour lors moins nombreuses,moins multipliées,

‘et enfin contenant moins d’eau et plus d'air. De là cette autre
différence entre la densité de la chair de ces deux sortes de
fruits. La Pomme, plus sèche, plus spongieuse , n’est jamais
fondante comme le sont certaines variétés de Poires.

A l'exemple de ces inimitiés , d'autant plus grandes qu'elles
ont lieu entre plus proches parents , le Pommier et le Poirier
s'unissent peu ou point par la greffe (1).

(1) Tous les essais de greffe tentés entre ces deux espèces d'arbres,

DE LA POMME ET DE IA POIRE. 43

En admettant la fécondation, et surtout les fécondations
vagabondes chez les végétaux, cette ‘antipathie se montre
encore bien plus prononcée dans le refus opiniâtre que ma-
nifestent ces deux espèces d'arbres à se féconder mutuel-
lement, de manière à produire des mulets ou des hybrides,
qui consisteraient en Pommes-poires ou en Poires-pommes.
C’est ce que l’on ne voit jamais, malgré l'habitation commune
dans laquelle vivent pêle-mêle dans les vergers les Poiriers
et les Pommiers , et la facilité qu’ils auraient à se livrer à ces
sortes d’écarts ou de libertinage s'ils en étaient capables (1).

n'ont jamais eu qu'une très-faible réussite et d'une assez courte durée. La
greffe, mal collée sur le sujet, ÿ a toujours langui et y a toujours péri
avant d'être en état de fleurir.et de fructifier.

Il existé cependant, en cemoment, un exemple de cette greffe qui date
de six ans, et qui, sans être bien vigoureuse, produit des fruits. La greffe,
dirigée en quenouille, «est un poirier de Doyenné enté très-bas, et à
quelques pouces! au-dessous du sol; sur un Pommier doucin; quelques
drageons partant du sujet attestent sa nature. La quenouille a produit
quelques beaux fruits.

Ce cas extraordinaire, qui a dû son existence jusqu'à ce jour à ce que
l'union des deux espèces est très-près du collet du sujet, et un peu en
terre, setrouve à Saint-Denis, dans les pépinières de M. Henri Cordonnier,
où il a été examiné par une commission, avec tout le scrupule qu'exigeait
un semblable fait. (4nn.d'Hort., tome XXI, page 184.)

(x) Par lesseules forces végétatives, forces qui peuvent être encore
augmentées par l'état d’un milieu favorable à la nutrition, et à un plus
grand développement chez certains individus, quelques-uns des organes
sont susceptibles de se montrer à l'extérieur sous des formes plus éten-
dues, différentes , et.sous des couleurs inaccoutumées , quoique pourtant
s’éloignant peu .du type normal auquel on peut toujours facilement les
rapporter. Ces écarts, généralement de peu de durée, à moins que nous

6.

44 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

Les monstruosités qui se présentent chez les fruits des Poi-
riers et ceux des Pommiers, offrent encore une différence ex-

a —— — — © —————

ne les conservions par des extraits de ces individus, sont considérés,
tantôt comme une simple monstruosité, et tantôt comme un hybride, ou
le produit plus séduisant, plus merveilleux, du rapprochement de sexes
différents et d'espèces distinctes. Notre époque, toute d'examen, toute de
liberté et d'indépendance en matière scientifique, toute dégagée des prin-
cipes de l'école et d'aveugle autorité, voit s'ouvrir un grand débat sur
l'existence des sexes chez les végétaux, et par conséquent sur les mystères
d'une fécondation nécessaire au développement de ce petit bourgeon ter
minal que l'on nomme l'embryon de la graine. MM. Schleiden et Wydler,
sans être bien positivement d'accord dans quelques détails, viennent
d'observer que les végétaux n'ont pas de sexes, et que l'on s'est trompé
en prenant ingénieusement les élégantes étamines pour des mâles ou des
maris, l'extension en boyau des vésicules polliniques pour des Pénis, et
les pistils pour des femelles ou des épouses, leur glandule stigmatique
et terminale, quand elle existe, pour des V’ulves. Suivant ces habiles ob-
servateurs, l'anthère est une sorte d'ovaire uni-latéral, incomplet, tourné
en dedans ou en dehors (introrse ou extrorse), contenant des grains de
pollen susceptibles de s'étendre, comme dans la germination des sporules
des Champignons et des Algues, en un filament tubuleux qui, après avoir
cheminé par les styles et pénétré dans l’ovule par le micropyle, donne
lieu, dans le cul-de-sac de son extrémité, à un rapprochement en noyau
des granules qu’il contient, et, par ce moyen tout nouveau, au début de
l'embryon, lequel n'ayant plus besoin de son boyau introducteur, s'en
sépare par rupture.

D'après cette nouvelle doctrine, qui n'est pas notre dernier mot sur
tout ce qu'a de simple la reproduction par gemmes extensifs des végétaux,
l'ovaire n’est plus qu'une sorte d'involucre, et l’ovule un lieu ou une
demeure protectrice. C'est une nourrice offerte au jeune nourrisson en-

fanté par sa mère, le grain de pollen.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 45

trêmement remarquable, que j'ai déjà fait connaitre ailleurs
et où j'en dis la cause (1).

La monstruosité des Poires consiste toujours dans une
proliférie , c'est-à-dire dans le développement successif de
plusieurs Poires les unes au-dessus des autres, tandis que celle

Pour bien comprendre maintenant la formation d'un ou de plusieurs
embryons dans un ovule, pourvu bien entendu de l'heureux micropyle,
dont les fonctions d'introducteur paraissent inamovibles, quel que soit le
changement de nos hypothèses sur la formation et le développement du
bourgeon embryonnaire et terminal de la graine; pour bien concevoir les
milliers de graines embryonifères qui existent dans une capsule de Pavot,
ou dans la gousse d'une Vanille, il faut nécessairement admettre au moins
un pareil nombre de grains de pollen tombés sur le stigmate, et par
conséquent autant de boyaux producteurs d'embryons!! Dans cette der-
nière hypothèse, que deviendra le filament terminal et très-ténu du placenta
central des Primulacées, considéré jusqu'alors comme conducteur de
l'imprégnation mystérieuse? Comment pouvoir admettre que le diamètre
présque microscopique de ce filament, qui s'évanouit en pointe la plus
déliée, puisse suffire à l'introduction d'une centaine de boyaux destinés
à porter, par le micropyle, autant de futurs embryons dans un même
nombre d'ovules? Il n'y a plus qu'un moyen, c'est d'abandonner cette
mauvaise route, c'est de faire cheminer maintenant tous ces boyaux dans
l'épaisseur du stigmate, du style et celle des parois de l'ovaire, de les faire
remonter ensuite, en s'élevant et en se divisant, dans le placenta, jusqu’à
ce qu'enfin chacun rencontre son micropyle particulier. Attendons les
résultats de combats qui ne pourront manquer, et auxquels je resterai
tranquille spectateur, comme en bien d’autres discussions, à l'issue des-
quelles j'attends la vérité et la raison, choses peut-être jusqu'à ce jour
trop simples pour l'homme.

(1) Esquisses d’Organographie végétale, Atlas des OEuvres d'Histoire
naturelle de Goethe, page 68.

46 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES
des Pommes n'a lieu que par des fruits plus ou moins greffés
côte à côte (1).
Beaucoup d’autres caractères, soit distinctifs, soit d’analo-
gies, éloignent ou rapprochent les Poiriers des Pommiers.
Si la feuille du Poirier est plus coriace, si elle: est moins
dévorée par les insectes que celle du Pommier , elle a aussi ses
ennemis particuliers. L’Æcidium cancellatum (2), si remar-

(1) Je ne connais qu'une exception, c'est celle qu'offre constamment la
Pomme-Figue (Malus apetala), dans la singulière structure de laquelle se
trouvent trois fruits emboîtés, à la manière des tubes d'une longue-vue
fermée. (Voyez la description détaillée que j'ai donnée des organes de la
fleur et de ceux de cette singulière Pomme, dans mon £Esquisse d’Orga
nographie. végétale, Atlas des OEuvres d'Histoire naturelle de Goethe,
page 68.)

(2) Ræstelia cancellata, Reb. De même que pendant longtemps on a
attribué au voisinage de l'Épine-Vinette la cause, l'origine et le dévelop-
pement de la rouille des blés (Uredo rubigo-vera), soit par une sorte d’en-
semencement des vésicules polliniques des fleurs du Berberis, soit par
une dégénérescence de l'Æcidium qui attaque fréquemment les feuilles de
cet arbuste, M. Eudes Deslongchamps, dans ces mêmes idées de voisinage
et d'inoculation, a fait connaître quelques observations qui tendraient à
faire croire que le pollen abondant d'un fort pied de Sabine (Juniperus
sabina), planté près d'un grand nombre de Poiriers, leur communiquait
l'Æcidium cancellatum, et que ce parasite devenait plus rare à mesure
que les Poiriers étaient plus éloignés de la Sabine. De cette même source
d'infection, suivant M. Eudes Deslongchamps, c'est-à-dire des mêmes
germes, seraient encore résultées d'autres formes, et par conséquent
d'autres végétaux, comme par exemple l’Uredo pinguis, D. C., sur les
feuilles de plusieurs variétés de Rosiers, plus encore une autre production
à la face inférieure des feuilles de vigne, qui.est l'Erineum witis, sorte de

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 47

quable dans sa structure, qui naît et s'élève sur la face inté-
rieure, vit à ses dépens en laissant au-dessous une tache orangée
et granuleuse; le Cladosporium fumago, autre végétal parasite
et microscopique, qui apparaît à la face extérieure de la feuille
sous la forme d’un grand nombre de taches noires où fuligi-
neuses. Cette production, qui attaque plus particulièrement
les feuilles du Poirier Doyenné, s'établit et tache, en même
temps, la surface des fruits , ce qui les déprécie beaucoup,
sans que cela nuise cependant à leur bonne qualité. On ne
peut s'empêcher ici. de remarquer que la face extérieure des
feuilles , la seule qui sert de territoire à ces petits végétaux,

petit Bédéguard dû à la surexcitation, par place, des poils normaux qui
deviennent monstrueux.

Toutes ces productions, qui ne sont que des dégénérescences des or-
ganes élémentaires des tissus propres des feuilles ou des tiges dans les-
quelles. et sur lesquelles on les voit se développer, dégénérescences dues
à des causes d'excitation, sont toujours favorisées par les abris, l’humi-
dité et la diminution de l'air et de la lumière. Il me paraît donc tout
simple qu'après le pied de Genévrier abattu, les feuilles des Poiriers et
autres plantes voisines se soïent trouvées saines et dégagées de toutes ces
excroissances tissulaires monstrueuses.

Dans! une campagne près de Paris; que j'ai habitée pendant quelques
années, la terre est forte, compacte, froide et retient l'eau. Je n'y ai
jamais apercu qu'un seul pied d'Épine-Vinette, et cependant les blés y
sont couverts de rouille. Mon jardin, bourré d'arbres fruitiers qui se
gênaient mutuellement, en entretenant parmi eux une grande humidité et
en-se-privant réciproquement de l'air et de la lumière, ne contenait au-
cune espèce d'arbres verts, et pourtant les feuilles des. Poiriers étaient
couvertes d'Æcéidium cancellatum , de Cladosporium fumago, et les. feuilles
de mes raisins blancs étaient toutes attaquées en dessous, soit par l'Erz.

neum vitis, soit par le Torula dissiliens, Duby.

, 48 DE LA DITFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

correspond exactement avec celle des feuilles du verticille qui-
naire qui s'offre à la surface du fruit.

Les Tigres, petits insectes ailés, mouchetés de gris, de
brun et de violet , en se fixant sur la feuille des Poiriers,
surtout du Bon-Chrétien d'hiver en espalier , en sucent
le parenchyme, l'affament , lui donnent l'aspect d'un bronzé
sale, ce qui finit par épuiser l'arbre et le faire périr.

On sait que le Gui (1), la seule plante parasite appendicu-
lée de notre pays, germe et végète en rayonnant dans tous
les sens sur les branches du Pommier. On sait aussi que plus
les Pommiers sont vieux, faibles ou malades, plus ils sont in-
festés de ce parasite incommode qui , en se multipliant de
plus en plus, les affame et finit par les tuer. Ce que l'on sait
moins, c'est que les Poiriers n’en montrent que très-rarement,
tandis que d’autres arbres de genres et de familles très-éloignés,
tels que des Épines (2), les Acacias (3), des Peupliers blanes
de Hollande (4), des Chênes , etc., en sont quelquefois cou-
verts. D'où peut venir cette antipathie du Gui pour le Poi-
rier ? Vient-elle d’une qualité de séve qui ne convient pas
au parasite , ce qui parait le plus probable, ou le Poirier, plus
vigoureux que le Pommier, repousse-t-il le Gui, ce qui l’est
moins , car les vieux Poiriers languissants finiraient par en
recevoir.

Je terminerai enfin ces nombreuses différences , entre deux
arbres qui d’ailleurs offrent tant de ressemblances , par celle

(1) Féscum album, Linn.
(2) Mespilus oxyacantha, Gærtn.
(3) Robinia pseudo-acacia, Linn.

(4) Populus alba.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 49

qui existe dans la qualité particulière de leur séve, ce qui fait
que les Pommiers, sauf quelques espèces, peuvent être mortel-
lement infectés du Puceron lanigère (1), lorsque les Poiriers en
sont toujours exempts, à moins que, placés dans le voisinage
de Pommiers couverts de pucerons, ils n’en reçoivent momen-
tanément quelques-uns, qui pour lors ne laissent pas que de
produire des ulcères et des nodosités sur les jeunes rameaux.
Je rappellerai aussi que, quant à la saveur des fruits, l’aeidité
appartient plutôt aux Pommes qu'aux Poires (2).

Deux arbres tout à la fois si caractérisés et si semblables (3)
devaient tenir les auteurs systématiques divisés, et dans une
fluctuation d'opinion relativement à la formation, bien peu
importante , d’un ou de deux genres. Aussi a-t-on vu Tour-
nefort , Jussieu , Lamarck , Duhamel, Desfontaines et De Can-
dolle admettre la validité particulière des genres Pyrus et
Malus, tandis que Linnée, Willdenow, Persoon, De Can-
dolle (4) et Lindley, mus par d’autres sentiments, ne recon-
naissent que le seul genre Pyrus.

(1) Myzoxyle du Pommier, Blot.

(2) L'acidité des Poires susceptibles de développer cette saveur est-elle
diminuée ou entièrement absorbée par les concrétions pierreuses, comme
le pensait Grew ?

(3) Un petit caractère qui rapproche encore les Pommiers des Poiriers,
consiste dans la couleur rouge dont se teint la chair des Passe-Pommes,
des Calvilles rouges, et des Poires désignées sous le nom de Sanguine
d'Italie, avec cette légère différence que c'est près de la peau chez les
Pommes et près des loges chez les Poires, que la couleur rouge commence
et est la plus intense.

(4) L'illustre professeur de Genève n’admet plus le genre Malus que
comme une section du genre Pyrus.

DA VI 7

5o DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

On doit s'étonner que ceux des auteurs qui avaient intérêt
à distinguer et à caractériser les genres Pyrus et Malus, qui
devaient les étudier avec soin sous le rapport de toutes leurs
différences , s’en soient tenus seulement à la soudure de la par-
tie inférieure des cinq styles, à leur villosité (1), à la forme
sphéroide du fruit, et à sa queue implantée dans une cavité,
caractères qui, vu leur peu d'importance organique, s’effacent
quelquefois complétement , et qu'ils aient négligé celui, très-
constant, de la présence ou de l'absence absolue des concré-
tions pierreuses qui, comme on va le voir, en détermine un
autre des plus curieux et des plus inattendus.

M. de Mirbel, dans son savant rapport sur un manuscrit
de M. de Tristan (2), dit: « Les éléments organiques sont, à
« peu de chose près, semblables dans la plupart des espèces
« monocotylédonées ou dicotylédonées. » Je fus frappé dela
justesse et de la profondeur de cette assertion , car il est très-
vrai que de l’analogie plus ou moins grande qui existe entre
les formes et les divers arrangements des organes élémen-
taires, dont sont formées les masses tissulaires végétales, dé-
pendent les formes si variées de tous les organes extérieurs
des plantes; formes qui ne sont que les effets obligés d'une

(x) Les styles n'étant que le prolongement de la nervure médiane des
feuilles ovariennes, ceux des fleurs des Pommiers, dont les feuilles sont
velues, doivent conserver ce même caractère de villosité, tandis que ceux
des fleurs des Poiriers, dont les feuilles sont lisses, doivent également être
dépourvus de poils.

(2) Harmonie des organes végétaux étudiés principalement dans len-
semble d’une même plante, Comptes rendus, séance du 29 janvier 1838,

pag. 195, 196.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 51.

cause plus profonde qui. se trouve dans la nature, l'ordre ou
la combinaison des vésicules et des tubes des tissus. Mais
aussi cela me fit souvenir , en même temps, d’une grande et
très-remarquable exception à cette règle générale. .

Ona vu combien sont grands les rapports de ressemblances
qui existent entre le fruit de la Poire et celui de la Pomme.On
devait croire que des structures aussi semblables et des formes
aussi rapprochées devaient être subordonnées , ou le résultat
d'organes élémentaires pareils et combinés de la même mae
nière. .

Eh bien! il en est tout autrement, jamais dissemblance ne
fut plus grande.

Le tissu cellulaire de la Pomme (pl. 1, fig. 2 et 3), celui qui en
formela chair ou la partie mangeable,commetousles tissus cellu-
laires végétaux, se compose d’une grande quantité de vésicules
distinctes , simplement agglomérées, vivant et végétant cha-
cune pour son compte, de grandeur variable dans la même
Pomme, et d'autant plus grandes en général, que ces fruits
sont plus gros et plus légers (1). Ces vésicules , incolores et
transparentes , s’altèrent d'autant plus dans leur sphéricité
naturelle et primitive qu’elles ont manqué de l’espace néces-
saire à leur développement individuel. Dans leur intérieur se

(1) Dans une jeune Pomme de Reinette du Canada, grosse comme une
petite noix, j'ai trouvé les vésicules du tissu cellulaire très-petites, et en
les comparant plus tard à celles d'une Pomme entièrement achevée, il m'a
semblé que le nombre des vésicules était le même, et que, seulement,
chacune d'elles, en:travaillant pour son compte dans l'agglomération
générale ; s'était accrue. Si l'on presse les vésicules d'une Pomme, on en
voit sortir tout à la fais de l’eau et de l'air.

7:

52 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS GELLULAIRES

trouve une globuline également incolore (pl. 1 , fig. 2,a, a),
ou, en d’autres termes , une nouvelle génération de jeunes vé-
sicules variables en diamètre, etqui quelquefois, en continuant
de végéter et de croître dans le sein de la vésicule maternelle
(pl. 1, fig. 3,0,b,b), finit par remplir toute la cavité de
celle-ci. La nouvelle génération, quoique prenant un grand
accroissement , reste stérile; elle ne montre jamais une troi-
sième génération dans l’intérieur de ses vésicules, comme on
observe parfois dans des tissus cellulaires plus énergiques
ou moins épuisés que celui de la Pomme, dans lequel toute
force végétative arrivée à son dernier terme est évanouie.

Foutes ces vésicules , insipides par elles-mêmes, comme
autant d’outres particulières, contiennent une eau plus ou
moins abondante , et dans laquelle réside la saveur acide, su-
crée ouamère, qui se fait sentir dans chaque variété de Pommes.
La grandeur moyenne de ces vésicules est d'environ + de mill.

Comme on le voit, le tissu cellulaire de la chair des Pommes
est entièrement semblable , quant au fond, à celui de tous les
autres végétaux et particulièrement à ceux qui sont lâches et
aqueux , et dans lesquels les vésicules , jouissant de l’espace , se
sont peu gènées mutuellement. On n'y rencontre jamais ni
cristaux ni concrétions pierreuses.

Le tissu cellulaire de la Poire offre, contre toute attente,
une constitution aussi élégante qu'elle est extraordinaire, et
probablement très-rare dans le règne végétal.

Si l’on étudie ce tissu naissant dans un ovaire ou même
dans une très-jeune Poire , on le trouve formé de très-petites
vésicules contiguës et déjà remplies de nombreux globulins
(pl 2, fig. 3 ). Ce jeune tissu est entièrement comparable
à celui, également naissant, qu'on appelle Cambium, nom

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 53

inutile dans la science, puisqu'il n'exprime que le début
d'un véritable tissu cellulaire. Peu de temps après, lorsque
la Poire a atteint environ la grosseur d'une petite Noix,
on commence à s’apercevoir que cà et là il se forme de
petits noyaux qui se multiplient, grossissent un peu, de-
viennent plus opaques et s'endurcissent. Ce sont ces petits
noyaux qui, assez régulièrement répartis dans tout le tissu
cellulaire de la chair des Poires, sont désignés sous le nom
de roche ou de pierre. Toutes les Poires en sont plus ou
moins pourvus , et les parties qui en contiennent le plus sont
celles qui touchent immédiatement l’épiderme, et celles plus
centrales qui avoisinent l'axe ligneux (1) du fruit, depuis l’in-
sertion de la queue jusque près de l'œil formé par les rudi-
ments séchés de la fleur. Là elles sont plus grosses et plus
nombreuses que sous l’épiderme, et elles semblent, par leur
assemblage et leur répétition, former une sorte d’enveloppe
ou de noyau osseux autour des cinq loges ou des cinq car-
pelles cartilagineux du fruit.

Les Poires les plus avantageuses à étudier sous le double
rapport de la formation des concrétions pierreuses , et de la
singulière disposition des vésicules du tissu cellulaire , sont
celles de Saint-Germain et d'Angleterre (pl. 2, fig. 4), parce
que leurs pierres sont grosses, leur tissu plus lâche et plus
aqueux , ce qui rend plus facile l'isolement des parties pour
être plus commodément soumises au microscope.

(1) Prolongement du faisceau fibreux de la queue dans le fruit, qui
s'ouvre ensuite et enveloppe les cinq carpelles cartilagineux.

54 DE LA DIFFÉRENCE. DES TISSUS. CELLULAIRES

Analyse microscopique.

J'ai dit, il y a un instant, que le tissu cellulaire d’un ovaire
ou d'une très-petite Poire était régulier; e’est-à-dire qu'il se
composait, comme tous les tissus cellulaires végétaux, de vé-
sicules agglomérées , plus ou moins remplies d’une jeune glo-
buline, et qu'il n’offrait encore aucune trace de concrétions
pierreuses. C'est donc en continuant de se développer que les
pierres apparaissent successivement , et que le tissu cellulaire
subit, en même temps, la plus curieuse des métamorphoses.

Si l’on porte sous le microscope armé du grossissement de
250 fois environ de petites tranches de tissu cellulaire prises
dans une Poire mûre, soit de Saint - Germain, soit d’Angle-
terre, ou de toute autre espèce, on ne pourra s'empêcher d’ad-
mirer l'élégante disposition de ce:tissu (pl. 2, fig. 6). On
verra d'abord que les pierres qui paraissent simples à l'œil nu
sont assez grandement espacées, et qu'elles se composent d’un
nombre très-variable de corps cristalloides, agglomérés en
sphéroïdes rayonnants plus ou moins réguliers, opaques ou
semi- transparents, marqués au centre d’une sorte d'ombilic
punctiforme ou discoïide, d’où rayonnent un grand nombre
de petites rides qui se multiplient à mesure qu'elles s’éten-
dent vers la circonférence (pl. 2, fig. 6, a). Ces corps ou ces
petites pierres particulières, toujours anguleuses , toujours
aplaties , sont quelquefois intimement soudées, de manière à
paraître comme si elles étaient munies de plusieurs ombilics,
et leur agglomération sphéroïde rappelle parfaitement celle
des véritables cristaux qui se forment dans les vésicules des
tissus cellulaires des Cactées, des Rhubarbes, des Polygo-
num , etc.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 55

Autour de ces sphéroïdes composés de petites pierres agré-
gées, rayonnent dans tous les sens un grand nombre de vési-
cules allongées en massue, tubuleuses, le plus souvent simples,
mais aussi quelquefois comme articulées ou comme formées
de plusieurs vésicules développées à la suite les unes des au-
tres (pl. 2, fig: 6). Ces vésicules tubuleuses et rayonnantes,
variables en forme et en longueur , s'étendent autant que l’es-
pace produit entre chaque agglomération pierreuse le permet,
et jusqu’à la rencontre mutuelle des rayonnances voisines où
il se fait opposition. Transparentes , molles et incolores, elles
contiennent l'eau de la Poire et vers leur extrémité des gra-
nules fins , ou une globuline avortée. Semblables aux utricules
succulents des Oranges et de toutes les vésicules des tissus cel-
lulaïres aqueux , ce sont elles qui forment ce que l’on appelle
la chair ou le parenchyme dans ces sortes de modifi-
cations.

D'après ce qui vient d’être dit, on voit que la chair de toutes
les Poires est une masse formée, par agglomération et par

développements partiels, d’un nombre considérable de sphé-
roïdes rayonnants, lesquels ; vus au microscope, simulent
admirablement autant de fleurs radiées , dont le centre ou le
disque ; plus coloré , serait formé par les pierres agglomérées,
et les fleurons de la circonférence par les vésicules aqueuses
et allongées. Rien ne ressemblerait plus à des Marguerites
que ces sphéroïdes rayonnants, si les vésicules divergentes,
au lieu de partir de tous les points du pourtour du noyau
central, n’émanaient seulement que latéralement , comme je
les ai figurées dans l'intention d’être plus clair.

Dans. les Poires à chair cassante, comme celle du Messire-
Jean (pl: 3, fig. 1), par exemple, les rochers oules agglo-

56 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

mérations de petites pierres sont infiniment plus nombreux
que dans les Poires à chair fondante; de là des vésicules
rayonnantes moins allongées, et de là, par conséquent , le
caractère cassant de ces tissus et celui plus élastique des tissus
fondants.

Lorsqu'on enlève l’épiderme d'une Poire mûre de Messire-
Jean, on voit immédiatement au-dessous une couche mince qui
secompose d'uneinfinité de petits globules fauves ou roussâtres
qui semblent comme un sable fin répandu avec assez d'ordre
à la surface de la chair (pl. 5, fig. 1, «). Chacun de ces glo-
bules, vu au microscope, est un petit rocher formé de pierres
roussâtres, semi-transparentes, et entouré, comme ceux que
jai déjà décrits, de vésicules incolores, rayonnantes, simples
ou composées de deux articles ( pl. 3, fig. 3). C'est à la cou-
léur roussâtre des rochers et à leur très-grand nombre qu'est
due cette même couleur qu'offrent à l'extérieur les Poires de
Messire-Jean, dont l'épiderme par lui-même est transparent
et sans couleur.

Sous l’épiderme d’une de ces Poires j'ai trouvé, une fois,
un assez grand nombre d’Æcarus dont le corps ovoide, muni
de pinces ramassées en museau et de quatre soies postérieures,
n'offrait, chose remarquable, que quatre pattes articulées et
terminées par un seul ongle légèrement arqué, jeunes indi-
vidus qui attendaient leur mue pour prendre leurs huit pattes
(pl. 3, fig. 4,b).

À mesure que l'on pénétrait dans la chair de ces Poires,
les rochers à vésicules rayonnantes devenaient plus gros ,
plus composés, mais aussi plus rares ou plus espacés, et les
fleurs radiées, par conséquent, plus grandes (pl. 5, fig. 4 ).
Vers le centre et dans le voisinage des loges ils étaient plus

DE LA POMME ET DE LA POIRE.

NI

5
nombreux, et formaient comme je l'ai déjà dit, une sorte de
capsule pierreuse,

Ayant poussé mes recherches microscopiques sur la dispo-
sition ou l’arrangement des vésieules des tissus cellulaires de
quelques fruits analogues à ceux de la Poire, tels que le Coing
et la Nèfle, j'ai trouvé que toute la masse charnue ou pul-
peuse de ces deux sortes de fruits était absolument , comme
dans les Poires, composée de sphéroïdes florifères formés
également d’un centre pierreux et de vésicules rayonnantes,
mais offrant , dans leurs parties composantes, des modifica-
tions de forme dont je vais parler.

Malgré les analogies qui existent entre la Poire, le Coing
et la Nèfle, ces trois fruits présentent des différences extrè-
mement remarquables. Les Poires résultent d’une inflores-
cence disposée en bouquet, de manière à ce que chaque fleur
et par suite chaque fruit est latéral et dans l’aisselle d’une
feuille rudimentaire, tandis que les Coings et les Nèfles, tou-
jours solitaires, terminent un scion (1). Dans ces trois sortes
de fruits charnus, le centre est également occupé par cinq
loges ou carpelles. qui correspondent, bien entendu, avec le
même nombre de styles ; mais ces loges ou carpelles , cartila-
gineuses dans la Poire et le Coing, sont osseuses dans la Nèfle,
et contiennent dans leur intérieur un nombre de graines très-
variable suivant les espèces. Dans celles de la Poire et de la
Nèfle elles sont originairement au nombre de deux, situées

\

(1) La Poire, née à l'aisselle d'une feuille rudimentaire, provient d'un
bourgeon latéral et axillaire, tandis que le Coing et la Nëfle résultent

d'un bourgeon terminal.

T. XVII. 8

58 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

l'une au-dessus de l'autre, tandis que dans le Coing , comme
dans les Citrons, chaque loge contient de douze à quarante
graines superposées et enduites d’une prétendue matière mu-
cilagineuse ( pl. 3. fig. 6), qui, vue au microscope, est par-
faitement organisée, et consiste en des sortes de poils ou de
papilles cunéiformes , d’une transparence égale à celle de l'é-
cume d’eau, et qui, enfin, émanent par extension de la face
extérieure (1) de la feuille ovulaire, devenue brune et carti-

(x) Ceite face est la même que celles qu'offrent à l'extérieur du fruit les
cinq feuilles verticillées et soudées, et celle extérieure des feuilles cau-
linaires, toutes également couvertes de poils ou comme drapées.

Les pepins de Pommes et de Poires, onctueux au toucher, doivent ce
caractère au développement à leur surface, d’un grand nombre de papilles
ou de poils rudimentaires analogues à ceux, beaucoup plus longs, qui
recouvrent les graines de Coing.

Un assez grand nombre de graines, paraissant unies à leur surface,
semblent se gonfler, blanchir et être comme enveloppées d'une couche
plus où moins épaisse de mucus dès qu'on les humecte.

M. Poiteau, dans sa Monographie du genre Hyptis, est le premier qui a
signalé ce mode de développement sur les graines de quelques espèces de
ce genre. Mais ne l'ayant observé qu'à l'œil nu, il n'a pu voir que ce mucus
consistait en des poils rayonnants autour du spermoderme de la graine.

M. Eudes Deslonchamps, ayant fait la même remarque sur plusieurs
espèces de graines de la famille des Labiées, et s'étant servi du micros-
cope, a vu que le prétendu mucilage développé par l'humidité, était dû
à la présence de poils nombreux et divergents. Par la sécheresse, tous ces
poils se contractent ou se recoquillent, et semblent disparaître à la surface
des graines, où cependant ils ne sont que couchés; mais dès l'instant qu'on
les mouille, très-hygrométriques de leur nature, ils se gonflent et se re-
dressent comme une chevelure autour de la graine, dont l'enveloppe est

DE La POMME ET DELA /POIRE. 59

lagineuse dans la maturité de la graine (1) (pl.3, fig. 7,7a
et 70).

Dans le Coing , comme dans la Poire, toute la masse char-
nue est formée, par contiguité, d'une innombrable quantité
de sphéroïdes florifères qui ne diffèrent de ceux des Poires.
que : 1° par les roches particulières des rochers, qui sont plus
transparentes, marquées d'un ombilic discoide ouvert, ponc-
tué , et bordées d’un épais bourrelet ridé en travers.

2° Par des vésicules tubuleuses et rayonnantes , plus grandes
et plus souvent composées de deux articles ( pl. 3, fig. 5).

Dans la Nëfle, il y a cette différence que les roches des ro-
chers sont plus grandes , leur disque bien plus ouvert et semé
de points opaques d’où rayonnent des lignes noires, qu'elles
sont souvent coloréesen jaunâtre (pl. 3, fig. 8 b); qu'autour des
rochers rayonnent des vésicules plus solides, larges, courtes,
de formes très-variables, quelquefois bizarres, assez souvent
composées de deux articles et remplies d’une globuline pul-
visculaire très-abondante , parmi laquelle se trouvent quel-
ques grains sphériques assez gros (pl. 3, fig. 8). Une autre
différence très-remarquable, dont nous expliquerons la cause

véritablement pileuse comme celle de la graine du coton et de beaucoup
d'autres. Il est plus que probable que les graines des Labiées dont
les feuilles sont:lisses , sont en même temps dépourvues de poils ou de ce
faux mucus.

Le mucilagé abondant que produit la graine de lin, n’offre point au
microscope d'organisation appréciable, c'est un chaos composé de granules
très-ténus, doués d’un mouvement de fourmillement ; c’est une matière
organique sans organisation qui, dans ce cas, mérite le nom de mucilage.

(1) Tégument ou Spermoderme des auteurs classiques.

8.

6o DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

tout à l'heure, consiste dans ce que, contrairement aux Poires
et aux Coings, on ne trouve point de pierres ou de rochers
dans le voisinage des loges osseuses des Nèfles.

Après avoir observé les tissus cellulaires de la Pomme, de
la Poire, du Coing et de la Nèfle, on se demande :

Comment se forment les grains osseux ou les pierres répan-
dues dans la chair des Poires , des Coings et des Nefles? Pour-
quoi les Pommes, si analogues aux Poires, en manquent-elles
toujours absolument ? Pourquoi sont-elles isolées et espacées
dans le tissu? Pourquoi se trouvent-elles en plus grande quan-
tité sous l’épiderme, dans la direction de l'axe central, et au-
tour des loges dans les Poires et les Coings ? Quelle peut être
la nature de la matière concrétée dont elles sont en partie
constituées ? Sont-elles organisées ou ne sont-elles que des ag-
glomérations de matière organique conglomérée à la manière
des concrétions urinaires ou des rognons siliceux ? Cette même
matière ne s'accumule-t-elle pas sous d’autres formes et en
d’autres lieux des tissus végétaux ? À quoi peut-on attribuer
la disposition rayonnante et florifère des vésicules allongées
autour de chaque agglomération pierreuse , qui devient pour
elles une sorte de point d'appui ou de centre commun?

On a vu au commencement de ce Mémoire, que dans l'o-
vaire etdansles très-jeunes Poires, les vésicules, comme dans
touslestissus cellulaires naissants, sont semblables,sphéroiïdes,
remplies de globulins et en simple contiguité. Ce n’est que plus
tard que certaines de ces vésicules, groupées plusieurs en-
semble en nombre très - variable, s’engorgent, et se remplis-
sent peu à peu d'une matière indigeste qui s'y dépose molécu-
lairement et confusément, qui leur donne leur opacité, leur
couleur, et à laquelle je propose de donner le nom de Sclé-

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 61

rogéne (1), comme étant la cause qui produit, par incrus-
tation , l'endurcissement des tissus.
Mais d’où peut provenir ce changement qui consiste dans

(1) Je donne cette dénomination collective à toutes les matières étran-
gères à l'organisme, matières d'abord en suspension dans l’eau de séve,
puis déposée et concrétée aux parois intérieures des organes creux et
élémentaires des tissus végétaux. Les substances tinctoriales qui occa-
sionnent la coloration des bois de teintures , le Cachou noir, avec sa pro-
digieuse quantité de Raphides ou d'aiguilles cristallines ; le Tannin etes
quoique pouvant avoir des caractères chimiques différents, viennent,
comme matière indigeste et comme solidifiant les tissus, se ranger, comme
espèces, sous la dénomination générique de Sclérogène.

Je n'ai pu conserver celle de matière ligneuse employée en chimie,
parce que, sous cette dénomination très-collective, se trouve compris,
non-seulement la Sclérogène insoluble, aussi étrangère aux tissus vivants
que le sont les concrétions urinaires à la vessie, mais encore les fibres,
les tubes, les vésicules et leurs grains de fécule.

Dans les masses tissulaires végétales, il y a deux choses fort distinctes :

1° Les divers organes élémentaires jouissant, chacun, des attributs de
la vie organique : la naissance, l'absorption, l'assimilation, l'accroissement,
la reproduction et la mort.

Cette partie, la plus considérable, peut, étant dégagée de-tout ce qui
lui est étranger, servir indistinctement à la nourriture des animaux, parce
qu'elle ne possède que des qualités innocentes et nutritives. C’est elle qui,
bouleversée dans ses différents organes sous l’action de l'analyse chimique,
prend le nom de légneux.

2° L'eau et les divers produits chimiques qui se forment par sécrétion
ou par dépôt dans tous les organes creux des tissus, qui s'y déposent et.
s'y concrètent, soit à l'état diffus, soit à l’état symétrique et cristallin.
Matières dans lesquelles seules se trouvent l'odeur, la saveur, la couleur

et les qualités délétères des végétaux.

62 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

un ombilie punctiforme ou élargi en un disque quelquefois fort
grand, et dans les petites stries ou rides qui rayonnent au-
tour de cet ombilic ? Il est très-probable que la vésicule orga-
nisée ne change point par elle-même, et que le nouvel aspect
qu'elle prend est dû au mode suivant lequel la Sclérogène
s'arrange à mesure qu'elle se dépose aux parois intérieures
de la vésicule. Quant à ce que de semblables incrustations
n'ont jamais lieu dans les vésicules du tissu cellulaire de la
Pomme, j'en ignore complétement la cause; et quant à leur
isolement et à leur espacement, par petits groupes, parmi un
grand nombre d’autres vésicules,ayant toutes les mêmes droits
à l’incrustation, je n’en sais pas davantage. C’est une propriété
attachée à un organisme particulier.

La Sclérogène dissoute et ambiante dans le milieu où se
trouve plongé le Poirier, étant absorbée par ses tissus, on
conçoit facilement comment étant amenée.et charriée par les
vaisseaux réunis dans la queue de la Poire, elle se répand à
l'aide de ces conducteurs autour de l'axe central et des loges,
et comment, allant se déposer dans les vésicules les plus voi-
sines , elle y forme les plus grosses et les plus nombreuses
concrétions pierreuses.

La cause qui occasionne la formation de celles très-nom-
breusesaussi, mais toujours plus petites que celles du centre, et
qui, situées sous l’épiderme , constituent une sorte d'enveloppe
pierreuse, est la même au fond. Elle diffère seulement de la
première en ce que la Sclérogène, au lieu de lui arriver par
les vaisseaux de la queue, est immédiatement absorbée et
accumulée de suite dans les vésicules les plus extérieures de
la masse tissulaire de la Poire. Gela explique ensuite com-
ment, entre les concrétions du-centre et celles sous-épidermi-

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 63

ques, il s'en forme moins ; et comment , par cette raison , cette
partie intermédiaire de la Poire est préférable au goût et
d’une digestion plus facile.

Chacun des corps agglomérés en _ pierreux est
composé de trois choses fort distinctes : 1° de la vésicule ma-
ternelle devenue une sorte de géode; 2° de la globuline ou
grains de fécule, engendrés par la vésicule; 3° de la Scléro-
gène absorbée, inassimilable , et simplement accumulée dans
l’intérieur de la vésicule ; de manière à la bourrer et à lui
donner la solidité qu’on retrouve, par exemple , dans les
graines dures et osseuses du Raisin et de la Groseille. II y a
donc ici à distinguer deux parties bien caractérisées dans les
trois composants dont je viens de parler : 1° la vésicule mater-
nelle,et la globuline ou fécule , qui jouissent de l’organisation
et. de tous les attributs de la vie organique ; 2° la Sclérogène
sans organisation: déposée dans la vésicule pêle-méle avec la
globuline organisée.

Après l'analyse de chacune de ces vesicules ossifiées et de
leur assemblage en un corps sphéroïde, on devine aisément
comment les pierres des Poires ont en même temps la double
propriété d'être compressibles et élastiques, par la présence
des vésicules, et cassantes par celle de la Scléragène accumu-
lée et concrétée.

Si maintenant on étudie, toujours par le voir-venir , la for-
mation osseuse des noyaux , et la cause de l’endurcissement,
de la solidité et de la coloration des bois, on verra que c’est
toujours la même matière qui , absorbée, s’incruste ou se dé-
pose plus ou moins aux surfaces intérieures d'organes qui,
par eux-mêmes, sont toujours flexibles , faibles , transpa-
rents et sans couleur.

64 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

Les fruits à noyaux, tels que ceux de la Prune, de la Pêche,
de l’Abricot ,ete., observés à l'état d’ovaires ou de très-jeunes
fruits, étant formés, comme on le sait, d’une feuille pliée et
soudée par ses bords, n'offrent rien encore qu'un tissu vi-
vant, mou et herbacé. Cette feuille ovarienne, comme toutes
les feuilles , est seulement composée de deux faces épidermi-
ques, entre lesquelles sont les vésicules du tissu cellulaire,
remplies de leur globuline, le plus ordinairement verte, et
le tissu fibreux ou vasculaire qui vit et s'étend parmi les vé-
sicules. Rien encore ne s'est ossifié ; mais à mesure que le fruit
se développe, à mesure que le tissu cellulairess'accroît, comme
dans les Poires, la Sclérogène arrive par voie d'absorption ,
et va se déposer successivement et confusément dans l'inté-
rieur des vésicules les plus voisines de l’épiderme intérieur ,
ou de ce que l’on nomme la membrane endocarpique du péri-
carpe. Là, la matière arrivant et remplissant successivement
un plus grand nombre de vésicules, la couche s’épaissit dans
de certaines limites , et forme cette enveloppe plus ou moins
colorée, dure et cassante dans tous les sens, que l’on appelle
noix ou noyau , et qui, toujours, fait partie organique du
péricarpe, puisque, comme on vient de le voir, elle n’est due
qu'à l’ossification , par engorgement de matière accumulée ,
d'un nombre variable de ses vésicules (1). La Sclérogène,

(1) Si on laisse tremper dans l'eau, pendant quelques jours, un noyau
d'Amande, et qu'on en soumette ensuite des fragments au micros-
cope, on voit qu'il est entièrement formé de vésicules irrégulières, semi-
transparentes, simplement contiguës, plus ou moins remplies de Sclérogène,
et, comme celles du Coing et de la Nèfle, montrant un disque grand, ponctué

et limité par un bord épaissi.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 65

qui sert par dépôt ou par incrustation à solidifier en bois la
partie intérieure de certains péricarpes, présente quelques
modifications, soit dans le mode de son dépôt, soit dans son
degré de dureté, soit dans la couleur qu’elle est susceptible
de prendre en vieillissant.

Dans certaines Prunes, dites sans noyau, la Sclérogène
marrivant que peu ou point, l’ossification du tissu cellulaire
voisin de la loge n’a point lieu, ou elle se fait inégalement
et par place, comme dans les pierres isolées des Poires. C’est
la cuiller incomplète du fondeur, par défaut de matière. La
même chose se passe dans la Nèfle sans noyaux; mais ici la
même cause d’appauvrissement de matière, qui empêche l’os-
sification, amène aussi, probablement, l'oblitération des car-
pelles et l’avortement complet des graines (1).

Si l'on concasse finement un morceau de noix de Coco, et qu'on fasse
bouillir ces fragments dans l'acide nitrique, la couleur noire disparaît ou
est affaiblie en un blanc jaunâtre. Portés ensuite sous le microscope, ils
n'offrent plus que des vésicules isolées de formes et de grandeurs très-
variables, souvent fusiformes ou triangulaires en forme de chapeau 5
semi-transparentes, elles sont ossifiées ou pleines de Sclérogène, et leur
surface, comme ponctuée, offre un grand nombre de petites stries ou
rides, qui partent d'un centre ombilical punctiforme ou allongé en ligne,
suivant la forme de la vésicule ( pl. 4, fig. 1).

(1) Sexualiste, je dirais que l'avortement des cinq carpelles osseux et des
dix graines provient de ce que les fleurs de cette variété n’ont que des
étamines ou des mâles, et qu'elles manquent de styles terminés par des
glandules stigmatiques, ou, en termes plus rationnels, des cordons pis-
üllaires et de vulves ou vagins.

Les étamines des fleurs de la Nèfle sans noyaux ont des anthères qui

T. XVII. 9

66 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

En parlant des roches qui se trouvent dans le tissu cellu-
laire ou dans la chair des Nèfles, j'ai fait remarquer que,
contrairement aux Poires et aux. Coings, il ne s’en formait
point d'isolées ou sous forme de gravier dans le voisinage
des loges. Cette différence vient de ce que la Sclérogène;,
au lieu de s'arrêter à distance des loges et de ne s'accumuler,
comme dans les Poires, que dans de petits groupes de vési-
cules séparés les uns des autres, s'empare, comme dans les
fruits à noyaux , de toutes les vésicules du tissu cellulaire les
plus voisines de la paroi intérieure des cinq loges, et y cons-
titue, par cette incrustation intérieure et partielle des vési-
cules, ce que l’on appelle les cinq osselets de ce fruit. La même
explication s'applique à tous les fruits à noyaux, dont la chair,
comme on le sait, n'offre jamais de pierres isolées.

DEUXIÈME PARTIE.

Ce n’est pas sans dessein qu'en parlant, dans la première
partie de ce Mémoire, de la formation ou plutôt de l’ossifi-
cation des noyaux, j'ai qualifié cette enveloppe de cassante
indistinctement dans tous les sens. Cela doit être en effet le
caractère d'un corps produit par dépôt et sans interruption
d'un grand nombre de molécules confusément entassées les

contiennent de bonnes vésicules polliniques, lesquelles vésicules sont sans
doute susceptibles de s’allonger en de bons et valables boyaux féconda-
teurs ou producteurs d'embryons, suivant telle ou telle hypothèse. Mais
reste à savoir si, dans le dernier cas, les ovaires renferment des ovulés
nourriciers propres à recevoir et à offrir leur sein aux embryons pol-
liniques.

:DE!LA POMME:ET DE"BATPOIRE. 67

unes: sur lesautres , et remplissant-complétement des vésicules
nombreuses et en simple contiguité.

‘Sans cette matière ossifiante ; sans la Sclérogène , le bois
qui, dans sa jeunesse , n’est composé que d'organes élémen-
taires mous, flexibles, blancs et diaphanes , n'aurait aucune
couleur, aucune dureté et serait fort peu durable. Les arbres
ne pouvant se soutenir fléchiraient sous leur propre poids.
Tous ramperaient sur le sol. Mais à mesure qu'ils augmen-
tent en tissus nouveaux, les anciens, les plus‘intérieurs , se
remplissent ou s’enduisent intérieurement de Sclérogène, la-
quelle, comme dans les vésicules du tissu cellulaire des Poires,
du Coing et de la Nèfle, pour la formation des pierres ou bien
pour celle plus continue des noyaux , les durcit tout en leur
laissant cependant une partie de leur élasticité naturelle ; élas-
ticité due seulement aux organes contenants et non à la ma-
tière contenue qui, par sa nature, est très-Cassante.

‘La-couleur propre de la Sclérogène étant la cause de celles
‘ que prennent en vieillissant les différents bois, dont les or-
ganes creux et constitutifs des masses tissulaires n’ont jamais
de couleur par eux-mêmes, toutes ces teintes devaient égale-
ment se montrer dans le bois et dans l’ossification des noyaux.
Aussi en voit-on de blanchâtres, de jaunâtres, de rougeûtres,
de brun marron et d’un noir d’ébène comme dans la noix de
Goco et de divers autres Palmiers.

M. Dutrochet, dans ses études sur les organes élémentaires
des végétaux (1), a reconnu que la solidité des bois était bien
moins due à la multiplicité des fibres tubuleuses qu’à la subs-

%(x) Mém.,' tom. T,p. 122, 123.

‘ 9-

68 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

tance qu'elles contiennent et à laquelle elles doivent leur co-
loration. Des fragments de bois d'Ébène cuits dans l'acide
nitrique et examinés au microscope n'offrirent plus à l’auteur
que des tubes dissociés, d’un blanc nacré, c’est-à-dire vides
ou dépouillés, par l'acide, de leur substance noire et solidi-
fiante (1).

Le beau poli, la dureté, le poids, la coloration et le cas-
sant ou le peu d’élasticité que présente la Sclérogène dans tous
les petits ouvrages que l’on exécute avec des noyaux et des
noix de Coco (2), tissus dans lesquels elle abonde, prouvent
que plus le tissu du bois en contient, plus il est dur, pe-
sant, cassant ou peu élastique, plus il est coloré et suscep-
üble de recevoir un plus beau poli. La Sclérogène , comme
on le voit, est aux tissus végétaux ce qu'est le phosphate cal-
caire aux tissus des animaux. Dans l’un et l’autre de ces tis-
sus ces deux matières, de nature différente, s'accumulent, se
concrètent et solidifient les tissus, sans jamais s’y assimiler,
mais seulement à la manière des matières dont on se sert dans
les injections : aussi se sert-on, avec toute raison, dans ces

(1) M. Dutrochet, pour distinguer l'ancien bois qui ne vit plus, du
nouveau qui peut-être vit encore, c'est-à-dire du boës-de-cœur et de l'aubier,
a proposé le nom de Duramen pour le premier devenu dur et coloré par
incrustation de la Sclérogène.

(2) À l'article Bézoard du Dict. de l’Acad., on trouve Bezoard vegetal
avec cette définition : « Concrétion pierreuse que l'on trouve dans les
cocos. » Comme cela ne peut être que de Ja noix dure et osseuse dont ona
voulu parler, pourquoi prendre son exemple dans un fruit étranger, lorsque
le noyau de la Pêche ou de la Prune offre la même partie? Le Bézoard végétal

de l'Académie et sa définition me paraissent deux choses de toute nullité.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 69

deux sortes d'injections ou d’incrustations tissulaires natu-
relles, des mots ossifié et ossification.

Un autre caractère qui est commun à ces deux matières
inassimilables et par conséquent étrangères aux tissus orga-
niques , se fait encore remarquer dans leur mode d’accumu-
lation ou d'ossification.

Dans les jeunes tissus végétaux et animaux, lorsqu'ils sont
susceptibles de durée et de se remplir de matière, l'incrus-
tation pariétale et par dépôt commence par des points ou des
centres particuliers, d’où ensuite elle s'étend en rayonnant
plus ou moins dans des limites et sous des formes détermi-
nées : c’est ce qu'on voit, soit chez les animaux vertébrés,
lorsque toutes les parties de leur squelette vivant , mou et or-
ganisé, se remplissent comme accidentellement de phosphate
calcaire, et qu’il devient, par ce moyen, dur et osseux (1), soit
chez les végétaux appendiculés, lorsque leurs tissus vivants,
mous , diaphanes et sans couleur, s'engorgent de Sclérogène,
partiellement sous forme de gravier,comme dans les Poires,
ou plus complétement dans l'ossification des noyaux et des
noix, ou plus complétement encore dans les tiges, à mesure
qu'elles se convertissent en bois de cœur dur et coloré.

Ces points ou ces centres de départ ont toujours lieu par
l'incrustation pariétale d’une première vésicule ou de tout
autre organe élémentaire creux , faisant partie de la masse

a —

(1) A mesure que le phosphate calcaire arrive dans l'organisation tüis-
sulaire d'un jeune animal, il s'y dépose moléculairement et confusément,
et il s'y montre suivant les diverses formes déterminées à avancé des
pièces du squelette organisé vivant et gélatineux, dans lesquelles cette
matière inorganique semble appelée et où elle s'accumule plus ou moins.

70 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

tissulaire. Dans les végétaux , dont généralement les tissus
sont plus rigides que ceux des animaux, rien n'est plus facile
que de suivre les progrès successifs de l’ossification. On voit
clairement, en prenant une suite d'états différents, que le
travail de cet endurcissement a commencé par l’encroûtement
pariétal, et souvent par couches d’une vésicule, puis ensuite
de contre-en-contre dans les vésicules voisines,et cela, comme
je viens de le dire, dans des formes et des étendues toujours dé-
terminées. On peut se demander ici : D'où vient cet arrêt dans
le travail de l’incrustation suecessive des vésicules? Pourquoi
toutes les vésicules du tissu cellulaire de la Poire ne s'incrustent-
elles pas également, de manière à ne plus offrir qu'une masse
ligneuse aussi dure que le noyau ? Pourquoi l’incrustation des
nombreuses vésicules qui forment la partie organisée des
noyaux s’arrête-t-elle brusquement et nettement près de la
pulpe composée de vésicules molles et succulentes restées
inaccessibles à la Sclérogène solidifiante? Pourquoi , enfin,
cette matière s’accumule-t-elle en plus grande abondance dans
certains bois plutôt que dans certains autres ?

On ne peut pas plus répondre à ces questions qu’à celles de
savoir pourquoi, dans certains organes creux, soit végé-
taux , soit animaux , il se forme constamment des cristaux in-
variables dans leurs diverses formes, comme dans leurs élé-
ments chimiques, tandis que dans beaucoup d’autres espèces
il ne s’en trouve jamais.

Les concrétions pierreuses de la chair des Poires étaient
trop sensibles ou trop apercevables, elles dépréciaient trop
ces excellents fruits, pour n'avoir pas, dans tous les temps,
fixé l'attention de tout le monde, et particulièrement celle
des médecins , des physiologistes et des chimistes.

DE LA POMME ET DE TA POIRE. 7x

Grew, dans son Ænatomie des Plantes, nomme, très-ingé-
nieusement, la Carrière, l'ensemble des pierres éparses qui
se trouvent comme semées où nichées dans: la chair des Poi-
res : il remarque que:ces pierres sont étrangères. à l’organisa-
tion; qu'elles ne sont que des amas composésde petits nœuds
pierreux , d'autant plus durs et d'autant plus nombreux qu'ils
sont plus voisins de l’œil de la Poire, et qu’en cet endroit les
pierres sont tellement serrées qu’elles semblent, par cette
contiguité, n’en former qu'une seule aussi dure qu'un noyau
de Prune. Il pense que l’origine de la carrière , ou des diverses
pierres dont elle se compose, est due à des sucs coagulés
et endurcis, tel que cela se passe dans la formation des
concrétions. urinaires, quoique de nature chimique diffé-
rente.

En parlant des noyaux, 'Grew dit positivement que la: par:
tie extérieure de: ces:enveloppes osseuses:est formée de parties
qui se précipitent et: se coagulent,. comme dans les Poires;
mais avec cette différence que dans les noyaux la matière,
au lieu de s'y agglomérer en un grand nombre de petites
pierres isolées, forme un noyau continu et d’une seule pièce.
Il compare, toujours très-ingénieusement, les formations gra-
veleuses des Poires:et celles continues des noyaux à ce qui se
passe dans l'urine relativement au gravier d'une part, et aux
pierres de l’autre:

Il fait encore cette remarque très-juste que, soit entre les
petites pierres des Poires, soit dans l'épaisseur du précipité
concret des noyaux, il‘se trouve un mélange de parenchyme.
Mais ce célèbre anatomiste ignorait complétement la forma-
tion des pierres des Poires et celle des noyaux par l’incrusta-
tion particulière, intérieure et pariétale de: chaque: vésicule ;

72 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES
il croyait que la Sclérogène se précipitait et se concrétait en
conglomérations libres.

Cet article est illustré d’une planche (tab. 67) dans laquelle
la fig. 4 représente une portion très-grandie de la coupe hori-
zontale d’une Poire. C’est une figure de convention, géomé-
trique, plutôt explicative que vraie, dans laquelle l'auteur a
seulement cherché, à l'aide de signes arbitraires, à établir
la disposition générale du gisement des pierres par de petits
groupes de cercles, et la direction rayonnante des vésicules
allongées du tissu cellulaire parenchymateux par des séries
moniliformes composées d’une suite croissante d’autres petits
cercles, structure tout à fait contraire à la vérité.

Leeuwenhoek, dans son Ænatomie microscopique sur la
structure de la Poire (1), ne fait aucune mention des concré-
üons pierreuses ni de la disposition rayonnante des vésicules
tubuleuses du tissu cellulaire , ou s’il en parle, c’est d’une ma-
nière si obscure, qu'il ne n'a pas été possible d'y reconnaître
ces deux caractères.

Dans la mauvaise planche annexée à cet article, on ne
trouve qu'un pepin, un embryon, une coupe verticale et très-
grandie de l'embryon, et un bout de trachée.

Duhamel, dans son Æxamen anatomique de la Poire (2),
parle longuement des concrétions lapidiformes des Poires,
auxquelles il donne les dénominations de corps acinifor-
mes (3), de roches, d'enveloppes ou de capsules pierreuses,

(x) Épist. Phys., tome IV, pages 170, 182.
(2) Physique des Arbres, page 242.
(3) D'après Ruysch.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 73

de canal ou de gaîne pierreuse. Sous le rapport de la distri-
bution et de la formation de ces corps, Duhamel n’en dit pas
plus que Grew, son devancier. Mais il commet une erreur
lorsqu'il considère chaque pierre comme un peloton de vais-
seaux très-fins ou comme une glande provenant de la partie
terminale des autres vaisseaux. Cette erreur prouve que le
microscope dont se servait cet illustre auteur était très-faible,
puisqu'il n'a pas pu lui faire voir la vésicule organisée qui en-
veloppe ou contient la Sclérogène ou la matière concrétée de
chaque pierre, et que les rides rayonnantes des vésicules deve-
nues lapidiformes, mal observées, ont pu lui sembler des fibres
pelotonnées. Si l’on consulte les figures originales relatives aux
concrétions des Poires, figures exécutées sous la direction de
Duhamel, on aura la preuve la plus complète du peu de con-
naissance que cet observateur avait sur la formation et la vé-
ritable structure des concrétions, ainsi que sur la disposition et
la forme des vésicules rayonnantes composantle parenchyme.
On verra, par les figures 227 et 231 de la pl. VII, qui se
rapportent le plus aux détails de ces deux composants, et
dont je montre, parmi mes dessins, un calque exact, pl. IT,
fig. 7 et 7 a, que la première est de toute nullité et que la
seconde pourrait être facilement prise pour une portion
de tige aplatie d'un Opuntia, armée de ses aiguillons dispo-
sés en faisceau étalé, ou pour un fragment de feuille recou-
vert de poils étoilés.

Analyse chimique.

Sous le titre d'Examen des concrétions vulgairement nom-

CL XVIIe 10

74 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

mées pierres qu'on rencontre dans les Poires (1), Macquart
et Vauquelin, dans l'intention d'être utiles à la chimie et de
détruire en même temps une erreur populaire, consistant à
croire que les concrétions des Poires, étant de même nature
que celles urinaires, pouvaient occasionner la formation des
pierres dans la vessie, ont donné conjointement, sur les
concrétions pierreuses des Poires, une très-bonne analyse
chimique, précédée de ce qu'on savait alors sur la partie
physique et physiologique de ces concrétions.

Dans cette analyse on remarque les caractères suivants, qui
tous confirment mes observations sur la formation et la vé-
ritable structure des concrétions pierreuses des Poires, dans
lesquelles, comme je l'ai déjà dit, se trouvent trois parties
bien distinctes, savoir : une vésicule de tissu cellulaire, la
globuline ou fécule contenue dans la vésicule, et la Scléro-
gène ou matière indigeste confusément accumulée et mélan-
gée avec les grains de fécule.

De tels corps devaient en effet, sous l'action destructive
de l'expérience chimique, montrer : 1° qu'ils brülent au feu
en exhalant une odeur de pain grillé, puisque le pain n’est
composé que des deux principales parties des concrétions des
Poires, de la vésicule maternelle et de la’ féeule; 2° que, sou-
mis à une forte ébullition, ils se dissolvent; c'est ce qui
arrive à tous les tissus cellulaires végétaux et à leur fécule,
chaque fois qu'on leur fait subir la même épreuve : quant à
la matière indigeste, ainsi qu'on le sait pour celle qui solidi-

(1) La Médecine éclairée par les sciences physiques, etc.; par Fourcroy,
tome [, page 232.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 75

fie les tissus flexibles du bois, elle doit également se dissou-
dre sous la même action ; 3° qu'ils sont ductiles , élastiques
et difficiles à pulvériser.

Ces corps, en raison de leur structure, ont tout à la fois
le caractère de. l’élasticité et celui du cassant; ils sont élas-
tiques par la vésicule organisée et enveloppante, et cassants
par la matière indigeste et inorganisée qui encroûte ou
remplit la vésicule. C'est ce qui arriverait à une vessie
remplie de résine ou de toute autre matière cassante. 4°
Qu'ils sont formés d’une matière ligneuse semblable à celle
des tissus du bois de l'arbre, confusément cristallisée et
dans laquelle se trouve mélangée une petite quantité de
fécule amylacée.

Ce dernier composant, qui s’isole sous l’action de l’ex-
périence chimique, prouve combien il est utile, en chimie
organique, de connaître préalablement l’organisation mi-
croscopique des corps que l’on se propose d'étudier par
voie de division.

Si l'on se rappelle que toutes les vésicules du tissu cellu-
laire d’une très-jeune Poire sont encore vierges sous le
rapport de l’incrustation, et que toutes contiennent mater-
nellement leurs nombreux globulins de fécule , il paraîtra
tout simple qu'on retrouve dans la vésicule incrustée les
grains de fécule qui n’ont pu disparaître, mais seulement
enveloppés ou empâtés dans la matière indigeste ou Scléro-
gène à mesure qu'elle s’est introduite par absorption dans
la vésicule.

J'ai dit dans ce Mémoire que je croyais que la formation
des concrétions pierreuses par incrustation de la cavité des
vésicules du tissu cellulaire des fruits devait être une chose

10.

76. DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

rare dans le règne végétal. Un nouvel exemple vient de s’a-
jouter au petit nombre de ceux que je connaissais. M. De-
caisne, déjà bien connu de l’Académie par les excellents
travaux qu'il a publiés, m'a communiqué, tout récemment,
des dessins qui représentent des vésicules incrustées qu'il a
observées dans le tissu cellulaire du péricarpe du ZLardiza-
bala biternata, et qui, en mème temps, offrent, comme
dans celles des Poires, le caractère remarquable d'une sorte
d'ombilic central d’où partent, en rayonnant, un grand nom-
bre de petites stries.

Comme on l’a vu, la formation et la solidification des con-
crétions isolées dans le tissu cellulaire pulpeux des Poires,
des Coings et de la Nèfle, celles continues des noyaux, des
noix et du bois durei, ont lieu par absorption, par dépôt
ou incrustation de la Sclérogène indigeste , inassimilable, qui,
peu à peu, remplit partiellement plus ou moins les organes
creux et élémentaires des tissus flexibles, toujours diaphanes
et sans couleur, de la même manière que s’encroûte quel-
quefois la paroi intérieure des conduites d’eau, lorsqu'elles
sont en fonte.

Des concrétions partielles et isolées comme celles de la
chair des Poires, mais d’une matière d’une nature différente,
se forment de la même manière dans les vésicules du tissu
cellulaire de certains animaux. à aussi chaque vésicule
devient un centre d'attraction et s’ossifie pour son compte
en se remplissant successivement de carbonate calcaire.

Lorsque je poursuivais mes recherches relatives à la belle
cristallisation des rhomboèdres que j'avais découverts dans
l'intérieur des œufs des Hélices, je fus naturellement conduit
à examiner des coquilles à leur début, et les coquilles rudimen-

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 77

taires et internes qui se trouvent sous la partie moyenne et
gauche du manteau ou du bouclier des Limaces et autres mol-
lusques dépourvus de coquilles extérieures.

Dans les véritables Limaces, je vis que la coquille rudimen-
taire, pour se former , n'avait eu qu'un centre d'action. Il y
avait unité et subordination dans son accroissement, et sa
matière élémentaire était amorphe et confuse, quoique dis-
posée par couches. On n’y découvrait aucune cristallisation.

Mais il n'en fut pas de même lorsque ensuite j’examinai ce
qui, par position relative, devait être la même partie dans
les Arions. Là c'était une petite masse ovoide, molle, blanche,
friable , et comme crétacée (pl. 4, fig. 2). Soumise au micros-
cope, après avoir été étalée dans une goutte d’eau entre deux
lames de verre, ce qui, pour l'œil nu, paraissait un corps
unique dans sa formation, était au contraire une agglomé-
ration composée d’un grand nombre de corps cristalloïides
(pl: 4, fig. 3 et 4) parfaitement isolés les uns des autres. Ces
corps ou ces cristaux imparfaits sont très-variables dans leurs
formes et leurs grandeurs. Blancs et semi-transparents, ils pa-
raissent assez légers, car on les voit souvent rouler dans l’eau
dans laquelle on les observe; plusieurs sont groupés et soudés
par deux, trois, quatre, et même en plus grand nombre. Beau-
coup sont allongés, cylindroïdes , arrondis ou anguleux aux
extrémités ; d’autres, comme aplatis, plus symétriques, mon-
trent six pans assez bien caractérisés. La surface de tous,
comme dans les concrétions des Poires, offre un centre om-
bilical punctiforme ou ouvert en disque d’où rayonnent un
grand nombre de stries fines et interrompues. Malgré cette
grande variabilité de formes, qu'il est plus facile de figurer
que de décrire, malgré les angles arrondis ou émoussés de

78 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

ces corps, on voit que dans l’arrangement des molécules
calcaires composantes, il y a eu une intention cristalline non
équivoque, arrangement auquel l'élasticité naturelle des
vésicules s'est prêtée. Ces corps cristalloïdes, dont la gran-

deur varie depuis - jusqu'à : de millimètre, soumis à l'ac-
tion de l'acide acétique, se dissolvent promptement et ne
laissent plus à leur place qu'une enveloppe membraneuse
plus ou moins chiffonnée ou plissée, restée insoluble, et
dans laquelle on aperçoit quelques-uns des globules de
l'organisation qui s'y trouvaient avant le dépôt calcaire (pl. 4,
fig. b et 6).

La grande analogie qu'offrent les concrétions calcaires et
cristalloides agglomérées en sphéroïde dans la chair du bou-
clier des Limaces , désignées sous le nom générique d’Ærion,
avec les concrétions ligneuses des Poires, ou mieux avec les
vésicules ossifiées et dissociées de la noix de Coco (pl. 4,
fig. 1), me porte à croire que, comme dans la formation de
. celles-ci , les concrétions partielles. du sphéroïde des Arions
ont eu pour géode une vésicule du tissu cellulaire du man-
teau , et que ce sont ces mêmes vésicules organisées qui, inat-
taquables par les acides , restent intactes après la dissolution
complète du carbonate calcaire qu’elles renfermaient.

Ces formations multiples et calcaires, qui n’ont jamais été
observées (1), me paraissent autant d’osselets particuliers ,

(1) Tous jes zoologistes qui se sont occupés de l'anatomie des Limaces
et des Arions, ayant porté toute leur.attention sur les différents organes
de ces mollusques, et la plupart ne s'étant point servis de microscopes
dans leurs dissections, les corps cristalloïdes des Arions leur sont restés

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 79

comparables chacun à celui plus volumineux des Sèches, le-
quel présente une enveloppe unique et organisée qui , sur le
dos de l’osselet, montre un grand nombre de stries progres-
sives , granuleuses , en rapport avec la disposition des couches
sous-jacentes et très-analogues avec celles de chacun des pe-
tits osselets microscopiques des Arions, qui, très -probable-
ment , sont aussi formés intérieurement de couches superpo-
sées d’accroissement.

Entre ces deux sortes d’ossifications il y a, ce qui me semble
d'une grande importance en organisation, pluralité de centre
d'action et de corps chez l'osselet composé des Arions, et
unité d'action et de corps dans l’osselet des Limaces et dans
celui des Sèches.

L’osselet de la Sèche, très-petit et microscopique à son dé-
but, se forme, comme l’un de ceux des Arions, dans l’inté-
rieur d’une vésicule organisée, susceptible de s’accroître à

inconnus ; car ce n’est pas connaître que de dire seulement, en parlant
des Limaces en général : « Dans l'épaisseur de la-partie moyenne et gauche
«du manteau est logéé, tantôt une plaque calcaire, dure, formée de
« couches comme les coquilles ordinaires, tantôt au moins un amas de
« particules crétacées et friables. » Cuvier, Ann. Mus., tome VIT, 1806,
pag: 140, 144.

M. le docteur Casimir Picard d'Abbeville, qui s'occupe avec autant de
zèle que d'instruction des diverses productions naturelles de son dépar-
tement, sur lesquelles il a déjà publié plusieurs ouvrages très-remar-
quables, et à l'amitié duquel je dois la communication d'œufs contenant
des cristaux rhomboëdres appartenant} à plusieurs espèces d'Hélices indi-
gènes, est le seul, à ma connaissance, qui se soit occupé de l'analyse
microscopique de l’osselet composé.des Arions, et qui en ait reconnu les
corps cristalloïdes, mais sur lesquels, que je sache, il n’a rien publié.

80 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES
mesure que la partie calcaire intérieure et lamelleuse s'étend
unilatéralement du sommet, qui en a été le point de départ,
jusque vers la partie inférieure et tranchante où le travail ré-
gulier de l'ossification s’est terminé.

La grande ressemblance qui existe entre les osselets cal-
caires et isolés des Arions et les vésicules remplies de Seléro-
gène qui forment, par contiguité, la noix de Coco (1),
prouve que chaque osselet de la masse crétacée des Arions a
eu pour lieu de dépôt et de formation particulière une vési-
cule organisée du tissu cellulaire de l'animal.

CONELUSIONS.

Des recherches contenues dans ce Mémoire il résulte :

1° Que le tissu cellulaire parenchymateux de la Poire, du
Coing et de la Nèfle,si caractérisé par la présence des concré-
tions pierreuses ou des noyaux ligneux isolés et par la disposi-
tion rayonnante des vésicules tubuliformes, diffère entièrement
de celui de la Pomme, toujours dépourvu de concrétions, et
dont les vésicules sphéroïdes sont simplement agglomérées ;

2° Que les concrétions pierreuses de Ja chair de la Poire,
du Coing et de la Nèfle, sont formées d’un nombre variable
de vésicules contiguës incrustées intérieurement par la Sclé-

(1) Les formes irrégulières, polymorphes, la grandeur variable et le
granulé des vésicules de la noix de Coco, dissociées par la cuisson dans
Yacide nitrique, et remplies de Sclérogène, leur donnent l'aspect d'un

amas de Paramæcies (pl. 4, fig. 1).

————

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 81

rogène, matière indigeste qui les ossifie en les rendant dures
et cassantes ;

3° Que la formation, la dureté et le cassant dans tous les
sens des noix et des noyaux, ne diffère de celle des concré-
tions partielles des Poires qu’en ce que dans les fruits à noyaux
toutes les vésicules du tissu cellulaire les plus rapprochées de
la cavité du jeune fruit se remplissent également et unifor-
mément de Sclérogène. C’est une ossification continuée ou
sans interruption ;

4 Que les organes creux et élémentaires , mous, flexibles
et herbacés des jeunes tiges ne s’endurcissent et ne devien-
nent bois qu’en s’encroûtant intérieurement de la même
matière ;

5° Que la dureté, la compacité et le cassant des bois sont
principalement dus à l’introduction et au dépôt d’une plus
ou moins grande quantité de Sclérogène ;

6° Que les organes élémentaires des tissus organiques, tou-
jours incolores, diaphanes, inodores , insipides et innocents
par eux-mêmes, doivent leurs couleurs, leur opacité, leurs
odeurs, leurs saveurs et leurs qualités bonnes ou mauvaises
aux matières étrangères suspendues dans l’eau, toujours
pure par elle-même, ou concrétées, par évaporation, dans
les divers creux ou espaces des masses tissulaires. C’est ainsi
que , comme organes plus nouvellement nés, les fécules qui
n'ont encore absorbé que la matière qui s’est assimilée à
leur organisation, sont éminemment nutritives, qu’elles man-
quent tout à la fois d'odeur, de saveur et de qualités malfai-
santes, quel que soit le végétal dont elles ont été extraites ,
pourvu que dans quelques cas on leur fasse subir des la-
vages;

T. XVII. II

82 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

7° Que la Sclérogène comme matière organique, mais sans
organisation vitale, comme n'ayant été qu'absorbée par la suc-
cion des organes tissulaires, comme n'étant qu’un simple dépôt
qui n'a joui d'aucune espèce d'assimilation, comme: entiè-
rement étrangère à l'organisme et à la vie, dont cependant
elle dépend; la Sclérogène incolore, ou colorée, offrant
moins de cohésion entre ses molécules qu'entre celles qui
forment les organes élémentaires des tissus, se dissout plus
facilement en abandonnant ses contenants organisés, diffé-
rence favorable à l'extraction de la Sclérogène colorée et
tinctoriale des bois deteinture,.

Que la Sclérogène est une matière aussi étrangère à l'or-
ganisation tissulaire des végétaux que celle des concrétions
urinaires , celle du carbonateet du phosphate: de chaux, etc.,
le sont aux tissus des animaux. î

Mais ce qu'il est important de ne pas perdre de vue, c'est
que l'accumulation de ces matières inorganiques dépend d’un
organisme particulier, soit chez certaines espèces, soit seule-
ment chez certains individus, où encore cette faculté peut
être constante pendant la vie ou simplement momentanée.

8° Que le dépôt de toutes ces matières étrangères à l'orga-
nisme , soit à l'état confus, soit à l’état cristallisé, a toujours
lieu partiellement sous l'abri protecteur, le plus souvent d’une
vésicule, et quelquefois d’un tube, comme dans le bois des
végétaux ;

9° Que toute espèce d'ossification, soit végétale, soit ani-
male, est identique en ce qu'elle provient toujours de l'in-
troduction d'une matière hétérogène aux tissus, matière qui
leur nuit en les incrustant, mais aussi qui sert à l’ensemble

e plusieurs espèces de végétaux et d'animaux , en les soli-

|
|
|
|
|
|

e
DE LA POMME ET DE LA POIRE. 83
difiant et en leur donnant une sorte de charpente, sans la-
quelle ils seraient tous forcés de ramper ;

10° Qu’enfin rien ne me paraît plus propre à démontrer
la marche que suit l'ossification des os en général, par dépôt
de phosphate de chaux dans chaque cellule ou vésicule du
tissu encore gélatineux du squelette , que l’ossification en
noyau ou en noix de la partie interne du tissu cellulaire d’une
Pêche, d'un Abricot ou du Coco, dont les vésicules, partielle-
ment incrustées de Sclérogène, peuvent être dissociées et par-
faitement isolées les unes des autres par la cuisson dans l’acide
nitrique.

A cette démonstration j'en ajouterai une autre plus con-
vaincante encore en ce qu’elle a lieu dans un tissu cellulaire
animal. Rien de plus ressemblant aux points d’ossification
naissante des os ou à ces ossifications adventives qui se mon-
trent parfois dans les parties molles, que le corps ovalaire et
crétacé qui se forme sous le manteau des Arions. Ce corps,
composé, comme on l’a vu, d’une agglomération de vésicules
incrustées de carbonate de chaux, explique merveilleusement
le travail de l’ossification par l’incrustation partielle de cha-
cune des cellules composant, par agglomération , le tissu gé-
latineux et vivant du squelette avant son obstruction calcaire.

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EXPLICATION DES PLANCHES.

PLANCHE I.

Fig. 1. Morceau d’épiderme détaché d'une Passe-Pomme rouge. Il se
ompose, par contiguité, d'un grand nombre de vésicules irrégulières,
dans lesquelles sont renfermés des globulins souvent teints en rouge.

Fig. 2. Une certaine quantité de vésicules simplement contiguës, va-
riables de formes et de grandeurs, transparentes, incolores, contenant
dans leur intérieur une globuline assez peu nombreuse et de grosseurs
différentes. Ces vésicules, qui en outre sont remplies d'eau et d'air, ont
été isolées du tissu cellulaire de la même Pomme. aa deux vésicules dé-
chirées et répandant leur globuline; à une vésicule moyenne placée sur
une échelle composée de 16 centièmes de millim., ce qui indique que sa
grandeur réelle est d'environ + de millim.

Fig. 3. Une agglomération de vésicules détachées du tissu cellulaire
d'une Pomme de Calville blanc. Ces vésicules ne diffèrent des précédentes
qu'en ce que, dans leur intérieur, plusieurs des globulins ont plus ou
moins grandi. aaa vésicules maternelles normales, dans lesquelles les
globulins n’ont pris que l'accroissement accoutumé. bbb vésicules mater-
nelles prolifères, dans le sein desquelles plusieurs globulins ont végété et
acquis des dimensions remarquables. c une vésicule dans l'intérieur de
Jaquelle deux globulins accrus remplissent la presque totalité de la vésicule

maternelle. 4 une vésicule déchirée et laissant échapper la globuline,.

Osservarion. La globuline, rare et assez rudimentaire, contenue dans
les vésicules du tissu cellulaire des Pommes, est incolore, ou colorée en
rose dans la chair de cette couleur, etien roux par le contact de l'oxygène,

86 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES
soit par l'exposition à l'air du tissu, soit lorsque le tissu pourrit et se
décompose,

Fig. 4. Quelques vésicules maternelles, agglomérées et isolées de la
partie charnue d'un Melon. Ces vésicules , qui ressemblent beaucoup aux
précédentes, sont presque toutes prolifères. Parmi un assez grand nombre
de globulins jaunes et très-ténus, on en voit quelques-uns qui ont végété,
et dont plusieurs ont donné naissance, dans leur intérieur, à une nouvelle
génération de globulins , tantôt incolores et tantôt colorés en jaune.
a vésicule maternelle du tissu cellulaire; D vésicule née, intérieurement,

d'un globulin privilégié ; e globulins de la troisième génération.

Ogservatiow. La couleur jaune de la chair du Melon, est due à la
présence et à la couleur propre des globulins. Ces globulins, analogues
à ceux que, dans d'autres tissus cellulaires, on nomme fécule, concentrant
en eux-mêmes la substance la plus nutritive du végétal, on doit, quand on

achète du Potiron comme aliment, choisir le plus jaune.

PLANCHE 2.

Fig. 1. Une fleur de Poirier de Saint-Germain, de grandeur naturelle,
dont on a supprimé les cinq pétales, et par conséquent réduite à son
oyaire inférieur, aux divisions de son calice, à ses étamines et à ses cinq

pistils.

Fig. 2. Le même ovaire, coupé horizontalement pour faire voir les cinq

loges et les deux ovules dans chacune d'elles, plus la situation relative
> P

des dix faisceaux de fibres qui forment plus tard la charpente ligneuse

des Poires.

Fig. 3. Une petite masse de tissu cellulaire de l'ovaire, composée de
vésicules distinctes et en simple contiguité, transparentes, remplies de
globulins rudimentaires, légèrement jaune-verdâtre, devenues plus ou
moins polyèdres par pression mutuelle, et par conséquent faute d'espace.
Quoique très-minces, elles laissent voir un double trait dans leur contour,
qui indique leur épaisseur. Trois de ces vésicules ont été isolées de l'a-
grégation pour mieux faire sentir l'indépendance organique et vitale dont

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 87

jouissent, dans les tissus cellulaires, chacun de ces organes vésiculaires et
élémentaires des masses.

Onsenvarrox. Les globulins exposés à l'air et à l'action de l'oxygène,
prénnent promptement la couleur ferrugineuse.

Fig. 4. Coupe: verticale d'une Poire de, Saint-Germain, représentée, de
grandeur naturelle.

Dans cette coupe:on distingue le gisement des pierres. On voit qu'il.en
existe une couche: sous la peau,,.que c'est particulièrement autour de l'axe
central et des cinq: loges qu'elles sont plus grosses et plus multipliées:,
mais qu'entre ces deux.stations le reste du tissu ou de la, chair en con-
tient aussi. a pédicule, ou queue du fruit ; à ce petit renflement indique un
nœud vital, duquel, aurait pu résulter, une petite feuille, et même un
rameau rudimentaire,, si la vie,ne s'y était pas éteinte; c l'œil, formé de

quelques-uns des organes de la fleur, desséchés et persistants.

Ogservario. Les pierres, ou rochers, se distinguent de la chair pul-
peuse, non-seulement par leur forme et leur saillie, mais encore par leur
couleur jaunâtre. Celles si nombreuses qui avoisinent les loges, forment
une: sorte | d'enveloppe qui explique celle plus complète ou plus achevée

des noyaux osseux.

Fig. 5. Agglomération de vésicules plus ou moins anguleuses, incolores,
contenant des globulins et ayant fait partie de l'épiderme de la Poire.

Fig. 6. Quatre pierres, ou rochers, entourées de leurs vésicules rayon-
nantes, isolées de Ja chair ou du tissu cellulaire de la Poire, et vues au
microscope. Chaque pierre, ou petit rocher, se compose d'un nombre
variable de vésicules, d’abord semblables à celles de la figure 3, agglomé-
rées en sphéroïde, et qui se sont plus ou moins remplies ou incrustées de
Sclérogène, de manière.à devenir opaques, dures et assez résistantes sous
la dent. Autour. de ces petits rochers ligneux, toujours plus ou moins
espacés entre eux, yrayonnent en tout sens des vésicules tubuleuses, en
forme de. massue, transparentes. et incolores, contenant des globulins
rudimentairesvers leur extrémitéet remplies en outre de l'eau de la Poire.

88 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

Ces vésicules, qui dans l'origine ressemblaient pour la forme à celles in-
crustées, ou à celles de la figure 3, se sont allongées en profitant de
l'espace résultant de l'accroissement de la Poire. 6a, 6a , 6a, Pierres plus
ou moins isolées entre elles et des vésicules allongées et rayonnantes. Les
trois supérieures du premier groupe offrent un ombilic élargi en disque
Dans le groupe situé au bas de la planche, se voient deux pierres qui sem-
blent offrir chacune deux ombilics : c'est qu'il y a deux individus soudés
par approche. Au-dessous de ces pierres s'en trouvent sept autres, éga-
lement soudées en deux séries. Où la tératologie ne se rencontre-t-elle pas ?
Partout où des tissus organique vifs et analogues, destinés à l'isolement,
viennent à se toucher assez longtemps et qu'ils se soudent par approche.
Que cette action si simple, si naturelle, ait lieu entre des tissus végétaux
ou entre des tissus animaux, elle est identiquement la même. Il n'y a pas
plus à admirer, pas plus à espérer, pas plus à découvrir, suivant nous,
dans le collage physiologique des deux jumelles de Prunay, que dans celui
de deux doigts, de deux Pommes , de deux feuilles, etc. Ce très-simple
cas anormal nécessitait, tout au plus, d'être enregistré dans les annales de

la science.

OnservarTiox. Pour rendre mes figures plus intelligibles, j'ai omis à
dessein de mettre en-dessus les mêmes vésicules allongées qui rayonnent
autour de ces quatre rochers.

Pourquoi l'incrustation n'a-t-elle lieu que chez un certain nombre .le
vésicules agglomérées en nombre variable? pourquoi s'arrête-t-elle net-
tement de manière à laisser des espaces entre les rochers ?

La vésicule, voyez la figure 3, étant naturellement élastique et contenant
des globulins féculants, puis se remplissant de Sclérogène, cela explique
comment les rochers sont tout à la fois élastiques et cassants, et comment

leur analyse chimique peut isoler et montrer une portion de fécule.

Fig. 7 et 7a. Duhamel, comme on le voit par ces figures, rigoureu-
sement calquées sur les siennes, avait, dans son Examen anatomique de
la Poire, entrevu la singulière structure du tissu cellulaire des Poires.
Figure 7, un morceau de tissu, avec indication de rochers et de vésicules

rayonnantes, plus nombreuses, mais semblables aux quatre de la figure 6.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 89

Figure 7a. Il faut deviner que c'est un rocher entouré de ses vésicules ; mais
on ne peut se rendre compte de l'espèce de fibre rameuse qui s'en échappe.

PLANCHE 3.

Fig. 1. Une Poire de Messire-Jean, de grosseur naturelle, et dont on a
enlevé une portion de l'épiderme pour faire voir la couche des innom-
brables petits rochers qui semblent sabler la surface de la chair. a queue ;
b calice persistant et couronnant le fruit; c couche pierreuse.

Fig. 2. Morceau d'épiderme, composé de vésicules contigués, incolores ;
polyèdres par pression mutuelle, remplies de globulins très-rudimentaires,
et d’un ou de deux noyaux roux et opaques. aaaa, quatre de ces vésicules
isolées et vues à un plus fort grossissement,

Osservariow. Les noyaux roux sont dus à des globulins privilégiés qui
ont végété dans la vésicule maternelle, et qui, de leur intérieur, ont pro-
duit une nouvelle génération de globulins colorés. C'est à la présence et au
grand nombre de ces noyaux qu'est due la couleur rousse de la peau des
Poires de Messire-Jean.

Fig. 3. Six rochers avec leurs vésicules rayonnantes, pris parmi ceux
situés sous l'épiderme. Parmi les vésicules rayonnantes, on en voit qui sont
articulées, c'est-à-dire, dont l'extrémité d'une première vésicule en a poussé
une seconde. Les vésicules composant les rochers sont incrustées d'une
Sclérogène d'un brun-roux, et celles allongées qui rayonnent, contiennent
vers leurs extrémités des globulins très-ténus.

Fig. 4. Un rocher isolé, avec ses vésicules rayonnantes, pris dans le
centre de la chair de la Poire. Là tout est plus grand, et les vésicules
rayonnantes sont uniques ou d'une seule venue. Quelques-unes des vési-
cules incrustées, situées sur le bord du rocher, sont transparentes. 4a, quel-
ques pierres isolées, dont cinq soudées côte à côte; 4b, un Acarus trouvé,
avec plusieurs autres semblables, sous l’épiderme de la Poire. Ils étaient
remarquables en ce qu'ils n'avaient que quatre membres appendiculaires.

T. XVII. 12

90 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES

Fig. 5. Un rocher, avec ses vésicules rayonnantes, isolé de la chair d'un
fruit de Cognassier. Très-semblable à ceux des Poires, ce rocher n'en
diffère qu’à cause de ces pierres moins opaques, et dont l'ombilic est très-
discoide. Plusieurs des vésicules rayonnantes sont articulées ou composées

de deux vésicules nées l’une de l’autre.

Fig. 6. Une graine mucilagineuse du Coing, représentée de grandeur

naturelle.

Fig. 7. Une portion du tégument de cette graine, vue au microscope
pour indiquer que ce qui parait à l'œil nu un simple mucilage, est un
véritable système pileux, dont chaque poil est tubuleux, incolore, d'une
transparence extrême, généralement en forme de coin , contenant de l’eau
et bien rarement quelques globulins très-ténus. 7a, 90, gb.

Fig. 8. Un rocher entouré de ses vésicules , isolé de la chair d’une Nèfle.
On voit que c'est toujours le même système d'organisation que dans les
Poires et les Coings; mais ici les pierres sont plus grandes, mais aussi
moins nombreuses dans chaque rocher; elles sont plus transparentes, et
leur ombilic est discoïde et très-ouvert. Les vésicules rayonnantes sont
plus robustes, souvent articulées, de formes obtuses très-variées, tota-
lement remplies de globulins ponctiformes, parmi lesquels on en aperçoit
de plus gros. 84, 8a , 8a , vésicules de formes diverses, isolées et détachées
d'un rocher. Les deux traits qui les bordent, indiquent leur notable
épaisseur. 8b, deux pierres de formes et de grandeurs diverses, placées
sur une échelle micrométrique, représentant -7- de millimètre, ce qui fait
connaître que la grandeur réelle de ces pierres est d'environ — de mil-
limètre.

Ossenvariox. Le bord de ces pierres, ou bien mieux de ces vésicules
incrustées de Sclérogène, est épais et comme crénelé. Le disque, très-
grand, est parsemé de points tuberculeux et opaques, d'où rayonnent de
petites lignes qui, en se rencontrant, simulent un réseau.

DE LA POMME ET DE LA POIRE. 91

PLANCHE 4.

Fig. 1. Nésicules de grandeurs et de formes variables, solidifiées par
absorption, sécrétion et incrustation de Sclérogène colorée, ayant fait
partie, par contiguité, d'une noix de Coco, et ayant été isolées par J'ac-
tion de la chaleur dans l'acide nitrique.

Osservanow. 11 est facile de reconnaitre la grande analogie qui :existe
entre l'incrustation de la Sclérogène dans ces vésicules, et celle des pierres
du tissu cellulaire des Poires, des Caingset des Nèfles. On y reconnaît
également l'épaisseur ide la vésicule, :cette espèce d'ombilic qui n'indique
autre chose que le centre de la vésicule vers lequel l'enduit pariétal a
marché en s'épaississant. On y distingue aussi des points opaques et de
petites lignes rayonnantes.

Pour dissocier toutes les vésicules incrustées qui, par contiguité,
constituent la noix si dure d'un Coco, il faut la casser par petits
morceaux, que lon plonge «ensuite dans un petit bocal rempli d'acide
mitrique, et qu'après ‘avoir été bouché on ‘fait (bouillir dans de l'eau
ordinaire. C'est ainsi que l'on peut isoler toutes les individualités parti-
cukières /qui font partie de l'individualité composée ‘d’un morceau &e
bois. La noix de Coco doit sa-couleur noire, sa dureté etson poli à la
Sclérogène qui obstrue toutes les vésicules de son tissu cellulaire.

Fig. 2. Corps ovoide, blanc et crétacé, qui se forme sous le manteau
des Limaces du genre Arion, représenté de grandeur naturelle. Ce corps
est une simple agglomération de vésicules incrustées de carbonate de
chaux.

Fig. 3. En froissant seulement ce corps, mis dans un peu d’eau entre
; P
deux lames de verre, tous ses éléments vésiculaires s’éloignent et s'isolent.
Alors on peut les étudier au microscope dans toutes leurs formes ex-
trêmement variées, et, comme on le peut voir, bien plus faciles à figurer
u’à décrire; plusieurs sont simples, tandis que beaucoup d’autres sont
q > P p'es; q P
groupées et soudées plusieurs ensemble. Il semble que les molécules du

12.

92 DE LA DIFFÉRENCE DES TISSUS CELLULAIRES , ETC.

carbonate de chaux, en s’introduisant dans les vésicules du manteau des
Arions, aient eu une tendance à s’y arranger sous la forme cristalline.
On ne peut s'empêcher d'être frappé de l'analogie que présente cette in-
crustation calcaire, avec celle de l'incrustation de Sclérogène dans certaines
vésicules et dans certains tubes des végétaux. Même ombilic et mêmes
petites lignes ou rides rayonnantes. Parmi ces vésicules, remplies de
carbonate calcaire, on voit une sorte de Pulviscule.

Fis. 4. Piusieurs vésicules calcaires, de formes et de grandeurs diffé-
rentes, placées sur une échelle micrométrique, représentant == de mil-
limètre. ab, vésicules simples de =, de + et de de millimètre.
cd, vésicules simples, de forme cristalloïde, grandes, l'une d'environ > et

l'autre — de millimètre. efz, vésicules groupées et soudées par approche.
5 group

10

Fig. 5. Deux vésicules soudées, sur lesquelles on a agi à l'aide de l'acide
acétique, et dans l'intérieur desquelles le carbonate calcaire est déjà

réduit.

Fig. 6. Trois vésicules, soumises plus longtemps à l'action du mème
acide, et chez lesquelles tout le carbonate calcaire a disparu, de manière
à ne laisser que les membranes organisées des vésicules sur lesquelles
l'acide n'avait aucune prise. Dans l'intérieur de la vésicule inférieure on
voit quelques globules qui appartenaient probablement à la graisse de

l'animal.

000—

RAR SAR LS SIA LEA LASER LALLLS LOT LALLLILLLLILALLTLLLALLLLI ET LLLVALLLILLIL LIRE LES OR

MÉMOIRE

SUR LA CAUSE ET LES EFFETS

DE LA

FERMENTATION"
ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE.

Par M. TURPIN.

Lu à l’Académie en sa séance du 20 août 1838.

Comme physiologiste et comme nous étant, depuis long-
temps, occupé de l'étude des corps organisés microscopiques ,
nous nous sommes associé à la belle découverte de M. Cagniard-
Latour, parce que nous en avons reconnu , dès le début, toute
l'exactitude, toute la portée scientifique, soit qu'on la consi-

x

(x) Fermentation comme effet et végétation comme cause, sont deux
choses inséparables dans l'acte de la décomposition du sucre.

94 DE LA FERMENTATION

dère sous le rapport de la physique, de la chimie et de la phy-
siologie, soit sous celui de la fabrication industrielle; car ,
comme on le sait, de la connaissance approfondie des corps
sur lesquels on opère, résulte toujours leur meilleur emploi.

La physiologie végétale jouant le principal rôle, le seul
peut-être dans cette découverte , nous avons pensé qu’à la
physiologie seule appartenait de porter la lumière dans l'acte
jusqu'alors si mystérieux ou si obseur, de la fermentation.

C’est dans cette vue que, depuis une année, nous nous
sommes constamment livré aux recherches expérimentales et
aux observations microseopiques qui font l'objet de ce Mé-
moire.

En ne nous occupant d’abord que de la fermentation de la
bière ,nous avons successivement examiné au microscope (1) :
1° le Périsperme de l’Orge avant et après la germination de
l'embryon; 2° la Trempe; 3° la Lupuline du Houblon; # le
Moût, composé de la Trempe et du principe amer de la Lu-
puline; 5° la Levüre (2) fraîche avant sa miseenlevain ou avant
d’être versée dans le Moût; 6° la même Levüresuivie dans toutes

(x) Toutes nos observations ont été faites à l’aide de l'excellent et très-
commode microscope vertical, à table tournant sur son axe, de MM. Tré-
court et Georges Oberhaeuser, avec les grossissements de deux cent
soixante à trois cents fois, maximum de nos microscopes actuels quand il
s'agit de bien voir et de faire de bonnes et sérieuses observations.

(2) La dénomination de Levüre sans que l’on s’en soit douté,se trouve

-maintenant doublement bonne, car elle exprime deux caractères à la fois :
celui des seminules qui lévent ou germent, et celui du liquide ou de la
pâte soulevée par le dégagement des bulles d'acide carbonique et de la
chaleur qui résulte, comme effet, de la végétation des seminules de la
Levûre.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 95

les phases de la végétation des globules seminulifères dont elle
se compose pendant la durée-de la fermentation dans la cuve;
7° la Bière terminée; 8° la Levüre nouvelle ou reproduite.

Comme production due à un plus grand achèvement de la
végétation des seminules de Levüre, nous avons ensuite étudié
ces prétendues matières mucilagineuses (1) qui se forment peu
à peu à la surface, soit de la Trempe, soit du Moût , soit de la.
Bière, soit du Lait, soit enfin de tous les liquides fermentes-
cibles en contact avec l'oxygène, mucilages que les botanistes
mycologues désignent sous le nom de Mycoderma (2) ou
d’Aygrocrocis.

Toujours dans l'intention de nous éclairer de plus en plus
par l’analogie , nous avons observé, heure par heure, le dé-
veloppement des Levüres produites par le blanc d'OEuf, par
les jus de Pommes, de Raisin, et autres fruits pulpeux , et
enfin nous avons terminé cette série de recherches microsco-

-(1) La dénomination de matière mucilagineuse, bonne tout au plus à
l'œil nu, pourrait laisser croire que ce mucilage en apparence n’est qu’une
substance homogène, continue dans ses éléments moléculaires, qu’une
substance organique sans organisation appréciable, que le chaos ou les
simples matériaux élémentaires de l'organisation.

Dans le cas dont il s’agit il y a beaucoup plus: que cela. C'est bien de la
matière organique, mais c'est de la matière organique employée sous l’in-
fluence de la vie dans la construction de diverses espèces de végétaux infu-
soires, qui tous appartiennent à la famille des Mucédinées (Mucors ou Moi-
sissures). C'est une immense forêt, composée de petits végétaux micros-
copiques, dont chaque individu provient de l'un des innombrables globu-
lins suspendus dans toutes les: eaux susceptibles de fermenter, et dont la
cause de la fermentation est due au développement de ces épée siens

(2) Mycoderma cervisiæ, Desmaz.

96 DE LA FERMENTATION

piques par celle de la Mère ou du Aycoderma duVinaigre (1).

Avant d'aller plus loin, nous éprouvons le besoin de dire
que l’une des causes qui nuit le plus à l’enseignement des
sciences et à leur avancement, se trouve dans ce qu’une
même chose est considérée tout différemment suivant l'esprit
et les besoins particuliers de chaque science , besoins qui
amènent tout naturellement diverses dénominations. Ce mal
s'étend jusque dans les sciences spéciales. Delà ces synonymies
fort embrouillées qui bouleversent les idées, qui dégoütent de
l'étude si simple des choses, et qui sont aux sciences ce que
la rouille est au fer.

Le tissu cellulaire végétal, quelque part qu’on l’observe,
est une agglomération de vésicules maternelles distinctes en
organisme et en vitalité (pl. r, fig. 4). De la paroi intérieure
de ces vésicules naissent, par extension, des globules orga-
nisés (2), véritables gemmules internes et reproductrices ,
soit de la vésicule maternelle, soit de la plante, en passant

'

(x) Mycoderma vini, Vallot, Ulvina aceti, Kütz.

(2) Nous devons prévenir que, ne connaissant point où s'arrête l'or-
gauisation et la vie chez les corps organisés, qui, suivant nous, sont
formés de corps organisés plus simples, ayant tous leur centre vital par-
ticulier d'action, tout en contribuant plus ou moins à l'action générale
du végétal ou de l'animal, nous considérons le globule et la fibre élémen-
taire des masses tissulaires, le globule des diverses sécrétions, le poil, etc.,
comme autant d'individus organisés à l'aide de leurs propres composants;
individus tellement indépendants entre eux, que les uns peuvent mourir
successivement et se décomposer dans l'organisation générale, comme
cela se voit parfois chez le poumon, sans que les autres en souffrent ou
semblent s'en apercevoir dans leur vitalité, ou quelquefois en être séparés

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 97

par l’état de bulbille ; soit, étant isolées et plongées dans un
liquide sucré, d’un séséral infusoire, mucédiné et filamen-
teux dans les fermentations. Ces globules organisés, ces bul-
billes intestinales (fig. 5), tous d’origine identique, tous
émanant de la paroi d’une vésicule de tissu cellulaire, ont
été méconnus comme organe fondamental et élémentaire
dans les masses tissulaires végétales, à cause des diverses
couleurs qu'ils sont susceptibles de prendre, des divers dé-
veloppements auxquels ils peuvent arriver selon la nature des
influences extérieures, de leurs diverses qualités chimiques,
et enfin à cause du défaut de bonnes observations micros-
copiques comparatives. Il est donc bon, pour l'intelligence
du sujet de ce Mémoire, que l'on sache que les globules con-
tenus dans les vésicules du tissu cellulaire végétal sont
nommés par les chimistes : Fécule, Amidon, Levire, Fer-
ment, Chlorophylle (1), ete.; par les physiologistes : Fécule,
Globuline , Sphériole, Chromule (2), ete.

—————————…——— — —… …——…—.—— ————————————_—_—.——_—]_——] Ù

vivement et en grandes masses, comme dans les amputations majeures
opérées sur des végétaux ou sur des animaux.

Comme on le voit, tous les corps temporaires, formés dans l'espace,
soit les inor ganiques, soit les organisés muqueux, sont assujettis à la même
loi de composition ; tous ne sont que des agglomérations plus ou moins
compliquées, plus ou moins étendues, plus ou moins durables, de corps
plus simples, doués, chacun, de son centre d'action. Où est la vie? par-
tout; mais, comme la chaleur, inégalement répartie, inégalement et tem-
porairement accumulée en foyers distincts et variables, suivant la nature
intime des corps qu'elle imprègne, qui la retiennent, et suivant certains
points des mêmes corps.

(x) Lorsque le globule organisé est détruit par l’action chimique.

(2) Dénomination bonne tout au plus pour les globules vus de loin,

T XVII. 13

98 DE LA FERMENTATION

Bien convaincu de l'insuffisance des descriptions, même
les plus détaillées, quand il s’agit de faire connaître les formes
et les couleurs si variées des corps, et plus particulièrement
lorsque ces corps sont microscopiques, nous avons cru né-
cessaire d'appeler à notre secours l’Iconologie, en figurant
tous les composants qui peuvent servir à prouver l'origine,
la nature et les divers développements des Levüres.

c'est-à-dire à la vue simple, et alors pouvant être considérés comme une
matière colorante, ainsi qu'on pourrait aussi dire que le sol est quelque-
fois coloré en rouge par la présence de nombreux coquelicots.

Entre celui qui n'observe les corps temporaires qu'à l'œil nu ou avec
une simple loupe, et celui qui les étudie à l'aide du microscope composé,
il n'y a aucun moyen de se comprendre. Tous les deux ont des idées
toutes différentes et doivent, par conséquent, s exprimer tout autrement
en parlant d’une même chose vue de fort loin par l'un, et de fort près
par l'autre. Le premier, placé très-haut, soutiendra qu'il a vu et bien vu
sur le sol une grande membrane fauve,'}avec un mouvement général de
simple trémulation, tandis que le second, les pieds sur la terre, attestera
qu'il a reconnu , dans la prétendue membrane tremblottante, un grand
troupeau composé de bœufs et doués de leurs mouvements individuels.
C'est ainsi que là où le mycologue ne voyait, avec les yeux, qu'un myco-
derme dans les membranes informes et gélatineuses qui se forment à la
surface des liquides fermentescibles, et le chimiste une simple matière
mucilagineuse dans les Levüres, l'observateur micrographe trouvait l'exis-
tence d'un nombre prodigieux d'individus organisés de tout âge, végé-
tant en filaments mucédinés, et n'ayant de commun entre eux, comme
les arbres d'une forêt, que de vivre en masse sur le même territoire et
sous les mêmes influences. Les mêmes choses, vues à des distances si dif-
férentes, ont dû nécessairement être fort différemment concues, fort diffé-
remment dénommées par les naturalistes, ce qui a souvent mis dans
l'impossibilité de se comprendre sur la véritable nature des mêmes objets.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 99

SUR

. Du tissu cellulaire du Périsperme de l’Orge commune, trempé dans l’eau.

Sous les enveloppes dures et écailleuses d’un grain d'Orge
(fig. 1, 2 et 3 b.) on trouve la graine; sous l'enveloppe de
celle-ci (1), une masse de tissu cellulaire qui en est le Péris-
perme et à la base duquel est situé extérieurement et latéra-
lement l'embryon. Ce tissu cellulaire, dans lequel réside
presque toute la matière nutritive des céréales, est formé
d'une agglomération de vésicules maternelles, incolores et
diaphanes, variables de formes et de grandeurs, quoique
généralement oyoides; elles contiennent une grande quantité
de globulins ou grains de fécule. Lorsque les vésicules mères
se déchirent, elles versent dans l’espace toute leur fécule et ne

Cette difficulté est bien autrement grande lorsqu'il s'agit de discuter, avec
la plupart des chimistes qui ne font point encore usage du microscope,
sur des corps qui ne peuvent être appréciés que par cet instrument. Au-
tant vaudrait mettre «en rapport deux hommes parlant deux langues fort
étrangères l'une à l'autre. Ces difficultés disparaissent chaque jour; les
jeunes gens qui se destinent à l'étude des différents corps temporaires de
la mature sentent tous le double besoin de l'inspection microscopique et
de l'art du dessin dans le signalement des corps, comme étant le plus
expressif et comme devant, dans l'ordre naturel des choses, précéder celui
du discours ordinaire.

(1) Dans cette enveloppe se trouvent le Péricarpe et le tégument de la

graine , intimement unis par un simple collage.

13.

100 DE LA FERMENTATION

paraissent plus ensuite que comme des chiffons (fig. 5,4.)(1).
La fécule très-abondante varie en grosseur depuis le
point apercevable jusqu’à environ un ;, de mill., et, comme
toutes les fécules, particulièrement celle de Pomme de terre,
cette fécule commence à être sphérique, puis, en grossissant
et en se génant mutuellement dans la vésicule maternelle,
elle devient ovoide et quelquefois obtusément triangulaire.
Sa transparence est si grande, que lorsque deux grains se
croisent, le contour de la partie de celui placé en-dessous
se dessine aussi nettement que si ce grain était isolé. Les
grains , même les plus gros, n’offrent jamais à la vue le point
hilaire ou ombilical par lequel ils ont adhéré à la paroi in-
térieure de la vésicule maternelle. On ne voit point non plus
ces espèces de zones concentriques ou d’accroissement qui
se remarquent sur les grains de fécule de la Pomme de terre
et de quelques autres espèces. Quelques légères dépressions,
occasionnées par la gène que ces grains ont éprouvée dans
leur accroissement, se montrent seulement à leur surface.
Tous ces grains, comme nous l'avons déjà démontré ailleurs
et comme nous le prouverons incessamment par de nouveaux
faits, sont, dans toute la rigueur de l'expression, de vérita-
bles bulbilles intestinales et microscopiques qui, sous certai-
nes influences favorables à leur développement , peuvent
germer et reproduire la plante mère, ou, étant isolés et
plongés dans un liquide sucré, faire l'office de Levüre en
germant ou en végétant sous la forme très-amoindrie d’une

(1) Ce sont ces mêmes chiffons qui, étant agglomérés, forment, en

grande partie, le gluten des chimistes.

AICOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 101

mucédinée filamenteuse. Les plus petits etles plus nombreux
de ces grains bulbifères offrent, au microscope, un mouve-
ment de fourmillement non équivoque (1).

$ IL.
Du tissu cellulaire du Perisperme de l’Orge germée , trempé dans l'eau.

Le changement le plus remarquable survenu dans les
grains d'Orge était la germination plus ou moins avancée des
embryons. Terme moyen, cette germination consistait dans
le développement extérieur de deux à cinq petites radicelles
filiformes, longues de quelques lignes (pl. 1, fig. 3, c.), et
dans celui intérieur, peu considérable, du cotylédon engai-
nant et de la gemmule. Les vésicules du tissu cellulaire étaient
les mêmes, mais les grains de fécule paraissaient générale-
ment avoir perdu de leur substance; ils étaient plus transpa-
rents et plus flasques. L'embryon, en se développant un peu,
s’était-il nourri aux dépens de la substance saccharine con-

(x) Les grains de globuline ou de fécule qui naissent, par extension,
aux parois intérieures des vésicules maternelles dont se composent les
tissus cellulaires végétaux, sont, comme nous l'avons annoncé depuis long-
temps, de véritables Pulbilles internes qui, dans certaines conditions fa-
vorables à leur végétation, peuvent, en continuant de se développer,
reproduire la plante qui leur a donné naissance, comme nous en avons
donné un très-bel exemple dans celles des feuilles de l'Ornithogalum
thyrsoides.

Ces innombrables bulbilles intestinales et .microscopiques, d'abord

I02 DE LA FERMENTATION

tenue dans le Périsperme ? On ne pent en douter, et c’est
pour cela qu'après avoir été le véritable acteur, le véritable
excitateur de la formation du sucre dans le Périsperme, il en
devient le décompositeur, et que si l’on ne veut pas qu’il le
décompose entièrement à son profit, il faut, après s’en être
servi comme d'un instrument vivant, s’empresser de le tuer
par la chaleur et une entière siccité, comme cela se pratique
chez les brasseurs (1).

sphériques, se déforment souvent en grandissant dans la vésicule mater-
nelle, sorte d'ovaire dans lequel elles manquent presque toujours
d'espace.

La plupart des espèces se bornent à une simple tigelle lisse, d’autres
offrent, à leur surface, des stries circulaires et progressives, analogues à
ces dépressions, également progressives, qui se voient sur les rhizomes
ou tiges souterraines. D'autres, comme celle de la Pomme de terre, sont
formées d'une courte tigelle conique, munie d'un assez bon nombre de
tuniques ou de petites feuilles rudimentaires, écailleuses, qui se recou-
vrent plus ou moins les unes les autres, comme, par exemple, celle d'un
Chou-pommé. C'est un petit bourgeon écailleux et microscopique.

(x) Comme on le verra plus tard, les innombrables embryons d'un tas

de grains d'Orge en germination jouent absolument le même rôle, par
5 5 $ J ;

rapport au sucre de l'Amidon du périsperme, que les petits végétaux

infusoires des Levüres dans le liquide sucré des fermentations ordinaires.
Dans les deux cas, ces végétaux sont les decompositeurs du sucre, afm
d'absorber et de se nourrir de l’un des éléments de cette matière, en
isolant et en délaissant, soit l'alcool, soit l’acide acétique. Dans cette
dernière opération, il convient aux besoins de l’homme de laisser agir
plus longtemps les végétaux des Levûres sur la décomposition du sucre,
mais il en est autrement de la première. Là on ne veut qu’une simple
excitation qui puisse déterminer la formation du sucre d'Amidon dans
le Périsperme de lOrge, aussi se dépèche-t-on de détruire l'embryon

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 103

Le Périsperme de l'Orge germée est sensiblement plus sucré
qu'avant l'acte de la germination de l'embryon (1).

$ IIL

De la Trempe fraiche.

Ce liquide, ou cette infusion, dans lequel il n’est encore
entré, comme matière organique , que celle des globulins du
Périsperme et de l'embryon de l’Orge, est trouble, sa couleur
d’un jaune roux et sa saveur assez sucrée. Vu au microscope,
ce liquide contient en suspension un nombre prodigieux de
très-petits globules provenant de ceux si abondants dans la
fécule de l'Orge et qui ont traversé le filtre en bois du bras-
seur. Ce sont tous ces globulins, développés d’abord dans

excitateur qui, naturellement et justement, dévorerait une substance
formée pour lui directement et non pour l'homme qui s'en empare.
C'est le cochon que l’on emploie à la recherche des truffes, et qui ne
les mange pas.

(x) Le Périsperme de l'Orge germée et bouillie offre toujours son
abondante fécule, mais les grains sont déformés, les gros, particuliè-
rement, semblent s'être dilatés et s'être crevés par l’action de la chaleur.

Après s'être crevés, plusieurs de ces grains avaient vomi une matière
granuleuse un peu bistrée ou jaunâtre. Les plus petits, moins dilatables
par la chaleur, étaient restés intacts. Les vésicules de ce tissu cellulaire
étaient flasques , isolées les unes des autres, mais entières et renfermant
leurs globules de fécule dilatés et crevés pour la plupart.

10/4 DE LA FERMENTATION

les vésicules du tissu cellulaire du Périsperme de l'Orge, qui
forment ensuite, et après s'être isolés, la Levüre primitive de
bière. Telle est la source ou l’origine organique et physiolo-
Le] Le]

sique de cette Levüre, comme de toutes les autres Levüres
51q >

vévétales toujours produites par des globulins organisés, se-

[e] ] O )
minulifères ou bulbifères, extraits de divers tissus cellulaires
végétaux. Telle est l'origine de ces végétations qui, sous
l'influence de l'oxygène, forment à la surface du liquide de
SeEne ;, q

la Trempe, du Moût, de la bière achevée et de tous les li-
quides qui contiennent des globulins seminulifères, ces masses
mucilagineuses mycodermiques dont nous allons bientôt
nous occuper.

$ IV.

De la Lupuline du Houblon.

A la base extérieure (1) des bractées scarieuses du cône
fertile du Houblon (pl. 1, fig. 7, 8 et 9) et à la surface de
l'ovaire, et, par suite, du péricarpe sphérique et osseux qui
se trouve à l’aisselle de chaque bractée (fig. 11), il se
développe un grand nombre de glandules vésiculeuses, très-
petites (environ de + mill.), sphériques, d’un jaune doré et

luisant, sessiles ou presque sessiles. Ces glandules, qui ré-

(1) Il ne faut pas oublier que cette face des bractées correspond abso-
lument avec celle que présentent extérieurement les deux feuilles ova-
riennes qui composent, par soudure, le péricarpe du Houblon.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 105

pandent une odeur forte et qui sont considérées comme une
* poudre, constituent la Lupuline de Ives (fig. 10 ).

Examinées au microscope (1), et placées dans l’eau entre
deux lames de verre, ces glandules vésiculeuses paraissent
vertes, et leur membrane est munie d’un réseau dont les mail-
les assez régulières partent ou aboutissent à un centre com-
mun (2); point par lequel la glandule adhérait à la bractée
ou à l'ovaire (pl. 1, fig. 12). En cet état, on les voit peu de
temps après émettre, par une .sorte d'explosion analogue à
celle que l'on connaît chez les vésicules polliniques , un nom-
bre prodigieux de très-petits globulins incolores qui se ré-
pandent dans l’espace et dont le mouvement de fourmillement
est très-vif (pl. 1, fig. 12 a). Ce même mouvement des glo-
bulins se maintient et reparaît dans la Lupuline conservée
pendant plusieurs années. D’autres fois la vésicule se rompt
et laisse sortir, par sa déchirure, une enveloppe interne, non
réticulée, qui s'étend au dehors sous des formes très-variées
en entraînant avec elle les globulins intérieurs (pl. 1, fig. 13,
13, 13, a d c). Ces extensions prouvent que le grain de Lu-
puline, comme celui des pollens, est composé de deux vésicu-
les emboîtées, et dont l'intérieure contient, tout à la fois,
les globulins fourmillants et l'huile essentielle aromatique et
verdätre, dans laquelle se trouve le principe amer et conser-
vateur de la bière (3). Cette huile, la seule chose qui nous

(1) 280 fois le diamètre.

(2) Ces mailles sont-elles des cellules vides comme celles des épidermes ?
ou, dans la supposition de l'existence de cellules, chacune d'elles secrète-
telle et contient-elle une substance particulière, comme l'a avancé
M. Raspail, Chimie organique, p. 178.

(3) On ne sait comment est venue l'idée d'employer le principe amer

TXVIL: 14

106 DE LA FERMENTATION

paraisse utile dans l'emploi du Houblon et qui devrait être
séparée de toutes les parties végétales des cônes qui ne peu-
vent que donner de l'âcreté à la bière, s'étend sur le porte-
objet sous la forme de gouttelettes circulaires et aplaties
(pl 1, fig. 15), ou sous des formes irrégulières (pl. 1 , fig. 14).
Elle est toujours unie à un grand nombre de globulins
qu'elle entraîne avec elle (1).
Comme dans tous les organes creux des tissus végétaux ,
la vésicule de la Lupuline , indépendamment des globulins
fourmillants et de l'huile aromatique , contient encore une
certaine quantité de gaz qui s'échappe au moment de l’explo-
sion. Ce gaz, en se dégageant dans l’eau placée entre les deux
lames de verre, y forme des bulles tantôt circulaires (pl. r,
fig. 16), et tantôt allongées (pl. 1, fig. 17); mais ce qu'ily a
de remarquable, c’est que dans ces bulles gazeuses, comme en
un lieu d’abri, et sans doute de provocation, on voit se for-
mer un nombre prodigieux de petits cristaux en forme de bä-
ton, variables en longueur, simples ou groupés, droits, et
quelquefois plus ou moins arqués (pl. 1, fig. 19). Pourquoi
ces cristallisations, qui n'avaient point encore été remarquées,
n'ont-elles lieu que dans les chambres formées par les bulles
et jamais en dehors ? Quelle est leur nature chimique ? Tout ce
que l’on peut dire en toute sûreté, c'est que la matière élé-

de la Lupuline du Houblon dans la bière pour l'empêcher d'aigrir trop
tôt; mais il est remarquable qu'un moyen semblable soit en usage pour
obtenir la plus longue conservation du cidre, moyen qui consiste à
mélanger, parmi les Pommes douces et sucrées, une certaine quantité de
Pommes très-amères.

(1) Mélange‘de deux choses fort distinctes : l’une organisée, les glo-
bulins ; l’autre sans organisation , l'huile ; mélange qui a recu le nom de
Lupulite par MM. Payen, Chevallier et Pelletan.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 107

mentaire de ces cristaux existait dans la vésicule de la Lupu-
line avant son explosion.

Eq

Du Moût.

Ce liquide ,: composé de la Trempe et du Houblon bouillis
ensemble, est plus coloré que celui de la Trempe seule, et sa
saveur, toujours sucrée au fond , est devenue plus piquante,
plus styptique, par l’addition. du principe amer de la Lu-
puline.

Si l’on filtre ce liquide composé et qu’on examine au mi-
croscope le dépôt formé par tous les corps qui s’y trouvent
en suspension, on y reconnaît un grand nombre de globules
vésiculeux de Levüre, dont la grosseur varie depuis le point
jusqu’à un 100 de millimètre, sphériques ou plus souvent
ovoïdes , légèrement verdâtres et contenant des globulins de
diverses grosseurs. Ces globules vésiculeux de Levüre, évi-
demment produits par la transformation des globulins de la
fécule du périsperme de l'Orge, placés sous des influences
nouvelles , sont, pour la plupart, dans un état de végétation
plus ou moins avancée. On en voit qui n’ont encore poussé
qu'un bourgeon (pl. 2, fig. 4), tandis que d’autres, plus dé-
veloppés par des bourgeons successifs, se composent de cinq
articles et d’un nouveau bourgeon terminal (pl. 2, fig. 6).
Parmi ces globules vésiculeux et ces mêmes globules végé-
tants , la seule chose qui constitue la Levüre, on trouve quel-
_ques enveloppes chiffonnées de Lupuline et des petites masses

e 14.

108 DE LA FERMENTATION

composées des nombreux globulins (1) que ces enveloppes
contenaient, mais qui ont perdu toute espèce de mouvement
par l’ébullition. Quelques petits flocons de matière granu-
leuse et de couleur roussâtre forment le fond de ce dépôt.

Comme on vient de le voir , le moût de bière contient déjà
une assez grande quantité de Levüre primitive pour pouvoir,
étant abandonné à ses propres moyens, fermenter et arriver,
par cette fermentation , à l'état alcoolique de la bière (2).
Mais comme ce travail trop long ne donnerait qu'une bière
médiocre, on s’est avisé, pour hâter l'opération et pour don-
ner plus d'énergie à l'action de la conversion de la matière
saccharine en alcool, d'ajouter une certaine quantité de Le-
vûre produite et recueillie dans une fabrication précédente
de bière (pl. 2, fig. ret2).

(1) Ces globulins, par un effet de contraction et de mort, avaient pris
pour la plupart la forme d'un petit carré.

(2) C'est ainsi que le lait, par ses propres globules, qui sont sa Levüre,
se suffit dans sa fermentation et dans la décomposition de son sucre par la
végétation filamenteuse de ses globules.

C'est encore ce qui arrive dans l'intérieur des fruits pulpeux et sucrés
dont les globulins naturels, en germant et en végétant sous la forme d'un
filament confervoïde, décomposent le sucre, rendent ces fruits acides, en
isolant l'acide acétique et quelquefois l'alcool. Ces fermentations, qui s'o-
pèrent dans une cerise, dans un grain de raisin, dans une pomme, dans
une pêche, sont entièrement comparables à celle qui a lieu, sur une plus
grande échelle, dans la cuve du brasseur, ou, sur une bien plus grande
échelle encore, dans tout espace occupé par des végétaux et des animaux
dont les organes élémentaires de leurs tissus, comparables aux petits vé-

gétaux des Levûres ordinaires, sont aussi les décompositeurs des substances
qui les environnent.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 109

$ VI.

De la Levüre fraiche ou nouvellement produite et recueillie.

. Là nous retrouvons M. Cagniard-Latour , là est le point le
plus important de ses intéressantes recherches sur l'organi-
sation , la végétation , la reproduction et la multiplication ou
l'augmentation de la masse des Levüres. C’est ici que, près
de nous, nous allons le suivre, en répétant avec soin ces cu-
rieuses observations , de manière à pouvoir assurer positive-
ment si les Levüres, comme on l'avait cru, ne sont que des
matières organiques sans organisation , que de simples pro-
duits chimiques, ou si, au contraire, elles sont des agglomé-
rations composées de diverses espèces de petits végétaux,
résultant tous de la germination d'un globule échappé d’une
vésicule d’un tissu cellulaire végétal.

Pour cela, il fallait, comme l'avait déjà fait M. Cagniard-
Latour, aller passer une nuit dans une brasserie , afin de pou-
voir suivre, étudier , décrire et dessiner à l’aide du micros-
cope, toutes les phases du développement des petits végétaux
provenant des seminules composant la Levüre de bière, pen-
dant toute la durée de la fermentation d’une cuvée.

- M. Chapellet, qui dirige avec autant de savoir que d'habi-
leté la grande brasserie du Luxembourg, voulut bien nous
recevoir et nous permettre d’y faire nos observations. C'était
au mois d'octobre dernier : la cuve contenait le Mouût suffisant
pour faire 76 quarts de bière, et la mise en levain devait avoir

110 DE LA FERMENTATION

lieu à dix heures du soir. Arrivés une demi-heure plus tôt,
nous examinämes d'abord la Levüre fraiche qui devait être
employée; elle fermentait; sa densité était celle de la crème, sa
couleur celle du café aa lait, sa saveur très-amère, et son
odeur voisine de celle qui s'exhale de la fleur du sureau
(pl. 2, fig. 1) (1). Observée ensuite au microscope, nous trou-
vâmes qu'elle était entièrement composée de globules vésicu-
leux, sphériques , ovoïdes , et quelquefois légèrement pyri-
formes (pl. 2, fig. 2). Ces globules transparents et d'un fauve:
pèle, variant de grosseur depuis = jusqu’à = de mil., étaient
tous libres, tous indépendants les uns des autres et entière-
ment dépourvus de mouvement. Sous certains jours, on aper-
cevait clairement l'épaisseur plus transparente de la vésicule,
et la capacité de celle-ci plus opaque et plus colorée par la
présence des globulins intérieurs. Lorsqu'un certain nombre
de ces globules de Levüre se trouvaient emprisonnés dans
une bulle d'air, de manière à être pressés les uns contre les
autres, ils s’affaissaient en se gênant mutuellement, deve-
naient polygones , et, par cet effet, prouvaient leur mollesse
et expliquaient en même temps la véritable formation des
tissus cellulaires dans lesquels les vésicules sphériques pren-
nent cette forme par la même cause (pl. 2, fig. 2b). Tous, dès
ce moment, ne laissaient plus aucun doute sur leur existence

LV

organisée végétale ; tous étaient des individus doués de la vie

(1) Les globules extraits du tissu cellulaire des fraises (Levüre des
chimistes) ont, d'après l'observation de M. Cagniard-Latour, la même
odeur que ceux de la Levûre de bière, qui proviennent du Périsperme

de l'Orge.

ALCOOLIQUE" ET ACÉTEUSE. 117
organique, tous avaient déjà végété et grandi depuis le point
jusqu'au 100% de mill. Mais en cet état de simples globules
vésiculeux et remplis de globulins seminulifères, étaient-ils
arrivés à leur dernier terme de développement ? Devaient -ils
se reproduire sous la forme si simple d’un Protococcus , ou
étant d’un ordre plus compliqué, ces globules, considérés seu-
lement comme des seminules, ou mieux , comme des boutures,
devaient-ils se développer en autant de petits végétaux moni-
liformes ou composés de plusieurs articles, comme nous l’a-
wait annoncé M. Cagniard-Latour ? Comme l’un ou l’autre de
ces deux états pouvait exister, il était nécessaire de suivre ces
globules dans le Moût ,iet pendant toute la durée de la fermen-
tation : c’est ce que nous fimes.

Nous venons de dire que la quantité de Moût contenu dans
la cuve était destinée à produire 76 quarts de bière; dans ce
liquide, on versa 35 livres de Levüre (pl. 2, fig. 1 et2), la-
quelle fut ajoutée à celle qui s’était naturellement formée dans
le Moût. Que fit-on réellement par cette addition de Levüre ?
On augmenta, comme nous venons de le dire, l'énergie fer-
mentescible de la Levüre naturelle qui se trouvait déjà dans le
Moût , et, comme on va le voir tout à l'heure, on ensemenca
dans un territoire (1) particulier, le Moût, un nombre prodi-

(x) Sur l'observation de M. Poinsot, nous supprimâmes, dans notre
Rapport sur le sujet qui nous occupe, le mot territoire qui s'y trouvait,
mon parce qu'il nous parut mal appliqué, tout au contraire, mais bien
parce qu'il s'agissait d’un Rapport. Ici, comme c’est un Mémoire dont
seul nous sommes responsable, nous persistons à employer la dénomi-
mation de territoire, parce qu'elle nous paraît exprimer parfaitement
Thabitation des végétaux infusoires des Levûres.

112 DE LA FERMENTATION

gieux de seminules ou de corps reproducteurs qui devaient
s'y développer et reproduire avec bénéfice. Une heure envi-
ron après cet ensemencement, à onze heures, la fermentation
étant commencée, nous fimes retirer de la cuve un premier
échantillon, lequel étant examiné au microscope , nous montra
que le plus grand nombre des globules avaient poussé un et
quelquefois deux petits bourgeons qui étaient comme plus
jeunes , plus transparents que le globule maternel ou produc-
teur (pl. 2.,fig. 4).

Dans un second échantillon puisé à une heure du matin, la
fermentation augmentant, tous ou presque tous les globules ,
qui n'avaient lors de la première observation que de très-pe-
tits bourgeons incolores, étaient doublés ou composés de deux
articles ou mérithalles, le bourgeon ayant atteint le même
diamètre que celui de son producteur. Quelques nouveaux
bourgeons se montraient déjà sur un certain nombre de ces
individus didymes ou géminés ( pl. 2, fig. 5).

Dans une suite d'échantillons tirés d'heure en heure jusqu’à
six heures du matin, moment où l’on entonna la bière, nous
vimes ces petits végétaux continuer de croître et de se com-
pliquer d'articles. Dans le dernier, ils étaient presque tous
formés de quatre ou de cinq articles vésiculeux remplis de
globulins, et terminés la plupart par un bourgeon naissant et
par un ou deux autres bourgeons latéraux , ce qui annon-
cait que ces petits végétaux n'étaient point encore achevés, et
qu'il y avait chez eux une intention à la ramescence (pl. 2,
fig. 6). Parmi ces individus moniliformes , il s'en trouvait
beaucoup d’autres quise bornaient encore à un, deux ou trois
globules ; les uns étaient droits, les autres légèrement arqués.

Plusieurs fois nous vimes, comme M. Cagniard-Latour avait

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 113

cru l’observer deux fois, des globules, soit solitaires, soit fai-

. sant partie d’une tige moniliforme, émettre à l’extérieur, sous

forme de fusée ; une partie ou la totalité de leurs-globulins in-
térieurs.

Dans cet échantillon, nous apercûmes quelques filaments
plus ténus que les globules des petits végétaux de la Levüre;
les uns simples , les autres rameux , tubuleux, et contenant
de très-petits globules placés à la suite et à distance les uns
des autres (pl. 2, fig. 7). Ces filaments, qui appartenaient à
une espèce d’Æygrocrocis , étaient entièrement étrangers aux
végétaux de la Levüre.

Pendant cette longue et froide séance de nuit, qui avait
duré près de neuf heures, nous ne cessämes de dessiner et d’a-
voir l'œil fixé sur l’oculaire du microscope , tant cette obser-
vation avait d’attrait et nous paraissait riche en explications
sur le produit de la Levüre, et sur le rôle actif que ces mil-
liards de petits végétaux doivent jouer dans le phénomène de
la fermentation pendant leur courte mais très-énergique vé-
gétation. Il suffisait de regarder durant un quart d'heure les
bourgeons naissants pour les voir successivement atteindre le
diamètre qu'ils étaient destinés à avoir comme l’un des arti-
cles de la tige moniliforme.

. Rentrés chez nous, nous étions satisfaits de notre récolte,
mais il nous restait des regrets. Nos petits végétaux , pour les-
quels nous proposons le nom de Z'orula cervisiæ (1), n'étaient

(x) Nous n'ignorons pas que ces petits végétaux ne sont que le premier
état de ceux qui, n'étant point arrêtés dans leur végétation et qui peuvent
jouir de l’oxygène , constituent, en s'achevant et en fructifiant, le Myco-

T. XVII. 15

114 DE LA FERMENTATION

point achevés, ce que prouvaient les jeunes bourgeons dont ils
étaient terminés. Le brasseur, en finissant son opération, les
avait brusquement arrêtés dans leur végétation et mis dans le
cas de se désarticuler et de paraître sous la forme d’une Levüre
nouvelle, c’est-à-dire d'une masse composée d'articles globu-
leux dissociés, masse comparable à celle d’un tas de blé dont
chaque grain possède, comme individu, son centre vital de
reproduction.

Bien convaincus que ce qui s'était fait en grand chez le bras-
seur pouvait se faire en petit, nous préparämes, dans un bo-
cal, un territoire composé d’eau et de sucre dans lequelnous
semämes les globules de la Levure de bière (pl. 2, fig. 2); le
tout exposé à une température d'environ 25° cent. Cet ense-
mencement avait eu lieu le 3 novembre, à huit heures du ma-
tin ; le 5, vers la même heure, le liquide était en pleine fer-
mentation, et la plupart des globules germaient ou étaient en
végétation plus ou moins avancée (1). Le 6 ayant observé de
nouveau, au microscope, l’état de nos Zorula cervisiæ, nous
trouvâmes qu'un grand nombre d'individus présentaient des

derma cervisiæ, Desmaz., et, plus tard, le Penicillium glaucum (pl: 6,
fig. x, cec.)

(x) Lorsque la fermentation commence, des bulles gazeuses apparaissent
à la surface des petits morceaux de Levüre, formés de globules agrégés,
et comme ces bulles y restent plus ou moins de temps adhérentes , comme
autant de ballons, elles déterminent l'ascension de quelques-uns de ces
morceaux vers la surface du liquide, jusqu'au moment où, venant à les
abandonner, ils retombent de tout leur poids au fond du vase. C'est ce
que tous les chimistes, qui se sont occupés de fermentation à l'aide dela
Levüre de bière, ont observé.

té

ALCOOLIQUÉ ET ACÉTEUSE. 115

développements plus riches en articles que dans ceux de la
cuve du brasseur. Plusieurs se composaient de six ou de sept

_ articles et de rameaux latéraux formés de deux ou même de

trois globules (pl.3, fig. r,h, 1, L.) Tous végétaient encore,
car leurs extrémités étaient munies de petits bourgeons trans-
parents. Quoique plus compliqués en articles que ceux de la
brasserie, ils étaient plus maigres, moins pourvus de globu-
lins intérieurs, et, par conséquent, plus translucides. La cause
de cet étiolement nous parut être dans la différence des deux
territoires. Dans le nôtre, il n’était entré que du sucre, tandis
que dans celui du brasseur , indépendamment de la matière
saccharine, se trouvait encore le mucilage nutritif de l'Orge,
et, de plus, l'huile essentielle du Houblon qui pouvait avoir
agi comme stimulant sur le développement des Zorula.

Le 8, la fermentation cessa, et l'écume , soulevée par le
dégagement de l’acide carbonique , s’affaissa à la surface du
liquide dont l'odeur était celle d’une pâte aigre et la saveur
celle de l'acide de la reinette grise un peu échauffée. Ce liquide
ou ce territoire, entièrement épuisé par nos petits végétaux
qui, pour leur accroissement, en avaient absorbé toute la
matière nutritive, devint impropre à la fermeritation, et tous
les Torula, mourant de faim, se désarticulèrent et se préci-
pitèrent en Levüre nouvelle au fond du bocal. Encore ici,
nous n’eùmes que des végétaux incomplets, puisque, comme
on l'a vu, tous, au moment de leur dissociation, étaient en
train de pousser des bourgeons.

Si l'on met des globules vésiculaires de Levüre de bière

* dans de l’eau pure, ces seminules, ne trouvant point dans ce

milieu aqueux privé de sucre, le stimulant et la matière nu-
tritive qui convient à leur germination et.à leur développe-

15.

116 DE LA FERMENTATION
ment en Zorula, il n’y a point de fermentation ; elles y meu-
rent de faim, s'y décomposent, se putréfient assez prompte-
ment, et répandent une odeur infecte (1).

Pendant cette décomposition elles se vident de leurs glo-
bulins intérieurs, globulins qui en se mêlant à l’eau, la trou-
blent et la rende laiteuse. Les globules vésiculaires restants
sont alors plus transparents, et les globulins devenus libres

offrent un mouvement de fourmillement.

S VII.

De la bière terminée.

Dans l'épaisseur du liquide de la bière entonnée ou mise

(1) Il est très-remarquable que l'odeur fétide qui s’exhale des corps
organisés après leur vie d'association, n’a lieu qu'au moment où les or-
ganes élémentaires se rompent dans leurs propres éléments. Tant que chez
un animal mort les globules de ses diverses sécrétions, ceux de sa pulpe
nerveuse et autres, tant que ses fibres musculaires restent intacts dans
leur organisation individuelle, il ne s’exhale aucune fétidité. C'est ce que
nous avons observé tout récemment sur les laits morbides provenant des
vaches atteintes de la cocote. Les laits les plus viciés, les plus dégoûtants à
voir, et dont tous les globules déformés et précipités en masse au fond d'un
sérum altéré étaient bien évidemment morts, restaient tous parfaitement
inodores, même plus d'un mois après leur extraction du pis de la vache.
Ceux, au contraire, qui, arrêtés dans les voies lactées surirritées, y étaient
décomposés dans leurs globules morbides de manière à ne plus guère of-
frir au microscope que des globulins monadaires et fourmillants, répan-
daient l'odeur la plus infecte.

ALCOOULIQUE ET ACÉTEUSE. 117

en bouteille, vivent et croissent un grand nombre d'individus
de Torula cervisiæ ; mais, influencés par un milieu différent
de celui de la cuve à fermentation, ils subissent quelques
modifications de formes et de couleurs. [ls sont plus robustes,
un peu plus compliqués, plus rameux; leurs articles, légère-
ment verdûtres , sont ovoides, pyriformes ou quelquefois re-
marquablement allongés (pl. 3, fig. 3). Parmi eux se voient
des masses composées de globulins échappés des vésicules
de Lupuline, globulins qui, par la cuisson, ont perdu leur
mouvement de fourmillement (pl. 3, fig. 3 a a).

On obtient en plus grande quantité cette modification du
Torula cervisiæ , soit en faisant mousser la bière, ce qui les
fait monter à la surface, soit en les arrêtant sur un filtre.
Comme on le voit , en buvant de la bière, surtout de la mousse,
on avale des myriades de ces petits végétaux, et sans s’en
douter on boit et l'on mange tout à la fois. C’est donc à leur
présence qu'est due en grande partie la qualité nutritive,
l'onctuosité , ainsi que le filant désagréable que prend cette
boïsson en vieillissant. C’est encore à ces mêmes petits végé-
taux, véritables éliminateurs , dont les générations se succè-
dent rapidement , qu'il faut rapporter la cause de la longue
agitation ou fermentation de la bière et à la promptitude de
ce liquide à passer à l'acide et au gras : au premier de ces
états, par la partie sucrée éliminée et absorbée par les Zorula
cervisiæ , qui s’en nourrissent ; et au second par les nombreux
détritus de ces petits êtres végétaux morts de faim, au milieu
du liquide acide, faute d'aliments saccharins. Mais ici il faut
remarquer qu'il n’y a que les enveloppes maternelles qui pé-
rissent et non les globulins , ou la nouvelle génération qu'elles
contenaient , et qui, comme seminules, peuvent continuer de

118 DE LA FERMENTATION

végéter en Mycoderma cervisiæ (pl. 5, fig. 6), si on leur offre
un lieu, l’oxygène, et des aliments convenables à leur existence.

$ VIIL.

De la Levüre nouvelle.

Avant la découverte de M. Cagniard-Latour , on savait que
chaque cuvée de bière produisait 5, 6 ou” fois plus de Levüre
que celle employée dans la mise en levain. On savait que cette
augmentation en poids comme en volume variait suivant la
plus ou la moins grande quantité d'Orge employée, et sui-
vant la température et les mois de l’année ; mais l'explication
de la cause du produit et de ses variations ne pouvait être
positivement donnée. Aujourd'hui cette cause nous paraît
presque aussi simple, presque aussi naturelle que celle qui fait
qu'un grain de blé jeté dans un sol préparé pour le recevoir
peut, en s'y développant, s’y multiplier un grand nombre de
fois.

Si la cause du produit est la même dans les deux cas, si la
multiplication de part et d'autre est soumise au même mode
de développement végétal, si la séparation et l'isolément des
articles de latige moniliforme du Torula cervisiæ peuvent jus-
tement etrigoureusement être comparés à celle des grains de
blé détachés de l’épi , elle ne peut cependant offrir un chiffre
aussi exact, car on ne peut savoir la quantité de Levüre pri-
mitive produite dans le Moût, de même que l’on ne peut con-
naître celle qui reste dans la bière terminée. Mais il y a pro-

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 119

duit, et pour en donner la mesure approximative, nous dirons
que la cuvée sur laquelle nous avons fait nos observations
devait, comme nous l'avons déjà dit, produire 76 quarts ou
5700 litres de bière. La Levüre employée fut de 35 livres,
et celle recueillie après la fabrication, de 247 livres pressée,
ce que les brasseurs appellent de la Levüre sèche. Si l’on dé-
duit de ce produit les 35 livres jetées dans le Moût, il reste
un bénéfice de 212 livres de Levüre nouvelle.

Avant d'aller plus loin, nous croyons devoir faire remar-
quer trois choses qui touchent l’origine, l’organisation et la
physiologie des Torula cervisiæ ou petits végétaux de la
bière.

La première, dans ce qui concerne les trois sources ou les
trois modes de production : 1° l'origine primitive par trans-
formation des globulins du Périsperme de lOrge ; 2° celle que
l’on peut appeler par bouture, provenant des articles disso-

ciés des tiges moniliformes (la Levüre) ; 3° celle par les globu-

lins seminulifères qui s’échappent de l’intérieur des articles
vésiculaires. |

La seconde, qui vient à l'appui de l’origine primitive des
Torula cervisiæ , consiste dans cette remarque faite par les

brasseurs, que, plus la Trempe est nourrie d'Orge , plus la
bière achevée rend de Levüre, observation qui prouve le dé-

veloppement des globulins de l'Orge en globules de Levüre.

La troisième, non moins curieuse, est dans ce que les mois
de mars et d'avril, suivant quelques brasseurs, sont ceux de
l'année qui produisent la plus grande quantité de Levüre,
différence qui peut être d'un douzième ou d’un quatorzième.
Les mêmes matières et les mêmes quantités relatives étant
employées pendant ces deux mois, on est tenté d'admettre

120 DE LA FERMENTATION

que la cause de cette augmentation peut se trouver dans l’at-
mosphère, et de se rappeler que cette époque est celle où la
végétation extérieure fait effort, où elle montre une grande
énergie, et qu'alors on pourrait presque croire que les Z'orula
de la bière également influencés peuvent, dans leur dévelop-
pement, se composer d’un article de plus que dans les autres
mois de l’année. Mais ceci demande à être sérieusement
observé.

Se

Des Mycodermes de la bière.

A la surface du liquide, soit de la Trempe, soit du Moût,
soit de la bière achevée, exposée au contact de l'air, comme
de celle de tous les liquides qui contiennent en suspension
des globulins de matière organique susceptibles de végéter et
de s'étendre, ou, en d’autres termes, capables de fermenter,
on voit apparaître et se former peu à peu des pellicules cir-
culaires qui s'épaississent en membranes, puis en des fongus
gélatineux, toujours sans limites dans leur étendue et sans
formes autres que celle que leur donne le vase dans lequel ces
coagulums se forment par des additions successives de pe-
tits végétaux qui viennent s'y agglutiner ou s’y enchevètrer.
CDI ME)

Persoon ayant observé, sans le secours du microscope,
quelques-uns de ces coagulums qui s'étaient formés sur de
l'Oseille cuite renfermée dans des cruches, coagulums si com-

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 121

parables à une masse de Levüre, en fit un nouveau genre de
Champignon sous la dénomination de Mycoderma (1), et
cette première espèce fut désignée sous le nom d'ollare.
Quelques autres espèces ont été ajoutées depuis, soit par Per-
soon, soit par M. Desmazières (2). Faute d'observations exac-
tes et microscopiques, faute d’avoir suivi la méthode du votr-
venir, si féconde en explications, Persoon, en considérant
son Mycoderma comme provenant d’une seule seminule dé-

(x) Mycologia Europæa, 1822.

(2) Mycoderma mesentericum, Pers., qui se développe sur la liqueur
dans laquelle se trouvent des fruits abandonnés. Cette membrane, sou-
vent solide et épaisse, est d'un beau blanc soyeux en-dessus avec des im-
pressions ou des enfoncements. L'autre face, celle qui regarde la liqueur
et les fruits qui ont donné naissance à cette singulière Mycoderme, est
d’un vert sombre, gaufrée et recouverte d'une infinité de petits mamelons.
M. Lagenæ et M. Pergamenum, Pers.

M. Desmazières ajouta les espèces suivantes : Mjcoderma cervisiæ, Fleurs
ou Matons de la bière, M. Malti cervisiæ qui végète sur la Drèche de bière
ou marc d'orge, après avoir servi pour la trempe; M. Malti-juniperéni qui
croit sur la Drèche de Genièvre; M. Gluténis farinulæ croissant sur la vieille
colle de farine; M. vint, Vallot, considéré à tort, nous pensons, comme
étant semblable aux M. Lagenæ et Mesentericum de Pers. A toutes ces
espèces on aurait pu ajouter encore celle du lait, Mycoderma lactis, nob.,
et celle du vinaigre, connue sous le nom de Mère; celle du cidre”, celle
de l'encre, Hygrocrocis atramenti, Ag., etc., etc., c'est-à-dire, celles de
tous les liquides aqueux qui contiennent en suspension des globulins vifs
de matière organique, provenant par détrition de quelques corps organi-
sés, et susceptibles, sous ces nouvelles influences, de germer et de croître

en de petits végétaux de la famille des Mucédinées.

* Mycoderma malina ou H [ygrocrocis malina, Brébisson.

He XVII. 16

122 DE LA FERMENTATION

veloppée, comme un unique individu, comme ayant des for-
mes arrêtées, une étendue déterminée et une vie d'association
bornée, comme chez tous les corps organisés, commit une
grande erreur, puisqu'il ne sut pas voir que son prétendu vé-
gétal était toute une forêt de petits végétaux distincts, et qui,
tous, résultaient chacun d’une seminule particulière.

M. Desmazières, dans un Mémoire très-remarquable (1), en
voulant se rendre compte de l’organisation des Mycodermes,
de leur vitalité et de leurs moyens de reproduction, les étudia
avec soin dans leurs développements successifs et démontra
clairement dans une suite d'observations microscopiques,
que dans les Mycodermes il n'y avait point unité d’organi-
sation et de vie, et que la membrane mycodermique, exami-
née au microscope, était une agglomération, un troupeau de
petits individus, tous nés pour leur compte et qui, enfin,
n'avaient d’autres rapports entre eux que de vivre pêle-mêle
dans un lieu commun.

Si à cette époque, M. Desmazières, au lieu de croire avec
M. Gaillon que les petits êtres rameux et articulés qu'il ob-
servait étaient des Némazoaires, c’est-à-dire, le produit d’a-
nimalcules qui venaient s’ajuster symétriquement bout à
bout (2), avait dit : Les membranes ou coagulums des Myco-
dermes ne sont que des amas composés de globules et de ces

(x) Recherches microscopiques et physiologiques sur le genre Mycoderma.
Mémoire accompagné de figures, publié dans les Annales des Sciences na-
turelles, t. X, p. 42.

(2) Autant vaudrait dire qu'une antenne moniliforme de Capricorne s’est
formée d'articles qui préalablement se trouvaient répandus cà et là dans
l'espace.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 123

mêmes globules. plus ou moins développés en autant de
petits végétaux articulés, simples ou rameux ; amas très-ana-
logues à ceux des Levüres, qui ne sont elles-mêmes formées
que de globules vésiculaires et seminulifères susceptibles de
végéter dans l'acte de la fermentation, il aurait complété ses
belles observations, et serait arrivé par le chemin si sûr de
l'organisation et de la physiologie, dix ans avant M. Cagniard-
Latour, à prouver l’organisation et la végétation des Levüres.
Mais telle est la marche accoutumée des sciences que chacun
de nous ne peut apporter que sa faible part à la ruche
commune.

Nous pensons que, trop occupé du mouvement réel de
fourmillement que présentent les globulins très-ténus des
Mycodermes et des Levüres avant leur développement en
globules et la germination de ceux-ci en tigellules; que trop
partisan de la merveilleuse théorie des Némazoaires de son
ami Gaillon, M. Desmazières fut arrêté au milieu d’une
route qu'il était si capable de parcourir et de nous en mon-
trer si habilement la fin.

Nous allons maintenant faire connaître nos propres obser-
wations sur l’origine, la nature et le développement du
Mycoderma cervisiæ. Nous allons le décrire et le figurer dans
Moutes ses phases, telles qu’elles se sont déroulées sous nos
yeux armés du microscope, et nous allons y apporter d’au-
tant plus de soin que cette production a beaucoup de rap-

_ port avec celle de la Levûre qui la précède, dont elle ne
nous paraît qu'un développement plus achevé, dans lequel
s’est épuisée la propriété fermentescible (1), et surtout parce

(1) Nous pensons que les T'orula cervisiæ qui forment la Levüre de bière,

16.

124 DE LA FERMENTATION

que l'étude de ce Mycoderma peut servir à prouver l'orga-
nisation purement végétale de ses composants, et par là faire
disparaître la théorie, toute fabuleuse, des Némazoaires.

Si l’on expose au contact de l'air, comme nous venons de
le dire, soit de la Trempe, soit du Moût, soit de la Bière,
soit enfin un liquide capable de fermenter, on ne tarde pas
à voir apparaître à la surface de légères pellicules froncées,
d'abord isolées et circulaires, puis n'en formant plus qu'une
en se réunissant toutes, d’un blanc mat, puis soyeuses, enfin
d'un vert-glauque, poudreuses et gélatineuses au toucher.
(ps er):

Ces pellicules naissantes , vues au microscope, sont formées
par la réunion d'un nombre prodigieux de globulins exces-
sivement ténus, ponctiformes (1) et jouissant d'un mouve-
ment de fourmillement d'autant plus vif qu'ils sont plus petits.
Ces globulins, qui se trouvaient dans l'épaisseur du liquide
et qui ne s'élèvent à sa surface que pour y satisfaire à un
besoin d'air atmosphérique nécessaire à leurs développe-
ments, nous paraissent provenir de la même source que ceux
qui produisent la Levure, nous voulons dire des globulins
échappés du Périsperme de l'Orge qui, selon l’état différent
des milieux, subissent de légères modifications de formes
dans l'achèvement de leur végétation. À chaque instant de

ne conservent héréditairement leur propriété fermentescible que parce
que toujours on les arrête brusquement dans leur développement, qui
n'est jamais achevé lorsque se termine le travail d’une cuvée, tandis que,
au contraire, les petits végétaux du Mycoderma cervisiæ, ayant subi toutes
leurs évolutions, sont dans un état d'épuisement,

(Gi) = ou + de mill.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 125

nouveaux globulins s’élevant et venant à la surface du liquide,
s'il reste encore des places, ou se poser sous ceux de la veille,
la masse s’épaissit de plus en plus jusqu’à ce que le liquide
soit épuisé des globulins qu'il contenait. Les plus anciens,
en continuant de végéter, augmentent en diamètre et per-
dent, par cette augmentation, ce mouvement de fourmille-
ment qu'ils possédaient lorsqu'ils étaient très-petits (1). Ar-
rivés à la grosseur d'environ : de mill., ils sont vésiculeux,
remplis d'une fine granulation et, pour la plupart, s'ovalisent
ou s’allongent sous la forme d'un petit parallélogramme à
angles arrondis. Cette première période du développement
de ces petits êtres est comparable à celle des seminules en
général et des embryons encore contenus sous leurs enve-
loppes protectrices, c’est-à-dire, jusqu'au terme où tous ces
corps reproducteurs peuvent commencer à germer. Une fois

—————_——

(x) Plus les globules des corps organisés sont petits, plus ils montrent
de mouvement sous le microscope. C'est la même chose pour les filaments
végétaux ou animaux; plus ils sont ténus, plus ils sont susceptibles de se
mouvoir. Tels sont les cils vibratoires des animalcules infusoires. À me-

‘sure que le filament des Oscillaires s'épaissit dans les différentes espèces,

[8 mouvement diminue et cesse entièrement dans l'Oscillaire des murailles

(Lyngbra muralis, Ag.). Si de cette remarque on passe à celle que les

particules suffisamment réduites de tous les corps inorganiques sont d’au-

‘tant plus douées de mouvement qu'elles sont plus atomiques, on est porté

“à admettre que les particules élémentaires de tous les corps temporaires

possèdent la propriété du mouvement, propriété qui se perd à mesure

que les particules s'enchainent les unes aux autres dans la formation des

“corps où, forcément, elles restent immobiles, faute de l’espace nécessaire

pour se mouvoir. N'oublions pas que tous ces mouvements ne peuvent se

manifester que dans l'eau.

126 DE LA FERMENTATION

parvenus à l’état de seminule vésiculeuse, soit sphérique, soit
ovale, soit allongée, ces petits êtres germent ou poussent
sur un, deux ou trois points, des bourgeons plus transparents
que la vésicule maternelle. Lorsque la pousse, véritable gem-
mule, a lieu sur une seminule allongée en parallélogramme,
c'est toujours des angles arrondis qu'elle part. Dans tous les
cas, ces germinations prouvent que la seminule se compose
de deux vésicules emboîtées, car on distingue facilement que
le bourgeon perce une enveloppe extérieure et qu'il, n’est
véritablement que l'extension d'une vésicule intérieure. Ce
premier bourgeon ou ce premier mérithalle s’allonge plus ou
moins selon les individus, et de son sommet il se développe
un second article, puis successivement un grand nombre
d’autres semblables, mais très-variables dans leurs lon-
gueurs. Sur le sommet latéral des articles, rarement ailleurs,
il naît tantôt un et tantôt deux ou trois rameaux opposés et
composés d'articles comme la tige maternelle. En continuant
de croître ces petits végétaux finissent par se terminer en des
rameaux moniliformes disposés en ombellules et dont les
articles globuleux sont d’un vert-glauque. On a le Penicillium
glaucum entièrement achevé (1). Dans ces petits végétaux,
toujours d'une grande transparence, tout est creux, les se-

(x) Le développement du Mycoderma de la bière offre trois états assez
distincts : celui des pellicules mates, celui de ces pellicules devenues soyeu-
ses, blanches et byssoïdes, et celui où ces byssus se couvrent successive-
ment d'une poussière vert-glauque dans laquelle réside l'odeur de moisi.

Dans le premier état, il n'y a encore que des seminules globuleuses ag-
glomérées à la surface du liquide; bien peu ont commencé à germer.

Dans le second, les seminules germent dans leur territoire liquide,-et

. ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 127

minules sont vésiculeuses,, et les tigellules simples , articulées
ou rameuses qui en résultent sont tubuleuses, toutes con-
tiennent des globulins reproducteurs qui, dans les articles de
la tigellule, se développent quelquefois en globules sphériques
ou ovoïdes, et ‘toutes.se composent de deux enveloppes
emboîtées. (pl. 6, fig. g.) On voit souvent les tigellules, lors-
qu’elles sont composées d'un grand nombre d'articles courts,
se désarticuler avant de se terminer par les articles globu-
leux et seminulifères. Voici comment ces séparations s’opèrent :
L’enveloppe extérieure, qui est un, boyau continu, se flétrit

par un besoin d'oxygène élèvent dans l'air leur tigellule diaphane et sans
couleur. Ce n’est encore qu'un champ de blé sans épis.

Dans le troisième et dernier état, les tigellules s’achèvent en se termi-
nant par des ombellules composées de courts rameaux moniliformes et
d'un vert glauque. Ce sont les épis du champ de blé dont chaque article

-globuleux peut, concurremment avec les globulins naturels de la bière,
servir à reproduire le même, mucor.

Toute reproduction végétale est toujours produite par un article de tige
séparé de la plante à laquelle il a appartenu. Chez les végétaux simples
les articles des tigellules et ceux plus terminaux des mêmes tigellules que
lon nomme des Seminules ou des Sporules, parce que seulement ils sont
plus courts et plus globuleux que les autres, possèdent la même faculté
reproductive. Les uns et les autres de ces articles germent de la même
manière.

Chez les végétaux appendiculés on retrouve toujours la même structure
et le même mode de reproduction, par les articles inférieurs des jeunes
tiges et par ceux terminaux que l’on appelle des embryons.

Dans tous ces végétaux se présente encore un moyen plus fondamental
de reproduction : c'est celui du développement des globulins contenus
dans l'intérieur des organes élémentaires vésiculeux ou autrement dit dans
les vésicules des tissus cellulaires.

128 DE LA FERMENTATION

et se contracte sur les articles courts et intérieurs qu’elle
retient toujours , comme, pour nous servir d’un exemple, les
longs chapelets de saucissons distincts , mais retenus dans un
boyau commun que l’on voit chez les charcutiers. L'enveloppe
commune, en se rompant dans ses étranglements, permet aux
articles de s’isoler dans l’espace et de devenir, en ce nouvel
état, autant de boutures reproductives qui poussent sur un ou
sur plusieurs de leurs angles et reproduisent la plante par ce
nouveau moyen. (pl. 6, fig. o, », n'.) Nous pensons que c'est à
cetétat de désarticulation plus ou moins avancée des tigellules
et au pêle-méle de ces divers états avec les seminules primitives
de la bière, dans la masse mycodermique, qu'est due la théorie
erronée des Némazoaires, théorie qui consiste, comme nous
l'avons déjà dit, à croire qu'un très-grand nombre de végétaux
simples placés au début du développement de ce règne, ne
sont que des agrégations d’animalcules qui, las de leur indépen-
dance et de leurs mouvements particuliers , viennent s’ajuster
symétriquement et volontairement sous des formes rigoureu-
sement végétales. Si l’on se rappelle le moment où à l'automne
les parties constitutives d’un marronnier d'Inde se désarti-
culent et couvrent le sol, si l’on se souvient bien d’avoir vu
les pétioles communs et leurs folioles, les pédoncules des
fruits, les valves de l'enveloppe hérissée de ceux-ci et leurs
grosses graines jetées en désordre sur la terre pendant que
des parties semblables restent encore attachées sur l'arbre;
si nous ajoutons à cela, ce qui aurait lieu sous le climat de
l'Amérique du Sud, que les graines germent immédiatement
après être tombées, et qu'autour de l'arbre mère on ait des
individus de tout âge; si enfin on suppose que tout cela est
microscopique et peu connu, on pourrait croire aussi que les

’

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 129

parties isolées , en se plaçant bout à bout, composent l'arbre
tout entier, ce qui serait une erreur , car ici, comme dans les
petits végétaux des Levüres et des Mycodermes, le dévelop-
pement est extensif et rayonnant, tout en admettant cepen-
dant les greffes accidentelles qui peuvent avoir lieu , soit côte
à côte entre deux ou un plus grand nombre de tigellules,
soit entre deux articles bout à bout, puisque le propre de
tous les tissus organiques analogues et vivants est de se coller
physiologiquement dès qu'ils se touchent.

Voilà tout.ce que nous avions à dire sur l’organisation
végétale des petits mucors agglomérés et enchevêtrés en
masse dans le Mycoderma de la bière; nous avons tenu à le
bien faire connaître, parce que ceux des autres productions
mycodermiques sont, à quelques modifications de formes
près, tout à fait semblables, et enfin, parce qu'ils offrent la
plus grande analogie organique avec ceux qui produisent les
Levüres, quoique possédant très-faiblement la propriété de
faire fermenter.

Six.

De la Levüre produite par l’albumine de l'Œuf.

Sur l'invitation de M. Thénard , et d'après ses propres in-
dications , nous avons fait et répété plusieurs fois l'expérience
suivante :

Si dans 380 grammes d’eau on met un blanc d'œuf battu

et 60 grammes de sucre, et qu'après avoir filtré la liqueur
OX VIL. FAP 17

130 DE LA FERMENTATION

ainsi composée, on la verse dans un bocal bouché et surmonté
d’un tube deux fois courbé à angle droit, de manière à per-
mettre au gaz carbonique de se dégager à mesure qu'il doit se
former, on finit par avoir, à la température de 30 à 35 degrés,
une fermentation vineuse assez prononcée, et en même temps
une production de Levüre qui, après le travail de la fermen-
tation , se précipite au fond du bocal sous l'aspect d’un sédi-
ment ou d’une pâte d'un blanc fauve. En conservant ce
liquide, il ne tarde pas à se colorer successivement en jaune
clair, en jaune couleur de cidre ou de bière rouge, et en brun
assez foncé ; sa saveur est acide.

Voilà tout ce que l’on savait de ce produit, très-remar-
quable tant qu'on n’en connaissait pas l'origine et le dévelop-
pement purement végétal; voilà tout ce que l'observation
faite à l'œil nu pouvait apprendre.

Nous allons maintenant, à l’aide du microscope, faire con-
naître l’histoire de cette Levüre, qui, comme on va le-voir,
est, comme toutes les autres Levüres, comme tous les Hyco-
derma, un amas de petits végétaux plus ou moins développés
et plus ou moins désarticulés.

Si l'on se reporte au moment où la fermentation com-
mence, le liquide muqueux, par la présence du blanc de
l'œuf et du sucre, est soulevé par l'acide carbonique, qui,
restant encore quelque temps engagé à la surface, y forme
ce que l’on appelle l’écume. Cette surface, en devenant en
même temps mate, annonce qu'il y a production. En effet, si
l'on soumet au microscope une petite portion de cette sorte
de pellicule, on voit qu’elle est produite par des myriades de
globulins, fourmillants, jaunâtres et transparents, dont le
diamètre n’est guère au-dessus de + de mill. ( pl. 7, fig. 1.)

600

CAT

ALCOOLIQUE" ET! ACÉTEUSE. 137

De jour en jour ces globulins grossissent, perdent succes-
sivement leur mouvement , et finissent par atteindre le dia-
mètre de-+ de mill., qui est celui du globule de la Levüre
de bière et celui du lait avant leur germination. (pl 7, fig. 2,
3,4.)

Une fois arrivés à ce développement globulaire, on les voit
germer sur plusieurs points à la fois, s’allonger en de petites
tiges articulées, rameuses, souvent terminées par deux ou
trois articles plus gros, seminulifères , et réunies par touffes
plus ou moins étalées (pl. 7, fig. 6, 6). Ces petits végétaux,
que l'on ne peut rapporter qu'au genre Leptomitus (1), et
auxquels nous proposons comme nom d'espèce celui d’albu-
minis, ont beaucoup d'analogie avec une autre espèce que
nous à communiquée M. Biot, et qui s'était développée au
fond d'un flacon bien bouché, rempli d’eau distillée et dans
laquelle on avait mis une petite quantité de Dextrine.

La densité, le collant et le filant du blanc de l'œuf (2), prou-

- ; ‘

(x) Leptomitus ; Agardh, syst. xxiij et 49.

: (2) Le blanc d'œuf se concrète par la cuisson. En cet état, il devient
d'un beau blanc luisant à sa surface; sa consistance est assez ferme, élas-
tique et bondissante; sa cassure, comme celle du verre, a lieu dans tous
les sens indistinctement; elle est irrégulière et luisante. L’odeur qui se
développe par la cuisson n’a rien d’agréable, et la saveur a peu gagné; il
se divise sous la dent en grumeaux ; vu au microscope, il paraît jaunâtre
ebcomposé d’une pulviscule composée de globulins excessivement fins et
rapprochés les uns des autres. C'est un coagulum pulvisculaire, dont les
éléments sont retenus par une: force de: cohésion:
= Le jaune de l'œuf, plus richement organisé, se concrète aussi par la
cuisson. En ce nouvel état, il devient friable, perd un) peu de l'intensité
de sa couleur, et verdit souvent à sa surface; sontodeur etisa saveur se dé-

17:

132 DE LA FERMENTATION

vent qu'il est le composé d'un grand nombre de globulins
qui, en raison de leur excessive ténuité et de leur grande
transparence, sont invisibles au microscope; mais comme
ils existent véritablement, et que chacun d'eux à son
centre vital particulier, ils doivent, toutes les fois qu'on leur
offre un milieu et des aliments convenables, croître, devenir
bientôt visibles, et enfin, comme seminules, germer et se
développer en de petits végétaux rameux et articulés, comme
nous l'avons déjà dit pour ceux du Périsperme de l'Orge,
d’où résultent toutes les végétations de la Levüre et du Myco-
derma de la bière.

Se 0

De la fermentation acéteuse et alcoolique du Lait (pl. 8et9).

Le lait peut être considéré comme une sorte de Moût na-
turel, composé en grande partie d’eau, de sucre dissous et de
globules organisés, très-analogues , quant à la vie organique.

veloppent; il est agréable au goût et il sèche la bouche, ce qui le rend
difficile à avaler. Vu au microscope, on n'apercoit plus les globules nor-
maux, mais bien des masses plus ou moins polyédriques, de grandeurs
variables, — de millimètre environ, qui se séparent facilement les unes
des autres, sont d’un jaune de laiton et très-finement ponctuées. Sont-ce
des agglomérations de globulins très-ténus ? Dans tous les cas, c'est à leur
facile séparation qu'est dû le caractère de friabilité du jaune cuit, et à leurs
angles leur peu de coulant sur la langue.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 133

ou végétale, aux globules des Levüres tirés du règne végé-
tal, Moût produit par les tissus mammaires et sous l'influence
de la vie d'association de l'animal. Ce Moût lactifère contient
donc en lui-même tous les éléments nécessaires à sa fermen-
tation. Dans ses globules organisés se trouve sa propre
Levüre, et dès que ces globules, après s'être élevés à la sur-
face du sérum pour y jouir de l'oxygène (1), germent et
végètent comme ceux de toutes les Levüres, en cet état ils
séparent les éléments du sucre, absorbent et s’assimilent ceux
qui leur conviennent, en laissant les autres de côté, comme
l'alcool et l'acide.

Lorsque, dans un de nos derniers Mémoires, nous annon-
câmes la curieuse vitalité organique des globules du lait, et
leur végétation en une Mucédinée, nous savions que ce qui
se passait dans le lait était comparable à ce qui a lieu dans la
cuve du brasseur ; nous savions que c'était une véritable fer-
mentation qui commençait au moment de l'ascension des
globules, et dans laquelle la végétation de ces globules ou de
leurs globulins, étaitla cause de la décomposition du sucre na-
turellement formé dans ce liquide; mais, dans la crainte de
dévancer les nombreuses observations physiologiques que
nous faisions alors sur la fermentation en général, nous primes
un titre tout physiologique (2) au lieu de celui plus simple,

(x) Les globules du lait, comme corps organisés végétants, sont très-
susceptibles d'être influencés par l'électricité dans leur physiologie; aussi
remarque-t-on que par les temps d'orage, les globules, pressés de jouir
de l'oxygène et de végéter, montent quelquefois au Bout de 12 heures,
au lieu de 24, qui est le terme le plus ordinaire.

(2) Recherches microscopiques sur l’organisation et la vitalité des globules

134 DE LA FERMENTATION :

mais aussi plus vague : De la fermentation acéteuse ow al-
coolique du lait. Ces végétations du lait purent étonner, parce
qu’on ne savait pas encore cet axiome nouveau : Point de
décomposition de sucre, point de fermentation sans l'acte
physiologique d'une végétation.

$ XIL.

De la Levüre produite pax les jus de Pomme et de Raisin.

Ces Levüres, qui nous ont été remises fraîches et toutes
développées par M. Cagniard-Latour, présentaient toujours au
microscope, des végétations articulées et fort analogues aux
précédentes (pl. 4, fig. 1 et 2). Le jus de ces deux sortes de
fruits fut filtré par l’auteur. En cet état il était limpide et
n'offrait encore rien de visible au microscope. Mis ensuite
dans un flacon, dont le bouchon en verreservait de soupape, de
manière à laisser sortir le gaz carbonique pendant la durée de
la fermentation, ils y furent abandonnés séparément pendant
un mois environ, temps durant lequel les globulins, provenus
du tissu cellulaire parenchymateux des fruits, grossirent, devin-
rent visibles et se développèrent en autant de petits végétaux
assez semblables à ceux qui vivent dans la bière achevée.
Ces petits végétaux croissaient sous la forme globuleuse depuis

du lait; sur leur germination, leur développement et leur transformation
en un végétal rameux et articulé. (Compte rendu, séance du tr décem-
bre 1837, et Annales des Sciences naturelles, 2° série, décembre 1839.)

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 135

le globulin apercevable jusqu'au diamètre de —— millim.;
arrivés à ce développement, ils montraient deux vésicules
emboîtées dont l'intérieure contenait des globulins légère-
ment verdâtres. Quelques-uns étaient ovoïdes ou pyriformes.
Immédiatement après, ils poussaient un ou deux bourgeons
qui devenaient des articles pyriformes ou allongés. Ces végé-
taux , que nous supposons incomplets dans leurs développe-
ments , se composaient de trois ou quatre articles vésiculeux
et remplis de globulins d'autant plus colorés qu'ils font partie
des articles les plus anciens. Parmi les végétations du jus de
Pommes on voyait des rhomboèdres (fig. 2, aa) et une foule
d'autres très-petits cristaux en aiguilles, du genre de ceux que
l'on nomme des raphides et qui se trouvent réunis en faisceau
dans les vésicules du tissu cellulaire d’un grand nombre de
végétaux (fig. 2, bb).

$ XIIL.

© Du Mycoderme où de la Mère du vinaigre.

Mycoderma mini, Vazrot, Bibl. phys. écon. aug. 1822. Ulvina aceti, KüTz.

Si l’on expose à l'air et sous une température de 10 à 30°
une liqueur vineuse, elle devient acide. Si l’on ajoute à cette
liqueur une certaine quantité de Levüre quelconque, on
accélère, par cette addition, la fermentation, l’acidification
ou la conversion du vin en vinaigre.

! On sait que les vieux vins dépouillés de leur matière végé-
tale ou globulins vifs et suspendus, éprouvent peu ou point

136 DE LA FERMENTATION

la fermentation acide , à moins qu'on ne leur rende l’équiva-
jent de ce qu'ils ont perdu, comme des fragments de ceps de
vigne, de feuille, de grappe de raisin , de la Levüre, etc, On
sait aussi que si l’on ajoute du sucre dans une eau chargée de
gluten de froment, on détermine la fermentation acide et que
cette eau se convertit en vinaigre (1). On sait encore que le
moût de bière, qui est si riche en matière végétale provenue des
globulins du Périsperme de l'Orge, devient promptement acide.

Ce qui veut dire, en général, que tout liquide aqueux et
sucré qui contient des globulins vifs ayant appartenu à des
tissus végétaux ou animaux, est susceptible de fermenter et
produire, pendant le temps de la fermentation , des dévelop-
pements végétaux, lesquels étant amoncelés et agglutinés
paraissent à l'œil nu sous l'aspect de masses informes et gé-
latineuses appelées tantôt du nom de Levüre et tantôt du
nom de Mycoderme. Telle est formée la Mère du vinaigre. Des
globulins ayant appartenu au jus de raisin qui a servi pour
faire le vin, et ces globulins se trouvant pendant assez long-
temps en suspension dans ce liquide, y végètent sous l'in-
fluence de l'air et forment de petits végétaux ( pl. 7, fig. 11)
analogues à ceux que nous avons déjà décrits, puis s'entas-
sent et se feutrent faute d'espace, de manière à produire,
par la dessiccation, des masses solides , élastiques et toujours

(x) Si le gluten en dissolution n’est pas pur, s'il est mal lavé, de ma-
nière à ce qu'il contienne encore des globulins de fécule, il suffira de
fournir à ceux-ci le sucre comme pâture pour qu'ils végètent, et pour

que par cet acte physiologique ils décomposent le sucre et produisent le
mouvement de la fermentation acide.

«cs

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 137

très-hygrométriques ou très-avides de l’eau qu'elles ont per-
due (1). On voit quelquefois de ces Mères du vinaigre qui ont
des étendues considérables, et des formes qui étonnent au
premier abord. M. Bory de Saint-Vincent nous communiqua,
il y à quelque temps , une Mère qui représentait un boudin,
long de 22 pouces et d'un pouce de diamètre. Ce boudin,
qui avait l'aspect et la consistance de la chair, s'était formé
dans une seule bouteille remplie de vinaigre et s'était con-
tourné en spirale à mesure qu'il augmentait, par addition de
nouveaux petits végétaux. Si l’on ne savait pas combien était
grande la quantité de liquides interposés entre les compo-
sants de ce boudin mycodermique ,on ne devinerait pas com-
ment, dans une seule bouteille de vinaigre , il avait pu se
trouver assez de globulins organiques pour construire une
masse d’une aussi grande étendue.

Nous nous arrêterons à cette série d'expériences et d’ob-
servations, auxquelles nous pourrions en ajouter beaucoup

:

(x) Les prétendus filaments qui s’agitent et se meuvent en tous sens
dans cette fermentation, sont les anguilles du vinaigre, Vibrion aceti
(pl: 7. fig. 12 et 13). Il n'ya rien de plus amusant que de voir, au mi-
croscope, ces anguilles paître ou dévorer les petits végétaux monilifor-

… mes qui ent produit la fermentation en décomposant le sucre et en se

nourrissant de l’un de ses éléments. A la fin de la fermentation, animaux
et végétaux se décomposent dans leur vie d'association , tombent pêle-
mêle en une sorte de magma dans lequel restent intacts les œufs des uns
et les seminules des autres, ce qui fait qu’une portion de ce magma, qui
est la Mère du vinaigre , peut servir à une nouvelle fermentation par les
développements et la multiplication de nouveaux végétaux et de nouvelles
anguilles. î

M XVIL 18

138 DE LA FERMENTATION

d’autres, mais qui, se ressemblant toutes au fond, n’ap-
prendraient rien de plus sur l’objet principal de ce Mé-
moire.

Nous avons déjà dit que, sans certaines idées d’animalité
et d'agrégations organiques singulières, M. Desmazières ne
se serait pas détourné de la ligne savante sur laquelle il s'était
si habilement placé, et que cette route l'aurait indubitable-
ment conduit , longtemps avant M. Cagniard-Latour, à recon-
- naître la végétation des Levüres, qui n’est que le commence-
ment de celle des Mycodermes.

Cette découverte, destinée à déchirer le voile mystérieux
qui masquait le phénomène de la fermentation et de la pro-
duction des Levüres, ne pouvait se faire attendre bien long-
temps dans un moment où il se fait tant d'observations mi-
croscopiques.

M. Frédéric Kützing, très-accoutumé aux observations et
à l'étude des végétaux microscopiques, comme le prouvent
les excellents travaux qu'il a publiés, s’occupait à Berlin, en
même temps que M. Cagniard-Latour, à Paris, à faire des re-
cherches sur la Levüre de bière, sur la Mère du vinaigre, sur
le mucilage du Coing et autres produits analogues, et y dé-
couvrait, de son côté, que toutes les Levüres et tous les My-
codermes étaient des agglomérations fortuites composées de
tous les petits végétaux développés dans le liquide pendant
la durée du travail de la fermentation (1).

(1) Recherches microstopiques sur le ferment et la Mère du vinaigre,
et de quelques autres formations qui en dépendent. ( Répertoire de Chi-
mie, t. I, p. 257), et (Journal für praktische Chemie, Band. S.)

F

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 139

Un autre observateur, non moins capable, M. Schwann,
attestait le même fait.

Chercher à savoir lequel de ces trois savants est arrivé le
premier à découvrir l’organisation et la végétation des Le-
vüres, nous paraît une chose trop peu importante en elle-
même pour que nous nous y arrêtions un moment,et surtout
dans un temps où tant d’observateurs sont en action sur tous
les points du globe, et où il faut, vu les nombreux moyens de
publication, faire de la science de détail. Il nous suffit de sa-
voir, et nous en avons la conscience, que ces trois expéri-
mentateurs, sans se connaître , sont arrivés au même résultat.

Nous aimons à lire dans le Mémoire de M. Kützing le pas-
sage suivant qui est relatif aux petites querelles de priorité,
qui font perdre si inutilement le temps aux savants, et aux-
quelles le public, mieux avisé, ne prend jamais part : « Je me

. «félicite, dit-il, de voir mes expériences concorder avec celles

« de deux autres expérimentateurs dont les travaux ont été
« faits comme les miens, sans que chaque auteur ait eu con-
«naissance des résultats obtenus par ses antagonistes. Peu
“importe pour la science que l'honneur de la priorité appar-
«tienne à tel ou tel (1)! »

(x) Aujourd’hui, qu’en toutes choses, tout le monde pousse confusément
à la roue, il ‘h'est plus guère possible aux individus en action de prouver
qu'ils ont dépensé plus de force que leurs voisins pour atteindre tel ou
tel but. Il fait pitié de voir encore les chercheurs venir se chicaner sur
la priorité de la découverte d’une aspérité microscopique à la surface
d’un poil de souris. - ?

Tout à l'heure, par la force des choses, on sentira cette vérité : que la
science est l'œuvre du temps et l'œuvre de tous.

Chaque fois que l’on analyse sérieusement une découverte d'un genre

18.

140 DE LA FERMENTATION

Il est un point fondamental d'organisation sur lequel nous
ne sommes point d'accord avec M. Kützing, c'est celui de l'ori-
gine des petits végétaux qui constituent, par agglomération,
la masse des Levüres et celle des Mycodermes.

Ce savant micrographe pense que ces végétations sont le
produit d’une formation primitive ou spontanée, ce qui veut
dire d’une combinaison ou d’une agrégation de matière or-
ganique réduite à la division moléculaire absolue. Ce n’est que
comme cela que l’on pourrait entendre la spontanéité d’une
organisation vivante. Ces sortes d'organisations ne nous pa-
raissent pas possibles, surtout dans le cas des végétaux des
Levüres et des Mycodermes, comme de toutes les Mucédi-
nées qui , suivant nos observations, résultent chacune du dé-
veloppement partiel d’un seul des globulins dissociés des ma-
tières organisées qui ont été employées ou qui se trouvent
dans les liquides qui servent de territoires à ces végétaux in-
fusoires.

. La découverte des globules vésiculeux dont est composée la
Levüre debière, et l’organisation végétale de ces globules date
déjà de fort loin. Leeuwenhoek, bien certainement inconnu de
M. Cagniard-Latour, comme il l’est dela plupart des physiciens
et des chimistes, l’a démontrée en 1680 , dans un Mémoire

particulier, sous le titre : De la fermentation de la Bière (1).
L

quelconque, on la voit le plus souvent disparaître en entier ou être ré-
duite à fort peu de chose lorsqu'elle vient à être dépouillée de tont ce
qui était déjà inscrit dans la science.

(1) De fermento cerevisiæ. De bullulis aëreis ex eo propullulantibus, ut
et ex oculis cancrorum. Additur queæestio an animalcula in vasis obturats
nutriré ac vivere possint. Arcana nat. detect. Edit. Nov. 1722, tom. II,
pag. 1, fig. 1, 1, 1, et fig. 2, pag. ».

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 141

Cet auteur vit clairement que la Levüre de bière était formée
d'une agglomération de globules vésiculeux qui en conte-
naient de plus petits, et dont il fixait le nombre à six (pl.2,
fig. 3). Il n'eut aucun doute sur leur nature végétale, puisqu'il
pensaitqueces globules de Levüreprenaientleuroriginedeceux
dela farine, soit dublé, soit de l'orge, soit de l’avoine, soit du
sarrasin , ete. Mais cet habile naturaliste micrographe en resta
à cette première observation : il ne sut point que les globules
vésiculeux de la Levüre de bière étaient de véritables semi-
nules capables de germer et de végéter dans le liquide sucré
du Moût de la bière et d’être, dans la fermentation, les acteurs
de la décomposition du sucre et des produits qui en résul-
tent. Il ignora donc tout ce qu'il y avait d’intéressant à con-
naître pour arriver à la découverte de la cause toute physio-
logique des fermentations, car pour celle des globules, il s’agit
seulement de soumettre au microscope un peu de Levüre de
bière pour avoir à l'instant la conviction de leur existence.
Quant au groupement des globulins par six, dont parle
longuement Leeuwenhoek , nous n'avons jamais rien vu de

semblable dans nos observations répétées sur la Levüre de

bière. Si nous avons bien compris cet auteur, ces groupes se
seraient formés dans l’intérieur d’une vésicule maternelle qui,
ensuite, se serait dissoute.

Les végétaux infusoires qui résultent de la germination des
globules seminulifères des Levüres restent incomplets tant
qu'ils sont plongés dans l'épaisseur du liquide. Ils ne s’achè-
vent, ils ne se terminent que lorsqu'ils peuvent s'élever au-
dessus de la surface du liquide et lorsqu'ils parviennent à se
mettre en contact avec l'oxygène. C’est seulement sous l'in-
fluence bienfaisante de cet agent qu’ils fructifient par le dé-

142 DE LA FERMENTATION

veloppement terminal d'articles globuleux, seminulifères et
souvent colorés en vert-glauque. Tels sont ceux de la Levüre
de bière dans le Mycoderma cervisiæ (pl. 5, fig. m ), ceux des
globules du lait dans les crèmes abandonnées et en contact
avec l'oxygène, ou Mycoderma lactis, nob. (pl. 9, fig. ,1),
ceux des Levüres de fruits sur les confitures, ou à la surface
des fruits entiers.

C’est au défaut d'achèvement chez les petits végétaux dela
bière que l’on doit attribuer le maintien de la propriété inces-
sante des Levüres successives à produire la fermentation et
la décomposition du sucre. Plus développés ou terminés,
cette propriété vitale tendrait à s'épuiser de générations en
générations; elle finirait par s'éteindre. Nous n'aurions plus
que la ressource de la production primitive de cette Levüre,
celle de la transformation des globulins du Périsperme de
l'Orge. Mais grâce à cet arrêt artificiel de végétation , les ar-
ticles, en se désunissant après la durée de la fabrication de la
bière , ont encore toute leur énergie, et alors, à l'exemple des
boutures , à l’aide desquelles on perpétue les qualités des va-
riétés des grands végétaux, ils végètent de nouveau, et font
fermenter toutes les fois qu’on les sème dans un territoire
composé d’eau et dé sucre, ou pour parler un langage plus
rigoureux, toutes les fois qu’on les bouture ; car les globules
vésiculaires de la Levüre de bière ne sont encore véritable-
ment, pour la plupart, que des mérithalles de tiges désarti-
culées, ce qui fait qu'un grand nombre sont pyriformes.

C'est ainsi que la Canne à sucre s’épuiserait en matière
saccharine, si on laissait sa végétation s'achever par la
floraison et la fructification, au lieu, comme on le fait, de
l'arrêter longtemps avant ce terme, et si on ne la repro-

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 143

duisait que de graines au lieu de la bouturer. Par ce moyen
de culture nous contrarions la nature afin de perpétuer la
jeunesse de cette plante et sa plus grande énergie à sécréter
la matière sucrée.

Ce que nous avons dit relativement à l'achèvement semi-
nulifère des végétaux infusoires des fermentations sous l’ac-
tion de l'oxygène est une loi à laquelle sont soumis tous les
végétaux. Ceux qui croissent dans les eaux et qui ne sont que
de plus grands infusoires, ont également besoin, pour se
terminer par la fructification, de s'élever dans l'air atmos-
phérique. Ce besoin est si impérieux que, par exemple, un
Calitriche, privé d’eau, peut fleurir et fructifier quoique
n'ayant que deux ou trois lignes de longueur, tandis que,
s’il se trouve dans une eau profonde de quelques pieds, sa tige
s'allonge jusqu'à ce qu'elle ait atteint l'air sans l'influence
duquel elle ne peut fleurir et fructifier. C’est toujours par la
même raison que les végétaux terrestres et aériens tout à la
fois, lorsqu'ils sont enfermés ou trop avoisinés par d’autres
corps, dirigent leurs rameaux du côté où il y a le plus à pätu-
rer soit d'humus accumulé sur la terre ou dans la terre,
soit de lumière, d'oxygène et d’humus volatilisé, dans
l'atmosphère (1).

(x) De temps en temps on voit reparaître, comme sujet d'étonnement,
qu'un végétal puisse se développer dans l’eau et dans l'air seulemenÿ sans
l'assistance de la terre, et que dans ces deux milieux il puisse prendre
del'étendue et du poids , qu'il puisse même fleurir et fructifier, beaucoup
moins cependant que si l'une de ses parties était plongée dans un sol
meuble et riche de matière organique nutritive.

Pour qu'un végétal puisse vivre et croître autant que son espèce le

144 DE LA FERMENTATION

Les végétaux infusoires des Levüres agissent dans le liquide
sucré où ils vivent comme le font tous les autres végétaux

permet, il faut absolument que toutes ses parties soient plongées dans
un milieu formé d'air, de lumière et d'oxygène, comme stimulants, et
d'éléments provenant de la division moléculaire de matières organiques
comme nutritifs. Si maintenant on voit le végétal tout entier comme sil
était suspendu dans l’espace, si l'on sait bien qu'il absorbe plus ou moins
sa nourriture par tous les points de sa surface, si l'on sait bien que la
matière nutritive ambiante ne peut être absorbée, mais surtout assimilée, |
qu'à son plus grand état de division moléculaire, état dans lequel, comme
celle des miasmes, elle cesse d'être visible et dans lequel elle s'unit à l'eau
ou se volatilise dans les couches de l'atmosphère les plus voisines de la
terre, on ne s’étonnera plus de voir un végétal vivre tant bien que mal en
pâturant seulement dans l'eau et dans l'air, quoique dans ces deux
milieux la nourriture soitmoins abondante que dans le sol, qui, en raison
des lois de la pesanteur, en recèle une plus grande quantité. Mais dans
tous les cas, soit que la matière nutritive soit encore en fragments organisés
(fumier), ou dissoute et amoncelée en engrais délayé, soit qu'elle soit
moléculairement divisée dans l’eau ou dans l'air, cela revient au même,
puisque toujours la division moléculaire est une préparation nécessaire à
l'absorption et à l'assimilation végétale. Tout cela nous paraît avoir un tel
degré de simplicité que nous sommes toujours fort étonné de voir des
hommes, si capables d’ailleurs , revenir sans cesse sur une chose si simple
et si naturelle,

Une propriété d'une petite étendue, qui serait entourée de plusieurs
grandes propriétés, dont les propriétaires seraient prodigues d'engrais,
pourrait se couvrir d'assez bonnes récoltes nourries par l'atmosphère
dans laquelle se trouverait à l'état volatil l’excédant de l'engrais employé
par les voisins. Ce serait bien un engrais qui ne coûterait rien au petit
propriétaire du centre, mais il aurait coûté à ceux environnants qui l'au-
raient acheté, Ce sont ces mêmes engrais volatilisés, inappréciables dans
l'atmosphère, même aux plus forts grossissements de nos microscopes,

#

ÉEmE dpi pe

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 145

dans le milieu où ils se trouvent plongés. Dans tous les cas,
il y a toujours décomposition et triage des matériaux environ-
nants , il y a succion, absorption et assimilation des parties
qui conviennent à l'organisme et rejet et abandon de celles que
repousse l'organisation tissulaire. D’après cela on peut dire
que tout espace terrestre, aquatique ou aérien, occupé par
des végétaux vivants, offre une fermentation générale et in-
cessante.

En déposant ou en accumulant la matière saccharine dans
les fécules des Périspermes ou, à défaut de ceux-ci, dans
les épais cotylédons qui ne se développent pas dans la germi-
nation (1), la nature a prévu aux premiers besoins de l’alimen-
tation des plantules. Les bourgeons, qui ne sont que des

.qui s'élèvent assez pesamment dans l'air, à l’aide de la chaleur, au-dessus des
marais remplis de détritus végétaux ou animaux et quel’onnomme miasmes ;
ce sont, disons-nous, ces engrais volatils qui, comme matière organique,
sont nutritifs pour les végétaux, les favorisent dans leurs développe-
ments, tandis qu'ils sont funestes à l’homme ; qu'ils tuent sous les
symptômes de la fièvre jaune.

(x):Ces premières feuilles de la plantule, qui ne sont point des mamelles
pourvues de vaisseaux mammaires destinés à sécréter et à charrier le lait
nourricier de l'embryon, comme plus d'un botaniste l'a avancé, dans
l'intention de rendre la science plus aimable ou plus poétique, ces feuilles
ayant acquis tout le développement dont elles sont susceptibles, se flétris-
sent, meurent, se décomposent en véritable fumier ou en engrais, et,
en cet état de décomposition, servent à la nourriture de la. plantule,
comme le font les feuilles de l'arbre qui, tombées sur le sol, pourrissent
autour de lui et le nourrissent comme le ferait toute matière organique
étrangère, comme, enfin, nous pourrions nous nourrir momentanément
de l'un de nos membres.

MEVENIE. È 19

146 DE LA FERMENTATION

embryons qui, comme des enfants paresseux , au lieu de s’en
isoler et de se suflire, restent entés sur leur mère, sont ap-
provisionnés de la même manière, ainsi que tous les jeunes
tissus, à mesure que la masse végétale s’étend en rayonnant
sur tous les points.

Si l'on a présent à l'esprit qu'une masse tissulaire est une
agglomération d'individus (1) élémentaires vésiculeux ou
fibreux, on comprendra que chacun de ces petits êtres, placés
au milieu de la matière saccharine délayée, décompose cette
matière pour son propre compte et qu'il se nourrit absolu-
ment comme le font leurs analogues, les petits végétaux des
Levüres, Il y a donc, où la végétation s'accroît, fermentation
et décomposition du sucre, comme dans les fermentations
ordinaires.

CONCLUSION.

Toutes les expériences et toutes les observations physio-
logiques que nous avons faites, dont une partie seulement
se trouve consignée dans ce Mémoire, ont servi à nous
prouver :

1° Que toutes les Levüres naissent ou tirent leur origine
des tissus organiques d’où elle s’isolent, après la vie d’asso-

(x) C'est comme cela que nous entendons qu'un végétal est une indivi-
dualité composée, qui jouit d'une vie d'association formée d’une prodi-
gieuse quantité de vies individuelles , dont le centre existe dans chaque
globulin du tissu cellulaire et dans chaque fibre vers son extrémité
croissante.

ALCOOLIQUE ÆT ACÉTEUSE. 147
ciation (1) de,ces tissus, sous forme de globulins souvent invi-
sibles au microscope au moment de leur dissociation, comme

(1) La pluralité d'individus, le plus souvent microscopiques, et, par
conséquent, la pluralité de vies particulières qui servent, par aggloméra-
tion, à constituer l'individu composé et la vie d’association chez les
végétaux et les animaux, est un fait général dont la preuve se trouve par-
tout. Ce fait est en rapportyavec celui, non contesté, de la formation
des masses inorganiques dans lesquelles il y a toujours agrégation de
corps plus petits. Dans la division organique des individus constitutifs ,
lé physiologiste s'arrête au globulin le plus ténu que le microscope puisse
faire apercevoir, et il faut que ce globulin soit doué des attributs fonda-
mentaux de la vie organique qui sont : l’absorption, l'assimilation, l’ac-
croissement déterminé et souvent la reproduction. Nous reviendrons en

temps et lieu sur cette vérité importante, sans laquelle l'organisation et

la vie ne peuvent être que très-incomplétement comprises.

Si dans cette division on procède du plus simple au plus composé, du
Globulin monadaire et élémentaire des masses tissulaires organiques jus-
qu'aux Hommes agelomérés en sociétés, on trouvera l’organisation mu-
queuse et la vie qui l'imprègne dans cinq états bien distincts, dus à des
conglomérations successives des plus simples aux plus composées.

* Celui du Globulin monadaire, microscopique, le plus ténu possible,
jouissant au degré le plus simple (par rapport à nos moyens de percep-
tion) de la vie organique individuelle et du mouvement. Non que nous

pensions que ce Globulin ne puisse être encore le composé de Globulins
plus ténus.

2° Celui qui résulte de l'association, par contiguité, de l'organisation
et de la vie particulière des Globulins dans la formation des organes
pleins ou creux, globuleux ou vésiculeux, fibreux ou tubuleux qui ser-

vent à la TANT “e, masses organisées.

Dans ces organes, constitués par le rapprochement d'un grand nombre

de Globulins monadaires qui n'ont perdu de leur vitalité organique ,et

19.

.148 | DE LA FERMENTATION

ceux, par exemple, de l’Albumine de l'œuf, du jus filtré de
raisin, de pomme, de prune, de groseille, etc., qui n’appa-
raissent que quelque temps après à la surface des liquides
sucrés, sous la forme de légères pellicules composées de la
réunion d'un nombre prodigieux de globulins qui n’ont guère
alors qu'un 800" de millim., et qui, en raison de cette ex-
trême ténuité, jouissent d’un mouvement de fourmillement
bien prononcé.

2° Que ces globulins, doués chacun d’un centre vital
particulier, sont autant de corps producteurs , autant de se-
minules de diverses espèces de Mucédinées qui n’attendent que

individuelle que le mouvement de locomotion, se trouve sensiblement
l'organisme et la vie d'association.

3° Celui qui existe dans la réunion des deux précédents chez les orga-
nes composés et ayant des fonctions vitales particulières à remplir, soit
dans le végétal, soit dans l'animal, tels, par exemple, que le cœur, le
poumon, l'estomac, etc.

4° Celui, toujours plus composé, dans lequel on reconnaît l’organisa-
tion et la vie d'association dans un végétal ou dans un animal plus ou
moins complexe,

5° Celui enfin, plus composé encore, que l'on remarque lorsque les
Hommes s'agglomèrent en corps et que dans cette agglomération chaque
individu composé confond sa vie d'association avec ne des autres. De là
cet esprit de corps si connu etsi permanent tant qu'on n'en dissocie pas les
éléments. Cette dernière vie d'association n'aurait pas lieu si les Hommes,
pleins de leur vie d'association particulière, n'étaient que simplement
rapprochés; dans ce cas il ne s’établirait pas plus de liaison, pas plus d'u-
nité vitale qu'entre les cailloux roulés du bord de la mer. C'est le cas

d'un peuple dont les individus s'isolent et ne s'occupent que de leur bien-
être particulier.

“

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 149

des milieux convenables à leur nature pour se développer, ce
que leur offrent toujours l’eau, le sucre, une certaine tem-
pérature et le contact plus ou moins grand de l'air et de
l'oxygène.

3° Que tous ceux que nous avons eu l’occasion d'observer
n'ont commencé à germer qu'après avoir atteint l’état d’un
globule vésiculaire du diamètre de = de millim., époque à

100

laquelle ils poussent leurs tigellules articulées, simples ou
rameuses.

4° Que les Levüres produites, soit par les globules vési-
culaires primitifs dont nous venons de parler, soit par la
désarticulation de ceux dont se composent les tigellules,
paraissent assez semblables, en ce que toujours elles sont des
masses sèches ou molles composées, par simple aggloméra-
tion, de seminules reproductives, sphériques, ovoides ou lé-
gèrement pyriformes ; qu’elles ne diffèrent que par leur qualité
ou leur propriété à faire fermenter plus ou moins activement
le liquide sucré dans lequel elles se trouvent plongées ; que
ces masses de Levüres , comme corps reproducteurs végétaux,
sont comparables à un tas de blé, de millet ou de toutes
autres menues graines.

5° Que comme toutes les Levüres se ressemblent sous le
rapport de leur organisation végétale, et sous celui du rôle

Que ces petits végétaux jouent, comme principaux acteurs,

dans l'acte de la fermentation, nous allons seulement nous
-occuper de la Levüre de bière, parce que tout ce que nous

en dirons s’appliquera plus ou moins à toutes les autres es-

pèces.
6° Que les études microscopiques que nous avons faites
du Périsperme de l'Orge (pl. 1, fig. 4) nous ont amené à

150 DE LA FERMENTATION

reconnaître que les très-petits globules de la fécule, et peut-
être les nombreux globulins échappés des gros globules cre-
vés (fig. 5), étaient la source ou l'origine de la Levüre de
bière, et de toutes les végétations qui résultent successive-
ment, et par voie de générations, des globules seminulifères
de celle-ci, c’est-à-dire, depuis la Levüre primitive du
Moût, jusqu'au Mycoderma cervisiæ le plus achevé (pl. 5,
fig. 8, mn).

7° Que les globulins provenus du Périsperme de lOrge,
ayant déjà végété et grossi pendant le travail de la décoction
ou de la Trempe, se trouvent, dans ce liquide, assez dévelop-
pés, pour pouvoir être considérés comme de la Levüre nou-
velle et primitive. En continuant de la même manière, ils
sont bien plus nombreux dans le Moût. En cet état, ce sont
de véritables seminules vésiculaires, remplies de globulins
très-vraisemblablement reproducteurs de l'espèce, seminules
qui maintenant n’attendent plus que l’occasion de germer et
de végéter en une Mucédinée.

On peut demander ici comment les globules seminulifères
de la Levure ont pu n'être pas détruits par l’ébullition du
Moût, qui a duré plusieurs heures, et pendant lequel temps,
au contraire, ils se sont multipliés. Le fait existant ne né-
cessite point de réponse. Cependant, nous dirons que les se-
minules des Champignons que l'on fait bouillir n’en sont
nullement altérées, et qu’étant ensuite versées avec l’eau sur
le territoire qui leur convient, elles y germent parfaitement et
abondamment. Toutes les seminules doivent être dans ce cas.
Les globules vésiculaires du lait restent toujours intacts après
avoir bouilli.

8” Que si l’on abandonne à lui-même ce Moût de bière,

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 15I

composé d'eau, de matière mucilagineuse ,.de sucre, de semi-
nules globuleuses de Levüre, de l'huile essentielle aroma-
tique ou principe amer de la Lupuline du Houblon, et des
globules morts de cette dernière (pl. 1, fig. 14), ce Moût fer-
mente faiblement, il y a indolence dans l’action, le sucre se
décompose lentement, l’alcoolisation se fait incomplétement,
etl’on a une mauvaise bière qui tourne très-promptement à
l'acide, parce que le nombre des décompositeurs n'est pas
assez considérable.

9° Que si au nombre des seminules primitives de la
Levüre naturelle, qui se trouve dans le Moût, on en ajoute

une certaine quantité d’autres, obtenues de la récolte précé-

dente, c’est-à-dire, d’une des dernières cuvées, à l’aide de ces
nombreux auxiliaires (pl. 2, fig. 2) le travail de la fermenta-
tion est prompt, énergique; sept ou huit heures suffisent , le
gaz acide carbonique se dégage des petits végétaux et s'élève
abondamment sous forme de bulles et d’écume, et le sucre
bientôt converti, en grande partie, en alcool, la hièse dans ce
cas peut être de bone qualité.

Que cette addition de Levüre, qui consiste en des milliards
de seminules, est un véritable ensemencement dans un ter-
ritoire Peticalier qui est le Moût.

10° Que les nouvelles seminules , versées dans la cuve à
fermentation et réunies à celles qui s'y trouvaient déjà,
germent et se développent en autant de petits végétaux
* moniliformes , composés de cinq ou six articles, avec une
tendance à Là ramescence (pl. 2, fig. 6). Que la durée de
l'existence de ces petits végétaux subordonne celle de la fer-

mentation, de manière à ce que la première qui précède

est la cause de la seconde. Ce qui veut dire qu’au moment

152 DE LA FERMENTATION

Lu

où la végétation cesse le mouvement s’apaise, tombe et s’é-
vanouit, comme un feu de paille qui manque d'aliment.

11° Que l'existence, bien reconnues*aujourd'hui, des in-
nombrables Torula cervisiæ, dont la Levüre offre les semi-
nules agglomérées en pâte, explique très-simplement le revenu
considérable de la Levüre à chaque fermentation, la cause
du mouvement et de la chaleur, la décomposition du sucre, la
production de l'alcool et de l’acide carbonique, l’augmenta-
tion incessante de la Levüre dans chaque cuvée ou à chaque
récolte par la multiplication des nombreux individus, celle
de leurs articles globuleux, dissociés ou désarticulés, mode
d'augmentation ou de multiplication comparable à celui de
tous les autres végétaux.

19° Que toute fermentation étant l'effet d’un acte vital
dû au développement d'un nombre considérable d'individus
organisés, le plus souvent végétaux, mais aussi quelquefois
animaux, qui, dans le liquide, jouent le rôle de divisateurs,
ne peut avoir lieu sans la présence d’une matière organique,
c’est-à-dire, sans la présence de globulins dissociés d’une
masse de tissu , ayant fait partie d’un végétal ou d’un animal,
ou, ce qui revient au même, d'une portion de Levüre, puis-
que celle-ci n’est composée que d’une agglomération de glo-
bules désagrégés de la tigellule articulée des Torula après
leur vie d'association, et de ceux provenus du Périsperme de
l'Orge précédemment employé. |

130 Que les petits végétaux Zevériens, soumis aux lois
de l’organisation, ont besoin pour se nourrir et se dévelop-
per de la pâture que leur offre l’une des parties du sucre,
sans laquelle substance ils meurent de faim et se décompo-
sent chaque fois que, plongés dans l’eau pure, ils sont privés
de stimulant et de nourriture. -

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 153

14° Que par fermentation on doit entendre : association
composée d’eau, de sucre, de corps vivants se nourrissant et
se développant, par absorption , de l’une des parties du sucre,
et en isolant, soit l'alcool, soit l’acide acétique; action toute
physiologique qui commence et finit avec l'existence des in-
fusoires végétaux ou animaux qui la déterminent, et dont la
vie ne cesse que par l'épuisement total de la matière saccha-
rine et nutritive. C’est alors que mourant d’inanition et ne
pouvant plus se soutenir dans l'épaisseur ou à la surface du
liquide, on les voit se précipiter les uns sur les autres et
s'entasser au fond du vase sous forme de lie mucilagineuse,
de sédiment ou de Levüre.

159 Que toute fermentation alcoolique ou acéteuse n’a pu
être produite jusqu'à ce jour que par la présence de globu-
lins organiques, vivants, capables de végéter dans le liquide
sucré, et jamais par les matières inorganiques essayées; ma-
tières qui, étant ajoutées aux globulins vifs des Levüres,
peuvent, seulement, ou rester neutres, comme la gomme ou
“de la poussière de marbre, ou agir comme stimulants pouvant
servir à relever de leur indolence les globules de Levüre, ou
enfin à les détruire quelquefois complétement, comme le font
les acides plus ou moins concentrés qui, comme l’on sait,
en tuant les acteurs vivants arrêtent toute action fermentante.

T. XVII. 20

A à à Sn AR RDA DA VALEURS AAA LED SALLE LE VOLE LRU LE LE LA LE VUE LA LE LE LA LOUE LA LES A LELT LE LEUR LDEILS VAR LEE LE VUE LAS LESSLR LAS

SUPPLÉMENT.

LEVURES PRODUITES PAR LE JUS FILTRÉ DE LA PULPE
DE DIVERS FRUITS.

Par le mot pulpe on entend le tissu cellulaire charnu , mou
et aqueux du Sarcocarpe ou Mésocarpe du Péricarpe de cer-
tains fruits murs. Ce tissu cellulaire, très-abondant dans la

« pêche et tous les fruits à noyaux , dans la Pomme et la Poire ,
dans l'Orange, dans le Raisin, etc., est le mêmeque celui, sou-
vent si mince, qui forme l’épaisseur d’une feuille. Composé
partout d’une simple agglomération de vésicules maternelles
contigués , toujours remplies de globulins plus ou moins dé-

_veloppés, plus ou moins colorés, doués individuellement d’un
centre vital particulier, il n’est pas étonnant que ces globulins,
une fois libres et isolés de l'organisation composée et de la vie
d'association du végétal, puissent, étant placés dans un milieu
convenable, végéter et se transformer , sous ces nouvelles in-
fluences , en une Mucédinée filamenteuse et articulée.

Il n’est pas étonnant de voir que toutes les Levüres capables
de faire fermenter, et de décomposer la matière saccharine,
doivent toutes appartenir au règne organique et être des ag-

|
EE

156 DE LA FERMENTATION

glomérations de globulins vivants, dissociés des masses tissu-
laires, soit d'un végétal, soit d’un animal après la vie d’asso-
ciation.

On dira peut-être que le jus filtré de la pulpe d’un fruit
mûr est réduit à un liquide simplement laïteux , mais dans le-
quel les plus forts grossissements du microscope sont souvent
insuffisants pour déceler les globulins excessivement ténus
qui ont traversé le filtre et qui, suspendus dans l’eau, en
troublent la limpidité. À à

Ce sont ces globulins si ténus et par conséquent si trans-
parents qui, lorsqu'on les abandonne dans leur eau sucrée,
croissent, deviennent vésiculeux en produisant d’autres glo-
bulins dans leur intérieur, germent ensuite, végètent en fila-
ments mucédinés, décomposent le sucre , et sont la cause de
tous les effets qui constituent ce que l’on appelle la fermen-
tation alcoolique.

5 1. Leyüre de Péches.
Jus blanchätre, légèrement acide.
Vue au microscope.

Globules nombreux , isolés, sphériques, gradués depuis le
globulin punctiforme jusqu’au 100° de millimètre. Les moyens
et les plus gros devenus vésiculaires et remplis d’une nouvelle
génération de globulins. Épaisseur de la vésicule mater-
nelle indiquée par un double cercle. Mouvement brownien
chez les globulins extérieurs les plus ténus.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 157

2. Levtre de Prunes.

Jus d’un jaune ambré. Odeur légère de Séné. Saveur acide
assez prononcée. Fermentation lente qui a duré quatorze mois.
Dépôt de Levûre couleur terre de Sienne.

' Vue au microscope.

Globules nombreux , isolés, les uns sphériques, les autres
ovoïdes, gradués depuis le globulin punctiforme jusqu’au
150° de millimètre. Les plus gros montrant un centre lumi-
neux qui indique la vésiculation commençante. Point encore
de globulins intérieurs. Mouvement brownien chez les plus
petits globulins extérieurs. Formation, parmi tous ces glo-
bules, de gros cristaux agglomérés en sphéroïdes rayonnants.
Quelques-uns isolés ou seulement groupés par deux ou trois.

3. Levire de Cerises.

Jus. transparent. Odeur de Séné. Saveur légèrement acide.
Levûre déposée rougeûtre.

Vue au microscope.

- Globules nombreux , les uns sphériques ; les autres ovoïdes,
pyriformes , d’autres allongés et ayant poussé, par bourgeon,
un second article ; tous formés d’une vésicule mince et rem-
plie d’une nouvelle génération de globulins bien prononcés.

158 DE LA FERMENTATION

Gradués depuis le globulin punctiforme et fourmillant jusqu’à
un 60° de millimètre.

4. Levüre de Fraises.

Jus transparent. Odeur de Séné. Saveur très - légèrement
acide. Levüre déposée d’un noir ardoisé, violacé.

Vue au microscope.

Globules nombreux, les plus petits punctiformes et four-
millants, les moyens sphériques et commencant à se vésicu-
liser, les plus développés ovoïdes , allongés, vésiculeux , quel-
ques-uns ayant poussé un article terminal, contenant dans
leur intérieur une nouvelle génération composée de deux ,
trois ou quatre globulins, gradués depuis le globulin puncti-
forme et fourmillant jusqu’au 100° de millimètre.

5. Levüre de Framboises. :

Jus légèrement teint de rose ou de violâtre. Odeur un peu
framboisée. Saveur légèrement acide et framboisée. Levüre
déposée violacée.

Vue au microscope.

Globules nombreux, sphériques , ovoïdes, pyriformes, al-
longés , vésiculeux, jaunâtres, contenant peu de globulins,
gradués depuisleglobulin punctiforme et fourmillant jusqu'au
100° de millimètre.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 159

6. Levire de Cassis.

Jus rougeâtre. Odeur faible, agréable. Saveur légèrement
acide. Levüre déposée d’un gris violacé.

« Vue au microscope.

Globules nombreux, les uns punctiformes et fourmillants ,
les autres plus développés, sphériques, ovoides , pyriformes,
simples ou ayant poussé des bourgeons terminaux , tous vé-
siculeux et contenant une nouvelle génération de globulins.
Ils sont gradués depuis le globulin punctiforme jusqu’au 100°
de millimètre. |

Cette Levüre offre une particularité remarquable qui con-
siste dans la présence d’un bon nombre de gros globules vé-
siculaires, remplis de globulins bien distincts, et dont le dia-
mètre est d'environ un 30€ de millimètre. Elle présente en
outre un grand nombre de cristaux aciculaires , d’épaisseurs
et de longueurs variables , les uns isolés, les autres groupés
en sphéroïdes rayonnants, d’autres en forme de pinceaux op-
posés.

7. Levüre de Groseilles rouges.

Jus rose. Odeur de Séné. Saveur acide assez prononcée. Le-
vüre déposée rose clair.

1 Vue au nucroscope.

Globules nombreux, les uns punctiformes et fourmillants,

160 DE LA FERMENTATION
les autres sphériques, ovoides, pyriformes, vésiculeux, nette-
ment arrêtés dans leur contour , marqués du double cercle
qui indique l'épaisseur de la vésicule, et remplis d’une nou-
velle génération de globulins. Gradation depuis le globulin
punctiforme jusqu’au 100° de millimètre.

8. Levüre de Groseilles à maquereau.

Jus blanchätre. Odeur légère de Séné. Saveur légèrement
acide. Levüre déposée blanche.

Vue au microscope.

Globules seminulifères, nombreux, sphériques ou légère-
ment ovoides , transparents, à peine vésiculisés , gradués de-
puis le globulin punctiforme et fourmillant jusqu’au 150€ de
millimètre.

9. Levure debaies de Sureau.
Jus roussâtre. Odeur de Séné. Saveur légèrement acide.
Vue au microscope.

Globules seminulifères, nombreux , sphériques, transpa-
rents, très-vésiculeux , épaisseur de la vésicule marquée par un
double cercle, remplis de globulins très-distincts. Gradation
depuis le globulin punctiforme, fourmillant, jusqu’au 100° de
millimètre.

CetteLevüre est remarquable en ce que, parmi ces globules,

ALCOOLIQUE El ACÉTEUSE. 167

il s'en trouve bon nombre qui, sans gradation, ont un dia-

mètre plus d’une fois plus grand, de millimètre.

o

10. Levure du Melon.

Jus jaunätre. Odeur de Séné. Saveur légèrement acide et
framboisée. Levure déposée d’un blanc de lait.

Vue au microscope.

Globules seminulifères , peu nombreux, diaphanes , peu
consistants , sphériques , ovoides ou allongés , gradués de-
puis le globulin punctiforme, fourmillant et excessivement
multipliés jusqu’au 130€ de millimètre. Dans cette Levüre très-
pauvre, il se forme des agglomérations :sphéroïdes ou dis-
coïdes composées des globulins les plus ténus. Les seminules
de ces dix espèces de Levüres , obtenues des vésicules du tissu
cellulaire du fruit d'autant d'espèces différentes, nous furent
successivement remises par M. Cagniard-Latour; elles étaient
contenues, avec leur eau sucrée de végétation, dans des fla-
cons bien bouchés.

Toutes avaient végété plus ou moins, sous la forme d’une
vésicule globuleuse ou allongée , toutes étaient parties d’un
globulin de la plus grande ténuité possible, toutes conte-
naient une nouvelle génération de globulins. Un petit nombre
avaient germé extérieurement de manière à produire , par
- bourgeon , un second article. Cette végétation peu avancée, à
cause du défaut d’air et d'oxygène, avait cependant suffi pour
produire une légère fermentation acéteuse, et par conséquent
la décomposition d’une petite quantité de sucre.

D XVIL. 21

162 DE LA FERMENTATION ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE.

Mises en contact direct avec l'air et l'oxygène, toutes les se-
minules de Levüre se seraient développées en mucédinées et, …
par l'effet de ce développement et de l’absorption, auraient
augmenté l'activité de la fermentation, achevé la décompo-
sition du sucre, et isolé une plus grande quantité d’acide

acétique.

“
+

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EXPLICATION DES PLANCHES.

PLANCHE TI.

ORGE COMMUNE (xOoRDEUM VULGARE.)

Fig. 1. Un grain d'orge de grandeur naturelle enveloppé par les écailles

ou feuilles rudimentaires de la fleur.
Fig. 2. Le même grandi.

Fig. 3. Le même vu par l'autre face. a partie terminale de la tige ou du
rachis de la fleur. écailles florales. c radicelles annoncanit la germination

de l'embryon.

Fig. 4. Six vésicules maternelles isolées du tissu cellulaire du Périsperme.
Ces vésicules, de grandeurs variables, transparentes et incolores, contien-
nent une abondante globuline féculente.

Fig. 5. Globuline féculente éparse. Cette globuline, incolore et trans-
parente, est très-variable sous le rapport de la grosseur et un peu sous
celui des formes. Plusieurs globules montrent des déchirures dans les-
quelles on apercoit des sortes de couches ou d’enveloppes d’un aspect
granuleux.

Fig. 6. Echelle micrométrique indiquant de millim., et sur

100

laquelle on a placé une lignée progressive de grains de globuline ou de

21.

164 DE LA FERMENTATION

fécule depuis le minimum jusqu'au maximum de développement de ces

grains, dont les plus gros, comme on le voit, ont à peu près de millim.

Fig. 7. Un Cône fertile de Houblon (Humulus Lupulus) de grandeur

naturelle.
Fig. 8. Une écaille isolée ayant un fruit dans son aisselle.

Fig. 9. La même grandie et sur laquelle on voit plus distinctement les
nombreuses glandules de Lupuline situées sur la partie inférieure de l'e-

caille ou bractée.

Fig. 10. Trois glandules de Lupuline isolées d'une bractée, grossies,

pour faire voir qu'elles sont généralement sessiles.

Fig. 11. Un fruit séparé de la bractée protectrice et recouvert aussi d’une

grande quantité de glandules de Lupuline. a base des deux styles.

Onservariox. Il faut remarquer que la surface de ce péricarpe, comme
celle de tous les péricarpes toujours formés de feuilles diversement sou-
dées, correspond exactement avec celle extérieure de la base de la bractée,
ce qui explique comment c'est le même siége qui produit la Lupuline et
comment le péricarpe est formé de deux bractées réduites, latérales, et dont
les nervures médianes de ces bractées, en se prolongeant, produisent les

deux styles, et les nervures latérales les côtes longitudinales du péricarpe.

Fig. 12. Une glandule vésiculaire de Lupuline vue au microscope et
lançant à l'extérieur les innombrables globulins fourmillants qu'elle con-
tient. a globulins épars.

Onsenvariox. Cette glandule, qui offre une très-grande analogie avec la
vésicule pollinique, se compose d'une vésicule extérieure qui semble
munie d'un réticule, mais qui est plus probablement formée, comme les
épidermes végétaux, de vésicules contigués. Mise dans l’eau et entre deux
lames de verre, on la voit bientôt, comme les pollens, émettre au dehors
ses nombreux globulins en même temps que l'huile aromatique et le gaz

qui occupaient l'intérieur de ce corps vésiculaire; vue au microscope, la

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 165

Lupuline, de jaune qu’elle est à la vue simple paraït d'un vert clair et comme
vitrée.

Fig. 13, 13, 13, abc. Trois glandules de Lupuline dont la vésicule exté-
rieure déchirée laisse sortir en partie la vésicule intérieure entraïnant avec
elle les globulins. dd vésicules extérieures déchirées ; e deux vésicules inté-
rieures, isolées et chiffonnées.

Fig. 14. Huile aromatique, essentielle, échappée au moment de l'ex-
plosion des globulins d’une glandule de Lupuline et telle qu'elle s'étend et
se forme sur le porte-objet du microscope. En elle on observe un grand
nombre de globulins très-ténus qui s'y sont mêlés.

Fig. 15. Trois gouttes d'huile contenant aussi des globulins et dont
l'une renferme une bulle gazeuse. Cette huile, dans laquelle réside le prin-
cipe amer, est la seule chose qui agit dans la conservation de la bière.

Fig. 16. Une bulle gazeuse, circulaire, dans laquelle il s'est formé un

nombre très-grand de cristaux.

Fig. 17. Une autre bulle qui s'est allongée en cornemuse et dans la-

quelle se sont formés les mêmes cristaux.

Osservarion. Je n'ai jamais vu ces cristaux se former en dehors des
bulles gazeuses. Il semble que la présence du gaz et l'abri produit par la
chambre de la bulle soient deux conditions nécessaires à cette cristalli-

sation. d
Fig. 18. Cristaux sortis d'une bulle.

Fig. 19. Cristaux dont quelques-uns sont courbes et d'autres formés suc-
cessivement les uns sur les autres.

166 DE LA FERMENTATION

PLANCHE Il. :

TORULA CERVISIÆ, Turr.

Végétation des globules vésiculaires de la Levûre de bière pendant la
fermentation considérée comme la cause physiologique de la décomposi-
tion du sucre et de l'isolement de l'alcool.

Fig. 1. Levüre molle, étalée, vue à l'œil nu, de couleur fauve.

Fig. 2. Vue au microscope. Ce sont de véritables seminules globuleu-
ses, ovoides ou pyriformes, vésiculeuses, transparentes et remplies de
globulins dont un, deux ou trois sont plus gros. Parmi ces seminules, il
en est un certain nombre qui proviennent originairement des globulins du
Périsperme de l'orge, d'autres des globulins contenus dans les seminules
de la Levûre produite, et enfin d'autres, particulièrement les pyriformes ,
qui ne sont que des articles dissociés de ces petits végétaux représentés
figure 6. a Agglomération de seminules dans laquelle on voit les cercles se
croiser et être sensibles par transparence. Toutes ces seminules, dont le
diamètre est à peu près -= de millimètre, sont parfaitement immo-
biles. à. Une bulle d'air circulaire avec son cercle bleuâtre, renfer-
mant et comprimant un grand nombre de seminules molles et devenues,
comme cela arrive quelquefois aux vésicules du tissu cellulaire des végé-
taux, polygones par pression mutuelle. c Échelle micrométrique indi-
quant -= de millimètre, et sur laquelle on a placé une lignée progres-
sive de seminules. Les deux premières montrent qu'elles commencent à se
vésiculiser au centre. Les deux suivantes laissent voir l'épaisseur de la vé-
sicule et leurs globulins intérieurs de grosseurs variables. Les deux der-
nières offrent la forme ovoïde et la forme pyriforme.

Fig. 3. Ces quatre figures empruntées à Leeuwenhæk, et dont nous re-
produisons ici le calque exact, représentent, suivant l'auteur, des globules

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 167

organisés de la Levûre de bière différemment groupés ou agglutinés. On
s'étonne de ce que ces globules si grossis ne montrent pas leurs globulins
intérieurs.

Fig. 4. Lorsque après avoir versé les seminules précédentes de la Levûre
de bière dans le Moût, lorsqu'on les a véritablement ensemencées dans ce
territoire aqueux et sucré, territoire qui contient déjà les seminules primi-
tives qui tirent leur origine des globulins du Périsperme de l'orge, on voit
environ une heure après, en même temps que se manifeste la fermentation,
que le plus grand nombre de seminules germent et qu'elles sont munies
d'un ou de deux petits bourgeons plus transparents que la seminule.
a Échelle micrométrique représentant —— de millimètre, b seminules
plus ou moins développées. c une seminule ovoïde. 4 une seminule
sphérique poussant un bourgeon. e une seminule ovoide, munie de deux

bourgeons presque opposés.

Fig. 5. Deux heures après, les seminules, ayant continué de végéter,
montrent presque toutes que le bourgeon a pris le même diamètre que
celui de la seminule maternelle et qu'alors le plus grand nombre des indi-
vidus sont devenus didymes ou composés de deux articles plus ou moins
globuleux, et qu’en outre plusieurs poussent encore de nouveaux bour-

geons. a Echelle micrométrique donnant -= de millimètre. b semi-
nule sphérique poussant un bourgeon. © seminule ayant produit un
second article dont l'un pousse un bourgeon. d idem munie de deux bour-

geons ou de deux futurs articles.

Fig. 6. Aubout de huit heures de fermentation, au moment où le bras-
seur arrête son opération, les mêmes seminules portées de nouveau sous
le microscope montrent que leur végétation a continué et que le plus grand
nombre des individus sont devenus de petits végétaux mucédinés, com-
posés de cinq ou six articles de diamètres différents, de formes un peu va-
riables, transparents, remplis de globulins, terminés par des bourgeons
naïssants , soit terminaux, soit latéraux, ce qui annonce tout à la fois que
ces petits végétaux ne sont point achevés au moment où le brasseur ter-
mine brusquement leur existence, et que, par la présence des bourgeons
latéraux, ils annoncent leur tendance à la ramescence.

168 DE LA FERMENTATION

Lorsqu'on observe ces petits végétaux au microscope, on les voit assez
souvent émettre une pulviscule composée de globulins très-ténus et sans
doute suscepübles d croître et de reproduire l'espèce. a Échelle micromé-
trique offrant un centième de millimètre. b seminules croissant jusqu'au
centième de millimètre. e seminule poussant un bourgeon. 4 individu
composé de deux articles et d’un bourgeon naissant. e idem composé de
deux articles, muni chacun d’un bourgeon. f idèm composé de trois ar-
ticles et d'un bourgeon terminal. g idem composé de quatre articles et
d’un bourgeon. LA individus lançant leur pulviscule.

Fig. 7. Quelques bouts de filaments tubuleux, rameux, remplis de glo-
bulins situés à distance et à la file les uns des autres. C’est une espèce
d'Hygrocrocis développée là par hasard.

PLANCHE III.

Fig. 1. Levüre de bière semée dans une eau sucrée et dont la végétation
est plus ou moins développée. a globulins vésiculaires de Levüre ou semi-
nules, contenant des globulins ; et n'ayant pas encore germé. à seminule
germant ou poussant son premier bourgeon, ou son premier article. ce
seminules poussant deux bourgeons à la fois. dd seminules dont le pre-
mier bourgeon a atteint le même diamètre que celui de la seminule produc-
trice, et dont l’un des deux individus est en train de pousser un second
bourgeon. e végétation composée de deux articles complets et de deux
bourgeons terminaux et opposés. f idem plus avancée. g idem plus avan-
cée encore. À époque à laquelle les Tonura cervisiæ commencent à devenir
ramescents et à pousser des bourgeons latéraux. & rameaux latéraux com-
posés de deux articles. / un individu dont la seminule productrice avait
poussé deux rameaux. Parmi ces végétations, on voyait un grand nombre

de globulins plus ou moins ténus qui, très-probablement, étaient des se-
minules avortées.

Fig. 2. Un individu d'Hygrocrocts : développé parmi les Torula cervisiæ.

Le

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 169

Fig. 3. Globules vésiculaires de Levüre de bière tels qu'ils se dévelop-
pent et se modiñent dans les tonneaux ou dans les bouteilles de la bière
achevée. aa globulins morts, échappés des vésicules de la Lupuline et
amoncelés dans la bière. On voit quelques filaments très-ténus de Proto-
nèmes. Les deux lignes placées au-dessous de la figure 3 indiquent = de

100

millim. Sur cette mesure on a figuré une lignée progressive des états suc-
cessifs de cette végétation, qui n'offre que de très-légères différences de for-
mes et de couleur avec celle de la figure r. a accroissement de la seminule
avant la germination; à germinations et végétations plus ou moins avan-
cées.

Fig. 4. Mycoderme du Moût de bière. Mycoderma cervisiæ, Desmaz.
Cette figure offre une certaine quantité de végétations d’âges différents

et de formes variables, dues au développement plus ou moins avancé des
globulins échappés des vésicules du tissu cellulaire du périsperme de l'Orge
employée pour obtenir le Moût de la bière. Ce sont ces globulins qui, doués
de leur centre vital particulier, s'élèvent à la surface du liquide pour y
. jouir de l'air et de l'oxygène, qui y végètent, s'y enchevètrent et y forment
cette espèce de feutre membraneux et comme charnu que l'on nomme

…. Mycoderme, et, dans d’autres cas, la Mère du vinaigre. Ces végétaux, qui

ne sont encore ici qu'à leur début, s'étendent plus tard en de longs fila-
ments tubuleux , articulés, rameux, et se terminent par de petits bouquets
ombellulifères , composés d'articles globuleux et reproducteurs de l'espèce,
concurremment avec les globulins de l'Orge (voyez pl. 5, fig. 8, m).
aa globulins accrus en globules vésiculaires et contenant de nouveaux
globulins, 4 globules vésiculaires commencant à germer ou à s'étendre:
cette extension appartient seulement à la vésicule interne. c globule vési-
culaire germant sur deux points à la fois. 4 cet individu offre inférieu-
rement le globule seminulifère, et au-dessus un second globule, qui s'est
allongé et arrêté, et duquel est résulté un autre article, long et contenant
des globulins légèrement grossis. e idem , germant par deux points opposés.
fun individu dont les rameaux terminaux contiennent des corps ovoïdes,
provenus d'autant de globulins privilégiés et accrus. gg, on voit quelque-

quefois des individus qui émettent des globulins punctiformes ou mo-
“ +
nadaires. °

T. XVII. 22

170 DE, LA FERMENTATION

PLANCHE IV.

Levûre ou globulins provenus du tissu cellulaire pulpeux du Chasselas
et de, celui de la Pomme, plus ou moins avancés dans leur végétation
pendant l'acte de la fermentation de ces deux liquides, qui avaient subi

l'épreuve de la filtration.

Fig. 1. Globulins du jus filtré de Chasselas, plus ou moins avancés
dans leur végétation. aa cristaux qui s’étaient formés dans le liquide.

Fig: 2. Globulins de jus de Pomme, également filtré, plus ou moins
développés dans leur végétation. aa cristaux rhomboédriques formés dans
ce jus. bb une quantité prodigieuse de très-petits cristaux en aiguilles,
semblables à ceux que l'on nomme des raphides, et qui se rencontrent
dans les vésicules d'un grand nombre de tissus cellulaires.

Fig. 3, L'espace indiqué par ces deux lignes représente = de mil,
sur lequel on a placé une lignée progressive de ces petits végétaux. a dé-
veloppement du globulin punctiforme plein, jusqu'au globule vésiculaire
prêt à germer. à germinations et végétations plus ou moins avancées.

PLANCHE V.

MYCODERME DE LA BIÈRE. (mvoonenma cxryisæ, Desmaz.)

Fig. 1. Ce double cercle représente l'épaisseur d’un, verre rempli de
bière, exposée à l'air, et à la surface de laquelle il s'est développé une
membrane. blanchâtre, mucilagineuse, froncée, plus. ou moins épaisse.
Cette membrane, analogue à celles qui se forment à la surface de tous
les liquides fermentescibles, en contact avec l'air et l'oxygène, n'ayant

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 171
d'abord été considérée qu'à l'œil nu, fut désignée par Persoon sous le
nom générique de Mycoderma, croyant y voir une sorte de Champignon
etune individualité distincte.

M. Desmazières étudiant ensuite ces productions à l'aide du micros-
‘cope, vit clairement, et fit connaître qu'une Mycoderme n'était point un
seul végétal, que c'était une colonie, un amas informe, composé d'une
quantité innombrable d'individus, parfaitement distincts les uns des
autres, et vivant simplement pêle-mêle sur le même territoire liquide, et
dans une aussi grande indépendance que des individus de Lemna. Mais
cet habile observateur eut le tort grave de croire que ces petits êtres
appartenaient au règne animal,que, globuleux et ovoïdes d’abord.et doués
du mouvement locomotif, ils s’enchaînaient énsuite les uns au bout des
autres, de manière à simuler des végétaux mucédinés et pour lors sans
mouvement.

La vérité est que, lorsque les globulins de la bière, exposée à l'air,
commencent à être visibles au microscope, ils jouissent du mouvement
brownien, comme tous les autres corps ‘de cette ténuité observés dans
l'eau, et que ce mouvement diminue successivement jusqu’au moment ‘où
ce globulin allongé a acquis environ le «00° de millim. Maïs ces globulins
allongés ne s’ajustent point ‘bout à bout. Là est une erreur, En cet état,
véritables seminules vésiculaires, elles germent, s'allongentet végètent en
une mucédinée dont le dernier terme de développement décèle un Peni-
cilléum glaucum.

Fig. 2. Une masse de globulins monadaires , provenant immédiatement
de la matière organique de la bière, laquelle provient primitivement de
l'Orge. Ces globulins sont recueillis au moment où se forme la première

pellicule sur la bière. Ils fourmillent, Parmi eux on voit quelquefois de
courts filaments moniliformes, ou comme formés de points d'une ténuité
et d'une transparence extrême. Quelques-uns sont rameux. Ces globulins,
devenus apparents au microscope, n’ont guère plus de -= de millim.

70

Obs. Lorsqu'une matière muqueuse n'offre rien d'apercevable au mi-
“roscope, comme, par exemple, de la gelée, de la gomme dissoute, du
“blanc d'œuf, de la séve simplement épaissie en Cambium naissant, nous la
nommons Matière organique ou Matière organisable, On lui accorde l'im-

22.

172 DE LA FERMENTATION

prégnation de la vie organique au degré le plus simple, on la considère
comme les matériaux encore isolés de l'organisation.

On suppose que les molécules invisibles , dont se compose cette matière
organisable , se rapprochent, se combinent, et servent, par l'effet de cette
association, à construire les divers organes élémentaires des futurs tissus.

N'est-il pas plus vrai de penser que la matière organisable est de toute
origine formée d'innombrables globulins trop ténus et trop transparents
encore pour pouvoir être appréciables à no$ moyens microscopiques
actuels, et que tous ces globulins, toujours doués de mouvement et de
leur centre vital particulier, mais dont un grand nombre avortent, sont
tous capables de se développer isolément, soit en un organe élémentaire
de tissu, soit en un végétal mucédiné ? -

La matière organique ou organisable peut, suivant ses états successifs
de développement ou d'âges, et suivant les diverses formes qu'elle prend
dans les tissus, être distinguée par des dénominations particulières.

1° On peut l'appeler Matière organisable, tant que ses composants glo-
bulinés ne sont pas encore sensibles au microscope actuel (r).

2° Tissu amorphe où globuliné, au moment où les globulins, d'abord
invisibles, apparaissent au microscope après s'être accrus. Amorphe ou
sans forme ne s'applique ici qu'à l'association des globulins et non aux
globulins eux-mêmes.

3° Tüssu vésiculeux, lorsque les globulins, en continuant de croître, se
sont vésiculisés de manière à offrir une masse de vésicules contiguës,

encore vides ou contenant déjà une génération nouvelle de globulins.

‘

(1) Cette matière organisable, qui est la même pour tous les tissus du
règne organique, puisque partout elle en est l’origine, a été nommée
Cambium, d'abord chez les animaux , dénomination appliquée ensuite aux
“végétaux par Grew, Duhamel et par quelques physiologistes modernes.
Grew ne nous paraît pas avoir suffisamment compris la véritable nature
de son Cambium, puisque, au lieu d'y voir le début des tissus, il ny
voyait qu'un simple aliment à l'usage de ces derniers. Anat. des plant.

2° édit., page 54.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 173

4 Tissu filamenteux ou tubuleux, lorsque les globulins , au lieu de se
vésiculiser, se filent ou se tubulisent.

Fig. 3. Les mêmes globulins, dont quelques-uns ont pris de l’ac-
croissement.

Fig. 4. Idem, plus avancés, avec quelques individus devenus ovoides.

Fig. 5. Idem, dont le plus grand nombre, après avoir pris la forme
allongée, ont déjà poussé un second article.

Fig. 6. Idem, dont la plupart ont germé et végété , au point de montrer
de nombreux individus rameux et formés de dix à douze articles ovoides
vésiculaires, et souvent remplis de granules.

Toutes ces masses présentent toujours, à l'exemple des populations,
des individus de tous les âges. On voit quelquefois des articles émettre
leurs granules à l'extérieur.

Fig. 7 et 8. Mycoderme plus ou moins avancée, recueillie à la surface
d'un Moût de bière exposé à l'air. a région composée des plus jeunes
individus, quoique déjà d'âges différents. 4 région composée d'individus
plus avancés , et parmi lesquels plusieurs sont en germination. L'un d'eux,
formé de deux articles germés sur deux points. ctrois individus germant,
dont l’un sur le côté. d plusieurs autres , de formes variables et de germi-
nations multiples. e éd. formes et complications variées. f germination sur
un seul angle avec une tigellule sans articulation. f° germination sur un
seul angle avec tigellules articulées. £ germination d’une seminule presque
sphérique sur deux points opposés. 2 vésicules ou seminule parallélogram-
mique germant sur trois angles à la fois. £ seminule ayant poussé sur l’un
de ses angles une tigellule rameuse avec quelques articles ovoiïdes et inté-
rieurs en ?’. id. plus développée. 2 végétation plus avancée et dont quelques
rameaux se terminent par les articles globuleux de la fructification. », 2,
quelques individus jeunes et dont les articles sont courts et ovoïdes.

Osservarion. Tous les individus représentés sur cette planche sont pure-
ment végétaux, quoique leur seminule soit douée du mouvyeruent brow-
nien à son début. Tous tirent leur origine d'un globulin qui a appartenu à

174 DE LA FERMENTATION

l'existence composée du grain d'Orge. Plein d'abord , ce globulin se vésicu-
lise à mesure qu'il grossit, et atteint au moins le 100° de mill. Sa formepeut
varier de la sphérique à l'ovoide, de celle-ci à l'allongée. C'est alors une
seminule achevée, composée de deux vésicules emboîïtées, et dont l'intérieure
est susceptible de germer ou de s'étendre en un boyau tigellulaire. Dans
cette seminule, comme dans l’utricule pollinique, on voit, par transpa-
rence, des globulins de grosseurs variables. La tigellule, unique f,
double g, ou triple À, comme extension de la vésicule interne, est formée
d'un seul tube plus ou moins articulé, plus ou moins rameux, rempli de
globulins de diverses grosseurs, et dont quelques-uns, en se développant
sous la forme ovoïde ?’, l', et en donnant lieu à de nouveaux globulins,
produisent des articles intérieurs, qui, étant isolés par la destruction de
la tigellule maternelle, peuvent servir à la reproduction de l'espèce. Les
anticles de la tigellule maternelle, en s’épuisant vers les extrémités , se rac-
courcissent, et, le plus souvent, brusquement, prennent la forme d’un
globule sphérique. Ce sont ces articles terminaux qui forment les rameaux
moniliformes et disposés en ombelles chez le Penicillium glaucum, et dans
lesquels articles résident, tout à la fois, la couleur glauque, l'odeur de
moisi et la faculté reproductive de l'espèce.

Cette Mucédinée , la plus commune de toutes , la plus répandue, celle
qui ne manque jamais d'apparaître sur toutes les matières organiques qui
ne font plus partie de la vie d'association, soit d'un végétal, soit d’un
animal, comme toutes les autres espèces de cette famille, offre deux
grands moyens de reproduction et de multiplication prodigieuse,

1° Par les globulins dissociés des masses tissulaires après la vie d’associa-
tion d'un végétal ou d’un animal;

2° Par les globules terminaux et seminulifères des ombellules, globules
très-susceptibles de germer et de reproduire la même espèce. À ce second
moyen de reproduction, qui représente celui des graines, ou mieux des
embryons terminaux des végétaux appendiculés, il faut encore en ajouter
un troisième, qui consiste dans les articles intérieurs ?’, l', et qui peut être
considéré comme une reproduction par boutures.

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. L7D

PLANCHE VI.
MYCODERMA CERVISIÆ, Desuaz.

Mycoderme de la bière exposée à l'air, ou amas d'articles de tigellules
et de seminules allongées, germant et végétant entre deux lames de
verre entretenues humides, et s’achevant en Penicillium glaucum.

Dans cette masse, on distingue des corps vésiculaires généralement
ovoïdes, légèrement parallélogrammiques,, remplis de globulins inégaux
en diamètre, arrondis sur leurs angles, et montrant un double trait qui
indique ou l'épaisseur d’une vésicule ou l'existence de deux vésicules
emboîtées. Parmi ces articles vésiculaires qui germent sur un et quel-
quefois sur deux de leurs angles, se voient une quantité innombrable
de globulins de grosseurs différentes, et doués, plus ou moins, du mou-
vement de fourmillement. & corps: vésiculaire , seminule ou bouture
n'ayant point encore germé ou poussé. à idem poussant deux bourgeons
sur deux de ses angles. c végétations plus avancées, sur un seul angle.
d,d,d,d végétations. formées d'articles nombreux et très-distincts. e,e végé-
tations se terminant, assez brusquement, par des articles abrégés, glo-
buleux, colorés en vert glauque, odorants (odeur de moisi), et pouvant,
par désarticulation, reproduire, comme seminules, la même Mucédinée.
fdeux tigellules qui, s'étant touchées dans une certaine étendue de leur
longueur, se sont entre-greffées par approche, comme le font les masses
tissulaires des autres. végétaux entre un plus grand nombre d'individus,
soit vésiculaires, soit tubuleux. g corps vésiculaire poussant deux tigel-
lules, sur un seul angle.. 2 idem poussant, d'une extrémité centrale une
tigellule bifurquée..z idem ayant poussé une tigellule qui, après les quatre
premiers articles ordinaires, a produit plusieurs articles globuleux semi-
nulifères. / idem dont les articles offrent des formes différentes de celles
accoutumées. 72 idem: deux germinations différentes en ce que les tigel-
lules, au: nombre de deux, partent chez l’une de deux angles diagonale-
ment opposés, et chez l’autre de deux angles opposés, mais situés du

176 DE LA FERMENTATION

même côté. n,n idem deux germinations composées d’une seule tigellule
articulée et dont les articles supérieurs 7 se détachent et s'isolent par
rupture, de manière à pouvoir ensuite germer et reproduire le même
végétal. o bout supérieur de l'une des tiges précédentes plus grossie
pour faire sentir qu’elles sont composées d'un tube ou d'un boyau com-
mun, dans lequel se forment les articles ovoïdes et remplis de granules.
Pour faire connaître que le boyau extérieur appliqué sur les articles inté-
rieurs se resserre et s'étrangle entre chacun d'eux, jusqu'à ce quenfin
il se rompe. C’est un chapelet de saucissons contenus dans un seul
boyau. p une germination isolée sans articles inférieurs apparents, mais
montrant quatre articles terminaux, globuleux, seminuliféres, et un seul
au bout d'un court rameau latéral. qg une portion de tigellule dans
la quelle on voit la disposition des articles intérieurs, et seminulifère.

sTossie,

ail
1°idem plus g

PLANCHE VII.

Fig

g.
développements de sa végétation pendant la durée de la fermentation

1 à 10. Levüre produite par l'albumen de l'OEuf, dans tous les

alcoolique. 1 globulins punctiformes, monadaires au moment où ils
apparaissent à la surface du liquide sucré, et visibles au microscope. 2 les
mêmes plus développés. 3 idem parmi lesquels plusieurs ont atteint leur
diamètre, et quelques-uns en germination. 4 plus généralement avancés.
5, 5 un certain nombre d'individus germants et végétants. 6, 6 indivi-
dus achevés, réunis en touffes, et constituant dans ce dernier état une
espèce de Leptomitus à laquelle nous avons attaché le nom spécifique
d'albuminis. Ces végétaux mucédinés se composent d’une tigellule inco-
lore, transparente, moniliforme, ou formée d'un grand nombre d'articles
courts, ovoides ou pyriformes, dont les deux ou trois derniers articles,
plus gros que les autres, tiennent lieu de la fructification ou au moins
d'organes reproducteurs secondaires. La base de ces touffes présente un
grand nombre de globules seminulifères avortés. 7 on voit en & un glo-

ALCOOLIQUÉ ET ACÉTEUSE. 177

bule seminulifère d’où sont parties plusieurs tigellules. 2 deux articles
terminaux et fructifères. 8 un autre individu partant également de sa se-
minule, mais ne se terminant point encore par les articles de la fructifi-
cation. 9 partie supérieure d'un individu dont les rameaux en aa se ter-
minent par de gros articles fructifères, vésiculeux, remplis de globulins de
grosseurs variables, et souvent terminés par un très-petit article qui s'est
étemt. Dans cet individu, la tigellule, contenant des globules placés à la
file les uns des autres, semblait d'une seule venue. 10 un centième de mill.
sur lequel on a figuré quelques individus.

Fig. 11. Végétations ( Ulvina aceti, Kütz) dont se compose, par enche-
vétrement, cette masse informe et gélatineuse que l'on nomme la Mère du
vinaigre (Mycoderma vini, Vallot), avec les Anguilles ou Vibrions qui se
repaissent ou se nourrissent de ces petits végétaux. Dans cette masse on
peut voir la végétation dans des états différents de développements plus
ou moinsavancés. 12 ur individu femelle de V’ibrion aceti, contenant trois
œufs et plusieurs autres éclos en autant de petites anguilles vivantes et plus
ou moins roulées en spirale. «a vulve par laquelle sortent les jeunes indi-
vidus. On voit quelquefois ces anguilles se promener dans le liquide avec
de petites touffes de l'U/vina aceti qui ont germé et végété sur le corps
muqueux et collant de ces infusoires. 13 deux individus mâles, toujours
de moitié plus petits que les femelles.

PLANCHE VIIL.

Globules du lait germant et végétant, et considérés comme une véritable
Levûre pendant la fermentation de ce liquide sucré.

Fig. 1. Une goutte de lait de grosseur naturelle.

Fig. 2. Globules du lait vus au microscope. Ces globules organisés va-
rient en diamètre depuis le point apercevable jusqu’au r00° de millim. Les
plus petits se meuvent. Il n'y en a point de deux sortes distinctes, mais

HSEVIL. 23

178 DE LA FERMENTATION

on en voit quelques-uns assez rares, &@, qui sont remarquablement plus

gros que tous les autres. > ë

Fig. 3. En promenant sa vue sur cette masse d'individus dans toutes
sortes d'états, on en verra d'abord beaucoup qui semblent former le fond
et qui, peut-être, comme avortons, n'étaient pas susceptibles de germer.
a, a,a globules delait germant ou poussant un, deux ou trois bourgeons,
qui se distinguent du globule par leur grande transparence ou par le dé-
faut absolu des globulins intérieurs qui se voient dans le globule. 4, b ger-
minations simples, plus avancées, tigellules d’une seule venue ou articu-
lées, remplies de globulins moins aux extrémités. c, cidem germant et végé-
tant sur deux points opposés. L'une de ces végétations étant déjà rameuse.
d germination dont la tigellule articulée montre, dans chaque article, des
globulins intérieurs; e j'ai plusieurs fois remarqué des globules du lait qui,
après s'être dilatés sur les bords, étaient découpés irrégulièrement, en des
sortes de petites cocardes, dont l'extérieur était entouré d'une pulviscule,
composées de globulins très-ténus et qui paraissaient être sortis de la vé-

sicule par explosion.

Ü
100

Fig. 4. Ces deux lignes parallèles indiquent arbitrairement de millim.
Sur cette distance, on a placé une lignée progressive, composée de glo-
bules de lait, dont les quatre derniers montrent des commencements de

germination. «

Fig. 5. Boutures produites par la désarticulation des tigellules et pous-
sant de nouvelles tigellules sur un, deux, trois et quelquefois sur les
quatre angles. Parmi ces boutures ou articles de tigellules, on en voit
beaucoup qui ne végètent point encore et dont un certain nombre peuvent
être des globules de lait allongés ou ovalisés, mélangés avec des globules
de toutes grosseurs. a un article poussant sur les quatre angles à la fois
des tigellules très-articulées et dont une ne fait que commencer. Ces ger-

minations sur quatre angles sont rares,

Fig. 6. Cristaux rhomboëdres, lamelleux, de grandeurs variables, mar-
qués de fissures qui indiquent leur clivage, et de cristaux prismatiques, à
base triangulaire, et qui, chose remarquable, sont des moitiés complètes

ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE. 179

des premiers, prises dans le sens des deux angles aigus. a, a, a cristaux rliom-
boëèdres de différentes grandeurs. D cristaux prismastiques à base triangu-
laire. Ces cristaux s’obtiennent par évaporation, lorsqu'on abandonne du
lait entre deux lames de verre. Le lait de femme est celui qui m'a toujours

le mieux réussi pour la production de ces cristaux.

PLANCHE IX.

. PENICILLIUM GLAUCUM, Line.

. Végétation achevée des globules du lait pendant la fermentation, glo-
bules considérés comme étant la Levûre naturelle de ce liquide sucré.
Agglomération de globules de lait, les uns globuleux et de grosseurs diffé-
rentes , les autres cvoides ou ailongés, mêlés avec un nombre prodigieux de
globulins, germant et poussant de toutes parts leurs végétations. Ces glo-
bules, poussés les uns vers les autres par l'air qui s'introduit-entre les deux
James de verre, forment des sortes d'ilots ou des masses que l'on pourraitassez
justement comparer à un tas de graines de Millet ou de Pommes de terre
plus ou moins avancées dans leurs végétations. Pour ne point embrouiiler
notre figure, nous n'avons fait partir les tigellules des globules de lait que de
ceux situés au pourtour de la masse, quoique tous germent et poussent.
a, a globules isolés de l'agglomération, plus ou moins avancés dans leur
germination. ?, b globules germant par deux points à la fois. c tigellule très-
développée, rameuse, sans articulations apparentes et sans fructification.
d,d'tigellules très-articulées ; articles souvent disposés en zigzag. e tigellule
avancée, composée de six articles inférieurs , allongés, et de cinq termi-
vaux, plus abrégés, globuleux et seminulifères. Sur l’un des côtés et du
milieu du troisième article, il est parti un court rameau sans articulation,
qui se termine par un seul globule seminulifère. / fructification composée
d'une seule série de globules seminulifères. g idem de deux séries. À idem
complète et offrant l'aspect d'un pinceau ouvert ou d'une petite ombelle.
à une ombélle terminale, articulée, rameuse, fructifère ou séminulifère,
composée de rameaux moniliformes, divergents en pinceau ouvert, formés
d'articles courts et globuleux , et pouvant, par isolement, germer et repro-

180 DE LA FERMENTATION ALCOOLIQUE ET ACÉTEUSE.

duire la même végétation par un moyen secondaire. / globules isolés d'une
ombelle, les uns simples, les autres plus ou moins avancés en germination.
m partie supérieure d'une tigellule, articulée, rameuse, et dans l'intérieur de
laquelle sont des globulins. » une autre portion de tigellule plus grossie,
sans articulations, et dans laquelle les globulins sont devenus des articles

ovoides ou allongés.

NOUVELLES RECHERCHES

SUR LE

DÉGAGEMENT DE LA CHALEUR

DANS LE FROTTEMENT.

Par M. BECQUEREL.

Dans la dernière séance publique annuelle de l’Académie
des sciences, j'ai donné lecture du précis d’un mémoire ren-
fermant les recherches que j'avais faites sur le dégagement
de la chaleur dans le frottement; aujourd'hui j'ai l'honneur
de présenter à l’Académie le mémoire même, dans lequel se

trouvent tous les résultats obtenus, classés avec le plus d'ordre

qu'il m'a été possible. ;

On ignore jusqu'à présent, quand on frotte deux corps
l'un contre l'autre, quelle est la portion de chaleur que prend
chacun de ces corps , en raison de sa nature et de l’état de sa

23

102 NOUVELLES RECHERCHES

surface. La question étant des plus complexes, comme tout le
monde le sait, on ne peut s'attendre à une solution complète;
mais c'est être utile à la science que de faire connaître une
méthode d’expérimentation qui manquait, et des résultats
généraux qui peuvent éclairer sur les recherches ultérieures,
relatives au même sujet.

Pour déterminer de quelle manière chaque corps intervient,
il faudrait pouvoir écarter toutes les causes qui masquent les
effets individuels; malheureusement on ne peut y parvenir
complétement. En effet, lorsque l'on frotte plus ou moins ra-
pidement deux corps l'un contre l’autre, sans que le contact
cesse d’avoir lieu, il y a évidemment transmission de chaleur
d'un corps dans l’autre. La quantité qui est transmise dans
chacun d'eux dépend de la conductibilité du corps, de sa
capacité pour la chaleur et de l’état de sa surface.

D'après cela, la chaleur dégagée dans un corps par le frot-
tement ne saurait être accusée immédiatement, c’est-à-dire
avant sa transmission dans l’autre corps, puisque les indica-
tions des thermomètres ordinaires ne sont jamais instanta-
nées. Cependant, il est possible d'opérer dans des circons-
tances qui permettent d'écarter plusieurs des difficultés que
nous venons de signaler ; alors on est conduit à une série de
faits que nous allons exposer.

L'appareil destiné à observer ces faits se compose d’une
pile thermo-électrique en relation avecun excellent maltiplica-
teur, Sa sensibilité est telle qu'une différence d'environ & de
degré centigrade entre les températures des deux faces de
la pile fait dévier suflisamment l'aiguille aimantée , pour
que l'angle d'écart soit appréciable.

SUR LE DÉGAGEMENT DE LA CHALEUR. 183

Pour réduire autant que possible la question à sa plus
simple expression, on prend deux corps de même nature,
mauvais conducteurs de la chaleur, égaux dans toutes leurs
dimensions, et ne présentant de différences que dans l'état
de leurs surfaces seulement. Ces corps sont fixés convenable-
ment à des tiges en verre, et les surfaces frottées sont mises en
contact chacune avec l'une des faces de la pile. Quand ces
deux surfaces ont la même température, l'aiguille aimantée
reste en repos, attendu que les deux courants thermo-élec-
triques étant égaux et dirigés en sens contraire se détruisent :
mais quand la température n'est pas la même, l'aiguille ai-
mantée est aussitôt déviée, et l’angle d'écart sert à apprécier
la différence de température. Le frottement est produit avec
une vitesse et une pression déterminées, afin que son inten-
sité soit toujours connue. Les deux corps sont séparés ra-
-. pidement l’un de l’autre, et mis immédiatement en expé-
rience.

Outre ce procédé, j'en ai imaginé un autre, dont je n’ai
pas encore fait usage et qui promet des résultats plus précis :
on prend deux aiguilles , composées chacune de deux autres,
lune de fer et l’autre de cuivre, soudées par un de leurs
bouts; puis on place chacune d'elles dans l'intérieur du
corps qui subit l'effet du frottement, le plus près pos-
sible de la surface et la soudure au milieu de cette mème
surface. Si le corps est métallique, on soude les points
de jonction de- la double aiguille à sa surface inférieure.
Les deux aiguilles sont mises en communication, d’une
part par le bout cuivre avec un multiplicateur, de l’au-
tre, par le bout fer, avée un fil de fer. Au moyen de

184 NOUVELLES RECHERCHES

cette disposition, pour peu que l'une des deux surfaces s'é-
chauffe plus que l'autre, la soudure qui est contiguë s’échauffe
aussi davantage que l’autre soudure, et le multiplicateur in-
dique la différence de température.

Ue procédé, convenablement employé, est le plus exact dont
on puisse, je crois, se servir, attendu que la différence des
effets de chaleur produite sur chacune des surfaces, par l’ac-
tion du frottement , est accusée immédiatement. Je me propose
de l’employer dans de nouvelles recherches sur la chaleur
dégagée dans les actions mécaniques. Ces recherches ont un
tel intérêt pourétablir les rapports entre les effets calorifiques
et électriques du frottement, qu'on ne saurait trop multiplier
les expériences pour y parvenir.

Voilà les moyens d'expérimentation, passons aux résultats :
on commence par chercher l'effet produit sur l'aiguille ai-
mantée par le contact d’une des surfaces frottées, possédant
une température supérieure à celle de l'air ambiant , avec
l’une des faces de la pile; effet dù à l'échauffement de cette
face.

L'expérience prouve que quelle que soit la nature du disque
frotté, que ce disque soit conducteur ou non de la chaleur,
le temps que met l'aiguille pour atteindre son maximum d’é-
cartement, pourvu que cet écartement ne dépasse pas 60°,
est toujours de 10”; pour des écartements de 60 à 7% il est
de 9"”+,et de 9” pour des déviations de 75 à go.

Les corps que j'ai soumis à l'expérience étaient des disques
de verre , de liége, d'argent, etc.

L'aiguille aimantée se comporte donc ici comme un pen-
dule qui oscille sous l’action de la pesanteur, entre de petites

SUR LE DÉGAGEMENT DE LA CHALEUR. 185

amplitudes, puisque les oscillations sont isochrones, mais
avec cette différence néanmoins que dans le pendule, lorsque
l'amplitude de l’oscillation augmente au delà d’une certaine
limite, le temps de l’oscillation augmente également, tandis
que le contraire a lieu dans les expériences que nous décri-
vons, c’est-à-dire que le temps diminue à mesure que l’ampli-
tude augmente au delà de 60° jusqu’à 90°. Les faits suivants
montrent l'isochronisme des déviations par première impul-
sion, en mettant en contact diverses substances pendant une
seconde, avec une source de chaleur possédant une température
constante ,et les présentant ensuite à l’une des faces de la pile.

DÉVIATION
lors

SUBSTANCES

& MOYENNE.
4: de la première
SOUMISES A L'EXPÉRIENCE.
IMPULSION.

Verre poli. . . .

Verre dépoli

T. XVIL.

186 NOUVELLES RECHERCHES

SUBSTANCES
SOUMISES À L'EXPÉRIENCE.
. 1"° exp.
Diépe COTE

Il

DÉVIATION
lors

+ TEMPS. MOYENNE.
de la première

IMPULSION.

PAPER ee ee SE

Ces résultats montrent bien l’isochronisme des déviations.

S'il y a de légères différences, il faut lesattribuer à des erreurs
d'observations, car il est très-facile de se tromper d’une demi-
seconde quand on évalue le temps de la durée d’une oscillation
entière , attendu que l’on ne peut jamais saisir très-exactement
l'instant précis où l'aiguille entre en mouvement et l'instant où
elle s'arrète, surtout quand l'intensité du courant est faible,
comme avec le liége. Nous avons fait un si grand nombre
d'expériences pour constater l'exactitude de cette loi jusqu'à
6o°, qu’il ne nous reste aucun doute à cet égard.

Pour savoir si cétte loi avait encore lieu pour des dévia-
tions plus considérables , nous avons pris un disque d’argent
dont nous avons élevé successivement la température, afin

. SUR LE DÉGAGEMENT DE LA CHALEUR. 187
d'avoir des déviations par première impulsion depuis 1° jus-
qu'à go. Voici les résultats obtenus en évaluant le temps en
demi-secondes :

TEMPS ËVALUÉ TEMPS ÉVALUÉ
DÉVIATIONS. en DÉVIATIONS. en
DEMI-SE CONDES. DEMI-SECONDES.
1° 20 59° 20
2 ire 20 60 19
‘4 4 20 63 19
{ 6 20 65 19
10 20 67 19
12 20 70 19
23 20 75 18
40 20 82 18
43 20 83 18
54 20 88 18

56 20 | 89 18

Nous voyons, comme nous l'avons avancé , que de 1° à 60°
environ , la durée de chaque déviation est de 10’, de 60° à 70°
elle est de 9", de 70° à 90 de 9”, Nous ferons remarquer que
les déviations de l'aiguille jusqu’à 20° seulement, répondent
à des intensités égales du courant, et qu’il n’en est plus de
même au delà.

Après avoir constaté les rapports qui existent entre les dé-
Mations de l'aiguille aimantée par première impulsion, et le
temps employé pour les produire ,quand une des faces de la
pile est échauffée par le contact du disque , nous avons cher-

24.

|
|

188 NOUVELLES RECHERCHES

ché ce qui se passe quand cette même face est échauffée par
le rayonnement direct de la flamme d’une lampe ordinaire ,
placée à une distance plus ou moins grande, à la distance
d’un mètre, par exemple, de la pile. On a trouvé des effets
absolument semblables aux précédents , comme l'indiquent
les résultats suivants :

TEMPS
DÉVIATIONS. - en DÉVIATIONS. en

DEMI- SECONDES. DEMI- SECONDES. |

Ces résultats nous montrent, comme du reste nous l'avons
prouvé plus haut, que l'effet est indépendant du plus ou
moins de conductibilité des disques employés. Pour voir jus-
qu'à quel point les faits précédents dépendent de l’action
exercée par le magnétisme terrestre sùr l'aiguille astatique,
j'ai recueilli quelques observations sur le temps d’une oscil-
lation de l'aiguille astatique à laquelle on imprime une im-
pulsion avec un aimant.

J'ai approché, à diverses distances, de l'aiguille astatique
d'un multiplicateur un barreau légèrement aimanté, de ma-
nière à le faire dévier d’un certain nombre de degrés, puis,
ayant retiré rapidement le barreau j'ai compté le temps d'une
oscillation. Voici les résultats obtenus pour diverses am-
plitudes :

SUR LE DÉGAGEMENT DE LA CHALEUR. 189

TEMPS TEMPS

DÉVIATIONS. d’une oscillation DÉVIATIONS. d'une oscillation

EN DEMI-SECONDES. EN DEMI-SECONDES.

On voit qu'ici, comme dans le pendule, le temps des oscil-
lations augmente à mesure que la déviation devient plus
grande, tandis que lorsque l'aiguille aimantée est déviée par
l'action d’un courant thermo-électrique, les effets sont in-
verses, que l'échauffement soit produit par rayonnement ou
par contact. Pour savoir d’où pouvait dépendre cette inver-
sion, j'ai porté le disque d'argent échauffé sur l’une des
faces de la pile, au point de produire une déviation de 80";
puis, après un contact de quelques secondes , lorsque l’ai-
guille, par exemple, n'était encore qu'à 30°, on a interrompu
le circuit : l’aiguille a continué à cheminer en vertu de la vi-
tesse acquise jusqu’à 5o° seulement ; elle s’estalorsarrètée et est
retournée à zéro après plusieurs oscillations. Cette expérience
répétée plusieurs fois a donné constamment le même résul-
tat. On doit en conclure que le disque ne se met pas immé-
diatement en équilibre de température avec la face de la
pile , que le disque soit excellent ou mauvais conducteur, de
sorte que l'isochronisme observé dépend de la propagation

1g{0 NOUVELLES RECHERCHES

de la chaleur dans la face échauffée de la pile. Ce mode d’ex-
périmentation peut servir encore à apprécier le refroidisse-
ment des corps solides, comme le montrent les expériences
suivantes :

IMPULSION | DÉVIATION | INTENSITÉ

INDICATION DES DISQUES.

PRIMITIVE. DÉFINITIVE. DU COURANT.

PREMIÈRE EXPÉRIENCE :

Disque d’argent échauffé par frottement et présenté

| à l’une (des faces de la pile. . .. . . .. .!. . ..
Le disque présenté cinq minutes après. . . . . ..

Le disque présenté de nouveau cinq minutes après.

DEUXIÈME EXPÉRIENCE :

| Disque échauffé par frottement. . . .........

Retiré et présenté une minute après, . .......

Retiré et présenté une minute après. . .,,..,.

|

Dans la première expérience, la perte est de 9,2 par mi-
nute, et dans la deuxième elle est de 10 pendant la première
minute.

| TROISIÈME EXPÉRIENCE :

| Retiré et présenté une minute après

SUR LE DÉGAGEMENT DE LA CHALEUR. 191

. Dans cette expérience, la perte de l’intensité du courant,
ét par suite celle de la chaleur par le refroidissement, est sen-
siblement proportionnelle au temps.

INDICATION INTENSITÉ INTENSITÉ

DES EXPÉRIENCES. DU COURANT. CALCULÉE.

. Le même mode d’expérimentation peut servir encore à dé-

terminer le rapportentre les quantités de chaleur prises par

des disques de diverses substances, ayant même diamètre et
. même épaisseur , quand on les met en contact avec un corps
à dont la température est constante. La peau du bras dont la
température change peu, quand il reste toujours couvert, est
a source de chaleur dont j'ai fait usage.
On trouvera dans le tableau suivant les résultats obtenus
en soumettant à l'expérience le verre poli, le verre dépoli,
e _ l'argent et le liége.

4"

IMPULSIONDÉVIATIONIINTENSITÉ
SUBSTANCES. | MOYENNES.

PRIMITIVE. DÉFINITIVE. | DU COURANT.

192 NOUVELLES RECHERCHES

IMPULSION|[DÉVIATION|INTENSITÉ
SUBSTANCES. s MOYENNES.
PRIMITIVE. DÉFINITIVE. DU COURANT.

29

Verre dépoli. . . . 27

Argent.

Ces résultats nous montrent que lé rapport de transmis-
sion au contact du verre poli et du verre dépoli avec l’une
des faces de la pile est :: 15, 1 : 30, 40; dans une autre expé-
rience il était :: 47, 1 : 81, 1, c'est-à-dire :: 15, 1 : 26. Il existe
entre ces deux rapports une différence assez sensible : mais,
quand on réfléchit à la difficulté des expériences, on n'est
nullement étonné de cette différence, quinéanmoins n’est pas
tellement grande, qu'elle ne puisse permettre de tirer une
induction des faits observés : si l’on prend la moyenne entre
ces deux rapports, on a le rapport 31, 1 : 55,75, ou 1 : 1, 775,
qui approche de 1 : 2. En comparant ensemble les pouvoirs

SUR LE DÉGAGEMENT DE LA CHALEUR. 193

de transmission du verre poli, du verre dépoli, du liége et

de l'argent, on a les rapports 1,51: 3,01:1,08 : 11, 33. Ces
nombres expriment approximativement les quantités de cha-
leur que prennent les quatre disques sus-mentionnés, quand
on les met en contact, pendant une seconde, avec une source
de chaleur dont la température est d'environ 37°. Voici en-
core des résultats obtenus avec d’autres disques :

Disque de liége mis en contact pendant une seconde avec une plaque de métal
ayant une température de 38°.

INDICAT. DES EXPÉRIENCES. INTENSITÉ DU COURANT.

| Disque d’argent en contact pendant une seconde avec la peau du: bras.

DÉVIATION DÉVIATION

Pi ; INTENSITÉ DU COURANT.
IMPULSION. DÉFINITIVE.

Rapport du liége à l’argent :: 7 : 84,5
] A7

T. XVII. 25

194 NOUVELLES. RECHERCHES

Disque de plomb soumis au même mode d’expérimentation.

INDICATION | ÉPÉVIATION | DÉVIATION :
par INTENSITÉ DU COURANT.

DES EXPERIENCES. 1IMPULSION. DEFINITIVE.

Rapports des intensités de chaleur acquises par le liége, l'argent, le plomb et le verre
RAS MANGAS TEINTE

On avait eu précédemment pour le liége, l'argent et le verre:

les rapports 1,08 : 11, 33 : 1,53. Ces nombres présentent des:

_ différences avec les précédents, surtout pour celui qui est re-
latif à l'argent, différences que l’on doit attribuer soit à l’état
des surfaces, soit au refroidissement qu'éprouvent les disques.
quand on les transporte de la source de chaleur à l'appareil.
On diminueices différences en opérant avec le plus de promp-
titude possible.
On doit remarquer que les nombres 1 : 7,3: 1,8 expri=
ment par approximation les rapports composés des quantités!

4 SUR LE DÉGAGEMENT ,DE LA CHALEUR. 195

de chaleur que prennent les disques à la source, et de celles
qu'ils cèdent à la face de la pile.

Passons à la chaleur dégagée dans le frottement. Les
moyens dont on peut disposer pour observer la chaleur dé-
gagée dans le frottement de deux corps l’un contre l’autre
présentent tous des inconvénients; attendu qu'ils ne per-
mettent pas de faire les observations avec une très - grande
exactitude ; néanmoinsils suffisent pour donner des rapports,
—… dont on peut tirer parti pour étudier la marche des phéno-
E- mènes.

. Lorsqu'on frotte deux corps l’un contre l’autre, même deux
Corps mauvais conducteurs, le contact ayant toujours lieu
pendant la durée de l’action, la chaleur dégagée se répartit
ns chacun d'eux, en raison de sa conductibilité, de sa ca-
» pacité pour sa chaleur et de l’état de sa surface; dès lors le
hénomène est très-complexe.
. Je prendrai d’abord le cas le plus simple, celui de deux
rps de même nature et égaux dans leurs dimensions, et ne
‘ésentant seulement des différences que dans l’état de leurs
arfaces; les effets obtenus ne seront dus alors qu'à ces dif-
rences.

Lorsqu'on frotte rapidement l’un contre l'autre deux dis-
es de liége, disposés comme il a été dit, mais dont l’un a
e surface lisse obtenue avec un instrument tranchant , et
utre une surface couverte d’aspérités , si l’on présente si-
ultanément les deux surfaces préparées aux deux faces de
pile, pour savoir si chacune d'elles prend ou non la même
mpérature, on obtient un courant dont le sens indique que
disque à surface couverte d’aspérités possède une tempé-
ture plus élevée que l’autre, dans un rapport tel que la dé-
21

196 NOUVELLES RECHERCHES
viation de l'aiguille varie de 1 à 10°, suivant la force em-
ployée.

Un morceau de verre poli et un morceau de verre dépoli
produisent le même effet, c'est-à-dire que le premier prend
moins de chaleur que le second. Il semble résulter de là que
les surfaces qui ont le plus grand pouvoir absorbant sont
celles qui s’échauffent le plus. Voici les résultats obtenus
dans diverses expériences :

FROTTEMENT EXERCÉ PENDANT UNE MINUTE.
——

DIFFÉRENCE DÉVIATION MÉTAUX

SUBSTANCES À de fonctionnant
de température

l'aiguille aimantée. seuls.

frottées.
en plus ou en moins. Moyenne. DÉVIATIONS.

Caoutchouc

Liége... . ..

SUR LE DÉGAGEMENT DE LA CHALEUR. 197

FROTTEMENT EXERCÉ PENDANT UNE MINUTE.

DIFFÉRENCE DÉVIATION MÉTAUX
SUDSTANCES de
detempérature ANA : F fonctionnant
frottées l'aiguille aimantee,
à en plus ou en moins. Moyenne. seuls.

Argent. . . : .....

Satin noir., ..

Satin noir.

Cire d'Espagne. . .

Verre dépoli.. . .

ant

Autre série d'expériences : les corps étaient taillés en disques de 8 mill.
de diamètre et 3 mill. d'épaisseur. Le frottement a duré une minute.

Spath d'Islande, . ..

198 NOUVELLES RECHERCHES

Ces expériences nous montrent 1° qu'avec le verre poli
et le liége, le premier prend plus de chaleur que le second
dans un rapport tel que, chacun d'eux agissant séparément,
les déviations de l'aiguille aimantée sont comme 34: 5 ; et
comme ces déviations correspondent à des intensités de cou-
rant égales à 39 et 1, il s'ensuit que les quantités de chaleur
prises pendant le frottement, et transmises à la pile, sont
entre elles dans le même rapport ; 2° qu'avec le verre dépoli
et le liége, le rapport des déviations est comme 40 à 7, et ce-
lui des intensités de chaleur comme 37 : 7; 3° qu'avec l'ar-
gent et le liége, le rapport des déviations est comme 50 : 12,
et celui des intensités comme 78 : 12; 4° qu'avec le caout-
chouc et le liége, le rapport des déviations est comme 29
à 11, et celui des intensités comme 31 à 11.

Les expériences dont je viens de rapporter les résultats
ont été faites sans l'emploi d'instruments capables de mesurer
le frottement avec exactitude, sous le rapport de la vitesse
et de la pression; mais on acquiert une telle habitude, en
opérant comme je l'ai indiqué, que les résultats ne présentent
pas des différences considérables , ce qui prouve que les con-
ditions relatives au frottement sont à peu près les mêmes ;
ainsi avec l'argent et le liége on a eu des déviations de 32°,
33°, 35", avec l'argent et le verre poli 10, 9, 8, 13, 11.

Des nombreux résultats que j'ai obtenus dans le frotte-
ment des corps de nature différente, je ne puis encore en
tirer des lois simples, vu les causes diverses qui concourent
à l'effet général. Il paraît seulement que la nature du corps;
abstraction faite de la conductibilité, exerce une influence
que l’état de la surface ne détruit pas toujours. À

Il nous a été impossible de trouver jusqu'ici la ét

SUR LE DÉGAGEMENT DE LA CHALEUR. 199

cause de cette influence qui dépend de la nature des corps,
et probablement de l’arrangement de leurs molécules ; mais
_ c'est déjà beaucoup de l'avoir signalée par l’expérience, parce
. qu’elle nous donne un élément de plus que la théorie de la
. chaleur pourra prendre désormais en considération.

_ Si le frottement produit des effets de chaleur dont les lois
| paraissent si compliquées, on doit avoir également des effets
_très-remarquables quand on ébranle suffisamment les molé-
. cules par la percussion au point de les séparer. Les expé-
. riences n’ont pas encore été poussées jusque - là. Il serait à
| désirer que l’on püt mesurer la quantité de chaleur qui se dé-
_ gage dans un corps, quand on détruit la force d’agrégation
_ deses molécules.

MA SR VS AR LAS LUS LAS LAS LEE LE RULES E LEVEL UE LLS LIVE AS LES VAR LLALLI LULLLRLRRURTL RS RUES

_ RECHERCHES

MICROSCOPIQUES.

_ SUR DIVERS LAIÏITS

“_ DE VACHES PLUS OU MOINS AFFECTÉES DE LA MALADIE

QUI A RÉGNÉ PENDANT L'HIVER DE 1838 4 1830,

ET DÉSIGNÉE VULGAIREMENT

SOUS LA DÉNOMINATION DE COCOTE (1);
Présentées à l’Académie le 6 mai 1839,

Par M. TURPIN.

… Nous commencerons par faire connaître les conditions qui
l D cent un bon Lait, riche en éléments nutritifs, et tel

2

-(x) Cocote des nourrisseurs, maladie aphtheuse des Vétérinaires. On a
arqué que cette maladie, qui n’est nullement contagieuse, n’attaquait,
parmi les animaux mammifères domestiques, que les pieds fourchus , tels
. que les Vaches, les Bœufs, les Cochons, les Chèvres et les Moutons, et
que , chez ces derniers, le Piétin offrait assez d'analogie avec l'affection des
ds des vaches atteintes de la Cocote.

NPASQVIL. : 26

202 * RECHERCHES MICROSCOPIQUES

qu'on l'obtient quelque temps après le part d’une vache jeune
et en bonne santé.

Le Lait dans son état normal est, comme on le sait, un
liquide blanc, opaque, onctueux où muqueux , plus dense et
un peu plus pesant que l’eau. Sa saveur est douce et très-lé-
gèrement sucrée. Presque inodore à froid, il devient odorant
par la chaleur. Sa bonne qualité se décèle à l'œil nu par son

opacité, sa teinte légèrement jaunâtre (1) et surtout très-égale.

Lorsqu’après avoir mis une goutte de Lait sur une lame
de verre sur laquelle on en ajoute une seconde, on voit ce
liquide, légèrement pressé entre les deux lames, s'étendre
promptement et facilement en une couche blanche, mince
et très-égale; dès ce moment on peut déjà être sûr à l’a-
vance que le Lait est de bonne qualité et qu'il offre les autres
caractères dont nous allons maintenant parler.

Vu au microscope.

Le Fait, comme la Lymphe et le Sang, se compose de
deux parties principales : d’une base formée d’eau, sorte de
petit océan dans lequel naissent, vivent et se développent
des corps globuleux qui jouissent de tous les attributs de la

vie organique (2).

(1) Teinte produite à l'œil nu par celle de l'huile butyreuse sécrétée et
contenue dans les plus gros globules du lait. Plus il y a de ces globules,
plus la teinte est jaunâtre et plus ces globules, étant détruits, fournis-
sent de beurre.

(2) Pendant longtemps, après leur découverte, les globules sanguins
ne furent considérés que comme de simples concrétions globuleuses de
matières organiques, sans vie et sans organisation particulière. On ne

sr CP VE

Un LC CHI

Re use

RTL

HÀ

D
ee

mere

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 203

L'eau, pas plus que les différents corps qu'elle tient en
solution, n'étant point appréciable au microscope, dans ses
éléments, dans ses globules présumés composants, nous

pourrait plus aujourd'hui soutenir cette opinion, parce que l'existence
individuelle, vivante, mais seulement végétale ou organique du globule
sanguin, est trop prouvée.

C'est ainsi qu'avancent pas à pas celles de nos connaissances qui exigent
l'observation philosophique, longue, comparative et attentive du micros-
cope. On a peine encore à s'accoutumer, à comprendre que le globule du
lait, si analogue au globule sanguin, soit aussi un être organisé distinct,
globuleux, vésiculeux, et doué de la double faculté de sécréter dans son
- intérieur l'huile butyreuse destinée à se concréter en beurre et les globulins
. quis’y forment. ,

_ Par l'analogie, on sera forcé de reconnaitre que chaque globule Iympha-
- tique, chaque globule muqueux, chaque organe élémentaire servant à
former les masses tissulaires, soit des végétaux, soit des animaux, sont
autant d'individualités douées de leur centre vital organique, absorbant
et se nourrissant, chacune, pour leur compte, sur le lieu qu’elles occupent
| dans l'organisation générale du végétal ou de l'animal, lieu où elles sont
nées , et où elles ne sont qu’en simple contiguité, quoiqu’elles soient or-
… données et destinées à faire partie d'un corps organisé plus ou moins
# complexe et de la vie d'association de ce corps, et quoique baïgnées dans
— uné eau commune, muqueuse et nutritive.

L'ignorance de cette haute philosophie de la composition des corps
organisés , à l’aide de corps organisés plus simples, a été telle, que de nos
jours de très-savants physiologistes ont soutenu pendant longtemps, dans
leurs écrits et dans leurs lecons, que les animalcules du sperme des ani-
“ maux, si variables de forme et de dimensions, suivant les espèces, si
- volontaires dans leurs mouvements particuliers, n'étaient aussi que de
b … simples grumeaux de matière muqueuse!

Nous profitons de cette occasion pour expliquer un passage du Rapport
fait à l'Académie, passage qui se trouve en opposition avec ce qu'a écrit

26.

204 RÉCHERCHES MICROSCOPIQUES

n'avons rien à en dire dans ce travail, dont le seul but est
d'examiner et de faire connaître les altérations morbides dont
peut être susceptible, comme corps organisé, le globule

M. le docteur Donné sur la formation du globule laiteux. On lit, p. 38x
(Compte rendu du 18 mars 1839): « M. Donné, d'accord avec M. Dujardin,
«et en opposition avec M. Raspail et M. Turpin, ne reconnaît aucune
«apparence de structure organique à ces globules; il ne les considère
« donc point comme formés d'une membrane ou d'un tissu cellulaire ren-
« fermant la matière butyreuse, mais bien comme de petits sphéroïdes
- résultant de particules butyreuses réunies par la force de cohésion. »

Comment rapprocher de cette citation le passage suivant, extrait de
l'ouvrage de M. le docteur Donné (Du lait et en particulier de celui des
nourrices , p. 12), rédigé sous la forme d’un doute savant, sans établir un
contraste ? « Doit-on considérer, dit l'auteur, les globules laiteux comme
« ayant une sorte d'organisation, soit une membrane enveloppante, ainsi
« que le dit M. Raspail, soit une trame celluleuse à l'intérieur? Cette
« question m'a beaucoup occupé; j'ai cherché par tous les moyens possibles
«à la résoudre, sans pouvoir y réussir d'une manière directe et positive.

« Néanmoins plusieurs considérations me paraissent favorables à l'idée
« d'une organisation dans les globules du lait, ou du moins d'une
«constitution régulière dépendante de la réunion de plusieurs éléments
«distincts; c’est là, en effet, le sens auquel je réduis ici le mot d'organi-
« sation. Ainsi les modifications successives par lesquelles passe le lait
“avant d'arriver à son état définitif; la régularité des globules, dont la
« plupart n'étant d'abord que des gouttes oléagineuses sans forme et sans
« diamètre déterminé, ainsi que je le montrerai plus loin, se calibrent
« bientôt de telle sorte que les plus gros ne dépassent jamais un certain
« volume, toute cette manière d'être me paraît plus conforme à l'idée d'une
« organisation qu'avec celle d’une simple division moléculaire.

«En outre, si les globules laiteux n'étaient que de simples particules
«de beurre plus ou m ins divisées, comment ne les verrait-on pas se
«réunir plusieurs ensem.l2 comme des gouttelettes d'huile, quand on
< chauffe au delà de 60 à 85 degrés?»

D

=

ete © dl

ps

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 20h

laiteux , lorsque les tissus chargés de le sécréter, ou mieux
de le produire, sont malades, et troublés dans leurs fonctions
normales ou accoutumées.

EEE ———_————— "EE

Aux preuves d'organisation du globule laiteux que vient de produire
M. le docteur Donné, on peut ajouter celles de la vésiculosité, de la
production de globulins à l'intérieur, lorsque l'on conserve des globules
laiteux dans une humidité et sous une chaleur constantes, celles qui con-
sistent dans l’ascension des globules vivants, afin de se mettre en rapport
avec l'oxygène, et au contraire leur précipitation au fond du sérum dès
qu'ils ne jouissent plus de leur vie organique, et celle enfin de leur végé-
tation en une Mucédinée filamenteuse , soit par extension de la vésicule,
soit par celle des globulins, après qu’ils sont sortis de la vésicule mater-
nelle et qu'ils se sont suffisamment accrus pour pouvoir germer.

Ajoutons encore que si le globule laiteux n'était qu'un agrégat fortuit
de particules de beurre, que ces agrégats sans vie seraient parfois irréguliers
dans leurs formes, qu'ils auraient des dimensions qui ne s’arrêteraient
point au 100° de millim. et que, comme le beurre extrait ils se fondraient
en huile dans leur sérum bouillant. On sait au contraire que les globules
Jaiteux supportent l'ébullition prolongée sans en éprouver la plus légère
altération , ce qui s’explique par la présence et la grande résistance qu'of-
frent les vésicules organisées qui, comme autant de petites outres, ren-
ferment l'huile butyreuse qu'elles ont sécrétée. La résistance des enveloppes
du globule laiteux sous l'action de la chaleur, est analogue à celle de l’en-
reloppe organisée du grain de fécule de pomme de terre qui, sous une
température de 150°, d'après l'expérience de M. Jacquelain ( Comptes
rendus, séance du 10 juin 1839, page 916), se déchire seulement, perd la
Mie, ainsi que ses granulés intérieurs, mais ne se dissout pas encore dans
ses éléments composants.

Oui, le globule laiteux est organisé, oui, il jouit de la vie organique, mais
au plus simple deoré. Constitué à l'aide de deux vésicules, dont l’une emboîte
l'autre, et quelquefois de globulins intérieurs , il est comparable, pour son
organisation et sa vitalité particulière ,aux globules sanguins, lymphatiques,
muqueux,aux grains de fécule ou à l’une des vésicules isolées d’un tissu

206 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

Les globules laiteux, considérés comme une sorte de po-
pulation composée d'individus de tous âges et de toutes gran-
deurs relatives à l'espèce, varient en diamètre depuis le point

cellulaire végétal , eb, comme dans la composition de là membrane de celle-
ci, dans laquelle le microscope ne découvre pas plus les éléments composants
que dans l'eau , ou dans un cristal, on est étonné de rencontrer les mots téssu
cellulaire ettrame celluleuse employés lorsqu'il est question de la membrane
vésiculiforme ,si homogène et si transparente du globule laiteux. Il y a dans
le dernier passage que nous venons de citer des expressions dont nos obser-
vations particulières ne nous permettent pas de saisir le sens. Nous ne sa-
vons point ce que c'est que des gouttes oléagineuses sans formes déterminées
et considérées comme l’origine des globules laiteux. Nous ne connaissons
dans l’eau séreuse du lait, qui sert d'habitation aux globules et qui les
alimente, qu'une population graduée depuis le globulin le plus ténu
jusqu’au globule le plus achevé par rapport à l'espèce. Au lieu de dire
que les globules se salibrent, comme qui dirait se moulent, ne vaudrait-il
pas mieux dire : Les globules se développent ; cela ne serait-il pas plus con-
forme à l'usage et à la vérité? Mais pour cela il faut admettre l'organi-
sation et la vie dans le globule, au lieu de n’y voir qu'une simple conglo-
mération de particules inertes, comme dans une concrétion urinaire ou
dans celle d’un rognon siliceux.

M. le docteur Donné, auquel nous venons de communiquer, en manus-
crit, ce que l’on vient de lire, nous a expliqué comment se trouvent en
contradiction ce qu'il a écrit d’une part dans son ouvrage sur le lait, et
ce que de l'antre en est dit dans le Rapport. Il nous apprend que son
opinion sur la formation du globule laiteux a changé depuis la publication
de son travail. Qu'aujourd'hui, comme il l'a communiqué verbalement à
M. Chevreul, il considère les globules du lait comme étant dépourvus
de toute structure organique, et qu'il ne voit en eux que de petits sphé-
roïdes composés, par agglutination, de particules butyreuses réunies par
une simple force de cohésion. Voilà ce que nous et le public ne pou-
vions savoir.

Tout en ne quittant point le sujet qui a donné lieu à cette note, nous

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 207

apercevable jusqu'au 100° de mill. Quelques-uns, toujours
peu nombreux, dépassent cette mesure Jusque près de moitié.
Les plus petits, ceux que l’on pourrait appeler Monadaires,

ajouterons que nous avons vu dernièrement avec autant de plaisir que de
surprise qu'un très-savant et très-réservé physiologiste, M. le professeur
de Mirbel, adoptait sans restriction la pluralité des individualites simples
et organisées, comme servant à former collectivement et par simple con-
tiguité les individualités plus où moins composées des vésétaux. Nous avons
maintenant lieu d'espérer que cette grande vérité, tout à fait fondamentale
de l'organisation vivante, sera bientôt reconnue par tout le monde, vérité
que nous avons depuis bien longtemps formulée sous toutes ses faces, soit
en parlant de la constitution tissulaire des végétaux, soit eu parlant de
celle des animaux. Une adhésion aussi puissante que celle de M. de Mirbel,
une adhésion résultant d'observations sérieuses et microscopiques, nous
oblige à citer textuellement le passage si remarquable et si remarqué de
son Mémoire, dans lequel, à notre grande satisfaction, il se range aujour-
d'hui si complétement de notre’avis. Tous ceux qui depuis vingt ans ont
lu ce que nous avons écrit sur ce sujet, si philosophique et si analogue à
la formation des autres corps de la nature, compareront et jugeront.
Quelques-uns peut-être penseront que la citation d’un nom fait défaut.

« Il est vrai, dit ce profond et habile observateur, que souvent toutes ces
«“utricules (vésicules) juxtaposées restent unies par une sorte de collage,
« si je puis ainsi dire; mais il ne paraît pas que jamais il s’établisse entre elles
«une véritable liaison organique. Ce sont autant d'individus vivants, jouis-
« sant chacun de la propriété de croître, de se multiplier, de se modifier
« dans certaines limites , travaillant en commun à l'édification de la plante,
«dont ils deviennent eux-mêmes les matériaux constituants. La plante est
« un être collectif. » Vouvelles notes sur le Cambium, extraites d’un travail
sur la racine du Dattier; Compte rendu, 29 avril 1839, pages 648-649.
Il n'est pas inutile d'observer que toutes les individualités simples et en
quelque sorte élémentaires des individualités plus complexes, soit qu’elles
vivent à distance les unes des autres comme, par exemple, celles des
globules Lymphatiques, Sanguins, Muqueux, Laiteux, celles des poils, etc.,

208 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

sont doués d’un mouvement de fourmillement (fig. r.)

Leur forme est d'une sphéricité parfaite, et leur transpa-
rence aussi belle que celle d'un globule ou d'une petite perle
de cristal. La pureté de leur contour, ordinairement dessiné
en noir, et leur grande translucidité, annoncent que leur sur-
face est des plus lisses; toutes choses qui expliquent comment
les globules sains du Lait, comme ceux du Sang, ne s'agglu-
tinent pas entre eux par le contact, et comment ils nagent
isolément dans l'épaisseur de l'eau séreuse (1), tant qu'ils
conservent toute leur vitalité.

I n'y a point dans le Lait deux espèces de globules distin-

soit qu'elles vivent plus rapprochées et en contiguité, comme celles fila-
menteuses, agglomérées en masses informes dans les Oscillaires et les
Nostochs, soit plus rapprochées encore, comme celles des vésicules et
des fibres des masses tissulaires des végétaux, des fibres musculaires des
animaux; toutes naissent et végètent dans une eau muqueuse, plus ou
moins abondante, qui les baigne et les nourrit, mais qui n'a pas plus de
liaison organique avec ces individus associés en masse irrégulière ou en
masse symétrique et déterminée, que l'eau, la terre et l'air n'en ont avec les
végétaux et les animaux composés qui vivent plongés dans ces trois grands
milieux, tout en admettant que ces milieux leur servent d'intermédiaires
indispensables, dans lesquels ils puisent les éléments nécessaires à leur

existence, et qui les lient entre eux de manière à contribuer ou à faire partie

de l'organisation générale et de la vie universelle où se trouve le dernier -

terme de toute combinaison, de toute association.

(x) Pour les personnes qui n’ont point observé le lait au microscope,

et pour lesquelles ce n’est qu'un liquide blane, on ne peut leur en donner
une meilleure idée, sous le rapport de son aspect microscopique, qu’en
leur présentant une eau limpide remplie de petites perles transparentes,

de grosseurs variables, et suspendues dans l’epaisseur de l'eau.

Pire

EE

2 ve Lire

SE Shan pe

#

hé

2

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 209

gués par les noms de Caséeux, ou albumineux, et d'Oléagineux,
à moins que par là on n’entende des états différents d’un
seul et même corps, comme, par exemple, l'enfance, l'âge
adulte et la vieillesse. Sans que nous soyons d'accord, M. le
docteur Donné et moi, sur ce qui regarde l'organisation et
la vitalité du globule iréde: nous tk sommes au moins sur
ce que le Lait n'offre dans ses petits, ses moyens et ses gros
globules, qu'une seule espèce, dont les individus , en raison
de la différence de leur volume, contiennent plus d'huile

. butyreuse (1).

Les plus gros globules montrent un double cercle qui in-
dique l'existence de deux vésicules qui s'emhoîtent l'une
l’autre, et dont la paroi interne de la vésicule intérieure
donne lieu à des globulins, et sécrète en même temps, peu
à peu, l'huile butyreuse qui, étant extraite de son enveloppe,

LS ’épaissit et se concrète en beurre.

Au moment de sa sortie de la mamelle (2), le EE est

(x) Du lait, et en particulier de celui des nourrices, p. 10.

(2) Lorsque le lait sort de la mamelle, les globules sont déjà formés ;
ils ont pris l'accroissement que nous leur connaissons dans les voies lac-
tées et sous la protection des tissus mammaires qui les ont produits.
Excessivement ténus et transparents à leur origine, on ne les distingue
pas plus dans le sérum que ceux de l’albumen de l'œuf crû avant sa fer-

mentation. Le lait n'offre alors qu'une eau muqueuse, légèrement collante

et blanchâtre.
La sécrétion du lait, composée d’eau et de globules organisés, produite
par les parois maternelles des vaisseaux mammaires, comme la sécrétion

du sperme formée d’eau et de ses animalcules, est destinée à s'écouler et

à sortir de l'organisation tissulaire de l'animal à mesure qu'elle se fait,
tandis que la sécrétion du sang, composée aussi d’eau et de globules or-

A XVII. =

210 RECHERCHES MICROSCOPIQUES
d’une égale densité, parce que ses globules petits, moyens
et gros, sont uniformément distribués dans l’eau de sérum.
Ce n’est qu'au bout de 2% ou de 48 heures, suivant la tem-

ganisés, reste généralement et naturellement dans les vaisseaux où elle
prend naissance, et où les globules vivent individuellement, se développent,
meurent, et maintiennent l'espèce au moyen de nombreuses générations
qui se succèdent pendant la durée de la vie d'association de l'animal com-
posé. Si nous nous sommes servi du mot généralement, c'est parce que le
sang s'écoule aussi quelquefois par partie, soit périodiquement, comme
dans les règles chez les femmes et les femelles de singes, soit forcément
dans les saignées obligées ou dans les saignées accidentelles.

Les sécrétions lymphatique, muqueuse, sanguine, laiteuse, etc., en-
gendrées par diverses parois tissulaires de l'animal composé, sont formées
de deux parties principales, savoir : une base d’eau qui baigne ou dans
laquelle vivent des myriades d'individus globuleux ou lenticulaires, pleins
ou vésiculeux, vides ou contenant des globulins, suivant l'âge de l'individu,
d'un diamètre déterminé selon les espèces, et dont les plus petits, qui
échappent à l'œil armé du microscope, en se confondant avec l’eau, qui
leur sert d'habitation, la rendent muqueuse, C'est ainsi que l’organisation
de la matière en individus doués de la vie organique, ne pourra jamais
être appréciée par nos sens dans son origine, à cause de l’excessive ténuité,
de l'incoloration et de l’absolue transparence de ces individualités primi-
tives.

Dans un état de choses aussi simple, aussi conforme à ce que l’on con-
naît partout, nous n'avons jamais pu admettre le Plastique et la Fibrine,
parce que le premier ne consiste que dans l’eau unie aux plus petits glo-
bules, et que la seconde n’est qu'un coagulum sans organisation et sans
vie particulière, qu'une agglomération informe, par simple agglutination,
une Mycoderme ‘enfin due au rapprochement fortuit des petits globules
ou des plus petits individus de ces populations très-élémentaires ; parce
que le mot Plastique nous semble devoir être entièrement réservé à cette
force vitale, à cet acte mystérieux qui préside à la formation et à l'assi-

ae RE ir,

eee

2 > = es

he ts

EE

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 211

pérature, et dans un état de repos, que les plus gros globules,
les oléagineux, comme plus développés, doués de la plus
grande vitalité organique, montent, traversent le sérum,
pour venir se placer à sa surface et se mettre le plus possible
en rapport de contact avec l'oxygène dont ils ont besoin
comme corps organisés et pour pouvoir achever leur déve-
loppement dans l’air en un végétal mucédiné. C’est ainsi que
le coagulum crémeux s'épaissit, par l'ascension successive
_ de nouveaux globules, tandis que les moyens et les plus
petits, trop faibles ou privés de leur vitalité particulière,
s’altèrent, deviennent visqueux, et se coagulent en caillot ou
caséum (1).

Le caractère microscopique d’un bon lait sain et nutritif
consiste, savoir :

° Dans la plus grande quantité de globules et dans le

4 grand diamètre de ceux-ci ;

2° Dans leur parfaite sphéricité et dans leur belle trans-
«— parence;

3° Dans leur isolement au milieu du sérum (2).

milation attractive des molécules en corps temporaires, et non au liquide
matériel qui contient en suspension Jes globulins susceptibles de s’agglu-
tiner en une mycederme informe, nommée fibrine.

(1) Dans une eau qui ne contient en suspension que des petits, des
moyens et des gros globules de même espèce, les dénominations de Crème
et de Caséum n'ont aucune valeur ; elles signifient seulement la séparation
plus ou moins grande des globules, dont, en raison de leurs différentes
grosseurs, de leur ples ou moins grande vitalité, les uns montent et
s'accumulent en crème, tandis que lés autres se précipitent ou restent
suspendus dans le sérum.

(2) Parmi les globules laiteux on trouve quelquefois de petits frag-

27.

212 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

Nous allons maintenant nous occuper des laits plus ou
moins viciés sous l'influence pathologique des tissus mam-
maires des vaches atteintes de la Cocote.

Nous ne dirons que quelques mots sur les symptômes
d’une maladie peu connue, et dont la cause l’est bien moins
encore, mais sur laquelle on peut consulter l'excellent travail
de M. le doeteur Rayer (1), et surtout le savant et très-utile
Rapport (2) fait, sur la demande de M. le préfet de police,
par une Commission du Conseil de salubrité, composée de
MM. Gaultier de Claubry, Pelletier, Guérard, Émery, La-
barraque, Chevalier, et Huzard fils, rapporteur.

Quoique dans les mêmes établissements, c'est-à-dire, sous
les mêmes influences, le plus grand nombre des vaches ayent
été plus ou moins atteintes des effets de l’épizootie, il en
est quelques-unes qui en ont été exemptes, et bien peu y ont
succombé. Encore n'est-il pas prouvé que ces vaches soient
mortes de la Cocote.

Les caractères extérieurs ou les effets d’une cause plus
profonde ont été, dans l’affaiblissement des forces vitales de
l'animal, prouvées par sa position couchée, par ses mem-
bres étalés et son œil morne, par des pustules plus ou moins
multipliées, soit aux surfaces des mamelles (5) et des mame-
lons (4), soit à celles de la peau entre les doigts et au-dessus

ments de pellicules qui proviennent, soit de l'épithélium formé par trans-
sudation muqueuse aux parois des voies lactées, soit de l'épiderme ex-
térieur des trayons froissés entre les doigts pendant le trait.

(x) Note sur l'Épizoot'e régnante, Journal l'Expérience, 17 janvier 1839.

(2) Lu en séance du 15 mars 1839.

(3) Pis ou glande mammaire, Mamelles abCominales ou inguinales.

(4) Trayons.

|
| : SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 213

|

»

des ongles, soit de la muqueuse des parties intérieures de la
bouche; ces dernières désignées, à cause du lieu différent
qu’elles affectent, sous le nom particulier d’Æphthes. Ces
diverses pustules, dont le caractère remarquable est de n'être
point cernées d’une aréole rouge produite par la surirritation
tissulaire et l’appel du sang en ce lieu (1), sont plus ou moins
grandes, plus ou moins régulières, isolées, groupées ou
confluentes, et formées de l’épiderme soulevé par l’affluence

de la lymphe attirée sur ces points où, peu à peu, en

s’altérant et en mourant dans ses globules, elle prend le nom
de Pus (2).

Pendant cette maladie, qui dure de 8 à 15 jours, les vaches
perdent l'appétit, maigrissent, et elles périraient infaillible-
ment si on ne les alimentait pas en leur faisant avaler de
l'eau blanchie avec une quantité suffisante de farine de fro-
ment. Îci on peut se demander si le défaut d’appétit qu'é-
prouve l'animal est seulement causé par les aphthes de la
bouche qui gènent la manducation, ou si, en même temps,

(1) L'absence de ce caractère d'inflammation circulaire annonce que sur
le point des pustules l'irritation n’a été portée qu'au degré qui convient
seulement à l’appel de la lymphe et non à celui, plus considérable, qui,
en même temps, attire le sang et teint les tissus par la présence de ses
globules. Cela explique aussi le peu de sensibilité qu'éprouvent les vaches
lorsqu'on presse leurs trayons pustuleux.

(2) M. le docteur Rayer ayant observé que l'éruption ne consistait point
en de petites cloches remplies de liquide lymphatique, mais bien dans le
tissu cutané, soulevé par une simple imbibition du même liquide, a cru
devoir distinguer ces deux états en substituant la dénomination d'élevure à
celle de pustule employée par les auteurs qui ont parlé de cette maladie.

21 4 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

des aphthes semblables existent dans une plus grande éten-
due sur la muqueuse de l'estomac, et si celles-ci n'ont pas
précédé ou déterminé celles de la bouche (1).

Dans cet état de souffrance et de disette, durant lequel
les vaches sont privées de nourriture, d’air et d'exercice,
durant lequel elles boitent, ont la fièvre, éprouvent le frisson
et l'horripilation, et dont la bouche laisse couler une salive
gluante, les sécrétions laiteuses doivent nécessairement être
plus ou moins troublées dans leurs fonctions, plus ou moins
abondantes, plus ou moins nutritives, plus ou moins viciées;
elles peuvent même se trouver entièrement taries. C'est ce
qui arrive en effet suivant le degré d'intensité de la maladie
portée, soit sur la totalité des tissus sécréteurs de toute une
mamelle, soit seulement sur quelques-unes des quatre parties
ou régions distinctes dont est composée, par soudure natu-
relle et constante , cette mamelle.

Une chose qui étonnerait au premier abord si l’on ne sa-
vait pas que la mamelle d’une vache est le composé, par
rapprochement et par greffe, de quatre mamelles distinctes,
terminées chacune par son propre mamelon, et fonctionnant
aussi indépendamment l’une de l’autre que le font les deux
seins séparés chez la femme, ce serait de voir la même vache
malade, la même mamelle produire souvent par l’un de ses
trayons un lait excellent, et par l'autre, situé à côté, un lait
mort et inodore, et par un troisième un lait purulent et d’une

(1) On a avancé, ce qui n’est guère probable, que les aphthes de Ja
bouche provenaient par une sorte de contagion ou d'inoculation, parce
que l'animal, pour se soulager, se léchait les pustules primitivement dé-
veloppées sur la peau des interdigitations de ses pieds,

et ES qu EN 2

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 215

odeur horriblement fétide. Ceci prouve l'indépendance des
sources et celle des fonctions physiologiques des quatre
mamelles simples, intimement liées par approche en une
mamelle composée (1).

Les pustules des trayons, comme semble l'indiquer l'ab-
sence de l’inflammation aréolaire, sont peu ou point dou-
loureuses, car lorsqu'on presse les trayons qui en sont cou-
verts, pour en obtenir du lait, l'animal semble à peine s'en
apercevoir. Ces pustules ne sont qu'un signe , que le produit
en quelque sorte d'une surirritation, et peut-être d’une inflam-
mation intérieure des tissus mammaires et sécréteurs du lait.
C'est là qu'est le siége du trouble apporté dans les fonctions
physiologiques de la sécrétion si importante de ce liquide
nutritif.

Voici le résultat des nombreuses observations microsco-
piques que nous avons faites pendant la durée de l’épizootie,
sur des laits sains, des laits morts et inodores, et des laits
putréfiés et fétides.

Dès que nous fûmes instruit, par la voie des journaux,
qu'un grand nombre de vaches étaient malades et que leur
lait pouvait avoir des inconvénients plus ou moins graves

pour la santé, nous nous empressâmes d'examiner d'abord

celui destiné à nos besoins particuliers, et ensuite celui ap-
porté de divers lieux, et par conséquent de vaches différentes.

(x) Nous avons vu ces jours derniers une vache malade, dont la moitié
de la mamelle prise en travers, c’est-à-dire, les deux mamelles particu-
lières antérieures, étaient enflammées, très-rouges, tandis que l'autre
moitié ou les deux mamelles particulières postérieures, étaient blanches

comme de coutume, et cela de la manière la plus tranchée.

216 - RECHERCHES MICROSCOPIQUES

Connaissant depuis longtemps les caractères physiques et
physiologiques du lait sain, vif et de bonne qualité, cet état
fut pour nous une sorte d’étalon ou de terme de comparaison
vers lequel nous rapportämes depuis tous les échantillons
de lait que nous pümes nous procurer.

Commencons par dire que tous les laits destinés à la con-
sommation, que nous avons eu l'occasion d'examiner, soit à
la vue simple, soit au microscope, et cela au nombre de plus
de 20, étaient tous bien constitués et de bonne qualité, ce
qui porte à croire que le lait distribué dans Paris, pendant
l'épidémie des vaches, a été généralement bon.

Pour s'acquitter le mieux possible de sa mission, la Com-
mission de l’Académie, composée de toute la section de chi-
mie et de nous, se transporta à l'Abattoir de Montmartre et
dans une vacherie particulière, le mardi 16 janvier, afin d'y
- observer des vaches malades de la Cocote, et d’en recueillir
les sécrétions laiteuses dans divers états sains ou morbides.

Trop souffrant ce jour-là, nous ne pümes faire partie
de cette réunion. Mais dès le soir même, M. Darcet eut la
bonté de nous faire parvenir la moitié des échantillons des
laits traits sur des vaches plus ou moins malades qui se
trouvaient, soit à l’Abattoir, soit dans la vacherie parti-
culière.

Ces échantillons, au nombre de 7, successivement observés
à la vue simple et au microscope, présentaient les caractères
suivants :

JE SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 217

N° 1. Lait obtenu par la voie d'un mamelon malade ou
pourvu de pustules.

Ce liquide, contenu dans le bocal, était séparé en deux
parties de densité bien différentes. La partie supérieure, de
moitié plus considérable que l’autre , n'était, pour ainsi dire
qu'une eau séreuse d’un jaune paille (fig. 6).

La partie inférieure, moins colorée, ressemblait à la Le-
vüre de bière, et, comme celle-ci, se composait de globules
précipités au fond de l’eau séreuse.

Versé dans une soucoupe, ce liquide était comme hui-
leux , un peu filant , entièrement inodore, sans saveur appré- .
ciable et ne rougissait que peu ou point le papier bleu de
tournesol.

La partie solide ou le coagulum , formé par l’agglutination

. des globules morts et précipités, n'offrait qu’une seule masse

informe, gélatineuse, tout à fait comparable, quant à l’as-
—…_ pect, à la densité et à l’élasticité, à ces agglomérations
—. charnues ou gélatinoïdes que l’on nomme la Mère (1) et qui
— se forment dans lé cidre, le vin et le vinaigre.

Ce coagulum, eollant légèrement aux doigts, présentait à
sa surface, lorsqu'on l’observait à la loupe, de petites cir-
convolutions labyrinthiformes et cérébrinales analogues à
…. celles que l’on remarque à la surface inférieure de ces masses
gélatineuses (2) qui se forment au-dessus des cornichons con-

L)

(1) Mycoderma vini des botanistes.
(2) Mycoderma mesentericum.

T. XVII. 28

218 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

fits ou des fruits à l’eau-de-vie. Quelques taches rosées ou
rougeâtres annoncaient que la matière colorante du sang
s'était mêlée à cette sécrétion laiteuse et morbide.

Vue au microscope.

L'eau séreuse montrait des globules morts (1) peu nom-
breux, déprimés ou aplatis, flasques, transparents, légère-
ment jaunâtres, granuleux dans leur intérieur et comme
fraisés sur leur bord, variables en diamètre depuis le point
apercevable jusqu’à environ un 120° de mill. (fig. 7).

C'est à la présence de ces globules suspendus dans l’eau
séreuse que celle-ci doit sa couleur rousse ou paille, sa légère
densité et son collant.

Les globules précipités et agglutinés en masse charnue
étaient les mêmes, peut-être généralement un peu plus gros.
Plusieurs, des plus développés, laissaient apercevoir que
parmi les globulins contenus dans leur intérieur, un, deux
ou trois, avaient pris plus d’accroissement que les autres.

(x) Globules cotonneux de M. Donné. De semblables globules s’ob-
servent en plus ou en moins grande quantité parmi les globules sanguins
et colorés du sang humain, et sans doute parmi ceux de beaucoup d’autres
sangs. Ces globules, nommés globules blancs par M. Donné, et globules
fibrineux par M. Mandi, sont-ils des globules sanguins étiolés, albins,
morts ou avortés, ou sont-ce des globules lymphatiques viciés et passés
dans la circulation sanguine ? ou enfin n'est-ce, ce que nous n’admettons
pas, que de petits agglomérats de granules fibrineux ?

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es

‘

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 219

N° 2. Lait obtenu par la voie d’un mamelon sain, dépourvu
de pustules, mais faisant partie de la mamelle composée
de la méme vache malade.

Contenu dans le bocal, ce Lait offrait la plus belle appa-
rence; les gros globules oléagineux, nombreux, étaient suc-
cessivement montés et formaient à peu près le tiers supérieur
du liquide laiteux. Les deux autres tiers se distinguaient par
une teinte blanche bien égale, mais un peu moins jau-
nâtre. Jusque-là tous ces signes étaient ceux d’un excellent
Lait, tant sous le rapport de la nutrition que sous celui de
la production du beurre.

Mis ànu, ce Lait conservait sa belle apparence; il était
inodore comme tous les Laits froids, et sa saveur, légèrement
acide, était celle d’un excellent Lait. Il rougissait prompte-
ment le papier bleu de tournesol. La goutte placée entre
deux lames de verre s’y étendait vite et facilement, de manière
à offrir une teinte blanche parfaitement égale. Ce caractère
indiquait que les globules laitéux étaient bien isolés les uns

des autres, sains par conséquent, et que le Lait était de
bonne qualité.

Vus au microscope.

Les globules, petits, moyens et gros, étaient purs dans
leur sphéricité, dans leur transparence; tous étaient bien
isolés et nageaient ou roulaient librement dans le sérum sans
s'y agglutiner (fig. 1). Ils étaient sains, jouissaient de leur
vitalité organique, ce qui les mettait dans le cas de monter

28.

220 RECHERCHES MICROSCOPIQUES
vers l'air et l'oxygène, ou de rester suspendus également
dans le sérum , au lieu de tomber au fond et de s’y agglutiner
en une masse charnue comme dans le cas précédent, lorsqu'ils

sont morts.

N° 5. Lait provenant d'une autre vache malade, mais par
la voie d’un mamelon paraissant sain extérieurement et

sans pustules.

Vu dans le bocal, il avait la même apparence que le pré-
cédent. Une grande épaisseur de globules oléagineux ou
crémeux occupait la partie supérieure. Versé dans une as-
siette, la crème, plus jaunâtre, nageait par petites portions
dans le sérum laiteux qui était moins dense et un peu plus
bleuâtre. Toujours inodore avec une très-légère saveur de
Lait, il rougissait le papier bleu de tournesol. Placé entre
deux lames de verre, il s'étendait moins bien que le précédent
et offrait une teinte moins égale.

Vus au microscope.

Les globules étaient généralement isolés les uns des autres,
mais ils étaient altérés dans leur sphéricité et dans leur trans-
parence qui avait pris une légère nuance jaunâtre (fig. 2).
On voyait qu'ils étaient flétris ou ridés et plus ou moins
contractés , que, probablement par l'effet de cette contrac-
üon, ils avaient transpiré une partie de leur matière grasse, ce
qui, dans ce cas, facilitait encore leur tendance à s’agglutiner,
comme lorsque le Fait altéré se coagule pendant l’ébullition
ou lorsqu'on le soumet à l’action de l’ammoniaque. Parmi les

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ès

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 221

globules isolés, on en voyait beaucoup d’autres qui s'étaient
collés en masses irrégulières et de grandeurs variables, les
unes arrondies, les autres comme nuageuses , d’autres allon-
gées sous la forme de rouleaux (1) (fig. 2, d,d,d.). Toutes
ces masses composées de globules petits et gros nageaient
ou roulaient dans le sérum sans se désagréger. Dans quelques-
unes, sans doute les plus anciennes, on voyait que les glo-
bules composants s'étaient comme fondus plus ou moins, de
manière à ne plus offrir que la forme de la masse, dans
laquelle on retrouvait encore quelques simulacres de globules.

Indépendamment des globules libres et des globules agglu-
tinés, le sérum contenait encore une quantité prodigieuse de

buis punctiformes, monadaires, avec mouvement de

fourmillement, que l’on ne rencontre pas en aussi grand
nombre dans le Lait de bonne qualité. D'où provenait la
multiplication excessive de ces globulins ? étaient-ils invisibles
d'abord dans le sérum, comme ceux de l’albumen de l’œuf, qui
n'apparaissent que dans l'acte de la fermentation de cette
substance ? ou bien les gros globules, en se contractant, les
avaient-ils expulsés de leur intérieur? Voilà ce que l’on ne
peut encore savoir. Quoique ce Lait ne soit pas de première
qualité, sous le rapport de la vitalité et des caractères or-
ganiques de ses globules, nous pensons néanmoins qu'il n'a
rien perdu sous celui de ses qualités nutritives, la nutrition
ayant toujours lieu par l'assimilation de molécules de matière
organique isolées de tissus de végétaux ou de tissus d’ani-

(1) Les formes allongées, composées de globules agglutinés, ressem-
blaient à de‘petits rouleaux de laine ou de coton qui rouleraient dans l’eau.

222 RECHERCHES MICROSCOPIQUES #

maux qui ont cessé de vivre, lorsque nous les introduisons
dans notre estomac.

N° 4. Lait fourni par le mamelon pustuleux d’une vache
malade.

Ce liquide différait peu de celui du n° 1. Contenu dans le
bocal, il offrait un sérum jaune paille légèrement opalisé et
de là transparence du vin de Madère. Une écume qui se
formait à sa surface, par l'ascension successive de bulles
gazeuses, annonçait qu'il fermentait.

Au fond du bocal on voyait un dépôt blanchâtre, dans la
proportion d’un quart environ de l'épaisseur du sérum qui
surnageait. Ce dépôt, qui, comme on l’a déjà vu précédem-
ment, était dü à la précipitation des globules morts, simulait
parfaitement la Levûre de bière accumulée en pâte au fond
de ce liquide.

Inodore et sans saveur appréciable, il n’avait aucune action
sur le papier bleu de tournesol.

Vus au microscope.

Les globules de ce Lait se rapportaient parfaitement à
ceux décrits dans le Lait n° 1.

No 5. Lait tiré par un mamelon sain, sans pustules exté-
rieures , de la mamelle de la vache précédente.

Contenu dans le bocal, ce Lait était d'une parfaite appa-
rence; sa belle teinte laiteuse était égale dans toute l'étendue

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 223

du liquide, sauf dans la partie supérieure où, dans une petite
épaisseur, la teinte tirait un peu sur le jaunâtre, ce qui faisait
facilement supposer que cette région se composait des gros
globules butyreux ou oléagineux qui, après avoir monté,
s'étaient accumulés en crème dans cette partie.

Sorti du bocal, il offrait tous les caractères d’un bon Lait:
il était inodore, sa saveur était celle du Lait normal; ï
rougissait promptement le papier bleu de tournesol; il s’é-
tendait facilement et très-uniformément entre les lames de
verre, et supportait parfaitement l'épreuve de l’ébullition
la plus prolongée : il ne s’agglutinait point sous l'influence
de l’ammoniaque.

Vu au microscope.

Ce Lait achevait de fournir les preuves de son excellente
qualité. Ses globules, bien sphériques et brillants comme des
perles, étaient tous isolés; tous, en nageant uniformément
dans le sérum, s’évitaient et ne s’agglutinaient point. C'était
donc un bon Lait, quoique provenant par le mamelon de
lune des quatre mamelles soudées, voisine d’une autre qui,
étant malade, en sécrétait un fort mauvais (1) (fig. 1).

(x), De même que de deux sources voisines il peut couler de l'une une
eau très-limpide.et de l’autre une eau bourbeuse, on voit de deux mame-
lons voisins de la même mamelle sortir, par l’un un lait pur, et par l’autre
un lait morbide, et même un lait purulent et très-fétide.

20/ RECHERCHES MICROSCOPIQUES

N° 6. Lait obtenu par la voie d’un mamelon pustuleux
d'une autre vache malade.
Ce Lait était, à peu de chose près, semblable à ceux des
n°s 1 et 4.

N° 5. Lait extrait par un mamelon sain de la méme vache.

Ce Lait, contrairement au précédent, était parfait dans
sa composition.

On a dû remarquer que-plus le Lait était altéré ou morbide
dans la constitution de ses globules, moins il offrait d'acidité et
moins par conséquent il rougissait le papier bleu de tournesol.

Le vendredi suivant, 19 janvier, la commission retourna à
l'abattoir de Montmartre et à la vacherie particulière dont
nous avons parlé, dans l'intention d'y revoir des vaches ma-
lades et des Laits plus ou moins morbides. Ce jour-là il nous
fut possible de faire partie de cette réunion, à laquelle assis-
tait M. le docteur Donné, comme l’auteur de la lettre écrite
à l'Académie, sur les dangers présumés que pouvait offrir le
Lait des vaches malades pendant la durée de l'épidémie ;
lettre qui a donné lieu au savant Rapport qui se trouve im-
primé, en entier, dans les Comptes rendus de l’Académie (1).

L’épidémie, tout à fait à son déclin, nous fit désespérer
pendant quelque temps de pouvoir nous procurer encore
quelques vaches atteintes de la Cocote. Ce ne fut qu’au bout

(1) Séance du 18 mars 1839, p. 380 - 406.

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 229

de quelques heures de recherches que, grâce aux soins com-
plaisants de M. le Directeur des abattoirs, Bizet, on en
trouva trois ou quatre dont une était très-vivement affectée.

Parmi les échantillons de Lait obtenus de ces différentes
vaches et de leurs divers mamelons sains ou malades, il s’en
trouva deux qui présentaient des caractères morbides qui
ne sétaient point encore offerts dans les sept décrits plus
haut.

Dans l’un de ces Laits, qui avait une densité égale, c'est-
à-dire, dont les globules ne se séparaient pas du sérum
comme dans ceux des n% 1 et 4, dont la teinte laiteuse était
uniforme mais un peu verdâtre, on trouvait, à l'inspection
microscopique, un grand nombre de globules morbides de
diamètres différents, dont les plus gros pouvaient avoir un
5ome de mill.; ils étaient vésiculeux, fraisés ou mamelonnés,
remplis de globulins et plus ou moins colorés en vert olive
(fig. 2, e,e,e.). Ces globules qui étaient, par leur présence et leur
nombre, la cause de la couleur verdâtre de ce Lait , vu à l'œil
nu, n'étaient évidemment que des états très-altérés des globu-
les normaux du Lait, car on pouvait suivre, parmi tous les
autres globules plus ou moins sains, tous les passages de
ces altérations. Quelques-uns de ces gros globules, fraisés et
olivâtres, montraient que dans leur intérieur un, deux ou
trois des globulins s'étaient accrus.

Ce Lait, dont personne n'aurait voulu faire usage, à cause
de sa teinte verdâtre, n'avait aucune odeur appréciable (1);

(1) Ce lait, que nous avons conservé , est encore inodore aujourd'hui
18 Juin, 5 mois après la sortie du pis de la vache malade.

HE OXVIT, 29

226 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

sa saveur était un peu laiteuse, il rougissait à peine le papier
bleu de tournesol, l'ammoniaque le coagulaït, mais, chose
remarquable , il subissait l'épreuve de lébullition la plus
prolongée.

On trouve de ces globules granuleux et olivâtres en plus
ou moins grande quantité dans tous les Laits qui proviennent
detissus mammaires surirrités, quelle que soit la cause de la
surirritation. |

L'hiver dernier, M. le docteur Breschet nous communi-
qua un Lait qui provenait de l'ouverture d’un sein surirrité et
engorgé d’une jeune femme malade à la suite d’une couche.
Ce Lait avait absolument les mêmes caractères que celui que
nous venons de décrire, si ce n’est que, plus vicié encore,
la plupart des gros globules olivâtres , bien plus nombreux,
vomissaient à l'extérieur leur vésicule interne, qui était in-
colore (1).

Beaucoup d’autres échantillons de Lait sains ou plus ou
moins morbides, tous provenant de vaches #fectées de la
Cocote à divers degrés, nous furent communiqués par MM. les
Professeurs Lassaigne et Philippar, par M. Huzard fils, avec
tous les renseignements possibles sur l'état pathologique
des vaches qu’ils avaient soigneusement observées, soit à
l'école vétérinaire d’Alfort, soit à Trianon, soit à Grignon,
soit dans plusieurs grandes fermes contiguës à Ver-
sailles.

Comme tous ces Laits ne nous ont offert que des répéti-

(1) Voyez la description de ce lait, Comptes rendus de l'Acad., t. VI,
p. 200.

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 227

tions de ceux dont nous venons de faire mention, nous nous
dispenserons d’en parler.

M. Donné ayant présenté à la société Philomatique et à
l'Académie des sciences des échantillons de Lait dont l'odeur
était horriblement fétide, nous étions étonné de voir que
tous ceux, très-nombreux et souvent très-morbides, que nous

avions examinés, étaient parfaitement inodores , ou seule-

ment, quelquefois, exhalaient une très-légère odeur de Pomme
de Reinette.

Ce Lait fétide s’est enfin rencontré à l’abattoir de Mont-
martre sur une vache qui paraissait extrêmement souffrante
et dont la mamelle surirritée montrait des mamelons ou
trayons pustuleux.

A la vue simple, cette sécrétion laiteuse avait un aspect
tout particulier qui ne ressemblait en rien à celui des autres
Laits observés les plus morbides. Le liquide avait la même
densité et la même intensité de couleur dans toutes ses par-
tes, c'est-à-dire qu'il ne se faisait point de séparation entre
l'eau séreuse et les globules et les globulins (fig. 9). Sa couleur,
au lieu d’être rousse, était un mélange équivoque de blanc,
de gris et de jaunâtre,, ce qui, en somme, donnait un gris

clair tirant un peu sur le verdâtre. L'odeur fétide, sulfurée

et des plus repoussantes , ne pouvait guère être mieux com-
parée, comme l'a déjà dit M. Donné, qu'à celle poussée au
plus haut degré de la sueur des pieds les plus sales et les
plus puants. Mis entre deux lames de verre, il s’étendait faci-
lement et également.

Un passage aussi brusque entre un Lait très-morbide et
inodore et un Lait aussi horriblement fétide, il devait né-

29.

228 L RECHERCHES MICROSCOPIQUES

cessairement exister de grandes différences organiques déjà
indiquées par celles des aspects (1).

Analyse microscopique.

Ce Lait, soumis au microscope (fig. 10), n'offrait plus
guère que des globulins punctiformes de la plus grande té-
nuité possible et doués chacun du mouvement de fourmille-
ment ou Brownien. Ces globulins provenaient tout à la fois
de la décomposition des enveloppes vésiculaires de globules
laiteux préalablement morts, et des globulins internes que
contenaient ces enveloppes. Parmi cette prodigieuse quantité
de globulins punctiformes et monadaires, il restait encore un
assez grand nombre de globules morbides semblables à ceux
que nous avons décrits sous les n® r et 4, et qui étaient en
action de se décomposer à leur tour (fig. 10, &,@).

Il est facile de voir que ce Lait fétide n'était qu'un état
plus avancé des Laits simples, morts ou morbides, que nous
avions déjà observés. Dans ceux-ci, les globules, seulement
privés de leur vie organique, se séparaient de l’eau séreuse
en tombant au fond de tout leur poids, mais sans avoir
encore éprouvé la moindre décomposition, tandis que dans
le Lait fétide ces globules morts étaient plus ou moins dis-
sous dans leurs éléments monadaires (2).

. ’

(1) Toutes les gradations possibles entre ces deux Laits doivent nécessai-
rement se rencontrer, l'un n'étant que la décomposition purulente de
l'autre.

(2) Tous les Laits plus où moins morbides, soit à l'état inodore, soit à
l'état purulent et fétide, ne sont point particuliers à l'affection de la Cocote;

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 229

Cette observation microscopique, qui nous paraît neuve
et mériter l'attention des physiologistes, en ce qu'elle s’ap-
plique à tous les tissus organiques après la vie d'association
des individualités composées ; cette observation démontre que
tant que les globules laiteux ne sont que malades, morts et
seulement plus ou moins altérés dans leur forme et leur
couleur normales, qu’ils restent parfaitement inodores, et

-que ce n’est qu'au moment de leur décomposition en globu-

lins monadaires que l'odeur fétide se manifeste de plus en
plus et suivant le plus grand nombre de globules morts et

décomposés. Ceci s'explique d’une manière toute mécanique.

Tant que les éléments composants restent captifs et agglu-
tinés à leur place dans l’organisation du globule, adhérents
les uns aux autres, ils ne peuvent encore s’en détacher et

ils n'en sont point un caractère , puisque les mêmes altérations peuvent
être produites chaque fois qu'une mamelle est surirritée ou engorgée. C'est
avec raison que M. Donné a comparé ces laits morbides au premier lait
sécrété immédiatement après le part des animaux et auquel on donne le
nom de Colostrum. Cette ébauche d'une sécrétion nouvelle et temporaire,
précédée d'une surirritation des tissus mammaires , ne peut être composée,
tout d'abord, que de globules mal constitués, rares et plus ou moins
morbides. Pour que le lait soit bon, il faut que l'irritation descende au
degré qui convient aux fonctions normales et maternelles de cette sécrétion.

Si le Colostrum ou le premier lait a semblé avoir une légère pro-
priété purgative, c'est qu'on n’a pas réfléchi que si le nouveau-né le
rejette ou éprouve des coliques, c’est seulement parce qu'il agit sur des
parois très-irritables et qui ne sont point encore accoutumées au contact
de corps étrangers. Il en est de ces parois ou de cette surface muqueuse
comme de celle extérieure de la peau, qui a besoin aussi de se mettre peu
à peu en rapport de contact avec l'air atmosphérique.

230 __ RECHERCHES MICROSCOPIQUES

s'élever dans l'atmosphère de manière à venir frapper les
nerfs olfactifs de l'odorat, comme cela arrive au plus haut
point chez les Laits décomposés et putrides dans les voies
lactées des mamelles engorgées et surirritées des vaches très-
malades de la Cocote où de toute autre affection.

La décomposition en globulins monadaires des globules
morts du Lait explique l'aspect particulier du Lait passé
à l'état purulent et de fétidité dans lequel les globulins , en
raison de leur légèreté, sont également répartis daus l'eau
séreuse. 1

D'après la cause, très-évidente, du développement ou du
dégagement de l'odeur si fétide du Lait, par la décomposition
des globules sous l'influence des tissus mammaires surirrités ,
on ne peut guère mettre en doute qne chez les animaux
morts, lorsque la fétidité se fait sentir, que la cause ne soit
absolument la même, c’est-à-dire que, pour que cette odeur
se manifeste à notre odorat, il faut qu'il y ait décomposition
monadaire des organes élémentaires qui servent à constituer
les masses tissulaires de l'animal, tels d’abord que les glo-
bules pleins ou vésiculaires des diverses sécrétions, ceux de
la pulpe nerveuse, ceux plus résistants des fibres musculaires
et des autres parties des tissus. Ê

C'est ainsi que les divers organes élémentaires qui: ser-
vent à la composition des masses tissulaires des végétaux et
dés animaux, étant conservés intacts par la contraction pro-
duite , soit par l'absence de l'humidité, soit par l’action des
sels, des acides, de l'alcool, restent inodores, parce que tous
leurs éléments étant retenus et comprimés ne se détachent ni
ne s'élèvent en miasmes dans l'atmosphère.

Nous allons maintenant parler d’un autreétat de Lait, très-

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 231

distinct des précédents, obtenu par M. Lassaigne d’une vache
malade d’une autre affection que celle de la Cocote, et dont
les quatre mamelles particulières de la mamelle composée et
quaternaire étaient surirritées et engorgées.

Ce Lait sortait des mamelons ou trayons sous la forme de
petits flocons d’un beau blanc et d’un aspect ‘entièrement
cotonneux (fig. 1 1). Ces flocons, véritables petites mycodermes,
avaient une grande élasticité et en même temps une grande
ténacité, ce qui démontrait une forte adhérence entre les
composants microscopiques de ces coagulums, formés dans
l'intérieur des voies lactées de l’animal malade.

Vus au microscope.

Ces flocons laiteux, très-difficiles à étendre ou à séparer
entre les deux lames de verre, montraient qu'ils étaient le
résultat d’une immense quantité de globules laiteux morts
dans les vaisseaux lactés (fig. 12, a), puis, par l'effet de cette
mort, fortement agglutinés les uns aux autres. Tous ces
globules, étudiés isolément, chez ceux échappés à l’aggluti-
nation, différaient des globules sains du lait normal en ce
qu'ils étaient altérés dans leur forme sphérique, qu’ils étaient
affaissés, flasques et plicatulés comme de petites vessies
humides et dessoufflées, et en ce qu'ils avaient pris une
légère teinte jaunâtre. Leur diamètre était toujours celui
des globules vifs du Lait. Parmi ces globules on en voyait un
grand nombre d’autres qui étaient olivâtres, muüriformes ou
fraisés et qui souvent vomissaient leur vésicule interne (fig.12,
b,.b, b).

Jusque-là tout se passait fort simplement : on conçoit faci-

232 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

lement que des globules privés de leur vie organique puis-
sent devenir collants et former un coagulum; mais il se
présente ici un cas bien plus intéressant. Tous ces globules
étaient entremélés avec des fibrilles longues, très-nom-
breuses, de diamètres variables, paraissant, au moins les
plus grosses, tubuleuses, sans cloisons ou sans articulations,
rameuses , flexueuses et incolores comme la plupart des glo-
bules (fig. 12 d, d). Ces fibrilles, enchevêtrées entre elles et
entre les globules laiteux, devaient nécessairement contribuer
fortement au feutrage solide de ces coagulums. Mais d’où
provenaient-elles ? qui, des globules laiteux ou des fibrilles,
avait précédé dans les voies lactées? Ces deux produits
organisés étaient-ils indépendants l’un de l’autre, n’étaient-
ils qu’associés et végétant pêle-méle dans le même milieu et
sous les mêmes influences ? ou n'’était-il pas plus rationnel
de penser que les globules laiteux, arrêtés et accumulés
dans les voies d'une mamelle surirritée et engorgée, y avaient
produit, lorsqu'ils vivaient encore, les filaments byssoides
et mucédinés, comme cela se voit chez les globules laiteux
abandonnés à eux-mêmes sous l'influence de l'air et de l’oxy-
gène (1) ? Peut-on admettre que l'existence de ces nombreuses
tigellules filamenteuses est spontanée, qu’elle est entièrement
due à l’arrangement des globules élémentaires qui forment
la matière organique suspendue dans l'eau de sérum et sous
la seule influence d’une force plastique tendant à l’organi-

(1) L'analogie porte à croire que les filaments de ce Lait particulier ont
eu les globules laiteux pour point de départ, et que ces globules en ont
été les seminules, comme cela se passe chez toutes celles dont se com-
posent les Levûres et les Mycodermes pendant la fermentation.

.
|

Ü

k ‘ co PAR TER n. Le

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 233

sation, comme il paraît que cela a lieu pour la formation de
la fibrine du sang? N'ayant point assisté au développement
de ces tigellules laiteuses , n’ayant pu les observer que toutes
venues, nous ne pouvons rien dire sur leur véritable origine;
mais en étudiant cette remarquable végétation filamenteuse
développée dans l’intérieur des voies lactées d’une mamelle
de vache engorgée, on ne peut s'empêcher de se’ souvenir
d'une citation que nous avons faite dans notre mémoire
sur la végétation des globules laiteux (1). Cette citation, la
voici : Vésale (2) et Roderic à Castro, après avoir rejeté la
ridicule dénomination de Poil donnée aux seins engorgés
des femmes en couche, et toutes les causes plus ridicules en-
core que l’on donnait de ces surirritations, disent : le pre-
mier, qu'il ne s’engendre point de SAT poils dans les
mamelles, mais quelque chose de semblable à ces Jilaments
qui se Ééient dans les reins et dans les méats urinaires ;
le second, qu'il est persuadé que le lait, en se grumelant
dans les vaisseaux lactifères, y forme des concrétions f{la-

menteuses semblables à des poils (3).

Ces auteurs avaient-ils réellement bien vu les filaments
laiteux dont ils parlent, et qu’ils croyaient se former en pelo-
tons dans les voies lactifères , obstruées vers leurs extrémités ?
ou n'avaient-ils fait que pressentir cette vérité? Bien con-
vaincu que ce qui se passait en dehors pour la végétation

(x) Annales des sciences nat. Décemb. 1837, et Comptes rendus de
l'Académie, t. VI, p. 250. :
(2) En 1530.
(3) Dict. des sciences médicales, t. 43, p. 473.
T. XVII. 30

234 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

des globules du lait, pouvait tout aussi bien avoir lieu
dans l'intérieur des tissus mammaires vivants, lorsque les
globules sont arrêtés dans leur écoulement naturel et forcés
de séjourner dans les mamelles, nous nous miîmes à la re-
cherche de ces cas extraordinaires, sans pouvoir depuis nous
en procurer un seul, autre que celui que nous devons au-
jourd'hui à la bonté de M. le professeur Lassaigne , et dont
nous donnons ici les figures, afin de bien consigner ce fait
extrêmement curieux d'une végétation filamenteuse et intes-
tinale parmi des globules laiteux.

Après avoir parlé de cette dernière modification du lait,
de ce lait filamenteux ou fibrineux, de ce lait très-alcalin
comme tous les laits morbides (1), nous allons examiner le
liquide séreux qui, sécrété plus que de coutume, sur des
points multipliés, soit de la muqueuse de l’intérieur de la
bouche, soit à la surface des trayons, soit aux pieds dans les
parties interdigitées, soulève l’épiderme de manière à pro-
duire des pustules ou aphthes blanchâtres dépourvus d'’in-
flammation circulaire apparente.

Du liquide contenu dans les trois sortes de pustules.

En nous envoyant divers échantillons de lait plus où moins
morbide, M. le professeur Philippar eut la bonté d’y joindre
un petit flacon dans lequel il avait mis une certaine quantité
de la sérosité extraite des pustules des trayons. Cette sérosité,

€

(x) Cette modification de lait filamenteux peut se rencontrer dans les
voies lactées de toutes les mamelles surirritées ou malades,

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 235

au moment de son extraction, était incolore, inodore et
visqueuse; c'était de la lymphe aussi pure que celle qui est
attirée et qui s’accumule sous l’épiderme par l’action surirri-
tante des vésicules. Dès qu’elle fut exposée à l'air et à la lu-
mière , elle jaunit promptement.

Vue au microscope.

Cette Lymphe, jaunie par l’action de l'air et de la lumière,
et pouvant, en cet état de décomposition plus ou moins
avancé , être appelée Pus (1), se composait de son eau inaper-
cevable et de ses globules organisés. Ces globules, dont le
diamètre variait depuis le point monadaire jusqu'à environ
un 80° de mill., étaient les plus gros, vésiculeux, jaunäâtres,
et contenaient des globulins excessivement ténus. Dans cet
état morbide, ils tendaient à s’altérer dans leur forme sphé-
rique, à s’agglutiner, à se confondre et à former ces coa-
gulums qne nous nommons les croûtes du Pus. Parmi ces
globules se trouvaient de petits caillots rougeâtres et irrégu-
liers dus à de la matière colorante du sang extravasée.

L'analyse que nous fimes du liquide lymphatique re-
cueïlli par nous dans les pustules des pieds et dans les
aphthes de la bouche, nous démontra l'identité des trois

{x) Les globules du Pus ne sont point une espèce normale, ils n'offrent
qu'un état morbide, soit des globules lymphatiques, soit des giobules
muqueux , soit des globules sanguins, soit enfin des globules laiteux. Le
pus n'est donc qu’un amas des globules morts précités et souvent mélangés
ensemble. En cet état, le pus devient souvent verdâtre et prend une odeur
fétide.

s 30.

236 RECHERCHES MICROSCOPIQUES
sécrétions dues, momentanément, à l’état pathologique des
vaches affectées de la Cocote.

Plusieurs médecins expérimentateurs, croyant qu'en raison
de leur apparence et de leur situation sur les trayons, ces
pustules pouvaient renfermer le véritable cow-pox, ou vaccin
primitif, ont essayé ce pus, qui leur était inconnu dans ses
principes, en l’inoculant chez des enfants et sur eux-mêmes,
et en répétant, sans le moindre succès, sans la moindre ac-
tion quelconque, l'expérience sur seize individus différents.

Ce pus s’est constamment éteint sur le point de l’inocu-
lation, comme l'aurait fait de la lymphe recueillie sous la
cloche ou l’ampoule d’un vésicatoire.

Là se sont bornées nos analyses microscopiques des laits
plus ou moins morbides, plus où moins purulents, produits
sous l'influence des tissus mammaires des vaches affectées
de la Cocote, comparées à celle d'un lait vif et de bonne

.

qualité.

Après l'observation pathologique des symptômes exté-
rieurs de la maladie, venaient naturellement trois autres
sortes d'examens :

1° Celui, microscopique, des sécrétions laiteuses et des
sécrétions lymphatiques des pustules, que nous avons essayé
de faire le mieux qu’il nous a été possible.

>" Celui résultant d'analyses chimiques comparées, afin
de s'assurer si les laits morbides contenaient ou ne conte-
naient pas des substances délétères pouvant être nuisibles à
la santé : examen le plus utile, le plus direct, comme étant le
seul capable dans la circonstance de rassurer la tranquillité
publique; car tout ce que l’on a demandé s'est borné à cette
simple question : Le lait des vaches malades de la Cocote

PR NP AS D y nat

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 237

est-il bon ou est-il mauvais? Peut-on continuer d'en faire
usage pendant la durée de l'épidémie, ou est-il prudent de
s’en abstenir ? Peut-il en méme temps s'en trouver du bon
et du mauvais? À quels signes faciles et à la portée de
tout le monde peut-on les distinguer ?

3° Celui, plus difficile, consistant dans de longues expé-
riences physiologiques, pour arriver à connaître les effets
bons ou mauvais des laits plus où moins morbides sur l’es-

tomac et dans le reste de l’économie animale.

Grâce à ce que le lait est d'un très-grand usage comme
aliment, ce dernier examen fut soumis à l'expérience la plus
étendue : le public, presque à son insu, en fut chargé.

Il est très-consolant de pouvoir assurer, dans le cas où une
pareille épizootie viendrait à reparaître, et à être encore
dénoncée par la voie des journaux (1), que l’usage du lait,
pendant la durée de celle-ci, n’a produit aucun malaise,
aucuns cas graves sur les estomacs même les plus susceptibles,
comme ceux des enfants et des vieillards, qui se sont, en
grande partie, nourris de lait pendant l'épidémie. Des ob-

_ servations de ce genre, faites par des médecins dans des mai-

sons de retraite, sur des individus nombreux, ont été rap-
portées à l’Académie royale de médecine et consignées aux
procès-verbaux. Des veaux et des cochons nourris dans plu-

(x) Gette maladie, bien connue des vétérinaires, se renouvelle assez
souvent, car ils l'ont observée et bien décrite en 1810, 1811, 1812,
1834 et 1835. Mais l'ayant toujours jugée assez bénigne, ils n’ont jamais
cru nécessaire d'en entretenir le public, qui ordinairement prend tout au
sérieux et s’effraye facilement. |

238 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

sieurs fermes avec le lait produit par des vaches malades de
la Cocote, n’ont éprouvé aucune indisposition.

Ce liquide, qui fait la première nourriture de l’homme et
des animaux mammifères, et qui est d’un usage familier
durant le reste de la vie, est tellement connu dans ses
caractères d’aspect, de couleur, d’odeur et de goût, que
chaque individu peut être son: propre inspecteur, comme il
l'est de presque tous les autres aliments dont il fait usage. Le
moindre changement qu'éprouve le lait dans ses caractères
accoutumés , nous est signalé de suite et nous le fait repousser
à l'instant. Il en a été de mème de la chair de toutes les vaches
abattues lorsqu'elles étaient atteintes de la Cocate. Cette
viande, vendue et mangée, n’a offert aucuns résultats ficheux.

Aux signes distinctifs du lait sain dont nous avons parlé
dans le commencement de ce travail, nous avions cru pou-
voir y ajouter celui de l'épreuve de l’ébullition; mais plu-
sieurs expériences nous ont démontré l'insuffisance de ce
moyen.

Du lait sain dans lequel nous avons introduit à peu près le
quart du sérum jaune d’un lait dont tous les globules morts
s'étaient précipités et coagulés en un caillot charnu, a par-
faitement subi l'ébullition la plus répétée et la plus pro-
longée.

Un autre lait, après avoir recu une portion considérable
du caillot, a supporté la même épreuve.

Dans un troisième, nous avons ajouté du lait purulent et
fétide, et ce mélange a parfaitement bouilli. Pendant la durée
de la chaleur de ce lait, il s'en exhalait une odeur de colle-
forte chaude et fondue. Au microscope on voyait que les
globules sains et sphériques du lait et les globules déprimés

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 239

et müriformes, ainsi que les globulins de la purulence dé ces
derniers, étaient parfaitement distincts les uns des autres.
Chacun d’eux, malgré l’ébullition, avait conservé son caractère.

On ne peut donner le nom de lait, au moins de lait pur, à
tous les liquides qui sortent par l’orifice des trayons d’une
vache dont la mamelle est dans un état de surirritation et d’in-
flammation intérieure avec pustules aux trayons. Dans cet état
pathologique, toutes les fonctions de l'organe mammaire sont
en désordre; les trois grandes sécrétions, celle de la Lymphe,
celle du Sang et celle du Lait, sont troublées. Leurs giobules
particuliers, altérés dans leur forme et dans leur couleur
habituelle, perdent leurs caractères spéciaux au point, sou-
vent, de ne pouvoir être reconnus. Les voies particulières,
si voisines les unes des autres, que suivent, dans l’état de
santé, ces différentes sécrétions, débordent les unes dans

les autres, et les trois sortes de globules se confondent et

arrivent pêle-mêle à l'extérieur par l'extrémité des trayons.
Les vaches malades de la Cocote ont dû fournir de ces li-
quides composés ou de ces sortes de laits trinitaires. Reste
à savoir si un lait qui contient des globules lymphatiques
et des globules sanguins, est ou n’est pas nuisible à la santé.
Nous pensons, sauf le dégoût qu’il peut inspirer, qu’un lait
semblable peut être très-nutritif si ses globules, quoique
morts, sont entiers et non encore décomposés et passés à

l'état puralent et fétide, et même en ce dernier état, car

lorsque nous voyons manger, avec plaisir et sans danger, la
chair des gibiers dans un état plus ou moins avancé de pu-
tréfaction, les sales boyaux de certains animaux comprimés
en longues Andouilles noircies par le temps et par la fumée,
le Poisson pourri, et le lait décomposé en fromage puant et

240 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

purulent, rempli de vers et couvert d’Acarus voisins de ceux
qui vivent dans la gale humaine ; quand on voit que tous
les tissus organiques, quelque décomposés qu’ils soient,
peuvent servir à la nourriture des végétaux et des animaux,
on est en droit de penser que toute matière organique, pure
de substances âcres et vénéneuses (1), peut toujours s’assi-
miler avec plus ou moins d'avantage à celle déjà employée
dans nos divers organes, et que, si nous en repoussons un
grand nombre, cela vient de la richesse du choix, de nos
goûts particuliers, naturels ou de convention, de nos usages
et de nos préjugés , toutes choses qui font que, sans raisons
valables, nous voulons, par exemple, que le sang soit cuit,
tandis que nous buvons le lait cru.

(1) Toutes les matières organiques diffuses dans l'espace ou organisées en
tissus sous l'influence de la vie, sont toutes innocentes par elles-mêmes,
toutes sont inodores, sans saveurs et sans couleurs , toutes peuvent s’assi-
miler, nourrir et entretenir de nouveaux tissus chez le végétal et chez l'ani-
mal vivants. Les substances nuisibles , lorsqu'il s'en trouve, dépendent bien
de l'organisme, mais elles n’en font point partie. Suspendues dans l’eau, elles
n’occupent que les organes creux des tissus et les interstices de ces organes
qui les absorbent et les sécrètent, ou quelquefois des organes spéciaux,
vésiculaires ou glanduleux, comme, par exemple, la glande particulière et
toute locale du Crotale , serpent à sonnettes, qui sécrète et contient le venin
mortel de ce serpent dont on peut manger tout le reste du corps. Les vé-
gétaux les plus vénéneux, par exemple les grosses racines tubéreuses du
Manioc (Janipha Manihot, Kunt) qui servent à faire le pain de Cassave et
dont on obtient le Tapioka (la fécule mise à nu) après avoir râpé ces
racines et leur avoir fait subir des lavages suffisants; tous ces végétaux
peuvent être employés comme aliment, en dépouillant leurs tissus de tout
ce qui leur est étranger, soit en employant des lavages froids ou, ce qui
vaut mieux, des lavages à l’eau bouillante.

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 2/7

Caractères distinctifs du Lait vif, de bonne qualité, et des
moyens de les reconnaitre.

1° L'aspect du Lait, lorsque sa surface offre une teinte bien
égale, d’un blanc opaque et légèrement jaunâtre , lorsque sa
densité est suffisante, lorsque les gros globules montent et
s'accumulent en crème à la surface, pour y jouir, comme corps
organisés vivants, des bienfaits de l’air, de l'oxygène et de la
lumière ;

2° Lorsqu'une goutte de Lait, mise entre deux petites
lames de verre, s’y étend promptement et facilement, de
manière à offrir une teinte blanche et très-uniforme ;

3° Lorsque le Lait, dans lequel on ajoute de l’'ammoniaque,
ne se coagule pas en une sorte de mucus ou de gelée filante ;

4 Lorsque le Lait, étendu entre deux lames de verre et
soumis à l’action du microscope, montre ses globules nageant,
bien isolés les uns des autres, dans le sérum , qu'ils paraissent
bien sphériques, bien luisants et d’une grande transparence,
caractères qui indiquent la vitalité organique de chaque glo-
bule en particulier ;

5° Lorsque les globules sont gros et nombreux , car en eux
se trouve, dans l'enveloppe, la matière la plus nutritive , et,
dans l’intérieur de l'enveloppe, l'huile butyreuse, qui plus
tard se concrète en beurre.

T. XVIL 31

242 RECHERCHES MICROSCOPIQUES

Caractères qui distinguent le Lait altéré, le Lait mort, mais
toujours inodores, et le Lait décomposé et, par con-
séquent , très-fétide.

1° Lorsque sa surface est plus ou moins caillée, ce qui
annonce un commencement de séparation des globules du
sérum et, par conséquent, leur agglutination; lorsque, plus
morbide, il a une légère teinte verdûtre ;

2° Lorsque le Lait s'étend mal, lentement et inégalement
entre les deux lames de verre ;

3° Lorsque lammoniaque le coagule plus où moins en
gelée ;

4° Lorsque les globules, vus au microscope, sont plus ou
moins altérés dans leur sphéricité, ridés ou flétris à leur sur-
face, probablement visqueux, et qu'ils tendent à s’agglutiner
en masses irrégulières ;

5° Lorsque, dans ce premier état, on voit une plus ou
moins grande quantité defglobules müriformes blanes ou pas-
sés au vert olivâtre;

6° Lorsque ces globules morts et inodores tombent et s’ag-
glutinent en masse charnue fau fond d’un sérum elair et co-
loré en jaune roussâtre ;

7° Lorsque enfin ces globules morts et inodores se décom-
posent en globulins punctiformes où monadaires, qui, pour
lors, se répandent également dans le’sérum, et qui, par l’ef-
Jet de cette décomposition , exhalent l’odeur la plus fétide.

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 243

‘

Du mal qui est résulté de cette épizootie.

1° La publicité, peut-être trop empressée, donnée à une
…. chose que lonne connaissait pas encore, et qui, avant tout,
… aurait dû être étudiée à huis clos par des personnes capables
_ de la juger; ;

2° Le mal réel qui est résulté de l'abandon brusque du
Lait chez les personnes faibles habituées à ce régime, telles
que les malades, les enfants et les vieillards ;

3° Des pertes occasionnées au commerce du Lait pendant
. la durée de l’épizootie ;

. 4° De la petite quantité de bon Lait fourni par les vaches
_ malades pendant l'épidémie, et de la nécessité d'y ajouter de
- l'eau pour subvenir à la consommation accoutumée de la ville
_ de Paris;

_ 5e La perte de quelques vaches, parmi celles, seulement,
. tenues les pieds dans le fumier humide, miasmatique, et pri-
_vées d’air dans d’étroites et mauvaises étables.

31.

C:

AR AA AA SEE MÈRE AURA LELA LE LA LES VOLS LA LUE LE ELE VALA VEALAA LES LUE LE LE LA RAA RAA RARE RS AREA AS EE

EXPLICATION DES FIGURES

CONTENUES DANS LA PLANCHE.

Osservartion. Toutes ces figures ont été exécutées d'après nature, à
l'aide du grossissement microscopique de 280 fois.

Fig. 1. Globules petits, moyens et gros du Lait naturel, vif et de bonne
qualité. Pendant leur premier développement les globules laiteux sont
pleins. Cem'est que plus tard, qu’en continuant de croître et d'atteindre
leur diamètre naturel, le 100° de millimètre, que les deux enveloppes
dont se compose le globule laiteux, s'étendent et rendent par ce moyen le
globule vésiculaire. Ce n'est qu'à cette époque que la paroi interne de la
vésicule intérieure sécrète peu à peu l'huile butyreuse qui finit par la
remplir entièrement. Plus tard encore, cette même paroi donne naissance
à un grand nombre de globulins très-ténus, de grosseurs variables. Ces
globulins, lorsque cela n'est pas la vésicule interne elle-même, croissent
un peu , et puis germent et végètent en Penicillium glaucum.

Comme on le voit, l'eau séreuse du Lait ne contient, ne nourrit qu’une
sorte de globules, mais dont les uns, trop jeunes ou avortés, sont encore
pleins, tandis que les autres, plus âgés et devenus vésiculeux, se sont plus
ou moins remplis d'huile butyreuse, par sécrétion.

Tout aussi bien que le globule sanguin, le globule laiteux jouit de tous
les attributs de la vie organique. La collection des globules offre le carac-
tère de toutes les collections composées d’un grand nombre d'individus de
la même espèce, c’est-à-dire, qu'il y en a de très-petits, d'intermédiaires

246 RÉCHERCHES MICROSCOPIQUES

et de ceux qui ont achevé la croissance déterminée pour l'espèce. Tant
qu'ils sont sains, ils conservent l'isolement, ils ne se collent les uns aux
autres que lorsque la vie les abandonne. La vie dont ils jouissent est
comparable à celle dont jouit isolément l'une des vésicules d'un tissu cel-
lulaire végétal. C'est l'organisation et la vie au degré le plus simple. Pour
qu'il yait production d'huile butyreuse, ou beurre, il faut qu'il y ait bris
de l'enveloppe.

Fig. 2. Globules de Lait, extrait par le trayon pustuleux d'une vache
atteinte de la Cocote. aa globules pleins, non encore butyreux, de
diverses grosseurs , non altérés. bbb globules achevés, vésiculeux , et s'é-
tant, par sécrétion , remplis d'huile butyreuse. ce globules morts, ridés
par contraction. eee globules morts ayant pris un peu plus de développe-
ment, devenus d'un vert olivâtre et ayant produit intérieurement des
globulins, ce qui leur donne l'aspect mamelonné d'une petite mûre. 474
globules malades ou morts, devenus visqueux et agglutinés en masses de
formes et de grandeurs diverses par l'effet de cette viscosité, qui annonce
toujours l'état plus ou moins morbide du globule laïteux.

Fig. 3. Ces deux lignes parallèles indiquent arbitrairement + de milli-
mètre. Sur cette distance, on a placé une lignée progressive , composée de
globules de lait en divers états. à trois globules pleins non encore
butyreux. à deux globules vésiculisés et contenant de l'huile butyreuse. c
un globule mort et ridé. d un globule mort, accru au delà du r00°,
ayant produit dans son intérieur un grand nombre de globulins et.ayant
pris la teinte vert olivâtre.

Fig. 4. Globules provenant d'un lait très-morbide. Ce lait, produit par
le trayon pustuleux d'une vache très-affectée de la Cocote, avait un aspect
verdâtre et une densité gluante. Parmi des globules punctiformes et de
toutes grosseurs jusqu'au 100° de millimètre, on en voyait un grand nom-
bre d'autres qui étaient plus gros, d’un vert olivâtre, remplis de globulins
inégaux; ce qui leur donnait l'apparence d’une petite mûre. aaa globules
flétris, non encore verts, mais commencant à devenir globulineux. bb

SUR LE LAIT DES VACHES ATTEINTES DE LA COCOTE. 247

globules vert olive, müriformes et globulineux. c idem agglutinés, Z ma-
tière colorante du sang extravasée dans ce lait morbide.

7
100

Fig. 5. Deux lignes marquant arbitrairement dé millimètre. a pro-
gression croissante de quatre globules. à un globule dans lequel commence
la globulination intérieure. c idem plus développé. d plus développé encore.
On remarque l'inégalité de grosseur qui existe entre les globulins formés

à l'intérieur de ces globules devenus maternels.

Fig. 6. Apparence du sérum coloré en jaune paille et surnageant les
globules morts d'un fort mauvais lait, quoique inodore.

Fig. 7. Globules morts, flétris , müriformes, comme dentelés sur leurs
bords, globulineux intérieurement, légèrement jaunâtres. aa globules ag-
glutinés. 28 globules plus gros, ridés ou flétris. c idem vomissant à l’exté-
rieur la vésicule interne. |

Fig. 8. Lignée progressive des mêmes globules, dont les deux derniers
n'offrent plus la forme sphérique.

Fig. 9. Apparence d’un lait horriblement fétide.

Fig. 10. Ce lait, vu au microscope, n'offre plus guère qu'un champ de
destruction. Tous les globules laiteux, mofts et passés par tous les états
précédents, sont presque tous décomposés en globulins punctiformes et
grouillants, lesquels globulins proviennent, tout à la fois, de ceux qui
étaient contenus dans le globule laiteux et de ceux moins apparents qui
constitument l'enveloppe du globule. za globules morts, mais non encore
décomposés en -globulins. à globulins résultant de la destruction des glo-
bulles laiteux.

Ossenvarion. Un fait très-remarquable et d’une application générale à
tous les tisssus organiques, c’est que tant que les organes élémentaires,

2/8 RECHERCHES MICROSCOPIQUES, ETC.

quoique morts, restent intacts dans leur organisation, ils sont inodores, et
que ce n’est qu'au moment de leur destruction que l'odeur fétide se fait

sentir.

Fig. 11. Lait floconneux ou filamenteux vu à l'œil nu.

Fig. 12. Le même vu au microscope. Ce lait, extrêmement curieux dans
son organisation filamenteuse, sortait tout formé des voies lactées d’une
vache malade d’une autre affection que celle de la Cocote. Il se composait -
de l'assemblage d'un grand nombre de globules laiteux, morts, de diverses
grosseurs, et d’un aussi grand nombre de tigellules flexueuses , de diamè-
tres différents, les unes simples et les autres rameuses. Toutes étaient in
colores , transparentes et d’une seule venue, c’est-à-dire, sans cloisons ni
articulations. a globules. 288 idem vomissant leur vésicule interne, € plu-
sieurs globules fortement agglutinés et expulsant, chacun, leur vésicule
interne. dd tigellules.

Fig. 13. Un 100° de millimètre sur lequel on a placé une lignée pro-
gressive de globules morts, 4 quatre globules non encore flétris ou ridés,
b un globule ridé. c deux globules vert olive et mûriformes. d deux autres

globules vomissant leur vésicule interne.

Ossenvamow. Ce lait filamenteux , développé sous l'influence pathologi-
que des tissus mammaires d’une vache malade, et encore contenu dans les
voies lactées, confirme celui trouvé, dans des seins de femmes engorgés, par
Vésale et Roderic à Castro.

Nous regrettons de n'avoir pu comprendre, dans la composition de
notre planche, les analyses microscopiques des globules lymphatiques que
nous avons recueillis dans les pustules, soit des pieds, soit des trayons,
soit des aphthes de la muqueuse de la bouche, de même qu'une autre
analyse également microscopique de globules laiteux vert olive et mûri-
formes provenant, par ouverture, d’un sein de femme engorgé, et très-
analogues à ceux de la figure 4.

MÉMOIRE

SUR

LA THÉORIE DES NOMBRES,

PRÉSENTE

A L'ACADEMIE DES SCIENCES,

LE 31 MAI 1830,

Par M. Aucusrin CAUCHY.

AVERTISSEMENT DE L'AUTEUR.

Le mémoire qu’on va lire est l’un des deux que j'ai présentés
à l’Académie des sciences le 31 mai 1830. Il renferme le
développement des principes que j'avais établis dans les
Exercices de mathématiques, et surtout dans le Bulletin des
sciences de M. de Férussac, pour l’année 1829. (* Mon ab-

{*) Voir le tome 12 de ce Bulletin, pages 205 et suivantes.

RXVIL. 32°

250 THÉORIE DES NOMBRES.

sence, qui s’est prolongée pendant huit années, ayant retardé
l'impression de ce mémoire, je le publie aujourd’hui tel que
je le retrouve dans le manuscrit présenté, le 31 mai 1830, à
l'Académie des sciences, et paraphé à cette époque par le
secrétaire perpétuel M. George Cuvier. Toutefois, pour ne
pas fatiguer l'attention du lecteur, je supprimerai une grande
partie des numéros placés devant les formules, et, pour
éclaireir quelques passages, je joindrai au texte plusieurs
notes placées , les unes au bas des pages, les autres à la suite
du dernier paragraphe. Comme quelques notes de la pre-
mière espèce existaient déjà dans le manuscrit, afin qu'on
puisse facilement les distinguer des notes nouvelles, je mar-
querai celles-ci, quand elles seront placées au bas des pages,
par un double astérisque.

-—t——-

SUR LA

= THÉORIE DES NOMBRES.

De ; ?

un nombre premier, 7 un diviseur de p — 1, 4 une racine
primitive de

ne racine primitive de

Let, (HO: D).

pe —= r°
une racine primitive de
TNT,

rz €, (mod. p
92:

252 THÉORIE

une racine primitive de

du

(5) « a" = 1, (mod. p).
On aura
«= ù
(6) = i
=
(7) *=— 1, (mod.p)
; \
et de plus, si » est pair, =
. 4
g° —= — 1]
: HQE e
= — 1, (mod.p). =
De plus, # étant un nombre entier quelconque, nous dési-
gnerons par ;
mm 1%) 1
le nombre » propre à vérifier la formule “Yi
k=t", (mod. p) 4
en sortie qu'on aura . ‘4
ET AT , s 4 À

et nous poserons

k
É) — F7 — 50/0) = pl.

P
Par-suite, comme on aura, en vertu de l'équation (7), :
nc
I— 1) — Fr

on en conciura

DES NOMBRES. 253

On aura d’ailleurs évidemment:

EEE EPA es

Soient maintenant

(8) O, = 6 + p'0° + paf TR UE
et
(9) 0,0, = R;,0:41:

R,, sera une fonction de & de la forme
Ro à + Aap + a,p° 2 Li LP Dei RS
et, si l'on pose

k=mh, (mod. »),
on aura, en supposant "2 différent de zéro et de “

Rin = + ae" + agp” MERE a, pont
et

(10) R= (ayez [| |],

P
le signe > s'étendant à toutes les valeurs entières de w, v”
comprises entre les limites 1, p — 1 ,.et qui vérifieront l’équi-
valence

1+uw+v=0o,(mod.p)

On aura d’ailleurs, en supposant différent de zéro,
Qu) 66,=(—i)"p, Rs —(—i)"p;
et en supposant k , #, ainsi que À + k non divisibles par »,
(12) Ru Rep

254 THÉORIE

On trouvera au contraire

(13) R,R., + I.

Enfin l'on aura

(14) a, FAST A, Es. +4, , = p—3,

et, en supposant » pair,

Lo)

(15) A, == ai + dia, EL. a — (1).

Par suite, si l’on suppose

(i 6) Riu = F(+) )

on trouvera

(17) F()=Runs et FGF (Ep;
si le nombre 7» est tel qu'aucune des équations
8) Re ne Unie

ne soit vérifiée. On aura au contraire

(19) 5 F (p”) = — (— ide X:mmk
si une seule des équations (18) est satisfaite, et
"a F(e") = p —2

si les trois équations (18) subsistent simultanément.

Soient encore XL, X, l trois nombres entiers propres à
vérifier la condition
(21) k + k + [=0, (mod. »).
On aura, en supposant ces nombres tous trois différents de
zéro,

dr: at OùOx __ | mx GO __ ) yo LA
0,0,0,— ( 1) hs 1) = RrigEl à )1 CM

DES NOMBRES. 255

et par conséquent

(22) IR RIT Rs.
Soit maintenant s une racine primitive de

(23) æ"—"=1, (mod. »),

le nombre x étant supposé premier, et faisons

(24) O:0: O1. . .On-3 — $(b)';

on aura

(25) 9,005. . .Ow-2 — (o'),

et de plus

K)= Ke") =") =... ps"),
Ke) =" )= 49") =. .— Kps7?).

Donc (4) sera de la forme

(26) Se) —=C, +C, (e +++... + KES)
FC; (es + ps ps”),
ou
20 —C;—C;
= ——,
Cr —C: 2 3 F3 Rae
ÊTRE Co — p5 + pp + + ps — ps);

*Nora. s étant une racine primitive de la formule (23), on a

RE —1+s+s+...+s —=0o,(mod.x),

s"—'— 1 =0,(mod. 7), FER

et c'est ce qui permet d'établir la formule (24)

256 : THÉORIE
et, comme on aura
= — 1, (mod. n#)
gs 2
p + pH pH HR TT = — 1,
(p— ppp EE = ur
on trouvera
À = FRONT 7 = C,—C,\2
F0) K)= (——— ) (— 1) n (EE ) F
ou, ce qui revient au même,

6) 46) = 2 16) DE nc)

ou bien encore

n—1

D H)= Ce) +) ce) ER).

Lorsque » est de la forme 4x +3, l'équation (27) ou (28) 1

se réduit à
(29) 4e) Hp) — (20, —c, —c) + ne — 0),

ou bien à

Go) H#e)=(c— 0e) + (ce) (a— 6) + EE (c, —c}. M

Au contraire, lorsque z est de la forme 4x + 1, alors, = Î
étant pair, la formule (24) donne simplement

#)=p *
et & disparaît de l’équatiou (26) qui se trouve réduite à la
forme

OT"

DES NOMBRES. 257

Revenons au cas où n est de la forme 4x + 3. Comme on
aura
Kb) Ke) =p* ;

l'équation (29) donnera

PRE EE c) +n(c—c,).
Donc on résoudra l'équation

n—1

(31) APR En*Y"

en prenant

X=9c—c—c, Y—c,— 0,

Mais ces valeurs de X et de Y seront généralement divisibles
par p. Il reste à trouver la plus haute puissance de p qui les
divise simultanément.

Soit » un nombre tel que l’on ait simultanément

H—1

u?=1; et (1+v)°—1,(mod.n).

On trouvera

0,0,.0 :...0,,_:— 0,0

su—5 U “us2°
—= ©

suis Ce 3

1+ (x +uks2" 9: Hu} #(e)

et par suite

| $(e) ss TRAU o, 0 O »_30, 7 LE
/ ET . “ .
(32) 4 ou 9, + v)s2 O1 +-u)sr=3
| == R,, Rene . (ne ;
(33) #(ps) = R,. Rs S'ae LR LÉ

T. XVII. 33

258 THÉORIE

Si » est de la forme 8x + 7, on pourra prendre v = 1, puis-

n—1

que l'on aura 2 * —:1, et les formules (32), (33) donneront

8) À R;..R

SSSR sn—3, sn— 39
(34) AC) RAR

. N—2 —2°
SANT

D'autre part, comme on aura

A) =c+ ee + pu PT) (EEE pi),
#(e)—=c,+ c,(e° + D SE 6. (0 sa HE Pr

on en conclura

X—2c.—0c,—0c,—=$e) + #p°),

$e) — F(e°)

Y=c,—c,— A — n—2
(35) PTS LE

() (pe pese

Soit maintenant

: Le 1.2.3...[(4+4)0]
(56) Di Ga... Ad) (1.3.0)

et supposons chacun des nombres 2,4 renfermé entre les

limites 0,7. On aura

(37) IL,:= 0, (mod. p),

si la somme L + # est renfermée entre les limites 7 et 27;
et au contraire Il,, ne sera point divisible par p, lorsque
k + k sera compris entre les limites 0,r. D'un autre côté,
en supposant ù

h+k<n, et n—Rk—k—l,

DES NOMBRES. 259
€n sorte que la condition (21) soit vérifiée, on aura

1.2.3...(n—1)=[1 -2.8...(k+%)0] [(—1)(—2)...(0)]
=[1.2.3...(2+ A0] (—1)° (à DOS UT)

2 T- 1 I
1.2.3...(4+A0—(— 1)5+ 1.2.3.../0 ?

et par conséquent

* ve (— 1) + Le
(38) MR CTE TE [CPP CEE

. Enfin, si l’on pose comme ci-dessus
De Riu = F(p),
? on trouvera

. (9) F()=—

. Cela posé, soit p' la plus haute puissance de P qui puisse
. diviser simultanément X et Y. On aura, en vertu des for-
mules (35),

n— h,n—k

D pa AT |
Y _ 2 f ñn—3 n— 2 ÿ Fo À
np 1)

, Comme les seconds membres des formules (4o) seront des
pu . 7 he nm 2 .

. fonctions symétriques de 4,6°,. ..g"—", ils devront rester équi-
Re ju OR

. valents, suivant lemodule P;à yet à—, quand on y remplacera
4 P P

- pparr. Donc alors l'un et l’autre seront entiers; et l’un d’eux
au moins sera non divisible par p. D'ailleurs, si, dans les
+ seconds membres des formules (34), on remplace R,,

r 2 2
rt:

toutes les fois que l'indice k est équivalent sui-

33.

2
h—h

260 THÉORIE

vant le module » à l'un des nombres 1,2,3, =, on en
conclura

| apr
Go AP)" #0)

K)=p = p x)

étant le nombre de ceux des indices

-

"1 — 3 ,
he a

qui sont équivalents suivant le module » à l'un des sui-
vants E

ke n— 1
(42) PO LIU ni
" 4 Lé Ca À n
et ,” étant déterminé par la formule
U 1 AUS
+ v —= ,
2

tandis que 4(r), y(r) ne seront équivalents ni à zéro, ni à‘
suivant le module p. Donc, si l'on prend pour à le plus
petit des nombres v’ et v’, les seconds membres des for-
mules (40), quand on y remplacera & par r, ne deviendront
point équivalents à l'infini suivant le module p, et l'un d'eux
an plus sera équivalent à zéro. Donc x sera l’exposant de la 4
plus haute puissance de p qui divise simultanément X et \.
D'ailleurs, si l’on fait

X=pa, Y=py,

la formule (31) donnera

(43) 4p * le

| DES NOMBRES. 261
“et, comme on trouvera, en posant 1 =,

n— I DR —1—4Y
NE,
2 2

R—1:
et, en posant = ——— v,

SE Em
2 2

_ ilest clair que la formule (43) pourra être réduite à
ao) APS Pay,
_ la valeur de & étant

à 45) = (és),

Six était de la forme 8x + 3, on aurait 27 = — “,
(mod. p) . É
E AE . .O, 1-3 = 0,0 :. . On; —= ÿp°),
ï © * ©? 2 ©° EE $. 2
RER tune te PE RAP)
| Fe
gs ae » +» e Rs — Fo
Donc alors , en ayant égard aux formules (41), on trouverait
É CO)
EL = pre),

LAON A LL SENS,
EL = pr Xe) = P * OË

46) HP =? 4 [e(e)} x(e);
e KM = p'* (8) He)l'-

262 THÉORIE 4
Donc alors on devra prendre pour à le plus petit des deux
nombres

If/R—I1 ; I 1
3( = +); 3@—1—v),

en sorte qu'on aura

mt A D He RAR AN |
6
Donc alors on vérifiera l’équation
6
(47) 4p* = à + ny° ;
en nombres entiers, si l'on pose È
48) td 1

Dans les formules (45) et (48), y est toujours inférieur à =n, à

et y représente le nombre de ceux des indices (42) qui sont
racines de l’équivalence

n—I

z° =1,(mod.n)

Les autres étant nécessairement racines de l’équivalence

n— I

æ*'=—1,(mod.»),
on en conclut

Ut n—1 n

do + Ce) ren

\!

DES NOMBRES. 263
_ On a d’ailleurs

zx 22V—x V1 —
e +e

1+ +...+e =

Pet par suite

OT

EL 1 MA
1 +COS Z+ COS 227 +... + COS = a D = ,

; cos — z
. . , NI I Z 2
(Bo) sin z+-sin 22+...+sin——2—;>| cot=—
ù sin —
» : 2
Zz 112
COS —— cos — 3
2 2

._ Z
Sin —
2

HO it
2
à z la première des équations (50), on en tirera

, A — 1 étant impair, on différencie

fois par rapport

n+i. A1. n—1 n—1
À MST Tree . TEE Len) RON):
-1) ‘ [sinz+2 ? sin2z+3 ? sin3z+.+(1t) : sin |
1d>
TS = ?
É sin =
dz Se

HE
Sin — Z
2

264 THÉORIE

tandis que la seconde donnera

n—3 n—3 n—1
1 d TER ot 1 ee MNT

(— 1) * [cos +» É cos22+ + ( = dx COS — 2]
ra
n—1 L Co
GIE cot — — ;
2 ÿ Zz
sin —
2

pe Le
ÿer.2
Li

On conclura de cette dernière, en posant z — 0, après les

différenciations,

n— x

61) Ent [: Me.

n—31 . |
D a :
ae (cot£ —cosec

D. : | 3440

?

ds?

(mod. n).

D'autre part, si l'on désigne par x, le nombre de Bernoulli
qui correspond à l'indice 7, en sorte qu’on ait

er = et
; L 3) Mr eLc.
on trouvera
tang = —
odeur net "Re |
2 [3 De Ds ae 1)sase # [ue

et l'équation (51) pourra être réduite à

DES NOMBRES. 265

. : , na . “ =
_ On aura donc par suite, en supposant impair, ou x de

la forme 4x + 3

4 nt
n—t n—1 n—t n+: SE
= = DT TENE n = LE
142 +3: +..+ 5 ) =(—1) * BE
; 2 (pa) à
(32) {. mt

ñ
on :
‘Ou

Enfin, comme on trouvera 1° en supposant z de la forme
8x+7

2 * =1,{(mod. 7)

2° en supposant » de la forme 8x + 3

n—:

2? =—1,(mod. 7)

11 équation (52) donnera dans le premier cas

Ka +37 +.

dans le second cas

n—t ai n+x

PRET

n+a

ons 4 <'R (mod. n),

2)

T. XVIL 34

266 THÉORIE

2° en supposant 7 de la forme 8x + 3

Par conséquent on aura, dans tous les cas,

(53) pe — => 2 ;+1°
4

On pourra done vérifier l'équation (47), en prenant pour y le
plus petit nombre entier équivalent à

HE 24
4
Exemples. Soit n = 7. On trouvera

2h n4 = 2, 23 =+= 1, (mod. 7)
ni

On vérifiera donc alors en nombres entiers l'équation
4p=2 +7

et par conséquent l'équation
P= + 7).

Soit encore z = 11. On trouvera

et par conséquent on pourra vérifier en nombres entiers
l'équation

Apr + 11.

DES NOMBRES. 267

Soitz— 163. 2 sera une racine primitive de l'équation

en sorte qu'on pourra supposer
= 24

D'ailleurs, les puissances successives de 2, divisées par 163,
donneront pour restes

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,-35,-70, 23, 46, 92, 21, 42,-79, 5, 10, 20, 40, 80, -3,
-6,-12,-24,-48, 67,-29,-58,-47,-69, 25, 50,-63, 37, 174,-15,-30,-60, 43, 86, 9,
18, 36, 72,-19,-38,-76, 11, 22, 44, 88, 13, 26, 52,-59, 45, 73,-17:-34,-68,-27,
-54, 55,-53, 57,-49, 65,-33,-66, 31, 62,-39,-78, 7: 14, 28,.56,-51, 6r,-4r, Br.

4: D fire , 168 ,
Les restes positifs, et inférieurs à — — 81,5 étant au

nombre de 48, on aura

» =48, 2 = 81,

AV— (n— 1 I n—]I I _.
pe D ET Co = + (9681) 5,
U— 5.
On pourra donc satisfaire par des valeurs entières de æ,7 à
l'équation
| p=% +163.
Revenons aux formules (10) et (16) desquelles on tire

(54) Ri=F()=(—:)43 ch M

Dis
34.

268 THÉORIE
Si l’on y remplace : par r, on trouvera
(65) F(r}=(—1)7" 28 (1 +)"

_. FES 0)
ON parut a" (mod)

et, comme on a
Cave
1.2.3...(n—4)G?
ï F
EEE 2 ol a 1)%+96+!1,2.3...(on7—h—#k),
on conclura de la formule (55)

mr 1.2.3...(2n—h—k)© :Ÿs 3
(66) F() 7 [r:2.3...(n—#)d] ER ue Lane 4

nd=—1, 1.2.3...40=

ce qui s'accorde avec la formule (39).

Si, dans l'équation (39) ou (56) on remet pour I, _, ,_; sa
valeur tirée de l'équation (38), savoir,
sn. MORE) EE

(1.2.3... (a—h)o] [1.2.3 (n—Æ)ci] [1.2.3 (x—7)o]

= (1.2.3...40) (1.2.3...4©) (1.2.3...16) (—1)5+1
on trouvera
(57) F(r)=(—1)® (1.2.3...h6) (1.2.3...4©) (1.2.3.../©)
= (—r}#00(1.2.3..40)(1.2.3..40) (1.9.3..(n—h-K)5), (mod.p)

Il est facile de trouver des nombres équivalents, suivant le
module p, aux valeurs de æ, y qui vérifient la formule (44)
ou (47). En effet, soit toujours p’ la plus haute puissance de p
qui divise simultanément X et Y; on aura

11 n—hk =

_X_%e) , #e) _ Sn , r)
(58) PR D Ro (mod. p)
PRES EE RE PE | Met tP)
(59) JA = (—1) Do —p +..—p ) Pr a

P L
2 s ax tr) Jr
=(—i) ? nr + sr 221; (mod.p):

DES NOMBRES. 269
D'ailleurs, on déduira sans peine des formules (32) et (33)
les valeurs des rapports
PRES
ou plutôt la valeur de celui qui n’est pas divisible par p. En
effet, on y parviendra facilement en remplaçant chaque fac-

teur de la forme
Rx

par & P__, toutes les fois que À + 4 sera renfermé entre les
n—h, n—h .

limites o, 2, et remplaçant ensuite b par 7.

$ IL.

Applications nouvelles des formules établies dans le premier paragraphe.

Supposons maintenant que z soit un nombre composé,
et prenons

TD — &Y,
y désignant un facteur premier de 7. Soit encore

Pa] = ÿ
On aura
P—1 = 70 — y.

De plus, si l’on désigne par < une racine primitive de

DHE=SS

270 THÉORIE
et par « une racine primitive de ru) “ruoffrf ef
De
on pourra prendre
, P — AG'e !
Cela posé, soit s une racine primitive de l’équivalence
æ'= 1, (mod. p)
et w une racine primitive de l’équivalence
z'"= 1, (mod. y).
Les nombres entiers
\ 1,2, eee —9, D—I
seront équivalents, suivant le module 7, aux divers termes
de la suite ;
UN Ve VU ge OIL (0 —1) vu (o—1) vu;
et l’on aura
O0 + ph + pape +, pe
= + ghhge + ARE PM PGI,
Supposons d’ailleurs les nombres vw premiers entre eux, et
faisons

1
v=:, (mod.v); ;
on trouvera
au + au) — Ph Von + (1 — ur) — cu, !
Oum + av(1 um) = 0 + alt OR GE QE Lo 2 Etp—2)um gt” ë.
et, si l'on pose

( 1) O,042 vv(r— uw) ee Ou 8 + ar 3) — Sas) OO» —" ;

DES, NOMBRES. 271

on aura encore

(2) Oun (a um) —= Oùmt-v(hit ok — ur) (
—=ÿ ah eut +... ap—2)# S(p— 2)ur ge”
(3) Fac) — fac") = Fac") a — Has),

et, en supposant 4 impair,
(4) Or+av(a—r) Ou ÆHay(h—u2)- «. Ou-3-t av(h— 3) —= a},5)Ou=* "A
6) is)=)= lt). hs),

6 [9— 1— VA — 71) Ou (2 —w) .. O3 oh —w3)
® | a he nn,

(7) Hehers) = Hehie) d(a her) dure UT?)
— eh),
100) Cu here
(8) 8,4 vv(h—r) ce pe) Our 3 ah —u—3) CL 3— (4 — m3)
0, = k en, — h

Le second membre de la formule (8) se réduit toujours,
soit à :

soit à
n—3

pr

Exemple. Supposons, pour fixer les idées w = 4. Si v est
impair et de la forme 4x + 1, on pourra prendre

V—= I]...

272 THÉORIE
Par suite la formule (8) donnera
fohe) (a het)
(9) Or + 1) O— à —v( — re Ours 3 + (hu -3) O— ur—3 — y(h — wr—3)

Où NO 77
2

Y— I

D'ailleurs, si l'on suppose À impair, ainsi que
trouvera
Or) O1 (1) p = (— 1) p,
Oui-(4—u2)O—u2—V(h—u2) = (—1 dd: == (— 1} ;
Go Sr
SR En Em Te
Donc la formule (9) donnera , pour des valeurs impaires de 4,

y—3 È \

(F1) Hal,c) a—h,e—1) =p *.

On trouvera en particulier
v—3

(12) a) Ha t,e 1) Re
D'autre part, « devant être une racine primitive de
DT,
on pourra prendre
a=V/—.
Ajoutons que l'on tirera de l'équation (4)

(1 3) #es) st O Out y(1 — 2) Ou _. —u#)e ee Qu—3 + y(1—u-3) £
. CS)

Supposons maintenant

v—D où 7 —/.5— 020.

DES NOMBRES. 273
Les formules (12) et (13) donneront

1 De) | Has) Hat, )= p,
1 Q5) | Ka) =D,

_ u étant une racine primitive de
=, (mod. 5ÿ

; et par conséquent [à cause de#=— 1, (mod. 5)], *
CRE (OKO) À

4 (6) Haç)= as = Cl = R;,9

k (7 Mar er) = ECM APE

À Donc

R:5 Ragrr —= P.
De plus, l’équation (4) donnera

01e _

1 (18) Ke ,e) = FORTS = à =R,, D A gt),

| Donc la formule Ho pourra être réduite à

PE CT) Far *,55);
et l'on tirera des formules (16), (17), (18)
#c3,c3) = Fa ,c$) — R3 =— BR; ;

KE 3,0) Es EC) —= R5;,33 —= R;,13 —= Er) ;
T. XVII. 35

274 _ THÉORIE
en sorte qu’on aura encore
BR, R:;13—p.
On trouvera done, en définitive
pa —RY Fiy,13 X Rigx R3,
= (7) S(a,5$) X EC) EC) 5

et comme, en posant

248,0) =X + pi + (+ DA PIC sr
on en conclura .

2H a, )=X + pp T) (ec — 7 — 634 cf),

2H a) NE + Qi) (es — +6)

2$(a—",c) ii — uv —1 —("— u” Dr) (G sect +cf),
on trouvera encore
4p = 4fa;s) Ha ,s) = Gas) He?)

= D'HN (o—er—cS+)P + Qu' + peer ci + c6)}
== p' [one te (c—ç #2, co + <4)F + [u— u” (c—<? ut ci+ ct)},

et par conséquent
(19) 4p — 2 ie 2 2È 5 Ge a me) VU Las mu”.
D'autre part, si l’on nomme s et « les racines primitives des 1
équivalences |

(20) dt, = 1, (mo p),

on aura, pour déterminer à, y, N, u', les formules
N+pa+(+p'a)(s—s—s+5)=2f a,s )=—N,,,,=0, (mod-p)
V+pa—(+p'a)(s—s —s +s)=2f a, )=—211.,
V— y'a + Q'4+g'a)(s—s —5s+5s)=2# a ",s)=— 21T,.,
V— pa —(+p'a)(s—s—s+s)=2$fa",$)=— 201,0,

DES NOMBRES. 275
et par suite
+ a= 0, (Niro (mod. p)
(21) CR NET Hs EE 27
21

FANS. - IE, ta {x
V—pa=—I, pas (mod. p)

les valeurs de IL, IL, étant

10G(10G — 1).. (78 + 1)
rate SU d

2) = 1000 — 1).. __ +1)
USE “ADS Oe é

| Appliquons maintenant à un cas partieulier les formules
que nous venons de trouver, et supposons

D AIS n =? = 520, =D, e=é, D — 9;

. On vérifiera les formules (20) en prenant
5——4, a—9,
_ et l’on trouvera

20.19

SE M RE
20.19.18.17.16.1b.
D, = ze —8-10.17.19= 15,
- '+pa=—i1b, \—paz1i5, 1x0, ==,
, I a De on 2 ei, mal 72
SET EC SR Le Hire?

\V'H+pa=22.15=2, \—paz 22.1 =2,
NU 0

M … 4
_ Donc l'équation (19) donnera
#4 >

Ap — ul pe Ex"
35.

576 THÉORIE

r= 6) 45@)

4i=6+5.1— 56 + 5.

ou

Effectivement

Soit encore
P—= 101.
On trouvera
Di— D

. : 50:49.48.47.46 es
HU; EE — 10-{gsa.47.46=— 18,

. “. 45.44.43.42.41.40.39.38.37.36 pue =: 1 3
TL, —18) 6.7.8.9.10.11.12.13.14.15 = —18) 18. 4

Par suité on trouvera
A0; 0 pi— 0
Re
4p =?" + by , P=() +5(#)
On aura d’ailleurs
&—="10

et

van, = 18,

== —9;
Effectivement
101 —81 + 5.4— 9° + 5.2°.
En général, lorsque, » étant impair et de la forme 4x +151
on suppose

w — #4,

DES NOMBRES. 277
on peut prendre
DU , a — ——1)
et l’on tire de l’équation (4), 1° en supposant À—1

OO + v(1 — 2) Ous Hoyt ut). Ou=3 + y(r—u-3)
CO Tes

2° en supposant À —=— 1

Or av Ou y1+u) Ou — (1 +ufjs.e Ous-3— (x +ur-3)
CC -) o=*—2.

(24)

On a d’ailleurs, dans cette hypothèse,

GS) D = ne) = A) = AT)
ES er V5)= K—V —1,5" = HV 1,0) = = HV 1,0).

On trouvera de même

Ou+(x —ù) Ou? +(x us) Our—341(x —uw—2) = f(| LE ee) es

(26)

Ou—v(x +u) O° —v(1+u3). Our tu?) —= —= KV CI ) O1 Le —2)
et’,

rt) — — Et re dy 2, HL/—5," D — 1,5"),

D) Tr)

Dans ces diverses équations , & désigne une racine primitive
de l'équivalence

x'7'=, (mod. y),
en sorte qu'on aura

v—t v—T

ut =—1, où 14° =0, (mod.»).

278 ) THÉORIE

Cela posé, on trouvera

Om D CU Qt = Ou x = O_«& Ve y 0 a — "5

Op) Out x Let) = Our 4v(x 90 a — ya — uw")

= (— JR EU) po (— 1), à

et l’on tirera : 1° des équations (23), (24)

Boy) v—x JL

(28) 15) À—V rs) = ee = Æ

O,(—1) CE) 7 O1) e': y(v= x) 2
2 2 2 2

PORN = =

2° des équations (26) et (27)

M en
(29) FL 15") À FI Sue en

PR MER ERA RES

ds
ce

On aura donc par suite : 1°en supposant » de la forme 8x+5

v—i
y—3

= Per ENORME CS
(30) EA( 1,5) #— (ss) Le PC >

:

v—3
sb a) (+ ne) D Se
2° en supposant p de la forme 8x + 1, et par conséquent

Or —=0,—= SE 2

2

dE

#S

wr

(1) AR) A) = PT, L.

IV 1,5") AH 1,5") —=p LA Œ.
D'autre part, en posant #—2, w— 4, k ——1 dans la |
formule (2), on trouvera a

9 | Or v Ou va — uw») Out + ya ut} Ouv-3 + a u-3) = O,Ù(€)
32)
4 O0 3y O — + u?) Ou j(a ut). Que (2 + u-3);
: ï ;

DES NOMBRES. 279

&(-) désignant une fraction de < et de [x à coefficients
_ entiers; et, comme on aura %
a L 2R'2 VE
Ont pan) ya)

on tirera de la formule (32)

P" —=8#(c)
pou
&)—=—p":

_ On trouvera de la même manière
=
(ca) = — p .
On aura donc

(33) L Or+y Ou2 (2 — n°) Ous Æv(a— ui). Ow—3 + (2 — u—3) =
—= Ou + (2 — u) Ou: + v(2 —u) Ou5 +2 — u5) o. Ou-2+ V(2— w=2) ;

_ et, comme 25sera nécessairement de l’une des formes
+

u”, uw” 1

_ on aurà encore

Y—x

(34) O2O2u2 + av — 02) Oous.+ 2Y(t— ut)esosses Oau-3+ 20(r — 73) = 1%

Y—x

Œoutavr— u) O2: +2v(—u5) CPE +2v(— us). O2 2Y(1—w—2) =

. des formules (34), puis la première des équations (26) avec la
. seconde des formules (34), on trouvera

/

Si maintenant on combine l'équation (23) avec la première
1 ΠP

4 [ñ 2 ol — FR +(r —u), u? + veu} Ru 3 + (x = uv—3), w=3 + v(x LEE u=3)

Be
4 À
9°,6-1) ?

2

280 THÉORIE

EL.
(36) LE /—,0") = Ru put, u+r—ueeee Res tu(r uw), we pus)
On aura au contraire |
Er
(37) [4— lose (eu) n one pe Rues (ru -3) ur re) ;
v(v—t
EE?
et
|
—
(38) [K— 4e) à = Rip u— (1 + nm) Rs 1 +=), m2 (1-0) ES F e
"= |
D'autre part on aura : 1° en supposant v de la forme 8x + 1
O,,-— O_ 6-1) == 6, = —l;
2 2 | |
et, en supposant v de la forme 8x + 5, À
my(v—1)
Psy) où Esp
Donc les formules (35), (36), (37), (38) donneront, si » est |
de la forme 8x + 71,
==
[0 —1,0)} —=p 4 Re Ru +vi=v),u Hu). Rosie), 3 (03) à)
Etes) —p 4 PÉMTRNR ADN OË do coo pe Rat #2) a =2 (re) 18 |
|

(39) Te
[A —V ne F Rent av Ru (1-72), u—y (14) rene Vus), 3 (x we)

—1

\ [—V —# bi 2 ‘ R: — V4 0), u— Vin) sossrssssssss Re 2—v(1+ ur 2), ui=2 — (1 +2)

et, si » est de la forme 8x + 5,

DES NOMBRES. 281

v—5 2
EUZ rc) —=p 4 R,, R + y(r—u°), u? yum). Rs +— uw), uv=3 + y(1— 03) 3
y—5
4 LS —1,5")f Er 4 : RotG—n),u+vt— 0) ss... R-2 6 0) uY—2 HYy(r— u—2) y
(Go) Fi
[AV Fin —p F Re) 1—2y Re yu+), ur) Ru-5 — (1 Hs), w—3—v(1+ 08)
\ FL — 1,5") = Æ Re u), u—y(itu) soso Ru: — (1 2), 2 — (1 + 2) -
( P

Observons encore qu’en vertu des formules (25} on aura

(DEVESDE b+cV/=1+(0,+cV EE) (He) (D +1) (++)
2h bb, + (cc, B—b,+(c—c,) x

me

et par conséquent
Das x) = + gr RE BA) (er
(42) | 2H") fe + BV — (+ BV) (ei GE —),
| He) = — gr + (BV) (+ — + lon 6 0
2e) fe — EM (EM) (EE
Jar Los frs y désignent des nombres entiers. De plus, on
aura =

CHER +... HOUSE? —=—I,

Gate op) ve

(43)

En combinant les formules (42) avec les équations (30)
ou (31), on trouvera 1°, en supposant y de la forme 8x + 1

(GA) 4p° =f+f+g +8, SI +TEE 0,
2° en supposant v de la forme 8x + 5
y—3

(45) 4p* — 1 + vf an ou 11 VE — + LL: — 0.
T. XVII. 36

‘

289 THÉORIE

D'ailleurs on vérifie la seconde des formules (44) ou (45), en
supposant |

(46) De— 00 Pi—=%e; Fi —= —, Hi = ÿ:.

On aura donc, si v est de la forme 8x+ rt,

(47) 4p° =(E +») (+é),
et, si v est de la forme 8x + 5,
y—3

(48) 4p* — (6 + vy) (Ÿ +).

Enfin les formules (42) donneront
281,5 )= (+5) [6 + — ct],

io) Eee = (+2) [6 — ct],
aime) be es)
244,5" )= 0 —e1 5) [+ y — ee].

Il est bon de remarquer encore que, les valeurs de f, £.,
as &. étant

F—=2b,—b,—b,, f.—=b,—b.,

BC CC, C0,
J. sera toujours pair ou impair, en même temps que /,, et
£g. pair ou impair en même temps que g.. Cela posé, si des
deux nombres 6, ; l’un était pair, l’autre impair, il faudrait,
en vertu des formules (46), que à, « fussent tous deux pairs.
On aurait donc alors, en supposant » de la forme 8x + 1,

6) Fecen(O OT

et, en supposant y de la forme 8x+5,

Gi) po =6+m{0) +),

DES NOMBRES. 283
O NO ù : : :
2’ 3 étant deux nombres entiers, l’un pair, l’autre impair. De
même, si des deux nombres à, e l'un était pair, l’autre im-

pair, 6 et ; Seraient nécessairement pars, et l'on trouverait
1°, en supposant » de la forme 8x + 1
2 2

(52) RSIG ET 1e +s,

2°, en supposant » de la forme 8x + 5£

(53) P = [CY + (']e+e),
d

2? 9
D'ailleurs on ne peut supposer les nombres €, ÿ 9, € pairs
tous les quatre, puisque le second membre de la formule (47)
serait alors divisible par 16, tandis que le premier est seu-
lement divisible par 4.

SL 6, y, d,.« étaient supposés impairs, l'équation (47) se dé-
composerait en deux autres, de la forme

étant deux nombres entiers, l’un pair, l’autre impair.

(64) DD 6° + VY5 2p" PA:

Or, P étant de la forme Ax+ 1 et 67, y de la forme 8x + 1 ;
la première des équations (54) aurait un premier membre
de la forme 8x +. 2 » €t un second membre de la forme 8x + 6,
si v était de la forme 8x + 5, ce qui serait absurde.

Done, lorsque v est de la forme 8x + 5, les deux nom-
bres € et % ou les deux nombres 9, €, sont pairs, et l'é-
quation (47) se réduit à l’une des équations (51), (53)

Au reste, lorsque » est de la forme 8x +5, alors, en
écrivant 28 et 27 au lieu de 6 et 7; Ou 20 et 2e au lieu de ÿ et

36.

28/4 THÉORIE

de :, on réduit la formule (51) ou (53) à
v—3

(55) P'=E+w)®+e),
tandis que les formules (49) deviennent
V1 = (0 + 5) [6 + y — cu I],
(56) ci M —15")= (+ —r) [Eye — SU. Nr),
HV 1,9) = (05) [6 — yo — + Nr],
HV =1,5")= (0 —E 5) (64e — ie a | 26 à
Ajoutons que, dans ces dernières formules, on peut toujours
supposer à, « premiers entre eux, attendu que, si Ÿ, « avaient
pour facteur commun une certaine puissance de p, on pour-
rait évidemment faire passer ce facteur dans les quantités €, .
Cela posé, si l'on nomme & et s les racines primitives des
deux équivalences

(57) d="T; (mod:p),
(58) a’ = 1, (mod. p)

et p’ la plus haute puissance de p, qui divise à la fois 6
et y, à devra être tel, que des quatre rapports

(as) Sa,s). —as) H—a,s)
(59) JE ? P' ? P* ? fe

l'un au moins soit équivalent , suivant le module p, à un

nombre fini différent de zéro, aucun d'eux n'étant équiva-

lent à = De plus, en posant

V——

3 À 8 À
(60) LE — 2, 6—=pax, y—=pY,

on tirera de l'équation (55)
(Gn) pe) (+)

DES NOMBRES. 285
Si & se réduit à l'unité, alors x’ + y" étant > 1%, il faudra
que l’on ait
(62) SH I, . EN pl,
et par suite
DO SE ET OUR — "©: 40}

Quant à la valeur de à, on la déduira sans peine des for-
mules (40). Soit en effet »’ le nombre de ceux des indices

(63) 1, w'+vi—w), ui+ (ru), uS + s(r —u)

qui sont équivalents, suivant le module x, à l’un des
suivants
T—"1

Pt PO =

2
et »” le nombre de ceux des indices
(64)_u+yi—u), n + (1 —a),.. 0 + (tu)

qui remplissent la même condition.

sera évidemment le plus petit des quatre nombres

(65) Ev, (=), iv, Cv)
Application. Soit

v = 5.

* Voir la note II à la fin du mémoire.

286 | THÉORIE
On pourra prendre

Ua, VE, —=S,

et les formules (23), (24), (26) donneront

ere
(66) RE

— hi} , I) RE ©, — 13,179
0

PO) Li O, (©) g
17 —1 ne 2 ER. 19 ? i—V TS DES : =R,,;
De plus, si l'on pose
R,, = a, +a,p + pic roles este eee

a, +ash/—1 —a,—a;"V/—1+etc.
alors, en ayant égard aux formules

RES), fx a. = 71,5)
H—V 13) = = HV) A) = A5),

on trouvera

A,— A, ——(a;— 0,3), A—a,——(a;—a,),

A — Ar A9 — À;99 43— A3 —A,;—A,,;,
ét par suite

Ra a C )
Has —a;—(a; —a;)(+)+(a—a,,)(+ ca).

On tirera d’ailleurs de la formule (19) du $ Ix

H—1;;)=—1, F1) =— 1 , etc.

DES NOMBRES. 287
et par suite

A — A+ — ds —=—Il, A++ + As ——I,

A— A6 FA; —Aç— 0, A +a4+a, +aç— 0,

A,—a,+A,—Aa,,—0, 4,+a,+a,+a,—0,

A3 — Ag TA; —A;— 0; d+As + As HA; —

Aj— A, +aA;—A,,—0, : A+ +a;+a,— 0,
puis on en conclura

do——1l— À, A; ——À,;, A3 —=—A,; 43 —— 43; A; ——À;;,

A; = — d;; A6 —— \d6ç; ds 4) Ag —— A3; A9 — — À)
R,;—=1+92a,+a,—a,—(a,+a)(e—c— + ci)
+[2a;+ a, — a, + (a —a;)( —— +) x.

Enfin la formule (55) donnera
(67) p=(E +57) (+6),

et, comme 6 + 57° surpassera l'unité“, on en tirera néces-
sairement

d He — I, Pp=6 +57.

#6 + 5y pourrait se réduire à l'unité, si l'on supposait
CT 0:
Mais alors la formule (67) deviendrait
P+e—p,
et l'on tirerait des équations (69)
4p= 4 +E)=IEL., M,

ce qui est absurde, puisque ni IL, ni II,, ne sont divisibles par p. Donc
la supposition, que 6° + 5y° se réduit à l'unité, doit être rejetée.

288 THÉORIE

Donc, tout nombre premier de la forme 20x +1 est en
même temps de la forme € + 5;*, en sorte qu'on peut satis-
faire, par des valeurs entières de x,y, à l'équation

(68) p= 2 + 657.

Quant aux valeurs de x — 6, y — y, elles pourront être
déterminées à l’aide des formules

RH) = — 1) y — +],
RS =NV ne) (Pr eV) ES Cna 2 0 re :

KR, AV 155) —=(8 +1 + yes — ci) 1),
CR, Vs) = —e fee — + 5]

desquelles on tire

(G9) Rs + Ray = 20 + 16,
9 R;, + se — AŸ — el —1)6,

et par suite

Ro + Ray) Ray + Ro) = 40° + €)6 = 46",
puis, en remplaçant ? par r

46 =N,, Us, — 4%,
(70) d = à 1 PM 1 Ê
Comme on aura d’ailleurs
Ê— 0, s— Er out Etre o

on tirera des formules (69), en y remplaçant ? par r,

(71) EN,,=I,;

DES NOMBRES.

Exemples. Si l'on prend p = 41, on trouvera

I, = —1,,= 15, (mod. 41)
——— 225 ES De = — —
a = =— = Ter):
Effectivement
41 =36+5—6 + 5.1.
Si l'on prend p— 101, on aura ,
IL, = 1; = — 18,
æ = =) =9 = 81.
Effectivement

101 — 81 + 20 = 9° + 5.2°.
Si l’on prend p— 61, on aura & — 3

[.. __ 30.29. 28 27= 34,

19 1.2.3

27.26.25.24.23.92 34
= )

I, = (—27) 4.5.6.7.8.9
eu 17° =— 289 = 16=— 45.

Effectivement
61—16+45=# + 5. z,

Soit encore p — 181. On trouvera ü — 9,

TA RVIE

___ 90.89.88.87.86.85.84.83.82 1 1.3.5.7.0-11.13.15.19

= — — ———————…—…— —

1.2.3.4.5.0.7.8.9 2. r1.2.3.4.5.6.7.8.9

te (EE: = + 180.
37

289

290 THÉORIE
Effectivement
181 = 1 + 180 = 1° + 5.6.
Seconde application. Supposons

= 13.
u sera racine de

u®=1, (mod. 13),

et l’on pourra prendre

U—2,
Nous, l'E ue u—S, u=6;
= NW =, =, =S Qu"——3, L°— 6!

Cela posé, les termes de la série (63) seront équivalents,
suivant le module 4.13 — 52, aux quantités

1, 4—39=17, 3—26=29, — 1 + 26=05,
—h4 + 65=9, —3+52=/9,

dont quatre sont renfermées entre les limites o et 26, tandis
que les termes de la série (64) seront équivalents, suivant le
même module, aux quantités

21341, D 67801, , 6 65—45, 2 + 30937

b—52=5, —6+39=33,

dont deux sont renfermées entre les limites o et 26. On aura
done,

D | æ

DES NOMBRES. 291

rvV—5 nai __v—3à
D An 0 er ‘#0 UE —=-

Donc on pourra résoudre en nombres entiers l’équation

—921—5—/4—1.

(72) p=@ + €) (& + 3),
et comme x + 13y° surpassera l’unité*, attendu qu’on ne
peut supposer y=0,ÿ—0*, on aura nécessairement

(73) a +13r =p,
OR E—T :

0) M2 = PNG ET, | — 0,

* Si y s’évanouissait, les formules (56) donneraient
LUS Eee

Sa,s)
= =; (mod. 2)

et par suite

ce qu'on ne sauraît admettre, eu égard aux équations (74), en vertu des-
quelles on a

* Il est bon d'observer qu'on doit entendre ici par

$(a,s)
Has) -
ce que devient le rapport
é Vs)
FV7— 5,5")
quand on y substitue a au lieu de |/—x, et ç au lieu de s, après l'avoir
transformé à l'aide de la formule (12) du $ I‘, de manière que ces sub-
stitutions ne rendent pas le riumérateur et le dénominateur simultané-

3e.

292 THÉORIE -

On tirera d’ailleurs des formules (23) et (26)

= 6,0, ®, 9, 9 0;
Re eo om opononess

917
0,,0,,0;,0,,0:0;
O0,

(74)

| HV —1,c") == ph, Fe ‘
\

ment divisibles par p. Sous cette condition, la remarque qu'on vient de
faire est exacte, et pourrait être exprimée dans les termes suivants.
L'équation
— ——
HV/—;,5) = F5, ,
jointe aux formules (68), donnerait
Rs Ro Ropéo = Rozur Rors R33,65 3
puis, en ayant égard à la condition

Rs
R_, —k Re. n—h

Rire
qui subsiste quand aucun des nombres À, 4, h+ k n'est divisible par
n = 4v = 4.13 — 52, on en conclurait

1
PR Ro = Ro Ross Ré Rss

Enfin, en remplacant dans la dernière formule |/—x par &, ç par s, et
généralement R;,4 par —Il,-7,1-1, On trouverait

PIb:,5 IL = IL, ME IL,1r IL: (mod. P);
ce qui est absurde, puisqu'aucun des nombres
11 ,- Tr IL;

ne sera divisible par p. Le rapport entre le premier et le second nombre
de la dernière formule est précisément ce qu'on doit entendre par
Sas)

Sas)" j

LA
l'expression

DES NOMBRES. 293
puis des équations (24) et (26)
Cet )=PRisRisssR,3s

É (75) {—V —1,6* ph, R; 4 R,,;

D'autre part, d + «* étant réduit à l'unité, les formules (55),
(56) donneront
P° = 6? + 19Y';
1 — [4 7) + 1 mr) EU —1,c) + KV —1,5")],
u, parce que 6 — pa”, on trouvera

4p'a =[ 21,0) +0,60) 12,9) + 1 5,6")]
=—=}22 [Re 25R 0,17 20,49 + Ré Rar,5R 33,45] [Rss 3,35 R 3,3 + R5,R 31,6 R19,7] d

ou, ce qui revient au même,

2 Li R,25Ro,7 R,,5 | L 3,23 “na |
II ZE EE EE —
[ R3,23 ca R;;,15P59,7 12 R;5Ror7 ne R,r :

ou bien encore

Al Ro a [EE à R:,5 |
4 REte R3,,6:R33,45

FA R;,5:R 35,45 R3:,67
Si, dans cette dernière formule, on remplace ? par r, on en
tirera

2 I IL, ul I, I 1
(6 ge =} ste alan, (mod. p)

Comme on aura d’ailleurs
FV/—1;5) = $(— 1,5"), K—V 1,5) = + F5")

on en conclura

UL,1511,,19 ne IL, 5 x)
OR PET 1l;,,3

294 THÉORIE
et par suite
M: LOL
(77) mes (es),
On aura de plus.
__ 26G(26G— 1). — 1)

IR SE = L.2: que 2
26%(26© — 1).. _ cn De

(78) M 1223/7000
n ___26%(26%— 1)...(170+ 2)

Ve TE 1.2.3. ..90 24

Exemples. Supposons

P.=58.

Onvaura © — 1,

IL, 5 — 26 Ras _.

| 2
Lafr25af 101.30
ass — PR en 3 = 9;
26.25.24.23.29.21.20.19.18 _ 3 9.9-.11.13.15.17 _ 5 _
DR 1.2,3.4.5.6.7.8.0 mu” 45.68, À T 12
1 Mall 3
astres
d=I

Effectivement

De D2= 1 + 13.2’.

Supposons encore

p—= 157
On trouvera 5 —3,
se 98.77.76. a Q.ù D
5 DB MS à | Lidl

DES NOMBRES. 295
I Eu 19.21.23.25.27.20.31.33.35.37.39.41.43.45.47.49.51.53

OU

IL,3 2% 10.11.12.19.14.10.16.17.18.19.20.21.22.2 3.24.29.26.27

__ 1 29.31.33.35.37.39.41.43.45.47.49.51.53 x

7 2% 10.11.12.13.14.19.16.17.18.20.22.24.260 2
L LL, A =— 99

2 IL ,,3 T% 64
æ'=ÆE (22) = +13= + 144.
Effectivement

157 = 144 + 13 — 12° + 13.1°.

RAA A: S III.

Suite du même sujet.

Reprenons les formules (4) et (5) du $ II. On en tire

Hah,e) = Koh, = Koh). = (ah) —
(1) Or av — 7) Où° +4 —u°) Ous Hay(h—ut).-. O3 + ov(A — uw -3) -
®, Y(v— 7) k

Lu
et l’on trouve de la même manière

CSS ) 3 HCXSS) — S(ah,c") Pr — S(ah,7?) =
| 0, 1}

_ On aura d’ailleurs, en vertu de la formule (2) du $ IT,

Our Æ v(4—- um) — Oun + vY(4 + kw — um).

ve ; |
296 THÉORIE |
Enfin, comme, en supposant » premier, on aura |

v—1

LT aDd y)

on trouvera, si v est de la forme 4x + 1,

(3) Éra 5) = CES) _ œh,c),

.) |
et, si v est dé la forme 4x +3, |
&® He) = ht) = (ht |

Supposons maintenant que soit un nombre premier, et
nommons & une racine primitive de

(5) æ*-'= 0, (mod. w).

Si l'on prend

(6) COCO: Co ECO

on aura

(7) COCO EEE ST CODE |
(8) Sete) Hat ,5) Hate) = gas) |
(9) pc) = p(e,e) =... part ,c). |

On trouvera de plus

a® =—1, (mod. «).

Cela posé, si vw et y ne sont pas tous deux de la forme 4x + i,

on aura
gla,c) = à + b (a+ a +... + a —$) + C (at + a +... .+a 7)

+ [a+ bo +0 +4 Has) + (ar + a +... +a)](e + +...
HTC (a+ at +. 4 005) + (ar + 00 +... Hat7?)] (ou + cu 4. a)

nr)

DES NOMBRES. 297
ou, ce qui revient au même,
Do(2,c) = 2a —b —c+(b —c J(a— at + a —.. Hat — a)
[aa —0b'—c+4(8—0c')(a—at Hat... Hat an)](e Hot... + ct)
+[2a"— b'=— C'+ (b'— c') (a— a ee Qi re RSS ah, Pa | (s"+ cu+ PCT RE
ou enfin
Hoa,c) = 2(2a—b—c)—(2a— b— c)—(2a"—0"—c"
re [ea — pes c)— (2a"— DIE c”)] (e pds ct + cu —, A + D — ec)
+ [2( — c)—(b — c)— (b"— € ] (a — a + QU + a — a)
+ [(o'— c)— (b"— #1 (c — +. .—c#) (æ Le NO OIE _ A)
Si l'on fait, pour abréger,
A = 9(2a—b—c)—(au—D—c) —(2a—b"— 0),
B— 2—c)—(b— c)—(b—c"),
C—= 2a—b'— c—(2a"—b'—c"),
D—(b—c)—(b"— c"),
les quatre nombres, À, B, C, D seront tous pairs, ou tous
impairs, et l’on aura
(10) 1100) — A + Be — a?) + C(e—ct+..— ge?)
HD(a— 004 ua) (eo — out ec)
Si v et w étaient tous deux de la forme 4x + 1, alors
l'expression
ges) = ga 57 1)
se réduirait à une puissance entière de p, et l'équation (ro)
prendrait la forme
(1) Ao(es) — À ,
en sorte qu'on aurait
Bal, = 0;
LT ANIL 38

298 THÉORIE
Lorsque « et, ne sont pas tous deux de la forme 4x +7,
le produit

ous) p(ar 1,61)

se réduit à une puissance entière de p. On a d'ailleurs géné-

ralement
A (er ae y pp a
| (c—ct + —(— 1) = -w

0 7 L
De plus, on tirera de l'équation (10), en y remplaçant suc-
cessivement «& par «° et ç« par c",

Go(a,s") = Me Er a) Cet — ce)
—D(o—at +) (o— out. Te),

(13) Ao(at,;e) —=À— Be — a) HO cc?)
—D(a—at + a) (c++ ce),

TIC ,5")= A—B(4— Ha) Cet 7)

por do He—0"?) (—5"+ Fee er

\

et l'on trouvera 1°, en supposant et v de la forme 4x+1

ps) = ps) = gs) = pee);

2°, en supposant » de la forme 4x + 1, etw de la forme 4x+ 53,
ps) = pos), plats) = pet);

3°, en supposant y de la forme 4x + 3, et w de la forme 4x + ñ
CO gets), gas) gate);

4", en supposant » et « de la forme 4x +3,

or S

plate) = pate

DES NOMBRES. 299
Donc, si l’on fait généralement
(14) plus) ges) =p$,

on aura, 1° en supposant y de la forme 4x + 1, et de la
forme 4x+3,

(15) Pi= (es) p(ate) = pass!) p(at,c");
2° en supposant » de la forme 4x + 3, et de la forme 4x +1,
- (16) AT CON CDHET CO CEE

3° en supposant » et © de la forme 4x + 3,

(17) COCO ET COCO
Si maintenant on substitue dans les formules (15), (16), (17)
les valeurs de

Q(a,s); Q(a,c), Q(a;c"), Q(a,c")

tirées des équations (10), (13), on trouvera, en ayant égard
aux formules (12) : 1°, en supposant » de la forme 4x + 1,
et w de la forme 4æ+3,

(18) 16p—A*+0B+C+oD", AC+oBD —0;

2° en supposant y de la forme 4x + 3, et w de la forme 4x +1,
(19) 16pl= A°+ wB°+%C + uvD’, AB +,CD—o;

3°, en supposant w et v de la forme 4x +3,

(20) 16pl— A°+0B°+,C +wD, AD—BC—0o.

On vérifie les équations (18) en prenant

A—6d, B—é6e, C——oyx, D—;5,
38.

300 THÉORIE
et par suite
(21) 16p= (9°-+ ae) (E° + vor),
ou bien
A—=w6d, B—6, C——y;:, D—;ÿ,
et par suite
(22) 16pl = (ud° + e°) (wé? + vy).
On vérifie les équations (19) en prenant
A—65, B—vy;, C——6, D—;i
et par suite
(23) 16pf =(S + ve”) (6° + wvy'),
ou bien
A6, By, C——6G, D—,
et par suite
(24) 16p* = (y9° + &°) (067 + wy°).
Enfin, on vérifie les équations (20), en prenant
A—65, B—6, C—15, D—;
et par suite
(25) 16pf = (5° + we’) (6° + vy').
Applications. Supposons, pour fixer les idées,
1—= 5; Vo, dev LI
on aura

v= = ==— 1, (mod. 3)

DÉS NOMBRES. 3o1
U—2, a—2
u—1, u—2, w=4, w=3, (mod.b)
u" + o(h—u") = uv" —5(h—u")—6u" —5k,
TO O8, x

ah ff ee =
+ ) mi SAT 30104 O_,

O,,-510 O,, -510,

h Eh: 53 12—5h 18—5h 12-54 35h.

LC 5) = Ra ,e) = ———_——" —= ————— ;
Oo 10% OÙ;

on trouvera par suite

0,9, 0,0
dan) = Ha) RU R,,
; CCE
pa ,c)= Ka = Re Riu

(26) ba

gs") = S(a,5°) — a R,_,—=R,
6,9_

pla”, )=$ (as )— Fr — RE, Se Rs -

\

Cela posé, on aura

P'= pes) ee) = pee) 9) = R Riu = Ruk,s=p,

Éd
et la formule (21) ou (22) donnera
(27) 16p—(8 + 3e) (6 + 15%),
ou
(28) 16p=(e + 33°) (36° + 57°).

Revenons aux formules (10) et (13), et supposons » de la
forme 4x + 1, et w de la forme 4x + 3. On trouvera,

|

302 THÉORIE |

1°, en prenant

A6, B—6, C——wyx, D—;ÿ,

fi 2 Ae(ae) =

[LS + a — a +...— el] [8 + yes — cu +. 3) (a — 08 +... — a%72)], |

fer) = D :

[8 + de — a ee) — pe — + me) — RE |
TC) —= .

Lo —— e(a a+... .— LT) Fee "CG — cut... — 0) C NE 0 a #50

TIC) —
\[è — e(a +... — me )] [6 + "CG —GU+H,. —c?) (a — at +...

(29)

Si l’on prend au contraire

A=o6ÿ, B—G, C——;, D—7,

on aura
has) =
Êe= da — a +... .— RO GE | [Ex — +... — a) —y(s —5t Amos c
CCDES
2 Le —Hu— a+... .— m)] [fx — a Ha) pe — ct +.
(30)
(PCOES
[e = (x — a+. .— nées)] [— (a — x Fr a) — y — ci +.
(C2) —
\[e + Üa—a+...— ae )| [— Ea — 0° + so — as) + Je —5" +...

Dans les équations (29), (30) on peut toujours supposer e, à
premiers entre eux, et faire passer les facteurs communs
qu'ils pourraient avoir dans 6 et y. De plus, si les quatre
nombres À, B, C, D sont impairs, 6, y, à, « devront l'être

DES NOMBRES. 303

4

aussi, et l'équation (21) se-partagera en deux autres, de la
forme

(3 1) pi à + we’, 4p* = 6 + vo,
ou l'équation (22) en deux autres de la forme
(32) fpi== € + wd”’, Un — ©6° + vy’.

Si, au contraire, À, B, C, D sont pairs, 6, y seront impairs ;
et les équations (21), (22) se partageront, ou, comme on
vient de le dire, lorsque 5, « seront impairs, ou, dans le cas
contraire, ainsi qu'il suit :

(85) P'=+ue, Gp = (5) +w(1),
(54) P=E+0r, po © ne, G}r

Ajoutons que l’on déterminera facilement p" en cherchant la

plus haute puissance de p, qui divise simultanément les
deux produits

ges) o(us'), plats) p(asct),

qui se réduiront, si l’on admet les formules (29), à
LS + a at + ae )] (6 + vf),
LD — aa + an )h(e Lu),
et, dans le cas contraire, à
— 2 Le — Da — a + — a) (uër + vo),

— _ Le — da — a +...— a—2)[ (06? + vy').

304 THÉORIE
Supposons comme ci-dessus
D 00 VON ci 00)

on aura

Rs

(as) (a,s") — R,, Rs Ex di . 11

plats) p(ar Re PE.

Re LL

13,7

Donc alors #”— 1, et comme on a trouvé Æ = 1, on aura
nécessairement # — 0. Par suite la somme

d Hu OÙ € + vd
se réduira nécessairement, ou à l’unité, ou à
A=:+o—=t: +3,
et les nombres 6, y vérilieront l’une des formules
Ap = 6 + 15}, 4p — 36° + 5,
ip = (5) +150), 4=3() +50):
D'ailleurs, les seconds membres de ces dernières formules se-
raient divisibles par 8,si6ety,ou Z et 1 étaient impairs, tandis
que les premiers membres sont divisibles seulement par 4.
Donc 6 et y, ouZet}, doivent être pairs, et l’on peut ré-
soudre en nombres entiers l’une des équations
P=S FAT, DIE SE 07:
Or, comme on a généralement

= Æ 7, (mod. 5)

DES NOMBRES. 305
on en conclut

8x? + 57 = 2; (mod. 5).

Donc p étant de la forme 15x + 1, ne pourra être en même
temps de la forme 3x? + 5y°, et tout nombre premier de la
forme 15x + 1 vérifiera la formule

(35) pro:

Il reste à trouver la valeur de x.
Or, d’après ce qui vient d’être dit, on aura, 1°, si l'on sup-
pose d +w—1,

16p 62-410 —16( 1957),
6? 6: LÉ
er CN + we), = +),

2° si l’on suppose à + we — 4,

4p = 67 + 15% = (a? + 15°),
Ent E
16 16

x? —= (8? + we), TC + we?).
On aura donc, dans tous les cas,

6? 2
DE GO +), j = À (3 + os).

D'ailleurs, on tire des formules (29) et (26)

Qla,c) p(at,ct) — _ (8? + we?) [E + y —<" Host) (a — a +. —«%2)]

= R, Rs,

Dane) plerct) = 2 (7 + we) [6 —y(e — ot +... — 60") à — at + mat ?)]

= LR ON LEE
T. XVIL. 39

. 306 THÉORIE

On aura donc par suite

RonRye Rae] = 2 — op = 2° — 15°,
puis on en conclura, en remplaçant & par r,
a? — 15 = Us (mod. p);
‘et, comme on aura de plus
x? + 15ÿ*=0, (mod. p),
on trouvera définitivement

(36) 2= — 15y* = > LL A LE

Exemples. Supposons p — 31. On aura & —»,
no 55 — 1).. _— 1) —2:9 — =

HS Oo
__10D(10D— 1)...(8G<41) 20.19.18.17 n
Le 1.2.3.,.2G "Ÿ Gros —=$:19-3-.17=9,
AE ER r Vatr ee pes :
DE 79 14=:9-.7= = 16=—15=— 16y.
Donc

P= LE TOP AO TD PE ACT".

Supposons encore p — 61. On trouvera & = 4.

MOTOS LABS pee LEE RO
re —5.19.3.17=—5.7 35 -
__do.39:38-37.36835.34380 D ns
MT DO OS —5.17.19.33.37.39 —:?
LE: DU: RON TD ARE ET an
T TES LE cu Go
Effectivement

Gp Me Core.

‘ En général, » étant de la forme 4x + 1, w dela forme
4x + 3, et à, « étant supposés premiers entre eux, on

1

DES NOMBRES. 307

conclura des formules (31), (32), ou (33), (34) ,;qu'on peut
satisfaire en nombres entiers à l’une des deux équations

(36) 4p° = X?+voY?, {pp —=VX2 +. 0Ÿ?:
et, comme les seconds membres de ces dernières seraient
divisibles par 8, si,

Y+ow Où 1 + vo
étant eux-mêmes divisibles par 8, les deux quantités X, Y
étaient impaires, tandis que les premiers membres sont seu-
lement divisibles par 4; on aura nécessairement, dans cette

Ï ; ?

hypothèse,

X— 2X7, Y—Y" |
(37) p'=X"+%60Y"? ou p'—=1X2+0Y".
Dans ces diverses formules, p”" est la plus haute puissance
de ui divise simultanément les deux produits

P;

(38) pes) pes"), p(ats) e(ar,ct).

Soit d’ailleurs p' la plus haute puissance de p, qui divise

simultanément les quatre expressions
(39) ges), pts), os), e(erst).
X, Y seront divisibles par p'; et, en posant
X=pz, Y=py,
u—= À" — 97,

on tirera des formules (36)
(40) Apt =? + voy* ou 4p* —=vx" + wÿ°.
D'ailleurs, p étant de la forme vox + 1, la seconde des équa-
tions, (40) ne pourra être vérifiée qu'autant que l'on aura

vx =4, (mod. &); y =4, (mod.»),

39.

308 THÉORIE |}

et par suite
w—T 4—1

y =, (0.0): vo —1# (mad, 1);

ou, ce qui revient au même,

Donc, si l’on a

0 HET

on ne pourra satisfaire à la seconde des formules (40), et
l'on aura nécessairement

(42) Apt X? + voy?.

Application. Soit w — 3. Alors, si » est de la forme 12x + 5,

on aura
y —— 5 ——
[3] == [;] = — 1,

et par conséquent on pourra vérifier, en nombres entiers,
l'équation (42). Mais, si v est de la forme 12x + 1, on aura

G1=G]=:.

et l'on pourra seulement assurer que l’une des équations (40)
est résoluble en nombres entiers.
Exemple. Soient

D— V7. CV — Bine
On trouvera

u—3, w=—8, w=—7, u=—4, w=5, w—=—),
=—S, u°=8,! (u"=7, cu"=4,

DES NOMBRES. 309

u" + (hu) =u"— 17(h—u") = 180" — 17h;

O,5_ 1740) — 17h O0 15h O5 15h O33- O0 17h 36-190

fa, ) Ne ROSE Ci OUTPNINN :
17h

4 TRS EE 9, _ MEL OHer0re Creme COCOpE 17h,

CET DT ce ie rene es DT ,
17h

puis on en conclura
\ 0,0;:0,:0,0:0,:59,0,, 0°,,0'6s
pas) — io LEP — RRosRsikigro ——
17 17

TTL :
—=R, RRsR,9 IT R,,6R 55,58 3468 60,102 Ryy ,

(©) 9,,0,.0, (©) © O, Oo
p(æ;c") == 7 - De —= R;, Re PILES he 19°

oi

= Ro 68,50 PRr7 ?

p(a,c) = Rs Rp, Rs5Rs PR
pla;ct) a Lx tele PA RP 36 .

En d’autres termes, on aura
2

R3,:5R 0,10
g(a,s) —=p" Rso,35Rs,47R 34,34”
R33R,6R
ERP EE EE
: ges") up Rs, R34,36 ‘
(43) Rso3sRas,R
(ce) = pr
PES Ri3,25R 919

pla) — Ris ah 34,34
o A R,3R 2246 838,40 .

Or, la plus haute puissance de p, qui divise simultanément
les expressions (43), sera p’. On aura donc — 3. De plus,
les produits

pas) pc), plais) gas!)

310 THÉORIE

seront l’unet l’autre divisibles par p°. On aura donc #"— 7,

Een 46e

et l'on pourra résoudre en nombres entiers l'équation

(44) FE ART
On trouvera d’ailleurs, en raisonnant comme plus haut,

Le 214 DS L Los; re IL, 60340; r
RÉ nn PR LP

10,702 19s37
I TL,4200L9,5023, 11016013, 4

= ; ?
2 I 15,60, 9:

10,7
et par suite
LB AA FPE 1 ER 1 PES 1
4 CES LE 2 1,16" 44,132 5,29" 11,25 1420,
(Ci) ENT Hu n.

7,10

En général, lorsque « est de la forme 4x +3, et v de la
forme 4x + :, on peut décomposer l'équation (21) en deux
autres de la forme

(46) 4p' => + we”, 4p"— 62 + vwy”,
ou l'équation (22) en deux autres de la forme
(47) 4p°= 0? + E2, 4p" —= 06? + y.
Car, chacun des binômes

d + wc, WE, 62 +ivoy*, 66° + vy°

sera nécessairement impair ou divisible par 4, et, si l’un
d'eux était impair, les deux termes de l’autre binôme dans la
formule (21) ou (22) seraient pairs, et divisibles par le fac-
teur 4, qu'on pourrait évidemment faire passer dans le bi-
nôme impair. Ajoutons que l’on pourra toujours supposer à

DES* NOMBRES. SLI

ete premiers entre eux, ou n’ayant d'autre commun diviseur
que le nombre 2:

Cela posé, soit toujours: p' la plus haute puissance de p,
qui divise simultanément les expressions (39). p!" sera la plus
haute puissance de p, qui divise simultanément les pro-
duits (38). On aura d’ailleurs

KR —k— ER",
et l'on pourra résoudre l'équation
(48) Gp" 28 + sup,
ou
(49) LP ve + y.

De plus, on tirera des équations (29)

16e) p(at,s4) + past) g(at,s)]
— 2(9° + we?) (62 — wvy*) = 8p" +? (x? — wvy°),

16[p(&5) past) + pat,e) p(ar;c)]
— 2(92 — we?) (6? + wvy®) — 8p" (à? — we?);
ou, ce qui revient au même,
a eu 1\ la
PR RE PETER
(bo) FE

d2 — ww? —92 RESTE nes) es PE pee) 5

En opérant de la même manière, on tirera des formules (30)
(ao) g(ans") + pus") que)
©L?— vy? — 9 RU OUTRE

(51) ml u a €) a eu
RP, Pac) er) _. 5) ons),

312 THÉORIE
Si, dans les équations (50), (51) on remplace & par r, on dé-
duira facilement des formules ainsi obtenues et des équa-
tions (46), (47), (48), (49) les valeurs de x, y, à, e.
Exemple, Soient toujours
O9 ce
On aura

pas) —=R,,, plats) = Ris past)—=R, 3; plas,ct)—R,;
Rene A La

et les formules (5o) donneront

x? —1 5 —=92{R, R,5 +R, Ru)
R,R,,s Se Rs REC
1

(52) Sa 32 = 5

ne plus, les formules (46) et (48) donneront
(53) D2LE Je, 2 FO) Apr.
Enfin, l’on aura
RO Pr RAR 7,

et par suite les formules (52) se réduiront à

x? ER en Ê .
713 rg,rr

382 à (Au + Pa)
R,4, 11 Le

Si, dans ces dernières, on remplace & par r, on trouvera

{x®—16y°= Il, IL, 4

, d.
(54) M 32 = 2 (TE + +7) | , (mod.p);

DES NOMBRES. 313
puis, en combinant les formules (54) avec les suivantes
8 +34, x +157 =0, (mod. p),
on trouvera
æ=—515y = TI, Il: (mod. p)-

Ajoutons que la première des équations (53) entraîne l’une
des suppositions
EU 0;
DE;
en vertu desquelles
92 — 3e?

se réduit à 4 ou à — 2. Donc

II I
TE =20u— 1, (mod.p).

(5) IL 5 I,

Quant aux valeurs de x, y, elles doivent être paires, pour
que la seconde des équations (53) puisse être vérifiée.
Prenons pour fixer les idées p — 31. On aura

IL, = 14; I5—9, (mod. 31)

TS + m5 +ÿ=5—6=— 1, (mod. 31)
Ml =,

D Re

1= 157=16= 15, (mod. 31)

31 — 16 + 15 — 4? + 15.72.

Prenons encore p — 61. On trouvera

,,=—?, UL,5 ==, (mod. 61)
LE XVIL lo

2
2

314 THÉORIE

IL,6 IL 9 5 == ||
TE | Mouse É
a

Gi —1 + 60 —1° + 15.2°.
Supposons maintenant que soit de la forme 4x + 1'et »
de la forme 4x + 3. Rein (23) sera divisible en de

autres de la forme

(56) 4p'=+ve, 4p"—=6 +,
ou l'équation (24) en deux autres, de la forme
(B7) 4p"=và + 6, 4p"—=v6" +oy’,

ÿ, e étant des nombres non divisibles par p. Si d’ailleurs p*

désigne la plus haute puissance de p, qui divise simultané-
ment 6 et y, alors, en posant

CSP 10
on réduira la seconde des équations (56) ou (57) à

(58) Gp = 2 + voy,
ou bien à
(59) ap" =NE + of.
Enfin, au lieu des formules (29) ou (30), on trouvera
4g(a) =
[È— es — ct +... .—ç#7?)] [E+y(a—a+...— ee) (c—ct Le
COLE :
(Go) [S + do — cu +4-.. —ç072)] [6 — ya — à +... — a") (e— cu +.
Ag(at,s) —
[I — fe — cu +... .— ç#?)] [8 — ya — a +... .— 48) (ce — ct +...
p(as,ct) —

LS +de — out — 02) [EE qe — a+. an) (+. =

DES NOMBRES. 315

ou bien
COE |

fe + de — ot +. 0) Leo QU) (aa + a 2)],
| Ae(es) —
1 [e— Ne — ct Ra à —ç#?)] [ée — ot See - — QU) + ya — a +.. .—a"?)],
0 | Arts) =

Île oct 0) Po cu) aa +. ant),
(| os") —

Me Xe —<" ne Ê .—57*)] [és — ci Lorie — QU) — (a — a+... — els

puis on en conclura, dans le premier cas,
a œu a u\
ww —2 PR rc eee

(62) D de + darts)

P— ve —2?

et dans le second cas,

(as) pass") = pars) p(a,5")
ge" 2
(as) pars) + plos) pla,s") f
PF

©Y°— vx — 2 >

(63)

El NO — 2
Exemple. Supposons
=, AU:

On trouvera

316 THÉORIE

OF O5 O rois,

a",c) —=
O_,
c O_,5_ 105161 O1o—
Ho',s")— 5—14h 7 5—14h 10 A
O_,x
(ac) — Re Roue Ro =p dates 1e ,
R3,19Ra618R 31,26
U\ R3; R618R3 26
p(a,s ) =R, Roch =}? ER. ,
13,29
a R 432R6 3
(a 5) — RE Rss RE —; 2} RE
; 7r17
2 R33,3 Ro s

ps) = Ross Rs Ro Ron —P R34,22R26,23

UA
k—4, =D, Se ie
On aura par suite
T'—uÿ OÙ &Y —vx —
2 pheessrennnter +p'xetc ]
RP 33,327, 17 14 ain
DR VE Ou CT D —

Rs 1924 18R 3x 26R33 3 R,, Le 2 )
9 + D x etc. );
[ R320 836,22 R 26,23 P 2

puis on en conclura

RÉSARÉAnES IS SE
IL,,6 IL,,,1;8
NÉS I ESS IT, 3,114,

18
IL,,6 CNET (ES P}. ;

a—35y ou 5y—7x = 2 » (mod. p),

d — 7e ou & —70=2

On aura d’ailleurs, en vertu des formules (56),

+ ou à + 7 —/4p,
2° +35 ou by + 7x —4p.

DES NOMBRES. 317

D'autre part, p étant de la forme 15x + 1, on ne peut sup-
poser :

5 + 72 — hp,
puisqu'on en tirerait

1r =, 7= (2) m=1,(mod. 5)

tandis que
7 —49=—1, (mod. 5).

Donc, on aura simplement
(64) S + —4p, à +35 —/p;
les valeurs de

a, Ja ", d,

pouvant être déterminées par les formules

27 DE EI IL 605,19 4,9 T,,,300,, 13
(65) Fe =35y me IL, 6 Lo ou.
— 7e relié IL ses

IL, 6 U,,130l,12
Si l’on eût pris au contraire
DT
on aurait trouvé
U—2, 1—3
—— 3, (mod. 7)
"+ Ru") —= 15h — 14u",
O, 140; 1
f},c) — 5 5k+ 42
Ok

Hah,ct) = O4 + 1O:56—7 ,
O30h

318 THÉORIE

0.0_.0,0,0,.0, 7 ;
Le tu AU D Leu | Laden 5 4000
(as) 0:,0,0% 329 16,9 Lrr,4 P Re Eu »
6,,0,0 :0,:0;,0 x8 BR; 8
#)= == = 1. E 2 R PTS: CNE n
(as )— T'as 0,0, 8 313,18 — p? LIRE EE

p(at,s) ZT R;, Ro, 643: ;

R3,-R33, 12 «
pla ")—= Popper RTS

Rd NES," 0,

(66) fp=x +35, 4p—=d +7,
HE.
LT — 35y = ee 0 asile aie 4?
(67) ÿ ur pen nn. Il
== 7e —— TN IL, 690,"

Il est important d'observer que les équations (65) peuvent
être présentées sous les formes

I
2° =35y* HA Lofest) pate) + ous) p(atc)],
À 68) == EL pe eee 0,,0,0:,0:0,:0,;
( "NE . 0,0, (OMOP
y ra I [er ueneses 0,,0,,0,,0,:0::0;
É 0,9, 0,10,

+ ete. | ;
SE ete. .

On tirera au contraire des formules (67)

, I ;

= = [ao qlets) + gfas) 4(25")]

I [tone 9,,0,0:,0:0 50,3
0:0,,0, 0:0:50,;5

55 ete. | ,

[otat,s) pate) + pus) gts")]

pe — 0,:0::0:0,,0,,0,,

+ ete.|:
0:0,.0,, 00,0,

DES NOMBRES. 319

Or, la première des formules (68) coïncide évidemment avec
la première des formules (69), attendu que l'on a

VA 0,:0,0,:0,; à — à 0.0,0,.030,:0,5.

Quant à la seconde des formules (68), elle fournit des valeurs
de ÿ, « distinctes de celles que fournit la seconde des équa-
tions (69), et si, pour plus de commodité, on désigne ces :
dernières par
ÿ!, el,
on aura
*Yrate ir De , 2:50.,0,,0,; p‘ £! p*

Fe? 66.0,7 ER) PR

EN ne _— pr?
=— Ro = IL

Ainsi les équations

(70) +7 —4p, +7" —4p

seront vérifiées simultanément, de manière que l’on ait
DE g'2 ;

(71) Fr I (mod. p).

Exemple. Supposons p =71. On aura
71=64.+7—=8 + 7.1 —(8 + 71 —1)(8— 7),
7 =(8+7 03) (8— 715)

—(57 + 16.7 1/—x) (57 —16.7V/—1)

— 67 + 7.167,

Lee 8, —1, 5 Lu 16,
; 2 2 2 €
et l'équation (71) donnera

57° ca
(3 =16"=1;,, (mod. 71).

320 THÉORIE
Effectivement 57=8.16, (mod. 71), et de plus

__15G(15G — 1). (100 + 1) __ 30.29.28.27.26.25.24.23.20.21 16
Hi, = 1.2.0 = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 R

Supposons enfin que et v soient tous deux de la forme
4x +3. Alors, en posant
A GuB=É; AC ?, , D—;:,
on tirera des formules (10), (13)
Go(ass) =[9+ e(a—at+.—u*"*)] (+ cut c)],
Ao(ast) —= [+ e(a— 04.0" ?)] [Eye —cut— cr),
gate) [D —e(a—a+.. 0 7)]6+ (cc 2)],
ho(at;et)—=[I—e(u— a+. — 22 00) [Eye cut cu),

(72)

De plus , comme, dans la formule (25), $ + we ne peut être
impair, sans que 6, y deviennent pairs l’un et l’autre, et qu’a-
lors on peut faire passer dans ® et le facteur 4 commun
à 6 et y, on pourra toujours partager la formule (25) en
deux autres de la forme

(73) 4p'=Ÿ +o, 4p"—=6 +vy.

On pourra d’ailleurs supposer Ÿ, « non divisibles par p; et,
si l’on nomme p' la plus haute puissance de p qui divise 6
et y, alors, en faisant

6—=px, y—=p};,
on trouvera

(74) 4p LUCE TS — x? + y”.

D'autre part, il est clair que p“"sera la plus haute puissance
de p qui divise les deux produits

plus) tas"), p(at,s) pfasct),

ms an _

DES NOMBRES. 321
et p' la plus haute puissance de y, qui divise simultanément
les expressions

(ac); p(as"), o(at;c), = plate");
et l’on tirera des équations (72)

(, (CL u a œu
ap = 2 Pas) 8 a+ es)

> e(e5) pas") + o(a,c) p(as,c")
Va ;

D Ce —
Exemple. Prenons

On trouvera

u" + w(h—u")=u" + 7(hk—u")—7h— Eu",

Sal) = tee,

Kah,st) — “tent
ges) a ie —=pR,,; —=pk;;e ph; ;
Cac") = ne = PRos = PRs:9 = Po)
plee) = = =pPR,s =phou =PR,n ;
= PE PR = pl ph

42

Ainsi l’on aura

2

=, p(a,c") ="); Em

p(a,c) = Re q(a”,c") ee pes
T. XVII. 4:

322 THÉORIE
24 LA
het 35 0 =op mesh,
et par suite

(76) EVE 3e, &p =a?+ 7p5,

D'—— FA = R:5 Re = IL TK,
(97) . (9° 32) =À 39 4 oo Is IL

ER to NL IL, °

Supposons, pour fixer les idées, p — 43. On aura ü— 2

ne

PT = = 52,

D = RD DT 3, 17.19. 5=— 14,
Lee — 72386,
L(—8)=— GES Le

et par suite

2 2 Lu 2 1 2

= — hi) OT.
Pi, fo 364 =
Effectivement
432 6+-g68-+F-7Rr
il est bon d'observer qu’on aura encore, en vertu des
.q ;

principes établis dans le $ [*,

(78) a =,
Donc
(79) Il, =, IL, 8 -

Effectivement, si l'on prend p—#3, on trouvera
18.17.16.15.14.13
14 =D: 6
I = 144=15=—928=N,414:

—0.19.14.17=— 12,

IB,6 —

DES NOMBRES. 3

(eb)

2
On aura d'ailleurs , en vertu de la première des formules (75),

x° 2 pi [ 0,0:0:6 0:05: ;: 4 0:0,.0;; (CMOMOR x
DE Fe
a — 77 =Efoce.xeee, +
2 174 16 278 11 0,0:6,6 x 6.6:0,, ,

tandis que les principes ci-dessus rappelés donneront

D—7ÿ— [eee CR RE |.

En général, on vérifie l'équation
Tr d
v—;:;, (mod. o),

lorsque est premier, en prenant
2

D — NB

Donc la formule (1) peut être réduite à

@; Ut (} — OO, qu—1(h—u: …. Ouv-3 + vo—t (} — u—3)
(80) É(ah,e) = 1 vor (h— 1) Vu? + (A—u:) 0 + (A—u js

Or de
et la formule (2) à
Do. robe. te mr),
ns et

Par suite, les divers facteurs que renfermera le numérateur
de la fraction équivalente à o(a;s) seront de da forme

Oum + yo—1 (am — uam).

De même, les numérateurs :des fractions équivalentes à
o(as"), o(at,c), o(a,c") auront pour facteurs des expres-
4x.

324 THÉORIE
sions de la forme

Oum+i es (an — u2m+x) y
Oum +ve-t (azn'+1 — ur) ,

\ Oum spy: (azn'+r = u2m'+3) .*

Cela posé, il sera facile de déterminer les nombres ci-dessus
désignés par
1 Ad
AR UETR

si l’on parvient à trouver combien il y a de nombres entiers
de chacune des formes |

res _ a l(re SE ua) PREUS ie ‘api Cat CE UE),

LL" ce pare CR, ni) LE == JT Cri he RE

. . [LA
entre les limites o, =

RE e

Suite du même sujet.

Supposons, comme dans le S IT,
ñn—=uw, (vétant un nombre premier),

P—Ii=nd= vw, ÿ—ut;
et soient
Prat)

des racines primitives des équations

FRS CURE RL OC EN

DES NOMBRES.
Soient encore 6, + des racines primitives de
DEA, MRE=UNS
et £,s,u des racines primitives des équivalences
æ"7"= 1, (mod.p), zx'=1,(mod.p),
æ'"=1, (mod. »).
Soit enfin
(10) D— _ (mod. w).

On aura

a,c) het) hdi COS

325

Op Ha 1) Ou? + wa — u2) Ous + vyh— ut)... Ouv=3 + (A — uw 3) È

0,1) }
2

Feh,e) = Koh) = Hah,e0) =. = (al,eu 7) —

Ou + (4 — u) [OPE +av(k — u3) Ous + a(A— us) « .. Ou—2+a(i— ur)

o, YG=:) k
2

Si « est un nombre premier, on pourra prendre

Soit d’ailleurs & une racine de l'équivalence
æ*7"= 1, (mod. o),
et faisons
pla,s) = Says) Sa2°,c) Hathe. >. a c)s
A5) = pas) e(arsct).
On aura
1(e) NS —_ o(a,c) ga, c“) — Abe)

x(a° ue (æ de) g(ac" = 4{235").

326 THÉORIE
Observons maintenant : 1° que a et u vérifient les formules

w—1 - Y—1

a =—1,{(môd.u), w°—==1, (mod. »),

OC) —"1

?

et que seront pairs ou impairs, suivant que

w, v seront de la forme 4x +1 ou 4x +3; 2° que dans
une expression de la forme

Om + Ju— 1 (am! — um) = O(x — vu—1) un vera’.

On peut remplacer 4" par un nombre équivalent à 4”, sui-
vant le module », et 4" par un nombre équivalent à a” sui-
t] dule t a" b lent mL
vant le module w: On en conclura sans peine, 1° que chacune

2
des expressions

(as) , f(a%,s); AC mor Etse --
COR CODEC ICEES

se réduit à une puissance de p, lorsque v et # sont tous deux
de la forme 4x + 1; 2° que les expressions

CCOPCHETICOE TTCEDE

g(a,c) (act) = Cr) = CE
se réduisent à des puissances de p, lorsque v et w sont tous
deux de la forme 4x +3. Mais si des deux nombres o, y
l'un est de la forme 4x + 1, l’autre de la forme 4x + 5,
ce sera seulement le produit

15) x(a%,6)
qui se réduira à une puissance entière de p. Alors, si l'on
fait, pour abréger,
c— ou + ot —etc. + Ti OU — A,

a — ait Et — @EC à. 4 ga — À,

DES NOMBRES. 327
on: aura: C
EE, pe + — ÊÈE,

2
2 5 A'— A
CES CMS mo CO le me Re Ha + Ha = — +;

CHU +R... + UT —

et y(as) sera une fonction entière et linéaire des poly-
nomes

cHo +. +” co +...+ ce,

mie he ut + a +.. TC
qui restera A ecMbles tandis que l'on remplacera simulta-
nément < par cet « par a%.* Donc 2}(a,c) sera une fonction
entière et linéaire de A et À’, qui ne changera pas quand on
remplacera simultanément A par — A, A par — A. On aura

donc

(2) de 2y(ac) = À Fate)

* Il faudra que l’on ait. fs

1 A5) =f b
+a +. Qu A) CHR How) (ae a +. avr?) (ou Heu +... + çu'—?)]
L e +. as) (quon +. HE ) no Hi an) (o + ou Hu cu S)]

—=f+Ë a+ +5 (CT OU}

pe pique Pape NS
QE mn om -
re Æ A+ PAA',

328 THÉORIE
A, B désignent deux quantités entières. On trouvera au con-
traire «
(2) 2y(a%,c) PARC
et par suite
Gy(es) (as) = À? — B'A'A" — À’ + vob’,
ou, ce qui revient au même,
(3) APE = AE ob
A, B étant deux nombres de même espèce, c'est-à-dire, tous
deux pairs, ou tous deux impairs.

Exemple. Soient

On trouvera 4 — 2,
4p° = À° + 15B:.
Cette dernière équation ne peut subsister, quand A et B sont
impairs, puisque alors A? + 15B* est divisible par 8. Donc
AaX%,,. B—2Y
(4) P'= RS FASY:.
Dailleurs p', divisé par 8, donne 1 pour reste. Donc X doit
être impair, et y pair. Donc Y° = 4x°y°
(5) i p° — X' = 60ox°y.

: à : —X X
Enfin p—X, p+X devant être pairs, et PS,

“ y{a,s) et y(49,5) sont des produits de plusieurs facteurs de la forme :
R;,w, dont le nombre est nécessairement pair ou de la forme ak.

DES NOMBRES. 329
devant être premiers entre eux, puisque leur somme p est

un nombre premier, l'équation (5) ou

PERRET 15%

2 2

se décomposera en deux autres, de la forme

+X 2 =: 2
= —=X, —— 15y°,
ou
+X » P—X
EE = 3x, LE = 5y.

Mais, dans le dernier cas, on trouverait

p=3x + 5y, 3x'=1, (mod. 5)

ce qui est impossible. Donc, le premier cas est seul admis-
sible, et l’on aura

(6) p=x +157, X—2x —15y.
En général, l'équation (3) peut s’écrire comme il suit :
(7) (2p°— A) (2p' + A) =voB:.

Soit p' la plus haute puissance de à, qui divise simultané-
ment À et B; on pourra faire

(8) A=pPX, B—pY, 2k— 2 — y,
et l'équation (7) deviendra

Apr 4p* = X2 + *oŸ*

(9) (p* + X) Ep —X)= wvY?.
XVI, | 4

330 THÉORIE
Alors X.et Y seront premiers à p, et, comme tout diviseur
commun des facteurs

(10) 2p*+X, 2pr—X

divisera nécessairement leur somme 4p*, ces facteurs ne
pourront avoir d'autre commun diviseur que 2 ow 4. Cela
posé, si les facteurs (10) sont premiers entre eux, on véri-
fiera la formule (9) en prenant

(11) 2p° + X = wi, , 2p"—X —;uy",
et par suite |

(12) Gp = ve +

ou bien, en prenant

(13) 2p+ + X=—=2, 2pr—X = vuy,
et par suite

(14) hpr= à + y.

Si les facteurs (10) sont pairs l’un et l’autre, X sera pair
ainsi que Ÿ, et, en posant

X — 2X, M — ANT,
on tirera de la formule (9)
(15) (pt +X')(pt—X) = uv”,

ou

P* = XECP va.

Dans cette dernière formule, le premier membre, divisé
par 4, donne 1 pour reste. Il doit en être de même du

DES NOMBRES. 33a
second membre, ce qui exige que X' soit impair, et V'pair,
puisque vo, divisé par 4, donne 3 pour reste, Donc, on ne
peut vérifier l'équation (15).qu'en supposant

p'+X=vx, p—X =,
et par suite
2p° = VX? + 0)
ce qui est inadmissible, puisque 2y*, divisé par 4, donne 2
pour reste, tandis que vx? +oy* ne peut être pair, sans
être divisible par 4; ou bien ‘en supposant
PE X'—%?, p*—X'"= uv},
2p* = 2%? + wvy",
ce qui est encore inadmissible pour la même raison, attendu

que 4*+wy*, en devenant pair, sera toujours divisible
par 4; ou en adoptant l’une des hypothèses suivantes

D'FXE=aVr, pe Xp,
(16) | P'=v2? + wÿ°;

DER 57 D" US oNp2,
(17) P'=2 + y.

Donc, en définitive, on pourra toujours satisfaire par des
valeurs entières de x, y à l'une des équations (12), (14),
(16), (17).

Comme p est de la forme vwwx+ 1, les équations (12),
(16) ne peuvent subsister qu'antant que l’on a

vZ'=1, Ou 4, (mod. e),
wX?= 1, Où 4, (mod. v),

42.

332 THÉORIE
et par suite

d— 1 v—1

y’ =1,(mod.w), w° =1, (mod. »),

ou, ce qui revient au même,

=. Fes

On a d’ailleurs, dans tous les cas,

Si

METRE

Eee
on ne peut admettre que la formule (14) ou (17). Si de plus
1 +v est divisible par 8, on ne peut admettre que la for-

mule (17).
Observons encore que l’on tire des équations (1), (2) et (8)

A— P'X = (4,5) + x(e%,0).
Donc
x — LS) HAS) __ ges) glote) + ele) plese),
P' P°

D'ailleurs, on tire des formules (11)
2X — vx? — wŸ”,
et des formules (13)
2X = 2? — voy”.
Donc

pas) p(a,s) ci pas") pla’, s*) l

VX? —wy" OÙ A—vwy — 2 ;

DES NOMBRES. 333

A l’aide de cette dernière équation et de la formule
4p'= 12 +0), ou x? + vey?,
on pourra déterminer æ et y. On aura en effet

pass) p(ar,s) Rae) (CS) ri

VL?= — 0Y? — F
(18) ou (mod. p*).
L?=— V0)" — p(æ,s) ge) = pass") par,s*) ,

Ces dernières formules offriront le moyen de déterminer x
et y lorsqu'on aura y—1. Alors, en effet, il suffira de
remplacer dans ces formules 4 et + par les racines primi-
tives des équivalences

æ=1, (mod.p), æ'=1,(mod.p).
En vertu de cette substitution, l'expression

CRE RE Ne ue -S
É O+x P P P

| ET eee
[ P ELrp f P ÿ

dans laquelle on suppose

k+h+1=0,(mod. »),
deviendra

(+ nr) 7 (+ 0 + (+ 7)
(1 + 1)7+ als + ET + + CA it ne nr
=(p— FAN Heu (mod. P);
la valeur de I,, étant

nn — "+ DS
M T2. hG) (1.2. 40)

334 THÉORIE
Soit maintenant
(19) R;,i= a, + ap + ap. sa, sp".
On aura identiquement
CE D lim Rime mt ge
= É =. de p' [ET +. Le Re 1e 4
12 P P 4

\

ou

a,+art+a;sr"+...+a, 7-97
== tl(2) 4 Pi 76H) FAURE Res alt)

Si, dans cette dernière formule, on remplace + par #, on
aura

Gonna Dane
=(I DE 1)9 + PCI 32 LE UOTE. RCE + #ye, (mod. p). 1

Soit maintenant 7'une racine primitive de l’équivalence
æ"-"=1, (mod. p').

Je dis qu'on aura

RU =,

(21) a + a Zope + a Tao tp, a TP
= (1 + 1er 2 Thon (x ds TPfent gs ere (x + TP)

En effet, £ étant une racine primitive de l’équivalence Fe
æ"=1, (mod. p),

on pourra supposer
T=t,(mod.p), ‘
ou

GT = + PY;

DES NOMBRES. 335:
et on en conclura
TE (EX pr} = tee +pP'Y,
ou
AE, (made

De même, si l’on à

(+ #&)=#6, (mod. p),
on en conclura

{+ Tÿ=(i + ÉN=È=T, (mod. p),

ou

(+ TY=T +pz;
et par suite

G+ DEP par Tir + p'Z,

** En effet une équivalence ,de la forme

æ=Yy, (mod. p')
pouvant s'écrire comme il suit
ae

entraine la formule
= + p'+'z4 etc.
ou
æ=yp, (mod.p'+:).
Donc l'équivalence 5

T=t, (mod. p)
entraînera successivement les suivantes

Tr=, (mod. p”), Tr =t#, (mod. p°), etc... 1# "= #7" (mod. p).

336 THÉORIE

ou
GATE TAS, (mod. D)

/
Au reste, l'équation (20) entraîne encore la suivante

(22) a, + APP an 3 UE Dept
= (1 + ere Re (ONE FE 2)hap— (y + dP—2)ePe, (mod. P'

Il est bon d'observer que, pour obtenir le premier mem-
bre de la formule (21), il suffit de remplacer, dans R,,,

o par 72
qui est ainsi que 7° une racine primitive de l’équivalence a #
æ'=1, (mod. p*).

D'autre part, comme on aura

T'=1, (mod. p°),

** De ce que l'équivalence
(1+#)= #, (mod.p)
entraîne les suivantes
+0) oi" (mod.p), et (14 TP = TT", (mod. p)
il résulte immédiatement que l’équivalence Ci
dhs (x + #Ys — vis, (mod. p)
entraîne les suivantes
cet (x ee = get", (mod. pr),
Ta (ET) er ET, (mod. pr).

Or, en vertu de ces dernières formules, l’équivalence (20) entraîne à son
tour les équivalences (22) et (21).

DES NOMBRES. 337

et par suite

TP = TT =; ETP=T,- (modif),

la formule (21) pourra être réduite à

(23) a+ a T4 a Tete
(na) + Tr TNA + 4 TEE + Tr-:yÿs#"", (mod. p*).

Il est facile de trouver un nombre équivalent suivant le
module p* au second membre de la formule (23). En effet,
on a

TS Pape Pape" (pe: —
(a+ 7y =] — PR EU 7% 4 ete,

et par suite

opt" (pt 1) >27*+etc.
1.2

2(1+ Ty '—=pi + Le 27T"+

DTA TN ES Te + 5 rue + etc.

le signe > s'étendant à toutes les valeurs de 7, renfermées
entre les limites o, p—2. D'ailleurs on aura
27*=0, (mod. p')
lorsque ne sera pas divisible par p—1=n%, et
2T'— p— 1=n%, (mod. p:)
dans le cas contraire. Donc

»| > Ts (1 Fe ‘Aie ap

2

| =(p— 1) EE PÈSE + h—n + In —_2, BP +h—an ne etc.],
T. XVII 43

(

338 THÉORIE
la valeur de Il,, étant

1.2.3... (k+ #)G

(25) Li re MO) 2 O)1

Cela posé, on aura

Se lu 1.2:3e4 (70)
Te 5 Ro Moine (1 0
__ [Pia] [pi — 1]. (D 4h n)S + 1]
1.2.3... (7— A)

gps
= — 3» (mod. p'),

Lo] pi 1]. [Op +4 —on)S +1]

IL» 3, PE + han TR . (22—h)S
(p—S) (pro —p)
(an —h)ü.p

nm B—20ÿ lp 2 —
ter, (mod. p*).

a Lt pa (ph nel +]
Il3n—8, th —3n ES DRE NL NE ee
_ CPS) Gi o — p) (pt GS — 2p)
= .Pp-2p.(3n—k)5
pepe —1 (pd — 2)
ee note éede ci

GEC:.-

Généralement on aura
pro (pc —1).(/pe 2% — 1 +1)
1.2.9...(2—1).(i7—h)S

Le _, À (pro —i). (pr o—itr)
=(—1)p" in—h 1.2.3...(1— 1)

(26) Tin, "th in = (—1)

> (mod. p#).
Lorsque & surpasse 2, la formule (26) donne

ur

Tin — à, ph in= —p FAURE 75 À

DES NOMBRES. 339
Lorsque y —2, elle donne

l _(&— 1) (Es —2).. (oi tr)
in—h 1.2.3... (1— x)

I, 7, Pp+hk—ir = (—1)p=—

Pour montrer une application des formules qui précèdent,
supposons 7 —3. On trouvera, en prenant A1, k—=1,
EN,

R,,—=a + ap +ap— [ | Ep [=] +p =] + efc.,

P P
2 2 27 2
R,,— a+ ap Has ES + M] +? = +etc.,

(7) Gp=(oa—a—a)+3{a—a)=2 + 3,

(28) x=R,,+R,,=(1+1) + (1407 + Er +2) +
DC uns © IN 21-208 © 0e où > ae ni nt à ni à) De DES

=(p—1) IL.

D'autre part, en ayant égard aux formules (21), (24), et
prenant p—2, on trouvera encore

(29) X= 5 es + T'ÿr+45 Tr? (x + T°)"
== (p—1) (IL, +0, +58 +. . dell te . .]

Enfin, la formule (26) donnera

op res (d—i#)

D), ee),
pas (—1) es Le-nfendeen (mod.p*).
Donc, on tirera de la formule (29)

(380) x=(p—r) [2 + £ Giçue — 4 Le») ete.

+ (pi) [2 ae am 1)(25—2)

a WE 7 1.2 +ete.].
43.

340 THÉORIE
Il est important d'observer qu'en prenant

DER a ae Ti

h—n—1, et
n

=D +I ;
on obtiendra une valeur de
Lin hp 4 in = Up, pp

déterminée, non plus par E formule (26), mais par la sui-
vante

A PP oO NS PA La | LL am) PSE
1. ii ne) © T'AS PO

de laquelle on tirera, en supposant n—3,p—2, /[—9,

2PG(2pO — I
(31) = CEE, (mod. p°).

Comme on a d’ailleurs
(+ px) (2+ pa)... (p—1+ pa)
1.2.3... (p—1)[1 +pal [+2] [+]. 2L HE

1.2.3...(p—n)[i+pe(s Faust ]
æ=1.2.3...(p— 1), (mod. p°)

** En effet, les divers termes de la progression arithmétique
1, 2, 3. p—"T
seront équivalents , suivant le module p, si l'on fait abstraction de l'ordre
dans lequel on les range, aux divers termes de la progression géomé-

trique
LVE bise ae Che

DES NOMBRES. 341

on en conclut

a Go er)

et la formule (31) peut être réduite à

_2pd(2pd—p)...(po+p)_ 2G(2S—1)...(D+1)
(G2) 1,,= P-2P...pÔ . + 1.2.3... ©

=], (mod. p?).

d'où il résulte que les divers termes de la suite

1 I I
T1
9 3

Fer
seront équivalents, abstraction faite de l'ordre suivant lequel ils sont
rangés, aux divers termes de la progression géométrique
1 1 1
Lys sos —
on PSN ac à
ou, ce qui revient au même, aux divers termes de la suivante
Das tm A 1

D'ailleurs, la somme de ces derniers termes, savoir

P—t
l— 1

CHCHÉH.. He —

‘sera, ainsi que la différence # —+, équivalente à zéro, suivant le mo-

dule p. On aura donc aussi

I

HSE I ICE
2 3

I
PE = (mod. p);
puis on en conclura
AN 1 A k
PO+E +++ 20, (mod. p'),

et

1.2.3... (p—1) É +pa(i+ ii ——)]

FRS) P—1

=1.2.3.., (p—1), (mod. p”).

342 THÉORIE. DES NOMBRES.
D'ailleurs, dans la formule (29), les quantités désignées: à
+. l’aide de la lettre m1, étant égales deux à deux. à l'exception

de
T,p =; ) (mod. p°), La $

on trouvera

æ=(p—1)

M, 2 ps ps + HS, re)

Het TM, +s)

ou, ce qui revient au même,

(BI En tt (mod.p)
(G—1)..10
app a} SE ie Eee css G |
| Ac) r2...(2
22D—1 , 2(2G—1) (2D—>2) nu 2 (2G—1)...( g
RP FT p—3 1.24
Ainsi, par exemple, on trouvera, en prenant p—7, & Re,
æ=6Grr,, + 2(1Ls 5 + Mw)], (Mod. 49) 4
‘ 3
—0.0 14 (+ 2 —7)=86+ 1421; | n
en prenant p=13,0—=4,
CT 19 [Ms + 2 + Ms + Ms + Dés Æ Mo + Ho) ou
se [ Le FI Si :
= 12 |70—26 GC; a de 6— 7)|
=12 [70 +26(2+5)]=1. 70= 31) (8 + 05 1
=— 5, (mod. 17). À

EE

NOTE PREMIÈRE.

PROPRIÉTÉS..FONDAMENTALES: DES: FONCTIONS O5, Aus.

0

‘

nr étant un nombre entier quelconque, et 4, v deux quan-
tités entières positives ou négatives, nous disons que « est
équivalent à v suivant le module n, lorsque la différence
u—v ou v—u est divisible par », et nous indiquons cette
équivalence, nommée congruence par M. Gauss, à l’aide de
la notation

u=, (mod. 7),

employée par ce géomètre. De plus, & étant un nombre pre-
mier, nous disons avec Euler d’une part, et de l’autre avec
M. Poinsot, que r est racine primitive de l’équivalence

æ'=1, (mod. p),

et e racine primitive de l'équation

lorsque r" est la plus petite puissance de 7, qui soit équiva-
lente à l'unité suivant le module p, et ?" la plus petite puis-
sance de ?, qui se réduise à l’unité. Dans cette hypothèse,
les diverses racines de l'équation

DIU

sont les diverses puissances de p; et comme deux puissances,
dont..les exposants restent équivalents :suivant le module»,

344 THÉORIE

sont égales entre elles, il est clair que ces diverses racines
peuvent être réduites à

T)P5P°2e = pe

De plus, "2 étant une quantité entière, on peut affirmer que
la somme
2m (n—1)m (Le er
1+p" +e +... + p TT
se réduira au nombre 7 ou à zéro, suivant que 7» sera di-
visible ou non divisible par ». Enfin, si z est un nombre
pair, on aura

Pareillement, si l’équivalence
x" = 1, (mod, p)

offre 7 racines distinctes, ce qui arrivera si À» est diviseur
de p — 1, ces diverses racines seront les diverses puissances
de r; et, comme deux puissances , dont les exposants seraient
équivalents entre eux suivant le module 7, resteraient équi-
valentes entre elles suivant le module p, il est clair que ces
diverses racines pourront être réduites à

bi Eronce es do

De plus, » étant une quantité entière, on peut affirmer que
la somme j

DE
DH HT

me:
/ Q Û x / ù

sera équivalente, suivant le module p, au nombre n ou à zéro,
selon que 7» sera divisible ou non divisible par ». Enfin,

DES NOMBRES. 345

si z est un nombre pair, on aura

r'=—1, (mod.p)

Ces principes étant admis, les propositions rappelées dans
les premières pages de ce mémoire, et relatives aux propriétés
fondamentales des fonctions

y y...

pourront être facilement établies de la manière suivante.
Nommons p un nombre premier impair, 6 une racine pri-
mitive de l'équation
DE,

- une racine primitive de l'équation

et £ une racine primitive de l’équivalence
ai=71,)(mod p}

Comme les diverses racines de cette équivalence peuvent être
représentées par les divers termes de la progression arith-
métique
12; PT;
ou , si l'on ne tient pas compte de l’ordre dans lequel elles
sont rangées, par les divers termes de la progression géomé-
trique
DÉPoLEEe,
l'équation
À ICE EEE CO

pourra s’écrire comme il suit

(1) IHUHO+...+6 —o.
MXNIE 44

346 THÉORIE

On aura d'autre part

ee
rm ——1;
et
IH HT" +... + RP = p — 1e
ou bien

IH He +... + 0 — 0,

suivant que » sera divisible ou non divisible par p— 1.
Soient d’ailleurs 2,# des quantités entières, et posons

On —= 0 + rh 0 + 724 GP... + (p—2) ne:

il est clair que 6,, 6, seront égaux, lorsque À et # seront
équivalents entre eux suivant le module p—1. De plus, l'é-
quation (1) pourra être présentée sous la forme

O, —=— 1.
Enfin l’on aura évidemment, quels que soient X et k,
(2) O0 = ("+48 +0),

le signe S s'étendant à toutes les valeurs de z et de 7 com-
prises dans la suite

0, 152,92... DE 0:

Les valeurs de z et de 7, qui, dans l'équation (2), rendront,
sous le signe S, l’exposant de 4 équivalent à zéro suivant le
module p, sont celles qui vérifieront la formule

t+#=0,(mod.p)

de laquelle on tire

” +
bi=—iz=t ?,(mod.p),

DES NOMBRES. 347
et par suite

CE ep DT
PES

ou, ce qui revient au même,

JA

2 ?

le. signe supérieur ou inférieur devant être adopté, suivant

. . Cr . \ sé,
que z est inférieur ou supérieur à la =

. Donc, dans l’équa-

tion (2), l'exposant de 6, sous le signe S, deviendra équi-
valent à zéro, suivant le module P; pour p — 1 systèmes de
valeurs correspondantes de à et de J; la valeur de ? pouvant
être un quelconque des termes de la suite

0,1,2, 8,... p—2;
et, dans la somme que représente le second membre de l'é-
quation (2), la partie correspondante à ces valeurs de x et
de 7 sera
Me PE
Sr" +31) Le Sri da) ME ï
ou, ce qui revient au même,

(—1) Sir +0] (Su) (i HE EU + al GED),

Donc ; en vertu de ce qui a été dit plus haut, cette partie se
réduira simplement à

CG) =(Gi) (1),
ou bien à zéro, suivant que À + X sera divisible ou non divi-
sible par p— 1.
Considérons à présent les systèmes de valeurs de à et de J.
qui, dans l'équation (2), rendent, sous le signe S, l’expo-

44.

348 THÉORIE
sant de 6 équivalent à l'unité suivant le module p. Ces sys-
tèmes seront ceux pour lesquels l’équivalence

t'+ti=1, (mod. p)
se trouvera vérifiée. Or, cette équivalence, présentée sous la
forme

Ü— 1 —i

fournira une seule valeur de 7, comprise dans la suite

0, 1,2; 3,-...p —2,

pour toute valeur de #, qui, étant comprise dans la même
suite, ne rendra pas nulle la différence

1—t';
et, comme la seule valeur z—0o fera évanouir cette diffé-
rence, il en résulte que l’équivalence dont il s’agit se vérifiera

pour p—2 systèmes de valeurs correspondantes de z et
de 7, chacune des valeurs de 7 étant un terme de la suite

20 es Der de

Cela posé, concevons d’abord que la somme Z4+# ne soit
pas divisible par p—1, et désignons alors par R,, la
somme des termes qui, dans le second membre de l’équa-
tion (2), seront proportionnels à la première puissance de 6.
La valeur de R,,, qui sera déterminée par la formule

() Riz 85777)
jointe à la condition
(4) t'+t/=1, (mod. p),

se composera seulement de p — 2, termes de la forme

by.
r' ar ;

DES NOMBRES. 349

L4 QJ L4 «
et comme chacun de ces termes sera nécessairement égal a
l’un des termes de la progression géométrique

DO NT: Tesrle ti
il est clair qu'on aura
(5) Ra + ar + ar +... + a,

a,, a,,...a,_, désignant des nombres entiers, dônt plusieurs
pourront s’évanouir, et dont la somme vérifiera la condition

(6) a +Aa +Aa, +... Ha, —p—2.

Soit maintenant m l'un quelconque des nombres entiers
compris dans la suite

1,2,9, . « «P — 2.
La somme des termes proportionnels à
gr,
_ dans le second membre de la formule (2), sera évidemment
gt” S (r* +)

pourvu que l'on étende le signe S à toutes les valeurs de z et
de 7, qui, n'étant pas situées hors des limites 0, p—2, vé-
rifient l’équivalence

tt+éi=t, (mod.p).
Or, cette équivalence pouvant être présentée sous la forme
nc bar—=1, (mod: p),

si l’on étend le signe S à toutes les valeurs de 2—m et de
j—m qui la vérifient, on trouvera, en faisant usage de la

350 THÉORIE
notation ei-dessus adoptée,

R,;,— Spre GT
ou, ce qui revient au même,

Riu — 4m) S(r"+),
et par suite

S(r"+/) — R, nu,

Donc, dans le second membre de l'équation (2), la somme
des termes proportionnels à
gr
sera généralement
R, F UF Oge,

Donc, la somme des termes qui renfermeront des puissances

positives de 6 sera
ne Sfr" + Mgr] $

le signe S s'étendant à toutes les valeurs de » non situées
hors des limites o,p—2. D'ailleurs, on aura évidemment,
sous cette condition,
O, = S(r"0!"),
et par suite
(CAPE | a

Ainsi, dans l'hypothèse admise, c’est-à-dire, lorsque 2+#
n’est pas divisible par p—1, la somme des termes qui,
dans le second membre de l'équation (2), renferment des
puissances positives de 4, se réduit simplement à

Rx Os+x3

et comme alors, d’après ce qui a été dit ci-dessus , la somme

DES :NOMBRES. 35%
des autres termes se réduit à zéro, il en résulte qu'on a.
(7) ; Où = Rx O4
la valeur de R,, ‘étant déterminée par la formule (3), jointe:
à laiformule (4); ou, ce qui revient au même
(8) 0,0, = ®, +4 S(r” ane) ,
pourvu que l’on étende le signe S à toutes les valeurs de :
et de 7, qui, étant comprises dans la suite

0,1, 2; 3,. QE re ps

vérifient la condition (4).

Passons au cas où la somme X + X est divisible par p—1r.
Alors, d’après ce qui a été dit ci-dessus, on devra-remplacer
l'équation (8) par la suivante

GuOi= Oi4x S(r #7) + (1) (p— 1)
que l’on pourra réduire à
0,0_,—=—S[r6 2] + (—1) (p—1),
attendu que l’équivalence
h+k=o, où k=—kh, (mod. p—:1)
entraînera les formules
—=r" 0,—=0,
O;44 —= ®, = — I.
Donc, si on suppose la formule (7) étendue au cas où la
somme + est divisible par p—1, c’est-à-dire, si, en
choisissant R,, de manière à vérifier dans tous les cas cette:
formule, on pose |

(g) 0:90; — KR; (02

352 THÉORIE
on aura
Ra Sfr] —(—1) (p— 1).
Dans le second membre de cette dernière formule, le signe S
doit toujours être étendu aux valeurs de à et de 7 qui, étant
comprises dans la suite,
0, 1,2; 3,.+. P—2)
vérifient la condition (4), ou, ce qui revient au même, à
toutes les valeurs de i—7 qui, étant comprises dans la
même suite, vérifient la formule
tii=t ri — 1, (mod. p—1),

et par conséquent, à toutes les valeurs de ë—7, distinctes
de la valeur

P —1

qui donnerait

+ t'=— 1, (mod. p—1).
Or, comme en admettant cette dernière valeur de ë—7, on
aurait généralement

S[=t-]— 0,

on trouvera au contraire, en l’excluant,

—h
2

Sfr] = — 7° ——(—1),
et par suite, la valeur trouvée de R,_, deviendra
(10) Riu —(—1)?,

pourvu que À ne soit pas divisible par p—1. Alors aussi
l'équation (9) donnera

(11) 0,9, —(—1)p.

DES NOMBRES. 353
Si À devenait lui-même divisible par p —1, il serait pair,
et, comme, on aurait
(—1)=1, s=1,
la valeur trouvée de R, _, se réduirait à
pP—2—(p—1)=— 1.

Au reste, on peut conclure immédiatement de la formule (7)
1° que la valeur de R,, ne varie pas lorsqu'on fait croître
ou décroître 2 ou #Æ d’un multiple de p— 1; 2° queR,,
se réduit à —1, dès que l’une des quantités k, k est di-
visible par p—1. Ainsi, par exemple, si l'on suppose Æ
divisible par p—1, l'on aura

OO Nr;
et par suite, la formule (7) donnera
(12) ER; = I.

Si, dans la formule (7), on change les signes de k et
de x, l’on trouvera

O_,0.;— er x Or 75

puis, de cette équation combinée par voie de multiplication
avec la formule (7), on tirera, en ayant égard à la for-
mule (11),

(1 3) R,, Fe, — D.
L’équation (13) suppose évidemment k,4 et h+% non
divisibles par p—r.

Les équations (7), (10), (11), (12), (13), coïncident avec
EVIL 45

354 THÉORIE

les formules {9), (11), (13) et (12) du $ 1° de ce mémoire,
lorsque le diviseur de p—1, représenté dans ce para-
graphe par la lettre &, se réduit à l'unité. Dans le cas con-
traire, pour passer des unes aux autres, il suffira de rem-
placer ;

k par &h, k par &k,
puis d'écrire, pour abréger,

O, au lieu de 6,
etR,,au lieu déR:,.….

Lorsque dans la formule (11) on pose

RE

RME

?

elle fournit un théorème très-remarquable de M. Gauss, et
se réduit à

(14) ni) P

ou, ce qui revient au même, à
P—x

(14) (O0 +88 — 06, + AO QT) — (7) p.

Cette dernière équation coïncide avec diverses: formules du
mémoire, par exemple, avec les formules (12) du $ ITf:

DES NOMBRES. 355

NOTE II.

SUR DIVERSES FORMULES OBTENUES DANS LE DEUXIÈME PARAGRAPHE.

l'est facile de s'assurer que la formule (61) du S IT en-
traîne les formules (62) ,non-seulement, comme nous l'avons
avancé, dans le cas particulier où x se réduit à l'unité, mais
généralement, et quelle que soit la valeur de y. C’est ce que
nous allons démontrer.

Lorsque » sera de la forme 4x + 1, les termes des suites
(63), (64), étant eux-mêmes de cette forme, puisqu'on a
généralement

"+ y(i1—u")= 14 (v—1)(1—u"), et y—1=0o, (mod./),

seront équivalents, suivant le module 2 —4v,.à certains
termes de la suite

1,D;9,... 4v— T1, 4v—7, vs.
D'ailleurs celle-ci renfermera : 1° un terme égal à v,:20 »—r
termes premiers, non-seulement.à », mais encore à
n — y,

et qui, étant en même nombre que les termes des deux
-suites (63), (64), devront être équivalents, les uns aux ter-
mes de la suite (63), les autres aux termes de la suite (64).
Parmi ces vy— 1 termes, ceux qui se réduiront à l’un des
suivants

45.

356 THÉORIE

étant précisément
1, 53 Ogre DO NE D = 1,

seront en nombre égal à

Y—1T

les uns, dont le nombre sera y, étant équivalents à certains
termes de la suite (63), et les autres, dont le nombre sera y",
étant équivalents à certains termes de la suite (64). On aura
en conséquence

Observons maintenant qu’en vertu des formules

VI

u? +1Z=0, (mod.v), y—1=0,(mod.4),

on trouvera, quel que soit le nombre entier 72,

V—t Yi

Lu" + v(i— u")] + [u” PECHAS (1—u é 2 )]=2v,(mod.7—4s).

Donc, chacune des suites (63), (64) se composera de termes
qui, pris deux à deux, pourront être représentés par des
nombres de la forme

hk, 2v—h,

auxquels ils seront équivalents, suivant le module x —/4s.
D'ailleurs, si l'indice 2 se trouve compris dans la suite

1, D; 9... 2v—9, 2v—5, 92v—1,

on pourra en dire autant de l'indice 2v—/, qui sera dis-
>

DES NOMBRES. 357

tinct de À, si À diffère de v. Donc, chacun des nombres
désignés par v, ÿ’ sera pair, et

seront entiers. Enfin, comme on aura

VIH" v— 7

SATA

on peut affirmer que, si v est non-seulement de la forme
+1, mais aussi de la forme 8x+5, les deux entiers

AU = Y,
D EE
seront l’un pair, l’autre impair. Donc alors la différence

Tr I
= ei
2 2

sera impaire elle-même, et ne pourra se réduire à zéro.
A l’aide des observations qui précèdent, on peut ramener
à une forme très-simple les valeurs de

/—x,5), V5)

fournies par les équations (23), (26); et d’abord, puisque les
différents termes de chacune des séries (63), (64), pris deux
à deux, peuvent être censés de la forme

k , 2v—h,
les équations (23), (26), combinées avec la formule

O7O2y— 2 — Ez, 21 — h Ov

358 THÉORIE

donneront
RUE v—5 »=5 @:,'
A6) = Ras Re pee 22 RG ve dE
: J 3) »-3 Ou |
KL —5,c")] — RES, vH—rue.. QUOI 0 LE à PRET RS 2, y+-(v—1)u 2 8.28
Si d’ailleurs v est de la forme 8x +5, alors À = ? sera un

nombre pair, et l’on aura, non-seulement
} ?

OO — 0 2 9 03,9 2 —0;,—(—1)"p—p,

mais encore
v—Tt

CM v—5 y—5
0,1 ©», © 0" = p? ,
RU v(Y— 1)

2

2

ce qui réduira les formules précédentes à

; JS L y=5 5
sv TBE 5) = 2 * Ris (62 1j, (u— rue RG hr 0 23
ts = v=—3 v—3
(Les) = L. ; Ro 602, VE (= r)uel-helohee CIE RG, +610

Ces dernières équations, et les équations analogues, qui
fourniraient les valeurs de

AL Le)

coïincident, comme on devait s'y attendre, avec les for-
mules (66), lorsqu'on prend »—5, et avec les formules (74),
(75), lorsqu'on prend y— 153.

Ein 1

4

Si y était de la forme 8x+1, alors étant un nom-

DES NOMBRES. 359

bre pair, on aurait

ST EM a = ls O2» PA >

ce qui réduirait les formules précédemment. obtenues à

Vase 5
M, pt R, 2—1 R,_@—:ui + —i)us RG +61 5
v— y—3 v—2
SV —+x eu) —— pi reel VH(—imesssssssse RS 6 5e 2, OO 10 * -
Dans tous les cas, en divisant la valeur de #1/—:,:) par
celle de $(L/—;;;"), on trouvera ;
F TR DES 2
F4 —1 1) “En (FRE 1 Ro 1, + — 1) .. 6 5j 2 ,Y—+(v— 1)u 2
= _— Re Te UT OO SI D DL lt D +
FL — 1,5") Hs Du,yæfo—ru esse 2 12 ,v+(v— in 2

Si, dans cette dernière formule, on remplace

Rix par —2—,
| Lg P D
| toutes les fois que 2 et Æ sont équivalents, suivant le module

1 “ . . .
n—{4y, à des nombres compris entre les limites

| 0, 2,
| on-en tirera

5) _ pe)
À " P'À(e)

Je) et fe) désignant des produits de la forme
Ra, 2v—h F4, AJ kee

composés de facteurs

Kansas elcs

360 THÉORIE

dont aucun ne deviendra divisible par p, lorsqu'on y subs-
tituera r à 9; puis, en ayant égard aux formules (49) ou (56),

et représentant par ; la valeur du rapport - réduit à sa plus

simple expression, l’on trouvera successivement

GHYGE— Ut... PAG)
CRT RE RS
“( MR pri)

et
LH UE. QU ft).
(SUR
. P°f(e)

On aura d’ailleurs, en vertu de la seconde des formules (43),
ren Ce on
HAN) ES

et par suite on trouvera encore

Don
v —Y

Le + y(e— ot +. NP É()=p * (+) (0),

PDT

[eye —ct+.. NP /)=p * (+ y) fo).
Si, dans ces dernières équations, on remplace & par r, on
devra y remplacer en même temps < par s, L/—1 par @, et
le signe — par =, le module étant le nombre p. On trou-
vera ainsi

æ Fe (s— 5" Pere ‘ay ]"f(r) = 0 She w*)/() | ; (mod.p).

Le — (ose +5 )ayP fn) =p * (a+) f0)

Observons à présent que x et y, n'ayant pas de facteurs
communs, ne peuvent être simultanément divisibles par p.
Par suite, on pourra en dire autant des expressions

TH(S—S +. — 5 )ay, m—(s—5s"+...—5""*)ay,

DES NOMBRES. - 861

qui ne peuvent devenir simultanément divisibles par p qu’a-
vec leur somme

AE,
et leur différence

2S— 5 +... — 54" )ay,
par conséquent avec x et y, attendu que les quantités
M=disrode EE et
sont racines des équivalences
| æ?=v, (mod. p), 2=1, (mod.p).

Cela posé, comme f{r) et f{r) ne seront pas non plus divi-
sibles par p, il est clair que des deux produits

Le+(s—st+— 50—)ayP f(r), LR —(s—54+...— 50 )ayl f{r)
l'un au moins sera équivalent, suivant le module P; à un
terme de la suite é

| F2, D — 1. Fe

Donc, en vertu des formules obtenues, on pourra en dire
autant de l’un des produits
| P°+wY), p° (ee +y)
D'ailleurs le binome
x? + vy?,
étant diviseur de
62 + VY'>
devra, en vertu de la formule (47) ou (48), diviser l’un des
produits
: y—1 v—3
fp°, 4p°;
T. XVIL. 46*

362 THÉORIE
et par conséquent il sera, où de la forme

P';
si l’un des deux nombres x, y est pair, l’autre impair ; ou de
la forme

2p°
si æ,y sont tous déux impairs, attendu qu'alors x?+ vy?,
divisé par 4, donnera 2 pour reste, et ne pourra devenir

égal à 4p*. Or, comme les produits

EN. ut
v'—vt V'—v

P° @+w), p° (æ4+w),
se réduiront, dans le premier cas, à

Y'—y

D, p“+ is

et, dans le second cas, à
y" v'—vl
2pÉ Var MAP TE,
il est clair que l’un des exposants

V— y" v" — y"

AS EE OUR

2

devra être égal à zéro. Par conséquent, si, en prenant pour y

2

HS Da y! y
la valeur numérique de la différence 3 — 3 0n pose J

CREME
on pourra satisfaire, par des nombres x, y entiers et
premiers entre eux, à l’une des formules

P'= 2? + vÿ?,
2pP°= a +",

DES NOMBRES. 363
savoir, à la première, par deux nombres entiers, l’un pair,
l’autre impair, ou à la seconde par deux nombres entiers

ampairs. Mais la seconde formule ne peut subsister, lorsque »
est de la forme 8x +5, puisqu’alors, pour des valeurs im-
pares de x,y, æ°+w* est de la forme 8x +6, tandis que

2p— (vod + 1}

est de la forme 8x +2. Donc, isivest de la forme 8x +5,
des nombres x, y, entiers et premiers entre eux, vérifieront
la formule

PET

pourvu que l'on y suppose w égal à la valeur numérique de

D I I - ’
la différence 5 —,v Par conséquent

! w
} —V
— 8
ù 2

D'ailleurs, la valeur précédente de y est précisément celle
que fournit la première des équations (60). En effet, les ex-
pressions (65) se réduisant, en vertu de la formule

VERE
si Es Su = ,
2
aux deux suivantes
I 7 I’ y
= EV
Etat
Jo 2 , , \ . 2 a IV — 5
si l'on égale l’une ou l’autre à la différence x — an
aura
V — 5 RNENTT, 2
DU ä y Où »,

364 THÉORIE
et la première des formules (60) donnera

_v—3 Le JE Ert y—5 »)=* Ve + à
re yes ns —2

Pour établir les propositions ci-dessus énoncées, nous
avons eu recours à la formule qui fournit la valeur du rap-
port des expressions imaginaires

EE —1;5), sv — 135");

et nous avons transformé la fraction qui représente cette va-
leur, de manière à mettre en évidence tous les facteurs égaux
à p, soit dans le numérateur, soit dans le dénominateur. On
pourrait faire subir une semblable transformation aux valeurs
mêmes des deux expressions imaginaires

1,5), Vic"),
ou bien encore des deux suivantes
V1), i— 5,5").
Concevons en particulier que, dans les valeurs précédem-
ment trouvées de #L/—7r,;) et de fLV/—:1,"), l'on rem-
place

k 19
R par | RP

toutes les fois que 2 et Æ sont équivalents, suivant le mo-
dule #—4y, à des nombres compris entre les limites

O, 2v.

On trouvera, si » est de la forme 8x + 5,

DES NOMBRES. 365
! en désignant par
| g(e), x(e)

1 deux fractions qui auront pour numérateurs et pour déno-
| minateurs des produits de la forme

KR, « R,,_« CRC

composés de facteurs dont aucun ne deviendra divisible par p,
lorsqu'on substituera r à +; puis, en ayant égard aux équa-
tions (30) du S IT, et à la formule

V2 V5 VS : ÿ—h v'+v

a TEFAL TL =.
| _on trouvera encore
Pis I RAA 1
| Vo) =p HV)
( 35) =P TL” ( 5*)=p ©

Si v, au lieu d’être de la forme 8x +5, était de la forme
8x + 1, les valeurs de

ne), ns), Vs), Vs
seraient semblables à celles que nous venons de trouver, à
cela près que, dans les exposants de p, la première partie

y —b
8

se trouverait remplacée par

dues) nr ME nn) à SES)

|
V— T
8
Dans l’un et l’autre cas, on aura
£ ES - I
LA) p°x{e) PT P°.
|

366 THÉORIE
puis on tirera de cette dernière formule, combinée avec les
équations (49),
Ce UN D (e) (6);
DU eye No
et par suite
+1) = + à) of) 1e),
d—el/— 1) = (d + 6 Ée
JE + Gr

Si dans ces dernières formules on remplace & par r, on devra
remplacer en même temps L/—x par &, et le signe — par le
signe —, le module étant le nombre p. On trouvera ainsi

( + ea) =(S + «) o(r) y(r) |

x 2— (Nz 2 1 a (mod. p)
Pepe +) pu

Donc, puisque o(r), y(r) ne sont équivalents ni à zéro, ni

à 2, suivant le module p, la somme
à +e
ne pourra devenir divisible par p, qu'avec les deux binomes
Deere NE 7e
par conséquent avec les deux nombres
De.

D'ailleurs il est permis de supposer que les nombres ÿ,e sont
premiers entre eux, attendu qu'on n’altère pas les équa-
tions (49), en transportant dans & et dans - les facteurs qui
seraient communs à Jetà < Done, cette hypothèse étant
admise, à + < sera premier à p; et, si l'on nomme comme ci-

DES NOMBRES. 307

dessus = la forme la plus simple de la fraction à l’équa-
tion (47) ou (48) entraînera, ou les deux suivantes
d +e—I ; a + = D",
si des nombres x, y l’un est pair et l’autre impair, ou les deux

suivantes
dE — 2, Net V2 — 2D',

si les nombres x, y sont tous deux impairs. Dans le pre-
mier cas on aura

ou

par conséquent
( Hea)ÿ = E 1, (mod.p)
et .
(r) x(r) = € 1, (mod. p).
LG) x)Ï= 1, (mod. p).
Dans le second cas, qui ne se présente jamais lorsque » est
de la forme 8x + 5, on aurait

EM Pe EE 1,

par conséquent

(9 ea) = Æ 24, (mod. p)
et

[e(r) x)= € &, (mod. p).

o(r) x(r) =—1, (mod. p).

Pour déduire de ce qui a été dit plus haut la valeur du

produit

gr) x);

368 THÉORIE

il suffirait d'observer que les deux expressions

P'ae); p°x(e)
renferment tous les facteurs de la forme
re Mid gl Val ce Sr 16 AR
h désignant un nombre distinct de » et compris parmi les
termes de la suite
1, D, 93 -.: 4v— 11, 4y—7, 4 — 5.
Comme d’ailleurs, pour mettre en évidence les facteurs égaux

à p, il suffit de remplacer

12 IE <

Pr +, ar —— ————— ==
on à Re MR Mr

lorsque est renfermé entre les limites o, 2, on trouvera

2v4+3, 4y—3 Rey .….. Res

g(e) x(e) = :

2Y2 1, 4y —1 Roses. .. R3,_s, 3y+4

Il y a plus : comme on aura généralement, ainsi quil est
facile de le prouver

FR’, 2— À — LL RES 2v— h 9
on trouvera encore

CLR RS 243 RE 2v+7e Ris gs :
[e(e) x(e)] KE Ro 2y+ 1 RTS ay+5eee Rés, 4v—x

Si maintenant on remplace P par r, et le signe — par le
signe —, on devra remplacer généralement

Rae
par

— Il -l,n—k;

- DES NOMBRES. 369

‘et l’on aura par suite
+ ART PAGE If, _,, +2
IL,, 29—7 T:,,,-5-.-IL, T4

TE UT et enr e
r r) 2— , 737 Y—2; V2, v+2 v—3,
[H Va ) IL, ; T5... IL, _4,,-41,}s, Pool EE 2y— 1

FOPORS , (mod. p)

, (mod. p).

En joignant cette dernière formule à celles que nous avons
précédemment obtenues, on arriverd immédiatement aux
conclusions renfermées dans le théorème suivant :

Théorème. » et p étant deux nombres premiers, l’un de la
forme 4x +1, et l'autre de la forme 4vx +1, supposons
que la suite des nombres

1, D3 9 co 9h e D, 2 — 1

offre y’ racines de l'équivalence

v—1

LOT, (mod)

et v’ racine de l'équivalence

vx

æ* =—1,(mod.»)

on aura
V— I
V+v— ?
2,
et, si l’on nomme

< K
la valeur numérique de

V——y

2 2?

on pourra satisfaire, par des nombres Ts 7 entiers et premiers
entre eux, à l'équation

: + vy* = pt,

T. XVIL. 47

370 THÉORIE
non-seulement lorsque » sera de la forme 8x + 5, mais aussi

lorsque, v étant de la forme Sx + 1, le rapport

TENTE ES = ta
Eh, Le NE L
sera une des racines de l'équivalence

æ =1, (mod. p).

Si le même rapport cessait d'être équivalent, suivant le

module p, à + : ou à 1, il suit de ce qu'on a dit qu'il

deviendrait racine de l’équivalence
æ =—1, (mod.p)

et alors on pourrait satisfaire, par des nombres x, y entiers et
premiers entre eux , à l'équation

+ vY = 2p*.

Au reste nous n'avons pas encore trouvé d'exemple dans lequel
le rapport dont il s’agit ne füt équivalent , suivant le module p,
à H1;et, si l'on démontrait qu'il en est toujours ainsi, on
en conelurait immédiatement qu’on peut satisfaire, par des
nombres +, y entiers et premiers entre eux, à l'équation

vs

L'+E vy” —= D},
non-seulement, lorsque » est de la forme 8x + 5, mais encore,
lorsque v est de la forme 8x + 1.

Il nous reste à montrer comment on peut déterminer di-
rectenrent la valeur du nombre

Vi — y!
p= +

DES NOMBRES. 371
Parmi les termes de la suite

Æ, D, 9, ..-v— 9, 29, 2—4,

plusieurs, en nombre égal à v/, vérifient l'équation

Vi

æ* =1, (mod. »);
d'autres, en nombre égal à »’, vérifient l'équivalence

2 vY—r

: z° =—1,(mod..), à

et un seul, savoir le terme v, satisfait à la condition

Y—A

æ* —=0, (mod. »).

Cela posé, il est clair qu’on aura non-seulement

w id:

mais encore

DT Ver Y—I Y—r Y—

Vs = +6 +0 +. -+(2y—9) +(2—57 + (2y— 1{mod.s),

par conséquent
EL mure : |
VV = (6 + ee. pet pr e7%),(mod.v)
dd?

pourvu que l'on suppose z—0, après les différenciations ef-
_ fectuées. On aura d’ailleurs x

e(2#3): € t

er Merde ages

EH He" +... + ex —

_et, comme le facteur

EME,

ES 47.

F7 THÉORIE

ainsi que ses dérivées relatives à 3, devient, pour une valeur
nulle de z, équivalent à zéro suivant le module », on trou-
vera en définitive ‘

Y—I

! pme CIS
VV — Ce :); (mod. v
ds=

par conséquent

—

: RAI za zh ES d
Y — Y = Men rm) g(mo .v);
da
et
RÉ ee que +) (mod. y)
Ù 4 = To AA A à ?

z devant être réduit à zéro après les différenciations ; puis
on en conclura «

ni Mes ee TE
a
(mod. v),

|

le signe S devant s'étendre à toutes les valeurs entières,
nulles ou positives, de f,g,... qui vérifient la formule

;
SVT

PÉTER EE — r

et chacun des produits 1.2../, 1.2.9, devant être remplacé
par l'unité, lorsque le dernier facteur OU... 5€ réduit à zéro.
La valeur de l'exposant y se trouvera ainsi complétement dé-
terminée, puisque d’ailleurs cet exposant doit être positif et
inférieur à | $

YEN EL TEST"
Ra M

\

DES NOMBRES. 375

Si l’on prend successivement pour y» les différents termes
de la suite
bul13, 17%29:870 16,003: 625.1. :

on trouvera successivement

1 T4
pour =; re un LD,

I u 1
ee en Pre Me
( 1.2.9.4 23 rs) ue

b=1;

pour v— 18, =

pour y—17, p—2, etc.

NOTE III.

SUR LA MULTIPLICATION DES FONCTIONS 6,, @;,...

Les principales formules auxquelles nous sommes par-
venus dans le précédent mémoire, y sont déduites de la
considération des produits de la forme |

_ 0:0407...
Lorsque, p étant un nombre premier impair, on désigne par
Û 6,7
des racines primitives des équations

MR 0 SERRE EN À)

l [y
354 THÉORIE
et par é une racine primitive de l'équivalence
x = (mod:p);
alors la valeur de @;, déterminée par la formule
k —2
On = 0 + ThGt+ 72407 +... +2 ;

ne varie pas quand on fait croître ou diminuer À d’un mul-
tiple de p—1; et l'on a, 1°, en supposant 4 divisible

par PSS à
O=00= — T2

2°, en supposant X non divisible par p—t,

,

[SY10 h — (— I Jr

Si, au contraire, en nommant X un diviseur de p—1, on
pose

et de plus
(1) O0 + phbt + p2h 0! +. + pt—age ”,
alors @; sera une fonction des racines primitives
# . ÿ 2 s
des deux équations
IS Va

qui ne variera pas quand on fera croître ou diminuer À d’un

o

multiple de x; et l'on aura, 1°, en supposant À divisible

par

(2) = 0 = — 1;

‘

2°, en supposant À non divisible par » à

(3) (O7 6, =(—17/p = 04 Op he

DES NOMBRES. 375

Ajoutons qu'en vertu des principes établis dans la note pre:
mière, si l'on multiplie @; par @4:, on trouvera

(4) Où Gi = RrrOi+xs

Rx désignant une fraction qui ne renferméra plus 8, mais
seulement la racine primitive $—-" et ses puissances en-
tières. On aura d’ailleurs, lorsque L+%# ne sera pas di-
visible par z,

(5) Ru S(r# #7)

Je signe S s'étendant à toutes les valeurs de à et de 7 qui,

étant comprises dans la suite

0, 1, 2, d-—— P — 2;
vérifient la formule
(6) ti+t=1, (mod.p).

Soient maintenant
à LE PRE

des nombres entiers divers. On trouvera successivement

On @ = Rx On +4,
Où x O1 = Rrr On +2 = Rx Ru +124, etc...
Donc, si l’on pose généralement
(7) On OO. + - — Ris... Onprrir...
R;6,--. sera encore une fonction de :, déterminée par une
équation de la forme
Rens. - ——Rritg-dr
Il est bon d'observer que si
kh+k+I+...

376 THÉORIE
n'est pas divisible par 2, on aura
(8) LATE st — SPA ERNES ; .)

“11

le signe S s'étendant à toutes les valeurs de x,1,1",... qui,
étant comprises dans la suite

OT, 2 dre Do,
vérifient la condition
(9) titéi+E" +... =, (mod. p).
Ajoutons qu'en vertu de la formule (5), l'expression

__ 6:0,6,...

Ru. a
hgigiss.

?

sera, comme le produit
0,0:0:...
et comme l'expression

OntAk+E: -:
= plphol. fa br prhorhon, 0 +... + ptp—2)h Gp 2)h (pal, 0

{Pa

une fonction entière et symétrique de
AN
ph 85 ge.
par conséquent une fonction linéaire des sommes
h L's N
DTIp te CS ne
y ph + 02h pal A7
ÉLETSS

PEL + gea)k pti) me

dans lesquelles les coefficients seront des nombres entiers.
Les équations (2), (3) et (7), entraînent les diverses for-

DES NOMBRES. 37%

mules que nous avons données dans le mémoire, et parti-
culièrement celles qui changent le quadruple d’un nombre
premier p, ou d’une puissance entière de p, et quelquefois ce
nombre lui-même, en expressions de la forme

"LE TU),

ñ étant un diviseur de p—1. .

D'abord, si l’on suppose 7 —2, et par suite d—?—,

la racine primitive & de l’équivalence

LE,
_ .

sera simplement

ren)

et, en posant L—1, on tirera de la formule (3)
pes
ONE
ou, ce qui revient au même,
Le
(10) QE — 06 6... — 0 = (—r) * p.

On se trouvera ainsi ramené’à la formule (14) de la note [*.
Concevons maintenant que 7 soit un nombre premier im-
pair. Alors les diverses racines primitives de l'équation

(11) DE
seront

Pa Po pee ep ds PP 2 pl

et si l’on prend successivement pour k les divers exposants
de » dans ces racines primitives, c’est-à-dire, les divers termes
de la progression arithmétique

L, 2,9, R—3,1R—92,1N—1I,

T. XVII. 48

378 THÉORIE
on obtiendra pour valeurs correspondantes de @, les
expressions

Ors O3 03... On 3; On y On 1;

lesquelles, eu égard à l'équation (3), vérifieront la formule

OjOn—r — DO -—=0, 0,4: —p,

2 2

L2
par conséquent la suivante

n— I

(12) pP : —=0:0:6:...6, 30, -,0, 77.

D'ailleurs les divers termes de la progression arithmétique
1,2, 95e. =09Mm—0, n— 1

peuvent ètre censés représenter les diverses racines de

l'équivalence

(13) æ"—1Z=1, (mod. n).

Il y a plus : si l’on nomme s une racine primitive de cette
équivalence, les termes dont il s’agit, abstraction faite de
l'ordre dans lequel ils sont rangés, seront équivalents, suivant
le module » , aux divers termes de la progression géométrique

PE Se CIM

et par suite la formule (12) donnera
(14) P * = @:@ 0. . On 3Ou-.

Observons à présent que l'équivalence (14) se décompose
en deux autres, dont la première,

n—x

LE, (mod. 7),

DES NOMBRES. 379

a pour racines les puissances paires de s, savoir :
LS SE Se

tandis que la seconde

n— 1

æ° =—1, (mod. 7)

a pour racines les puissances impaires de s. Donc le produit
qui constitue le second membre de l'équation (14), peut être
décomposé en deux autres produits de la forme

OO: . . .Osn-3 — Rime. 503 Os Hs? gt +... Hors à
O:0::0:5. . . Osu—a — Res sn: Os Hs ss +. .+sn—2 3

et comme on aura

sg st... + sm 3 T0, (mod. n),

S— 1
ns
ss HS. Hs rs = 0, (mod. ñ);,
par conséquent ÿ Ù
Or4s4st th. pm O0 = —0#,
Os+sts5+.. pm O0, —= — I,

il est clair que les deux produits
O:0::0;: ON «O3, 0,9::0;5 FÉ On,
se réduiront , le premier avec Ris,s..m-3, à une fonction
entière et symétrique de
CRE TEE RS
le second, avec R,s,5...»:, à une fonction semblable de
p°) p”, 5 a a
48.

380 : THÉORIE
les coefficients étant des nombres entiers. D'ailleurs, une

fonction entière et symétrique de

sn—3

2 4
Po > Pr .p
sera simplement une fonction linéaire des sommes de la

forme
p7t + pr + ps + Rte RER

m désignant un entier inférieur à 2; et une semblable somme
se réduit toujours à |

ep + p°+ pi... pp,
ou bien à

BH pH pH. Hp",

selon que m est équivalent, suivant le modüle », à une
puissance paire ou à une puissance impaire de 5. On aura
donc, en désignant par ©, €, ©, des quantités entières

? 2 2 ?

Où OnOsi..Osn-3— Co Ci (pp + ps") Co( ppp")

2

puis on en conclura, en remplaçant $ par p’,

OO s3 Os5...Oan—2 — Co + C1 (ppp) Cap + pe Hp TS).

»

D'autre part, les expressions

s1—2

Typ p.05;
qui coincident, à l’ordre près, avec les suivantes

n—1I

Lo Pr Poe"
représentent les diverses racines de l'équation

LEA,

DES NOMBRES. 381

et offrent une somme nulle; en sorte qu’on a
pp Hp Hp =.

Ce n’est pas tout : si l’on pose
pp Hg TEA,

on tirera de l'équation (10), en y remplacant p par n, 6 par b,
et { pars,

n—3

(15) A—(—1)* 7.

Cela posé, on trouvera

— À
PH He + = — .
2 n—2 1+A
ET Dr on LANTA
et par suite
; G:6nOu...On:= (A+ Ba),

| 9:93 O5 … Osn—2 —= . (A + BA),
ou, ce qui revient au même,

(16) 20102054... On-3— À + Ba,
20; 030;5 ME Osn—2 == À — BA :

les valeurs de A, B étant
(17) A — 20Co— Cr — C2; BC c;
puis on tirera des équations (16), combinées avec les for-

_ mules (14) et (15),

A1
2

4p — A? — B°4’,

382 THÉORIE

ou, ce qui revient au même
(18) 4p° —=A—(—1)° B,

les valeurs numériques de A, B étant deux entiers qui, en
vertu des formules(17), seront de même espèce, c’est-à-dire,
tous deux pairs ou tous deux impairs.

Observons encore qu’en vertu de la formule

NT

s* = 1,(med 2),
l'équation
(C7A oO k —=pP;

pourra s’écrire comme il suit

(19) 0,9 ,+1=:—=p, (mod. 7).

S$
D'ailleurs, si exposant 72 est un terme de la suite

0}, Le 00

PEUX . . A
pour que l'exposant m +Æ—— soit lui-même un terme de

cette suite, il suffira de réduire le double signe + au signe +
ou au signe —, selon que » sera inférieur ou supérieur

COTE
a

. Enfin, dans la formule (19), les exposants

it

m,.m +

seront évidemment de même espèce ; e’est-à-dire;, tous deux
pairs ou tous deux impairs, si z est de la forme {x +1;
tandis qu'ils seront d'espèces différentes , si » est de la forme
4x + 3. Donc, si » est de la forme fx +- 1, chacune des

DES «NOMBRES. 383
expressions
0,0::0:40. . /On-3 > 0:0::0:5.. “Osn-2,

se composera de facteurs qui, multipliés deux à deux l’un
par l’autre, fourniront des produits égaux à p. Donc alors
les formules (16) devront se réduire à

90,0,::0;4 .. ce Osn—3 —= D 24

T

9,0,::0;5... Osn-2 — P Qu
et l’on aura en conséquence

A— op °? B— 0.

n—I,
étant

Si au contraire z est de la forme 4x + 3, alors
pair, l'équation (18) donnera

(20) 4p° =A +,

et, si, en nommant p la plus haute puissance de p qui divise
simultanément A etB, on pose

À pa, 1B—=pty,

on verra la formule (20) se réduire à
Bu), © âp' = æ + ny.
Si, pour abréger, on désignait par la notation

Ha]

©; Os: O4 . Osn—3

_ le produit

384 THÉORIE
composé des facteurs de la forme 6, qui correspondent aux
valeurs de À propres à vérifier la formule

2e = 1, (mod. 7)
et par la notation
les
le produit

9; (OP [OR .. «Os

composé des facteurs de la forme 6, qui correspondent aux
valeurs de 2 propres à vérifier la formule

n—?

æ? =—1,(mod.»),

les équations (14), (16) se présenteraient sous les formes

n—

p° =Ul-1},
2[1]= A + BA, 2[—1]—A— Ba,

et les deux dernières se réduiraient, lorsque x serait de la
forme 4x + 1, aux deux équations

=r ir

Concevons maintenant que 7 soit un nombre composé, en
sorte qu’on ait

1 —= vu,
et supposons d’abord les facteurs
y ©

premiers entre eux. L'un d'eux, » par exemple, sera nécessai-

1

RE La,
on pourra prendre
| Pour abréger, nous désignerons par

DES NOMBRES. 389

rement impair. Si d’ailleurs on nomme < une racine primitive
de l'équation
0,

et « une racine primitive de l'équation

p— sx;
puis, en supposant qu'un nombre entier donné L soit équi-
valent à z suivant le module », et 7 suivant le module w, on
trouvera

pie cul
Par suite l'équation (1) donnera

PR

(22) O9 + coût + criaut +... + (2 atr—2V0

O;,
la valeur de 6, que fournit l'équation (22). Cela posé, on
reconnaîtra sans peine, 1°, que la valeur de l'expression

O;;;,
complétement déterminée pour chaque système de valeurs
de à et de 7, ne varie pas quand on fait croître : d’un multiple
de », ou 7 d'un multiple de »; 2° que l'équation

Ox — Gi;
entraîne la suivante
Om oe .

3° que les nombres L et z seront de même espèce, c est-à-
XVII: 49

386 THÉORIE

dire, tous deux pairs où tous deux impairs, si

Gel
vo

est un nombre impair, puisque, étant impair et p — 1 pair,
ü ne pourra devenir impair que pour des valeurs paires de w.
De plus on tirera des formules (2) et (3), 1° en supposant à
la fois z divisible par v, et 7 par o,

(23) Oij = 20 = — 1;
22 dans la supposition contraire
(24) 6:j6-i,—;—=(—1)"p—=@;;0 0j
Si w est impair, ainsi que v, alors & étant nécessairement
pair, la formule (24) donnera simplement
(25) 6i;0-;) jp.

Pour montrer une application de ces nouvelles formules,
considérons d’abord le cas où

w et y

seraient deux nombres premiers impairs. Soient dans ce cas,
u une racine primitive de l’équivalence

(26) æ'—1= 1, (mod. v)
et & une racine primitive del'équivalence
(27) æ—"Æ=1, (mod. w).

Les diverses racines de l’équivalence (26), en nombre égal
à y— 1, pourront être représentées indifféremment, :soitrpar
les divers termes. de la progression arithmétique

1,2, 8, V9, y,

DES NOMBRES. 387

soit par les divers termes de la progression arithmétique
LU Elles D UL ene

et pareillement les diverses racines de l’équivalence (17), en
Li

nombre égal à w — 1, pourront être représentées indif-

féremment, soit par les divers termes de la progression arith-
métique
1,295. @—2, w— I,

_ soit par les divers termes de la progression. géométrique

ÉPTROEEU. -NUi pes
Or, parmi les valeurs de

Or = Oi

° que fournira l'équation (22), celles qu’on obtiendra en sup-

posant À premier à », ne différeront pas de celles qu’on peut
obtenir en prenant pour z une racine quelconque de la
formule (26), et pour 7 une racine quelconque de la for-
mule (27). Donc elles coïncideront avec l’une quelconque de
celles que présente le tableau suivant

O,1) Ou,x; Ou2,1)-+ O2,

O,a; Ou,a; Ou,aye- +» Ou, a;
(28) O2, OL RP TO (2. Ojn-s ds
etc.

Or, au—2. Ou, aù— 23 Ou, A—23e e O2, uv—2;
et leur nombre N, déterminé par la formule
N—=(v—1)(o— 1)
ne sera autre chose que le-nombre des termes de la suite

1,2, SAT

49.

V

388 THÉORIE
inférieurs à
= w,

mais premiers à ». D'ailleurs l'équation (7), combinée avec la
formule

OntktiIt..—=—1,
et réduite ainsi à la forme

OO. . .— — Ras...
fournira pour valeur du produit

O:010:. ..

une fonction entière et symétrique de
PRE
p" Pr Pose
par conséquent une fonction entière et symétrique, non-seu-
lement de
ch, cé, cl. se
mais encore de
ah, ak, al. ne
s1 la somme
h+k+l+...
est divisible par

NA —= wY,

c’est-à-dire, en d’autres termes, si cette somme est divisible à
la fois par v et par w. Or cette condition sera évidemment !
remplie, si l’on fait coincider

Or; x, O,.. é.

avec celles des expressions de la forme

(07e

br cie

DES NOMBRES. 389

qui, dans le tableau (28), offrent pour premier indice une puis-
sance paire de 4, et pour second indice une puissance paire
de a; puisqu’alors la somme

RERTECTIEEEPE

sera équivalente, suivant le module », au produit

O—I x: O— 1 LT —T
(G+uw+...+w DE ——= 0,
2 2 LU — I
et suivant le module « au produit
Y— I : À V— AI —
(RG NE qi
71 2 Œ — I

D'autre part, en supposant

o—= Gi,
et par conséquent

i=h, (mod.v), 7=Ah, (mod. w),

on en conclura

ch = 6" cl: —= 4}.
Donc, en vertu des remarques précédentes, le produit
(@i,r Ou2,1-..Our-3, 1) (@1,a Ou2,a2. …Ou=3,a2). (O1 av—3 Our,av—3..Ou=3,au0=3)

sera en même temps fonction symétrique de

u2 ui uv—3

S9S 26 se..6
et de

a? ai au—3
.

CRC ET

Concevons maintenant que, pour abréger, on désigne par
la notation
[r, 1]

390 THÉORIE

le produit dont nous venons de parler, c’est-à-dire, en d’au-
tres termes, le produit des valeurs de @,, correspondantes
aux valeurs de k, qui, étant premières à », vérifient les deux
équivalences

(29) dE 1, (mod. »), æ* =1, (mod. e).
Désignons de même par
[en

le produit des valeurs de ®;, correspondantes aux valeurs
de k, qui vérifient les deux équivalences

(30) æ+=1 , (mod. »), 2 = ,; (mod. w),

par
Pastel

le produit des valeurs de @;, correspondantes aux valeurs
de 2, qui vérifient les deux équivalences

V—r w—I

(31) ta=— 1, (mov), EF ET, (mod.o)
enfin par
Le, 4]

le produit des valeurs de ®,, correspondantes aux valeurs
de X, qui vérifient les équivalences

List W—1I

(32) 2% = 17, (mod.s), x 4=— 1, (modo),
on aura

(33) 17e
(O1,1O 2,1. Oun-3,x) (O:,aOu2,22... Ouh?) (O 1,av-3Ous,av-3.. Ouv-3;av=3),

DES NOMBRES. 391

(39 + [r, —1]=
(Oi,a Ou,a-..Ou-3,a) (O1,aOuzjas.- Oue3,23).… (Or, 2 Ouz,a=2...Ouv-3,a7-2),

21 Er
(Ou,1Qu3,1- On2,1) Onya-Ou,ara Our-2jat ).(Ousar-3Ou3,a-5.. Our 2,203),
(36) [—1, —1] = \

(O;,aOu3,a-..Ouv—2,a) (Ou, a30u3,a3.….Ou-2,a3 ). (Ouyav—Ou: 2... Our=2,a0- 2),
et, d’après ce qu'on a dit ci-dessus, le produit

» “ 4
Lr, 1]
sera une fonction symétrique, non-seulement de

u° [A u—3
Gr GE s SMopes st

mais encore de

av—3
>. .

a°

4
Û CANCER CES

Pareillement, on reconnaîtra que le produit

lux

est fonction symétrique, non-seulement de

Lez
u—3
1

oO 4
NEO CG
mais encore de

3 5 =D:
DANCE NIUE ET = 1e CLENE

_ que le produit

4 Lx, 1] : c

_ est fonction symétrique, non-seulement de

mais encore de

392 THÉORIE
enfin que le produit
sn

est fonction symétrique, non-seulement de
mais encore de

D'autre part, comme on aura

V—E w—1

u® —=—1,(mod.v), «°° =— 1, (mod. «),
l'équation (25) pourra s'écrire comme il suit
(37) Oum um Oum += am +" =D;
et il est clair que, dans cette équation, les exposants

VERT

MNT ==

seront de même espèce, c’est-à-dire, tous deux pairs ou tous
deux impairs, si v est de la forme 4x+ 1, mais d'espèces
différentes si v est de la forme 4x +3. Pareillement, les

exposants
(OS 0

Oo ONEE

seront de même espèce, si w est de la forme 4x + 1, et
d'espèces différentes, si © est de la forme 4x + 3. Cela posé,
si les nombres

v,w

sont tous deux de la forme 4x + 1, chacun des produits

Ca an rue

DES NOMBRES. 393

‘
composé de facteurs de la forme 6;;, en nombre égal à se
réduira évidemment, en vertu de l'équation (37), à
N
P:-
On aura donc alors les formules
“ S £ ps
Die, Lier, Eriep, ae?

qui entraîneront l'équation

N
(38) p={r1 rs et PET eo PAIE
analogue à la formule (14).
Si les nombres »w, sont tous deux de la forme 4x + 3,
alors on tirera des formules (33) et (36), ou (34) et (35), jointes
à la formule (37)

N N
G9) nfr—i]=p, 1-1 1]= pt,
et l’on déduira encore de ces dernières, l'équation (38).
Enfin , si des nombres », w un seul, y par exemple, est de
la forme 4x + 1, l’autre, w, étant de la forme 4x +3, alors
on tirera des formules (33) et (34), ou (35) et (36) jointes à
la formule (37)

N El
(Go) [ill —1]=pt, fi, 1f-1, —1]= pt,
et l’on déduira encore de ces dernières, l'équation (38).

L'équation (38), analogue à (14), conduit aussi à des con-
clusions du même genre, lorsque les nombres

! v,&

ne sont pas tous deux de la forme 4x + 1; et d’abord, sup-
T. XVI. 50

394 THÉORIE
posons qu'ils soient tous deux de la forme 4x + 3. Alors,
dans le second membre de l'équation (38), le produit

[1,1][1, —1]
représentera une fonction symétrique non-seulement de
ch Ge . Fete

mais encore de

a a? as—3 av—2
UyX ; LM Op... > ,

par conséquent une fonction linéaire non-seulement des
sommes
ce + ce LV eos, cu + u? CRC ce,

mais encore de la somme
MH + GE Ge HE Qt TS 4 ea,

Or, comme cette dernière somme, qui comprend toutes les
racines de l'équation

à l'exception de la racine 1, se réduira simplement à —1 , il
est clair qu’en supposant v et w tous deux de la forme 4x + 3,
et désignant par c,, €,, c, des quantités entières, on trouvera

[r]{i—1l=c+e(s + ++) + (+ +. +0),
puis en remplaçant ç par c"
[—1 1][—1 ,y—1]=0+€, (cet 4e) +C (c++),

On pourra d’ailleurs présenter les deux équations qui pré-
cèdent, sous une forme analague à celle des équations (16),
et alors, en les multipliant l’une par l’autre, on obtiendra, au

DES NOMBRES. 395

lieu de la formule (20), la suivante

N

(4x) Ap' = A: + PB,

les valeurs entières de À, Bétant toujours déterminées par les
formules (17). Enfin, si, en nommant p° la plus haute puis-
sance de p qui divise simultanément A et B, on pose

A=pz, B=py,
N
ue —= # 2),
on verra la formule (41) se réduire à
(42) Ep = + y.

On pourrait encore. dans lhypothèse admise, c’est-à-dire,
lorsque y, sont tous deux de la forme 4x + 3, décomposer

_le second membre de la formule (38) en deux facteurs égaux,

non plus aux deux produits

D,1]f,—1], [a r]f-r, —1],

mais aux deux produits

,1][—11}, [1 —i1][—-1, —1),
et alors on se trouverait conduit, non plus à la formule (42),
mais à une équation de la forme

(43) . 4p' = + vf.
Considérons maintenant le cas où v serait de la forme
4x + 1, w étant de la forme {à + 3. Alors la formule (41)

se trouverait remplacée par les formules (40); en sorte
qu’on aurait simplement

2

A=op, B=—0;
5o.

396 THÉORIE

et en conséquence la formule (42) cesserait de fournir la
transformation d’une puissance entière dep, multipliée par 4,
en un binôme de la forme

EST 2
Mais la formule (43) continuerait de subsister, et l’on pour-
rait au reste déduire une nouvelle formule de la décom-

position du second membre de l'équation (38) en deux facteurs
de la forme

G,1][—i,—1l, (,—1)[-v rt
Alors en effet le produit
1,1] [—1, —1]

serait une fonction entière et symétrique, non-seulement de

et de
mais encore de

et de

qui ne serait point altérée, quand on y remplacerait simul-
tanément

cparc", «para,

les coefficients numériques des différents termes étant d’ail-
leurs des nombres entiers. Par suite, le produit

(1, 1] ee —

se réduirait à une fonction linéaire, non-seulement des

DES NOMBRES. 997

sommes
( + ct + Goo SH) + (<t+ cu + RE cu),
(a+ a+. ee) (CPE re),

mais encore des sommes

(a+ a+... + Fi) ( PSE AE Eu)
+ (a+ at +... de LES) (<t4- ct + RAC ci?) ,

(a+ a+... + Gus) (Co ++... + SE)
+ (a +at 4 Hat) (UE C7).

Or, des quatre sommes qui précèdent, les deux premières
se réduiront à —1, puisqu'on aura généralement

(où ob, ml 2e m0 00 2 ne oi LR EN À
Ge ot 4 DT 4 QE QU I ;

et quant aux deux dernières , comme, en posant pour abréger

M — at + a —,.,. + QT WE — É
on trouve
: ; 1— À ; À 1 + À
CHE HU — GER EC —— = ;
TA 1 FA

DH a + + QU = — 5 Hat Ha = —

2

elles pourront être représentées par les expressions

1— A Deuil 14 A 1+ A r1+ AA

?

2 2 2 2 2 ï
1 —A DE Je ER 1+A RE ANT
2 CU 2 CU 2 à

Donc, dans l'hypothèse admise, le produit

Gr —11

398 THÉORIE

se réduira simplement à une fonction entière et linéaire des

rapports
1 + AY 1 — AN

?

2 2 2

les coefficients étant des nombres entiers; en sorte qu'on
aura
.1 + AN 1 — AA

Ale rlepessas
We L "4 MA = L
Coy C1, Cx désignant des quantités entières. Si l'on pose
maintenant
A—200+ + B—=G—0c,
la formule précédente donnera
(44) 2[1,1][—1,—1] = A + BAW,
les valeurs numériques de A, B étant deux entiers de même
espèce, c’est-à-dire, tous deux pairs ou tous deux impairs.
D'autre part, si dans la formule (44) on remplace < par #,

sans remplacer en même temps « par «*, alors, au lieu de
cette formule, on obtiendra la suivante

(45) o[r, —1][—1, 1] = A — Bay,

puis on tirera des formules (44), (45), combinées avec l’é-
quation (38),
N

(46) 4p° — A? — B?A°A.

De plus on aura , en vertu de l'équation (10),

y—2
(ce — cu + eh... + Cine = (—1) : »,

w—2
(a — a8 + ar ee Te ge — (1) * 0,

DES NOMBRES. 399

ou, ce qui revient au même

v—1I w—Tr
M—(—i)* v, A=(—1) *
Donc, lorsque » sera, comme on le suppose, de la forme
) ; P ;
4x + 1, © étant de la forme 4x + 3, on trouvera
Av, A°——v,

et la formule (46) donnera

7) Gp = A + wB.
Enfin, si l'on nomme P' la plus haute puissance de p, qui
divise simultanément À et B, alors en posant

| A=pa, B=pr,

=> — 2,

on verra la formule (47) se réduire à
(48) Ap' = 2? + vay?,
ou, ce qui revient au même, à l'équation
(49) Ap'= a + ny",

la valeur de 7 étant

R —= vo.

Il est bon d'observer que, le nombre y étant supposé de
la forme 4x + 1, et le nombre « de la forme 4x + 3, le
nombre zx sera de la forme 4x + 3, dans l'équation (49)
aussi bien que dans l'équation (21). On peut ajouter que #,
étant le produit de deux facteurs premiers impairs, v, o,
ne pourra être de la forme 4x +3 que dans le cas où um

{400 ‘ THÉORIE

seul des facteurs sera de cette forme. Effectivement, si y et w
étaient tous deux de la forme 4x + 3, ou tous deux de Ja
forme 4x+1, leur produit

nn — vw

serait évidemment de la forme 4x + 1.

Les diverses formules qui précèdent, s'accordent avec
celles que nous avons établies dans le premier et les deux
derniers paragraphes du mémoire. Elles peuvent d'ailleurs
être facilement étendues au cas où x serait le produit de
plusieurs nombres premiers impairs

Tr
VE VE IVIOETES
Ainsi, en particulier, supposons
s | 2e 4
Rn —=VYY,

v, v, v" désignant trois nombres premiers impairs, et re-
présentons par
Donne]

le produit des diverses valeurs de @;, correspondantes aux
valeurs de À, qui, étant premières à », vérifient les équi-
valences
x x EE”
(bo) z° =1,(mod.v), æ * =1,(mod.v}, æ* =1,(mod.v').
Soit encore
[—1, 1, —1]

le produit des diverses valeurs de @;, correspondantes aux
valeurs de h, qui, étant premières à #, vérifient les équi-
valences ;

vx Jr vs

(bi) x ——1,(modw), x ? =—1,(mod'), x * =—1,(mod.v");

DES NOMBRES. ; 4or

et concevons que l’on emploie, dans un sens analogue,
chacune des huit expressions comprises dans la formule

[EEE
de sorte qu’à’ un RL . signe opéré dans le dernier
membre de la première, ou de la seconde, ou de la troisième
des formules (50), doive toujours correspondre un chan-
gement du signe qui affecte la première, la seconde ou la
troisième unité dans la notation

RAA AE
Soient d’ailleurs respectivement
u, De u” Cd
des racines primitives des trois équivalences
Pi = 1, (mod.s), 2=1, (mod.v), 2"-'= 1, (mod. v'),

et
! [ZA
SMS
des racines primitives des trois équations
LINE PTE le
Enfin posons . «
(52) Cho niet Ge cui A,

et nommons A, A” ce que devient A quand on remplage v
par y ou ,”. Chacune des huit expressions

(53) SEE 1},{1,—1, —1], [—1, 1,—1]),[—1, —1,1],

Li, —i,—1], [in 1, 1), (r, 1, 1],[1,1, —1],
sera une fonction entière et symétrique, non-seulement de

gi CE Lee

RCVIR « | 5i

“

4o2 THÉORIE

ou de
c'“. ce DR Le cui
mais encore de

luts—3

1,12
cs ME eee: 5 :

ou de
l 13 TUE
; OR NE HN DOD JM
et aussi de ]
" Lun Hti=3
> S Fe >... # ,
ou de

ut us Narnees
SES Ji 2

les coefficients numériques étant des nombres entiers. Par
suite, on pourra en dire autant des produits qu'on obtient
eu multipliant l’une par l’autre, deux ou plusieurs des expres-
sions (53); et chacun de ces produits, ainsi que chacune de
ces expressions, sera non-seulement une fonction linéaire des

deux sommes

a D 1—A ï 3 ME 1+A
AS PE RS EE ns Et Cor cet Ce =

4

par conséquent des deux rapports
1—AÀ IA

DAPATASTEN?

mais encore une fonction linéaire des deux rapports
1—/ 1+

TONNERRE

et aussi une fonction linéaire des deux rapports
DAV à à SA"

» .
2 2

Donc chacune des expressions (53), ou chacun de leurs
produits, multiplié par 2*—8, deviendra non-seulement
une fonction linéaire de

MEET AS

DES NOMBRES. 403

par conséquent de A, mais encore une fonction linéaire de
‘ '
I1—A, 1+A4
par conséquent de 4', et aussi une fonction linéaire de
I Te I se A

par conséquent de A”; de manière à offrir généralement huit

termes dont l’un sera constant, les sept autres termes étant
; E

respectivement proportionnels à

: A, A’, A”, AA’, AA'!, A'A", AAA’,

et les coefficients numériques étant toujours des nombres
entiers. Ajoutons que de la première des expressions (53) on
peut déduire successivement les sept autres, en y remplaçant
séparément ou simultanément

Apar —A, A’par—A, A’ par —W";

c'est-à-dire, en changent le signe de A, ou de 4, ou de 4”, au
moment où, dans la notation

TN AU
on change le signe qui affecte la première, la seconde, ou

la troisième unité. Cela posé, si l’on considère en particulier
les deux produits

(nn i]f,—1, if, 1, 1] (1, —1, 4,
[—i, —1,—1)f—1,1,1] (1, —1,1]{14, 1, —1),

(64)

il est clair que chacun d'eux restera invariable, tandis que des
trois différences représentées par
A, AA"
5r.

4ol THÉORIE

deux seulement changeront de signe, et que, pour déduire
le second produit du premier, il suffira de changer à la fin le
signe de A, celui de A’ et celui de 4”. I suit de cette remarque,
et de ce quia été dit plus haut, que les produits (54), multipliés
par le nombre 2° — 8, ne devront renfermer aucun terme
proportionnel à une seule des différences

A, À, A”
ou à l’un des produits partiels
AA’, AA”, AA”,
et devront se réduire à deux binômes de la forme

a + bAA'A"
a a bAA'A”,

a, b désignant deux quantités entières. On aura donc

8[1,1,1]{1,—1,—1][—1,1,—1][—1,—1,1]—@ + bAN'A”,

(55) 8[—1,—1,—1){—1,1,1][1,—1,1]{1,1,—1]=a@—0aANA".

D'autre part, chacun des produits (54), pouvant être considéré
comme une fonction entiere des rapports

1 —AÀ 1+A 1—A 1 + mA 1 FA!

? 2 u 2 ? 2 bi

à

dans laquelle les coefficients numériques sont entiers, se ré-
duira, au signe près, à un nombre entier, si l'on y remplace
chacune des différences

[44

A, A’, A

par un nombre impair; par exemple, par l'unité. Donc un
tel remplacement doit rendre le premier membre, et par suite
le second membre de chacune des équations (55), divisible

DES NOMBRES. 4o

par 8. Donc les deux binômes
a+b, a—b

seront divisibles par 8; d’où il suit que leurs deux sommes a,
et leurs demi-différences à seront divisibles par 4, ou de la
forme

GUN, =D,
À, B étant des quantités entières. Donc les formules (55) don-
neront

2[1,1,1][1,—1,—1])[—1,1,—1]f—1, —1, 1] A + Bad”,

5
D) 2f—1,—1,1][—1,1,1]{1,—1,1][1,1, —1]—= A —Baa",

. les valeurs numériques de A, B étant des nombres entiers.

Observons à présent que —1 sera une racine de l'équiva-
lence L

dE

(b7) æ à Z=1, (mod. »)

V— I
est un nombre

si, y étant de la forme 4x + 1, le rapport

2
pair ; et sera au contraire une racine de l'équivalence

(58) æ° =— 1, (mod.v)

V=——=

si, v étant de la forme 4x + 3, le rapport = est un nombre

2

impair. Donc par suite, des deux quantités
h, —h,

l'une sera racine de l’équivalence (57), et l’autre racine de l’é-

-quivalence (58), si v est de la forme 4x + 1 ; mais toutes deux

seront racines d’une seule de ces équivalences, si » est de la
forme 4x + 3. Pareillement, les deux quantités +A,—h seront

406 THÉORIE

racines , l’une de l’équivalence

v'—1

(59) æ° =1,(mod.v),

l’autre de l’'équivalence

ver

(60) æ* =—1,(mod.v'),

si Y est de la forme 4x + 1 ; et toutes deux au contraire seront
racines d’une seule de ces équivalences, si v est de la forme
4x + 3. Enfin les deux quantités +}, —A seront racines,
l’une de l’équivalence

vl—r

(Gr) æ* =1,(mod. v’) Ù

l’autre de l’'équivalence

"
Y' =:

(62) æ* =1,(mod.v"

(1

si Y’ est de la forme 4x + 1; et toutes deux au contraire
seront racines d’une seule de ces équivalences, si ÿ” est de la
forme 4x + 3. Cela posé, il est clair que les deux monômes

O2, Oz

appartiendront, comme facteurs, à une seule des expres-
sions (53), si les nombres

Vs V, v”
sont tous trois de la forme {x + 1; et, comme le nombre des

facteurs compris dans chacune de ces expressions est égal
au huitième du produit

N=(v—1)("—1)("— 1),

qui représente le nombre des termes premiers à 7 — ww"

: DES NOMBRES. 4o7
dans la suite

1,2,3...n—1,

on aura évidemment, dans le cas dont il s’agit, eu égard à

la formule (3),

AE

= . nm 5
1] =p", Dan) ar =r" av i]=?
. N

pr I, I,
163) L x x x
ni, 1]—=p", [—i,:,1]=p", Gi,—r1,1]=p", (x, —1] =

a

2!
.

Si des nombres
, LA
V, V3
deux seulement, par exemple », y, sont de la forme 4x +1,
le troisième Y” étant de la forme 4x + 3, alors, les monômes

Oz, 9}

appartiendront comme facteurs, non plus à une seule, mais à
deux des expressions (53), qui ne diffèreront entre elles que
par le signe de la troisième unité, et l’on trouvera par suite

N

coll 1,1][r1, 1, —1]=p" [—1,—1, 1), —1,1]=p,
(a, 1]{1, 1, —1]=p", [—1,1,1]{1, —1,1]=p

Pareillement, si des nombres

œl2 “o|2

, [24
V Vo V

un seul », par exemple, est de la forme 4x+1, les deux
étant de la forme 4x +3, les monômes

LL

autres y, v
Oz, O-}

appartiendront , comme facteurs , à deux des expressions (53),
qui ne différeront entre elles que par les signes de la seconde

408 THÉORIE s

et de la troisième unité. On aura donc par suite

le 1; 2], —1,—1]=p", (1,1, 1, —1, AE

N
Ft, 2, all 1, Sp

[1,—1,1][1, 1, —1]=p ?
Enfin , si les trois nombres |
! (1
VS
sont tous trois de la forme 4x + 3, les monômes
On, Oz

appartiendront, comme facteurs, à deux des expressions (53),
qui différeront entre elles par les signes des trois unités, et
l’on aura par suite

(66) La mr ir NÉ CES dns à| Er Lt

N À

[1,210 Tr, —+7, MENT [—i,—1,1]{1,1, —1)=p*°.

Il est d’ailleurs évident que, dans tous les cas, les for-
mulés (63), ou (64), ou (65), ou (66), entraînent la suivante

CC CE EEE EP ee CS

Comme, dans le premier et le troisième cas, on tire des
formules (63) ou (64)

sl [i,u,a] [iii fui, fi, 1,1] — p,
[—1,--1,—1] [—1, 2,2] (2, —1,1][1,, —1] = p",

il est clair qu’alors on doit avoir, dans les formules (56),

N
À =2pp 0;

DES NOMBRES. 409

Au contraire, dans le second et le quatrième cas, on tire
de l'équation (67) jointe aux formules (56)

N
(69) Ap°— A2 Baaa2'a.

On trouve d’ailleurs, dans le second cas,

la LA

A = —v,

/

! (72 11
A = — y, A2— — y, A2 — cie

On aura donc, dans l’un et l’autre cas,
. AAA = — y = — n;

et en conséquence, la formule (69) donnera
É
(70) 4p° = A? + nBz.
D'ailleurs, parmi les trois facteurs premiers de », ceux qui
sont de la forme 4x + 3 seront en nombre impair, dans le
second et le quatrième cas, et en nombre pair dans le pre-
mier et le troisième cas. Donc le second et le quatrième cas,
auxquels se rapporte l'équation (70), seront précisément ceux
où le nombre » est de la forme 4x + 3.
Au reste, des raisonnements, semblables à ceux qui pré-
cèdent, s’appliqueraient au cas où le nombre entier » serait
le produit de quatre, cinq, ... facteurs premiers impairs

£ " 1] c
V3 Vo Vo Vopeee

et alors, en désignant par N le nombre des termes premiers
à, qui seront compris dans la suite

1, QUI, RENE

D XVIE. 50)

4xo THÉORIE
c’est-à-dire, en posant
N = (y — 1) ( — 1) ("— 1) (ah 1) ..)

on se trouvera de nouveau conduit à la formule (70), A, B
étant deux quantités entières, dont la seconde sera nulle,
si À est de la forme 4x +1, mais cessera de s’'évanouir, si
n est de la forme 4x + 3.

Si maintenant on désigne par p' la plus haute puissance
de p, qui divise simultanément A et B, alors, en posant

A=piæ, B=py,
N +
Te 2%,
on tirera de la formule (70)

(71) Ap°= ax + ny.

Dans ce qui précède, nous avons supposé le nombre »
composé de facteurs premiers impairs. Supposons main- :
tenant le nombre 7 pair, et composé de facteurs dont l’un
soit 2, ou une puissance de 2, les autres étant des facteurs
premiers impairs. Si l’on suppose d’abord ceux-ci réduits
à un seul facteur premier »; » sera de l’une des formes

ONE CSN

Or, en supposant » divisible une seule fois par 2, ou de la
forme 2,, on retrouvera des formules analogues à celles que
l’on obtient quand on pose simplement #—%. Mais, si l’on
suppose

n —{y,

y étant un nombre premier impair, on obtiendra des ré-

e

DES NOMBRES. 4ri

sultats dignes de remarque. Soient, dans cette hypothèse,

&; Gy
des racines primitives des trois équations

= ty Pl ene

\

on pourra prendre

9 — ac.

Si d’ailleurs l'indice À de @; est équivalent à £, suivant le
module y, et à 7 suivant le module 4, on aura

ph — dei,
ce qui suffira pour réduire l'équation (1) à l'équation (22);
et, si l’on désigne par

O;;;
la valeur générale de @; que fournit l'équation (22), les va-
leurs particulières de @;, qui correspondront à des valeurs
de À premières à x, seront celles que présente le tableau
suivant
| Ox,1) Our , Our see Ou—2,1 ,

(72)
O1,3, Ou3, Ou,3,... QOu-23,

u étant une racine primitive de l’'équivalence
DEA, (Mod y).

Concevons maintenant que, dans la formule (7), on fasse
coincider -

Char e où

h3 ,

avec celles des expressions de la forme 6;; qui, dans le ta-
bleau (72), offrent pour premier indice une puissance paire

52.

12 THÉORIE

de #, et pour second indice l'unité, Il est clair qu’alors la
somme
h+k+l+.…

sera équivalente, suivant le module 4, à

LU
2

?

et, suivant le module », au produit

u—"— 17

DOUCE CCI EE —

Il
©

Wu — 1

Donc, cette somme sera divisible par

UT
ou seulement par

I

= TD — 2,
ou enfin par

I

4 n—= Y ;

suivant que y—1 sera divisible par 8 ou par 4, ou seu-
lement par 2, c'est-à-dire, suivant que » sera de la forme

8x+1, ou8r+5, ou 4x +3.

On aura donc, dans le premier cas

(73) Où Œ ®... —— Rx. ..,
dans le second cas

CESSER 0:50;
(74) © Ox Or... — RO»,

DES NOMBRES. 13

et dans le troisième cas

CJEN ENS 6:76),
(75) On Ox Ou. —Rr},..0,,

pourvu que
On, Ok, Oz,..:
remplissent les conditions ci-dessus énoncées, c’est-à-dire,
en d’autres termes, pourvu que l’on fasse coïncider les
indices
ROUEN. ET

avec ceux qui vérifient simultanément les deux équivalences

Y—1 >

(76) æ?=a1,(mod.v), æ=1, (mod. 4).

On prouvera d’ailleurs facilement, 1°, que, si n est de la
forme 8x + 1 ou 8x +5, l'équation (73) ou (74) s’étendra
au cas même où l’on ferait coïncider les indices

RRRALIEE,
avec ceux qui vérifient simultanément les deux équivalences

v—x

(77): æ° =1,(mod.»), æ=3=— 1, (mod. 4),

ou les deux équivalences

v—1

(78) Z° =—1, (mod:»),,.z=1, (mod. 4),

ou bien encore les deux équivalences

v—I

(79) æ° —=—1,(mod. v), æ=—1, (mod. 4);

2° que, si v est de la forme 4x+3, l'équation (75) s'é-

414 THÉORIE
tendra au cas même où l’on ferait coïncider les indices
hdi

avec ceux qui vérifient simultanément les équivalences (76)
ou (78), mais devra être remplacée par l'équation suivante
(80) 0,007... —R... 0,
si l’on fait coincider les indices

RARE

avec ceux qui vérifient les équations (77) ou (79). Donc si
l’on désigne respectivement par les quatre notations

G,1i], ,—1], [ii], ai, —1]
les quatre produits formés par la multiplication des valeurs de
0z,10x,101,*. -
correspondantes aux valeurs de
HE. Lies
qui vérifient les formules
(76), ou (77), ou (78), ou (79), .

on pourra, dans l'équation (73), lorsque » sera de la forme

8æ+ 1, et dans l'équation (74), lorsque » sera de la forme
8x +5, remplacer successivement le produit

0104107...

par chacune des quatre expressions
[ 1; 1] —= Oi,1 Ou? ,r Qui,re +: Ow-3,1,
[1, — 1]=0:,3Ou,3 Ous,3. . . Ow-33,
= I, 1 |[—=Our Ou3,1 Qu5,1 + + : Ow-a,
$ [—1, —1]= O3 Ous,3 Ou5,3 4 « “ Ouv-2,3.

(81)

DES NOMBRES. 415
Mais lorsque » sera de la forme 4x+3, alors on pourra
remplacer le produit |
00:01...

dans l'équation (75), par chacune des expressions

26 er,

ou, dans l'équation (80), par chacune des expressions

U,—1}, [—i,—1]

Observons à présent que —1 sera une des racines de
l'équivalence (57), si v est de la forme 4x + 1, et de l’équi-
valence (58), si v est de la forme 4x + 3. Donc par suite les
deux quantités

hi, —h
satisferont, l’une aux formules (76), l’autre aux formules (77),
ou l’une aux formules (78), l’autre aux formules (79), si v est
de la forme 4x + 1; et au contraire ces deux quantités satis-
feront, l’une aux formules (76), l’autre aux formules (79), ou

- l'une aux formules (77), et l’autre aux formules (78), si » est

de la forme 4x + 3. Donc, en vertu de la formule (3), on
aura, 1°, si v est de la forme 8x + 1 ou 8x + 5,

y:

(82) [1,1][1,—1] pi [—1,1][—1, —1] =;
2°, si v est de la forme 4x + 3,

63) We -1=p" LE TE RS

Dans l’un et l’autre cas, les formules (82) ou (83) donneront

GA phil, -1Nf1,1](fi, 1]

416 THÉORIE
D'ailleurs, comme, dans chacune des formules (73), (74), (75),
(80), l'expression
Rire
représentera une fonction entière et symétrique de

RE
Papa :p'efst-
par conséquent une fonction entière et symétrique non-seu-

lement de

Ch =: CA she

mais encore de

a, œh lol, fe

les coefficients numériques étant des nombres entiers ; il est
clair que, si » est de la forme 8x + 1, le produit

[r,1] (1, —1]
sera, en vertu de la formule (73), une fonction entière et
symétrique non-seulement de

mais encore de
y a,

par conséquent une fonction linéaire, non-seulement des
deux sommes

cHc +... + ce, + CU +. , + CRE
mais encore de la somme
a + a.

Or, cette dernière somme étant nulle, en vertu de l'équation

TP Er

DES NOMBRES. 417
à laquelle doit satisfaire la racine primitive «—=V/—x1 ou
a —V/—x de l'équation
a — 1,
il en résulte qu’en supposant » de la forme 8x + 1, on aura
Péri, —1]= 0. Fer iro) po (ue. He),

Coy €, C, désignant des quantités entières. Si, dans l'équation
précédente, on remplace < par <“, on trouvera

rec bal ipisbetri} tic (e + cé +.

puis en posant, pour abréger,

e— ci + EURE ner Qui OU — A,
A—02c,—c, —c,, B—6c, —0c,,

on réduira les deux équations que nous venons d'obtenir à
la forme
2[1,1][1,—1]= A + Ba,

(85) 2[—1,1] [—1,—1] = À — Ba.

Si le nombre » était de la forme 8x +5, alors on devrait
à l'équation (73) substituer l'équation (74), et par suite, en
ayant égard à la formule

Ov —= 0», 0_., — P ,
on obtiendrait , au lieu des équations (85), les deux suivantes

86 2[1,1]{[1,—1]—=(A + Ba,

5 2[—1,1][—1,—1] = (A — BA.

Enfin, si » était de la forme 4x +3, on devrait à l'équa-

tion (73) substituer l'équation (75) ou (80), et par suite, en
He X VIT. 53

Tic):

418 THÉORIE

ayant égard à la formule
6,0, ——p,

on se trouverait de nouveau conduit à deux équations de la
même forme que les équations (86). Observons d’ailleurs
que les équations (86) peuvent être censées comprises elles-
mêmes dans les formules (85), desquelles on les déduit en
remplacant les deux quantités entières A, B par deux au-
tres quantités entières pA, pB.

Les résultats que fournissent les équations (82), (84), (85),
(86) sont analogues à ceux que nous avons obtenus en pre-
nant 2 —v; et d'abord, si v est de la forme 8x +1, on
tirera des formules (82) et (85)

A= ap”, b=0:

Si au contraire v est de la forme 8x +5, on tirera des for-
mules (82) et (86)

v—3
NN TE
Enfin, si v est de la forme 4x + 3, alors des formules (84)
et (86), jointes à l'équation
=):

on tirera
(87) fp'en=ARY tb;
puis, en nommant p' la plus haute puissance de p, qui divise
simultanément À, B et, posant

" A=pa, B=py
= Y — 3 — 2ù =

DES NOMBRES. 419

on trouvera
(88) 4p'=2 +.
Considérons maintenant les deux produits

Dar EEE CIN

L
que l’on déduit l'un de l’antre, en remplaçant < par <“, ou 4
æ par &—x". Chacun de ces produits sera une fonction
entière de «, et, de plus, une fonction entière et symétrique
non-seulement de
Moon
mais encore de 2

u u u’—?
So9S 9... 6 ,

les coefficients étant ‘des nombres entiers. Comme d’ailleurs
chacun de ces produits ne sera point altéré, lorsqu'on y
remplacera simultanément

ç par ç“ et « par «,
il devra se réduire non-seulement à une fonction linéaire de
3
a; a;
et en même temps à une fonction linéaire des deux sommes
CH cé +... + es, ch + cu? Sbocar s 0
mais encore évidemment à une fonction linéaire des sommes

af + ct +...4 07) pañ(ou + QE +. + UT)
OSEO EI EE

Or, en vertu de la formule

53.

{420 THÉORIE

on à

=
t——«;,

et par suite chacune des deux dernières sommes se réduit,
au signe près, à

a(e — cu + QU —.. + QU — Con — aA.
Donc les deux produits
te lepaln. um
se réduiront à deux fonctions linéaires du monôme
aA ,

que l’on déduira l’une de l’autre, en remplaçant à par = — #,
ou, ce qui revient au même, en remplaçant

aA par — «A.
D'ailleurs, chacun de ces produits aura pour facteur
OO =p 5
si v est de la forme 8x + 5, et
0,0, — — p,
si v est de la forme 4x + 3. On aura donc généralement

[1,1][—1,—1] = A + Bad,

(89) Ü[n—1][-—1, 1]—=A— Bo,

À, B désignant deux quantités entières, qui seront divisibles
par p, si v est de l’une des formes 8x +5, 4æ+3. Ces
principes étant admis, si l’on suppose » de l’une des formes

8æ+1, 8x+5,

DES NOMBRES. 421
alors des équations (84), (89), jointes aux deux formules
BR —V,
on tirera
(90) Pa ATEN

Si au contraire v est de la forme 4x+3, on tirera des
équations (83) et (89)

A pe 0: *

L'équation (90), dans laquelle A, B sont divisibles par p,

lorsque y est de la forme 8x +5, mérite d’être remarquée.
Si l’on désigne par p” la plus haute puissance de p, qui,
dans cette équation, divise simultanément A et B, alors,
en posant |

A=px, B=p'y

= — 12,

on trouvera

@n) pr=s +
Il est bon d'observer que, dans le cas où l’on suppose
n — 4 ;

le nombre N des termes premiers à 72, et compris dans la
suite
NO OUT,
est précisément
2 (v = 1).

Donc, alors l’exposant de p se réduit à = dans les formules

(84) et (go), aussi bien que dans les formules (38) et (47), (67)
et (70).

422 THÉORIE
Dans de cas particulier où, y se réduisant à l'unité, on a
simplement
n—=4,
on à aussi
PE
+ désignant toujours une racine primitive L/—x où 4/1
de l'équation
% 35 Eire
Alors on tire de l'équation (3)

p—x

@: =p, 6:103=(— 1) p?
et de l'équation (4)

Où —R;:07 03h00);
puis de ces dernières combinées avec les deux précédentes
(92) P=Ri,: R3.

Dans cette même hypothèse, R;,,, se réduisant à une fonction
entière de «, sera de la forme

Re = À + Be,
A, B étant des quantités entières , et l’on aura encore
RE = À + Be,
ou, puisque ——1,
R;;, — A — Be.

Par suite la formule (92) donnera

p =\(A + Ba) (A — Ba)
An Br,

a

DES NOMBRES. 423

ou, ce qui revient au même,
(93) p:= À° + B:. s

Donc alors la multiplication de 6; par 63, ou plutôt de R,,
par R;,, fournira la décomposition du nombre p en deux
carrés, c’est-à-dire, en d'autres termes, la résolution de l’équa-
tion indéterminée
(94) DEEE
dans laquelle p désigne un nombre premier de la forme
4x + 1.
Si, au lieu de supposer 2 — 4y, on supposait'
n = ww...
y... étant des nombres premiers impairs, on se trouverait
conduit, en raisonnant toujours de la même manière, à une
formule analogue à l'équation (90). Supposons, pour fixer les
idées , que, le nombre des facteurs premiers impairs étant
réduit à 2, l’on ait
n —= (ww.
Alors, en nommant toujours N le nombre des termes qui,
dans la suite

12, 9,0. 7h;
sont premiers à 2 — 4w', on trouvera
N — 2(v— 1) (y — 1).

Cela posé, en étendant l'usage des notations (53) au cas où,
dans le produit

Ta
IT —= NY,

onremplace le facteur impair: »” par le facteur 4, par'con-

424 THÉORIE

séquent au cas où l’on remplace les équivalences

US 3 LES

ze = 1, (mod v) re 1, (mod)

par les équivalences

æ=1,(mod.4), æ—=—1,(mod. #4),
et les sommes 1

1—A"
ce” © m6 l'a t- gl'u"=s

& 2

Ut TPE POI ERENR
, qu + +, 4 1—

par

on obtiendra, pour représenter les produits (54), non plus
des fonctions linéaires de

1 —A" 1 + A"

anti? SU 2

mais des fonctions linéaires de
Ly. AL)

lesquelles d’ailleurs ne cesseront pas d’être en même temps
fonctions linéaires de

1— A 1+A

D AE

et fonctions linéaires de

1 — A’ 1 +A'
She 2

Donc alors, au lieu des équations (55), on en obtiendra

* DES NOMBRES. 425

d’autres de la forme

4fr,r,) [iii] [-n1,—1]f—1, 1,1] = a + baAW,

(95) A1, —1,—1] er 1; 1] Frs 1]01, LE ni) = a — bahA,

a, b, désignant des quantités entières qui, comme les pro-
duits (54), seront divisibles par p’, c'est-à-dire par le carré de
5 ©; ou de 6, ©

-n =R —-n

si le nombre

est de la forme 8x +5 ou 4x +3. Comme d’ailleurs, dans
chacune des équations (95), le premier membre, ou le qua-
druple de l’un des produits (54), devra se réduire au qua-
druple d'un nombre entier, si l’on remplace A, A par des
nombres impairs tels que l'unité, et « par un nombre pair
ou par un nombre impair, par exemple par o ou par 1; il
est clair que

a et a+b #1

devront être des multiples de 4. Donc a, b seront divisibles :
par 4, ou de la forme

a—4A, b—GB,

et les formules (95) donneront

(06) | Cr, nr, 1]{r—1,—1][—i,1,—1][-1,—1,1] = A + Baaw’,
LL fi, 1,11, 1,1][1,—1,—1]f1, 1, —1]—=A—B«4,

f les valeurs numériques de A, B étant des nombres entiers
q )
“qui seront certainement divisibles par p’, si le nombre

:
N V— 1 V—1
2 2 2

T. XVIL 54

426 THÉORIE # À
n'est pas divisible par 4. D'autre part, on reconnaîtra sans
peine que les formules (64) sont applicables au cas où, dans
le produit

n—= 4w',

les facteurs impairs », » sont tous deux de la forme 4x+ 1;
les formules (65), au cas où un seul de ces facteurs impairs,
» par exemple, est de la forme 4x + 1; enfin les formules (66),
au cas où les facteurs v, ÿ sont de la forme 4x + 3. Dans
les trois cas, les formules (64), (65) ou (66) entraîneront la
formule (67), et dans le second cas en particulier, les for-
mules (65) ou (68), jointes aux équations (96), donneront
s

A Do Be
Mais, dans le premier et le troisième cas, on tirera de l'é-
quation (67), jointe aux formules (96),

ï

(97) P° — A2 B242A2A/2 — À? + B2124°;
et, comme on aura dans le premier cas,

Sn
dans le troisième cas

FOR LE here !
A ——v, AY,

il en résulte que, dans le premier et le troisième cas, on
trouvera
L !
MARNE

par conséquent

N
(98) p° = À? + wB:.

* DES NOMBRES. } 427

On peut remarquer, d'ailleurs, que les deux cas dont il s’a-
git sont précisément ceux où le produit

est dela forme 4x + 1. Ajoutons que lès quantités entières
A, B seront divisibles par p’, si les deux nombres », y sont
de la forme 4x + 3.

Généralement, si » est de la forme

n — Av vs". CE
v, v, v’.. désignant des facteurs premiers impairs, alors, en

nommant toujours N le nombre des termes premiers à », et
compris dans la suite

1,2, 3,...1—1,
; à
c'est-dire, en posant

N—9{v—1)(9 —1)("—1)...

on trouvera
N

F — A2 + yyv"...B?
P

?

ou, ce qui revient au même

N

(99) p= A+,

A,B désignant des quantités entières, dont la seconde sera
nulle, lorsque le produit
14 VV". —= >

sera de la forme 4x +3, et cessera de s'évanouir, lorsque
le même produit sera de là forme 4x + 1. Ajoutons que les

54.

428 THÉORIE
quantités A, B seront divisibles par la puissance de p, dont
le degré est le nombre des facteurs impairs

L "
VS VE ele

si le produit .

n’est pas divisible par 4.
Si maintenant on désigne par p' la plus haute puissance
de p, qui divise simultanément A et B, alors, en posant

A=p'x, B=py,

on tirera de la formule (99)

(100) p'=R +ir.

Supposons encore 2 —8. Alors, si l'on nomme + une ra-
cine primitive de l'équation

DE Ile

les quatre racines primitives de cette même équation seront
er
x, «, x ,a,
et l’on aura

4

x ——TI

Alors aussi la formule (3) donnera

— 1

P
Or 008-000 (— 1) * P»
et l’on tirera de la formule (4)

, 0; — KR, O,, 0; 9, = R;, O,,

DES NOMBRES. 429

4
puis de ces dernières équations combinées avec les deux pré-
cédentes

(101) p=RSR
D'ailleurs
de
sera une fonction entière et symétrique de
3 +
Ep 69

par conséquent une fonction linéaire des sommes de la forme
S
CE + 7,
le coefficient numérique de chaque somme étant un nombre
entier; et d'autre part la somme

CE
_se réduit, pour m— 1, ou3, à
| a+ —& + a,
“pour m—2, où 6,à
+ —x+a—=0o,

pour m—=#4, à

+ — 7 + &— 0 + —— (x + a).

Donc R,, se réduira simplement à une fonction linéaire de

la somme
a + a;

+

430 THÉORIE

et comme on déduira R;,de R,; en remplaçant 4

« et &
par

—— 3
RCE

on aura nécessairement

.

(Rs A Co B C LE &),

(102) “ne us

A , B désignant des quantités entières.
Si maintenant on combine les formules (101) avec les équa-
tions (102) on en conclura

p=A—Bt(a +);
et comme on aura
(a + ee + + 2 — Ia — — 29,
on trouvera définitivement
(103) = À: + 2B:.

Donc, p étant un nombre premier de la forme 8x +1, on
pourra toujours satisfaire par des valeurs entières de x, y à
l'équation indéterminée

(104) p=x#-2F":

On pourrait encore facilement étendre les principes que
nous venons d'exposer, au cas où le nombre z serait de la
forme È

n —= 8,
ou même de la forme
n = 8 wvy"...

DES NOMBRES. 431
v, v, v,... étant des facteurs premiers impairs. Alors les
résultats seraient analogues à ceux que nous avons obtenus

en supposant
Dr Do ee

Seulement, en passant d’une hypothèse à l’autre, il faudrait
substituer aux racines primitives

‘x et M ——% F
de l'équation
En
les sommes.
x+a et a + a — — (a + à),
ou

at a et «+ = — (a + a),
formées par l'addition de deux des racines primitives
a, &, a, «7
de l’équation

L —= ji.

_ Cela posé, en nommant N le nombre de ceux des termes de
_ la suite

i N=46— 1) — 1)" — 1)...

et désignant par A, B deux quantités entières, on trouverait,

432 THÉORIE

1°, dans le cas où le quotient
nm 1
8 = VV ...

serait de la forme 4x + 1,

N
13

p°—=A—B (a + a) AA A"...;
2°, dans le cas où le même quotient serait de la forme 4x + 3

N

P° — A7 es B° (æ ju «y w Al A".
les valeurs de 4°, 4”, A”°,... étant dans l’un et l’autre cas

vl—x CAES :

A=(—i)'v, A—(—i):v, A=(—i) * v', etc...

et, comme on aurait évidemment dans le premier cas

(a+aYŸ = + —2——02

V— 1 V— 7 V'— 1
+ ==

2 2 2

+...=0, (mod. 2)

24/22 rs AT
AVANTNE ST ROME aE

puis, dans le second cas,
(a+a) = +é+2—2,

Y— 1 v'—1 V'— 1

+ +

—+...=1, (mod. 2)

[4 LU 1"
AAA. ——vvy ,

il est clair que, dans l’une et l’autre hypothèse , on se trou-
vera conduit à la formule

N
p° = + 29"... B?,

CRE

rs du es
L :

DES NOMBRES. 433

qu'on peut encore écfire comme il suit

N

(05) Ù Pie 2(5)B".

Ajoutons que, dans le premier cas , les quantités À, B seront
divisibles par la puissance de p qui a pour degré le nombre
des facteurs impairs

! [24
Vs Va V oo.

si tous ces facteurs sont de la forme 4x +3, attendu qu'a-
lors le produit L

V— x V—1x v'—7
:

(1 +3)

.
2 2 2 _

sera divisible, non par 8, mais seulement par 4, et que l’on
aura d’ailleurs

Ov! — (EF D. 2

Dans tous les cas, si l’on désigne par p* la plus haute

puissance de p, qui divise simultanément À et B, alors, en

posant

on tirera de la formule (105)
(106) p'=r + (sr.

Nous remarquerons en finissant, que, si le nombre pre-
mier p étant de la forme 4x +3, se réduit précisément au
nombre 3, les formules (16) deviendront inexactes. Mais
alors, pour retrouver l'équation (20), il suffira d'observer

T. XVII. 55

434 ; THÉORIE

que l’on tire de la formule (3)

910; — P:
et de la formule (4)

@; = Rx (OA , 6; == Rp @: ,
puis de ces dernières, combinées avec la précédente,
(107) PER, Rs».

Dans cette même hypothèse, si, en nommant & une des deux
racines primitives de l’équation

UE
lon pose
p—p —A,

on aura, non-seulement

(108) À a——3,

mais encore , eu égard à la formule p+p—=—1,
LA ONE A
cer ie

Comme on aura d’autre part
Ra, Co + C1p Cap”, Ras = Co + Crp° + Cap,
Co, désignant des quantités entières, on en conclura
(109) 2R1— A+ BA, 2kR,,—A— BA,
les valeurs de A, B étant
At —-G— 0, B—=c—0c;,
puis on conelura des formules (107) et (109)
ip=A Ba,

4 DES NOMBRES. 435
ou, ce qui revient au même, eu égard à la formule (108),
_ (110) 4&p= À° + 3B:.

L'équation (110) est évidemment de la forme de celle qu'on
obtiendrait en posant 7 —3 dans la formule (20).

NOTE IV.

SUR LES RÉSIDUS QUADRATIQUES.

p étant un nombre entier quelconque, on a, comme
l’on sait
Si t4 1229: .1p aus oh

() G@+y+2+...)=S (1.2...f)(1.2...9)(x.2...R).. UE

le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières, nulles ou

positives de

PE le

qui vérifient la condition
| TE gTRE...—p.
. Sip est un nombre premier, le coefficient numérique

1.2-9-6ep

(CSN RE CR
RE

436 THÉORIE

se réduira toujours évidemment à un multiple de p, à moins.
que l’on ne suppose un seul des exposants f,g,h,... égal
à p, tous les autres étant nuls. Donc alors la formule (1)
donnera

(2) G+y+2+.. = +y + 2+...+ pl,

P désignant une fonction entière de x, y, z,... dans laquelle
les coefficients numériques seront des nombres entiers. Done,
si l’on attribue à x, y, z,... des valeurs entières, on aura

(3) (x+y+23+...)ÿ=a +7 +7 +...(mod.p)
Si maintenant on pose
T—=Y—Z—=...—]1;,

alors, en nommant 4 le nombre des quantités x, y,z,... on
verra la formule (3) se réduire à

(4) k=R, (mod. p).
L’équivalence (4) comprend le théorème énoncé par Fermat,
et suivant lequel la différence

XL? — x

est, pour des valeurs entières de +, toujours divisible par p,
lorsque p est un nombre premier. Comme d'autre part l’é-
quivalence
æ’— x=0, (mod. p)
ou
(x — 1)=0, (mod. p)

entraîne la suivante

(3) æ"— 1=0, (mod. p)

DES NOMBRES. 437;

lorsque x n’est pas divisible par p; il en résulte que tout
nombre premier à p est racine de l’équivalence (5), qu'on
peut encore écrire comme il suit

(6) æ'=1,(mod. p).

Si d’ailleurs on nomme # une racine primitive de l'équiva-
lence (6), les diverses racines de cette équivalence pourront
être représentées également ou par les divers termes de la
progression arithmétique

1$ 29,1 00pe-u;
ou par les divers termes de la progression géométrique
LT qi :

et par suite tout nombre entier, premier à p, sera équivalent
suivant le module p, à une puissance entière de {. Ajoutons
qu'en vertu de la formule

#-"=1,(mod.p)

on aura généralement

&
Il
SS

si l’on suppose
hk=k, (mod. p— 1).
Donc une racine
re
de l’équivalence (6)ne devra point être censée altérée, lorsqu'on
y fera croître ou diminuer l’exposant * d’un multiple de p—1.
Enfin, comme, en supposant p impair, On aura

p: pt
æP riz —1)(x° + 1),

438 THÉORIE

l’équivalence (5) ou (6) se décomposera, dans cette hypo-
thèse, en deux autres, dont la première

ou
_
(7) æ° =1,(mod.p)
aura évidemment pour racines les puissances paires de #,
savoir
ARE ASE

tandis que la seconde, savoir

p—i

%° —1=0,
ou
P=x

(8) æ* =—1,(mod.p)

aura nécessairement pour racines les puissances impaires de #,
savoir
5 —
RTE RAR ES

Ainsi , parmi les termes de la progression arithmétique

1,2, 9,...DI
représentant les restes ou résidus qui peuvent provenir de la
division d’un entier par p, les uns, en nombre égal à — ;

seront équivalents, suivant le module p, à des puissances
paires de #, par conséquent à des carrés parfaits. Ces termes,
dont chacun est le reste ou résidu de la division d’un carré
par p, se nomment, pour cette raison, résidus quadratiques ,
aussi bien que les nombres équivalents aux mêmes termes,

DES NOMBRES. 439

suivant le module p; et comme, dans le cas où l’on prend p
pour module, tout nombre premier à p équivaut à une
puissance entière de £, le carré d’un tel nombre équivaudra
nécessairement à une puissance paire de é, c’est-à-dire, à une
racine de la formule (7); d’où il résulte que tout résidu qua-
dratique, différent de zéro, sera une de ces racines. Donc,
les racines de l'équivalence (8), qui sont distinctes des racines

DANS : , sP—1
de l'équivalence (7), mais, comme elles, en nombre égal à ——,

ne pourront être des résidus quadratiques, suivant le module p.
C'ést ce que l’on exprime en disant que chacune des racines
de l’équivalence (8) est non-résidu quadratique suivant le
même module.

Pour abréger, nous désignerons, avec M. Legendre, par
la notation

—1

P
le reste de la division de Æ * par le nombre premier p. Cela
posé , on aura généralement

si Æ est divisible par p; et, dans le cas contraire,

= o [=

suivant que # sera résidu où non-résidu quadratique. Comme
d’ailleurs #, étant une racine primitive de l'équation (6), ne
pourra vérifier la formule (7), on aura nécessairement

P—:

(9) t® =—1, (mod. p);

44o THÉORIE

V = k
et comme #° sera évidemment une puissance paire ou 1m

paire de #, suivant que p sera de la forme 4x+ 1 ou 4x+53,
on peut affirmer que — 1 sera résidu quadratique, dans le
premier cas, et non-résidu quadratique dans le second.
Enfin, comme, d’après ce qui a été dit plus haut, la progres-
sion arithmétique |

1,2,9,-...p—1
renferme autant de résidus que de non-résidus, on aura
nécessairement

0 [ere

Généralement, si, une suite de nombres entiers

GDS Cols

étant composée de x termes différents, premiers à p, l’on
suppose que, dans cette suite, les résidus quadratiques sont
en nombre égal à »', et les non-résidus en nombre égal à »”,
on aura, non-seulement

(ir) n+n =n,

mais encore

(12) n—n=[f]+f01]+ [++],
et par conséquent

pi pt P= =

2 a —
(3) n—n'=a +b° +ce’ +...+1*, (mod. p).
On peut d'ailleurs écrire l’équivalence (13) comme il suit

p—x
d? et He +...+eE
a — (mod.p),

(13) n—n"=

DES NOMBRES. 44
la variable z devant être réduite à zéro, après les différencia-
tions effectuées.

La formule (14) offre un moyen facile de déterminer la
différence n'—n»", et par suite, eu égard à la formule (11),
chacun des nombres »', »", lorsque, le nombre » étant in-
férieur à p, la suite

Pa Da Cr del
se réduit à une progression arithmétique

h,h+k,h+4+2k,... h+ (n— 1%.

Alors, en effet, la somme

e= HO ESTONIE GE
devient

. eus y

e“(1 ne el + € LE oi ÉRRNE = erS Pom

et par suite la formule (14) se réduit à

(15) CE

Concevons, pour fixer les idées, que l’on demande le
nombre »’ des résidus quadratiques, et le nombre »” des

non-résidus inférieurs à + c'est-à-dire, compris dans la
_ progression arithmétique
P = Ti
1, 2, 5% ee
(

Alors on aura ÿ

nm

D KVIT: rte 724600

442 THÉORIE

et par suite | 1
Re hrs :
, ’ [24 d Fe (D ra 12
(16) R—R=—— - ,
dz ? e—1:

D'autre part, la différence entre le rapport

px
ee? —%e

HU

et celui dans lequel il se transforme, quand on y remplace p
par zéro, est

Pr, 2 x, L PF: , ie
EE = e? —e FE — €?
®) SE = —<
2z Zz Z
CN CUT CRETE

Elle est donc égale au produit
Cr <) (EM à ;

Or — I . <
et sa dérivée de l’ordre ==, relative à z, se com
— po-

sera d’une suite de termes, dont chacun sera proportionnel
au facteur
PH 1

12,2 2

e? —e,

ou à l’une des dérivées de ce facteur. Or, comme ces dé-
rivées s'évanouissent avec le facteur lui-même, quand on y
remplace z et p par zéro ; comme d’ailleurs on trouvera

DES NOMBRES. : 443

il suit de la formule (17) que l’on aura, pour une valeur

nulle de z, ñ
NSP UOTE
GIE e —e e —e |
= (| — ———— }=0, (mod. p),
— Zz
dz ? é—1 e— I
par conséquent
EN PE NE
À Ne 20 Ar EE CEE
PE 2 ai = z
dz ? e —I Chan e 1

Donc la formule {16) donnera, dans l'hypothèse admise,

Le
d= ÉTNEnTS

» (mod. p).

da5 K&°+te
… Enfin, z devant être réduit à zéro après les différenciations,
on pourra sans inconvénient remplacer z par 21/1, dans
la formule (18), qui se trouvera ainsi réduite à

2 "1 Lx 84
Gg) #—#=(1) ea p).
à dz ?

Ajoutons qu'en vertu de formules connues, la valeur de tang :

sera généralement fournie par l'équation

| (20) 2 x 121 2 af Z° 1 = 2°
87= ÊC Site où na anne D .)
dans laquelle les coefficients numériques
I E E
6? … 30? 42°?

444 THÉORIE
que nous désignerons généralement par
db,, d,; db, &2 É

sont ce qu'on appelle les nombres de Bernoulli.
Pour appliquer la formule (19), il convient de distinguer

=: , £ À : er
deux cas, suivant que 2 est pair ou impair, c’est-à-dire,
2

en d’autres termes, suivant que p est de la forme 4x + 1 ou
4x +3. Dans le premier cas on a, pour une valeur nulle
de z,

d7 tang ©
auf
p—i TR 7
dz ? ;
et par suite, la formule (19) étant réduite à J

n'—n"=0, (mod. p),

on tire de cette formule, jointe à l'équation

n+ n'=n=?2— =
\ 2
RENE (mod. p),
par conséquent
fa Er tp — 1
(21) Lames
Au contraire, lorsque 2 = * est impair, et p de la forme

4x +3, alors, en ayant égard à l’équivalence
2—"=1, (mod. p),

on tire de la formule (20), pour une valeur nulle de z

DES NOMBRES. 445

d7 ung? = FAT Jaune
——=# =: Pa nete iRt )2,,,s (mod.p),
dz ? 2.2 4 j

et par suite la formule (19) donne

pr frs
DOG). 2 —n'—=(—1)" 22—2° )&,1,, (mod. p).
A gts 12

D'ailleurs , lorsque p est de la forme 4x +3, il est néces-

_sairement de l’une des formes 8x +3, 8æ+7; et, comme
on le verra tout à l'heure, on a, 1°, en supposant p de la
forme 8x +3 |

— 1

32. 41. (Wod-2);

2°, en supposant p de la forme 8x + 7

Donc , la formule (22) donnera, lorsque p sera de la forme
8x +3,

n' ni
(23) n—n'=—621,,;, = — Bhugr
at TAN
et lorsque p sera de la forme 8x + 7,
’ [22 n'—n"
(24) DR = pti =

Ainsi, lorsque p est premier et de la forme 4x+3, la
_demi-différence entre le nombre des résidus et le nombre

1 : _ SFr 7 . .
des non-résidus inférieurs à =p, est équivalente, suivant

le module p, à un nombre de Bernoulli, ou au triple de

446 THÉORIE
ce nombre, pris en signe contraire. Cette proposition remar-
quable a été pour la PÉRIÈrE fois énoncée et démontrée
en 1830, dans le précédent mémoire, dont un extrait a été
publié dans le Bulletin de M. de Férussac, sous la date de
mars 1831. \

En joignant aux équivalences (23) ou (24) la formule (11),
ou

ï D) — I
n -+ 72 ee
2

on en tire, 1°, lorsque p est de la forme 8x +53,

(25) n' = — hype À =. HE Baye» (mod. p);

2°, lorsque p est de la forme 8x Sn

D " _pP = L
(26) n'= Spa tt) RE — dre (mod. p).
n
Au reste, les formules (11) et (15) fourniraient, avec la
même facilité, le nombre des résidus et le nombre des non-
résidus quadratiques, compris dans une progression arith-

métique dont les termes seraient positifs et inférieurs à

2 « D x D
Ë, ou à £, ou à £, etc.
L { :

Concevons maintenant que, p étant un nombre premier
impair, on demande la valeur de

(5:

ou, ce qui revient au même, le reste de la division de 27°
par p. Pour y parvenir, il suffira, comme l’on sait, d'élever
à la puissance du degré p l’un quelconque des facteurs ima-

,

DES NOMBRES. 447
ginaires, dans lesquels peut se décomposer le nombre 2. Or,
on a évidemment

CIE den
ou, ce qui revient au même,
2—= (1 de a) (1 — à),
« désignant une des deux racines primitives L/—5, —4/ 1
de l'équation
= p,
D'ailleurs, on tirera de la formule (2)
(27) (+ a)=1+#+ + pl,

P désignant une fonction entière de 4, dans laquelle les
coefficients numériques seront des nombres entiers, et,
comme on aura d'autre part

Gi, (1 + a) = 924,

par conséquent
pi pi

Graÿii—=2 2 RCD

et

Qu px

L=
(GE IAE ETES (1+ a),
la formule (27) donnera

PA p—i

Di CENT +a)=1+ + pl,

ou, ce qui revient au même

es P P
(28) % À 2,

p—:

a? (1+a): a? (140). ‘

448 THÉORIE

Enfin, comme on aura, 1°, en supposant p de la forme
4x+1,
1+æ—1+a,
p=: P=x px pr

na =(—nt=(—i)t T,

2°, en supposant p de la forme 4x +3

1+ae—ii + &)—=a(1 + &/),
Lans BE PES

a’ =(—i)* =) Ee

(1) (+3)
; 2

ce qui permettra de réduire l'équation (28) à la suivante

p=1 pti

x
2

2 2 2 IE
(29) 2) = (—1) [: + p a
En vertu de cette dernière équation, le produit

1 PE),

Prise e 2

sera égal, au signe près, à l’un des nombres entiers

Î
p=t pi

et, comme l'expression
P(1 — +)

sera nécessairement une fonction entière de +, dans laquelle

DES NOMBRES. 449

les coefficients seront entiers, cette expression, en devenant
indépendante de «, ne pourra se réduire qu’à une quantité
entière. Donc le produit
PE(1 — a)
et sa moitié
P(1— a)

MIT

seront deux multiples du nombre premier p; et la for-
mule (29) donnera

Re He
(30) 2 =(—1) * *,(mod.p)
ou, ce qui revient au même,
2 ns
(31) F]= 2» 2 a

On tirera en particulier de la formule (31), 1°, en sup-
posant p de la forme 8x +1, c'est-à-dire, de l’une des
formes 8x + 1, 8x + 7,

G] =(— ne 1, .
2°, en supposant p de la forme 8x + 3, c’est-à-dire, de l’une
des formes 8x +3, 8x +5,

LG] =(—1)=—1

Ainsi le nombre 2 sera résidu quadratique pour les modules
premiers de la forme 8x + 1, 8x + 7, et non-résidu pour les
modules de la forme 8x + 3, 8x +5.
Observons encore que l’on tirera de la formule (31), 1°, en
T. XVII. 57

450 THÉORIE

supposant p de la forme 4x +1,

Ie

12

2° en supposant p de la forme 4x + 3,

=

12
Ces deux dernières formules sont précisément celles que,
dans les deux cas dont il s’agit, on déduirait immédiatement

de la formule (28). Il résulte de la seconde que, le nombre
PE
premier p étant de la forme 4x + 3, 2°, sera équivalent,

suivant le module p, à + 1, si ce module est en outre de la
forme 8x + 7, et à —1, si le même module est de la
forme 8x + 3.

Comme la démonstration de la formule (30) ou (31) repose
entièrement sur le développement de la puissance p du
binôme

1 it”

« étant une racine de l'équation æ=——1, on arriverait
encore à la même formule en développant immédiatement,
à l’aide du théorème de Newton, l'expression

G+VZY où (V5,
et ayant égard à la formule
GHVi)= ar où (1 —V x) = — a

Effectivement l’on trouverait alors, 1° en supposant p de la
forme 4x + 1,

DES NOMBRES.

De ROTETE Fr Pt

1.2 1.2.3
2, en supposant p de la forme 4x + 3

4 #4p à

D — Pi Et) APE (2)
2? e ae Por nr

_ Ainsi, en particulier, en prenant

PO pe Po pu, ec.

on trouvera successivement

2 —=—(1 nd)
2 ——(1 + b— 10),
D — 1 —7— 01 + 35,

etc.

L'
_ peler et par laquelle on obtient la valeur de

| les deux expressions

S——(1—11—55+ 165 + 330— 462)

Une méthode semblable à celle que nous venons de rap-

_ peut servir à trouver généralement la relation qui existe entre

;, ou, ce qui revient au même, entre les restes de la division
_ de 27 par p, et de 2°" par q, p et q désignant deux
j ; 57.

452 THÉORIE

nombres premiers impairs. Effectivement , pour obtenir une
transformation de l'expression

er

il suflit d'élever à la puissance p l’une des racines carrées
imaginaires de + p. Or, d'après ce qui a été dit dans la
note I", si l’on désigne par 6 une racine primitive de l'é- 4

quation
(34) æ = 1,
alors, en posant
(35) CCE RS a +
on aura
= 4
(36) DNS 1 Nc

D'autre part, g étant un nombre premier impair, il résulte de
la formule (2) que l'équation (35) entraînera la suivante

(37) 707 — Où + 7° —, + Qu — qu + qQ,

qQ étant une fonction entière de 8, dans laquelle les coeffi-
cients numériques seront non-seulement des entiers, mais
encore des multiples de g; et comme, £ étant une racine
primitive de l'équation (6), on aura évidemment

G7 — 49e + 070 —. QU On = (BL 0 g —. + 8/7 — 9 VE

le double signe devant être réduit au signe +, ou au
signe —, selon que le nombre q sera équivalent, suivant
le module p, à une puissance paire ou impaire de #, c’est-à-

DES NOMBRES. 453

dire, suivant que l’on aura

fr o [=

il est clair que l'équation (37) pourra être réduite à
Er

(38) ra [] A + qQ.

Enfin ; comme

A9 — (0 =— 06 + 0 —. .. +00 pf hr

sera évidemment une fonction entière et symétrique, non-seu-
lement de
: 3
EP A LA oe
mais encore de
2
CM CAC APE LE

par conséquent une fonction entière et linéaire des deux
sommes

| EU MENT a

BOF +0 +:..+ 0,

.et même une fonction qui changera de signe lorsqu'on rem-
placera 8 par 8, par conséquent lorsqu'on remplacera la
première somme par la seconde ; on peut affirmer que A! sera
proportionnel à la différence de ces deux sommes, c’est-à-
dire à A, le coefficient numérique de A étant un nombre
entier. Donc, puisque, dans le second membre de l’é-
quation (38), le premier terme se réduit à + A, le second

terme
qQ
sera encore proportionnel à A, le coefficient numérique

454 THÉORIE
de A étant un nombre entier multiple de q. Cela posé, l'é-
quation (38) divisée par A donnera

(39) AT = [2] , (mod. g)

De cette dernière équation combinée avec la formule (36) on
tire

[£ #|= Mort T., (mod. q)

par conséquent

(4o) FE EE]

Telle est la loi de réciprocité qu'a trouvée M. Legendre et qui
sert de base à la théorie des résidus quadratiques. La dé-
monstration (*) que je viens d'en donner et que j'avais déjà
exposée dans le Bulletin de M. de Férussac, de septembre 1829,
est plus rigoureuse que celle qu'avait obtenue M. Legendre,
et plus courte que celles auxquelles M. Gauss était d’abord

parvenu.
Si le nombre £ est le produit de plusieurs facteurs a, b, c,...
l'équation

k— abc...

entraînera évidemment la suivante
CI=ÉI LCTA
Plone lp EI

(*) Dans la troisième édition de la Théorie des nombres, qui a paru
en 1830, M. Legendre présente cette démonstration, comme étant la plus
simple de toutes, et l'attribue à M. Jacobi, sans indiquer aucun ouvrage
où ce géomètre l'ait publiée, et dont la date soit antérieure au mois de

septembre 1820.

Es
©Ot
Q®r

DES NOMBRES.

En d'autres termes, on aura généralement
2

pe [e (9 (9.

On trouvera de même

On peut voir dans le Bulletin de M. Férussac, déjà cité,
comment les mêmes principes peuvent être appliqués à la
théorie des résidus cubiques, biquadratiques , etc.

NOTE V.

DÉTERMINATION DES FONCTIONS R,y,... ET DES COEFFICIENTS

QU'ELLES RENFERMENT.

Si, en désignant par p un nombre premier impair, par
6, x
des racines primitives des équations
L'=1, x =,
par £ une racine primitive de l’équivalence
x" = 1, (mod. p),
enfin par 2,4 des quantités entières, on pose

(1) On = 0 + rh ah GE +... pp,

456 THÉORIE
ilest clair que la condition

k=h, (mod.p— 1)
entraînera les formules

r'—"%7,) 0, —0),,

en vertu desquelles on pourra toujours, si l'on veut, réduire
l'exposant 2 d'une puissance entière, soit positive, soit né-
gative de +, ou l'indice À d’une expression de la forme 6,,
à l’un des nombres

0, 1,2, 030 Done

D'ailleurs, ainsi qu'on l'a prouvé, l’on trouvera, 1°, en sup-
posant XL divisible par p—1,
(2) ®, —=0,—=—1,
2°, en supposant k non divisible par p—1,
(3) 0,0, —(—1)p.
Donc, si l’on pose généralement

O,@x —= Ru O,44
ou, ce qui revient au même,

0,0,
Ou ” ;

(4) Rx ==

on aura, 1°,en supposant À ou k divisible par p—:
Ru —1,
>, en supposant À non divisible par p—1

(6) Ru —(—i)p;

DES NOMBRES.

=
er
1

et, comme on trouvera encore

__ @® 0,0,

RARES — F]
OMOEPE,

on en conclura, eu égard à la formule (3), et en supposant
h,k ainsi que À +4 non divisibles par p—1,

(7) R,: Ro — D.

Ajoutons que si +4 n’est pas divisible par p—1, l'on
aura [voir la formule (3) de la page 348],

(8) R=S(r"#),

le signe S s'étendant à toutes les valeurs de i comprises
dans la suite

DS MT EU
et les valeurs correspondantes de z,7 étant choisies de ma-
nière à vérifier la condition
(9) t+t@=1, (mod. p).

Concevons maintenant que, dans le second membre de la
formule (8), on réduise l’exposant de chaque puissance de +
à l’un des nombres

0,1,2,3,...p—2.

Ce second membre deviendra une fonction entière de + du
degré p— 2, et l'on aura identiquement

10 SH A SRE dCi AT ne
\ p ,

a,, 4,,4,,..-a,_, désignant des nombres entiers dont plu-
_ sieurs pourront Ss'évanouir, et dont la somme, égale au
T. XVII. 58

458 THÉORIE

nombre des valeurs de :, vérifiera la formule
(tr) 4, dd La 2.
Cela posé, l'équation (10) donnera

(12) Roi PAPE ASE CHA cie

D'ailleurs, si, dans l'équation (10), on remplace + par 7”,
on trouvera

(13)2, ST) ar asata. 20 ue ar,
. Done, si le produit

ml + k)=mh + mk
n'est pas divisible par p—1, l'équation (12) entraînera la
suivante L :
(14) Rond, HP FAT EU. Pa re
Si p—1 divisait le produit

m(h +),

alors on trouverait, 1° en supposant mh, mk non divi-.
sibles par p—1,

(15) Sue
par conséquent

(16) a, ar Her Che bia rt M f;

2° en supposant 7h et mk séparément divisibles par p—1,

(17) SG"#")=p—)2,

DES NOMBRES. 459

par conséquent
(18) a, +a,r" Hart" +... +'a ht p — 2.

Il est bon d'observer que, dans le premier membre de l'é-.
quation (18), les seules puissances de +, qui se trouveront
multipliées par des coefficients positifs et distincts de zéro,
seront les puissances qui offriront des exposants divisibles
par pP—1, ou, ce qui revient au même, celles qui se rédui-
- ront à l'unité. Donc le premier membre de la formule (18)se
réduira identiquement au premier membre de la formule (1 1).

Un moyen fort simple d'obtenir, pour des valeurs données
de t,ketk, les coefñcients

do A1 4,5... 4),

est de résoudre l'équation (9) par rapport à 7, et d'en tirer,
pour chaque valeur de z, la valeur correspondante de 7.

Concevons, par exemple, que l’on prenne p—#. Alors -
sera une racine primitive

L/—1 où —LV/—1

de l'équation

XÉ—= I ;
tandis que £ désignera une racine primitive de l’équivalence

af=1, (mod. 5).
On pourra donc prendre
CG

et, en effet, aux valeurs

05.142,09

de l'exposant :, correspondront des valeurs essentiellement

58.

460 THÉORIE
distinctes et non équivalentes
1,2,4, 8=3, (mod. 5)

de la puissance 2°. D'ailleurs, si l’on attribue successive-
‘“ Si s d
ment à z les valeurs

Ki, 24%
les valeurs correspondantes de .

1—2'=92/, (mod. À)
seront

1—2=4, 1—4%4=2, 1—8=1—3=3,(mod.5),
et par suite, on trouvera pour valeurs correspondantes de 7,
2110
Cela posé, l’on aura
S(r"#) — ik D eh SCOR

et de cette dernière formule, jointe aux équations (8) et (ro), |
on tirera

pour A, Mr AC ES,

Ro 255 F2r, 4 —0) a —0N a—1 ab}

DOUTE, 2 PEER,

Re be be tr, a—4) 42, a —0 4

pour k=3, k=—3, h+4k—6=)2, (mod. 4)

R:—028 + =: Fr 040, 2 Na AO

ÉICT-

Il serait facile d'exprimer les valeurs des constantes

RTE TRE VEN ET PONS

DES NOMBRES. 461
positives
CPR RC DEAN UE

comprises dans les formules (10) et (13), en fonction des
sommes de la forme

St) où S(rtim),

En effet, si, dans la formule (13), on prend successivement
pour 7» chacun des termes de la suite
D tro PS RTE TA

on en trera

a, +a, cd +...+a,, —=p —2,

dinars dr Men tn er (rt),
(19) a,+a,r <+a,r +... + annee A) = S(r 5) 5

eIC: 2

BL AE AT CAD AVES ONNEL durs — S(rE 2 CPL

Or, comme, en désignant par À une quantité entière po-
sitive ou négative, on aura généralement, si À est non di-
visible par p—1,

(20) TT ET. UE — 59,

et, si À est divisible par p— 17,

(21) ee US UT EE ©

on conclura des formules (19), or multipliées
par les facteurs

1m —2m —(p—2}m
ARTS ET Lise ete LT ,

puis, combinées entre elles par voie d’addition,

(22) (p—1)a, =
P D pr S (++) 47 S (09) SRE Pl mL S (tr 7) ;

462 THÉORIE

ou, ce qui revient au même

(23) (P—1a, =
pa er S(rnbt) ce SCD) +, + 77 S(e0) CH),

Ce n’est pas tout. Si, en attribuant à z£ et 7 deux valeurs
correspondantes, propres à vérifier la formule (9), on à
ik +jk=l, (mod.p — 1),
l désignant l’un des nombres
0, 15 3 ue DD,
on en conelura, non-seulement
HE — 2

mais aussi .
EE (modp):

Donc la formule (10) entraînera la suivante

(24) S(E“#)=a,+at+af +...+ a, 7, (mod. p),
et la formule (13) donnera pareïllement

(25) St") = a, + af" + af" +... +a, 0", (mod. p).

Si, dans cette dernière, on prend successivement pour 74
chacun des termes de la suite

on D 2180,
on en tirera

_a+a +a, +...+a,, =p —2,(mod.p)
ERA CE EN RU at us),
(26)< a Ha PORN TRE RE PSN
Last Ta) ent a, = (per CHE),

DES NOMBRES. 463
Or, comme, en désignant par À une quantité entière posi-
tive ou négative, on aura généralement, si À est non divi-

sible par p—1,

(27) 1+É+E+...+#7%—=0o, (mod.p),

et, si À est divisible par P—1,

(28) +++... +#%=p—r,(mod.p),

on conclura des formules (26), respectivement multipliées

par les facteurs
1 ; ÉTr Las pa Ce

8

puis, combinées entre elles par voie d’addition,

(29) (p— 1)a = £
P NO 5 (0) + E °" SECHE) DER Er LOST 2) GED) ‘
| (mod. p),
ou, ce qui revient au même,
Goja,—=2 —10 2" SH) RAS (EEE) yr S(7E-5) CHE)
(mod. p).

La quantité positive a,, devant être, en vertu de la
formule (11), inférieure à p—2, pourra être aisément
déterminée à l’aide de la formule (30), si l'on parvient à trou-
1 ver des quantités équivalentes, suivant le module p, à des
| | sommes de la forme

S(e#tir) ou S Cat

\

Or, concevons que, dans la somme
S(é#),

h et k se réduisent, comme on peut toujours le supposer,

HOT THÉORIE

à deux termes de la suite

1
, OT 23 Due D — 2
Alors, si l’on a

(31) Dr Pie ER

ce qui suppose kh—0o, k—o, on trouvera évidemment
(32) Sri) = p—,

par conséquent

(33) S(£##) = — 2, (mod: p);

et, si l'on suppose

(34) h+k=p—1,

on trouvera
Sr) = SG) à ANR 7 7,
ou, ce qui revient au même,
(35) Sr =,
par conséquent
SET) = S(40Y) = 5 + 8 + ...+ 877, (mod. p),

ou, ce qui revient au même,

(36) SE) = — 1, (mod. p).

Si 4+#k est renfermé entre les limites 0, p—1, en sorte
qu'on ait
(35) h+k>o et <p—1,

on trouvera, en vertu de la formule (9),

(38) S(tH)= S(£"(1—#)), (mod. p) ;

DES NOMBRES. 465
et puisque, pour 2—0o, l’on aura
TION
il est clair que, dans le second membre de la formule (38),
on pourra étendre la sommation, indiquée par le signe $S,

ou, comme dans le premier membre, aux seules valeurs de à
comprises dans la suite

1,2, 9; -:P—2;

ou bien encore à toutes les valeurs de z comprises dans la
suite

0,1,2,9,.:-p — 2.

D'ailleurs , dans cette dernière hypothèse, on aura, en vertu
des formules (27) et (37),

So SC) — 0,522) 0 (mod. p);
et par suite, après le développement de
(ie)
suivant la puissance ascendante de #, le second membre de
la formule (38) se composera d’une suite de termes dont

chacun sera équivalent à zéro, suivant le module p. Donc la
condition (37) entraînera l'équivalence -

(39) S(£"#)= 0, (mod. p).
Supposons enfin
(40) h+k> p—x.

Alors, A+ k. étant renfermé entre les limites p—1,
Rex VIT. 59

466 THÉORIE
2(p—1), si l'on pose
(41) h=(p—i)—h, k—=(p—1)—k#,

la somme

h+k=2(p—1)—(h + À)

sera renfermée entre les limites o,p—1, de manière à
vérifier la condition

(42) h+k>o et <p—1.
Alors aussi l’on aura
S(e"##) =S(#7 4775), (mod. p);
puis, en posant
(43) J—i=1, (mod. p),
ou, ce qui revient au même, 7=i+4, on trouvera
SES S(GT ED), (mod:p)

D'ailleurs, comme, en vertu de l’équivalence (43), la for-
mule (9) se réduit à

(44) t= 1 + (', (mod.p),
on trouvera encore
(45) S(e)=S(E (1 + 4), (mod. p).

Dans le second membre de la formule (45), la sommation in-
diquée par le signe S doit s'étendre aux diverses valeurs
de # qui permettent de vérifier la condition (44), par con-
séquent aux diverses valeurs de : comprises dans la suite

0, 1,2, 9... pP—2,

DES NOMBRES. 467

mais distinctes de la valeur

PIE
2;

——

?

pour laquelle il ne serait plus possible de vérifier la con-
dition (44), réduite à la forme inadmissible

— 1
et, comme pour 1: —? 7 > On aura É‘=—1, par con-
séquent
1+é6=0,(mod. p),

il en résulte que, dans le second membre de la formule (45),
la sommation indiquée par le signe S pourra être étendue
sans inconvénient à toutes les valeurs

OA) S, Deer

de l’exposant :. Or, dans cette dernière hypothèse, en dé-
veloppant
(1 + three

suivant les puissances ascendantes de {', puis, ayant égard
aux formules (27), (28) et (42), on tirera de l'équation (45)

sd RSR EE
Ro Pere Le (mod-p),

ou, ce qui revient au même,
(46) SE"; =—TI,,, (mod. p),
la valeur de IL, étant

L. _. r1.2.3...(h+k)
(47) HA ER NICHT |

468 THÉORIE

Il est bon d'observer que la formule (46), dans laquelle
h,k, et h,k sont liés entre eux par les équations (41), s’é-
tend au cas même où la sonme

LEE ES

redeviendrait inférieure à p — 1, et se trouverait comprise
entre les limites

0, p—I.
Alors, en effet, comme on aurait
(48) h+k>p—i:,

et par suite
1.2.3... (h + k)=o, (mod. p),

l'équivalence (47) donnerait évidemment
(49) [x 10;

et en conséquence la formule (46) se trouverait réduite à la
formule (39).

Observons encore que de la formule (46), jointe aux
équations (41), l'on tire immédiatement

(bo) STE TT 2, (mod. p)

Dans les formules qui précèdent, chacune des lettres À, 4
représente l’un des nombres
Ohio, Sep:

et par suite chacune des lettres h, k représente l’un des
nombres |

1, SUR IDE

DES NOMBRES. 46g
Pour rendre les notations facilement applicables au cas où
or k aber
représenteraient des quantités entières quelconques, soit
positives, soit négatives, nous désignerons généralement par
IL, x
ce que devient le rapport

1.2.3...(h+k)
(1.2...h)(1.2...k)

quand on y remplace les quantités entières
HANCENE
par les deux termes qui, dans la suite
1, 2, Si D, = Del
sont équivalentes à ces quantités, suivant le module p—1.
Cela posé, la formule (50), étendue à des valeurs entières

quelconques de X et de #, donnera généralement , si
hk+%k n'est pas divisible par p—1,

(51) St) = IT ,,, (mod. p).

Ajoutons que, si +4 devient divisible par p—1, la
formule (51) devra être remplacée, ou par la formule (33),
ou par la formule (36); savoir : par la formule (33), lors-
que p—1 divisera séparément À et #, et par la for-
mule (36), dans le cas contraire.

Concevons maintenant que, dans les formules (33), (36)
et (51), l'on remplace

h par mh, et k par mk,

470 THÉORIE

m étant un terme de la suite
dry a eu RS:

Alors on trouvera, 1° en supposant mA et mk séparément
divisibles par p—1t,

(52) S(E"AHN)= 2, (mod. p);
2", en supposant que p—1 divise la somme
m(h + k)= mh+mk

sans diviser ses deux parties 1h, mk,

(53) S("##H0)=— 1, (mod. p);
3°, en supposant le produit m(4+#) non divisible par p— r,
(54) SH) = IL, mu) (MOd. p).

En vertu de ces dernières équivalences, la formule (30)
donnera

(59) A ETF RP TPE, PT RUN
(mod. p),

ou, ce qui revient au même,

(b6) a,=2 + Maé + nl" + HI, ppp 0, (mod. P)

pourvu que, . désignant l’un quelconque des nombres entiers
LORS DES,

l'on ait soin de remplacer généralement le coefficient de 2”,
SavOIr :

Lx

1° par l'unité, quand p—1 divisera la somme des produits

DES NOMBRES. 471

th, k sans diviser chacun d'eux ; 2° par le nombre », quand
p—1 divisera séparément chacun de ces produits.
Lorsque, à l’aide de la formule (56), on aura calculé les

valeurs de
A AA TE MU 2

correspondantes à une valeur donnée de #, et à des valeurs
de X,# pour lesquelles la somme 4 + # n’est pas divisible
Par p— 1, alors, pour obtenir la valeur de

KR;

il suffira de recourir à l'équation (12).
Pour montrer une application de la formule (56), con-
sidérons en particulier le cas où l'on aurait
Alors, si l’on suppose, comme on peut le faire, é—2, la
formule (56) donnera
m2 + Ur 2+ M2 + My 2, (mod. 5).

Si d’ailleurs on prend

on trouvera
4=2+11,2 + 11,2" + 11,2”, (mod. 5);
ou plutôt
a,=2+1L,2" + 2" + 11,,27", (mod. 5)
en remplaçant , comme on doit le faire,
IL,
par l'unité, attendu que p— 1—4 divise la somme
2+2

472 THÉORIE

des indices placés ici au bas de la lettre I, sans diviser sé-
parément chacun d’eux. Gomme on aura d’ailleurs, en vertu

de la formule (47),

Xe 2
RER

et, en vertu de la formule (49),
I, — 0,
on trouvera définitivement, dans l'hypothèse admise,
a,=2 + 2"# + 2”, (mod. 5),
ou, ce qui revient au même
a,=2 + (—1)" + 2", (mod, 5),
puis on en conclura, 1° pour des valeurs paires de 7»,
a,=—2 + 2",
2° pour des valeurs impaires de m,

a,= 14277
et par suite

a,—0, ‘a,—0—0,%4—06—1,-a2—17—2, (mod 5}
Donc, puisque chacun des coefficients
à; a, ; 4, ; 4;

doit être nul ou positif, et ne peut surpasser p—2—3, on
aura nécessairement

d— 0,180 fa — 1,2 —2
Cela posé, la formule (12) donnera

R,,= 7? +27.
’

DES NOMBRES. 473
On se trouve donc ainsi ramené à l’une des formules que
nous avions déduites directement de la formule (8).
On pourrait remarquer que l’unité, par laquelle nous avons
remplacé le coefficient
1.2.3.4 6,

NE) (x.2) a

IT

est équivalente à ce coefficient suivant le module 5. Mais on
se tromperait si l’on supposait que, dans le cas où p—1
divise h+k sans diviser h et k, l’on a toujours

»

x =1, (mod. p).

Effectivement, en prenant comme ci-dessus p—5, on

trouvera

(ul ARE er LED © (mod. 5).

TT Loto)
En général, si p—1 divise h+k, sans diviser h et k,
alors h et k, étant réduits chacun à l’un des nombres
RON D 2,
fourniront une somme précisément égale à p—1; en sorte
qu'on aura

h+k—p—1=—1, (mod.p)
=—h—1, (mod. p),

et par suite
(k+1)(k+2)...(k+ h)=(—1) 1.2.3...h.
Or, on tire de cette dernière formule
Cp ED 2) EH) 1.2.8...(k+h)

een G.2...h)(r.2...h)
2 XVII. | 6o

474 THÉORIE
par conséquent ‘
(7) x =(—1), (mod. p);

et il résulte évidemment de l’équivalence (57) que, dans la
formule (56), on peut laisser à #”" pour coefficient l’ex-
pression

Mn

lors même que p—1 divise la somme 4h +.k, sans di-
viser «h et «k, pourvu que «h et :k offrent des valeurs
paires.

Une conséquence importante à laquelle on se trouve immé-
diatement conduit par la seule inspection des formules (8)

et (51), c'est que, dans le cas où la somme h+k n’est pas

divisible par p—1, l'expression
Lee

équivaut, au signe près, à ce que devient la fonction entière
de + représentée par
R,;,

quand on y remplace une racine primitive + de l'équation
OR
par une racine primitive £ de l’équivalence
æP'=1, (mod. p).

Cette dernière racine # doit d’ailleurs coïncider avec celle
que renferme la formule (9).

Lorsqu'on veut appliquer à des cas particuliers les for-
mules ci-dessus établies, toute la difficulté se réduit à
trouver, pour des valeurs de h et de k positives, mais

DES NOMBRES. 475

inférieures au module p, des quantités équivalentes aux
expressions de la forme

1.2.3...(h+k)
(Gants)?

x =
L2

c'est-à-dire aux coefficients numériques que renferme le dé-
veloppement de la puissance

: (1 + 0"

du binôme 1 +1. Le calcul direct de ces coefficients devient
assez pénible, lorsque le nombre # acquiert une valeur con-
sidérable. Mais alors même des quantités équivalentes à ces
coefficients, suivant le module p, peuvent être assez facilement
obtenues par l’une des méthodes que nous allons indiquer.

D'abord, si, en désignant par # une racine primitive de
l'équivalence

&=1, (mod.p),
on nomme ndices des nombres entiers
TOO ER er

les diverses valeurs de l’'exposant :, pour lesquelles la puis-
sance £' deviendra successivement équivalente à ces nom-
bres entiers suivant le module p, il est clair, d’une part,
que deux nombres seront équivalents, suivant le module p,
quand leurs indices seront ou égaux, ou équivalents sui-
want le module p—1, d'autre part que l'indice d’un
produit sera équivalent à la somme des indices de ses fac-
teurs , et l’indice d’un rapport à la différence des indices de
ses deux termes. Cela posé, si, en se bornant à considérer
des nombres entiers et des indices plus petits que la limite p,
on construit deux tables, qui offrent le nombre correspon-

60.

476 THÉORIE

dant à chaque indice, et l'indice correspondant à chaque
nombre, l'addition successive des indices placés à la suite
les uns des autres dans la seconde table, fournira les indices
des produits

T2 MNT a le 2 JT EC Le
et dès lors il deviendra facile de caleuler l'indice du rapport

1.2.3...(h+k)

ras

par conséquent une quantité qui soit équivalente à ce rapport,
suivant le module p. M. Jacobi ayant effectivement construit
les tables dont nous venons de parler, pour toute valeur
de p inférieure à 1000, il en résulte que, pour une sem-
blable valeur, on obtiendra sans peine un nombre équivalent
à IL, suivant le module p.

Il est bon d’observer qu’au lieu de réduire chaque indice
à l’un des nombres

0, 1250 2,
; JE A TE ER ne
on pourrait le réduire à l’une des quantités

Pa Pas PES PR
ee» À ET MA LRO OUE, RS, =

Supposons, pour fixer les idées,

PAT
Alors en prenant, comme on peut le faire, é—10, on re-
connaîtra qu'aux nombres

1 NS MS 6 7 D N 0 MO, LT,.127 LE DES

correspondent les indices

0, 10/11 0 NOTA EUD 12190152) 0 SMS

DES NOMBRES. 457

ou

oO, —6, —5, 4, 7 5, )/) —2; 6, I, —3, —1; —À, 3, 2; ë.
Or, les sommes formées par l'addition successive de ces in-
dices seront équivalentes, suivant le module 16, aux
quantités -

o, —6, 5, —7, o, 5, —2, —4, à, 3, o, —1, —5, —2, 0, 8.
Donc ces dernières quantités représenteront les indices des

produits de la forme
Obs o ele

pour les valeurs de h représentées par les nombres
22,9, 49:16, 8,0; 10-21 1,10.13 1/4, 15, 16.

Ainsi, en particulier, quatre de ces produits correspondront
à l’indice o, et seront en conséquence équivalents à l’unité,
suivant le module 17; tandis qu'un seul produit, ayant 8
pour indice, sera équivalent à 16, ou à —1, suivant ce
même module. Les quatre produits équivalents à +1 seront
ceux qu'on obtiendra en prenant pour h un des nombres
d'A LEE NOR LE
et se réduiront à

1006-2595/4.D;
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11, 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14:15,
tandis que le seul produit équivalent à —71, sera, confor-

mément à un théorème connu, le produit de tous les nom-
bres entiers positifs, inférieurs au module 17, savoir :

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.
11 sera maintenant facile de calculer les valeurs de
Il;

478 THÉORIE
correspondantes à la valeur 17 du module p, et à des valeurs
données de h,k. Ainsi, par exemple, en posant
RS
on trouvera pour indices des produits
1.2.9.4, 1:2.9.4.5:6.7.8
les quantités
FR — 4.
Donc l'indice du rapport

1.2.3.4.5.6.7.8

x — (1:2.3.4) (1.2.3.4)

sera
—4+7+7—=10=—6, (mod. 16),
et, en conséquence, ce rapport sera équivalent, suivant le
module 17, au nombre 2. Pareillement, si l'on prend
RE 2 0 MIT 0:
on trouvera, pour indices des produits

1230060400, Ra dit 07 Ds

les quantités
F2 6 ? 5 La ES 4.
Donc l'indice du rapport

12924-96278

MS (1) (Fac 4: 415.6)?

sera
—4+6—65—= — 3,
et en conséquence sera équivalent, suivant le module 17, au

nombre 11, ou, ce qui revient au même, à la quantité né-
gative —6.

DES NOMBRES. 459

Au reste, sans recourir aux tables qui fournissent, pour
chaque module, l'indice correspondant à un nombre, ou le
nombre correspondant à un indice donné, on pourrait, à
l’aide de simples additions et soustractions, obtenir faci-
lement des quantités équivalentes aux diverses valeurs
de IL,, c’est-à-dire, aux nombres figurés des divers ordres.
En effet, d’après les propriétés bien connues de ces nom-
_ bres, on peut les déduire par addition les uns des autres,
en formant ce qu'on appelle le triangle arithmétique de
Pascal. Il suffira donc, pour arriver au but que l’on se pro-
pose, de calculer quelques-uns des termes que doit ren-
fermer le triangle arithmétique, en réduisant chacun d’eux
à un nombre inférieur au module donné, ou à une quantité
dont la valeur numérique ne surpasse pas la moitié de ce
module. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Supposons les deux nombres h, k inférieurs au module p
ou même à p— 1. Il suit évidemment de la formule (47),
que les valeurs de

us xs Us

seront respectivement égales aux produits du rapport

1:2.3..(h Fk—1)
[G.2...(h—71)] [(t.2...(k— 71)?

par les trois nombres

—) — Enr
bk k’ h
Or, comme le premier de ces trois nombres est précisément la

somme des deux autres, nous devons en conclure que l’on
aura

(8) Da isx + Mis

480 THÉORIE

De plus, il est clair qu'on aura, en vertu de la formule (43),
non-seulement

(59) Di IL»;

mais encore
(60) EE OO KP:

Cela posé, imaginons une table, analogue à la table de
Pythagore, dans laquelle la première ligne verticale et Ja
première ligne horizontale renfermeront les valeurs de h,k
positives et inférieures à p ou même à p—t, c'est-
à-dire les nombres

nina, OR pDETAS

et concevons que, dans la case correspondante à des valeurs
données de h,k l’on place une quantité, non-seulement
équivalente à I1,,, suivant le module p, mais de plus ren-

DRE 2

fermée entre les limites nee Il résulte des: for-

mules (60) que, dans la table dont il s’agit, chaque terme de
la seconde ligne horizontale ou verticale sera équivalent au
terme correspondant de la première ligne augmenté de l'unité,
et de la formule (58) que, dans chacune des autres lignes hori-
zontales et verticales , un terme quelconque sera équivalent à
la somme des deux termes antérieur et supérieur, c’est-
à-dire, des deux termes qui le précèdent immédiatement,
l’un dans la même ligne horizontale, l’autre dans la même
ligne verticale. Or, ces remarques fournissent un moyen
très-simple de construire la table que nous venons d’ima-
giner, et qui, dans le cas où l’on suppose p — 17, se réduit
à la suivante.

DES NOMBRES. 4S8i

Quantites équivalentes aux nombres figurés suivant le module p — 13.

Dans la table précédente, on s’est dispensé d'écrire les
quantités auxquelles IL, devient équivalent , lorsque la
T. XVII. 6t

482 THÉORIE

somme h+k est renfermée entre les limites p, 2(p—1);
attendu que ces quantités, en vertu de la formule (49), se
réduisent toutes à zéro, comme celles qui correspondent au
cas où l’on à

h +k=p.

Quant à celles qui répondent au cas où l’on a
h+k=—p—1,

elles se réduisent alternativement , en vertu de la formule (57),
à +1 ouà —:1, selon que h est pair ou impair, et oc-
cupent les cases situées sur l’une des diagonales de la table.
Les cases situées sur l’autre diagonale renferment les quan-
tités

2,6,3,2,—3,6,—2,1

qui représentent les valeurs de
IL,

correspondantes aux valeurs
HS 20 Hu 6, 78

du nombre h; et, dans les cases symétriquement placées à
l'égard de cette autre diagonale, on trouve des quantités
deux à deux égales entre elles, conformément à l'équation (59).
Ajoutons que les quantités écrites dans la partie du tableau
comprise entre la première ligne horizontale, la première
ligne verticale et la première diagonale, sont encore, dans
chaque ligne horizontale ou verticale, égales deux à deux,
au signe près, à distances égales des extrémités de chaque
ligne. Or, c’est ce qu'il était facile de prévoir. Car si l'on
nomme

bike, |

DES NOMBRES. 483
trois quantités entières, non divisibles par p—1, et choi-
sies de manière à vérifier la formule
(61) h+k+]l=p —:1
ou même plus généralement, de manière à vérifier l’équi-
valence
(62) h+k+12=0,(mod.p—1),
on aura, en vertu de l'équation (3),

On — 0 =(—1) À -

et par suite
@:0%

re

no — —=(— DE sie

Or; cette dernière équation devant ii ainsi que la
formule (61) ou (62), lorsqu'on échange entre eux les nombres

bh,k,]l, .

on en conclura

0,0,6:
12

| (63) are Che (HR 2

On aura donc, dans l’hypothèse admise,
0 CR CR, —[ 0) Ry;
et, en remplaçant + par £, on trouvera
(65) (—1) un =(—1) y =(— 1) Mix, (mod. p).
On tirera d’ailleurs de la formule (65)

1 =(—1) x (—1) Ur, (mod.p),
jou, ce qui revient au même, |

(66) UFR PE (—1} Il,» (mod. P).
Gu.

484 THÉORIE ;

Il serait au reste facile de déduire directement la for-
mule (66) de l'équation (47), par un calcul semblable à celui
qui nous a conduits à la formule (57).

Les formules (49), (57), (58), (59), (60), (66), offrent le
moyen de simplifier la recherche des quantités équivalentes
à Iretila construction de la table qui les renferme ; et
d'abord, il résulte des formules (49), (57) qu'on pourra se
borner à calculer, dans cette table, les termes correspon-
dants à des valeurs de h,k, pour lesquelles on aura

(67) hb+k<p—1.

De plus, eu égard à la formule (59), on pourra supposer que
h est le plus petit des deux nombres h,k, lorsque ces
deux nombres deviennent inégaux ; et, en admettant cette
supposition, l’on tirera de la formule (67)

(68) h <=.
Ce n'est pas tout : en vertu de la formule (66), on pourra
se borner à calculer celles des quantités équivalentes à 1:
pour lesquelles on a

k=ou <p—1—h—Kk,

par conséquent

(69) = où < EE"
et de la condition
h=— ou < k,

combinée avec la formule (69), on tirera

(70) h= ou <=

On pourra donc, dans la table ci-dessus mentionnée, con-

DES NOMBRES.

-

485
server seulement la première ligne horizontale et la première

ligne verticale, avec les cases correspondantes aux valeurs
de h, comprises entre les limites

br

et aux valeurs de k, renfermées entre les limites

Po 2

Dai 2 2
Ainsi, en particulier, si l'on suppose p— 17, la table dont
il s’agit pourra être réduite à la suivante.

Quantités équivalentes aux nombres figurés suivant le module 17.

Pour construire cette dernière table, il suffit de placer dans

la première ligne verticale les valeurs de h inférieures à
«

PE

I
7-53.

486 THÉORIE

savoir

1, 2; 3, 4, 5,

et dans la première ligne horizontale, les valeurs de k
inférieures à

— 1
= —8,

savoir

1, 2, 3, 4, de 6, 7:

puis de remplir, pour chaque valeur de h, les cases corres-
pondantes aux valeurs de k comprises entre les limites

2

—1—À

h ? P r)
en opérant comme il suit.
Pour obtenir les termes

2, 3, 4, à, &} 7 8

qui devront composer la seconde ligne horizontale, on ajou-
tera l'unité aux termes correspondants de la première ligne.
De plus, comme des formules (58) et (59) on tire

(71) y = 211;

il est clair que, dans chacune des lignes horizontales qui
suivront la seconde, le premier terme conservé devra être
équivalent, suivant le module 17, au double du terme im-
médiatement supérieur, et chacun des autres termes con-
servés à la somme faite des deux termes placés en avant et
au-dessus de celui que l’on considère.

En opérant de cette manière, on trouvera pour termes de

é DES NOMBRES. 487
la troisième ligne horizontale, les quantités
62,3, —7=6+4, —2— nn D le 2 + 0.
—6=4 + 7, 2=—6+8;
pour termes de la quatrième ligne, les quantités
3=2{—7), 1—=3—92, 5—1 +4, —1—=5—6;
pour termes de la cinquième ligne, les quantités
2=2.1, 7—2+6, G—y— 1;
enfin, pour terme unique de la sixième ligne horizontale, la

quantité
— $=2.7, (mod. 15).

À la seule inspection de la table construite comme on vient
de le dire, on obtiendra immédiatement les quantités équi-
valentes à I,,, pour des valeurs de h etde k non situées
hors des limites

G2) h=r, h=EE; k=h, KP,

et l’on trouvera, par exemple, en supposant toujours p = 17,
1L,,=2, I,6=—6, (mod. 17).

Si les valeurs de h,k, n'étant plus situées entre les li-
mutes (72), étaient néanmoins des valeurs positives propres
à vérifier encore la condition (67), on devrait joindre à la
table construite les formules (59) et (66). On trouverait ainsi,
par exemple
Ts = I, = IL = 6,
U,,=—1,,=—1L,=—2, (mod. 17)

s

488 THÉORIE

Enfin, si les quantités h,k acquéraient des valeurs quel-
conques positives ou négatives, mais non divisibles par p—1,
on devrait d’abord les réduire, par l'addition ou la sous-
traction de p—1 ou de ses multiples, à des quantités po-
sitives, mais inférieures à p—1, puis, après cette réduction,
l’on aurait recours, soit à la formule (49), soit à la for-
mule (57), soit à la table construite, et aux formules (59),
(66), suivant que la somme h + k serait supérieure , égale ou
inférieure au nombre p —1.

Il est inutile de s'occuper du cas où l’une des quantités h,k,
et par suite l’une des quantités 2, deviendrait divisible
par p, attendu que, dans cette hypothèse, on n’a plus be-
soin de récourir à la formule (56) pour déterminer la valeur
de R,, qui, en vertu de l'équation (5), se réduit à —1.

Un moyen fort simple de prévenir et de reconnaître les
erreurs qui pourraient se glisser dans la construction de la
table ci-dessus mentionnée, consiste à introduire dans chaque
ligne horizontale un terme de plus. Effectivement, en vertu
de la formule (66), si l’on fait entrer un nouveau terme dans
une ligne horizontale correspondante à une valeur donnée
de k, ce nouveau terme devra être égal au terme précé-
dent, pris en signe contraire, ou à l’avant-dernier terme de
la même ligne, suivant que la valeur de À sera un nombre
impair ou un nombre pair. Donc, si au moment où l’on
parvient à l'extrémité d’une ligne horizontale, il arrivait
que la condition dont nous venons de parler ne füt pas rem-
plie, on devrait recommencer le calcul des termes compris
dans cette ligne. En opérant comme on vient de le dire, et
supposant, par exemple, #7 —17, on obtiendra, au lieu de

4

DES NOMBRES. 489

la table trouvée plus haut, celle que nous allons trans-
crire.

Quantités équivalentes aux nombres figurés suivant le module 137.

Si l'on supposait au contraire p—19, ou P—=29, on
obtiendrait les tableaux suivants.

Quantités équivalentes aux nombres figurés suivant le module 19.

4go THÉORIE

Quantités équivalentes aux nombres figurés suivant le module 29.

Lorsque, dans la formule (56), on substitue les quantités

équivalentes à
x » IL, 5,4 CES VAS 2}k 9
déterminées par l’une des méthodes que nous venons d’ex-
poser, on obtient une valeur de a, qui dépend évidemment
de la valeur attribuée à # Or, # désignant une des racines
primitives de l'équation
x"-"=1, (mod. p),

si l’on pose

. étant un nombre premier à p —1, {’ sera une autre ra-

DES NOMBRES. 491

cine primitive de la même équivalence ; et comme, dans 6,
le coefficient de

sera

mth
JR)

il est clair que, remplacer dans @,, £ par #, revient à y
“ par +”. Donc, substituer à la racine primi-
tive £ la racine primitive # =#', c'est, en d’autres termes,
transformer 6, en O%, par conséquent @, en O,, et

remplacer +

8,9
R= 29
hi
en
0,0,
Ru Te ne :
(AE)

Aïnsi, par exemple, comme, en prenant p—5 et

PA
on trouve

R,=r+92r, R;;—7 + 27,
si l’on prend au contraire

Mn (med: 5);
on trouvera

R,,= 7: + 27 — 7 + 27, Rs +27 — 7 + 27.
Donc, substituer à la racine primitive 2 la racine primi-
tive 3=—2, (mod.5), ce sera transformer

RER VE.

et réciproquement

Ben RP—=R,.

,

492 THÉORIE

Les diverses formules obtenues dans cette note se rappor-
tent au cas où la valeur de ©, est donnée par l'équation (1).
Si, en désignant par 7 un diviseur de p—1, et posant

(73) P—1=n6,

on nommait
es T

des racines primitives des formules
a jet M =} (mod p},
on pourrait prendre
e—="*", r=t, (mod. p).
Alors, en remplaçant

h par wh, k par wk,

puis écrivant, pour abréger,

@, au lieu de 6,,,
R,, au heu de R..,
I1,, au lieu de IL, ;

on obtiendrait, à la place des formules trouvées dans cette
note, des formules analogues obtenues dans le Mémoire.
Ainsi, en particulier, la valeur de ©, serait généralement
fournie, non plus par l'équation (1), mais par la suivante

(74) 0,—=8 + p* 0" + per +... + Pl dE
et l’on aurait, 1°, en supposant divisible par »,

(75) 9,=0,— —1;

DES NOMBRES. 495

2°, en supposant À non divisible par 7
(76) 0,0_, —=(—1)"p.
De plus, en posant toujours

O0 = Roui+e;
ou, ce qui revient au même,
(77) Ru,
on trouverait, 1° pour des valeurs de À ou de # divisibles
par n,
(78) Ru 1;,
2° pour des valeurs de } non divisibles par n,
(79) Ru = —(—1)p;

3° pour des valeurs de k, de Æ etde k+%X, non divi-
sibles par 2,

(80) RiR_ 5,1 —=p.
Ajoutons que, si À + * n'est pas divisible par 2, l’on aura
(8 1) Ris = S(p°*#7) ,

le signe S s'étendant à toutes les valeurs de z comprises
dans la suite
1, 2, 3,...p—92,

et les valeurs correspondantes de 7,7 étant choisies de ma-

nière à vérifier la condition (9), c’est-à-dire la formule

É+b=t, (mod. P).

494 THÉORIE

Concevons maintenant que, dans le second membre de -
la formule (81), on réduise l’exposant de chaque puissance
de ? à l’un des nombres

(OA EME or te

Ce second membre deviendra une fonction entière de +, du
degré r—1; et l’on aura identiquement

(82) S(p*F) = a, + a,9 + ap +... + a" 'p,,,

a,,,,4,,...4,, désignant des nombres entiers, dont plu-
sieurs pourront s'évanouir, et dont la somme , égale au nom-
bre des valeurs de z, vérifiera la formule

(83) , a, +a Ha, f... Ha. =p— 2.
Cela posé, l'équation (81) donnera
(84) Ra # Ap + ap +...+ a, ,p" 7".

Concevons d’ailleurs que, pour se conformer aux conventions
ci-dessus adoptées, l’on remplace

h par &h et k par &k,

dans le second membre de la formule (47). Cette formule,
réduite à

se n,,— 123%"-f0th-#1)]

(1.2...@h)(1.2..:©k)?

fournira la valeur de I1,,, dans le cas où les quantités h,k
se réduiront à deux termes de la suite

529,194) 29H85

et, dans le cas contraire, I,, représentera ce que devient

DES NOMBRES, 495
le rapport
1.2.3... ,[G{h + k)]
(1.2...5%h)(1.2...&k)
‘quand on y remplace les quantités entières h,k par les
deux termes de la suite

ÉTMS NOR

L

qui sont équivalents à ces mêmes quantités, suivant le mo-
dule ». D'autre part, à l’aide de raisonnemenñts sémblables
à ceux par lesquels nous avons établi les formules (19) et (26),
on prouvera que les valeurs de

ANA A ed,

renfermées dans les équations (82) et (84), vérifient non-seu--
lement les formules

a +4 <+a, ET RTE DIE not =p—2,
A Hap +ap +...+a pp | —S(p# 01),
(86) a,+ap +apt +..:4+a, 607 S(QtiH),
etc...
2, + ap"? + a, pt1)+ LR dl S(pP CHE),
mais encore les suivantes
a,+a +, +... +4, =p—2, (mod.p),
a,+ar +ar +...+a, 7" =S(r"#),
(87) a +a;r +a,rt +...+a,,r 0772 5S(r0#0),
etc...
a,+ ar" "+ a rt04... + a, = S (9 HN),
et de ces dérnières, respectivement multipliées par les facteurs

1 re HER ÿ PEN TE

196 THÉORIE

puis, combinées entre elles par voie d’addition, l’on conelura

(88) na, =

p—5+r "S(rt) + re Sr) + 76e (rt CEE),
(mod. p).

De plus, si l’on remplace L par wh et Æ et &k dans les
premiers membres des formules (52), (53), (54), on tirera
de ces formules 1°, en supposant mA et nk séparément di-
visibles par 7,

(89) S(r"(##/9)= — 2, (mod. p);
2° en supposant que » divise la somme
m(h + k)—= mh + mk,

sans diviser ses deux parties mh, mk,

(90) S(r"%##9) = — 1, (mod. P);
3° en supposent le produit 7”#( + Æ#) non divisible par x
(g1) Sr) = IT, (mod. p),

attendu que lon devra, en vertu des conventions admises,
écrire simplement Hymne AU lieu de H,simsr Donc la for-
mule (88) donnera

(92) —na,=2+1IL 7" + TL pepe

c ; , (mod. p),
ou , ce qui revient au même
(93) — 1NA,—=92 + [7 + 1H EE ren En LC Ep L
(mod. p),

pourvu que, : désignant l’un quelconque des nombres entiers

122 3,...R—1;,

DES NOMBRES. 497
l'on ait soin de remplacer généralement le coefficient de #°”,
Savoir :

. TL 3,4 ?

1° par l'unité, quand x divisera la somme des produits
:h,.k sans diviser chacun d'eux ; 2° par le nombre 2 quand
_x divisera séparément chacun de ces produits. Enfin, comme
on tire de l'équation (73)

n&=— 1, (mod. p),

_ilest clair qu'en multipliant par & les deux membres de la
formulé (93), on la réduira immédiatement à celle-ci

(94) a,=(2 + Ti + na ++ Moy ")S, (mod. p).

Pour appliquer à des cas particuliers la formule (94), on
devra d’abord rechercher des quantités équivalentes, suivant
le module p, aux nombres figurés qui représenteront les di-

_verses valeurs de f,,. On-yÿ parviendra sans peine à l’aide
des méthodes précédemment exposées, en commençant par
réduire chacune des quantités h, k à un terme de la suite

DE PO ee
Après cette réduction, si l’on a

h+k>7»,
ou
d h+k—n,

on en conelura , dans le premier cas ,
(95) Thx =0, (mod. p),
et, dans le second cas,

(96) Tax=(—1)*, (mod. p).

T. XVIF. 63

498 © THÉORIE

Si l’on a, au contraire,

h+k<»,
on pourra, eu égard aux deux formules,
(97) Les = Tir
et
(98) T8 =(—1)"1l,, (mod. p),

ramener la recherche d’une quantité qui soit équivalente à
I,x Suivant le module p, au cas particulier dans lequel h,k
représenteraient deux nombres non situés hors des limites

n. ME __ _fR—h
(99) ha à h=;; k=hbk=

D'ailleurs, h,k étant deux nombres de cette espèce, le
terme équivalent à IL,,, dans la table que nous avons appris
à construire, sera celui que renfermeront la ligne horizon-
tale, dont le premier terme est &h, et la ligne verticale,
dont le premier terme est &k.

Concevons, pour fixer les idées, que l’on prenne

PURE

On aura

ñn 4

et par suite le terme équivalent à II,,, dans la première
table de la page 489, sera celui que renferment les lignes
horizontale et verticale, dont les premiers termes se rédui-
sent au nombre &—#4. On aura donc

— 1 16
SR 5,

I,,=2, (mod. 17).

DES NOMBRES. . . 499
Si, en supposant toujours P—=17, on prenait
RnB;
on trouverait

16
Le rs 2;

et, par suite, le terme équivalent à Il,, dans la table dont il
s’agit, serait celui que renferment les lignes horizontale et
verticale dont les premiers termes se réduisent aux nombres
D —2,0100— 0.

On aurait donc alors

IL,3=—6, (mod. 17).

Soit encore

P=29, n—7.

On trouvera

et le tableau de la page 490, joint à la formule (98), donnera

I, =12,. IL, =—6, IB,; = ne (mod. 29).
… On aura d’ailleurs
[1,,=0, 1b:=0, I,=0.
% rés z i : à . ae: 7 à
_ Enfin, si, en nommant & une racine primitive de l’équation
E LES ;
_ l’on pose
6
R,,=a, + ap + ap + a3p° + asp" + ap° + &p,

1 la formule (94), jointe à celles que nous venons d'obtenir,

65.

500 THÉORIE
donnera
a,= 4 (2 + 127 = 6r® — 7r*), (mod. p),'
r étant une racine primitive de l’équivalence
; æ7=1, (mod. 29),
D'autre part, -
t— 10

étant une racine primitive de l’équivalence

= 1, (mod. 29)
on pourra prendre

rte 6, (mod 29);
ce qui réduira la valeur trouvée de A» à
a,= 4(2 + 12(— 5)" — 6.5" —7(— 5}"), (mod. p).

Si, dans cette dernière formule, on attribue successivement à
m les valeurs

0, 1, 2; 3, 4 5, 6,

on trouvera
a,=a,=a;=4, a,=0, a,=a,=6, a,=3, (mod. 29);
et par suite, puisque chacun des coefficients
do dy ds A3 A5 A5) A6

doit être nul ou positif, mais inférieur au module 29, on
aura

a, —a4—a;—=4, a=0, a,—a,—=6, aà—3
R,,= 36° + 41 + pt + p°) + 6 (p° + p°).

Si maintenant on substitue à ? l’une des puissances

p°) p’, pt, D p

DES NOMBRES. 501
on trouvera immédiatement

R,, = 39 +4(1+0 + p°) + 6(p° + p°),

R;; — 3p° + QG 3= p° FE p) + G(L° + p*)

Ris = 30 + AG + p + p°) + 6(p + pf),

Rs = 36° + 40 + p° + pf) + 6( + bp),

Ras 3 + Gi + 6 + à) + 6° + pi
Si, en prenant toujours

? . P—= 29, T— 7;
on supposait

se 3
R,,—=a, + ap + a,p° + a3p° + ajpf + a5p° + ap°,
alors de la formule (94), combinée avec les suivantes,

H,,=2, IL4,=ll,=2, I =, =I,,=2,
IlL:,ç=0, TE, 0 = 5,3 = O, TL, =U5=0,
on tirerait |
Or ET 7"), {mod 29),
a,=8.4 =32=3, (mod. 29)

TR;
puis, en prenant r—— 5, on trouverait

a —a,—a4—6, a,—a;—a—),
et l’on aurait par suite

RS + 6(e + 9 + p°) + 2(6° + p° + pŸ).
Comme on aura d’ailleurs
PER EP Ep Ep — Tr,

si l’on pose, pour abréger,

pH + p—p—p —p—A,

5o2 THÉORIE
on trouvera encore

PE 1+A
; 3 RU Re ER 0

2 ('E 2SS
ce a AN FR

et par suite la valeur de R,, deviendra
RE —='—]1 +924.

En remplaçant successivement dans cette dernière formule
(9
ar chacune des puissances
P

2 3 4 5 6
GENERIC
on en tirera

R —RyRi =] + 2A, BR, Re; = 1 — 94,

1,2

ou, ce qui revient au même,
Ro Re, NE =D

Nous remarquerons, en terminant cette note, que, dans le
cas où l’on suppose la valeur de 6, déterminée, non par
l'équation (1), mais par l'équation (74), la formule (63) doit
être, eu égard aux notations adoptées dans la seconde hypo-
thèse, remplacée par cette autre formule

9:00:

EU

(= 1)" Riy = (— TJS Rs =(— 1)" Riw

qui, pour des valeurs paires du nombre &, se réduit simple-

ment à
[ORONCN
P

= R,; — Ris — Ris.

On doit d’ailleurs, dans ces deux dernières formules, prendre
pour

h, k,1

DES NOMBRES. 503

trois quantités entières, non divisibles par nr, et choisies de
manière à vérifier non plus la condition (62), mais la sui-
vante

h+k+1=o, (mod. »).

Si, pour fixer les idées, on suppose 2 —7, on pourra
prendre

nu al 4

ou bien | L

RS KES. 16,

attendu qu'on aura, dans le premier cas
q ;

b+k RE 1— 7
et dans le second

h+k+l=14=32—7,
D'ailleurs, le nombre x — 7 étant impair, le nombre
La) —12— Ps
7 2!
devra être pair ainsi que p — 1. Donc, en supposant 7 —7,
on trouvera

|: 8.6.8,
P

ce qui s'accorde avec les formules déjà obtenues. Comme on
aura d’ailleurs, dans la même supposition, non-seulement

- : 0:0:05
—= Li = hi R,., A À —= Rs —= R;; —= Rss;

mais encore

504 THÉORIE
on en conclura
Res Re Re = 9,0,0, PR

Or, il sera facile de vérifier cette dernière formule, en pre-
nant p —29. Alors en effet , en vertu de la formule

PE PRO pie il

on pourra réduire les valeurs précédemment calculées de

R,,, R,,, R,, à celles qui suivent

R,,= 2(p° + p°)— (6 + 4p), R, = (ef + 9°) — (6° + 4p°),
R,, = 2(0 ae e) Fr (C di 4);
et l’on aura par suite
R,R, Ris — 25 + 62(6 + 6° + pt) — 54(e + 9° + p°)

— — 29 + 58A
= 29R,..

NOTE VI.

SUR LA SOMME DES RACINES PRIMITIVES D'UNE ÉQUATION BINÔME,
ET SUR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES DE CES RACINES.

m et n désignant deux quantités entières, et leur plus
grand commun diviseur numérique, on peut toujours, comme

DES NOMBRES. 505

l’on sait, trouver deux autres quantités entières 4, v, propres
à vérifier la formule

mu — NV — ©.
Donc toute racine commune des deux équations binômes
TD = re
et par conséquent des suivantes

4 à FT, L"— 1]

_vérifiera encore l'équation binôme
_ puisqu’en supposant

on en conclura :

x“

x"

Si d’ailleurs, » étant positif, on a pris pour x une racine
primitive de l'équation

LD =;

+

ou, en d’autres termes, si x’ est la plus petite puissance po-
sitive de x qui se réduise à l'unité, ne pourra différer de 7;
_ et par conséquent m» sera divisible par 72, en sorte qu'on
aura ?

m=o, (mod. n).

Cela posé, 7 étant un nombre entier quelconque, nom-
. mons & une racine primitive de l'équation binôme
m1

@) ar,
T. XVII. 64

506 THÉORIE

et
AS ue

les entiers inférieurs à 7, mais premiers à ». D'après ce
qu'on vient de dire, ? ne pourra représenter une valeur de
æ, propre à vérifier une équation de la forme

mh

BV 1;

que dans le cas où mh, et par conséquent 77 sera divisible
par ». Or, la plus petite valeur positive de »# qui remplisse
cette condition est m—n. Donc

nh

sera la plus petite puissance de ;! qui se réduise à l'unité.
Donc
h

k l
£ , £ , Ps: ..
seront autant de racines primitives de l'équation (1). Ces
racines seront d’ailleurs distinctes les unes des autres. Car si.
l'on avait

PRE Ie
on en conclurait
p_l—1, et À —h=o,(mod.n),
ou, ce qui revient au même
t=h, (mod. n),
et par conséquent
RU

h,k devant être tous deux positifs et inférieurs à 2. Ajoutons
que les seules racines primitives de l'équation (1) seront les
puissances entières de ?, dont les exposants, premiers à »,

DES NOMBRES. boy

- pourront être réduits, par l'addition ou la soustraction de
ñ ou d’un multiple de 7, à l’un des nombres

HN

En effet, si m représente, au signe près, un entier qui ne
soit pas premier à », alors, w étant le plus commun divi-
seur de m et de », le produit

nr

sera le plus petit multiple de m, qui devienne divisible par »;
et par suite

sera la plus petite puissance positive de ,” qui se réduise à

l'unité. Donc alors &" représentera une racine primitive, non
g ;

. plus de l'équation (1), mais de la suivante

b (2) x°

Si m devient premier à #7, on pourra en dire autant des :

produits

== ji

mh,mk, ml,...

Donc alors
pus ml mk ml

P 50 »P »--+

7

seront encore des racines primitives de l'équation (1). D'ail-

- leurs ces racines seront encore distinctes les unes des autres.

. Car on ne pourrait supposer x

sans en conclure

UN 1, m(k —h)=0o, (mod. 7),

64.

508 THÉORIE

par conséquent

k—h=o, k=h,(mod.n),
et

Ê= j;

h, k devant être tous deux inférieurs à 7. Donc, si » devient
premier à », les diverses racines primitives de l’équation (1)
pourront être représentées, soit par les termes de la suite

k k l
Pr Pb...
soit par les termes de la suite

mh mk ml
p » Ê » P pe.

qui coincideront avec les termes de la première, rangés dans
un ordre différent.

Si, au contraire, » et x n'étant pas premiers entre eux,
w désigne leur plus grand commun diviseur, alors ceux des
termes de la suite

ps en pra
qui resteront distincts les uns des autres, représenteront les
diverses racines primitives de l'équation (2).

Supposons à présent que le nombre » soit décomposé en
deux facteurs )

ie

premiers entre eux , et nommons

des racines primitives des deux équations

(3) BEM; (4) DE) D

DES NOMBRES. 509
Les puissances
s (4 LE
et par suite leur produit
Ernie (EME
se réduiront évidemment à l'unité, si » est divisible simul-
tanément par « et par y, Ou, ce qui revient au même, par le
_ produit
PL.
Donc on vérifiera l'équation (1) en posant
L— n.
1 y a plus : si » est choisi de manière à vérifier la condition
(En) = 1, Ne
on en conclura
(en ST e-LE

par conséquent

my=0, (mod. ;), m=0, (mod. });
et
(En) , Et,
par conséquent

my= 0, (mod.o), ess , (mod. +).

Donc, pour que la puissance r# du produit #1 se réduise à
l'unité, il sera nécessaire que m» soit divisible à la fois par }
et par ©, ou, en d’autres termes, que » soit un multiple de »;
et, comme m—n sera la plus petite valeur positive de "»
pour laquelle cette condition soit remplie, nous devons con-
clure que le produit £n de deux racines primitives, propres

510 THÉORIE

à vérifier les équations (3) et (4), sera une racine primitive de
l'équation (1).

Enfin chaque racine primitive ? de l'équation (1) ne pourra
être formée que d’une seule manière par la multiplication de
deux racines primitives propres à vérifier les équations (3)
et (4). En effet, concevons que

désignent encore deux racines primitives de ces équations.
Si l’on a:

En:
on en conclura

(En = (En) m1,

OL

et, comme on aura d'autre part

par conséquent

par conséquent

: . ñ" A .
il est clair que le rapport devra être une racine commune

des équations (2) et (3). Or, +7 étant par hypothèse premiers
entre eux, leur plus grand commun diviseur * sera l'unité.
Donc la racine commune dont il s’agit sera la racine unique
de l'équation

et l’on aura

DES ; NOMBRES. DT1

On trouvera de même £ —£. Doneles produits.

En ;fNEn :

A # A ,
ne pourront être égaux entre eux que dans le cas où l’on
aura :

CE in Tr.

En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante.

Premier théorème. Si le nombre entier # est le produit
de deux facteurs 9,7 premiers entre eux, on obtiendra
les diverses racines primitives de l'équation

TRE

et on les obtiendra chacune d’une seule manière, en multi-
pliant successivement les diverses racines primitives de l’é-
quation

TL — 1

par chacune des racines primitives de l'équation

XI — 1.

Le théorème que nous venons d’énoncer, entraîne évi-
demment ceux qui suivent.

Deuxième théorème. Le nombre entier » étant le produit
des deux facteurs ©,4, premiers entre eux, désignons par

P> P,> Pur etc.,

les diverses racines primitives de l'équation

n

HET
puis nommons

LÀ es 0e et 1, A,5 jose

512 THÉORIE

les diverses racines primitives des équations

hit AN a = NS

on aura
(3) (OO EP ER (ÉCRIÉE CPE 2-0) (nm, En, Eee

Troisième théorème. Le nombre entier x étant le produit
de deux facteurs 9,7 premiers entre eux, si l’on désigne

par
N, ®, x,

le nombre des racines primitives successivement calculé par
chacune des trois équations

on aura
(6) N=ox.

Comme ces trois théorèmes sont évidemment applicables,
non-seulement au nombre #, mais encore aux nombres @,y,
facteurs de 7, ou même aux facteurs de +, lorsqu'il en
existe,... et ainsi de suite; il est clair qu'on pourra énoncer
encore les théorèmes suivants.

Quatrième théorème. Si le nombre entier x est le pro-
duit de plusieurs facteurs |

Mo 51p gen

premiers entre eux, on obtiendra les diverses racines pri-
mitives de l'équation

(1) 6 LT

et on les obtiendra chacune d’une seule manière, en cher-

DES NOMBRES. 513
chant d'abord les diverses racines primitives des équations
auxiliaires
(7) LAN, LIN I M eICEE

et formant tous les produits, qui ont chacun pour facteurs,
1° l'une des racines primitives de l'équation x?— 1, 2° l’une
des racines primitives de l'équation x:—1, 3° l’une des
racines primitives de l'équation x+= 1, etc...
Cinquième théorème. Le nombre entier x étant le pro-
duit de plusieurs facteurs
RU to VER -.

premiers entre eux , désignons par
PAP MORE
les diverses racines primitives de l'équation binôme

Z'— 1,
et soient respectivement

Ë, ce Pre te y 9 po ees ie Ce PRE
les diverses racines primitives des équations binômes
LES SN NS ee

La somme des racines primitives de la première équation
sera le produit des sommes séparément formées avec les ra-
cines primitives de chacune des autres ; en sorte qu’on aura

(Boo tp, +++, +.) (atn, tn, +) ht)

et par suite, si l'on nomme s la somme des racines primi-
tives de l'équation (1), l'on aura

(9) s—(E+E+E, +.) (ntntn, +) (CHU).
; -T. XVII. 65

514 THÉORIE
Sixième théorème. Le nombre entier »# étant le produit
de plusieurs facteurs
ie pole

premiers entre eux, désignons par

ND Xe
le nombre des racines primitives successivement calculé pour
chacune des équations

D TT EN TT
On aura

(10) N—œxw...

Soient maintenant

U (4
Vi Va Vooeo

les facteurs premiers de », dont l’un pourra se réduire à 2.
Le nombre nr sera de la forme

a sb Me

(11) H—=VNVNYN ...

a, b, c,... désignant des exposants entiers ; et, si l’on veut
décomposer 7 en facteurs premiers entre eux, on pourra
prendre pour ces facteurs les quantités

a 1b He
Vs Vire V geo

dont chacune est une puissance entière d’un membre premier.
Cela posé, les théorèmes que nous venons d'établir, fourni-
ront le moyen d'obtenir facilement, dans tous les cas, la
somme

DES NOMBRES. 515

des racines primitives de l'équation (1) et le nombre
N

de ces racines primitives. C’est ce que nous allons faire voir.
Si d’abord on suppose le nombre » égal à 2, l'équation (1),
réduite à la forme
LÈ— 4,

offrira une seule racine primitive

e_—— I;
et par suite on aura
S—— 1, N— r.

Si » est un nombre premier impair, les racines primitives
de l'équation
2'=I |‘

seront les puissances entières de & correspondantes à des
exposants positifs, mais inférieurs à #2, savoir

Ps P° p°se OH
On aura donc

s—p+p +... + po EEE

ou, ce qui revient au même,

et de plus
N—nR— 1.

_ Si » est une puissance de 2, les racines primitives de
_ l'équation |
ts L'— I

65.

516 THÉORIE

seront les puissances entières de & correspondantes à des
exposants impairs et inférieurs à n,. savoir

P p Die ia D .
On aura donc

RS
en)

sx 3 Mr NT
=p+p +...+p — P—1

ou, ce qui revient au même,
S — O0,
et de plus
LA
N—

=
On peut encore observer que dans ce cas on a

= me
2 2 h.
Pi ant

d'ou il résulte que les diverses racines primitives seront, deux
à deux, égales au signe près, mais affectées de signes con-
traires. Leur somme sera donc nulle, comme on l’a trouvé.

Supposons à présent que 7 soit une puissance d'un nom-
bre premier impair v; en sorte qu'on ait

n —Y".
LI

Alors, pour obtenir les racines primitives de l'équation

n
TN)

il faudra, entre toutes les racines représentées par les termes
de la suite

LES :

1, p» P° se pu 7,

choisir celles dans lesquelles l’exposant de 4 est premier à »,
et non divisible par v, en laissant de côté celles où l’exposant

DES NOMBRES. 517:
est multiple de », savoir

=

p° P' gp" Ed g" ;
ou, ce qui revient au même, en laissant de côté les racines
non primitives
| Os à

ON n 7
Or, ces dernières, dont le nombre est = n'étant autre chose

1 ps Poe. -p

que les diverses racines de l'équation

Œ' —=1I,

leur somme totale sera nulle, aussi bien que la somme des
racines de l'équation (r). Donc la différence de ces deux
sommes, ou la somme s des racines primitives, s'évanouira
elle-même ; et l’on aura d’une part

s—0,
d'autre part
N—n— “

ou, ce qui revient au même,

Mn = (=)

En résumé, si A» est, ou un nombre premier v, pair ou
impair, ou une puissance ÿ d’un tel nombre, on trouvera
toujours ,

(12) N=n(1—°),
et l’on aura de plus

(13) : Sir

518 THÉORIE

ou
(14) S=210}

suivant qu'il s'agira de la première puissance ou d’une puis-
sance supérieure à la première; ce que l’on pourra démontrer
dans tous les cas à l’aide des raisonnements dont nous avons
fait usage, lorsque 7» était une puissance d’un nombre
premier impair.

Passons maintenant au cas où, x étant un nombre quel-
conque, sa valeur est donnée par la formüle (11). Alors le
nombre N des racines primitives de l'équation (r), et la
somme s de ces racines se déduiront immédiatement des
formules (10) et (12), ou des formules (9), (13) et (14). En
effet, pour décomposer 7, dans ce cas, en facteurs

Pr XL» ÿ,.

premiers entre eux, il suffira de prendre

tr RS EN cs nu
P—V, NV, dv...

Cela posé, on aura, dans la formule (10),

7 I ÿ. I le I
1 (i—;), x=w"(1—}), Y—=v (5), .

et par suite cette formule donnera

(15) IEEE (—5) G—i)( y

— Von ai .(— 1) (v— 1) (v"— 12

1, ce qui revient au même,

(16) N=n(1—;) Gr (—2).…

DES NOMBRES. 519

De plus, en vertu de la-formule (9), la valeur de s, cor-
respondante à l'équation (1), sera le produit des valeurs
de s correspondantes aux équations

CE Es nee ae pe bo © 1 y

et dont chacune se réduira simplement à —1 ou à zéro,
suivant que le nombre a ou b ou c... sera égal ou su-
périeur à l'unité. Par suite, si r est un nombre composé,
pair ou impair, qui renferme deux ou plusieurs facteurs
égaux entre eux, on aura toujours

(17) 0.

Mais, si 7 est un nombre premier, ou un nombre composé
dont les facteurs premiers v,v,v'... soient inégaux, en
sorte qu’on ait

(18) RNA ds Ù
alors on trouvera

(19) s——+u,
savoir

(20) S——1,

quand les facteurs premiers v, v',v’,... seront en nombre
impair, et -

(21) Se

quand ces facteurs premiers seront en nombre pair.

Ainsi, en particulier, la somme des racines primitives
sera —1 pour chacune des équations

ue y GERS 5 = aps
I, LI, L'—I, L—I, %L°—I, Z‘—I, etc,

520 THÉORIE

zéro pour chacune des équations
DE, = AND Lo Did LE

et +1 pour chacune des équations

6 10

aié M r t l

Soit maintenant
fe)

une fonction entière d’une racine primitive + de l’équa-
tion (1). On pourra toujours, dans cette fonction, réduire
l'exposant de chaque puissance de +, à un nombre entier
plus petit que », et poser en conséquence

22) fp}= a + Are + ap +... + a, pt},
e e + ap e

a,, 4,, 4,,..a,_,, désignant des coefficients indépendants de à.
Supposons d’ailleurs que, dans la fonction f(+), les différents
termes se transforment les uns dans les autres, quand on y
remplace la racine primitive $ par une autre racine pri-
mitive @”. Alors f(+) sera ce qu'on peut nommer une fonc-
tion symétrique des racines primitives de l’équation (1), ou,
ce qui revient au même, une fonction symétrique des puis-
sances

h
P ; » Ps...

h,k, 1... étant les entiers inférieurs à 7 et premiers à ».
Or, en écrivant successivement à la place de ; chacune des
racines primitives

h l

1 k
Pr Pr Por.

on reconnaîtra que, dans f{+), ceux des termes de chacune

[SA

DES NOMBRES. 21

des suites
h k u
P) po Py ee
2h 2k 2l
P , £ , p pu.

3h 34 34
P 3 Pr pores

qui sont distincts les uns des autres, doivent avoir les mêmes
coefficients. Mais ces mêmes termes se réduisent toujours,
ou aux diverses racines primitives de l'équation (1), ou du
moins aux diverses racines primitives d’une équation de la
forme

(23) Ge ve

© étant un diviseur du nombre #, qui peut devenir égal à
ce même nombre. Par conséquent, dans une fonction symé-
trique des racines primitives de l'équation (1), les racines
primitives de l'équation (23) ‘devront toujours offrir les
mêmes coefficients ; et une telle fonction se réduira toujours
à une fonction linéaire des diverses valeurs que peut ac-
quérir la somme des racines primitives de l'équation (23),
quand on prend successivement pour w chacun des diviseurs
du nombre 7, y compris ce nombre lui-même. Si, par
exemple, z est un nombre premier, alors, les entiers

Poule Diane
1
_ inférieurs à A», et premiers à n, se réduisant aux divers
termes de la progression arithmétique
1) 2 dose — 1,
et les racines primitives
Ab pl
PrPrPre-e
de l’équation (1) aux divers termes de la progression géomé-

HCX VIT. 66

522 THÉORIE

trique
genpeee ee
on aura
DRE, M =:
et
(24) fe) = A, + A, (e Pr CE pErs}

Donc alors une fonction symétrique des racines primitives de
l'équation (1) sera en méme temps une fonction linéaire de la
somme de ces racines.

Comme nous l'avons déjà remarqué, si l'on désigne par à
une racine primitive de l'équation (r), et par

pars ere
les entiers inférieurs à x, mais premiers à », les diverses
racines primitives de la même équation pourront être repré-
sentées, non-seulement par les termes de la suite

ARR. Z

Pr PP...)
mais encore par les termes de la suite

ml

mh mk
9 3 P > P >.

pourvu que m soit lui-même premier à ». Il est essentiel
d'observer que, pour passer de la première suite à la seconde,
il suffit de multiplier par #2 les divers exposants

RER EUTIES
qui se transforment alors en ceux-ci
mh,mk, ml,...

Si l'on multiplie de nouveau ces derniers par », une où

7e

DES NOMBRES. 523
plusieurs fois, on obtiendra encore d’autres suites qui seront

propres elles-mêmes à représenter les diverses racines pri-
mitives, savoir

a n
mh m

km?
d , p , £ pe.
mx m°k m?l
(CONON TENNIS CCE
El loto
Concevons maintenant qu'avec les termes correspondants,
par exemple, avec les premiers termes de ces différentes suites
on forme une suite nouvelle

m3h m3h

h mh
PP »P »P »--:

Cette nouvelle suite, dans laquelle les exposants de ? for:

ment une progression géométrique.
k,mh,mh,mh,...
offrira autant de racines primitives distinctes qu'il y aura
d'unités dans l’exposant : de la plus petite puissance de m
propre à vérifier l'équivalence
(25) m'=1,(mod. n#).
En effet, la valeur de : étant choisie comme on vient de le
dire, et la progression géométrique étant réduite aux seuls
termes
hk,mh,mnh,...m'"h,
la différence entre deux termes de cette progression ne sera
jamais divisible par »; et en conséquence les deux puissances
de ?, qui auront ces deux termes pour exposants, ne seront

jamais égales entre elles. Donc alors les divers termes de la
suite

“Te 0 & mh m°h 7 au |
(26) FnPn 0" 1e-p

seront tous distincts les uns des autres.
; 66.

524 THÉORIE .

Si » est un nombre premier impair v, où une puissance
d'un tel nombre, tous les entiers premiers à # vérifieront
l'équivalence |
(27) DIT

la valeur de N étant donnée par la formule (12), ou

ni)

Alors, si l’on prend pour 7» une racine primitive # de la
formule (27), on trouvera

[
<

. u
et la suite (26) deviendra
(28) ph eh, 9}, g°
Cette suite se réduira même à

N--1

$

“ 2
(29) P ps ç° je. p ,
si l'on pose, comme on peut le faire, 4 — 1. D'ailleurs, N
étant précisément le nombré des entiers

Halo
inférienrs à 7 et premiers à », il en résulte que chacune des
suites (28), (29) comprendra toutes les racines primitives de
l'équation (1).
Si z se réduit à un nombre premier, alors, la valeur de N

étant
N=—7n—:1, }
les suites (28), (29) deviendront
(30) pl, ph, ee e". k
2 st 2

(31) Sd nc EN Nr

DES NOMBRES. 525

et ces deux suites, dans lesquelles les exposants de , croissent
en progression géométrique, offriront chacune, à l’ordre près,
les mêmes termes que la suite

2 3 n

LORIE OC

dans laquelle les exposants de : croissent en progression
arithmétique.

NOTE VIL.

SUR LES SOMMES ALTERNÉES DES RACINES PRIMITIVES DES ÉQUA-
TIONS BINÔMES, ET SUR LES FONCTIONS ALTERNÉES DE CES
RACINES.

Soit toujours ÿ une racine primitive de l'équation binôme
(1) x" — 1,
et
le OUR
les entiers inférieurs à 2 mais premiers à », dont l’un se
réduira simplement à l'unité. Les diverses racines primitives
de l'équation (1) pourront être représentées, soit par les ter-

mes de la suite
e', el, Be au

526 THÉORIE
soit par les termes de la suite

mh mk ml
» 0 >

e >

m étant un nombre quelconque premier à 7. Or, on pourra
généralement, comme on le verra ci-après, partager les
entiers

) DAT ER RER
en deux groupes
RER LINE EMEA AE
et par suite les racines primitives
h k ‘
d , p , p pe.
en deux groupes correspondants
( Ce Ve k k k
PrPrp re. €Ù p,prPp--.;:
de telle sorte qu'après la substitution de &" à ?, les deux der-
miers groupes se trouvent encore composés chacun des
mêmes racines , ou transformés l’un dans l’autre. Ainsi, par

exemple, si l'on suppose 7 — 5, les quatre racines primitives
de l'équation (1), ou

formeront les deux groupes
pp rt pp
qui deviendront respectivement, après la substitution de ?*

à p,
pp et pp

après la substitution de à 4,

pre et: pp,

os

DES NOMBRES. 5az

enfin, après la substitution de &“ à p,
psp et pop

Or, il est clair que, dans le premier et dans le dernier cas, les
deux groupes resteront composés chacun des mêmes racines,
tandis que dans les deux cas précédents les racines du premier
groupe se transformeront en celles qui composaient le second,
et réciproquement.

Les racines primitives de l'équation (1) étant partagées en
deux groupes, comme on vient de le dire, de telle sorte,
qu'après la substitution de ?"à +, les deux groupes restent,
pour certaines valeurs de m, composés chacun des mêmes
racines et se trouvent, pour d’autres valeurs de m, échangés
entre eux; il est clair que le nombre des racines

je

(4
3.

ho

PrP>P
du premier groupe devra être égal au nombre des racines

k kr _k"

Pr PP 5...

du second groupe. Donc, si l’on représente par N, comme
nous l’avons fait dans la note précédente, le nombre total
des racines primitives ou des entiers

RRUNE US

inférieurs à #, mais premiers à », on verra le nombre des

entiers
RAR:

ou de racines comprises dans le premier groupe, et le nombre

des entiers

PAT

528 THÉORIE

ou des racines comprises dans le second groupe, se réduire
er .N. aus

séparément à —; ce quisuppose N pair.

Cela posé, concevons que l'on ajoute les unes aux autres les
diverses racines primitives de l'équation (1), prises avec le
signe + ou avec le signe —, suivant qu’elles font partie de
l'un ou de l’autre groupe. On obtiendra ainsi une somme
algébrique dans laquelle on pourra faire succéder à chaque
terme précédé du signe + un terme correspondant précédé
du signe —. Cette somme algébrique pouvant être considérée
en conséquence comme composée de termes alternativement
positifs et négatifs, nous la désignerons sous le nom de
somme alternée. Donc, si l'on pose

®—p" + 9" + p" +. = — pi pl — pt —...,

® sera une somme alternée des racines primitives de l’équa-
tion (1). Lorsque, dans une semblable somme, on remplacera
la racine primitive $ par une autre racine primitive ?”, les
différents termes se transformeront, au signe près, les uns
dans les autres, et deux termes, qui se déduiront ainsi l’un de
l’autre, se trouveront toujours affectés du même signe pour
certaines valeurs de m», mais affectés de signes contraires
pour d’autres valeurs de "13; par conséquent la substitution
de 4" à & laissera invariable la valeur de la somme, ou la
fera seulement changer de signe. Supposons, pour fixer les
idées, que des deux groupes

RARES ANNE RE

le premier renferme l’exposant 1. Alors la substitution de p"
à n'altérera point la valeur de la somme alternée @, si l’on
a pris pour »x un des nombres

DES NOMBRES: D2ÿ
k,. hi, h,.8t
et la fera seulement changer de signe, si l’on a pris pour m

un des nombres

ARRET pe
Si, par exemple, on suppose 7 — 5, la somme alternée
= p+p—p —p

changera de signe, quand on y remplacera ? par Ps” ou par

-#, mais elle ne sera nullement altérée quand on y rempla-

cera p par p‘.

Il est important d'observer que, dans le cas où la substitu-
tion de 4" à b laisse invariable la somme alternée @, les
termes

par conséquent les termes
en ml
p et, pr, etc.
doivent se trouver affectés du même signe dans cette somme,
l pouvant désigner ici l’un quelconque des nombres
h, BR SPERARNR"S...,
c'est-à-dire l’un quelconque des nombres premiers à n. Donc,

dans le cas dont il s’agit, le même signe doit affecter tous les
termes de la suite

(3) P p”, p” # HTE A Fil fs
: étant l’exposant de la plus petite puissance de m propre
à vérifier l’équivalence

(4) m'=1, (mod. »).
T. XVIL 67

/

530 THÉORIE

D:
Mais, si la substitution de &" à & fait varier le signe de la
somme alternée @, alors les termes

l ml =

PRICE

devront y être affectés de signes contraires, et l’on pourra
en dire autant des termes

ou

m°l

du ete hisinrete. st

Donc alors chacun des termes de la suite (3) sera, dans la
somme alternée ®, précédé du même signe que f‘ ou d’un
signe contraire, suivant que l’exposant de $ contiendra
comme facteur une puissance paire où une puissance impaire
de m. Dans tous les cas,

let ur

étant deux nombres premiers à n,

2
ml

g
sera précédé du même signe que 4. Donc, si l’on a pris lu-
nité pour l’un des nombres
f 7
PSN RE

#” sera précédé du signé +, ainsique 4; et par consé-

quent le groupe
LANTA

renfermera tous ceux des nombres
LE T.nt
qui sont équivalents à des carrés

2 !2
m°, In pe.

DES NOMBRES. 531

suivant le module », c'est-à-dire, tous les résidus quadra-
tiques relatifs à ce module.

Supposons maintenant que 7 soit un nombre premier
impair, ou une puissance d’un tel nombre. Alors les entiers

Bol, ke
inférieurs à 2, et premiers à 7, vérifieront l’équivalence

(5) a" =1, (mod. »),

N L4 PF.8 .
les uns, dont le nombre sera 7 étant résidus quadratiques

suivant le module x, et racines de l’équivalence

(6) z°—="YT, (mod. 7);

NET > Ke
les autres, dont le nombre sera encore = étant non résidus

quädratiques, et racines de l’équivalence
N
(7) xz'=:—1, (mod, »).

D'ailleurs, si, dans la somme alternée @, le terme : est pré-
cédé du signe +, on pourra en dire autant de toutes les
puissances de ?, qui offriront pour exposants des résidus
quadratiques; et, comme le nombre de ces puissances sera

Dire PA N . .
précisément —, les autres puissances, qui auront pour ex-

posants des non résidus quadratiques, devront toutes être
affectées du signe —. Donc alors

CM cm5
devra représenter la suite des résidus quadratiques, et

NET
67.

532 THÉORIE

la suite des non résidus. D'ailleurs, si l’on prend pour m une
racine primitive s de l'équivalence (5), les diverses racines
primitives de l'équation (1) pourront être représentées par
les divers termes de la suite

sN-1

£ 6°) ED P ,
et, parmi les exposants de ç dans cette suite, ceux qui re-
présenteront des résidus quadratiques, relatifs au module »,
seront les exposants carrés

4 N—2.

DEN De CO
Donc, si le terme , se trouve précédé du signe + dans
la somme alternée @, la valeur de cette somme, dans l’hy-

2 2 \

pothèse admise, ne pourra être que la suivante

(8) D = p— p5 + ps — ps +... — ps NT,

Il est au reste facile de s'assurer que, dans le cas où » se
réduit à un nombre premier impair ou à une puissance d’un
tel nombre, le second nombre de la formule (8) représente
effectivement une somme alternée des racines primitives

SE LINE
P 0° Pipes p°

de l'équation (1). Car, si, dans ce second nombre, on rem-
place + par +‘, chaque terme se trouvera remplacé par le
suivant, pris en signe contraire, le dernier terme étant rem-
placé par —+. Or, de cette seule observation 1l résulte que
le second membre de l'équation (8) restera composé des
mêmes termes, tous ces termes étant pris avec des signes
contraires à ceux dont ils étaient d’abord affectés, ou tous
étant pris avec ces mêmes signes, si l'on y remplace la

DES NOMBRES. 533

racine primitive ? par l’une des autres racines primitives

N—1

CPR ETEE TS
ce qui revient à remplacer une ou plusieurs fois de suite &
par £*.

Dans le cas particulier ou x se réduit à un nombre pre-
mier impair, On à.
N=—n—1,

et la formule (8) donne simplement

(9) De te ne Pi ?
s étant une racine primitive de l’équivalence
(10) 2 —14, (m0).

Alors, aussi, en vertu de la formule (14) de la note 1°, on
aura

00 NN TRE Ten 8 0 Come US D Get 9 EL

par conséquent

n—3

(13) D — (4).
Donc, x étant un nombre premier impair, on aura
(13) Di RO Er

si ce nombre premier » est de la forme 4x + 1, et l’on
trouvera au contraire

(14) D—=—n, = Er VV

si 2 est de la forme 4x + 5.
Si l’on suppose, par exemple, na —3, on trouvera

D—=p-—p"

534 THÉORIE

, s représentant les deux racines primitives de l'équation
T1 —=0;,
ou, ce qui revient au même, les deux racines de l'équation
d'+t+1—O.
Or, ces deux racines étant |
RE = med Vu
il est clair qu’en supposant ? —3, on trouvera

© 13/7 ou rire

suivant que l’on prendra pour ? première ou la seconde
racine.

Lorsque, » étant une puissance entière d'un nombre
premier impair y, On aura

a
NE

et a>1, alors, d'après ce qui a été dit ci-dessus, deux
monômes de la forme

fh rap
seront, dans la somme alternée @, affectés du même signe,
si les nombres /, l', premiers à », vérifient la condition

l'= mel, (mod. »)

m° étant un carré premier à 7, Ou, Ce qui revient au même,

si le rapport
"4

d?

-
étant équivalent suivant le module » à un carré, vérifie par

DES NOMBRES. 535

suite la formule

s12

æ'=1,(mod. »).
Or, c'est évidemment ce qui arrivera, si l'on a

(15) l'=I, (mod. »).

\

Car, en élevant plusieurs fois de suite à la puissance ; les
deux membres de la formule (15), on en tirera successive-
ment

{* =", (mod.);

l" =", (mod. );

ei.

Per = Ye; (mod. »‘);
par conséquent

LANTES

( = 1, (mod. v*);

puis, en élevant les deux membres de cette dernière formule

2 = ON V— 1 , , . À
à la puissance entiere MAT et ayant égard aux équations

Y— I N
V— 2, Ver _——
2 2

CR] 1
on trouvera définitivement

“1
() =, {mod. v).

Donc, lorsque » représente le carré, le cube, ou une puissance
plus élevée d’un nombre premier impair v, le même signe
doit affecter, dans la somme alternée ©, toutes les puissances
de ? dont les exposants sont équivalents, suivant le mo-
dule », à un même nombre /; par conséquent le même signe

536 THÉORIE

doit affecter, dans la somme alternée @, tous les termes de |

la suite

+2 ny
,. .

pa PP pee ep

Or, la somme de ces derniers termes, savoir,

EE
1—p'?

e' DE pt Æ gen ST ep pt p

étant nulle avec les différences 1 —$", il est clair que, dans
le cas dont il s’agit, la somme alternée © se composera de
diverses parties séparément égales à zéro. Donc, la somme @
s'évanouira elle-même; et, lorsque z sera le carré, le cube ou
une puissance plus élevée d'un nombre premier impair, on
aura toujours

(16) ® = 0.
Si » se réduisait au nombre 2, l'équation binôme
CARE (
n'offrirait qu’une seule racine primitive

ru!

,

avec laquelle on ne pourrait composer une somme alternée.
C'est au reste le seul cas où la formation d’une somme alter-
née des racines primitives devienne impossible, et où le
nombre N cesse d’être pair, en se réduisant à l'unité.

Il n’en sera plus de même si l’on prend pour » une puis-
sance de 2. Concevons qu'’alors on réduise toujours l’un des
nombres

8 En

à l'unité. Si, pour fixer les idées, on suppose rn—4, on

DES NOMBRES. 537

trouvera

RSS,
et

Do) : D=p—p

sera une somme alternée des racines primitives de l'équation
Are
Cette même somme, égale à

EVE er

RER TN ER 7

et obtenir ainsi trois sommes alternées des racines primitives
de l'équation

_ De ces trois sommes la première, savoir,
(19)
La

érifiera la formule

D—=p+p—p —p

@n
DA VIRE - . 68

538 THÉORIE

se réduira simplement à

(22) D—0;

et la troisième, savoir,

(23) =p+p—p—#
vérifiera la formule x

(24) D=0:

Enfin, si » est une puissance de 2, supérieure à la troisième,

alors en posant

(25) t=i+",

et choisissant le nombre entier d de manière à vérifier la

formule
ld=1, ou i=d, (mod. 7)

on trouvera

(4 n
ef

n =1 +°d, (mod. #)

DUT
ou, ce qui revient au même,
"AE nm J\
7 =(r + *d) » (mod. »),

attendu que, » étant divisible par 16,

sera divisible par 7. Done alors la valeur de /', déterminée
par l'équation (25), sera équivalente, suivant le module 7, à
un produit de la forme

sd Lou ml
(r+5d)

med bé ER

de PTE | fs

a be os 6

ge

DES NOMBRES. 539
m étant premier à 7, c'est-à-dire, impair; et les termes

n

pr P—pt2
seront généralement affectés de signes contraires dans une
somme alternée ® des racines primitives de l'équation (1).
D'autre part, puisque, pour des valeurs paires de nr, l’équa-
tion {1) se décompose en deux autres, savoir

n

(26) Gi — à; (27) Si — I,

et qu'une racine primitive ? de l’equation (1) ne peut vé-
rifier l'équation (26), on aura nécessairement

ou , ce qui revient au même,

pP+p=—o.
Donc, si » est une puissance de 2 supérieure à la troisième,
une somme alternée @ des racines primitives de l’équa-
tion (1) sera composée de telle manière, que les termes affectés
du même signe se détruiront deux à deux, en fournissant des

sommes partielles égales à zéro. Donc alors, la somme ® sera
nulle elle même, et l’on aura

® — oO.

En résumé, si x est un nombre premier ou une puissance
d'un tel nombre, la somme alternée ® sera nulle, à moins
que n ne se réduise à 4 ou à 8, ou à un nombre premier
impair. |

D'ailleurs, lorsque @ ne sera pas nul , on aura toujours

DE 7, $
68.

540 THÉORIE

savoir

(28) HD,

si » est de la forme 4x + 1;

(29) D—=—n - à
si z est égal à 4, ou de la forme 4x + 3; enfin, si x est égal
as

(30) D OO TL

suivant que l'on placera dans le même groupe les deux

nombres 1 et 3, ou 1 et 7.
Concevons maintenant que, »# étant un nombre entier

quelconque, l’on pose

(31) FD — VEN AN
v, v,v... étant les facteurs premiers de », dont l'un pourra
se réduire à 2. Alors, comme on l’a vu dans la note précé-
dente, une racine primitive

g

de l'équation (1) sera le produit de racines primitives
Ë, 1; Ge it

propres à vérifier respectivement les diverses équations

v'b v"c

(32) QI, Æ 1, æ —1, etc.

Alors aussi on obtiendra les diverses valeurs de +, et on les
obtiendra chacune d’une seule manière, si dans le second
membre de la formule

(33) ' pi Bnbsre

DES NOMBRES. 541

on substitue successivement les divers systèmes de valeurs de

é, NCOE

combinées entre elles de toutes les manières possibles. D'ail-
leurs, £ étant une des racines primitives de l'équation

chacune des autres racines primitives de la même équation
sera de la forme
4 L
ë",
L étant un nombre entier premier à y. Pareillement, x étant
une racine primitive de l'équation

chacune des autres racines primitives de la même équation

sera de la forme

tv
a ;

l étant un nombre entier, premier à v, etc. Done, si l'on
désigne, comme ci-dessus, par

l'E LE) LME

certaines racines primitives, propres à vérifier respectivement
les équations

se D em Moiaire
les diverses racines primitives de l'équation (1) se trouveront
représentées par des produits de la forme
LL jf GO

1 étant premier à »v, L'à v, "à y"... Cela posé, considérons

542 THÉORIE

une somme alternée ® des racines primitives de l'équation (1).
Comme les différents termes de la somme @ se réduiront à
de semblables produits, pris, les uns avec le signe +, les
autres avec le signe —, cette somme sera évidemment une
fonction entière de chacune des racines primitives

ê. A Usa:

On arriverait, au reste, à la même conclusion, en partant
de la formule (33). En effet, la valeur de &, que détermine
cette formule, étant une racine primitive de l'équation (1),
la somme alternée @ sera nécessairement une fonction en-
tière deb, et par suite une fonction entière de £, de », de &,.…..
Or, concevons que, dans cette fonction, l'on écrive à la
place de Ë, une autre racine primitive de la première des
équations (32). La somme alternée @ devra rester composée
des mêmes termes, tous étant pris avec les signes qui les af-
fectaient d’abord, ou tous étant pris avec des signes con-
traires. Donc, chaque somme partielle de termes qui ne
différeront les uns des autres que par la valeur de €, et par
suite la somme ® elle-même, seront proportionnelles à la
somme de toutes les valeurs de £, ou à une somme alternée
de ces valeurs. On prouvera pareillement que @ est propor-
tionnel à la somme des valeurs de », ou à une somme al-
ternée de ces valeurs, à la somme des valeurs de £, ou à une

somme alternée de ces valeurs Donc la somme alternée @ :

réenfermera, comme facteur, ou la somme ou une somme
alternée des racines primitives de chacune des équations (32);
et sera proportionnelle au produit de divers facteurs de cette
nature, correspondants à ces diverses équations. D'ailleurs,
si l'on développe le produit dont il est ici question, le dé-

DES NOMBRES. 543

xeloppement offrira, au signe près, chacun des termes que
renferme la somme alternée ©, et deux termes devront
encore être affectés du même signe ou de signes contraires
dans le produit, suivant qu'ils seront affectés du même signe
ou de signes contraires dans la somme @. Donc la somme
alternée © sera égale au produit obtenu, comme on vient
de le dire, ou à ce produit pris en signe contraire.

Réciproquement, si l'on forme un produit dont les divers
facteurs, correspondants aux diverses équations (32), repré-
sentent chacun la somme des racines primitives de l’une de
ces équations, ou une somme alternée de ces racines, il est
clair que ce produit développé sera composé de termes
égaux, au signe près, aux diverses racines primitives de
l'équation (1), et pourra être considéré comme une fonction
entière, nou-seulement d’une racine primitive & de l'équa-
tion (1), mais encore de certaines racines primitives

CN BC ANUS

propres à vérifier respectivement les équations (32). D’ail-

leurs , dans ce produit, on verra évidemment reparaître les
2 P ?

mêmes termes, tous pris avec des signes contraires à ceux

dont ils étaient d’abord affectés , ou tous pris avec les mêmes

signes, quand on y remplacera la racine primitive € par

une autre racine primitive de l'équation

ou la racine- primitive + par une autre racine primitive
de l'équation

etc.., par conséquent aussi, quand on effectuera simulta-

544 THÉORIE
nément plusieurs remplacements de ce genre, ce qui revient
à remplacer la racine primitive
p Ent...

de l'équation (r), par une autre racine primitive de la même
équation. Donc le produit, formé comme nous l'avons dit,
ne pourra être qu'une fonction alternée des racines primi-
tives de l'équation (1), dans le cas où il ne se réduirait pas
à une fonction symétrique de ces racines.

Il'est bon d'observer que la somme des racines primitives
de l'équation

étant égale à —1, a pour carré l'unité, et que la somme
alternée de ces racines primitives, quand elle ne s’évanouit
pas, offre pour carré +". Une pareille observation pou-.
vant être appliquée à chacune des équations (32), le produit
de plusieurs facteurs, dont chacun sera, ou la somme, ou
une somme alternée des racines primitives de l’une de ces
équations, devra toujours, quand il ne s'évanouira pas, offrir
un carré qui soit égal, abstraction faite du signe, au produit
des nombres

ou de plusieurs d’entre eux, par conséquent à », ou à un

diviseur de 7. D'ailleurs, comme nous l'avons prouvé, le

premier de ces deux produits peut représenter une somme

alternée quelconque @® des racines primitives de l'équa-

tion (1). Donc, si une semblable somme ne s'évanouit pas,

elle offrira pour carré +7, ou un diviseur de + n.
Observons encore que l’on aura toujours, ou

(34) D 0,

DES NOMBRES. 545

ou
(35) De Es

si chacun des facteurs du produit qui représente ® est une
somme alternée. Au contraire, si l’un de ces facteurs est la
somme des racines primitives de l’une des équations (32),
©?, en cessant d'être nul, sera généralement de la forme

(36) = Lo,

w étant un diviseur de ». Alors aussi, @, considéré comme
fonction des racines primitives des équations (32) sera, pour
une ou pour plusieurs des équations dont il s’agit, fonction
symétrique de ces racines.

Pour que l’on trouve en particulier

DATENT,

il sera nécessaire que, dans le produit propre à représenter
©, chaque facteur se réduise à une somme alternée diffé-
rente de zéro. C’est ce qui arrivera, lorsque, dans le nombre
composé », les facteurs premiers impairs seront inégaux,
le facteur pair, s’il existe, étant précisément 4 ou 8.

Soit maintenant

(+)

une fonction entière de la racine primitive & de l’équa-
tion (1). On pourra, dans cette fonction, réduire l’exposant
de chaque puissance de $ à un nombre entier plus petit
que 7, et poser en conséquence :

(37) f(e)= a, + ap + ap? +...+ a,_,p" *,

2, 4,, 4,,..4,_. désignant des coefficients indépendants de &.
T. XVII. 69

546 THÉORIE

Supposons d’ailleurs que, dans le cas où l'on remplace la
racine primitive & de l'équation (1) par une autre racine
primitive ," de la même équation, les différents termes con-
tenus dans f() se transforment, au signe près, les uns
dans les autres, et que deux termes, qui se déduisent ainsi
l'un de l’autre, se trouvent toujours affectés du même signe
pour certaines valeurs

ha RENDE RE

du nombre m, mais affectés de signes contraires pour d’au-
tres valeurs Ù
link anse 2

du même nombre; en sorte que, sous ce point de vue, les

entiers ,

DR AT TE
inférieurs à z et premiers à 2, se partagent en deux groupes
CRE LORS RES APE de LR UNE A

Alors, dans f(+), les coefficients a, s'évanouiront néces-
sairement, et f(,) sera une fonction linéaire de chacune de
sommes algébriques

+ p" + +... — pt —p" + p" —...,
2h 2h 2h! 2k 2h! 2h!

(38) _ à is ” 7 Le ose e ROUE va
DAMES CO LEE ON TS 0)
etc:

chacune d'elles étant censée ne renfermer que des termes
distincts les uns des autres. Sous cette condition, les sommes
algébriques dont il s’agit se réduiront toujours, ou , comme
la première, à une somme alternée des racines primitives de

ER RSS RE me

DES NOMBRES. ‘547

l'équation (1), ou du moins à des sommes alternées des ra-
cines primitives d'équations de la forme

(39) D — UE

les exposants ou les valeurs de étant des diviseurs de ».
Cela posé, dans la fonction f(+), aussi bien que dans chaque
somme alternée, les termes précédés du signe + seront évi-
demment en même nombre que des termes précédés du
signe —; et, si à un terme que précède le signe + on fait
succéder un terme correspondant que précède le signe —,
on pourra obtenir, pour représenter la fonction, une suite
de termes alternativement positifs et négatifs. Pour cette
raison, nous désignerons sous le nom de fonction alternée
la fonction f(4), formée comme il a été dit ci-dessus. I] est
clair qu'une semblable fonction pourra seulement. acquérir
deux formes distinctes, et deux valeurs égales au signe près,
mais affectées de signes contraires, si l’on y remplace une
racine primitive , de l’équation (r) par une autre racine
primitive ?" de la même équation. Ajoutons qu’en vertu des
relations établies par la formule (33) entre les racines pri-
mitives de l'équation (1) et celles des équations (32), toute
fonction alternée des racines primitives de l'équation (1)
sera en même temps, ou une fonction alternée, ou une fonc-
tion symétrique des racines primitives de chacune des équa-
tions (32). Il sera maintenant facile de trouver la forme la
plus simple à laquelle se réduise, pour une valeur donnée
de 7, une fonction alternée f{:) des racines primitives de
l'équation (1); surtout, lorsque x représentera un nombre
premier ou uñe puissance d’un tel nombre. Entrons à ce
. sujet dans quelques détails.

69.

548 THÉORIE

Supposons d'abord que le nombre x se réduise à un nom-
bre premier impair »v, ou à une puissance de ce nombre
premier, en sorte qu'on ait

a

n—=\",

l'exposant a pouvant se réduire à l'unité. Les divers divi-
seurs du nombre »#, y compris ce nombre lui-même, ou les
diverses valeurs que pourra prendre l’exposant * dans la
formule (39), seront respectivement

a—x a

CRE .
VS VE VS EC eVIRE LV

et les sommes alternées des racines primitives de l’équa-
tion (38), qui correspondront à ces diverses valeurs de w,
seront toutes nulles, à l'exception d’une seule, que nous dé-
signerons par A, et à laquelle la fonction f{) deviendra
proportionnelle ; en sorte qu’on aura

(40) fe) — aA,

a étant indépendant de &. La somme A dont il s’agit sera
d’ailleurs la somme alternée des racines primitives de l’é-
quation

DIN

qu'on obtient en posant, dans l'équation (39), w = v.
Supposons en second lieu que le nombre » se réduise à
une puissance

2

du nombre 2. Alors, pour que l’on puisse former avec les
racines de l'équation (1) une fonction alternée, il sera néces-
saire que cette équation offre plus d’une racine primitive et

DES NOMBRES. 549

Ü

que l’on ait en conséquence
a > I.

Cela posé, 2 pourra être l’un quelconque des termes de la
2
progression géométrique

1: Nc 2 L PAPER

et, les valeurs de , dans l'équation (39), devant aussi se
réduire à des termes de cette progression, la somme des
racines primitives de l'équation (39) ne pourra cesser de
s’'évanouir que lorsqu'on prendra

© = 4 ou o—=8.

Donc alors une fonction alternée f() des racines primitives
de l'équation (1) renfermera tout au plus deux termes qui
ne s’évanouiront pas, ces deux termes étant proportionnels,
le premier à une fonction alternée des racines primitives de
l'équation

(4) LIT

le second à une fonction alternée des racines primitives de
l'équation

(42) ==

Or, évidemment de ces deux termes le premier subsistera
seul, si l'on a n —4, et alors la fonction alternée f(+) sera
encore de la forme indiquée par l’équation (40), la valeur

de A étant
A—=p—p— + 91/2;.

Si x devient égal à 8, on aura trois cas à considérer, suivant

550 THÉORIE

que le second terme deviendra proportionnel à l’une ou à
l’autre des trois sommes alternées

(43) p+ pp —p, p+p—p—p—0, p+p—p—p.

Or, quand on fait successivement coincider avec chacune de
ces trois sommes la première des expressions (38), savoir

g + p" +. sp +p"—.…. 26

on trouve que les valeurs correspondantes de la seconde
expression

p* Sedo — p—. [ra

réduite à ne contenir que des puissances de ? non équiva-
lentes entre elles, deviennent respectivement.

(44) O0, p—p—+2 1, o.

Donc, » étant égal à 8, le second des termes dont nous avons
parlé disparaît lorsque le premier subsiste, et réciproque-
ment; en sorte que, dans ce cas encore, la fonction f(4) est
de la forme indiquée par l'équation (40), désignant une
somme alternée des racines primitives ou de l'équation (41)
ou de l'équation (42).

Au reste, ces conclusions doivent être étendues au cas
même où », étant une puissance de 2, deviendrait supérieur
à 8, puisqu'alors la fonction f{+), dans laquelle tous les
termes disparaîtraient, à l'exception des deux termes ci-dessus
mentionnés, pourrait encore être considérée comme une
fonction alternée des racines primitives de l'équation (42).

Revenons à des valeurs quelconques de », et posons de
nouveau

b 1!
NAN AY

DES NOMBRES. 551

wv,%,... désignant les facteurs premiers de », dont l’un
pourra se réduire à 2. Comme nous l’avons déjà dit, une
fonction alternée f(+) des racines primitives de l'équation (1)
sera en même temps ou une fonction symétrique, ou une
fonction alternée des racines primitives de chacune des équa-
tions (32). Occupons-nous d’ailleurs spécialement du cas où
f(e), considéré comme fonction des racines primitives de l’une
quelconque des équations (32), est toujours une fonction
alternée, jamais une fonction symétrique de ces racines; ce
qui suppose 2 impair ou divisible plusieurs fois par le fac-
teur 2. Dans ce cas spécial, d’après ce qu’on a vu tout à l'heure,
ou la fonction f{4)s’évanouira, ou elle deviendra simultanément
proportionnelle à divers facteurs

A, A', A"...
qui représenteront des sommes alternées, respectivement

formées avec les racines primitives des équations

M

(45) METEO A de ir pie

si les facteurs premiers

1 (4
Val Vis VIS seit

0

sont tous des nombres impairs. Donc alors f(4) sera propor-
tionnel au produit
AAA

qui représentera une somme alternée des racines primitives
de l’équation

(46) Le — ]
ou

(47) 1,

552 THÉORIE

la valeur de w étant

(48) =,
et l’on aura en conséquence
(49) fo) =iaA AA rss

a désignant dans f(.) le coefficient d'une racine primitive de
l'équation (46). Si, parmi les facteurs

u LU
Vo Vas Vligie tee

le premier » se réduisait à 2, on devrait remplacer la pre-
mière des équations (45), par l'équation (41) ou (42); et par
suite on devrait, dans la formule (49), prendra pour A une
somme alternée des racines primitives de l’une des équations

(5o) = TE jte

Alors le produit
AA'A"...,

serait une somme alternée des racines primitives de l’équa-
tion (45), la valeur de «© étant donnée non plus par la
formule (48), mais par l’une des deux suivantes

(EE DU NT CO OUI
D'ailleurs, en supposant 2 impair avec chacun des facteurs

[A (4
VAN AVE te

on trouvera
(52) =D, AE 0er 2 —C 000

et par suite
NE RQ
(53) NAS) F VUE"

DES NOMBRES. 553

ou, ce qui revient au même,

W—1

(54) AAA. = 1) lo = +v

la valeur de w étant donnée par la formule (48). Si au con-
traire on suppose y—2, 2 étant divisible par 4 ou par 8,
la première des formules (52) se trouvera remplacée par l'une
des équations
(55) D A li 6.
et la formule (53) par l’une des équations

(56) AAA... E Av ve. Ne NPA AD. = Es 5

; Ch)
par conséquent où aura encore
(57) , AAA... + w,

la valeur de étant donnée, non plus par la formule (48),
* mais par l'une des formules (51). Dans l’une et l’autre hypo-
thèse , on tirera de la formule (49)

(58) [fe)]° = 04.
L'équation (58) se réduira simplement à

(59) (Ko = + ra,

si l'on a

(60) OUT.

Or, pour que le nombre w, déterminé par la formule (48),
ou par l’une des formules (51), devienne précisément égal à n,
il est nécessaire que les facteurs premiers et impairs de 7
soient inégaux , le facteur pair, s’il existe, étant 4 ou 8.

T. XVII. 70

554 THÉORIE
L’équation (59) se réduira en particulier à
(61) (Ka =na’,

si, les facteurs premiers et impairs du nombre » étant
inégaux , ce nombre est de l’une des formes

4æ+1, 4(4x +3),
ou bien encore de l’une des formes
S(4x + 1), 8(4x + 3),

pourvu toutefois que, dans ce dernier cas, on place dans le
même groupe ceux des entiers

k, ke
inférieurs à 7, mais premiers à », qui, divisés par 8, don-
n
nent pour restes 1 et 7, quand g CSt de la forme 4x + 1, et

. hs pr n
ceux qui, divisés par 8, donnent pour restes 1 et Se quand 8
est de la forme 4x + 5.

Enfin l'équation (59) se trouvera réduite à
(62) (Ra =— ra

si, les facteurs premiers et impairs du nombre x étant
inégaux, ce nombre est de l’une des formes

4x +3, 4(4x+r).
ou bien encore de l’une des formes
SGx+r), Sir +3)

pourvu toutefois que, dans ce dernier cas, on place dans le

Qt
Ot
Qt

DES NOMBRES.

mème groupe ceux des entiers
LA ST AT
inférieurs à 7, mais premiers à », qui, divisés par 8, donnent
(2 mn .
pour restes 1et3, quand à est de la forme 4x + 1, et ceux

qui donnent pour restes 1 et 7, quand Ë est de la forme
4x + 3. |

Nous observerons en finissant que, dans le cas où l’on
a n—v, et où la formule (58) se réduit à la formule (59),
le produit

ATAUAS

renfermé dans le second membre de la formule (49), se réduit |
à une somme alternée © des racines primitives de l’équa-
tion {1). Donc alors la formule (49) pourra s’écrire comme il
suit

(63) fe) = a®P.

Or, en élevant au carré chaque membre de cette dernière
formule, et ayant égard à l'équation (35), on retrouvera,
comme on devait s’y attendre, l'équation (59).

70.

56 THÉORIE

NOTE VIII.

PROPRIÉTÉS DES NOMBRES QUI, DANS UNE SOMME ALTERNÉE
DES RACINES PRIMITIVES D'UNE ÉQUATION BINÔME, SERVENT
D'EXPOSANTS AUX DIVERSES PUISSANCES DE LUNE DE CES
RACINES.

,

Soient, comme dans la note précédente

n un nombre entier quelconque,

h,k,1,... les entiers inférieurs à 7, et premiers à »,
N le nombre des entiers 2,4, l,...

+ une racine primitive de l’équation

(ru) re
et
(2) D =?" ep D D —

une somme alternée des racines primitives de cette équation,

les entiers
Polka lac
étant partagés en deux groupes -

RSR SONORE RES

de telle manière qu'un changement opéré dans la valeur de
la racine primitive , puisse produire un changement de signe
dans la somme @, sans avoir jamais d’autre effet sur cette
même somme. Enfin supposons, pour plus de commodité,

DES NOMBRES.

[SA
Qt
NI

que le nombre 1 fasse partie du groupe
OEM eE

Si le nombre » est premier, il sera en mème temps impair,
et l’on aura
N—7 — 1.

Alors aussi, d’après ce qui a été dit dans la note précédente ,

les nombres
NC Te

seront résidus quadratiques suivant le module », et racines
de l'équation

n—1

(3) æ = 1, (mod.7)

en sorte que chacun d'eux vérifiera la condition

h
(&) De
Au contraire les nombres
R RTE

seront non résidus quadratiques suivant le module », et
racines de l’équivalence

A3

(5) æ? =—1,(mod.),

en sorte que chacun d’eux vérifiera la condition

(6) [ Ed

D'ailleurs , pour chacune des équations

n—1 ni

DE = CT = (6

558 THÉORIE

ILE

la somme des racines se réduira toujours à zéro, lorsque

sera un nombre entier supérieur à l'unité; et par conséquent,
pour chacune des formules (3), (5), la somme des racines
sera équivalente à zéro, suivant le module 7, lorsqu'on

aura
TX
re LU 02 3.
Donc, #2 étant un nombre premier supérieur à 3, on aura
toujours
(7) RÉ RER EE RER EE LE — 0:

La formule (7) comprend évidemment un théorème que l’on
peut énoncer comme il suit.

Premier théorème. n étant un nombre premier supérieur
à 3, si, parmi les entiers inférieurs à 2, mais premiers à »,
on distingue les résidus quadratiques

Rs RASE
et les non résidus quadratiques

A A1 A

ANT AIT AR
la somme + h! + "+... des résidus, et la somme
k + k! + #" +... des non résidus seront l’une et l’autre

divisibles par 7.
Ainsi, en particulier, on trouvera, pour »—5,
h=x, R=ÿ BAUEH=0;'mod5),
fn = SM EE 00, (mod: 6}
pour = 7
h=3, h=s, RSR ha == 0; (mod)
k=1, K=5, dé=6; ++" = 14=0, (mod7)

DES NOMBRES. 559

etc. Mais, si l’on prend

on aura

et la condition (7), qui cessera d’être vérifiée, se trouvera
remplacée par la suivante

h=—k= 1, (mod. 3).

On pourrait démontrer encore le premier théorème comme
1] suit. c

n étant un nombre premier impair, nommons $ une racine
primitive de l’équivalence

x" =1, (mod. »).

Les entiers inférieurs à 7, mais premiers à n, seront équi-
valents aux diverses puissances de s d’un degré plus petit
que 2 — 1, savoir, les résidus quadratiques aux puissances
paires

EN Se DOS

et les non résidus aux puissances impaires

On trouvera par suite

R+R+N4H.=Ss +8 ++. 832 = 0, (mod. »)

PR +E +.=s+Ss +54 AIT == 0, (mod. x),

excepté dans le cas ou, » étant égal à 3, on aurait, non-

560 THÉORIE

seulement
sf, (med. n)

mais encore À —1—2, et par conséquent
s°=1, (mod. n»).

Supposons maintenant que » devienne une puissance d’un
nombre premier impair v, en sorte qu'on ait

a

TT —1.

Alors on trouvera

N = VV —1) = a ( _— 2)
Alors aussi
RARE

pe

seront résidus quadratiques suivant le module x, et racines
de l’équivalence
N

(8) 2=1, (mod. x),

tandis que
J'EN Le At
seront non résidus suivant le module », et racines de l’é-
quivalence
N
(g) Z°=— 1, (mod. #)

Donc, si, en nommant / un nombre entier premier à x, on
désigne par

le reste + 1 où —1, qu'on obtient en divisant par 7 la

|
|

DES NOMBRES. 561
puissance
N
EF ,
chacun des nombres k,h',h"... véritiera encore la condi-

tion (4), et chacun des nombres k,#k,#”,... la condition (6).
D'autre part, chacun des groupes

R'RUR ES.
Role spee
pouvant être décomposé (page 536) en plusieurs suites de
termes de la forme
l, l+ A + 2V,... l+n—\,
et la somme de ces derniers termes étant égale à

(TT)

. nr . .
par conséquent divisible par "=> ilest clair que, dans
v

l'hypothèse admise, la formule (7) pourra être remplacée par
la suivante :

(10) A+ N +R +UZR+E +R +0, (mods?)

Ainsi, en particulier, on trouvera pour n —=9—3;,

h—1, h—4, h'—7, h+kh+h"—12=0, (mod. 3)

En F0 DA GE FE A —15—0, (mod. 3).

La formule (11) renferme un théorème qu'on peut énoncer
comme il suit :

Deuxième théorème. y étant un nombre premier impair,
et n =, une puissance de v, dont le degré surpasse
l'unité, si parmi les entiers inférieurs à 72, mais premiers
à n, on distingue les résidus quadratiques

h,hhe.e
L-°XVIL 71

562 THÉORIÉ

et les non-résidus
HRRMRLS

la somme X + X + h" +... des résidus, et la somme

k+K+#"+... des non-résidus seront, l'une et l’autre,

niet « . A mn
divisibles par y’ ou, ce qui revient au même, par #

Au reste, on pourrait encore établir le deuxième théorème
de la manière suivante :
Si, en supposant
DV et Nr),
on nomme s une racine primitive de l’équivalence
a — 1, (mod. 7)
.
on trouvera, par des raisonnements semblables à ceux dont
nous avons précédemment fait usage,

N_—
hR+h+R + =r+s + st ++ se ——, (mod. »),
SN — 1

kR+RHE EUES+S+S ++ SES , (mod. »),

S—1
et par suite
(S—1)(A+h+hk" +..)= S"— 1 =o, (mod. »)
(S— 1) (4 + 44.) = ss" — 1) = 0, (mod. n»).

Donc chacun des produits.

(— 1) (+R 44), (sa) (k + AA +)
sera divisible par 7"; et, dans chacun d'eux, le second
facteur

hiash 4 RE puonmdon eh allais
sera nécessairement divisible par #-", si le premier facteur

2

OR x |

DES NOMBRES. 563

ne peut être qu'une seule fois divisible par v. Or, c'est pré-
cisément ce qui arrivera. Car, si le facteur s°— 1 était seu-
lement divisible par ÿ, on en conclurait

s "= 1, (mod. v’)
et par suite (voir la note placée au bas de la page 335)
SZ 1,(mod.v°), s°6—D=1,(mod.vt),.….s"0—1= 1, (mod.v).
Donc s vérifierait la formule
per (== {mod

ou, ce qui revient au même, la formule
N
s =1, (mod. »)

et ne pourrait représenter, comme nous le supposons, une
racine primitive de l’équivalence

"= 1, (mod. n).

Lorsque » est de la forme 4x + 1, et ide la forme »,
l'exposant à étant supérieur à l'unité, alors

N D Y— I

a

2 2

. . V—I . .
est, ainsi que » un nombre pair; donc, par suite, la
quantité — 1 : vérifie l'équation
à
= is
et représente un résidu quadratique suivant le module n.
D'ailleurs, / et »m étant premiers à 2, les deux nombres

l, ml

564 THÉORIE
sont toujours en même temps ou résidus ou non-résidus.
Donc, dans le cas que nous considérons ici,

Met — lou rl

seront en même temps résidus ou non-résidus, et la somme
des résidus
TUE AE

se composera , ainsi que la somme des non-résidus , de termes
qui, ajoutés deux à deux , donneront des sommes partielles
égales à n. En conséquence, on peut énoncer la proposition
suivante :

Troisième théorème. v étant un nombre premier de la
forme 4x + 1,et

FINE

une puissance de v, dont le degré «a surpassel’unite, si, parmi
les entiers inférieurs à 2, mais premiers à », on distingue
les résidus quadratiques
!
RARE NE
et les non-résidus

k,E, &..

la somme + +/h"+... des résidus, et la somme
k+K+#"+... des non-résidus seront, l’une et l’autre,
divisibles par 7.

Ainsi, en particulier, on trouvera, pour ñn—=25=5?,
h+h+h+.=1+4+6+9+11+14+16+19+21+24

=1+4+6+9+11-11—-9—6— 4—1
=0, (mod. 25),

DES NOMBRES. 565
RHREK += 2+3+7+8+12#+13+17+184+22+ 23
=2+3+7+8+12—12— 8 — 7 —3—2
=0, (mod. 25).

Aux théorèmes 1,2, 3, on peut évidemment joindre le
suivant :

Quatrième théorème. n représentant un nombre entier su-
périeur à 2, la somme des entiers inférieurs à 7, mais pre-
miers à », sera divisible par », de sorte qu’en désignant ces
entiers par

1 CENT LE

on aura
(ri) h+k+l+...=0o, (mod. 2).
Effectivement, les entiers inférieurs à x et premiers à n,
étant deux à deux de la forme
In ET,

fourniront des sommes partielles toutes égales à #. On doit
seulement excepter le cas où les nombres

ln
pourraient devenir égaux, en restant premiers à ». Or, l’é-
_quation
[= n—!
donne
I
1—= =},

2
I . . . . \ “ ,
et pour que :7 soit entier, mais premier à X, il faut que

: 3
l'on ait n — 2.
Avant d’aller plus loin , nous présenterons une observation

566 THÉORIE

importante. La somme alternée @ étant déterminée par la
formule (2), et le groupe des exposants

RNA EEE

étant supposé, dans cette somme, renfermer l’exposant 1,
enfin, le nombre / étant inférieur, où même supérieur à »,
mais premier à 2; si, dans la somme alternée ®, on rem-
place + par ?!, alors, suivant que / sera équivalent à l’un des
nombres

PAT 00

ou à l’un des nombres
LA [14
HENRI

cette même somme se trouvera multipliée par +1 où par —1,
c'est-à-dire que les termes précédés du signe + sy trou-
veront échangés ou non contre les termes précédés du
signe —, cette espèce de multiplication ou d'échange ayant
lieu dans le cas même où » renfermerait des facteurs égaux,
et où par suite, en vertu des propriétés de la racine », la
somme alternée ® s’évanouirait. D'ailleurs, si » est un nombre
premier ou une puissance d’un tel nombre, on aura , dans le
premier cas,

dans le second cas

Done, alors, changer, dans la somme alternée ®, & en k', re-
vient à multiplier cette somme, ou plutôt ses divers termes,

par [:] 6

DES NOMBRES. 567

Concevons à présent que » représente un nombre impair
quelconque. Il sera le produit de facteurs premiers impairs

LA [24
VEUVE ET

élevés à diverses puissances ; et, si l’on désigne les exposants
de ces puissances par

RD NCIS
on aura

(12) == Viy oi

3.

N= po (on) (sn) (2). =n(i—?) (ii) ( rar =) 1
Soient d’ailleurs
80 L'ANPE RN

des racines primitives qui appartiennent respectivement aux
diverses équations

(14) "=, 21, © = ete.
On pourra prendre
(15) Ent
Soient de plus |
1 VSpr QU: tee
des sommes alternées, respectivement formées avec les ra-
cines primitives de la première, ou de la seconde, ou de
la troisième. des équations (14), et de manière que la racine
ÉOUET, OUNCS - 2.

représente l’un des termes affectés du signe +. D'après ce
qui a été dit dans la note précédente, si la somme alternée w
est en même temps une fonction alternée des racines primi-
tives de chacune des équations (14), non-seulement cette

568 THÉORIE
somme @ vérifiera l’une des conditions
(16) —410; (17) D —= +n,
mais en outre le produit
AAA 6
sera égal, au signe près, à la somme ®; et comme, dans ce
produit, aussi bien que dans la somme ®, le terme

EnC...
sera évidemment affecté du signe +, on aura nécessairement
(18) ®— AAA"...

Il y a plus : les divers termes compris dans la somme @ se-
ront les produits partiels que l’on peut former, en multi-
pliant les divers termes de la somme 4, par les divers termes
de la somme A, puis par les divers termes de la somme 4",
et ainsi de suite. Cela posé, on pourra facilement décider si
un entier /, inférieur à » et premier à », fait partie du groupe
hs RS RTE
ou du groupe
j NN EN As
En effet, pour y parvenir, il suffira de savoir si, dans la
somme ®, les termes précédés du signe + se trouvent
échangés ou non contre les termes précédés du signe —,
quand on remplace

PEN IMDAT PE 0 ..,

ou, ce qui revient au même, quand on substitue simulta-
nément

RANCE

Or, de ces diverses substitutions la première équivaut à la

DES NOMBRES. 569

multiplication des divers termes de la somme ‘A par

FE

la seconde à la multiplication des divers termes de A! par

gl

la troisième à la multiplication des divers termes de 4” par

1 ?
y'e

etc. Donc, en vertu de ces substitutions réunies, les divers
termes du produit AAA”. ou dela somme pourront être

censés multipliés par
7 l l tn
El Ex]

Donc, en définitive, / fera partie du groupe

RL A, Fm.
ou du groupe
NN CA

ÉIAIER

sera égal à +1 ou à —1.
Si, en supposant toujours

suivant que le produit

TT
TL —=Iy yves.

on se sert de la notation

T. XVII. Da

570 THÉORIE

pour représenter le produit

BIOS

on déduira immédiatement des principes que nous venons
d'établir la proposition suivante :

Cinquième théorème. Soient r un nombre impair ; v, v',v',….
ses facteurs premiers; a, b, c... les exposants de ces
facteurs dans le nombre 7; / un des entiers inférieurs à 7
mais premiers à 2; et ÿ une des racines primitives de l’équa-
tion (1). Si une somme alternée @® de ces racines est en
même temps une fonction alternée des racines primitives de
chacune des équations (14), les deux termes

l

Pr P

seront, dans la somme alternée @, affectés du mème signe ou
de signes contraires suivant que l’on aura

(19) ]= ou Fl=—:.

Il en résulte encore que, dans le cas où , comme nous l'avons
supposé, le groupe des nombres

!,
RECRUE. E

renferme l'unité, Z fait partie ou non de ce même groupe
suivant que la première ou la seconde des formules (19)
se vérifie.

Supposons maintenant que, x étant déterminé par la for-
mule (12), et { désignant l’un des nombres entiers inférieurs
à n, on nomme

RARE

hs

Al

DES NOMBRES. 571

te

les restes positifs qu'on obtient, quand on divise successi-
vement / par chacun des nombres

VE NAN N
L'équation
£ = En Û ...
donnera non-seulement
4 p' —= Etnte. +
mais aussi
(20) = UTP

et pareillement la formule

entraînera la suivante

eo AAIDIDS

D'ailleurs les diverses racines primitives de l'équation

seront les diverses valeurs qu’on obtient pour
FA
en prenant successivement pour à tous les entiers inférieurs
à et premiers à v”. De même les diverses racines primitives
de l'équation
a" —";
seront les diverses valeurs qu'on obtient pour

A
"

372 THÉORIE

en prenant successivement pour X tous les entiers inférieurs
à v* et premiers à vw’; ete... Donc, en vertu du quatrième
théorème de la note VI, les diverses racines primitives de
l'équation (1) seront représentées par les diverses valeurs du

produit

è 1” (Cas LE.

correspondantes aux divers systèmes de valeurs que peuvent
acquérir les exposants

ANR
quand on prend pour x un entier inférieur à v‘, mais pre-
mier à ie pour X un entier inférieur à v?, mais premier à v”,
pour x” un entier inférieur à y‘; mais premier à y EICUCE
Donc, puisque les diverses racines primitives de l'équation (1)
peuvent encore être représentées par les diverses valeurs
qu'on obtient pour |

P

en prenant successivement pour / tous les entiers inférieurs
à À, mais premiers à »; On peut affirmer, non-seulement,
qu'à chaque valeur de / correspondra , comme il était facile
de le prévoir, un seul système des valeurs de

PE A Et
mais réciproquement, qu'a chaque système de valeurs de
a,X,X",... Correspondra une seule valeur de /.

Il est bon d'observer encore que, le nombre » étant impair,
la somme alternée ®, déterminée par l'équation (2), ne pourra,
en vertu des principes établis dans la note précédente, vérifier
la formule (17), ou

Di == 71,

que dans deux cas particuliers, savoir, 1° lorsque # sera un

DES NOMBRES. 578

nombre premier, 2° lorsque, x étant le produit de facteurs
premiers inégaux

VS de
® sera une fonction alternée des racines primitives de cha-
cune des équations
(22) DÆ Du ose
Ajoutons que, dans l’un et l'autre cas, on aura
O7;
si z est de la forme 4x + 1, et
D —=—n

si z est de la forme 4x + 3.

Jusqu'à présent nous avons supposé que dans l'équation (1)
l'exposant 7 était un nombre impair. Concevons main-
tenant qu'il devienne un nombre pair, et supposons d’abord
qu'il se réduise à une puissance de 2.

Pour que l’on puisse former, avec les racines primitives de
l'équation (1) une somme alternée

D —p" + p+ep” ee pi — pl — D — ..,

il sera nécessaire que la puissance de 2, représentée par »,
soit une puissance supérieure à la première, par conséquent
un terme de la progression géométrique

4, 8, 16, etc...
Alors, on pourra supposer, si 2 est égal à 4,

| AUS nr
et si nr est égal à 8

à

574 THÉORIE

ou bien
EE 5 3 7
é CS se red
ou bien encore
3 5
EE RU
etc... Alors aussi la formule (17) ne pourra être vérifiée que
dans trois cas spéciaux, savoir, 1° lorsque, » étant égal à 4,

on aura
D—=p—p D——4,

2° lorsque, » étant égal à 8, on aura
D=p+p —p—p, D'—=— 8
3° lorsque, nr étant égal à 8, on aura
D=p+p— pp DB.

Or, de ces trois cas le dernier est le seul dans lequel les

sommes
h+h +... k4+k +...

deviennent divibles par 7. En effet, on aura dans le premier

cas

par conséquent
h=— k=1, (mod. n);

dans le second He
h+h'—=:1 O4 k ak bre 7 = 12,
par conséquent
h+h=k + W=°n, (mod. »);
et dans le troisième cas

h+h—=1%4 768, 0h43 + 5—08,

DES NOMBRES. Go

1

par conséquent
hL+h—=k+k—n.

Concevons maintenant que À, étant un nombre pair, ne
se réduise plus à une puissance de 2. Si l’on nomme », y’, y"...
les facteurs premiers de », dont l’un, y par exemple, se ré-
duira simplement au nombre 2, on pourra supposer encore
la valeur de 7 déterminée par l'équation (12), et la valeur

de » par l’équation (15),
Es nls 2

désignant des racines primitives qui appartiennent respecti-
vement à la première, à la seconde, à la troisième... des
formules (14). Il y a plus : si l’on nomme

AAA AS. à

des sommes alternées respectivement formées avec les racines
primitives de la première, de la seconde, de la troisième...
des équations (14), et de manière que la racine

E, AO, DU UCx EE"

représente l’un des termes affectés du signe +; si d'autre

part on nomme
EL
A3 À 3.

les restes qu’on obtient quand on divise successivement par
chacun des facteurs

b

af le
Vo IVE VI Ie

un entier / inférieur à 72, mais premier à 7; on se trouvera
de nouveau conduit aux formules (18) et (20) : et l’on con-

576 THÉORIE
clura toujours de la formule (20) qu'à chaque système de
valeurs de

FREE CPE ee

correspond une seule valeur de Z. D'ailleurs la formule (18)
fournira encore le moyen de décider si un entier /, inférieur
à n, mais premier à », fait partie du groupe

RAS MAUR
qui par hypothèse renferme l'unité, ou du groupe

RSR

En effet, pour y parvenir, il suffira de savoir si, dans la
somme @®, les termes du signe + se trouvent échangés ou
non contre les termes précédés du signe —, quand on
remplace

L (Don):
pe End. par pie é mibene
ou, ce qui revient au même, quand on substitue simulta-
nément
Eat anse CRE

Or, de ces diverses substitutions, la seconde, la troisième,
simultanément effectuées, changeront ou ne changeront pas
les termes précédés d’un signe en ceux que précède le signe

contraire, par exemple, les termes affectés du signe + en
ceux qu'affecte le signe —, suivant que l'expression

ARE

sera égale à +1 ou à — 1. Cela posé, en passant du cas

DES NOMBRES. 573

où la lettre » désigne un nombre impair au cas où cette
lettre représente un nombre pair, on obtiendra , au lieu du
cinquième théorème, la proposition suivante :

Sixième théorème. Soient » un nombre pair,
LA
V2, 1h Vince
ses facteurs premiers

CN DE one
les exposants de ces facteurs dans le nombre n,
l

un des entiers inférieurs à x et premiers à n, et e une des
racines primitives de l’équation (r). Si une somme alternée @
de ces racines est en même temps une fonction alternée des
racines primitives de chacune des équations (14), et a, en
conséquence, pour facteur une somme alternée A des racines
primitives £,ë,... de l'équation

(23) L — 1,

les deux termes

seront, dans la somme alternée @, affectés du même signe,
1° lorsque, les termes

étant affectés du même signe dans la somme alternée A, on

aura

T. XVII. 73

578 THÉORIE

ou, ce qui revient au même,

(24) Æ' TE

2° lorsque, les termes

6, E

étant affectés de signes contraires dans la somme alternée A,

on aura
u
Ne

ou, ce qui revient au même,

(25) LE tr

I
7
27
Considérons en particulier le cas où, x étant pair, la
somme ® vérifie la condition (17), savoir,

D'= + n.

Dans ce cas, en vertu des principes établis dans la note pré-
cédente, © sera nécessairement une fonction alternée des
racines primitives de chacune des équations (14), et de plus on
aura, d’une part,

Ts = lis
ou

’
d’autre part,
DÉANGCET EME ND

Or, supposons d’abord

DES NOMBRES. 579
Alors on trouvera
n —4yv y". AZ p—p pi p',
et le théorème 6 entraînera le suivant :
Septième théorème. Soient r un nombre pair divisible
par 4,

v,v, etc...

£
4

L'un des entiers inférieurs à », mais premiers à », et : l’une
des racines primitives de l'équation

#
les facteurs premiers de ;» supposés impairs et inégaux,

Te
Si une somme alternée @ de ces racines vérifie la condition
D° — 2e nm ,

non-seulement © Sera une fonction alternée des- racines pri-
mitives de chacune des équations

(26) Ah ,sue" = apéro.
mais de, plus les deux termes
l
Ps Po

seront, dans la somme alternée @, affectés du même signe,
quand on aura simultanément

[= 1, (mod. 4), “4 I, ou bien
z"
(27) ;
, l=—1,(mod./), ns Sms
CA Er

580 THÉORIE :
et affectés de signes contraires, quand on aura
7 :
[= 1,(mod. 4), = ces à ou bien
7
(28) F
Î=—1,(mod.#), — |—=
cn
4
Supposons , en second lieu, €
DOS

Alors on aura

LA ZA

N— 0%... 5
et, si l'on veut que la fonction alternée @ vérifie la condition
°=n.

on devra supposer

A—p + p —p + P, lorsque x sera de la forme 4x + 1,
et

A—p — p—p# —9, lorsque x sera de la forme 4x + 3.
Au contraire, si l'on veut que la somme alternée © vérifie la
condition

D'—=—n

on devra supposer

A—p+p —9 —,, lorsque » sera de la forme 4x + 1, |
et

A—p+p—p—$, lorsque » sera de la forme 4x + 1.

Cela posé, le théorème 6 entraînera évidemment les proposi-
tions suivantes :

DES NOMBRES. 581

Huïtième théorème. Soient r un nombre pair divisible

par 8;

Vis. Vas ae

. n PR . ne)

les facteurs premiers de + supposés impairs et inégaux ; lun
des entiers inférieurs à 7, mais premiers à 7; et e uneracine
primitive de l'équation

DE".
Enfin, supposons qu'une somme alternée @ de ces racines
vérifie la condition

Da 77:
Non-seulement cette somme sera une fonction alternée des
racines primitives de chacune des équations

(29) GES PET ET TT AO
mais de plus les termes

L
Pr P
seront, dans la somme @, affectés du même signe, 1° si è

étant de la forme 4x +1, ona

l
Î=% nou ,;7, T | =U ou bien
37
(30) ;
1=53 ou nn
32
2° si à étant de la forme 4x + 3, on a
l :
[=1 ou 3, — | =1, ou bien
C4
(1)
l=3 one MANS à
An
. 8

582 THÉORIE

Neuvième théorème. Soient #7 ‘un nombre pair divisible
par 8,
A "80 à 2

» . n fn . . r
les facteurs premiers de g» supposés impairs et inégaux , l'un

des entiers inférieurs à #, maispremiers à », et + unetracine
primitive de l'équation
ZX" — I ;

Enfin, supposons qu'une somme alternée de ces racines vé-
rifie la condition

P—= nn.
Non-seulement cette somme sera" une fonction alternée:des
racines primitives de chaeune des équations

(34) LA ET DIET EN CIC
mais de plus les termes
(D e
seront, dans la somme alternée @, affectés du même signe, 1°s1,

. étant de la forme 4x + 1, on a
l ;
[=1 ou 53, —|=1, ou bien
7 (À
, 8
(33) +
I= où | 1;
g L(
9° si, : étant de la forme 4x + 3, on a
| l=1 - ou 17 | = —1, oubien
8 [12
(34)
1=31.où rs; || ="

DES NOMBRES. 583

Revenons maintenant à la formule (7), où les nombres
U " ! (4
RARE HOUR TENTE

.
représentent les exposants des termes affectés du signe + ou du
signe — dans la somme alternée @. I] suit des théorèmes 1 et 3
que cette formule se vérifie, 1° quand » est un nombre premier
impair, supérieur à 3, 2° quand » est une puissance quelconque
d’un nombre premier de la forme 4x + 1. J'ajoute qu’elle se
vérifiera encore, si 2 est un nombre composé qui renferme
plusieurs facteurs premiers, l’un de ces facteurs pouvant être
le nombre 2 élevé à une puissance dont le degré surpasse
l'unité, et si d’ailleurs, la valeur de 7 étant donnée par la
formule (12), la somme alternée @ est une fonction alternée
des racines primitives de chacune des équations (14). En effet,
supposons d’abord x impair. Alors, en vertu du cinquième
théorème joint à la formule (21), les valeurs de / qui appar-
tiendront au groupe

\ à ’
LA LOS IE
seront celles qui vérifieront la condition

(35) [ — 1

(86) CENT

par conséquent, celles qui vérifieront ou les conditions

ED D ="

ou les conditions

(38) Fl=-r, Gif.

584 THÉORIE

Or, le nombre des valeurs de / qui vérifieront la con-
dition (35), ou, ce qui revient au même, le nombre des sys-
tèmes de valeurs de à, %,X",... qui vérifieront la condi-
tion (36), sera

NS TER (v— 1) (0) (v—1)..,,

2

2

aussi bien que le nombre des valeurs de Z/ qui vérifieront la

condition
«| eh ;
=

PIPIRA EE

Pareillement , on reconnaîitra que le produit

ou

NT VE .(—1) (w"—1). Ar.

exprime le nombre des systèmes de valeurs de
V4 174
CUT 24

qui sont propres à vérifier, soit la seconde des formules (37),
soit la seconde des formules (38). Donc ce dernier produit,

” 1 2
que nous représentons par = %, en posant, pour abréger,

(39) M — v° "9. (Vo) (OI) 5

exprimera le nombre des valeurs de /, qui, étant comprises
dans le groupe

LAS VA 7. RS

seront équivalentes, suivant le module y’, à une même valeur
de x, par laquelle la première des formules (37) ou (38) se

DES NOMBRES. 585

trouve vérifiée. Donc la somme des valeurs de /, comprises

dans le groupe
bts his de

c'est-à-dire, en d’autres termes, la somme
h+h+h+..….
sera équivalente, suivant le module »‘, au produit du nombre

I
7e
2

De

2

par la somme des valeurs de 1, qui vérifieront l’une des
formules

Go Des Pl

Or, comme chaque valeur de à satisfera nécessairement à
l’une des équations (40), il est clair que la dernière somme
comprendra toutes les valeurs de à, et sera par suite, en
vertu du quatrième théorème, divisible par ». Donc aussi la
première somme

RICE RENTREE RON

La
sera divisible pour ‘; et, comme elle devra être, pour les

He

mêmes raisons, divisible par v*, par »"“,... il est clair que,
dans l'hypothèse admise, elle sera divisible par le produit
n = vy"y"
On pourra encore en dire autant de la somme
ù k+K +k" +...

puisque , en vertu du théorème 4, la somme totale

LORE CT CRE DRE RSR ET OO AE ES
T. XVII. 74

586 THÉORIE

devra encore être divisible par 7. Donc si, # étant impair,
la somme alternée @ est en même temps une fonction alternée
des racines primitives de chacune des équations (14), les deux
sommes

PRE RE OR EE

vérifieront la formule (7).
Supposons maintenant que, dans l'équation (12), l'un des
facteurs

“

'
Vs Va Y

se réduise au nombre 2, mais se trouve élevé à une puis-
sance dont le degré surpasse l'unité. On prouvera encore,
non plus à l’aide de la seule formule (21), mais à l’aide des
formules (18) et (20), que la moitie du produit x, déterminé
par l'équation (38), exprime le nombre des valeurs de / qui,
étant comprises dans le groupe

A ner

sont équivalentes, suivant le module »‘, à une mème valeur
de à. D'ailleurs, parmi les termes affectés du signe + dans la
somme © que détermine la formule (18), on en trouvera qui
auront pour facteur un terme donné quelconque, affecté du
signe + ou du signe — dans la somme A. Donc la somme

RER NRC

sera encore, dans l'hypothèse admise, équivalente, suivant le
. I

module », au produit de 2%, par la somme totale des va-

leurs de à. Donc, cette dernière somme devant être, en vertu
du quatrième théorème, divisible par , on pourra en dire
autant de la première, qui devra être divisible par chacun des

DES NOMBRES. 587

nombres

a 4e
NEROV DEV bras

et se réduire, en conséquence, à un multiple de #. La somme
totale
h+h+h +... +R+R + AE...

devant être elle-même , en vertu du théorème 4, un multiple
de », il suit de ce qu'on vient de dire que les deux sommes

D LP NOR NN eye EVÈNE Eje L

devront encore vérifier la formule (7).

En résumé, l’on pourra énoncer la proposition suivante.

Dixième théorème. n étant un nombre composé qui ren-
ferme divers facteurs premiers v,v',v",... et ne puisse
devenir pair, sans être divisible par 4, si l'on suppose que,
la valeur de 7 étant fournie par l'équation (12), la somme
alternée ®, déterminée par la formule (2), soit en même temps
une fonction alternée des racines primitives de chacune des
équations (4), on aura

CREER + ER +R + EE 0, (mod. »).

.

Il est bon d'observer que, dans le théorème précédent, les
exposants de tous les facteurs impairs pourraient se réduire
à l'unité.

En vertu des principes établis dans la note précédente ,
pour que la somme alternée @ vérifie la condition

Die,

ñn étant un nombre premier ou composé, pair ou impair,
déterminé par la formule(r2),il est nécessaire que les facteurs

, 6 & : BA . ; Q ,:
premiers impairs de x soient inégaux, le facteur pair, s'il

74.

588 THÉORIE
existe, étant 4 ou 8; et qu’en outre @ soit une fonction al-
ternée des racines primitives de chacune des équations (14).
Cela posé, les théorèmes 1 et 2 entraînent évidemment la
proposition suivante.

Onzième théorème. Lorsque la somme alternée ®, déter-
minée par la formule (2), vérifie l'équation (17), savoir

les deux groupes d'exposants
RE RINRHES
ko:
vérifient la condition (7), savoir
h+h +R +4...Z=k+R +R +... 0, (mod. »),

à moins toutefois que le module 7 ne se réduise à l’un des
trois nombres (

3, 4, 8.

On peut d’ailleurs observer que la condition dont il s’agit
est vérifiée , pour le cas même où l’on suppose 7 — 8, lorsque
® , étant réduit à la somme alternée :

p+p—p—p"
vérifie l'équation
Di 7,
mais cesse de l'être lorsque ®, étant réduit à
3 5
PEER P ne
vérifie l'équation

DES NOMBRES. 589

NOTE IX.

THÉORÈMES DIVERS RELATIFS AUX SOMMES ALTERNÉES DES RACINES
PRIMITIVES DES ÉQUATIONS BINÔMES.

Soient 2 un nombre entier supérieur à 2; -
hk,k,1,... les. entiers inférieurs à 7, mais pre-
miersà A;
N le nombre des entiers 4, k, L,...;
e une racine primitive de l'équation

(1) CETTE

enfin, supposons les entiers
ON CE AN

partagés en deux groupes

no AR lite alet oki bel.

de telle manière que l'expression

(2) Dpt + pf + + pt

représente une somme alternée des racines primitives de

l'équation (1), et que l'unité fasse partie du premier groupe
bo.

Alors, la quantité m étant équivalente, suivant le module »,

liés EU

à l’un des entiers

590 THÉORIE
les produits

PRO SERA ES

seront équivalents , à l’ordre près, soit aux termes du pre-
mier groupe

RÉ sn oies
soit aux termes du second groupe

RMS
selon que m» fera partie du premier ou du second groupe ;
et au contraire, les produits

mk,\ mktermhts “eu

seront équivalents, dans le premier cas, aux nombres

LAON RES:
dans le second cas, aux nombres

RENTRER TL EEE

Donc, / étant l’un quelconque des entiers inférieurs à 7, mais
premiers à », le nombre / et le produit r#/, ou plutôt le
reste de la division de ml par », appartiendront ou non
au même groupe, selon que la quantité m deviendra équi-
valente à un terme du premier ou du second groupe. Ainsi,
par exemple,

let —{, ouplutôt n—7/

appartiendront ou non au même groupe, suivant que la
quantité
— 1, ouplutôt 2—1,

fera partie du premier ou du second groupe. Pareillement,

DES NOMBRES. 5g1

si le nombre n» est impair,
l et 1

appartiendront ou non au même groupe, et par suite les
produits
th, A, 1h A

seront équivalents, à l’ordre près, aux nombres

RER EREr A:

ou aux nombres

suivant que le nombre : fera partie du premier groupe ou
du second.

Des principes que nous venons de rappeler il résulte en-
core que, si l'on remplace

m

d] par 9 »
les deux groupes des racines primitives
h k LU k k° hi
Pr P > P >... et D Pr pee.

resteront composés chacun des mêmes racines, ou se trans-
formeront l’un dans l’autre, suivant que m sera équivalent,
suivant le module », à l’un des nombres

! [2
OPEN CAMES CS
ou à l’un des nombres
. ! Il
katana:
Donc, si l’on nomme

L—f(p", Pr P' ..) £

592 THÉORIE

une fonction symétrique des racines

et
= f(!, “as p° 3. -)

ce que devient la fonction [, quand on ÿ remplace

Pr Ps P:
par
k k k
Pin ao MO
la somme
I+J

ne changera jamais ni de valeur ni de signe, et la différence
I—J

pourra seulement changer de signe , en conservant toujours,
au signe près, la même valeur, lorsqu'on remplacera la ra-
cine primitive p par une autre racine primitive ?”. Donc
alors la somme 1 + J sera une fonction symétrique, et la
différence 1—J une fonction alternée des racines primi-
tives de l'équation (1).

Si le nombre » est tel que l’on ait

(3) D ——+n,

alors, en vertu des principes établis dans la note précé-
dente, ce nombre sera de l’une des formes

1" [AT] 8%!
MYY jee e VV yes.) VIENS

vv,v',... désignant des facteurs impairs et premiers , inégaux
entre eux ; et, si d'ailleurs » ne se réduit pas à l’un des trois |
nombres

3,1,4%18;

DES NOMBRES. 593

on aura |
(4) h+h+h +... =zk+K+K" +...=0,(mod.n).
Ajoutons que l'équation (3) pourra se réduire à

(5) ; = Da;

dans le cas seulement où, les facteurs impairs de » étant
inégaux, z sera de l’une des formes

HE (AT 9); O(2T FAI),
et qu'alors chacun des nombres
| RRREES
vérifiera 1°, si x est de la forme 4x + 1, la condition
6) AE
2°, Si = est entier et de la forme 4x + 3, les conditions

) Eté h=1, (mod. 4),

m7

ou

(8) EH =—1, k=—1, (mod.{);
n.

30, si . est entier et de la forme 4x + 1, les conditions

(9) (5. 4,002 lon 7; (mod: 8),

8

ou

(10) LE h=3 ou 5, (mod. 8);
3”

De XVIL 75

594 THÉORIE

4, si ë est entier et de la forme 4x + 3, les conditions

(11) . =, hk=1 où 3, (mod:8)

8
ou ’
(12) kB |—=_1, k=5 où 7, (mod. 8)
$ n
Au contraire, l'équation (3) pourra se réduire à
(13). D,

dans le cas seulement où, les facteurs impairs de » étant
inégaux, 7» sera de l’une des formes

4x +3, A(4æ+1), 8(2x +1);
et alors chacun des nombres
k, hsuk!}.
vérifiera, 1°, si » est de la forme 4x + 3, la condition (6);

4
ou (8); 3° si 5 est entier et de la forme 4x +3, les condi-

2°, si Test entier et de la forme 4x + 1, les conditions (7)

tions (9) ou (10); 4° si . est entier et de la forme 4x + 1,

les conditions (11) ou (12).
Si l’on désigne par
V, MERE AAE
les facteurs premiers de n, et par
| DD EC

les exposants des puissances auxquelles ces mêmes facteurs

DES NOMBRES. 595
sont élevés, l'équation
(14) DESIRE
entraînera généralement la suivante
(15) NES DES PONS SES (v—1) (v—1) (v'— ne

Si l’on suppose en particulier nr impair, et composé de fac-
teurs impairs inégaux

| NN nee
alors l'équation
(16) TONI
entraînera les suivantes :
(17) N—(v—1)(v—1) ("—1)...

6 H-ACIE.-
w BEI

D'ailleurs, » étant un nombre premier impair, l'expression

ST —
F1=tn
se réduira simplement à + 1 ou à — 1, suivant que v sera de
la forme 4x + 1 ou 4x — 1. Donc, en vertu de la formule (18),

l'expression
e —|
n

sera égale à + 1 où à — r, suivant que les facteurs premiers

de », de la forme 4x — 1, seront en nombre pair ou en

nombre impair ; et, comme le nombre » sera, dans le premier

cas, de la forme 4x + 1, dans le second cas, de la forme
75.

# »

596 THÉORIE
4x — 1, il est clair que l'équation (18) pourra ètre ré- ,
duite à

(20) =

nm

De plus, » étant un nombre premier impair, l'expression

Has

se réduira simplement à +1 où à —1, suivant que » sera de
la forme 16x + 1 où 16x +9. Donc, en vertu de la for-
mule (19), l'expression

sera égale à +1, ou à —1, suivant que, parmi les carrés ;

2 12 "2
VV Voies »

21 :
ceux qui se présenteront sous la forme
16x + 9

seront en nombre pair ou en nombre impair. D'ailleurs, le
produit de deux facteurs de la forme 16x + 9 étant lui-même
de la forme 16x + 1, il est clair que le carré

CALE LE

N° —= y" "v

sera , dans le premier cas de la forme 16x + 1, dans le second,
cas de la forme 16x + 9. Done, par suite z sera, dans le
premier cas, de la forme 8x + 1, ou, ce qui revient au
même, de l’une des formes

8æ +1 ou 8x +7;

dans le second cas. de la forme 8x +3, ou, ce qui revient

”

DES NOMBRES. 597
au même de l’une des formes
8x+3 ou 8x+5;

et l'équation (19) pourra être réduite à

@n) =

Supposons maintenant que, les facteurs impairs de » étant
inégaux et représentés par

n renferme en outre un facteur pair représenté par 4 ou
par 8; alors, eu égard à la formule (20), il est clair que
l'équation

(22) TR UNNEES

entraînera la suivante
(23) = euh

ou que l'équation
(24) n— 8yy'...

entraînera la suivante
(25) = | =)

Des formules (20), (23), (25) jointes aux conditions (6), (7),
(8), (9), (10), (11), (12) on déduit immédiatement les propo-
sitions que nous allons énoncer.

Premier théorème. Soit & l’une des racines primitives de

598 THÉORIE

l'équation (1), et supposons les exposants des puissances
diverses de + partagés en deux groupes .

ha PR Ale SOA S

chaque exposant étant censé appartenir au premier ou au
second groupe, suivant que la puissance correspondante se
trouve affectée du signe + ou du signe — dans une somme
alternée © de ces racines primives. Les deux exposants

EX et —1 ou 72 —1I

appartiendront au même groupe, si la somme @ vérifie la

condition
DT,

et à des groupes différents, si la somme @ vérifie la con-
dition

D—=— "7.
Par suite, / étant premier à », les exposants

let 7houtint- 7

appartiendront au même groupe, si l'on a @—2, ce qui
suppose que z soit de l’une des formes

4x+1, 4(4æ +3), 8(2x + 1),
et à des groupes différents, si l'on à ®——n, ce qui sup-
pose que » soit de l’une des formes

4x +3, (4x +1), 8(2x +1).

On peut aussi, de l'équation (21), jointe à ce qui a été dit
plus haut, déduire le théorème dont voici l'énoncé :
Deuxième théorème. Le nombre » étant impair, soit p

DES NOWBRES. 599

l’une des racines primitives de l'équation (1), et supposons les
exposants des puissances diverses de L partagés en deux
groupes, chaque exposant étant censé appartenir au premier
ou au second groupe, suivant que la puissance correspondante
se trouve affectée du signe + ou du signe — dans une somme
alternée © de ces racines, qui offre pour carré +». Les

deux exposants
RE ver

ou plus généralement
Jasetsnel

appartiendront au même groupe, ou à des groupes différents,
suivant que le module rx sera de l’une des formes

8r+1, 8r+7
ou de l’une des formes
8x + 3, 8x +5.

Le deuxième théorème entraîne immédiatement la propo-
sition suivante.

Troisième théorème. n étant un nombre impair, et : une
des racines primitives de l'équation (1), soient

h,h,h',2:Net MeyiRER,...

les deux groupes d’exposants de # dans une somme alternée
© de ces racines, qui offre pour carré + n. Si n est de la

forme
8x+1 où 6r +7,

le groupe des exposants

sk, k...

pourra être remplacé, dans la somme alternée @, par le

600 THÉORIE

groupe des exposants
2h ah, 2h", :

qui seront, à l’ordre près, équivalents aux premiers suivant le
module », et le groupe des exposants

L'ENT T xo
par le groupe des exposants
2k, 241, 2k",...
Si au contraire.» est de l’une des formes
SL MOTO
le groupe des exposants
RRS REUT
pourra être remplacé par le groupe des exposants
DYHNLY RO nie R EE
et le groupe des exposants
TR EN OR
par le groupe des exposants
2h,2h,2h",...
Supposons maintenant que, l'équation

D'— 227

étant vérifiée, » représente, non plus un nombre impair,

mais un nombre pair. Alors » sera de l’une des formes
SALE ….) 8v'v". ..

v,v',... étant des facteurs impairs inégaux. Or, si l'on sup-

0

DES NOMBRES. 6o1

pose d’abord
7 — y"

un nombre / inférieur à 7, mais premier à #, fera partie
du premier groupe

ÉOA LAÉE AR ENS
si cenombre /, pris pour , vérifie les conditions (7) ou (8),
et n’en fera pas partie dans le cas contraire. Par suite, deux

nombres impairs
1, l

inférieurs à 7, mais premiers à », appartiendront l'un au
premier groupe, l’autre au second groupe, si ces nombres
vérifient la condition

(26) SES
I 1
4; 4”

sans vérifier la suivante
l'=1, (mod. 4);
en sorte que l’on ait, non pas

l'—1=0, (mod. 4),
mais au contraire

(27) l'— 1=92, (mod. 4).

Or, les conditions (26), (27) seront évidemment vérifiées si,
L étant inférieur à 2) on pose

(28) l'=1+ . à

puisque alors on aura

| l'—I— = 29) or: 2) (mod. 4).

DVI 76

Go2 THÉORIE

Supposons maintenant
n—8v\".
»,v,... étant toujours des facteurs impairs inégaux, et la

valeur de @° étant +». En vertu des conditions (9) ou (10),
(11) ou (12), deux nombres impairs

AR
inférieurs à 2, mais premiers à 2, appartiendront néces-
sairement , l'un au premier groupe, l’autre au second groupe,
si ces nombres vérifient les deux conditions

(29) "A: = a
I I ?
g rm 8 rm
(30) l'—1=4, (mod.8).

Or, c'est précisément ce qui arrivera, si, / étant inférieur
à = on suppose la valeur de /' déterminée par l'équation (28),
puisque alors on aura

l'—1— - — 4vv". Me 4, (mod 8).

Observons maintenant que la formule (28) entraine immé-
diatement la suivante
(31) A'=ol, (mod. »).
Donc, lorsque x étant pair, le carré de ® sera + x, on
pourra aux termes du premier groupe

t W
TEE

faire correspondre les termes du second groupe

je) des

DES NOMBRES. 603
de manière que l’on ait par exemple
2h=02k, 2h=9k#, 2k"=32k",... (mod. n).

En conséquence on peut énoncer la proposition suivante.
Quatrième théorème. n étant un nombre pair, et k une
des racines primitives de l'équation (1), soient

bikes. sets ksine

les deux groupes d’exposants de +, dans une somme alternée
® de ces racines, qui offre pour carré + ». Les nombres

r (l
2h, 2h,2h",...

seront équivalents, à l’ordre près, suivant le module », aux

x
nombres
CT ENEY 0 EURE
Le nombre total des entiers
CAP SET PE 2

inférieurs à 2, mais premiers à #2, étant représenté par N

2

et la somme alternée © renfermant toujours autant de termes
positifs que de termes négatifs, il est clair que dans chacun
des groupes
L (14 e Al (1
1 RONDE RETENUE

BA £ S EN RS eur
le nombre des termes doit être égal à ét Cela posé, l'unité
étant censée faire partie du premier groupe,

! [1

MCE eno0

nommons z le nombre des termes qui, dans ce groupe, sont

. D... \ LA . .
inférieurs à =? et J le nombre de ceux qui surpassent

76.

6o4 THÉORIE
On aura
; AN
(32) L+J=E
D'autre part, / étant un entier inférieur à®, mais premier à l,
n— l

. rXs Ur . . pie x
sera un autre entier supérieur à < mais inférieur à », et

premier à ». Donc, les entiers inférieurs à 2, mais premiers
à n, se correspondront deux à deux, au-dessus et au-dessous

n Ê N
de = le nombre des uns et des autres étant encore =.
Donc, ceux qui feront partie du second groupe seront, au-

a , «
dessous de, en nombre égal à

5 —L—=],

nr 2 \
et au-dessus de 5° en nombre égal à
—— | — j.

a rat |

Il y a plus : deux termes correspondants, c’est-à-dire de la

forme

PE

seront, en vertu du théorème premier, deux termes qui feront
partie d’un même groupe, si la somme alternée @ vérifie la
condition

DAT:
Donc alors, à l'équation (32), on pourra joindre celle-ci

129 2 Qt:
(33) 1 —],

[er]
©
Cr

DES NOMBRES.

et l’on aura par suite

(34) TEE T

On peut donc énoncer la proposition suivante.
Cinquième théorème. Le nombre r étant tel que la somme
alternée ©, déterminée par l'équation (2), vérifie la condition
77,
chacun des groupes d’exposants
’ "1 ë IR F
h,h,les:. et. 6, K,k,..:
5 . pe \ n r
offrira autant de termes inférieurs à => que de termes supé-

. S nm . a,
rieurs à le nombre des termes de chaque groupe, infé-

8 RAS N
rieurs à se etant —:

4
En terminant cette note, nous joindrons ici quelques ob-

servations qui ne sont pas sans intérêt.
Si, dans le cas où » représente une puissance d’un nombre
premier impair, et / un entier premier à #, on désigne par

BE

comme nous l'avons fait dans.la note précédente, le reste +1
ou —1, qu'on obtient en divisant par » le nombre entier

Ji

alors on devra, dans les formules (20) et (21), supposer, ainsi
que nous l’avons admis, le nombre #7 non-seulement impair

L

mais composé de facteurs inégaux. Car, si l’on supposait, par

606 THÉORIE

exemple,

n= 0%,
on trouverait
N
N => 2.3 ’ — 3:

et les expressions

Es —(—1} =—1, [| =2=— 1, (mod. g),

mn nm

cesseraient d’être égales aux quantités

2
n—x n —1

CE M ni

Toutefois les formules (20), (21)continueraient d'être vérifiées,
si, dans le cas où 2 représente une puissance v‘ d’un nombre y
premier et impair, ou désignait, avec M. Jacobi, par la
notation

non plus le reste +1 où —1, qu'on obtient en divisant par
n le nombre

mais l’expression

Alors aussi l'on pourrait étendre à des nombres impairs
quelconques la loi de réciprocité qui existe entre deux nom-
bres premiers impairs; en sorte qu'on aurait généralement,
pour des valeurs impaires des nombres entiers m et 7

mi

(35) = Es [=]:

DES NOMBRES. 607

NOTE X.

SUR LES FONCTIONS RÉCIPROQUES, ET SUR LES MOYENS QU'ELLES
FOURNISSENT D'ÉVALUER LES SOMMES ALTERNÉES DES RACINES
PRIMITIVES D'UNE ÉQUATION BINÔME.

f(x) étant une fonction donnée de la variable x, on a gé-
néralement , pour une valeur de x, renfermée entre les li-
mites æ,,X [voir le neuvième cahier du Journal de l’école
polytechnique, et le tome IT des Exercices de mathématiques,

page 118],

Q0

x _—
e Fi f(u) dudr,

CO LE.

ou, ce qui revient au même,

(1) HÉA— - jf Si T ë cos r(x— u) f(u) dudr';

et pour une valeur de x, située hors des limites x,,X,

o HE f % J. PET: (u) dudr,
S 2%) — oo) x,

ou, ce qui revient au même,

(2) 0 : jh # ;s ” cos r(x —u) f{u) dudr.
Ainsi, en particulier, si l’on suppose

Z, —=0 NC
? ’

608 THÉORIE

la formule (1) donnera, pour des valeurs positives de x,

(3) ir) TU cos r(x — u) f(u) dudr;

mais on conclura de la formule (2), en y remplacant x par —x,

(4) 0 2 fifi cos r(x — u) f(u) dudr.
Comme on aura d’ailleurs

cos r (x + u) — cos rx COS r4 + Sin rx Sin 74,
cos r (x — u)— cos rx COS ru — sin 7 Sin ru,

on tirera des équations (3) et (4)
(5) f(x) = 2 7 ë ‘ cosrr.cosru f{u) dudr,

(6) i(œ)—= 2 EE sin ræ.sin ru {(u) dudr.

De ces dernières formules, données pour la première fois par
M. Fourier, 1l résulte que, si l’on suppose

(7) gx) —= Of cos rx f(r) dr,

on aura réciproquement

(8) f(æ) — es sin rx f(r) dr,

et que, si l’on suppose

(9) (x) = Cf sin rx f(x) dr,

on aura réciproquement

(10) (a) = = ‘à sinrx f(r) dr,

DES NOMBRES. 6og

Ü

On voit donc ici se manifester une loi de réciprocité, 1° en-
tre les fonctions f et 4, 2° entre les fonctions f et Y, de
telle sorte, que chacune des équations (7), (4) subsiste, pour
des valeurs positives de x, quand on échange entre elles
les fonctions f et g, où f et 4. C'est pour cette raison que,
dans le Bulletin de la Société Philomathique d’acût 1817, j'ai
désigné les fonctions
f(x), o(x),

sous le nom de fonctions réciproques de première espèce, et
les fonctions

f(x), 4x),
sous le nom de fonctions réciproques de seconde espèce. Ces
deux espèces de fonctions peuvent être, ainsi que les formules
citées de M. Fourier, employées avec avantage dans la solu-
tion d’un grand nombre de problèmes, et jouissent de pro-

priétés importantes, dont je rappellerai quelques-unes en peu
de mots.

D'abord, puisqu'on a généralement, pour des valeurs po-
sitives de w,

00 o © ô F4
e*” cos rx dr = ——— e" sin rx dr = = —
vi © + x? of sin rx d, w° + xi?

il en résulte que la fonction
f(x)— ee"
a pour réciproque de première espèce
ONG
EC
et pour réciproque de seconde espèce :

= DE
DVI 77

610 THÉORIE

On a donc par suite ®

Co
Gin) [7 ee UN EE Sn La = Sin rs dr="e

On se trouve ainsi ramené à deux formules données par
M. Laplace. Lorsque, dans la dernière de ces formules, on
pose w—0, on retrouve la formule connue

œ sin 7x T
(12) . r Ne >

qui subsiste seulement pour des valeurs positives de la va-

riable x.
Il résulte encore de la formule connue

1 2

CON EES T CLREL
(13) di e * cosrædr—"e *,

que la fonction

se confond avec sa réciproque de première espèce.
Soit maintenant z une variable, dont le module reste in-
férieur à l'unité, et & une quantité positive. Si la série

f(0o). -zf() Ve" fo), etc.

est convergente, on tirera des formules (8) et (10)

I— zCoSar

(14) Lo) + af{a) + (20) += (2 jjpeise ef

et

(15) aa) +2f20)+.= (2) 6 ptdr.
Si d’ailleurs on fait converger z vers la limite 1, le rapport

I1—2Cosar
1— 22 COs ar + 2°

DES NOMBRES. Grx

s’approchera indéfiniment de la limite 2 à moins que l’on
n'attribue à r des valeurs peu différentes de celles qui vérifient

l'équation
cos ar —

Or, les racines positives de cette équation seront de la forme
P= nb

n étant un nombre entier,et à une constante positive liée à

la constante a par la formule

(16) ab = 27.

Cela posé, on reconnaîtra sans peine [voir le deuxième volume

des Exercices de mathématiques , page 148 et suivantes] que,

si z s'approche indéfiniment de la limite 1, lmtégrale ren-

fermée dans le second membre de la formule (14) aura pour

limite, non pas l'expression

RC OEO

comme on pourrait le croire au premier abord, mais cette
expression augmentée de certaines intégrales singulières dont

la somme sera
Li o(o) + o() + o(26) +—|:

En conséquence on trouvera

vin

(7) Lfo)+ fa) +120) +. =(©) [£e(o)+ 6(8) + 6(20)+..],

ou, ce qui revient au même,

(18)a [Efo)-+K{a)+ aa)+…] 6 [E4(0) + 400) + (204.
77.

6r2 THÉORIE
Ainsi, lorsque la série

fo), fa):1, ea).
est convergente, l'équation (18) subsiste entre les fonctions
réciproques de première espèce désignées par leslettres fet +,
pourvu que les nombres &,b vérifient la condition (16).

Il importe d'observer que la série

g(o), e(b), p(2b),...

peut quelquefois se réduire à un nombre fini de termes, et
qu'alors l'équation (17) fournit immédiatement la somme de
la série
f(o), f(a), f(2a),
C'est ce que nous allons montrer par un exemple.
Comme on a généralement

sin »(& +x) + sin r(@ — x)
2 ?

Sin w7 COS 7'X =

on en conclura, eu égard à la formule (12),

@ sin or s l T
(19) NE CHARME
ou

œ sin wr
(20) 3: — COS ræ an —90;,

o

suivant que æ sera inférieur ou supérieur à w. Donc, si l'on
pose

sin &6X
f(x) = ,
on aura

492) où «9 =0,

DES NOMBRES. 613

suivant que la valeur de x sera inférieure ou supérieure à la
constante positive ; et alors, pour réduire l'équation (17)
à la formule

f(o) + (a) + f(2a) +. ..—= (> ao

I
2
par conséquent à la formule

I : sin 240 sin 3aw T
(21). - ao + sin av + + +. ==,
2 2 3

il suffira de choisir la constante a, de manière à vérifier la
condition
w < b,
ou
do << 2r.

La formule (21) était déjà connue. Lorsqu'on y pose a— 1,
elle donne, pour des valeurs de , renfermées entre les li-
mites 0,2r,

ñ I 6 sin 26 sin 36
(22) 2 ESNOE ++ +. ..—=

CRE

Si, dans la formule (18), on pose

El
z

f{t)=e *,
elle donnera
} e 7

1F- a a 1 b°
(23) æ[ +e ? +e etes R ee tee tt),
les nombres a, b étant toujours assujettis à la condition

ab—2r.

Si, dans l'équation (23), on remplace @° par 2a?, et b* par

(24)

614 THÉORIE

2b?, on en conclura

les nombres &4,b étant maintenant assujettis à vérifier la
condition

(25) ab = T.

J'ai signalé les formules (18) et (24), avec la méthode par la-
quelle je viens de les reproduire, dans le Bulletin de la Société
Plhilomathique de 1817, et j'ai développé cette méthode dans
les lecons données la même année au collége de France. La
relation établie par la formule (24) entre les termes des deux

séries
(26) led ot Ein
(27) il Re ee

parut digne d'attention à l’auteur de la Mécanique céleste,
qui me dit l'avoir vérifiée dans le cas où l’un des nombres a,b
devient très-petit. Effectivement la formule (24), que l’on peut
écrire comme il suit
I À : ST = ee

(28) a Ë + ere + e—4a +.….[=" Ë +e7r+erte +...] ;
donnera sensiblement, si & se réduit à un très-petit nom-
bre dy

I 2 3 1e

a(£ + eTt +eT ht +... -)=ir E

2 2
et, pour vérifier cette dernière équation, il suffit d'observer
que, d’après la définition des intégrales définies, le produit

«(ri tete +, 1),

; É + es Here + 69 +.. le [: + er + et + e—b +|

DES NOMBRES. .615

a pour limite
(29) ferais.

La formule (18), avec la démonstration que nous en avons
donnée, peut être étendue, ainsi que la formule (24), à des
valeurs imaginaires de a, renfermées entre certaines li-
mites. Ainsi, en particulier, la formule (24) continue de
subsister, comme l’a dit M. Poisson, quand on y remplace a?
par &V/—«. Elle subsiste même généralement, quand on
prend pour «a* une expression imaginaire, pourvu que les
parties réelles de & et de b soient nulles ou positives; et
l'on peut retrouver aussi une autre formule, déduite par
M. Poisson de l'équation (18), dans un Mémoire sur le calcul
numérique des intégrales définies. J’ajouterai que, pour ar-
river au cas où la partie réelle de & s’évanouit, il convient
d'examiner d’abord celui où la même partie réelle est inf-
niment petite, mais positive; et qu’en opérant de cette ma-
nière, on peut, de la formule (24), déduire la somme de
certaines puissances d'une racine de l'équation binôme
(30) Érr set
ñ étant un nombre entier quelconque ; savoir : la somme des
puissances qui ont pour exposants les carrés des nombres
entiers inférieurs à 7. C’est ce que nous allons expliquer plus

en détail.
Nommons ? une racine primitive de l'équation (30). On

pourra supposer

(31) CE,
la valeur de w étant
(32) =,

616 THÉORIE

et alors les diverses racines de l'équation (30) pourront être
représentées par celles des puissances de :, qui offriront des
valeurs distinctes; par exempie, par les termes de la pro-
gression géométrique

(33) 1 —p°, p' p° por -N0r ee

Si, dans cette même progression, l'on remplace les exposants

OCR INOEE CU -AEE

par leurs carrés

OUT 16600 ,8 2 (Ré

on obtiendra une nouvelle suite; savoir :

(34) Lips LP#r068e fr D
CS
et, si l'on nomme Q la somme des termes de cette nouvelle
suite, on aura
(35) = 1 +p+pt hp +... + pr,
ou, ce qui revient au même
(SO) MEME TR EVER PEER EE
Cela posé, Q@ sera évidemment ce que devient la somme

des 7 premiers termes de la série (26), quand on y rem-
place a? par —ol/—x, c'est-à-dire, lorsqu'on prend

(87) = TV.

Or, dans ce cas, la formule (25), ou
Ab Tr, |
donnera

(38) BV ;

DES NOMBRES. 617

et, en adoptant cette valeur de #?, on verra les termes
distincts de la série (27) se réduire aux deux premiers,
c'est-à-dire, aux deux termes du binôme

1 +e Pr +e-<v—

On doit done s'attendre à voir l'équation (24) fournir une
relation entre la somme représentée par Q et le binôme
dont il s’agit. Or, effectivement, pour obtenir cette rela-
tion, il suffira de supposer, dans l'équation (24),

«

(39) Be EVE 8 2 vs,

# désignant un nombre infiniment petit. Dans cette supposi-

tion, # différant très-peu de — . V/—x, b* devra très-

peu différer de 7. Donc, si l’on pose
2
(Go) P=F+TV x,

2 27 e A 2. ] di
6° s évanouira en même temps que x ; et, comme la condi-

tion (25) donnera
LA

de + (fete )rV 0,

NS
ou, ce qui revient au même,

ie VERS
me (+ a =) ,

nm

on en conclura sensiblement
6° 6
(&1) Pi,

n'œ na

T. XVII. 78

618 THÉORIE

Concevons maintenant que l’on multiplie par #4, et par 26,
les sommes des séries (26) et (27), en ayant égard aux for-
mules (39), (40), et supposant 4,6 infiniment petits. Comme
chacun des produits

na: era peine +frale— +ertti)a +], na[e—" a + ere
L 2 6€> €2 nr e2
26 [+ es CSS Ce AC CRE CRUE Dee
se réduira sensiblement à l'intégrale définie
Le 2] A J £
É er "©",
o 2
on trouvera, sans erreur sensible, non-seulement
I a s ne = Ad
x É + es + ee + : = mA (1 EVE Hors t ares)
ou, ce qui revient au même,
I 2 2 I
na[;+e— + eh +... —,7°0,
mais encore
I 4 : DFE EE
6 re + e—4? +... = +erv jh

puis , on en conclura, eu égard à la seconde des formules (41), |

I a 2 2
PET et + 6792 +... Q |
2 — = EE — — ———
(42) 1 B ne pa |
- +e-i +e- +e- +... HARAS LS
2

D'ailleurs, en vertu de la formule (24) ou (28), le premier
membre de l'équation (42) sera équivalent au rapport

r° |
3 |
{l
(|

a

DES NOMBRES. 619
Donc, en supposant les valeurs de a’,b* déterminées par les
formules (37), (38), c’est-à-dire, en faisant évanouir x et €,
dans les formules (39), (40), on trouvera

Q T2
AOPT ANVEUESR
1+e _:V— #
ou, ce qui revient au même
(43) DT UP
«a

Mais alors de l'équation (37) présentée sous la forme

DT
Lie ES
n

on tirera (voyez l'Analyse algébrique, te VII et IX)

a Ne Ov HA HN en

Donc la formule (43) donnera

GG) GED NT

En conséquence, l’on aura : 1°, si z est de la forme 4x

(5) or (1 +5);

2°, si n est de la forme 4x + 1,

Le

(46) o= n 5
3°, si À est de la forme 4x + 2,

(47) Q—0;

620 THÉORIE

4°, si n est de la forme 4x +53,

(48) | DETTES
Ainsi les formules (44), (45), (46), (47), (48) que M. Gauss a

établies dans l’un de ses plus beaux mémoires, et dont
M. Dirichlet a donné une démonstration nouvelle en 1835, se
trouventcomprises,comme cas particuliers dans l'équation (24)
de laquelle on déduit immédiatement la formule (44), en
attribuant à l’exposant — a’ une valeur infiniment rapprochée

. . . 27 — . . A
de la valeur imaginaire = V/—1 , ou, ce qui revient au même,

a?

en réduisant l’exponentielle e-* à une racine primitive ? de
l'équation (30).

Il est important d'observer que, dans les équations précé-
dentes, la valeur de Q@, déterminée par la formule (35), peut

encore s'écrire comme il suit
(49) re EE EM Le NE

. 2 . . rés « I
puisque, / étant un entier quelconque inférieur à 57, on
aura généralement

(a —lÿ=E, (mod. »).

Nous avons supposé, dans ce qui précède, la valeur de &
déterminée par la formule (31). Pour savoir ce qui arriverait
dans la supposition contraire , il convient d'examiner d’abord
séparément le cas où x est un nombre premier impair. Dans
ce cas, si l’on nomme

RAP EST
les résidus, et

ka.

La lé. ds

DES NOMBRES. Ga

les non résidus, inférieurs à x, les termes de la série
h hr h'
Pr PP +
se confondront, à l’ordre près, avec les termes de la série

Fr

PP" pee -p ?

et par suite, on aura non-seulement
Ebptp pot... +0 +p Hp +... —=l+pH+p+...p 0,
ou , ce qui revient au même, é
DH D + D +. — pi — D — D} — etc.
mais encore
D AE p°+ SE + es) — "+ pl + p"+ 0

Cela posé, la valeur de Q, donnée par la formule (49), de-
viendra

(50) Q—=1+2(p +0" +0" +...),
ou même
(bi) GE se p + ge" + ne — pi — pp — etc. A

D'ailleurs , le second membre de la formule (51) est une fonc-
tion alternée des racines primitives de l'équation (30), et si,
dans cette fonction, l’on remplace ? par :", m étant premier
à n, elle changera ou ne changera pas de signe, en conser-
vant, au signe près, la même valeur, suivant que m sera ou
ne sera pas résidu quadratique (pages 528 et 529). Done, si
nest un nombre premier impair, la valeur de Q, déterminée
par la formule (35) ou (49) ne sera autre chose qu'une fonc-
tion alternée des racines primitives de l'équation (30); et la

622 THÉORIE
substitution de &" à $, dans cette fonction, n'aura d'autre
effet que de faire varier la valeur de Q dans le rapport de
nt . ,
(1. Donc, puisqu'en supposant
LL)
A= eV +

on a, en vertu de la formule (46) ou (48),

E n—1 \2
(52) Dar. 18
si l’on suppose au contraire
(53) D emo,
m étant premier à 2, On trouvera
(54) o=["|r 4) EF?

Si mn cessait d'être premier à », c’est-à-dire , s’il était divisible
par », alors la formule (35) donnerait immédiatement

(55) = 7,

Supposons maintenant que » soit le carré d’un nombre
premier v, en sorte qu'on ait
TD —=YŸ;,
Alors ceux des entiers
12 SSONIMAT EE

qui seront divisibles par v, et dont le nombre sera », offriront
des carrés divisibles par v? ou 7. Donc, dans le second
membre de la formule (35), y puissances de &, qui offriront
ces carrés pour exposants, se réduiront chacune à l'unité, Si
d’ailleurs on continue de nommer

Pb see

à

DES NOMBRES. 623

les résidus quadratiques inférieurs à #, on obtiendra, au
lieu de la formule (50), la suivante

(56) Q=v+ 2 +" + p" +...)
Enfin, si , désigne une racine primitive de l'équation (1), et
si, parmi les résidus quadratiques
TN CN AE
relatifs au module

— 92
n —+,

on considère ceux qui sont équivalents à un même nombre,
représentant un résidu quadratique relatif au module », ces
résidus correspondront à des puissances de ?, dont la somme
sera nulle (page 536). Il y a plus, pour que cette somme
s'évanouisse, il ne sera pas nécessaire que ? désigne une
racine primitive de l'équation (1), mais seulement une ra-
cine distincte de l'unité. Donc par suite si, » étant le carré
d’un nombre premier impair v,, diffère de l'unité, la somme
totale des diverses puissances de ?, qui offriront pour ex-
posants les divers résidus quadratiques s'évanouira , en sorte
que l’on aura

diet here 0;
et l'équation (56) donnera simplement
(57) Qt
Si p se réduisait à l'unité, la même équation donnerait
Q—n,

et l’on se trouverait ainsi ramené à l'équation (55). Au reste il
est facile de reconnaître que l’équation (57)se trouve elle-même

62/4 THÉORIE
comprise, comme cas particulier, dans la formule (54), lors-

, . DER o . mt .
qu'on attribue généralement à la notation [®] le sens que lui

donne M. Jacobi, et que l'on pose en conséquence

ÉMÈES

Supposons enfin que 7» soit une puissance entière d’un
nombre premier et impair v, en sorte qu'on ait

Nr

Alors, par des raisonnements semblables à ceux qui précè-
dent, l’on prouvera encore que l'équation (54) subsiste, pour
des valeurs de 77 premières à », pourvu que l’on pose
généralement avec M. Jacobi

BE ler

Effectivement, m étant premier à 72, posons

ya—x

De ue

: sera une racine primitive de l'équation

et l’on reconnaîtra sans peine 1° que, dans le développement
de Q, la somme des puissances de & dont l’exposant est di-
visible par une puissance de y d’un degré inférieur à a— 1
s'évanouit; 2° que la somme des autres termes se réduit,
pour des valeurs paires de &, au nombre

et, pour des valeurs impaires de a, au produit

V'G+é+é+..+ er)

DES NOMBRES. 625

Or, comme on aura

Don pe MC «—e k

Ébpour pere F— ch
il en résulte que la somme
1+ç+é+...+ LT)
se réduira pour
p—evV à =) =
et pour

Re : Ê=
pe eV Er sà Fe ne

Donc par suite, pour des valeurs impaires de a , le produit

a—1

y ? (G+ée+ +... + 072)

se réduira, tant que » et x sont premiers entre eux, à l'ex-

pression
(id),
qui ne différera pas de la suivante
réa,

en sorte que la formule (54) se trouvera encore vérifiée. Par
des raisonnements semblables, on déterminera généralement
la valeur que prend Q, lorsque, la valeur de 7 étant

a
VIE

m cesse d'être premier à »; et l'on reconnaîtra que, dans ce cas,
Q est le produit d’une certaine puissance de v par la valeur
T. XVIT. 79

626 THÉORIE

de © qu’on aurait obtenue, si l’on eût substitué au module 7
le dénominateur de la fraction = réduite à sa plus simple
expression. Si l’on supposait »m—, on trouverait

p —= 1,

et la valeur de Q serait précisément celle que fournit l’équa-
tion (55).

Il est facile de vérifier sur des exemples particuliers les
principes généraux que nous venons d'établir. Ainsi l'on
trouvera , pour 7 — 3,

Q= I + p + p— 1 + 2p.

Done alors, en supposant

p— eV: , O— 3. ;
ou, ce qui revient au même
= TA Pi sin T—— "+ D
Er #9" DER 37 me
on aura
:
OF,
tandis qu'en posant successivement
=
., 1 3 =
= EVE > — — — — 2
P e 2 2 VA jf)

et
LES

on trouvera , dans le premier cas,

DES NOMBRES. 627

et dans le second cas
O— 3.

On trouvera de même, pour 7 —5,
O1 +p +) + Ep + 20 + 2p°.

Donc alors , en supposant

p= 7 = 005 T7 = sin +,
on aura
x
Q—= 1 + {cos F=5,
tandis qu’en posant successivement
= = CNE, DC, D

on trouvera , dans le premier et le second cas,

g— 1 + cos F1 + 4 cos E = 5,

ou , cequi revient au même

sheet

dans le troisième cas

x

8 5
e—=1+4 cos —1 + 4 cos — 5,

Be + 5
ou, ce qui revient au même,
re:
QE [s] 5 2
et dans le dernier cas
p=—= D.

De même on trouvera, pour æ4—9= 3, .
+. ==
Q— 1 +p+ ppt HP 3 + 2(0+ pp) 3 + 90 EE — 3;

p—1

79;

628 THÉORIE

et par suite

00,

à moins que » ne se réduise à l'unité, et la valeur de © à

celle que donne la formule

Si au contraire l’on prend æ—27—2°, on trouvera

Q—1+p+p +... +R = 34 Gp +21 ++. Hp);

et par suite, en supposant

2%

Ve

A en
0 —_ EVER TE" ;

ou aura
Q—= (1 + 2p°),

ou, ce qui revient au même,

DU RTE — 9. Se — le

tandis que, si l'on pose

p— en,

m étant premier à 3, l’on trouvera

Si m cessait d'être premier à 27, alors on trouverait
supposant 77 divisible une seule fois par 3,

DOTE 0;

o

1°, en

DES NOMBRES. 629
2 en supposant » divisible par 3° —9,
0—3+6+2.9—27.

Passons maintenant au cas où le module se réduit à 2 ou

à une puissance de 2.
Lorsqu'on a précisément » —2, l'équation

Th? 1";
offre pour racines
—1, +1;
et par suite la valeur de
Q= Er + e

se réduit à zéro ou à 2, suivant que l’on prend pour ? la
racine positive ou la racine négative. Dans le premier cas,
on retrouve la formule (55).

Lorsqu'on suppose æ—%—{4, l'équation

LIN,

a, pour racines primitives ,

p— eV 6° — er
et

ST —
— — V1
p— eee, —

= ie
Alors les valeurs de © que fournit l'équation
Q=1I +p + p° + p— (1 + e),
quand on y pose successivement
g — V — 1; o) Æ — 1;

sont 8=

D—= 2(1 == D) £

Q — 2(1 —V/—1).

630 THÉORIE

La première de ces valeurs est, comme on devait s’y attendre,
celle que fournirait l'équation (45). Si l'on prenait pour k,
non plus une racine primitive de l'équation

mais l’une des deux autres racines — 1, 1, la formule
Ds
QV=—= 2(1 + e)

donnerait, pour p—æ—1,
Q=—"0;

et pour p—1,
DO"

Lorsqu'on suppose ñ—2— 8, l'équation
=—="} |
a pour racines primitives les expressions imaginaires

en Éa. CUVE RUE CV

z 27 T B : x
l'arc © étant F — 7 OU, ce qui revient au même, les ex-

pressions imaginaires

le, ES Vs, nn ee
Va V2 V2 V2

et, si l’on prend alors pour ? l’une de ces expressions, la
valeur de Q, généralement déterminée par la formule

=i+p+p + p + pt Hp + p" + p°— (1 + 2p +p'),
se réduira simplement à
Peel):

Lorsque, dans ce dernier produit, on réduit chaque double

DES NOMBRES. 631

signe au signe +, on retrouve, comme on devait s’y attendre,
la valeur de Q fournie par l'équation (45). Si l'on prenait
pour $ une racine non primitive de l'équation :

c'est-à-dire l’une des racines
LA A 1; Tr;
qui vérifient l'équation de degré moindre
FT,
la valeur de Q, réduite à
4G +e);

serait évidemment double de celle qu'on aurait trouvée en
supposant, non plus 2 —8, mais »—/.
On obtiendrait avec la même facilité les valeurs de Q cor-
respondantes à n—92—16, à n—9°— 3, etc.
Concevons maintenant que x, cessant de représenter un
nombre premier ou une puissance d’un tel nombre, désigne
le produit de plusieurs facteurs premiers

fi U4
Va VV ps

élevés à des puissances entières, dont les degrés soient res-
pectivement

CIONCEE
en sorte que l’on ait

(58) n=vv#"",...

Alors, en vertu du quatrième théorème de la note VI, si l'on
représente par £ une racine primitive de l'équation (1), : sera

632 THÉORIE

de la forme

(59) p—Ent...,

chacun des facteurs En... désignant une racine primitive
de la première, ou de la seconde, ou de la troisième, ... des
équations

(60) D, Ve Ne — I, eICh

et les » racines de l'équation (1) seront les 7 valeurs qu'on
obtient pour , en prenant successivement pour / tous les
entiers

©, l, 2, 95,°- el

inférieurs à 2. Soient d’ailleurs

A

x ane AD.

les restes qu'on obtient en divisant successivement l'expo-
sant / par les divers facteurs

a 1b ne
PESLN EsNVIB RES

de l'exposant 7. Comme les valeurs de À seront en nombre
égal à »", les valeurs de x’ en nombre égal à y”, les valeurs
de x” en nombre égal à v"“,... les systèmes de valeurs
de à,X,2%”,... seront en nombre égal au produit

a lb re
Y

VY NV... D,

c'est-à-dire, en mème nombre que les valeurs de Z. Donc à
chaque valeur de / correspondra un seul système de valeurs

de 1,%,%',... et réciproquement. Ce n’est pas tout. Comme
les formules

[=1, (mod. w#), /=Y, (mod. w*), /=3", (mod, ÿ*),...

DES NOMBRES. 633
entraîneront évidemment les suivantes
l'=Y, (mod. ), 2=i", (mod. v°), ZX" (mod. ÿ"), ». :

quel que soit l’entier désigné par :, on peut affirmer que
l'équation (59) entraînera non-seulement la formule

(Gr) p' —— LA CE .
mais encore la suivante
(62) nt.

Donc, en posant, pour abréger,

=, v —=y, vV'—=4%,...
on aura non-seulement

(63) L+p+p +p +...+p
Et Er Et. En Er Emme + En t)e

mais encore

(64) ER pp PP QUE

(THE E RES RS EG) (1 en + 0 4 + + ne)
Ainsi, en particulier, en prenant :—2, on trouvera

(65) L+Hp+pé+o +... +) =

(I HE ES + E0 +... + Ee—)") (1 + n + né +09 4. + nt) 7).
De cette dernière formule, que M. Gauss a établie comme
nous venons de le faire, il résulte évidemment qu'une valeur
de Q, correspondante à une valeur donnée du degré 2 de
l'équation (30), est le produit de divers facteurs dont chacun
représente une valeur de Q correspondante, non plus au
degré donné x et à l'équation (30), mais à l’un des degrés
v, v”, v',... et à l’une des équations (60). Donc, puisque nous

T. XVIL. 80

634 THÉORIE

avons appris à trouver la valeur de Q correspondante au cas
où z est une puissance d’un nombre premier, la formule (65)
offrira le moyen d'obtenir la valeur de Q dans tous les cas
possibles.
Considérons en particulier le cas où » est un nombre
impair composé de facteurs impairs inégaux
AN Var ere

en sorte qu'on ait simplement

Alors les équations (6o) deviendront
(66) D D CN Dec
par conséquent la formule (65) sera réduite à

(67) LHpEp Ep. He —
(HE ES 0 4 a ECO) (an 2 nf nt + + 07),

et l'on conclura de cette formule que la valeur de Q, corres-
pondante à l'équation (30), est le produit de facteurs dont
chacun représente une valeur de Q correspondante à l'une des
équations (66). D'ailleurs, d’après ce qui a été dit plus haut, le
premier, le second, le troisième... de ces facteurs représente-
ront des sommes alternées des racines primitives de la pre-
mière, de la seconde, de la troisième... des équations (66). Donc,
le produit de ces mêmes facteurs, ou la valeur de Q corres-
pondante à l'équation (30), représentera une somme alternée
des racines primitives de cette équation ; et, en raisonnant
comme à la page 569, on reconnaîtra facilement que la
formule (52) entraîne encore, dans le cas dont il s’agit, la
formule (54).

Pour montrer une application de la formule (67), sup-

DES NOMBRES. 635
posons en particulier

Alors on trouvera
Q= 1 + pH pp... Hp —1 + 4p + Apt + 20° + 20° + 20°
—=(1 + 29") (1 + 29° + 2p°);
et par suite, si l'on pose
Ë = pue 1n— p°,
on aura
Q— (1 + 2Ë) (1 + 2n + 2r°),

ou, ce qui revient au même,
O=(1H+ÉE+HE) (1 +n+ nt + n + n°)

attendu que, & étant racine de l'équation

ë— 9" sera racine de l'équation
D
et n—$° racine de l'équation
5

L — I.

Si, pour fixer les idées, on suppose

7 2T 27
= on ee in —
EC — cos + l/—18 TE)
on trouvera
47 = 4n =
V7 = VTT
3 5
É—e ; =

z x

1HE—=—PV ir, 1 +ont+on——5,

et par suite on aura, conformément à l'équation (52),

Q=(— Fr) (— 5) =. ù
0.

636 THÉORIE

NOTE XI.

MÉTHODE SIMPLE ET NOUVELLE POUR LA DÉTERMINATION COM-
PLÈTE DES SOMMES ALTERNÉES, FORMÉES AVEC LES RACINES
PRIMITIVES DES ÉQUATIONS BINÔMES.

Soit

p
une racine primitive de l'équation
(1) EI
et supposons d’abord que » soit un nombre premier impair.
Les diverses racines primitives de l'équation (1) pourront
être représentées par
2 3 n

Pr Pr Pr--+p »

ou par

(n—1)m
?

m am 3m
PRENONS E

m étant premier à 2. Soit d’ailleurs © une somme alternée
de ces racines primitives. Cette somme sera de la forme

D BEr te te hueet TE us

les exposants
1,2,9,...7—1

étant ainsi partagés en deux groupes
VA tee LE ON 18 OS min

dont le premier pourra être censé renfermer les résidus qua-

DES NOMBRES. 637

dratiques
1,4, etc...

et le second les non-résidus suivant le module n. Si l’on sup-
pose en particulier »—3, on aura simplement

ï

D —p —p = p —p
en sorte qu'une somme alternée pourra être représentée,
au signe près, par le binôme

r

are
ou plus généralement par le binôme

D ="
m étant non divisible par 3. Si » devient égal à 5, les bi-
nômes de la forme ç"— e " se réduiront, au signe près , à

l’un des suivants

L CRETE | —1 2 3tues, © —2

CPR A MS D Mb Dit
et le produit de ces deux derniers binômes, savoir,

Ge) Er) = + pp — 5 — pt
représentera encore, au signe près, la somme alternée
Re
qui pourra s’écrire comme il suit
D (pΗ p7°) (e° — p7°).

J'ajoute qu’il en sera généralement de même, et que, pour une
valeur quelconque du nombre premier n , la somme al-

ternée © pourra être réduite au produit ® déterminé par
la formule

(3) BE — p) (pp). à (pr — Dr),

638 THÉORIE

Effectivement, ce produit , égal, au signe près, au suivant
HU
(néleerg iron
changera tout au plus de signe, quand on y remplacera bp
par 4", attendu qu'alors les termes de la suite

2 3 n
Pr Pr Pare?
se trouveront remplacés par les termes de la suite

(n—1)m

m 2m 3m
PP 3P »°--p ;
qui sont les mêmes, à l'ordre près, et chaque binôme de la
forme

Donc le produit @ ne pourra représenter qu’une fonction
symétrique ou une fonction alternée des racines primitives de
l'équation (1). Donc il sera de l’une des formes

MES)

a désignant une quantité entière positive ou négative, et son
carré ® sera de l’une des formes

a, dre
Comme on tirera d’ailleurs de l'équation (3), non-seulement
ae ao Pi) 2e tenift
ou, ce qui revient au même,
Co

P—P (pe) (1 — 8). (1 — 6°),

DES NOMBRES. 639
mais encore

BC à GG 49. ar,

et par suite

=) ip) 5) pr 6 Jet Der)

AO e) Gr): Gen; #5
il est clair que @, n'étant pas de la forme a’, devra être de
la forme a°w°. On aura donc

n—T

(4) hr — 20 e— 40.

Or, @*° ne pouvant être qu'une fonction symétrique de p, p°,...
ge’, et par conséquent un nombre entier, la seule manière
de vérifier la première des équations (4), sera de poser

P ,

On aura donc

par conséquent
(5) TEE

et toute la difficulté se réduit à déterminer le signe qui doit
affecter le second membre de la formule (5). Or, si, dans la
somme alternée

D—p + p” <= p“” Hd — pi — pf— 5" — etc.,

on remplace généralement

par [],

6/40 THÉORIE

cette somme sera remplacée elle-même par la suivante

[] + ] Bio f] 2 fete. = 2—1=—1, (mod. »)

[2 7 I
tandis que la somme alternée @ se changera en
— (n—1)=1,(mod. »).
Donc, pour décider si, dans la formule (5), on doit réduire
le double signe au signe + ou au signe —., il suffira de cher-
cher la quantité en laquelle se transforme le développement
de ®, quand on y remplace chaque terme de la forme $'

W = È St re
par [:] , et de voir si cette quantité, divisée par x, donne

pour reste —1 ou +1. Or, comme le développement de &

se composera de termes de la forme
+ titit5+.……

Ts ?
le signe qui précède £ étant le produit des signes qui, dans
l'exposant de 4, précèdent les nombres 1,3, 5,...; la quan-
tité dont il s’agit sera la somme des expressions de la forme
2E SE QUEUE
|

10)

le signe placé en dehors des parenthèses étant le produit des
signes placés au dedans. Elle sera donc équivalente , suivant
le module x, à la somme des expressions de la forme

n—1

(6) HET EEE EL Tes)
Ainsi, en particulier, elle sera équivalente, pour 7 —5, à

l'—(—1)=2=—1, (mod. 3);

pour nr — 0; à

(+3) +4 (—1—3)—(—r1+3) —(1—3) =4=—1,(mod.)).

DES NOMBRES. 64t

D'ailleurs , si l’on suppose le nombre des lettres a, b,c,...
égal à m, la somme des expressions de la forme

(7) (Him EH a)",

développées suivant les puissances ascendantes de à, b, c,.….
ne pourra renfermer aucun terme dans lequel l’exposant
de a, ou de b, ou de c, s’évanouisse. En effet, comme, dans
cette somme, deux expressions qui ne différeront l’une de
l’autre que par le signe placé devant la lettre a, présente-
ront, en dehors des parenthèses, des signes contraires , elles
fourniront deux développements, dont les divers termes se
‘détruiront mutuellement, à l'exception de ceux qui renfer-
meront des puissances impaires de a. Donc, chacun des
termes qui resteront dans la somme dont il s’agit, sera pro-
portionnel à une puissance impaire de a; et, comme il de-
vra être, par la même raison, proportionnel à une puissance
impaire de d, à une puissance impaire de c,..., il est clair
que, dans un terme conservé, ces diverses puissances, dont
les exposants auront pour somme le nombre m, devront
toutes se réduire à la première puissance, et chaque exposant
à l'unité. Donc, les seuls termes qui ne se détruiront pas les
uns les autres, seront les termes proportionnels au produit

abc..…,

de toutes les lettres a, b, c,...;et, puisque chacune des va-
leurs de l'expression (7) offre dans son développement un
semblable terme, précisément égal au produit

HÉDIDS CLGS de

il suffira, pour obtenir la somme de ces valeurs, de mul-
D XMNIE. 81

642 THÉORIE
tiplier leur nombre 2" par ce même produit. Donc la somme
des valeurs de l'expression (7) sera
2"(1-5.9 5 n)abc.}-
Si maintenant on remplace

YO Y cynN

par les nombres
1,9, 9,...2M—1,

le produit
arr 2m) abc;

deviendra
DC 2180 mn) a DO Meme) = 01804 Mome

n —

Donc, en écrivant au lieu de», on reconnaîtra que la
somme des expressions (6) a pour valeur le produit
1.2.3..,(n—1)=—1, (mod. }).

Donc & se transformera en une somme équivalente à —1,
si lon y remplace généralement

e” par FE
d’où il suit que l'équation (5) devra être réduite à
(8) E—@.
En d’autres termes, on aura
QD —r Xe TT pp ep

hk, 7, h",... étant les résidus quadratiques, et #,#',#",...
les non résidus quadratiques inférieurs au module 7. On se
trouve ainsi ramené à la belle formule que M. Gauss a donnée

DES NOMBRES. 643

le premier dans le mémoire intitulé : Summatio serierum
quarumdam singularium, et qui convertit la somme alternée

114

D— p+ "+ p"+ Le "+ p" + p PAT E,

dont le carré @* vérifie l'équation
(10) ®'—=(—1)*n,
en un produit de la forme

L —1 3 —3 n— —(n—2
ep") (pp) 2 PT — pe).
Or, cette conversion une fois opérée, 1l devient facile, comme
l'on sait, d’assigner, dans tous les cas, la valeur exacte de la
somme alternée @®. On y parvient , en effet, comme il suit.
Observons d’abord qu'en vertu des formules

n—2

et er ur er 9.

le premier membre de l'équation (9), ou la valeur de la
somme ®, se réduira, 1°, si 2 est de la forme 4x + 1, à
n—1 NT

le = ne) Le 6 :);

2°, si » est de la forme 4x + 3, à

n—3 An—1 A—1

(2) @=(—1) — pr) — 07)..." —p *),

. . . y + SE:
attendu que le nombre des entiers pairs, et inférieurs à =»,

TL A—I _R—I si A— I t .
rs nl = est pair,

et

est impair.
&t.

644 THÉORIE

D'autre part, si l'on pose

(13) PEL,
on en conclura généralement

! RE M —
(14) p—p —28sn—1l/—1;

. . . rue \ I
et il est clair que, pour toute valeur de Z inférieur à - 7,

le coefficient de /—x, dans le second membre de l’équa-
tion (14), sera une quantité positive. Enfin, l’on tirera de
l'équation (14), 1°, en supposant » de la forme 4x + 1

n—x A—1 n—:

Z : —1\,(,2 —2 2 Rx TE = OT AT .
(15) (e°— p7")(p— 077). (p ? —p =(—i1)f 2 sin = sin =. ..sin

n
2°, en supposant 7 de la forme 4x + 3.

nt

n=x n—3 1
< RE — — VE Pet RES ef RESTES 27% . 47 .
(16) (p°— p7") (p° — p7*). + .(p pe ‘)=(—i1)* 2° sin—sin—...sin
Donc, si l'on attribue à la valeur que détermine l’équa-
tion (13), on tirera des formules (11) et (12), 1°, en suppo-

sant x de la forme 4x + 1,
TEL

ni

. 2% : T .
(17) D—2% MERE a NA
V7 n n

A

2°, en supposant z de la forme 4x + 3,

n—1 ——"T
T . 2

de ..sin

(2 n

2e
(18) ®—2 * sin — sin
\ rm

V1.

Or, en substituant l’une de ces dernières valeurs de la somme
alternée ® dans la formule (10), on en conclura que le

produit
n—1

n— x

T

Nr AT TE .

2 sin — Sin —...SIn
n n

2

DES NOMBRES. 645

a pour carré le nombre ». Donc ce produit, qui ne renferme
que des facteurs positifs, sera lui-même positif, et égal

à 7. On aura donc, quel que soit le nombre premier
; q >

pourvu qu'il surpasse 2,
N—1

TT

(19) 2° sin s sin — 2.

4T

+ 2USIn
nr

et, par conséquent, les équations (17), (18) se réduiront, la
première à

(20) D—=#,

la seconde à

(21) =;

en sorte que l’une et l’autre seront comprises dans la formule

(22) ® — 1) F) :

Si maintenant on veut obtenir la valeur de @ correspon-
dante à la valeur de , que détermine, non plus la formule (15),
mais la suivante

VE
(23) p—=e" Ù
m étant un entier quelconque non divisible par n, il suf-
fira évidemment de remplacer, dans la valeur de ® que
fournit l'équation (22), ? par f", ou, ce qui revient au même,
il suffira de multiplier cette valeur par

Donc, lorsque la valeur ? sera donnée par l'équation (23), m
étant premier à », la valeur de la somme alternée © deviendra

646 THÉORIE
(24) = front).

Les formules (21), (24) s'accordent avec les formules (52), (54)
de la note précédente; et cela devait être, puisqu’en vertu de
la formule (51) de la même note les sommes désignées par Q
et par © sont toujours égales, quand », étant un nombre
premier impair, ? désigne une racine primitive de l’équa-
tion (1).

Il n’en serait plus de même si, dans les sommes Q et ®,
on remplaçait & par la racine non primitive de l'équation (1),
c’est-à-dire, par l'unité, puisqu’alors évidemment la somme Q
se réduirait au nombre n», et le second membre de l’équa-
tion (2) à zéro.

Les formules (22), (24) une fois établies pour le cas où
désigne un nombre premier supérieur à 2, il est facile de les
étendre au cas où x désigne un nombre impair composé de
facteurs premiers inégaux. Ainsi, en particulier, soit

R—=NNY ,;

et supposons que, Ëë,n étant des racines primitives des deux

équations

(25) DO, MANS hi:
l'on pose

( 26) p — En.

e sera une racine primitive de l'équation (1); et, si l’on
nomme

’

D. HA À

trois sommes alternées, formées avec les racines primitives

DES. NOMBRES. 647

des trois équations

D NE D'= NIUE AY

de telle manière que, parmi les termes affectés du signe +,
on trouve dans la somme alternée @ le terme 4, dans la
somme A le terme €, dans la somme A” le terme », on aura,
en vertu des principes établis dans la note VIT,

(27) ®—= AN.

Soit d’ailleurs »# un nombre entier, premier à v.et à v', par
conséquent premier à 2; et supposons que, dans les sommes
alternées

® 1 A 54
on remplace

fr Es
par

die Er, c”
Les valeurs de

®; AA,

ne cesseront pas de vérifier la condition (27); et, comme, en
vertu des principes établis dans la note VII, les valeurs de

APN

se trouveront multipliées par les quantités

dont chacune se réduit, au signe près, à l'unité, la valeur
de ® se trouvera multipliée par le produit

FES ET

648 THÉORIE

Donc, la substitution de ;"à, changera ou ne changera pas
le signe de la somme alternée @, suivant que le nombre m
vérifiera la première ou la seconde des conditions

Eee pr

oncevons à présent que l’on pose
Conce présent que l’on p

l'équation (26) donnera
27 (=) =
P— CRE ;
et, comme on aura, en vertu de la formule (22)

a QE : À" 02 = 2 ) :
on conclura de l'équation (27)
(28) D = rm (2e) (=) +(—)
ou , ce qui revient au même,
(29) (1 #4),
attendu que l'on a identiquement

— 12 V—IN2 V—rv—17 v — v'\?

a) Caen ed

Il y a plus : comme les nombres

Y — 1! YV'—r
et

2 2

dont la somme
bn) PET)
2 L

DES NOMBRES. 649

est divisible par 2, seront tous deux pairs où tous deux
impairs, On aura

0) 24 26)

Donc la formule (29) pourra être réduite à

(30) = (ne Fr)

Cette dernière équation suppose que, dans la somme al-
ternée ®, l'un des termes précédés du signe +, est
ro de
PE
Si à la valeur de ©, fournie par l'équation (30), on veut
comparer celle qu'on obtiendrait en prenant pour l’un des
termes précédés du signe + la valeur de p déterminée par
la formule
er

=
on conclura des observations précédemment faites, que cha-
cune de ces deux valeurs de © est le produit de l’autre par
l'expression

[+] — [=] = [1] [:] =(— 1): au
am Vy y y

Donc, puisque la première valeur est donnée par la for-
mule (30), la seconde sera fournie simplement par l'équation

(31) ==);
et si, au lieu de poser
VTT
p—= e” ,

TeXVIE 82

650 THÉORIE

on pose plus généralement

A —
ide die

on devra multiplier par Ë le second membre de la for-

mule (31), qui deviendra
(32) o= [ra

Les formules (31) et (32) ne sont autre chose que les for-
mules (22) et(2/4), étendues au cas où x est le produit de deux
facteurs impairs et premiers v, v. Il y a plus : les raison-
nements dont nous avons fait usage suffisent pour étendre
les formules (22), (24) au cas où x est le produit de deux
facteurs impairs quelconques, pourvu que ces facteurs soient
premiers entre eux, quand on suppose ces mêmes formules
séparément vérifiées pour des valeurs de 7 représentées par
chacun de ces facteurs. Donc, puisque,

! La
NÉ LE Te

étant des nombres premiers impairs, les formules (22), (24)
se vérifient quand on prend

elles se vérifieront quand on prendra pour » le produit w!
de y par », ou le produit v,” de vy par v',... et par con-
séquent lorsqu'on prendra pour » le produit de tous les
facteurs premiers v, v', v’,...

En résumé, si, 7 étant un nombre impair, et le produit
de facteurs premiers inégaux, @ représente une somme
alternée, formée avec les racines primitives de l'équation (1),

DES NOMBRES. 65:

de telle manière que l’un des termes précédés du signe + soit
la valeur de & déterminée par la formule
VE

p—e€ ’
et si d’ailleurs la somme @ est une fonction alternée des
racines primitives, non-seulement de l'équation (1), mais en-
core de chacune des équations que l’on pourrait obtenir en
remplaçant successivement l’exposant » par chacun de ses
facteurs premiers, on aura, 1°, en supposant zx de la forme
4x +1,

x

(33) DR

2°, en supposant » de la forme 4x +3,

(34) ®=RV/—+.
Mais si, dans la somme alternée ©, l’un des termes po-
sitifs est celui que détermine la formule

2mr
— =:
n

p—€ ;

on aura, 1°, en supposant x de la forme 4x + 1

PME
(35) ®— FF] mœ;
2°, en supposant z de la forme 4x +3,

(36) OZ [1] eV —1-

Il sera maintenant facile de déterminer complétement,
dans tous les cas possibles, la valeur exacte d’une somme
alternée ©, formée avec les racines primitives de l’équa-

82.

652 THÉORIE

tion (r). Considérons particulièrement le cas où la somme @
estune fonction alternée des racines primitives, non-seulement
de l'équation (1), mais encore de chacune des équations qu'on
peut obtenir, lorsqu’après avoir décomposé l’exposant x en
facteurs premiers entre eux, on remplace successivement 7
par chacun de ces facteurs. Alors, d’après ce qui a été dit
dans les notes VII, VIII, IX, pour que la somme @ ne soit
pas nulle, il faudra que les facteurs impairs et premiers de
étant inégaux entre eux, le facteur pair, s’il existe, se ré-

duise à l’un des nombres

4, 8;
et l’on aura, ou
(37) DE, EL,
ou bien
(38) OS NE Per

les formules (37) devant se vérifier, par exemple, quand
est de l’une des formes

4x +1, 4(4x +3),
et les formules (38), quand » est de l’une des formes
4x +3, 4(4x + 1).

Nous avons d’ailleurs donné (pages 593 et 594) les condi-
tions auxquelles doivent satisfaire les exposants

ANNE.
dans la formule

D = ph + Len JUS 2 — pi — pf— 6" — etc. 36

lorsqu'on en déduit les formules (37) ou les formules (38),

DES NOMBRES. 653

et que le groupe des exposants
LOS CRT re

renferme l’unité. Or, de ces conditions on déduira sans

peine, à l’aide de raisonnements semblables à ceux dont

nous venons de faire usage, les conclusions suivantes :
D'abord, si l’on suppose » impair, et

la seconde des formules (37) se réduira simplement à la for-
mule (33), et la seconde des formules (38) à la formule (34).
Alors aussi, en prenant, non plus
A7
PEE >
mais
Eve
Pie )
et supposant 77 premier à », on obtiendra, comme on l’a
dit, non plus l'équation (33) ou (34), mais l'équation (35)
ou (36).
2 Supposons à présent que, le facteur pair de n étant le
nombre 4, on désigne par v le nombre premier ou non

premier par

L(2

7
d, SC) p—4;,

des racines primitives des trois équations

DD D M 5 = ee EU

enfin par

654 THÉORIE

des sommes alternées, formées respectivement avec ces ra-
cines, de manière que , parmi les termes précédés du signe +,
on trouve dans la somme A la racine &#, dans la somme A! la
racine , dans la somme ©@ la racine &. Si l’on pose

2V= Zv=
ae ces ;
on aura, non-seulement

ne VHS
=

?

mais encore

ne A ap EG)
et par conséquent
(39) au

Pour savoir si cette dernière formule fournit ou non la valeur
de ® , relative au cas où l’un des termes affectés du signe +
se réduirait à
LV

Pie ;
il suffira d'examiner si l'exposant v + 4 doit être censé ou
non faire partie du même groupe que l'unité. Or, comme
l'expression

se réduit évidemment à

SD RES

il suffira d'examiner si v + 4, divisé par 4, donne pour reste

DES NOMBRES. 655

. : . n
1 où —1. Le premier cas a lieu lorsque =; est de la
forme 4x + 1; le second cas, lorsque 7x est de la forme
4x +3; et par suite, en supposant, dans la somme ©, l’un
des termes positifs réduit à
ev=

p—= e A
on obtiendra pour cette somme, dans le premier cas, la va-
leur que détermine la formule (39), savoir :

o ff) ss PE 24

CT er AE er
et dans le second cas, une valeur qui différera seulement par
le signe de celle que donne la formule (39), savoir, la valeur

©—— nr (5) HET rer)
Donc, si le facteur pair de » se réduit à 4, la supposition

TV

p—=e" 2

reproduira encore, ou la formule (33), lorsque : sera de la

forme 4x +1, ou la formule (34) lorsque $ sera de Ja forme

4x + 3. Quant à la supposition

elle reproduira, pour la somme &, soit la valeur que déter-
mine la formule (33) ou (34), soit cette valeur prise en
signe contraire, suivant que l’exposant rm fera ou non partie
du groupe À,h',h",..., qui est censé renfermer l'exposant 1.

Supposons enfin que, le facteur pair de r étant le nom-

656 THÉORIE

he , Q n
bre 8, on désigne par » le nombre premier ou non premier FL
par

dy Sn PAS)
des racines primitives des trois équations
DD AE) MCE
et par
ACRAGAUDE

des sommes alternées , formées respectivement avec ces ra-
cines, de manière que, parmi les termes affectés du signe +,
on trouve dans la somme A la racine «, dans la somme A la
racine ç, dans la somme © la racine 4. Si l'on pose

Vo ZVT
u—= 6% n es ;

on aura non-seulement

mais encore

Alors aussi, quand la somme alternée A différera de zéro,
elle sera, ou de la forme

(40) A= à + à — d'— x —9(x + à) — 4 cos : —8;,

ou de la forme

x

Gr) Aa + dt — 0 (a + à) = 4 sin V8,

et l’on aura, dans le premier cas,

(42) dr ne) 6

DES NOMBRES. 657
dans le second cas
1 it (2 — 1\2
(43) D NN — 71214 -ee )
Pour savoir si les formules (42) et (43) fournissent ou non
les valeurs de ®, qui sont relatives au cas où l’un des ter-
mes affectés du signe + se réduirait à

et qui d’ailleurs diffèrent de zéro, il suffira de savoir si, dans
chacune des valeurs de ©, les termes 9, P’t' sont affectés
du même signe, ou, ce qui revient au même, si l’exposant
v + 4 fait partie du même groupe que l'unité. Or, d’une part,

l'expression
u + 8 Ë + :]
ne

I
os

se réduit évidemment à

==

et, d'autre part, v+8, divisé par 8, donnera le même
reste que v, savoir : un reste représenté ou non par l'un des
nombres 1,7, suivant que l'expression

61) 7) (21)

(ni) ; =(—1) Eus

aura pour valeur +1 ou —1; ou bien encore un reste

représenté ou non par l'un des nombres 1, 3, suivant que

l'expression
(1) 6=3)
CAR
T. XVIL. 83

658 THÉORIE

aura pour valeur +1 ou —1. Donc, puisque l’on a

et
2 (u—1) (u—3)

CO TR RETIENS ES
les termes
e et nie à,

seront toujours affectés du même signe dans la valeur de
la somme @, que détermine l'équation (42); mais, dans la
valeur de la même somme, déterminée par l'équation (43),
ils seront affectés du même signe ou de signes contraires, sui-

vant que

sera pair où impair, Donc si, en supposant

on affecte du signe +, dans la somme alternée @, toute
puissance de +, dont l'exposant X vérifie la condition (9)
ou (10) de la page 593, on aura, en vertu de la formule (42),

n
1°, quand v—Z sera de la forme 4x +1,

2°, quand G sera de la forme 4x +3,

DATE
et si, en supposant toujours
Ev=
£ ——@ ,

on affecte du signe +, dans la somme alternée @, toute

DES NOMBRES. 65g

ès

puissance de ; dont l’exposant À vérifie les conditions (tr)
ou (12) de la page 594, on aura encore, 1°, en vertu de la

formule (43), quand » — sera de la forme 4x + 1,

® = rt —1;

2°, quand = sera de la forme 4x + 3,

DIT.

Si, dans la somme ©, formée comme on vient de le dire, on
D bicait la racine primitive

par la racine primitive

ane —
Dh PE

m étant premier à 2; cette somme conserverait le même

signe avec la même valeur, ou bien elle changerait de signe,

suivant que "2 serait ou ne serait pas un des exposants

compris dans le groupe qui renfermait l'unité.

Il importe d'observer que les conclusions diverses, aux-
quelles nous venons de parvenir, en supposant successivement
le nombre 7? impair, puis divisible par 4, puis divisible par 8,
se trouvent toutes renfermées dans un théorème général,
qu’ on peut énoncer simplement comme il suit :

Théorème. Soit © une fonction alternée, formée avec les
racines primitives de l’équation (1), et de manière à vérifier la

formule
DE 77:

Si l’on suppose que, dans la somme alternée ©, l’un des

83.

660 THÉORIE

termes précédés du signe + soit la racine primitive

on aura simultanément, ou

D TN ELNOIETL,

ou
D'— 7 Jet Din V5;

en sorte que la valeur de @ sera toujours fournie par l’une

des équations (20), (21) ou (33), (34).

IV
Exemples. En prenant ñ?—3, p—e* ,on trouvera
À "DIT D de
® =— p —p —=2snm > —1 —9 ler
e EU Er
En prenant 11%; pe" —(€e LL, on trouvera
; Mn Des RE es
D—p—p— 25 > 1e res
2
; x Le AE
En prenant 75%; ,p—@ "6e , on trouvera
253 5 3 sy Li182 :
D =p + p —p —p — cos ; — à ?
ou
pk 3 É Éneprée Aer y
(de one Ron) - = Âsin 214 =;
EVE Zv=
En prenant 7 — DR p— €" a , On trouvera, ou
D = p + p° + p7 + pl — pi — 97 — D — D

—(p 0) poneeepe) ne
= (2 sin TV”) (a cos À) ol — Vs,

DES NOMBRES. 661

ou

17

D = p + p +p+p ppt —p" — 6”
(ph pp + pl— pp)
— (2 sin . =) (dat sin?l/—1) — 3 8° — 24: etc...
iQ 4

Nota. Si, dans la somme alternée ©, formée comme on
vient de le dire, on supposait précédé du signe le terme
représenté, non par la racine primitive

mais par la suivante

m étant premier à A; alors la somme alternée @ offrirait ou
la valeur que fournit le théorème énoncé, ou cette même
valeur prise en signe contraire, suivant que le nombre
ferait ou non partie du groupe des nombres ci-dessus repré-
sentés par
RAR RTS.

(voir, pour la détermination de ces mêmes nombres, Îles
pages 593 et 594).

Nous terminons cette note par une observation qui n'est
pas sans importance.

Supposons que, dans le cas où l'on prend

la somme alternée
(44) D RE PER pe ce

vérifie l'équation
p= + .

662 THÉORIE

La même équation sera encore vérifiée quand on prendra

si z est premier à ». Mais, si m» cesse d'être premier à n,
alors en prenant

on trouvera toujours
(45) ®—0;
comme on va le faire voir.
Pour que la somme @ vérifie l'équation
DE 77;
il est nécessaire , comme on l'a dit, que les facteurs impairs et

premiers de # étant inégaux, le facteur pair, s’il existe, se
réduise à l’un des nombres

m cessera d'être premier à », + deviendra une des racines
non primitives de l'équation

T—le
Donc alors, si 2 désigne un nombre premier impair, ou le
nombre 4, où le nombre 8, 4 se réduira, dans le premier
cas, à l’unité; dans le second cas, à l’une des racines
+1, —1
de l'équation
Æ— 1;

dans le troisième cas, à l’une des racines
HI, 0 +, —V =,

|
|

DES NOMBRES. 663

de l'équation
a — 1.

Or, dans ces trois cas, la formule (2), que l’on doit, en sup-
posant le terme : précédé du signe +, réduire, pour 2 —4, à

D — ee p’,
et pour z— 8 à l’une des suivantes
fr 3 5 0 d
D—=p+p—p—p, D—p+p—p—p,
donnera évidemment
(DE=XTE
Si maintenant on suppose
LT 7 À
= VNYVY ... ,

v,v,v,... étant des facteurs dont chacun se réduise soit à
un nombre impair et premier, soit à l’un des nombres 4, 8,
alors la racine primitive

NV
Ft
pourra être présentée sous la forme
D = Éooe
E,n,Q,... désignant des racines primitives propres à vérifier
respectivement les équations

DA TE — 0 LUI ELC Re

et la somme ©, formée avec les puissances de la racine pri-
mitive ?, sera le produit des sommes alternées

AE AP Note

respectivement formées avec les puissances des racines pri-

664 THÉORIE
mitives
Ë > 1» és ..

Or, remplacer dans la somme alternée

la racine primitive

au produit
p—Enc...,
par conséquent à substituer, dans les sommes A, A, A',...,
EFANE 7" à n, BA Ces
Or, en vertu de ces dernières substitutions , une ou plusieurs
des sommes

1 . Q A
s'évanouiront, suivant que le nombre "» cessera d'être pre-
mier à un ou à plusieurs des facteurs

donc aussi la somme
®—AAA"...

s’évanouira elle-même, et l'on pourra énoncer généralement la
proposition suivante.

DES NOMBRES. 665

Deuxième théorème. Soit une des racines primitives de

l'équation
X = 1,
et
(46) OR Ce CC er Conti

une somme alternée de ces racines qui vérifie la condition
DIE 7;

Si, dans cette somme alternée, on substitue à la racine primi-
tive , une racine non primitive, en prenant par exemple

et supposant que le nombre » cesse d'être premier à 7, la
valeur de la somme &, que déterminera la formule (11), sera

D — 0.

—_—— 0 —

NOTE XII.

FORMULES DIVERSES QUI SE DÉDUISENT DES PRINCIPES ÉTABLIS
DANS LA NOTE PRÉCÉDENTE.

Soient toujours
n un nombre entier quelconque ;
h,k,l,... les entiers inférieurs à x et premiers à »;
e l’une des racines primitives de l'équation

(x) Li

DECVIE 84

666 THÉORIE

et

[

(2) D—=p" +pU+pU +... —p— gi — pt —,..

une somme alternée formée avec ces racines primitives, les
entiers

RE TRUES
étant partagés en deux groupes
PMR ER BRCE Mack, rex

de telle manière qu'un changement opéré dans la valeur de
la racine primitive / puisse produire un changement de signe
dans la somme @, sans avoir jamais d'autre effet sur cette
somme, et que l'unité fasse partie du groupe

Ar ee

Enfin, considérons spécialement le cas où la somme & vérifie
la condition

(3) DENT,

ce qui suppose les facteurs impairs de x inégaux, le facteur
pair, s’il existe, étant l’un des nombres 4, 8. Si l'on pose

=;
(4) e— € ,
ou aura, en vertu du premier théorème de la note précé-
dente, ou
(5) D 7; CD — 7
ou
(6) ®——n, et =,

les équations (5) étant relatives au cas où x est de l’une des

DES NOMBRES. 667

formes
4x +1, 4(4{x+3), 8(ax +1),

et les équations (6), au cas où » est de l’une des formes
4x+3, A4x+i), 8(2x+ 1)

D'ailleurs, en vertu des formules (3), (4), la seconde des
équations (5) donnera

{ 2hT 2hT 2h 24% ‘
COS —— + COS— + ...— COS — — COS —...—/,
G) n n n n
7 . 2hT or + 2ÂT 2
SRI EC SIN == Sin — —O;
rm ñn n
et la seconde des formules (6) donnera
2hT 2h 24T 24/7
COS ECO EE. COS COS —...—=0,
(8) n n n n
ET . AT 2 AT . 247 =:
SIN —— + SIN — +...— SIN ——SsIn —..—N.
n n n n

Il y a plus : si, m» étant un nombre impair premier à x, on
pose

2n7% —
LEvVS=

(9) pe" )
alors, en désignant par :, un coefficient qui se réduise à
+ I Ouà —1,
suivant que le nombre "» fait partie du groupe
he Bah:
ou du groupe

a) ne en

on aura, en vertu des principes établis dans la note précé-
dente, ou

(10) D = 147,

84.

668 THÉORIE

et, par suite,

omhT omhT 2mkT omk'T =
COS — + COS CS — cos =,
Gin) n n 1
11 1 '
. omhT . omhT . omkT . 2mkT
sin + Sin SLT —..….—0,
\ It n rm
ou
x
(1 2) DAT
et, par suite,
omhT 2mhT omkT omk!7
OS -— + COS COS COS —0,
1 na [14
(15)! :
MF E omhT . 2mhT .. 2mkT . omk'T =
lsi A + sin MEN —sin ER ne

On aura d’ailleurs, 1°, si #2 est impair,

\ m
(14) Un — (| ;

0

>, si » est divisible par 4, mais non par 8,

; fra
(15) mu (—1) ni
-—
4
3°, si x est divisible par 8, et de la forme 8(4x + 1), la va-
leur de @ étant fournie par l'équation (10), ou de la forme

8(4x + 3), la valeur de ® étant fournie par l'équation (r2),

(16)

4", enfin, si » est divisible par 8 et de la forme 8(4x + 3),
la valeur de © étant fournie par l'équation (10), ou de la
forme 8{4x +1), la valeur de © étant fournie par l'é-

DES NOMBRES. 669

quation (12),
(m—x) (m—3)

ET VIRE — m

8 .

(17) im—(—1) —

M. Gauss est parvenu le premier aux formules (11) et (13),
qu'il a données en 1801, dans ses Recherches arithmetiques ,
[S 3561, pour le cas où x est un nombre premier, mais sans
déterminer le signe du coefficient .,, dont la valeur numé-
rique se réduit à l'unité. C'est dans le mémoire intitulé
Sunumatio serierum quarumdam singularium que le même
géomètre , en reproduisant les formules (11) et (13), les a dé-
duites d’une méthode qui lui a permis de fixer le signe de :,.
Si, dans la valeur de +, que fournit l'équation (9), le
nombre m cessait d'être premier à x, alors, en vertu du
deuxième théorème de la note précédente, la somme al-
ternée ®, que détermine la formule (2), se réduirait à

(18) ®—0;
et, par suite, on aurait simultanément
2mhT 2mhT omkT omk'7
LE — COS — cos 5% 04
) nm n
1
( 9. 2mhT . 2mhT . 2mhT . 2mkT
sin SE Se — SI ni 0:

Donc, si l’on veut étendre les formules (11) et (13) au cas où
les nombres x et » cessent d’être premiers entre eux, il
suffira d'admettre que, dans ce cas, la valeur du coefficient
représenté par :, est nulle et vérifie l'équation

(20) Un —= 0.

Avant d'aller plus loin, nous rappellerons ici qu'en vertu

670 THÉORIE

des conditions énoncées à la page 593 et à la page 594, les
deux nombres
1, A—I1=— 1, (mod.»)

et, par suite, les deux nombres
l, n—1=—1, (mod. »),
l'étant inférieur à 7, mais premier à », appartiendront à
un seul des deux groupes
OL CERTES EE Cl RO ES

ou l’un au premier de ces groupes , l’autre au second, suivant
que la somme alternée © sera déterminée par la formule (10)
ou par la formule (12). Donc, si l’on représente par

RUN pate OU PAR EE ee
. pie x 1
les seules valeurs de 2 ou de Æ inférieures à =A, alors,

dans la somme alternée © que détermine la formule (10), le
système entier des valeurs de L pourra être représenté par

hRN..- mn RinEh; n=k"

TOO IC

et le système entier des valeurs de Æ par

RAM pete. pe 7 ef

?

mais , au contraire, dans la somme alternée @ que détermine
la formule (12), le système entier des valeurs de pourra
être représenté par

k,k,h",... n—k,n—kK,n—Kk

pp.

et le système entier des valeurs de # par

EVA er thon i, ne RAS:

DES NOMBRES.

ep}
Du

Comme on aura d’ailleurs généralement

il est clair qu’à la place de la formule (2) on obtiendra, dans
le premier cas, l'équation

(21) QE p* + EU = p” cie sp +... — p—p" — gp" — p—. a
et, dans le second cas, l'équation
(22) = pt — pt + pp

Par suite, on pourra facilement constater l'exactitude de la
première des formules (11) qui se trouvera remplacée par
une équation identique, comme la première des formules (15),
tandis que la première des formules (11) se trouvera ré-
duite à

, 2mhT omh'T 2mkT 2mk'T TNT
(23) cos +- cos +...— cos — COS —— —,..—-1,7n
ñn ñn n n 2 2

et la première des formules (13) à

/,

. 2mhT . omhT . 2mÂT . 2mk7
(24) sin sin +...—sin ———sin

nm

Des observations que nous venons de faire, on déduit
encore une conclusion qui peut être aisément vérifiée à
l’aide des formules (14), (15), (16), (17); savoir, que l’on a gé-

néralement

(25) tr =) Um = Un »
quand la somme alternée @ satisfait à l'équation (10), et
(26) D EU ln ns

quand la somme alternée & satisfait à l'équation (12). On

672 THÉORIE

/
peut aussi, à l’aide des formules (14), (15), (16), (17), s'assurer
facilement que, si l'entier #» est décomposable en deux
facteurs premiers ou non premiers v, u!, l'équation
(9) = !
27 / D te fe

entraînera la suivante

(28) Un tre

Pareillement une équation de la forme

n

(29) M — Lt -..

entrainerait la suivante

{ 30) Ua Mg Diet

Soit maintenant N le nombre des entiers
VAN AUTRE

inférieurs à 72, mais premiers à ». Ceux d'entre eux qui
1 TEEN

ne surpasseront pas - 2 seront en nombre égal à —, et,
2 2

parmi ces derniers, les uns, dont nous désignerons le nombre
par #, seront ceux que représentent, dans les formules (23),
(24), les lettres À, #'.…., tandis que les autres , dont nous dési-
gnerons le nombre par y, seront ceux que représentent, dans

les mêmes formules, les lettres k, k',... Cela posé, on aura
nécessairement
; : N
D]
| DE
31) nr

D'autre part, dans la somme alternée ®, le nombre des
termes affectés du signe + est égal au nombre des termes
affectés du signe —, par conséquent à la moitié du nombre

]
j
|

DES NOMBRES. 673

x I 4
total des termes ou à È N. Or, comme la somme alternée ©,

lorsqu'elle vérifiera la formule (10), offrira une valeur déter-
minée par l'équation (21), on aura nécessairement dans cette
hypothèse

et par suite

(32) 7 —} =

Des formules (11) et (13), ou (23) et (24), combinées avec
les équations connues qui servent à développer les fonctions
en séries ordonnées suivant les sinus ou les cosinus des mul-
tiples d’un arc, on déduit aisément divers résultats dignes de
remarque , et en particulier ceux que M. Dirichlet a obtenus,
à l’aide de semblables combinaisons, dans plusieurs mémoires
qui ont attiré l'attention des géomètres. Concevons, par
exemple, que l’on combine les formules (11)et (13),ou, ce qui
revient au même, les formules (10) et (12), avec l'équation

Ma) [. f(u) du +- 2 f° cos —- f (a) du + 2 [eos FE 0 f(u) du EE,

que l’on déduit de la formule (77) de la page 357 du deuxième
volume des Æxercices de mathématiques , en y remplaçant
a par r, æ, par o, X par a,

et qui subsiste, pour des valeurs de a inférieures à », entre les
limites x—0o, æ—a de la variable x, dans le cas où la
fonction f(x) reste continue entre ces limites. Comme, en
prenant

(34) 0 =
T. XVII. 85

674 THÉORIE
on aura généralement

2mT(x-u) à :
COS ——"""—cosMmw(r—u)—COS Mo COS Mol + Sin Mo Sin Mo,

ñn

si l’on suppose la quantité & positive et supérieure à 7 — 1,
mais inférieure à x, on tirera de la formule (33) jointe à la
formule (10) ou (12) : 1° en admettant que la somme al-
ternée ® soit déterminée par la formule (10), et que l’on ait en

conséquence 1_,—4,,
(5) La [F0 + FA) +... — #0 — FA) —...| =
“f. cosuu f{u)du + …/ cos 2uu f{u)du + sf. ‘cos Jouf(u)du + …;

2° en admettant que la somme alternée & soit déterminée par
la formule (12), et que l’on ait par suite 1, —=—:,,

(36) Le [FA + A) + TA) —. Re
« [sin ou f{u)du + « [sin 2ouf{u)du + a fe sin Souf(u) du + …

Les formules (35) et (36) supposent, comme les formules (11)
et (13), que h, X', R",... représentent les diverses valeurs
de 2, et Æ, k', k”,... les diverses valeurs de k, renfermées
entre les limites 0,72. D'ailleurs, en vertu de l'équation (20),
on doit, dans les seconds membres des formules (35) et (36),
remplacer par zéro le terme général :, de la suite

L'rp Ltr QONC

toutes les fois que le nombre entier »# cesse d’être premier
à 7.
On peut remarquer encore que l’on a, pour des valeurs

DES NOMBRES. 675

quelconques de v,

sin m64 2e - 1 — COS AWA
(37) Fs cos mou du — ? 7. SN ME du = ——.
0 FT"

mo [10]

Or, de ces dernières équations , différenciées Z fois par rap-
| port à vw, l’on conclut : 1° pour des valeurs paires de ,

{

— 1 sin mnua — 1 I — EE DRORrS
& f'ucosmuudu= = Dh, [w sin mou du sf = ù 1
_ "

mo . 740)

…

2° pour des valeurs Es de L,
x

y 1— COS AOA a : AE sin 764
fe nu = se presse, je u'sin mou du = = D! no

mo e

la notation D! indiquant l différenciations relatives à 0.

Cela posé, on pourra aisément faire disparaître les signes
d'intégration contenus dans les seconds membres des for- ù
mules (35), (36), toutes les fois que f(x) représentera une

fonction entière de x, composée d’un nombre fini ou même

infini de termes Si cette fonction entière est de plus une

fonction paire de æ, on tirera de la formule (35), jointe à

la première des formules (38),

Go) 2 (A) + FA) +1) —.] =

= CE 3
= ï De) sin EEE Du (Sr De == ce

ou de la formule (36), jointe à la seconde des formules (38),

sin LE

1 De) —
[3

(41) 2 [ÉCE) + LCA) + eu (2) — FR) —..]—
= D —_— Care 14 1 De = A ee (= Du} joua,
85.

|

676 THÉORIE

Si au contraire f(x) est une fonction impaire de x, on ti-
rera de la formule (35), jointe à la première des formules (39),

Ga). En) + FA) + NE) AR) —.] =

u FD) 1 —COS WA + Du) — porn si (= De) = 3wa 4

ou de la formule (36), jointe à la seconde des formules (39),

(3) — nf TEA) + HA) +1) ve te

sin LE

à (Per : Dee sin wa De = De JE sin 264 Le

Au reste, les formules (40), (41), (42), (43), sont comprises
comme cas particuliers dans celles que nous allons établir.

Si, dans le second membre de l'équation (35), on trans-
forme les cosinus en exponentielles imaginaires, on tirera
de cette équation, en prenant pour f(x) une fonction en-
tière de x

Ha 10 SO E CaLe—
de. Du)f. feu =du + (De) fee du +.
+, = Do)f" eV du +f(-De)f eu vs du +,

et par suite

(44) re [FC) + A) + #8) — #4) =. =
se —0daV/—1 VAN ES 1— 6e 204V x
CV —r Do) ——— + f( F5 Vi Do ji —— Hz:

VERRE TES aouV __
+ De) Ti +f(— De) REA
OV x 2 20V7 5

DES NOMBRES. 677
On tirera au contraire de l'équation (36)
= n° [f(A) + 1) +R) — FE) —..]=
AE Du)f en du+f( De ed A

— 41/1 Do)f. evuv—: du—wi(- = De)f. eu du —.,

2
et par suite

(5) DOS RUSSE 2h sep hcpen s prof
1— eV Ve 1— 6e —200V
A f(V T1 Do) —— +1, f( Do VE — +.

2 20)

_ goaV x =: = 200%
HIS + (ED) ET +.

20

On ne doit pas oublier que les formules (40), (42), (44)
correspondent à l'équation (10), et les formules (41), (43), (45)
à l'équation (12).Dans ces diverses formules, la quantité a doit
être non-seulement positive, mais supérieure à 72—1, et
inférieure à 2. On peut même supposer qu'elle atteint la li-
mite », et, dans cette hypothèse, après avoir effectué les
différenciations relatives à w, on verra le produit wa se ré-
duire à 2r, et les exponentielles de la forme

RME CNE
à l'unité.
Pour montrer une application des formules qui précèdent,

concevons que, 72 étant un nombre entier quelconque,
l'on pose

fla)=æt;
et faisons, pour abréger,

(46) A "+ Hp Rp

On tirera des formules (40) ou (41), pour des valeurs paires

678 THÉORIE

de m, 1° en supposant @—n,

; RE sin 6 l, Sin20a 4 sin 304 die
VA 2 2 E=Tyn 2 3
/ 1) 72 À. D: :. DE ES HE EE
LS 17) ( ) 5 w & 2% Po FIST
2° en supposant ® ——n,

m 1

MS I1—COSWA L, I—COS204 l3 1—C0s 304

18) ans =D:| Lt qe 5

(4e (—1) a A [ht = om" 50 3m 27 2

On tirera au contraire des formules (42) et (43), pour des
valeurs impaires de », 1° en supposant @—7n,

Ta
; — 7 - 1—C0SW@ L, I—COS204 3 1—COS 304 :

RNCS =D:| PROPRES

(49) ( 1) se An GRR 2m 20 3m 30 .

2° en supposant D—=— A,

B Æ # D" sin Wa t, Sin 264a su sin 364

(Bo) (—1)' = A, =D LE de os Sn 030 oeil

D'ailleurs, Q désignant une fonction quelconque de w, on

aura généralement

D'(w-"0)—=Q Do De DS
et par suite
1.2.3... w © w"
m —1 nn | m (A g ar 9 40::5 + mn
Do 0) =) LA : D,Q0+ rs D: D D:0),.

Donc, en désignant par / un nombre entier quelconque, et
posant, après les différenciations,

a=n, DS wo — 2T;,

on trouvera, pour des valeurs paires de m,

D" sin lou __ mx AA EU De RE RE Pre TEE ES 3
> To (27)" Cie (

D: 1—Cus 08 ns (Le 6.7 PE CARE NE AE
m (er) (2T)" 27

DES NOMBRES. 679

et, pour des valeurs impaires de mn,

Dr sin loa 2 mr 2.3...m __ 4-5...m 1e SA |
" & + (27x)" (27) Tamer:

pen loe nn). 3.4...m 7, 5.6...m mi Je. M ke]
* & He (2x)"—" CNW TS)

Done, si l’on pose, pour abréger,

— b ts 3, — TE tee etc
D 6 PE ee da 2 =, ee 33 ..) _
et généralement
es ge D dpi
(51) Sn RAT ONE Pat PUS D

on tirera des formules (47) et (49), en supposant @ —»,
1° pour des valeurs paires de m,

CN FES ee

m+2 m
(52) A, —=2n Les - (27) m F (aT)"

2T)*

2° pour des valeurs impaires de m,

1% m += mn __(m—2)(m—1)" ni 3.4... m à
(53) A,= 27 ei D ra he Gad

mais, en supposant @——7, on tirera des formules (48)
et (50), 1° pour des valeurs paires de m,

23 m + = ÊT (m— 1}n y 3-4...m
(54) An= —9n É
2° pour des valeurs impaires de mn,
m+iQr (n— 1)m 2.3.4...m
= — D\E ae EE :
CSA 27 (Es, Re Er -|

Ainsi, en supposant @ =}, on trouvera successivement

G6),., A=o,, 4,=0,;: 4,7, re ete.,

680 THÉORIE

tandis qu'en supposant ® — — #, on trouvera
3 Ù

F 2 125 JS LL SN
(b7)A=0o, À, —=—=n, An, = (22 =) , ete.
Comme on a d’ailleurs

A++. RO —...,

A nee RE ne

APE RE —,

ee EE.

ec

il est clair que les équations (56) ou (57) feront connaître les
différences qu'on obtient, quand du nombre des valeurs di-
verses de 2, ou de la somme de ces valeurs, ou de la somme
de leurs carrés, de leurs cubes, ete., on retranche le nombre
des valeurs de #, ou la somme de ces valeurs, ou la somme
de leurs carrés, de leurs cubes, ete... On conclura en par-
ticulier de la première des équations (6) ou (57), c’est-
à-dire, de la formule

A, —=0;,
que le nombre des valeurs de est toujours, comme nous
le savions d'avance, égal au nombre des valeurs de 4. On
conclura en outre de la seconde des équations (56) que, dans
le cas où @ vérifiera la condition

D =,
la somme des diverses valeurs de 2 équivaut à la somme des
diverses valeurs de k. C'est au reste ce qu'il était facile de
prévoir, puisque alors les valeurs de À, étant deux à deux

de la forme
EUR

la somme de ces valeurs doit se réduire, en même temps

DES NOMBRES. 681
que la somme des valeurs de #, au produit
Ne.
en

Ainsi, par exemple, si l'on prend r —5, on aura N —4,

I
2

D + pf— pp

h+h=:+4, k+k—=92+3,
h+h=R += S6.
Pareillement, si l’on prend nr —21—3.7, on aura
N=—=2:6—12,
pi pl jf pl 2 pl pop php pu D Ur,
h+k+...=1+4+ 5 +16+ 17+ 020,
k+K+...=2+8+10+11 +13 +19,
h+h+ RER + in =

Il importe d'observer que, parmi les valeurs de 5,, les
seules quantités
dE ons Bob g =
entrent dans les seconds membres des formules (56), et les

seules quantités
ETTESTREA

dans les seconds membres des formules (57). Il en résulte que
les diverses valeurs de A,, c’est-à-dire, les divers termes de

la suite
\, À, ; A3; AVE

sont liés entre eux par des équations de condition que l’on
obtiendra sans peine en éliminant

SR PEL TO
T. XVII. 86

682 THÉORIE

entre les formules (56), ou
D, Jay

entre les formules (57). Ainsi, en particulier, si l'on sup-
pose ®—?, on trouvera, en vertu des formules (56),

3
(58) A — = n À,;
ou, ce qui revient au même,
{ / LA 3 L. 1.
HR +-È-E—E=cn QE HR +R Re — ..).

On trouvera, par exemple, pour a —5,

D—p + pt — p—p
AT OS RE
pour 7 —8,

D—p + p—p—p"

2 2 ae == 16.
A=1+7—3—5—16, A—1+7—3—5—192—3.8.—;
pour nA— 12, |

D—=p+p—p—p K |

A—=1+11%—5—7—48, A=1+1 1—b—7 —864— 3.12. $; |
pour n = 15,

DE p RSR ENT PAPE ST RES

A 1 + 3 + 4 +9 + 10 + 12° —2—5—6—7—8—11—52,

A1 +3 + 34 08 + 107 + 12° — 27 — 5 — 6 —7— 8— 11 — 1014 — 348
POUR 7 —17,

D p+- pH pi OO PE PO pp — po —p— p7— p— pl —p? — pl",

A 102-484-0413 10° + 167— 3° —57—6—7—10—11—1 22—14— 136,

A 14-25 44-80 r 3 Dr 63 — D — 7 — 10-11 —1 214 — 3408 — 01 19.

DES NOMBRES. 683
pour A = 921,
++ + 0° + p°7 + pe — D — — Bon 7. o° — p"!,
C4 +5 +16 +17 +920 —97— 8: 10° — 11° — 13 — 19° — 168,

ASE 167+ 17° +20 — 278 10° — 11°— 13° — 19° — 5292 — 3.21.

eiC- --

Si l’on suppose, au contraire, ®@°=——n2, on aura, en vertu
des formules (55),

(b9) A=nA,

ou, ce qui revient au même,
RH RE RER = R + ER + —hh—...).

On trouvera, par exemple, pour # —3,

D—p—p

NN TN =) ne
pour nr —#, ;
D—p—Pp

—A, —=$—1—=2, —A—3 —1—8—4.2;
pour. 7 —7,
D p + pH ppp p°,
—A,=3+5+6—1—2—4—7,
—A,=$ +546 —1—2 —4—/49—= 7.7;

pour nr —8,

D=p+p—p—p"
—A,—=5+7—1—-3—8, —A,—5+7—1—3—64—8.8;
pour #—1I1,

FES an er een node

—A—=92+6+7+8+10—1—3—/4—5—9—71,

—A— 2° +0 +7 +8 +10 —1—3—/%—5— 91211111;
86.

168,

2 2

684 THÉORIE
pour ñn—12—3.9;
D —= e <= p° Se p° p° —p7—9"—9"—p"#,

A —7i + EIS ET 1-2 —h —8 — 30,

—A,=7+11+13+ 14°—1—92—/4°— 8 —/50 —15:30;

pour n— 19,

D = p Hp pr PHP HP HP HP Hp ppp ppp pi — pp,

—A,—0 +3 +8 +10 +12 13 +14 15 H-18 —r-4 —D —6 —7 —9 —11r —16 17 —19,
A, 53481010 +13" 14 +15" +18" —1— 4567-09-11" 161700

pour 7 —20,

ET don Don Dee on à
— AI +13 +17 +19 —1—3—7—9 —=40,
A 11 +18 +17 +19 —1—3— 7— 9 — 800— 20.40;
ete. À

Il est bon d'observer encore que la valeur de 5, est posi-
tive, et mème ordinairement renfermée entre des limites
qu'il est facile d'obtenir. En effet, cette valeur qui, en vertu
de la formule
(60) Li,
peut être réduite à

L, Lt
(61) ST pe TU

sera évidemment comprise entre les limites
I I
HS Res ardoo, EN PE
2 3
ou, ce qui revient au même, entre les limites

I

I I I
EC DE Ci Leu 1e 2—(1+5+m te.)

DES NOMBRES. 685

Or, comme, en prenant m—2, ona, en vertu de formules

connues,
I I I I ré
1 MA ant il da 070:
il en résulte que 5,, et à plus forte raison 5,,5,,... sont

positifs, et renfermés entre les limités
1,6449... et 2—1,6449... —0,3551...

Comme, d’ailleurs, les nombres de Bernoulli

vérifient les équations

I I 1 2T°
LEE a PAU à 0
LEE ARE NT Te
21 TMS 7 301.2.3.4?
I I I 25T°
I En ER = -—
FRERES Ye 254

il en résulte que les quantités
CON LS AT
sont respectivement supérieures aux produits

12T° 1 2ÿni 1 2°x°
61.2? 30 1.2.3.4 ? 42 1.2.3.4.5.6? éheset

et inférieures aux différences

3
127° 23m I 25r°

I
61.2? 7 3 1.2.3,4? PTT 42 1.2.3.4.5.6? ee:
Quant à la quantité

ds 4 Cereal RM
(62) IS ts tite.

686 THÉORIE

on peut seulement affirmer qu'elle sera nulle ou positive.
C'est ce qu'on démontrera sans peine, comme la fait
M. Dirichlet pour le cas où 7 est impair, à l’aide d’une
méthode de transformation qu'Euler a exposée dans le
19€ chapitre de l'/ntroduction à l'analyse des infinis, et
que nous allons rappeler.

Puisque la formule (29) entraine généralement la for-
mule (30), il est clair que, si l'on nomme

Pb

ceux des nombres premiers qui ne divisent pas le module »,
on aura

5

53) !2 _ NE PR
(63) 1 te (: Ce +.…)( +++).

ICI

Or, cette dernière formule, subsistant toujours, tant que la
série comprise dans le premier membre est convergente, ou,
ce qui revient au même, tant que » surpasse l'unité , quelque
petite que soit la différence m— 1, pourra être étendue au
cas même où l’on a m— 1. On aura donc, pour toutes les
valeurs entières de m, et même pour m—1,

(69 s.=(1—# GX 2)

«,6,7y,... désignant les facteurs premiers qui ne divisent
pas #2. Or, comme les facteurs, que renferme en nombre
infini le second membre de la formule (64), sont tous positifs,
il en résulte que la valeur de 5, donnée par cette formule ne
sera jamais négative. Elle ne pourra donc être que positive
ou nulle, On a vu d’ailleurs que les valeurs de 5, étaient tou-
jours positives pour des valeurs de 7» supérieures à l'unité.

| DES NOMBRES. 687

Lorsqu'on a obtenu des limites entre lesquelles se trouvent
comprises les quantités
Dr 33 Spy»

on peut en déduire d’autres limites entre lesquelles se trouvent
renfermées ou les différences

| : A AMAR

ou des fonctions linéaires de ces différences. Ainsi, en par-
ticulier, dans le cas où l’on a @ =, on peut affirmer non-
seulement que la valeur de 5, est renfermée entre les
limites

2 2

T T
6 et 70

mais encore, en vertu de la formule

A, —=— 7)
T

(0. que la valeur de la diffférence

| NET ER ER ECC
est renfermée entre les limites

Na ar V/r et 0,035... n°V/n.

. el 7 E -
Donc alors la valeur de A, est toujours inférieure à 3% V7.

| Ainsi, par exemple, on a pour ñn—5, A, —=4 < & 51/75.
| Les formules qui précèdent sont, pour la plupart, déduites

de l'équation (33) qu’on peut encore écrire comme il suit :

| fa) — fl {0 du + 2 005 TE [cos Au) du + 2008 TE f” cos TE f(x) du +...

. LA à Ti . TI PUNER TU »
| +- 2 sin ef. sin — f{u) du + 2 sin oi r' sin = f(&) du +...

|
|
|
|
|

688 THÉORIE

et en vertu ‘de laquelle la fonction f(x) ou f(x) se trouve
développée suivant les cosinus et les sinus des multiples de

l’are l
2TXL

n
Or, on peut démontrer que, dans le cas où la quantité a ne
. . nm . 2
surpasse pas la limite 5? les deux parties du développement,

savoir, la somme des termes qui renferment les cosinus des

arcs

2TX ATX
2

2e
? n n

et la somme des termes que renferment les sinus , sont égales
entre elles, par conséquent égales à la moitié du produit » f(x).
On a donc, pour des valeurs de a inférieures ou tout au

, x I ’
plus égales à 57, et pour des valeurs de x renfermées

entre les limites 0, a,

(65) -nf(x = à f{u) du + 2 cos cos" f(u)du + 2c0s ef cos À fer

2

(66) - snf(x)= 2 sin ef sin — = f(&) )du + 2sin te | si sin fu D

et en effet, pour obtenir les formules (65), (66), il suffira de
remplacer, dans les formules (109), (110), de la page 364 du

deuxième volume des £xercices de mathématiques,
a par 2 æ par X par a
P Sr iop 0, P: .

Or, de la formule (65) jointe à l'équation (23) ou de la for-
mule (66) jointe à l'équation (24), on ürera, 1°, en supposant

=,

DES NOMBRES. 689
(G7) 2° [R) + F0) + 225 =) |
. “cosuuf{u)du + «f. | COS au flu)du + af. ‘cos Zouf{u)du +….,
2°, en supposant ®— — »,
(68) 2 [E) PU (0 es (1) er) RES ;| =
« [. sinouf)du + Si 4 ‘sin 2ouf{r)du + 1 [sin Bou ftudu +.
pourvu que la valeur de soit toujours

WU —"—
mL

et qu'en tenant seulement compte des valeurs de 2 ou de #
. aie « I . . I

inférieures à , 7 On place a entre la limite = et le nombre
entier immédiatement inférieur à cette limite. Les équa-

tions (67), (68) ne sont évidemment autre chose que les for-
mules (35), (36) étendues au cas où l’on suppose les quantités

RE a A AIEPRENERONEANr À
. ipée, . \ . . It
inférieures, non plus au nombre #7, mais à la limite e Ja

dernière &« pouvant atteindre cette limite. Or, de ces for-
mules, par des raisonnements semblables à ceux dont nous
avons fait usage, on déduira encore, dans le cas dont il s’agit,
les équations (40), (41), (42), (43), (44), (45); et par suite, si
l'on pose dans le même cas

(69) Sn +R RE,

c'est-à-dire, si l'on représente par à, la partie de 4, qui

. 7 \ I
renferme des valeurs de et de # inférieures à ; 2, On trou-

T. XVII. 87

690 THÉORIE

vera, pour des valeurs paires de 7», 1°, en supposant ®‘=,

= STE : =. Dr (: sin && là Sin 204 PL sin 364
LACET 2m 20 3" 36
2° en supposant ®° ——7,
mn
' I — COS Wa t, 1—COS204G 1, 1 —COS30a
Le — D" te Re 7 SE
( ) n AE 2 20 3e 30

. trouvera au contraire, pour des valeurs i NA pates de m,
, en supposant ®D°— 7,

Mm—1 Le
= 5 = I—COS&a4 L, I—COS204 3 I1—COS 30
(—1) ? A CE a

Ü à = = 3n 36
2° en supposant ®_——?,
= ; sin &4& L in 26 n sin 364
ns à S si a sin
(—1)? =m0,— Dir = ns
2 2m 20 pe 26

On ne doit pas oublier que, dans ces dernières formules, tout
comme dans les équations (67), (68), la quantité « doit être

, NE ue ñn ; 5
renfermée entre la limite supérieure > qu elle peut atteindre,

. HA :
et le nombre entier

L12 . HT . 7
ou SR 1 immédiatement inférieur

à cette limite.
Concevons en particulier que l’on prenne

n
LES
2?

en substituant cette valeur de «a dans les expressions de la
forme

sin {ba 1— cos lwa
D’ Dr

w 4 wo ?

après avoir préalablement effectué les différenciations rela-

DES NOMBRES. 691

| tives à w, l’on trouvera, pour des valeurs paires de m,

, Sin {wa Fr 2372 4.5...m He 3 m 8

»: En EC) A TS E

n1—Cos wa ms ([r.2.3...m \yf1.2.3...m 3.4...m 1 fm].
CR) [ enr épées A] +... + dE

et pour des valeurs impaires de ",

y" sin lua 0 1) CE [" Ve _— AN départ 2],

L0]

, 1— cos wa n\H: [1.2.3...m m 3.4...m y, LORS
je (7) LE ei ie nr P+ El )]:

[0]

Done, si l'on pose, pour abréger,

on tirera des formules (70) et (72), en supposant © = »,
1°, pour des valeurs paires de m,

D
| et généralement
DURE u, DE U,
| (74) PR 0 2
|

D -ErOR pre Le — (m2) (re — 13m 24 Et me.
2°, pour des valeurs impaires de 7»,
d——(:) » à [re (ne 23m — 13m 4 +2 1.2.3. tite]

mais en supposant ®—A, on tirera des formules (7i)et (73),
1°, pour des valeurs paires de m,

Ce = —(m—1nm8 +. Hr.2.3...m tt,

r"+:
(C7

692 THÉORIE

»°, pour des valeurs impaires de m,

n\" 2TI FE a 1
- EN UE ss 22 ee D 7 ||
(78) s.— (7) n LE — 1m SOS oe —

Ainsi, en supposant ®°—», on trouvera successivement

3

L,+5, >
Le n30,—=—-—170, etc...
T TT

(79) à = 0, à, =—"

tandis qu'en supposant ® —2, on trouvera
S
:

5

5
L » (niet )niete.

PTE Re T
Bois arène ÂT 2%

Comme on aura d’ailleurs, en tenant compte seulement des

. no Ver
valeurs de 4 et de k inférieures à -n,

DR +R +R OR —i — 7,
SR CE

D 0e OR 0 à

(ALT SE

il est clair que les équations (79), (80) feront connaitre la
différence :— 7, et celles qu'on obtient quand de la somme

. ra “ 102
des valeurs de A inférieures à > OU de la somme de leurs
carrés … on retranche la somme des valeurs de Æ inférieures
sn ñ « »
à, Ou la somme de leurs carrés... La première des équa-
tions (79), c'est-à-dire, la formule
D — 0 OUT Ji—-0,

s'accorde , comme on devait s’y attendre, avec l'équation (31).
Avant d'aller plus loin, observons que les quantités

DES NOMBRES. 693

ou les diverses valeurs de I,, sont liées aux quantités

4 FR

1? 29 39

c'est-à-dire, aux diverses valeurs de 5,, par des équations
qu'il est facile d'obtenir. En effet, comme on aura généra-
lement

et par suite

2" Ÿm Ex. 2" 4" 6"
on en conclura

(81) Li) 5e

On aura done
(82) I. —(1—:,)5,, L=(i—*)s,, Ris, ete.

Ajoutons que, :, se réduisant toujours à l’une des trois
quantités

les valeurs de

1 FRE À
seront, en vertu des formules (82), des quantités positives,
tout comme les valeurs de

5

39 ga ee

Quant à la quantité L,, liée à 5, par la formule
LE —(1—1,)5,,

elle sera ou positive ou nulle, ainsi que 5,; et pourra mème
s'évanouir, sans que 5, s’évanouisse, avec le facteur 1—:,,

694 THÉORIE

Fi.

ce qui suppose x impair et de la forme 8x + 1 ou 8x + 7.

lorsqu'on aura

Supposons en particulier r de la forme 8x + 7, et composé
de facteurs impairs inégaux. On aura

CPS;
et comme alors [, s’évanouira, ainsi que 1 —:,, la seconde
des formules (80) donnera
DO:
On trouvera, par exemple, pour 7—7,

d,—1+2—3—0,
pour n— 15,
1 +2 +7 —0, /etc..-

Revénons maintenant aux formules (79) et (80). Si, dans
ces formules , on substitue les valeurs de L,, L,, [;,... fournies
par les équations (82), on trouvera, en supposant ®@ =»,

8 5
— L d, A 1 GE à, =
RE (1-5 )2n ? = (1: )Èn JEIGe,
. 2
1 3 L
— Sins IL9,,;> 2e DOS LINE
(84) d—(2—1,) 7, dd — = e = : 2 . 2) ,
etc

Lorsqu’à la première des équations (79) où (83) on Joint
la première des équations (79) ou (84), on arrive à cette
conclusion remarquable, que la différence

Ÿ, Où i—7

DES NOMBRES. 695
est toujours nulle ou positive. On peut donc énoncer la pro-
position suivante :

Théorème. Supposons que, , étant une des racines pri-
mitives de l'équation

De
la somme alternée
RS EE p" SEocb pt — 0",. se
vérifie la condition
- ®2—= + mn,

et que le groupe d’exposants
u
RSR
renferme l’unité. Si les entiers inférieurs à 7, mais premiers

à n, sont en nombre égal à : dans le groupe k, k', X",..
et en nombre égal à 7 dans le groupe, la différence

gp)

7
sera toujours nulle ou positive, et ne cessera d’être nulle
que lorsqu'on aura
®?—= — 7.
Les quantités
On Montl due :<

sont évidemment liées non-seulement entre elles , mais encore
avec les quantités

A,, A, ; &; APE
par des équations de condition qu’on obtiendra sans peine

en éliminant
dE dre .

696 THÉORIE

entre les formules (56), (83), ou en éliminant

entre les formules (57) et (84). Ainsi, en particulier, on ti-
rera des formules (56), (83), en supposant ® — »,

(85) et 0

2 DS ra ?
3, RS ET
2

ou , ce qui revient au même,

» 2 — 1, ri Are ae 3 F
(86) CREER nù, , Ta en AVE , A ;
et des formules (57), (84), en supposant @° — — »,

20, nd, F
(87) Han ee SC SE:
ou, ce qui revient au même,
I—t,AR,. c 1 à 1—)}

( = (2 = —n A == — nn 2,
(88) à, er = ( DENTE re ee

Dans l'application de chacune des formules (87) et (88),
on doit distinguer trois cas correspondants aux trois valeurs

le LE 7,

que peut acquérir ja quantité :. Ainsi, en prenant pour »
un nombre impair, on tirera de ces formules, 1° lorsque »
sera de la forme 8x+ 1,

(89) à, = z nd, , À, = : Rd 1 2 À; = on, ;

2° lorsque x sera de la forme 8x + 3,

(go) h—n—7, A—=—n + A=— nr;

DES NOMBRES. 697

3° lorsque x sera de la forme 8x +5,

(g1) 3, = nd, a —— nb, à,=—Ÿn},;
4° lorsque 7 sera de la forme 8x + 7,

(92) d,—0, A,——n{i—]), A——n\{i—)]).

Au contraire, en prenant pour * un nombre pair, divisible
par 4 ou par 8, on tirera des formules (87) et (88), 1° lors-
qu'on aura ®°—n,

3
(93) ==, A=-—n), A—=—°n,;
2° lorsqu'on aura ®@—— »,
nue rl 2 CE À
(94) D =n 7, A=—n——+, AR —

On vérifiera aisément ces diverses formules dans les cas
particuliers, et l’on trouvera, par exemple,

pour 2 —17,
à, —— 6, 5, =—34—;5,, 4,=136—— 4 19
A3 = 3468 = — an°ÿ,;

pour A — 11,

20, ET : i—]—=3, T1,
3

LL —
d—IiI=nN—%, A——II—=AN 3

4

d,—— 1, 5, =—3—%nà., A, == —;% nÿ,,

à,=30=— n°}, ;
T. XVII. 88

698 THÉORIE
pour n—=7,
CS RS
=, A7 nf) Ag nr (i— 7}
On trouvera pareïllement
pour n —=15,
3 4
=—5, à, —=— 39 = x nÿ, A0 5 nù,,
A — 1014 —=—Ê n°3, ;
Pour 71040,

=, JE — 2,

3,0, A—=—30——ni—]), A,—=—/50—=—n(Η)});
pour 2—21 = SAP
d,— — 10, D —— 126, A, — 168=— À no,

6 2
A 5292 —;% DD

Si l’on attribue à #, non plus des valeurs impaires, mais
des valeurs paires, on trouvera

pour n—=4, ®D—=—4, ®—p—#,

ES OT EC,
er Re er NL RS
EE ur A=—2=—n—+, ,—=—8 ESS

= = 9); ÿ,—=—8—"5),, A 160 — 70,
2

DES NOMBRES. 699
pour n—8, ®——8, ®—p+p —p—p7,

a de Den “24: 10 7
12, ]—=0, 1—]—), =

M | NDISIOn ee, à
D — 77 ra A —- B—— 7 D ==; =
pour 7—12,
n
D ——4, D, ——24="5,, A, —=48—— nd,
A,—= 864 — = = r20, ;

pour 7 —20,

, £ a : T—7 de]

D, J—=0, dj =, _ 2, 7 =;
PUR 0 ne DEL ASURR ET RNNRIS UE UIGes Lg
J=20=n—7, A——{40—= n——, AZ 800——7 :

Les diverses formules établies dans cette note compren-
nent les formules du même genre trouvées par M. Dirichlet.
J'ajouterai que les équations de condition par lesquelles se
trouvent liés les uns aux autres les termes des deux suites

A,, À, A3,--.
ds À, À, de

peuvent être démontrées directement , et d’une manière très-
simple, comme je l'ai remarqué dans un mémoire que ren-
. ferment les Comptes rendus des séances de l'Académie des
sciences, pour l’année 184o (1° semestre, page 444).

88.

700 THÉORIE

NOTE XII.

SUR LES FORMES QUADRATIQUES DE CERTAINES PUISSANCES DES
NOMBRES PREMIERS, OU DU QUADRUPLE DE CES PUISSANCES.

Soient p un nombre premier impair,
ñn un diviseur de p— 1, |
h,k,l,... les entiers inférieurs à #, mais premiers à »,
N le nombre des entiers 2,#,/1,...,

+ une racine primitive de l'équation
(1 ) I 1

et supposons les entiers

RENTE:
partagés en deux groupes

RSR ENST MR Ro e

de telle manière que la somme alternée
(2) D=p + gp" Hp pp pli
vérifie la condition
(3) D— + 7.
Soient encore :

ÿ une racine primitive de l'équation

(4) NL

DES NOMBRES. 701
t une racine primitive de l’équivalence
(6) x”'=1, (mod. p)
et de plus
O,, ©, O,,...

des expressions imaginaires déterminées par des équations
de la forme

(6) Qu 0 + pf6 + pr +... + O2)"
Aux deux groupes
RSR PREMIERE TE CAE
entre lesquels se partagent les exposants ou indices
hsok, doiuy

correspondent deux groupes

(CPS PR PC A RE
entre lesquels se partagent les expressions imaginaires

@ ; Ou, O,- -.;

et, si l’on pose
(7) 1=—=6;9;/8;".7 "T1—66,0;!;;
alors , en vertu des principes établis dans la note précédente,

les deux binômes
I+1,,1—J

considérés comme fonctions des racines primitives de l’équa-
tion (1) seront, le premier, une fonction symétrique, le'second,
une fonction alternée de ces racines. Il y a plus, comme la
condition (3) suppose que les facteurs premiers et impairs

702 THÉORIE

de » sont inégaux, le facteur pair, s’il existe, étant 4ou8,
la fonction

I—J
sera, dans l'hypothèse admise , de la forme indiquée par la
formule (63) de la note septième; et l’on aura en consé-
quence

(8) I+J—A, I—J—PBa,

A,B désignant ou des quantités entières, ou des fonctions
qui renfermeront seulement les racines
RAT RSS

de l'équation (4) respectivement multipliées par des coefficients
entiers.

»servons maintenat ‘en vertu de la formule (7) de la

OI aintenant qu 7

note ITT, on aura
(9) 0,0,9,....— Ru Orne. et
ÿ 9,9,9, .…. Rive .. Oxprpar+e DE

Rs,» et R,,,».. désignant deux fonctions entières de la
seule variable 5. D'autre part, si la condition (3) se vérifie
sans que » se réduise à l’un des trois nombres

9

Sn 8,
on aura (voir la note précédente)
(10) Ath +h'+...=k+k + +...=0,(mod.),
et par suite, eu égard à la formule (2) de la note IT,

—=—— I.

(11) Oiyrra rs. = Qirr+r +. =
Donc alors les équations (7), (9) donnent simplement

(12) I=—R,,,s,. J=ve Roca;

DES NOMBRES. 703

et comme, en vertu des formules (12), les fonctions 1,J de-
viendront indépendantes des racines de l'équation (4), ces
racines n'entreront pas non plus dans les coefficients

A, B
qui se réduiront nécessairement à des quantités entières.
Si l’on pose pour abréger

(13) d—i—,

alors, en désignant par / un quelconque des entiers inférieurs
à », mais premiers à 2, on aura, en vertu de la formule (3)
de la troisième note,

(14) 0,9_;,—(— 1) Hp —0,6;; 5;
Si le nombre & est pair, la formule (14) donnera simplement
(15) 0,0, —p.

Si, au contraire, & est impair, z devra être pair, ainsi que
P—1i=n&, et par suite, le nombre /, premier à », étant
impair, la formule (14) donnera

(16) 0,0, —= —p.

Cela posé, on tirera évidemment des formules (7), dans le

premier cas, :

(17) D =p"

et dans le second cas,
N N

(18) DJ—(=—:1)p°.

Mais, comme dans le second cas, 2 étant pair et de l’une des

formes
V9 Louve

8v'v'...,

?

704 THÉORIE

N 5 AE :
; ne pourrait devenir impair que pour la seule valeur
TUE A

dont nous faisons ici abstraction, il est clair que la formule
(18) se réduira elle-même à lésion (17)
D'autre part, comme on tire des égouts (8)

(19) 21— A + BA, 9J — À — Ba,
par conséquent
AJ = À° — Ba,
il est clair qu’en ayant égard à l’équation (7) et à la formule

(3), on trouvera
N

(20) 4p° — A2 — B'A° —A° + 7B:.
Pour que la condition (3) se réduise à
(21) D— 7

il est nécessaire que les facteurs premiers et impairs du
nombre 7 étant inégaux entre eux, le nombre soit de l’une
des formes

4x +1, 4(4x +3), 8(2x + 1).
Mais alors, en vertu du théorème.premier de la note IX, / dé-
signant un quelconque des entiers renfermés dans les deux
groupes

RAR RE MEME RE M ue

les deux termes

appartiendront au même groupe. Donc alors, en vertu des
équations (7), jointes à la formule (15) ou (16), on aura
N

(22) Ep

DES NOMBRES. 705

savoir,
N
(23) 1—=I=p}
si l’un des deux nombres &, à est pair, et
N
(24) I=I=—p"

! N ; ; :
si les nombres & et 3 sont tous deux impairs, Ce qui sup-

pose 2 —/v, v étant un nombre premier de la forme 4x + 3.
Alors aussi l’on tirera des formules (8) et (22)

N
(25) A=+op® B—o.

Ces dernières valeurs de A,B satisfont effectivement à la
formule (20).
Pour que la condition (3) se réduise à

(26) D 12,

il est nécessaire que, les facteurs premiers et impairs du nom-
bre n étant inégaux, ce nombre soit de l’une des formes
le) ?

4x+3, A4(4x+i), 8(2x +1).

Nommons alors p° la plus haute puissance de ÿ qui divise
simultanément À et B. On aura

(27) Apr, b=py;

æx,y désignant deux quantités entières non divisibles par p;
et, en posant

N
(28) BE — 2,
ou verra la formule (20) se réduire à la suivante,

(29) Gp = a ne
de ANT 89

706 THÉORIE

I s’agit maintenant d'obtenir les valeurs des exposants à, y.
On peut y parvenir à l’aide des considérations suivantes.
Comme nous l’avons observé page 375, on a généralement

Rs, so — R,: Riu ..
en sorte que les formules (12) donneront

I——R, x RG hi a Ry WA, he se
(30) , +, +4, hr )

a — __R; k Ru k1 Riyuyr, UTC

Or, dans chacun des facteurs qui composent les seconds
membres de ces dernières, on peut immédiatement réduire
les deux indices placés au bas de la lettre R à des nombres

ET
représentés par des termes de la suite
0, TOP Te

On pourra même, en vertu des formules (10) et (12) de la
note première, remplacer le facteur

0,0;
RU o.
raw

par Ep, lorsque la somme des indices /,/l' sera le nom-
bre #, et par — 1, lorsque l’un des indices s’évanouira. Ce
n'est pas tout, lorsque 2,4", étant positifs l’un et l’autre,
offriront pour somme un nombre différent de #7, on aura
généralement, en vertu de la formule (13) de la note première,

>
Le Rp,
ou, ce qui revient au même,

(31) R, Rs —=P;

DES NOMBRES. 707

et, comme des deux sommes,
l+l, (n—0+(n—l)=on—(1+0

renfermées entre les limites 0, 22, il y en aura toujours une
comprise entre les limites 0,2, l’autre étant comprise entre
les limites 7,27, il résulte des équations (14) et (15), jointes
à l'équation (17), que l’on aura toujours

- F .G
(32) I=p'5; Jr,

ou, ce qui revient au même,
(33) IG=rb ul =pG;,

J, g désignant deux nombres entiers propres à vérifier la
condition

N
(34) J+8—=-

2 2
et F, G des produits composés avec des facteurs de la forme
R,

dans chacun desquels on pourra supposer les indices L, l’
tous deux inférieurs à », et leur somme / +! renfermée
entre les limites 2, 272. Si d’ailleurs on substitue dans les
formules (33) les valeurs de I, J fournies par les équa-
tions (19), on aura identiquement

(34) (A + Bo)G—2p'F, (A —Bo)F = 2p°G,

ou, ce qui revient au même, eu égard aux formules (27),

(35) p'(x+yo)G—=2pF, p'(x—7yo)F — 2pG.

On aura donc par suite

66), p" (ce + 7o)G —=2p{"F$ pp "(a voF = 27 "CG,
89.

708 THÉORIE

m,m' étant deux entiers que l'on pourra réduire le premier
au plus petit des nombres

L'AE

le second au plus petit des nombres

À, S')
afin que chacun des exposants
1—m, f—m, 1m, g—m

soit nul ou positif.

Avant d'aller plus loin, nous ferons une observation impor-
tante. Les formules (33), comme toutes celles d'où elles sont
déduites, et par suite les formules (36), offrent chacune

; I ;
deux membres représentés par des fonctions entières de
Ï I e
qui sont identiquement les mêmes, quand on réduit l'exposan]
de chaque puissance de : à l’un des entiers
P ê

OUR OS - 72 —

ou qui du moins peuvent alors être transformés l’un dans
l’autre à l’aide de la seule équation

L+p+p +p +..+p'—0o.

Donc après les réductions dont il s’agit la différence entre
les deux membres de chacune des formules (36) sera le produit
d’un nombre entier par le polynôme

(37) LHp+p + +... + pT".

D'ailleurs, réduire, dans une fonction entière de 4, l'exposant |
de chaque puissance de ; à l’un des nombres

OMIS ONE: Deere

DES NOMBRES. 709

ou , ce qui revient au même, remplacer

g", pr pr +1Npar p — f,
ET eff t PS cv PET tes

Fe, Se RE .. par a.

etc.

dre, En Mens ch par tr

c’est ajouter aux divers termes de la progression arithmétique

n+-2 2n 2n+1 2n+-2 3n 3n+-1 3n+2
d ,. f , p , ss...

gs pis p'Eisesn 49h pus e
les différences

I —p", e ne, des p° LÉ Cie et Te — p°" pe — DRE p° Par Dee cie
h— dd: p 23 Cid p°— ne +

respectivement égales aux produits
Dep ph Cp 1e" pr PIECE").
1— 0", pi — 0"), pi — 6").
qui tous ont pour facteur le binôme
D pp) Ph FE. + F0)

et par conséquentle polynôme (37). Donc, en définitive, dans
chacune des formules (36), la différence entre les deux
nombres sera toujours une fonction entière de 9, qui, avant
toute réduction, aura pour facteur le polynôme

CT
I HR HT EE
Donc, si dans ces formules on remplace la racine primitive p
de l'équation

— 1]

FAO THÉORIE
par une racine primitive r de l’équivalence
æ"'=1,(mod.p)

les deux membres de chacune d'elles offriront pour différence
une fonction entière de r qui aura pour facteur le polynôme

r—

= LE .
PEN ET EME —0, (HOb. p);

et comme dans cette différence les coefficients des diverses
puissances de r seront des entiers, elle devra , ainsi que le
polynôme

SE RUE ce SE

être équivalente à zéro , suivant le module p. Donc, si l'on

nomme
SUMMER

ce que deviennent
D, AG

quand on y remplace ç par r, les formules (36) entraineront
les suivantes

(38) p"(x+70)G=2p""$, p"(x—7y8)f=2p" "6, (mod.p),

dans lesquelles on devra , eu égard à l'équation (2), supposer

(39) d=r" +7" +... — 77"... (mod. p).

D'autre part, l'équation (26) pouvant s'écrire comme il suit
(ot + pe" +. p+p—...Ÿss—n,

on tirera de cette équation, en y remplaçant & par r

1

(rh + 4 rt rt... ÿ=—n, (mod. p)

DES NOMBRES. Ex

ou, ce qui revient au même,
(40) — #7 1(mod:p)

Donc le nombre entier à sera premier à p; et comme, dans
l'équation (29), les quantités +, y ne sont, ni l'une ni l’autre,
divisibles par p, on pourra en dire autant de la somme 2»
et de la différence 2yS des deux binômes

Z+YD, Æ— Yd.
Donc de ces deux binômes l’un au moins sera premier à p.
Concevons, pour fixer les idées, que cesoit le second x— y
qui remplisse cette condition. Comme, en vertu des prin-
cipes exposés dans la note V (page 474 et suiv.), les deux
quantités #,çG seront elles-mêmes premières à p, ilest clair

que dans les deux membres de la seconde des formules (38),
les exposants de p, savoir

Am, g—m

ne pourront s’évanouir l’un sans l’autre. Or, c'est préci-
sément ce qui arriverait si, les nombres à, g étant inégaux,
on prenait le plus petit pour valeur de 7#'. Donc, lors-
que æ—yù est premier à p, la première des formules (38)
entraine la condition

12.
Mais alors, en posant, dans la première des formules (38),

M—IM —Ài—=g,
on en conclut
f—g=0, où J—g>o,

suivant que le binôme

TF0

712 THÉORIE
est ou n'est pas supposé premier à p. Donc, si le binôme
æ — 7
est premier à p, les formules (38) entraineront la condition
À =$£ ay
le signe < indiquant seulement que g ne peut surpasser f
Pareillement si le binôme
x + J
était premier à p, les formules (38) entraïîneraient la condition
A=f<$,
le signe < indiquant alors que à ne peut surpasser g. Ainsi,

dans tous les cas, À devra se réduire au plus petit des deux
nombres

PES
et comme, en vertu des formules (28), (34), on aura
(41) u=f +80),

il est clair que y devra se réduire à celle des deux diffe-
rences
RE NE
qui sera positive, par conséquent à la valeur numérique de
la différence /— g. Au reste, cette différence elle-même peut
ètre, dans tous les cas, facilement déterminée comme il suit,
Posons pour abréger

(42) PR; Rare OR Re

ou, ce qui revient au même,

9; À... Fr Or...
p — %0 © — 24 8 ’

(43)
7 OO.” T7 OO...

DES NOMBRES. 713

On en conclura, eu égard aux formules (7) et (30),

P als (OMONT ER
(44) Q FO,0»...”?
(45) PQ=—p:.

D'ailleurs, en vertu des théorèmes 3 et 4 de la note IX,
on trouvera, 1°, en supposant x dela forme 8x + 7,

OO pre - : —OjOpe.. 1, OO - : — 00... —J,
3°, en supposant » de la forme 8x + 3,
OO « « — 0j0p. …. —J, 0,0... —0;0y... =],
2°, en supposant » divisible par 4 ou par 8,
OO: +: = OO «

Donc les formules (43) et (44) donneront, 1°, si = est de la
forme 8x + 7,

(46) P=I, Q=—1J, G=T
2°, si n est de la forme 8x + 3,

4) Poe, Des
3°, si z est divisible par 4 ou par 8,

(48) G—F

Concevons maintenant que, parmi les entiers premiers à n,
. . rm \ I CS . .
mais inférieurs à -7, on distingue ceux qui appartiennent
2

au groupe

{4 "
RARE

et dont le nombre sera désigné par #, les autres, dont le
T. XVIL. 90

714 THÉORIE
nombre sera désigné par 7, formant une partie du groupe
Ro CR OR.
On aura évidemment
: À N
(49) 1+]=;
et, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons
fait usage pour établir les formules (32), on trouvera, eu
égard à l’équation (45),
; .U U
(50) P—p'y;, Q=—=p'>,
U, V, désignant des produits composés de facteurs de la

forme

Rs

dans chacun desquels on pourra supposer les indices /, l'
tous deux inférieurs à z, et leur somme / + /’ renfermée
entre les limites 7,2%. Or, les formules (32)et (50) donneront

il
=, ie EE — pin =
(Br) PER Gr A
D'autre part, si l'on désigne par
UE

comme dans la note précédente , une quantité qui acquière

la valeur
I ON MIE OUR O0)

suivant que l’on aura
Po 2
ele: ou Blu ou r—0, (mod, 2),

les formules (46), (47), (48) donneront

> PouRT
(52) Q TJ?

DES NOMBRES.

SI
_
[ay

la valeur de & étant
(53) E— 9.

Cela posé, les formules (51) et (52) donneront

F2: En.
pp DE —=P 1%

ou, Ce qui revient au même

(54) p°Vrs) F2:V? — pri G*Ur >
et par suite
(55) ps)" F2:V? = D Ur,

m étant un nombre entier quelconque.
Imaginons maintenant que l’on remplace ? par 7 dans
les deux membres de la formule (55), et soient

COPINUE
ce que deviennent alors U, V. Les quantités ©, seront
non-seulement entières, mais premières à p aussi bien que $,6;
et de même que les équations (36) entraînent les formules (38),
de même la formule (55) entraînera la suivante :

(56) pere 20? = REUTOGE (mod. P)

Or, dans la formule (56), comme dans chacune des for-
mules (38), les deux exposants de p ne peuvent s’évanouir
l'un sans l’autre; et, puisqu'on peut réduire l’un d'eux à
zéro , en prenant pour » le plus petit des nombres

(f—g); i—7,
il faudra que ces deux nombres soient égaux , et que l’on ait
(57) i—J—= 8),

90.

716 THÉORIE

par conséquent
=

(58) f—g=

D'ailleurs +, toujours positif, se réduit à
LS ROUE
suivant que » est de la forme
4x +3, 4x+1, ou 4x;

et, en vertu de ce qui a été dit dans la note précédente, Ja
différence :—7, quand elle ne s’évanouit pas, est toujours
positive. Done, la différence /—g ne pourra jamais devenir
négative, et l'équation (41) donnera toujours

(59) p=—f—g= x.

En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :
Théorème. Le degré » de l'équation binôme

CS À

dont & désigne une racine primitive, et la somme alternée

B'—= p" + "+ "+ se .—p— = cr co
étant supposés tels que l’on ait
D = —n;
si les exposants de : premiers à #, mais inférieurs à :n, se
trouvent en nombre égal à z dans le groupe
hSh, Rare

et en nombre égal à 7 dans le groupe

ER ie.

|
|
|
|

DES NOMBRES. Gi Cr]

on pourra satisfaire, par des valeurs entières de x,7, à
l'équation
An? + ny*,

pourvu que l’on prenne
pp

quand x sera de la forme 8x + 7;

quand n, sans être égal à 4, sera divisible par 4 ou
par 8. Si » se réduisait à l’un des nombres 3,4, alors
(en vertu de ce qui a été dit dans la note IV) on aurait
simplement
m— I.

Pour vérifier l'exactitude du théorème qui précède, dans
le cas particulier où l’on prend pour #7 un des nombres
3,4, il suffit d'observer que l'équation

2 2
Ap=x + ny’,
réduite alors à la forme

LISA) 8

ou à la forme
4p=x+h4y, où p= Ê x) Le

coincidera, pour r—3, avec la formule (110) de la page 435,
quand on posera x—AÀ, y—B, et pour 7 —#4, avec la

4
718 THÉORIE

formule (93) de la page 423, quand on posera x — 2A,
er

Si, dans le théorème qui précède, nous n'avons pas fait
une mention spéciale du cas où l'on aurait

n—8, 1@——$6/; D = p + p° —p— p?,

et où la condition (10) cesserait d'être vérifiée, c'est qu'en
vertu des principes établis dans la note [IT on peut encore,
dans ce cas, résoudre en nombres entiers l'équation (29), en
prenant = 1, et que cette dernière valeur de 4 est com-
prise dans la formule

as
= TZ.

En effet, dans le eas dont il s’agit, l'équation (29) réduite à
4p'=2 + 87”,
ou, ce qui revient au même, à
p=(2) +27,
coincide avec la formule (103) de la page 430, quand on pose
E—\, LED,

et, comme alors aussi l’on trouve

on en conclut

Il nous reste à indiquer une méthode à l'aide de laquelle on
peut faciliter le calcul des valeurs de x,y qui sont propres
à résoudre l'équation (1). |

DES NOMBRES. 719

L'exposant y étant supposé plus grand que zéro, ainsi
que i—7, la différence f —g sera elle-même supérieure à
zéro , et, en vertu des équations

= fs) =:
les formules (38), (56) pourront être réduites aux suivantes :

(60) æ+yd=0, z—y3= 25, (mod. p),
(61) ("= (@): (mod. p).

Or, les formules (60) donneront
(62) = pi, (mod. p),

et il est clair que cette dernière équation fournira immédia-
tement le reste de la division de x et de y par p; ce qui
facilitera le calcul des valeurs de x,7, et suffira même à la
détermination de ces valeurs, dans tous les cas où elles de-

= ë = : pr + SULRET
vront être, abstraction faite des signes, inférieures à -p.
2

Quant à la détermination des quantités $,ç, ou vw, v, elle
s'effectuera sans difficulté. En effet, en vertu des principes
établis dans la note V (pages 474 et suivantes), pour déduire
$ de F, et ç de G, il suffira de remplacer ? par r, dans
les divers facteurs de F et de G, ou, ce qui revient au
même , de remplacer chaque facteur de la forme

R,,,
par une quantité entière équivalente , au signe près, à

a =", au

720 THÉORIE

la valeur de I, étant donnée par la formule

PT UE
(63) Bresson one

La formule (62) n’est pas applicable aux cas où » seréduit
à l'un des nombres 3, 4, 8, et doit alors être remplacée par
celles que nous allons indiquer.

Les valeurs de P,Q, fournies par les équations (42), sont
évidemment, ainsi que I, J, des fonctions symétriques, d’une
part, des racines primitives

pr Ps Pres
et d'autre part des racines primitives

pr pr Pre:
Donc la somme P +Q, sera, comme [I +3, une fonction
symétrique des diverses racines primitives de l'équation (1),
et la différence P—Q sera comme 1 —J une fonction al-

ternée de ces mêmes racines; d'où il résulte qu’on pourra aux
équations (8) joindre encore celle-ci

(64) P+Q—2A, P —Q—$#o,

A,8 désignant des quantités entières. Cela posé, on tirera

des formules (45) et (64)
2P—A +80, 2Q—2A—58#0
APQ=% + $#'o*,
N
4p° = —80);
et par suite, si la condition

D°—=—n

DES NOMBRES. 721

est vérifiée, l’on trouvera

N
(65) 4p° = % + n8"

Or, si l'on substitue l'équation (64) et les formules (50) à
l'équation (20) et aux formules (32), alors, par des raison-
nements semblables à ceux dont nous nous sommes servis
pour établir le théorème énoncé plus haut et la formule (62),
on prouvera que l’on peut satisfaire à l'équation

Apr + nÿ,
en posant généralement

BE;

et prenant pour x, y certains nombres entiers qui vérifieront
la condition

(66) Z=— D = M (mod. p).

Considérons en particulier le cas où l’on a 7 —3. On
trouvera dans ce cas
B=p—p
Ra, RP, ] 0, L —j—1,
PR O=R,,
à U — O, V => KR.
et par suite on pourra prendre
O0—=0, V——I],..

Donc, p étant,un nombre premier de la forme 3x + 1, on
pourra toujours satisfaire à l'équation

(67) hp=x +3,
T. XVII. 91

722 THÉORIE
en prenant pour æ,7 des nombres entiers qui vérifient la
condition

t=—yi=—1I,..
Il importe d'observer que, dans cette dernière formule, la
valeur de II,, sera

EE (RO) Re

la valeur de & étant

et que d’ailleurs on aura
d—=r— 7,

r_étant une racine primitive de l’équivalence

æ= 1, (mod. p),

par conséquent
r=t", (mod. p),

t étant une racine primitive de l’équivalence
æ"=1,(mod. p).

Cela posé, en ayant égard à la formule
Le

D—— 0
de laquelle on tire
res We à
Sir on
on trouvera
(68) æ=—I,,, Y=— 3 I, 5, (mod. p).

D'autre part, comme on aura, en vertu de l'équation (67),

BUS AP,E VS < 2.

DES NOMBRES. 723

les valeurs numériques de x,y seront respectivement infé-
rieures aux nombres

2p° 2 (6).

Ë . nie at
dont le second au moins restera inférieur à = p, pour une

valeur de p égale ou supérieure à 7; le premier remplissant
lui-même cette condition dès que l’on supposera p supérieur
à 16, par conséquent à 7 et à 13. Donc les formules (68), ou au
moins la seconde d’entre elles, fourniront immédiatement la
résolution en nombres entiers de l'équation (67). On trouvera,
par exemple, pour p— 7,

Em FR Per
D — 3 — 2; LE

et comme 3 étant une racine primitive de l’équivalence
æ = 1, (mod. =)

on pourra prendre
r =3 —2, (mod. 7)

par conséquent

Dre ==) (mod. 7)

les formules (68) donneront

æ=—6=1, y=4=—3, (mod. 7).

On a effectivement

GE EE 2

Prenons encore p— 13. On trouvera
DT CET OS RE
heal ner 0

91.

724 THÉORIE
et comme 3 étant une racine primitive de l’équivalence

æ*=1, (mod. 13),
on pourra prendre

r=3=3, J=r—r=3-9=—6, (mod. 13),
les formules (68) donneront
=—70=—5, y=10=—3, (mod. 13).

On a effectivement
AUTO. 07

La valeur numérique de x remplit déja, comme on le voit,
pour les valeurs 7 et 13 du nombre p, la condition d’être
. ane x Le « . VAE: 10 .

inférieure à = p. Donc, d’après ce qui a été dit ci-dessus, cette
condition sera toujours remplie, et pour résoudre en nombres
entiers l'équation (67), il suffira, dans tous les cas, de re-
courir à la première des équations (68). On trouvera, par
exemple, pour p — 19

ER Il ss 7:8.9-10. 11.72
Te ? 1,7 RSC RER

Sad ist =7.11.12= 12, (mod. 19)

æ=12=— 7, (mod. 19)

tA

]

7°:
On a effectivement
4. 19 = 7 9 0

Dans les exemples précédents, la valeur de y est cons-
tamment divisible par 3. On peut démontrer qu'il en sera
toujours ainsi (voir les numéros des Comptes rendus des
séances de l’Académie des sciences, pour l’année 1840).

Les formules (68), jointes à la remarque que nous venons

DES NOMBRES. 725

de faire,comprennent l’un des théorèmes énoncés par M. Jacobi
en 1827,dans un mémoire qui a pour titre De residuis cubicis
commentatio numerosa (voir le Journal de M. Crelle,de 1827).

Au reste, après avoir résolu l'équation (67) à l’aide des
formules (68), on pourra toujours obtenir immédiatement
deux autres solutions de la même équation, en ayant recours
à la formule

Ip a) ke 9 (= )

2
+ (7) Hal AY.
Gr. LONE"
On trouvera par exemple
4.7 =1 +3-.3 — br + 3.1 == + 3.2,
h13=5 +3.3;=7+31=2+ 3.4;,
etc...
Considérons maintenant le cas où l’on a n—{4. Ontrouvera

dans ce cas

® — o —p
h—1, k=3,,.i=1, j=0; 1—j—1
es P =. Q—R;;;,

U—=R,, V—=kR;;
et par suite on pourra prendre
© — 4, 9 —— 11,
Donc, p étant un nombre premier de la forme 4x + 1, on
pourra toujours satisfaire à l'équation
(69) ap=x +4,
en prenant pour æ,ÿ des nombres entiers qui vérifient la

condition
Lol:

76 THÉORIE
Dans cette dernière formule, la valeur de IX, sera

rl __1.2.3...20 _ (©O+1)...2®
emo)
la valeur de & étant

< — I
oi ,

et l'on aura d’ailleurs
D À

r étant une racine primitive de l'équation
x =1, (mod. p),

en sorte qu'on pourra prendre
T

En,

t étant ce qu'on nomme une racine primitive du nombre p,
c'est-à-dire, une racine primitive de l'équation

æP"=1, (mod. p).
Cela posé, en ayant égard à la formule
d =— 4, (mod. p),

de laquelle on tire

on trouvera

(70) CENT CES Rs T IL, à, (mod. p).

D'ailleurs, pour que l'équation (69) soit vérifiée, il est néces-
saire que æ soit un nombre pair; etalors, en écrivant 2x au
heu de x, dans cette même équation , l’on obtient la suivante

(;1) P—=a Tr,

‘

DES NOMBRES. 727

à laquelle on devra satisfaire par des valeurs de x, y propres
à vérifier les formules

I L
(72) Ps JR à.

2

D'autre part, comme, en vertu de l'équation (71), les quan-
tités æ,y devront offrir des carrés inférieurs à p; et des va-

x

leurs numériques inférieures à p’, par conséquent à

De sp
ne

attendu que p, au moins égal à 5, vérifiera la condition

p° > 2; il est clair qu'à l’aide des formules (72), ou seulement
de la première de ces formules, on pourra déterminer com-
plétement les valeurs entières de x,y qui vérifieront la for-
mule (11). On trouvera par exemple, pour p—5,

LVL CVS =
ee nt, IL, —=2,

He
= — 1, (mod. 5)
T——1I
On a en effet
DEN E

Prenons encore p— 13, on trouvera

4.5.6
I1—2—3

:=—10—=3, (mod. 13)

D D —= 20, (mod. 13)

X—3.

On a en effet
13—= 3 + 2;.

LA
728 THÉORIE

Prenons encore P=N7; on trouvera

5.6.7.8

d—4, Lu 7 —9:2.7—70,=2, (mod. rFÀ
æ—=—-1, (mod. 17)
T—— 1.

On a en effet
D AE

Prenons enfin p— 29. On trouvera

7, Mere

D'ailleurs, il ne sera pas nécessaire de calculer la valeur exacte
de H,,, et l’on pourra se borner à déterminer, par l’une des
méthodes exposées dans la note V, une quantité équivalente
à I,,, suivant le module 29. Cette quantité sera immédia-
tement fournie par le tableau de la page 490, et se réduira
au nombre 10, renfermé dans les deux colonnes horizontale
et verticale dont les premières cases offrent le nombre 5.

On aura donc
IL,,= 10, (mod. 29)

æ—=—5, (mod. 29)

= 5;
On trouve en effet

29—9 + 2°.
La première des formules (73) fournit précisément le beau
théorème énoncé par M. Gauss, et relatif à la résolution de
l'équation (71) en nombres entiers.
Il est bon d'observer que, dans le cas où l’on suppose,

comme on vient de le faire,

p = 45 + 5

DES NOMBRES. 729

l'équation connue

1.2.3... (p—1)=—1, (mod. p),

donne

(1 HOT ONE 20) = — de
Donc alors on vérifie la formule

d—=—}#,
en prenant
ee, 20),

et la seconde des formules (72) peut être réduite à

Ainsi, par exemple, on trouvera pour p—5,

Y=—H,,=—2, (mod. 5),
par conséquent

BTS 2%
pour p—13,

J=—5.4.5...610,,=4n,,=80=2, (mod. 13),
2} etc.
Considérons maintenant le cas où l’on a n—8,
C6 Poe
Dans ce cas, on ne peut plus se servir ni de la formule (61),
ni de la formule (66). Mais les équations (7) donnent
1—0,6,—R,:0,, J—0.0, —R.,6,
et les coefficients de @, dans ces formules, savoir :

REA CRIE
Rx VIT. 92

730 THÉORIE
représentent des fonctions symétriques des racines primitives

3 Sr

pp OÙ p;,p:.
Par suite la somme

R,; + R,,,
et la différence

RE Ts
seront de la forme

R,; + R;, = A® R,;—R;,— Bo à

A,B désignant des quantités entières; et, comme on aura
d'autre part
R:R, == p;

on trouvera définitivement
4p = A° — Be»,
puis, en ayant égard à la formule

D— — 8,
on en conclura

4p = A? + 8B>.

Dans cette dernière équation, À sera nécessairement pair,

et en posant
A=2zs B—7

on la verra se réduire à

(73) pa + 2ÿ°.

Ajoutons que si l'on remplace & par r dans les deux formules
Rs; +R,—=27, R;:—R;,—70,

on devra y remplacer aussi @ par à; et comme alors R,, se

DES NOMBRES.
trouvera remplacé par zéro, et R;, par

Sr IL; ,
on aura définitivement

2%2—=—YI=—IL,,3.
Donc, en ayant égard à la formule

2—=__8,(mod.p),

de laquelle on tire

on trouvera

74) L=— = DEN 3 I,,:9, (mod. p),

la valeur de I,, étant donnée par l’équation

es 1.2.3...4© __(35+1)...4
CN ECO) RE EP 0) EE ETC
et la valeur de & étant
EP re
Se

Quant à la valeur de à, elle sera
S=r+r—r—1, (mod.p),
r étant une racine primitive de l’équivalence
‘1, (mod.p),
en sorte qu'on pourra prendre
r=t", (mod. p),
t étant une racine primitive de l’équivalence

x?-'=1, (mod. p).

«o)

ul

92.

781

792 THÉORIE

Les formules (74) suffiront à la détermination complète des
valeurs de x, y qui vérifieront l'équation (75), attendu que ces
valeurs devront être, l’une et l’autre, inférieures , abstraction

z

». . x = x . SE rs
faite des signes, à p°, et à plus forte raison à ,P- On
pourra même se borner à déterminer la valeur de x, à
l’aide de la première des formules (74). On trouvera, par

exemple, pour p=—17,

æ = —14=3, (mod. 15),

0]
NUE

On aura effectivement

17 —=@?+ 2.2?
On trouvera pareillement, pour p—=#41,

__16.17.18.19.20

O — p, Rs one 10. DL dE 19=—6,(mod.41),

On a effectivement
9 OM
CECI:

La première des formules (74) fournit un théorème donné
par M. Jacobi, en 1838, dans les Comptes rendus des séances

de l'Académie de Berlin.
Revenons maintenant au cas général où 7 désigne un en-

tier qui vérifie la condition

D?—= — 7,

Ca

DES NOMBRES. 78

sans toutefois se réduire à l’un des trois nombres
DEN; 8:

Alors les valeurs entières de x,7, propres à résoudre l'é-
quation
fpi=3z" se ny”;

vérifieront la formule (62); et, comme on aura d’ailleurs

3=—nr, (mod.p),

par conséquent

on trouvera

re
(75) TE à; =

Avant d'aller plus loin, il est bon d'observer que, dans Ja
formule

INT 2 En nÿ?,
le second membre devra être pair tout comme le premier, et
qu’en conséquence les deux termes

LEE ny?
seront tous deux pairs ou tous deux impairs. Donc, si » est
impair, les deux carrés

x, “
seront en même temps pairs ou impairs. D'ailleurs, st les
carrés æ°,7° sont tous deux impairs, chacun divisé par 8,
donnera 1 pour reste, et par suite la formule
x? + ny° — 4p*

donnera

14 n=4p"=4, (mod. 8),

734 THÉORIE

ou, ce qui revient au même,
(76) n=3, (mod. 8).

Donc, si #, supposé impair, et de la forme 4x+3 afin
que l’on ait @ ——n», ne vérifie pas la condition (76), c'est-
à-dire, en d’autres termes, si l’on a

(77) = 7, (mod. 8),

x°, y° seront pairs l’un et l’autre. Alors, en écrivant 2x au
lieu de æ, et 2y au lieu de y, on obtiendra, au lieu de
l'équation (29), la suivante

= CE 2
(78) PET nr;

à laquelle on satisfera par des valeurs entières de x,7, qui
vérifieront les conditions

]

(t \ [A
== ËJ LE 2e
(79) EE AN ENT (mod. p).

D

Enfin, si x est un nombre pair, divisible par 4 ou par 8,
il est clair que, dans l'équation

APTE,

x lui-même devra être pair. Alors, en écrivant 2x au lieu
de x, on verra cette équation se réduire à la suivante

It

(80) p'=æ +,

et l’on pourra satisfaire à cette dernière par des valeurs en-
tières de +, 7, qui vérifieront les conditions

(81) æ=° 3? = (mod. p).

DES NOMBRES. 799

Pour montrer quelques applications des formules qui pré-
cèdent, prenons d’abord pour » les nombres premiers qui,
étant de la forme 4x +3, et supérieurs à 3, restent infé-
rieurs à 100. Parmi ces nombres premiers, les uns, savoir,

11, 19, 49,109, 67, 83
seront de la forme 8x + 3, les autres, savoir,

729, 21 AT TT, 79

seront dela forme 8x + 7; et pour chacun d’eux on obtiendra
facilement les valeurs des résidus quadratiques

Po les Lo

pu...

en cherchant, dans les tables construites par M. Jacobi, ceux
des nombres

RO 72

qui offrent des indices pairs suivant le module 7. Ainsi, par
exemple, comme, pour » — 7, les indices des nombres

À PALD PUS PAS De PE
sont dans ces mêmes tables
9; 2; 1; 4, Su 3;
on trouvera pour 2 = 7
Ê= I, NES, RATE
Le 2 4 3 5 6
nn ce Set
En opérant de la même manière pour les diverses valeurs de n,
on reconnaîtra que les quantités 2, #', k”,... inférieures ou

pe x LA . .
supérieures à =, le nombre z ou 7 des unes ou des autres,

736 THÉORIE

et la différence 7—7 sont respectivement, pour

EIte D—0} |
H—= 7, 4 j=1 |? ;
3,4,5 = 3
CEE LT PES on. li
__,,, [n4:5,6,7,9 1—\6 RS
PE 19} 11,16,17 T3 1 J
nr { 1,2,3,4,6,8,9 17 |
R 0) CRE T4 |?
34 {1,2,4,3,7,8,9,10,14 2— 0 VIE
LE 15) 6 Sanaa =—6 1
re (pere Re 7e 1—10)0e
M1 23,24,25,31,35,36,38, 40,41 = j=9 |’
E — 7 [12,3,4,6,7:89,12,14,16,17, 18,21 i= 14| |
?124,25,27,28,32,34,36,37,42 i=9 | 0}
RER 11,3,49;7:912,15,16,17,19,20,21,22,25,26,27,28,29 = 19| :
2 99) 35,36,41,45,46,48,49,51,53,57 j=10|"
re | 1,4,6,9,10,14,15,16,19,19,21,22,23,24,20,26,20,33 1=— 160)
975) 35,36,37,30,40,47,49,54,55,56,59,60,62,64,65 j=:15|
ne 1,2,3,4,9,6,8,9,10,12,15,18,19,20,24,25,26,27,29,30,32 2— 2 1]
70|36,37,38,40,43,45,48,49,50,54,57,58,60,64 = 14|°
Le [12:4,5,8,9, 10,1 1,13,16,18,19,20,21,22,23,25,26,31,32,36,38 2— 22]
= 79») 40,42,44,45,46,49,50,5 1,92,99,62,64,65,67,72,74,76 j= 27}?
LEE (1,3,47:0:10,11,12,16,17,21,23,25,26,27,28,20,30,31,33,36,37,38,40,41 i— 25
| 44,48,49,51,59,61,63,64,65,68,69,70,79,77,78,81 7—x6\f

Donc les valeurs de
pi)
qui permettront toujours de résoudre en nombres entiers
l'équation
p'=xt + ny’,

DES NOMBRES.
seront respectivement,

pour == 7, 29,491,-{7 71,
Be — 1, 3, 3, o, 7)

et les valeurs de

qui permettront toujours de résoudre en
l'équation
Ap* — LCL),
seront respectivement,
pour n—11, 19, 43, 59, 67,

E— 1, 1, I, LS

De plus, on aura, pour n = 7,

1—0,0,0,—=p——, J —0,0,6, =p =—,
3

ou , ce qui revient au même,
I

I pie = p° KR; 9

79)
52

nombres

F=X, LA, F—g=1i= 4,

et par suite on pourra prendre

CS NES 1 ES

entiers

Donc, en vertu des formules (79), on pourra satisfaire à

l'équation

(82) P—= + 7V')
par des valeurs entières de x, y, qui vérifieront les conditions
à
(83) hi : IL, , ; sx = — FA IL, (mod. P);
CII

93

738 THÉORIE

la valeur de H,, étant donnée par la formule

nr 1208-00 (20 + 1)...30©
UT (CCC EE) 2 TO
dans laquelle on aura
PERX
D ou

et la valeur de 5 par la formule

5 6

S—=rT+r + rm —r —7r,

dans laquelle r sera une racine primitive de l'équation
a =1,(mod. p)
en sorte qu'on pourra supposer
PF
t étant une racine primitive de p, c'est-à-dire, une racine
primitive de l’équivalence
æ—=1, (mod p)

On trouvera, par exemple, pour p —29,

r219 7%. 12 9.10.1 1.12

(2.3.4 (2de.8) 1.2.3.4 mon.

D — 4 RU —

(mod. 29),
:=—.1, (mod. 29)
—…
On a en effet
29 — I + 7.2.

Au reste, la quantité 2, qui, dans cet exemple, est équi-

valente à I,,, suivant le module 29, se trouve immédiatement

fournie par le tableau de la page 490, et se réduit, comme

on devait s'y attendre, à celle que renferment à la fois les deux

DES NOMBRES. 739

colonnes horizontale et verticale dont les premières cases
contiennent les deux nombres

O— Ho 20 — 0:

M. Jacobi, dans son mémoire de 1827, avait déjà indiqué les
formules (83)comme pouvant servir à la résolution de l’équa-
tion (82). Pour arriver à ces formules et à d’autres semblables,
il avait suivi une marche analogue à celle, par laquelle
M. Gauss lui-même a établi la première des formules (52),
et il avait eu recours, nous a-t-il dit, à des considérations
qui ne diffèrent pas de celles que j'ai exposées dans le Bulletin
des sciences de 1829, c'est-à-dire, à la considération des
fonctions ci-dessus désignées par 0,, 0,,0,,..

Si, au lieu de supposer 2 —7, on prend successivement
pour z les nombres premiers

Il; 19; 49, 6%

pour lesquels on a aussi w—1, il suffira de recourir aux
formules (75), ou du moins à la seconde d’entre elles, pour
déterminer complétement les valeurs de x,7 propres à vé-
rifier l'équation

ÉD ny.
D'ailleurs, on trouvera, pour nr — 11,
I= —R HD R 1,3 R 1 + 3,4 Le + 344,5 R 14344 + 5,99
J=— — Rues oz Ke RE + 8,7 KR, +8+76 R,,;: +7 +62)
par conséquent
Il —=pR 3 Ro Res ,:) em
T=pRs R;7 Ri6 = p° ea

740 THÉORIE

en
8—=2, f—8=1—= 5 —=4;
ER GRR,

ù

et l’on pourra prendre
$—— Il,;, Ç— IL, ; Il, ;-

Donc, en vertu des formules (75), lorsque p divisé par 11
donnera pour reste l'unité, on pourra satisfaire à l'équation

(84) APT EI)

par des valeurs de x,y propres à vérifier les conditions

TL, ,3 IL,, 3 214,4
(85) TR —

les valeurs de IL,,, 11,4, IL, étant données par les formules

ral (3S+1)..40 ur — (48 + 1)...8S ll __(6S+7r)..8%
PS LRO le ON AO) PE EURE ONE
dans lesquelles on aura
PT
TY XL

Si, par exemple, on suppose p — 23, on trouvera

9, m8, pp, dre Mubr6, LL 18141616
DES nr le 1.2.3.4.5.6.7.8 PET 123.4
H;—28=5, [,,=9.10.11.13=-—10, N,:=19.14.10=3,

(mod. 23)

Le carré de x° devant d’ailleurs être inférieur à 4.23—9,
on né peut supposer que

DES NOMBRES. A1
À

On pourrait opérer de la même manière pour les trois
valeurs de x représentées par

19, 43, 67.

Mais il est bon d'observer que chacune d'elles, divisée par 3,
donne 1 pour reste. Or, quand cette condition est remplie,
ou, ce qui revient au même, quand, = étant premier, 7 — 1
est divisible par 3,on peut ajouter, trois à trois, les nombres
renfermés dans chacun des groupes

JAUNE RENTE 2 CN OR

de manière à obtenir des sommes divisibles par ». En effet,
soit s une racine primitive de l’équivalence

x"-'=1,(mod. »).
Les nombres renfermés dans le groupe
! WA
KR, HR ee

seront équivalents, suivant le module », aux divers termes
de la progression géométrique

ER ne
et les nombres renfermés dans le groupe

He ie
aux divers termes de la progression géométrique

SM SE

Comme on trouvera d’ailleurs ,en supposant # — 1 divisible

par 3,

on fe),

SET

742 THÉORIE
il est clair que, dans cette hypothèse, on aura
h+hk+h"=0, (mod. n),

si l’on prend

LES. Des dr h'=Ss Die
m. étant un nombre pair, et
k+kK + k"=o, (mod. n),
si l'on prend
==; Rare k'=Ss Si

mm étant un nombre impair. Par suite, chacune des fonctions
représentées précédemment par I, J pourra être censée ré-
sulter de la multiplication de divers produits de la forme

9,9,0,.
dans chacun desquels on aura
l+l+l"=0, (mod. »).
Or, on trouvera sous cette condition

9,9;
OO Er. = 0 =pS-—=PRir
it

l, [pouvant être deux quelconques des trois nombres
D l”,
par exemple, les deux plus petits, lorsqu'on aura
l+l'+l"—n,

et les deux plus grands lorsqu'on aura

PETER — an.

DES NOMBRES. 743
Donc, dans l'hypothèse admise, chacune des fonctions

mi

=

pourra être censée résulter de la multiplication de g & fac-

teurs de la forme

PR ,

ce qui permettra de calculer facilement les valeurs de $,ç.
Concevons, pour fixer les idées, que l'on ait n — 19.
Alors, si l’on prend s— 10, les nombres qui, étant infé-
rieurs à 19, seront équivalents, suivant le module 19, aux
quantités |
1 5,5, 5, 54 5,

6 8

a7 9 10 IL
D ST SAS SALSA LS Le

12 Lx 20 0x6 17
S,S,S8 ,S ,8 ,S7,

c'est-à-dire, les nombres correspondants aux indices

OT: 29 1;
6, 7, 8, 9,10,11,
12,13,14,15,16,17,

seront respectivement ceux qui se trouveront contenus dans
les trois premières lignes horizontales du tableau

1,10, 5,12, 6,13,

11,15,17,18, 9,14,
(86) 713,16, 8, 4, 2,

19,38, 38, 38, 19, 19;

les trois nombres renfermés dans une même colonne verticale
pouvant être censés représenter trois valeurs correspon-
dantes de 7, 7’, l", dont la somme

lETEL,

744 THÉORIE

toujours égale , soit à 2 —19, soit à 27—38, se trouve
placée au-dessous de ces trois nombres, dans la quatrième
ligne horizontale. Donc, # étant égal à 19, [ pourra être
censé résulter de la multiplication dés trois produits

6, 6,0, — pit: O; 0,,6;5 =phE;;;, ®% 9, 0; — ph,
et J de la multiplication des trois produits
0,,0,:0,; —=phR ss 0,,0,:0; ph, 9; 0,46, ph

et l’on aura

Re

A: 16,17
I SP. R,, Ric, 17 Ris —p"° Rss 18R 53,15 ?
Ro 8R3,15
J=pPRS RAR Sp" +

f=5, g=4, fig Tv,
PeRybroQG ER ARR
en sorte qu'on pourra prendre
PEN MEN;

Donc, en vertu des formules (75), lorsque p, divisé par 19,
donnera pour reste l'unité, on pourra satisfaire à l'équation

(87) Ep 2? + 19p7,

par des valeurs entières de à:,7, qui vérifieront les conditions
= IL, 11, 6 — ù I, 11,6

(88) RE ANGLE 216 TR , (mod. p).

On peut remarquer qu’en vertu des formules (88), la quan-
tité x est équivalente, au signe près, suivant le module p,

au rapport
I, Hi
LE L

DES NOMBRES. 745

dont le numérateur et le dénominateur ont pour facteurs les
trois valeurs de

Tr,
correspondantes aux trois colonnes verticales du tableau (86)
qui offrent des valeurs de /,/’,!" dont la somme est 2 = 19;
chaque valeur de

Q,,,

devant être considérée comme facteur du numérateur ou du
dénominateur, suivant qu’elle correspond à une colonne ver-
ticale de rang impair, ou de rang pair. Or, il est facile de
prouver que cela devait arriver ainsi. En effet, soient /, /’, l”
trois nombres renfermés dans l’une des colonnes verticales,
au bas desquelles se trouve placée la somme 7—19. Si la
colonne dont il s’agit est de rang impair, ces trois nombres
correspondront à des indices pairs, et par suite

sera l’un des facteurs de IL. Si au contraire la colonne dont
il s’agit est de rang pair, une autre colonne de rang impair,
mais au bas de laquelle on lira la somme 22 —38, renfer-
mera les trois nombres

rt mûrs mer
et par suite
PR; nl"

sera l'un des facteurs de 1. Donc, dans le premier cas,

R,_,,- sera un facteur de G, et — Il, un facteur de 6,

tandis que, dans le second cas, R,_,,_. sera un facteur de F,

et —Il,, un facteur de $. On peut ajouter qu’à toute co-
T. XVIL 94

76 THÉORIE
lonne de rang impair, terminée par la somme 27 —38, cor-
respondra une colonne de rang pair, terminée par la somme
ñn—=19. Donc, pour obtenir tous les facteurs de # et de G,
il suffira de considérer les colonnes terminées par la somme
ñn—19; et chacune de ces colonnes fournira un facteur de
la forme

In
ç

soit au numérateur, soit au dénominateur du rapport go
suivant qu’elle sera de rang impair ou de rang pair.

La remarque que nous venons de faire, donne le moyen
d'appliquer facilement les formules (75) aux cas où x se ré-
duit à l’un des nombres 45,67; et d’abord, si l’on suppose
n—43, s—28, alors, en vertu des tables construites par
M. Jacobi, les nombres inférieurs à n — 1, et équivalents
aux quantités

c'est-à-dire, les nombres correspondants aux indices
OT 2, 0-1 0070; (0: 0 EE 12,10,
14, 15, 16, 17, 18,19, 20,21,22,23, 24, 2, 26,27,
28,29, 30, 31,92, 33, 34, 39, 36,37, 38, 30, 40, 41,
seront ceux que renferment les trois premières lignes hori-
zontales du tableau
1,28,.10, 22, 14, 0, 11,724; 27; 20) 12,30; 943
6,39, 17, 3, 41, 30, 28, 42, 10, 33; 21, 29; 38, 32,
(89) { 36, 19, 16,18,31, 8, 9,37, 4, 26, 40, 2, 15, 20,

43, 86, 43, 43, 86, 43, 43, 86, 43, 86, 86, 43, 86, 86,

les trois nombres renfermés dans une même colonne verticale

DES NOMBRES. 747

pouvant être censés représenter trois valeurs correspon-
dantes de

Lie
dont la somme r—43, ou 27 — 86 se trouve placée, dans la
quatrième ligne horizontale, au-dessous de ces trois nombres.
Cela posé, les valeurs de

I,7 ,

correspondantes à des colonnes terminées inférieurement par
la somme 45, seront

IL 5; TL 16 » IL 5, IL,s » IL; ; IL,,;5, ITR

et parmi ces valeurs, quatre, savoir

IL, 6; LL ,:6 9 Hs, IL,,:5 »

correspondront à la première, à la troisième, à la septième,
à la neuvième colonne verticale, c’est-à-dire, à des colonnes
verticales de rang impair, tandis que les trois autres, savoir

IL 4 , IL 2 IL, ,, ?

correspondront à la quatrième, à la sixième, à la douzième
colonne verticale, c’est-à-dire, à des colonnes verticales de
rang pair. Donc, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus, si le
nombre premier p, divisé par 43, donne pour reste l'unité,
on pourra satisfaire à l'équation

(90) ame
par des valeurs entières de x,y qui vérifieront les conditions
IL6 IL6,:6 To, Ii ,:5

IB,:8 IL5,8 IL,:2

(gr) (mod. p).
__ SI Î0,16 Io,1r [15
NS 43 IB,18 IL,s IL,52

É =

?

94.

748 THÉORIE

Supposons, en second lieu, n—67, s—n. Alors, au lieu
du tableau (89), on obtiendra le suivant

1,12,10, 53,33, 61, 62, 7; 17; 3, 36, 30, 25, 32,49, 52, 21, 51,

29; 13, 22, 63, 19, 27, 96, 2, 24, 20, 39, 66, 55, 57, 14, 34, 6, 5, 60, 50, 6
(92) { 37, 42, 35, 18,15, 46, 16, 58, 26, 44, 59, 38, 54, 45, 4, 48,40,11, 65, 43/4

67, 67, 67, 134, 67, 134, 134, 67, 67, 67, 134, 134, 134, 134, 67, 134, 67, 67, 134, 134548
A ————————_—_—]—_—

Or, les valeurs de IL,, correspondantes aux colonnes verticales
qui, dans ce tableau, se trouvent terminées inférieurement
par la somme 7 — 63, sont respectivement, pour les colonnes

de rang impair

TESTS ONÉE E ÎL,25 Ué,c Hé:
et pour les colonnes de rang pair

Uno Ib, Î320) Ms ss

Donc, si le nombre premier p, divisé par 67, donne pour
reste l'unité, on pourra satisfaire à l'équation
(93) ip=x +67
par des valeurs entières de x,y qui vérifieront les conditions

LH] IL, 0 ES 5,19 IL,,24 IT;,14 2:
IL,,13 IL ; IB,20 1% Is,8

(94) (mod.) p).
2e ÿ TI,29 TESS,22 I5,r9 IL,;,24 IT,14 16,21

T6 IL:,13 IL; [L3,20 Ur Ils,18 à

)

Si maintenant on prend pour », non plus un nombre
premier, mais un nombre composé, pour lequel on ait

DENT

on trouvera , au-dessous de la limite 100, trois nombres de la

9, 40m

DES NOMBRES. 749
forme 8x + 3, auxquels les formules (75) seront applicables,
savoir les trois nombres

35—5.7, 51—3.17, 91—7.15,
et cinq nombres de la forme 8x + 7, auxquels les for-
mules (79) seront applicables, savoir :
15—3.5, 39—3.13, 55=—5.11, 87—3.19, 99 5219.

Si, pour fixer les idées, on suppose #7 —1 5—3.5, on
trouvera
DR CE Pinto shine Ce
1—0.0.0,.&——R., Ris Ru: —pPR R,
J— 0,0,,0,,0, = — Rss Rss Rétases,g = PR Ross

ou, ce qui revient au même

I=poner JE Phuskon,

par conséquent

13, J=1, f= 8—=1 Tomtom 2)
F — 1, G — R:3 Re ;

en sorté qu'on pourra prendre
PT, GNT IE;

Donc, si le nombre premier p, divisé par 15, donne 1 pour
reste, on pourra satisfaire à l'équation

(95) TT
par des valeurs entières de x, y, qui vérifieront les con-

ditions
ÿ
(96) Z=— =, Os (mod. p).

750 THÉORIE

Or comme, en vertu de l'équation (95), les valeurs numé-
riques de x,7 seront inférieures à p, ilest clair que les
formules (96), ou au moins la seconde de ces formules, four-
niront le moyen de déterminer complétement les valeurs

der:
Supposons, par exemple, p—31 : on aura
5.6 .I0.11.12.13.14 k
O—D; LL, —=3.5, M 356 “710,

et
J=r+r ++ m—nm—r rs 7,

r étant une racine primitive de l’équivalence
æ°=1, (mod. 31),

ou, ce qui revient au même,

D=P +++ — pi ge 6 7,
{ étant racine primitive de 31. Cela posé, les tables de
M. Jacobi donneront
d=10 +7 + 18 + 14—920 — 19—9—28=— 4, (mod. 31),
et l'on tirera des formules (96)

= 0 2:4es =—I, ÿ=—920x7=—8,(mod.3r).

g3 2
Donc, puisque la valeur numérique de y devra être infé-

rieure à p et même à on aura

PE
15?
= — 8.
On trouvera effectivement

DATE TON O2

DES NOMBRES. 751
Si n cesse d’être impair, alors, pour vérifier la condition
D",
il devra être de l’une des formes
(4x +1), 8(2x +1),
les facteurs impairs étant inégaux. On pourra, par exemple,

n
prendre pour j des nombres

5, 13,17; 21, 29, 93, 97; 41,...

n
ou pour ÿ un des nombres

DO THET, F9 HO 177 ET Mie,

c'est-à-dire, que l’on pourra prendre pour x un terme quel-
conque de l’une des deux suites

20, 52, 68, 88, 116, 132, 148, 164,...
24, 4o, 56, 88, 104, 120, 136, 152,...

. ns “ 17 . Q s A
Si, pour fixer les idées, on attribue successivement à r les

valeurs représentées par les nombres premiers
SON 20 37 rites
on pourra déterminer facilement les valeurs des nombres
helh'shs.

par conséquent celles des trois quantités

1, Fe be — a

à l’aide des principes établis à la page 594; et l'on trouvera

752 THÉORIE

successivement, pour valeurs de :, les nombres
ANS T2 207 20 20-02

pour valeurs de 7, les nombres
0, WC A ABAEG He.

et pour valeurs de y, les nombres
200 HONDA AO AE

D'ailleurs , en vertu des formules (81), on aura :

pour 4—= 27%,
I Le ;
E=—-N,,L,=E-N, Y=—x, (mod. p);

pour 4—= NOT 02

L IE,,5 0x7 Los + I (ssl
2 113,3 IL; ,; F'HARe 2 K TB ,:

T—=—

: ÿ

) » Y=;gr, (mod.p),
EC

En terminant cette note, nous ferons observer que si l’on
veut obtenir directement, dans tous les cas, non plus seule-
ment des quantités équivalentes aux quantités entières x, 7,
qui vérifient l'équation

Gpi= En,

mais les valeurs mêmes de x et de y, il suffira de recourir
aux équations (35), desquelles on tirera, eu égard aux for-
mule —2, = 7),

AE) G
Z + Y® — 2p $G T—YD — 2%)

et par conséquent

DES NOMBRES. 753
G De ®FG in
(97) CE °C? = [r—? æ|

Ces dernières valeurs de y pourront toujours être calculées
ainsi que les facteurs de la forme

KR,

compris dans F et dans G, à l’aide des principes établis
dans la note V. On pourra d’ailleurs, si l'on veut, déduire
des formules (97) les valeurs exactes de æ,7, en remplacant
dans les seconds membres le signe — par le signe =, et
la racine primitive de l’équation

I,
par une racine primitive r de l’équivalence
æ"=1, (mod. p"),

m étant un nombre entier assez considérable pour qu'il ne
reste aucune incertitude sur la valeur de x ou de y. Dans le cas
particulier où l'on a w—1 ou w—2, on peut déterminer
complétement y, en supposant m— 1. D'ailleurs, cette der-
nière supposition réduit les équivalences, qui doivent rem-
placer les équations (97), aux formules (75).

OX

EeXVIT 9

754 THÉORIE

NOTE XIV.

OBSERVATIONS RELATIVES AUX FORMES QUADRATIQUES SOUS LES-
QUELLES SE PRÉSENTENT CERTAINES PUISSANCES DES NOMBRES
PREMIERS, ET RÉDUCTION DES EXPOSANTS DE CES PUISSANCES.

Soient, comme dans la note précédente :

p un nombre premier impair ;

n un diviseur de p—1;

h,k, l,... les entiers inférieurs à x mais premiers à »;
N le nombre des entiers k,#,/l,...;

+ l’une des racines primitives de l'équation

(1) JL

(2) = p* + og" + p"+ — pi — gp" —p" —,..

une somme alternée de ces racines, les entiers L,4,/,...
étant ainsi partagés en deux groupes

RS Mer Met TERMES

dont le premier sera censé comprendre l'unité. Enfin sup-
posons que, parmi les entiers

IRIS

. . “r \ I 7
ceux qui sont inférieurs à 37 se trouvent, en nombre égal

à &, dans le groupe ,#,k",... et en nombre égal à y, dans

DES NOMBRES. 755

le groupe #, #', ",... Pour que le module rx vérifie la con-
dition
(3) D — 7,

il faudra que ce module soit de l’une des formes
4x+3, 4(4x +1), 8(2x +1),

et qu'en outre les facteurs impairs de 7 soient inégaux.
Alors, en vertu du théorème établi dans la note précédente,
on pourra toujours satisfaire, par des valeurs entières
de x,7, à l'équation

(4) Ap= x + ny,

dans laquelle on devra poser généralement

ei, où =, où p— 7,
suivant que l’on aura
n=7, (mod. 8), ou 7—3,(mod.8), ou 7=0, (mod. 4).

On doit toutefois observer qu'il y a deux exceptions à faire
à cette règle, et que l’on aura, 1°, pour #—=3

k—i—7}=—1,, aulieu de =?

2}, POUr 2 — 4
ut) — 1, aulieude p— =
Ajoutons que l’on pourra réduire l'équation (4), si n divisé
par 8 donne 7 pour reste, à la formule
(@) p'=t +7,
et, si z est divisible par 4 ou par 8, à la formule
95.

756 THÉORIE
(6) P=r +57.

En calculant, dans la note précédente, les valeurs de l’expo-
sant L correspondantes à des valeurs données du module n,
nous avons toujours obtenu des valeurs impaires de y,
quand » était un nombre premier, et des valeurs paires
de z, quand » était un nombre composé, supérieur à 4. On
peut affirmer qu'il en sera toujours ainsi. En effet, si nous
prenons d’abord pour # un nombre impair, ce nombre sera
de la forme 4x + 3, et l'exposant w représenté par la valeur
numérique de la différence

L =
ou par le tiers de cette valeur numérique, sera pair ou impair
avec elle, suivant que la somme

pere
==
sera elle-même paire ou impaire. Comme on aura d’ailleurs,
si x est un nombre premier,
N—n— 1,

et,si x est le produit de plusieurs nombres premiers im-

" ’
pairs v,v,...

N—(v—1)(v—71)...;

—\1 .
» Si A est un

il est clair que y sera impair avec

nombre premier de la forme 4x + 3, et pair avec le rap-

port

(V— 1) (V — 71).
EE à

DES NOMBRES. 567
si z est un nombre composé de la même forme 4x + 5.
Dans l’un et l’autre cas, d’après ce qui a été dit dans la
note IX,
! [12
he; RAA

seront ceux des entiers inférieurs à n et premiers à #, qui

=

Supposons maintenant que l’on prenne pour x, non plus
un nombre impair de la forme 4x +3, mais un nombre
pair divisible par 4. Ce nombre devra être de la forme

4vvs”. .

v, v,v’,... étant des facteurs premier impairs, inégaux entre
eux , et dont le produit soit de la forme 4x + 1. Alors aussi

vérifieront la condition

les nombres
rN 7e
JO balé nee
seront ceux des entiers inférieurs à 7, et premiers à 7, qui
vérifieront, ou les deux conditions
k | — h= d
= ir :=1, (mod. 4),

=n

4
ou les deux conditions

2 (mod 4).
I
=n

4
On peut en conclurre que, dans le groupe
RNRAREE TE

. , 2, \ nm \
les nombres entiers inférieurs à ; seront deux à deux de la

758 THÉORIE

7
OP D
2

Donc, dans l'hypothèse admise, z sera pair, et, comme

l'équation
N—2(,— 1) (y = 1): ce

entrainera la suivante
. . N !
Z = -—=(s—]I nr NISS
+j= >; =(—1)6—i)
on peut affirmer encore, 1°, que 2+7 sera pair et même
divisible par 4; 2°, que j sera pair avec z et 1 +7; 3°, que

la somme

sera paire elle-même, et qu'on pourra en dire autant de la

différence

Supposons enfin que l'on prenne pour # un nombre divi-
sible par 8. Ce nombre devra être de la forme

Svv'v" ...
v, v', v',.…. étant des facteurs impairs inégaux ; et les entiers

' LL
Rohan
E .n » / l . 7
seront, 1°, Si ÿ est de la forme 4x + 1, ceux qui vérifieront

les deux conditions

ue = 144005; (mod à),

an
8

ou les deux conditions

DES NOMBRES. 729

hk :
a h=5 ou 7, (mod. 8);
3”
Gay . . F0
2°, si =: est de la forme 4x + 3, ceux qui vérifieront les deux
conditions
ñ re
—|=s —=1. ou 7,(mod.8),

ou les deux conditions

.- ——1, h=3 ou 5, (mod.S8).
84 |
On en conclut encore que, dans le groupe
NOR
les nombres inférieurs à . seront, deux à deux, de la forme
RES.

2
Donc 2 sera pair, et, comme on aura
N—4(v—1)("— 1)...

i+j = = — 1) mnt 0e

la somme i+/j sera non-seulement paire, mais divisible

par 4. Donc, par suite
Je +1
seront pairs, et l’on pourra en dire autant de la différence

El enfer

2 2 2

tee

Ainsi, en résumé, l'exposant & sera, dans l'équation (4),

760 THÉORIE

(5), ou (6), un nombre impair, ou un nombre pair, suivant
que le module x > 4 sera un nombre premier, où un nombre
composé. D'ailleurs, dans le dernier cas, on peut, à l'aide
d'une méthode souvent employée par les géomètres, réduire,
comme on va le voir, la valeur numérique de l’exposant y.

Prenons d'abord pour #7 un nombre composé de la
forme 8x + 7. Alors l'équation (4) pourra être remplacée par
la formule (5), dans laquelle # sera un nombre pair; et,
comme par suite p* sera un carré impair, c'est-à-dire, de la
forme 8x +1, x’ devra être un carré de la même forme,
et y’ un carré pair. Cela posé, les deux facteurs

ë Ê
p—x, p+x,

dont la somme sera 2p, et le produit p#— x°= #7", auront
évidemment pour plus grand commun diviseur le nombre »;
et, pour satisfaire à l'équation (5), on devra supposer

5 #
Pie D — US pl ILE Ut,

par conséquent

#

(7) p —=auù + 69,

2,6, u,v désignant des nombres entiers qui vérifieront les
conditions

(8) «6—n, (9) AUD — 7:

Il y a plus : comme le produit 46 —n sera diviseur de p— 1,

Ds fi

et par suite la formule (7) entraînera les conditions

(10) HE L]=s

on aura

DES NOMBRES. 761

auxquelles les facteurs «, 6 devront encore satisfaire. Enfin,
comme on l'a dit dans la note IX, la loi de réciprocité,
comprise dans la formule

a RE!

est applicable au cas où l'on représente par 4,6, non pas

seulement deux nombres premiers supérieurs à 2, mais encore
deux nombres impairs quelconques ; et, comme, x étant de
la forme 4x + 3, l’un des facteurs 4,6 devra être de la forme
4x +1, il est clair que, dans l’hypothèse admise, la pre-
mière des conditions (10) entraînera la seconde , et récipro-
quement. Done, lorsque nr sera un nombre composé de la
forme 8x + 7, l'équation (5) entrainera la formule (7), dans
laquelle :,6 devront vérifier les conditions

(12) «6 =, =.

Œ
Supposons , pour fixer les idées, n—15=— 3.5. On trou-
vera pour , h',... les nombres
)
1, 2, 4, 8,
e : . LES \ I
dont trois sont inférieurs et un seul superieur à HE On
aura donc

ne
J—),
2

1— 3, Î= 1, L—
et l'équation (5), réduite à
DAME,

entraînera la formule
Pc,

ÿois

x, 6 étant des entiers assujettis à vérifier les deux conditions

u6—= 1), É] = :
PECUIT . 96

762 THÉORIE
Or, de ces deux conditions, la première sera vérifiée si l'on
prend pour :,6 les nombres 1 et 15 ou 3 et 5. Mais, comme

on a

la seconde condition nous oblige à rejeter les nombres 3
et 5, en prenant pour 4,6 les nombres 1 et 15. Donc, p
étant un nombre premier de la forme 15x+ 1, ou, ce qui
revient au même, de la forme 30ox + 1, la considération des
facteurs primitifs de p fournira la solution, en nombres en-
tiers, de l'équation
p =u + 151.
Supposons, par exemple, p = 31. On trouvera d'abord
[voir la note précédente] += — 1,
Sa END CE
puis on en conclura
(31 +1) (31—1)= 4.150»,

le produit uv devant vérifier la condition

110810;

et, comme des deux nombres

31—x— 3+1—3,2, 314+2—=31— 1 — 30,

c'est le Second qui se trouve divisible par 15, on aura, dans

le cas présent
D ES

DE OU OI 1 —O ND 0e
L

On vérifiera effectivement les deux dernières équations, en
prenant

DES NOMBRES. 763

et par conséquent, il suffira d'attribuer à w,v les valeurs
numériques 4 et 1 pour résoudre en nombres entiers l'é-
quation
D LEON
Prenons maintenant pour #7 un nombre composé de la
forme 8x + 3. Alors on pourra vérifier en nombres entiers
l'équation (4). De plus, les deux facteurs

# We

D LS MIDI TL,

Ê
dont la somme sera 4p° et le produit 4p*— x°=—ny?, res-
teront premiers entre eux, si 4°,7* sont des carrés impairs.
Donc alors, pour satisfaire à l'équation (4), on devra sup-

poser
Ê b

2p—%—alû, 2p +x—=6v,
et par suite

ë
(13) Ap°= au + 6,
2, 6,u,®v étant des nombres entiers qui vérifient les formules
ÉD, 00 =",

avec les conditions (10). Si, dans le cas que nous considérons,
x’,Y* étaient des carrés pairs, on pourrait, comme dans le
cas précédent, réduire l'équation (4) à l'équation (5), et l'on
arriverait à la formule (7), qui peut être censée comprise dans
la formule (13), de laquelle on la déduit, en remplaçant
par 24 et v par 2%. On peut donc énoncer la proposition
suivante.

Lorsque n est un nombre composé de la forme 8x +3,
l'équation (4) entraine la formule (13), dans laquelle x, €
doivent vérifier les conditions (12).

96.

764 THÉORIE

Prenons maintenant pour 7» un nombre composé, divi-
sible par 4, mais non par 8. Alors on pourra satisfaire en

. ‘ , . 72 ,

nombres entiers à l'équation (6), si r est de la forme 4x + 1;
et, par des raisonnements semblables à ceux dont nous ve-
nons de faire usage, on prouvera que l'équation {6) entraîne
l’une des deux formules

# u
(14) p'—= au + 69, (15) 2p°—au + 60),
2,6 désignant des nombres impairs assujettis à vérifier la
condition
> [7]
(16) «6 —=-

et w,v des quantités entières qui vérifieront l’une des con-
ditions

QUU—Y, UD —Y.
D'ailleurs, le produit

a —e,

étant de la forme 4x + 1,

seront tous deux de cette forme, ou tous deux de la forme
4x +3; et, comme l'équation (14) entraînera les for-
mules (10), en vertu desquelles la formule (11) donnera
ar 6—1x

(17) —1)* A

ilest clair que, dans l'équation (14), «,6 ne pourront ètre
tous deux de la forme 4x +3. Ils y seront done l'un et
l’autre de la forme 4x + 1. Quant aux valeurs de 4,6, ren-
fermées dans l'équation (15), elles devront vérifier les for-

DES NOMBRES. 765

mules

(18) = -f

desquelles on tirera, en les combinant avec les formules (10)
— g—1 6—7x

et (16)
(19) Cr ae

et, comme #’,v devront être impairs dans l'équation (15),
cette équation donnera encore

(20) 2=4x + 6, (mod. 8).
Or, en vertu des formules (19), (20), les entiers
a, 6
devront être tous deux de la forme 8x + 1, ou tous deux de

la forme 8x + 5, si ; est de la forme 8x + 1; et l’un de la

forme 8x +3, l’autre de la forme 8x +7, si ” est de la

forme 8x +5. On peut donc énoncer la proposition sui-
vante :

Lorsque n est un nombre composé divisible par 4 et non
par 8, l'équation (6) entraëne ou les équations (14) et (16).
ou les équations (15) et (16); :,6 étant deux nombres impairs
qui devront étre tous deux de la forme 8x +1, ou tous

deux de la forme 8x +5, si 7

l’un de la forme 8x + 3, l’autre de la forme 8x +7, si 2

est de la forme 8x +5. Æjoutons que x, 6 devront encore
satisfaire, si l'équation (14) se vérifie, à l'une des équa-

est de la forme 8x + 1, et

766 THÉORIE
tions (10), et, st l'équation (15) se vérifie, a l’une des équa-
tions (18).

En appliquant, au cas où 7 est divisible par 8, des
raisonnements semblables à ceux dont nous venons de faire
usage, on obtiendra la proposition suivante.

Lorsque n est un nombre composé , divisible par 8, l'équa-
tion (6) entraine la formule

ps

(21) p° = au + 267",
2,6 étant deux nombres impairs assujettis à vérifier la
condition
nn
\ —
(22) — 3

avec les deux suivantes

a = (-E:

desquelles on tire , eu égard à la formule (13),

rat ott

= Sc pes [:] = (— De

Re te , (mod. 2),
ou, ce qui revient au mére
(24) (x — 1) (x — 26 + 3)=0, (mod. 16).

En vertu des diverses propositions que nous venons d'éta-
blir, l'exposant y de la puissance de p renfermée dans
l'équation (4), (5) ou (6), peut être réduit, lorsque 7 est un

nombre composé, à l'exposant “. Ce dernier exposant, s'il

DES NOMBRES. 767

est pair, pourra souvent lui-même être réduit à É et cette

nouvelle réduction sera particulièrement applicable aux for-
mules (7), (13), (14), (21), si, dans ces formules % se réduit à
l'unité.

Pour vérifier cette dernière observation sur un exemple,

supposons
D — 609 "#17.

Alors, parmi les entiers inférieurs à 17, et premiers à 68,
ceux qui feront partie du premier groupe, savoir

», 0 7 ON DENTS

seront au nombre de 6, et ceux qui feront partie du second
groupe, savoir
5, 15

seront au nombre de deux. On aura donc par suite

2; = =6—2—4,

]
A
DIS
]

et l'on pourra, en supposant que p, divisé par 68, donne
l'unité pour reste, résoudre en nombres entiers l'équation

DL HAT.

Or, celle-ci entraînera l’une des formules

P'=u +170, 2p=w + 17,
dont la première à son tour entraînera l’une des suivantes
P=S+17Ë, 2p—S + 176,

s,t désignant encore des nombres entiers. Effectivement

768 THÉORIE DES NOMBRES.

l'on sait que tout nombre premier de la forme 68x + 1 peut
être représenté par l'une des formules
(2y+2) +19

2

Y' +ayz+a8z =(y-E2) Er, Hoyt pe

POST-SCRIPTUM.

La note placée au bas de la page 454, et relative à la loi de réciprocité qui
existe entre deux nombres premiers, se reduit à cette observation très-simple, que
la démonstration empruntée par M. Legendre à M. Jacobi ne paraît pas avoir été
publiée par l’un ou l’autre de ces deux géomètres avant 1830. Je suis loin de vou-
loir en conclure que cette démonstration n’ait pu être découverte par M. Jacobi à
une époque antérieure, Dans le memoire de 1827, intitulé : De residuis cubicis
commentatio numerosa , M. Jacobi, avant d’énoncer les théorèmes relatifs à la ré-
solution des équations indéterminées 4p = x° + 2977°, p—2x" +497", ditexpres-
sément : i? fontem uberrimum incidi, e quo inter alia et demanare sequentia theo-
remata vidi. La source féconde dont M. Jacobi parle dans ce passage est, comme
lui-même me l’a déclaré depuis (voir dans le Bulletin des sciences de M. de Ferussac,
le mémoire de septembre 1829), la considération des propriétés dont jouissent les
racines de l'équation auxiliaire, qui sert à la résolution d’une équation binôme,
c'est-à-dire, en d’autres termes, les fonctions ci-dessus désignées par 07,04...
Quelques-unes de ces propriétés avaient déjà conduit M. Gauss aux importants
résultats que contiennent les dernières pages de ses Disquisitiones arithmeticæ, et à
son théorème sur la résolution de l'équation p— 2° +-7°. Ainsi, les recherches de
M. Jacobi sur les formes quadratiques des nombres premiers, et l’on doit en dire
autant des miennes, peuvent être considérées comme offrant de nouveaux déve-
loppements de la belle théorie exposée par M. Gauss. J'ajouterai que, les pro-
priétés des fonctions de la forme @, étant supposées connues, il devient très-facile
d'obtenir la démonstration ci-dessus rappelée, Il est donc tout naturel, qu'à une
époque renfermée entre 1827 et 1830, M. Jacobi ait trouvé cette démonstration,
et lait communiquée verbalement ou par écrit à M. Legendre. Mais quelle est la
date précise de cette communication? C’est un point sur lequel je n'ai aucuns
renseignements, et m'en rapporterai au témoignage de l'illustre géomètre de

Kænigsberg.

ST CE US

MÉMOIRE

SUR L’EXISTENCE

D'UNE CONDITION PHYSIQUE

QUI ASSIGNE
À L'ATMOSPHÈRE TERRESTRE

UNE LIMITE SUPÉRIEURE D'ÉLÉVATION QU'ELLE NE PEUT DÉPASSER.
Par M. BIOT.
Lu à l’Académie des sciences , le 28 janvier 1839.

000

PREMIÈRE PARTIE.

À une époque où les sciences d'observation réunissent si
activement leurs efforts, pour déterminer tous les éléments
de la physique du globe, il peut paraître surprenant que l’on
n'ait encore aucune notion précise sur la hauteur de l’at-
mosphère terrestre, et qu'il n'existe même pas jusqu'ici de
méthode directe, soit théorique, soit expérimentale, par
laquelle on puisse espérer de l’évaluer. Mais, si l’on considère
le petit nombre de données immédiatement observables que

T. XVII. 97

77 PHYSIQUE DU GLOBE.

l'on peut employer à cette recherche, et leur spécialité essen-
tiellement bornée aux seules couches aériennes dans lesquelles
nous pouvons porter nos instruments, on conçoit qu'il doit
être difficile d'en tirer des caractères assez généraux pour
s'étendre, avec une suffisante certitude, aux régions élevées
et inaccessibles de l'atmosphère, dont nous ne pouvons juger
que par induction. Aussi , à défaut d'expériences immédiates
pour caractériser leur état physique, a-t-on cherché à cons-
tater, au moins, le fait de leur existence et de l'élévation à
laquelle elles s'étendent ; en l'inférant de caractères indirects,
tirés des réflexions et des réfractions qu’elles doivent exercer
sur Ja lumière en vertu de leur matérialité. Mais ces pro-
priétés mêmes ne se manifestant à nous que dans des phé-
nomènes composés, auxquels concourt l'atmosphère entière,
il est encore très-difficile de discerner nettement la part,
nécessairement très-faible, pour laquelle y contribuent les
dernières couches d’air qui sont à la fois les plus élevées et les
plus rares. Quoique la condition mathématique que je me
propose de faire connaître dans ce Mémoire repose sur des
considérations différentes de celles-là, je crois cependant
utile de rappeler d’abord les indications qu'elles fournissent.
Car, si les résultats qu'on en a déduits ont été jusqu'ici insuf-
fisants et peu rigoureux , leur principe, judicieusement ap-
pliqué, semble avoir plus de portée qu'on ne. le suppose
généralement.

Le pouvoir réflecteur des couches aériennes se montre
pendant le jour, par l'illumination qu'elles jettent dans tous
les lieux ‘où quelque portion de l'atmosphère est visible,
quoique les rayons solaires n'y pénètrent-pas directement. Il
se montre encore dans la ‘clarté sensible que les régions

PHYSIQUE DU GLOBE. 771

atmosphériques, illuminées par le soleil, continuent de nous
envoyer, quelque temps après que cet astre est descendu sous,
l'horizon , ou lorsqu'il ne l’a pas encore atteint. Le soir, cette
clarté s'appelle le Crépuscule, le matin l’Aurore. Elle est
d'autant plus vive que le soleil est plus près du plan de l’ho-
rizon ; et elle ne cesse d’être observable que lorsqu'il est
abaissé d'environ 17 à 18 degrés au-dessous de ce plan. Pour
définir ses limites optiques, étudions-la le soir, par une nuit
sereine, après que le soleil a disparu pour nous à l'horizon
occidental. Si l’on conçoit alors un cône de rayons lumineux
venant du soleil, tangentiellement à la surface terrestre, et
qu'on le prolonge à travers toute l'atmosphère supposée
sphérique , en tenant compte des réfractions qu'il y subit, il
y tracera en sortant, un cercle qui séparera les régions
aériennes, directement illuminées, de celles qui ne le sont
pas. Ce cercle-limite, ayant son centre sur l'axe du cône
solaire, s’élèvera sur l'horizon oriental à mesure que le soleil
sera plus profondément descendu du côté opposé, et il
tournera ainsi autour du centre de Ja terre, avec un mou-
vement angulaire égal à celui de cet astre. Mais un observateur
placé sur la surface terrestre n'en découvrira jamais que la
très-petite portion d'arc qui s'élève au-dessus de son horizon
apparent; et, par une illusion de perspective, ce petit are,
projeté visuellement sur la sphère céleste, lui paraïtra sen-
siblement-une portion de grand cercle. En outre, la limite
observable du phénomène ne devra pas lui sembler aussi nette
que le suppose cette description géométrique. Car la portion
illuminée de l'atmosphère jettera nécessairement quelque
lumière sur la portion qui ne reçoit pas directement les
rayons du soleil. Elle deviendra pour celle-ci un corps

O7

772 PHYSIQUE DU GLOBE.

éclairant, d'une intensité de radiation infiniment moindre
que l’astre, mais qui devra sans doute lui donner encore une
lueur sensible, surtout pour une pupille qui se sera dilatée
à mesure qu'elle recevra moins de lumière. Cette illumination
secondaire s'appelle Ze second crépuscule. La portion de l'at-
mosphère qui la recoit est bornée par les trajectoires lumi-
neuses qui, partant de tous les points du dernier cerele
directement illuminé, se propagent tangentiellement à la
surface terrestre, du côté opposé au soleil, à travers toute
l'atmosphère obscure; de sorte que ce second espace crépus-
culaire est encore limité, à la surface de l'atmosphère, par
un cercle, ayant son centre sur l'axe du cône solaire actuel
comme le premier, et tournant, comme lui, angulairement avec
le soleil. On peut géométriquement concevoir ce second espace
crépusculaire comme le générateur d'un troisième, éclairé
plus faiblement encore, terminé cireulairement de la même
manière, et ainsi de suite indéfiniment.

Les caractères généraux de circularité, et de mouvement
angulaire, qu'indiquent ces considérations optiques, se re-
trouvent en effet dans les phénomènes réels. Le point de
l'horizon que le soleil vient d'abandonner le soir, paraît
entouré d'une auréole lumineuse dont l'intensité va en décrois-
sant à partir de ce point; et, lorsque le ciel est pur, les bords
extrêmes de cette zone se détachant du reste du ciel, y mar-
quent une limite nettement discernable de lumière et d'obs-
curité. Cette limite se nomme la courbe crépusculaire. On Va
voit monter progressivement au-dessus de l'horizon oriental,
atteindre le zénith, et descendre vers l'horizon occidental à
mesure que le soleil s'abaisse plus profondément sous ce plan.
Enfin elle se couche elle-même, puis disparaît à la suite de

PHYSIQUE DU GLOBE. ro

cet astre lorsqu'il a atteint la profondeur de 17 ou 18 degrés :
elle offre alors l'apparence optique d’un grand cercle, dont le
plan coïncide avec l'horizon.

Peu d’astronomes ont pris le soin d’en observer ét d’en
noter ainsi toutes les phases; sans doute parce qu'ils n'en
sentaient pas l'importance pour leurs études habituelles.
Mais, parmi ceux qui l'ont vue et décrite, il en est un dont le
témoignage suffit pour constater la possibilité de l'observer
avec précision : c'est Lacaille. Voici comment il s'exprime à
ce suïet, dans le récit de son voyage au cap de Bonne-Espé-
rance (1) :

« Les 16 et 17 avril 1751, étant en mer et en calme, par
«un ciel extrêmement clair et serein, où je distinguais Vénus
«à l'horizon de la mer, comme une étoile de la seconde
« grandeur, je vis la lumière crépusculaire terminée en arc
« de cercle, aussi régulièrement que possible. Ayant réglé ma
«montre à l'heure vraie, au coucher du soleil, je vis cet arc
«confondu avec l'horizon; et je calculai, par l'heure où je
«fis cette observation, que le soleil était (alors) abaissé,
« le 16 avril, de 16° 38"; le 17, de 17° 13°. »

Mais, si ce témoignage formel de Lacaille lève toute incer-
titude sur la netteté du phénomène, et sur la possibilité de
l'observer distinctement, dans des circonstances atmos-
phériques favorables, il en laisse une très-grande sur son
interprétation physique. Car il reste à savoir si la courbe
lumineuse dont on constate l'existence, le mouvement an-
gulaire et la disparition, appartient à la limite géométrique

(1) Memoires de l’Academte des Sciences, année 1751, page 454.

774 PHYSIQUE DU GLOBE.

du premier espace crépusculaire ou du second, où du troi-
sième, ou à quelque partie intermédiaire de l’un d'eux.

Parmi les astronomes et les géomètres qui se sont occupés
de ce phénomène, Lambert est, je crois, le seul qui ait re-
marqué l'alternative précédente , et indiqué les moyens de la
décider (1). Pour en montrer l'étendue, comme il l’a fait lui-
même , mais avec des données probablement plus exactes, j'ai
calculé, par ses formules, la hauteur des dernières couches
d'air réfléchissantes qui résulterait des observations de
Lacaille, en attribuant la courbe lumineuse observée à la
limite du premier espace crépusculaire, du second, du troi-
sième, et employant le pouvoir réfringent aujourd'hui connu
de l'air atmosphérique, ainsi que la réfraction horizontale
donnée par nos tables, pour une pression de 0”,76 et une
température de 20° centésimaux. Voici quels ont été les
résultats :

Hauteur des dernières couches d'air

réfléchissantes en mètres.

Par la limite du premier espace crépusculaire...... 58916 mètres.
dusecond #0" DM °-0 10797
duftroisièmer {1.2.1 SEE TE 6392

Cette dernière hauteur étant moindre que celle à laquelle est
parvenu M. Gay-Lussac, ne saurait être admise. La seconde
paraît encore bien faible, si l’on considère qu’à l'élévation de
7000 mètres, d’après les observations de M. Gay-Lussac, la den-
sité de l'air n’était réduite qu’à la moitié environ de sa valeur
à la surface du sol. La véritable hauteur finale est donc vrai-

(1) Photometrie de Lambert, partie V, chap. III, page 440.

PHYSIQUE DU GLOBE. 779

semblablement intermédiaire entre celle-ci et la première; de
sorte.que la courbe crépusculaire, lorsqu'on l'observe à l'ho-
rizon, appartiendrait à quelque partie du second espace
erépuseulaire. C’est aussi l'opinion de Lambert, et il l’'appuie
sur des. considérations photométriques qui paraissent évi-
dentes.

Car, dit-il, la couche d'air directement illuminée ; qui
termine le premier espace crépusculaire, est, dans cette li-
mite, infiniment mince. Lorsqu'elle atteint l'horizon -occi-
dental, la faible lueur qu'elle rayonne en vertu de sa min-
ceur, arrive à l'œil de l'observateur à travers la portion du
second espace qui recoit du premier le plus de rayons
réfléchis, et à travers la plus longue dimension de cet espace,
qui s'étend alors dans tout l'horizon. Celui-ci doit donc
offrir encore à cet instant un éclat sensible, auquel la
courbe crépusculaire persistante doit s’attribuer; et ainsi
elle appartient, non à la première limite, mais à quelque
partie du second espace, lorsqu'elle se couche et disparaît
dans l'horizon.

Alors ,; par des considérations analogues ; Lambert
cherche à prouver que ce mélange de lumière n’aura plus
lieu, au, moins d'une manière sensible , lorsqu'on observera
la courbe crépusculaire avant qu'elle se couche, et quand
elle est encore à quelques degrés de hauteur an - dessus de
l'horizon occidental. A l'appui de cette remarque ; il rap-
porte une série d'observations faites ainsi par lui-même,
à Augsbourg, le soir du 19 novembre 1759;-et, en attri-
buant les nombres observés à la limite géométrique du pre-
mier espace crépusculaire, il trouve pour la hauteur des
dernières particules d'air réfléchissantes, 29115 mètres; ce

976 PHYSIQUE DU GLOBE.

qui est presque la moyenne entre les deux premières éva-
luations déduites tout à l’heure des observations de Lacaille.
Or, en effet, d’après les calculs de Lambert, la courbe cré-
pusculaire, lorsqu'elle se couche, appartiendrait à peu près
à la zone moyenne du second espace crépusculaire, non à la
limite du premier. J'ai vérifié l'exactitude de ses calculs,
après les avoir réduits en formules générales qui font nette-
ment reconnaître la nature, ainsi que l'influence, des divers
éléments physiques sur lesquels il les a fondés. J'ai cru bien
faire d'insérer ces formules en note, à la fin de mon Mé-
moire, parce que l'exposition de Lambert est assez obscure,
et que son livre, aujourd'hui très-rare, est accompagné de
figures dont les lettres ne sont pas toujours exactement
placées comme le texte l'exige, ce qui augmente la difficulté
d'en bien comprendre le sens.

Ces résultats, déjà bien remarquables sans doute, si on
les compare aux idées exagérées qu'on avait sur la hauteur
de l'atmosphère à l’époque où écrivait Lambert , il lés ap-
puie, je dirais volontiers il les confirme , par une considéra-
tion dont l'emploi me paraît devoir être d'une grande im-
portance, si on l’appliquait à des observations telles qu'on
pourrait les faire aujourd’hui. C'est que la hauteur des cou-
ches d’air auxquelles appartient réellement la courbe cré-
pusculaire, se manifeste dans le mouvement angulaire verti-
cal de cette courbe, beaucoup plus sensiblement encore que
dans les mesures absolues de sa hauteur, correspondantes aux
diverses dépressions du soleil. Car, selon son calcul, si l'on
adoptait la hauteur trop forte donnée par la première li-
mite, la courbe crépusculaire, dans les saisons où sa march
angulaire est la plus rapide, emploierait près d’une heure

PHYSIQUE DU GLOBE. 777

pour monter de l'horizon oriental jusqu'au zénith, tandis
que ses observations lui donnent seulement 38° 30”; et au
contraire, il ne lui faudrait que 14’ pour parcourir la même
phase, si on la supposait appartenir à la seconde limite de
hauteur, qui est trop faible. De si grandes différences n'é-
chapperaient certainement pas à des observations soigneu-
sement faites et suivies pendant quelque temps. Or, comme
la hauteur assignée ainsi aux couches aériennes réfléchis-
santes , serait évidemment plus faible que celle des dernières
couches les plus rares, on aurait ainsi une limite inférieure
de la hauteur de l'atmosphère, ce que l'on ne voit jusqu'ici
aucun autre moyen d'obtenir.

Cette recherche pourra être admirablement secondée
par les effets de polarisation qui s’opèrent dans les couches
atmosphériques , en vertu de leur densité inégale, et de leur
radiation réciproque , effets dont M. Arago a découvert
l'existence et les conditions déterminatrices, qu’il a rappor-
tées aux causes que je viens d'indiquer.

Pour en montrer l'application à l'étude des phénomènes
crépusculaires , je considère avec lui le soleil, au moment où
il vient de se coucher à l'horizon occidental. Si un observa-
teur, placé à la surface terrestre, analyse alors la lumière en-
voyée à son œil par les molécules aériennes comprises dans
le vertical de l’astre, il trouvera que, depuis l'horizon occi-
dental, jusqu'à une petite hauteur apparente, cette lumière
ne paraît pas sensiblement polarisée. Mais, à une hauteur plus
grande, elle commence à offrir des caractères de polarisation
dans le sens vertical. L’intensité de ces caractères s'accroît
graduellement jusqu'à une certaine distance angulaire du so-
leil, après quoi elle diminue progressivement jusqu’à une cer-

T. XVIL 98

iv PHYSIQUE DU GLOBE.

taine distance plus grande, où elle devient tout à fait insen-
sible ; et, au delà de ce terme , elle recommence à croître jus-
qu'à l’horizon oriental. Mais alors la polarisation est dirigée
suivant un sens rectangulaire au précédent, conséquemment
horizontal ; dans le cas que nous considérons. Or, M. Arago
a découvert que; lorsqu'un rayon de lumière naturelle tombe
sur un corps quelconque, la portion qui est renvoyée par
radiation, dans tous les séns autour du point d'incidence ,
est toujours partiellement polarisée parallèlement à la sur-
face du corps, commé si elle y eût pénétré à quelque pro-
fondeur, ét qu'elle fût sortie en subissant une suite de ré-
fractions à travers des couches parallèles. En appliquant
ceci aux effets de polarisation atmosphérique , qu'on observe
dans le vertical du soleil, on voit que, depuis cet astre jus-
qu'au point neutre, la polarisation a les caractères de la ré-
flexion ; tandis qu'au delà elle a les caractères de la réfraction.
C'est aussi l'énoncé donné par M. Arago.

Des phénomènes exactement pareils ; et soumis aux
mêmes lois de succession , doiveut nécessairement avoir lieu
dans tous les plans menés par les centres du soleil et de
la terre: Mais il s'en produit aussi hors de ces plans, avec
des lois de direction et d'intensité plus complexes, de sorte
qu'ils deviennent ainsi visibles dans tous les azimuts , au-
tour de chaque observateur: M: Arago a prouvé que ces
derniers phénomènes , et sans doute aussi en partie les pre-
miers, résultent des radiations et des réflexions réciproques
opérées entre les molécules aériennes. Car, en observant, au
moment du coucher du soleil , la lumière envoyée par une
zone verticale d'air opposée à cet 'astre, et plongée dans
l'ombre d'un édifice qui la privait de $es rayons directs sil

PHYSIQUE DU GLOBE. 779

y a encore reconnu les signes d’une polarisation perpendicu-
laire au plan vertical , laquelle ne pouvait évidemment ap-
partenir qu'à la lumière jetée sur cette masse obscure d'air,
par les parties latérales directement illuminées. Or, une pa-
reille radiation doit s'exercer entre les partieules d'air qui
composent chaque espace crépusculaire éclairé directement ou
secondairement ; et elle doit aussi s'exercer de l’un à l’autre.
Les effets de polarisation qui accompagnent ces radiations
et ces réflexions réciproques , ne peuvent done manquer
d'y exister. Aussi les voit-on se manifester encore longtemps
après le coucher du soleil, jusqu'à de grandes hauteurs ap-
parentes , et à de grandes distances du vertical de cet astre,
comme M. Arago l’a constaté , et comme je l’ai souvent véri-
fié moi-même, tant avec son appareil à images colorées , qu’a-
vec l'appareil à réfractions croisées de M. Savart, qui indique
les directions de polarisation si nettement et si facilement (1).

(x) Hier soir, 27 janvier 1839, le ciel étant serein, j'ai encore répété ces ob-
servations au coucher du soleil, sur la terrasse du Collége de France,
avec l'appareil de M. Savart. Selon la Connaissance des temps, le coucher
avait lieu pour Paris à 4/47', t. m. Or, à 5/,30' t. m.,conséquemment 43"
après la disparition du soleil, le contour entier de l'horizon présentait
encore des signes évidents de polarisation, jusque dans l'azimut opposé
à cet astre, où ils étaient les plus faibles, quoique encore bien sensibles.
Les bandes colorées se voyaient jusque dans la masse d'air inférieure où
Paris se trouvait plongé, et qui était bien certainement alors dans l'ombre
de la terre, ce qui confirme l'observation de M. Arago. À 530’ je quittai,
et je revins à 5445’. Mais tout avait disparu, et je ne revis aucune trace
de polarisation dans aucune partie du ciel.

Addition à la Note précédente.

A propos de cette disparition, M. Arago a dit que, d'après ses obser-

98.

780 PHYSIQUE DU GLOBE.

Ces phénomènes devront donc servir à caractériser les par-
ties de l'atmosphère d’où les radiations émanent , quand leurs
lois géométriques seront fixées par l'observation, et ratta-
chées à leur mouvement angulaire central. Et peut-être, alors,
y trouvera-t-on des signes propres à définir les limites des di-
vers espaces crépusculaires , ainsi que le point réel de ces.es-
paces auquel appartient la courbe lumineuse, dont on observe
le mouvement angulaire et la disparition à l'horizon; ce qui
permettrait d'en conclure avec sûreté une limite inférieure
de l'élévation des couches par lesquelles cette courbe est ré-
fléchie ou rayonnée vers l'œil.

Après avoir discuté les indications que l’on peut obtenir

vations , les lois habituelles et régulières du phénomène sont accidentel-
lement troublées par l'intervention soudaine de nuages formés hors du
plan de la vision, et généralement par des modifications survenues dans
les couches lointaines, ce qui est en effet une conséquence de leur con-
cours simultané pour déterminer le sens de la polarisation résultante qui
s'observe. Il en conclut que de semblables causes ont pu faire disparaître
le phénomène dans l'observation du 27 janvier. Or, ce qui prouve la jus-
tesse de cette remarque, c'est que le 28 et le 30, le ciel s'étant maintenu
plus longtemps serein, j'ai vu les bandes polarisées encore subsistantes et
très-sensibles, le 28, une heure entière, et le 30, 1/17 après le coucher
du soleil, presque sur le contour entier de l'horizon. M. Arago m'a com-
muniqué, en outre, et ma autorisé à insérer ici, une donnée importante
pour l'étude de ce phénomène. C'est que, selon des observations qu'il a
faites, la présence de la neige, et en général l’état de la surface du sol,
concourent par les radiations et les réflexions propres qui en proviennent,
à la distribution des plans suivant lesquels la polarisation dominante en
chaque point de l'atmosphère paraît dirigée. Aussi, dans les observations
faites après le coucher du soleil, voit-on des bandes polarisées qui sont
produites par la seule radiation des corps terrestres.

PHYSIQUE DU GLOBE. 781

sur la hauteur de l'atmosphère par l'étude des phénomènes
de réflexion qui s’y produisent, examinons celles que l'on
pourrait déduire des réfractions qu'elle exerce, réfractions
dont la quantité totale s'obtient, indépendamment de toute
théorie, en comparant le lieu apparent des astres à leur lieu
réel , calculé d'après la rotation constante et uniforme de la
masse terrestre.

Remarquons d’abord que, pour cette recherche, les ré-
fractions observées depuis le zénith jusque vers 74° de dis-
tance zénithale ne peuvent nous être d'aucun secours. Car,
d’après le peu de force réfringente de l'air, et le peu de
courbure des couches atmosphériques, la réfraction propre
à chaque distance zénithale comprise entre ces limites, est
sensiblement la même dans tous les modes de superposition
que l’on peut attribuer aux couches réfringentes , au-dessus de
l'inférieure dont la densité s’observe. De sorte que cette densité
étant donnée, avec le poids total des couches supérieures qui
est indiqué par le baromètre, la hauteur totale où elles peuvent
s'étendre n’a aucune influence appréciable sur le résultat.

Les réfractions observées à de grandes distances du zénith
sont donc les seules dans lesquelles la hauteur de l'atmosphère
peut se faire sentir. Or, dès qu'on n'attribue pas à cette
hauteur des valeurs qui seraient évidemment trop petites pour
être admises, toutes les valeurs plus grandes n’ont encore
qu'une influence très-faible sur ces réfractions. M. Ivory a
démontré, par une analyse très-savante, qu’on peut concevoir
une infinité de systèmes atmosphériques satisfaisant aux con-
ditions inférieures de densité, de pression, et même au
décroissement moyen de la température observé près de la
surface terrestre, lesquels, avec des hauteurs successivement

782 PHYSIQUE DU GLOBE.

variées depuis: 41000" jusqu'à l'infini, ne donneraient entre
ces extrêmes qu'une différence de. 17";2. sur la réfraction
horizontale même. J'ai montré la cause physique de ce
résultat, pour toutes les constitutions possibles de l’atmos-
phère, dans un Mémoire sur les Réfractions astronomiques,
inséré aux Additions de la Connaissance des temps de 1839.
Il tient à ce que, dans l’état habituel de l'atmosphère, les
trajectoires lumineuses s’inclinent, graduellement sur leur
rayon vecteur à mesure qu'on les considère dans des couches
plus hautes. De sorte qu'à une élévation peu considérable,
la trajectoire même, qui arrive horizontale à la surface
terrestre, se trouve assez oblique sur ce rayon pour qu'on
puisse lui appliquer le mode d’'approximation propre aux
trajectoires voisines du zénith; et dès lors tout le reste de
la réfraction, opéré par les couches supérieures, a toujours
la même valeur entre des limites d'erreur. insensibles, quels
que soient la hauteur totale et le mode de superposition qu'on
leur attribue. Donc, par inverse, cette hauteur totale n'est
pas suffisamment empreinte dans les valeurs de la réfraction,
même horizontale, qu'on observe; et ainsi on ne peut plus
l'en inférer, ni même en déduire une évaluation qui la limite.
Enfin, à défaut de toute autre méthode pour déterminer
cet élément, on a cherché à lui fixer au moins, pour valeur
extrême, la distance du centre de la terre où la gravité
égalerait la force centrifuge résultante du mouvement de
rotation. Mais , pour les couches équatoriales mêmes où cette
distance serait la plus petite ,elle surpasserait encore cinq fois
le rayon terrestre. Or, d’après toutes les indications phy-
siques, ce résultat est si excessivement exagéré, qu'on n’en
peut faire aucun usage, même comme limite d'évaluation.

PHYSIQUE DU GLOBE! 783

SECONDE PARTIE.

Ayant exposé, dans ce qui précède, les diverses considé-
rations sur lesquélles on s’est jusqu'ici appuyé pour avoir
sinon une évaluation exacte, du moins une indication ap-
proximative de l'élévation à laquelle l'atmosphère terrestre
peut s'étendre, jé vais montrer qu'en combinant les obser-
vations météorologiques faites à de grandes hauteurs, avec
les lois du décroissement de la chaleur en ligne verticale,
on obtient une condition mathématique, qui en donne une
limite supérieure; laquelle se trouve moindre que 46000"
quand on y introduit les éléments physiques jusqu'à présent
observes. C

La détermination d’une telle limite se déduit de ce fait,
qu'à l'équateur, et sur le parallèle de Paris, seules régions
de la terre pour lesquelles on possède des séries d’obser-
vations météorologiques faites sur de longues colonnes ver-
ticales d'air, dans des circonstances qui permettent de Îles
ramenér à la simultanéité , le décroissement des tempéra-
tures, dépouillé de sés irrégularités locales où accidentelles,
s'accélère à mesure que l’on s'éloigne de la surface terrestre.
C'est-à-dire , que le nombre moyen de mètres dont il faut
s'élever pour que le thermomètre baisse d’un degré, dimi-
nue à mesure que la hauteur devient plus grande.

Comme l'existence de cette accélération, quelle que soit sa
doi, est la seule donnée physique dont j'aie besoin ; je dois
avant tout rapporter les preuves qui l’établissent::

Elle avait été remarquée par M. Gay-Lussac, sur la marche

784 PHYSIQUE DU GLOBE.

même des nombres rapportés de son voyage aérien, en né-
gligeant leurs irrégularités accidentelles (1). Une discussion
approfondie a prouvé la vérité de cet aperçu, en montrant
que les seize plus hautes stations de M. Gay-Lussac donnent,
entre les densités et les pressions, une relation exactement
rectiligne (2). Car une telle relation ayant lieu, l'intervalle
de hauteur qui correspond à une diminution de 1° dans la
température, décroit constamment à mesure qu'on s'élève ; et
si l'on faisait abstraction de la vapeur aqueuse, il serait, dans
chaque couche aérienne, presque exactement proportionnel
à Ja densité. Des observations faites par M. de Humboldt, dans
son ascension au Chimboraco, étant calculées de la même
manière , ont donné pareillement une relation rectiligne entre
les pressions et les densités des plus hautes stations (3). Seule-
ment l'inclinaison de la droite sur l'axe des pressions a été
tant soit peu différente de celle de Paris, comme on pouvait
l'attendre de la dissemblance des lieux et des circonstances
physiques. Mais il en résulte toujours que le décroissement
des températures s’accélerait avec la hauteur , et même un
peu plus rapidement qu’à Paris. Quoiqu'il me parût bien diffi-
cile d'attribuer cette concordance à un hasard de nombres,
j'ai cherché à la constater par de nouvelles preuves; et
M. Boussingault m'a fourni les moyens d'en présenter, qui
la confirment encore. z

Il m'a communiqué trois séries d'observations météorolo-

(1) Annales de chimie, tome LIL, pages 84 et 85.
(2) Mémoire sur la constitution de l'atmosphère , inséré dans les 4ddi-
tions à la Connaissance des temps de 1841, page 235.

(3) Ibid., page 97.

PHYSIQUE DU GLOBE. 785

giques , faites dans ses ascensions sur le Chimboraco et sur
l’Antisana , jusqu'à des hauteurs de 5,900 et de 5,400 mètres
au-dessus du niveau de la mer Pacifique. La série du Chim-
boraçco comprend huit stations élevées, commençant à la
hauteur de 2,700 mètres ; les séries de l'Antisana en com-
prennent chacune neuf, commençant à 2,500 mètres : elles
offrent donc de nombreuses épreuves pour déterminer la
relation des densités aux pressions, à de grandes hauteurs.
Comme les colonnes barométriques n'éprouvent presque,
sous l'équateur, d’autres variations que celles qui dépendent
de leur période diurne qui est habituellement régulière, on les
a ramenées à la même heure du jour, par conséquent à la
condition de simultanéité, en leur appliquant les valeurs lo-
cales de ces variations, déterminées expérimentalement aux
diverses hauteurs par M. Boussingault lui-même ; et il a choisi
pour cette époque commune neuf heures du matin , parce
que c’est l'instant où la colonne barométrique diffère le moins
de sa valeur moyenne pendant toute l’année. Toutes ces dé-
terminations ont été prises avec beaucoup de soin et avec
d'excellents instruments, qui avaient été réglés par compa-
raison immédiate sur ceux de l'Observatoire de Paris.

Mais elles sont surtout précieuses par une particularité qui
leur est spéciale. On sait que M. Boussingault à remarqué , et a
constaté par de nombreuses épreuves , que, sous l'équateur, on
obtient la température moyenne annuelle de l'air dans chaque
lieu donné, en tenant le thermomètre plongé pendant quelque

‘temps dans un trou de sonde, percé à une petite profondeur
en un point du sol habituellement abrité des rayons du so-
leil. Cette opération a été faite dans presque toutes les sta-
tions élevées des deux montagnes; de sorte que l'on a ains;

T XNVIL 99

786 PHYSIQUE DU GLOBE.

deux séries des températures moyennes de l'air, dépouillées
des irrégularités accidentelles, et affectées seulement de celles
qui peuvent dépendre dela petite influence constante des lo-
calités. Or, ceci donne deux grands avantages. Car, d'abord,
en comparant les hauteurs absolues des stations, calculées par
les températures moyennes et par les températures acciden-
telles, on doit les trouver égales si les éléments statiques
qui les accompagnent ont été combinés exactement. Puis,
les températures moyennes ayant été déterminées par contact,
elles sont exemptes des incertitudes occasionnées , dans les
indications du thermomètre libre , par l'influence inconnue
que le rayonnement des corps qui l'entourent exerce sur lui.
Ainsi, la comparaison des résultats obtenus par ces deux
genres d'observations, peut, à défaut de méthode plus directe,
montrer jusqu'à quel point les effets de cette influence sont
à craindre pour la mesure barométrique des hauteurs ; ce que
lon n'avait pas encore pu faire. J'ai effectué cette comparaison
avec les plus grands soins, et les derniers détails, sur les sé-
ries de l’Antisana , où elle pouvait être complète dans toutes
les stations élevées. Mais, pour l'ascension du Chimboraco, je
n'ai employé que la série des températures moyennes, parce
que , au moment où M. Boussingault atteignit le sommet de
cette montagne, le soleil échauffait avec une telle force l'é-
troit espace où il pouvait se tenir, que la température locale
de l'air s'y trouvait ainsi élevée accidentellement à 7°, 8 au-
dessus de zéro; ce qui était non-seulement bien plus que le
terme régulier où elle aurait dù être, mais beaucoup plus
qu'il n'avait lui-même obtenu 300 mètres plus bas. Le calcul
d'une série compliquée de pareils accidents m'a paru inutile
pour la recherche de précision que j'avais en vue. Etmême,

PHYSIQUE DU GLOBE. 787

dans la série des températures moyennes du Chimboraco,
j'ai dû déterminer celle de la dernière station par la loi de
continuité déduite des stations inférieures. Car les circons-
tances d'échauffement accidentel que je viens d'indiquer y
avaient mis la neige en fusion, de manière que la détermi-
nation par le sondage était impossible. Mais les huit stations
élevées de l'Antisana, où les deux séries des températures,
moyenne et accidentelle, ont été complètes, suffisent pour
établir en toute assurance l’utile comparaison que je viens
d'indiquer. Et l'accord singulier de leurs résultats, pour toutes
ces stations, montre que l'influence du rayonnement sur le
thermomètre libre est beaucoup plus faible qu'on n'aurait pu
le craindre, du moins en l'appréciant par ses conséquences
sur la mesure barométrique des hauteurs. Car, on ne trouve
pour ces huit stations, entre les deux séries, qu’une diffé-
rence commune d'élévation de 10 à 12 mètres, laquelle dé-
pend du raccordement de la plus basse d’entre elles avec le
niveau de la mer Pacifique ; raccordement pour lequel an n’a
pas d'observations intermédiaires ; de sorte qu'il faut l’effec-
tuer par une parabole qui, partant de la densité inférieure,
se rattache aux stations supérieures par les conditions de
continuité que j'ai employées pour les observations de M. de
Humboldt. Or, qu’un tel mode de connexion, établi entre les
conditions statiques de l'air pour un si grand intervalle,
donne seulement une différence absolue de hauteur de 10 à
12 mètres, quandonle conclut de données si dissemblables,
c'est, je crois, ce que l’on aurait difficilement espéré; et ce
point franchi, la différence ultérieure entre les hauteurs re-
latives des stations calculées par les deux séries, moyenne
ou accidentelle, est absolument insensible.

98;

788 PHYSIQUE DU GLOBE.

Mais un pareil accord ne s'obtient qu'en employant, avec
la plus minutieuse exactitude, toutes les corrections physi-
ques, qui établissent complétement l'état statique de l'air,
dans les diverses parties de la colonne dont on veut mesurer
la hauteur par le poids. Il faut done, pour justifier la con-
fiance qu'il me semble que ces résultats méritent, que j'ex-
plique comme je les ai calculés.

La méthode est la même dont j'ai fait usage, dans mon
Mémoire sur la constitution de l'atmosphère, pour calculer
les observations de M. Gay-Lussac et de M. de Humboldt.
Ayant d'abord réduit les colonnes barométriques à la tem-
pérature commune de la glace fondante, je les ramène toutes
à la gravité inférieure , en calculant la correction que cha-
cune nécessite, d’après l'élévation relative de la station, con-
clue approximativement de la formule barométrique ordi-
naire. En divisant toutes ces colonnes ainsi réduites, par la
colonne inférieure, j'obtiens les pressions successives , en par-
ties de la pression inférieure prise pour unité.

Je cherche ensuite les densités correspondantes à ces pres-
sions. Cela exige l'emploi des températures observées de l'air.
Mais, si on les introduisait affectées de leurs irrégularités
accidentelles , il faudrait, pour en déduire des lois régulières,
refaire plus tard un second calcul, d’après la moyenne des
résultats immédiats que l’on obtiendrait. Pour éviter ce détour,
ou plutôt pour l’abréger, je construis d'abord graphiquement
les températures observées, en prenant les pressions pour
abscisses ; et à travers les points qu’elles donnent, je fais pas-
ser une courbe continue, qui en égalise approximativement
les écarts. J'ai ainsi une série de températures régularisées,
qui ne doit jamais indiquer que de très-petites corrections,

PHYSIQUE DU GLOBE: 789

si la série observée est elle-même assez peu accidentée pour
qu'on puisse l'appliquer utilement à une recherche aussi
délicate que celle que nous avons en vue. Ces températures
rectifiées me servent pour calculer les densités, qui s’obtien-
nent ainsi, du premier eoup, plus régulières qu'avec les va-
leurs brutes. Néanmoins l'influence des petites corrections
introduites ÿ est toujours très-faible, parce que les tempéra-
tures n’entrent dans l'expression des densités, qu’affectées
du coefficient de la dilatation des gaz, qui est lui-même une

À à 0 2 VUS) ;
très-petite fraction égale seulement à Boc* Enfin, ceci n’est

qu'une préparation pour arriver plus tard à une compa-
raison rigoureuse des températures définitivement calculées
avec les températures observées immédiatement , afin de ju-
ger si les premières reproduisent celles-ci avec une suffisante
fidélité , dans les limites d’écarts que de pareilles observations
comportent ; de sorte qu'il ne reste réellement rien dans les
résultats de la rectification préparatoire qu’on leur a fait
subir.

Mais le calcul exact des densités ne peut se faire sans con-
naître la tension actuelle de la vapeur aqueuse dans les di-
verses stations ; et malheureusement l’hygromètre qui les in-
diquerait y est rarement observé. Alors, pour introduire au
moins une évaluation moyenne de cet élément, j'emploie la
loi approximative de décroissement des tensions que j'ai dé-
duite des observations de M. Gay-Lussac, et qui, partant de
la tension actuellement existante dans la couche inférieure ,
affaiblit graduellement la quantité de vapeur à mesure que
la hauteur augmente, de manière à la rendre insensible dans
les couches d'air, où la pression serait réduite à 0,38, l'in-

790 PHYSIQUE DU GLOBE.

férieure étant 1; ce qui dépasse notablement la plus grande
hauteur à laquelle M. Gay-Lussac est parvenu. Pour appli-
quer ceci aux régions équatoriales, il faut remarquer que
l'action calorifique constante du soleil y fait continuellement
surgir , de la surface dé la terre et des mers, un courant d'air
ascendant , lequel supprimele principal obstacle qui s'oppose
à la diffusion de la vapeur aqueuse. J’admets donc qu'à la
surface des mers de ces régions, la tension a toute la valeur
que comporte la température de l'air, laquelle est évaluée par
M. Boussingault à 26° cent., au niveau de la mer Pacifique, à
Guayaquil, base inférieure de toutes ses stations. Cela donne
cette tension égale à 24°", 888 de mercure à o°; etensuite, par
le mode supposé de décroissement, on peut calculer la valeur
de cet élément, dans toutes les stations supérieures, dont la
hauteur est assez approximativement connue par la formule
barométrique ordinaire pour servir à cette application. Le
calcul des densités peut alors s'effectuer exactement ; et
comme la correction dépendante de la présence de la vapeur
y est toujours extrêmement faible , tout porte à croire que les
valeurs décroissantes des tensions, sur lesquelles on la cal-
cule, sont, en moyenne, très-suffisamment exactes pour l’u-
sage qu'on en fait.

Les densités ainsi obtenues sont rapportées à la densité
inférieure, comme à leur unité propre, de même qu'on l'a fait
pour les pressions. On a donc les valeurs coexistantes de ces
deux éléments dans tous les points de la colonne aérienne où
les stations ont été établies.

Lorsque je calculai, pour la première fois, les résultats de
l'ascension de M. Gay -Lussac , je déterminai d’abord les
pressions et les densités pour tous les points d'observation,

PHYSIQUE DU GLOBE. 79i

comme je viens de le dire; puis, voulant connaître leurs re-
lations véritables, indépendamment des hypothèses par les-
quelleson avaitcherchéàles lier jusqu'alors, j'en construisis une
représentation graphique, en prenant les pressions pour ab-
seisses, et les densités pour ordonnées. La forme presque rec-
tiligne du lieu qui les unissait se manifesta alors avec une
entière évidence;.et, pour les seize stations supérieures sur-
tout, elle étaitsi exacte, que, malgré la grandeur de l'échelle
dont je m'étais servi, on ne pouvait y apercevoir .auçune cour.
bure sensible. Le calcul numérique établi sur cette indica-
tion la confirma bientôt avec une complète rigueur ; et, pour
la première fois, on put affirmer que, dans cette grande
expérience du moins, la relation finale des densités aux pres-
sions était rectiligne. De là, par une déduction physique ri-
goureuse , il résultait que le décroissement des températures
allait en s’accélérant avec la hauteur, suivant une progres-
sion assignable, dont les termes approchaient d'autant plus
d’être proportionnels aux densités que la quantité de vapeur
mêlée à l'air devenait moindre. Car l'intervention, statique de
cet élément influe sur l'expression exacte du décroissement
réel des températures ; et celui-ci s'apprécierait mal, si l'on
en faisait abstraction.

En appliquant plus tard le,même mode de calcul et de dis-
cussion, aux observations faites par M. deHumboldt dans son
ascension au Chimboraco, la relation des pressions aux den-
sités se trouva pareillement rectiligne pour toutes les stations
élevées. Seulement l'inclinaison de la droite finale sur l'axe
des, pressions était tant soit peu plus grande qu'à Paris, ce
qui indiquait un décroissement des températures un peu plus

-rapide. Du reste, pour.cette ascension, comme pour, celle de

792 PHYSIQUE DU GLOBE.

M. Gay-Lussac, les résultats déduits du lieu rectiligne n’a-
vaient, avec les observations, que des différences si petites , et
variées avec tant d'irrégularité dans leurs signes, qu'il n’y
avait pas de motifs suffisants pour préférer les uns aux au-
tres. C’est là l'épreuve définitive qui permet de substituer les
relations continues du calcul aux accidents des observations;
et je l'ai appliquée plus minutieusement encore aux trois séries
de M. Boussingault.

Elles m'ont toutes trois donné pareillement un lieu rec-
tiligne, pour la relation des densités aux pressions, dans
toutes les stations élevées au-dessus du plateau des Andes;
et cela a eu lieu avec les températures moyennes, comme
avec les températures accidentelles. L'inclinaison des droites
sur l'axe des pressions s’est seulement trouvée tant soit peu
différente dans les trois séries, en se rapprochant toutefois
beaucoup de celle de M. de Humboldt, et s’accordant ainsi
avec elle pour indiquer un décroissement final des tempé-
ratures un peu plus accéléré que dans l'ascension de Paris.
Cette accélération, à de grandes hauteurs, se trouve donc in-
diquée de nouveau par ces observations, tout à fait indépen-
damment de celles qui l'avaient fait d’abord reconnaitre.
Ainsi, je crois pouvoir l’admettre comme constatée. Mais
ceci l'établit seulement jusqu'aux plus grandes hauteurs
que ces hardis observateurs ont pu atteindre, et qu'il n'y
a guère d'espérance de voir dépasser.

Sans doute le principe de la diffusion des gaz ne permet pas
de croire que la relation alors observée s'arrête brusquement
au terme où ils sont parvenus, et elle doit se prolonger beau-
coup plus haut. Toutefois, on n’oserait étendre indéfiniment
cette analogie; et ainsi il nous reste à chercher si les théo-

PHYSIQUE DU GLOBE. 793
ries physiques ne pourraient pas nous en fournir quelque
indice ultérieur.

Dans une addition à son ouvrage sur la Théorie de la cha-
leur, M. Poisson a considéré le décroissement des tempé-
ratures ;, dans une atmosphère sphérique en équilibre, où la
chaleur se propagerait uniquement par communication immé-
diate, en faisant abstraction du rayonnement propre des
particules aériennes, et de leur faculté absorbante; deux
circonstances qui, sans doute, contribuent à l’état réel de
notre atmosphère, mais dont les influences sur les tempé-
ratures résultantes sont de sens opposé. Le problème limité
ainsi, étant appliqué à une atmosphère très-mince relati-
vement au rayon de la sphère qu'elle recouvre, donne, pour
la propagation de la chaleur en ligne verticale, les mêmes
conditions que dans une barre rectiligne, douée d’une con-
ductibilité variable en ses différents points, lesquels ici
répondent aux diverses hauteurs; et la rapidité du décroisse-
ment des températures dépend de la valeur que l’on attribue au
facteur qui exprime la conductibilité en fonction de la den-
sité. En considérant que ce facteur résulte ici d’une action de
masse à masse, puisque la chaleur y est supposée transmise
par' communication immédiate entre les couches aériennes
contiguës, M. Poisson, qui voulait seulement donner un
exemple fictif de ce genre de calcul, l'a fait proportionnel au
carré de la densité. Mais, sans lui assigner ainsi une forme
particulière, on peut du moins, d’après le mode d’action
réciproque dont il dérive, admettre généralement qu’il croît
avec la densité, et décroît avec elle; car, pour qu'il en fût
autrement, il faudrait que l'intervention additionnelle du,
rayonnement réciproque et de l'absorption fût capable d’in-

T. XVII. 100

794 PHYSIQUE DU GLOBE.

tervertir absolument cette relation, ce que la nature et l'op-
position des deux causes négligées rend peu supposable ;
l'expérience prouvant d’ailleurs que cette inversion n’a pas
lieu dans les portions accessibles de l'atmosphère. Or, ce
coefficient devant ainsi croître avec la densité, il en résulte
aussitôt que le décroissement vertical des températures s’ae-
célère généralement à mesure que la hauteur augmente, comme
nous observons que cela arrive dans les couches accessibles de
l'atmosphère, ce qui n'exclut pas qu'il puisse être modifié
dans ses valeurs numériques suivant des lois ultérieures que
nous ignorons.

Heureusement la connaissance de ces lois n’est pas nécessaire
pour la recherche qui nous occupe. Le fait seul de la persis-
tance de l'accélération y suffit. En l'admettant, je prends l’at-
mosphère terrestre au point où s’est élevé M. Gay-Lussac, et
je considère toutes les couches supérieures comme étant sen-
siblement exemptes de vapeur aqueuse; ce qui est en effet
leur condition réelle, que nécessiterait le seul abaissement de
leur température. Alors, à tout ce reste, depuis la couche
supérieure de M. Gay-Lussac, je substitue idéalement une
atmosphère fictive, ayant à cette hauteur la même densité, la
même pression, le même degré de chaleur et le même dé-
croissement local de température que l'atmosphère véri-
table, mais assujettie ultérieurement à la condition mathé-
matique que le décroissement s'y maintienne ensuite
constant, et tel que M. Gay-Lussac l’a observé. Une telle
condition, jointe aux lois de l'équilibre, la définit com-
plétement; et, d'après les éléments physiques de la couche
où elle commence, sa hauteur totale, jointe à celle de cette
couche, serait de 47346",5 au-dessus du niveau des mers.

PHYSIQUE DU GLOBE. 795

Céci est un résultat certain de calcul. Maintenant, comparant
cetté atmosphère fictive douée d’un décroissemént constant de
températures , avec le reste de l'atmosphère réelle où ce dé-
croissement doit continuer à s’accélérer, je prouve par des
théorèmes démontrés dans mon Mémoire sur la constitution
de l'atmosphère, que la hauteur totale de celle-ci doit être
nécessairement inférieure à celle de l'atmosphère fictive, c’est-
à-dire à 47346",5 ; parce que, pour qu'il en füt autrement, il
faudrait que, dans la portion de l'atmosphère réelle, supé-
rieure à la dernière station de M. Gay-Lussac, il existät des
décroissements de température plus lents que celui qu'il a
observé à cette station, ce qui serait contraire à la condition
d’un décroissement ultérieurement accéléré. Le même calcul ap-
pliqué aux séries d'observations faites à l'équateur, par MM. de
Humbolt et Boussingault , donne des limites d’élévation encore
plus restreintes, parce que le décroissement des températures
qu’elles indiquent, pour de grandes hauteurs, est sensiblement
plus rapide qu’à Paris. Toutes ces séries donnent des limites
_ plus basses que 43000". L'objet de la détermination n'étant
pas une quantité absolue, on conçoit que des éléments diffé-
rents doivent fournir différentes approximations.

Je dois même faire remarquer que le mode de démonstra-
tion dont j'ai fait usage est peut-être plus exactement appli-
cable aux régions équatoriales qu'il ne le serait à de hautes
latitudes. En effet, puisqu'on y considère les colonnes verti-
cales comme étant en équilibre, et l'atmosphère locale comme
constituéé sphériquement, cela exclut implicitement l’inter-
vention de causes lointaines, qui agiraient sur le haut de l’at-
mosphère, én y versant de nouvelles couches d'air, dont le
poids et la température propre modifieraient l’état d'équilibre

100.

796 . PHYSIQUE DU GLOBE.

des couches inférieures, et altéreraient les températures ré-
sultantes de leur seule communication. Or des phénomènes
de ce genre ont certainement lieu dans l'atmosphère terrestre,
par le déversement continuel du courant ascendant équatorial
vers les deux pôles. Qu'un tel courant supérieur existe, on
n'en peut douter. Il transporte quelquefois sur l'ile de la
Barbade des cendres du volcan de Saint-Vincent, contrai-
rement à la direction énergique et constante de l’alizé
inférieur. On le retrouve sur le sommet du pic de Ténériffe
soufflant constamment du sud-ouest, et descendu ainsi déjà
près de la surface terrestre. Il se fait sentir à cette surface
même, sur le parallèle de l'Angleterre, par la prédominance
des vents d'ouest, laquelle y est tellement marquée que, d’après
un relevé des passages faits en six ans par les paquebots à
voiles, employés à un service régulier de communication
mensuelle entre Liverpool et New-York, la durée moyenne du
voyage d'Europe en Amérique en allant vers l’est, a été trouvée
de quarante-trois jours, tandis que le retour moyen d’Amé-
rique en Europe , de l’ouest vers l’est, est seulement de vingt-
trois. L'accès de cet air équatorial serait peut-être encore plus
sensible dans les régions voisines des pôles terrestres, si on
cherchait à l'y observer ; et, quoiqu'il ait dû considérablement
se refroidir en se dilatant dans son ascension vers les som-
mités de l'atmosphère, il pourrait se faire qu’en descendant
sur les contrées glaciales il y apportät des couches plus
chaudes que ne le comporterait leur température propre, et
que les indications du thermomètre sur les divers points
d’une même verticale s'y ressentissent habituellement de
cette opposition. Or, des phénomènes tout pareils à ceux-là
ont été en effet observés, cette année même, dans la

PHYSIQUE DU GLOBE. 797

station de Bossekop, près du cap Nord, comme je le vois
dans une lettre de M. Bravais, où, en m’adressant une série
de mesures barométriques, faites en neuf points d’une
même verticale, avec les conditions nécessaires pour les ra-
mener à la simultanéité, il remarque l'existence habituelle
d'une brise inférieure froide venant du sud-est, et d’un
courant supérieur chaud venant de l’ouest, lequel, par l'excès
de sa température, réchauffe constamment de haut en bas la
couche qui repose sur le sol; de sorte que celle-ci étant, par
exemple, le 19 mars dernier, à 14° au-dessous de zéro, on
trouve d’abord, en s’élevant au-dessus d’elle, la température
croissante jusqu'à la hauteur où le courant supérieur règne;
après quoi, en s’élevant davantage, elle recommence à décroître
très-lentement. [L'accélération du décroissement qui a été
constatée , à l'équateur et sur le parallèle de Paris, n’est donc
pas encore jusqu'ici prouvée expérimentalement pour ces
hautes latitudes ; et ainsi l’on ne pourrait pas y employer le
mode de raisonnement dont j'ai fait usage. Mais son appli-
cation aux régions équatoriales est exempte decette difficulté,
puisque l'existence même du courant ascendant exclut tout
accès latéral d'air étranger dans les couches supérieures; et
ainsi l'accélération qu'on y observe dans le décroissement des
températures à mesure qu'on s'élève, ne peut pas en être
troublée. On voit, par la discussion précédente, que, pour
pousser plus loin les recherches sur la constitution, même
moyenne, de notre atmosphère, il devient nécessaire d’avoir
égard à ce double courant inférieur et supérieur qui en mêle
continuellement toutes les parties dans le sens des méridiens ;
et ainsi il ne suffit plus de la considérer comme étant dans
l'état d'équilibre, mais comme soumise à un mouvement

798 PHYSIQUE DU GLOBE.

perpétuel de fluctuation , produit par l’action calorifique du
soleil combinée avec la vitesse de rotation diurne. Mais le
problème ainsi envisagé, avec toute sa complication réelle,
offre des difficultés mathématiques et physiques si considé-
rables, qu’il ne sera peut-être pas abordé d'ici à long-
temps.

Avant de passer aux démonstrations analytiques sur les-
quelles je me suis appuyé dans ce qui précède, j'ajouterai
quelques indications sur les tableaux qui accompagnent ce
mémoire , et sur le but qu’on s'est proposé en les formant.

Les observations barométriques pour être complètes doi-
vent déterminer trois éléments physiques, la pression, la
température , et la tension actuelle de la vapeur aqueuse. Ces
trois données sont indispensables pour pouvoir calculer la
densité actuelle de l'air dans chaque station. Lorsque l’on
veut déterminer la longueur d’une colonne verticale d'air,
d'après son poids, en quoi consiste le problème de la mesure
des hauteurs par le baromètre, il faut l'avoir étudiée ainsi
en un assez grand nombre de points , pour connaître la rela-
tion des pressions aux densités dans ses diverses parties , afin
de savoir comment le poids total est réparti entre elles. Ces
déterminations sont sujettes à plusieurs causes d'incertitude
dont il est essentiel de discuter l'influence. :

La mesure de la colonne de mercure pour être exacte doit
être corrigée de l'effet de la capillarité, soit d’après la com-
paraison immédiate avec un baromètre étalon exempt de cet
effet, soit par un calcul fondé sur les dimensions du ménisque
qui términe chacune de ses extrémités. On a, aujourd’hui,
égard à cette correction au moyen de tables numériques dé-
duites de la théorie capillaire. Gomme elle est constante pour

PHYSIQUE DU GLOBE. 799

chaque baromètre, tant que son tube et sa cuvette ne chan-
gent pas, les plus courtes colonnes en sont proportionnel-
lement les plus affectées; de sorte que si on l’omettait, le
rapport réel des pressions ne serait plus exprimé par le rap-
port de longueur des colonnes observées, même en supposant
celles-ci réduites à une même température et à une même
intensité de la gravité , comme on doit le faire toujours.

La réduction à une même température se caleule d’après
la température propre de chaque colonne, indiquée par un
petit thermomètre enchässé dans l'enveloppe métallique du
tube où le mercure est contenu. Mais ce fluide n’est sans doute
affecté comme le thermomètre qu'après un séjour commun,
plus ou moins prolongé, dans l'air qui les environne. Il fau-
drait connaître le temps nécessaire pour que cette commu-
nauté de température soit complète; et dans les voyages sur
les montagnes, surtout dans les ascensions aérostatiques, on
n’a pas toujours la possibilité d'attendre qu'elle soit rigou-
reusement établie.

La mesure dela température propre de l'air est encore plus
incertaine. On la détermine par les indications d’un thermo-
mètre très -sensible que l’on suspend dans l'air, à abri des
rayons solaires directs, et de leur réflexion spéculaire par
les corps qui en sont fortement illuminés. Mais, malgré ces
précautions, le thermomètre est inévitablement exposé au
rayonnement de tous les objets matériels qui l'environnent,
et dont la température propre peut, doit même être en gé-
néral, actuellement différente de celle de l’air ambiant. L'in-
fluence de ce rayonnement l’affectera surtout si l'air est calme;
et aussi, est-il très-utile pour l’atténuer, de faire tourner ra-
pidement le thermomètre par un mouvement de fronde, pour

800 PHYSIQUE DU GLOBE.

multipher le contact des particules d’air sur sa boule , jusqu'à
ce qu'il arrive à un degré fixe que l’on observe, comme de-
vant se rapprocher davantage de la température propre de ces
particules. Cette opération appliquée à des thermomètres
fort sensibles, peut donner, même dans un air libre, des diffé-
rences de plus d’un degré. Il serait donc à désirer qu’elle ne
füt jamais omise. Il est essentiel aussi de constater souvent
les points extrêmes de la division , qui sont sujets à se dépla-
cer, dans les alternatives d'expansion et de contraction que le
verre éprouve, et après lesquelles la boule du thermomètre
ne revient pas instantanément aux mêmes dimensions de ca-
pacité.

La tension actuelle de la vapeur aqueuse se détermine
par l’hygromètre à cheveu de Saussure , ou par le degré de re-
froidissement que l'évaporation imprime à un thermomètre
mouillé. Le premier de ces instruments est difficile à conser-
ver en parfait état, dans de longs voyages, où il est souvent
exposé à des mouvements trop brusques pour sa délicatesse ; et
d’ailleurs on n’a pas jusqu'ici de tables numériques , ni même
d'expériences physiques, d’après lesquelles on puisse con-
clure avec rigueur, pour toutes les températures, la tension
actuelle de la vapeur aqueuse correspondante aux degrés de
sa division. L'emploi du thermomètre mouillé, suggéré par
Leslie, étudié par M. Gay -Lussac au moyen d'expériences
directes (1), a été, en Angleterre et en Allemagne, l’objet de

(1) Annales de chimie et de physique, tome XXI, page 82. Voyez aussi
les recherches du même savant sur l'hygromètre à cheveu , insérées dans
mon Traité de physique, tome IT, page 199.

PHYSIQUE DU GLOBE. 8o1t

beaucoup de recherches, d'après lesquelles on a calculé des ta-
bles numériques exprimant les rapports de la tension actuelle
avec le degré de refroidissement observé. Les auteurs de ces
derniers travaux ont dû sans doute prendre de grands soins
pour déduire avee sûreté ces rapports d'un phénomène aussi
complexe que l’évaporation dans une masse d'air calme ou
agitée; mais n'ayant pas eu l'occasion d'éprouver par moi-
même les résultats de cette méthode indirecte, je ne puis ap-
précier la certitude de son application aux cas si variés que
les circonstances atmosphériques présentent.

En supposant toutes les déterminations précédentes obte-
nues avec exactitude, pour divers points d’une eolonne ver-
ticale d'air, il faut en déduire sa constitution physique et sta-
tique, avec assez de continuité pour pouvoir la définir dans
toutes ses parties, sinon rigoureusement , du moins avec une
approximation suffisante au but qu'on peut se proposer. Si
ce but est seulement de calculer la longueur totale de la co-
lonne ,l’approximation la plus naturelle consistera à supposer
la relation des pressions aux densités, rectiligne entre chaque
couple de stations consécutives, et d’en conclure les différences
successives de leurs hauteurs, depuis la base de la colonne jus-
qu'à son sommet. Toutefois on n'aura ainsi que ‘es résultats
bruts des éléments observés , affectés de toutes les erreurs
d'observation, et des perturbations accidentelles qui peuvent
avoir existé dans les couches aériennes, aux instants où l’on ob-
servait. De telles perturbations , par exemple ,pourront avoir
été produites par l'irruption d’une couche d'air relativement
chaude ou froide , que le caprice des vents transportait hori-
zontalement à une certaine élévation ; ou par un courant obli-
que, soit ascendant, soit descendant, excité le long des flancs

fe XVI: IOI

802 PHYSIQUE DU GLOBE.

d'une montagne. Il faudra bien , sans doute, prendre cette
circonstance telle qu’elle existe, etemployer les éléments ac-
cidentels qu'elle donne, pour obtenir le poids réel de l'épais-
seur d’air où elle a lieu, quoique les conditions d'équilibre qui
servent à calculer cette épaisseur d’après le poids, ne se trou-
vent pas alors satisfaites; car on ne sait pas les suppléer. Mais
si l’on cherche à connaître l’état régulier de superposition des
couches aériennes, ce que J'ai eu surtout en vue dans ce mé-
moire, il faudra bien, pour l'obtenir, corriger ces accidents
aussi approximativement qu'on peut le faire, par la condi-
tion de continuité qui caractérise un état de stratification
permanent. C'est ce que j'ai voulu réaliser sur les observa-
tions de M. Boussingault, en cherchant pour chaque colonne
aérienne, une relation des densités aux pressions, qui, avec une
continuité mathématique, reproduisit pour les diverses pres-
sions observées, une suite de températures , autour desquelles
les températures observées oscillassent, avec de très-petits
écarts de signes contraires, sans aucune continuité marquée ,
et qui, en somme, se compensassent aussi approximativement
que possible. Ce résultat a été obtenu dans les trois tableaux
joints à ce Mémoire, en appliquant aux stations élevées
de chaque série, la relation rectiligne des densités aux pres-
sions, qui liait si exactement les seize stations supérieures
de M. Gay-Lussac, lesquelles étant prises dans une masse
d'air tout à fait libre, avec une exactitude d'observation ini-
mitable, devaient naturellement être, moins que toutes autres,
affectées d'erreurs ou de perturbations accidentelles. Les tem-
pératures rigoureusement déduites du lieu rectiligne pour les
trois séries de M. Boussingault , étantcomparées comme je l'ai
fait aux températures réellement observées , offrent, toujours

O1

PHYSIQUE DU GLOBE. 803

avec celles-ci, des différences non-seulement irrégulières dans
leurs signes, et assez petites pour pouvoir être légitimement
attribuées aux accidents de localité et d'observation , mais
encore le signe de plusieurs d’entre elles, et des plus sen-
sibles ,est parfaitement explicable par les circonstances phy-
siques ou géologiques des stations auxquelles elles se rap-
portent. Je dois faire remarquer à ce sujet que les observations
faites sur le sommet glacé de l’Antisana, pour lesquelles l'écart
du lieu rectiligne est un peu plus notable que pour toutes les
autres, n’ont pas été employées dans sa détermination à cause
des circonstances spéciales qui les affectaient. Car d’abord,
pour la série de l'air libre, il tombait au moment de l’obser-
vation une neige excessivement fine, dont la formation a pu
développer un excès accidentel de chaleur qui rend la tem-
pérature observée suspecte ; et en effet, la loi de continuité
déduite des stations inférieures , l'indique comme étant de
2°, 3 trop élevée pour la pression. La température moyenne,
déterminée au même sommet, n’a pas été employée non plus
dans la détermination du lieu rectiligne de la série où elle est
comprise. D'abord, parceque le sommet d’une montagne inter-
tropicale est, en général, relativement plus échauffé par le so-
leil que ses flancs, ce qui doit l’écarter en excès de la loi de
continuité que ceux-ci indiquent. Secondement, la calotte de
glace dans laquelle l'observation a été faite, doit , à cause de
la neige permanente qui la recouvre, être intérieurement pré-
servée du rayonnement nocturne , plus que les flancs nus
des rocs , ce qui peut lui donner une température relative-
ment moins froide que ne le comporte son élévation. Trai-
sièmement , le sondage de la masse de glace a été opéré par le
travail d’un outil de fer qui, porté jusque-là par le voyageur,
101.

80/ PHYSIQUE DU GLOBE.

avait vraisembiablement une température propre analogue à
celle du baromètre, laquelle était de 7°, 8 ; et tant par cette cause
que par le travail du forage , la température intérieure du trou
dans lequel on a plongé le thermomètre, a pu recevoir quel-
que addition étrangère de température. Quatrièmement enfin,
l'air extérieur lui-même, qui était seulement à o°, a pu s’insi-
nuer aussi, plus ou moins, dans les insterstices des morceaux
de glace par lesquels le trou a été rempli, et prévenir son
abaissement complet de température. Toutes ces causes étant
de nature à agir dans le même sens ,m'ont paru devoir sous-
traire cette observation à la loi de continuité commune aux
stations inférieures, et je ne l'ai pas fait concourir à la dé-
termination du lieu rectiligne qui liait leurs résultats. Aussi
la continuation de ce lieu jusqu'au sommet duglacier a-t-elle
indiqué pour la pression observée une température de 3° plus
basse que celle qui avait été obtenue par le sondage. Mais elle
est la seule, dans les trois tableaux, qui s'écarte assez du cal-
cul pour m'avoir paru nécessiter une explication.

Dans un autre Mémoire, je considérerai le décroissement
accéléré des températures dans les hautes régions de latmos-
phère , comme un élément qu'il faut faire intervenir dans le
calcul des réfractions astronomiques, et J'examinerai jusqu’à
quel point les tables jusqu'à présent usitées y sont conformes.
Je m'estimerai heureux si ces nouvelles applications des ob-
servations météorologiques faites à de grandes hauteurs , peu-
vent engager les physiciens et les voyageurs à les multiplier
en différentes saisons et sous différents climats , avec les con-
ditions de précision et de continuité nécessaires pour qu'on
puisse les faire servir à de semblables déterminations. Je passe
maintenant aux preuves mathématiques des divers résultats
énoncés plus haut.

PHYSIQUE DU GLOBE. 805

Concevons une sphère solide d’un rayon r,, recouverte
d’une atmosphère gazeuse pareillement sphérique. et consi-
dérons la propagation de la chaleur, dans cette atmosphère,
comme opérée seulement par échange entre les particules
situées à de très-petites distances les unes des autres. Ce sera
un cas particulier du problème que M. Poisson a traité
généralement, dans le XIX® cahier du Journal de l'École
polytechnique, pour un corps de constitution et de figure
quelconques, dont les particules sont en repos où en mou-
vement. Ainsi, la propagation progressive de la chaleur dans
la masse gazeuse, et sa distribution définitive lorsqu'elle
sera parvenue à un état constant, s’obtiendront en limitant
convenablement l'équation générale que M. Poisson à nom-
mée (b) dans le $ 49 de son Mémoire. Ne considérons ici que
l'état final de cette masse; et, pour plus de simplicité, sup-
posons que la variation de température, dans le sens perpen-
diculaire aux rayons, soit alors insensible, ou négligeable,
comparativement à la variation suivant les rayons mêmes.
Celle-ci nous représentera la distribution finale des tempé-
ratures dans une colonne verticale de l'atmosphère terrestre,
en y faisant abstraction de l'influence qui peut être exercée
par le rayonnement des particules, à de grandes distances, et
par la faculté absorbante de celles qui recoivent ce rayon-
nement. Soit r le rayon d’une couche quelconque de cette
colonne, £ sa température, # la conductibilité à la distance r
du centre, l'équation générale (b) limitée à ces circonstances
spéciales, donnera pour condition de l'état final

806 PHYSIQUE DU GLOBE.

d'où , en intégrant,
kr° ! I C— 0
dr Euh re
ce étant une constante arbitraire.

Introduisons au lieu de 7 une nouvelle variable s, telle qu'on
ait généralement

n

Le

== 1—S
F ,

r, étant le rayon du sphéroïde solide, comme nous l'avons dit
plus haut : on tirera de là

par conséquent,
dd ddr Pds
sel ee dt : »4 : AE
Si l'on élimine +, par cette expression, l'équation qui règle
la distribution finale des températures deviendra

re ge
ds —=

Lorsque le rayon r, de la sphère solide est supposé très-grand
par rapport à l'épaisseur de l'enveloppe gazeuse , comme cela a
lieu dans l'atmosphère terrestre, la hauteur d’une quelconque
de ces couches au-dessus de la surface solide, devient à très-
peu près égale à r, s; et si on la désigne par z, on aura, dans
cet ordre d’approximation,

dt _dt dz . dt
A hr"

PHYSIQUE DU GLOBE. 805

4

ar conséquent,
P

Ceci est l'équation que M. Poisson a nommée (3) dans l’ad-
dition à son 7'raité mathématique de la chaleur, page 64, à
cela près que la constante arbitraire se présente sous une
forme différente.

En appliquant cette équation aux couches atmosphériques
qui ne sont pas très-voisines de la surface terrestre, la cons-
tante c doit avoir une valeur négative, puisque £ y diminue
généralement lorsque r ou s augmente. En outre, par les ob-
servations de MM. Gay-Lussac, Humboldt et Boussingault ,
nous voyons que, sur les parallèles où ces observations ont
été faites , dès qu’on s'éloigne assez de la surface terrestre pour
échapper aux influences immédiates de son état local, le

L à ; À Du , dt

coefficient À croît et décroît avec la densité ?, puisque =
dé \ , DE A ,

et 7 augmentent à mesure qu'on s'élève. Même, lorsqu'on à
atteint la hauteur où la relation des pressions aux densités
commence à être rectiligne, la valeur de Æ s'approche de plus
en plus d'être proportionnelle à L, et devient exactement telle
lorsque la tension de la vapeur aqueuse peut être considérée

: se L dt
eomme insensible. Car, dans ces circonstances, (5) se trouve

inverse de ? par l'observation; et il reste tel aussi longtemps
que la droite se prolonge, c'est-à-dire jusqu'aux plus grandes
hauteurs où l'on a pu s'élever. M. Poisson qui, pour l’exem-
ple fictif de caleul qu'il avait en vue, considérait la conducti-
bilité 4 comme provenant uniquement de l'échange de chaleur
opéré entre les couches contiguës dans le sens vertical, l’a

808 PHYSIQUE DU GLOBE.

supposée proportionnelle à &?; l'assimilant, en cela, à tous les
effets qui résultent immédiatement d’une action de masse à
masse. Mais, pour associer à ce caractère essentiel de réac-
tion les modifications qui peuvent être produites par le
rayonnement des couches lointaines, ainsi que par la faculté
d'absorption, je me bornerai seulement à admettre qu'il n’en
est pas totalement interverti ; c'est-à-dire que le coefficient Æ#
croit et décroît avec la densité, comme nous voyons que cela
a lieu dans toutes les couches élevées que nous pouvons
atteindre, sans particulariser d’ailleurs aucunement les
lois ultérieures qu'il peut suivre, en restant astreint à cette
condition; car je n'ai nul besoin de ces lois pour arriver aux
conséquences que je veux établir. Æ croissant avec la densité,

dt ; : re F :
x varie en sens inverse, c'est-à-dire que le décroissement ver-

tical des températures s'accélère continuellement à mesure
que la hauteur augmente, ce qui est seulement l'extension
théorique du résultat constaté par l'expérience dans toute la
portion élevée de l’atmosohère où l'on a pu porter des ins-
truments. Il ne faut rien de plus pour les démonstrations
mathématiques que je vais exposer.

Conformément aux notions employées dans mon Mémoire
sur la constitution de l'atmosphère (1), je nomme » la pres-
sion, p la densité, & la tension de la vapeur aqueuse qui ont
lieu dans une couche aérienne quelconque dont le rayon estr,
et £ la température; et je désigne par des accents inférieurs,
les valeurs des éléments analogues dans la couche particulière

(1) Additions à la Connaissance des temps de 184x.

PHYSIQUE DU GLOBE. 809

que l'on prend pour base de la colonne que l'on veut étudier.
Je fais ensuite, par abréviation
? 1

P —
Pr

< étant le coefficient de la dilatation des gaz, supposé égal
à 0,00375. Dans la couche inférieure, les variables x, y,
deviendront l’une et l’autre égales à 1; et w, devenu w,, sera

7 | 100€G,
égal à

* Enfin je désigne par /, la constante connue, dont
l'expression est

G G+&,)p;

= 7951",12 AGE)
ou
eñs: » G{1 + ct,).
1—=70b1 LT PRES |

G représente l'intensité de la gravité à l'observatoire de Paris,
et g, cette intensité dans la couche où la densité est ,, sur le
parallèle que l’on considère. Cela posé, J'ai démontré dans
mon Mémoire cité plus haut, que, dans toute constitution

dt

dr
hauteur quelconque, est exprimé de la manière suivante :

a. Para) Eggs ve
NS TUE

sphérique de l'atmosphère terrestre, le coefficient -- à une

c'est l'équation que j'ai nommée (4), à la page 71 de mon
Mémoire.
Lorsqu'on applique cette expression à des couches assez
T. XVII. 102

810 PHYSIQUE DU GLOBE.

hautes pour que la tension de la vapeur aqueuse puisse y
ètre supposée habituellement insensible, comme je le ferai
dans ce qui va suivre, © devient ultérieurement nul, ainsi

dw .
que et il reste

dt Lr Z | CE
Fer —— 2 —. (266 ai ti)
Ga) (nr
Le peu d'épaisseur de l'atmosphère comparativement au

r? r
rayon terrestre, y rend le facteur — presque constant. Fou-
] DA Fe

tefois on peut tenir compte de sa variabilité, sans aucune
complication de calcul, en introduisant, comme ci-dessus, la
variable s telle qu'on ait

par conséquent

car il en résulte
dx LA
7 es x (266 ; +t)
s. opens rs me
Ge DRE

r,s est alors, à fort peu près, la hauteur de la couche au-dessus
de la surface de la sphère dont le rayon est r..

Lorsque le lieu géométrique des densités et des pressions
est devenu une ligne droite, formant l'angle z avec l'axe sur
lequel on compte ces dernières, si l’on désigne par 3’ et x’ deux
valeurs de y et de x assujetties à cette relation, on aura pour

PHYSIQUE DU GLOBE. 811

toutes les autres qui s’y trouvent comprises
y—y=(x—x)tangi;
si l'on prend, dans cette équation, les expressions de y et

d : 32 5
de _ pour les substituer dans l'équation (1), elle donne

au D'—etml06éi+e)
GJG—er

==
di pa à
— est donc exactement réciproque à la den-

ds
sité, dans des couches où la même relation rectiligne subsiste,

La valeur de

comme je l'ai annoncé précédemment.

Reprenons l'équation (1) dans toute sa généralité. Parmi
les couches sensiblement exemptes de vapeur aqueuse, aux-
quelles elle s'applique, j'en choisis une à laquelle on puisse
étendre les relations observées entre les densités et les
pressions. Ce sera, si l’on veut, l'une des plus hautes stations
de M. Gay-Lussac, ou quelque point supérieur, assez peu
distant pour qu’on puisse légitimement y prolonger la droite
finale donnée par ses seize dernières stations. Je désigne par
x',y' les valeurs de x et de y qui s’y rapportent, Elles seront

re dy\' à / EL :
connues, ainsi que (2) » par la relation déterminée, à

cette hauteur, entre les densités et les pressions. Faisant
donc
z' [dy \'
y’ Xdx
c aura une valeur connue, et déterminable en nombres. Par
exemple, si la couche dont il s’agit est celle qui, dans l’ascen-
102.

812 PHYSIQUE DU GLOBE.
sion de M. Gay-Lussac, avait pour densité 0,5, on aura,
d’après les calculs exposés dans mon Mémoire, pages 23
et 31,

x = 0,4341724; ÿi =10}

dy 1 1]
A TARN To6456
= tang (42°.53.28",67) — - TES
d’où l’on tire
dy NU I | ER D —
AE. a dues

Maintenant, à partir de cette couche, je substitue idéalement
au reste de l’atmosphère réelle, une atmosphère fictive, dans

dy\!. # ; ;
laquelle les valeurs de x’, y’, (7) soient les mêmes, mais qui

se continue ultérieurement, jusqu'a sa dernière limite, en
conservant le même décroissement de SR eat consé-

quemment la même valeur actue a pour cela

d'y établir ultérieurement, dans toutes Fr couches, la relation

2 (4) —e &

c ayant la valeur numérique que nous venons de déterminer

générale

tout à l'heure. Mais cette relation devra être exclusivement
spéciale aux couches supérieures de l'atmosphère fictive. Car,
dans toute la portion inférieure, jusqu'a la surface de la
sphère solide, je supposerai qu'elle se continue exactement
comme l'atmosphère réelle. L’équation (2), réservée ainsi aux
seules couches supérieures, étant intégrée, donne

log y + const — c log x.

PHYSIQUE DU GLOBE. 813

Puisque l'atmosphère fictive doit, comme l'atmosphère réelle,
avoir y =y;, quand æ — +, il faudra que ces valeurs satis-
fassent à l'intégrale précédente, ce qui exige qu'on ait

log y! + const — c log x’.

Cela détermine la constante arbitraire, et en l’éliminant il
vient

ANS
r=7 (©) :
relation qui, d’après les conventions établies plus haut, ne doit
être appliquée qu’en supposant x moindre que x’, et y moindre
que y. À la limite extrême de cette atmosphère fictive,
x devenant zéro, y est aussi zéro. C'est-à-dire que la densité

A . & I
est nulle en même temps que la pression. Mais, comme -
=

» s 9 .
surpasse 1, et est presque égal à => on voit que, lorsque

ES

y deviendra infiniment petit du premier ordre, x sera infini-
ment petit d'un ordre plus élevé, c'est-à-dire que la pression
s’évanouira avant la densité; ou, en d’autres termes, la densité
finale , à la surface de cette atmosphère fictive, sera infiniment
petite, mais non pas nulle; ce qui suffit pour y contenir l’élas-

Sa = Je ë dt \
ticité du gaz. En effet, l'expression de L d'où nous sommes
as

partis étant rigoureusement déduite des conditions méca-
niques, et la constance assignée au décroissement ultérieur
des températures ne renfermant rien qui leur soit contraire,
il fallait bien que cette condition physique finale, qui est
nécessaire pour continuer l'équilibre jusqu'à la surface
extrême, s'y trouvât d'elle-même remplie.

Caleulons maintenant la hauteur de cette atmosphère

814 PHYSIQUE DU GLOBE.

fictive, au-dessus de la couche que nous avons prise pour
point de départ. Nous la déduirons de l'équation d’équi-
libre qui est généralement

dp = — $ÿ; = edr,

P4(e) = — gp," & e) dr :

or, par la nature de la constante /, on a toujours

ou

Pi = pSl;
si de plus nous remplacons les rapports x eo par les lettres x

et y qui les représentent, il viendra,
r 2
dx —— = ydr;
et puisque nous avons fait généralement
r

LS

== 1 — $;
nous aurons en définitive
ldx = — r,7 ds.

Or, la constitution de notre atmosphère fictive donne, au-
dessus de la couche réelle prise pour point de départ,

r=r (©),

substituant donc cette expression de y dans l'équation d’é-
quilibre, la relation entre les x et les 5 pour toute la partie

PHYSIQUE DU GLOBE. 815

supérieure de Patmosphère fictive sera

Uxz=-7r,Yy (£) ds

dont l'intégrale est

Er A 1—c
200 ED

DEL + const — PTS

Il faut que cette équation soit satisfaite à la hauteur de la
couche de l'atmosphère réelle que nous avons prise pour point
de départ, c'est-à-dire quand x = x et y — y ; car c’est seu-
lement au-dessus de cette couche qu'elle doit être appliquée.
Soit donc alors s’ la valeur de s dans atmosphère réelle, il
faudra qu'on ait

I
———— + const = — -—5:
1—C ;

En éliminant la constante par cette condition, il vient

Æ\'—
CS
X

TVA n ;
Due Je y VW):

à la limite extrème de l'atmosphère fictive, la pression x est

nulle; et (£) est nul aussi, parce que la constante € est

moindre que 1. Si l'on désigne par S la valeur spéciale
de s qui a lieu alors, l'équation précédente donnera pour
ce-cas

1

læ

EE
‘ LAGESO

Soit R le rayon correspondant à S, comme r' correspond

816 PHYSIQUE DU GLOBE.

à s'; nous aurons, d’après les relations établies entre ces quan-
tités,

r — r, est la hauteur de la couche réelle, prise pour point
de départ, au-dessus de la couche inférieure pareillement
réelle, à laquelle le rayon 7, appartient. Nommons z' cette
hauteur, qui est donnée par les opérations barométriques
faites dans l’atmosphère réelle, nous aurons

x 717 : 2°
TS

NAT r, +2

Semblablement, nommons Z la hauteur de la surface de l'at-

mosphère fictive au-dessus de la même couche inférieure réelle.

L'expression de S transformée en Z donnera pareillement
r,Z

RÉEL —;?$}

Substituant donc ceci dans l'équation qui donne rS, il en
résultera

TL r 2"? [L4

I —

PE AE CET]

Le second membre peut être réduit en nombres, puisque tout
y est connu. Soit X sa valeur qui se trouvera exprimée en
mètres, on en tirera aussitôt

X°
Z — x =X +

?
T, — Tr, —X

de sorte que la hauteur totale Z de l'atmosphère fictive pourra
être aisément obtenue.
Dans mon Mémoire sur la constitution de l'atmosphère ,

PHYSIQUE DU GLOBE. 817

page 82, j'ai trouvé pour l’ascension de M. Gay-Lussac, la
hauteur z = 6951",87, lorsque l’on avait

4—=0,1341724; 00e

comme nous l’avons ici supposé. J'ai trouvé en outre, page 26
du même mémoire, que, dans les circonstances météorolo-
giques de cette ascension, l'on avait / — 8917",29. Avec ces
données, et la valeur de la constante c que nous avons vue

x , A 1 I .
tout à l'heure être égale à 5339664 lien ne manque pour

calculer la hauteur totale Z de notre atmosphère fictive, et

l’on trouve ainsi

L= h7345%,95.

Je vais maintenant prouver que, d’après les conditions de cons-
titutions assignées à cette atmosphère fictive au-dessus de la
couche où y = 0,5, elle est nécessairement plus haute que
l'atmosphère réelle, en admettant seulement que dans celle-
ci, le décroissement ultérieur des températures ne peut pas
se ralentir, jusqu’à devenir quelque part moindre qu'il ne l’est
dans la couche dont il s’agit.

Pour cela je construis d’abord la fig. 1, où OY, OX, sont
deux axes rectangulaires sur lesquels les y et les x devront
être portées comme coordonnées, à partir du point O, les
premières suivant OY, les dernières suivant OX. Je prends
OB — BA — 1; le point À appartiendra à la couche infé-
rieure de l'atmosphère réelle. De là je mène la courbe AM,
représentant le lieu des densités et des pressions dans toute
la partie observée de cette atmosphère, lieu qui, dans sa
portion la plus élevée, dégénère en une ligne droite que je

103

818 PHYSIQUE DU GLOBE.

prolonge indéfiniment suivant MD. Soit M' le point du lieu
réel, dont les coordonnées sont x! et y’, et que nous avons
choisi pour origine de l'atmosphère fictive, en sorte que c’est
seulement au-dessus de ce point, pour des valeurs plus petites
de x et de y, qu'elle commence à s'écarter de la véritable. La
relation des pressions aux densités qui la constitue dans toute
cette partie ultérieure est

—— { Z \°
SAME
c ayant la valeur numérique trouvée plus haut. Je construis
donc cette équation à partir du point M’, sur les mêmes axes
de coordonnées, et j'obtiens ainsi la courbe M'O qui la
représente.

Je dis d’abord que cette courbe touchera, en M’, la droite
MD, appartenant à l'atmosphère réelle, et qu’ensuite elle
restera inférieure à cette droite dans sa marche ultérieure
vers l’origine O. Pour constater ces deux circonstances, il
n'y a qu'à donner à æ une valeur un peu moindre que x’, et
que j'exprimerai généralement par

æ=x — à,

à étant une quantité positive, qu'on pourra rendre indé-
finiment petite. Alors, en substituant cette valeur de x dans
l'équation de la droite qui est

y —Y —=(x— x) tangi,

elle donnera

Y=Y —Ttangr.

PHYSIQUE DU GLOBE. 819
Puis en faisant la même substitution dans l'équation de la
courbe fictive, et développant le résultat suivant les puis-
sances de à, il viendra

!
C— 1 ja — 61: cr FI
ET)

TOC YA) F3

= —%5+°

or c est une fraction positive égale à 0,80667, par conséquent
moindre que 1, ce qui rend le coefficient de 5? négatif. En
outre, la condition qui détermine c est

(2) = 2

c'est-à-dire
+

4 .

j'angi= c,
puisque le point de départ M est pris sur la droite de l’at-
mosphère réelle. Chassant donc c du coefficient de à, par cette

relation , l’ordonnée développée de la courbe fictive se trouve
être

T3 — 2 FT — 7 :03...etc. ;

7=7 —5tangi +"

cette courbe coïncide donc avec la droite au point M’ où à est
au ,
nul; et de plus elle a alorsle même 7 de sorte qu’elle touche la

droite en ce même point. Mais le coefficient de 3? étant né-
gatif, si l’on prend à assez petit pour que tous les termes
suivants dé la série soient négligeables , comparativement au
terme en ??°, l’ordonnée y de la courbe, affaiblie par ce terme,
sera moindre que celle de la droite réelle; ce qui achève de

prouver les propositions énoncées.
103.

820 PHYSIQUE DU GLOBE.

Maintenant je dis que le lieu réel, continué ultérieurement
au delà de M’, ne pourra jamais venir couper la courbe M'O.
Car soit M, fig. 2, le point où cette intersection aurait lieu pour
la première fois au delà de M’. Puisque le lieu réel, continué
linéairement , commence par être au-dessus de la courbe M'O
relativement à l’axe OX, sa tangente en M devrait former
avec l’axe OX un angle plus grand que la tangente de la cour-

be fictive M'O. Or le point M étant alors commun aux deux
2 d o : RÉ
courbes, le produit = (2 serait plus grand sur le lieu réel
y \dx

que sur la courbe fictive, où il a pour valeur constante c.
Mais, dans cette portion ultérieure de l'atmosphère, où la
, P , +,

; è ; : SE 0

vapeur aqueuse est insensible, l'expression générale de +:

page 810, peut être mise sous la forme
x (dy MD)
He Tu 75,
CES)
JE ; } dame dt
done, si l'intersection supposée avait lieu, la valeur de 7e Sur

d.
la courbe réelle serait moindre que sur la courbe fictive, par

2

conséquent moindre qu'au point de départ M', puisque la

dt 54 XL :
constance de SE est la condition caractéristique de la courbe fic-

tive, depuis son point de départ M”. C'est-à-dire que le décrois-
sement des températures dans l’atmosphère réelle, après avoir
d'abord continué à s’accélérer au delà de M'sur le prolongement
du lieu rectiligne, décroitrait ensuite jusqu’à redevenir en M,
moindre qu'il n'était en M d’après l'observation. Or, ceralentis-
sement ultérieur du décroissement destempératures, succédant

PHYSIQUE DU GLOBE. 821

à son accélération au delà deM', dans les couches élevées de l’at-
mosphère, est précisément la circonstance que les considéra-
tions théoriques nous ont autorisé à rejeter ; et il n’y a rien
non plus , dans les analogies physiques, qui puisse lui donner
la moindre vraisemblance, lorsqu'il n'existe point vers la
surface extérieure de l'atmosphère de cause perturbatrice
étrangère à son état propre, ce qui peut du moins être af-
firmé pour l'équateur.

Maintenant , si le lieu réel des densités et des pressions,
d’abord supérieur à la courbe fictive au delà de M', ne peut
jamais descendre vers l'axe OX jusqu’à couper cette courbe,
il s’étendra donc au-dessus d’elle dans tout le reste de son
cours, jusqu'à sa rencontre avec l'axe OY lorsque la pres-
sion x deviendra nulle. Or, par un théorème démontré page 27,
28 et 29 de mon Mémoire sur la constitution de l'atmosphère,
cette plus grande distance du lieu réel à l'axe OX nécessite
que la portion de l'atmosphère réelle, comprise entre l’ordon-
née P'M' et l’axe OY, soit plus basse que la portion del'atmos-
phère fictive comprise entre les mêmes limites de pression.
Donc, puisque toute la portion inférieure, depuis le point M
jusqu’à la surface terrestre, est commune aux deux atmos-
phères, la hauteur totale de l'atmosphère réelle sera moindre
que la hauteur totale de l'atmosphère fictive, par consé-
quent moindre que 47346", en partant des observations de
M. Gay-Lussac. C'est précisément le résultat que j'ai annoncé
dans le titre de ce Mémoire.

Comme la quantité obtenue ainsi n'est pas une mesure
absolue, mais seulement une limite supérieure à la hauteur
réelle et totale de l’atmosphère, il est naturel de s'attendre

822 PHYSIQUE DU GLOBE.

que d'autres données d'observation lui assigneraient des
valeurs différentes. C'est en effet ce qui a lieu; et, en général,
plus le décroissement observé des températures est rapide,
plus la limite de hauteur que l’on en déduit est basse. C'est ce
que l'on peut voir en employant les observations faites à
l'équateur. Par exemple, si l’on fait commencer l'atmosphère
fictive à la plus haute station de M. de Humboldt au
Chimboraco, en adoptant les éléments rapportés dans mon
Mémoire sur la constitution de l'atmosphère, page 107, on
aura

g'—=0/49h2035; y.=—0,55181 4102 ut —3nt-b17"35
1=2835 "11:47 — 508812.
Le lieu auquel ces données appartiennent étant rectiligne, on
en tire d'abord

YA r
œ Œ = tangi = 0,749266 — c,
donc

1 —c—0,25073/4.

Cette valeur de c est notablement moindre que celle qui se dé-
duit des observations deM. Gay-Lussac, parce que l'angle z est
moindre qu'il ne l'était alors, ce qui indique un décroissement
de température plus rapide à densité égale. En achevant de
calculer, avec ces éléments, la hauteur Z de l'atmosphère
fictive, ainsi qu'on l’a fait pages 816 et 817, on trouve

X — 37860°,5,

ce qui donne une limite supérieure de l'atmosphère réelle

PHYSIQUE DU GLOBE. 893

beaucoup plus basse qu’on ne pouvait la déduire dés obsér-
vations de Paris.

En employant la série des températures moyennes obsér-
vées sur le Chimboraço par M. Boussingault, on aurait une
limite plus élevée. Maïs elle serait eependant encore inférieure
à celle qui se déduit de l'ascension de M. Gay-Lussac. Si Fon
fait partir l'atmosphère fictive de la plus haute station de
M. Boussingault , les données du calcul-seront

2 — 04977723: y — 05627084; i—/1".0'.53",54
[= 8861",008; A 5857" ,47.

De là on tire d’abord

5 (Y =; lang : — 0,769375 — c,
d'où
1 —C— 0,23006925.

La valeur de c est un peu plus grande que dans l'ascension de
M. de Humboldt, parce que z est plus grand; ce qui indique
un décroissement moins rapide des températures. Mais cette
valeur de c est encore moindre que celle de M. Gay-Lussac
par la raison inverse. En calculant la hauteur Z de l’atmos-
phère fictive qui correspond à ces données, on trouve

L— 42742" ,78
Les deux autres séries de M. Boussingault se rapprochant
beaucoup plus de celle de M. de Humboldt pour la valeur
de #, les limites de hauteur que l’on en déduirait seraient
toutes plus basses que celle-ci. Ainsi, en portant la limite
cherchée, au-dessus du résultat exagéré que cette dernière

824 PHYSIQUE DU GLOBE.

seule indique, on pourra, je crois, affirmer que la hauteur de
l'atmosphère terrestre, à l'équateur, n'atteint pas 43000 mètres.
Toutefois, des observations plus multipliées, et plus précises
encore s'il est possible, permettraient vraisemblablement de
rapprocher cette limite. J'ai eu surtout pour but ici de
montrer comment on peut la conclure. Je serai complétement
satisfait si cette nouvelle utilité donnée aux observations
météorologiques faites à de grandes hauteurs dans l'atmos-
phère, engage les physiciens et les voyageurs à les multiphier,
en diverses saisons, et sous différents climats.

PHYSIQUE DU GLOBE. 825

SAMAIA SE ER LARELUE LE LE LE LEE LEE MENS E À LAVE LEA LE ARE RAR LAVAL LAURE LE LS LE LA MIAAMAAA LS ARS ALARME VIT LUE LA LS Le Lever

NOTE

SUR LA LIMITE DE HAUTEUR DE L'ATMOSPHÈRE,

DÉDUITE DES

PHÉNOMÈNES CRÉPUSCULAIRES.

Je joins ici un court extrait des calculs de Lambert, avec les deux
figures principales qui s'y rapportent. J'ai conservé les lettres dont il a fait
usage , quoique leur choix soit peu conforme aux règles de l'analogie.

La fig. 1, pl. IT, est sa ox1°, un peu agrandie dans ses dimensions, pour que
les relations naturelles des lignes y soient moins violées, quoiqu'il soit
impossible de les conserver exactement. Elle représente la section de la
terre et de l'atmosphère supposées sphériques par un plan contenant les
centres de la terre et du soleil. CS’ est le rayon solaire central, et SD un
autre rayon solaire parallèle à celui-là ; lequel , entrant en D dans l’atmos-
phère, s'y prolonge suivant la trajectoire réfractée DEF, tangente à la
terre en E, où elle devient par conséquent horizontale. Si l’on fait tourner
le rayon SD, et son prolongement courbe DEF, autour du rayon cen-
tral CS' comme axe, la trajectoire DEF engendrera un conoïde de révo-
lution , dont la surface isolera au-dessous d'elle, à partir du cercle décrit
par E, toute la portion de l'atmosphère qui ne recoit du soleil aucun rayon

T. XVII. 10/4

826 PHYSIQUE DU GLOBE.

direct. Et la portion directement éclairée sera terminée par le cercle que
décrit le point d'émergence F.

De ce même point F, menons, dans le plan de la figure, une seconde tra-
Jectoire lumineuse FAG, tangente en A à la surface terrestre. A sera le
point terrestre extrême de la section , qui peut voir quelque partie de l’es-
pace atmosphérique directement éclairé. Ainsi, tout l'arc terrestre AE sera
éclairé secondairement par cet espace à des degrés divers , selon l'étendue
plus où moins grande qui est au-dessus de l'horizon de chaque point. Il
y aura donc, pour tout cet arc, un premier crépuscule; et les plans des
cercles décrits par A et par E, autour du rayon central CS’, comprendront
. la zone de la surface terrestre, pour laquelle le phénomène a lieu ainsi au
même instant.

Le point G où la seconde trajectoire sort de l'atmosphère, est le dernier
de la section qui puisse recevoir quelque rayon de l’espace immédiatement
éclairé. Si de G l'on mène une troisième trajectoire lumineuse tangente à
la terre en H, H sera le point terrestre extrême de la section qui peut voir
quelque partie de l’espace EFBG, éclairé secondairement. Tous les points
de l'arc terrestre AH seront donc éclairés par ce second espace à des
degrés divers, mais nullement par le premier; ils jouiront donc du second
crépuscule. Et les plans des cercles menés par À et par H, perpendiculai-
rement au rayon central CS’, comprendront la zone de la surface terrestre
où le phénomène a lieu ainsi.

D'après le peu de hauteur de l'atmosphère, comparativement au rayon
terrestre , et le peu de courbure des trajectoires, même horizontales, les
angles au centre DCF, FCG, ne sont réellement que de 10 à 12 degrés.
Les rayons terrestres qui les comprennent et qui limitent les zones des
espaces crépusculaires successifs, s’'inclinent donc les uns sur les autres
beaucoup moins rapidement que ne le représente la figure ; et ainsi le point
d'émergence de la troisième trajectoire est bien loin d'atteindre le point
de l'atmosphère opposé au rayon central, comme il semblerait le faire ici.
Mais il a fallu exagérer l'ouverture des angles au centre pour rendre les
trajectoires distinctes de leurs tangentes extrêmes DK, FL, FM, GN, et
pour séparer sensiblement les perpendiculaires CK, CL, CM, CN, menées
du centre sur ces tangentes, d'avec les rayons CD, CF, et CG. Mais la

PHYSIQUE DU GLOBE. 827

figure ainsi exagérée, peut de même servir pour définir généralement les
directions des rayons CD, CF, CG, autour du rayon central CS’, quand
on se donne l'angle qu'ils comprennent; et elle n’a pas d'autre usage.
Les lignes CK, CE, étant respectivement perpendiculaires aux tangentes
menées en Det en E à la première trajectoire horizontale, l'angle KCE, com-
pris entre elles, est égal à l'inclinaison mutuelle de ces deux tangentes,
conséquemment à la réfraction horizontale, que je désignerai par R. Les
angles ECL, MCA, ACN, sont aussi tous égaux entre eux, et à R par la
même raison. Les angles au centre DCK, FCL, FCM, compris entre chaque
perpendiculaire, et le rayon vecteur mené au point de départ de chaque
tangente, sont pareillement égaux entre eux, puisqu'ils sont formés exac-
tement dans des conditions identiques. Je les exprimerai tous par w. Pla-
cons en Aun observateur, ayant la limite F du premier espace crépusculaire
dans son horizon occidental; et soit alors À la dépression angulaire du
soleil au-dessous de son horizon vrai. CA étant, pour lui, la verticale,
l'angle ACS' sera 90 + A. Or, puisque CK est perpendiculaire à KDS, 1l
l'est aussi à CS'; ainsi l'angle ACK sera A. Or, cet angle se compose de

deux angles u et de trois angles R; on aura donc
ou + 3R = A.

Placons maintenant l'observateur en H; et supposons qu'au moment
où la dépression vraie du soleil, mesurée pour lui, est À, il voie à son
horizon occidental, non pas le point F qui lui est invisible, mais le
point G, limite extrême de l'espace atmosphérique, qui est éclairé secon-
dairement. Ce sera alors l'angle HCS' qui aura pour valeur 90° + À, et par
conséquent ce sera HCK qui sera A. Or, cet angle n'est que le précédent
ACK, augmenté de 24 et de 2R. On aura donc, dans cette supposition de

l'observation horizontale du point G,
qu + 5R — A.

Généralement, pour chaque nouvelle trajectoire horizontale que l'on
mènera , l'angle au centre correspondant à la dépression À, augmentera
ainsi de 24 et de R. Donc, si l'on suppose l'observateur ayant à son

104.

828 PHYSIQUE DU GLOBE.

horizon occidental le dernier point du 7° espace crépusculaire dans le ver-
tical actuel du soleil, la condition sera

onu + (on +1) R—=A;

par conséquent

A—(on+i1)R.
on d

Hi

ii faut toujours se rappeler que, dans la nature, l'angle HCS' serait bien
loin d'être obtus comme il le paraît ici, à cause de l’exagération d'ouver-
ture que l'on a été forcé de donner, dans le dessin , aux angles DCF, FCG,
etc.

Soit 7 le rayon CE, CA, CH, de la surface terrestre , p' la densité de l'air
a cette surface. Soient aussi 7” et p”, le rayon et la densité des couches re-
fléchissantes dont on est supposé observer la limite de disparition. CE
et CK étant perpendiculaires en E et en K à la trajectoire horizontale, la
théorie des forces centrales donne

CK vitesse en E _ V1 + 4e

CE vitesseen D V/1+ ko"

4k est le pouvoir réfringent de l'air ou 0,000588768 pour la densité r,
correspondante à la température o°, et à la pression barométrique 0",76
mesurée à Paris. Lambert suppose p" insensible à la hauteur où s'opère la
limite de réflexion observable. Nommant donc CK , p, comme CE est 7’,
il a

P=rVi +.

Or, l'angle KCD, ou 4, étant donné, on a, dans le triangle KCD,

donc

FU F1 Æ 3n #kg':

PHYSIQUE DU GLOBE. 829

c'est le résultat de Lambert. Pour la facilité du calcul numérique, il est
commode de faire

Vi 4e = 1 + À;
d'où

D —24p — :(2kp)...etc.

Alors à est une très-petite quantité; et en cherchant 7" — 7", qui est la
hauteur de l'atmosphère au-dessus de la surface terrestre, il vient

= 1
m—r =7r" (se RE =):

cos u

Si l'on veut supposer que le point dont on observe la disparition à l'ho-
rizon occidental, appartient à la limite extrême F ou G du premier ou du
deuxième espace crépusculaire, ou à tout autre de l’ordre , il faut employer
la valeur de z qui répond à cette supposition, en la déduisant de la dé-
pression À que l’on a admise, C’est ainsi qu'ont été calculés les trois nom-
bres que j'ai déduits des observations de Lacaille, dont j'ai emprunté
seulement les résultats moyens ; et l'on en déduirait de même ceux que
donne Lambert, en partant des données qu'il a employées.

Mais ces suppositions d'observations sont-elles admissibles ? C’est ce que
Lambert discute ; et c'est en ce point surtout que son mémoire me semble
mériter une grande attention.

Concevons le soleil se couchant suivant DS. L'observateur placé en E
voit, dans le vertical de cet astre, toute la section DKELF du conoïide
d'air qui est directement illuminé par ses rayons; et il découvre aussi
toute la portion du même conoïde qui se trouve au-dessus de son horizon
apparent. La limite extrême du premier espace crépusculaire n’est vi-
sible pour lui que par le seul point F, situé à l'horizon oriental du
vertical.

Mais, pour tout autre observateur situé dans la même section , entre E
et À, une portion de l'espace atmosphérique directement illuminé est dis-
parue sous l'horizon occidental. Le point F s’est élevé à une certaine hau-

830 PHYSIQUE DU GLOBE.

teur sur l'horizon oriental, et il est devenu le sommet de l'arc qui limite
cet espace du côté opposé au soleil. Si l'observateur est en Q,il a ce sommet
à son zénith F; et il ne peut le percevoir qu'accompagné par la lumière
que lui envoient les particules d’air de la ligne QF, qui sont éclairées
secondairement. À mesure que l'observateur s'avance vers À, cette lumière
secondaire augmente avec l'accroissement de la distance au point F. Enfin
lorsqu'il arrive en À , il a le sommet F dans son horizon occidental , mêlé
avec toute la lumière secondaire venue de tous les points de AF. Alors
Lambert pense, avec raison, ce me semble, que cette lumière dissimule
le point F; de sorte qu'à cet instant, ou dans cette position du point F, la
limite de la lueur observable doit paraître au-dessus de F. Ainsi, au mo-
ment où cette limite paraît se coucher, le point F lui-même est déjà
couché , et disparu sous l'horizon occidental depuis un certain temps.

D'après les considérations précédentes, Lambert admet, ou du moins il
me semble admettre, que, pour observer réellement la limite F, il ne faut
pas lui attribuer l'instant de cette disparition, mais se placer en E et
suivre son mouvement progressif d'élévation au-dessus de l'horizon orien-
tal, pendant lequel il suppose qu'elle deviendra perceptible et saisissable
lorsqu'elle sera encoré à une certaine hauteur. Ceci fait l'objet de sa
lig, xour, que j'ai reproduite dans la fig. 2.

Malgré la différence des lettres, le secteur BCL de cette figure est le
même que FCD de la précédente. L'observateur, supposé en À, voit le
soleil se coucher en L; et le sommet B du premier espace crépusculaire se
trouve alors à son horizon oriental, La dépression vraie du soleil à cet
instant est donc égale à la réfraction horizontale R. Après quelque temps,
la dépression vraie de cet astre étant devenue À, le point B arrive en D;
de sorte que son déplacement angulaire BCD, autour du centre, est égal au
déplacement angulaire qu'a éprouvé le soleil, ou À — R. A cet instant, le
point D, s'il est perceptible, se voit par une trajectoire courbe DA, dont
les deux tangentes extrêmes, se coupant en [, font entre elles un angle r,
qui est la réfraction propre à la distance zénithale apparente HAI ou gr,
distance que je représente par 90° — À, À étant la hauteur apparente de D.
Maintenant si l'on mène les perpendiculaires CF, CG, CE sur les trois
tangentes BF, DI, AL, l'angle ECA sera À, ECG, », et FCA, R. On aura

PHYSIQUE DU GLOBE. 831

donc

GCE = R — 7.

Et puisque BCD est À — R, il en résultera
BCF + GCD—A —R + GCF—A + A—2R—7r— 0;

c sera ainsi une quantité connue. Or, BCF et GCD sont des angles de deux
triangles rectangles dont les hypoténuses CB, CD sont égales entre elles
et à r", ou au rayon supérieur de l'atmosphère. Ainsi, en nommant ces
angles u, u', et désignant par p, p' les perpendiculaires CF, CG, on

aura
p=r" cosu, p'=r" cosu', u +u —c.
Les deux premières donnent
p cos u’ —p' cos u,
et en Re u/, par la troisième, il vient

LA
tang u — Pts POSE,
psinc

Or, sur la trajectoire horizontale BA, les perpendiculaires CF, CA, ou p
et r’, menées du centre C aux tangentes extrêmes, sont inverses des vites-
ses en B et A. Supposant donc la densité en B, insensible, comme le fait

Lambert, il en résulte
P=rTVT TH.

Une relation analogue subsiste entre les perpendiculaires CE, CG menées
du centre C sur les tangentes extrêmes de la trajectoire AD. Or CE est
r' cos h, et CG est p'. On aura donc

p'=Tr" cos hVT + Re".

832 PHYSIQUE DU GLOBE.

Ces valeurs substituées dans tang 4 donnent

cos À— cos c

tang 4 — =
5 sin c

,

ou encore

2 sin+(c+ A) sin?(c— A)

tang u — 7
8 Sin C

; (2)
or c est connu, puisqu'on a
c=A+RA—92R—7, (1)

on pourra donc calculer l'angle #; et alors on en déduira

: P__TVi +

Tr = =
cos u cos u

Pour la facilité du calcul numérique, il sera bien de faire comme pré-

cédemment
Æ Halo = 1 + à,
d'où
Ÿ — 2kp — :(24p'ÿ... etc.;

et l'on aura pour la hauteur des particules réfléchissantes en B ou D

DD D) 1

(à 2 2sin;u) (3)
cos 4

Si l'on met dans les formules (1), (2), (3), les données observées par
Lambert, pag. 448 et 450 de son ouvrage, en prenant comme lui à égal
à 0,0003054, on retrouvera les mêmes nombres qu'il en déduit, pour
l'angle BCF ou 4, pour la hauteur r" — r', et pour toutes les autres parti-
cularités du phénomène. Il est aisé de vérifier sur les formules mêmes,
qu'en effet, dans cette application, le point D dont on observe la hauteur
apparente , est considéré par Lambert comme appartenant toujours à la

PHYSIQUE DU GLOBE. 833

limite extrême du premier espace crépusculaire, directement illuminé. Car
si l’on y fait hk=— oetr —R, ce qui met le point D dans l'horizon occi-
. dental apparent, l'angle # ou BCF, qui est le MCF ou x de la figure 1,

; AAC A — 3R LR ;
devient égal à ? c D Or c'est la précisément l'expression de cet

angle dans la figure 1, lorsqu'on suppose la limite extrême F du premier
espace crépusculaire , immédiatement cbservée à l'horizon occidental du
point À. Mais on ne voit pas sur quoi Lambert fonde l'identité constante
du point observé D , avec cette limite, dans les calculs de la figure 2. On
serait plutôt porté à croire que le sommet sensible D de la courbe crépus-
culaire observable appartient toujours à quelque partie de l’espace illuminé
secondairement ; et il ne serait pas impossible que cette partie fût différente
à diverses hauteurs. Il faut même, d’après les idées de Lambert, que cela
arrive ainsi quand le point D de la figure 2 descend très-près de l'horizon
occidental, puisqu'il admet qu'on doit cesser de le distinguer quand il est
à cet horizon, à cause de la grande longueur du second espace crépuscu-
laire qui s'interpose alors entre lui et l'observateur. Mais c'est ce que le
mouvement angulaire du point D autour du centre C fera reconnaître,
surtout si l’on peut y attacher quelque autre caractère fixe, tiré de la pola-
risation.

T. XVII. 10

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STATIONS SUCGESSIVES , a a Role EN MI PERLE
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5 | EE A 5 5-2 es ee - s
à PL ee DNS LERS S SES REMARQUES DIVERSES
dans la colonne aérienne, EVE ANSE ET CRETE
2 n ANA este NAS aTiE
L = 2 © A o<= 9025
rangées 2 & ÉNÉrRS EMIORRES
= Ps =] SES MEN INENE EN)
par ordre d’élévation = ral 3 1 57 Es e ES ro
!: û = al _ f] 3 n
au-dessus de la mer Pacifique. n'a SORT ce S
{ F4 = =]
= ROSE ENRRER, PSP

Guayaquil (la mer)......

sont calculés sur la parabole initiale. Si la valeur

dt
dr
finale , au lieu de l'être sur cette parabole, on n'y
trouverait qu’une différence de 27 millimètres,

de

Guaranda. 2691

Riobamba (plateau dénué
conséquemment négligeable.

de végétation). ........ 195,02 2804

(22
Ex
LS

TE, ——

Hacienda del Guavo......
Hacienda del Chimboraco..

Pedron del Almurzo... quoique la station soit très -probablement la

même ; cela tient sans doute en tres-grande partie |
er à à ce que la parabole initiale, dans les observations

ullu (sur la neige). |
Chillapullu (su ge) de M. de Humbolät, donne un décroissement ac-|
cidenrel des densités sensiblement plus lent que |

Chimboraco(rocherrouge). celui qui résulte des températures moyennes ,

observées par M. Boussingault. |

Chimboraco (rocher noir). .

Équation de la parabole initiale Æ une station quelconque,

w— A!y + B'y? + C'

s précédentes sont les mêmes que j'ai établies dans mou Mémoire sur la constitution
re des temps de 184r). L'application que j'en ai faite alors aux Obser-
étriques de M. de Humboldt, dans ces mêmes régious équatoriales , page 90 ct sui-
Li servir d'exemple de calcul.

arr: ete dépendent de la tension actuelle de la vapeur aqueuse. w, est relatif à la
2° Satisfait x 100€T,

mare. Il est exprimé généralement par

Valeurs des coefficients
A+ 1,16642280 ;

Conditions déterminatrices : 1° Satisfai

étant la tension actuelle de cette

> T
TZ — 0, D u

1
3° Touchelpression qu’on y observe, et € le coefficient de la dilatation des gaz supposé égal

rl tentes la han jÆpression générale de w fait décroitre cette tension progressivement à mesure que la

4 2 ge CRÈE se Eu de FL Cons &nte, comme je l'explique page 86 de mon Mémoire, si l’on veut avoir w en x; et
u centre de la terre, 4 étant le rajout avoir en y. Lorsque w, est caleulé par les éléments observés dans la station
Soit y, la valeur de y à la plus basse A É u 5

ILES ; a généralement, pour l'expression de w en y

ordinaires ou M — 0,4342945, on aura a s

B'— + 5,305785.0, ; C! — — 0,669421.w,

ces valeurs donnent & —w, comme cela doit étre. Elles font ensuite décroitre w
comme cela avait lien dans l'ascension de M. Gay-Lussac; de sorte qu’elles sont
Dans les observations de M. Boussingalicables à l’état ordinaire et régulier de l'air; mais non pas à uve précipitation d’eau
générale, pour un lieu quelconque , en bmme on a quelquefois occasion d’en observer. Ici, comme pour les calculs de l'An-
Mémoire sur la constitution de l'atmosphis w, — 0,012313 , qui convient à l’air saturé de vapeur aqueuse, à la température
tiennent à l'équation du lieu sur lequel |la pression de 757%",99 de mercure à 0°.
se trouvent sur la droite finale, B devienfage des formules précédentes, il faut employer pour À, B, C les valeurs propres au
la série, a! devient égal à a. he sur lequel se trouve la station que l’on considère, et à laquelle appartient la valeur

Pour la commodité du caleul numériqy que l'on y introduit. Lorsque ce lieu devient rectiligne, B devient nul.
précédente; et si sa valeur est Z, on a

— — 2,975206.w: ;

Tous les autres détails qui seraient nécel
se trouvent dans le mémoire cité de la

Les résultats relatifs à ces deux premieres stations, | À

pour Riobamba était caleulée sur la droite |H

Ces valeurs sont calculées sur la droite finale. La /f
dernière hauteur est un peu moindre que celle À
qui se déduit des observations de M. de Humboldt, |

Résultatsk'au point le plus voisin de la cime du Chimborago, où il est parvenu.

Tin ! éeultats des pressions et des tempr $ nes elles, observé ar M. Boussinqa « ï Ta ler ; 71 : :
1% TABLEA Résultats des pressions et des températures moyennes annuelles, observées par M. Boussingault, depuis le niveau de la mn fique, à Guayaquil, jusqu'au point le plus voisin de la cime du Chimborago, où il est parvenu
EE _ ne _ u
| | Ë =
| Ê Î
DÉSIGNATI | = ;
2 | = # Î
> = 5 =: 5
Sramioxs suc nm à ISERE SE = EU TS AE
& 2 = o © à = |
| prise Or Z à È NE SI S |
dins la colonne nc EE. = £ IE 5 4 a = |A = | EMARQUES DIVEUSE À
| rangé MINES 5 FR < À ce el 2 |
par ordre d'élévation | = = : S 1 < |
Au-dessus de law cifique. | = a 3) = | Z |
| | : | : : ä | £ :
2 : 4 | | Ë
a ———— ES
î | l Î f
| | | | F
2 | Guuyaquil (la x 761,53 —+ + fi 5 00 737:99 | 1,0000000 — 26,00 | —o6,00 —+ a6,oc ltats relatifs à ces deux pr tai
| | | | | t a para Si L
2 | Guaranda | 55750 13,6 5,0 66 ot 555,858 | 0,7333300 : on658686 |losbrBolo le ocoigese | Persan Its LEE Le Fan peus |
SM MRiobamba (plateau der | | | à ! P
h 55 518 | | 4
de végét 550,85 17,8 6,4 1,703 0,494 548,59 0,7236 140 5,2 0,7566-70 0,7509066: — 0,0023883 — 14,333 16,40 | _ 6 195,02 8 = Î
à ï ,02 04 \
|
4 MHacienda del ( » 15 | 8,9 »,826 ,480 513,844 | o,677g024 0 0,7206855 0,7193 LL 0,0013145 | + + iruo + 0,420
| | | | | |
5 |MHacicnda del Chimboraco 185,5 94 9,7 0,82 0,591 | 0,638646o 856 ,6852-3 66851660 | 0001074 de dc ro Ls | SE ne a 1
Pedron del Almurzo 5900 | 00 4,0 0,827 0,624 0,6036338
Chillapullu (sur la 2 0,669 D SAOTT0 +; 606 pee sale
Chimboraço(rocherroug 0,697
Q | Chimboraco (roc îr . 78 |uon ° , SD as : as re
| | | | |
| | | |
| |
| |
| | 1

Équation de la droite fioal et, par suite, pour une station quelconque

Équation de la parabole initiale

HAE — AY + ( u = À/7 + By Et

flcients

Valeurs de

C0 15546105 1 u s précédentes sont les mêmes que j'ai établies dans mon Meme ur la consti
D) a = 01497655 C—— 011184 le l'atmosphère (Counaissance des temps de 184r). L'application que j'en ai faite alors aux Obser-
6 vations barométriques de M, de Humboldt, dans ces mêmes régious équatoriales , page go ct sui-

vautes , peut ici servir d'exemple de calcul
quantités u, et u dépendent de la tension actuelle de la vapeur aqueuse. w, est relatif à la

Conditions déterminatric Satisfaire à la station inférieure où l'on a

terminatrices : 1° Satisfaire au point moyen des huit statious supérieures, où

1 7—1

= 0,6345420 0,6815966

Satisfaire au point de la droite finale, voisin de M, où l'on a
» Faire, avec l'axe des pressions, l'angle 1, dont la valeur station inférieure. Il est exprimé généralement par fi étaut la tension actuelle de cette

le coefficient de la dilatation des gaz supposé égal

Cp AR

F + + +

| + +

5 |

IMC
PR IE cs

clier la droite finale en ce même point 1= 419.01.5311,54 statiou, p, la pression qu'on y observe, et €
F 1 0,00375. L'expression générale de w fait dévroitre cette tension progressivement à mesure que la
rmule pour calculer la hauteur relative = de deux stations, dont l'inférieure est à la distance hauteur augmeute, comme je l'explique page 86 de mon Mémoire, si l'on veut avoir wen x; et À
ulé par les éléments observés dans la station

Lox si on veut l'avoir en y. Lorsque

du centre lat étant le ra terrestre au niveau de la mer

ssion de w eu }

ieure, on a généralement, pour l'expr

; : valeor de y à la plus basse des deux stations, et M le module des tables logarithmiques |
pair 134294 généralemen Expression générale des températures pour une station quel u A! — — 3,975206.w, B! ——+ 3,305785.0, QC! — — 0,669421.w, À
— —— 1. | | LoB(, —n)t | | j à lorsque y ces valeurs dounent & —w, comme cela doit étre, Elles fout ensuite décroitre w f
d 3 2 : EAU RL Pom (2 Û régulièrement, comme cela avait lieu daus l'ascension de M. Gay-Lussaé; de surte qu'elles sout à
Dans les ol js de ault, la constante { a pour valeur 886,008. Son expression ] = à seulement applicables à l'état ordinaire et régulier de l'air; mais non pas à une précipitation d'eau 4
Bnérale, pour uu lieu quelconque , en tenant compte de la vapeur aqueuse , est donnée dans mon = ccidentelle, romme on a quelquefois aceasion d'en observer. lei, comme pour les calculs de l'An- |
Mémoire sur page 45. Les valeurs de À et B sont celles qui appar- ete Déc cisement tisaua , Où à pris W 012913 , qui convient à l'air saturé de vapeur aqueuse, à la température |
liennent à l'équation lieu sur lequel les deux stations que l'on compare sont situées. Quand elles de 26° et sous la pression de 7 09 de mercure à 0
Sétrouvent sur la ent ul; et quand la plus basse est la station inférieure de toute \œ { à Eu faisaut usage des formules précédentes, il faut employer pour À, B,C les valeurs propres au À
rie, 2° devient égal à 4 | 10 )» CC) NI|GALOSS TE lieu géométrique sur lequel se trouve la station que l'ou cousidère, et à laquell appartient la valeur À
Pour la comm du caleul numérique, il faut d'abord calguler le second membre de l'équation = — numérique de y que l'on y introduit. Lorsque ce lieu devient rectiligne, B devieut nu À

Tr
Ur —u,) lAy Lab |—
l ) | ay + als |

| Précédente ; et ileur est Z, vu aura ensnite |
| ; |
RE |
a —7 |

Des autres détails qui seraient nécessaires à l'intelligence des formules ou à leur démonstration» | 60; = 886,008 ; 289; A'——0,036633,40; + 4070395

0824351

Setrouvent da

le mémoire cité de la connaissance des temps de 1841
Er |

Ie Tagrrau. Résultats des predint du glacier supérieur du volean d'Antisan«, où il est parvenu.

ÉLÉ

LA
8 RCE
DÉSIGNATION £ al DIR :
ne = Ds SIT] à à e
DES STATIONS SUGGESSIVES , > St Anne ENS
Æ © a |roS A RENE
prises ADUE ET Eten | OST
EST OR CN CRE RS ES
PE Sd E AE EN M
dans la colonne aërienue, O£ 02 3 M 59 4 NS 0 SE
m=2S = = eMREIE A ESZ=T s à _ Es A
2e DSi |: Laisse |A REMARQUES DIVERSES.
au 5 EE RS £ re mA NET
ETES Ë (ess Ê |me2ez ?
par ordre d’élévation = 2 ONE E REMEMINO NOTE
: EME D SAS GIONNEE SE
au-dessus EN 3 [Das n | HS Se
< NÉ EEE
du niveau de la mer Pacifique. DU: o Fi E CN EE =
CF Ê &
<

m. Les résultats relatifs à ces deux stations sont cal- \E
Guayaquil (la mer) ...... 761,55 230,97 0,00 | culés sur la parabole initiale. La valeur de Tr est|
! seule calculée sur la droite finale, pour la deuxième |
ÉAICHOrrera- 2. 572,65 0,99 203,69 2459,80 | station. Si on la calculait sur la parabole, on trou-
/ verait 2028,5, c'estä-dire, 17,19 de moins.
ROMASQUI = 0 -- - - 567,65 1,59 2536,13 \
il
Cia DEN S SERRE 554,55 | Ur |
# 2726,37 Tous ces résultats sont calculés sur la ligne droite
: FR
pl ; nl finale. Les valeurs de TE qui mesurent le décrois-
La Tacunga (plateau)... 549,60 2810,22 at *
“ : sement des températures, y étant presque propor-
: tionnelles aux densités, surtout vers les grandes
(LOVE CAPES Étoodn | 548,10 1,47 193,83 2830,00 hauteurs où la vapeur aqueuse a moins d'influence,
on s'est borné à la calculer exactement pour les
Piñantura.:... Le. CARE 528,25 1,42 3133,96 deux stations extrêmes et pour la station intermé- |
diaire de Quito. Cela suffit pour montrer la mar-
Cal 53 che accélérée de ce décroissement, laquelle devient
allo................... 30,10 1,79 3109,47 d'autant plus sensible, qu’elle est moins modifiée
par la pression de la vapeur aqueuse.
Métairie d’Autisana....... 471,30 2,77 4070,19 | |

Glacier d'Antisana........ 401,90 2,43 141,49 5364,25

(x) Pendant l’observation , il tombait une neige
fine, une sorte de petite grêle, de la grosseur de la
poudre à canon, et dont la formation a pu donner à
l'air un petit excès de chaleur accidentel,

46, C = — 0,1496303.

Conditions détermoyen des huit stations supérieures M, et M;, où

7—=0,72058914.

s pressions , l'angle I dont la valeur est:

.3311 47.

T. XVII, page

] t n sions et des te. irature. dentelles de l' ) S G } S
HÉLasrr Résultats des pressions et des températures accidentelles de L'air, observées par W.B 7 S LEMIU ;
E. ; s pe . Boussingault, depuis le niveau de la mer Pacifique, à ( squ”
à [ D 1 ruayaquil, jusqu'au point du glacier su l 5
Î périeur du volcan d'Antisana, où il est parvenu

z ] / | = AR RE PEN Rn
| 5 |
DÉSIGNATION 2 | | LE | £
| | g 5 = ; = De
Dh raisons succrss = 2 mA ss « = =
Î prises Ë a 2 x à a = 2 D = =,
QUE S Z ë æ [4 ps
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Ma colonne acrie 2 = 5 | | 8 | A 1 .
Ê = 5 [ss >. æ =
ngéc = =. lue = = 2 E2 =] I DI
| raug IE 2 | 22 5 a ; E, a REMARQUES DIVERSES
D Minor d'eleat | = BE à E à | | 2 = 2 EMENIRE & <
5 | D 5 = ©? (&) = 2
au-dessu = = = | 2 : el Su IE a
ST || a = a 5 n à 2
mieeau de la mer Pacilique £ Z Si > 2
= | = | © = =
| £ ô | © ©
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| ————— —
ANG aquit (a me 161,5 +60 + 26,0 — 3,559 — 0,000 557,90: 1,0000000 | -L 26,00 1,0000000 6 u ; Les résultats relatifs à\ces deux station
| | | ï | 0,00 || culés sue la parabole initiale. La valeur de
ANLa Chorrera 5 13,9 13,9 — 1,434 0,437 570,760 e ; & : raie calculée sur 1a droite la d
i j » 15,11 0,78717409 | 0 — 0,00060756 8c 3,90 + 0,gc RAR
39 14.89 13,9: 99 | 2459.80 | station. Si on la calculait sur la parabole
ne. _. _. : a] ne | : : verait 203,5, c'estä-dire , 1%,19 d
IE Domasqu L 1,64 460 | 07461 14,67 0,78132025 | 0,78177750 |—0,00045725 14,5x 16,10 — 1,59 1530
| San Pablo 54,55 | 11,1 tt ATT Fractel LE ñ 83 285 |
4 1 ) 95060 13,46 0,76-53412 | 0,76727858 |-L 0,00025534 13,55 Lt,10 | 2349 270,3
| | | 2 Tous ces résultats sont calculés sur la
D ALa lacunpa (plat 49.0 16,4 16,4 1,624 0,493 547,483 0,7222817 13,22 | 0,76070009 | 0,76097455 |—0,00027446 13,38 1640 don 8 RENE HERAULT
8 ment des températ étant presque propor
ito 548, 5 56 17 ; F È tionnelles nue d
Es 4 44 144 1,422 | 0,200 40,197 | 13,11 0,79921 8 0,759400: 0,00029204 3 3 a RCE
| & | 4 1 21818 3949082 |— 204 12,93 14,40 1,47 193,83 2830,00 houteurs où 1 °qu noins d'inflaence
2 Piñaotura 528,25 ” 70 DR 0 533 AE # Le : AE a | a s'est borné à Ia calculer ersctement pour les
7 | £ 1,95 | 23 520,575 0,6949620 11,33 0,:3737232 | 0,73513426 |— 0,00023806 11,42 10,00 — 1,42 3133,96 deux stations extrèmes et pour la station intermé
| liaire de Quito. Cela sufôt pour montrer la mar
Callo 3,3 . 525 528 || c | he accélér = 1
L 1 13,3 1,270 0,525 528,305 0,6969805 11,44 0,-3918480 | 0,73880568 |-L 0,00028912 11,55 1330 135 Tr00 27 TC SE palette
| | î 109,4 À d'autant plus sensible, qu'elle est moins modifiée
Métairie d'Autisar 1,30 3 - RP prMOn A er Ets nt
Lo 1 3,3 0,280 0,603 0,6206244 Gex 0,6-220838 20 0,0000 6,07 3,30 La ñ |
| 407019
10 | Glacier d'Antisaua D r10c | ce 3 55-6 | | F 2 ; à £
| ñ 0,556 0,6884 400,654 0 | 0 0,50193684 |—0,0053goû 2,43 oo (1 —2,43 tér,49 — — — ——
| 1) Pendaur l'observation , Il tombait une ne
| | | fine, une sorte de petite grêle, de la grosseur d
| | poudre à € et dont la formation
1 4 . | | Paie ua petit exc haleur acide
( | G I : u : : | 3 | : = E
| 1 d bole initiale Équation de la droite finale
| |
| 2 AY — By + r = Ay+(
aleurs des coefficients
Y des coefficients Valeu en
L ñ EL — — 0,1496303
+ 10272016 B——Loo7611818; C——0,1043198 - C— 140
Cunditions détérminatrices sfa 4 ù il
Ê t léterminatr 1° Satisfaire à la station inférieure où l'on a Conditions déterminatrices : 1° Satisfaire au point moyen des huit stations supérieures M, et M, , où
| V'ou a
r—1 = RER
| | c—0,71050451 y —0,75058914
| Satisfaire au point de la droite finale intermédiaire entre M, et M ire, avec l'axe des pressions , l'augle 1 dout la valeur est
| où J'om a é
| 1=41%.0!.331L4%
| r — 0,7442078 y = 0,78
1
|
|| 39 l'oucher la droite finale en ce même poiut
|
|
AI
|
|

IIS Tasreau. Résultat desfuu point du glacier supérieur du volcan d'Antisana , où il est parvenu.

UR

DÉSIGNATION

dr
dt"

DES STATIONS SUCCESSIVES,

ctuel

des densités et des pressions.

prises

dans la colonne aérienne,
Ë REMARQUES DIVERSES
rangées

a température

en mètres ,

déduite du lieu

par ordre d’élévation

EXCES DU CALCUL
fondé

sur le lieu rectiligne.

dans 1
calculé sur la parabole inférieure

au-dessus

pour une diminution de 1°

BAROMÈTRE OBSERVE,
réduit

etsur la droite finale : —

au-dessus de la mer Pacifique,

de la mer Pacifique.

ÉLÉVATION DES STATIONS

ACCROISSEMENT DE LA HAUTI

Guayaquil (la mer)... : 0,00 2
dE ) À

seul est calculé sur la droite finale pour la Chor=
La Chorrera.......... 9! 2470,67 rera. En le calculant sur la parabole initiale, on
le trouverait égal à 159",07, où moindre de 5".

m. | Les résultats relatifs à ces deux premières stations

sont calculées sur la parabole initiale; le (

Pomasqui........... 2548,82

Ne =

San Pablo.......... T 054 7 Ces résultats sont calculés sur la ligne droite finale.
dr

Les valeurs de dE ai mesurent le décroissement

j dt
La Tacunga (plateau). . des températures, y étant presque proportion-

nelles aux densités, surtout vers les grandes hau=

Quito..... L 5 5 teurs où la vapeur aqueuse a peu d'influence, on |
s'est borné à le calculer exactement pour les deux
stations extrèmes de la droite, et pour la station

Pinantura.. intermédiaire de Quito. Cela suffit pour montrer |}

la marche accélérée de ce décroissement, qui de-
Callo..... vient d'autant plus sensible, qu'elle est moins |

Métairie d’Antisana.. : — 1,00 408,26

modifiée par la présence de la vapeur aqueuse. |

Glacier d'Antisana,.... — 3,02 (1) 118,47 5371,20 ——

(x) Le sondage d’où la température moyenne a été
conclue, n'a pas été fait dans le sol terrestre , mais
au fond d'un trou actuellement foré dans la glace,
à l'entrée d’une anfractuosité de la masse du glacier

Équation de la parabole initiale s ce tableau que les hauteurs absolues, déduites des températures moyennes, surpassent

æ|déduisent des températures accidentelles d’une quantité presque coustante, qui pro-

oefficients : 2 7 :
Valeurs des coefficie tation no 2, au-dessus de laquelle toutes les suivantes sont calculées sur les droites

A+ 1,57116706392; L les unissent. Or, cet excès primitif de hauteur de la station n° 2 résulte du raccor-

Conditions déterminatrices : 1° Satisfaila Mer par les deux paraboles initiales, dontla détermination comporte nécessairement
titude, parce que l’on n’a pas d'observations intermédiaires entre la Chorrera et la mer,
T—

} puisse les assujettir, de manière à suivre les lois réelles du décroissement des densités.
2° Satisfailent n'ayant plus lien pour les stations supérieures à la Chorrera, à cause de la mul-
où l’on abints déterminés par les observations dans la colonne d'air, son état, soit moyen, soit
T —! trouve mieux défini ; et les intervalles de hauteur des stations se trouvent reproduits

ité naturelle, dans les deux systèmes de températures, malgré la différence qui existe

Gix metal x F ske z
ents physiques observés dans les deux cas. Or, la série des températures moyennes

; baue par contact avec le sol, au lieu que la série des températures accidentelles a été
Équationlde la) droite fuale un thermomètre plongé dans l'air seul, l'accord qui se trouve entre les hauteurs dé-
Valeurs des coefficients deux systèmes de données, montre que l'influence exercée sur le thermomètre libre par
t du sol et des corps matériels environnants, n’altère pas les hauteurs calculées autant
té porté à le craindre. Ce qui peut résulter, soit de ce que l'influence dont il s’agit

Conditions déterminatrices : 1° Satisfaire at-même très-faible, soit encore de ce qu’elle varierait peu à de petites distances de la

2° Faire, ave

XVII, page 834.

5ç t des pressions et des tempéralures moyennes annuelles, observées par M. Boussinqault, depuis ! ve 1 on Din ; : nt
Résultat des 7 L l q [l e niveau de La mer Par ifique, à Guayaquil, jusqu'au point du glacier supérieur du volcan d'Antisana , où il est parvenu

jus Davrrat

z | F Es .
“ S Èë CN -3 =,
È vor S S à QE D D
; 5 Bon (| È [es RUE £ &3 : fs] 8 z
DÉSIGNATION SLÈE 5% | si & me = 3 En 8 & £ és
= 2 Sns 5 n 3 = -d A2 S ae ne à 5 Be CRT | Ir
cœsuves, | > EE = ë È Fi) ZE a IC 2 a 3$ © È g Z' 2 T
Das STATIONS SU MEME x 2252 e 5 ME | 5e 25 CREER 282: À $ _ 5 FE = e ere ZEN
SR CS AaTSs = D 0 32 22 DES SNS Sn | EE ANS SSI EI US re] È 21: 2 BARDESE 5 2,3
prises PA = Bio | Her = O'E IR re] - 4 [n 3297 D= 52:38 CN GS este = 2 ÿ
RAS = ©? CR © e © :# = 7 2 RE CRE H=A Eu miss” EN © à 522% en =
Ou = à CHERE = 5 EN TT SU PE 3 m Ts ESS 2 se M$Ez Dmie es EURE z< L TLC) 5 =
dans la colonne aérienne DE Z £ Essen) E 5 £ & nes SRE Ines AL SAS cu A 2< 3 FER D à S 5 [mess 3 |wS z
Es S E A 63, 5 £ EI 2 WE PANES Æ HET S LE « (=> 53| n 22% SE rs = -- A E A = :
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rangée = é = 2 89% 0 a A A ©& E| 2 75 2 NES M évo à BE Rigins 36% 4 € CURE STE EC “#23
=) m Siss | 268 SIRET CIF) AC | ET NP Er AS3S |STESS CS É |(&Sas | esass
par ordre d'élévation | à = BInIeS é 6 8 = % <,- DE 5e 7 3 5 |A 3352 m5 à |Z22$25% iv NP IEEE
| £ S ESS | à = OS 416 E 3 ADEENC S23%) de = |#SS28 | à À SR A FE a leg 5%
au-dessus < Z£2, = NME Œ «= IR 8 3 825 23 3-23 ES ES 5 25 ANSE 3
£ LAS 2 2 à £ 3 2 SE MS &% 2 ,< E 8 ERRE 3
Pacifique is | œ = Éegy 2 LES 5 $ TÉE E) = E >T
de la mer il = re = 32 e) : C'
ENS « o 3 9% Ses = 1 2 #2 gd
= ë | | = SÉS 23 a rs] n
CA | ë (SE | CRE ES © Pr] . ,

m Les résultats relatifs à ces deux premières stations

G il (la mer 61 26,0 L 26,0 3559 | uvoo | 3 | 10000000 6,0 1,0000000 6,0 —L 26,0 00 !
5 | Guaysqu | | | | +26, L 26,0 + 0,00 0,00 annt ecoles sur la parabole initie; Le (44)
à 572,65 13,9 ib,r 1,4 0,447 550,769 | 0:7530022 | de 0,7840822 à ; : h seul est caleulé sur la droite finale pour la Chior=
à | La Chorrers 2 !] ; | 134 14 ) 0,7530022 | 16,22 ,7840822 — 0,0002483 16,13 16,1 +0,04 164,94 2470,67 rera, En le calculant sur la parobole initiale, on
Nes : ; | N | letrouverait égal à 159,07, ou moindre de 4%
3 | Pomasqui 567,65 16,1 15,4 1,647 0,460 | 565,553 | 0,7461208 15,72 7784 0,7785904 2001744 15,66 15,4 —oaû | 25484,8a

LA 5-0 tte 71109 ot HEC) ELEC 14344 07647812 |H-o0onrar 14:49 14,0 7049 273977 Ces résultats sont calculés sur la ligne droite Gate

4 |lSan Pablo

Les voleurs de Ÿ

de

qui mesurent le décroissement

3.|" La lacunga (plateau 549,60 16,4 15,0 1,624 0,493 5471483 14,00 0,7585885 0,758505r vo 166 13,95 15,0 — 1,05 2823,88 da Dm

9 » des températures. ÿ étant preique proportion

| - | | elles sux densités, surtout vers les grandes bau=

6 | Quito 548,10 144 14,4 | 1,422 o. 546,177 | | 13,67 0,7577015 | 0,7552677 |—o,0004338 13,83 146 — 0,57 157,82 2844.04 teurs 6ù Ia vapeur aqueuse a peu d'influence, on
s'est borné à le calculer exactement pour les

stations extrèmes de la droite, et pour la Mation

5 Gantura 528,25 10,0 TEA 9,952 526,775 0,6949620 rt8c 0,:358880 167 |—0,000028 11,88 [rer 314814
7 | Piüau | 9 | gi | 1 7 148,14 intermédiaire de Quito. Cela suffit pour montrer
: ete [he ë . Fe la marche accélérée de ce décroisement, qui de-
8 | Callo 530,10 13,3 |non-ubservée 1970 | 0,525 528,305 | 0,6969805 ans nie oda
| modifiée par la présence de la vapeur aqueuse
Qg | Métairie d'Autisana 71,30 33 1,4 0,280 0,603 K70,417 0,6206744 | 5,40 0,6-39rc 0,67390797 |—+o,o00or16 5,40 AA — 1,00 i084,26

5371,20 = —— —

05918505 | 0,59:1234 00053529

Glacier d'Antisann 0,6884

1) Le sondage d'où la température moyeune à été

| |
| | conclue , n'a pas été fait dans le sol terrestre, mais
| | | aù fond d'un trou actuellement foré dans Ia £lace,
à l'entrée d'une nafr té de la masse du glacier.

S SUR LA MER PACIFIQUE, On voit daus ce tableau que les hauteurs absolues, déduites des températures moyennes, surpassent

Équation de la parabole initiale COMPARAISONS DES HAUTEURS ABSOLU

r= Ay+ By? +-C. Obtenues par les températures moyennes et par les températures aceldentelles de l'air

celles qui se déduisent des températures accideutelles d'une quantité presque constaute, qui pro-

t de la station no 2, au-dessus de laquelle toutes les suivautes sont calculées sur les droites

Waleurs des coefficients vi

respectives qui les unissent, Or, cet excès primitif de hauteur de la station n° à résulte du raccor-

A 157116706492: B 0,238680682; C— 186 |

=+ 157 5397 : — 0,238680682; C— — 0,332486382 s
= % LEUR ÉLÉVATION SUR LA MEN PACIFIQUE, |EXCÈS DES HAUTEURS | F
Cond: o ' | dement avec la mer par les deux paraboles initiales, dontla détermination comporte sévessairement
onditions détermigatrices : 1° Satisfaire à la station inférieure, où l'on | DÉSIGNATION CALCULÉE déduites
| quelque incertitude, parce que l'on n'a pas d'observations intermédiaires entre la Chorrera etla mer,
_ _ {|
= 1,0 — ). ————— Ç— — Ft =

Done ONE TT 0000 CT des températures auxquelles on puisse les assujetti, de manière à suivre les lois réelles du décroissement des densités
par Jés)te re pAvatHreg ME ATSEs Fan APP ÉOES nes Cet inconvénient n'ayant plus lieu pour les stations supérieures à la Chorrera, à cause de la mul-

Satisfaire an point de la droite finale intermédiaire entre M, et M;,, Tentoll
moyennes. acvidentelles.

d'

accidentel, se trouve mieux défini ; et les iutervalles de hauteur des stations se trouvent reproduits

tiplicité des points déterminés par les observations dans la colon r, son état, soit moyeu, soit

où l'on a

2—0,7478106 y —0,7

avec leur égalité naturelle, dans les deux systèmes de températures, malgré la différence qui existe

2470.67 259,8:
entre les éléments physiques observés dûns les deux cas. Or, la série des températures moyennes

um ; 2 | La Chorrera.
Touclier la droite finale en ce même poiut

256 2536, À
3 | Pomasqui....... 2548,82 2536,13 1e la série des températures accidentelles a été

ayaut été obtenue par contact avec le sol, au lieu

Équation de la dro " À L " û

DMUOn de a droite Gnale 4 |FSau-Pahlo.. ; 2789:77 2726,37 observée avec un thermomètre plongé dans" l'air seul, l'accord qui se trouve entre les hauteurs Ué-

Maleurs des coefficients à à Ne duites de ces deux systèmes de données, montre que l'influence exercée sur le thermomètre libre par
5 a Tacung: . . 2823,88 2810,22 15,06 É

1 |Hta Tongs le rayonuement du sol et des corps matériels environnants, u'altère pas les hauteurs calculées autant

Dr CCE 727SE G |lQuito..….. 286606 2830,05 13,09 qu'ou aurait été porté à le craindre. Ce qui peut résulter, soit de ce que l'influence dont il s'agit

3 148,14 3133,06 serait par elle-même très-faible, soit encore de ce qu'elle varierait peu à de petites distauces de la
148,14 313,96

u point moyen des sept stations supérieures M,,M,,oùl'ona || 7 | Piñantura, 2
surface terrestre
—0,7124365, y—0.7504g27x 9 | Métairie d'Antisann. 4oB4,aû 070,19
Faire, avec l'axe des pressions , l'angle 1 dont la valeur est 10 | Glacier d'Antisana. . 537120 5364125

AVIT, page 834.

A A AR ARS AL LAS RAR ARE SR RAR ARS RAR AR LA

RECHERCHES

PHYSICO-CHIMIQUES

SUR LA TEINTURE,

Par M. CHEVREUL.

Lues à l'Académie des sciences, le 27 janvier 1840.

INTRODUCTION.

1. Les travaux que j'ai entrepris sur la teinture, consi-
dérée sous le point de vue le plus général et le plus appro-
fondi, forment trois séries distinctes.

2. Premiere série. Elle comprend tout ce qui se rapporte
au principe du contraste simultané des couleurs; principe
d'une-telle fécondité , que , malgré mon désir de concentrer
mes efforts sur la chimie appliquée à la temture propre-
meut dite, je n'ai pu m'empêcher de les diriger vers l’insti-
tution d’une théorie propre à régler les arts et les indus-
tries, dont l'objet est de parler aux yeux par des couleurs ,

109.

836 RECHERCHES PHYSICO - CHIMIQUES

dans l'assortiment et l’arrangement qu'ils font de ces mêmes
couleurs pour atteindre leur but. C'est ce qui explique com-
ment mon premier écrit sur ce sujet, publié en 1828, et im-
primé dans le tome XI des Mémoires de l’Académie, m'a en-
gagé dans des recherches si étendues, qu'elles forment avec
les premières un volume in-8° de 721 pages , qui a paru
l'année dernière.

3. Deuxième série. Elle comprend des recherches que
Jjappelle physico-chimiques , parce que , dépendant du
principe du mélange des couleurs qui est du domaine de la
physique , elles se rattachent en mème temps aux actions
chimiques dans tous les cas où il s’agit d'appliquer ce prin-
cipe à la fixation de plusieurs matières colorées sur les
étoffes , au moyen des procédés de la teinture.

4. C'est à l'exposé de ces recherches que ce Mémoire est
spécialement consacré. Il me suffira de définir le principe
du mélange des couleurs, de bien faire sentir l'extrême dif-
iérence qui le distingue du principe de leur contraste si-
multané, puis de passer aux applications les plus générales
que je fais du premier principe à la formation du noir, pour
qu'il soit facile d'apprécier toute l'importance dont il est en
teinture et dans le blanchiment; car le résultat remarquable
de mes derniers travaux , c'est ce même principe qui régit et
le procédé général de faire du noir par le mélange de di-
verses couleurs , et le procédé général de faire paraître des
étoffes légèrement colorées, moins colorées ou plus blanches
qu'elles ne sont, en y ajoutant cependant une matière colo-
lorée. Nous allons donc envisager le principe du mélange
des couleurs, 1° sous le point de vue abstrait ; 2° sous le point

SUR LA TEINTURE. 837

de vue de l’application, précisément comme nous avons en-
visagé le principe de leur contraste simultané.

5. Troisième série. Elle comprend mes recherches chimi-
ques proprement dites sur la teinture. Cinq mémoires ont
paru déjà dans le recueil de l'Académie ; le sixième ne tar-
dera point à paraître. Je vais en rappeler les titres, ainsi que
quelques publications qui, plus tard, doivent se fondre dans
des mémoires destinés à compléter les recherches de cette
troisième série.

Premier Mémoire. Introduction et considérations générales
(sur la teinture). Tome XV, page 383, des Mémoires de l’Aca-
démie.

Deuxième Mémoire. Des proportions d’eau que les étoffes
absorbent dans des atmosphères à 65°, 75°, 80° et 100° de l’hy-
gromètre de Saussure. Tome XV, page 409.

Introduction aux troisième , quatrième , cinquième et
sixième Mémoires. Tome XVI, page 41.

Troisième Mémoire. De l'action de l’eau pure sur des
étoffes teintes avec différentes matières colorantes. Tome
XVI, page 47.

Quatrième Mémoire. Des changements que le curcuma, le
rocou , le carthame, l'orseille , l'acide sulfo-indigotique , l'in-
digo et le bleu de Prusse, fixés sur les étoffes de coton, de
soie et de laine, éprouvent de la part de la lumière, des agents
atmosphériques et du gaz hydrogène. Tome XVI, page 55.

338 RECHERCHES PHYSICO - CHIMIQUES

Cinquième Mémoire. Des changements que le cureuma, le
rocou , le carthame, l'orseille, l'acide sulfo-indigotique , l'in-
digo , le bleu de Prusse, et autres matières colorantes fixées
sur les étoffes de coton, de soie et de laine, éprouvent de la
part de la chaleur et des agents atmosphériques. Tome XVI,

page 181.

Sixième Mémoire. De plusieurs changements de couleur
qu'éprouve le bleu de Prusse fixé sur les étoffes.

Appendice à ce Mémoire, contenant quelques considéra-
tions générales , et inductions relatives à la matière des êtres
organisés vivants.

Examen des matières grasses de la laine (1828).

Des propriétés caractéristiques de la lutéoline, du querci-
trin ,du morin, du morin blanc, retirés de la gaude , du quer-
citron, du bois jaune (1830).

De l'aurine, nouvelle espèce de principe immédiat colorant.

Procédé pour obtenir à volonté la dégradation du bleu
de Prusse, soit pur, soit mêlé de cyanoferrite de cyanure
de potassium, soit mélé de peroxide de fer (1526).

Î. DU PRINCIPE DU MÉLANGE DES COULEURS SOUS LE POINT DE
VUE ABSTRAIT.

Définition du principe du mélange des couleurs.

6. lorsque des rayons-rouges émanent de points maté-
riels assez rapprochés d'autres points matériels qui réflé-
chissent en même :temps des rayons jaunes, pour que nous
ne puissions distinguer les premiers des seconds, nous per-

SUR- LA TEINTURE: 539

cevons la sensation d’une couleur unique que nous appelons
l'orangé. Si les points nous envoyaient des rayons rouges
et des rayons bleus, nous aurions la sensation du tolet. En-
fin, s'ils nous envoyaient des rayons jaunes et des rayons
bleus, nous aurions la sensation du vert. On vérifie ces pro-
positions par deux voies différentes; la première consiste à
faire coincider deux à deux sur une surface blanche les rayons
diversement colorés du spectre solaire, et la seconde à
mêler deux à deux des matières très-divisées qui réfléchis-
sent. chacune une des trois couleurs, rouge , jaune et bleue.
Le mélange peut être fait avec des poudres sèches, avec les
couleurs du peintre, avec les matières colorantes du :tein-
turier , avec les fils colorés du tapissier.

7. Si, au lieu de mêler deux à deux des matières colorées
en rouge, en jaune et en bleu, on mêle ces trois matières
ensemble, de façon quela couleur d'aucune d'elles ne domine
sur celles des autres, on a du noir, ou, ce quirevient au même,
du gris équivalant à du noir, plus du blanc. On peut obtenir
ce résultat en mêlant les couleurs des peintres , en appliquant
sur une même étoffe des matières tinctoriales, rouge, jaune
et bleue; enfin, comme je l'ai démontré, en travaillant , d’a-
près les procédés de l’art du tapissier, des fils teints-en ces
trois couleurs.

8. Surces faits j'établis le principe du mélange des couleurs
pour les arts, en disant que les mélanges binaires du rouge, du
aune et du bleu, donnent l'orangé, le violet et le vert, tandis
que le mélange de ces trois couleurs , en proportions convena-
bles, donne du noir. Si ce prineipe estreconnu depuis longtemps
par les teinturiers et les peintres , il est vrai de dire qu'il n’a
pas donné à l'application tout ce qu'on peut en tirer, et

84o RECHERCHES PHYSICO - CHIMIQUES
c'est particulièrement sous ce point de vue que je l’ai envisagé.
9. L'opposition absolue entre le principe du mélange des
couleurs et le principe de leur contraste simultané, deviendra
évidente par l'exemple suivant. Des parties jaunes et des par-
ties bleues, assez divisées pour que l'œil ne les distingue pas
les unes des autres , font naître en nous la sensation du vert,
conformément au principe du mélange , tandis que, confor-
mément au principe du contraste, qui nous fait voir deux
couleurs juxtaposées les plus différentes possible, quant à la
hauteur de leur ton et à leur composition optique , si nous
regardons une feuille de papier bleu clair à côté d’une feuille
de papier jaune, loin de tirer sur le vert, les deux feuilles
s’en éloignent,en paraissant prendre, la première du violet, et
la seconde de l'orangé , ou, ce qui revient au même, en parais-
sant perdre toutes les deux du vert ; de sorte que ce qu'il y
a d'analogue ou d'identique en elles s'évanouit, ou du moins
s’affaiblit beaucoup.

IT. DU PRINCIPE DU MÉLANGE DES COULEURS SOUS LE POINT DE VUE
DE L'APPLICATION.

10. L'application du principe du mélange des couleurs que
Je me propose de faire, concerne, 1° la formation du noir ;
2° ce qu'on nomme en teinture les brunitures ou le rabat des
couleurs ; 3° le blanchiment.

1. Application du principe du mélange des couleurs à la
formation du noir.

11. Peut-on dire que tous les noirs produits de l’art de

SUR LA TEINTURE. 841

la teinture sont formés de matières qui, si elles étaient sé-
parées , nous paraîtraient de couleur rouge, jaune et bleue ?
C’est une question que nous ne traitons pas dans ce Mémoire.
Partant du fait, qu'une étoffe chargée de matière rouge, de ma-
tière jaune et de matière bleue, en proportions convenables, pa-
raët noire, nous voulons en développer la conséquence dans la
pratique, après l'avoir transformé en cet énoncé: Une étoffe
chargée, en proportions convenables, soit de rouge et de vert,
soit de jaune et de violet, soit de bleu et d'orangé, où, ce qui
est la même chose, de matières réfléchissant séparément des
lumuères colorées mutuellement complémentaires, paraït notre.

12. J'ai démontré non-seulement ce dernier énoncé pour
la confection en teinture d'un noir ou d’un gris normal,
c'est-à-dire, d'un noir ou d’un gris qui n’est ni rouge, ni jaune,
ni bleu, ni orangé, ni vert , ni violet, mais encore pour du
noir résultant du mélange soit de matières pulvérulentes de
couleurs mutuellement complémentaires, soit de fils teints en
ces mêmes couleurs. La conséquence de ces faits pour les
arts de la teinture, de la peinture et de la tapisserie, soit
qu'it s'agisse de faire du noir ou du gris, soit qu'il faille évi-
ter d’en faire, est évidente, et rien de plus facile que de la
mettre en pratique, lorsqu'on a sous les yeux la construc-
tion que j'ai décrite ailleurs sous la dénomination de chro-
matique hémisphérique (1). En effet, les noms de toutes les
couleurs mutuellement complémentaires se lisant à la cireon-
férence d’un plan circulaire aux extrémités d’un même dia-
mètre, il devient aisé de savoir, lorsqu'on voudra faire du

(x) De la loi du contraste des couleurs, et de ses applications.

T. XVIL. 106

8/42 RECHERCHES PHYSICO - CHIMIQUES

noir avec une couleur donnée, ce qu'on devra y ajouter , ou
ce qu'on devra s'abstenir d'y méler lorsqu'il faudra éviter
de la ternir en la mélangeant avec une autre couleur.

13. Il est essentiel de remarquer que les matières colo-
rées qu'on mélange , doivent être sans action chimique mu-
tuelle, ou, si elles en ont, cette action doit s'effectuer sans
changer les couleurs respectives des matières mélangées : au-
trement , la condition des couleurs complémentaires n'existe-
rait plus.

14. S'il s'agit de faire du noir sur une étoffe par la fixa-
tion successive de différentes matières colorées , il faut éviter
de commencer par en fixer une à saturation, de facon que
l’étoffe perdrait tellement de son aptitude à s’unir à d’autres
corps, qu'il deviendrait impossible d'y fixer la quantité con-
venable de la matière dont la couleur doit neutraliser celle
de la matière fixée en premier lieu à saturation. Par exemple,
si de la laine destinée à être teinte en noir recoit un pied de
bleu d'indigotine tellement abondant qu'elle devienne d’un
violet cuivré, il sera bien difficile, pour ne pas dire impos-
sible, de neutraliser cette couleur au moyen d’un jaune ver-
dâtre, sa teinte complémentaire. La théorie est dans ce cas
parfaitement d'accord avec l’économie de l'opération.

IT. Application du principe du mélange des couleurs à la
formation des brunitures.

15. Lorsqu'on méle trois matières présentant les trois cou-
leurs simples, ou deux matières de couleurs mutuellement
complémentaires, en des proportions différentes de celles où
la neutralisation est possible, le résultat du mélange est du

SUR LA TEINTURE. 343

noir, plus la couleur simple ou binaire dominante ; et ce ré-
sultat s'observe aussi bien en teinture qu'en peinture et en
tapisserie, comme je l’ai démontré ailleurs pour ce dernier
cas. La proposition que je viens d’énoncer est un principe par-
faitement applicable à la teinture, comme je le démontrerai
d’une manière spéciale dans quelques-uns des mémoires de
la troisième série de mes recherches ; je me borne mainte-
nant à en faire sentir la généralité, en déduisant quelques
conséquences principales, appliquées à la confection de ce
qu'on nomme en teinture des couleurs rabattues au moyen
du notr.

16. On rabat généralement, aux Gobelins, les étoffes qui
ont recu des couleurs plus ou moins brillantes, dans un bain
dont la composition est tout à fait analogue à celle de l'encre,
puisqu'il se compose de sulfate de protoxyde de fer, de cam-
pêche, de noix de galle : il contient en outre du sumac. Mais
la couleur que cette composition donne aux étoffes, n'ayant
aucune solidité, il est avantageux de recourir au mode suivant
de rabat : on rabattra le rouge avec du jaune et du bleu, ou
avec du vert ; l’orangé avec du bleu ;

Le jaune avec du rouge et du bleu, ou avec du violet ;

Le vert avec du rouge ;

Le bleu avec du rouge et du jaune, ou avec de l'orangé ;

Le violet avec du jaune.

Bien entendu que la couleur ou les couleurs du rabat de-
vront être en proportions d'autant plus fortes, que l'on voudra
ternir davantage les teintes auxquelles on les ajoutera.

17. Si je n'ose pas assurer que la solidité des couleurs ra-
battues par ce procédé, soit égale à celle des couleurs élé-
mentaires que l’on a mélées, du moins, dans tous les cas, je

106.

844 RECHERCHES PHYSICO - CHIMIQUES

suis certain qu'elle est incomparablement plus grande que
celle des couleurs rabattues par le procédé suivi aux Gobe-
lins, toutes les fois que les couleurs constituantes ont été
convenablement choisies.

18. Si le reproche qu'on peut faire aux tons clairs de la
plupart des gammes qui sont teintes avec des matières répu-
tées solides (voyez 4° Mémoire de la série des recherches chi-
niques sur la teinture, 55, 56, 57, 58), est applicable aux tons
clairs des gammes rabattues par ces mêmes matières réputées
solides , j'annoncerai que j'ai le moyen de remédier à cet in-
convénient, ainsi que le constatent des couleurs gris de perle,
bleu excessivement clair, bleu clair plus ou moins rabattu, etc.,
que j'ai faites dans les manufactures royales, et qui ont déjà
soutenu l'épreuve de plusieurs années, dans des circonstances
où quelques mois auraient suffi pour dénaturer compléte-
ment les couleurs semblables faites par les anciens procédés.

19. Le moyen de ternir soit une couleur simple par l’ad-
dition de deux couleurs, soit une couleur binaire par l'ad-
dition d’une couleur simple, indique ce qu’il faut éviter, lors-
qu'on veut composer des couleurs binaires aussi brillantes
que possible. Évidemment les deux couleurs mélangées de-
vront être simples ; ou, sielles sont complexes, le mélange ne
devra présenter que deux couleurs simples. Par exemple :
pour faire du vert, lorsqu'on manque de jaune et de bleu
purs, il ne faut pas prendre du jaune orangé, ni du bleu violet,
mais du jauneet du bleu verdâtres. Pour l’orangé, il faut, lors-
qu'on manque de rouge et de jaune purs, recourir à du jaune
et à du rouge tirant sur l’orangé, et non à du jaune verdâtre
et à du rouge violätre. Enfin, pour le violet, on choisira du
bleu et du rouge violâtres de préférence à du bleu verdâtre et

SUR LA TEINTURE. 845

à du rouge orangé. La construction chromatique hémisphé-
rique donne le moyen de ne jamais s'égarer, lorsqu'on connaît
la place qu'y occupent les matières colorées que lon veut
. mêler.

III. Application du principe du mélange des couleurs au
blanchiment.

0. Il y a longtemps qu'on a imaginé d'ajouter du bleu au
papier, au linge, et généralement aux étoffes qu'on veut avoir
blanches. Que fait-on réellement dans l’azurage? C'est ce que
j'ai cherché à expliquer ; mais avant de donner la théorie de
cette opération si vulgaire, distinguons deux cas possibles,
celui où l’objet azuré a un œil bleu, et celui où il ne l'a pas.

21. L'objet a un œil bleu. Il a donc perdu la couleur rousse
qui déplaisait, par l'addition de la matière bleue qu'il a recue ;
et cependant, la plupart des yeux trouvent l’objet moins co-
loré ou plus blanc qu'il n'était, malgré l'addition d’une cou-
leur à sa couleur naturelle.

22. L'objet n'a pas un œil bleu. Vous obtenez ce résultat,
non pas toujours avec du bleu violet, tel que le bleu de Prusse,
l'azur, loutremer, mais assez fréquemment avec du bleu et une
quantité de rouge suffisante pour faire du violet. En un mot, ce
résultat est obtenu, lorsque la couleur ajoutée à celle de l’objet
est sa complémentaire et que la proportion des deux couleurs
donne la neutralisation. Une conséquence de ce principe est
que, si la couleur de l’objet est l'orangé, il faut du bleu pour la
neutraliser; si elle est le jaune, il faut du violet. Enfin, si elle,
estle jaune orangé ,un bleu tirant au violet doit être employé.

23. Toutes les expériences que j'ai faites dans l'intention

846 RECHERCHES PHYSICO - CHIMIQUES

de contrôler ce principe , l'ont vérifié. Je le donne donc au-
jourd'hui comme démontré par l'expérience , et Jinsiste sur
la remarque exprimée au commencement de ce Mémoire , que
l’art de faire du noir sur une étoffe par la fixation de ma-
tières de couleurs mutuellement complémentaires, repose sur
le principe d’après lequel on blanchit par l'addition d'une ma-
tière colorée , une étoffe qui a elle-même une légère couleur.

24. Exposons les expériences et les observations dont le
principe précédent est la conséquence.

J'ai pris une soie torse très-légèrement jaune, quoiqu'elle
eût été non-seulement décreusée et blanchie, mais encore pas-
sée à l'acide sulfureux. Je l’ai partagée en quatre éeheveaux,
nn No etMA

Le n° 1 n'a reçu aucune préparation ; il est resté terme de
comparaison Où 20rme.

Le n°2 et le n°3 ont été passés dans de l’eau d’acide sulfo-
indigotique convenablement préparée; ils ont pris la même
couleur verdâtre. Le n°2 à été mis de côté. Le n°3 et len° 4,
également mouillés, ont été passés dans de l'eau colorée avec
de la cochenille ammoniacale.

Ilest évident que le n° 2 et le n°4 ont été préparés dans le
dessein de représenter les quantités de matière colorée fixée
sur eux, pour les comparer respectivement à ces mêmes quan-
tités réunies sur le n° 3. La preuve maintenant que le bleu
du n° 2 + le rouge du n°4 — le bleu et le rouge fixés sur le
n°3,c'est que le n° 3 donne au tissage un tissu identique à
celui qu'on forme en tissant un fil du n° 2 avec un fil du n° 4.
.. 25. Passons aux conséquences de l’expérience :

Le n°1 est sensiblement jaune; le n° 2 a la teintee verdâtre
qui doit résulter du mélange du jaune avec du bleu, et len° 4,

SUR LA TEINTURE. 847

la teinte orangée qui doit résulter du mélange du jaune avec
le rose... Mais quelle est la couleur du n°3? Pour l'apprécier,
il faut le placer sur un fond blanc, d’abord entre les n° 2 et
4, en laissant un intervalle suffisant pour détruire autant que
possible l'effet du contraste, puis à côté, mais à distance du

o

n°1.
Dans la première position , le n°3 ne parait d'aucune
couleur.

Dans la seconde position, le n°3 ne parait d'aucune cou-
leur;ou,s’il en a une, c’est la teinte violacée que la vue du n° 1
développe par contraste.

Dans tous les cas, le n°3 a été jugé sans hésitation et à l’u-
nanimité par deux chefs d'atelier des Gobelins, par un pein-
tre, par quatre teinturiers et par moi, comme étant plus blanc
que les trois autres numéros, et ces jugements ont été portés
par chacun de nous individuellement.

26. Mais pour que le jugement soit complet ,il faut com-
parer le blanc du n°3 avec un blanc parfait. En prenant pour
le terme de comparaison , la neige éclairée par la lumière
diffuse du jour, Le n°3 a paru avoir une teinte grise sensible.
Conséquemment le procédé suivi pour neutraliser le jaune de
la soie par du violet a produit du noir. Mais quand la matière
uoire est, comme dans le cas qui nous occupe, excessivement
petite relativement à la surface où elle a été mise, elle devient
moins sensible que le jaune et le violet qui la constituent : dès
lors nous jugeons cette surface blanche; et s'il nous arrivait
de la comparer à une surface parfaitement blanche, nous ju-
gerions la première couverte d'une ombre légère, tandis que
la seconde ne nous le paraîtrait pas. Je tire de cette observa-
tion la conséquence , qu'en teinture comme dans le blanchi-

848 RECHERCHES PHYS1CO-CHIMIQUES

ment, neutraliser une couleur par sa couleur complémentaire,
c’est faire passer l’étoffe d'une gamme colorée dans la gamme
du gris normal.

27. Pour peu que la couleur neutralisée par une autre ait
de l'intensité, le mélange est manifestement d’un ton plus
élevé que ne l'était celui des couleurs neutralisées : quoiqu'il
semble devoir en être de même pour les tons légers , cepen-
dant, lorsque j'ai fait juger des couleurs neutralisées sur des
étoffes blanches, les opinions ont été partagées, parce que,
quoiqu'il y ait réellement moins de parties à réfléchir de la
lumière blanche dans l'échantillon neutralisé que dans l'é-
chantillon primitif, l'absence de toute lumière colorée qui
fait paraître l’étoffe plus blanche, peut aussi la faire juger plus
lumineuse, ou, ce qui révient au même, d’un ton plus léger
que l'étoffe, qui a une couleur déterminée, comme le jaune

par exemple.

28. MM. Tresca et Eboli ont applique à la fabrication de
la bougie stéarique le principe précédent, et des échantillons
que je dépose sur le bureau donnent la preuve expérimentale,

1° Que si la matière de cette bougie est légèrement colorée
en jaune, il suffit d'y ajouter une quantité convenable de violet,
ou de bleu et de rouge, pour lui donner de la blancheur ;

>° Que si la matière de cette bougie est très-sensiblement
colorée, l'addition du violet, ou du bleu et du rouge, donne
du gris ou du noir affaibli par du blanc.

Je joins à la fin de ce Mémoire une note que M: Tresca à
bien voulu rédiger.

29. Enfin, un de mes élèves, directeur de verrerie, M. Cham-
blant, a obtenu des résultats analogues aux précédents , en

SUR LA TEINTURE. 849

fondant des matières vitrifiables susceptibles de produire des
couleurs mutuellement complémentaires.

CONCLUSIONS.

1° Lorsqu'on mélange en proportions convenables des corps
colorés suffisamment divisés, soit des matières tinctoriales,
soit des poudres colorées employées en peinture, soit enfin
des fils propres à la tapisserie, le résultat du mélange est du
noir, si le mélange réfléchit peu ou pas de lumière blanche; il
est du gris normal, s’il en réfléchit une quantité notable.

> Ce principe et l'observation que deux tons complémen-
taires très-légers sont plus perceptibles, comme lumières co-
lorées , que le gris très-pâle auquel leur mélange donne nais-
sance , expliquent le résultat qu'on obtient par tout procédé
où l’on détruit une teinte légère d’un objet blanc par l'addi-
tion d’une matière colorée ; de sorte que, comme je l'ai dit, le
procédé de faire du noir avec les couleurs complémentaires ,
et celui d'augmenter la blancheur d’une surface légèrement
colorée, découlent d’un même principe.

La généralité du résultat auquel je suis parvenu paraîtra
encore plus grande, lorsque je rappellerai le parti que j'ai tiré
du principe précédent , pour détruire un effet du contraste
qui a quelque inconvénient dans le cas où l’on veut que des
dessins paraissent incolores , c'est-à-dire, blancs ou d’un gris
normal léger sur des fonds colorés, au lieu de paraître de la

HOEMIT 107

850 RECHERCHES PHYSICO-CHIMIQUES

couleur complémentaire de ces fonds, comme cela a lieu. Il
suffit de mêler à la matière du dessin un peu de la couleur du
fond, pour que l'effet de cette couleur complémentaire soit neu-
tralisé par la couleur ajoutée. Le résultat est du gris normal,
comme si la couleur complémentaire résidait réellement dans
une matière alliée à la matière blanche. La même addition peut
ètre faite à la matière des dessins noirs sur fond de couleur.

NOTE DE MM. TRESCA ET EBOLI.

Guide par le souvenir d'une lecon que fit en 1835 M. Chevreul sur la
théorie des couleurs complémentaires , l’un de nous pensa qu'il pourrait
tirer parti de cette théorie, pour détruire dans l'acide stéarique le ton
jaunâtre qu'il doit à la présence d'une certaine quantité d'acide oléique
qu'il retient toujours.

Vers lafin de 1838, nous avons essayé d'introduire ce perfectionnement
dans notre fabrication, et successivement nous avons fait usage de la
plupart des matières colorantes, dont le mélange pouvait nous fournir le
bleu violet dont nous avions besoin pour atteindre notre but.

Toujours cette addition a rendu la blancheur de notre bougie plus
éclatante ; l'indigo seul nous a présenté une exception qui doit sans
doute être attribuée à une action chimique que les acides gras exerceraient
sur lui; la couleur que nous avons préférée est un mélange de carmin et
de bleu de Prusse, ou mieux encore le bleu de cobalt ou l’outremer;
ce procéde, qui dans le principe avait présenté quelques difficultés d'exé-
cution, reçoit chez nous, depuis plus de neuf mois, une application fa-
cile et journalière.

Lorsque nous avons voulu appliquer ce même principe à des produits

SUR LA TEINTURE. 851

très-colorés, jamais nous n'avons pu produire qu'une teinte grise très-
prononcée, au lieu du blanc que l’on obtient avec des matières plus belles.

Nous avons observé, dans ces derniers temps, un fait qui nous prouve
qu'il peut exister entre des corps colorés organiques, que l'on réunit de
cette manière,une sorte de combinaison qui les rend chacun plus stable;
certain corps très-altérable, tel que l’orcanette, qui disparaîtrait rapidement
par son exposition à l'air, devient très-stable lorsqu'elle se trouve mélan-
gée avec d'autres corps colorés dans la proportion convenable, pour qu'il y
ait neutralisation de couleur ;tandis que si lalumière agissait sur l’orcanette
unie au bleu de Prusse, comme elle agit sur l'orcanette qui est isolée, elle
détruirait dans le mélange la portion de coloration qui est due à l'orca-
nette , et dès lors amènerait au vert la bougie naturellement jaunâtre qui
aurait recu un mélange de bleu de Prusse et d'orcanette.

FIN DU TOME DIX-SEPTIÈME.

321,

343,

344;

354,
363,
367,

369,
371,

r

379,

378,

Lignes
dernière,
15 et 19,

14,

derniére,
10,

avant dernière

10,

ERRATA DU TOME XVII.

Fautes
rt
0
en ayant égard aux
[r.2.—(h+k—n)S]
(—1) (G+k)e +1
o—

Ru—3 — y(1 + 1-3), n°3 (1 — uv—3)
++ +8
La
æ° + 37°
FV=5,S) + HV 35")
R,15
R 1,589,

Ra:

Rs, R33,65
R:

cho
2(4v08 + 1)
er) xt)
gr) X(r)
racine
l'équation
fraction
S(r#tit)

l'équivalence (14)

Corrections.

(—r)7"
o
a la place des
[r.2...(4+ 4 —n)o!
(—1) a+
ES À
Ru-3— v(r + u—3), w=3— (1 +uv—3)
LAN ++ ge
ur
m4 13r°
HV) + 5,5")
RE 5
ÉRoeRe
Re
P R37,6r R33,45
Re

=.
2(4V0 + 1)
e(r) x(r)
L(r) (7
racines
l'équivalence
fonction
S(p##7)

équivalence (13)

Pages.

379;
381,

382,

383,

384,
397,
394,
397;

402,
403,
404,
405,

408,
425,

434,
438,
439,
440,

445,

451,
456,

ERRATA. 853
Lignes. Fautes, Corrections.
11et 12, sn t sn—*
13, = (4 + BA) = (A— BA)
2; B°? nB?
17, p; (mod. »). .
6,7et9, pe: P +g
16, (=? ,[1=7 E=p *,i=p *
6, (OF CA
10, + u° + cu
15, A' A'
4e ra 14A 1HA 1—Nr+A r+A'r—A
2 2 2 2 2 2 2 2
17; S; Gi
14, en changent en changeant
2, à la fin à la fois
3 leurs deux somme a leur demi-somme «a
4, leurs demi-différences à leur demi-différence à
N N
15, P P
9; estdelaforme8x+5ou4x+3. n'estpasdivisible par 4.
dernière, à 2
- 2 8
6, R, R,;
% la seconde, savoir la seconde
6, une de ces racines une semblable r: cine
dernière, (13) (14)
6, FL Fast
p= Ê==
3, sue 2 —
20, (5)
T. XVII. 108

19;

ERRATA.-
Fautes.
la puissance ascendante
sera
renfermeront
LE
kÆ et 4G
en supposent
pu
2 — 7.

membre premier.

second nombre
(13)
première
(mod. y).
les différences
® — 8.
D=— 7
des termes
?
+ p°
—p—#
IAE Eee

CRT

ou

(x)
sont

1+ 0 + pt +0 + p"°

Correciions.

les puissances ascendantes

ce rapport sera
renferment
pn—:
Æ paa ©
en supposant
pm
2.7
nombre premier.

(2)
second membre
(12)
la première
(mod. »).
la différence
D?—8.
D

les termes

A

nT

an ler
(30)

seront

LH PE PPS EN

Pages. Lignes.
631, 23,
660, 9;
661, 6,
671, 9 et 14,
701, 12,
14,
702, avant-dernière,
7o4. 14,
70ÈE 19;
720, 16,
721, 5)
732, 2,
14,
733, dernière,
734et755, 3,

ERRATA.
Fautes,.
(AFC2
vYy",...
—
e
du signe
première
correspondent
se partagent
donnent
le nombre
nombres
celle-ci

(64)

ERRATA DU TOME XVI.

855

Corrections.

VV RTE

Fv=

e
du signe +
seconde
correspondront
se partageront
donneront
ce nombre
membres
celles-ci
(65)
+

Page 462, ligne 9, en remontant, au lieu de : = SH, lisez : OH.

Page 470, ligne 5, au lieu de : + e, lisez : + 2 e?.
Page 472, ligue

Page 476, ligne 11, au dénominateur, au lieu de : + 2, lisez : + - P.
m 2m

Idem,

0 06 ——————

9, en remontant, au lieu de : Morella, Zsez : Formentera.

P

ligne 15, au lieu de : — 7.818702, lisez : — 7.818870.

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